metadata: dcterms:identifier ECHO:SNXKGUVW.xml dcterms:creator (GND:118201913) Bélidor, Bernard Forest de dcterms:title (de) Neuer Cursus Mathematicus zum Gebrauch der Officiers von der Artillerie und der Ingenieurs, zu erst in französischer Sprach beschrieben dcterms:date 1745 dcterms:language deu text (de) free http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView/ECHOzogiLib?mode=imagepath&url=/mpiwg/online/permanent/library/SNXKGUVW/pageimg log: pbsync ok, enthält math [0001] [0002] [0003] [0004] [0005] [0006] [0007] Neuer CURSUS MATHEMATICUS Zum Gebrauch Der Officiers von der Artillerie, Und Der Ingenieurs, Zu er$t in Frantzö$i$cher Sprach be$chrieben Von Hn. BELIDOR, Nunmehro aber auf hohen Befehl Des Durchlauchtig-Hochgebohrnen Für$ten und Herrn, Herrn JOSEPHI WENCESLAI, Des Heil. Röm. Reichs Für$ten von und zu Liechten$tein rc. In die Teut$che Sprache über$etzt, und mit nöthigen Zu$ätzen ver$eben Von J. TH. BION, Dero zu Hungarn und Böheim Königlichen Maje$tät Hoch-Löblichen Feld-Artillerie Stuck-Iunckern. WIEN, und LEIPZIG, Verlegts Iohann Io$eph Pentz, Buchhändler. 1745. [0008] [0009] Dem Durchlauchtig-Hochgebohrnen Für$ten und Herrn, Herrn Io$eph Wentzel, Des Heil. Röm. Reichs Für$ten Von und zu Liechten$tein und Nicol$purg, Hertzogen Zu Troppau und Iägerndorf in Schle$ien, Grafen zu Rittberg, Rittern des Goldenen Vlie$es, Ihro zu Hungarn und Böheim Königlichen Maje$tät Würcklichen geheimen Rath, General-Feld- Mar$challen, wie auch General-Haus-Land-und Feld- Artillerie Zeugmei$tern, und Obri$ten über ein Regiment Dragoner. [0010] [0011] Durchlauchtig- Hoch-Gebohrner Reichs-Für$t und HERR, HERR!

GLeichwie die Mathemati$che Kün- $te und Wi$$en$chaften allezeit nur von denenjenigen in hohem Werth gehalten werden, welche $elb$ten ei- ne gro$$e Erkanntnu{$s} davon haben, und [0012] die$elbe zum Gebrauch des men$chlichen Le- bens, $o wohl in Militari, als in Civili an- zuwenden wi$$en, $o hat die$e edle Wi$- $en$chaft einen $onderbaren Be$chützer in Dero Hoch-Für$tlichen Per$on gefun- den; es i$t $ich zwar darüber gar nicht zu verwunderen, indem Dero Für$tlicher Stamme nichts ander$t gewohnet, als gro$$e Sachen durch Dero Hohe Prote- ction noch grö$$er zu machen. Ich könnte mich zwar zur Prob de$$en auf die gro$$e Thaten, die Dero Hoch-Für$tliches Haus $chon vor vielen Iahr-Hunderten und je- derzeit verrichtet, und die auch in alle Ge$chichts-Bücher einverleibet worden, beziehen; Allein Dero Hoch-Für$tlichen [0013] Gnaden angebohrne Mode$tie verbietet mir $olches. Derowegen bitte nur unter- thänig$t, Dero Hoch-Für$tliche Gnaden wolle erlauben, da{$s} ich die Ehre habe ge- genwärtige Uber$etzung, als zu welcher Verfertigung Die$elbe mir nicht nur al- lein den Befehl ertheilet, $ondern auch zum Rutzen des unter Dero Hohen Be- fehl $tehenden Löblichen Artillerié-Corpo die Unkö$ten $elb$ten angewendet, zu Dero Fü$$en, als ein vor $o viele und gro$$e em- pfangene Wohlthaten $chuldig$tes Danck- Opfer demütig$t nieder zu legen, wie auch mich in Dero Hoch-Für$tlichen Gnaden fernere Hohe Protection zu empfehlen, in- dem es mein grö$ter Ruhm, wann ich die [0014] Gelegenheit habe zu wei$en, da{$s} ich be$tän- dig mit tieffe$tem Re$pect und unterthä- nig$ter Submi$$ion verharre

Dero Hoch-Für$tlichen Gnaden

Unterthänig$t-gehor$am$ter Knecht

J. TH. BION.

[0015] (o) Vorrede Des AUCTORIS.

WAnn denjenigen, die ein Werck an das Ta- ges-Licht geben, die Schuldigkeit ob- liegt, Rechen$chaft von ihrem Vorhaben zu geben, $o kan ich mich weniger als $on$ten jemand von die$er mir obliegen- den Schuldigkeit los$prechen. Es i$t dahier die Rede von einem Cur$u Mathematico, den ich, und zwar in einer Zeit, da man $ich vielmehr als $on$ten auf die$e Wi$$en$chaft verlegt, nutzbar zu machen getrachtet. Weilen bishero $chon viele vortrefliche Männer von die$er Wi$$en$chaft ge$chrieben, $o kan man einiger Ma$$en mit Recht $agen, man habe $chon Bücher genug, und man könne nichts anders thun, als nur dasjenige wie- derholen, was andere $chon ge$agt. Ich habe die$es gar wohl in Betrachtung gezogen, und hätte mich leicht zum Still$chweigen bewogen, wann ich nicht in [0016]Vorrede des AUCTORIS. der Meinung ge$tanden, es wäre allezeit erlaubet zu $chreiben, wann man glaubt ein Mittel gefunden zu haben, wodurch den Anfängern die Wi$$en$chaft, von der man handelt, deutlicher gemachet werde. Ich habe auch ge$ehen, da{$s} unter denjenigen, die die Ma- themati$che Wi$$en$chafen $tudiren, einige den End- zweck haben, $ich den Ver$tand zu $chärfen, und $ich al$o ge$chickt zu ab$tracten Wi$$en$chaften, als wie zur Phy$ic, zur Metaphy$ic &c. zu machen; Andere aber, damit $ie $ich in Stand $etzen, mit Ruhm unter dem Artillerie-oder Ingenieur-Corpo zu dienen; und weilen bishero noch niemand vor die$e letztere in$onder- heit gearbeitet, $o habe ich vor nutzlich gefunden, ihnen ein $olches Buch zu $chreiben, in welchem $ie alle ihnen nothwendige Theile der Mathematic finden können, um ihnen al$o die Mühe zu er$pahren, dasjenige, was $ie zu wi$$en begehren, in einer Menge anderer Bü- cher zu $uchen, allwo $ie es doch vielleicht nicht finden möchten; Die$es i$t al$o der Endzweck, den ich mir in gegenwärtigem Werck vorgenommen. Weilen man nun den Nutzen einer gro$$en Menge Sätze nicht $ehen kan, wann man nicht die Theorie zur Praxi applicirt, $o habe ich mich der Mathematic zur Auflö$ung einer Menge Aufgaben, die die Officiers von der Artillerie und die Ingenieurs angehen, bedienen wollen, wie man die$es aus folgender Specification $ehen wird.

[0017]Vorrede des AUCTORIS.

Die$es Werck be$tehet aus zehen Theilen. In dem er$ten wei{$s}t man die Elementa der Geometrie, davon man die Sätze in eine neue Ordnung gebracht, und auf eine viel kürtzere und leichtere Manier, als man $on$ten gethan, erwie$en. Die$er er$te Theil i$t wieder in acht Bücher abgetheilet. In dem er$ten Buch gibt man eine Einleitung zur Geometrie und Buch$taben-Rechen-Kun$t, damit die Anfänger in Stand ge$etzet werden, die folgende zu ver$tehen. Das zweyte Buch handelt von den Verhältni$$en und Proportionen der Grö$$en, wie auch von den Brüchen $o wohl in Zahlen, als auch in Buch$taben. Das dritte handelt von den unter$chiedenen Stellungen der graden Linien in An$ehung der Winckel, die $ie formi- ren können. In dem vierten erkläret man die Eigen- $chaften der grad-linichten Figuren, in$onderheit der Dreyecke und der Parallelogrammorum. Das fünfte wei$et die Eigen$chaften des Zirckels in An$ehung der unter$chiedenen Linien, die man $o wohl inner-als au$- $erhalb ihren Circumferenzien ziehet; wie auch das Maa{$s} der Winckel, die die$e Linien formiren, und die Verhältni$$e der Rectangulorum der Theile derjenigen Linien, die $ich $o wohl inner-als au$$erhalb dem Zir- ckel durch$chneiden, oder einander antreffen; über- haupt findet man in die$em Buch alle Gründe, worauf die Trigonometrie beruhet. Das $ech$te handelt von den in Zirckel einge$chriebenen und um die$elbe herum- [0018]Vorrede des AUCTORIS. be$chriebenen regularen Polygonen; und weilen viele davon nicht können geometricè, das i$t, nur durch Hülf des Linials und Zirckels be$chrieben werden, $o wei{$s}t man die Con$truction und den Gebrauch einer krum- men Linie, durch welcher Hülf man nicht nur allein alle Gattungen Polygonen in einen Zirckel ein$chreiben, $ondern auch einen Winckel, in $o viel gleiche Theile, als man will, eintheilen kan. In dem $iebenden Buch applicirt man die Materie von den Proportionen auf die Flächen; man wei{$s}t, welche Verhältni{$s} die Seiten der ähnlichen Figuren, wie auch ihre Flächen-Inhalte gegeneinander haben; Desgleichen auch die Manier die Figuren nach einer gegebenen Verhältni{$s} zu ver- grö$$ern oder zu verkleinern, wie auch zu etlichen gege- benen Linien andere Proportional-Linien zu finden. Endlich in dem achten Buch handelt man von den Verhältni$$en, die die Flächen, wie auch die cörperliche Inhalte der Cörper gegeneinander haben; Desglei- chen auch von der Manier die$elbe auszume$$en, und $ie nach einer gegebenen Verhältni{$s} zu vergrö$$ern oder zu verkleinern; Die Sätze die$es Buchs $eynd auf ei- ne neue und $o leichte Art erwie$en, da{$s} man in achtze- hen Lehr-Sätzen, einem Lehn-Satz und in vier Auf- gaben, die $chön$te und vornehm$te Eigen$chaften, die Archimedes von der Kugel, dem Cono und dem Cy- linder gefunden, kennen lerne.

[0019]Vorrede des AUCTORIS.

Damit man den Nutzen der vorhergehenden Bü- cher $ehe, $o habe ich fa$t nach jedem Satz Zu$ätze ge- $etzet, welche den reichen Nutzen, den $ie bringen, klar an den Tag legen; Da $iehet man mit Verwunde- rung die Weitläuftigkeit der Geometrie an; Es i$t ge- nug, wann man nur die er$te Anfangs-Gründe davon be$itzt, da kan man $chon andere Wahrheiten entde- cken, welche $ich gleich$am von $ich $elb$ten dem Ver- $tand vor$tellen, da hingegen in den mehri$ten andern Wi$$en$chaften man in der Ungewi{$s}heit i$t, ob man die Wahrheit be$itze oder nicht; und ohnerachtet alles Flei$$es, den man anwendet, die$elbe zu $uchen, $o i$t man doch nicht gewi{$s} ver$ichert, ob man $o glücklich gewe$en, die$elbe gefunden zu haben.

Weilen die Elementa der gemeinen Geometrie noch nicht hinlänglich $eynd, eine Menge Sachen zu ver$tehen, die in den folgenden Theilen abgehandelt werden, und die eine Erkanntnu{$s} von den Sectionibus Conicis erfordern, $o habe ich zu End des er$ten Theils einen kleinen Tractat davon gegeben, als welcher die vornehm$te Eigen$chaften der Parabel, der Ellip$is und der Hyperbel enthält; Die$e habe ich auf eine $o leichte Art erwie$en, da{$s}, wann man nur ein wenig Flei{$s} darauf anwendet, man $ie ohne Schwürigkeit ver$tehen könne.

Der zweyte Theil i$t ein Tractat von der grad-li- nichten Trigonometrie; Da wei{$s}t man den Gebrauch [0020]Vorrede des AUCTORIS. der Tabellarum Sinuum, die Theorie der Berechnung der Dreyecke, als welche man nachgehends auf die practi$che Geometrie applicirt, nemlich die Höhen und Di$tanzien zu me$$en, wie auch die Theile einer Forti- fication zu berechnen, und $ie nachgehends auf dem Terrain auszu$tecken; Desgleichen wei{$s}t man auch, wie man $ich der Trigonometrie bedienet, wann man die Minen - Gallerien führen und vertammen will. Endlich wird auch noch gewie$en, wie man durch Hülf der Trigonometrie die Land-Charten aufnehmen $oll.

Der dritte Theil i$t ein Tractat von der Theoria und Praxi $o wohl der einfachen, als componirten Ni- vellir-Kun$t, man mag $ich der Wa$$er-Waag, oder der Hugeniani$chen Nivellir-Waag bedienen; Man findet dahier alles, was zu einem accuraten Nivelle- ment gehöret.

Der vierte Theil i$t ein Tractat von der Berech- nung, deren man $ich in dem Toi$iren bedienet: Alle Operationen die$er Manier zu rechnen $eynd erwie$en, und man hat $ich befli$$en, $ie $o klar und leicht zu geben, da{$s} $ich die Anfänger in wenig Tägen die$elbe bekannt machen können.

Der fünfte Theil i$t eine Application der Geome- trie zur Ausme$$ung der Flächen und Cörper, $ie mö- gen regular oder irregular $eyn; Z. E. man wei{$s}t, wie die unter$chiedene Gattungen Gewölber, das Mauerwerck einer Fortification, als wie die Orillons, [0021]Vorrede des AUCTORIS. die hole Flancquen, die Rundungen der Contre$carpe des Grabens, die ge$tümpelte Pyramiden, die $ich in den Winckeln befinden, die Bâtardeaux, die Aushölun- gen der Minen, und eine Menge andere Sachen, da- von die mehri$te bis hieher noch nicht abgehandelt wor- den, geometricè zu berechnen; An dem End die$es fünften Theils befindet $ich ein General-Principium, nach welchem man den Inhalt der Flächen, die ent$te- hen, wann $ich eine grade, oder auch eine krumme Linie um eine Axe herum bewegt, finden kan; Desgleichen, wie man nach eben die$em Principio den Inhalt der Cörper, die ent$tehen, wann $ich eine Fläche um eine Axe herum bewegt, berechnet, nur wird erfordert, man kenne die Mittel-Puncten der Schwäre der erzeugen- den Linien und Flächen.

Der $ech$te Theil i$t eine Application der Geo- metrie zur Eintheilung der Figuren, nemlich man wei{$s}t, wie die Dreyecke, Vierecke, wie auch die Polygonen nach einer gegebenen Verhältni{$s}, und durch gegebene Puncten einzutheilen $eyen.

Der $iebende Theil handelt von dem Gebrauch des Proportional-Zirckels, allwo man wei$et, wie man durch Hülf die$es In$truments eine Menge Geometri- $cher Aufgaben auf eine $ehr leichte Manier auflö$en kan. Es i$t zwar wahr, da{$s} man es entbehren kan, ich habe aber es nur denjenigen, die den Gebrauch da- von nicht wi$$en, gern expliciren wollen. Nach die- [0022]Vorrede des AUCTORIS. $em findet man eine Application der Geometrie zur Auflö$ung unter$chiedener nutzlicher Aufgaben der Ar- tillerie. Z. E. man wei{$s}t, wie man die Quantität je- der Ingredienz, woraus das Stuck-Metall be$tehet, finden kan, wie auch den Diameter der Kugeln von al- lerhand Caliber; Die Grö$$e der Pulver-Maa$$e; Desgleichen auch die Länge der Stücke, die $ie in An- $ehung ihrer unter$chiedenen Caliber haben $ollen, da- mit $ie die Kugeln mit der grö$ten Kraft, die möglich, treiben; ferner findet wan auch einen Di$curs von den Würckungen des Pulvers, die es in den Stücken ausübt.

In dem achten Theil handelt man von dem Sto{$s} und der Bewegung der Cörper, wie auch von der krummen Linie, die $ie be$chreiben, wann man $ie nach Directions-Linien wirft, die mit dem Horizont paral- lel oder $chief lauffen; nach die$em applicirt man alle die$e Principia zur Theorie und Praxi der Kun$t die Bomben zu werfen.

Der neunte Theil i$t ein Tractat von der Mecha- nic, de$$en Sätze man nach den Principiis des Carte$ii und des Herrn Varignon erwie$en; und nachdem, als man die Eigen$chaften der einfachen und vornehm$ten zu$ammenge$etzten Machinen, $amt der Manier ihre Kräften zu berechnen, erkläret, $o hat man gewie$en, wie man $ich der$elben in den Manipulationen der Ar- tillerie, wie auch in der Praxi der Kün$ten bedienet; [0023]Vorrede des AUCTORIS. nachgehends applicirt man die General-Principia der Mechanic zur Con$truction der Pulver-Magazinen, wie auch aller übrigen Gewölber, da $iehet man den Unter$chied des Drucks der Zirckel-mä$$igen, Ellipti- $chen und Gothi$chen Gewölber, desgleichen wie die Dicke der Seiten-Mauren zu determiniren, damit $ie mit dem Druck der Gewölber im Gleich-Gewicht $te- hen. Nach die$em wei{$s}t man mit welcher Kraft die Bomben und Stuck-Kugeln an die Flächen, nach wel- chen $ie geworfen oder ge$cho$$en werden, anprellen; Desgleichen wei{$s}t man auch, welche Elevation man einem Mör$er geben mü$$e, damit die Bombe mit ihrer völligen Schwäre auf das Gewölb eines Pulver-Ma- gazins falle. Zu End die$es Theils findet man auch noch einen Di$curs von der Theorie der Minen und Contra-Minen, allwo man $iehet, welche Ladung man den Kammern in An$ehung der unter$chiedenen Linien des $chwäche$ten Wider$tandes, und der Würckung, die $ie thun $ollen, geben mü$$e.

Der zehende Theil i$t nur eine Continuation des vorhergehenden, und hält einen Tractat von der Hy- draulic in $ich, allwo man wei{$s}t, auf was Art die flü$- $ige Cörper miteinander im Gleich-Gewicht $tehen, mit welcher Ge$chwindigkeit $ie durch unter$chiedene Oef- nungen auslauffen, und mit welcher Kraft die flie$$ende Wa$$er an die Flächen, die $ie antreffen, an$to$$en; Zu End die$es Theils befindet $ich ein kleiner Tractat von [0024]Vorrede des AUCTORIS. der Natur und den vornehm$ten Eigen$chaften der Luft; die$er dienet als eine Einleitung zu den Phy$ica- li$chen Wi$$en$chaften, und erkläret haupt$ächlich die Ur$achen der Würckungen der hydrauli$chen Machinen, als wie z. E. der Pumpen, Röhren rc.

Die$es $eynd die Theile, aus welchen, wie ich glaube, ein Cur$us Mathematicus zum Gebrauch der Officiers von der Artillerie und der Ingenieurs be$te- hen $oll. Es möchten zwar einige davor halten, ich hätte nicht übel gethan, wann ich einen Tractat von der Fortification beygefüget hätte; allein weilen ich in gegenwärtigem Werck nur die Theoreti$che Theile der Mathematic zu geben Willens gewe$en, $o habe ich den Tractat von der Fortification bis auf eine andere Gelegenheit ver$pahren wollen. Ich wün$che nur, da{$s} man $ich inde$$en mit die$em Werck vergnügen mö- ge, und da{$s} die Anfänger $o viel Lu$t haben es wohl zu $tudiren, als ich Flei{$s} angewendet, es klar und nutzlich zu machen. Weilen aber eine und andere vielleicht mehreres von der Algebra lernen möchten, $o habe ich zu End des er$ten Theils eine Verzeichnu{$s} der be$ten Authoren ge$etzet, indem mir viele erfahrne Männer den Nutzen, den $ie haben kan, vorge$tellet.

[0025] (o) Vorrede des Uber$etzers.

DA{$s} des Herrn Belidors Cur$us Mathemati- cus, und überhaupt alle $eine Wercke, welche er herausgegeben, $ehr gute und nutzliche Wercke $eynd, i$t der gelehrten Welt, in$on- derheit aber denjenigen, die ihre Wi$$en$chaft in der Mathematic auf die Kriegs-Kun$t appliciren, eine be- kannte Sach; Derowegen es zu wün$chen gewe$en, $ie wären $chon läng$ten in die Teut$che Sprach zum Nu- tzen derjenigen, die das Frantzö$i$che nicht ver$tehen, über$etzet worden. Es hat auch die$es Se. Hoch- Für$tl. Durchl. nach höch$t-Dero$elben klugen Ein$ich- ten gar wohl in Betrachtung gezogen; Derowegen höch$t-Die$elbe an mich den hohen Befehl ergehen la$- $en, gegenwärtigen Cur$um in die Teut$che Sprach zu über$etzen. Was die Uber$etzung $elb$ten anlangt, $o habe ich hin und wieder, in$onderheit aber in die acht Bücher des er$ten Theils, eine ziemliche Menge Sätze in$eriret, als welcher ich mich theils zu die$em Werck $elb$ten bedienet, theils aber noch zu andern Wercken, [0026]Vorrede des Uber$etzers. welche ehi$tens mit Gelegenheit auch zum Vor$chein kommen $ollen, bedienen werde. Damit aber der ge- neigte Le$er die meinige von des Herrn Auctoris eige- nen Sätzen unter$cheiden möge, $o habe ich vor gut be- funden, die meinige mit dem Zeichen * zu bemercken. Die Ur$ach, warum ich in den drey letztern Theilen nichts hinzuge$etzet, als allwo es doch einiger Ma$$en vonnöthen gewe$en wäre, i$t, weilen ich $elb$ten einmal mit Gelegenheit eine Mathemati$che Einleitung zu den Phy$icali$chen Wi$$en$chaften zum Gebrauch der Artil- lerie heraus zu geben im Sinn habe. Was die Re- dens-Art, deren ich mich bedienet, anlangt, $o habe ich mich keiner Zierlichkeit beflei$$igen, $ondern vielmehr al$o $chreiben wollen, da{$s} es die Anfänger leicht be- greiffen mögen. Inde$$en, wann $ich irgendwo Fehler einge$chlichen, $o bitte ich den geneigten Le$er mich der- $elben mit gehöriger Be$cheidenheit zu erinnern, vor welche Höflichkeit ich gebührenden Danck abzu$tatten niemals ermangeln werde; dann es mu{$s} ein jeder glauben, quod errare humanum.

Ge$chrieben Wien den 20. Aug. 1745.

[0027] CURSUS MATHEMATICUS Zum Gebrauch Der Officiers von der Artillerie und der Ingenieurs. Er$tes Buch. Einleitung zu der MATHESI. Erklärungen. I.

1. DIe Geometrie i$t eine Wi$$en$chaft, welche nicht $o wohl die Grö$$e an $ich $elb$t betrachtet, $ondern vielmehr die Verhält- ni{$s}, die $ie gegen eine andere von eben die$er Art hat.

* Anmerckung.

2. Die$e Erklärung gehet die gantze Mathe$in an, davon die Geometrie nur ein Theil i$t. Es wird al$o die Geometrie in $pecie be$chrieben, da{$s} $ie $eye eine Wi$$en$chaft der Exten$ion in die Länge, Breite und Höhe.

II.

3. Alles, wovon man redet, hei$$et ein Satz. Es gibt ihrer von unter$chiedener Art, und $ie veränderen den Namen nach dem, als $ie von etwas handlen. Zum Erempel

III.

4. Ein Grund-Satz i$t ein Satz, welcher $o klar i$t, da{$s} er kei- nes Bewei$es vonnöthen hat.

[0028] IV.

5. Ein Lehr-Satz i$t ein Satz, de$$en Wahrheit man bewei$en mu{$s}.

V.

6. Eine Aufgab i$t ein Satz, nach welchem man etwas machen mu{$s}, und zugleich auch bewei$en, da{$s} man $einen Endzweck erhalten.

VI.

7. Ein Lehn-Satz i$t ein Satz, welcher nur ge$etzt wird, um ei- nen nachfolgenden Satz dadurch de$to leichter zu erwei$en.

VII.

8. Ein Zu$atz i$t ein Satz, welcher unmittelbar aus einem vor- hergehenden Satz flie$$et. Weilen alle die$e Sätze von der Grö$$e hand- len, $o $ehet, welchen Begriff man $ich davon machen mu{$s}.

VIII.

9. Es gibt drey Maa$$e; die Länge, die Breite, und die Tieffe, oder die Höhe.

IX.

10. Eine Linie i$t eine Länge, welche man betrachtet ohne Brei- te und Tieffe.

X.

11. Die Länge und Breite, wann $ie betrachtet wird ohne Höhe, wird eine Fläche genennet. Die$e wird eine platte Fläche genennet, wann $ie $o platt und $o eben i$t, als ein Spiegel.

* Anmerckung.

12. Son$ten wird auch eine platte Fläche be$chrieben, da{$s} $ie $eye eine $ol- che Fläche, welche jeden Punct einer graden Linie, die man, wie man will, auf $ie applicirt, berührt. Dadurch wird die platte Fläche von der hohlen und erhobenen Fläche unter$chieden.

XI.

13. Wann man die Länge, die Breite und die Höhe zu$ammen betrachtet, $o wird die$es ein Cörper genennet.

XII.

14. Ein Punct i$t das Aeu$$er$te eines Cörpers, oder einer Fläche, oder einer Linie; Man $tellt $ich den$elben vor als unzertheilbar und oh- ue Ma{$s}, das i$t, man eignet ihm noch Länge, noch Breite, noch Hö- he zu.

XIII.

15. Eine grade Linie i$t die kürtze$te unter allen, die man von einem Punct A bis an den andern B ziehen kan; $o i$t die Linie A B.

Fig. 1. [0029] XIV.

16. Eine krumme Linie C D i$t, welche die kürtze$te nicht i$t von Fig. 2. die$en, die man aus dem Punct C an den Punct D ziehen kan.

XV.

17. Eine vermi$chte Linie E F i$t, welche theils grad, theils Fig. 3. krumm i$t.

XVI.

18. Eine Perpendicular-Linie C D i$t diejenige, welche auf ei- Fig. 4. ne andere A B al$o fallet, da{$s} $ie noch weder auf die eine, noch die an- dere Seite hänge.

XVII.

19. Ein _Quadrat_ i$t eine Fläche, welche mit vier gleichen Seiten Fig. 5. einge$chlo$$en i$t, die auf einander perpendiculariter $tehen.

XVIII.

20. Ein länglichtes Viereck, oder ein Rectangulum i$t eine vier- Fig 6. eckigte Figur, deren nur die einander entgegen $tehende Seiten einander gleich $eynd, aber auch auf einander perpendiculariter $tehen.

XIX.

21. Ein Cubus i$t ein Cörper, welcher die Figur als wie ein Fig. 7. Würfel hat. Er i$t mit $echs gleichen Quadraten einge$chlo$$en, und $ei- ne drey Ma{$s} $eynd einander gleich.

XX.

22. Ein Parallelepipedum i$t ein Cörper, welcher mit $echs Rectan- Fig. 8. gulis einge$chlo$$en i$t, deren die einander entgegen $tehende nur einan- der gleich $eynd, und wo die drey Ma$$e einander ungleich $eynd.

23. Es gibt eine Manier die drey Arten der Exten$ion, nemlich die Linie, die Fläche, und den Cörper zu betrachten, welche $ehr tauglich i$t, um viele Sachen in der Geometrie zu erklären; nemlich, man $tellet $ich vor, als wann eine Linie be$tünde aus einer unendlichen Anzahl Puncten, die Fläche aus einer unendlichen Anzahl Linien, und der Cör- per aus einer unendlichen Anzahl Flächen. Um aber die$es deutlich ver- $tehen zu machen, $o betrachtet zwey Puncten A und B, welche $o weit voneinander entfernet $eyen als $ie wollen; wann man nun $upponiret, da{$s} der Punct A $ich bewege gegen B, ohne $ich weder auf die Rechte, weder auf die Lincke zu $chlagen, und da{$s} er auf $einem Weeg einen Zug anderer Puncten la$$e, $o werden alle die$e Puncten zu$ammen genom- men, die grade Linie A B ausmachen; indem kein Raum auf der gan- tzen Länge $eyn wird, er mag auch $o klein $eyn als er wolle, den der Punct A nicht durchgeloffen wäre; derowegen kan die gantze grade Li- [0030] nie A B ange$ehen werden, als wann $ie be$tünde in einer Menge Pun- cten, deren Anzahl durch die Länge der Linie A B $elb$t ausgedru- cket i$t.

24. Auf eben die$e Art kan man $ich auch vor$tellen, da{$s} eine Fläche Fig. 6. be$tehe in einer unendlichen Menge Linien; dann wann man $upponirt, da{$s} die Linie A C längs der Linie C D mit gleicher Neigung $ich bewe- ge, $o i$t es gantz klar, da{$s}, wann $ie $o viel Linien hinter $ich la{$s}t, als Puncten $eynd in der Linie C D, und $ie bis an den Punct D gekom- men, alle die$e Linien zu$ammen genommen, die Fläche A B D C aus- machen.

25. Endlich wann man eine Fläche A B hat, die $ich längs der Fig. 8. Linie B C bewegt, und $o viel Flächen hinter $ich zuruck lä{$s}t, als Pun- cten in der Linie B C $eynd, $o $iehet man, da{$s}, wann die Fläche wird bis an den äu$$er$ten Punct C gekommen $eyn, $ie einen Cörper wie B D ausmacht, welcher al$o aus einer Menge Flächen be$tehet, deren Anzahl durch die Linie B C $elb$t ausgedrucket wird.

26. Weilen man durch die Erzeugung einer Sache die Theile, welche $ie hervorbringen, ver$tehet; $o flie{$s}t aus die$em was ge$agt wor- den, da{$s} der Punct die Linie, die Linie die Fläche, und die Fläche den Cörper erzeuge.

27. Wann man $upponiret, da{$s} die Linie A C von 8. Schuhen, Fig. 6. und die Linie C D von 6. Schuhen $eye, und man die$e Zahlen betrach- tet, als wann $ie die Anzahl der Puncten, die $ich in den Linien A C und C D befinden, ausdrucken, $o $iehet man, da{$s}, wann man 8. mit 6. multipliciret, das Product der Inhalt der Fläche A D $eye; dann wei- len die$e Fläche aus einer Menge Linien, und jede Linie aus einer Men- ge Puncten be$tebet, $o be$tehet auch die Fläche aus einer Menge Pun- cten, deren Anzahl das Product i$t aller Puncten der Linie C D, durch alle Puncten der Linie A C multipliciret; das i$t das Product, welches ent$tehet, wann man die Länge mit der Breite multipliciret, welches dann in un$erem Fall 48. Schuhe i$t; welche man mit den Current- Schuhen nicht confundiren mu{$s}; indem ein Current-Schuh nichts an- ders i$t, als eine Länge ohne Breite, da hingegen die$e, welche ent$tehen durch ein Product zweyer Ma$$e, $o viel viereckigte Flächen $eynd; wel- che dienen um alle Flächen auszume$$en.

28. Weilen nun der Cörper D B aus $o vielen Flächen be$tehet, als Fig. 8. und 9. Puncten $eynd in der Linie C B, $o mu{$s} man al$o die Fläche A B durch die Linie B C multipliciren, um den Inhalt die$es Cörpers zu bekommen; wann wir nun $etzen, es $eye die Fläche A B von 48. Quadrat Schuhen, und die Linie B C von 4. Current-Schuben, $o bekommen wir, wann [0031] wir 48 durch 4. multipliciren, 192 Schuh vor den Inhalt des Cörpers A C; es i$t aber mohl zu mercken, da{$s} die$e Schuh unter$chieden $eynd von den Current- und Quadrat-Schuhen; dann die$e $eynd $o viel kleine Cörper, melche ein Schuh lang, ein Schuh breit, und ein Schuh hoch $eynd; die al$o Cubi$che Schuh genennet werden, weilen ihre drey Ma{$s} einander gleich $eynd. Al$o i$t zu mercken, da{$s} die Linien durch Linien, die Flächen durch Flächen, und die Cörper durch Cörper ausgeme$$en werden.

29. Weilen wir aber nicht $owohl den Inhalt der Grö$$en, als vielmehr die Verhältni{$s}, die $ie untereinander haben, finden wollen, $o werden wir uns an $tatt der Zahlen, der Buch$taben des Alphabets be- dienen, um die Grö$$en dadurch auszudrucken, damit wir al$o die Be- wei$e der Sätze de$to allgemeiner machen.

30. Zum Exempel, um eine Linie auszudrucken, $o bedienet man $ich eines der Buch$taben _a_, _b_, _c_, _d_ &c. und um eine Fläche vorzu$tellen, $etzt man zwey Buch$taben nebeneinander; und vor einen Cörper $etzt man drey; dann wann mehrere Buch$taben nebeneinander $tehen, $o $tellen $ie das Product vor, davon jeder Buch$tab ein Ma{$s}, oder einen Facto- rem vor$tellet.

31. Zum Exempel, _a b_ $tellet eine Fläche vor, deren beyde Ma$$e $eynd _a_ und _b_, welche, wann man $ie miteinander multipliciret, uns ge- ben _a b_ vor den Inhalt der Fläche.

32. Weilen man allezeit gleiche Linien durch einerley Buch$taben und ungleiche Linien durch unter$chiedene Buch$taben vor$tellet, $o kan man gleich urtheilen, da{$s} _a b_ oder _c d_ Rectangula $eynd, weilen ihre Ma{$s} ungleich; da hingegen _a a_ ein Quadrat i$t, weilen die beyde Ma$$e ein- ander gleich $eynd.

33. Desgleichen wann man $iehet _a a a_, $o kan man gleich urthei- len, da{$s} es ein Cubus i$t, indem die drey Ma$$e einander gleich $eynd, dann jedes der$elben wird vorge$tellet durch _a;_ und wann man hingegen $iehet _a b c_, $o kan man gleich urtheilen, da{$s} es ein Parallelepipedum $eye, indem die drey Ma{$s} einander ungleich $eynd.

34. Die Buch$taben des Alphabets $eynd um $ehr viel ge$chickter als die Zahlen, die Grö$$en zu bemercken; dann wann ich zum Exempel $ehe die Zahl 8, $o wei{$s} ich nicht, ob $ie eine Linie von 8. Current-Schu- hen, oder eine Fläche von 8. Quadrat-Schuhen, oder aber einen Cörper von 8. Cubic-Schuhen vor$tellet; dann eine Fläche, welche 4. Schuh lange und 2. Schuh breit wäre, hat 8. Quadrat-Schuh zu ihrem In- halt, und ein Cörper, de$$en jedes von $einen Ma$$en 2. Schuh wäre, hat auch 8. vor $einen cörperlichen Inhalt: derowegen wann man die [0032] Operationen in Zahlen macht, $o mu{$s} man im Gedächtnu{$s} behalten was $ie bedeuten; da hingegen die$e, welche man mit den Buch$taben macht, dem$elben gar nicht $chwer fallen, weilen die Ratur der Grö$$en durch die Buch$taben $elb$ten vorge$tellet wird; dann $o bald ich $ehe _a a_ und _b c d_, $o $inde ich gleich, da{$s} _a a_ ein Quadrat, und _b c d_ ein Cör- per; da hingegen, wann die Grö$$en durch Zahlen vorge$tellet wären, ich nicht wü$te was $ie bedeuten.

35. Weilen man mit den Buch$taben eben die Operationen als wie mit den Zahlen macht, nemlich die Addition, die Subtraction, die Multiplication, die Divi$ion und die Ausziehung der Wurtzeln, und die unbekannte Grö$$en eben auch in die Rechnung einflie$$en als wie die be- kannten; $o hat man angenommen die unbekannten durch die letztere $, t, u, x, y, z &c. und die bekannten durch die er$tere Buch$taben des Al- phabets vorzu$tellen, damit al$o die$e zweyerley Arten Grö$$en vonein- ander unter$chieden werden.

36. * Die _Addition_ i$t eine Operation, wodurch man eine Grö$- $e findet, die etlichen gegebenen Grö$$en zu$ammen genommen gleich i$t. Die gefundene Grö$$e wird die Summe genennet.

37. * Die _Subtraction_ i$t eine Operation, wodurch man eine Grö$$e findet, welche anzeiget, um wie viel die eine gegebene Grö$$e grö$- $er oder kleiner i$t als die andere. Die$e gefundene Grö$$e hei{$s}t der Uberre$t, oder die _Differenz_.

38. * Die _Multiplication_ i$t eine Operation, wodurch man eine Grö$$e findet, welche die eine gegebene $o vielmal in $ich begreift, als die andere gegebene Grö$$e Einheiten in $ich halt; da{$s} al$o _Multiplici_ren nichts anders i$t, als eine gegebene Grö$$e $o vielmal nehmen, als die andere Einheiten in $ich begreift. Die gefundene Grö$$e wird das _Pro-_ _duct_ genennet, und die gegebene hei$$en die _Factores_.

39. * Die _Divi$ion_ i$t eine Operation, durch welche man eine Grö$$e findet, welche die Einheit $o vielmal in $ich begreift, als die eine der gegebenen Grö$$en die andere in $ich halt. Die gefundene Grö$$e hei$$et der _Quotient;_ diejenige gegebene Grö$$e, welche die andere in $ich halt wird der _Dividendus_, und diejenige, welche in dem Dividendo enthalten i$t, wird der _Divi$or_ genennet.

40. In der Buch$taben-Rechen-Kun$t bedienet man $ich einiger Zeichen, um die Operationen die man mit den Buch$taben macht, vorzu- $tellen; zum Exempel, das Zeichen + bedeutet _plus_, oder mehr, und zeiget eine Addition an; dann a + b wei$et uns da{$s} a zu b addiret worden.

[0033]

41. Das Zeichen - hingegen bedeutet _minus_, oder weniger, und zeigt eine Subtraction an; dann a - b wei$et uns, da{$s} b von a $ubtrahi- ret worden.

42. * Wann man vor$tellen will das Product zweyer Grö$$en, $o $etzt man die Grö$$en ohne Zeichen nebeneinander; zum Exempel, ab i$t das Product, welches ent$tehet, wann man a mit b multipliciret. Wann aber die Factores durch gro$$e Buch$taben vorge$tellet werden, wie in- $onderheit in der Geometrie gebräuchlich, $o $etzet man das Zeichen _X_ zwi$chen $ie. Z. E. AB X BC, zeigt an, da{$s} AB mit BC multiplici- ret worden.

43. Wann man eine kleine Linie $iehet, da ober- und unterhalb der$elben Buch$taben $tehen, $o will die$es $agen, da{$s} die obere Buch$ta- ben durch die untere dividiret $eynd. Z. E. {ab / c} bedeutet, da{$s} ab durch c dividiret worden.

44. Wann man das Zeichen=$iehet, da vor und nach Algebrai- $che Grö$$en $tehen, $o will die$es Zeichen $agen, da{$s} die$e Grö$$en ein- ander gleich $eynd; derowegen nennet man es das Zeichen der Gleich- heit; al$o ab = cd zeigt an, da{$s} ab gleich $eye cd.

45. * Gleiche Grö$$en können allezeit voreinander ge$etzet wer- den. Z. E. wann a = b, $o kan ich allezeit an $tatt a $etzen b und an $tatt b $etzen a.

46. Die beyde Grö$$en, zwi$chen welchen das Zeichen der Gleich- heit $ich befindet, machen zu$ammen genommen eine Gleichung aus. Z. E. a = b, cd + xx = aabb, y = {ab / c} $eynd Gleichungen.

47. Die Glieder einer Gleichung $eynd diejenige Grö$$en, welche $ich beyder$eits des Zeichens der Gleichheit befinden; al$o $eynd die Grö$$en abc und dfx Glieder der Gleichung abc = dfx, davon i$t abc das er$te, weilen es vor dem Zeichen hergehet, und dfx das zweyte, weilen es dem Zeichen nachgehet.

48. Wan man eine Grö$$e hat, welche ent$tanden aus der Multi- plication mehrerer ähnlicher Buch$taben, z. E. aaa oder abb, $o kan man $ie kürtzer $chreiben; als wie an $tatt aaa, $etze ich a und ein 3. darnach, und da i$t a^3 eben dasjenige was aaa, weilen beydes anzeigt, da{$s} es ein Product von dreyen gleichen Ma$$en $eye; al$o auch an $tatt abb kan man $etzen a b^2; und al$o hei$$et die Zahl, welche anzeigt, wie vielmal der Buch$taben mit $ich $elb$t multipliciret worden, der _Exponent_.

[0034]

49. Um aber das Quadrat, oder den Cubum einer Linie, die z. E. in einer Figur i$t mit AB bemercket worden, anzuzeigen, $o $chreibt man

    AB
^2 oder
    AB
^3; dann
    AB
^2 i$t das Quadrat und
    AB
^3 i$t der Cubus der Li- nie AB.

50. Wann eine Algebrai$che Grö$$e einmal, zweymal, dreymal, viermal rc. mit $ich $elb$t multipliciret worden, $o hei$$et das Product eine _Potentia_ oder Grad; al$o a oder a^1 i$t der er$te Grad oder Potentia; aa oder a^2 i$t der zweyte Grad oder Potentia, oder anch das Quadrat von a; aaa oder a^3 i$t der dritte Grad, oder Potentia, oder auch der Cubus von a; endlich a^4 i$t der vierte Grad, oder das Quadrato-Qua- dratum das i$t aa multipliciret mit $ich $elb$t; oder, welches eben da$$el- be i$t, a multipliciret mit a^3: und $o weiters.

51. Eine Potentia kan allezeit ange$ehen werden als ein Product von zweyen anderen Potentiis; dann a^5 i$t eben $o viel, als das Product von a^2 mit a^3.

52. Es können auch Potentiæ $eyn, welche ent$tehen aus dem Pro- duct zweyer oder mehrerer Buch$taben, die man miteinander multiplici- ret; dann wann man ab durch $ich $elb$ten multipliciret, $o i$t das Pro- duct aabb die zweyte Potentia der Potentiæ ab, welche al$o die Seite oder die Wurtzel der Potentiæ aabb wird, eben auf die$e Art wie man auch $agen kan da{$s} a die Seite oder die Wurtzel $eye von a^2, und da{$s} b die Wurtzel von b^3.

53. Die Algebrai$che Grö$$en werden _incomplexæ_ genennet, wann $ie nicht mit denen Zeichen + oder - begleitet $eynd; Al$o ab, bd, {bb / c} $eynd Quantitates incomplexæ. Wann aber eine Grö$$e aus meh- reren Quantitatibus incomplexis, die durch die Zeichen + oder - mit- einander verbunden werden, be$tehet, $o i$t $ie eine _Quantitatis complexa_.

54. Die _Termini_ einer Quantitatis complexæ $eynd die Theile, welche durch die Zeichen + oder - voneinander unter$chieden $eynd; Al$o i$t aa + bc - dd eine Quantitas complexa, welche folgende drey Terminos aa, bc, dd, in $ich begreift.

55. Wann Quantitates incomplexæ kein Zeichen vor $ich haben, $o ver$tehet man allezeit das Zeichen + darunter; dann + ab i$t $o viel als ab, und al$o werden die$e Grö$$en _po$itivæ_ genennet, und wann das Zeichen - vorhergehet, $o $eynd die$e Grö$$en _negativæ;_ Al$o + bd oder nur bd i$t eine Quantitas po$itiva, und - ab i$t eine Quantitas ne- gativa.

[0035]

56. Wann eine Quantitas incomplexa, oder die Termini einer Quantitatis complexæ Zahlen vor $ich haben, $o hei$$en die$e Zahlen _Coëffi-_ _eient_en; Al$o die Zahlen 4. und 3. $eynd die Coefficienten der Grö$$en 4ab und 3cd. * Der Coëfficient zeiget al$o an, wie vielmal die Grö$$e mü$$e genommen werden; derowegen $eynd die Grö$$en mit ihren Coëfficienten multipliciret. (§. 38.)

57. Wann Quantitates incomplexæ, oder Termini einer Quanti- tatis complexæ einerley Buch$taben in $ich halten, $o $agt man da{$s} $ie einander ähnlich $eyen: Z. E. Die Grö$$e 4abc i$t der Grö$$e 3abc ähnlich. Desgleichen wann man hat 3bcd + 5bcd - abd, $o $eynd die Termini 3bcd und 5bcd wieder einander ähnlich; Allein um die Aehnlichkeit zweyer Algebrai$chen Grö$$en de$to be$$er beobachten zu kön- nen, $o mu{$s} man die er$tere Buch$taben des Alphabets zu er$t, und die andere nach ihrer Ordnung $chreiben; Al$o an$tatt zu $chreiben bca oder cab mu{$s} man $chreiben abc.

Er$te Regel die Algebrai$che Grö$$en auf wenigere Terminos zu bringen.

58. Wann man Quantitates complexas hat, welche ähnliche Ter- minos in $ich begreiffen, $o mu{$s} man die Coëfficienten derjenigen, die ei- nerley Zeichen haben, zu$ammen addiren, und der Summ eben die$es Zeichen geben, um $ie al$o auf wenigere Terminos zu bringen; Al$o wann 4ab - 2ac + 2ab - 3ac reducirt wird, $o kommt 6ab - 5ac.

59. Wann ähnliche Grö$$en unter$chiedene Zeichen haben, $o mu{$s} man den kleineren Coëfficienten von dem grö$$eren abziehen, und dem Uberre$t das Zeichen des grö$$eren geben: Z. E. um cd + 6ab + aa - 4ab zu reduciren, $o mu{$s} man - 4ab von + 6ab abziehen und da wer- den wir bekommen cd + 2ab + aa. Desgleichen wann man 2ab + 5cd + 3ab - 7cd reducirt, $o kommt 5ab - 2cd.

60. Endlich wann zwey Termini einander ähnlich und gleich $eynd, und der eine das Zeichen + der andere aber - hat, $o heben $ie $ich auf, weilen ihr Uberre$t 0 i$t; Al$o aab + cdb - aab i$t $o viel als cdb, indem, wann man - aab von + aab abziehet der Uberre$t 0 i$t.

Addition der Quantitatum incomplexarum und complexarum.

61. Um Algebrai$che Grö$$en, die kein Zeichen vor $ich haben, zu einander zu addiren, $o mu{$s} man $ie nur nacheinander $chreiben, und $ie durch das Zeichen + miteinander verbinden; Al$o um die Grö$$en ab, cd, und ac zu einander zu addiren, $chreibt man ab + cd + ac. (§. 40.)

[0036]

62. Wann die Grö$$en, die man zu einander addiren will, com- plexæ $eynd, $o $chreibt man $ie auch nacheinander mit ihren Zeichen; und nachdem die ähnliche Termini werden reduciret $eyn, $o wird man die Summe der gegebenen Grö$$en haben. Z. E. um 2aab - 3acd zu acc + 5acd - 6aab zu addiren, $o $chreibt man 2aab - 3acd + acc + 5acd - 6aab welches reducirt wird auf 2acd - 4aab + acc. (§. 59.). Um 6add + 5aac - 4abb zn addiren zu 2aac - 2abb, $o $chreibt man 6add + 5aac - 4abb + 2aac - 2abb, welches redu- cirt wird auf 6add + 7aac - 6abb. (§. 58.) Endlich um abc - ddc - dcc zu dcc - abc + 3ddc zu addiren, $o $chreibt man abc - ddc - dcc + dcc - abc + 3ddc, welches reducirt wird auf 2ddc; indem die gleiche und ähnliche Grö$$en, die unter$chiedene Zeichen haben, $ich aufheben. (§. 60.).

Subtraction der Quantitatum incomplexarum und complexarum.

63. Um eine Algebrai$che Grö$$e von einer andern abzuziehen, $o mu{$s} man die Zeichen derjenigen, die $oll abgezogen werden, veränderen, das i$t wo + mu{$s} man - und wo - i$t mu{$s} man + $etzen, und $ie al$o nacheinander $chreiben; nachdem al$o die Reduction wird ge$chehen $eyn, $o werden wir die Differenz der gegebenen Grö$$en haben.

Z. E. um bb von aa abzuziehen, $o $etze ich vor bb das Zeichen -. indem man $upponirt da{$s} bb das Zeichen + hat, weilen es eine Quanti- tas po$itiva i$t (§. 55.); Al$o i$t die Differenz aa - bb. (§. 42.). Des- gleichen um c + d von a + b abzuziehen, $o mu{$s} man die Zeichen von c + d veränderen und $chreiben a + b - c - d; welches die Differenz $eyn wird. Um b - d von a + c zu $ubtrahiren $o $chreibt man a + c - b + d. Um 2bb - 3cc von aa + bb abzuziehen, $o $chreibt man aa + bb - 2bb + 3cc, welches reducirt wird auf aa - bb + 3cc. (§. 59.) End- lich um ab - dc + bb - 3aa von aa - dc + 3bc - bb abzuziehen, $o $chreibt man aa - dc + 3bc - bb - ab + dc - bb + 3aa, wel- ches, wann es reducirt i$t, uns gibt 4aa + 3bc - 2bb - ab. Auf die$e Art verfahrt man mit allen anderen Exempeln.

Erläuterung über die Subtraction in Buch$taben.

ES i$t nicht $chwer zu begreiffen warum man das Zeichen + des er- $ten Termini einer Grö$$e und der andern in - verwandlen mu{$s}; dann in die$em be$tehet die Subtraction (§. 42.). Allein fa$t alle An- fänger verwundern $ich, da{$s} man das Zeichen - der anderen Termino- rum veränderen mu{$s} in +; doch i$t die$es leicht zu begreiffen, wann man [0037] Achtung gibt, da{$s}, um b - d von einer Grö$$e wie man will, z. E. a + c zu $ubtrahiren, man nicht gantz b allein abziehen $oll, weilen man um die gantze Grö$le d zu viel abziehen würde, indem b um die gantze Grö$$e d grö$$er i$t als b - d, derowegen wann vor b das Zeichen - vorherge- het, $o i$t es gantz von a + c abgezogen; Al$o um nicht mehr abzuziehen als vonnöthen i$t, mu{$s} man durch das Zeichen + die Grö$$e d, die man zu viel abgezogen, wieder zuruck geben. Allein um die$es deutlicher durch die Zahlen zu machen, $o wollen wir $upponiren, man mü$$e von der Zahl 12 die Grö$$e 6 - 2 abziehen, $o mu{$s} man nach der Regel $e- tzen 12 - 6 + 2, davon die Differenz i$t 8; dann weilen 6 - 2 gleich i$t 4, $o $iehet man, da{$s} man von 12 nicht mehr als 4 abziehen $oll, und da{$s} al$o, wann man an$tatt 4 die Zahl 6 abziehet, man der Zahl 12 die Grö$$e 2, die man zu viel abgezogen hat, wiederum geben mu{$s}.

Endlich um die$es auf eine andere Art zu erklären, $o wollen wir zwey Per$onen $upponiren, deren eine hundert Thaler hat, und nichts $chuldig i$t, die andere hingegen nichts hat und hundert Thaler $chuldig i$t, $o i$t es gewi{$s}, da{$s} die er$te Per$on um zweyhundert Thaler reicher i$t als die zweyte. Derowegen, wann man - von + abziehet, $o i$t die Differenz +.

Multiplication der Quantitatum incomplexarum.

64. Wann man zwey oder mehrere Buch$taben miteinander mul- tipliciren will, $o mu{$s} man $ie nacheinander $chreiben ohne einiges Zei- chen, welches $ie voneinander theilen könte, und auf die$e Art bekommet man das Product. Z. E. um ab mit ac zu multipliciren, $o mu{$s} man $chreiben, aabc. (§ 42.). Um 2c durch 3dd zu multipliciren, $o mu{$s} man zu er$t die Coëfficienten 2 und 3 miteinander multipliciren, und nach die$em die Buch$taben, vor welchen die Coëfficienten hergehen, neben- einander $etzen; al$o mu{$s} man $etzen 6cdd. Um 4aa mit 3bb zu mul- tipliciren, mu{$s} man $etzen 12aabb.

65. Um zwey oder mehrere ähnliche Grö$$en, die Exponenten ha- ben, miteinander zu multipliciren, $o mu{$s} man die Exponenten zu$am- men addiren und die Summe nach einem der Buch$taben der ähnlichen Grö$$en $etzen. Z. E. um a^2 mit a^3 zu multipliciren, $o mu{$s} man die Exponenten 2 und 3 zu$ammen addiren, welche al$o 5 ausmachen, und $chreiben a^5 (§. 51.). Wann aber die Grö$$en einander nicht ähnlich $eynd, $o mu{$s} man an die Exponenten nicht kommen, $ondern nur die Grö$$en mit ihren Exponenten nacheinander $chreiben: Al$o um a^3 durch c^2 zu multipliciren, mu{$s} man $chreiben a^3 c^2. Auf die$e Art verfahrt man mit allen übrigen Exempeln.

[0038] Multiplication der Quantitatum complexarum.

66. Um eine Quantitatem complexam durch eine andere comple- xam oder incomplexam zu multipliciren, $o mu{$s} man $o viel Particular- Multiplicationen machen, als der Multiplicator Terminos hat, wobey wohl in Acht zu nehmen, da{$s} man dem Product zweyer Terminorum das Zeichen + geben mu{$s}, wann beyde entweder + oder - haben, hingegen das Zeichen -, wann ein Terminus + und der andere - hat. Al$o be- $tehet die Haupt-Regel der Multiplication der Quantitatum complexa- rum in die$em, da{$s} + mit + im Product + gebe; da{$s} - mit - im Pro- duct wieder + gebe; und da{$s} + mit - oder - mit + im Product - gebe; ⋆ oder kürtzer: Einerley Zeichen geben + und unter$chiedene ge- ben -.

67. Man mu{$s} ob$erviren, da{$s} man al$ogleich die Coëfficienten der Grö$$en, wann $ie einige haben, miteinander multipliciret, nach die- $em er$t die Buch$taben: Wann die$es ge$chehen, $o mu{$s} man alle Par- ticular-Product zu$ammen addiren und die Summe reduciren, wann es vonnöthen; al$o bekommet man das Total-Product. Z. E. um + a mit + a zu multipliciren, $o mu{$s} man $chreiben + aa: Um - b mit - b zu multipliciren, $o $chreibt man + bb. Um - d durch + d oder + d mit - d zu multipliciren, $chreibt man - dd.

68. Um 2a + b mit 3c zu multipliciren, $o $agt man 2a durch 3c gibt 6ac (§. 64.), 3c durch b gibt + 3bc: Al$o i$t das Product 6ac + 3bc. Um a - b durch d zu multipliciren, $o $agt man d durch a gibt ad und d durch - b gibt - bd, al$o i$t das Product ad - bd. Um a + c mit a + c zu multipliciren, $o $etze ich eiue von die$en Grö$$en unter die andere, und fange auf der lincken Hand an zu multipliciren, $prechend a durch a gibt aa, a durch + c gibt + ac; nach die$em multiplicire ich durch den zweyten Buch$taben c und $age + c durch a gibt + ac und + c durch + c gibt + cc. Wann man nun die$es zu$ammen addirt, $o bekommet man aa + ac + ac + cc, und kürtzer, an$tatt zweymal ac zu $etzen, kan man $chreiben 2ac (§. 58.); wir bekommen al$o aa + 2ac + cc.

69. Um a - b mit a - b zu multipliciren, $o $etze ich wiederum eine der Grö$$en unter die andere und $age a durch a gibt aa und a durch - b gibt - ab (§. 66.), (dann a i$t $o viel als + a_)_. Nach die$em multiplicire ich durch den zweyten Buch$taben des Multiplicatoris und $age - b mit a gibt - ab und - b mit - b gibt + bb (§. 66.). Nach- dem die$es wird zu$ammen addiret $eyn, wird man bekommen aa - 2ab + bb.

[0039]

Endlich wird man leicht $ehen, da{$s}, wann man a^2 + b^2 - ad - x^2 multipliciret mit a^2 + bc, ma@ zum Product bekommen wird a^4 + a^2 b^2 - a^3 d - a^2 x^2 + a^2 bc + b^3 c - abcd - bc x^2.

Es $eye zn mult. # 2a + b, # a - b, # a + c, # a - b mit # 3c. # d # a + c # a - b. I. Product # 6ac + 3bc. # ad - bd. # aa + ac # aa - ab II. Product # # # + ac + cc # - ab + bb Total-Product. # # # aa + 2ac + cc. # aa - 2ab + bb. Es $eye zu multipl. # a^2 + b^2 - ad - x^2. mit # a^2 + bc I. Product # a^4 + a^2 b^2 - a^3 d - a^2 x^2. II. Product. # + a^2 bc + b^3 c - abcd - bc x^2. Total-Product. # a^4 + a^2 b^2 - a^3 d - a^2 x^2 + a^2 bc + b^3 c - abcd - bc x^2. Erklärung über die Multiplication der Quantitatum complexarum.

ES i$t nicht $chwer zu begreiffen warum + mit + multiplicirt, wie- derum + im Product gebe, dann die$es i$t gantz natürlich; Allein es i$t nicht leicht zu begreiffen, warum + mit - im Product - und warum - mit - im Product + gebe. Derowegen mü$$en die$e beyde Fälle erkläret werden.

Die Ur$ach des er$teren Falls i$t, da{$s}, wann man z. E. a - b durch d multipliciren mu{$s}, man nicht gantz a durch d multipliciren kan, weilen das Product ad grö$$er wäre, als es $eyn $oll, iudem a grö$$er i$t als a - b; Derowegen um dasjenige abzuziehen, was in dem Product ad zu viel i$t, $o mu{$s} man b mit d multipliciren, und das Product bd von ad abziehen um ad - bd zu bekommen, welches mit der Regel überein- $timmet. Um die$es klärer zu begreiffenzu machen, $o wollen wir 15 - 5 mit 6 multipliciren. Nun 15 - 5 i$t gleich 10, al$o mu{$s} man eigent- lich 10 mit 6 und nicht 15 mit 6 multipliciren, oder man mü{$s}te nach der Regel auch 5 mit 6 multipliciren um die$es Product von dem Product von 15 durch 6 abziehen; da nun das Product von 15 - 5 oder von 10 durch 6 gleich i$t 60, und das Product von 15 - 5 mit 6 i$t 90 - 30, welches auch 60 gleich i$t, $o folget al$o hieraus, da{$s} die$e Regel wahr- haftig $eye.

Was den zweyten Fall änlangt, $o kommt er $ehr fremd vor; Al- lein die Ur$ach warum man + $etzen mu{$s}, i$t weilen die Termini, die das [0040] Zeichen - haben, uns zwey Multiplicationes negativas geben, dadurch man mehr abziehet als man $oll; derowegen mu{$s} man dem Product der bey- den Terminorum, die das Zeichen - haben, das Zeichen + geben, um wiederum zu er$etzen, was zu viel abgezogen worden. Z. E. wann ich a - b mit a - b multiplicire, $o $ehe ich, da{$s} ich von dem Prvduct aa mu{$s} 2ab abziehen, und weilen ich al$o um die gantze Grö$$e bb zu viel abziehe, $o mu{$s} ich al$o der Grö$$e aa eben die$e Grö$$e bb wieder geben, indeme ich $ie mit ihr durch das Zeichen + verbinde.

Um die$es durch die Zahlen begreiflich zu machen, $o wollen wir z. E. 10 - 4 mit 10 - 4 multipliciren; die$es i$t eben $o viel, als wann ich 6 mit 6 multipliciren $olte, indem 10 - 4 gleich i$t 6. Nun weilen 6 mit 6 gibt 36, $o wollen wir $ehen, ob auch 10 - 4 mit 10 - 4 uns 36 hervorbringt; derowegen $age ich 10 mit 10 gibt 100; 10 mit - 4 gibt - 40; - 4 mit 10 gibt - 40 und - 4 mit - 4 gibt + 16, wann ich nun alles zu$ammen addire, $o kommt 100 - 80 + 16. Nun wann ich 80 von 100 abziehe, $o bleiben nur 20, welches weit von 36 entfernet i$t; wann ich aber zu 100 addire 16 und von der Summe 116 abziehe 80, $o bleiben 36.

Bericht an den Le$er.

Um einen Begriff zu machen, wie leicht man die Geometri$che Sätze durch Hülf der Algebrai$chen Rechnung erwei$en kan; $o habe ich, chender als ich weiter gehe, für gut befunden, die Multiplication zur Er- wei$ung der folgenden Sätze zu appliciren.

I. Lehr-Satz.

70. Das _Quadrat_ einer jeden Grö$$e die durch zwey Buch- $taben, deren jeder das Zeichen + hat, _exprimi_rt i$t, i$t gleich dem _Quadrat_ eines jeden Buch$tabens, mehr zweyen _Rectangulis_ die unter die$en Buch$taben begriffen $eynd.

Dann wann man a + b durch a + b multiplicirt, $o bekommt man zum Product a^2 + 2ab + b^2, welches be$tehet aus den Quadraten a^2 und b^2, und aus zweyen Rectangulis, welche $eynd 2ab, die unter a und b begriffen $eynd.

II. Lehr-Satz.

71. Der _Cubus_ einer jeden Grö$$e, die durch zwey Buch$ta- ben die beyde das Zeichen + haben, _exprimi_rt i$t, i$t gleich dem _Cubo_ des er$ten Buch$tabens, mehr dem _Cubo_ des zweyten, mehr dreyen _Parallelepipedis_ des _Quadrat_s des er$ten _multiplici_rt durch den [0041] zweyten, meht dreyen _Parallelepipedis_ des _Quadrat_s des zweyten _mul-_ _tiplici_rt durch den er$ten.

Dann wann man das Quadrat von a + b, welches i$t a^2 + 2ab + b^2 (§. 70.), wieder multiplicirt mit a + b, kommt der Cubus a^3 + 3 a^2 b + 3a b^2 + b^3, welcher al$o be$tehet aus dem Cubo a^3 des er$ten a; mehr aus dreyen Parallelepipedis 3 a^2 b, des Quadrats a^2 multiplicirt mit b; mehr aus dreyen Parallelepipedis 3a b^2, des Quadrats b^2 durch a; endlich noch aus dem Cubo b^3 von dem zweyten b. Wir werden uns die$er beyden Sätze ins künftige bedienen um die Ausziehung der Qua- drat- und Cubic-Wurtzeln dardurch zu erwei$en.

Die Wurtzel # a + b # Das Quadrat # a^2 + 2ab + b^2. durch # a + b # durch # a + b # a^2 + ab # # a^3 + 2 a^2 b + a b^2 # + ab + b^2. # # + a^2 b + 2a b^2 + b^3. Das Quadrat # a^2 + 2ab + b^2. # Der Cubus # a^3 + 3 a^2 b + 3a b^2 + b^3. III. Lehr-Satz.

72. Wann man eine Linie A B in zwey gleiche Theile A C Fig. 10. und C B, wie auch in zwey ungleiche A D und D B theilet, $o $age ich da{$s} das _Rectangulum_ der ungleichen Theile AD und DB $amt dem _Quadrat_ des mittleren Theils C D, gleich i$t dem _Quadrat_ der Helf- te der Linie AB, das i$t dem _Quadrat_ von AC, oder von CB. Es $eye A C oder CB = a, CD = x, al$o i$t DB = a - x und AD = a + x.

Beweis.

Wann man zu AD × DB (aa - xx.) addiret das Quadrat von CD (xx), $o kan man folgende Gleichung machen AD × DB +

    CD
^2 (aa - xx + xx) =
    AC
^2 (aa), weilen, wann man aus$treicht, was $ich aufhebt, wir bekommen aa = aa. W. z. E.

Zu$atz.

73. Aus die$em Satz folget, da{$s} wann eine Linie in zwey gleiche und in zwey ungleiche Theile eingetheilt i$t, das Quadrat der Helfte der Linie weniger das Quadrat des mittleren Theils gleich $eye dem Rectan- gulo der ungleichen Theile; dann

    AC
^2 -
    CD
^2 (aa - xx) = AD × DB (aa - xx).

[0042] IV. Lehr-Satz.

74. Wann eine grade Linie A B in zwey gleiche Theile AC Fig. 11. und C B getheilt i$t, und wann man eine andere B E zu ihr _addi_rt, $o $age ich, da{$s} das _Rectangulum_ der _componi_rten A E und der _addi_r- ten B E, $amt dem _Quadrat_ der mittleren C B gleich i$t dem _Quadrat_ von C E, die aus der Helfte C B und der _addi_rten B E be$tehet. Es $eye A C oder CB = a, CE = x, al$o i$t BE = x - a und AE = x + a.

Beweis.

Es i$t gantz klar, da{$s} wann man zu dem Rectangulo AE × BE (xx - aa) das Quadrat von CB (aa) addiret, man folgende Glei- chung $etzen kan AE × BE +

    CB
^2 (xx - aa + aa) =
    CE
^2 (xx); in- dem wann man - aa + aa, was $ich aufhebt, aus$treicht, man bekommt xx = xx. W. z. E.

Zu$atz.

75. Aus die$em Satz folget al$o, da{$s}, wann eine Linie in zwey gleiche Theile getheilet, und zu ihr eine andere addiret worden, das Qua- drat von C E weniger das Quadrat des mittleren Theils C B gleich $eye dem Rectangulo der componirten A E und der addirten B E; dann

    CE
^2 -
    CB
^2 (xx - aa) = AE × BE (xx - aa).

V. Lehr-Satz.

76. Wann man zwey Linien hat, davon diel er$te das dop- pelte $eye der zweyten, $o $age ich, da{$s} das _Quadrat_ der er$ten vier- mal $o gro{$s} $eyn wird als das _Quadrat_ der zweyten.

Beweis.

Wann die zweyte Linie a hei$$et, $o hei$$et die er$te 2a. Wann man nun 2a durch 2a multipliciret, $o kommt 4aa vor das Quadrat der er$ten; und wann man a durch $ich $elb$t multipliciret, $o kommt aa vor das Quadrat der zweyten; Al$o i$t das Quadrat der er$ten viermal $o gro{$s} als das Quadrat der zweyten. W. z. E.

* Bericht an den Le$er.

UM den Anfängern noch mehr Gelegenheit zu geben $ich in der Buch- $taben-Rechen-Kun$t zu üben, $o habe ich vor gut befunden, fol- gende Lehr-Sätze aus dem zweyten Buch Euclidis hieher zu $etzen, da- [0043] von $ie die Bewei$e auf obige Art durch Hülf der Buch$taben-Rechen- Kun$t $elb$t finden können.

I. Lehr-Satz. Es $eye eine grade Linir A B in zwey Theile Fig. 10. A D und D B getheilet, $o i$t das _Quadrat_ der gantzen A B gleich dem _Rectangulo_ AB × AD mehr dem _Rectangulo_ AB × DB.

II. Lehr-Satz. Es $eye eine grade Linie A B in zwey Theile Fig. 10. A D und D B getheilet, $o i$t das _Rectangulum_ AB × DB gleich dem _Rectangulo_ AD × DB mehr dem _Quadrat_ von D B.

III. Lehr-Satz. Es $eye eine grade Linie A B in zwey Theile Fig. 10. A D und D B getheilet, $o $eynd die _Quadrate_

    AB
^2 +
    DB
^2 = 2AB × DB +
    AD
^2.

IV. Lehr-Satz. Es $eye eine grade Linie A B in zwey gleiche Fig. 10. Theile A C und C B, wie auch in zwey ungleiche Theile A D und D B getheilet, $o $eynd die _Quadrate_

    AD
^2 +
    DB
^2 gleich den doppelten _Quadrat_en
    AC
^2 +
    CD
^2.

V. Lehr-Satz. Es $eye eine grade Linie A B in zwey gleiche Fig. 11. Theile A C und C B getheilet, und man _addi_re darzu eine andere grade Linie B E, $o i$t das _Quadrat_ der gantzen Linie A E gleich dem vierfachen _Rectangulo_, welches ent$tehet, wann man A C mit CE _multiplici_rt $amt dem _Quadrat_ von B E.

VI. Lehr-Satz. Es $eye eine grade Linie A B in zwey gleiche Fig. 11. Theile A C und C B getheilet, und man _addi_re dazu eine grade Li- nie B E, $o $eynd die _Quadrate_

    AE
^2 +
    BE
^2 gleich 2
    AC
^2 + 2
    CE
^2.

Divi$ion der Quantitatum incomplexarum und complexarum.

77. Um eine Quantitatem incomplexam durch eine incomplexam zu dividiren, $o mu{$s} man den Divi$orem unter den Dividendum $etzen, und eine Subtraction machen, davon die Differenz der Quotient $eyn wird. Z. E. um abb durch a zu dividiren, $chreibt man {abb / a}; wann man nun a von abb abziehet, bleibt bb für den Quotienten übrig: die Ur$ach die- $es i$t, da{$s}, wann man den Quotienten bb durch den Divi$orem a mul- tiplicirt, man abb bekommt, welches dem Dividendo gleich i$t; das al- $o bewei{$s}t, da{$s} die Divi$ion richtig i$t, indeme die Prob der Algebrai- $chen Divi$ion eben diejenige i$t, deren man $ich in der Arithmeti$chen be- [0044] dienet. Al$o um bbc durch bb zu dividiren, $o $iehet man da{$s} der Quo- tient c i$t, indem, wann man den Quotienten c durch den Divi$orem bb multipliciret, man bekommet bbc, welches dem Dividendo gleich i$t; Wann man aber in dem Divi$ore Buch$taben hat, die $ich in dem Di- videndo nicht befinden, die al$o verhinderen, da{$s} man die Divi$ion in der That nicht verrichten kan, $o macht man aus dem Dividendo und Divi$ore einen Bruch, welchen man als den Quotienten an$iehet. Al$o wann man z. E. abb durch cc dividiren will, $o mu{$s} man $chreiben {abb / cc} welches man als den Quotienten an$iehet.

78. Wann Zahlen vor den Buch$taben der Algebrai$chen Grö$- $en, die man dividiren will, hergehen, $o mu{$s} man er$tlich die Zahlen durch die Zahlen und nachgehends die Buch$taben durch die Buch$taben dividiren und den Quotienten der Coëfficienten vor den Quotienten der Buch$taben $etzen. Al$o um 6ab durch 2a zu dividiren, $agt man in 6 wie vielmahl 2, $o findet man 3, und a von ab abgezogen bleibt b; i$t al$o der Quotient 3b.

79. Wann Potentiæ von gleichen Wurtzeln durcheinander zu di- vidiren $eynd, $o ziehet man den Exponenten des Divi$oris von dem Ex- ponenten des Dividendi ab, und gibt der Wurtzel die Differenz zum Ex- ponenten. Z. E. es $eye a^7 durch a^4 zu dividiren, $o i$t der Quotient a^3. Dann a^7 i$t $o viel als aaaaaaa und a^4 i$t $o viel als aaaa; wann man nun das letztere von dem er$tern abziehet, bleibt aaa oder a^3.

80. Wann man eine Quantitatem complexam oder incomplexam dividirt, $o mu{$s} der Quotieut das Zeichen + haben, wann der Divi- dendus und Divi$or zugleich + oder - haben; hingegen das Zeichen -, wann der Dividendus und Divi$or unter$chiedene Zeichen haben.

81. Zum Exempel, wann man + ab durch + a dividirt, $o i$t der Quotient + b, indem, wann man den Divi$orem + a durch den Quo- tienten + b multiplicirt, das Product + ab dem Dividendo gleich i$t. Desgleichen wann man - ab durch - a dividirt, $o mu{$s} der Quotient + b $eyn, indem, wann man - a durch + b multiplicirt, das Product - ab i$t (§. 66.). Wann man + ab mit - a dividirt, $o i$t der Quo- tient - b, indem das Product von - a mit - b gleich i$t + ab (§. 66). Aus eben die$er Ur$ach, wann man - ab durch + a dividirt, mu{$s} der Quotient wieder - b $eyn, weilen das Product von + a durch - b gleich i$t - ab. (§. 66.)

82. Um ab + ad durch a zu dividiren, $age ich a von ab bleibt b, welches ich in den Quotienten $etze; und a von + ad bleibt + d, wel- [0045] ches wann ich es nach b $etze, gibt b + d zum Quotient: Um die Ope- ration kürtzer zu machen, $o darf man nur in dem Divi$ore und Divi- dendo die gleiche Buch$taben auslö$chen, und was übrig bleibt wird der Quotient $eyn. Z. E. wann ac + ad - ax durch a zu dividiren i$t, $o darf man nur die a aus$treichen, bleibt al$o c + d - x vor den Quo- tienten übrig. Es i$t aber zu mercken, da{$s} die$es nur $tatt hat, wann der Divi$or eine Quantitas incomplexa i$t.

83. Wann $o wohl der Divi$or als der Dividendus mehrere Ter- minos haben, $o macht man die Divi$ion fa$t eben $o, wie in der Arith- metick.

84. Zum Exempel um aa + 2ab + bb durch a + b zu dividiren, $o $e- tze ich den er$ten Terminum des Divi$oris unter den er$ten Terminum des Dividendi und $o weiter und $age a von aa gibt a zum Quotienten, wel- chen ich mit dem Divi$ore a + b multiplicire um aa + ab zu bekommen (§. 68.), welches ich von dem _D_ividendo abziehe, wann ich es mit con- trairen Zeichen an ihn anhänge (§. 63.); al$o bekomme ich zum Uber- re$t aa + 2ab + bb - aa - ab, welches reducirt wird auf ab + bb (§. 60. und 59.); nach die$em continuire ich die Divi$ion und $age a von ab bleibt + b, welches ich an den gefundenen Quotienten a anhänge, und wann ich + b mit dem Divi$ore a + b multiplicire, kommt ab + bb, welches ich wiederum mit contrairen Zeichen an den Dividendum anhän- ge; al$o i$t der Uberre$t ab + bb - ab - bb, welches reducirt wird auf 0. Al$o $iehet man da{$s} die Divi$ion ju$t aufgehet, indem nichts übrig bleibt und der Quotient a + b i$t.

85. Um aa - 2ab + bb durch a - b zu dividiren, $o $age ich a von aa gibt a zum Quotient, welchen ich mit dem Divi$ore a - b mul- tiplicire, davon das Product aa - ab i$t (§. 67.), welches ich von dem Dividendo abziehe, um aa - 2ab + bb - aa + ab zu bekommen (§. 63.), das nun reducirt wird auf - ab + bb (§. 60. und 59.); die$es dividire ich wiederum durch a - b und $age + a von - ab gibt - b zum Quo- tient, welcher wann er mit dem Divi$ore multiplicirt wird, zum Product gibt - ab + bb; die$es, wann es von dem Dividendo abgezogen wird, gibt - ab + bb + ab - bb, welches reducirt wird auf 0; Al$o i$t der Quotient a - b.

86. Um aa - bb durch a + b zu dividiren, $age ich a von aa gibt + a zum Quotienten, welcher, wann er mit dem Divi$ore multiplicirt wird, zum Product uns gibt aa + ab; wann ich die$es von dem Dividen- do abziehe, bleibt uns aa - bb - aa - ab, welches reducirt wird auf - bb - ab oder auf - ab - bb, welches ich wiederum durch den Di- vi$orem a + b dividire, und $age + a von - ab gibt - b zum Quotien- [0046] ten, welchen ich mit dem Divi$ore multiplicire, davon das Product - ab - bb i$t; die$es ziehe ich von dem Dividendo ab, $o kommt - ab - bb + ab + bb, welches auf 0 reducirt wird. Al$o i$t der Quotient a - b; welches gantz klar i$t, indent, wann ich den Divi$orem a + b durch den Quotienten a - b multiplicire, das Product aa - bb dem Dividendo gleich i$t.

87. * Wann aber in dem Dividendo Termini enthalten $eynd, welche nicht mehr in der That können dividirt werden, $o $etzt man $ie nach dem gefundenen Quotienten oberhalb einer kleinen Linie und den Divi$orem darunter. Al$o wann ab + bb - bc - ad - bd + cd + xx - xy durch b - d dividirt wird, $o wird zum Quotienten kommen a + b - c + {xx - xy / b - d}.

Ausarbeitung des in dem §. 84. angebrachten Exempels. Dividendus # ## aa + 2ab + bb # _Quotient._ \\ a Divi$or # a + b Product # aa + ab Abzug # ### aa + 2ab + bb - aa - ab Reduction # ab + bb # _Quotient._ \\ a + b Divi$or # a + b Product # ab + bb Abzug # ### ab + bb - ab - bb = 0. Ausarbeitung des Exempels von §. 85. Dividendus # ## aa - 2ab + bb # _Quotient._ \\ a Divi$or # a - b Product # aa - ab Abzug # ### aa - 2ab + bb - aa + ab Reduction # - ab + bb # _Quotient._ \\ a - b Divi$or # a - b Product # - ab + bb Abzug # ### - ab + bb + ab - bb = 0. [0047] Ausarbeitung des Exempels von §. 86. Dividendus # aa - bb # _Quotient._ \\ a Divi$or # a + b Product # aa + ab Abzug # ## aa - bb - aa - ab Reduction # - ab - bb # _Quotient._ \\ a - b Divi$or # a + b Product # - ab - bb Abzug # ## - ab - bb + ab + bb = 0. Ausarbeitung des Exempels von §. 87. Dividendus # #### ab + bb - bc - ad - bd + cd + xx - xy # _Quotient._ \\ a Divi$or # b - d Product # ab - ad Abzug # ##### ab + bb - bc - ad - bd + cd + xx - xy - ab + ad. Reduction # ### bb - bc - bd + cd + xx - xy # _Quotient._ \\ a + b Divi$or # b - d Product # bb - bd Abzug # #### bb - bc - bd + cd + xx - xy - bb + bd Reduction # ## - bc + cd + xx - xy # _Quotient._ \\ a + b - c Divi$or # b - d Product # - bc + cd Abzug # ### - bc + cd + xx - xy + bc - cd. Reduction # xx - xy # ### _Quotient_ \\ a + b - c + {xx - xy. / b - d} Divi$or # b - d [0048] Bericht an den Le$er.

Wir haben nichts geredet von den vier gemeinen Reglen der Arith- metic, weilen wir $upponiren, da{$s} diejenige, welche gegenwärtigen Tra- ctat $tudiren werden, zum wenig$ten $chon die Addition, Subtraction, Multiplication und Divi$ion in Zahlen be$itzen: Weilen aber die mehri- $ten keine Erkanntnu{$s} von der Quadrat- und Cubic-Wurtzel haben wer- den, $o habe ich für gut befunden, die Manter, wie die$e Operationen in Zahlen zu machen $eynd, zu wei$en, um de$to be$$er die Ausziehung der Quadrat- und Cubic-Wurtzel aus Algebrai$chen Grö$$en begreiffen zu machen. * Weilen aber un$er Herr Auctor $ich einer Manier bedienet, welche nicht $o ge$chickt i$t, die vielleicht einge$chlichene Fehler zu entde- cken, $o habe ich für gut gefunden, an die Stelle der $einigen eine andere zu geben, welche dem Calculo literali um $ehr viel ähnlicher i$t, und nach welcher die vielleicht einge$chlichene Fehler leichter können corrigiret werden.

Manier um die Quadrat-Wurtzel auszuziehen.

88. Um die Quadrat-Wurtzel einer jeden vorgegebenen Zahl leicht zn finden, mu{$s} man zum wenig$ten die Quadrate der einfachen Ziffern von 1 bis 10 kennen; al$o wie $ie in folgender Taffel $tehen, allwo die einfache Ziffer von 1 bis 10 in der obern, und ihre Quadrate in der un- tern Reihe $ich befinden.

1 # 2 # 3 # 4 # 5 # 6 # 7 # 8 # 9 # 10 1 # 4 # 9 # 16 # 25 # 36 # 49 # 64 # 81 # 100

Al$o $iehet man, da{$s} das Quadrat von 1 i$t 1, da{$s} das Quadrat von 2 i$t 4, das von 3 i$t 9, das von 4 i$t 16 rc.

89. Die _Quadrat_-Wurtzel aus einer Zahl ausziehen hei{$s}t eine andere Zahl finden, welche, wann man $ie durch $ich $elb$t multiplicirt, ein Product gibt, da{$s} der er$ten gegebenen Zahl gleich $eye; oder auch es hei{$s}t eine Zahl finden, welche, wann $ie durch $ich $elb$t multiplicirt wird, ein Product gibt, das der gegebenen Zahl am näch$ten kommt. Al$o die Quadrat-Wurtzel aus 25 ausziehen, hei$$et eine Zahl 5 finden welche, wann man $ie durch $ich $elb$t multiplicirt, uns wieder 25 gebe. Desgleichen die Quadrat-Wurtzel aus 68 ausziehen, i$t eben $o viel, als eine Zahl 8 $uchen, welche, wann $ie mit $ich $elb$ten multiplicirt wird, uns die grö$te Quadrat-Zahl gibt, die in der Zahl 68 kan enthalten $eyn.

[0049]

90. Um die Quadrat-Wurtzel aus Zahlen, die nur aus zweyen Ziffern be$tehen, auszuziehen, $o kan man die$es entweder auswendig, oder durch Hülf obiger Taffel verrichten. Wann aber die gegebene Zahl mehrere Ziffern in $ich halt, $o mu{$s} man eine Operation vornehmen, davon wir hier haupt$ächlich zu handlen haben.

91. Um die Quadrat-Wurtzel von 1936. zu finden, $o theilet die gegebene Zahl von der rechten gegen die lincke in Cla$$en ein, und gebt je- der Cla$$e zwey Ziffern, um eine Anzahl Cla$$en zu haben, deren jede ein Ziffer zur Wurtzel gibt. Wann nun die Zahl 19_36 al$o, wie man $ie- het, in Cla$$en eingetheilt i$t, $o $age ich, das näch$te Quadrat an der er- $ten Cla$$e 19 i$t 16 und $eine Wurtzel 4, das Quadrat 16 $chreibe ich unter 19 und die Wurtzel 4 in den Quotienten; Ferner ziehe ich 16 von 19 ab, um 3 zu haben, zu welchem Uberre$t ich die folgende Cla$$e 36 $etze. Um die zweyte Ziffer der Wurtzel zu bekommen, $o duplire ich den gefundenen Quotienten 4 und $etze $ein Duplum 8 unter die er$te Zahl 3 der neuen Cla$$e, und weiters zu lincken, wann es aus mehrern Ziffern be$tehet. Mit die$em Duplo 8 dividire ich und $age wie vielmal i$t 8 in 33, den Quotienten 4 $etze ich an $eine Stelle, item auch neben den Divi$orem unter die zweyte Ziffer die$er Cla$$e, desgleichen auch im- mediatè darunter; Mit die$em unterge$etzten Quotienten 4 multiplicire ich die Summe 84, und ziehe das Product 336 von oben ge$chriebener Zahl 336 ab. In die$em Fall bleibt uns nichts übrig, i$t al$o die Zahl 1936 eine vollkommene Quadrat-Zahl, davon die Wurtzel i$t 44. Wann etwas übrig geblieben, und noch mehrere Cla$$en vorhanden wären, $o mü{$s}te man continuiren und den Anfang wieder machen mit Duplirung des gefundenen Quotientens; die übrige Operation i$t wie zu vor.

Z. E. # 19_36 # 44. die Wurtzel. # 29_48_49 # 543 die Wurtzel. # 16 : : # # 25 : : : # 3 36 # # 4 48 : : # 84 # # 1 04 : : # 4 # # 4 : : # 3 36 # # 4 16 : : # 0 # # 32 49 # # # 10 83 # # # 3 # # # 32 49 # # # 0 [0050] ## III. Exempel. # ## IV. Exempel. 1_52_27_56 # 1234. die Wurtzel. # 1_84_38_92_41 # 13579 1 : : : : : : # # 1 : : : : : : : : -5˙2 : : : : # # -8˙4 : : : : : : 22 : : : : # # 23 : : : : : : 2 : : : : # # 3 : : : : : : 44 : : : : # # 69 : : : : : : 8˙2˙7 : : # # 15 38 : : : : 2 43 : : # # 2 65 : : : : 3 : : # # 5 : : : : 7 29 : : # # 13 25 : : : : 98 56 # # 2⋅1⋅39⋅2 : : 24 64 # # 2707 : : 4 # # 7 : : 98 56 # # 18949 : : 0 # # 2443 41. # # 271 49 # # 9 # # 2443 41. # # 0

92. * Wann nach ge$chehener Operation etwas übrig bleibet, $o i$t es eine Anzeigung, da{$s} die gegebene Zahl kein vollkommenes Quadrat $eye; wie nun aus einer $olchen Zahl die Qnadrat-Wurtzel, $o der wahr- haftigen $ehr nahe kommt, zu extrahiren, wird bald gewie$en werden.

93. * Die Prob wird gemacht, wann man die gefundene Qua- drat-Wurtzel mit $ich $elb$t multiplicirt; wann nun die$es Quadrat, der gegebenen Zahl gleich ifl, $o i$t die Operation richtig. Wann aber et- was übrig geblieben, $o mu{$s} man die$en Uberre$t zu dem Product addi- ren, um die gegebene Zahl zu haben.

[0051] Manier um durch Hülf der Decimalen $o nahe an die wahrhaftige Quadrat-Wurtzel einer unvollkommenen Quadrat- Zahl zu kommen, als es möglich i$t.

94. Weilen der vornehm$te Nutzen der Ausziehung der Quadrat- Wurtzel in der Geometrie, und in$onderheit in der practi$chen Geome- trie be$tehet in Erfindung einer Zahl, oder einer Seite eines Quadrats, welches einer gegebenen Anzahl Quadrat-Klaftern, oder QuadratSchu- hen gleich märe, $o i$t vonnöthen, um mit genauerer Obacht zu gehen, da{$s} man $o nahe an die Wurtzel, die man $ucht, komme, als es möglich i$t, indem man al$o verfährt, da{$s} der Uberre$t $o klein $eye, da{$s} man ihn an$ehen könne als wann er keinen Werth hätte. Um die$es zu verrich- ten, $o $ehet die Reglen, nach welchen ihr verfahren mü{$s}t.

Wann man die Quadrat-Wurtzel von einer Anzahl Quadrat-Klaf- tern finden will, $o mu{$s} man $upponiren, als märe der Current-Klafter in 1000 kleine Theile, die man _Decimal_en nennet, eingetheilet; al$o märe der Quadrat-Klafter 1000000, welches das Product i$t von 1000 durch 1000. Wann man nun zum Exempel aus 869 Quadrat-Klaf- tern die Wurtzel ausziehen mu{$s}, $o multipliciret man die$e Zahl durch 1000000 um 869000000 zu bekommen, daraus man die Quadrat-Wur- tzel ausziehet, welche 29478 $eyn wird, die man an$iehet als die mahr- haftige, indem man den Uberre$t, der von einem $ehr kleinen Werth i$t, vorbeyla{$s}t.

95. Um aber zu finden, wie viel Klafter die in kleinen Theilen ausgedruckte Wurtzel in $ich hält, $o dividirt man $ie durch 1000 als den Werth eines Klafters in kleinen Theilen; $o findet man 29 Klaf- ter, über welche noch 478 kleine Theile übrig bleiben, deren Werth man findet, wann man folgende Regel de Tri macht: wann 1000 als der Werth eines Current-Klafters in kleinen Theilen 6 Schuh gibt vor die Ordi- nari-Theile de$$elben, wie viel geben 478 kleine Theile des Klafters, vor die ordinari Theile de$$elben; Nachdem die Operation wird gemacht $eyn, wird man finden 2 Schuh, 10 Zoll, 4 Linien und 11 Puncten. Al$o i$t die Quadrat-Wurtzel von 869 Quadrat-Klaftern 29 Klafter, 2 Schuh, 10 Zoll, 4 Linien und 11 Puncten.

[0052] Ausarbeitung die$es Exempels. 8_69_00_00_00 # 29478 # #### die gefundene Wurtzel, welche, wann $ie durch 4 : : : : : : : : # # #### 1000 dividirt wird, uns gibt 29 {478/1000} Klafter. 4 69 : : : : : : # # #### Regel de Tri. 49 : : : : : : 9 : : : : : : # # 1000. # 6. # 478 4 41 : : : : : : # # # # 6 28⋅0⋅0 : : : : # # # ## 1,000_ 2,868 # 2. Schuh. 5 8 4 : : : : # # # # 12 4 : : : : # # # # 1 736 23 36 : : : : # # # # 8 68 46 4⋅0⋅0 : : # # # ## 1,000_10,416 # 10. Zoll. 5 8 8 7 : : # # # # 12 7 : : # # # # 832 4 1 2 0 9 : : # # # # 4 16 5⋅1 9⋅1⋅0⋅0 # # # ## 1,000_ 4,992 # 4. Linien. 5 8 9 4 8 # # # # 12 8 # # # # 1 984 4 7 1 5 8 4 # # # # 9 92 4 7 5 1 6 # welches man \\ vorbey la{$s}t. # # # ## 1,000_11,904 # 11. Puncten.

96. Wann man aber aus einer Anzahl Quadrat-Schuhen wollte die Wurtzel ausziehen, $o kan man, um die Sach kürtzer zu machen, $upponiren, da{$s} der Current-Schuh in 100. Theile eingetheilet $eye; derowegen mu{$s} man die Quadrat-Schuhe, davon man die Wurtzel ha- ben will, mit 10000. multipliciren, und den Uberre$t wie zuvor ma- chen.

97. Wann man eine Grö$$e hat, die aus Klaftern, Schuhen, Zollen rc. be$tehet, z. E. 24. Klafter 3. Schuh 9. Zoll, und man will daraus die Quadrat-Wurtzel ausziehen, $o mu{$s} man die 3. Schuh 9. Zoll in kleine Theile reduciren, und zwar mu{$s} man betrachten, welche Berhältni{$s} die 3. Schuh 9. Zoll gegen den Klafter haben: Al$o, wei- len 3. Schuh die Helfte des Klafters ausmachen, $o gelten $ie auch nur die Helfte von 1000000, das i$t, 500000, und weilen 9. Zoll den vier- ten Theil von 3. Schuh ausmachen, $o gelten $ie auch nur den vierten [0053] Theil von 500000. das i$t 125000. Wann man nun den Werth der 3. Schuh und 9. Zoll zu$ammen addirt, $o wird man bekommen 625000, und wann man, wie zuvor, die 24. Klafter mit 1000000. multiplicirt, $o wird man 24000000. vor die in kleine Theile reducirte Klafter be- kommen, wann man nun zu die$en addirt 625000. $o wird man 24625000. vor die in kleine Theile reducirte 24. Klafter 3. Schuh und 9. Zoll be- kommen, davon die Quadrat-Wurtzel i$t 4962; wann man nun den Valor die$er Wurtzel $uchet, indem man $ie durch 1000. dividirt, und durch die Regel de Tri den Valor des Uberre$ts 962. $uchet, $o wird man finden, da{$s} die Quadrat-Wurtzel von 24. Klaftern 3. Schuhen und 9. Zoll i$t 4. Klafter, 5. Schuh, 9. Zoll, 3. Linien und 2. Pun- cten.

98. * Den Anfängern zu Gefallen, will ich zwey Taffeln hieher $etzen deren die er$te die kleine Theil der Schuhe, Zoll, Linien und Pun- cten exprimiren, deren man dem Quadrat-Klafter 1000000. zueignet; die andere aber die kleine Theile der Zoll, Linien und Puncten, deren man dem Quadrat-Schuh 10000. zueignet.

I. Taffel. Schuh # # # Schuh # # # Schuh 6 # 1000000 # # 4 # 666666 # {108/162} # 2 # 333333 # {54/162} 5 # 833333 # {54/162} # 3 # 500000 # # 1 # # 166666 # 108 Zoll # # # Linien # # # Punct 12 # 166666 # 108 # 12 # 13888 # 144 # 12 # 1157 # 66 11 # 152777 # 126 # 11 # 12731 # 78 # 11 # 1060 # 155 10 # 138888 # 144 # 10 # 11574 # 12 # 10 # 964 # 82 9 # 125000 # # 9 # 10416 # 108 # 9 # 868 # 9 8 # 111111 # 18 # 8 # 9259 # 42 # 8 # 771 # 98 7 # 97222 # 36 # 7 # 8101 # 138 # 7 # 675 # 25 6 # 83333 # 54 # 6 # 6944 # 72 # 6 # 578 # 114 5 # 69444 # 72 # 5 # 5787 # 6 # 5 # 482 # 41 4 # 55555 # 90 # 4 # 4629 # 102 # 4 # 385 # 130 3 # 41666 # 108 # 3 # 3472 # 36 # 3 # 289 # 57 2 # 27777 # 126 # 2 # 2314 # 132 # 2 # 192 # 146 1 # 13888 # 144 # 1 # 1157 # 66 # 1 # 96 # 73 [0054] II. Taffel. Zoll # # # Linie # # # Punct\~e 12 # 10000 # # 12 # 833 # {72/216} # 12 # 69 # {96/216} 11 # 9166 # {144/216} # 11 # 763 # 192 # 11 # 63 # 142 10 # 8333 # 72 # 10 # 694 # 96 # 10 # 57 # 188 9 # 7500 # # 9 # 625 # # 9 # 52 # 18 8 # 6666 # 144 # 8 # 555 # 120 # 8 # 46 # 89 7 # 5833 # 72 # 7 # 486 # 24 # 7 # 40 # 110 6 # 5000 # # 6 # 416 # 144 # 6 # 34 # 156 5 # 4166 # 144 # 5 # 347 # 48 # 5 # 28 # 202 4 # 3333 # 72 # 4 # 277 # 18 # 4 # 23 # 32 3 # 2500 # # 3 # 208 # 72 # 3 # 17 # 78 2 # 1666 # 144 # 2 # 138 # 192 # 2 # 11 # 124 1 # 833 # 72 # 1 # 69 # 96 # 1 # 5 # {170/216} Manier um die Quadrat-Wurtzeln aus Algebrai$chen Grö$$en auszuziehen.

99. Weilen nichts leichters i$t als die Ausziehung der Quadrat- Wurtzel aus einer Quantitate incomplexa, $o wollen wir auch nichts da- von reden, $ondern uns allein an die Complexas halten, weilen man, um den Werth einer unbekanten Grö$$en zu finden, oft der Extraction der Quadrat-Wurtzel vonnöthen hat.

Um die Quadrat-Wurtzel aus aa + 2ab + bb auszuziehen, $o mu{$s} man $agen, die Wurtzel von aa i$t a (§. 52.), welches man in den Quo- tienten $etzt; wann man nun die gefundene Wurtzel a durch $ich $elb$t multiplicirt, $o kommt aa, welches man von der gegebenen Grö$$e abzie- hen mu{$s} (§. 63.), bleibt al$o 2ab + bb; nach die$em dupliret man die ge- fundene Wurtzel, und dividiret mit die$em Duplo 2a den vorigen Uber- re$t, $o wird man + b zum Quotienten finden, welchen man auch zu dem Divi$ore 2a addiren mu{$s}, um 2a + b zu bekommen; die$e Summe multiplicirt mit dem Quotienten b und das Product 2ab + bb ziehet von dem Uberre$t der gegebenen Grö$$e ab; weilen nun nichts mehr übrig bleibt, $o $iehet man da{$s} die begehrte Wurtzel a + b i$t.

Um zu $ehen, ob man die Operation recht gemacht, $o dörf man nur die gefundene Wurtzel mit $ich $elb$t multipliciren, wie man in den Zahlen gethan; Wann nun die$es Product der gegebenen Grö$$e gleich [0055] i$t, $o i$t die$es eine Anzeiguug, da{$s} die Operation recht gemacht worden.

100. Um die Quadrat-Wurtzel aus aa - 2ab + bb zu extrahi- ren, mu{$s} man $agen, die Quadrat-Wurtzel von aa i$t a, welches man in den Quotienten $etzt; nach die$em ziehet man das Quadrat aa von der gegebenen Grö$$e ab, $o bleibt - 2ab + bb welches man dividirt durch + 2a, $o kommt - b, weilen wann - mit + dividirt wird, - im Quotienten kommt: nach die$em mu{$s} man - b zum Divi$ore 2a addi- ren und die Summe 2a - b durch - b multipliciren, um - 2ab + bb zu bekommen, welches man von - 2ab + bb abziehet; bleibt al$o 0 übrig; derowegen i$t a - b die gefundene Wurtzel, dann wann man a - b durch $ich $elb$t multiplicirt, kommt aa - 2ab + bb.

101. Wan man die Quadrat-Wurtzel nicht in der That aus ei- ner Algebrai$chen Grö$$e ausziehen kan, $o zeigt man die Extraction nur an, und dazu bedient man $ich des Zeichens √ welches das Wurtzel- Zeichen genennet wird, über welches man den Exponenten der Poten- tiæ, aus welcher man die Wurtzel ausziehen will, $etzet. Z. E. wann es eine Quadrat-Wurtzel i$t, $o $chreibt man √[2], und wann es eine Cu- bic-Wurtzel i$t, $o $etzt man ∛, ferner ziehet man noch eine Linie über die Terminos derjenigen Grö$$en, aus welcher man die Wurtzel aus- zichen will. Z. E. aa + cd - dd + c - g bedeutet, da{$s} man aus den drey Terminis aa + cd - dd die Quadrat-Wurtzel ausziehen $oll, weilen $ie unter der Linie, die dem Wurtzel-Zeichen nachfolget, $tehen; dann von den andern Terminis, über welche die Linie nicht gehet, i$t kei- ne Frag.

## Ausarbeitung des I. Exempels. # Ausarbeitung des II. Exempels. # aa + 2ab + bb (a # aa - 2ab + bb (a Uberre$t # aa + 2ab + bb - aa # aa - 2ab + bb - aa Reduction # 2ab + bb (a + b # - 2ab + bb (a - b Divi$or # 2a # + 2a ## Su\~me des Div. u. Qu. 2a + b # + 2a - b Mult. # b # - b Product # 2ab + bb # - 2ab + bb Subtr. # 2ab + bb - 2ab - bb = 0. # - 2ab + bb + 2ab - bb = 0 [0056] Beweis der Quadrat-Wurtzel.

102. Um die vorhergehende Reglen zu bewei$en, $o wollen wir aus einer Zahl z. E. aus 676 die Wurtzel ausziehen, und die Ur$ach jeder Operation vor die Augen $tellen.

Um die Quadrat-Wurtzel aus 676. auszuziehen, $o $age ich, nach dem die Figur in Cla$$en eingetheilet worden, die Quadrat-Wurtzel von 6. i$t 2, oder vielmehr die Quadrat-Wurtzel von 600. i$t 20, weilen die zwey Zahlen, die auf der rechten Hand von 6. $tehen, machen, da{$s} es 600. gilt; Al$o $etze ich 2. in den Quotienten mit einem Punct zur Sei- ten, welcher unterde$$en die Stelle der zweyten Ziffer, die in den Quo- tienten kommen $oll, vertritt, und al$o macht, da{$s} 2. $o viel als 20. gilt; al$o wann ich das Quadrat von 2., welches 4. i$t, von 6. abziehe, $o i$t es $o viel, als wann ich das Quadrat von 20. das i$t 400. von 600. abziehe; derowegen bleibt in beyden Fällen 2. Ferner wei{$s} man, da{$s} man nach der Regel mu{$s} 2. dupliren, oder vielmehr 20, um 40. zu bekommen, welche als Divi$or dienen mü$$en; dann wann man an die rechte Seite von 4. unterhalb einen Puncten $etzt, $o wird er machen, da{$s} 4. $o viel als 40. gilt; nachdem nun die$er Divi$or gefunden, $o $age ich, wieviel- mal i$t 4 in 27. $o finde ich 6, welches ich in den Quotienten und neben 4. $etze, und $age 6. mal 6. i$t 36, davon $etze ich 6. und behalte 3, nach die$em $age ich 4. mal 6. i$t 24. und 3. behalten i$t 27. und ziehe das Product 276. von 276. ab, allwo nichts übrig bleibt; al$o i$t die gefun- dene Wurtzel 26. Allein nach §. 70. i$t das Quadrat einer jeden Grö$- $e, die aus zweyen Theilen be$tehet, gleich dem Quadrat eines jeden die- $er Theile, mehr zweyen Rectangulis die unter eben die$en Theilen begrif- fen $eynd: al$o be$tehet das Quadrat von 26. oder von 20. + 6. aus dem Quadrat von 20. das i$t 400, aus dem Quadrat von 6. das i$t 36. und aus zweyen Rectangulis von 20. durch 6. multiplicirt. Nun wei- len wir von 676. gleich abgezogen haben das Quadrat von 20, nach die- $em das Quadrat von 6, endlich das Product von 40. durch 6, welches $o viel i$t als zwey Rectangula von 20. durch 6, folgt daraus, da{$s} man von der gegebenen Zahl alle Grö$$en, woraus das Quadrat von 26. be- $tehet, abgezogen, und da{$s} al$o die Wurtzel von 676. i$t 26, weilen nach der Subtraction nichts mehr übrig geblieben.

Allein wann man an$tatt zweyer Cla$$en drey oder mehrere hat, $o bleibt der Beweis wie zuvor, indem man die Zahlen, die man aus der er$ten und zweyten Cla$$e im Quotienten gefunden an$iehet, als wann $ie nur einen Terminum der Wurtzel ausmachen, indem man $upponirt [0057] da{$s} ein 0. in der Stelle des zweyten Termini $tehe: derowegen dupli- ret man ihn, um durch die$es Duplum als Divi$orem den folgenden Ter- minum zu bekommen, welchen man an$iehet als den zweyten Terminum der Wurtzel. Al$o wann man 430. gefunden vor die Wurtzel der zwey er$tern Cla$$en der Grö$$e 186624, $o $iehet man die$e 430. als den er- $ten Terminum der Wurtzel an, und weilen man $chon $ein Quadrat 184900 von der gegebenen Zahl 186624 abgezogen, $o dupliret man 430. um einen Divi$orem 860. zu haben, durch welchen wir den zwey- ten Terminum, welcher 2. $eyn wird, bekommen, den man an $einen Platz $etzet, nemlich an$tatt 0. $owohl im Quotienten, als auch im Divi- $ore; endlich multipliciret man die 862. als die Summe des doppelten 430. und des zweyten Termini, durch 2. um die Summe des doppelten Rectanguli von 860. mit 2. und des Quadrats von 2. zu bekommen, welche ich noch von der gegebenen Zahl abziehe. Al$o $iehet man, da{$s}, weilen die Operation in drey oder mehreren Cla$$en eben $o i$t wie in zweyen, der Beweis, den wir von zweyen Cla$$en gegeben, allgemein vor alle andere $eye.

Manier die Cubic-Wurtzel auszuziehen.

103. Die _Cubic-_Wurtzel aus einer Zahl ausziehen, hei{$s}t die Seite des grö$ten Cubi, welcher in der gegebenen Zahl kan begriffen $eyn, finden. Z. E. die Cubic-Wurtzel aus 234. ausziehen, hei{$s}t die Zahl 6. finden, welche die Seite i$t des grö$ten Cubi, der in 234. kan enthalten $eyn; dann wann man den Cubum von 6, der 216. i$t, von 234. abziehet, $iehet man da{$s} 18. übrig bleiben, und da{$s} al$o 6. die Cubic-Wurtzel der gegebenen Zahl i$t; desgleichen $ehe ich, da{$s} 8. die Cubic-Wurtzel von 519. i$t, weilen der Cubus von 8. i$t 512, welcher der grö$te Cubus i$t, der in 519. kan enthalten $eyn.

Man kan wiederum die Cubic-Wurtzel jeder Zahl, die nicht aus mehr als dreyen Ziffer be$tehet, durch Hülf folgender Taffel, welche die Cubos der Zahlen von 1. bis 10. in $ich hält, finden: 1 # 2 # 3 # 4 # 5 # 6 # 7 # 8 # 9 # 10 1 # 8 # 27 # 64 # 125 # 216 # 343 # 512 # 729 # 1000 und welche man auswendig lernen mu{$s}, damit man al$obald wahrnehmen kan, welches der grö$te Cubus $eye, der in einer gegebenen Zahl kan ent- halten $eyn.

[0058] Er$tes Exempel.

Allein um die Cubic-Wurtzel aus einer grö$$eren Zahl, z. E. aus 79507. auszuziehen, mu{$s} man die gegebene Zahl von der Rechten ge- gen die Lincke in Cla$$en eintheilen, und jeder Cla$$e drey Ziffern geben, um eine Anzahl Cla$$en zu bekommen, wie bey der Quadrat Wurtzel gewie$en worden; hernach mu{$s} man auf folgende Art operiren.

Ich fange an die Cubic-Wurtzel aus der er$ten Cla$$e zu extrahi- ren, $agend: Die Seite des grö$ten Cubi der in 79. kan enthalten $eyn, i$t 4; derowegen $etze ich 4. in den Quotienten und ziehe $einen Cubum 64. von 79. ab, bleibet al$o 15; und weilen in der Cubic-Wurtzel eben auch wie in der Quadrat-Wurtzel, in den Quotienten $o viel Ziffern kom- men mü$$en als Cla$$en $eynd in der gegebenen Zahl, $o $ehet, welcher Manier man $ich bedienen mu{$s}, um die zweyte Ziffer zu bekommen.

# 79_507 # (4 # 64 : : : # : : : A. # 15 507

Setzet die folgende Cla$$e dem Uberre$t der er$ten an die Seite, und quadriret irgend auf der Seite den Quotienten der er$ten Cla$$e, nemlich 4. um 16. zu bekommen, welches man durch 3. mul- tipliciren mu{$s} um 48. zu haben; $etzet 8. unter die er$te Ziffer 5. der neuen Cla$$e, und 4. unter die letzte Ziffer 5. der vorigen Cla{$s}; fragt nunmehro wie vielmal i$t 4. in 15, $etzet den Quotienten 3. an $eine Stelle, und multiplicirt mit ihm den Divi$orem 48. das Product 144. $etzt unter den Divi$orem al$o da{$s} das er$te 4. unter 8. zu $tehen kommt; den Divi$orem aber $treichet aus, dann es i$t keine Frag mehr von ihm.

4 4 16 3 48 # 79_507 # (43 # 64 : : : # : : : A # 15 507 # 4 8 B # 144 [0059]

Nach die$em quadriret den Quotienten 3. die$er Cla$$e und nehmet die$es Quadrat dreymal um 27 zu bekommen, welches man mit dem Quotienten 4. der vorigen Cla{$s} multiplicirt um 108. zu haben, welches man unter das Product B al$o $e- tzen mu{$s}, da{$s} $eine Cinheit 8. vor da$$elbe gegen die rechte hinaus fallt, und $ein Zehner 0. unter die Einheit 4. zu $tehen kommt.

3 3 9 3 27 4 108 # 79_507 # (43 # 64 : : : # : : : A # 15 507 # 4 8 B # 14 4 C # 1 08

Endlich mu{$s} man von dem zweyten Ziffer 3. des Quotienten den Cubum 27. nehmen, und ihn unter das Product C al$o $etzen, da{$s} er wieder vor da$$elbe um eine Ziffer mehr gegen die rechte zu $tehen komme.

# 79_507 # (43 # 64 : : : # : : : A # 15 507 # 4 8 B # 14 4 C # 1 08 D # 27 E # 15 507 # 0

Nunmehro mu{$s} man die 3. Producte B, C, und D zu$ammen ad- diren, und die Summe E von dem vorigen Uberre$t A der gegebenen Grö$$e abziehen; hier in die$em Exempel bleibet 0. übrig, i$t al$o 43. die ge$uchte Cubic-Wurtzel von der gegebenen Grö$$e.

Zweytes Exempel.

Um die Cubic-Wurtzel aus 148089. auszuziehen, $o zertheile ich wieder die Zahl in Cla$$en, deren ich zwey bekomme, und $age wieder die Cubic-Wurtzel von 148. i$t 5, davon der Cubus 125. i$t, welcher, wann er von 148. abgezogen wird, 23. zuruck la{$s}t.

[0060] # 148_089 # (5 # 125 : : : # : : : A # 23 089

Um den Quotienten der zweyten Cla$$e zu bekommen, quadrire ich 5. um 25. zu haben, welches, wann es dreymal genommen wird, uns 75. gibt, welches ich unter die Summe des Uberre$ts von der er$ten Cla$$e und der gantzen neuen Cla{$s} $etze, um damit zu dividiren; ich $age al$o, wie vielmal i$t 7. in 23, da finde ich 2, welches ich in den Quotienten $etze.

5 5 25 3 75 148_089 # (52 125 : : : : : : 23 089 7 5

Nachdem multiplicire ich den Divi$orem 75. durch den Quotienten 2, um das Product B zu haben. Ferner multiplicire ich den Quotien- ten 2. mit $ich $elb$t und nehmen $ein Quadrat 4. dreymal um 12. zu haben, welches wann es mit dem vorigen Quo- tienten 5. multiplicirt wird, uns 60. gibt zum Product C; die$es $etze ich unter das Product B al$o, da{$s} es um eine Ziffer mehr gegen die rechte $tehe. Endlich nehme ich den Cubum 8. von dem letzten Quotienten 2, welchen ich an den Ort D $etze, al$o da{$s} er wieder um eine Ziffer mehr gegen die Rechte zu $tehen komme. Wann ich nun die$e drey Producte B, C und D zu$ammen addire, $o kommt die Sum- me E von 15608, welche ich von A abziehe um den Uberre$t F zu ha- ben; Al$o i$t die Cubic-Wurtzel von 148089. $o viel als 52, und blei- bet übrig 7481.

2 2 4 3 12 5 60 # 148_089 # (52 # 125 : : : # : : : A # 2⋅3⋅ 089 # 7 5 B # 1 5 0 C # 60 D # 8 E # 15 608 F # 7 481 [0061]

Es i$t zu mercken, da{$s}, wann die Summe E grö$$er i$t als der Uberre$t A, der übrig bleibet, wann man den Cubum der er$ten Cla{$s} von der gegebenen Zahl abgezogen, es ein gewi$$es Kenn-Zeichen i$t, da{$s} die zweyte Ziffer zu gro{$s} i$t, * und al$o $o lang mu{$s} um eins diminui- ret werden, bis da{$s} die Summe E kleiner i$t als A. Ferner i$t zu mer- cken, da{$s} wann der Uberre$t F grö$$er i$t als die Summe E, es ein ge- wi$$es Renn-Zeichen $eye, da{$s} man den Quoticnten der zweyten Cla$$e zu klein genommen.

Um zu erfahren ob man $ich nicht im Rechnen betrogen, $o mu{$s} man von der gefundenen Wurtzel 52. den Cubum nehmen, und zu die- $em Cubo 140608. den Uberre$t 7481. addiren; wann nun die Sum- me 148089. der gegebenen Zahl gleich i$t, $o folgt varaus, da{$s} die Ope- ration recht gemacht worden.

Drittes Exempel.

Um die Cubic-Wurtzel aus einer grö$$ern Zahl zum Exempel aus 99865243. zu extrahiren, $o theile ich die gegebene Zahl in Cla$$en ein, deren ich drey bekomme; und weilen man über die er$te und zweyte Cla{$s} eben $o operiren mu{$s}, wie vorher ge$agt worden, $o ab$trahire ich von der dritten Cla{$s} und ziehe die Wurtzel aus 99865, welche wird 46 $eyn, da aber noch 2529. übrig bleiben. Nun weilen man vor die Quotien- ten der er$ten und zweyten Cla{$s} hat 4. und 6. gefunden, $o $ehet, wel- cher Manier man $ich bedienen mu{$s} um den Quotienten der dritten Cla{$s} zu finden.

Ich $etze die dritte Cla{$s} 243. auf die rechte Seite des Uberre$ts 2529. der zwey er$teren Cla$$en um 2529243. zu bekommen, welches al- $o der gantze Uberre$t i$t, zu welchem ich emen Divi$orem $uche um den Quotienten der dritten Cla$$e zu bekommen.

99_86 5_243 # (46 64 : : : : : : 358 6⋅5 : : : 48 : : : 288 : : : 432 : : : 21 6 : : : 33 336 : : : 2 529 243 [0062]

Um den Divi$orem zu finden, $o quadrire ich 46, um $ein Quadrat 2116. zu bekommen; die$es nehme ich dreymal um 6348. zu haben, wel- ches der begehrte Divi$or $eyn wird; al$o dividire ich den Uberre$t A durch 6348 und $age wie vielmal i$t 6 in 25, da finde ich 3, welches ich in den Quo- tienten auf die Seite der zwey an- dern Quotienten $etze, hernach multi- plicire ich den Divi$orem B durch den neuen Quotienten 3. um das Product C zu bekommen.

A # 2529243 (463 # 46 B # 6348 # 46 C # 19044 # 27 6 # # 184 # # 211 6 # # 3 # # 634 8

Nach die$em quadrire ich 3. und nehme $ein Quadrat 9. dreymal um 27. zu haben, welches ich mit der er$ten und zweyten Ziffer des Quo- tienten multiplicire, das i$t durch 46; das Product 1242. $etze ich unter die Zahl C an den Ort D, al$o da{$s} es um eine Ziffer weiter gegen die Rechte zu $tehen komme.

A # 2529243 (463 # 3 B # 6348 # 3 C # 19044 # 9 D # 1242 # 3 # # 27 # # 46 # # 16 2 # # 108 # # 12 42

Endlich nehme ich den Cubum von 3, und $etze ihn unter die Zahl D an den Ort E, al$o da{$s} er um eine Ziffer mehr gegen die rechte zu $tehen komme; nach die$em addire ich, wie zuvor, die drey Producte C, D und E zu$ammen, um die Summe F zu ha- ben, welche ich von der Zahl A abzie- he, und da finde ich, da{$s}, nachdem die Cubic-Wurtzel 463. aus 99865243 gezogen worden, der Uberre$t 612396. i$t.

A # 2529243 # (463 B # 6348 C # 19044 D # 1242 E # 27 F # 1916847 G # 612396

Wann an$tatt drey Cla$$en es viere wären, $o würde man den Quotienten der vierten finden, wann man die Quotienten der er$ten, zweyten und dritten Cla$$e quadriret, und die$es Quadrat durch 3. mul- tiplicirt, welches ein Product gibt, das zum Divi$ore dienet. Auf eben die$e Art verfahret man, wann fünf, $echs, $ieben, oder mehrere Cla$- $en $eynd.

[0063] Manier um durch Hülf der Decimalen $o nahe an die wahrhaftige Cubic-Wurtzel einer gegebenen Grö$$e zu kommen, als es möglich.

104. Wann wir $upponiren, da{$s} der Current-Klafter in 1000 kleine Theile, die man Decimalen nennet, eingetheilet $eye, wie bey der Quadrat-Wurtzel angemercket worden, $o i$t der Quadrat-Klafter wie- der 1000000. und äl$o der Cubic-Klafter 1000000000. Nun damit wir uns die$er Decimalen in der Cubic-Wurtzel als wie in der Quadrat. Wurtzel bedienen können, $o mu{$s} man, um die der Cubic-Wurtzel einer gegebenen Zahl näch$t beykommende zu finden, die gegebene Zahl durch 1000000000 multipliciren, und aus dem Product die Cubic-Wurtzel aus- ziehen. Al$o wann ich die Cubic-Wurtzel aus 694. ausziehen will, $o multi- plicire ich die$e Zahl durch die vorhergehende um 694000000000. zu be- kommen, daraus ich die Cubic-Wurtzel extrahire, welche 8853. in klei- nen Theilen $eyn wird, die$e dividire ich durch 1000. um die Klafter zu bekommen; Al$o finde ich da{$s} die Wurtzel i$t 8. Klafter $amt einem Uberre$t 853, de$$en Werth in Schuhen, Zollen rc. ich finde, wann ich eine Regel de Tri mache, und $age 1000. kleine Theile geben 6. Schuh, wie viel geben 853; nachdem die Operation wird gemacht $eyn, $o wer- de ich finden 5. Schuh, 1. Zoll, 4. Linien und 11. Puncten. Al$o i$t die Cubic-Wurtzel von 694. $o viel als 8. Klafter, 5. Schuh, 1. Zoll, 4. Linien und 11. Puncten.

105. Wann man aber aus einer Anzahl Cubic-Schuhen die Wurtzel ausziehen mü{$s}te, $o kan man Kürtze halber $upponiren, als wann der Current-Schuh in 100. Theile eingetheilet wäre, de$$en Cubus al$o 1000000. i$t. Der Uberre$t i$t wie vorhero.

106. Wann man aber aus einer Anzahl Cubic-Klaftern, Cubic- Schuhen, Cubic-Zollen rc. die Wurtzel ausziehen will, $o mu{$s} man die Schuh, Zoll rc. in Decimalen reduciren, indem man die Verhältni{$s}, die die$e Theile gegen 1000000000. haben, in Betrachtung ziehet; nach die$em mu{$s} man da hier operiren, wie oben bey der Quadrat-Wurtzel angemercket worden.

107. ⋆ Den Anfängern zu Gefallen, will ich wieder zwey Taf- feln hieher $etzen; da in der er$ten die Schuh, Zoll, Linien und Puncten in kleinen Theilen, deren man dem Cubic-Klafter 1000000000. zueignet, gefunden werden; in der andern aber die Zoll, Linien und Puncten in kleinern Theilen, deren 100000. dem Cubic-Schuh zugeeignet werden.

[0064] Er$te Taffel. Schuh # # # Schuh # # # Schuh 6 # 1000000000 # # 4 # 666666666 # 108 # 2 # 333333333 # 54 5 # 833333333 # {54/162} # 3 # 500000000 # # 1 # 166666666 # 108 Zoll # # # Linien # # # Punct. 12 # 166666666 # {108/162} # 12 # 13888888 # {144/162} # 12 # 1157407 # {66/162} 11 # 152777777 # 126 # 11 # 12731481 # 78 # 11 # 1060956 # 148 10 # 138888888 # 144 # 10 # 11574074 # 12 # 10 # 964506 # 28 9 # 125000000 # # 9 # 10416666 # 108 # 9 # 868055 # 90 8 # 111111111 # 18 # 8 # 9259259 # 42 # 8 # 771604 # 152 7 # 97222222 # 36 # 7 # 8101851 # 138 # 7 # 675154 # 25 6 # 83333333 # 54 # 6 # 6944444 # 72 # 6 # 578703 # 114 5 # 69444444 # 72 # 5 # 5787037 # 6 # 5 # 482253 # 14 4 # 55555555 # 90 # 4 # 4629629 # 102 # 4 # 385802 # 76 3 # 41666666 # 108 # 3 # 3472222 # 36 # 3 # 289351 # 138 2 # 27777777 # 126 # 2 # 2314814 # 132 # 2 # 192901 # 38 1 # 13888888 # 144 # 1 # 1157407 # 66 # 1 # 96450 # 100 Zweyte Taffel. Zoll # # # Linien # # # Puncten 12 # 1000000 # # 12 # 83333 # {72/216} # 12 # 6944 # {96/216} 11 # 916666 # {144/216} # 11 # 76388 # 192 # 11 # 6365 # 160 10 # 833333 # 72 # 10 # 69444 # 96 # 10 # 5787 # 8 9 # 750000 # # 9 # 62500 # # 9 # 5208 # 72 8 # 666666 # 144 # 8 # 55555 # 120 # 8 # 4629 # 136 7 # 583333 # 72 # 7 # 48611 # 24 # 7 # 4050 # 200 6 # 500000 # # 6 # 41666 # 144 # 6 # 3472 # 48 5 # 416666 # 144 # 5 # 34722 # 48 # 5 # 2893 # 112 4 # 333333 # 72 # 4 # 27777 # 168 # 4 # 2314 # 176 3 # 250000 # # 3 # 20833 # 72 # 3 # 1736 # 24 2 # 166666 # 144 # 2 # 13888 # 192 # 2 # 1157 # 88 1 # 83333 # 72 # 1 # 6944 # 96 # 1 # 578 # 152 Manier die Cubic-Wurtzel aus Algebrai$chen Grö$$en zu extrahiren.

108. Um die Cubic-Wurtzel aus a^3 + 3aab + 3abb + b^3 zu extrahiren, $o fange ich an die$elbe zu extrahiren aus dem er$ten Termi- no a^3; die$e wird a $eyn, das ich al$o in den Quotienten $etze; nach die- [0065] $em ziehe ich den Cubum von a von der gegebenen Grö$$e ab: ferner quadrire ich die gefundene Wurtzel a und nehme ihr Quadrat aa drey- mal um 3aa zu bekommen, welches mir als Divi$or dienen wird; al$o $age ich, 3aab dividirt durch 3aa gibt + b zum Quotienten; nach die- $em multiplicire ich den Divi$orem durch die gefundene Wurtzel b, und ziehe das Product 3aab von der gegebenen Grö$$e ab: ferner nehme ich das Quadrat von b, welches ich dreymal nebme um 3bb zu haben, das ich auch noch mit dem er$ten Buch$taben a multiplicire, um 3abb zu be- kommen, die$es Product ziehe ich wiederum von der gegebenen Grö$$e ab; endlich nehme ich den Cubum von b, und ziehe ihn auch noch von der gegebenen Grö$$e ab; al$o wird man $ehen, da{$s} nachdem die$es al- les wird reducirt $eyn, der Uberre$t 0. i$t, und da{$s} al$o die begehrte Cubic-Wurtzel a + b i$t.

Um ver$ichert zu $eyn da{$s} man recht operiret, mu{$s} man von a + b den Cubum nehmën, und wann die$er $amt dem Uberre$t, der et- wann möchte übrig geblieben $eyn, der gegebenen Grö$$e gleich i$t, $o i$t es eine gewi$$e Prob, da{$s} die Operation recht verrichtet worden.

# a^3 + 3aab + 3aab + b^3 (a. # a^3 Subtr. # a^3 - a^3 + 3aab + 3abb + b^3. Reduct. # 3aab + 3abb + b^3 (a + b. Divi$. # 3aa. Prod. # 3aab. Subtr. # 3aab - 3aab + 3abb + b^3. Reduct. # 3abb + b^3. Prod. # 3abb. Subtr. # 3abb - 3abb + b^3. Reduct. # b^3. Cubus. # b^3. Subtr. # b^3 - b^3 = 0. Beweis der Cubic-Wurtzel.

109. Um die Extraction der Cubic-Wurtzel zu erwei$en, wollen wir die Ur$achen jeder Operation, die man in der Extraction der Wur- tzel aus einer Zahl z. E. aus 97336. gebrauchen mu{$s}, anführen; wir $upponiren nur, da{$s} man dasjenige, was oben §. 71. ge$agt worden, wohl be$itze, nemlich da{$s} der Cubus einer jeden Grö$$e, die aus zweyen [0066] Terminis be$tehet, gleich i$t dem Cubo des er$ten Termini, mehr dreyen Parallelepipedis, die ent$tehen, wann man das Quadrat des er$ten mit dem zweyten multiplicirt, ferner dreyen andern Parallelepipedis, die ent- $tehen, wann man das Quadrat des zweyten durch den er$ten multipli- cirt, endlich noch dem Cubo des zweyten Termini.

Um die Cubic-Wurtzel aus der gegebenen Zahl zu extrahiren, $o zertheile ich $ie, wie gewöhnlich, in Cla$$en, und $age die Cubic-Wurtzel von 97. i$t 4, davon der Cubus 64. i$t, welcher, wann er von 97. abge- zogen wird, uns 33. zuruck lä{$s}t. Allein, weilen auf die Ziffer 4, die ich in den Quotienten ge$etzt, noch eine andere folgen $oll, weilen die gegebene Cubic-Zahl zwey Cla$$en hat, folgt al$o, da{$s} 4. $o viel als 40. gilt, und da{$s} ich den Cubum von 40. und nicht den von 4. von der gegebenen Zahl abgezogen habe; dann man $iehet leicht, da{$s} wann ich den Cubum 64000, der der Cubus von 4. i$t, von der gegebenen Zahl ab- ziehe, 33336. übrig bleiben. Al$o, wann man 40. als den er$ten Ter- minum der Wurtzel an$iehet, $iehet man, da{$s} man $einen Cubum von der gegebenen Zahl abgezogen.

97_336 # (4 64 : : : : : : 33 336

Nunmehro um den zweyten Terminum zu $inden, $o quadrire ich 4 und nehme $ein Quadrat 16 dreymal, welches mir 48. zum Product gibt, die$es $etze ich an die Stelle A. Nun wann man Achtung gibt, da{$s} weilen ich die Zahl 48. an die Stelle ge$etzt, wo $ie $tehet, $o $tehet $ie um 2. Ziffern mehr zur Lincken, welches al$o macht, da{$s} die$e Zahl an$tatt 48. nunmehro 4800. gilt, $o wird man leicht $ehen, da{$s} auf die- $e Art es eben dasjenige i$t, als wann ich 40. quadriret und die$es Quadrat 1600. dreymal genommen hätte, um einen Divi$orem zu be- kommen.

# 97_336 # (4 # 64 : : : # : : : # 33 336 A # 4 8 [0067]

Nachdem al$o der Divi$or gefunden, $o $age ich, wie vielmal i$t 4. in 33, und da finde ich da{$s} es 6 mal $eye, die$e 6. $etze ich in den Quo- tienten, welche al$o den zweyten Terminum der Wurtzel ausmachen. Nach die$em multiplicire ich den Divi$orem durch den zweyten Termi- num der Wurtzel, um das Product B zu bekommen, welches, wie man leicht $ehen kan aus dem Ort wo es $tehet, 28800. gilt; die$es i$t eine Grö$$e, die dreyen Parallelepipedis, die ent$tehen, wann man das Qua- drat des er$ten Termini durch den zweyten Terminum, das i$t das Qua- drat von 40. mit 6. multiplicirt, gleich i$t; dann, da man das Quadrat von 4. oder vielmehr von 40. dreymal genommen, $o hat man nichts anders gethan, als die drey Grund-Flächen der er$teren Parallelepipe- dorum zu$ammen zu $etzen, um ihnen eine allgemeine Höhe zu geben.

Wann ich dann ferner nach der ordentlichen Regel gehe, $o qua- drire ich 6, und nehme $ein Quadrat 36. dreymal um 108. zu be- kommen, welches, wann man es durch den er$ten Terminum 4. multipli- cirt, uns 432. gibt; die$es $etze ich an die Stelle C, und wann man Achtung gibt, da{$s}, wegen der Stelle, wo die$e Zahl $tehet, $ie 4320. gilt, $o wird man leicht $ehen, da{$s} es $o viel $eye, als wann ich das drey- fache Quadrat von 6, das i$t 108. durch 40. multipliciret hätte; dero- wegen kan ich $agen, da{$s} die Zahl C $o viel i$t als drey Parallelepipeda, welche ent$tehen, wann man das Quadrat des zweyten Termini durch den er$ten multiplicirt; dann, da ich das Quadrat des zweyten Termini dreymal genommen, $o habe ich nichts anders gethan, als die drey Grund-Linien der dreyen Parallelepipedorum des zweyten Termini zu- $ammen zu $etzen, um $ie mit dem er$ten Termino, der ihre allgemeine Höhe i$t, zu multipliciren.

Endlich nach der Regel nehme ich den Cubum des zweyten Termi- ni, um 216. zu haben, die ich an die Stelle D $etze, das will hei$$en, ich addire ihn zu den vorhergehenden Parallelepipedis; wann ich nun alle drey Grö$$en B, C und D zu$ammen addire, um die Summe E zu ha- ben, $o $iehet man, da{$s}, wann ich die$e Summe von dem Uberre$t der gegebenen Zahl abziehe, kein Uberre$t bleiben wird, und da{$s} al$o 46. die wahrhaftige Cubic-Wurtzel der gegebenen Zahl i$t, in dem da ich davon er$tlich den Cubum des er$ten Termini, zweytens drey Parallelepipeda des Quadrats des er$ten durch den zweyten, drittens drey Parallelepipe- da des Quadrats des zweyten durch den er$ten, und endlich viertens den Cubum des zweyten abgezogen, nichts übrig geblieben.

[0068] # 97_336 # (46 # 64 : : : # : : : # 33 336 A # 4 8 B # 28 8 C # 4 32 D # 216 E # 33 336 # 0

Desgleichen kan man auch die Operationen, die manüber drey, vier rc. Cla$$en macht, erwei$en, indem man (wie $chon oben in dem Be- weis der Quadrat-Wurtzel angemercket worden) die Quotienten der er- $ten und zweyten Cla{$s}, als den er$ten Terminum, und den Quotienten der dritten, als den zweyten Terminum der Wurtzel an$iehet. Und $o weiters.

Manier die unbekante Grö$$en der Gleichungen zu reduciren. Erklärung.

110. Wann eine Quantitas po$itiva $ich nur einmal und allein in einem Glied einer Gleichung befindet, $agt man, da{$s} die$e Grö$$e _redu-_ _ci_rt $eye; Z. E. in der Gleichung a + b = x i$t die Grö$$e x eine redu- cirte Grö$$e.

* Er$ter Grund-Satz.

111. Eine jede Grö$$e i$t $ich $elber gleich.

* Anmerckung.

112. Die$er Grund-Satz hat $einen gro$$en Nutzen, indem $ehr oft einerley Grö$$en unter unter$chiedener Ge$talt vorge$tellet werden, wie aus der Folge er- hellen wird.

* II.

113. Wann zwey Grö$$en einer dritten gleich $eynd, $o $eynd $ie unter $ich gleich. Z. E. wann a = c und b = c, $o $age ich auch da{$s} a = b.

* III.

114. Das Gantze i$t allen $einen Theilen zu$ammen genommen gleich.

[0069] * IV.

115. Das Gantze i$t grö$$er als jeder $einer Theile.

V.

116. Wann man gleiche Grö$$en zu gleichen Grö$$en addirt, $o $eynd die Summen einander gleich. Z. E. wann a = b und c = d, $o i$t auch a + c = b + d.

VI.

117. Wann man gleiche Grö$$en von gleichen Grö$$en $ubtrahirt, $o $eynd die Uberre$t einander gleich. Z. E. wann a = b und c = d, $o i$t auch a - c = b - d.

VII.

118. Wann man gleiche Grö$$en durch gleiche, oder durch eine dritte Grö$$e multiplicirt, $o $eynd die Producte einander gleich. Z. E. wann a = b und c = d, $o i$t auch ac = bd; oder wann a = b, $o i$t auch ac = bc.

VIII.

119. Wann man gleiche Grö$$en durch gleiche, oder durch eine dritte Grö$$e dividirt, $o $eynd die Quotienten einander gleich. Z. E. wann a = b und c = d, $o i$t {a / c} = {b / d}; oder wann a = b, $o i$t auch {a / c} = {b / c}.

IX.

120. Wann man aus gleichen Grö$$en ähnliche Wurtzeln auszie- het, $o $eynd die$e Wurtzeln einander gleich. * Z. E. wann ab = x^2 $o i$t auch √[2]ab = x und wann abc = x^3 $o i$t auch ∛abc = x.

Zweyte Regel, Nach welcher man $iehet, wie wan $ich der Addition und Sub- traction bedienen $oll, um die unbekante Grö$$en zu reduciren.

121. Um eine Grö$$e zu reduciren, $o mu{$s} man die Grö$$en, die bey ihr im Glied $tehen, in das andere Glied bringen, und zwar unter contrairen Zeichen, und $ie hernach in dem Glied, wo $ie ge$tanden, aus- lö$chen.

[0070]

Z. E. wann man eine Gleichung a + c = x - d hat, und man die Grö$$e x allein haben will, $o mu{$s} man - d mit dem Zeichen + aus dem anderten Glied in das er$te bringen, und da wird man bekommen a + c + d = x, allwo al$o die Grö$$e x allein $tehet, indem ihr Werth a + c + d i$t; dann man hat nichts anders gethan, als d zu einem je- den Glied addirt, da{$s} man al$o nach dem fünften Grund-Satz an der Gleichheit nichts verändert.

Desgleichen um y in der Gleichung y + a = b + c allein zu ha- ben, $o bringe ich a unter dem Zeichen - aus dem er$ten Glied in das zweyte um y = b + c - a zu bekommen, welches der Werth von y i$t; indem man nach dem $ech$ten Grund-Satz nichts anders gethan, als ei- ne Grö$$e von zwey gleichen Grö$$en $ubtrahirt.

Er$ter Zu$atz.

122. Aus vorhergehender Regel flie$$et, da{$s} man alle Terminos einer Gleichung kan zu Po$itivis machen, indem man diejenige, die das Zeichen - haben, mit dem Zeichen + aus einem Glied in das andere bringt. Z. E. um alle Terminos negativos der Gleichung ab - cc + cd - dd = aa + bb zu Po$itivis zu machen, bringe ich nur die Termi- nos cc und dd die das Zeichen - haben, aus dem er$ten Glied in das zweyte, indem ich ihnen das Zeichen + gebe, und nachdem $ie in dem er- $ten Glied werden ausge$trichen $eyn, $o werden wir haben ab + cd = aa + bb + cc + dd, allwo kein Terminus negativus mehr i$t. Desglei- chen wann man aa - dd + cd - ab = ac + cc - ad hat, $o dörf man nur dd und ab aus dem er$ten Glied in das andere, und ad aus dem an- derten in das er$te unter contrairen Zeichen bringen, $o wird man be- kommen aa + cd + ad = ac + cc + dd + ab, allwo kein Terminus nega- tivus mehr $eyn wird.

Zweyter Lehr-Satz.

123. Nach eben die$er Regel kan man alle Terminos eines Glieds, einer Gleichung auf die andere Seite bringen, da{$s} al$o die Gleichung auf 0. reducirt wird; dann um zum Exempel alle Terminos des zwey- ten Glieds der Gleichung aa + bb = cd + bc - dd in das er$te zu bringen, mu{$s} man nur die Terminos mit contrairen Zeichen auf die an- dere Seite $etzen, und al$o wird man bekommen aa + bb - cd - bc + dd = 0.

[0071] Dritte Regel, Nach welcher man $iehet/ wie man $ich der Multiplication be- dienen kan, um die unbekante Grö$$en allein zu bringen, und um die Gleichungen von Brüchen frey zu machen.

124. Um eine Grö$$e, die durch eine Zahl oder Buch$taben divi- dirt i$t, zu reduciren, $o mu{$s} man die andere Terminos der Gleichung durch den Divi$orem multipliciren, ohne etwas an der Grö$$e zu verän- dern, als nur den Divi$orem auszu$treichen: Al$o um {xx / c} in der Glei- chung a + b = {xx / c} zu reduciren, mu{$s} man die Terminos a + b durch den Divi$orem c multipliciren, und al$o wird man bekommen ac + bc = xx, allwo xx allein $tehet. Desgleichen wann man hat c + b = {z / 2}, $o mu{$s} man um z allein zu haben, die Terminos c + b mit dem Divi- $ore 2. multipliciren, und al$o wird man bekommen 2c + 2b = z; die- $es i$t gantz klar nach dem $iebenden Grund-Satz, weilen, da man die zwey Glieder die$er Gleichung multiplicirt mit einer dritten Grö$$e, man an der Gleichheit nichts verändert.

Zu$atz.

125. Weilen die angezeigte Divi$ion oder {a / b} nichts anders i$t als ein Bruch; $o folgt aus vorhergehender Regel, da{$s} man nicht nur al- lein die unbekante Grö$$en, die dividirt $eynd, allein bringen kan, $on- dern da{$s} man auch noch die Terminos einer Gleichung von Brüchen be- freyen kan, indem man alle andere Terminos der Gleichung durch die Nenner der Brüche multiplicirt. Z. E. um den Bruch, der $ich in der Gleichung a + {dd / c} + b = d + c befindet, aufzuheben, multiplicire ich alle Terminos durch den Nenner c des Bruchs {dd / c}, $o kommt ac + dd + bc = cd + cc, allwo kein Bruch mehr i$t. Um die Brüche der [0072] Gleichung dx + {bbc / a} - cc = dd - {aad / c} + bc aufzuheben, $o fange ich an alle Terminos der Gleichung durch den Nenner a des er$ten Bruchs zu multipliciren, um adx + bbc - acc = add - {aaad / c} + abs zu bekommen, allwo in dem er$ten Glied kein Bruch mehr $eyn wird; nach die$em multiplicire ich alle Terminos die$er neuen Gleichung durch den Nenner c des zweyten Bruchs, um acdx + b^2 c^2 - a c^3 = ac d^2 - a^3 d + ab c^2 zu bekommen; allwo kein Bruch mehr i$t. Endlich wann man eine Gleichung {a / b} + {c / d} + {x / a} = {b / c} + {y / e} hat, $o macht man die Brüche ver$chwinden, wann man jeden Nenner durch die Zehler der übrigen Brüche multiplicirt.

Z. E. durch b # a + {bc / d} + {bx / a} = {bb / c} + {by / e}.

durch d # ad + bc + {bdx / a} = {bbd / c} + {bdy / e}.

durch a # aad + abc + bdx = {abbd / c} + {abdy / e}.

durch c # aacd + abcc + bcdx = abbd + {abdcy / e}.

durch e # aacde + abcce + bcdex = abbde + abcdy. Allwo nun- mehro keine Brüche mehr $eynd.

126. Allein an$tatt die$e Operation nach und nach zu verrichten, kan man gleich auf einen Streich die Brüche einer Gleichung aufheben, wann man jeden Terminum durch das Product aller Nenner multipli- cirt, und nach die$em in den Zehlern und Nennern die ähnliche Buch$ta- ben aus$treicht. Es $eye z. E. die vorige Gleichung gegeben, $o bekom- me ich nach die$er Regel {aabcde / b} + {abccde / d} + {abcdex / a} = {abbcde / c} + {abcdey / e} und al$o aacde + abcce + bcdex = abbde + abcdy.

[0073] Vierte Regel, Welche wei{$s}t/ wie man $ich der Divi$ion bedienen $oll/ um die unbekante Grö$$en allein zu bringen.

127. Wann eine unbekante Grö$$e, die man allein haben will, durch eine bekante Grö$$e multiplicirt i$t, $o bekommt man die unbekan- te Grö$$e allein, wann man jedes Glied der Gleichung durch den bekan- ten Factorem dividirt.

Al$o um x in der Gleichung ax = bb - cc allein zu bekommen, $o mu{$s} man jedes Glied durch a dividiren, und al$o bekommt man x = {bb - cc / a} (§. 77.) desgleichen wann man hat cz = dd + az, $o bekommt man z allein, wann man az aus dem zweyten Glied in das er$te, und zwar mit dem Zeichen - bringt, um cz - az = dd zu bekommen, wel- ches man dividirt durch c - a, und al$o bekommt man z = {dd / c - a}; die$es i$t nach dem achten Grund-Satz gantz klar, indem, da wir jedes Glied der Gleichung durch eine dritte Grö$$e dividirt haben, die Quo- tienten einander gleich $eyn mü$$en.

Zu$atz.

128. Aus die$er Regel folgt, da{$s}, wann alle Termini einer Glei- chung durch einerley Buch$taben multiplicirt $eynd, man die$e Gleichung kürtzer machen kan, wann man nemlich alle Terminos durch die$e Grö$- $e dividirt.

Z. E. Wann man aa + ab = ac - ad hat, allwo alle Termini durch a multiplicirt $eynd, $o mu{$s} man nur jedes Glied der Gleichung durch eben die$en Buch$taben a dividiren, $o kommt al$o die Gleichung a + b = c - d, welche viel kürtzer i$t als die vorhergehende; wann $ich aber in einer Gleichung ein Terminus befinden $olte, der nicht als wie die andern könte dividiret werden, indem er keine Buch$taben in $ich halt, die dem Divi$ori ähnlich wären, $o verhindert doch die$es die Divi$ion nicht, indem, wann man $ie in der That nicht verrichten kan, man $ie doch anzeigt.

Z. E. Um die Gleichung abb - cbb = cdx + bbc durch bb zu dividiren, $o $treicht man bb in den Terminis, wo es $ich befindet, aus, [0074] und vor cdx, welches keine dem Divi$ori bb ähnliche Buch$taben in $ich begreift, $etzt man {cdx / bb}: Al$o bekommt man a - c = {cdx / bb} + c.

129. Endlich, wann beyde Glieder einer Gleichung einen gemei- nen Divi$orem haben, $o kan man die Gleichung kürtzer $chreiben, indem man beyde Glieder durch den gemeinen Divi$orem dividirt.

Z. E. Wann man die Gleichung bbx - bxx = bba - bax hat, deren beyde Glieder einen gemeinen Divi$orem bb - bx haben, $o kan man die beyde Glieder durch bb - bx dividiren, und al$o wird man be- kommen x = a.

Fünfte Regel, Nach welcher man $iehet, wie man $ich der Extraction der Wurtzeln bedienen $oll, um die unbekante Grö$$en allein zu bekommen.

130. Wann man eine Gleichung hat, wo ein Glied keine andere, als bekante Grö$$en in $ich halt, und das andere ein vollkommenes Qua- drat _o_ der Cubus i$t, $o mu{$s} man aus beyden Gliedern die Wurtzel aus- ziehen, um eine neue Gleichung zu bekommen, allwo die unbekante ent- weder $chon allein $tehet, oder doch leicht kan allein zu $tehen kommen.

* Z. E. Wir hätten die Gleichung ab - cd = x^2; $o ziehen wir beyder$eits die Quadrat-Wurtzel aus, um ab - cd = x zu bekom- men. Desgleichen, wir hätten abc - bcd = y^3, $o ziehen wir beyder- $eits die Cubic-Wurtzel aus, um abc - bcd = y zu haben.

Ferner wann wir xx + 2ax + aa = bc + dd haben, allwo das er- $te Glied ein vollkommenes Quadrat i$t, $o ziehen wir die Quadrat-Wur- tzel aus beyden Gliedern aus, um x + a = bc + dd (§. 99.) zu be- kommen; da, wann wir a aus dem er$ten Glied in das andere bringen, wir x = bc + dd - a bekommen (§. 121.); dadurch $ehen wir, da{$s}, wann wir die Quadrat-Wurtzel aus bc + dd ausziehen, und von die$er Wurtzel die Grö$$e a abziehen, der Uberre$t der Werth der Grö$- $e x $eye.

Desgleichen um x von xx - 2ax + aa = bb allein zu bekommen, $o extrahiren wir die Quadrat-Wurtzel aus jedem Glied; welche al$o x - a = b $eynd wird, (§. 100). Al$o i$t x = b + a (§. 121.).

[0075]

131. Weilen das er$te Glied der Gleichung x^3 + 3axx + 3aax + a^3 = aab ein vollkommener Cubus i$t, $o wird man, wann man aus beyden Gliedern die Cubic-Wurtzel ausziehet, eine kürtzere Gleichung x + a = aab bekommen (§. 120), wann man nun a auf die andere Seite bringt, $o kommt x = aab - a, welches uns wei{$s}t, da{$s} wann man die Cubic-Wurtzel aus aab ziehet, und von die$er Wurtzel die Grö$$e a abziehet, der Uberre$t der Werth von x $eye.

Weilen das er$te Glied der Gleichung x^3 - 3axx + 3aax - a^3 = bdd wiederum ein vollkommener Cubus i$t, $o bekommt man, wann man aus beyden Gliedern die Cubic-Wurtzel ausziehet, x - a = bdd, und al$o x = bdd + a, welches uns wei{$s}t, da{$s} die Summe der Grö$$e a und der Wurtzel von bdd der Werth von x $eye.

132. Zu Zeiten ge$chicht es, da{$s} man das Glied der Gleichung, in welchem die unbekante Grö$$e $ich befindet, kan zu einer vollkomme- nen Potentia machen, indem man zu ihr eine bekante Grö$$e addirt; z. E. Wann man zu den beyden Gliedern der Gleichung xx + 2ax = bc addiret aa, $o bekommt man xx + 2ax + aa = bc + aa, allwo nun das er$te Glied ein vollkommenes Quadrat i$t (§. 70.); al$o wann man aus beyden Gliedern die Quadrat-Wurtzel ausziehet, $o bekommt man x + a = bc + aa (§. 120.); und al$o x = bc + aa - a.

Desgleichen wann man aa zu einem jeden Glied der Gleichung xx - 2ax = cd addiret, $o bekommt man xx - 2ax + aa = cd + aa, allwo das er$te Glied ein vollkommenes Quadrat i$t: derowegen wann man beyder$eits die Quadrat-Wurtzel ausziehet, bekommt man x - a = cd + a^2 und al$o x = cd + aa + a.

133. Allein wann man xx + ax = ab hat, $o kan man wiederum das er$te Glied zu einem vollkommenen Quadrat machen, indem man zu beyden Gliedern {1/4}aa addiret, um xx + ax + {1/4}aa = ab + {1/4}aa zu be- kommen, allwo die Wurtzel des er$ten Glieds i$t x + {1/2}a; dann wann man x + {1/2}a durch x + {1/2}a multiplicirt, $o i$t das Product gleich dem Quadrat von x, mehr zweyen Rectangulis von x durch {1/2}a, welche al$o zu$ammen genommen xa ausmachen, mehr dem Quadrat von {1/2}a, wel- ches {1/4}aa i$t: Al$o, nachdem die Quadrat-Wurtzel aus beyden Gliedern wird ausgezogen $eyn, wird $ich die vorige Gleichung verändern in x + {1/2}a = ab + {1/4}aa; und al$o i$t x = ab + {1/4}aa - {1/2}a, wel- ches den Werth von x gibt.

[0076]

134. Endlich wann man xx - ax = bc hat, und man zu jedem Glied {1/4}aa addiret, $o bekommt man xx - ax + {1/4}aa = bc + {1/4}aa, davon das er$te Glied ein Quadrat i$t: derowegen wann man beyder- $eits die Wurtzel extrahirt, bekommt man x - {1/2}a = bc + {1/4}aa, und al$o x = bc + {1/4}aa + {1/2}a.

Ausarbeitung des Exempels \\ von §. 133. # Ausarbeitung des Exempels \\ von §. 134. x + {1/2}a. # x - {1/2}a. x + {1/2}a. # x - {1/2}a. xx + {1/2}xa. # xx - {1/2}ax. + {1/2}xa + {1/4}aa. # - {1/2}ax + {1/4}aa. xx + xa + {1/4}aa. # xx - ax + {1/4}aa. Sech$te Regel, Nach welcher man $iehet/ wie man in einer Gleichung an die Stelle unbekanter Grö$$en ihren Werth $etzet, welches man $ub$tituiren hei$$et.

135. Wann man den Werth eines Buch$tabens, den man in der Gleichung will ver$chwinden machen, kennet, $o kan man an $eine Stel- le diejenige Grö$$en, die ihm gleich $eynd, $etzen, indem man ihnen eben da$$elbe Zeichen gibt.

Z. E. Wann man die Gleichung a + z = y + b - c hat, in welcher man will z ver$chwinden machen, po$ito, da{$s} z = d + e, $o $treicht man z in der Gleichung aus, und $etzt an $eine Stelle $einen Werth d + e, und al$o wird man bekommen a + d + e = y + b - c, allwo z $ich nicht mehr findet: wann man die Gleichung b + d - x = c + z hat, in welcher man will x ver$chwinden machen, po$ito, da{$s} x = a - e, $o mu{$s} man x aus$treichen, und an $eine Stelle - a + e $e- tzen, weilen x das Zeichen- hat, und auf die$e Art wird man bekom- men b + d - a + e = c + z, allwo x $ich nicht mehr befindet.

136. Wann der Buch$taben, den man in einer Gleichung will ver$chwinden machen, durch eine andere Grö$$e multiplicirt oder divi- dirt i$t, $o mu{$s} man $einen Werth durch eben die$e Grö$$e multiplici- ren oder dividiren, und das Product oder den Quotienten mit $einen Zeichen in die Gleichung $etzen.

[0077]

Zum Exempel, wann man in der Gleichung bb + ax - cc = ad + aa - yy will x ver$chwinden machen, po$ito, da{$s} x = e + f, $o mu{$s} man, weilen x in der Gleichung mit a multiplicirt i$t, $einen Werth e + f durch eben die$en Buch$taben a multipliciren, um ax = ae + af zu bekommen; wann man nun ae + af an die Stelle ax $etzet, $o wird man bb + ae + af - cc = ad + aa - yy bekommen, allwo x $ich nicht mehr befindet.

137. Um in der Gleichung cc + yy - 2db = aa - bz den Buch- $taben z ver$chwinden zu machen, po$ito, da{$s} z = d - e + g, $o mu{$s} man den Werth von z durch b multipliciren, um bz = bd - be + bg zu bekommen; und weilen bz in der Gleichung das Zeichen- hat, $o mu{$s} man die Zeichen von bd - be + bg verändern, und in der Gleichung $etzen - bd + be - bg, al$o bekommt man cc + yy - 2db = aa - bd + be - bg, allwo z $ich nicht mehr befindet.

138. Wann man y in der Gleichung 2ab + zc = be + {ddy / a - f} will ver$chwinden machen, po$ito, da{$s} y = e - g, $o mu{$s} man e - g durch dd multipliciren, um ddy = dde - ddg zu bekommen: Allein wei- len ddy in der Gleichung durch a - f dividirt i$t, $o mu{$s} man auch dde - ddg durch a - f dividiren, und al$o wird man bekommen 2ab + zc = bc + {dde - ddg / a - f}, allwo y $ich nicht mehr befindet.

139. Um u in der Gleichung aa + dd = au + bd zu ver$chwin- den zu machen, po$ito, da{$s} u = {aa - cc + fg / b + d}, $o mu{$s} man, weilen u einem Bruch gleich i$t, den Zehler die$es Bruchs durch a multipliciren, um au = {a^3 - acc + afg / b + d} zu bekommen, und nach die$em den Bruch an die Stelle au in der Gleichung $etzen, und al$o wird man bekommen aa + dd = {a^3 - acc + afg / b + d} + bd, allwo u $ich nicht mehr befindet.

Endlich wann man den Bruch die$er Gleichung aufheben will, $o mu{$s} man nur die übrige Terminos die$er Gleichung durch den Nenner b + d multipliciren, (§. 124.), $o wird die$e Gleichung (nachdem die Termini bdd, die $ich in beyden Gliedern unter einerley Zeichen befin- [0078] den, werden ausge$trichen $eyn) verändert in aab + aad + d^3 = a^3 - acc + afg + bbd.

140. Wann der Buch$taben, den man will ver$chwinden machen, die Seite eines Quadrats oder Cubi i$t, $o mu{$s} man von $einem Werth das Quadrat oder Cubum nehmen, und die$es in die Gleichung an die Stelle des Quadrats oder Cubi des Buch$tabens, den man will ver- $chwinden machen, $etzen.

Z. E. Wann man den Buch$taben y in der Gleichung yy - 2bd = 2ax + dd will ver$chwinden machen, po$ito, da{$s} y = b + d, $o mu{$s} man den Werth von y quadriren, um yy = bb + 2bd + dd zu bekom- men, welches man an die Stelle von yy $etzt, und al$o wird man bekom- men bb + 2bd + dd - 2bd = 2ax + dd; wann man nun ferner + 2bd - 2bd, die $ich in dem er$ten Glied aufheben, und dd, das $ich in dem er$ten und zweyten Glied unter einerley Zeichen befindet, aus- $treichet, $o wird die Gleichung reducirt auf bb = 2ax; da man x al- lein bekommt, wann man beyde Glieder durch 2a dividirt, auf die$e Art hat man {bb / 2a} = x, welches al$o den Werth von x gibt.

Auf die$e Art kan man auch den Werth eines Cubi in einer Glei- chung $ub$tituiren, wann man nemlich den Werth $einer Wurtzel ken- net. Zum Exempel, es $eye abb + x^3 = bcy und x = c - d, $o bekommt man abb + c^3 - 3ccd + 3cdd - d^3 = bcy; und al$o {abb + c^3 - 3ccd + 3cdd - d^3 / bc} = y.

Weilen, wann man $ub$tituiret, man nichts anders thut, als eine gleiche Grö$$e in die Stelle einer andern in der Gleichung $etzen, $o folgt daraus, da{$s} die beyde Glieder allezeit einander gleich verbleiben.

Siebende Regel, Nach welcher man $iehet/ wie man alle unbekante Grö$$en einer Gleichung kan ver$chwinden machen.

141. Um eine Aufgab Algebraicè zu re$olviren, mu{$s} man den Anfang machen mit aufmerck$amer Betrachtung der Be$chaffenheit der Aufgab und der Bedingungen, die $ie in $ich hält; nach die$em mu{$s} man dasjenige, was man kennet, mit den er$tern und das unbekante mit den letztern Buch$taben des Alphabets bemercken; und wann man die [0079] Aufgab an$iehet, als wann $ie würcklich aufgelö$et wäre, $o mu{$s} man $o viel Gleichungen daraus ziehen, als unbekante Grö$$en $eynd, welche al$o die er$te Gleichungen genennet werden.

Nach die$em erwählt man $ich die kürtze$te die$er Gleichungen, all- wo man eine der unbekanten Grö$$en allein bringen mu{$s}, und wann man ihren Werth gefunden, $o $etzt man ihn in den andern Gleichungen an die Stelle, wo $ich die$e unbekante Grö$$e befindet.

Ferner erwählt man $ich wiederum die kürtze$te der übrigen Glei- chungen, um da eine zweyte unbekante Grö$$e allein zu bringen, deren Werth man wiederum, als wie zuvor, in den übrigen Gleichungen $ub- $tituirt; die$es wiederholt man um eine unbekante nach der andern ver- $chwinden zu machen; und auf die$e Art findet man den Werth aller unbekanten Grö$$en, welches uns al$o die Auflö$ung der Aufgab gibt.

Damit die$es deutlicher wird, $o wollen wir alle drey unbekante Buch$taben der Gleichungen x + y = z + a, y + z = x + b und x + z = y + c ver$chwinden machen. Um die$es zu verrichten, $o fange ich an den Werth von z in der er$ten Gleichung zu $inden, indem ich a auf die andere Seite bringe (§. 121.); und al$o bekomme ich x + y - a = z, welches der Werth von z i$t; nach die$em $etze ich den Werth von z an$tatt z in den übrigen Gleichungen (§. 135.), welche al$o verändert werden in y + x + y - a = x + b und x + x + y - a = y + c, oder vielmehr in 2y + x - a = x + b und 2x + y - a = y + c; weilen nun x $ich in beyden Gliedern der er$ten Gleichung mit dem Zei- chen + befindet, desgleichen auch y in der zweyten, $o $treiche ich $ie aus um 2y - a = b und 2x - a = c zu haben; wann ich nun die unbe- kante allein haben will, $o $etze ich 2y = b + a und 2x = c + a (§. 121.) und al$o y = {b + a / 2} und x = {c + a / 2} (§. 127.), allwo man den Werth von x und y hat, ohne eine zweyte Sub$titution vorzunehmen. Wann man nun in der er$ten Gleichung, wo z i$t allein auf eine Seite ge- bracht worden, an$tatt x und y ihren Werth $etzet, $o bekommt man {b + a + c + a / 2} - a = z, oder {b + 2a + c - 2a / 2} = z, und al$o {b + c / 2} = z.

Bericht an den Le$er.

Man hat $ich begnüget von die$er Regel nur ein kleines Exempel zu geben, weilen man $owohl die$e, als auch die vorhergehende zur Auf- [0080] lö$ung etlicher curio$en Aufgaben, die man mit Flei{$s} theils um den An- fängern die Buch$taben-Rechen-Kun$t recht bekant zu machen, theils um die Wichtigkeit desjenigen, was bisher ge$agt worden, vorzu$tellen, appliciren will; die$es mu{$s} man al$o vollkommen ver$tehen, um den Uberre$t die$es Wercks ohne Mühe zu begreiffen. * Weilen aber un$er Herr Auctor in der Auflö$ung der folgenden Aufgaben $ich der Zahlen bedient, $o habe ich vor gut befunden, an$tatt der Zahlen bekante Buch- $taben zu $etzen, damit al$o die Auflö$ungen de$to allgemeiner werden. Ehender als ich aber zur Auflö$ung der Aufgaben $elb$ten $chreite, $o will ich die Manier wei$en, wie der Werth der unbekanten Grö$$e, den man in der letzten Gleichung gefunden, in Zahlen zu $inden $eye.

142. ⋆ Wann die unbekante Grö$$e gantz allein in einem Glied $tehet, $o $etzet man an $tatt der bekanten Buch$taben die Zahlen, die $ie bedeuten, und macht die Operationen in Zahlen, wie $ie die letzte Glei- chung anzeigt.

Zum Exempel, es wäre a = 12, b = 4, c = 2 und wir hätten ge- funden a + b - c = x, $o hei{$s}t es, wir $ollen 12 zu 4 addiren, und von der Summe 16 die Zahl 2 $ubtrahiren; der Uberre$t 14 i$t der Werth von x.

Ferner, es wäre a = 12, b = 3, c = 9, d = 10, f = 8, und wir hätten gefunden ac + ad - 2ab + af = y, $o multipliciret 12 mit 9, 12 mit 10 und 12 mit 8; addiret die$e drey Producte 108, 120 und 96 zu$ammen um 324. zu haben; multipliciret ferner 12. mit 3. und das Product 36. wiederum mit 2; $ubtrahiret die$es Product 72. von vori- ger Summe 324. $o i$t der Uberre$t 252 der Werth von y.

Item, es wäre a = 10, b = 8, c = 7, d = 5, f = 3 und wir hät- ten {2ab - ac + ad - af / bd + df} = y, $o multipliciret 10 mit 8; nehmet davon das doppelte, zu welchem ihr addiret das Product von 10 mit 5. Ad- diret zu$ammen die Producte von 10 mit 7, und von 10 mit 3; ziehet die$e Summe 100 von der vorigen 210 ab, um 110 zu haben; Multi- plicirt ferner 8 mit 5, und 5 mit 3; addiret die$e beyde Producte 40 und 15 zu$ammen, mit welcher Summe 55 ihr den obigen Uberre$t 110 dividiret, $o i$t 2 der Werth von y.

Endlich es wäre a = 21, b = 4, c = 8 und wir hätten ab + bb - c = x, $o multiplicirt 21 mit 4, addiret zu dem Product 84 das Qua- drat 16 von 4; aus die$er Summe ziehet die Quadrat-Wurtzel 10 aus, von welcher ihr abziehet 8, $o i$t der Uberre$t 2 der Werth von x.

[0081] Anwendung der vorhergehenden Reglen zur Auflö$ung etlicher curio$en Aufgaben. Er$te Aufgab.

Drey Per$onen haben zu$ammen im Spiel gewonnen 875 Gulden; die zweyte hat zweymal $o viel und noch 10 Gulden mehr als die er$te, und die dritte hat $o viel als die er$te und die zweyte und noch 15 Gul- den mehr gewonnen; man fragt wie viel jede Per$on gewonnen.

Um die$e Aufgab aufzulö$en, $o nenne ich den Gewinn der er$ten Per$on x, 10 = b, 15 = c und 875 = a; al$o hat die zweyte gewonnen 2x + b und die dritte 3x + b + c; und weilen die Theile alle zu$am- men genommen dem gantzen gleich $eynd (§. 113.), $o kan man folgende Gleichung formiren. x + 2x + b + 3x + b + c = a. welche, wann $ie reducirt wird, uns gibt 6x + 2b + c = a. Al$o i$t 6x = a - 2b - c (§. 121.). Derowegen, wann ich beyde Glieder durch 6 dividire, $o bekomme ich x = {a - 2b - c / 6}. Nun a = 875. # 2b = 20. Subtr. 35 # c = 15 Divid. # 6 # 840 (140. # 35. 6: 24 24 0

Al$o i$t x = 140, derowegen i$t 2x + b = 290 und 9x + b + c = 445: Al$o hat die er$te 140, die zweyte 290, und die dritte 445 Gulden gewonnen; welches gantz klar i$t, indem die$e drey Summen zu$ammen genommen 875 ausmachen.

* Zweyte Aufgab.

Eine Armee be$tehet aus 100000. Mann. Die Anzahl Hu$$aren, die $ich dabey befinden, wei{$s} man nicht, man wei{$s} aber, da{$s} noch 2000 Mann Dragoner mehr $eynd als Hu$$aren, und da{$s} $o viel Cuira$$iers [0082] $eynd als Hu$$aren und Dragoner und noch 2000 mehr, und da{$s} die Anzahl der Infanterie noch einmal $o gro{$s} $eye als die Anzahl der Hu$- $aren, Dragoner und Cuira$$iers und noch 10000 mehr; Man fragt al$o, wie viel Hu$$aren, Draguner, Cuira$$iers und Fu{$s}gänger $ich bey die$er Armee befinden:

Es $eye die Anzahl der Hu$$aren x, 2000 = a, 10000. = b und 100000 = c, $o i$t die Anzahl Dragoner = x + a, die Cuira$$iers = x + x + a + a oder 2x + 2a und die Infanterie = 2x + 2x + 2a + 4x + 4a + b oder 8x + 6a + b.

Auf die$e Art bekommen wir folgende Gleichung x + x + a + 2x + 2a + 8x + 6a + b = c. (§. 113.). oder 12x + 9a + b = c. Al$o i$t 12x = c - 9a - b. Derowegen i$t x = {c - 9a - b / 12}. Nun # # c = 1⋅0⋅0000 # 9a = 18000 # Subtr. # 2 8000 # b = 10000 Divid. # 12 # _ 7 2000 (6000. # 28000. # # _ 7 2 # # 0

Al$o i$t x = 6000, x + a = 8000, 2x + 2a = 16000 und 8x + 6a + b = 70000. Derowegen $eynd 6000 Hu$$aren, 8000 Dra- goner, 16000 Cuira$$iers und 70000 Fu{$s}gänger.

* Dritte Aufgab.

Die Bombardirung einer Stadt hat vier Tag gedauret, den er- $ten hat man eine unbekante Anzahl Bomben hinein geworffen; den zweyten Tag hat man viermal $o viel und noch 25 mehr; den dritten Tag hat man noch dreymal mehr als den zweyten und noch 12 mehr; Endlich den vierten Tag hat man $o viel als die drey er$ten hinein ge- worffen. Die Anzahl der ver$cho$$enen Bomben belauft $ich auf 3624; Man fragt, wie viel Bomben jeden Tag ver$cho$$en worden?

Es $eye die Anzahl des er$ten Tags = x, 25 = a und 12 = b, $o i$t die Anzahl des zweyten Tags = 4x + a, die Anzahl des dritten = 12x + 3a + b, und die Anzahl des vierten Tags 17x + 4a + b. [0083] Al$o bekommen wir folgende Gleichung x + 4x + a + 12x + 3a + b + 17x + 4a + b = c. Oder 34x + 8a + 2b = c. Derowegen i$t 34x = c - 8a - 2b. Und x = {c - 8a - 2b / 34}. Nun # # c = 3624. # 8a = 200 # Subtr. # 224 # 2b = 24 Divid. # 34 # _ 3400 (100. # 224 # # 34 # # 0

Al$o i$t x = 100, 4x + a = 425, 12x + 3a + b = 1287 und 17x + 4a + b = 1812. Derowegen $eynd den er$ten Tag 100, den zweyten 425, den dritten 1287 und den vierten Tag 1812 geworffen worden.

Vierte Aufgab.

Vier Sappirer haben eine Anzahl Klafter Sappen gemacht, und $ie haben zu$ammen 140 Gulden gewonnen; der zweyte hat dreymal $o viel als der er$te, weniger 8. Gulden; der dritte hat die Helfte desjeni- gen, was der er$te und zweyte zu$ammen gewonnen, weniger 12 Gul- den, und der vierte hat $o viel als der er$te und dritte gewonnen. Man fragt, wie viel ein jeder gewonnen hat.

Um die$e Aufgabe aufzulö$en, $o nenne ich den Gewinn des er$ten x, 8 = b, 12 = c und 140 = a, $o i$t der Gewinn des zweyten 3x - b, der Gewinn des dritten {4x - b / 2} - c oder 2x - {1/2}b - c und der Ge- winn des vierten 3x - {1/2}b - c. Weilen nun alle die$e Theile zu$am- men genommen, dem gantzen a gleich $eynd, $o haben wir folgende Glei- chung x + 3x - b + 2x - {1/2}b - c + 3x - {1/2}b - c = a. Oder 9x - 2b - 2c = a. Al$o i$t 9x = a + 2b + 2c. Derowegen i$t x = {a + 2b + 2c. / 9}. Nun [0084] # a = 140 # 2b = 16 # 2c = 24 Div. # 9_ 180 (20. # Al$o i$t x = 20, 3x - b = 52, 2x - {1/2}b - @ # 18 # 0 = 24 und 3x - {1/2}b - c = 44. Derowegen hat der er$te gewonnen 20 Gulden, der anderte 52, der dritte 24 und der vierte 44; welches gantz klar i$t, indem, wann man die$e vier Summen zu$ammen addirt, man 140 bekommt.

* Fünfte Aufgab.

In einem Zeug-Haus befinden $ich 81000 Stuck-Kuglen, in dem er$ten Hauffen i$t eine unbekante Anzahl; in dem zweyten befinden $ich 2000 weniger als in dem er$ten, und in dem dritten befinden $ich 5000 weniger als in dem zweyten. Man fragt, wie viel in einem jeden Hauf- fen liegen.

Es $eye die Anzahl der er$ten = x, 2000 = a, 5000 = b und 81000 = c, $o i$t die Anzahl des zweyten x - a und die Anzahl des dritten x - a - b. Al$o kan folgende Gleichung formiret werden. x + x - a + x - a - b = c. Oder 3x - 2a - b = c, Al$o i$t 3x = c + 2a + b. Und x = {c + 2a + b / 3}. Nun # c = 81000 # a = 4000 # b 5000 Div. 3 _ # 90000 (30000. # Al$o i$t x = 30000, x - a = # 9 # 0 28000 und x - a - b = 23000. Derowegen liegen in dem er$ten Hauffen 30000, in dem zweyten 28000, und in dem dritten 23000 Stuck Kuglen.

[0085] Sech$te Aufgab.

Fünf Büch$en-Mei$ter haben in einem Nachmittag 96 Schu{$s} ge- than, der zweyte hat noch einmal $o viel als der er$te und 2 Schu{$s} mehr; der dritte hat $o viel als der er$te und zweyte weniger 6 Schu{$s}; der vierte hat $o viel als der zweyte und dritte und 10 Schu{$s} mehr, und der fünfte hat $o viel als der er$te und der vierte weniger 20 Schu{$s} ge- than. Man fragt, wieviel ein jeder Schu{$s} gethan.

Es $eye die Anzahl des er$ten = x, 2 = a, 6 = b, 10 = c, 20 = d und 96 = f, al$o i$t die Anzahl des zweyten = 2x + a, des dritten = 3x + a - b, des vierten 5x + 2a - b + c, und des fünften 6x + 2a - b + c - d. Weilen nun alle die$e Theile zu$ammen genom- men, dem gantzen f mü$$en gleich $eyn, $o kan man folgende Gleichung formiren. x + 2x + a + 3x + a - b + 5x + 2a - b + c + 6x + 2a - b + c - d = f. Oder. 17x + 6a - 3b + 2c - d = f. Al$o i$t 17x = f - 6a + 3b - 2c + d. Derowegen x = {f - 6a + 3b - 2c + d. / 17}. Nun # f = 96 # 6a = 12 # 3b = 18 # 2c = 20 # d = 20 # 32 # 134 Subtr. # 32 Div. # 17 _ 102 (6. # Al$o i$t x = 6, 2x + a = 14, 3x + a - b # 102 # 0 = 14, 5x + 2a - b + c = 38 und 6x + 2a - b + c - d = 24. Derowegen hat der er$te 6, der zweyte 14, der dritte wiederum 14, der vierte 38, und der fünfte 24 Schu{$s} gethan; welches gantz klar i$t, in- dem die$e Zahlen zu$ammen genommen 96 ausmachen.

Siebende Aufgab.

Ein Minirer-Hauptmann hat in drey Monaten 1000Current-Klaf- ter Minen-Gallerien machen la$$en, den zweyten Monat hat er dasdop- [0086] pelte von dem er$ten Monat gemacht, und noch 50 Klafter mehr, wei- len er eine Ver$tärckung an Minirern bekommen; den dritten Monat hat er 200 Klafter weniger gemacht als den zweyten, weilen ein Theil $einer Leute kranck worden. Man fragt, wie viel Klafter er jeden Mo- nat gemacht.

Um die$e Aufgabe aufzulö$en, $o nenne ich die Anzahl Klafter des er$ten Monats x, 50 = a, 200 = b und 1000 = c; Al$o i$t die Arbeit des zweyten Monats = 2x + a, und die Arbeit des dritten Monats = 2x + a - b. Weilen die Summe die$er Theile dem gantzen c mu{$s} gleich $eyn, $o kan man folgende Gleichung formiren. x + 2x + a + 2x + a - b = c. Oder 5x + 2a - b = c. Al$o i$t 5x = c + b - 2a. Und x = {c + b - 2a / 5}. Nun # c = 1000 # 2a = 100. # b = 200 # 1200 Subtr. # 100 Divid. # 5 _ 1100 (220. # Al$o i$t x = 220, 2x + a = 490 und # _ 10: # 10 # 10 # 0 2x + a - b = 290. Al$o i$t die Anzahl der Klafter des er$ten Mo- nats = 220, die Anzahl des zweyten Monats = 490, und die Anzahl des dritten Monats = 290; Die$es i$t gantz klar, weilen die$e drey Summen zu$ammen genommen 1000 Klafter ausmachen.

* Achte Aufgab.

Die feindliche Armee i$t vor 4 Tagen aus ihrem Lager aufgebro- chen, um $ich zu retiriren, und $ie mar$chiret des Tags 3 Stunden. Un- $ere Armee bricht heut auf von eben die$em Lager, um den Feind einzu- holen, und mar$chirt des Tags 5 Stunden. Man fragt, am wieviel- $ten Tag un$ere Armee die feindliche einholen wird.

[0087]

Es $eye 3 der Tag-Mar$ch des Feinds = a, 5 der Tag-Mar$ch der Un$erigen = b, 4 die gegebene Zeit, da die feindliche Armee vor der un$erigen aufgebrochen = c, die Zeit des Einholens = x. Al$o i$t der Mar$ch der feindlichen Armee, den $ie gethan, ehender als die un$erige aufgebrochen = ac; der Mar$ch den $ie gethan von der Zeit, da die un- $erige aufgebrochen = ax; und der Mar$ch der un$erigen bis zur Zeit des Einholens, wird $eyn = bx. Al$o bekommen wir folgende Glei- chung ac + ax = bx. Al$o i$t ac = bx - ax. Und {ac / b - a} = x. Nun ac = 12 und b - a = 2. Al$o i$t {ac / b - a} = 6. Al$o wird un$ere Ar- mee die feindliche am $ech$ten Tag einholen.

* Neunte Aufgab.

Die feindliche Armee i$t vor 4 Tagen aus ihrem Lager aufgebro- chen, um $ich zu retiriren, und $ie mar$chiret des Tags 3 Stunden; Un- $ere Armee bricht heut aus eben die$em Lager auf, um den Feind an dem $ech$ten Tag einzuholen, indem er an dem $iebenden eine merckliche Ver- $tärckung erhalten wird; Man fragt al$o, wie viel Stunden die un$eri- ge des Tags mar$chiren mu{$s}, um den Feind am $ech$ten Tag einzuholen.

Es $eye 4 die verflo$$ene Zeit, die der Feind vor uns hat = a, 6 die gegebene Zeit des Einholens = b, 3 der Tag-Mar$ch des Feinds = c, und un$er Tag-Mar$ch = x. Al$o i$t der Mar$ch des Feinds, den er ge- than, ehender als wir aufgebrochen = ac, $ein Mar$ch, den er thut von der Zeit un$ers Aufbruchs bis zur Zeit des Einholens = bc; und un$er Mar$ch wird $eyn bx. Al$o bekommen wir folgende Gleichung ac + bc = bx. # Derowegen {ac + bc / b} = x. # Oder {ac / b} + c = x. # Nun [0088] ac = 12, b = 6 und c = 3. Al$o i$t {ac / b} + c = {12 / 6} + 3 = 2 + 3 = 5. Derowegen mu{$s} un$ere Armee des Tags 5 Stunden mar$chiren.

* Zehende Aufgab.

Zwey Battaillonen mar$chiren zu gleicher Zeit aus zweyen Städ- ten, deren Di$tanz z. E. von 100 Meilen bekant i$t, um die Garni$onen mit einander zu wech$eln; die er$te mar$chiret des Tags 3 Meilen, und die anderte, weilen $ie $ehr abgemattet i$t, mar$chiret nur 2. Meilen. Man fragt, an welchem Tag $ie einander antreffen werden.

Es $eye 100 die Di$tanz der beyden Städte = a, 3 der Tag-Mar$ch der er$ten Battaillon = b, 2 der Tag-Mar$ch der zweyten Battaillon = c, und die Zeit, da $ie einander antreffen = x. So i$t der Weeg der er- $ten Battaillon bis da{$s} $ie die zweyte antreffen wird = bx, und der Weeg der zweyten = cx. Weilen nun die$e beyde Weeg zu$ammen genommen, dem gantzen Weeg a gleich $eynd, $o haben wir folgende Gleichung bx + cx = a.Al$o i$t x = {a / b + c}. Nun a = 100 und b + c = 5, al$o {a / b + c} = 20. Werden $ie al$o einander am zwantzig$ten Tag antreffen.

* Eilfte Aufgab.

Zwey Regimenter $ollen zu gleicher Zeit aus ihren Quartieren de- ren Di$tanz z. E. von 100 Meilen bekant i$t, aufbrechen, um die$elbe miteinander zu wech$eln, das er$te mar$chiret des Tags 2 Meilen, und es $oll das andere Regiment am 20$ten Tag antreffen, man fragt al$o, wie viel Meilen das anderte Regiment des Tags mar$chiren mu{$s}, um das er$te am 20$ten Tag anzutreffen.

Es $eye 100 die Di$tanz der Orte = a, 2 der Tag-Mar$ch der er- $ten = b, der Tag-Mar$ch des zweyten = x, 20 die Zeit des Antreffens = c. So i$t der Mar$ch des er$ten bis zur Zeit des Antreffens = bc und der Mar$ch des zweytens bis zu eben die$er Zeit = cx. Da aber die$e Theile dem gantzen Weeg a gleich $eyn mü$$en, $o hat man folgende Gleichung [0089] bc + cx = a. Al$o i$t cx = a - bc. Derowegen i$t x = {a - bc / c}. Oder x = {a / c} - b.

Nun a = 100, c = 20 und b = 2. Al$o i$t {a / c} - b = {100/20} - 2 = 5 - 2 = 3. Al$o mu{$s} das zweyte Regiment des Tags 3 Meilen mar$chiren.

* Zwölfte Aufgab.

Es ko$tet das Marck fein Silber 20. fl. 16. Gr. oder 416. Gr. und das Marck Kupfer 6. Gro$chen; Man fragt, wie viel man Kupfer unter das Silber mi$chen $oll, damit man das Marck vermi$chtes Sil- ber um 17. fl. oder um 340. Gr. verkauffen kan.

Es $eye 416 der Prey{$s} des Silbers = a, 6 der Prey{$s} des Kupfers = b, 340 der mittlere Prey{$s} = c, ein Marck = 1 und die Quantität des zu mi$chenden Kupfers = x; $o wird $ein Prey{$s} $eyn = bx, und die Quantität des zu mi$chenden Silbers = 1 - x, und $ein Prey{$s} = a - ax. Al$o bekommen wir folgende Gleichung bx + a - ax = c. Derowegen i$t bx + a = c + ax. Und a = c + ax - bx. Al$o a - c = ax - bx. Und {a - c / a - b} = x. Nun a - c = 76 und a - b = 410. Al$o i$t {a - c / a - b} = {76/410} = {38/205}. Derowegen mu{$s} man das Marck Kupfer in 205 Theile theilen, und davon 38 nehmen. Al$o, weilen der Nenner 205 das gantze vor- $tellet, $o i$t die Quantität des zu mi$chenden Silber s 205 - 38, das i$t 167. Mu{$s} man al$o das Marck Silber wieder in 205 Theile thei- [0090] len, und davon 167. nehmen. Wan man al$o die {38/205} Kupfer, und die {167/205} Silber untereinander vermi$cht, $o kan das Marck vermi$chtes Silber um 17 Gulden verkauft werden.

