metadata: dcterms:identifier ECHO:1QMWXXTU.xml dcterms:creator (GND:119542838) Cataneo, Pietro dcterms:title (it) Le pratiche delle due prime matematiche dcterms:date 1559 dcterms:language ita text (it) free http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?mode=imagepath&url=/mpiwg/online/permanent/library/1QMWXXTU/pageimg&viewMode=images log: pbsync ok, enthält math replacements: parameters: [001] [002] [003] TURNER COLLECTION THE LIBRARY UNIVERSITY OF KEELE Presented by C.W.TURNER 1968 [004] [005] LE PRATICHE DELLE DVE PRIME MATEMATICHE DIPIETRO CATANEO CON LA AGGIONTA, LIBRO D'ALBACO E GEOMETRIA CON IL _pratico e uero modo di mi$ur ar la Terra,_ NON PIV MOSTRO DA ALTRI. VIRTVTE DVCE COMITE FORTVNA

IN VENETIA, _appre$$o Giouanni Griffio,_ MD LIX.

[006] AL REVERENDISS+ ET ILLV. STRISS. MONS. IL S. MARCELLO CERVINI, CARD. DI SANTA CROCE, PIETRO CATANEO.

_E_Stata antica u$anza ancora non del tutto $penta Reuea ren. Mon$ignore come V. S. ben $a di coloro che alla ter ra con$egnano le lor piante ò $emi, di ricorrere con bumi li prieghie uoti à qualch'uno delli habitatori del Cielo, il quale pen$ino, hauer piu riguardo à tai co$e come di quel le piu d'altriuago, $per ando in tal modo delle lor fatiche non perdere i de, $tder ati frutti, de i quali i primi e i piu belli dipoi nella ricolta portano al li altari & $acrificij $uoi, non per che pen$ino lui hauer bi$ogno di tai do- ni, ma piu presto per mo$trar con quelli (quando altr amente non po$$ano) la gratia da e$$o riceuuta, e in$ieme ancor a la potentia $ua di communicar tal bene à mortali. Similmente io da alquanti amici miei à cui di$dir giu$ta mente non ho po$$uto, qua$t sforzato uolendo nel largo campo de gl'huma ni ingegni $eminare alcun $eme delle Prattiche Mathematiche, mè par$o i (e non $enza ragione) ricorrere alla benigna S. V. come quella che ama ct difende cia$cuno che nelle uere dottrine $i e$$ercita, & ma$sime in Geome- tria & Arithmetica lequali $ino da i teneri anni $uoi fur ono con altre no bili$cientie da lei de$iderate e compiutamente acqui$tate. Pregando quella non $i $degni accettare la dife$a di tai nostre fatiche, purgando loro la $e- menza dal gioglio delle inuidio$e & fal$e repren$ioni, cioè correggendole & defendendole $econdo che il tempo e il luoco ricercher à, per il che uo- glio $ino à hora gli $ia fatto dono de i primi e manco uili frutti loro $e al- cuni ne produrr anno, iquali ancora non $degnando di accettare potra ac- cre $cere animo $e non à me, almanco ad altri di poter di piu fruttuo$o $e- me e in maggiore & piu felice ricolta portare i primi guadagni dinanzi à quella, che dipoi per $ua corte$ia riceuendoli potr à di continuo, & con maggior $ua loda e$$ere d'ogni nobile impre$a per guida, e dife$a tenuta, e me le raccomando, quale Dio con$erui $ana & allegra. Di Siena alli x. d'Agosto, _MDXLVI_.

[007] DELLE PARTI DELLA ARITHMETICA, ET DELLA DIF- FINITIONE DEL NVMERO.

EDa $apere che in tutta l'Arithmetica & Geometria non s'interuengono $e non quattro trauagliamenti che $on que$ti, cio è. Summare, Sottrarre, Multiplica- re & Partire, iquali a chi e$perto ragio- niere e$$er de$idera co$i dirotti come d'in regri conuiene hauer bene in prattica. Ma innanzi che a' quelli $i peruenga, è dibi$o gno intender che co$a fia numero, & co- me $i rileuino piu figure di numeri, al che dando principio, dico il numero $econdo Euclide e$$ere una compo$ta moltitudine d'uni ta, & Leonardo Pi$ano cio confirmando dice numero e$$ere adu- nation d'unita, & chiama$i unita, quella co$a che $empre è detta una quando non habbi in $e compo$itione, per che $i chiarifica uni ta' non e$$er numero, concio $ia che alle uolte per numero $i pigli, & que$to auuiene quando è compo$to in modo che $ia diui$ibi- le, come dicendo un $oldo che è numero di denari, ma unita é principio di numero.

MODO DI RILEVAR PIV FIG VRE.

VEduto che è numero, è nece$$ario $aper rileuare piu figure, & prima è da cogno$cere le noue figure de gl'Indi Je quali per Leonardo Pi$ano $i mani$e$tano e$$ere que$te 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. colle quali & con que$to $egno o, che in Arabia $i dice Zero, ogni numero $i rappre$enta, & detto o per $e $olo ni$$una co$a $i- gnifica, ma accompagnato dal lato de$tro con qual uuoi delle altre da maggior $ignificato alla compagna, & co$i come le figure $on 9. $imilmente da uno a noue rappre$entano, cioè il 9. rappre$enta noue, 10 8. otto, il 7. $ette, il 6, $ei, il 5. cinque, il 4. quattro, il 3. tre, il 2. due, 10 1. uno, & il dieci$i $egna co$i, 10. Et $empre nel cono$ce- [008] re il rappre$entare s'incomincia dal lato de$tro, & la figura del pri mo grado di man de$tra rappre$enta unita, & quella del $econdo rappre$enta decine, & quella del terzo rappre$enta centinara, & quella del quarto migliara, & quella del quinto rappre$enta deci- ne di migliara, & quella del $e$to centinara di migliara, & quella del $ettimo numero di milioni, & quella dell'ottauo decina di miglioni, & quella del nono centinara di milioni, & 20 342 4063 56343 607657 7567340 80365783 596587696 8965787656 78976578548 605487656430 quella del docimo numero di migliara di milioni, & quella del l'uncecimo decine di migliara di milioni, & quella del dodice$imo grado, centinara di migliara di milioni Hor $ia che haues$i a rileuare que$te unde ci quantità po$te in margine, come di $opra è detto, $empre @@@cono$cere il rappre$entare, è da comincia- re dalla prima figura da man de$tra uenendo uer$o man $ini$tra figura per figura, per il che trouerai che la prima delle dette quantita' dira' uinti. La $econda dira' trecento quarantadue. La terza dira' quattromi- lia $e$$antatre. La quarta dira' cinquanta$ei milia tre- cento quarantatre. La quinta dira' $eicento $ettemilia $eicento cin- quanta $ette. La $efta dira' $ette milioni cinquecento$e$$anta $ette mi lia trecento quaranta. La $ettima dira' ottanta milioni ottocento $e$$antacin que milia fettecento ottanta tre. La ottaua dira' cinque- cento nouanta$ei milioni cinquecent' ottanta$ette mila $eicento no uanta$ei. La nona dira' otto milia nouecento $e$$antacinque milio- ni $ettecent' ottanta$ette mila $eicento cin quanta $ei. La decima di- ra $ettant' otto mila nouecento $ettanta$ei milioni cin quecento$et- tantaotto milia cinquecento quarantaotto. La undecima & ulti- ma quantita' dira' $eicento cinque mila quattro cento ottanta$ette milioni $eicento cinquanta$ei mila quattrocento trenta. Et co$i infi nite addurre $e ne potrebbeno, ma que$te ba$tino quanto per e$- $empio come quelle che piu al propo$ito no$tro conuengono.

DEL SV MMAR DE NVMERI.

IL $ummar de numeri per il $econdo capitolo del Algori$mo al tro inferir non uuole, che dar noto in una $omma quello ch'in [009] due, o piu numeri è denominato, & quella $i chiama $omma cre $cente, & nel $ommare $i de per Leonardo Pi$ano que$to modo cioe', quando quanti uuoi numeri $ommar uuoi, è dibi$ogno col- locargli con gradi pari, l'un $otto l'altro in modo che le unita uen ghino $otto le unita, & le decine $otto le decine, & le centinara $ot- to le centinara, & co$i de gl'altri. Poi $umma$i tutte le figure del primo grado da man de$tra infra loro & di detta $omma $i $egni prima $otto le unita & $erbin$i le decine, lequali $i $ommino con le figure del $econdo grado & di quel che fa $i $egni le unita $otto il $econdo grado & le decine s'aggionghino alle figure del terzo grado $eguitando nelle altre come s'è detto, ma gionto che $ia a l'ultimo grado è dibi$ogno $egnare quanto fanno $ommate in fra loro le figure del detto grado.

HOr $ia che haues$i a $ommare 393. con 568. $egnato che ha 393 568 961 rai l'un numero $otto l'altro come qui da lato ètu $umma 8.con 3. & fara' 11. onde $egnarai 1. nel primo grado $otto lo 8. & $aluerai 1. per la decina il qual $umma con 6. & 9. & faranno 16. del quale $egna 6. & $alua 1. il qual $umma con 5. & 3. & $ara 9. che $egnandolo nel terzo grado hauerai 961. per la detta $umma cre$cente.

Ma dicédo $umma 4568. con 2 3 4. $egnerai 2 3 4. $otto il 4 5 6 8. come $i uede in margine che co$i uerranno le unita $otto le unita, le decine $otto le decine, ele centinara $otto le centinara & il 4, 4568 234 4802 che rappre$enta quattro migliara re$tera da man de$tra $olo, Di- poi comincierai a $ummare le figure di man $ini$tra che rappre$en tano unita $ummando 4 con 8. che fara 12. del qual $egnerai due nel primo grado di man de$tra e $aluerai 1. per la decina ilqual uno $ummerai con 3. & 6. fara 10. decine che $ono un centenaro 2 punto, onde $egnerai o.e $aluerai 1. ilquale $umma con 2 e con 5. del terzo grado che rappre$entano centinara e fara 8. ilqual $egna $otto nel terzo grado & il 4.che re$ta $olo nel quarto & ultimo grado di man de$tra $egnarai a canto al 802. e fara 4802. per la detta $omma. Poteua$i anco in tal $omma $egnar il 234. $opra il 4568, che tutto è il mede$imo.

[010]

Et dicendo $i $umma 36. con 568. con 3767. con 58. & con 435. & con 10614. Segnate che harai le dette quantita' l'una $otto l'altra come in margine $i mo$tra e tu $umma tutte le figure del pri 36 568 3767 58 435 10614 15478 mo grado da man de$tra, cioé 4. & 5. & 8. & 7. & 8. & 6. & faran- no 38. del quale $egnerai 8.nel primo grado da man de$tra & per le 3. decine aggiugnerai 3.alle figure del $econdo grado, cioe' 1.cõ 3.con 5.con 6.con 6.& con 3. & faranno 27. del quale $egnerai 7. nel $econdo grado & il 2. aggiugnerai alle figure del terzo grado, cioè con 6.con 4.con 7.& con 5.& faranno 24. di che $egnarai il 4.& il 2. $umma con 0.& con 3. figure del quarto grado & fara 5. il quale $egna nel quarto grado, dipoi $egna l'uno nel quinto & hauerai 15478. per la detta $umma.

DELLA PROVA DEL NOVE.

ET uolendo ueder per la proua del 9. $e detta $umma $tia be- ne, prima è da inten dere che proua d'un numero è quel che auanza a partir quel numero per 9. & uolendo far la proua d'un numero di piu figure, per men $a$tidio $i $ummano tutte in$ieme & detta $umma $i parte per 9. & $ia che uoles$i prouar' la no$tra $o pradetta $umma, dico che $i $ummi le figure del 36. infra loro, cioè il 6.con 3.& fara 9. che partito per 9. auanza o, per la $ua pro ua. Dipoi $umma le figure del 5 6 8. in fra loro & faranno 19. che partito per 9. auanza uno per la $ua proua, & co$i ancora trouerai che la proua del 3767. $era 5. & la proua di 58. $era 4. & quella di 435. $era 3. & quella di 10614. ultima quantita' $era 3. Hora dico che co$i come $ummando tutte le quantita' della tua $umma ti da ranno 15478.co$i $ummando tutte le loro proue cioe', o. & 1. & 5.& 4.& 3.& 3.fanno 16. che partito per 9. auanza 7. per la pro- ua delle dette proue, & co$i $ummando le figure del 15478. in fra loro, & detta $umma partita per 9. 10 auanzo è nece$$ario an- chora e$$er 7. & co$i è.

Et dicendo la proua di 8. quant'è, dico che quando $era alcuno numero che per e$$er minore non $i pos$i partire per 9. che quel mede$imo numero ha da e$$er pre$o per proua, per il che la proua [011] di 8. $i giudica e$$ere 8.& di 7. ef$er 7.& co$i de gli altri minori, & que$to è da o$$eruare co$i nelle altre proue come in que$ta.

Il mede$imo puoi ueder per quella del 7. ma nell'operar per detta proua non ti daria $ummando le figure la uerita' come quel la del 9.fece, ma uolendo per que$ta approuar la detta $umma è di bi$ogno partire le quantitá onde parte 36. per 7. auanza 1. per la $ua proua. Dipoi parti 568. $econda quantita' per 7. auanzera an- chora 1.per la $ua proua, & co$i piglierai la proua delle altre & $ummale in$ieme, e detta $umma parti per 7. & $elo auanzo $era tanto, quanto quel che auanza a partir 15478.per 7. potrai giudi care hauer ben $atto. Et que$ta proua del 7. è piu $icura che quella del 9.perche uenendoti uno,o piu zeri che non $i conueni$$e nella $umma fatta & prouandola per 9. ti renderebbe il mede$imo di proua che s'ella $te$$e bene, ma per quella del 7. non potre$ti per tal cau$a re$tare ingannato.

DEL SVMMARE LIRE SOLDI ET DENARI.

OCcorre molte uolte, che í mercanti hanno a far $umme di uariate monete, & anco di uariate mi$ure, & co$i di uaria ti pe$i. per il che è co$a a$$ai gioueuole il dar notitia del modo di far tel $umme, Hor $ia che haues$i a $ummare 8 234. 8 17. den. 8. con 8 87. B 25. den. 6. Po$te che harai l'una quantita' $otto l'altra come in margine $i dimo$tra, $ummerai prima li denari intra di 10 ro $ummando 8.con 6. e fara 14. denari che $ono un $oldo e 2. de- nari onde $egnerai li 2. denari nel primo grado di man de$tra e un $oldo $ummerai con i $oldi cioè con 15. e con 17. e faranno 33. $ol 234.17.8 87.15.6 322.13.2 di che $ono 8 una B 13. per e$$ere ogni 20. B una 8 Onde $egne- rai li B 13. e $aluerai 1. ilqual $umma con le unita de le 8 cioè c\=o 7.e con 4. fara 12. 8 del qual $egnerai 2. per le unita e 1. che rap- pre$enta decina di 8 $ummerai con le decine cioè con 8. e con 3. che $ara 12. che $ono un centinaro e 2. decine onde $egnerai le due decine e 1. che rappre$enta il centinaro $ummerai con le 2. centinara terza e ultima figura di man de$tra & hauerai per la detta $umma 8 3 2 2. B 13. dena. 2.

[012]

Et hauendo a $ummare que$te $ei quantità di 8. B. e. den.in 3457.12.6 579.19.11 4635.8.8 29.13.10 388.6.9 45.15.7 9136.17.3 margine $egnate, $ummerai prima li den. intra loro come ne la pa$ $ata s'è fatto & faranno denari 51. & perche ogni 12. denari fan- no un $oldo, i detti denari. 51. $eranno $oldi 4.& denari 3. doue $e gneraili 3. denari $otto i denari, & li 4. $oldi aggiugnerai a glial- tri $oldi,& faranno $oldi 77. che per e$$ere ogni $oldi 20. una lira, i detti $oldi 77. $eranno lire 3. & $oldi 17. de quali $egnerai li $oldi 17. $otto li $oldi & le 3. lire aggiugne alle unita delle lire $eguen- do il modo dato & uerrati per la detta $umma lire. 9136. $oldi 17. & denari 3.

DEL SVMMARE MOGGIA STAIA ET QVARTI.

ET hauendo à $ummare le moggia, $taia & quarti che qui da lato $egnati, $ono $ummerai prima tutti li quarti in$ra loro, che farãno quarti 9.& per che ogni4.quarti fanno un $taio, i detti quarti 9. $eranno $taia 2. & un quarto, per ilche $egnerai l'un quar- 29.10.3 345.15.1 56.1.92 8.13.3 440.9.1 to $otto i quarti, & le 2. $taia aggiugnerai all'altre $taia che faranno $taia 57. che per e$$ere ogni 24. $taia un moggio le dette $taia 57. $erãno moggia 2.e $taia 9.onde $egnerai le 9.$taia $otto le $taia, & le moggia 2. aggiugnerai alle unita delle moggia $eguitando co- me s'è detto, & uerrati per la detta $umma moggia 440, $taia 9.& un quarto come in margin $i dimo$tra.

DEL SVMMARE MARCHI, ONCIE QVARTI ET DENARIPESI.

ET hau\~edo a $ummare i marchi, l'oncie, i quarti, et i denari pè $i che qui da lato $egnati $ono, debbi prima $ummare tutti li denari & farãno denari 43. & perche ogni quarto d'õcia è 12. dena ri pe$i, i detti denari 43. $eranno quarti 3. & danari 7. onde $egnerai i denari 7. $otto li denari, & li quarti 3. aggiugnerai alli altri quar- ti,& faranno quarti 13. che per e$$ere un'oncia quarti 4. i detti quar ti 13. $èranno 3. oncie & un quarto, per il che $egnerai uno quarto $otto i quarti, & le 3. oncie aggiugne alle oncie & faranno oncie [013] 29.che per e$$ere ogni 8. oncie un marcho, le dette oncie 29. $eran- 342.6.1.11. 39.7.3. 7. 985.4.2.9 67.5.3.10 46.4.1.6 1482.5.1.7 no marchi 3.& oncie 5.onde $egnerai le 5. oncie $otto l'oncie, & li 3. marchi aggiugne alle unita delli marchi operando come s'è mo- $tro & uerrati marchi 1482. oncie 5. quarti 1. & denari 7. pe$i per la detta $umma.

DEL SOTTRARRE DE NVMERI.

BI$ognano nel $ottrarre due numeri, de quali il primo $i dice numero, di che s'a a trarre, & l'altro numero che s'ha a trarre, & puo$$i in due modi $ottrarre, il primo è trahendo una quantita' equale d'un'altra equale, il $econdo è trarre una quantita minore d'una maggiore, & que$to non è altro che trouare la differenza che è dal minor numero al maggiore, quantunque da altri con nõ troppa auuertenza in tutte le $uttrattioni per commune diffinitio- ne $ie $tata, data. Quando adunque il numero minore del numero maggior trar uuoi, $egni$i il minore $otto il maggiore, in modo che i gradi $imili s'incontrino co i gradi $imili, & incominci$i a trar la prima figura da man de$tra del minor numero della prima da man de$tra del maggiore, & la differenza $i ponga $otto nel primo grado. Dipoi tria$i la $econda della $econda, & co$i la terza della terza $eguitando ordinatamente, & quando la figura del minor numero che è nel mede$imo grado del maggiore non'$i pote$$e trarre, perche la figura del maggiore $ara minore in quel mede$i- mo grado, allhora alla figura del maggior numero è da aggiugner dieci, & di detta congiuntione trarre la figura del minor numero & per il 10. aggiunto $erbare 1.et aggiugnerlo alla figura $eguente del minor numero et il compo$to, o uero congiuntione trarre del la $uperior figura del mede$imo grado $e gliè po$libile, & non po$ $endo$i aggiugneui 10. come s'è detto e trãne quella cõgiũtione, & co$i di grado in grado fino all'ultimo, & $e il maggior numero $u$ $e di piu figure che'l minore, in quel mede$imo grado che auanza- no, $ono da e$$er po$te in fin del numero che rimane.

Tria$i 3 5. di 8 9. Segnato che $ia 3 5. $otto al 8 9. e tu tra 5. di 9. che 89 35 54 re$ta 4. il qual $egna $otto il 5. dipoi trarrai 3. di 8. & re$tera 5. che [014] $egnato $otto il 3. re$tera 54. d'auanzo per detta $uttrattione.

Ancora $i ha da trarre 860. di 3985. Segni$i 860. $otto al 3985. fatto que$to e tu tra il zero' di 5. et re$tera pur 5. il qual $egna $otto il zero. Dipoi trai 6.di 8. che re$ta 2. quale $egna $otto il 6. Dipoi 3985 860 3125 trarrai 8. di 9.& re$tera 1. il qual $egna $otto lo 8. & dopo il 1. $e gna il 3. & hauerai 3125. per lo detto auanzo.

Ma hauendo a trarre 389.di 895.$egna 389. $otto il 895. & di 9.di 5.non $i puo cauare, onde al 5.aggiugnerai 10.& fara 15. che trattone 9. riman 6.il qual $egna $otto il 9. et per 10 20. che aggiu- 895 389 506 gne$ti al 5. $alua una unita laquale aggiugne al 8.et fara 9. che trat to di 9. re$ta o, quale $egna $otto 10 8.Dipoi trarrai 3. di 8.& re$te- ra 5. il qual $egna $otto il 3. & hauerai 506. per 10 auanzo di detta $ottrattione.

DEL SOTTRARE LIRE, SOLDI ET DENARI.

MA hauendo a trarre lire 68. $oldi 17. & denari 8. di lire 95. 95.19.10 68.17.8. 27.2.2. $oldi 19. & denari 10. fegnato che harai la minor quãtita $otto la maggiore come qui dal lato $i mo$tra, e tu tra 8. denari di 10. che re$ta 2. denari quali $egna $otto li 8. denari, dipoi trai 17. $oldi di 19. rimara $oldi 2. quali $egna $otto li $oldi 17. fatto que- $to dirai 8. di 5. non $i po trarre, onde al 5. aggiugnerai 10. & fara 15. che trattone 8. re$ta 7. & per lo 10. che aggiugne$ti al 5. $alue- rai 1.il quale aggiugne al 6. & fara 7. che tratto di 9. re$ta 2. & co$i hai lire 27. $oli 2. & denari 2. per lo auanzo di detta $uttrattione.

Et quando i denari della min or quantita non $i pote$$en trarre di quelli della maggiore, allhora è da aggiugnere un $oldo, cioè denari 12. ai denari della maggiore, & di detta congiuntione trar re i denari della minore, & per li denari 12. aggiunti $erbare un $oldo, ilquale s'aggiunga alli $oldi della minore, & detta cõgiuntio ne $i tria de $oldi della maggiore $e $i puo, & non po$$endo$i $i deb ba aggiugnere una lira, cioè $oldi 20, ai $oldi della maggior quan- [015] tita, & di detta congiuntione trarre i $oldi della minore, & per li $oldi 20. pre$tati é dibi$ogno alla prima $igura delle lire aggiugne re 1.& operando come s'è mo$tro hauerai il tuo de$iderio.

Hor $ia che haue$$i a trarre lire 369. $oldi 17. & denari 6. di lire 973.16.2 369.17.6 603.18.8 973. $oldi 16. & denari 2. Segnerai la minor quantita $otto la mag giore come in margine, & dirai 6. denari di 2. non $i po$$on trarre, per il che alli den. 2. aggiugnerai un $oldo, cioè den. 12. & faranno 14. che trattone 6. rimangono 8.den.quali $egna $otto il 6. & per li 12. denari pre$tati aggiugnerai uno $oldo alli $oldi 17. & faranno 18.i quali non $i po$$on trarre di 16. onde giugne una lira, cioè $ol di 20. alli 16. che fanno $oldi 36. che tratrone. 18. re$tano 18. quali $egna $otto li $oldi, & per la lira pre$ta ta aggiugnerai uno al 9. che $anno 10. i quali non $i po$$on trar di 3. per il che al detto 3. aggiu gnerai 10. & fara 13. che trattone. 10. riman 3. ilqual $egna $otto 9.& per la decina pre$tata al 3. aggiugnerai 1. al 6. che fara 7. che tratto di 7. re$ta o, dipoitrarrai 3. di 9.re$ta 6.& co$i hai 8 603. B. 18.& denari 8. per lo auanzo di detta $uttrattione.

DEL SOTTR ARRE MOGGIA, STAIA ET QVARTI.

ET hauendo à trarre moggia 340. $taia 16. & quarti 3.di mog 450.12.1 340.16.3 109.19.2 gia 450. $taia 12.& quarti 1.$egneraila minor quantita $otto la maggiore come dal lato $i mo$tra, dipoi comincierai alli quarti dicendo 3. d'uno non $i puo trarre, doue a l'uno aggiugnerai uno $taio, cioè quarti 4.che faranno 5. che trattone 3. re$ta 2. ilquale $e- gna $otto li quarti, & per lo $taio o uero quarti 4. che al 1. aggiu- gne$ti, renderai uno alle $taia 16. che fanno 17. lequali nõ $i po$$on trarre di 12. per ilche al detto 12. aggiugnerai uno moggio, cioè $taia 24. che faranno 36. che trattone 17. rimangono 19.lequali $e gna $otto le $taia, & per il moggio, ouero $taia 24. che alle $taia 12. s'aggiun$ero, renderai uno allo o.prima figura della $otto po$ta & minor quantita che fa pur uno, ilqual non $i puo trar di o.per tan- to al detto o,aggiugnerai 1. & fara pur 10. delquale trattoneuno re$ta 9.ilqual $egna $otto il o.dipoi per la decina aggiunta al o. di [016] $opra aggiugnerai 1. al 4. di $otto,& fara 5.che tratto di 5. re$ta o. dipoi trarrai 3. di 4.che rimane 1. ilqual $egna come in margine, & hauerai moggia 109.$taia 19. & quarti 2. per lo auanzo di det- ta $uttrattione.

DEL SOTTRARRE LIRE, ONCIE, ET DENARI PESI.

HOr $ia che haues$i a trarre lire 349. oncie 9.& denari 3 5. pe $i,di libre 5 2 3. oncie 6.& denari 14.$egnato che harai la mi nor $otto la maggior quantita, e tu comincia dalli denari pe$i di- cendo 35.de 14. non $i puo trarre, doue alli denari 14. aggiugne- rai 1. oncia, che $ono denari 48. & faranno denari 62. che trattone 523.6.14. 349.9.35 173.8.27 3 5.rimangono 27. quali $egna $otto li denari,& per la oncia oue- ro denari 48. che aggiugne$ti alli denari 14. renderai 1. alle oncie 9. che faranno 10. lequali non $i po$$ontrar di 6. per ilche al detto 6. aggiugnerai una libra, che $ono oncie 12. & faranno 18. di che trattone 10. re$ta 8. qual $egna $otto l'oncie, & per la libra, ouero oncie 12. aggiunte al 6.renderai 1 .al 9. & $eguita come s'è detto, & ne uerra per auanzo di detta $uttrattione libre 173. oncie 8. & denari 27.potrebbe$i addurre de gl'altri uariati e$$empi di $uttrat- tione, ma per non e$$er proli$$o, & perche per uia di que$ti non ti $era difficile il proceder nell'altre non mi de$tendero piu auanti.

DELLA PROVA DEL SOTTRARRE.

ET uolendoti certificare $e la tua $uttrattione $tia bene, ricorre 523.6.14 349.9.35 173.8.27 Proua 523.6.14 alla uera proua laquale $i piglia $ummando la minor quant ta, ouero numero che $i tra con lo auanzo di detto $uttraimento & $e la detta congiuntione $era quanto la maggior quantita, ouer numero di che $i tra potrai giudicare hauer ben $atto. Hor $ia che uogliamo la proua della ultima no$tra $uttrattione dico che $ico- minci a $ummar li 3 5. denari del numero che $i tra con li 27. del- lo auanzo, che fanno denari 62.& perche ogni denari 48.pe$i fan no un'oncia, i detti denari 62.$ono un'oncia,& 14.denari, onde $e gnarai li denari 14.& la detta oncia $ummerai con le oncie 8. del- [017] lo auanzo,& con le oncie 9.della minor quantita, ouero numero che $i tra, & faranno 18. che per e$$ere ogni 12. oncie una libra le dette oncie 18. $ono una libra, & 6. oncie, onde $egnaral le oncie 6.& la libra aggiugne con 3. & con 9. & $egui l'ordin dato nel $ummare,& uerrati per detta congiuntione libre 5 2 3.oncie 6. & denari 14. laqual quantita per e$$er quanto la maggior quanti- ta, ouero numero di che $i tra la minore, $i puo affermar detto $ut- traimento $tar bene, & per lo mede$imo ordine ti potrai certifica- re di tutti gli altri ancho che di uariate monete, o mi$ure fu$$ero.

POtrebbe$i in dette $uttrattioni addur la proua del 9.0 del 7. quale $i fa in que$to modo, che $i tra la proua della minor quantita della proua della maggiore $endo pos$ibile, & lo auanzo conuiene e$$er quanto la proua dello auanzo della $uttrattion fat- ta,& quando la proua del minor numero di quella del maggiore trar non $i pote$$e, allhora è nece$$ario aggiugnere quel tal nume- ro per ilquale $i fa la proua, cioè $e $i fa la proua del 7. aggiu- gner 7. & $i per 9. aggiugner 9. alla proua del numero maggio- re & di detta congiuntione trarne la proua del minore, & $appi che tutti li numeri po$$ono e$$ere proue, ma hoggi que$te del 9. & del 7. $ono piu in u$o.

DEL MVLTIPLICAR DE NVMERI.

MVltiplicar un numero per un'altro $econdo Euclide nel $ettimo, è tante uolte pigliare il numero che $i deue multi- plicare quante unita $ono nel multiplicante, & per meglio fartelo intendere, dico che nel multiplicare bi$ognano 2.numeri, de quali l'uno $i dice multiplicante, & l'altro multiplicando, cioè che $i de- ue multiplicare,& l'Algori$mo dice nel $e$to capitolo, multiplica- re un numero per un'altro è uoler trouare un'altro numero che tante uolte contenga il multiplicando, quante unita $ono nel mul tiplicante, & puos$i multiplicare il numero in $e mede$imo, ouero in altro numero,& nota che quando $i multiplica un numero per un'altro,& faccia il detto numero, è nece$$ario quello e$$er multi- plicato per unita come per il Megaren$e nel $ettimo $i mani$e$ta.

[018] DEL MVLTIPLICAR A LA MEMORIA

detto uulgarmente Ca$elle o Librettine.

MA auanti che ne l'operar con la penna ne le multiplicatio- ni $i proceda è nece$$ario hauer quelle che bi$ognano a la memoria, e quanto piu $ene impara$le a mente tanto maggiormen te giouarebbe al ragioniere o matematico, ma noi ne addurremo quelle che $on piu nece$$arie & a le mi$ure e pe$i piu commode, $enza lequali non $i puo operar ne le ragioni.

1 # 1 # 1 2 # 2 # 4 3 # 3 # 9 4 # 4 # 16 5 # 5 # 25 6 # 6 # 36 7 # 7 # 49 8 # 8 # 64 9 # 9 # 81 10 # 10 # 100 2 # 3 # 6 2 # 4 # 8 2 # 5 # 10 3 # 4 # 12 3 # 5 # 15 3 # 6 # 18 3 # 7 # 21 3 # 8 # 24 3 # 9 # 27 3 # 10 # 30 4 # 5 # 20 4 # 6 # 24 4 # 7 # 28 4 # 8 # 32 4 # 9 # 36 4 # 10 # 40 5 # 6 # 30 5 # 7 # 35 5 # 8 # 40 5 # 9 # 45 5 # 10 # 50 6 # 7 # 42 6 # 8 # 48 6 # 9 # 54 6 # 10 # 60 7 # 8 # 56 7 # 9 # 63 7 # 10 # 70 8 # 9 # 72 8 # 10 # 80 9 # 10 # 90 10 # 10 # 100 [019] 2 # 12 # 24 3 # 12 # 36 4 # 12 # 48 5 # 12 # 60 6 # 12 # 72 7 # 12 # 84 8 # 12 # 96 9 # 12 # 108 10 # 12 # 120 2 # 13 # 26 3 # 13 # 39 4 # 13 # 52 5 # 13 # 65 6 # 13 # 78 7 # 13 # 91 8 # 13 # 104 9 # 13 # 117 10 # 13 # 130 2 # 14 # 28 3 # 14 # 42 4 # 14 # 56 5 # 14 # 70 6 # 14 # 84 7 # 14 # 98 8 # 14 # 112 9 # 14 # 126 10 # 14 # 140 2 # 15 # 30 3 # 15 # 45 4 # 15 # 60 5 # 15 # 75 6 # 15 # 90 7 # 15 # 105 8 # 15 # 120 9 # 15 # 135 10 # 15 # 150 2 # 16 # 32 3 # 16 # 48 4 # 16 # 64 5 # 16 # 80 6 # 16 # 96 7 # 16 # 112 8 # 16 # 128 9 # 16 # 144 10 # 16 # 160 2 # 17 # 34 3 # 17 # 51 4 # 17 # 68 5 # 17 # 85 6 # 17 # 102 7 # 17 # 119 8 # 17 # 136 9 # 17 # 153 10 # 17 # 170 2 # 18 # 36 3 # 18 # 54 4 # 18 # 72 5 # 18 # 90 6 # 18 # 108 7 # 18 # 126 8 # 18 # 144 9 # 18 # 162 10 # 18 # 180 [020] 2 # 19 # 38 3 # 19 # 57 4 # 19 # 76 5 # 19 # 95 6 # 19 # 114 7 # 19 # 133 8 # 19 # 152 9 # 19 # 171 10 # 19 # 190 2 # 24 # 48 3 # 24 # 72 4 # 24 # 96 5 # 24 # 120 6 # 24 # 144 7 # 24 # 168 8 # 24 # 192 9 # 24 # 216 10 # 24 # 240 2 # 32 # 64 3 # 32 # 96 4 # 32 # 128 5 # 32 # 160 6 # 32 # 192 7 # 32 # 224 8 # 32 # 256 9 # 32 # 288 10 # 32 # 320 2 # 36 # 72 3 # 36 # 108 4 # 36 # 144 5 # 36 # 180 6 # 36 # 216 7 # 36 # 252 8 # 36 # 288 9 # 36 # 324 10 # 36 # 360 2 # 48 # 96 3 # 48 # 144 4 # 48 # 192 5 # 48 # 240 6 # 48 # 288 7 # 48 # 336 8 # 48 # 384 9 # 48 # 432 10 # 48 # 480 DEL MVLTIPLICARE NVMERO COM-

po$to per numero $emplice.

ONde $e ti fu$$e detto, multiplica 8 9. per 7. Segnato che ha- rai 7. $otto allo 8 9. & tu multiplica 7. uie 9. prima figura 89 7 623 del 8 9. & fara 63. del qual $egnerai il 3. & $aluerai le 6. decine, di- poi multiplica 7.uie 8. che fa 56. alquale aggiugne il 6. $aluato, & fara 62, ilqual $egna come in margine, & hauerai 623. per la det- [021] ta multiplicatione, & $imilmente procedendo hare$ti $atto $e in luogo dello 89. $u$$e $tato un numero di piu figure.

Puos$i per lo dato modo multiplicar per numero compo$to, & $ia che habbi a multiplicare 635. per 12. Segnato che harai 12. $ot 635 12 7620 to al 635. dico che multipIichi 5. prima figura del 635. uie 12. che fara 60. del quale $egnerai il o. nel primo grado, & $erba 6. dipoi multiplica 3. uie 12. che fa. 36. alquale aggiugne il 6. $erbato, et $ara 42. del quale $egnarai 2. & $aluerai 4. & multiplica 6. uie 12. che $a 72. & con 4 che $alua$ti $a 76. che $egnatolo come in margine ha- rai per la detta multiplicatione 7620. & per que$to modo $i puo multiplicare per tutti i numeri di che s'habbino alla memoria le multiplicationi, come nel no$tro e$empio s'è mo$tro.

DEL MVLTIPLIC ARE PER SCAPEZZO.

ET $e ti fu$$e detto multiplica 35. per 10. uolendo multiplicar per $capezzo in que$ta, & in qualunqu'altra mutiplicatione, 350 che per 20. multiplica$$e, $empre aggiugnerai il o. del 20. al nume ro che multiplichi, per il che in que$ta aggiugnerai il o. al 35. & fa ra 350. e tanto fa a multiplicar 35. per 10.

Et dicendo$i multiplica 345. per 200. Sappi che di que$taè qua $i lo mede$imo modo della pa$$ata, $aluo che per hauer il 200. due o. doue nella detta multiplicando per 20. aggiugne$ti un' o. in que 34500 $ta n'hai aggiugner due per tanto dallato de$tro del 345. $egnarai due 00. & hauerai 34500. per la detta multiplicatione.

Et hau\~edo a multiplicare il mede$imo 345. per 1000. in que$ta 345000 per hauer il mille tre zeri, aggiugnerai detti 3. zeri dallato de$tro del 345. & $aranno 345000. per la detta mul iplicatione.

Ma dicendo$i multiplica 6. uie 80. $a co$i, multiplica 6. uia 8. & 480 fara 48. alquale aggiugne dal lato de$tro il zero del 80. & fara 480. per lo detto multiplicamento.

[022]

Et dicendo$i multiplica 700. per 150. prima multiplica 7. uie 105000 15. & fara 105. alquale aggiugne il zero del 150. & i duo zeri del 700. & faranno 105000. per la detta multiplicatione, & que$to ba $ti quanto a $capezzo. $egue il multiplicar per crocetta.

DEL MVLTIPLICAR PER CROCETTA.

Et $i ti fo$$e detto multiplica 47. uie 59. uolendo multiplicar per crocetta $egna l'una quantita $otto l'altra, fatto que$to multipli ca 7. uie 9. che fa 63. delquale $egnerai 3. nel primo grado, & $alua 6. dipoi multiplica in croce dicendo 4. uie 9. fa 36. & 5. uie 7, fa 35. 59 (X) 47 2773 che $ummate in$ieme le dette due multiplicationi, & a detta $um- ma aggiunto il 6. $aluato fanno 77. delquale $egnerai 7. & $aluerai 7. dipoi multiplica 4. uie 5. & aggiugneli il 7. $aluato, & fara 27. ilquale $egna come dallato, & harai 2773. per la detta multiplica- tione.