* Dreyzehende Aufgab.

Man fragt einen Corporal, wie $tarck $ein Commando $eye, wor- auf er zur Antwort gab; wann man $eine Helfte, $ein Drittel und $ein Viertel zu$ammen addirt, $o wird die Summe um eines grö$$er $eyn als die Anzahl $einer Leute, fragt $ich nun wie viel er Leut unter $einem Commando gehabt.

Es $eye die Anzahl $einer Leute x, $o bekommt man zur Gleichung {1/2}x + {1/3}x + {1/4}x = x + 1. Al$o x + {2/3}x + {2/4}x = 2x + 2. Und 3x + 2x + {6/4}x = 6x + 6. Ferner 12x + 8x + 6x = 24x + 24 (§. 125.). Oder 26x = 24x + 24. Derowegen i$t 2x = 24. Und al$o x = 12.

Al$o hat er 12 Mann unter $einem Commando gehabt; die$es i$t gantz klar, dann wann man 6 als die Helfte, 4 als das Drittel, und 3 als das Viertel zu$ammen addirt, $o i$t die Summ 13 um eines grö$$er als 12.

* Vierzehende Aufgab.

Nachdem ein De$erteur befragt worden, wie $tarck $eine Armee $eye, gab er zur Antwort, er wi$$e es nicht, er wi$$e aber, da{$s} bey dem Ort A die Helfte, bey dem Ort B der dritte Theil, und bey dem Ort C noch 5000 Mann $tehen. Man fragt al$o, wie $tarck die$e Armee $eye.

Es $eye die Grö$$e der Armee = x und 5000 = a. Al$o bekom- men wir folgende Gleichung {1/2}x + {1/3}x + a = x. x + {2/3}x + 2a = 2x. 3x + 2x + 6a = 6x. 5x + 6a = 6x. 6a = x. Nun [0091] a = 5000, al$o i$t 6a = 30000. Stehen al$o bey dem Ort A 15000 Mann, und bey dem Ort B 10000.

Fünfzehende Aufgab.

Man hat ein Detachement Grenadirer ausge$chickt, um einen Po- $ten anzugreiffen, unter welchen $ich zwey befanden, die von den Grana- ten, die $ie in ihren Ta$chen hatten, miteinander redeten; davon der er- $te zu dem anderten $agte: wann du mir eine von deinen Granaten gib$t, $o habe ich $o viel als du; der zweyte antwortete aber dem er$ten und $agte, wann du mir eine von deinen gib$t, $o habe ich noch einmal $o viel als du. Man fragt, wie viel ein jeder Granaten gehabt.

Weilen die$e Aufgab zwey unbekante Grö$$en in $ich halt, $o benen- ne ich mit y die Anzahl des er$ten, und mit z die Anzahl des zweyten; nach die$em formire ich $o viel Gleichungen als unbekante Grö$$en $eynd (§. 141.). Nun um die er$te zu $inden, $age ich wann y eine mehr hätte, und z eine weniger, $o wäre y gleich z: Al$o kan ich $etzen y + 1 = z - 1; nach die$em um die zweyte zu finden, $age ich wiedernm: wann z eine mehr hätte und y eine weniger, $o wäre z das doppelte von y; derowe- gen kan ich $etzen z + 1 = 2y - 2.

Weilen ich nun $o viel Gleichungen habe als unbekante Grö$$en $eynd, $o mache ich da{$s} z in der er$ten Gleichung allein zu$tehen komme, wann ich - 1 aus dem zweyten Glied in das er$te bringe, um y + 2 = z zu be- kommen (§. 121.): nach die$em $etze ich in der zweyten Gleichung an $tatt z $einen Werth (§. 135.); $o kommt y + 3 = 2y - 2, allwo z $ich nicht mehr befindet, wann ich nun - 2 aus dem zweyten Glied in das er$te bringe, $o kommt y + 5 = 2y, und wann ich y beyder$eits ab- ziehe, $o kommt 5 = y (§. 117.); welches mir al$o den Werth von y gibt, welchen ich in der Gleichung y + 2 = z $ub$tituire, um 7 = z zu haben; Al$o hat der er$te 5, und der andere 7 Granaten gehabt; die$es i$t gantz klar, indem die$e Zahlen mit den Bedingungen der Auf- gab völlig überein$timmen.

* Sechszehende Aufgab.

Ein Parthey-Gänger will die gemachte Beut unter $eine Leut aus- theilen; er findet aber da{$s}, wann er einem Mann 4. Gulden gibt, er 20 übrig habe; hingegen wann er einem 5 Gulden gibt, er 60 zu wenig habe. Man fragt, wie viel er Leut und Geld gehabt.

Es $eye die Anzahl der Leute = x, und die Anzahl der Gulden = y, 20 = a und 60 = b. Al$o haben wir folgende Gleichungen [0092] 4x + a = y # und # 5x - b = y. Al$o i$t 4x + a = 5x - b (§. 112.). Derowegen i$t 4x + a + b = 5x. Und a + b = x. Al$o i$t y = 4a + 4b + a = 5a + 4b. Nun a + b = 80 und 5a + 4b = 100 + 240 = 340. Al$o hat er 80 Mann und 340 Gulden Geld gehabt.

Siebenzehende Aufgab.

Drey Feuerwercker haben in einem Tag eine gewi$$e Anzahl Bom- ben in einen belagerten Ort geworffen; der er$te und der zweyte haben 20 mehr als der dritte, der zweyte und der dritte haben 32 mehr als der er$te, und der er$te und der dritte haben 28 mehr als der zweyte geworf- fen. Man fragt, wie viel ein jeder Feuer-Wercker Bomben geworf- fen hat.

Es $eye 20 = a, 32 = b, 28 = c, die Anzahl des er$ten = x, die Anzahl des zweyten = y und die Anzahl des dritten = z.

Nach die$em $age ich, wann ich von x + y, welches die Anzahl des er$ten und des zweyten ausdruckt, a als die Anzahl derjenigen Bom- ben, die $ie mehr geworffen haben, als der dritte abziehe, $o bekomme ich x + y - a = z vor die er$te Gleichung; auf eben die$e Art finde ich auch die zweyte y + z - b = x, und die dritte x + z - c = y. Wann ich nun Achtung gebe, da{$s} ich drey Gleichungen habe, deren jede drey un- bekante Grö$$en in $ich halt, $o $uche ich den Werth einer die$er unbe- kanten Grö$$en, um ihn in den übrigen Gleichungen an ihre Stelle zu $etzen (§. 141.); und weilen die er$te Gleichung x + y - a = z mir den Werth von z gibt, welcher i$t x + y - a, $o $etze ich ihn in der zwey- ten und dritten Gleichung an die Stelle von z; auf die$e Art werden $ie al$o verändert in y + x + y - a - b = x und x + x + y - a - c = y. Welche reducirt werden auf 2y = a + b und 2x = a + c, die$e, wann man $ie durch 2 dividirt, geben y = {a + b / 2} und x = {a + c / 2}. Weilen nun in die$en Gleichungen $ich keine unbekante Grö$$e mehr fin- det, $o kommen wir wiederum an die er$te Gleichung, nemlich an x + y - a = z, um an$tatt x und y ihren Werth {a + c / 2} und {a + b / 2} zu $etzen, auf die$e Art bekommen wir [0093] {a + c + a + b / 2} - a = z, oder {2a + c + b - 2a / 2} = z, welches eben $o viel i$t als {c + b / 2} = z.

Auf die$e Art hat man auch den Werth von z gefunden, welcher noch zu finden übrig ware.

Nunmehro wei{$s} ich, da{$s} x = {a + c / 2}, da{$s} y = {a + b / 2} und da{$s} z = {c + b / 2}, $o i$t al$o x = {20 + 28 / 2} = {48 / 2} = 24, y = {20 + 32 / 2} = {52 / 2} = 26 und z = {32 + 28 / 2} = {60 / 2} = 30; Derowegen hat der er$te 24, der an- dere 26, und der dritte 30 Bomben geworffen; welches gantz klar i$t, weilen die$e Zahlen mit den Bedingnü$$en der Aufgab vollkommen über- ein$timmen.

* Achtzehende Aufgab.

Die Garni$on einer Ve$tung be$tehet aus Infanterie, Cavallerie und Dragonern; die Infanterie und Cavallerie zu$ammen genommen, macht um 4960 Mann mehr aus als die Dragoner; die Infanterie und Dragoner machen um 4640 Mann mehr aus als die Cavallerie, und die Cavallerie und Dragoner machen um 4000. Mann weniger aus als die Infanterie. Man fragt, wie $tarck die Infanterie, die Cavallerie und die Dragoner $eyen.

Es $eye die Infanterie = x, die Cavallerie = y und die Dragoner = z, 4960 = a, 4640 = b und 4000 = c. So bekommen wir folgen- de drey Gleichungen.

x + y - a = z, x + z - b = y und y + z + c = x.

Wann man nun den Werth von z in den zwey übrigen Gleichun- gen $ub$tituirt, $o bekommt man x + x + y - a - b = y und y + x + y - a + c = x. Oder 2x - a - b = 0 und 2y - a + c = 0. Al$o i$t [0094] 2x = a + b und 2y = a - c. Und al$o x = {a + b / 2} und y = {a - c / 2}.

Derowegen i$t z = {a + b + a - c / 2} - a = {2a + b - c - 2a / 2} = {b - c / 2}. Nun {a + b / 2} i$t {4960 + 4640 / 2} = {9600 / 2} = 4800, {a - c / 2} i$t {4960 - 4000 / 2} = {960 / 2} = 480 und {b - c / 2} {4640 - 4000 / 2} = {640 / 2} = 320. Al$o i$t die Infanterie 4800, die Cavallerie 480, und die Dragoner 320.

Neunzehende Aufgab.

Man hat einen Platz belagert, de$$en Garni$on aus Frantzö$i$chen, Bayri$chen, Pfältzi$chen und He$$i$chen Truppen be$tunde. Nachdem der Platz eingenommen war, hat man befunden, da{$s} $o viel Frantzo$en, Bayern und Pfältzer umgekommen als He$$en, weniger 620; da{$s} $o viel Frantzo$en, Bayern und He$$en tod geblieben als Pfältzer weniger 460 Mann; da{$s} $o viel Frantzo$en, Pfältzer und He$$en umgekommen als Bayern weni- ger 380; endlich da{$s} $o viel Bayern, Pfältzer und He$$en geblieben als Frantzo$en weniger 500. Man fragt, wie viel Frantzo$en, Bayern, Pfältzer und He$$en geblieben.

Wann wir die Anzahl der Frantzo$en u, die Anzahl der Bayern x, die Anzahl der Pfältzer y, und die Anzahl der He$$en z nennen, $o wol- len wir ferner $upponiren, als wäre 620 = a, 460 = b, 380 = c und 500 = d.

Nach die$em weilen die$e Aufgab vier Gleichungen gibt, $chreibe ich u + x + y = z + a vor die er$te, u + x + z = y + b vor die zwey- te, u + y + z = x + c vor die dritte, und endlich x + y + z = u + d vor die vierte. Nunmehro bringe ich in der er$ten Gleichung eine un- bekante Grö$$e, z. E. z allein auf eine Seite, um u + x + y - a = z zu bekommen, welches mir den Werth von z gibt, den ich in den drey übrigen Gleichungen $ub$tituire, welche al$o in folgende verändert wer- den, u + x + u + x + y - a = y + b, u + y + u + x + y - a = x + c, x + y + u + x + y - a = u + d, oder vielmehr in folgende, wann ich $ie auf weniger Terminos reducire, und 2u, 2x, und 2y, allein auf eine Seite bringe, 2u = b + a - 2x, 2y = c + a - 2u und 2x = d + a [0095] - 2y; wann ich nun den Werth von 2u in der Gleichung 2y = c + a - 2u $etze, $o kommt 2y = c + a - b - a + 2x, allwo u $ich nicht mehr befindet (§. 141.), und wann ich an die Stelle 2y in der Gleichung 2x = d + a - 2y $ein Werth $etze, $o kommt 2x = d + a - c - a + b + a - 2x, oder 4x = a + b - c + d, und al$o x = {a + b - c + d / 4}, allwo $ich keine unbekante Grö$$e mehr befindet: wann ich nunmehro an die Stelle von 2x in der Gleichung 2u = a + b - 2x $etze die Helf- te des Werth von 4x nemlich {a + b - c + d / 2}, $o kommt 2u = a + b - {a - b + c - d, / 2} oder 2u = {2a + 2b - a - b + c - d / 2} und al$o 2u = {a + b + c - d / 2}: derowegen i$t u = {a + b + c - d / 4}, welches al$o den Werth von u gibt; wann ich ferner an die Stelle von 2u in der Glei- chung 2y = a + c - 2u $einen Werth {a + b + c - d / 2} $etze, $o kommt 2y = a + c - {a - b - c + d / 2}, oder 2y = {2a + 2c - a - b - c + d / 2} und al$o 2y = {a + c - b + d / 2}, derowegen i$t y = {a + c - b + d / 4}, welches den Werth von y gibt: endlich wann man in der Gleichung u + x + y - a = z die Werth von u, x, und y $etzet, $o bekommt man folgende Glei- chung {a + b + c - d + a + b - c + d + a + c - b + d / 4} - a = z, oder {a + b + c - d + a + b - c + d + a + c - b + d - 4a / 4} = z. Und al$o {b + c + d - a / 4} = z.

[0096]

Nun weilen man gefunden, das u = {a + b + c - d / 4}, x = {a + b - c + d / 4}, y = {a + c - b + d / 4} und z = {b + c + d - a / 4}, $o folgt daraus, da{$s} die Auf- gabe aufgelö$et $eye; dann wann man 1460 - 500 durch 4 dividirt, welches {a + b + c - d / 4} gleich i$t, findet man 240 vor den Werth von u; wann ich auch al$o vor die andere operire, $o finde ich 300 vor x, 260 vor y, und 180 vor z. Al$o $eynd 240 Frantzo$en, 300 Bayern, 260 Pfältzer, und 180 He$$en geblieben, welches gantz klar i$t, indem die$e Zahlen mit den Um$tänden der Aufgab übereinkommen.

* Zwantzig$te Aufgab.

Vier Büch$en-Mei$ter haben in einem Tag eine gewi$$e Anzahl Bomben gelagert; der er$te, der zweyte, und der dritte haben 48 mehr, als der vierte gelagert; der er$te, der zweyte, und der vierte haben 60 mehr, als der dritte; der er$te, der dritte, und der vierte haben 72 mehr, als der zweyte; und der zweyte, der dritte, und der vierte haben 84 mehr, als der er$te gelagert. Man fragt, wie viel ein jeder Bomben gelagert.

Es $eye des er$ten Anzahl = u, des zweyten = x, des dritten = y, des vierten = z, 48 = a, 60 = b, 72 = c, und 84 = d. Auf die$e Art bekommen wir folgende Gleichungen.

u + x + y - a = z, u + x + z - b = y, u + y + z - c = x, und x + y + z - d = u. Nunmehro $etze ich den Werth von z in den übrigen Gleichungen, $o bekomme ich

u + x + u + x + y - a - b = y, u + y + u + x + y - a - c = x, und x + y + u + x + y - a - d = u. Oder

2u + 2x + y - a - b = y, 2u + 2y + x - a - c = x und 2x + 2y + u - a - d = u. Die$e werden reducirt auf

2u + a + b - 2x, 2y = a + c - 2u und 2x = a + d - 2y.

Ietzund $ub$tituire ich in der zweyten Gleichung den Werth von 2u, $o bekomme ich 2y = a + c - a - b + 2x, oder 2y = c - b + 2x.

[0097]

In der letzten Gleichung 2x = a + d - 2y, $ub$tituire ich an$tatt 2y $einen Werth c - b + 2x, al$o bekomme ich 2x = a + d - c + b - 2x. Oder 4x = a + d - c + b. Und al$o i$t x = {a + d - c + b / 4},

Weilen 2y = c - b + 2x, $o i$t y = {c - b / 2} + x. Da ich an die Stelle x $einen Werth $etze: al$o kommt y = {c - b / 2} + {a + d - c + b / 4}. Oder y = {2c - 2b + a + d - c + b. / 4}. Welches reducirt wird auf y = {c - b + a + d / 4}.

Weilen 2u = a + b - 2x, $o i$t u = {a + b / 2} - x da ich an die Stelle x $einen Werth $etze, al$o kommt u = {a + b / 2} - {a - d + c - b / 4}, oder u = {2a + 2b - a - d + e - b / 4} welches reducirt wird auf u = {a + b - d + c / 4}.

Weilen ferner z = u + x + y - a, $o bekommt man, wann man den Werth von u, x, und y $ub$tituirt z = {a + b - d + c + a + d - c + b + c - b + a + d / 4} - a. Oder z = {a + b - d + c + a + d - c + b + c - b + a + d - 4a / 4} welches [0098] reduciret wird auf z = {b + c + d - a / 4}. Derowegen i$t u = {48 + 60 + 72 - 84 / 4} = {96 / 4} = 24. x = {48 + 60 + 84 - 72 / 4} = {120 / 4} = 30. y = {48 + 72 + 84 - 60 / 4} = {144 / 4} = 36. Und z = {60 + 72 + 84 - 48 / 4} = {168 / 4} = 42. Al$o hat der er$te 24, der anderte 30, der dritte 36, und der vierte 42 Bomben gelagert.

[0099] Zweytes Buch Von den Verhältni$$en, Proportionen und Brüchen. Erklärungen.

143. _QUantitates homogeneæ_ $eynd diejenige, welche von einerley Art $eynd; als wie zwey Zahlen, zwey Linien, zwey Flächen, zwey Cörper.

144. _Quantitates heterogeneæ_ $eynd diejenige, welche von unter$chie- dener Art $eynd; als wie eine Zahl, eine Linie, eine Fläche, ein Cörper.

145. Eine Verhältni{$s} (Ratio, Rai$on) i$t eine Vergleichung zweyer Grö$$en von einerley Art.

146. Die$e Vergleichung kan auf zweyerley Art ange$tellet wer- den, _Arithmeticè_ nemlich und _Geometricè_.

147. Eine _Arithmeti_$che Verhältni{$s} i$t, wann man betrachtet, um wie viel die grö$$ere Grö$$e grö$$er i$t als die kleinere, welches al$o die _Differenz_ genennet wird. Zum Exempel, wann ich frage, um wie viel 15 grö$$er i$t als 5, oder um wie viel a grö$$er i$t als b; weilen man die$es ander$t nicht kennen kan, als durch die Subtraction, $o $etzt man 15 - 5, oder a - b: dann man kan die angezeigte Subtraction vor die Subtraction $elb$ten, oder vor die Differenz der Grö$$en, an- nehmen.

148. * Eine _Geometri_$che Verhältni{$s} i$t, da man fragt, wie vielmal die er$te Grö$$e die andere, oder wie viel Theile der andern $ie in $ich enthalt. Z. E. wann ich frage, wie vielmal 12 die Grö$$e 4 in $ich begreift, oder wie viel Theile der Grö$$e 12 die Grö$$e 4 in $ich halt; weilen man die$es ander$t nicht erfahren kan, als durch die Divi$ion, $o $etzt man {12/4}, wann nemlich die Grö$$e 12 die Grö$$e 4 in $ich begreift, [0100] hingegen $etzt man {4/12} wann die Grö$$e 4 nur Theile der Grö$$e 12 in $ich begreift, dann man kan die angezeigte Divi$ion vor die Divi$ion $elb$t, oder vor den Quotienten, welcher aus die$er Divi$ion ent$tehet, an- nehmen. Al$o i$t die er$te Grö$$e der Dividendus, und die andere i$t der Divi$or. (§. 39.).

149. * Der Quotient, welcher ent$tehet, wann man die er$te Grö$$e einer Geometri$chen Verhältni{$s} durch die zweyte dividiret, und al$o anzeigt, wie vielmal die er$te die andere, oder wie viel Theile der andere $ie in $ich begreift, wird der _Exponent_ der Geometri$chen Ver- hältni{$s} genennet.

150. * Das Maa{$s} einer Grö$$e i$t eine andere Grö$$e, durch welche die er$tere ohne Uberre$t kan dividirt werden, auf die$e Art i$t 4 das Maa{$s} von 12. Das gemeine Maa{$s} zweyer Grö$$en i$t eine Grö$$e, durch welche beyde Grö$$en können ohne Uberre$t dividirt wer- den; Al$o i$t 4 ein gemeines Maa{$s} von 12 und von 20.

151. Man $agt, da{$s} Quantitates _commen$urabiles_ $eyen, wann $ie $ich gegeneinander verhalten, als wie eine Zahl gegen eine andere Zahl, indem $ie zum wenig$ten die Einheit zum gemeinen Maa{$s} haben. Zum Exempel, eine Linie von 4 Schuh i$t commen$urabel mit einer Linie von 10 Schuh, weilen die$e beyde Linien $ich gegen einander verhalten, als wie die Zahl 4 zur Zahl 10.

152. Die Grö$$en, welche $ich nicht gegeneinander verhalten, als wie eine Zahl gegen eine andere Zahl, oder welche kein gemeines Maa{$s}, es $eye auch $o klein als es wolle, haben können, werden _incommen$urabi-_ _les_ genennet. Z. E. wann man ein Quadrat von 16 Schuh, und ein anders von 32 Schuh hat, $o i$t die Wurtzel des er$ten incommen$ura- bilis mit der Wurtzel des zweyten; dann weilen 32 keine vollkommene Quadrat-Zahl i$t, $o bleibt allezeit, man mag auch $o nahe an die wahr- haftige Wurtzel kommen als man will, etwas übrig, es mag auch noch $o klein $eyn; weilen man al$o die wahrhaftige Wurtzel von 32 nicht gantz genau finden kan, $o i$t $ie mit der Wurtzel von 16 incommen$u- rabilis, weilen man die Verhältni{$s} die$er zwey Wurtzeln nicht angeben kan.

153. Weilen eine Verhältni{$s} allezeit aus zweyen Terminis be$te- het, $o wird der er$te der _Antecedent_, und der zweyte der _Con$equent_ ge- nennet: Al$o wann ich 12 mit 4 oder a mit b vergleiche, $o i$t 12 der Antecedent und 4 der Con$equent, desgleichen i$t a der Antecedent und b der Con$equent.

[0101]

154. * Man $agt, da{$s} eine _Arithmeti_$che Verhältni{$s} einer an- dern gleich i$t, wann der Antecedent der er$ten um $o vielmal grö$$er oder kleiner i$t als der Con$equent, als auch der Antecedent der zwey- ten grö$$er oder kleiner i$t als $ein Con$equent. Z. E. 5, 7, und 6, 8, desgleichen auch 9, 6 und 5 zu 2 $eynd gleiche Arithmti$che Verhält- ni$$e.

Zu$atz.

155. * Hieraus folget al$o, da{$s} gleiche Arithmeti$che Verhält- ni$$e gleiche Differenzien haben (§. 147.).

156. * Zwey Geometri$che Verhältni$$e $eynd einander gleich, wann der Antecedent der er$ten Verhältni{$s} $einen Con$equen- ten $o vielmal, oder $o viel Theile $einen Con$equenten in $ich enthält, als der Antecedent der zweyten $einen Con$equenten, oder Theile de$- $elben in fich begreift. Z. E. 6, 3, und 8, 4, desgleichen 2, 4, und 5, 10 $eynd gleiche Geometri$che Verhältni$$e.

Zu$atz.

157. * Al$o haben zwey gleiche Geometri$che Verhältni$$e einer- ley Exponenten (§. 149.).

158. * Weilen eine Geometri$che Verhältni{$s} durch eine ange- zeigte Divi$ion kan vorge$tellet werden (§. 148.), $o können al$o zwey gleiche Geometri$che Verhältni$$e vorge$tellet werden durch zwey ange- zeigte Divi$ionen, zwi$chen welche man das Zeichen der Gleichheit $etzet. Z. E. wann 12, 4 als wie 15, 5, $o können die$e zwey gleiche Verhält- ni$$e vorge$tellet werden durch {12 / 4} = {15 / 5}, desgleichen wann a, b als wie c, d, $o können $ie vorge$tellet werden durch {a / b} = {c / d}, die$es wei$et uns al$o, da{$s} die vier Grö$$en a, b, c und d zwey gleiche Geometri$che Ver- hältni$$e ausmachen.

159. Weilen {12 / 4} oder {a / b}, $o wohl Geometri$che Verhältni$$e, als auch angezeigte Divi$ionen vor$tellen, $o mu{$s} man mercken, da{$s} wann man von Verhältni$$en redet, der Terminus der oberhalb der Linie $te- het, _Antecedent_, und derjenige der unterhalb $tehet, _Con$equent_ genennet [0102] werde; wann man aber von einer Divi$ion redet, $o hei$$et der obere _Dividendus_, und der untere _Divi$or_.

160. Eine _Ratio æqualitatis_ i$t, wo der Antecedent dem Con$e- quenten gleich i$t; eine _Ratio inæqualitatis_ hingegen i$t, wo der eine grö$- $er i$t als der andere, welches auf zweyerley Art ge$chehen kan. Die er$te i$t, wann der Antecedent grö$$er i$t als der Con$equent, und in die$em Fall hei$$et $ie eine _Ratio majoris inæqualitatis;_ die zweyte Art i$t, wann der Antecedent kleiner i$t als der Con$equent, und da hei$$et $ie eine _Ratio minoris inæqualitatis_.

161. Wann vier Grö$$en al$o $tehen, da{$s} die er$te um $o vielmal grö$$er oder kleiner $eye als die zweyte, als auch die dritte grö$$er oder kleiner i$t als die vierte, $o machen die$e vier Termini eine _Arithmeti_$che _Proportion_ aus; * oder kürtzer: Eine Arithmeti$che Proportion be$te- het aus zweyen gleichen Arithmeti$chen Verhältni$$en. Al$o 2, 4, 5, 7, oder auch 7, 5, 4, 2 machen eine Arithmeti$che Proportion aus.

162. Wann mehr als vier Grö$$en in einer Arithmeti$chen Pro- portion $tehen, das i$t, wann jede Grö$$e um eine gegebene Grö$$e grö$- $er oder kleiner i$t als die folgende, $o machen die$e Grö$$en zu$ammen eine _Arithmeti_$che _Proportio_n aus, als wie die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 rc. oder 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

163. Wann vier Grö$$en al$o be$chaffen $eynd, da{$s} die er$te die andere $o dielmal, oder $o viele Theile der anderen in $ich halt, als die dritte, die vierte oder Theile der$elben in $ich begreift, $o machen die$e Grö$$en eine Geometri$che _Proportion_ aus: Al$o 15. 5 : : 12. 4. $te- hen in einer Geometri$chen Proportion, weilen 15 $ich verhalt zu 5, als wie 12 zu 4, das i$t, weilen 15 die Grö$$e 5 $o vielmal in $ich enthalt, als 12 die Grö$$e 4 in $ich begreift.

Allein, wann man $ich an$tatt der Zahlen der Buch$taben bedient, um eine Geometri$che Proportion auszudrucken, $o $iehet man, da{$s} wann man die Verhältni{$s} des er$ten zum andern, oder ihren Exponen- ten mit m, oder mit einem jeden andern Buch$taben benennet, man auch mu{$s} die Verhältni{$s} des dritten zum vierten, oder ihren Exponenten mit eben die$em Buch$taben m benennen: Al$o wann man $upponiret, da{$s} a zu b $ich Verhält als wie c zu d, und man die Verhältni{$s} der Antece- denten zu den Con$equenten mit m benennet, bekommt man {a / b} = m und {c / d} = m; und weilen die$e zwey Verhältni$$e einander gleich $eynd, $o kan man, wann man will, $etzen {a / b} = {c / d}.

[0103]

164. Um die Geometri$che Proportion von der Arithmeti$chen zu unter$cheiden, wann $ie nemlich durch Buch$taben ausgedruckt $eynd, $o $etzt man vier Puncten zwi$chen den zweyten und dritten Terminum ei- ner Geometri$chen Proportion, welche durch als wie ausge$prochen werden, und hingegen nur zwey wann es eine Arithmeti$che Proportion i$t; die$e bedeuten ebenfalls auch als wie: Al$o a. b : : c. d zeigt an, da{$s} a $ich verhalt zu b als wie c zu d; das i$t, da{$s} die Grö$$en a. b. c. d. in einer Geometri$chen Proportion $tehen; und wann man $iehet a. b : c. d. $o will die$es $agen, da{$s} a. b. c. d. in einer Arithmeti$chen Propor- tion $tehen.

165. Wann mehr als vier Grö$$en in einer Geometri$chen Pro- portion $tehen, $o machen $ie eine Geometri$che _Progre$$ion_ aus, als wie 2, 4, 8, 16, 32 rc.

166. So wohl die Arithmeti$che, als auch Geometri$che Propor- tion i$t entweder _di$creta_ oder _continua_: eine _Proportio Arithmetica conti-_ _nua_ i$t, die nur aus dreyen Terminis be$tehet, allwo der er$te um $o viel grö$$er oder kleiner i$t als der zweyte, als auch eben die$er zweyte grö$- $er oder kleiner i$t als der dritte, Z. E 2. 4. 6. oder 6. 4. 2. Eine _Proportio Grometrica continua_ i$t, da $ich der er$te zu dem zweyten ver- halt als wie eben die$er zweyte zum dritten; als wie 4. 6. 9. oder 9. 6. 4. Was die _Proportionem di$cretam_ anlangt, $o i$t $ie nichts anders, als eine Arithmeti$che oder Geometri$che Proportion, die aus vier Termi- nis be$tehet, desgleichen diejenige $eynd, welche man oben ge$ehen.

167. Eine _Proportio Arithmetica continua_ wird al$o bemercket ÷ 2. 4. 6. oder ÷ a. b. c. und die Geometri$che auf folgende Art ∺ 4. 6. 9. oder ∺ a. b. c oder auch zu Zeiten a. b : : b. c, weilen der Con$equent der er$ten Verhältni{$s} zugleich auch vor den Antecedenten der zweyten die- nen kan.

168. Die Grö$$en, welche eine Proportion ausmachen, werden _Proportional-_Grö$$en genennet: al$o a. b : : c. d halt vier Proportio- nal-Grö$$en a. b. c. und d in $ich, und die Proportio continua ∺ a. b. c. halt nur drey in $ich, deren diejenige, die in der Mitten $tehet, die mitt- lere _Proportional-_Grö$$e hei$$et, welche auch entweder Arithmeti$ch, oder Geometri$ch, nach dem die Proportion entweder Arithmeti$ch oder Geo- metri$ch i$t; und $o wohl in der einen als andern Proportion hei$$en der er$te und der letzte die äu$$ere, und die zwey in der Mitten die mittlere _Proportional-_Grö$$en.

[0104] Bericht an den Le$er.

Ich finde vor nöthig, den Anfängern in der Mathe$i zu berichten, da{$s} es von der äu$$er$ten Wichtigkeit $eye, $ich zu beflei$$en, die Sätze die$es zweyten Buchs, und in$onderheit den er$ten gut zu ver$tehen, in- dem durch die$en fa$t allein alle Sätze, wo man don Verhältni$$en und Proportionen redet, erwie$en werden.

I. Lehr-Satz.

169. Wann vier Grö$$en in einer Geometri$chen _Proportion_ $tehen, $o i$t das _Product_ der äu$$ern gleich dem _Product_ der mittles ten, das i$t, da{$s}, wann a. b : : c. d man bekommt ad = bc.

Beweis.

Weilen in der Proportion a. b : : c. d. die Verhältni{$s} von a zu b einerley i$t mit der Verhältni{$s} von c zu d, $o bekommt man {a / b} = {c / d} (§. 158.); wann man nun den Bruch des er$ten Glieds ver$chwinden macht, $o bekommt man a = {bc / d} (§. 124.): ingleichem wann man auch den Bruch des zweyten Gliedes ver$chwinden macht, $o kommt ad = bc; welches al$o bewei{$s}t, da{$s} das Product der äu$$ern a und d gleich i$t dem Product der mittlern b und c. W. z. E.

Ob$chon die$er Beweis $ehr natürlich i$t, $o will ich doch noch einen andern hieher $etzen, welcher vielleicht weniger ab$tract vorkommen wird.

170. Es $eye a. b : : c. d, $o wollen wir $upponiren, es wäre {a / b} = m, al$o wäre auch {c / d} = m (§. 163.); wann man nun die Brü- che ver$chwinden macht, $o kommt a = bm und c = dm (§. 124.); nunmehro wann man an$tatt der Antecedenten a, und c ihren Werth bm und dm $etzet, $o bekommt man bm. b : : dm. d, allwo nun das Pro- duct der äu$$ern gleich i$t dem Product der mittleren, weilen beydes gibt bdm = bdm, welches einerley i$t mit ad = bc.

[0105] Er$ter Zu$atz.

171. Aus die$em Satz folget, da{$s} in einer Proportione Geome- tricâ continuâ das Product der äu$$ern gleich $eye dem Quadrat der mitt- leren Grö$$e; dann wann man hat ∺ a. b. c. oder a. b : : b. c. $o komt ac = bb.

Zweyter Zu$atz.

172. Ferner folgt daraus, da{$s}, wann man drey Terminos a. b. c. einer Proportion kennet, man allezeit den vierten finden könne; dann wann man die$en vierten mit x benennet, $o bekommt man a. b : : c. x; derowegen i$t bc = ax und al$o {bc / a} = x (§. 119.), woraus man al$o $iehet, da{$s} um die$en vierten Terminum zu $inden, man den zweyten mit dem dritten multipliciren, und das Product durch den er$ten dividiren mu{$s}.

Dritter Zu$atz.

173. Uber die$es folget noch daraus, da{$s} man allezeit das Pro- duct des zweyten und dritten Termini dividirt durch den er$ten kan vor den vierten Terminum der Proportion annehmen; dann weilen x = {bc / a}, $o kan man durch Hülf der dreyen Terminorum a, b und c, $etzen a. b : : c. {bc / a}; hieraus $iehet man al$o, da{$s} die Regel de Tri auf vorhergehen- dem Lehr-Satz gegründet $eye, weilen man in der Operation die$er Re- gel nichts anders thut, als zu dreyen gegebenen Terminis einen vierten Proportional-Terminum $uchen.

174. Desgleichen in einer Proportione continuâ, wann man die zwey er$ten Terminos a und b kennet, kan man den dritten x finden, wann man den mittlern b quadriret, und die$es Quadrat bb durch den er$ten a dividiret, dann wann ∺ a. b. x, $o i$t bb = ax, und al$o {bb / a} = x.

175. Allein wann man den er$ten a, und den dritten c kennet, und man den mittlern, den wir mit x benennen wollen, finden will, $o mu{$s} [0106] man den er$ten Terminum durch den dritten multipliciren, und aus die- $em Product die Quadrat-Wurtzel ausziehen, welche die mittlere Pro- portional-Grö$$e, die man ge$ucht, $eyn wird; dann wann ∺ a. x. c $o i$t ac = xx und al$o ac = x.

II. Lehr-Satz.

176. Wann vier Grö$$en al$o be$chaffen $eynd, da{$s} das _Product_ der äu$$ern gleich $eye dem _Product_ der mittlern, $o $tehen die$e vier Grö$$en in einer Geometri$chen _Proportion_.

Beweis.

Wann die vier Grö$$en a, b, c, und d uns geben ad = bc, $o $age ich, da{$s} a. b : : c. d, oder auch {a / b} = {c / d} (§. 158.); um die$es zu erwei- $en, $o mu{$s} man nur die beyde gleiche Product ad und bc durch die drit- te Grö$$e bd dividiren, $o wird man die zwey neue Quotienten {a / b} und {c / d} bekommen, dann {ad / bd} i$t gleich {a / b} indem ich d $o wohl im Dividendo als im Divi$ore aus$treiche. Aus eben die$er Ur$ach i$t auch {bc / bd} gleich {c / d} indem ich auch b $o wohl oben als unten aus$treiche.

Weilen man nun zwey gleiche Grö$$en ad und bc durch eine dritte Grö$$e bd dividirt hat, $o mü$$en auch die Quotienten einander gleich $eyn (§. 119.); derowegen i$t {a / b} = {c / d}, welches al$o gibt a. b : : c. d. (§. 158.). W. zu E.

177. Es i$t zu mercken, da{$s} nach die$em Lehr-Satz man allezeit erwei$en kan, da{$s} vier Grö$$en in einer Proportion $tehen, $o bald als man erwei$et, da{$s} das Product der äu$$ern gleich $eye dem Product der mittlern; derowegen mu{$s} man die$es Principium wohl innen haben, weilen es der Grund aller Bewei$e, die wir durch die Algebram machen werden, $eyn wird.

[0107] Er$ter Zu$atz.

178. Aus die$em Satz folget al$o, da{$s} man allezeit eine Glei- chung an$ehen kan, als wann das eine Glied ent$tanden wäre aus dem Product der äu$$ern, und das andere aus dem Product der mittlern Ter- minorum einer Proportion, und da{$s} man $o gar mit den Wurtzeln der Producte, woraus jedes Glied der Gleichung be$tehet, eine Proportion formiren kan, wie man die$es noch anderwärtig $ehen wird.

Zweyter Zu$atz.

179. Ferner folgt noch aus vorhergehendem Lehr-Satz, da{$s} wann vier Grö$$en in einer Geometri$chen Proportion $tehen, $ie es auch in den vier folgenden Veränderungen bleiben; nemlich _inverten-_ _do_, _alternando_, _componendo_ und _dividendo_.

180. Um eine Proportion zu _inverti_ren, $o macht man aus den Con$equenten die Antecedenten, und aus den Antecedenten die Con$e- quenten, das i$t, wann a. b : : c. d. $o i$t b. a : : d. c; welches gantz klar i$t, indem man kurtz vorhero ge$ehen hat, da{$s} vier Termini einer Proportion allezeit eine Gleichung ausmachen können; und weilen die Proportio inver$a $o wohl, als die directa uns gibt bc = ad, $o folgt al$o, da{$s} die Inver$ion der Terminorum nicht verhindert, da{$s} $ie nicht in Proportion $tehen.

181. Um eine Proportion zu _alterni_ren, $o vergleicht man die An- tecedenten mit den Antecedenten, und die Con$equenten mit den Con- $equenten, das i$t, wann a. b : : c. d. $o kan man $agen, da{$s} a. c : : b. d; welches wiederum gantz klar i$t, indem beydes gibt ad = bc.

182. Wann man eine Proportion _componi_ren will, $o macht man aus der Summe des Antecedenten und des Con$equenten den Antece- denten, um $ie entweder mit den vorigen Antecedenten, oder mit den Con$equenten zu vergleichen, das i$t, wann a. b : : c, d, $o kan man $a- gen, a + b. a : : c + d. c. und a + b. b : : c + d. d; die$es wird gantz klar $eyn, wann man wei$en wird, da{$s} in beyden die Producte der äu$$ern gleich $eynd den Producten der innern, nemlich da{$s} ac + bc = ac + ad, und da{$s} ad + bd = bc + bd. Um die$es zu bewei$en, $o gebt acht, da{$s} weilen a. b : : c. d, auch ad = bc; wann man nun in beyden vorherge- henden Gleichungen an$tatt ad $etzet bc, $o kommt ac + bc = ac + bc, und bc + bd = bc + bd.

183. Wann man eine Proportion _dividi_ren will, $o macht man aus der Differenz des Antecedenten und Con$equenten die Anteceden- [0108] ten, um $ie entweder mit den vorigen Antecedenten, oder mit den Con- $equenten zu vergleichen; Al$o wann a. b : : c. d, $o kan man auch $agen, da{$s} a - b. a : : c - d. c, und da{$s} a - b. b : : c - d. d; welches man wie derum probirt, indem man erwei{$s}t, da{$s} die Producte der äu$$ern gleich $eynd den Producten der mittlern, das i$t, da{$s} ac - bc = ac - ad, und da{$s} ad - bd = bc - bd. Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} weilen a. b : : c. d. man bekommt ad = bc, wann man nun in beyden Gleichungen an$tatt ad $etzet bc, $o bekommt man ac - bc = ac - bc und bc - bd = bc - bd.

* Dritter Lehr-Satz.

184. Wann in einer _Arithmeti_$chen Verhältni{$s} der er$te _Ter-_ _minus_ kleiner i$t als der zweyte, $o i$t der zweyte gleich der Sum- me des er$ten und der _Differenz_.

Es $eye die Verhältni{$s} b, a, davon die Differenz d, $o $age ich, da{$s} a = b + d.

Beweis.

Die Differenz ent$tehet, wann man die kleinere von der grö$$ern abziehet (§. 37), al$o haben wir a - b = d, derowegen i$t a = b + d (§. 116.) W. z. E.

* Vierter Lehr-Satz.

185. Wann in einer _Arithmeti_$chen Verhältni{$s} der er$te _Ter-_ _minus_ grö$$er i$t als der zweyte, $o i$t der zweyte gleich der _Diffe-_ _renz_, welche ent$tehet, wann man die _Differ_enz der Verhältni{$s} von dem er$ten _Termino_ abziehet.

Es $eye die Verhältni{$s} æ, b, und die Differenz d, $o $age ich, da{$s} a - d = b.

Beweis.

a - b = d (§. 37.). Al$o i$t a = b + d (§. 116.), und al$o a - d = b (§. 117.). W. z. E.

Fünfter Lehr-Satz.

186. Wann vier Grö$$en in einer _Arithmeti_$chen _Proportion_ $tehen, $o i$t die Summe der äu$$ern gleich der Summe der mitt- lern, das i$t, wann a. b : c. d. $o i$t a + d = b + c.

* Es $eye die Differenz der Proportion = e.

[0109]

I. Ca$us, wann die Antecedenten kleiner $eynd als die Con$equen- ten, $o $etzet in obiger Proportion an$tatt b die Grö$$e a + e und an$tatt d die Grö$$e c + e (§. 184.).

Beweis.

Auf die$e Art haben wir a. a + e : c. c + e, allwo nun die Summe der äu$$ern gleich wird der Summe der mittlern, dann a + c + e = a + e + c. W. z. E.

II. Ca$us, wann die Antecedenten grö$$er $eynd als die Con$equen. ten, $o $etzt in obiger Proportion an$tatt b die Grö$$e a - e, und an die Stelle d die Grö$$e c - e (§. 185.).

Beweis.

Al$o werden wir haben a. a - e : : c, c - e; allwo nun die Sum- me der äu$$ern der Summ der mittlern gleich i$t, dann a + c - e = a - e + c. W. z. E.

Zu$atz.

187. Aus die$em Lehr-Satz folget, da{$s} in einer Proportione Arithmeticâ continuâ die Summe der äu$$ern Terminorum gleich $eye dem doppelten des mittlern; * dann weilen ÷ a. b. c. $o viel i$t, als a. b : b. c, $o i$t a + c = b + b, oder a + c = 2b. Al$o um eine mittlere Arithmeti$che Proportional-Zahl zwi$chen den zweyen Zahlen 4 und 10 zu finden, $o mu{$s} man die$e Zahlen zu$ammen addiren, um 14 zu bekommen, davon man die Helfte nehmen mu{$s}, welche die mitt- lere Proportional-Grö$$e $eyn wird; dann 4. verhalt $ich zu 7 als wie 7 zu 10, indem die Differenzien einander gleich $eynd.

Sech$ter Lehr-Satz.

188. Wann mehrere Grö$$en in einer Geometri$chen _Pro-_ _portion_ $tehen, oder $ie gleiche Verhältni$$e _formi_ren, $o der- halt $ich die Summ der _Antecedent_en zur Summ der _Con$equcnt_en, als wie einer der _Antecedent_en, den man will, $ich verhalt zu $einem _Con$equen_ten, das i$t, wann Grö$$en wie z. E. a. b. c. d. e. f. gleiche Verhältni$$e {a / b} = {c / d} = {e / f} _formi_ren, $o kan man $agen, da{$s} a + c + e. b + d + f : : a. b. oder : : c. d.

[0110] Beweis.

Um die$es zu probiren, $o wollen wir wei$en, da{$s} die Producte der äu$$ern und mittlern uns geben ab + bc + be = ab + ad + af; wel- ches gantz klar i$t, wann man betrachtet, da{$s} nach un$erer Suppo$ition a. b : : c. d. und a. b : : e. f. wir bekommen ad = bc und af = be; die- $es wei$et uns al$o, da{$s} bc in dem er$ten Glied gleich $eye ad in dem zweyten, und da{$s} be in dem er$ten wieder gleich $eye af in dem zweyten. W. z. E.

Siebender Lehr-Satz.

189. Wann zwey Verhältni$$e einer dritten gleich $eynd, $o $eynd $ie unter $ich gleich, das i$t, wann a. b : : e. f. und c. d : : e. f. $o i$t auch a. b : : c. d.

Beweis.

Wann man den Antecedenten a durch $einen Con$equenten b di- vidirt, und man den _Quotient_en m findet, $o wird man eben die$en Quo- tienten m bekommen, wann man auch die andere Antecedenten durch ihre Con$equenten dividirt (§. 157.); Al$o bekommt man {a / b} = m, {e / f} = m, und {c / d} = m, welches uns a = bm, e = fm, und c = dm gibt (§. 118.). Nun um zu erwei$en, da{$s} a. b : : c, d, $o dörf man nur an die Stelle von a $einen Werth bm, und an die Stelle von c $einen Werth dm $etzen, um bm. b : : dm. d. zu bekommen, indem $ie uns gibt bdm = bdm.

Achter Lehr-Satz.

190. Zwey Grö$$en verbleiben in einerley Verhältni{$s}, ob $chon man zu der einen, als wie zur andern etwas _addi_ret, wann nur dasjenige, was man zur er$ten _addi_rt, $ich zu demjenigen, was man zur zweyten _addi_ret, verhält, als wie die er$te zu der zweyten.

Beweis.

Wann man zu den zweyen Grö$$en a und b zwey andere Grö$$en c und d addiret, und da{$s} a $ich verhalt zu b als wie c zu d, $o $age ich, da{$s} a + c. b + d : : a. b; um die$es zu probiren, $o wollen wir wei$en, da{$s} ab + bc = ab + ad um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} weilen [0111] a. b : : c. d. (per $upp.); auch ad = bc; wann man nun in dem zwey- ten Glied der vorhergehenden Gleichung an die Stelle der Grö$$e ad $e- tzet bc, $o kommt ab + bc = ab + bc. W. zu E.

Neunter Lehr-Satz.

191. Zwey Grö$$en verbleiben in einerley Verhältni{$s}, ob $chon man von der einen als wie von der andern etwas abziehet, wann nur dasjenige, was man von der er$ten _$ubtrabi_ret, $ich zu demjenigen, was man von der zweyten _$ubtrabi_rt, verhält, als wie die er$te zur zweyten.

Beweis.

Wann man zwey Grö$$en a und b und zwey andere c und d hat, al$o da{$s} a. b : : c. d. $o $age ich, da{$s} a - c. b - d : : a. b; um die$es zu probiren, $o wollen wir wei$en, da{$s} ab - bc = ab - ad: derowegen betrachtet nur, da{$s}, weilen nach un$er Suppo$ition wir haben a. b : : c. d. wir bekommen ad = bc; wann wir nun an die Stelle ad in dem zwey- ten Glied der vorigen Gleichung $etzen bc, $o bekommen wir ab - bc = ab - bc. W. z. E.

* Zehender Lehr-Satz.

192. In der _Multiplication_ verhalt $ich das _Product_ zu dem ei- nen _Factore_, als wie der andere _Factor_ zu der Einheit.

Beweis.

Das Product begreift den einen Factorem $o vielmal in $ich, als der andere Factor die Einheit in $ich hält (§. 38.). Al$o $eynd die Berhältni$$e des Products zu dem einen Factore, und des andern Facto- ris zu der Einheit einander gleich (§. 156.). Derowegen verhalt $ich das Product zu dem einen Factore als wie der andere Factor zu der Ein- heit. W. z. E.

* Eilfter Lehr-Satz.

193. In der _Divi$ion_ verhalt $ich der _Quotient_ zu der Einheit, als wie der _Dividendus_ zu dem _Divi$ore_.

Beweis.

Der Quotient begreift die Einheit $o vielmal in $ich, als der Divi- dendus den Divi$orem (§. 39.). Al$o $eynd die Verhältni$$e des Quo- tienten zu der Einheit und des Dividendi zum Divi$ore einander gleich (§. 156.). Derowegen verhalt $ich der Quotient zu der Einheit, als wie der Dividendus zum Divi$ore. W. z. E.

[0112] * Zwölfter Lehr-Satz.

194. In einer jeden Geometti$chen Verhältni{$s} i$t der er$te _Terminus_ gleich dem zweyten _multiplici_rt durch den _Exponent_en.

Es $eye die Verhältni{$s} a, b, und der Exponent = m, $o $age ich, da{$s} a = bm.

Beweis.

Weilen a der Dividendus, b der Divi$or (§. 148.), und m der Quo- tient i$t (§. 149.) $o haben wir m. 1 : : a. b. (§. 193.); al$o i$t a = bm. (§. 169.).

* Zu$atz.

195. Aus die$em Lehr-Satz folget, da{$s} der zweyte Terminus gleich $eye dem er$ten dividirt durch den Exponenten, dann weilen a = bm, $o i$t {a / m} = b.

* Dreyzehender Lehr-Satz.

196. Wann eine Grö$$e $ich zu zweyen Grö$$en auf einer- ley Art verhalt, $o $eynd die$e zwey Grö$$en einander gleich.

Es $eye a. b : : a. c, $o $age ich, da{$s} b = c.

Beweis.

Weilen a. b : : a, c, $o i$t ac = ab (§. 169.). Derowegen i$t c = b (§. 119.). W. z. E.

* Vierzehender Lehr-Satz.

197. Wann zwey Grö$$en $ich auf einerley Art gegen eine dritte verhalten, $o $eynd $ie einander gleich.

Es $eye b. a : : c. a. $o $age ich da{$s} b = c.

Beweis.

I$t wie zuvor.

Fünfzehender Lehr-Satz.

198. Wann man die beyde _Terminos_ einer Verhältni{$s} durch eine dritte Grö$$e _multiplici_rt, $o verhalten $ich die _Product_e gegen- einander als wie die _multiplici_rte _Termini_.

[0113] Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s}, wann man zwey Grö$$en z. E. a und b durch eine dritte Grö$$e c multiplicirt, man bekomme ac. bc : : a. b; $o betrach- tet nur, da{$s} das Product der äu$$ern und mittlern uns gebe abc = abc. W. z. E.

* Damit man $ehe, wie die$er Lehr-Satz auch durch andere Sä- tze die$es Buchs kan erwie$en werden, $o will ich noch einen andern Be- weis hieher $etzen. Nemlich es i$t zu erwei$en, da{$s} ac. bc : : a. b, $o be- trachtet, da{$s} ac. a : : c. 1. und bc. b : : c. 1. (§. 192.). Al$o i$t auch ac. a : : bc. b. (§. 189.); derowegen i$t ac. bc : : a. b. (§. 181.) W. z. E.

Sechszehender Lehr-Satz.

199. Wann man die beyde _Terminos_ einer Verhältni{$s} durch eine dritte Grö$$e _dividi_rt, $o verhalten $ich die _Quotient_en gegen einander als wie die _dividi_rten Grö$$en.

Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s}, wann man die beyde Grö$$en a und b durch eine dritte c dividirt, die Quotienten $ich gegen einander verhalten als wie die dividirte Grö$$en, $o wollen wir $upponiren, da{$s} {a / c} = d und {b / c} = f; derowegen i$t a = cd und b = cf (§. 124.); um al$o zu pro- biren, da{$s} a. b : : d. f, mu{$s} man nur in die$er Proportion an die Stelle der Grö$$en a und b ihre Werth cd und cf $etzen, um cd. cf : : d. f. zu bekommen, welches uns zum Product der äu$$ern und mittlern gibt cdf = cdf. W. z. E.

⋆ Um die$es auch noch durch andere Sätze die$es Buchs zu er- wei$en, $o betrachtet, da{$s} {a / c}. 1 : : a. c. und {b / c}. 1 : : b. c. (§. 193.); al$o i$t auch {a / c}. a : : 1. c. und {b / c}. b : : 1. c. (§. 181.), derowegen i$t {a / c}. a : : {b / c}. b. (§. 189.); und {a / c}. {b / c} : : a. b. (§. 181.) W. z. E.

[0114] Siebenzehender Lehr-Satz.

200. In einer jeden Gleichung $eynd die Wurtzeln der _Pro-_ _duct_e, woraus jedes Glied be$tehet, _reciprocè proportional_, das i$t, wann man die Wurtzeln des einen Glieds vor die äu$$ern _Termi-_ _nos_ und die Wurtzeln des andern Glieds vor die mittlere annimt, $o kan man eine Geometri$che _Proportion_ formiren.

Beweis.

Es wäre z. E. folgende Gleichung aad = bbc, $o mu{$s} man erwei- $en, da{$s} aa. bb : : c, d; um die$es zu erwei$en, $o dividire ich jedes Glied durch cd, da bekomme ich al$o {aad / cd} = {bbc / cd} (§. 119.), oder {aa / c} = {bb / d} indem ich die ähnliche Buch$taben aus$treiche (§, 119.); dahero be- komme ich aa. c : : bb. d. (§. 158.); und al$o aa. bb : : c. d. (§. 181.) W. z. E.

201. Weilen man eine Gleichung nicht in eine Proportion re$ol- viren kan, ohne die Producte beyder Glieder durch eine Divi$ion vonein- ander zu $cheiden, $o i$t man oft gezwungen, wann die Glieder mehrere Terminos haben, einen Terminum aus dem einen in das andere zu brin- gen, um $ie al$o in eine Proportion zu re$olviren. Z. E. weilen man die Gleichung bbcc = aadd + ccxx nicht kan in eine Proportion re$olvi- ren, indem das zweyte Glied durch keine Grö$$e kan dividirt werden, $o bringe ich ccxx aus dem zweyten Glied in das er$te, um bbcc - ccxx = aadd zu bekommen, davon das er$te Glied durch cc und das andere durch dd kan dividiret werden; allein wann man beyde durch ccdd dividiret, $o bekommt man {bbcc - ccxx / ccdd} = {aadd / ccdd} oder {bb - xx / dd} = {aa / cc}, welches uns gibt bb - xx. dd : : aa. cc.

Desgleichen um die Gleichung aayy - b^4 = aabb in eine Propor- tion zu re$olviren, $o $iehet man, da{$s} man b^4 aus dem er$ten Glied in das andere bringen mu{$s}, um aayy = aabb + b^4 zu bekommen. Davon man al$o bekommt aa + bb. yy : : aa. bb. Auf die$e Art verfahrt man mit allen andern.

Bericht an den Le$er.

Weilen die Verhältni$$e fa$t allezeit durch Brüche ausgedruckt werden, und die$e Brüche $ich oft in den Algebrai$chen Rechnungen [0115] einfinden, $o bleibet uns noch übrig zu wei$en, wie man die$elbe addirt, $ubtrahirt, multiplicirt, und dividirt, damit man al$o nicht an den Or- ten, wo $ie vorkommen, aufgehalten werde.

Erklärungen.

202. * Ein Bruch i$t ein oder etliche Theile des gantzen.

Zu$atz.

203. * Al$o mu{$s} ein Bruch mit zweyen Buch$taben, oder Zah- len bemercket werden, der eine um anzuzeigen in wie viel Theile das gan- tze eingetheilet worden, und der andere um anzuzeigen, wie viel der$el- ben Theile in gegenwärtigem Ca$u gegeben $eynd.

204. * Derjenige Buch$taben oder Zahl, welche anzeigt, in wie viel Theile das gantze eingetheilet worden, hei$$et der Nenner, und die andere, welche anzeigt, wie viel dergleichen Theile in gegenwärtigem Ca$u gegeben $eynd, wird der Zehler genennet.

205. * Um einen Bruch zu $chreiben, $o $etzt man den Zehler oberhalb einer kleinen Linie, und den Nenner darunter. Z. E. {a / c}, da i$t a der Zehler, und c der Nenner.

* Achtzehender Lehr-Satz.

206. Die Brüche $eynd Geometti$che Verhältni$$e.

Beweis.

Der Zehler begreift etliche Theile des Nenners in $ich (§. 204.). Al$o machen die$e zwey Grö$$en eine Geometri$che Verhältni{$s} aus (§. 148.) W. z. E.

* Er$ter Zu$atz.

207. Al$o i$t der Zehler der Antecedent, und der Nenner der Con$equent. (§. 153.).

* Zweyter Zu$atz.

208. Desgleichen i$t der Zehler der Dividendus, und der Nenner der Divi$or. (§. 148.).

* Dritter Zu$atz.

209. Al$o i$t dasjenige, was in der Divi$ion übrig bleibt, und nicht mehr in der That kan dividiret werden, der Zehler eines Bruchs, davon der Divi$or der Nenner i$t.

[0116] Erklärungen.

210. * Ein wahrhaftiger Bruch i$t derjenige, welcher kleiner i$t als das gantze.

* Zu$atz.

211. Da nun der Nenner das gantze, und der Zehler die gegebe- ne Theile vor$tellt. (§. 204.), $o mu{$s} in einem wahrhaftigen Bruch der Zehler kleiner $eyn als der Nenner. (§. 210.)

212. ⋆ Ein uneigentlicher Bruch i$t derjenige, welcher entwe- der $o viel, oder noch mehr i$t als das gantze.

* Er$ter Zu$atz.

213. Derowegen mu{$s} in einem uneigentlichen Bruch, der $o viel i$t als das gantze, der Zehler dem Nenner gleich $eyn. (§. 212. 204.).

* Zweyter Zu$atz.

214. Ferner mu{$s} in einem uneigentlichen Bruch, der mehr i$t als das gantze, der Zehler grö$$er $eyn, als der Nenner.

215. * Gleiche Brüche werden diejenige genennet, wann der Zehler des einen $ich zu $einem Nenner verhält, als wie der Zehler des andern zu $einem Nenner. Al$o $age ich, da{$s} {a / b} = {c / d}, wann a. b : : c, d.

* Er$ter Zu$atz.

216. Wann {a / b} = {c / x}, $o i$t a. b : : c, x. (§. 215.); derowegen i$t {bc / a} = x (§. 172.). Die$es dienet, um einen gegebenen Bruch, in einen andern gleichen Bruch zu verwandlen, davon der Zehler gege- ben i$t.

* Zweyter Zu$atz.

217. Wann {a / b} = {x / c}, $o i$t a. b. : : x. c, (§. 215.); und al$o b. a : : c. x. (§. 180.); derowegen i$t {ac / b} = x (§. 172.). Die$es die- [0117] net, um einen gegebenen Bruch in einen andern gleichen Bruch zu ver- ändern, davon der Nenner gegeben i$t.

* Er$te Aufgab.

218. Einen gegebenen Bruch auf kleinere _Terminos_ zu _redu-_ _ci_ren, das i$t, einen andern Bruch finden, der mit kleinern _Termi-_ _nis_ ge$chrieben, und doch dem vorigen gleich i$t.

Auflö$ung.

Gebt acht, ob nicht in dem Zehler und Nenner ähnliche Buch$ta- ben enthalten $eynd. Wann ihr $olche findet, $o nehmet $ie zum gemei- nen Divi$ore an, und dividirt damit $o wohlden Zehler als den Nenner, $o werden die Quotienten einen neuen Bruch formiren, der in kleinern Ter- minis dem vorigen gleich i$t. (§. 206. 199.). Zum Exempel, wir hätten {ac / bc}, $o i$t c der gemeine Divi$or, mit melchem man dividirt, um {a / b} zu be- kommen. Al$o $iehet man auch, da{$s} {abc / bcd} = {a / d}.

Wie die$e Operation in Zahlen zu verrichten $eye, wird in einem be$ondern Arithmeti$chen Tractat gewie$en werden.

* Zweyte Aufgab.

219. Aus einem gegebenen uneigentlichen Bruch die gantze heraus zu $uchen.

Auflö$ung.

Dividiret den Zehler durch den Nenner, $o zeigt der Quotient die gantze an, welche in dem gegebenen Bruch enthalten $eynd, Z. E. {ac / c} = a. {abd + cbd / bd} = a + c. {acd - bcd + xyy / cd} = a - b + {xyy / cd}.

* Dritte Aufgab.

220. Gantze auf einen Bruch zu $etzen.

I. Ca$us, wann kein Nenner gegeben i$t.

[0118] Auflö$ung.

Schreibt unter die gegebene Grö$$e die Einheit, $o hat $ie die Form eines Bruchs. Z. E. ab = {ab / 1}, ab + cd = {ab + cd / 1}.

II. Ca$us, wann ein Nenner gegeben i$t.

Auflö$ung.

Multipliciret die gegebene Grö$$e durch den gegebenen Nenner. Addiret zu die$em Product den gegebenen Zehler, und $etzet unter die Summe den gegebenen Nenner. Z. E. man hätte die Grö$$e a + {b / c} allwo man die Grö$$e a auch will auf den Bruch $etzen, $o mu{$s} man a mit c multipliciren, und zu die$em Product ac den Zehler b addiren und unter die Summ ac + b den Nenner c $etzen, um {ac + b / c} zu bekommen. Al$o $iehet man leicht da{$s} a + b - c + {d / y} = {ay + by - cy + d / y}.

Vierte Aufgab.

221. Etliche gegebene Brüche auf einerley Nenner zu bringen.

Auflö$ung.

Um zwey Brüche z. E. {2/3} und {3/4} auf einerley Nenner zu bringen, $o mu{$s} man den Zehler und Nenner des er$ten Bruchs mit dem Nen- ner des zweyten, nemlich {2/3} durch 4 multipliciren, um {8/12} zu bekommen; nach die$em mu{$s} man auch den Zehler und Nenner des zweyten Bruchs durch den Nenner des er$ten, nemlich {3/4} durch 3 multipliciren, um {9/12} zu haben; al$o bekommt man die zwey Brüche {8/12} und {9/12}, welche die Zahl 12 zu ihrem gemeinen Nenner haben.

Um die Brüche {a / b} und {c / d} auf einerley Nenner zu bringen, $o mul- tiplicire ich {a / b} durch d und {c / d} durch b, um {ad / bd} und {bc / bd} zu bekommen, davon bd der gemeine Nenner i$t.

[0119]

Allein wann man mehrere Brüche hätte, als {2/3}, {1/2}, {2/5}, welche man auf einerley Nenner bringen mu{$s}, $o mu{$s} man zu er$t die zwey Nen- ner 2 und 5 mit einander multipliciren, und hernach den Bruch {2/3} durch das Product 10 um {20/30} zu bekommen. Nachgehends mu{$s} man den er- $ten Nenner durch den dritten, das i$t, 3 durch 5 multipliciren, und wiederum den zweyten Bruch {1/2} mit die$em Product 15 um {15/30} zu haben. Endlich multipliciret man die Nenner 3 und 2 durcheinander, und wie- derum den letzten Bruch {2/5} durch die$es Product 6; wird al$o heraus kommen {12/30}. Auf die$e Art hat man gefunden die Brüche {20/30}, {15/30} und {12/30} welche einerley Nenner haben, indem der gemeine Nenner 30 i$t.

Wann man auf eben die$e Art mit den Brüchen {a / b}, {c / d}, {e / f} ver- fahret, $o werden $ie in folgende {adf / bdf}, {bcf / bdf} und {bde / bdf} verwandelt.

Es i$t gantz klar, da{$s} wann man Brüche auf einerley Benennung bringt, man nichts an ihrem Werth verändert, indem man nichts an- ders thut, als zwey Terminos einer Verhältni{$s} durch eine dritte Grö$- $e multipliciren.

Fünfte Aufgab.

222. Brüche zu$ammen zu _addi_ren.

Auflö$ung.

Um z. E. {2/3} zu {3/5} zu addiren, mu{$s} man $ie auf einerley Benennung bringen, um {10/15} und {9/15} zu bekommen; nach die$em die beyde Zehler zu- $ammen addiren, um aus ihrer Summe den Zehler eines neuen Bruchs zu formiren, davon der Nenner der gefundene gemeine Nenner i$t: Al$o i$t die Summe die$er beyden Brüche {10 + 9 / 15} oder {19/15}, wel- ches $o viel i$t als 1 {4/15}.

Um {ab / c} zu {df / g} zu addiren, $o bringet man $ie unter einerley Beneñung um {abg / cg} und {cdf / cg} zu bekommen, wann man nun die zweyZehler zu$am- [0120] men addirt, $o bekommt man {abg + cdf / cg} vor die Summ der Brüche {ab / c} und {df / g}.

Sech$te Aufgab.

223. Einen gegebenen Bruch von einem andern abzu- ziehen.

Auflö$ung.

Bringet die Brüche wieder auf einerley Benennung, und ziehet den Zehler des er$ten von dem Zehler des zweyten ab, und gebt der Dif- ferenz den gemeinen Nenner.

Al$o um {2/3} von {3/4} abzuziehen, $o bringe ich $ie auf einerley Nenner, um {8/12} und {9/12} zu bekommen, und ziehe 8 von 9 ab, da $etze ich al$o {9-8 / 12} oder {1/12}.

Um {c / d} von {a / b} abzuziehen, bringe ich die Brüche auf einerley Be- nennung, um {bc / bd} und {ad / bd} zu haben, nach die$em $ubtrahire ich den Zeh- ler bc von dem Zehler ad und $chreibe {ad - bc / bd}, welches die Differenz i$t.

224. Allein wann man wolte a - {cx / d} von 2y + {bb / f}, welche Grö$- $en aus gantzen und Brüchen be$tehen, abziehen, $o mu{$s} man die gan- tze jeder Grö$$e auf Brüche $etzen, (§. 220.) um {ad - cx / d} und {2yf + bb / f} zu bekommen; weilen aber nun {ad - cx / d} nicht kan von {2yf + bb / f} abge- zogen werden, ohne die$e Brüche zu er$t auf einerley Nenner zu brin- gen, $o mu{$s} man ihnen einen gemeinen Nenner geben, und auf die$e Art [0121] bekommt man {adf - cfx / df} und {2ydf + bbd / df}; waun man nun die er$te von der zweyten abziehet, $o bekommt man {2ydf + bbd - adf + cfx / df} oder 2y - a + {bbd + cfx / df} zur Differenz.

* Erläuterung

Uber die Addition und Subtraction in Brüchen.

225. Weilen die Nenner nur anzeigen, in wie viel Theile das gan- tze eingetheilet worden, (§. 204.) $o i$t der Nenner nur der Name des Bruchs, hingegen $ein Werth be$tehet in dem Zehler. Hieraus $iehet man, da{$s} die Addition und Subtraction nur in den Zehlern kan verrich- tet werden. Weilen aber keine Grö$$en können zu einander addirt oder voneinander $ubtrahirt werden, die nicht von einerley Art $eynd, oder einerley Namen haben, $o mu{$s} man al$o die Brüche zuer$t auf einerley Nenner bringen.

Siebende Aufgab.

226. Brüche mit Brüchen zu _multiplici_ren.

Auflö$ung.

Um zwey Brüche miteinander zu multipliciren, $o mu{$s} man er$t- lich die Zehler miteinander, und hernach die Nenner multipliciren, und mit die$en Producten einen neuen Bruch formiren.

Al$o um {3/7} mit {4/5} zu multipliciren, $o multiplicire ich die beyde Zeh- ler durcheinander, welches uns al$o 12 gibt, hernach auch die Nenner, die uns 35 geben, und $chreibe al$o {1/3} {2/5} vor das Product.

227. Um 5 + {3/4} mit 7 + {5/6} zu multipliciren, $o bringe ich die gantze auf Brüche (§. 220.), um {23 / 4} und {47 / 6} zu bekommen; nach die- $em multiplicire ich Zehler mit Zehler, und Nenner mit Nenner; da kommt al$o {1081 / 24} vor das Product, welches reducirt wird auf 45 {1/24} (§. 209.)

[0122]

Um {a / b} durch {c / d} zu multipliciren, $o multiplicire ich die Zehler a und c mit einander, und nach die$em die Nenner b und d, und $chreibe {ac / bd} vor das Product.

Um zu erwei$en, da{$s} {ac / bd} das Product $eye von {a / b} durch {c / d}, $o wol- len wir $upponiren, da{$s} {a / b} = f und {c / d} = g, und werden erwei$en, da{$s} {ac / bd} = fg, oder welches eben $o viel i$t, da{$s} ac = bdfg.

Um die$es al$o zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} {a / b} = f uns a = bf und da{$s} {c / d} = g und c = dg gibt; wann man nun die beyde Glieder a = bf durch die beyde Glieder c = dg multiplicirt, $o kommt ac = bdfg. (§. 118.) W. z. E.

228. Um {bx / a} - y durch {bx / a} + y zu multipliciren, $o bringe ich die gantze auf Brüche, um {bx - ay / a} und {bx + ay / a} zu bekommen (§. 220.); wann man nun die Zehler, das i$t, bx - ay durch bx + ay multiplicirt, $o kommt bbxx - bxay + bxay - aayy oder bbxx - aayy, welchem man das Product der Nenner der beyden Brüche, das i$t, aa zum Nenner ge- ben mu{$s}, al$o $chreibt man {bbxx - aayy / aa} oder {bbxx / aa} - yy vor das Pro- duct.

229. Wann man eine Grö$$e, die aus gantzen und Brüchen be- $tehet, oder auch nur Brüche allein durch gantze multipliciren mu{$s}, $o mu{$s} man den gantzen die Einheit zum Nenner geben, und die Multipli- [0123] cation wie vorher verrichten: Al$o um {ac / d} durch b zu multipliciren, $o $etze ich b auf einen Bruch, indem ich ihm die Einheit zum Nenner ge- be, al$o bekomme ich {b / 1}, welches, wann es durch {ac / d} multiplicirt wird, uns {abc / d} zum Product gibt.

Achte Aufgab.

230. Brüche durch Brüche zu _dividi_ren.

Auflö$ung.

Um einen Bruch durch einen andern zu dividiren, mu{$s} man den Zehler des Dividendi durch den Nenner des Divi$oris multipliciren, und das Product wird der Zehler des Quotienten $eyn; nach die$em mu{$s} man den Nenner des Dividendi durch den Zehler des Divi$oris multi- pliciren, und das Product wird der Nenner des Quotienten $eyn.

Z. E. um {3/4} durch {2/9} zu dividiren, $o multiplicire ich 3, als den Zeh- ler des Dividendi, durch 9, als den Nenner des Divi$oris, und das Pro- duct 27 wird der Zehler des Quotienten $eyn, nach die$em multiplicire ich 4, als den Nenner des Dividendi, durch 2, als den Zehler des Divi$o- ris, und das Product 8 wird der Nenner des Quotienten $eyn; Al$o i$t {27/8} oder 3 {3/8} der Quotient, weilen der Zehler 27 $o viel als drey gantze und drey Achtel gibt.

231. Um {a / b} durch {c / d} zu dividiren, $o multiplicire ich a durch d um ad zu haben, welches der Zehler des Quotienten $eyn wird; nach die$em multiplicire ich b durch c, davon das Product bc der Nenner des Quotienten i$t: Al$o i$t {ad / bc} der begehrte Quotient.

Desgleichen wann man {ab - cc / d} durch {aa / c} dividiren will, $o mul- [0124] tiplicirt man {ab - cc} durch c und d durch aa und $chreibt {abc - ccc / aad}, welches der Quotient i$t.

232. Endlich wann man gantze und Brüch durch gantze und Brüch zu dividiren hat, $o mu{$s} man die gantze $o wohl des Dividendi, als des Divi$oris auf Brüche $etzen, wie man in der Multiplication ge- than, und nach die$em die Multiplication wie zuvor an$tellen.

Allein um zu erwei$en, da{$s}, wann man {a / b} durch {c / d} dividirt, man {ad / bc} zum Quotienten bekomme, $o wollen wir $upponiren, da{$s} {a / b} = f und da{$s} {c / d} = g, und werden wei$en, da{$s} {ad / bc} = {f / g}: Um die$es zu er- wei$en, $o betrachtet, da{$s} a = bf und da{$s} c = dg; wann man nun in dem Bruch {ad / bc} an die Stelle a $etzet bf, was ihm gleich i$t, und dg an die Stelle c, $o bekommt man {ad / bc} = {bdf / bdg}; Allein {bdf / bdg} = {f / g}, indem man bd $o wohl im Nenner als im Zehler aus$treicht; derowegen i$t {ad / bc} = {f / g}. (§. 112.). W. z. E.

Neunte Aufgab.

233. Die Regel _de Tri_ in Brüchen zu verrichten.

Auflö$ung.

Um zu den drey Brüchen, {2/3}, {3/7} und {8/9} den vierten Proportional- Terminum zu finden, mu{$s} man den zweyten Bruch durch den dritten multipliciren, und das Product {24/63} durch den er$ten {2/3} dividiren, der Quotient {72/126} oder {4/7} wird der vierte Terminus $eyn, al$o bat man {2/3}. {3/7} : : {8/9}. {4/7}.

[0125]

234. Um zu den dreyen Grö$$en {ay / b}, {bx / a} und a den vierten Pro- portional-Terminum zu finden, $o mu{$s} man den dritten Terminum, wei- len er ein gantzes i$t, auf einen Bruch bringen, indem man ihm die Einheit zum Nenner gibt, und nach die$em den zweyten Terminum {bx / a} durch den dritten {a / 1} multipliciren, da gibt das Product {abx / a}, wann es reducirt wird, bx, welches ich wiederum auf einen Bruch bringe, indem ich ihm die Einheit zum Nenner gebe, Al$o dividire ich {bx / 1} durch {ay / b} und der Quotient {bbx / ay} i$t der ge$uchte vierte Terminus: Al$o hat man {ay / b}. {bx / a} : : {a / 1}. {bbx / ay}.

Wann ein Terminus gantze bey $ich hat, $o mu{$s} man die gantze auf Brüche bringen, und die Operation wie zuvor verrichten.

Zehende Aufgab.

235. Aus einem Bruch die _Quadrat-_Wurtzel auszuziehen.

Auflö$ung.

Um die Quadrat-Wurtzel aus einem Bruch zu extrahiren, $o mu{$s} man die Wurtzel aus dem Zehler ausziehen, um davon den Zehler eines neuen Bruchs zu formiren; desgleichen mu{$s} man auch die Wurtzel aus dem Nenner ausziehen, um damit den Nenner des neuen Bruchs zu machen; al$o wird die$er neue Bruch die Quadrat-Wurtzel des vo- rigen $eyn. Al$o i$t die Quadrat-Wurtzel von {1/4} = {1/2}; die Quadrat- Wurtzel von {aa / bb} = {a / b}; die Quadrat-Wurtzel von {aacc / ddyy} = {ac / dy}; die [0126] Quadrat-Wurtzel von {aa + 2ab + bb / ccxx} = {a + b / cx}. Auf die$e Art ver- fahret man mit allen andern.

Bericht an den Le$er.

Bis hieher haben wir in der Materie der Verhältni$$e nur die Verhältni{$s}, die eine Grö$$e gegen eine andere Grö$$e von einerley Art haben kan, betrachtet, und haben von den componirten Verhältni$$en nichts geredet, weilen die$e letztere ent$tehen aus dem Product mehrerer Verhältni$$en, und man al$o der vier Operationen in Brüchen zu er$t hat mü$$en kündig $eyn, indem die Brüch, wie wir oben §. 206. ge$e- hen, Geometri$che Verhältni$$e $eynd, und wir al$o haben wei$en mü$- $en, wie die$e Verhältui$$e zueinander addirt, voneinander $ubtrahirt, und durcheinander multiplicirt und dividirt werden: Allein weilen die componirte Verhältni$$e den Anfängern etwas hart zu begreiffen $eynd, und wir uns ihrer ohne dem nicht viel in dem folgenden bedienen wer- den, $o wird es genug $eyn, folgende Erklärungen und eintzigen Lehr- Satz zu ver$tehen.

Erklärungen.

236. Wann man mehrere Verhältni$$e {a / b}, {c / d}, {e / f} durcheinan- der multiplicirt, $o machen das Product der Zehler a, c, e, welches man vor den Antecedenten nehmen kan, und das Product der Nenner b, d, f, welches man vor den Con$equenten nehmen kan, eine _componi_rte Ver- hältni{$s} aus, weilen $ie aus mehreren einfachen Verhältni$$en {a / b}, {c / d}, {e / f}, welche die _componi_rende Verhältni$$en genennet werden, be$tehet.

237. Eine aus zwey gleichen Verhältni$$en componirte Verhält- ni{$s}, wird die _duplici_rte Verhältni{$s} jeder die$er Verhältni$$en genennet. Al$o wann {a / b} = {c / d} und man die beyde Antecedenten a und c, desglei- chen auch die beyde Con$equenten b und d durcheinander multiplicirt, bekommt man {ac / bd}, welches eine _duplici_rte Verhältni{$s} i$t, indem $ie aus zweyen gleichen Verhältni$$en componirt i$t.

[0127]

238. Eine aus drey gleichen Verhältni$$en componirte Verhält- ni{$s} wird die _triplici_rte Verhältni{$s} jeder die$er Verhältni$$en genennet; derowegen wann {a / b} = {c / d} = {e / f} und man die drey Antecedenten a, c und e, desgleichen auch die drey Con$equenten b, d und f durcheinan- der multiplicirt, $o i$t das Product {ace / bdf} eine _triplici_rte Verhältni{$s}, weilen $ie aus dreyen gleichen Verhältni$$en {a / b}, {c / d} und {e / f} compo- nirt i$t.

239. Man mu{$s} $ich wohl in Acht nehmen, da{$s} man die duplicir- te Verhältni{$s} nicht mit der duplirten, noch die triplicirte mit der triplir- ten confundire; dann eine duplirte Verhältni{$s} i$t eine einfache Ver- hält ni{$s}, indem $ie nichts anders $eyn kan, als eine Verhältni{$s} einer Sache gegen eine andere, davon $ie das doppelte i$t; da hingegen die duplicirte Verhältni{$s} aus zweyen und zwar gleichen Verhältni$$en componirt i$t: Al$o wann ich die Verhältni{$s} von 2 zu 8 betrachte, $o $ehe ich, da{$s} $ie kan aus der Verhältni{$s} von 2 zu 4, und aus der Ver- hältni{$s} von 4 zu 8 componirt $eyn; da nun aber die$e beyde Verhält- ni$$e einander gleich $eynd, $o machen $ie eine duplicirte Verhältni{$s} aus: Derowegen i$t die Verhältni{$s} von 2 zu 8 eine duplicirte Ver- hältni{$s}.

240. Desgleichen mu{$s} man einen Unter$chied machen zwi$chen der triplirten und der triplicirte Verhältni{$s}, indem die triplirte Ver- hältni{$s} eine einfache Verhältni{$s} i$t, die nur wei$et, da{$s} eine Sache von der anderen das dreyfache $eye; da hingegen die triplicirte Verhältni{$s}, wie wir oben ge$agt haben, eine aus dreyen gleichen Verhältni$$en com- ponirte Verhältni{$s} i$t; Z. E. die Verhältni{$s} von 2 zu 16 i$t eine triplicirte Verhältni{$s}, indem man $ie an$eyen kan als wann $ie be$tün- de aus den Verhältni$$en von 2 zu 4, von 4 zu 8, und von 8 zu 16.

* Neunzehender Lehr-Satz.

241. Wann vier Grö$$en in einer _progre$$ione Geometricâ con-_ _tinuâ_ $tehen, $o verhalt $ich die er$te zur dritten in einer _duplici_r- ten Verhältni{$s} der er$ten zur zweyten; und die er$te verhalt $ich zur vierten in einer _triplici_rten Verhältni{$s} der er$ten zur zweyten.

[0128]

Es $eye ∺ a. b. c. d. $o $age ich, da{$s} die Verhältni{$s} von a. c. eine duplicirte, und die Verhältni{$s} von a. d. eine triplicirte Verhält- ni{$s} $eye.

Er$ter Beweis.

Weilen ∺ a. b. c. $o viel i$t als a. b : : b, c, $o i$t ab. bc eine duplicirte Verhältni{$s} (§. 237.); derowegen i$t auch a. c eine duplicir- te Verhältni{$s} (§. 199.).

Zweyter Beweis.

Weilen ∺ a. b. c. d. $o viel i$t als a. b : : b. c : : c. d. $o i$t die Verhältni{$s} abc. bcd eine triplicirte Verhältni{$s} (§. 238.); Al$o i$t auch a. d. eine triplicirte Verhältni{$s} (§. 199.). W. z. E.

[0129] Drittes Buch Von den unter$chiedenen Stellungen der graden Linien. Erklärungen. I.

242. PArallel-Linien $eynd diejenige, welche, $o weit man $ie Fig. 12. auch verlängert, immer gleiche Weite voneinander behal- ten, und deren äu$$er$te Ende niemal zu$ammen $to$$en, als wie AB und CD.

II.

243. * Die _Di$tanz_, oder Weite eines Puncts oder einer Linie, von einer andern Linie oder Fläche, i$t die Perpendicular-Linie, die man von dem$elben Punct, oder Linie auf die$e fallen lä{$s}t.

* Zu$atz.

244. Weilen Parallel-Linien allezeit gleiche Di$tanz, oder Weite voneinander behalten; (§. 242.); $o $eynd al$o alle Perpendicularen zwi$chen zweyen Parallelen einander gleich. (§. 243).

III.

245. Ein Winckel i$t ein unbe$chriebener Raum, der durch die Fig. 13. 14. und 15. Neigung zweyer Linien, die in einem Punct zu$ammen $to$$en, en$tehet. Er wird _Rectilineus_ genennet, wann die zwey Seiten grade Linien $eynd, als wie der Winckel ABC; _Curvilineus_, wann die zwey Linien krumme Linien, als wie der Winckel DEF; und _Mixtilineus_, wann eine Linie grad, und die andere krumm i$t, als wie der Winckel GHI.

IV.

246. Ein rechter Winckel i$t, de$$en zwey Seiten aufeinander Fig. 4. perpendiculariter $tehen, als wie CDB oder CDA.

[0130] V.

247. Ein $chiefer Winckel i$t derjenige, der ent$tehet, wann Fig. 16. zwey $chiefe Linien zu$ammen $to$$en, das i$t, der ent$tehet, wann zwey Linien, die nicht aufeinander perpendicular $tehen, zu$ammen $to$$en, oder die $ich nach ungleichen Winckeln durch$chneiden, als wie LK und HI.

VI.

248. Ein $tumpfer Winckel i$t, der mehr eröfnet, oder grö$$er i$t, als ein rechter, als wie HIK.

VII.

249. Ein $pitziger Winckel i$t, welcher weniger eröfnet, oder kleiner i$t, als ein rechter, als wie LIH.

VIII.

250. Man braucht insgemein drey Buch$taben, um einen Win- ckel zu benennen, und der zweyte mu{$s} allezeit an dem Punct, wo die Schenckel des Winckels einander antreffen, $tehen; die$er Punct wird der Spitz des Winckels genennet.

IX.

251. Der Zirckel i$t eine platte Fläche, die durch eine eintzige Fig. 17. krumme Linie, die die _Circumferenz_ des Zirckels hei$$et, einge$chlo$$en i$t, und in welcher $ich ein Punct, der der Mittel-Punct des Zirckels ge- nennet wird, befindet, von welchem grade Linien, die _Radii_, oder Strahlen hei$$en, bis an die Circumferenz konnen gezogen werden, die alle einander gleich $eynd, als wie AB, AC, AD.

X.

252. Der Durch-Me$$er, oder _Diameter_ eines Zirckels i$t eine Fig. 18. grade Linie, die durch den Mittel-Punct gehet, und $ich beyder$eits an der Circumferenz endiget, als wie ED, welche den Zirckel und die Cir- cumferenz in zwey gleiche Theile theilet, die man ohne Unter$chied hal- be Zirckel nennet, deren Helfte al$o der vierte Theil des Zirckels, oder _Quadrant_ genennet wird.

XI.

253. Ein Zirckel-Bogen i$t ein jedes Stuck der Circumferenz, es mag gleich grö$$er oder kleiner $eyn, als der halbe Zirckel.

XII.

254. Die Mathematici haben die Circumferenz des Zirckels in 360 gleiche Theile, die $ie Grad hei$$en, getheilet; jeder Grad wird wieder in 60 gleiche Theile, die Minuten genennet werden, eingethei- let, deren jede wiederum 60 gleiche Theile, die man Secunden hei$- $et, in $ich halt; die$e Eintheilungen $eynd in$onderheit, um die Maa$$e der Winckeln zu determiniren, gemacht worden.

[0131] XIII.

255. Das Maa{$s} eines Winckels i$t ein Zirckel-Bogen, den Fig. 20. man aus dem Spitz de$$elben nach Belieben innerhalb $einen Schen- ckeln be$chreibet. Al$o $iehet man, da{$s} der Bogen AC das Maa{$s} des Winckels ABC $eye; al$o da{$s} der Winckel ABC $o viel Grad und Mi- nuten gilt, als der Bogen AC Grad und Minuten in $ich hält. Man Fig. 19. kan $ich noch ferner mercken, da{$s} das Maa{$s} eines rechten Winckels al- lezeit der vierte Theil der Circumferenz, das i$t, 90 Grad $eye; dann wann man die zwey Diametros AB und CD, die $ich nach rechten Win- ckeln durch$chneiden, betrachtet, $o $iehet man, da{$s} $ie die Circumferenz des Zirckels in vier gleiche Theile theilen, und da{$s} jedes der$elben das Maa{$s} $eines corre$pondirenden rechten Winckels $eye: derowegen kan man auch noch $agen, da{$s} der halbe Zirckel auch das Maa{$s} zweyer rech- ten Winckeln $eye; ⋆ Desgleichen da{$s} alle rechte Winckel einander gleich $eyen.

* Grund-Satz.

256. Gleiche Winckel haben gleiches Maa{$s}, und Winckel, die glei- ches Maa{$s} haben, $eynd einander gleich.

* Er$te Aufgab.

257. Einen Winckel einem gegebenen Winckel _BAC_ gleich Fig. 21. zu machen.

Auflö$ung.

Be$chreibet innerhalb den Schenckeln des gegebenen Winckels BAC und zwar aus dem Mittel-Punct A mit beliebiger Eröfnung des Zir- ckels einen Zirckel-Bogen DE. Mit eben die$er Eröfnung des Zirckels be$chreibet einen andern Zirckel-Bogen IK an dem Ort, wo der Win- ckel $tehen $oll, z. E. auf der Linie FG. Fa$$et den er$ten Zirckel-Bo- gen DE mit dem Zirckel und trägt $eine Weite auf den andern KI. Durch den Punct I ziehet die Linie FH, $o wird der Winckel HFG dem Winckel BAC gleich $eyn. (§. 256.).

Zweyte Aufgab.

258. Von einem au$$erhalb einer Linie gegebenen Punct eine Fig. 22. Perpendicular-Linie auf die gegebene fallen zu la$$en.

Auflö$ung.

Um von dem gegebenen Punct A eine Perpendicular-Linie auf die Linie BC fallen zu la$$en, $o be$chreibet aus dem Mittel-Punct A einen [0132] Zirckel-Bogen, der die gegebene Linie in den Puncten B und C durch- $chneidet: Nach die$em be$chreibet aus den Puncten B und C mit ei- nerley Eröfnung des Zirckels, die aber kleiner $eyn mu{$s} als der Radius AC, zwey Circkel-Bögen, um den Punct E zu bekommen, durch welchen man die Linie AD ziehet; ich $age, da{$s} $ie auf BC wird perpendicular $eyn.

259. Um die$es zu bewei$en, $o betrachtet, da{$s} vermög der Con- $truction die Linien AB und AC einander gleich $eynd, indem $ie die Ra- dii eines Zirckels $eynd (§. 251.), und da{$s} die Linien EB und EC auch einander gleich $eynd; welches al$o bewei$et, da{$s} die Linie AD weder mehr auf die Seite B, noch auf die Seite C hänge; daraus al$o folget, da{$s} $ie auf BC perpendicular $eye (§. 18.). W. z. E.

Dritte Aufgab.

260. Auf einen gegebenen Punct einer gegebenen Linie ei- Fig. 23. ne Perpendicular aufzurichten.

Auflö$ung.

Um eine Perpendicular-Linie auf den gegebenen Punct A der Li- nie BC aufzurichten, $o nehmet zwey von A gleich weit entfernte Pun- cten B und C, und aus die$en Puncten, als Mittel-Puncten, be$chrei- bet, mit einerley Eröfnung des Zirckels zwey Zirckel-Bögen, welche $ich in dem Punct D durch$chneiden; nach die$em ziehet von dem Punct D zu A die Linie DA; die$e wird auf BC perpendicular $eyn.

Es i$t gantz natürlich, da{$s} die Linie BA auf BC perpendicular $eye; dann weilen die Puncten B und C gleich weit von dem Punct A ab$te- hen, und vermög der Con$truction der Radius BD dem Radio CD gleich i$t, $o folgt daraus, da{$s} die Linie DA auf BC perpendicular $eye, indem $ie nicht mehr auf die eine als auf die andere Seite hänget.

Vierte Aufgab.

261. Eine gegebene Linie in zwey gleiche Theile zu theilen.

Fig. 24. Auflö$ung.

Um eine Linie als wie AB in zwey gleiche Theile zu theilen, $o be- $chreibet aus den Enden A und B als Mittel-Puncten mit einerley Er- öfnung des Zirckels zwey Zirckel-Bögen, die $ich in den Puncten C und D durch$chneiden, und ziehet durch die$e Puncten die Linie CD, welche die gegebene Linie in dem Punct E in zwey gleiche Theile theilen wird.

[0133]

Weilen die Puncten C und D gleich weit von den andern A und B entfernet $eynd, $o $iehet man, da{$s} die Linie C D auf der Mitten von AB perpendicular $eye (§. 260.): derowegen theilet $ie die Linie AB in zwey gleiche Theile, indem der Punct E in der Mitten i$t.

Er$ter Lehr-Satz.

262. Auf einen Punct einer gegebenen Linie kan man nicht Fig. 25. mehr, als eine Perpendicular-Linie aufrichten.

Beweis.

Wann man auf den Punct C der Linie AB eine Perpendicular- Linie CE aufgerichtet hat, $o i$t gantz $ichtbar, da{$s}, wann man noch eine andere, als wie CD, auf eben die$en Punct C aufrichten wolte, $o könte die$es nicht $eyn, ohne da{$s} nicht die$e Linie mehr auf die eine als auf die andere Seite hänge, als wie da hier mehr gegen A als gegen B; da aber die$es wider die Erklärung der Perpendicular-Linien lauffen würde, (§. 18.) $o folgt daraus, da{$s} man auf einen Punct einer graden Linie nicht mehr, als eine Perpendicular-Linie aufrichten kan.

Zweyter Lehr-Satz.

263. Von einem gegebenen Punct au$$erhalb einer Linie, Fig. 26. kan man nicht mehr, als eine Perpendicular-Linie auf die$elbe fal- len la$$en.

Beweis.

Wann man von dem Punct A auf die Linie DE eine Perpendicu- lar-Linie AB hat fallen la$$en, und die Puncten D und E gleich weit von A ab$tehen, $o i$t gewi{$s}, da{$s} der Punct B der Linie DE, auf welchen die Perpendicular von A gezogen wird, auch gleich weit von den Puncten D und E ab$tehen wird: Allein weilen man von dem Punct A keine an- dere Linie AC ziehen kan, ohne da{$s} der Punct C nicht mehr zur rechten oder zur lincken Hand des Puncten B zu $tehen komme, $o folgt al$o, da{$s} die Puncten D und E nicht gleich weit von dem Punct C entfernet $eyen, und da{$s} al$o die Linie AC nicht perpendicular auf DE $eye.

Dritter Lehr-Satz.

264. Die Perpendicular-Linie i$t die kürtze$te unrer allen, Fig. 27. die man von einem gegebenen Punct auf eine gegebene Linie zie- hen kan.

[0134] Beweis.

Wann man von dem Punct D die Perpendicular-Linie DC auf AB gezogen hat, $o $age ich, da{$s} die$e Linie DC die kurtze$te $eye unter allen, die man von dem Punct D auf die Linie AB ziehen kan, und da{$s} $ie al$o kürtzer $eye als DF.

Um die$es zu erwei$en, $o verlängert die Linie DC bis in E, al$o da{$s} CE gleich $eye DC, ziehet ferner die Linie FE und betrachtet, da{$s} die Linie DE kleiner $eye, als die Linie DFE, indem nach der Erklärung der graden Linie (§. 15.) $ie die kürtze$te i$t von allen, die man von dem Punct D an den Punct E ziehen kan. Weilen nun FC perpendiculari- ter auf der Mitten von DE $tehet (per $upp.), $o i$t FD gleich FE (§. 18.): Derowegen i$t DC als die Helfte von DE auch kürtzer als DF, welche die Helfte i$t von DFE. W. z. E.

Vierter Lehr-Satz.

265. Wann eine Linie $chief auf eine andere fallet, $o macht Fig. 28. $ie mit der andern zwey Winckel, die zu$ammen genommen zweyen rechten Winckeln gleich $eynd.

Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s} die zwey Winckel ABC und CBD zu$ammen genommen zwey rechte Winckel ausmachen, $o be$chreibet aus dem Mit- tel-Punct B einen halben Circkel, und betrachtet, da{$s} der Winckel ABC den Bogen AC und der Winckel CBD den Bogen CD zu dem Maa{$s} habe (§. 255.): weilen nun die$e beyde Bögen den halben Circkel aus- machen, und der halbe Zirckel das Maa{$s} i$t zweyer rechten Winckeln, (§. 255.); $o folgt al$o daraus, da{$s} die Winckel ABC und CBD zwey rechte Winckel ausmachen (§. 256.). W. z. E.

* Er$ter Zu$atz.

266. Derowegen wann man den Winckel CBD kennet, $o bekomt man den andern ABC, wann man den Winckel CBD von 180 Grad abziehet.

* Zweyter Zu$atz.

267. Wann mehrere grade Linien auf einem Punct einer Linie zu$ammen kommen, $o machen alle die$e Winckel wieder zwey rechte Winckel aus.

[0135] * Dritter Zu$atz.

268. Al$o $eynd alle Winckel, die um einen Punct herum liegen, zu$ammen genommen vier rechten Winckeln gleich; dann ihr Maa{$s} i$t die gantze Circumferenz.

Fünfter Lehr-Satz.

269. Wann zwey grade Linien $ich durch$chneiden, $o $eynd Fig. 29. die _Vertical-_Winckel, oder deren Spitze einander entgegen $tehen, einander gleich.

Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s} die Linien AB und CD, die $ich in dem Punct E durch$chneiden, die zwey gleiche Winckel AEC und DEB ausmachen, $o be$chreibet aus dem Mittel-Punct E den Zirckel-Bogen CADB, und betrachtet, da{$s} wann man von den beyden halben Zirckeln CAD und ADB den Bogen AD, der beyden gemein i$t, abziehet, der Bogen AC dem Bogen DB gleich $eye (§. 117.); welches al$o erwei$et, da{$s} der Winckel AEC dem Winckel DEB gleich $eye, indem $ie gleiche Zirckel- Bögen zum Maa{$s} haben (§. 256.). W. z. E.

Sech$ter Lehr-Satz.

270. Wann zwey grade Parallel-Linien auf eine dritte gra- Fig. 30. de Linie fallen, $o machen $ie gegen jede Seite gleiche Winckel aus.

Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s} die zwey Parallel-Linien AB und CD, welche auf eine dritte Linie EF fallen, zwey gleiche Winckel ABF und CDF, die gegen eine Seite $tehen, formiren, $o betrachtet, da{$s}, weilen ein Win- ckel nichts anders i$t, als eine Neigung, die die eine Linie gegen die andere hat, die Gleichheit der Neigungen auch die Gleichheit der Winckel aus- mache, (§. 245.), und da{$s} die Linien AB und CD nicht parallel $eyn können, ohne eine gleiche Neigung gegen die Linie EF zu haben; woher man al$o $iehet, da{$s} der Winckel ABF dem Winckel CDF gleich $eye. W. z. E.

* Zu$atz.

271. Hieraus folget al$o, da{$s}, wann zwey Perpendicularen auf eine dritte Linie fallen, $ie unter $ich parallel lauffen.

[0136] Siebender Lehr-Satz.

272. Wann zwey Parallelen von einer dritten Linie durch- Fig. 31. $chnitten werden, $o $eynd die _Altern-_Winckel einander gleich.

Beweis.

Wann die Linien AB und CD parallel $eynd, und $ie von einer drit- ten Linie EF durch$chnitten werden, $age ich, da{$s} der Winckel AGF dem Winckel EHD gleich $eye. Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} der Winckel AGF = CHF (§. 270.), und da{$s} der Winckel GHD = CHF (§. 269.), daraus al$o folgt, da{$s} der Winckel AGF = EHD (§. 113.). W. z. E.

* Achter Lehr-Satz.

273. Wann zwey Parallel-Linien von einer dritten durch- $chnitten werden, $o $eynd die zwey innere Winckel zu$ammen ge- nommen, zweyen rechten Winckeln gleich.

Beweis.

Wann die zwey Parallelen AB und CD von einer dritten Linie EF durch$chnitten werden, $o $age ich, da{$s} die Winckel HGB + GHD zweyen rechten Winckeln gleich $eyen. Um die$es zu erwei$en, $o be- trachtet, da{$s} die Winckel HGB + BGE = zweyen rechten Winckeln (§. 265.), und da{$s} der Winckel GHD = BGE (§. 270.); wann man nun an die Stelle von BGE $etzet GHD, $o bekommt man HGB + GHD = zweyen rechten Winckeln. W. z. E.

* Er$ter Zu$atz.

274. Derowegen wann zwey Linien auf eine dritte fallen, und die beyde innere Winckel zu$ammen genommen, mehr als zwey rechte Winckel ausmachen, $o gehen die$e Linien jemehr als man $ie verlängert immer weiter voneinander.

* Zweyter Zu$atz.

275. Ferner folgt daraus, da{$s} wann zwey Linien auf eine dritte fallen, und die beyde innere Winckel zu$ammen genommen weniger als zwey rechte Winckel ausmachen, die$e Linien je weiter als man $ie ver- längert, immer näher zu$ammen kommen, bis da{$s} $ie endlich einander gar in einem Punct antreffen.

[0137] Fünfte Aufgab.

276. Durch einen gegebenen Punct mit einer gegebenen Li- Fig. 32. eine Parallel zu führen.

Auflö$ung.

Um durch den gegebenen Punct C mit der Linie AB eine Parallel zu ziehen, $o ziehet von dem Punct C an einen beliebigen Punct B der gegebenen Linie eine Linie CB; nach die$em macht den Winckel BCD dem Winckel ABC gleich, (§. 257.); auf die$e Art werdet ihr die Li- nie CD bekommen, welche mit AB parallel i$t; die$es i$t gantz klar, in- dem die Altern-Winckel ABC und BCD einander gleich $eynd (§. 272.).

* Neunter Lehr-Satz.

277. Durch einen gegebenen Punct K kan mit der Linie Fig. 33. AB nur eine Parallel CD gezogen werden.

Vorbereitung.

Durch den Punct K ziehet eine Linie GH, welche beyde Parallelen durch$chneidet.

Beweis.

Es $eye EF mit AB parallel, $o wäre der Winckel IKF = AIK; (§. 272.) Nun CD i$t mit AB parallel (per $upp._)_, al$o i$t der Win- ckel IKD = AIK (§. 272.) Derowegen wäre der Winckel IKF = IKD (§. 112.). Da nun die$es ungereimt i$t, $o kan durch den Punct K mit AB nur eine Parallel gezogen werden. W. z. E.

* Zehender Lehr-Satz.

278. Wann zwey Linien mit einer dritten Parallel lauffen, Fig. 34. $o $eynd $ie unter $ich parallel.

Vorbereitung.

Ziehet die Linie GH, welche alle drey Linien durch$chneidet.

I. Ca$us. Es $eyen AB und CD mit EF parallel, $o $age ich, da{$s} auch AB und CD miteinander parallel lauffen.

[0138] Beweis.

Weilen AB mit EF parallel i$t, $o i$t der Winckel AIK = EKL (§. 170.); ferner weilen EF mit CD parallel i$t, $o i$t auch der Win- ckel KLD = EKL (§. 272.); Derowegen i$t der Winckel AIK = KLD (§. 112.), und al$o i$t CD mit AB parallel. (§. 272.). W. z. E.

II. Ca$us. Es $eyen EF und CD mit AB parallel, $o $age ich, da{$s} auch EF und CD miteinander parallel lauffen.

Beweis.

Weilen EF mit AB parallel i$t, $o i$t der Winckel AIK = EKL (§. 270.); ferner weilen CD mit AB parallel i$t (per $upp.) $o i$t auch der Winckel AIK = KLD (§. 272.); Derowegen i$t der Win- ckel EKL = KLD (§. 112.), und al$o i$t EF mit CD parallel. (§. 272.). W. z. E.

[0139] Viertes Buch Von Den Eigen$chaften der Dreyecke, Und Der Parallelogrammorum. Erklärungen.

279. EIne gradlinichte Figur i$t eine platte Fläche, welche al- lenthalben mit graden Linien, die man die Seiten hei$$et, einge$chlo$$en i$t; man nennet $ie Dreyeck, wann $ie mit drey Seiten; Viereckigt, wann $ie mit vier Seiten, und Polygon, wann $ie mit mehr als vier Seiten einge$chlo$$en i$t.

280. ⋆ Eine regulare Figur i$t, deren Seiten und Winckel ein- ander gleich $eynd; und eine irregulare Figur i$t, deren Seiten und Winckel einander ungleich $eynd.

281. Man unter$cheidet $echs Arten von Dreyecken; das gleich- $eitige, das gleich$chencklichte, das ungleich$eitige, das recht- wincklichte, das $pitzwincklichte, und das $tumpfwincklichte Dreyeck.

282. Das gleich $eitige hat $eine drey Seiten und Winckel ein- ander gleich; in dem gleich$chencklichten $eynd nur zwey Seiten und zwey Winckel einander gleich, in dem ungleich$eitigen $eynd alle drey Seiten und Winckel einander ungleich; das rechtwincklichte hat ei- nen rechten Winckel, das $tumpfwincklichte hat einen $tumpfen Win- ckel, und in dem $pitzwincklichten Dreyeck $eynd alle drey Winckel $pitzig.

[0140] Anmerckung.

283. * In der Erklärung des gleich$eitigen und gleich$chencklich- ten Dreyecks redet der Herr Auctor von der Gleichheit der Winckel, welches zwar eine von der Natur die$er Dreyecke unzertrennliche Eigen- $chaft i$t, die aber den Anfängern nicht $o gleich in die Augen leuchtet; Derowegen habe ich vor gut befunden, die Gleichheit der Winckel in ob- bemeldten Dreyecken in folgendem zu erwei$en.

284. Die Grund-Linie eines Dreyecks i$t diejenige Seite, auf Fig. 35. welche man aus dem entgegen $tehenden Winckel eine Perpendicular- Linie, welche die Höhe des Dreyecks genennet wird, ziehet: Al$o $iehet man, da{$s} die Grund-Linie des Dreyecks ACB die Seite AB $eye, in An- $ehung der Höhe, oder der Perpendicular-Linie CD, $ie mag nun, als wie hier, die Grund-Linie in zwey Theile AD und DB, die _Segmenta_ hei$- $en, theilen, oder $ie mag vor das Dreyeck hinaus auf die verlängerte Grund-Linie fallen; welches ge$chicht, wann ein Winckel auf der Grund- Linie $tumpf i$t. Man nennet auch oft in einem rechtwincklichten Drey- eck die Seite, die dem rechten Winckel entgegen $tehet, die Grund-Linie de$$elben; vielmehr wird $ie aber _Hypotbenu$a_ genennet.

285. Ein _Trapezium_ i$t eine viereckichte Figur, als wie die Figur Fig. 36. G, deren keine Seite mit der andern parallel lauffet.

286. Ein _Trapezoides_ i$t eine viereckigte Figur, als wie die Figur Fig. 37. H, in welcher nur zwey Seiten miteinander parallel lauffen.

287. Ein _Parallelogrummum_ i$t eine viereckigte Figur, deren die Fig. 38. einander entgegen $tehende Seiten mit einander parallel lauffen, und einander gleich $eynd, als wie die Figur CEDF.

* Anmerckung.

288. Der Herr Auctor la{$s}t in die Erklärung des Parallellogram- mi die Gleichheit der einander entgegen $tehenden Seiten einflie$$en, wel- che aber mu{$s} erwie$en werden, wie ich auch $ie in folgendem erwei$en werde.

289. Eine _Diagonal-_Linie i$t eine Linie als wie CD, welche man Fig. 38. in einem Parallelogrammo von einem Winckel in den andern ziehet.

290. Wann man durch einen Punct A der Diagonal CD eine Linie BG parallel mit ED, und eine andere Linie HI parallel mit DF zie- het, $o bekommt man zwey Parallelogramma BEHA und IAGF, welche _Complementa_ des gantzen Parallelogrammi CEDF genennet werden.

[0141]

291. Aehnliche Figuren $eynd diejenige, welche eine gleiche An- Fig. 39. zahl Seiten haben, und deren corre$pondirende Winckel einander gleich $eynd, und deren Seiten, die die gleiche Winckel ein$chlie$$en, in Pro- portion $tehen; als wie die Dreyecke ABC und DEF.

* Zu$atz.

292. Al$o können ähnliche Figuren $chon an Grö$$e unter$chieden $eyn.

293. * Man $agt, da{$s} A grö$$er $eye als B, wann ein Theil von A der gantzen Grö$$e B gleich i$t.

294. * Um anzuzeigen, da{$s} A grö$$er $eye als B, $o $etzet man A > B.

295. ⋆ Man $agt, da{$s} A kleiner $eye als B, wann A nur einem Theil von B gleich i$t.

296. * Um anzuzeigen, da{$s} A kleiner $eye als B, $o $etzet man A < B.

297. * Man $agt, da{$s} Linien, Winckel und Figuren einan- der decken, wann, indem eine auf die andere gelegt wird, keine vor die andere heraus gehet.

* Grund-Sätze.

298. Linien welche einander decken, $eynd einander gleich; und wann $ie einander gleich $eynd, $o decken $ie einander.

299. Winckel, welche einander decken, $eynd einander gleich; und wann $ie einander gleich $eynd, $o decken $ie einander.

300. Figuren, welche einander decken, $eynd einander gleich und ähnlich.

301. Wann zwey Grö$$en einer dritten ähnlich $eynd, $o $eynd $ie unter $ich ähnlich.

Er$ter Lehr-Satz.

302. Der äu$$ere Winckel eines Dreyecks i$t $einen zwey in- nern entgegen $tehenden zu$ammen genommen gleich; und alle drey Winckel eines Dreyecks machen zu$ammen genommen zwey rechte Winckel aus.

Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s} der äu$$ere Winckel BDC, den zwey innern Fig. 40. entgegen $tehenden A und B zu$ammen genommen, gleich $eye, $o ziehet [0142] durch den Punct D mit AB eine Parallel DE, und betrachtet, da{$s} der Winckel A = EDC (§. 270.) und da{$s} der Winckel B = BDE (§. 272.); da{$s} al$o die Winckel A + B = BDC (§. 116.). Weilen nun dem Win- ckel BDC noch fehlt der dritte Winckel BDA des Dreyecks ABD, um zwey rechte Winckel auszumachen, $o $chlie$$e ich daraus, da{$s} die drey Winckel die$es Dreyecks zu$ammen genommen zwey rechte Winckel aus- machen. W. z. E.

* Er$ter Zu$atz.

303. Aus dem er$ten Theil die$es Lehr-Satzes folget: da{$s} der äu$$ere Winckel allezeit grö$$er $eye als jeder der innern entgegen $tehen- den Winckeln.

Zweyter Zu$atz.

304. Ferner folgt aus dem letztern Theil die$es Lehr-Satzes da{$s}, Fig. 39. wann man zwey Winckel in einem Dreyeck kennet, man den dritten finden kan, indem man die Summe der beyden bekanten Winckel von dem Werth zweyer rechten Winckel abziehet, um die Differenz zu be- kommen, welche der Werth des dritten Winckels, den man $uchet, i$t: Al$o wann man in dem Dreyeck DEF den Winckel E von 50 Graden, und den Winckel D von 70. Graden kennet, $o mu{$s} man, um den Werth des Winckels F zu bekommen, 50 und 70 zu$ammen addiren, und die Summe 120 von 180 Graden abziehen, $o i$t die Differenz 60 der Werth des Winckels F.

Dritter Zu$atz.

305. Weiters folgt noch aus vorigem Lehr-Satz, da{$s} wann in Fig. 39. zweyen Dreyecken, zwey Winckel gleich $eynd zweyen Winckeln, auch der dritte Winckel des er$ten Dreyecks dem dritten des zweyten gleich $eye; dann wann der Winckel A dem Winckel D gleich, und der Win- ckel C dem Winckel F gleich i$t, $o i$t gewi{$s}, da{$s} $o viel Grad der Summ der Winckel A und C als der Summ der Winckel D und F fehlen, um zwey rechte Winckel auszumachen. Da nun die$e Differenz nichts an- ders i$t, als der Werth des dritten Winckels, $o folgt daraus, da{$s} der Winckel B dem Winckel E gleich $eye.

* Vierter Zu$atz.

306. In einem rechtwincklichten Dreyeck kan nur ein rechter Win- ckel $eyn.

[0143] * Fünfter Zu$atz.

307. Um $o viel mehr kan in einem $tumpfwincklichten Dreyeck nur ein $tumpfer Winckel $eyn.

* Sech$ter Zu$atz.

308. Endlich folgt noch aus die$em Lehr-Satz, da{$s}, wann eine Linie gegeben, $amt den zwey daran liegenden Winckeln, deren Summe entweder zweyen rechten Winckeln gleich, oder gar noch grö$$er i$t, dar- aus kein Dreyeck könne gemacht werden. (§. 271. 274.).

Zweyter Lehr-Satz.

309. Zwey Dreyecke $eynd einander gleich und ähnlich, Fig. 41. wann zwey Seiten des einen zweyen Seiten des andern und der darzwi$chen begriffene Winckel dem darzwi$chen begriffenen Winckel des andern gleich $eynd.

Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s} das Dreyeck G dem Dreyeck H gleich $eye, wann die Seite BA = ED, BC = EF, und der Winckel B = E, $o wol- len wir uns einbilden, als wann der Winckel B auf den Winckel E ge- legt wäre; weilen nun die$er Winckel B = E, die Seite BA = ED und BC = EF (per $uppo$.), $o fallt der Punct A auf D, und der Punct C auf F (§. 299. 298.). Derowegen fallt auch die Seite AC auf DF, der Winckel A auf D, und der Winckel C auf F; woraus al$o folget, da{$s} das Dreyeck ABC dem Dreyeck DEF gleich und ähnlich. (§. 300.). W. z. E.

Dritter Lehr-Satz.

310. Zwey Dreyecke $eynd einander gleich und ähnlich, Fig. 41. wann die eine Seite des einen gleich der einen Seite des an- dern, und die _corre$pondi_rende Winckel auf der gleichen Linie einan- der gleich $eynd.

Beweis.

Wann die Seite AC des Dreyecks G der Seite DF des Dreyecks H gleich i$t, und der Winckel A = D und der Winckel C = F, $o i$t gewi{$s}, da{$s} die Dreyecke G und H einander gleich und ähnlich $eynd: Dann wann man $upponirt, da{$s} die Seite AC auf DF gelegt wäre, $o [0144] würde der Punct A auf D und der Punct C auf F fallen (§. 298.); und weilen der Winckel A = D und der Winckel C = F (per $uppo$.) $o fallt der Schenckel AB auf DE, und der Schenckel CB auf FE, (§. 299.). Al$o können die$e Schenckel $ich nicht ander$t antreffen, als in dem Punct E, dergleichen $ie $ich in dem Dreyeck ABC in B antref- fen. Derowegen fällt das Dreyeck ABC vollko\~men auf das Dreyeck DEF; al$o $eynd $ie einander gleich und ähnlich, (§. 300.) und AB = DE, BC = EF und der Winckel B = E. W. z. E.

* Vierter Lehr-Satz.

311. Wann in zweyen Dreyecken ABC und DEF die Seite AC = DF, die Seite AB = DE und die Seite BC = EF, $o i$t das gantze Dreyeck ABC dem Dreyeck DEF gleich und ähnlich.

Vorbereitung.

Aus den Mittel-Puncten A und D, und mit dem Radio AB, oder Fig. 41. DE be$chreibet die Zirckel-Bögen _x_. Ferner aus den Mittel-Puncten C und F, und mit dem Radio CB, oder FE be$chreibet die Zirckel-Bö- gen _y_.

Beweis.

Man $telle $ich vor, als wann das Dreyeck ABC auf DEF al$o ge- legt würde, da{$s} der Punct A auf D, und die Linie AC auf DF fallen würde. Weilen nun AC = DF (per $uppo$.), $o fallt auch der Punct C auf F (§. 298.). Weilen ferner AB = DE und CB = FE (per $uppo$.), $o wird das äu$$er$te der Linie AB in den Bogen _x_ und das äu$$er$te der Linie CB in den Bogen _y_ fallen, da{$s} al$o der Punct B nothwendiger Weis fallen mu{$s} auf E, wo $ich die Zirckel-Bögen _x_ und _y_ durch$chneiden. Falt al$o das gantze Dreyeck ABC auf DEF; De- rowegen $eynd $ie einander gleich und ähnlich (§. 300.), und der Win- ckel A = D, der Winckel C = F, und der Winckel B = E. (§. 299.). W. z. E.

* Er$te Aufgab.

312. Einen gegebenen Winckel CAB in zwey gleiche Theile zu theilen.

Auflö$ung.

Schneidet aus dem Spitz des gegebenen Winckels auf $einen Fig. 42. Schenckeln zwey gleiche Theile AD und AE ab. Aus den Puncten D und E be$chreibet mit beliebiger aber gleicher Eröfnung des Zirckels, [0145] zwey Zirckel-Bögen, welche $ich in F durch$chneiden. Ziehet hernach die Linie AF; die$e wird den Winckel CAB in zwey gleiche Theile theilen.

Vorbereitung.

Ziehet die Linien DF und EF.

Beweis.

Die Linie AF = AF (§. 111.), die Linie AD = AE und DF = EF (per con$tr.); Al$o i$t der Winckel DAF = EAF (§. 311.). W. z. E.

* Zu$atz.

313. Wann man aus dem Mittel-Punct A den Zirckel-Bogen DE zie- het, $o wird die$er Zirckel-Bogen durch die Linie AF eben auch in zwey gleiche Theile getheilet; dann weilen der Winckel CAF = BAF (§. 312.), $o i$t auch der Bogen DG = GE (§. 255. 256.).

* Fünfter Lehr-Satz.

314. In einem gleich$chencklichten Dreyeck ACB $eynd die Fig. 43. Winckel A und B auf der Grund-Linie einander gleich.

Vorbereitung.

Theilet den der Grund-Linie entgegen $tehenden Winckel C in zwey gleiche Theile (§. 312.), und ziehet durch den Theilungs-Punet und den Punct C die Linie CD.

Beweis.

Die Linie CD = CD (§. 111.), die Linie AC = BC (§. 282.), und der Winckel ACD = BCD (per con$tr.). Al$o i$t der Winckel A = B (§. 309.). W. z. E.

* Er$ter Zu$atz.

315. Aus eben die$er Ur$ach i$t auch die Grund-Linie in zwey gleiche Theile getheilet.

* Zweyter Zu$atz.

316. Al$o i$t auch das gantze Dreyeck ACB in zwey gleiche Theile getheilet.

[0146] * Dritter Zu$atz.

317. Ferner folgt hieraus, da{$s} der Winckel ADC = BDC; wei- len nun die Summ die$er beyden Winckel zweyen rechten Winckeln gleich i$t, $o i$t jeder die$er Winckel ein rechter Winckel, derowegen i$t die Li- nie CD auf AB perpendicular. (§. 246.).

* Sech$ter Lehr-Satz.

318. In einem jeden gleich$eitigen Dreyeck $eynd alle drey Winckel einander gleich.

Beweis.

Weilen AB = BC, $o i$t der Winckel A = C (§. 314.), weilen Fig. 44. ferner AB = AC, $o i$t auch der Winckel B = C (§. 314.); Derowe- gen i$t auch der Winckel A = B (§. 112.). Seynd al$o alle drey Win- ckel einander gleich. W. z. E.

* Zu$atz.

319. Al$o i$t jeder Winckel von 60. Graden.

* Siebender Lehr-Satz.

320. In einem jeden Dreyeck ACB i$t die grö$$ere Seite AB Fig. 45. dem grö$$ern Winckel ACB und die kleinere Seite AC dem klei- nern Winckel ABC entgegen ge$etzt.

Vorbereitung.

Weilen AC kleiner i$t als AB (per $uppo$.), $o macht AD = AC und ziehet die Linie CD.

Beweis.

Das Dreyeck ACD i$t gleich$chencklicht (per con$tr.), al$o i$t der Winckel ACD = ADC (§. 314.); Allein der Winckel ADC > ABC (§. 303.); Derowegen i$t auch der Winckel ACD > ABC; Um $o vielmehr i$t al$o ACD + DCB, das i$t, ACB > ABC. W. z. E.

* Achter Lehr-Satz.

321. In einem jeden Dreyeck ACB i$t der grö$$ere Winckel Fig. 45. ACB, der grö$$ern Seite AB, und der kleinere Winckel ABC der kleinern Seite AC entgegen ge$etzt.

[0147] Beweis.

Der Winckel ACB > ABC (per $uppo$.); wann nun AB nicht grö$$er wäre als AC, $o wäre entweder AB = AC, oder AB < AC: in dem er$ten Fall wäre der Winckel ACB = ABC (§. 314.), und in dem andern wäre ACB < ABC (§. 320.); da nun beydes wider die Suppo$ition lauft, $o i$t AB > AC. W. z. E.

* Neunter Lehr-Satz.

322. In einem jeden Dreyeck ACB $eynd zwey Seiten AB Fig. 46. und BC zu$ammen genommen grö$$er als die dritte Seite AC.

Vorbereitung.

Verlängert die Linie AB bis in D, al$o da{$s} BD = BC, und ziehet die Linie CD; $o i$t AD = AB + BC.

Beweis.

Das Dreyeck BCD i$t gleich$chencklicht (per con$tr.), al$o i$t der Winckel BDC = BCD (§. 314.); Derowegen i$t der Winckel BDC < BCD + ACB oder ACD; al$o i$t auch AC < AD, das i$t, AC < AB + BC; oder AB + BC > AC. (§. 321.). W. z. E.

* Zu$atz.

323. Derowegen wann drey Linien gegeben $eynd, da die Summe zweyer Linien kleiner i$t als die dritte, $o kan davon kein Dreyeck ge- macht werden.

* Zehender Lehr-Satz.

324. Wann man von den Enden A und B einer Seite AB Fig. 47. eines Dreyecks ACB Linien AD und BD ziehet, welche $ich in ei- nem Punct D innerhalb des Dreyecks einander antreffen, $o $eynd die$e zwey Linien AD und BD kleiner als die Seiten AC und BC, hingegen machen $ie miteinander einen grö$$ern Winckel ADB.

Vorbereitung.

Verlängert die Linie AD bis in E.

Beweis.

AC + CE > AE (§. 322.); wann man nun beyder$eits EB ad- diret, $o kommt AC + CE + EB > AE + EB, das i$t, AC + CB > [0148] AE + EB. Nun DE + EB > DB (§. 322.); wann man nun bey- der$eits AD addiret, $o kommt DE + EB + AD > DB + AD, das i$t, AE + EB > DB + AD; Um $o vielmehr i$t al$o AC + CB > DB + AD. W. z. E. z. E.

Der Winckel AEB > ACB (§. 303.) und ADB > AEB (§. 303.); Al$o i$t auch ADB > ACB. W. z. A. z. E.

* Eilfter Lehr-Satz.

325. Eine _Diagonal-_Linie CD theilet ein _Parallelogrammum_ Fig. 38. CEDF in zwey gleiche Dreyecke CED und CFD.

Beweis.

Die Linie CD = CD (§. 111.), der Winckel CDE = DCF und der Winckel ECD = FDC (§. 287. 272.); Al$o i$t das Dreyeck CED = CFD (§. 310.). W. z. E.

* Er$ter Zu$atz.

326. Aus eben die$er Ur$ach i$t auch CE = DF und ED = CF; da{$s} al$o in einem jeden Parallelogrammo die einander entgegen $tehende Seiten einander gleich $eynd.

* Zweyter Zu$atz.

327. Ferner folgt daraus, da{$s} der Winckel E = F. Nun der Winckel CDE = DCF, und der Winckel FDC = ECD (per dem. §. 325.); al$o i$t auch CDE + FDC = DCF + ECD (§. 116.), das i$t der Winckel EDF = ECF. Woraus man al$o $iehet, da{$s} in einem jeden Parallelogrammo die einander entgegen $tehende Winckel einander gleich $eynd.

* Dritter Zu$atz.

328. Weiters erhellet daraus, da{$s} ein jedes Dreyeck kan als die Helfte eines Parallelogrammi ange$ehen werden.

* Zwölfter Lehr-Satz.

329. Ein _Quadrat_ i$t ein _Parallelogrammum_.

Vorbereitung.

Ziehet die Diagonal-Linie AD.

Fig. 48. [0149] Beweis.

Die Linie AD = AD (§. 111.) CD = AB und AC = BD (§. 19.); Al$o i$t der Winckel CAD = BDA, und der Winckel CDA = BAD (§. 311.); Derowegen lauffen die Linien CD und AB, wie auch AC und BD miteinander parallel (§. 272.). Al$o i$t das Quadrat ACDB ein Parallelogrammum (§. 287.). W. z. E.

* Zu$atz.

330. Auf eben die$e Art erwei$et man auch, da{$s} die Rectangula Parallelogramma $eynd.

Dreyzehender Lehr-Satz.

331. _Parallelogramma_, welche auf einerley Grund-Linie und zwi$chen einerley Parallelen $tehen, $eynd einander gleich.

Beweis.

Ich $age, da{$s} das Parallelogrammum BACD dem Parallelogrammo Fig. 49. BEFD gleich $eye, wann $ie nemlich auf einerley Grund-Linie BD und zwi$chen einerley Parallelen AF und BH $tehen.

Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} die Winckel ABH und CDH, desgleichen auch die Winckel EBH und FDH einander gleich $eynd (§. 270.) indem $o wohl die er$ten als die zweyten von Parallelen, die auf eine dritte Linie BH fallen, formirt werden; wann man nun die letztere von den er$tern abziehet, $o bleibt der Winckel ABE = CDF (§. 117.) Da nun auch die Seiten, die die gleiche Winckel ABE und CDF ein$chlie$$en, auch re$pectivè einander gleich $eynd (§. 326.), in dem $ie die in Parallelogrammis einander entgegen $tehenden Seiten $eynd, $o i$t das Dreyeck ABE dem Dreyeck CDF gleich (§. 309.); wann man nun von die$en beyden Dreyecken das Dreyeck CGE, welches beyden ge- mein i$t, abziehet; $o bleibt das Trapezoides BACG = DGEF (§. 117.), zu welchen man addirt das Dreyeck BGD, welches uns al$o wei{$s}t, da{$s} das Parallelogrammum BACD = BEFD (§. 116.). W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

332. Aus vorhergehendem Lehr-Satz folget, da{$s} Parallelogramma, wel- Fig. 50. che gleiche Grund-Linien haben, und zwi$chen einerley Parallelen $tehen, einander gleich $eynd; Dann um zu erwei$en, da{$s} das Parallelogram- mum CABD dem Parallelogrammo EGHF gleich $eye, wann nemlich die Grund-Linien CD und EF einander gleich $eynd, mu{$s} man nur die Li- [0150] nien CG und DH ziehen, welche das Parallelogrammum CGHD aus- machen, und betrachten, da{$s} die$es Parallelogrammum dem Parallelo- grammo CABD gleich $eye, weilen $ie einerley Grund-Linien CD haben, und da{$s} eben die$es Parallelogrammum auch dem Parallelogrammo EGHF gleich $eye, weilen $ie wiederum einerley Grund-Linie GH haben, da{$s} al$o die Parallelogramma CABD und EGHF einander gleich $eynd, wei- len ein jedes der$elben einem dritten gleich i$t.

* Zweyter Zu$atz.

333. Weilen zwey Parallelogramma, welche zwi$chen einerley Parallelen $tehen, auch einerley Höhe haben, (§. 284. 244.); $o mu{$s} alles, was vorher erwie$en worden, auch auf die Parallelogramma, die einerley Höhe haben, gezogen werden.

Vierzehender Lehr-Satz.

334. Dreyecke $eynd einander gleich, wann $ie einerley Grund-Linien haben, und zwi$chen einerley Parallelen $tehen.

Beweis.

Man wird leicht ver$tehen, da{$s} die Dreyecke BCD und BFD ein- Fig. 51. ander gleich $eynd, wann $ie nemlich einerley Grund-Linie BD haben, und zwi$chen einerley Parallelen $tehen; dann wann man betrachtet, da{$s} $ie die Helften von den gleichen Parallelogrammis BCAD und BFED $eyen (§. 328.), $o $iehet man, da{$s} weilen die gantze einander gleich $eynd (§. 331.), auch die Helften einander gleich $eyn mü$$en (§. 119.). W. z. E.

* Er$ter Zu$atz.

335. Al$o $eynd auch Dreyecke, welche gleiche Grund-Linien ha- ben, und zwi$chen einerley Parallelen $tehen, einander gleich (§. 332. 328.).

* Zweyter Zu$atz.

336. Dreyecke, welche einerley, oder gleiche Grund-Linien und einerley Höhe haben, $eynd einander gleich (§. 333. 328.).

Dritter Zu$atz.

337. Ferner folgt aus vorhergehendem Lehr-Satz, da{$s}, wann Fig. 52. ein Parallelogrammum ABDC und ein Dreyeck AEC einerley Grund- Linie AC, oder auch nur gleiche Grund-Linien haben, und zwi$chen ei- [0151] nerley Parallelen $tehen, das Dreyeck AEC die Helfte von dem Paral- lelogrammo ABDC $eye; Dann das Dreyeck ABC, welches dem Drey- eck AEC gleich i$t, i$t auch die Helfte des Parallelogrammi ABDG (§. 325.).

Vierter Zu$atz.

338. Weilen das Dreyeck ABC dem Dreyeck AEC gleich i$t, $o Fig. 52. i$t gewi{$s}, da{$s} weilen $ie einerley Grund-Linie AC haben, $ie auch einer- ley Höhe haben mü$$en. Nun weilen die Höhe des er$ten die Perpen- dicular-Linie AB i$t, $o i$t die Höhe des zweyten die Perpendicular-Li- nie EF, welche der Perpendicular AB gleich i$t (§. 244.); die$es wei$et uns, da{$s} die Höhe eines Dreyecks, de$$en Spitze über die Grund-Linie hinaus gehet, die Perpendicular-Linie $eye, die man aus dem Spitz des Dreyecks auf die verlängerte Grund-Linie ziehet. Eben die$es wird auch von den $chief-ligenden Parallelogrammis erwie$en.

Fünfter Zu$atz.

339. Weilen das Dreyeck ABC die Helfte i$t von dem Parallelo- Fig. 53. grammo AIGC, $o i$t es dem Parallelogrammo ADEC gleich, de$$en Hö- he HF die Helfte der Perpendicular-Linie BF i$t, die zur gemeinen Hö- he des Dreyecks und des Parallelogrammi dient; Da man nun, um den Inhalt des Parallelogrammi ADEC zu finden, mu{$s} die Grund-Linie AC durch $eine Höhe HF, als der Helfte der Perpendicular-Linie BF multipliciren, $o folgt daraus, da{$s}, wann man die Grund-Linie ei- nes Dreyecks durch die Helfte $einer Perpendicular-Höhe, oder welches eben $o viel i$t, die gange Perpendicular-Höhe durch die Helfte der Grund-Linie _multiplici_rt, das _Product_ den Inhalt des Dreyecks gebe.

Sech$ter Zu$atz.

340. Wann man betrachtet, als wann ein Dreyeck ABC aus ei- Fig. 54. ner unendlichen Anzahl Parallel-Linien be$tünde, welche die Elementa da- von $eynd, und da{$s}, wann $ie alle gleichweit voneinander entfernet $eynd, immer eine um einerley Grö$$e grö$$er wäre als die andere, $o $iehet man, da{$s} $ie eine Progre$$ionem Arithmeticam von einer unendlichen Anzahl Terminorum, die von 0 anfangen, ausmachen, und deren Summ durch die Perpendicular-Linie BD ausgedruckt wird. Nun weilen man den Inhalt eines Dreyecks, oder nunmehro die Summ aller die$er Paralle- len findet, wann man die Grö$te, das i$t die Grund-Linie durch die Helfte der Grö$$e, die der$elben Anzahl ausdruckt, das i$t, durch die [0152] Helfte der Perpendicular-Linie BD multipliciret, $o folgt al$o, da{$s} man aus die$en Vernunft-Schlü$$en folgendes Principium ziehen kan, da{$s} nemlich die Summ einer unendlichen Anzahl _Terminorum_ die in ei- ner _Progre$$ione Arithmeticâ_ $tehen, und von 0 anfangen, gleich $eye dem _Product_, welches ent$tehet, wann man den grö$ten _Terminum_ durch die Helfte der Grö$$e, welche die Anzahl der _Terminorum_ ausdruckt, _multiplici_ret.

Man mu{$s} $ich beflei$$igen, die$en Zu$atz wohl zu ver$tehen, indem wir uns de$$elben mit Nutzen in künftigem bedienen werden.

Fünfzehender Lehr-Satz.

341. Die _Complementa_ der _Parallelogrammorum_ $eynd einander gleich.

Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s} die Complementa BEHA und IAGF einander Fig. 38. gleich $eynd, $o betrachtet, da{$s} das Parallelogrammum CEDF durch die Diagonal-Linie CD in zwey gleiche Dreyeck CED und CFD getheilet wird, desgleichen auch die Parallelogramma CBAI und AHDG (§. 325.): wann man nun von dem Dreyeck CED die beyde Dreyecke CBA und AHD abziehet, $o bleibt das Complementum BEHA übrig; und wann man von dem Dreyeck CFD die Dreyecke CIA und AGD abziehet, wel- che den zwey vorhergehenden gleich $eynd, $o bleibt das Complementum IAGF, welches dem Complemento BEHA gleich i$t, übrig; weilen, wann man gleiches von gleichem $ubtrahirt, gleiches übrig bleibt. W. z. E.

Sechszehender Lehr-Satz.

342. _Parallelogramma_, welche einerley Höhe haben, verhalten $ich gegeneinander als wie ihre Grund-Linien.

Beweis.

Ich $age, da{$s}, wann die Parallelogramma E und F einerley Höhe Fig. 55. haben, $ie $ich gegeneinander verhalten, als wie ihre Grund-Linien.

Um die$es zu bewei$en, $o nenne ich a die Grund-Linie des er$ten; b die Grund-Linie des zweyten, und c ihre gemeine Höhe, $o i$t das er- $te Parallelogrammum = ac, und das zweyte = bc; daraus $chlie$$e ich al$o, da{$s} ac. bc : : a. b weilen abc = abc (§. 176.). W. z. E.

[0153] Zu$atz.

343. Aus die$em Lehr-Satz folget, da{$s} zwey Dreyecke ABC und Fig. 56. CBD, wann $ie einerley Höhe BE haben, indem ihre Spitze in einem Punct B zu$ammen kommen, $ich auch gegeneinander verhalten, als wie ihre Grund-Linien AC und CD; dann weilen die Dreyecke Helften $eynd von Parallelogrammis, $o verhalten $ie $ich als wie ihre Gantze.

* Siebenzehender Lehr-Satz.

344. _Parallelogramma_, welche gleiche Grund-Linien haben, Fig. 57. verhalten $ich gegeneinander, als wie ihre Höhen.

Es $eyen die Grund-Linien AB und EF = a, die Höhe AC = b, und die Höhe GE = c, $o i$t das Parallelogrammum ACDB = ab, und das Parallelogrammum EGHF = ac.

Beweis.

Es i$t gantz klar, da{$s} ab, ac : : b, c, indem abc = abc (§. 176.). W. z. E.

* Zu$atz.

345. Weilen ab. ac : : b. c (§. 344.), und ab, ac : : {ab / 2}. {ac / 2} (§. 199.), $o i$t auch {ab / 2}. {ac / 2} : : b. c (§. 189.). Die$es wei$et uns, da{$s} auch Dreyecke, als Helften von Parallelogrammis, wann $ie gleiche Grund-Linien haben, $ich gegeneinander verhalten, als wie ihre Höhen.

* Achtzehender Lehr-Satz.

346. Wann _Parallelogramma_ $ich gegeneinander verhalten als wie ihre Höhen, $o $eynd ihre Grund-Linien einander gleich.

Es $eye die Grund-Linie des er$ten = a, $eine Höhe = b, die Grund-Linie des zweyten = c und $eine Höhe = d, $o i$t das er$te Paral- lellogrammum = ab und das zweyte = cd.

Beweis.

Weilen ab, cd : : b, d (per $uppo$.), $o i$t abd = cdb (§. 169.) derowegen, wann man beydes durch bd dividirt, i$t a = c. (§. 119.). W. z. E.

[0154] * Zu$atz.

347. Weilen Dreyecke Helften $eynd von Parallelogrammis, $o haben auch Dreyecke, welche $ich gegeneinander verhalten, als wie ihre Höhen, gleiche Grund-Linien.

* Neunzehender Lehr-Satz.

348. _Parallelogramma_, die $ich gegeneinander verhalten, als wie ihre Grund-Linien, haben einerley Höhe.

Es $eye die Grund-Linie des er$ten = a, $eine Höhe = b, die Grund- Linie des anderten = c, und $eine Höhe = d, $o i$t das er$te Parallelo- grammum = ab, und das zweyte = cd.

Beweis.

Weilen ab, cd : : a, c (per $uppo$.) $o i$t abc = acd (§. 169.), und al$o, wann man beydes durch ac dividirt, b = d. (§. 119.). W. z. E.

* Zu$atz.

349. Al$o haben auch Dreyecke, die $ich gegeneinander verhalten, als wie ihre Grund-Linien, einerley Höhe.

* Zwantzig$ter Lehr-Satz.

350. Wann man den einen Winckel ACB eines Dreyecks Fig. 58. ACB durch eine Linie CD in zwey gleiche Theile theiler, $o ver- halten $ich die _Segmenta_ AD und DB gegeneinander, als wie die an- dere Seiten AC und CB.

Vorbereitung.

Aus dem Punct D ziehet auf AC und CB die Perpendicular-Li- nien DE und DF.

Beweis.

Die Seite DC = DC (§. 111.), der Winckel DEC = DFC (§. 255.) und der Winckel ECD = FCD (per $upp.); Al$o i$t auch der Winckel EDC = FDC (§. 305.). Derowegen i$t die Seite ED = DF (§. 310.). Al$o haben die Dreyecke ACD und DCB in An$e- hung der Grund-Linien AC und CB gleiche Höhe; Dergleichen $ie auch haben in An$ehung der Grund-Linien AD und DB. Al$o können wir $agen, das Dreyeck ACD, DCB : : AC, CB und das Dreyeck ACD, [0155] DCB : : AD. DB (§. 343.); woraus al$o folget, da{$s} AC, CB : : AD, DB (§. 189.). W. z. E.

* Ein und zwantzig$ter Lehr-Satz.

351. Wann eine grade Linie CD, die den Winckel ACB Fig. 43. in zwey gleiche Theile theilet, auch die Grund-Linie AB in zwey gleiche Theile theilet, $o i$t das Dreyeck ACB gleich$chencklicht.

Es $eye AD = DB = a, AC = b, und BC = c.

Beweis.

Weilen CD den Winckel ACB in zwey gleiche Theile theilet (per $upp.), $o i$t AD, DB : : AC, CB (§. 350.), das i$t a, a : : b, c; De- rowegen i$t a, b : : a, c (§. 181.); Al$o i$t b = c (§. 196.), das i$t, AC = BC. I$t al$o das Dreyeck ACB gleich$chencklicht (§. 282.). W. z. E.

Zwey und zwantzig$ter Lehr-Satz.

352. Wann man durch eine Linie, die mit der Grund-Li- nie eines Dreyecks parallel lauffet, die Seiten des Dreyecks durch- $chneidet, $o werden $ie _proportionaliter_ durchge$chnitten.

Bewels.

Ich $age, da{$s} die Seiten AB und AC, welche durch die Linie DE, Fig. 59. die mit der Grund-Linie BC des Dreyecks ABC parallel lauffet, durchge- $chnitten werden, proportionaliter durchge$chnitten werden, das i$t, da{$s} man $agen kan AD. DB : : AE. EC. Um die$es zu erwei$en, $o ziehet die Linien BE und DC, welche zwey gleiche Dreyeck formiren, indem $ie auf einerley Grund-Linie DE und zwi$chen einerley Parallelen $tehen; Derowegen benenne ich jedes die$er gleichen Dreyecke mit g, und das Dreyeck ADE mit f; weilen nun die Dreyecke ADE und DBE einerley Höhe haben, indem ihre Spitze in dem Punct E zu$ammen kommen, $o verhalten $ie $ich als wie ihre Grund-Linien (§. 343.) und al$o i$t f, g : : AD, DB; Desgleichen weilen auch die Dreyecke ADE und EDC einerley Höhe haben, $o verhalten $ie $ich auch gegeneinander, als wie ihre Grund-Linien, derowegen i$t f, g : : AE, EC; Al$o weilen wir zwey Verhältni$$e haben, die einer dritten gleich $eynd, $o folgt al$o da{$s} AD, DB : : AE, EC (§. 189.). W. z. E.

[0156] * Er$ter Zu$atz.

353. Weilen AD, DB : : AE, EC, $o i$t auch DB, AD : : EC, AE (§. 180.).

* Zweyter Zu$atz.

354. Ferner i$t auch AD, AE : : DB, EC, (§. 181.).

* Dritter Zu$atz.

355. Roch i$t auch AD + DB, AD : : AE + EC, AE und AD + DB, DB : : AE + EC. EC. (§. 182.).

Erklärung.

356. In ähnlichen Dreyecken, oder in allen andern ähnlichen Fi- Fig. 60. guren werden diejenige Seiten, die den gleichen Winckeln entgegen $te- hen, die _corre$pondi_rende, oder die _Proportional-_Seiten genennet; Z. E. Um zu $agen, da{$s} AB, DE : : AC, DF, $o mu{$s} der Winckel C = F und der Winckel B = E $eyn.

Drey und zwantzig$ter Lehr-Satz.

357. In ähnlichen Dreyecken $tehen die _corre$pondi_rende Sei- Fig. 61. ten in _Proportion_.

Beweis.

Wann das Dreyeck ABC dem Dreyeck CED ähnlich i$t, $o $age ich, da{$s} die Seite AB $ich verhalt zu AC, als wie die Seite CE zu CD; um die$es zu erwei$en, $o hänge ich die beyde Grund-Linien der Drey- ecke in eine grade Linie zu$ammen, und verlängere die Seiten AB und DE, bis $ie einander in dem Punct F antreffen. Nach die$em $age ich, da{$s} weilen das Dreyeck ABC dem Dreyeck CED ähnlich (per $upp.), der Winckel BCA = FDC (§. 291.) und da{$s} al$o die Seite BC mit FD varallel lauffe (§. 270.); Ferner i$t auch wegen der Gleichheit der Winckel FAC und ECD die Seite CE mit AF parallel; Da{$s} al$o die Figur CBFE ein Parallelogrammum i$t (§. 287.) in welchem al$o die Seite BF = CE. Weilen nun die Seiten AF und AD des Dreyecks AFD von einer Linie BC, die mit FD parallel lauffet (per dem.), durch- ge$chnitten werden, $o bekommt man AB, BF : : AC, CD (§. 352.), und wann man an die Stelle BF $etzet CE was ihm gleich i$t (per dem.), $o kommt AB, CE : : AC, CD und alternando AB, AC : : CE, CD.

[0157] Er$ter Zu$atz.

358. Wann man zwey ähnliche Dreyecke M und N hat, $o be- Fig. 60. kommt man nach vorhergehendem Lehr-Satz a, b : : c, d und al$o ad = bc, welches uns wei$et, da{$s} wann man in zweyen ähnlichen Dreyecken zwey corre$pondirende, und wieder zwey andere corre$pondirende Sei- ten nimt, man allezeit zwey gleiche Rectangula daraus formiren kan.

Zweyter Zu$atz.

359. Ferner folgt daraus, da{$s} wann man zwey ähnliche Drey- ecke hat, davon man zwey Seiten in dem einen, und nur eine Seite in dem andern kennet, man die andere Seite in dem andern $inden kan: Dann wann man in den Dreyecken M und N die Seite a z. E. von 12 Schuhen, die Seite b von 8, und die Seite c von 9 Schuhen kennet, und man die Seite d finden will, $o dörf man nur eine Regel de Tri machen und $agen, wann 12 geben 8, wie viel geben 9? Da wird man 6 Schuh finden vor den Werth der Linie d. Al$o verfahrt auch mit den andern.

Bericht an den Le$er.

Der vorhergehende Lehr-Gatz i$t einer von den vornehm$ten der gantzen Geometrie; Dann er i$t als wie der Grund davon; Dero- wegen mu{$s} man $ich beflei$$en, ihn wohl zu ver$tehen, um diejenige, wel- che al$o gleich folgen, zu begreiffen, indem $ie fa$t alle durch die$e erwie- $en werden.

* Vier und zwantzig$ter Lehr-Satz.

360. Wann man in einem Dreyeck BAC mit der Grund- Fig. 59. Linie BC eine Parallel DE ziehet, $o i$t BA, BC : : DA, DE.

Beweis.

Der Winckel BAC = DAE (§. 111.), der Winckel ABC = ADE und der Winckel ACB = AED (§. 270.); Al$o i$t das Dreyeck BAC dem Dreyeck DAF ähnlich (§. 291.); Derowegen i$t BA, BC : : DA, DE (§. 357.). W. z. E.

* Er$ter Zu$atz.

361. Al$o i$t auch BC, BA : : DE, DA. (§. 180.)

[0158] * Zweyter Zu$atz.

362. Ferner i$t auch BA, DA : : BC, DE (§. 181.).

* Fünf und zwantzig$ter Lehr-Satz.

363. Wann in zweyen Dreycken ACB und DFE die _corre-_ Fig. 62. _$pondi_rende Seiten in _Proportion_ $tehen; $o $eynd die$e Dreyecke ein- ander ähnlich.

Vorbereitung.

Macht den Winckel BAG = FDE und den Winckel ABG = DEF, $o i$t auch der dritte Winckel G = F.

Beweis.

Auf die$e Art i$t das Dreyeck AGB dem Dreyeck DFE ähnlich (§. 291.) und derowegen i$t DF, AG : : DE, AB (§. 357.). Nun DF, AC : : DE, AB (per $uppo$.); Derowegen i$t DF, AG : : DF, AC (§. 189.); Al$o i$t AG = AC (§. 196.). Auf eben die$e Art wird auch erwie$en, da{$s} GB = BC. Ferner i$t AB = AB; Al$o i$t der Winckel GAB = CAB (§. 31@.); nun der Winckel GAB = FDE (per con$tr.), al$o i$t auch der Winckel CAB = FDE (§. 113.). Auf eben die$e Art wird auch erwie$en, da{$s} der Winckel ABC = DEF und ACB = DFE. Derowegen $eynd die Dreyecke ACB und DFE einander ähnlich (§. 291.). W. z. E.

* Sechs und zwantzig$ter Lehr-Satz.

364. Wann in zweyen Dreyecken ACB und DFE ein Win- Fig. 62. ckel BAC gleich i$t einem Winckel EDF, und wann die Seiten, die die gleiche Winckel ein$chlie$$en, in einer _Proportion_ $tehen, das i$t, wann man $agen kan AB, DE : : AC, DF, $o $eynd die Dreyecke ACB und DFE einander ähnlich.

Vorbereitung.

Macht den Winckel BAG = EDF und den Winckel ABG = DEF, $o i$t auch der dritte Winckel G = F.

Beweis.

Der Winckel BAG = EDF (per con$t.), und der Winckel BAC = EDF (per $upp.). Al$o i$t der Winckel BAC = BAG (§. 113.); [0159] Uber die$es i$t die Seite AB = AB, und wie in dem vorigen Lehr-Satz erwie$en worden, i$t auch die Seite AC = AG; Derowegen i$t auch der Winckel ABC = ABG (§. 309.). Allein der Winckel DEF = ABG (per con$tr.); Al$o i$t auch der Winckel ABC = DEF. Dero- wegen i$t auch der Winckel ACB = DFE. (§. 305.). I$t al$o das Dreyeck ACB dem Dreyeck DFE ähnlich (§. 291.). W. z. E.

* Zweyte Aufgab.

365. Eine grade Linie AB nach _Proportion_ einer andern gege- benen und getheilten Linie CD abzutheilen.

I. Ca$us, wann die abzutheilende Linie AB kleiner i$t als die abge- Fig. 63. theilte Linie CD.

Auflö$ung.

Nehmet die Linie CD zur Grund-Linie an, auf welche ihr ein gleich- $eitig Dreyeck CED aufrichtet. Fa$$et die gegebene Linie AB mit dem Zirckel und macht EL = EM = AB. Ziehet die Linie LM; und durch die Theilungs-Puncten F und G, ziehet die Linien FE und GE, welche die Linie LM eintheilen werden nach Proportion als CD eingetheilet i$t.

Beweis.

Der Winckel LEM + ELM + EML = CED + ECD + EDC, indem jedes Glied die$er Gleichung zweyen rechten Winckeln gleich i$t (§. 302.). Al$o i$t der Winckel ELM + EML = ECD + EDC (§. 117); Allein der Winckel ELM = EML, und der Winckel ECD = EDC (§. 314.); Derowegen kan man in voriger Gleichung $etzen 2ELM = 2ECD; Al$o i$t der Winckel ELM = ECD (§. 119.); Derowegen i$t die Linie LM mit CD parallel (§. 270.); Woraus al$o folget, da{$s} CE, LE : : CD, LM (§. 360.); Allein CE = CD (per con$tr.); Al$o kan man $etzen CE, LE : : CE, LM; Derowegen i$t LE = LM (§. 196.); Nun LE = AB (per con$tr.); Al$o i$t auch LM = AB (§. 112.). Weilen nun LM mit CD parallel lauft (per dem.) $o i$t FE, IE : : FD, IM und FE, IE : : FG, HI (§. 362.); Derowegen i$t auch FD, IM : : FG, HI (§. 189.). Auf gleiche Art findet man auch da{$s} FG, HI : : GC, = HL. Da{$s} al$o die Linie LM oder AB in die begehrte Theile ein- getheilet worden. W. z. E.

II. Ca$us; Wann die abzutheilende Linie AB grö$$er i$t als die ge- gebene abgetheilte Linie CD.

[0160] Auflö$ung.

Nehmet die Linie CD zur Grund-Linie an, auf welche ihr ein gleich- Fig. 64. $eitig Dreyeck CED aufrichtet. Verlängert die Seiten EC und ED bis in L und M al$o da{$s} EL = EM = AB, und ziehet die Linie LM. Durch die Theilungs-Puncten I und H ziehet die Linien EG und EF, welche die Linie LM oder AB in die begehrte Theile eintheilen werden.

Beweis.

I$t fa$t als wie zuvor.

* Zu$atz.

366. Auf obige Art kan man auch leicht eine gegebene Linie in $o viel gleiche Theile eintheilen, als man will; wann man nemlich eine an- dere Linie, die in eben $o viel Theile eingetheilet i$t, zur Grund-Linie an- nimmt.

Sieben und zwantzig$ter Lehr-Satz.

367. Wann man aus dem Spitz des rechten Winckels ei- nes rechtwincklichten Dreyecks auf die _Hypothenu$am_ eine Perpen- dicular-Linie fallen lä{$s}t, $o theilet $ie das Dreyeck in zwey ande- re Dreyeck, welche dem gantzen ähnlich $eynd.

Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s} die Perpendicular-Linie BD, die man aus dem Fig. 65. Spitz des rechten Winckels ABC auf die Hypothenu$am fallen lä{$s}t, zwey Dreyecke ABD und BDC formire, die dem gantzen ABC äynlich $eynd, $o betrachtet, da{$s} jedes der Dreyecke ABC und ABD einen rech- ken Winckel, und einen gemeinen Winckel A habe, und da{$s} al$o auch der dritte Winckel ABD = ACB (§. 305.); Woraus al$o folget, da{$s} das Dreyeck ABC dem Dreyeck ABD ähnlich (§. 291.): Auf gleiche Weis $iehet man auch, da{$s} weilen jedes der Dreyecke ABC und BDC einen rechten Winckel und einen gemeinen Winckel C haben, auch die$e einander ähnlich $eynd. W. z. E.

* Er$ter Zu$atz.

368. Aus die$em Lehr-Satz folget al$o, da{$s} auch die Dreyecke ABD und BDC einander ähnlich $eyen (§. 301.).

[0161] * Zweyter Zu$atz.

369. Derowegen i$t AD, DB : : DB, DC (§. 357.); i$t al$o die Perpendicular BD die mittlere Proportional-Linie zwi$chen den Segmen- tis AD und DC der Hypothenu$æ.

* Dritter Zu$atz.

370. Daraus folget al$o, da{$s},

    DB
^2 = AD × DC (§. 171.), wel- ches uns al$o wei$et, da{$s} das Quadrat der Perpendicular-Linie B _D_ gleich $eye dem Rectangulo der Segmentorum.

Acht und zwantzig$ter Lehr-Satz.

371. In einem jeden rechtwincklichten Dreyeck i$t das _Qua-_ _drat_ der _Hypothenu$œ_ gleich den _Quadrat_en der zwey übrigen Seiten zu$ammen genommen.

Wann man aus dem Spitz des rechten Winckels B die Perpendi- Fig. 66. cular-Linie B_D_ auf die _Hypothenu$am_ AC fallen lä{$s}t, und man AC mit a, AB mit b, BC mit c und A_D_ mit x benennet, $o i$t DC = a - x. Da wollen wir nun wei$en, da{$s} aa = bb + cc, das i$t, da{$s}

    AC
^2 =
    AB
^2 +
    BC
^2.

Beweis.

Weilen die Perpendicular B_D_ das rechtwincklichte Dreyeck ABC in zwey ähnliche Dreyecke BA_D_ und _D_BC zertheilet (§. 367.), $o i$t AC, AB : : AB, AD und AC, BC : : BC, DC (§. 357.), das i$t, a, b : : b, x und a, c : : c, a - x, welches uns die zwey folgende Gleichungen ax = bb und aa - ax = cc gibt: Wann man nun die$e zwey Gleichun- gen zu$ammen addirt, $o bekommt man aa - ax + ax = bb + cc, aus welcher, wann man aus$treicht, was $ich de$truirt, man bekommt aa = bb + cc, das i$t,

    AC
^2 =
    AB
^2 +
    BC
^2. W. z. E.

Zu$atz.

372. Die$er Lehr-Satz i$t die $o berühmte $ieben und viertzig$te Propo$ition des er$ten Buchs Euclidis, vor welche Pythagoras, nachdem er $ie erfunden, den Mu$en-Göttinnen hundert Och$en geopfert, um ih- nen vor den Bey$tand, den er von ihnen erhalten zu haben glaubte, Danck abzu$tatten: damit man aber zum Voraus wi$$e, welchen Ge- [0162] brauch, wir inskünftige davon machen werden, $o mu{$s} man mercken, da{$s} wann man die Quadrata zweyer Seiten eines rechtwincklichten Dreyecks kennet, man allezeit das Quadrat der dritten Seite finden könne; Dann wann man hat

    AC
^2 (aa) und
    AB
^2 (bb), $o $iehet man, da{$s} man $etzen kan
    AC
^2 -
    AB
^2 =
    BC
^2, oder aa - bb = cc, welches den Werth des Quadrats der Seite BC gibt. Ferner $iehet man, da{$s} wann man die zwey Seiten, die den rechten Winckel formiren, kennet, man die Hypothenu$am findet, indem man die$e zwey Seiten Quadriret, und aus jedem Glied der Gleichung aa = bb + cc die Quadrat-Wurtzel aus- ziehet, um a = bb + cc zu bekommen; Desgleichen, wann man die Hypothenu$am, $amt einer andern Seite kennet, und man die dritte Seite finden will, $o dörf man nur das Quadrat der Seite, die man kennet, von dem Quadrat der Hypothenu$æ abziehen, und aus der _D_if- ferenz die Quadrat-Wurtzel ausziehen, welche der Werth der dritten Seite, die man $uchet, $eyn wird; al$o wann man die zwey Seiten AC und BC kennet, $o $iehet man leicht, da{$s} aa - cc = AB.

Neun und zwantzig$ter Lehr-Satz.

373. In einem $tumpfwincklichten Dreyeck ABC i$t das Fig. 67. _Quadrat_ der Seite AC, die dem $tumpfen Winckel entgegen $tehet, gleich den _Quadrat_en der zweyen andern Seiten AB und BC zu$am- men genommen, wann man noch zu ihnen _addi_rt zwey _Rectangula_, die ent$tehen, wann man die Grund-Linie BC, welche wegen der Perpendicular-Linie A_D_ verlängert worden, mit dem Theil _D_B welcher zwi$chen der Perpendicular-Linie und dem $tumpfen Winckel $tehet, _multiplici_rt.

Es $eye AC = a, AB = c, BC = b, BD = x und AD = y, $o i$t al$o DC = b + x; Dawollen wir erwei$en, da{$s} aa = cc + bb + 2bx das i$t, da{$s}

    AC
^2 =
    AB
^2 +
    BC
^2 + 2BC × BD.

Beweis.

Weilen das rechtwincklichte Dreyeck A_D_C uns

    AC
^2 =
    AD
^2 +
    DC
^2, oder aa = yy + bb + 2bx + xx und das rechtwincklichte Dreyeck A_D_B uns
    AB
^2 =
    AD
^2 +
    BD
^2, oder cc = yy + xx gibt, $o $iehet man, da{$s} wann man in dem zweyten Glied der er$ten Gleichung an die Stelle von yy [0163] + xx $etzet cc, man bekomme aa = cc + bb + 2bx, oder
    AC
^2 =
    AB
^2 +
    BC
^2 + 2BC × BD. W. z. E.

Zu$atz.

374. Wann man al$o ein Dreyeck ABC hat, de$$en drey Seiten man kennet, kan man durch Hülf die$es Lehr-Satzes die Perpendicular-Linie A_D_, die die Höhe des Dreyecks i$t, finden; dann weilen aa = cc + bb + 2bx, $o bekommt man, wann man cc + bb aus dem zweyten Glied in das er$te bringt, aa - cc - bb = 2bx; welche Gleichung, wann $ie durch 2b dividirt wird, uns gibt {aa - cc - bb / 2b} = x; Die$es wei$et uns al$o, da{$s} man den Werth von B_D_ findet, wann man die Quadrata der Seiten AB und BC von dem Quadrat der Seite AC, die dem $tumpfen Winckel entgegen $tehet, abziehet, und den Uberre$t durch das doppelte der Linie BC dividiret. Nun weilen das Dreyeck A_D_B gibt cc = yy + xx, $o bekommt man y, wann man xx in das er$te Glied bringt, um cc - xx = yy zu haben, und aus beyden Gliedern die Quadrat-Wurtzel ausziehet, um cc - xx = y zu bekommen; Die$es wei$et uns, da{$s} man die Perpendicular-Linie A_D_ findet, wann man das Quadrat der Linie B_D_ von dem Quadrat der Linie AB abziehet, und aus dem Uberre$t die Quadrat-Wurtzel ausziehet.

Drey$$ig$ter Lehr-Satz.

375. In einem jeden Dreyeck als wie _ABC_, i$t das _Quadrat_ Fig. 68. der Seite _AB_, die einem $pitzigen Winckel _C_ entgegen $tehet, $amt zweyen _Rectangulis_, die ent$tehen, wann man die Seite _AC_, auf welche die Perpendicular-Linie _BD_ fallet, mit dem _Segmento DC_, welches zwi$chen der Perpendicular-Linie und dem $pitzigen Winckel begriffen i$t, _multiplici_ret, gleich den _Quadrat_en deren zwey andern Seiten _AC_ und _BC_ zu$ammen genommen.

Es $eye AB = a, BC = b, AC = c, BD = y, DC = x, $o i$t AD = c - x; Da wollen wir erwei$en, da{$s} aa + 2cx = cc + bb, das i$t, das

    AB
^2 + 2AC × DC =
    AC
^2 +
    BC
^2.

Beweis.

Die rechtwincklichte Dreyecke BA_D_ und B_D_C geben uns

    AB
^2 = [0164]
    BD
^2 +
    AD
^2 und
    BC
^2 =
    BD
^2 +
    DC
^2, das i$t, aa = yy + cc - 2cx + xx und bb = yy + xx (§. 371.); Wann man nun in die$er Gleichung aa + 2cx = cc + bb an$tatt aa $einen Werth yy + cc - 2cx + xx, und an$tatt bb $einen Werth yy + xx $etzet, $o bekommt man yy + cc - 2cx + xx + 2cx = cc + yy + xx, oder vielmehr yy + cc + xx = cc + yy + xx, welches al$o erwei$et, was zu erwei$en war.

Zu$atz.

376. Weilen die$er Lehr-Satz uns aa + 2cx = cc + bb gibt, $o findet man x, wann man aa in das zweyte Glied bringet, und hernach die Glei- chung mit 2c dividiret, kommt al$o 2cx = cc + bb - aa, oder vielmehr x = {cc + bb - aa / 2c}; Die$es wei$et uns al$o, da{$s} um den Werth des Seg- menti _D_C zu bekommen, man von der Summe der Quadraten der Sei- ten AC und BC das Quadrat der Seite AB, die dem $pitzigen Winckel entgegen $tehet, $ubtrahiren, und den Uberre$t durch das doppelte der Linie AC dividiren mu{$s}. Nun weilen bb = yy + xx, $o i$t bb - xx = yy, und al$o bb - xx = y; Wann man al$o den Werth der Per- pendicular-Linie B_D_ finden will, $o mu{$s} man von dem Quadrat BC das Quadrat _D_C abziehen, und aus dem Uberre$t die Quadrat-Wurtzel aus- ziehen.

[0165] Fünftes Buch Von Den Eigen$chaften des Zirckels. Erklärungen. I.

377. * GLeiche Zirckel $eynd diejenige, die mit gleichen Radiis be$chrieben werden.

* Zu$atz.

378. Weilen der _D_iameter nur ein doppelter Radius i$t, $o kan man auch $agen: Da{$s} gleiche Zirckel diejenige $eyen, welche gleiche _D_ia- metros haben.

II.

379. _Circuli concentrisi_ $eynd diejenige, welche aus einerley Mit- Fig. 69. tel-Punct be$chrieben werden, und deren Circumferenzien miteinander varallel lauffen. Al$o $eynd die beyde Zirckel, die den gemeinen Mit- tel-Punct A haben, be$chaffen.

III.

380. _Circuli Eccentrici_ $eynd diejenige, welche aus unter$chiedenen Fig. 70. Mittel-Puncten be$chrieben werden, und deren Circumferenzien nicht miteinander parallel lauffen, als wie B und C.

IV.

381. Eine Krone wird genennet der Raum, welcher zwi$chen Fig. 69. den Circumferenzien zweyer Circulorum Concentricorum enthalten i$t; Al$o i$t der Raum BB, welcher zwi$chen den Circumferenzien E und F ent- halten i$t.

[0166] V.

382. Ein _Segmentum_ eines Zirckels i$t ein Theil de$$elben, welcher Fig. 71. durch eine grade Linie, und einen Theil der Circumferenz einge$chlo$$en i$t, als wie A_B_C oder A_D_C.

VI.

383. Ein _Sector_ eines Zirckels i$t ein Theil de$$elben, welcher zwi- Fig. 72. $chen zweyen Radiis, und einem Theil der Circumferenz enthalten i$t. Al$o i$t das Stuck C_D_E.

VII.

384. _Chorda_ hei$$en alle grade Linien, als wie AC, die $ich bey- Fig. 71. der$eits an der Circumferenz eines Zirckels, oder eines Theils de$$elben endigen.

VIII.

385. Wann eine grade Linie die Circumferenz eines Zirckels be- Fig. 73. rührt, ohne $ie durchzu$chneiden, $o hei$$et die$e grade Linie eine Tangent. Al$o bei{$s}t die Linie AB, welche die Circumferenz des Zirckels nur in dem Punct _D_ berührt, die Tangent die$es Zirckels.

IX.

386. Wann aber eine grade Linie als wie BE, an$tatt den Zirckel Fig. 73. zu berühren, ihn durch$chneidet, $o wird die$e Linie eine _Secant_ genennet.

* Grund-Satz.

387. In einem oder in gleichen Zirckeln $eynd die Chordæ glei- cher Bögen einander gleich; und wann die Chordæ einander gleich $eynd, $o $eynd auch ihre Bögen einander gleich.

* Zu$atz.

388. Al$o $eynd in einem, oder in gleichen Zirckeln, die Chordæ grö$$erer Bögen grö$$er, als die Chordæ kleinerer Bögen; und wann die Chordæ grö$$er oder kleiner $eynd, $o $eynd auch die Bögen grö$$er oder kleiner.

Er$ter Lehr-Satz.

389. Wann man aus dem Mittel-Punct eines Zirckels auf Fig. 74. eine _Chordam_ AC eine Perpendicular-Linie BD fallen lä{$s}t, $o wird $ie die _Chordam_ in zwey gleiche Theile theilen.

[0167] Beweis.

Um es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} wann man die Radios BA und BC ziehet, man zwey rechtwincklichte Dreyeck ADB und CDB be- komme, in welchen über die zwey rechte Winckel auch der Winckel BAD = BCD (§. 314.). Weilen nun auch die Seiten BD = BD und AB = BC (§. 251.), $o i$t die Linie AD = DC (§. 309). W. z. E.

Zu$atz.

390. Aus die$em Lehr-Satz folget, da{$s} wann man die Perpen- dicular BD bis an die Circumferenz E verlängert, $ie auch den Bogen AEC in zwey gleiche Theile theilet; Dann weilen die Winckel ABE und CBE einander gleich $eynd, $o $eynd auch die Zirckel-Bögen AE und CE einander gleich (§. 256.).

* Zweyter Lehr-Satz.

391. Ein _Radius_ BE, welcher eine _Chordam_ AC in zwey gleiche Fig. 74. Theile theilet, $tehet auf der _Chordâ perpendiculariter_.

Vorbereitung.

Ziehet die Radios AB und BC.

Beweis.

Die Linie BD = BD, AD = DC (per $uppo$.) und AB = CB (§. 251.); Al$o i$t der Winckel ADB = CDB (§. 311.). Weilen nun die Summ die$er beyden Winckel z weyen rechten Winckeln gleich i$t (§. 265.), $o folgt daraus, da{$s} jeder die$er Winckel ein rechter Winckel $eye, und da{$s} al$o BD auf AC perpendicular $eye.

* Dritter Lehr-Satz.

392. Wann eine Linie CD eine _Chordam_ AB _perpendiculariter_ Fig. 75. in zwey gleiche Theile theilet, $o gehet $ie durch den Mittel- Punct des Zirckels.

Vorbereitung.

Ziehet die Chordas AC, CB, BD und AD.

Beweis.

Weilen CE auf AB perpendicular $tehet (per $upp.),, $o i$t der Winckel AEC = BEC; Uber die$es i$t die Seite CE = CE und AE = [0168] EB (per $upp.), woraus al$o folget, da{$s} die Seite AC = CB (§. 309.); Derowegen auch der Bogen AC = CB (§. 387.). Auf eben die$e Art wird erwie$en, da{$s} auch der Bogen AD = BD. Allein die Bö- gen AD + AC + CB + BD machen die gantze Circumferenz aus, und die Bögen AD + AC = CB + BD, al$o macht jeder der Bögen CAD und CBD die Helfte der Circumferenz aus; Derowegen i$t CD der Diameter, und gehet al$o durch den Mittel-Punct (§. 252.). W. z. E.

* Er$te Aufgab.

393. Durch drey Puncten A, B und C die nicht in grader Li- Fig. 76. nie liegen, einen Zirckel zu be$chreiben.

Auflö$ung.

Hänget die Puncten A und B durch eine grade Linie AB, desglei- chen auch die Puncten B und C durch eine grade Linie BC zu$ammen. Theilet jede die$er zwey Linien in zwey gleiche Theile, al$o da{$s} AE = EB und BF = FC. Auf die$e Puncten E und F richtet Perpendicula- res indeterminatas auf, welche $ich in D durch$chneiden. Die$er Punct D wird der Mittel-Punct $eyn, daraus ihr al$o mit dem Radio DA ei- nen Zirckel be$chreiben könnt, welcher durch die drey gegebene Puncten gehen wird.

Beweis.

Weilen EG die Linie AB perpendiculariter in zwey gleiche Theile theilet, $o geht $ie durch den Mittel-Punct; aus eben die$er Ur$ach ge- het auch FH durch den$elben (§. 392.), i$t al$o D, wo $ie $ich durch$chnei- den, der Mittel-Punct.

* Er$ter Zu$atz.

394. Al$o kan von einem Zirckel der Mittel-Punct gefunden wer- den, wann man auf der Circumferenz de$$elben drey Puncten nach Belie- ben annimmt, und nach voriger Art verfahret.

* Zweyter Zu$atz.

395. Ferner kan ein Zirckel-Bogen völlig ausgemacht werden.

* Dritter Zu$atz.

396. Um ein jedes Dreyeck kan ein Zirckel be$chrieben werden.

[0169] Vierter Lehr-Satz.

397. Wann man aus dem Mittel-Punct eines Zirckels auf Fig. 77. den Punct _C_, wo eine _Tangent AB_ den Zirckel berühret, eine Linie _DC_ ziehet, $o i$t die$e Linie auf der _Tangent_ perpendicular.

Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s} die Linie DC auf AB perpendicular $tehe, wann $ie die$e Linie in dem Punct, wo $ie den Zirckel berührt, antrift, $o betrachtet, da{$s} die Linie DC die kürtze$te unter allen $eye, die man aus dem Mittel-Punct D auf die Tangent AB $o wohl gegen die rechte, als gegen die Lincke des Puncts C ziehen kan, indem eine jede andere Linie vor den Zirckel hinaus gehen würde, weilen $ie alle grö$$er $eynd, als der Radius. weilen nun die Linie DC die kürtze$te i$t unter allen, die man aus dem Mittel-Punct D auf die Linie AB ziehen kan, $o $teht $ie auf die$er Linie perpendicular. (§. 264.). W. z. E.

* Fünfter Lehr-Satz.

398. Wann eine grade Linie _AB_ auf dem äu$$er$ten Punct Fig. 77. _C_ eines _Radii DC_ perpendicular $tehet, $o fallt _AB_ gantz au$$erhalb den Zirckel, und berührt ihn nur in dem Punct _C_.

Vorbereitung.

Ziehet auf einen andern Punct E der Linie AB nach Belieben aus dem Mittel-Punct eine Linie DE.

Beweis.

Der Winckel DCB i$t ein rechter Winckel (per $uppo$.); al$o i$t _D_E die Hypothenu$a des rechtwincklichten Dreyecks DCE; Derowe- gen i$t $ie grö$$er als DC. Nun aber i$t DC ein Radius, und der Punct C $to{$s}t an die Circumferenz, al$o mu{$s} der Punct E au$$erhalb des Zir- ckels $eyn; Die$es kan al$o von iedem Punct der Linie AB erwie$en. Derowegen berührt $ie ihn nur in dem Punct C. W. z. E.

* Sech$ter Lehr-Satz.

399. Wann man von dem Punct _C_, wo eine grade Linie Fig. 77. _AB_ den Zirckel berührt, eine Perpendicular-Linie _CD_ aufrichtet, $o geht $ie durch den Mittel-Punct _D_.

[0170] Beweis.

Es $eye der Mittel-Punct in einem andern Punct F au$$erhalb der Linie C _D_, $o i$t der Radius FC auf AB perpendicular (§. 397.). Al- lein C _D_ i$t auf AB perpendicular (per $upp.), $o $tehen al$o auf einem Punct C der Linie AB zwey Perpendicularen; Da nun die$es unge- reimt i$t (§. 262.), $o kan der Mittel-Punct in F nicht $eyn. Die$es wird auf eben die$e Art von jedem Punct au$$erhalb der Linie C_D_ er- wie$en. Al$o i$t der Mittel-Punct in der Linie CD. W. z. E.

Siebender Lehr-Satz.

400. Ein Winckel, de$$en Spitz auf der _Circumferenz_ eines Fig. 78. Zirckels $tehet, hat die Helfte des Zirckel-Bogens, wotauf er $te- her, zu $einem Maa{$s}.

Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s} der Winckel ABC, de$$en Spitze die Circum- ferenz berührt, die Helfte des Bogens AEC zu $einem Maa{$s} habe, $o ziehet durch den Mittel-Punct D die Linie BE, desgleichen auch die Ra- dios DA und DC; nach die$em betrachtet, da{$s} das Dreyeck DBA gleich$chencklicht, und da{$s}, weilen der äu$$ere Winckel ADE, den zwey innern entgegen $tehenden Winckeln (§. 302.), die aber unter $ich gleich $eynd, gleich i$t, er al$o das Doppelte des Winckels ABE $eye; aus eben die$er Ur$ach i$t auch der Winckel E_D_C das Doppelte des Winckels EBC; woraus al$o folget, da{$s} nur die Helfte des Bogens AEC das Maa{$s} des Winckels ABC $eye. W. z. E.

Zu$ätze.

Aus die$em Lehr-Satz werden etliche Folgen gezogen.

401. 1. Da{$s} ein Winckel, als wie ABC, welcher in einem hal- Fig. 79. ben Zirckel $tehet, ein rechter Winckel $eye; Die$es i$t gantz klar, indem er die Helfte des Bogens AOC, welcher al$o der vierte Theil des Zir- ckels i$t, zu $einem Maa{$s} hat.

402. 2. Da{$s} ein Winckel, als wie _D_EF, welcher in einem Seg- Fig. 80. mento, das kleiner i$t, als der halbe Zirckel, $tehet, ein $tumpfer Win- ckel $eye, indem er die Helfte des Bogens DOF, die grö$$er i$t, als der vierte Theil der Circumferenz, zu $einem Maa{$s} hat.

403. 3. Da{$s} ein Winckel, als wie GHI, welcher in einem Seg- Fig. 81. mento, das grö$$er i$t, als der halbe Zirckel, $tehet, ein $pitziger Win- [0171] ckel $eye, indem er die Helfte des Bogens GOI, welche kleiner i$t, als der vierte Theil der Circumferenz, zu $einem Maa{$s} hat.

404. 4. Da{$s} Winckel, als wie ABC und ADC, die in einem Fig. 82. Segmento $tehen, einander gleich $eyen, weilen ein jeder die Helfte des Zirckel-Bogens AOC zu $einem Maa{$s} hat.

405. 5. Man könte auch noch wei$en, welches das Maa{$s} $eye der Winckel, die weder an dem Mittel-Punct, noch an der Circumfe- renz $tehen, und deren Spitze entweder inner-oder au$$erhalb des Zirckels wären; allein ich überla$$e den Anfängern das Vergnügen es $elb$ten zu $uchen.

* Zweyte Aufgab.

406. Auf das Ende A einer graden Linie AB eine Perpen- Fig. 83. dicular-Linie AC aufzurichten.

Auflö$ung.

Nehmet au$$erhalb der graden Linie AB einen Punct D nach Be- lieben, doch al$o da{$s} AD entweder gleich oder kleiner $eye als AB. Mit dem Radio AD be$chreibet aus dem Mittel-Punct D einen Zirckel-Bo- gen indeterminatè, doch $o, da{$s} er die gegebene Linie AB in E durch- $chneide. Ziehet die Linie ED, welche ihr verlängert bis an den Punct C der Circumferenz. Ziehet ferner die Linie CA, welche auf AB per- pendicular $eyn wird.

Beweis.

Weilen _D_ der Mittel-Punct i$t, $o i$t EC der Diameter; Dero- wegen i$t der Bogen EAC eine halbe Circumferenz; Al$o i$t der Win- ckel EAC ein rechter Winckel (§. 401.) und AC i$t auf AB perpendi- cular. W. z. E.

* Achter Lehr-Satz.

207. Wann in einem Zirckel zwey _Chordæ AB_ und _CD_ mitein- Fig. 84. ander parallel gezogen werden, $o $eynd die Zirckel-Bögen _BC_ und _AD_ einander gleich, und wann die$e Zirckel-Bögen _BC_ und _AD_ einander gleich $eynd, $o lauffen die _Chordæ AB_ und _CD_ mitein- ander parallel.

Vorbereitung.

Ziehet die Linie AC.

[0172] Beweis.

Weilen AB mit CD parallel lauft (per $upp.) $o i$t der Winckel BAC = ACD (§. 272.); Al$o i$t auch der Zirckel-Bogen BC = AD (§ 400. und 256.) W. z. E. z. E.

Weilen der Bogen BC = AD (per $uppo$,), $o i$t auch der Win- ckel BAC = ACD (§ 400. 256.); Derowegen i$t AB mit CD parallel (§. 272.). W. z. A. z. E.

* Neunter Lehr-Satz.

408. In einem Zirckel $tehen gleiche _Chordæ AB_ und _CD_ gleich Fig. 85. weit weg von dem Mittel-Punct _E_, und wann zwey _Chordæ_ gleich weit von dem Mittel-Punct ab$tehen, $o $eynd $ie einander gleich.

Vorbereitung.

Theilet die Chordas AB und C_D_ in zwey gleiche Theile, und von den Theilungs-Puncten F und G ziehet in den Mittel-Punct die Linien FE und GE, welche al$o auf den Chordis werden perpendicular $eyn (§. 391.). Ziehet ferner die Radios EA und EC. Es $eye nun AE EC = a, AF = GC = b, FE = c und GE = d.

Er$ter Beweis.

    AE
^2 =
    AF
^2 +
    FE
^2 (§. 371.), das i$t, aa = bb + cc und
    EC
^2 =
    GC
^2
    GE
^2, das i$t, aa = bb + dd. Nun aa - bb = cc und aa - bb = dd (.§. 117.); Al$o i$t cc = dd (§. 113.) und c = d (§. 120.), das i$t, FE = GE. Da nun _FE_ und _GE_ die _D_i$tanzen $eynd (§. 243.), $o folgt al$o daraus, da{$s} gleiche Chordæ gleich weit weg ab$tehen von dem Mit- tel-Punct. W. z. E.

Vorbereitung.

Ziehet die Radios _EA_ und _EC_, desgleichen auch die Perpendicula- ren _EF_ und _EG_, welche jede Chordam in zwey gleiche Theile theilen wird (§. 389.). Es $eye nun AE = EC = a, FE = GE = b, AF = c, und CG = d.

Zweyter Beweis.

    AE
^2 =
    FE
^2 +
    AF
^2, das i$t, aa = bb + cc, und
    EC
^2 =
    GE
^2 +
    CG
^2, das i$t aa = bb + dd; Al$o i$t aa - bb = cc und aa - bb = dd; Dero- [0173] wegen i$t cc = dd und c = d, das i$t, AF = CG; Al$o i$t auch AB = CD. W. z. E.

Zehender Lehr-Satz.

409. Wann man einen Winckel _BAD_ hat, der von einer _Tangent_ Fig. 86. _AB_ und einer _Chorda AD formi_rt wird, $o hat die$er Winckel die Helfte des Bogens _AFD_ zu $einem Maa{$s}.

Vorbereitung.

Ziehet aus dem Mittel-Punct E in den Punct A, wo die Tan- gent den Zirckel berührt, einen Radium EA, welcher auf der Tangent AB wird perpendicular $eyn (§. 397.) und ziehet den Radium EF per- pendicular auf AD, $o i$t $o wohl die Chorda AD als auch der Bogen AFD in zwey gleiche Theile getheilet (§. 389. 390.).

Beweis.

Weilen der Winckel BAD ohne den Winckel EAD nicht kan ein rechter Winckel $eyn, und da{$s} auch der Winckel AEG nicht kan ohne den Winckel EAD einen rechten Winckel ausmachen, $o folgt daraus, da{$s} der Winckel BAD = AEG: Allein da der Winckel AEF den Bo- gen AF als die Helfte des Bogens AFD zu $einem Maa{$s} hat, $o hat auch der Winckel BAD die Helfte des Bogens AFD zu $einem Maa{$s}. W. z. E.

* Zu$atz.

410. Weilen der Winckel BAD die Helfte des Bogens AFD zu $einem Maa{$s} hat (§. 409.), und eben die$e Helfte auch da{$s} Maa{$s} i$t des Winckels ACD (§. 400.), $o i$t der Winckel BAD dem Winckel ACD der in dem entgegen $tehenden Segmento $tehet, gleich (§. 256.). Auf eben die$e Art kan man auch erwei$en, da{$s} der Winckel HAD einem jeden Winckel der in dem Segmento AFD begriffen wäre, gleich $eye.

* Dritte Aufgab.

411. Auf eine gegebene Linie _AB_ ein _Segmentum BFEA_ zu ma- Fig. 87. chen, welches einen Winckel fa$$en kan, der einem gegebenen Winckel _ABC_ gleich i$t.

Auflö$ung.

Auf CB richtet eine Perpendicular BE auf. Macht den Winckel BAD dem Winckel ABD gleich; auf die$e Art i$t AD = BD. Aus dem [0174] Mittel-Punct D be$chreibet mit dem Radio _D_A einen Zirckel, $o i$t das Stuck ABFE das begehrte Segmentum (§ 410.).

* Vierte Aufgab.

412. von einem gegebenen Zirckel ein _Segmentum BEAD_ abzu- Fig. 88. $chneiden, welches einen Winckel fa$$en kan, der einem gegebe- nen Winckel gleich i$t.

Auflö$ung.

Auf das Ende B des Diameters AB richtet eine Perpendicular BC auf (§. 406.). Macht den Winckel CBD dem gegebenen Winckel gleich, $o i$t das Stuck BEAD das begehrte Segmentum (§. 410.).

Eilfter Lehr-Satz.

413. Wann man zwey Linien _AB_ und _CD_ hat, die $ich in ei- Fig. 89. nem Zirckel durch$chneiden, $o $age ich, da{$s} das _Rectangulum_ von _AE_ und _EB_ der einen gleich $eye dem _Rectangulo_ von _CE_ und _ED_ der anderten.

Beweis.

Ziehet die Linien AC und DB und betrachtet, da{$s} die Dreyecke ACE und EBD einander ähnlich $eynd; indem die Vertical-Winckel an E einander gleich (§. 269.), und da{$s} der Winckel C = B, weilen ein jeder die Helfte des Bogens AD zu $einem Maa{$s} hat (§. 404.). Al$o be- kommt man EB, EC : : ED, EA (§. 291.). Derowegen i$t EB × EA = EC × ED (§. 169.). W. z. E.

Zwölfter Lehr-Satz.

414. Wann man von einem Punct A au$$erhalb eines Zir- Fig. 90. ckels, zwey Linien AB und AC, die $ich auf der holen Circumferenz endigen, ziehet, $o $age ich, da{$s} das _Rectangulum_ von einer die$er Linien AB und ihrem äu$$ern Theil AD gleich $eye dem _Rectangulo_ von der andern Linie AC, und ihrem äu$$ern Theil AE.

Beweis.

Wann man die Linien BE und CD ziehet, $o bekommt man die zwey ähnliche Dreyeck ABE und ACD; indem der Winckel A ihnen ge- mein i$t und ein jeder der Winckel B und C die Helfte des Bogens DE zu ihrem Maa{$s} haben: Derowegen bekommt man AE, AB : : AD, AC (§. 357.); welches uns gibt AE × AC = AB × AD (§. 169.). W. z. E.

[0175] Dreyzehender Lehr-Satz.

415. Wann man auf einen nach Belieben angenommenen Fig. 91. Punct des _Diameter_s AC eine Perpendicular-Linie DB aufrichtet, $o i$t das _Quadrat_ der Perpendicular gleich dem _Rectangulo_ der _Seg-_ _mentorum_ AD und DC des _Diameter_s.

Beweis.

Wann man die Linien AB und BC ziehet, $o bekommt man einen rechten Winckel ABC (§. 401.) z weilen nun die Perpendicular-Linie BD das Dreyeck ABC in zwey ähnliche Dreyecke ABD und BCD zerthei- let (§. 368.), $o bekommt man AD, DB : : DB, DC (§. 357.). De- rowegen i$t

    DB
^2 = AD × DC (§. 171.). W. z. E.

Zu$atz.

416. Aus die$em Lehr-Satz folget, da{$s} auf welchen Punct des Diameters man eine Perpendicular aufrichtet, die$e allezeit die mittlere Proportional-Linie zwi$chen den Segmentis des _D_iameters $eye, und das i$t, was wir ins künftige die Eigen$chaft des Zirckels nennen werden.

* Fünfte Aufgab.

417. Auf einen gegebenen Punct C einer _Circumferenz_ eine Fig. 77. _Tangent_ aufzurichten.

Auflö$ung.

Ziehet den Radium DC, und auf C richtet die Perpendicular-Linie CB auf (§. 406.). Die$e wird die begehrte Tangent $eyn (§. 397.).

Sech$te Aufgab.

418. Durch einen gegebenen Punct au$$erhalb eines Zir- ckels zu dem$elben eine _Tangent_ zu führen.

Auflö$ung.

Um durch den gegebenen Punct D mit dem Zirckel C eine Tangent Fig. 92. zu führen, $o ziehet aus dem Mittel-Punct C an den Punct D eine Li- nie CD, welche ihr durch den Punct E in zwey gleiche Theile theilet; uach die$em be$chreibet aus dem Mittel-Punct E und mit dem Radio EC [0176] einen halben Zirckel CBD, $o $age ich, da{$s} die Linie, die man von dem Punct D in B, allwo die beyde Circumferenzen $ich durch$chneiden, zie- het, eine Tangent des gegebenen Zirckels $eyn wird.

Beweis.

Um es zu erwei$en, $o ziehet den Radium CB, und betrachtet, da{$s} der Winckel CBD ein rechter Winckel $eye, indem er in einem halben Zirckel $tehet (§. 401.), und da{$s} al$o die Linie BD eine Tangent $eye, indem $ie auf dem Radio CB perpendicular i$t (§. 397.). W. z. E.

Vierzehender Lehr-Satz.

419. Wann man von einem Punct B au$$erhalb eines Zir- Fig. 93. ckels eine _Tangent_ BA nnd eine _Secant_ BC ziehet, $o $age ich, da{$s} das _Quadrat_ der _Tangent_ AB gleich $eye dem _Rectangulo_ von der _Secant_ BC und ihrem äu$$ern Theil B_D_.

Beweis.

Um die$es zu erwei$en, $o ziehet die Linien AC und AD, da $eynd nun die Dreyecke CAB und ABD einander ähnlich; Dann $ie ha- ben einen Winckel B der beyden gemein i$t, und ein jeder der Win- ckel BAD und ACD haben die Helfte des Bogens AD zu ihrem Maa{$s} (§. 410.); Derowegen bekommen wir BC, AB : : AB, BD (§. 357.); al$o i$t

    AB
^2 = BC × BD. W. z. E.

* Zu$atz.

420. Aus die$em Lehr-Satz folget, da{$s}, wann man von einem Fig. 94. Punct B au$$erhalb eines Zirckels zwey Tangenten BA und BE ziehet, die$e Tangenten einander gleich $eyen. Dann

    AB
^2 = BC × BD und
    EB
^2 = BC × BD (§. 419.); Al$o i$t
    AB
^2 =
    EB
^2 (§. 113.); Dero- wegen i$t AB = EB (§. 120.).

Fünfzehender Lehr-Satz.

421. Wann eine _Tangent_ C_D_ auf einem _Diameter_ AB perpen- Fig. 95. dicular $tehet, $o $age ich, da{$s}, wann man von dem Punct A auf die _Tangent_ $o viel Linien als man will, dergleichen z. E. die [0177] Linie AC i$t, ziehet, das _Quadrat_ des _Diameter_s AB gleich $eye dem _Rectangulo_ von einer $olchen Linie AC, und ihrem innern Theil AE.

Beweis.

Wann man die Linie BE ziehet, $o bekommt man zwey ähnliche Dreyecke ABC und AEB, indem jedes einen rechten Winckel und einen gemeinen Winckel CAB hat: Derowegen i$t AC, AB : : AB, AE (§. 357.). Al$o i$t

    AB
^2 = AC × AE. (§. 171.). W. z. E.

Erklärung.

422. Man $agt, da{$s} eine Linie nach der mittlern und äu$- $ern Verhältni{$s} eingetheilt $eye, wann $ie al$o in zwey Stuck getheilt i$t, da{$s} man kan $agen: Die gantze Linie verhalt $ich zum grö$$ern Stuck, als wie eben die$es grö$$ere Stuck zum kleinern; und da hei{$s}t das grö$$ere Stuck die Median.

Siebende Aufgab.

423. Eine Linie nach der mittlern, und äu$$ern Verhältni{$s} einzutheilen.

Auflö$ung.

Um die Linie AB nach der mittlern und äu$$ern Verhältni{$s} einzu- Fig. 96. theilen, $o richtet auf das End B eine Perpendicular-Linie BD auf, wel- che ihr der Helfte von AB gleich macht. Aus dem Mittel-Punct D, und mit dem Radio DB be$chreibet einen Zirckel, und ziehet durch den Mittel-Punct die Linie AC: nach die$em macht AF = AE; $o $age ich, da{$s} die Linie AB wird durch den Punct F nach der mittlern und äu$$ern Verhältui{$s} eingetheilet $eyn.

Es $eye AF = AE = x, AB = a, $o i$t CE = a, und AE = a + x und FB = a - x; Da wollen wir erwei$en, da{$s} AB (a), AF (x) : : AF (x), FB (a - x.)

Beweis.

Nach dem 14. Lehr-Satz §. 419. i$t

    AB
^2 = AC × AE, das i$t, aa = xa + xx. Wann man nun xa aus dem zweyten Glied in das er$te bringt, $o bekommt man aa - xa = xx, welches in folgende Proportion re$olvirt wird, a, x : : x, a - x. (§. 178.). W. z. E.

[0178] Sech$tes Buch Von Den in Zirckel einge$chriebenen, und her- um be$chriebenen regularen Polygonen, oder Vielecken. Erklärungen. I.

424. MAn $agt, da{$s} ein regulares, oder irregulares Polygon in einen Zirckel einge$chrieben $eye, wann die Spitze al- ler Winckel des Polygons die Circumferenz des Zir- ckels berühren.

II.

425. Man $agt, da{$s} eine gradlinichte Figur, oder ein Polygon, um einen Zirckel herumbe$chrieben $eye, wann jede $einer Seiten die Circumferenz des Zirckels berührt, oder wann jede Seite eine Tan- gent des Zirckels i$t.

III.

426. Ein regulares Polygon i$t eine Figur, deren Seiten und Winckel unter $ich gleich $eynd.

IV.

427. Ein regulares Polygon wird ein _Pentagon_, oder Fünfeck ge- nennet, wann es fünf Seiten hat; _Hexagon_, oder Sechseck, wann es $echs; _Heptagon_, oder Siebeneck, wann es $ieben; _Octogon_, oder Acht- eck, wann es achte; _Enneagon_, oder Neuneck, wann es neune; _Deca-_ _gon_, oder Zeheneck, wann es zehen; _Ondecagon_, oder Eilfeck, wann es eilfe; _Dodecagon_, oder Zwölfeck, wann es zwölf Seiten hat.

[0179] V.

428. In einem jeden regularen Polygon $eynd zweyerley Win- ckel zu mercken, nemlich der Mittel-Puncts-Winckel, und der Poly- gons-Winckel.

VI.

429. Der Mittel-Puncts-Winckel i$t ein Winckel, als wie Fig. 97. BAC, der von zweyen Radiis AB und AC, die man aus dem Mittel- Punct an die beyde Ende einer Seite des Polygons ziehet, formiret wird.

VII.

430. Der Polygons-Winckel i$t ein Winckel, als wie BCD, Fig. 97. der von zweyen Seiten BC und CD des Polygons formirt wird.

Zu$atz.

431. Weilen der Mittel-Puncts-Winckel eines Polygons den Bogen, davon eine Seite des Polygons die Chorda i$t, zu $einem Maa{$s} hat, $o kan man allezeit den Werth die$es Winckels finden, wann man 360, welches die Anzahl der Grade der gantzen Circumferenz i$t, durch die Anzahl der Seiten, daraus das Polygon be$tehet, dividirt: Al$o um den Mittel-Puncts-Winckel eines Sechsecks zu finden, $o dividire ich 360 durch 6, und da finde ich 60 vor den Werth des Winckels den ich $uche. Da nun der Polygons-Winckel BCD das Doppelte des Winckels ABC i$t, und al$o den beyden Winckeln auf der Grund-Linie des gleich- $chencklichten Dreyecks ABC zu$ammen genommen gleich i$t, $o folgt daraus, da{$s} er der Differenz, die zwi$chen dem Mittel-Puncts- Winckel, und der Summ zweyer rechten Winckeln i$t, gleich $eye: Al- $o findet man den Winckel eines Polygons, es mag $o viel Seiten ha- ben als es will, wann man den Mittel-Puncts-Winckel von 180 Gra- den abziehet.

Er$te Aufgab.

432. In einen Zirckel ein Sechseck zu be$chreiben.

Auflö$ung.

Um ein Sechseck in einen Zirckel zu be$chreiben, $o mu{$s} man mit Fig. 97. dem Zirckel den Radium des Zirckels fa$$en, und ihn $echsmal auf der Circumferenz herum-tragen; und da bekommt man die Puncten, wel- che zur Be$chreibung des Sechsecks dienen werden.

[0180] Beweis.

Betrachtet, da{$s} die Seite BC des Sechsecks dem Radio AB gleich i$t; Dann weilen der Mittel-Puncts-Winckel ABC des Sechsecks von 60. Graden i$t, $o $iehet man, da{$s} die Summ der beyden Winckel auf der Grund-Linie des gleich-$chencklichten Dreyecks von 120 Gra- den, und al$o ein jeder von 60 Graden $eye. Weilen nun die$es erwei{$s}t, da{$s} das Dreyeck ABC gleich$eitig (§. 318.), $o folgt daraus, da{$s} die Seite BC dem Radio AB gleich $eye. W. z. E.

* Zweyte Aufgab.

433. In einen Zirckel ein gleich-$eitig Dreyeck einzu$chrei- ben.

Auflö$ung.

Ziehet einen Diameter _D_C. Aus dem Mittel-Punct D und mit Fig. 98. dem Radio _DE_ des Zirckels be$chreibet einen Zirckel-Bogen AEB; end- lich ziehet die Linien AB, AC und BC, $o i$t das gleich-$eitige Dreyeck in den Zirckel einge$chrieben.

* Er$ter Lehr-Satz.

434. Wann ein gleich-$eitig Dreyeck ACB in einen Zirckel Fig. 98. einge$chrieben i$t, $o $chneider die eine Seite AB den vierten Theil des _Diameter_s DC ab, welcher auf ihr Perpendicular $tehet.

Vorbereitung.

Ziehet den Radium AE und die Linie A_D_, welche die Seite eines Sechsecks $eyn wird.

Beweis.

Der Winckel AFD = AFE, und der Winckel ADF = AEF (§. 314.); Al$o i$t auch der Winckel DAF = EAF (§. 305.); Uber die$es i$t auch die Seite AF = AF; al$o i$t DF = EF (§. 310.). I$t al$o DF die Helfte des Radii _D_E, oder der vierte Theil des Diameters DC. W. z. E.

* Zweyter Lehr-Satz.

435. Das _Quadrat_ der Seite AB eines gleich-$eitigen Drey- Fig. 98. ecks ACB, i$t gleich dem dreyfachen _Quadrat_ des _Radii_ ED, des Zir- ckels, in welchen das Dreyeck einge$chrieben i$t.

[0181]

Es $eye AE = ED = a, $o i$t EF = {1/2}a; Ferner $eye AB = b, $o i$t AF = {1/2}b.

Beweis.

    AE
^2 =
    EF
^2 +
    AF
^2 (§. 371.), das i$t, aa = {1/4}aa + {1/4}bb; al$o i$t aa - {1/4}aa = {1/4}bb, das i$t, {3/4}aa = {1/4}bb, und al$o i$t 3aa = bb, das i$t, 3
    AE
^2 =
    AB
^2. W. z. E.

Dritte Aufgab.

436. In einen Zirckel ein Zwölfeck zu be$chreiben.

Auflö$ung.

Um ein Zwölfeck in einen Zirckel zu be$chreiben, $o mu{$s} man den Fig. 99. Radium AC auf die Circumferenz tragen, um den Bogen C_D_ der von 60 Graden, oder dem $ech$ten Theil der Circumferenz gleich i$t, zu ha- ben; nach die$em mu{$s} man die$en Bugen durch den Punct E in zwey gleiche Theile theilen, $o i$t die Chorda DE die Seite des Zwölfecks, in- dem $ie die Chorda eines Winckels von 30 Graden, das i$t, des Mittel- Punct-Winckels eines Zwölfecks i$t.

Lehn-Satz.

437. Wann man ein gleich$chencklicht Dreyeck ABC hat, Fig. 100. de$$en jeder Winckel auf der Grund-Linie das Doppelte des obe- ren Winckels wäre, $o $age ich, da{$s}, wann man einen der Win- ckel auf der Grund-Linie als wie BAC durch eine Linie AD, in zwey gleiche Theile theilet, $ie die entgegen $tehende Seite BC durch den Punct D nach der mittleren und äu$$ern Verhältni{$s} ein- theilen wird, das i$t, da{$s} man $agen kan BC, BD : : BD, DC.

Beweis.

Betrachtet, da{$s} die Dreyecke ABC und ADC einander ähnlich $eynd, indem $ie einen gemeinen Winckel C haben, und der Winckel DAC = B (per $upp.); Ferner da{$s} die Seiten _D_B, DA und AC ein- ander gleich $eynd; Dann das Dreyeck BDA i$t gleich$chencklicht, indem die Winckel _D_BA und BAD einander gleich $eynd; Ferner i$t das Drey- eck ADC gleich$chencklicht, indem der Winckel ADC = ACD. Dero- wegen bekommt man BC, AC : : AC, DC (§. 357.); und wann man an die Stelle von AC $etzet BD was ihm gleich i$t, $o bekommt man BC, BD : : BD, DC. W. z. E.

[0182] Er$ter Zu$atz.

438. Die$es gibt uns eine Manier ein gleich-$chencklicht Dreyeck Fig. 100. zu machen, de$$en jeder Winckel auf der Grund-Linie das Doppelte des obern Winckels $eye; Dann um z. E. ein Dreyeck als wie ABC zu ma- chen, $o darf man nur die Seite BC nach der mittlern und äu$$ern Ver- hältni{$s} eintheilen (§. 423.), und auf der kleinern DC als Grund-Linie, durch Hülf zweyer Sectionen, die man mit einer der Median BD glei- chen Eröfnung des Zirckels macht, ein gleich-$chencklicht Dreyeck DAC aufrichten; Da bekommt man den Punct A, welcher zur Formirung des Dreyecks ABC dienen wird.

Zweyter Zu$atz.

439. Ferner folgt daraus, da{$s}, wann man aus dem Mittel- Punct B, und mit dem Radio BA oder BC einen Zirckel be$chreibt, die Grund-Linie AC des gleich-$chencklichten Dreyecks ABC die Seite ei- nes in eben die$en Zirckel einge$chriebenen Zehenecks $eyn wird; Dann nach der Natur des Dreyecks ABC i$t der Winckel B von 36 Graden, indem jeder der Winckel auf der Grund-Linie von 72 Graden i$t; De- rowegen i$t der Winckel B dem Mittel-Puncts-Winckel eines Zehenecks gleich; Dann wann man 360 durch 10 dividirt, kommt 36.

Vierte Aufgab.

440. In einen Zirckel ein Zeheneck zu be$chreiben.

Auflö$ung.

Um ein Zeheneck in einen Zirckel zu be$chreiben, $o mu{$s} man den Fig. 101. Radium nach der mittlern und äu$$ern Verhältni{$s} eintheilen, und da i$t die Median die Seite des Zehenecks, die man al$o zehenmal auf der Circumferenz herum tragen mu{$s}, um die Puncten, die zur Be$chrei- bung des Zehenecks dienen, zu bekommen; Die$es i$t gantz klar, indem nach dem vorhergehenden Zu$atz die Median BD der Seite AC des Ze- benecks gleich i$t.

Dritter Lehr-Satz.

441. Wann eine grade Linie aus der Seire eines Sechs- ecks und eines Zehenecks, die in einen Zirckel einge$chrieben $eynd, be$tehet, $o i$t die$e Linie in dem Punct, wo ihre beyde Theile [0183] aneinander $to$$en, nach der mittlern und äu$$ern Verhältni{$s} ein- getheilet.

Es $eye die Linie CB die Seite eines Zehenecks, das in den Zirckel Fig. 102. A könte be$chrieben werden; wann nun die$e um die gantze Länge CD, die dem Radio AC als einer Seite eines Sechsecks gleich i$t, verlängert wird, $o $age ich, da{$s} die componirte Linie BD in dem Punct C, nach der mittlern und äu$$ern Verhältni{$s} wird getheilt $eyn.

Beweis.

Ziehet die Linie DA, und betrachtet, da{$s} das Dreyeck BDA dem Dreyeck BAC ähnlich $eye; Dann $ie haben einen gemeinen Winckel B und der Winckel BDA = CAB; weilen von wegen des gleich-$chenck- $chencklichten Dreyecks CDA der äu$$ere Winckel BCA das Doppelte i$t des innern B_D_A, und weilen nach dem vorhergehenden Zu$atz (§. 439.), eben der Winckel BCA auch das Doppelte i$t des Winckels CAB: al- $o bekommt man DB, BA : : BA, BC (§. 357.), und wann man an die Stelle von BA $etzet DC, $o bekommt man DB, DC : : DC, BC. W. z. E.

Vierter Zu$atz.

442. Das _Quadrat_ der Seite eines Fünfecks, das in einen Zirckel einge$chrieben i$t, i$t gleich den _Quadrat_en der Seite eines Sechsecks, und der Seite eines Zehenecks, die in eben die$en Zir- ckel einge$chrieben $eynd.

Es $eye AB die Seite eines in den Zirckel einge$chriebenen Fünf- Fig. 103 ecks; wann man nun den Bogen AB in zwey gleiche Theile AC und CB theilet, $o $eynd die Chordæ AC und CB Seiten eines Zehenecks, und der Radius DB i$t die Seite eines Sechsecks; Da $age ich, da{$s}

    AB
^2 =
    DB
^2 +
    AC
^2.

Beweis.

Theilet den Zirckel-Bogen AC durch den Radium DF in zwey glei- the Theile AF und FC, ziehet die Linie EC und betrachtet, da{$s} das Drey- eck AEC, weilen es gleich-$chencklicht i$t, dem Dreyeck ACB ähnlich, dann $ie haben einen gemeinen Winckel CAB auf den Grund-Linien; Derowegen bekommt man AB, AC : : AC, AE, welches gibt

    AC
^2 = AB × AE. Nun wann ihr acht gebt, da{$s} der Mittel-Puncts-Win- ckel ADB des Fünfecks von 72 Graden $eye, $o werdet ihr leicht $ehen, da{$s} ein jeder der Winckel ABD und BAD von 54 Graden $eye, das i$t, da{$s} ein jeder drey Viertel von dem Mittel-Puncts-Winckel ausmache; [0184] und weilen der Winckel FDB auch drey Viertel von dem Mittel-Puncts- Winckel ADB ausmacht, indem er den Bogen FB zu $einem Maa{$s} hat, $o folgt daraus, da{$s} die beyde Dreyecke ADB und _D_EB einander ähn- lich $eyen, und da{$s} al$o AB, BD : : BD, EB, welches gibt
    BD
^2 = AB × EB. Allein
    AB
^2 = AB × AE + AB × EB (theor. I. p. 17.), $o i$t
    AB
^2 =
    AC
^2 +
    BD
^2. W. z. E.

Fünfte Aufgab.

443. In einen Zirckel ein Fünfeck zu be$chreiben.

Auflö$ung.

Um ein Fünfeck in einen Zirckel zu be$chreiben, $o ziehet auf den Fig. 104. Diameter AB den perpendicularen Radium CF, und theilet den Radium CB in zwey gleiche CE und EB; aus dem Mittel-Punct E und mit dem Radio EF be$chreibet einen Zirckel-Bogen FD, $o i$t die Chorda FD die Seite des Fünfecks.

Beweis.

Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} das Dreyeck DFC recht- wincklicht, und da{$s} al$o

    DF
^2 =
    CF
^2 +
    DC
^2 (§. 371.); Allein der Ra- dius CF i$t die Seite eines Sechsecks, derowegen i$t es genug, wann wir erwei$en, da{$s} DC die Seite eines Zehenecks $eye; Dann damit DF die Seite eines Fünfecks $eye, $o mu{$s} nach §. 442. das Quadrat von DF denen Quadraten der Seiten eines Sechsecks und eines Zehen- ecks zu$ammen genommen gleich $eyn: um al$o zu erwei$en, da{$s} _D_C die Seite eines Zehenecks $eye, $o wollen wir $upponiren, da{$s} CF = CB = a; Al$o i$t CE = {1/2}a; Ferner $eye die unbekante DC = x, $o i$t DB = a + x, und DE = EF = x + {1/2}a.

Weilen nun das Dreyeck FCE rechtwincklicht, $o i$t aa + {1/4}aa = xx + ax + {1/4}aa (§. 371.), oder aa = xx + ax, nachdem beyder$eits {1/4}aa ausge$trichen worden, welches in folgende Proportion re$olvirt wird x + a, a : : a, x (§. 200.), das i$t, DB, CB : : CB, DC, die$es wei$et uns, da{$s} die Linie DB nach der mittlern und äu$$ern Verhältni{$s} eingetheilet $eye (§. 441.); Derowegen i$t DC die Seite eines Zehen- ecks (§. 441.). W. z. E.

Sech$te Aufgab.

444. In einen Zirckel ein _Quadrat_ einzu$chreiben.

[0185] Auflö$ung.

Um ein Quadrat in den Zirckel E einzu$chreiben, $o ziehet einen Fig. 105. Diameter AB, und theilet jeden halben Zirckel in den Puncten C und D in zwey gleiche Theile, nach die$em ziehet die vier Linien AC, CB, B_D_ und DA, welche das Quadrat ausmachen werden; Dann alle die$e Li- nien $eynd einander gleich, indem $ie die Chordæ von gleichen Zirckel- Bögen $eynd (§. 387.), und die vier Winckel A, B, C und D $eynd rech- te Winckel, weilen ein jeder in einem halben Zirckel $tehet (§. 401.).

* Fünfter Lehr-Satz.

445. In einer jeden viereckigten Figur ACDB die in einen Fig. 106. Zirckel einge$chrieben i$t, $eynd die beyde einander entgegen $te- hende Winckel zu$ammen genommen zweyen rechten Winckeln gleich.

Vorbereitung.

Ziehet die Diagonalen AD und BC.

Beweis.

Das Maa{$s} des Winckels ABD i$t die Helfte des Zirckel-Bogens ACD, und das Maa{$s} des Winckels ACD i$t die Helfte des Bogens AB_D_ (§. 400.). Allein die beyde Bögen ABD und ACD machen die gantze Circumferenz aus; Derowegen machen ihre Helften die halbe Circumferenz aus. Da nun das Maa{$s} zweyer rechten Winckel auch die halbe Circumferenz i$t (§. 255.), $o $eynd die Winckel ABD + ACD gleich zweyen rechten Winckeln. W. z. E.

Siebende Aufgab.

446. In einen Zirckel ein Achteck einzu$chreiben.

Auflö$ung.

Um ein Achteck in einen Zirckel einzu$chreiben, $o mu{$s} man die Fig. 105. Circumferenz eintheilen, als wann man ein Quadrat hinein be$chreiben wolte; und nach die$em wiederum jeden vierten Theil als wie CB in zwey gleiche Theile theilen, $o i$t die Chorda CF oder FB die Seite des Achtecks.

[0186] Bericht an den Le$er.

Wir haben bis hieher noch nichts geredet von der Manier wie Siebeneck, Neuneck und Eilfecke in einen Zirckel einzu$chreiben $eynd, weilen man bishero noch keine Manier erfunden, die$e drey Polygons auf Geometri$che Manier, das i$t, nur durch Hülf der Linial, und des Zirckels zu be$chreiben, $ondern man mu{$s} $eine Zuflucht zu der höhern Geometrie, das i$t, zu der Geometrie, die von den krummen Linien handelt, nehmen; welches $o wohl die$e Aufgaben, als auch diejenige, die von der Tri$$ection eines Winckels, das i$t, wie ein Winckel in drey, oder in fünf, oder in $ieben gleiche Theile zu theilen, handelt, $ehr $chwer macht; Die$e wie auch die vorige, $eynd Problemata $olida, welche al- $o genennet werden, weilen $ie $ich auf Gleichungen vom dritten Grad reduciren: und weilen wir in gegenwärtigem Tractat von die$er Art Gleichungen nichts reden, $o wollen wir eine Manier wei$en eine krum- me Linie zu ziehen, die die _Quadratrix Dino$tratis_ genennet wird, durch welcher Hülf man die Winckel und Circumferenzien der Zirckel in $o viel gleiche Theile eintheilen kan, als man will; allein man mu{$s} zuvor von den zweyen folgenden Aufgaben eine genaue Bekannt$chaft haben.

Er$te Aufgab.

447. Eine grade Linie in $o viel gleiche Theile zu theilen als man will.

Um eine grade Linie AB z. E. in neun gleiche Theile zu theilen, $o Fig. 109. ziehet die Linie AC, welche mit AB einen Winckel nach Belieben macht; nach die$em macht den Winckel ABD dem Winckel CAB gleich (§. 297.). Wann die$es al$o ge$chehen i$t, $o traget auf die Linie AC mit einer be- liebigen Eröfnung des Zirckels eine Anzahl gleiche Theile, welche der Anzahl der gleichen Theile, in welche die gegebene Linie $oll getheilet werden, gleich $eyn mu{$s}, das will hei$$en, da{$s} ihr von dem Punct A auf die Linie AC $ollt neun gleiche Theile auftragen; nach die$em mu{$s} man auch eben $o viel und gleich gro$$e Theile auf die Linie BD auftragen, in- dem man von dem Punct B anfangt; endlich wann man die Linien 9. B, 8. 1, 7. 2, rc. ziehet, $o werden $ie die Linie AB in neun gleiche Thei- le eintheilen; welches gantz klar i$t: Dann, weilen die$e gezogene Li- nien miteinander parallel lauffen, $o formiren $ie die ähnliche Dreyecke A 1 E, A 9 B, &c. Dadurch man al$o ver$tehet, da{$s} weilen A der neunte Theil i$t von A 9, auch AE der neunte Theil von AB $eye. Al$o wird es auch von den übrigen erwie$en.

[0187] * Erklärung.

448. Wann man die Zahl 2 durch $ich $elb$t, und wiederum die- $es Quadrat durch die Wurtzel, und den Cubum wieder durch die Wur- tzel, und die$e vierte Potentiam wieder durch die Wurtzel multiplicirt rc. $o werden alle die$e Potentiæ _Numeri pariter pares_ genennet. Z. E. die Zahlen 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 rc. $eynd Numeri pariter pares.

Zweyte Aufgab.

449. Einen gegebenen Zirckel-Bogen in eine Anzahl glei- cher Theile, die einen _Numerum pariter parem_ ausmachen, einzu- theilen.

Wann man z. E. den vierten Theil des Zirckels ABC in $echszehen Fig. 110. gleiche Theile theilen will, $o mu{$s} man zu er$t den Zirckel-Bogen AC in zwey gleiche Theile AE und EC, und wiederum den Bogen EC in zwey gleiche Theile EF und FC, nach die$em den Bogen FC in zwey gleiche Theile FG und GC, und endlich den Bogen GC wiederum in zwey glei- che Theile GH und HC eintheilen, welcher der $echszehende Theil von AC $eyn wird; Al$o verfährt man auch vor die übrige.

Auf die$e Art, könnte man einen Zirckel-Bogen in eine unendliche Anzahl gleicher Theile geometricè eintheilen, nur mit dem Beding, da{$s} man das Gantze und $eine Theile allezeit von zwey zu zwey eintheile.

Manier die Quadratricem zu be$chreiben.

450. Um die$e krumme Linie zu be$chreiben, $o mu{$s} man den Ra- Fig. 111. dium in eine gro$$e Anzahl gleicher Theile theilen, und zwar al$o, da{$s} der vierte Theil des Zirckels AT in eine gleiche Anzahl gleicher Theile könne getheilet werden: al$o wollen wir $etzen, man hätte $o wohl den vierten Theil des Zirckels, als auch den Rad um in $echszehen gleiche Theile eingetheilet. Wann al$o die$es ge$chehen, $o ziehet die Radios BC. BD, BE, BF &c. und durch die Puncten G, H, I, K &c. ziehet mit dem Radio BT Parallelen, welche, wann $ie die Radios, die den vierten Theil des Zirckels eintheilen, antreffen, uns die Puncten L, M, N, O &c. geben, durch welche man mit freyer Hand die krumme Linie AS ziehet, die man viel genauer treffen kan, wann man $o wohl den vierten Theil des Zirckels, als auch den Radium BA in eine grö$$ere Anzahl gleicher Theile eintheilet, als wir hier gethan, damit die Puncten L. M, N, O &c. um vieles näher zu$ammen kommen, und der Punct R, der durch die Zu$ammen-Kunft des letzten Radii BP, und der Parallel QR formirt [0188] wird, $o nahe an den Radium BT komme als es möglich, um al$o den Fehler, den man begehen könnte, indem man die krumme Linie AR bis zum Radio BT continuiret, unvermercklich zu machen.

451. Man mu{$s} wohl mercken, da{$s}, wann man die Parallelen HM und KO, welche die krumme Linie in den Puncten M und O an- treffen, und man eben durch die$e Puncten M und O die Radios BD und BF ziehet, nach der Natur die$er krummen Linie der Bogen AD $ich zu dem Bogen DF verhalte, als wie die Linie AH zu HK.

Achte Aufgab.

452. Einen Winckel in drey gleiche Theile zu theilen.

Fig. 112. & 114.

Wir $upponiren, man habe die Quadratricem AD $amt ihrem vier- ten Theil des Zirckels nach obiger Manier auf ein Stuck Horn oder po- lirten Pappendeckel be$chrieben, und man hätte einen Winckel OPQ in drey gleiche Theile einzutheilen.

Um die$e Aufgab aufzulö$en, mache ich den Winckel ABE dem ge- gebenen Winckel gleich, und von dem Punct F, wo der Radius BE die Quadratricem durch$chneidet, la$$e ich auf den Radium AB eine Perpen- dicular-Linie FG fallen, welche von dem Radio AB den Theil AG ab- $chneidet, die$e theile ich in $o viel gleiche Theile, als der Winckel $oll eingetheilet werden: al$o theile ich $ie in drey gleiche Theile ein in den Puncten H und K, durch welche ich mit GF Parallelen HI und KL zie- he, welche die Quadratricem in den Puncten I und L durch$chneiden, durch welche ich die Radios BM und BN ziehe, die den Bogen AE in den Puncten M und N in drey gleiche Theile eintheilen werden; weilen nach der Natur die$er krummen Linie AK $ich zu AG verhalt, als wie der Bogen AM zu AE (§. 451.), und weilen AK der dritte Theil i$t von AG, $o i$t auch AM der dritte Theil von AE.

Allein wann man einen $tumpfen Winckel, als wie RST in drey Fig. 112. & 113. gleiche Theile zu theilen aufgeben würde, $o könte es $chwer vorkommen, zu verrichten, weilen der Bogen RT nicht kan in dem Bogen AC ent- halten $eyn, indem man ihn grö$$er zu $eyn $upponirt. Allein in die- $em Fall mu{$s} man den $tumpfen Winckel in zwey gleiche Theile einthei- len, um den $pitzigen Winckel RSV zu bekommen, von dem wir wollen $upponiren, als wäre er dem Winckel ABE gleich: al$o wann man den $pitzigen Winckel in den Puncten M und N in drey lgleiche Theile thei- let, dörf man nur den Bogen AN nehmen, welcher, weilen er zwey $ech$te Theil des Bogens RT ausmacht, al$o der dritte Theil eben die- les Bogens RT $eyn wird.

[0189] Neunte Aufgab.

453. In einen Zirckel ein Neuneck zu be$chreiben.

Auflö$ung.

Um in einen Zirckel ein Neuneck zu be$chreiben, $o be$chreibet ein Fig. 107. gleich-$eitiges Dreyeck hinein (§. 433.). Nach die$em theilet einen Bo- gen, als wie BCD in drey gleiche Theile (§. 452.); $o bekommt man den neunten Theil der Circumferenz des Zirckels, davon die chorda die Seite des Neunecks i$t.

Zehende Aufgab.

454. Ein Siebeneck in einen Zirckel zu be$chreiben.

Auflö$ung.

Um in einen Zirckel ein Siebeneck zu be$chreiben, $o mu{$s} man den vierten Theil der Circumferenz des Zirckels in $ieben gleiche Theile ein- theilen: al$o i$t jeder die$er Theile der acht und zwantzig$te Theil der gantzen Circumferenz. Wann man nun einen Bogen von vier $ieben- den Theilen des vierten Theils des Zirckels nimmt, $o i$t er dem $ieben- den Theil der gantzen Circumferenz gleich; al$o i$t die Chorda die$es Bogens die Seite des Siebenecks.

Eilfte Aufgab.

455. In einen Zirckel ein Eilfeck zu be$chreiben.

Auflö$ung.

Um in einen Zirckel ein Eilfeck zu be$chreiben, $o mu{$s} man den vierten Theil der Circumferenz in eilf gleiche Theile eintheilen, und wann man eine Chordam von einem Bogen von vier eilften Theilen des vier- ten Theils des Zirckels nimmt, $o i$t $ie die Seite des Eilfecks.

Anmerckung.

456. Man nennt die krumme Linie AFD _Quadr atricem_, weilen $ie zur Me- chani$chen Quadratur des Zirckels vieles beyträgt; Dann wann man, in dem man die Quadratricem be$chrieben, den Punct D gefunden, $o i$t in den Wercken des Fig. 112. Pappi, Clavii und anderer Auctorum erwie$en, da{$s} der Radius BC die mittlere Proportional Linie zwi$chen der Grund-Linie BD der Quadratricis und der Circum- ferenz AEC des vierten Theils des Zirckels $eye; al$o da{$s} $ich BD zu BC verhält, als wie eben die$es BC zu dem vierten Theil AEC des Zirckels, davon BC der Ra- dius i$t.

[0190] Zwölfte Aufgab.

457. Ein Polygon um einen Zirckel herum zu be$chreiben.

Auflö$ung.

Wann man ein Polygon um einen Zirckel will herum be$chreiben, Fig. 108. $o mu{$s} man zu er$t ein ähnliches Polygon in den Zirckel be$chreiben: Al$o wann man z. E. ein Sechseck will um den Zirckel A herum be- $chreiben, $o mu{$s} man zuer$t ein Sechseck in den Zirckel be$chreiben, und eine Seite de$$elben als wie BC durch einen Radium AE in zwey gleiche Theile theilen; nach die$em ziehet man durch den Punct E eine Tangent FG, welche man durch die bis zur Tangent verlängerte Radios AB und AC endigen mu{$s}; Auf die$e Art bekommt man die Seite FG des her- um be$chriebenen Sechsecks: Al$o findet man, wann man die$e Opera- tion wiederholt, alle übrige Seiten; Allein damit man die Sach kür- tzer mache, $o i$t es be$$er, da{$s} man, nachdem die Puncten F, E und G gefunden, aus dem Mittel-Punct A und dem Radio AF oder AG einen Zirckel be$chreibt, auf de$$en Circumferenz man die Puncten, die zur Be$chreibung die$es Polygons dienen, ab$techen kan, indem man mit dem Zirckel die Länge der Seite FG aufträgt.

[0191] Siebendes Buch Von Den Verhältni$$en die die Umkren{$s} ähnli- cher Figuren, wie auch ihre Flächen-Innhalt gegen einander haben. Erklärungen. I.

458. IN ähnlichen Figuren $eynd diejenige die _eorre$pondi_rende Seiten, welche den gleichen Winckeln entgegen $tehen.

II.

459. Man $agt, da{$s} in zweyen ähnlichen Figuren die Grund- Linien und Höhen _reciprocœ_ $eyen, wann die Grund-Linie des er$ten $ich verhalt zur Grund-Linie des anderten, als wie die Höhe des anderten zur Höhe des er$ten.

Er$ter Lehr-Satz.

460. Wann man zwey regulare und ähnliche Polygonen A Fig. 115. & 116. und B hat, $o $age ich, da{$s} die _Circumferenz_ des Polygons A $ich verhalt zur _Circumferenz_ des Polygons B als wie der _Radius_ AC zum _Radio_ BF.

Es $eye CD = a, FG = b, AC = c und BF = d. Wann nun ledes Polygon z. E. $echs Seiten hat, $o i$t die Circumferenz des Po- lygons A = 6a und die Circumferenz des Polygons B = 6b. Al$o i$t zu erwei$en, da{$s} 6a, 6b : : c, d.

Beweis.

Weilen die Dreyecke ACD und BFG einander ähnlich $eynd (per $uppo$.), $o i$t CD, FG : : AC, BF (§. 357.), das i$t, a, b : : c, d; [0192] Nun a, b : : 6a, 6b (§. 198.); Al$o i$t auch 6a, 6b : : c, d. W. z. E.

Zu$atz.

461. Aus die$em Lehr-Satz folget, da{$s} auch die Circumferenzien Fig. 117. & 118. der Zirckel $ich gegen einander verhalten, als wie ihre Radii; Dann, wann man die Zirckel X und Y betrachtet, als wann $ie Polygonen von einer unendlichen Anzahl Seiten wären, bekommt man, wann die Cir- cumferenz des er$ten = a, $ein Radius = c, die Circumferenz des zwey- ten = b und $ein Radius = d, a. b : : c, d.

Zweyter Lehr-Satz.

462. Wann man von dem Mittel-Punct eines regularen Fig. 115. & 119. Polygons auf eine $einer Seiten eine Perpendicular AE fallen la{$s}t, $o $age ich, da{$s} der Innhalt die$es Polygons wird gleich $eyn einem recht wincklichten Dreyeck IKL, welches die Linie IK, die der Perpendicular AE gleich i$t, zur Höhe, und die Linie KL, die der _Circumferenz_ des Polygons gleich i$t, zur Grund-Li- nie hat.

Beweis.

Wann das Polygon z. E. ein Sechseck i$t, und man von dem Mittel-Punct in alle Winckel Radios ziehet, $o bekommt man $o viel gleiche Dreyecke, als das Polygon Seiten hat: Al$o be$tehet das Po- lygon A aus $echs Dreyecken, dergleichen CAD eines i$t; Allein wei- len die Dreyecke CAD und KIL einerley Höhe haben (per $upp.), $o verhalten $ie $ich gegen einander, als wie ihre Grund-Linien (§. 343.); Nun die Grund-Linie KL i$t das Sechs-fache der Grund-Linie CD (per $upp.), al$o i$t auch das Dreyeck KIL das $echs-fache des Drey- ecks CAD; Derowegen i$t es dem Polygon gleich. W. z. E.

Zu$atz.

463. Aus die$em Lehr-Satz folget, da{$s}, um den Inhalt eines re- gularen Polygons zu finden, man die Helfte $einer Circumferenz durch die Perpendicular-Linie, die man aus dem Mittel-Punct auf eine $ei- ner Seiten ziehet, multipliciren mu{$s}; Dann um den Inhalt des Drey- ecks IKL zu finden, welches einerley mit dem Polygon i$t, mu{$s} man auch die Helfte der Grund-Linie KL durch die Perpendicular IK mul- sipliciren (§. 339.).

[0193] Dritter Lehr-Satz.

464. Der Innhalt eines Zirckels i$t gleich einem Dreyeck, welches zur Höhe den _Radium_, und zur Grund-Linie die _Circumfe-_ _renz_ des Zirckels hat.

Beweis.

Weilen ein Zirckel ein Polygon von einer unendlichen Anzahl Sei- Fig. 120. ten i$t, $o kan man die Circumferenz vor die Summ aller die$er Sei- ten und den Radium vor die Perpendicular-Linie annehmen; Woraus al$o folgt, da{$s} er einem Dreyeck NMO, welches zur Höhe den Radium MN und die Linie NO die der Circumferenz gleich i$t, zur Grund-Linie hat (§. 462.). W. z. E.

Zu$atz.

465. Weilen das Dreyeck MNO dem Zirckel und auch einem Rectangu- lo, das zur Grund-Linie die Helfte der Grund-Linie NO, und zur Höhe den Radium MN hat, gleich i$t (§. 339.), $o folgt daraus, da{$s} ein Zir- ckel gleich $eye einem Rectangulo, welches zur Grund-Linie die Helfte der Circumferenz und zur Höhe den Radium hat; Da{$s} man al$o, um $einen Inhalt zu finden, den Radium durch die Helfte der Circumferenz multipliciren mu{$s}.

Er$te Anmerckung.

466. Wann man die Fläche eines Zirckels an$iehet, als wann $ie be$tünde aus einer unendlichen Anzahl concentri$cher Circumferenzien, deren Radii immer um einerley Grö$$e wach$en, $o machen alle die$e Circumferenzien eine unendliche Arithmeti$che Progre$$ion aus, davon der Mittel-Punct der kleine$te, und die Cir- cumferenz der grö$te Terminus i$t. Da nun der Radius AB die Anzahl der Ter- minorum der Progre$$ion ausdrückt, $o folgt daraus, da{$s} man ihre Summ findet, wann man den grö$ten Terminum, der die Circumferenz i$t, durch die Helfte des Radii AB multiplicirt (§. 340.).

Zweyte Anmerckung.

467. Es $cheinet, als wann man durch den vorhergehenden Lehr-Satz al$o- bald die Quadratur des Zirckels finden könnte, weilen dorten erwie$en worden, da{$s} ein Zirckel gleich $eye einem Dreyeck, da{$s} die Circumferenz des Zirckels zur Grund- Linie, und den Radium zur Höhe hat; allein weilen man noch nicht hat geometri- cè eine grade Linie gefunden, welche der Circumferenz eines Zirckels vollkommen gleich wäre, $o hat man al$o auch noch nicht können ein Dreyeck finden, welches dem Zirckel vollkommen gleich wäre. Wann ich von einem Dreyeck rede, $o ver- $tehe ich es auch von einem Quadrat, welches dem Zirckel gleich wäre, weilen man [0194] geometricè kan ein Quadrat machen, das einem Dreyeck gleich i$t, wie man die$es ander$two $ehen wird. Allein um den Anfängern das Wort _Quadrat_ur des Zir- ckels nichr zweydeutig zu machen, $o m{uo}$$en $ie mercken, da{$s} die Quadratur des Zirckels be$tehe in Erfindung eines Satzes, welcher lehret, wie ein Quadrat einem Zirckel könne gleich gemacht werden, und da zugleich erwie$en wird, da{$s} die$es Quadrat dem Zirckel vollkommen gleich $eye. Obwohlen die Mathematici noch nicht eine grade Linie gefunden, welche der Circumferenz eines Zirckels vollkommen gleich wäre, $o kan man doch in Praxi $upponiren, da{$s} es möglich $eye, indem man $ich einiger Reglen bedient, durch welche man $ehr nahe an die wahrhaftige Quadratur des Zirckels kommt, wie man die$es $ehen wird.

468. Nachdem Archimedes mit vielem Flei{$s} die Verhält- ni{$s} des Diameters gegen die Circumferenz ge$ucht, $o hat er gefun- den, da{$s} $ie bey nahem $eye als wie 7 zu 22. Al$o wann man $uppo- nirt, der Diameter wäre 7, $o i$t die Circumferenz dem dreyfachen Dia- meter $amt dem $iebenden Theil des Diameters gleich: nun weilen die Diameter $ich gegen einander verhalten, als wie die Circumferenzen (§. 461.), $o kan man die Circumferenz eines Zirckels, de$$en Diame- ter z. E. von 28 Schuhen wäre, finden, wann man $agt: 7 als der Diameter eines Zirckels gibt 22 zu $einer Circumferenz, wie viel geben 28 als der Diameter eines andern Zirckels zu $einer Circumferenz; und da findet man 88 Schuh.

469. Allein, wann man von einem Zirckel nur die Circumferenz kennet, welche wir von 66 Schuh $upponiren, und man den Diameter finden will, $o mu{$s} man wiederum eine Regel de Tri machen, und $a- gen: Wann die Circumferenz eines Zirckels von 22 Schuhen 7 gibt zum Diameter, wie viel gibt die Circumferenz eines andern Zirckels, wel- che von 66 Schuhen i$t, zu ihrem Diameter; und die$en findet man von 21. Schuhen.

470. * Ludolphus Colonien$is, welcher mit noch mehrerem Flei{$s} die Verhätni{$s} des Diameters gegen die Circumferenz ge$ucht als Ar- chimedes, hat gefunden, da{$s} der Diameter $ich zur Circumferenz ver- halt als wie 100 zu 314. Derowegen um de$to genauer zu operiren, kan man $ich die$er letztern Proportion bedienen.

471. * Wann man aber den Werth eines Zirckel-Bogens, den man in Graden kennet, finden will, $o mu{$s} man über die vorhergehende Regel de Tri noch eine andere machen; Z. E. es wäre der Diameter eines Zirckel-Bogens von 49. Schuhen, und der Zirckel-Bogen von 50. Graden, $o $ucht man nach 1. 468. die gantze Circumferenz, die man von 154. Schuhen findet; nach die$em $agt man, wann 360 Grad als die gantze Circumferenz 154. Schuh geben, wie viel geben 50. Grad, und da findet man 21 {7/16} Schuh vor den Werty des Zirckel-Bogens.

[0195] Vierter Lehr-Satz.

472. Wann man zwey ähnliche Polygonen A und B hat, Fig. 115. & 116. $o verhalt $ich die Fläche des er$ten zur Fläche des anderten, als wie das _Quadrat_ der Perpendicular AE zum _Quadrat_ der Perpen- dicular BH, oder als wie das _Quadrat_ des _Radii_ AC zum _Quadrat_ des _Radii_ BF.

Es $eye CD = a, die Perpendicular AE = b, die Seite FG = c, die Perpendicular BH = d, $o i$t die Circumferenz des er$ten Poly- gons = 6a, und die Circumferenz des anderten = 6c; und wann man die Helften der Circumferenzien durch die Perpendicularen multiplicirt, $o bekommt man 3ab vor das er$te Polygon A und 3cd vor das Polygon B (§. 463.); Da i$t zu erwei$en, da{$s} 3ab, 3cd : : bb, dd.

Er$ter Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s} 3ab, 3cd : : bb, dd, $o wollen wir erwei$en, da{$s} die Producte der äu$$ern und innern die$er Proportion uns geben 3abdd = 3bbcd. Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s}, wegen der Aehnlichkeit der Dreyecke ACD und BFG, a, c : : b, d (§. 357.), da- von al$o ad = bc (§. 169.). Wann man nun in obiger Gleichung an$tatt bc $etzet ad, $o bekommt man 3abdd = 3abdd. W. z. E. z. E.

Es $eye der Radius AC = f, und der Radius BF = g; Da i$t zu erwei$en, da{$s} 3ab, 3cd : : ff, gg.

Zweyter Beweis.

Weilen die Dreyecke ACE und BFH einander ähnlich $eynd, $o i$t b, d : : f, g (§. 357.); Derowegen i$t auch bb, dd : : ff, gg (welches hernach, und zwar independenter von die$em Satz wird erwie$en wer- den); Allein bb, dd : : 3ab, 3cd (per dem. 1.). Al$o i$t auch 3ab, 3cd : : ff, gg (§. 189.). W. z. A. z. E.

* Zu$atz.

473. Auf eben die$e Art wird auch erwie$en, da{$s} 3ab, 3cd : : aa, cc. Woraus man al$o $chlie$$et, da{$s} ähnliche Polygonen $ich gegen einander verhalten, als wie die Quadrate der corre$pondirenden Sei- ten.

Fünfter Lehr-Satz.

474. Die Fläche der Zirckel verhalten $ich gegen einander Fig. 117. & 118. als wie die _Quadrat_e ihrer _Radiorum_.

[0196]

Es $eyen zwey Zirckel X und Y, davon die Circumferenz des er$ten = a, $ein Radius = c, die Circumferenz des anderten Y = b, und $ein Radius = d, $o i$t die Fläche des er$ten = {ac / 2}, und die Fläche des anderten = {bd / 2} (§. 464.): Da i$t zu erwei$en, da{$s} {ac / 2}, {bd / 2} : : cc, dd.

Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s} {ac / 2}, {bd / 2} : : cc, dd, $o wollen wir wei$en, da{$s} die Producte der äu$$ern und innern geben {acdd / 2} = {bccd / 2}. Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s}, weilen die Circumferenzien $ich gegen einander verhalten, als wie ihre Radii, man bekommt a, b : : c, d, (§. 461.) welches uns ad = bc gibt. Wann man nun in dem zweyten Glied der obigen Gleichung an$tatt bc $etzet ad, $o bekommt man {acdd / 2} = {acdd / 2}. W. z. E.

* Zu$atz.

475. Weilen die Diameter das Doppelte der Radiorum $eynd, $o kan man auch $agen, da{$s} die Flächen der Zirckel $ich gegen einander ver- halten, als wie die Quadrate der Diametrorum.

Sech$ter Lehr-Satz.

476. Aehnliche Dreyecke verhalten $ich gegen einander, als Fig. 121. & 122. wie die _Quadrat_e der _corre$pondi_renden Seiten.

Es $eyen die Dreyecke E und F einander ähnlich, die Grund-Linie des er$ten = a, $eine Perpendicular-Höhe = b, die Grund-Linie des anderten = c, und $eine Perpendicular-Höhe = d, $o i$t das er$te Drey- eck = {ab / 2} und das anderte {cd / 2} (§. 339.): Al$o mu{$s} man erwei$en, da{$s} {ab / 2}, {cd / 2} : : aa, cc.

[0197] Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s} {ab / 2}, {cd / 2} : : aa, cc, $o wollen wir wei$en, da{$s} die Producte der äu$$ern und innern geben {abcc / 2} = {aacd / 2}. Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} weilen die Dreyeck einander ähnlich $eynd, wir bekommen a, b : : c, d, und da{$s} al$o ad = bc. Wann man nun in dem zweyten Glied der vorigen Gleichung bc an die Stelle von ad $etzet, $o bekommt man {abcc / 2} = {abcc / 2}. W. z. E.

Anmerckung.

477. Man kan durch Hülf die$es Lehr-Satzes auf die kürtze$te Manier er- Fig. 123. wei$en, da{$s} in einem recht-wincklichten Dreyeck, als wie ABC, das Quadrat der Hypothenu$æ gleich $eye den Quadraten der zwey übrigen Seiten zu$ammen genom- men; Dann wann man aus dem rechten Winckel B eine Perpendicular BD auf die Hypothenu$am fallen lä{$s}t, $o bekommt man drey ähnliche Dreyecke ABC, ADB und CDB (§. 307. und 368.). Wann man nun die Seiten AC, AB und BC, die den rechten Winckeln entgegen $tehen, vor die corre$pondirende Seiten annimmt, $o $ie- het man, da{$s}, weilen das gro$$e Dreyeck ABC den zweyen kleinen zu$ammen ge- nommen gleich i$t, auch das Quadrat der Seite AC mu{$s} den Quadraten der zwey übrigen Seiten AB und BC zu$ammen genommen gleich $eyn. Dann ABC, ABD : :

    AC
^2,
    AB
^2 und ABC, BDC : :
    AC
^2,
    BC
^2 (§. 476.). Al$o i$t auch ABC,
    AC
^2 : : ABD,
    AB
^2 und ABC,
    AC
^2 : : BDC,
    BC
^2 (§. 180.). Derowegen 2ABC, 2
    AC
^2 : : ABD + BDC,
    AB
^2, +
    BC
^2 (§. 190.). Al$o ABC,
    AC
^2 : : ABD + BDC,
    AB
^2 +
    BC
^2 (§. 199.). Allein ABC = ABD + BDC (§. 114.) Derowegen i$t
    AC
^2 =
    AB
^2 +
    BC
^2 (§. 196).

[0198] * Zu$atz.

478. Weilen {ab / 2}, {cd / 2} : : aa, cc (§. 476.), und {ab / 2}, {cd / 2} : : ab, cd (§. 198.), $o i$t auch ab, cd : : aa, cc (§. 189.). Die$es wei$et uns, da{$s} auch Parallelogramma $ich gegen einander verhalten, als wie die Quadrate der corre$pondirenden Seiten.

Siebender Lehr-Satz.

479. Wann in _Parallelogrammis_ die Grund-Linien und höhen _reciprocœ_ $eynd, $o $eynd $ie einander gleich.

Beweis.

Wann man zwey Parallelogramma E und F hat, davon die Grund- Fig. 124. & 125. Linie des er$ten = a, die Grund-Linie des zweyten = b, die Höhe des zweyten = c, und die Höhe des er$ten = d, $o bekommt man nach der Suppo$ition a, b : : c, d (§. 459.), welches al$o gibt ad = bc. W. z. E.

Zu$atz.

480. Weilen die Dreyecke die Helften $eynd von Parallelogram- mis die mit ihnen einerley Grund-Linien und Höhen haben, $o folgt dar- aus, da{$s}, wann in Dreyecken die Grund-Linien und Höhen reciprocæ $eynd, $ie auch als wie die Parallelogramma einander gleich $eyen.

Achter Lehr-Satz.

481. Die _Parallelogramma_ verhalten $ich gegen einander in ei- ner _componi_tten Verhältni{$s} ihrer Grund-Linien und Höhen.

Beweis.

Es $eyen die beyde Parallelogramma G und H, die Grund-Linie des Fig. 126. & 127. er$ten = a, die Grund-Linie des anderten = b, die Höhe des er$ten = c und die Höhe des anderten = d, $o i$t {a / b} die Verhältni{$s} der Grund-Linie des er- $ten zur Grund-Linie des anderten, und {c / d} i$t die Verhältni{$s} der Höhe [0199] des er$ten zur Höhe des anderten. Wann man nun die$e beyde Ver- hältni$$e miteinander multiplicirt, $o kommt {ac / bd} vor die Verhältni{$s}, die das er$te Parallelogrammum G gegen das anderte H hat, die$e i$t al$o componirt von den Verhältni$$en von a zu b und von c zu d. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

482. Weilen die Dreyecke Helften $eynd von Parallelogrammis, $o folgt daraus, da{$s} auch die Dreyecke $ich gegen einander verhalten in einer componirten Verhältni{$s} der Grund-Linien und Höhen.

Zweyter Zu$atz.

483. Ferner folgt daraus,da{$s} die ähnliche Dreyecke und Parallelogram- ma $ich in einer duplicirten Verhältni{$s} gegen einander verhalten; dann wann $ie ähnlich $eynd, $o verhalt $ich die Grund-Linie des er$ten zur Grund-Linie des anderten, als wie die Höhe des er$ten zur Höhe des anderten; Weilen nun die$e Verhältni$$e einander gleich $eynd, $o i$t die componirte Verhältni{$s}, die daraus ent$tehet, eine duplicirte Ver- hältni{$s} (§. 237.). Al$o verhalten $ich ähnliche Dreyecke, oder Paralle- logramma gegen einander in einer duplicirten Verhältni{$s} ihrer Grund- Linien und Höhen.

Neunter Lehr-Satz.

484. Wann drey Linien in einer _proportione continuâ_ $tehen, $o $age ich, da{$s} das _Quadrat_ der er$ten $ich verhalt zum _Quadra_t der zweyten, als wie die er$te zur dritten; Al$o wann ∺ a, b, c, $o i$t zu erwei$en, da{$s} aa, bb : : a, c.

Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s} aa, bb : : a, c, $o wollen wir erwei$en, da{$s} die Producte der äu$$ern und innern uns geben aac = abb; um die$es zu er- wei$en, $o betrachtet, da{$s}, weilen ∺ a, b, c, wir bekommen ac = bb; Wann man nun in dem zweyten Glied obiger Gleichung an die Stelle von bb $etzet ac, $o bekommt man aac = aac. W. z. E.

Zu$atz.

485. Aus die$em Lehr-Satz folget, da{$s}, wann drey Linien in ei- ner proportione continuâ $tehen, nicht allein das Quadrat der er$ten $ich [0200] zum Quadrat der zweyten verhalte, als wie die er$te Linie zur dritten; $ondern da{$s} auch ein jedes Polygon, das man auf der er$ten macht, $ich zu einem ähnlichen Polygon, das man auf der zweyten macht, verhalte, als wie die er$te Linie zur dritten: Dann weilen die Polygon $ich gegen einander verhalten, als wie die Quadrate ihrer corre$pondirenden Sei- ten (§. 473.), und die Quadrate $ich gegen einander verhalten, als wie die er$te Linie zur dritten, $o verhalten $ich auch die Polygonen gegen einander, als wie die er$te Linie zur dritten.

Zehender Lehr-Satz.

486. Wann man zwey grade Linien hat, welche wir mit a und b benennen wollen, $o $age ich, da{$s} das _Rectangulum_ die$er beyden Linien die mittlere Proportional-Grö$$e $eye zwi$chen den _Quadrat_en jeder die$er Linien; Das i$t, da{$s} aa, ab : : ab, bb.

Beweis.

Es i$t gantz klar, das aa, ab : : ab, bb, weilen die Producte der äu$- $ern und innern uns geben aabb = aabb. W. z. E.

Eilfter Lehr-Satz.

487. Wann vier Grö$$en in einer Geometri$chen _Proportion_ $tehen, $o verhalt $ich auch das _Quadrat_ der er$ten zum _Quadrat_ der zweyten, als wie das _Quadrat_ der dritten zum _Quadrat_ der vier- ten.

Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s} wann a, b : : c, d auch aa, bb : : cc, dd, $o wollen wir wei$en, da{$s} die Producte der au$$ern und innern uns geben aadd = bbcc. Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} die er$te Propor- tion uns gibt ad = bc; Wann man nun in dem er$ten Glied obiger Gleichung an $tatt ad $etzet bc, und in dem zweyten Glied an $tatt bc $e- tzet ad, $o bekommt man abcd = abcd. W. z. E.

Er$te Aufgab.

488. Zwi$chen zweyen Linien eine mittlere Proportional- Linie zu finden.

Auflö$ung.

Um eine mittlere Proportional-Linie zwi$chen den beyden Linien Fig. 128. A und B zu finden, $o mu{$s} man die beyde Linien an einander hängen, [0201] al$o, da{$s} $ie nur eine grade Linie CD ausmachen, und den Punct E, wo $ie aneinander $to$$en, bemercken; nach die$em mu{$s} man die gantze Li- nie CD in dem Punct F in zwey gleiche Theile theilen, und aus dem Mit- tel-Punct F einen halben Zirckel be$chreiben. Wann man nun an den Punct E, wo die beyde Linien aneinander $to$$en, eine Perpendiculat EH, die $ich an der Circumferenz endiget, aufrichtet, $o wird die$e die ge$uchte mittlere Proportional-Linie $eyn. Die$es i$t gantz klar, indem vermög der Eigen$chaft des Zirckels (§. 416.), eine jede Perpendicu- lar, als wie HE die mittlere Proportional-Linie zwi$chen den Theilen CE und ED des Diameters i$t: Al$o wann die Linie K = HE, $o hat man die drey Proportional-Linien A, K und B.

489. Wann man zwi$chen zweyen Zahlen z. E. zwi$chen 4 und 9 eine mittlere Proportional-Zahl finden will, $o mu{$s} man die$e beyde Zahlen miteinander multipliciren, und aus dem Product 36 die Qua- drat-Wurtzel ausziehen; Da i$t die Wurtzel 6 die ge$uchte mittlere Proportional-Zahl; Dann weilen das Quadrat die$er mittlern Pro- portional-Zahl 6 i$t 36, welches dem Product der äu$$ern 4 und 9 gleich i$t, $o i$t al$o ∺ 4, 6, 9. Wann das Product der äu$$ern keine vollkommene Quadrat-Zahl i$t, $o bedient man $ich der Decimalen (§. 94.), um $o nahe an die wahrhaftige Wurtzel zu kommen als es möglich, die$e nimmt man vor die mittlere Proportional-Zahl an.

* Zweyte Aufgab.

490. Es $eye gegeben die Summe CD der beyden äu$$ern Li- Fig. 128. nien$amt der mittlern Proportional-Linie K, man begehrt die bey- de äu$$ere zu finden.

Auflö$ung.

Nehmet die Summ der äu$$ern Linien zum Diameter an, auf wel- chen ihr einen halben Zirckel be$chreibet. An das Ende C des Diame- ters CD ziehet eine Tangent CG = K. Durch den Punct G ziehet mit CD eine Parallel GH, welche den halben Zirckel in H durch$chnei- det. Aus dem Punct H la$$et eine Perpendicular-Linie HE auf den Diameter fallen, die$e wird die beyde äu$$ere Proportional-Linien CE und ED ab$chneiden (§. 416.).

* Anmerckung.

491. Die$es kan auch Algebraicè auf folgende Manier gefunden werden. Es $eye ED = x, CD = a, $o i$t CE = a - x; Ferner $eye CG oder K = b; $o i$t [0202] ax - xx = bb (§. 416.). Und ax - xx - bb = 0. ax - bb = xx. - bb = xx - ax. Al$o i$t {1/4}aa - bb = xx - ax + {1/4}aa. {1/4}aa - bb = x - {1/2} a. {1/4}aa - bb + {1/2} a = x.

Dritte Aufgab.

492. Zu zweyen gegebenen Linien eine dritte Proportional- Linie zu finden.

Auflö$ung.

Wann man zu zweyen gegebenen Linien M und N eine dritte Pro- Fig. 129. portional-Linie finden will, al$o da{$s} man $agen kan: Die er$te Linie M verhalt $ich zur zweyten N, als wie eben die$e zweyte N zu derjenigen, die man $ucht, $o mu{$s} man einen Winckel ABC nach Belieben machen, und auf der Seite BC das Stuck BD = M und das Stuck DF = N ab$chneiden; Auf der Seite BA $chneidet wiederum das Stuck BE = N ab, und ziehet die Linie DE. Ietzund, wann man durch den Punct F mit der Linie DE eine Parallel FG ziehet, $o bekommt man die Linie EG, welche die dritte ge$uchte Proportional-Linie $eyn wird.

Beweis.

Betrachtet, da{$s} in dem Dreyeck BGF, die Seiten BF und BG durch die mit der Grund-Linie FG parallel gezogene Linie DE propor- tionaliter durchge$chnitten werden, und da{$s} al$o BD, DF : : BE, EG (§. 352.); Weilen aber BE = DF (per con$tr.), $o bekommt man BD, DF : : DF, EG. Wann man al$o die Linie O der Linie EG gleich macht, $o bekommt man die drey Proportional-Linien M, N und O. W. z. E.

493. Um zu zweyen Zahlen, als wie 2 und 8 eine dritte Pro- portional-Zahl zu finden, $o mu{$s} man die zweyte Zahl quadriren, und die$es Quadrat durch den er$ten dividiren, $o wird der Quotient die ge- $uchte dritte Proportional-Zahl $eyn. Al$o wann man 64 als das Quadrat von 8 durch 2 dividirt, $o kommt 32 vor die Zahl die man $ucht; Weilen das Product von 2 und 32 gleich i$t dem Quadrat der mittlern 8.

[0203] Vierte Aufgab.

494. Zu dreyen gegebenen Linien die vierte Proportional- Linie zu finden.

Auflö$ung.

Um zu den drey gegebenen Linien P, Q und R die vierte Propor- Fig. 130. & 131. tional-Linie zu finden, $o mu{$s} man, wie in vorhergehender Aufgab, ei- nen Winckel XSC nach Belieben machen, und auf dem Schenckel SC das Stuck SV = P, und das Stuck VZ = Q ab$chneiden; Desglei- chen mu{$s} man auch auf dem Schenckel SX das Stuck ST = R ab$chnei- den, und die Linie TV ziehen, mit welcher man durch den Punct Z eine Parallel ZX fuhret, welche uns die Linie TX ab$chneidet, die die ge- $uchte vierte Proportional-Linie $eyn wird.

Beweis.

Weilen das Dreyeck SXZ, durch eine Linie TV, die mit der Grund- Linie XZ parallel lauft, durchge$chnitten i$t, $o i$t SV. VZ : : ST, TX (§. 352.): Wann man al$o die Linie Y der Linie TX gleich macht, $o bekommt man die vier Proportional-Linien P, Q, R und Y. W. z. E.

495. Um zu dreyen gegebenen Zahlen die vierte Proportional- Zahl zu finden, $o dörf man nur die gewöhnliche Regel de Tri an$tel- len; indem die Regel de Tri nichts anders i$t, als eine Aufgab einen vierten Terminum zu finden, welcher $ich zum dritten Verhalt, als wie der zweyte zum er$ten.

In den folgenden Aufgaben wird man den Gebrauch $ehen, den man von den Proportional-Linien machen kan.

Fünfte Aufgab.

496. Ein _Quadrat_ einem _Rectangulo_ gleich zu machen.

Auflö$ung.

Um ein Quadrat dem Rectangulo AC gleich zu machen, $o mu{$s} Fig. 132. & 133. man zwi$chen den ungleichen Seiten AB und BC des Rectanguli eine mittlere Proportional-Linie $uchen, da wird das Quadrat die$er mitt- lern Proportional-Linie dem Rectangulo gleich $eyn.

[0204] Beweis.

Wann die Linie DE eine mittlere Proportional-Linie zwi$chen AB und BC i$t, $o i$t es gewi{$s}, da{$s} ihr Quadrat DF dem Rectangulo AC gleich $eye, indem die$es Rectangulum aus den äu$$er$ten Linien AB und BC der Proportion ent$tanden.

Zu$atz.

497. Weilen, wie oben §. 465. erwie$en, ein Zirckel einem Rectangulo, welches ent$tehet, wann man die Helfte der Circumferenz durch den Radium multiplicirt, gleich i$t; $o folgt daraus, da{$s} das Quadrat einer Linie, die die mittlere Proportional-Linie zwi$chen der Helfte der Circumferenz und dem Radio wäre, dem Zirckel gleich $eye.

Sech$te Aufgab.

498. Ein _Quadrat_ zu machen, welches $ich gegen ein anders nach einer gegebenen Verhältni{$s} verhalter.

Auflö$ung.

Um ein Quadrat zu machen, das $ich zu einem gegebenen Quadrat Fig. 134. & 135. CB verhalte, als wie z. E. 3 zu 5; $o ziehe ich eine Linie GH, welche ich drey fünften Theilen von AB gleich mache, und zwi$chen die$en Li- nien AB und GH, $uche ich eine mittlere Proportional-Linie EF, auf welche ich das Quadrat IF aufrichte, welches dreyen fünften Theilen des Quadrats CB gleich $eynd wird: Dann weilen die drey Linien AB, EF und GH in einer proportione continuâ $tehen, $o i$t AB, GH : :

    AB
^2,
    EF
^2 (§. 484.), oder GH, AB : :
    EF
^2,
    AB
^2 (§. 180.). Weilen nun GH = {3/5}AB (per $upp.), al$o i$t auch
    EF
^2 = {3/5}
    AB
^2. Die$e Aufgab gibt uns das Mittel an die Hand, alle Figuren nach Proportion zu vergrö$$ern, oder zu verkleinern.

Siebende Aufgab.

499. Die Verhältni{$s} zweyer ähnlichen Figuren zu finden, wann man nemlich die Verhältni{$s} zweyer _corre$pondi_renden Sei- ten kennet.

[0205] Auflö$ung.

Um die Verhältni{$s} zweyer ähnlichen Polygonen A und B zu fin- Fig. 136. & 137. den, $o mu{$s} man zu ihren corre$pondirenden Seiten CD und EF eine dritte Proportional-Linie GH $uchen, da wird die Verhältni{$s} der Linie CD zu GH einerley $eyn mit der Verhältni{$s} des Polygons A zu B.

Beweis.

Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s}, weilen die drey Linien CD, EF und GH in einer proportione continuâ $tehen, eine jede Figur die man auf der er$ten CD macht, $ich verhalte zu einer ähnlichen Fi- gur, die man auf der zweyten EF macht, als wie die er$te Linie CD $ich zur dritten GH verhalt (§. 485.); Da{$s} al$o A, B : : CD, GH. W. z. E.

Achte Aufgab.

500. Ein _Rectangulum_ zu machen, das einem gegebenen _Rectan-_ _gu_l_o_ gleich $eye, aber eine gegebene Seite habe.

Man begehrt ein Rectangulum zu machen, das einem gegebenen Fig. 138. & 139. Rectangulo BC gleich, aber doch al$o, da{$s} eine $einer Seiten auch der Linien DE gleich $eye.

Auflö$ung.

Suchet zu der gegebenen Linie DE, und zu den zweyen Seiten AC und AB des Rectanguli eine vierte Proportional-Linie; nach die$em macht aus der gegebenen Linie DE, und der gefundenen vierten ein Re- ctangulum, welches dem Rectangulo BC wird gleich $eyn.

Beweis.

Um es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s}, wann man ein Rectangu- lum GH von der Seite FG (welche ich die gefundene vierte Propor- tional-Linie zu $eyn $upponire,) und der Linie FH, welche der Linie DE gleich i$t, macht, man bekomme FG, AC : : AB, FH; Woraus al$o folget, da{$s} FG × FH = AC × AB. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

501. Aus die$em Satz folget, da{$s}, wann man mehrere Rectan- gula hat, deren Grund-Linien und Höhen ungleich $eynd, man alle auf [0206] einerley Höhe bringen kan; und hernach, wann man will, kan man ein eintziges daraus machen, welches allen zu$ammen genommen gleich i$t, indem man ihm zur Grund-Linie die Summ aller Grund-Linien, und zur Höhe die gemeine Höhe gibt.

Zweyter Zu$atz.

502. Weilen man alle grad-linichte Figuren als wie BE in Drey- Fig. 140. ecke zertheilen, und jedes Dreyeck zu einem Rectangulo machen kan, $o folgt ferner aus vorhergehendem Satz, da{$s}, wann man allen Rectan- gulis, die aus den Dreyecken ent$pringen, einerley Höhe gibt, und $ie in eines bringt, man ein Quadrat machen kan, welches einer grad-linich- ten Figur von einer gro$$en Anzahl Seiten, gleich i$t, indem man nur eine mittlere Proportional-Linie zwi$chen den Seiten desjenigen Rectan- guli, welches allen zu$ammen genommen gleich i$t, $uchet.

[0207] Achtes Buch Von Den Cörpern und ihren Flächen. Erklärungen. I.

503. EIn _Prisma_ i$t ein Cörper, welcher durch viele Flächen ein- Fig. 141. ge$chlo$$en i$t, deren eine ihm zur untern Grund-Fläche und eine andere zur obern Grund-Fläche dient, welche ein- ander gleich $eynd, und miteinander parallel lauffen, und die andere Flächen $o viel Rectangula $eynd, als die Grund-Fläche Seiten hat; Die$e Grund-Fläche $eynd entweder Dreyecke, Vierecke, oder andere Polygonen, daher auch die Prismata dreyeckigt, viereckigt, fünfeckigt 2c. genennet werden: Siehe die Figur A, welche ein grad $tehendes Prisma i$t, das man al$o benennet, um es von den $chief-$tehenden zu unter- $cheiden.

II.

504. Ein Cylinder i$t ein Cörper, welcher ent$tehet, wann man Fig. 142. ein Parallelogrammum um eine $einer Seiten, die dahero die Axe des Cylinders genennet wird, bewegt; Die Axe gehet durch die Mittel- Puncten der einander entgegen $tehenden Grund-Flächen, welche gleiche Zirckel $eynd, und miteinander parallel lauffen.

III.

505. Eine Pytamide i$t ein Cörper, de$$en Seiten-Flächen drey- Fig. 143. & 144. eckigt $eynd, und in einem Spitz zu$ammen kommen; $eine Grund-Flä- che aber i$t entweder ein Dreyeck, oder ein Quadrat, oder auch ein Po- lygon; * Dahero auch die Pyramiden entweder dreyeckigt, oder vier- eckigt, oder fünfeckigt rc. $eynd.

[0208] IV.

506. Ein grad-$tehender _Conus_ i$t ein Cörper, der $ich in einem Fig. 145. Punct endiget, welcher auch der Spitz des _Coni_ genennet wird; er ent- $tehet, wann man ein rechtwincklichtes Dreyeck, um eine $einer Seiten, die dannenhero auch die Axe des _Coni_ genennt wird, bewegt; die$e ge- het durch den Mittel-Punct der Grund-Fläche, welche ein Zirckel i$t; Al$o wann man in Gedancken, das Dreyeck CDB um die Seite CD, welche unbeweglich bleibt, bewegt, $o wird die$es Dreyeck einen Conum ACB be$chreiben, de$$en Axe die unbewegliche Seite CD i$t.

V.

507. Ein grad$tehender ge$tümpelter _Conus_ i$t ein Cörper, Fig. 147. welcher ent$tehet, wann ein Trapezoides, als wie FGHI um diejenige Seite GF, an welcher die rechte Winckel liegen, bewegt wird; oder man kan auch $agen, da{$s} ein ge$tümpelter Conus dasjenige $eye, was übrig Fig. 146. bleibt, nachdem man von einem Cono ABC durch einen mit der Grund- Fläche AC parallelen Schnitt DE einen kleinem Conum DBE abge- $chnitten.

VI.

508. Eine Kugel, oder _Sphæra_ i$t ein Cörper, welcher durch ei- Fig. 148. ne eintzige krumme Fläche einge$chlo$$en i$t, welche dahero auch die Ku- gel-Fläche genennet wird, $o i$t die Fläche ADBC; innerhalb die$er Fläche i$t ein Punct, welcher der Mittel-Punct der Kugel genennet wird, und $o be$chaffen i$t, da{$s} alle Linien, die man von ihm auf die Ku- gel-Fläche ziehet, einander gleich $eyen.

VII.

509. Eine Kugel ent$tehet, wann man einen halben Zirckel um $einen Diameter herum bewegt. ⋆ Und da hei$$et der Diameter die Axe der Kugel.

VIII.

510. Ein _Segmentum_ einer Kugel i$t eines der ungleichen Stuck Fig. 148. ABC und ADC der Kugel die durch eine Fläche, die nicht durch den Mittel-Punct gehet, durchge$chnitten wird; $on$ten, wann die Fläche durch den Mittel-Punct gehet, $o $eynd die beyde Segmenta halbe Ku- geln, und werden Hemisphæria genennet.

IX.

511. Ein Gürtel, oder _Zona_ i$t ein Stuck ABCD der Fläche Fig. 149. einer Kugel, welches durch zwey Zirckel BC und AD, die miteinander pa- rallel lauffen, das i$t, die zwey eigene Puncten der Kugel-Fläche zu ih- ren Polis haben, einge$chlo$$en i$t.

[0209] X.

512. Ein _Sector_ einer Kugel i$t ein Cörper, welcher $ich in einem Fig. 150. Punct, der der Mittel-Punct der Kugel i$t, endiget, und zu $einer Grund-Fläche die Fläche eines Segmenti hat; $o i$t der Cörper COGA.

XI.

513. Ein Krey{$s}, oder _Orbis_ i$t ein runder Cörper, der durch Fig. 151. zwey Kugel-Flächen einge$chlo$$en i$t, deren eine hol und die andere er- hoben i$t; al$o i$t der Cörper, welcher durch die erhobene BCDE, und durch die holeKugel-Fläche FGHI einge$chlo$$en i$t: Derowegen $iehet man, da{$s} ein Orbis der Uberre$t $eye, welcher ent$tehet, wann man von einer grö$$ern Kugel BCDE eine kleinere FGHI die in der grö$$ern einge$chlo$- $en i$t, abziehet.

XII.

514. Weilen man $ich einen Orbem von einer unendlichen kleinen Fig. 152. Dicke einbilden kan, $o folgt daraus, da{$s} man eine Kugel betrachten kan, als wann $ie aus einer unendlichen Anzahl Krey$en be$tünde, deren grö$te die Kugel-Fläche und die kleine$te, die $ich auf o reducirt, in dem Mittel-Punct der Kugel i$t.

XIII.

515. Ein Cörper-Winckel i$t derjenige, welcher durch etliche Fig. 152. Flächen einge$chlo$$en i$t; al$o i$t z. E. der Winckel E, welcher von etli- chen Flächen BEA, AED, DEC und BEC, die in einem Punct E zu$am- men $to$$en, formirt wird. Um die$e Erklärung be$$er zu ver$tehen, $o kan man die Spitze der Pyramiden, die Ecke der Cuborum und Paral- lelepipedorum als Cörper-Winckel an$ehen.

* XIV.

516. Aehnliche Cörper $eynd diejenige, die durch eine gleiche Anzahl Flächen, deren die corre$pondirende einander ähnlich, einge$chlo$, $en $eynd.

Er$ter Lehr-Satz.

517. Die Fläche eines jeden _Prismatis_, ohne die Grund-Flä- Fig. 152. & 153. chen, i$t gleich einem _Rectangulo_, welches zur Grund-Linie eine Linie FG, die der Summ aller Seiten des Polygons AC gleich i$t, und zur Höhe eine Linie GH hat, die der Höhe AB des _Prismatis_ gleich i$t.

Beweis.

Wann das Prisma zu $einer Grund-Fläche z. E. ein Sechseck hat, $o i$t es durch $echs Rectangula, als wie DE einge$chlo$$en. Wann nun [0210] die Linie FG allen Seiten des Polygons zu$ammen genommen gleich i$t, $o i$t $ie das $echs-fache von der Seite AD; und weilen die Rectangula ED und FH einerley Höhe haben, $o verhalten $ie $ich gegen einander, als wie ihre Grund-Linien (§. 342.); Derowegen i$t auch das Rectan- gulum FH das $echs-fache des Rectanguli ED; Al$o i$t es der Fläche des Prismatis gleich. W. z. E.

Zu$atz.

518. Weilen ein Cylinder zur Grund-Fläche einen Zirckel hat, den man kan an$ehen, als ein Polygon von unendlich vielen Seiten, $o folgt daraus, da{$s} ein Rectangulum, welches eine der Circumferenz des Zirckels gleiche Grund-Linie, und eine der Höhe des Cylinders gleiche Höhe hat, der Fläche des Cylinders gleich $eye.

Zweyter Lehr-Satz.

519. Die Fläche einer graden Pyramide als wie ABC i$t Fig. 154. & 155. gleich einem Dreyeck, welche eine, der Summ der Seiten des Po- lygons, das der Pyramide zur Grund - Fläche dient, gleiche Grund-Linie GI, und eine der Perpendicular BF, die man von dem Spitz B der Pyramide auf eine Seite DE fallen lä{$s}t, gleiche Höhe HG hat.

Beweis.

Wann die Pyramide z. E. ein Sechseck zur Grund-Fläche hat, $o i$t $ie durch $echs Dreyecke, als wie DBE einge$chlo$$en, und die Grund- Linie GI i$t das $echs-fache der Grund-Linie DE. Nun weilen die Drey- ecke GHI und DBE einerley Höhe haben, $o verhalten $ie $ich gegen einan- der, als wie ihre Grund-Linien (§. 343.); Derowegen i$t das Dreyeck GHI das Sechsfache des Dreyecks DBE; Al$o i$t es der Fläche der Pyramide gleich. W. z. E.

Zu$atz.

520. Weilen ein grader Conus kan ange$ehen werden, als eine Pyramide von einer unendlichen Anzahl Seiten, $o folgt daraus, da{$s} $eine Fläche gleich $eye einem Dreyeck, welches eine der Circùmferenz des Zirckels, der des Coni Grund-Fläche i$t, gleiche Linie zur Grund- Linie, und eine der Seite des Coni gleiche Höhe hat.

[0211] * Dritter Lehr-Satz.

521. _Parallelpipeda_, welche gleiche oder einerley Grund-Flä- chen, wie auch einerley oder gleiche Höhen haben, $eynd einan- der gleich.

Beweis.

Es $eyen die Grund-Flächen = ab und die Höhen = c, $o $eynd beyde Parallelepipeda = abc. Weilen nun abc = abc, indem einerley Factores nur einerley Product geben können; $o folgt al$o, da{$s} man er- wie$en, was hat $ollen erwie$en werden.

* Zu$atz.

522. Eben die$es wird auch erwie$en von den Prismatis und Cy- lindern, die einerley Grund-Flächen und Höhen haben.

* Vierter Lehr-Satz.

523. _Parallelepipeda_, die gleiche Grund-Flächen haben, ver- halten $ich gegeneinander, als wie ihre Höhen.

Es $eyen die Grund-Flächen = ab, die Höhe des er$ten = c, und die Höhe des anderten = d, $o i$t das er$te Parallelepipedum = abc, und das anderte = abd.

Beweis.

Es i$t gantz klar, da{$s} abc, abd : : c, d, weilen die Termini der er- $ten Verhältni{$s} nur durch ab dividirt werden (§. 199.).

* Zu$atz.

524. Eben die$es wird auch von den Prismatis und Cylindern, wann $ie nemlich einerley Grund-Flächen haben, erwie$en.

* Fünfter Lehr-Satz.

525. _Parallelepipeda_, die gleiche Höhen haben, verhalten $ich gegen einander, als wie ihre Grund-Flächen.

Es $eye die gemeine Höhe = a, die Grund-Fläche des er$ten = bc, die Grund-Fläche des anderten = df, $o i$t das er$te Parallelepipe- dum = abc, und das anderte = adf.

[0212] Beweis.

Es i$t gantz klar, da{$s} abc, adf : : bc, df, weilen die Termini der er- $ten Verhältni{$s} nur durch a $eynd dividirt worden.

* Zu$atz.

526. Eben die$es wird auch von den Prismatis und Cylindern, die einerley Höhe haben, erwie$en.

Sech$ter Lehr-Satz.

527. Die _Parallelepipeda_ verhalten $ich gegen einander in ei- ner _componi_rten Verhältni{$s} ihrer dreyen Maa$$e.

Beweis.

Wir haben oben (§. 28.) ge$ehen, da{$s}, um den cörperlichen In- halt der Parallelepipedorum zu finden, man das Product zweyer Maa$$e, daraus ihre Grund-Flächen be$tehen, mu{$s} durch ihre Höhen multiplici- ren; woraus man al$o $iehet, da{$s} ihr cörperlicher Inhalt von der Mul- tiplication ihre Maa$$e abhänge: Derowegen kan man nach der Erklä- rung der componirten Verhältni$$en (§. 236.) $agen, da{$s} die Ver- hältni{$s}, die die Parallelepipeda gegen einander haben, eine aus ihren dreyen Maa$$en componirte Verhältni{$s} $eye. W. z. E.

* Er$ter Zu$atz.

528. Derowegen verhalten $ich ähnliche Parallelepipeda gegen- einander in einer triplicirten Verhältni{$s} ihrer corre$pondirenden Sei- ten.

Zweyter Zu$atz.

529. Weilen Prismata und Cylinder aus einer unendlichen An- zahl Flächen, die alle der Grund-Fläche gleich und ähnlich $eynd, be$te- hen, $o kan man $agen, da{$s}, weilen die Anzahl die$er Flächen durch die Höhe der Cörper ausgedruckt i$t, man die Grund-Fläche durch die Hö- he multipliciren mu{$s}, um al$o ihren cörperlichen Inhalt zu bekommen. Weilen nun wiederum der cörperliche Inhalt der Prismatum und Cy- linder von der Multiplication ihrer drey Maa$$e abhängt, $o folgt dar- aus, da{$s} $ie $ich auch gegen einander in einer componirten Verhältni{$s} ihrer drey Maa$$e verhalten.

[0213] Dritter Zu$atz.

530. Ferner folgt daraus, da{$s} man allezeit die Verhältni{$s} zweyer Cörper von einer Art finden kan, indem man ihre Grund-Flächen durch ihre Höhen multiplicirt: Wann ich $age Cörper von einer Art, $o ver- $tehe ich z. E. Pyramiden, die man miteinander, und Conos &c. die man miteinander vergleicht; Dann obwohlen wir noch nicht gewie$en, wie man den cörperlichen Inhalt der Pyramiden und Conorum findet, $o kan man doch allezeit überzeugt $eyn, da{$s} ihr cörperlicher Inhalt von der Multiplication ihrer drey Ma$$e abhänge; Dann wann man, um den Inhalt einer Pyramide zu finden, mu{$s} die Grund-Fläche durch den dritten Theil oder durch die Helfte der Höhe multipliciren, $o i$t gewi{$s}, da{$s}, um den Inhalt einer andern Pyramide zu finden, man wiederum die Grund-Fläche durch den dritten Theil, oder durch die Helfte der Höhe multipliciren mü$$e. Al$o wann man die drey Maa$$e einer Py- ramide auf eben die Art, als man die drey Maa$$e einer andern Pyra- mide miteinander multiplicirt, $o geben die Producte, wann $chon nicht ihren Inhalt, zum wenig$ten die Verhältni{$s}, die $ie untereinander ha- ben.

* Vierter Zu$atz.

531. Aus vorhergehendem Zu$atz flie$$et al$o, da{$s} $o wohl Pyra- miden als Coni, wann $ie gleiche Grund-Flächen und gleiche Höhen ha- ben, einander gleich $eyen.

Siebender Lehr-Satz.

532. Eine jede Pyramide als wie ABCDE i$t der dritte Theil Fig. 156. & 157. eines _Prismatis_, welches mit ihr einerley Grund-Linie, und einer- ley Höhe hat.

Es $eye die Grund-Fläche AC ein Quadrat, $o wollen wir AD oder DC mit a; HA oder EF mit b; und die Perpendicular EG mit {1/2}a be- nennen, weilen $ie die Helfte von IK oder von AD i$t.

Beweis.

Betrachtet, da{$s} wann man von dem Prismate AK die Pyramide ABCDE abziehet, uns vier Pyramiden als wie AHIEB übrig bleiben, welche alle einander gleich $eynd, indem eine jede eines der Rectangulo- rum AHIB der Fläche des Prismatis zur Grund-Fläche und eine Per- pendicular EG zur Höhe hat (§. 531.). Wann man nun aa, welches [0214] die Grund-Fläche AC der Pyramide AEC i$t, durch ihre Axe EF (b) multiplicirt, $o bekommt man aab vor das Product ihrer dreyen Maa$$e; Wann man ferner auch ab, welches die Grund-Fläche der Pyramide AHIEB i$t, durch ihre Höhe EG ({1/2}a) multiplicirt, $o bekommt man {aab / 2} vor das Product der dreyen Maa$$e die$er Pyramide; und weilen wir vier $olche Pyramiden haben, $o $eynd die$e vier Producte zu$am- men genommen gleich {4aab / 2} oder 2aab, welches das Doppelte i$t von aab als dem Product der dreyen Maa$$e der Pyramide AEC; Wor- aus al$o folget, da{$s} die$e Pyramide der dritte Theil $eye des Prismatis. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

533. Aus die$em Lehr-Satz folget, da{$s}, um den Inhalt einer Pyrami- de als wie ABCDE, die ein Quadrat zur Grund-Fläche hat, zu finden, man die Grund-Fläche, das i$t, das Quadrat AD durch den dritten Theil der Höhe der Pyramide multipliciren mu{$s}; oder wann man will, kan man auch die Grund-Fläche, durch die gantze Höhe multipliciren, und von dem Product den dritten Theil nehmen.

Zweyter Zu$atz.

534. Wann man eine viereckigte grade Pyramide ACD, durch eine Flä- Fig. 158. che, die durch die Axe gehet, und mit einer Seite der Grund-Fläche paral- lel i$t, durch$chneidet, $o gibt uns der Schnitt ein gleich-$chencklichtes Dreyeck FCG, de$$en Elementa als wie IK in einer Arithmeti$chen Pro- gre$$ion fortgehen (§. 237.). Allein, weilen alle die$e Elementa $o viel den Seiten der Quadraten, woraus die Pyramide be$tehet, gleiche Li- nien $eynd, $o folgt daraus, da{$s} eine Pyramide be$tehe, aus einer un- endlichen Anzahl Quadraten, deren Seiten in einer Arithmeti$chen Pro- gre$$ion fortgehen. Weilen man nun, um die Summ aller die$er Qua- draten, das i$t, den Inhalt der Pyramide zu finden, mu{$s} das Quadrat AD durch den dritten Theil der Perpendicular CH multipliciren, $o kan man aus die$em folgenden allgemeinen Schlu{$s} machen, da{$s}, wann man eine unendliche Arithmeti$che _Progre$$ion_ hat, die aus Linien be$tehet, deren kleine$te $ich auf _o_ endiget, man die Summ der _Quadrat_en aller die$er Linien findet, indem man das _Quadrat_ der [0215] grö$ten Linie durch den dritten Theil der Grö$$e, die die Anzahl die$er Linien oder _Quadrat_en ausdruckt, _multiplici_rt.

Die$er Zu$atz i$t von gro$$er Wichtigkeit, derowegen man ihn wohl ver$tehen mu{$s}, indem wir uns de$$en in den folgenden Bewei$en bedie- nen werden.

Dritter Zu$atz.

535. Ferner folgt daraus, da{$s}, um den Inhalt einer graden Py- Fig. 159. ramide ABC die ein Polygon AC zur Grund-Fläche hat, zu finden, man die Grund-Fläche durch den dritten Theil der Axe multipliciren mu{$s}; Dann weilen die Pyramide aus einer unendlichen Anzahl Poly- gonen, die alle der Grund-Fläche ähnlich $eynd, be$tehet, und $ich die$e Polygonen gegen einander verhalten, als wie die Quadrate ihrer Radio- rum (§. 472.) und die Radii als wie EF und AD die Elementa $eynd des Dreyecks ABD, $o kan man $agen, da{$s} die$e Polygonen $ich gegen einander verhalten, als wie die Quadrate der Linien, die in einer unend- lichen Arithmeti$chen Progre$$ion fortgehen, und da{$s} al$o um ihren In- halt zu finden, man das grö$te Polygon AC durch den dritten Theil der Perpendicular BD multipliciren mu{$s}.

* Vierter Zu$atz.

536. Weilen ein Cylinder als ein Prisma, und ein Conus als eine Pyramide von unendlich vielen Seiten kan ange$ehen werden, $o kan man $agen, da{$s} ein Conus der dritte Theil eines Cylinders von gleicher Grund-Fläche und Höhe $eye.

Fünfter Zu$atz.

537. Weilen ein Conus ABC aus einer unendlichen Anzahl Zir- Fig. 161. ckeln be$tehet, welche zu ihren Radiis die Elementa als wie EF und AD des Dreyecks ABD haben, $o folgt daraus, da{$s}, weilen die Zirckel $ich gegen einander verhalten, als wie die Quadrate ihrer Radiorum, man, um den Werth aller die$er Zirckel, daraus der Conus be$tehet, zu fin- den, den grö$ten Zirckel AC durch den dritten Theil der Perpendicular BD, die ihre Anzahl ausdruckt, multipliciren mu{$s}.

Achter Lehr-Satz.

538. Wann man zwey Pyramiden ABC und HLK hat, da Fig. 159. & 160. die Höhe des er$ten BD der Höhe LO des anderten gleich i$t, $o [0216] verhalten $ie $ich gegen einander, als wie ihre Grund-Flächen AC und HK.

Es $eye die Grund-Fläche AC ein regulares Sechseck, und die Grund-Fläche HK ein Quadrat, $o wollen wir die Seite MN mit a, die Perpendicular DG mit b, die Seite HI oder IK mit c, und die Höhe BD oder LO mit d benennen, $o i$t die Grund-Fläche AC = {6ab / 2} oder 3ab (§. 463.), und die Grund-Fläche HK = cc; Wann man nun die Grund-Flächen durch den dritten Theil der gemeinen Höhe, das i$t, durch {d / 3} multiplicirt, $o bekommt man {3abd / 3} oder abd vor den Inhalt der Pyramide ABC, und {ccd / 3} vor den Inhalt der Pyramide HLK: Al$o i$t zu erwei$en, da{$s} abd, {ccd / 3} : : 3ab, cc.

Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s} abd, {ccd / 3} : : 3ab, cc, $o betrachtet, da{$s} die Producte der äu$$ern und mittlern uns geben abccd = {3abccd / 3} oder wann man den Bruch ver$chwinden macht, abccd = abccd. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

539. Weilen die Coni können ange$ehen werden, als Pyramiden von einer unendlichen Anzahl Seiten, $o folgt daraus, da{$s} wann $ie ei- nerley Höhen haben, $ie $ich auch gegen einander verhalten, als wie ihre Grund-Flächen.

* Zweyter Zu$atz.

540. Fa$t auf obige Art, kan man auch erwei$en, da{$s} $o wohl Pyramiden, als auch Coni, wann $ie gleiche Grund-Flächen haben, $ich gegen einander verhalten, als wie ihre Höhen.

[0217] Neunter Lehr-Satz.

541. Wann man zwey _Prismata_ X und Y hat, deren Grund- Fig. 162. & 163. Flächen und Höhen miteinander _reciproci_ren, $o $age ich, da{$s} $ie einander gleich $eyen.

Beweis.

Um die$es zu erwei$en, $o wollen wir $upponiren, die Grund-Flä- che des Prismatis X = ab, die Grund-Fläche des Prismatis Y = cd, die Höhe des Prismatis Y = e, und die Höhe des Prismatis X = f; $o haben wir nach un$erer Suppo$ition ab, cd : : e, f. Derowegen i$t abf = cde. Weilen nun das er$te Glied die$er Gleichung das Product der dreyen Maa$$e des Prismatis X, und das zweyte Glied das Product der dreyen Maa$$e des Prismatis Y i$t, $o folgt daraus, da{$s} die Prismata X und Y einander gleich $eyen. W. z. E.

Zu$atz.

542. Aus die$em Lehr-Satz folget, da{$s} auch $o wohl die Paralle- lepipeda und Cylinder, als auch Pyramiden und Coni, deren Grund- Flächen und Höhen miteinander reciprociren, einander gleich $eyen. Dann der Beweis i$t wie zuvor.

Zehender Lehr-Satz.

543. Eine ge$tümpelte Pyramide als wie ABED, i$t gleich Fig. 164. & 165. einer Pyramide, welche eine Fläche, die den beyden _Quadrat_en BE und AH zu$ammen genommen gleich i$t, $amt einer Fläche, die zwi$chen die$en beyden _Quadrat_en die mittlere Proportional-Flä- che i$t, zur Grund-Fläche und die Axe FG zur Höhe hat.

Betrachtet die Figur HKLI, als den Durch$chnitt der ge$tümpel- ten und das Dreyeck HMI, als den Durch$chnitt der gantzen Pyramide, da wollen wir die Seite HI oder AD mit a, KL mit b, die gantze Axe MG mit a, die kleinere Axe MF mit d benennen; Al$o i$t die Axe FG der ge$tümpelten Pyramide = c - d; Ferner bekommt man aa + bb + ab vor die Grund-Fläche derjenigen Pyramide, die der ge$tümpelten Pyramide $oll gleich $eyn; Dann ab i$t die mittlere Proportional- Grö$$e zwi$chen aa und bb (§. 486.): Al$o i$t zu erwei$en, da{$s} wann man aa + bb + ab mit {c - d / 3} multiplicirt, das i$t, das Product {aac + bbc + abc - aad - bbd - abd / 3} gleich $eye der ge$tümpelten Pyramide.

[0218] Beweis.

Betrachtet, da{$s} die gantze Pyramide HMI = {aac / 3} und da{$s} die kleine Pyramide KML = {bbd / 3} (§. 533.); Wann man nun die kleine Pyramide von der gro$$en abzieht, $o i$t die Differenz {aac - bbd / 3} der Inhalt der ge$tümpelten Pyramide. Es i$t al$o zu erwei$en, da{$s} {aac - bbd / 3} = {aac + bbc + abc - aad - bbd - abd / 3}. Um die$es zu er- wei$en, $o betrachtet, da{$s} wegen der Aehnlichkeit der Dreyecke HMI und KML man bekommt a, b : : c, d, welches uns gibt ad =bc. Wann man nun in dem vierten und $ech$ten Termino des zweyten Glieds an- $tatt ad $etzet bc, $o bekommt man {aac - bbd / 3} = {aac + bbc + abc - / 3} {abc - bbd - bbc / 3}; Und wann man in die$em zweyten Glied aus- $treicht, was $ich aufhebt, $o bekommt man {aac - bbd / 3} = {aac - bbd / 3}. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

544. Aus die$em Lehr-Satz folget, da{$s}, um den Inhalt einer ge- $tümpelten Pyramide zu finden, man die beyde Flächen BE und AH miteinander multipliciren, und aus dem Product die Quadrat-Wurtzel ausziehen mu{$s}, um die mittlere Proportional-Fläche zuhaben (§. 489.); Nachdem mu{$s} man die$e mittlere Proportional-Fläche zu den andern zweyen BE und AH addiren, und die$e Summe durch den dritten Theil der Perpendicular FG multipliciren.

Zweyter Zu$atz.

545. Weilen ein ge$tümpelter Conus aus einer unendlichen An- zahl Zirckeln be$tehet, die $ich alle gegeneinander verhalten, als wie die [0219] Quadrate, aus welchen eine ge$tümpelte Pyramide be$tehet, $o folgt da- raus, da{$s}, um $einen Inhalt zu finden, man zwi$chen den beyden entge- gen $tehenden Zirckeln, einen mittlern Proportional-Zirckel $uchen mu{$s}, den man zu den zweyen andern addirt, und die Summ durch den drit- ten Theil der Axe multiplicirt.

Lehn-Satz.

546. Eine Linie GH, die die mittlere Proportional-Linie Fig. 166. i$t zwi$chen den Theilen EG und GF des _Diameter_s EF, i$t der _Ra-_ _dius_ des Zirckels, der der Krone _X_ gleich i$t.

Beweis.

Betrachtet, da{$s} die Perpendicular GH die mittlere Proportio- nal-Linie zwi$chen EG und GF i$t (§. 416.), und da{$s} wegen dem recht- wincklichten Dreyeck HGD wir haben

    DH
^2 =
    GD
^2 +
    GH
^2 (§. 371.), oder
    DH
^2 -
    GD
^2 =
    GH
^2. Weilen nun die Zirckel $ich gegen einander verhalten, als wie die Quadrate ihrer Radiorum, $o kan man $agen, da{$s} der Zirckel des Radii DH weniger der Zirckel des Radii GD gleich $eye dem Zirckel des Radii GH. Nun der Zirckel des Radii DH weniger der Zirckel des Radii GD i$t die Krone X; Al$o i$t die Krone X dem Zir- ckel des Radii GH gleich. W. z. E.

Eilfter Lehr-Satz.

547. Wann eine halbe Kugel AED in einen Cylinder ABCD Fig. 167. einge$chrieben i$t, $o $age ich, da{$s} die halbe Kugel zweyen drit- ten Theilen des Cylinders gleich $eye.

Verlängert den Diameter BC bis in F, al$o da{$s} BF = BA, und ziehet die Linie FA, $o bekommen wir das gleich-$chencklichte Dreyeck ABF.

Beweis.

Wann man $upponirt, als wann $o wohl die halbe Kugel als auch der Cylinder durch eine mit der Grund-Fläche AD parallele Fläche GL durchge$chnitten wäre, $o würde die$er Schnitt eine Krone GH formi- ren; Wann man nun von dem Punct H die Perpendicular HI auf den Diameter AD fallen la{$s}t, $o i$t die$e Perpendicular HI nach dem vor- hergehenden Lehn-Satz der Radius eines Zirckels, der der Krone GH gleich wäre; Dann $ie i$t die mittlere Proportional-Linie zwi$chen den [0220] Theilen AI und ID oder GH und HL. Weilen nun die Linien HI, GA und GK einander gleich $eynd, $o folgt daraus, da{$s} die Krone GH ei- nem Zirckel des Radii GK gleich $eye, welcher eines der Elementorum des Dreyecks ABF i$t; und weilen das Dreyeck aus $o vielen Elemen- tis be$tehet, als Kronen in dem Raum enthalten $eynd, der zwi$chen der halben Kugel und dem Cylinder begriffen i$t, $o folgt daraus, da{$s}, weilen $o wohl die Summ der Elementorum des Dreyecks, als auch die Summ der Kronen durch die Linie BA ausgedruckt wird, alle Zirckel, die die Elementa des Dreyecks zu Radiis haben, zu$ammen genommen allen Kronen zu$ammen genommen gleich $eyen: und weilen man, um den Werth aller die$er Zirckel zu finden, mu{$s} den Zirckel des grö$ten Elementi FB durch den dritten Theil der Linie BA multipliciren (§. 572.), $o mu{$s} man dann auch, um die Summ aller Kronen zu finden, die grö$te Krone BC, welche die Grund-Fläche des Cylinders i$t, durch den drit- ten Theil der Linie AB als der Höhe des Cylinders multipliciren: wel- ches uns al$o wei{$s}t, da{$s} alle die$e Kronen zu$ammen genommen dem dritten Theil des Cylinders gleich $eyen, und da{$s} al$o die halbe Kugel zwey dritte Theile des Cylinders ausmache. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

548. Weilen eine halbe Kugel zweyen dritten Theilen eines Cy- linders, darein $ie einge$chrieben i$t, das i$t, die einerley Grund-Fläche und einerley Höhe haben, gleich i$t, $o folgt daraus, da{$s} man ihren cör- perlichen Inhalt findet, wann man ihren grö$ten Zirckel AD durch zwey dritte Theil des Radii ME multipliciret.

Zweyter Zu$atz.

549. Weilen eine halbe Kugel zwey dritte Theil eines Cylinders von gleicher Grund-Fläche und gleicher Höhe ausmacht, $o i$t al$o eine gantze Kugel gleich zweyen dritten Theilen eines Cylinders, de$$en Grund- Fläche der grö$te Zirckel der Kugel und die Höhe der Diameter i$t: Al- $o um den cörperlichen Inhalt einer Kugel zu finden, mu{$s} man ihren grö$ten Zirckel durch zwey dritte Theil des _Diameter_s _multiplici_ren, oder wann man will, den grö$ten Zirckel durch den gantzen Diameter multipliciren, und von dem Product zwey dritte Theile nehmen.

Dritter Zu$atz.

550. Wann man betrachtet, da{$s} der vierte Theil eines Zirckels Fig. 168. & 171. aus einer unendlichen Anzahl Elementorum als wie DE be$tehet, $o $ie- bet man, da{$s}, wann der vierte Theil des Zirckels $ich um $einen Radium [0221] AB bewegt, er eine halbe Kugel als wie X be$chreibe, welche al$o aus einer unendlichen Anzahl Zirckeln be$tehet, deren Radii die Elementa des vierten Theils des Zirckels $eynd. Weilen nun die Zirckel $ich gegen- einander verhalten als wie die Quadrate ihrer Radiorum (§. 474.), und man, um den Inhalt aller die$er Zirckel, deren Radii die Elementa des vierten Theils des Zirckels AC $eynd, zu finden, mu{$s} den Zirckel des grö$ten Radii BC durch zwey dritte Theil des Radii AB multipliciren, $o folgt daraus, da{$s}, um alle Quadrate der Elementorum des vierten Theils des Zirckels AC zu finden, man das Quadrat des grö$ten Ele- menti BC durch zwey dritte Theil der Linie AB multipliciren mu{$s}, und da{$s} man al$o aus die$em kan folgenden allgemeinen Schlu{$s} machen, da{$s} in einer _Progre$$ion_, die aus einer unendlichen Anzahl _Elemento-_ _rum_ eines vierten Theils des Zirckels be$tehet, die Summ der _Quadrat_en aller die$er _Elementorum_ gleich $eye dem _Product_, welches ent$teher, wann man das _Quadrat_ des grö$ten _Elementi_, das i$t, des _Radii_ durch zwey dritte Theil des _Radii multiplici_ret.

* Vierter Zu$atz.

551. Weilen eine halbe Kugel, die mit dem Cylinder einerley Höhe hat, zweyen dritten Theilen des Cylinders gleich i$t, und ein $ol- cher Conus den dritten Theil des Cylinders ausmacht, (§. 536.), $o kan man $agen, da{$s} ein Conus, der mit einer halben Kugel einerley Grund- Fläche und einerley Höhe hat, die Helfte der halben Kugel $eye.

Zwölfter Lehr-Satz.

552. Die Kugeln verhalten $ich gegeneinander als wie die _Cubi_ ihrer _Diametrorum_.

Es $eye der Diameter AB = a, $eine Circumferenz = b, der Dia- Fig. 172. meter CD = c, und $eine Circumferenz = d, $o i$t die Fläche des grö- $ten Zirckels der er$ten Kugel = {ab / 4} und die Fläche des grö$ten Zirckels der anderten Kugel = {cd / 4} (§. 465.). Wann man nun beyde Zirckel durch die zwey dritte Theile ihrer Diametrorum multiplicirt, $o bekomt man {2aab / 12} oder {aab / 6} vor den Inhalt der er$ten Kugel und {2ccd / 12} oder [0222] {ccd / 6} vor den Innhalt der zweyten Kugel (§. 549.): Al$o i$t zu er- wei$en, das {aab / 6}, {ccd / 6} : : aaa, ccc.

Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s} {aab / 6}, {ccd / 6} : : aaa, ccc, $o wollen wir erwei- $en, da{$s} die Producte der äu$$ern und mittlern uns $olgende Gleichung {aabccc / 6} = {aaaccd / 6} oder aabccc = aaaccd geben. Um die$es zu erwei- $en, $o betrachtet, da{$s}, weilen die Diameter der Zirckeln $ich gegen ein- ander verhalten, als wie ihre Circumferenzien, man bekommt a, b : : c, d (§. 461.), welches uns ad = bc gibt; Wann man nun in dem er$ten Glied der vorigen Gleichung, an die Stelle von bc $etzet ad, $o kommt aaaccd = aaaccd. W. z. E.

* Er$ter Zu$atz.

553. Derowegen verhalten $ich die Kugeln gegen einander in ei- ner triplicirten Verhältni{$s} ihrer Diametrorum.

Zweyter Zu$atz.

554. Auf eben die Art, wie der vorige Lehr-Satz i$t erwie$en wor- den, kan man auch erwei$en, da{$s} ähnliche Pyramiden, Coni, Prismata und Cylinder $ich gegen einander verhalten, als wie die Cubi ihrer Axen, und da{$s} $ie $ich al$o in einer triplicirten Verhältni{$s} ihrer corre$pondi- renden Seiten verhalten.

Dreyzehender Lehr-Satz.

555. Die Fläche einer halben Kugel AED i$t gleich der Flä- Fig. 169. & 170. che eines Cylinders ABCD, in den $ie einge$chrieben i$t.

Wann wir $upponiren, es hätte der Cylinder AC und der Conus GHI gleiche Grund-Flächen und gleiche Höhen, $o können wir die glei- che Linien FE, FD, KH und KI mit a und die Circumferenzien AD und [0223] GI mit _b_ benennen. Al$o i$t {ba / 2} der Inhalt des Zirckels AD oder GI; Wann man nun die$es {ab / 2} durch zwey dritte Theil von EF ({2a / 3}) mul- tiplicirt, $o bekommt man {2aab / 6} oder {aab / 3} vor den Inhalt der halben Kugel (§. 548.), und wann man {ab / 2} durch den dritten Theil von KH ({a / 3}) multiplicirt, $o komt {aab / 6} vor den Inhalt des Coni GHI (§. 537.).

Beweis.

Wann man $ich die halbe Kugel AED vor$tellet, als wann $ie aus einer unendlichen Anzahl kleiner Conorum be$tünde, die alle ihre Grund- Flächen auf der Fläche der halben Kugel haben, und deren Spitze alle in dem Mittel-Punct F zu$ammen kommen, und al$o den Radium zu ih- rer gemeinen Höhe haben, $o kan man $agen, da{$s} alle die$e kleine Coni zu$ammen genommen einem eintzigen Cono, der die Fläche der halben Kugel zur Grund-Fläche und den Radium zur Höhe hat, gleich $eye. Weilen nun hier der Inhalt die$es Coni {aab / 3}, und der Inhalt des Co- GHI {aab / 6} i$t, $o folgt daraus, da{$s} weilen die$e zwey Coni einerley Höhe haben, $ie $ich gegen einander verhalten, als wie ihre Grund- Flächen, das i$t, als wie der Zirckel GI zur Fläche der halben Kugel (§. 539.). Die$e findet man al$o, wann man $agt: wie $ich {aab / 6} als der Inhalt des Coni GHI zu {aab / 3} als dem Inhalt des Coni, der der halben Kugel gleich i$t, verhalt, al$o verhalt $ich {ab / 2} als die Grund-Flä- [0224] che des Coni GHI zur Grund-Fläche des zweyten Coni, oder zur Fläche der halben Kugel; Die$e i$t al$o {6aaabb / 6aab} oder, wann $ie reducirt wird, $o i$t $ie ab. Die$e i$t ein Rectangulum, das der Fläche des Cylinders gleich i$t, indem es unter der Höhe a und der Circumferenz b begriffen i$t. Derowegen i$t die Fläche der halben Kugel der Fläche des Cylin- ders gleich. W. z. E.

Anderer Beweis.

Betrachtet, da{$s} wann man von dem Cylinder AC den Conum BFC, der der dritte Theil davon i$t, abziehet, ein Cörper ABFCD, den wir wegen $einer Figur ins künftige Trichter nennen werden, übrig bleibe, welcher al$o zwey dritte Theil des Cylinders ausmacht. Weilen nun die einge$chriebene halbe Kugel auch zwey dritte Theil des Cylinders ausmacht, $o folgt daraus, da{$s} $ie dem Trichter gleich $eye: Allein wann man $ich vor$tellet, als wann der Trichter aus einer unendlichen Anzahl kleiner Pyramiden be$tünde, deren aller Grund-Flächen auf der Fläche des Cylinders $ich befinden und deren gemeine Höhe der Radius FD i$t, als wie man $ich auch vor$tellen kan, da{$s} die halbe Kugel aus einer unendlichen Anzahl kleiner Conorum oder Pyramiden be$tehe, de- ren Grund-Flächen auf der Fläche der halben Kugel $eynd, und deren gemeine Höhe wiederum der Radius FD i$t, $o folgt daraus, da{$s} alle Pyramiden der halben Kugel zu$ammen genommen, allen Pyramiden des Trichters zu$ammen genommen gleich $eyen, und weilen $ie einerley Höhe haben, $o $eynd alle Grund-Flächen der er$tern zu$ammen genom- men allen Grund-Flächen der zweyten zu$ammen genommen gleich: Allein alle Grund-Flächen der er$ten machen die Fläche des Cylinders und alle Grund-Flächen der zweyten machen die Flächen der halben Ku- gel aus; Al$o i$t die Fläche der halben Kugel der Fläche des Cylinders gleich. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

556. Weilen die Fläche des Cylinders AC die Circumferenz des gro$$en Zirckels der halben Kugel zur Grund-Linie und den Radium zur Höhe hat, $o folgt daraus, da{$s} die Fläche einer halben Kugel gleich $eye einem Rectangulo, das unter einer der Circumferenz des gro$$en Zirckels gleichen Linie, und unter dem Radio begriffen i$t; und da{$s} al$o die Fläche einer gantzen Kugel gleich $eye einem Rectangulo, [0225] das unter einer der Circumferenz des gro$$en Zirckels gleichen Linie, und unter ihre Axe begriffen i$t: Al$o um die Fläche einer Kugel zu finden, mu{$s} man den Diameter ihres gro$$en Zirckels durch $eine Circumferenz multipliciren.

Zweyter Zu$atz.

557. Weilen der gro$$e Zirckel einer halben Kugel die Helfte i$t des Rectanguli von der Circumferenz und dem Radio (§. 465.); $o folgt daraus, da{$s} die Fläche einer halben Kugel, das Doppelte der Flä- che ihres gro$$en Zirckels, und da{$s} al$o die Fläche der gantzen Kugel das Vierfache der Fläche ihres gro$$en Zirckels $eye.

Dritter Zu$atz.

558. Weilen die Zirckel $ich gegen einander verhalten, als wie die Quadrata ihrer Radiorum (§. 474.), $o folgt daraus, da{$s} ein Zirckel, der einen doppelten Radium hat, eine vierfache Fläche habe (§. 76.); Derowegen i$t die Fläche einer Kugel gleich der Fläche eines Zirckels, der die Axe der Kugel zum Radio hat.

Vierter Zu$atz.

559. Weilen die Kugel-Flächen Zirckeln, die die Diameter der Kugeln zu Radiis haben, gleich $eynd, und die Zirckel $ich gegen einan- der verhalten, als wie die Quadrate ihrer Radiorum, welche in die$em Fall die Diameter der Kugeln $eynd, $o folgt daraus, da{$s} die Kugel- Flächen $ich gegen einander verhalten, als wie die Quadrate ihrer Dia- metrorum.

Vierzehender Lehr-Satz.

560. Der cörperliche Inhalt einer _Zonæ_ A B C D i$t gleich Fig. 173. zweyen dritten Theilen des Cylinders AEFD des gro$$en Zirckels AD $amt einem dritten Theil des Cylinders GBCH des kleinen Zir- ckels BC.

Beweis.

Weilen man den Inhalt aller Kronen, die zwi$chen der Zona und dem Cylinder AEFD begriffen $eynd, findet, wann man die grö$te Kro- ne EB durch den dritten Theil der Linie EA oder OI multiplicirt (§. per dem. §. 547.), $o folgt daraus, da{$s} die$es Product dem dritten Theil des Raums EG oder FH, welches zwi$chen den beyden Cylindern AEFD [0226] und GBCH begriffen i$t, gleich $eye, und da{$s} al$o der Theil ABG der Zonæ, der um den Cylinder GBCH herum gehet, zwey dritte Theil da- von ausmache: Al$o i$t ABG = {2/3}AEBG: Wann man nun von dem Cylinder GBCH den Conum IBC, der der dritte Theil davon i$t, abziehet, $o bleibet der Trichter GBICH übrig, der al$o zwey dritte Theil davon ausmacht; Al$o i$t GBCH - IBC = {2/3}GBCH. Al$o wann man die$e Gleichung zur vorigen add rt, $o bekommt man ABG + GBCH - IBC = {2/3}AEBG + {2/3}GBCH, das i$t, {2/3}AEFD: Allein IBC = {1/3}GBCH; Wann man nun die$e letztere Gleichung zur vorigen addirt, $o bekommt man ABG + GBCH = {2/3}AEFD + {1/3}GBCH. Das i$t die Zona ABCD = {2/3}AEFD + {1/3}GBCH. W. z. E.

* Er$ter Zu$atz.

561. Weilen die Zona ABCD = {2/3}AEFD + {1/3}GBCH und {1/3} GBCH = IBC, $o i$t auch ABCD = {2/3}AEFD + IBC, und al$o ABCD - IBC = {2/3}AEFD.

Zweyter Zu$atz.

562. Wann man al$o eine halbe Kugel, die in einen Cylinder ein- Fig. 174. ge$chrieben i$t, durch eine Fläche FG, die mit der Grund-Fläche AE pa- rallel lauft, durch$chneidet, $o i$t der Theil ABCDE (welcher die Diffe- renz i$t, wann man den Sectorem CBHD von der halben Kugel abzie- het) dem Trichter AFCGE des corre$pondirenden Cylinders AG gleich; Dann ABCDE = {2/3}AFGE (§. 561.) und AFCGE = {2/3}AFGE; Al$o i$t ABCDE = AFCGE.

Fünfzehender Lehr-Satz.

563. Wann man eine halbe Kugel, die in einen Cylinder Fig. 174. einge$chrieben i$t, durch eine Fläche FG, die mit der Grund-Flä- che AE parallel lauft, durch$chneidet, $o $age ich, da{$s} die Fläche der _Zonæ_ ABDE der Fläche des _corre$pondi_renden Cylinders AG gleich $eye.

Beweis.

Man $telle $ich vor, da{$s} der Trichter AFCGE aus einer unendli- chen Anzahl kleiner Pyramiden be$tehe, welche alle ihre Grund-Flächen auf der Fläche des Cylinders AG und den Radium CE zur gemeinen Höhe haben, und da{$s} auch der Theil ABCDE der halben Kugel aus ei- ner unendlichen Anzahl kleiner Pyramiden be$tehe, die alle ihre Grund- [0227] Flächen auf der Fläche der Zonæ und wiederum den Radium CE zu ih- rer gemeinen Höhe haben; $o folgt daraus, da{$s}, weilen der Trichter AFCGE dem Stuck ABCDE der Zonæ gleich i$t (§. 562.), alle Pyra- miden des Trichters zu$ammen genommen allen Pyramiden des Stucks ABCDE zu$ammen genommen gleich $eyen; und weilen $ie einerley Hö- he haben, $o $eynd alle Grund-Flächen der er$tern zu$ammen genommen allen Grund-Flächen der zweyten zu$ammen genommen gleich; Dahero al$o folgt, da{$s} die Fläche der Zonæ ABDE der Fläche des Cylinders AFGE gleich $eye. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

564. Weilen die Fläche der halben Kugel AHE der Fläche des Cylinders AI gleich, (§. 555.) und die Fläche der Zonæ ABDE der Fläche des Cylinders AG gleich i$t (§. 563.), $o folgt daraus, da{$s} die Fläche des Segmenti BHD der halben Kugel der Fläche des corre$pon- direnden Cylinders FI gleich $eye; Derowegen i$t $ie auch gleich einem Rectangulo, das unter einer der Circumferenz des gro$$en Zirckels glei- chen Linie, und unter dem Stuck HK begriffen i$t.

Zweyter Zu$atz.

565. Ferner folgt aus vorhergehendem Lehr-Satz, da{$s}, wann man eine in einen Cylinder einge$chriebene halbe Kugel durch eine mit der Grund-Fläche parallel lauffende Fläche durch$chneidet, alle Theile der Fläche der halben Kugel ihren corre$pondirenden Theilen der Flä- che des Cylinders gleich $eyen.

Dritter Zu$atz.

566. Weilen die Flächen der Cylinder FI und AG einerley Grund- Linien haben, $o verhalten $ie $ich gegen einander, als wie ihre Höhen HK und KC (§. 344.), und weilen die Fläche des er$ten Cylinders gleich i$t der Fläche des Theils BHD der halben Kugel (§. 564.), und die Fläche des zweyten Cylinders der Fläche des Theils ABDE gleich i$t (§. 563.), $o folgt daraus, da{$s} $ich die Theile der Fläche gegen einan- der verhalten, als wie die Stuck HK und KC des Radii, wann man nem- lich $upponirt, der Schnitt FG gehe mit der Grund-Fläche AE pa- rallel.

Vierter Zu$atz.

567. Ferner kan man $agen, da{$s}, wann man eine Kugel, durch eine Fläche, die auf der Axe perpendicular i$t, durch$chneidet, die Thei- [0228] le der Fläche der Kugel $ich gegen einander verhalten, als wie die Theile der Axe.

* Sechszehender Lehr-Satz.

568. Wann vier Grö$$en in einer Geometri$chen _Proportion_ $tehen, $o $tehen auch ihre _Cubi_ in einer _Proportion_.

Es $eyen a, b : : c, d, $o $age ich, da{$s} auch aaa, bbb : : ccc, ddd.

Beweis.

Um die$es zu erwei$en, $o wollen wir wei$en, da{$s} die Producte der äu$$ern und mittlern uns folgende Gleichung aaaddd = bbbccc geben. Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s}, weilen a, b : : c, d (per $upp.) auch aa, bb : : cc, dd (§. 487.); Derowegen i$t aadd = bbcc; Allein ad = bc; Derowegen wann man die vorletzte Gleichung durch die letzte multiplicirt, $o kommt aaaddd = bbbccc. W. z. E.

Siebenzehender Lehr-Satz.

569. Wann drey Linien a, b, c in einer _proportione continuâ_ $tehen, $o i$t das _Parallelepipedum_ von die$en dreyen Linien gleich dem _Cubo_ der mittlern; Al$o i$t zu erwei$en, da{$s} abc = bbb.

Beweis.

Wann ∺ a, b, c, $o i$t ac = bb, wann man nun in der Gleichung abc = bbb an die Stelle von bb $etzet ac, $o bekommt man abc = abc. W. z. E.

* Anderer Beweis.

Wann ∺ a, b, c, $o i$t ac = bb; Derowegen wann man beyde Glieder durch b multiplicirt, $o kommt abc = bbb. W. z. E.

Achtzehender Lehr-Satz.

570. Wann vier Linien in einer Geometri$chen _Progre$$ion_ $tehen, $o verhalt $ich der _Cubus_ der er$ten zu dem _Cubo_ der ander- ren, als wie die er$te Linie zur vierten; das i$t, wann ∺ a, b, c, d, $o i$t zu erwei$en, da{$s} aaa, bbb : : a, d.

Beweis.

Betrachtet, da{$s} in der Proportion ∺ a, b, c, d, die drey er$tere Termini ac = bb und alle viere uns ad = bc geben: nun um zu erwei- $en, da{$s} aaa, bbb : : a, d, $o wollen wir erwei$en, da{$s} die Producte der [0229] äu$$ern und der mittlern folgende Gleichung aaad = abbb geben; um die$es zu erwei$en, $o $etzet in dem zweyten Glied ac an$tatt bb, und in dem er$ten Glied bc an $tatt ad, $o bekommt man aabc = aabc. W. z. E.

Er$te Aufgab.

571. Zwi$chen zweyen gegebenen Linien zwey mittlete Pro- portional-Linien zu finden.

Auflö$ung.

Um zwi$chen den zweyen Linien AB und CD zwey mittlere Pro- Fig. 175. portional-Linien zu finden $o mu{$s} man von die$en zweyen Linien ein Re- ctangulum als wie EH machen, al$o da{$s} EF = CD und EG = AB: nach die$em mu{$s} man die Seiten EF und EG indefinitè verlängern, und aus dem Mittel-Punct I des Rectanguli einen Zirckel be$chreiben, der die$e Be$chaffenheit habe, da{$s}, wann die Circumferenz die verlängerte Linien GK und FL durch$chneidet, man eine Linie KL ziehen könne, die den Winckel H nur berühret, und da bekommt man die Linien GK und FL, welche die mittlere Proportional-Linien zwi$chen GE und EF das i$t, zwi$chen den gegebenen AB und CD $eyn werden.

Beweis.

Betrachter, da{$s}, wann man aus dem Mittel-Punct I die Per- pendicularen IM und IN auf EF und EG fallen lä{$s}t, $o wohl die Chorda OL als auch die Seite EF in zwey gleiche Theile getheilet $eye (§. 389.); Derowegen i$t OE = FL; auf eben die$e Art $iehet man auch, da{$s} $o wohl die Chorda KP als auch die Seite EG in zwey gleiche Theile getheilet $eye, und da{$s} al$o EP = GK. Weilen nun die Dreyecke OEP, HFL und KGH einander ähnlich $eynd, $o i$t HF, FL : : EO, EP und weilen FL = EO, und GK = EP, $o i$t HF, FL : : FL, GK; nun wegen den ähnlichen Dreyecken EOP und GKH, i$t OE, EP : : GK GH und wann man an die Stelle von OE $etzet FL und an die Stelle von EP $etzet GK, $o bekommt man FL, GK : : GK, GH; Welches al- $o erwei$et, da{$s} HF, FL : : FL, GK : : GK, GH, und da{$s} al$o die Linien FL und GK die zwey mittlere Proportional-Linien zwi$chen GE und GH oder EF $eyen. W. z. E.

Anmerckung.

572. Die vorhergehende Aufgab i$t diejenige, die man insgemein die Ver- dopplung des _Cubi_ nennet, weilen $ie dienet einen Cubum zu verdopplen, oder [0230] auch einen Cubum zu machen, der gegen einen gegebenen Cubum eine gewi$$e gege- bene Verhältni{$s} habe: es wäre zu wün$chen, man könte die$e Aufgab geometricè auflö$en, ohne lang in der Fin$tere gleich$am herum zu tappen: Dann es i$t zu mercken, da{$s} man viele Zirckel ziehen mu{$s} bis man einen findet, welcher die Be- $chaffenheit habe, da{$s} $eine Circumferenz die verlängerte Linien in $olchen zweyen Puncten K und E dnrch$chneidet, da{$s} man die Linie KL ziehen kan, die den Win- ckel H nur berühret. Es i$t wahr, da{$s} man die$e Aufgab noch auf eine andere Art auflö$en kan, wie man es nach dem Tractat von den Sectionibus Conicis oder Coni$chen Schnitten $ehen wird; Allein, wiewohl $ie mehr Geometri$ch i$t, als die$e, $o hat $ie doch auch ihre Schwürigkeiten: Inde$$en, weilen man $ich in der Praxi lieber der Zahlen, als der Linien bedienet, $o will ich in folgender Aufgab wei$en, wie man zwi$chen zweyen Zahlen zwey mittlere Proportional-Zahlen findet.

Zweyte Aufgab.

573. Zwi$chen zweyen Zahlen zwey mittlere Proportional- Zahlen zu finden.

Auflö$ung.

Um zwi$chen zweyen Zahlen zwey mittlere Proportional-Zahlen zu finden, $o mu{$s} man von der er$ten den Cubum nehmen, und eine Regel de Tri machen, davon der er$te Terminus die er$te gegebene Zahl, der zweyte die zweyte und der dritte der Cubus der er$ten Zahl i$t, und aus dem vierten, den man findet die Cubic-Wurtzel ausziehen, welche die er- $te der zwey mittlern $eyn wird. Rach die$em mu{$s} man zwi$chen der er- $ten der zwey mittlern und der zweyten gegebenen eine mittlere Pro- portional-Zahl $uchen, welche die zweyte mittlere Proportional-Zahl $eyn wird.

Al$o um zwey mittlere Proportional-Zahlen zwi$chen 2 und 16 zu finden, $o nehme ich den Cubum 8 von der er$ten Zahl 2, und $age: wann 2 mir 16 geben, wie viel geben 8; Da i$t der vierte Terminus 64; Da- von ich die Cubic-Wurtzel 4 ausziehe; Die$e i$t die er$te der zwey mitt- lern Proportional-Zahlen: nach die$em multiplicire ich die$e er$te 4 der zwey mittlern durch die zweyte der gegebenen 16, um 64 zu haben, da- raus ich die Quadrat-Wurtzel 8 ausziehe, welche die mittlere Propor- tional-Zahl zwi$chen 4 und 16 i$t: Al$o $eynd die Zahlen 4 und 8 die zwey mittlere Proportional-Zahlen zwi$chen 2 und 16; Die$es i$t gantz klar, indem die$e vier Zahlen eine Geometri$che Progre$$ion ausma- chen.

Wann die gegebene Zahlen al$o be$chaffen wären, da{$s} man in den Operationen die Cubic und Quadrat-Wurtzeln nicht genau ausziehen könnte, $o mü{$s}te man $ich in die$em Fall der Decimalen bedienen, [0231] um $o nahe als es möglich, an die wahrhaftige Wurtzeln, oder mitt- lere Proportional-Zahlen, die man $ucht, zu kommen. Weilen viel- leicht die Anfänger die Ur$achen der Operationen, die wir oben gewie- $en, nicht leicht von $ich $elb$ten begreiffen möchten, $o habe ich vor gut gefunden, den Beweis hinzu zu fügen.

Beweis.

Man hat oben §. 570. ge$ehen, da{$s}, wann vier Grö$$en in einer Geometri$chen Progre$$ion $tehen, der Cubus der er$ten $ich zum Cubo der zweyten verhalte, als wie die er$te Grö$$e zur vierten: Al$o kan man auch $agen, da{$s} die er$te Grö$$e $ich zur vierten verhalte, als wie der Cubus der er$ten zum Cubo der zwerten. Wann man nun die er- $te, die zweyte und den Cubum der er$ten kennt, $o kan man den Cubum der zweyten finden, davon die Cubic - Wurtzel die zweyte Grö$$e $elb$t i$t (§. 570.): Allein wann man einmal die zweyte hat, $o $iehet man leicht, da{$s}, um die dritte Proportional-Grö$$e zu finden, man nur zwi$chen der zweyten und vierten eine mittlere Proportional-Grö$$e $u- chen mu{$s}, welche al$o die zweyte der ge$uchten mittlern Proportional- Grö$$en i$t. W. z. E.

Dritte Aufgab.

574. Einen _Cubum_ zu machen, der $ich gegen einen andern nach einer gegebenen Verhältni{$s} verhalte.

Auflö$ung.

Um einen Cubum zu machen der $ich zu einem Cubo C als wie z. Fig. 176. & 177. E. 2 zu 3 verhalte, das i$t, welcher zweyen dritten Theilen des Cubi C gleich $eye, $o mu{$s} man die Seite AB des Cubi in drey gleiche Theile theilen, und eine Linie DE ziehen, die zweyen dritten Theilen von AB gleich $eye; nach die$em mu{$s} man zwi$chen AB und DE zwey mittlere Proportional-Linien als wie FG und HI $uchen, $o wird der Cubus von der er$ten mittleren Proportional-Linie FG der begehrte Cubus $eyn; Dann wir werden erwei$en, da{$s} er zweyen dritten Theilen des Cubi C gleich $eye.

Beweis.

Weilen die vier Linien AB, FG, HI und DE in einer Geometri$chen Progre$$ion $tehen, $o verhalt $ich der Cubus von AB zum Cubo von FG als wie die Linie AB zur Linie DE (§. 570.): Da nun die Linie DE zweyen dritten Theilen von AB gleich i$t, $o i$t auch der Cubus von FG [0232] zweyen dritten Theilen des Cubi von AB gleich. W. z. E.

Wann die Seite des Cubi C durch Zahlen ausgedruckt wäre, $o mü{$s}te man wiederum zwey dritte Theil davon nehmen, und zwi$chen der gantzen und den zweyen Dritteln zwey mittlere Proportional-Zah- len $uchen (§. 573.), und da i$t der Cubus der er$ten der zwey mittlern der begehrte Cubus.

Zu$atz.

575. Weilen die Kugeln $ich gegen einander verhalten, als wie die Cubi ihrer Diameter (§. 552.), und auch die ähnliche Cylinder, Prismata, Coni und Pyramiden $ich gegen einander verhalten, als wie die Cubi ihrer Axen (§. 554.), $o folgt daraus, da{$s} um einen $olchen Cörper der $ich gegen einen ihm ähnlichen Cörper nach einer gegebenen Verhältni{$s} verhalte, zu finden, man mit ihren Axen verfahren mü$$e, wie man mit den Seiten der Cuborum verfahren, und nachdem die Axe gefunden, $o dörf man nur einen Cörper davon machen, welcher dem gegebenen ähnlich $eye.

Vierte Aufgab.

576. Einen _Cubum_ einem _Parallelepipedo_ gleich zu machen.

Auflö$ung.

Um einen Cubum zu machen, der dem Parallelepipedo AE gleich Fig. 178. & 179. $eye, $o mu{$s} man, wann die drey Maa$$e einander ungleich $eynd, wie wir es hier $upponiren, zwi$chen den zwey kleinen Maa$$en AB und BC eine mittlere Proportional-Linie FG $uchen, auf welche man ein Qua- drat FH aufrichtet, welches als Grund-Fläche eines andern Parallelepi- pedi FI, das mit dem Parallelepipedo AE einerley Höhe hat, dienet: Al$o i$t das Parallelepipedum AE dem Parallelepipedo FI gleich, indem $ie einerley Höhe haben, und das Rectangulum AC als die Grund-Flä- che des er$ten dem Quadrat FH als der Grund-Fläche des zweyten gleich i$t. Nach die$em mu{$s} man zwi$chen FG und GK zwey mittlere Proportional-Linien als wie NO und PQ $uchen; Da $age ich, da{$s} der Cubus der er$ten NO dem Parallelepipedo FI oder AE gleich $eye.

Um die$es zu erwei$en, $o wollen wir GD der Linie FG gleich ma- chen, um den Cubum FM zu bekommen, und wollen FG, oder GH oder GD mit a, GK mit b, und NO mit c benennen, $o i$t das Paralle- lepipedum FI = aab, der Cubus FM = aaa, und der Cubus von NO = ccc: Al$o i$t zu erwei$en, da{$s} aab = ccc.

[0233] Beweis.

Weilen der Cubus FM und das Parallelepipedum FI einerley Grund-Flächen haben, $o verhalten $ie $ich gegen einander, als wie ihre Höhen GD und GK, al$o i$t aaa, aab : : a, b; und weilen die vier Linien FG, NO, PQ und GK in einer Geometri$chen Progre$$ion $tehen, $o verhalt $ich der Cubus der er$ten zum Cubo der zweyten als wie die er- $te zur vierten (§. 570.), al$o i$t aaa, ccc : : a, b; Derowegen i$t aaa, aab : : aaa, ccc (§. 189.): Al$o i$t aab = ccc (§. 196.). W. z. E.

Wann die drey Maa$$e des gegebenen Parallelepipedi durch Zahlen ausgedruckt $eynd, $o dörf man nur (um einen Cubum zu finden, der dem Parallelepipedo gleich $eye) die drey Maa$$e miteinander multipli- ciren, um den Inhalt des Parallelepipedi zu haben, woraus man die Cubic-Wurtzel ausziehet, welche die Seite des begehrten Cubi $eyn wird.

Zu$atz.

577. Man $iehet leicht, da{$s} man durch Hülf die$er Aufgab alle Cörper kan in Cubos verwandlen; Dann die Conos und die Kuglen kan man in Cylinder und die Pyramiden in Prismata verwandlen; wann man nun die Grund-Flächen der Cylinder und der Prismatum in die ih- nen gleiche Quadrate verändert, $o bekommt man Parallelepipeda, wel- che man in Cubos verwandlen kan.

[0234] Vorrede Uber die Sectiones Conicas.

WEilen fa$t alle Einleitungen zur Geometrie von den Sectioni- bus Conicis nichts reden, $o verbleiben die mei$te, die die$e Bücher $tudiren, nur bey der gemeinen Geometrie, und be- kümmern $ich nicht die höhere weiters zu $uchen, weilen $ie in den Ge- dancken $tehen, da{$s} die$es Studium mehr curios, als nutzlich $eye, und al$o keinen andern zu$tehe, als denen, die $ich gantz auf die Mathe$in verlegen wollen: Inde$$en hat doch die$es Studium einen $olchen gro$- $en Nutzen, da{$s} einer, der es nicht be$itzet, nicht die gemeine$te Aufga- ben der practi$chen Geometrie, und in$onderheit derjenigen practi$chen Geometrie, welche den Ingenieurs, und den Officiren der Artillerie nothwendig i$t, aufzulö$en im Stand $eye. Dann wann der er$te ein Oval-Gewölb berechnen will, $o mu{$s} er wi$$en, wie man die Fläche ei- ner Ellip$is, die man insgemein Ovale nennet, und eine von den Sectio- nibus Conicis i$t, findet. Wann der zweyte die Kun$t Bomben zu werfen be$itzen will, $o kan er es nicht zu Stande bringen, ohne die Ei- gen$chaften der Parabolæ, welche wiederum eine der Sectionum Conica- rum i$t, zu kennen. Endlich wann ein Minirer, um die Pulver-Kam- mer zu laden, will den Inhalt der Erde, die er aufheben will, berech- nen, $o mu{$s} er wieder $eine Zuflucht zu den Sectionibus Conicis neh- men, weilen die Aushölung der Erden, die von dem Pulver in einer Mine gehoben wird, kein Conus, wie die mei$te geglaubt, auch kein ge- $tümpelter Conus, $ondern eine Paraboloides i$t, welche ein Cörper i$t, der ent$tehet, wann man eine Parabolam um ihre Axe herum bewegt. Und damit man noch be$$er der Nothwendigkeit, zum wenig$ten die vor- nehm$te Eigen$chaften der Sectionum Conicarum zu ver$tehen, überwie- $en werde, $o dörf man nur die Application der Geometrie zur Practic le$en, da wird man $ehen, da{$s} die vornehm$te Operationen unmittelbar davon abhängen. Doch ohngeachtet die$es wäre die Wi$$en$chaft der Sectionum Conicarum noch von weniger Wichtigkeit, wann $ie keinen andern Nutzen hätte, als den man in gegenwärtigem Werck finden wird: Dann $ie i$t $o nothwendig, da{$s} einer, der nicht ju$t ein gro$$er Mathematicus werden, $ondern die$e Wi$$en$chaft nur mittelmä$$ig be$i- tzen will, kein Aug davon abwenden darf; indem wann er eine ein we- [0235] nig componirte Aufgab auflö$en will, $o wird er Gleichungen finden, welche ihm die krumme Linien anzeigen, deren er $ich um die Gleichun- gen das i$t, um die Figuren, welche die Auflö$ung der Aufgab geben, zu con$truiren, bedienen mu{$s}.

Ich rede davon nichts in gegenwärtigem Werck, indem ich nur die vornehm$te Eigen$chaften der Sectionum Conicarum wei$e, weilen ich nur zum Zweck gehabt, den Liebhabern der Geometrie $ie erkennen zu geben, um ihnen eine Begierde zu machen, weiters zu gehen, und auch mich der$elben in den Orten, allwo ich $ie nicht entbehren kan, zu be- dienen. Wann $ich aber Per$onen finden $olten, denen nicht genug wä- re ein Geometrie-Buch ge$ehen zu haben, $o rathe ich ihnen den vortref- lichen Tractat des Sections Coniques von dem Marquis de l' Hôpital, zu le$en, welches das be$te Werck i$t, das von die$er Materie heraus ge- kommen. Und weilen ich in gegenwärtigem Werck, mich einer Art zu erwei$en bediene, die der $einigen $ehr nahe kommt, $o zweifle ich keines- wegs, man werde eine gro$$e Leichtigkeit haben, die$en Auctorem zu ver- $tehen, wann man das Folgende, welches auf eine gewi$$e Art eine Ein- leitung dazu i$t, wohl ver$tehet.

[0236] Tractat Von Den Sectionibus Conicis, oder von den krummen Linien, die ent$tehen, wann ein Conus auf unter$chiedene Arten durchge$chnitten wird. Er$tes Eapitul Von Den Eigen$chaften der Parabolæ. Erklärungen. I.

578. WAnn man auf einer graden Linie AB, zwey gleiche Fig. 180. Theile AC und CD nimmt, und man von C gegen B mit der Linie OP (die auf AB perpendicular $tehet) eine Menge parallelen EF und GH ziehet, und man DE oder DF der Linie AK und DG oder DH der Linie AI gleich macht, und man al$o fortfähret, eine Menge Puncten als wie E, G, M zu finden, al$o da{$s} man allezeit DM und AL einander gleich macht, $o i$t die Linie die man durch die$e Puncten ziehet, eine krumme Linie die _Parabola_ genennet wird.

II.

579. Die Linie CB i$t die Axe der Parabolæ.

III.

580. Der Punct A i$t der die Parabolam erzeugende Punct, die Linie OP die _Directrix_, und der Punct D der _Focus_ oder der Brenn-Punct.

[0237] IV.

581. Der Punct C i$t der Anfang der Axe, oder der Parabolæ, weilen man von die$em Punct anfangt die Parallelen zu ziehen, um die Parabolam zu formiren.

V.

582. Eine jede Perpendicular-Linie als wie KE oder IG wird ei- ne _Ordinata_ genennet.

VI.

583. Die Theile CK, CI der Axe CB, die man von dem Anfang C der Axe bis zu den Puncten K oder I nimmt, durch welche man die Ordinatas gezogen, hei$$en die _Ab$ci$$æ_.

VII.

584. Wann man auf den Punct C der Linie AB eine Perpendi- cular CN aufricht, al$o da{$s} CN = 4AC oder 4CD, $o wird $ie der Parameter der Parabolæ genennet.

VIII.

585. Eine grade Linie, die die Parabolam nur in einem Puncten berührt, und die, wann $ie beyder$eits verlängert wird, nicht hinein- warts, $ondern herauswarts fallet, wird eine _Tangent_ genennet.

Er$ter Lehr-Satz.

586. In einer jeden _Parabola_ i$t das _Rectangulum_ der _Ab$ci$$æ_ Fig. 180. CI und des Parameters CN gleich dem _Quadrat_ der _Ordinatæ_ GI.

Es $eyen die gegebene Linien AC oder CD = a, und die indeter- minatæ CI = x, und GI = y, $o i$t AI oder DG = x + a, DI = x - a, und CN = 4a, da i$t zu erwei$en, da{$s} CI × CN =

    GI
^2, das i$t, da{$s} 4ax = yy.

Beweis.

Betrachtet, da{$s} wegen dem rechtwincklichten Dreyeck GDI das Quadrat von DG oder von AI (xx + 2ax + aa) wann man von ihm das Quadrat von DI (xx - 2ax + aa) abziehet, dem Quadrat

    GI
^2 gleich $eye (§. 372.). Al$o i$t dann
    DG
^2 -
    DI
^2 (xx + 2ax + aa - xx + 2ax - aa) =
    GI
^2 (yy); Wann nun das er$te Glied reducirt wird, $o bekommen wir 4ax = yy, das i$t, CI × CN. =
    GI
^2. W. z. E.

[0238] Zweyter Lehr-Satz.

587. In einer jeden _Parabola_ verhalt $ich das _Quadrat_ der _Or-_ _dinatæ_ EK zum _Quadrat_ der _Ordinatæ_ GI als wie die _Ab$ci$$a_ CK zur _Ab$ci$$a_ CI.

Beweis.

Weilen die Quadrate der Ordinatarum den Rectangulis der Ab- $ci$$en und des Parameters gleich $eynd, $o folgt daraus, da{$s} die Qua- drate der Ordinaten $ich gegen einander verhalten, als wie die Rectan- gula die ihnen gleich $eynd: Allein weilen die$e Rectangula einerley Hö- he, die der Parameter i$t, haben, $o verhalten $ie $ich gegen einander als wie ihre Grund-Linien (§. 342.), das i$t, als wie die Ab$ci$$en CK und CI; Derowegen i$t

    EK
^2.
    GI
^2 : : CK, CI (§. 189.). W. z. E.

Zu$atz.

588. Wann man auf den Anfangs-Punct C der Axe CB eine Perpen- dicular SC aufrichtet und man von den Puncten E, G, M der Parabel auf SC Perpendicularen fallen la{$s}t, $o verhalt $ich das Quadrat von CQ zum Quadrat von CR als wie die Linie QE zur Linie RG; Die$es i$t gantz klar, weilen die Linien CQ und CR den Ordinaten EK und GI und die Linien QE und RG den Ab$ci$$en CK und CI gleich $eynd.

Wir werden uns die$es Zu$atzes in künftigem bedienen, um zu erwei$en, da{$s} die krumme Linien, die die Stuck-Kugeln und Bomben, $o von dem Ort, wo $ie ge$cho$$en werden, bis zu dem Ort, wo $ie fallen, be$chreiben, eine Parabel $eye.

Er$te Aufgab.

589. Durch einen gegebenen Punct einer Parabel zu der$el- ben eine _Tangent_ zu ziehen.

Auflö$ung.

Um durch den gegebenen Punct E zur Parabel eine Tangent zu Fig. 181. ziehen, $o ziehet von dem Punct E in den Focum C eine Linie EC und durch eben die$en Punct E ziehet die Linie ED Parallel mit der Axe BK, die$e trift die Directricem HA in dem Punct D an. Ziehet ferner die Linie DC, durch deren Mitten I ihr die Linie EG ziehet; Die$e, $age ich, wird eine Tangent $eyn, und die Parabel nur in dem einigen Punct E berühren.

[0239]

Um die$es zu erwei$en, $o ziehet die Linien FD und FC, desgleichen auch die mit der Axe BK parallel lauffende Linien FH.

Beweis.

Betrachtet, da{$s} die Linien EC und ED einander gleich $eyen (§. 578.), und da{$s} al$o, weilen das Dreyeck DEC gleich-$chencklicht i$t, die Linie EI auf DC perpendicular $tehe, indem $ie die$elbe in zwey glei- che Theile theilet. Ferner weilen die Winckel DHF rechte Winckel $eynd, $o $eynd die Seiten DF grö$$er als die Seiten FH; Derowegen $eynd auch die Linien FC die den Linien FD gleich $eynd, grö$$er als die Linien FH; Woraus al$o folget, da{$s} die Puncten F $ich nicht in der Parabel befinden, indem die Linien FC mü{$s}ten den Linien FH gleich $eyn. Dahero $chlie$$e ich, da{$s} die Tangent FG die Parabel nur in dem eintzigen Punct E berühre. W. z. E.

Erklärung.

590. Wann man von dem Punct E, wo die Tangent die Para- Fig. 181. bel berührt, die Ordinatam EK auf die Axe ziehet, $o i$t die Linie GK die _Sub-Tangent_.

Dritter Lehr-Satz.

591. Wann man auf den Punct E, wo eine _Tangent_ GL die Fig. 182. Parabel berührt eine Perpendicular EM aufrichtet, und man von eben die$em Punct E eine _Ordinatam_ EK ziehet, $o $age ich, da{$s} der Theil KM der Axe der Helfte des Parameters die$er Parabel, das i$t, 2a, gleich $eye.

Beweis.

Weilen die Linien DC und EM miteinander parallel lauffen, indem $ie beyde auf GL perpendicular $eynd, und die Linien DA und EK ein- ander gleich $eynd, $o folgt daraus, da{$s} die Dreyeck DAC und EKM einander gleich und ähnlich $eyen, und da{$s} al$o AC = KM: Allein AC i$t die Helfte des Parameters (§. 584.); Derowegen i$t auch KM = 2a oder der Helfte des Parameters. W. z. E.

Vierter Lehr-Satz.

592. In eben die$er Figur $age ich auch, da{$s} die _Sub-Tan-_ _gent_ GK das Doppelte der _Ab$ci$$æ_ BK $eye.

[0240] Beweis.

Weilen der Parameter die$er Parabel 4a i$t (§. 586.) $o i$t KM = 2a (§. 591.), und von wegen den ähnlichen Dreyecken EGK und EKM (§. 367.), bekommt man KM. KE : : KE. KG, das i$t, 2a. y : : y. {yy / 2a}; Derowegen i$t KG = {yy / 2a}. Wann man nun in die$er Glei- chung an$tatt yy $etzet 4ax, welches ihm gleich i$t (§. 586.), $o bekommt man KG = {4ax / 2a} und al$o KG = 2x. W. z. E.

Zu$atz.

593. Die$er Lehr-Satz gibt uns eine leichte Manier an die Hand zu einer Parabel eine Tangent zu ziehen; Dann, um z. E. eine Tan- gent LG durch dem Punct E zu ziehen, dörf man nur von dem Punct E auf die Axe BM eine Perpendicular EK fallen la$$en, und nach die$em die Linie BG der Ab$ci$$e BK gleich machen, und durch die Puncten G und E die Linie LG ziehen.

Erklärung.

594. Wann man von dem Punct A, wo eine Tangent die Pa- Fig. 183. rabel berührt eine Linie AO mit der Axe ML parallel führet, $o wird die$e Linie der _Diameter_ der Parabel genennet.

Fünfter Lehr-Satz.

595. Wann man eine Linie CD mit der _Tangent_ NB parallel führet, $o $age ich, da{$s} $ie durch den _Diameter_ AO in dem Punct E in zwey gleiche Theile getheilet wird.

Vorbereitung.

Von dem Punct A ziehet die Ordinatam AG, und von den Pun- cten C, E und D ziehet die Linien CV, EF und DL parallel mit der Or- dinata AG, und verlängert den Diameter OA bis er die Linie HC an- trift. Es $eye nun MF = m, IF oder HE = t, FL oder EK = u, $o i$t MI = m - t, ML = m + u, und GF = m - x, weilen wir die Ab$ci$$e MG be$tändig mit x und die Ordinatam AG mit y benennen. Al$o i$t zu erwei$en, da{$s} EC = ED, oder auch da{$s} HE (t) = EK (u), welches einerley i$t, indem die Dreyecke DEK und HEC einander ähn- [0241] lich $eynd, woraus man al$o $iehet, da{$s} EK. HE : : ED. EC; Derowe- gen, wann erwie$en wird, da{$s} EK = HE, $o i$t auch erwie$en, da{$s} ED = EC.

Beweis.

Weilen die Dreyecke BGA, ECH und EDK einander ähnlich $eynd, $o i$t BG. GA : : EK. DK. (§. 357.), das i$t, 2x. y : : u. {yu / 2x} und BG. GA : : EH. HC, das i$t, 2x. y : : t. {yt / 2x} (§. 178.); Derowegen i$t CI = y - {yt / 2x} und DL = y + {yu / 2x}; Wann man nun jede die$er Grö$$en durch $ich $elb$t multiplicirt, $o bekommt man nach allen Re- ductionen yy - {yyt / x} + {yytt / 4xx} vor das Quadrat der er$ten, und yy + {yyu / x} + {yyuu / 4xx} vor das Quadrat der zweyten. Nun nach der Eigen- $chaft der Parabel (§. 587.) i$t MG. ML : :

    AG
^2.
    DL
^2, das i$t, x. m + u : : yy. yy + {yyu / x} + {yyuu / 4xx} und MG. MI : :
    AG
^2.
    CI
^2, das i$t, x. m - @ : : yy. yy - {yyt / x} + {yytt / 4xx}; Wann man nun in beyden Proportio- nen das Product der äu$$ern und innern nimmt, $o bekommt man myy + uyy = xyy + yyu + {yyuu / 4x}, und myy - tyy = xyy - yy@ + {yytt / 4x}. Wann man nun die zweyte Gleichung von der er$ten, das i$t, das er$te Glied der zweyten von dem er$ten Glied der er$ten, und das zweyte Glied der zweyten von dem zweyten Glied der er$ten abzieht, $o bekomt man nach allen Reductionen o = {yyuu / 4x} - {yytt / 4x}. In die$er Glei- [0242] chung bringe ich {yytt / 4x} aus dem zweyten Glied in das er$te, und $treiche beyder$eits den Nenner 4x aus, auf die$e Art kommt yytt = yyuu; Wann man nun beyder$eits durch yy dividirt, $o kommt tt = uu, oder t = u (§. 121.), das i$t, HE = EK. W. z. E.

Erklärungen. I.

596. Eine jede Linie EC oder ED, die man mit der Tangent AB Fig. 183. parallel führet, wird eine _Ordinata_ des Diameters AO genennet.

II.

597. Wann man zur Linie MB und zur Tangent AB eine dritte Proportional-Linie $ucht, $o wird die$e der Parameter des Diameters AO genennet.

Zu$atz.

598. Aus vorhergehender Erklärung flie$$et, da{$s}, wann man aus dem Foco P in den Punct A, wo die Tangent die Parabel berührt, ei- ne Linie AP ziehet, die vierfache Linie AP dem Parameter des Diame- ters AO gleich $eye.

Um die$es zu erwei$en, $o wollen wir $upponiren, der Punct S wä- re der erzeugende Punct; Al$o i$t SG = PA (§. 578.); Es $eye nun SM oder MP = a, MG oder MB = x, GA = y, $o i$t SG oder AP = x + a, und nach dem er$ten Lehr=Satz i$t 4ax = yy. Ferner $eye der Parameter des Diameters AO = p, $o bekommt man nach vorherge- hender Erklärung (§. 597.) MB, AB : : AB, p, oder x, AB : : AB. p; Derowegen i$t px =

    AB
^2: Allein wegen dem rechtwincklichten Dreyeck ABG i$t
    AB
^2 =
    BG
^2 +
    AG
^2 (§. 371.), das i$t px = 4xx + yy, und wann man an die Stelle von yy in dem zweyten Glied $etzet 4ax, $o bekommt man px = 4xx + 4ax, nun wann man alle Terminos die$er Gleichung durch x dividirt, $o kommt p = 4x + 4a, das i$t, p = 4AP. W. Z. E.

Sech$ter Lehr-Satz.

599. Das _Quadrat_ einer jeden _Ordinatæ_ EC des _Diameter_s AO Fig. 183. i$t gleich dem _Rectangulo_ der _Ab$ci$$_e AE und des Parameters des _Diameters_ AO, oder der vierfachen Linie AP.

[0243]

Wir $upponiren, es verbleibe alles, wie in vorhergehendem Lehr- Satz (§. 595.), und die Linien $eyen auch mit eben den$elben Buch$ta- ben bemercket, ausgenommen die Linie AE, welche wir mit z benennen wollen, und weilen AE = FG, $o i$t z = m - x.

Beweis.

Man mu{$s} al$obald die beyde Gleichungen myy + uyy = xyy + yyu + {yyuu / 4x} und myy - tyy = xyy - yyt + {yytt / 4x} zu$ammen addiren, nachdem man vorhero in der er$ten Gleichung t an$tatt u $etzet, weilen erwie$en worden, da{$s} t = u; und da bekommt man, nachdem alles re- ducirt worden, 2myy = 2xyy + {yytt / 2x}; Wann man nun den Bruch ver$chwinden macht, $o kommt 4xmyy = 4xxyy + yytt, und wann man alle Terminos durch yy dividirt, $o kommt 4xm = 4xx + tt, derowegen i$t auch 4xm - 4xx = tt. Weilen nun in dem er$ten Glied die$er letzten Gleichung m - x mit 4x multiplicirt i$t, $o kan man z an$tatt m - x $etzen, welches ihm gleich i$t, und al$o bekommt man 4xz = tt: Allein weilen das Dreyeck EHC rechtwincklicht i$t, $o i$t

    EC
^2 =
    HE
^2 +
    HC
^2, das i$t,
    EC
^2 = tt + {yytt / 4xx}; Wann man nun 4xz an die Stelle von tt und 4xa an die Stelle von yy, welches ihm nach dem er$ten Lehr-Satz gleich i$t, $etzet, $o bekommt man
    EC
^2 = 4xz + {16axxz / 4xx}, oder
    EC
^2 = 4xz + 4az, das i$t,
    EC
^2 = 4AP × AE. W. z. E.

Zu$atz.

600. Man $iehet aus die$em Lehr-Satz, da{$s} der er$te Lehr-Satz allgemein worden, indem nicht nur allein das Quadrat einer Ordinatæ der Axe einem Rectangulo des Parameters die$er Axe und der Ab$ci$$e gleich, $ondern auch das Quadrat einer jeden Ordinatæ eines Diameters ginem Rectangulo der corre$pondirenden Ab$ci$$e und des Parameters die$es Diameters gleich i$t. Allein um die$es deutlicher ver$tehen zu machen, $o betrachtet, da{$s} wann die Linie RT den äu$$er$ten Punct M [0244] der Axe berührt, alle Ordinatæ die$er Axe mit die$er Tangent parallel lauffen, und da{$s} nach dem er$ten Lehr-Satz das Quadrat einer jeden die$er Ordinaten einem Rectangulo der corre$pondirenden Ab$ci$$e und der vierfachen Linie PM, welche die Di$tanz des Foci von dem Berüh- rungs-Punct i$t, gleich $eye. Wann man $ich nun vor$tellet, als wann die Axe ML mit einer parallelen Bewegung $ich bis an den Punct A be- wege, allwo $ie nun die Stelle des Diameters vertritt, und da{$s} die Tan- gent RT $ich auf der Parabel al$o bewege, da{$s} $ie die$elbe allezeit nur in einem eintzigen Punct berühre, und die$es $o lang, bis da{$s} der Punct M der Punct A werde, $o wird al$o aus der Tangent RT die Tangent NB, und die Linie PM wird PA, derowegen i$t $ie noch der vierte Theil des Parameters der Axe die nunmehro der Diameter AO worden, und die Ordinaten als wie VX, die man mit der Tangent RT parallel ge- zogen, verbleiben allezeit mit der$elben parallel, wann $ie nemltch die Axe in ihrer Bewegung begleiten; und wann die Ab$ci$$e MV der Ab- $ci$$e AE gleich i$t, $o wird aus der Ordinata VX die Ordinata EC, und al$o i$t allezeit das Quadratum von EC gleich dem Rectangulo von der Ab$ci$$e AE und von der vierfachen Di$tanz des Berührungs-Puncts A vom Foco P, wie die$es in vorhergehendem Lehr-Satz erwie$en worden.

Man kan daraus abnehmen, da{$s} wann der Punct A näher bey dem Punct M wäre, es ge$chehen könnte, da{$s} der Punct C auf die andere Seite der Axe ML fallen würde: Allein, die Linie DC mag $ich in der Parabel befinden wie $ie will, $o i$t $ie allezeit durch den Diameter in zwey gleiche Theile getheilet, wann $ie nemlich mit der Tangent paral- lel lauft; Derowegen allezeit wahr bleibet, was wir davon erwie$en haben.

Siebender Lehr-Satz.

601. Wann man einen _Conum_ durch eine Fläche, die mit ei- Fig. 184. ner $einer Seiten parallel lauft, durch$chneidet, $o wird der Schnitt eine Parabel formiren.

Wann man den Conum ABC durch eine Fläche, die mit einer $ei- ner Seiten BC parallel laufft, durch$chneidet, $o $age ich, da{$s} der Schnitt als wie DEI auf der Fläche des Coni eine krumme Linie DHEKI formiret, welche eine Parabel i$t. Wann wir nun $upponiren, es wä- re der Conus durch eine mit der Grund-Fläche de$$elben parallel lauf- fende Fläche LM durchge$chnitten worden, $o wäre der Schnitt ein Zir- ckel, allwo die Linien FK und FH auf dem Diameter LM perpendicular $tehen und auch zugleich Ordinatæ der krummen Linie $eynd. Nach die- $em nehmet auf der Seite BC einen Theil BO, welcher dem Stuck FM [0245] des Diameters gleich $eye, und durch den Punct O ziehet mit FM eine Parallel ON, welche der Parameter der Parabel $eyn wird; Dann wir werden erwei$en, da{$s} das Rectangulum von NO und der Ab$ci$$e EF dem Quadrat der Ordinatæ FK gleich $eye; Zu die$em Endzweck wollen wir BO oder FM mit a, NO mit p, EF mit x und FK mit y be- nennen.

Beweis.

Betrachtet, da{$s} die ähnliche Dreyeck NBO und LEF uns geben BO (a). NO (p) : : EF (x). LF ({px / a}), und da{$s} al$o NO × EF (px) = LF × FM oder BO ({apx / a}); Wann man nun an die Stelle von LF × FM ({apx / a}) in dem zweyten Glied der Gleichung $etzet

    FK
^2 (yy), welches ihm vermög der Eigen$chaft des Zirckels gleich i$t (§. 415), $o bekommt man NO × EF (px) =
    FK
^2 (yy). W. z. E.

Zweyte Aufgab.

602. Zu einem gegebenen Parameter eine Parabel zu be- Fig. 185. $chreiben.

Auflö$ung.

Um eine Parabel zu be$chreiben, davon die Linie AB der Parame- meter $eye, $o nehmet auf einer Linie als wie EK zwey Theile CE und CF, deren jeder dem vierten Theil der Linie AB gleich $eye; nach die$em ziehet eine Menge Perpendicularen als wie GH auf die Linie EK, und macht alle Linien FG und FH den Linien EI gleich. Endlich wann man durch die äu$$er$te Puncten einer Menge $olcher Ordinaten als wie GI eine krumme Linie ziehet, $o i$t die$e krumme Linie eine Parabel.

Beweis.

I$t gegründet auf §. 578. und 584.

Dritte Aufgab.

603. Die Axe einer gegebenen Parabel zu finden.

[0246] Auflö$ung.

Um die Axe der gegebenen Parabel CLI zu finden, $o ziehet in der Fig. 186. Parabel, wo ihr wollt, zwey Parallel-Linien AB und CD, und theilet jede die$er Linien in den Puncten E und F in zwey gleiche Theile, und ziehet durch die$e Puncten eine Linie GH, welche ein Diameter der Pa- rabel $eyn wird (§. 595.): nach die$em ziehet von dem Punct C die Li- nie CI, al$o da{$s} $ie die Linie GH nach rechten Winckeln durch$chneide. Theilet die$e Linie CI in zwey gleiche Theile, und auf dem Theilungs- Punct K richtet die Perpendicular KL auf; Die$e wird die Axe $eyn.

Beweis.

Weilen die Linien AB und CD Ordinaten des Diameters GH $eynd, $o i$t die Linie CI, die auf die$em Diameter perpendicular $tehet, eine Ordinate der Axe der Parabel. Da nun die Axe einer Parabel ihre Ordinaten in zwey gleiche Theile und zwar perpendiculariter theilet, $o folgt daraus, da{$s} die Linie KL die Axe der Parabel $eye.

Vierte Aufgab.

604. Den Parameter einer gegebenen Parabel zu finden.

Auflö$ung.

Um den Parameter einer gegebenen Parabel zu finden, $o mu{$s} Fig. 186. man zu einer Ab$ci$$e LM, die man will und zu ihrer corre$pondiren- den Ordinate MN eine dritte Proportional-Linie $uchen (§. 492.), wel- che z. E. die Linie OP $eyn wird, und die$e Linie OP i$t der begehrte Parameter, indem das Rectangulum von LM und OP dem Quadrat der Ordinate MN gleich i$t (§. 586.)

Fünfte Aufgab.

605. Den _Focum_ einer Parabel, davon man den Parameter Fig. 186. kennet, zu finden.

Auflö$ung.

Um den Focum einer Parabel zu finden, $o mu{$s} man auf der Axe LK ein Stuck LQ das dem vierten Theil des Parameters gleich i$t, ab- $chneiden; Da i$t der Punct Q der begehrte Brenn-Punct: Die$es i$t gantz klar, indem vermög der Erzeugung der Parabel (§. 578,) der Pa- rameter das Vierfache der Di$tanz des Brenn-Puncts Q von dem An- fang der Axe i$t.

[0247] Zweytes Capitul Von Den Eigen$chaften der Ellip$is. Erklärungen.

606. WAnn man auf einer Fläche zwey grade aber einander un- Fig. 187. gleiche Linien AB und CD ziehet, welche $ich in dem Punct E auf ihren Mitten perpendiculariter durch$chnei- den, und man einen halben Zirckel be$chreibet, davon die Grö$te AB der Diameter i$t, und man auf die$en Diameter eine Menge Perpendicula- ren als wie FG und IK aufrichtet, und man FH zur vierten Propor- tional-Linie zu den Linien AB CD, FG und auch IL zur vierten Propor- tional-Linie zu den Linien AB, CD, IK macht, und man al$o fortfähret eine Menge Puncten als wie H und L zu finden, $o wird die krumme Linie, die man durch alle die$e Puncten ziehet, eine _Ellip$is_ genennet.

607. Die Linie AB wird die gro$$e Axe und die Linie CD, die man Fig. 187. perpendicular auf der Mitten von AB zu $eyn $upponirt, wird die klei- ne Axe genennet, oder auch hei$$et die Linie CD _Axis conjugatus_ der Axe AB und die Axe AB hei$$et _Axis conjugatus_ der Axe CD.

608. Eine jede Linie als wie FH oder IL; die man perpendicula- riter auf die er$te Axe AB aufrichtet, und die $ich an der Ellip$i endiget, wird ein _Ordinat_e die$er Axe genennet.

609. Wann man zu den beyden Axen AB und CD eine dritte Proportional-Linie, als wie MN, $uchet, $o hei{$s}t die$e Linie der Para- meter der Axe AB, die den er$ten Terminum der Proportion aus- macht.

610. Der Punct E, wo $ich die beyde Axen nach rechten Win- ckeln durch$chneiden, wird der Mittel-Punct der Ellip$is genennet.

611. Wann man auf der gro$$en Axe AB einer Ellip$is die Pun- Fig. 188. cten K nimmt, al$o da{$s} jeder der$elben um die Helfte der gro$$en Axe [0248] von den äu$$er$ten Puncten C und D der kleinen Axe entfernet $eye, $o werden die$e Puncten die _Foci_, oder die Brenn-Puncten der Ellip$is ge- nennet.

Er$ter Lehr-Satz.

612. Wann man in einer _Ellip$i_ eine _Ordinatam_ FH zur er$ten Fig. 187. Axe zieher, $o $age ich, da{$s} das _Rectangulum_ der Theile AF und FB die$er Axe $ich zum _Quadrat_ der _corre$pondi_renden _Ordinatæ_ FH ver- halte, als wie das _Quadrat_ der er$ten Axe AB zum _Quadrat_ der _Axis_ _conjugati_ CD; oder welches einerley i$t, als wie das _Quadrat_ von _AE_ zum _Quadrat_ von _ED_.

Es $eyen die be$tändige Grö$$en _AE_ oder EB = a, _CE_ oder ED = b und die unbe$tändige EF = x, FH = y, FG = s, $o i$t AF = a - x und FB = a + x. Da i$t zu erwei$en, da{$s} AF × FB.

    FH
^2 : :
    AB
^2.
    CD
^2.

Beweis.

Betrachtet, da{$s} nach der er$ten Erklärung (§. 606.) wir bekom- men, AB. CD : : FG. FH, das i$t, 2a. 2b : : s. y: Derowegen i$t auch

    AB
^2.
    CD
^2 : :
    FG
^2.
    FH
^2 (§. 487.), das i$t, 4aa. 4bb : : ss. yy. Wann man nun an die Stelle des Quadrats
    FG
^2 $etzet das Rectangulum AF × FB oder aa - xx, welches ihm vermög der Eigen$chaft des Zirckels gleich i$t (§. 415.), $o bekommt man
    AB
^2.
    CD
^2 : : AF × FB.
    FH
^2, das i$t, 4aa. 4bb : : aa - xx. yy, oder auch AF × FB.
    FH
^2 : :
    AB
^2.
    CD
^2, das i$t, aa - xx. yy : : 4aa, 4bb. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

613. Wann man zwey Ordinatas FH und IL hat, $o bekommt Fig. 187. man nach vorigem Lehr-Satz AF × FB.

    FH
^2 : :
    AB
^2.
    CD
^2, und AI × IB.
    IL
^2 : :
    AB
^2.
    CD
^2: Derowegen i$t auch AF × FB.
    FH
^2 : : AI × IB
    IL
^2.

Zweyter Zu$atz.

614. Ferner folgt aus die$em Lehr-Satz, da{$s} wann man von dem Fig. 188. Punct H auf die zweyte Axe CD eine Ordinatam HI ziehet, auch das Rectangulum von ID und IC die$er Axe $ich zum Quadrat der corre$pondi- renden Ordinatæ IH verhalte, als wie $ich das Quadrat eben die$er Axe CD zum Quadrat der Axis conjugati AB verhaltet.

[0249]

Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} weilen FH = EI, auch EI = y und da{$s} weilen FE = HI, auch HI = x $eye; i$t al$o ID = b - y und CI = b + y. Nun nach vorhergehendem Lehr-Satz haben wir aa - xx. yy : : aa. bb, davon das Product der äu$$ern und mittle- ren uns gibt bbaa - xxbb = yyaa. Wann man nun yyaa aus dem zweyten Glied in das er$te und xxbb aus dem er$ten Glied in das zwey- te bringt, $o bekommt man bbaa - yyaa = xxbb, welches kan re$olvirt werden in bb - yy. xx : : bb. aa, das i$t, ID × IC.

    HI
^2 : :
    ED
^2.
    EB
^2. Al$o $iehet man, da{$s}, man mag Ordinaten zur gro$$en oder zur kleinen Axe ziehen, die Eigen$cha$t der Ellip$is allezeit einerley verbleibe.

Dritter Zu$atz.

615. Wann man die er$te Axe einer Ellip$is mit a die zweyte mit b und den Parameter mit p benennet, $o bekommt man a. b. : : b. p (§. 609.): derowegen i$t auch aa. bb : : a. p (§. 484.): Allein nach der Eigen$chaft der Ellip$is i$t aa - xx.yy : : aa. bb; al$o i$t auch aa - xx. yy : : a. p.

Er$te Anmerckung.

616. Es i$t zu mercken, da{$s} weilen AF × FB.

    FH
^2 : : AI × IB.
    IL
^2 (§. 613.), man an$tatt der Antecedenten die Quadrate von FG und von IK, welche ihnen vers mög der Eigen$chaft des Zirckels gleich $eynd (§. 415.), $etzen kan, um
    FG
^2.
    FH
^2 : :
    IK
^2.
    IL
^2 zu haben; Woraus al$o folget, da{$s} FG. FH : : IK. IL und _alternando_ FG. IK : : FH. IL. Wann man nun die Linien FH und IL vor Ele- menta der Fläche des vierten Theils der Ellip$is EAD, und die Linien FG und IK vor Elementa der Fläche des vierten Theils des Zirckels EAM annimmt, $o $tehet man, da{$s} die Elementa des vierten Theils der Ellip$is fich gegen einander verhal- ten, als wie die Elementa des vierten Theils des Zirckels.

Zweyte Anmerckung.

617. Man hat oben ge$ehen §. 550., da{$s} in einer Progre$$ion, die aus einer unenblichen Anzahl Elementen, als wie FG und IK des vierten Theils eines Zir- ckels be$tehet, die Summ der Quadrate aller die$er Elementen gleich $eye dem Pro- duct, welches ent$tehet, wann man das Quadrat des grö$ten Elementi durch zwey dritte Theil der Grö$$e, die ihre Anzahl ausdruckt, multiplicirt. Weilen nun die Elementen einer Ellip$is $ich gegen einander verhalten, als wie die Elementen eines Zirckels, $o folgt daraus, da{$s} $ie mit den$elben einerley Eigen$chaft haben; Dero- wegen kan man $agen: Da{$s} in einer _Progre$$ion_, die aus einer unendlichen An- zahl _Element_en des vierten Theils einer _Ellip$is_ EAD be$tehet, die Summ der _Quadrat_en aller die$er _Element_en als wie FH und IL, gleich $eye dem _Product_, [0250] welches ent$tehet, wann man das _Quadrat_ des grö$ten _Elementi_ ED durch zwey dritte Theil der Grö$$e, die ihre Anzahl ausdruckt, das i$t, durch zwey drit- te Theil der Linie AE _multiplici_rt.

Weilen die$e zwey Anmerckungen in der practi$chen Geometrie uns viel dienen werden, $o mu{$s} man $ich beflei$$igen, die$elbe wohl zu ver$tehen.

Bericht an den Le$er.

Weilen die Artickel von 618. bis 629. nur zum dritten Lehr-Satz gehören, und eben die$er, ohnerachtet alles Flei$$es, den ich gehabt ihn deutlich zu erklären, die Anfänger doch könte verdrie{$s}lich machen, indem er ihnen zu $chwer vorkommen möchte, $o können $ie die$e Artickel $o wohl als auch den Lehr-Satz $elb$ten ausla$$en, und $ich nur auf den Uber- re$t die$es Capitels verlegen, welches genug$am $eyn wird in der practi- $chen Geometrie dasjenige, was $ich auf die Ellip$in beziehet, zu ver- $tehen.