Et hauendo a multiplicar 37. uie 451. multiplica prima 1. uie 7. 451 X) 37 87 451

    X
37 16687 che fa pur 7. il qual $egna nel primo grado, dipoi multiplica 1. uie 3. & 5. uie 7. & $umma in$ieme, & faranno 38. delquale $egna 8. nel $econdo grado, & $alua 3. dipoi multiplica 4. uie 7. & 3. uie 5. & $umma in$ieme, & a detta $umma aggiugne il 3. $aluato, & $ara 46. di che $egnerai 6. nel terzo grado, & $aluerai 4. dipoi multipli- ca 3. uie 4. che fa 12. alquale aggiugne il 4. $aluato, & $ara 16. ilqual $egna come in margine, & uerratti 16687. per la detta multi- plicatione.

Et dicendo$i multiplica 456. uie 375. $egnato che harai l'una quantita $otto l'altra come in margine, e tu multiplica 5. uie 6. che fa 30. del quale $egna il 0. nel primo grado, & $alua 3. dipoi multi- plica 5. uie 5. & 6. uie 7. & dette multiplicationi $umma in$ieme, & 456 X) 375 00 aggiugneli il 3. $aluato, & $arranno 70. di che $egnerai 0. nel $econ do grado, & $aluerai 7. Dipoi multiplica 4. uie 5. & 3. uie 6. & 5. uie 7. & le dette 3. multiplicationi $umma in$ieme & aggiugneli il 7. $aluato, & faranno 80. del quale $egnerai 0. & $aluerai 8. dipoi multiplica 4. uie 7. & 3. uie 5. & le dette due multiplicationi $um- [023] ma in$ieme & aggiugneli 10 8, $aluato $aranno 51. di che $e- 456 * 375 000 456 (X 375 171000 gnerai uno, & $aluerai 5. dipoi multiplica 3. uie 4. & aggiugneli il 3. $aluato & fara 17. che $egnato come dal lato, hauerai per detta multiplicatione 171000. & auuenga che per il detto modo $ia $ta- to mo$tro da Leonardo Pi$ano il multiplicar le 8. figure per altre 8. nondimeno per quelli che non $ono gran pratici, il detto modo di multiplicar per tante figure è poco $icuro, ma per quelle di che s'è detto è $icuri$$imo.

DEL MVLTIPLICARE PER BIRICVOCOLO.

ET $e ti fo$$e detto, multiplica 365. uie 978. uolendo multi- plicar per biricuocolo, $egna 365. $otto al. 978. & multiplica 5. figura del primo grado del numero di $otto in tutte quelle di $opra, & cominciando dal lato de$tro dirai 5. uie 8. fa 40. del qual $egna il 0. nel primo grado, & $alua 4. dipoi multiplica 5. uie 7. & aggiugneli il 4. $aluato & $ara 39. di che $egnerai 9. & $aluerai 3. dipoi multiplica 5. uie 9. & aggiugneliil 3. $aluato & fara 48. qua- 978 365 4890 5868 2934 356970 le $egna come in margine, & per hauer tu finita la multiplicatione del 5. darai di penna al detto 5. & multiplica il 6. figura del $econ- do grado del numero di $otto in tutte le figure di $opra cominciã do dal lato de$tro come con il 5. face$ti, & dirai 6. uie 8. $a 48. & perche que$to 48. $ono decine, $egnerai lo 8. $otto le decine, cioè$ot to il 9. & $aluerai 4. dipoi multiplica 6. uie 7. & a quel che ne re$ul ta aggiugne il 4. $aluato, & fara 46. delquale $egna 6. $otto lo 8. & $alua 4. Dipoi multiplica 6. uie 9. & aggiugneli il 4. $aluato, & fa ra 58. quale $egnerai come dal lato, & co$i harai finita la multipli, catione del 6. Hora è dibi$ogno far quella del 3. cominciãdo dal la to de$tro, come s'è fatto, & multiplica prima 3. uie 8. che fa 24. del quale P e$$er numero che e$plica c\~etinara, $egna 4. $otto il 6. & $alua 2. poi multiplica 3. uie 7. & aggiugneli il 2. $aluato, & fara 23. del- quale $egna 3. $otto lo 8. & $aluerai 2. dipoi multiplica 3. uie 9 & aggiugneli il 2. $aluato, & fara 29. quale $egna come qui dallato, & co$i hai finito di multiplicare tutte le figure, che per uederne il produtto è nece$$ario $ummare le figure uenute, cominciãdo dalo, [024] prima figura di man de$tra, che per e$$er $olo lo 0. 10 $egnerai 0. nel primo grado, poi aggiugne in$ieme 8. & 9. che fanno 17. del qua le $egna 7. & $alua 1. ilquale aggiugne con 4. & con 6. & con 8. & $egue il modo dato nel $ummare, & ne uerra 356970. per detta multiplicatione.

Et hau\~edo a multiplicare 7897. per 436. $egnato che harai 436. $otto 7897. e tu multiplica 6. figura del primo grado del numero di $otto in tutte quelle da capo, & cominciando al 7. figura del primo grado di quel di $opra, dirai 6. uie 7. fa 42. delquale $egnerai 2. & $aluerai 4. dipoi multiplica 6. detto uie 9. & a quel che fa ag- giugne il 4 $aluato, & $eguita come s'è mo$tro, & ne uerra 47382. Dipoi multiplica il 3. figura del $econdo grado del numero di for- to in tutte le figure di quel da capo, & cominciando dal 7. figura del primo grado di quel di $opra, dirai 3. uie 7. 21, di che $egnerai 7897 436 47382 23691 31588 3443092 uno $otto lo 8. & $eguita come s'è mo$tro, & ne uerra 23691. qua- le $egna come dal lato. Dipoi multiplica 4. ultima figura del nume ro di $otto in tutte quelle di $opra, & cominciando pur al 7. dirai 4. uie 7. fa 28. del quale $egnerai 8. $otto al 9. & $eguita come s'è mo$tro $ummando le uenute quantita infra loro come nella pa$- $ata multiplicatione $i $ece, & hauerai 3443092. per lo detto mul- tiplicamento.

MODO DI PROVARE LE MVLTIPLICATIONI.

ET uolendo ueder per la proua del 9. $e detta multiplicatione $tia bene, $ummerai le figure del numero di $opra infra lo- ro, & $aranno 31. che partito per 9. auanza 4. per la $ua proua. Di- poi $ummerai le figure del 436. numero di $otto infra loro, & fa- ranno 13. che partito per 9. auanza 4. di proua, ilquale multiplica uie l'altro 4. proua di quel di $opra & fara 16. che partito per 9. auanza 7. di proua, e tanto conuiene e$$ere la proua del produtto di detta multiplicatione, che co$i è, perche $ummate le figure del 3443092. infra loro fanno 25. ilquale partito per 9. auanza 7. di proua come uoleuamo, & il dato modo o$$eruarai uolendola pro uar per la proua del 7. Saluo che in que$ta del 7. è dibi$ogno par- tire le quantita, & non $ummare le loro figure come per quella [025] del 9. s'è fatto, & que$ta proua del 9 ouero del 7. ti $erui per rego- la generale in tutte l'altre multiplicationi.

DEL MVLTIPLICARE LIRE, SOLDI ET DENARI.

ET $e ti fu$$e detto multiplica 8 36. B 12. & dena. 7. per 9. 36.12.7 9 329.13.3 Segnato che harai le tue quantita come in margine, e tu mul tiplica 7. uie 9. che fa 63. dena. che per e$$ere ogni 12. denari un $ol do i detti denari 63. $eranno $oldi 5. & denari 3. di che $egnerai li 3. denari & $aluerai li 5. B. dipoi multiplica 9. uie 12. & aggiu- gneli il 5. $aluato & fara B 113. che per e$$ere ogni $oldi 20. una 8 i detti B 113. $ono 8 5. & B 13. onde $egnerai li B 13. & falueraile 8 5. Dipoi multiplica 6. uie 9. & aggiugneli il 5. $alua to & fara 59. 8. dellequali $egnerai 9. & $aluerai 5. Poi multiplica 3. uie 9. & aggiugneli il 5. $aluato & fara 32. ilquale $egna come dal lato & harai 8 329. B. 13. & den. 3. perla detta multiplicatione.

DEL MVLTIPLICARE MOGGIA STA- IA ET QVARTI.

ET dicendo$i multiplica moggia 35. $taia 11. & quarti 3. per 15. Segnato che haraile quantita come dal lato è tu multi- plica 3. uie 15. che fa 45. quarti, & perche ogni 4. quarti fanno uno ftaio, i detti quarti 45. $eranno $taia 11. & un quarto, onde $egne- 35.11.3 15 532.8.1 rai un quarto & $aluerai le 11. $taia. Dipoi multiplica 11. uie 15. & aggiugnelilo 11. $aluato & $ara $taia 176. che per e$$ere $taia 24. il moggio, le dette $taia 176. $ono moggia 7. & $taia 8. diche $e gnerai le $taia 8. & $aluerai le moggia 7. Dipoi multiplica 5. uie 15. & aggiugneui il 7. $aluato & fara 32. del quale $egnerai 2. & faluerai 8. Poi multiplica 3. uie 15. & a quel che fa aggiugne lo 8. faluato & fara 53. quale $egna come in margine & harai moggia 532. $taia 8. & un quarto per lo detto multiplicamento per uia del quale & del antedetto ti $era facile il multiplicamento de gli altri ancho che u ariati pe$i o mi$ure fu$$ero. quando pero la quantita' per la qual $i multiplica s'habbi a la memoria.

[026]

Ma hauendo a multiplicare per qualche quantita' che non s'hab bi a la memoria. Hor $ia che s'haue$$e a multiplicar 8 3456. 3456 789 31104 27648 24192 2726784 710.2 29.11 9 2727523.13.9 B 18. dena. 9. per 789. dico che per non $i poter hauer co$i gran quantita a la memoria come è 789. che in tal ca$o $i multiplichi prima 3456. lire per 789. facendone la ca$ella per biricuocolo $e- gnando 789. $otto il 3456. come $i uede in margine e proceda$i come s'è mo$tro nel multiplicar per biricuocolo e ne uerra per tal multiplicatione 8 2726784. Dipoi per la multiplicatione de foldi multiplichin$i li $oldi 18. per 789. $egnando 18. $otto al 789. e perche la multiplicatione del 18. s'ha a la memoria multiplichi$i il 9. figura del primo grado del 789. dicendo 9. uie 18. fa 162. del quale $egni$i 2. & $aluin$i le 16. decine, Dipoi multiplichin$i 8. figura del $ecõdo grado del 789. uie 18. & aggiũghi$i il 16. $aluato fara 160. del quale $egni$i o. e $alui$i 16. & multiplichi$i 7. figura del terzo grado uie 18. e a detta multiplica- 789 18 1420 [2 710 tione aggiunga$i il 16. $aluato e fara 142. ilqual $egni$i come $i ue- de & haueras$i 14202. per la multiplication de $oldi de quali e di bi$ogno farne 8 che per e$$ere ogni $oldi 20. una lira $eranno 8 710. B 2. lequali $egnan$i $otto le 8 2726784. Dipoi per la mul- tiplication de denari multiplichin$i li 9. denari per 789. $egnando come $i uede in margine e procedendo nel modo detto & hauera$ 789 9 7101 59.19 29.11 9 $i per tal multiplicatione denari 7101. che per e$$ere ogni 12. dena ri un $oldo i detti 7101. denari $eranno B 591. denari 9. che $ono 8 29. B 11. denari 9. iquali $egnarai $otto le altte due multiplica- tioni fatte & $ummi$i il tutto in$ieme & haueras$i per tutta la detta multiplicatione 8 2727523. B 13. denari 9.

Potras$i procedere in $imili multiplicationi in que$t'altro mo- do cioè che $i $pieghino le 8 3456. B 18. dena. 9. tutti a dinari $pie gandole ouer riducendole prima a $oldi multiplicando 3456. per 20. aggiugnendoui li B 18. Comincian do prima al 6. figura del primo grado del 3456. dic\~edo 6. uie 20. fa 120. alquale $iaggiun ga li $oldi 18. & fara 138. del quale $egni$i 8. e $aluin$i 13. Dipoi multiplichi$i 5. figura del $econdo grado pur per 20. & aggiunga ui$iil 13. $aluato, e co$i $i $egna $ino al 3. figura del quarto & ulti- mo grado del 3456. & haueras$i $oldi 69138. iquali $iriduchino [027] ouer $i $pieghino a denari multiplicandoli per 12. & aggiunghin 3456. 18 20 69138.9 12 829665 789 7466985 6637320 5807655 654605685. 5455047 3.4. 2727523.13.4 feli li 9. denari cominciando all' 8. figura del primo grado del 69138. dicendo 8. uie 12. fa 96. alquale aggiunghin$i li 9. denari faranno 105. delqual $i $egni 5. $otto nel primo grado e $alui$i 10. e multiplichi$i 3. figura del $econdo grado uie 12. & aggiunga$i a tal multiplicatione il 10. $aluato, e $egni$i nel mede$imo modo $i- no al 6. figura del quinto & ultimo grado e trouerai che le 8 3456. B 18. dena. 9. $piegate a denari $eranno denari 829665. iquali è nece$$ario multiplicar per 789. co- me s'è mo$tro nel multiplicar per biricuocolo & haue- rai per la detta multiplicatione den. 65460 5685. iqua de. li è nece$$ario prima redurre a $oldo e dipoi a lire e in B cio è dibi$ogno hauer qualche notitia del partire. On, 8 de partin$i i detti 65460 5685. per 12. per e$$ere ogni 12. denari un $oldo e ne uerra $oldi 54550473. e dinari. 4. delli quali è nece$$ario far lire partendoli per 20. per e$$ere ogni B 20. una lira e ne uerra 8 272752. B 13. dena. 4. & in cio $i procede ra facilmente hauendo la no itia del partir per quei numeri che $i ripigliano a la memoria, detto partir per te$ta come qui auanti nel precedente capitolo $i mo$trera.

DEL PARTIRE DE NVMERI.

PArtire un numero per un'altro è trouar tal parte del numero che $i parte laqual po$$i tante uolte intrare in e$$o numero che $i parte quante unita $ono nel partitore come partendo 6. per 2. di che ne uien 3. dico che il detto 3. entra tante uolte nel 6. quante Error d'al- cuni. unita $i contengono nel 2. partitore, come chiaramente $i uede. E $tato que$to atto del partire da altri che hanno $critto mal diffini- to, i quali dicono il partire non e$$er altro che $are tante parti equa- li di quel che $i parte, quante unita $ono nel partitore, ilchechiara- mente appare non e$$er uero, perche diciamo di uoler partire 15. per 3. ne uerra 5. onde uolendo che la lor propo$ta $u$$e uera bi$o- gneria che ne ueni$$e tre quinari, & non un $olo. Hor ritornando alla intention no$tra, dico che in due modi $econdo la prattica $i co ftuma il partire, il primo è quando il partitore è del genere delnu- [028] mero che $i parte, come dicendo, parti 12. per 4. di che ne uien 3. & parti 24. fiorini per 6. fiorini, di che ne uien 4. fiorini, i quali $ono della natura del partitore, & della natura di quel che $i parte. Il $e- condo è quando il partitore è di natura diuer$a da quel che $i parte, & allhora quel che ne uiene è della natura di quel che $i parte, con- cio$ia che'lpartitore $ia comparato per equalita di ualuta a quel che s'ha a partire, come dicendo parti 32. $cudi per 4. canne di panno, quali 4. canne di panno $ono quanto 32. $cudi, onde partito 32. per 4. ne uien 8. $cudi, che $ono della natura di quel che $i parte. Et $ap- pi che ogni uolta che $i parte un numero minore per un maggiore, allhora $i debbe dire che ne uenga rotto, imperoche uno ne peruer rebbe quando quel che $i parte fu$$e equale al partitore, come dicen do parti 6. per 6. di che ne uiene 1. & quello che è meno della uni ta lo diciamo rotto, doue dicendo parti 3. per 4. dico che pernon intrare ni$$una uolta il 4. partitore nel 3. che $i parte, che in $imili ca$i è $empre da $egnare quel che s'ha à partire $opra una linea, & il partitore di $otto in que$to modo {3/4} & $empre quel che è $opra la linea $i chiama denominante, & quel che è di $otto denominato, onde per mettere in prattica il partire, farai come di $otto $era no- tato, & prima porremo il modo che $i chiama per te$ta.

DEL PARTIRE PER TESTA.

ET $e ti fu$$e detto, parti 3658. per 2. Segnato che harai il par titore $opra il numero che $i parte, e tu uedi quanto 2. puo entrare in 3. ultima figura del 3658. che u'entra una uolta, & auan- 2 P3658 1829 za 1. onde $egnerai quel che u'enra $otto il 3. & lo 1. auanzato ima ginatelo dal lato $ini$tro del 6. figura $eguente, & fara 16. nelquale uedi quante uolte ui puo entrare il 2. & trouerai poterui entrare 8. apunto, ilquale $egna $otto 6. Dipoi uedi quante uolte 2. puo entra re nel 5. & trouerai entrarui 2. uolte, & auanzare 1. onde $egnerai 2. $otto 5. & lo 1. auanzato imaginatelo dal lato $ini$tro dell' 8. & fara 18. nel quale 2. entra 9. uolte, per il che $egnerai 9. $otto lo 8. & hauerai 1829. per lo auuenimento del detto partire.

Et dicendo$i, parti 3478. per 6. In que$ta perche il 6. tuo partito [029] re non puo entrare ni$$una uolta nel 3. ultima figura del numero che $i parte, è dibi$ogno uedere quante uolte po$$i entrare in 34. & trouerai intrarui 5. uolte, & auanzar 4. onde $egnerai il 5. che u'entra $otto il 4. del numero che $i parte, & il 4 auanzato imagina 6 P. 3478 579 {4/6} telo dal lato $ini$tro del 7. figura $eguente, & fara 47. nel quale 6. entra 7. uolte, & auanza 5. per il che $egnerai il 7. $otto 7. & il 5. auanzato imaginatelo dal lato $ini$tro dell' 8. & fara 58. nelquale 6. entra 9. uolte, & auanza 4. onde $egnerai 9. $otto lo 8. e'l 4. auan- zato $opra una linea dal lato de$tro, & il 6. tuo partitore di $otto, & uerranne 579. {4/6} per il detto partimento.

Puo$$i per il dato modo partire per tutti quei numeri di che le lor multiplicationi s'habbino alla memoria co$i compo$ti come $emplici. Hor $ia che haue$$i a partire 12387. per 16. fa co$i, uedi quante uolte il 16. tuo partitore puo entrare in 123. del nu- 16 12387 774 {3/16} mero che $i parte, trouerai che u'entra 7. uolte & auanza 11. onde $egnerai 7. $otto il 3. el' 11. auanzato imaginatelo dallato $ini $tro dell' 8. figura $eguente, & faran 118. nelquale 16. entra 7. uolte & auanza 6. per il che $egnerai 7. $otto l' 8. & il 6. auanzato imagi- natelo dal lato $ini$tro del 7. & faran 67. nelquale 16. entra 4. uol- te, & auanza 3. onde $egnerai 4. $otto 7. & il 3 auanzato $opra una linea, & 16. tuo partitore $otto, & harai per l'auuenimento del det to partire 774 {3/16} & que$to ba$ti quanto al partir che $i chiama perte$ta.

DEL PARTIRE PER SCAPEZZO.

PEr Scapezzo $i puo partir per tutti li numeri nelli charatteri delli quali l'ultima $igura è o. cioè terminano in decina a pun 35_7 35 {7/10} to, come per alcuni e$empi da dar$i ti $era manife$to, & $ia che ha- ue$$i a partire 357. per 10. fa co$i, $epera con una uirgula il 7. prima figura, & $egnalo $opra una linea, & il 10. tuo partitor di $otto co- me in margine puoi uedere. harai per lo $uo auuenimento 35 {7/10}, Et $e harai a partire per altri numeri ne quali s'interueni$$e piu ze- ri, $empre per regula generale $epera tante figure dal lato de$tro del numero che $i parte, quanti o. $ono dal lato de$tro del tuo parti [030] tore, & que$to s'intenda quando infra e$$i zeri non u'interuengano altre figure.

Et $e ti fu$$e detto parti 789570. per 100. per hauer il tuo parti 7895_70 7895 {70/100} tor 2. zeri, conuienti $eperar 2. figure di man de$tra del numero che $i parte $eguandole $opra una linea, & il 100. tuo partior di$otto, & harai 7895 {70/100} per lo detto auuenimento.

Et $e il mede$imo 789570. s'haue$$e a partir per 1000. per ha- 789 570 789 {570/1000} uere il tuo partitor 3. zeri, $eperare$ti 3. figure dal lato de$tro del numero che $i parte, le quali figure $eperate $egnare$ti $opra una li- nea, & il 1000. tuo partitor di $otto, & hare$ti 789 {570/1000} per lo $uo auuenimento.

Ma hauendo a partir 5797. per 20. fa co$i, perchenel tuo partito re s'interuiene un zero $epera il 7. prima figura. Dipoi perche del 5797 289 {17/20} 20. leuatone il $uo zero riman 2. partirai 579. per 2. & uerra 289. & auanzera 1. ilquale imaginati che rimanga dallato $ini$tro del 7. $eperato, & fara 17. ilqual $egnerai $opra una linea, & 20. tuo parti tor di $otto, & uerratti 289 {17/20} per il detto partimento.

Et $e il mede$imo 5797. s'haues$i a partir p. 30. $eperare$ti 7. pri ma figura di man de$tra come di $opra $i fece, & 579. rimanente 5797 289 {70/3} partire$ti per 3. & hauendolo a partir per 40. $eperare$ti pur la pri ma figura dal lato de$tro, & quel che rimane$$e partire$ti per 4. & co$i fare$ti hauendolo a partir per 200. & per 300. & per 400. Sal- uo che in que$te è dibi$ogno $eperar due figure per contener$i in cia$chedun d'es$i due zeri.

Ma hauendo a partire 37958. per 150. Seperarai l' 8. prima figura di man de$tra numero che $i parte, & rimarra 3795. ilqual parti per 15. & ne uerra 253. appre$io delquale $egnerai dal lato de$tro $opra una linea lo 8. $eparato, & il 150. tuo partitor di $ot- 37958 253 {8/130} to, & harai per lo auenimento del detto partire 253 {8/150} & que- $to ba$ti quanto al partire per $capezzo, Segue del partir per ripie- go.

[031]DEL PARTIRE PER RIPIEGO.

QVando per ripiego un numero per un'altro partir uuoi, è ne ce$$ario pigliar due o piu'parti integre del tuo partitore, & pighandone 2. parti pigliarle in tal modo, che multiplicata l'una uie l'altra facci il mede$imo partitore, & pigliandone 3. parti, $ie- no in tal modo fatte, che multiplicata la prima uie la $econda, & quel che fa uie la terza facci il mede$imo partitore, fatto que$to, e tu parti quel tal numero che a te piace per una parte del detto par titore, & l'auenimento per l'altra $eguitando ordinatamente nel partir tante uolte, quante parti, ouero ripieghi harai fatto del tuo partitore.

Onde $e ti fu$$e detto, parti 250047. per 63. dico che $acci di 63. 250047 95721 3969 tuo partitore due tal parti, che multiplicata l'una uie l'altra facci il mede$imo 63. delle quali l'una è 7. et l'altra 9. hor dico che par ti 250047. per 7. & ne uerra 35721. ilqual partirai per l'altro ri- piego, cioè per 9. & ne uerra 3969. $enz'alcun auanzo per lo det- to partimento. Po$$eui anchora pigliar del tuo partitor due altre parti, delquale l'una era 3. & l'altra 21. & partir come s'è mo$tro, ma quanto piu ledette parti l'una all'altra s'auuicinano, a me par piu leggiadro, & $icuro il modo dell'operare.

Et dicendo$i parti 765784. per 96. piglierai duo tal 96 765784 P. 8) 95723 P. 12) 17976 {11/12} parti di 96. tuo partitore, che multiplicata l'una uie l'altra facci il mede$imo 96. delle quali l'una $era 8. & l'altra 12. onde partirai 765784. per 8. primo ripiego, ne nerra 95723. ilquale partirai per 12. $econdo ripiego, & ne uerra 7976. con 12. d'auanzo, ilquale $egna $opra una linea dal lato de$tro, & 12. $econdo ripiego $otto, & hauerai 7976. {11/96} l'auuenimento.

Et hauendo a partire 587694. per 126. pigliato che harai due tal parti del 126. tuo partitore, che multiplicata l'una uie l'altra facci il mede$imo 126. delle quali l'una $era 9. & l'altra 14. allho- ra tu parti 587694. per 9. primo ripiego, & ne uerra 65299 {3/5} il [032] 587694 P 9) 65299 {3/9} P 14) 4664 {34/336} quale parti per 14. $econdo ripiego, & ne uerra 4664. & auanza 3. ilquale multiplica uie 9. che è $ot to la linea delli {3/5} rotto del primo partimento, & ag giugneui il 3. che è $opra la linea del detto rotto, & fa ra 30. ilquale $egna $opra una linea, & 126. tuo partitore di $ot- to, & harai 4664. {30/126} d'auuenimento, & que$te ti $eruino per regule generali.

Sono infiniti numeri per liquali non $i puo partir per ripiego, come 29. & 31. & 37. & 41. & altri innanzi, ma doppo que$ti infi niti, iquali $ono chiamati numeri contra $e primi, per non e$$er compo$ti d'altri numeri che d'unita, ma hauendo per que$ti & per altri anchora di piu figure a partire ti $eruirai del partire a' danda, o a galera.

DEL PARTIRE A DANDA.

IL partire a danda è molto nece$$ario a chi e$perto ragioner e$- $er de$idera, & è chiamato a danda il detto modo, perche à o- gni $uttrattion fatta nel operare $e li da una o piu figure dal lato de$tro, talmente che la detta $uttrattione con la figura o figure da- te $i pos$i partir per il tuo partitore. Et quando a danda un nume- ro per un'altro partir uorrai, $egnerai il tuo partitor $opra le figu re di man $ini$tra del numero che $i parte. Dipoi mira quante uol- te entra l'ultima figura del partitore nell'ultima di quel che $i par- te, & quante uolte u'entra $egna $opra una linea dal lato de- $tro del numero che $i parte, laqual figura $egnata $opra la detta li nea multiplica uie'l partitore figura per figura, & $egnarai $otto tante figure da man $ini$tra del numero che $i parte, quante figure $ono nel tuo partitore, fatto que$to $opra le figure uenute di detta multiplicatione di quelle del numero che $i parte che alloro $ono $opra, & allo auanzo di detto $uttraimento darai dal lato de$tro la figura $eguente della partitione ouero numero che $i parte, la- quale uiene dal lato de$tro della figura della quale $i cominciò a trarre, & mira quznte uolte entrar il partitore in detto $uttrai- mento, & figura datali, & non u'entrando daragliene un'altra oue [033] ro tante ch'entrar ui po$$a: & quante uolte u'entrera, $egnerai $o- pra la mede$ima linea dal lato de$tro dell'altra figura che $egna$ti, & multiplicala uie'l partitore $egnando $otto, & $ottraendo come s'è detto. Et $e l'ultima figura del partitore per e$$ere minore non pote$$e entrar nell'ultima del numero che $i parte, all'hora è da ue- der quanto l'ultima figura del partitore puo entrar nelle due ulti- me di que$ che $i parte, & quel che u'entra $egnar $opra una linea dallato de$tro, & multiplicar come s'è detto, ma nel $egnar detta multiplicatione è d'auuertire di $egnarla $otto una figura piu del numero che $i parte, che non $ono quelle del partitore. Et è da con$iderare che tante uolte quanto l'ultima figura del partitore en train quella, ouero in le due ultime della partitione, pos$i anchor tante uolte entrar la $eguente figura del partitore in quello che auanzò copulato con la $eguente figura del numero che $i parte, & co$i dell'altre che $eguono, altrimenti li auuenimenti $ariano fal $i, $i che $tarai attento.

Onde $e ti fu$$e detto parti 76893. per 542. Segnato che harai il tuo partitore $opra il numero che $i parte, e tu uedi 542.. 76893) 181 {471/982} 542 2269 2168 1013 542 471 quante uolte il 5. ultima figuradel partitore puo entrare in 7. ultima figura di quel che $i parte che u'entra una uol ta, & co$i $egnerai 1. $opra una linea dal lato de$tro, & multiplicalo uie'l partitore dicenao uno uie 2. fa pur 2. il qual $egnerai $otto l' 8. del numero che $i parte.dipoi mul tiplica 1. uie 4. che fa 4. quale $egna $otto il 6. dipoi mul- plica 1. uie 5. che fa 5. ilqual $egna $otto il 7. & ulti- ma figura del numero che $i parte, harai $egnato 542. $otto 768. Hora $ottrerrai quel di $otto di quel di $opra, & re- $tera 226. alquale darai il 9. figura $eguente del numero che $i par te $egnandolo dal lato de$tro, & fara 2269. Hora fa un punto al 9. della partitione, & perche il detto 2269. è di 4. figure, & il tuo partitor di tre, è da ueder quante uolte il 5. ultima figura del parti- tore puo entrare in 22. che u'entra 4. ilqual $egna $opra la mede$i ma linea che $egna$ti lo 1. & multiplica il detto 4. uie'l partitore, & $egnando la detta multiplicatione $otto al 2269. & $ottraendo- la di quello, ti auanzera 101. alquale darai dal lato de$tro il 3. pri- [034] ma figura del numero che $i parte, & fara 1013. che per e$$er di 4. figure, & il tuo partitor di 3. è nece$$ario ueder quante uolte il 5. ultima figura del partitore, entra in 10. ultime del 1013. che u'en- trarebbe 2. uolte quando nel 1. $econda figura del 1013. u'entra$$e il 4. del partitore due altre uolte, il che non è pos$ibile, perche non auanzando niente del 10. non puo entrar 4. nel 1. per tanto $i puo giudicare che 5. nel detto 10. non ui pos$i entrar piu che una uol- ta, onde il detto 1. $egnerai dal lato de$tro $opra la mede$ima li- nea dell'altro 1. & 4. & multiplica il detto 1. uie'l partitore, & fara pur 542. che $egnato $otto al 1013. & $ottratto auanzera 471. il- quale $egna dallato de$tro del 141. uenuto, & il 542. partitore di $otto, et hauerai 141 {471/542} per lo auuenim\~eto del detto partitore.

Et dicendo$i parte 6549832. per 789. Segnato 789 ... 6549832 (8301 {343/789} 6312 2378 2367 132 789 343 che harai il partitore $opra la partitione come in margine, e tu mira quante uolte il 7. del partitore puo entrare in 65. del numero che $i parte, che u'entrarebbe 9. quando nell'auan- zo che è 2. imaginato dallato $ini$tro del 4. $eguente figura di quel che $i parte con che fa 24. u'entra$$e lo 8. $eguente figura del parti- tore altre 9. uolte, ilche non è pos$ibile, per tanto dirai che 7. in 65. u'entri 8. ilquale $egna $opra una linea dal lato de$tro, & multipli- calo uie'l partitore dicendo 3. uie 9. fa 72. di che $egnerai 2. & $alue rai 7. ilqual 2. per hauer tu partito con una figura del partitore, le due di quel che $i parte, è nece$$ario nel $egnar tal multiplicatione cominciare a $egnarla $otto una figura piu del numero che $i parte che non $ono quelle del partitore. onde $egnerai il detto 2. $otto al 9. di quel che $i parte, dipoi multiplica 8. uie 8. & aggiugneli il 7. $aluato, & $ara 71. delquale $egnerai lo 1. $otto il 4. & $aluerai 7. Di poi multiplica 8. per 7. & aggiugneui il 7. $aluato, & fara 63. ilqua le $egnerai $otto al 65. del numero che $i parte, & harai per detta multiplicatione 6312. ilqual trarrai di 6549. e ti auanzera 237. alquale darai dal lato de$tro lo 8. figura $eguente del numero che $i parte, & $ara 2378. facendo un punto $opra l' 8, di quel che $i par- te, ilquale 2378. per e$$er di 4. figure. & il tuo partitor di 3. ti con- uien uedere quante uolte il 7. del partitore puo entrare in 23 ulti me figure del 2378, che u'entra ben 3. ilquale $egnerai dal lato de- [035] $tro $opra la mede$ima linea che $egna$ti l' 8. & multiplica il detto 3. uie'l partitore. & fara 2367. che $egnato $otto al 2378. & $ottrat to auanzera 11. alquale darai dal lato de$tro il 3. del numero che $i parte. & fara 113. & farai un pũto $opra il 3. del numero che $i par te, ilquale 113. p. e$$er minore, nõ è pos$ibile che'l 789. partitore ui pos$i entrare alcuna uolta, per ilche $egnerai o. $opra la linea dal la- to de$tro dell' 8. & del 3. & al 113 darai il 2. del numero che $i par te. & fara 1132. ilquale per e$$er di 4. figure, & il tuo partitor di 3. è nece$$ario ueder quante uolte il 7. del partitore po$$i entrar nel 11. del 1132. che u'entra 1. ilquale $egnato $opra la linea dallato de$tro del o. & multiplicalo uie'l partitore, & quel che fa $egnato fotto al 1132. & $ottratto auanzera 343. ilquale per e$$er finito det to partimento lo $egnarai dal lato de$tro del 8301. & $otto il detto 343. $egnerai 789. partitore & harai 8301 {343/789} & co$i opera nelli altri numeri.

DEL PARTIRE A GALERĀ.

IL partir a Galera è molto leggiadro & $peditiuo, ma nõ tanto $i curo per un principiãte quãto il partire a danda, & infra que$ti duo modi ci corre gran di$guaglianza nel operare, per le multipli- cationi & $uttrattioni, perche in que$to di galera uanno per te$ta come per e$empio ti mo$trero. Hor $ia che haues$i a partire 87654. per 53. $egnerai 53. tuo partitore $otto 54. prime figure del nume- ro, che $i parte & uede quãte uolte il 5. del partitore puo entrare in 8. di quel che fi parte che u'entra 1. ilquale $egna $otto il 7. del nu- mero che $i parte, & il detto 1. multiplica uie'l 5. del partitore che fara pur 5. il qual trarrai de 8. di quel che $i parte, & auanzera 3. 00 0224 {43/83} 3460 87654 ilquale $egna $opra lo 8. & all' 8. da di penna & multiplica il detto 1. uie 3. prima figura del partitore, che fa pur 3. ilquale trarrai del 7. del numero che $i parte, & re$tera 4. & $egna il 4. $opra 7. & al 7. da di p\~ena, & harai per lo auanzo 34. che compo$to con 6. figu- ra $eguente del numero che $i parte fara 346. doue ti conuien 53 1653 uedere quanto il 5. del partitore puo entrare nel 34. del 346. che u'entra 6. ilquale $egna $otto all'altro 6. del numero che $i parte, & multiplicalo per 5. ultima figura del partitore, & fara [036] 30. ilquale trai di 34. & re$tera 4. & $egna 0. $opra il 3. & al 3. darai di penna, dipoi multiplica il detto 6. per 3. del partitore, & fara 18. che tratto di 46. re$ta 28. & $egna 28. $opra 46. & da di penna al 46. dipoi comporrai 28. con 5. $eguente figura del numero che $i parte, & fara 285. per il che ti conuien uedere quanto il 5. del par- titore puo entrare in 28. del 285. che u'entra 5. ilquale $egna $otto l'altro 5. del numero che $i parte, & multiplicalo uia il 5. del parti- tore, & fara 25. che tratto di 28. re$ta 3. & $opra il 2. che è $opra il 4. $egnerai 0. & al detto 2. da di penna: & multiplica il detto 5. uie 3. del partitore, & fara 15. che tratto di 35. re$ta 20. quale $egna $o- prail 35. & al 35. da di penna, & compone il detto 20. con 4. pri- ma figura del numero che $i parte, & fara 204. onde è nece$$ario ue- der quante uolte il 5. del partitore puo entrare in 20. del 204. che u'entrerebbe 4. a punto, ma perche il 3. prima figura del partitore non puo entrare altre quattro uolte nel 4. prima figura del 204. per tanto dirai che'l 5. nel detto 20. entri 3. ilqual $egna $otto il 4. prima figura del numer o che $i parte, & multiplicalouie 5. del par titore, & $ara 15. che tratto di 20. re$ta 5. & $opra il 2. $egna 0. & al 2. da di penna. Dipoi multiplica il detto 3. uiel' 3. prima figura del partitote, & $ara 9. che tratto di 54. re$ta 45. ilquale $egna $opra 54. & al detto 54. da di penna, & $otto il 45. ultimo auanzo $egnerai 53. partitore, & harai 1653. {45/53} d'auenimento.

Ma dicendo$i parte 47462. per 59. $egnarai 59. $ottoil 62. del numero che $i parte, & perche il 4. ultima figura del numero 0 072 47462 che $i parte è minor di 5. ultima del partitore, è dibi$ogno ueder quante uolte il 5. del partitore puo entrare in 47. del numero che $i parte che u'entrarebbe 9. uolte quando nello auanzo che è 2. accompagnato con 4. figura $eguente del numero 59 804 {26/57} che $i parte che fa. 24 u'entra$$e altre noue uolte il 9. prima figura del partitore, il che non è po$$ibile, onde dirai che 5. nel detto 47. non u'entri $e non 8. ilquale fegna $otto al 4. del numero che $i par te, & multiplica il detto 8. per 5. ultima figura del partitore, & fara 40. ilquale tra di 47. & re$tera 7. quale $egna $opra il 7. del 47. & $o pra il 4. $egnerai 0. & al 4. da di pen na. Dipoimultiplica 8. uie 9. che fa 72. ilquale tratto di 74. re$ta 2. ilquale $egna $opra il 74. & [037] al 74. da di penna. Dipoi comporrai il 2. auanzo della $uttrattion fatta col 6. $eguente figura del numero che $i parte, & fara 26. ilqua le per e$$er meno di 59. partitore $egnerai 0. $otto al 6. del nume- ro che $i parte, & il detto 26. compone con 2. prima figura del nu- mero che $i parte, & fara 262. onde ti bi$ogna ueder quante uolte il 5. del partitore puo entrare in 26. del 262. che u'entrerebbe 5. ma non u'entra, perche nell'auanzo che è 1. accompagnato con 2. prima figura del numero che $i parte che fa 12. non u'entra il 9. del partitore altre 5. uolte, per tanto dirai che 5. nel detto 26. non u'en tri $e non 4. ilquale $egna $otto il 2. del numero che $i parte, & multiplicalo uie'l partitore dicendo 4. uie. 5. fa 20. che tratto di 26. auanza 6. & $egnerai 0. $opra il 2 & al detto 2. da di penna, & il 6. puo $tar fermo, dipoi multiplica il detto 4. uie 9. & fara 36. che trattodi 62. re$ta 26. $otto alquale $egna 59. partitore, & lo auueni mento del detto partire $era 804 {26/95} & co$i procederai quando ti bi$ogna$$e partire per altri numeri da piu figure.