Erklärungen. I.

618. Man nennet Diameter einer Ellip$is $olche zwey Linien, als wie Fig. 189. CD und EF, die durch den Mittel-Punct G gehen, und $ich an der Elli- p$i endigen.

II.

619. Wann man von einem Punct C nach Belieben einen Dia- meter CD und eine Ordinatam CK zur Axe ziehet, und man GO zur dritten Proportional-Linie zu GK und GA macht, $o i$t der Diameter EF den man mit CO parallel führet, der _Diameter conjugata_ des Diame- ters CD, desgleichen i$t CD der _Diameter conjugata_ des Diameters EF.

III.

620. Eine jede Linie als wie HI, die man von einem beliebigen Punct H des Diameters CD mit $einem conjugata EF parallel führet, wird eine _Ordinata_ des Diameters CD genennet.

IV.

621. Wann man zu den beyden Diametris conjugatis CD, EF ei- ne dritte Proportional-Linie $ucht, $o wird die$e der Parameter des _Diameter_s, der den er$ten Terminum der Proportion ausmacht, ge- nennet.

Zu$atz.

622. Aus dem §. 619. folget, da{$s}, wann GA = a, GK = x und KO = z man bekomme GK. GA : : GA. GO, das i$t, x. a : : @. [0251] x + z. Derowegen i$t xx + xz = aa; Wann man nun xx aus dem er$ten Glied in das zweyte bringt, $o kommt xz = aa - xx, das i$t, GK × KO = AK × KB, dann AK = a - x und KB = a + x. Wir werden uns die$es Zu$atzes bedienen, um die folgende Sätze zu erwei$en, derowegen man ihn wohl behalten mu{$s}.

Zweyter Lehr-Satz.

623. Wann man von den Enden der beyden _Diameter_ CD Fig. 189. und EF auf die Axe AB die _Ordinatas_ CK und EP zieher, $o $age ich, da{$s} das _Quadrat_ des Theils GP dem _Rectangulo_ von AK und KB gleich $eye.

Es $eye GA = a, GP = f, GK = x, KO = z, $o i$t GO = x + z. Da i$t zu erwei$en da{$s} AK × KB =

    GP
^2, das i$t, da{$s} aa - xx oder xz = ff.

Beweis.

Betrachtet, da{$s} wegen der Eigen$chaft der Ellip$is (§. 613.), man hat AK × KB (xz). AP × PB (aa - ff) : :

    KC
^2.
    PE
^2; Wann man an$tatt aa in dem zweyten Termino die$er Proportion $etzet xx + xz, welches ihm nach dem vorhergehenden Zu$atz (§. 622.) gleich i$t, und man an$tatt
    KC
^2 und
    PE
^2 $etzet
    KO
^2 und
    PG
^2, welche $ich wegen der Aeyn- lichkeit der Dreyecke OCK und GEP, auf einerley Art gegeneinander verhalten, $o bekommt man AK × KB. AP × PB : :
    KO
^2.
    PG
^2, oder xz. xx + xz - ff : : zz. ff, davon das Product der äu$$ern und mittlern uns gibt xxzz + xzzz - ffzz = ffxz; Wann man nun ffzz aus dem er$ten Glied in das zweyte bringt, $o kommt xxzz + xzzz = ffxz + ffzz; In welcher Gleichung man alle Terminos durch z dividirt, um xxz + xzz = ffx + ffz zu haben, welche Gleichung, wann $ie durch x + z divi- dirt wird, uns gibt xz = ff, das i$t, AK × KB =
    GP
^2. W. z. E.

Zu$atz.

624. Weilen xx + xz = aa, $o folgt daraus, da{$s}, wann man ff an die Stelle von xz in die$er Gleichung $etzet, man bekomme xx + ff = aa; Wann man nun ff aus dem er$ten Glied in das zweyte bringt, $o kommt xx = aa - ff, das i$t,

    GK
^2 = AP × PB, dann AP = a - f, und PB = a + f.

[0252] Dritter Lehr-Satz.

625. Das _Rectangulum_ der Theile CH und HD des _Diameter_s Fig. 189. CD, verhalt $ich zum _Quadrat_ der _Ordinatæ_ HI, als wie das _Quadrat_ eben die$es _Diameter_s $ich verhalt zum _Quadrat_ $eines _Diametri con-_ _jugatæ_.

Um die$es zu erwei$en, $o wollen wir die Linien IN und HL paral- lel mit _CK_ und die Linie HM parallel mit BA ziehen, und _GK_ mit x, _CK_ mit y, GA mit a, _KO_ mit z, HM oder LN mit c, GL mit c, GL mit g und GC mit s benennen.

Beweis.

Betrachtet, da{$s} die ähnliche Dreyecke _GKC_ und GLH uns geben GK, KC : : GL. LH, oder x. y : : g. {yg / x}; und da{$s} die ähnliche Drey- ecke _COK_ und IHM uns geben, KO, KC : : HM. IM oder z. y : c. {yc / z}; Davon wir al$o bekommen {yg / x} + {yc / z} = LH oder MN + IM = IN, de$$en Quadrati$t {yycc / zz} + {2yycg / zx} + {yygg / xx}. Ferner betrachtet, da{$s} auch LN - LG (c - g) = GN, davon das Quadrat i$t cc - 2cg + gg. Nach die$em mu{$s} man einen zweyten Valor von

    IN
^2 $uchen, den man aus der Eigen$chaft der Ellip$is findet (§. 613.); Dann AK × KB. AN × NB, oder zu
    GB
^2 -
    GN
^2 (§. 73.) : :
    CK
^2 : :
    IN
^2; das i$t, aa - xx. aa - cc + 2cg - gg : : yy. {aayy - ccyy + 2cgyy - ggyy. / aa - xx}. Wann man nun mit den beyden Valoren von
    IN
^2 eine Gleichung formirt, $o bekommt man {yycc / zz} + {2yycg / zx} + {yygg / xx} = {aayy - ccyy + 2cgyy - ggyy. / aa - xx} Allein man wei{$s} da{$s} zx = aa - xx (§. 622.); Derowegen kan man beyder$eits 2yycg, weilen es in beyden Gliedern durch gleiche Grö$$en [0253] dividirt i$t, aus$treichen, und den Uberre$t durch yy dividiren, um {cc / zz} + {cc / zz} + {gg / xx} = {aa - cc - gg / aa - xx} zu bekommen. Nach die$em mu{$s} man alles durch xx multipliciren, damit gg kein Bruch mehr i$t, und da be- kommt man {ccxx / zz} + gg = {aaxx - ccxx - ggxx / aa - xx}; Bringet nun gg aus dem er$ten Glied in das andere und bringet es wieder auf einen Bruch, um {ccxx / zz} = {aaxx - ccxx - ggxx - aagg + ggxx / aa - xx} zu bekommen: Al- lein, wann man $o wohl den Zehler als den Nenner des er$ten Glieds durch xx multiplicirt, $o bekomt man {ccxx / zz} = {cc x^4 / zzxx}; Derowegen wann man die$es Letztere an die Stelle des er$tern $etzet, $o bekomt man {cc x^4 / zzxx} = {aaxx - ccxx - ggxx - aagg + ggxx. / aa - xx}. Nun, weilen zx = aa - xx, $o i$t der Divi$or des er$ten Glieds das Quadrat des Divi$oris des zwey- ten, derowegen mu{$s} man das er$te Glied durch $einen Divi$orem zzxx und das zweyte durch das Quadrat von aa - xx multipliciren, um al$o die Brüche ver$chwinden zu machen, und da bekommt man cc x^4 = a^4 xx - aaccxx - aaggxx - a^4 gg + aaggxx - aa x^4 + cc x^4 + gg x^4 + aaggxx - gg x^4, welches reducirt wird auf 0 = a^4 xx - aaccxx - a^4 gg - aa x^4 + aaggxx; Wann man nun in die$er letzten Gleichung aaccxx aus dem zweyten Glied in das er$te bringt, $o bekommt man aaccxx = a^4 xx - a^4 gg - aa x^4 + aaggxx; und man die$e durch aaxx dividiret $o kommt cc = {aa / xx} + gg - {aagg / xx}. Weilen nun
    LN
^2 oder
    HM
^2 = cc, $o i$t
    LN
^2 oder
    HM
^2 = aa - xx + gg - {aagg / xx}. Nach die$em betrachtet, da{$s} die ähn- liche Dreyecke _GKC_ und GLH uns geben GK, GC : : GL. GH, das i$t, [0254] x. s : : g. {$g / x}. Derowegen i$t
    GC
^2 -
    GH
^2 oder CH × HD = $$ - {$$gg / xx} = {$$xx - $$gg / xx}. Allein weilen die vier Grö$$en {$$xx - $$gg / xx}. aa - xx + gg - {aagg / xx} : : $$. aa - xx, indem die Product der äu$$ern und mittlern einander gleich $eynd, $o i$t dann CH × HD.
    HM
^2 : :
    GC
^2,
    GP
^2; Wann man nun an die Stelle der Con$equenten
    HM
^2 und
    GP
^2 $etzet
    HI
^2 und
    GE
^2, welche wegen den ähnlichen Dreyecken HIM und GPE $ich auf einerley Art gegen einander verhalten, $o bekommt man CH × HD.
    HI
^2 : :
    GC
^2.
    GE
^2 : :
    CD
^2.
    EF
^2. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

626. Man $iehet daraus, da{$s} dasjenige, was in dem er$ten Lehr- Fig. 190. Satz von den zweyen Axen erwie$en worden, $ich auf jede zwey Diame- ter er$trecket; Dann wann man eben $o über die Ellip$in rai$onirt, als wie man über die Parabel §. 600. gethan, $o $iehet man, da{$s}, wann die Tangent HI, die auf dem äu$$er$ten Punct A der Axe AB $tehet, $ich längs der krummen Linie bewegt, um die Stellung QR zu nehmen, und die Axe AB $ich um ihren Mittel-Punct E drehet, um die Stellung FG anzunehmen, die Ordinata _KL_, die die Axe allezeit begleitet, und mit der Tangent parallel bleibt, die Ordinata OP werde; und weilen die Axis conjugatus CD $ich auch parallel mit der Tangent HI bewegt, $o wird $ie der Diameter conjugata MN; Derowegen, weil alle die$e Linien ge- geneinander einerley verbleiben, folgt daraus, da{$s} das Rectangulum der Theile OF und OG des Diameters FG $ich zum Quadrat der Ordinatæ OP verhalte, als wie das Quadrat des Diameters FG zum Quadrat $eines Diametri conjugatæ MN.

Zweyter Zu$atz.

627. Ferner folgt daraus, da{$s}, um zu einem punct F der Elli- p$is eine Tangent QR zu ziehen, man von dem punct F eine Perpendi- cular-Linie FS auf die Axe AB mu{$s} fallen la$$en, und zu ES, EA eine dritte Proportional-Linie EQ $uchen um den Punct Q zu bekommen, [0255] von welchem man die Tangent QR durch den gegebenen Punct F ziehet (§. 619.).

Dritter Zu$atz.

628. Weiters folgt noch daraus, da{$s} eine jede Linie als wie TP, die man mit der Tangent RQ parallel ziehet, durch den Diameter in zwey gleiche Theile getheilet werde; Dann FO × OG.

    OP
^2 : :
    FG
^2.
    MN
^2; und FO × OG.
    OT
^2 : :
    FG
^2.
    MN
^2; Derowegen i$t FO × OG.
    OP
^2 : : FO × OG.
    OT
^2 (§. 189.); Woraus al$o folget, da{$s}
    OP
^2 =
    OT
^2 (§. 196.), und da{$s} al$o OP = OT.

Vierter Lehr-Satz.

629. Die Summ der beyden _Quadrat_en der Axen AB und QR Fig. 189. einer _Ellipsis_ i$t gleich der Summ der _Quadrat_en zweyer _Diameter_ als wie CD und EF.

Beweis.

Wir $upponiren, es verbleibe alles in voriger Benennung, da be- kommen wir al$o

    GP
^2 = aa - xx (§. 623.) und
    GA
^2 -
    GP
^2, oder AP × PB =
    GK
^2 = xx (§. 624.). Nun vermög der Eigen$chaft der El- lip$is i$t
    GA
^2.
    GR
^2 : : AP × PB.
    PE
^2, das i$t, aa, bb : : xx. {bbxx / aa}, und
    GA
^2.
    GQ
^2 : : AK × KB.
    KC
^2, das i$t, aa, bb : : aa - xx. {aabb - bbxx / aa} Nun die rechtwincklichte Dreyeck GPE und GKC geben uns
    GP
^2 +
    PE
^2 =
    EG
^2, oder aa = xx + {bbxx / aa} =
    EG
^2 und
    GK
^2 +
    KC
^2 =
    GC
^2, oder xx + {aabb - bbxx / aa} =
    GC
^2. Wann man nun die$e beyde Gleichungen zu$ammen addirt, und die Gantze auf Brüche bringt, $o kommt [0256] {a^4 - aaxx + bbxx + aaxx + aabb - bbxx / aa} =
    EG
^2 +
    GC
^2, wann man nun das er$te Glied die$er Gleichung reducirt, und durch aa dividirt, $o kommt aa + bb =
    EG
^2 +
    GC
^2, oder
    AG
^2 +
    GR
^2 =
    EG
^2 +
    GC
^2; De- rowegen i$t auch
    AB
^2 +
    QR
^2 =
    EF
^2 +
    CD
^2. W. z. E.

Fünfter Lehr-Satz.

630. Wann man durch den äu$$er$ten Punct A der Axe AB Fig. 191. eine _Tangent_ NF ziehet, die die beyde verlängerte _Diameter_ MG und IH antrift, $o $age ich, da{$s} das _Rectangulum_ der Theile NA und AF dem _Quadrat_ der Helfte der Axe CD gleich $eye. Al$o i$t zu erwei- $en, da{$s} AN × AF =

    CE
^2.

La{$s}t von den Puncten I und M die Perpendicularen IK und ML auf die Axe AB fallen, und benennet AE mit a, CE mit b, EK mit x und IK mit y.

Beweis.

Betrachtet, da{$s} AL × LB =

    EK
^2 (§. 624.), = xx, und da{$s}
    AE
^2.
    EC
^2 : : AL × LB.
    LM
^2 oder aa. bb : : xx. {bbxx / aa}; Wann man nun aus {bbxx / aa} die Quadrat-Wurtzel ausziehet, $o bekommt man {bx / a} = LM.

Allein weilen wiederum AK × KB =

    LE
^2 (§. 624.) und da{$s}
    CE
^2.
    AE
^2 : :
    IK
^2, AK × KB, oder bb. aa : : yy. {aayy / bb},, $o i$t
    LE
^2 = {aayy / bb}, und al$o LE = {ay / b}. Da nun die Dreyecke EAF und ELM einander ähnlich $eynd, $o i$t EL. LM : : EA AF, das i$t, {ay / b}. {bx / a} : : a. {abbx / aay}, [0257] oder {bbx / ay}; und weilen wiederum die Dreyecke EAN und EKI einander ähnlich $eynd, $o i$t EK, IK : : EA. AN, das i$t, x. y : : a. {ay / x}; Al$o i$t AF = {bbx / ay} und AN = {ay / x}; Wann man nun die$e beyde Gleichungen miteinander multiplicirt, $o kommt AF × AN = {abbxy / axy} = bb. Wei- len nun
    CE
^2 = bb, $o i$t AF × AN =
    CE
^2. W. z. E.

Sech$ter Lehr-Satz.

631. Wann man einen _Conum_ durch eine mit der Grund- Fig. 193. Fläche $chief-lauffende Fläche durch$chneidet, $o formirt der Schnitt eine _Ellip$in_.

Wann man den Conum X durch eine mit der Grund-Fläche $chief- lauffende Fläche AB durch$chneidet, $o formirt der Schnitt BEAF eine Ellip$in. Um die$es zu erwei$en, $o wollen wir $upponiren, der Co- nus wäre durch eine Fläche CM, die mit der Grund-Fläche parallel lauf- fet, und Mitten durch die Axe AB gehet, wie auch durch eine andere Fläche LD, die zwar auch mit der Grund-Fläche parallel lauft, aber durch einen beliebigen Punct I der Axe gehet, durchge$chnitten.

Weilen nun die$e beyde Schnitt Zirckel formiren, $o wollen wir die Linien EF und HK ziehen, welche die Diameter CM und LD nach rechten Winckeln durch$chneiden, und zwar in den Puncten G und I: al$o i$t die Linie EF die kleine Axe der Ellip$is und die Linien IK und IH $eynd Ordinaten. Es $eye nun AG oder GB = a, GF oder GE = b, GM = c, CG = d, GI = x, IK = y, $o i$t IB = a + x und AI = a - x, da i$t nun zu erwei$en, da{$s} AI × IB.

    IK
^2 : :
    AG
^2.
    GF
^2, oder da{$s} as - xx. yy : : aa. bb.

Beweis.

Weilen die Dreyecke BGM unv BID einander ähnlich $eynd, $o i$t BG. GM : : BI. ID, das i$t, a. c : : a + x. {ac + cx / a}; und weilen wiede- [0258] rum die Dreyecke CAG und LAI einander ähnlich, $o i$t auch wiederum AG. GC : : AI. LI, das i$t a. d : : a - x. {ad - xd / a}; Wann man nun LI durch ID, das i$t, {ad - xd / a} durch {ac + cx / a} multiplicirt, $o i$t das Pro- duct vermög der Eigen$chaft des Zirckels dem Quadrat vun IK gleich; Derowegen bekommen wir folgende Gleichung {aacd - cdxx / aa} = yy; Wann man nun an die Stelle von cd oder CG × GM $etzet

    GF
^2 oder bb, $o bekomt man {aabb - bbxx / aa} = yy und wann man beydes durch aa multiplicirt, $o kommt aabb - bbxx = aayy, welches kan re$olvirt werden in aa - xx. yy : : aa. bb, das i$t, AI × IB.
    IK
^2 : :
    AG
^2.
    GF
^2. W. z. E.

Siebender Lehr-Satz.

632. Wann man einen Cylinder durch eine mit der Grund- Fig. 194. Fläche $chief-lauffende Fläche durch$chneidet, $o $age ich, da{$s} der Schnitt eine _Ellip$in_ formire.

Um überwie$en zu $eyn, da{$s} der Schnitt BEAF des Cylinders Y eine Ellip$in formire, $o dörf man nur den Beweis des vorhergehenden Lehr- Satzes wiederholen, und wo der Nahme Conus $tehet, den Nahmen Cy- linder $etzen; Dann der Beweis i$t einerley.

Er$te Aufgab.

633. Wann die zwey _Axes conjugati_ AB und CD gegeben, Fig. 195. man begehrt eine _Ellip$in_ durch eine unaufhörliche Bewegung zu be$chreiben.

Auflö$ung.

Aus dem Punct D als Mittel-Punct, und mit dem Radio AI, der der Helfte der gro$$en Axe gleich i$t, be$chreibet einen Zirckel-Bogen, welcher die Axe AB in den Puncten _E_ und _F_, die die Brenn-Puncten genennet werden, durch$chneidet. Nach die$em nehmet einen Faden, von der Länge der Axe AB, de$$en beyde Ende ihr in den Puncten _E_ und [0259] F fe$t machet; und nehmet einen Griffel G um den Faden ausge$pan- net zu halten, und gehet von dem Punct A bis zum Punct D und von die$em zu B um die halbe Ellip$in ADB zu haben; nachgehends gehet mit dem Faden und dem Griffel auf die andere Seite der Axe AB, und be$chreibet auf eben die$e Art die andere Helfte ACB der Ellip$is.

Die Ellip$is, welche auf die$e Art be$chrieben wird, hat eben die$e Eigen$chaften, als wie diejenige, von welchen wir vorhero geredet haben; Allein, weilen der Beweis von vielen Sachen, davon wir in die$em Ca- pitul nicht gehandelt, abhängt, $o kan man ihn, wann man ihn verlangt, in dem zweyten Buch der Sectionum Conicarum des Marquis de l’Hô- pital finden.

Zweyte Aufgab.

634. Von einer gegebenen _Ellip$i_ den Mittel-Punct und die Fig. 192. zwey _Axes conjugatos_ zu finden.

Auflö$ung.

Ziehet die Linien AB und CD miteinander parallel, und theilet je- de der$elben in zwey gleiche Theile in den Puncten E und F, um die Or- dinaten des Diameters GH zu bekommen (§. 628.), welcher, in dem er durch die Puncten E und F gehet, auch durch den Mittel-Punct der El- lip$is gehen mu{$s}; Aus die$em und zwar mit dem Radio IG be$chreibet ei- nen Zirckel-Bogen GL, da $eynd die Puncten G und L gleich weit von dem Mittel-Punct I entfernet; Aus die$en Puncten G und L als Mit- tel-Puncten be$chreibet mit beliebiger Eröfnung des Zirckels zwey Bö- gen, welche $ich in M durch$chneiden; Durch die$en Punct M und den Punct I ziehet eine Linie, auf die$e Art bekommt man die gro$$e Axe NO.

Um die kleine Axe zu finden, $o dörf man nur durch den Punct I eine grade Linie ziehen, welche mit NO vier rechte Winckel macht.

[0260] Drittes Capitul Von Den Eigen$chaften der Hyperbolæ. Erklärungen.

WAnn man auf einer Fläche zwey ungleiche Linien AB und Fig. 196. 635. DE ziehet, al$o da{$s} $ie $ich durch ihre Mitten C nach rechten Winckeln durch$chneiden, und man auf den äu$- $er$ten Punct B der Linie AB eine Perpendicular BS aufrichtet, und man noch ferner die Linie AB gegen O und P verlängert, und man auf der Linie BO eine Anzahl gleicher Theile als wie BG, GL &c. annimt, um aus dem Mittel-Punct C die halbe Zirckel GQI, LRK &c. zu be- $chreiben. Wann man nachgehends zu den Linien AB, DE und BF ei- ne vierte Proportional GH $uchet, die man perpendicular auf den Punct G aufrichtet, und man wiederum zu den Linien AB, DE und BN eine vierte Proportional LM $uchet, die man wiederum perpendicular auf den Punct L aufrichtet, und man al$o fortfähret, eine Menge Pun- cten als wie H und M zu finden, $o wird die krumme Linie, die man durch alle die$e Puncten ziehet, eine _Hyperbola_ genennet.

636. Wann man zu gleicher Zeit zwey Hyperbeln, die eine auf dem äu$$er$ten Punct A und die andere auf dem äu$$er$ten Punct B be$chreibet, $o werden $ie die einander entgegen ge$etzte Hyperbeln genennet.

637. Die Linie AB wird die er$te Axe und die Linie DE die zwey- te Axe einer jeden der einander entgegen ge$etzten Hyperbeln genennet.

638. Die zwey Axen AB und DE hei$$en zu$ammen _Axes conjugati_, al$o da{$s} die er$te AB conjugatus der zweyten DE und hingegen DE con- jugatus der er$ten AB genennet werde.

639. Der Punct C, wo $ich die beyde Axen nach rechten Win- ckeln durch$chneiden, wird der Mittel-Punct genennet.

[0261]

640. Eine jede Linie als wie GH oder LM die man auf die ver- längerte er$te Axe AB perpendicular ziehet, wird eine Ordinate die$er er$ten Axe; und eine jede Linie als wie TV, die man von einem Punct der Hyperbel perpendicular auf die zweyte Are DE ziehet, wird eine Ordinate die$er zweyen Axe genennet.

641. Eine jede Linie, die zu den beyden Axen die dritte Propor- tional-Linie i$t, hei$$et der Parameter derjenigen, die den er$ten Termi- num der Proportion ausmacht.

Er$ter Lehr-Satz.

642. In einer jeden Hyperbel verhalt $ich das _Rectangulum_ Fig 196. der Theile AG und BG der verlängerten Axe AB zum _Quadrat_ der _Ordinatœ_ GH, als wie das _Quadrat_ der gro$$en Axe AB zum _Quadrat_ der kleinen Axe DE.

Es $eye CA oder CB = a, CD oder CE = b, BF = c, die inde- terminata CG oder CI = x, und die indeterminata GH = y, $o i$t BI = x + a und BG = x - a.

Beweis.

Vermög der Con$truction der Hyperbel hat man, AB. DE : : BF. GH oder 2a. 2b : : c. y; Derowegen i$t auch 4aa. 4bb : : cc. yy (§. 487.). Wann man nun an die Stelle von cc oder

    BF
^2 $etzet IB × BG (§. 415.), oder AG × BG, das i$t, xx - aa, $o bekommt man 4aa. 4bb : : xx - aa. yy, oder auch xx - aa. yy : : 4aa. 4bb. das i$t, AG × BG.
    GH
^2 : :
    AB
^2.
    DE
^2. W. z. E.

Zu$atz.

643. Aus die$em Lehr-Satz folget, da{$s}, wann man zur zweyten Axe DE eine Ordinatam TV ziehet, das Quadrat die$er Ordinatæ $ich zum Quadrat von TC $amt dem Quadrat von DC verhalte, als wie das Quadrat der Axe AB $ich zum Quadrat der Axe DE verhaltet. Um die- $es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} TV = GC = x und das TC = VG = y; Da nun nach vorhergehendem Lehr-Satz xx - aa. yy : : 4aa. 4bb, $o i$t 4aayy = 4bbxx - 4aabb; Und wann man 4aabb aus dem zweyten Glied in das er$te bringt, $o bekommt man 4aayy + 4aabb = 4bbxx, welches re$olvirt wird in xx. yy + bb : : 4aa. 4bb, das i$t,

    TV
^2.
    TC
^2 +
    DC
^2 : :
    AB
^2.
    DE
^2.

[0262] Anmerckung.

644. Weilen man in vorhergehendem Zu$atz die Gleichung 4aayy = 4bbxx - 4aabb gefunden, $o $iehet man, da{$s}, wann man durch 4 und durch aa dividirt, man bekomme yy = {bbxx / aa} - bb, welches eine Gleichung i$t, deren wir und in künftigem bedieuen werden.

Erklärung.

645. Wann man durch den äu$$er$ten Punct B der Axe AB mit Fig. 197. der zweyten Axe DE eine parallel FG ziehet, al$o da{$s} $o wohl BF als BG der Helfte die$er Axe gleich $eyen, und man von dem Mittel-Punct C durch die Puncten F und G die Linien CF und CG ziehet, die man in- determinatè verlängert, $o werden die$e Linien die _A$ymptotæ_ der Hy- perbel LBM genennet; und wann man die$e Linien nuch indeterminatè auf der andern Seite des Mittel-Puncts verlängert, $o hei$$en $ie die _A$ymptotœ_ der entgegen $tehenden Hyperbel.

Zweyter Lehr-Satz.

646. Wann man eine grade Linie HI mit der zweyten Axe Fig. 197. DE parallel ziehet, al$o da{$s} $ie eine der Hyperbeln durch$chneide, und $ich an den _A$ymptotis_ endige, $o $age ich, da{$s} das _Rectangulum_ der Theile HK und KI gleich $eye dem _Quadrat_ von FB oder DC der Helfte der zweyten Axe DE.

Es $eye CB = a, CD oder BF = b, die indeterminata CP = x, und die indeterminata PK = y; Da i$t zu erwei$en, da{$s}

    DC
^2 oder
    FB
^2 = KH × KI.

Beweis.

Betrachtet, da{$s} wegen den ähnlichen Dreyecken CBF und CPH wir haben CB. BF : : CP. PH, das i$t, a. b : : x. {bx / a}. Al$o i$t KH = HP - KP = {bx / a} - y, und KI = PI + KP = {bx / a} + y. Wann man nun KH mit KI multiplicirt, $o kommt {bbxx / aa} - yy = KH × KI, und [0263] wann man an die Stelle von yy $einen Werth {bbxx / aa} - bb (§. 644.) $etzet, $o bekommt man {bbxx / aa} - {bbxx / aa} + bb = KH × KI, oder bb = KH × KI; Da nun bb =

    FB
^2, $o i$t
    FB
^2 = KH × KI. W. z. E.

Zu$atz.

647. Hieraus folget, da{$s}, wann man die Linien TS und QR pa- rallel mit der zweyten Axe DE führet, al$o da{$s} $ie $ich an den A$ympto- tis endigen, die Rectangula TO × OS, HK × KI und QL × LR ein- ander gleich $eyen, indem jedes der$elben dem Quadrat von FB gleich i$t. Daraus kan man al$o $chlie$$en, da{$s} OS. HK : : KI. OT und da{$s} HK. QL : : LR. KI.

Dritter Lehr-Satz.

648. Wann man durch zwey beliebige Puncten K und O Fig. 197. zweyer einander entgegen ge$etzten Hyperbeln, zwey grade Li- nien VX und YZ miteinander parallel ziehet, al$o da{$s} $ie $ich an den _A$ymptotis_ endigen; $o $age ich, da{$s} das _Rectangulum_ von VO und OX dem _Rectangulo_ von YK und KZ gleich $eye.

Beweis.

Um die$es zu erwei$en, $o ziehet durch die Puncten O und K die Linien TS und HI parallel mit der zweyten Axe DE, um die ähnliche Dreyecke OSX, YHK, OTV und KZI zu haben; Woraus man al$o $chlie$$et, da{$s} OS. KH : : OX. KY und da{$s} KI. OT : : KZ. OV. Al- lein OS. KH : : KI. OT (§. 647.); Derowegen OX. KY : : KZ. OV (§. 189.); Und al$o i$t OX × OV = KY × KZ. W. z. E.

Vierter Lehr-Satz.

649. Wann man durch zwey beliebige Puncten A und C Fig. 198. einer Hyperbel oder zweyer einander entgegen $tehenden Hyper- beln zwey grade Linien AB und CD miteinander parallel, wie auch zwey andere Linien AE und CF wiederum miteinander parallel führet, $o $age ich, da{$s} das _Rectangulum_ von AE und AB dem _Re-_ _ctangulo_ von CF und CD gleich $eye.

[0264] Beweis.

Um die$es zu erwei$en, $o ziehet durch die Puncten A und C die Li- nien GH und IK miteinander parallel, und betrachtet, da{$s} die ähnliche Dreyecke GEA, IFC, und ABH, CDK und geben GA. IC : : EA. FC und CK. AH : : CD. AB; Allein GA. IC : : CK. AH, (§. 647.); Derowegen i$t EA. FC : : CD. AB; Woraus al$o folget, da{$s} EA × AB = FC × CD. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

650. Aus die$em Lehr-Satz folget, da{$s} wann man durch zwey beliebige Puncten A und C einer Hyperbel oder zweyer einander entge- gen $tehenden Hyperbeln die Linie AP, CO, und AE, CF parallel mit thren entgegen $tehenden A$ymptotis ziehet, die Rectangula AE × AP und CF × CO einander gleich $eyen.

Zweyter Zn$atz.

651. Weilen der Punct L ein Punct der Hyperbel i$t, $o folgt daraus, da{$s}, wann man die Linien LM und LN parallel mit ihren über- $tehenden A$ymptotis ziehet, man wiederum bekomme LM × LN = AE × EP oder LM × LN = CF × CO. Weilen nun LM × LN nichts anders i$t, als das Quadrat von LM, $o $iehet man, da{$s}, wann LM = a, AP = x, AE = y, man allezeit AP × AE oder CF × CO (xy) =

    LM
^2 (aa) habe; welches eine Gleichung i$t, die die Eigen$chaft der Hyperbel in An$ehung ihrer A$ymptotarum vollkommen wei{$s}t, und alle Puncten davon determinirt.

Er$te Aufgab.

652. Durch einen gegebenen Punct zu einer Hyperbel, da- Fig. 200. von die _A$ymptotœ_ gegeben, eine _Tangent_ zu führen.

Auflö$ung und Beweis.

Um durch den Punct A zur Hyperbel eine Tangent zu führen, $o mu{$s} man durch die$en Punct die Linie AB parallel mit der über$tehen- den A$ymptotâ EF ziehen, und das Stuck BD dem Stuck BE gleich ma- chen; und endlich die Linie DAC ziehen, welche die begehrte Tangent $eyn wird, indem $ie die Hyperbel nur in dem eintzigen Punct A berührt; Dann, weilen die Dreyeck DCE und DAB einander ähnlich $eynd, $o [0265] $iehet man, da{$s} AC = AD; Derowegen, wann die Linie CD die Hy- perbel noch in einem andern Punct z. E. in H berühren würde, $o kön- te die$es nicht $eyn, oder es mü{$s}te zugleich HD = AC oder AD $eyn; Da nun unmöglich i$t, da{$s} der Theil HD $einem gantzen AD gleich $eye, $o folgt daraus, da{$s} die Linie DAC die Hyperbel nur in dem eintzigen Punct A berühre. W. z. M. u. z. E.

Zu$atz.

653. Weilen nur die eintzige Linie CD die $ich an den A$ymptotis endiget, in dem Punct A in zwey gleiche Theile getheilet i$t, $o folgt daraus, da{$s}, wann eine grade Linie CD $ich an den A$ymptotis endiget, und die Hyperbel in dem Punct A berühret, allwo $ie durch eine Linie I_K_ durchge$chnitten wird, die$e Linie _IK_ die Tangent CD in zwey gleiche Theile AC und AD theile.

Erklärungen.

654. Wann man zwey Diameter AB und CD hat, deren einer Fig. 199. als wie CD parallel $eye mit der Tangent FG, die durch den äu$$er$ten Punct A oder B gehet, und der noch ferner $ich in den Puncten C und D durch die Linien BD und BC, die man von dem Berührungs-Punct B mit den über$tehenden A$ymptotis parallel ziehet, endiget; $o werden die beyde Diameter AB und CD zu$ammen _Conjugatœ_ genennet.

655. Wan man von dem Punct H einer Hyperbel eine Linie _HK_ mit dem Diameter CD parallel führet, und $ich an dem anderen Diame- ter AB endiget, $o wird die$e Linie _KH_ eine _Ordinata_ des Diameters AB genennet.

Fünfter Lehr-Satz.

656. Das _Quadrat_ einer jeden _Ordinatœ HK_, die man mit der Fig. 199. _Tangent_ FG parallel führet, verhalt $ich zum _Rectangulo_ von _AK_ und _KB_, als wie das _Quadrat_ des _Diameter_s CD zum _Quadrat_ des _Conju-_ _gatœ_ AB.

Wann man durch einen der äu$$er$ten Puncten B des Diameters AB mit dem Diameter CD eine Parallel FG ziehet, die $ich an den A$ym- ptotis endiget, $o i$t $ie eine Tangent der Hyperbel, derowegen i$t $ie nach vorhergehendem Zu$atz in zwey gleiche Theile getheilet: Al$o wann man die Linie HI bis zu den A$ymptotis verlängert, $o $eynd die Pun- cten L und M gleich weit von dem Punct _K_ entfernet. Es $eye nun EB oder EA = a, EC oder ED oder BF oder BG = b; Die indeter- [0266] minata EK = x und die Indeterminata _KH_ oder KI = y, $o i$t al$o BK = x - a und AK = x + a.

Beweis.

Betrachtet, da{$s} wegen der Aehnlichkeit der Dreyecke EBF und _EKL_, wir haben EB. BF : : EK. KL, das i$t, a, b : : x. {bx / a}. Al$o i$t LH = LK - HK = {bx / a} - y und HM = KL + HK = {bx / a} + y. Wann man nun LH durch HM multiplicirt, $o bekommt man LH × HM =

    FB
^2 (§. 646.), das i$t, {bbxx / aa} - yy = bb; Wann man ferner die$e letzte- re Gleichung durch aa multiplicirt, um bbxx - aayy = aabb zu haben, und aayy aus dem er$ten Glied in das andere, und aabb aus dem ande- ren in das er$te bringet, $o kommt bbxx - aabb = aayy; welches re- $olvirt wird in xx - aa. yy : : aa. bb; Das i$t, AK × KB.
    KH
^2 : :
    EB
^2.
    CE
^2 : :
    AB
^2.
    CD
^2. W. z. E.

Zu$atz.

657. Aus die$em Lehr-Satz folget, da{$s} $o wohl dasjenige, was in dem er$ten Lehr-Satz in An$ehung der zweyen Axen einer Hyperbel er- wie$en worden, als auch die übrige Eigen$chaften, die eine Hyperbel in An$ehung ihrer A$ymptoten hat, $ich auf zwey Diametros conjugatas er- $trecke; Dann man dörf nur die vorhergehende Artickel wiederholen, und an$tatt Axe Diameter $etzen, indem alles einerley verbleibt, der Winckel CEB möge ein rechter oder ein $chieffer Winckel $eyn.

Sech$ter Lehr-Satz.

658. Wann man einen graden _Conum_ ABC durch eine Flä- Fig. 201. che, die mit der Axe BQ des _Coni_ parallel lauft, durch$chneider, $o $age ich, da{$s} die krumme Linie FHDKG eine Hyperbel $eyn wird.

Wann man die Seite BC des Coni verlängert bis in P, al$o da{$s} BP = BD, $o i$t PD die er$te Axe der Hyperbel, und wann man die Li- nie BN perpendicular auf die Mitte der Linie PD ziehet, $o i$t $ie die [0267] Helfte der zweyten Axe; al$o, da{$s} wann NO = NB, die Linie OB die zweyte Axe $eyn wird. Es $eye nun NP oder ND = a, NO oder NB = b, die Indeterminata NI = x und die Indeterminata IK = y; So i$t DI = x - a und PI = x + a; Da werden wir erwei$en, da{$s} PI × ID.

    IK
^2 : :
    PD
^2.
    OB
^2, oder da{$s} xx - aa. yy : : 4aa. 4bb.

Beweis.

Betrachtet, da{$s} die ähnliche Dreyecke PNB, PIM und DNB, DIL uns geben PN. NB : : PI. IM, das i$t, a. b : : x + a. {bx + ab / a}, und DN. NB : : DI. IL, das i$t, a. b : : x - a. {bx - ab / a}. Wann man nun IM mit IL multiplicirt, $o i$t vermög der Eigen$chaft des Zirckels die$es Product gleich

    IK
^2; al$o kan man folgende Gleichung {bbxx - aabb / aa} = yy formiren; und wann man den Bruch ver$chwinden macht, indem man beydes durch aa multiplicirt, $o kommt bbxx - aabb = aayy; wel- ches, wann es in eine Proportion re$olvirt wird uns gibt xx - aa. yy : : aa. bb, oder xx - aa. yy : : 4aa. 4bb, das i$t, PI × DI.
    IK
^2 : :
    PD
^2.
    OB
^2. W. z. E.

Bericht an den Le$er.

Wir reden nichts von den unter$chiedenen Manieren die Hyperbeln zu be$chreiben, indem $ie in der practi$chen Geometrie keinen $tatt haben: Derowegen kan man die$es Capitul nur obenhin durchgehen, um $einen Flei{$s} vielmehr auf die folgende Aufgabe, davon wir $chon §. 571 Meldung gethan, anzuwenden.

Zweyte Aufgab.

659. Zwi$chen zweyen gegebenen Linien zwey mittlere Pro- Fig. 202. portional-Linien zu finden.

Auflö$ung.

Um zwi$chen zweyen gegebenen Linien M und N zwey mittlere Pro- portional-Linien zu finden, $o $ehet die Linie AB an, als wann $ie die Li- [0268] nie M, und die Linie AD, als wann $ie die Linie N wäre. Nach die$em theilet die Linie AD in zwey gleiche Theile, und richtet auf ihrer Mit- te eine Perpendicular-Linie GH auf, welche ihr der Helfte der grö$$ern AB gleich macht; Aus dem Punct G und mit dem Radio GA be$chrei- bet einen Zirckel. Endlich be$chreibet durch Hülf der Linie AD, welche ihr vor den Parameter annehmet, eine Parabel (§. 602.), und von dem Punct C, wo die Parabel die Circumferenz des Zirckels durch- $chneidet, la$$et auf AB eine Perpendicular-Linie CE fallen, da $age ich, da{$s} die Linien CE und AE die beyde mittlere Proportional-Linien zwi- $chen den gegebenen AB und AD $eynd.

Es $eye AD = a, CE = y, AE = x und FE = z, $o i$t DE = x - a; Wann man nun aus dem Mittel-Punct G die Perpendicular- Linie GI fallen lä{$s}t, $o i$t CI = IF. Allein IF + FE, oder GH = {1/2}AB (per con$tr.) al$o i$t auch CI + FE = {1/2}AB; Derowe- gen i$t CE + FE, das i$t, y + z = AB. Da i$t nun zu erwei$en, da{$s} AD. CE : : CE. AE : : AE. AB, oder da{$s} a. y : : y. x : : x. y + z.

Beweis.

Vermög der Eigen$chaft der Parabel i$t a. y : : y. x (§. 1586.), und vermög der Eigen$chaft des Zirckels i$t AE. CE : : FE. DE, das i$t, x. y : : z. x - a; welche zwey Proportionen uns die zwey Glei- chungen ax = yy und xx - ax = yz oder xx = yz + ax geben; wann man nun in die$er letzten Gleichung an die Stelle von ax $etzet yy, $o be- kommt man xx = yz + yy, welches in folgende Proportion re$olvirt wird y. x : : x. y + z. Wann man nun die beyde letztere Terminos die$er Proportion, an die letztere der er$ten a. y : : y. x anbängt, $o be- kommt man a. y : : y. x : : x. y + z. W. z. E.

Ende des er$ten Theils. [0269] Anhang zum er$ten Theil. Bericht an den Le$er.

WAnn man von Natur aus einen Lu$t zu den Mathemati$chen Wi$$en$chaften hat, $o befriediget man $ich nicht nur Einlei- tungen gele$en zu haben; indem die$e nur wei$en, da{$s} man weiters gehen könne, um $olche Bücher zu verlangen, die uns allezeit neue Sachen lehren; Dann diejenige, welche einen Mathemati$chen Gei$t haben, $uchen nur ihn durch Wahrheiten einer $olchen Wi$$en- $chaft zu ernähren, die $chwer i$t zu lernen ohne $ie zu lieben. Oft $u- chet man, oft fraget man, welches die gute Bücher $eyen, die man noch nicht ge$ehen; Allein wen $oll man oft fragen? $eynd es diejenige, wel- che $ich nur mit der Praxi befriedigen, und entweder gar keine, oder $ehr wenig Theorie be$itzen, die alles dasjenige, was $ie mcht wi$$en, verach- ten, und $o gar andere abhalten zu weit zu gehen, aus Forcht, ihre Un- wi$$enheit werde entdecket.

Weilen nun denen mei$ten, die $ich au$$er den Haupt-Städten be- finden und $ich auf die Mathe$in verlegen, nicht kan geholfen werden, $o werde ich ihnen vielleicht eine Gefälligkeit erwei$en, wann ich ihnen eine Verzeichnu{$s} der be$ten Mathemati$chen Wercken, die $ie $tudiren kön- nen, mittheilen werde.

Weilen dasjenige, was ich in meiner Einleitung von der Algebra gehandelt, nicht genug$am i$t, um alle Operationen vollkommen zu ver- $tehen, $o kan man $eine Zuflucht nehmen zu dem gelehrten Werck des R. P. Reyneau, welches zum Titul hat: _La Science du Calcul_. Die$es Werck dienet zu einer Einleitung zu einem andern Werck, welches von eben die$em Auctore i$t und zum Titul hat: _Analy$e demontrée_, welches eines der be$ten Wercke i$t, das von der Algebra handelt; Die$es Buch be- $tehet in zwey Bänden in 4to. In dem er$ten wird die Auflö$ung der Aufgaben, die $ich auf die einfache, quadrati$che, cubi$che und höhere Gleichungen beziehen, gewie$en; welches der eintzige Zweck der Alge- bra i$t; und in dem zweyten findt man die neuen Rechnungen, nemlich die Differential- und die Integral-Rechnung, welches eine gantz andere Art von Algebre i$t, und nach die$em applicirt der Auctor die$e Rechnun- gen zur Auflö$ung einer gro$$en Anzabl Phy$ico-Mathemati$cher Aufga- [0270] ben, welches die Schönheit die$er Rechnungen und den grö$ten Theil der $chönen Entdeckungen, die man in den letztern Zeitern gemacht, an den Tag gibt; und in die$em Werck $iehet man be$$er als in einem jeden andern den reichen Nutzen der Mathe$is.

Nach die$em kan man vornehmen das vortrefliche Werck _des infini-_ _ment petits_ von dem Marquis de l’Hôpital, $amt der Continuation, wel- che Mr. Stône ein Engelländer gemacht. Mr. Crou$az hat einen _Com-_ _mentarium_ über des Marquis de l’Hôpital Werck, welches eintzig und allein von der Differential-Rechnung $amt der$elben Anwendung zur hö- hern Geometrie handelt, verfertiget, welcher den Anfängern $ehr wohl zu $tatten kommt. Man kan auch mit $onderbarem Nutzen le$en _les Eclair-_ _ci$$emens $ur les infiniment petits_ von dem Herrn Varignon.

Wiewohl ich $chon von dem Tractat _des Sections Coniques_ des Mar- quis de l’Hôpital geredet, $o glaube ich doch es noch einmal den Anfän- gern anzubefehlen, wann $ie ander$t Progre$$en machen wollen; und zwar $ollen $ie es le$en gleich nach dem er$ten Theil der Analy$e demon- trée, indem $ie $ich darinn $tärcken, und den Ver$tand ge$chickter ma- chen werden.

Es hat auch Mr. Carré ein Buch über die Integral-Rechnung her- ausgegeben, in welchem man die Anwendung die$er Rechnung zur Aus- me$$ung der Flächen und Sörper, wie auch zur Erfindung des Mittel- Puncts der Schwere $iehet, welches auch $ehr nutzlich i$t zu wi$$en, um die Anwendung die$er Rechnung zu $ehen.

* Im übrigen i$t auch den Anfängern Neutoni Arithmetica Univer- $alis zu recommandiren, indem $ie $ich der$elben mit gro$$em Nutzen be- dienen können.

Wiewohl ich nur im Sinn gehabt, von den be$ten Büchern über die Algebra zu reden, $o habe ich doch für gut befunden, noch von zweyen zu reden, die man nicht entbähren kan, das i$t, er$tlich: _la Nouvelle_ _Mecanique_ van Herrn Varignon, und die Wercke von _Mr. Mariotte_, die Hollän di$che Edition in 4to.

* Ferner können die Wercke des Herrn _Abbé Deidier_, welche $eynd _P Arithmetique des Geomêtres, la Science des Geomêtres, la Me$ure des $urfa-_ _ces & des Solides, le Calcul differentiel & integral_ und _Traité complet de Me-_ _canique_, wie auch des berühmten Herrn Wolfens _Elementa Mathe$eos Uni-_ _ver$œ_ mit gro$$em Nutzen gele$en werden.

Wann man den vorigen Büchern die _Memoires de l’ Academie des_ _Sciences_, die _Tran$actions Philo$ophiques_, die _Mi$cellanea Berolinen$ia_ und die _Acta Eruditorum Lip$ien$ia_ beyfügt, $o hat man $chon Gelegenheit $eine Zeit wohl und nutzlich anzuwenden.

[0271] Vorrede Uber Die Trigonometrie und das Nivelliren.

UNter allen Theilen der Mathe$is i$t keiner, den die Anfänger lie- ber $tudiren, als die Trigonometrie, weilen $ie $ehr curio$e Auf- gaben in $ich begreift, deren Auflö$ung dem Ver$tand $ehr leicht vorkommt, indem man nichts anders, als die gemeine Arithmeti$che Rechnung braucht. Doch mu{$s} man $ich die Formuln die$er Rechnung $ehr bekannt machen, um die Terminos nach ihrem Rang $etzen zu kön- nen; Dann die Trigonometrie hat einen $o gro$$en Nutzen in der Kriegs-Kun$t, da{$s} einer, dem eine der gering$ten Commi$$ionen in der Ingenieur-Kun$t, oder Artillerie aufgetragen wird, $ie unumgänglich wi$$en mu{$s}; indem wann man eine Minen-Gallerie führen, Bomben nach der Kun$t werfen, die Theile einer regularen Fortification ausrech- nen, um $ie hernach auf dem Terrein auszu$tecken, den Plan eines La- gers, oder eines andern Terreins, oder auch der Lauf-Gräben aufheben, die Batterien orientiren will, $o mu{$s} man $eine Zuflucht zur Trigono- metrie nehmen.

Um ein Wort von demjenigen Tractat, den ich hier gebe, zu re- den, $o mu{$s} man wi$$en, da{$s} ich nur von den grad-linichten Dreyecken rede, indem die Sphäri$che, die man al$o nennet, weilen $ie durch Zirckel einer Kugel formiret werden, einem Kriegs-Mann keinen Nutzen bringen; als welchem man nichts als das nothwendige wei$en mu{$s}, aus Forcht, ihn überdrü$$ig zu machen, wann man ihm das Gedächtnu{$s} durch Sa- chen die nur curios, und ihm in $einem Amt keinen Nutzen bringen, abmatten will. Ich habe in meinem gantzen Werck getrachtet die$en Fehler zu vermeiden, und in$onderheit in die$em kleinen Tractat, den ich $o klar und $o wichtig zu machen ge$ucht, als es mir möglich gewe- $en, indem ich die Trigonometrie auf eine Menge Operationen appli- cirt, die vielleicht denjenigen, die $ich nur gern auf diejenige Sätze ver- legen deren Nutzen $ie gleich $ehen, eine Freud erwecken.

[0272]

Weilen, wann man die Di$tanz eines Orts von einem andern aus- me$$et, man auch oft ihre unter$chiedene Höhen, die $ie in An$ehung des Mittel-Puncts der Erden haben, ob$erviren mu{$s}, $o $cheinet, da{$s} das Nivelliren ein $olcher Theil der Mathe$is $eye, welcher gleich auf die Tri- gonometrie folgen $oll: ich habe auch die$e Ordnung behalten, indem nach der Trigonometrie ein Tractat von dem Nivelliren folgen wird, allwo man den Gebrauch der Wa$$er-Waag und auch eines andern In- $truments, um gro$$e Di$tanzen zu nivelliren, erkläret; Die$e In$tru- menten $eynd in der Praxi von $o gro$$em Nutzen, da{$s} man diejenige, welche $ich ihrer bedienen mü$$en, nicht genug$am bereden kan, $ich auf dasjenige, was in die$er Materie folgen wird, zu verlegen. Die gantze Welt wei{$s}, da{$s} wann man einen Canal zur Schiffart graben, einen Flu{$s} mit einem andern vereinigen, Wa$$er an $olche Ort leiten will, wo keines i$t, alle die$e Projecte keinen $tatt haben können, wann man nicht zuvor das Terrein auf das genaue$te nivellirt; und hier in$onder- heit mü$$en die Theorie und die Praxis miteinander arbeiten. Wie viel gro$$e Werck hat man ausgeführet $eit der Zeit, als man die Nivellir- Kun$t hat aus gewi$$en Gründen wi$$en herzuleiten? Hätte man vor ältern Zeiten $ich unter$tanden ein $olches Werck, als wie die Vereini- gung des Oceans mit dem Mittelländi$chen Meer i$t, zu unternehmen? Hat die völlige Herrlichkeit der Alten es $o weit gebracht, da{$s} $ie in Orten die von den Wa$$er-Behältni$$en $ehr weit entfernet waren, hät- te können Spring-Brunnen zu wegen bringen? und wann auch die$es ge$chehen, ware man vor der Ausführung $icher, da{$s} es gerathen werde. Wie vielmal i$t es ge$chehen, da{$s}, nachdem man ein gro$$es Project an- gefangen, man zu $pät und er$t nach gro$$en Unko$ten erfahren, da{$s} es unmöglich $eye, da hingegen jetzund, wann man das Nivelliren wohl ver- $tehet, man auf das genaue$te den Unter$cheid der Höhen der Oerter findet, und dadurch erfahret man, ob das Project möglich $eye oder nicht, ob man Schleu$$en machen mu{$s} und auf welche Di$tanz man $ie anlegen mu{$s}; in Summa man dörf $ich vor einem unglücklichen Fort- gang eines gro$$en Wercks nicht förchten, wann, nachdem man nivelliret, man gefunden, da{$s} das Project möglich $eye.

[0273] Neuer CURSUS MATHEMATICUS. Zweyter Theil Von Der grad- linichten Trigonometrie. Erklärungen. I.

660. DIe Trigonometrie i$t ein Theil der Geometrie, durch de$$en Hülf man aus dreyen gegebenen, oder bekannten Sachen eines Dreyecks, das übrige unbekannte findet.

II.

661. Weilen man dasjenige, was man in der Trigonometrie $u- chet, durch die gemeine Arithmeti$che Rechnung findet, $o bedient man fich gewi$$er Tabellen, die zu die$em Endzweck gemacht $eynd, und _Ta-_ _bulœ Sinuum_, _Tangentium_ und _Secantium_ hei$$en, davon ich nur den Ge- brauch wei$en, die Manier aber $ie zu machen bey$eits la$$en will, indem man $ie in vielen Büchern findet, und ich nur von demjenigen reden will, was man unumgänglich wi$$en mu{$s}.

[0274] III.

662. In einem jeden Dreyeck $eynd $eynd $echs Sachen zu betrachten, nemlich drey Seiten und drey Winckel: und weilen drey die$er $echs Terminorum können gegeben $eyn, um durch deren Hülf zur Erkannt- nu{$s} der übrigen zu kommen, $o wird erfordert, da{$s} man allezeit aufs wenig$te eine Seite kenne; dann die drey Winckel $eynd nicht hinläng- lich, den Valor der drey Seiten zu finden, indem in zweyen ähnlichen Dreyecken die corre$pondirende Winckel wohl einander gleich $eynd, woraus aber die Gleichheit der corre$pondirenden Seiten gar nicht zu $chlie$$en. Wahr i$t es, da{$s} man aus den dreyen gegebenen Winckeln die Proportion der Seiten nicht aber ihren Valor finden kan.

IV.

663. Wir haben $chon oben ge$agt, da{$s} das Maa{$s} eines Win- ckels die Anzahl Grade oder die Anzahl Grade und Minuten $eye, die der Zirckel-Bogen, den man innerhalb den Schenckeln des Winckels be- $chreibet, in $ich hält. Weilen aber die$es Maa{$s} in der Trigonometrie $ich auf gewi$$e Linien beziehet, welche die Haupt-Sach davon ausma- chen, $o kan man in folgenden Artickeln ihre Nahmen und Erklärungen betrachten.

V.

664. Der _Sinus rectus_ eines Zirckel-Bogens, oder eines Win- Fig. 203. ckels, davon die$er Zirckel-Bogen das Maa{$s} i$t, i$t eine grade Linie, welche man von dem äu$$er$ten Punct des Zirckel-Bogens, wo er die eine Seite antrift, auf die andere Seite perpendiculariter ziehet, Al- $o i$t die Linie FH, die man aus dem äu$$er$ten Punct F des Bogens BF perpendiculariter auf die Seite CB fallen lä{$s}t, der Sinus des Win- ckels FCB oder des Bogens FB.

Er$ter Zu$atz.

665. Wann man die Linie FH bis in G verlängert, $o i$t die Li- nie FG, weilen der Radius CB $ie perpendiculariter durch$chneidet, in zwey gleiche Theile getheilet (§. 389.); al$o i$t auch der Zirckel-Bo- gen FBG in zwey gleiche Theile getheilet, und weilen die Linie FG die Chorda die$es Zirckel-Bogens, und die Linie FH der Sinus des Bogens FB i$t, $o folgt daraus, da{$s} der Sinus eines Bogens, die Helfte der Chordæ eines doppelten Bogens $eye.

Zweyter Zu$atz.

666. Ie $tumpfer al$o der Winckel FCB wird, je grö$$er wird auch der Sinus FH; woraus al$o folgt, da{$s}, wann der Radius CF auf [0275] AB perpendiculariter zu $tehen kommt als wie CI, der Sinus FH und die Seite CF völlig zu$ammen kommen, und nur eine eintzige Linie CI aus- machen; Da{$s} al$o in die$em Fall der Sinus eines rechten Winckels ICH der Radius eben die$es Zirckels $eye: Daher man al$o $iehet, da{$s} der rechte Winckel den grö$ten Sinum hat, den man deswegen auch _Sinum_ _Totum_ nennet.

Anmerckung.

667. Weilen der Sinus eines rechten Winckels nichts anders i$t als der Ra- dius des Zirckels, de$$en vierter Theil das Maa{$s} des rechten Winckels i$t, $o wer- den wir ins künftige den Radium CB _Sinum Totum_ nennen.

VI.

668. _Sinus ver$us_ eines Bogens, oder eines Winckels, davon die- $er Bogen das Maa{$s} i$t, i$t ein Theil des Radii, der zwi$chen dem Sinu recto und dem Bogen $elb$ten begriffen i$t; Al$o i$t der Theil HB des Radii der Sinus ver$us des Bogens FB, oder des Winckels FCB.

VII.

669. Die _Tangent_ eines Bogens, oder eines Winckels, davon die- $er Bogen das Maa{$s} i$t, i$t eine Linie, die auf dem äu$$er$ten Punct eines der Schenckel des Winckels perpendicular $tehet, und $ich an dem verlängerten andern Schenckel endiget; Al$o i$t die Linie BE, die auf dem äu$$er$ten Punct B des Schenckels CB perpendicular $tehet, und $ich an dem verlängerten Schenckel CE endiget, die Tangent des Win- ckels FCB oder des Bogens FB.

VIII.

670. Die _Secant_ eines Bogens, oder Winckels i$t nichts anders, als die verlängerte Seite des Winckels, an welcher die Tangent $ich en- diget; Al$o i$t die Linie CE die Secant des Winckels FCB.

671. Da man die Tabulas Sinuum gemacht, hat man den Ra- dium CB oder den Sinum Totum in 10000000 getheilet, und man hat ge$ucht, wie viel dergleichen Theile der Sinus eines jeden Winckels von 1 Minut bis 90 Grad habe, um al$o die Sinus in Zahlen zu kennen; und auf die$e Art hat man gefunden, da{$s} der Sinus eines Winckels von 20 Graden 3420202 $olcher Theile und da{$s} der Sinus eines Winckels von 55 Graden 10 Minuten 8208170 eben die$er Theile habe; und $o auch die andere, welche mehrere oder wenigere $olche Theile haben, nach- dem die Winckel mehr oder weniger $ich dem Werth des rechten Win- ckels näheren; alle die$e unter$chiedene Sinus findet man in der zweyten Colonne auf jeder Seite der Tabellen.

[0276]

672. Weilen eine Tangent als wie BE auch grö$$er oder kleiner wird, nachdem der Winckel ECB $ich mehr oder weniger dem Werth ei- nes rechten Winckels nähert, $o hat man auch den Werth der Tangen- ten aller Winckel von 1 Minut bis 90 Grad ge$ucht, indem man exa- minirt, wie viel $ie Theile von dem Sinu Toto oder von 10000000 in $ich begreiffen, und von die$en Tangenten hat man die dritte Colonne gemacht, welche gleich neben der Colonne der Sinuum $tehet; auf die$e Art findet man auf der Seite der Sinuum der Winckel ihre Tangenten. Al$o $iehet man, da{$s} die Tangent eines Winckels von 20 Graden 3639702, und da{$s} die Tangent eines Winckels von 55. Graden 10 Mi- nuten 14370268 $olcher Theile habe.

663. Endlich hat man auch den Werth der Secant eines jeden Winckels durch Hülf des Sinus Totius und der Tangent ge$ucht; Dann weilen die Secant als wie CE nichts anders i$t, als wie die Hypothenu- $a eines rechtwincklichten Dreyecks CEB, de$$en rechter Winckel von dem Sinu Toto CB und der Tangent BE formirt wird, $o hat man den Sinum Totum CB und die Tangent BE quadrirt, und aus der Summ die$er Quadrate die Quadrat-Wurtzel ausgezogen, welche der Valor der Secant i$t; und auf die$e Art hat man die Secanten aller Winckel von 1 Minut bis 90 Grad gefunden, davon man die vierte Colonne formi- ret hat.

674. Wann man nun wi$$en will, welches der Sinus, die Tangent und die Secant eines Winckels $eye, $o fragt man gleich wie viel Grade oder wie viel Grade und Minuten die$er Winckel habe; nach die$em $ucht man in den Tabellen diejenige Seite auf, auf welcher die Anzahl der begehrten Grade obenan $tehet; Z. E. wann der Winckel von 15 Graden i$t, $o $ucht man diejenige Seite auf, wo 15 obenan ge$chrie- ben $tehet, und da findet man in der er$ten Zeil, da{$s} der Sinus von 15 Graden 2588190, da{$s} die Tangent 2679492 und da{$s} die Secant 10352762 $eye.

675. Allein, weilen auf jeder Seite die Grad auch Minuten bey $ich haben, die von 1 bis 60 in einer Arithmethi$chen Progre$$ion fort- gehen, und $ich in der er$ten Colonne befinden, allwo obenan $tehet Mi- nuten, $o mu{$s} man um den Sinum eines Winckels z. E. von 15. Gra- den und 24 Minuten zu finden, wieder als wie zuvor die Seite auf$chlagen, wo 15 obenan $tehet, und in der Colonne der Minuten herunter fahren bis man an 24 kommt, nach die$em nimmt man den corre$pondirenden Sinum der 2655561 $eyn wird.

676. Weilen der Sinus Totus oder die Seite CB eine allen Win- Fig. 204. ckeln allgemeine Seite i$t, indem $ich nur die andere Seite CF verän- [0277] dert, um den Winckel grö$$er oder kleiner zu machen; $o i$t zu mercken, da{$s} der Sinus Totus, die Tangent und die Secant eines Winckels alle- zeit können die Seiten eines rechtwincklichten Dreyecks, de$$en Grö$$e indeterminirt i$t, vor$tellen, indem man nur fragt, welche Proportion die$e Seiten gegen die Seiten eines andern ihm ähnlichen Dreyecks ha- ben: um die$es noch deutlicher zu machen, $o betrachtet das rechtwinck- lichte Dreyeck CEF; Wann man nun aus dem Mittel-Punct C einen Zirckel-Bogen BD be$chreibet, welcher z. E. von 35 Graden i$t, und man von dem Punct B die Perpendicular BA aufrichtet, $o bekommt man das rechtwincklichte Dreyeck CBA, davon man kan die Seite CB vor den Sinum Totum, die Seite AB vor die Tangent des Winckels C, und die Seite CA vor die Secant eben die$es Winckels C annehmen; Nun alle drey Seiten die$es Dreyecks $eynd bekannt; Dann die Sei- te CB als Sinus Totus i$t 10000000, die Seite BA als Tangent eines Winckels von 35 Graden i$t 7002075, und die Seite CA als Secant i$t 12207746; und durch Hülf die$er Dreyecke wird man die folgende Aufgaben auflö$en.

Anmerckung.

677. Man hat in der Con$truction der Tabellen den Sinum Totum de{$s}we- gen in $o viele kleine Theile getheilet, damit man in den Divi$ionen, die man oft machen mu{$s}, die Uberre$t, die nur aus kleinen Theilen be$tehen, ausla$$en kan; Allein in un$erer practi$chen Geometrie i$t es nicht vonnöthen, da{$s} man $o genau verfahret, dann an$tatt den Sinum Totum von 10000000 anzunehmen, kan man ihn nur vor 100000 annehmen, und nach die$em mu{$s} man auch in den Colonnen der Sinuum, Tangenten und Secanten an$tatt aller Ziffer, nur die er$ten nehmen und die zwey letztere, die durch einen kleinen Punct $eparirt $eynd, ausla$$en; al- $o an$tatt die Tangent eines Winckels z. E. von 30 Graden vor 57735. 03 anzu- nehmen, nimmt man $ie nur vor 57735 an; und auf die$e Art $eynd alle Aus- rechnungen, die man in künftigem $ehen wird, gemacht.

Berechnung der rechtwincklichten Dreyecke Er$te Aufgab.

678. Wann man in einem rechtwincklichten Dreyeck ADE Fig. 205. den $pitzigen Winckel A $amt der Seite AD kennet, man begehrt die Seite DE, die dem $pitzigen Winckel A entgegen $tehet, zu finden.

Auflö$ung.

Es $eye der Winckel A von 30 Graden und die Seite AD von 20 Klaftern, $o mu{$s} man in den Tabellen die Tangent von 30 Graden $u- [0278] chen, die 57735 $eyn wird, und nach die$em die ähnliche Dreyeck ABC und A_D_E betrachten, welche uns geben AB. BC : : AD. DE. Dero- wegen können wir $agen, wann AB als der Sinus Totus oder 100000 zur Tangent BC 57735 gibt, wie viel gibt die Seite AD von 20 Klaf- tern vor die Seite DE, welche man von 11. Klaftern, 3 Schuhen, 3 Zollen, 4 Linien und 6 Puncten finden wird.

Zweyte Aufgab.

679. Wann man in einem rechtwincklichten Dreyeck ADE Fig. 205. einen $pitzigen Winckel A von 30 Graden, $amt der Seite AD von 20 Klaftern kennet, man begehrt die _Hypothenu$am_ AE zu finden.

Auflö$ung.

Suchet die Secant von 30 Graden, welche 115470 $eyn wird, und betrachtet, da{$s} wegen den ähnlichen Dreyecken ABC und ADE wir ha- ben AB. AC : : AD. AE. Derowegen kan man $agen: Wann AB als der Sinus Totus oder 100000 vor die Secant AC 115470 geben, wie viel gibt die Seite AD von 20 Klaftern vor die Seite AE; welche ihr von 23. Klaftern, 6. Zollen, 9. Linien und 2. Puncten finden werdet.

Dritte Aufgab.

680. Wann man in einem rechrwincklichten Dreyeck ABC Fig. 206. einen $pitzigen Winckel A $amt der Seite BC, die die$em Winckel entgegen $tehet, kennet, man begehrt die Seite AB, die dem an- dern $pitzigen Winckel C entgegen $tehet, zu finden.

Auflö$ung.

Wann der Winckel A von 40 Graden, und die Seite CB von 25 Klaftern i$t, $o mu{$s} man die Tangent von 40 Graden auf$uchen, die 83909 i$t, und betrachten, da{$s} wir, wegen der Aehnlichkeit der Dreyeck AED und ABC haben DE. EA : : CB. BA. Derowegen können wir $a- gen: wie $ich die Tangent DE von 83909 zu dem Sinu Toto von 100000 verhält, al$o verhält $ich die Seite CB von 25 Klaftern zur Seite BA, die man von 29. Klaftern, 4. Schuhen, 9. Zollen, 2. Linien und 2. Pun- cten finden wird.

681. Die$e Aufgab kan auch durch Hülf des Winckels C aufge- Fig. 207. lö$et werden, den man findet wann man den Winckel A, der 40 Grad hier i$t, von 90 Graden abziehet, da findet man, da{$s} der Winckel C [0279] von 50 Graden $eye; nach die$em $agt man, wie $ich CE als der Sinus Totus, zu DE als der Tangent des Winckels C verhält, al$o verhält $ich die Seite CB von 25 Klaftern zur Seite BA.

Vierte Aufgab.

682. Wann man in einem rechtwincklichten Dreyeck ABC, Fig. 208. die zwey Seiten AB und BC, die den rechten Winckel formiren, kennet, man begehrt den $pitzigen Winckel A zu finden.

Auflö$ung.

Es $eye die Seite AB von 16 und die Seite BC von 14 Klaftern, da kan man wegen den ähnlichen Dreyecken ADE und ABC $agen; wie $ich die Seite AB von 16 Klaftern zur Seite BC von 14 Klaftern ver- hält, al$o verhält $ich der Sinus Totus AD oder 100000 zur Tangent DE des Winckels A, die al$o 875000 $eyn wird; Wann man nun in der Colonne der Tangenten, die Zahl die die$er am näch$ten kommt, auf- $ucht, da findet man, da{$s} $ie die Tangent eines Winckels von 41 Gra- den und 11 Minuten $eye.

Fünfte Aufgab.

683. Wann man in einem rechtwincklichten Dreyeck ABC Fig. 209. die zwey Seiten AB und AC, die den $pitzigen Winckel A ein- $chlie$$en, kennet, man begehrt eben die$en Winckel zu finden.

Auflö$ung.

Es $eye die Seite AB von 35 und die Seite AC von 40 Klaftern, da bekommt man wegen den ähnlichen Dreyecken ADE und ABC, AB. AC : : AD. AE. Derowegen kan man $agen: Wann die Seite AB von 35 Klaftern 40 Klafter vor die Seite AC gibt, wie viel gibt der Sinus Totus AD oder 100000 vor die Secant AE des Winckels A, die$e fin- det man, da{$s} $ie 114285 $eye; wann man nun in der Colonne der Se- canten diejenige Zahl $uchet, die die$er am näch$ten kommt, $o $iehet man, da{$s} $ie die Secant eines Winckels von 28 Graden und 57 Minu- ten $eye.

* Sech$te Aufgab.

684. Es $eye der $pitzige Winckel A $amt der Seite ED ge- Fig. 205. geben, man begehrt die _Hypothenu$am_ AE zu finden.

[0280] Auflö$ung.

Sprechet: Die Tangent CB des Winckels A verhalt $ich zur Se- cant AC als wie die Seite ED zur Hypothenu$a AE.

* Siebende Aufgab.

685. Es $eye der $pitzige Winckel A $amt der _Hypothenu$a_ AE Fig. 205. gegeben, man begehrt die Seite AD zu finden.

Auflö$ung.

Sprechet: Die Secant AC des Winckels A verhalt $ich zum Sinu Toto AB, als wie die Seite AE zur Seite AD.

* Achte Aufgab.

686. Es $eye der $pitzige Winckel A $amt der _Hypothenu$a_ AE Fig. 205. gegeben, man begehrt die Seite DE zu finden.

Auflö$ung.

Sprechet: Die Secant AC des Winckels A verhalt $ich zur Tan- gent BC, als wie die Seite AE zu DE.

* Neunte Aufgab.

687. Es $eyen die zwey Seiten AD und DE, die den rechten Fig. 205. Winckel formiren, gegeben, man begehrt die _Hypothenu$am_ AE zu finden.

Auflö$ung.

Suchet den Winckel A (§. 682.) und $prechet: Der Sinus Totus AB verhalt $ich zur Secant AC, als wie die Seite AD zur Hypothenu- $a AE.

* Zehende Aufgab.

688. Es $eye die _Hypothenu$a_ AE $amt der Seite AD gegeben, Fig. 205. man hegehrt die Seite DE zu finden.

Auflö$ung.

Suchet den Winckel A (§. 683.), und $prechet: Der Sinus To- tus AB verhalt $ich zur Tangent BC, als wie die Seite AD zur Sei- te DE.

[0281] Berechnung der $chief-wincklichten Dreyecke. Er$ter Lehr-Satz.

689. In einem jeden Dreyeck verhalten $ich die _Sinus_ der Fig. 210. Winckel gegen einander, als wie die Seiten, die ihnen entgegen $tehen.

Ich $age, da{$s} in einem Dreyeck ABC $ich der Sinus des Winckels A zur über$tehenden Seite BC verhalte, als wie $ich der Sinus des Win- ckels B zu $einer über$tehenden Seite AC verhält. Um die$es zu erwei- $en, $o be$chreibet einen Zirckel um das Dreyeck (§. 396.).

Beweis.

Der Winckel A hat die Helfte des Bogens BDC zu $einem Maa{$s} (§. 400.), al$o i$t die Linie BC die Chorda des doppelten Bogens, der das Maa{$s} des Winckels A i$t; Derowegen i$t die Helfte der Linie BC der Sinus des Winckels A (§. 665.); Aus eben die$er Ur$ach i$t auch die Helfte der Linie AC der Sinus des Winckels B; Derowegen kan man $agen {AC / 2}. {BC / 2} : : AC. BC, oder {AC / 2}. AC : : {BC / 2}. BC und in- vertendo AC. {AC / 2} : : BC. {BC / 2}. W. z. E.

* Erklärung.

690. Das _Supplementum_ eines Winckels i$t ein anderer Win- ckel der mit dem er$teren zwey rechte Winckel ausmacht. Al$o i$t der Fig. 203. Winckel ACF das Supplementum des Winckels FCB und reciprocè der Winckel FCB i$t das Supplementum des Winckels ACF.

Zweyter Lehr-Satz.

691. In einem jeden $tumpf-wincklichten Dreyeck hat der Fig. 213. $tumpfe Winckel mit $einem _Supplemento_ einerley _Sinum_.

Vorbereitung.

La$$et auf die verlängerte Grund-Linie BD die Perpendicular CD fallen, und be$chreibet mit einerley Eröfnung des Zirckels die Bögen [0282] FE und HG, und la$$et aus den Puncten F und H die Perpendicularen FI und HL fallen. Es $eye nun AF oder BH = a, AC = b, CD = c; FI = d, HL = e und CB = f; Da werden wir erwei$en, da{$s} d. f : : e. b, oder das FI. CB : : HL. AC.

Beweis.

Weilen die Dreyecke CA_D_ und FAI einander ähnlich $eynd, $o i$t CD. CA : : FI. AF, oder c. b : : d. a; und weilen wiederum die Drey- ecke CBD und HBL einander ähnlich, $o i$t auch wiederum CD. HL : : CB. HB, oder c. e : : f. a. Aus die$en beyden Proportionen bekom- men wir folgende Gleichungen ac = bd und ac = ef, deren beyde er$te Glieder einander gleich $eynd, woraus al$o folget, da{$s} auch bd = ef; welche Gleichung re$olvirt wird in d. f : : e. b, das i$t, FI. CB : : HL. AC. Die$es wei{$s}t uns al$o, da{$s} der Sinus HL des Supplementi CBD des Winckels ABC $ich zur Seite AC verhalte, als wie $ich der Sinus FI zur Seite BC verhalt, und da{$s} al$o der Sinus eines $tumpfen Win- ckels allezeit derjenige $eye, der auch der Sinus $eines Supplementi i$t. W. z. E.

Die$e zwey Lehr-Sätze geben uns ein Mittel an die Hand die Sei- ten und Winckel der mehri$ten Dreyecke, die nicht rechtwincklicht $eynd, zu finden, wie man die$es in folgenden Aufgaben $ehen wird.

Eilfte Aufgab.

692. Wann man in einem Dreyeck ABC zwey Winckel und Fig. 211. eine Seite kennet, man begehrt die zwey andere Seiten zu fin- den.

Auflö$ung.

Es $eye die Seite BC von 15. Klaftern, der Winckel A von 40 und der Winckel B von 60 Graden, da findet man den dritten Winckel C, wann man die Summ der Winckel A und B von 180 Graden abziehet, der i$t al$o da hier von 80. Graden. Nach die$em mu{$s} man, um die Seite AC zu finden, den Sinum des Winckels A, das i$t, von 40 Gra- den auf$uchen, welcher der Sinus des der bekannten Seiten entgegen $te- henden Winckels i$t, und die$er i$t al$o 64278; endlich $uchet man auch den Sinum des Winckels B, der der ge$uchten Seite entgegen $tehet, der al$o 86602 i$t, und $age: Wann 64278, oder der Sinus des Winckels A 15 Klafter vor die Seite BC gibt, wie viel gibt 86602, oder der Si- nus des Winckels B vor die Seite AC, die man al$o von 20 Klaftern $amt einem Uberre$t finden wird. Um die Seite AB zu finden, $o mu{$s} [0283] man den Sinum des Winckels C auf$chlagen, der 98480 i$t, und wiede- rum $agen: Wann 64278, oder der Sinus des Winckels A 15 Klafter vor die Seite BC gibt, wie viel gibt der Sinus des Winckels C, oder 98480 vor die Seite AB; Die$e wird von 23. Klaftern $amt einem Uberre$t $eyn.

Zwölfte Aufgab.

693. Wann man in einem Dreyeck ABC zwey Seiten AC Fig. 212. und BC $amt einem Winckel A kennet, man begehrt die zwey an- dere Winckel zu finden.

Auflö$ung.

Es $eye die Seite AC von 26 und die Seite BC von 20 Klaftern, und der Winckel A von 50 Graden; Da mu{$s} man den Sinum die$es Winckels $uchen, der 76604 $eyn wird, und $agen: Wann BC oder 20 Klafter 76604 vor den Sinum des Winckels A gibt, wie viel gibt die Seite AC oder 26 Klafter vor den Sinum des Winckels B, den man von 99585 findet; Wann man nun die$e Zahl in der Colonne der Sinuum $uchet, $o findet man, da{$s} die$e Zahl der Sinus eines Winckels von 84 Grad 47 Minuten $eye; Al$o i$t der Winckel B von 84 Graden und 47 Minuten.

Weilen man nun die Winckel A und B kennet, $o dörf man nur ih- re Summ von 180 abziehen, da i$t die Differenz 45 Grad 13 Minu- ten der Werth des Winckels C.

694. Wann aber der gegebene Winckel ein $tumpfer Winckel i$t, Fig. 214. als wie in dem Dreyeck ABC, allwo der Winckel B von 120 Graden, die Seite AC von 18, und die Seite BC von 12 Klaftern $upponirt wird, $o mu{$s} man, um den Winckel A zu finden, den Sinum des Sup- plementi des $tumpfen Winckels, das i$t, von 60 Graden auf$uchen, der al$o 86602 i$t, und $agen: Wann die Seite AC von 18 Klaftern 86602 vor den Sinum des Supplementi des $tumpfen Winckels gibt, wie viel gibt die Seite BC von 12 Klaftern vor den Sinum des Winckels A, den man von 57734 findet, die$er i$t der Sinus eines Winckels von 35 Graden und 16 Minuten.

* Zu$atz.

695. Wann man die dritte Seite AB finden will, $o dörf man Fig. 212. nur $agen: Der Sinus des Winckels A verhält $ich zur Seite BC, als wie $ich der Sinus des Winckels C zur Seite AB verhält..

[0284] Dritter Lehr-Satz.

696. In einem jeden Dreyeck als wie ABC, davon man zwey Fig. 215. Seiten BA und BC $amt dem darzwi$chen begriffenen Winckel ABC kennet, verhalt $ich die Summ der bekannten Seiten zu ih- rer _Differcnz_, als wie $ich die _Tangent_ der Helfte der Summ der unbekannten Winckel BAC und BCA zur _Tangent_ der Helfte ihrer _Differenz_ verhalt.

Beweis.

Wann man aus dem Spitz des Winckels B als Mittel-Punct und mit dem Radio BC als mit der grö$$ern der bekannten Seiten, einen Zirckel be$chreibet, und man die Seite AB bis an D und E zur Circum- ferenz verlängert, $o i$t die Linie AD die Summ der beyden bekannten Seiten, indem BD = BC, und die Linie AE i$t die Differenz die$er bey- den Seiten, indem BA um die gantze Linie AE kleiner i$t als BD. Wei- len nun der Winckel DBC in An$ehung des Dreyecks ABC der äu$$ere Winckel i$t, $o i$t er den Winckeln BAC und BCA zu$ammen genom- men gleich (§. 302.); Derowegen i$t er der Summ der beyden un- bekannten Winckel gleich; und wann man die Linie EC ziehet, $o i$t der Circumferenz - Winckel DEC die Helfte des Mittel-Punct- Winckels DBC (§. 400.); Derowegen i$t er der Helfte der Summ der unbekannten Winckel gleich; und wann man die Linie DC ziehet, die auf EC perpendicular i$t, indem der Winckel ECD in einem hal- ben Zirckel $tehet (§. 401.), $o i$t $ie die Tangent des Winckels DEC, (§. 669.), das i$t, der Helfte der Summ der unbekannten Winckel. Betrachtet nunmehro, da{$s} das Dreyeck EBC gleich$chencklicht i$t, und da{$s} al$o der Winckel BEC = BCE (§. 314.); Derowegen i$t der Win- ckel BEC um den gantzen Winckel FCE grö$$er als der Winckel BCA; und weilen der Winckel BAC als der äu$$ere Winckel des Dreyecks EAC um den gantzen Winckel ACE grö$$er i$t als der Winckel BEC, $o folgt daraus, da{$s} der Winckel BAC um das Doppelte des Winckels ACE grö$$er $eye als der Winckel BCA; Derowegen i$t der Winckel ACE die Helfte der Differenz der Winckel BAC und BCA. Wann nun die Linie EF auf EC perpendicular $tehet, $o i$t $ie die Tangent des Winckels FCE, oder der Helfte der Differenz der unbekannten Winckel: Nun die Linien DC und FE lauffen miteinander parallel, indem beyde auf EC perpendicular $tehen; Derowegen i$t der Winckel FEA $einem Altern-Winckel ADC gleich (§. 272.); und weilen auch der Winckel FAE = DAC (§. 269.), $o i$t auch der dritte Winckel EFA = ACD (§. 305.); Woraus al$o folget, da{$s} die Dreyeck ADC und AEF einan- [0285] der ähnlich $eyen (§. 291.), und da{$s} al$o AD. AE : : DC. FE; woraus man al$o $iehet, da{$s} die Summ AD der beyden Seiten $ich zu ihrer Differenz AE verhalte, als wie $ich die Tangent der Helfte der Summ der unbekanten Winckel zur Tangent der Helfte ihrer Differenz verhält. W. z. E.

* Lehn-Satz.

697. Wann man zwey ungleiche Grö$$en hat, $o $age ich, da{$s} wann man ihre halbe _Differenz_ zu ihrer halben Summ _addi_rt, die Summ der grö$$ern, und da{$s}, wann man ihre halbe _Differenz_ von ihrer halben Summ _$ubtrabi_rt, die _Differenz_ der kleinern Grö$- $e gleich $eye.

Es $eye die grö$$ere = a, die kleinere = b und die Differenz = d. Da i$t zu erwei$en, da{$s} a = {a + b + d / 2} und da{$s} b = {a + b - d / 2}.

Beweis.

Die Differenz ent$tehet, wann man die kleinere von der grö$$ern abziehet; Derowegen i$t a - b = d. Al$o i$t a = b + d, wann man nun beyder$eits a addiret, $o kommt 2a = a + b + d; Derowegen i$t a = {a + b + d / 2}. W. z. E. z. E.

Zweyter Beweis.

Wann man zu der Gleichung a = b + d beyder$eits b addiret, $o kommt a + b = 2b + d. Al$o i$t {a + b / 2} = b + {d / 2}, derowegen i$t {a + b - d / 2} = b. W. z. A. z. E.

Dreyzehende Aufgab.

698. Wann man in einem Dreyeck ABC zwey Seiten AC Fig. 216. und BC $amt dem darzwi$chen begriffenen Winckel kennet, man begehrt die zwey andere Winckel A und B zu finden.

[0286] Auflö$ung.

Weilen man zur Auflö$ung die$er Aufgab den vorhergehenden Lehr- Satz appliciren mu{$s}, $o mu{$s} man die Seiten CB und CA, das i$t, 25 und 20 zu$ammen addiren, um die Summ 45 der bekannten Seiten zu haben; nach die$em mu{$s} man die kleinere von der grö$$eren abziehen, um die Differenz 5 zu bekommen; und weilen wir den Winckel C von 40 Graden $upponiren, $o mu{$s} man ihn von 180 Graden abziehen, da i$t 140 die Summ und al$o 70 die Helfte der Summ der unbekannten Winckel A und B. Wann man nun die Tangent die$es Winckels auf- $ucht, die 274747 i$t, $o $agt man: Wann 45 als die Summ der be- kannten Seiten 5 zu ihrer Differenz gibt, wie viel gibt 274747 als die Tangent der Helfte der Summ der beyden unbekannten Winckel zur Tangent der Helfte ihrer Differenz; Da findet man 30527, vor die Tangent der Helfte der Differenz.

Wann man nun in der Colonne der Tangenten diejenige Zahl $u- chet, die die$er am näch$ten kommt, $o $iehet man, da{$s} $ie die Tangent eines Winckels von 16 Graden und 59 Minuten $eye: und weilen die- $er Winckel nur die Helfte der Differenz i$t, $o dörf man ihn nur zur halben Summe 70 addiren, um den grö$$ern Winckel A, und hingegen von der$elben abziehen, um den kleinern Winckel B zu bekommen (§. 697.). Al$o i$t der Winckel A von 86 Graden, 59. Min. und der Winckel B von 53. Gr. 1. Min.

Wann man die Seite AB finden will, $o dörf man nur die eilfte Aufgab §. 692. hieher appliciren.

Vierter Lehr-Satz.

699. In einem jeden Dreyeck als wie ABC, de$$en drey Sei- Fig. 217. ren man kennet, verhalt $ich die Grund-Linie AC zur Summ der beyden andern Seiten AB und BC, als wie die _Differenz_ die- $er Seiten zur _Differenz_ der _Segmentorum_ AG und GC der Grund- Linie.

Beweis.

Wann man aus dem Punct B als Mittel-Punct und mit der grö$- $ern Seite BC als Radio einen Zirckel be$chreibet, und man die Seite AB beyder$eits bis an die Circumferenz verlängert, $o i$t AD die Su\~m der beyden Seiten AB und BC, indem BC = BD und AF i$t ihre Dif- ferenz; weilen ferner die Linie EC durch die Perpendicular BG in zwey gleiche Theile eingetheilet wird (§. 389.), $o i$t EA die Differenz der [0287] Segmentorum AG und GC. Nun wann man die Linien DC und EF ziehet, $o bekommt man zwey ähnliche Dreyeck DAC und EAF, indem der Winckel DAC = EAF (§. 269.), der Winckel FDC = FEC und der Winckel ECD = EFD (§. 404.); Derowegen i$t AC. AD : : AF. AE, das i$t, die Grund-Linie verhalt $ich zur Summe der übrigen Sei- ten als wie ihre Differenz zur Differenz der Segmentorum der Grund- Linie. W. z. E.

Die$er Lehr-Satz gibt uns das Mittel an die Hand die drey Win- ckel eines Dreyecks, davon man die drey Seiten kennet, zu finden, wie man die$es in der künftigen Aufgab $ehen wird.

Vierzehende Aufgab.

700. Wann man die drey Seiten eines Dreyecks ABC ken- Fig. 218. & 217. net, man begehrt den Werth eines _Segmenti_ der Grund-Linie AC zu finden.

Auflö$ung.

Es $eye die Grund-Linie AC von 15, die Seite AB von 8, und die Seite BC von 12 Klaftern, da mu{$s} man $agen: wie $ich die Grund-Li- nie AC oder 15 verhalt zur Summe 20 der anderen Seiten; al$o ver- halt $ich die Differenz 4 die$er Seiten zur Differenz der Segmentorum; Die man al$o von 5 Klaftern und 2 Schuhen findet. Wann man nun die$e Zahl zur Grund-Linie AC addirt, $o bekommt man 20 Klafter und 2 Schuh vor den Valor einer Linie als wie EC; Derowegen wann man davon die Helfte nimmt, $o bekomt man 10 Klafter und 1 Schuh vor den Valor des grö$$ern Segmenti DC.

Er$ter Zu$atz.

701. Weilen man nun in dem rechtwincklichten Dreyeck DBC die Seiten DC und BC kennet, $o findet man nach §. 683. den Winckel C. Auf gleiche Weis findet man den Winckel A und al$o den Winckel ABC, wann man die Summ der beyden bekannten Winckel von 180 Graden abziehet.

* Zweyter Zu$atz.

702. Um die Perpendicular BD zu finden, dörf man nur wie- derholen was §. 678. ge$agt worden.

[0288] Gebrauch der Logarithmorum in Berech- nung der Dreyecke.

703. In den Tabellen befinden $ich noch über die Solonnen deren wir uns bis hieher bedienet, zwey andere Colonnen, über welchen die Worte _Logarithmi Sinuum_, _Logarithmi Tangentium_ ge$chrieben, indem $ie die Logarithmi der Sinuum und Tangentium, die zu ihrer Lincken $tehen, $eynd. Uber die$es befinden $ich noch in die$em Buch andere Tabellen, die zum Titul haben: Taffel der _Logarithmorum_ der ordentlichen Zah- len von 1 bis 10000. Damit man nun wi$$e, wozu die$e Logarithmi dienen, $o mu{$s} man mercken, da{$s} $ie die Eigen$chaft haben, da{$s} man durch ihre Hülf die Trigonometri$che Aufgaben auflö$en kan, ohne $ich der Multiplication noch der Divi$ion zu bedienen, weilen, wann $ie die drey Terminos einer Regel de Tri ausmachen, $ie nicht in einer Geo- metri$chen, $ondern in einer Arithmeti$chen Proportion $tehen. Al$o wann man die drey er$te Terminos kennet, $o addirt man den zweyten zu dem dritten und ziehet von der Summ den er$ten ab, $o i$t die Dif- ferenz der vierte Terminus. Um aber die$es deutlicher zu ver$tehen zu geben, $o will ich etliche Exempel hieher $etzen.

Er$tes Exempel.

704. Wann man ein rechtwincklicht Dreyeck ADE hat, da- Fig. 205. von man den Winckel A von 30 Graden, und die Seite AD von 20 Rlaftern kennet, man begehrt durch Hülf der _Logarithmorum_ die Seite DE zu finden.

Um die$es zu finden, $o $uche ich in den Tabellen diejenige Seite, auf deren Höhe 30 Grad ge$chrieben $tehet, und an$tatt die Tangent aus der dritten Colonne zu nehmen, nehme ich ihren Logarithmum 97614394 aus der fünften Colonne. Und weilen ich auch den Sinum Totum vonnöthen hab, $o nehme ich an$tatt 10000000 $einen Logarith- mum 100000000: weilen man nun, um die Seite DE zu finden, eine Regel de Tri machen mu{$s}, davon der er$te Terminus der Sinus totus, der zweyte die Tangent, und der dritte der Valor der Seiten AD i$t, $o mu{$s} man auch, an$tatt 20 Klafter zu $etzen, den Logarithmum die$er Zahl zum dritten Termino annehmen, den man auf der er$ten Seite der Taffel der Logarithmorum auf der Seite der Zahl 20 findet; Die- fer i$t al$o 13010300. Nach die$em mu{$s} man $agen: wann der Lo- garithmus 100000000 zum Logarithmo der Tangent von 30 Graden [0289] 97614394 gibt, wie viel gibt 13010300 als der Logarithmus von 20 Klaftern zum Logarithmo der Zahl, die man $ucht; und um ihn zu fin- den, mu{$s} man den zweyten Terminum zum dritten addiren, und von der Summ 110624694 den er$ten Terminum abziehen, um 10624694 zu bekommen, welches der Logarithmus des vierten Termini $eyn wird. Um nun zu wi$$en, welches die vierte Geometri$che Pro- portional-Zahl i$t, $o $ucht man in der Taffel denjenigen Logarithmum, welcher dem gefundenen am näch$ten kommt, und da wird man einen finden der etwas zu klein i$t und mit der Zahl 11 corre$pondirt, wie auch einen andern der um etwas zu gro{$s} i$t, und der mit der Zahl 12 corre$pondirt. Derowegen nimmt man eine mittlere Zahl als wie z. E. 11 {1/2}; weiches al$o wei{$s}t, da{$s} die Seite DE bey nahem von 11 Klaf- tern und 3 Schuhen i$t.

Zweytes Exempel.

705. Wann man ein rechtwincklicht Dreyeck ABC hat, davon Fig. 208. man die Seite AB von 16 Klaftern und die Seite BC von 14 Klaftern kennet, und man begehrt den Winckel A zu finden, $o mu{$s} man in der zweyten Taffel den Logarithmum 12041200 von 16 Klaftern und den Logarithmum 11461280 von 14. Klaftern $uchen; und wegen den ähn- lichen Dreyecken ABC und ADE $agen: wann der Logarithmus 1204 1200 der Seite AB, 11461280 vor den Logarithmum der Seite BC gibt, wie viel gibt der Logarithmus 100000000 der Seite AD vor den Logarithmum der Tangent DE; Da findet man (nachdem man den zweyten Terminum zum dritten addirt und von der Summ den er$ten $ubtrah rt) da{$s} die Differenz 99420080 vor den Logarithmum der Tan- gent gibt, welchen man in der er$ten Taffel $uchet, da findet man, da{$s} der corre$pondirende Winckel von 41 Graden und 12 Minuten $eye; al$o i$t der Winckel A von 41 Graden und 12 Minuten.

Drittes Gxempel.

706. Wann man ein Dreyeck ABC hat, davon man den Winckel Fig. 211. A von 40 Graden, den Winckel B von 60 Graden, und die Seite BC von 15 Klaftern kennet, und man begehrt die Seite AC zu finden, $o mu{$s} man den Logarithmum des Sinus von 40 Graden, der 98080675 i$t, den Logarithmum des Sinus von 60 Graden, der 99375306, und endlich in der zweyten Taffel den Logarithmum der Zahl 15, der 11760913 i$t, $uchen: wann man nun die ordentliche Regel de Tri macht, indem man $agt: wann 98080675 als der Logarithmus des Sinus des Win- [0290] ckels A, 11760913 vor den Logarithmum der Seite BC gibt, wie viel gibt 99375306 als der Logarithmus des Sinus des Winckels B vor den Logarithmum der Seite AC, $o findet man, da{$s} er 130@5544 $eye; und wann man ihn in der zweyten Taffel $uchet, $o findet man, da{$s} $ei- ne correlpondirende Zahl, die ihm am näch$ten kommt, 20 $eye; al$o i$t die Seite AC von 20. Klaftern.

Application der Trigonometrie zur practi- $chen Geometrie. Fünfzehende Aufgab.

707. Die _Di$tanz_ zweyer Oerter zu finden, zu deren einem Fig. 219. man nicht kommen kan.

Auflö$ung.

Es $eye ein Ort, als wie C gegeben, zu welchem man nicht kom- men kan; man begehrt zu wi$$en, wie weit die$er Ort von dem Punct D entfernet $eye. Um die$es zu finden, $o mu{$s} man jemanden mit ei- nem Stab an den Ort A $chicken, welcher den Stab perpendiculariter in die Erde ein$teckt; Die$e Di$tanz mu{$s} man al$o gegen die Di$tanz DC proportioniren, da{$s} die Winckel D und A nicht zu $tumpf noch zu $pitzig werden; wir $upponiren al$o, die$e Di$tanz DA, die uns zur Grund- Linie un$erer Operation dienen $oll, $eye von 20 Klaftern. Nach die- $em mu{$s} man den Winckel D, der von der Grund-Linie DA und der Vi- fir-Linie DC formirt wird, me$$En, und um ihn accurat auszume$$en, $o mu{$s} man die beyde Ab$ichten der unbeweglichen Linial des halben Zir- ckels mit den Puncten D und A in eine grade Linie $etzen, und die be- wegliche Linial al$o drehen, da{$s} man durch die Spalten ihrer beyden Ab$ichten (die auf ihren Enden $tehen) den Punct C entdecke. Nach die$em mu{$s} man die Anzahl Grad, die der Winckel CDA hat, den die beyde Linialen formiren, abzehlen; ich $upponire, die$er Winckel $eye von 50. Graden. Wann die$es ge$chehen, $o mu{$s} man einen andern Stab in den Punct D, wo der Fu{$s} des halben Zirckels ge$tanden, ein- $tecken, und mit dem halben Zirckel an den Punct A gehen, um dorten den Valor des Winckels DAC, der wiederum von der Grund-Linie DA und einer andern Vi$ir-Linie CA formirt wird, abzunehmen; Die$en $upponire ich von 80 Graden. Endlich mu{$s} man nur noch den Win- ckel C $uchen, den man findet, wann man die Summ der beyden Win- [0291] ckel A und D von 180 Grad abziehet, da findet man, da{$s} die$er Win- ckel von 30 Graden $eye. Um nun die Seite CD zu finden, $o $agt man: wann der Sinus von 30 Graden 20 Klafter vor die Seite AD gibt, wie viel Klafter gibt der Sinus von 80 Graden vor die Seite DC; Da findet man, da{$s} die ge$uchte Di$tanz von 39 Klaftern und 2 Schu- hen $eye.

Anmerckung.

708. Zu Zeiten ge$chicht es, da{$s} man nicht leicht kan eine Di$tanz finden, zu deren einem End man nicht kommen kan; indem $ie $ehr gro{$s} z. E. von zwey oder drey Meilen i$t. Da be$tehet die Schwürigkeit in Erfindung einer Grund- Linie, die gro{$s} genug wäre; dann in die$em Fall mu{$s} $ie aufs wenig$te von 1000 Klaftern $eyn. Weilen es nun $ehr müh$am fällt, eine $o gro$$e Di$tanz zu me$- $en, in$onderheit wegen der Ungleichheit des Terrains und anderen Verhinderun- gen, die $ich finden können, $o mu{$s} man von Anfang eine kleine Grund-Linie an- nehmen, durch welcher Hülf man eine findet, die noch einmal oder noch zweymal oder auch noch dreymal $o gro{$s} i$t; und durch die$e zweyte kan man noch eine grö$$ere finden; die$es kan man $o lang continuiren, bis man eine Grund-Linie von einer genug$amen Grö$$e findet.

Die vorhergehende Operationen $eynd $ehr nutzlich um Land-Charten aufzuhe- ben, indem man Capital-Puncten findet, nach welchen man alle Oerter, die darzu gehören, abnehmen kan; oder man kan $ich auch ihrer bedienen, wann man den Plan eines Terrains, wo eine Armee $tehet, aufheben will, um die Quartiere, die Circumvallations-Linien, die Po$ten, die von einer $onderbaren Wichtigkeit $eynd, zu marquiren.

Wann man einen Platz belagert, allwo man Gallerien führen mu{$s}, um un- ter den Winckeln des bedeckten Weegs, oder unter einem andern Vor-Werck Kammern anzulegen, $o mu{$s} man $eine Zuflucht zu die$er Aufgab nehmen, damit man die Di$tanz findet, die zwi$chen dem Eingang der Gallerie und dem Ort i$t, wohin man gehen will, um al$o der Gallerie eben die$e Länge zu geben, damit man præcisè unter das Objectum komme, welches man $prengen will.

Sechszehende Aufgab.

709. Die _Di$tanz_ zweyer Oerter, als wie C und D, zu deren Fig. 220. keinem man kommen kan, zu finden.

Auflö$ung.

Um die$e Operation zu verrichten, $o mu{$s} man eine Grund-Linie als wie AB annehmen, die ich hier von 100 Klaftern $upponire, und auf dem Punct B den Winckel ABC, der von der Grund-Linie BA und der Vi$ir-Linie BC formirt wird, ausme$$en, die$en $upponire ich von 92 [0292] Graden; ferner mu{$s} man auch den Winckel DBA ausme$$en, der z. E. von 45 Graden i$t: wann die$es ge$chehen, $o mu{$s} man an den andern äu$$er$ten Punct A der Grund-Linie AB gehen, um allda den Winckel DAB auszume$$en, den ich hier von 98 Graden $upponire, wie auch den Winckel DAC, den ich von 50 Graden $upponire; wann man nun den Winckel DAC von dem Winckel DAB abziehet, bleibt der Winckel CAB von 48 Graden übrig. Weilen man nun die Winckel und die Grund- Linie AB kennet, $o findet man die Di$tanzen CB, DA und C_D_ gar leicht; Dann um die Seiten BC und AC des Dreyecks BCA zu finden, dörf man nur die Summ der Winckel CBA und CAB von 180 Graden ab- ziehen, um den Winckel BCA von 40 Graden zu bekommen, und $a- gen: wann der Sinus des Winckels BCA 100 Klafter gibt vor die Sei- te BA, wie viel Klafter gibt der Sinus des Winckels CAB vor die Seite te BC; und um AC zu finden, mu{$s} man $agen: wann der Sinus des Winckels BCA 100 Klafter gibt vor die Seite BA, wie viel gibt der Si- nus des Supplementi von 88 Graden des Winckels CBA von 92 Gra- den vor die Seite AC; indem der Winckel CBA ein $tumpfer Win- ckel i$t.

Weilen man die Seite DC nicht finden kan, ohne vorhero die Sei- te DA zu kennen, $o mu{$s} man, um $ie zu finden, $agen: wann der Si- nus des Winckels ADB von 37 Graden 100 Klafter vor die Seite AB gibt, wie viel gibt der Sinus des Winckels DBA von 45 Graden vor die Seite DA; Nunmehro kennet man in dem Dreyeck ACD die Seiten AC und AD $amt dem darzwi$chen begriffenen Winckel CAD; Da fin- det man die zwey übrige Winckel und die Seite DC, wann man appli- cirt, was §. 698 ge$agt worden.

Weilen $ehr oft die Gegenden die um eine belagerte Stadt herum liegen, auf dem Grund-Ri{$s} nicht _marqui_rt $eynd, oder auch wann $ie _marqui_rt $eynd, man ohne gro$$e Fehler zu bege- hen, $ich nicht auf die _Accurate$$e_ derjenigen, die $ie aufgenom- men oder abgeri$$en haben, verla$$en kan, $o gibt uns die vorher- gehende _Operation_ ein vortrefliches Mittel an die Hand, den An- fang der Lauf-Gräben einer jeden _Attaque_ in An$ehung des Pla- tzes auf dem Grund-Ri{$s} zu _orienti_ren, damit man nachgehends die Arbeiten, die man von einer Nacht zur andern machen will, _projecti_ren, oder $ie auch nur aus$tecken kan, nachdem als man _avanci_rt; Dann wann man nur einmal ein Stuck von einer Pa- rallel hat, $o kan man innerhalb den Lauf-Graben die _Communi-_ _cation_s-Linien und die Winckel die $ie formiren ausme$$en, wie auch den Ort der Batterien aus$tecken, und überhaupt den [0293] Grund-Ri{$s} der Tren$cheen mit $o vielem Flei{$s} aufheben, als wann keine Hindernu{$s} wäre.

Siebenzehende Aufgab.

710. Mit einer Linie, zu der man nicht kommen kan, eine Fig. 221. Parallel-Linie zu führen.

Man begehrt mit der Linie AB durch den Punct C eine Parallel- Linie CE zu führen.

Auflö$ung.

Um die$e Aufgab aufzulö$en, mu{$s} man eine Grund-Linie als wie CD annehmen, die wie wir $chon vorhero ge$agt, nach der Di$tanz des Objecti mu{$s} proportionirt $eyn, damit al$o die Operation de$to accu- rater werde; wir $upponiren nun die proportionirte Länge die$er Linie wäre von 150 Klaftern.

Wir wi$$en, da{$s} wann zwey Parallel-Linien von einer dritten durchge$chnitten werden, die Altcrn-Winckel einander gleich $eyen, und da{$s} al$o, wann die Altern-Winckel emander gleich $eynd, die Linien mit- einander parallel lauffen; Daraus folgt al$o, da{$s}, wann man den Winckel ABC kennet, der von der Linie AB und der Vi$ir-Linie CB for- mirt wird, man nur den Winckel BCE dem vorigen gleich machen mü$$e, damit die Linie CE mit AB parallel $eye; Derowegen kommt es nur an den Valor des Winckels ABC zu finden. Um ihn al$o zu finden, $o me$$e ich in dem Punct C den Winckel ACD, der z. E. von 120 Gra- den i$t, und den Winckel ACB, der z. E. von 40 Graden i$t, aus; wann ich nun den letztern von dem er$tern abziehe, $o bleiben 80 Grad vor den Winckel BCD übrig; nach die$em gehe ich in den Punct D und me$$e den Winckel BDC, der z. E. von 86 Graden i$t, und den Win- ckel ADC, der z. E. von 34 Graden i$t, aus. Betrachtet nun das Dreyeck DBC, in welchem man die Seite DC von 150 Klaftern, den Winckel BDC von 86 Graden und den Winckel BCD von 80 Graden und al$o auch den dritten Winckel DBC von 14 Graden kennet; Da findet man al$o die Seite BC, wann man $agt: Der Sinus des Win- ckels DBC von 14 Graden gibt 150 Klafter vor die Seite DC, wie viel gibt der Sinus des Winckels BDC von 86 Graden vor die Seite CB.

Betrachtet ferner das Dreyeck DAC, in welchem man die Seite DC von 150 Klaftern, den Winckel ADC von 34 Graden, und den Winckel ACD von 120 Graden, und al$o auch den dritten Winckel DAC von 26 Graden kennet; Da findet man die Seite AC; wann [0294] man $agt: Der Sinus des Winckels DAC von 26 Graden gibt 150 Klafter vor die Seite CD, wie viel gibt der Sinus des Winckels ADC von 34 Graden vor die Seite CA.

Nun weilen man in dem Dreyeck BCA, die zwey Seiten BC und AC $amt dem darzwi$chen begriffenen Winckel BCA kennet, $o findet man den Winckel ABC, wann man wiederholt, was §. 698. ge$agt worden; Da dörf man dann nur den Winckel BCE dem Winckel ABC gleich machen, $o i$t die Linie EC mit der Linie BA parallel.

Es ge$chicht $ehr oft und in vielen Gelegenheiten, da{$s} man mit einer Linie, zu welcher man nicht kommen kan, mu{$s} eine Pa- rallel führen, z. E. wann man einen Weeg will mit gewi$$er Be- hut$amkeit durch einen Wald hauen, oder auch in einer Belage- rung, wann man eine Batterie anlegen will, die mit der Ge- $ichts-Linie des Wercks, das man be$chie$$en will, parallel $eyn $oll, oder auch eine $olche, deren Schu{$s} mit der Ge$ichts-Linie einen gewi$$en gegebenen Winckel machen.

Achtzehende Aufgab.

711. Eine Höhe, zu welcher man nicht kommen kan, aus- Fig. 222. zume$$en.

Auflö$ung.

Um die Höhe AB eines Thurns auszume$$en, $o mu{$s} man eine Grund-Linie als wie EB annehmen, die man von der Mitte B des Thurns bis an den Punct E, allwo man den halben Zirckel ge$etzt, accu- rat ausme$$en mu{$s}; ich $upponire nun $ie $eye von 25 Klaftern; nach die- $em mu{$s} man den Winckel ACD, der von den beyden Vi$ir-Linien CD und CA formirt wird, deren die er$te CD mit der Horizontal-Linie pa- rallel lauft, und die andere CA $ich an dem Spitz A des Thurns endi- get; wann man nun $upponirt, die$er Winckel $eye von 35 Graden, $o findet man in dem Dreyeck CAD die Seite AD, wann man $agt: Der Sinus Totus verhalt $ich zur Tangent des Winckels C, als wie die Sei- te CD von 25 Klaftern zur Seite DA, die man von 17 Klaftern und 3 Schuhen findet; wann man nun zu die$er Höhe die Höhe DB oder CE des Fu$$es des In$truments, die insgemein von 4 Schuhen i$t, addirt, $o findet man die Höhe AB des Thurns von 18 Klaftern und 1 Schuh.

Wann man aber die Höhe eines Thurns, oder eines andern Obje- cti, zu de$$en Fu{$s} man nicht kommen kan, ausme$$en $oll, als wie man fig. Fig. 123. 223. $iehet, $o mu{$s} man in dem Punct F den Winckel ADG ausme$- [0295] $en; ich $upponire die$er Winckel $eye von 50 Graden; nach die$em mu{$s} man in grader Linie in An$ehung der Puncten G und D zuruck gehen bis an einen Punct C, um eine Grund-Linie EF von einer genug- $amen Länge zu bekommen; Damit al$o der Winckel CAD nicht zu $pi- tzig werde; wann man nun die$e Grund-Linie, die ich von 40 Klaftern $upponire, geme$$en, $o mu{$s} man auch den Winckel ACG z. E. von 30 Graden ausme$$en. Weilen nun der Winckel ADG den beyden innern Winckeln DAC und ACD des Dreyecks ADC gleich i$t, $o findet man den Winckel DAC, wann man den Winckel ACD der 30 Grad hat, von dem Winckel ADG der 50 Grad hat, abziehet, da i$t al$o der Winckel DAC von 20 Graden. Weilen wir nun in dem rechtwinck- lichten Dreyeck AGD, um die Seite AG zu finden, die Seite AD ken- nen mü$$en, $o findet man die$e Seite, wann man $agt: Der Sinus des Winckels CAD von 20 Graden gibt 40 Klafter vor die Seite DC, wie viel gibt der Sinus des Winckels ACD von 30 Graden vor die Seite AD, die man al$o von 58. Klaftern, 2. Schuhen, und 10. Zollen findet.

Um al$o die Seite AG zu finden, mu{$s} man $agen: Die Secant des Winckels ADG verhalt $ich zu ihrer Tangent, als wie $ich die Sei- te AD von 58 Klaftern, 2 Schuhen und 10 Zollen zu der Seite AG verhält, die man al$o von 44 Klaftern, 4 Schuhen und 9 Zollen findet; zu welcher Höhe man nur die Höhe des In$truments addiren dörf, um die gantze Höhe AB zu bekommen.

Manier durch Hülf der Trigonometrie eine Land-Charte aufzuheben.

712. Man unter$cheidet zwey Arten von Land-Charten, die eine $eynd die General- und die andere $eynd die Particular-Charten; Die- $e letztere mü$$en mit $onderbarem Flei{$s} aufgehoben werden, indem man nichts, was darzu gehöret, als wie die Grö$$e und Figur der Dörfer, Marckt-Flecken und Städte, die Waldungen, Brücken, Flü$$e, Wee- ge, Brünnen, Creutz, Capellen, Gerichte rc. verge$$en mu{$s}.

Was die General-Charten betrift, $o nimmt man nur die Stel- lung der vornehm$ten Oerter, der gro$$en Weege und der gro$$en Flü$- $e, Waldungen und Gebürge auf, und la{$s}t eine Menge Sachen aus, die auf einer $olchen Charte keinen Platz finden können, indem $ie gemei- niglich nach kleinen Maa{$s}-Stäben gemacht werden. Auf die$e Art $eynd die Charten der Königreiche und gro$$er Provintzien. Inde$$en [0296] mu{$s} man doch bey den General-Charten als wie bey den Particular- Charten verfahren, indem man bey beyden den Anfang macht mit der Einfa$$ung, welche nichts anders i$t, als die determinirte Grö$$e der Charte $amt den vornehm$ten Stellungen; nach die$em gehet man wei- ters in die Particularitäten hinein, wie wir es wei$en werden, nachdem wir werden gewie$en haben, wie man die Stellungen, die die Haupt- Puncten der Charte ausmachen $ollen, findet.

Wann man z. E. die Orte, welche auf die$er Figur mit Buch$ta- Fig. 224. ben benennet $eynd, wolte aufheben, $o $iehet man, da{$s} man $ich nichts anders vornimmt, als auf dem Papier die unter$chiedene Oerter zu $e- tzen, wie $ie $ich hier befinden; al$o da{$s} die Di$tanz eines Orts zum an- dern nach dem kleinen Maa{$s}-Stab eben diejenige $eye, die man auch nach dem gro$$en ordentlichen Maa{$s}-Stab auf dem Terrain befunden: welches al$o nichts anders i$t, als eine Reduction einer grö$$ern Figur auf eine kleinere. Weilen man nun die$e Reduction nicht ander$t als durch Hülf der ähnlichen Dreyecke machen kan, $o folgt daraus, da{$s}, wann man eine Charte von einem Land durch Hülf der Trigonometrie aufheben will, man nur die Winckel und Seiten, welche die Di$tanzen der Oerter formiren, finden $oll. Um die$es al$o zu finden, $o mu{$s} man eine $o gro$$e Grund-Linie annehmen, als es möglich, damit man die Oerter, die $ich darauf beziehen $ollen, de$to accurater aufnehmen kan, indem man $o viel als möglich verhindert, da{$s} die Winckel nicht allzu $tumpf noch allzu $pitzig werden. Ich $upponire nun, man habe die beyde Puncten A und B zu Stations-Puncten erwählet, da $uchet man ihre Di$tanz, nach §. 707.; nach die$em gehet man an den Punct B, um alldorten die Winckel, die von der Grund-Linie BA und den un- ter$chiedenen Orten formirt werden, auszume$$en; Al$o me$$et man die Winckel ABC, ABD und ABE aus; Den Punct F la{$s}t man aus, indem der Winckel, den die Linie BF mit der Grund-Linie BA formiren würde allzu $tumpf wäre, und al$o die Vi$ir-Linie BF von der Vi$ir-Li- nie AF nicht ohne Schwürigkeit könte durchge$chnitten werden; Nach die$em me$$et man die Winckel ABG, ABH, ABI und ABK; Den Punct L la{$s}t man wieder aus, indem der Winckel der von der Grund-Linie AB und der Vi$ir-Linie BL formirt würde, allzu $pitzig wäre.

Nunmehro mu{$s} man nur, um die Stellung der angegebenen Ort zu finden, die vorige Vi$ir-Linien durch andere durch$chneiden. Um die- $es zu verrichten, $o gehet man in den Punct A, um allda den Winckel BAE zu me$$en, welcher al$o den Punct E determinirt, indem man in dem Dreyeck ABE die Grund-Linie AB und die Winckel EAB und ABE kennet, durch welcher Hülf man die Di$tanzen AE und BE findet. Was [0297] die andere Puncten betrift, $o continuiret man die vorige Vi$ir-Linien durchzu$chneiden, indem man die Winckel BAD, BAC, BAG, BAH, BAI und BAK ausme$$et; weilen alle die$e Dreyecke die Seite BA zur ge- meinen Grund-Linie haben, $o kan man in allen die$en Dreyecken die Vi$ir-Linien finden, indem man in einem jeden Dreyeck über die Grund- Linie AB auch zwey Winckel kennet. Weilen wir wegen obberührten Ur$achen vor zwey Oerter F und L vorbeygegangen, $o wollen wir wei- $en, wie man ihre Stellungen findet, ohne $ich der Grund-Linie AB zu bedienen; um al$o den Punct F zu finden, $o nimmt man entweder die Seite BE, oder die Seite BG, oder auch eine andere Linie die man vor commod findet, zur Grund-Linie an; ich erwähle dahier die Linie BE; Da me$$et man in dem Punct B den Winckel _EBF_, und in dem Punct E den Winckel _BEF_, welches al$o den Punct F determinirt. Die$es wieder- holt man um die Puncten L und M zu finden, nemlich man nimmt die Linie AC zur Grund-Linie an, und in dem Punct A me$$et man die Winckel CAM und CAL, und in dem Punct C die Winckel ACM und ACL.

Wann man nun auf die$e Art, alle Seiten der Dreyecke, die $ich hier befinden, gefunden, $o trägt man $ie auf das Papier auf, indem man durch Hülf eines Maa{$s}-Stabs einer jeden Linie ihre Länge gibt. Nachdem alle die$e Ort auf das Papier getragen, $o kan man nach vor- hergehender Manier fortfahren alle Ort, die man in der er$ten Opera- tion nicht hat entdecken können, aufzuheben indem man auf allen Seiten bekante Grund-Linien haben kan. Z. E. um die Oerter die $ich au$$er- halb den Puncten C und D befinden, aufzunehmen, kan man die Di$tanz CD, auf einer andern Seite kan man die Di$tanz IH, zur lincken GF und zur rechten LK vor Grund-Linien annehmen, die man $ich nach Gut- duncken au$$erwählt.

Von den unter$chiedenen Betrachtungen, die man an$tellen mu{$s}, um eine Particular-Charte aufzunehmen.

713. Wann man eine Land-Charte aufnehmen will, al$o da{$s} man keine Particularitäten ausla{$s}t, $o wird erfordert, da{$s} diejenige, die das Haupt-Werck führen, ver$tändige Per$onen in die Dörfer $chi- cken, die ihre Stellungen, Figur, die Form der Ga$$en, die Stellung der Brünnen, wann $ich einige befinden, der Stein-Gruben, Berge, Hügeln und Thäler, die $ich in den Gegenden befinden mögen, aufneh- [0298] men. Nach die$em reducirt man jedes Dorf auf den Maa{$s}-Stab der Charte, und da mu{$s} man Achtung geben, da{$s} die Kirche $ich ju$t auf dem Punct, der auf der Einfa$$ung bemercket i$t, befinde, indem es ins- gemein die Glocken-Thürne, oder auch zu Zeiten andere Thürne $eynd. Was die Städte anbetrift, $o mu{$s} man den Grund-Ri{$s} davon ins- be$ondere machen, und ihn darnach auf den Maa{$s}-Stab der Charte reduciren. Wann $ich Gehöltze oder Waldungen darbey befinden, $o mu{$s} man zu er$t die näch$t darbey gelegene Dorf$chaften aufnehmen, um Grund-Linien, die nichts anders $eynd, als die Di$tanzen der Oer- ter, zu bekommen, von welchen man ein Polygon formirt, welches den Wald umgibt. Nach die$em i$t es leicht eine Menge Puncten zu fin- den, welche die Gräntzen des Walds bemercken, um nachgehends nach dem Ge$icht die äu$$ere Figur des Walds zu ziehen, in$onderheit wann es Krümmen von $chlechter Wichtigkeit $eynd. Endlich mu{$s} man auch in den Wald hineingehen, um da die vornehm$te Weege, Bäche, Brün- nen, Häu$er und Schlö$$er, wann $ich einige befinden, in Betrachtung zu ziehen. Alles die$es mu{$s} mit grö$tem Flei{$s} und Accurate$$e aufge- nommen werden. Um die$es zu verrichten, $o mu{$s} man auf einer au$- $er dem Wald gelegenen Höhe in dem$elben gewi$$e Stellungs-Puncten annehmen. Die$e Stellungs-Puncten $eynd insgemein Kirchen-Thür- ne, Schlö$$er, oder auch hohe Bäume, die $ich vor andern hervorthun; und wann man nur einmal etliche $olcher Puncten kennet, $o kan man leicht durch Hülf der bekanten Puncten die andere unter$chiedene Oer- ter, die man in dem Wald antrift, finden.

* Manier, den Radium eines regularen Po- lygons, davon die eine Seite bekannt i$t, zu finden.

714. Wann man den Radium eines regularen Polygons, (da- Fig. 225. von in der Figur wegen Mangel des Platzes nur die Helfte _BAB_ Q vorge$tellet i$t) aus der einen Seite _AB_ finden will, $o mu{$s} man den Mittel-Puncts-Winckel _BPA_ und die halbe Polygons-Winckel _PBA_ und _PAB_ $uchen (§. 431.); und nach die$em inferiren; wie $ich der Sinus des Winckels _APB_ zur bekannten Seite _AB_ verhalt, al$o verhält fich der Si- nus des Winckels _PAB_ zur Seite _BP_.

715. * Die$e Aufgab i$t von gro$$em Nutzen in der Praxi; Dann eben die$e Seite _AB_ des Polygons i$t, was man in der Fortifica- tion die äu$$ere Seite einer Front nennet. Die$e äu$$ere Seite i$t [0299] nach der Vaubani$chen Manier zu Zeiten von 160, zu Zeiten von 180 und auch bisweilen von 200 Klaftern; Die$es unter$cheidet al$o die Fortification in die kleine, mittlere und gro$$e.

716. * Wann man das Doppelte des Radii nimmt, $o kommt der Diameter des Platzes, und weilen das Lager der Armee, die den Platz belagert, mu{$s} auf das wenig$te 1500 Klafter weit von den Wer- ckern de$$elben entfernet $eyn, $o bekommt man den Diameter der inve- $tirenden Armee, wann man zweymal 1500 oder 3000 Klafter zum Diameter des Platzes addiret. Es $eye der Platz ein regulares Vier- eck, de$$en äu$$ere Seite von 180 Klaftern $upponirt wird, $o i$t $ein Diameter von 252 Klaftern; Wann man nun die$e 252 zu 3000 ad- dirt, $o bekommt man 3252 Klafter vor den Diameter der inve$tiren- den Armee, da bekommt man nun die Länge des Terrains, welches $ie occupirt, wann man $agt, 7 geben 22, wie viel geben 3252 Klafter vor die Circumferenz des Zirckels, die die Armee occupirt, da findet man, da{$s} $ie ein Terrain von 10330 Klaftern occupirt. Nach die$em kan man die Stärcke der Armee, die zur Belagerung be$timmet i$t, propor- tioniren; Dann wann man jeder Battaillon und E$cadron durch den Banck $amt ihrer Di$tanz 120 Klafter gibt, $o bekommt man, wann man 10330 durch 120 dividirt, 87 theils Battaillonen, theils E$cadro- nen, die zur völligen Circumvallation nöthig $eynd. Auf eben die$e Art kan man auch die Länge der Circumvallations-Linie finden, und al$o die Anzahl Arbeiter, die zu ihrer Con$truction nöthig $eynd, proportio- niren.

Application der Trigonometrie zur Fortification.

717. Wann man eine Fortification auf dem Terrain aus$tecken Fig. 225. will, $o i$t es ab$olut vonnöthen, da{$s} man alle Linien und Winckel der- $elben vollkommen kenne; und weilen man $ie auf das genaue$te, als es möglich, kennen mu{$s}, $o kan man nicht mit dem Zirckel die unbekannte Linien nach dem Maa{$s}-Stab, auch nicht die Winckel mit dem Trans- porteur ausme$$en, indem man Fehler begehen würde, welche auf dem Papier nicht in das Ge$icht fallen, aber auf dem Terrain von gro$$er Folge wären. Derowegen mu{$s} man, um durch Hülf der bekannten Linien und Winckel die unbekannte zu finden, $eine Zuflucht zur Trigo- nometrie nehmen. Weilen in einer Fortification nach Vaubani$cher Manier man die äu$$ere Seite AB z. E. von 180 Klaftern, und die [0300] Perpendicular-Linie CF z. E. von 30 Klaftern, und die Face oder Ge- $ichts-Linie AD z. E. von 50 Klaftern kennet, $o kan man dardurch den Schulter-Winckel, den Flanquir-Winckel, den flanquirten Winckel, und die Courtine finden; ich $upponire nur, man wi$$e, da{$s} die Linie DH der Linie DE gleich $eye.

Vor allem mu{$s} man den Winckel FAC $uchen, den man findet, wann man $agt: wie $ich AC von 90 Klaftern zu CF von 30 Klaftern verhält, al$o verhält $ich der Sinus Totus AI zur Tangent ID, welche al$o die Tangent eines Winckels von 18 Graden und 26 Minuten i$t; Derowegen i$t der Winckel FAC von 18 Graden und 26 Minuten; und weilen, wegen den Parallelen DE und AB der Winckel HDE dem Win- ckel FAC gleich i$t, $o i$t auch der Winckel HDE von 18 Graden und 26 Minuten.

Weilen wir in dem Dreyeck DAI die Seite AI kennen mü$$en, $o findet man $ie, wann man $agt: wie $ich die Secant des Winckels DAI zu dem Sinu toto verhalt, al$o verhalt $ich die Seite AD von 50 Klaf- tern zur Seite AI, die man von 47 Klafter, 2 Schuhen, 8 Zollen, 11 Linien und 11 Puncten findet, wann man nun die$e von AC, das i$t, von 90 Klaftern abziehet, $o bekommt man die Linie IC von 42 Klaf- tern, 3 Schuhen, 3 Zollen, 0 Punct und 1 Linie; und weilen die$e Li- nie der Helfte der Linie DE gleich i$t, $o i$t die Linie DE von 85 Klaf- tern, 0 Schuh, 6 Zoll, 0 Punct und 2 Linien.

Weilen das Dreyeck HDE gleich-$chencklicht i$t, und man die zwey gleiche Seiten, $amt dem Winckel, den $ie ein$chlie$$en, kennet, $o dörf man nur den bekannten Winckel von 180 Graden abziehen, und den Uberre$t mit 2 dividiren, um die Winckel auf der Grund-Linie, das i$t, auf der Flancq zu bekommen; nach die$em, wann man die Flancq ken- nen will, $o mu{$s} man $agen: wie $ich der Sinus des Winckels DHE zur Seite DE verhalt, al$o verhalt $ich der Sinus des Winckels HDE zur Seite HE, die man al$o von 27 Klaftern, 1 Schuh, 6 Zollen, 4 Linien und 8 Puncten findet.

Weilen ein jeder der Winckel, die auf der Grund-Linie des gleich- $chencklichten Dreyecks liegen, von 80 Graden und 47 Minuten i$t, in- dem der der Grund-Linie entgegen $tehende Winckel von 18 Graden, und 26 Minuten i$t, $o folgt daraus, da{$s}, wann man den Winckel GED der 18 Grad und 26 Minuten hat, von dem Winckel HED ab- ziehet, der Winckel HEG von 62 Graden und 21 Minuten übrig blei- be, de$$en Supplementum, oder der Schulter-Winckel HEB al$o von 117 Graden und 39 Minuten i$t; wann man hingegen den Winckel GHD der auch von 18 Graden und 26 Minuten i$t, zu dem Winckel DHE ad- [0301] dirt, $o bekommt man den Flanquir-Winckel GHE von 99 Graden und 13 Minuten.

Weilen man nun in dem Dreyeck GHE alle drey Winckel $amt der Seite HE kennet, $o findet man die Courtine, wann man $agt: wie $ich der Sinus des Winckels HGE zur Seite HE verhalt, al$o verhalt $ich der Sinus des Winckels HEG zur Courtine GH, die man al$o von 76 Klaftern, 2 Schuhen, 1 Zoll, 4 Linien und 3 Puncten findet.

Um den flanquirten Winckel, oder den Ba$tions-Winckel zu fin- den, $o betrachtet, da{$s} er um den doppelten Winckel D AI kleiner $eye als der Polygons-Winckel; und weilen wir dahier ein Sechseck $uppo- niren, davon der Polygons-Winckel von 120 Graden i$t, $o mu{$s} man 36 Grad und 52 Minuten von 120 Graden abziehen, da bekommt man den Ba$tions-Winckel von 83 Graden und 8 Minuten.

Auf die$e Art kan man alle Fronten einer Fortification, deren äu$- $ere Seite mehr oder weniger als 180 Klafter hätte, berechnen, indem die Proportionen allezeit einerley $eynd. Al$o wann man die Linien und Winckel, daraus ein Horn- oder Kronen-Werck be$tehet, ausrech- nen will, $o dörf man nur $eine äu$$ere Seite und Perpendicular $amt der Stellung eines Ba$tions kennen, um das übrige zu finden; Dero- wegen kan die$e Praxis $o wohl in der irregularen, als regularen Forti- fication Statt finden; Dann man mag die Flanquen perpendicular auf die Defens-Linien, oder auf die Courtinen machen, nachdem als man zu Zeiten gezwungen wird einer Manier mehr als der andern zu folgen, $o wird man die Berechnung eben $o leicht finden; nur wird erfordert, da{$s} man etliche Grö$$en kenne, durch welcher Hülf man den Uberre$t findet.

718. Unter allen Theilen einer Fortification habe ich keine $chwe- Fig. 226. rer zu berechnen gefunden, als die Facen des Ravelins, und man kan $o gar die$es als eine kleine Aufgab der Fortification an$ehen; Derowegen halte ich davor, man werde nicht übel zu frieden $eyn, wann ich die Auf- lö$ung davon geben werde; ob$chon $ie zwar leicht zu $eyn $cheinet, $o kan $ie doch einem Anfänger $chwer vorkommen. Damit man aber wi$$e, wie das Ravelin gezeichnet werde, $o mu{$s} man auf folgendes Ach- tung geben.

Nemlich man $ticht auf der Face des Ba$tions 5 Klafter oberhalb des Schulter-Winckels den Punct E ab, und aus dem Mittel-Punct C und mit dem Radio CE be$chreibt man einen Zirckel-Bogen, welcher, wo er die verlängerte Capital-Linie durch$chneidet, den Pnnct F zum Spitz des Ravelins gibt; nach die$em $ticht man den Punct D 3 Klaf- ter oberhalb des Schulter-Winckels ab, und ziehet die Linie FD: nach- [0302] dem man nun die Face DA bis in H verlängert, al$o da{$s} AH von 20 Klaftern $eye, und die Linie HK gezogen, $o determinirt die$e die Face IF des Ravelins, deren Werth man finden $oll.

Weilen es $ehr leicht wäre die Länge IF zu finden, wann man die Linien DI und DF kennete, $o wollen wir $ehen, wie die$e zu finden, und zu die$em Endzweck wollen wir die Linien DH, DK und CF ziehen; wir $upponiren aber, man kenne $chon vorhero alle Theile des Haupt-Pla- tzes, wie wir vorhero gewie$en. Nunmehro $uche ich in dem rechtwinck- lichten Dreyeck CLF den Winckel LCF und zwar durch Hülf der Linien LC und CF die mir bekannt $eynd, (weilen LC die Helfte der Courtine und CF der Linie CE gleich i$t), indem ich $age: wie $ich die Seite LC zur Seite CF verhalt, al$o verhalt $ich der Sinus Totus zur Secant des Winckels LCF, den ich al$o von 64 Gr. 55. Min. finde, wann ich nun von die$em den Winckel MCD der 18 Gr. 26 Min. i$t, abziehe, $o bleiben 46 Gr. 29 Min. vor den Winckel DCF übrig.

Weilen man in dem Dreyeck DCF die Seite DC von 88. Kl. 6. Z. und 2 P. und die Linie CF von 90 Kl. 6 Z. und 2. P. $amt dem darzwi$chen begriffenen Winckel DCF von 46 Gr. 29 Min. kennet, $o findet man nach §. 698. den Winckel CDF von 68 Gr. 15 Minuten und die Seite DF von 70 Klaftern, 2 Schuhen, 2. Linien und 6 Puncten.

Weilen wir auch den Winckel CDK $amt der Seite DK kennen mü$$en, $o betrachtet, da{$s} wir in dem Dreyeck CDK die Seiten DC und CK $amt dem darzwi$chen begriffenen Winckel kennen, und wir al$o den Winckel CDK von 17 Gr. 49 Min. und die Seite DK von 87. Kl. 5. Sch. 6. Z. 9. L. 7. P. finden.

Nun in dem Dreyeck HDK mü$$en wir noch über die Seite DK auch die Seite HD $amt dem darzwi$chen begriffenen Winckel kennen, um al$o die Aufgabe aufzulö$en; nun um die$es zu finden, $o betrachtet, da{$s} wir in dem Dreyeck AHD die Seite AD von 47. Kl. und die Sei- te HA von 20 Kl. kennen $amt dem Winckel HAD, (indem man nur den Ba$tions-Winckel von 180 Graden abziehen dörf); Wann wir nun $upponiren, die Fortification $eye ein Sechseck, $o i$t der Ba$tions- Winckel von 83 Gr. 8 Min.; Derowegen wann man ihn von 180 Gr. abziehet, bleiben 96 Gr. 52 Min. vor den Winckel HAD übrig, und wann man nach §. 698. den Winckel ADH $uchet, $o findet man, da{$s} er von 19 Gr. 40 Min. und die Seite HD von 53 Kl. 1. Sch. 5. Z. und 10 P. $eye.

[0303]

Wann man nun die Summ der beyden Winckel CDK und ADH von 180 Graden abziehet, $o bleiben 140 Gr. 17 Min. vor den Win- ckel HDK übrig.

Weilen wir nun in dem Dreyeck HDK, die Seiten HD und DK $amt dem darzwi$chen begriffenen Winckel kennen, $o findet man die beyde übrige Winckel nach §. 698. und in$onderheit den Winckel DKI, de$$en wir benöthiget $eynd, und der von 14 Graden 47 Minuten $eyn wird: Und weilen wir auch den Winckel FDK kennen mü$$en, $o findet man ihn von 50 Gr. 26 Minut. wann man nemlich den Winckel CDK von CDF abziehet. Die$es gibt uns nun den Werth des Winckels _D_IK, der al$o von 114 Gr. 47 Minut. $eyn wird. Nunmehro kan man die Seite _D_I finden; wann man $agt: wie $ich der Sinus des Supplementi des Winckels _D_IK zur Seite _D_K verhalt, al$o verhalt $ich der Sinus des Winckels DKI zur Seite DI, die man al$o von 24 Kl. 4 Sch. 3 Z. 3 L. findet; Die$e dörf man nur von der Linie DF abziehen, $o bleiben 45 Kl. 3 Sch. 8 Z. 11 L. und 6 Puncten vor die Face IF des Rave- lius übrig.

719. Um die halbe Kehle IN des Ravelins zu finden, $o betrach- tet, da{$s} man in dem Dreyeck ODF den Winckel DOF (der dem Win- ckel LOC gleich i$t, und den man findet, wann man den Winckel LCO von 90 Graden abziehet) und den Winckel ODF kennet, dadurch man al$o den Winckel DFO findet, der al$o von 40 Gr. 11 Min. $eyn wird; und weilen die$er Winckel $ich auch in dem Dreyeck INF befindet, in welchem man auch noch den Winckel FIN als das Supplementum des Winckels NID kennet, $o bekommt man al$o auch den Winckel INF von 74 Gr. 36 Minut. Derowegen mu{$s} man $agen: wie $ich der Sinus des Winckels INF zur Seite IF verhalt, $o verhalt $ich der Sinus des Winckels IFN zur Seite IN, die man al$o von 30 Kl. 3 Sch. 2 Z. und 6 L. findet.

* Um die Capital-Linie NF des Ravelins zu finden, $o dörf man nur $agen: Der Sinus des Winckels IFN verhalt $ich zur Seite IN als wie $ich der Sinus des Winckels FIN zur Seite NF verhalt. Wann man den flanquirten Winckel haben will, dörf man nur den Winckel IFN dupliren, um 80 Gr. 22 Minuten vor den Winckel IFP zu be- kommen.

Endlich wann man, um das Ravelin auszu$tecken, der Di$tanz LF benöthigt wäre, $o wäre es $ehr leicht $ie zu finden, indem man nur $a- gen dörf: wie $ich der Sinus Totus zur Tangent des Winckels LCF ver- halt, al$o verhalt $ich die Seite CL zur Seite LF, die man al$o von 81 Kl. 3 Sch. 4 Z. 2. L. und 6 P. findet.

[0304]

Ich rede nichts von der Manier, die $o wohl grade als krumme Li- nien, die die Contre$carpe des Grabens formiren, auszurechnen, wei- len es eine Sache i$t die man $ehr leicht finden kan; Desgleichen rede ich auch nichts von der Berechnung einer Fortification, deren Ba$tio- nen Orillons und hohle Flanquen haben, indem ich den Anfängern das Vergnügen la$$e, $ie von $ich $elb$ten zu finden; an deren Stelle aber will ich die Manier wei$en, wie eine Fortification auf dem Terrain aus- zu$tecken $eye. * Was die Berechnung der Orillons und holen Flan- quen betrift, da wird man $ie weiters unten in dem fünften Theil fin- den. Uberhaupt aber werde ich von der Berechnung der Länge und des cörperlichen Inhalts aller Linien, woraus eine Fortification $amt ihren unter$chiedenen Au$$enwerckern be$tehet, mit Gelegenheit in einem $onderbaren Tractat handlen.

Manier eine Fortification auf dem Terrain auszu$tecken.

720. Nachdem als man alle Linien und Winckel, woraus eine Fortification be$tehet, ausgerechnet, $o fangt man an in alle Spitz der Winckel, die das Polygon formiren $ollen, Stäbe einzu$tecken; nach die$em verbleibt man bey einer Front, bis da{$s} $ie völlig ausge$teckt i$t.

Wann man $upponirt, die beyde Puncten A und B $tellen $olche Fig. 228. zwey Spitze vor, in welche man Stäbe einge$teckt, und die die Länge AB einer Seite des Polygons, die z. E. von 180 Kl. $eye, determini- ren, $o $ehet welcher Manier man $ich bedienen mu{$s}, um die gantze Front auszu$tecken.

Wann man das Project der Fortification in dem Grund-Ri{$s} $amt der Berechnung aller Linien und Winckel hat, wie man die$es in der Fi- gur $iehet; Da macht man den Anfang, indem man den Fu{$s} des hal- ben Zirckels in die Stelle des Stabs A $etzet; nachgehends macht man mit der Grund-Linie AB und der beweglichen Linial einen Winckel EAB von 18 Gr. 26 Minuten, und nachdem man auf die Vi$ir-Linie AE ei- nen Stab einge$teckt, $o nimmt man, $o genau als möglich, eine Länge AC von 50 Klaftern, welche al$o eine Face des er$ten Ba$tions gibt. Nach die$em $tellt man den halben Zirckel in den Punct C, und macht mit der Linie CA den Winckel ACD von 117 Gr. 39 Minuten, welcher al$o der Schulter-Winckel $eyn wird; Endlich macht man die Linie CD von 27 Klaftern, 1 Schuh, und 6 Zollen, um die Flancq zu bekommen.

[0305]

Die$e nemliche Operation wiederholt man auf der Seite, wo der Stab B $tehet, und nachdem man die Puncten F und E mit Stäben be- mercket, $o gehet man zu dem Stab E, um zu $ehen, ob er $ich mit den Stäben C und A in einer graden Linie befindet, damit man al$o ver$i- chert $eye, ob die Verlängerung der Face AC $ich genau in dem Spitz des Flanquir-Winckels endige; Eben die$es wiederholt man auch an dem Stab D, um von der Accurate$$e der Face BF ver$ichert zu $eyn. Nach die$em dörf man nur die Courtine ED, wie auch die Facen und Flanquen der Ba$tionen mit einem Strick bemercken; und um zu $e- hen, ob man $ich bey den Facen und Flanquen nicht geirret, dörf man nur die Courtine ausme$$en, um zu $ehen, ob $ie mit ihrer Berechnung überein$timme.

Andere Manier durch Hülf eines Me{$s}-Ti- $chels eine Fortification auf dem Terrain auszu$tecken.

721. Weilen man nicht allezeit ein halben Zirckel haben kan, $o Fig. 227. & 228. will ich eine Manier wei$en, nach welcher man ihn entbehren kan, in- dem es nicht nöthig i$t, die Winckel zu kennen.

Nemlich man mu{$s} auf einem Bogen Papier nach dem grö$ten Maa{$s}-Stab, der möglich i$t, die Wercker der Front, die man aus$te- cken will, aufzeichnen; und nach die$em den Grund-Ri{$s} mit Spanni- $chem Wax auf das Me{$s}-Ti$chel anheften, und die$es zwar al$o, da{$s} das Papier keine Falten habe; po$ito es $telle das Quadrat ST das Me{$s}-Ti$chel vor, da gebt acht, wie man $ich $einer bedienet.

Man nimmt ein Linial, das an $einen beyden Enden mit Dioptren oder Ab$ichten ver$ehen i$t, und $tellt den Fu{$s} des Me{$s}-Ti$chels in den Punct A; nach die$em legt man die eine Seite des Linials, auf wel- cher die Ab$ichten $tehen, an die Linie LM, und drehet das Me{$s}-Ti$chel al$o, da{$s} die Linial in die$er Situation mit den Stäben A und B in ei- ner graden Linie $tehe, und da mu{$s} man das Me{$s}-Ti$chel fe$t an$chrau- ben, damit es nicht wancke: nach die$em mu{$s} man das Linial an die Face LN anlegen, und nach der Vi$ir-Linie einen Stab ein$tecken; end- lich dörf man nur noch die Länge der Face ab$tecken, wie vorhero gewie- $en worden, und ihr End C mit einem Stab bemercken.

Nach die$em $etzet man das Me{$s}-Ti$chel in den Punct C, al$o da{$s} die Linie LN mit der Face AC in einer graden Linie $tehe, und legt das Linial an die Linie NO, um den Winckel ACD, welcher dem Winckel [0306] LNO gleich $eyn mu{$s}, zu determiniren, und der Flancq CD ihre gehö- rige Länge zu geben. Endlich wann man von dem Punct B auch die Face MP und die Flanc PQ ab$teckt, $o bekommt man die Puncten F und E, welche vollends die Front der Fortification determiniren.

Application der Trigonometrie zur Kun$t die Minen-Gallerien zu führen.

722. Weilen man $ich der Minen $o wohl in der Attaque, als in der Defen$ion der Ve$tungen nunmehro $ehr $tarck bedient, $o halte ich vor gut, zu wei$en, wie die Trigonometrie $o wohl zum Nutzen der Be- lagerer, als der Belagerten zur Kun$t Minen anzulegen, könne appli- cirt werden.

Die Belagerer bedienen $ich der Minen, theils um $ich ein Loge- ment auf dem Glacis des bedeckten Weegs zu machen, theils auch um eine Bre$che an den Werckern, wo man $ich logiren will, zu legen; und die Belagerte bedienen $ich der$elben, um die Batterien und Logemen- ter des Feinds, die $ich zu näch$t an der Contre$carpe befinden, über ei- nen Hauffen zu werfen. Allein weilen $o wohl die Belagerer als Be- lagerte insgemein Gruben (die man $on$ten auch Brünnen nennet) oder Staflen machen, um die Gallerie anfangen auszugraben, und de- ren Tieffe $ich nach der Linie des $chwäch$ten Wider$tands richten mu{$s}, $o ge$chicht es $ehr oft, da{$s} wann die Minirer kaum 2 Klafter von der Gallerie ausgehölt, $ie $chon eine Hindernu{$s} antreffen, derglei- chen $eynd ein $ehr harter Fel$en und eine lebendige Quelle, welche $ie al$o verhindern in grader Linie fortzugehen. In die$em Fall be$tehet die gemeine Praxis in die$em: Nemlich der Minirer drehet $ich entwe- der auf die rechte oder auf die lincke Hand, und zwar unter einem rech- ten Winckel, um al$o durch etliche Umgänge wieder in $einen Weeg zu kommen. Z. E. wann der Minirer von A anfangt um gegen B zu ge- Fig. 229. hen, und er, wann er bis D kommt, eine Hindernu{$s} C findet, $o drehet er $ich auf die Seite, indem er einen rechten Winckel ADE und die Li- nie DE $o lang macht, als er es vor nöthig findet: nach die$em macht er wieder einen rechten Winckel DEF und gehet von E bis F, allwo er die Hindernu{$s} ein End zu haben glaubet; Endlich macht er wieder ei- Bey den Minirern wird die Perpendicular-Linie, die man $ich von der Kammer bis an die obere Fläche der Erden gezogen, einbildet, und die al$o die Höhe der Erden, die die Mine aufheben $oll, andeutet, die Linie des $chwäch$ten Wider$tands genennet. [0307] nen rechten Winckel EFG, und macht die Seite FG der Seite DE gleich; Wann er nun bis in G gekommen, $o i$t er wieder mit AB in grader Linie; al$o wann er den rechten Winckel FGB macht, und gegen B fort arbeitet, $o kommt er in den Punct B als wann keine Hindernu{$s} gewe$en wäre. Allein weilen alle die$e Umgänge viel Zeit und Arbeit ko$ten und $ie auch die Circulation der Luft in etwas verhindern, $o kan man folgende Manier, welche Trigonometri$ch i$t, und wodurch man ei- nen kürtzern Weeg gehet, erwählen.

Ich $upponire nun, man $eye von O bis in H gekommen, allwo Fig. 230. man eine Hindernu{$s} T angetroffen, $o mu{$s} man $ich unter einem rech- ten Winckel auf die Seite drehen, und die Linie HI $o kurtz machen als es möglich i$t. Nach die$em mu{$s} man den Weeg OH den man ge- macht, von dem Weeg OK der zu machen i$t, abziehen, um die Diffe- renz HK, an deren äu$$er$ten Punct K man die Kammer anlegen $oll, zu bekommen. Nun in dem rechtwincklichten Dreyeck IHK kennet man die Seiten HI und HK, daraus findet man al$o den Winckel HIK und die Seite IK. Nunmehre dörf man nur den Winckel HIK dem aus- gerechneten Winckel gleich machen; Die$es kan gar füglich gemacht werden, wann man den Proportional-Zirckel, de$$en Schenckel man $chon auf den ausgerechneten Winckel gericht, auf ein gro$$es Winckel- Maa{$s}, de$$en Schenckel beweglich $eynd, auflegt, damit es al$o den aus- gerechneten Winckel formire. Endlich wann man noch die Hypothe- nu$am IK der ausgerechneten Hypothenu$æ gleich macht, $o kommt man præci$e in den Punct K, als wann keine Hindernu{$s} im Weeg ge- $tanden wäre.

723. Die Pulver-Kammern werden nicht allezeit an das Ende Fig. 231. der Gallerien angelegt, indem eine Gallerie fa$t allezeit zu mehrerern Kammern führet, welche durch andere kleine Gallerien, die man auch Seiten-Gallerien nennet, voneinander $eparirt werden. Z. E. wann man eine Gallerie HF hat, an deren End $ich ein Seiten-Gallerie FA befindet, die zu einer Kammer G führet; Da pflegen die Minirer, nach- dem die Kammer geladen, $ie mit $tarcken Brettern, die wohl durch Zwerch-Balcken unter$tützet werden, zu ver$topfen, und füllen die Sei- ten-Gallerie AF $amt einem Theil der Haupt-Gallerie FH mit Erden und Steinen rc. aus, damit al$o das Pulver keinen $chwachen Wider- $tand von der Seiten der Gallerie finde. Um nun zu bewürcken, da{$s} das Pulver $eine Würckung gegen die Höhe thue, $o wird erfordert, da{$s} die Linie des $chwäche$ten Wider$tands BC kleiner $eye, als jede an- dere Linie, die man aus dem Punct G um die Kammer herum ziehen könnte: Al$o wann die Gallerie nur bis an den Punct I ver$topft und [0308] die Linie GI kleiner wäre als CB, $o würde die Mine an$tatt in die Hö- he zu agiren, ihre grö$te Würckung gegen die Seite der Gallerie thun. Um nun den Punct E zu finden, al$o da{$s} die Linie GE der Linie CB gleich $eye, $o betrachtet, da{$s} das Dreyeck GFE rechtwincklicht i$t, davon man die Seite GF, (weilen $ie die Länge der Seiten-Gallerie i$t, die wir von 8 Schuhen $upponiren,) und die Seite GE kennet, weilen $ie der Linie CB gleich, die wir von 24 Schuhen $upponiren; Derowegen findet man nach §. 688. die Seite FE.

Inde$$en weilen man in die$em Fall die Trigonometrie entbehren kan, $o wollte ich lieber die Seite GE quadriren, und von die$em Qua- drat das Quadrat der Seite FG abziehen, um das Quadrat von FE zu bekommen, daraus man die Quadrat-Wurtzel ausziehet, um FE zu ha- ben, die man al$o von 22 Schuhen $amt einem Uberre$t findet; Dero- wegen mu{$s} man die Gallerie 22 Schuh weit ver$topffen. Allein wei- len die$e herbeygebrachte Erde keinen $olchen Wider$tand thun kan als wie die alte unumgearbeitete, $o mu{$s} man, damit die Mine ihre Wür- ckung nicht gegen die Seite der Gallerie thue, 4 bis 5 Schuh mehr aus$topfen.

Bericht an den Le$er.

Ich hätte in der Application der Trigonometrie zur Berechnung der Linien, woraus eine Fortification be$tehet, viel weitläuftiger $eyn können, allein die Kürtze, die ich mir in gegenwärtigem Werck vorge- nommen, und die Betrachtung die ich gemacht, da{$s} die$es mehr zu ei- nem voll$tändigen Tractat von der Fortification, als zu meinem End- zweck gehöre, haben mir nicht erlaubet mehrers davon zu reden.

[0309] CURSUS MATHEMATICUS. Dritter Theil. Allwo man von der Theorie und Praxi des Nivellirens handelt. Erklärungen. I.

724. MAn $agt, da{$s} zwey Puncten miteinander wagrecht $tehen, wann beyde gleichweit von dem Mittel-Punct der Erden entfernet $eynd.

725. Dahero wird eine $olche Linie, deren alle Puncten gleich weit von dem Mittel-Punct der Erden entfernet $eynd, eine wahrhaf- tige _Horizontal-_Linie genennet; Die$e mu{$s} al$o wegen der Figur der Erden eine krumme Linie $eyn.

726. Derowegen kan man $agen, da{$s} die obere Fläche der Seen, Teichen und aller andern Gewä$$er, die nicht in Bewegung $eynd, eine unendliche Menge wagrechter Puncten in $ich enthalte, indem alle gleich weit von dem Mittel-Punct der Erden entfernet $eynd.

II.

727. Die $cheinbare H_orizontal-_Linie i$t eine Linie BD, die zu Fig. 232. dem Zirckel der Erden eine Tangent i$t, und die al$o auf dem Radio AB [0310] perpendicular $tehet; Die$e Linie wird die $cheinbare Horizontal-Linie genennet, weilen ihre äu$$er$te Puncten B und D nicht gleich weit von dem Mittel-Punct der Erden entfernet $eynd: Al$o wird eine jede Li- nie, die mit einem kleinen Stuck der Horizontal-Linie parallel lauft, und die, wann $ie auf einer Seite verlängert wird, von der Fläche der Erden immer mehr, als wie eine Tangent von der Circumferenz eines Zirckels abweicht, eine $cheinbare Horizontal-Linie genennet.

728. Weilen der Punct B mit dem Punct C wagrecht $tehet, indem $ie gleich weit von dem Mittel-Punct A der Erden entfernet $eynd, $o $iehet man, da{$s} der Punct D um die gantze Linie CD höher $tehe als der Punct B; Derowegen kan man $agen, da{$s} die Linie CD die _Differenz_ $eye zwi$chen der $cheinbaren und wahrhaftigen _Ho-_ _rizontal-_Linie.

729. Wann die $cheinbare Horizontal-Linie nicht über 100 bis 120 Klafter lang i$t, $o kan man $ie vor eine wahrhaftige Horizontal- Linie annehmen, indem ihre äu$$er$te Puncten um eine $olche kleine Dif- ferenz in der Höhe unter$chieden $eynd, da{$s} man $ie vorbey la$$en kan; wann $ie aber grö$$er i$t, $o mu{$s} man die Differenz der $cheinbaren und wahrhaftigen in Betrachtung ziehen, wie wir die$es an $einem Ort wei- $en werden.

III.

730. Wan man zwey Oerter nivelliren will, um zu wi$$en, um wie viel der eine höher oder niedriger $eye als der andere, $o nennet man die$e beyde Oerter _Terminos_. Und zwar derjenige Ort wo man ange- fangen hei{$s}t der er$te, und derjenige, wo $ich die $cheinbare Horizontal- Linie endiget, wird der zweyte _Terminus_ genennet.

Er$tes Capitul, Von Dem Gebrauch der Wa$$er-Waag.

731. DAs vornehm$te Stuck der Wa$$er-Waag i$t eine blecherne Fig. 233. Röhre AB, die 5 bis 6 Schuh lang, und an ihren Enden C und D gekrümmet i$t; Die$e Röhre kan wohl einen Zoll im Diametro haben; an beyden Enden befinden $ich zwey glä$erne Fla- $chen FC und GD, welche die Haupt-Sache des Nivellirens ausmachen: [0311] Damit die$e Fla$chen füglich können gebraucht werden, $o mü$$en $ie von einem $ehr wei$$en Glas, das $ehr hell und durch$ichtig i$t, gemacht $eyn; Die obere Zirckel F und G, die etwann 3 Zoll im Diametro ha- ben, $eynd eigentlich die Böden der Fla$chen, in deren Mitten $ich eine runde Eröfnung von einem Zoll befindet: Die$e Fla$chen, die etwann 5 Zoll hoch $eynd, haben einen kleinen Hals, de$$en Dicke kleiner als die Dicke der Röhre $eyn mu{$s}; indem $ie in ihre beyde Ende C und D mü$$en eingeküttet werden: An der Mitte der Röhre AB befindet $ich eine Nu{$s} $amt ihrer Schaale, die an den Fu{$s} MN befe$tiget wird, al- $o da{$s}, wann man die Waag an einen Ort ge$tellt, man $ie auf alle Arten herum drehen kan, ohne den Fu{$s} zu bewegen.

Wann man $ich die$es In$truments bedienen will, $o $chüttet man Wa$$er in die eine Fla$chen, welches al$obald auch in die andere gehet, indem die Röhre an ihren beyden Enden offen i$t; und wann die$e Fla- $chen bis etwann zwey Drittel angefüllet $eynd, $o formirt das Wa$$er zwey Flächen H und I, welche vollkommen einerley Höhe haben. Wann man nun wi$$en will, um wie viel der Terminus Q höher $eye als der Terminus P, $o $chickt derjenige, der das Haupt-Werck führet, einen Gehülfen zu dem zweyten Termino Q, allwo er einen Stab $o perpen- diculariter ein$teckt als es möglich, den er mit der lincken Hand haltet, indem er in der rechten einen wei$$en Pappendeckel von der Grö$$e des Bodens eines Huts halten mu{$s}; in der Mitten die$es Pappendeckels macht man einen $chwartzen Zirckel von einem Zoll im Diameter; po$i- to nun die$er Gehülfe $eye vollkommen in$truirt von den Bewegungen die er machen mu{$s}, um entweder gegen die Rechte oder gegen die Lincke zu gehen, oder auch um den Pappendeckel nach der Länge des Stabs zu erhöhen, oder zu erniedrigen, nach den unter$chiedenen Zeichen die man ihm gibt, $o vi$irt derjenige der das Werck führet, nach der Hori- zontal-Linie des Wa$$ers an den Punct L des Stabs, der al$o mit den Puncten K und I in grader Linie i$t; und gibt dem Gehülfen Zeichen den Pappendeckel $o lang an dem Stab auf-und hinunter zu bewegen, bis da{$s} der ober$te Punct des Schwartzens $ich ju$t in L befinde; nach die$em gibt er ihm ein anders Zeichen, wodurch er ihm zu ver$tehen gibt, da{$s} es recht $eye; Nachgehends me{$s}t ein anderer Gehülf, der mit dem er$ten i$t, die Höhe QL aus, die ich dahier von 2 Schuhen und 9 Zollen $upponire, und während die$er Zeit me{$s}t ein dritter Gehülf, der denje- nigen der das Werck führet nicht verla{$s}t, die Höhe KP aus, die ich da- hier von 4 Schuhen und 6 Zollen $upponire. Wann man nun die bey- der$eits gefundene Höhen aufge$chrieben, und die beyde ausge$chickte Gehülfen auch wieder zuruck gekommen, $o $ucht man die Differenz der [0312] beyden Höhen PK und QL, indem man die Kleinere von der Grö$$eren abziehet, da bekommt man al$o 1 Schuh und 9 Zoll, um welche der zweyte Terminus höher i$t als der er$te: Al$o $iehet man, da{$s} das Ni- velliren in nichts anders be$tehe, als in Erfindung um wie viel ein Ort höher $eye als ein anderer.

732. Weilen die Vi$ir-Linien, die man durch die$es In$trument findet, nicht länger als 100 bis 120 Klafter $eyn können, $o i$t es nicht nöthig, da{$s} man auf die $cheinbare Horizontal-Linie in $o kleinen Ope- rationen, wie die$e i$t, acht gebe, indem man die $cheinbare vor die wahrhaftige annehmen kan.

733. Von wegen der Kürtze der Vi$ir-Linien, mu{$s} man, wann Fig. 234. die beyde Termini, die man nivelliren will, weiters als wir vorhero $up- ponirt haben, von einander entfernet $eynd, mehrere Stationen anneh- men; Doch wann die Di$tanz der Terminorum nur etwann doppelt $o gro{$s} als die Vi$ir-Linie i$t, $o kan man es durch eine eintzige Station ver- richten, indem man $ich ohngefehr in die Mitte po$tirt; nur wird er- fordert, da{$s} man von die$er Station beyde Terminos entdecken könne.

Z. E. Es wäre die Di$tanz von A zu B von 220 Klaftern, und man wolte wi$$en, um wie viel der Terminus A niedriger $eye als der Terminus B, $o mu{$s} man die Wa$$er-Waag ohngefehr in die Mitten C der Di$tanz AB $etzen, und nach die$em von D gegen E und al$o gegen das Schwartze, welches der Gehülf in den Punct G wird ge$etzt haben, vi$iren; und da $upponire ich, die Linie BG wäre von 2 Schuhen 4 Zol- len. Nachgehends gehet derjenige, der die Operation macht, von der Fla$chen _D_ weg, um zur Fla$chen E zu kommen, allwo er wieder von E gegen F vi$iret, dann bey dem Ort A mu{$s} wieder ein anderer Gehülfe $eyn, der den Stab und den Pappendeckel haltet: und weilen es ge$che- hen kan, da{$s} die Linie AF höher als 6 Schuh $eye, $o mu{$s} man in die- $em Fall einen andern Stab haben, an de$$en einem End man den Pap- pendeckel applicirt, und da mu{$s} man die$en Stab, nach der Länge des andern bewegen, bis da{$s} $ich das Obere des $chwartzen Zirckels in der Vi$ir-Linie EF befinde; Nachgehends me{$s}t ein anderer Gehülf die Hö- he FA accarat aus. Wann wir nun $upponiren, man habe die$e Höhe von 9 Schuh und 6. Zollen gefunden, $o mu{$s} man von die$er Höhe die Höhe BG von 2 Schuh 4 Zollen abziehen; Da wei{$s}t uns die Diffe- renz da{$s} der Terminus A um 7 Schuh 2 Zoll niedriger $eye als der Ter- minus B.

Die$e Manier zu nivelliren i$t die be$te unter allen, indem $ie am wenig$ten den Fehlern unterworfen i$t, die $o wohl von der $cheinbaren Horizontal-Linie als der Refraction herkommen können; Dann wann [0313] der Punct C in der Mitten der Di$tanz der beyden Terminorum i$t, $o $eynd die beyde Puncten F und G vollkommen mit einander wagrecht, indem $ie gleich weit von dem Mittel-Punct der Erden entfernet $eynd; und über die$es macht man durch die$e Manier viel weniger Stationen, als wann man von einem Termino zum andern gienge.

Zweytes Capitul Von Dem componirten Nivelliren.

734. WAnn die beyde Termini, die man nivelliren will, viel wei- ters voneinander entfernet $eynd, als wir in vorherge- hender Operation $upponirt haben, $o mu{$s} man mehre- re Stationen annehmen, und in die$em Fall wird es ein componirtes Nivelliren genennet; Dann man mu{$s} in der That mehr als einmal ni- velliren, wie man es in folgendem $ehen wird.

Um die zwey Terminos A und B zu nivelliren, deren Di$tanz ich Fig. 235. von 680 Klaftern $upponire, mu{$s} man die$e Zahl durch 200 oder 220 dividiren, um zu $ehen, wie viel Stationen man annehmen mu{$s}; Dann in vorhergehender Operation hat man durch eine eintzige Station eine Di$tanz von 220 Klaftern nivellirt; Al$o weilen man 3 zum Quo- tienten bekommt, $o $iehet man, da{$s} man die Di$tanz AB in dreyen Sta- tionen nivelliren kan. Nun um die$es zu verrichten, $o $uche ich in der Di$tanz AB drey Puncten, die ich vor commod finde; ich nehme al$o gleich den Punct C ohngefehr in der Mitten der Di$tanz AB, allwo ich einen Stab ein$tecke; Desgleichen $tecke ich auch einen Stab ohngefehr 100 bis 110 Klafter weit von dem Punct A in _D,_ wie auch einen drit- ten in den Punct E der eben $o weit auch von dem Punct B entfernet i$t, und $o viel als möglich, mü$$en die$e drey Stäbe mit den bey- den Terminis A und B in grader Linie $tehen. Wann man nun auf die$e Art die drey Stationen D, C und E determinirt hat, $o mu{$s} man zwey Gehülfen zu dem er$ten Termino A $chicken, deren einer einen oder zwey Stäbe trägt, und der andere die Höhen auf$chreiben mu{$s}; Man $chickt auch einen dritten Gehülfen gegen die Mitte der Di$tanz DC, welcher nicht von $einer Stelle weggehen darf, bis nicht die Ope- rationen in der er$ten und zweyten Station völlig vorbey $eyen, indem [0314] $ein Stab als ein gemeiner Terminus vor die er$te und zweyte Station dienen mu{$s}.

Ferner $tellt man die Wa$$er-Waag in den Punct D, und vi$irt von dem Punct T gegen S, damit al$o die Vi$ir-Linie TM das Obere des $chwartzen Zirckels antreffe; Da me{$s}t der zweyte Gehülf die Höhe AM, die ich von 8 Schuhen und 2 Zollen $upponire, und die er auf eine Schreib-Taffel auf$chreiben mu{$s}; Nach die$em vi$iret man von S gegen T um das Schwartze in dem Punct K zu entdecken, und weilen es nicht nöthig i$t die Höhe KF zu wi$$en, indem $ie mehr Confu$ion als Nutzen bringen würde, $o bemercket nur der Gehülf, welcher bey die$em Stab $tehet, mit der Kreyde den Punct K. Nachgehends gehet man zur zweyten Station, und $chickt wieder einen Gehülfen gegen die Mitte der Di$tanz CE an den Punct G, welcher wiederum $einen Po$ten nicht ver- la$$en darf, bis man die Operationen in der zweyten und dritten Station verrichtet. Nunmehro mu{$s} man von Q durch R vi$iren, um den Punct L des $chwartzen Zirckels zu entdecken, und wann man ihn gefunden, mu{$s} man die Höhe KL, welche die Di$tanz zwi$chen dem mit Kreyden be- merckten Punct K und dem Punct L i$t, ausme$$en, und derjenige, der die Schreib-Taffel bey dem Ort A geführt, kommt zu dem Punct F, um allda die Höhe KL aufzu$chreiben, die ich von 3 Sch. 6. Zoll $up- ponire: Nach die$em mu{$s} man von R gegen Q vi$iren, damit derjeni- ge, der $ich in G befindet, auf dem Stab den Punct H mit der Krey- den bemercken kan; Die$er bekümmert $ich wieder nicht um die Höhe GH, weilen $ie, wie wir $chon oben ge$agt, nicht nöthig i$t zu wi$$en. Endlich $tellt man die Wa$$er-Waag in die dritte Station E, und vi$irt von P durch O gegen I, und me{$s}t die Linie HI aus, die ich von 4 Sch. 3 Z. $upponire; Die$e Höhe $chreibt man wieder in die Schreib-Taffel: Nach die$em vi$irt man noch von O gegen N; und der Gehülfe, der bey B i$t, me{$s}t die Höhe BN aus, die ich von 1 Sch. 6. Z. $upponire; Die- $e mu{$s} man irgend allein auf$chreiben; indem die$e Höhe nichts gemei- nes hat mit denjenigen, die man $chon aufge$chrieben.

Wann al$o das Nivelliren vorbey i$t, $o mu{$s} man die Höhen, die man in der Schreib-Taffel aufge$chrieben, nemlich die 8 Sch. 2 Z. die 3 Sch. 6. Z. und die 4 Sch. 3 Z. zu$ammen addiren, um die Summ 15 Sch. 11 Z. zu haben, von welcher man die Höhe BN von 1 Sch. 6 Z. $ubtrahirt; Da i$t die Differenz 14 Sch. 5. Z. um welche der Ort B höher ligt als der Ort A.

[0315] Drittes Capitul Von Der Manier zwey Terminos zu nivelliren, zwi$chen welchen $ich Höhen und Tieffen befinden.

735. WAnn man zwey Terminos, die $ehr weit voneinander ent- fernet $eynd, nivelliren will, $o ge$chicht es $elten, da{$s} man nicht unter Weegs Höhen und Tieffen antrift, die al$o machen, da{$s} man bald hinauf-warts bald hinunter-warts nivelli- ren mu{$s}; und in die$em Fall mu{$s} man gewi$$e Sachen in Obacht neh- men, davon wir noch nichts geredet haben; Die$e be$tehen in folgen- dem: Nemlich man mu{$s} alle Höhen, die man im aufwarts Nivelliren gefunden, in eine Colonne, und alle Höhen, die man im hinunterwarts Ni- velliren findet, in eine andere Colonne $chreiben; und um $ie ins künfti- ge voneinander zu unter$cheiden, $o wollen wir diejenige Colonne, in welche man alle Höhen ge$chrieben, die man im aufwarts Nivelliren ge- funden, die er$te, und diejenige, in welche man alle Höhen ge$etzt, die man im hinunterwarts Nivelliren gefunden, die zweyte Colon- ne nennen. Die$es wird man in folgender Operation weitläufftiger $ehen.

Um die zwey Terminos A und B zu nivelliren. $o mu{$s} man die Fig. 236. Wa$$er-Waage in den Punct D $tellen, der etwann 100 Klafter von den Puncten A und 3 entfernet i$t, allwo man Gehülfen mit Stäben ge$chickt; Nachgehends mu{$s} man von D gegen C und gegen E vi$iren, und die Höhe AC von 6 Sch. und 4 Z. in die er$te Colonne $chreiben, und den Punct E mit einer Kreyden bemercken: von da $tellt man die Wa$$er-Waag in den Punct 4, der nicht ju$t in der Mitten der Linie FH i$t, indem der $chieffe Abfall von 3 bis 5 es nicht zulä{$s}t; Die$es verhindert aber die Accurate$$e der Vi$ir-Linien GF und GH gar nicht, indem $ie von einer kleinen Di$tanz $eynd. Wann man nun die beyde Puncten F und H determinirt hat, $o mu{$s} man die Höhe EF ausme$- $en, die ich von 9 Sch. 6. Z. $upponire; Die$e $etzt man wiederum in die er$te Colonne, inde$$en mu{$s} man nicht verge$$en den Punct H auf dem Stab 5 mit der Kreyde zu bemercken: Von die$er Station gehet man zur Station 6 und vi$iret wiederum von K gegen I und von K gegen L; [0316] Da bemercket man wiederum den Punct L, wie gewöhnlich, mit einer Kreyden, und $chreibt die Höhe HI in die er$te Colonne; Die$e $upponire ich von 7 Sch. von da gehet man in die Station 8, in welcher ich $upponire, man könne wegen dem $tarcken Abfall nur von N gegen M und nicht auch gegen die andere Seite vi$iren, da me{$s}t man die Hö- he LM von dem Punct L den man auf dem Stab mit Kreyden bemer- cket bis an den Punct M der Vi$ir-Linie; Die$e $upponire ich von 8 Sch. 2 Z. und weilen $ie eine Höhe i$t, die man im Hinunter$teigen ge- funden, $o $chreibt man $ie in die zweyte Colonne: Allein weilen die Höhe NO der Wa$$er-Waag wei$et, um wie viel der Punct O tieffer $eye als der Punct M, $o mu{$s} man auch die$e Höhe, die ich von 4 Sch. 6 Z. $upponire, ausme$$en, und $ie auch in die zweyte Colonne $chrei- ben; Nach die$em mu{$s} man in den Punct O einen Stab ein$tecken, und mit der Wa$$er-Waag weiters hinunter gehen, und $ie al$o $tellen, da{$s} die Vi$ir-Linie PO $ich an dem Fu{$s} des Stabs O endige: Nach- gehends vi$iret man von P gegen Q, und der Gehülf der die$en Stab hält, bemercket den Punct Q mit der Kreyden. Von da gehet man in die Station 11, und vi$iret von S gegen R und gegen T, um die Hö- he RQ zu bekommen, die ich von 3 Sch. $upponire; Die$e mu{$s} man in die er$te Colonne $chreiben, weilen es eine Höhe i$t, die man im Hinauf- $teigen gefunden; Nach die$em gehet man in die Station 13 und vi$irt von X gegen V und Y, und $chreibt die Höhe TV, die ich von 5 Sch. 5 Z. $upponire, in die er$te Colonne: Weilen es ge$chehen kan, da{$s} die Vi$ir-Linie XY $ich an einem Punct Y der Höhe endigen möchte, $o i$t es nicht nöthig, ein Zeichen mit der Kreyde auf dem Stab zu machen, $ondern man la{$s}t nur einen Gehülfen an die$em Ort $tehen, und gehet weiters in die Station 15; wann nun da die beyde Puncten Z und B durch die Vi$ir-Linien AZ und AB determinirt $eynd, $o me{$s}t man die Höhe YZ, die ich von 7 Sch. 4 Z. $upponire, die$e mu{$s} man wieder in die er$te Colonne $chreiben; nachgehends gehet man in die Sta- tion 17, um die beyde Puncten C und E durch die Vi$ir-Linien DC und DE zu determiniren; Den Punct E bemercket man wiederum mit der Kreyden; und weilen man die Höhe BC, die ich von 6 Sch. 6 Z. $up- ponire, im Hinunter$teigen gefunden, $o mu{$s} man $ie in die zweyte Co- lonne $chreiben. Endlich $tellt man die Wa$$er-Waag in die letzte Sta- tion B, um durch die Vi$ir-Linie GF die Höhe EF, die ich von 8 Sch. 5 Zollen $upponire, zu determiniren; Die$e $chreibt man in die zweyte Colonne, desgleichen auch die Höhe GB der Wa$$er-Waage, die insge- mein von 4 Sch. 6. Z. i$t.

[0317]

Nunmehro mu{$s} man die Zahlen der er$ten Colonne zu$ammen ad- diren, und da findet man, da{$s} ihre Summe von 38 Sch. 7 Zollen i$t; wann man auch die Zahlen der zweyten Colonne zu$ammen addirt, $o bekomt man 32 Schuh 1 Zoll vor ihre Summe; Die$e kleinere Summ ziehe ich von der vorigen grö$$ern, das i$t, 32 Sch. 1 Z. von 38 Sch. 7 Z. ab; Da findet man, da{$s} die Differenz 6 Sch. 6 Z. $eye, um wel- che al$o der Terminus A tieffer i$t als der Terminus B.

Wann man hinaufwarts nivelliren will, und man findet, da{$s} die Vi$ir-Linien allzu kurtz werden, welches al$o macht, da{$s} man de$to meh- rere Stationen machen mu{$s}, $o i$t zu mercken, da{$s} man gleich von An- fang auf den Gipfel der Höhe gehen, und beyder$eits hinunterwarts nivelliren kan; nur wird erfordert, da{$s} man alle Höhen, die man fin- det, indem man gegen den er$ten Terminum gehet, in die er$te Colonne, und alle Höhen, die man findet, indem man gegen den zweyten Termi- num gehet, in die zweyte Colonne $chreibe.

Z. E. Wann man die Differenz der Höhen der beyden Termino- rum A und B kennen will, und man findet, da{$s} man zu viel Zeit und Mühe brauche, indem man von einer Station zur andern gehet, $o $tellt man die Wa$$er-Waag in den Punct 6 als den Gipfel der Höhe, und nivelliret von 6 gegen A, und $chreibt alle Höhen die man gefunden in die er$te Colonne: Nach die$em nivellirt man von 6 gegen 10, und $chreibt alle gefundene Höhen in die zweyte Colonne. Endlich gehet man auf den Gipfel 15 des zweyten Hügels, und nivellirt von 15 ge- gen 10, und $chreibt wieder alle Höhen in die er$te Colonne; Nach die- $em nivellirt man von 15 gegen B, und $chreibt alle Höhen in die zwey- te Colonne. Der Uberre$t i$t wie in vorhergehender Operation.

Nach die$er Manier kan man in kurtzer Zeit ein gro$$es Stuck Weegs machen, dann allweil einer von 6 gegen A nivelliret, $o kan ein anderer von 6 gegen 10 nivelliren; Auf gleiche Weis können auch zwey Per$onen, die eine von 15 gegen 10, und die zweyte von 15 gegen B ni- velliren.

[0318] ### Er$te Colonne. # ### Zweyte Colonne. Schuh. # Zoll. # Linien # Schuh. # Zoll. # Linien. 6 # 4 # 0 # 8 # 2 # 0 9 # 6 # 0 # 4 # 6 # 0 7 # 0 # 0 # 6 # 6 # 0 3 # 0 # 0 # 8 # 5 # 0 5 # 5 # 0 # 4 # 6 # 0 7 # 4 # 0 # 32 Schuh. # 1 Zoll. # 0 Lin. 38 Schuh. # 7 Zoll. # 0 Lin. # Schuh. # Zoll. # Linien. # 38 # 7 # 0 # 32 # 1 # 0 Differenz # 6 Schuh. # 6 Zoll. # 0 Lin. Viertes Capitul. Manier zu erfahren, um wie viel die $chein- bare Horizontal-Linie höher $tehe als die wahrhaftige, $ie möge auch $o lang $eyn/ als $ie immer wolle.

736. IN den vorhergehenden Operationen hat man die Differenz der $cheinbaren und der wahrhaftigen Horizontal-Linie nicht in Betrachtung gezogen, weilen die Vi$ir-Linien $ehr klein $eynd, und auch die Operationen auf eine $olche Art ange$tellet worden, da{$s} man nicht Ur$ach hat, auf die$en Differenz acht zu geben: Allein weilen die Wa$$er-Waag nur vor kleine Di$tanzen dienen kan und $ie eine gro$$e Accurate$$e erfordert, in$onderheit wann man das Nivel- liren oft wiederholen mu{$s}, $o hat man ein anders In$trument dazu er- funden, mit welchem man durch Hülf einer Per$pectiv auf eine $ehr weite Di$tanz vi$iren kan. Den Gebrauch die$es In$truments wollen wir wei$en, nachdem wir in die$em Capitul die Manier, wie die Diffe- [0319] renz der $cheinbaren und wahrhaftigen Horizontal-Linie zu finden, wer- den gewie$en haben; Die$es i$t ab$olutè nothwendig zu wi$$en, wann man gro$$e Di$tanzen auf einmal nivelliren will.

737. Wir haben in der Geometrie ge$ehen, da{$s} das Quadrat der Fig. 232. Tangent BD dem Rectangulo der Secant GD und des äu$$ern Theils CD gleich $eye: Al$o wann man das Quadrat der Linie BD, durch die Linie GD dividirt, $o bekommt man die Linie CD. Allein weilen die Li- nie GC als der Diameter der Erden, den man von 6538594 Klaftern gefunden, nur um einen unendlich kleinen Unter$chied kleiner i$t, $o folgt daraus, da{$s} man die Linie GC vor die Linie GD annehmen könne, und da{$s}, wann man das Quadrat der Linie BD durch den Diameter GC der Erden dividirt, man die Linie CD, die der Unter$chied zwi$chen der $cheinbaren Horizontal-Linie und zwi$chen der wahrhaftigen i$t, bekom- me. Wann man nun $upponirt, die $cheinbare Horizontal-Linie BD $eye von 800 Klaftern, $o mu{$s} man $ie in Linien reduciren, deren man al$o 691200 bekommt; Die$e mu{$s} man quadriren, um 477757440000 vor das Quadrat der Linie BD zu bekommen. Wann man auch den Diameter der Erden der von 6538594 Klaftern i$t in Linien reducirt, $o bekommt man 5649345216 Linien, und wann man das Quadrat der Linie BD durch die$e vorhergehende Zahl dividirt, $o bekommt man ohn- gefehr 85 Linien oder 7 Zoll und 1 Linie vor die Differenz CD die zwi$chen der $cheinbaren und zwi$chen der wahrhaftigen Horizontal-Li- nie i$t.

738. Man kan auch noch auf eine andere Manier, die mehr Geometri$ch i$t, den Werth der Linie CD finden: Dann wegen dem rechtwincklichten Dreyeck ABD, $eynd die Quadrate der Linien AB und BD zu$ammen genommen, dem Quadrat von AD gleich. Derowegen dörf man nur den Radium der Erden, und die Linie BD quadriren, und die$e beyde Quadrate zu$ammen addiren, und aus der Summ die Qua- drat-Wurtzel extrahiren, die al$o der Linie AD gleich $eyn wird; Wann man nun von die$er Linie AD den Radium AB oder AC der Erden ab- ziehet, $o i$t die Differenz der Werth der Linie CD.

739. Es i$t zu mercken, da{$s} die Höhen zweyer Puncten einer $cheinbaren Horizontal-Linie, $ich gegen einander verhalten, als wie die Quadrate der $cheinbaren Horizontal-Linien; Dann wann man die Linie GC vor die Linie GD, und die Linie HK vor die Linie HI annimmt, und man betrachtet, da{$s} auf die$e Art das Quadrat BI dem Rectangulo von HK und KI gleich $eye, $o $iehet man, da{$s} die Quadrate der Linien BD und BI $ich gegeneinander verhalten, als wie die Rectangula, die ihnen gleich $eynd; Weilen aber ein jedes die$er Rectangulorum den Diame- [0320] ter GC oder HK zur Grund-Linie hat, $o verhalten $ie $ich gegeneinan- der, als wie ihre Höhen CD und KI; Derowegen verhalten $ich die Quadrate von BD und BI gegeneinander, als wie die Linien CD und KI.