COME SI PROVINO IPARTIMENTI.

ET uolendo ueder per la proua del 7. $e bene ftia il detto parti 5 63 23 mento, partirai 59 tuo partitore per 7. & auanzera 3. per la fua proua, ilquale $egna dal lato come in margine $i dimo$tra, di- poi parti 804. auuenimento del partire per 7. & auanzera 6. per la $ua proua, ilquale $egna dal lato de$tro del 3. dipoi parti 26. auan- zo del detto partire per 7. & auanzera 5. ilquale $egna come uedi me hauer fatto. hor dico che multiplichi 3. proua del partitore uie 6. proua del 804. auuenimento, & fara 18. alquale aggiugne il 5. proua dell'auanzo del detto partire, & fara 23. che partito per 7. auanza 2. per la $ua proua, e tanto ha da e$$ere la proua del nume- ro partito, che co$i è perche partendo 47462. per 7. auanza 2. come uoleuamo, adunque $i puo giudicar per tal proua detto partire $tar bene.

Puoi anchora prouar il detto partir per la proua del 9. ma per 8 53 23 piu de$trezza in que$ta $ummerai 5. & 9. figure del partitore. & fa- ra 14. che partito per 9. auanza 5. per la $ua proua, ilquale $egna dal [038] lato come uedi. Dipoi $umma l' 8. & il 0. & il 4. figure del 804. aue- nimento, & fara 12. che partito per 9. auanza 3. per la $ua proua, ilquale $egna dal lato de$tro del 5. fatto que$to, $umma 2. & 6. del 26. auanzo di detto partire, che fara 8. che per non $i poter partir per 9. diremo la proua $ua e$$er pur 8. ilquale $egna $opra l'altre proue uenute, & multiplica 5. proua del partitore uie 3. proua del 804. auuenimento, & fara 15. alquale aggiugne l' 8. proua dell'auã 20, & fara 23. che partito per 9. auanza 5. per la $ua proua, e tanto conuiene e$$er'la proua del numero che s'è partito, che co$i é, perche $ummato il 4. & 7. & 4. & 6. & 2. figure del detto numero partito fanno 23. che partito per 9. auanza 5. di proua come uoleuamo, & que$ti ti $eruino per regule generali ancho che per altre proue ti piace$$e operare.

DELLA FALSITA DELLE PROVE.

POtrebbe anchor e$$er che il tuo partire $taria male, & alla pro ua ti tornerebbe bene, & che que$to $ia uero cogno$cerai ag- giugnendo 7. al 804. auuenimento del detto partire che faranno 811. ilquale pone che ti $ie uenuto in cambio del 804. uero auueni mento, hor dico, che tanto $era la proua dell'uno come quella del- l'altro, & uolendol uedere, partirai 811. fal$o auuenimento per 7. & auanzeratti 6. di proua come ti auanzo dell' 804. uero auueni- mento. Il mede$imo ti uerrebbe $e al 804. haues$i aggiunto 14. òue ro altri numeri compo$ti di 7. Et uolendo fal$ificar quella del 9. aggiugnerai 9. all' 804. & fara 813. che pre$one la proua per 9. auanza pur 3. come auanzo del 804. uero auuenimento, & il mede $imo uerrebbe di proua quando al 804. haue$$i aggiunto 18. oue- ro altri numeri compo$ti di 9. ma in que$ta del 9. ci è anchor mag gior fal$ità che in quella del 7. & que$to auuiene perche uedendoti uno ó piu o. che non $i conueni$$e, & facendone la proua per 9. ti tornerebbe come $e il partire $te$$e bene.

Et $e per tutte due fal$ificar la uuoi, multiplica l'una proua uie l'altra cioè 7. uie 9. che $a 63. ilquale aggiugne all' 804. & fara 867. iluale pone che ti $ia uenuto in cambio dell' 804. uero auuenim\~e, [039] to delquale pre$one la'proua per 7. è pur 6. come fu dell' 804. & pre$one la proua per 9. è pur 3. come quella del 804. uero auueni- mento. Il mede$imo puo interuenire nel auuenimen to delle multi plicationi, & co$i delli altri atti quando per le dette, ouero per qua lunqu'altra proua operar ti piace$$e, ma $appi che la uera proua del multiplicare e il partire, & co$i per conuer$o la uera proua del par tire è il multiplicare, & il mede$imo interuiene infra il $ummare & $ottrarre, imperoche l'uno è proua dell'altro, & que$to auuiene co$i ne rotti come nelli interi.

DEL PAR TIRE LIRE SOLDI, ET DENARI.

ET $e ti fo$$e detto parti 8 963. B 14. dena. 9. per 8. Segnato 8 963.14.9 120.9.4 {1/3} che harai il partitore $opra quel che $i parte, e tu parte le 8 963. R 8. & uerrane 8 120. & auanza 3. del quale ne farai $ol di multiplicando per 20. & a detto multiplicatione aggiugnendo li $oldi 14. faranno B 74. che parti per 8. ne uerra 9. & auanzera 2. onde $egnerai i $oldi 9. $otto i $oldi 14. & del 2. auanzato farai de- nari multiplicandolo per 12. & a detta multiplicatione aggiugn\~e- do li denari 9. faranno denari 33. che partiti per 8. ne uerra 4. & auanzera 1. $otto al quale $egnerai l' 8. tuo partitore, & hauerai d'auuenimento 8 120. B. 9. dena. 4. {1/3} & co$i procederai nelli altri partimenti, co$i di pe$i come di mi$ure.

DEL PARTIRE MOGGIA ESTAIA.

ET hauendo a partire moggia 150. e $taia 17. di grano per 13. partirai prima le moggia dicendo 13. in 15. en- 13 m. 150. $ta. 17 11 13{3/13} tra una uolta e auanza 2. che copulato col 0. del 150. fa 20. nel quale 13. partitore entra una uolta e auanza 7. moggia le quali $piega a $taia multiplicando 7. per 24. perche $taia 24. fanno un moggio & a detta multiplicatione aggiogne le $taia 17. & fa- ranno $taia 185. lequali parte per 13. nel modo mo$tro, ne uerra 14. & auanzera 3. ilqual $egna $opra una linea e 13. partitor $ot- to & hauerai che partito moggia 150. e $taia 17. di grano per 13. ne uiene moggia 11. $taia 14 {3/13}.

[040] DEL PAR TIR MARCHI, ONCIE DENARI E GRANE D'ORO.

EDicendo parte marchi 398. oncie 7. denari 30. e grane 10. 24 398.7.30.10 16.4.47.3 {5/12} per 24. parte prima i marchi 398. dicendo 24. in 39. u'entra una uolta & auanza 15. onde $egna uno $otto il 9. come $i uede in margine & il 15. auanzato copula con 8. e fara 158, che partite per 24. ne uien 6. e auanza 14. marchi. onde $e- gna $ei $otto il 398. & il 14. auanzato $piega a oncie che per e$$ere il marco oncie 8. multiplica 14. per 8. & al produtto aggiogne le 7. oncie fara 119. che partito per 24. ne uerra 4. oncie e auanza 23. ilquale $piega a dinari e perche un'oncia è 48. dinari multiplica 23. auanzo per 48. & al produtto aggiogne li 30. denari e fara 1134. denari ilqual parte per 24. e ne uerra 47. denari e auanza 6. ilquale $piega a grani e perche grani 12. $anno un denaio multi- plica il detto 6. per 12. & al produtto aggiugne li 10. denari fara 82. che partito per 24. ne uien 3. e auanza {10/24}. che $chi$ati $ono {5/12}. Onde dirai che partito marchi 398. oncie 7. denari 30. e grani 10. per 24. ne uenga marchi 16. oncie 4. denari 47. grane 3 {5/12}. e co$i procederai nelli altri partimenti, co$i di pe$i come di mi$ure o d'al tre Segue appre$$o il trauagliare irotti.

CHE COSA SIA ROTTO ET COME SI SCHISINO IROTTI.

HAuendo infino a qui parlato di cio che del numero $ano al no$tro trattato bi$ogneuol era, intendo di manife$tar al pre $ente come irotti in$ra loro & con gli interi $i trauaglino, & breue mente parlando, rotto dico e$$er quello che è manco della unita, & po$$on$i $chi$are quando i numeri che rappre$entano il rotto han- no infra loro comune mi$ura ouero ripiego, impercioche non ha- uendo comune ripiego allhora mai $chi$ar non $i po$$ono, come $ono nelli {13/23} che per non e$$ere infra loro comune mi$ura, & per e$$er cia$cun d'es$i numero contra $e primo non è pos$ibile hauer lo $chi$amento loro, Et il modo di $chi$are è que$to, che $i troui il maggior comune ripiego di tutte due i numeri che rappre$entano [041] i$ rotto co$i del denominante come del denominato, & trouato che $ia, partirai l'uno & l'altro numero che rappre$entano il rotto per lo detto maggior ripiego, & li auuenimenti $eranno i numeri che rappre$entano il rotto cia$cuno al $uo relatiuo, come dicendo, $chi$a {2/3} {4/6} dirai il maggior comune ripiego che habbia 24. & 36. {24/36} {2/3} è 12 onde partirai 24. per 12. & uerrane 2. ilqual $egna $oprauna linea. Dipoi parti il 36. per lo mede$imo 12. &ne uerra 3. ilquale $egna $otto la mede$ima linea $opra laqual $egna$ti 2. & harai {2/3} per lo $chi$amento di {24/36}. Et dicendo $chi$a {18/21} diraiil maggior co {18/21} {6/7} mune ripiego che habbia 18. & 21. è 3. per ilche partirai 18. per 3. & ne uerra 6. ilquale $egna $opra una linea, dipoi partirai 21. per lo detto 3. & ne uerra 7. quale $egna $otto la mede$ima linea $opra laqual $egna$ti 6. & harai {6/7} per lo $chi$amento di {18/21}. Et hauendo a $chi$ar {24/64} dirai il maggior comune ripiego che habbia 24. & 64.è 8. onde partirai 24. per 8. & ne uerra 3. quale $egna $opra una linea, dipoi parti 64. per l' 8. detto, & ne uerra 8. quale $egna $ot- {24/64} {3/8} to la mede$ima linea $opra laqual $egna$ti 3. & harai {3/8} per lo $chi- $amento di {24/64}, & que$to ba$ti quanto allo $chi$are, imperoche e$- $endo tu accorto come pen$o, ti $era per que$to modo facile lo $chi $amento de gli altri.

COME SI TROVINO I MAGGIORI COMVNI RIPIEGHI.

IL modo di trouare i maggiori communi ripieghi è que$to, che $i diuida il maggior numero che rappre$enta il rotto per il mi nore, & $e lo auanzo di detta diui$ione $era o. allhora il minor nu mero $era la maggior comune lor mi$ura come in {12/60} che diui$o 60. per 12. auan za o. adunque 12. é la lor maggior comune mi$u- ra, & $e partendo il maggior per lo minore auanza$$e alcuna co$a, allhora quel che auanza $i $alui, & chiami$i auanzo primo per lo quale $i parta il numero minore, & $e auãza o. allhora quel primo auãzo $era la lor maggior comune mi$ura come in {20/44} che diui$o 44. per 20. auanza 4, & diui$o 20. per 4. che $i dice primo auanzo non auanza nulla, & pero 4. è la maggior comune mi$ura, & $e partendo il minor numero per lo primo auanzo alcuna altra co- [042] $a auanza$$e, allhora quello $i dice $econdo auanzo. & $e partendo il primo auanzo per lo $econdo nulla auanza$$e, allhora il $econdo auanzo $era la maggior comune mi$ura come in {18/30} che partito per 30. per 18. auanza 12. & diui$o 18.per 12. auanza 6. & partito 12. per 6. auanza o. adunque 6. éla maggior comune mi$ura di {18/30}. Et $e partendo il primo auanzo per lo $econdo alcuna co$a auanza$$e, quello $i direbbe auanzo terzo per lo quale partire$ti il $econdo facendo co$i $empre per fino a tanto che $i uenga a uno auanzo, che l'antecedente interamente partir po$$a, & cio $i uede per quello che il Megaren$e nella prima del $ettimo dimo$tra.

DEL MVLTIPLICAREI ROTTI.

ET $e ti fu$$e detto multiplica {2/3} uie {4/3}. Sempre per regula ge- nerale multiplica il numero che è $opra la linea dell'un rot- {2/3} = {4/3} {3/15} to uie quel che è $opra la linea dell'altro, dicendo nel no$tro e$em- pio 2. uie 4. fa 8. ilqual $egna $opra una linea. Dipoi multiplica il numero che è $otto la linea dell'un rotto uie quel che è $otto la li- nea dell'altro dicendo nel no$tro e$empio. 3.uie 5. fa 15. ilquale $e- gna $otto la mede$ima linea $opra laqual $egna$ti 8. & harai {8/25} per lo multiplicamento di {2/3} uie {4/@}.

Et dicendo$i multiplica {2/3} uie 7. fa co$i $egna 1.$otto al 7. con u@ linea in mezzo per denotar la $ua integrita, & co$i farai nelle altre $imili, dipoi farai come nella pa$$ata multiplicatione, multiplican- do 2. uie 7. che $ono $opra le linee, & faranno 14. ilquale $egna $o- pra una linea dal lato de$tro. Dipoi multiplica 2. uie 3. che $ono {2/3} = {7/1} {14/3} 4{2/3} $otto le dette linee, & faran pur 3. ilqual $egna $otto la mede$ima linea $opra laqual $egna$ti 14. & harai per detta multiplicatione {14/3}. Hor dico che $empre che harai finito d'operare co$i nelli al- tri atti come in que$to, & che il numero che è $opra la linea del rot to $ia uenuto maggior di quel di $otto $empre del detto auueni- mento $e ne caua interi, partendo quel di $opra per quel di $otto, onde partirai 14. che è $opra la linea per 3. che è $otto, & ne uerra 4. & auanzera 2. iquali $ono {2/3} & co$i puoi ri$pondere che multi- plicati {2/3} uie 7. facci 4. {2/3}.

[043]

Ma dicendo$i multiplica {2/3} uie 3. {1/4}. In que$ta per e$$ere accõpa gnato {1/4} con li 3. integri, è dibi$ogno far delli 3. integri quarti, che $i fanno multiplicando li integri uie'l numero che è $otto la linea che rappre$enta il rotto, & a detto multiplicamento $empre s'ag- {2/3} 3 {1/4} giugne quello che è $opra la linea d'e$$o rotto, adunque multiplica 3.uie 4. che fa 12. alquale aggiugne lo 1. che è $opra la linea del rot {2/3}={13/4} {26/20} to, & fara 13. & co$i $ono {13/4} & idetti {13/4} è dibi$ogno multiplicar uie {2/3} come nelli pa$$ati ca$i s'è mo$tro multiplicar 2. uie 13. che $o- 2 {3/10} no $opra le linee & faranno 26. ilquale $egna $opra una linea dal 1 {6/20} 2 {3/10} lato de$tro. Dipoi $i multiplichi 4. uie 5. che $ono $ottto le dette li- nee, & faranno 20. quale $i $egni $otto la mede$ima linea $opra la- qual $i $egno 26. & harai {26/20} & per e$$er maggiore il numero che è $opra la linea di quel di $otto, partirai 26. che è $opra per 20. che è $otto, & ne uerra 1, & auanzera {6/20} che $chi$ati per 2. ne uiene {2/@} uie 3.{1/4}.

Et dicendo$i multiplica 3. uie 2.{4/3} farai delli 2. interi quinti co- 3 2 {4/5} {3/1} = {14/3} fãno {42/5} 8 {2/3} me della pa$$ata multiplication face$ti, multiplicando 2. uie 5. che e $otto la linea & fara 10. alquale aggiugne il 4. che è $opra, & fara 14. iquali $ono {14/3} & que$ti ti conuiene multiplicar uie 3. onde $e- gnerai 1. $otto al 3. a dinotar la $ua integrita, & multiplica 3. uie 14. che $ono $opra le linee, & fara 42. ilquale $egna $opra una linea. Dipoi multiplica 1. uie 5. che $ono $otto le dette linee, & fara pur 5. ilquale $egna $otto la mede$ima linea $opra la qual $egna$ti 42. & harai {82/3} che per e$$er maggiore il numero che è $opra la linea di di quel di $otto ridurrai a interi partendo 42. per 5. & ne uerra 8 {2/8} per la detta multiplicatione.

Et dicendo$i multiplica 2 {1/3} uie 4 {1/2}, perche in que$ta con cia$cu- no delli numeri $ani è accompagnato il rotto, è nece$$ario cia$cun 2 {1/3} 4 {1/2} numero $ano ridurre al $uo rotto, multiplicando 2. uie 3. & aggiu gnendoui 2. che è $opra la linea del {1/3} fara 7. ilqual $egna $opra una {7/3}={9/2} linea, & il 3. $uo denominator di $otto & fara {7/3}. Hor è nece$$ario delli 4. interi far mezzi, multiplicando 4. per 2. che $otto la linea {63/6} 6{1/2} del {1/2} & a detta multiplicatione aggiugne 1. che è $opra & fara 9. che $egnato $opra unalinea, & il 2, $uo denominator di $otto fara {9/2} [044] i quali s'hanno a multiplicare {7/3} multiplicando 7. uie 9. che $ono $opra le linee & faranno 63. ilquale $egna $opra una linea, dipoi multiplica 2. uie 3. che $ono $otto le dette linee, & faran 6. ilquale $egna $otto la linea $opra laqual $egna$ti 63. & harai {63/6} de quali per e$$er maggiore il numero che è $opra la linea di quel che è $ot to, è nece$$ario cauarne interi partendo. 63. per 6. di che ne uien 10. & auanza 3. iquali $ono {3/6} che $chi$ati per 3. ne uien {1/2}, & co$i ri$põ derai, che multiplicato 2 {1/3} uie 4 {1/2} $acci 10 {1/2}.

Sono alcuni che per fondar$i for$e fopra le parole di Pietro Error di Pieiro Borgio. Borgio, lo par che nel multiplicar de rotti s'interuenga fal$ita, di- cendo che la natura delmultiplicare, e di cre$cere & non di $cema- re, come 3. uie 4. che fa 12. ma $e non cre$ceno al manco non $cema no, impero che 1. uie 6. fa 6. & nelli rotti dicono che $empre che $i multiplica rotto uie rotto il produto di detto multiplicamento ui- en minore che non è ni$$un de multiplicati, & uanno domandan- do perche multiplicati {3/4} per {2/3} facci {1/2} & multiplicato {1/2} per {1/2} facci {1/4} a iquali co$i da me è $tato ri$po$to, non $ai tu che'l multiplicar de numeri è pigliar tante uolte il numero multiplicando quanto uno è nel multiplicante, ouer tante uolte il numero multiplicante, quan te unita $ono nel multiplicando, onde multiplicar 3. uie 4. non è altro che domandar tre uolte quattro o uero qnattro uolte tre, che in tutti modi fa 12. e co$i multiplicar 3. uie 3. non è altro che dire, io uoglio 3. uolte 3. che $on 9. & il mede$imoauuiene ne i rotti, con cio$ia che multiplicare {3/4} uie {2/3} non è altro che domandare li {2/3} de {3/4} ouero li {3/4} de {2/3} che $ono {2/4} cioè {1/2}, e co$i multiplicando {1/2} uie {1/2} non é altro che dire, io uoglio una mezza uolta {1/2} che è {1/4}. Nondimeno frate Luca dal Borgo dice che il produtto della multiplication del {1/2} uie {1/2} che è {1/4} è in $u$tantia maggiore che cia$cun de multiplicati, Error di frate Luca @ d'altri. cioè d'un mezzo, del che per quel che s'è detto $i uede il detto frate con alcuni altriincorrere in error non piccolo. Volendo dipoi il detto frate mo$trar geometricamente come in $u$tantia il detto {1/4} $ia maggior del {1/2} incorre in un'altro error molto maggior del pri mo, perche adduce un quadro equilatero d'un braccio o d'un pal mo, o d'un piede come in margine, e dice che a multiplicare il lato del quadretto piccolo in $e ilquale per faccia è la meta del gran- [045] de fa {1/4}, alqual ri$pondendo dico che per non poter$i comparar la linea alla $uperficie tal dimo$tratione non e$$er buona, & quando $i pote$$e comparar, bi$ognaria che e$$o diuide$$e tal quadro non $olo in due equali parti, ma che anchora i lati di cia$cuna delle due parti fu$$ero intra loro equali, ilche non è pos$ibile. Et ancor che come hoidetto tal comparation $i pote$$e fare, il detto qua dret to non $era mai $e non la quarta parte del grande, & chi dira e$$ere in $u$tantia maggior della meta incorrera per mio auui$o nel me- de$imo error del $rate.

DEL PARTIRE I ROTTI.

DOpo il modo del moltiplicar de rotti $eguita il narrar il {2/3} X {4/5} {12/10} 2 {1/8} modo di partirli, ilqual ua co$i, che $egnato che $ia il partito re dal lato $ini$tro di quel che $i parte $i multiplica quel che è $otto la linea del partitore uie quello che è $opra la linea di quel che $i parte, & il produtto $i $egna $opra una linea, dipoi $i multiplica quel che è $otto la linea di quel che $i parte uie quello che è $oprz la linea del partitore, & quel che fa $i $egna $otto la mede$ima li- nea $opra laqual $egna$ti l'atro produtto, onde $ia che haues$i á partire {4/3} per {2/3} $egnerai {2/3} tuo partitore dal lato $ini$tro de {8/9}, dipoi facendo una croce multiplica 3. che è $otto li {2/3} tuo partitore uie 4. che è $opra li {4/5} che $i partono, & fara 12. ilquale, $egna $opra una linea. Dipoi multiplica 5. che è $otto nelli {4/@} che $i partono uie 2. che è $opra nelli {2/3} che $ono partitore, & fara 10. ilqual $egna $otto la mede$ima linea $opra laqual $egna$ti. 12. & harai {12/10} che per e$$er maggiore 12. che è $opra la linea di 10. che è $otto, partirai 12. per 10. & ne uerra 1. & auanzera {2/10} che $chi$ati per 2. $ono {1/8} & co$i hai, che partito {4/@} per {2/3} ne uiene. 1 {1/3}.

Ma dicendo$i parti 4. per {2/3} fa co$i, $egna {2/3} tuo partitore dal lato {2/3} X {4/1} {12/2}.6. $ini$tro del 4. che $i parte $egnando 1. $otto al detto 4. a dinotar la $ua integrita, dipoi per uia di croce multiplica 3. che è $otto {2/3} che $ono partitore uie 4. che è $opra {3/4} che $i partono & fara 12. ilquale $egna $opra una linea, dipoi multiplica 1. che è $otto nel {4/1} uie 2. che è $opra nelli {2/3} & fara pur 2. ilqual $egna $otto la mede$ima li- [046] nea, $opra laqual $egna$ti 12. & harai {12/2} che ridutti a interi, part\~e do 12. per 2. ne uerra 6. interi a punto per lo detto partimento.

{8/1} X {2/5} {2/40} {1/20}

Et dicendo$i parte {2/3} per 8. $egnerai 8 tuo partitore dal lato $ini $tro de {2/3} $egnando 1. $otto al detto 8. Dipoi per crociamento, co- me s'è detto, multiplica 1. che è $otto la linea del 8. partitore uie 2. che è $opra la linea in {2/9} che $i partono, & fara pur 2. ilqual $egna $opra una linea, dipoi multiplica 5. che è $otto la linea in {2/3} uie 8. che $i partono che è $opra la linea in {8/1} partitore & fara 40. ilquale $egna $otto la mede$ima linea $opra laqual $egna$ti 2. & harai {2/40} che $chi$ati per 2. ne uiene {1/20}.

Ma dicendo$i parti 4. {1/2} per {2/3}. In que$ta è nece$$ario ridurre 4. {1/2} a mezzi multiplicando 4. per 2. & aggiugnendoui 1. che è $opra {2/3} X {9/2} {27/4} 6 {3/4} nel {1/2} & fara {9/2} iquali $egna dal lato de$tro de {2/3} tuo partitore, dipoi per crociamento come s'è mo$tro, multiplica 3. che è $otto la linea de {2/3} partitore, uie 9. che è $opra la linea di {9/2} che $i partono, & fara 27. quale $egna $opra una linea. Dipoi multiplica 2. che $otto la li- nea de {9/2} uie 2. che è $opra la linea di {2/3} & fara 4. ilqual $egna $otto la mede$ima linea $opra laqual $egna$ti 27. & harai per il detto partimento {27/4} de quali per e$$er maggiore 27. che è $opra la linea, del 4. che è $otto, è dibi$ogno cauarne interi, partendo 27. per 4. & ne uerra 6{3/4}.

Et dicendo$i parti {4/3} per 2 {1/3}. Ridurrai 2. {1/3} tuo partitore a terzi multiplicando 2. uie 3. & aggiugnendoui lo 1. che è $opra, & fara {7/3}, quali per e$$er partitore $egna dallato $ini$tro di {4/@}. Die {7/3} X {4/5} {12/35} poi per uia di crociamento multiplica 3. che è $otto la linea de {7/3} partitore uie 4. che è $opra la linea di {4/3} che $i partono, & fara 12. ilquale $egna $opra una linea dipoi multiplica 5. che è $ot- to la linea de {4/3} uie 7. che é $opra la linea di {7/3} & fara 35. ilqual $e gna $otto la mede$ima linea $opra laqual $egna$ti 12. & harai {12/3} per detto partimento che non $i puo altrimenti $chi$are.

Ma dicendo$i parti 6 {1/2} per 5. $egnato che harai 1. $otto al 5. tuo p artitore tu riduce 6 {1/2} a mezzi multiplicando 2. uie 6. & aggiu- [047] gnendoli 1. che è $opra al {1/2} & fara {13/2} iquali $egna dal lato de$tro di {5/1} partitore, & multiplica per uie di croce 1. che è {5/1} X {13/2} {13/1} 1 {3/10} $otto {5/1} partitore, uie 13. che è $opra in {13/2} che $i partono, & fara pur 13. ilqual $egna $opra una linea, dipoi multiplica 2. uie 5. & fara 10. quale $egna $otto la mede$ima linea $opra laqual $egna $ti 13. & harai per detto partimento {13/10} che $ono 1 {3/10}.

Et dicendo$i parti 7. per 3. {1/@} Ridurrai 3 {1/@} tuo partitore a quinti multiplicando 3. uie 5. & aggiugnendoui 1. che è $o- {16/5} X {7/1} {35/16} 2 {3/16} pra & faranno {16/3} quali $egna dal lato $ini$tro del 7. & $otto al 7. $egnerai 1. come s'é detto, dipoi per uia dicroce, come nell'al- tre s'è fatto, multiplica 5. che è $otto in {16/5} partitore uie 7. che è $o- pra in {7/1} che $i partono, & fara 35. ilqual $egna $opra una linea, di- poi multiplica 1. uie 16. & fara pur 16. ilqual $egna $otto la mede $ima linea $opra laqual $egna$ti 35. & harai per lo detto partimen to {35/16} iquali $ono 2{3/16}.

Ma dicendo$i _p_arti 12 {1/2} per 4 {2/3} Ridurrai 12 {1/2} a mezzi multi- plicando 12. per 2. & aggiugnendoui 1. che è $opra, & fa- 4 {2/3} 12 {1/2} {14/3} X {25/2} {75/28} 2 {1/2} {9/8} ranno {25/2} dipoi ridurrai 4 {2/3} a terzi multiplicando 4. per 3. & aggiugnendoui 2. che é $opra, & faranno {14/3} iquali per e$- $er partitore, $egnerai dal lato $ini$tro di {25/2} & per crocia- mento come s'è detto, multiplica 3. uie 25. che fa 75. ilqual $egna $opra una linea, dipoi multiplica 2. uie 14. & fara 28. ilqual $egna $otto la mede$ima linea $opra laqual $egna$ti 75. & harai per det- to partimento {75/28} che $ono 2{19/28}.

Pare a qualch'uno che nel partir ouero intrare de rotti ci inter- uenga qualche contrarietà, & dicono che $e il partitore $era man- co che la unita, $empre lo auuenimento par che $ia maggior che Error d'al cuni. quel che $i parte, laqual co$a non parra à chi ben con$idera il mo- do di tal atto. Perche $i dira {1/3} di braccio fa un paio di $carpe, uo- lendo ueder le 4. braccia quante paia di $carpe faranno, è dibi$o- gno partir 4. per {1/3} di che ne uien 12. ilqual benche in figura appa- ri$ca maggiore, nondimeno non è in $u$tantia, imperoche il detto 12. $ono terzi, & non $ono interi. Et co$i $e dirai li {2/5} fanno una [048] berretta, braccia 2 {1/3} quante berrette faranno 2 dico e$$er dibi$ogno partire 1 {1/3} per li {2/3} che ne uien 3. & tante berrette $i fara con brac- cia 1 {1/3}, iquali 3. uenuti non $ono interi, ma ogn'un d'es$i é compo $to d 1 {2/3}, & per chiarirtela meglio, dico che $e li {2/5} fanno una berret ta, chiara co$a è che 1 {1/3} che $ono {6/3} faranno 3. berrette.

DEL SVMMARE 1 ROTTI.

HAuendo a$$ai a ba$tanza parlato circa il multiplicare & par tire de rotti, Seguita hora il modo di $ummarli, & $ia che haues$i a $ummare {1/2} con {2/3}, multiplicherai in croce come nel par- tir s'è fatto, dicendo 2. uie 2. fa 4. & 1. uie 3. fa 3. lequali due {1/2} X {2/3} {7/6}. 1 {1/6} multiplicationi, cioè 3. & 4. aggiugne in$ieme & faran 7. il- qual $egna $opra una linea, dipoi multiplica 2. che è $otto la linea del {1/2} uie 3. che è $otto la linea delli {2/3} & fara 6. quale $egna $ot to la mede$ima linea $opra laqual $egna$ti 7. & harai per la detta $umma {7/6} che $ono 1 {3/6}.

Et nota che quando harai a $ummare rotti con interi & rotti, ouero interi & rotti con interi & rotti, non è di neces$ita che ridu- ca gli interi a rotti come nelli altri atti, ma che $ummi i rotti infra loro, & la detta $umma aggiunga alli interi. Hor $ia che {2/3} X {4/9} {22/15} 4 1 {7/1} {/5} 5 {7/15} haues$i a $ummare {2/3} con 4 {4/5}, fa co$i, $umma {2/3} con {4/5} multi- plicando in croce, & dicendo 3. uie 4. fa 12. & 2. uie 5. fa 10. lequa li due multiplicationi aggiugne in$ieme, & faranno 22. quali $e- gna $opra una linea, dipoi multiplica 3. uie 5. che $ono $otto le li- nee de detti rotti, che fanno 25. ilqual $egna $otto la mede$ima li- nea $opra laqual $egna$ti 22. & harai {22/13} che $ono 1 {7/13} iquali aggiu gne alli 4. interi & faranno 5 {7/15} per la $umma di {2/3} con 4 {4/8}.

Ma dicendo$i $umma 2 {2/3} con 3 {3/4}. Summerai prima gli interi {2/3} X {3/4} {1/1} {7/2} 2 3 5 1 {5/1} {@/2} 6 {5/1} {@/2} infra loro & faranno 5. interi, dipoi $ummerai {2/3} con {3/4} mul- tiplicando 3. uie 3. & 2. uie 4. & dette due multiplicationi $umma in$ieme & faranno 17. quale $egna $opra una linea, dipoi multiplica 3. uie 4. che $ono $otto le linee de detti rotti, & fa- ran 12. quale $egna $otto la mede$ima linea $opra laqual $egna$ti [049] 17. & harai {17/12} che $ono 1 {5/12} quale aggiugne alli 5. interi & faran 6 {5/12}, & tanto fanno a $umniar 2 {2/3} con 3 {3/4}.

Et hauendo a $ummare molti rotti in$ieme, come dicendo, $um- ma {1/2} con {2/3}, con {1/4} con {2/5}. debbi $ummarne due in$ieme quali piu a te piace, uerbi gratia, $umma {1/2} con {2/3} & fara {7/6} iquali $ono 1 {1/6} di che $aluerai lo 1. & il {1/6} $ummerai con {1/4} & fara {10/24} che $chi$ati $ono {5/12} iquali $ummerai con li {2/3} & faranno {49/60} quali aggiugne all'inte- ro $aluato & harai per la detta $umma 1 {49/60}, & co$i farai nelle al- tre anchor che fu$$ero di piu rotti.

DEL SOTTRARRE DE ROTTI.

SEguita hora il narrare il modo di $ottrarre i rotti quarto & ultimo atto del trauagliamento loro, ilqual poco uaria da quel del $ummare, $e non che in que$to del $ottrarre multiplicato che $ia per uia di crociamenti, è dibi$ogno trarre l'una multiplica- tion dell'altra, & la differenza $egnar $opra una linea, dipoi multi- car quello che è $otto la linea dell'un de rotti, uie quello che è $otto la linea dell'altro, & detta multiplicatione $egnar $otto la mede$i- ma linea $opra laqual $egna$ti la differenza detta.

Onde $e ti $u$$e detto trahe {2/3} di {@/5}. fa co$i, multiplica in croce dic\~e do 3. uie 4. fa 12. & 2 uie 5. fa 10. hor dico che $i tria 10. di 12. che {2/3} X {4/@} {2/15} re$ta 2. ilquale $egna $opra una linea, dipoi multiplica 3. uie 5. che $ono $otto le linee d'es$i rotti, & faran 15. ilqual $egna $otto la me- de$ima linea $opra laqual $egna$ti 2. & harai {2/15} per la detta $ut- trattione.

Et dicendo$i trahe {3/4} di 5. Segnerai 1. $otto al 5. dipoi per uia di croce multiplica 4. uie 5. & $ara 20. & 1. uie 3. che fa pur 3. ilqual trahendo di 20. re$ta 17. quale $egna $opra una linea, dipoi multi- plica 1. uie 4. che $ono $otto le linee d'es$i rotti, & faran pur {3/4} X {5/@} {17/4} auãzo. 4 {1/4} 4. ilqual $egna $otto la mede$ima linea $opra la qual $egna$ti 17. & harai per lo auanzo di detto $uttraimento {17/4} che $on- mo 4 {1/4}.

[050]

Ma hauendo a trarre {1/3} di 4 {2/9} Ridurrai il numero $ano al $uo rotto, & harai {22/8} de quali ti conuien trarre li {2/3}, multiplican- {2/3} 4 {2/9} {2/3} X {2/@} 2. {56/1@} 3 {11/15} do in croce 3. uie 22. che fa 66. & 2. uie 5. che fa 10. che trat- to di 66. re$ta 56. quale $egna $opra una linea, dipoi multipli ca 3. uie 5. che $ono $otto le linee d'es$i rotti, & faran 15. ilquale $egna $otto la linea $opra laqual $egna$ti 56. & harai {56/18} che ridutti a interi $ono 3 {11/15} & co$i dirai che tratto {2/3} di 4 {2/3} re$ti 3. {11/13}.

Et hauendo a trarre 4. di 9. {2/3}, fa co$i in que$ta & in $imili, trarrai 4. di 9. di che re$ta 5. appre$$o alquale $egna dal lato de$tro li {2/3} & harai che tratto 4. di 9. {2/3} re$ta 5. {2/3} poteui ancho farla per lo modo dato nell'altre riducendo 9. {2/3} a terzi & trarne 4. ma que$to s'è mo$tro per modo piu pre$to.

Ma hauendo a trarre 4 {2/3} di 7. {1/2}. In que$ta è dibi$ogno redur 4 {2/3} di 7 {1/2} {14/3} X {15/2} {17/6}. 2 {5/6} cia$cuno intero al $uo rotto, & harai a trarre. {14/3} di {15/2} che co- mes'è detto p uia di croce, multiplica 3. uie 15. che fa 45. & 2. uie 14. fa 28. che tratto di 45. re$ta 17. ilqual $egna $opra una linea, dipoi multiplica 2. uie 3. che $ono $otto le linee de detti rotti, & fara 6. ilqual $egna $otto la mede$ima linea $opra laqual $e- gna$ti 17. & harai per lo auanzo di detta $uttrattione {17/6} che ridut- ti a interi $ono 2 {5/6}.

Et hauendo a trarre rotto $imile di rotto $imile, come dicendo tragga$i li {3/5} di {4/5} dico che in que$te $imili ba$ta trarre il denomin a- to dell'uno, del denominato dell'altro, onde trarrai 3. di 4. che re$ta 1. ilquale è {1/3} & tanto re$ta a trarre {3/5} di {4/5} Et hauendo$i detto di trar re {5/8} di {7/8} trare$ti 5. di 7. di che re$ta 2. che $ono {1/8} & tanto re$ta a trarre {5/8} di {7/8}.

DELLA PROVA DE ROTTI.

VOglioti al pre$ente dimo$trare la proua delli 4. atti pa$$ati, cioè Multiplicare, Partire, Summare, & Sottrarre dirotti, & come nelli interi $i di$$e, che la uera proua del multiplicare era il partire, & co$i per conuer$o la uera proua del partire era il multi- [051] plicare, & che il mede$imo interueniua in fra'l $ũmare & $ottrarre, imperoche l'uno è proua dell'altro. Hor $ia che uogli prouar la pri ma ri$po$ta della pa$$ata domanda del multiplicare, quando $i di$- $e che multiplicato {2/3} uie {4/5} fecero {8/15} Dico uolendo ueder $e bene $tia il detto multiplicamento che $i parti i detti {8/15} produtto di det- ta multiplicatione, per il multiplicando, ouero per lo multiplican- te, & partendolo per qual uuoi de dettil'auuenimento debba e$- $er quanto l'altro, & per meglio chiarirtela, dico che partendo idet ti {8/15} per li {2/3} l'auuenimento debbe e$$er {4/5} & parten dolo per {4/5} ne debbe uenir {2/3} che co$i ne uiene come chiaramente $i uede, per il che $i puo iudicare detto multiplicamento $tar bene.