740. Aus die$em kan man eine allgemeine Regel ziehen, um die Höhe eines $cheinbaren Vi$ir-Puncts, um die er höher als der wahr- haftige i$t, durch eine viel kürtzere Methode als die beyde vorhergehen- de waren, zu finden; Dann wann man wei{$s}, um wie viel ein $cheinba- rer Vi$ir-Punct einer gewi$$en bekannten Linie höher $eye als der wahr- haftige, $o kan die$e Differenz dienen um alle andere Längen zu finden.

Z. E. Wann man wei{$s}, da{$s} vor eine Di$tanz von 600 Klaftern der $cheinbare Vi$ir-Punct um 4 Zoll höher $eye als der wahrhaftige, und man wi$$en will, um wie viel der $cheinbare Vi$ir-Punct vor eine Di$tanz von 1000 Klaftern höher $eye als der wahrhaftige, $o macht man eine Regel de Tri, und $agt: Wann 360000 als das Quadrat von 600, 4 Zoll gibt, wie viel gibt 1000000 als das Quadrat von 1000. Da wird man finden 11 Zoll, 1 Linie und 4 Puncten, um welche der Vi$ir-Punct einer $cheinbaren Horizontal-Linie von 1000 Klaftern hö- höher i$t als der wahrhaftige.

Fünftes Capitul. Be$chreibung der Nivellir-Waag die Hugenius erfunden.

741. WIr haben bis hieher nur von der Wa$$er-Waag geredet, weilen man $ich deren, in Nivellirung kleiner Di$tanzen am mei$ten bedienet. Weilen aber diejenige Nivellir- Waagen, die mit Per$pectiven ver$ehen, um vieles commoder zu gebrauchen $eynd, indem man durch zwey oder drey Stationen und auch zu Zeiten durch eine eintzige Station zwey Terminos nivelliren kan, wel- ches durch die Wa$$er-Waag nicht ander$t, als durch viele Stationen ge$chehen könnte. In folgendem werde ich dasjenige In$trument, wel- ches Hugenius erfunden, be$chreiben, welches vor das commode$te und accurate$te von allen denjenigen, die von die$er Art erfunden worden, pa$$iren kan.

Einer der vornehm$ten Theilen die$es In$truments i$t der ku- Fig. 237. pferne Reif _D_, welcher zwey flache und einander ähnliche Aerme C und [0321] E hat, deren jeder etwann 6 Zoll lang i$t; Al$o da{$s} die Aerme $amt dem Reif eine Art eines Creutzes formiren. In die$en Reif wird die Per$pectiv, die etwann 2 Schuh lang i$t, einge$teckt; wann die$e Per- $pectiv nur zwey convexe Glä$er hat, $o $tellt $ie zwar die Objecta um- gekehrt, aber viel heller vor, als wann $ie viere hätte, durch welche man aber die Sach aufrecht $tehend $ehen könnte. Die Röhre die$er Per- $pectiv mu{$s} von Kupfer, oder von einer andern $tarcken Materie ge- macht $eyn, damit $ie im Stand $eye dem Wind und Wetter zu wider- $tehen.

An den Enden der beyden Aerme C und E werden zwey doppelte Dräte fe$t gemacht, welche durch kleine Ring durchgehen, und durch ei- ne Art Zangen von zwey Zähnen gehalten werden, deren eine an dem End ihres Arms fe$t, die andere aber auf eine $olche Art angemacht i$t, da{$s} man $ie eröfnen könne.

Weilen die Per$pectiv vermög des Reifs D an dem Hacken F hän- get, $o $tehet $ie durch Hülf des Gewichts, welches in der Ki$ten G ein- ge$chlo$$en i$t, und davon nur der Hacken heraus gehet, mit dem Hori- zont parallel.

Die$es Gewicht mu{$s} nur etwann $o $chwer als das Creutz $eyn, und der Uberre$t der Ki$ten wird mit Nu{$s}-oder Lein-Oel, oder auch mit einem andern flü$$igen Cörper, der nicht gefriert, noch auf eine an- dere Art conden$irt wird, angefüllet; Durch ein $olches Oel verhin- dert man das Wancken des Gewichts und der Per$pectiv. Inwendig in der Per$pectiv befindet $ich ein Seiden-Faden, der horizontaliter ausge$pannet i$t, und mit dem Brenn-Punct des Objectiv-Gla$es cor- re$pondirt; Die$en Seiden-Faden kan man durch Hülf einer Schrau- ben, die $ich um die Eröfnung H, die man in die Röhre gemacht, her- um bewegt, nach Belieben erhöhen, oder erniedrigen. Um die Röhre der Per$pectiv mu{$s} man wieder einen kleinen Reif, der $ehr leicht und nicht über den achtzig$ten Theil des Creutzes $chwer $eyn mu{$s}, anlegen: Die$er Reif mu{$s} nicht fe$t an die Röhre angemacht werden, indem man ihn frey auf und ab bewegen mu{$s}, um al$o die Per$pectiv ins Gleich- Gewicht zu $etzen, damit $ie mit dem Horizont parallel werde.

Die$e Ma$chine wird oben an ein Creutz von Holtz angehängt; und vor die$es i$t der Hacken F, den man durch Hülf einer Schrauben, wel- che den Ring fa{$s}t, erhöhen und erniedrigen kan: Unten an dem höltzer- nen Creutz i$t ein Ki$tel, in welchem $ich das Gewicht und das Oel be- findet.

Die$es In$trument bedeckt man mit einem andern holen Creutz, welches man auf das flache Creutz durch Hülf etlicher Hacken applicirt; [0322] Durch die$es verhindert man al$o, da{$s} das Wetter und die Luft dem In$trument nicht Schaden bringe, indem es al$o völlig einge$chlo$- $en i$t.

Um die$es In$trument zu rectificiren, $o mu{$s} man das In$tru- ment ohne Gewicht anhängen, und durch die Per$pectiv gegen ein wei- tes Objectum vi$iren; Da gibt man genau acht, welchen Punct des Objecti der Seiden-Faden durch$chneide, nach die$em hängt man das Gewicht unten an das In$trument an, und ob$ervirt ob der Seiden- Faden die$en nemlichen Punct durch$chneide, wann die$es i$t, $o i$t es eine gewi$$e Prob, da{$s} der Mittel-Punct der Schwäre, oder die zwey Puncten L und M, an deren einem L das In$trument, und an dem andern M das Gewicht hängt, mit dem Mittel-Punct der Röhre, oder auch mit dem Mittel-Punct der Erden corre$pondire; Allein wann nicht beydemal der Seiden-Faden den nemlichen Punct durch$chneidet, $o mu{$s} man das In$trument durch Hülf des beweglichen Reifs I verifi- ciren, indem man ihn $o lang hin und wieder bewegt, bis da{$s} die Per- $pectiv im Gleich-Gewicht $tehe; Wann nun die Per$pectiv $o wohl ohne, als mit dem Gewicht horizontaliter $tehet, $o mu{$s} man das In- $trument umkehren, nemlich man mu{$s} den untern Arm an den obern Hacken, und das Gewicht an den umgekehrten obern der nunmehr der untere i$t, anhängen.

Wann nach die$er Rectification der Seiden-Faden den nemlichen Punct des Objecti als wie zuvor durch$chneidet, $o i$t es ein Zeichen, da{$s} er ju$t durch die Mitte des Brenn-Puncts gehet; Allein wann er entweder ober-oder unterhalb die$es Puncts einen andern durch$chnei- det, $o mu{$s} man ihn durch Hülf der Schrauben $o lang erhöhen oder erniedrigen, bis da{$s} er einen mittlern Punct zwi$chen den beyden be- merckten Puncten ab$chneide; nach die$em wird das In$trument völlig rectificirt $eyn.

Der Fu{$s} die$es In$truments be$tehet aus einer ei$ernen oder ku- pfernen Taffel, die rund und ein wenig hol i$t, damit al$o das In$tru- ment de$to fe$ter darinnen $tehe: Die$e Taffel ruhet auf dreyen Stäben, an welche $ie durch Scharniere fe$t gemacht wird; Die$e Stäbe haben insgemein 3 bis 4 Schuh in der Höhe.

Die Figur N $tellt die Röhre, in welcher der horizontale Seiden- Faden $ich befindet, im gro$$en vor, die$er Seiden-Faden wird mit Wax an die Gabel K fe$t gemacht.

Es braucht $ich $o wenig, um in dem Nivelliren gro$$e Fehler zu begehen, da{$s} man nicht genug Vor$ehung gebrauchen kan, $ich $einer In$trumenten wohl zu bedienen; Derowegen mu{$s} man $ie vollkommen [0323] kennen, das i$t, man mu{$s} $ie al$o examiniren, da{$s} man auch ihre ge- ring$te Fehler wi$$e, unter welchen der vornehm$te i$t, wann die Vi$ir- Linie zu niedrig, oder zu hoch gehet.

Es i$t zwar wahr, da{$s}, wann auch die Nivellir-Waag des Herrn Hugenii die$en Fehler hat, man $ich deswegen nicht bekümmern dörf; Dann wann auf eine Art die Vi$ir-Linie niedriger gehet, $o gehet $ie auf eine andere Art höher, wann man nun den mittlern Punct zwi- $chen die$en beyden Puncten nimmt, $o hat man den $cheinbaren Vi$ir- Punct; i$t es al$o ein $onderbarer Vortheil von die$em In$trument, da{$s} man es umkehren kan; Weilen man aber $ich könnte eines andern In$truments bedienen, welches die$en Vortheil nicht hätte, $o habe ich vor gut befunden, die Manier zu wei$en, wie eine fal$che Vi$ir-Linie kön- ne corrigirt werden.

Wann man das In$trument an den Ort A ge$tellet, um gegen Fig. 238. DG zu vi$iren, $o $upponire ich, da{$s} man $chon gefunden, da{$s} der Sei- den-Faden, an$tatt den Punct C der $cheinbaren Horizontal-Linie BC, den Punct D der höher i$t als C, durch$chneide, indem die Vi$ir-Linie höher gehet; und wann man ob$ervirt, da{$s} auf eine Di$tanz von 200 Klaftern der Punct D um 2 Zoll höher $tehe als der Punct C, $o mu{$s} man in allen Operationen die man macht, wann nemlich der Fehler an dem In$trument nicht zu corrigiren i$t (indem man $upponirt, das In$trument wäre $chlecht gemacht worden), den Fehler durch die Rech- nung corrigiren. Al$o wann man eine andere Vi$ir-Linie BE z. E. von 600 Klaftern hat, $o $uche ich an welchen Punct der Höhen EH die ei- gentliche $cheinbare Horizontal-Linie an$to$$en mu{$s}, indem ich $chon zum Voraus wei{$s}, da{$s} es der Punct E nicht i$t, $ondern ein anderer, der weiter unten $tehet. Um ihn al$o zu finden, $o $age ich: Wann 200 Klafter die Vi$ir-Linie um 2 Zoll erhöhen, um wie viel Zoll erhöhen die- $elbe 600 Klafter; Da finde ich al$o 6 Zoll; Derowegen nehme ich den Punct F 6 Zoll weit unterhalb dem Punct E, und da i$t die Linie BF die eigentliche $cheinbare Horizontal-Linie. Wann aber die Vi$ir-Linie niedriger gehet, $o kan man nach eben die$er Regel den Punct der ei- gentlichen Horizontal-Linie finden; Dann $ie gründet $ich auf die Aehnlichkeit der Dreyecke BCD und BFE.

[0324] Sech$tes Capitul, Von Der Manier $ich der Nivellir-Waag des Herrn Hugenii zu bedienen.

742. WAnn man das In$trument an den zur Operation be$tim- ten Ort ge$tellet, $o mu{$s} man, wie gebräuchlich, einen Gehülfen auf eine gewi$$e Di$tanz hinaus $chicken, und durch die Per$pectiv den Punct, den der Seiden-Faden auf dem Maa{$s}- Stab durch$chneidet, accurat bemercken; und da mu{$s} derjenige Ge- hülf, der den Pappendeckel hält, ihn $o lang erhöhen und erniedrigen, bis da{$s} der $chwartze Zirckel mit der Vi$ir-Linie corre$pondire, nach die- $em mu{$s} er mit der Kreyde die$en Punct bemercken, und mu{$s} bey die- $em Stab verbleiben, bis da{$s} man ihm das Zeichen gibt; Während die$er Zeit kehrt derjenige, der vi$irt hat, das In$trument um, nemlich er hänget es an den untern Ring auf, und vi$irt wiederum durch die Per$pectiv; Da mu{$s} derjenige der bey dem Stab i$t, den Pappende- ckel wiederum erhöhen und erniedrigen, bis da{$s} das Schwartze in die Vi$ir-Linie falle, wann nun das In$trument gut rectificirt i$t, $o mu{$s} die$er Punct in den vorigen fallen; Wir $upponiren aber er falle un- terhalb den bemerckten Punct, $o mu{$s} man ihn accurat mit der Krey- den bemercken, und nach die$em die Differenz die$er zweyen Vi$ir-Linien in zwey gleiche Theile theilen, auf die$e Art bekommt man die eigentli- che $cheinbare Horizontal-Linie, von welcher man die Differenz, um wel- che die $cheinbare höher $tehet als die wahrhaftige, abziehet, um al$o die wahrhaftige Horizontal-Linie zn bekommen, die$e findet man nach die- $em was im vierten Capitul i$t gelehret worden; Man kan $ie auch noch auf eine andere Art ohne Rechnung finden, wie man in folgendem $ehen wird.

Nemlich es wären zwey Stäbe CA und BE, die z. E. 600 Klafter Fig. 239. voneinander entfernet wären, man begehrt zu wi$$en, um wie viel die $cheinbare Horizontal-Linie höher $eye als die wahrhaftige.

Um die$es zu finden, $o mu{$s} man das In$trument in den Ort A $tellen, und durch die Per$pectiv gegen den Stab BE vi$iren; po$ito die$e Vi$ir-Linie endige $ich in B, $o mu{$s} man die$en Punct mit der Krey- [0325] de bemercken und die$e Vi$ir-Linie verificiren, welches ge$chicht, wann man das In$trument umkehret; Wann wir nun $upponiren, der Punct B wäre der verificirte Punct, $o mu{$s} man das In$trument an den Ort E $tellen, und es al$o richten, da{$s} der Brenn-Punct der Glä$er des Per$pectivs mit dem Punct B accurat einerley Höhe habe. Nach die- $em mu{$s} man gegen den Stab AC vi$iren, und, nachdem die Vi$ir-Li- nie rectificirt worden, den Punct C, allwo $ie $ich endiget, bemercken; Wann man nun die Di$tanz CA accurat ausme{$s}t, $o $age ich, da{$s} $ie das Doppelte der Differenz, um welche die $cheinbare Horizontal-Li- nie höher $tehet als die wahrhaftige, $eyn wird; Dahier mu{$s} al$o CA von 8 Zollen gefunden werden: Dann wann man CA in dem Punct D in zwey gleiche Theile theilet, $o bekommt man die Linie CD von 4 Zollen, welche die Differenz der $cheinbaren und wahrhaftigen Horizon- tal-Linie vor eine Di$tanz von 600 Klaftern $eyn wird; Wie man auch die$es durch die Rechnung findet: Al$o $tehen die Puncten B und D mit einander wagrecht, indem $ie gleich weit von dem Mittel-Punct der Er- den entfernet $eynd, wie wir die$es wei$en werden.

Wann man den Punct A als den äu$$er$ten Punct eines Radii der Erden an$iehet, $o wird der Punct B um 4 Zoll weiter von dem Mit- tel-Punct der Erden entfernet $eyn als der Punct A; Allein der Punct C i$t auch um 4 Zoll weiter von dem Mittel-Punct der Erden entfer- net als der Punct B, $o i$t al$o der Punct C um 8 Zoll höher als der Punct A: Weilen nun jeder der Puncten C und B um 4 Zoll weiter von dem Mittel-Punct der Erden entfernet i$t als der Punct A; $o folgt daraus, da{$s} die$e beyde Puncten C und B mit einander wagrecht $tehen, nnd da{$s} al$o die Helfte der Linie CA die Differenz i$t, um wel- che die $cheinbare Horizontal-Linie höher $tehet, als die wahrhaftige.

Daraus $iehet man, da{$s} man durch das Zuruck-Nivelliren auf ei- ne $ehr leichte Art kan zwey vollkommen wagrechte Puncten determini- ren, ohne $ich um ihre Di$tanz zu bekümmern. Man kan auch noch oh- ne die$es Zuruck-Nivelliren zwey wagrechte Puncten finden, indem man das In$trument in die Mitte der Di$tanz der Terminorum, die man zu nivelliren hat, $etzet; Die$es ge$chicht fa$t auf die$e Art, wie wir bey dem Gebrauch der Wa$$er-Waag gewie$en haben.

[0326] Siebendes Capitul Von Dem Gebrauch der Hugeniani$chen Nivel- lir-Waag in dem componirten Nivelliren.

WIr haben oben gewie$en, da{$s}, wann man ein componir- Fig. 240. 743. tes Nivelliren an$tellen will, man alle Höhen, die man im Hinauf$teigen findet, in die er$te Colonne $etzet, um $ie hernach zu$ammen zu addiren, und da{$s} man hingegen alle Höhen die man im Hinunter$teigen findet, in die zweyte Colonne $etzet, die man ebenfals auch zu$ammen addirt, um nachgehends die kleinere Summ von der grö$$ern abzuziehen, damit man al$o die Differenz bekomme, die anzeigt, um wie viel der eine Terminus höher ligt als der andere; Allein weilen wir uns dazumal der Wa$$er-Waag bedienet, allwo die Vi$ir-Linien nicht gro{$s} $eynd, und man auch das In$trument bey jeder Station in die Mitte der Di$tanz zweyer Terminorum ge$tellet, $o hat man auf die Differenz der $cheinbaren und wahrhaftigen Horizontal- Linie noch im Hinauf-noch im Hinunter$teigen ge$ehen, indem $ie in die- $er Manier keinen Statt findet: Allein die Sach verhalt $ich gantz an- der$t, wann man $ich eines In$truments bedienet, dadurch man gro$$e Linien auf einmal nivelliren kan; Dann da mu{$s} man die Differenz der $cheinbaren und wahrhaftigen Horizontal-Linie $o wohl im Hinauf-als Herunter$teigen in Betrachtung ziehen, und die$es in$onderheit, wann man das In$trument in den er$ten Terminum $etzet, und von einem zu dem andern nivelliret; Dann da mu{$s} man nicht nur allein die Höhen die man im Hinauf$teigen gefunden, in die er$te und diejenige, die man im Hinunter$teigen gefunden, in die zweyte Colonne $etzen, $ondern man mu{$s} auch auf die Seite jeder Colonne die Differenz der $cheinbaren und wahrhaftigen Horizontal-Linie vor jede Di$tanz, die man in die Colonne ge$etzt, $o wohl im Hinauf-als auch im Hinunter$teigen $chrei- ben. Und was dahier in$onderheit mu{$s} in acht genommen werden i$t, da{$s} man die Summ aller Differenzien, die man im Hinauf$teigen ge- funden, zur Summe der Höhen der er$ten Colonne addiren mu{$s}, um nur eine Summ, die aus den Höhen der er$ten Colonne und den Dif- ferenzien der $cheinbaren und der wahrhaftigen Horizontal-Linien be$te- het, zu haben.

[0327]

Desgleichen $chreibt man auch auf die Seite der zweyten Colon- ne die Differenz der $cheinbaren und wahrhaftigen Horizontal-Linie vor jede Höhe die man im Hinunter$teigen gefunden, und addirt alle die$e Differenzien zu$ammen, um ihre Summ von der Summ der Höhen ab- zuziehen. Al$o mu{$s} man vor eine allgemeine Regel annehmen, da{$s} man im Hinauf$teigen die Differenz der $cheinbaren und wahrhaftigen Horizontal-Linie zu den gefundenen Höhen addiren, und da{$s} man hin- gegen die$e Differenz von den im Hinunter$teigen gefundenen Höhen $ubtrahiren mu{$s}.

Ich $upponire, man habe im Hinauf$teigen von B gegen C und von F gegen G und im Hinunter$teigen von K gegen N und von Q gegen R nivellirt, $o betrachtet, da{$s} wann man mit der Linie BC die Linie AD parallel führet, die$e Parallel zur Erden eine Tangent, und al$o die Li- nie DE die Differenz der $cheinbaren und wahrhaftigen Horizontal-Li- nie $eye.

Weilen nun die Linien BA und CD einander gleich $eynd, $o i$t der Punct C um die gantze Linie DE weiter von dem Mittel-Punct der Erden entfernet, als der Punct B; Derowegen, damit der Punct B mit C wagrecht $tehe, mu{$s} man zur Höhe BA die Linie DE, das i$t, die Differenz der $cheinbaren und wahrhaftigen Horizontal-Linie addiren. Desgleichen wann man mit der $cheinbaren Horizontal-Linie FG eine Parallel EH ziehet, $o i$t die Linie HI die Differenz der $cheinbaren und wahrhaftigen Horizontal-Linie. Weilen nun die Linien FE und GH einander gleich $eynd, $o i$t der Punct G um die gantze Linie HI weiter von dem Mittel-Punct der Erden entfernet, als der Punct F; Damit al$o der Punct F mit dem Punct G wagrecht $tehe, $o mu{$s} man zur Höhe FC die Linie HI addiren.

Was die Vi$ir-Linien KN und QR, die man im Herunter$teigen ge- funden, anbetrift, $o $iehet man, da{$s}, wann man mit ihnen die Paral- lel-Linien LO und PS ziehet, welche wiederum Tangenten zur Erd-Ku- gel $eynd, der Punct N um die gantze Linie OP höher $tehe, als der Punct K, und da{$s} man al$o, um einen Punct zu finden der mit K wag- recht $tehe, von der Höhe NQ die Linie OP als die Differenz der $chein- baren und wahrhaftigen Horizontal-Linie abziehen mu{$s}. Endlich wei- len der Punct R mit dem Punct Q nicht wagrecht $tehet, indem der er- $te um die gantze Linie ST weiter von dem Mittel-Punct der Erden entfernet i$t, $o mu{$s} man wieder die Linie ST von der Höhe RS abzie- hen, um den Punct R mit Q wagrecht zu $tellen. Auf die$e Art ver- fährt man mit allen andern.

[0328]

Wir haben $upponirt, da{$s} die Linien BA und CD, FE und GH &c. miteinander parallel lauffen, welches zwar eigentlich nicht al$o i$t, in- dem $ie verlängerte Radii der Erden $eynd: Allein wegen der $ehr gro$- $en Di$tanz, kan man $ie vor parallel annehmen, ohne einen in der Praxi mercklichen Fehler zu begehen.

Um die$es, was wir bis hieher gewie$en, zu appliciren, wollen Fig. 241. wir zwey Puncten A und F, deren unter$chiedene Höhen man kennen will, $upponiren.

Um die$es zu verrichten, $o bedient man $ich der Hugeniani$chen Nivellir-Waag, die man in den er$ten Terminum A $etzet, um ge- gen die Höhe zu vi$iren; Die$e Vi$ir-Linie endiget $ich an der Höhe in B, allwo man einen Gehülfen $chickt, um allda einen Stab ein- zu$tecken; Nach die$em betrachtet man, da{$s} die $cheinbare Differenz der beyden Puncten A und B von 4 Schuhen 6 Zollen als die Höhe des In$truments $eye; Die$es $chreibt man in die er$te Colonne; Nachge- hends la$$et man die Di$tanz GB accurat ausme$$en; Die$e $upponire ich von 600 Klaftern, und $uchet, um wie viel die $cheinbare Horizon- tal-Linie höher gehet, als die wahrhaftige; Da findet man al$o die$e Differenz von 4 Zollen, welche man auf die Seiten der gefundenen 4 Schuhen 6 Zollen der er$ten Colonne $chreibt.

Nach die$em trägt man das In$trument in den Punct B, und $chickt einen Gehülfen auf eine proportionirte Di$tanz in den Punct C, und nachdem man von H gegen I nivelliret, und die Höhe IC, die ich von 2 Schuhen $upponire, abgeme$$en, $o $ubtrahirt man die$e 2 Sch. von 4 Schuhen 6 Zollen als der Höhe des In$truments, um 2 Schuh, 6 Zoll zu haben, um welche al$o der Punct C höher $tehet, als der Punct B; Die$es $chreibet man wiederum in die er$te Colonne, und la{$s}t die Di$tanz HI, die ich von 380 Klaftern $upponire, abme$$en, da findet man al$o 1 Zoll 7 Linien vor die Differenz der $cheinbaren und wahrhaf- tigen Horizontal-Linie; Die$e $chreibt man wieder auf die Seite der gefundenen 2 Sch. 6 Z. zu der er$ten Colonne.

Von da gehet man in den Punct C, und $chickt wieder einen Ge- hülfen mit einem Stab in _D_; Nach die$em vi$irt man durch K gegen L, und derjenige Gehülf der in L i$t, bemerckt den Punct L mit der Kreyde, und me{$s}t die Höhe LD, die ich z. E. von 9 Schuhen $upponi- re; von welcher man die Höhe des In$truments abziehet, um 4 Sch. 6 Zoll zu bekommen; welches al$o die Differenz der $cheinbaren Hori- zontal-Linie der Puncten C und D i$t: Weilen man aber die$e 4 Sch. 6 Z. im Hinunter$teigen gefunden, $o mu{$s} man $ie in die zweyte Co- lonne $etzen, auf deren Seite man auch die Differenz der $cheinbaren [0329] und der wahrhaftigen Horizontal-Linie, die ich von 2 Zollen, 4 Linien $upponire, $chreibet. Nach die$em trägt man das In$trument in den Punct D, und $chickt einen Gehülfen in E, um auf $einem Stab den Punct N der Vi$ir-Linie MN zu bemercken, und die Höhe NE, die ich von 10 Schuhen 6 Zollen $upponire, abzume$$en, von welcher man die Höhe des In$truments abziehet, um 6 Schuh zu bekommen, die man in die zweyte Colonne $etzet, und weilen ich $upponire, die Di$tanz MN $eye von 650 Klaftern, $o $uchet man, um wie viel die $cheinbare Hori- zontal-Linie höher als die wahrhaftige gehet, da findet man 4. Zoll, 8 Linien die man wieder auf die Seite der gefundenen 6 Schuhen in der zweyten Colonne $etzet. Endlich trägt man das In$trument in den Punct E und vi$irt durch O gegen P; Da $upponire ich, man finde die Höhe PF von 8 Schuhen. Wann man nun von die$er Höhe die Höhe des In$truments abziehet, bleiben 3 Schuh 6 Zoll übrig, welche man in die zweyte Colonne $etzet; Auf die Seite aber $etzet man 5 Zoll 4 Linien welches die Differenz der $cheinbaren und der wahrhaftigen Horizontal- Linie vor die Di$tanz OP i$t, die ich von 700 Kl. $upponire.

Nach die$em mu{$s} man die Höhen der er$ten Colonne zu$ammen addiren, um 6 Schuh zu haben, zu welchen man auch die Summ 5 Z. 7 L. der gefundenen Differenzien addirt; Al$o bekomt man 6 Sch. 5. Z. 7. L.

Nachgehends addirt man auch die Höhen der zweyten Colonne zu- $ammen, um 14 Schuh zu bekommen; Wann man auch die Differen- zien, die auf der Seite $tehen, zu$ammen addirt, $o bekommt man 1 Schuh 4 Linien die man von der Summ 14 der Höhen der zweyten Co- lonne $ubtrahirt, um 12 Schuh, 11 Zoll 8 Linien zu bekommen. End- lich ziehet man die Summ 6 Schuh, 5 Zoll, 7 Linien der er$ten Colon- ne von der Summ 12 Schuh, 11 Zoll 8 Lin. der zweyten ab; Da be- kommt man al$o 6 Sch. 6 Z. 1 L. zur Differenz, um welche der Punct A höher ligt als der Punct F.

744. Wann das Terrain es zulä{$s}t, $o i$t es be$$er, wann man die Nivellir-Stationen zwi$chen zweyen Terminis annimmt, indem man nicht nöthig hat, auf die Differenz der $cheinbaren und wahrhaftigen Horizontal-Linie Achtung zu geben: Allein da mü{$s}te man eine Nivel- lir-Waag von zweyen Per$pectiven haben, durch deren eine man von der Rechten gegen die Lincke, und durch die andere von der Lincken ge- gen die Rechte vi$iren könte. Die Vi$ir-Linien rectificirt man, wie oben $chon angedeutet worden.

Z. E. Wann man die beyde Puncten I und E nivelliren will, $o Fig. 242. zertheilet man die Di$tanz die$er Terminorum in etliche Theile, und nimt [0330] an den commode$ten Orten die Stationen an; Wann man nun in die Puncten F, G und H Stäbe einge$teckt, $o nimmt man die er$te Station in dem Punct A an, der etwann in der Mitte der Di$tanz EF i$t, die zweyte in der Mitte B der Di$tanz FG, die dritte in C, und die vierte in D, und $chreibt allezeit die Höhen, die man im Hinauf$teigen gefun- den, in die er$te und diejenige, die man im Hinunter$teigen findet, in die zweyte Colonne, ohne auf die Differenz der $cheinbaren und wahrhafti- gen Horizontal-Linie Achtung zu geben. Ich glaube genug von dem Nivelliren geredet zu haben; Dann wann man $ich nur ein wenig Mü- he gibt, die$es wohl zu ver$tehen, und man nur ein wenig in die Praxin kommt, $o wird man im Stand $eyn alle Operationen, die etwann vor- kommen möchten, zu verrichten.

Bericht an den Le$er.

Weilen ich gefunden, da{$s} der grö$te Theil derjenigen, die täglich mit dem Toi$iren umgehen, nur da$$elbige practicè ver$tehen, indem die- jenige, welche davon ge$chrieben, nur die Praxin die$er Rechnung gewie- $en haben, ohne etwas von den Gründen, darauf $ie gegründet i$t, zu reden; $o habe ich, ehender als ich zur Berechnung der Flächen und Cörper $chreite, vor nothwendig befunden, einen kleinen Tractat davon zu geben, damit die Anfänger $ie de$to leichter ausrechnen, und alles darinnen finden mögen, was ihnen nothwendig i$t, um $ich desjenigen, was in dem er$ten Theil gewie$en worden, mit Nutzen zu bedienen.

[0331] CURSUS MATHEMATICUS. Vierter Theil. Von Dem Toi$iren überhaupt; allwo man wei{$s}t, wie man die Flächen und Cörper berechnen mu{$s}.

745. MAn ver$tehet insgemein durch das Toi$iren die Ma- nier alle Maa$$e der Wercker, daraus eine Fortifica- tion, oder auch ein Civil-Gebäude be$tehet, zu berech- nen. Wiewohl eine jede Provintz ihr $onderbares Maa{$s} hat, und auch die Schuh voneinander unter$chieden $eynd, $o i$t aber eingeführet, da{$s} man $ich in den Königlichen Werckern des Klaf- ters bedienet, welcher aus $echs Schuhen be$tehet. Allein weilen die- $e Schuh in unter$chiedenen Provintzien unter$chieden $eynd, $o nennet man denjenigen, de$$en man $ich in den Fortificationen bedienet, den Röniglichen Schuh, welcher aus 12 Zollen be$tehet; Al$o gehen 72 Zoll auf den Klafter. Man theilet auch den Zoll wieder in zwölf Thei- le ein, die man Linien nennet, und die Linie in 12 Theile, welche Pun- cten hei$$en.

Es gibt aber dreyerley Klafter, der _Current-_Klafter, der _Quadrat-_ Klafter und der _Cubic-_Klafter. Der _Current-_Klafter i$t, welcher 6 [0332] Schuh in die Länge, aber keine Breite noch Höhe hat. Der _Quadrat-_ Klafter i$t, der 6 Schuh in die Länge, und 6 Schuh in die Breite, aber keine Höhe oder Tieffe hat; und der _Cubic-_Klafter i$t derjenige, welcher 6 Schuh in die Länge, 6 Schuh in die Breite, und 6 Schuh in die Höhe hat; Derowegen $eynd $eine drey Maa$$e einander gleich, und er dient um die Cörper auszume$$en, da hingegen der Quadrat-Klafter nur zu den Flächen, und der Current-Klafter zu den Längen, und die Maa$$e der Flächen und Cörper auszume$$en dienet.

Al$o i$t dasjenige, was wir dahier von dem Klafter ge$agt, eben die$es, was wir oben zu Anfang des er$ten Buchs von dem Schuh ge- redet haben.

Weilen der Quadrat-Klafter 6 Schuh in die Länge, und 6 Schuh in die Breite hat, $o kan man $agen, da{$s} $eine Fläche aus 36 Quadrat- Schuhen be$tehe; indem, wann man die beyde Maa{$s} die$es Klafters, das i$t, 6 Schuh durch 6 Schuh multiplicirt, man 36 Quadrat-Schuh bekommt. Was den Cubic-Klafter anbetrift, $o $iehet man, da{$s}, wei- len $eine drey Maa$$e einander gleich $eynd, er aus 216 Cubic-Schu- hen be$tehe; Dann wann man den Quadrat-Klafter, das i$t, 36 Schuh durch 6 Schuh als die Höhe des Cubic-Klafters multiplicirt, $o bekomt man 216 Cubic-Schuhe.

746. Es i$t dahier zumercken, da{$s} man in dem Toi$iren der Flä- chen und Cörper nicht betrachtet, wie viel Quadrat-Schuh auf den Quadrat-Klafter, noch wie viel Cubic-Schuh auf den Cubic-Klafter gehen, $ondern, um die Rechnung kürtzer zu machen, nennet man den $ech$tenTheildes Quadrat-Klafters einen Schuh des _Quadrat-_Klafters, und den $ech$ten Theil eines Cubic-Klafters nennet man einen Schuh des _Cubic-_Klafters: Al$o wann man das Quadrat AB, de$$en eine Sei- Fig. 243. te AC in 6 gleiche Theile eingetheilet wäre, als ein Quadrat-Klafter an$iehet, $o i$t das Rectangulum DE der $ech$te Theil des Quadrats AB, derowegen i$t es ein Schuh des Quadrat-Klafters; Desgleichen $iehet man, da{$s} das Rectangulum DF 3 Schuh des Quadrat-Klafters in $ich halte, weilen es die Helfte des Quadrats AB i$t. Allein weilen ein Quadrat-Klafter 36 Quadrat-Schuh in $ich begreift, und das Rectan- gulum DE der $ech$te Theil des Quadrat-Klafters i$t, $o folgt daraus, da{$s} ein Schuh des Quadrat-Klafters 6 Quadrat-Schuh in $ich halte; und da{$s} das Rectangulum DF, als die Helfte des Quadrat-Klafters, 18 Quadrat-Schuh in $ich begreiffe.

Eben die$es kan man auch $agen von den Zollen, Linien und Pun- cten eines Quadrat-Klafters; Dann ein $olcher Zoll i$t ein Rectangu- lum, de$$en Grund-Linie ein Zoll, und die Höhe ein Klafter lang i$t; [0333] Desgleichen eine Linie i$t ein Rectangulum, welches zur Grund-Linie ei- ne Linie, und zur Höhe einen Klafter hat. Desgleichen i$t ein Punct ein Rectangulum, welches einen Punct zur Grund-Linie, und einen Klafter zur Höhe hat; Al$o $iehet man, da{$s} 12 Puncten eines Qua- drat-Klafters eine Linie die$es Quadrat-Klafters, da{$s} 12 Linien einen Zoll, da{$s} 12 Zoll einen Schuh, und da{$s} 6 Schuh einen Quadrat-Klaf- ter ausmachen, indem alle die$e Rectangula einerley Höhe haben. Nach- dem wir werden zur Genüge gewie$en haben, wie zwey Maa$$e, die in Klaftern und Theilen de$$elben be$tehen, miteinander zu multipliciren $eyen, $o werden wir dasjenige, was wir vorhin in An$ehung der Schuh, Zoll rc. der Quadrat-Klafter gewie$en, auch in An$ehung der Schuh, Zoll rc. des Cubic-Klafters wei$en.

Er$tes Capitul. Allwo man wei$et, wie man zwey Maa$$e, deren eine aus Klaftern und Theilen der$elben, und die zweyte nur aus Klaftern be$tehet/ miteinander multiplicirt.

747. WAnn man eine Länge AB von 6 Klaftern hat, zu welcher man eine Linie BC von 2 Schuhen, und eine andere Li- nie CD von 6 Zollen addirt, $o i$t die gantze Linie AD von 6 Klaftern, 2 Schuhen und 6 Zollen, welche, wann man $ie durch die Linie AE von einem Klafter multiplicirt, das Rectangulum EADH zum Product gibt, de$$en Inhalt al$o man in Zahlen findet, wann man 6 Kl. 2 Sch. 6 Z. mit 1 Klafter multiplicirt.

Um die$es zu verrichten, $o $etze ich die beyde Ma$$e untereinander wie man $ie dahier $iehet; und multiplicire zu er$t die kleine Theile, indeme ich zur rechten Hand an- fange und bey der lincken endige; und $age: 1 mal 6 i$t 6, die$e $etze ich in die Colonne der Zolle, wei- len es 6 Zoll eines Quadrat-Klafters $eynd; nach die$em $age ich 1 mal 2 i$t 2, die ich in die Colonne der Schuhe $etze, weilen $ie 2 Schuh eines Quadrat Klafters $eynd: Endlich $age ich 1 mal 6 i$t 6, die$e $etze ich in die Colonne der Klafter, weilen $ie $o viel Quadrat-Klafter $eynd; Kl. # Sch. # Z. 6 # 2 # 6 1 # 0 # 0 6 # 2 # 6 [0334] Al$o i$t das Product 6 Klafter, 2 Schuh, 6 Zoll der Inhalt des Re- ctanguli AH, welches be$tehet aus dem Rectangulo AF von 6 Quadrat- Klaftern, aus dem Rectangulo BG von 2 Schuhen, und aus dem Re- ctangulo CH von 6 Zollen.

Um 10 Klafter, 4 Schuh, 8 Zoll durch 5 Klafter zu multipliciren, $o $etze ich die$e Zahlen, wie man dahier $iehet, und $age 5 mal 8 machen 40, da gebe ich acht, da{$s} es 40 Einheiten $eyen, deren jede ein kleines Rectan- gulum i$t, das ein Zoll zur Grund-Linie, und ein Klafter zur Höhe hat, und weilen es al$o $o viel Zoll des Quadrat-Klafters $eynd, $o frage ich wie vielmal 12 in 40 ent- halten $eye, indem 12 Zoll einen Schuh ausmachen: und weilen ich fin- de, da{$s} 12 in 40 dreymal enthalten $eye und noch 4 übrig bleiben, $o $e- tze ich die$e 4 in die Colonne der Zolle, und behalte die 3 Schuh: nach die$em $age ich 5 mal 4 i$t 20 und 3 behalten machen 23, davon eine je- de Einheit einen Schuh des Quadrat-Klafters ausmacht; und weilen 6 $olche Schuh ein Quadrat-Klafter gelten, $o frage ich, wie viel mal 6 in 23 enthalten $eyen; Da finde ich 3 mal $amt einem Uberre$t 5; Die$e 5 $etze ich in die Colonne der Schuhe und behalte die 3 Quadrat- Klafter, die ich zu dem Product von 10 durch 5 addire, um 53 zu be- kommen: Al$o nach geendigter Operation findet man 53 Kl. 5 Schuh, 4 Zoll.

Kl. # Sch. # Z. 10 # 4 # 8 5 53 # 5 # 4

Um 60 Klafter, 3 Schuh, 9 Zoll durch 84 Klafter zu multiplici- ren, $o betrachte ich, da{$s}, weilen die Zahl 84 aus zweyen Ziffern be$te- het, das Gedächtni{$s} zu viel ermüdet werde, wann ich die Schuh und Zoll nach vorhergehender Manier multipliciren würde; Dann wann ich 84 durch 9 multiplicire, $o $ehe ich nicht al$obald wie viel Zoll die$es Pro- duct gebe; und po$ito man wi$$e es al$ogleich, $o mu{$s} man eine Divi- $ion durch 12 an$tellen, um die Schuh und darnach vielleicht noch eine durch 6, um die Klafter, die darinnen enthalten $eynd, zu bekommen; und die$e Ungelegenheit findet $ich nicht nur bey den Zollen, $ondern auch bey den Schuhen, Linien und Puncten. Damit man nun in ei- nem $olchen Fall die$er Ungelegenheit möchte überhoben $eyn, $o bedient man $ich einer viel kürtzern Manier, wann man das er$te Maa{$s}, das aus Klaftern, Schuhen, Zollen rc. be$tehet, durch das zweyte das aus mehr als einer Ziffer be$tehet, multipliciren will. Um die$es zu verrich- ten, $o multiplicire ich zu er$t die Gantze durch die Gantze; Al$o mul- [0335] tiplicire ich 60 mit 84, und $chreibe das Product, wie gewöhnlich: nachgehends betrachte ich, da{$s}, wann ich an$tatt 3 Schuhen 1 Klafter hätte den ich durch 84 multipliciren mü{$s}te, das Product 84 Klafter wäre; Allein weilen 3 Schuh nur die Helfte eines Klafters $eynd, $o i$t al$o die Helfte von 84 das Product von 3 Schuhen; Al$o $age ich: Die Helfte von 8 i$t 4, und die Helfte von 4 i$t 2; Die$es gibt mir al$o 42 vor das Product; Allein es i$t zu mercken, da{$s}, da ich die Helfte von 84 vor das Product von 3 Schuhen genommen, ich die 84 Klafter als Quadrat-Klafter ange$ehen.

Kl. # Sch. # Z. 60 # 3 # 9 84 240 480 42 # 0 # 0 10 # 3 # 0 5092 # 3 # 0

Allein weilen wir noch 9 Zoll haben, die noch nicht $eynd multipli- cirt worden, $o betrachte ich, welche Verhältni{$s} die$e 9 Zoll gegen 3 Schuh haben, gleich als wie ich betrachtet, welche Verhältni{$s} die 3 Schuh gegen den Klafter haben. Da nun 3 Schuh 36 Zoll ausma- chen, $o $ehe ich, da{$s} die 9 Zoll der vierte Theil von 36 Zollen $eyen, und da{$s}, da mir das Product von 84 durch 3 Schuh 42 Klafter gege- ben, das Product von 84 durch 9 Zoll mir nur den vierten Theil von 42 geben mü$$e: Derowegen $age ich: Der vierte Theil von 4 i$t 1, welches ich unter 4 $etze, und $age wieder der vierte Theil von 2 i$t 0; Allein weilen die$e 2 Klafter 12 Schuh gelten, und ich ihren vierten Theil nicht habe können in gantzen Zahlen nehmen, $o reducire ich $ie in Schuhe, damit ich al$o ihren vierten Theil, der 3 i$t, nehmen kan; nach die$em addire ich alle die$e Producte zu$ammen, um das Total-Product zu bekommen, welches al$o von 5092 Klaftern und 3 Schuhen i$t.

Um den Anfängern die$e Art zu rechnen de$to bekannter zu ma- chen, $o will ich noch mehrere Exempel von die$er Regel hieher $etzen. Nemlich wann man 18 Klafter, 2 Schuh, 8 Zoll durch 24 Klafter mul- tipliciren will, $o fange ich an die Klafter durch die Klafter zu multipli- ciren, wie gebräuchlich i$t: Nach die$em be- trachte ich, welche Verhältni{$s} die$e 2 Schuh zum Klafter haben, und da finde ich, da{$s} $ie den dritten Theil davon ausmachen; Derowe- gen nehme ich den dritten Theil 8 von 24; und weilen $ie Klafter $eynd, $o $etze ich $ie in die Colonne der Klafter.

Kl. # Sch. # Z. 18 # 2 # 8 24 # 0 # 0 72 36 8 # 0 # 0 2 # 4 # 0 442 # 4 # 0

Damit man überwie$en $eye, da{$s} wann man 24 Klafter durch 2 Schuh multiplicirt, das Product von 8 Klaftern $eye, $o wollen wir $ie nach der gemeinen [0336] Art miteinander multipliciren, und da $iehet man, da{$s} das Product von 48 Schuhen $eye; Die$e Schuh $eynd aber 48 kleine Rectangula, deren jedes einen Schuh zur Grund-Linie, und einen Klafter zur Höhe hat; und weilen 6 $olche Schuh auf einen Quadrat-Klafter gehen, $o $iehet man, da{$s}, wann man 48 durch 6 dividirt, wir den Quotient 8 bekom- men, welche eben diejenige Zahl i$t, die wir auch auf die andere Art ge- funden.

Allein es bleiben uns noch 24 Klafter durch 8 Zoll zu multipliciren übrig; und weilen die$es durch Hülf des Products von 2 Schuhen ge- $chehen kan, $o betrachte ich die Verhältni{$s} die 8 Zoll gegen 2 Schuh haben, indem $ich das Product von 8 Zollen zu dem Product von 2 Schuhen verhalt, als wie $ich die 8 Zoll zu den 2 Schuhen verhalten. Weilen nun 2 Sch. 24 Z. gelten, und al$o 8 Z. den dritten Theil davon ausmachen, $o nehme ich von dem Product von 2 Schuhen, das i$t, von den 8 Klaftern den dritten Theil, indem ich $age: Der dritte Theil von 8 i$t 2, und weilen noch zwey Klafter übrig bleiben, $o reducire ich $ie in Schuh, um 12 Schuh zu haben, da $age ich wieder der dritte Theil von 12 i$t 4; Die$e 4 $etze ich in die Colonne der Schuh; nach die$em addire ich alle Particular-Producte zu$ammen, um das Total-Product von 442 Kl. 4. Sch. zu bekommen.

Um 36 Klafter, 5 Schuh, 6 Zoll und 9 Linien durch 28 Klafter zu multipliciren, $o fange ich an, wie gewöhnlich, die Klafter durch die Klafter zu multipliciren; nach die$em betrachte ich, was vor eine Ver- hältni{$s} 5 Schuh gegen den Klafter haben, da finde ich, da{$s} $ie {5/6} de$$el- ben ausmachen; Derowegen um 28 Klafter durch 5 Schuh zu multi- pliciren, mu{$s} man von den 28 Klaftern {5/6} Theile nehmen; und weilen es nicht leicht i$t, die$e Operation auf einmal zu verrichten, $o $uche ich Partes aliquotas, um $ie al$o de$to leichter zu machen; Da nun 5 aus 3 und 2 be$tehet, davon 3 die Helfte, und 2 der dritte Theil des Klaf- ters i$t, $o nehme ich vor das Product der 3 Schuhen 14 Klafter als die Helfte von 28; nach die$em nehme ich vor 2 Schuh den dritten Theil, und $age: Der dritte Theil von 28 i$t 9, und weilen noch ein Klafter übrig bleibt, $o nehme ich wieder den dritten Theil davon, der al$o von 2 Schuhen $eyn wird.

Um die 6 Zoll zu multipliciren, $o nehme ich meine Zuflucht zum Product von 2 Schuhen, welches das commode$te i$t, indem 6 Zoll den [0337] vierten Theil von 2 Schuhen ausmachen, weilen 2 Schuh 24 Zoll gelten, davon al$o 6 der vierte Theil i$t; Da nun das Product von 2 Schuhen 9 Klaf- ter und 2 Schuh i$t, $o $age ich: Der vierte Theil von 9 i$t 2, und weilen noch ein Klafter, der 6 Schuh gilt, übrig bleibt, $o addire ich die$e 6 Schuh zu den andern 2 Schuhen, um 8 Schuh zu bekommen, davon al$o der vierte Theil von 2 Schuhen i$t; Al$o i$t das Product von 6 Zollen 2 Klafter und 2 Schuh.

Kl. # Sch. # Z. # L. 36 # 5 # 6 # 9 28 # 0 # 0 # 0 288 72 14 # 0 # 9 # 0 9 # 2 # 0 # 0 2 # 2 # 0 # 0 0 # 1 # 9 # 0 1033 # 5 # 9 # 0

Weilen noch 9 Linien übrig bleiben, die noch nicht $eynd multipli- ciret worden, $o $uche ich wieder die Verhältni{$s}, die 9 Linien gegen 6 6 Zoll haben. Da nun 6 Zoll 72 Linien, und die 9 Linien den achten Theil davon ausmachen, $o mu{$s} das Product von 9 Linien der achte Theil des Products von 6 Zollen $eyn; Derowegen $age ich: Der ach- te Theil von 2 i$t 0, weilen die$es aber Klafter $eynd, die 12 Schuh gel- ten, $o addire ich $ie zu den andern 2 Schuhen, um 14 Schuh zu haben, da $age ich wieder: Der achte Theil von 14 i$t 1 Schuh, und weilen noch 6 Schuh übrig bleiben, $o reducire ich $ie in Zoll, um 72 Zoll zu bekom- men, deren achter Theil von 9 Zollen i$t, welche ich in die Colonne der Zolle $etze: nach die$em addire ich alle die$e Particular-Producte zu$am- men, um das Total-Product von 1033 Klaftern, 5 Schuhen und 9 Zol- len zu bekommen.

Um 12 Klafter 9 Zoll durch 18 Klafter zu multipliciren, $o ver- richte ich die Multiplication der Klafter wie gewöhnlich; nach die$em, um das Product von 18 Klaftern durch 9 Zoll zu finden, $uche ich die Verhältni{$s}, die die 9 Zoll gegen einen Klafter haben, und da finde ich da{$s} $ie den achten Theil davon ausmachen, indem ein Klafter 72 Zoll hat; Allein, weilen man unter$chiedene andere Zahlen bekommen kan, deren Verhältni{$s} man nicht $o leicht wahrnimmt, als wie 5, 7, 10, 11, $o i$t es be$$er, wann man eine fal$che Suppo$ition macht, das i$t, wann man ein Product von einem Schuh $upponirt. Wann wir al$o $uppo- niren, als wann ein Schuh an der Stelle des 0 $tünde, $o multiplici- [0338] ren wir die$en $upponirten Schuh durch 18 Klafter; und weilen ein Schuh der $ech$te Theil von einem Klafter i$t, $o nehme ich auch 3 Klafter als den $ech$ten Theil von 18 Klaftern, die$e $etze ich in die Colonne der Klafter, und durch$trei- che den 3, damit ich ihn nachgehends nicht in die Addition mit begreiffe. Nach die$em $uche ich die Verhältni{$s}, die 9 Zoll gegen 1 Schuh haben, und da finde ich, da{$s} $ie {3/4} davon ausmachen: Derowegen nehme ich al$ogleich das Product von 6 Zollen, die die Helf- te ausmachen, und $age: Die Helfte von 3 i$t 1, da bleibt noch ein Klafter übrig, welcher 6 Schuh gilt, de$$en Helfte i$t nun 3 Schuh: Nachgehends vor die 3 Zoll die Helfte von die$em Product, und $age: Die Helfte von 1 i$t 0, weilen aber die$es 1 Klafter i$t der 6 Schuh gilt, $o addire ich $ie zu den andern 3 Schuhen, um 9 Schuh zu haben, deren Helfte nun 4 Schuh und 6 Zoll i$t: Endlich addire ich die$e Par- ticular-Producte zu$ammen, da bekomme ich 218 Klafter, 1 Schuh und 6 Zoll vor das Total-Product.

Kl. # Sch. # Z. 12 # 0 # 9 18 # 0 # 0 96 12 3 # 0 # 0 1 # 3 # 0 0 # 4 # 6 218 # 1 # 6

Um 24 Klafter 2 Schuh und 6 Linien durch 52 Klafter zu multi- pliciren, $o mu{$s} man, nachdem man die Klafter durch die Klafter mul- tiplicirt, die Verhältni{$s} $uchen, die 2 Schuh gegen einen Klafter ha- ben; und weilen $ie den dritten Theil davon ausmachen, $o nimmt man von 52 Klaftern den dritten Theil, den man al$o von 17 Klaftern und 2 Schuhen findet. Weilen aber noch 6 Linien durch 52 Klafter zu multipliciren $eynd, und man nicht leicht die Verhältni{$s}, die 6 Linien gegen die 2 Schuh haben, wahrnehmen kan, $o käme man viel leichter dazu, wann man das Product von ei- nem Zoll hätte; Derowegen mu{$s} man $ich ein Product von einem Zoll $upponiren, wie- wohl $ich kein Zoll in der er$ten Dimen$ion befindet; und wei- len 1 Zoll der vier und zwan- tzig$te Theil von 2 Schuhen i$t, $o $ehe ich, da{$s} es noch nicht leicht i$t den vier und zwantzig- $ten Theil von 17 Klaftern und Kl. # Sch. # Z. # L. 24 # 2 # 0 # 6 52 48 120 17 # 2 # 0 # 0 8 # 4 # 0 # 0 0 # 4 # 4 # 0 0 # 2 # 2 # 0 1265 # 4 # 2 # 0 [0339] 2 Schuhen zu nehmen; Derowegen nehme ich nur die Helfte da- von, um das Product von einem Schuh zu bekommen, die$es i$t al$o 8 Klafter und 4 Schuh. Wann man nun die$e Zahlen an ihre gehörige Orte ge$etzt, $o $treicht man $ie durch eine kleine Linie aus, damit man $ie nicht in der Addition mit begreiffe; nach die$em betrachte ich, da{$s} ein Zoll den zwölften Theil von einem Schuh ausmache; Derowegen nehme ich von den 8 Klaftern, 4 Schuhen den zwölften Theil, um 4 Schuh und 4 Zoll vor das Product von einem Zoll zu bekommen; nachgehends $treiche ich die$e Zahlen wieder aus, weilen $ie nur ein $up- ponirtes Product vor$tellen. Weilen nun 6 Linien die Helfte eines Zolles ausmachen, $o nehme ich von dem Product 4 Schuh 4 Zoll nur die Helfte, um 2 Schuh 2 Zoll vor das Product von 6 Linien zu bekom- men. Wann man nun die$e Particular-Producte zu$ammen addirt, $o bekommt man 1256 Klafter, 4 Schuh und 2 Zoll vor das Total-Pro- duct.

Wann man aber hätte 24 Klafter 6 Linien durch 52 Klafter zu multipliciren gehabt, und man al$o in der er$ten Dimen$ion keine Schuh noch Zoll gehabt hätte, wie wir es dahier $upponiren, $o hätte man, um das Product von 6 Linien zu finden, mü$$en das Product von einem Schuh, und nachgehends das Product von einem Zoll $upponiren, um dadurch das Product von 6 Zoll zu finden, welches darvon die Helfte gewe$en wäre.

Zweytes Capitul Von Der Manier, wie zwey Dimen$ionen, deren jede aus Klaftern, Schuhen, Zollen rc. be$tehet, durcheinander zu multipliciren.

748. WIr haben bis hieher mit Flei{$s} keine Schuh, Zoll und Li- nien in die zweyte Dimen$ion der vorigen Multiplicatio- nen ge$etzt, damit die Operationen de$to leichter zu be- greiffen $eyen: Allein, weilen fa$t allezeit auch die$e Theile $ich in der zweyten Dimen$ion befinden, wann man $ie in der er$ten hat, $o habe ich vor gut erachtet zu wei$en, wie die$e Theile, die $ich in beyden Dimen$io- nen befinden möchten, miteinander zu multipliciren $eyen.

[0340]

Um 15 Klafter, 4 Schuh, 8 Zoll und 7 Linien durch 6 Klafter, 3 Schuh und 6 Zoll zu multipliciren, $o betrachte ich, da{$s}, weilen die An- zahl der Klaftern der zweyten Dimen$ion durch eine eintzige Ziffer vor- ge$tellet wird, ich die Multiplication der gantzen er$ten Dimen$ion mit den 6 Klaftern kan auswendig verrichten, wie man es zu Anfang des vorhergehenden Capituls ge$ehen: Al$o ab$trahire ich vor eine kleine Weile von den 3 Schuhen und 6 Zollen der zweyten Dimen$ion, und fange an die kleine$te Theile der er- $ten Dimen$ion durch die 6 Klafter zu multiplici- ren, $agend: 6 mal 7 ge- ben 42 Linien, welche 3 Zoll und 6 Linien ausma- chen; Da $etze ich die 6 Linien an ihre Stelle, und behalte die 3 Zoll; Fer- ner $age ich, 6 mal 8 geben 48, und die 3 behalten machen 51 Zoll, wel- che 4 Schuh und 3 Zoll ausmachen: Da $etze ich die 3 Zoll an ihre Stelle und behalte die 4 Schuh; nach die$em komme ich an die Schuh, und $age: 6 mal 4 geben 24, und 4 behalten machen 28 Schuh, die$e ma- chen 4 Klafter und 4 Schuh aus, da $etze ich wiederum die 4 Schuh an ihre Stelle, und behalte die 4 Klafter, um $ie zu dem Product von 15 Klafter durch 6 Klafter zu addiren, damit ich al$o 94 Klafter be- komme: Al$o i$t das Product von 6 Klaftern durch die er$te Dimen$ion 94 Klafter, 4 Schuh, 3 Zoll und 6 Linien, welches eine Grö$$e i$t, die die er$te Dimen$ion $o vielmal in $ich begreift, als die Zahl 6 die Ein- heit in $ich hält.

Kl. # Sch. # Z. # L. # P. 15 # 4 # 8 # 7 # 0 6 # 3 # 6 # 0 # 0 94 # 4 # 3 # 6 # 0 7 # 5 # 4 # 3 # 6 1 # 1 # 10 # 8 # 7 103 # 5 # 6 # 6 # 1

Nunmehro betrachte ich, da{$s} jeder Klafter der Zahl 6 vor $ein Product eine der er$ten Dimen$ion ähnliche Grö$$e gegeben, und da{$s} al- $o, wann man die$e er$te Dimen$ion noch durch Theile des Klafters mul- tipliciren $oll, das Product $ich zum Product des Klafters durch die er$te Dimen$ion verhalten mü$$e, als wie $ich die$e Theile zum Klafter $elb$ten verhalten. Derowegen, weilen die er$te Dimen$ion noch mu{$s} durch 3 Schuh multiplicirt werden, $o betrachte ich, da{$s}, weilen 3 Schuh die Helfte des Klafters ausmachen, das Product von 3 Schuhen auch die Helfte der er$ten Dimen$ion $eyn mü$$e, indem man dahier $upponirt, als wann $ie durch 1 Klafter wäre multiplicirt worden; al$o $age ich: Die Helfte von 15 i$t 7, da bleibt noch 1 Klafter, der 6 Schuh gilt, übrig; Die$e addire ich zu den andern 4 Schuhen, um 10 Schuh zu [0341] haben, deren Helfte 5 i$t; Ferner $age ich: Die Helfte von 8 i$t 4, und die Helfte von 7 Linien i$t 3 Linien und 6 Puncten.

Weilen uns noch 6 Zou zu multipliciren übrig bleiben, $o betrachte ich, da{$s} weilen 6 Zoll den $ech$ten Theil von 3 Schuhen ausmachen, auch das Product von 6 Zollen der $ech$te Theil des Products von 3 Schuhen $eyn mu{$s}. Al$o nehme ich von die$em Product den $ech$ten Theil, welcher i$t 1 Klafter, 1 Schuh, 10 Zoll, 8 Linien und 7 Puncten. Wann ich nun alle die$e Producte zu$ammen addire, $o bekomme ich 103 Klafter, 5 Schuh, 6 Zoll, 6 Linien und 1 Punct vor das Total-Pro- duct.

Um 68 Klafter, 3 Schuh, 4 Zoll, und 9 Linien durch 9 Klafter, 4 Schuh und 9 Zoll zu multipliciren, $o fange ich an die er$te Dimen$ion durch 9 zu multipliciren, und da bekomme ich 617 Klafter, 6 Zoll und 9 Linien vor das Product; nach die$em betrachte ich, da{$s} 4 Schuh zwey dritte Theil von dem Klafter ausmachen; Al$o nehme ich, um weniger Ungele- genheit zu haben, zwey- mal den dritten Theil, das i$t, ich nehme jedes- mal vor 2 Schuh, indem ich $age: Der dritte Theil von 6 i$t 2, der dritte Theil von 8 i$t wiederum 2; und weilen noch 2 Klafter übrig bleiben, die 12 Schuh gelten, $o addire ich $ie zu den fol- genden 3 Schuhen, um 15 Schuh zu bekommen, davon der dritte Theil 5 Schuh i$t. Darnach $age ich: Der dritte Theil von 4 i$t 1, da bleibt noch 1 Zoll übrig der 12 Linien gilt, welche ich zu den folgenden 9 Linien addire, um 21 Linien zu bekommen, davon der dritte Theil 7 i$t; Al$o i$t das Product von 2 Schuhen 22 Klafter, 5 Schuh, 1 Zoll und 7 Li- nien; Die$es $chreibe ich uoch einmal darunter, damit al$o die$e zwey Producte, das Product von 4 Schuhen ausmachen; weilen noch 9 Zoll zu multipliciren $eynd, $o nehme ich vor 6 Zoll den vierten Theil des Products von zwey Schuhen, und $age: Der vierte Theil von 22 i$t 5, da bleiben noch 2 Klafter übrig, die machen 12 Schuh aus, die$e addire ich zu den 5 folgenden Schuhen, um 17 zu haben, davon der vierte Theil 4 i$t; Da bleibt noch 1 Schuh übrig, der 12 Zoll ausmacht, die- $e addire ich zu dem folgenden Zoll, um 13 Zoll zn bekommen, davon der vierte Theil 3 i$t, da bleibt noch ein Zoll übrig, der 12 Linien gilt, Kl. # Sch. # Z. # L. # P. 68 # 3 # 4 # 9 # 0 9 # 4 # 9 # 0 # 0 617 # 0 # 6 # 9 # 0 22 # 5 # 1 # 7 # 0 22 # 5 # 1 # 7 # 0 5 # 4 # 3 # 4 # 9 2 # 5 # 1 # 8 # 4{1/2} 671 # 2 # 3 # 0 # 1{1/2} [0342] welche ich zu den folgenden 7 Linien addire, um 19 Linien zu bekommen, davon der vierte Theil 4 i$t; Endlich bleiben noch 3 Linien übrig, die$e machen 36 Puncten, davon i$t der vierte Theil 9. Al$o i$t das Pro- duct von 6 Zollen, 5 Klafter, 4 Schuh, 3 Zoll, 4 Linien und 9 Puncten. Weilen ich aber mu{$s} das Product von 9 Zollen haben, und ich nur das Product von 6 Zollen bekommen, $o mu{$s} ich vor das Product der übri- gen 3 Zollen die Helfte des Products von 6 Zollen nehmen, welches i$t 2 Klafter, 5 Schuh, 1 Zoll, 8 Linien 4{1/2} Puncten. Nach die$em addi- re ich alle die$e Particular-Producte zu$ammen, um das Total-Product von 671 Kl. 2 Sch. 3 Z. 0 L. 1{1/2} P. zu bekommen.

Um 12 Klafter, 5 Schuh, 6 Zoll, 4 Linien durch 6 Klafter, 4 Zoll, 8 Linien zu multipliciren, $o fange ich an, wie gewöhnlich, die er$te Di- men$ion durch die 6 Klafter zu multipliciren; nach die$em betrachte ich, da{$s}, weilen wir in der zweyten Dimen$ion keine Schuh haben, wir nicht leicht das Product von 4 Zollen finden können, es $eye, wir machen eine fal$che Suppo$ition; Derowegen $upponire ich das Product von einem Schuh, indem ich von der er$ten Dimen$ion den $ech$ten Theil nehme, welcher al$o 2 Klafter, 11 Zoll und 8 Puncten i$t; Die$e Zahlen, wei- len $ie nur ein $upponirtes Product vor$tellen, $treiche ich aus; weilen nun 4 Zoll den dritten Theil von einem Schuh ausmachen, $o nehme ich von dem Product von einem Schuh auch nur den dritten Theil; wel- cher 4 Schuh, 3 Zoll, 8 Linien, 2 {2/3} Puncten i$t; und weilen noch 8 Li- nien zu multipliciren $eynd, $o $ehe ich, da{$s} weilen 8 Li- nien den $ech$ten Theil von 4 Zollen ausmachen, (in- dem 4 Zoll 48 Linien gel- ten), ich auch vor das Pro- duct von 8 Linien mu{$s} den $ech$ten Theil von dem Pro- duct von 4 Schuhen neh- men; Die$es finde ich al- $o, da{$s} es $eye 8 Zoll, 7 Linien 4{4/9} Pnncten. Nach die$em addire ich alles zu$ammen, um das Total-Product zu bekommen, welches i$t 78 Kl. 2 Sch. 2 Z. 3 L. 7{1/9} P.

Kl. # Sch. # Z. # L. # P. 12 # 5 # 6 # 4 # 0 6 # 0 # 4 # 8 # 0 77 # 3 # 2 # 0 # 0 2 # 0 # 11 # 0 # 8 0 # 4 # 3 # 8 # 2{2/3} 0 # 0 # 8 # 7 # 4{4/9} 78 # 2 # 2 # 3 # 7{1/9}

Um 40 Kl. 3 Schuh, 6 Zoll und 8 Linien durch 24 Klafter 5 Sch. 8 Zoll zu multipliciren, $o fange ich gleich an, die Klafter durch die Klafter zu multipliciren, und nicht, als wie vorhero, die Schuh, Zoll und Linien der er$ten Dimen$ion; die Ur$ach i$t, weilen die Klafter der zweyten Dimen$ion mit zweyen Ziffern ausgedruckt $eynd; nach die$em [0343] verfahre ich, wie in dem vorhergehenden Capitul gewie$en worden, und nehme vor 3 Schuh die Helfte von 24, welche 12 i$t, da ziehe ich die kleinere Theile der zweyten Dimen$ion in keine Betrachtung, $ondern ab$trahire von ihnen, indem es noch nicht Zeit i$t $ie zu multipliciren. Wann ich nun das Pro- duct von 3 Schuhen, welches 12 Klafter i$t, gefunden, $o betrachte ich, da{$s} weilen die 6 Zoll, die $ich in der er$ten Di- men$ion befinden, den $ech$ten Theil von drey Schuhen ausmachen, ich auch von dem Product 12 den $ech$ten Theil, der 2 Klafter i$t, nehmen mü$$e; und weilen noch 8 Linien in der er$ten Di- men$ion zu multipliciren übrig bleiben; $o $ehe ich, da{$s} weilen 6 Zoll 72 Linien ausmachen, die 8 Linien der neunte Theil davon $eyen, und da{$s} al$o das Product von die$en 8 Linien der neunte Theil des Products von 6 Zollen $eyn mü$$e. Weilen nun das Product von 6 Zollen zwey Klafter i$t, $o $age ich: Der neunte Theil von 2 i$t 0, weilen die$es aber 2 Klafter $eynd, die 12 Schuh gelten, $o $age ich: Der neunte Theil von 12 Sch. i$t 1 Sch. da bleiben noch 3 Sch. übrig, die 36 Zoll gel- ten, davon der neunte Theil 4 Zoll i$t, die ich in die Colonne der Zolle $etze.

Kl. # Sch. # Z. # L. # P. 40 # 3 # 6 # 8 # 0 24 # 5 # 8 # 0 # 0 160 80 12 # 0 # 0 # 0 # 0 2 # 0 # 0 # 0 # 0 0 # 1 # 4 # 0 # 0 20 # 1 # 9 # 4 # 0 13 # 3 # 2 # 2 # 8 4 # 3 # 0 # 8 # 10{2/3} 1012 # 3 # 4 # 3 # 6{2/3}

Bis hieher haben wir nur die er$te Dimen$ion durch die 24 Klafter der zweyten multiplicirt; Weilen aber bey die$en 24 Klaftern noch 5 Schuh und 8 Zoll $tehen, $o mu{$s} man, als wie in den vorhergehenden Operationen, die Producte die$er zwey Grö$$en $uchen; Al$o betrachte ich, da{$s} 5 Schuh aus 3 und aus 2, das i$t, aus der Helfte, und aus dem dritten Theil des Klafters be$tehen; Derowegen nehme ich vor 3 Schuh die Helfte, und vor 2 Schuh den dritten Theil aller Grö$$en, die $ich in der er$ten Dimen$ion befinden. Weilen nun die$es letztere Product das Product von 2 Schuhen i$t, $o betrachte ich, da{$s} weilen 8 Zoll den dritten Theil von 2 Schuhen ausmachen, ich auch vor das Product von 8 Zollen den dritten Theil des Products von 2 Schuhen nehmen mü$$e. Endlich addire ich alle die$e Particular-Producte zu$am- men, um das Total-Product von 1012 Kl. 3 Sch. 4 Z. 3 L. und 6{2/3} P. zu bekommen.

[0344]

Um 36 Klafter, 3 Zoll und 9 Linien durch 50 Klafter und 8 Linien zu multipliciren, $o multiplicire ich, wie gewöhnlich, die Klafter durch die Klafter; nach die$em um das Product von 3 Zollen zu finden, $o mu{$s} ich das Product von 1 Schuh $upponiren; Derowegen nehme ich von den 50 Klaftern den $ech$ten Theil, der al$o 8 Klafter und 2 Schuh ausmacht; und weilen 3 Zoll nur den vierten Theil von 1 Schuh aus- machen, $o nehme ich von den 8 Klaftern und 2 Schuhen auch nur den vierten Theil, den man al$o von 2 Klaftern und 6 Zollen findet: nach- gehends $uche ich das Product von 9 Linien, da ich betrachte, da{$s} wei- len 9 Linien den vierten Theil von 3 Zollen ausmachen, indem die$e 36 Linien gelten, auch der vierte Theil des Products von 3 Zollen das Pro- duct von 9 Linien $eye; Derowegen nehme ich von 2 Klaftern und 6 Zollen den vierten Theil, welcher al$o 3 Sch. 1 Z. und 6 L. ausmacht.

Nach die$em $ehe ich, da{$s}, weilen ich in der zweyten Dimen$ion neb$t den 8 Linien keine Schuhe noch Zolle habe, ich nothwendiger Weis mu{$s} etliche Producte $upponiren, um das von 8 Linien zu finden. Derowegen $uche ich al$obald das Product von 1 Schuh, indem ich von der er$ten Dimen$ion den $ech$ten Theil nehme, die$es finde ich al$o von 6 Klaftern, 7 Linien und 6 Puncten: Weilen aber die Berhältni{$s} die 8 Linien gegen einen Schuh haben, noch zu gro{$s} i$t, und dem Gedächtni{$s} zu $chwer fallt zu behalten, $o nehme ich von die$em Product wiederum den zwölften Theil, den ich von 3 Schuhen 7{1/2} Linien finde; Al$o habe ich das Product von 1 Zoll; und weilen 8 Linien zwey Drittel von 1 Zoll ausmachen, $o nehme ich vor ihr Product zwey Drittel des Pro- ducts von 1 Zoll; Wann ich nun alle die$e Particular-Producte zu$am- men addire, $o bekomme ich das Total-Product von 1802 Kl. 5 Sch. 7 Z. 6 L. und 5 Puncten.

Kl. # Sch. # Z. # L. # P. 36 # 0 # 3 # 9 # 0 50 # 0 # 0 # 8 # 0 1800 8 # 2 # 0 # 0 # 0 2 # 0 # 6 # 0 # 0 0 # 3 # 1 # 6 # 0 6 # 0 # 0 # 7 # 6 0 # 3 # 0 # 0 # 7{1/2} 0 # 1 # 0 # 0 # 2{1/2} 0 # 1 # 0 # 0 # 2{1/2} 1802 # 5 # 7 # 6 # 5 [0345] Drittes Capitul Von Der Manier, wie drey Dimen$ionen, die aus Klaftern, Schuhen, Zollen rc. be$tehen, durch- einander zu multipliciren.

749. DIe Berechnung, welche man in den zwey vorhergehenden Capiteln ge$ehen, gehet nur die Flächen an, indem wir nur zwey Dimen$iones $upponirt haben; Es i$t zwar wahr, da{$s} die Berechnung dreyer Maa$$e nicht viel von der Berechnung zweyer Maa$$e unter$chieden, indem um ihr Product zu bekommen, man nur das Product der zweyen er$tern Maa$$e durch das dritte Maa{$s} multiplicirt; Weilen aber das Product von dreyen Maa$$en nicht nur allein cubi$che Klafter, $ondern auch Schuh, Zoll, Linien und Puncten des cubi$chen Klafters in $ich begreift, $o $ehet, welchen Begrif man $ich von die$en unter$chiedlichen Theilen machen mu{$s}.

Wir haben oben ge$ehen, da{$s} ein cubi$cher Klafter aus 216 cubi- Fig. 244 $chen Schuhen be$tehe; Allein in der Ausrechnung bekümmert man $ich nicht um die$e Art von Schuhen; Dann man ver$tehet unter einem Schuh eines cubi$chen Klafters den $ech$ten Theil davon, welcher, (wann man will) aus 36 cubi$chen Schuhen be$tehet, und al$o ein Pa- rallelepipedum EAFGHID i$t, welches einen Quadrat-Klafter EAHD zur Grund-Fläche, und die Linie HG von einem Schuh zur Höhe hat: I$t al$o die$er Cörper der $ech$te Theil des Cörpers EABC, welcher ein cubi$cher Klafter i$t. Desgleichen mu{$s} man auch betrachten, da{$s} ein Zoll eines cubi$chen Klafters ein Parallelepipedum $eye, welches einen Quadrat-Klafter zur Grund-Fläche, und einen Zoll zur Höhe hat, und da{$s} eine Linie eines cubi$chen Klafters wiederum ein Parallelepipedum $eye, welches einen Quadrat-Klafter zur Grund-Fläche, und eine Linie zur Höhe hat: Al$o i$t es auch mit den übrigen Theilen be$chaffen.

750. Aus die$er Erklärung flie$$et, da{$s} 12 Linien eines cubi$chen Klafters einen Zoll, da{$s} 12 Zoll einen Schuh davon, und da{$s} 6 Schuh einen cubi$chen Klafter ausmachen; weilen alle die$e Cörper einen Qua- drat-Klafter zur Grund-Fläche und $olche Höhen haben, welche, wann man $ie zu$ammen addirt, cubi$che Klafter, oder Theile de$$elben aus- machen, wie man die$es in den folgenden Operationen $ehen wird.

[0346]

Um drey Maa$$e, deren das er$te von 8 Klaftern, 2 Schuhen und 4 Zollen, das zweyte von 6 Klaftern, 4 Schuhen und 8 Zollen, und das dritte von 5 Klaftern, 3 Schuhen und 6 Zollen i$t, durcheinander zu multipliciren, $o mu{$s} man zu er$t das er$te Maa{$s} durch das zweyte multipliciren, um das Product von 56 Klaftern, 5 Schuhen, 1 Zoll, 9 Linien und 4 Puncten zu bekommen, welches man hernach mit dem drit- ten Maa{$s} multiplicirt; Da verfähret man vollkommen nach den Re- geln der vorhergehenden Capiteln, das i$t, man betrachtet das Product der zwey er$teren Maa$$e, als wann es nur ein Maa{$s} wäre. Derowe- gen $age ich: 4 mal 5 i$t 20, welche $o viel Pun- cten des cubi$chen Klaf- ters $eynd, das i$t, es $eynd $o viel kleine Paral- lelepipeda, welche einen Quadrat-Klafter zur Grund-Fläche, und ei- nen Punct zur Höhe ha- ben. Dann wann man betrachtet, da{$s} jede Ein- heit der Zahl 4 ein klei- nes Parallelogrammum $eye, welches einen Punct zur Grund-Linie, und ei- nen Klafter zur Höhe hat; indem es Puncten eines Quadrat-Klafters $eynd, (§. 746.), $o $ie- het man leicht, da{$s}, wann man die$e Parallelogram- ma durch einen, oder mehrere Klafter multiplicirt, $ie in Parallelepipeda verändert werden, welche zwey Maa$$e eines Klafters, und al$o einen Quadrat-Klafter zur Grund-Fläche haben; Die$es $timmet al$o voll- kommen mit der Erklärung überein. Desgleichen, wann man 9 Linien eines Quadrat-Klafters durch Klafter multiplicirt, bekommt man wie- derum kleine Parallelepipeda, welche einen Quadrat-Klafter zur Grund- Fläche, und eine Linie zur Höhe haben; indem man Rectangula, deren ein Maa{$s} ein Klafter i$t, durch Klafter multiplicirt; Eben die$es kan man auch von den Zollen und Schuhen $agen: Was die Klafter anbe- Kl. # Sch. # Z. # L. # P. 8 # 2 # 4 # 0 # 0 6 # 4 # 8 # 0 # 0 5 # 3 # 6 # 0 # 0 8 # 2 # 4 # 0 # 0 6 # 4 # 8 # 0 # 0 50 # 2 # 0 # 0 # 0 2 # 4 # 9 # 4 # 0 2 # 4 # 9 # 4 # 0 0 # 5 # 7 # 1 # 4 56 # 5 # 1 # 9 # 4 5 # 3 # 6 # 0 # 0 284 # 1 # 8 # 10 # 8 28 # 2 # 6 # 10 # 8 4 # 4 # 5 # 1 # 9{1/3} 317 # 2 # 8 # 11 # 1{1/3} [0347] trift, $o i$t es gantz gewi{$s}, da{$s} wann man Quadrat-Klafter durch Cur- rent-Klafter multiplicirt, das Product Cubic-Klafter gebe.

Al$o wann man 56 Quadrat-Klafter, 5 Schuh, 1 Zoll, 9 Linien und 4 Puncten des Quadrat-Klafters durch 5 Current-Klafter multi- plicirt, $o bekommt man 284 Cubic-Klafter, 7 Schuh, 8 Zoll, 10 Linien und 8 Puncten des Cubic-Klafters zum Product.

Da nun das Product, wann man 56 Klafter, 5 Schuh, 1 Zoll, 9 Linien und 4 Puncten durch 1 Klafter multiplicirt, uns cubi$che Klafter und Theile de$$elben gibt, welche durch eben die$e Zahlen, das i$t, durch 56 Klafter, 5 Schuh, 1 Z. 9 L. und 4 Puncten ausgedruckt $eynd; $o folgt daraus, da{$s}, wann man von die$er Grö$$e die Helfte nimmt, $ie das Product von 3 Schuhen $eye; weilen wir nun in der dritten Di- men$ion 3 Schuh haben, $o nehmen wir von der vorigen Grö$$e die Helfte, welche al$o 28 Klafter, 2 Schuh, 6 Zoll, 10 Linien und 8 Pun- cten $eyn wird; Die$e $ehe ich al$o an als cubi$che Klafter und Theile de$$elben.

Endlich weilen $ich in der dritten Dimen$ion noch 6 Zoll befinden, $o betrachte ich, da{$s}, weilen 6 Zoll den $ech$ten Theil von 3 Schuhen ausmachen, auch der $ech$te Theil des Products von 3 Schuhen, das Product von 6 Zollen $eye: Derowegen wann man den $ech$ten Theil von die$em Product nimmt, $o bekommt man 4 Klafter, 4 Schuh, 5 Zoll, 1 Linie, 9{1/3} Puncten vor das Product von 6 Zollen: Wann man nun die$e drey Particular-Producte zu$ammen addirt, $o bekommt man 317 Klafter, 2 Schuh, 8 Zoll, 11 Linien, 1{1/3} Punct vor das Total- Product.

Um die drey Ma$$e, deren das er$te 15 Klafter, 5 Schuh, 3 Zoll, das zweyte 8 Klafter, 3 Schuh, 9 Zoll, und das dritte 6 Klafter, 2 Schuh und 6 Zoll i$t, miteinander zu multipliciren, $o multiplicire ich, wie zuvor, die zwey er$ten Maa$$e durcheinander, um ihr Product zu bekommen, welches 136 Klafter, 5 Schuh, 6 Zoll, 4 Linien und 6 Pun- cten i$t, und weilen die$es Product in Quadrat-Klaftern und Theilen de$$elben be$tehet, $o multiplicire ich es noch mit dem dritten Maa{$s}, das i$t, mit 6 Klaftern, 2 Schuhen und 6 Zollen, da bekomme ich 878 Klaf- ter, 3 Schuh, 5 Zoll, 10 Linien, 10{1/2} Puncten vor das Product.

[0348] Kl. # Sch. # Z. # L. # P. 15 # 5 # 3 # 0 # 0 8 # 3 # 9 # 0 # 0 6 # 2 # 6 # 0 # 0 15 # 5 # 3 # 0 # 0 8 # 3 # 9 # 0 # 0 127 # 0 # 0 # 0 # 0 7 # 5 # 7 # 6 # 0 1 # 5 # 10 # 10 # 6 136 # 5 # 6 # 4 # 6 6 # 2 # 6 # 0 # 0 821 # 3 # 2 # 3 # 0 45 # 3 # 10 # 1 # 6 11 # 2 # 5 # 6 # 4{1/2} 878 # 3 # 5 # 10 # 10{1/2}

Um die drey Maa$$e, deren das er$te 4 Klafter, 2 Schuh, 5 Zoll, das zweyte 3 Klafter, 1 Schuh, 6 Zoll, und das dritte 5 Schuh, 4 Zoll i$t, durcheinander zu multipliciren, $o fange ich an, die zwey er$tere Maa$- $e durcheinander zu multipliciren; Da findet man 14 Klafter, 1 Sch. 10 Zoll und 3 Linien vor ihr Product: nach die$em multiplicire ich die- $es Product durch 5 Schuh, 4 Zoll, und weilen in die$em dritten Maa{$s} $ich keine Klafter befinden, $o $etze ich eine Null an ihre Stelle, und mul- tiplicire durch die 5 Schuh, 4 Zoll. Da nehme ich vor 5 Schuh er$tlich die Helfte, und nachgehends den dritten Theil von der Grö$$e 14 Klaf- ter, 1 Schuh rc. Da bekomme ich 4 Klafter, 4 Schuh, 7 Zoll, 5 Li- nien vor das Product von 2 Schuhen, davon nehme ich wiederum den $ech$ten Theil vor das Product von 4 Zollen, weilen 4 Zoll den $ech$ten Theil von 2 Schuhen ausmachen: Endlich addire ich die$e Particular- Producte zu$ammen, um 12 Kl. 4 Sch. 3 Z. 9 L. 4 P. vor das Total- Product zu bekommen.

[0349] Kl. # Sch. # Z. # L. # P. 4 # 2 # 5 # 0 # 0 3 # 1 # 6 # 0 # 0 0 # 5 # 4 # 0 # 0 4 # 2 # 5 # 0 # 0 3 # 1 # 6 # 0 # 0 13 # 1 # 3 # 0 # 0 0 # 4 # 4 # 10 # 0 0 # 2 # 2 # 5 # 0 14 # 1 # 10 # 3 # 0 0 # 5 # 4 # 0 # 0 7 # 0 # 11 # 1 # 6 4 # 4 # 7 # 5 # 0 0 # 4 # 9 # 2 # 10 12 # 4 # 3 # 9 # 4

Um die drey Maa$$e, deren das er$te 5 Schuh, 9 Zoll, 6 Linien, das zweyte 3 Schuh, 6 Zoll, und das dritte 4 Schuh, 8 Zoll, 6 Linien i$t, miteinander zu multipliciren, $o $etze ich die zwey er$tere Maa$$e un- tereinander, und an die Stelle der Klafter $etze ich Nullen; nach die- $em, weilen $ich 3 Schuh in dem zweyten Maa{$s} befinden, $o nehme ich von den Terminis des er$ten Maa$$es die Helfte, um das Product von 3 Schuhen zu bekommen; und weilen wir noch 6 Zoll haben, die den $ech$ten Theil von 3 Schuhen ausmachen, $o nehme ich den $ech$ten Theil des Products von 3 Schuhen vor das _Pr_oduct von 6 Zollen, und wann ich die$es zu$ammen addire, $o bekomme ich 3 Schuh, 4 Zoll, 6 Linien, 6 Puncten vor das Product der zwey er$ten Maa$$e, welches ich noch durch das dritte multiplicire; Die$es be$tehet, wie wir $chon vor ge$agt, aus 4 Sch. 8 Z. 6 L.

[0350] Kl. # Sch. # Z. # L. # P. 0 # 5 # 9 # 6 # 0 0 # 3 # 6 # 0 # 0 0 # 4 # 8 # 6 # 0 0 # 5 # 9 # 6 # 0 0 # 3 # 6 # 0 # 0 0 # 2 # 10 # 9 # 0 0 # 0 # 5 # 9 # 6 0 # 3 # 4 # 6 # 6 0 # 4 # 8 # 6 # 0 0 # 1 # 1 # 6 # 2 0 # 1 # 1 # 6 # 2 0 # 0 # 4 # 6 # 0{2/3} 0 # 0 # 1 # 1 # 6{1/6} 0 # 0 # 0 # 3 # 4{13/24} 0 # 2 # 7 # 9 # 9{5/24}

Al$o fange ich an zweymal den dritten Theil von die$em Product zu nehmen, um das Product von 4 Schuhen zu bekommen; und weilen das Product von 2 Schuhen i$t 1 Schuh, 1 Zoll, 6 Linien und 2 Pun- cten, $o $ehe ich, da{$s}, weilen 8 Zoll den dritten Theil von 2 Schuhen ausmachen, das Product von 8 Zollen auch der dritte Theil des Pro- ducts von 2 Schuhen $eyn mü$$e; Die$es i$t al$o 4 Zoll, 6 Linien und {2/3} Puncten. Allein wir haben noch 6 Linien in dem dritten Maa{$s}, de- ren Verhältni{$s} gegen die 8 Zoll etwas grö$$er i$t, $o finde ich vor viel commoder ein Product zu $upponiren; und weilen das Product von 2 Zollen $ehr tauglich darzu i$t, indem ich nur den vierten Theil davon nehmen dörf, um das Product von 6 Linien zu haben, $o nehme ich den vierten Theil des Prducts von 8 Zollen, um das Product von 2 Zollen zu haben, welches i$t 1 Zoll, 1 Linie 6 {1/6} Puncten; Die$es $treiche ich aus, und nehme den vierten Theil davon; Da bekomme ich al$o 3 Li- nien 4{13/24} Puncten vor das Product von 6 Linien: und weilen nichts mehr zu multipliciren übrig bleibt, $o addire ich die$e Producte zu$am- men, um das Total-Product zu bekommen, welches man al$o von 2 Sch. 7 Z. 9 L. 9 {5/24} P. findet.

[0351] Bericht an den Le$er.

Weilen alle Arithmeti$che Operationen durch das Contrarium pro- birt werden, $o $cheinet die be$te Prob des Toi$irens die Divi$ion zu $eyn, wann man nemlich, nachdem man zwey Maa$$e miteinander multipli- cirt, das Product durch das er$te Maa{$s} dividirt, um das zweyte zum Quotienten zu bekommen, oder auch, wann man das Product durch das zweyte Maa{$s} dividirt, um das er$te zum Quotienten zu bekommen; Es $eynd ihrer viele, welche $ich die$er Prob bedienen, allein $ie mü$$en alle Terminos $o wohl des Products, als auch desjenigen Maa$$es, wel- ches $ie zum Divi$ore annehmen, auf die kleine$te Speciem reduciren, das i$t, wann man das Product auf Linien reducirt, $o mu{$s} man auch den Divi$orem bis auf Linien reduciren: nach die$em nimmt man die Divi- $ion vor, nnd da findet man den Quotienten wiederum in $olchen klei- nen Theilen, welche man wiederum auf die höhere Species reduciren mu{$s}, um al$o das zweyte Maa{$s} zu bekommen: Allein weilen die$e Prob viele Mühe ko$tet, $o will ich eine viel kürtzere wei$en.

Nachdem man das Product zweyer Maa$$e gefunden, und man $e- hen will, ob man $ich im Rechnen nicht betrogen, $o nimmt man von dem er$ten Maa{$s} die Helfte, und von dem zweyten das Doppelte; nach die$em multiplicirt man die$e al$o veränderte Maa$$e durcheinan- der, und da wird man ein zweytes Product bekommen, welches dem er- $ten gleich i$t. Z. E. um ver$ichert zu $eyn, ob das Product von 6 Klaf- tern, 5 Schuhen, und 4 Zollen, durch 4 Klafter, 2 Schuh und 6 Zoll, welches 30 Klafter, 2 Schuh, 6 Zoll, und 8 Linien i$t, gut $eye, $o mu{$s} man von dem er$ten Maa{$s} die Helfte nehmen, um 3 Klafter, 2 Schuh und 8 Zoll zu bekommen, und das zweyte dupliren, um 8 Klafter und 5 Schuh zu haben: Wann man nun die$e beyde Grö$$en miteinander multiplicirt, $o bekommt man wiederum 30 Klafter, 2 Schuh, 6 Zoll und 8 Linien vor das Product; welches nicht ander$t $eyn kan, wann die Operation richtig gemacht worden.

[0352] CURSUS MATHEMATICUS. Fünfter Theil. Application der Geometrie zur Ausme$$ung und Berechnung der Flächen und Cörper. Er$tes Capitul. Von Der Berechnung der Flächen. Er$te Aufgab.

751. Dreyeckigte Figuren auszurechnen.

Wann das Dreyeck ABC rechtwincklicht i$t, und man die Grund- Fig. 245. Linie BC von 8 Schuhen, und die Höhe AB von 5 Schuhen kennet, $o mu{$s} man, um $einen Flächen-Inhalt zu finden, die Helfte der Grund- Linie durch die gantze Perpendicular-Höhe, oder die Helfte der Perpen- dicular-Höhe durch die gantze Grund-Linie multipliciren, da bekommt man 20 Quadrat-Schuh vor den Inhalt des Dreyecks. (§. 339.).

[0353]

752. Wann das Dreyeck nicht rechtwincklicht i$t, als wie DEF, $o mu{$s} man, wann man die drey Seiten kennet, den Werth der Per- pendicular-Linie EG $uchen, (§. 702.) und wiederum die Helfte der Grund-Linie durch die gantze Perpendicular, oder die gantze Grund-Li- nie durch die Helfte der Perpendicular multipliciren.

753. Weilen aber zu Zeiten die Perpendicular-Linie als wie HL, Fig. 246. au$$er das Dreyeck auf die verlängerte Grund-Linie fallt; $o mu{$s} man auch ihren Werth $uchen, (§. 374.) und $ie hernach mit der Helfte der Grund-Linie IK multipliciren.

Zweyte Aufgab.

754. Den Flächen-Inhalt der viereckigten Figuren zu finden.

Um den Inhalt eines Quadrats AC, de$$en Seite z. E. von 7 Fig. 247. Schuhen i$t, zu finden, $o mu{$s} man 7 durch $ich $elb$t, das i$t, AB durch BC multipliciren; Da i$t das Product 49 Quadrat-Schuh, welches der Inhalt des Quadrats AC i$t.

755. Allein wann man ein Rectangulum DF hat, de$$en Grund- Fig. 248. Linie DE z. E. von 5 Schuhen, und die Höhe EF von 12 Schuhen i$t, $o mu{$s} man 5 durch 12 multipliciren, da i$t das Product 60 der Inhalt des Rectanguli.

756. Wann man aber an$tatt eines Rectanguli DF ein $chief-lie- Fig. 249. gendes Parallelogrammum GK hat, de$$en Inhalt man finden will, $o mu{$s} man die Grund-Linie GL verlängern, und eine Perpendicular-Li- nie KI darauf fallen la$$en, welche die Höhe des Parallelogrammi $eyn wird; Wann wir nun $upponiren, die$e Perpendicular-Linie $eye von 10 Schuhen, und die Grund-Linie GL von 4 Schuhen, $o mu{$s} man 10 durch 4 multipliciren, da i$t das Product 40 der Inhalt des Paralle- logrammi.

757. Wann aber die Figur ein Trapezoides i$t, als wie ABCD, Fig. 250. allwo die Seite BA auf den zweyen Parallelen Seiten BC und AD perpendiculariter $tehet, $o mu{$s} man die$e beyde Seiten aneinander hängen, um die Grund-Linie AE des Dreyecks ABE zu bekommen, wel- ches dem Trapezoidi gleich i$t. Al$o wann wir $upponiren, die Seite BC $eye von 4, die Seite AD von 10, und die Höhe AB von 12 Schu- hen, $o i$t die Grund-Linie AE, oder die Summ der beyden Seiten von 14 Schuhen, welche man durch 6, als die Helfte der Perpendicular mul- tiplicirt, da bekommt man 84 vor den Inhalt des Dreyecks ABE, wel- ches dem Trapezoidi gleich i$t, indem die Dreyecke BCF und DFE ein- ander gleich $eynd.

[0354]

758. Man kan auch noch auf eine andere Art den Inhalt die$es Trapezoidis finden; Dann man dörf nur zwi$chen BC und AD, das i$t, zwi$chen 4 und 10 eine mittlere Arithmeti$che Proportional-Grö$$e GF, oder 7 $uchen; und wann man die$e mittlere Proportional-Linie durch die gantze Höhe BA, welche von 12 Schuhen i$t, multiplicirt, $o bekommt man 84 vor den Inhalt des Trapezoidis; Die$es i$t gantz klar, weilen wegen den gleichen Dreyecken CHF und IFD das Rectangu- lum ABHI dem Trapezoidi ABCD gleich i$t.

Dritte Aufgab.

759. Den Flächen-Inhalt der regularen und irregularen Polygonen auszurechnen.

Wann man den Inhalt eines regularen Polygons wi$$en will, $o Fig. 251. mu{$s} man aus dem Mittel-Punct E auf eine Seite CD eine Perpendi- cular EB fallen la$$en, und die Radios EC und ED ziehen, welche uns das gleich$chencklichte Dreyeck ECD formiren werden. Da man nun die Winckel auf der Grund-Linie kennet (§. 431.), indem das Polygon regular i$t, desgleichen auch die Seite CD; $o kan man leicht in dem rechtwincklichten Dreyeck BED die Seite BE finden. (§. 678.): Ich $upponire nun, man habe $ie von 6 Schuhen gefunden, da mu{$s} man nachgehends alle Seiten des Polygons zu$ammen addiren, deren Su\~m, die ich von 48 Schuhen $upponire, man durch 3 als die Helfte der Per- pendicular multiplicirt, um 144 Quadrat-Schuhe zu bekommen, welche den Werth des Polygons ausmachen (§. 463.).

760. Wann das Polygon irregular i$t, als wie ABCDEF, $o zie- Fig. 252. het man von einem Punct E die Diagonalen EA, EB und EC, welche das Polygon in vier Dreyecke zertheilen, davon das er$te die Perpendi- cular-Linie FG; Das zweyte die Perpendicular AH, das dritte die Per- pendicular CI, und das vierte die Perpendicular DK zur Höhe hat. Nach die$em wann die Figur auf dem Feld i$t, me$$et man die$e Perpen- dicularen und die Linien worauf $ie fallen, mit dem Klafter, auf dem Papier aber mit dem kleinen Maa{$s}-Stab; Endlich macht man $o viel Multiplicationen als Dreyecke $eynd; und wann man alle Producte zu- $ammen addirt, $o i$t die Summ der Inhalt des Polygons.

Vierte Aufgab.

761. Die Fläche der Zirckel und ihrer Theile zu berechnen.

Um die Fläche eines Zirckels AB zu berechnen, $o i$t vonnöthen, Fig. 253. da{$s} man den Diameter und die Circumferenz kenne, wie wir es oben §. 468. gewie$en, nach die$em multiplicirt man die Helfte der Circum- [0355] ferenz durch den Radium, da gibt das Product den Inhalt des Zirckels. Z. E. um den Flächen-Inhalt eines Zirckels, de$$en Diameter 14 i$t, zu finden, $uche ich $eine Circumferenz, welche von 44 i$t; Da nehme ich 22, als die Helfte von 44, und 7, als die Helfte von 14, und multipli- cire die$e beyde Zahlen durcheinander, um das Product 154 zu bekom- men, welches der Inhalt des Zirckels $eyn wird.

762. Wann man den Flächen-Inhalt eines Sectoris eines Zir- Fig. 254. ckels finden will, $o mu{$s} man den Winckel, den die beyde Radii mitein- ander formiren, wie auch den Radium $elb$ten kennen. Wann ich nun $upponire, der Winckel des Sectoris ABC $eye von 60 Graden, und der Radius von 7 Schuhen, $o fange ich an den Inhalt des Zirckels, wovon der Sector her$tammet, zu $uchen, die$en finde ich dann von 154, nach die$em mache ich eine Regel de Tri, und $age: Wann 360 als der Werth der gantzen Circumferenz 154 vor die Fläche die $ie ein$chlie{$s}t, gibt, wie viel geben 60, als der Werth des Zirckel-Bogens des Sectoris vor $einen Inhalt; Die$en findet man al$o von 25 Schuhen 8 Zollen.

763. Endlich um den Inhalt eines Segmenti eines Zirckels, als Fig. 255. wie DGF zu finden, $o mu{$s} man zu er$t einen Sectorem daraus machen, de$$en Flächen-Inhalt man $uchen mu{$s}, und den ich wiederum von 25 Schuhen und 8 Zollen $upponire. Nach die$em mu{$s} man den Inhalt des Dreyecks DEF $uchen, den man bey nahem von 21 Schuhen findet; Wann man nun die$e letztere Grö$$e von der er$tern abziehet, $o bleiben ohngefehr 4 Schuh und 8 Zoll vor den Inhalt des Segmenti übrig.

Fünfte Aufgab.

764. Den Flächen-Inhalt einer _Ellip$is_ zu berechnen.

Wir haben ge$ehen §. 616. da{$s} die Elementa FH und EI des vier- Fig. 256. ten Theils eines Zirckels $ich gegen einander verhalten, als wie die Ele- menta FG und ED des vierten Theils einer Ellip$is; Derowegen verhalt $ich die Summ aller Antecedenten zur Summ aller Con$equenten, als wie einer der Antecedenten zu $einem Con$equenten (§. 188.), das i$t, der vierte Theil des Zirckels EAI verhalt $ich zum vierten Theil der Ellip$is EAD, als wie die Linie EI zur Linie ED, oder auch als wie die gro$$e Axe AB zur kleinen Axe CD (§. 606.); und wann man an- $tatt der vierten Theile den gantzen Zirckel und die gantze Ellip$in nimt, $o verhalt $ich wiederum der Zirckel zur Ellip$i, als wie die gro$$e Axe AB zur kleinen Axe CD. Wann man nun $upponirt, die gro$$e Axe AB $eye von 14, und die kleine Axe CD von 8 Schuhen, $o mu{$s} man, um den Inhalt der Ellip$is zu finden, den Inhalt des Zirckels, davon die gro$$e Axe der Diameter i$t, $uchen; Die$en findet man von 154 [0356] Schuhen, nach die$em $agt man: Wann die gro$$e Axe von 14 Schu- hen 8 Schuh vor die kleine Axe gibt, wie viel gibt die Fläche des Zir- ckels von 154 Schuhen zur Fläche der Ellip$is; Die$e findet man al$o von 88 Schuhen.

Sech$te Aufgab.

765. Den Raum, den eine _Parabola_ in $ich begreift, zu be- Fig. 257. technen.

Wann man eine Parabel ABC hat, deren Axe BD von 9, und die grö$te Ordinata DA von 12 Schuhen i$t, $o i$t die gantze Linie AC von 24 Schuhen. Nach die$em $age ich, da{$s}, um den Inhalt des Raums den die Parabel ABC in $ich begreift, zu finden, man die Linie AC durch zwey dritte Theil der Axe BD multipliciren mü$$e, das i$t, 24 durch 6, $o bekommt man 144 vor das Product, welches der ge$uchte Inhalt $eyn wird.

Die Ur$ach die$er Operation i$t, weilen der Raum ABC zwey drit- te Theile des Rectanguli AEFC ausmacht; um aber die$es zu erwei$en, $o wollen wir zeigen, da{$s} der Raum AEBK der dritte Theil des Rectan- guli AEBD $eye.

Theilet die Linie EB in eine Anzahl gleicher Theile, und ziehet durch die Theilungs-Puncten Linien, als wie GH und IK, die mit EA paral- lel lauffen, da $iehet man, da{$s} vermög der Eigen$chaft der Parabel (§. 588.) das Quadrat von BG $ich zum Quadrat von BI verhalte, als wie $ich die Linie GH zu IK verhalt; Weilen aber die Theile der Linie EB in einer Arithmeti$chen Progre$$ion fortgehen, $o $eynd die Quadrate der Theile BG und BI Quadrate von Terminis die in einer Arithmeti- $chen Progre$$ion $tehen; Derowegen verhalten $ich die Elementa GH und IK gegeneinander, als wie Quadrate von Terminis, die in einer Arithmeti$chen Progre$$ion $tehen; Al$o begreift der Raum AEBK eine unendliche Menge Elementen, welche $ich alle gegeneinander verhalten, als wie die Quadrate einer unendlichen Anzahl Terminorum einer Arith- meti$chen Progre$$ion. Da man nun um den Werth aller die$er Qua- drate zu finden, das grö$te Quadrat durch den dritten Theil der Grö$$e die ihre Anzahl ausdruckt, multipliciren mu{$s} (§. 534.), $o mu{$s} man dann auch, um den Werth aller Elementen, woraus der Raum AEBK be$tehet, zu finden, das grö$te Elementum EA durch den dritten Theil der Linie EB, welche ihre Anzahl ausdruckt, multipliciren: Die- $es erwei{$s}t uns al$o, da{$s} der Raum AEBK den dritten Theil, und da{$s} der Raum AKBD zwey dritte Theile des Rectanguli AEBD ausmache. W. z. E.

[0357] Anmerckung.

Die Wi$$en$chaft die Flächen wohl auszurechnen, i$t denjenigen, die $ich auf die Ingenieur-Kun$t verlegen, unumgänglich nothwendig; weilen man $ie in Be- rechnung der Fortificationen und Civil-Gebäude be$tändig brauchet; Dann die Dächer $o wohl von Ziegeln, als von Schieffer-Steinen, die Belegung der Böden, das Pfla$ter, die Auswei$$ung der alten Mauren, die Glas-Fen$ter, die Wa$en, mit welchen man die Wercker, die nur von Erden gebaut $eynd, umgibt, werden alle nach dem Quadrat-Klafter abgeme$$en, und alle Figuren, die die$e Sachen im- mer haben mögen, werden entweder auf Rectangula, oder auf Dreyecke reducirt.

Application der Geometrie zur Berech- nung der Flächen der Cörper. Siebende Aufgab.

766. Die Flächen der _Prismatum_ und der Cylinder zu be- technen.

Um die Fläche eines Prismatis AE zu berechnen, $o mu{$s} man die Fig. 258. Summ der Seiten des Polygons, welches ihm zur Grund-Fläche dient, durch die Höhe des Prismatis multipliciren: Al$o wann die Grund-Flä- che des Prismatis ein Sechseck i$t, de$$en jede Seite BC von 4, und die Höhe von 6 Schuhen, $o i$t die Summ der Seiten von 24 Schuhen, welche, wann man $ie durch 6 multiplicirt, uns 144 vor den Inhalt der Fläche geben.

767. Um die Fläche eines Cylinders als wie BC zu berechnen, Fig. 259. de$$en Diameter AC von 14, und die Höhe AB von 8 Schuhen i$t, $o mu{$s} man zu er$t die Circumferenz des Zirckels, der dem Cylinder zur Grund-Fläche dienet, $uchen, die$e findet man von 44 Schuhen. Nach die$em mu{$s} man die$e Circumferenz durch 8 als die Höhe des Cylin- ders multipliciren, da bekommt man 352 Schuh vor die Fläche des Cy- linders.

Achte Aufgab.

768. Die Flächen der Pyramiden und der _Conorum_ zu be- rechnen.

Um die Fläche einer graden Pyramide, die ein Sechseck zur Fig. 260. Grund-Fläche hat, zu berechnen, $o mu{$s} man die Helfte der Summ aller Seiten des Polygons durch die gantze Perpendicular DE multi- pliciren: Wann wir nun $upponiren, die eine Seite AB des Polygons $eye von 6, und die Perpendicular-Linie DE von 10 Schuhen, $o i$t die [0358] Helfte der Summ aller Seiten 18, welche, wann $ie durch 10 multi- plicirt werden, uns 180 Schuh vor den Flächen-Inhalt der Pyramide geben. (§. 519.).

769. Um die Fläche eines graden Coni zu finden, davon man Fig. 261. den Diameter AB des Zirckels, der ihm zur Grund-Fläche dient, von 14 Schuhen, und die Seite AD von 12 Schuhen kennet, $o mu{$s} man 44 als die Circumferenz des Zirckels durch die Helfte der Seite AD, das i$t, durch 6 multipliciren (§. 520), auf die$e Art bekommt man 264 Schuh vor den Inhalt der Fläche des Coni; oder, wann man will, $o kan man auch die Helfte der Circumferenz durch die gantze Linie AD mul- tipliciren, da bekommt man eben die$es Product.

Neunte Aufgab.

770. Die Flächen der Kugeln, wie auch die Flächen ihrer Fig. 262. _Segmentorum_ und _Zonarum_ zu berechnen.

Um die Fläche einer Kugel, davon der Diameter HG z. E. von 14 Schuhen i$t, zu berechnen, $o mu{$s} man zu er$t die Circumferenz die$es Diameters $uchen, die$e finde t man von 44 Schuhen; nachgehends mu{$s} man die$e Circumferenz durch den Diameter, das i$t, durch 14 multi- pliciren, da i$t das Product 616 der Inhalt der Fläche der Kugel (§. 556.)

771. Wann man aber nur die Fläche eines Segmenti, als wie ABC berechnen will, $o mu{$s} man zu er$t die Circumferenz des grö$ten Zirckels der Kugel, von welcher das Segmentum her$tammet, $uchen; Ferner mu{$s} man die Perpendicular CD, welche auf dem Mittel-Punct D des Zirckels AB aufgerichtet i$t, genau kennen, nach die$em multipli- cirt man die Circumferenz des grö$ten Zirckels durch den Werth die$er Perpendicular (§. 564.); Wann wir nun $upponiren, die Circumfe- renz des grö$ten Zirckels wäre von 44, und die Perpendicular CD von 4 Schuhen, $o i$t das Product 176 der Inhalt der Fläche des Seg- menti.

772. Endlich um die Fläche einer Zonæ als wie EHFG zu finden, $o mu{$s} man wiederum die Circumferenz des grö$ten Zirckels der Kugel, wovon $ie her$tammet, $amt dem Werth der Perpendicular IK kennen, die man durch die Mittel-Puncten der zweyen einander entgegen $te- henden Zirckeln ziehet; nach die$em mu{$s} man die Circumferenz des gro$$en Zirckels durch den Werth die$er Perpendicular multipliciren (§. 563.). Al$o wann wir wieder $upponiren, die Circumferenz des gro$$en Zirckels $eye von 44, und die Perpendicular IK von 5 Schuhen, $o findet man 220 Schuh vor den Inhalt der Fläche der Zonæ.

[0359] Anmerckung.

Der grö$te Theil derjenigen, die die Geometrie $tudiren, kennen ihren gro$$en Nutzen gar wohl, und wi$$en, da{$s} alle Sätze der$elben überhaupt ihren Nutzen bringen; Doch weilen $ie die Application davon nicht wi$$en, indem $ie noch nicht die Gelegenheit gehabt, $ich der$elben zu bedienen, $o fragen $ie allezeit zu was die$e und die$e Aufgaben nutzen; Derowegen um ihnen die$e Unruh zu benehmen, werde ich es mich nicht verdrie$$en la$$en, ihnen die Application der gering$ten Sachen zu wei$en: und um nur etliche Worte von den vorhergehenden Sätzen zu reden, $o mü$$en $ie mercken, da{$s} die Kirchen-Thürne fa$t allezeit Pyramiden, oder Coni, da{$s} die Kuppeln insgemein eine Sphæri$che Figur, und da{$s} die Thürne der Schlö$$er auf $olche Art gedeckt werden, da{$s} die Dächer entweder einen Conum, oder eine Pyramide vor$tellen; Derowegen um die$e unter$chiedene Arten Dächer zu berechnen, mu{$s} man nothwendig die$e unter$chiedene Arten Flächen wi$$en aus- zurechnen.

Zweytes Capitul. Application der Geometrie zur Berechnung der Cörper. Zehende Aufgab.

773. Den cörperlichen Inhalt der _Cuborum_, _Parallelepipedorum_, _Prismatum_ und Cylinder zu finden.

Um den cörperlichen Inhalt eines Cubi AD zu finden, de$$en Sei- Fig. 263. te AB z. E. von 6 Schuhen i$t, $o mu{$s} man 6 quadriren, um 36 als den Inhalt der Grund-Fläche zu bekommen, und nachgehends die$e Grund-Fläche mit der Höhe, das i$t, mit 6 multipliciren; Da bekomt man 216 Schuh vor den Inhalt des Cubi.

774. Auf gleiche Art findet man den Inhalt eines Parallelepipe- Fig. 264. di, wann man nemlich die Grund-Fläche mit der Höhe multiplicirt. Al$o wann man das Parallelepipedum EH berechnen will, po$ito da{$s} EF von 10, FG von 4, und FH von 5 Schuhen $eye, $o mu{$s} man 10 durch 4 multipliciren, um 40 vor den Inhalt der Grund-Fläche zu bekommen, welche man wiederum durch die Höhe 5 multiplicirt; Da bekommt man 200 cubi$che Schuhe vor den Inhalt des Parallelepipedi.

775. Um den Inhalt eines Prismatis CE zu finden, de$$en Grund- Fig. 258. Fläche ein Sechseck i$t, $o mu{$s} man zu er$t den Inhalt des Sechsecks [0360] kennen, den man findet, wann man die Summ $einer Seiten durch die Helfte der Perpendicular AD multiplicirt: Wann nun BC von 4, und die Perpendicular AD von 3 {1/2} Schuh i$t, $o i$t die Summ der Seiten 24 Schuh, welche, wann man $ie durch 1 {3/4} multiplicirt, uns 42 Qua- drat-Schuh vor den Inhalt der Grund-Fläche geben; Die$e multipli- cirt man nachgehends mit der Höhe BE, die ich von 6 Schuhen $uppo- nire, da bekommt man 252 cubi$che Schuh vor den Inhalt des Pris- matis.

776. Wann man den Inhalt eines Cylinders CB finden will, Fig. 259. de$$en Diameter BD z. E. von 14 Schuhen, und die Höhe AB von 8 Schuhen i$t, $o mu{$s} man zu er$t den Inhalt des Zirckels, der dem Cy- linder zur Grund Fläche dient, kennen: um die$en zu finden, $o $ucht man die Circumferenz, die man von 44 Schuhen findet; Wann man nun die Helfte der Circumferenz durch den Radium, das i$t, 22 durch 7 multiplicirt, $o bekommt man 154 Quadrat-Schuh vor den Inhalt der Grund-Fläche des Cylinders: Endlich multiplicirt man die$e Fläche noch durch 8, um 1232 cubi$che Schuh vor den Inhalt des Cylinders zu bekommen.

Weilen der cörperliche Inhalt der Cuborum, Parallelepipedorum, Prismatum und Cylinder aus einer unendlichen Anzahl Flächen be$tehet, deren jede der Grund-Fläche eines jeden die$er Cörper ähnlich, und da{$s} die Anzahl die$er Flächen durch die Höhe ausgedruckt wird, $o folgt daraus, da{$s}, um den cörperlichen Inhalt eines der vorigen Cörper zu finden, man die Grund-Fläche durch die gantze Höhe multipliciren mu{$s}.

Eilfte Aufgab.

777. Den Inhalt der Pyramiden und der _Conorum_ zu fin- den.

Um den cörperlichen Inhalt einer Pyramide zu finden, deren Fig. 260. Grund-Fläche z. E. ein Sechseck i$t, $o mu{$s} man zu er$t den Inhalt der Grund-Fläche $uchen. Al$o wann wir $upponiren, die Seite AB $eye von 6 Schuhen, und die Perpendicular CE von 4 {3/4} Schuhen, $o fin- det man 85 {1/2} Quadrat-Schuh vor den Inhalt der Grund-Fläche, wel- chen man noch durch den dritten Theil der Axe DC der Pyramide mul- tipliciren mu{$s}. Wann wir nun $upponiren, die$e Axe $eye von 10 Schuhen, $o mu{$s} man 85 {1/2} durch 3 {1/3} multipliciren, da bekommt man 285 cubi$che Schuh vor den Inhalt der Pyramide.

778. Um den cörperlichen Inhalt eines Coni zu finden, $o ver- Fig. 261. fährt man fa$t auf eben die Art, wie man bey der Pyramide gethan; [0361] Dann man $ucht zu er$t den Flächen-Inhalt des Zirckels, der die Grund- Fläche des Coni i$t, die$en multiplicirt man hernach durch den dritten Theil der Axe des Coni. Al$o wann man den Inhalt des Coni ADB berechnen will, da der Diameter $einer Grund-Fläche 14, und die Axe 9 {1/2} Schuh hat, $o mu{$s} man die 154 Schuh als den Inhalt der Grund- Fläche durch 3 {1/6} als durch den dritten Theil der Axe multipliciren, da bekommt man 487 {2/3} cubi$che Schuh vor den Inhalt des Coni.

Wir haben die Grund-Flächen der Pyramiden und der Conorum nur durch den dritten Theil ihrer Höhen multiplicirt, weilen, wie wir oben ge$ehen, eine Pyramide auch nur der dritte Theil eines Prismatis von gleicher Grund-Fläche und Höhe, und ein Conus der dritte Theil eines Cylinders von gleicher Grund-Fläche und Höhe i$t (§. 532. 536.)

779. Wann die Parallelepipeda, Prismata, Cylinder, Pyramiden und Coni, die man berechnen will, nicht grade $tehen, $ondern $ich gegen eine Seite neigen, $o mu{$s} man von ihrem Spitz auf die verlängerte Grund-Fläche eine Perpendicular-Linie ziehen, und hernach den Werth die$er Perpendicular $uchen, die man al$o als die Höhe des Cörpers an- $iehet; Wann man nun $olche Parallelepipeda, Prismata und Cylinder hat, $o multiplicirt man die Grund-Fläche durch die$e gantze Perpendi- cular; Wann es aber Pyramiden und Coni $eynd, $o multiplicirt man ihre Grund-Flächen nur durch den dritten Theil die$er Perpendicular.

Zwölfte Aufgab.

780. Den cörperlichen Inhalt der ge$tümpelten Pyramiden und _Conorum_ zu finden.

Wann man eine Pyramide DB hat, deren die einander entgegen Fig. 265. $tehende Flächen Quadrate $eynd, $o wollen wir, um ihren Inhalt zu finden, $upponiren, die Seite DE $eye von 9, die Seite AC von 4, und die Axe GH von 12 Schuhen. Nach die$em mu{$s} man den Inhalt der Flächen AB und DF $uchen, da findet man die er$te von 16, und die zweyte von 81 Schuhen, zwi$chen die$en mu{$s} man eine mittlere Pro- portional-Fläche $uchen, die$e findet man al$o von 36 Quadrat-Schu- hen; Endlich mu{$s} man die$e mittlere Fläche zu den zweyen andern ad- diren, um 133 vor die Summ die$er dreyen Flächen zu bekommen, wel- che Summ man durch den dritten Theil der Axe, das i$t, durch 4 mul- tiplicirt, um 532 cubi$che Schuh vor den Inhalt der ge$tümpelten Py- $ramide zu bekommen (§. 543.)

Wann man einen ge$tümpelten Conum $ucht, $o findet man auch einen Inhalt, wann man zwi$chen den beyden entgegen $tehenden Zir- [0362] ckeln einen mittlern Proportional-Zirckel $ucht, und die Summ die$er drey Zirckel, durch den dritten Theil der Axe multiplicirt (§. 545.)

781. Ich will noch eine andere Manier wei$en, den Inhalt der Fig. 266. ge$tümpelten Pyramiden und Conorum zu finden, welche mehr im Ge- brauch i$t, als die vorhergehende; Z. E. Um den Inhalt eines ge$tüm- pelten Coni ADEB zu finden, de$$en Axe GC von 15, der Diameter DE von 7, und der Diameter AB von 21 Schuhen i$t, $o la$$e ich die Per- pendicular DH auf AB fallen, und mache den Conum völlig aus, um die gantze Axe CF zu bekommen, deren Werth ich $uche. Um die$en nun zu finden, $o betrachte ich, da{$s}, weilen der Radius DG von 3 {1/2}, und der Radius AC von 10 {1/2} Schuh i$t, die Linie AH die Differenz der bey- den Radiorum AC und DG $eye; Die$e Linie AH i$t al$o von 7 Schu- hen. Nun wegen den ähnlichen Dreyecken AHD und ACF $age ich: Wann die Seite AH von 7 Schuhen 15 Schuh vor die Seite HD gibt, wie viel gibt die Seite AC von 10 {1/2} Schuh vor die Seite CF, die$e findet man al$o von 22 {1/2} Schuh. Weilen man nun die gro$$e Axe gefunden, $o $ucht man nunmehro den Inhalt des gro$$en Coni ABF und den Inhalt des kleinen DFE, welchen man von dem gro$$en abzie- het, um al$o den Inhalt des ge$tümpelten Coni ADEB zu bekommen.

782. Oder man kan auch wegen der Aehnlichkeit der Conorum DFE und AFB von den Diametern AB und DE die Cubos nehmen, und $agen: wie $ich der Cubus des Diameters AB zum Cubo des Diameters DE verhalt, al$o verhalt $ich der Inhalt des Coni AFB zum Inhalt des Coni DFE; Wann man nun wiederum die$en letztern von dem er$tern abziehet, $o i$t die Differenz der Inhalt des ge$tümpelten Coni ADEB.

Anmerckung.

In künftigem wird man $ehen, wie nothwendig es $eye, die Prismata, Cylin- der, Pyramiden und Conos, wie auch die Theile von ihnen wohl wi$$en zu berech- nen; Dann in der Berechnung des Mauer-Wercks einer Fortification, und zwar in$onderheit bey den aus-und inwarts gehenden Winckeln kommen $olche Theile vor; Zu Zeiten haben auch die Sachen, die man berechnen will, eine $olche Fi- gur, da{$s} man eine gro$$e Wi$$en$chaft von der Geometrie brauche, um $ie zu be- rechnen: um weilen viele Ingenieurs $ie nur approximando berechnen, $o will ich etliche Sätze geben, durch welche die Schwürigkeiten, die $ich darbey befinden, um vieles können erläutert werden.

Dreyzehende Aufgab.

783. Den cörperlichen Inhalt der _Sectarum_ der Cylinder und der ge$tümpelten _Conorum_ zu finden.

[0363]

Um den Inhalt eines Sectoris ABCDEF eines Cylinders zu finden, Fig. 267. $o mu{$s} man zu er$t den Inhalt des gantzen Cylinders $uchen, wie auch den Winckel BCD des Sectoris. Ich $upponire nun, die$er Winckel wäre von 50 Graden, und der Inhalt des Cylinders von 425 Schu- hen; $o mu{$s} man $agen: Wann 360 Grad, als die gantze Circumfe- renz der Grund-Fläche des Cylinders, 425 Schuh vor den Inhalt des Cylinders geben, wie viel geben 50 Grad vor den Inhalt des Sectoris; Die$en findet man al$o von 59 Schuhen $amt einem Uberre$t.

784. Um den Inhalt eines Sectoris GHKLMN eines ge$tümpel- Fig. 268. ten Coni zu berechnen, $o mu{$s} man, als wie vorhero, den Winckel HKL des Sectoris, und den Inhalt des ge$tümpelten Coni kennen; Al$o wann wir $upponiren, der Winckel $eye von 60 Graden, und der Inhalt des ge$tümpelten Coni von 600 Schuhen, $o mu{$s} man wiederum $agen: Wann 360 Grad 600 Schuh vor den Inhalt des ge$tümpelten Coni geben, wie viel geben 60 Grad vor den Inhalt des Sectoris; Die$en fin- det man al$o von 100 Schuhen.

785. Wann man aber einen ge$tümpelten Conum ABCD hat, in Fig. 269. de$$en Mitte ein Cylinder GEFH ausge$chnitten i$t, und man den In- halt des Stucks LNPQOMSR finden will, $o mu{$s} man den Inhalt des gantzen ge$tümpelten Coni ABCD $uchen, als wann er nicht ausgehöh- let wäre, und nach voriger Manier den Sectorem LNKOMI berechnen; nach die$em ziehet man von die$em Sectore den Sectorem RPKQSI des Cylinders ab, $o i$t die Differenz der Inhalt des Stucks LNPQOMSR.

786. Wann man aber einen Cylinder ABCD hat, in de$$en Mit- Fig. 270. te ein ge$tümpelter Conus FEGH ausge$chnitten i$t, und man den In- halt des Stucks QONPRLMS finden will, welches durch zwey Flächen, deren Grund-Linien in den Radiis IN und IL $tehen, formirt wird, $o mu{$s} man den Sectorem KONILM des Cylinders, und den Sectorem KQPIRS des ge$tümpelten Coni berechnen, und die$en letztern von dem er$ten abziehen, $o i$t die Differenz der Inhalt des Stucks QONPR LMS.

Um $ich dasjenige, was wir ge$ehen, wohl bekannt zu machen, $o mu{$s} man die Linien, aus welchen die$e Figuren be$tehen, mit Zahlen be- mercken, und nach obigen Regeln die Rechnungen machen; Man mu{$s} $ich auch beflei$$igen, die Ur$ach jeder Operation wohl zu ver$tehen; Dann wir mü$$en, wie ich es $chon erinnert, in der Auflö$ung etlicher der $chwere$ten Aufgaben, die in der Berechnung der Fortificationen vorkommen, un$ere Zuflucht zu die$er Aufgab nehmen.

[0364] Vierzehende Aufgab.

787. Den cörperlichen Inhalt einer Kugel zu finden.

Um den Inhalt einer Kugel, deren Diameter AB von 14 Schuhen Fig 271. i$t, zu finden, $o mu{$s} man die Circumferenz die$es Diameters $uchen, welche al$o 44 i$t, und die$e durch den Diameter $elb$ten multipliciren, um 616 Schuh vor die Fläche der Kugel zu bekommen (§. 556.), wel- che man wiederum durch den dritten Theil des Radii, das i$t, durch 2 {1/3} multiplicirt, um al$o 1437 {1/3} Schuh vor den Inhalt der Kugel zu be- kommen (§. 555.).

Man findet auch den Inhalt einer Kugel, wann man ihren grö$ten Zirckel durch zwey dritte Theile des Diameters multiplicirt (§. 549.).

788. Um einen Sectorem einer Kugel, als wie ABCD zu berech- Fig. 272. nen, $o wird erfordert, da{$s} man den Radium und die Perpendicular DE, die auf der Mitte der Chordæ AC $tehet, kenne. Wann wir nun $up- poniren, der Radius $eye von 7, und die Perpendicular von 3 Schuhen, $o mu{$s} man durch Hülf des Radii die Circumferenz des grö$ten Zir- ckels der Kugel, von welcher der Sector her$tammet, $uchen; Die$e fin- det man al$o von 44 Schuhen: Ferner mu{$s} man die$e Circumferenz durch die Perpendicular DE, das i$t, 44 durch 3 multipliciren; $o be- kommt man 132 vor den Inhalt der Fläche ADC des Sectoris (§. 771.), welchen man wiederum durch den dritten Theil des Radii BC, das i$t, durch 2 {1/3} multiplicirt, um 308 cubi$che Schuh vor den Inhalt des Se- ctoris zu bekommen.

789. Wann man aber an$tatt eines Sectoris ein Segmentum DGF Fig. 273. einer Kugel hat, $o mu{$s} man es, um $einen Inhalt zu finden, zu einem Sectore machen, und die$es Sectoris Inhalt $uchen, von welchem man hernach den Conum DEF abziehet; $o i$t der Uberre$t der Inhalt des Segmenti.

790. Wann aber derjenige Theil einer Kugel, den man berechnen Fig. 274. will, eine Zona i$t, deren eine Grund-Fläche der grö$te Zirckel der Ku- gel, und die andere mit der er$ten parallel lauft, als wie z. E. die Zona AFHE, $o findet man ihren Inhalt, wann man von dem Cylin- der, der den grö$ten Zirckel AE zur Grund-Fläche, und den Theil CG der Axe zur Höhe hat, zwey dritte Theile nimt, und zu ihnen ein Drit- tel des Cylinders, der den kleinern Zirckel FH zur Grund-Fläche, und wiederum den Theil CG zur Höhe hat, addirt (§. 560.).

Nun um die Operation zu verrichten, wollen wir $upponiren, der Radius CE $eye von 14, und die Perpendicular CG von 8 Schuhen; und weilen wir das rechtwincklichte Dreyeck CHK haben, davon die [0365] Hypothenu$a CH von 14, und die Seite HK von 8 Schuhen i$t, $o findet man da{$s} die Seite CK von 11 Schuhen $amt einem Uberre$t $eye (§. 372.); Al$o haben wir den Radium des Zirckels FH, derowegen i$t der Inhalt des kleinen Cylinders IH von 3036, und der Inhalt des gro$$en Cylinders AD von 4928 cubi$chen Schuhen. Wann man nun zwey dritte Theile von dem gro$$en Cylinder nimmt, $o bekommt man 3285 {1/3}; Wann man noch dazu addirt 1012 als den dritten Theil des kleinen Cylinders, $o bekommt man 4297 {1/3} cubi$che Schuh vor den In- halt der Zonæ.

Anmerckung.

Weilen die mehri$te Cörper aus der Bewegung einer Fläche um ihre Axe ent- $tehen, $o gibt es $o viele Arten Cörper, als unter$chiedene Arten Flächen $eynd; ich will aber nur von denjenigen reden, welche durch die Bewegung der Flächen der Sectionum Conicarum ent$tehen.

Erklärungen.

791. Wann $ich eine halbe Parabel ACB um ihre Axe AB be- Fig. 275. & 276. wegt, $o be$chreibt $ie einen Cörper HIK, der _Paraboloides_ genennet wird; Die$er Cörper be$tehet al$o aus einer unendlichen Anzahl Zirckel, die alle die Ordinaten, als wie DE, FG zu Radiis haben; Die$e Radios $iehet man an, als wie die Elementa der Fläche ABC der Parabel.

792. Wann man eine halbe Ellip$in HLI hat, welche $ich um ihre Fig. 279. & 280. Axe HI bewegt, $o be$chreiben alle Ordinatæ als wie OP und RS, die man als Elementa der Ellip$is an$ehen kan, eine unendliche Menge Zir- ckel, welche alle zu$ammen genommen einen Cörper, als wie ABCD ausmachen, der _Sphæroides_ genennet wird, weilen er aus der Circumvo- lution einer halben Ellip$is um ihre Axe ent$tehet, und eine Ellip$is nichts anders i$t, als ein ausgedähnter Zirckel, dahero man al$o eine Sphæroi- dem als eine ausgedähnte Kugel an$ehen kan.

793. Endlich wann eine halbe Hyperbel ABC $ich um ihre Axe Fig. 281. & 282. BC bewegt, $o be$chreibt $ie einen Cörper der _Hyperboloides_ genennet wird; und wann die halbe Hyperbel noch mit einer A$ymptota CF und mit Linien DB und DG, die mit AC und BC parallel lauffen, begleitet i$t, $o be$chreibet das Dreyeck FEC einen Conum und das Rectangulum GDBC einen Cylinder.

Weilen die mehri$te die$er Cörper in unter$chiedenen Gelegenhei- ten vorkommen, $o werden wir die Application davon wei$en, nachdem wir in folgenden Aufgaben die Manier ihren Inhalt zu finden, werden gewie$en haben.

[0366] Fünfzehende Aufgab.

794. Den cörperlichen Inhalt einer _Paraboloidis_ zu finden.

Um den Inhalt einer Paraboloidis zu finden, da der Radius LK Fig. 275. & 276. des Zirckels, der die Grund-Fläche i$t, von 7, und die Axe IL von 12 Schuhen i$t, $o mu{$s} man den Inhalt der Grund-Fläche $uchen, die$e findet man von 154 Schuhen, und die$e Grund-Fläche durch die Helfte der Axe IL, das i$t, durch 5 multipliciren, um 770 Schuh vor den cör- perlichen Inhalt der Paraboloidis zu finden.

Damit man aber die Ur$ach die$er Operation ver$tehe, $o betrach- tet, da{$s} die Axe AB der Parabel aus einer unendlichen Anzahl Theile als wie AE und AG be$tehe, welche alle in einer Arithmeti$chen Progre$- $ion $tehen, und da{$s}, weilen die Quadrate der Ordinaten ED und GF $ich gegeneinander verhalten, als wie die Theile AE und AG (§. 587.), auch die$e Quadrate in einer Arithmeti$chen Progre$$ion $tehen. Nun weilen die Zirckel $ich gegeneinander verhalten, als wie die Quadrate ih- rer Radiorum (§. 474.); $o folgt daraus, da{$s} die Zirckel, woraus die Paraboloides HIK be$tehet, in einer Arthmeti$chen Progre$$ion $tehen, indem $ie $ich gegeneinander verhalten, als wie die Quadrate der Ordi- naten der Parabel: Allein weilen man, um die Summ einer unendli- chen Anzahl Terminorum einer Arithmeti$chen Progre$$ion zu finden, den grö$ten Terminum durch die Helfte der Grö$$e, die ihre Anzahl ausdruckt, multipliciren mu{$s} (§. 340.); $o folgt daraus, da{$s}, um die Summ aller Zirckel, woraus die Paraboloides be$tehet, das i$t, um den Inhalt der Paraboloidis zu finden, man den grö$ten Zirckel HK durch die Helfte der Axe IL multipliciren mü$$e.

Sechszehende Aufgab.

795. Den cörperlichen Inhalt einer _Sphæroidis_ zu finden.

Um den Inhalt einer Sphæroidis zu finden, deren grö$$ere Axe BD Fig. 279. & 280. von 18, und die kleinere Axe AC von 14 Schuhen i$t, $o mu{$s} man den Flächen-Inhalt des Zirckels der kleinern Axe $uchen; Die$en findet man von 616 Schuhen, welche man durch zwey dritte Theile der grö$$ern Axe BD, das i$t, durch 12 multipliciren mu{$s}, um al$o 7392 vor den cör- perlichen Inhalt der Sphæroidis zu bekommen.

Man wird die Ur$ach die$er Operation leicht ver$tehen, wann man betrachtet, da{$s} die Ordinaten OP und RS der Ellip$is $ich gegeneinander verhalten, als wie die Ordinaten OQ und RT des Zirckels (§. 616.), und da{$s} al$o auch die Quadrate der Ordinaten der Ellip$is $ich gegenein- ander verhalten, als wie die Quadrate der Ordinaten des Zirckels [0367] (§. 487.); wann man nun an die Stelle der Quadraten der Ordinaten der Ellip$is und des Zirckels die Zirckel, davon eben die$e Ordinaten die Radii $eynd, $etzet, $o $iehet man, da{$s} die Zirckel der Ordinaten der El- lip$is, welche die Sphæroidem ausmachen, $ich gegeneinander verhalten, als wie die Zirckel der Ordinaten des Zirckels, die die Kugel ausmachen: Allein man findet den Valor aller die$er Zirckel, woraus eine Kugel be- $tehet, wann man den Zirckel, der die grö$te Ordinate MN zum Radio hat, durch zwey dritte Theile der Axe HI multiplicirt (§. 549.); De- rowegen findet man auch den Valor aller Zirckel, woraus eine Sphæroi- des be$tehet, wann man den Zirckel, der die grö$te Ordinate NL der Ellip$is zum Radio hat, durch zwey dritte Theile der Axe HI multi- plicirt.

796. Wann aber die Fläche einer Ellip$is, an$tatt $ich um die Fig. 277. & 278. grö$$ere Axe AB zu bewegen, $ich um ihre kleinere Axe CD bewegt, $o bekommt man wiederum eine Sphæroidem ACBD, deren Inhalt man findet, wann man, als wie vorhero, den Zirckel der grö$$ern Axe AB durch zwey dritte Theile der kleinern Axe CD multiplicirt; Dann wann man einen Zirckel ECFD hat, welcher die kleinere Axe CD zum Diame- ter hat, und man die Ordinaten GH und KL ziehet, $o bekommt man vermög der Eigen$chaft der Ellip$is CG × GD. CK × KD : :

    GH
^2.
    KL
^2 (§. 614. 613.); und wann man an die Stelle der Rectangulorum CG × GD und CK × KD die Quadrate
    GI
^2 und
    KM
^2 $etzt, welche ih- nen vermög der Eigen$chaft des Zirckels gleich $eynd (§. 415.), $o be- kommt man
    GI
^2.
    KM
^2 : :
    GH
^2.
    KL
^2, Wann man nun an die Stelle der Quadraten aller Ordinaten des halben Zirckels CFD, die Zirckel davon eben die$e Ordinaten die Radii $eynd, und an die Stelle der Quadraten aller Ordinaten der halben Ellip$is CBD, die Zirckel, davon eben die$e Ordinaten die Radii $eynd, annimmt, $o $iehet man, da{$s} die Zirckel, dar- aus die Kugel be$tehet, $ich gegeneinander verhalten, als wie die Zir- ckel, daraus die Sphæroides be$tehet, und weilen beyder Anzahl durch die Linie CD ausgedruckt i$t, $o folgt daraus, da{$s} wann man, um den Valor aller Zirckel zu finden, woraus die Kugel be$tehet, mu{$s} den Zir- ckel EF durch zwey dritte Theile der Linie CD multipliciren, man auch, um den Valor aller Zirckel, woraus die Sphæroides be$tehet, zu finden, den Zirckel AB durch zwey dritte Theile der Linie CD multipliciren mu{$s}.

797. Man kan auch noch $agen, da{$s}, wann man nur die Helfte einer Sphæroidis ACB hat, man um ihren Inhalt zu finden, den Zir- ckel AB durch zwey dritte Theile der Linie CN multipliciren mü$$e.

[0368]

Wiewohl die Hyperboloides in der practi$chen Geometrie keinen Statt findet, $o werde ich doch von der Manier die$elbe zu berechnen etwas reden, damit ich denjenigen, welche nicht gern $ehen, da{$s} man ih- nen etwas auslä{$s}t, ein Genügen lei$te.

Siebenzehende Aufgab.

798. Den cörperlichen Inhalt einer _Hyperboloidis_ zu finden.

Fig. 282.

Um den Inhalt einer Hyperboloidis DEF zu finden, $o mu{$s} man zu der krummen Linie DEF die A$$ymptotas BA und BC, und die Linie GH ziehen, welche einer von ihren Axen gleich i$t (§. 645.); nach die- $em mu{$s} man den Inhalt des ge$tümpelten Coni AGHC $uchen (§. 780.) und davon den Inhalt des Cylinders IGHK abziehen, $o i$t die Diffe- renz der Inhalt der Hyperboloidis.

Damit man aber die Ur$ach die$er Operation ver$tehe, $o mu{$s} man $ich desienigen, was wir in An$ehung der Hyperbel §. 646. ge$agt, wie- derum erinnern, da{$s} nemlich, wann man eine Linie als wie AC mit GH parallel ziehet, das Rectangulum AD × DC =

    GE
^2. Weilen nun ver- mög des halben Zirckels ADC das Rectangulum AD × DC gleich i$t dem Quadrat der Perpendicular DM (§. 415.); $o folgt daraus, da{$s} auch die Linie DM der Linie GE gleich $eye. Ferner wei{$s} man, da{$s} ein Zirckel, welcher die Linie DM zum Radio hat, der Krone, die durch die zwey Circumferenzien ANCO und DPFQ formirt wird, gleich $eye (§. 546.). Weilen nun die$e Krone einem Zirckel, der die Linie GE zum Radio hat, das i$t, einem Zirckel des Cylinders IGHK gleich i$t, und man die$es von jeder Linie AC, die man durch einen Punct der Li- nie GA welchen man will, mit GH parallel ziehet, $agen kan, $o folgt daraus, da{$s} alle die$e Kronen einander gleich $eyen; indem jede einem Zirckel des Cylinders gleich i$t. Weilen man nun $o viele Kronen als Zirckel in dem Cylinder hat, indem beyder Anzahl durch die Linie EL ausgedruckt wird, $o folgt daraus, da{$s} der Raum, welcher zwi$chen der Hyperboloide DPFQE, und dem ge$tümpelten Cono ANCOGH begrif- fen i$t, das i$t, die Summ aller Kronen dem Cylinder IGHK, das i$t, der Summ aller Zirckel gleich $eye, und da{$s} al$o der ge$tümpelte Co- nus um den gantzen Cylinder IGHK grö$$er $eye, als die Hyperbo- loides.

[0369] Application der Geometrie zur Wi$$en$chaft der Minen.

799. Es i$t $chon lang, da{$s} man angemerckt, da{$s} um die Kam- mer einer Mine wohl zu laden, man eine gegen die Schwäre und Zä- higkeit des Erdreichs, das man $prengen will, proportionirte Menge Pulvers nehmen mü$$e. Und weilen man gefunden, da{$s} die Aushö- lung einer Mine fa$t allezeit von einer regularen Figur $eye, $o hat man $ich befli$$en zu finden, ob die$e Figur ein Cörper $eye, der geometricè könnte ausgeme$$en werden, damit, wann man einmal wei{$s}, wie viel Pulver man nöthig habe, um eine gewi$$e Anzahl cubi$che Klafter eines Erdreichs von einer gewi$$en Be$chaffenheit zu $prengen, man die rechte Ladung einer Kammer, wo mehr oder weniger Erde, aber von der vo- rigen Be$chaffenheit zu $prengen i$t, finden, und wann man dergleichen Proben in allen Gattungen Erde vornimmt, man nicht nur allein vor die Minen die man im freyen Feld, $ondern auch vor diejenigen, die man in dem Mauerwerck der Fortificationen anlegt, um da$elb$t eine Bre$che zu legen, ausrechnen könne.

Nachdem man unter$chiedene Experimenten ange$tellet, $o hat man Fig. 283. $ich eingebildet, die Aushölung einer Mine $eye ein umgekehrter Conus als wie BFC, da der Radius EC des Zirckels, der zur Grund-Fläche dient, der Axe EF gleich i$t, die$e hat man auch dahero die Linie des $chwäche$ten Wider$tands genennet, weilen $ie die kürtze$te i$t, die man von der Kammer F auf die Fläche des zu $prengenden Erdreichs ziehen kan: Doch haben diejenige, welche die Sach reiffer überlegt, Mühe gehabt zu begreiffen, da{$s} das Pulver, welches in einer Kammer F einge$chlo$$en i$t, $eine Würckung nach einem rechten Winckel BFC verrichte, und da{$s} das Unter$te der Aushölung $ich in einem Spitz en- dige, dergleichen ein Conus hat; Derowegen hat man andere Proben ange$tellet, um von der Figur der Aushölung einer Mine eine genauere Bekannt$chaft zu haben, und da hat man gefunden, da{$s} $ie an$tatt ei- nes Coni, vielmehr ein ge$tümpelter Conus ABCD $eye, de$$en kleiner Zirckel AD, welcher mit der Kammer corre$pondirt, eine dem Radio EC des gro$$en Zirckels, oder auch, als wie vorhero der Axe EF des ge- $tümpelten Coni gleiche Linie zum Diameter hat: Ich habe bey vielen Minen, die ich $prengen ge$ehen, fa$t die$es nemliche angemercket, doch mit die$em Unter$chied, da{$s} das Unter$te der Aushölung keine Zirckel- Fläche $eye, $ondern als wie der Boden eines Ke$$els AGD au$$ehe, wel- cher zwar, die Wahrheit zu $agen, nicht von der Aufhebung der Erden, [0370] $ondern von dem Druck des Pulvers ent$tehet, als welches unten und auf die Seiten der Kammer druckt, indem $eine Kraft durch die Ma$- $am, die es aufheben $oll, zertheilet wird; Die$es kan man nicht nur al- lein in den Minen, $ondern auch in An$ehung des Pulvers, welches $ich auf der Fläche der Erden entzündet, wahrnehmen; Dann wann man nur eine mittelmä$lige Menge Pulvers auf die Erde legt, und es anzün- det, $o wird man $ehen, da{$s} an dem Ort, wo es angezunden worden, es eine Aushölung formirt habe, welche von nichts anders, als von dem Wider$tand, den die Flamme des Pulvers von der Schwäre der Luft gefunden, herrühret, indem die$e genug$am im Stand i$t, die Würckung des Pulvers zu zertheilen.

Man hat $o gro$$e Mühe $ich von den gefa$ten Vorurtheilen zu be- freyen, da{$s} man noch Meinungen Beyfall gibt, welche doch der tägli- chen Erfahrung $tracks zuwider lauffen; man hat $chon $o viel Minen ge$prengt, wo man ge$ehen, da{$s} die Aushölung vielmehr ein ge$tümpel- ter, als ein gantzer Conus $eye, da{$s} es al$o $cheinen $olte, man mü{$s}te $ich nothwendig an das Wahr$cheinlich$te halten; Doch, weilen noch viele Minirer die Ladung der Kammern nach dem Cono $chätzen, $o will ich ihnen wei$en, was vor ein gro$$er Unter$chied zwi$chen einem gan- tzen, und zwi$chen einem ge$tümpelten Cono $eye, von welchem wir vor- hero geredet haben, um $ie al$o in dem Gebrauch der Tabellen, deren $ie $ich zur Ladung der Kammern bedienen, de$to vor$ichtiger zu ma- chen.

Ich betrachte nur den ge$tümpelten Conum ABCD, ohne mich um den Theil AGD zu bekümmern, indem die$e Erde nicht ge$prenget wird; Da betrachtet nun, da{$s}, um aus dem ge$tümpelten Cono einen gan- tzen zu machen, man zu ihm einen Conum, de$$en Grund-Fläche der Zirckel AD i$t, addiren mü$$e, und da{$s} der gantze Conus dem kleinern ähn- lich $eye. Nun der gro$$e Conus verhalt $ich zu dem kleinen, als wie der Cubus des Diameters BC zum Cubo des Diameters AD (§. 554.); und weilen die Linie BC das Doppelte der Linie AD i$t (indem die$e letztere dem Radio EC gleich), $o i$t der gantze Conus achtmal $o gro{$s}, als der kleine Conus, derowegen i$t die Differenz, welche ent$tehet, wann man den kleinen Conum von dem gantzen abziehet, (das i$t, der ge- $tümpelte Conus) gleich {7/8} des gantzen Coni; Allein, weilen der gro$$e Conus dem kleinen ähnlich, und der Diameter der Grund-Fläche des gro$$en das Doppelte des Diameters der Grund-Fläche des kleinen i$t, $o i$t auch die Axe des gro$$en das Doppelte der Axe des kleinen, oder auch der Axe EF des Coni BFC; nun $o wohl der gantze Conus, als auch der Conus BFC haben den Zirckel BC zu ihrer Grund-Fläche, de- [0371] rowegen verhalten $ie $ich gegeneinander, als wie ihre Höhen (§. 540.); Da nun die Axe des gro$$en Coni das Doppelte der Axe EF i$t, $o i$t der gro$$e Conus das Doppelte des Coni BFC; Derowegen i$t die$er Conus gleich {4/8} des gro$$en; und weilen wir $chon gewie$en, da{$s} der ge$tümpelte Conus ABCD {7/8} davon ausmache, $o folgt daraus, da{$s} der ge$tümpelte Conus $ich zum Cono BFC verhalte, als wie {7/8} zu {4/8}, oder als wie 7 zu 4; Da{$s} al$o, wann man eine Kammer laden will, und man in der Meinung $tehet, die Aushölung wäre ein Conus, man einen nahmhaften Fehler begeht; Dann wann man z. E. 400 Pfund Pulver vor den Conum braucht, $o braucht man 700 Pfund vor den ge$tümpelten Conum.

Weilen man ob$ervirt, da{$s} der Grund der Aushölung durch den Fig. 284. Druck des Pulvers krummlinicht, und es auch $cheinet, als wann die Seiten BA und DC nicht vollkommen in einer graden Linie wären, $o i$t man auf die Gedancken gerathen, es mögte wohl die Aushölung ei- ne Paraboloides $eyn. Man hat auch $o gar Ob$ervationen ange$tellt, welche zimmlicher Ma$$en mit die$er Meinung überein$timmen; und diejenige, welche glauben, die Aushölung einer Mine $eye eine Parabo- loides als wie BGC, $agen, da{$s} wann man eine Kammer an dem Ort F anlegt, die Linie des $chwäche$ten Wider$tands EF dem Radio EC des Zirckels der Aushölung gleich $eye, als wie in dem ge$tümpelten Cono, und da{$s} die Linie FG, welche die Zu$ammendruckung der Erden unter der Kammer exprimirt, der vierte Theil des Parameters der Parabel $eye, wovon der Brenn-Punct $ich in dem Mittel-Punct der Kammer befindet. Weilen man nun den Inhalt der ge$tümpelten Paraboloidis ABCD nicht finden kan, ohne zuvor die Linie FG zu kennen, $o will ich wei$en, wie man $ie $uchen $oll, wodurch man al$o erfahren kan, ob die Zu$ammendruckung der Erden, die von einer ordinaren Con$i$tenz i$t, mit demjenigen, was durch den Brenn-Punct der Parabel determinirt wird, überein$timme.

Wann man die Axe EG bis in H verlängert, al$o da{$s} GH = FG das i$t, dem vierten Theil des Parameters, $o i$t die Linie IK, die auf EH perpendicular $tehet, die Directrix der Parabel (§. 580.); und ver- mög der Eigen$chaft die$er krummen Linie i$t HE = FC (§. 578.), welche die Hypothenu$a des rechtwincklichten, und zugleich auch gleich- $chencklichten Dreyecks EFC i$t. Wann man nun $upponirt, die Linie des $chwäche$ten Wider$tands EF $eye von 40 Schuhen, $o findet man vermög der Eigen$chaft des rechtwincklichten Dreyecks (§. 372.) die Linie FC von 56 Sch. 6 Z. 8 L. Die$es i$t nun auch der Valor der Linie EH; wann ich nun von die$er die Linie EF von 40 Schuhen ab- [0372] ziehe, $o bekomme ich 16 Sch. 6 Z. 8 L. vor die Linie FH, deren Helfte FG, al$o von 8 Sch. 3 Z. 4 L. i$t; Da{$s} al$o, damit die Aushölung einer Mine eine Paraboloides $eye, erfordert werde, da{$s} die Tieffe des Drucks AGD von 8 Sch. 3. Z. und 4 L. $eye, welches eine zimmliche Tieffe wäre, die man allem An$ehen nach nicht bekommt, als in einer Erde die von $chwacher Con$i$tenz i$t: und mit allem die$em, es mag die Aushölung einer Mine ein ge$tümpelter Conus, oder eine ge$tüm- pelte Paraboloides $eyn, $o kan man $ich in der Praxi des einen, als wie des andern bedienen, indem vermög der Ausrechnung die ich gemacht, ich gefunden, da{$s} eine Mine, deren Linie des $chwäch$ten Wider$tands von 40 Schuhen i$t, 119821 cubi$che Schuh nach der Paraboloide und 118115 nach dem ge$tümpelten Cono aufhebe; und weilen die zweyte Grö$$e von der er$ten nur um {1/72} unter$chieden i$t, $o wolte ich mich lie- ber an den ge$tümpelten Conum, als an die Paraboloidem halten, in- dem jener Cörper nicht $o müh$am zu berechnen i$t, als wie die$er.

Application der Geometrie zur Berechnung der Gewölber. Achtzehende Aufgab.

800. Den cörperlichen Inhalt der unter$chiedenen Gattun- gen Gewölber zu finden.

In den Fortifications-Werckern gibt es nur dreyerley Gattungen Fig. 285. 286. & 287. von Gewölbern, die er$ten $eynd Gewölber der Souterrains, die zwey- ten die Gewölber der Pulver-Magazinen, und die dritten, die Gewöl- ber der Thürnen, auf welchen eine Bettung gemacht i$t; Alle die$e drey Gattungen Gewölber $eynd entweder Zickel-mä$$ig als wie Fig. 285, oder Ellipti$ch, als wie Fig. 286, oder Gothi$ch, als wie Fig. 287, und $ie mögen $o wohl zu Magazinen, als auch zu Souterrains gebraucht werden, $o $eynd $ie allezeit von au$$en zuge$pitzt, als wie ein Dach, wei- len man $ie mit einem gewi$$en zubereiteten Kalch überdeckt, um $ie al- $o gegen den Regen zu verwahren.

801. Um nun das Mauerwerck eines Souterrains, oder eines Ma- Fig. 285. & 288. gazins zu berechnen, davon die Fig. 288 der Grund-Ri{$s}, und Fig. 285 der Durch$chnitt i$t, $o mu{$s} man zu er$t die vordere und hindere Mauren PRST und KMOL berechnen, welches gantz leicht i$t, indem es nur Pa- rallelepipeda $eynd; nach die$em berechnet man auch die Seiten-Mau- ren ADFG, auf welchen das Gewölb ruhet, und zwar nur von dem Ab- $atz der Fundamenter bis zum Anfang AC des Gewölbs; und was das [0373] Gewölb $elb$ten anlangt, $o me{$s}t man den Flächen-Inhalt des Drey- ecks ABC aus, welchen man mit der gantzen Länge des Gewölbs multi- plicirt; Die$es hei{$s}t $o wohl das Ausgefüllte, als das Lähre toi- $iren; Und weilen man von dem vorhergehenden Product das Lähre DKE abziehen mu{$s}, $o mu{$s} man, wann das Gewölb Zirckel-mä$$ig, den Flächen-Inhalt des halben Zirckels DKE auf das genaue$te $uchen, (§. 761.) den man nachgehends durch eben die Länge des Gewölbs mul- tiplicirt; wann man nun die$es letztere Product von dem er$tern abzie- het, $o i$t die Differenz der cörperliche Inhalt des Gewölbs.

802. Wann das Gewölb Ellipti$ch i$t, als wie FEG, $o mu{$s} man, Fig. 286. als wie zuvor, den Flächen-Inhalt des Dreyecks ABC durch die Länge des Gewölbs multipliciren, und nach die$em den Flächen-Inhalt der halben Ellip$is FEG $uchen (§. 764.), den man ebenfall{$s} auch durch die Länge des Gewölbs multiplicirt; Wann man nun die$es letztere Pro- duct von dem er$tern abziehet, $o bekommt man den cörperlichen In- halt des Gewölbs.

803. Endlich wann das Gewölb, das man berechnen will, auf Fig. 287. Gothi$che Art i$t, als wie ILM, $o $ucht man den Flächen-Inhalt des Dreyecks ILM, zu welchem man den Inhalt der Segmentorum der Zir- ckel-Bögen, davon die Linien LI und LM die Chordæ $eynd, addirt; und wann man die$e Grö$$e durch die Länge des Gewölbs multiplicirt, $o ziehet man die$es Product ab von dem Product des Dreyecks HKN durch die Länge des Gewölbs; und auf die$e Art bekommt man den cörperlichen Inhalt des Gewölbs.

804. Was die Gewölber anlangt, auf welchen Bettungen, oder Gänge gebauet $eynd, als wie z. E. die Gewölber $eynd, welche die Zimmer des Ob$ervatorii A$tronomici zu Pari{$s} bedecken, da i$t die Ausrechnung $chon etwas $chwärer; und ich wei{$s} nicht einmal, da{$s} je- mand die Manier ge$ucht, die$elbe geometricè zu machen. Weilen die- $e Gewölber insgemein ein Quadrat, oder ein regulares Polygon zur Grund-Fläche haben, $o formirt das Ausgefüllte und das Lähre zu$am- men genommen insgemein ein Prisma, welches leicht zu berechnen i$t; und weilen man von die$em Prismate nur das Lähre abziehen mu{$s}, wel- ches einige Schwürigkeiten verur$achen kan, $o wollen wir dahier die un- ter$chiedene Figuren, die es haben kan, betrachten, um $ie al$o auf regu- läre Cörper zu reduciren.

Wir wollen $upponiren, es wäre die Grund-Fläche eines $olchen Fig. 289. & 290. Gewölbs ein Quadrat AB, oder ein regulares Polygon GH, $o $ehet, wie man die Natur die$er Gewölber betrachten mü$$e.

[0374]

Wann die Grund-Fläche ein Quadrat i$t, $o dienen die Diagonalen AB und CD als Diameter der halben Zirckel AFB und CFD, welche al- $o das Gewölb in vier Theile zertheilen, die $ich in den Winckeln endi- gen. Wann man $ich nun vor$tellt, als wann die Höhle des Gewölbs mit einer unendlichen Menge Quadrate angefüllt wäre, $o $tehen die Winckel aller die$er Quadrate in den Viertels-Bögen FC, FA, FB und FD, und ihre Seiten $eynd Linien, als wie GH und IK, die man von ei- nem Viertels-Bogen bis zum andern, und zwar parallel mit AD, oder DB ziehet, und die Helften aller Diagonalen, als wie EA und LM $eynd Ordinaten des vierten Theils des Zirckels AFE. Weilen nun die Linie EF oder EA, die die Höhe des Gewölbs i$t, die Summ aller die$er Qua- draten ausdruckt, und die Ordinaten, oder die halbe Diagonalen EA und LM $ich gegeneinander verhalten, als wie die Grund-Linien AD und MN, deswegen auch die Quadrate

    EA
^2 und
    LM
^2 $ich gegeneinander ver- halten, als wie die Quadrate
    AD
^2 und
    MN
^2 (§. 487.); $o folgt daraus, da{$s} man den Valor aller Quadraten, als wie
    AD
^2,
    MN
^2 &c. findet, als wie man den Valor aller Quadraten der Ordinaten eines Viertel-Zir- ckels findet; Nun wir haben ge$ehen §. 550. da{$s} man den Valor aller Quadraten der Ordinaten eines Viertel-Zirckels findet, wann man das Quadrat der grö$ten Ordinatæ EA durch zwey dritte Theile der Linie EF multiplicirt; Derowegen mu{$s} man auch, um den cörperlichen In- halt des Cörpers AFB zu finden, das grö$te Quadrat AB durch zwey dritte Theile der Höhe EF multipliciren.

805. Wann aber die Seiten-Mauren miteinander ein Prisma Fig. 290. formiren, das z. E. 6 Seiten hat, $o wird der Cörper, der die Aushö- lung des Gewölbs vor$tellt, eine Figur als wie GHIK haben, welche auch aus halben Zirckel be$tehet; und weilen die$er Cörper aus einer un- endlichen Anzahl ähnlicher Polygonen be$tehet, wie wir vorhero ge$e- hen, da{$s} der Cörper AFB aus einer unendlichen Anzahl Quadrate be- $tanden, $o $iehet man, wann man den Viertels-Zirckel IKG betrachtet, da{$s} alle Ordinatæ, als wie OP und QR die$es Viertel-Zirckels als Ra- dii der Polygonen dienen, woraus die$er Cörper be$tehet; allein weilen alle die$e Polygonen einander ähnlich $eynd, $o verhalten $ie fich gegen- einander, als wie die Quadrate ihrer Radiorum (§. 472.), derowegen findet man ihren Valor, als wie man den Valor der Quadraten ihrer Radiorum findet, das i$t, man multiplicirt die Fläche des grö$ten Poly- gons durch zwey dritte Theile der Linie, die ihre Anzahl ausdruckt. Derowegen um den Inhalt des Cörpers GIH zu finden, mu{$s} man die [0375] Grund-Fläche GH durch zwey dritte Theile der Perpendicular IK mul- tipliciren.

806. Wann es aber an$tatt halber Zirckel halbe Ellip$es ABC Fig. 291. & 292. und DBE wären, die das Gewölb zertheilen, $o findet man wiederum die Aushölung, wann man die Grund-Fläche AC durch zwey dritte Theile der Axe BF multiplicirt; Dann wann die Fläche AC ein Qua- drat i$t, $o $eynd alle Flächen, woraus der Cörper be$tehet, ebenfals auch Quadrate, deren halbe Diagonalen KL und MN die Ordinaten der Viertel-Ellip$is HGI, oder FBC $eynd: und weilen man den Valor aller Quadraten der Ordinaten einer Viertel-Ellip$is findet, als wie man den Valor aller Quadraten der Ordinaten eines Viertel-Zirckels findet (§. 617. 550.), das i$t, indem man das Quadrat der grö$ten Ordinatæ HI durch zwey dritte Theile der Linie GH multiplicirt, $o folgt daraus, da{$s}, es mögen die Ecke eines Gewölbs einen halben Zirckel, oder eine halbe Ellip$in formiren, man allezeit den Inhalt der Aushölung finde, wann man die Grund-Fläche durch zwey dritte Theile der Höhe mul- tiplicirt; Es gilt auch gleich, ob die Grund-Fläche ein Quadrat, oder ein Polygon $eye.

807. Es gibt noch eine andere Art Gewölber, die man Krantz- Fig. 293. & 294. Gewölber nennet, weilen die Figur der Aushölung eines $olchen Ge- wölbs einem Krantz zimmlicher Ma$$en gleichet; um $ich einen Begrif davon zu machen, $o betrachtet die 293 und 294 Figur, deren die er$te der Grund-Ri{$s} eines Thurns i$t, in de$$en Mitte man einen Pfeiler AB $iehet, auf welchem $o wohl, als auch auf den Seiten-Mauren des Thurns das Gewölb ruhet; Da{$s} al$o der Durch$chnitt die$es Thurns, man mag ihn nehmen wie man will, allezeit der 294. Figur ähnlich $eye. Weilen nun das Gewölb völlig um den Pfeiler ABE herumgehet, $o mu{$s} man, um es zu berechnen, zu er$t die gantze Ma$$am HIDC, das i$t, $o wohl das Ausgefüllte, als das Ausgehölte berechnen; Die$e i$t ein Cylinder, de$$en Grund-Fläche die Linie CD zum Diameter hat, und de$$en Höhe die Linie HC i$t.

Nunmehro um die Aushölung zu finden, die man von die$em Cy- linder abziehen mu{$s}, mu{$s} man den Flächen-Inhalt des halben Zirckels CMA $uchen, und ihn durch die Circumferenz des Zirckels, die zwi$chen den Circumferenzien des Thurns und des Pfeilers, das i$t, zwi$chen der Circumferenz des Radii FA, und der Circumferenz des Radii FC eine mittlere Arithmeti$che Proportional-Grö$$e i$t, multipliciren; Wann man nun die$es letztere Product von dem er$tern abziehet, $o bekommt man den cörperlichen Inhalt des Gewölbs.

[0376]

Weilen der Krantz aus $o vielen halben Zirckeln be$tehet, als der Raum zwi$chen den Circumferenzien CODQ und ANBP Linien als wie AC und NO in $ich begreift, welche alle als Diameter zu die$en halben Zirckeln dienen, $o folgt daraus, da{$s} diejenige Linie, welche die Summ aller Elementen der Krone, das i$t, die Summ aller Linien, als wie AC und NO ausdruckt, auch die Summ aller halben Zirckel, woraus der Krantz be$tehet, ausdrucke. Da nun die$e Linie nichts anders i$t, als eine Circumferenz GH, welche zwi$chen den zweyen Circumferenzien CODQ und ANBP eine mittlere Arithmeti$che Proportional-Grö$$e i$t, $o folgt daraus, da{$s}, um den Inhalt des Krantzes zu bekommen, man den halben Zirckel, der die Linie CA zum Diameter hat, durch die Circumferenz GH multipliciren mu{$s}.

Was das Mauerwerck des Thurns $elb$ten betrift, $o $iehet man, da{$s}, um $einen cörperlichen Inhalt zu bekommen, man den Cylinder, de$$en Grund-Fläche die Linie HI zum Diameter, und der die Linie HZ zur Höhe hat, von dem ge$tümpelten Cono, davon die Figur RSTX der Durch$chnitt i$t, abziehen mu{$s}; Da i$t al$o die Differenz der Inhalt, den man ge$ucht.

Application der Geometrie zur Berechnung des Mauerwercks einer Fortification.

808. Wann man eine Fortification ziehet, $o gibt es eine Linie, welche um alle Wercker herum gehet, und die die _Magi$tral-_Linie genennet wird; $ie dienet, um die Länge eines jeden Theils der Fortification zu bemercken, und $ie wird durch das Cordon, oder den Mauer-Krantz der Wercker vorge$tellet; Z. E. wann man $agt, die Ge$ichts-Linie eines Ba$tions $eye 50 Klafter lang, $o i$t die$es zu ver$tehen von dem einen End des Krantzes die$er Linie bis an das andere; oder welches einerley i$t von dem einen End der Vertäflung der Mauer bis an das andere.

Nunmehro um das Mauerwerck eines Ba$tions, welches in der Fig. 295. & 296. 295 Figur vorge$tellet i$t, zu berechnen, $o betrachtet den Durch$chnitt davon, de$$en Maa$$e aus dem General Profil des Mr. de Vauban vor die gewöhnliche Mauer eines Walls genommen $eynd, welcher von dem Ab$atz des Fundaments AG bis zur Höhe CH des Krantzes 30 Schuh hat; und weilen das Stuck DEFC keine Bö$chung hat, $o wollen wir auch nichts davon reden, indem es $ehr leicht zu berechnen i$t, $ondern nur die Mauer von dem Ab$atz bis zum Krantz betrachten; Ferner [0377] wollen wir auch die Mauer-Pfeiler mit Still$chweigen übergehen, in- dem $ie nichts anders $eynd, als Parallelepipeda, deren Inhalt man fin- det, wann man ihre Grund-Flächen durch die Höhen multiplicirt. Da- mit man nun den Inhalt des Mauerwercks eines Ba$tions finde, $o mu{$s} man, wegen den ge$tümpelten Pyramiden, die in den Winckeln der Puncten A und D vorkommen, die Perpendicularen AB und DE ziehen, und den Inhalt des Trapezoidis ABCG des Durch$chnitts $uchen, den man nachgehends mit der Länge AD der Ge$ichts-Linie, die man längs der Mauer-Pfeilern annimmt, multipliciren mu{$s}, und die$es Product $iehet man an, als den cörperlichen Inhalt die$er Ge$ichts-Linie. Wann man ferner an den Flanquir-Winckel I kommt, $o ziehet man durch den Punct K die Perpendicular-Linie GH, und aus dem Punct A die Per- pendicular AC; Nachgehends multiplicirt man den vorhergehenden Durch$chnitt durch die Länge HA oder GC der Flancq; auf die$e Art verfähret man auch mit der Courtine und den übrigen Theilen der For- tification, wovon man die ge$tümpelte Pyramiden der Winckel abge- zogen.

Um aber den Inhalt die$er ge$tümpelten Pyramiden zu finden, $o Fig. 299. betrachte ich, da{$s} diejenige, die $ich in dem Schulter- und Ba$tions- Winckel befinden, der 299 Figur $ehr nahe beykommen; Derowegen wann man die beyde Flächen VT und QR kennet, $o findet man ihren Inhalt, wie gewöhnlich: Es i$t aber zu mercken, da{$s} man die Pyrami- de, die am Ba$tions-Winckel $tehet, nicht auch vor diejenige nehme, die am Schulter-Winckel $tehet, weilen $ie dem Inhalt nach unter$chieden $eynd; Es i$t nur da{$s} man beyde auf einerley Art ausrechnen mu{$s}.

Was dasjenige Stuck betrift, das in dem Flanquir-Winckel I übrig Fig. 297. & 298. bleibt, $o betrachte ich die 298 Figur, welche die$en Ab$chnitt vor$tellet, und einem Prismati ähnlich wäre, wann das Lähre BCEHG ausgefüllet wäre: Wann ich nun $upponire, es $eye ein Prisma als wie AFG, $o $uche ich $einen Inhalt, von welchem ich den Inhalt der Pyramide KMI, die ich dem lähren Theil BEG gleich zu $eyn $upponire, abziehen mu{$s}, da i$t die Differenz der Inhalt des Stucks, den ich ge$ucht.

809. Es wäre $ehr leicht das Mauerweck einer Fortification zu berechnen, wan es nur allezeit aus graden Linien be$tünde, als wie in die$er Figur; allein es i$t weit $chwärer das Mauerwerck der Theile ei- nes Ba$tions, das Orillons hat (als wie die$es, was Fig. 300 vorge- $tellet i$t), zu berechnen; Doch weilen die Art. 783 bis 786 nur deswe- gen ge$etzet worden, $o wollen wir durch der$elben Hülf $ehen, die$e Ope- rationen zu erleichtern.

[0378]

Die Fig. 304. $tellt ein Ba$tion vor, welches Orillons hat, da die Fig. 304. Breite AB die Breite der Mauer oben an dem Krantz (die nach der Vaubani$chen Manier be$tändig von 5 Schuhen i$t), und die Breite BC die Bö$chung der Mauer (die dahier von 6 Schuhen i$t) vor$tel- let; Da{$s} al$o die Linie FKIGDE die Magi$tral-Linie und die gantze Breite AC die Breite der Mauer unten an dem Ab$atz $eye, welche al- $o von 11 Schuhen i$t. Nun um das Orillon GSD zu berechnen, mu{$s} man zuvor wi$$en, auf was Art es be$chrieben werde, damit man al$o den Winckel GHD, und den Radium HD, deren wir benöthigt $eynd, kenne.

Man wei{$s}, da{$s} man nach der Vaubani$chen Manier das Orillon bekomme, wann man die Flancq FD in drey gleiche Theile theilet, da al$o der dritte Theil GD die Chorda des Orillons i$t; Wann man nun ferner auf der Mitte der Chordæ GD eine Perpendicular LH, und auf dem äu$$er$ten Punct D der Ge$ichts-Linie DE eine andere Perpendicu- lar DH aufrichtet, $o werden $ich die$e beyde Perpendicularen in H durch- $chneiden, welcher Punct H der Mittel-Punct des Orillons, oder des Zirckel-Bogens GVD i$t, der die Perpendicular DH zum Radio hat.

Nun wann man mit den Radiis HB, HG und HQ drey Zirckel be- Fig. 302. & 304. $chreibt, und man die Fig. 302 betracht, $o $iehet man, da{$s} die$e drey Zirckel einen ge$tümpelten Conum ausmachen, in de$$en Mitte $ich ein Cylinder befindet, und da{$s}, wann die Fläche BY der Durch$chnitt des Orillons i$i, die Linie GQ die Bö$chung der Mauer, die Linie GB die Dicke der$elben oben bey dem Krantz, und die Linie HG, die ohnedem der Linie HD gleich i$t, den Radium des Orillons vor$telle. Weilen nun das Mauerwerck des Orillons ein Sector eines ge$tümpelten Coni i$t, von dem man einen ihm einge$chriebenen Cylinder abgezogen, und die Grö$$e die$es Sectoris durch den Winckel GHD determinirt wird, $o wollen wir in folgendem wei$en, wie man den Valor derjenigen Li- nien, die wir zur Berechnung die$es Sectoris vonnöthen haben, finden $olle.

Man hat Artic. 717. ge$ehen, da{$s} der Schulter-Winckel FDE von 117 Graden, und 39 Minuten $eye; Derowegen wann man davon den rechten Winckel HDE abziehet, $o bleiben 27 Gr. und 39 Min. vor den Winckel LDH des rechtwincklichten Dreyecks HLD übrig; Al$o i$t der Winckel LHD von 62 Graden 21 Minuten: und weilen man auch ge- funden, da{$s} die Flancq FD von 27 Klaftern und 2 Schuhen $eye, $o i$t der $ech$te Theil davon oder die Linie LD von 4 Klaftern, 3 Schuhen und 4 Zollen. Weilen man nun in dem rechtwincklichten Dreyeck [0379] HLD neb$t den dreyen Winckeln auch die Seite LD kennet, $o findet man, da{$s} die Seite HD von 5 Klaftern und 10 Zollen $eye. Nach die- $em kan man alle Linien der Figur finden, dann weilen der Radius HG von 5 Klaftern und 10 Zollen, und die Linie GB von 5 Schuhen i$t, $o i$t der Radius HB des Cylinders von 4 Klaftern, 1 Schuh und 10 Zol- len, und weilen die Bö$chung GQ von 1 Klafter i$t, $o i$t der Radius HQ der Grund-Fläche des ge$tümpelten Coni von 6 Klaftern und 10 Zollen, und die Axe HZ, weilen $ie die Höhe der Mauer ausdruckt, i$t von 5 Klaftern: Al$o kennet man alle Linien, welche zur Berechnung $o wohl des ge$tümpelten Coni, als auch des Cylinders vonnöthen $eynd.

Wann man nun den ge$tümpelten Conum, und den Cylinder aus- gerechnet, $o ziehet man den Inhalt des Cylinders von dem Inhalt des Coni ab, um ihre Differenz zu bekommen: und weilen das Mauer- werck des Orillons nur ein Sector die$er Differenz i$t, $o $ucht man $ei- nen Inhalt nach Art. 784.; das i$t, man $ucht zu er$t den Winckel DHG (der dahier von 124. Gr. und 42 Min. i$t), und $agt: Wann 360 Grad $o viel vor das Stuck des ge$tümpelten Coni geben, wie viel geben 124 Grad und 42 Minuten vor den Sectorem, oder das Mauer- werck des Orillons.

810. Ehender als man die hohle Flancq KI berechnet, mu{$s} man Fig. 301. & 304. wi$$en, wie $ie be$chrieben werde; nemlich man verlängert die Defens- Linie SF bis in K, al$o da{$s} FK von 5 Klaftern $eye; nachgehends ziehet man aus dem Spitz des Ba$tions-Winckels S, und durch den Punct G eine Linie SI und macht GI auch 5 Klafter lang; nach die$em ziehet man die Linie KI, auf welche man ein gleich$eitig Dreyeck KPI aufrich- tet, um den Punct P zu bekommen, der der Mittel-Punct i$t, aus wel- chem man und zwar mit dem Radio PK den Zirckel-Bogen KI und mit dem Radio PN den Bogen NO, und mit dem Radio PR den Bo- gen RM be$chreibt.

Nunmehro be$tehet die er$te Schwürigkeit in Erfindung des Va- lors des Radii PK, welchen man aber findet, wann man zu er$t das Dreyeck FSG betrachtet, in welchem man die Linie SF (indem man nur zur Defens-Linie EF die Ge$ichts-Linie SE addirt) von 132 Klaftern, und die Linie FG als zwey dritte Theile der Flancq von 18 Klaftern, 1 Schuh und 4 Zollen $amt dem darzwi$chen begriffenen Winckel SFG von 80 Gr. 47 Minut. kennet; Da findet man al$o, da{$s} der Winckel FSG von 8 Graden, und die Seite SG von 126 Klaftern und 5 Schu- hen i$t; und wann man zur Seite SF die Linie FK, und zur Seite SG die Linie GI beyde von 5 Klaftern addirt, da kennet man in dem Drey- [0380] eck KSI die Seite SK von 137 Klaftern, die Seite SI von 131 Kl. und 5 Schuhen und den darzwi$chen begriffenen Winckel KSI von 8 Gra- den, durch die$er Hülf findet man al$o die Seite KI von 18 Kl. 4 Sch. $amt einem Uberre$t; und weilen die$e Linie dem Radio PK gleich i$t, $o i$t er ebenfalls von 18 Kl. 4 Sch.

Wann man das Mauerwerck der hohlen Flancq KI betrachtet, $o Fig. 301. 303. & 304. $iehet man, da{$s} es nichts anders $eye, als ein Sector eines Cylinders, in de$$en Mitte $ich eine Aushölung in Form eines ge$tümpelten Coni be- findet, als wie wir §. 786 ge$ehen, um die$es aber deutlicher ver$tehen zu machen, $o wollen wir uns einbilden, die Figur XV $eye die Helfte eines Cylinders, davon der Radius PN dem Radio der Flancq NO gleich $eye; Wann man nun zu dem Radio PK der von 18 Klaftern 4 Schu- hen i$t, die Linie KN als die Dicke der Mauer bey dem Krantz die von 5 Schuhen i$t, addirt, $o bekommt man 19 Klafter 3 Schuh vor die Linie PN; wann man aber von der Linie PK die Linie KL, welche die Bö$chung der Mauer anzeigt, und von 6 Schuhen i$t, $o bekommt man 17 Klafter, 4 Schuh vor die Linie PL; und wann die Linie NV der Hö- he der Mauer, das i$t, 5 Klaftern gleich i$t, $o i$t das Trapezium KLVN das Profil der Mauer: Al$o weilen man den Radium PN des Cylin- ders, den Radium PK des gro$$en, und den Radium PL des kleinen Zir- ckels $amt der Axe PP kennet, $o hat man alles, was zur Berechnung $o wohl des Cylinders XV, als auch des ge$tümpelten Coni vonnöthen i$t. Wann man nun die$e beyde Inhalt gefunden, $o $ubtrahirt man den Inhalt des ge$tümpelten Coni von dem Inhalt des Cylinders, um die Differenz zu bekommen; nachgehends $agt man: wann 360 Grad $o viel zur Differenz geben, wie viel geben 60 Grad (als der Valor des Winckels NPO) vor den Inhalt des Sectoris; Auf die$e Art findet man auf das genaue$te den cörperlichen Inhalt des Mauerwercks der holen Flancq. Was die Bri$ure FK und die Contre-Bri$ure GI an- langt, $o will ich nichts davon reden, indem $ie $ehr leicht zu berechnen $eynd.

811. Die Berechnung der Rundung der Contre$carpe des Gra- Fig. 307. bens i$t auch eine Operation, die ihre Schwürigkeiten hat: allein wei- len man die$en Theil berechnet als wie die hole Flancq, $o wird man die- $es leicht ver$tehen, wann man nur das vorige wohl ver$tanden. Doch weilen ich den Anfängern nichts verhälen will, $o betrachtet, da{$s} um den cörperlichen Inhalt des Mauerwecks der Contre$carpe zu berech- nen, man verfahre, als wie man bey der Berechnung des Haupt-Pla- tzes gethan, nemlich man ab$trahirt von den Mauer-Pfeilern, und mul- tiplicirt die Fläche des Durch$chnitts durch die Länge der gradlinichten [0381] Contre$carpe, und berechnet wiederum die ge$tümpelte Pyramiden, die fich in den Winckeln befinden, ins be$ondere; was die Rundung be- trift, $o berechnet man $ie auf folgende Manier.

812. Es $eye der Bogen ACB der Fu{$s} des Mauerwercks, der Fig. 307. Bogen DFG der Gipfel, der Raum FI die Breite bey dem Krantz, und der Raum CF die Bö$chung, da $ucht man zu er$t den Valor der Chordæ AB, welche wir von 20 Klaftern, und den Valor der Perpen- dicular-Linie CL, die wir von 4 Klaftern $upponiren; nachgehends $ucht man den Diameter des Zirckel-Bogens ACB, den man findet, wann man zu der Linie CL und der Helfte LA der Chordæ, das i$t, zu 4 und 10 eine dritte Proportional $ucht, und zu die$er gefundenen dritten Pro- portional 25 den er$ten Terminum 4 addirt; Da i$t die Summ der begehrte Diameter.

813. Man wird die Ur$ach die$er Operation leicht ver$tehen, Fig. 305. wann man nur betrachtet, da{$s} der Zirckel-Bogen ACB eben der nem- liche $eye, als der vorhergehende; Da $iehet man nun leicht, da{$s}, wann der Zirckel völlig ausgezogen, die Helfte LB der Chordæ die mittlere Proportional zwi$chen den Theilen CL und LM des Diameters $eye, und da{$s} man al$o nur die dritte Proportional LM zur Linie CL addiren dörf, um den Diameter zu bekommen.

Weilen wir auch wi$$en mü$$en, wie viel Grad der Bogen ACB in $ich halte, $o dörf man nur die Radios NA und NB ziehen, da bekommt man das Dreyeck ANB, in welchem man die Seite AB von 20 Klaf- tern, und die Seiten NA und NB jede z. E. von 14 Kl. 3 Sch. kennet; al$o i$t es leicht den Winckel ANB zu finden, welcher von 90 Gr. und 44 Min. $eyn wird.

Nunmehro wann man das Profil der Contre$carpe an$iehet, $o $ie- Fig. 309. het man, da{$s} es dem Profil der hohlen Flancq ähnlich, und da{$s} die Run- dung des Grabens ein Sector eines Cylinders $eye, von welchem man einen ge$tümpelten Conum abgezogen, und deren gemeine Axe die Linie OP i$t. Wann nun die Höhe FR oder OP von 18 Schuhen, die Di- cke FI von 3 Schuhen, die Bö$chung CR von 4 Schuhen, und der Ra- dius PC von 14 Klaftern, 3 Schuhen i$t, $o i$t der Radius OF von 15 Klaftern, 1 Schuh, und der Radius OI von 15 Klaftern, 4 Schuhen. Weilen man nun alle Linien kennet, die zur Berechnung $o wohl des Cylinders, als des ge$tümpelten Coni gehören, $o ziehet man nachge- hends den Inhalt des ge$tümpelten Coni von dem Inhalt des Cylinders ab, um ihre Differenz zu bekommen, und nachgehends $agt man: wann 360 Grad $o viel vor die Differenz geben, wie viel geben 90 Grad 44 Miu. vor die Rundung des Grabens.

[0382] Manier den cörperlichen Inhalt eines Damms, den man insgemein Batardeau nennet, zu berechnen.

814. Wann der Graben einer Ve$tung mit Wa$$er angefüllet Fig. 306. i$t, $o bauet man insgemein in den$elben Dämme, oder Batardeaux von Steinen, um das Wa$$er aufzuhalten, oder auch es lauffen zu la$$en, nachdem als man eines oder das andere vonnöthen hat. Damit man aber $ehe, wie ein $olcher Damm gebauet i$t, $o betrachtet die Fig. 306; allwo man $iehet, da{$s} es eine Ma$$a von Mauerwerck i$t, die oben zu- ge$pitzt wird, damit das Regen-Wa$$er $einen Ablauf habe; Die$es verhindert auch zugleich da{$s} kein Men$ch darüben gehen kan; Doch weilen die Soldaten, nachdem $ie $ich durch Hülf eines Stricks von dem Wall herunter gela$$en, könten $chrittlings darüber pa$$iren; $o legt man in der Mitten einen kleinen Thurn an, welcher die Pa$$age völ- lig $perrt. Nun um einen $olchen Damm zu berechnen, $o berechnet man zu er$t den Durch$chnitt ABCDE, welchen man hernach mit der Breite, die der Graben an die$em Ort hat, multiplicirt; nach die$em $ucht man den Inhalt des Cylinders FIKG, wie auch des Dachs, wel- ches zu Zeiten ein Conus als wie ILK, und zu Z eiten ein halber Zirckel i$t. Bis hieher i$t noch alles leicht, allein was den mei$ten Ingenieurs $chwär vorkommt, i$t die Berechnung der beyden Stucke als wie FHG, Fig. 310. welche $ich zur Rechten und zur Lincken des Thurns befinden, wie man es noch be$$er in X und Z der Fig. 310 $ehen kan, die der Durch$chnitt $o wohl des Dammes als des Thurns i$t.

Die$e Aufgab wurde mir $chon vor vielen Iahren von unter$chie- denen Ingenieurs aufgegeben, welche gern die Auflö$ung davon haben wolten. Ich $uchte $ie und fande $ie auf unter$chiedene Art; Ia ich habe mit $o vielem Vergnügen darüber gearbeitet, da{$s} ich auch bey die- $er Gelegenheit noch andere $ehr curio$e Sachen gefunden. Ich werde aber nur von demjenigen reden, was zur Berechnung des cörperlichen Inhalts nöthig i$t, um die Anfänger nicht mit unnöthigen Sachen auf- zuhalten.

Weilen die Axe des Cylinders, welcher den Thurn formirt, auf Fig. 306. dem Spitz des Dachs des Dammes $tehet, $o theilet die$er Spitz die Grund-Fläche des Cylinders in zwey gleiche Theile; Da{$s} al$o ein jeder Fig. 308. halber Zirckel die Grund-Fläche NQM die Grund-Fläche eines $olchen Stucks werde. Wann man nun $ich die$en Cörper vor$tellt, als wann er aus einer unendlichen Anzahl rechtwincklichter Dreyecke als wie [0383] POQ be$tünde, die alle die Ordinaten QO, RS, TV &c. der Viertel- Zirckel OQN und OQM zu Grund-Linien haben, $o $iehet man, da{$s} weilen alle die$e Dreyecke einander ähnlich $eynd, $ie $ich gegeneinander verhalten, als wie die Quadrate ihrer Grund-Linien (§. 476.); und wann wir nur die Helfte die$er Dreyecke, die das Stuck QNPO aus- machen, nehmen, $o folgt daraus, da{$s} man ihren Valor finde, als wie man den Valor der Quadraten ihrer Grund-Linien, oder der Quadraten der Ordinaten eines Viertel-Zirckels findet; allein wir wi$$en, da{$s} um den Valor aller die$er Quadraten zu finden, man das Quadrat der grö- $ten Ordinatæ OQ durch zwey dritte Theile der Linie ON die ihre An- zahl ausdruckt, multipliciren mü$$e (§. 550.): Derowegen, um den Valor aller die$er Dreyecke zu finden, mu{$s} man auch das grö$te Drey- eck POQ durch zwey dritte Theile der Linie ON multipliciren: weilen aber die$es Product nur die Helfte des Cörpers wäre, $o mu{$s} man, um $einen gantzen Inhalt zu bekommen, da{$s} Dreyeck POQ durch zwey drit- te Theile des Diameters MN multipliciren.

Wann wir $upponiren, die$es Stuck wäre das nemliche was in X Fig. 308. & 310. i$t, $o i$t das Dreyeck OPQ das nemliche, was auch das Dreyeck ABC i$t; Derowegen wann die Linie BA von 5, und der Diameter BD von 9 Schuhen i$t, $o i$t die Linie BC von 4 {1/2} Schuh, und die Fläche des Dreyecks ABC i$t von 11 Schuhen, 3 Zollen; wann man nun die$e durch zwey dritte Theile des Diameters BD, das i$t, durch 6 multipli- cirt, $o bekommt man 67 Schuh, 6 Zoll vor den cörperlichen Inhalt des Stucks X.

General-Principium die Flächen und Cörper zu berechnen.

815. Nichts gibt die Vortreflichkeit der Geometrie $o gut an den Tag, als der Reichtum ihrer Gründe, die gleich$am in die Wette uns neue Weege bahnen, zu einerley Sache zu gelangen; Die$es bezeu- gen die $chöne Erfindungen, die man zu un$erer Zeit gemacht, unter welchen eine i$t, welche ich wegen ihrer Wichtigkeit denjenigen, die $ich in$onderheit auf die Berechnung der Cörper verlegen, nicht ausla$$en kan; weilen aber die Erkanntnu{$s} davon von gewi$$en Sachen abhängt, davon wir bis hieher noch nichts geredet, $o will ich davon die nöthige Meldung thun, damit ich den Anfängern nichts zu errathen überla$$e.

Erklärung.

816. Der Mittel-Punct der Schwäre einer graden Linie i$t ein Punct, der al$o be$chaffen, da{$s} wann die$e Linie durch ihn aufge- [0384] henckt wird, alle ihre Theile im Gleich-Gewicht $tehen: Dann wiewohl man eine Linie ohne Schwäre an$iehet, $o verhindert doch die$es nicht, da{$s} man den Unter$chied ihrer Theile nicht an$ehen könne als eine Hin- dernu{$s} des Gleich-Gewichts; Al$o wann die Linie AD durch den Punct Tab. XXI. C in zwey gleiche Theile eingetheilet i$t, $o nimmt man die$en Punct vor den Mittel-Punct der Schwäre an, das i$t, vor denjenigen Punct, der die Be$chaffenheit habe, da{$s}, wann die Linie AD durch ihn aufgehencket wird, die gleiche Theile CA und CD miteinander im Gleich-Gewicht $tehen, indem, weilen kein Theil länger als der andere i$t, auch keine Ur- $ach vorhanden, warum das eine End A mehr Neigung zur Bewegung haben $ollte, als das andere D: und wann eben die$es auch in An$ehung einer Fläche ge$chicht, $o wird die$er Punct der Mittel-Punct der Schwäre der Fläche genennet: Dann wiewohl eine Fläche $owohl als wie eine Linie ohne Schwäre ange$ehen wird, $o kan man doch den Unter$chied der Theile als eine Hindernu{$s} des Gleich-Gewichts an- $ehen.

817. Z. E. Wann man ein Rectangulum AB hat, und man die Fig. 311. Diagonalen AB und CD ziehet, $o i$t der Punct E, wo $ie $ich durch- $chneiden, der Mittel-Punct der Schwäre; Dann wann die$e Fläche in dem Punct E auf eine $ehr $pitzige Nadel gelegt wird, $o i$t keine Ur- $ach vorhanden, warum die Fläche mehr gegen DB, als gegen AC, noch mehr gegen AD, als gegen BC hängen $ollte.

818. Weilen die Zirckel-Flächen durch die Circumvolution einer Fig. 313. & 312. graden Linie, und die runde Cörper durch die Circumvolution einer Fläche ent$tehen, $o i$t zu mercken, da{$s} es eben die$e Flächen und Cör- per $eynd, deren Inhalt wir durch Hülf des Mittel-Puncts der Schwä- re finden wollen; Dann wann der Punct C der Mittel-Punct der Schwäre der Linie AB i$t, und man auf die$en Punct die Perpendicu- lar CD aufricht, $o wollen wir wei$en, da{$s} wann die Linie AB $ich auf gleiche Weite um die Linie EF (die wir die Axe nennen wollen, und auch auf DC perpendicular i$t) herum bewegt, die Fläche, die die$e Li- nie AB be$chreibt, einem Rectangulo gleich $eye, da{$s} die Linie AB zur Grund-Linie und eine der Circumferenz, davon DC der Radius i$t, glei- che Linie zur Höhe hat; und da{$s}, wann man von dem Mittel-Punct der Schwäre E eine Perpendicular EF auf die Seite BC fallen lä{$s}t, und man das Rectangulum AB um die Seite BC (die wir auch die Axe nennen wollen) herum bewegt, der Cörper, den die$e Fläche be$chreibt, einem Parallelepipedo gleich $eye, welches eben die$e Fläche zur Grund- Fläche, und eine der Circumferenz des Zirckels, davon EF der Radius i$t, gleiche Linie zur Höhe hat; Die$es werden wir als ein allgemeines [0385] Principium annehmen, um alle Flächen, da man den Mittel-Punct der Schwäre ihrer erzeugenden Linien, und alle Cörper, da man den Mit- tel-Punct der Schwäre ihrer erzeugenden Flächen kennet, zu berech- nen.

Er$te Aufgab.

819. Wann man den Mittel-Punct der Schwäre einer Fig. 313. & 314. graden Linie AB kennet, man begehrt den Inhalt der Fläche zu finden, die $ie be$chreibt, wann $ie $ich um die Axe EF herum be- wegt.

Ich $age, man mu{$s} die Linie AB durch die Circumferenz des Zir- ckels, der die Perpendicular DC zum Radio hat, multipliciren, und da i$t das Product der Inhalt der Fläche; Dann weilen die$e Linie AB ei- nen Cylinder GB be$chreibt, und man, um die Fläche die$es Cylinders zu finden, mu{$s} die Circumferenz der Grund-Fläche, die die Linie FB zum Radio hat, durch die Höhe AB multipliciren (§. 767.), $o folgt daraus, da{$s} weilen DC = FB, auch die Circumferenzien die$er Radio- rum einander gleich $eyen, und da{$s} al$o das Product der Linie AB durch die Circumferenz des Radii DC der begehrten Fläche gleich.

820. Wann aber die Linie GH mit der Axe EF nicht parallel, Fig 315. & 316. $ondern $chief lauft, $o $age ich wiederum, da{$s} wann $ie $ich um ihre Axe herum bewegt, die Fläche, die $ie be$chreibt, einem Rectangulo gleich $eye, welches die Linie GH zur Grund-Fläche, und die Circumferenz des Radii DC, den man aus dem Mittel-Punct der Schwäre C auf die Axe EF perpendicular ziehet, zur Höhe hat.

Weilen die$e Linie GH die Fläche IH eines ge$tümpelten Coni be- $chreibt, und die Linie DC eine mittlere Arithmeti$ch e Proportional- Grö$$e zwi$chen EG und FH i$t, $o i$t auch die Circumferenz des Radii DC eine mittlere Proportional zwi$chen den Circumferenzien der Radio- rum EG und FH; allein weilen die$e beyde Circumferenzien die Paral- lele Seiten eines Trapezoidis $eynd, welches die Linie GH zur Höhe hat, und die$e Trapezoides der Fläche des ge$tümpelten Coni gleich i$t, $o folgt daraus, da{$s} das Rectangulum von GH, und der Circumferenz des Radii DC, der Fläche, die die Linie GH durch ihre Bewegung be- $chreibt, gleich $eye.

821. Wann aber die erzeugende Linie EK die Axe EF gar antrift, Fig. 317. & 318. $o $age ich wiederum, da{$s}, wann $ie $ich um ihre Axe EF bewegt, die Fläche, die $ie be$chreibt, einem Rectangulo von eben die$er Linie und der Circumferenz des Radii DC gleich $eye.

[0386]

Betrachtet nur, da{$s} die erzeugende Linie die Fläche eines Coni LEK be$chreibe, da werdet ihr leicht $ehen, da{$s} weilen die$e Fläche einem Rectangulo von der Seite EK, und der Helfte der Circumferenz des Zirckels LK gleich i$t, (§. 769.) und die Linie DC die Helfte des Radii FK i$t, auch die Circumferenz des Radii DC die Helfte der Circumfe- renz des Radii FK $eye; Derowegen i$t auch das Rectangulum von der erzeugenden Linie EK, und der Circumferenz des Radii DC der be- $chriebenen Fläche gleich.

Zweyte Aufgab.

822. Wann man einen halben Zirckel EBF hat, da der Punct Fig. 322. C der Mittel-Punct der Schwäre $eye, $o $age ich,, da{$s} wann die$er halbe Zirckel $ich um $eine Axe EF bewegt, die Fläche die die halbe _Circumferenz_ be$chreibt, und die die Fläche einer Kugel $eyn wird, gleich $eye einem _Rectangulo_, das eine der halben _Circum-_ _ferenz_ EBF gleiche Linie zur Grund-Linie, und eine der _Circumfe-_ _renz_ des _Radii_ DC gleiche Linie zur Höhe hat.

Weilen man die Stellung des Mittel-Puncts der Schwäre C in An$ehung der andern Theile der Figur kennen mu{$s}, $o mu{$s} man wi$- $en, da{$s} die Linie CD, die vierte Proportional-Linie zur halben Circum- ferenz EBF, zum Diameter EF und zum Radio DF $eyn mü$$e. Al$o wollen wir die halbe Circumferenz mit a, und den Diameter EF mit b benennen, $o i$t der Radius DF = {b / 2}; Derowegen bekommt man a. b : : {b / 2}. {bb / 2a}; welches al$o wei{$s}t, da{$s} DC = {bb / 2a}. Weilen wir aber auch die Circumferenz des Radii DC brauchen, $o findet man $ie, wann man $agt: wie $ich der Radius DF ({b / 2}) zu $einer Circumferenz (2a) verhält, al$o verhält $ich der Radius DC ({bb / 2a}) zu $einer Cir- cumferenz; Derowegen wann man den zweyten Terminum durch den dritten multiplicirt, und das Product durch den er$ten dividirt, $o be- kommt man 2b vor den vierten Terminum.

Weilen 2b die Circumferenz des Radii DC i$t, und $ie durch die halbe Circumferenz EBF (a) multiplicirt wird, $o bekommt man [0387] 2ab vor die Fläche, die die halbe Circumferenz be$chrieben; Die$es i$t gantz klar, dann weilen die$e Fläche die Fläche einer Kugel i$t, und die Fläche einer Kugel dem Product der Circumferenz des grö$ten Zirckels und ihres Diameters gleich i$t (§. 556.), $o folgt daraus, da{$s} weilen dahier der grö$te Zirckel 2a und der Diameter b i$t, die Fläche allezeit 2ab $eye.

Anmerckung.

Ich habe genug$am gewie$en, da{$s} wann man den Mittel-Punct der Schwäre einer graden oder krummen Linie kennet, man allezeit die Fläche die $ie durch eine Circumvolution um ihre Axe br$chreibt, finden könne, und da{$s} nichts $o vortrefli- ches wäre, als die$es Principium, wann man eben $o leicht den Mittel-Punct der Schwäre die$er Linien finden könte, als man den Inhalt der Flächen, die $ie be$chrei- ben, finden kan. Nunmehro, weilen ich meinem er$ten Vor$atz ein Genügen gelei- $tet, $o will ich auch den zweyten erfüllen, indem ich wei$en werde, wie man durch Hülf des Mittel-Puncts der Schwäre der erzeugenden Flächen, auch den Inhalt der Cörper, die $ie be$chreiben, finden könne.

Dritte Aufgab.

823. Wann man ein _Rectangulum_ AF hat, welches $ich um Fig. 312. $eine Axe EF herum bewegt, $o $age ich, da{$s} der Inhalt des Cör- pers, den es be$chreibt, gleich $eye dem _Product_ der Fläche AF durch die _Circumferenz_ des _Radii_ CD, den man aus dem Mittel- Punct der Schwäre C auf die Axe EF _perpendicular_ ziehet.

Weilen die$er Cörper ein Cylinder als wie AG i$t, $o wollen wir die Axe EF mit a, die Linie AE mit b benennen, $o i$t al$o CD als die Helfte von AE = {b / 2}; und wann wir noch die Circumferenz des Radii EA mit c benennen, $o i$t die Circumferenz des Radii CD = {c / 2}.

Nun AE × EF (ab) i$t der Valor der erzeugenden Fläche, wann man die$e mit der Circumferenz des Radii CD ({c / 2}) multipliciret, $o bekommt man {abc / 2} vor den Inhalt des Cörpers, den die Fläche AF be$chrieben; Die$es i$t gantz klar, dann weilen der Inhalt des Cylin- ders AG dem Product der Grund-Fläche durch die Axe EF gleich i$t [0388] (§. 776.), $o $iehet man da{$s}, wann man die Fläche die$es Zirckels ({bc / 2}) durch die Axe EF (a) multiplicirt, man wiederum {abc / 2} vor den In- halt des Cörpers bekomme.

Vierte Aufgab.

824. Wann man ein gleich$chencklicht Dreyeck EBF hat, da Fig. 319. & 320. der Punct C der Mittel-Punct der Schwäre i$t, $o $age ich, da{$s} wann die$es Dreyeck $ich um die Axe EF bewegt, der Cörper, den es be$chreibet, gleich $eye dem _Product_ der erzeugenden Fläche durch die _Circumferenz_ des _Radii_ DC, den man aus dem Mittel- Punct der Schwäre _perpendicular_ auf die Axe ziehet.

Betrachtet, da{$s} der Cörper IKGH, welchen das Dreyeck EBF be- $chrieben, aus zweyen Conis KGH und KIH be$tehe; Da i$t nun zu erwei$en, da{$s} das Product der Fläche EBF durch die Circumferenz des Radii DC die$en zweyen Conis gleich $eye: allein um die$es zu erwei$en, mu{$s} man zum Voraus wi$$en, da{$s} der Mittel-Punct der Schwäre ei- nes gleich$chencklichten Dreyecks, ein Punct als wie C $eye, den man auf dem dritten Theil der Perpendicular DB annimmt. Al$o wollen wir die Linie EF mit a, die Linie BD mit b, und die Circumferenz des Radii BD mit c benennen, und weilen DC der dritte Theil von BD i$t, $o i$t die Circumferenz des Radii DC = {c / 3}.

Al$o i$t das Dreyeck EBF = {ab / 2}, wann man nun die$es durch {c / 3} multiplicirt, $o bekommt man {abc / 6} vor den Inhalt des Cörpers KGHI; welches gantz klar i$t, dann wann man nach der gemeinen Manier den Inhalt des Coni KGH $ucht, davon das Dreyeck EBD die erzeugende Fläche i$t, $o i$t der Inhalt des Zirckels der Grund-Fläche {bc / 2}, welcher, wann er durch den dritten Theil der Linie ED, oder durch den $ech$ten [0389] Theil der Linie EF ({a / 6}) multiplicirt wird, uns {abb / 12} vor den Inhalt des Coni, und al$o {2abc / 12}, oder {abc / 6} vor den Inhalt der beyden Co- norum, oder des Cörpers KGHI gibt; Die$es Product i$t nun das vo- rige, derowegen i$t erwie$en, was zu erwei$en ware.

825. Wann aber das Dreyeck EBF $ich um die Axe LM herum bewegt, $o be$chreibt es einen Cörper von einer andern Figur, de$$en Verhältni{$s} gegen den vorhergehenden i$t als wie BC zu CD; Dann um den Inhalt die$es Cörpers zu finden, mu{$s} man die Fläche EBF durch die Circumferenz des Radii BC multipliciren: und weilen beyde Cör- per einerley Grund-Fläche EBF haben, $o verhalten $ie $ich gegeneinan- der, als wie die Circumferenzien der Radiorum BC und CD, oder als wie die Radii BC und DC $elb$ten.

Man kan ferner noch mercken, da{$s} wann ein rechtwincklicht Drey- eck EDB $ich um die Seite ED bewegt, es einen Conum be$chreibe, de$- $en Inhalt man findet, wann man das Dreyeck EDB durch die Circum- ferenz des Radii DC multiplicirt; Dann wann man BD (b) durch die Helfte von ED ({a / 4}) multiplicirt, $o bekommt man {ab / 4} vor den Inhalt des Dreyecks, und wann man die$en ferner multiplicirt durch {c / 3}, $o bekommt man {abc / 12} vor den Inhalt des Cörpers.

Und wann das Dreyeck EBD $ich um die Axe HB bewegt, $o be- Fig. 323. $chreibt es den Cörper FGBED, welcher das Doppelte des Coni GBE i$t; Dann weilen der Cörper FGBED, und der Conus GBE gleiche Flä- chen haben, die $ie hervorbringen, $o verhalten $ie $ich gegeneinander, als wie die Circumferenzien, die von dem Mittel-Punct der Schwäre be$chrieben werden; und weilen der Radius BC das Doppelte des Ra- dii CD i$t, $o i$t auch der Cörper FGBED das Doppelte des Coni GBE: Die$es wei{$s}t uns al$o, da{$s} der Conus der dritte Theil eines Cylinders $eye, wann $ie nemlich gleiche Grund-Flächen und gleiche Höhen haben.

826. Endlich wann man ein Dreyeck BAD hat, da der Punct C Fig. 321. der Mittel-Punct der Schwäre eines doppelten Dreyecks i$t, und man [0390] die Seite AD beyder$eits indefinitè bis zu den Puncten E und F verlän- gert, $o $age ich, da{$s}, wann man das Dreyeck BAD um die Axe GF herum bewegt, der Cörper, den es be$chreibt, gleich $eye dem Product der Fläche BAD durch die Circumferenz des Radii CF, welcher die Di- $tanz des Mittel-Puncts der Schwäre C von der Axe FG i$t; Ferner $age ich, da{$s}, wann das Dreyeck BAD $ich um die Axe HE bewegt, der Cörper, den es be$chreibet, gleich $eye dem Product der Fläche BAD durch die Circumferenz des Radii CE; endlich $age ich auch, da{$s} die$e zwey Cörper $ich gegen einander verhalten, als wie die Radii CF und CE.

Ich überla$$e dem Le$er das Vergnügen, den Beweis davon zu $u- chen, und $age nur, da{$s} der Cörper, der durch die Circumvolution des Dreyecks ABD um die Axe GF ent$tehet, dem Cörper davon wir §. 786. Meldung gethan, ähnlich, das i$t, da{$s} er der Uberre$t $eye, wann man einen ge$tümpelten Conum von einem Cylinder abgezogen; und da{$s} der Cörper, der durch die Circumvolution des Dreyecks ABD um die Axe HE ent$tehet, dem Cörper, de$$en wir §. 785. gedacht, ähnlich, das i$t, da{$s} er der Uberre$t $eye, wann man einen Cylinder von einem ge- $tümpelten Cono abgezogen: und weilen die$e Manier die$e Cörper zu berechnen, leichter i$t als diejenige, die wir §. 786. und 785. gewie$en, $o kan man $ich die$er bedienen, um das Orillon, die hohle Flancq und die Rundung der Contre$carpe des Grabens zu berechnen.

Fünfte Aufgab.

827. Wann man einen halben Zirckel EBF hat, de$$en Mit- Fig. 322. tel-Punct der Schwäre in dem Punct I $eye, und man von die- $em Punct eine _Perpendicular_ ID auf den _Diameter_ fallen lä{$s}t, $o $a- ge ich, da{$s} der Cörper, der durch die _Circumvolution_ des halben Zirckels EBF um $eine Axe EF ent$tehet, und der eine Kugel i$t, gleich $eye dem _Product_ der Fläche EF durch die _Circumferenz_ des _Radii_ ID.

Man mu{$s} zum Voraus wi$$en, da{$s} die Linie ID, welche die Di$tanz des Mittel-Puncts der Schwäre I von dem Mittel-Punct des halben Zirckels D i$t, die vierte Proportional-Linie zur Helfte der Circumfe- renz EBF, zum Radio DE, und zu zweyen Dritteln eben die$es Radii $eye. Al$o wann die halbe Circumferenz = a, der Radius DE = b, $o i$t die Helfte der halben Circumferenz EBF = {a / 2}, und die zwey Drit- [0391] tel des Radii DE = {2b / 3}; Da findet man die Linie DI, wann man $agt: wie $ich {a / 2} zu b verhält, al$o verhält $ich {2b / 3} zu {4bb / 3a}, welches al$o der Valor von DI i$t: und weilen wir die Circumferenz des Radii DI von- nöthen haben, $o $agt man: wann der Radius DE (b) 2a vor $eine Cir- cumferenz gibt, wie viel gibt der Radius DI ({4bb / 3a}) vor die $einige; Die$e findet man al$o, da{$s} $ie $eye {8abb / 3ab}, oder {8b / 3}. Wann man nun die$e Circumferenz durch die Fläche des halben Zirckels EBF ({ab / 2}) multiplicirt, $o bekommt man {8abb / 6}, oder {4abb / 3} vor den Inhalt des Cörpers; Die$es i$t gantz leicht zu erwei$en; Dann weilen der Inhalt einer Kugel dem Product, welches ent$tehet, wann man den gro$$en Zir- ckel viermal genommen, durch den dritten Theil des Radii multiplicirt, gleich i$t(), und die Fläche des halben Zirckels = {ab / 2}, $o i$t die Fläche des gantzen Zirckels = ab; al$o i$t die$e vierfache Fläche = 4ab; wann man nun die$e Grö$$e durch den dritten Theil des Radii, das i$t, Nemlich wir haben oben §. 549. ge$ehen, da{$s} der Inhalt einer Kugel dem Product des gro$$en Zirckels durch zwey Drittel des Diameters gleich $eye, derowegen, wann die Circumferenz = 2a, der Radius = b, $o i$t der Diameter = 2b und die Fläche des Zirckels = ab; al$o i$t der Inhalt der Kugel = {4abb. / 3}. Allein man befommt auch eben die$es Product, wann mau den gro$$en Zirckel viermal genommen (4ab) durch den drit- ten Theil des Radii ({b / 3}) multiplicirt. [0392] durch {b / 3} multiplicirt, $o bekommt man {4abb / 3} vor den Inhalt der Ku- gel; welcher aber mit dem vorher gefundenen einerley i$t.

Allein wann der halbe Zirckel EBF $ich um die Tangent GA, die mit dem Diameter EF parallel lauft, herum bewegt, $o be$chreibt $ie einen Cörper, de$$en Inhalt man findet, wann man den halben Zirckel durch die Circumferenz des Radii IB, der die Di$tanz des Mittel-Puncts der Schwäre I von der Axe GA i$t, multiplicirt; und wann der halbe Zir- ckel $ich um die Axe AH, die auf EF perpendicular $tehet, herum be- wegt, $o be$chreibt er eine Art eines Krantzes, de$$en Inhalt man findet, wann man den halben Zirckel durch die Circumferenz des Radii IK oder DF multiplicirt. Und al$o verhält $ich der Cörper, der aus der Circumvolu- tion des halben Zirckels EBF um die Axe EF ent$tanden, zum Cörper, der aus der Circumvolution de$$elben, um die Axe GA ent$tehet, als wie der Ra- dius ID zum Radio IB; und der Cörper, der aus der Circumvolution des halben Zirckels um die Axe EF ent$tanden, verhält $ich zum Cörper, der aus der Circumvolution de$$elben um die Axe AH ent$tehet, als wie der Radius ID zum Radio IK oder DF.

Anmerckung.

Ich habe die Manier die Mittel-Puncten der Schwäre der Figuren zu finden nicht gewie$en, indem ich mich zu weit von meinem Entzweck entfernet hätte, und ich nur Willens ware, den Anfängern den Ver$tand zu $chärfen, und die Vortref- lichfeit die$es Principii an den Tag zu geben, durch de$$en Hülf man independen- ter von demjenigen, was wir im achten Buch des er$ten Theils gelehret, kan eine Menge Aufgaben auflö$en, $o bald man die Mittel-Puncten der Schwäre deren er- zeugenden Figuren kennet; die$e kan man aber auf eine allgemeine Art ohne Bey- hülf des Calculi integralis nicht finden: doch kan man $ehen, was Mr. Ozanam in $einem Mechani$chen Tractat davon $agt, als in welchem er die Mittel-Puncten der Schwäre unter$chiedener Figuren durch die gemeine Geometrie zu finden lehret.

[0393] CURSUS MATHEMATICUS. Sech$ter Theil. Application der Geometrie zur Eintheilung der Figuren. Er$te Aufgab.

828. Ein Dreyeck in $o viel gleiche Theile einzutheilen, als man will, und zwat durch Linien, die man aus einem Winckel auf die über$tehende Seite ziehet.

Um das Dreyeck ABC auf die$e Art in drey gleiche Theile einzu- Fig. 324. theilen, $o theilet die Grund-Linie AC durch die Puncten D und E in drey gleiche Theile, und ziehet die Linien BD und BE; auf die$e Art i$t das Dreyeck in drey gleiche Dreyecke zertheilet, indem $ie gleiche Grund- Linien und einerley Höhe haben.

Zweyte Aufgab.

829. Ein Dreyeck in zwey gleiche Theile einzutheilen, und Fig 325. zwar durch eine Linie, die man durch einen gegebenen Punct ei- ner Seite ziehet.

Man begehrt, da{$s} Dreyeck ABC in zwey gleiche Theile einzuthei- len, und zwar durch eine Linie, die man durch den Punct D ziehet, in- [0394] dem man $upponirt, die$es Dreyeck wäre ein Feld, da der Ort D we- gen $einem Nutzen, den er bringt, beyden Theilen gemein $eyn mu{$s}.

Um die$e Aufgab aufzulö$en, $o mu{$s} man die Grund-Linie AC in zwey gleiche Theile AE und EC eintheilen, und durch den Punct E die Linien EB und ED ziehen; nach die$em ziehet man durch den Punct B die Linie BF mit DE parallel; Endlich ziehet man noch die Linie FD, welche das Dreyeck in zwey gleiche Theile ABDF und FDC eintheilet.

Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} das Dreyeck ABE die Helfte des gantzen Dreyecks ABC $eye, und da{$s} wegen den Parallelen BF und DE, das Dreyeck BFD dem Dreyeck BFE gleich $eye; Daraus folgt al$o, da{$s} das Dreyeck OFE, was man von dem Dreyeck BEA ab- ge$chnitten, gleich $eye dem Dreyeck ODB, welches man von dem Drey- eck EBC abgezogen: Die$es wei{$s}t al$o, da{$s} das Trapezium ABDF dem Dreyeck FDC gleich $eye.

Dritte Aufgab.

830. Ein Dreyeck in drey gleiche Theile einzutheilen, uno zwar durch Linien, die man durch einen gegebenen Punct einer Seite ziehet.

Um das Dreyeck ABC auf die begehrte Manier durch den Punct Fig. 326. D in drey gleiche Theile einzutheilen, $o theilet die Seite AC in den Puncten E und F in drey gleiche Theile; nach die$em ziehet die Linie DB, mit welcher ihr durch die Puncten E und F die Parallelen EH und FG ziehet: endlich wann ihr noch die Linien DH und DG ziehet, $o i$t das Dreyeck in drey gleiche Theile AHD, DHBG und DGC getheilet.

Um die$es zu erwei$en, $o ziehet die Linien BE und BF, welche das Dreyeck in drey andere gleiche Dreyecke eintheilen. Nun wegen den Parallelen HE und BD i$t das Dreyeck EHB dem Dreyeck HED, und al$o auch das Dreyeck HIB dem Dreyeck EID gleich. Derowegen wann ich von dem Dreyeck ABE das Dreyeck HIB $ubtrahire, und zu dem Uberre$t AHIE das Dreyeck EID addire, $o i$t das Dreyeck AHD der dritte Theil des Gantzen; Auf gleiche Weis wird auch erwie$en, da{$s} das Dreyeck DGC der dritte Theil $eye; Woraus al$o folgt, da{$s} das Trapezium DHBG ebenfals der dritte Theil des gantzen Dreyecks ABC $eye.

Vierte Aufgab.

831. Ein Dreyeck durch Linien, die in $eine drey Winckel gehen, in drey gleiche Theile einzutheilen.

[0395]

Man begehrt einen Punct D in dem Dreyeck ABC zu finden, der die Be$chaffenheit habe, da{$s}, wann man von ihm Linien in die Spitze der drey Winckel ziehet, $ie das Dreyeck in drey gleiche Theile ein- theilen.

Um die$e Aufgab aufzulö$en, $o mu{$s} man von der Grund-Linie AC den dritten Theil AF nehmen, und durch den Punct F mit AB eine Pa- rallel FE ziehen: wann man nun die$e Linie FE in zwey gleiche Theile eintheilet, $o i$t der Theilungs-Punct D der begehrte Punct. Dann wann man von die$em Punct die Linien DA, DB und DC ziehet, $o thei- len $ie das Dreyeck in drey gleiche Theile.

Um die$es zu erwei$en, $o ziehet die Linie BF, da i$t al$o das Drey- eck BAF der dritte Theil des gantzen Dreyecks; und weilen die$es Drey- eck dem Dreyeck ADB gleich, $o i$t das Dreyeck ADB auch der dritte Theil des gantzen Dreyecks. Und weilen die Dreyecke ADC und BDC ein- ander gleich $eynd, wie die$es gantz leicht zu $ehen i$t, $o folgt daraus, da{$s} jedes der dritte Theil des Gantzen $eye.

Fünfte Aufgab.

832. Ein Dreyeck in zwey gleiche Theile zu theilen, und Fig. 328. zwar durch Linien, die man von einem in dem Dreyeck nach Be- lieben gegebenen Punct ziehet.

Um das Dreyeck ABC durch Linien, die man von dem gegebenen Punct F ziehet, in zwey gleiche Theile zu theilen, $o mu{$s} man zu er$t die Grund-Linie AC in zwey gleiche Theile AD und DC eintheilen, und nachgehends die Linie DF ziehen, mit welcher man eine Parallel BE füh- ret,; endlich ziehet man nur noch die Linien EF und FB; Da i$t die Fi- gur ABFE der Figur BFEC gleich.

Um die$es zu erwei$en, $o ziehet die Linie BD, und betrachtet, da{$s} wegen den Parallelen EB und DF die Dreyecke BEF und BED, und al$o auch die Dreyecke BGF und EGD einander gleich $eyen. Nun das Dreyeck ABD = DBC, derowegen i$t, ABD - EGD = DBC - BGF, das i$t, die Figur ABGE = DGFBC, und al$o ABGE + BGF = DGFBC + EGD, das i$t, die Figur ABFE = EFBC.

Sech$te Aufgab.

833. Ein Dreyeck durch eine Linie, die man mit det Grund- Fig. 329. Linie parallel ziehet, in zwey gleiche Theile einzutheilen.

Um das Dreyeck ABC durch eine mit der Grund-Linie parallel lauffende Linie DE in zwey gleiche Theile zu theilen, $o mu{$s} man eine der andern Seiten z. E. die Seite BC in zwey gleiche Theile BF und FC [0396] eintheilen; und nachgehends zur Seite BC und ihrer Helfte BF eine mittlere Proportional-Linie $uchen; Da macht man die Linie BE die$er mittlern Proportional-Linie gleich, und ziehet durch den Punct E mit AC eine Parallel ED, welche das Dreyeck ABC in zwey gleiche Theile ADEC und DBE eintheilen wird.

Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} weilen die Linien BC, BE und BF in einer Proportion $tehen, das Quadrat der Linie BC fich zum Quadrat der Linie BE verhalte, als wie $ich die Linie BC zur Linie BF verhält (§. 484.). Da nun die ähnliche Dreyecke $ich gegeneinan- der verhalten, als wie die Quadrate der corre$pondirenden Seiten (§. 476.), $o i$t das Dreyeck BAC das Doppelte des Dreyecks BDE, wei- len das Quadrat der Seite BC das Doppelte des Quadrats der Seite BE i$t, indem BC das Doppelte von BF.

Wann man aber ein Dreyeck durch Linien, die mit der Grund-Li- nie parallel lauffen, in drey gleiche Theile eintheilen will, $o mu{$s} man zwi$chen einer Neben-Seite und ihren zweyen Dritteln eine mittlere Proportional-Linie $uchen; nach die$em $ticht man die Länge die$er mitt- leren Proportional-Linie auf der getheilten Seite ab, und ziehet durch die$en abge$tochenen Punct eine Linie, die mit der Grund-Linie paral- lel lauft; Da bekommt man ein Dreyeck, welches zwey dritte Theile des gantzen Dreyecks ausmacht; und wann man die$es Dreyecks nach der vorhergehenden Manier in zwey gleiche Theile abtheilet, $o i$t das gantze Dreyeck in drey gleiche Theile eingetheilet.

Siebende Aufgab.

834. Ein _Trapezoidem_ durch eine mit der Grund-Linie pa- rallel lauffende Linie in zwey gleiche Theile zu theilen.

Um ein Trapezoidem als wie ABCD, durch eine mit der Grund- Fig. 330. Linie AD parallel lauffende Linie EF in zwey gleiche Theile zu theilen, $o mu{$s} man die Seiten AB und DC verlängern, bis da{$s} $ie in dem Punct G einander antreffen, und auf den Punct G der Linie AG eine Perpendicular GH aufrichten, die man der Linie GB gleich macht; nach die$em ziehet man die Linie AH, und be$chreibt auf die$e Linie einen hal- ben Zirckel, de$$en Circumferenz man in zwey gleiche Theile AI und HI eintheilet; endlich ziehet man die Linie IH, und macht die Linie GE der Linie IH gleich; wann man noch durch den Punct E mit der Grund- Linie AD die Parallel EF führet, $o $age ich, da{$s} $ie die Figur ABCD, die ein Trapezoides i$t, in zwey gleiche Theile theile.

Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} die Linie AH die Seite eines Quadrats $eye, welches den beyden Quadraten der Linien BG und [0397] AG zu$ammen genommen gleich i$t; und da{$s} die Linie IH die Seite eines Quadrats $eye, welches der Helfte des Quadrats der Seite HA gleich i$t: woraus al$o folget, da{$s} das Quadrat von IH eine mittlere Arithmeti$che Proportional-Grö$$e zwi$chen den Quadraten von AG und BG $eye. Und weilen die ähnliche Dreyecke $ich gegeneinander verhalten, als wie die Quadrate der corre$pondirenden Seiten, $o folgt daraus, da{$s}, weilen die Quadrate der Seiten GB, GE und GA in einer Arithmeti- $chen Proportion $tehen, auch die Dreyecke GBC, GEF und GAD in ei- ner Arithmeti$chen Proportion $tehen mü$$en; und da{$s} al$o ihre Diffe- renzien einander gleich $eyen; weilen aber die$e Differenzien nichts an- ders $eynd, als die Trapezoides EC und AF, $o $eynd dann die$e Trape- zoides einander gleich.

Achte Aufgab.

835. Ein _Trapezium_ durch eine Linie, die mit einer $einer Seiten parallel lauft, in zwey gleiche Theile zu theilen.

Um das Trapezium ABCD durch eine mit AB parallel lauffende Fig. 331. Linie IK in zwey gleiche Theile zu theilen, $o mu{$s} man die Seiten BC und AD verlängern, bis da{$s} $ie in dem Punct G zu$ammen kommen, nach die$em mu{$s} man das Trapezium in ein Dreyeck verwandlen, um den Punct F zu bekommen; Da theilet man die Grund-Linie AF des Dreyecks ABF durch den Punct H in zwey gleiche Theile, und $ucht zwi$chen AG und HG eine mittlere Proportional-Linie, die z. E. IG $eyn wird; wann man nun durch den Punct I mit AB die Parallel IK führet, $o wird $ie das Trapezium in zwey gleiche Theile ABKI und IKCD eintheilen.

Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet die ähnliche Dreyecke ABG und IKG, die $ich gegeneinander verhalten, als wie die Quadrate der corre$pondirenden Seiten AG und IG, oder auch als wie die Linien AG und HG (§. 484.) Da nun die Dreyecke ABG und HBG einerley Höhehaben, $o verhalten $ie $ich gegeneinander, als wie ihre Grund-Linien AG und HG. Derowegen verhalt $ich auch das Dreyeck ABG zu IKG, als wie eben das Dreyeck ABG zu HBG (§. 189.), woraus al$o Nemlich wir haben

    AH
^2 =
    AG
^2 +
    BG
^2, nnd {1/2}
    AH
^2 =
    IH
^2, wann man nun in der er$ten Gleichung an die Stelle
    AH
^2 $etzet 2
    IH
^2, $o bekommt man 2
    IH
^2 =
    AG
^2 +
    BG
^2, welche Gleichung kan in folgende Arithmeti$che Proportion re$olvirt werden,
    AG
^2.
    IH
^2 :
    IH
^2.
    BG
^2. [0398] folgt, da{$s} das Dreyeck IKG dem Dreyeck HBG gleich $eye (§. 196.). Wann man nun von beyden die Figur HOKG abziehet, $o bleiben die gleiche Dreyecke OIH und OBK übrig; Da nun das Dreyeck ABH der Helfte des Trapezii gleich i$t, $o i$t auch die Figur ABKI der Helfte des Trapezii gleich: Al$o theilet die Linie IK das Trapezium in zwey gleiche Theile.

Neunte Aufgab.

836. Ein _Trapezoidem_ in drey gleiche Theile einzutheilen.

Die$e Aufgab i$t gar nicht $chwär, ich habe $te auch nur ge$etzt, Fig. 332. um als eine Einleitung zu den folgenden zu dienen. Al$o wann wir den Trapezoidem AC betrachten, welchen wir in drey gleiche Theile theilen $ollen, $o $iehet man, da{$s} wir nur jede der Seiten BC und AD in drey gleiche Theile theilen dörfen, und nachgehends die Linien GE und HF ziehen, welche die gleiche Figuren AG, EH und FC geben, in dem jede aus zweyen Dreyecken be$tehet, die den zweyen Dreyecken einer andern gleich $eynd.

Zehende Aufgab.

837. Ein _Trapezium_ in zwey gleiche Theile einzutheilen.

Um das Trapezium ABCD in zwey gleiche Theile zu theilen, $o Fig. 333. mu{$s} man durch den Punct B die Linie BH parallel mit AD führen, und die Linien BH und _AD_ durch die Puncten G und F in zwey gleiche Thei- le theilen; nach die$em ziehet man die Linien GC und GF, welche das Trapezium in die zwey gleiche Theile CBAFG und CGF_D_ eintheilen; Dann vermög der Operation i$t der Trapezoides AG dem Trapezoidi _GD_ und das Dreyeck BCG dem Dreyeck GCH gleich.

Damit aber die beyde Theile des Trapezii regulärer würden, $o wäre es vonnöthen, da{$s} die Theilungs-Linien CG und GF nur eine grade Linie ausmachten. Wann man nun mit FC die Parallel GE führet, $o ziehet man nur noch die Linie EF, welche das Trapezium in zwey gleiche Theile eintheilen wird. Dann weilen die Dreyecke CGF und CEF einerley Grund-Linie haben, und zwi$chen einerley Parallelen $tehen, $o $eynd $ie einander gleich; Derowegen wann man beyder$eits das Stuck FKC abziehet, $o bleiben die beyde gleiche Dreyecke CEK und FGK übrig. Wann man ferner von dem Stuck CBAFG das Dreyeck CEK abziehet, und zu dem Uberre$t EBAFGK das Dreyeck FGK addirt, $o i$t die Summ EBAF wiederum die Helfte des Trape- zii, und al$o das Stuck FEC_D_ die andere Helfte.

[0399] Eilfte Aufgab.

838. Ein _Trapezium_ in zwey gleiche Theile zu theilen, und Fig. 334. zwar durch eine Linie, die man aus einem $einer Winckel zieher.

Man begehrt das Trapezium ABC_D_ durch eine Linie, die man aus dem Winckel B ziehet, in zwey gleiche Theile einzutheilen.

Um die$e Aufgab aufzulö$en, $o ziehet die _D_iagonalen AC und _BD_, und theilet die er$te AC durch den Punct E in zwey gleiche Theile; wann ihr noch ferner durch den Punct E mit _BD_ die Parallel EF füh- ret, und die Linie BF ziehet, $o wird die$e das Trapezium in zwey gleiche Theile theilen.

Um die$es zu erwei$en, $o ziehet die Linien EB und ED, und betrach- tet die gleiche Dreyecke AE_D_ und _D_EC, desgleichen auch die gleiche Dreyecke ABE und EBC; Da i$t al$o das Trapezium durch die Linien EB und _ED_ in zwey gleiche Theile getheilet: und weilen, wie in vorher- gehender Aufgab erwie$en worden, das Dreyeck EBO dem Dreyeck _OFD_ gleich i$t, $o folgt daraus, da{$s} die eintzige Linie BF das Trapezium in zwey gleiche Theile eintheile.

Zwölfte Aufgab.

839. Ein _Trapezoidem_ in zwey gleiche Theile zu theilen, und zwar durch eine Linie, die man von einem auf einer Seite anges nommenen Punct ziehet.

Um den Trapezoidem ABC_D_ durch eine Linie, die man von dem Fig. 335. Punct H ziehet, in zwey gleiche Theile zu theilen, $o mu{$s} man zu er$t den Trapezoidem in ein Dreyeck verwandlen, indem man mit der _D_iagonal _BD_ eine Parallel CF führet, um den Punct F zu bekommen, und nachgehends die Linie FB ziehet; Da i$t al$o das Dreyeck AFB dem Trapezoidi gleich. Nach die$em theilet die Grund-Linie AF des Drey- ecks in zwey gleiche Theile AE und EF, und ziehet die Linie BE, um das Dreyeck ABE zu bekommen, welches die Helfte des Trapezoidis $eyn wird. Endlich ziehet man noch die Linie BH, und mit ihr die Parallel EG; und wann man die Linie HG ziehet, $o wird die$e den Trapezoi- dem in zwey gleiche Theile eintheilen.

Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} wegen den Parallelen HB und EG, die Dreyecke OHE und OBG einander gleich, und da{$s} al$o die Figur ABGH die Helfte des Trapezoidis $eye, indem $ie dem Dreyeck ABE gleich i$t.

[0400] Dreyzehende Aufgab.

840. Ein Fünfeck durch Linien, die man aus einem $einet Winckel ziehet, in drey gleiche Theile zu theilen.

Um das Fünfeck ABC_D_E durch Linien, die man aus dem Winckel C Fig. 336. ziehet, in drey gleiche Theile einzutheilen, $o mu{$s} man zu er$t das Fünfeck in ein Dreyeck verwandlen, welches ge$chicht, wann man mit den Linien CA und CE die Parallelen BF und _DG_, und man aus dem Punct C zu den Puncten F und G die Linien CF und CG ziehet; Welche al$o das Dreyeck FCG formiren, das dem Fünfeck gleich i$t, wie die$es gantz leicht kan er$ehen werden. Nach die$em theilet man die Grund-Linie FG in drey gleiche Theile FH, HI und IG, und ziehet die Linien CH und CI, um das Dreyeck HCI zu bekommen, welches der dritte Theil des Dreyecks FCG, und al$o auch des Fünfecks i$t; nachgehends betrachte man nur, da{$s} die Theile HABC und ICDE einander gleich, und al$o ein jeder der dritte Theil des Fünfecks $eye.

[0401] CURSUS MATHEMATICUS. Siebender Theil. Application der Geometrie zum Gebrauch des Proportional-Zirckels.

UNter allen Mathemati$chen In$trumenten i$t keines, de$$en Ge- brauch $o weitläuftig i$t, als der _Proportional-_Zirckel: Dann er erleichtert die Praxin der gantzen Theoreti$chen Geometrie um $ehr vieles; Z. E. Die Linie der gleichen Theile dienet, eine Linie nach einer gegebenen Verhältni{$s} einzutheilen, wie auch die dritte und vierte Proportional-Linien zu finden; Der Linie der Chorden bedient man $ich an$tatt eines Transporteurs, indem man durch $ie den Valor der Winckel finden, und auch Winckel von einer gegebenen Anzahl Graden machen kan; Die Linie der Polygonen dient einen Zirckel in unter$chiedene gleiche Theile einzutheilen, damit man nachgehends die Polygonen einbe$chreiben kan; Durch Hülf der Linie der Flächen findet man die Seiten ähnlicher Figuren, die man nach einer gegebenen Verhältni{$s} vergrö$$ern, oder verkleinern will: Endlich die Linie der Cörper, die man vor die vornehm$te ausgeben kan, dient zwi$chen zweyen Linien zwey mittlere Proportional-Linien zu finden, wie auch die ähnli- che Cörper nach einer gegebenen Verhältni{$s} zu vergrö$$en, oder zu ver- kleinern. Alle die$e Eigen$chaften des Proportional-Zirckels werden [0402] wir dahier erklären, und den Anfang mit der Linie der gleichen Theile machen.

Er$te Aufgab.

841. Eine grade Linie in $o viel gleiche Theile einzutheilen, als man will.

Auf jedem Schenckel einer Seite des Proportional-Zirckels findet Fig. 337. man eine Linie, dabey ge$chrieben $tehet: _Partes æquales_, oder die gleiche Theile; indem $ie in der That dienet, die grade Linien in gleiche Theile einzutheilen: Damit wir nun wei$en, wie man $ich der$elben bedienet, $o wollen wir $upponiren, man mü{$s}te die Linie HI in 9 gleiche Theile eintheilen, um z. E. den Maa{$s}-Stab zu einem Ri{$s} zu machen; Da fa{$s}t man die Länge der Linie HI mit dem gemeinen Hand-Zirckel, und eröfnet den Proportional-Zirckel al$o, da{$s} die Spitze des Hand-Zirckels in den Puncten, die mit 90 bemerckt $eynd, $tehen; ich $upponire, die$e Puncten wären D und E. Nach die$em lä{$s}t man den Proportional- Zirckel in $einer Eröfnung, und nimmt mit dem Hand-Zirckel die Wei- te der Puncten, die mit 10 bemerckt $eynd, welche z. E. die Weite FG i$t. Wann man nunmehro den auf die$e Art eröfneten Hand-Zirckel auf die Linie HI austrägt, $o wird man $ehen, da{$s} $eine Weite der neun- te Theil die$er Linie HI $eyn werde.

Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet die ähnliche Dreyecke AFG und ADE, welche uns geben AF. AD : : FG. DE. Da nun AF der neunte Theil von AD, $o i$t auch FG der neunte Theil von DE.

Zweyte Aufgab.

842. Zu zweyen gegebenen Linien eine dritte _Proportional-_ Linie zu finden.

Um zu den zweyen gegebenen Linien F und G eine dritte Propor- Fig. 338. tional-Linie zu finden, $o mu{$s} man die er$te F mit dem Hand-Zirckel fa$$en, und $ie auf die Linie der gleichen Theile auftragen; wir wollen $upponiren, $ie gienge von A bis zu D; nach die$em mu{$s} man die zwey- te G nehmen, und $ie von A bis in B tragen. Ferner mu{$s} man den Proportional-Zirckel $o weit eröfnen, da{$s} die Weite DE (das i$t, der Zahlen, die mit die$en Puncten corre$pondiren) der Linie G gleich $eye. Endlich wann man die Di$tanz BC (das i$t, der corre$pondirenden Zah- len) nimmt, $o hat man die ge$uchte dritte Proportional-Linie, die z. E. H i$t.

[0403]

Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet die ähnliche Dreyecke ABC und ADE und die Gleichheit der Linien AB und DE, woraus man al$o bekommt AD. DE : : AB. BC, das i$t, ∺ F. G. H.

Dritte Aufgab.

843. Zu dreyen gegebenen Linien eine vierte _Proportional-_ Linie zu finden.

Um zu den dreyen Linien A, B und C eine vierte Proportional-Li- Fig. 339. nie zu finden, $o mu{$s} man die Linie A mit dem Hand-Zirckel fa$$en, und $ie auf die Linie dergleichen Theiledes Proportional-Zirckels auftragen, al$o da{$s} $ie die Weite EF habe. Nach die$em mu{$s} man die zweyte B von dem Punct F bis in den corre$pondirenden Punct G tragen; End- lich nimmt man die dritte Linie C und trägt $ie von E bis H, da i$t die Weite von H bis zum corre$pondirenden Punct I die vierte Proportio- nal-Linie als wie z. E. die Linie D i$t.

Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet die ähnliche Dreyecke EFG und EHI, welche uns geben EF. FG : : EH. HI, oder A. B : : C. D.

Von dem Gebrauch der Polygon-Linie. Vierte Aufgab.

844. In einen Zirckel ein Polygon zu be$chreiben.

Durch Hülf der Polygon-Linie, die man auf dem Proportional- Fig. 340. & 341. Zirckel $iehet, kan man alle Polygonen vom Dreyeck bis zum Zwölfeck in einen Zirckel be$chreiben. Damit man aber $ehe, wie man $ich der- $elben bedient, $o wollen wir $upponiren, man mü$$e in den Zirckel H ein Achteck einbe$chreiben; Da mu{$s} man dann mit dem Hand-Zirckel die Weite des Radii HI des Zirckels fa$$en, und den Proportional-Zirckel $o weit eröfnen, da{$s} die Spitze des Hand-Zirckels in den Puncten B und C, oder 6 und 6, wie $ie auf dem Proportional-Zirckel bemercket $eynd, $tehen; nach die$em fa{$s}t man mit dem Hand-Zirckel die Weite der Puncten F und G, oder 8 und 8, welche die Seite eines Achtecks i$t, und die man al$o achtmal auf der Circumferenz des Zirckels H her- umträgt.

Wann man aber $tatt eines Achtecks wolte ein Zeheneck in eben die$en Zirckel be$chreiben, $o mü{$s}te man die Weite der Puncten 10 und 10 nehmen; und $o fort vor alle Polygonen.

[0404] Fünfte Aufgab.

845. Auf eine gegebene Linie ein regulares Polygon aufzu- richten.

Wie bedienen uns der vorigen Figur, da $age ich, da{$s} man durch Hülf des Proportional-Zirckels kan auf eine gegebene Linie alle Poly- gonen aufrichten. Wann man al$o auf die Linie KL ein Achteck auf- richten will, $o mu{$s} man die$e Linie mit dem Hand-Zirckel fa$$en, und $ie auf den Proportional-Zirckel al$o tragen, da{$s} die Spitze des Hand- Zirckels in den Puncten 8 und 8 $tehen. Nach die$em nimmt man die Weite von B zu C, das i$t, von 6 zu 6, und be$chreibt mit die$er Weite zwey Zirckel-Bögen, die $ich in H durch$chneiden. Endlich be$chreibt man aus dem Mittel-Punct H und der vorigen Weite HK, oder HL einen Zirckel, auf de$$en Circumferenz man die Linie KL noch 7mal auf- trägt.

Von dem Gebrauch der Linie der Chorden. Sech$te Aufgab.

846. Auf der _Circumferenz_ eines Zirckels einen Bogen von $o viel Graden, als man will abzu$techen.

Wann man auf der Circumferenz des Zirckels H einen Bogen von Fig. 340. & 342. 70 Graden ab$techen will, $o mu{$s} man mit dem Hand-Zirckel die Weite des Radii HI auf die Puncten 60 und 60, die al$o auf der Linie der Chorden bemerckt $eynd, auftragen: Derowegen wann wir $upponiren, der Winckel ABC wäre von den beyden Linien der Chorden des Pro- portional-Zirckels formirt, al$o da{$s} die Weite DE dem Radio HI gleich wäre, $o mu{$s} man die Weite von F zu G, das i$t, von 70 zu 70 neh- men, da i$t die Linie FG die Chorda eines Bogens von 70 Graden, die man al$o nur auf die Circumferenz des Zirckels auftragen dörf, um den begehrten Bogen MI zu bekommen.

Siebende Aufgab.

847. Es $eye ein Winckel auf dem Papier gegeben, man begehrt durch Hülf der Linie der _Chord_en $einen _Valor_ zu finden.

Um den Valor eines Winckels ABC zu finden, $o mu{$s} man aus Fig. 342. & 348. dem Mittel-Punct B mit einer beliebigen Eröfnung des Zirckels einen Bogen AC be$chreiben, und den Radium BC nehmen, und hernach den Proportional-Zirckel al$o eröfnen, da{$s} die Weite von 60 zu 60 dem Ra- [0405] dio gleich $eye. Wann man nun ferner mit dem Hand-Zirckel die Chordam AC fa{$s}t, und $ie auf die Linien der Chorden aufträgt, al$o, da{$s} die Spitze des Hand-Zirckels in zweyen von dem Mittel-Punct gleich weit entfernten Puncten $tehen, $o wei$en die dabey ge$chriebene Zahlen den Valor des Winckels; al$o wann die Spitze des Hand-Zir- ckels in 50 und 50 $tehen, $o $iehet man, da{$s} der Winckel ABC von 50 Graden $eye.

Achte Aufgab.

848. Wann man einen Zirckel-Bogen in Graden kenner, man begehrt $einen _Radium_ zu finden.

Wann man einen Zirckel-Bogen BA von 50 Graden hat, und Fig. 343. man den Radium die$es Bogens finden will, $o mu{$s} man die Chordam BA mit dem Hand-Zirckel fa$$en, und $ie auf die Linie der Chorden auftragen, al$o da{$s} die Spitze des Hand-Zirckels in 50 und 50 $tehen; nach die$em nimmt man die Weite von 60 zu 60, welche dem Radio BC gleich $eyn wird.

Neunte Aufgab.

849. Den _Proportional-_Zirckel al$o zu eröfnen, da{$s} die Linien der _Chord_en miteinander einen begehrten Winckel formiren.

Es $eyen die Linien AB und BC die Linien der Chorden, man be- Fig. 342. gehrt $ie $ollen miteinander einen Winckel von 70 Graden formiren.

Um die$es zu verrichten, $o mu{$s} man mit dem Hand-Zirckel die Weite BF oder BG die ich von 70 Graden $upponire, nehmen, und $ie auf die Puncten 60 und 60 tragen, $o werden die Linien der Chorden einen Winckel von 70 Graden formiren.

Zehende Aufgab.

850. Wann der _Proportional_ Zirckel eröfnet i$t, man begehrt den _Valor_ des Winckels zu kennen, den die beyde Linien der _Chor-_ _d_en miteinander _formi_ren.

Wann man den Valor des Winckels ABC kennen will, den die bey- Fig. 342. de Linien der Chorden miteinander formiren, $o mu{$s} man mit dem Hand-Zirckel die Weite von 60 zu 60 nehmen; und $ie von dem Mittel- Punct auf eine die$er Linien tragen, da findet man die Anzahl Grade, die der Winckel hat. Al$o es $eye die Weite DE von 60 zu 60, $o mu{$s} man die$e Weite DE auf BF tragen; und wann man $iehet, da{$s} der Punct F mit einer Zahl z. E. mit 70 bemerckt i$t, $o wei{$s}t die$es, da{$s} der Winckel ABC von 70 Graden $eye.

[0406] Anmerckung.

Weilen man zu Zeiten auf die Ende der beyden Linien der Chorden Ab$ich- ten auf$etzt, um die Winckel auf dem Feld zu nehmen, $o kan man durch Hülf der zwey vorhergehenden Aufgaben nicht nur allein begehrte Winckel ab$tecken, $ondern auch die$elbe nach Graden ausme$$en.

Von dem Gebrauch der Linie der Flächen. Eilfte Aufgab.

851. Ein _Quadrat_ zu machen, das $ich gegen ein anders nach einer gegebenen Verhältni{$s} verhält.

Wann man ein Quadrat machen will, das $ich gegen ein anderes Fig. 344. & 349. gegebenes als wie 5 zu 2 verhalten $oll, $o mu{$s} man die Seite AB des gegebenen Quadrats mit dem Hand-Zirckel fa$$en, und den Proportio- nal-Zirckel al$o eröfnen, da{$s} die Weite HI der Puncten 2 und 2 auf den Li- nien der Flächen der Seite AB gleich $eye; wann man hernach die Wei- te KL, oder 5 und 5 nimmt, $o i$t die$e die Seite des begehrten Qua- drats; al$o wann man die Linie CD der Linie KL gleich macht, $o ver- halt $ich das Quadrat von CD zum Quadrat von AB als wie 5 zu 2.

Zwölfte Aufgab.

852. Die Verhältni{$s}, die ein _Quadrat_ gegen ein anders hat, zu finden.

Wann man wi$$en will, welche Verhältni{$s} das Quadrat von AB Fig. 344. & 349. zu dem Quadrat von CD habe, $o fa{$s}t man die Seite AB des kleinern Quadrats mit dem Hand-Zirckel, und eröfnet den Proportional-Zirckel al$o, da{$s} die Spitze des Hand-Zirckels $ich in zweyen Puncten befinden, die gleich weit von dem Mittel-Punct entfernet $eynd; al$o $upponiren wir die Linie HI: nach die$em mu{$s} man mit dem Hand-Zirckel die Sei- te CD des andern Quadrats nehmen, und eine Weite, als wie KL $u- chen, al$o da{$s} wiederum die Puncten K und L gleich weit von dem Mit- tel-Punct entfernet $eyen; und da i$t die Verhältni{$s} der Zahlen, die $ich in H und K befinden, die Verhältni{$s}, die das Quadrat von AB ge- gegen das Quadrat von CD hat.

Dreyzehende Aufgab.

853. Den _Proportional-_Zirckel al$o zu eröfnen, da{$s} die Linien der Flächen miteinander einen rechten Winckel _formi_ren.

[0407]

Um einen rechten Winckel als wie BAC mit den zweyen Linien der Fig. 345. Flächen zu formiren, $o mu{$s} man mit dem Hand-Zirckel eine Weite AD von dem Mittel-Punct A bis an einen beliebigen Punct D nehmen, wel- cher z. E 20 i$t, und nachgehends den Proportional-Zirckel al$o eröfnen, da{$s} die Weite der Puncten F und G, bey welchen die Helfte der vori- gen Zahl ge$chrieben $tehet, der Linie AD gleich $eye; Da werden die Li- nien der Flächen AB und AC einen rechten Winckel formiren.

Vierzehende Aufgab.

854. Ein _Quadrat_ zu machen, welches zweyen gegebenen _Quadrat_en zu$ammen genommen gleich i$t.

Um ein Quadrat zu machen, das den zweyen Quadraten von AB Fig. 346. & 349. und CD zu$ammen genommen gleich i$t, $o mu{$s} man den Proportional- Zirckel al$o eröfnen, da{$s} die Linien der Flächen einen rechten Winckel formiren, als wie z. E. der Winckel EFG i$t; nach die$em trägt man auf die Linie FE die Linie FI die der Seite AB gleich i$t, da mu{$s} man die Zahl die bey dem Punct I $tehet wohl mercken: Endlich macht man noch die Linie FH der Seite CD des andern Quadrats gleich, da i$t die Wei- te von H zu I, z. E. von 18 zu 5 die Seite des Quadrats, welches bey- den gegebenen zu$ammen genommen gleich i$t.

Anmerckung.

Weilen alle ähnliche Figuren $ich gegeneinander verhalten, als wie die Qua- drate ihrer corre$pondirenden Seiten, $o kan man eben die vorhergehende Opera- tionen auch vor die Dreyecke, Polygonen und Zirckel wiederholen.

Von dem Gebrauch der Linien der Cörper. Fünfzehende Aufgab.

855. Einen _Cubum_ zu machen, der $ich zu einem andern nach einer gegebenen Verhältni{$s} verhält.

Wann man einen Cubum machen will, der $ich zu dem Cubo AB Fig. 347. & 350. verhält, als wie 3 zu 7, $o mu{$s} man mit dem Hand-Zirckel die Seite AB fa$$en, und $ie auf die Linien der Cörper tragen, al$o da{$s} die Spitze des Hand-Zirckels in den Puncten 7 und 7 $tehen: wann wir nun $up- poniren, die Puncten K und L wären die Puncten 7 und 7, $o mu{$s} man nur noch die Weite IH von 3 zu 3 nehmen, da i$t die$e Weite die Seite des begehrten Cubi. Al$o wann man die Seite CD der Linie HI gleich macht, $o verhält $ich der Cubus von AB zum Cubo von CD als wie 7 zu 3.

[0408] Sechszehende Aufgab.

856. Die Verhältni{$s}, die zwey _Cubi_ gegeneinander haben/ zu finden.

Um die Verhältni{$s}, die zwey Cubi als wie CD und AB, gegenein- Fig. 347. & 350. ander haben, zu finden, $o mu{$s} man die Seite CD des kleinern Cubi nehmen, und den Proportional-Zirckel al$o eröfnen, da{$s} die Weite HI die$er Seite CD gleich $eye; nach die$em nimmt man die Seite AB und trägt $ie auch auf den Proportional-Zirckel z. E. von K in L; Da zeigt die Verhältni{$s}, die die beyde Zahlen der Puncten I und K gegeneinan- der haben, auch die Verhältni{$s} des Cubi CD zum Cubo AB.

Anmerckung.

Weilen alle ähnliche Cörper $ich gegeneinander verhalten, als wie die Cubi ihrer corre$pondirenden Seiten, $o folgt daraus, da{$s} man eben die$e Operationen auch vor die Cylinder, Conos, Pyramiden und Kugeln gebrauchen kan, gleichwie wir in den vorhergehenden Aufgaben vor die Cubos operiret.

Application der Geometrie zur Artillerie. Er$te Aufgab.

857. Zu finden, wie viel Kupfer und Zinn in dem Metall $eye, woraus man die Stücke und Böller gie{$s}t.

Um den Nutzen die$er Aufgab zu kennen, $o mu{$s} man zum Vor- aus wi$$en, da{$s} das Metall, woraus man die Stücke und Böller gie{$s}t, aus Kupfer und feinem Zinn be$tehe; und weilen zwi$chen die$en bey- den Materien eine gewi$$e Proportion mu{$s} in acht genommen werden, $o haben die erfahrn$te Stuck-Gie$$er gefunden, da{$s} man auf 100 ℔. Kupfer mü$$e 12 Pf. Zinn nehmen.

Nun ge$chicht es fa$t alle Tag, da{$s} in den Gie{$s}-Häu$ern $ich alte Stücke befinden, welche man wiederum umgie$$en mu{$s}; Da wi$$en die Gie$$er nicht, ob diejenige Proportion, deren $ie $ich bedienen, in die$en in acht genommen $eye, damit die neue Stücke noch zu hart noch zu weich werden; Da will ich al$o in folgendem wei$en, wie man die Quan- tität des Kupfers und Zinns, die in jedem Stuck enthalten, finden $olle.

In der Phy$ica experimentali i$t genug$am erwie$en, da{$s} die Me- talle, wann man $ie ins Wa$$er wirft, von ihrer Schwäre verliehren; z. E. wann man an eine Waage ein Stuck Bley von 48 Pf. $chwär anhängt, $o wird man $ehen, da{$s}, wann man es in das Wa$$er hängt, [0409] al$o da{$s} es von allen Seiten mit Wa$$er umgeben, es an$tatt 48 Pf. nur 44 Pf. wägen werde, indem das Bley in dem Wa$$er den zwölf- ten Theil $eines Gewichts verliehrt. Al$o i$t es auch mit den andern Metallen be$chaffen, die aber mehr oder weniger verliehren, nachdem $ie $chwärer oder leichter $eynd. Weilen wir aber wi$$en mü$$en, wie viel das Kupfer und das Zinn verliehre, $o mu{$s} man mercken, da{$s} das Ku- pfer den neunten, und das Zinn den $iebenden Theil $eines Gewichts im Wa$$er verliehre.

Nach die$em, um zu wi$$en, wie viel Kupfer und Zinn $ich in einer halben Carthaune, die ohngefehr 5200 Pf. wägt, befinde, $o mu{$s} man ein Stuck davon ab$chlagen, und es genau abwägen; nach die$em mu{$s} man es auch in dem Wa$$er wägen, um zu $ehen, wie viel es von $einer Schwäre verliehre; wir $upponiren nun, es habe in der freyen Luft 163 Pf. gewogen, und in dem Wa$$er 19 Pf. $einer Schwäre verlohren.

Nunmehro wann man das Metall betrachtet, als wann es ein pu- res Kupfer wäre, $o findet man, da{$s} es nach die$er Suppo$ition {163 / 9} von $einer Schwäre verliehre; wann man es aber betrachtet, als wann es ein pures Zinn wäre, $o würde es {163 / 7} von $einer Schwäre verlieh- ren: Al$o $eye die Schwäre des Metalls = a, $ein Verlur$t in dem Wa$$er = b, der Verlur$t des Metalls, wann es lauter Kupfer wäre = c; Der Verlur$t, wann es lauter Zinn wäre = d, $o i$t a = 163, b = 19, c = {163 / 9}, und d = {163 / 7}; und wann wir die Quantität des Ku- pfers mit x, und die Quantität des Zinns mit y benennen, $o wollen wir wei$en, wie man den Valor die$er beyden unbekannten Grö$$en findet.

Nemlich man mu{$s} zu er$t zwey Reglen de Tri formiren, und $a- gen: Wie $ich a als die Schwäre des Metalls, das man als pures Ku- pfer an$iehet, zu c als $einem Verlur$t verhält; al$o verhält $ich x als die unbekannte Quantität des Kupfers zu $einem Verlur$t; al$o bekomt man a. c : : x. {cx / a}. Ferner $agt man: Wie $ich a als die Schwäre des Metalls, das man als pures Zinn an$iehet, zu d als $einem Ver- [0410] lur$t verhält; al$o verhält $ich y, als die unbekannte Quantität des Zinnes zu $einem Verlur$t; Da bekommt man al$o a. d : : y. {dy / a}.

Weilen man nun {cx / a} vor den Verlur$t des Kupfers, und {dy / a} vor den Verlur$t des Zinnes, welche die$es Metall ausmachen, gefunden, und die$e beyde Grö$$en dem Verlur$t des Metalls gleich $eynd, $o be- kommt man folgende Gleichung {cx / a} + {dy / a} = b; weilen noch ferner x die Quantität des Kupfers, und y die Quantität des Zinnes, wor- aus die$es Metall be$tehet, vor$tellet, $o kan man nachfolgende Gleichung formiren, x + y = a; und wann man eine die$er un- bekannten Grö$$en zum Exempel x allein auf eine Seite bringt, $o bekommt man x = a - y; und wann man noch ferner in der Glei- chung {cx / a} + {dy / a} = b an$tatt x $einen Valor $ub$tituirt, $o bekommt man {ac - cy + dy / a} = b. oder c + {dy - cy / a} = b. Die$es gibt uns {dy - cy / a} = b - c und dy - cy = ab - ac und noch ferner y = {ab - ac / d - c}; Da i$t nun y gantz allein; Derowegen wann man in der Gleichung x = a - y den Valor von y $ub$tituirt, $o bekommt man x = a - {ab + dc / d - c}.

Um aber den Valor von y in Zahlen zu kennen, $o multiplicire ich 163 durch 19 und ziehe von dem Product 3097 das Product von 163 durch {163 / 9}, das i$t, das Product {26569 / 9} ab, um {1304 / 9} zum Uberre$t zu bekommen, welchen ich hernach durch {163 / 7} - {163 / 9}, das i$t, durch [0411] {326 / 63} dividire; Da bekomme ich al$o {82152 / 2934}, oder 28 vor den Valor von y: und wann ich auf gleiche Manier den Valor von x $uche, $o fin- de ich ihn von 135; welches al$o anzeigt, da{$s} 135 Pfund Kupfer und 28 Pf. Zinn in die$em Stuck Metall enthalten $eyen.

Damit man nun wi$$e, wie viel Zinn in der gantzen Canone ent- halten $eye, $o $agt man: wann in 163 Pf. Metall 28 Pf. Zinn $eynd, wie viel $eynd in 5200 Pf. Metall; Da findet man ohngefehr 894 Pf. Zinn; Derowegen $eynd 4306 Pf. Kupfer darinnen.

Weilen aber die Verhältni{$s} von 4306 zu 894 der Verhältni{$s} von 100 zu 12 nicht gleich i$t, indem wir $upponirt haben, da{$s} viel zu viel Zinn in dem Metall $eye, $o i$t es aber gantz leicht zu finden, wie viel man Kupfer dazu addiren mü$$e, damit die Compo$ition nach 100 zu 12 werde, dann man dörf nur $agen: wann 12 Pf. Zinn 100 Pf. Ku- pfer erfordern, wie viel erfordern 894 Pf.; Da findet man 7450 Pf.; und weilen $chon 4306 Pf. dabey $eynd, $o mu{$s} man noch 3144 Pf. Ku- pfer dazu addiren.

Wann man zu gleicher Zeit mehrere Canonen umgie$$en will, $o mu{$s} man vor eine jede nach der vorhergehenden Regel $uchen, wie viel ihr Kupfer oder Zinn fehlet, damit man al$o die Compo$ition nach der Verhältni{$s} von 100 zu 12 einrichten kan.

Zweyte Aufgab.

858. Den Caliber der Kugeln und der Stücke zu finden.

Um den Caliber der Stuck-Kugeln von einer Schwäre welche man will zu finden, $o mu{$s} man den Diameter einer Kugel z. E. einer pfün- digen in Zollen, Linien und Puncten kennen; Die$er i$t nach dem Nürn- berger-Gewicht und Maa{$s} von 2 Zollen und 5 Puncten; und da $ie- het man die$en Diameter an, als wann er in $ehr viele und gleiche Thei- le z. E. in 500 eingetheilet wäre, (die$es ge$chicht de{$s}wegen, damit man in der Rechnung die Uberre$te vorbey la$$en kan); nach die$em nimmt man den Cubum von die$em Diameter, oder von den 500, um 125000000 zu bekommen, welchen Cubum wir an$tatt der Kugel neh- men, weilen $ich die Kugeln gegeneinander verhalten, als wie die Cubi ihrer Diameter; Derowegen wann man den Diameter einer Kugel von 24 Pf. haben will, $o multiplicirt man den Cubum von 1 Pf. das i$t, 125000000 durch 24, um 3000000000 zu bekommen, welches der Cu- bus des Diameters einer Kugel von 24 Pf. i$t, indem $ie 24 mal grö$$er als eine Kugel von 1 Pf.. Wann man al$o aus 3000000000 die Cu- [0412] bic-Wurtzel ausziehet, $o bekommt man 1442 kleine Theile, welche man in Zolle, Linien und Puncten verwandlen kan, dann man $agt nur: wann 500 kleine Theile 2 Zoll und 5 Puncten vor den Diameter einer Kugel von 1 Pf. geben, wieviel geben 1442 kleine Theile vor den Dia- meter einer Kugel von 24 Pf.. Die$en findet man al$o, da{$s} er von 5 Zollen, 9 Linien und 1 Puncten $eye.

Wann man den Diameter von einer andern Kugel z. E. von 18. Pf. wi$$en will, $o verfährt man auf die vorige Art, doch mit dem Un- ter$chied, da{$s} man an$tatt die 125000000 mit 24 zu multipliciren, $ie nur mit 18 multiplicire, um al$o den Cubum des Diameters der Kugel, den man $ucht, zu bekommen: Auf die$e Art kan man eine Tabelle vor alle andere Kugeln formiren.

Allein weilen man die Diameter der Kugeln in$onderheit darum wi$- $en mu{$s}, damit man die Formen, in welche $ie gego$$en werden, darnach einrichten könne, und vielleicht diejenige, die die Ob$icht darüber haben, wann $ie den Diameter einer pfündigen Kugel nicht kennen, oder an $ei- ner Accurate$$e zweiflen, $ich nicht möchten zu helfen wi$$en, $o kan man in die$em Fall eine Kugel von einem Diameter wie man will z. E. von 3 Zollen gie$$en, welche man nach die$em accurat abwägt; wir $upponi- ren nun, $ie wäge 3 {1/4} Pf., da mu{$s} man ihren Diameter in kleine Theile reduciren, und davon den Cubum nehmen, und nachgehends $agen: Wann eine Kugel von 3 {1/4} Pf. $o viel kleine Theile vor den Cubum ih- res Diameters gibt, wie viel kleine Theile gibt eine Kugel von 1 Pf. vor den Cubum ihres Diameters: Endlich ziehet man aus die$em gefunde- nen vierten Termino die Cubic-Wurtzel, welche man nachgehends in Zolle, Linien rc. reducirt.

Um den Diameter der Stücke zu finden, $o mu{$s} man wi$$en, da{$s} er nur um etwas wenigers grö$$er i$t, als der Diame@er der Kugel; und weilen die$er Unter$chied, den man den Spiel-Raum nennet, nicht vor alle Stuck einerley i$t, $o i$t es genug, wann man den Diameter eines pfündigen Stucks kennet, um al$o die andere zu finden; und weilen die$er Diameter von 2 Zollen, 1 Linie und 5 Puncten i$t, indem die$es eine Linie Spiel-Raum hat, $o $upponirt man wiederum, der Diameter die$es Stucks $eye in 500 kleine Theile eingetheilet; wann man nun den Diameter eines 24 pfündigen Stucks finden will, $o multiplicirt man wiederum den Cubum von 500 mit 24, aus welchem Product man die Cubic-Wurtzel ausziehet, die man wiederum von 1442 kleinen Thei- len findet, deren Werth in Zollen, Linien rc. man findet, wann man $agt: Wann 500 kleine Theile 2 Zoll, 1 Linie und 5 Puncten vor den Diameter eines pfündigen Stucks geben, wie viel geben 1442 kleine [0413] Theile vor den Diameter eines 24 pfündigen Stucks; Die$en findet man al$o von 6. Zollen und 2 Linien.

Dritte Aufgab.

759. Den _Diameter_ der Pulver-Maa$$e zu finden.

Man bedient $ich fa$t niemals der Waagen in den Zeug-Häu$ern und Magazinen, um das Pulver, welches man den Truppen austheilt, ab- zuwägen, indem es zu viel Zeit erforderen würde, $ondern man bedient $ich gewi$$er Maa$$e von Blech oder Kupfer, die eine Cylindri$che Figur haben, und die man brauchen kan an$tatt des Gewichts. Weilen man nun $ehr oft $olche Maa$$e mu{$s} machen la$$en, und man ihnen ohne Beyhülf der Geometrie nicht kan die rechte Proportion geben, damit $ie eine gewi$$e begehrte Quantität Pulvers in $ich halten, $o will ich eine Ge- neral-Regel geben, welche dienet den Diameter eines jeden Maa$$es zu finden: Allein weilen alle die$e Maa$$e einander ähnlich $eyn mü$$en, damit die Regel allgemein $eye, $o wollen wir $upponiren, die Höhe des Cylinders $eye dem Diameter der Grund-Fläche gleich.

Nach die$em wann man wei{$s}, da{$s} ein Cylindri$ches Maa{$s}, das 2 Zoll im Diameter hat, 5 Loth Pulver hält, $o findet man den Diameter eines anderen Maa$$es, das z. E. 5 Pf. halten $oll, wann man $agt: wann 5 Loth Pulver 8 Zoll vor den Cubum des Diameters des Maa$$es geben, wie viel geben 5 Pf. oder 160 Loth vor den Cubum des Diame- ters ihres Maa$$es; Da findet man 256 Zoll, woraus man die Cubic- Wurtzel ausziehet, um 6 Zoll, 4 Linien und 8 Puncten vor den Diame- ter eines 5 pfündigen Maa$$es, das auch gleiche Höhe hat, zu bekom- men. Auf die$e Art verfährt man auch mit allen andern.

Wann man aber den Diameter eines Maa$$es einer gewi$$en Quan- tität Pulvers nicht kennet, und al$o kein Terminus der Proportion be- kannt i$t, $o mu{$s} man in die$em Fall ein Maa{$s} machen la$$en, dem man einen Diameter gibt, wie man will, nach die$em füllt man es mit Pulver an, um zu $ehen, wie viel es halte; Wann man nun wei{$s}, wie viel es hält, und auch $einen Diameter kennet, $o kan man $ich der vor- hergehenden Regel bedienen, um alle andere Maa$$e zu finden. Es i$t aber zu mercken, da{$s} die$e Maa$$e nur vor einerley Pulver dienen kön- nen, indeme die unter$chiedene Sorten Pulver am Gewicht unter$chie- den $eynd.

Man $iehet gantz leicht, da{$s} die$e Regel auf dem beruhet, da{$s} die ähnliche Cylinder $ich gegeneinander verhalten, als wie die Cubi ihrer Diameter. Weilen nun die Maa$$e, davon wir dahier reden, eine ih- rem Diameter gleiche Höhe haben, $o $eynd $ie al$o alle einander ähn- [0414] lich; Derowegen verhalten $ich ihre cörperliche Inhalt, das i$t, die Quantitäten Pulvers, die $ie in $ich fa$$en, gegeneinander, als wie die Cubi ihrer Diameter.

Wann man aber Maa$$e wolte machen, deren Höhe grö$$er oder kleiner wäre als ihr Diameter (die man irregulare Ma$$e nennt), $o mu{$s} man den Diameter $uchen, als wann das Maa{$s} $olte regular $eyn; und nach die$em den Cubum die$es Diameters durch die Höhe des irre- gularen Maa$$es dividiren, um das Quadrat des Diameters die$es Maa$$es zu bekommen. Endlich ziehet man aus die$em Quadrat die Quadrat-Wurtzel aus, welche der Diameter des Zirckels der ge$uchten Grund-Fläche $eyn wird.

Weilen die Zirckel $ich gegeneinander verhalten, als wie die Qua- drate ihrer Diameter, $o kan man an$tatt der Zirckel die Quadrate ihrer Diameter nehmen. Nun die Cylinder, deren Höhen und Grund-Flä- chen reciprocæ $eynd, $eynd auch einander gleich; al$o wann man den Diameter des regularen Cylinders mit a benennt, $o i$t $eine Höhe auch a; es $eye ferner die Höhe des irregularen Cylinders = b, und $ein Diameter x, da i$t al$o, wann der regulare Cylinder dem irregularen $oll gleich $eyn, b. a : : aa. xx, welches uns gibt bxx = aaa; Derowe- gen i$t auch xx = {aaa / b} und al$o x = √{aaa / b}, welches al$o die Ur- $ach der vorigen Operation klar an den Tag legt.

Was wir dahier in An$ehung der Pulver-Maa$$e geredet haben, kan $ich auf alle Cylindri$che Maa$$e, man mag $ie auch gebrauchen zu was man will, er$trecken.

Vierte Aufgab.

860. Die Länge der Stücke zu finden, die $ie nach _Propor-_ _tion_ ihres Calibers haben mü$$en.

Weilen man in Proportionirung der Länge der Stücke $chon auf die beyde Extrema verfallen, indem man Stücke von einerley Caliber bald $ehr lang bald $ehr kurtz gemacht, $o bin ich auf die Gedancken ge- rathen, es mü$$en die Cylindri$che Stücke von jedem Caliber eine $olche Länge haben, da{$s} die Kugel die grö$te Kraft des Pulvers empfinde; und wann man, um die$e Länge zu finden, mu{$s} die Würckungen des in einem Stuck einge$chlo$$enen Pulvers betrachten, $o werde ich in folgen- dem davon reden, was man nur meiner Meinung nach reden kan.

[0415]

Es i$t ohne allen Zweiffel, da{$s} je mehr Pulver $ich in einem Stuck Fig. 351. entzündet, je kräftigere Bewegung die Kugel empfinde, derowegen wollen wir $upponiren, man habe in das Stuck DG die Quantität Pulvers DE geladen; Da $iehet man leicht, da{$s} $o bald das Feur der Zünd-Pfanne $ich durch das Zünd-Loch in die Seele des Stucks begibt, die er$ten angezündten Körner des Pulvers die Luft, die $ich $o wohl in den Körnern, als auch um die$elbe befindet, rareficiren, und al$o alles, was $ich ihnen wider$etzt, aus dem Weeg raumen; wann nun das Pul- ver $ich nach und nach entzündet, $o nimmt es einen viel grö$$ern Raum ein, als vorhin, und weilen es $eine Kraft gegen alle Theile des Stucks ausübt, in$onderheit aber gegen die Seite der Kugel, als wo es den $chwäche$ten Wider$tand findet, $o treibt es die$elbe $amt einer gro$$en Quantität Pulvers, das noch nicht die Zeit gehabt $ich zu entzünden, gegen das Mund-Loch des Stucks; und weilen $ich die Ge$chwindig- keit der Kugel vermehrt nach Proportion, als mehr Pulver $ich entzün- det, $o befindet $ich die Kugel in einem Augenblick in G, um aus dem Stuck heraus zu gehen. Wann nun in der Zeit, als die Kugel den Raum EG durchgeloffen, das Pulver, welches $ie begleitet, $ich nicht hat gantz entzünden können, $o gehet eine Menge Pulvers mit der Ku- gel heraus, welches $ich zer$treuet als wie die kleine Schrote; Da hinge- gen, wann das Stuck länger gewe$en, als wir dahier $upponirt, die Ku- gel einen grö$$ern Raum durchzulauffen, und al$o das Pulver die Zeit gehabt hätte, $ich völlig zu entzünden, wodurch es al$o einen $tärckern Trieb gehabt hätte: Dahero kan man den Schlu{$s} machen, da{$s} die Proportion zwi$chen DE und DG, das i$t, zwi$chen der Ladung und der Länge des Stucks al$o mü$$e be$chaffen $eyn, da{$s} in dem Augenblick, als die Kugel zum Stuck herausgehet, das Pulver $ich völlig entzün- de; woraus al$o folget, da{$s} ein Stuck, welches mit mehr Pulver, als vonnöthen, geladen i$t, de{$s}wegen $eine Kugel nicht weiter treibe; im Gegentheil je mehr Theile $ich zwi$chen dem würckenden Pulver und der Kugel befinden, je weniger Bewegung bekommt die Kugel; und die$es kan man gantz deutlich $ehen, wann man an$tatt eines Vor$chlags von Stroh, fünfe oder $ech$e dem Pulver vor$etzt; Da man al$o wahr- nimmt, da{$s} die Kugel wird um vieles kürtzer fallen, als $ie fallen wür- de, wann das Pulver nur einen Vor$chlag hätte, wie ich davon die Prob gemacht; Dann weilen die Kugel ihre Bewegung nicht ander$t bekommt, als durch den Trieb, den das Pulver dem er$ten Vor$chlag gegeben, $o kan die$er $einen Trieb den andern bis zur Kugel nicht mit- theilen, ohne die$elbe zu alteriren; welches al$o die Ur$ach i$t, da{$s} $ie nicht $o viel Ge$chwindigkeit bekomme, als wann $ie ihren Trieb un- [0416] mittelbar von dem Pulver $elb$ten bekommen hätte. Auf die$e Art $ie- het man auch gantz leicht, da{$s} die überflü$$ige Menge Pulvers keine an- dere Würckung habe, als die überflü$$ige Menge Vor$chläge.

Wann wir aber an$tatt eines allzu kurtzen Stuckes ein allzu lan- ges $upponiren, als wie z. E. LO, $o wird ohne allen Zweiffel ein $ol- ches, wiewohl es mit dem vorigen von einerley Caliber i$t, und mit ei- nerley Ladung geladen wird, doch viel kürtzer $chie$$en, als wann es $ei- ne rechte Länge hätte: Dann wann wir $upponiren, das Pulver LM hätte die Kugel bis N getrieben, allwo die Entzündung des Pulvers $chon aufhöret, $o i$t gewi{$s}, da{$s} $ie mit weniger Kraft wird zum Mund- Loch O herausgehen, als $ie gienge, wann das Mund-Loch in N wäre; Dann in der Zeit, als der Uberre$t des Pulvers $ich gegen N entzün- det, dähnet $ich die Flamm des zu er$t bey dem Boden-Stuck entzün- deten Pulvers aus, und die rareficirte Luft vergehet allda, da{$s} al$o kei- ne Luft übrig bleibt der Kugel den Trieb zu geben, als diejenige, welche bey N i$t: Derowegen wann ein Stuck $o lang wäre, da{$s} die Kraft des Pulvers an dem Augenblick, als die Kugel wolte zum Stuck her- ausgehen, völlig vergangen, $o könnte ge$chehen, da{$s} die Luft, die die Kugel mit Gewalt vor $ich hergetrieben, wiederum $uchte in das Stuck zu gehen, da $ie al$o die Kugel wiederum zuruck gegen das Boden- Stuck treiben würde; welches gantz gewi{$s} ge$chehen würde, wann man in dem Augenblick, als das Pulver $ich entzündet, könnte mit genug- @amer Behändigkeit das Zünd-Loch ver$topfen, um al$o zu verhindern, da{$s} durch da$$elbe keine Luft in das Stuck käme.

Weilen nun die allzu lange Stücke weniger Würckung thun, als die andere, $o mu{$s} man $ich nicht verwundern, da{$s} die $ehr lange Feld- Schlange, die zu Nancy gego$$en worden, nicht $o weit (zwar wieder die gemeine Meinung) $chie$$e, als andere Stücke von ihrem Caliber, wie die$es Mr. Dumetz bey den Proben, die er zu Dünkirchen gemacht, angemercket hat.

Aus die$em Di$curs $iehet man gar leicht, da{$s} die Ladung von der Länge der Stücke und die Länge der Stücke von der Ladung dependi- re; weilen man aber vor die gro$$e Ladungen auch lange Stücke haben mü{$s}te, deren Transport und Bedienung zu be$chwährlich wäre, und auch allzu viel Pulver darauf gienge, $o halte ich vor be$$er, die Ladung nach der Länge der Stücke zu richten.

Weilen die halbe Kugel-$chwäre Ladung von einigen vor die be$te gehalten wird, $o mü$$en diejenige die Länge der Stücke von jedem Ca- liber darnach $uchen, damit man eine General-Regel bekomme, nach welcher die Länge aller nur erdencklicher Caliber könne eingerichtet wer- [0417] den. Ich glaube der kürtze$te Weeg zu die$er Erkanntnu{$s} zu gelangen i$t, da{$s} man $ich ein $ehr langes Stuck gie$$en lä{$s}t, de$$en Caliber z. E. von 6 Pf. $eye, und es mit der halben Kugel-Schwäre Pulver ladet; nachgehends wann man es auf 45, oder auch auf 15 Grad richtet, und es losbrennt, $o mu{$s} man die Weite die es die Kugel getrieben, wohl aufmercken; und weilen wir $upponiren, die$es Stuck $eye zu lang, $o mu{$s} man es um einen Caliber ab$ägen, und wiederum aufmercken, um wie viel es auf die$e Art weiter getragen; Wann man nun auf die$e Art fortfähret, das Stuck allezeit um etliche Zolle zu verkürtzen, $o wird man endlich auf ein Ziel kommen, da das Stuck, weilen es zu viel abgenommen worden, die Kugel nicht $o weit als wie vorher, treiben wird; wann man nun zwi$chen der Länge, die das Stuck bey dem vor- letzten Schu{$s}, und zwi$chen derjenigen, die es bey dem letzten Schu{$s} gehabt, eine mittlere Länge annimmt, $o i$t die$e vermög des Calibers die rechte Länge; Da{$s} al$o die$e Quantität Pulvers in die$em Fall ihre grö$te Würckung, die ihr möglich i$t, verrichte.

Doch weil die$es, was ich dahier proponirt, nicht möchte $ei- ne Anhänger finden, wie wohl die Sach von gro$$er Wichtigkeit i$t, $o werde ich eine andere Manier wei$en, nach welcher man operiren könne.

Weilen die tägliche Erfahrung uns lehret, da{$s} die kleinere Stücke nach Proportion ihres Calibers weiter tragen als die grö$$ere, indem vermög der Probe, welche Mr. Dumetz gemacht, gefunden worden, da{$s} die Frantzö$i$che Stücke mit zwey Drittel Kugel-$chwärer Ladung gela- den, und auf 45 Grad gerichtet, getragen haben.

# Er$tlich # Klafter. Ein Stuck # von 24 Pf. ߞ # 2250 # von 16 Pf. ߞ # 2020 # von 12 Pf. # 1870 # von 8 Pf. # 1660 # von 4 Pf. # 1520

So macht mich die$es glauben, da{$s} die kleinere vermög ihres Cali- bers be$$er proportionirt $eynd, als die grö$$ere.

* Es hat $eine Hoch-Für$tliche Durchlaucht $elb$ten in hoher Per$on einer dergleichen Prob, welche auf Dero hohen Befehl ange$tel- let worden, beygewohnet; allwo nach Proportion un$erer Stücke ge- gen die Frantzö$i$che fa$t das nemliche angemercket worden. Und wei- len wir die Proportion un$erer Stücke, oder ihrer Ladung wi$$en mü$- [0418] $en, $o will ich dasjenige, was un$er Herr Auctor von den Frantzö$i$chen Stücken redet, auf un$ere Stücke appliciren.

Al$o wann wir $upponiren, da{$s} ein 3 pfündiges Regiments-Stuck welches ins gemein 6 Schuh, 10 Zoll, 8 Linien und 8 Puncten lang i$t, nach $einer Ladung gut proportionirt $eye, $o $ehet wie man die Länge der Stücke der andern Caliber findet.

Nemlich wann man AC betrachtet, als die Länge eines 3 pfündi- gen Stuckes, AB $eine Ladung, HK als die Länge eines 24 pfündigen Stuckes, und HI $eine Ladung, $o gebe ich acht, da{$s} weilen das Pul- ver in den 3 pfündigen und in den 24 pfündigen nach der Verhältni{$s} der Ladungen würcken mü$$e, (indem wir von der vereinigten Kraft ab$trah@ren), nothwendig erfordert werde, da{$s}, damit die Kugeln des ei- nen, als wie des andern in dem Augenblick da das Pulver $ich völlig entzun- den, aus dem Stuck heraus gehen, $ich der Cylinder AB zum Cylinder AC verhalte, als wie $ich der Cylinder HI zu dem Cylinder HK ver- hält; und weilen man an$tatt der Cylinder AB und HI die Ladungen, und an$tatt der Cylinder AC und HK, die Cubos ihrer Axen annehmen kan, indem $ie einander ähnlich $eyn mü$$en, $o kan man, um die Länge HK zu finden, $agen: Wann 1 {1/2} Pf., als die gewöhnliche Ladung ei- nes 3 pfündigen Stucks 1 Klafter, 1 Schuh, 2 Zoll, 2 Linien und 9 Puncten vor den Cubum $einer Axe gibt, wie viel geben 12 Pf., als die gewöhnliche Ladung eines 24 pfündigen Stucks vor den Cubum $ei- ner Axe; Da findet man 9 cubi$che Klafter, 3 Schuh, 6 Zoll, 3 Li- nien und 2 Puncten, davon die Cubic-Wurtzel 2 Klafter, 0 Schuh, 8 Zoll, 9 Linien und 2 Puncten i$t: Al$o $iehet man, da{$s} die Seele ei- nes 24 pfündigen Stucks, damit $ie $ich gegen ihrer Ladung verhalte, als wie $ich die Seele eines 3 pfündigen zu der $einigen verhält, mü$$e 2 Klafter, 0 Schuh, 8 Zoll, 9 Linien und 2 Puncten in der Länge haben, und weilen $ie nur insgemein 1 Klafter, 5 Schuh, 3 Zoll, 5 Linien und 2 P. lang $eynd, $o $eynd $ie al$o nach die$em Principio um 1 Sch. 5 Z. und 4 L. zu kurtz.

* Es i$t zu mercken, da{$s} in der vorhergehenden Berechnung ich mich des Nürnberger Klafters, wie auch de$$elbigen Gewichts bedienet; Die$er Klafter be$tehet aus 6 Schuhen, der Schuh aus 12 Zollen, der Zoll aus 10 Linien, und eine Linie aus 10 Puncten; ich erinnere auch den geneigten Le$er, da{$s} ich mich eben die$er Eintheilung in der folgen- den Operation bedienen werde.

Auf obige Manier kan man die Länge aller übrigen Stücke, die Cylindri$ch $eynd, finden; Dann wann $ie ander$t be$chaffen, $o mu{$s} man auch andere Mittel gebrauchen, ihre Länge zu determiniren.

[0419]

Weilen die Länge der Stücke, deren man $ich insgemein bedienet, $ich nicht gegen ihre Ladung, als wie die Länge des 3 pfündigen Stucks $ich gegen die $einige verhält, und es auch das An$ehen nicht hat, da{$s} man $ie de{$s}wegen umgie$$en werde, $o will ich, weilen die Ladung eines Stucks von $einer Länge, als wie die Länge von $einer Ladung depen- dirt, wei$en, wie man, wann der Caliber und die Länge des Stucks be- kannt, die Ladung finden $olle. Weilen die Seelen der Stücke, die einander nicht ähnlich $eynd, $ich gegeneinander nach einer componirten Verhältni{$s} der Quadraten ihrer Diameter und ihrer Axen verhalten, $o kan man, wann man das Quadrat des Diameters eines jeden Stucks durch $eine Axe multiplicirt, die gehörige Ladung vor jedes finden, in- dem $ich die$e Ladungen gegen einander verhalten mü$$en, als wie die Producte, die ent$tehen, wann man die Quadrate der Diameter durch ih- re Axen multiplicirt. Al$o wann ich die Ladung eines ordinaren 24 pfündigen Stucks finden will, de$$en Axe z. E. 1 Klafter, 5 Schuh, 3 Zoll, 5 Linien und 2 Puncten lang i$t, $o nehme ich meine Zuflucht zu dem 3 pfündigen Stuck, davon ich den Diameter nehme, der al$o von 3 Zollen, 0 Linien und 8 Puncten i$t, die$en quadrire ich, um 9 Zoll, 5 Li- nien und 1 Puncten zu bekommen; Die$es Quadrat multiplicire ich ferner durch die Länge der Axe die$es Stuckes, das i$t, durch 1 Klafter, 0 Schuh, 10 Zoll, 8 Linien und 8 Puncten, oder welches einerley i$t, durch 82 Zollen, 8 Linien und 8 Puncten; Da bekomme ich al$o 788 Zoll, 1 Linie und 9 Puncten vor das Product; nach die$em quadrire ich auch den Diameter des 24 pfündigen Stucks, um 38 Z. 4 L. und 4 P. zu bekommen, welches Quadrat ich wieder durch die Länge der Axe, das i$t, durch 1 Klafter, 5 Schuh, 3 Zoll, 5 Linien und 2 Puncten, oder welches eben $o viel i$t, durch 135 Zoll, 5 Linien und 2 Puncten multi- plicire, um 5209 Zoll, 3 Linien und 9 Puncten vor das Product zu bekom- men. Endlich mache ich eine Regel de Tri und $age: Wann 788 Zoll, 1 Linie und 9 Puncten 1 {1/2} Pf. Pulver zur Ladung des 3 pfündigen Stucks begehren, wie viel begehren 5209 Zoll, 3 Linien und 9 Zoll vor die Ladung des 24 pfündigen Stucks; Da findet man al$o bey nahem 10 Pf.; Die$es wei{$s}t al$o, da{$s} die 24 pfündige Stücke, deren Seelen 1 Klafter, 5 Schuh, 3 Zoll, 5 Linien und 2 Puncten lang $eynd, nur mit 10 Pf. Pulver mü$$en geladen werden; wann man nemlich die 3 pfündige mit 1 {1/2} Pf. ladet.

Wann man nun wi$$en will, welches die Ladung der Feld-Schlan- ge von Nancy $eyn $olle, wann nemlich das 3 pfündige Stuck auf hal- be Kugel-$chwär geladen wird, $o mu{$s} man zum Voraus wi$$en, da{$s} die$es Stuck 18 Pf. Ei$en $chie{$s}t, und da{$s} al$o $ein Diameter nach [0420] Frantzö$i$chem Maa{$s} von 5 Zollen, 1 Linie und 6 Puncten i$t; Fer- ner i$t $eine Länge von 20 Schuhen: al$o wann man die Ladung die$es Stuckes nach der vorhergehenden Manier ausrechnet, $o findet man 20 Pf. Pulvers vor $eine Ladung.

Weilen aber vielleicht $ein Metall einer $olchen $tarcken Ladung nicht wider$tehen möchte, $o dörf man nur $ehen, welches $eine rechte Länge $eye, wann man es nemlich nur mit der halben Kugel-$chwären Ladung, das i$t, mit 9 Pf. Pulver laden würde; um die$e zu finden, $agt man, wann 1 {1/2} Pf. Pulver, als die Ladung eines 3 pfündigen Stucks $o viel vor den Cubum $einer Axe gibt, wie viel gibt die Ladung von 9 Pf. eines 18 pfündigen Stucks vor den Cubum $einer Axe; Wann man nun aus dem letztern Cubo die Cubic-Wurtzel ausziehet, $o bekommt man ohngefehr 10 Schuh, welche Länge die Seele die$es Stucks haben $olte, wann es gut proportioniret wäre. Al$o $iehet man, da{$s} die$es Stuck ohngefehr um 10 Schuh zu lang $eye.

Da ich $upponirt, die Ladung eines 3 pfündigen Stuckes $eye die Helfte der Kugel-Schwäre, $o will ich aber nicht behaupten, da{$s} die$es $eine rechte Ladung $eye; Derowegen wann man $ich auch einer kleine- ren Ladung bedienen kan, $o kan man die Ladung der übrigen Stücke nach den vorhergehenden Regeln berechnen; indem die Proportion alle- zeit einerley verbleibt.

Der Ort, wo man das Zünd-Loch bohren $oll, i$t auch noch eine Materie, wovon man di$putirt; Dann einige $agen, da{$s} man es in die Mitte der Länge der Kammer bohren $olle, weilen das Pulver $ich in die Rundung und al$o in viel grö$$erer Quantität entzündet; andere aber behaupten das Gegentheil, und wollen, man $olle es in das äu$$er- $te der Kammer an dem Boden-Stuck bohren, und $agen: Da{$s} auf die$e Art, die Stücke nicht $o $tarck zuruck lauffen. Beyde haben recht; Doch weilen die Ela$ti$che Kraft des Pulvers, wie auch aller anderer Cörper, die eine haben, nur ihre Würckung mit mehr oder weniger Ge- walt ausübet, nachdem die Cörper, die ihr wider$tehen, mehr oder we- niger weichen, $o folgt daraus, da{$s}, wann ein Feuer-Gewehr fa$t kei- nen Zuruck-Lauf hat, es ein gewi$$es Kenn-Zeichen $eye, da{$s} das Pul- ver $o wenig Wider$tand von Seiten der Kugel empfunden, da{$s} es al- $o nur $einer er$ten Kraft vonnöthen gehabt, die Kugel zu treiben; Da hingegen wann es gro$$en Wider$tand $owohl von Seiten des Boden- Stuckes, als auch der Kugel empfindet, es $eine Ela$ti$che Kraft auf ein- mal ausübe; Derowegen gehet die Kugel, wiewohl der Zuruck-Lauf viel heftiger, hingegen auch viel weiter, als wann das Stuck keinen Zuruck- Lauf gehabt hätte: Nun wann das Zünd-Loch in die Mitte der Kam- [0421] mer gebohret wird, $o übt das Pulver $eine Ela$ti$che Kraft auf einmal in grö$$erer Quantität aus, als wann es an dem Boden-Stuck wäre, allwo das Pulver die$elbe nur nach und nach ausübt, indem es $ich auch nur nach und nach entzündet; und wann die Kugel gleich in dem Augenblick, da das Pulver anfangt $ich zu entzünden, aus dem Stuck her- ausgehet, $o kan es ge$chehen, da{$s} noch ein gro$$er Theil des Pulvers mit ihr heraus getrieben werde, welches al$o keine Würckung thut: Al$o halte ich davor, da{$s} der be$te Ort des Zünd-Lochs die Mitte der Kammer $eye; Dann weilen die Stücke wegen ihrer Schwäre und der Friction der Laveten und der Bettung nur mit harter Mühe zurucklauffen, $o hat ein gro$$er Theil des Pulvers, welches wider das Boden-Stuck agiret, eine Reaction, welcher al$o den Trieb desje- nigen, welches die Kugel treibet, vermehret.

* Man hat auch, um die Theorie durch die Praxin zu verificiren, bey etlichen Stücken die Zünd-Löcher auf die$e Art gebohret; allein man hat gefunden, da{$s} die$e Theorie in der Praxi keinen Statt haben kan, weilen er$tlich der Zuruck-Lauf des Stucks $o heftig, da{$s} $o wohl die Laveten, als auch die Bettungen in die Länge nicht aushalten; und zweytens, weilen die Zünd-Löcher auch von der allzu heftigen Flamme zu viel auszu$tehen haben, auf deren Con$ervation man aber in$onder- heit bedacht $eyn mu{$s}; Derowegen verbleibt man lieber bey der alten Manier, die Zünd-Löcher an dem Boden-Stuck zu bohren.

Da ich nunmehro von den Stücken rede, $o wolte ich auch gern diejenige eines be$$ern bereden, welche glauben, die Kugeln, wann $ie zu dem Stuck herausgehen, erhöhen $ich über da$$elbe; Die mehri$te da- von $eynd $o hartnäckigt, die$en Irrthum zu behaupten, da{$s} man ihnen um$on$t vor$tellet, da{$s} die Kugel vermög ihrer Schwäre nicht kan über die Axe des Stucks in die Höhe, $ondern nach der Natur der Cörper mu{$s} gegen die Tieffe gehen, und zwar ge$chicht die$es von dem Augen- blick an, da $ie zu dem Stuck herausgehet, da be$chreibt $ie eine krumme Linie, welche zwar die Wahrheit zu $agen, von Anfang nicht viel von einer graden Linie unter$chieden i$t, allein nachgehends $ichtbarlich wird, nachdem als $ich die Kugel von dem Stuck entfernet; Der Beweis aber, den diejenige haben, die glauben, die Kugel gehe in die Höhe, i$t weilen, wann man auf der Iagd nach einem Stuck Wildprät $chie$$et, man al- lezeit mu{$s} unter da$$elbe zielen, damit man (wie $ie $agen) die Höhe gewinne, um welche die Kugel höher gehet, als der Lauf der Flinte: Al- Die$es kan aber nicht ge$chehen, wann man den Stücken nur ihre propor- tionirte Ladung gibt, wie man es vorhero ge$ehen. [0422] lein weilen die Sach $ich nicht al$o verhält; $o will ich wei$en, welches die Ur$ach die$es $eye.

Wann man einen Flinten-Lauf auf ein Brett fe$t annagelt, und man auf die beyde Seiten des Bretts zwey Schild-Zapfen applicirt, al$o da{$s} der Lauf durch Hülf die$er Schild-Zapfen im Gleich-Gewicht $tehe, als wie die Aerme einer Waag, $o wird man $ehen, da{$s} wann man ihn horizontaliter losbrennet, der Theil des Pulvers, welcher wi- der das Boden-Stuck $eine Würckung thut, und das Zuruck-Lauffen verur$acht, machen wird, da{$s} der Boden $ich $encket, und al$o der Kopf in die Höhe gehet; und weilen die$es ge$chicht noch ehender, als die Ku- gel zu dem Lauf heraus gegangen, $o gehet $ie al$o über das Objectum nach welchem man gezielet, indem wann $ie heraus gehet, $ie nach der Directions-Linie der Seele des Laufs, und nicht nach der Directions-Li- nie des Radii vi$orii gehet, indeme die$e beyde Linien, wegen der Verru- ckung des Bodens nicht mehr einerley verblieben. Wann man nun be- trachtet, da{$s} die Flinte, die der Iäger los$chie$$et eben die$es thue, $o wird man leicht $ehen, da{$s} um accurat zu zielen, man um etwas unter das Objectum halten mü$$e.

Doch, weilen es $cheinet, da{$s} die Kugel $ich auf eine gewi$$e Di- $tanz erhöhe, $o mu{$s} man mercken, da{$s}, weilen die äu$$ere Fläche eines Stucks nicht mit der Seele parallel lauft, die Kugel, die mit vielem Gewalt getrieben wird, eine Zeit lang zimmlicher Ma$$en in grader Li- nie bleibe: und weilen die$e verlängerte Directions-Linie, die Vi$ir-Li- nie durch$chneidet, $o gehet al$o die Directions-Linie der Seele über die Vi$ir-Linie; und wann die Kugel noch einige Zeit in die$er Directions- Linie verbleibet, $o ge$chicht es in der That, da{$s} die Kugel über die Vi- $ir-Linie gehet, aber nicht über die Directions-Linie der Seele: es $chei- net auch, da{$s} etliche Stuck-Gie$$er bedacht gewe$en, die krumme Linie zu rectificiren, wann man nemlich einen Kern-Schu{$s} thun will; allein, als man vor etlichen Iahren neue Stücke zu Douay gego$$en, hatte man einen gantz andern Gedancken; Dann weilen diejenige, welche die Auf$icht über das Gie{$s}-We$en gehabt, in den Gedancken waren, da{$s} um accurat zu $chie$$en, man nach einer mit der Seele des Stucks pa- rallel lauffenden Linie zielen mü$$e, $o haben $ie auf den Kopf des Stucks ein Ab$ehen von einer ungeheuren Grö$$e gego$$en, damit al$o die Vi- $ir-Linie nach den höch$ten Puncten des Bodens und der Ab$icht mit der Seele parallel lauffe. Al$o vi$irt man nach einer Linie, da doch die Kugel eine andere be$chreibt; und wann der Büch$en-Mei$ter nicht würde über das Objectum richten, $o wären die$e Ab$ichten die $chlech- te$te Sache von der Welt.

[0423] Fünfte Aufgab.

861. Zu finden, wie viel Kugeln oder Bomben in einer Py- ramide ge$chlichtet $eynd.

Die Kugeln und die Bomben, die $ich in den Zeug-Häu$ern befin- den, $eynd allezeit in Pyramiden ge$chlichtet; es gibt aber dreyerley Gattungen $olcher Pyramiden; zur er$ten gehören diejenige, welche ein Quadrat zur Grund-Fläche haben, und die dahero viereckigte Py- ramiden genennet werden, als wie Fig. 352; Zur zweyten rechnet man Fig. 352. 353. 354. & 355. diejenige, welche ein Dreyeck zur Grund-Fläche haben, und die auch dreyeckigte Pyramiden hei$$en, als wie Fig. 353; und endlich zur zur dritten diejenige, deren Grund-Fläche ein Parallelogrammum i$t, und die länglichte Pyramiden genennet werden, als wie Fig. 354. Weilen aber die$e drey unter$chiedene Gattungen Pyramiden auch auf unter$chiedene Arten mü$$en berechnet werden, $o hat Mr. Goy$ea@, Zeug-Warth zu la Fêre, Tabellen heraus gegeben, welche er$tlich zur Con$truction, und zweytens auch zur Berechnung die$er Pyramiden dienen; man findet $ie in den Memoires des Mr. St. Remy; es $eynd auch wenige Officiers von der Artillerie, welche nicht wi$$en damit um- zugehen; weilen aber vielleicht viele $eynd, die die Ur$achen der Opera- tionen nicht wi$$en, $o werde ich $ie in folgendem Di$curs anführen.

Vor allen Dingen mu{$s} man betrachten, da{$s} die Seiten-Flächen einer viereckigten, und auch einer dreyeckigten Pyramide allezeit Drey- ecke $eyen, deren drey Seiten einander gleich $eynd; und weilen die$e Dreyecke aus Kugeln be$tehen, $o machen $ie eine Arithmeti$che Progre$- $ion aus, welche mit 1, das i$t, mit der ober$ten Kugel anfangt, und deren grö$ter Terminus die Grund-Linie des Dreyecks i$t. Und weilen wir die Anzahl Kugeln, die eine Seiten-Fläche enthalt, (die wir ins künftige das Arithmeti$che Dreyeck nennen wollen), wi$$en mü$$en, $o werde ich wei$en, wie man $ie findet.

Nemlich wann man wi$$en will, wie viel Kugeln $ich in dem Drey- eck ABC befinden, $o zählt man diejenige, die $ich in der Grund-Linie AC befinden, und addirt eine zu die$er Anzahl; nachgehends multipli- cirt man die$e Summ durch die Helfte der Seite AB oder AC, welches einerley i$t, da wei{$s}t das Product die Anzahl der Kugeln, die in dem Dreyeck ABC enthalten $eynd; Al$o wann in AC 6 Kugeln $eynd, $o addire ich zu die$er Anzahl eins, um 7 zu bekommen, die$e multiplicire ich durch die Helfte von AB oder AC, das i$t, durch 3, $o wei{$s}t das Pro- duct, da{$s} 21 Kugeln in dem Dreyeck ABC enthalten $eyen; Auf die$e Art verfahret man mit allen anderen Arithmeti$chen Dreyecken.

[0424]

Die Ur$ach die$es i$t, da{$s} in einer Arithmeti$chen Progre$$ion, als wie a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, a + 5d, allwo die Differenz d i$t, die Summ zweyer Terminorum, als wie a + d und a + 4d, die gleich weit von den äu$$er$ten Terminis entfernet $eynd, der Summ der äu$$er$ten Terminorum, oder auch der Summ zweyer anderer, die von den äu$$er$ten gleich weit entfernet $eynd, gleich i$t, indem man alle- zeit 2a + 5d bekommt: Nun man hat 2a + 5d (als die Summ der äu$$er$ten Terminorum) halbmal $o viel, als die Progre$$ion Termi- nos hat; Derowegen, um die Summ aller Terminorum einer Arith- meti$chen Progre$$ion zu finden, mu{$s} man die Summ des er$ten und letzten Termini durch die Helfte der Anzahl der Terminorum multiplici- ren: aus die$er Ur$ach haben wir den er$ten Terminum B zu dem letz- ten AC addirt, und die Summ durch die Helfte der Seite AB, das i$t, durch die Helfte der Anzahl der Terminorum multiplicirt; Auf die$e Art haben wir die Anzahl Kugeln, die in dem Dreyeck ABC enthalten $eynd, gefunden.

Ferner mu{$s} man betrachten, da{$s} wann eine Anzahl Kugeln ein dreyeckigtes Prisma DEHGF (das von einem Plano inclinato IK unter- $tützet wird) formiret, davon das Dreyeck EGH die Grund-Fläche i$t, und die$es Prisma durch eine mit der Grund-Fläche $chief-lauffende Flä- che FE durchge$chnitten wird, es in zwey Theile getheilet werde, deren einer als wie DFE den dritten Theil, und der andere EFGH zwey Drit- tel des gantzen Prismatis i$t; Dann der Theil EDF i$t eine dreyeckigte Pyramide, welche das dem Dreyeck EGH entgegen $tehende Dreyeck zur Grund-Fläche, und die Höhe DE des Prismatis zur Höhe hat, de- rowegen i$t $ie der dritte Theil des Prismatis; und al$o macht die vier- eckigte Pyramide EFGH zwey dritte Theile davon aus. Allein es i$t zu mercken, da{$s} die Fläche EF ju$t ein Arithmeti$ches Dreyeck als wie FEG durch$chneide, welches al$o die beyde Pyramiden, wann man $ie an$iehet, als be$tünden $ie aus Kugeln, unvollkommen macht: Dann weilen die Fläche EF den dritten Theil einer jeden Kugel als wie L, durch$chneidet; $o mu{$s} man zur dreyeckigten Pyramide DEF zwey drit- te Theile der Anzahl der Kugeln, die $ich in dem Arithmeti$chen Drey- eck, das durch die Fläche EF durchge$chnitten wird, befinden, addiren. Desgleichen um die viereckigte Pyramide EFCH vollkommen zu ma- chen, mu{$s} man zu ihr den dritten Theil des nemlichen Arithmeti$chen Dreyecks addiren. Wann man nun die viereckigte Pyramide EFGH von dem Prismate weg, und $ie vor die Pyramide ABGQ annimmt, und die überbleibende dreyeckigte Pyramide DEF vor die Pyramide MNOP an$iehet, $o kan man $agen, da{$s} die Pyramide ABCQ um den [0425] dritten Theil des Arithmeti$chen Dreyecks ABC, oder welches einerley i$t, um den dritten Theil des Dreyecks, welches durch den Durch$chnitt EF formirt wird, grö$$er $eye als zwey Drittel des Prismatis, welches das Dreyeck ABC, oder das Dreyeck EGH zur Grund-Fläche, und die Seite AB, oder DE zur Höhe hat.

Ferner kan man auch $agen, da{$s} die Pyramide MNOP um zwey Drittel des Dreyecks MNO, oder welches einerley i$t, um zwey Drit- tel des Arithmeti$chen Dreyecks, welches durch den Durch$chnitt EF formirt wird, grö$$er $eye, als der dritte Theil des Prismatis, welches das Dreyeck MNO, oder EGH zur Grund-Fläche, und die Seite MN oder ED zur Höhe hat.

Daraus folgt 1.<_>mo da{$s} um die Anzahl Kugeln, die in eine vier- eckigte Pyramide ABCQ ge$chlichtet $eynd, zu finden, man zu er$t die Anzahl derjenigen, die $ich in dem Arithmeti$chen Dreyeck ABC befin- den, $uchen mü$$e; welche Anzahl man nachgehends durch zwey dritte Theile der Seite AB oder AC multiplicirt; wann man ferner noch zu die$em Product den dritten Theil des Dreyecks ABC addirt, $o wei{$s}t die Summ die Anzahl der Kugeln.

Al$o wann die Seite AC von 6 Kugeln i$t, $o $uche ich zu er$t den Inhalt des Dreyecks ABC, indem ich 1 zu 6 addire, und die Summ 7 durch 3 als die Helfte der Seite AB multiplicire; nachgehends multi- plicire ich das Product 21 durch zwey dritte Theile der Seite AB, das i$t, durch 4, und addire zu dem Product 84 den dritten Theil 7 des Arithmeti$chen Dreyecks ABC, da bekomme ich 91 vor die Anzahl der Kugeln.

2.<_>do folgt noch daraus, da{$s} um die Anzahl der Kugeln, die in eine dreyeckigte Pyramide MNOP ge$chlichtet $eynd, zu finden, man das Dreyeck MNO durch den dritten Theil der Seite MN multiplici- ren, und zu dem Product zwey Drittel des Dreyecks MNO addiren mü$$e. Al$o wann die Seite NO von 6 Kugeln i$t, $o hat das Arith- meti$che Dreyeck MNO 21, wann man nun die$e durch 2 als den dritten Theil der Seite MN multiplicirt, $o bekommt man 42; wann man fer- ner zu die$em Product zwey Drittel des Dreyecks, das i$t, 14 addirt, $o bekommt man 56 vor die Anzahl der Kugeln.

Die langlichte Pyramiden $eynd $ehr leicht zu berechnen; Dann Fig. 354. weilen $ie aus einem dreyeckigten Prismate RSVT, und einer viereckigten Pyramide VTYX be$tehen, $o dörf man nur zu er$t die Anzahl Kugeln $uchen, die in der viereckigten Pyramide enthalten $eynd, und nach die- $em den Inhalt des Prismatis RSVT zu dem Inhalt der Pyramide ad- diren; Man findet aber den Inhalt des Prismatis, wann man das [0426] Dreyeck XTV, oder welches einerley i$t, das Dreyeck durch welches der Durch$chnitt VT gehet, durch die Anzahl der höch$ten Kugeln RT we- niger eine, multiplicirt; Wann ich $age weniger eine, $o mu{$s} man die Sach al$o an$ehen, da{$s} die er$te Kugel T, $amt dem gantzen Arithme- ti$chen Dreyeck TVX völlig zur Pyramide TVXY gehöre, und $ie al$o von der Länge RT mü$$e abgezogen werden.

Al$o wann man $uppónîrt, die Seite XY oder TX $eye von 9 Ku- geln, $o addire ich 1 zu 9, und multiplicire die Summ 10 durch 4 {1/2} als die Helfte von 9; Die$es Product 45 i$t al$o der Valor des Dreyecks XTY, welchen ich durch zwey Drittel von 9, das i$t, durch 6 multipli- cire, und zu die$em Product 270 den dritten Theil des Arithmeti$chen Dreyecks, das i$t, 15 addire, $o bekomme ich 285 Kugeln vor den In- halt der Pyramide. Wann man nun $upponirt, RT $eye von 15 Ku- geln, $o multiplicire ich 15 weniger 1, das i$t, 14 durch das Arithmeti- $che Dreyeck, welches von 45 Kugeln i$t, da bekomme ich 630 vor die Anzahl der Kugeln, des Prismatis RSVT; wann ich nun ferner den In- halt des Prismatis zu dem Inhalt der Pyramide addire, $o bekomme ich 915 Kugeln vor den Inhalt der länglichten Pyramide.

Sech$te Aufgab.

862. Die Schu{$s}-Scharten in die Batterien zur Zeit der Belagerung einzu$chneiden.

Nachdem man die Bru$t-Wehr einer Batterie verfertiget, $o Fig. 356. $chneidet man die Schu{$s}-Scharten aus; Die$en gibt man von innen, die Weite AB von 2 Schuhen, und von au$$en die Weite CD von 9 Schuhen; um nun die Scharten zu formiren, $o richtet man auf der Mitte von AB ein Perpendicular EL auf; nach die$em $tecket ein Büch- $en-Mei$ter zwey Stäbe in C und in D, deren jeder um 4 Schuh und 6 Zoll von dem Punct L entfernet i$t; Endlich legt man die Wür$te, welche die Seiten der Schu{$s}-Scharten formiren. Weilen man aber die$es nicht verrichten kan, ohne da{$s} der Feind es wahrnehme, $o rich- tet er $ein gantzes Feuer gegen die$en Ort; und wiewohl man eine Blendung vor$etzet, um $ich gegen das feindliche Feuer zu bedecken, $o i$t $ie aber doch nicht im Stand, eine völlige $ichere Bedeckung zu ge- ben. Damit man nun mit mehrerer Vor$ichtigkeit gehe, $o will ich wei$en, wie man die Schu{$s}-Scharten ein$chneiden, und mit Wür$ten ver$ehen $olle, ohne da{$s} man nöthig habe auf die Bru$t-Wehr zu $tei- gen, um die Stäbe I, L und K einzu$tecken.

Nemlich man raumet in der Höhe eines Knies eine Menge Erden um den Punct E herum, weg, und bemercket mit Stäben die Puncten [0427] C und D, deren ein jeder ein Schuh weit von dem Punct E ent- fernet i$t, nach die$em legt man einen Klafter EF perpendiculariter auf den Punct E der Linie CD; und richtet auf den äu$$er$ten Punct F des Klafters zwey Perpendicularen FG und FH auf, deren jede von 2 Schu- hen und 2 Zollen i$t, und bemercket die Puncten G und H mit Stä- ben; Auf die$e Art bekommt man die Directions-Linien CG und DH der Seiten der Schu{$s}-Scharten; Wann man nun die$e nach Propor- tion, als man Erden wegraumt, verlängert, $o werden $ie $ich in I und K endigen, welche beyde Puncten 4 Schuh und 6 Zoll weit von dem Mittel L der Schu{$s}-Scharten werden entfernet $eyn.

Damit ich aber die Ur$ach die$er Operation wei$e, $o betrachtet, da{$s}, wann ich die Linie MS parallel mit NT ziehe, ich auf die$e Art von der Breite RT den Theil ST der einen Schuh gilt, abgezogen; Dero- wegen i$t RS nur noch von 3 Schuhen und 6 Zollen. Wann man nun $upponirt, die Linie MP $eye von 6 Schuhen, und die Linie PO lauffe mit RS parallel, $o bekommt man die ähnliche Dreyecke MPO und MSR; Derowegen i$t MS. MP : : RS. PO, das i$t, 18 Schuh (welches die ge- wöhnliche Dicke der Bru$t-Wehr i$t) verhalten $ich zu 6 Schuhen, als wie $ich 3 Schuh und 6 Zoll zu einem Schuh und 2 Zoll verhalten; Al$o i$t die Linie PO von 1 Schuh und 2 Zollen; Wann man nun zu die$er Linie den Theil PQ, der von 1 Schuh i$t, addirt, $o $iehet man da{$s} die Perpendicular OQ von 2 Schuhen und 2 Zollen, und die Linie RT von 4 Schuhen und 6 Zollen $eye. Al$o wann man der Linie NQ 6 Schuh gibt, $o mu{$s} man der Perpendicular QO 2 Schuh und 2 Zoll geben, auf die$e Art wird die halbe Weite RT der Schu{$s}-Scharte 4 Schuh und 6 Zoll breit.

[0428] Vorrede Uber Den Tractat von der Bewegung der Cörper und der Kun$t Bomben zu werfen.

DEr Haupt-Endzweck, den ich mir in gegenwärtigem Tractat von der Bewegung der Cörper vorgenommen, i$t die Kun$t zu wi$- $en, wie man die Bomben ge$chickt werfen $oll. Es i$t zwar wahr, da{$s} ich nicht gleich den Anfang davon mache, indem ich vor gut befunden, zu er$t eine Erkanntnu{$s} von dem Aneinander-Sto$$en der Cörper zu geben, damit ich daraus etliche Gründe ziehen möchte, wel- che uns in der Mechanic vieles helfen werden. Ich könte eben die$es auch von dem zweyten Capitul, welches von der Bewegung der Cörper handelt, $agen, indem es mir ebenfalls auch dienet, um in der Mechanic viele Sachen zu erläutern, welche ohne die Erkanntnu{$s} der Ge$ätze, nach welchen die Cörper fallen, nicht hätten können ver$tanden werden; Ubrigens i$t auch die Wi$$en$chaft von dem Aneinander-Sto$$en und Fall der Cörper denjenigen, die $ich auf die Mathe$in und Phy$ic verle- gen wollen, unumgänglich nothwendig, um $ehr viele curio$e Sachen in der Artillerie zu expliciren; Derowegen hab ich die$en Tractat in drey Capitul eingetheilet, davon das er$te von dem Aneinander-Sto$$en der Cörper, das zweyte von der Bewegung der geworfenen Cörper, und das dritte von der Theorie und Praxi der Kun$t Bomben zu werfen, handelt.

Was die Kun$t Bomben zu werfen anbelangt, $o $ehe ich gar nicht, da{$s} die Feuerwercker $ich Mühe gegeben, zu erfor$chen, ob es auch Re- geln davon gebe oder nicht, indem $ie in den Gedancken $tehen, da{$s} nur allein die Praxis ihnen wei$en könne, wie $olche ge$chicklich zu werfen; Die$es aber kommt ohne Zweiffel daher, weilen die mehri$te keine Er- kanntnu{$s} von der Mathe$i und der Phy$ic haben, und al$o $ich nicht vor- $tellen können, das es möglich von denen Würckungen des Pulvers (als de$$en unter$chiedenen Beränderungen $ie ihre Fehler zu$chreiben), gewi$- $e Regeln zu geben. Ich bekenne zwar $elb$ten, da{$s} in Ladung eines Mör$ers $o viele Um$tände vorkommen, welche alles, was die Regeln und der Flei{$s} des ge$chickte$ten Feuerwerckers zu thun im Stand wären, [0429] über einen Hauffen werfen können, da{$s} es al$o eine Verwegenheit wä- re, wann man glauben $ollte, man könnte die Bomben al$o an einen Ort werfen, als wann man $ie mit der Hand hintragen würde. Al- lein es i$t doch gewi{$s}, da{$s} wann ein Feuerwercker indem er $einen Mör- $er ladet, genug$am Flei{$s} anwendet, $einen Fehler zu entdecken, und er allezeit gleiche Ladung gibt, die Regeln von einem herrlichen Nutzen wären; indem, wann man Bomben auf eine gegebene Di$tanz werfen will, man nur eine mit einer beliebigen Ladung und Elevation werfen dörf, um al$o durch Hülf der Regeln zu finden, welche Elevation man dem Mör$er geben mü$$e, damit die Bomben auf die begehrte Di$tanz fallen. Diejenige aber, welche nichts als die Praxin haben, behaupten, da{$s} es unmöglich $eye allezeit gleiche Ladung zu geben; Dann, $agen $ie, die Ungleichheit der Dicke der Pulver-Körner, oder auch die Un- gleichheit der Materie, woraus es be$tehet, macht, da{$s} eine nemliche Quantität Pulvers unter$chiedene Würckungen thue; Die$es kan auch von der Erden herkommen, mit welcher man die Kammer ausfüllt, und die das einmal $tärcker als das anderemal vertammt wird. Ferner $eynd die Bomben nicht alle Caliber-mä$$ig und von gleicher Schwäre, $ondern $ehr oft übel gego$$en; Desgleichen verruckt $ich auch die Bet- tung fa$t bey jedem Wurf, den man thut; Die$es alles $eynd nun Um$tände, welche erwei$en, da{$s} es nicht Men$chen-möglich, die Bom- ben zu werfen, wie es $ich gehöret: Allein weilen man, wann man nur auf alles Achtung geben will, die$em allem abhelfen kan, $o i$t es gantz gewi{$s}, da{$s} ein in $einer Kun$t erfahrner Feuerwercker und der die Re- geln be$itzet, allezeit $icherer in $einem Thun $eye, als ein $olcher, der nur die Praxin hat; Dann wann er $iehet, da{$s} $eine zwey er$te Bomben, nicht hinfallen wo er will, $o kan er $ich leicht helfen, da hingegen der letztere eine geraume Zeit mit Vermehrung, oder Verminderung des Pulvers und Grade probiren mu{$s}; und wiewohl man $agt, da{$s} die gute Würfe aus Mör$ern nur Glücks-Würfe $eyen, $o habe ich doch aus der Erfahrung er$ehen, da{$s}, wann man allen Flei{$s} anwendet, gleiche Ladung zu geben, und die Laveten allezeit an einen Ort der Bettung zu $tellen, wie auch die Schild-Zapfen auf gleiche Art $etzet, es gar wohl möglich $eye eine Menge Bomben fa$t an den nemlichen Ort zu werfen. Derowegen verla$$e man doch die Meinung in welcher man $tehet, da{$s} die Regeln zu nichts helfen; Indem wann man das vorhergehende ge- nau ins Werck $etzet, und $ich Bomben von einerley Gewicht bedient, man nicht mehr an der Gewi{$s}heit die$er Regeln zu zweiflen hat.

[0430]

Endlich kan ich noch $agen, da{$s} es $o wenig Feuerwercker gibt, welche $ich beflei$$igen die$e Regeln zu erlernen, und noch viel weniger $ie zu practiciren, da{$s} $ie vielmehr nach vorgefa{$s}ten Urtheilen als nach einer recht$chaffenen Wi$$en$chaft gehen: und wann $ie ihrer auch nicht benöthiget wären, um Bomben an einen mit der Batterie horizontal- liegenden Ort zu werfen, da $ie doch insgemein eine gro$$e Menge un- nützlicher Weis ver$chie$$en, wie würden $ie es aber machen, wann $ie ihrer $olten in eine $ehr hoch liegende Ve$tung, die z. E. auf einem gä- hen Fel$en ligt, oder auch von der Höhe in die Tieffe werfen; Da ken- ne ich keinen Feuerwercker, welcher aus blo$$er Erfahrung ein Mittel, die$es zu verrichten, gefunden hätte, um $o viel mehr, weilen $ie glauben, die$e zwey Fälle können nicht vorkommen. I$t al$o aus demjenigen, was ge$agt worden, gantz klar zu $chlie$$en, da{$s} man niemals wird kön- nen die Bomben auf eine begehrte Weite werfen, wann man nicht die Regeln davon be$itzet, und man nicht genug$ame Erfahrung habe, alle Accidentien, denen die Mör$er und die Bomben unterworfen $eynd, vorzu$ehen.

[0431] CURSUS MATHEMATICUS. Achter Theil. Von Der Bewegung und Sto{$s} der Törper, Welches Als eine Einleitung zu den Mechani$chen Wi$$en$chaften, und zur Kun$t die Bomben zu werfen dienet. Er$tes Capitul. Von dem Sto{$s} der Cörper. Erklärungen. I.

863. DIe Ge$chwindigkeit eines Cörpers i$t die Länge des Wegs, den ein Cörper in einer gewi$$en Zeit macht, wann er bewegt wird.

II.

864, Die Ge$chwindigkeit eines Cörpers i$t entweder gleichför- förmig, oder ungleichförmig. Gleichförmig i$t $ie, wann der Cör- [0432] per in gleichen Abtheilungen der Zeit gleiche Wege durchlauft; hinge- gegen ungleichförmig, wann der Cörper in gleichen Abtheilungen der Zeit ungleiche Wege macht.

* Zu$atz.

865. Derowegen, wann zwey Cörper mit einerley gleichförmigen Ge$chwindigkeit bewegt werden, $o verhalten $ich die durch die Bewe- gung der Cörper be$chriebene Linien gegeneinander, als wie die Zeiten, innerhalb welchen die Bewegung ge$chehen.

III.

866. Die _Direction_ eines Cörpers, i$t die Linie, die der Cörper, wann er bewegt wird, be$chreibt.

IV.

867. Die$e Direction i$t entweder einfach oder _componi_rt; ein- fach i$t $ie, wann der Cörper nur von einer Ur$ach bewegt wird; und _componi_rt i$t $ie, wann der Cörper von zweyen, oder mehreren Ur$achen bewegt wird.

V.

868. Die Cörper deren Bewegung man in Betrachtung ziehet, $eynd entweder fe$t oder flü$$ig; es gibt ihrer auch welche _Ela$ti_$ch $eynd, und auch welche die$e Kraft nicht haben.

VI.

869. Ein fe$ter Cörper i$t derjenige, de$$en Theile $ich nicht leicht voneinander ab$ondern, und wann $ie abge$ondert $eynd, $ich nicht leicht mehr miteinander vereinigen, als wie ein Stein.

VII.

870. Ein flü$$iger Cörper i$t, de$$en Theile $ich leicht vonein- ander ab$ondern, und $ich auch leicht wieder miteinander vereinigen, als wie das Wa$$er.

VIII,

871. Man $agt, da{$s} ein Cörper keine _Ela$ticit_ät habe, wann er, da er von einem andern Cörper angetroffen wird, $eine Figur nicht ver- ändert, oder wann er $ie auch verändert, nicht mehr $eine vorige Figur annimmt.

IX.

872. Ein _Ela$ti_$cher Cörper i$t derjenige, welcher, wann er von einem andern Cörper angetroffen wird, $eine Figur in dem Punct des An$to$$es verändert, $ich aber nachgehends wiederum in $eine vorherge- hende Figur begibt.

[0433]

873. In die$em Cractat werden wir nur die fe$ten Cörper, die nicht _Ela$ti_$ch $eynd, betrachten; Dann was die andere anbe- trift, $o werden wir davon an gehörigen Orten reden.

Po$tulata. I.

874. Man begehrt, da{$s} man ohne allen Zweiffel glauben $olle, da{$s} wann zwey Cörper, die in einer graden Linie gegeneinander bewegt werden, und al$o aneinander $to$$en, einander ihre Bewegung mitthei- len, und da{$s} ein jeder von $einer Bewegung $o viel verliehret, als er dem andern mittheilet.

II.

875. Wann zwey Cörper, die nicht Ela$ti$ch $eynd, aneinander $to$$en, $o treiben $ie einander nicht zuruck, $ondern der $tärckere führt den $chwächern nach $einer Direction mit $ich.

Zu$atz.

876. Daraus folgt al$o, da{$s} wann ein Cörper mehr Stärcke hat als ein anderer, der $tärckere den $chwächern vor $ich hertreibe, und al$o können die$e zwey Cörper ange$ehen werden, als wann $ie nur ei- nen ausmachen würden, der aber beyden zu$ammen genommen gleich i$t.

III.

877. Ferner wird noch $upponirt, da{$s} die Cörper $ich in einem Medio bewegen, das ihrer Bewegung keinen Wider$tand lei$tet; Da{$s} al$o, wann der Cörper in einer Minute 4 Klafter durchlauffet, er in je- der Minute wiederum 4 Klafter durchlauffe.

Grund-Satz.

878. Die Würckungen verhalten $ich gegeneinander als wie die Ur$achen, die $ie hervorgebracht.

Ein Po$tulatum i$t ein Satz, welcher vor $ich gantz flar i$t, und keines Be- wei$es vonnöthen hat als wie ein Grund-Satz; er i$t aber in demjenigen von einem Grund-Satz unter$chieden, weilen ein Grund-Satz etwas Theo- reti$ches in $ich begreift, und wei{$s}t da{$s} etwas $eye; Da hingegen ein Po- $tulatum etwas Practi$ches in $ich hält, und wei{$s}t da{$s} etwas ge$chehen kön- ne. Sie werden de{$s}wegen Po$tulata genennet, weilen man von dem Le$er begehrt, da{$s} er $ie zugeben $olle. [0434] Zu$atz.

879. Daraus folgt al$o, da{$s}, wann gleiche Cörper A und C in gleicher Fig. 357. Zeit die Linien AB und CD durchlauffen, die Grade der Ge$chwindigkeit die$er beyden Cörper $ich gegeneinander verhalten, als wie die Linien AB und CD; indem man die Grade der Ge$chwindigkeit die$er beyden Cör- per vor die Ur$achen, und die von der Bewegung be$chriebene Linien vor die Würckungen annehmen kan.

Bericht an den Le$er.

Weilen die Cörper, die auf einer Fläche bewegt werden, durch ih- re Bewegung grade Linien be$chreiben, $o werden wir ins künftige die$e grade Linien annehmen, nicht nur allein um den Weg den die Cörper durchlauffen, oder durchlauffen $ollen, $ondern auch um die Grade der Kraft, die man ihnen zugeeignet, zu exprimiren; Ferner wollen wir $upponiren, die Cörper von denen wir reden werden, haben eine Sphæri- $che Figur,

Er$ter Lehr-Satz.

880. Wann zwey ähnliche Cörper von gleicher Materie und Grö$$e mit ungleicher Ge$chwindigkeit bewegt werden, $o übt derjenige, der mehrere Ge$chwindigkeit hat, gegen den Cör- per, den er antrift, auch mehreren Gewalt aus, als derjenige, der weniger Ge$chwindigkeit hat.

Beweis.

Wann man $upponirt, das von zweyen gleichen Cörpern einer ei- ne doppelt gro$$e Ge$chwindigkeit als der andere habe, $o $age ich, da{$s} wann die$e zwey Cörper an einen dritten Cörper an$to$$en, die$er, wel- cher eine doppelte Ge$chwindigkeit hat, mit noch einmal $o gro$$em Ge- walt an$to$$en werde, als der andere; Dann weilen die Würckungen $ich gegeneinander verhalten, als wie die Ur$achen (§. 878.), $o folgt daraus, da{$s} wann man die Ge$chwindigkeit eines jeden Cörpers vor die Ur$achen, und die Stö$$e vor die Würckungen annimmt, der Cör- per der die doppelte Ge$chwindigkeit des andern hat, auch mit doppel- tem Gewalt an denjenigen, den er antrift, an$to$$e.

Zweyter Lehr-Satz.

881. Wann zwey an Grö$$e ungleiche, aber an Materie gleiche Cörper mit gleicher Ge$chwindigkeit bewegt werden, $o [0435] wird der grö$$ere mit mehrerer Gewalt, als der kleinere an einen dritten Cörper, den $ie antreffen, an$to$$en.

Beweis.

Wann man zwey Cörper $upponirt, davon der eine z. E. 4 Pf. und der andere z. E. 2 Pf. hat, $o i$t gewi{$s}, da{$s}, wann die$e zwey Cör- per einerley Ge$chwindigkeit haben, der grö$$ere noch einmal $o viel Ge- walt ausüben mü$$e, als der kleinere; Dann wann man $upponirt, der Cörper von 4 Pf. $eye in zwey gleiche Theile getheilet, $o bekommt man zwey andere Cörper, deren jeder dem Cörper von 2 Pf. gleich i$t; und weilen die$e zwey Theile die nemliche Ge$chwindigkeit haben, die auch der Cörper von 2 Pf. hat, $o i$t der Gewalt, den ein jeder vor $ich ausübt, dem Gewalt den der Cörper von 2 Pf. ausübt, gleich; Da nun die$e beyde Cörper nur einen ausmachen, $o folgt, da{$s} der Gewalt des grö$$ern doppelt $o gro{$s} $eye, als der Gewalt des kleinern.

Er$ter Zu$atz.

882. Aus beyden vorhergehenden Lehr-Sätzen folget, da{$s} der Gewalt, den ein bewegter Cörper gegen einen andern ausübt, und den man auch die Kraft der Bewegung, oder _Quantitatem motûs_ nennen kan, nicht allein von $einer Ge$chwindigkeit, $ondern auch von $einer Ma$$a dependire; Derowegen findet man allezeit die Kraft der Be- wegung zweyer, oder mehrerer Cörper, wann man die _Ma$$am_ eines jeden durch $eine Ge$chwindigkeit _multiplici_rt, indem $ich die Kräften der Bewegung zweyer ungleichen Cörper, und die auch mit ungleicher Ge$chwindigkeit bewegt werden, gegen einander in einer componirten Verhältni{$s} ihrer Ma$$en und Ge$chwindigkeit verhalten; Al$o wann wir zwey Cörper a und b haben, da die Ge$chwindigkeit des er$ten c, und die Ge$chwindigkeit des zweyten d i$t, $o i$t ac die Kraft der Bewe- gung des er$ten, und bd die Kraft der Bewegung des zweyten.

Zweyter Zu$atz.

883. Ferner folgt daraus, da{$s} wann man die Kraft der Bewegung eines Cörpers $amt $einer Ma$$a kennet, und man die Kraft der Bewe- gung durch die Ma$$am dividirt, man die Ge$chwindigkeit, und wann man hingegen die Kraft der Bewegung durch die Ge$chwindigkeit divi- dirt, man die Ma$$am zum Quotienten bekomme.

[0436] * Erklärung.

884. Wann bey zweyen Cörpern die Ma$$a des er$tern $ich zur Ma$$a des zweyten, als wie $ich die Ge$chwindigkeit des zweyten zur Ge- $chwindigkeit des er$ten verhält, $o $agt man, da{$s} die Ma$$æ und Ge- $chwindigkeiten _reciprocæ_ $eyen.

Dritter Lehr-Satz.

885. Wann die _Ma$$æ_ und die Ge$chwindigkeiten zweyet Cörper _reciprocæ_ $eynd, $o haben die$e beyde Cörper einerley Kraft der Bewegung.

Beweis.

Es $eye a die Ma$$a des er$ten Cörpers, b die Ma$$a des zweyten, c die Ge$chwindigkeit des er$ten, und d die Ge$chwindigkeit des zweyten, $o bekommt man vermög der Suppo$ition, a. b : : d. c; Derowegen i$t ac = bd; Allein ac i$t das Product der Ma$$æ des er$ten Cörpers durch $eine Ge$chwindigkeit, und bd i$t das Product der Ma$$æ des zweyten Cörpers durch die $einige. Derowegen i$t die Kraft der Bewegung des er$ten der Kraft der Bewegung des zweyten gleich. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

886. Daraus folgt al$o, da{$s}, wann man zwey Cörper A und B Fig. 358. hat, deren Ma$$æ und Ge$chwindigkeiten reciprocæ $eynd, die$e Cörper, wann $ie in grader Linie gegen einander bewegt werden, mit gleicher Kraft aneinander $to$$en, und da{$s} $ie al$o beyde in dem Augenblick, da $ie aneinander $to$$en, in Ruhe verbleiben: Dann wann man $upponirt, der Cörper A $eye von 4 Pf. $eine Ge$chwindigkeit von 12 Graden, der Cörper B von 6 Pf. und $eine Ge$chwindigkeit von 8 Graden, $o be- kommt man, wann man die Ma$$am des Cörpers A durch $eine Ge- $chwindigkeit, das i$t, 4 durch 12 multiplicirt, 48 vor die Kraft der Bewegung des Cörpers A; Desgleichen, wann man auch die Ma$$am des Cörpers B durch $eine Ge$chwindigkeit, das i$t, 6 durch 8 multipli- cirt, bekommt man wieder 48 vor die Kraft der Bewegung des Cör- pers B. Derowegen weilen die$e beyde Cörper in dem Punct C mit gleicher Kraft der Bewegung einander antreffen, $o $to{$s}t der Cörper A mit $o gro$$er Kraft an den Cörper B, als der Cörper B an den Cör- per A $to{$s}t: Al$o verbleiben $ie in Ruhe, indem keiner den andern be- wegen kan.

[0437]

Die$e Gleichheit der Kräften der Bewegung, die ihre Würckun- gen gegen einander ausüben, wird das _Æquilibrium_, oder das Gleich- Gewicht genennet.

Zweyter Zu$atz.

887. Ferner folgt daraus, da{$s} wann zwey gleiche Cörper, die mit gleicher Ge$chwindigkeit und in grader Linie gegen einander bewegt werden, einander antreffen, $ie in dem Augenblick, da $ie aneinander $to$$en, miteinander im Æquilibrio $tehen, indem beyde einerley Kraft der Bewegung haben.

Vierter Lehr-Satz.

888. Wann zwey Cörper, die keine _Ela$ticit_ät haben, $ich nach einer _Direction_s-Linie und gegen eine Seite bewegen, und derjenige, der mehr Se$chwindigkeit hat, den andern, der weni- ger hat antrift, $o gehen die$e beyde Cörper miteinander, und haben zu$ammen genommen eine Kraft der Bewegung, die der Summ derjenigen, die $ie vor dem An$to{$s} gehabt, gleich i$t.

Beweis.

Wann $ich die$e beyde Cörper gegen eine Seite bewegen, $o i$t nichts vorhanden, was ihrer Bewegung hinderlich $eyn könnte: Dero- wegen behalten $ie nach dem An$to{$s} die nemliche Kraft der Bewegung, die $ie zuvor gehabt; Dann weilen derjenige, der eine grö$$ere Kraft der Bewegung hat, demjenigen, der eine geringere hat, von der $eini- gen mittheilet, $o bleibet die$e Kraft der Bewegung in dem letztern. Da man nun die$e beyde Cörper nach dem An$to{$s} nur vor einen an- nehmen kan (§. 876.), $o folgt daraus, da{$s} ihre Kraft der Bewegung der Summ derjenigen, die $ie vor dem An$to{$s} gehabt, gleich $eye. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

889. Daraus folgt al$o, da{$s} wann man die Kraft der Bewe- gung zweyer Cörper kennt, die man, nachdem $ie aneinander ge$to$$en, nur vor einen an$iehet, man ihre Ge$chwindigkeit finde, wann man die Kraft der Bewegung durch die Summ der Ma$$en dividiret; und da{$s}, wann man die Ge$chwindigkeit kennet, man die Summ ihrer Ma$- $en findet, wann man die Kraft der Bewegung durch die Ge$chwindig- keit dividiret.

[0438] Zweyter Zu$atz.

890. Derowegen wann man zwey gleiche Cörper hat, die $ich in einer Directions-Linie befinden, und davon der eine in Ruhe $tehet, und der andere bewegt wird, $o theilet derjenige, der bewegt wird, dem an- dern, wann er ihn antrift, die Helfte $einer Ge$chwindigkeit mit, die er vor dem An$to{$s} gehabt (indem man die$e Cörper an$ehen kan, als wann $ie nur einen ausmachen würden); Dann man mu{$s}, um die$e Ge- $chwindigkeit zu finden, die Kraft der Bewegung durch eine doppelte Ma$$am dividiren; Ferner, wann der ruhende Cörper doppelt $o gro{$s} i$t als der bewegte, $o i$t die Ge$chwindigkeit der beyden Cörper nur noch der dritte Theil der Ge$chwindigkeit des bewegten Cörpers; End- lich wann der ruhende Cörper dreymal $o gro{$s} i$t als der bewegte, $o i$t die Ge$chwindigkeit der beyden Cörper nur noch der vierte Theil des be- wegten; und $o weiters.

Fünfter Lehr-Satz.

891. Wann zwey Cörper in einer graden Linie gegen ein- ander bewegt werden, und $ie nach dem An$to{$s} nur einen aus- machen, $o i$t die Kraft der Bewegung die$er beyden Cörper der _Differenz_ der Kräften der Bewegung, die $ie vor dem An$to{$s} gehabt, gleich.

Beweis.

Wann $ich die$e beyde Cörper in grader Linie gegen einander be- wegen, $o $uchen $ie einander aufzuhalten, da{$s} $ie al$o, wann $ie gleiche Kräften hätten, nach dem An$to{$s} ruhig würden liegen bleiben: Da wir aber $upponiren, $ie haben ungleiche Kräften der Bewegung, $o verliehrt der $tärckere $o viel von $einer Kraft, als der $chwächere Kraft hat. Derowegen bleibt die$en beyden Cörpern nach dem An$to{$s} nur noch die Differenz ihren Kräften der Bewegung: weilen man aber die$e beyde Cörper nur vor einen an$ehen kan, $o i$t $eine Kraft der Bewegung der Differenz der Kräften der Bewegung, die $ie vor dem An$to{$s} gehabt, gleich. W. z. E.

Zu$atz.

892. Daraus folgt al$o, da{$s}, um die Ge$chwindigkeit, die die$e zwey Cörper nach dem An$to{$s} haben, zu finden, man die Differenz ih- rer Kräften der Bewegung, die $ie vor dem An$to{$s} gehabt, durch die Summ ihrer Ma$$en dividiren mü$$e; Da zeigt der Quotient ihre [0439] Ge$chwindigkeit an; Die Cörper aber bewegen $ich gegen die Seite, gegen welche $ich derjenige, der vor dem An$to{$s} die grö$te Kraft der Be- wegung gehabt, bewegt.

Zweytes Capitul. Von Der Bewegung der geworfenen Cörper. Erklärungen. I.

893. Wann ein Cörper $ich eine gewi$$e Zeit bewegt, und man die$e Zeit in viele kleine Theile eintheilet, $o hei{$s}t ein jeder die$er kleinen Theile _Momentum_ oder _In$tans_.

II.

894. Wann ein Cörper der aus der Höhe in die Tieffe fällt, in jedem Momento eine grö$$ere Ge$chwindigkeit bekommt, $o hei{$s}t die$e Ge$chwindigkeit eine vermehrte Ge$chwindigkeit; Wann aber ein Cörper, der aus der Tieffe in die Höhe geworfen wird, in jedem Mo- mento etwas von $einer Ge$chwindigkeit verliehret, $o wird $eine Ge- $chwindigkeit eine verringerte Ge$chwindigkeit genennet.

III.

895. * In $pecie wann ein Cörper in jedem Momento eine gleich grö$$ere Ge$chwindigkeit bekommt, $o wird $ie eine gleichförmig ver- mehrte Ge$chwindigkeit; hingegen wann er in jedem Momento glei- che Theile $einer Ge$chwindigkeit verliehret, $o wird $ie eine gleichför- mig verringerte Ge$chwindigkeit genennet.

Er$ter Grund-Satz.

896. Ein Cörper, er mag in Bewegung $eyn oder in Ruhe lie- gen, i$t allezeit der nemliche Cörper.

Zu$atz.

897. Derowegen i$t ein Cörper vor $ich noch zur Bewegung noch zur Ruhe geneigt, und al$o wann er einmal in Bewegung i$t, $o $etzt er $ich niemal von $ich $elb$t in Ruhe; Desgleichen wann er ein- mal in Ruhe i$t, $o $etzt er $ich niemal von $ich $elb$t in Bewegung.

[0440] Zweyter Grund-Satz.

898. Ein Cörper, er mag gegen eine Seite und mit einer Ge- $chwindigkeit, wie man will bewegt werden, bleibt allezeit der nemliche Cörper.

Zu$atz.

899. Derowegen i$t ein Cörper vor $ich zu jeder Direction und zu jeder Ge$chwindigkeit geneigt; und al$o verändert die$er Cörper von $ich $elb$t niemals noch $eine Direction noch $eine Ge$chwindigkeit, die er zu letzt gehabt.

Po$tulatum.

900. Man begehrt da{$s} man glauben $olle, da{$s} die Schwäre, $ie mag auch von einer Seite herkommen wo $ie will, einen Eörper allezeit mit einerley Kraft hinunter warts drucke.

Er$ter Lehr-Satz.

901. Wann $ich nichts der Bewegung der geworfenen Cörper wider$etzen würde, $o würde ein $olcher Cörper allezeit mit gleicher Ge$chwindigkeit $eine Bewegung behalten, und würde auch allezeit $ich nach einer graden Linie bewegen.

Beweis.

Weilen ein Cörper $ich niemals von $ich $elb$ten in Ruhe $etzen, noch von $ich $elb$ten $eine Direction, oder Ge$chwindigkeit verändern kan (§. 897. 899.), $o folgt daraus, da{$s} wann $ich $einer Ge$chwin- digkeit nichts wider$etzte, er $eine Bewegung be$tändig und zwar mit gleicher Ge$chwindigkeit und nach einer graden Linie behalten würde. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

902. Derowegen würde die Bewegung, die ein Cörper von ei- ner bewegenden Kraft bekommen, $ie mag nun horizontal, oder $chief, oder vertical $eyn, be$tändig mit einerley Ge$chwindigkeit und in einer graden Linie verbleiben; wann die Luft dem Cörper nicht wider$tünde und $eine Schwäre ihn nicht würde allezeit hinunter warts drucken; Dannenhero mu{$s} man die Bewegung, in $o fern man nur den beweg- ten Cörper betrachtet, und von der wider$tehenden Luft und Schwäre ab$trahirt, allezeit als eine gleiche, be$tändige und grade Bewegung an- $ehen.

[0441] Zweyter Zu$atz.

903. Desgleichen wann immediatè darnach, als eine bewegende Kraft einem fallenden Cörper einen gewi$$en Grad der Ge$chwindigkeit gegeben, der Cörper $eine Schwäre völlig verliehren, und die Luft ihm auch nicht wider$tehen würde, $o würde er $ich doch allezeit der Erde nä- heren; Die$es aber würde allezeit mit gleicher Ge$chwindigkeit und in grader Linie ge$chehen.

Dritter Zu$atz.

904. Weilen nun die Schwäre der Ge$chwindigkeit eines fallen- den Cörpers nicht verhinderlich i$t, $o würde, wann $ich nur die Luft noch etwas anders wider$etzte, die Ge$chwindigkeit, welche die Schwäre in dem er$ten Momento verur$acht, in dem zweyten Momento mit ei- ner von der Schwäre verur$achten gleichen Ge$chwindigkeit continui- ren; Aus eben die$er Ur$ach würde die Ge$chwindigkeit der zwey er$ten Momentorum wieder mit der Ge$chwindigkeit des dritten Momenti fortgeführet; Al$o kan man überhaupt $agen, da{$s}, wann die Schwäre allezeit eine gleichförmige Würckung thut, und weder die Luft noch et- was anders wider$tehet, die Ge$chwindigkeiten der er$tern Momento- rum $ich mit den Ge$chwindigkeiten der folgenden vereinigen; welches man auch al$o aus$prechen kan, da{$s} ein fallender Cörper in gleichen Zei- ten gleiche Theile der Ge$chwindigkeit erlange.

Zweyter Lehr-Satz.

905. Ein Cörper der fällt bekommt in gleichen Theilen der Zeit gleiche Theile der Ge$chwindigkeit; Da{$s} er al$o in dem zweyten _Momento_ eine doppelte Ge$chwindigkeit, und in dem drit- ten _Momento_ eine dreyfache Ge$chwindigkeit habe, und $o wei- ters.

Beweis.

Weilen ein Cörper vermög $einer Schwäre, die allezeit einerley verbleibt, be$tändig hinunterwarts getrieben wird, $o folgt daraus, da{$s} ihm die Schwäre in jedem Momento gleiche Theile der Ge$chwindigkeit gebe. Weilen nun die Theile der Ge$chwindigkeit die der Cörper in den er$ten Momentis bekommen, $ich mit denjenigen, die er in den letztern bekommen, vereiniget (§. 904.), $o hat der Cörper $o viel Theile der Ge$chwindigkeit die die Schwäre verur$acht, als Momenta von dem Anfang des Falls bis zu demjenigen Momento, welches man zählet, [0442] ver$trichen. Derowegen hat er zu End des zweyten Momenti ein dop- pelte, zu End des dritten ein dreyfache Ge$chwindigkeit rc. W. z. E.

Zu$atz.

906. Daraus folgt al$o, da{$s} $ich die Ge$chwindigkeiten die ein Cörper in jedem Momento $eines Falls hat, gegen einander verhalten, als wie die Zeiten die von dem Anfang des Falls verflo$$en.

* Lehn-Satz.

907. Wann zwey Cörper gleichförmig bewegt werden, $o verhalten $ich die Linien, die $ie be$chreiben, gegen einander in einer _componi_rten Verhältni{$s} ihrer Ge$chwindigkeiten und Zeiten.

Beweis.

Wir $upponiren, es be$chreibe der Cörper A mit einer Ge$chwin- digkeit u, in der Zeit t die Linie l, und der Cörper B mit einer Ge$chwin- digkeit V in der Zeit T die Linie L. Ferner wollen wir $upponiren, es be$chreibe der Cörper B mit der Ge$chwindigkeit u in der Zeit T, die Li- nie S; Da wollen wir erwei$en das L. l : : VT, ut; um die$es zu er- wei$en, $o betrachtet, da{$s}, weilen die beyde Cörper A und B mit einerley Ge$chwindigkeit u bewegt werden, wir bekommen S, l : : T. t (§. 865.); und da{$s}, weilen die Linien L und S in gleicher Zeit T be$chrieben wer- den, wir bekommen L. S : : V. u (§. 879.); wann man nun die$e beyde Proportionen durch einander multiplicirt, $o bekommt man, SL. l S : : TV. tu; welches eben $o viel i$t als L. l : : TV. tu. W. z. E.

* Er$ter Zu$atz.

908. Hieraus folget, da{$s} man an$tatt der be$chriebenen Linien, die Producte ihrer Ge$chwindigkeiten durch die Zeiten annehmen könne, indem $ie $ich, wie erwie$en, eben al$o gegen einander verhalten.

* Zweyter Zu$atz.

909. Derowegen kan man die be$chriebene Linien durch Rectan- gula vor$tellen.

* Dritter Zu$atz.

910. Weilen in der gleichförmig vermehrten Bewegung ein Cör- per er$t in dem letzten Augenblick eines In$tantis $einen Grad der Ge- $chwindigkeit bekommen, $o mu{$s} man auch auf die$e Art die Linie, die [0443] er be$chrieben, nur durch die Helfte eines vorigen Rectanguli, das i$t, durch ein Dreyeck vor$tellen.

Dritter Lehr-Satz.

911. Die Linien die ein Cörper durch $einen Fall be$chreibt, verhalten $ich gegen einander, als wie die _Quadrat_e der Zeiten, in- nerhalb welchen die$e Linien be$chrieben worden.

Beweis.

Wann der Cörper A durch $einen Fall zwey Linien be$chrieben, die Fig. 359. eine in der Zeit, die durch die Linie AB, und die andere in der Zeit, die durch die Linie AC ausgedruckt wird, $o i$t zu erwei$en, da{$s} die Linien, die innerhalb den vorangedeuteten Zeiten von dem fallenden Cörper be- $chrieben worden, $ich gegen einander verhalten, als wie die Quadrate die$er nemlichen Zeiten AB und AC. Um die$es zu erwei$en, $o ziehet die Linie AD, welche mit AC einen Winckel nach Belieben macht, und richtet auf AC die Perpendicularen CD und BE auf; nach die$em thei- let die Linie AB in eine unendliche Anzahl gleicher Theile ein; und füh- ret mit BE durch die Theilungs-Puncten F, H, L &c. die Parallelen FG, HK, LM &c. Wann man nun $upponirt, der Cörper falle von dem Punct A gegen B, und man den Theil AF vor ein Momentum, und die Parallel FG vor die Ge$chwindigkeit annimmt, $o $tellt das Drey- eck AFG die Linie vor, die der Cörper be$chrieben (§. 910.); wann man ferner $upponirt, der Cörper habe in der Zeit AH mit der Ge$chwindig- keit HK eine Linie be$chrieben, $o kan wiederum die$e be$chriebene Linie durch das Dreyeck AHK vorge$tellet werden. Auf die$e Art $iehet man gar leicht, da{$s}, wann AB eine Zeit, BE die Ge$chwindigkeit, das Drey- eck ABE die be$chriebene Linie, und da{$s}, wann AC eine andere Zeit, und CD die Ge$chwindigkeit, das Dreyeck ACD die be$chriebene Linie vor$telle. Nun die Dreyecke. ABE und ACD, weilen $ie einander ähn- lich, verhalten $ich gegeneinander, als wie die Quadrate ihrer corre$pon- direnden Seiten AB und AC. Derowegen verhalten $ich die von ei- nem fallenden Cörper be$chriebene Linien gegen einander, als wie die Quadrate der Zeiten, innerhalb welchen $ie be$chrieben worden. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

912. Derowegen wann die eine be$chriebene Linie mit L, die Zeit innerhalb welcher $ie be$chrieben worden mit T, eine andere be$chriebene Linie mit l und die Zeit, innerhalb welcher $ie be$chrieben worden, mit t [0444] benennet wird, $o bekommt man vermög des vorhergehenden Lehr-Sa- tzes L, l : : TT. tt.

Zweyter Zu$atz.

913. Ferner folgt, da{$s} $ich auch die Dreyecke ABE und ACD, das i$t, die be$chriebene Linien gegeneinander verhalten, als wie die Qua- drate der Ge$chwindigkeiten BE und CD. Derowegen bekommt man, wann man die eine be$chriebene Linie mit L, die Ge$chwindigkeit mit V, die andere be$chriebene Linie mit l, und die$e Ge$chwindigkeit mit u be- nennet, L. l : : VV. uu.

Dritter Zu$atz.

914. Weilen L. l : : VV. uu, $o i$t auch, wann man aus jedem Termino die Quadrat-Wurtzel ausziehet, √L. √l : : V. u. Welches uns wei{$s}t, da{$s} man in der gleichförmig vermehrten Bewegung, die Ge- $chwindigkeiten durch die Quadrat-Wurtzeln der Linien die ein Cörper von dem Ruhe-Punct an be$chrieben, vor$tellen könne. Man mu{$s} $ich wohl beflei$$igen, die$en Zu$atz wohl zu ver$tehen, damit man in dem künf- tigen nicht aufgehalten werde.

Vierter Zu$atz.

915. Ferner folgt daraus, da{$s} wann man von dem Anfang des Fig. 359. & 360. Falls viele gleiche Theile der Zeit, als wie AF, FH, HL, LN &c. nach- einander annimmt, innerhalb welchen der Cörper die Linien RS, ST, TX, XZ be$chreibt, und zwar al$o, da{$s} er in der Zeit AF die Linie RS, in der Zeit FH die Linie ST &c. durchlauffe, $o verhalten $ich die$e Linien gegeneinander, als wie die ungleiche Zahlen von 1, das i$t, als wie 1, 3, 5, 7, 9 rc. Da{$s} al$o wann RS 1 Schuh i$t, ST von 3, TX von 5 und XZ von 7 rc. $eye; Dann $ie $eynd die Differenzien der Quadrate der Ge$chwindigkeiten, oder der in natürlicher Ordnung fortgehenden Zah- len 1, 2, 3, 4 rc. Derowegen wann die Grade der Ge$chwindigkeit $ich in gleichen Zeiten nach der natürlichen Ordnung der Zahlen ver- mehren, $o vermehren $ich die in eben die$en Zeiten be$chriebene Linien nach der Ordnung der ungleichen Zahlen von 1.

Vierter Lehr-Satz.

916. Die Linie, die ein fallender Cörper in einer gegebenen Zeit be$chreibt, i$t die Helfte der Linie, die die$er Cörper in die$er nemlichen Zeit mit der gleichförmigen Ge$chwindigkeit, die er in dem letzten _Momento_ $eines Falls bekommen, be$chreiben würde.

[0445] Beweis.

Wann ein Cörper innerhalb der Zeit AB fällt, und er in dem letz- Fig. 361. ten Augenblick $eines Falls eine Ge$chwindigkeit als wie BC bekommen, $o $age ich, da{$s} der Cörper mit eben die$er aber gleichförmigen Ge- $chwindigkeit innerhalb der nemlichen Zeit AB eine doppelte Linie be- $chreiben würde. Dann es hat der Cörper innerhalb der Zeit AB durch $eine gleichförmig vermehrte Bewegung eine Linie, die durch das Dreyeck ABC vorge$tellet i$t, be$chrieben (§. 910.), und mit einer der Ge$chwindig- keit BC gleichen und gleichförmigen Ge$chwindigkeit würde der Cörper eine Linie be$chreiben, die man durch das Rectangulum BD vor$tellen kan (§. 909.). Da nun das Dreyeck ABC, das i$t, die Linie die der fallende Cörper in der Zeit AB be$chrieben, die Helfte des Rectanguli BADC, das i$t, die Helfte der Linie i$t, die der Cörper mit einer der Ge$chwindigkeit BC gleichen und gleichförmigen Ge$chwindigkeit be- $chrieben hätte, $o folgt daraus, da{$s} erwie$en worden, was hat $ollen er- wie$en werden.

Zu$atz.

917. Daraus folgt al$o, da{$s}, wann ein fallender Cörper, in ei- T. word ner gegebenen Zeit T eine Linie a be$chreibet, er mit einer der letzten Ge$chwindigkeit gleichen und gleichförmigen Ge$chwindigkeit die$e nem- liche Linie a in der Helfte der Zeit T, das i$t, in {1/2} T be$chreiben würde.

Anmerckung.

Wann man $agt, da{$s} ein Cörper mit einer gleichförmigen, und gewi$$en er- langten Ge$chwindigkeit (die man allezeit durch eine Linie vor$tellet,) eine gewi$$e Linie be$chrieben, $o mu{$s} man mercken, da{$s} die$e Linie vertical, horizontal und auch mit dem Horizont $chief-lauffend $eyn könne.

Fünfter Lehr-Satz.

918. Wann ein Cörper _perpendiculariter_ in die Höhe gewor- fen wird, $o verliehrt er in gleichen Zeiten gleiche Grade der Ge$chwindigkeit.

Beweis.

Wann man betrachtet, da{$s} ein Cörper, der aus der Tieffe in die Höhe getrieben wird, allezeit durch $eine Schwäre herunter warts ge- zogen werde, $o wird man leicht $ehen, da{$s}, wann die Kraft um $o viel verringert worden, da{$s} $ie der Schwäre des Cörpers gleich wird, der Cörper in die$em Augenblick mü$$e aufhören zu $teigen, indem die Kraft [0446] der Schwäre anfangt $tärcker zu werden als die Kraft des Sto$$es. Weilen nun die Schwäre des Cörpers verur$acht, da{$s} er nicht allezeit gleich gehet, $o verringert $ich die Ge$chwindigkeit in jedem Momento um gleiche Theile, und zwar auf eben die$e Art, als wie $ich bey einem fallenden Cörper die Ge$chwindigkeit in jedem Momento um gleiche Theile vermehrt (§. 905.), indem die Schwäre bey einem fallenden Cör- per verur$acht, da{$s} er in gleichen Zeiten gleiche Grade der Ge$chwin- digkeit erlange; Derowegen mu{$s} er auch im Gegentheil im Steigen wegen der Schwäre in gleichen Zeiten gleiche Grade der Ge$chwindigkeit verliehren. W. z. E.

Zu$atz.

919. Daraus folgt al$o, da{$s}, wann ein Cöper mit der nemlichen Ge$chwindigkeit in die Höhe getrieben wird, die er, da er von einer ge- wi$$en Höhe gefallen, in einer gewi$$en Zeit erlangt, er in der nemlichen Zeit wiederum auf die vorige Höhe $teigen mü$$e, und da{$s} er $o wohl im Fallen als im Steigen in gleichen Zeiten einerley Linien be$chreibe; Derowegen be$chreibt ein in die Höhe geworfener Cörper die nemliche Linien, die er be$chreibt, wann ihn $eine Schwäre wiederum macht hin- unter fallen, aber nur mit dem Unter$chied, da{$s} er im Fallen eine gleichförmig vermehrte Ge$chwindigkeit, in dem Steigen aber eine gleichförmig verringerte Ge$chwindigkeit habe.

Er$te Aufgab.

920. Wann man die Linie kennet, die ein Cörper vermög $einer Schwäre in einer gewi$$en Zeit be$chreibet, man begehrt die Linie zu finden, die er in einer gegebenen Zeit be$chreiben wird.

Wir $upponiren, ein Cörper hätte in $einem Fall innerhalb 6 Mi- nuten eine Linie von 180 Klaftern be$chrieben, man fragt, wie viel Klaf- ter eben die$er Cörper innerhalb 4 Minuten be$chreiben würde. Um die$es zu finden, $o betrachtet nur, da{$s} die be$chriebene Linien $ich gegen- einander verhalten, als wie die Quadrate der Zeiten, innerhalb welchen $ie be$chrieben worden (§. 911.); Derowegen dörf man nur $agen: Wann das Quadrat von 6 Minuten, das i$t, 36, 180 Klafter vor die be$chriebene Linie gibt, wie viel gibt das Quadrat von 4 Minuten, das i$t, 16 vor die$e be$chriebene Linie; Da findet man al$o, da{$s} der Cör- per innerhalb 4 Minuten eine Linie von 80 Klaftern be$chreiben werde.

[0447] Zweyte Aufgab.

921. Wann man die Zeit kennet, innerhalb welcher ein Cörper eine gewi$$e Linie be$chrieben, man begehrt die Zeit zu finden, innerhalb welcher er eine gegebene Linie be$chreiben würde.

Wann man z. E. wei{$s}, da{$s} ein Cörper innerhalb 5 Minuten eine Linie von 200 Klaftern be$chrieben, man begehrt zu wi$$en, innerhalb welcher Zeit die$er nemliche Cörper eine Linie von 150 Klaftern be$chrei- ben würde. Um die$es zu finden, $o mu{$s} man, wegen demjenigen was §. 911 ge$agt worden, $agen: Wie $ich 200 Klafter zu dem Quadrat von 5 Minuten, das i$t, zu 25 verhalten, al$o verhalten $ich 150 Klaf- ter zu dem Quadrat der Zeit, die der Cörper braucht, um die$e Linie zu be$chreiben. Auf die$e Art findet man al$o 18 {3/4} vor das Quadrat der Zeit; davon die Quadrat-Wurtzel ohngefehr 4 {1/3}, das i$t, 4 Minuten und 20 Secunden i$t, in welcher Zeit al$o der Cörper 150 Klafter durch- lauffen wird.

Drittes Capitul Von Der Theorie und Praxi der Kun$t Bomben zu werfen, wie auch von der Con$truction und Ge- brauch eines Univer$al-In$truments, de$$en man $ich darbey bedienen kan.

922. Alle diejenige, die Bomben werfen, wi$$en, da{$s} $ie eine krumme Linie be$chreibe, die man Parabel nennet, indem $ie in der That die Eigen$chaften davon hat. Weilen nun die Theorie der Kun$t Bom- ben zu werfen, auf den Eigen$chaften der Parabel gegründet i$t, $o will ich vor allen Dingen wei$en, da{$s} nicht nur allein die Bomben, $ondern auch ein jeder anderer Cörper, er mag nach einer mit dem Horizont parallel- oder $chief-lauffenden Directions-Linie geworfen werden, alle- zeit eine Parabel be$chreibe; und zwar wird die$es in folgendem Lehr- Satz gewie$en werden.

[0448] Sech$ter Lehr-Satz.

923. Ein Cörper, er mag nach einer mit dem _Horizont_ pa- rallel oder $chief-lauffenden _Direction_s-Linie geworffen werden, be$chreibt durch $eine _componi_rte Bewegung eine Parabel.

Beweis.

Betrachtet, da{$s} wann die treibende Kraft den Cörper von A ge- Fig 362. & 363. gen B treibet, er in gleichen Zeiten gleiche Linien AE, EG, GI, IB be- $chreibe; Derowegen hat er in dem er$ten Momento vermög $eines Triebs die Linie AE, und vermög $einer Schwäre die Linie AL oder EF, in dem zweyten Momento vermög $eines Triebs die Linie AG, und ver- mög $einer Schwäre die Linie AM oder GH, in dem dritten Momento vermög $eines Triebs die Linie AI, und vermög $einer Schwäre die Li- nie AN oder IK, und endlich in dem vierten Momento vermög $eines Triebs die Linie AB, und vermög $einer Schwäre die Linie AO oder BD be$chrieben. Nun wann ein Cörper gleichförmig bewegt wird, $o ver- halten $ich die be$chriebene Linien AE, AG, AI und AB gegen einander, als wie die Zeiten innerhalb welchen $ie be$chrieben werden, (§. 865.) und wann ein Cörper fallt, $o verhalten $ich die be$chriebene Linien AL, AM, AN und AO, oder auch die Linien EF, GH, IK und BD, die den vo- Fig. 363. rigen gleich $eynd, gegen einander, als wie die Quadrate der Zeiten (§. 911.) an welcher Stelle man die Quadrate von AE, AG, AI und AB, oder auch die Quadrate von LF, MH, NK und OD annehmen kan. Derowegen hat die krumme Linie, in welcher $ich die Puncten F, H, K und D befinden, die Eigen$chaft, da{$s} $ich die Quadrate der Parallelen LF, MH, NK und OD gegen einander verhalten, als wie die Linien AL, AM, AN und AO; Allein es i$t oben §. 587 & 588. erwie$en worden, da{$s} eine krumme Linie, die die$e Eigen$chaft hat, eine Parabel $eye; Daraus folgt al$o, da{$s} ein geworfener Cörper durch $eine Bewegung eine Parabel be$chreibe. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

924. Wann die Directions-Linie AB, nach welcher die Kraft den Fig. 362. & 363. Cörper treibt, mit dem Horizont parallel lauft, als wie Fig. 362, $o i$t die krumme Linie AHD eine halbe Parabel, davon die Linie AO die Are i$t: und weilen der Cörper vermög $einer Schwäre $ich allezeit von der Linie AB entfernet, $o fangt er bey dem Punct A an, die Parabel zu be$chreiben; weilen al$o die Linie AB die Parabel nur in dem eintzigen Punct A berührt, $o i$t $ie zu die$er Parabel eine _Tangent_.

[0449] Zweyter Zu$atz.