Et uolendo prouar la prima ri$po$ta della pa$$ata domanda del partire quando $i di$$e che partito {4/5} per {2/3} ne ueniua 1 {1/5} dico che in que$ta, & co$i nelle altre è dibi$ogno multiplicare il partitore uie l'auuenimento, & il produtto di detta multiplicatione co nuiene e$ $er quanto il rotto che $i parte, cioè quanto li {4/5} onde multiplica 1 {1/5} auuenimento uie {2/3} partitore, & fara {12/18} che $chi$ati $ono {4/8} come uoleuano.

Ma uolendo prouare la prima ri$po$ta della pa$$ata domanda del $ummare, quando $i di$$e, che $ummato {1/2} con {2/3} faceua 1 {1/6}. Dico che $i tria uno de detti rotti, qual piu ti piace della $umma fatta, & lo auanzo debba e$$er quanto l'altro rotto, onde trarrai {1/2} de 1. {1/6}, & lo auanzo $era {2/3} come uoleuamo, & traendo {2/3} di 1 {1/6}, l'auanzo debbe e$$er quanto l'altro rotto, cioè {1/2} che co$i è.

Et uolendo prouare la prima ri$po$ta della pa$$ata domanda del $ottrarre, quando $i di$$e che tratto {2/3} di {4/5} re$taua {2/15}. Farai co$i. $ummerai lo auanzo cioè li {2/15} con li {2/3} che fu il rotto che $i trahe, & detta $umma debbe e$$er quanto il rotto di che $i tre, cioè {4/8} che co$i è, adunque $i puo giudicar detta $uttrattione $tar bene, & co- me s'è detto per le mede$ime regole $i po$$on prouare i trauaglia- menti de gli interi.

[052] DI VARIE DOMANDE ET RISPOSTE SOPRA I ROTTI

PIacemi hora dimo$trarti alcune dimande & ri$po$te $opra i rotti molto nece$$arie al mercante, lequali benche nel propo- nerle paiano differenti dai quattro atti detti, nondimeno tutte $on fondate $opra il multiplicare & partire come per e$empio ti $era manife$to.

Onde $e ti fu$$e dimandato, piglia ouèr dammi li {2/3} di 3 {1/2}, dico che la ri$po$ta è fondata $opra il multiplicare, & pero multipliche- rai {2/3} uie 3 {1/2} & ne uerra 2 {1/3} & tanto $ono li {2/3} di 3 {1/2}. Et co$i dicen- do, piglia li {11/14} di 28. multiplicherai {11/14} uie {28/1} & faranno 22. Et h- uendo$i detto, piglia li {11/14} di {7/8}, multiplicherai {11/14} uie {7/8} & faranno {77/112} che $chi$ati per 7. ne uiene {11/16}. Et co$i $e $i $u$$e detto quali $o- no li {2/3} di 4. {1/2}, multiplicare$ti {2/3} uie 4 {1/2} & ne uerrebbe 2 {1/3}.

Et $e ti fu$$e detto piglia, ouer dammi li {2/3} di Ⴥ 18. β 13. den. 9. fa 18. 13. 9 6. 4. 7 12. 9. 2 co$i, parti le dette Ⴥ 18. β 13. denar. 9. per 3. & cominciando dalle Ⴥ 18. dirai, parti 18. per 3. ne uien 6. ilqual $egna $otto 18. Dipoi di rai, parti β 13. per 3. ne uien 4. & auanza 1. β. & $egtierai 4. $otto li 13. β. & dell' 1. β auanzato farai den. multiplicandolo per 12. & ag giugnendoui li den. 9. & $aranno denari 21. liquali partirai per 3. che ne uien 7. quali $egna $otto li denari & harai Ⴥ 6. β 4. den. 7. li quali $ono lo. {1/3} della quantita che $i parte, ma perche s'è detto di uolere li {2/3} ti conuien multiplicare Ⴥ 6 β 4. denari 7. per 2. comin- ciando dalli denari, & faranno Ⴥ 12. β 9. den. 2. & ranto $ono li {2/3} di Ⴥ 18. β 13. den. 9.

Et dicendo$i li 4. β. che parte $ono d'una Ⴥ, $a co$i. parti 4. per 20. & ne uerra {4/20} cioè {1/3} per detta propo$ta. Ma dicendo$i β 3. & den. 4. che parte $on d'una Ⴥ. dirai co$i li 4. den. $ono {1/3} do β & partirai 3 {1/3} per 20. come s'è mo$tro, & uerranne {1/6} & tal parte $ono li β 3. & den. 4. d'una lira.

Et dicendo$i le 3. $taia & {3/4} che parte $ono di moggio@fa co$i, per [053] che un moggio è $taia 24. parti 3 {3/4} per 24. & ne uerra {5/32}, & tal parte $ono le $taia 3 {3/4} d'un moggio.

Et dicendo$i li {2/3} che parte $ono di {3/4} @ fa co$i, parti {2/3} per {3/4} & ne uerra {8/9} per la $ua diffinitione. Et co$i dicendo li {3/4} che parte $ono di 2. {1/3} @ partirai li {3/4} per 2 {1/3} & ne uerra {9/28} per $ua ri$po$ta.

Ma dicendo$i li 9. den. che parte $ono d'una Ⴥ perche den. 9. $o no li {9/12} cio è li {3/4} d'un $oldo parti {3/4} per 20. & uerrane {3/80} & tal par- te $ono li 9. den. d'una Ⴥ, & que$to $i domanda modo di ridurre in parte ilquale è molto utile. & que$to ba$ti quanto alli rotti tra- uagliamenti.

BREVE MODO DI PROCEDER NELLE RAGIONI.

HAu\~edo cõ l'aiuto di Dio & della $ua $empre uergine Madre a$$ai a ba$tãza parlato quãto delli interi & de rotti trauaglia menti al no$tro trattato appartenga, parmi hora conueneuol co$a di mo$trare come per uia delle tre trouando la quarta quantita pro portionale $i dia $olutione alle ragioni mercatorie, ma prima che $opra e$$a mi di$tenda, ti uoglio anco mo$trare un modo di proce- dere in molte ragioni, ilquale per la $ua pre$tezza è molto leggia- dro come per alcuni e$empi da dar$i ti $era manife$to. a quali per non e$$er proli$$o mi referi$co.

Onde $e ti fu$$e detto lo $cudo ual. Ⴥ 7. β 8. che uarranno $cudi 9. In que$ta non occorre di$tender$i molto in parole, impercioche chiara co$a è, che $e uno $cudo ual Ⴥ 7. & β 8. che li 9. $cudi uerran- no noue uolte Ⴥ 7. & β 8. onde uolendo tu dar $olutioneal ca$o, 7. 8. [9 66. 1 2 multiplicherai 9. uie la ualuta dello $cudo, cominciando prima dal li β. dirai 8. uie 9. fa 7 2. β. che per e$$ere ogni $oldi 20. una Ⴥ, i detti β 7 2. $eranno Ⴥ 3. β 12. di che $egnerai li β 12. & $aluerai le 3. Ⴥ. dipoi multiplica 7. uie 9. Ⴥ. che faran. Ⴥ 63. alle quali aggiugnendo le 3. Ⴥ. $aluate faranno 66. quali $egna dal lato $ini$tro delli β 12. & harai Ⴥ 66. β 12. per la ualuta delli 9. $cudi.

[054]

La canna del panno uale Ⴥ 9. β 8. de. 4. che uerranno 11. canne, & 3. braccia@fa co$i, multiplica le 11. canne per la ualuta della canna, & cominciando dalli den. dirai 4 uie 11. fa 44. den. che per e$$er ogni 12. den. un $oldo, i detti den. 44. $eranno β 3. & den. 8. di che 2.7.1. 9. 8. 4. (11. 3 103. 11. 8 7. 1. 3 110. 12. 11 $egnerai li 8. de. et $erberai li 3. β dipoi multiplica 8. uie 11. et fara 88. β. a qualiaggiugn\~edoli 3. β $aluati faran 91. β. che $ono Ⴥ 4. & β 11. di che $egnerai li β. 11. & $aluerai le 4. Ⴥ. dipoi multiplica 9. uie 11. & faran 99. Ⴥ. alle quali aggiugne le 4. $aluate, & faranno 103. lequali $egna dal lato $ini$tro delli 11. β & harai Ⴥ 103. β 12. & den. 8. per la ualuta delle 11. canne. Hor è dibi$ogno trouare quel che uagliono le 3. braccia, trouando prima la ualuta d'un braccio che $i trouera partendo la ualuta della canna per 4. & co- minciando prima dalle Ⴥ dirai, parte 9. per. 4 ne uien 2. & auanza 1. di che $egnerai il 2. uenuto $opra le 9. Ⴥ. & dell' 1. auanzato farai β. multiplicando per 20. & aggiugnendoui li β 8. faranno 28. che partito per 4. ne uien 7. ilquale $egna $opra li β 8. Dipoi parti li 4. denari per 4. & ne uerra 1. che $egnato $opra come in margine $i dimo$tra, harai Ⴥ 2 $oldi 7. denari 1. per la ualuta d'un braccio.

Volendo tu adunque ueder quanto uaglino le 3. braccia, multi plicherai 3. uie la ualuta d'un braccio procedendo come s'è detto, & $egnando quel che ne uiene $otto la ualuta delle 11. canne, & $u ma in$ieme & uerratti Ⴥ 110. β 12. den. 11. per la ualuta delle 11. canne, & 3. braccia.

Et dicendo$i $e lo $taio del grano uale β 14. den. 9. che uarra il Ⴥ 14. 9 (24 35 (4 17. 14 moggio@ & perche tanto è a dire che uerranno 24. $taia, quanto a dire che uarra il moggio. Volendo tu dar $olutione al ca$o, ti con- uiene multiplicare 24. $taia uie la ualuta dello $taio, & comincian- do dalli den. come s'è detto, dirai 9. uie 24. fa 216. den. che $ono β 18. apunto. dipoi multiplica 14. uie 24. & fara 336. β a quali ag giugnendo 18. β $aluati faranno β 354. che per e$$ere ogni β 20. una Ⴥ. i detti $oldi 354. $eranno Ⴥ 17. & $oldi 14. & tanto uerra il moggio.

Et dicendo$i $e lo', $taio del grano uale β 17. den. 4. che uerran- no moggia 15. & $taia 18@ fa co$i, troua prima la ualuta d'un mog- [055] gio come nella pa$$ata $i fece, multiplicando 24. $taia per β 17. den. 4. & ti uerra Ⴥ 20. β 16. onde uolendo ueder quanto uaglino le moggia 15. multiplicherai il detto 15. uie la ualuta d'un moggio, & cominciando prima dalli β. multiplicherai 16 per 15. & ne uer ra 240. che $ono Ⴥ 12. apunto. lequali $erberai alle mani, dipoi multiplica 15. uie 20. & faran 300 Ⴥ. allequali aggiugne le Ⴥ 12. $erbate, & faranno Ⴥ 312. & tanto uagliono le 15. moggia. Hor per uoler trouare la ualuta delle $taia 18. gia $ai che lo Ⴥ 20. 16 β 17.4 [15. 18 312 15. 12 327. 12 $taio uale β 17. den. 4. per tanto multiplica le dette $taia 18. uie la ualuta dello $taio, & cominciando dalli den. dirai 4. uie 18. fa. 7 2. de. che $ono β 6. apũto, dipoi mul tiplica 17. uie 18. & fara β. 306. alli quali aggiugnen- do li β 6. faranno β 312. che $ono Ⴥ 15. β 12. le quali $e gna $otto le Ⴥ 312. ualuta delle moggia 15. come qui dal lato, & $umma in$ieme & farranno Ⴥ 327. β 12. per la ualuta delle 15. moggia, & 18. ftaia.

E $e ti $u$$e detto $e la libra d'alcuna co$a uale Ⴥ 25. β 18. den. 8. che uerranno libre 14. & oncie 7@ prima per le 14 libre, multiplica 14. uie la ualuta della libra, cominciãdo dalli den. come s'è mo$tro & uerratti Ⴥ 363. β 1. den. 4 per la ualuta delle libre 14. Dipoi è di bi$ogno trouar quanto uaglino le 7. oncie, trouando prima la ua- luta d'una oncia che $i troua partendo la ualuta della libra per 12. per ilche partirai Ⴥ 28. β 18. den. 8. per 12. & comin- 2. 3. 2 {2/3} 25. 18. 8 [14. 7 363. 1. 4 15. 2. 6 {2/3} 378. 3. 10 {2/3} ciando dalle Ⴥ dirai, parti 25. per 12. ne uien 2. & auanza 1. Ⴥ di che $egnerai 2. $opra le Ⴥ 25. & della Ⴥ auãzata farai β mul tiplicandola per 20. & aggiugnendoli β 18. faranno 38. che partito per 12. ne uien 3. & auanza 2. β di che $egnerai 3. $o- pra li β 18. & delli β 2. auãzati farai den. multiplicandoli per 12. & al produtto aggiugn\~edo li den. 8. & faranno 32. che partiti per 12. ne uien 2. & auanza {8/12} che $chi$ati $ono {2/3} di den. & co$i hai che l'oncia uale Ⴥ 2. β 3. den. 2{12/3}, onde uolendo trouare la ualuta delle 7. oncie, multiplica il detto 7. uie quel che uale l'oncia, & co- minciando prima al 2. che è $opra li {2/3} dirai 2. uie 7. fa {14/3} che $ono 4. den. {2/3}, di che $egnerai {2/3} & il 4. $aluerai, dipoi multiplica 2 uie 7. & al produtto aggiugne il 4. $aluato, & $eguita come s'è mo$tro, [056] $egnando quel che ne uiene $otto la ualuta delle libre 14. & $um- ma in$ieme, & $aranno Ⴥ 378. β 3. dena. 10 {2/3} & tanto uagliono le 14. libre & 7. oncie.

Et $e ti fu$$e detto, $e una ca$a paga l'anno di pigione Ⴥ 32. β 6. dena. 9. che paghera in 7. anni & 4. me$i. Prima multiplica li 7. an- ni uie quel che paga l'anno, & cominciando alli den. dirai 7. uie 9. fa 63. den. che $ono 5. β & 3. den. onde $egnerai li 3. den. $otto li 9. & $aluerai li 5. β dipoi multiplica 6. uie 7. che fa 42. β alli quali ag- giugne li 5. $aluati & faranno 47. $oldi, che $ono Ⴥ 2. $oldi 7. di che $egnerai li 7. $oldi & $aluerai le 2. Ⴥ. dipoi multiplica 32. per 7. & fara Ⴥ 224. alle quali aggiugne le 2. Ⴥ. $aluate, & $aranno Ⴥ 226. & co$i hai che in 7. anni pagherai Ⴥ 226. β. 7. den. 3. ma p e$$erci anco ra 4. me$i, iquali $ono il terzo d'un'anno, piglierai il terzo di 32. 6. 9. [7. 4 226. 7. 3 10. 15. 7 237. 2. 10 quel che la detta ca$a paga in un'anno, partendo Ⴥ 32. β 6. de. 9. per 3. & ne uerra Ⴥ. 10. $oldi 15. den. 7. liquali $egna $otto le Ⴥ 226. β 7. de. 3. che la detta ca$a paga in 7. anni, & $omma in$ie me & farãno Ⴥ 237. $oldi 2. den. 10. & tanto paghera in 7. an- ni & 4. me$i. Poteui anchor ueder quanto la detta ca$a pagaua il me$e partendo quanto pagaua l'anno per 12. & quel che ne ueni- ua multiplicar per li 4. me$i. ma il modo detto è piu da u$are nelle $imili, & $e in cambio delli 4. $i fu$$e detto 3. me$i, doue in que$ta de 4. $i pre$e il terzo di quel che pagaua in un'anno, in que$ta di 3. $i conuerrebbe pigliarne il quarto, & co$i uenendo in altra parte d'anno in $imil modo procederai.

Et dicendo$i il moggio del grano ual Ⴥ 26. $oldi 18. den. 2. che 1. 2. 5 {1/1} {@/2} 26. 18. 2 [8. 11 215. 5. 4 12. 6.7 {1/3} {1/2} 227. 11. 11 {1/3} {1/2} uarranno moggia 8. & $taia 11@ prima per le 8. moggia, multiplica 8. uie quel che uale il moggio, & cominciando dalli den. dirai 2. uie 8. fa 16. den. che $ono un $oldo & 4. den. onde $egnerai 4. den. & $aluerai un $oldo, dipoi mul- tiplica 8. uie 18. che fa 144. & con 1. che $alua$ti 145. $ol- di liquali $ono Ⴥ. 7. $oldi 5. di che $egnerai li 5. $oldi & $al- uerai le Ⴥ. 7. Dipoi multiplica 8. uie 26. & al produtto ag- giugne le 7. Ⴥ $aluate, & faranno Ⴥ 215. lequali $egna dal lato $ini- $tro de $oldi, & harai Ⴥ 215. $oldi 5. den. 4. per la ualuta delle 8. [057] moggia, dipoi è dibi$ogno ueder quanto uagliono le 11. $taia, tro uando prima la ualuta d'un $taio, che $i troua partendo la ualuta del moggio per 24. per ilche partirai Ⴥ 26. β 18. den. 2. & per 24. & ne uerra Ⴥ 1. β 2. den. 5. {1/12} quali multiplica uie le $taia 11. & co mincian do al 1. che è $opra il {1/12} dirai 1. uie 11. $a pur {11/12}, quali $e gna come qui da lato, dipoi multiplica 5. uie 11. che fanno 55. de- nari che $ono β 4. denari 7. onde $egnerai li 7. denari & $eguita co- me s'é mo$tro, $egnando quel che ne uiene $otto la ualuta delle 8. moggia, & $umma in$ieme & uerratti Ⴥ. 227. β 11. den. 11. {11/12} per la ualuta delle 8. moggia, & 11. $taia.

Et dicendo$i il moggio del grano $e uale Ⴥ 18. β 8. den. 6. che uarranno 17. moggia & 8. $taia@prima per le 17. moggia, multipli ca 17. uie la ualuta del moggio, & cominciando dalli den. 18. 8. 6 [17. 8 313. 4. 6 6. 2. 10 319. 7. 4 come s'è mo$tro, ti uerra Ⴥ 313. $oldi 4. den. 6. & tanto uar- ranno le moggia 17. Hor per trouar la ualuta delle 8. $taia potre$ti partir quello uale il moggio per 24. & quel che ne ueni$$e multiplicar per 8. ma per piu pre$tezza, fa co$i in que $ta per che le 8. $taia $ono la terza parte d'un moggio, piglia il terzo, ouer parte per 3. le Ⴥ 18. $oldi 8. den. 6. ualuta del moggio, & ne uerra Ⴥ 6. $oldi 2. den. 10. quali $egna $otto la ualuta delle 17. moggia, & $umma in$ieme, & uerratti Ⴥ 319. β 7. den. 4. & tanto uarranno le 17. moggia, & 8. $taia.

Et $e la propo$ta haue$$e detto, che uerranno 17. moggia, & 12. $taia, cio è che in cambio delle 8. ui fu$$ero le $taia 12. Doue in quel la delle 8. piglia$ti il terzo della ualuta del moggio, in que$ta delle 12. ne pigliare$ti il mezzo partendo la ualuta del moggio per 2. imperoche $taia 12. $ono il mezzo d'un moggio. Et e$$endoui $taia 6. $e n'harrebbe a pigliare il quarto partendo la ualuta del mog- gio per 4. & co$i nelle altre debbi auuertire $econdo le parti, & que$to modo mi par da u$are quando e$$e parti non pas$ino il mezzo cofi nelle altre come in que$te.

Et dicendo$i il cento d'alcuna co$a uale 45. lire. 12. $oldi. 6. den. che uarranno, 57. libre@ fa co$i, parti la ualuta del cento per 10. & [058] ne uerra libre 4. $oldi 11. den. 3. per la ualuta della decina, le 9. 15 4. 11. 3 45. 12. 6 [57 22. 16. 3 3. 3. 10 {1/2} 26 1{1/2} quali Ⴥ 4. $oldi 11. den. 3. parti ancor per 10. & ne uerra $ol- di 9. den. 1. {1/2} & tanto uarra la libra, & perche le 57. libre $o- no 5. decine, & 7. libre, troua prima la ualuta delle 5. decine, multiplicando Ⴥ 4. $oldi 11. den. 3. ualuta della decina per 5. & ne uerra Ⴥ 22. $oldi 16. den. 3. & tanto uarranno le 5. deci ne, dipoi per la ualuta delle 7. libre, multiplica 7. uie $oldi 9. den. 1 {1/2} ualuta d'una libra, & uerratti Ⴥ 3. $oldi 3. den. 10 {1/2} quali $egna $otto la ualuta delle 5. decine, & $umma in$ieme & fa- ranno Ⴥ 26. $oldi o, den. 1 {1/2} & tanto uarranno le 57. libre.

Et dicendo$i che uarranno 20. libre, ualendo il cento Ⴥ 33. $oldi 12. den. 6@ fa co$i, in que$ta parti la ualuta del cento per 5. impero- che libre 20. $ono il quinto di 100. & uerratti Ⴥ 6. $oldi 14. den. 6. per tanto uarranno le 20. libre, & hauendo$i detto che uar- 33.12.6 [20 6. 14. 6 ranno Ⴥ 25. n'hare$ti a pigliare il quarto, partendo la ualuta del c\~eto per 4. perche 25. $ono il quarto di libre cento, & co$i uenendoti in altre parti $imili $egue come s'è mo$tro.

Ma dicendo$i il cento $e uale Ⴥ 36. β 6. den. 8. che uerranno 548. libre? In que$ta hai 5. centinara 4. decine, & 8. libre. Onde prima per le 5. centinara, multiplica 5. uie Ⴥ 36. β 6. den. 8. ualuta del cen- to, & ne uerra Ⴥ 181. β 14. den. 4. & tanto uerranno le 5. centinara, dipoi uedrai quanto uagli la decina, partendo la ualuta del 7. 3 {1/2} 3. 12. 8 36. 6. 8 [548 281. 13. 4 14. 10. 8 2. 18. 1 {3/8} 199. 2. 1 {3/5} cento per 10. ne uerra Ⴥ 3. β 12. den. 8. quali multiplica per le 4. decine, & farranno Ⴥ 14. β 10. den. 8. le quali $egna $ot- to la ualuta delle 5. centinara, & fatto que$to, troua la ualuta d'una libra, partendo Ⴥ 3. β 12. den. 8. ualuta della decina per 10. & ne uerra β 7. den. 3. {1/3} quali multiplica per le 8. libre, & farãno Ⴥ 2 β 18. den. 1 {3/5} quali $egna $otto all'altre & $uma in$ie- me & faranno Ⴥ 199. β 2. den. 1 {3/5} & tanto uerranno le 348 libre.

Et dicendo$i il cantaro d'alcuna co$a, $e uale Ⴥ 38. β 19. den 4. che uerrano 7. cantara, & 24. libre? Prima per le 7. cantara multipli ca 7. uie Ⴥ 38. β 19. den. ??@. per lo gia dato modo, & uerratti Ⴥ 272. β 15. den. 4. & tanto uerranno le 7. cantara, & percheil cantaro è [059] un pe$o di libre 150. che $onno 15. decine, trouerai la ualuta d'una decina partendo Ⴥ 38. β 19. den. 4. per 15. & ne uer- ra Ⴥ 2. β 11. den. 11. {7/15} quali multiplica uie le 2. deci 5. 2. {2/7} {5/6} 2. 11. 11. {7/55} 38. 19. 4[7. 24 272. 15. 4 5. 4. 10 {14/15} X {2/7} {9/5} 1-9 279-. -, {8/15} ne, & $egna $otto alla ualuta delle cantara, & uerrati Ⴥ 5. β 3. den. 10. {14/15}, & tanto uagliono le due decine Dipoi troua la ualuta d'una libra partendo Ⴥ 2. $ol- di 11. den. 11. {7/15} che uale la decina per 10. dicendo, parti Ⴥ 2. per 10. chè non $i puo. onde delle 2. Ⴥ farai β multiplicandole per 20. & al produtto aggiugn\~e- do li β 11. faranno 51. di che partito per 10. ne uien 5. β & auanza 1. β che $ono 12. den. a quali aggiu- gnendo li 11. den. piu fanno 23. che partiti per 10. ne uien 2. & & auanza 3. del quale 3. farai quindice$imi multiplicãdolo per 15. & al produtto aggiugn\~edo li {7/15} farãno {52/15} che partiti per 10. come nel partir de rotti $i mo$trò, ne uerrano {26/75} $chi$ati, & co$i hai che la libra uale β 5. den. 2. {26/75} che multiplicati per le 4. libre comincian- do alli 26. che $ono $opra {26/75} dirai 4. uie 26. fa {104/75} che $ono 1 {29/75} di che $egnerai {29/75} & $eguirai come s'è detto $egnando quel che ne uiene $otto alle altre ualute come qui dal lato $i mo$tra, & $umman do in$ieme cominciando prima alli rotti, ti uerra Ⴥ 279. β o. den. o. {8/15} di dena. per la ualuta 7. cantara & 24. libre. Puos$i u$ar certa di$cretione ne rotti come ne {7/15} che poteui $egnare {1/2} & co$i per li {26/75}. $i poteua $egnare {1/3} & que$to $i fa per non trauagliar$i gran rot ti, il che poco danno ti puo fare nelle tue $olutioni.

Et dicendo$i il cantaro uale 25. Ⴥ 6. β 8. den. che uerranno 7. can tara & 30 libre? Prima per le 7. cantara, multiplica 7. uie la ualuta del cantaro. & ne uerra Ⴥ 177. β 6. den 8. Hora per le 3 deci- 25. 6. 8. [7. 30 177. 6. 8 5. 1. 4 182. 8. 0 ne potrefti trouar la ualuta d'una decina partendo la ualu- ta del cantaro per 15. come nell'altra $i $ece, & lo auuenimen- to multiplicare p le 3. decine, ma per piu de$trezza $arai co$i in que$ta, perche Ⴥ 30. $ono il quinto del cantaro, piglierai il quinto di Ⴥ 25. β 6. den. 8 partendo per 5. & ne uerra Ⴥ 5. β 1. den. 4. liquali $egna $otto le Ⴥ 177. β 6. den. 8. ualuta delle 7. cantara & $umma in$ieme, & farranno Ⴥ 182 β 8. den. o. & tanto uarranno le 7. cantara, & 30. libre.

[060]

Et hauendo$i detto che uaranno 7. cantara, & 50. libre, cioè che in cambio delle 30. ui fu$$e Ⴥ 50. pigliare$ti il terzo di Ⴥ 25 β 6. den 8. imperoche libre 50. $ono il terzo d'un cantaro. Et hauendo detto Ⴥ 75. ne pigliare$ti il mezzo Et hauendo detto Ⴥ 15. cioè che in cambio delle 30. ui fu$$ero $tate Ⴥ 15. ne pigliare$ti il decimo, impercioche Ⴥ 15. $ono il decimo di Ⴥ 150. che $ono un cantaro, & que$ta ti $erui per regula generale co$i per altre parti come per que$te quando uenghino in modo che non pas$ino il mezzo.

Et dicendo$i $e'l migliaro del ferro uale Ⴥ 35. β 12. den 6. che uarranno Ⴥ 5678. Prima per le 5. migliara multiplica 8 {1/2} {1/0} 7. 1 {1/2} 3. 11. 3 35. 12. 6 [5678 178. 2. 6 21. 7. 6 2. 9. 10 {1/2} 5. 8 {2/5} 202. 5. 6 {9/10} 5. uie la ualuta d'un migliaro, & ne uerra Ⴥ 178. β 2. den. 6. dipoi per le 6. centinara trouerai la ualura d'un centinaro, partendo Ⴥ 35. β 12. den. 6. ualuta del miglia ro per 10. & ne uerra Ⴥ 3. β 11. den. 3. quali multiplica uie le 6. centinara, & ne uerra Ⴥ 21. β 7. den. 6. quali $e gna $otto la ualuta delle 5. migliara. Fatto que$to et tu troua la ualuta d'una decina, partendo Ⴥ 3. β 11. den. 3. ualuta del cento per 10. & ne uerra $oldi 7. den. 1. {1/2} quali multipliplica uie le 7. decine, & uerratti Ⴥ 2. $oldi 9. den. 10 {1/2}, quali $egna $otto l'altre ualute. Dipoi per le 8. libre tro uerai la ualuta d'una libra. partendo $oldi 7. den. 1 {1/2} ualuta della decina per 10. cominciando alli $oldi 7. dirai parti 7. per 10. che non $i puo per il che farai dell 7. $oldi den. multiplicandoli per 12. & a detta multiplicatione aggiugnendo l'un den. faranno 85. che partiti per 10. neuiene 8. & auanza 5. del qual 5. farai mezzi multiplicando per 2. & al produtto aggiugnendo l'altro {1/2} faran no {11/2} che partiti per 10. come nel partir de rotti $i mo$tró, ne uer- ra {11/20} & co$i hai che la libra ual de den. 8. {11/20} liquali multiplica per le 8. libre cominciando al 11. che è $opra {11/20} dirai 8. uie 11. fa. {88/20} che $ono den 4. {2/5} $chi$ati, onde $egnerai {12/5} & $aluerai li 4. den. di- poi multiplica 8. uie 8. & a quel che fa aggiugne il 4. $aluato, & fa ranno den. 68. che $ono β 5. den. 8. & co$i hai che le 8. libre uaglio no $oldi 5. den. 8. {2/5} quali $egna $otto l'altre ualute, come dal lato $i mo$tra, & $umma in$ieme, $ummando prima {1/2} con {2/5} che $anno {9/10} quali $egna $otto & $egue come s'è mo$tro, & uerratti Ⴥ 202. $oldi 5. den. 6. {9/10} & tanto uaglino le 5678. libre.

[061]

Et dicendo$i il migliaro $e uale Ⴥ 42. $oldi 9. den. 8. che uar ranno libre 4500? Prima per le 4. migliara, multiplica 4. uie 42.9.8 [ 4500 169.18.8 21. 4.10 191.3.6 la ualuta del migliaro & ne uerra Ⴥ 169. $oldi 18. den. 8. & tanto uagliono le 4. migliara. Poi per Ⴥ 500. potre$ti trouar la ualuta d'un centinaro partendo Ⴥ_42. $oldi 9. den. 8. ualuta del migliaro per 10. & l'auuenimento multiplicar per 5. ma per piu pre$tezza. fa co$i in quefta, piglia il mezzo di Ⴥ 42. $oldi 9. den. 8. ualuta del migliaro partendole per 2. & ne uerra Ⴥ 21. $oldi 4. den. 10. quali $egna $otto le Ⴥ 169. $oldi 18. den. 8. u2 luta delle 4. migliara, & $umma in$ieme, & $aranno Ⴥ 191. $oldi 3. den. 6. & tanto uagliono le 4500. libre.

Et $e la propo$ta dice$$e, che uarranno Ⴥ 4200. cioè che in cam- bio delle 500. ui fu$$e le Ⴥ 200. pigliare$tiil quinto della ualuta del migliaro, imperoche libre 200. $ono il quinto di libre 1000. Et hauendo$i detto che uarranno libre 4100. cioè che in cambio delle libre 500. ui fu$$ero libre 100. pigliare$ti il decimo della ua- luta del migliaro, impercioche libre 100. $ono il decimo di libre 1000. Et co$i in altre $imili o$$eruarai il modo dato, & hauerai lo intento tuo.

Ma dicendo$i, il paio delle $tarne $e uagliono $oldi 15. de- 7.11 β 15. 10 [7 82.15. 5 nari 10. che uarranno 7. $tarne? Trouerai prima la ualuta d'u na $tarna, partendo $oldi 15. den. 10. ualuta del paio per 2. & ne uerra $oldi 7. den 11. quali multiplica per le 7. $tarne, & ne uerra lire 2. $oldi 15. den. 5. & tanto uagliono le 7. $tarne.

Et dicendo$i le 9. $tarne $e uagliono lire 3. $oldi 6. dena. 8. Si di manda che uarra il paio. fa co$i, troua prima la ualuta d'una 7.4 {8/3} 9] 3.6.8 [2 β 14.9 {7/8} $tarna, che la trouerai partendo Ⴥ 3. $oldi 6. den. 8. per. 9. di che ne uerra $oldi 7. den. 4.{2/3} & tanto uale una $tarna. hor uo- lendo tu ueder quanto uagli il paio, dupla, ouer multiplica per 2. li $oldi 7. den. 4.{8/3} dicendo 2. uie 7. fa {16/3} che $ono den. 2 {2/3} on de $egnerai {7/8} & $aluerai l'un den. dipoi multiplica 2. uie 4. & ag- giugneli l'un den. & $e guita come s'e mo$tro, & ne uerra $oldi 14. den. 9. {7/8} & tanto uale il paio in tal ca$o.

[062]

Et dicendo$i un braccio di broccato, un braccio di ueluto, & un braccio di panno uagliono Ⴥ 60. & uale il braccio del broccato piu che quel del panno Ⴥ 17. il braccio del uelluto uale piu che quel del panno Ⴥ 7. Si dimanda quanto ual$e il braccio di cia$cu- no da per $e. fa co$i in quefta & anchor nelle altre $imili, $umma 60 24 36 12 Ⴥ 17. che uale piu il broccato del panno con Ⴥ 7. che ual piu il uel- luto del panno & faranno Ⴥ 24. lequali tra di Ⴥ 60. che uagliono in$ieme tutti, & re$teranno Ⴥ 36. le quali partendo per 3. ne uien 12. & tanto ual$e il braccio del panno, & il braccio del uelluto ual- $e 7. piu. dunque uenne a ualer Ⴥ 19. & il braccio del broccato ual $e piu che quel del panno Ⴥ 17. dunque uenne a ualer Ⴥ 29. Et uo lendone ueder la proua $ummerai Ⴥ 29. ualuta del broccato con Ⴥ 19. ualuta del uelluto, & con Ⴥ 12. ualuta del panno, & faranno pur Ⴥ 60, come $i di$$e, che in$ieme co$torono.

Et dicendo$i l'oncia d'alcuna co$a $e uale Ⴥ 16. $oldi 6.10 {5/48} 4.2. 1 {1/4} 16.8. 5 [7.3.7 114.18.11 12.6. 3 {3/4} 2. 7.10 {35/43} 229.13. 1 8. den. 5. che uarranno 7. oncie 3. quarti & 8. den. pe$i- prima per le 7. oncie, multiplica 7. uie la ualuta dell'on- cia, & ne uerra & 114. $oldi 18. den. 11. Dipoi per li 3. quarti, troua prima la ualuta d'un quarto, partendo Ⴥ 16. $oldi 8. den. 5. ualuta d'un'oncia per 4. & ne uerra Ⴥ 4. $oldi 2. den. 1. {1/4} quali multiplica per 3. & $egna $ot to la ualuta delle 7. oncie, che ne uerra, cioè Ⴥ 12. $oldi 6. den. 2 {3/4} & tanto uagliono li 3. quarti. Dipoi per li 8. den. pe$i trouerai la ualuta d'un den. & perche ogni quarto d'oncia, è 12. den pe$i partirai & 4. β 2. den. 1 {1/4} per 12. & ne uerra $oldi 6. den. 10 {5/48} liquali multiplica per li 8. den. pe$i, Ⴥ $egnando quel chen ne uiene $otto l'altre ualute, & $ũmandole in$ieme come s'è detto faranno Ⴥ 129. $oldi 13. den 1. {7/12} & tanto uaglino le 7. oncie & 3. quarti, & 8. den. pe$i. 16.4 {1/4} 3.7.1 13.8.4 [17.3 {3/4} 228.1.8 10.1.3 2.9. {3/4} 240.11. 11{3/4}

Et dicendo$i, $e la cãna del pãno uale Ⴥ. 13. β 8. dena. 4. che uarranno canne 17. braccia 3 {3/4} prima wultiplica 17. uie la ualuta della canna, & uerrati Ⴥ 228. $oldi 1. den. 8. et tanto uagliono le cãne 17. Dipoi per la ualuta delle 3. brac cia, trouerai prima la ualuta d'un braccio, partendo Ⴥ 13. $oldi 8. den. 4. ualuta d'una canna per 4. che ne uerra Ⴥ 3. [063] $oldi 7. den. 1. quali multiplica per le 3. braccia, & faranno Ⴥ 10. $ol di 1. den 3. Dipoi per li {3/4} troua prima la ualuta d'un quarto par tendo Ⴥ 3. $oldi 7. den. 1. ualuta d'un braccio per 4. & ne uerra $ol di 16. den. 9 {1/4}, quali multiplica per 3. & faranno Ⴥ 2. $oldi 9. {3/4} $egna $otto l'altre ualute, & $uma in$ieme & faranno Ⴥ 240. $ol di 11. den. 11. {3/4} per la ualuta delle canne 17. braccia 3 {3/4}.

Et dicendo$i $e li {5/6} di canna uagliono Ⴥ 13. $oldi 10. Si dimanda 2214 {5/6}) 13. 10 (1 16.4 che uarra la canna. fa co$i, troua la ualuta d'un $e$to partendo Ⴥ 13. $oldi 10. per 5. che ne uerra lire 2. $oldi 14. quali multiplica per 6. perche una canna è {6/6} & ne uerra Ⴥ 16. $oldi 4. & tanto uerra la canna.

Et dicendo$i, $e {5/6} di canna uagliono Ⴥ 13. β 10. Si dimanda che uarra il braccio, potre$ti per 5. & multiplicare partir per 6. come $i fece, di che ne uerrebbe pur Ⴥ 16. β 4. per la ualuta della canna, ma perche il braccio è il quarto d'una canna. parti Ⴥ 16. β 4. ualuta del la canna per 4. & uerranne Ⴥ 4. β 1. & tanto uale il braccio.