925. Wann aber der Cörper, nach einer mit dem Horizont $chief- lauffenden Directions-Linie AB, als wie Fig. 363. getrieben wird, $o wird er, al$ogleich als er $ich von dem Punct A entfernet, anfangen die Parabel AHD zu be$chreiben; und wann er nach der Directions-Linie AQ getrieben wird, $o fangt er gleich, da er $ich von A entfernet, an die Parabel ARS zu be$chreiben; welches al$o wei{$s}t, da{$s} die Linie BQ die Parabel in dem Punct A berühre, und da{$s} al$o AP ein Diameter zur Parabel $eye, indem AL. AM : :

    LF
^2.
    MH
^2. (§. 599. & 600.). Dero- wegen wei{$s}t der vorhergehende Beweis, da{$s} ein Cörper, er mag nach einer mit dem Horizont parallel-oder $chief-lauffenden Directions-Linie be$chrieben werden, allezeit eine Parabel be$chreibe.

Dritter Zu$atz.

926. Ferner folgt noch daraus, da{$s} die Parabeln, die ein Cör- per be$chreibt, grö$$ere oder kleinere Weiten haben, nachdem als die nach einerley Directions-Linie treibende Kräften $tärcker oder $chwächer $eynd.

Erklärung.

927. Die Linie AB wird die Linie des Wurfs, die Linie BD die Linie des Falls, und die Linie AD die Linie des Zieles, oder auch die _Amplitudo_ der Parabel, wann $ie nemlich die Weite der$elben determi- nirt, genennet; und in die$em Fall i$t die Amplitudo der Parabel alle- zeit eine Horizontal-Linie.

Anmerckung.

Weilen die Weiten der von einem bewegten Cörper be$chriebenen Parabeln, von der Kraft, mit welcher $ie bewegt werden, dependiren, $o hat Galilæus à Ga- lilæis kein $icherers Mittel gefunden, die Kräften auf gewi$$e Maa$$e zu bringen, als zu $upponiren, der Cörper habe die$e Kraft, oder Ge$chwindigkeit bekommen, indem er von einer gewi$$en Höhe gefallen; Dann weilen ein fallender Cörper in jedem Momento $eines Falls einen neuen Grad der Ge$chwindigkeit erlangt, $o kan man $ich keine $o gro$$e Ge$chwindigkeit einbilden, die ein Cörper nicht erlan- gen könnte; indeme man $ich einbilden kan, der Cörper $eye von einer unendli- chen Höhe herunter gefallen; Al$o kan man den Unter$chied der Grade der Ge- $chwindigkeit, durch den Unter$chied der Höhen, von welchen man $upponirt, da{$s} der Cörper gefallen, vor$tellen.

[0450] Dritte Aufgab.

928. Wann man die Linie des Wurfs AB, (die man mit dem _Horizont_ parallel zu $eyn _$upponi_rt) $amt der Linie des Falls BF der Parabel AEF, die der Cörper be$chrieben, kennet, man fragt, von welcher Höhe die$er Cörper fallen mü$$e, um zu End $eines Falls eine Ge$chwindigkeit zu erlangen, mit welcher er, wann $ie nemlich gleichförmig bleibt, die Linie AB be$chreibet, und zwar die$es innerhalb der Zeit, in welcher er vermög $einer Schwäre die Höhe BF durchlauffen würde.

Man mache das Rectangulum GB völlig aus, und theile die Linie Fig. 364. AB durch den Punct D in zwey gleiche Theile; nach die$em ziehet die Linie GD, und richtet auf die$e die Perpendicular DC auf, welche $ich in dem Punct C der verlängerten Linie GA endiget; Da $age ich, da{$s} die Linie CA diejenige Höhe $eye, welche der Cörper von C bis in A durchlauffen mü$$e, um eine Ge$chwindigkeit zu erlangen, mit welcher er, wann $ie nemlich gleichförmig bleibt, die Linie AB durchlauffen kan, und zwar in der Zeit, in welcher er vermög $einer Schwäre die Höhe BF be$chreiben würde. Wir werden AG mit a, AD mit b, CA mit x, und die Zeit, die der Cörper in $einem Fall von A bis G braucht, mit T benennen.

Beweis.

Wann man $upponirt, der Cörper $eye innerhalb der Zeit T von A bis in G gefallen, $o i$t $eine Ge$chwindigkeit √AG (√a) (§. 914.), mit welcher er und zwar gleichförmig die Linie AG (a) in der Zeit {1/2} T be$chreiben würde (§. 917.): und weilen man die Höhe, von welcher der Cörper fallen mü$$e, um eine Ge$chwindigkeit zu erlangen, mit wel- cher er gleichförmig in der Zeit {1/2} T die Linie AD (b) be$chreiben wür- de, mit x benennet, $o i$t die durch die ge$uchte Höhe erlangte Ge- $chwindigkeit √x (§. 914.). Derowegen bekommt man AC (a). AD (b) : : √AG (√a). √x, welches uns gibt a √x = b √a. Wann man nun jedes Glied die$er Gleichung durch $ich $elb$t multiplicirt, $o bekommt man aax = bba, allwo wir keine Wurtzel-Zeichen mehr haben: Wann man nun ferner die unbekannte Grö$$e x allein bringt, $o bekommt man x = {bba / aa}, oder x = {bb / a} = {AD × AD / AG}. Nun wegen den ähnlichen Dreyecken GAD und ADC, bekommen wir GA (a). AD (b) : : AD (b). AC (x); aus welcher Proportion wir wie- [0451] wiederum die vorige letzte Gleichung bekommen; Die$es wei{$s}t uns al- $o, da{$s} CA die Höhe $eye, welche der Cörper durch $einen Fall be$chrei- ben mü$$e, um eine Ge$chwindigkeit zu erlangen, mit welcher er und zwar gleichförmig in der Zeit {1/2} T die Linie AD durchlauffen könne; al- lein wann ein Cörper von A bis in G fallt, $o be$chreibt er mit $einer in- nerhalb der Zeit T erlangten Ge$chwindigkeit, und zwar gleichförmig eine doppelte Linie AG (§. 916.) Derowegen wird der Cörper mit der von C in A erlangten gleichförmigen Ge$chwindigkeit eine doppelte Linie AD, das i$t, AB in einer doppelten Zeit {1/2} T, das i$t, in der Zeit T be$chreiben, welche aber die nemliche i$t, die der Cörper gebraucht, um mit einer vermehrten Ge$chwindigkeit die Linie AG oder BF zu be- $chreiben.

Fort$etzung der vorhergehenden Aufgab.

Wann man aber wi$$en will, von welcher Höhe ein Cörper fallen $oll, damit er eine Ge$chwindigkeit erlange, mit welcher, wann $ie nem- lich gleichförmig bleibt, er in der Zeit {1/2} T (welche diejenige i$t, die er, mit der durch $einen Fall von A bis G erlangten Ge$chwindigkeit braucht, die Linie AG gleichförmig durchzulauffen) die $chieffe Linie GD durch- lauffe, $o wollen wir die ge$uchte Höhe mit y benennen, und betrachten, da{$s} al$o die Ge$chwindigkeit, mit welcher er die$e Linie be$chreibt, √y $eye: Ferner wollen wir die Linie GD mit d, und AG mit a benennen, da i$t al$o die Ge$chwindigkeit die$er Linie √a. Auf die$e Art bekom- men wir AG (a). GD (d) : : √AG (√a). √y; Die$es gibt uns al- $o a √y = d √a; Wann man nun beyde Glieder mit $ich $elb$ten mul- tiplicirt, $o kommt aay = dda, al$o i$t auch y = {dd / a} = {GD × GD / AG}. Nun wegen den ähnlichen Dreyecken CGD und DAG bekommen wir AG. GD : : GD. GC; Da $iehet man al$o, da{$s} GC = y, und da{$s} al- $o der Cörper von C bis in G fallen mü$$e, um eine Ge$chwindigkeit zu er- langen, mit welcher und zwar gleichförmig er in der Zeit {1/2} T die Linie GD be$chreiben würde.

Zu$atz.

929. Weilen ein Cörper, der von C in G gefallen, mit der in G Fig. 365. erlangten gleichförmigen Ge$chwindigkeit in der Zeit {1/2} T die Linie GD durchlauffen kan, $o be$chreibt er al$o eine doppelte Linie GD, das i$t, die Linie GB in der doppelten Zeit von {1/2} T, das i$t, in der Zeit T, wel- [0452] ches die Zeit i$t, innerhalb welcher der Cörper mit einer gleichförmig vermehrten Bewegung die Perpendicular AG be$chreibt; Derowegen be$chreibt der Cörper mit einer gleichförmigen Ge$chwindigkeit in der doppelten Zeit T, das i$t, in 2T die vierfache Linie von GD, das i$t, die Linie GE, da hingegen er in die$er Zeit mit einer gleichförmig vermehr- ten Ge$chwindigkeit die vierfache Linie AG, das i$t, die Linie EF be$chreibt, indem $ich bey einem fallenden Cörper die be$chriebene Linien gegen ein- ander verhalten, als wie die Quadrate der Zeiten (§. 911.); Die$es wei{$s}t al$o, da{$s} wann ein Cörper nach einer mit dem Horizont $chief- lauffenden Linie GE, und zwar mit der Ge$chwindigkeit, die er durch $einen Fall von C bis in G erlangt, bewegt wird, er mit $einer erlang- ten Ge$chwindigkeit, die aber gleichförmig bleibt, in der nemlichen Zeit die Linie des Wurfs GE be$chreibe, in welcher er vermög $einer Schwä- re die Linie EF be$chreiben würde; und da{$s} er al$o in eben die$er Zeit vermög $einer componirten Bewegung (die aus der Bewegung, die ihm die treibende Kraft, und aus der Bewegung, die ihm $eine eigene Schwäre gibt, be$tehet) die Parabel GHF be$chreiben werde.

Erklärung.

930. Eine jede Linie als wie CA oder CG die ein Cörper be- $chreiben mu{$s}, damit er einen gewi$$en Grad der Ge$chwindigkeit, oder eine gewi$$e Kraft erlange um eine Parabel zu be$chreiben, wird die Linie der Höhe genennet.

Siebender Lehr-Satz.

931. Der Parameter einer jeden Parabel, die ein geworfe- ner Cörper be$chreibt, i$t viermal $o gro{$s} als die Linie der Höhe die$er Parabel.

Beweis.

Um zu er$t zu erwei$en, da{$s} der Parameter der Parabel AEF, die Fig. 364. nach einem horizontalen Wurf be$chrieben worden, viermal $o gro{$s} als die Linie CA $eye, $o wollen wir wei$en, da{$s} das Quadrat der Ordinatæ GF dem Rectangulo der Ab$ci$$æ AG und der Linie 4CA gleich $eye. Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s}

    AD
^2 = AC × AG (§. 370.), und da{$s} man al$o, wann man beyde Glieder durch 4 multiplicirt, be- komme 4
    AD
^2 = 4AC × AG. Allein weilen auch GF^2 = 4
    AD
^2 (§. 76.), indem GF doppelt $o gro{$s} i$t als AD, $o bekommt man
    GF
^2 = 4AC × AG. W. z. E. z. E.

[0453]

Um auch zu erwei$en, da{$s} das Quadrat der Ordinatæ IH dem Re- Fig. 365. ctangulo der Ab$ci$$æ GI des Diameters GK und der vierfachen Linie CG gleich $eye, $o betrachtet, da{$s}, weilen die Dreyecke CGD und DBH einander ähnlich, wir bekommen CG. GD : : DB. BH; Wann man nun an die Stelle von BH die Ab$ci$$am GI, die ihr gleich i$t, $etzet, $o bekommt man CG. GD : : DB. GI, welches uns CG × GI = GD × DB gibt; und weilen GD = DB, $o bekommt man CG × GI =

    GD
^2. Wann man nun ferner die$e letztere Gleichung durch 4 multiplicirt, $o bekommt man 4CG × GI = 4
    GD
^2: Weilen nun IH das Doppelte von GD i$t, $o kan man an$tatt 4
    GD
^2 $etzen
    IH
^2; Da bekommt man al$o 4CG × GI =
    IH
^2. W. z. A. z. E.

Er$ter Zu$atz.

932. Daraus folgt al$o, da{$s}, wann man auf die Linie des Wurfs GE eine Perpendicular EM aufrichtet, die die verlängerte Linie GC an- trift, die Linie MG der Parameter des Diameters GK $eye; Dann wei- len die Dreyecke GCD und GME einander ähnlich, $o i$t GD. GE : : GC. GM. Da nun GE viermal $o gro{$s} als GD, $o i$t auch GM vier- mal $o gro{$s} als GC; Derowegen i$t GM der Parameter.

Zweyter Zu$atz.

933. Ferner folgt daraus, da{$s}, wann man den Parameter einer Parabel, die ein bewegter Cörper be$chreibt, kennet, man finden könne, von welcher Höhe der Cörper fallen mü$$e, damit er eine gewi$$e Kraft erlange, mit welcher er die Parabel die$es Parameters be$chrei- ben könne; indem die$e Höhe allezeit der vierte Theil die$es Parame- ters i$t.

Dritter Zu$atz.

934. Weiters folgt noch daraus, da{$s} der Parameter MG, die Fig. 365. Linie des Wurfs GE, und die Linie des Falls EF miteinander in einer Proportion $tehen; Dann wegen den ähnlichen Dreyecken MGE und GEF bekommt man MG. GE : : GE, EF.

Vierter Zu$atz.

935. Weilen der Parameter MG zu vielen Linien des Wurfs, und zu vielen Linien des Falls die dritte Proportional-Linie $eyn kan, $o [0454] $iehet man, da{$s} wann der Parameter vor alle die$e unter$chiedene Li- nien einerley verbleibt, auch die Kraft, die der Cörper zur Be$chrei- bung aller Parabeln die$er unter$chiedenen Directions-Linien, vonnö- then hat, allezeit einerley verbleibe; indem $ie der Cörper, da er alle- zeit einerley Höhe, das i$t, den vierten Theil des Parameters be- $chrieben, erlanget hat.

Fünfter Zu$atz.

936. Wann die Linien des Falls EF auf dem Horizont GF per- Fig. 366. pendicular $tehen, $o formiren $ie mit den Linien des Wurfs rechtwinck, lichte Dreyecke GEF, die den Dreyecken GME ähnlich $eynd; Die$e $eynd al$o auch rechtwincklicht, und haben alle den Parameter MG zur Hypothenu$a; Die$es wei{$s}t al$o, da{$s} die Dreyecke MEG in einem hal- ben Zirckel $tehen, und da{$s} al$o alle Wurfs-Linien als wie GE der Pa- rabeln, die mit einerley Kraft be$chrieben werden, in einem halben Zirckel begriffen $eyen; Die$es kan aber nicht ge$chehen, als wann der Parameter und die Linien des Falls auf dem Horizont perpendicular $tehen.

Application der vorhergehenden Sätze zur Kun$t Bomben zu werfen. Vierte Aufgab.

937. Es $eye die Linie des Ziels GF, $amt dem Winckel Fig. 367. 368. & 369. MGE, den der Parameter MG mit der _Direction_s-Linie GE des Mör$ers _formi_rt, und der Winckel EGF, den die _Direction_s-Linie GE des Mör$ers mit der Linie des Ziels GF _formi_rt, gegeben, man begehrt den Parameter MG, die Linie des Wurfs GE, und die Linie des Falls EF zu finden.

Betrachtet, da{$s}, weilen die Linie MG und EF miteinander paral- lel lauffen, die Altern-Winckel MGE und GEF einander gleich $eyen; und da{$s}, wann man den einen kennet, man auch den andern kenne: al- $o kennet man in dem Dreyeck GEF die Seite GF und die Winckel EGF und GEF, da findet man al$o durch Hülf der Trigonometrie die Linie des Wurfs GE, und die Linie des Falls EF: nun EF. EG : : EG. MG (§. 934.); $o dörf man nur noch zur Linie des Falls und zur Linie des Wurfs eine dritte Proportional-Linie $uchen, welche der Parameter $eyn wird.

[0455] Zu$atz.

938. Daraus folgt al$o, da{$s} wann man eine Bombe nach einem Winckel, wie man will, aus einem Mör$er wirft, man den Para- meter aller Parabeln die $ie be$chreibt, wann $ie allezeit mit einerley Kraft getrieben wird, finden könne; Dann man dörf nur die Win- ckel die der Mör$er formirt, und die Di$tanz auf welche die Bombe gefallen, ausme$$en, da findet man den Uberre$t nach vorhergebender Aufgab.

Bericht an den Le$er.

Wir werden nunmehro viele Aufgaben von der Kun$t Bomben zu werfen geometricè, das i$t, nur durch Hülf des Zirckels und der Li- nial auflö$en, damit wir uns den Weg bahnen, eben die$es in der Praxi zu verrichten, und zwar durch Hülf eines Univer$al-In$truments, de$$en Con$truction und Gebrauch auf dem folgenden gegründet i$t; Al$o mü$$en $ich die Anfänger es nicht verdrie$$en la$$en, wann man $ie nicht al$ogleich zur Praxi führet, indem $ie in künftigem $chon Gelegenheit ha- ben werden, $ich zu frieden zu $tellen.

Fünfte Aufgab.

939. Zu finden, welche _Elevation_ man einem Mör$er geben mü$$e, damit er $eine Bombe an einen begehrten Ort werfe, nur wird _$upponi_rt, die$er Ort $eye mit der Batterie _horizontal_.

Wann man $upponirt, der Mör$er $eye in G, und der Punct F Fig. 370. $eye derjenige, wo man die Bombe hinwerfen will, $o wollen wir ferner $upponiren, die auf GF perpendicular $tehende Linie GM $eye der Pa- rameter der Parabel. Nun um die Aufgab aufzulö$en, theilet den Pa- rameter in A in zwey gleiche Theile, und be$chreibet aus dem Mittel- Punct A und mit dem Radio AM einen halben Zirckel. Ferner richtet auf den Punct F der Horizontal-Linie GF eine Perpendicular FE, die den halben Zirckel in den Puncten E durch$chneidet. Wann man nun aus dem Punct G die Linien GE ziehet, $o $age ich, da{$s}, wann man den Mör$er nach einer die$er Directions-Linien richtet, er die Bombe in F werfen werde.

Beweis.

Wir haben gewie$en §. 934, da{$s} der Parameter, die Linie des Wurfs und die Linie des Falls drey Proportional-Linien $eyen: Al$o um zu erwei$en, da{$s} die Linie GE die Linie des. Wurfs $eye, dörf ich nur [0456] erwei$en, da{$s} $ie die mittlere Proportional Linie zwi$chen dem Parame- ter MG und der corre$pondirenden Linie EF des Falls $eye.

Um die$es nun zu erwei$en, $o ziehet die Linien ME, und betrach- tet, da{$s} die Dreyecke MGE und GEF einander ähnlich, indem $ie beyde einen rechten Winckel, und jeder der Winckel GME und GEF die Helf- te des Bogens GIE zum Maa{$s} haben; Woraus al$o folgt, da{$s} MG. GE : : GE. EF.

Wann aber die Perpendicular, die man auf den Punct F aufrich- Fig. 371. tet, an$tatt den Zirckel durchzu$chneiden, ihn nur in dem einigen Punct E berührt, $o $age ich wiederum, da{$s} die Linie GE die Linie des Wurfs $eyn werde; Dann man bekommt wegen den ähnlichen Dreyecken MGE und GEF die Proportion MG. GE : : GE. EF.

Endlich wann man $upponirt, der gegebene Punct $eye C, al$o da{$s} die Perpendicular CD den Zirckel noch durch$chneide noch berühre, $o $age ich, da{$s} die Aufgab unmöglich $eye aufzulö$en, indem die Linie GD nicht kan eine mittlere Proportional-Linie zwi$chen dem Parameter MG, und der Linie des Falls DC $eyn; Dann $ie mü{$s}te eine den beyden ähnli- chen Dreyecken MGE und GDC gemeine Seite $eyn; Welches aber nicht ge$chehen kan, $o lang als der Punct D au$$erhalb den Zirckel fällt.

Er$ter Zu$atz.

940. Daraus folgt al$o, da{$s} wann die Perpendicular EF den Zir- ckel durch$chneidet, die Aufgab auf zweyerley Manier könne aufgelö$et werden, und da{$s} man al$o eine Bombe durch zwey unter$chiedene We- ge an einen Ort werfen kan; Dann weilen die Zirckel-Bögen ME und GE einander gleich $eynd, $o geht die Bombe gleich weit, man mag den Mör$er nach einem von dem vierten Theil des Zirckels gleich weit ent- fernten ober-oder unterhalb genommenen Grad richten. Weilen aber die Winckel MGE nur die Helfte der Zirckel-Bögen ME zum Maa{$s} ha- ben, und man die Elevation des Mör$ers allezeit nach dem Winckel, den die Vertical-Linie MG mit den Linien des Wurfs GE macht, be- trachtet, $o $iehet man, da{$s} die$er Winckel allezeit kleiner als ein rech- ter $eye, und da{$s} man den Mör$er, um die Bombe an einen Ort zu werfen, nach einem $o wohl über, als unter 45. Gr. gleichweit entfern- ten Grad richten könne.

Zweyter Zu$atz.

941. Weilen die$e Aufgab allezeit möglich i$t, es mag die Linie EF den halben Zirckel durch$chueiden, oder ihn nur berühren, $o $iehet man, [0457] da{$s}, wann $ie den Zirckel nur berühret, die Bombe mit einerley Ladung auf das weite$te getrieben werde, indem die Linie des Zieles GF die grö- $te i$t unter allen, die zwi$chen dem Parameter und der Linie des Falls $tehen können. Nun der Winckel MGE hat nur die Helfte des Vier- tel-Zirckels ME zu $einem Maa{$s}, al$o kan man $agen, da{$s} unter allen Bomben, die mit einerley Ladung geworfen werden, diejenige am wei- te$ten gehe, welche unter einem Winckel von 45 Gr. geworfen wird.

Sech$te Aufgab.

942. Zu finden, welche _Elevation_ man einem Mör$er ge- ben mu{$s}, damit er $eine Bombe auf eine gegebene Weite werfe; Wir _$upponi_ren aber, der Ort wo $ie fallen $oll, $eye mit der Bat- terie nicht _horizontal_, $ondern er liege entweder viel höher, oder viel niedriger.

Wir $upponiren, der Punct G wäre der Ort, wo der Mör$er $te- Fig. 372. & 373. het, und der Punct F der Ort, wohin man die Bombe werfen will; Die$en $upponiren wir Fig. 372. er liege höher, als die Batterie und Fig. 373. er liege tieffer; Um nun die$e Aufgab aufzulö$en, $o mu{$s} man auf die Horizontal-Linie GH eine Perpendicular GM aufrichten, die man dem Parameter der Ladung des Mör$ers gleich macht; Dann ich $upponire, man habe, um die$en Parameter zu finden, einen Prob- Wurf gethan, wie wir §. 938. davon Meldung gethan. Nach die$em richtet man auf die Linie der Fläche GL die Perpendicular GA auf, und macht den Winckel AMG dem Winckel AGM gleich, und be$chreibet aus dem Mittel-Punct A, und mit dem Radio AM den Zirckel-Bogen MEG. Endlich ziehet man durch den Punct F mit dem Parameter MG die Parallel FE; Da $age ich, da{$s} wann die$e Linie den Zirckel- Bogen in den Puncten E durch$chneidet, und man die Linien GE ziehet, $ie die Elevation des Mör$ers in beyden Fällen anzeigen.

Beweis.

Weilen MG der Parameter, und EF die Linie des Falls i$t, $o mu{$s} man, um zu erwei$en, da{$s} GE die Linie des Wurfs $eye, nur erwei$en, da{$s} MG. GE : : GE. EF. Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet die ähn- liche Dreyecke MGE und GEF; Dann weilen GF auf dem Radio AG perpendicular $tehet, $o i$t der Winckel EGF dem Winckel GME gleich, indem ein jeder die Helfte des Zirckel-Bogens GIE zum Maa{$s} hat; Ferner $eynd auch noch wegen den Parallelen MG und EF die Altern- Winckel MGE und GEF einander gleich; Derowegen bekommt man [0458] MG. GE : : GE. EF. Die$es wei{$s}t al$o, da{$s}, um die Bombe in F zu werfen, die Directions-Linie des Mör$ers mit der Vertical-Linie den Winckel MGE formiren mü$$e. W. z. E.

Damit wir nicht das vorige wiederholen mü$$en, habe ich die bey- de vorhergehende Fälle in eine Auflö$ung und Beweis gebracht; allein es wäre $ehr nutzlich vor die Anfänger, wann $ie nur eine der beyden Figuren 372 und 373 auf einmal betrachten, und al$o die Auflö$ung und Beweis zweymal le$en würden.

Zu$atz.

943. In beyden Fällen, die wir in der vorhergehenden Aufgab $upponirt, kan auch ge$chehen, da{$s} die Parallel EF den Zirckel-Bogen nur berühre, und da i$t in die$em Fall die Weite des Wurfs die grö- $te, die man mit einerley Ladung thun kan. Ferner kan auch ge$che- hen, da{$s} die Perpendicular EF den Zirckel-Bogen weder durch$chneide, noch berühre, da i$t, wie wir $chon oben gewie$en, die Auflö$ung der Aufgab unmöglich.

Anmerckung.

Ich erinnere bahier den Le$er, da{$s} man in der Praxi dem Mör$er allezeit eine $olche Elevation gebe, damit man die grö$$ere Linie des Falls EF bekomme, da- mit die Bombe, indem $ie von einer grö$$ern Höhe fällt, durch ihre Schwäre eine grö$$ere Kraft erlange, die Gebäu, wo $ie hinfällt zu ruiniren; wann man aber nahe an einem Wercke i$t, darinnen man den Feind mit Bomben beunruhigen will, $o mu{$s} man dem Mör$er die kleine Elevation geben, damit $ich die Bomben nicht $o leicht eingraben, und denjenigen, die das Werck vertheidigen, Zeit la$$en, $ich vor den Stückern, wann $ie zer$pringt, in Sicherheit zu $tellen.

Siebende Aufgab.

944. Ein _Unïver$al-_In$trument zu machen, welches dienet, die Bomben auf unter$chiedene Arten Flächen zu werfen.

Macht einen vollkommenen Zirckel-runden Reif von Me$$ing, und Fig. 374. theilet $eine Circumferenz in 360. Grade: befe$tiget an einen ihrer Puncten G eine Linial GN, die den Zirckel in G berührt, und die dem Diameter GB gleich i$t. Theilet hernach die$e Linial in eine gro$$e An- zahl gleicher Theile z. E. in 200; und hänget einen Seiden-Faden, der mit einem Gewicht ver$ehen, an die$elbe, doch $o, da{$s} man ihn der Län- ge nach der Linial bewegen könne, indem man ihn dem Punct G bald nähern, bald von ihm entfernen mu{$s}. In den künftigen Aufgaben werde ich den Gebrauch die$es In$truments wei$en.

[0459] Von dem Gebrauch die$es Univer$al-In$truments. Achte Aufgab.

945. Durch Hülf des _Univer$al-_In$truments zu finden, wel- che _Elevation_ man dem Mör$er geben mu{$s}, damit er $eine Bombe auf eine begehrte _Di$tanz_ werfe; wir _$upponi_ren aber, der Ort wo $ie fallen $oll, $eye mit der Batterie _horizontal_.

Um die$e Aufgab aufzulö$en, mu{$s} man zu er$t einen Prob-Wurf Fig. 375. thun, und zwar mit der Ladung die man $ich vornimmt allezeit nachge- hends zu geben; ich $upponire nun, man habe 2 Pf. Pulver, und mit einer Elevation von 30 Gr. eine Bombe auf 400 Klafter weit gewor- fen; Da mu{$s} man al$o den Parameter $uchen. Al$o weilen der Win- ckel MGE von 30 Gr. i$t, $o i$t der Winckel GEF auch von 30 Gr. in- dem die Linie des Falls EF mit dem Parameter MG parallel lauft; weilen man noch über die$es in dem Dreyeck GEF den Winckel EGF von 60 Gr. und die Seite GF von 400 Klaftern kennet, $o findet man durch Hülf der Trigonometrie, da{$s} die Linie des Falls EF von 693 Klaf- tern, und die Linie des Wurfs GE von 800 Klaftern $eye. Wann man noch ferner zu 693 und zu 800 eine dritte Proportional $ucht, $o findet man 923 Klafter vor den Valor des Parameters GM.

Nunmehro wann man wi$$en will, auf wie viel Grad man den Fig. 374. Mör$er richten mü$$e, damit er $eine Bombe mit der Ladung von 2 Pf. auf 250. Klafter werfe, $o mu{$s} man eine Regel de Tri machen, und $agen: Wann 923. Klafter als der Valor des Parameters 250. Klaf- ter vor die gegebene Di$tanz geben, wie viel geben 200, als der Valor des Diameters des In$truments, oder als der Valor der eingetheilten Linial NG vor die Anzahl Theile die ich $uche, da finde ich al$o 54.

Endlich mu{$s} man das In$trument al$o $tellen, da{$s} die Linial NG vollkommen horizontal $eye, und den Seiden-Faden KD bis zur Zahl 54 bewegen; wann die$er Faden die Circumferenz des Zirckels in den zweyen Puncten C durch$chneidet, $o wei{$s}t die$es, da{$s} die Aufgab auf zweyerley Manier könne aufgelö$et werden, und da{$s} man dem Mör$er eine Elevation die der Helfte der Zirckel-Bögen GC gleich i$t, geben mü$$e. Da nun der grö$$ere Zirckel-Bogen von 148 Gr. und der klei- nere von 32 Gr. i$t, $o i$t die Helfte des grö$$ern 74 Gr. und die Helf- te des kleinern 16 Gr. Die$es wei{$s}t al$o, da{$s} wann man dem Mör$er [0460] eine von die$en Elevationen gibt, er $eine Bombe an den begehrten Ort werfe.

Beweis.

Um den Beweis der vorhergehenden Aufgab zu erleichtern, wollen Fig 375. wir $upponiren, die Linie GF $eye die gegebene Di$tanz von 250 Klaf- tern, und die Perpendicular GM der gefundene Parameter. Wann man nun einen halben Zirckel MEG be$chreibt, und man die Linie EF mit GM parallel, und von G zu den Puncten E, wo die Linie EF den halben Zirckel durch$chneidet, die Linien GE ziehet, $o bekommt man die Winckel MGE, welche der Mör$er mit der Vertical-Linie MG machen mu{$s}, damit die Bombe in F falle, wie man die$es §. 939. erwie$en. Nun wann man $ich einbildet, die Linial NG des In$truments $tehe mit der Linie des Ziels GF, und der Diameter MG mit dem Diameter GB in grader Linie, und der Seiden-Faden KD an $einem vorigen Ort, das i$t, in dem Punct 54, $o bekommt man vermög der Auflö$ung der Aufgab GM. GF : : GB. GK, indem man dahier den Diameter GB vor die Län- ge NG annehmen kan. Al$o $chneidet wegen die$er Proportion die Per- pendicular KD den halben Zirckel GCB auf eben die$e Art durch, als die Perpendicular EF den halben Zirckel MEG durch$chneidet; Derowe- gen machen die Linien EG und GC zu$ammen grade Linien aus, gleich- wie MG und GB; al$o i$t der Bogen ME dem Bogen CB oder GC. welches einerley i$t, gleich; Derowegen $eynd $ie auch von 32 Graden: und weilen der Winckel MGE nur die Helfte des Zirckel-Bogens ME zu $einem Maa{$s} hat, $o i$t er nur von 16 Graden, welche Elevation man dem Mör$er geben mu{$s}, wann man ihn unter 45 Grad haben will; Al$o $iehet man, da{$s} man durch Hülf des In$truments das nemliche fin- det, was man zuvor §. 939 durch den halben Zirckel MEG gefunden. W. z. E.

Zu$atz.

946. Daraus folgt al$o, da{$s}, wann der Seiden-Faden KD an- Fig. 376. $tatt den Zirckel GCB durchzu$chneiden ihn nur in C berühret, der Mör- $er $eine Bombe, wann er nemlich auf die Helfte des Bogens GC, das i$t, auf 45 Gr. gericht wird, am weite$ten, als es mit die$er Ladung möglich, werfe; indem in die$em Fall die Linie EF den halben Zirckel MEG auch nur berühret: Ferner kan man noch $agen, da{$s}, wann der Seiden-Faden KD den Zirckel weder berührt noch durch$chneidet, die Aufgab unmöglich $eye; indem in die$em Fall auch die Linie EF den halben Zirckel MEG weder berühren, noch durch$chneiden wird.

[0461] Neunte Aufgab.

947. Durch Hülf des _Univer$al-_In$truments zu finden, wel- che _Elevation_ man einem Mör$er geben mü$$e, damit er $eine Bom- be auf eine gegebene _Di$tanz_ werfe, wir _$upponi_ren aber, der Ort wo man die Bombe hinwerfen will, liege um vieles höher oder niedriger als die Batterie.

Ich $upponire, die Batterie wäre in G, und man wolle die Bom- Fig. 377. & 378. be in F werfen, welcher Ort aber um vieles höher, oder niedriger liege als die Batterie; Da mu{$s} man zu er$t durch Hülf der Trigonome- trie die horizontale Di$tanz GH, welche die Amplitudo oder die Weite der Parabel i$t, abme$$en; wann man nun den Parameter der Ladung, der man $ich bedienen will, kennet, und den ich wieder, als wie vorhero, von 923 Klaftern $upponire, indem ich wieder 2 Pf. vor die Ladung annehme, $o $agt man: Wie $ich der Parameter zur Di$tanz GH verhält, al$o verhalten $ich 200 als die Länge des Linials GN zur Länge GK. Ich $upponire nun, man habe 60 gefunden, $o mu{$s} man den Seiden-Faden Fig. 378. KD an die Zahl 60 hängen, allwo man ihn unbeweglich halten mu{$s}; nach die$em $tellt man den Zirckel des In$truments an einen $olchen Ort, wo es fe$t, und zwar verticaliter $tehen kan, und vi$irt nach der Länge des Linials NG gegen den gegebenen Ort F; Da wird der Seiden-Fa- den KD den Zirckel in den Puncten C durch$chneiden, allwo er al$o die Zirckel-Bögen CG determinirt; wann man nun die Helfte der Anzahl Grade eines die$er Zirckel-Bögen, annimmt, $o bekommtman den Va- lor des Winckels, den der Mör$er mit der Vertical-Linie formiren mu{$s}, um die Bombe an den begehrten Ort F zu werfen.

Beweis.

Wann man auf die Horizontal-Linie GH die Perpendicular GM Fig. 379. & 380. aufrichtet, die man dem Parameter gleich macht, und man auch auf die Fläche GF die Perpendicular GA aufrichtet, und den Winckel AMG dem Winckel AGM gleich macht, und noch ferner aus dem Mittel- Punct A, und mit dem Radio AM einen Zirckel-Bogen MEG be$chrei- bet, $o ziehet man noch von dem Punct F die Linie FE mit GM paral- lel, die$e wird den Zirckel-Bogen in den Puncten E durch$chneiden; Wann man nun noch die Linien GE ziehet, $o bekommt man die Dire- rections-Linien, nach welchen man den Mör$er richten mu{$s}, um die Bombe an den begehrten Ort F zu werfen (§. 942.). Wann man nun das In$trument al$o $tellet, da{$s} das Linial NG mit der Fläche GF und auch der Diameter GB mit dem Diameter GO in einer graden Li- [0462] nie $tehe, und der Seiden-Faden KD allezeit in $einem vorigen Ort nemlich in 60 verbleibe, $o $iehet man, da{$s} der halbe Zirckel GCB durch die Perpendicular KD auf eben die Art durchge$chnitten werde, als wie der halbe Zirckel OEG durch die Perpendicular EF durchge$chnitten wird; Die$es i$t alles vor $ich klar genug, ohne da{$s} man nöthig ha- be, dasjenige, was $chon von die$er Sach geredet worden, zu wieder- holen.

Bericht an den Le$er.

Weilen man $ich in der Kun$t Bomben zu werfen auch der Trigo- nometrie bedienen kan, und zwar auf eine gantz andere Manier als wir vorhero gewie$en, $o will ich zwey Lehr-Sätze geben, deren man $ich, wann man das Univer$al-In$trument nicht bey $ich hat, bedienen kan; es i$t zwar wahr, da{$s} man dasjenige, was ich wei$en werde, nur brau- chen kan, wann der Ort, wohin man die Bomben werfen will, mit der Batterie horizontal i$t; weilen aber die$es am mei$ten vorkommt, $o habe ich nicht wollen wei$en, wie man $ich zu verhalten habe, wann der Ort, wohin man $ie werfen will, höher oder niedriger liege, indem mir die Trigonometri$che Operationen zu langweilig ge$chienen. Man mu{$s} auch noch mercken, da{$s} ich in den folgenden Lehr-Sätzen $upponire, der Mör$er formire den Winckel $einer Elevation mit der Horîzontal-Linie, wiewohl man in der Praxi, wann man will, ihn mit der Vertical-Linie formiren kan.

Achter Lehr-Satz.

948. Wann man zwey Bomben mit einerley Ladung, aber unter unter$chiedenen _Elevation_en des Mör$ers wirft, $o $age ich, da{$s} $ich die Weite der er$ten zur Weite der zweyten verhält, als wie der _Sinus_ des doppelten Winckels der _Elevation_ der er$ten zum _Sinu_ des doppelten Winckels der _Elevation_ der zweyten.

Vorbereitung.

Richtet auf das End B der Horizontal-Linie BP eine Perpendicu- Fig. 381. lar BN nach Belieben auf, und theilet $ie in M in zwey gleiche Theile, und be$chreibet den halben Zirckel NGB; nach die$em ziehet die Linien BG und BK, um die zwey unter$chiedene Elevationen der Mör$er zu be- mercken; verlängert die$e beyde Linien al$o, da{$s} KA = KB und da{$s} GD = GB, und la$$et von ihren äu$$er$ten Puncten A und D auf die Horizontal-Linie BP die Perpendicularen AC und DE fallen; Wann man noch ferner durch den Punct K die Parallel IL mit BC führet, $o [0463] I$t IK = KL, und wegen den Parallelen IB und AC i$t auch AL = LC; Al$o i$t auch IK die Helfte von BC; wann man noch ferner durch den Punct G die Linie FH mit BE parallel führet, $o i$t wiederum FG = GH; und al$o FG die Helfte von BE.

Beweis.

Betrachtet, da{$s}, weilen der Winckel DBE die Helfte des Bogens GOB zu $einem Maa{$s} hat, und hingegen der gantze Bogen GOB das Maa{$s} des Minckels GMB i$t, der Winckel GMB das Doppelte des Winckels DBE $eye; nun die Linie GF i$t der Sinus des Winckels GMB, al$o i$t $ie der Sinus eines doppelten Winckels DBE. Auf gleiche Weis, weilen der Winckel ABC die Helfte des Bogens KGB zu $einem Maa{$s} hat, und hingegen der gantze Bogen KGB das Maa{$s} des Winckels KMB i$t, $o i$t der Winckel KMB das Doppelte des Winckels ABC; nun die Linie IK i$t der Sinus des Winckels KMB, $o i$t $ie auch der Sinus des doppelten Winckels ABC. Nun weilen BC das Doppelte von IK und BE das Doppelte von FG i$t, $o i$t BC. BE : : IK. FG. Wann man aber an die Stelle der halben Amplitudinum BC und BE, die gantze Amplitudines BQ und BP $etzet, $o kan man $agen: Wie $ich BQ, als die Weite der er$ten Bombe zu BP als der Weite der zweyten Bombe verhält, al$o verhält $ich IK als der Sinus des doppelten Winckels ABC zu FG als dem Sinu des doppelten Winckels DBE. W. z. E.

Anwendung.

Wann man nun Bomben auf eine begehrte Di$tanz mit einerley Ladung werfen will, $o mu{$s} man zu er$t einen Prob-Wurf thun: Z. E. Man ladet den Mör$er mit 2 Pf. Pulver, und richtet ihn auf 45 Gr. welches, wie wir $chon ge$agt, die grö$te Elevation i$t, die man dem Mör$er geben kan; wann man nun die Bombe geworfen, $o me{$s}t man die Di$tanz des Orts, wo $ie gefallen, von dem Mör$er genau aus, ich $upponire nun, die$e Di$tanz $eye von 800 Klaftern. Nach die$em wann man wi$$en will, welche Elvation man dem Mör$er geben mü$$e, damit er $eine Bombe auf 500 Klafter werfe, $o mu{$s} man eine Regel de Tri machen, und $agen: Wie $ich die bekannte Di$tanz 800 zur begehrten Di$tanz 500 verhält, al$o verhält $ich der Sinus des doppelten Winckels von 45, das i$t, 100000, zu dem Sinu des doppelten Winckels, den man $ucht; Da findet man 62500 vor den vierten Terminum; Die$es i$t der Sinus des ge$uchten doppelten Winckels; wann man ihn nun in den Tabellen auf$ucht, $o findet man, da{$s} er der Sinus eines Winckels von [0464] 38 Gr. und 40 Minuten $eye; Deren Helfte i$t al$o 19 Gr. 20 Mi- nuten, welches al$o der Valor des Winckels i$t, den der Mör$er mit dem Horizont machen mu{$s}, um die Bombe auf 500 Klafter zu treiben.

Ferner kan man durch Hülf des vorigen Lehr-Satzes finden, wie weit eine Bombe vermög des gemachten Prob-Wurfs mit einerley La- dung aber mit einer andern Elevation gehen werde. Z. E. Wann der Mör$er auf 40 Gr. gerichtet gewe$en, und er $eine Bombe auf 1000 Klafter geworfen, und man wi$$en will, wie weit er $eine Bombe trei- ben werde, wann er nur auf 25 Gr. gerichtet wird, $o mu{$s} man eine Regel de Tri machen, und $agen: Wie $ich 98480 als der Sinus des doppelten Winckels von 40 Gr. zu 76604 als dem Sinu des doppelten Winckels von 25 Gr. verhält, al$o verhalten $ich 1000 Klafter zu dem vierten Termino, den man von 777 Klafter findet, al$o gehet die Bom- be, nach der vorigen Suppo$ition 777 Klafter weit.

Zehende Aufgab.

949. Wann man die _Amplitudinem_ einer Parabel, die eine Bombe be$chrieben, kennet, man begehrt die Höhe der$elben zu finden.

Es $eye BA die Directions-Linie nach welcher man den Mör$er ge- Fig. 381. richt, $o i$t die$e Linie zur Parabel BLQ eine Tangent; al$o i$t die Sub- tangens AC das Doppelte der Ab$ci$$æ LC (§. 592.), welche dahier die Höhe der be$chriebenen Parabel i$t. Wann wir nun $upponiren, der Winckel ABC $eye von 70 Gr. die Amplitudo BQ von 300 Klaf- tern, $o i$t die halbe Amplitudo BC von 150 Klaftern, al$o kennet man in dem Dreyeck ABC den rechten Winckel BCA, den Winckel ABC von 70 Gr. und die Seite BC von 150 Klaftern; Da findet man durch Hülf der Trigonometrie die Seite AC von 412 Klafter, deren Helfte von 206 Klaftern der Valor der Linie LC; das i$t, der Höhe der Para- bel i$t.

Eilfte Aufgab.

950. Wann man die Höhe der Parabel, die eine Bombe be$chrieben, kennet, man begehrt die Kraft der Bewegung, die $ie im Fallen durch ihre vermehrte Ge$chwindigkeit erlangt, zu finden.

Wann wir $upponiren, eine Bombe von 130 Pf. falle von einer Höhe von 206 Klaftern, $o kan man ihre Ge$chwindigkeit durch die Qua- drat-Wurtzel der Linie des Falls, das i$t, durch 14{1/3} als die Quadrat- Wurtzel von 206 vor$tellen (§. 914.). Nun die Kraft der Bewegung [0465] findet man, wann man die Ma$$am der Bombe durch ihre Ge$chwindig- keit multiplicirt (§. 882.). Al$o bekommt man, wann man 130 durch 14 {1/3} multiplicirt, 1863 {1/3} vor die Kraft der Bewegung der Bombe.

Anmerckung.

Durch Hülf der zwey vorhergehenden Aufgaben, kan man leicht die Kräften der Bewegung der Bomben, die nach unter$chiedenen Directions-Linien geworfen werden, finden, dann wann man die Amplitudines der Parabeln kennet, $o findet man ihre Höhen, und al$o auch ihre Ge$chwindigkeiten, welche man nachgehends durch die Schwäre der Bomben von einerley, oder von unter$chiedenen Calibern multiplicirt, um Producte zu bekommen, die $ich gegen einander verhalten, als wie die Kräften der Bewegung, die die Bomben durch den Fall erlangt haben. Derowegen kan man finden, welche Elevation man einem Mör$er von einem andern Caliber z. E. von 60. Pfund geben mü$$e, damit $eine Bombe, wann $ie auf ein Gebäu z. E. auf ein Pulver-Magazin fällt, eben $o gro$$e Kraft ausübe, als eine Bom- be von 130 Pfund, die unter einer kleinern Elevation geworfen worden, indem die er$te durch die Höhe der Linie des Falls gewinnen mu{$s}, was $ie an Schwäre we- niger hat als die letztere. Die$es i$t nicht nur allein curios, $ondern kan auch $einen Nutzen in der Attaque der Ve$tungen haben.

[0466] Vorrede Uber die Mechanic.

WEilen die Mechanic ein $olcher Theil der Mathemati$chen Wi$- $en$chaften i$t, den man in den Kün$ten am mei$ten brauchet, indem man $ich keiner Ma$chine bedienet, deren Eigen$chaften nicht auf gewi$$en Gründen beruhen, $o kan man in keinem Werck mit mehrerem Recht davon handeln, als in die$em, indem der vornehm$te Endzweck i$t, diejenige, die $ich der Artillerie, oder der Ingenieur Kun$t widmen, zu unterrichten; dann die Mechanic wei{$s}t uns Ma$chinen zu machen, und $ich der$elben mit Nutzen zu bedienen, um gro$$e Lä$te mit leichter Manier aufzuheben, und zwar durch Hülf einer Kraft, welche ohne Vergleich zu $chwach wäre, wann ihr nicht durch eine Ma$chine geholfen würde. In$onderheit in der Con$truction der Forti$ications- Wercker, und in den Manipulationen der Artillerie kan man $ich tau- $enderley Mittel bedienen, die die Mechanic an die Hand gibt, um al$o eine Menge Sachen auszuführen, die, wiewohl $ie leicht $eynd, doch von denjenigen, die nicht wi$$en, in wie weit man die Kraft eines Men- $chen vermehren könne, nicht könten unternommen werden. Weilen aber die Anfangs-Gründe die$er Wi$$en$chaft auf unter$chiedene Arten können erwie$en werden; $o wu{$s}te ich nicht gleich, welche Manier ich erwählen $ollte, um mich auf das deutlich$te ver$tehen zu machen, ich ha- be aber nachgehends in$onderheit die Manier des Herrn Varignon er- wählet, als welche die natürlich$te und kürtze$te i$t unter allen; kan al$o ge- genwärtiger Tractat auf eine gewi$$e Art als eine Einleitung zu des Herrn Varignon Werck dienen.

Es hat mich aber eine gewi$$er in den Mathemati$chen Wi$$en$chaf- ten $ehr erfahrner Officier erinnert, ich würde nicht übel thun, wann ich auch die Mechani$che Lehr-Sätze durch die Sätze der Bewegung er- wei$en würde, $o habe ich auch die$em Rath wollen folgen; und nach- dem ich die Eigen$chaften der einfachen, und der vornehm$ten compo- nirten Ma$chinen werde erwie$en haben, und zwar die$es nach beyden Manieren, davon ich zuvor geredet; $o werde ich $ie zu den Manipula- tionen der Artillerie, zur Con$truction der Gewölber der Pulver-Ma- gazinen und zur Theorie der Minen appliciren, damit ich allezeit mei- nen Endzweck, das i$t, die Application der Theorie zur Praxi zu wei$en, erfülle.

[0467] CURSUS MATHEMATICUS. Neunter Theil. Von der Mechanic. Er$tes Capitul. Einleitung zur Mechanic. Erklärungen. I.

951. DIe Mechanic i$t eine Wi$$en$chaft, welche die Verhält- ni$$e der Kräften, die die Cörper bewegen wollen, gegen ihre Schwäre, $amt der Ge$chwindigkeit betrachtet, mit welcher $ie bewegt würden, wann der Bewegung nichts wider$tünde; und zwar betrachtet $ie die$es alles in dem Stand des Gleich-Gewichts, und $o fern es durch Machinen ge$chicht.

II.

952. Das Gleich-Gewicht überhaupt i$t die Action zweyer, oder mehrerer Cörper, die gegen einander, und zwar in $en$u contrario ihre Würckung thun, al$o da{$s} alles in Ruhe verbleibt.

[0468] III.

953. Die bewegende Kraft i$t dasjenige, was den Cörper be- wegt, oder ihn zu bewegen $ucht.

IV.

954. Das Gewicht eines Cörpers, i$t die Bemühung, die der Cörper vermög $einer Schwäre hat, $ich gegen den Mittel-Punct der Erden zu nähern, welcher dahero auch der Mittel-Punct der $chwä- ren Cörper genennet wird.

V.

955. Die _Direction_s-Linie einer bewegenden Kraft i$t dieje- nige Linie, welche die Kraft einen Cörper be$chreiben macht, oder zum wenig$ten nur $ucht, da{$s} er $ie be$chreiben möchte.

VI.

956. Die _Direction_ der Schwäre, i$t diejenige Linie, die die Cör- per vermög ihrer Schwäre be$chreiben, indem $ie gegen den Mittel- Punct der Erden fallen.

VII.

957. Alle In$trumenten, durch welcher Hülf man die Cörper bewegen, oder $ie in der Bewegung aufhalten will, werden _Machin_en ge- nennet. Sie $eynd zweyerley, entweder einfach, oder zu$a\~men ge$etzt.

958. Die einfache Machinen $eynd an der Zahl $echs, nemlich der Hebel, der Ha$pel, die Fla$chen-Scheibe, das _Planum inclinatum_, oder die $chief-liegende Fläche, der Keil, und die Schraube.

959. Die zu$a\~men ge$etzte Machinen $eynd unendlich an der Zahl; man nennet $ie zu$a\~men ge$etzt, weilen $ie allezeit aus etwelchen einfachen Machinen be$tehen.

VIII.

960. Der Mittel-Punct der Schwäre eines Cörpers i$t ein Punct, der die Be$chaffenheit hat, da{$s} wann der Cörper durch ihn aufgehenckt wird, er in allen Stellungen, die man ihm geben kan, in Ruhe verbleibe; in künftigem werden wir allezeit $upponiren, die gan- tze Schwäre eines Cörpers $eye in $einem Mittel-Punct der Schwäre ve reinigt.

Grund-Satz.

961. Das Gewicht, oder die Schwäre eines Cörpers verbleibt in allen Puncten der Direction einerley, das i$t, um einen Cörper, der an einen Strick fe$t angemacht, zu erhalten, braucht man einerley Kraft, $ie mag ihn nahe bey ihm, oder weit von ihm halten; nur wird erfordert, da{$s} man $upponire, der Strick habe keine Schwäre, und [0469] der Cörper bleibe gleich weit von dem Mittel-Punct der Erden ent- fernet.

* Anmerckung.

962. Dann es i$t zu wercken, da{$s}, je weiter die Cörper von dem Mittel- Punct der Erden entfernet $eynd, je mehr verliehren $ie von ihrer Schwäre.

Lehn-Satz.

963. Wann man zwey Kräften hat, die durch die beyde Fig. 382. Linien AB und DB vorge$tellet werden, davon die Kraft AB den Cörper B die Seite BC eines _Parallelogrammi_ durchlauffen macht, und zwat die$es in der nemlichen Zeit, als die Kraft DB den Cör- per die andere Seite BE be$chreiben macht, $o $age ich, da{$s} wann die$e beyde Kräften miteinander den Cörper B bewegen, $ie ma- chen werden, da{$s} der Cörper die _Diagonal_ BF die$es _Parallelogrammi_ durchlauffen mu{$s}, und zwar in der nemlichen Zeit, in welcher jede Kraft AB oder DB vor $ich den Cörper nach der Seite BC oder BE bewegen würde.

Beweis.

Wann die beyde Kräften AB und DB zugleich und miteinander den Cöper B bewegen, und zwar nach ihren Directions-Linien BC und BE, $o i$t die Directions-Linie des Cörpers B aus den beyden vorhergehen- den Directions-Linien componirt. Wann man nun die Zeit, innerhalb welcher jede Kraft den Cörper B die Seiten BC und BE durchlauffen macht, in eine Anzahl gleicher Theile, oder momenta eintheilet, $o i$t es gantz, klar, da{$s} wann die$e beyde Kräften miteinander den Cörper be- wegen, die Kraft AB $uchen werde den Cörper nach der Directions-Li- nie BC zu bewegen, und zwar die$es innerhalb der nemlichen Zeit, inner- halb welcher die Kraft DB den Cörper nach der Directions-Linie BE zu bewegen $ucht. Wann man nun $upponirt, der Cörper hätte in dem er$ten Momento vermög der Kraft AB die Linie BH und vermög der Kraft DB die Linie HI be$chrieben; $o befindet $ich der Cörper in I, und die be$chriebene Linien BH und HI, $o klein als man auch $ich $ie einbil- den kan, verhalten $ich gegen einander, als wie die Kräften AB und BD, oder auch als wie BC und BE: Weilen nun die Dreyecke BHI und BCF einander ähnlich $eynd, und $ich der Cörper in I befindet, $o befindet er $ich in einem Punct der Diagonal Linie BF, und hat $ich von B bis in I in ihr befunden, indem man die Linie BH und HI vor unendlich klein annehmen kan. Wann ferner der Cörper B in dem zweyten Momento vermög der Kraft AB die Linie IK und vermög der Kraft DB die Linie [0470] KL be$chrieben, $o befindet $ich der Cörper wieder in einem Punct L der Diagonal-Linie; und auf die$e Art verhalt es $ich, bis da{$s} der Cörper an F gekommen. Allein alle Linien als wie BH, IK von B bis F $eynd zu$ammen genommen der Linie BC, und alle Linien als wie HI, KL von B bis F $eynd zu$ammen genommen der Linie BE gleich. Al$o i$t die Zeit, innerhalb welcher der Cörper, der von beyden Kräften zugleich be- wegt worden, die Diagonal BF be$chrieben, der Zeit, innerhalb welcher eine jede Kraft vor $ich den Cörper nach ihrer Direction BC oder BE be- wegt hätte, gleich. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

964. Weilen die Kräften AB und DB im Stand $eynd zu ma- chen, da{$s} der Cörper B in gleichem Zeiten die Linien BC und BE be- $chreibe, und $ich die Würckungen gegen einander verhalten, als wie die Ur$achen die $ie hervorgebracht (§. 878.), $o bekommt man AB. DB : : BC. BE.

Zweyter Zu$atz.

965. Wann man das Parallelogrammum AD vollends ausmacht, Fig. 383. und die Diagonal FB bis in G verlängert, $o i$t die Linie BG die Diagonal des Parallelogrammi AD; und weilen die Dreyecke BCF und GDB einander ähnlich, $o i$t BC. GD : : BF. GB, und weilen AB = GD, $o verhält $ie die Linie BC zur Kraft GD, als wie $ich die Linie BF zur Kraft BG verhält; Die$es wei{$s}t uns al$o, da{$s} der Cörper B ver- mög der Kraft, die durch die Diagonal BG vorge$tellet wird, die Linie BF in der nemlichen Zeit durchlauffe, innerhalb welcher er vermög der Kraft AB oder GD die Linie BC durchlauffet; und weilen noch ferner BE. BD : : BF. BG, $o folgt, da{$s} die Diagonal GB allein $o viel Kraft habe den Cörper nach der Linie BF zu bewegen, als die beyde Linie AB und DB zu$ammen genommen haben.

Dritter Zu$atz.

966. Ferner folgt daraus, da{$s}, wann man auf der Diagonal BF Fig. 383. den Theil BH, den man der Diagonal BG gleich macht, ab$ticht, die Kraft, die durch BH vorge$tellet wird, und die von H gegen B würcket, im Stand $eye, die Würckung der Kraft GB, die von G gegen B wür- cket, zu verhindern; und da{$s} al$o die eintzige Kraft HB den Kräften AB und DB, die zugleich den Cörper B nach ihren Directions-Linien BC und BE zu bewegen $uchen, wider$tehen könne; woraus al$o folget, da{$s}, wann die drey Kräften AB, DB und HB zu gleicher Zeit den Cör- [0471] per B zu bewegen $uchen, der Cörper in Ruhe verbleibe; und da nen- net man die Gleichheit der bewegenden Kräften die gegen einander ihre Bewegung ausüben wollen, _Æquilibrium_, oder Gleich-Gewicht.

In dem folgenden wird erwie$en werden, da{$s} das Gleich- Gewicht in den _Machin_en in nichts anders be$tehe, als in dreyen Kräften, deren zwey als wie AB und DB zugleich den Cörper, oder den Punct B nach der _Direction_s-Linie BF zu bewegen $u- chen, da aber die dritte Kraft als wie HB, die der _Direction_ der zweyen andern _diametraliter_ entgegen $tehet, $ich ihrer Würckung wider$etzet, da{$s} al$o der Cörper oder der Punct B in Ruhe ver- bleibe.

Vierter Zu$atz.

967. Man $iehet auch noch gantz klar, da{$s} die drey Kräften, die Fig. 383. das Gleich-Gewicht verur$achen, mit den zweyen Seiten eines Paralle- logrammi, das man nach ihren Directions-Linien macht, und mit $einer Diagonal-Linie in Proportion $tehen, das i$t, da{$s} AB. BC : : DB. BE : : BH. BF; Dann die wider$tehende Kraft i$t allein im Stand, $o viel auszuwürcken, als die beyde bewegende Kräften zu$ammen genommen, das i$t, die wider$tehende Kraft kan in der nemlichen Zeit den Cörper B nach der Diagonal-Linie des Parallelogrammi bewegen, innerhalb wel- cher jede der bewegenden Kräften ihn nach ihrer corre$pondirenden Seiten bewegt.

Fünfter Zu$atz.

968. Ferner $iehet man, da{$s} man allezeit an die Stelle einer Fig. 383. Kraft zwey Kräften $ub$tituiren kan; Dann wann man an die Stelle der Kraft, die durch GB vorge$tellet wird, zwey andere Kräften, ver- mög welcher der Cörper B in der nemlichen Zeit die Linie BF be$chreibt, $ub$tituiren will, $o mu{$s} man, wann die Directons-Linien BE und BC gegeben $eynd, die$e Linien gegen A und D verlängern, und durch den Punct G mit BC und BE die Parallelen GD und GA führen; auf die- $e Art bekommt man die Linien AB und BD die die Kräften vor$tellen, welche zu$ammen genommen die Würckung thun, die die eintzige Kraft GB zu thun im Stand i$t.

Wann man aber an die Stelle einer Kraft zwey andere gegebene Kräften z. E. GD und BD $ub$tituiren will, die aber doch al$o be$chaf- fen, da{$s} $ie zu$ammen genommen grö$$er als die dritte GB $eyen, $o mu{$s} man mit die$en dreyen gegebenen Linien GBD ein Dreyeck formi- ren; wann man nun das Parallelogrammum AD vollends ausziehet, [0472] und die Linien AB und DB proportionaliter verlängert, und auch das Parallelogrammum EC vollends ausmacht, $o bekommt man die beyde Directions-Linien die die beyde gegebene Kräften haben mü$$en, damit $ie die Würckung thun, die die eintzige Kraft GB thut.

Sech$ter Zu$atz.

969. Weiters folgt daraus, da{$s}, ob$chon die Summ der beyden Fig. 384. bewegenden Kräften AB und DB grö$$er i$t, als die Wider$tehende Kraft BH oder BG, die ihr gleich i$t, $ie doch nur einerley Gewalt ge- gen den Cörper B ausüben, wann ander$t ihre Directions-Linien BC und BE einen mercklichen Winckel miteinander formiren; Dann wann man von den Puncten A und D auf GB die Perpendicularen AL und DI fallen lä{$s}t, und man die Parallelogramma LM und IK vollends aus- macht, $o verrichten die Kräften, die durch DK und KB vorge$tellet wer- den, das nemliche was auch die eintzige Kraft DB verrichtet, und die Kräften AM und MB verrichten das nemliche, was auch die eintzige Kraft AB verrichtet (§. 968.); allein die Kräften BK und BM $eynd den Perpendicularen ID und AL gleich, und lauffen mit ihnen parallel; Derowegen $eynd $ie unter $ich gleich und $tehen auf GF perpendicular; al$o bewegen die$e beyde Kräften den Cörper B noch gegen G noch ge- gen F; Derowegen kan man $ie, was die Bewegung gegen F betrift, an$ehen als wann $ie nicht da wären; Allein IB oder DK i$t der Linie GL gleich, desgleichen i$t auch AM = LB; al$o $iehet man, da{$s} die Kraft GB den beyden Kräften DK und AM zu$ammen genommen gleich $eye, und da{$s} al$o nur die Theile DK und AM der Kräften BD und AB mit der wider$tehenden Kraft BH das Gleich-Gewicht halten, indem man die andere Theile KB und BM an$ehen kan, als wann $ie nicht da wären.

Anmerckung.

970. Wir haben bis hieher die beyde Parallelogramma AD und EC betrach- tet, davon man das er$tere das Parallelogrammum der Kräften und das letztere das Parallelogrammum der be$chriebenen Linien nennen kan; allein in künftigem wer- den wir nur von dem eintzigen Parallelogrammo der be$chriebenen Linien Meldung thun; Dann weilen die$e beyde Parallelogramma einander ähnlich $eynd, $o $eynd ihre corre$pondirende Seiten in Proportion; derowegen kan man die beyde bewe- gende Kräften AB und DB durch die Seiten BC und BE, und die wider$tehende Kraft BH oder BG durch die Diagonal BF vor$tellen.

Lehr-Satz.

971. Wann man drey Kräften P, Q und R hat, die durch Fig. 385. 386. & 387. Stricke den Cörper F halten, $o wei{$s} man, da{$s}, wann die wi- [0473] der$tehende Kraft R durch die _Diagonal_ eines _Parallelogrammi_, und die zwey bewegende Kräften P und Q durch die zwey Seiten EF und DF eben die$es _Parallelogrammi_ vorge$teller werden, die$e drey Kräften mit einander im Gleich-Gewicht, und al$o der Cörper in Ruhe verbleibe. Da $age ich 1. Da{$s}, wann man Fig. 385. die beyde Kräften P und Q miteinander vergleicht, $ie $ich gegen- einander verhalten, als wie $ich _reciprocè_ die _Perpendicular_en BG und BC, die man von einem Punct B der _Direction_s-Linie der Kraft R auf die _Direction_s-Linien der Kräften Q und P ziehet, gegeneinander verhalten, das i$t, da{$s} P. Q : : BG. BC. 2. Da{$s}, wann man Fig. 386. die Kraft R mit der Kraft Q vergleicht, $ie $ich gegen einander verhalten, als wie $ich _reciprocè_ die _Perpendicu-_ _lar_en EC und EG, die man von einem Punct der _Direction_s-Linie der Kraft P auf die _Direction_s-Linien der Kräften Q und R zie- het, gegen einander verhalten, das i$t, da{$s}, R. Q : : EC. EG. und 3. da{$s}, wann man Fig. 387. die Kräften R und P mitein- ander vergleicht, $ie $ich gegen einander verhalten, als wie $ich _reciprocè_ die _Perpendicular_en DC und DG, die man von einem Punct der _Direction_s-Linie der Kraft Q auf die _Direction_s-Linien der Kräften P und R ziehet, gegen einander verhalten, das i$t, da{$s} R. P : : DC. DG.

Er$ter Beweis.

972. Wann man an die Stelle der Linie FD die Linie EB annimmt, Fig. 385. $o verhalten $ich die zwey Seiten FE und EB dcs Dreyecks EBF gegen einander, als wie die Kräften P und Q. Nun die Perpendicular BC i$t der Sinus des Winckels EFB und die Perpendicular BG i$t der Sinus des Winckels BFD; weilen aber der Winckel BFD dem Winckel EBF gleich i$t, indem $ie Altern-Winckel $eynd, $o i$t auch BG der Sinus des Winckels EBF. Nun die Sinus der Winckel verhalten $ich gegen einan- der, als wie die ihnen entgegen ge$etzte Seiten, $o i$t EF. EB : : BG. BC, und wann man an die Stelle BF die Kraft P, und an die Stelle EB die Kraft Q $etzet, $o bekommt man P. Q : : BG. BC. W. z. E. z. E.

Zweyter Beweis.

973. Wann man an$tatt der Seite FD die Seite EB nimmt, $o Fig. 386. hat man ein Dreyeck EBF de$$en Seiten BF und BE $ich gegen einander verhalten, als wie die Kräften R und Q. Nun die Perpendicular EG i$t der Sinus des Winckels EFB, und die Perpendicular EC der Sinus des Winckels EFC, al$o i$t auch EC der Sinus $eines Altern-Winckels [0474] HEF und al$o auch $eines Supplementi BEF. Weilen nun $ich die Si- nus der Winckel gegen einander verhalten, als wie die ihnen entgegen $tehende Seiten, $o bekommt man BF. BE : : EC. EG, oder auch R. Q : : EC. EG. W. z. A. z. E.

Dritter Beweis.

974. Wann man BD an die Stelle EF $etzet, $o bekommt man Fig. 387. das Dreyeck BDF, in welchem $ich die Seiten BF und BD gegen einan- der verhalten, als wie die Kräften R und P; Da nun die Perpendicu- lar DG der Sinus des Winckels BFD, und die Perpendicular DC der Si- nus des Winckels BDF i$t, $o bekommt man wieder BF. BD : : DC. DG, oder R. P : : DC. DG. W. z. E. D. z. E.

Erklärung.

975. In Folgendem werden wir den Puncten als wie B, E und Fig. 385. 386. & 387. D, den man auf einer Directions-Linie annimmt, die nicht in die Pro- portion kommt, und von dem man die Perpendicularen auf diejenige ziehet, die in die Proportion kommen, den Ruhe-Punct, oder den Mit- tel-Punct der Bewegung nennen.

Zweytes Capitul Von Der Verhältni{$s}, die die Kräften gegenein- ander haben, wann $ie nemlich die Lä$te durch Stricke halten. Lehr-Satz.

976. Wann die beyde Kräften P und Q einen La$t R hal- Fig. 388. ten, der $ich nach der _Direction_s-Linie BR zu bewegen $ucht, $o $age ich, da{$s} dei$e beyde Kräften miteinander im Gleich-Ge- wicht $tehen werden, wann $ie $ich nemlich gegen einander ver- halten, als wie $ich _reciprocè_ die _Perpendicular_en BC und BG, die man von einem Punct B der _Direction_s-Linie BR auf die _Direction_s-Li- nien FP und FQ ziehet, gegen einander verhalten, das i$t, da{$s} P. Q : : BG. BC.

[0475] Beweis.

Damit die beyde Kräften P und Q miteinander im Gleich-Gewicht $tehen, $o wird erfordet, da{$s} $ie die Seiten als wie FE und FD eines Parallelogrammi $eyen, de$$en Diagonal BF die Schwäre der La$t R ausdrucke, indem, in die$em Fall die La$t R, wann man $ie vor die wi- der$tehende Kraft annimmt, mit den beyden bewegenden Kräften im Gleich-Gewicht $tehet, dann auf beyden Seiten befindet $ich einerley Kraft; Wann man nun BD an die Stelle von EF $etzet, $o bekommt man die zwey Seiten BD und DF des Dreyecks BDF die $ich gegen ein- ander verhalten, als wie die Kräften P und Q; und weilen die Seiten BD und DF auch $ich gegen einander verhalten, als wie die Sinus ihrer entgegen $tehenden Winckel, die aber nichts anders $eynd, als die Per- pendicularen BG und BC, $o bekommt man P, Q : : BG. BC. W. z. E.

Desgleichen, wann man von einem Punct D der Directions-Linie Fig. 389. FQ die Perpendicularen DG und DC auf die Directions-Linien BR und PF ziehet, $o verhalten $ich die Kräften P und R gegen einander, als wie $ich reciprocè die Perpendicularen DG und DC gegen einander verhal- ten; Dann weilen die$e Perpendicularen die Sinus der den Seiten BF und BD des Dreyecks BDF entgegen $tehenden Winckeln $eynd, $o i$t BD. BF : : DG. DC, und al$o P. R : : DG. DC.

Endlich wann man von einem Punct E, den man auf der Dire- Fig. 390. rections-Linie der Kraft P annimmt, die Perpendicularen EG und EC auf die Directions-Linien der Kräften R und Q fallen lä{$s}t, $o i$t wie- derum Q. R : : EG. EC.

Er$ter Zu$atz.

977. Wann man nun $upponirt, die La$t R werde be$tändig ver- Fig. 391. ringert, da doch eine jede der Kräften P und Q einerley verbleibt, $o wird die Diagonal BF des Parallelogrammi ED ebenfalls auch verrin- gert, und zwar nach Proportion als die La$t R verringert wird. Da nun FD und FE einerley verbleiben, $o wird der Winckel EFD allezeit grö$$er, indem die Kräften P und Q herunter, die La$t R aber hinauf- $teiget; $o lang aber die Schwäre der La$te R noch mercklich i$t, $o lang i$t auch noch die Diagonal BF eine merckliche Linie, und formirt al$o al- lezeit ein Parallelogrammum ED; Derowegen formiren auch die Dire- ctions-Linien FP und FQ allezeit einen Winckel in F.

[0476] Zweyter Zu$atz.

978. Daraus folgt al$o, da{$s} ein Strick niemals kan in eine gra- de Linie ausge$trecket werden, als durch eine unendlich gro$$e Kraft; Dann $eine Schwäre, man mag $ie auch $o gering $chätzen als man will, i$t allezeit mercklich, und man kan $ie an$ehen, als wann $ie in einem ein- tzigen Punct des Stricks vereiniget wäre, gleichwie die La$t R an einem $einer Puncten F hänget.

Dritter Zu$atz.

979. Wann man von dem Punct E und D die Perpendicularen Fig. 392. EG und DH auf die Directions-Linie BR fallen lä{$s}t, und man die Re- ctangula GI und HK vollends ausmacht, $o bekommt man die zwey Seiten EI und IF, welche zwey Kräften vor$tellen, die zu$ammen genom- men der Kraft EF gleich $eynd; Desgleichen auch die Zwey Seiten DK und FK, die auch zwey Kräften vor$tellen, welche zu$ammen genom- men der Kraft DF gleich $eynd; Allein die Kräften IF und FK $eynd einander gleich und keine davon hält etwas von der La$t R; al$o kan der Theil der La$t, den die Kraft Q hält, durch die Linie DK und derjenige Theil, den die Kraft P hält, kan durch die Linie EI vorge$tel- let werden. Daraus folgt al$o, da{$s} die Theile der La$t R, welche die Kräften P und Q halten, $ich gegen einander verhalten, als wie EI und DK, oder als wie GF und HF; weilen nun BH = GF, $o $tellt die Li- nie BF die gantze Schwäre der La$t vor; Derowegen bekommt man P. R : : EI, oder GF. BF, und auf der andern Seite Q. R : : DK oder HF. BF.

Vierter Zu$atz.

980. Wann aber die Directions-Linie FD der Kraft Q horizon- Fig. 393. tal, hingegen aber die Kraft P $ich ober dem Horizont befindet, $o hält die$e gantz allein die La$t R; Dann wann man das Parallelogrammum BE vollends ausmacht, $o $tellt die Perpendicular HE den Theil der La$t R vor, den die Kraft P hält; allein die Linie HE i$t der Diagonal BF gleich, die aber die gantze Schwäre der La$t vor$tellt; Derowegen hält die Kraft P den gantzen Cörper.

Fünfter Zu$atz.

981. Wann nun die Kraft Q $ich gar unter der Horizontal-Li- Fig. 394. nie HL, und die Kraft P $ich ober der$elben befindet, $o mu{$s} die Kraft P nicht nur allein die gantze La$t R, $ondern auch noch den Theil der [0477] La$t, welchen die Kraft Q halten würde, wann $ie $ich um $o viel über der Horizontal Linie HL befände, als $ie $ich darunter befindet; Dann wann man die Rectangula IH und GK formiret, $o $tellet die Linie EH dasjenige vor was die Kraft P halten mu{$s}, und die Linie FK $tellt die Wurckung der Kraft Q vor. Da nun FK = IB, $o be$tehet EH oder IF aus BF, die die Schwäre der La$t R, und aus BI, die den Theil der La$t R vor$tellet, den die Kraft Q halten würde, wann $ie $ich um $o viel ùber der Horizontal-Linie HL befände, als $ie $ich unterhalb der$el- ben befindet: Die$es wei{$s}t al$o, da{$s} die Kraft P mehr als die Schwäre der La$t R halten mu{$s}.

Sech$ter Zu$atz.

982. Daraus folgt al$o, da{$s}, wann man einen Cörper HI hat, den Fig. 395. zwey Kräften P und Q halten, die$e zwey Kräften miteinander im Gleich-Gewicht $tehen, wann $ie $ich nemlich gegen einander verhalten, als wie $ich reciprocè die Perpendicularen FG und FC, die man von ei- nem Punct F der Directions-Linie BF auf die Directions-Linien der Kräften P und Q ziehet, gegen einander verhalten; Dann wann man $uppónirt, die gantze Schwäre des Cörpers HI $eye in $einem Mittel- Punct der Schwäre F vereinigt, und die wir al$o durch den Cörper R vor$tellen, $o wird erfordert, da{$s}, um das Gleich-Gewicht zu haben, die Kraft P $ich zu Q verhalte, als wie $ich BE zu BD, oder FD zu BD oder FE verhält. Weilen $ich nun die Sinus der Winckel des Dreyecks FBD gegen einander verhalten, als wie die den Winckeln entgegen ge- $etzte Seiten, $o verhält $ich FG als der Sinus des Winckels FBG zu FC als dem Sinu des Winckels CBF oder BFD (indem $ie Altern-Win- ckel $eynd), als wie $ich die Seite FD zu BD verhält; Derowegen be- kommt man FD. BD : : FG. FC, oder auch BE. BD : : FG. FC; Dero- wegen i$t auch P. Q : : FG. FC.

Wann aber der Cörper HI an einem End H auf etwas ruhet, und Fig. 396. er nur an dem andern End I von der Kraft Q gehalten wird, $o ver- hält $ich die$e Kraft Q zum La$t R, als wie $ich BD zu BF verhält; und weilen die$e Linien Seiten des Dreyecks BFD $eynd, $o verhalten $ie $ich gegen einander, als wie die Sinus der Winckel BFD und BDF, wel- che aber durch die Perpendicularen EG und EC vorge$tellet werden; Die$es wei{$s}t al$o, da{$s} $ich die Kraft Q zum La$t R verhalte, als wie $ich reciprocè die Perpendicularen EC und EG, die man von einem Punct E der Directions-Linie der Kraft P auf die Directions-Linien der Kräf- ten Q und R ziehet, gegen einander verhalten.

[0478] Drittes Capitul. Von Der $chief-liegenden Fläche. Erklärung.

983. Eine jede Fläche, die mit dem Horizont einen $chieffen Win- ckel formirt, und nach welcher man einen Cörper bewegt, wird ein _Pla-_ _num inclinatum_, oder ein $chief-liegende Fläche genennet. Die$e $chief-liegende Fläche kan man allezeit durch die Hypothenu$am eines rechtwincklichten Dreyecks vor$tellen.

Lehr-Satz.

984. Wann eine Kraft Q eine _Sphœri_$che La$t P hält, Fig. 397. und zwar nach einer _Direction_s-Linie DE, die mit der Fläche AB parallel lauft, $o $age ich 1. da{$s} $ich die Kraft zur La$t ver- halte, als wie $ich die Höhe der $chief-liegenden Fläche zu ihrer Länge verhält, das i$t, da{$s} Q. P : : BC. BA.

2. Da{$s} wann die Kraft Q die La$t P nach einer mir der Fig. 398. Grund-Linie AC parallel-lauffenden _Direction_s-Linie DE hält, $ich die Kraft zur La$t verhalte, als wie $ich die Höhe der $chief- liegenden Fläche zur Länge ihrer Grund-Linie verhält, das i$t, da{$s} Q. P : : BC. AC.

Er$ter Beweis.

Wann man die Linie DF perpendicular auf die $chief-liegende Flä- Fig. 397. che ziehet, $o i$t $ie die Directions-Linie der wider$tehenden Kraft; und wann man das Parallelogrammum IG vollends ausmacht, $o $tellt die Seite DG eine, und die Seite DI die andere der würckenden Kräften vor; wann nun die$e beyde Kräften zugleich den Cörper $uchen zu be- wegen, $o $tehen $ie mit der wider$tehenden Kraft DF im Gleich-Ge- wicht; Da $ich nun die$e beyde Kräften gegen einander verhalten, als wie $ich DG zu DI verhält, $o verhalten $ie $ich auch gegen einander, als wie die Seiten IF und ID des rechtwincklichten Dreyecks DIF; und wei- len die$es Dreyeck DIF dem Dreyeck ABC äynlich, $o i$t IF oder DG. ID : : BC. BA, oder Q. P : : BC. BA. W. z. E.

[0479] Zweyter Beweis.

985. Wann die Linie DF auf AB perpendicular $tehet, $o $tellt $ie Fig. 398. wiederum die wider$tehende Kraft vor, und wann man das Rectangu- lum IG vollends ausmacht, $o bekommt man Q. P : : DG. DI, oder, wann man IF an die Stelle von DG $etzet, $o bekommt man Q. P : : IF. DI. Da nun das Dreyeck DIF dem Dreyeck ABC ähnlich, $o i$t IF oder DG. ID : : BC. CA, oder Q. P : : BC. CA. W. z. E.

986. Wann aber die Directions-Linie DE der Kraft Q noch mit Fig. 399. der $chief-liegenden Fläche AB noch mit ihrer Grund-Fläche AC paral- lel lauft, und doch die Kraft Q mit der La$t P im Gleich-Gewicht $te- het, $o verhält $ich in die$em Fall die Kraft zur La$t, als wie $ich reci- procè die Perpendicularen FI und FL gegen einander verhalten; Dann wann man das Parallelogrammum KG macht, $o i$t allezeit Q. P : : DG. DK oder GF; nun die Seiten DG und GF des Dreyecks GDF verhalten $ich gegen einander, als wie die Sinus der ihnen entgegen ge- $etzten Winckel, das i$t, als wie die Perpendicularen FI und FL; Dero- wegen i$t DG. GF oder DK : : FI. FL, oder Q. P : : FI. FL.

Was die Verhältni{$s} anlangt, die eine jede der würckenden Kräf- ten P und Q gegen die wider$tehende R hat, welche aber nichts an- ders i$t, als der Gewalt, den die La$t P wider die Fläche AB ausübt, $o findet man $ie nach den Regeln des vorhergehenden Capituls.

Er$ter Zu$atz.

987. Daraus folgt al$o, da{$s}, wann zwey Cörper P und Q auf Fig. 400. zweyen $chief-liegenden Flächen, die mit dem Horizont unter$chiedene Winckel formiren, mit einander im Gleicht-Gewicht $tehen, und zwar al$o, da{$s} die Directions-Linien RP und RQ mit den Flächen parallel lauffen, $ich die$e Cörper gegen einander verhalten, als wie die Länge der Flächen, das i$t, da{$s} P. Q : : BA. BC; Dann weilen BD die ge- meine Höhe der beyden Flächen i$t, $o würde die Kraft, die man in R $upponirt, eben $o leicht den Cörper P als den Cörper Q halten; De- rowegen i$t R. BD : : P. BA und R. BD : : Q. BC; woraus al$o folgt, da{$s} P. BA : : Q. BC, und da{$s} al$o P. Q : : BA. BC.

Zweyter Zu$atz.

988. Desgleichen wann zwey Cörper P und Q auf zweyen $chief- Fig. 401. liegenden Flächen, die mit dem Horizont unter$chiedene Winckel formi- ren, mit einander im Gleich-Gewicht $tehen, und zwar al$o, da{$s} die Directions-Linien mit den Grund-Flächen, parallel lauffen, $o verhal- [0480] ten $ich die beyde Cörper gegeneinander, als wie die Längen der Grund- Flächen, das i$t, P. Q : DA. DC; Dann weilen DB die gemeine Höhe der beyden Flächen i$t, $o würde die Kraft, die man in R $upponirt, eben $o leicht den Cörper P als den Cörper Q halten; Derowegen i$t R. BD : : P. DA und R. BD : : Q. DC; woraus al$o folgt, da{$s} P. DA : : Q, DC, und da{$s} al$o P. Q : : DA. DC.

Dritter Zu$atz.

989. Ferner folgt daraus, da{$s} wann eine Kraft Q eine La$t P Fig. 397. nach einer mit der $chief-liegenden Fläche AB parallel lauffenden Dire- ctions-Linie bewegt, $ich die Kraft zur La$t verhalte, als wie $ich der Sinus BC des Winckels BAC, den die Fläche mit dem Horizont for- mirt, zum Sinu toto AB verhält, und da{$s} al$o die Kraft allezeit gerin- ger als die La$t $eye.

Vierter Zu$atz.

990. Ferner kan man noch $agen, da{$s}, wann eine Kraft Q eine Fig. 398. La$t P nach einer mit der Grund-Fläche AC parallel lauffenden Dire- ctions-Linie bewegt, $ich die Kraft zur La$t verhalte, als wie $ich der Sinus BC des Winckels BAC, den die $chief-liegende Fläche mit dem Horizont formirt, zum Sinu AC $eines complementi ABC verhält; Die$es wei{$s}t al$o, da{$s} wann der Winckel BAC, den die Fläche mit dem Horizont formirt, von 45. Gr. i$t, die Kraft der La$t gleich $eye, und da{$s}, wann der Winckel BAC mehr als 45 Gr. hat, die Kraft grö$$er als die La$t $eye.

Viertes Capitul. Von dem Hebel. Erklärung.

991. Wann man einen Stab betrachtet, als hätte er keine Schwäre und könte nicht gebogen werden; und man an drey Puncten $einer Länge drey Kräften applicirt, davon zwey, die man die würcken- de Kräften nennet, gegen eine Seite und auf einer Fläche ihre Wür- ckung thun, die dritte aber, die die wider$tehende genennet wird, ihre [0481] Würckung in $en$u directè oppo$ito thut, $o wird die$er Stab ein He- bel genennet.

Lehr-Satz.

992. Wann zwey Kräften, die man miteinander vergleicht, Fig. 402. mit einander im Gleich-Gewicht $tehen, $o verhalten $ie $ich ge- gen einander, als wie $ich _reciprocè_ die _Perpendicular_en DG und DH die man von dem Ruhe-Punct D auf die _Direction_s-Linien CA und CB der Kräften P und Q ziehet, gegen einander verhalten; al$o i$t zu erwei$en, da{$s} P. Q : : DH. DG.

Beweis.

Wann man von dem Punct D die Linien DE und DF mit den Di- rections-Linien CA und CB parallel führet, $o bekommt man ein Paral- lelogrammum EF, de$$en Diagonal DC, die den Kräften P und Q wider- $tehende Kraft, die Seite CE aber die Kraft P und die Seite CF die Kraft Q vor$tellet: Derowegen i$t P. Q : : EC oder DF. FC; nun in dem Dreyeck DCF verhalten $ich die Sinus der Winckel gegen einander, als wie die ihnen entgegen $tehende Seiten, $o verhalt $ich al$o die Sei- te DF zur Seite CF, als wie der Sinus des Winckels DCF zu dem Sinu des Winckels CDF. Da nun DH der Sinus des Winckels DCF und DG der Sinus des Winckels CDF, oder $eines Altern-Winckels ECD i$t, $o bekommt man DF oder EC. FC : : DH. DG, und wann man an die Stelle von EC und FC die Kräften P und Q $etzet, $o bekommt man P. Q : : DH. DG. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

993. Daraus folgt al$o, da{$s} wann $ich der Punct C immer mehr Fig. 402. & 403. und mehr von den drey Puncteu A, D und B entfernet, und zwar al$o, da{$s} die Directions-Linien AC, DC und BC der dreyen Kräften P, R und Q miteinander parallel werden, $o werden $ie in An$ehung des He- bels entweder perpendicular oder $chief $eyn; wann $ie $chief $eynd, $o i$t wiederum P. Q : : DH. DG, indem die Linien DH und DG nichts anders als Perpendicular-Linien $eynd, die man von dem Punct D auf die Directions-Linien der Kräften P und Q ziehet; Ferner weilen we- gen den ähnlichen Dreyecken DAG und DBH wir haben DB. DA : : DH. DG, $o i$t auch P. Q. DB. DA, woraus man al$o $chlie{$s}t, da{$s} zwey Kräften, die an die Ende eines Hebels nach parallelen _Direction_s- Linien _applici_rt werden, miteinander im Gleich-Gewicht $tehen, wann $ie $ich gegen einander verhalten, als wie $ich _reciprocè_ die [0482] Aerme des Hebels gegen einander verhalten, das i$t, wann P. Q : : DB. DA.

Anmerckung.

994. Man kan dahier bey Gelegenheit mercken, da{$s} wann zwey Kräften Fig. 404. eine La$t E tragen, die $ich in der Mitte eines Hebels befindet, die$e zwey Kräf- ten gleich beladen $eyen. Dann weilen P. Q : : CB. CA und CB = CA, $o i$t auch P = Q; wann aber die La$t F näher bey A als bey B i$t, $o i$t die Kraft P mehr beladen als die Kraft Q indem P. Q : : DB. DA, da nun DB > DA $o i$t auch P > Q. Al$o um $o vielmehr der Arm DB grö$$er i$t als DA, um $o viel mu{$s} die Kraft P mehr tragen als die Kraft Q.

Zweyter Zu$atz.

995. Wann man aber einen Hebel A_B_ hat de$$en Ruhe-Punct Fig. 405. an einem End A i$t, und an zweyen $einer Puncten D und B Kräften applicirt $eynd, deren eine nach der Direction DQ, und die andere nach der Direction BP und al$o in $en$u contrario ziehet, $o $age ich, da{$s} die- $e beyde Kräften miteinander im Gleich-Gewicht $tehen, wann $ie $ich gegen einander verhalten, als wie $ich reciprocè die Perpendicularen AG und AH, die man von dem Ruhe-Punct A auf ihre Directions-Linien ziehet, gegen einander verhalten; Dann wann man das Parallelogram- mum EF macht, $o $tellt die Seite CF die Kraft P und die Diagonal- Linie CD die Kraft Q vor, welche al$o miteinander im Gleich-Gewicht $tehen; und weilen $ich die Seiten CF und CD des Dreyecks CFD ge- gen einander verhalten, als wie $ich die Sinus ihrer entgegen $tehenden Winckeln gegen einander verhalten, $o bekommt man CF. CD : : AH. AG, oder P. Q : : AH. AG.

Dritter Zu$atz.

996. Ferner kan man noch als wie in dem er$ten Corollario $a- Fig 405. & 406. gen, da{$s} wan $ich der Punct C unendlich weit von den Puncten D und B entfernet, und zwar al$o, da{$s} die Directions-Linien BP und DQ pa- rallel, und zu dem Hebel AB perpendicular werden, die Kräften P und Q miteinander im Gleich-Gewicht $tehen bleiben; Dann in die$em Fall wird die Perpendicular AG der Länge des Hebels AB, und die Perpen- dicular AH dem Arm AD gleich; Derowegen bekommt man P. Q : : AD. AB.

Vierter Zu$atz.

997. Derowegen wann eine Kraft P eine La$t Q durch Hülf ei- Fig. 407. nes Hebels AB hält, al$o da{$s} die La$t in $einer Mitte D, der Ruhe- [0483] Punct oder die Unterlage an einem End A und die Kraft an dem andern End B $eye, $ohält die Kraft P nur die Helfte der La$t Q; Dann P. Q : : AD. AB; Da nun AD nur die Helfte von AB i$t, $o i$t auch P nur die Helfte von Q.

Fünfter Zu$atz.

998. Wann aber die La$t nicht in der Mitte, $ondern näher bey A als bey B z. E. in C i$t, $o trägt die Kraft P noch weniger als die Helfte der La$t; Dann weilen P. Q : : AC. AB, und AC kleiner als CB i$t, $o i$t auch P kleiner als die Helfte von Q.

Sech$ter Zu$atz.

999. Daraus folgt al$o, da{$s} die Kraft, $ie mag an einem Punct Fig. 408. D des Hebels AB, wo man will, applicirt $eyn, mit der La$t, die $ich an dem End B befindet, allezeit im Gleich-Gewicht $tehe, wann $ie $ich zur La$t verhält, als wie der Hebel AB zum Arm AD.

Siebender Zu$atz.

1000. Wann man einen Hebel AB hat, de$$en Ruhe-Punct in E Fig. 409. i$t, $o $tehen die zwey Lä$te P und Q, die man an $eine beyde Ende A und B applicirt, miteinander im Gleich-Gewicht, wann $ie $ich gegen- einander verhalten, als wie $ich reciprocè die Aerme des Hebels gegen einander verhalten, das i$t, wann P. Q : : EB. EA; Dann wir haben erwie- $en, da{$s} zwey Kräften auf die$e Art miteinander im Gleich-Gewicht $tehen, wann man nun an die Stelle der Kräften Lä$te $etzet, die ihnen gleich $eynd, $o thun $ie die nemliche Würckung; Derowegen $tehen $ie auch miteinander im Gleich-Gewicht.

Achter Zu$atz.

1001. Daraus folgt al$o, da{$s}, wann zwey Lä$te an den Enden Fig. 409. eines Hebels, oder einer Waag applicirt $eynd, man allezeit den Ruhe- Punct, nach welchem die$e beyde Lä$te miteinander im Gleich-Gewicht $tehen, finden könne; Dann man dörf nur $agen: Wie $ich die Summ der beyden Lä$te P und Q zur gantzen Länge des Hebels verhält, al$o verhält $ich die La$t P zur Länge des Armes BE, auf die$e Art bekommt man den Ruhe-Punct E.

Desgleichen, wann man die beyde Aerme AE und EB $amt einer La$t P kennet, kan man die andere La$t Q finden; Dann man dörf nur $agen: wie $ich der Arm EB zur La$t P verhält, al$o verhält $ich der Arm AE zur La$t Q.

[0484] Neunter Zu$atz.

1002. Ferner folgt noch daraus, da{$s}, wann man einen Stab Fig. 410. AB hat, den man mit $einer Schwäre betrachtet, man allezeit einen Puncten als wie F finden könne, welcher die Eigen$chaft hat, da{$s}, wann man den Stab an ihn aufhencket, er mit der La$t C im Gleich-Ge- wicht $tehe; Dann man dörf nur den Stab AB in zwey gleiche Theile AD und DB eintheilen, und $upponiren, $eine gantze Schwäre $eye in $einem Mittel-Punct der Schwäre D vereinigt, welche man auch durch die La$t E vor$tellet; nach die$em findet man in dem Stab AD, den man nunmehro ohne Schwäre betrachtet, den Ruhe-Punct F, wann man $agt: Wie $ich die Summ der beyden Lä$te C und E zur Länge AD verhält, al$o verhält $ich die La$t E zu dem Arm AF.

Zehender Zu$atz.

1003. Wann zwey Lä$te C und D an den Enden eines Hebels Fig. 411. AB, den man mit $einer Schwäre betrachtet, applicirt $eynd, und man den Ruhe-Punct finden will, welcher die Eigen$chaft habe, da{$s}, wann man den Hebel an ihn aufhenckt, $o wohl die Schwäre des Hebels, als auch die beyde Lä$te miteinander im Gleich-Gewicht $tehen; $o mu{$s} man zu er$t den Ruhe-Punct E $uchen, vermög de$$en die beyde Lä$te C und D miteinander im Gleich-Gewicht $tehen, indem wir vor die$esmal von der Schwäre des Hebels ab$trahiren; nach die$em $upponirt man, die gantze Schwäre der Lä$te C und D $eye in der La$t G, die an dem Mittel-Punct der Schwäre E hänget, und die gantze Schwäre des He- bels $eye in der La$t F, die an $einem Mittel-Punct der Schwäre H hänget, vereiniget, und $iehet die Länge EH als einen Hebel an, an de- ren beyden Enden $ich die Lä$te G und F befinden; Da bekommt man den Ruhe-Punct, wann man $agt: Wie $ich die Summ der beyden Lä$te G und F zur Länge EH verhält, al$o verhält $ich die La$t F zu dem Arm EI; auf die$e Art bekommt man den Ruhe-Punct I, vermög de$$en die Schwäre des Hebels und der beyden Lä$te C und D mitein- ander im Gleich-Gewicht $tehen.

Eilfter Zu$atz.

1004. Endlich wann man einen Hebel AB von einer gewi$$en Fig. 412. Schwäre hat, $amt einer La$t I, die an einem End A hänget, und man den Punct C vor den Ruhe-Punct annimmt, und man in dem Arm CB einen Punct G finden will, an welchen man eine La$t H von einer gegebenen Schwäre hencken kan, al$o da{$s} die Schwäre des Hebels und [0485] die beyde Lä$te H und I miteinander im Gleich-Gewicht $tehen, $o mu{$s} man den Hebel AB in zwey gleiche Theile AE und EB eintheilen, und wiederum $upponiren, $eine gantze Schwäre werde durch die La$t F, die an $einem Mittel-Punct der Schwäre hänget, vorge$tellet; nach die$em $ucht man den Theil der La$t I, der mit der La$t F, oder mit dem He- bel im Gleich-Gewicht $tehet, indem man $agt: Wie $ich der Arm AC zur La$t F verhält, al$o verhält $ich der Arm CE zu dem Theil der La$t I den man ge$ucht, und der z. E. mit K benennet wird. Nunmehro um den Punct G zu finden, an welchen man die La$t H hencken mu{$s}, damit $ie mit dem Uberre$t L der La$t I im Gleich-Gewicht $tehe, $o mu{$s} man $agen: Wie $ich die La$t H zum Arm AC verhält, al$o ver- hält $ich die La$t L zu dem Arm CG; auf die$e Art findet man den ge- $uchten Punct G.

Durch Hülf die$es Zu$atzes lernet man die Schnell-Waagen ma- chen, indem $ie nichts anders $eynd, als $olche Hebel, davon wir in die- $em Zu$atz geredet.

Anmerckung.

1005. Es gibt noch eine andere Manier das Gleich-Gewicht in den Ma- Fig. 413. chinen zu erwei$en, davon wir noch nichts geredet; $ie i$t aber gantz leicht zu ver- $tehen, wann man $ich nur de$$en wieder erinnert, was in dem Tractat von der Bewegung der Cörper gewie$en worden. Z. E. Um zu erwei$en, da{$s} die beyde Lä$te P und Q, die an den beyden Enden des Hebels AB applicirt $eynd, mitein- ander im Gleich-Gewicht $tehen, wann $ie $ich nemlich gegen einander verhalten, als wie $ich reciprocè die Aerme EB und EA gegen einander verhalten, das i$t, wann P. Q : : EB. EA, $o betrachtet, da{$s} die La$t P $ich nicht bewegen könne da{$s} $ie nicht auch zugleich die La$t Q bewege. Wann man nun $upponirt, die La$t P wäre $chwärer als Q, $o be$chreibt die La$t Q in der nemlichen Zeit den Bogen GB, als die La$t P den Bogen AF be$chreibt: derowegen $tellt der Bogen AF die Ge$chwindigkeit der La$t P, und der Bogen GB die Ge$chwindigkeit der La$t Q vor, mit welcher $ie in einerley Zeit bewegt werden. Allein wir haben gewie- $en §. 886, da{$s} zwey Cörper einerley Kraft der Bewegung haben, wann $ich ih- re Ma$$æ gegen einander verhalten, als wie $ich reciprocè ihre Ge$chwindigkeiten gegen einander verhalten; Derowegen haben die beyde Lä$te P und Q einerley Kraft der Bewegung, wann P. Q : : GB. AF. Run vermög un$erer Suppo$ition i$t P. Q : : EB. EA, und vermög der ähnlichen Dreyecke GEB und AEF i$t GB. AF : : EB. AE; Derowegen i$t P. Q : : GB. AF. Weilen nun die Cörper auf die- $e Art einerley Kraft der Bewegung haben, $o $tehen $ie miteinander im Gleich- Gewicht.

Zu$atz.

1006. Daraus folgt al$o, da{$s}, wann man an die Stelle der Fig. 413. La$t Q eine gleich-gültige Kraft $ub$tituirt, auch die$e mit der La$t P [0486] im Gleich-Gewicht $tehe, wann $ie $ich nemlich gegen einander verhal- ten, als wie $ich reciprocè die Wege, die $ie be$chreiben, oder die Ge- $chwindigkeiten, mit welchen $ie bewegt werden, gegen einander verhal- ten, das i$t, wann Q. P : : AF. GB. Derowegen wann man erwei- $en wird, da{$s} $ich in den _Machin_en der Weg der La$t zu dem Weg der Kraft verhält, als wie $ich _reciprosè_ die Kraft zur La$t verhält, $o wird man allezeit erwei$en, da{$s} die Kraft mit der La$t im Gleich-Gewicht $tehe.

Z. E. Um zu erwei$en, da{$s} die Kraft Q, die an das End eines Fig. 414. Hebels AB applicirt wird, mit der La$t P im Gleich-Gewicht $tehe, wann nemlich Q. P : : AF. AB, $o wollen wir uns vor$tellen, die Kraft und die La$t haben $ich bewegt, al$o da{$s} der Hebel AB nunmehro die Si- tuation AD habe; Da $tellt der Bogen DB die Ge$chwindigkeit der Kraft Q, und der Bogen EF die Ge$chwindigkeit der La$t P vor; nun vermög des Gleich-Gewichts i$t Q. P : : EF. DB, wann man nun an die Stelle der Zirckel-Bögen EF und DB ihre Radios AF und AB $e- tzet, $o bekommt man Q. P : AF. AB.

Erklärung.

1007. Weilen wir unter den Hebelni, davon wir geredet, keinen Unter$chied gemacht, und doch die unter$chiedene Stellungen der Un- terlage die Eigen$chaften der$elben verändern, $o wollen wir einen $ol- chen Hebel, an de$$en einem End die Kraft, und an dem andern die La$t applicirt i$t, und $ich die Unterlage zwi$chen ihnen befindet, einen He- bel von der er$ten Art; einen $olchen aber, an de$$en einem End $ich die Unterlage, an dem andern die Kraft und die La$t zwi$chen ihnen be- findet, einen Hebel von der zweyten Art, und einen $olchen, an de$- $en einem End die Unterlage, an dem andern die La$t und die Kraft zwi$chen ihnen applicirt i$t, einen Hebel von der dritten Art nen- nen.

Es gibt auch noch eine vierte Sorte, den man den gebrochenen Hebel nennet, indem er an dem Ort der Unterlage einen Winckel for- miret; $eine Eigen$chaft beziehet $ich auf die Eigen$chaft des Hebels von der er$ten Art, indem $ich die Kraft und die La$t an beyden Enden und die Unterlage zwi$chen ihnen befindet.

[0487] Fünftes Capitul. Von dem Ha$pel. Erklärung.

1008. Der Ha$pel i$t eine Machine in Form eines Rads, de$$en Radii an einen Cylinder, den man die Welle hei{$s}t, fe$t gemacht wer- den; an den beyden Enden die$er Welle befinden $ich Zapfen, welche auf einem Ge$telle von Holtz ruhen; Die$es dienet al$o nur die gantze Machine zu tragen.

Die bewegende Kraft wird insgemein an die Circumferenz des Ra- des applicirt, welches $ie durch Hülfe gewi$$er Zähne, die entweder auf $eine Circumferenz, oder auch nahe bey der$elben auf $eine Fläche per- pendicular einge$teckt werden; in dem er$ten Fall wird das Rad ein Stirn-Kad, und in dem zweyten ein Kamm-Kad genennet; Die La$t aber wird an einen Strick applicirt, welcher $ich um die Welle her- um$chlingt.

Lehr-Satz.

1009. Wann eine Kraft durch Hülf eines Ha$pels eine Fig. 415. La$t hält, und zwar nach einer _Direction_s-Linie, die zur _Circumfe-_ _renz_ des Kads eine _Tangent_ i$t, $o $age ich, da{$s} $ich die Kraft zur La$t verhalte, als wie $ich der _Radius_ der Welle zum _Radio_ des Kads verhält.

Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s}, wann die Kraft Q mit der La$t P im Gleich- Gewicht $tehet, $ich die Kraft Q zur La$t P verhalte, als wie $ich der Radius CB der Welle zum Radio CA des Rads verhält, $o betrachtet, da{$s} man die grade Linie AB als einen Hebel an$ehen könne, de$$en Un- terlage in dem Mittel-Punct C der Welle i$t, und da $ich die Kraft Q an dem einen, und die La$t P an dem andern End befindet; woraus al$o folgt, das vermög des Standes des Gleich-Gewichts Q. P : : CB. CA.

Wann aber die Kraft nicht nach der Directions-Linie AQ, $ondern nach der Direction DF, die aber auch nur die Circumferenz des Rads berühret, agiret, $o verhält $ich doch wieder die Kraft zur La$t, als wie der Radius der Welle zum Radio des Rads; Dann vermög des Win- [0488] ckels DCB i$t der Hebel DCB ein gebrochener Hebel, de$$en Aerme die Radii CB und CD $eynd. Derowegen wann die Kraft nach einer auf dem Arm CD perpendicular $tehenden Directions-Linie DF agiret, $o hat $ie die nemliche Würckung in D, die $ie auch in A hat; Da nun der gebrochene Hebel ein Hebel von der er$ten Art i$t, $o i$t wiederum Q. P : : CB. CD. W. z. E.

Die$es kan man auch durch die Bewegung erwei$en; Dann man betrachte nur, da{$s}, wann $ich die Kraft um das Rad bewegt, in der nemlichen Zeit auch die La$t $ich um die Welle bewegen mü$$e; nun man wei{$s}, da{$s} die Kraft mit der La$t im Gleich-Gewicht $tehet, wann $ie $ich gegen einander verhalten, als wie $ich reciprocè die Ge$chwin- digkeiten gegen einander verhalten; nun die Circumferenz des Rads $tellt die Ge$chwindigkeit der Kraft, und die Circumferenz der Welle $tellt die Ge$chwindigkeit der La$t vor, al$o verhält $ich die Kraft zur La$t, als wie $ich die Circumferenz der Welle zur Circumferenz des Rads verhält; wann man nun an die Stelle der Circumferenzien ihre Radios $etzet, indem $ie $ich auf gleiche Art gegen einander verhalten, $o verhält $ich die Kraft zur La$t, als wie der Radius der Welle zum Ra- dio des Rads.

Sech$tes Capitul, Von der Fla$chen-Scheiben. Erklärung.

1010. Die Fla$chen-Scheibe i$t eine Rolle von Holtz oder von Metall, die von einer Fla$chen gehalten wird, in welcher $ie $ich frey um ihre Axe bewegt. Wann eine Fla$chen-Scheibe $ich nicht ander$t, als um ihre Axe bewegt, und al$o be$tändig an einem Ort der Machine $tehen bleibt, $o wird $ie eine unbewegliche Fla$chen-Scheibe genen- net. Wann man aber eine La$t, die man in die Höhe ziehen will, an $ie anhencket, $o nennet man $ie eine bewegliche Fla$chen-Scheibe.

Wann mehrere Fla$chen-Scheiben von einer Fla$chen umgeben werden, $ie mögen nun über einander oder neben einander $tehen, $o wird die$e gantze Machine ein Fla$chen-Zug genennet. Die$e können alle zugleich beweglich, oder unbeweglich $eyn.

[0489] Anmerckung.

1011. In der Theoreti$chen Vetrachtung die$er Machine wie auch der an- dern, machen wir auf die Friction der Stricke, wie auch der Scheibe und ihrer Axe keine Reflexion; doch will ich dahier anmercken, da{$s} je grö$$er die Scheibe und je kleiner die Axe, je $chwächer auch die Friction $eye.

Lehr-Satz.

1012. Wann eine Kraft eine La$t hält, und zwar durch Hülf einer Fla$chen-Scheiben, deren Fläche unbeweglich i$t, $o $age ich 1. Da{$s} die Kraft der La$t gleich $eye. 2. Wann die Fla$che beweglich, al$o da{$s} die La$t, die daran hänget, von der Kraft gehalten werde, $o $age ich, da{$s} die Kraft nur die Helfte des La$tes $eye, nur wird erfordert, da{$s} die _Direction_s-Linien der Kraft und der La$t miteinander parallel lauffen.

Er$ter Beweis.

Wann man den Diameter AB der Rolle als einen Hebel von der Fig. 416. er$ten Art an$iehet, indem die La$t an einem End, die Kraft an dem andern End, und die Unterlag, das i$t, der Punct C zwi$chen ihnen i$t, $o wei{$s} man, da{$s} vor den Stand des Gleich-Gewichts erfordert wer- de, da{$s} Q. P : : CA. CB; Da nun CA = CB, indem $ie die Radii ei- nes Zirckels $eynd, $o i$t auch Q = P. W. z. E.

Damit ich auch die$es durch die Bewegung erwei$e, $o betrachtet, da{$s}, wann die Kraft Q den Strick BQ z. E. um 2 Schuh herunter zie- het, die$es nicht ge$chehen könne ohne da{$s} die La$t P auch um $o viel, das i$t, um 2 Schuh hinauf $teige; nun in dem Stand des Gleich-Ge- wichts verhält $ich die Kraft zur La$t, als wie $ich reciprocè die Ge- $chwindigkeit, oder der Weg der La$t zur Ge$chwindigkeit, oder zum Weg der Kraft verhält; Da nun dahier die Wege einander gleich, $o i$t auch die Kraft der La$t gleich.

Zu$atz.

1013. Daraus folgt al$o, da{$s} die unbewegliche Fla$chen-Schei- ben die Kraft nicht vermehren, $ondern nur dienen, die Directions-Li- nien zu verändern, und die Friction zu verringern, welche $ehr $tarck wä- re, wann der Strick $ich nicht mit der Rolle bewegte, $ondern über ei- nen unbeweglichen Cylinder gehen mü{$s}te; Da hingegen dahier fa$t von keiner andern Friction die Frag i$t, als von die$er, die von der Rolle und ihrer Axe verur$acht wird, welche aber um gar vieles $chwächer als [0490] diejenige i$t, die von dem Strick und dem unbeweglichen Cylinder ver- ur$acht wird, indem $ich die _Friction_ der Axe zur _Friction_ des unbe- weglichen Cylinders verhält, als wie der _Radius_ der Axe zum _Ra-_ _dio_ der Kolle. Die$es erwei{$s}t al$o, wie wir $chon vorhero ge$agtr, da{$s} nemlich die Friction vermindert werde, nach Proportion, als man die Scheibe gro{$s}, und die Axe klein macht.

Zweyter Beweis.

Wann man eine Fla$chen-Scheibe AB hat, unterhalb welcher $ich Fig. 417. ein Strick befindet, de$$en ein End an einen unbeweglichen Punct G fe$t angemacht, und an das andere AE eine Kraft Q applicirt wird, oder auch das über eine andere Scheibe DE gehet, damit die Kraft von ober herunter ziehe, und al$o de$to bequemer operire, $o $age ich, da{$s}, wann die La$t P an die Fla$che CI gehencket wird, die Kraft Q nur die Helfte der La$t P $eye.

Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} man den Diameter AB der Rolle als einen Hebel von der zweyten Art an$ehen könne, indem die Unterlag an dem einen End _B_ die Kraft an dem andern A und die La$t in der Mitte i$t. Wann nun die Kraft mit der La$t im Gleich- Gewicht $tehet, $o i$t Q. P : : CB. AB; Allein der Radius CB i$t die Helfte des Diameters A_B_; Derowegen i$t auch die Kraft Q nur die Helfte der La$t P.

Es i$t zu mercken, da{$s} dahier vermög de$$en, was in dem er$ten Beweis erwie$en worden, die Rolle DE keine andere Würckung habe, als die Action der Kraft zu erleichtern, indem die Kraft gleich $tarck verbleibt, $ie mag an den Theil EA, oder an den Theil DQ des Stri- ckes applicirt werden; wir rechnen aber die Friction, die die Heyde Rol- len von ihren Axen leiden, vor nichts.

Die$es kan auch durch die Bewegung erwie$en werden, dann wann man $upponirt, die Kraft hätte die La$t P um 2 Schuh in die Höhe be- wegt, $o i$t jedes Stuck G_B_ und EA des Strickes um 2 Schuh kleiner worden, derowegen hat $ich die Kraft Q um 4 Schuh herunter bewegt, oder welches einerley i$t, das Stuck DQ des Stricks i$t um 4 Schuh verlängert worden; Al$o i$t die Ge$chwindigkeit der Kraft doppelt $o gro{$s}, als die Ge$chwindigkeit der La$t; Derowegen i$t die La$t doppelt $o gro{$s} als die Kraft, weilen in dem Stand des Gleich-Gewichts, $ich die Kraft zur La$t verhält, als wie $ich reciprocè die Ge$chwindigkeit der La$t zur Ge$chwindigkeit der Kraft verhält.

[0491] Anmerckung.

1014. Es i$t zu mercken, da{$s}, wann die Theile AQ und BG des Stricks nicht miteinander parallel lauffen, die vorige Proportion nicht mehr hieher gehöre, $ondern da{$s} $ich die Kraft zur La$t verhalte, als wie $ich reciprocè die Perpendicu- laren, die man von der Unterlag B auf die Directions-Linien der La$t und der Kraft ziehet, gegen einander verhalten. Wann nun AH die Directions-Linie der Kraft, und CI die Directions-Linie der La$t i$t, $o i$t BC die Perpendicu- lar, die man auf die Direction der La$t, und BF die Perpendicular, die man auf die Direction der Kraft ziehet; al$o i$t Q. P; : BC. BF. Die$es i$t gantz leicht zu be- greiffen, wann man nur dasjenige, was auf die$e Art von dem Hebel erwie$en worden, dahier applicirt.

Zu$atz.

1015. Daraus folgt al$o, da{$s}, weilen in die$em Fall die Linie _B_F kleiner als A_B_ i$t, auch nothwendiger Weis die Kraft nicht $o viel Gewalt gegen die La$t ausüben könne, als in dem er$ten Fall, wann nemlich die Theile AE und BG des Stricks miteinander parallel lauf- fen; Derowegen damit die Kraft ihre grö$te Gewalt ausübe, wird er- fordert, da{$s} die Theile des Stricks miteinander parallel lauffen.

Siebendes Capitul Von dem Keil. Erlärung.

1016. Der Keil i$t eine Machine von Ei$en oder Holtz, welche Fig. 418. & 419. dient einen Cörper auf eine kleine Höhe zu erhöhen, oder auch das Holtz zu $palten, als zu welchem man $ie am mei$ten braucht, und in die$em Fall i$t der Durch$chnitt davon allezeit ein gleich-$chencklicht Dreyeck, als wie Fig. 418, in dem vorigen Fall aber $tellt der Durch- $chnitt ein rechtwincklichtes Dreyeck vor, als wie Fig. 419.

Wir $upponiren aber, die Seiten AO und BO des Keils $eyen ein- Fig. 418. ander gleich, und das Holtz la$$e $ich biegen, und zwar al$o, da{$s}, wann der Anfang mit der Spaltung gemacht, und die Kraft den Keil in den Spalten eindruckt, $ich die Seiten des Holtzes nach krummen Linien biegen, und da{$s} die Seiten das Keils die Seiten des Holtzes in den zweyen Puncten I und K drucken, in welchen Puncten $ich zwey gleiche [0492] Kräften befinden, die nach den auf den Seiten des Keils perpendicular $tehenden Directions-Linien EC und FC, wider$tehen; Wann wir nun $upponiren, der Keil werde durch einen Hammer-Streich, oder durch eine andere Kraft nach einer Directions-Linie RO, die auf AB perpen- dicular $tehet, und den Winckel AOB in zwey gleiche Theile theilet, in den Baum gedruckt, $o $eynd die Kräften der Seiten des Baumes der Kraft des Keils nach Proportion als er eingetrieben wird, gleich; in- dem die Action der Reaction gleich i$t. Weilen nun in den Dreyecken ICO und KCO die Seite IC = CK, indem die Winckel CIO und CKO rechte Winckel $eynd, und der Winckel IOC = KOC, und CO = CO, $o i$t die Kraft, die der Keil in I ausübt, der Kraft, die er in K ausübt, gleich; Derowegen i$t auch der Wider$tand des Holtzes in I dem Wider$tand in K gleich. Al$o wann man die treibende Kraft mit R, den Wider$tand in I mit P benennet, $o i$t der Wider$tand in K auch P.

Lehr-Satz.

1017. Die Kraft die einen Keil treibr, verhält $ich zum Wider$tand des Holtzes, als wie $ich die Helfte der Länge AB zur Länge einer $einer Seiten verhält, das i$t, R. 2P : : AG. AO. 2⋅ Wann eine Kraft eine La$t durch Hülf eines Keils hält, $o verhält $ich die Kraft zur La$t, als wie die Höhe des Keils zu $einer Länge.

Ziehet das Parallelogrammum EF vollends aus, in welchem al$o, weilen EC = CF, alle vier Seiten einander gleich $eynd; Derowegen i$t auch das Dreyeck DEC gleich-$chencklicht.

Er$ter Beweis.

Wann man die Kräften R, P und P an$iehet, als üben $ie ihren Fig 418. Gewalt gegen den Punct C aus, allwo ihre Directions-Linien zu$am- men $to$$en, $o bekommt man R. 2P : : CD. CE + CF, oder CE + DE. Nun das Dreyeck ICO i$t dem Dreyeck GAO ähnlich, indem beyde ei- nen rechten Winckel I und G und einen gemeinen Winckel in O haben; woraus al$o folgt, da{$s} auch der Winckel ICO oder ECD dem Winckel OA_B_ gleich, und al$o das Dreyeck DEC dem Dreyeck AOB ähnlich $eye; Dannenhero i$t CD. CE + DE : : AB. AO + BO oder 2AO. De- rowegen i$t auch R. 2P : : AB. 2AO; wann man noch ferner die bey- den Terminos der letztern Verhältni{$s} dividirt, $o bekommt man R. 2 P : : AG. AO. W. z. E. z. E.

[0493] Zweyter Beweis.

Um zu erwei$en, da{$s}, wann eine Kraft Q eine La$t P durch Hülf Fig. 419. eines Keils CAB hält, $ich die Kraft zur La$t verhalte, als wie die Hö- he BC zur Länge CA, $o wollen wir $upponiren, die La$t P werde durch einen Strick GD, der an einen Punct D fe$t angemacht i$t, gehalten, und die Kraft Q $to$$e den Keil fort, al$o da{$s} er $ich nunmehro in AF befinde; Auf die$e Art befindet $ich die La$t P in B oder in E. Al$o wird der Weg, den die Kraft be$chrieben, durch die Linie AC, und der Weg, den die La$t in gleicher Zeit be$chrieben, durch die Linie BC oder EA vorge$tellet; Nun in dem Stand des Gleich-Gewichts verhält $ich die Kraft zur La$t, als wie $ich reciprocè ihre Ge$chwindigkeiten, mit welcher $ie bewegt worden, gegen einander verhalten; al$o i$t Q. P : : BC. CA. W. z. A. z. E.

Zu$atz.

1018. Daraus folgt al$o, da{$s} je kleiner die Höhe des Keils $eye, je mehr Gewalt die Kraft erlange.

Achtes Capitul. Von der Schraube.

1019. Die Schraube i$t unter allen Machinen diejenige, welche die bewegende Kraft am mei$ten ver$tärcket, wann $ie $ich nemlich eines Hebels bedienet, die$elbe zu bewegen; wiewohl die$e Machine jederman bekannt i$t, $o finde ich doch vor nöthig zu wei$en, auf was Art man $ich $ie vor$tellen $oll, damit man de$to be$$er den folgenden Lehr-Satz ver$tehe.

Wann man einen Cylinder ABDC hat, de$$en Höhe BD in eine Fig. 420. Anzahl gleiche Theile getheilet i$t, und man auf einen jeden Theilungs- Punct, als wie F und H Perpendicularen FE und HG aufrichtet, die man alle der Circumferenz des Cylinders gleich macht, und man noch die Linien EB und GF ziehet, $o bekommt man $o viel rechtwincklichte Dreyecke E_B_F und GFH, als $ich gleiche Theile in der Höhe BD befinden; Wann man nun alle die$e Dreyecke um den Cylinder herumwindet, $o kommt der Punct E in F, und der Punct G in H, und al$o formiren [0494] alle Hypothenu$æ E_B_ und GF zu$ammen genommen auf dem Cy- linder eine Spiral-Linie, die in _B_ ihren Anfang nimmt, und $ich in D endiget; oder man kan auch $agen, da{$s} die$e Hypothenu$æ die Gewin- de, oder die Gänge der Schrauben und die Höhe BF und FH ihre Di- $tanzien vor$tellen. Al$o kan man $agen, da{$s} die Schraube ein Cylin- der $eye, um welchen rechtwincklichte Dreyecke gewunden, deren Hypo- thenu$æ EB und GF die Gänge, die Höhen BF und FH die Di$tanzien der Gänge, und die Grund-Linien EF und GH den Umkrey{$s} des Cy- linders vor$tellen.

Die Schrauben-Mutter, in welche die Schraube gehet, i$t ein ausgehölter Cylinder, de$$en Diameter dem Diameter der Schraube gleich i$t, und de$$en innere Fläche aus rechtwincklichten Dreyecken be- $tehet, die den um den Cylinder gewundenen Flächen gleich und ähnlich $eynd. Auf die$e Art betrachten die Mathematici die Schraube $amt der Mutter.

Damit man aber von der Schrauben allen Nutzen ziehe, den man $ich davon ver$pricht, $o mu{$s} man die Di$tanzien zwi$chen zweyen Gän- gen bis auf eine gewi$$e Tieffe aus$chneiden, und den Diameter der Mut- ter um die$e Tieffe vermindern, und nachgehends die innere Fläche auf die vorige Art ein$chneiden, damit man al$o die Schraube in der$elben frey herum bewegen könne. Wann die Mutter unbeweglich, und an einem Ort fe$t, $o gehet die Schraube, wann man $ie herumdrähet, immer tieffer hinein; wann aber die Schraube unbeweglich i$t, $o be- wegt $ich die Mutter gegen die$elbe.

Es gibt auch noch eine andere Art Schrauben, die man Schrau- ben ohne Ende nennet, und welche $ich nicht in Müttern bewegen; $ondern $ie werden entweder durch Kurbeln, oder durch Stirn-Räder bewegt, in deren Zähne die Gänge eingreiffen, wie man die$es weiter unten, wo man von den zu$ammenge$etzten Machinen handelt, $ehen wird.

Lehr-Satz.

1020. Wann eine Kraft eine La$t durch Hülf einer Schrau- ben durckt oder aufhebt, $o verhält $ich die Kraft zur La$t, als wie die _Di$tanz_ zweyer Gänge zur _Circumfere_nz des Zirckels, die die bewegende Kraft be$chreibet.

Beweis.

Wann man $upponirt, die Mutter CD der Schrauben $eye unbe- Fig. 421. weglich, da hingegen die Schraube EF durch ihre Bewegung die La$t P [0495] aufhebt, $o mu{$s} $ich auch die Kraft Q, welche an das End B eines He- bels applicirt wird, $elb$ten bewegen. Nun in der Zeit als die Kraft eine Circumferenz, davon AB der Radius i$t, be$chrieben, hat $ich auch die Schraube völlig herum bewegt, und i$t um die Di$tanz zweyer Schrauben-Gänge ge$tiegen: Al$o wird der Weg, oder die Ge$chwin- digkeit der Kraft durch die Circumferenz IB, und der Weg, oder die Ge$chwindigkeit der La$t durch die Di$tanz zweyer Gänge vorge$tellet; Nun in dem Stand des Gleich-Gewichts verhält $ich die Kraft zur La$t, als wie $ich reciprocè ihre Ge$chwindigkeiten gegen einander ver- halten, al$o verhält $ich die Kraft Q zur La$t P, als wie $ich die Di$tanz zweyer Gänge zur Circumferenz, die die Kraft be$chreibt, verhält. W. z. E.

Zu$atz.

1021. Daraus folgt al$o, da{$s} je enger die Gänge bey$ammen, und je länger der Hebel i$t, je mehr die Kraft ver$tärcket werde. Al$o wann wir $upponiren, die Di$tanz zweyer Gänge $eye von 2 Zollen, und die Länge des Hebels von 6 Schuhen, oder 72 Zollen, $o i$t die Circumferenz des Zirckels von 452 Zollen; al$o verhält $ich die Kraft zur La$t, als wie 2 zu 452, oder als wie 1 zu 226. Al$o $tehet eine Kraft von 1 Pf. mit einer La$t von 226 Pf. im Gleich-Gewicht.

Wir haben noch weder dahier, noch in den andern Machinen die Friction in Betrachtung gezogen, wiewohl $ie doch die Kraft um vieles verringert. ⋆ Es hat aber un$er Herz Auctor in $einer Architecturâ Hydraulicâ gewie$en, wie die$elbe zu berechnen, wohin ich al$o den ge- neigten Le$er addre$$ire, und zwar um $o viel mehr, als $ie $chon i$t in die teut$che Sprach über$etzet worden.

Neuntes Capitul. Von Den zu$ammen-ge$etzten Machinen.

1022. Wir haben $chon oben ge$ehen, da{$s} eine Machine, die aus mehreren einfachen Machinen entweder von einerley, oder von unter- $chiedener Art be$tehet, eine zu$ammen ge$etzte _Machin_e genennet wer- de. Weilen nun die$e den Nutzen, den die Mechanic in der Praxi der [0496] Kün$ten hat, vollkommen darzeigen, $o wollen wir die Eigen$chaften derjenigen wei$en, deren man $ich am mei$ten bedienet.

1023. Man mu{$s} aber vorher wi$$en, da{$s} die Kraft eines Men- $chen, der einen Cörper vor $ich her$to{$s}t, oder ziehet, (als wie diejenige, die an einem Strick, oder einem Karren ziehen) von ungefehr 25 Pf., und da{$s} die Kraft eines ziehenden Pferds von ohngefehr 175 Pf., und al$o $iebenmal $o gro{$s}, als die Kraft eines Men$chen $eye; Die$es hat man durch die Erfahrung gefunden.

1024. Ferner hat man gefunden, da{$s} die Kraft eines Men$chen, der von oben herunter ziehet, von ungefehr 50 bis 60 Pf. $eye; $ie könn- te auch noch grö$$er $eyn, allein da könnte er nicht $o lang aushalten; ja $ie kan auch $einer Schwäre gleich $eyn, allein in die$em Fall arbeitet der Mann nur vermög $einer Schwäre.

1025. Die Kraft eines Men$chen, der in einem Rad herum ge- het, i$t $einer Schwäre gleich.

1026. Ferner i$t noch zu mercken, da{$s} man in der Praxi die Fri- ction in Betrachtung ziehen mü$$e, welche aber um $o viel $tärcker oder $chwächer, als die Machine mehr oder weniger componirt i$t; Desglei- chen auch die Dicke der Stricke, welche die Radios der Cylinder um ihre halbe Dicke verlängern; wie auch die Steiffe der Stricke; Endlich mu{$s} man auch noch in Betrachtung ziehen, da{$s} wann $ich ein Strick, mehr als einmal um einen Cylinder herum windet, der Radius des Cylinders jedesmal um den Diameter des Strickes verlängert werde.

Explication des Fla$chen-Zugs.

1027. Wann eine Kraft eine La$t durch Hülf eines Fla- $chen-Zugs hält, $o verhält $ich die Kraft zur La$t, als wie die Einheit zur doppelten Anzahl der beweglichen Fla$chen-Schei- ben.

Beweis.

Wir $upponiren, es $eye HG die obere und unbewegliche, und DK Fig. 422. die untere und bewegliche Fla$che, und ein End G des Stricks $eye an die obere Fla$che fe$t angemacht, da der Strick über die obere Scheiben A, _B_ und C und unter die untere D, E und F gehet, und an de$$en an- derm End die Kraft Q applicirt wird. Wann nun die Kraft an dem Strick ziehet, um die La$t in die Höhe zu ziehen, $o ziehen alle Theile des Stricks die La$t mit einer der Kraft Q gleichen Kraft; Derowe- gen trägt eine jede der unteren Scheiben D, E, F einen gleichen Theil der La$t P; al$o wann es drey Scheiben $eynd, $o trägt eine jede den [0497] dritten Theil der La$t. Wann man nun die Scheibe F, als einen He- bel von der zweyten Art an$iehet, de$$en Unterlage in M, die Kraft in N (indem es einerley i$t, ob $ie $ich in der Directions-Linie NO, oder in RQ befindet), und die La$t in F i$t, $o verhält $ich die Kraft zur La$t, als wie MF zu MN; Derowegen i$t dahier die Kraft nur die Helfte der La$t; und weilen die$e Scheibe nur den dritten Theil der La$t hält, $o hält die Kraft auch nur den $ech$ten Theil der La$t; al$o i$t Q. P : : 1. 6; Die$es wei{$s}t uns, da{$s} $ich die Kraft zur La$t verhalte, als wie 1 zur doppelten Anzahl der Scheiben D, E und F.

1028. Wann man aber eine unbewegliche Fla$che EF hat, deren Fig. 423. Scheiben A, _B_, C, D neben ein ander $tehen, und auch eine bewegliche LM, deren Scheiben G, H, I, K ebenfalls neben einander $tehen, $o $ie- het man wiederum leicht, da{$s} $ich die Kraft Q zur La$t P verhalte, als wie 1 zur doppelten Anzahl der beweglichen Scheiben; weilen wir nun dahier vier Scheiben haben, $o i$t Q. P : : 1. 8.

Anderer Beweis, Und zwar aus dem Principio motûs.

1029. Um zu erwei$en, da{$s} Fig. 422, Q. P : : 1. 6, und da{$s} Fig. Fig. 422. & 423. 423, Q. P : : 1. 8, $o betrachtet, da{$s}, damit die Kraft Q die La$t P um einen Schuh in die Höhe ziehe, es erfordert werde, da{$s} ein jeder Theil des Strickes um einen Schuh verkürtzet werde; Derowegen mu{$s} die Kraft, um $o viel Schuh herunter$teigen, als der Strick Theile hat: Nun es $eynd zweymal $o viel Theile des Stricks, als bewegliche Rol- len $eynd; Al$o wei{$s}t die$es, da{$s} $ich die Ge$chwindigkeit der La$t zur Ge$chwindigkeit der Kraft verhalte, als wie $ich die Einheit zur dop- pelten Anzahl der beweglichen Rollen verhält; Derowegen $tehet die Kraft mit der La$t im Gleich-Gewicht, indem $ie $ich gegen einander verhalten, als wie $ich reciprocè ihre Ge$chwindigkeiten gegen einander verhalten.

Application des Fla$chen-Zugs zur Mani- pulation der Artillerie.

1030. Unter allen zu$ammen ge$etzten Machinen i$t keine, deren Fig. 424. man $ich in den Manipulationen der Artillerie und überhaupt wo gro$$e Lä$te aufzuheben $eynd, mehr bedienet, als der $o genannte Heb-Zeug. Damit ich nun $eine Würckung erkläre, $o will ich $upponiren, er $eye [0498] mit einem Fla$chen-Zug von zweyen unbeweglichen E, F, und von zweyen beweglichen Scheiben G, H ver$ehen, an deren Fla$chen man ein Stuck von 4800 Pf. anhencket; Da betrachtet, da{$s}, wann die Kraft Q an den Strick EQ applicirt wird, wir haben Q. P : : 1. 4; Derowegen hält die Kraft nur den vierten Theil der La$t, das i$t, 1200 Pf.; Al- lein, wann man $ich die$er Machine bedienet, $o wird die Kraft niemals an den Strick, $ondern an einen Hebel MO applicirt, der in die Welle KL einge$teckt wird. Wann nun die$e Welle einen Schuh im Diame- ter, und der Hebel von der Axe der Welle an bis zur Kraft zu rechnen, 5 Schuh oder 60 Zoll in der Länge hat, $o formirt der Radius der Wel- le und die Länge des Hebels einen Hebel von der zweyten Art, da $ich die Unterlag in dem Mittel-Punct der Welle, die La$t an dem Punct I ihrer Circumferenz und die Kraft an dem End O des Hebels befindet. Wann nun die Kraft mit der La$t im Gleich-Gewicht $tehet, $o verhält $ich die Kraft zur La$t, als wie der Radius der Welle zur Länge des He- bels, das i$t, als wie 6 zu 60, oder als wie 1 zu 10; Nun die La$t 4800 Pf. i$t bey I $chon auf 1200 Pf. reducirt, al$o hält die Kraft, die an den Hebel applicirt wird, nur den zehenden Theil von 1200 Pf., das i$t, 120 Pf.; Al$o $iehet man, da{$s} eine Kraft von 120 Pf. durch Hülf die$er Machine eine La$t von 4800 Pf. halten könne; wann man nun die Anzahl der Fla$chen-Scheiben vermehrt, und den Hebel verlängert, $o kan auch noch wohl eine geringere Kraft eine grö$$ere La$t in die Hö- he ziehen.

Erklärung.

1031. Diejenige einfache Machine, an welche die Kraft immedia- tè applicirt wird, und die die andere alle in Bewegung $etzet, wird die Er$te; Diejenige aber, welche immediatè von der er$ten bewegt wird, die Zweyte, und diejenige, welche von der zweyten die Bewegung be- kommt, die Dritte genennet; und $o weiters.

Er$ter Zu$atz.

1032. Al$o i$t die Würckung der er$ten Machine die Ur$ach der Würckung der zweyten; Desgleichen i$t auch die Würckung der zwey- ten die Ur$ach der Würckung der dritten; und $o weiters.

Zweyter Zu$atz.

1033. Ferner folgt daraus, da{$s} in den zu$ammen ge$etzten Ma- chinen die Verhältni{$s} der Kraft zur La$t eine aus der Würckung der er$ten Machine zur Ur$ach der Würckung der zweyten, und aus der [0499] Würckung der zweyten zur Ur$ach der Würckung der dritten rc. com- ponirte Verhältni{$s} $eye. Z. E. bey dem Heb-Zeug, davon wir vorhe- ro geredet, i$t die Verhältni{$s} der Kraft Q zur La$t R eine componirte Verhältni{$s} von 1 zu 10 und von 1 zu 4; al$o wann man die Ante- cedenten die$er beyden Verhältni$$e, wie auch ihre Con$equenten durch einander multiplicirt, $o bekommt man {1/40} vor die componirte Ver- hältni{$s}; Die$es wei{$s}t uns, da{$s} die Kraft nur der viertzig$te Theil der La$t $eye; Dann {1/40} i$t $o viel als {120/4800}, welches die Verhältni{$s} ge- we$en, die wir vorhero gefunden.

Von der Räder-Machine. Erklärung.

1034. Wann eine Machine aus mehreren Rädern zu$ammen ge- $etzt i$t, $o mü$$en alle Räder, ausgenommen das er$te, wie auch alle Triebe mit Zähnen ver$ehen $eyn, ausgenommen das letzte, als welches völlig rund bleiben mu{$s}, damit der Strick, durch welchen die La$t auf- gehoben wird, $ich um da$$elbe herum winde. Ferner wird erfordert, da{$s} an jedes Ende der Räder und der Triebe Zapfen befe$tiget werden, die auf einem Ge$telle al$o aufliegen, da{$s} die Zähne des er$ten Triebes in die Zähne des zweyten Rads, und die Zähne des zweyten Triebes in in die Zähne des dritten Rads rc. eingreiffen. Eine $olche Machine wird nun eine Räder-_Machin_e genennet; Man kan durch ihre Hülf $ehr gro$$e Lä$te in die Höhe bewegen, wie man die$es in folgendem $e- hen wird.

Explication der Räder-Machine.

1035. Es $eye f der _Radius_ des er$ten Rads, an de$$en _Circum-_ Fig. 426. _ferenz_ die Kraft Q _applici_rt wird, a der _Radius_ $eines Triebs; g der _Radius_ des zweyten Rads, b der _Radius_ $eines Triebs; h der _Radius_ des dritten Rads, c der _Radius_ $eines Triebs; k der _Radius_ des vierten Rads, d der _Radius_ $eines Triebs; I der _Radius_ des fünftes Rads und e der _Radius_ $eines Triebs, (das aber nicht mit Zähnen ver$ehen wird); Da i$t dann zu erwei$en, da{$s} $ich die Kraft Q zur La$t P verhalte, als wie $ich das _Product_ der _Radio-_ _rum_ aller Triebe zum _Product_ der _Radiorum_ aller Räder verhält.

Wann das er$te Rad allein wäre, und die Kraft nur durch $eine Beyhülf die La$t P aufheben würde, welche aber in die$em Fall an ih- rem Trieb hängen mü{$s}te, $o wäre Q. P : : a. f; allein die Würckung [0500] des er$ten Rads i$t nicht eine La$t aufzuheben, $ondern durch Hülf $ei- nes Triebs ein zweytes Rad zu bewegen; Al$o $iehet man, da{$s} die Würckung des er$ten Rads die Ur$ach der Würckung des zweyten $eye; indem die Würckung, die die Zähne des er$ten Triebs gegen die Zähne des zweyten Rads haben, der La$t, die es aufheben könnte, gleich i$t. Und $o weiters. Wann man nun die Würckung des er$ten Rads mit r, die Würckung des zweyten mit s, die Würckung des dritten mit t, und die Würckung des vierten mit u benennet, $o bekommt man folgen- de Proportionen Q. # r : : a. f. r. # s : : b. g. s. # t : : c. h t. # u : : d. k # und u. # P : : e. l.

Wann man nun alle Terminos, wie $ie untereinander $tehen durch einander multiplicirt, $o bekommt man folgende Proportion Qrstu. rstuP : : abcde. fghkl; und wann man die zwey er$tere Terminos durch rstu dividirt, $o bekommt man Q. P : : abcde. fghkl. Wor- aus al$o folgt, da{$s}, wann eine Kraft eine La$t durch Hülf einer Räder-_Machin_e hält, $ich die Kraft zur La$t verhalte, als wie $ich das _Product_ der _Radiorum_ aller Triebe, zum _Product_ der _Radiorum_ al- ler Räder verhält.

Application des vorhergehenden Lehr- Satzes.

1036. Damit man die ungemeine Force, um welche man eine Kraft durch Hülf der Räder-Machine ver$tärcken kan, wohl betrachten könne, $o wollen wir $upponiren, die Kraft $eye von 50 Pf. die man an das er$te Rad applicirt; Ferner $upponiren wir, die Machine be$tehe aus fünf gleichen Rädern, deren ein jedes 12 Zoll zum Radio, wie auch aus fünf Trieben, deren ein jedes 1 Zoll zum Radio hat. Al$o verhält $ich der Radius eines jeden Triebes zum Radio $eines Rads als wie 1 zu 12; Derowegen i$t das Product der Radiorum aller Triebe = 1, und das Product der Radiorum aller Räder = 248832. Wann man nun wi$$en will, welche La$t eine Kraft von 50 Pf., als die mitt- lere Kraft eines Men$chen, durch Hülf einer $olchen Machine aufheben könne, $o betrachte ich, da{$s}, wie zuvor erwie$en worden, $ich die Kraft zur La$t verhalte, als wie $ich das Product der Radiorum aller Triebe zum Product der Radiorum aller Räder verhält, und da{$s} $ich al$o das [0501] Product der Radiorum der Triebe zum Product der Radiorum aller Räder verhalte, als wie $ich die Kraft zur La$t verhält: Al$o um die La$t zu finden, $age ich: Wann 1 als das Product der Radiorum aller Triebe, 248832 vor das Product der Radiorum aller Räder gibt, wie viel gibt die Kraft 50 vor die La$t, die $ie aufzuheben im Stand i$t; Da findet man 12441600 Pf., welche ein Men$ch mit $einer mittlern Force durch Hülf einer $olchen Machine aufheben kan.

Von der Winde.

1037. Die Winde, deren Nutzen in der Artillerie $ehr gro{$s} i$t, Fig. 425. wei{$s}t auch noch klärlich, um wie viel die Räder-Machine die Kraft ver- mehrt; Damit wir nun ihre Würckung berechnen, $o betrachtet Fig. 425, welche ohngefehr die Theile, woraus das innere einer Winde be$te- het, vor$tellet; nemlich $ie wird durch Hülf einer Kurbel ABC, an wel- che die Kraft applicirt wird, in Bewegung ge$etzt; Wann nun die$e Kurbel herum gedrähet wird, $o bewegt $ie das kleine Trieb D, welches in das Rad E eingreift, und es al$o auch bewegt. Die$es Rad bewegt wiederum ein anders Trieb, welches die Winde GH und al$o die La$t, die darauf liegt, in die Höhe hebt. Wann man nun $upponirt, der Radius AB der Kurbel (die man dahier vor ein Rad annehmen kan) $eye von 15 Zollen, der Radius des Triebs D 1 Zoll, der Radius des Rads E von 12, und der Radius des Triebs F von 2 Zollen, $o findet man die Verhältni{$s}, die die Kraft zur La$t hat, indem man die Ver- hältni{$s} des Products der Radiorum der Triebe zum Product der Radio- rum der Räder in Betrachtung ziehet; nun das Product der Radio- rum der Triebe i$t 2, und das Product der Radiorum der Räder i$t 180; al$o verhält $ich die Kraft zur La$t, als wie 2 zu 180, oder als wie 1 zu 90. Wann man nun $upponirt, die Kraft $eye 50, und man 90 durch 50 multiplicirt, $o bekommt man 4500 Pf., welche die Kraft von 50 Pf. durch Hülf einer $olchen Winde aufheben kan; wann aber an$tatt zweyer Räder es noch mehrere wären, $o könnte man durch Hülf einer Winde ungemein gro$$e Lä$te aufheben.

Von der Räder-Machine Wann $ie nemlich durch eine Schraube ohne Ende bewegt wird.

1038. Die Schraube ohne Ende i$t auch noch eine Machine, wo- Fig. 427. durch die Kraft ungemein ver$tärcket wird, in$onderheit, wann man $ie [0502] an eine Räder-Machine applicirt, um die$elbe zu bewegen. Wann man al$o eine Machine hat, die aus einer Schrauben ohne Ende, und aus die$en Rädern be$tehet, als wie Fig. 427, und man wi$$en will, auf was Art $ich die Kraft Q zur La$t P verhalte, $o betrachte ich, da{$s}, wann die Kraft an eine Kurbel, oder an einen Hebel AB applicirt wird, $ie die Schraube herum drähe; welche nunmehro das er$te Rad in Bewegung $etzet, weilen die Schrauben-Gänge in die Zähne die$es Rads eingreif- fen; Die$es Rads Trieb greift in die Zähne des zweyten Rads ein, und bewegt es, und die$es $ein Trieb bewegt das dritte Rad, an de$$en Trieb die La$t hänget.

Wann man nunmehro die Circumferenz des Zirckels, der den He- bel AC zum Radio hat, mit n, die Di$tanz zweyer Schrauben-Gänge mit a; Die Würckung, die die Schraube gegen das er$te Rad hat mit s; Den Radium des er$ten Rads mit g; Den Radium $eines Triebs mit b; Die Würckung des er$ten Rads gegen das zweyte mit t; Den Radium des zweyten Rads mit b, den Radium $eines Triebs mit c, die Würckung des zweyten Rads gegen das dritte mit u; Den Radium des dritten Rads mit k, und den Radium $eines Triebs mit d benennet; $o bekommt man folgende Proportionen Q. # s : : a. n s. # t : : b. g t. # u : : c. h u. # P : : d. k

Wann man nun die$e vier Proportionen durch einander multipli- cirt, $o bekommt man Qstu. stuP : : abcd. nghk.

Und mann man die Terminos der er$ten Verhältni{$s} durch stu divi- dirt, $o kommt Q. P : : abcd. nghk. Woraus al$o folgt, da{$s},

1039. Wann eine Raft eine La$t durch Hülf einer Schrau- ben ohne Ende nnd etlicher Räder hält, $ich die Rraft zur La$t verhalte, als wie $ich das _Product_ der _Di$tanz_ zweyer Schrauben- Gänge durch die _Radios_ aller Triebe zum _Product_ der _Circumferenz_, die die Rraft be$chreibt, durch die _Radios_ aller Räder verhält.

Application des vorhergehenden Lehr- Satzes.

1040. Damit man nun wi$$e, welche La$t eine Kraft von 50 Pf. durch Hülf der vorhergehenden Machine halten könne, $o wollen [0503] wir $upponiren, der Radius CA der Circumferenz, die die Kraft be- $chreibt, $eye von 10 {1/2} Zollen, al$o i$t die Circumferenz von 66 Zollen; Ferner $upponiren wir, die Di$tanz zweyer Schrauben-Gänge $eye von 2. Zollen, der Radius des er$ten Rads von 24 Zollen, der Radius $eines Triebs von 3 Zollen, der Radius des zweyten Rads von 20 Zollen, der Radius $eines Triebs von 2 Zollen, der Radius des dritten Rads von 18 Zollen, und der Radius $eines Triebs von 1 {1/2} Zoll. Nunmehro wann man alle Radios der Triebe durcheinander multiplicirt, $o bekomt man 9 zum Product; Wann man die$es Product ferner durch 2 Zoll, als die Di$tanz zweyer Schrauben-Gänge multiplicirt, $o bekommt man 18, welches ein Terminus der Proportion i$t; Wann man nun auch die Radios der Räder durcheinander, und die$es Product wieder durch die von der Kraft be$chriebenen Circumferenz multiplicirt, $o bekommt man 570240 vor den zweyten Terminum der Proportion: al$o verhält $ich die Kraft zur La$t, als wie 18 zu 570240, oder als wie 1 zu 31680; al$o kan man $agen: wie $ich 1 zu 31680 verhält, al$o verhält $ich 50 als die Kraft zur ge$uchten La$t, die man von 1584000. Pf. findet.

Anmerckung.

Wann man eine $olche gro$$e La$t, als wir gefunden, nur mit der mittlern Kraft eines Men$chen aufziehen kan, $o mu{$s} man $ich nicht verwundern, wann Arehimedes $agte, da{$s}, wann er $eine Machine au$$erhalb der Erden $etzen könnte, er gar wohl im Stand wäre die Erde ohneracht ihrer ungeheuren Schwäre, in Bewegung zu $etzen.

Explication einer Machine Die aus einem Ha$pel und einer $chief-liegenden Fläche be$tehet.

1041. Wann man eine $chief-liegende Fläche GH hat, deren Hö- he GI i$t, und $ich auf die$er Fläche eine La$t P befindet, die durch ei- nen mit der Fläche parällelen Strick BP gehalten wird, de$$en ein End um die Welle eines Ha$pels gewunden i$t, welche vermög einer Kraft Q, die man an einen Hebel AC oder AD applicirt, herumgedrähet wird, und al$o die La$t in die Höhe ziehet, und man wi$$en will, auf was Art $ich die Kraft zur La$t verhalte, $o wollen wir GH mit a, GI mit b, den Radium der Welle mit c, die Länge eines Hebels AC oder AD mit d, und die Würckung der Kraft, wann $ie nur an B applicirt wäre, mit s benennen; $o bekommen wir vermög der Eigen$chaft des Plani inclinati, s. P : : b. a, und vermög der Eigen$chaft des Ha$pels [0504] Q. s : : c. d, (indem die Kraft Q nur die Würckung s der andern Kraft q hält). Wann man nun die$e beyde Proportionen miteinander mul- tiplicirt, $o bekommt man s Q. P s : : bc. ad. Die$es wei{$s}t al$o, da{$s} $ich die Kraft zur La$t verhalte, als wie $ich das _Product_ des _Radii_ der Welle durch die Höhe des _Plani inclinati_ zum _Product_ der Län- ge des Hebels durch die Länge des _Plani inclinati_ verhält.

Application des vorhergehenden Lehr- Satzes.

1042. Wann man $chwäre Cörper z. E. Wein-Fä$$er rc. aus ei- nem Keller herauf ziehen will, $o bedient man $ich $ehr oft eines $olchen Ha$pels; wann nun $ich die Staffeln in einem Plano befinden, $o kan man die Stiege als ein Planum inclinatum an$ehen. Wir $upponiren al$o, die Höhe die$es Plani verhalte $ich zu $einer Länge, als wie 4 zu 6, der Radius der Welle $eye von 6 Zollen und die Länge des Hebels, von dem Mittel-Punct an bis zur Kraft zu rechnen, $eye von 36 Zollen. Wann man nun wi$$en will, welche La$t eine Kraft von 50 Pf. durch Hülf einer $olchen Machine aufziehen, oder halten könne, $o mu{$s} man zu er$t den Radium der Welle, das i$t, 6 Zoll durch die Höhe des Plani inclinati, das i$t, durch 4 Schuh, oder durch 48 Zoll multipliciren, da i$t das Product 288 Zoll; nachgehends mu{$s} man auch die Länge des Hebels, das i$t, 36 Zoll durch 6 Schuh, oder durch 72 Zoll multiplici- ren, um das Product 2592 zu bekommen; Derowegen verhält $ich die Kraft zur La$t, als wie 288 zu 2592, oder als wie 1 zu 9; Damit man nun die La$t finde, $o $agt man: wie $ich 1 zu 9 verhält, al$o ver- hält $ich die Kraft 50 zur ge$uchten La$t, die man von 450 Pf. findet.

Von dem Schlag-Werck.

1043. Fa$t alle Machinen ver$tärcken die Kraft, ausgenommen diejenige, die man insgemein das Schlag-Werck nennet, de$$en man $ich bedienet durch Hülf des höltzernen Schlegels A die Pfäle einzu- $chlagen. Die$er Schlegel wird vermög zweyer ei$erner Hacken B an zwey Stricke fe$t gemacht, welche über Fla$chen-Scheiben G gehen, und an deren Ende viele kleinere Stricke ON applicirt werden, welche von den Arbeits-Leuten auf einmal angezogen werden, um den Schle- gel in die Höhe zu ziehen; nach die$em la$$en $ie ihn wieder auf einmal auf den Pfal, den man ein$chlagen will, fallen. Weilen aber der Schle- gel nach Proportion als der Pfal einge$chlagen wird, auch durch $einen [0505] Fall eine grö$$ere Linie be$chreibt, und al$o vermög $einer vermehrten Ge$chwindigkeit eine grö$$ere Kraft der Bewegung erlangt, $o will ich in folgendem wei$en, wie man die Kraft der Bewegung des Schlegels bey jedem Schlag finden, und $o gar wie man auch wi$$en könne, wie viel Schläg man brauche, den Pfal bis auf eine gewi$$e Höhe, oder auch bis zur Erden einzu$chlagen.

Wir $upponiren aber, da{$s} das Terrain durchgehends von einerley Art $eye, und da{$s} es dem Pfal, $o bald er über den zuge$pitzten Theil einge$chlagen, allezeit gleichen Wider$tand lei$te; indem man dahier die Friction der Erden, die den Pfal umgibt, vor nichts rechnet, wiewohl $ie $tärcker wird nach Proportion als man den Pfal ein$chlägt.

Wir $upponiren nun, der Schlegel A, nachdem er auf das höch$te aufgezogen worden, $eye drey Schuh weit von dem Pfal C entfernet, und er habc durch $einen Fall, den Pfal um 13 Zoll einge$chlagen, da{$s} $ich al$o das ober$te Theil des Pfals von C bis D herunter bewegt. Wann man nun wi$$en will, um wie viel der Pfal bey dem zweyten Schlag wird einge$chlagen werden, als welcher $tärcker i$t als der er$te, indem der Schlegel, an$tatt der Linie HC nunmehro die Linie HD be- $chreibt, $o betrachtet, da{$s} die Kraft der Bewegung eiñes Cörpers nichts anders, als das Product $einer Ma$$æ durch $eine Ge$chwindigkeit $eye (§. 882.), und da{$s} $ich al$o die Kraft der Bewegung des Cör- pers A, indem er von A bis C gefallen, zur Kraft der Bewegung, in- dem er von H bis D gefallen, verhalte, als wie $ich das Product $einer Ma$$æ durch die von H bis C erlangte Ge$chwindigkeit zum Product eben die$er Ma$$æ durch die von H bis D erlangte Ge$chwindigkeit ver- hält. Nun die Ge$chwindigkeiten der Cörper, die von unter$chiedenen Höhen herunter fallen, können durch die Quadrat-Wurtzeln der be$chrie- benen Linien vorge$tellet werden (§. 914.): Al$o wann die Ma$$a des Cörpers A = a, die be$chriebene Linie HC = b, und die be$chriebene Li- nie HD = d, $o i$t die von H bis C erlangte Ge$chwindigkeit = √b, und die von H bis D erlangte Ge$chwindigkeit = √d; Derowegen verhält $ich die Kraft der Bewegung des Cörpers A, da er von H bis C gefallen, zur Kraft der Bewegung, da er von H bis D gefallen, als wie a √b zu a √d, oder als wie √b zu √d. Weilen $ich nun die Würckungen gegen einander verhalten, als wie die Ur$achen, die $ie her- vorgebracht, $o verhält $ich die Tieffe des Pfals, die er durch den er$ten Schlag bekommen, zur Tieffe, die er durch den zweyten bekommt, als wie die Quadrat-Wurtzel, der durch den er$ten Schlag von dem Schle- gel be$chriebenen Linie zur Quadrat-Wurtzel der durch den zweyten Schlag be$chriebenen Linie. Nun vermög un$erer Suppo$ition i$t die [0506] durch den er$ten Schlag be$chriebene Linie von 3 Schuhen, oder von 36 Zollen, davon die Quadrat-Wurtzel 6 i$t, und weilen der Pfal um 13 Schuh i$t einge$chlagen worden, $o i$t die Linie AD von 49 Zollen, davon die Quadrat-Wurtzel 7 i$t; wann man al$o die Tieffe des Pfals, die er durch den zweyten Schlag bekommt, finden will, $o $agt man: wann die Ge$chwindigkeit 6 den Pfal 13 Zoll tief durch den er$ten Schlag einge$chlagen, wie tief $chlägt die Ge$chwindigkeit 7 den$elben durch den zweyten Schlag ein; Da findet man 15 {1/6}, die$es wei{$s}t al- $o, da{$s} der Pfal durch den zweyten Schlag um 15 Zoll und 2 Linien einge$chlagen werden; Die$es i$t al$o die Di$tanz DE.

Wann man nun ferner finden will, wie tief der Pfal durch den dritten Schlag einge$chlagen werde, $o betrachte man nur, da{$s} die Li- nie HE von 64 {1/6} Zollen i$t, davon al$o die Quadrat-Wurtzel 8 i$t; Da dörf man nur wiederum $agen: wann die Ge$chwindigkeit 6 den Pfal 13 Zoll tief durch den er$ten Schlag einge$chlagen, um wie viel $chlägt die Ge$chwindigkeit 8 den$elben durch den dritten Schlag ein; Da findet man al$o 17 Zoll und 4 Linien; wann man nun allezeit auf die$e Art fortfähret, $o findet man, da{$s} der Pfal durch den vierten Schlag um 19 Zoll und 6 Linien, durch den fünften um 21 Zoll und 8 Linien, und durch den $ech$ten um 23 Zoll und 10 Linien einge$chlagen werde: Al$o bekommt man vor die Tieffe, die der Pfal durch jeden Schlag bekom- men, folgende Terminos, 13 Zoll, 15 Zoll und 2 Linien, 17 + 4, 19 + 6, 21 + 8, 23 + 10, welche alle in einer Arithmeti$chen Propor- tion $tehen, indem ihre Differenz allezeit von 2 Zollen und 4 Linien i$t.

Man wird vielleicht mit Verwunderung an$ehen, da{$s} $o wohl die Quadrat-Wurtzeln der von dem Schlegel be$chriebenen Linien, als auch die Tieffen, die der Pfal durch jeden Schlag bekommen, in einer Arith- meti$chen Proportion $tehen; allein die$es kan nicht ander$t $eyn, wie ich es in folgendem wei$en werde.

Wann man eine Arithmeti$che Progre$$ion ÷ a. b. c. d. e. f. hat, davon jeder Terminus die Zeit anzeigt, innerhalb welcher ein Cörper, der von unter$chiedenen Höhen gefallen, auch unter$chiedene Linien be- $chrieben, welche wir mit g, h, i, k, l, m benennen wollen, $o verhalten $ich die$e be$chriebene Linien gegen einander, als wie die Quadrate der Zeiten, das i$t, als wie aa, bb, cc, dd, ee, ff. Wann man nun aus bey- den Progre$$ionen die Quadrat-Wurtzeln ausziehet, $o bekommt man ÷ a. b. c. d. e. f vor die Zeiten, und √g. √h. √i. √k. √l. √m vor die Quadrat. Wurtzeln der be$chriebenen Linien.

Wann al$o die Zeiten a, b, c, d, e, f in einer Arithmeti$chen Pro- gre$$ion $tehen, $o $tehen auch die Quadrat-Wurtzeln der be$chriebenen [0507] Linien, das i$t, die durch den Fall erlangte Ge$chwindigkeiten in einer Arithmeti$chen Progre$$ion. Allein weilen man die$e erlangte Ge- $chwindigkeiten vor die Ur$achen annehmen kan, vermög welchen der Pfal immer tieffer gehet, und $ich die$e Ur$achen gegen einander verhal- ten, als wie ihre Würckungen, und die$e Ur$achen in einer Arithmeti- $chen Progre$$ion $tehen, $o folgt daraus, da{$s} auch die Würckungen in einer Arithmeti$chen Proportion $tehen, und da{$s} al$o der Pfal durch den zweyten Schlag tieffer als durch den er$ten, und durch den dritten tieffer, als durch den zweyten rc. einge$chlagen werde, und zwar die$es nach einerley Differenz.

Vermög die$es, was ge$agt worden, kan man gantz leicht in Erfah- rung bringen, wie viel Schläge man einem Pfal geben mü$$e, bis da{$s} er der Erden zugleich komme; Dann man dörf nur bey dem er$ten Schlag ob$erviren, um wie viel er in die Erde gegangen; Da $iehet man die$e Grö$$e an als den er$ten Terminum der Arithmeti$chen Pro- gre$$ion. Wann wir nun $upponiren, der Schlegel, der von einer Hö- he von 3 Schuhen herunter gefallen, habe durch den er$ten Schlag den Pfal um 12 Zoll, und durch den zweyten um 14 Zoll in die Erde ge- $chlagen, $o $ehe ich die$e zwey Grö$$en 12 und 14 vor die zwey er$tere Terminos einer Arithmeti$chen Progre$$ion an, davon die Differenz 2 i$t; al$o i$t der dritte Terminus 16, der vierte 18, der fünfte 20 rc. Wann man nun einen Pfal hat, der 12 Schuh, oder 144 Zoll lang i$t, $o exprimirt die$e Länge die Summ aller Terminorum die$er Progre$- $ion; Derowegen mu{$s} man die Terminos, die wir vorhero gefunden, zu$ammen addiren, damit man $ehe, ob ihre Summ den 144 Zollen gleich i$t, und weilen noch vieles darzu fehlet, $o mu{$s} man noch etliche Terminos, z. E. 22, 24 und 26 finden, welche al$o mit den vorherge- henden 152 Zoll ausmachen; Die$e Grö$$e i$t al$o um 8 Zoll grö$$er, als die Länge des Pfals. Weilen nun die$e Progre$$ion 8 Terminos hat, $o wei{$s}t die$es, da{$s} man dem Pfal 8 Schläge geben mü$$e, indem, wann der Schlegel nicht die Erde erreichen würde, er den Pfal um 8 Zoll mehr, als $eine Länge austrägt, ein$chlagen würde.

Application der Mechanic zur Con$truction der Pulver-Magazinen.

1044. Unter allen Militari$chen Gebäuden i$t keines von mehre- rer Wichtigkeit, als die Pulver-Magazinen, als zu welcher Erbauung man die grö$te Vor$ichtigkeit gebrauchen mu{$s}; weilen man $ie allezeit wölbet, $o wollen wir $ehen, welche Art Gewölber $ich am be$ten darzu [0508] $chicke, das Zirckel-mä$$ige, das Ellipti$che, oder das Gothi$che, damit $ie al$o der Kraft der Bomben, die darauf fallen, am mei$ten wieder$te- hen; Ferner wollen wir auch wei$en, wie man die Dicke ihrer Seiten- Mauren, die das Gewölb halten, nach $einer Schwäre, Druck und Grö$$e zu proportioniren $eye.

Unter den Ingenieurs gibt es zweyerley Meinungen in An$ehung der Art die$e Magazinen zu wölben: Einige geben vor, das Zirckel- mä$$ige Gewölb $eye das be$te unter allen; Andere aber ziehen die$em das Gothi$che weit vor. Die$es i$t gewi{$s}, da{$s} das Gothi$che die Sei- ten-Mauren weniger $ucht auseinander zu drucken, als das Zirckel- mä$$ige, und das Zirckel-mä$$ige weniger als das Ellipti$che; welches man $o gar auch geometricè erwei$en kan, wie ich es auch, ohne in eine weitläuftige Theorie hinein zu gehen, gantz klar wei$en werde.

Betrachtet Fig. 430, welche den Durch$chnitt eines Pulver-Ma- Fig. 430. & 431. gazins, de$$en Gewölb Zirckel-mä$$ig, und Fig. 431, die den Durch- $chnitt eines $olchen Magazins, de$$en Gewölb Gothi$ch i$t, vor$tellet; in die$en Figuren hat man die Bögen ED und VY durch Linien, die man aus ihren Mittel-Puncten perpendiculariter auf ihre Chordas ge- zogen, in zwey gleiche Theile getheilet. Wann man nun den obern Theil BAGC des Gewölbs als einen Keil an$iehet, der $o wohl die Sei- ten-Mauren, als auch die anderen Theile des Gewölbs $ucht auseinan- der zu treiben, $o $iehet man, da{$s}, je $pitziger der Winckel ABC, je mehr Kraft der Keil habe (§. 1018.); man kan auch die Linie AB als ein Pla- num inclinatum an$ehen, allwo man wiederum $iehet, da{$s} je einen grö$- $ern Winckel die$e Linie AB mit der Horizontal-Linie formirt, je mehr Kraft zum Fallen der Cörper GAB erlange. Wann man nun ferner Fig. 431. den obern Theil TQSR als einen Keil an$iehet, $o $iehet man gantz leicht, da{$s}, weilen der Winckel QSR $tumpf i$t, der Keil weniger Kraft habe, die Theile RZ und QN auseinander zu treiben, als wie Fig. 430, allwo der Winckel ABC ein rechter Winckel i$t; oder auch, wann man die Linie QP als ein Planum inclinatum an$iehet, $o $iehet man, da{$s} der Theil TQS nicht $o viel Kraft zum Fallen habe, als der Theil GAB, weilen QP mit dem Horizont einen $pitzigern Winckel als AB formirt; Derowegen, wann man alle Gewölb-Steiner, aus welchen das Gothi$che Gewölb be$tehet, als Keile an$iehet, oder auch als Cörper, die $ich nach und nach auf Planis inclinatis herunter zu bewegen $uchen, $o $iehet man, da{$s} $ie weniger Kraft zum Fallen als die Gewölb-Steiner ei- nes Zirckel-mä$$igen Gewölbs haben; Daraus folgt al$o, da{$s} ein Zirckel- mä$$iges Gewölb die Seiten-Mauren mehr drucke als ein Gothi$ches. Auf [0509] gleiche Manier kan man auch erwei$en, da{$s} ein Ellipti$ches Gewölb $eine Seiten-Mauren mehr drucke, als ein Zirckel-mä$$iges.

Ferner i$t auch noch an den Zirckel-mä$$igen Gewölbern auszu$tel- len, da{$s} man ihre Dächer $ehr flach machen mu{$s}, welches al$o verur- $acht, da{$s} $ie nicht $o leicht die Bomben aufhalten, als welche nicht $o viel Gewalt ausüben, wann die Fläche, worauf $ie fallen, mit dem Ho- rizont einen grö$$ern Winckel formirt, indem $ie in die$em Fall nur dar- auf herum rollen, und keinen gro$$en Schaden verur$achen; wann man aber um die$en Fehler zu vermeiden, das Dach viel mehr abhängig ma- chen will, als wie Fig. 432, $o mu{$s} man nothwendiger Weis den Schlu{$s} des Gewölbs mit einer $olchen Ma$$a Mauerwercks beladen, da{$s} man dannenhero auch die Seiten-Mauren dicker machen mu{$s}: Desgleichen be$tehet auch noch ein Nutzen der Gothi$chen Gewölber in die$em, da{$s}, wann es nicht $onderlich hoch $eyn $oll, man da$$elbe $chon auf 4 oder 5 Schuh hoch von der Erden anfangen kan; und da bekommt das Ma- gazin doch $eine rechte Höhe; Da hingegen, wann man das Gewölb Zirckel-mä$$ig macht, es erfordert wird, da{$s} die Seiten-Mauren auf das wenig$te 8 bis 9 Schuh in der Höhe haben; welches aber auch ver- ur$acht, da{$s} man die Seiten-Mauren dicker machen mu{$s}; Dann es i$t ohne allen Zweiffel, da{$s}, je höher man $ie macht, je dicker $ie auch $eyn mü$$en. Ich könnte in Favor der Gothi$chen Gewölber noch meh- reres hervorbringen, allein ich halte davor, da{$s} dasjenige, was ich da- von geredet, den geneigten Le$er $chon genug$am überwei$en werde, da{$s} $ie den Zirckel-mä$$igen weit vorzuziehen.

Wiewohlen es fa$t unmöglich i$t die Dicke der Gewölber der Pul- ver-Magazinen zu determiniren, um $ie al$o vor den Bomben in Si- cherheit zu $tellen, indem die Bomben nicht von einerley Schwäre, und auch von unter$chiedenen Höhen herunter fallen, $o hat man $ich doch ent$chlo$$en, die$elbe bey ED oder ML drey Schuh dick zu machen, und Fig. 432. ich glaube, da{$s} die$e Dicke, wann man nur das Dach nicht allzu flach macht, genug$am $eye.

Weilen ich nicht vor undienlich erachte, dahier ein Regel zu ge- ben, nach welcher der Winckel des Gipfels des Dachs zu determiniren, damit er nicht zu $tumpf noch zu $pitzig werde, $o habe ich auch in fol- gendem meine Meinung ausführen wollen.

Nemlich wann man ein Pulder-Magazin aufbauen will, de$$en Fig. 432. Gewölb Zirckel-mä$$ig $eyn $oll, $o determinirt man zu er$t die Breite de$$elben, welche z. E. durch die Linie AC vorge$tellet wird; Die$e i$t auch zugleich der Diameter des halben Zirckels des Gewölbs; nach die- em richtet man auf den Mittel-Punct B die Perpendicular BG auf, und [0510] theilet jeden Viertels-Zirckel AN und NC durch die Linien BE und BM in zwey gleiche Theile; nachgehends trägt man von D in E und von L in M 3 Schuh, welches die Dicke des Gewölbs i$t; Ferner be$chreibet man aus dem Mittel-Punct B und mit einem beltebigen Radio einen halben Zirckel, welcher durch die Perpendicular BG in zwey gleiche Thei- le FG und GI getheilet i$t; nachgehends ziehet man die Chordas FG und GI, und mit die$en Chorden durch die Puncten E und M die Pa- rallelen OH und HK, welche al$o den Winckel OHK des Dachs formi- ren, der ein rechter Winckel i$t, indem er dem Winckel FGI gleich: Al$o findet man dahier geometricè einen rechten Winckel, als welcher mir der be$te zu $eyn $cheinet, indem er zwi$chen dem $tumpfen und dem $pi- tzigen den Mittel-Weg hält; Dann der $tumpfe Winckel macht, da{$s} das Dach allzu flach wird, und der $pitzige lä{$s}t oben bey dem Schlu{$s} des Gewölbs zu viel Platz, welchen man mit Mauerwerck ausfüllen mu{$s}; wodurch al$o der Schlu{$s} zu viel be$chwäret wird.

Wann man aber ein Gothi$ches Gewölb be$chreiben will, $o $up- Fig. 431. ponire ich, der Ort, wo das Gewölb anfangen $oll, $eye mit V und X bemercket, da ziehe ich die Linie VX, die ich in vier gleiche Theile ein- theile; nach die$em be$chreibe ich aus dem Mittel-Punct P und mit dem Radio PV den Zirckel-Bogen VY, und aus dem Mittel-Punct O und mit dem Radio OX den Zirckel-Bogen XY, welche beyde Zirckel-Bö- gen die innere Fläche VYX des Gewölbs vor$tellen: nach die$em theile ich jeden Zirckel-Bogen in zwey gleiche Theile, und ziehe durch die Thei- lungs-Puncten A und B die Linien PQ und OR, und mache jede Linie AQ und BR 3 Schuh und 3 Zoll lang, und theile die Perpendicular LY in drey gleiche Theile, al$o da{$s} LM = {1/3}LY; Da be$chreibe ich aus dem Mittel-Punct M und mit einem beliebigen Radio den halben Zirckel KND, in welchem ich, als wie vorhero, die Chorden KN und ND und mit ihnen durch die Puncten Q und R Parallelen ziehe, welche wiederum einen rechten Winckel formiren.

Da ich die Linien AQ und BR von 3 Schuhen und 3 Zollen ge- macht, $o i$t zu mercken, da{$s} $ie $ich oberhalb dem $chwäch$ten Theil des Gewölbes befinden, als welcher doch nur 3 Schuh in der Dicke hat: Ferner kan man dahier mercken, wie weit die Ma$$a des Mauerwercks, das auf dem Schlu{$s} eines Gothi$chen Gewölbs ligt, von demjenigen, das auf dem Schlu{$s} eines Zirckel-mä$$igen liegt, unter$chieden i$t; Dann die Höhe der er$teren Ma$$a i$t nur von 6 Schuhen, da hingegen die Höhe der letztern von 10 Schuhen i$t; Die$es i$t auch noch neb$t der kleinern Höhe die Ur$ach, warum man die Seiten-Mauren eines [0511] Gothi$cheu Gewölbs $chwächer macht, als die Seiten-Mauren eines Zirckel-mä$$igen.

Damit wir aber auch die Dicke der Seiten-Mauren $o wohl vor die Gothi$che, als auch vor die Zirckel-mä$$ige Gewölber determiniren, $o habe ich eine Tabelle hieher ge$etzet, welche ich geometricè ausgerech- net, um die Dicke der Seiten-Mauren der Pulver-Magazinen, vermög ihrer Breite und der Höhe eben die$er Seiten-Mauren zu proportioni- ren, das i$t, um auf das genaue$te das Gleich-Gewicht der Kraft, die das Gewölb anwendet die Seiten-Mauren auseinander zu drucken, und des Wider$tandes, den $ie lei$ten $ollen, zu finden. Ich ab$trabire da- hier von den Mauer-Pfeilern, die man insgemein anlegt, um die Sei- ten-Mauren zu ver$tärcken, indem man ihrer auf eine gewi$$e Art nicht vonnöthen hat; Doch weilen es $cheinen würde, als wolte ich an dem- jenigen, was man insgemein practicirt, etwas ändern, $o überla$$e ich denjenigen, die ein $olches Werck führen, ihrer $o viel zu machen, und ih- nen die Dimen$iones zu geben, wie $ie es vor gut befinden; Dann wie- wohl die Mauren-Pfeiler unnöthig zu $eyn $cheinen, wann man den Seiten-Mauren ihre gehörige Dicke gibt, $o kan man $ich doch wegen meh- rerer Sicherheit und An$ehen ihrer bedienen; indem man $ie oft an $ol- che Mauren, die von keinem Druck nichts zu leiden haben, anlegt.

Ietzund mu{$s} ich auch noch wei$en, wie man $ich der folgenden Ta- belle bedienen $olle; ich habe $ie vor vier Gattungen Pulver-Magazi- nen ausgerechnet; in der er$ten Colonne befinden $ich die Breiten der Magazinen von 20 bis 36 Schuh; in der zweyten Colonne $tehet, wel- che Dicke man den Seiten-Mauren, auf welchen Zirckel-mä$$ige Ge- wölber ruhen, geben mü$$e; wir $apponiren aber, alle die$e Seiten- Mauren $eyen von der Erde an bis zum Anfang des Gewölbs 9 Schuh hoch. Al$o wann wir wi$$en wollen, welche Dicke man den Seiten- Mauren eines Magazins geben mü$$e, welches 30 Schuh breit, $o $u- che ich in der er$ten Colonne die Zahl 30, und nehme die mit ihr corre- $pondirende Zahl der zweyten Colonne, da finde ich al$o, da{$s} die Sei- ten-Mauren eines $olchen Magazins 7 Schuh und 7 Zoll dick $eyn mü$$en.

Die dritte Colonne wei{$s}t, welche Dicke man den Seiten-Mau- ren eines Magazins de$$en Gewölb auf Gothi$che Art i$t, vermög $ei- ner Breite geben mü$$e, allwo wir $upponiren, die Höhe der Seiten- Mauren von der Erde an bis zum Anfang des Gewölbs $eye von 5 Schuhen; al$o wann man wi$$en will, welche Dicke man den Seiten- Mauren eines $olchen Gewölbs, das 24 Schuh in der Breite hat, ge- ben mü$$e, $o $uche ich in der er$ten Colonne die Zahl 24; mit welcher [0512] Taffel, In welcher man die Dicke findet, die man den Seiten-Mauren der Pulver-Magazinen geben mu{$s}. Breiten \\ der Pul- \\ ver- \\ Ma- \\ gazincn. # ### Dicke der Seiten- \\ Mauren der Zirckel- \\ mä$$igen Gewölber \\ ver Magazinen, die \\ nur ein Stockwerck \\ haben. # ### Dicke der Seiten- \\ Mauren der Go- \\ thi$chen Gewölber \\ der Magazinen, \\ die nur ein Stock- \\ werck haben. # ### Dicke der Seiten- \\ Mauren der Ma- \\ gazinen, die ein \\ unter - irrdi$ches \\ Stock-Werck ha- \\ ben. # ### Dicke der Sei- \\ ten-Mauren der \\ Magazinen, wel- \\ che in der Höhe \\ noch ein Stock- \\ werck haben. Schuh. # Schuh. # Zoll. # Lin. # Sch. # Z. # L. # Sch. # Z. # L. # Sch. # Z. # L. 20 # 5 # 10 # 0 # 5 # 2 # 0 # 7 # 0 # 0 # 5 # 5 # 6 21 # 5 # 11 # 8 # 5 # 3 # 0 # 7 # 2 # 5 # 5 # 8 # 6 22 # 6 # 2 # 2 # 5 # 5 # 6 # 7 # 4 # 10 # 5 # 10 # 6 23 # 6 # 4 # 6 # 5 # 7 # 4 # 7 # 7 # 3 # 6 # 0 # 10 24 # 6 # 6 # 0 # 5 # 10 # 0 # 7 # 9 # 8 # 6 # 2 # 6 25 # 6 # 8 # 3 # 6 # 0 # 4 # 8 # 0 # 1 # 6 # 4 # 6 26 # 6 # 10 # 0 # 6 # 2 # 0 # 8 # 2 # 6 # 6 # 5 # 11 27 # 6 # 11 # 9 # 6 # 5 # 0 # 8 # 4 # 10 # 6 # 8 # 0 28 # 7 # 2 # 6 # 6 # 8 # 0 # 8 # 7 # 3 # 6 # 10 # 3 29 # 7 # 4 # 9 # 6 # 10 # 6 # 8 # 9 # 8 # 7 # 0 # 0 30 # 7 # 7 # 0 # 7 # 1 # 0 # 9 # 0 # 1 # 7 # 2 # 9 31 # 7 # 9 # 4 # 7 # 2 # 4 # 9 # 2 # 6 # 7 # 5 # 6 32 # 7 # 11 # 10 # 7 # 4 # 9 # 9 # 5 # 11 # 7 # 8 # 0 33 # 8 # 2 # 8 # 7 # 7 # 0 # 9 # 8 # 4 # 7 # 10 # 6 34 # 8 # 3 # 11 # 7 # 9 # 4 # 9 # 10 # 9 # 8 # 2 # 0 35 # 8 # 5 # 9 # 7 # 11 # 0 # 10 # 1 # 2 # 8 # 4 # 2 36 # 8 # 8 # 0 # 8 # 0 # 0 # 10 # 3 # 7 # 8 # 6 # 0 [0513] in der dritten Colonne die Zahl 5 Schuh und 10 Zoll corre$pondirt, welches al$o die ge$uchte Dicke i$t.

Die vierte Colonne wei$et, welche Dicke man den Seiten-Mauren der Magazinen, die ein unterirrdi$ches Stockwerck haben, geben mü$$e; ich $upponire aber die Höhe die$er Seiten-Mauren von dem Ab$atz des Fun- daments an bis zum Anfang des Gewölbs, welches auf Gothi$che Art $eyn mu{$s}, $eye von 12 Schuhen.

Endlich wei{$s}t die fünfte Colonne die Dicke der Seiten-Mauren derjenigen Pulver-Magazinen, die oberhalb dem untern Stockwerck noch ein anderes Stockwerck im Gewölb haben; wir $npponiren, die Höhe der Seiten-Mauren $eye von 9 Schuhen, und die Gewölber auf Gothi$che Art.

Das Fundament, nach welchem die$e Taffel ausgerechnet worden, i$t eine Folge einer der $chön$ten Aufgaben der Architectur, welche aber wenige Per$onen, und $o gar die vornehm$te Bau-Mei$ter nicht wi$$en. Die Aufgab lautet al$o: Zu finden, Welche Dicke man den Seiten-Mauren eines Gewölbs geben mü$$e, damit der Druck des Gewölbs mit dem Wider$tand der Seiten-Mauren im Gleich-Gewicht $tehe, oder welches auch hieher gehöret, zu fin- den, weche Dicke man den Iochen der $teinernen Brücken geben mü$$e, damit der Druck der Bögen mit dem Wider$tand die$er Ioche im Gleich-Gewicht $tehe.

Der P. Deran in $einem Tractat, von der Kun$t die Steine zu hauen, und Mr. Blondel in $einem Cur$u Architecturæ, und mehrere haben geglaubt $ichere Regeln davon zu geben; Allein ihr Fundament, worauf $ie $ich gegründet, i$t fal$ch, indem $ie weder die Höhe der Sei- ten-Mauren, noch die Breite des Gewölbs in Betrachtung gezogen; es hat aber Mr. de la Hire in den Memoires der Academie der Wi$$en$chaften von Anno 1712. eine vollkommene Auflö$ung davon gegeben. Ich hätte $einen Di$curs hier angeführet und die duncklen Stellen erläutert, wann er $ich nicht einer $ehr componirten Algebrai- $chen Rechnung bedienet hätte, die al$o die Anfänger nicht ver$tehen könnten; Derowegen habe ich mich nur die$er Auflö$ung zur Con$tru- ction gegenwärtiger Taffel bedienet; Diejenige, welche ein mehreres davon zu wi$$en verlangen, können ihre Zuflucht zu obgedachten Memoi- res nehmen; Die$es wird ihnen vielleicht die Begierde erwecken, $ich die $chöne neue Erfindungen, die die Academie jährlich heraus gibt, be- kannt zu machen.

Nachdem ich von den Pulver-Magazinen geredet, $o halte ich vor gut zu wei$en, auf was Art, und mit welcher Gewalt, die Bomben auf [0514] ihre Gewölber fallen, damit man den Unter$chied zwi$chen der Betrach- tung der Sachen wie $ie uns vorkommen, und zwi$chen der Betrach- tung der Sachen wie $ie in $ich $elb$t $eynd, mercke, und man auch zu- gleich $ehe, da{$s} die Mathe$is in die$er Sache eine $olche Erkanntnu{$s} ge- be, zu welcher die ge$chickte$te Feuerwercker durch die Praxin nicht gelan- gen können.