Et $e ti fu$$e detto, $e {5/6} di braccio uagliono Ⴥ 2. β 8. dena. 4. che uarranno {3/9} di braccio? trouerai prima la ualuta d'un braccio, par- tendo prima Ⴥ 2. β 8. den. 4. per 5. & uerranne β 9. den. 8. & 9.8 2.8.4 ({3/8} 11 {3/8} 82.18 Ⴥ 1 β 14 {4/3} tanto uale {1/6} & perche uno intero è {6/6}, multiplica 6. uie 9. β. e. 8. den. & faranno Ⴥ 2. β 18. & tante uale un braccio. Hor uo- lendo trouare la ualuta delli {3/5} trouerai prima la ualuta d'un quinto partendo Ⴥ 2. β 18 den. 5. ualuta d'un braccio per 5. di che ne uerra β 11. {3/9} quali multiplica per 3. & faranno Ⴥ 1. β 14. {4/5} & tanto uagliono li {3/5} di braccio, & uolendo $apere {4/5} di $ol do quanti den. $ono, multiplica 4. uie 12. & parti per 5.& ne uer- ra den. 9. {3/5} & tanti den. $ono li {4/5} di $oldo.

Et dicendo$i, $e {5/6} di braccio uagliono Ⴥ 2. β 8. den. 4. che uar- 9.8 2.8.4 Ⴥ 2.18 Ⴥ 11.12 ra la canna? fa co$i. parti Ⴥ 2. β. 8. den. 4. per 5. & quel che ne uiene multiplica per 6. & ne uerra pur Ⴥ 2. β 18. come di $opra per la ua luta d'un braccio, quali multiplica per 4. & faranno Ⴥ 11. β 12. & tanto uarra la canna. Et $e la propo$ta haue$$e detto che uarran- [064] no {3/5} di canna fare$ti come s'è detto, & le Ⴥ 11. β 12. ualuta della canna partire$ti per 5. & quel che ne ueni$$e, multiplicare$ti per 3. & ne uerrebbe Ⴥ 6. β 19. {1/9} & que$ti e$empi ba$tino quanto a que- $to modo di procedere.

DELLE QVATTRO QVANTITA PROPORTIONALI.

HOra per uoler io come gia dis$i mo$trar come per uia delle tre trouando la quarta quantita proportionale $i dia $olutio 3.4.6 24 8 ne alle ragioni mercatorie, e da $apere che la quarta quantita uo- lendo trouare è di neces$ita multiplicare la $econda uie la terza, & quel che fa partir per la prima, & l'auuenimento di detto partire $era la detta quarta quãtita, come dic\~edo, $e 3. ual 4. che uarra 6 di co che multiplica 4. uie 6. che fa 24. ilquale parti per 3. prima quã tità, & ne uiene 8. e tanto uarra 6. per ilche è da $apere che altro non è trouar la quarta quantità proportionale, che trouare una quantità, laquale habbia la mede$ima proportione alla terza, che la $econda alla prima, che nello primo e$empio no$tro è 8. ilquale ha à 6. proportion $e$quitertia, laquale anchora ha 4. a 3. perche 4. contiene 3. una uolta & una terza parte, come anchora 8. contie ne 6. una uolta & una terza parte di detto 6. Et di nuouo replican do dico, che pre$uppo$to che $era la ragione, che $empre $i deue multiplicare la $econda in la terza quantita, & il produtto partir per la prima, & hauerai la $olution del ca$o.

Et dicendo le 4. huoua $e uagliono 7. den. che uarrano 12. hu 4.7 12 7 84 21 ua fa co$i, multiplica 7. uie 12. & fara 84. ilquale parti per 4. di che ne uiene den. 21. et tanto uarranno 12. huoua. Que$ta da altri è $ta ta detta regola del tre, ma $appi che ci interuiene la natura delle quattro quantità proportionali. 3]7.8 [9 148 1332 44[4 22.4

Et nota che quando alcuna delle dette 3. quantità $i nomina$$e- ro per piu nomi, Allhora $empre, e tu le riduci, ouero $piega a un $ol nome. Come dicendo, $e braccia 3. uagliono Ⴥ 7. β 8. che uar- ranno braccia 9 dico che riduca Ⴥ 7. β 8. a un $ol nome, cioè a β, [065] che per e$$ere ogni 20. β una Ⴥ, multiplica 7. uie 20. & aggiugne- uili β 7. & faranno β 148. lequali multiplica per le 9. braccia, & il produtto parti per 3. prima quantita, & ne uerra β 444. che ridut- ti a Ⴥ partendoli per 20. ne uerra Ⴥ 22. β 4. & tanto uarranno le braccia 9. & quando parti per 20. poi chiudere, ouero $eperare con una uirgula la prima figura di man de$tra, & le altre partir per 2. come uedi a me hauer fatto.

Et dicendo$i $e braccia 3. uagliono Ⴥ 7. β 8. den. 4. che uarran- no braccia 8 {1/2}? Ridurrai prima le Ⴥ β & den. tutti a den. $piegan do prima le Ⴥ a β multiplicando 7. uie 20. & aggiugnendoli li β 8 & faranno β 148. quali $piegherai a den. multiplicando per 12. & al produtto aggiugnendoli den. 4. & faranno den. 1780. Dipoi è dibi$ogno delle braccia 8 {1/2} far mezzi multiplicando 2. uie 8. & aggiugnendoli l' 1. che è $opra la linea, & 3] 7. 8. 4 [8 {1/2} 148 1 7 8 0 17 1 2 {3/1} X {-30260/2} 30260 5043 {1/3} 420.3 {1/3} Ⴥ 21. β o pen. 3 {1/3} faranno {17/2}, quali multiplica uie den. 1780. $egnando 1. $otto li den. in que$to modo {1780/1}. Dipoi multi- plica 17. uie 1780. che $ono $opra le linee, & faranno 30260. quali $egna $opra una linea, dipoi multiplica 1. uie 2. che $ono $otto le dette linee, & fara anchor 2. quale $egna $otto la mede$ima linea $opra laqual $egna $ti 30260. & $tara co$i {30260/2}, quali partirai per 3. prima quantita $egnando 1. $otto al detto 3. a dino- tar la $ua integrita in que$to modo {1/3} & per uia di crociamenti, multiplica 1. uie 30260. & fara ancor 30260. quale $egna $opra una linea. Dipoi multiplica 2. uie 3. & fara 6. quale $egna $otto la linea del 30260. & fara {30260/6} di den. che ridutti ad integri parten do $empre quel che è $opra la linea per quel che è $otto & ne uer ra den. 5043 {1/3} $chi$ato, de quali farai β partendoli per 12. & ne uerra β 420. den. 3 {1/3} che ridutti a Ⴥ partendo 1 β 420. per 20. ne uerra Ⴥ 21. β 0. den. 3 {1/3} per la ualuta delle braccia 8 {1/2}.

Et $e ti $u$$e detto, $e lo $taio dell'oglio uale Ⴥ 5. β 12. dena.; {1/2} che uarranno $taia 65. libre 27 {2/3}? Spiegherai prima le Ⴥ, β & den. tutti a den. & harai {2699/2} den. Dipoi delle $taia 65. ne farai lib. & P che in Siena lib. 56, fanno uno $taio d'oglio, multiptica 56. uie 65. [066] & a quel che fa aggiugne le libre 27. & harai libre 3667. delle quali farai terzi di libra multiplicandole per 3. & aggiugneui li {2/3} & harai {11003/3} di libra quali è dibi$ogno multiplicar uie {2699/2} den. multiplicando li numeri che $ono $opra le linee in$ra loro, & quel che fanno $egnar $opra una linea, dipoi multiplica 2. uie 3. che $o no $otto e$$e linee, & faranno 6. quali $egna $otto & harai {29697079/6}, quali partirai per Ⴥ 56. che pe$a lo $taio prima quanti- tà, & per uia di crociamenti come s'è mo$tro, & harai {29697079/336} den. che ridutti a dena. integri, poi a β, & poi a Ⴥ, ne uerra Ⴥ 368. β 5. den. 4 {37/336} per la ualuta delle $taia 65. libre 27 {2/3}.

Et dicendo$i, $e il marco dell'argento ual duc. 5 {1/3} che uarran- no marchi 7. & oncie 3 {1/2}? Ridurrai ogni quantita a 8) 5 {1/3} [7.3 {1/2} {17/3} {119/2} {3/1} X {2023/6} 48 2023 [42 {7/48} 192 103 96 7 un $ol nome, & prima delli duc. 5 {1/3} ne faraiterzi, & ha rai {16/3}. Dipoi delli 7. marchi farai oncie, & perche on- cie 8. fanno un marco, multiplica 7. uie 8. & al produt to aggiugne le 3. oncie, & faranno oncie 59. delle qua li farai mezzi multiplicandole per 2. & a quel che fan no aggiugnendo {1/2} oncia, & harai {119/2} d'oncie quali multiplica per li {17/3} di duc. & faranno {2023/6} quali par- ti per un marco prima quantita, cioè per oncie 8. & ne uerra duc 42 {7/48} per tal ualuta.

Et $e uorrai delle dette ragioni far la proua. debbile riuoltare in contrario. Hor $ia che uoles$i prouar que$ta di $opra laqual dice che a duc. 5 {1/3} il marco, li marchi 7. & oncie 3 {1/2} uarranno duc. 39 {2/3}. Dico che uolendo ueder $e gli è ben $oluta, che tu deb bi arguir per conuer$o dicendo, $e duc. 5 {1/3} mi danno un marco, che mi daranno duc. 39 {2/3}? Onde hai a multiplicare 1. uie 39 {2/3} cioé 1. uie {119/3} & $ara pur {119/3} quali debbi partire per duc. 5 {1/3} cioè per {16/3} & uerranne marchi 7 {7/16} cio e marchi 7. & oncie 3 {1/2} imperoche ridutti {7/16} di marco a oncie $ono oncie 3 {1/2}, adunque per e$$erti uenuto marchi 7. & oncie 3 {1/2} come furono quelle del- le quali nella pa$$ata $i domando la ualuta, $i puo affermare e$$a [067] ragione e$$er ben $oluta. Et que$ta è la uera proua per laquale tut- te le ragioni prouar $i deueno.

Et dic\~edo$i il marco dell'oro $e uale duc. 63. β 6. den. 11. che uar ranno marchi 5. oncie 7. caratti 18. & grane 3 {1/2}? Ridurrai prima li duc. β & den. tutti a den. & perche β 20. fanno un ducato, multi- plica 20 uie 63. duc. & a quelche fa aggiugne li β 6. & harai β 1266. de quali farai den. multiplicandoli per 12. & a quel che fan- no aggiugne li den. 11. & harai den. 15207. Dipoi li marchi 5. oncie 7. caratti 18. & grane 3 {1/2} $piegherai tutte a mezze grane & prima delli marchi 5. farai oncie multiplicandoli per 8. perche on- cie 8. fanno un marco, & al produtto aggiugne le 7. oncie, & haue- rai oncie 47. delle quali farai caratti multiplicandole per 36. per- che carratti 36. fanno un a oncia, & al produtto aggiugne li caratti 18. & harai caratti 1710. de quali farai grane multiplicandoli per 4. perche grane 4. fanno uno caratto, & al produtto aggiugne le grane 3. & hauerai grane 6843. delle quali farai mezzi, multiplicã dole per 2. & a quel che fanno aggiugne {1/2} & harai {13686/2} gra ne, quali ti conuiene multiplicare uie 15207. den. onde $otto al 15207. $egnerai la unita a dinotar quelli e$$ere integri, & multipli ca 13686. uie 15207. & quel che fa $egna $opra una linea. Dipoi multiplica 1. uie 2. & $egna $otto, & hauerai {208123002/2} quali ti cõuien partir per quãte grane $ono un marco prima quan titache per e$$er un marco oncie 8. & un'oncia 36. caratti & un ca- ratto 4. grane, multiplica 8. uie 36. & il produtto multiplica per 4. et hauerai grane 1152. $otto lequali $egnerai 1. a dinotar la loro in tegrita, & per e$$e partirai {208123002/2} operando come s'è mo$tro & ne uerra {208123002/2304} di den. che ridutti a integri, poi a β, & dipoi a duc. ne uerra duc. 376. β 7. den. 7. {21/123} per la ualu ta loro.

Et $e ti $u$$e detto il cento d'alcuna co$a uale Ⴥ 34. β 16. den. 8. che uarranno Ⴥ 578? Ridurrai le Ⴥ, $oldi & denari tutti a denari multiplicando lire 43. per 20. & al produtto aggiugnendo li $oldi 16. & harai $oldi 696. de quali farai denari multiplicando- li per 12, & al produtto aggiugnendoli denari 8, faranno 8396, [068] quali multiplica per le lire 578. & quel che fa parti 8396 578 67168 58772 41980 48528 88 404 4 {22/25} Ⴥ 202 β 4. den. o {2/2} {2/3} per 100. prima quantita in que$to modo, cioe chiude- rai con una linea due figure dal lato de$tro come in margine $i uede & den. 48 528 {22/25} $chi$ati de quali farai β partendoli per 12. & ne uerra β 4044. den. 0 {22/25} den. Dipoi farai Ⴥ de detti β partendoli per 20. & ne uerra Ⴥ 202. β 4. denari o {22/25} di denari per la ualuta delle li- bre 578.

Et $e ti fu$$e detto $e'l migliaro del ferro uale Ⴥ 32 β 12. den. 10. che uarranno Ⴥ 6578? Que$ta ua a modo del cento, $aluo che quã- do $i parti per 100. $epara$ti 2. figure in que$ta del migliaro per contener$i nel 1000 tre zeri, è dib $ogno $eparar 3. figure dal lato de$tro, onde $piegando le Ⴥ β & den. tuttia den. & multiplicando- li per le Ⴥ 6578. & quel che fanno partito per 1000. come s'è det- to, ne uerra den. 51532. {13/250} $chi$ati, de quali farrai β partendoli β per 12. & ne uerra β 4294. den. 4 {13/250} che ridutti a Ⴥ partendoli β per 20. ne uerra Ⴥ 214. β 14. & den. 4. {13/250} & tanto uagliono le 6578. libre.

Ma chi ti dice$$e $e'l cãtaro d'alcuna co$a ual Ⴥ 46. β 9. de. 250]46.9.4(7.15 929 21152 1065 55760 66912 00000 21152 2187688 [0 79179. {3/5} 659 [8.3 329.18. 3 {3/5} 4. che uarrano 7. cãtara, & 15 lib? Dico che $pieghi le Ⴥ, β, & den. tutti a den. multiplicando le Ⴥ 46. per 20. & al pro dutto aggiugneli β 9. & harai β 929. de quali farai den. multiplicandoli per 12. & al produtto aggiugnendo li den. 4. & harai den. 11152. Hor è dibi$ogno delle 7. canta ra far libre, & perche libre 150. fanno un cantaro, multi- plicherai 7. uie 150. & al produtto aggiugne le libre 15. & harai Ⴥ 1065. le quali multiplica uie li 11152. denari & il produtto parti per Ⴥ 150. le quali multiplica uie li 11152. den. & il produtto parti per Ⴥ 150. che $ono un cantaro prima quantita, & per contener$i un o. nel det to cantaro ouer Ⴥ 150. $epererai una figura dallato de$tro del 11876880. produtto della multiplication fatta, & il re$tante parti per 15. & ne uerra den. 79179 {1/5} $chi$ati, che ridutti a β par- tendoli per 12. ne uerra β 6598. den. 3 {1/5} quali ridurrai a Ⴥ parten [069] do li β per 20. & ne uerra & 329. β 18. den. 3 {1/5} per la ualuta delle 7. cantara, & 15. libre.

Et dicendo$i $e'l cento d'alcuna co$a uale Ⴥ 25. che uarrãno Ⴥ 868. abbattendo di tara Ⴥ 5. per 100? In que$ta ti conuien pri- ma abbatter la tarra in que$to modo dicendo, $e 100. abbatte 5. che abbattera 868? onde multiplica 5. uie 868. & parti per 100. prima quantita, & ne uerra Ⴥ 43. {40/100} quali {40/100} per non aggiugne re alla mezza libra $i co$tuma in tal ca$o la$$are andare, & quando ti ueni$$e in altro rotto che pa$$a$$e mezza libra, la fare$ti libra inte gra, per ilche in que$ta dirai che gli abbatti Ⴥ 43. li quali ti conuien trarre di libre 868. di che ti re$tera libre 825. & que$te s'hanno 2 ualutare a Ⴥ 25. il cento, che operando come s'è mo$tro, ne uerra Ⴥ 206 {1/4} per la lor ualuta.

Et dicendo$i $e'l cento uale Ⴥ 18, & β 10. che uarranno balle 3. che in tutto pe$ano libre 750. abbattendo di $acchi & legami Ⴥ 4. per balla & di tara Ⴥ 5 {1/2} per 100. prima è nece$$ario trar la tara del le 3. balle, & perche gli abbatte 4. per balla multiplica 3. uie 4. che fa 12. quale tra di 750. & reftera lib. 738. netta di $acchi & legami, delle quali lib. 738 ti bi$ogna trarre le Ⴥ 5{1/2} di tara per 100. Onde dirai fe 100. abbatte {11/2} che abbattera 338. che multiplicato {11/2} uie {233/1} & partito per 100. prima quantita ne uerra Ⴥ 40 {39/100} de quali {39/100} per pa$$ar la mezza Ⴥ ne farai uno integro ilquale aggiu- gne al 40. & faranno 41. che tratto di 738. reftera Ⴥ 697. & quefta è la lana netta da $acchi legami & tara, che ualutandola a Ⴥ 18. & β 10. il cento, ne' dati modi ne uerra Ⴥ 128. β 18 {9/10} ꝑ la $ua ualuta.

Et dicendofi fe'l cento d'alcuna co$a uale ducati 25. {1/3} che uar- ranno libre 639. abbattendo per u$anza Ⴥ 3 per 100. & datio duc. 2 {1/2} per 200? Prima per la u$anza ouer rara, dirai, $e cento abbatte 3. che abbattera 639? per ilche multiplicherai 3. uie 639. & quel che fa parti per 100. & ne uerra Ⴥ 19. {17/100} quali {17/100} per non aggiu gnere a mezza libra gli la$$erai andare, & dira che gli abbatti Ⴥ 19. lequali trarrai dilibre 639 & ti re$tera Ⴥ 620. nette d'u$anza le- quali ualuterai a duc. 25 {1/3} il cento, & trouerai che uarranno duc, [070] 157. β 1. & den. 4. de quali è dibifogno trarre il datio, & perche fi di$$e che s'abbatteua 2 {1/2} per 100. dirai, $e 100. abbatte 2 {1/2} che ab- battera duc. 157. β 1. den. 4? Onde multiplica 2 {1/2} uie duc. 157. β 1. & den. 4. & il produtto parti per 100. & trouerai che abbattera duc. 3. β 18. den. 10. & {64/100} quali {64/100} per pa$$are {1/2} den. ne farai 1. den. intero che aggiunto alli 20. den. faranno dcn. 11. & cofi dirai che s'abbatti di datio duc. 3. β 18. den. 11. quali trarrai di duc. 257. β 1. den. 4. & re$teratti duc. 153. β 2. den. 5. a oro per la lor ualuta.

Et hauen dofi detto $e'l cento uale Ⴥ 15 che uarrano lib. 658. dan done fopra lib. 5. per 100? Quefta ua al contrario dell'altre, perche in quelle delle tare $i tra, & in que$te s'agg ugne, impercioche chi dona 5. per 100. doue le 100. Ⴥ ualeuon Ⴥ 15. uuol che le Ⴥ 105. uaglino Ⴥ 15. onde dirai, $e Ⴥ 105. uagliono Ⴥ 15. che uarranno Ⴥ 658? & opera multiplicando 15. uie 658. & il produtto parti per 105. & uerranne Ⴥ 94. & tanto uagliono le libre 658.

Et dicen lo$i, $e'l cento della lana france$ca ual duc. 14. e'l cento della lana matricina ual duc. 10. che uarano lib 680. che tengon di matricina lib. 35. per 100. & Ⴥ 65 di france$ca abbattendo di tara della matricina lib. 4 per 100. & della frãcefca lib. 3. per 100. & di me$ettaria ouer datio duc. 2. per 100. Prima è dibi$ogno $eparar la matricina dalla france$ca, & perche ho detto che ogni 100. libre fra matricina & france$ca contengono Ⴥ 35. di matricina, dirai, $e lib. 100. t\~egono Ⴥ 35. di matricina, quãto terra Ⴥ 680? onde multi plicherai 35. uie 680. & quel che fa parti per 100. & ne uerra Ⴥ 238. di matricina, la qual trahe di lib. 680. & re$tera lib. 442. di france$ca. hora ti conuiene abbatter le tare come s'è mo$tro, & tro- uerai che Ⴥ 238. di matricina a libre 4. per 100. abbattera libre 8. le quali trahe di libre 238. & reftera libre 230. netta di tara la matri- cina, la qual ualuterai a duc. 10. il cento, & uerratti duc. 23. per la $ua ualuta. Dipoi trarrai la tara delle libre 442. di france$ca a libre 3. per cento, & re$teranno libre 430. nette di tara, le quali ualuta a duc. 14 il cento, & ne uerra duc. 60 {1/5}, che fummati con duc. 23. ualuta della matricina fanno duc. 83 {1/3} de quali ne trarrai il datio dicendo, $e duc, 100, abbatte 2, che abbattera duc, 83 {1/5}? & trouerai [071] che abbattera duc. 1 {2/3} & quefti ti conuien trarre di duc. 83. {1/5} & re$teranno duc. 81. {8/15} & tanto uagliono le dette due $orti di lana nette di tara & datio.

Et e$$endo che nella fiera di racanata ci uaglia la balla de cordo- uani ducati 45. & la balla de montoni ci uaglia duc. 24 uenga un mercante & trouifi duc. 621. & uoglia compiar tante balle di cor- douani, quante di montoni, s'addimanda per li detti duc. 621. quã te balle hauera di cia$cuni. fa co$i, $umma duc. 24. che uale la balla de montoni con duc 45. che ual quella de cordouani, & faranno duc. 69. iquali ti danno 2. balle, cioè una di cordouani & l'altra di montoni, onde dirai, $e duc 69. mi danno 2 balle, che mi dara duc. 621 opera & ti diranno balle 18. delle quali ue ne $ono balle 6. di cordouani, & balle 9. di montoni.

Et dicendo$i $e'l cento della lana france$ca ual duc. 14. e'l cento della $pagnola ual duc. 12. e'l cento della matricina ual duc. 10. & per duc. 460. quanto s'hara di cia$cuna, uolendo comprar tanto dell'una quanto dell'altra? Summerai la ualuta del 100. di cia$che- duna co$a, cioè ducati 14. con duc. 12. & con duc. 10. & faranno duc. 36. quali ti danno Ⴥ 300. di lana di tutte 3. le $orti, onde dirai, $e duc. 36. mi danno Ⴥ 300. che mi daranno duc. 460. opera multi- plicando 300. uie 460. & quel che fa, parti per 36. & ne uerra lib. 3833 {1/3} fra france$ca, $pagnola et matricina, che uolendole $epe rare, partirale per 3. & ne uerra lib. 1277 {7/8} di cia$cuna $orte. Et uo l\~edone far la proua, ualuta le dette Ⴥ 1277 {7/8} a quel che uale il c\~eto di cia$cuna, & dette ualute $umma in$ieme & uerratti li mede$imi duca, 460. per la qual co$a $i puo giudicare hauer ben fatto. & que $te puoi u$ar co$i in altre faculta di mercantie come in que$te.

DE GVADAGNI ET PERDITE DE MERCANTI.

DIcendofi, io compro la canna del panno 25. Ⴥ & holla ri- uenduta Ⴥ 30. uo $aper quel ch'io guadagno per 100? dirai co$i, $e di 25. $i fa 30. che $i fara di 100? per il che multiplicherai [072] 30. uie 100. & quel che fa parti per 25. & ne uerra 120. del quale trarral 100. & re$tera 20. & tanto $i guadagna per cento.

Et dicendo$i, io ho compro una mia mercantia duc. 3 {1/2} & hol- la riuenduta duc, 4 {1/3} $i domanda quant'io guadagno per cento fa- rai come nella pa$$ata dicendo, $e di 2 {1/2} $i fa 4 {1/3} che $i fara di cento? onde multiplica 4 {1/3} uie cento come nel multiplicar de rottis'è mo ftro, & fara {1300/3} quali diuide per 3{1/2} cioè per {7/2} & ne uerra 123 {17/21} de quali trarrai cento & re$teranno 23 {17/21} & tanto uenne a guada gnar per cento il domandatore.

Et dicendo$i. io ho compro una mia mercantia Ⴥ 17. & holla ri uenduta Ⴥ 13. uo $apere quant'io ui perdo per cento, fa co$i. trahe 13. di 17. et re$tera 4. per tanto dirai, $e d'ogni 17. $i perde 4. che $i perdera di cento? per ilche, multiplicherai 4. uie cento, & il produt to parti per 17. & ne uerra 23 {9/17} & tanto $i u\~ene a perder ꝑ c\~eto.

Et $e $i dice$$e, Io ho compro una mia mercantia Ⴥ 4 {1/3} & holla riuenduta 3 {1/2}, $i domanda quant'io uengo a perder per 100. Trar rai 3 {1/2} di 4 {1/3} & reftera {5/6} per la qual co$a dirai, $e d'ogni 4{1/3} $i per de {5/6} che $i perdera di cento? Onde multiplica {5/6} uie 100. et parti per 4{1/3} & ne uerra 19 {3/13} & tanto $i uenne a perder per cento.

MODO DI CONOSCER SE SI GVADA, gna o perde & quanto per cento.

DIcendo$i, io ho compro la libra d'alcuna co$a Ⴥ 9. & riu\~edei l'oncia β 17. uo $apere s'io ui guadagnai o per$i, & quanto per 100. Trouerai prima quanto uenne a co$tare l'oncia, & per- ches'è detto che co$to Ⴥ 9. cioè β 180. la libra, partirai 180. per 12. & ne uerra β 15. & tanto co$to l'oncia, & perche fu riuenduta β 17. $i puo chiaramente comprender che ui $i guadagna, & uolen do uedere il quanto, farai come nelle pa$$ate dicendo, $e di 15. $i fa 17. che $i fara di 100. opera, & $i fara 113 {1/3} diche trattone 100. re- fta 13 {1/3}. Poteui anchora trarre 15. di 17. che refta 2. & dire, $e di 15. $i guadagna 2. che $i guadagnera di 100? & trouare$ti che $i [073] guadagnera 13 {1/3} & co$i potrai proceder per qual modo ti piace, che cia$cun torna il mede$imo.

Et dicendo$i, io ho compro la libra Ⴥ 8. & ho riuenduto l'on- cia Ⴥ 12. Domando s'io guadagno, o perdo, & quanto per 100. Fa rai come nella pa$$ata $piegando Ⴥ 8. a β. & $aranno β 160. quali parti per 12. & ne uerra β 13 {1/3} & tanto co$to l'oncia, & io la riuen dei β 12. adunque uengo a perdere, che uolendo $apere il quanto trarrai β 12. di β 13 {1/3} & reftera 1 {1/3} & tanto $i uiene a perdere d'o- gni β 13 {1/3}, onde dirai, $e di 13 {1/3} $i perde 1 {1/3} che $i perdera di 100.- Opera & trouerai che $i perde a ragion di 10. per cento.

MODO DELL'INVESTIGARE I GVADA GNI ET PERDITE.

DOmandandofi d'alcuna per$ona, per quanto debbo com- prar la canna del panno, che riuendendola Ⴥ 25. Io ui gua- dagni a ragion di 10. per 100. Dirai co$i in que$ta, $e 110. innanzi ch'io guadagnas$i era 100. che doueua e$$er 25. & opera multipli cãdo 25. uie 100. & quel che fa parti ꝑ 110. & ne uerra 22 {3/11}, & tanto debbo cõprar la canna, che riuendendola Ⴥ 25. Io ui 110, 110. 25 guadagni a ragion di 10. per 100. & uolendola prouare, opera per contrario modo dic\~edo, $e di 22 {8/11} $i fa 25. che $i fara di 100? & trouerai che $i fara 110. come uoleuamo. $i puo adunque giudi care e$$a propo$ta e$$er ben $oluta. Et co$i tutte le $imili ragioni fi po$$on prouare alla riuer$a.

Et dicendo$i per quanto fu comprata la lib. d'alcuna co$a, che ri uendendo l'oncia β 18. ui $i guadagnò a ragion di 20. per 100. In que$ta è dibi$ogno trouar prima quanto fu comprata l'oncia di- cendo $e 120. uien da 100. da che uerra 18? & trouerai che uerra da 15. & tanti β uenne a co$tare l'oncia, iquali multiplicherai per oncie 12. che è la libra, & ne uerra $oldi 180. che $ono Ⴥ 9. & tan- to fu comprata la libra, che riuendendo l'oncia β 18. ui $i guada- gno a ragion di 20. per cento.

[074]

Et dicendo$i per quanto fu comprata la canna del panno, che rl uendendola Ⴥ 8. $i per$e a ragion di 10. per 100. Chiara co$a è che chi perde 10. per cento d'ogni cento uiene a far 90. per tanto di- rai, $e 90. era prima 100. che doueua effere 3? trouerai che gli era 8 {8/9} & tanto uenne a co$tare, che riuendendola Ⴥ 8, ui $i per$e a ra- gion di 10. per cento.

Et $e alcun dice$$e, io comprai la libra d'alcuna co$a tanto che s'io l'haues$i compra Ⴥ 4. men ch'io non la comprai, & riuenden- dola poi Ⴥ 16. io guadagnarei a ragion di 10. per cento. Si doman da quanto mi co$to. In que$ta è dibi$ogno trouar prima il capital di Ⴥ 16. dicendo, $e 110. era cento, che doueua e$$er 16? onde mul tiplica 16. uie 100. & quel che fa parti 110. & ne uerra 14 {6/11}, ma per hauer detto s'io gli haues$i dato Ⴥ 4. men ch'io non feci, harei guadagnato 10. per 100. Aggiugnerai 4. con 14 {6/11} & fara 18 {6/11} & tanto fu compra.

Et $e la propo$ta haue$$e detto, io ho compro la lib. d'alcuna co $a tanto che s'io gli haues$i dato 4. piu ch'io non feci, & riuenden- dola poi Ⴥ 16. harei guadagnato a ragion di 10. per cento, $i do- manda quanto co$to. Argui$ce come nella pa$$ata, dicendo. $e 110. era 100. che doueua e$$er 16. & trouerai che doueua e$$er 14 {6/11}, ma perche in que$ta s'è detto, s'io la compras$i 4. piu ch'io non fe- ci. E ftrarrai 4. di 14 {6/11} & re$tera 10 {6/11} & tanto fu compra.

Et dicendo$i, io ho compro una mia mercantia, non $o quanto, & holla riuenduta duc. 8. & guadagno a ragion di 20. per cento, Si domanda riuendendola duc. 10. quant'io guadagnarei per cen- to. Trouerai prima il capital di duc. 8. dicendo. $e 120. uenne la 100. da che uerra 8? per ilche multiplicherai 8. uie 100. & il pro- dutto parti per 120. & ne uerra 6 {2/3}. Et perche s'è detto s'io la ri- uendes$i duc. 10. quanto guadagnarei per cento. Dirai $e di 6{2/3} $i fa 10. che $i fara di 100? che operando come s'è mo$tro neuerra 150. del qual trahe cento & re$tera 50, & tanto $i guadagnaria per cento uendendola duc, 10.

[075]

Et $e ti fuffe detto s'io uendes$i la canna del drappo {1/2} duc. piu che la non mi co$to, io guadagnarei a ragion di 20 per cento. Si domanda quanto mi co$to. Dirai co$i. chi guadagna 20. per cento, quel che compra cento la riuende piu 20. Onde dirai, $e 20 uien da cento da che uerra {1/2} Opera multiplicando {1/2} uie 100. che fa 50. ilqual parti per 20. & ne uerra duc. 2 {1/2} & ranto li co$to, & la ri uende 3 Et uolendone far la proua dirai, $e di 2 {1/2} $i fa 3. che $i fara di cento & trouerai che $i fara 120. adunque $i guadagna 20. per cento.

Et $e $i dice$$e s'io uendes$i una mia mercantia {1/2} duc. meno che la non mi co$to, io perderei a ragion di 20. per cento, domando quanto co$to. Argui$cc come nella pa$$ara dicendo, $e 20. uien da cento da che uerra {1/2}? opera & uerra da duc. 2 {1/2} & egli la riuende {1/2} meno, cioe duc. 2, a punto.

Et dimandando$i co$i, uno ha uenduto un panier di pere β 12. & troua che s'è n'haue$$e date 2. a den. men che non fece n'harreb- be hauuto β 16. Si dimanda quante furono le pere, & quante ne de a den. Dirai co$i per 2. pere che gli haue$$e date a den. men che non fece, egli auanzerebbe β 4. cio è den. 48. che è la differenza che è da β 12. a β 16. onde dirai, $e 48. den. mi danno 2. pere, che mi daranno den. 144 che $ono li β 12? Opera & ti daranno 6. & tante pere $i daria a den. la $econda uolta, & la prima $e ne de 2. piu. Hor per fapere quante erano le pere, dirai, $e 1. den. mi da 8. pe re, che mi daranno den. 144? et trouerai che ti daranno pere 1152. & co$i dirai che la prima uolta ne daua a den. 8. & la $econda 6. e furono 1152. pere.

Et facendo$i domanda in que$to modo, uno ha compro un pa nier di pere β 15. & riuendendole n'ha date 2. meno a denari che non hebbe, & ha guadagnato a ragion di 20. per cento. Si doman da quante furono le pere & quante n'hebbe a den. Que$ta è $imi- le alla pa$$ata, per laqual co$a dirai chi guadagna 20. per cento gua dagna il {1/5} del $uo capitale, adunque uiene a guadagnare il {1/5} di β 35, che $ono β 3. Et perche s'è detto, che $e n'haue$$e date 2. a den. [076] men che non hebbe, egli auanzerebbe β 3. cioè den. 36. onde dirai, $e 36. den. mi danno 2. pere, che mi daranno den. 180. che $ono li β 15. che lui $pe$e? doue multiplica 2. uie 180. & quel che fa parti per 36. & ne uerra 10. & tante pere uende a den. adunque lui ne hebbe a den. 12. Et per $aper quante eran le pere, multiplica 180. per 12. pere, & fara 2160. & tante furono quelle ch'egli compro, & hebbene 12. a den. & denne 10.

Et dicendo$i uno compra ogni 5. pere 4. den. & riuende ogni 6. pere 5. den. & furono tante le pere che compro, che ui guadagno β 12. Dimanda$i quante furono, dirai co$i, $e 5. pere gli co$tano 4. den. che gli co$teranno 6. pere? onde multiplica 4. uie 6. et quel che fa parti per 5. & ne uerra 4 {4/3} & tanto co$torono a lui le 6. pere, & lui le riuende 5. adunque guadagna {1/5} cioè la differenza, che e da 4 {4/5} infino in 5. den. & pero dirai, $e {1/5} di den. guadagno, uien da 6. pere, da quante uerranno den. 144. che fono li β 12. che lui ui gua dagno? opera multiplicando 6. uie 144. & quel che fa parti per {1/5}, & ne uerra 4320. & da tante pere uennero β 12. ch'e$$o ui guadagno.

Et dicendo$i, $e le 3. pere & 2. den. uagliono 8. den. men 2. pere, $i domanda la ualuta della pera. In que$ta è dibi$ogno andar per uia di ragguagliamenti in que$to modo, che a cia$cuna pirte s'ag- giunga 2. pere, & harai da una banda 5. pere & 2. den. & dall'al- tra 8. denari. Dipoi da cia$cuna parte leuerai 2. denari & rimar- ranno 5. pere da una parte, & dall'altra 6. denari & pero dirai, $e le 5. pere uagliono 6. denari che uarra la pera, opera & uarra denari 1 {1/5}.

Et $e ti fu$$e detto, un gentil'homo piglia un $eruitore, alqual l'obliga dare l'anno duc. 20. & un ue$tire, occor$e che non ui $tè $e nõ 10. me$i, & 15. giorni, & hebbe il ue$tire, & 8. duc. & fu $ati$$at- to. Si dimanda quanto ual$e il ue$tire. Trouerai in me$i 10. & gior ni 15. quel che debba hauere, & perche li me$i 10. & giorni 15. $o no li {7/3} a'anno, adunq; ei debba hauere {7/8} di duc. 20. che $ono duc. 17{1/2}, & ancho debba hauereli {7/8} del ue$tire, & egli ha hauuto il [077] ue$tire, & 3. duc. per tanto li {7/8} d'un ue$tire, & li duc. 17 @ uaglio- no un ue$tire, & 8. duc. Onde ragguaglia le parti, leuando da ogni parte 8. duc. & haremo duc. 9. {1/2} & {7/8} d'un ue$tire ualere un ue$tire, doue da cia$cuna parte leua {7/3} d'un ue$tire, & rimarra {1/3} d'un uefti- re ualere duc. 9 {1/2}, & uolendo ueder quanto ual$e un ue$tire, mul- tiplica 9 {1/2} per {1/3} & ne uerra duc. 76. & tanto uenne a ualere.

Et $e alcun dice$$e, io ho compro in Siena la lib del zefferano Ⴥ 18. portolo a Venetia, & trouo che oncie 10. di Siena tornano oncie 12. in Venetia, & ogni 10. & di moneta di Siena tornano Ⴥ 8. in Venetia, Si dimanda quanto debbo uender la lib. ch'io ui guadagni a ragion di 20. per 100. Dirai co$i, $e oncie 12. di Siena co$tano Ⴥ 18. di Siena, che co$teranno oncie 10? Multiplica 10. uie 18. & parti per 12. & ne uerra Ⴥ 16. & tanto co$tano le oncie 12. di Venetia in Siena hora è da uedere lib. 16. di Siena quãto torna no in Venetia dic\~edo, $e lib. 10. di Siena tornano in Venetia lib. 8 quãto tornerano lib. 16. di Siena in Venetia? & trouerai che torne rãno lib. 12 {4/5}. Et perche s'è detto di uoler guadagnare 20. per 100 dirai, $e di 100. $i fa 120. che $i fara di 12 {4/5}, opera & uerratti Ⴥ 15. {9/25} & tanto s'hara a uender la lib. in Venetia uolendo guadagnar 20. per cento, a moneta & pe$o di Venetia.

Et dic\~edo$i, Io ho'compro in Siena la lib. del zeffarano Ⴥ 18. & portolo a Venetia, & trouo che oncie 10. di Siena, tornano oncie 12. in Venetia, & ogni lib. 10. di Siena, tornano lib. 8. in Venet. & uendo la lib. del zeffarano in Venetia Ⴥ 14. di $ua moneta, $i diman da quanto ui $i guadagna per 100. Arguirai come nella pa$$ata di cendo, $e oncie 12. di Siena co$tano Ⴥ 18. di Siena, che co$teranno oncie 10? & trouerai che co$teranno Ⴥ 16. & tanto co$tano le oncie 12. Venetiane di moneta Sene$e, delle quali Ⴥ 16. ne farai Ⴥ Vene tiane, dicendo $e Ⴥ 10. di Siena tornano Ⴥ 3. in Venetia quanto tor neranno Ⴥ 16. di Siena in Venetia? Opera & ne uerra pur Ⴥ 12 {4/9} & tãto mi co$ta la lib. Venetiana di moneta Venetiana, & $e dice$ $e io la uendei in Venetia Ⴥ 14. onde uolendo $aper quanto $i gua- dagno per 100. dirai, $e di 12 {4/5} $i fa 14. che $i fara di 100? Multipli ca 14. uie 100. & quel che fa parti per 12 {4/5} & ne uerra 109 {3/2} de [078] quali tratrai 100. & re$tera Ⴥ 9 {3/2} & tanto ui uenni a guadagnar per 100, di tal moneta.

Et dicendo$i la lib. cioè oncie 12. di Venetia tornano in Siena oncie 10. & Ⴥ 6. & β 15. di Venetia tornano in Siena un $cudo d'o ro, $i dimanda per quanto debbo cõprar la lib. del reubarbaro in Venetia, accioche riuendendo la lib. in Siena $cudi 4 {1/2} d'oro. Io ui guadagni a ragiõ di 10. ꝑ 100. Vedi prima la lib. di Siena quante oncie $onin Venetia, & gia $ai che oncie 10. di Siena fanno in Ve- netia oncie 12. Doue dirai, $e oncie 10. di Siena tornano oncie 12. in Venetia, quante torneranno oncie 12. Sene$i di Venetiane? Tro uerai che torneranno oncie 14 {2/5}. Et per uoler io guadagnar 10. per 100. Dirai, $e 110. innanzi ch'io guadagnas$i era 100. che doueuan e$$ere $cudi 4 {1/2}, cioè Ⴥ 30 {3/8} opera & trouerai che gli era no $cudi 4 {1/11} & tanto co$torono oncie 14 {2/5} in Venetia. Hora uedi quanto uagliono oncie 12. di Venetia, dicendo, $e oncie 14 {2/5} ua- gliono $cudi 4 {1/11} che uarranno oncie 12. & trouerai che uarranno $cudi 3 {3/4}, & que$ti è dibi$ogno ueder quante Ⴥ Venetiane torna- no, onde dirai $e uno $cudo di Siena $on Ⴥ 6. β 15. cioè Ⴥ 6 {3/4} di Ve netia che $eranno $cudi 3 {3/4}. Sene$i a Ⴥ Venetiane? Opera & ne uer ra Ⴥ 25. {5/16} cio è Ⴥ 25. β 6. den. 3. & tanto fu compra la lib. di Vene tia di $ua moneta che riuenduta in Siena $cudi 4 {1/2} $i guadagno a ragion di 20. per 100. Et co$i procederai nelle altre ancho che fu$ $ero d'altra qualita di mercantie, & que$to ba$ti quanto a tal co$a, $egue il dir delle compagnie.

DELLE COMPAGNIE.

VAnno le compagnie in diuer$i modi, & que$to ècau$ato dalle uarie conuentioni de compagni, imperoche alle uolte cia $chedun tira proportionalmente per quel che mette, & alle uol te no, come ne ca$i da dar$i $i puo comprendere, a quali per non abondare in parole mire$eri$co.

Due fan compagnia con que$ti patti che cia$cun tiri proportio nalmente per quel che mette, e'l primo me$$e duc, 132, e'l $econdo [079] me$$e duc. 156. & hanno guadagnato duc. 216. Si domanda quan to tocca per uno, $econdo le conuention fatte. Per dar ri$po$ta, $um merai 132. che mi$$e il primo con 156. che mi$$e il $econdo, & farã no duc. 288. & tanto hãno me$$o ambi dui, & per che'l primo n'ha mes$i 132. adunque participa in compagnia per {132/288} che $chi$ati $o no {11/24} & pero piglia {11/24} di duc. 216. che guadagnarono, multipli- cando 11. uie 216. & quel che fa parti per 24. & ne uerra duc. 99. & tanto debbe hauere il primo di guadagno. Et perche il $econdo mi$$e 156. uiene a participare per li {156/288} che $chi$ati $ono {13/24}, & pe- ro piglierai {13/24} di duc. 216. multiplicando 13. uie 216. & quel che fa parti per 24. & ne uerra duc. 117. & tanto tocca al $econdo di guadagno.

Puos$i anchora $oluere per que$t'altro modo, dicendo, $e duc. 288. che me$$oro ambi dui in$ieme guadagnano duc. 216. che gua dagnerãno duc. 132. che mi$$e il primo? opera multiplicãdo 132. uie 216. & quel che fa parti per 288. & ne uerra pur duc. 99. Di- poi dirai, $e duc. 288 che in$ieme ambidui mi$$ero guadagnano duc. 216. che guadagneranno duc. 156. che me$$e il $econdo onde multiplica 156. uie 216. & il produtto parti ꝑ 288. & ne uerra pur duc, 117. come gia $i di$$e nell'altro modo, che torna al mede$imo.

Due fan compagnia in que$to modo, che per quanto mette il primo, per tanto tiri del guadagno, & il $econdo tiri per li {2/3} di quel che mette, e'l primo me$$e 60. e'l $econdo me$$e 120. & anno guadagnato 100. Si dimanda quanto tocca per uno. Chiara co$a è che $e'l primo trarra per quel che mette, che uerra a trar per 60. & perche il $econdo debbe trarre per li {2/3} di quanto mette, adunque debbe trarre per @ {2/3} di 120. che $ono 80. Onde dirai, due fan com pagnia, e'l primo mette 60. e'l $econdo 80. & hanno guadagnato 100. Adimanda$i che tocca per uno. Aggiugnerai 60. con 80. & fa ranno 140. & que$to ècapitale d'ambidui, de quali il primo ne mette 60. adunque ei partecipa per {60/140} che $chi$ati $ono {3/7}, onde piglierai {3/7} di 100. guadagno, multiplicando 3. uie 100. & quel che fa parti per 7. & uerranne 42 {6/7} & tanto tocca al primo. Et per che il $econdo tira per 80, adunque partecipa in compagnia per [080] {30/140} che $chi$ati $ono {4/7} & pero piglia li {4/7} di 100. che guadagnoro- no, multiplicando 4. uie 100. & quel che fa partendo per 7. & ne ucrra 57 {1/7} & tanto tocca al $econdo. Puos$i anco dire, $e. 140. gua dagnano 100, che guadagneranno 60. che operando trouerai che guadagneranno 42 {6/7} per lo primo compagno, & co$i per il $econ do dirai $e 140. guadagnano 100. che guadagneranno 80? & tro- uerai che guadagneranno 57 {1/7} per lo $econdo come s'è detto.

Tre fan compagnia con patti, che per quanto mette cia$cuno, per tanto tiri del guadagno, e'l primo mette duc. 90. e'l $econdo mette duc. 126. e'l terzo mette duc. 144. & hanno guadagnato duc. 180. Si dimanda quanto tocca per uno. Summerai 90. che mi$$e il primo con 126. che me$$e il $econdo, & con 144. che me$$e il ter- zo, & faranno duc, 360. de quali il primo ne me$$e 90. adunque partecipa in compagnia per {90/360} che $chi$ati $ono {1/4} per tanto piglia I' {1/4} di duc. 180. guadagno, multiplicando 1. uie 180. che fara pur 180. ilquale parti per 4. & ne uerra duc. 45. & tanto uiene al pri- mo di guadagno, & perche il $econdo mi$$e 126. uiene a parteci- pare per {126/360}, che $chi$ati $ono {7/20}, per tanto piglia li {7/20} di 180. che guadagnorono, multiplicando 7. uie 180. & quel che fa parten do per 20. ne uerra duc. 63. & tanto tocca al $econdo. E perche il terzo me$$e duc. 144. adunque uiene a partecipare per {144/360} che $chi $ati $ono {2/3}, onde piglia li {2/3} di 180. multiplicando 2. uie 180. & il produtto partendo per 5. & ne uerra duc. 72. & tanto tocca al terzo.

Et $e per l'altro modo dato uorrai $oluer la domanda, Summe- rai in$ieme quanto me$$e cia$cuno, & fara il tutto pur duc. 360. & que$ti guadagnano li duc. 180. per laqual co$a dirai, $e duc. 360. che me$$ero in$ieme tutti, & tre guadagnano 180. che guadagne ranno 90. che mi$$e il primo, che $e multlplicherai 90 uie 180. & il produtto partirai per 360. ne uerra duc. 45. & tanto uenne al pri mo di guadagno. Dipoi dirai $e duc. 360. guadagnano duc. 180. che guadagneranno duc. 126. che mi$$e il $econdo, & allhora mul tiplica 126. uie 180. & quel che fa parti per 360. & ne uerra duc. 63. & tanto uien di guadagno al $econdo, Dipoi dirai, $e duc, 360, [081] guadagnano 180.quanto guadagneranno 144. che mi$$e il terzo, per ilche multiplicherai 144.uie 180. & il produtto partirai per 360. & ne uerra duc. 72. & tanto uiene al terzo come $i di$$e.

PROVA DELE COMPAGNIE.

VSa$i far le proue di dette compagnie il piu delle uolte in que$to modo, che $i $umma il guadagno di tutti i compa- gni, & uede$i $e gli è quanto $i di$$e che guadagnauano in e$$a com pagnia, per la qual co$a uolendo tu prouar la pa$$ata, $ummerai duc. 45. che tocco al primo di guadagno con duc. 63. che uennero al $econdo, & con duc. 72. che toccorono al terzo, & faranno pur duc. 180. come $i di$$e che in$ieme tutti tre guadagnarono, per tan to $i puo dire e$$a domanda di compagnia e$$er ben $oluta. non negando per que$to che alle uolte non po$$i l'huomo di tal proua re$tare ingannato, impercioche qualche uolta potrebbe e$$ere che tu $ummare$ti i guadagni di cia$cheduno, & uerrebbeti il mede$i- mo di quanto $i di$$e, che fra tutti guadagnarono, & la ragione ouero compagnia $arebbe mal $oluta, come dicendo che in que$ta no$tra fu$$e uenuto al primo compagno duc. 49. al $econdo duc. 61. & al terzo duc. 70. che $ummate in$ieme que$te tre quãtita fan no pur duc. 180. come $i di$$e, che fra tutti tre guadagnorono, & pur $i uede e$$er fal$ificata, benche non lo facendo $tudio$amente occorrera di rado, o non mai.

Tre fan compagnia con patti che il primo tragga per quanto mette, e'l $econdo tragga per {3/4} di quanto mette, e'l terzo tragga per {4/5} di quanto mette. il primo mette Ⴥ 100. il $econdo mette Ⴥ 160. & il terzo mette Ⴥ 200. & hanno guadagnato Ⴥ 120. Addi manda$i quanto tocca per uno. Egli è mani$e$to, che $e'l primo tra he per quel che mette, che trarra per 100. Ⴥ, & $e il $econdo trahe per {3/4} de denari che mette, che trarra per {3/4} di Ⴥ 160. che $on Ⴥ 120. & $e'l terzo trahe per li {4/5} de den.che mette, trarra per li {4/5} di Ⴥ 200. che $ono Ⴥ 160. & pero dirai, tre fan compagnia, il primo mette 800. il $econdo 120. & il terzo 160. & hanno guadagnato Ⴥ 120. & dipoi gouernati per qual uuoi de dui modi dati, trouerai che [082] al primo tocchera di guadagno Ⴥ 31 {11/12}, al $econdo Ⴥ 37 {17/12} & al terzo Ⴥ 50 {10/12}, & cia$cuno ha hauuto il douer $uo.

Et dicendo$i, due fan compagnia & cia$cuno debbe trar per quel che mette, & hanno guadagnato Ⴥ 120. il primo mi$$e Ⴥ 140 & il $econdo non $o quanto me$$e, maio $o bene che delle Ⴥ 120. che guadagnorono gliene tocco Ⴥ 50. et il re$to infino a Ⴥ 120. che ui è, cio è Ⴥ 70. toccorono al primo. Si dimanda quanto mi$$e il $e- condo. In que$ta è dibi$ogno che per uia del capitale & guadagno del primo, troui il capital del $econdo, in que$to modo dicendo. $e Ⴥ 70. guadagno del primo, uengono da Ⴥ 140. che me$$e, da quan- to uerranno Ⴥ 50. guaadagno del $econdo @ Onde multiplica 50. uie 140. & quel che fa parti per 70. & ne uerra 100. & tante Ⴥ. mi$ $e in compagnia il $econdo. Et doue s'è detto che il $econdo mi$- $e una quantita di Ⴥ $i poteua dir ancho che gli haue$$e me$$o una gioia, o qual $i uoglia mercantia.

Tre facendo compagnia con patti che per quanto mette cia$cu- no per tanto debbi trarre, il primo mi$$e Ⴥ 140. il $econdo mi$$e tã- to che di Ⴥ 160. che guadagnarono, gli toccò Ⴥ 40. & il terzo mi$- $e tanto che gli toccò Ⴥ 70. Si domanda quanto mi$$e il $econdo, & quanto il terzo, & quel che toccò al primo di guadagno. Pri- ma è nece$$ario ueder quanto uenne al primo di guadagno, & per che s'è detto che al $econdo toccò 40. & al terzo 70. che $ummati in$ieme fanno 110. adunque al primo toccò il re$to infino a 160. che ui corre 50. per laqual co$a dirai, $e 50. guadagno del primo uengono da 140. che me$$e, da quanto uerranno 40. guadagno del $econdo@onde multiplica 40. uie 140. & quel che fa parti per 50. & ne uerra 112. & tanto me$$e il $econdo. Dipoi dirai, $e 50. uen- gono da 140. da quanto uerranno 70. guadagno del terzo @ per il che multiplicherai 70. uie 140. & quel che fa parti per 50. & ne uerra 196. & tanto mi$$e il terzo.

Et dicendo$i, $e tre fan compagnia con patti che cia$cun tiri pro portionalmente per quel che mette, il primo mette $cudi 18. & fta in compagnia 25. me$i, il $econdo mette $cudi 20. & $ta me$i 12. & [083] il terzo mette $cudi 24. & $ta me$i 15. & hanno guadagnato $cudi- 100. $i dimanda quanto tocca per uno. Sempre per regola genera- le co$i nelle altre $imili come in que$ta $i conuien multiplicare la quantita de me$i, che cia$cuno $ta in compagnia, uie la quantita de denari che mette, & per che il primo me$$e $cudi 18. & $ta 25. me- $i. multiplica 18. uie 25. & faranno 450. & que$to è il $uo capitale fra tempo & denari. Et per lo $ecõdo multiplica $cudi 20. che me$ $e per li me$i 12. ch'egli $te in compagnia, & faranno 240. & tanto mi$$e fratempo & denari. Dipoi per il terzo multiplica $cudi 24. che me$$e per li 15. me$i ch'e$$o $tè in compagnia, & faranno 360. & que$to è il $uo capitale fra tempo & denari. Hora diremo, che tre faccino compagnia, & che il primo metti 450. e'l $econdo met- ti 240. & il terzo metti 360. & habbin guadagnato 100. onde uo- lendo ueder quanto tocchi per uno, $ummerai 450. con 240. & con 360. & faranno 1050. de quali il primo ne mette 450. adun- que partecipa in compagnia per {450/1050} che $chi$ati $ono {3/7}, doue pi glierai li {3/7} di 100. che guadagnarono, multiplica 3. uie 100. & quel che fa parti ꝑ 7. & ne uerra $cudi 42 {6/7} & tanto tocca al primo di guadagno. Et perche il $econdo mi$$e 240. uiene a partecipare per {240/1050} che $chi$ati $on {8/35} ꝑ tãto piglierai li {8/35} di 100. multiplicã do 8. uie 100. & quel che fa parti per 35. & ne uerra $cudi 22 {6/7}. Di poi perche il terzo mi$$e 360. che uiene a partecipar per {360/1050}, che $chi$ati $ono {12/35}, onde piglierai li {12/35} di 100. multiplicando 12. uie 100. & il produtto parti per 35. & ne uerra $cudi 34 {2/7} & tanto toc ca al terzo di guadagno. Il mede$imo $arebbe s'io haues$i detto, il primo me$$e a di primo di tal me$e, & co$i uariando i me$i, o anni dell'uno, & dell'altro compagno, & per lo mede$imo modo è da procedere, concio$ia che $empre è da uedere quanti me$i cia$che duno $ta in compagnia & arguir come s'è mo$tro.

Et $e per l'altro modo far la uoi, Summa 450. capital del primo con 240. del $econdo, & con 360. del terzo, & faranno pur 1050. & que$to che è il capital di tutti, & tre guadagnono li $cudi 100. Per tanto dirai, $e 1050. guadagnano 100. che guadagneranno 450. che mi$$e il primo@opera multiplicando 100. uie 450. & quel che $a parti per 1050. & ne uerra $cudi 42 {6/7} per guadagno del pri [084] mo, & co$i arguirai per il $econdo, & per il terzo, & trouerai uenir come di $opra.

Et dicendo$i, $e due fan compagnia, & cia$cun debba trar per ra ta di quanto mette, il primo mette Ⴥ 144. il $econdo mette $cudi 18. & hanno guadagnato Ⴥ 64. delle quali al primo ne tocco Ⴥ 28. & l'auanzo infino a Ⴥ 64. che $ono Ⴥ 36. toccorono al $econdo. $i di manda quanto fu ualutato lo $cudo. Argui$ce co$i, $e Ⴥ 28. guada- gno del primo uengono da Ⴥ 144. che mi$$e, da quanto uerranno Ⴥ 36. guadagno del $econdo@opera multiplicando 36. uie 144. & quel che fa parti per 28 & ne uerra Ⴥ 178. lequali parti per li $cudi 18. che mi$$e in compagnia, & ne uerra Ⴥ 9 {8/12}, cioè Ⴥ 9. β 17. den. 9 {1/4} & tanto fu ualutato lo $cudo.

Due facendo compagnia con patti che cia$cun tiri del guada- gno per quel che mette, & il primo ha me$$o piu che il $econdo 16. & hanno guadagnato 112. il primo n'ha hauute Ⴥ 60. & il $econ- do il re$to, cioe Ⴥ 52. Si dimanda quanto mi$$e cia$cuno. Per ri$po fta dirai, è a$$ai manife$to, che da Ⴥ 60. che toccano al primo a Ⴥ 52. che toccano al $econdo ui corre 8. & que$te toccan piu al primo per ch'egli me$$e Ⴥ 16. piu del $econdo, onde dirai, $e 8. Ⴥ uengon da 16. che mi$$e piu il primo del $econdo, da quanto uerranno Ⴥ 60. per ilche multiplicherai 16. uie 60. & quel che fa parti per 8. & ne uerra 120. & tante Ⴥ mi$$e il primo. Dipoi per il $econdo di- rai. $e Ⴥ 8. uengon da 16. da quanto uerranno Ⴥ 52. Doue multipli ca 16. uie 52. & quel che fa parti per 8. & ne uerra Ⴥ 104. & tanto mi$$e il $econdo.

Due fac\~edo cõpagnia cõ patto che il primo tragga l' {1/2} quando il $econdo l' {1/3} & hanno guadagnato 80. $i dimanda che tocca per uno, per ilche fa co$i, troua un numero che habbia mezzo & terzo. Onde $empre per regula generale quãdo uoi trouare un numero che habbi piu parti, multiplica infra loro le quantita che $ono $ot- to le linee a rotti, de quali uuoile parti, adunque multiplica 2. che è $otto la linea dell' {1/2} uie 3. che è $otto la linca dell' {1/3} & fara 6. & que$to è quel numero che ha mezzo & terzo, & perche il primo [085] debbe trarre il mezzo, piglia la meta del detto 6. che è 3. Et perche il $econdo debbe trarre il terzo, piglia il terzo del detto 6. che è 2. & dirai, che due faccin compagnia, & che il primo metti 3. & il $econdo 2. & habbino guadagnato 80. che operando per qual uuoi de modi dati, trouerai che al primo uerra di guadagno 48. & al $econdo uerra di guadagno 32.

Et dicendo$i, due fan cõpagnia con patto che'l primo traga l' {1/2} piu 2. quãdo il $ecõdo il terzo piu 3. & hãno guadagnato 65. $i do mãda che tocca per uno@fa co$i, giugni piu 2. con piu 3. & faranno piu 5. ilquale trahe di 65. & re$tera 60. Dipoi come nella pa$$ata face$ti, troua un numero che habbia {1/2} & {1/3}, che lo trouerai multipli cando 2. che è $otto la linea del {1/2} uie 3. che è $otto la linea dell' {1/3} & fara 6. & que$to è quel numero che ha {1/2} & {1/3}, onde piglierai il mez zo di 6. che è 3. & tanto diremo che metti il primo. Dipoi piglierai l' {1/3} di 6. che e 2. & tanto dirai che metti il $econdo, & habbino a partir 60. che operando trouerai al primo uenir 36. & perche $i di$$e che haueua hauer piu 2. del mezzo aggiugni 2. $opra 36. & fa ra 38. & tanto tocca al primo di gua dagno. Et per lo $econdo ti uerra 24 $opra il qual giugni piu 3. & faranno 27. & tanto tocche ra al $econdo di guadagno.

Et dicendo$i che due habbino a partir duc. 65. de quali il primo n'ha hauere l'{11/12} men 2. & il $econdo l' {1/3} men 3. Si dimanda che toc ca per uno. Que$ta è $imile alla pa$$ata domanda, $aluo che douc in quella per ri$po$ta il piu $i tre, in que$ta il meno s'ha aggiugne- re, onde aggiugne men 2. con men 3. & fara men 5. ilquale aggiu- gni con 65. & fara 70. Hora procederai come di $opra, dicendo che due habbino a partir duc. 70. et che'l primo n'habbi hauere l' {1/2} quando il $econdo l' {1/3}, opera & trouerai che al primo ne uerra 42. & perche debbe hauere l' {1/2} men 2. trarrai 2. di 42. & re$tera 40. & tanti duc. diremo che tocchino al primo. Et per il $econdo ti uerra 28. delquale trarrai 3. che debbe hauer manco, & re$tera 25. & tanti diremo che tocchino al $econdo.

Tre hauendo a partire, ouero hauendo guadagnato duc. 120. [086] de quali al primo ne debbe toccare li {2/3} piu 4. quando al $econdo li {3/4} men 5. & quando al terzo li {4/5} piu 6. $i dimanda quanto tocca per uno, per ilche fa co$i, trahe di 120. piu 4. del primo, & re$tera 116 $opra il quale aggiugni men 5. del $econdo & faranno 121. del quale trarrai piu 6. del terzo, & re$tera 115. ilquale 115. $i deue partire in tal modo, che il primo ne tiri {2/3}, il $econdo {3/4} & il terzo {4/5}, per tanto è dibi$ogno ueder quale è quel numero che habbi ter zo, quarto, & quinto, che operando come s'è mo$tro trouerai quel tal numero e$$er 60. del quale piglierai {2/3} che $ono 40. & tanto dirai che il primo metti. Dipoi piglierai li {3/4} di 60. che $ono 45. & tanto dirai che metti il $econdo, & co$i piglierai li {4/5} di 60. che $ono 48. & tanto dirai che metti il terzo. Onde arguirai co$i, tre fan com pagnia, il primo mette 40. il $ecõdo 45. & il terzo 48. & hanno a partir 115. $i dimanda quanto tocca per uno. Opera & ne uerra per il primo 34 {78/133}. Sopra i quali aggiugni piu 4. che debbe haue re, & faranno duc. 38 {78/133} & tanto li debbe uenire. Et per il $econ- do ti uerra 38 {121/133} del quale trarrai 5. ch'egli ha hauere meno, & re$tera 33. {121/133}. Dipoi per il terzo ti uerra 41 {67/133} Sopra i quali ag giugni 6. piu che gli ha a toccare, & fara duc. 47 {67/133} & tanto gli ha a uenire.

Due facendo compagnia con patti che cia$chedun tiri per quel che met te, il primo mi$$e alcuna quantita, il $econdo mi$$e li {3/4} di quel che mi$$e il primo & piu Ⴥ 12. & hanno guadagnato Ⴥ 112. & al primo tocco di guadagno Ⴥ 60. & al $econdo tocco di guada gno Ⴥ 52. Dimanda$i che mi$$e cia$cuno. Per ri$po$ta dirai, è a$$ai manife$to, che quando il $econdo mette$$e li {3/4} di quel che mette il primo, che anchora douerebbe trarre li {3/4} di Ⴥ 60. che toccorono al primo, che $ono Ⴥ 45. & noi dicemo, che li tocco di guadagno Ⴥ 52. & che mi$$e piu 12. Ⴥ che li {3/4} di quel che mi$$e il primo, onde dirai. da Ⴥ 45. a Ⴥ 52. ui corre 7. Ⴥ, quali $ono il guadagno di Ⴥ 12. per la qual co$a dirai, $e Ⴥ 7. uengon da 12. da quanto uerranno Ⴥ 60. Onde multiplica 12. uie 60. & quel che fa parti per 7. & ne uerra Ⴥ 102 {6/7} & tanto mi$$e il primo. Dipoi dirai, $e Ⴥ 7. uengon da Ⴥ 12. da quanto uerrano Ⴥ 52. Opera & uerranno da 89 {1/7} & tante Ⴥ mi$$e il $econdo.

[087]

Due facendo compagnia con patti che cia$cun tragga per erra- ta di quel che mette, il primo mi$$e li {12/11} di quel che me$$e il $econ do, & piu Ⴥ 20. & han no guadagnato Ⴥ 112. delle quali al primo ne tocco 60. & al $econdo 52. $i dimanda, quanto mi$$e cia$cuno. In que$ta è da con$iderare, che $e al $econdo gli uenne manco di guadagno che al primo, che uenne anco a metter manco in compa gnia. Per tanto $e'l primo mette$$e li {12/13} del $econdo, gli douerebbe ancor toccare li {12/13} di Ⴥ 52. che toccorono al $econdo, che $ono Ⴥ 48 & noi diciamo che tre Ⴥ 60. che da 48. infin 60. ui corre Ⴥ 12. & que$te $ono il guadagno delle Ⴥ 20. che me$$e piu. onde dirai, $e Ⴥ 12. uengon da 20. da quanto uerranno Ⴥ 60. opera & uerranno da 100. & tante Ⴥ mi$$e il primo. Dipoi dirai $e Ⴥ 12. uengon da 20. da quanto uerranno 52. opera & uerranno da 86 {2/3} & tante Ⴥ mi$$e il $econdo.

Due facendo compagnia con patti che cia$cun tragga per quel che mette, il primo me$$e duo cotanti, che il $econdo, & piu 24. Ⴥ. & hanno guadagnato Ⴥ 120. & al primo ne tocco 90. & al $econ- do 30. Si dimanda quanto me$$e cia$cuno. Per ri$po$ta dirai, e gli è manife$to, che $e il primo haue$$e me$$o duo cotanti del $econdo, che gli harebbe ancor hauer duo cotanti di Ⴥ 30. che tra$$e il $econ do, che $ono Ⴥ 60. & noi habbiam detto che n'ha tratte 90. adun- que ha tratto piu 30. che non $ono i duo cotanti del $econdo, le quali $ono guadagno delle Ⴥ 24. ch'egli me$$e piu. per laqual co$a diral, $e Ⴥ 30. guadagno uengono da Ⴥ 24. capitale, da quanto uer- ra 90. Opera & uerran da 72. & tante Ⴥ mi$$e il primo. Dipoi di- rai, $e Ⴥ 30. guadagno uengon da 24. capitaleda quanto uerranno Ⴥ 30. che tra$$e il $econdo&@ trouerai che uerranno da 24. & tante Ⴥ mi$$e il $econdo.

DELLE SOCCITE.

DOppo le compagnie $eguano le $occite lequali $on $imili a le compagnie pero che $ocietas non uuol dir altro che com pagnia, ne ci è altra differenza $e non che ne le compagnie uno mette tal uolta il capitale e non la per$ona & l'altro mette $olo la [088] per$ona $enza altro capitale, e quel che mette $olo la per$ona non uien mai a impatronir$i in parte alcuna del capital dell'altro, ma ne le $occite $empre che il gentil'huomo o $ocio maggiore che è quel che mette il cap tale ha dato ne le mani al uilano o $occio mi nore che non mette $e non le $atiche qual $i uoglia quantita e $orte di be$tie $ubito il $a partecipe di quelle $econdo il tempo che glie le la$$a ne le mani come per piu e$empi $i mo$trera, onde in que$to primo diremo che un cittadino dia in $occita a un uillano 200. pecore con que$ti patti che al fin di tre anni $i parti a mezzo pro d'anno e ca pitale, occor$e che furno d'accordo di partir la $occita in tempo di 2. anni, & trouando$i fra il capitale & l'utile pecore 360. $i dimanda quante ne uiene al cittadino, & quante al uilla- no. Per re$po$ta dirai, chiara co$a è, che $e il uillan o h ue$$e tenuta la $occita 3. anni, come furono le prime conuentioni, ch'egli hareb be il mezzo di pecore 360. che $ono 180. Onde dirai, $e 3. gli daua 180. che gli dara 2. Opera & gli dara pecore 120. & tante ne deb- be uenire al uillano, & il re$to infino 360. che $ono pecore 240. hanno a toccare al cittadino.

Et hau\~edo$i detto, che $e'l uillano l'haue$$e tenute anni 2. & me $i 6. dire$ti, $e me$i 36. che $ono li 3. anni, che le doueua tenere gli dauan pecore 180. che gli daranno me$i 30. che lui le tenne@ Ope- ra & gli daranno pecore 150. & l'auanzo infino. 360. che $ono pe core 210. toccheranno al cittadino.

Et dicendo$i, $e uno da in $occio a un'altro una quantita di peco re con patti, che finiti 3. anni debbin partire a mezzo l'utile & il ca pitale, occor$e che il pa$tore le guardo 4. anni, & 8. me$i, & trouo- ron$i in tutto pecore 660. Si dimanda, quante ne uien per uno. Onde prima per 3. anni che il pa$tor le doueua guardare, piglia la meta di 660. che $ono 330. Hora $e lui l'haue$$e tenute altri 3. anni, gli uerrebbe ancor la meta di 330. che $ono pecore 165. ma perche lui l'ha tenute un'anno & 8@me$i, cioèun'anno & {2/3} piu che lui non doueua, dirai, $e 3. anni gli dauano 165. che gli dara 1 {2/3} opera & gli daranno pecore 91 {2/3} lequali aggiugni $opra le 330. & faranno 421 {2/3} & tante pecore conuien che uenghi al pa$tore, & [089] l'auãzo infin 660. che $ono pecore 238 {1/3} u\~egon al gentil'huomo.

Et dicendo$i, Pietro da in $occita a Toma$o 300. pecore con pat to che finiti 4. anni debbino partire a mezzo il guadagno & capi- tale, & Toma$o ha da $e 60. pecore lequali me$cola con quelle di Pietro, & la $occita non dura dipoi $e non 3. anni & 4. me$i, & tro uan$i pecore 630. Si dimanda quante ne tocca per uno. Per ri$po- $ta, fa co$i, $umma 60. che me$$e Toma$o con le 300. di Pietro, & faranno 360. delle quali Toma$o per metterne 60. partecipa per {60/360} che $chi$ati $ono {1/6} & pero piglia l' {1/6} di 630. che $i trouorono al fin della $occita, & ne uerra 105. pecore, & que$te toccano a To ma$o per le 60. pecore che me$$e, lequali trahe di 630. & re$teran- no 525. delle quali $e Toma$o l'haue$$e tenute 4. anni, gliene ue- niua le mezze, cíoè pecore 262 {1/2}, ma lui non le tenne $e non 3. an- ni & 4. me$i, cíoè anni 3 {1/3}. Per tanto dirai, $e 4. gli daua 262 {1/2}, che gli dara 3 {1/3} opera & gli dara pecore 218 {3/4} con le quali aggiugne le pecore 105. che gli toccorono per rata di pecore 60. che me$$e, & faranno 367 {3/4} & tante pecore debbe toccare a Toma$o, & il re- $to infino a 630, the $ono pecore 262 {1/4} toccano a Pietro.

DECAMB II.

COnuiene al mercante & mas$ime al cas$iere di qual $i uo- glia traffico e$$er molto e$perto nel negociare i cambii, che di uarie monete face$$e, imperoche altrimente e$$endo, potrebbe auuenire che alle uolte il cas$iere, co$i $e $te$$o come altri ingannar potrebbe, onde mo$trandoti alcuni d'es$i cambii ti $eranno ottima guida per dar $olutione a de gli altri.

Et $ia che ti fu$$e detto, un cas$iere debba fare un pagamento di $cudi 560. & per non hauere $cudi uuol pagar duc. d'or larghi, che $on meglio che li $cudi 5. per cento. Dimanda$i per li detti $cudi 560. quanti duc. d'or larghi gli conuien pagare, onde per e$$er me- glio li duc. delli $cudi 5. per cento dirai, $e di $cudi 105. $i fa duc. cento, che $i fara di $cudi 560. onde multiplica cento uie 560. & fa ra 56000. quali parti per 105. & ne uerranne 533 {1/3} & tanti duc. [090] d'or larghi conuien pagare al cas$iere per li detti 560. $cudi.

Et dicendo$i, li duc. $tretti $on peggio che non $ono li duc. lar- ghi duc. 4. β 13. denari 4. a oro per cento, $i dimãda per 390. duc. larghi quanti n'hauero delli $tretti. prima per e$$ere ogni ducato β 20. a oro i detti duc. 4. β 13. den. 4. $eranno duc. 4 {2/3} per laqual co $a dirai, $e duc. cento larghi tornano duc. 104 {2/3} $tretti, che torne- ranno duc. 390. larghi, di $tretti@ per ilche multiplica 104 {2/3} uie 390. & faranno 40820. ilqual parti per cento & uerranne duc. 408 {1/5}, cioè duc. 408. & β 4. a oro, & tanti ducati $tretti hauero per li detti duc. 390. larghi.

Et dicendo$i uno da a un banchiere in Siena duc. 425. di came- ra, & uuole che glieli rimetti in Venetia in tanti duc. d'or larghi, & li duc. d'or larghi $on meglio che quelli di camera 3 {1/3} per c\~cto per ilche dimanda$i per li detti duc. 425. di camera quãti di larghi gliene douera rimettere in Venetia. Dirai co$i, $e duc. 103 {1/3} di ca- mera tornano duc. 100. larghi, quanti larghi torneranno duc. 425 di camera@ opera multiplicando 100. uie 425. & faranno 42500. quali parti per 103 {1/3} & uerranne duc. 410 {20/31} cioè duc. 410. β 12. den. 10 {6/31} a oro, & tanti duc. d'or larghi $i conuien pagare per li duc. 425. di camera.

Ma $e ti fu$$e detto, la lib. cioè oncie 12. di Siena tornano in Ve netia oncie 14. & la lib. di Venetia torna in Ferrara oncie 11. & la lib. di Ferrara torna in Bologna oncie 10. Dimanda$i la lib. di Bo- logna quanto tornera in Siena. Potre$ti tal propo$ta $oluer per uia delle 4. quantita proportionali, ma per piu de$trezza procedi co$i in que$ta & $imili, cioè multiplica oncie 12. di Bologna uie oncie 12. di Ferrara, & faranno 144. & que$te multiplica uie oncie 12. di Venetia, & faranno 1728. quali multiplica uie oncie 12. di Sie- na, & faranno 20736. per l'ultima multiplicatione, quale partirai per oncie 14. Venetiane, & uerranne 1481 {1/7} quali parti per on- cie 11. Ferrare$i, & uerranne 134 {50/77} quali parti per oncie 10. Bo- logne$i, & uerranne 13 {179/385} & tante oncie tornera la libra di Bolo gna'in Siena.

[091]

Et dicendo$i li 4 gros$i Sene$i uagliono 5. Luche$i, & li 8. Lu- che$i uagliono 6. carlini, & li 9. carlini uagliono 7. giulii, per il che $i dimanda li 20, gros$i Sene$i quanti giulii $eran- no. In que$ta & $imili farai ad ogni 2. quantita un pun- to, cominciando $otto alla prima da man $ini$tra, cioè 4. 5. 8. 6. 9. 7. 20 ... 140 840 4200 1050 131 {1/4} 14 {7/12} $otto il 4. un punto, & $otto l' 8. un punto, & $otto il 9. un'altro punto, la$$ando $empre l'ultima quantita $enza punto, laquale $i multiplichi uie la penultima, & co$i $i $e gui uie tutte quelle quantita, che non hanno punto, onde parti in que$ta multiplica 7. uie 20. & fara 140. & que$to mul- tiplica per 6. & fara 840. ilquale anchora multiplica per 5. & fara 4200. & que$ta ultima multiplicatione $i parti per tutte quelle quantita che hanno $otto il punto, & pero parti- rai 4200. per 4. & quel che ne uiene parti per 8. & quel che ne uer ra parti anchora per 9. & uerranne per l'ultimo partimento 14 {7/12} & tanti giulii tornerebbono li 20. gros$i Sene$i.

Et hauendo la propo$ta detto, lo $cudo ual 6. carlini, & 10. gro$ $i, Io lo cambio & riceuone dal cambiaruolo 2. carlini, & 16. gro$ $i. Dimanda$i quanto ual$e lo $cudo a carlini, & quanto a gros$i. In que$ta con$idera prima la ualuta dello $cudo a gros$i, doue per e$- $er$i nominati la $econda uolta 4. carlini men della prima, non uol dir altro la detta propo$ta $e nõ che li 4. carlini $ono 6. gro$$i, per ilche li 6. carlini $eranno 9. gros$i, quali $ummati con gros$i 10. fanno gros$i 19. & tanto uale a gros$i lo $cudo. dipoi perche li 6. gros$i $ono 4. carlini, ne $eguita che li 10. gros$i uengono a e$$ere carlini 6. {2/3} che aggiunti con li carlini 6. fanno 12 {2/3} & tanto uale lo $cudo a carlini.