Application der Mechanie zur Kun$t die Bomben zu werfen.

1045. In der letzten Aufgab des er$ten Theils (§. 950.) haben wir gewie$en, da{$s}, um die Kraft der Bewegung, oder die Stärcke des Falls einer Bombe zu finden, man ihre Ma$$am durch die Quadrat- Wurtzel der Höhe, von welcher $ie gefallen, multipliciren mü$$e; allein die$es hätte nur $tatt, wann die Bombe durch ihren Fall eine auf dem Horizont perpendicular $tehende Linie be$chreiben, und die Fläche mit der Batterie horizontal $tehen würde; Da nun die Bomben nur $el- ten nach einer auf der Fläche, wohin man $ie wirft, perpendicular $te- henden Directions-Linie fallen, und auch die$e Flächen am öfter$ten höher liegen als die Batterie, $o i$t die Auflö$ung die$er Aufgab, davon wir geredet, nicht allerdings gerecht, indem wir von den zwey angedeuteten Um$tänden ab$trahiret; Die Ur$ach aber, warum ich damals nichts darvon gemeldet, i$t, weilen die Anfänger von dem Principio Mechani- co §. 963. noch keine Wi$$en$chaft hatten. Weilen aber jetzund nichts mehr, was man zu die$er Erkanntnu{$s} vonnöthen hat, fehlet, $o will ich jetzund gründlich davon handeln.

Wann die Linie AB die Elevation eines Mör$ers, die Linie AC die Fig. 433. horizontale Fläche und die krumme Linie AHD die von der Bombe be- $chriebene Parabel vor$tellet, $o i$t die Linie AB, die man $o lang ver- längert, bis da{$s} $ie die verlängerte Axe angetroffen, eine Tangent der Parabel, die die$elbe nur in A berühret, und die Linie BD i$t eine andere Tangent, die die Parabel nur in dem einigen Punct D berühret; nun wann ein Cörper nach einer Directions-Linie die auf dem Horizont nicht perpendicular $tehet, geworfen wird, $o wird die Directions-Linie, nach welcher der Cörper auf eine Fläche fällt, durch eine Tangent, die man von demjenigen Punct der Parabel, allwo $ie die Fläche antrift, ziehet, vorge$tellet; al$o fällt die Bombe, die die Parabel AHD be- $chrieben, nach der Directions-Linie BD auf die Fläche AC; weilen aber die$e Linie in An$ehung der Fläche AC $chief $tehet, und man die Kraft [0515] der Bewegung der Bombe durch eine Linie als wie FD vor$tellen kan, $o $to{$s}t $ie nicht mit ihrer völligen Kraft FD auf die Fläche; Dann wann man von F die Perpendicular FE auf AC fallen lä{$s}t, und man das Parallelogrammum EG vollends ausmacht, $o i$t die Kraft FD den beyden würckenden Kräften FG und FE zu$ammen genommen gleich (§. 963.): nun die Kraft FG, die mit dem Hórizont parallel i$t, hat gegen die Fläche AC gar keine Würckung, al$o bleibt nur die Kraft, die durch FE vorge$tellet wird, übrig, mit welcher die Bombe auf die Flä- che fällt; Die$es wei{$s}t al$o, da{$s} der Sto{$s} einer Bombe, die nach der Direction BD ge$chicht, $ich zum Sto{$s}, der nach der perpendicularen Directions-Linie BI ge$chicht, verhalte als wie FE zu FD, oder als wie BI zu BD, das i$t, als wie die Subtangens zur Tangent, oder als wie die Tangent des Winckels der Elevation des Mör$ers zu $einer Secant, oder auch als wie der Sinus des Winckels der Elevation zum Sinu toto: al$o wann der Winckel BAI von 50 Graden i$t, $o kan man $agen, da{$s} $ich der Fall einer Bombe nach der perpendicularen Directions-Linie BI zum Fall nach der Directions-Linie BD verhalte, als wie $ich 100000 zu 76604 verhält.

Wann man nur die Kraft der Bomben, die auf eine horizontale Fläche fallen, betrachtet, $o $cheinet, als hätte die$es, was wir davon geredet, keinen gro$$en Nutzen, indem die Bomben, die $o wohl von den Belagerten, als von den Belagerern in die Wercker geworfen werden, mehr Schaden durch ihren Sprung, als durch ihren Fall verur$achen; wann man aber doch in die$em Fall auch von dem Fall wollte einen Nutzen ziehen, $o wäre es nur wegen den Souterrains, die man zu un- ter$chiedenem Gebrauch unter die Wälle anlegt; weilen aber der Fall der Bomben genauer mu{$s} betrachtet werden, wann man $ie auf Ge- bäude, deren Ruin den Belagerten Nutzen bringt, als wie auf ein Pul- ver-Magazin werfen will, um $ein Gewölb durchzu$chlagen, welches man aber dahier als eine zu dem Horizont $chief-liegende Fläche an$ie- het, $o i$t in$onderheit in die$em Fall dahier die Kraft der Bewegung der Bomben zu examiniren.

Wann man einen Mör$er in A hat, und man eine Bombe auf die Fig. 434. $chief-liegende Fläche KL werfen, und man auch wi$$en will, welche Kraft der Bewegung die Bombe habe, nachdem $ie die Parabel AHD be$chrieben und auf D fallet, $o betrachte ich, da{$s} die Bombe, da $ie auf den Punct D fällt, ihre Würckung nach der Directions-Linie BD thue, welche aber zur Parabel eine Tangent i$t.

Wann man nun die Kraft der Bewegung der Bombe durch die Linie FD vor$tellet, als welche auf der Fläche KL nicht perpendicular [0516] $tehet, $o $iehet man, da{$s} die Bombe nicht mit ihrer gantzen Kraft auf die Fläche falle; Dann wann man von F auf KL die Perpendicular FE fallen lä{$s}t, und das Parallelogrammum GE vollends ausmacht, $o be- kommt man die Seiten FE und FG, welche zwey Kräften vor$tellen, die, wann $ie zu gleicher Zeit ihre Würckung ausüben, zu$ammen ge- nommen der eintzigen Kraft FD gleich $eynd; Da nun die Kraft FG mit der Fläche KL parallel lauft, $o hat $ie gegen die$elbe keine Wür- ckung; Derowegen i$t die Kraft der Bewegung der Bombe nach der Directions-Linie FD nur der Kraft FE gleich; Al$o kan man $agen, da{$s} $ich die Kraft einer Bombe, die nach einer $chieffen Directions-Linie auf eine Fläche fällt, $ich zur Kraft, die $ie nach einer perpendicularen Di- rections-Linie hätte, verhalte, als wie FE zu FD, oder als wie der Sinus des Winckels FDE zum Sinu toto, wann $ie nemlich von einerley Höhe fallen.

Wann man nun die$e Berhältni{$s} in Zahlen kennen will, $o mu{$s} man den Winckel FDE $uchen; um ihn aber zu finden, wird erfordert, da{$s} man den Winckel KDC, den die $chief-liegende Fläche mit dem Ho- rizont formirt, und den Winckel der Elevation BAD des Mör$ers, der dem Winckel BDA gleich i$t, kenne; wann man nun die Summe die$er bey- den Winckel von zweyen rechten Winckeln abziehet, $o bleibt der Win- ckel FDE übrig: al$o wann der Winckel BDA z. E. von 70 Graden, und der Winckel KDC von 50 Graden i$t, $o i$t ihre Summ von 120 Graden, welche, wann $ie von 180 abgezogen wird, uns 60 Grad zu- rucklä{$s}t, welches al$o der Valor des Winckels FDE i$t, de$$en Sinum man al$o von 86602 findet; Derowegen verhält $ich die Kraft der Be- wegung nach der perpendicularen Direction zur Kraft der Bewegung nach der $chieffen Direction FD, als wie 100000 zu 86602.

Iedermann glaubt (wie man auch in einem gewi$$en Ver$tand recht hat), da{$s}, je von einer grö$$ern Höhe die Bomben fallen, je grö$- $ere Kraft der Bewegung $ie haben. Doch i$t die$es nur wahr, wann die Fläche, worauf die Bombe fällt, horizontal liegt; Dann wann $ie von einer $ehr gro$$en Höhe herunter fällt, $o be$chreibt $ie auf die letzt eine krumme Linie, welche der Vertical-Linie $ehr nahe beykommt: wann aber die Fläche mit dem Horizont einen Winckel formirt, $o i$t der Fall nach der Vertical-Linie $chwächer, als nach allen andern Directions-Li- nien, die $ich zwi$chen der horizontalen und verticalen Direction befin- den; nur wird allezeit erfordert, $ie fallen von einerley Höhe: hinge- gegen, wann die Tangent, die man von dem Punct, wo die Parabel die Fläche antrift, ziehet, auf der Fläche $elb$ten perpendicular $tehet, da fällt die Bombe mit ihrer grö$ten Kraft, die ihr möglich. Damit man [0517] nun eine Bombe nach einer perpendicularen Direction auf eine $chief- liegende Fläche werfe, $o wird erfordert, da{$s} man den Winckel, den die Fläche mit dem Horizont formirt, kenne; nach die$em gibt man dem Mör$er eine Elevation, die dem Complemento die$es Winckels gleich i$t.

Z. E. Wann man auf die $chief-liegende Fläche KL und zwar Fig. 435. auf den Punct D die Perpendicular DB aufrichtet, welche $ich an der Perpendicular EB, die man auf die Mitte der Weite AD der Parabel aufrichtet, endiget, und man noch die Linie AB ziehet, $o zeigt der Win- ckel BAD die Elevation, die man dem Mör$er geben mu{$s}, damit er $ei- ne Bombe in D werfe: allein die$er Winckel BAD i$t dem Winckel BDA gleich, und die$er Winckel BDA i$t das Complementum des Winckels KDC, indem der Winckel BDK ein rechter Winckel i$t; Derowegen i$t auch der Winckel BAD das Complementum des Winckels KDC, al$o zeigt er die Elevation, die man dem Mör$er geben mu{$s}, damit die Bombe nach einer perpendicularen Direction auf die $chief-liegende Flä- che falle.

Durch die$e Theorie, kan man auch finden, welche Ladung man dem Mör$er geben mü$$e, wie auch die Elevation, die er haben mu{$s}, da- mit er $eine Bombe auf eine $chief-liegende Fläche werfe, und zwar al- $o, da{$s} die Bombe mit der grö$ten Kraft, die ihr möglich, auf die$e Fläche falle; man kan auch $o gar erwei$en, da{$s}, wann $ich die Qua- drat-Wurtzeln der unter$chiedenen Höhen, von welchen eine Bombe auf eine $chief-liegende Fläche fällt, $ich gegen einander verhalten, als wie $ich reciprocè die Sinus der Winckel, die die unter$chiedene Directions- Linien mit der Fläche formiren, gegen einander verhalten, die Kraft der Bewegung allezeit einerley verbleibe; und noch dergleichen andere Sa- chen mehr, welche aber vielmehr dienen den Ber$tand zu $chärfen, als $ie in der Praxi leicht auszuüben; Derowegen will ich nur noch von zweyen Fällen reden, die mir zu erklären übrig geblieben, nemlich zu fin- den, mit welcher Kraft die Bomben auf eine $chief-liegende Fläche fal- len, welche entweder höher oder niedriger als die Batterie liegt: und weilen, wann man den einen von die$en beyden Fällen ver$tehet, man den andern auch gantz leicht begreiffen kan, $o will ich nur von die$em reden, wann die $chief-liegende Fläche höher liegt als die Batterie.

Wann man nach den Regeln der Kun$t die Bomben zu werfen Fig. 436. den Winckel BAI gefunden, und man dem Mör$er die$e Elevation gibt, damit er al$o $eine Bombe auf den Punct D der $chief-liegenden Fläche KL, die höher als der Horizont AP liegt, werfe, $o findet man die Am- plitudinem AP der Parabel AHP, und al$o auch ihre Axe HI; vor die- $em aber wird $chon erfordert, man kenne die Höhe DQ, um welche D [0518] höher i$t als der Horizont AP: wann aber die Bombe an$tatt in P zu fallen, in D fällt, und man die Linie DO mit PA parallel ziehet, $o wird die Ge$chwindigkeit der Bombe durch die Quadrat-Wurtzel von HN vorge$tellet. Wann man nun die$e Kraft durch die Linie FD vor- $tellet, und man die Perpendicular FE auf die Fläche KL fallen lä{$s}t, $o $o wird die Kraft der Bewegung der Bombe in D eigentlich durch die Linie FE und nicht durch FD vorge$tellet. Weilen $ich ferner die Kraft nach der perpendicularen Direction zur Kraft nach der $chieffen ver- hält, als wie FD zu FE, oder als wie der Sinus totus zum Sinu des Winckels FDE, $o kan man die$e Berhältni{$s} in Zahlen $inden, dann man dörf nur den Winckel MON, der von der Ordinata ON und der Tangent OM formirt wird, kennen; Die$er Winckel wäre derjenige, nach welchem man den Mör$er richten mü{$s}te, wann $ich die Batterie in O befände. Um aber die$en Winckel zu $inden, $o betrachtet das rechtwincklichte Dreyeck OMN, da wir durch Hülf der Seiten MN und ON den ge$uchten Winckel finden werden; um aber die Seite MN zu kennen, $o betrachtet, da{$s}, HN = HI - DQ, und da{$s} MN = 2HN; Damit man auch die Seite ON finde, $o $agt: wie $ich die Ab$ci$$a HI zur Ab$ci$$a HN verhält, al$o verhält $ich das Quadrat der Ordinatæ AI zum Quadrat der Ordinatæ ON; wann man nun aus die$em vierten Termino die Quadrat-Wurtzel extrahirt, $o bekommt man die Seite ON; Da findet man al$o durch Hülf der Trigonometrie den Winckel MON oder MDN der ihm gleich i$t; wann man nun die$en gefundenen Winckel zu dem Winckel EDG addirt, und die Summ von zweyen rech- ten Winckeln $ubtrahirt, $o bekommt man den Winckel FDE zur Diffe- renz, de$$en Sinus die Kraft der Bombe, die $ie in D ausübt, in An$e- hung des Sinus totius, die die völlige Kraft der$elben vor$tellet, deter- minirt.

Aus die$em, was bisher ge$agt worden, kan man auch die Kraft Fig. 437. & 438. der Stuck-Kugeln, die von ungleich weiten Batterien auf eine Fläche ge$cho$$en werden, determiniren: Z. E. wann man eine verticale Flä- che AB hat, und man von dem Punct C gegen die$elbe eine Kugel $chie$- $et, und zwar al$o, da{$s} die Seele des Stuckes nach der auf AB perpen- dicularen Direction CD gerichtet $eye, $o wird die Kugel, an$tatt an D anzuprellen, vielmehr niedriger z. E. in G anprellen, indem $ie vermög ihrer Schwäre eine Parabel CPG be$chreibet, und al$o $to{$s}t $ie nach der Direction der Tangent IG an die Fläche, derowegen $tellt die Linie IK, die auf die Fläche perpendicular $tehet, und nicht der Diagonal IG des Parallelogrammi LK die Kraft der Kugel vor. Wann man aber nun- mehro die$e nemliche Kugel mit gleicher Ladung aus E gegen die Fläche [0519] $chie{$s}t, $o wird $ie, weilen die Di$tanz EF grö$$er als CD i$t, an die Flä- che in H mit weniger Kraft, als $ie in G gethan, an$to$$en; es i$t aber nicht die weitere Di$tanz, die der Kugel etwas von ihrer Kraft der Be- wegung benommen (wann man ander$t von dem Wider$tand der Luft ab$trahiret), $ondern die Ur$ach die$es i$t, weilen, da die Parabel EQH grö$$er i$t als die Parabel CPG, auch der Punct H weiter von F ent- fernet $eyn mu{$s}, als der Punct G von D; Derowegen formirt die Tangent MH mit der Fläche AB einen $pitzigeren Winckel als die Tangent IG. Wann man nun die Diagonal MH der Diagonal IG gleich macht, und man von M auf AB die Perpendicular MN fallen lä{$s}t, $o verhält $ich die$e Perpendicular MN zur Perpendicular IK, als wie $ich der Sto{$s} der Kugel die von E ge$cho$$en wird, zum Sto{$s} der Kugel, die von C ge$cho$$en wird, verhält, oder auch, als wie $ich der Sinus des Winckels MHN zum Sinu des Winckels IGK verhält; woraus al$o folget, da{$s}, wann man eine Fläche von $ehr weitem be$chie{$s}t, und die Kugel nicht $o gro$$e Kraft ausübt, als wann man $ie von nahem be$chie{$s}t, die Ur$ach davon nicht in demjenigen be$tehe, da{$s} die Kugel von ihrer Kraft etwas verlohren, wie es viele glauben; Dann die wahrhaftige Ur$ach be$tehet darinnen, da{$s}, wann man eine Fläche von weitem be$chie{$s}t, die Kugel nach einer $chieffen Directions-Linie anprelle, und al$o nicht $o viel Kraft ausübe, als wann die Directions-Linie mehr perpendicular wäre; in- dem, wann die Kugel, da $ie zum Stuck herausgehet, keinen Wider- $tand von der Luft empfinden, noch von ihrer Schwäre gegen den Mit- tel-Punct der Erden gezogen würde, oder mit einem Wort zu $agen, wann $ie allezeit in einer graden Linie verbliebe, $ie auf jede Di$tanz ei- nerley Kraft der Bewegung behalten würde; indem keine Ur$ach vor- handen, warum $ie etwas davon verliehren $ollte.

Die Gelegenheit die$es zu unter$uchen, hat mir Mr. Tufereau an die Hand gegeben; Dann da er die unter$chiedene Würckungen der Bomben und Kugeln in eine genaue Betrachtung gezogen, hat er ge- funden, da{$s} die$e Cörper nicht vermög ihrer völligen Kraft agiren; De- rowegen er mich er$ucht, die Ur$achen davon zu unter$uchen.

⋆ Aus die$em al$o, was der Herr Auctor hier angeführet, erhel- let gantz klärlich, wie nutzlich es $eye in einer Belagerung die Batte- rien mit den Linien, deren Bru$t-Wehren man be$chie$$en will, parallel zu führen, wie auch den$elben die nöthige Erhöhung zu geben, damit die Directions-Linien der Schü$$e, $o viel als möglich, perpendicular $eyen; indem die$es viele Munition und Zeit er$pahret.

[0520] Bericht an den Le$er.

Weilen man unter dem Nahmen Mechanic auch oft die Experi- menta, die man mit dem Pulver macht, ver$tehet, $o finde ich nicht vor undienlich dahier ein Mittel an die Hand zu geben, wie die Experimen- ta anzu$tellen, die rechte Ladung der Minen vermög der unter$chiedenen Linien des $chwäch$ten Wider$tands zu finden, damit man al$o $ehe, da{$s} in die$em Stuck die gemeine Praxis nicht genau zutreffe.

Neue Manier die Proben zu machen, um die rechte Ladung den Minen-Kammern zu geben.

1046. Unter allen Theilen der Kriegs-Kun$t i$t keiner, woran die Mathe$is und Phy$ic $o viel Theil hat, als die Wi$$en$chaft der Mi- nen, wann man $ie ander$t nach aller Theorie tractiren will. Die mehri$te, die bishero die Auf$icht darüber gehabt, haben $ich mit der Wi$$en$chaft die Gallerien bis unter den Ort, den man $prengen will, zu führen, und mit einer wenigen Praxi $amt dem Gebrauch etlicher Ta- bellen, deren $ie $ich zur Ladung der Kammern bedient, begnügt, und $eynd, al$o nicht weiter gegangen; Dann $ie glaubten nicht, da{$s} es Re- geln gebe, vermög welcher man die Würckungen des Pulvers genau ausrechnen, noch Gallerien führen könne, welche eine Ve$tung durch ihre unterirrdi$che Stärcke bey dem Feind eben $o re$pectable machen, als die be$te und auf das vorheilhaftig$te angelegte Fortifications-Wer- cker; man wäre auch vielleicht noch mit die$em Bor-Urtheil behaftet, wann nicht Mr. de Valiêre gewie$en hätte, da{$s} in der Anlegung der Minen eine Wi$$en$chaft $tecke, zu deren Erkanntnu{$s} man gantz allein durch die Mathe$in gelangen kan; und weilen ich dahier $einen Ab$ich- ten folgen will, $o werde ich in folgendem eine von den vornehm$ten Sachen die$er Wi$$en$chaft erklären.

Die gemeine Praxis die Kammern zu laden, be$tehet darinnen; nemlich man $ucht, wie viel cubi$che Klafter, oder Schuh Erden das Pulver aufheben $oll, da multiplicirt man die$e Quantität durch die An- zahl Pfund Pulvers, die man vor jeden Klafter nöthig zu $eyn $chätzet; Z. E. wann es eine unumgearbeitete Erde i$t, und man vor jeden cu- bi$chen Klafter 16 Pf. Pulver brauchen, und man wi$$en will, wie viel Pfund man brauche vor eine Kammer deren Linie des $chwäch$ten Wi- der$tands von 15 Schuhen i$t, $o $ucht man den cörperlichen Inhalt [0521] der Erden, die aufgehoben wird, den man al$o von 28 cubi$chen Klaf- tern findet; nachgehends multiplicirt man die$e Anzahl Klafter durch 16; Da bekommt man 448 Pf. vor die Ladung der Kammer.

Auf die$e Art i$t man bishero verfahren, die Ladung der Kam- mern zu finden; allein wann man betrachtet, da{$s} man nicht nur al- lein auf die Schwäre der Erden, $ondern auch auf ihre Fe$tigkeit oder Zu$ammenhang Obacht geben mu{$s}, $o $iehet man, da{$s}, um die Ladung zweyer unter$chiedener Kammern genau zu proportioniren, man nicht gantz allein die Quantität der Erden, die eine jede aufheben $oll, in Be- trachtung ziehen mü$$e. Z. E. Wann die eine 8, und die andere 16 cubi$che Klafter aufheben $oll, $o dörf $ich die Ladung der er$ten zur La- dung der zweyten nicht verhalten, als wie 8 zu 16; Dann die grö$$ere Kammer würde nach Proportion der kleinern zu $tarck geladen $eyn, wie man die$es in folgendem $ehen wird.

Man wei{$s}, da{$s} die ähnliche Cörper $ich gegen einander verhalten, als wie die Cubi ihrer Axen: al$o wann man zwey Kammern hat, de- ren Linien des $chwäch$ten Wider$tands einander ungleich $eynd, $o kan man $agen, da{$s}, weilen die$e Kammern ähnliche ge$tümpelte Conos auf- heben, $ich die Ma$$æ der Erden gegen einander verhalten, als wie die Cubi der Linien des $chwäch$ten Wider$tands; man wei{$s} auch, da{$s} $ich die Flächen der ähnlichen Cörper gegen einander verhalten, als wie die Quadrate ihrer Axen; weilen man nun den Zu$ammenhang der Erden durch die Fläche des ge$tümpelten Coni vor$tellen kan, $o $iehet man, da{$s}, wann man die Schwäre der Erden und ihren Zu$ammenhang zu- gleich in Betrachtung ziehen mu{$s}, $o wohl die Cubi, als auch die Qua- drate der Linien des $chwäch$ten Wider$tands die Verhältni{$s} der Schwäre und des Zu$ammenhangs der Erden determiniren. Weilen nun das Pulver mehr Gewalt ausüben mu{$s}, die Erden von einander zu lö$en, als die$elbe aufzuheben, $o habe ich nicht ohne Ur$ach $chon er- innert, da{$s} man in der Ladung der Kammern, nicht nur allein die Ver- hältni{$s} der Schwäre der Erden, $ondern auch die Verhältni{$s} ihres Zu- $ammenhangs in Betrachtung ziehen mü$$e. Wann man nun betrach- tet, da{$s} von ungleichen aber ähnlichen Cörpern die grö$$ern nach Pro- portion der kleinern weniger Fläche haben, $o $iehet man, da{$s}, weilen der Zu$ammenhang der Erden durch die Fläche des ge$tümpelten Coni, oder durch das Quadrat der Linie des $chwäche$ten Wider$tands kan vor- ge$tellet werden, der Zu$ammenhang der Erden in denjenigen Minen, die grö$$ere Linien des $chwäche$ten Wider$tands haben nach Propor- tion derjenigen, die kleinere haben, auch geringer $eye. Z. E. Wann man zwey Kammern $upponirt, da die Linie des $chwäche$ten Wider- [0522] $tands der er$ten von 10 Schuhen, und die Linie des $chwäche$ten Wi- der$tands der zweyten von 20 Schuhen i$t, $o verhält $ich der Zu$am- menhang der Erden der er$ten zum Zu$ammenhang der Erden der zwey- ten, als wie das Quadrat von 10 zum Quadrat von 20, das i$t, als wie 100 zu 400, und die Schwäre des er$ten ge$tümpelten Coni zur Schwäre des zweyten, als wie der Cubus von 10 zum Cubo von 20, das i$t, als wie 1000 zu 8000. Die$es wei{$s}t al$o, da{$s}, wann man zwey Minen hat, da die Linie des $chwäche$ten Wider$tands der einen doppelt $o gro{$s} i$t, als eben die$e Linie der anderen, die Schwäre der Erden der er$ten achtmal $o gro{$s}, als die Schwäre der andern $eye; Da hingegen die Zu$ammenhaltung der er$ten nur das Vierfache der Zu$ammenhaltung der zweyten i$t; wann man al$o nur die Schwäre der Erden in Betrachtung ziehet, wann man die Kammern laden will, $o ladet man die gro$$en Minen nach Proportion der kleinern zu $tarck; Die$es verur$acht nicht nur allein unnöthige und überflü$$ige Unko$ten in Pulver, $ondern es kan auch $ehr gro$$en Schaden bringen, indem ei- ne Mine, die allzu $tarck geladen, oft die Stücker auf diejenige, die $ie $pielen la$$en, wirft.

Wann man nunmehro examiniren wollte, auf was Art die Luft an der Würckung der Minen Theil haben könnte, $o mü{$s}te man die Kraft ihrer Ela$ticität, wann $ie $ich in der Kammer ausbreitet, be- trachten, und zwar nach welcher Verhältni{$s} $ich die$e Kraft vermehre, nach dem als $ich mehr Pulver entzündet; Ferner mü$te man die Ver- änderungen der Luft, die wider den Cörper $to{$s}t, betrachten, ja $o gar die Schwäre der Athmosphæræ, die mit den Linien des $chwäche$ten Wider$tandes corre$pondirt, berechnen, indem man wei{$s}t, da{$s} $ich die$e Schwären gegen einander verhalten, als wie die Quadrate der Linien des $chwäche$ten Wider$tandes, da $ich hingegen die Schwären der Er- den gegen einander verhalten, als wie die Cubi eben die$er Linien; wei- len aber die$es mich unvermerckt in die Phy$ic führen würde, vor wel- cher aber gewi$$e Gründe hergehen mü{$s}ten, deren Erkanntnu{$s} ich aber dahier von den Anfängern nicht begehren kan, $o will ich mich begnü- gen, nur von demjenigen zu reden, was $ich vornehmlich auf die Geome- trie beziehet.

Weilen eine gute Methode in dem Studio der Wi$$en$chaften, und der Praxi der Kün$ten, das eintzige Mittel i$t, wodurch man zur Er- kanntnu{$s} vieler Sachen gelanget; $o $cheinet mir, damit man in Un- ter$uchung der Kräften des Pulvers in einer Mine methodicè gehe, man mü$$e zu er$t unter$uchen, wie viel Pulver man brauche um die [0523] Erde von einander zulö$en, wie viel vor die Schwäre, und endlich wie viel vor beydes zu$ammen.

Nemlich man legt in einem Terrain von gleicher Con$i$tenz viele Kammern an, deren alle Linien des $chwäche$ten Wider$tandes einander gleich $eynd; nach die$em ladet man drey oder vier $olche Kammern mit einer mittelmä$$igen Quantität Pulvers, nemlich mit einer $olchen Quantität, die man vor nöthig erachtet, nur die Erde des ge$tümpelten Coni von der andern die zuruck bleibt, lo{$s} zu machen, damit man auf der Fläche der Erden die Circumferenz eines Zirckels $ehe; weilen man nun vielleicht die rechte Ladung, um dasjenige auszuwürcken, nicht tref- fen mag, $o mu{$s} man die$en Kammern unter$chiedene Ladungen ge- ben. Wann man nun $upponirt, die Linien des $chwäche$ten Wider- $tands aller die$er Kammern wären von 8 Schuhen, und die Kammer, die mit 50 Pf. geladen, hätte die$en Effect hervorgebracht, nemlich $ie hätte den begehrten Zirckel auf der Fläche der Erden be$chrieben, $o i$t al$o die Quantität 50 Pf. diejenige, die nöthig ware die Erde von ein- ander zu lö$en: und weilen wir gewie$en, da{$s} $ich der Zu$ammenhang der einen Mine zu dem Zu$ammenhang der anderen verhalte, als wie das Quadrat der Linie des $chwäche$ten Wider$tandes der er$ten zum Quadrat eben die$er Linie der zweyten, $o kan man vermög die$er Prob finden, wie viel man Pulver vor eine Kammer brauche die $ich in glei- chem Terrain befindet, und deren Linie des $chwäche$ten Wider$tandes z. E. von 12 Schuhen i$t, damit $ie al$o die vorige Würckung thue; Dann man $agt nur: wann 64 als das Quadrat von 8, 50 Pf. Pul- ver braucht, um die Erde lo{$s} zu machen, wie viel braucht 144 als das Quadrat von 12; Da findet man, da{$s} um gleiche Würckung zu haben, man die Kammer mit 112 Pf. Pulver laden mü$$e. Auf die$e Art ver- fähret man mit allen andern.

Weilen man $ich der Minen zu unter$chiedenen Endzwecken be- dient, und es gewi$$e Fälle gibt, da{$s}, je mehr Erden ge$prenget wird, je be$$er es $eye, $o nehme ich meine Zuflucht noch zu anderen Proben, nemlich ich lege wiederum drey oder vier Kammern an, deren Linien des $chwäche$ten Wider$tandes wiederum von 8 Schuhen $eynd; nach die- $em lade ich alle die$e Kammern und zwar mit einer viel grö$$ern Quan- tität Pulvers, indem ich völlige Aushölungen haben will: und weilen ich die nöthige Quantität Pulvers nicht wei{$s}, $o gebe ich den Kammern wiederum ungleiche Ladungen; ich $upponire nun, die Kammer, deren Effect $ich nach meiner Intention bezeiget, $eye mit 70 Pf. geladen ge- we$en, $o $ehe ich die$e Ladung als kräftig genug an, $o wohl die Fe$tig- keit als die Schwäre der Erden, deren Linie des $chwäche$ten Wider- [0524] $tandes von 8 Schuhen i$t, zu überwinden. Wann man nun vor einen Augenblick die Fe$tigkeit, die bey einer gro$$en Mine nach Proportion einer kleinern geringer i$t, auf die Seite $etzet, und nur die Ma$$en der Erden in Betrachtung ziehet, $o erinnere ich mich, da{$s} $ich die$e Ma$$æ gegen einander verhalten, als wie die Cubi ihrer Linien des $chwäche- $ten Wider$tandes. Wann man al$o die Ladung einer Mine, deren Linie des $chwäche$ten Wider$tandes von 15 Schuhen i$t, finden will, und zwar al$o, da{$s} $ie die obangeführte Würckung thue, das i$t, da{$s} $ie eine völlige Aushölung mache, $o $agt man: wann 512 als der Cu- bus der Linie des $chwäche$ten Wider$tandes von 8 Schuhen 70 Pf. Pulver begehrt, wie viel begehrt 3375 als der Cubus der Linie des $chwäche$ten Wider$tandes von 15 Schuhen, da findet man 461 Pf. welche Quantität man aber um etwas verringern kan, ange$ehen die gro$$en Minen nach Proportion der kleinern weniger Fe$tigkeit oder Zu- $ammenhang haben.

Wann man nun in allen unter$chiedenen Gattungen Erden der- gleichen Proben an$tellet, $o i$t es genug, wann man die Quantität Pulvers vor eine gewi$$e Gattung Erden, und eine gewi$$e Linie des $chwäche$ten Wider$tandes kennet; dann man kan durch Hülf der vor- hergehenden Regel die Ladung vor alle Kammern finden, es mögen auch die Linien ihres $chwäche$ten Wider$tandes $o gro{$s} $eyn, als $ie wollen; und zwar findet man $ie auf eine $olche allgemeine Manier, da{$s} man nicht nöthig habe zu wi$$en, ob die Aushölung einer Mine ei- ne Paraboloides, oder ein ge$tümpelter Conus, oder aber auch ein ande- rer Cörper $eye; indem es nicht nöthig, die$elbe auszume$$en; und was ich noch am vortheilhaftig$ten finde, i$t, da{$s}, weilen allem An$ehen nach die Aushölung eine andere Figur bekommt, nach dem als die Ma- terie, die die Mine aufheben $oll, mehr oder weniger Con$i$tenz hat, man nicht nöthig habe zu examiniren, ob die Figur der Aushölung in dem Mauerwerck, von ihrer Figur in der $teinigten Erde, und die$e wieder von der Figur in der gemeinen Erde unter$chieden $eye; es i$t genug, da{$s} man wi$$e, da{$s} die Aushölungen, oder die Cörper die auf- gehoben werden in Terrain von einerley Con$i$tenz einander ähnlich, und $ich al$o gegen einander verhalten, als wie die Cubi ihrer Linien des $chwäche$ten Wider$tandes; nach die$em Principio nun findet man gantz leicht die Ladung vor alle Kammern, wie man die$es durch die Tabellen, deren die Minierer $ich bedienen, verificiren kan; nach wel- chen man vor die Linie des $chwäche$ten Wider$tandes von 8 Shuhen in gemeiner Erde 48 Pf. Pulver braucht; Wann man nun wi$$en will, wie viel man braucht, wann die Linie des $chwäche$ten Wider$taudes [0525] von 15 Schuhen i$t, $o mu{$s} man $agen: wann 512 als der Cubus von 8 Schuhen, 48 Pf. Pulver begehrt, wie viel begehrt 3375 als der Cu- bus von 15 Schuhen; Da findet man 316 Pf., welchen Terminum auch die Tabellen wei$en: auf die$e Art verfähret man mit allen ande- ren Aufgaben; Die$es wei{$s}t al$o, da{$s} man nur einen Terminum be- halten dörfe, um dadurch die Ladung vor alle Kammern zu finden.

Nach die$em, was ge$agt worden, kan man al$o auf eine leichte Manier die Minirer-Tabellen verfertigen, ohne $ich um die Figur der Aushölung zu bekümmern; allein auf die$e Art würden die$e Tabellen den $chon gebräuchlichen gleich; Da diejenige, die $ie ausgerechnet, nur die Schwäre der Erden, aber nicht ihren Zu$ammenhang in Betrach- tung gezogen: Al$o würden wir ebenfals auch die gro$$e Minen nach Proportion der kleinern zu $tarck laden; Derowegen will ich wei$en, wie man durch Hülf der zuer$t-berührten Proben die$en Irrthum mei- den kan.

Wir haben $upponirt, da{$s} um die Erde einer Mine, deren Linie des $chwäche$ten Wider$tandes von 8 Schuhen i$t, von einander zu lö- $en, man 50 Pf. Pulver brauche, und da{$s}, um nicht nur allein die Er- de von einander zu lö$en, $ondern auch die$elbe gar aufzuheben, man 70 Pf. brauche, welche al$o eine gäntzliche Aushölung formiren. Wann man nun die 50 Pf. von den 70. Pf. abziehet, $o bekommt man 20 Pf. zur Differenz, welche al$o wei{$s}t, wie viel man nöthig habe, nur um die Erde einer Mine, deren Linie des $chwäche$ten Wider$tandes von 8 Schuhen i$t, aufzuheben. Nunmehro, wann man die rechte Ladung einer Mine, deren Linie des $chwäche$ten Wider$tandes von 15 Schu- hen i$t, vermög der Ladung der vorhergehenden finden will, $o $ucht man zu er$t, wie viel Pulver man brauche, um die Erde von einander zu lö$en; um die$es aber zu finden, $o $agt man: wann 64 als das Quadrat von 8 Schuhen 50 Pf. Pulver vor den Zu$ammenhang der Erden begehrt, wie viel begehrt 225 als das Quadrat von 15 vor den Zu$ammenhang der Erden die$er Mine; Da findet man al$o 175 Pf. Damit man nun auch erfahre, wie viel man Pulver vor die Erde gar aufzuheben, brauche, $o $agt man: wann 512 als der Cubus von 8 Schuhen 20 Pf. Pulver begehrt, wie viel begehrt 3375 als der Cubus von 15 Schuhen; Da findet man 132 Pf. wann man nun die$e beyde gefundene Terminos zu$ammen addirt, $o bekommt man 307 Pf. vor die völlige Ladung die$er Mine. Wir haben aber zuvor, da wir nur die Ma$$am allein in Betrachtung gezogen, 461 Pf. vor die Ladung ge- funden; Derowegen $iehet man, da{$s} die$e Ladung um 154 Pf. $tärcker $eye, als die letzt gefundene; Derowegen mu{$s} man nicht nur allein auf [0526] die Ma$$am, $ondern auch auf die Fe$tigkeit oder Zu$ammenhang der Erden Reflexion tragen, wie die$es $chon oben erinnert worden.

Es $cheinet, die Proben, davon ich geredet, verdienen wegen ihrer Wichtigkeit wohl ins Werck ge$etzet zu werden, und zwar die$es in al- len unter$chiedenen Gattungen Erden, die nur vorkommen können; auf die$e Art könte man vor alle Gattungen Erden Tabellen verferti- gen, welche um $o vielmehr ihren Nutzen haben könnten, als es $cheinet, da{$s} diejenige, deren man $ich insgemein bedienet, nur vor die gemeine Erde verfertiget worden; und weilen unter$chiedene Per$onen daran gearbeitet, $o $eynd $ie auch $elb$ten um $ehr vieles von einander unter- $chieden: Ubrigens i$t $ich auch noch zu verwundern, da{$s} diejenige, die $ie gebrauchen, $ich ihrer $o wohl in der Attaque, als in der Defen$ion der Ve$tungen bedienen, indem der Endzweck, warum die Belagerer Minen anlegen, von dem Endzweck, warum $ie die Belagerte anlegen, um $ehr vieles unter$chieden; Dann je grö$$er die Aushölungen deren Minen der Belagerer $eynd, (was nemlich den bedeckten Weg und auch die Bre$chen $elb$ten anlangt), je be$$er $eynd $ie, indem man auf die$e Art Logementer bekommt, die Raum genug haben, und al$o im Stand $eynd, viele Truppen in $ich zu fa$$en; Da hingegen die Belagerte nur $uchen, die Arbeiten des Feinds über einen Hauffen zu werfen; $ie $eynd aber zu Zeiten $o unvor$ichtig, da{$s}, da $ie nur etliche Schantz-Körbe $amt acht oder zehen Mann in die Luft $prengen $ollten, $ie $o gro$$e Aushölungen machen, da{$s} nachgehends der Feind gantze Grenadier- Compagnien hinein logiren kan, welches al$o dem Feind die Müh er$pah- ret $ich $eine Logementer $elb$ten zu machen. Doch gibt es gewi$$e Ca- $us, allwo erfordert wird, da{$s} die Minen der Belagerten eine gro$$e Würckung thun, in$onderheit aber nur wann man des Feindes Batte- rien $prengen will; Dann wann $ich die$e Batterien an dem eintzigen Ort befinden, von welchem man die Bre$che legen kan, $o $iehet man, da{$s} je grö$$er die Aushölungen $eynd, je mehr Zeit der Feind anwen- den mü$$e $ie wieder auszufüllen, und den erlittenen Schaden wieder zu er$etzen; über die$es $o können die$e Aushölungen dem Feind nicht als Logementer dienen, indem um die$e Zeit der Feind $chon Mei$ter von dem bedeckten Weg i$t, und er die$es Platzes vonnöthen hat, $eine Bat- terie wieder aufzubauen.

Nachdem die$er Di$curs an Hof ge$chickt worden, $o hat der$elbe al- $obald befohlen, die$e von mir angegebene Proben, ins Werck zu $etzen, welches auch die folgende Iahre darauf ge$chehen.

Da auch Mr. de Valiêre die$es durchge$ucht, $o hat er mich $einer guten Meinung, die er von die$er Manier die Proben anzu$tellen hat, [0527] ver$ichert, indem er wegen dem Principio, worauf $ie gegründet $eynd, $ehr zu frieden ware. Ich habe $elb$ten auch $chon die gute Würckung davon ge$ehen, und zwar bey den Minen, die wir Anno 1724 in der Belagerung der Fortification der Academie zu la Fêre haben $pringen la$$en; Da habe ich die Batterien, die die Belagerer auf dem bedeck- ten Weg angelegt, bis dreymal in die Höhe ge$prenget, und noch mit die$em Um$tand, da{$s} die halbe Carthaunen, die auf den Batterien wa- ren, gegen die Seite der Fortification geworfen worden, wie ich mir es auch vorgenommen, damit wann die Belagerte $ich der Stücke des Feindes bemächtigen, er $o oft, als er wiederum neue Batterien anle- gen mu{$s}, auch gezwungen werde neue Stücke kommen zu la$$en. Die$es i$t bey beyden Attaquen zur Rachten und zur Lincken ge$chehen, und zwar unter Frolocken derjentgen, die am mei$ten an glücklicher Aus- führung eines $olchen Projects gezweiffelt, als welches, weilen es niema- len in Gebrauch gekommen, einer Probe vonnöthen hatte, durch welche die Accurate$$e der Regeln, nach welchen ich die Kammern angelegt, und einer jeden ihre gehörige Ladung gegeben, bekräftiget würde; ich habe dahier gar wohl auf dasjenige, da{$s} die gro$$e Minen in An$ehung der kleinern weniger Zu$ammenhang haben, und noch auf viele andere Um$tände Reflexion getragen, welche ich vielleicht einmal in einem be- $ondern Tractat von der Wi$$en$chaft der Minen an den Tag geben werde.

[0528] Vorrede Uber die Hydraulic.

DIe Hydraulic i$t ein Theil der Mathemati$chen Wi$$en$chaften, welcher auf den Principiis der Mechanic gegründet, davon er nur eine Fort$etzung i$t; Dann in der Mechanic betrachtet man (wie man es ge$ehen) das Gleich-Gewicht der fe$ten Cörper, in der Hydraulic aber das Gleich-Gewicht der Flü$$igen, ihre Schwäre, ja $o gar die Verhältni{$s} ihrer Schwäre gegen die Schwäre der fe$ten Cör- per, die man in $ie taucht: in die$er Betrachtung be$tehet al$o die Haupt-Sach des Gleich-Gewichts der flü$$igen Cörper; weilen man aber in der Praxi mehr die Bewegung die$er Cörper, als ihr Gleich- Gewicht in Betrachtung ziehen mu{$s}, indem man am öfter$ten Wa$- $er-Leitungen führen, und ausrechnen mu{$s}, wie viel Wa$$er in einer ge- wi$$en Zeit auslauffe, $o habe ich vor die In$truction meines Le$ers vor dienlich erachtet, nicht nur allein von dem Gleich-Gewicht der flü$$igen Cörper, $ondern auch haupt$ächlich von der Bewegung der$elben zu handlen, damit man lerne die Ge$chwindigkeit und die Kraft des An- $to$$es der$elben, er mag nach horizontalen, verticalen, oder $chieffen Di- rections-Linien ge$chehen, zu berechnen. Ich werde zwar die$e Materie gar nicht weitläuftig abhandeln, $ondern nur die vornehm$te Regeln davon geben, welche aber doch denjenigen, die $ie vollkommen ver$tehen, genug$am Licht geben werden, andere Kleinigkeiten, die ich nur oben hin abgehandelt, deutlich zu begreiffen. * Wann man aber etwas weit- läuftigers begehrt, $o kan man $eine Zuflucht zu des Herrn Varignon Werck von der Wewegung des Wa$$ers, zu un$ers Herrn Auctoris Ar- chitectura Hydraulica, und zu des Herrn Bernoulli Hydrodynamica nehmen.

Weilen die Luft ein flü$$iger Cörper i$t, de$$en Eigen$chaften we- nige Per$onen wi$$en, und man doch ohue $eine Erkanntnu{$s} die Ur$a- chen der mei$ten hydrauli$chen Machinen nicht erklären kan, $o habe ich auch dem Le$er zu gefallen die vornehm$ten Regeln von dem Mecanismo der Luft expliciren wollen, und die$es um $o viel mehr, als $ie die vor- nehm$te Ur$cch der Würckungen des Pulvers i$t; Wodurch al$o die Theorie der Artillerie um $ehr vieles kan perfectionirt werden: viel- leicht werde ich auch dadurch dem Kun$t-liebenden Le$er die Gelegenheit geben zu examiniren, auf was Art das Pulver in den Minen, in den [0529] Stücken und andern Feuerwercken $eine Würckung ausübe; wodurch al$o die$elbe einen Lu$t bekommen werden $ich auf die Phy$ic zu applici- ren, um $ich in Stand zu $etzen von natürlichen Sachen mit Vernunft zu rai$oniren. Derowegen habe ich nach dem Tractat von der Hydrau- lic einen kleinen Di$curs von den Eigen$chaften der Lu$t ge$etzet, und zwar in$onderheit, da{$s} er als eine Einleitung zur Phy$ic dienen $olle. Diejenige aber die $ich mehr auf die Philo$ophie verlegen wollen, kön- nen die Elementa Phy$ices des Herrn Rohault, des Carte$ii Principia Philo$ophiæ, des R. P. Malebranche Tractat de$$en Titul, Recherche de la Verité, und des Herrn s’ Grave$ande Phy$ices Elementa Mathe- matica wohl durchle$en und $tudiren; ich verhoffe, bey denjenigen, die die$e Wercke werden gele$en haben, einen Danck zu erwerben, da{$s} ich $ie ihnen recommendiret; wie wohl es zwar $cheinet, es $chicke $ich nicht, ein $olches Metaphy$i$ches Buch in der Bibliothec eines Offi- ciers anzutreffen, $o kenne ich doch ihrer, die $o viel Nutzen daraus $chöpfen, als aus des Julii Cæ$aris Commentariis.

[0530] CURSUS MATHEMATICUS. Zehender Theil. Von der Hydraulic. Er$tes Capitul. Von Dem Gleich-Gewicht der flü$$igen Cörper. Erklärungen. I.

1047. MIr haben §. 870. einen flü$$igen Cörper be$chrieben, da{$s} er ein $olcher $eye, de$$en Theile $ich leicht von- einander ab$ondern, und nachgehends $ich auch leicht wieder miteinander vereinigen; Dergleichen flü$$ige Cörper $eynd, die Luft, die Flamme, das Wa$$er, das Queck$ilber, und andere mehr.

[0531] Er$te Anmerckung.

1048. In dem Lateini$chen und Frantzö$i$chen macht man unter einem Cor- pore liquido und einem Fluido einen Unter$chied; Dann ein Corpus liquidum i$t ein $olcher Cörper, de$$en Fläche, wann er $ich in einem Ge$chirr befindet, völlig horizontal $etzet, da{$s} al$o alle Puncten die$er Fläche gleich weit von dem Mittel- Punct der Erden entfernet $eyen, wie man die$es anderswo $ehen wird; Da hin- gegen ein Corpus fluidum überhaupt ein $olcher Cörper i$t, wie er zuvor §. 1047. be$chrieben worden. Auf die$e Art i$t auch der Sand ein Corpus fluidum, als wel- cher leicht zertheilet wird, hingegen $ich nicht mehr horizontaliter zu$ammen $etzet. Daraus i$t al$o der Schlu{$s} zu machen, da{$s} ein jedes Corpus Liquidum auch flui- dum, hingegen nicht ein jedes Fluidum auch Liquidum $eye.

Zweyte Anmerckung.

1049. Die Ur$ach, warum die Theile der flü$$igen Cörper $ich leicht von- einander ab$ondern la$$en, i$t, weilen $te ohnedem nicht zu$ammen hängen und in be$tändiger Bewegung $eynd; dann $on$ten würden $ie einen fe$ten Cörper aus- machen: indem der Unter$chied zwi$chen einem fe$ten und zwi$chen einem flü$$igen Cörper derjenige i$t, da{$s} die Theile eines fe$ten Cörpers in Ruhe und miteinan- der vereinigt bleiben, da hingegen die Theile der flü$$igen Cörper einander aus- weichen, und in be$tändiger Bewegung $eynd: daher $iehet man auch, da{$s} wann die Bewegung der Theile aufhöret, der Cörper anfange fe$t zu werden; welches man in$onderheit bey den gefrornen Cörpern wahrnehmen kan.

Wann man zu wi$$en begehrt, warum die Theile eines flü$$igen Cörpers be- $tändig in Bewegung $eyen, $o antworte ich mit Carte$io, da{$s} in allen fiü$$igen Cörpern $ich eine $ubtile Materie befinde, die $ich in ihre Poros hinein $etzet, und die, weilen $ie $elb$t allezeit in Bewegung i$t, auch die Theile, die $ie umgibt, in Bewegung $etzet; da{$s} al$o, wann die Bewegung die$er Materie $ich um $ehr vie- les verringert, oder gar aufhöret, der Cörper, der flü$$ig ware, fe$t werde; wie man die$es in dem Wa$$er, wann es gefrieret, ob$erviren kan; auf gleiche Wei$e kan man auch wahr$cheinlich urtheilen, da{$s}, wann fe$te Cörper, als wie Metalle, die man gie$$et, flü$$ig werden, die Ur$ach nichts anders $eye, als da{$s} $ich die$e $ubtile Materie in $eine Poros, und al$o $eine Theile in Bewegung $etzet.

II.

1050. Die _Gravitas $pecifica_ der flü$$igen Cörper, i$t diejenige, vermög welcher zwey oder mehrere $olche Cörper von gleicher Grö$$e, an Schwäre unter$chieden $eynd.

Z. E. ein Cubi$cher Zoll Queck$ilber wiegt mehr, als ein Cubi$cher Zoll Wa$$er: und ein Cubi$cher Zoll Wa$$er wiegt mehr als ein Cubi- $cher Zoll Luft; Derowegen kan man $agen, da{$s} das Queck$ilber $peci- ficè $chwärer $eye als das Wa$$er, und da{$s} das Wa$$er $pecificè $chwä- rer als die Luft.

[0532] III.

1051. Die flü$$ige Cörper $eynd als wie die fe$te, entweder _ela-_ _$ti_$ch oder nicht. Man nennet $ie ela$ti$ch, wann die $ubtile Materie, die ihre Theile voueinander trennet, durch den Zu$ammen-Druck ausge- trieben wird, und $ich, $o bald die$elbe verringert wird, oder gar aufhö- ret, wiederum zwi$chen ihre Theile $etzet, und al$o den Cörpern ihre vo- rige Exten$ion gibt; Auf die$e Art i$t die Luft ein ela$ti$cher Cörper: Da hingegen andere Cörper, die nicht können enger zu$ammen gedruckt werden, keine merckliche Ela$ticität haben; Dergleichen i$t das Wa$$er, und die mehri$te übrige flü$$ige Cörper.

IV.

1052. Wann die obere Fläche eines flü$$igen Cörpers horizontal i$t, $o $agt man, da{$s} er wagrecht $eye.

Er$ter Zu$atz.

1053. Daraus folgt al$o, da{$s} die obere Fläche, eines flü$$igen Cörpers, der $ich in einem Ge$chirr befindet, allezeit wagrecht $tehe; Dann wann man $upponirt, die Fläche des flü$$igen Cörpers, der $ich in dem cubi$chen Gefä{$s} ABCD befindet, $eye in eine gro$$e Anzahl gleicher Theile getheilet, und es $eyen durch alle die$e Theilungs-Puncten zu dem Horizont perpendiculare Flächen gezogen, $o wird der Cörper in $o viele gleiche Colonnen eingetheilet, als die Fläche Abtheilungen hat; weilen aber alle die$e Colonnen gleiche Grund-Flächen und Höhen ha- ben, $o $eynd $ie alle an Schwäre einander gleich, und $uchen al$o mit gleicher Kraft $ich gegen den Mittel-Punct der Erden zu bewegen; Derowegen, weilen alle Puncten der oberen Fläche AB gleich weit von dem Mittel-Punct der Erden entfernet $eynd, $o $tehet $ie horizontal oder wagrecht.

Zweyter Zu$atz.

1054. Wann man die flü$$igen Cörper in dem Stand des Gleich- Gewichts betrachten will, $o i$t es nicht genug, da{$s} man nur wei$e, da{$s} ihre obere Flächen wagrecht $eyen, $ondern man mu{$s} auch wei$en, da{$s}, wann $ie wagrecht $eynd, auch die Columnæ, aus welchen der Cörper be$tehet, miteinander im Gleich-Gewicht $tehen, das i$t, da{$s} die Co- lumna EFGH mit der Columnâ GHIK, und die$e wieder mit der Colu- mnâ IKLM im Gleich-Gewicht $tehe; Dann, damit die Fläche EG der er$ten Columnæ mit der Fläche GI der zweyten im Gleich-Gewicht $te- he, $o wird erfordert, da{$s} $ie gleich $chwär $eyen; indem, wann die er$te $chwärer wäre als die zweyte, es ander$t nicht $eyn könnte, als $ie mü{$s}- [0533] te vermög ihrer grö$$ern Schwäre die zweyte in die Höhe treiben, $ich aber hinunterwarts bewegen; allein, weilen die Fläche der zweyten Co- lumnæ auf die$e Art höher $tünde als die Fläche der er$ten, $o könte $ich die zweyte Columna in die$er Situation nicht erhalten, indem, da ihre Seiten von nichts gehalten würden, $ie wiederum in den lähren Platz, den die er$te durch ihre Sinckung gela$$en, zuruckfallen mü{$s}te: Dero- wegen $tünden $ie wiederum miteinander wagrecht; welches al$o die Co- lumnas in ihren vorigen Stand $etzet. Auf gleiche Art $iehet man auch, da{$s} die zweyte Columna GHIK die dritte IKLM nicht in die Höhe trei- ben kan, ohne $ich $elb$ten hinunterwarts zu bewegen, indem, da die zweyte und dritte Columna von einerley Art und $ie auch einander gleich $eynd, keine Ur$ach vorhanden, warum die eine $chwärer als die andere $eyn $olte; und wann auch die$es möglich märe, $o $tünden die Flächen die$er Columnen nicht mehr miteinander wagrecht, welches aber wider die vierte Erklärung lauft. Damit al$o ein flü$$iger Cörper wagrecht $tehe, $o i$t es nicht genug, da{$s} $eine obere Fläche horizontal $eye, $ondern es wird auch erfordert, da{$s} $ich die Columnæ, aus wel- chen er be$tehet, einander im Gleich-Gewicht erhalten. Auf die$e Art ver$tehet man gantz leicht, warum das Wa$$er, wann man es auf das Oel $chüttet, da$$elbe in die Höhe treibt; Dann weilen das Wa$$er $pe- cificè $chwärer als das Oehl i$t, $o $etzen $ich die Columnæ des Wa$$ers hinunter und treiben die Columnas des Oehls in die Höhe; Die$es ge- $chicht al$o nur wegen der grö$$ern Schwäre, die das Wa$$er hat, aber nicht wegen der Stärcke des Falls, mit welcher es auf das Oehl gego$- $en wird; Dann vermög der Stärcke des Falls $ollte auch das Oehl, wann man es auf das Wa$$er $chüttet, da$$elbe in die Höhe treiben; welches aber wider die Erfahrung $treitet, da hingegen das er$te durch die$elbe bekräftiget wird.

Dritter Zu$atz.

1055. Derowegen, wann man ein Gefä{$s} hat, das aus zweyen Fig. 440. Cylindern ABCD und EFGH be$tehet, und man es mit Wa$$er anfül- let, $o drucken die Columnæ als wie LM, die unter den Seiten AE und FD $tehen, be$tändig gegen die$e nemliche Seiten, und $uchen $ich al$o bis auf die Höhe GH des Wa$$ers zu bewegen; Dann weilen die Columna IK grö$$er i$t als wie LM, $o druckt $ie die$e letztere, als welche auf der Seite FD hinauszugehen $ucht; Derowegen drucket $ie die Seite FD $o $tarck, als die Columna IN die Grund-Fläche des Cylinders EGHF dru- cken würde, wann er nemlich nicht an den Cylinder ABCD fe$t ange- macht wäre, $ondern allein $tünde; wann al$o die Schwäre, die die Co- [0534] lumna IN, gegen die$e eingebildete Grund-Fläche ausübt, durch 4 Pf. ausgedruckt wird, $o kan man auch die Kraft, die die Columna LM ge- gen die Seite FD des Gefä$$es ausübt, durch 4 Pf. ausdrucken.

Desgleichen wann man ein Gefä{$s} EBADCF hat, das aus einem Fig. 441. ge$tümpelten Cono EBCF und einem Cylinder BADC be$tehet, und man die$es Gefä{$s} mit Wa$$er, oder mit einem andern flü$$igen Cörper aufüllet, $o drucken alle Columnæ, als wie GH be$tändig gegen die $chieffe Seiten, dann, weilen die Columnæ als wie IL und MN, die un- ter die$en $chieffen Seiten $tehen, kleiner $eynd als die mittlere Columna GH, $o $uchen $ie herauszugehen, und $ich mit der mittleren Columnâ wagrecht zu $tellen: Al$o, um $o viel als die Columna MN kleiner i$t als IL um $o viel übt auch die er$te mehr Gewalt gegen die Seite BE aus, als die zweyte; Da{$s} al$o, wann man in I und M kleine verticale Eröfnungen machen, und die Luft nicht wider$tehen würde, das Wa$- $er bis in O und P $teigen würde, um $ich al$o mit der grö$$ern Colu- mnâ in wagrechten Stand zu $etzen: Die$es $timmet mit der Erfah- rung vollkommen überein.

Ferner wei{$s}t die Erfahrung, da{$s}, man mag das Wa$$er, welches in einem Gefä{$s} enthalten, durch horizontale, oder durch verticale Er- öfnungen auslauffen la$$en, es allezeit mit gleicher Kraft herauslauffe; nur wird erfordert, die$e Eröfnungen $eyen gleich weit von der oberen Fläche des Wa$$ers entfernet; Die$es wei{$s}t al$o, da{$s} überhaupt alle flü$$ige Cörper, die in Gefä$$ern enthalten $eynd, auf allen Seiten glei- che Kraft zum Auslauffen anwenden.

Er$ter Lehr-Satz.

1056. Wann man eine Röhre hat, die an zweyen Orten _perpendiculariter_ gekrümmet i$t, und man Wa$$er hinein gie$$et, $o $age ich, da{$s} die Flächen des Wa$$ers in beyden Aermen der Röh- re miteinander wagrecht $tehen.

Beweis.

Wann die beyde Aerme der Röhre gleich dick $eynd, $o i$t leicht zu Fig. 442. erwei$en, da{$s} $ich die Flächen des Wa$$ers in beyden Aermen der Röh- re in einer graden Horizontal-Linie AB befinden: Dann, wann man $upponirt, es befinden $ich zwi$chen den beyden Columnis HALM und ONBK noch andere Columnæ als wie MLPQ, SRNO &c. welche aber alle zu$ammen genommen nur einen Cörper ausmachen, $o $iehet man gantz leicht, da{$s} die obere Fläche die$es Cörpers wagrecht $tehe (§. 1053.); wann man nun die mittlere Columnas, als wie MLPQ, SRNO &c. [0535] wegnimmt, $o i$t keine Ur$ach vorhanden, warum die eine der Flächen AL oder NB höher oder tieffer zu $tehen kommen $olle, als die andere. Daraus folgt al$o, da{$s} $ie miteinander wagrecht $tehen. W. z. E.

Anderer Beweis.

Damit wir auch die$es aus dem Principio motûs erwei$en, $o wol- len wir $upponiren, die Fläche AL habe $ich von A in C z. E. um 4 Zoll herunter bewegt, $o wäre al$o in die$em Fall die Fläche NB von N in E auch um 4 Zoll ge$tiegen, indem die beyde Aerme der Röhre einander gleich $eynd: Derowegen i$t die Kraft der Bewegung des Wa$$ers in dem er$ten Arm der Kraft der Bewegung de$$elben in dem zweyten gleich; Daraus folgt al$o, da{$s} die$e beyde Theile des Wa$$ers mitein- ander im Gleich-Gewicht, und ihre Flächen miteinander wagrecht $te- hen. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

1057. Wann man eine Röhre hat, deren Aerme ungleich dick Fig. 443. $eynd, und man $ie mit Wa$$er anfüllt, $o $tehet da$$elbe doch wiederum in beyden Aermen wagrecht; Dann, wann z. E. der Arm IK dreymal $o dick als der Arm GH i$t, $o i$t in dem grö$$ern Arm dreymal $o viel Wa$$er, als in dem kleinern. Wann man nun $upponirt, das Wa$$er, welches $ich in dem grö$$ern Arm befindet, $eye in drey gleiche Columnas eingetheilet, $o $tehet eine die$er Columnen z. E. die Columna OLPM mit der Columnâ des kleinen Arms wagrecht; Allein eben die$e Colu- mna OLPM $tehet auch mit der Columnâ NLMF und mit NFBK in wagrechtem Stand; Derowegen $tehet die gantze Columna POBK mit der kleinern wagrecht.

Damit man auch die$es aus dem Principio motûs erwei$e, $o be- trachtet, da{$s}, wann die Fläche AP des Wa$$ers, das in dem kleinern Arm enthalten, $ich von A bis in C z. E. um 3 Zoll hinunter bewegt, die Fläche OB des Wa$$ers, das in dem grö$$ern Arm enthalten, nur um einen Zoll z. E. von B bis E ge$tiegen; indem wir die Grund-Flä- che des grö$$ern Arms dreymal $o gro{$s}, als die Grund-Fläche des klei- nern $upponirt haben; weilen $ich nun die Ge$chwindigkeiten gegenein- ander verhalten, als wie $ich reciprocè die Ma$$æ des Wa$$ers beyder- $eits gegeneinander verhalten, $o $tehet das Wa$$er beyder$eits mitein- ander im Gleich-Gewicht, und al$o $eynd die obere Flächen miteinander wagrecht.

[0536] Zweyter Zu$atz.

1058. Wann der eine Arm der Röhre auf dem Horizont per- Fig. 444. pendicular $tehet, der andere aber mit dem$elben einen $chieffen Winckel formirt, $o $tehet wiederum das Wa$$er, welches man hineingie{$s}t, in beyden Aermen wagrecht; Dann, wann die$e beyde Aerme gleich dick $eynd, und die Linie EG durch die Flächen des Wa$$ers in beyden Aer- men gehet, $o verhält $ich die Quantität Wa$$er des perpendicularen Arms zur Quantität Wa$$er des $chieffen Arms, als wie EB zu BG; Nun das Wa$$er, das $ich in dem $chieffen Arm befindet, agirt nicht mit $einer völligen Schwäre gegen die Grund-Fläche B; Dann wann man betrachtet, das Wa$$er liege auf einem Plano inclinato, $o kan man $agen, da{$s} $ich $eine Gravitas relativa zu $einer gravitate ab$olutâ ver- halte, als wie $ich die Höhe GD des Plani inclinati zu $einer Länge BG verhält; und weilen wir $chon wi$$en, da{$s} $ich die Quantität Wa$$er, die $ich in dem Arm AB befindet, zu derjenigen Quantität, die in dem Arm GB enthalten i$t, verhalte als wie EB zu BG, $o folgt daraus, da{$s}, weilen die Perpendicular-Höhen EB und GD einander gleich, die beyden Quantitäten Wa$$er miteinander im Gleich-Gewicht und al$o auch mit- einander in wagrechtem Stand $tehen: Die$es kan man auch erwei$en, wann $o gar die Aerme der Röhre auch von unter$chiedener Dicke $eynd.

Dritter Zu$atz.

1059. Ferner folgt noch daraus, da{$s} das Wa$$er, welches $ich in Fig. 443. dem Canal HSTP befindet, mit $o vieler Kraft $uche zu den Seiten des Canals auszulauffen, als das Wa$$er eines jeden Arms $eine Grund- Fläche druckt; Dann die kleine Columnæ als wie QTRP $uchen $ich mit den Flächen des Wa$$ers, das in den Aermen enthalten, in gleiche Hö- he zu $etzen: Die$es lehret auch die Erfahrung; Dann wann man in den Canal eine kleine verticale Oefnung macht, $o $pringt das Wa$$er fa$t $o hoch, als die Flächen de$$elben in den Aermen $tehen.

Zweyter Lehr-Satz.

1060. Wann man in die beyde Aerme einer Röhre flü$$ige Cörper von unter$chiedener Schwäre gie$$et, $o $age ich, da{$s} $ich die Höhen die$er Cörper gegeneinander verhalten, als wie $ich _reciprocè_ ihre _Gravitates $pecificœ_ gegeneinander verhalten.

[0537] Beweis.

Wann man in die Röhre ABCH Queck$ilber gie{$s}t, $o $etzet es $ich, Fig. 445. wie ein jeder flü$$iger Cörper, in beyden Aermen, in wagrechten Stand. Wir $upponiren, die Linie DE bemercke die Horizontal-Linie des Queck- $ilbers; wann man nun Wa$$er in den Arm AB bis auf die Höhe G gie$$et, $o i$t gantz klar zu begreiffen, da{$s} dasjenige Queck$ilber, welches $ich in die$em Arm befindet, mit demjenigen, was $ich in dem andern be- findet, nicht mehr wagrecht $tehen könne; wann nun die Aerme gleich dick $eynd, und das Queck$ilber in dem er$ten Arm von D bis in I z. E. um 2 Zoll gefallen, $o i$t es in dem andern Arm von E bis in F auch um 2 Zoll ge$tiegen. Wann man nunmehro die horizontale Linie IL ziehet, $o $iehet man gantz klar, da{$s} das Queck$ilber IB in dem er$ten Arm mit dem Queck$ilber LC in dem zweyten wagrecht $tehe. Wann $ich nun das Wa$$er in der Höhe G und das Queck$ilber in der Höhe F erhalt, $o folgt daraus, da{$s} das Wa$$er GI mit dem Queck$ilber FL im Gleich-Gewicht $tehe, und da{$s} al$o um $o viel, als die Columna GI hö- her i$t als FL, auch das Queck$ilber $pecificè $chwärer $eye als das Wa$- $er; Daraus al$o zu $chlie$$en, da{$s} $ich die Gravitates $pecificæ die$er beyden flü$$igen Cörper gegeneinander verhalten, als wie $ich recipro- cè ihre Höhen gegeneinander verhalten. W. z. E.

Zu$atz.

1061. Daraus folgt, da{$s}, wann ein Arm AB der Röhre dicker Fig. 446. i$t, als der andere DC, das Queck$ilber, welches $ich in dem dickern Arm befindet, auch mit dem Wa$$er, das in dem dünnern enthalten, im Gleich-Gewicht $tehe, wann, nachdem man die Horizontal-Linie FG ge- zogen, die Höhe EF des Queck$ilbers $ich zur Höhe HK des Wa$$ers verhält, als wie $ich reciprocè die Schwäre des Wa$$ers zur Schwäre des Queck$ilbers verhält; Dann, wann man eine Columnam LF Queck- $ilbers $upponirt, deren Grund-Fläche der Grund-Fläche des Arms DC gleich, $o $tehet die$e Columna Queck$ilbers mit der Columnâ des Wa$$ers HK im Gleich-Gewicht. Wann nun der Arm AB fünfmal $o dick als der Arm DC i$t, $o hält die Quantität des Queck$ilbers fünf Columnas als wie LF in $ich, die aber alle miteinander im Gleich-Ge- wicht $tehen; Daraus al$o zu $chlie$$en, da{$s} $ie auch alle zu$ammen ge- nommen, das i$t, da{$s} die Columna EF des Queck$ilbers mit der Colu- mnâ HK des Wa$$ers im Gleich-Gewicht $tehe: Derowegen kan man das Gleich-Gewicht zweyer ungleich $chwärer Cörper in ungleich dicken Aermen erwei$en, als wie man es §. 1047. gethan, es mag der $chwäre Cörper $ich in dem dicken, oder in dem dünnen Arm befinden.

[0538] Dritter Lehr-Satz.

1062. 1. Wann man einen fe$ten Cörper in einen flü$$i- gen Cörper von gleicher _Gravitate $pecificâ_ legt, $o wird er von allen Seiten mit dem flü$$igen Cörper umgeben $eyn, und in Ruhe verbleiben, er mag $ich in einer Höhe befinden, wie man will.

2. Wann der fe$te Cörper aber _$pecificè_ $chwärer i$t als der flü$$ige, $o wird er bis auf den Boden des Gefä$$es hinunter- $teigen.

3. Wann im Gegentheil der fe$te Cörper _$pecificè_ leichter i$t als der flü$$ige, $o $teigt nur ein Theil des fe$ten Cörpers unter die obere Fläche des flü$$igen, und der andere Theil bleibt ober- halb der$elben.

Er$ter Beweis.

Wann man ein Gefä{$s} ABCD hat, welches mit einem flü$$igen Fig. 447. Cörper, den man will, z. E. mit Wa$$er angefüllet, und man einen Cör- per E hineinlegt, de$$en Schwäre der Schwäre desjenigen Voluminis Wa$$ers, de$$en Platz er einnimmt, gleich i$t, $o i$t gantz gewi{$s}, da{$s} die$er Cörper in Ruhe verbleibe, und noch hinauf noch hinunter $teige, man mag ihm auch eine Höhe geben, welche man wolle; Dann er hat $o viel Kraft $ich gegen den Mittel-Punct der Erden zu bewegen, als dasjenige Volumen Wa$$ers, de$$en Platz er einnimmt: Nun die Theile des Wa$$ers $tehen mit allen denjenigen, die $ie umgeben, im Gleich-Ge- wicht; Al$o $tehet auch der Cörper E, als welchen man vor denjenigen Theil des Wa$$ers, de$$en Platz er einnimmt, annehmen kan, mit der gantzen Quantität Wa$$er im Gleich-Gewicht; Derowegen bleibt er auf jede Höhe allezeit mit Wa$$er umgeben und al$o in Ruhe. W. z. E. z. E.

Zweyter Beweis.

Wann der Cörper F, den man in eben die$es Gefä{$s} einlä{$s}t, $chwä- rer i$t, als das volumen Wa$$ers, de$$en Platz er einnimmt, $o i$t gantz leicht zu begreiffen, da{$s} er bis auf den Boden des Gefä$$es hinunter $teigen mu{$s}; Dann er $ucht mit mehrerer Kraft $ich gegen den Mit- tel-Punct der Erden zu bewegen, als ein ihm gleiches volumen Wa$- $ers; Derowegen bleibt er nicht mehr mit den übrigen Theilen des Wa$$ers, mit welchen er umgeben, im Gleich-Gewicht; Al$o mu{$s} er bis auf den Boden des Gefä$$es fallen. W. z. A. z. E.

[0539] Dritter Beweis.

Wann der Cörper G leichter i$t, als ein ihm gleiches volumen Wa$- $ers, $o $iehet man gantz klar, da{$s} er nur auf der Fläche des Wa$$ers herum $chwimmen mü$$e, und da{$s} nur ein Theil de$$elben z. E. der Theil IKMN, der den Platz eines voluminis Wa$$ers einnimmt, das der Schwäre des gantzen Cörpers G gleich i$t, $ich in das Wa$$er hinein begebe; Dann, wann die$er Cörper z. E. nur um die Helfte $o $chwär i$t, als ein ihm gleiches volumen Wa$$ers, $o i$t derjenige Theil, der $ich unter das Wa$$er begibt, die Helfte des Cörpers; und weilen das Wa$- $er, de$$en Stelle die Helfte des Cörpers einnimmt, $o $chwär i$t als der gantze Cörper, $o $uchen $ie $ich mit gleicher Kraft gegen den Mit- tel-Punct der Erden zu bewegen, und derowegen $tehen $ie miteinander im Gleich-Gewicht, ob$chon der Cörper nicht von allen Seiten mit Wa$$er umgeben. W. z. D. z. E.

Er$ter Zu$atz.

1063. Aus dem er$ten Theil die$es Lehr-Satzes folgt, da{$s} wann eine Kraft Q eine La$t E, die $peci$icè $o $chwär, als das Wa$$er i$t, durch Hülf eines Stricks heraus ziehet, die Kraft die Schwäre der La$t nicht empfinde, bis da{$s} $ie anfangt aus dem Wa$$er heraus zu kommen; Dann $o lang $ie noch mit Wa$$er umgeben i$t, $o hält die Kraft nichts von der La$t; Die$es i$t auch die Ur$ach, warum die Kraft, wann $ie Wa$$er aus einem Brunnen $chöpft, fa$t keinen Gewalt brauche, den Eymer $amt dem Wa$$er, $o lang als er noch mit dem übrigen Wa$$er umgeben, zu halten, indem $ie keinen Theil des Wa$$ers in dem Eymer hält, und der Eymer, wann er von Holtz, der gravitati $pecificæ des Wa$$ers fa$t gleich; Da hingegen, wann der Eymer $chon über dem Wa$$er i$t, der Gewalt, den die Kraft anwenden mu{$s}, der Schwäre des Wa$$ers und des Eymers gleich wird.

Zweyter Zu$atz.

1064. Aus dem zweyten Theil des vorhergehenden Lehr-Satzes folget, da{$s}, wann eine Kraft Q einen Cörper O hält, der $ich wegen $einer grö$$ern gravitate $pecificâ auf dem Boden des Gefä$$es befindet, die$e Kraft nur einen Theil der Schwäre die$es Cörpers halte, und zwar i$t die$er Theil die Differenz, um welche der Cörper $chwärer i$t, als dasjenige volumen Wa$$ers, de$$en Platz er eingenommen, indem die$er Cörper in dem Wa$$er um die Schwäre eines gleichen voluminis Wa$- $ers leichter i$t, als in der Luft: Al$o kan man überhaupt $agen, da{$s} [0540] diejenige Cörper, die $pecificè $chwärer als das Wa$$er $eynd, in dem Wa$$er von ihrer Schwäre verliehren, und zwar $o viel, als dasjenige volumen Wa$$ers, de$$en Stelle $ie einnehmen, austrägt. Da $iehet man al$o die Ur$ach desjenigen, was §. 857. ge$agt worden.

Dritter Zu$atz.

1065. Aus dem dritten Theil des vorhergehenden Lehr-Satzes fol- get, da{$s}, wann ein Cörper leichter i$t als ein ihm gleiches volumen Wa$- $er, $ich die gravitas $pecifica des Wa$$ers zur gravitate $pecificâ des Cörpers verhalte, als wie die Ma$$a des gantzen Cörpers zu demjenigen Theil, der eingetaucht i$t: Al$o wann wir $upponiren, der Cörper G $eye ein Cubus, oder ein Parallepipedum, $o verhält $ich die gravitas $pe- cifica des Wa$$ers zur gravitate $pecificâ des Cörpers, als wie HK zu IK.

Vierter Zu$atz.

1066. Ferner folgt noch, da{$s} $ich ein fe$ter Cörper in flü$$ige von unter$chiedener Schwäre, auch auf unter$chiedene Höhen hineintauche; Dann es i$t gantz gewi{$s}, da{$s} er $ich in einen leichtern mehr hineintau- che, als in einen $chwärern; Z. E. man $iehet, da{$s} $ich ein geladenes Schif auf einem Flu{$s} mehr ins Wa$$er tauche als auf dem Meer, in- dem das Flu{$s}-Wa$$er leichter, als das Meer-Wa$$er; Derowegen mu{$s} man $ich nicht verwundern, warum es oft ge$chehen, da{$s} ein $chwär be- ladenes Schif, nachdem es auf dem vollen Meer glücklich davon ge- $chwummen, bey dem Einflu{$s} eines Flu$$es untergegangen.

Fünfter Zu$atz.

1067. Man kan auch noch mercken, da{$s}, ob$chon die Metalle $chwärer $eynd als das Wa$$er, $ie doch auf den$elben herum$chwimmen können; Dann wann man $ie dünn und hol $chlägt, al$o da{$s} $ie leichter werden als dasjenige volumen Wa$$ers, de$$en Platz $ie einnehmen, $o $chwimmen $ie darauf herum und gehen nicht unter.

Anmerckung.

1068. Wir haben $chon §. 857. ge$agt, da{$s} die Metalle, wann man $ie ins Wa$$er taucht, von ihrer Schwäre verliehren; die Ur$ach davon i$t, wie wir $chon §. 1064. angemerckt, da{$s} ein Cörper, den man ins Wa$$er taucht, um das gantze volumen Wa$$ers, de$$en Stelle er einnimmt, leichter werde. Al$o kan man allezeit die Verhältni{$s} der gravitatis $pecificæ eines Metalls gegen die gravitatem $pecificam des Wa$$ers, oder eines anderen flü$$igen Cörpers finden; Dann man dörf nur zu er$t mit einer gerechten Waag ein Stuck Metall in der freyen Luft [0541] abwägen, und es nachgehends durch einen Seiden-Faden an eine Waag-Schaale anhencken, und es in das Wa$$er tauchen, al$o da{$s} es von allen Seiten mit Wa$- $er umgeben; da gibt man dann acht, wie viel es von $einer Schwäre verlohren; da wei{$s}t die$e Differenz die Verhältni{$s} der gravitatis $pecificæ des Metalls gegen die gravitatem $pecificam des Wa$$ers.

1069. Auf die$e Art hat man gefunden, da{$s} das Gold in dem Wa$$er ohn- gefähr den neunzehenden, das Queck$ilber den fünfzehenden, das Bley den zwölf- ten, das Silber den zehenden, das Kupfer den neunten, das Ei$en den achten, und das Zinn den $iebenden Theil $einer Schwäre verliehre.

1070. Aus eben die$em Principio kan man auch die Verhältni{$s} der Schwä- ren, die die flü$$ige Cörper, wie auch diejenige, die die fe$te Cörper gegeneinander, desgleichen auch diejenige, die die flü$$ige gegen die fe$te haben, finden: Z. E. man kan finden, welche Verhältni{$s} die Schwäre eines cubi$chen Zolls Golds gegen die Schwäre eines cubi$chen Zolls Queck$ilbers habe: Auf die$e Art hat man die Schwäre eines cubi$chen Zolls der in folgender Tabelle $tehenden fe$ten und flü$$i- gen Cörper gefunden.

Schwäre eines _cubi_$chen Zolls. Cörper. # Untz. # Quint. # Gr. # Cörper. # Untz. # Quint. # Gr. Gold. # 12. # 2. # 17. # Wei$$er Marmor. # 1. # 6. # 0. Queck$ilber. # 8. # 6. # 8. # Hau-Steine. # 1. # 2. # 24. Bley. # 7. # 3. # 30. # Seine-Wa$$er. # 0. # 5. # 12. Silber. # 6. # 5. # 26. # Wein. # 0. # 5. # 5. Kupfer. # 5. # 6. # 36. # Wax. # 0. # 4. # 65. Ei$en. # 5. # 1. # 27. # Oel. # 0. # 4. # 43. Zinn. # 4. # 6. # 14. # Trocken Eichen- \\ Holtz. # 0. # 4. # 22. # # # # Nu{$s}baum-Holtz. # 0. # 3. # 6.

1071. Ferner kan man auch noch aus die$em Principio den cörperlichen Inhalt eines irregularen Cörpers ausme$$en; Dann wann die$er Cörper in der Luft z. E. 90 Pf., und in dem Wa$$er nur 80 Pf. $chwär i$t, $o wei{$s}t die$es, da{$s} das volumen Wa$$ers, de$$en Stelle er einnimmt, 10 Pf. $chwär $eye; al$o dörf man nur $uchen, wie viel cubi$che Zoll auf 10 Pf. Wa$$er gehen; Die$es findet man, wann man $agt: wann auf 70 Pf. ein cubi$cher Schuh, oder 1728 cubi$che Zoll gehen, wie viel gehen auf 10 Pf.; Da findet man 246 {6/7} cubi$che Zolle vor den cörperlichen Inhalt.

[0542] Application der vorhergehenden Sätze zur Schiffahrt.

1072. Wann man die Transporte der Kriegs-Munitionen zu Wa$$er führen will, wie die$es oft ge$chiehet, wann man die Commodi- tät der Flü$$e und der Canäle hat, und man al$o oft $chwäre Lä$te z. E. Stücke, Mör$er, Laveten, in Summa alles was zu einem Train Artil- lerie gehöret, zu führen hat, $o wird erfordert, da{$s} derjenige Officier, der die Commi$$ion zur Ein$chiffung hat, die Schwäre jeder Sorte Munitionen kenne, und wi$$e, wie viel ein jedes Schif tragen könne; Damit er al$o auch zum Voraus wi$$e, wie viel Schiffe er vonnöthen habe, wann man ander$t nur die Schwäre der Munitionen, nicht aber ihr Volumen in Betrachtung ziehet.

Weilen ein cubi$cher Schuh Flu{$s}-Wa$$er ohngefähr 70 Pf. und ein cubi$cher Schuh eichenes Holtz nur ohngefähr 58 Pf. wiegt, $o $ie- het man, da{$s} man das Schif völlig mit Wa$$er anfüllen könne, ohne da{$s} man $einen Untergang zu beförchten habe; Dann das Wa$$er, was $ich darinnen befindet, i$t mit demjenigen, was darau$$en i$t, im Gleich-Gewicht, und die gravitas $pecifica des Holtzes, woraus das Schif gemacht, i$t geringer als die gravitas $pecifica des Wa$$ers. De- rowegen kan man in das Schif eine $o gro$$e La$t legen, die der Schwä- re des Wa$$ers, das es in $ich fa$$en kan, gleich wäre. Wann man nun den cörperlichen Inhalt des Schiffes ausme{$s}t, und man findet, da{$s} es z. E. 4000 cubi$che Schuh in $ich hält, $o kan die$es Schif 4000 mal 70 Pf. tragen, indem wir $chon ge$agt, da{$s} ein cubi$cher Schuh Wa$$ers 70 Pf. wiege; Derowegen könte in die$em Fall das Schif 280000 Pf. tragen; weilen man aber in den See-Häfen die Ladung der Schiffen nach Tonnen, auf den Flü$$en aber die$elbe nach Centnern rechnet, $o erinnere ich den Le$er, da{$s} eine Tonne 2000 Pf. und ein Centner 100 Pfund halte: Al$o wann man nach der See-Manier $agt, ein Schif halte 100 Tonnen, oder es $eye von 100 Tonnen, $o will die$es $agen, es könne 200000 Pf. oder 2000 Centner tragen.

Wir haben $chon oben erinnert, da{$s} das Meer-Wa$$er $chwärer $eye als das Flu{$s}-Wa$$er, und weilen man vielleicht $eine Schwäre zu kennen nöthig haben möchte, $o erinnere ich den Le$er, da{$s} ein cub $cher Schuh Meer-Wa$$ers 73 Pf. $chwär $eye, und al$o um 3 Pf. mehr wiege, als ein cubi$cher Schuh Flu{$s}-Wa$$er.

[0543]

In dem folgenden Lehr-Satz werde ich noch ein Principium von dem Gleich-Gewicht der flü$$igen Cörper wei$en, welches aber mehr cu- rios, als nutzlich in der Praxi i$t; Derowegen ich auch nicht ehender da- von geredet, $ondern es bis daher ver$pahret.

Vierter Lehr-Satz.

1073. Wann man ein Gefä{$s} hat, de$$en eine Grund-Fläche grö$$er i$t als die andere, und man es mit Wa$$er anfüllet, $o hat das Wa$$er $o viel Kraft durch eine der untern Grund-Fläche gleiche Eröfnung heraus zu flie$$en, als wann die$e Eröfnung der obern gleich wäre.

Beweis.

Wann man ein Gefä{$s} hat, de$$en untere Grund-Fläche BC grö$- Fig. 440. $er als die obere GH i$t, $o i$t gantz leicht zu begreiffen, da{$s} das Wa$- $er, welches auf der Grund-Fläche BC liegt, $o viel Kraft gegen die$el- be ausübe, als wann $ie von einem gantzen Volumine Wa$$er BOPC gedruckt würde, dann wir haben §. 1055. gewie$en, da{$s} die Columnæ des Wa$$ers als wie LM bis auf die Höhe GH oder OP zu $teigen $u- chen, und da{$s} die Kraft, die $ie ausüben durch die Schwäre der Colu- mnæ IN vorge$tellet werde; nun die Kraft, die durch IN vorge$tellet wird, agirt $o wohl gegen M als gegen L, indem die Theile, aus welchen die Columnæ des Wa$$ers be$tehen, in be$tändiger Bewegung $eynd; Allein alle Columnæ als wie LM agiren $chon vor $ich allein mit der gantzen Schwäre ihrer Höhe LM. Daraus folgt al$o, da{$s} die Colu- mna LM mit $o vieler Kraft die untere Grund-Fläche drucke, als die Columna IK, und da{$s} al$o die$e Grund-Fläche $o $tarck von dem Wa$- $er des Gefä$$es gedrucket werde, als wann $ie von dem gantzen Volu- mine BOPC gedrucket würde. W. z. E.

1074. Wann die Seiten des Gefä$$es mit dem Horizont einen Fig. 441. $chieffen Winckel formiren, als wie Fig 4141 zu $ehen, $o kan man auf gleiche Manier erwei$en, da{$s} die Grund-Fläche EF $o $tarck von dem Wa$$er des Gefä$$es gedrucket werde, als wann das gantze Cylindri$che Volumen EQRF auf ihr liegen würde.

Die Erfahrung wei{$s}t die$es noch klärer als alles Rai$onnement, dann, wann man ein Gefä{$s} hat, welches unten breiter als oben i$t, und man den untern Theil de$$elben mit einem Kolben zu$topffet, welche man frey bewegen kan, doch $o da{$s} das Wa$$er keine Oefnung habe auszu- rinnen, $o $iehet man gantz leicht, da{$s} die Kraft, die den Kolben hält, der Schwäre des Wa$$ers, das $ich im Gefä{$s} befindet, wann es oben $o [0544] breit als unten wäre, gleich $eyn mü$$e, indem die kleine Columnæ $ich mit den gro$$en in wagrechten Stand zu $etzen $uchen; wann aber das Wa$$er gefrieret, und al$o $eine Theile nicht mehr in Bewegung $eynd, $o druckt es auch nicht mehr gegen die Seiten des Gefä$$es, derowegen dörf auch die Kraft nicht $o viel Gewalt anwenden den Kolben zu hal- ten, indem $ie nur die würckliche Schwäre des Wa$$ers halten dörf.

1075. Wann aber das Gefä{$s} oben weiter als unten i$t, als wie Fig. 448 z. E. das Gefä{$s} ABCD, $o übt das Wa$$er nicht mehr Gewalt gegen den Boden BD aus, als wann die obere Breite der untern gleich wäre; Dann, wann man $ich den Cylinder BEFD vor$tellet, $o $iehet man leicht, da{$s}, weilen die Schwäre des Wa$$ers perpendiculariter agirt, nur derjenige Theil des Wa$$ers, der in dem Cylinder begriffen, gegen den Boden BD agire, indem dasjenige Wa$$er, was den Cylinder um- gibt $eine Gewalt nicht gegen den Boden, $ondern gegen die $chief-lie- gende Seiten des Gefä$$es ausübt.

Zu$atz.

1076. Aus vorhergehendem Lehr-Satz folget, da{$s}, es mögen die Gefä$$e, die wir auf dem Horizont perpendicular zu $eyn $upponiren, eine Figur haben, wie $ie wollen, wann $ie nur gleiche Höhen und glei- che Grund-Flächen haben, ihre Grund-Flächen mit gleicher Gewalt von dem Wa$$er gedrucket werden.

Anmerckung.

1077. Die Gewalt, die die flü$$igen Cörper ausüben, wird nach Pfunden, Fig. 449. als wie in der Mechanic gerechnet; weilen man nun die Schwäre eines cubi$chen Schuhes von allen flü$$igen Cörpern, und in$onderheit vom Wa$$er fennen kan, als welches 70 Pfund wiegt, $o kan man in Zahlen finden, mit welcher Gewalt das Wa$$er den Boden eines Gefä$$es drucke; Dann man dörf nur den flächen Inhalt des Bodens durch die Perpendicular-Höhe des Wa$$ers multipliciren. Al- $o wann man ein Gefä{$s} ABC hat, das auf dem Horizont perpendicular $tehet, und bis zur Oefnung A mit Wa$$er angefüllet i$t, und man wi$$en will, mit wel- cher Gewalt das Wa$$er den Boden BC drucke, $o wollen wir $upponiren, der Flächen. Inhalt des Bodens wäre von 4 Quadrat-Schuhen, und die Perpendien- lar-Höhe AD des Wa$$ers von 40 Schuhen; Al$o wann man 40 durch 4 multipli- cirt, $o bekommt man 160 Cubic-Schuh, und wann man noch die$es Product durch 70 Pf. als den Valor der Schwäre eines Cubic-Schuhes Wa$$ers, multiplicirt, $o bekommt man 11200 Pfund, welche al$o die Gewalt, die das Wa$$er gegen den Boden ausübt, vor$tellen; Was aber noch dahier zu verwundern, i$t, da{$s}, wann $chon nur ein cubi$cher Schuh, oder 70 Pfund Wa$$ers in dem Gefä{$s} enthalten wären, doch die Kraft Q, die den Boden BC (po$ito er wäre an das Gefä{$s} nicht fe$t gemacht) halten wollte, eine Gewalt von 11200 Pfunden anwenden mü{$s}te, damit $ie al$o mit dem Druck des Wa$$ers im Gleich-Gewicht wäre.

[0545] Zweytes Capitul Von Der Kraft und Maa{$s} der flie$$enden und $pringenden Wa$$er. Fünfter Lehr-Satz.

1078. Wann man eine Röhre ABCD hat, die auf dem _Ho-_ Fig, 450. _rizont perpendicular_ $tehet, und man $ie mit Wa$$er anfüllet, $o $tellt die _Quadrat-_Wurtzel der _Perpendicular-_Höhe AC die Ge$chwindig- keit vor, mit welcher das Wa$$er zur Eröfnung CD auslauffen würde.

Beweis.

Damit wir den Beweis die$es Lehr-Satzes erleichtern, $o wollen wir $upponiren, die Höhe AC $eye in eine gro$$e Anzahl gleicher Theile, als wie AE, EH &c. und das Wa$$er $elb$ten in eben $o viele gleiche Theile ABGE, EGIH &c. getheilet. Nun man wei{$s}, da{$s}, wann der Theil ABEG allein wäre, $eine Ge$chwindigkeit, die er durch $einen Fall von AB in CD erlangen würde, durch die Quadrat-Wurtzel der Höhe AC könnte vorge$tellet werden (§. 914.). Da i$t dann nur zu erwei$en, da{$s} man ebenfalls auch die Ge$chwindigkeit des Theils KCLD, als auf welchem alle andere Theile des Wa$$ers liegen, durch die Qua- drat-Wurtzel der Höhe AC vor$tellen könne, grad als wann er von A bis in C gefallen wäre. Um die$es zu erwei$en, $o betrachtet, da{$s} ein fallender Cörper in jedem Momento $eines Falls einen neuen Grad der Ge$chwindigkeit, und al$o auch der Schwäre erlange (§. 905.); Auf die$e Art i$t al$o der Cörper in dem zweyten Momento noch einmal $o $chwär als in dem er$ten, und in dem dritten dreymal $o $chwär, und $o weiters. Wann man nun $upponirt, der Theil KCLD werde von $o vielen andern Theilen gedrucket, als der ober$te Theil ABEG Momenta brauche von A bis in C zu fallen, $o hat der Theil KCLD vermög der Schwäre, die er von den andern Theilen bekommt, $o viel Kraft, als der ober$te Theil ABEG durch $einen Fall von A bis C erlanget hätte: nun die Ge$chwindigkeit des Theils ABEG, mit welcher er durch die Defnung CD ausflie{$s}t, wann er einmal dahin gekommen, wird durch [0546] die Quadrat-Wurtzel der Höhe AC vorge$tellet, derowegen $ucht auch der Theil KCLD, de$$en Schwäre der Schwäre des vorhergehenden Theils gleich i$t, mit einer Ge$chwindigkeit, die durch die Quadrat-Wur- tzel der Höhe AC vorge$tellet wird, auszulauffen. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

1079. Daraus folgt al$o, da{$s}, wann man eine Röhre ABC hat, Fig. 451. die mit Wa$$er angefüllet i$t, und in deren Boden $ich ein Oefnung D befindet, das Wa$$er, $o bald als die Eröfnung offen, mit einer Ge- $chwindigkeit, die durch die Quadrat-Wurtzel $einer Höhe vorge$tellet wird, heraus lauffe; Dann man kan die Columnam AD des Wa$$ers, die die Breite der Oefnung D zur Grund-Fläche hat, an$ehen, als wann $ie in eine gro$$e Anzahl gleicher Theile getheilet wäre, davon der- jenige, der $ich zunäch$t an der Oefnung befindet, mit einer der Ge- $chwindigkeit, die der obere Theil A durch $einen Fall von A in D er- langt, gleichen Ge$chwindigkeit auslauft; Al$o würde das Wa$$er alle- zeit mit gleicher Ge$chwindigkeit auslauffen, wann es be$tändig einer- ley Höhe hätte, welches aber nicht ge$chehen könnte, wann man nicht $o viel Wa$$er, als auslauft, be$tändig nachgie$$en würde; wann man aber keines nachgie{$s}t, $o verringert $ich $eine Ge$chwindigkeit in jedem Momento als mehr Wa$$er ablauft, und zwar die$es nach der Verhält- ni{$s} der Quadrat-Wurtzeln der unter$chiedenen Höhen; Al$o verhält $ich die Ge$chwindigkeit des Wa$$ers, wann $eine Höhe noch in A i$t zu $einer Ge$chwindigkeit, wann $eine Höhe nur noch in G i$t, als wie √AD zu √GD.

Zweyter Zu$atz.

1080. Wann man al$o zwey Röhren ABC und EFG von un- Fig. 451. & 452. gleicher Höhe hat, deren Eröfnungen D und H aber einander gleich $eynd, und das Wa$$er aus jedem in gleicher Zeit heraus lauft, $o ver- hält $ich die Ge$chwindigkeit des Wa$$ers der er$ten Röhre ABC zur Ge$chwindigkeit des Wa$$ers der zweyten Röhre EFG als √AD zu √EH.

Dritter Zu$atz.

1081. Wann die Röhren von gleicher Dicke, und auch die Oef- nungen D und H einander gleich $eynd, $o verhalten $ich auch die Zei- ten, innerhalb welchen die$e beyde Röhren gelähret werden, gegeneinan- der, als wie die Quadrat-Wurtzeln der Höhen des Wa$$ers in beyden [0547] Röhren; Dann es i$t gewi{$s}, da{$s} die Quantitäten des aus beyden Röh- ren ausflie$$enden Wa$$ers, $ich gegeneinander verhalten, als wie ihre Ge$chwindigkeiten.

Vierter Zu$atz.

1082. Wann man aber zwey Röhren hat, deren Höhen AD und EH, wie auch die Eröfnungen D und H einander ungleich $eynd, $o ver- halten $ich die Ge$chwindigkeiten, oder die Quantitäten des aus beyden Röhren zu gleicher Zeit ausflie$$enden Wa$$ers gegeneinander in einer componirten Verhältni{$s} der Quadrate der Diameter ihrer Oefnungen (wann $ie nemlich Zirckel-rund $eynd), und der Quadrat-Wurtzeln der unter$chiedenen Höhen des Wa$$ers; Dann es i$t au$$er allem Zweif- fel, da{$s} je grö$$er die Oefnungen $eynd, je mehr Wa$$er in gleicher Zeit herauslauffe.

Fünfter Zu$atz.

1083. Weilen das Wa$$er, welches $ich in einem Gefä{$s} befindet, Fig. 453. auch gegen de$$elben Seiten gleichen Gewalt zum Ausflie$$en ausübt, $o folgt daraus, da{$s}, wann man ein Gefä{$s} AD hat, das mit Wa$$er angefüllet, welches man be$tändig auf einerley Höhe erhält, und man zwey Oefnungen B und C macht, auch wiederum die Ge$chwindigkei- ten des herausflie$$enden Wa$$ers durch die Quadrat-Wurtzeln der Hö- hen AB und AC vorge$tellet werden, es mag nun das Wa$$er nach ho- rizontalen Directions-Linien BE und CF oder nach $chieffen BG und CH herausflie$$en. Doch i$t zu mercken, da{$s}, wann das Wa$$er nach $chief- fen Directions-Linien ausflie$$et, es nicht mit $o gro$$er Ge$chwindigkeit ausflie$$e, als nach den horizontalen Directions-Linien, und in die$em Fall auch wiederum nicht mit $o gro$$er Ge$chwindigkeit, als nach den verticalen Directions-Linien; welches vermög der Schwäre des Wa$- $ers gar leicht zu begreiffen.

Sech$ter Zu$atz.

1084. Ferner folgt noch daraus, da{$s}, wann das Wa$$er nach ei- Fig. 454. ner mit dem Horizont parallel-lauffenden Directions-Linie BD ausflie$- $et, der Ausflu{$s} vermög der Höhe AB des Falls eine Parabel BGE for- mire; Dann wir haben §. 928. und 929. erwie$en, da{$s}, wann man einen halben Zirckel AFC hat, de$$en Diameter AC auf dem Horizont perpendicular $tehet, und man einen Cörper nach einer horizontalen Direction BD mit einer Kraft, die durch die Quadrat-Wurtzel von [0548] AB vorge$tellet wird, treibet, die$er Cörper eine Parabel BGE be$chreibe, deren Amplitudo CE doppelt $o gro{$s} als die Perpendicular BF. Wann man nun alle Theile des Wa$$ers als kleine Kugeln an$ie- het, welche alle nach der Direction BD mit der Kraft √AB getrieben werden, $o $iehet man, da{$s} $ie durch ihren Ausflu{$s} eine Parabel BGE be$chreiben.

Desgleichen, wann das Wa$$er nach einer Directions-Linie CG, Fig. 455. und mit einer Ge$chwindigkeit, die durch die Quadrat-Wurtzel der Hö- he AC des Wa$$ers vorge$tellet wird, herauslauffet, $o be$chreibet das Wa$$er durch $einen Ausflu{$s} vermög der Höhe $eines Falls die Para- bel CEF; Dann wir haben auch gewie$en, da{$s} ein Cörper, der nach ei- ner mit dem Horizont $chief-lauffenden Directions-Linie CG, und mit einer Kraft √AC getrieben wird, eine Parabel be$chreibe.

Er$te Anmerckung.

1085. Wiewohl wir $upponirt, die Gefä$$e, davon wir geredet, $eyen Cy- lindri$ch, $o kan doch alles dasjenige, was wir von die$en geredet, auch von den- jenigen, die eine andere Figur haben, erwie$en werden.

Es haben Mr. Toricelli, Mr. Mariotte und andere mehr, durch Phy$icali$che Experimenta gefunden, da{$s} die Ge$chwindigkeiten der aus- flie$$enden Wa$$er $ich gegeneinander verhalten, als wie die Quadrat- Wurtzeln ihrer unter$chiedenen Höhen, $ie haben aber geglaubt, die Ur$ach die$es $eye, weilen die Theile des Wa$$ers, die $ich auf der obern Fläche befinden, $ich mit einer vermehrten Ge$chwindigkeit herunter- warts bewegen, und al$o zu er$t zur Oefnung $uchen hinauszuflie$$en; Allein $ie haben $ich betrogen; Dann das Wa$$er das $ich bey der obern Fläche befindet, kan nicht ehender ausflie$$en, als bis das untere völlig ausgeflo$$en.

Zweyte Anmerckung.

1086. Wann man eine Wa$$er-Behältni{$s} ABCD hat, in deren Gröfnung D Fig. 456. $ich eine gekrümmte Röhre DE befindet, $o i$t gewi{$s}, da{$s}, wann man die Behält- ni{$s} mit Wa$$er anfüllet, es in der Röhre auf die nemliche Höhe E $teigen mü$$e, welches man aus demjenigen was §. 1057. ge$agt worden, leicht ver$tehet: Auf die$e Art kan das Wa$$er eines Brunnens leicht bis auf die Höhe $einer Quelle $teigen, wann es nemlich durch eine Röhre gehet; wann aber die Höhe der Röh- re kleiner i$t, als die Höhe der Quelle, $o verhält $ich die Sach gantz ander$t; Dann wann man ein Gefä{$s} GB $amt einer gekrümmten Röhre BC hat, deren Oef- Fig. 457. Die$e Quadrat-Wurtzel von AB $tellt diejenige Kraft vor, welche der Cör- per erlanget hätte, wann er von A bis in B gefallen wäre. [0549] nung C mit dem Horizont parallel i$t, und man das Gefä{$s} GB allezeit voll Wa$$er unterhält, $o $teigt dasjenige Wa$$er, was zur Oefnung herausgehet, nicht bis auf die Höhe A des Wa$$ers, indem die Luft den kleinen Theilen des $pringen- den Wa$$ers Wider$tand lei$tet. Es hat Mr. Mariotte in $einem Tr actat von der Bewegung des Wa$$ers gewie$en, da{$s} $ich, ann die Oefnungen zweyer Röhren einander gleich, die Höhen der $pringenden Wa$$er verringern, und zwar nach Pro- portion, als $ich die Quadrata der Höhen der Wa$$er, die $ich in den Behältni$$en befinden, verringern.

1087. Es hat auch Mr. Mariotte gefunden, da{$s}, wann man ei- ne Wa$$er-Behältni{$s} GB hat, die be$tändig mit Wa$$er angefüllet blei- bet, und deren Höhe AB von 13 Schuhen, und der Diameter ihrer Oef- nung C von 3 Linien i$t, in einer Minute 14 Maa$$en Wa$$ers nach Pari$er Maa{$s} herauslauffe, davon jede Maa{$s} 2 Pf. $chwär i$t; Auf die$e Art kan man leicht die folgende Aufgab auflö$en.

Er$te Aufgab.

1088. Zu finden, wie viel Wa$$er aus einem Spring-Brun- nen durch eine Oefnung, deren _Diameter_ von 4 Linien i$t, inner- halb einer Minute herauslauffe, _po$ito_ das Wa$$er in der Behält- ni{$s} $eye 40 Schuh hoch.

Wir wi$$en, da{$s}, wann die Oefnungen einander gleich $eynd, die Quantitäten des heraus $pringenden Wa$$ers $ich gegeneinander verhal- ten, als wie die Quadrat-Wurtzeln der unter$chiedenen Höhen des Wa$- $ers, und da{$s}, wann die Oefnungen einander ungleich $eynd, $ich die Quantitäten des heraus $pringenden Wa$$ers gegen einander in einer componirten Verhältni{$s} der Quadrat-Wurtzeln der Höhen des Wa$- $ers und der Quadrate der Diameter der Oefnungen verhalten: Al$o wann wir uns des Experimenti des Mr. Mariotte bedienen, $o kan man man $agen: wann das Product des Quadrats von 3 Linien, das i$t 9, durch die Quadrat-Wurtzel von 13 Schuhen, 14 Maa{$s} Wa$$er inner- halb einer Minute gibt, wie viel gibt das Product des Quadrats von 4 Linien, das i$t 16, durch die Quadrat-Wurtzel von 40 Schuhen; Da findet man al$o einen vierten Terminum, der die begehrte Anzahl Maa$$en anzeigt.

[0550] Drittes Capitul. Von Der Bewegung und Sto{$s} des Wa$$ers. Sech$ter Lehr-Satz.

1089. Wann man zwey gleiche Flächen hat, wider welche zwey flü$$ige Cörper von einerley Art aber mit ungleichen Ge- $chwindigkeiten _perpendiculariter_ an$to$$en, $o verhalten $ich die Kräften des Sto$$es die$er beyden Cörper gegeneinander, als wie die _Quadrat_e ihrer Ge$chwindigkeiten.

Beweis.

Wir $upponiren, die Fig. 458 und 459 $tellen Theile zweyer Wa$- Fig. 458. 459. & 460. $er-Leitungen vor, da die Flächen BC und TV der Fläche LM gleich $eynd, da i$t zu erwei$en, da{$s}, wann das Wa$$er nach perpendicularen Directions-Linien, aber mit ungleicher Ge$chwindigkeit gegen die$e Flä- chen an$to{$s}t, $ich die Kräften des Sto$$es gegeneinander verhalten, als wie die Quadrate ihrer Ge$chwindigkeiten.

Wann man $ich zwey verticale und den Flächen BC und TV glei- che Laminas Wa$$ers GH und RS vor$tellet, welche mit den Flächen BC und TV parallel lauffen, wie auch von ihnen gleich weit entfernet $eynd, $o i$t gantz klar, da{$s} weilen die$e beyde Laminæ einander gleich, die Kräften ihres An$to$$es, wann $ie von G bis in B und von R bis in T mit ungleicher Ge$chwindigkeit kommen, $ich gegeneinander verhalten, als wie ihre Ge$chwindigkeiten. Wann nun die Ge$chwindigkeit der Laminæ RS das Dreyfache der Ge$chwindigkeit der Laminæ GH i$t, und $ich die er$tere innerhalb einer Secunde von R bis in T mit einer gleichförmigen Bewegung bewegt, $o braucht die Lamina GH von G in B drey Secunden: Al$o $to{$s}t die Lamina RS in dem Augenblick gegen die Fläche TV, als die Lamina GH $ich von G bis I bewegt, und wei- len das Wa$$er beyder$eits be$tändig zu flie$$en fortfähret, $o $to{$s}t eine zweyte Lamina als wie RS gegen die Fläche TV, da hingegen die La- mina GH nur von I bis in K gekommen: endlich $to{$s}t noch in dem Augenblick, da die Lamina GH von K bis in B kommt, eine dritte La- mina als wie RS gegen die Fläche TV; Al$o i$t die Fläche BC in der [0551] Zeit, da die Fläche TV von dreyen Laminis ge$to$$en worden, nur von einer Laminâ ge$to$$en worden; Die$es wei$et al$o, da{$s} $ich die Quan- titäten Wa$$ers, von welchen die$e zwey Flächen in gleicher Zeit ge$to$- $en worden, gegeneinander verhalten, als wie die Ge$chwindigkeiten des Flu$$es: Allein wir haben auch gewie$en, da{$s} $ich die Stö$$e der La- minarum GH und RS gegeneinander verhalten, als wie ihre Ge$chwin- digkeiten: Derowegen kan man überhaupt $agen, da{$s} $ich die Stö$$e des Wa$$ers, die es gegen gleiche Flächen ausübt, gegeneinander in ei- ner duplicirten Verhältni{$s} ihrer Ge$chwindigkeiten, und der Quantitä- ten des zu gleicher Zeit an$to$$enden Wa$$ers verhalten, oder welches einerley i$t, als wie die Quadrata ihrer Ge$chwindigkeiten. W. z. E.

Er$ter Zu$atz.

1090. Wann die Ge$chwindigkeiten des Wa$$ers einander gleich, die Flächen aber, worauf es $to$$et, einander ungleich $eynd, $o verhal- ten $ich die Kräften des Sto$$es gegeneinander, als wie die$e nemliche Flächen $ich gegeneinander verhalten.

Zweyter Zu$atz.

1091. Wann aber $o wohl die Ge$chwindigkeiten des Wa$$ers, als auch die Flächen, worauf es an$to{$s}t, einander ungleich $eynd, $o verhalten $ich die Kräften des Sto$$es gegeneinander in einer compo- nirten Verhältni{$s} der Quadrate der Ge$chwindigkeiten des Wa$$ers und der Flächen, worauf es $to{$s}t; Das i$t, als wie die Producte, die ent$tehen, wann man die Quadrate der Ge$chwindigkeiten durch die Flächen-Inhalte multiplicirt.

Dritter Zu$atz.

1092. Wann eine Fläche TV zu dem Flu{$s} perpendicular, die Fig. 459. & 461. andere NO aber $chief $tehet, und wann $owohl die Laminæ RS und AB, als auch ihre Ge$chwindigkeiten einander gleich $eynd, $o verhält $ich die Kraft des Sto$$es gegen die perpendiculare Fläche zur Kraft des Sto$- $es gegen die $chieffe, als wie das Quadrat des Sinus totius zum Qua- drat des Sinus des Anguli incidentiæ der $chieffen Fläche; Dann, wann CD die Kraft des Sto$$es gegen die perpendiculare Fläche vor$tellet, und man das Rectangulum vollends ausmacht, $o $tellet die Seite CF die Kraft des Sto$$es des Wa$$ers gegen die $chieffe Fläche NO vor; Al$o verhalten $ich die Kräften des Sto$$es gegen einander, als wie

    CD
^2 zu
    CF
^2.

[0552] Vierter Zu$atz.

1093. Wann aber beyde Flächen in An$ehung des Flu$$es $chief Fig, 461. & 462. $tehen, und das Wa$$er einerley Ge$chwindigkeit CD und IK hat, $o verhalten $ich die Kräften des Sto$$es gegeneinander, als wie die Qua- drate der Sinuum der Angulorum incidentiæ; Das i$t, die Kraft des Sto$$es gegen die Fläche NO verhält $ich zur Kraft des Sto$$es gegen die Fläche PQ, als wie das Quadrat der Perpendicular CF zum Qua- drat der Perpendicular IM.

Anmerckung.

1094. Nachdem Mr. Mariotte unter$chiedene Experimenten ange$tellet, die Kraft des Sto$$es des Wa$$ers zu berechnen, $o hat er gefunden, da{$s}, wann eine Lamina Wa$$ers $ich in einer Secunde um einen Schuh bewegt, das Wa$$er ge- gen eine Fläche von einem Quadrat-Schuh eine Kraft von anderthalb Pfunden ausübe. Damit man $ich nun die$es Experiments in Berechnung der Kraft, die das Wa$$er gegen eine gegebene Fläche, ausübt, bedienen könne, $o wird erfor- dert, da{$s} man eine accurate Perpendicul-Uhr, oder $on$ten eine gute Minuten- Uhr bey $ich habe; nach die$em bindet man einen $ehr leichten Cörper, als wie z. E. Panteffel-Holtz an einen Seiden-Faden; die$es lä{$s}t man in der Mitte des Flu$$es $chwimmen, und bemerckt mit einem Stab den Ort, allwo es zu $chwim- men angefangen; da gehet man auf dem Ufer einen zimmlichen Weg mit dem $chwimmenden Cörper allezeit parallel; nachgehends $iehet man auf der Uhr wie viel Minuten, von Anfang bis dahin verflo$$en, und me{$s}t den Weg den man mit dem $chwimmenden Cörper gemacht, accurat aus; Ich $upponire nun, der Cörper wäre innerhalb 3 Minuten 120 Klafter weit ge$chwummen. Damit man nun wi$$e, wie weit er innerhalb einer Secunde ge$chwummen, $o reducirt man die 3 Minuten in Secunden, indem man $ie durch 60 multiplicirt, da bekommt man al$o 180 Secunden; Desgleichen reducirt man auch die 120 Klafter in Schuhe, da bekommt man al$o 720 Schuh, welche man nachgehends durch 180 Secunden dividirt; da bekommt man 4 zum Quotienten; die$es wei{$s}t al$o, da{$s} der Cörper innerhalb einer Secunde 4 Schuh weit ge$chwummen.

Zweyte Aufgab.

1095. Wann man die Ge$chwindigkeit des Wa$$ers ken- net, man begehrt zu finden, mit welcher Kraft da$$elbe gegen eine gegebene Fläche an$to$$et.

Zur Auflö$ung die$er Aufgab werden wir uns des Experiments des Mr. Mariotte, davon wir in voriger Anmerckung Meldung gethan, be- dienen. Wann man nun $upponirt, das Wa$$er lauffe innerhalb einer Secunde 4 Schuh weit, und es $to$$e gegen eine Fläche von 20 Qua- drat-Schuhen, $o findet man die Kraft des Sto$$es auf folgende Art; [0553] Nemlich man wei{$s} aus §. 1091. da{$s} $ich die Kräften des Sto$$es des Wa$$ers, das mit ungleicher Ge$chwindigkeit und gegen ungleiche Flä- chen bewegt wird, gegeneinander verhalten, als wie die Producte der Quadrate der Ge$chwindigkeiten durch die entgegen ge$etzte Flächen. Derowegen kan man $agen: wann das Quadrat einer Secunde, das i$t 1, durch die Fläche von 1 Quadrat-Schuh multiplicirt, 1 {1/2} Pf. vor die Kraft des Sto$$es gibt, wie viel gibt das Quadrat von 4, das i$t 16, durch die 20 Quadrat-Schuh, das i$t 320, vor die Kraft die$es Sto$- $es; Da findet man al$o 480.; Die$es wei{$s}t al$o, da{$s} das Wa$$er mit oben angedeuteter Ge$chwindigkeit gegen eine Fläche von 20 Quadrat- Schuhen eine Kraft von 480 Pf. ausübe.

Application Der vorhergehenden Aufgab.

1096. Wann man al$o die perpendiculare Kraft des Wa$$ers, mit welcher es wider die Schauffeln eines Mühl-Rads $to{$s}t, be- rechnen will, $o mu{$s} man zu er$t die Ge$chwindigkeit des Wa$$ers und den Flächen-Inhalt der Schauffel kennen: Al$o wann wir $uppo- niren, die Ge$chwindigkeit des Wa$$ers $eye von 5 Schuhen in ei- ner Secunde und die Schauffel von 6 Quadrat-Schuhen, $o $agt man: Wann das Product des Quadrats der Ge$chwindigkeit von 1 Schuh durch durch 1 Quadrat-Schuh multiplicirt, in einer Secunde ei- ne Kraft von 1 {1/2} Pf. ausübt, welche Kraft übt das Product des Qua- drats der Ge$chwindigkeit von 5 Schuhen durch 6 Quadrat-Schuh mul- tiplicirt aus; Da findet man, da{$s} das Wa$$er in die$em Fall eine Kraft von 225 Pf. ausübe.

Siebender Lehr-Satz.

1097. Wann man ein Gefä{$s} voll Wa$$er hat, und das Wa$$er allezeit auf einerley Höhe erhält, $o $age ich, da{$s} $ich die Kräften, mit welchen das Wa$$er durch zwey gleiche Eröfnun- gen herauslauft, gegeneinander verhalten, als wie die _Di$tanzi_en der Mittel-Puncten der Eröfnungen von der obern Fläche des Wa$$ers.

Beweis.

Wann das Gefä{$s} ABCD mit Wa$$er angefüllet i$t, und das Wa$- Fig. 463. $er durch die zwey Oefnungen E und F herauslauft, $o verhalten $ich die [0554] Ge$chwindigkeiten des Wa$$ers als wie √BE zu √BF; und wann die Oefnungen einander gleich $eynd, $o verhalten $ich auch die Quantitäten Wa$$ers, die in gleichen Zeiten herauslauffen, gegeneinander, als wie √BE zu √BF: nun man kan die Quantitäten des Wa$$ers vor die Ma$- $am, und die Quadrat-Wurtzeln von BE und BF vor die Ge$chwindigkei- ten annehmen; Derowegen verhalten $ich die Kräften der Bewegung des Wa$$er gegeneinander, als wie √BE × √BE zu √BF × √BF; Allein die$e beyde Producte $eynd nichts anders, als BE und BF; De- rowegen verhalten $ich die Kräften, mit welchen das Wa$$er durch zwey gleiche Eröfnungen herauslauft, gegeneinander, als wie ihre Höhen, oder als wie die Di$tanzien der Mittel-Puncten der Oefnungen von der oberen Fläche des Wa$$ers. W. z. E.

Zu$atz.

1098. Daraus folgt al$o, da{$s}, wann die Oefnungen einander ungleich $eynd, $ich die Kräften, mit welchen das Wa$$er herauslauft, gegeneinander verhalten, als wie die Producte, die ent$tehen, wann man die Quadrate der Diameter der Oefnungen durch die corre$pondirende Höhe des Wa$$ers multiplicirt; Die$es gehet al$o an wann die Oef- nungen Zirckel-rund $eynd; wann $ie aber eine andere Figur haben, $o mu{$s} man ihren Flächen-Inhalt durch die corre$pondirende Höhe des Wa$$ers multipliciren.

Kurtz-gefa$ter Tractat Von Der Natur und Eigen$chaften der Luft, Welcher Als eine Einleitung zu den Phy$icali$chen Wi$$en$chaften dienet.

WIewohlen uns die alte Philo$ophi $chöne Wi$$en$chaften hinter- la$$en, $o $cheinet doch, man könne ihnen mit Recht vorwer- fen, $ie haben die Natur nicht genug$am ausgefor$chet, in$on- derheit wann man die fal$che Begriffe, die $ie $ich von der Luft gemacht, [0555] in Erwägung ziehet: $ie hatten zwar Zeit genug, ihre vornehm$te Ei- gen$chaften zu entdecken, allein es i$t da ergangen, als wie mit vielen andern Sachen, deren Erfindung un$ern Zeiten vorbehalten worden.

In gegenwärtigem Tractat werde ich nur von der Luft reden, und werde wei$en, da{$s} $ie eine Schwäre habe, wie auch eine Ela$ticität, und da{$s} $ie könne bis auf ein gewi$$es Volumen zu$ammen gepre{$s}t und auch auseinander gedähnet werden.

Wann man vor den Zeiten des Carte$ii und des Mr. Pa$cal die Welt-Wei$en gefragt, warum das Wa$$er, wann man den Kolben ei- ner Spritze, oder einer Pumpe anziehet, hinauf$teige, und dem Kolben al$o nachfolge, als wann es fe$t daran klebte; warum, wann man eine gekrümmte Röhre mit Wa$$er anfullet, und einen Schenckel in ein Ge- fä{$s}, das ebenfalls auch mit Wa$$er angefüllet, $tellet, das Wa$$er völ- lig aus dem Gefä{$s} durch die Röhre auslauffe; Da gaben $ie zur Ant- wort, die Natur trage vor dem Vacuo einen Ab$cheu, grad als wann $ie eine Pa$$ion hätte vor etwas einen Ab$cheu zu tragen; Dann nach ihrer Meinung $ucht die Natur mit vieler Mühe das Vacuum zu ver- hindern; wiewohl die Erfahrung genug$am wei$et, da{$s} $ie da$$elbe noch zu verhindern, noch zu befördern $uche, indem ihr an dem Vacuo $o viel gelegen, als an dem Pleno.

Es i$t wohl wahr, da{$s} das Wa$$er in einer Pumpe $teiget, wann keine Oefnung da i$t, wodurch die Luft hinein $chleichen kan, da gäbe es al$o ein Vacuum, wann das Wa$$er nicht hinauf$teigen würde; $o bald als aber die Luft hinein$chleichet, $o bald $teiget das Wa$$er nicht, ja $o gar wann $chon das Wa$$er ge$tiegen, $o fällt es wieder in das Gefä{$s} zuruck. Desgleichen, wann man auf der Höhe einer gekrümmten Röh- re eine kleine Oefnung macht, damit $ich al$o die Luft hinein begeben könne, $o fällt das Wa$$er aus beyden Aermen in die Gefä$$e und bleibt ruhig. Daraus hat man ge$chlo$$en, die Natur trage einen Ab$cheu vor dem Vacuo, indem, $o bald $ich in einer Röhre keine Luft befindet, das Wa$$er von $ich $elb$ten hinauf$teiget, hingegen, $o bald als wiede- rum Luft in die Röhre kommt, es $ich wieder in $einen vorigen Stand $etzet; Die$es hat $ie al$o glauben gemacht, da{$s} das Wa$$er nur deswe- gen hinauf$teige, damit es das Vacuum verhindere.

Wann man aber wei$en wird, da{$s} die Ur$ach die$es (wie auch vie- ler andern Sachen, davon wir noch in folgendem reden werden) nur die Schwäre der Luft $eye, $o $iehet man gantz klar, da{$s} die Natur keinen Ab$cheu vor dem Vacuo habe, $ondern da{$s} $ie den Ge$etzen der Mecha- nie $o wohl in An$ehung der Luft, als auch der andern flü$$igen Cörper von unter$chiedener Schwäre folge, und da{$s} die$es, was wir von den [0556] Eigen$chaften der Luft reden werden, nur eine Fort$etzung des vorher- gehenden Tractats $eye.

Damit man aber durch ein gantz leichtes Experiment von der Schwäre der Luft überwie$en werde, $o nehmet eine glä$erne Röhre von 20 bis 24 Zollen in der Länge; füllet die$e mit Queck$ilber, und machet $ie an dem einen End fe$t zu; Das andere End, welches offen bleibt, ver$topfet nur mit dem Finger, und tauchet es in ein Gefä{$s}, das mit Queck$ilber angefüllet i$t, nach die$em thut den Finger weg, und la{$s}t dem Queck$ilber $eine Freyheit hinunter zu $teigen, da werdet ihr $ehen, da{$s} an$tatt hinunter zu $teigen und $ich mit dem anderen zu mi$chen, es vielmehr auf die$er Höhe $tehen bleibe. Die Ur$ach die$es i$t die Schwä- re der Luft, als welche das Queck$ilber, das $ich in dem Gefä{$s} befin- det, drucket, da $ie hingegen gegen dasjenige, das $ich in der Röhre be- findet, keine Würckung ausübet, indem gar keine Luft in der Röhre i$t. Al$o i$t die Schwäre der Luft die Ur$ach, warum das Queck$ilber in der Röhre $tehen bleibet; Damit man aber die$es noch mehr ver$ichert werde, $o dörf man nur das obere End der Röhre wiederum aufma- chen, da werdet ihr augen$cheinlich $ehen, da{$s} das Queck$ilber völlig her- unter fallen, und $ich mit dem anderen vereinigen werde.

Wann man eine Röhre hat, die 20 bis 24 Zoll lang i$t, und die an einem End zuge$chlo$$en, an dem andern aber offen und gekrümmet i$t, $o bleibt doch das Queck$ilber in der Röhre, und gehet nicht zu dem offenen End heraus, wiewohl es nicht in ein Ge$chirr voll Queck$ilber eingetaucht wird; Die Ur$ach die$es i$t, weilen die Luft, die ihre Schwä- re gegen das Queck$ilber des gekrümmten Theils ausübt, $chwarer i$t, als das Queck$ilber in der Röhre.

Wann man aber an$tatt einer Röhre von 20 bis 24 Zollen eine Röhre von 25 bis 26 Schuhen nimmt, und man $ie an$tatt des Queck- $ilbers mit Wa$$er anfüllet, $o wird das Wa$$er wie zuvor das Queck- $ilber, $tehen bleiben, wiewohlen die Röhre um vieles grö$$er i$t; Dann weilen das Wa$$er um $ehr vieles leichter als das Queck$ilber i$t, $o mu{$s} es al$o, damit es mit der Luft im Gleich-Gewicht $tehe, auch um vieles höher $tehen; Dann wir wi$$en, da{$s} $ich die Höhen unter$chiede- ner flü$$iger Cörper gegeneinander verhalten, als wie $ich reciprocè ihre Schwären gegeneinander verhalten.

Wiewohlen die Schwäre der Luft die Ur$ach i$t, warum das Queck- $ilber und das Wa$$er in den Röhren von oben angedeuteter Länge $te- hen bleibe, $o mu{$s} man derowegen nicht glauben, da{$s}, wann man eine viel grö$$ere Röhre, als die von 26 Schuhen, z. E. eine Röhre von 40 Schuhen mit Wa$$er anfüllet, das Wa$$er auch auf die$er Höhe $tehen [0557] bleibe; Dann die Luft kan mit keiner grö$$ern Schwäre im Gleich- Gewicht $tehen, als $te $elber i$t: nun durch Hülf die$er entweder mit Queck$ilber, oder mit Wa$$er angefüllten Röhren kan man die Schwä- re der Luft finden, wie man es in folgendem $ehen wird.

Wann man eine glä$erne Röhre von 40 Zollen in der Länge mit Queck$ilber anfüllt, al$o da{$s} das eine End der Röhre be$tändig ver- $topft verbleibe, und man das andere End, welches man nur unterde$- $en mit dem Finger ver$topfet, in ein Gefä{$s} voll Queck$ilber tauchet, oder auch nur krumm bieget, und man die Röhre perpendiculariter hält, $o $iehet man, da{$s} $o bald man den Finger von dem offenen End wegthut, das Queck$ilber hinunter$teigen werde, bis da{$s} es auf die Hö- he von 28 Zollen kommt, allwo es $tehen bleibt, indem die$e Columna Queck$ilbers mit der corre$pondirenden Columnâ Luft im Gleich-Ge- wicht $tehet.

Desgleichen wann man eine Röhre von 40 Schuhen in der Län- ge, und die auf vorige Art be$chaffen, mit Wa$$er anfüllet, $o wird das Wa$$er bis auf die Höhe von 31 Schuhen herunter fallen, indem eine $olche Columna Wa$$ers mit der corre$pondirenden Columnâ Luft, oder auch mit einer 28 Zoll hohen Columnâ Queck$ilbers im Gleich- Gewicht $tehet: nun wir wi$$en, da{$s} ein cubi$cher Schuh Wa$$ers 70 Pf. wiege, wann man al$o 31 durch 70 multiplicirt, $o bekommt man 2170; Die$es wei{$s}t al$o, da{$s} eine Columna Luft, die einen Quadrat- Schuh zur Grund-Fläche, und die Höhe der Atmosphæræ zur Höhe hat, 2170 Pf. wiege.

Die$es Experiment wird auch noch durch die Saug-Pumpen und Wa$$er-Spritzen bekräftiget; Dann $o bald, als man den Kolben an $ich ziehet, $o folgt das Wa$$er dem Kolben, aber nur bis auf die Hö- he von 31 Schuhen; Dann, wann man ihn $chon höher hinauf zie- het, $o bleibt doch das Wa$$er unbeweglich in die$er Höhe, indem es $ich auf die$e Art mit der äu$$ern Luft im Gleich-Gewicht befindet. Damit ich diejenige die glauben, das Wa$$er $teige in die Pumpen, weilen die Natur vor dem Vacuo einen Ab$cheu trägt, eines be$$ern be- rede, $o können $ie mercken, da{$s}, wann man den Kolben $chon über 31 Schuh in die Höhe ziehet, das Wa$$er doch nur auf die$er Höhe ver- bleibe, und da{$s} $ich al$o zwi$chen dem Wa$$er und dem Kolben ein Raum befinde, in welchem entweder gar keine, oder $ehr wenig Luft i$t. Wann un$ere Welt-Wei$e auf die$es acht gegeben hätten, $o würden Man ver$tehet, unter dem Wort _Atmosphara_ alle diejenige Luft, mit wel- cher un$ere Erd-Kugel umgeben i$t. [0558] $ie $ich $ehr verwundert haben, da{$s} die Natur auf der Höhe von 31 Schuhen $chon aufhöre einen Ab$cheu vor dem Vacuo zu tragen, und würden $ie vielleicht einer Unbe$tändigkeit be$chuldiget haben, indem $ie bis auf eine gewi$$e Höhe vor dem Vacuo einen Ab$cheu trägt, nach die- $er aber da$$elbe wohl leyden kan.

Wann man eine Spritze von 3 bis 3 und 1 halben Schuh in der Länge nimmt, und man das offene End in ein Gefä{$s} voll Queck$ilber tauchet, $o wird man $ehen, da{$s}, nachdem man den Kolben an $ich gezo- gen, das Queck$ilber bis auf die Höhe von 28 Zollen $teige, und da{$s}, man mag den Kolben noch höher an $ich ziehen, das Queck$ilber doch allezeit auf die$er Höhe verbleibe, indem es allda mit der Schwäre der äu$$ern Luft im Gleich-Gewicht $tehet: Al$o $tehet das Wa$$er, das Queck$ilber und die Luft im Gleich-Gewicht, wann $ich ihre Höhen ge- geneinander verhalten, als wie reciprocè ihre Schwären, es mögen die Röhren $o dick $eyn, als $ie wollen, indem die flü$$ige Cörper ihre Schwä- re nicht nach dem Inhalt ihrer Grund-Flächen, $ondern nach ihren Hö- hen gegeneinander ausüben.

Damit wir auch wei$en, auf was Art die Schwäre der Luft das Wa$$er in den gekrümmten Röhren $teigen mache, $o wollen wir eine $olche $upponiren, deren ein Arm ein Schuh, und der andere ein Schuh und ein Zoll in der Länge hat. Wann man $ie nun mit Wa$$er an- füllet, und beyde Oefnungen wohl ver$topfet, damit kein Wa$$er her- ausrinnen könne, und man den kürtzern Arm in ein Gefä{$s} voll Wa$$er taucht, desgleichen auch den längern in ein anderes Gefä{$s}, welches aber um etwas tieffer als das er$tere $tehet, $o wird man $ehen, da{$s}, $o bald als man die Eröfnungen wieder aufgethan, das Wa$$er der Röh- re, an$tatt zu fallen, vielmehr werde zu $teigen $uchen; Dann weilen das Wa$$er, das $ich in beyden Gefä$$en befindet von der Luft gedruckt wird, dasjenige aber nicht, das $ich in der Röhre befindet, $o $ucht es noch um vieles höher zu $teigen; Allein es kan nicht, indem die Röhre nur ein Schuh lang i$t, da hingegen die Luft verur$achen kan, da{$s} es bis auf 31 Schuh $teiget.

Derowegen kommt das Wa$$er der beyden Aerme in dem obern Theil der Röhre zu$ammen, und $ucht durch den andern Arm auszu- lauffen, da{$s} al$o dasjenige, welches mehrere Kraft hat, das $chwächere zu- ruck jage; weilen nun die Luft, die über dem untern Gefä{$s} $chwebet um einen Zoll höher i$t, als diejenige, die $ich über dem obern befindet, $o wird das Wa$$er in dem längern Arm $tärcker in die Höhe getrieben, als das Wa$$er in dem kürtzern; Dahero es al$o $cheinen $ollte, das Wa$$er des längern Arms mü{$s}te durch den kürtzern auslauffen; [0559] Allein das Wa$$er in jedem Arm wider$tehet dem Druck der Luft, und die$er Wider$tand i$t nicht gleich; Dann weilen das Wa$$er in dem längern Arm um einen Zoll höher i$t, als das Wa$$er in dem kür- tzern, $o lei$tet es auch dem Druck der Luft um die Höhe eines Zolles mehr Wider$tand. Nun das Wa$$er des längern Arms wird nur um die Höhe eines Zolles Luft mehr in die Höhe getrieben, als das Wa$$er des kürtzern, und der Zoll Wa$$ers der $ich in dem längern Arm befin- det, hat mehr Kraft hinunter zu $teigen, als der Zoll Luft hat, das Wa$$er in die Höhe zu treiben, indem ein Zoll Wa$$ers $chwärer als ein Zoll Luft i$t; Derowegen wird das Wa$$er des kürtzern Arms mit mehrerer Kraft in die Höhe getrieben, als das Wa$$er des längern; Die$es macht al$o, da{$s} es $teiget und $ich durch den längern Arm in das untere Gefä{$s} ausgie$$et, und die$es dauret $o lang, als $ich Wa$$er in dem obern Gefä{$s} befindet.

Auf die$e Art $teigt das Wa$$er des obern Gefä$$es und gie$$et $ich in das untere aus, $o lang als der Arm, den man in das obere ein- taucht, unter 31 Schuhen lang i$t; indem, wie wir $chon gewie$en, das Wa$$er auf die$er Höhe mit der Luft im Gleich-Gewicht $tehet; wann aber die$er Arm länger als 31 Schuh i$t, $o $teigt das Wa$$er nicht bis auf die völlige Höhe der Röhre, und begibt $ich al$o auch nicht durch den andern Arm in das untere Gefä{$s}; Auf die$e Art theilet $ich das Wa$$er in der Höhe der Röhre, und fällt in jedem Arm $o viel Wa$$er zuruck in die Gefä$$e, bis es auf die Höhe von 31 Schuhen kommt, allwo es wegen dem Gleich-Gewicht mit der Luft in Ruhe ver- bleibt.

Es ge$chehen noch viele andere Sachen in der Natur, die die Al- ten dem Ab$cheu, den $ie vor dem Vacuo haben $oll, zuge$chrieben; de- ren Ur$ach aber nichts anders als die Schwäre der Luft i$t; Z. E. wann man zwey $ehr glatte Cörper aufeinander legt, und man $ie wie- der voneinander nehmen will, $o empfindet man einen $ehr gro$$en Wi- der$tand, und zwar i$t die$er Wider$tand $o gro{$s}, da{$s} man geglaubt, es wäre keine men$chliche Kraft im Stand, die$e zwey Cörper vonein- ander zu nehmen. Doch, wann man die Sach recht betrachtet, $o fin- det man, da{$s} $ich zwi$chen die$en beyden Cörpern keine Luft befinde, und da{$s} al$o, wann man den obern hält, der untere an ihm hängen bleibe, indem er von der gantzen Schwäre der unter ihm $chwebenden Luft an den obern gedruckt wird; Derowegen kan man $ie nicht von- einander theilen, als durch eine Kraft, die grö$$er i$t als die Schwäre der druckenden Luft; Al$o wann die$e zwey Cörper z. E. zwey Cubi $eynd, deren jedes Maa{$s} von einem Schuh i$t, $o werden $ie von einer [0560] Kraft von 2232 Pf. zu$ammen gedrucket, indem die$es die Schwäre ei- ner Columnæ Luft i$t, die einen Quadrat-Schuh zur Grund-Fläche hat: Al$o, damit man die Schwäre der Luft überwinden, und die bey- de Cörper voneinander lö$en möge, wird erfordet, da{$s} man eine grö$$e- re Kraft, als von 2232 Pf. brauche; Auf die$e Art werden die$e beyde Cörper ohne Schwürigkeit voneinander gelö$et, indem der Natur $ehr wenig daran gelegen, ob $ie voneinander gelö$et $eyen oder nicht.

* Die$es Experiment, den Druck der Luft zu erkennen, kan man in$onderheit mit den zweyen halben und ausgehölten Kugeln, welche Otto de Guericke erfunden, an$tellen, wie ich die$es in den Lectionen mit Gelegenheit wei$en werde.

Fernet lehret uns noch die Erfahrung, da{$s}, wann alle Oefnungen eines Blas-Balgs wohl ver$topfet $eynd, es $ehr $chwär falle den$elben zu eröfnen, indem man einen Wider$tand empfindet, als wann die Flü- gel de$$elben aufeinander geleimet wären: wann man nun die Ur$ache die$es unter$ucht, $o findet man keine andere als die Schwäre der Luft; Dann weilen $ie die Flügel des Blas-Balgs druckt, und $ie $ich doch nicht in den$elben hinein$chleichen kan, $o kan man den obern Flügel nicht aufheben, als man mu{$s} auch die gantze Ma$$am Luft, die $ich ober dem$elben befindet, zugleich mit aufheben; Die$e Ma$$a Luft durckt aber um $o viel mehr, als die Flügel des Blas-Balgs mehr Flächen- Inhalt haben, da{$s} man al$o, wann die Flügel z. E. 1 und {1/2} Quadrat- Schuh zum Flächen-Inhalt haben, eine grö$$ere Kraft als von 3348 Pf. anwenden mü$$e; indem eine Columna Luft, die 1 und {1/2} Quadrat- Schuh zur Grund-Fläche hat, $o viel wiegt: $o bald als man aber eine Eröfnung in den Blas-Balg macht, damit al$o Luft hinein gehen kön- ne, $o i$t die$e innere Luft mit der äu$$ern im Gleich-Gewicht; und da kan man die Flügel de$$elben ohne Schwürigkeit aufheben.

Desgleichen fragt man, warum das Wa$$er $teige, wann man den Mund darauf legt und es an $ich $auget, welches auch durch Hülf eines Stroh-Halmes ge$chehen kan. Um auf die$e Frag zu antworten, $o betrachtet, da{$s} das Wa$$er an allen Orten von der Schwäre der Luft gedrucket werde, ausgenommen an dem Ort wo $ich der Mund oder der Stroh-Halm befindet; Dann wann der Men$ch $auget, $o dähnen die Mu$culi, durch welcher Hülf die Re$piration ge$chicht, die Bru$t aus, und machen, da{$s} der inwendige Raum grö$$er wird; wo- durch al$o die inwendige Luft einen grö$$ern Platz einnehmen mu{$s}, und auf die$e Art hat $ie weniger Kraft den Eingang des Wa$$ers zu ver- hindern, als die äu$$ere Luft hat, da$$elbe hinein zu treiben; Die$es i$t [0561] al$o das nemliche, was wir $chon von den Pumpen und Spritzen ge- redet.

Weilen die Schwäre der Luft niemahl einerley verbleibt, $on- dern $ich be$tändig verändert, nachdem als $ie mehr oder weniger mit Ausdün$tungen angefüllet i$t, $o verändern $ich auch an einem Ort ih- re Würckungen be$tändig, als welches man durch das Barometrum ob- $erviret, dann das Queck$ilber $teigt zu Zeiten über 28 Zoll, zu Zeiten fällt es darunter; nach einiger Zeit $teigt es wieder, und folgt al$o be- $tändig den Veränderungen der Schwäre der Luft. Eben die$es ge- $chiehet auch in den Pumpen, allwo das Wa$$er zu Zeiten bis auf 31 und {1/2} Schuh $teiget, zu Zeiten aber nur bis auf 30 Schuh und etliche Zoll; Dann das Wa$$er i$t, als wie das Queck$ilber den Würckungen der unter$chiedenen Schwären der Luft unterworfen.

Weilen die Luft auf $ehr hohen Bergen nicht $o $chwär i$t, als wie diejenige, die $ich an dem Ufer des Meers befindet, als welches wir vor den tieffe$ten Ort der Erden annehmen, $o lehret auch die Erfahrung, da{$s} das Wa$$er in den Pumpen auf hohen Bergen nicht $o hoch $teige, als wie in der Tieffe; ja man hat $o gar angemerckt, da{$s} das Wa$$er auf einem Berg, de$$en Perpendicular - Höhe von 600 Klaftern i$t, an$tatt bis auf 31 Schuh, wie wir vorhero ge$agt, nur bis auf 26 Schuh und etliche Zolle ge$tiegen; eben eine $olche Veränderung findet man auch an den Orten die $ehr tief liegen, allwo das Wa$$er zu Zeiten auf 32 bis 33 Schuh $teiget; Allein die$e Veränderungen der Luft kan man be$$er durch das Barometrum ob$erviren; Dann es dienet, nicht nur allein die Schwäre der Luft in Orten die unter$chiedene Höhen haben, zu finden, $ondern auch die Höhe der Berge, wie auch der At- mosphæræ $elb$ten auszume$$en;.

Dann, wann man $ich an dem Fu{$s} eines Bergs befindet, und das Queck$ilber an die$em Ort auf der Höhe von 28 Zollen $tehet, $o $iehet man, da{$s}, je höher man den Berg hinauf$teiget, je mehr das Queck$ilber falle; Dann weilen es mit einer kleinern Columnâ Luft das Gleich- Gewicht halten mu{$s}, $o mu{$s} es nothwendiger Weis fallen; Derowe- gen, wann es möglich wäre, da{$s} man bis auf die Höhe der Atmosphæ- ræ gehen könnte, $o würde das Queck$ilber völlig in das Gefä{$s} herun- ter fallen, und kein Theil de$$elben in der Röhre verbleiben, indem keine Luft vorhanden wäre, die mit ihm das Gleich-Gewicht halten könte.

Man hat, um die Schwäre der Luft zu unter$uchen, viele $chöne Experimenta gemacht. Das er$te, welches deswegen ange$tellet wor- den, ware auf einem der höch$ten Berge in der Provintz Auvergne nicht weit von Clermont, den man insgemein le Puy de Dôme nennet; [0562] Da ware an dem Fu{$s} des Berges die Höhe des Queck$ilbers auf 26 Zoll und 5 Linien, als man nun um 10 Klafter auf den Berg ge$tiegen, $o i$t es um eine Linie gefallen; Auf 20 Klafter i$t es um 2 Linien, auf 100 Klafter um 9 Linien, und auf 500 Klafter um 3 Zoll und 10 Li- nien gefallen; und im Hinunter$teigen hat man bey jedem Ort, wo man den Fall des Queck$ilbers ob$ervirt, es wiederum auf $einer vori- gen Höhe befunden, und in$onderheit an dem Fu{$s} des Berges, allwo es wiederum auf der Höhe von 26 Zollen und 5 Linien ware. Man mu{$s} $ich nicht verwundern, da{$s} das Queck$ilber insgemein in der Hö- he von 28 Zollen mit der Luft im Gleich-Gewicht $tehe, und doch da- hier an dem Fu{$s} des Berges da$$elbe nur auf 26 Zoll und 5 Linien ge- $tanden; Die Ur$ach die$es i$t aber, weilen die$er Ort um $ehr vteles höher liegt als das Ufer des Meers, allwo das Queck$ilber in der That bis auf 28 Zoll $teiget.

Diejenige, welche nicht wohl von Phy$icali$chen Sachen urtheilen können, bilden $ich nicht ein, da{$s} die Luft eine Schwäre habe, indem $ie die$elbe nicht empfinden; Allein $ie mü$$en wi$$en, da{$s} ein Thier, das $ich in dem Wa$$er befindet, $ich frey darinnen bewege, und auch $eine Schwäre nicht empfinde, dieweilen es von allen Seiten gleichmä$$ig ge- druckt wird; Al$o dörfen $ie $ich nicht mehr verwundern, da{$s} wir die Schwäre der Luft nicht empfinden, indem wir von der$elben von allen Seiten gleichmä$$ig gedrucket werden, und diejenige, die wir in un$erm Cörper haben, mit der äu$$ern im Gleich-Gewicht $tehet.

Da{$s} man eine $o lange Zeit geglaubt hat, die Luft $eye leicht, i$t die Ur$ach weilen es die Alten ge$agt, und diejenige, die es glauben, ih- nen wider alle Vernunft und Wahrheit nachfolgen: ja man ware $o weit entfernet zu glauben, da{$s} die Schwäre der Luft das Wa$$er in den Pumpen hinauf$teigen mache, da{$s} man $o gar geglaubet, man könne durch Hülf der Röhren, das Wa$$er über die höch$te Berge lei- ten, indem man nur den Kolben be$tändig an $ich ziehet; Es $eynd kaum hundert Iahr verflo$$en, $o ware man noch in die$er fal$chen Mei- nung.

Die Luft hat auch noch die Eigen$chaft, da{$s} $ie kan zu$ammen ge- pre{$s}t, und auseinander gedähnet werden, und da{$s} $ie allezeit eine ge- wi$$e Ela$ticität habe, vermög welcher $ie die Cörper, die $ie zu$ammen drucken, $o lang zuruck zu treiben $ucht, bis da{$s} $ie ihre natürliche Ex- ten$ion erlanget. Die Luft dähnet $ich $ehr leicht von der Hitze aus, und wird hingegen von der Kälte zu$ammen gepre{$s}t, wie man die$es in dem Thermometro ob$ervirt, allwo man $iehet, da{$s} die Luft, die in dem Spiritu Vini enthalten, den$elben gantz $ichtbarlich in die Höhe trei- [0563] be, $o bald als man das Thermometrum dem Feur nähert, oder die Sonne $tarck darauf $cheinet; Da hingegen er $tarck herunter fällt, wann es $ehr kalt i$t, oder man das Thermometrum in kaltes Wa$$er $tellet.

Die Luft die $ich zu näch$t der Fläche der Erden befindet, i$t $ehr zu$ammen gepre{$s}t, indem $ie ihre natürliche Exten$ion nicht hat; Dann weilen die Luft die $ich ober der untern befindet, eine Schwäre und eine Ela$ticität hat, $o wird diejenige, die wir ein$chlucken, von der gantzen Schwäre der Atmosphæræ gedruckt, derowegen i$t $ie mehr zu- $ammen gedruckt, als diejenige, die $ich gantz oben befindet; Al$o i$t auch diejenige, die $ich zwi$chen die$en beyden Extremitäten befindet, we- niger gepre{$s}t, als die untere, hingegen auch weniger ausgedähnet, als die obere. Damit man aber $ich einen deutlichen Begrif davon ma- che, $o wollen wir $upponiren, man habe eine gro$$en Hauffen ge$tri- chener Wolle, der 80 bis 100 Klafter hoch i$t, da i$t gewi{$s}, da{$s} die un- tere Wolle von der gantzen Schwäre der oberen, als die $ie tragen mu{$s}, gedrucket werde, und al$o nicht $o viel Exten$ion habe, als die obere; und da{$s} die mittlere nicht $o $tarck zu$ammen gepre{$s}t, als die untere, hingegen auch nicht $o $tarck ausgedähnet $eye, als die obere. Wann man nun eine Hand-voll von der untern Wolle nimmt, und $ie eben $o $tarck gepre{$s}t hält, als $ie ware, und man $ie auf die obere legt, $o dähnet $ie $ich aus, und bekommt die nemliche Exten$ion die die obere hat; wann man hingegen von der oberen Woll eine Hand-voll nimmt, und $ie gar nicht zu$ammen pre{$s}t, $o $iehet man, da{$s}, wann man $ie unter die un- tere legt, $ie $o $tarck zu$ammen gepre{$s}t werde, als die untere. Eben die$es kan man auch von der Luft $agen: Dann, wann man eine wohl ausgetrocknete Schweins-Bla$e nimmt, und $ie mit Luft anfüllet, al$o da{$s} $ie um die Helfte ihrer Grö$$e ausgedähnet werde, und man nach- gehends ihre Oefnung fe$t zubindet, $o $iehet man, da{$s} wann man $ie auf einen $ehr hohen Berg trägt, $ie, je höher als man $teiget, je mehr und mehr auf$chwelle, und da{$s}, wann man bis auf den Gipfel des Bergs gekommen, $ie $o rund $eyn werde, als $ie $on$ten wird, wann man $ie völlig mit Luft anblä{$s}t. Doch i$t zu mercken, da{$s} die Luft, die $ich in der Bla$e befindet, die nemliche $eye, die $ie unten an dem Fu{$s} des Berges ware, indem $ie weder vermehret noch vermindert worden; die eintzige Veränderung, die mit ihr vorgegangen, i$t, da{$s} $ie $ich um vieles ausgedähnet, das i$t, da{$s} $ie einen viel grö$$ern Platz als zuvor einnehme; es i$t zu erachten, da{$s}, wann man die$e Bla$e auf einen noch viel höheren Berg tragen würde, die Luft $ich $o $tarck ausdähnen würde, da{$s} die Bla$e zer$pringen möchte, Die Ur$ach die- [0564] $er Ausdähnung i$t $onder allen Zweiffel, weilen die Luft die $ich unten an dem Fu{$s} des Berges in der Bla$e befindet, von der äu$$ern Luft gedruckt wird, und al$o nicht mehr Freyheit hat $ich auszudähnen, als die äu$$ere, indem $ie beyde von der Schwäre der Atmosphæræ gedruckt werden; wann man aber die Bla$e auf den Gipfel eines Bergs trägt, allwo die äu$$ere Luft nicht $o $tarck gedrucket wird, als wie diejenige, die $ich an dem Fu{$s} des Berges befindet, und al$o auch nicht $o $tarck gegen die Cörper, die $ie umgibt, drucket, $o dähnet $ich die Luft, die $ich in der Bla$e befindet, aus, und nimmt einen grö$$ern Platz als zuvor ein, indem $ie keinen $o gro$$en Wider$tand empfindet.

Wann man aber auf dem Gipfel eines Bergs eine Bla$e $o voll mit Luft anfüllet, als es möglich, $o wird man das Gegentheil $ehen; Dann wann man den Berg hinunter $teiget, $o $iehet man, da{$s} die Bla$e gantz $chlapp und weich werde, und zwar die$es um $o viel mehr, als man immer tieffer $teiget; Die$es kan wegen den angeführten Ur- $achen nicht ander$t $eyn; Dann weilen die Luft, die $ich in der Bla$e befindet, von allen Seiten von der äu$$ern Luft, als welche um vieles $chwärer i$t, als diejenige, die $ich auf dem Berg befindet, gedruckt wird, $o mu{$s} $ie $ich al$o zu$ammen $etzen, und einen kleinern Platz, als vorhero, einnehmen.

Man mu{$s} $onder allen Zweiffel der unter$chiedenen Dicke der Luft die Incommodität zu$chreiben, die diejenige Per$onen empfinden, welche Nothdurft halber $ich auf hohe Gebürge begeben mü$$en; Dann wei- len $ich in ihrem Cörper eine dickere Luft befindet, als diejenige i$t, wel- che $ie auf dem Gebürg ein$chlucken, und auf die$e Art die Theile des Cörpers nicht mehr $o $tarck, als $ie gewohnt waren, gedrucket werden, $o dähnet $ich die dickere Luft, die $ich in ihrem Cörper befindet, aus; Die$es kan aber ohne Incommodität derjenigen, die es empfinden mü$- fen, nicht ge$chehen, Im Gegentheil $iehet man auch, da{$s} diejenige, die an einem hohen Ort zu wohnen gewohnet $eynd, eine gro$$e Incom- modität empfinden, $o bald $ie in tieffe Oerter kommen.

Vermög den Vernunfts-Schlü$$en, die man aus vielen Experi- menten gezogen, i$t die Ausdähnung der Luft $ehr $tarck; es wei{$s}t Mr. Mariotte, der mehr Experimenten, als $on$ten jemand ange$tellet, da{$s} ein gewi$$es Volumen Luft durch ihre Ausdähnung einen Platz, der 4000 mal grö$$er i$t, einnehmen könne, das i$t, da{$s}, wann es möglich wäre, da{$s} man einen cubi$chen Schuh un$erer untern Luft bis auf die Höhe der Atmosphæræ tragen könnte, er da$elb$ten einen Platz, von 4000 cubi$chen Schuhen und vielleicht noch mehr einnehmen würde. Wann die$es Experiment mit der Wahrheit überein$timmet, $o kan man [0565] auch $agen, da{$s} die obere Luft der Atmosphæræ der un$erigen an Dicke gleich werden könne, indem man die$elbe al$o zu$ammen drucket, da{$s} $ie nur den vier tau$end$ten Theil ihres natürlichen Platzes einnehme: wei- len uns über die$es die Erfahrung auch noch lehret, da{$s} die un$rige Luft noch um vieles könne zu$ammen gepre{$s}t werden, $o kan die obere Luft der Atmosphæræ al$o zu$a\~men gepre{$s}t werden, da{$s} $ie einen noch viel kleinern Platz, als der 4000 $te Theil ihrer natürlichen Exten$ion austrägt, einnehme.

Wir haben gewie$en, da{$s}, wann man ein Barometrum von dem Fu{$s} eines Berges bis auf $einen Gipfel trägt, das Queck$ilber, je höher man $teiget, immer tieffer falle, damit es $ich al$o mit der corre- $pondirenden Columnâ Luft ins Gleich-Gewicht $etze, als welche, je hö- her man $teiget immer kleiner wird; und da wir von demjenigen Ex- periment, das auf dem Berg le Puy de Dôme genannt, ange$tellet wor- den, geredet, $o haben wir ge$agt, da{$s} da man um 10 Klafter ge$tiegen, das Queck$ilber um 1 Linie, bey 20 Klaftern um 2 Linien, bey 100 Klaf- tern um 9 Linien und bey 500 Klaftern um 3 Zoll und 10 Linien oder um 46 Linien gefallen; Da kan man mercken, da{$s} $ich die Verminde- rungen der Höhe des Queck$ilbers nicht gegeneinander verhalten, als wie die unter$chiedene Höhen, auf welche man das Barometrum getra- gen; Dann es würde erfordert, da{$s} das Queck$ilber auf der Höhe von 100 Klaftern um 10 Linien, und auf der Höhe von 500 Klaftern um 50 Linien gefallen wäre; Auf die$e Art hätte man zwey Arithme- ti$che Progre$$ionen, die eine vor die unter$chiedene Höhen des Queck$il- bers, und die andere vor die unter$chiedene Höhen des Bergs; In der er$ten wäre 1 die Differenz, und in der anderen wäre die Differenz 10 Klafter; Die$es wäre al$o $ehr commod, $o wohl die Höhe der Berge, als auch die Höhe der Atmosphæræ zu finden; Dann, weilen das Queck- $ilber von 10 zu 10 Rlaftern um 1 Linie fallen würde, $o dörfte man nur ob$erviren, um wie viel Linien es gefallen, indem man von dem Fu{$s} des Bergs bis auf $einen Gipfel ge$tiegen, und die$e Anzahl Linien durch 10 Klafter multipliciren, da würde das Product die perpendicu- lare Höhe des Berges wei$en: Desgleichen um die Höhe der Atmos- phæræ zu finden, dörfte man nur 336 Linien, als die Höhe des Queck- $ilbers, auf welcher es an dem Ufer des Meers $tehet, durch 10 Klaf- ter multipliciren; Auf die$e Art bekäme man 3360 Klafter vor die Höhe der Atmosphæræ: weilen aber die Schwäre der Luft, $ich nicht nach einer $olchen Progre$$ion, $ondern nach einer gantz andern verhält, * $o werde ich in einem be$onderen Tractat, den ich mit Gelegenheit ausarbeiten werde, und de$$en Titul Mathemati$che Einleitung zu den _Pby$icali_$chen Wi$$en$chaften $eyn wird, gründlich davon handeln.

[0566] (o) Verzeichnu{$s} Der materien, die in gegenwärtigem Werck abgehandelt worden. ### Er$ter Theil. Er$tes Buch. # einleitung zur Geometrie, allwo die An- # fangs-Gründe der Algebra, nemlich die 4 # er$ten Species, die Extraction der Quadrat- # und Cubic-Wurtzeln, die Auflö$ung der # Algebrai$chenAufgaben abgehandelt werden. # Pag. 1 Zweytes Buch. # Von den Verhältni$$en, Proportionen und # Brüchen. # pag. 73 Drittes Buch. # Von den unter$chiedenen Stellungen der # graden Linien. # pag. 103 Viertes Buch. # Von den Eigen$chaften der Dreyecke und # der Parallelogrammorum. # pag. 113 Fünftes Buch. # Von den Eigen$chaften des Zirckels. # page. 139 Sech$tes Buch. # Von den in Zirckel einge$chriebenen und her- # um be$chriebenen regularen Polygonen. # pag. 152 Siebendes Buch. # Von den Verhältni$$en, die die Umkrey$e # ähnlicher Figuren, wie auch ihre Flächen- # Inhalt gegeneinander haben. # pag. 165 Achtes Buch. # Von den Cörpern und ihren Flächen. # pag. 181 ### Anhang von den Sectionibus Conicis. Er$tes Capitul. # Von den Eigen$chaften der Parabel. # pag. 210 Zweytes Capitul. # Von den Eigen$chaften der Ellip$is. # pag. 221 Drittes Capitul. # Von den Eigen$chaften der Hyperbel. # pag. 234 [0567] (o) ### Zweyter Theil. # Von der grad-linichten Trigonometrie. # pag. 247 # Berechnung der rechtwincklichten Dreyeck. # pag. 251 # Berechnung der $chief-wincklichten Dreyecke. # pag. 255 # Gebrauch der Logarithmorum in Berech- # nung der Dreyecke. # pag. 262 # Application der Trigonometrie zur practi- $chen Geometrie. # pag. 264 # Application der Trigonometrie zur Forti- # fication. # pag. 273 # Application der Trigonometrie zur Kun$t # die Minen-Gallerien zu führen. # pag. 280 ### Dritter Theil. # Von der Theoria und Praxi der Nivellir- # Kun$t. # pag. 283 Er$tes Capitul. # Von dem Gebrauch der Wa$$er-Waag. # pag. 284 Zweytes Capitul. # Von dem componirten Nivelliren. # pag. 287 Drittes Capitul. # Manier zwey Terminos zu nivelliren, zwi- # $chen welchen $ich Höhen und Tieffen be- # finden. # pag. 289 Viertes Capitul. # Manier zu erfahren, um wie viel die $chein- # bare Horizontal-Linie höher $tehe als die # wahrhaftige. # pag. 292 Fünftes Capitul. # Be$chreibung der Hugeniani$chen Nivel- # lir-Waag. # pag. 294 Sech$tes Capitul. # Manier $ich der Hugeniani$chen Nivel- # lir-Waag zu bedienen. # pag. 298 Siebendes Capitul. # Von dem Gebrauch der Hugeniani- # $chen Nivellir-Waag in dem componirten # Nivelliren. # pag. 300 ### Vierter Theil. # Von dem Toi$iren überhaupt. # pag. 305 Er$tes Capitul. # Manier, wie man zwey Maa$$e, deren ei- # nes aus Klaftern und Theilen der$elben, # und das andere nur aus Klaftern be$te- # het, miteinander multiplicirt. # pag. 307 [0568] (o) Zweytes Capitul. # Manier, wie zwey Maa$$e, deren jedes # aus Klaftern, Schuhen, Zollen rc. be$te- # het, durcheinander zu multipliciren. # pag. 313 Drittes Capitul. # Manier, wie drey Maa$$e, die aus Klaf- # tern, Schuhen, Zollen rc. be$tehen, durch- # einander zu multipliciren. # pag. 319 ### Fünfter Theil. # Application der Geometrie zur Ausme$- # $ung und Berechnung der Flächen und # Cörper. Er$tes Capitul. # Von der Berechnung der Flächen. # pag. 326 # Application der Geometrie zur Berech- # nung der Flächen der Cörper. # pag. 331 Zweytes Capitul. # Von der Berechnung der Cörper. # pag. 333 # Application der Geometrie zur Wi$$en- # $chaft der Minen. # pag. 343 # Application der Geometrie zur Berech- # nung der Gewölber. # pag. 346 # Application der Geometrie zur Berech- # nung des Mauerwercks einer Fortification. # pag. 350 # Manier den cörperlichen Inhalt eines Bâ- # tardeau zu berechnen. # pag. 356 # General-Principium die Flächen und Cör- # per zu berechnen. # pag. 357 ### Sech$ter Theil. # Application der Geometrie zur Einthei- # lung der Figuren. # pag. 367 ### Siebender Theil. # Application der Geometrie zum Gebrauch # des Proportional-Zirckels. # pag. 375 # Application der Geometrie zur Artillerie. # pag. 382 ### Achter Theil. # Von der Bewegung und Sto{$s} der # Cörper. [0569] (o) Er$tes Capitul. # Von dem Sto{$s} der Cörper. # pag. 405 Zweytes Capitul. # Von der Bewegung der geworfenen # Cörper. # pag. 413 Drittes Capitul. # Von der Theorie und Praxi der Kun$t # Bomben zu werfen. # pag. 421 # Application der vorhergehenden Sätze zur # Kun$t Bomben zu werfen. # pag. 428 # Gebrauch eines Univer$al-In$truments. # pag. 433 ### Neunter Theil. # Von der Mechanic. Er$tes Capitul. # Einleitung zu Mechanic. # pag. 441 Zweytes Capitul. # Von der Verhältni{$s}, die die Kräften # gegeneinander haben, wann $ie nemlich Lä- # $te durch Stricke halten. # pag. 448 Drittes Capitul. # Von der $chief-liegenden Fläche. # pag. 452 Viertes Capitul. # Von dem Hebel. # pag. 454 Fünftes Capitul. # Von dem Ha$pel. # pag. 461 Sech$tes Capitul. # Von der Fla$chen-Scheibe. # pag. 462 Siebendes Capitul. # Von dem Keil. # pag. 465 Achtes Capitul. # Von der Schraube. # pag. 467 Neuntes Capitul. # Von den zu$ammenge$etzten Machinen. # pag. 469 # Von dem Fla$chen-Zug. # pag. 470 # Von der Räder-Machine. # pag. 473 # Von der Winde. # pag. 475 # Von der Räder-Machine, wann $ie durch # eine Schraube ohne Ende bewegt wird. # ibidem. # Explication einer Machine, die aus einem # Ha$pel und einer $chief-liegenden Fläche # be$tehet. # pag. 477 # Von dem Schlag-Werck. # pag. 478 # Application der Mechanic zur Con$tru- # ction der Pulver-Magazinen. # pag. 481 # Application der Mechanie zur Kun$t die # Bomben zu werfen. # pag. 488 # Manier die Proben anzu$tellen, nach wel- # chen man die rechte Ladung der Minen # finden kan. # pag. 494 [0570] (o) ### Zehender Theil. # Von dem Gleich-Gewicht und Bewe- # gung der flü$$igen Cörper. Er$tes Capitul. # Von dem Gleich-Gewicht der flü$$igen # Cörper. # pag. 504 Zweytes Capitul. # Von der Kraft und Maa{$s} der flie$$enden # und $pringenden Wa$$er. # pag. 519 Drittes Capitul. # Von der Kraft der Bewegung des # Wa$$ers. # pag. 524 # Di$curs von der Natur und Eigen$chaften # der Luft. # pag. 528 Ende des Regi$ters. [0571] [0571a] Tab.I. pag. 112. Fig. 1 A B 2 C D 3 E F 4 C D A B 5 6 B D A C 7 8 D C B A 9 D C B A 10 A B C D 11 B A E C 12 A B C D 13 B A C 14 E D F 15 H G I 16 H I L K 17 C B A D 18 E D 19 C A B D 20 B A C 21 B D A C E H I F G K 22 A E B D C 23 D B A C 24 C A B E D 25 D E A B C 26 A D E C B 27 D A F C B E 28 C A B D 29 A D E C B 30 A C E B D F 31 E A G B C H D F 32 A B C D 33 G A I B F C K D E H 34 H A I B E K F C L D G [0572] [0573] [0573a] Tab: II: pag. 138. 35 C A D B 36 G 37 H 38 E H D B A G C I F 39 B A C E D F 40 B E A D C 41 B _x y_ G A C E _x y_ H D F 42 C D F G A B E 43 C A D B 44 C A B 45 C A D B 46 C A B D 47 C E D A B 48 C D A B 49 A C E F G B D H 50 A B G H C D E F 51 C A F E B D 52 B D E A C F 53 I B G D E H A F C 54 B A 55 E F 56 B A E C D 57 C D A B G H E F 58 C F E A B D 59 A D E B C 60 B _a_ M A _b_ C E _c_ N D _d_ F 61 F B E C A D 62 C A B G F D E 63 E L M H I C D G F A B 64 E C D H I L M G F A B 65 B A C D 66 B A C D 67 A D B C 68 B A D C [0574] [0575] [0575a] Tab. III. pag. 152. 69 E F B B A B 70 C B 71 B A C D 72 D C E 73 A D B E 74 B A C D E 75 D A E B C 76 B F E A D C H G 77 A C E B D F 78 B D A C E 79 B A C O 80 E D F O 81 H G I O 82 D B A C 83 C D A B E 84 B C A D 85 A C E F G B D 86 H A B F G E D C 87 C B D A E 88 C B D A 89 A C E B D 90 A D E B C 91 B A C D 92 D B E C 93 B A D C 94 B A D E C 95 A E C B D 96 A F B E D C [0576] [0577] [0577a] Tab. IV. pag. 164. 97 D A C B 98 C E A F B D 99 A C D E 100 B D A C 101 B D C A 102 D C B A 103 F C A B E D 104 F A B D C E 105 C F A B E D 106 C A D B 107 D C E A B F 108 F E G B D C A 109 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C E B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D 110 A D E F G H B C 111 A C D E G L F H M I N K O Q R P B S T 112 A M N K L H I E G F B D C 113 V R T S 114 O Q P [0578] [0579] [0579a] Tab. V. pag. 180. 115 A C E D 116 B F H G 117 X 118 Y A B 119 I K L 120 M N O 121 E 122 F 123 B A C D 124 E 125 F 126 G 127 H 128 A K G H B C E F D 129 O A N M G E B D F C 130 P Q R Y 131 X T S V Z C 132 C A B 133 F D E 134 C A B 135 I E F 136 A C D 137 B E F 138 G H B A C 139 G H D E G F H 140 B E [0580] [0581] [0581a] Tab. VI. pag. 208. 141 A 142 143 144 145 C A B D 146 B D F E A G C 147 G H F I 148 B A C D 149 B C A D 150 O C H G 151 C G B F H D I E 152 C A D B E 153 H F G 154 B A C D F E 155 H G I 156 C D E B A 157 I K G E H B C F A D 158 C I K B D F H G A E 159 B E F A D C M G N 160 L K O H I 161 B E F A C D [0582] [0583] [0583a] Tab. VII. pag. 208. 162 X 163 Y 164 E B F C H G A D 165 M K L F H G I 166 H X E F G D X 167 F E C B K G H L I A M D 168 A D E C B 169 B E C A F D 170 H K G I 171 X 172 A B C D 173 P B C E F O G H A D 174 H I B K D F G A C E 175 K G H I N O E M F L P A B F L G K C D 176 K F G 177 C A B F G H I D E 178 E C A B F G N O P Q G K 179 I K O M D H F G [0584] [0585] [0585a] Tab. VIII. pag. 220. 180 O A P S R Q C N E K F G D H I M L M M L M M L M B 181 G H D H A I B F C E K F 182 G M D A I B C E K M L 183 B S R M T H C I V X P A G E F D L K N O 184 B N O E K L F M H I A C G D 185 E C A G I H F G H I G H I B K 186 L B G O P D Q E F A M N C H K I [0586] [0587] [0587a] Tab. IX. pag. 234. 187 A M N H F H G L I L K C E D M B 188 A F H G K L M M C E D I K B 189 O A P E C K H L Q G R I N M D F B 190 Q H A I P K L M F S O R T E C D G N B 191 N A F L M I K C E D H G B 192 M B N D G L E F I A C H O 193 X A K L I D H F C G M E B 194 Y A K L I M H F C G M E B 195 G A E C I D G F B [0588] [0589] [0589a] Tab. X. pag. 242. 196 P K I A D T C E Q R B F N S V G H L M O 197 X T N O S A V D C E Z F B G H I K P Y Q R L M 198 A H G A E B P Q O O M P N B L E D G H A F I K C 199 A E C D F G B L H K I M 200 E I C B A H K F D 201 P O N B D K L M I H G A C E Q F [0590] [0591] [0591a] Tab. XI. pag. 264. 202 M N A G H D C E I F B 203 E I F A B C H G 204 F A D C B E 205 E C A B D 206 C D A E B 207 C D E A B 208 C E A D B 209 C E A B D 210 B D A C 211 15. Toises B _60 40_ A C 212 20. Toi. B _50 26_ A C 213 C H F A I E B L G D 214 18. Toi. 12. Toi. A _120_ B C 215 D G B F A C E 216 _20. Toises 25. Toi. A B _40_ C 217 D B A E C G F 218 B _8 12_ A D C _15_ [0592] [0593] [0593a] Tab. XII. pag. 272. 219 C D A 220 D C B A 221 B A E C D 222 A C D E B 223 A G D C F E B 224 M D C E L F B A G K I H [0594] [0595] [0595a] Tab. XIII. pag. 282. fig. 225. B H E F C K G D I A fig. 226. P Q M L C O D E N K P B I H F fig. 227. T L N O P Q M S fig. 228. A C D E F B fig. 229. E F A D C G B fig. 230. O H K T I fig. 231. A B G H E I F [0596] [0597] [0597a] Tab. XIV. pag. 298. fig. 232. B D I C K A H G fig. 233. F G K H I L C D Q A M B P N O fig. 234. F D E G B A C fig. 235. O P I N L R Q B H E M S T K F C G A D fig. 236. _1_ C A _2_ D _3_ F E _4_ G _5_ I H _6_ K _7_ L M _8_ N O _9_ P _10_ R Q _11_ S _12_ V T _13_ X _14_ Z Y _15_ A _16_ B C _17_ D _18_ E F G B fig. 237. F L C A D I B E M G H K N fig. 238. D E F B C H A G [0598] [0599] [0599a] Tab. XV. pag. 320. fig. 239. C D B A E E fig. 240. G F K N C Q D H B E I L O R P A S T fig. 241. K L H I M N G B C O P D E Q A F fig. 242. C G B H I F D A E fig. 243. D G B A E F C A B C D E F G H fig. 244. B F G A H C I E D [0600] [0601] [0601a] Tab. XVI. pag. 338. 245 A B C E G D F 246 H I L K 247 C A B 248 F D E 249 H K G L I 250 B C H G F E A I D 251 A E C B D 252 C D B H K I E G A F 253 A B 254 A C B 255 G D F E 256 H I G D F E B A C 257 E I G F B H K A D C 258 A B D C 259 A C B D 260 D C A E B 261 D A C B 262 C D A B H I G F K E 263 E D C A B 264 H G E F 265 B G A C F H D E 266 F D G E A H C B 267 C B D F A E 268 K H L N G M 269 B E K F C P Q N O A G H D I R S L M 270 B E I G C P R N L A D F K H Q S O M [0602] [0603] [0603a] Tab. XVII. pag. 346. 271 A B 272 D A E C B 273 G D F E 274 B F G H D A C E 275 A D E F G C B 276 I H L K 277 C G H I M K L E F A B N D 278 C A B D 279 H O Q P R T S N M L I 280 B A C D 281 E D B F A G C 282 B G E H A D F C M N P L A D I K F C M Q O O 283 B E C A F D G 284 B E C A F D G I H K [0604] [0605] [0605a] Tab. XVIII. pag. 350. 285 B K A D E C F G H I 286 B E F G A C 287 K L H N I M 288 R S P T Q M N O K L 289 F G H I K B C L M E N A D 290 I O P L O Q R G H K N M 291 B D C F A E 292 G K L M N H I 293 O N A F B C G H D P Q 294 S H I T M C A B D E R Z V X [0606] [0607] [0607a] Tab. XIX. pag. 352. 295 3 I K H L G F D O E K A C B N M 4 296 E F D C B H 5 6 A G 297 K M I 298 D A C F B E G 299 X H V T Q R P 300 [0608] [0609] [0609a] Tab. XX. pag. 358. 301 K F P G I E D S 302 G Q B H Y Z Z 303 X P L K N P V L 304 N K R P L M Q G I O B V S L H D T A B C E 305 C A B L N M 306 L I K F G C B D H A E 307 H D A I F C L K N B G H 308 T N R Y Q S O M P 309 F O I P C R 310 B C D X Y A [0610] [0611] [0611a] Tab. XXI. pag. 368. 311 D B E F A C 312 A C D A E C D B F G 313 E A D C F B 314 G E A D C F B 315 E G D C F H 316 I E G D C F H 317 E D C F K 318 E D C L F K 319 E L D C B F M 320 G K H I 321 H B G E A C D F 322 G B A C I K E D F H 323 G H E F B C D 324 B A D E C 325 B D O A F E C 326 B H G I A E D F C [0612] [0613] [0613a] Tab. XXII. pag. 382. 327 B E D A F C 328 B F G A E D C 329 B F D E A C 330 H G I B C E F A D 331 B K C O A I H D F G 332 B G H C A E F D 333 C E K I B H G A F D 334 C E B O F A D 335 B G C O A H E D F 336 C D B F A H I E G 337 H I A F G D E 338 F G H A B C D E 339 A B C D E H I F G 340 M I H K L 341 E F G B C 342 B D E F G A C 343 B A C 344 H I K L 345 B D F A G C 346 E I F G H 347 E I H K L 348 B A C 349 A B C D 350 C D A B [0614] [0615] [0615a] Tab. XXIII. pag. 400. 351. A B C A D E G H I K L M O N 352. B Q A C 353. M P N O 354. R T Y S V X 355. I D E H L K F G 356. I L K C L D R S T O P Q G F H A E B C E D M N 357. A B C D 358. A C B [0616] [0617] [0617a] Tab. XXIV. pag. 428. 359. A F G H K L M N O B E C D 360. R S T X Z 361. A D B C 362. A E G I B L F M H N K O D 363. B I G E H F K A D L M R Q N S O P 364. C A B D E G F 365. M E B C A D H G L F I K 366. M E E C G F F 367. M E G F 368. M E G F 369. E M F G [0618] [0619] [0619a] Tab. XXV. pag. 436. 370. M E A K E I H G F 371. M D E F G C 372. M E A E L I F G H 373. M E A I E G H I K L F 374. N K G C C B D 375. M E E N K G F C C B D 376. M E A E N K G F F C E D 377. F H N K G D 378. N K G H C C B D F [0620] [0621] [0621a] Tab. XXVI. pag. 448. 379. O M E A E F G K N H C C B D 380. M O E A N E K G C H F C B D 381. A N D K L I M H F G O B C E Q P 382. G D H A B K C I L E F 383. G D A B C H E F 384. G D L K I C A B H M E F 385. B P Q C G D E F R 386. B P Q D E G C H F R 387. B P Q D G E C F R [0622] [0623] [0623a] Tab. XXVII. pag. 452. 388. B Q P C G E D F R 389. B P Q E G D C F R 390. B P Q E G D C F R 391. B P Q E D C G F R 392. P B E G Q H D I F K R 393. P H B D E F Q R 394. P I E B G F H L K D Q R 395. B Q P G D C E I F H R 396. B C Q P D E G I F H R [0624] [0625] [0625a] Tab. XXVIII. pag. 458. 397. Q E P G B D F I A C 398. B P Q G E D I F A C 399. P D G L Q E K I F A C 400. R P B Q A D C 401. P B Q R A D C 402. R C F E H G A B D P Q 403. C R C C G A B D H P Q 404. Q P A D C B F E 405. G P C F E A B D H Q 406. P C A D B Q 407. A C B P D Q Q [0626] [0627] [0627a] Tab. XXIX. pag. 466. 408. A B D 409. E A B P Q 410. F D A B E C 411. E I H A B F D G C 412. A G E B C I H F K L 413. G Q E A B F Q P P 414. D E A F B P Q P 415. D A C E B F Q P 416. C A B P Q 417. G H F D E Q F A B C Q I P 418. A R B G C I K E F O D [0628] [0629] [0629a] Tab. XXX. pag. 476. 419. P D E B P G Q F A C 420. A B E F G H C D 421. E Q I A B G C D H F P 422. H R O A B C G D E N F M K P 423. E F I A B C D G H I K L M Q P 424. B E F G H L O Q M A K I Q P D C 425. G E F D A B C H [0630] [0631] [0631a] Tab. XXXI pag. 488. 426. _f a r g b s h c t k d u l e i_ P Q 427. A B Q _a_ C _n g b t h u d k c_ P 428. G B A H C D E O O N N N N F 429. Q A D C _q b a_ I H 430. G D A C N O L F B 431. N T Q R A B M K D S V O P X L N Z 432. G H E N M D L A C O K F B I P Q [0632] [0633] [0633a] Tab. XXXII. pag. 494. 433. B H F G I C A E D 434. B H F K G E A I D C L 435. B H K E D A C L 436. B M H F K G E O N D C L I A Q P 437. A C D P I K L G 438. E F Q M N B O H [0634] [0635] [0635a] Tab. XXXIII. pag. 522. 439. C B A E G I L F H K M D 440. I O P G H A E F L D N B K M C 441. A D Q P O G R B C K I M E F N L H 442. G I E F A L P R N B C D M O H K Q _S_ 443. G I E A P O L N B C S Q T V H R P M F K 444. A C E G B D 445. A H G F D E I L B C 446. A D H L E F I K G B C 447. Q C A L Q H Q I N K M E F D O B 448. A E F C B D 449. A D B C Q 450. A B E G H I K L C D 451. A E G F B D C 452. E F G H 453. G A B E H C F D [0636] [0637] [0637a] Tab. XXXIV.pag. 528. 454. A B F D G C E 455. G A B D E F C 456. A B E C D 457. G A F E C B 458. A G I K B H D C F E 459. X R T _S_ Y V F D 460. N M L O 461. A N E D C F B O 462. G P L K I M H Q 463. A B E F C D [0638] [0639] [0640] [0641] [0642]