DEL CONSOLARE DELL'ORO ET DELL'ARGENTO.

IL con$olare dell'Argento, & co$i dell'Oro, non è altro, che ri- dur qual $i uoglia quantita d'Oro ouer d'Argento a maggiore, ouer minor finezza, & allhora $i riddurra a maggior finezza cia- $cun di que$ti, quando da e$$i $i $eperera alcun metallo di poca ua- [092] luta, & quando $i uorranno ridurre a minor finezza, è dibi$ogno me$colarui rame, quando $ia argento, perche con l'Oro fi puo me- $colare Rame, & Argento, & è da $apere, che quando nella propo- $ta $i dira Argento di 12. leghe, ouero Oro di 24. caratti, che allho ra $i parlera della lor maggior finezza, & quando $i dira Argento di 9. leghe, non $i uorra dire, $e non che in una quantita d'Argento ui $i contenga 9. oncie d'Argento. & il re$to rame, quando detta quãtita arriua$$e alla lib. integra, perche non ariuando s'intendereb be, che in quanto che fu$$e, ui $i conte$$ero li {9/12} cio è li {3/4}, & co$i quando $i dira un tal pezzo d'Oro è a lega di 18. o di piu, o man- co caratti, $i deue intendere, che il re$to infino alla $ua maggior fi- nezza, che $ono caratti 24. $ia Rame, o Argento. doue in que$to di caratti 18, potiamo dire che ci $ia li {3/4} d'Oro fino, & l' {1/4} d'Argen- to, ouero di Rame $econdo che nella propo$ta $i $pecifica.

Onde $ia che uno haue$$e Argento a lega d'onc. 9. per lib. & Ar gento a lega d'oncie 10. per lib. & uole$$i $apere fondendo in$ieme Ⴥ 10. di quel di leghe 9. con Ⴥ 12. di quel di leghe 10. di quante le- ghe torna$$e il detto Argento. Dico che $i troui prima quante on- cie del fino $ono in quello di leghe 9. che $i trouera multiplican- do leghe 9. uie lib. 10. & fara onc. 90. per l'Argento fino di lib. 10. Dipoi per la $econda lega che tiene d'oncie 10. per Ⴥ, mu@tiplichi$i leghe 10. uie Ⴥ 12. & faranno oncie 120. per l'Argento fino di Ⴥ 12. conle quali oncie 120. $i $ummi le oncie 90. & faranno oncie 210. Hora è da $ummare le quantita delle Ⴥ, cioè Ⴥ 10. con Ⴥ 12. che fanno libre 22. per lequali parta$i l'oncie 210. d'Argento, & uerranne 9 {6/11}, & di tante leghe per libra torneranno le dette duc $orti d'Argento in$ieme fu$e.

Se uno $i troua$$e un pan d'Argento di coppella, che pe$a libre 30. Dimanda$i uolendo far che il detto Argento fu$$e di leghe 8 {1 / @} per lib. quãto Rame ui debba aggiugnere, & quanto pe$era in tut to la detta congiuntione, per la qual co$a fa in que$to modo, & pri ma (perche tanto è a dire Argento di coppella, quanto Argento dileghe 12.) multiplica lib. 30. che pe$a il detto argento per leght 12. & fara 360. ilquale parti per 8 {1/3} che $on la quantita delle leghe [093] in che lui uuol che torni, & uerranne 43 {1/5} & tante lib. pe$era il det to me$colamento. adunque ui uiene e$$er di rame la differenza che è da lib. 30. a lib. 43 {1/5} che è lib. 13 {1/5}.

Et dicendo$i, uno $i troua lib. 10. di rame, fra'l quale ti uuol me $colare tanto argento fino che torni argento di leghe 7. Onde di- manda$i quanto ue ne debba aggiugnere. Per $apere ri$pondere, fa co$i, uedi quanto rame ua in una lib. d'argento di leghe 7. in che u'andera oncie 5. di rame & oncie 7. d'argento, per ilche dirai, $e on cie 5. di rame uogliono onc. 7. d'argento, le lib. 10. cioè on cie 120. di rame quanto argento fino uorranno@ per il che, multiplica 7. uie 120. & fara 840. ilqual parti per 5. & uerranne oncie 168. cioè lib. 14. d'argento, ilqual me$colato ouer con$olato con lib. 10. di rame pe$era il detto me$colamento lib. 24. & $era argento di 7. leghe.

Ma dicendo$i, uno $i troua lib. 15. d'argento dileghe 7. & $i di- manda quanto argento fino ui debba aggiugnere uolendolo fare di leghe 8. Per $apere ri$pondere, dirai co$i, perche in ogni lib. ui uiene a e$$er da 7. oncie infino a 12. cioè oncie 5. di rame, adunque nelle lib. 15. ui uiene ad e$$ere onc. 75. di rame, & perche egli uuol $are argento di leghe 8. dirai. $e con oncie 4. di rame $i me$cola una lib. cioè oncie 12. d'argento di leghe 8. quanto argento bifogna a me$colare cori oncie 75. dirame@ doue multiplica oncie 12. uie 75. & farra 900. ilquale parti per le oncie 4. di rame, & uerranne oncie 225. cioe lib. 18 {3/4} & tanto pe$era il detto argento & $era di leghe 8. & l'aggiugnimento dell'argento fino fu la differenza che gliè da 15 & 18 {3/4} cioè lib. 3 {3/4}.

Et $e la propo$ta dice$$e, un $i troua lib. 18. d'argento di leghe 8. dimanda$i uolendolo e$$o con aggiugnimento di rame recare a leghe 7. quanto rame ui debbe aggiugnere:fa co$i, uedi in dette lib. 18. quanto argento fino ui $i troua, multiplicando 8. leghe uie 18. lib. & faranno 144. quali parti per leghe 7. che lui uuol che torni, & uerranne 20 {4/7} & tanto pe$era il detto argento & $ara di leghe 7. & lo aggiugnimento del rame $u quel che è da 18. à 20 {4/7} che $o no libre 2 {4/7} di rame.

[094]

Et $e ti fu$$e detto, uno $i troua lib. 20. d'oro di 18. caratti, co$tui lo me$$e al fuoco per affinarlo, & tornolli lib. 15. Dimanda$i di quanti caratti tornorono le dette lib. 15. fa co$i, multiplica 18. ca- ratti, che teneua prima uia le lib. 20. & fara 360. & que$to parti per lib. 15. che torno in ultimo & uerranne 24. & di tanti caratti $ono le dette lib. 15. & per e$$er uenuto in que$to numero di 24. caratti, $i puo dire il detto oro e$$er tornato alla $ua maggior finezza che tornar po$$a, ma quan do in ultimo del partire ti fu$$e uenuto piu di 24. caratti, $i potrebbe dire tal propo$ta non e$$er $olubile, im- percioche la maggior finezza dell'oro non pa$$a caratti 24. adun- que ne $eguita che $empre ne debbe uenire o meno di 24. caratti, ouero la maggior finezza che $ono caratti 24. come in que$ta pre- $ente propo$ta uenuti ne $ono.

Et $e la propo$ta dice$$e, che di lib. 24. d'oro di 15. caratti bi$o- gna$$e con metterlo al fuoco affinarlo tanto che torna$$e di caratti 18. dimanda$i quanto pe$era poi il detto oro, per e$$er que$ta la conuer$a della pa$$ata, multiplicherai 15. caratti che teneua prima uie lib. 24. & fara 360. ilquale parti per caratti 18. che debbe torna re, & uerranne lib. 20. & tante torneranno le lib. 24. & $era di 18. caratti, & per lo mede$imo ordine procedere$ti in la propo$ta del l'argento, quando delle $imili inanzi ti fu$$ero po$te.

Et $ia che lib. 18. d'argento di leghe 9. raffinato innanzi che tu l'affina$$e fu$$e di leghe 5. & uoles$i $apere quanto pe$aua prima. fa co$i, multiplica leghe 9. con lib. 18. & fara 162. il quale parti per le ghe 5. di che era prima, & uerranne 32 {2/5} & tante libre pe$aua pri- ma il detto argento, & era di 5. leghe.

Ma dicendo$i, uolend'io fare oncie 4 {1/3} d'oro a lega di caratti 15. per oncia, uoglio $apere quanto oro fino, & quanto rame mi bi$ognera, & tu dirai. perche 15. caratti $ono li {5/8} di caratti 24. che ha l'oro fino, dirai, $e un'oncia uuol {5/8} d'oro, che uorranno oncie 4 {2/3} @ Opera & uerranne oncie 2 {11/12} & tanto oro fino bi$ogna per con$olare le dette oncie 4 {2/3} & per ueder quanto rame ci bi$ogna, trarrai 2 {11/12} di 4 {2/3} & re$tera 2 {4/4} & tante oncie di rame bi$ogna, [095] Onde uolendone la proua, $umma oncie 2 {3/4} di rame con oncie 2 {11/12} d'oro fino, & faranno oncie 4 {2/3} come uoleuamo.

Et $e ti fu$$e detto l'oncia dell'argento di coppella ualendo Ⴥ 5. {1/3} dimanda$i quanto uarra l'oncia di leghe 9. Es$i gia detto, che tan to è a dire argento di coppella quanto argento fino, & quanto ar- gento di leghe 12. per ilche dirai, $e leghe 12. uagliono Ⴥ 5 {1/3} che uarranno leghe 9. doue multiplica 5. uie 9. & quel che fa parti per 12. & uerranne 4. & tante Ⴥ uarra l'oncia dell'argento di leghe 9. Non pregiando il rame perche $e'l rame $i mette$$e a pregio alcu- no, bi$ognaria ueder quanto uagliono le tre oncie del rame che $o no in la libra dell'argento di leghe 9. & $ommar detto pregio con le Ⴥ 4. che ualeua l'argento di detta libra di 9. leghe.

Ma $e la propo$ta dice$$e l'oncia di 9. leghe uale Ⴥ 4. che uarra la libra di quel di leghe 7. ualutando il rame a β 8. la libra @ fa co$i. uedi prima quanto uale la lib. di quel di leghe 9. che certamente a Ⴥ 4. l'oncia uarra Ⴥ 48. dipoi perche in una lib. d'argento di leghe 9. ui $ono oncie 3. di rame, che a β 8. la libra le dette 3. oncie di ra- me, uagliono β 2. adunque l'argento fino uarra Ⴥ 47. β 18. che par tito per oncie, ouero per leghe 9. ne uiene Ⴥ 5. β 6. den. 5 {1/3}. Hora ti bi$ogna con$iderare quanto rame è in una libra' d'argento di le- ghe 8. & ui $ono oncie 5. di rame, lequalia β 8. la libra uagliono β 3 {1/3} cioè β 3. den. 4. & le oncie 7. d'argento fino a Ⴥ 5. β 6. den. 5 {1/3} l'oncia, uarranno Ⴥ 37. β 5. de. 2 {1/3} a iquali aggiuntoui $opra li β 3. den. 4. che uagliono le 5. oncie del rame, faranno Ⴥ 37. β 8. den. 5 {1/3} & tanto uarra la libra di 7. leghe.

Et $e i fu$$e detto. uno $i troua argento di leghe 8. & di leghe 6 5. 7. 8 1 1 1 2 1 1 5. 20. 3 7. & di leghe 5. & di tutte que$te 3. $orti d'argenti ne uorrebbe fa- re una che fu$$e di leghe 6. & uuolne con$olar lib. 20. $enz'altro ag- giugnimento, dimanda$i quanto gli conuien, pigliar di cia$cuno. Per $olutione in que$ta domanda terrai, & in tutte l'altre $imigliã ti que$to modo di procedere, cioè $egnerai tutte le leghe ch'e$$o $i troua, cominciando prima a $egnar dal lato $ini$tro leghe 5. dipoi leghe 7. & dipoi leghe 8. & perche egli uuol fare argento di leghe [096] 6. uedi il detto 6. infra quali leghe ca$ca di quelle ch'egli $i troua, che certamente ca$ca infra 5. & 7. perche il 5. è meno di 7. & gli al tri numeri $ono maggiori. Hora uedi quanto è della minor lega alla lega che far $i debbe, cioè da 5. infin 6. che u'interuiene 2. ilqua le $egna $otto le maggior leghe, cioè $otto 7. & $otto 8. come in margine, & tanto gli conuien pigliare di cia$chedun d'es$i, cioè un'oncia di quello di leghe 7. & un'oncia di quello di leghe 8. Di- poi uedi di quanto uantaggiano le due maggior leghe, la lega ch'e$$o uuol fare, cioè quanto è piu 7. di 6. che è piu 1. & quanto è piu 8. di 6. che è piu 2. doue $egnerai 1. et 2. $otto la minor lega, cioè $otto il 5. impercio ch'egli per e$$er minore, bi$ogna che $ia ri $torato. Hora uedi quanto ti bi$ogna torre in tutto di quello di le- ghe 5. Summando 1. con 2. che gli $ono $otto, & fara 3. con ilqua- le aggiugnerai l' 1. che è $otto il 7. & l' 1. che è $otto l' 8. & faran- no. 5. Onde puoi dire d'hauere fatto una uerga di lib. 5. d'argento di 6. leghe, in le quali libre 5. ui $ono libre 3. di quello di leghe 5. & libra 1. di quello di leghe 7. & libra 1. di quello di leghe 8. ma perche ti bi$ogna fare libre 20. d'argento di 6. leghe, delquale n'hai gia fatto libre 5. per ilche dirai, $e 5. fu$$e 20. che $arebbe 3. onde multiplica 3. uie 20. & fara 60. ilquale parti per 5. & uerranne 12. & tante libre dirai che conuenghi pigliare di quello di leghe 5. Dipoi dirai, $e 5. fu$$e 20. che $arcbbe 1. & co$i $eguirai dell'altro 1. & trouerai e$$er dibi$oguo pigliare libre 4. di quello di leghe 7. & lib. 4. di quello di leghe 8. che $ummate in$ieme fanno 8. lequali aggiunte a Ⴥ 12. fanno Ⴥ 20. come $i doueua, & $ono di leghe 6. Et $appi che quãdo $i fu$$e detto che nelle dette 3. $orti d'argento ch'e$ $o prima $i trouaua, non ue ne fu$le $tato ne$$una $orte di manco le ghe che quello ch'egli ha uoluto ch'e$$o in ultimo torni, alhora $en za qualche aggiugnimento non $i potrebbe tali propo$te $oluere.

Et il mede$imo ordine terrai in $oluer altre domande anco che d'altre mercantie o biadumi $i parla$$e, & $ia per e$empio che tu haue$$i di 3. $orti grani, che la prima uale$$e β 25. la $econda β 23. & la terza β 16. lo $taio. & bi$ogna$$eti di que$te 3. $orti fare $taia. 30. di β 20. lo $taio me$colandoci di tutte 3. le $orti. Dico che uo- lendo $apere quanto debbi pig liare di cia$cheduna, è dibi$ogno [097] fare come nella pa$$ata, $egnando tutte le ualute d'es$i grani come dal lato. Dipoi perche ti bi$ogna far grano di β 20. lo $taio, uedi 20 16. 23. 25 3 4 4 5 4 4 .16. 30. 8 que$to 20. infra quali ualute ca$ca delle tre che tu hai, & trouerai che ca$chera infra β 23. & 25. Hora uede quanto è dalla minore delle 3. ualute alla ualuta che uuoi fare, cioè quanto è da $oldi 16. a β 20. che ui è 4. ilquale $egna $otto cia$cuna delle maggiori ualu- te, cioè $otto 23. & $otto 25. & tante $taia conuien pigliare di cia- $cheduno d'es$i, cioè $taia 4. di quello di β 23. & $taia 4. di quello di β 25. Dipoi uedi quanto $ono piu le due maggiori ualute del la ualuta che tu uuoi fare, cioè quanto é piu 23. di 20. che é piu 3. & quanto è piu 25. di 20. che è piu 5. Onde $egnerai 3. & 5. $otto la minor ualuta, & $umma in$ieme & faranno 8. con ilquale aggiu gni il 4. che è $otto 23. & il 4. che è $otto 25. & fara 16. & tante $ta ia uenghi infino a hora hauer fatto, & $ono di β 20. lo $taio, nelle quali $taia 16. ui $ono $taia 8. di quello di β 16. & $taia 4. di quello di β 23. & $taia 4. di quello di β 25. Hora perche ti bi$ogna fare $ta ia 30. & tu non n'hai fatte $e non $taia 16. dirai $e 16. fu$$e 30. che $arebbe 8. doue multiplica 8. uie 30. & faran 240. ilquale parti per 16. & uerrãne 15. & tãte $taia ti cõuien pigliare di quello di β 16. Dipoi dirai, $e 16. fu$$e 30. che $arebbe 4@ Opera & uerranne 7 {1/2} & tãte $taia ti bi$ogna pigliare di cia$cheduno de gl'altri, cioè $taia 7 {1/2} di quello di β 23. & $taia 7 {1/2} di quello di β 25. che $ũmate cõ $taia 15. fanno ftaia 30. come uoleui, & que$to ba$ti quanto a $imil co$e.

DE' BARATTI.

ENece$$ario al buon mercante non uolendo riceuer danno e$$er molto e$perto nel barattare, impercioche gli accade qua$i in tutte le fiere cambiare una mercantia con un'altra, & que $to occorre in piu modi, per ilche gli è dibi$ogno la propo$ta, che innanzi gli è po$ta, ouero ch'e$$o ad altri porge $aper cono$cere ac cioche in es$i $empre uenghi a guadagnare, onde mo$trandone io alcuni, iquali $e bene inte$i $eranno, cau$eranno che da altri uantag giato e$$er non potra.

Onde dicendo$i, $e le 6. canne di panno uagliono Ⴥ 24. et le 16. [098] ftaia di grano uagliono Ⴥ 22. Si dimanda per 20. canne di panno quante ftaia di grano hauero, per ilche troua prima quanto uaglio no le canne 20. di panno, dicendo $e 6. canne uagliono Ⴥ 24. che uarranno canne 20@ Opera & uarranno Ⴥ 80. per le quali è dibi$o gno ueder quante $taia di grano s'hara, & perche ogni Ⴥ 22. ti dan no $taia 16. dirai, $e 22. mi danno 16. che mi daranno 80. doue mul tiplica 16. uie 80. & il produtto parti per 22. & uerranne 58 {2/11} & tante $taia di grano s'hara per canne 20. di panno.

Et hauendo$i detto per $taia 80. di grano, quante canne di pan- no s'hara. Valuta pima le $taia 80. dicendo, $e $taia 16. uagliono Ⴥ 22. che uarranno 80. Opera & uarranno Ⴥ 110. per le quali deb- bi ueder quante canne di panno s'hauera in que$to modo dicendo, $e Ⴥ 24. mi danno 6. canne di panno, che mi daranno Ⴥ 110. & tro uerai che ti daranno canne 27 {1/2} & tanto panno s'harebbe per $taia 80. di grano.

Et dicendo$i, due barattan panno a lana, la canna del panno ua- le Ⴥ 16. β 15. & il cento della lana ual Ⴥ 24. per canne 14. & braccia 3. di panno quanta lana s'hauera. Valuta prima le canne 19. & braccia 3. che $ono braccia 79. a Ⴥ 16. β 15. cioè a Ⴥ 16 {3/4} la canna, dicendo la canna cioè braccia 4. uagliono Ⴥ 16 {3/4} che uarrãno brac cia 79@ Opera & uarranno Ⴥ 330 {13/16} per lequali e dibi$ogno ue- der quanta lana s'hara a Ⴥ 24. il cento. Onde dirai, $e Ⴥ 24. mi dan- no libre 100. che mi daranno libre 330 {13/16}@ Opera multiplican- do 100. uie 330 {13/16}, & il produtto parti per 24. & ne uerran 1375. & tante libre di lana s'hara per le canne 19. & braccia 3. di panno.

Se due barattan panno a lana, la canna del panno a den. contan ti ual 6. Ⴥ. & in baratto ne uuole Ⴥ 8. e'l cento della lana a den. con- tanti ual Ⴥ 18. $i dimanda che $i mettera a baratto, dirai co$i, $e il pa dron del panno, quel che ual 6. a contanti uuol mettere 8. quanto bi$ogna mettere al padron della lana il cento, che non riceui dan- no@ Onde dirai, $e di 6. $i fa 8. che $i fara di 18@ Opera multiplican- do 8. uie 18. & fara 144. ilqual parti per 6. & ne uerra Ⴥ 24. & tan [099] to $i debbe mettere il cento della lana a baratto non uolendo e$- $er uantaggiato.

Se due uoglion barattare, l'uno ha cordouani di che la balla a cõtanti ual duc. 28. & a baratto la uuol metter duc. 32. l'altro ha pã no di che la pezza a contanti ual duc. 21. Si dimanda quanto s'ha a mettere a baratto, & per 8. balle di cordouani quãto pãno s'haue ra. Prima perche quel che hai cordouani, uole che quel che uale a cõtãti 28. metterlo a baratto 32. dirai, $e di 28. $i fa 32. che $i fara di 21. che uale la pezza del panno a contanti@ Opera & $i fara 24. Di- poi per $apere quanto panno s'hauera per le 8. balle di cordouani, ualuta le 8. balle a duc. 32. la balla che uale a baratto, & ne uerra duc. 256 liquali uolendo ueder quante pezze di panno ti daran- no, dirai, $e duc. 24. mi danno una pezza, che mi daranno ducati 256? Onde multiplica 1. uie 256. & fara pur 256 ilqual parti per 24. & ne uerra 10 {2/3} & tante pezze di panno s'harebbe per le 8. balle di cordouani.

Se due hanno barattato l'uno lana, l'altro panno, il cento della lana $i contò a baratto duc. 18 & la canna del panno uale a con- tanti duc. 12. & in baratto $i contò 14. Si dimanda quanto ual$e il cento della lana a contanti. Arguirai co$i, $e 14. baratto di quel del panno uengon da 12. capitale da quanto uerranno 18. baratto di quel della lana? Opera multiplicando 12. uie 18. & quel che $a parti per 14. & ne uerra duc. 15 {3/7}, & tanto ual$e il cento della la- na a contanti.

Se due barattano panno a broccato, la canna del panno uale a contanti Ⴥ 9. & in baratto $i conto Ⴥ 12. e'l braccio del broccato a contanti ual$e Ⴥ 21. & in baratto $i conto $cudi 4. & $e $i dimanda quante Ⴥ ual$e lo $cudo, dirai co$i, $e quel del panno di 9. contanti fa 12. baratto quanto douera far quel del broccato di 21? onde multiplica 12. uie 21. & quel che fa parti per 9. & ne uerra 28. Ⴥ lequali parti per li 4. $cudi, che $i di$$e che fu me$$o il braccio del broccato a baratto, & ne uerra 7. & tante Ⴥ ual$e lo $cudo.

[100]

Se due barattando panno a lana, la canna del pan no uale a con- tanti $cudi 3. & in baratto $i conto Ⴥ 25. e'l cento della lana uale a contanti Ⴥ 28. & in baratto $i conto Ⴥ 35. Si dimanda quanto ual$e lo $cudo, per ilche dirai co$i, $e 35. che uale il cento della lana a ba- ratto, uiene da 28. contanti, da quanto uerra 25. che fu me$$a a ba- ratto la canna del panno? opera multiplicando 25. uie 28. & quel che fa parti per 35. & ne uerra Ⴥ 20. & tanto uagliono li 3. $cudi, adunque lo $cudo uarra 6 {2/3} cioè Ⴥ 6. β 13. den. 4.

Se due uoglion barattare, l'uno ha lana, l'altro panno & $eta, il cento della lana a contanti uale Ⴥ 18. & in baratto $i conta Ⴥ 24. & di que$to uuole l' {1/3} in panno, & {2/3} in $eta, & la canna del panno ua le a contanti Ⴥ 8. & in baratto $i mette Ⴥ 10. & la lib. della $eta uale a contanti Ⴥ 12. Si dimanda quanto $i deue mettere a baratto, & per lib. 650. di lana quanto panno & $eta s'hauera per ilche fa co- $i, $umma Ⴥ 8. che uale a contanti la canna del panno con Ⴥ 12. che uale a contanti la lib. della $eta, & faranno Ⴥ 20. Hora dirai, $e quel della lana di 18. che uale a contanti il cento uuol fare 24. che $i fa- ra di 20? opera & $i fara 26 {2/3}, & perche s'è detto che la canna del panno fu me$$a in baratto Ⴥ 10. adunque la libra della $eta conuie- ne e$$er me$$a in baratto quel ch'è da 10. infino a 26 {2/3} cioè Ⴥ 16 {2/3}. Dipoi dirai, il cento della lana uale a baratto Ⴥ 24. che uarranno li bre 650? & trouerai che uarranno Ⴥ 156. delle quali è dibi$ogno ueder quanto panno & $eta s'hauera, & perche s'è detto di uolere il {1/3} in panno, & {2/3} in $eta, piglierai l' {1/3} di Ⴥ. 156. che $ono 52. & dirai, $e libre 10. mi danno una canna di panno, che mi daranno lib. 52? onde multiplica 1. uie. 52. & fara pur 52. ilquale parti per 10. & ne uerra 5 {1/5} & tante canne di panno debbe hauere. Dipoi pi glia {2/3} di 156. che $ono 104. & di, $e Ⴥ 16 {2/3} mi danno una lib. di $e ta, che mi daranno Ⴥ 104? & trouerai che ti daranno libre 6 {6/25}, & co$i dirai, che per le dette 650. libre di lana s'hauera canne 5 {1/5} di panno, & libre 6 {6/25} di$eta uolendo l' {1/3} in panno, & {2/3} in $eta.

Se due barattando panno a lana, & la canna del pãno a contan ti ualendo Ⴥ 12. a baratto $i conto 15. & al termine di 10. me$i il cento della lana ualendo Ⴥ 20. a barratto $i conto 24. dimanda$i a [101] che termine di tempo $era pagato quel della lana, accioche il barat to $ia equale. Prima dirai, $e quel del panno di 8 12. in 20. me$i ne fa 8 15. adunque le 8 12.in 10.me$i meritano 8 3. per tanto è dibi $ogno ueder quel che guadagna la 8 il me$e; dicendo, $e 8 12.gua- dagnano 8 3.che guadagnera una 8@Opera & ne uerra {1/4}, cioè β 5. & tanto uiene a guadagnare una 8 in 10. me$i.adunque una 8 in un me$e uiene a guadagnare 6.den.& pero le 20. lire che uale il cento a contanti guadagneranno 20. uie 6. den. che fanno den. 120. cioè $oldi 20. per ilche è dibi$ogno ueder le 20 8 in quanto tempo guadagneranno 8 4. che corre da 20. che ualeua a contanti il cento, infino a 24. che $i contò a barratto. Onde parti 8 4. cioé $ol di 80. per li β 10. & ne uerra 8. & al tempo d'8. me$i $i puo dir che $era pagato quel della lana.

Se due barattano $eta a zafferano, & la lib. della $eta ual 6 8. & in baratto al termine di 10. me$i, $i conto 7. la libra del zafferano al termine d'uno anno $i conto 8 8. piu che la non ualeua, & fu il ba- ratto equale. Dimanda$i che ualeua la lib. del zafferano a den. & quanto fu me$$a a baratto. Troua prima a quanto fu pre$tata la 8 il me$e, dicendo che quel della $eta con 8 6. in me$i 10. guadagna la differenza che corre' da 8 6. a 8 7. che è 8 1. adunque le 6. 8 in un me$e guadagnano 2. β & una 8 in un me$e guadagna 4. den. cioè quel che ne uiene a partir li 2. β cioè den. 24. per le 6. 8, & pero una 8 in un'anno guadagnera 4. β & noi uogliamo $apere che fu quel lo che fu me$$o piu 8. 8, per ilche dirai, $e β 4. uengon da 8 1. cioè da β 20 da che uerra 8. opera & uerran da 40. & tante 8 diremo, che ualeua la libra del zafferano a contanti & a baratto $i contò 8 48.

Se due barattano panno a cordouani, & la pezza del panno al termine d'uno anno $i conto in baratto duc. 10. & la balla de cordo uani uale duc. 25. & al termine di 20. me$i $i conto duc. 30. & fu il baratto equale. Si dimanda quanto ual$e la pezza del panno a con tanti, per ilche troua quel che guadagna un duc. il me$e, & prima per 20. me$i dirai, $e di 25. $i fa 30. che $i fara di 1. Opera & $i fara 1 {1/5} adunque un duc. in 20. me$i guadagna {1/5} di duc.ilqual parti per 20, me$i, & uerranne {1/100} & tanto guadagna un duc, il me$e, & in

[102]

Se due barattando panno a lana, la canna del pan no uale a con- tanti $cudi 3. & in baratto $i conto 8 25. e'l cento della lana uale a contanti 8 28. & in baratto $i conto 8 35. Si dimanda quanto ual$e lo $cudo, per ilche dirai co$i, $e 35. che uale il cento della lana a ba- ratto, uiene da 28. contanti, da quanto uerra 25. che fu me$$a a ba- ratto la canna del panno? opera multiplicando 25. uie 28. & quel che fa parti per 35. & ne uerra 8 20. & tanto uagliono li 3. $cudi, adunque lo $cudo uarra 6 {2/3} cioè 8 6. β 13. den. 4.

Se due uoglion barattare, l'uno ha lana, l'altro panno & $eta, il cento della lana a contanti uale 8 18. & in baratto $i conta 8 24. & di que$to uuole l' {1/3} in panno, & {2/3} in $eta, & la canna del panno ua le a contanti 8 8. & in baratto $i mette 8 10. & la lib. della $eta uale a contanti 8 12. Si dimanda quanto $i deue mettere a baratto, & per lib. 650. di lana quanto panno & $eta s'hauera per ilche $a co- $i, $umma 8 8. che uale a contanti la canna del panno con 8 12. che uale a contanti la lib. della $eta, & faranno 8 20. Hora dirai, $e quel della lana di 18. che uale a contanti il cento uuol fare 24. che $i fa- ra di 20? opera & $i fara 26 {2/3}, & perche s'è detto che la canna del panno fu me$$a in baratto 8 10. adunque la libra della $eta conuie- ne e$$er me$$a in baratto quel ch'è da 10. infino a 26 {2/3} cioè 8 16 {2/3}. Dipoi dirai, il cento della lana uale a baratto 8 24. che uarranno li bre 650@ & trouerai che uarranno 8 156. delle quali é dibi$ogno ueder quanto panno & $eta s'hauera, & perche s'é detto di uolere il {1/3} in panno, & {2/3} in $eta, piglierai l' {1/3} di 8. 156. che $ono 52. & dirai, $e libre 10. mi danno una canna di panno, che mi daranno lib. 52? onde multiplica 1. uie. 52. & fara pur 52. ilquale parti per 10. & ne uerra 5 {1/5} & tante canne di panno debbe hauere. Dipoi pi glia {2/3} di 156. che $ono 104. & di, $e 8 16 {2/3} mi danno una lib. di $e ta, che mi daranno 8 104? & trouerai che ti daranno libre 6 {6/25}, & co$i dirai, che per le dette 650. libre di lana s'hauera canne 5 {1/5} di panno, & libre 6 {6/25} di$eta uolendo l' {1/3} in panno, & {2/3} in $eta.

Se due barattando panno a lana, & la canna del pãno a contan ti ualendo 8 12. a baratto $i conto 15. & al termine di 10. me$i il cento della lana ualendo 8 20. a barratto $i conto 24. dimanda$i a

[103]

Ma $appi che $empre uantaggia chi riceue parte in denari, $e gia $ubito che gl'hanno barattato non uende$$ero le lor mercantie, ma $tando alcun tempo $i puo i denari rinue$tirli in altre robbe ò cã- biarli, & tanto $a mèglio quello che riceue parte in den, quanto piu pre$to dell'altro uende la $ua mercantia. Ma per$uponghi$i che Quello uã taggia nel barattar che riceue parte in de nari. barattato che gl'habbino cia$cuna mercantia rauuila$$e di pregio nella mede$ima proportione, & diciamo che la canna del panno, & il cento della lana rauuila$$e l' {1/6}, che tratto l' {1/6} di 8 18. che uale il cento della lana a den. contanti re$ta 8 15. adunque quel del panno hara per le 750. lib. di lana, 8 112 {1/2} con le quali aggiunto le 8 90. ch'egli hebbe in denari fanno 8 202 {1/2}. Dipoi trai l' {1/6} di 8 25. che uale la canna a den. contanti & re$teranno 8 20 {5/6}, adunque le 9. canne uarranno 8 187 {1/2} per laqual co$a quel del panno harebbe piu 8 15. cioè la differenza che è da 8 187 {1/2}, & pur $i uede le dette me rcantie e$$er proportionalmente auuilite.

Et hauendo a barattar con qualcun che non $e le $appi, chiede $empre tal parte in denari quanto la tua mercantia uale a contanti. Et $ia uerbi gratia, che haues$i cordouani, che la balla a contanti ua Auuerti- mento cir ca i barat- ti. le$$e due. 8. e tu a baratto la mettes$i 12. Dico che $e domanderai li {2/3} in den. di quel che la uale a baratto, che egli ti uerra a dare duc. 8. come la tua mercantia uale a contanti. Per ilche non $arebbe da guardare $e con chi tu baratti ti mette$$e la $ua robba caris$ima, con cio$ia che gia n'hare$ti riceuuto il pagamento in contanti di quan- to la tua uale, $i che quel che ti ueni$$e a dare della $ua oltre a dena- ri, $aria come s'ella donata ti $u$$e.

Et $e due barattano zuchero a pepe, il 100. del zuchero uale $cu di 12. & in baratto ne uole 15. & di que$to ne uole l' {1/3} in den. & {2/3} in baratto di pepe, e'l 100. del pepe uale a baratto $cudi 25. Se $i di mãda quãto ualeua a contãti, argui$ce co$i, quel del zuchero di 15. $cudi che uale il 100. a baratto, ne uole l' {1/3} cioe $cudi 5. in cõtãti, & $cudi 10. in baratto di pepe, e'l cento del zuchero a cõtãti uale 12. & gia n'ha hauuti 5. che tratti di 12. re$ta 7. $cudi, per liquali ei n'ha 10. di baratto. Hor per uoler ueder delli 25. $cudi che $i conto il c\~e to del pepe a baratto quanti uengon di contanti, dirai, $e 10. barat [104] 12. me$i uerra a guadagnare {12/100} che $chi$ati $ono {3/25}, & pero dirai, $e {3/25} uien da 1. da quanto uerranno duc. 10. che $i di$$e, che la pez- za del panno $u conta in baratto? Onde multiplica 1. uie 10, & $a pur 10. quale parti per {3/25} & ne uerra 8 {13/14}. & tanti duc. ual$e la pez za del panno a contanti.

Se due barattano panno a lana, & la canna del panno a contan- ti uale 25. 8, & in baratto $i mette 30. & di que$to uuole l' {1/3} in den. contanti, & li {2/3} in baratto di lana, e'l cento della lana a contanti ua le 18. 8 Si dimanda quanto $i mettera a baratto, accioche cia$cuno habbi quanto $e gli uiene. Per ilche dirai, chiara co$a è, che $e quel del panno di 30. 8, che uale la canna a baratto, ne uuole l' {1/3} in den. ch'egli n'hara 10. 8 in den. & 20. 8 in baratto di lana, & la cãna del panno diciamo che a contanti uale 25 8, delle quali $e lui ne riceue 10. 8 re$tano 8 15. per tãto dirai, $e di 25. $i fa 20. che $i fara di 8 18 che uale il cento della lana a contanti? Opera & $i fara 24. & tante 8 $i debbe mettere a baratto il cento della lana, & il mede$imo or- dine terre$ti quando $i fu$$e detto che quel della lana haue$$e do- mandato l' {1/3} o qual $i uogli altra parte in den.

Et per dimo$trar che cia$cuno ha hauuto il douer $uo, pre$up- porremo che quel del panno n'haue$$e 9. canne, delle quali a 8 30. che ual$e in baratto la canna $e n'harebbe 8 270. & di que$te ne uuole il {1/3} in denari & li {2/3} in baratto di lana, onde piglia l' {1/3} di 270. che è 90. & tante 8 debbe riceuere in den. contanti, & gli altri {2/3}, cioè 8 180. in barratto di lana, che a 8 24. che uale il cento a ba ratto, per le dette 8 180. s'hauera lib. 750. di lana. Et uolendo ue- der $e cia$cuno ha il debito $uo, dirai, quel del panno per le 9. can- neha riceuuto 8 90 in den. contanti, & 8 750. di lana, onde uolen- do che cia$cuno habbi il $uo douere, conuiene che ualutando le dette libre 750. di lana a 8 24. il cento, & con quel che uale aggiu gnendo le 90. 8 che $i derno in den. facci 270. come $a a ualutar le 9. canne di panno a 8 30. la canna, onde dirai, il cento della lana ua le 8 24. che uarranno libre 750. & trouerai che uarranno 8 180. $opra lequali aggiugni le 8 90. che $i derno in den. & faranno 270. come uoleuamo.

[105]

quel che $a multiplicare uie tutta la quantita delle 8 che meritar far uuoi. Onde uolendo tu $oluere la data propo$ta da di merito ad una 8 per li 4. anni, & 8. me$i, cioè per me$i 56. che a den. 2. la 8 il me$e ne uerra den. 112. i quali multiplica uie le 8 120 {1/3} & faran no den. 13474. che ridutti a β & poi a 8 ne uerra 8 56. β 2. den. 10. & que$to $i chiama il merito delle 120. 8.

Et dicendo$i, $e uno pre$ta ad un'altro 8 320. a ragion di 2. den. la 8 il me$e, & quel che gli accato gli tenne tanto ch'egli hebbe a pagare di merito 8 84. Si dimanda quanto gli tenne, per ilche, fa co$i in que$ta, troua le 8 320. a den. 2. la 8 il me$e quanto guadagna no in un anno, & perche una 8 in un anno guadagna β 2. adun que le 8 320. guadagneranno nel mede$imo anno β 640. che $ono 8 32. onde dirai, $e 8 32. uengon da 1. anno quanto uerranno 8 84. che $i pago di merito? onde multiplica 1. uie 84. & fara pur 84. ilquale parti per 32. & ne uerra anni 2 {5/8}, cioè anni 2. me$i 7. & gior ni 15. & tanto tempo furono tenute le dette 8 320. hauendo pa- gato lire 84. di merito.

Edicendo$i, quante furono quelle 8 che in 4. anni & 8. me$i a den. 2. la 8 il me$e, guadagnorono, ouer meritorono 8 60. $emplice mente? Dirai prima, una 8 in 4. anni. & 8. me$i, cioè in me$i 56. gua dagnara 2. uie 56. che fa 112. iquali recati in parte di 8 $on {7/15} di 8 onde dirai, $e {7/15} di 8 $ono guadagnati con una 8, con quante $eran no guadagnate lire 60. onde multiplica 1. uie 60. & fa pur 60. ilquale parti per {7/15} & ne uerra 128 {4/7} & con tante furono guada- gnate le dette lire 60.

DEL SEMPLICE SCONTO.

LO $conto è atto contrario del merito, & per que$to $i chiarifi ca l'uno e$$er proua dell'altro, & $ia, uerbi gratia che uogli $contare 8 320. per tempo d'anni 3. & me$i 6. a ragione di 10. per 100. l'anno $emplicemente. Dico che prima debbi meritare una $o la 8 che a ragion di 10. per 100. l'anno la detta lira in detti 3. anni, & 6. me$i guadegnera β 7. adunque d'una 8 cioè di β 20. meritando [106] to di quel del zuchero uengono da 7. contanti, da quanti uerranno 25. baratto di quel del pepe. onde multiplica 7. uie 25. & fara 175. ilqual parti per 10. & ne uerra 17 {1/2}, & tanti $cudi ual$e il cento del pepe a contanti.

Se due barattano panno a lana, & la canna del panno uale in ba ratto 20. 8, & di que$to uuole il padrone l' {1/4}, in den. & li {3/4} in barat to dilana, e'l cento della lana uale 35 8, & in baratto $i conto 8 42. Si dimanda quanto uale la canna del panno a den. contanti, per il che dirai, eglie a$$ai manife$to che $e quel del panno di 20. 8, che uale la canna in baratto ne uuole l'{1/4} in den. & {3/4} in lana, ch'egli ne hauera 8 5. in den. & 8 15. in lana, lequali 8 15. per e$$ere baratto, è dibi$ogno uedere quanto erano a contanti, doue dirai, $e 8 42. ba- ratto di quel della lana uengono da 35. contanti, da quanto uerran no 15. baratto di quel del panno? Opera multiplicando 35. per 15. & il produtto parti per 42. & ne uerra 8 12 {1/2} $opra lequali ag giugni le 5. 8 ch'egli hebbe in den. & faranno 8 17 {1/2} & tanto uale ua la canna del panno a contanti. Hor per hauerti io a$$ai bene au uertito quanto a i baratti che piu occorrano ad es$i daro fine, & delle u$ure, ouer meriti parlero quanto bi$ogneuole parra.

DE SEMPLICI MERITI VSVRESCHI.

SE quelli che alla poltrone$ca u$ura $i danno di tal me$tiero nõ $i uergognano, manco mi debbo uergognare io d'in$egnare quanto debbi pagare quel pouer di$perato, che a tali diabolichi patti s'obliga, quali il piu delle uolte l'u$uraro $te$$o domandati gli ha, iquali co$i in mercantie come in denari in due modi auue- nire po$$ono, e'l primo $i dice $emplicemente merito, l'altro fare a capo d'alcun tempo. Semplicemente è quando del merito non e$cie merito, ma $empre $ta fermo il mede$imo capitale, come per e$empio ti $era manife$to.

Se ti $u$$e detto che meritano $emplicemente 8 120. β 6. den. 8. per 4. anni, & 8. me$i a den. 2. la 8 il me$e. Debbi $empre co$i nelle altre come in que$ta far meritare una $ola 8 per rutto il tempo, & [107] β 4. den 6 {6/31} & tanto tornano le 8 400. meritate per 2. anni, & 8. me$i a ragione di 10. per cento l'anno a $are a capo d'anno, adun- que quel che accatto uenne a dare d'u$ura la differenza che é da 8 400. a 8 515. β 4. den. 6 {6/31} che è 8 115. β 4. den. 6 {6/31}, & $iamo hoggidiuenuti a tale che cio infra di molti non è giudicato u$ura, ma per $eruire l'amico pre$tar denari.

Et dicendo$i, merita 8 300. per un'anno, & 8. me$i a ragione di den. 2. la 8 il me$e a fare a capo di 6. me$i. Prima partirai un'anno & 8. me$i, cioé me$i 20. per 6. & ne uerra 3. & auanzera 2. me$i, & co$i dirai, che in detti 20. me$i $i contenghi 3. capi, cioè 3. uolte 6. me$i.onde per lo primo capo a den. 2. la 8 il me$e in 6. me$i, una 8 guadagnera β 1. adunque d'ogni 20. $i uiene a fare 21. per ilche di rai, $e di 20. $i fa 21. che $i fara di 8 300? Opera multiplicando 21. uie 300. & il produtto parti per 20. & uerranne 8 315. Dipoi di- rai, $e di 20. $i fa 21. che $i fara di 8 315? & co$i procederai infino a 4. uolte, quantunque nelli detti me$i 20. non ui $i contenghi $e non 3. uolte 6. & alla quarta uolta ti uerra 8 364 {1/2} in circa, lequali ti cõ uiene $contare $emplicemente per mc$i 4. che tanto $ono que' me- $i che aggiunti alli me$i 20. fanno quel tal numero, nel quale u'en- tra a punto 4. uolte 6. che al capo del quale s'è detto di uoler meri tare. Et co$i trouerai che $e $i merita$$e, in detti 4. me$i a den. 2. la 8 il me$e ogni β 20. guadagnano den. 8. ma perche $i $conta dirai, $e β 20 {2/3} tornano β 20. che torneranno 8 364 {1/2}, cioè β 7290? opera & torneranno 8 352. β 24. den. 10. & il merito, ouero u$ura è $tata 8 52. β 14. den. 10. cioè la differenza che è da 8 352. β 14. den. 10. a 8 300. & co$i procederai in altre $imili.

DELLO SCONTO A CAPO D'ALCVN TEMPO.

ET $ia che haues$i a $contare 8 240. per 2. anni, & 3. me$i a ra- gione di 20. per cento, l'anno a fare a capo d'anno. Dico che per interuenire 9. me$i da 2. anni & tre me$i infino a 3. anni integri che tu meriti 8 240. per me$i 9. $emplicemente che a 20. per cento, l'anno in 9. me$i per e$$ere {3/4} d'un'anno, ogni cento 8 meritano {3/4} di 8 20. che $ono 8 15. che alla detta ragione le 8 240. uengono a di- [108] $i farebbe β 27. ma per hauere a $contare, argui$ce in contrario di- cendo, $e di 27. $i fa 20 che $i fara di 320. Opera multiplicando 20. uie 320. & il produtto parti per 27. & ne uerra 8 237 {1/27} & tanto torneranno $contate in detto tempo le lire 320. & es$i $conto la differenza che é da lire 237 {1/25}, a 8, 320. che $ono lire 82 {26/27}, & co$i procederai nelle altre, & quantunque alle uolte ti pos$i uenire rotti, $e il loro trauagliamento harai bene alla memoria, $empre riu$cirai con honore delle propo$te che occorrere ti po$$ano.

DEL MERITARE A CAPO D'ALCVN TEMPO.

MErito a capo d'alcun tempo è quando $i pre$ta a tanto la 8 il me$e, ouero a tanto per 100. l'anno a fare a capo d'an- no. o di 6.0 d'altra quantita di me$i, & al capo di quel tempo il me rito fa capitale, come con$iderando i ca$i da dar$i ti $era capace.

Onde dicendo$i, $e uno pre$ta a un'altro 8 400. per anni 2. & me$i 8 a ragione di 10. per cento, l'anno a fare a capo d'anno. Si di manda quanto douera pagare quel che gli accatta al fin de detti 2. anni, & 8. me$i, per ilche co$i dirai, egli è a$$ai manife$to che gua- dagtiando a ragione di 10. per cento, l'anno che d'ogni 100. in ca- po d'uno anno $i fa 110. che $chi$ati d'ogni 10. $i fa 11. onde di- rai, $e di 10. $i fa 11. che $i fara di 400? onde multiplica 11. uie 400 & quel che fa parti per 10. & ne uerra 440. & tanto torneranno il primo anno. Et per il $econdo dirai, $e di 10. $i fa 11. che $i fara di 440? Opera & $i fara 484. & tanto torneranno il $econdo anno, ma per e$$erci anchora 8. me$i, ti conuiene meritare le 8 484. per un'altro anno dicendo, $e di 10. $i fa 11. che $i fara di 484? opera & faras$i 532 {2/5}, & tanto tornarebbeno il terzo anno, ma perche $i tennero 4. me$i men di 3. anni, ti conuiene $contare le dette 8 532 {2/5} per li detti 4. me$i $emplicemente che a ragione di 10. per cento, l'anno $i uiene a $contare a ragione di den. 2. la 8 il me$e, che alla detta ragione una 8 in me$i 4. guadagna den. 8. cioè li {2/3} d'uno β, che ridutti in parte di 8 $ono {1/30} di 8. Et pero dirai, $e 8 1 {1/30} $cõ tando torna 8 1. che torneranno 8 532 {2/3}? doue multiplica 1 uie 532 {2/5} & $ara pur 532 {2/3} quali parti per 1 {1/30} & uerranne 8 515.

[109]

Et $ia che uno haue$$e hauer da un'altro que$ti denari in que$ti tempi cioè

8 120 β 6. den. 4. adi 20. d'Ago$to 1534.

8 64 β 5. den. - adi primo d'Ottobre 1534.

8 96 β -------adi 12. di Maggio 1535.

8 240 β 13. den. 4. adi primo di Settembre 1536.

Volendo ragguagliare le dette partite $i dimanda in che di uerra il pagamento, per ilche fa co$i, merita dal di della prima al di di cia$cun'altra partita a quanto uuoi, uerbi gratia merita a 5. per cento l'anno che alla detta ragione uiene a meritare 1. den. la 8 il me$e. Hora mira quanto è da di 20. d'Ago$to 1534. infino adi primo d'Ottobre. 1534. & ui corre me$i 1 {1/3} & una 8 in detto tem- po uien a guadagnare den. 1 {1/3} adunque le 8 64. β 5. cioé le 8 64 {1/4} guadagneranno β 7. den. 1 {2/3} & que$to $alua per lo merito della $e conda partita. Dipoi per la terza partita, perche da di 20. d'Ago- $to 1534. adi 12. di Maggio 1535. ui $ono me$i 8. & giorni 22. che per guadagnare una 8 ogni me$e 1. den. & ogni giorno {1/30} di den. nel detto tempo una 8 guadagnera den. 8 {11/15} & le 8 96. guada gneranno 8 3. β 9. den. 10 {2/5} & que$to è il merito della terza parti- ta. Hora per la quarta & ultima, perche da primo d'Ago$to 1534 a primo di Settembre 1536. ui $ono me$i 25. che a 1. den. la 8 il me$e le 8 240. β 13. den. 4. cioè le 8 240 {2/3} uengono a guadagnare 8 25 β 1. den.4 {2/3} & tanto è il merito della quarta & ultima parti- ta. & que$ti 3. meriti dipoi $umma in$ieme & faranno 8 28. β 18. den 4. {11/15}. Dipoi è dibi$ogno $ummare li den. che $i contengono in le partite & faranno 8 521. β 4. den. 8 & que$to è il capitale, il- quale è dibi$ogno uedere in quanto tempo guadagnera il merito uenuto, cioè 8 28. β 18. den. 4. {11/15}, onde uedi prima quanto il det- to capitale guadagna in un'anno che a ragione di 5. per cento l'an no ogni quantita guadagna il $uo uinte$imo, percio' che 5. è il {1/20} di cento, & pero piglia il {1/20} di 8 521. β 4. den. 8. & ne uerra 8 26. β 1. den. 2 {4/5} & per tanto dirai $e 8 26. β 1. den. 2 {4/5} uengono da 1. anno da quanto tempo uerranno 8 28 β 18. den 4 {11/15} opera & uer ranno da un'anno 1. me$e, & 9. giorni, ilquale tempo $empre per regola generale aggiugni $opra il t\~epo della prima partita, come nel no$tro e$empio cioè $opra li di 20. d'ago$to 1534. & farãno il [110] uentare 8 276. & que$te ti bi$ogna $contare per anni 3. a fare a ca- po d'anno, onde dirai, $e 120. $contando tornano 100. cioè, $e ogni 6. torna 5. che torneranno 276? opera & torneranno 8 230. Hora per lo $ecõdo anno dirai, $e 6. torna 5. che tornera 230? onde mul- tiplica 5. uie 230. & il produtto parti per 6. & ne uerra 191 {2/3} & tante 8 torneranno il $econdo anno. Dipoi per il terzo dirai, $e 6. torna 5. che torneranno 191 {2/3}? Opera & torner? nno 8 159 {13/18} cioè 8 159. β 14. den. 5 {1/3}, & tanto tornano le 8 240. $conte per 2. anni et 3. me$i a ragion di 20. per 100. l'anno a fare a capo d'anno.

Et dicendo$i $conta 8 120. per tempo di 2 anni & 7. me$i a den. 4. la 8 il me$e a fare a capo di 9. me$i. farai come nella pa$$ata, dicen do che 2. anni & 7. me$i che $ono me$i 31. infino a quel tale nume ro di me$i che u'entri 4. capi, cioè 4. uolte 9. me$i ui mancano me$i 5. per tanto meriterai 8 120. per tempo di me$i 5. meritando pri- ma una $ola 8 che a 4. den. il me$e uiene a guadagnare ne detti 5. me$i den. 20. che $ono {1/12} d'una 8. Dipoi dirai, $e di 8 1. $i fa 1 {1/12} che $i fara di 8 120? Opera & $i $aranno 8 130. & que$te ti conuie- ne $contare 4. uolte. onde uedi quanto guadagna 1. 8 in 9. me$i, che a ragione di den. 4. per me$e in detti 9. me$i guadagnerebbe β 3. che $i merita$$e d'ogni β 20. $i farebbe 23. ma perche $i $conta di- rai, $e 23. tornano 20. che torneranno 8 130? onde multiplica 20. uie 130. & quel che fa parti per 23. & uerranne lire 113 {1/23}, & tanto torneranno $conte la prima uolta, dipoi dirai $e 23. tornano 20. che torneranno 113 {1/23}, & $egue il dato modo in fi- no alla quarta uolta & uerratti 8 74. $oldi 6. denari 6. & tante tor neranno le 8 120. $contate per 2. anni, & 7. me$i a ragione di 20. per cento l'anno a fare a capo di 9. me$i, & co$i procederai nel le $imili.

DEL RECARE A VN DI.

REcare a un di non è altro che trouare il comune di a piu quantita di denari pagati in diuer$i tempi, & u$a$i nelle piu parti d'ltalia pigliare il principio dell'anno alli 25. di Marzo.

[111]

una Ⴥ guadagna den. 10 {1/6}. & le 57. Ⴥ guadagnano qua$i β 48.den. 4.Hora trai Ⴥ 57. di Ⴥ 128. & rimangono Ⴥ 71. lequali uedi in quã to tempo guadagneranno β 48. den. 4. che a un den. la Ⴥ il me$e trouerai che le guadagneranno i detti β 48.den.4 in me$i 8. & gior ni 5. & tanto piu debbe il debitore $tare a pagare lo auanzo al $uo creditore, cioè Ⴥ 71. liquali 8. me$i & 5. giorni giugni $opra il di 18. di Settembre 1536. & faranno il di 23. di maggio 1537. & in detto di conuerrebbe e$$er pagato il creditore.

Puo accadere alle uolte che uno pre$terebbe denari in una $ola partita, & riceuerebbene dal $uo debitore in piu partite, & co$i per conuer$o ne potrebbe pre$tarne in piu uolte, & riceuerne in una $o la uolta, & anchora di pre$tarne in piu partite, & riceuerne in piu partite, il che occorrendoti, $empre recherai a una di quelle tali par tite, che in uariati tempi fu$$ero pre$tati den. & co$i quelle in che ua riati tempi quel che accatta ne rende$$e.

DEL SALDARE RAGIONI SEMPLICEMENTE.

PEr $aldar $emplicemente ragioni, $ia che ti fu$$e detto, Pietro ha d'hauere da Toma$o gli infra$critti den. in piu tempi come di $otto.

Ⴥ 220.β 13. den. 4. adi primo di maggio 1534.

Ⴥ 192.β 12.den.–adi 15. di luglio 1534.

Hanne riceuuti il detto Pietro dal detto Toma$o

Ⴥ 128. β 5––adi 20. di giugno 1534.

Ⴥ 180. β 3. den. 4. adi primo di $ettembre 1535.

Sono d'accordo in$ra loro di $aldare la detta ragione adi primo di $ettembre 1536. $i dimanda di que$ti due chi re$tera debitore & di quanto. Sappi che $empre é prima da meritare le prime partite, onde merita prima i denari che Pietro ha d'hauer da Toma$o, & pche da di primo di maggio 1534. che Pietro $ece a Toma$o la pri ma pre$tanza infino adi primo di Sett\~eb. 1536. che $i $alda, ui cor- re me$i 28. onde merita le Ⴥ 220. β 13. den. 4. per me$i 28. che a den. 4. la Ⴥ il me$e in detti me$i 28. una Ⴥ uiene a guadagnare β 9 {1/3} che ridutti in parte di Ⴥ $ono {7/25} d'una Ⴥ i quali multiplica uie Ⴥ 220 {2/3} [112] tempo adi 29. di Giugno 1535. & il detto giorno conuerrebbe pagare il debitore al $uo creditore le dette 4. partite, cioè le Ⴥ 521. β 4. den. 8. & quando in ultimo ti ueni$$e qualche giorno rotto la$ $alo andare, perche poco importar puo.

Et perche puo auuenire nel recare a un di, le partite hauere una mede$ima quantita di den. & anchora una mede$ima differenza di tempo, all'hora in $imili ca$i, & tu piglia la differenza che è dalla partita del minor tempo alla partita del maggiore, & di tale diffe- renza piglia la meta, laquale poni $opra quella del minore & in quel di che uerra $era ragguagliata la ragione, come uerbi gratia.

Vno ha hauere da un'altro que$ti den. in que$ti tempi.

Scudi 120. adi primo di Luglio 1535.

Scudi 120. adi primo di Genaro 1535.

Scudi 120. adi primo di Luglio 1536.

Scudi 120. adi primo di Genaro 1536.

Volendo ragguagliare la detta ragione, dico che per e$$er $imi- li le quantita delle partite & per interuenire infra di loro 'eguali differenze di tempo, perche 6. me$i $ono dalla prima alla $econda, & $ei me$i $ono dalla $econda alla terza, & co$i dalla terza alla quarta, Summa que$te 3. differenze, cioè 3. uolte 6. me$i, & faranno 18. delli quali piglia la meta che $ono me$i 9. & giugni $opra la partita del minor t\~epo, cioè $opra la prima che fu adi primo di Lu glio 1535. & faranno adi primo d'Aprile 1536. & in detto gior- no uerrebbe il pagamento, & $imili propo$te non bi$o gna cercar di $oluere per altre regole.

DE' RESTI.

AMe pare il re$to e$$er atto lodeuole, concio$ia che circa tem- po & non circa den. $i da per merito, & $ia per e$empio che uno haue$$e hauere da un'altro Ⴥ 128. adi 18. di Settemb. 1536. & il debitore glie n'haue$$e dati Ⴥ 57. adi 13. di nouemb. 1535. & uo les$i $apere il re$to in che di debba e$$er pagato, per ilche $a co$i. ue di quanto è da di 13. di nouemb. 1535. adi 18. di $ettemb. 1536. & ui $ono me$i 10. & giorni 5. nelquale tempo a den. 1. la Ⴥ il me$e [113] paga di pigione in 5. anni la detta ca$a? Onde multiplica 1. uie 150. & fara pur 150. ilquale parti per 1 {1/2} & uerranne 100. & tan- te Ⴥ debbe pagare il detto pigionale pagando innanzi per anni 5. & $contando a ragione di 10. per 100, l'anno $emplicemente.

Vno piglia una ca$a a pigione per 3. anni, della quale debba pa gare l'anno Ⴥ 25. il padrone della ca$a dice, pagami innanzi per li detti 3. anni, & $conta la pigione meritando a den 2. la Ⴥ il me$e a fare a capo d'anno. In que$to ca$o uolendo $oluere la detta propo $ta, mira quanto $i douerebbe dare innanzi pagando per uno an- no. Doue $conterai Ⴥ 25. per uno anno che a den. 2. la lira il me$e, una Ⴥ guadagna in uno anno β 2. che meritando d'ogni 20. $i fareb be 22. ma perche $i $conta dirai, $e 22. tornano 20. che torneranno 25. onde multiplica 20. uie 25. & fara 500. ilquale parti per 22. & ne uerra 22 {8/11}, cioè Ⴥ 22. β 14. den. 7. & tanto $i debbe pagare per uno anno pagando innanzi. Dipoi per lo $econdo anno dirai, $e 22. tornano 20. che torneranno 22 {8/11}. Opera & torneranno Ⴥ 20. {8/121}, che $i po$$ono mettere per Ⴥ 20 {2/3}, cioè per Ⴥ 20. β 13. den. 4. & tanto $i debbe pagare per lo $econdo anno pagando innanzi. Di poi per lo terzo anno dirai, $e di 22. $i fa 20. che $i fara di 20 {2/3}? on- de multiplica 20. uie 20 {2/3}. & quel che fa parti per 22. & uerranne ??= 18 {26/33}, cioè Ⴥ 18. β 15. den. 9. & tanto $i debbe pagare per lo ter- zo anno. Hora ti conuiene $ummare Ⴥ 22. β 14. den. 7. del primo anno con Ⴥ 20. β 13. den. 4. del $econdo, & con Ⴥ 18. β 15. den. 9. del terzo che giunte in$ieme que$te 3. quantita fanno Ⴥ 62. β 3. de. 8. & tanto $i debbe pagare per li detti 3. anni pagando innanzi.

Vno ha tolto una ca$a a pigione della quale debbe pagare l'an no Ⴥ 30. co$tui che ha pre$o la detta ca$a pre$ta al padrone d'e$$a ??= 50. innanzi, & uuole che li $uoi den. $ieno meritati a ragione di 10. per 100. l'anno a fare capo d'anno, & $i dimanda quanto ui debba $tare drento, accio che le dette Ⴥ 50. $ieno $contate, fa co$i, merita ??= 50. per uno anno, che a 10. per 100. l'anno ogni quantita guada- gna il $uo decimo. adunque le Ⴥ 50. guadagneranno Ⴥ 5. che in tut to fanno 55. delle quali trarrai 30. che $i paga al fine dell'anno di pigione, & rimarranno Ⴥ 25, nelle quali $ei certo che non u'entra [114] anni intieri, per ilche ti conuiene $apere a Ⴥ 30. l'anno quel che $i paga il me$e di pigione, onde partirai 30. per 12. & ne uerra Ⴥ 2 {1/2} cioè Ⴥ 2. β 10. & tanto douerebbe il pigionale pagare ogni me$e. Hora $i debbe uedere quel che uiene di merito il me$e alle Ⴥ 25. che a 10. per cento l'anno, una Ⴥ uiene a guadagnare ogni me$e 2. den. adunque le 25. Ⴥ in un me$e guadagneranno den. 50. che $o- no β 4. den. 2. & que$ti ti conuiene trarre di Ⴥ 2. β 10. & rimarran- no Ⴥ 2. β 5. den. 10. & tanto dirai che il pigionale debbi pagare il me$e. Hora è da uedere a β 45. & den. 10. il me$e quanti me$i entra no in Ⴥ 25. che o$$eruando i dati modi ammae$tramenti trouerai che u'entrano me$i 10. & giorni 27. & tanto dirai che debbi $tare in detta ca$a piu d'uno anno il detto pigionale, per hauere pre$ta- to innanzi Ⴥ 50. & que$to ba$ti quanto a $imili propo$te.

DE LA REGOLA DEL CATAINO

ouero fal$e po$itioni.

Voglio hora con l'aiuto di Dio mo$trare il modo di $oluer le ragioni, per il Cataino detto da alcuni modo Arabo, laqual rego- la è in due $pecie diui$a, cioè $emplice, & compo$ita, e quelle che per la $emplice $oluer $i po$$ano non accade trauagliarle per la cõ- po$ita, & è da $apere che tutte le ragioni che per la $emplice $i $ol- uono, per la compo$ita anco s'inuengano, ma molte che per la doppia $i $oluono, per la $emplice $oluer non $i po$$ono, e per ta- le regola compo$ita $i $oluono tutte le ragioni che la $olution loro puo uenir per numero rationale, & è chiamata regola delle due fal$e po$itioni, lequali po$te a uentura interuiene che alle uolte uen gano gli errori d'e$$e ambidui minori, e tal uolta ambidui maggio ri, & alle uolte un minore, e l'altro maggiore, e troua$i la uerita $e- condo la proportion della differenza che è dall'una po$itione al- l'altra, concio$ia che ca$ca nella proportion di quattro numeri pro portionali de quali per e$$er li tre manife$ti il numero non noto ouero la $olution del ca$o $i troua, e tal proceder è ftato dalli anti- chi, e mas$ime da Leonardo Pi$ano molto celebrato, alquale per non abbondare in parole daremo per la $emplice principio.

Lo $taio del grano ual β 28. e lo $taio dell'orzo ual β 22. io mi trouo Ⴥ 20. cioè β 400. e uoglio tanti $taia dell'uno quanto dell'al tro, $i domanda quanto n'hauero di cia$cuno, poniamo che $i pigli [115] uno $taio di grano, e uno $taio d'orzo che ambidui in$ieme uaglio no β 50. onde diremo, $e β 50. quando mi da uno $taio di gra- 50.1.400 no, e mi da anco uno $taio d'orzo, che mi dara β 400? doue multi- plica 1. uie 400. fa pur 400. ilqual parti per 50. ne uerra 8. e co$i di remo che per dette Ⴥ 20. s'hauera $taia 8. di grano, e $taio 8. d'or- zo. Poteua$i anco dire, $e β 50. mi da $taia due $ra grano, e orzo che mi dara β 400? doue multiplicato 2. uie 400. fa 800. ilqual par tito per 50. ne uiene $taia 16. fra grano, e orzo, che partito per me ta ne uien pur 8. di cia$cuno, come di $opra, ma perche in que$ta ui ua piu longhezza attienti nelle $imili alla regola di $opra.

La canna del panno uale Ⴥ 24. il braccio del uelluto uale Ⴥ 14. lo mi trouo Ⴥ 462. e uoglio tre cotante braccia di uelluto che can- ne di panno, domanda$i quanto s'hauera di cia$cuno, poniamo che $i pigli una canna di panno, onde pigliando una canna di pan- 66.1.462 no, è dibi$ogno pigliar braccia 3. di uelluto che a Ⴥ 14. il braccio $ono Ⴥ 42. lequali $umma con Ⴥ 24. che uale la canna del panno faran. 66. Hora dirai $e Ⴥ 66. mi danno una canna di panno, e per ogni canna di panno mi danno braccia 3. di uelluto che mi daran no Ⴥ 462? doue multiplica 1. uie 462. e parti per 66. ne uerra 7. e canne 7. di panno ti dara, e perche s' è detto che per ogni canna di panno ti debbe dar braccia 3. di uelluto multiplica 3. uie 7. fa 21. e braccia 21. di uelluto s'hauera. Poteua$i anco dire $e Ⴥ 66. mi da 4. fra canne di panno, e braccia di uelluto che mi dara 462. & mul tiplicare 4. uie 462. e partir per 66. ne uerrebbe braccia 28. lequali partite per 4. uerrebbe pur 7. per le canne del panno, & il re$to che $on 21. $arebbon le braccia del uelluto, come di $opra, ma per e$$er que$ta piu trauagliata è meglio il proceder della prima regola.

In un giardino $i trouano congregate alquante fanciulle per nouellare, & andandoui per ca$o una uecchia, & doppo i debiti $aluti domanda una di que@le quant'elle $ieno, fu ri$po$to e$$er tan te che s'elle fu$$ero tre uolte tante, & il quarto piu di quel ch'elle $o no, & contandoui anchora e$$a uecchia $arebbon 40. domanda$i hora in tal ca$o quante $ono le dette fanciulle. Per ri$ponder dirai co$i, $e la uecchia non ui $i troua$$e, egli è chiaro che non $arebbe- [116] no $e non 39. per ilche ti conuien trouare un numero che triplato, ouero multiplicato per 3. & $opra tal multiplicatione aggiunto l' {1/4} del detto numero facci 39. onde porremo che quel numero fu$$e 8. quale multiplica per 3. fara 24. che con l' {1/4} d' 8. che è 2. fa 26. e noi uogliamo 39. per tanto dirai, $e 26. uien da 8. ch'io, m'ap po$i da che uerra 39? onde multiplica 8. uie 39. e quel che fa parti 26.8.29 per 26. e ne uerra 12. e tante fanciulle conuiene e$$er radunate in e$$o giardino.

Et dicendo$i, egliè un tino che ha nel $ondo 2. cannelle, & $tu- rando la prima uotarebbe il tino in 3. hore, & $turando la $econda lo uotarebbe in 4. hore. Si domanda $turandole ambidue in un tratto, in quanto tempo il detto tino $i uotarebbe. Facciamo po$i- tione, che le dette 2. cannelle $tieno $turate 12. hore, & dico in ho- 7.1.12 re 12. per e$$er quello denominato da 3. & da 4. onde $tando $tura te 12. hore, la prima uotarebbe il tino 4. uolte, & la $econda lo uo- tarebbe 3. uolte, e co$i ambidui in$ieme lo uotarebbono 7. uolte, e noi lo uogliamo uotare una uolta, per ilche diremo. $e 7. uien da 12. ch'io m'appo$i, da che uerra 1? onde multiplichi$i 1. uie 12. fa- ra pur 12. ilqual $i parti per 7. & ne uerra 1 {5/7} & in hore 1 {5/7} $i uo- terebbe e$$o tino.

Et $e ti fu$$e detto, $e un Leone mangia in 2. hore una pecora, & l'Or$o la mangia in 3. hore, & il Leopardo la mangia in 4. hore, dimanda$i cominciando a mangiare una pecora tutti e 3. a un trat to in quanto tempo la finirebbeno. Per $olutione faremo po$itio- ne che mangia$$eno in$ieme una quantita d'hore, e porremo un nu mero che $i pos$i diuidere per 2. per 3. e per 4. quale $era 12. hore, nelqual tempo il Leone mangierebbe 6. pecore, & l'Or$o ne man gierebbe 4. & il Leopardo 3. tal che infra tutti mangierebbeno 13. pecore, & noiuogliamo ch'es$i ne mangino 1. onde diremo, $e 13. uien da 12. ch'io m'appo$i, da che uerra 1? opera multiplican- 13.12.1 do 1. uie 12. e fara pur 12. ilquale parti per 13. & ne uerra {12/13} d'ho- ra, & in tanto la finirebbeno di mangiare.

Et dicendo$i, un Capitano ha due fu$te, delle quali una n'ha a [117] Talamone e l'altra a Genoua, quella di Talamone anderebbe a Ge noua in 2. giorni, & quella di Genoua uerrebbe a Talamone in 3. giorni. Si dimanda mouendo$i ambidui in una mede$ima hora per in$ieme trouar$i, in quanto tempo $i rincontreranno. Farai po- $itione ch'elle nauighino 6. giorni, nel qual tempo quella ch'è a Ta Iamone farebbe 3. uolte il $uo uiaggio, & quella che era a Genoua lo farebbe due uolte, che in tutto farebbeno 5. uiaggi, e noi non ne uogliamo far $e non 1. onde dirai, $e 5. uien da 6. a ch'io m'appo$i, 5.6.1 da che uerra 1? opera multiplicando 1. uie 6. & fara pur 6. ilqual parti per 5. & uerranne giorni 1 {1/5}, & in detto tempo $i $con- trarebbeno.

Tre mercanti noleggiano una naue a portar grano, e tanto ne debbe caricare l'un quãto l'altro, il primo s'era cõuenuto col padro ne della naue di dargli ꝑ nolo il {1/2} del $uo grano, & il $ecõdo di dar gliene {1/3} & il terzo di dargliene il {1/4} & il padrone della naue hebbe ꝑ $uo nolo infra tutti moggia 120. di grano, hora dimãda$i quãto fu il carico. Poni che fra tutti carica$$ero moggia 36. di grano delle quali cia$cuno n'hara me$$o moggia 12. che per darne il primo al padron del nauilio il {1/2} gliene uerrebbe a dar moggia 6. & il $econ do per dargliene l' {1/3} gliene uerrebbe a dar moggia 4. & il terzo per dargliene l' {1/4} gliene uerrebbe a dar moggia 3. tal che tutti in$ie me gliene uerrebbeno a dar moggia 13. e noi dicemo ch'egli ne hebbe 120. per ilche dirai, $e 13. uien da 12. a ch'io m'appo$i, da 13.12.120 che uerra 120. onde multiplica 12. uie 120. & quel che fa parti per 13. e ne uerra 110 {10/13}, e tante moggia di grano carico cia$che- duno di loro, etutto il carico fu 3. uie 110 {10/13} che fa moggia 332 {4/13} per tutto il carico in$ieme.

Et dicendo$i eglie un ua$o d'argento di 3. pezzi delquale il fon- do pe$a il mezzo di tutto il ua$o, & il coperchio pe$a il terzo di tutto il ua$o, & il re$to pe$a lib. 12. Si dimanda, quanto pe$era tut- to. Dirai co$i, perche il fondo pe$a il {1/2} & il coperchio il {1/3}. Io por- ro che tutto il ua$o pe$i 6. libre, che alla detta ragione il fondo uer- rebbe a pe$ar 3. libre, & il coperchio uerrebbe a pe$ar 2. lib. & il 1.6.12 coperchio e'l fondo pe$arebbeno 5. lib. che in$ino a 6. ch'io m'ap [118] po$i ui corre 1. e tanto uerrebbe a pe$are l'auanzo del ua$o, ma per che noi dicemmo che pe$o lib. 12. dirai, $e 1. lib. uien da 6. a ch'io m'appo$i, da che uerra 12. e trouerai che uerra da 72. e tante libre pe$o tutto il ua$o, impercioche il {1/2} & il {1/3} di 72. $ono 60. ilqual tratto di 72. re$ta 12. libre come $i di$$e che fu il re$to di tutto il ua$o.

Due muratori hanno a fare una muraglia de i quali il primo la farebbe in 12. giorni, & l'altro la farebbe in 18. giorni. dimanda$i lauorando in$ieme in quanto tempo la faranno. Per dar ri$po$ta, farai po$itione che lauora$$ero in$ieme 36. giorni per hauer tal nu mero le parti denominate dalle dette quantita, hora dirai, in 36. giorni il primo fara 3. uolte il $uo lauoro, & il $econdo lo fara 2. uolte, che in tutto lo farebbeno 5. uolte, e noi uogliamo che $i fac- ci una, per ilche dirai, $e 5. uien da 36. a ch'io m'appo$i, da quanto 5.36.1 uerra 1. onde multiplica 1. uie 36. & fara pur 36. ilqual parti per 5. & uerranne 7 {1/2}, & in giorni 7 {1/2} lauorando in$ieme farebbeno detta muraglia.

Et dicendo$i, due hanno denari in que$to modo, che li denari del primo $ono li {2/3} di quelli del $econdo, & li denari del $econdo $ono 6. fiorini piu che quelli del primo. Si dimanda quanto ha cia$cuno. Que$ta propo$ta non uuol dir altro, $e non che li denari del primo $on 6. fiorini meno che li {2/3} di quelli del $econdo, per la- qual co$a ne $eguita che li 6. fiorini $ieno. il {1/3} di cio che $i troua il $econdo, adunque il $econdo haueua 18. & il primo 12.

Le 5. huoua uaglion 20. denari le 9. pere uaglion 4. denari, uno ha 120. de. & uuol tante pere quant'huoua. Si dimanda quant'huo ua & pere hauera. facciamo po$itione, che toglie$$e 1. huouo, che ualendo le 5. huoua 20. de. un'huouo uarra 4. den. e perche toglien do 1. huouo, e debbe ancor torre 1. pera, che ualendo le 9. pere 4. denari, una pera uarra {4/9} di denaio che $ummati con 4. den. che uale un'huouo fara 4 {4/5}, doue dirai, $e denari 4 {3/5} mi danno uno huouo, e dandomi un'huouo, ei mi danno anco una pera, che mi daranno 4 20 den. 120. doue multiplica 1. uie 120, fara pur 120, ilqual partira@ [119] per 4 {@/@} ne uerra 27. e co$i diremo che per li detti 120. denari hara 27.huoua, e 27. pere.

Eglie un ua$o d'oro, che il piede e'l cop@rchio, e l' {1/3} e l' {1/4} di tutto il ua$o, & il re$to è libre 18. $i dimanda quanto pe$o tutto in$ieme. per $oluer que$ta, troua un numero che habbi terzo, e quarto, hor farai po$itione che quel tal numero fu$$e 12. dalquale piglia il {1/3} che è 4. & il {1/4} che é 3. e $umma 3. con 4. fara 7. che infino 12. u'è di re- 5.12.18 $to 5. e noi dicemmo che il re$to è lib. 18. Onde dirai, $e 5. mi re$ta per 12. per quanto mire$tera 18. e multiplica 12. uie 18. fara 216. ilqual parti per 5. ne uerr@ 43 {1/5}, e tanto fu tutto il ua$o in$ieme. E uolendola prouare, piglia il {1/4}, & il {1/3} di 43 {1/5} trouerai e$$er 25 {1/5}, che tratto di 43 {1/5} re$ta ben 18. come $i di$$e.

Vno ha tanti denari, che aggiuntoui $u il {1/3}, & il {1/4} piu 8. $cudi, fanno $cudi 92. $i dimanda quanti $cudi haueua. dirai co$i, $e in $u quella quantita non ui s'aggiugne$$e $u 8. $arebbeno 84. per ilche ti bi$ogna trouare una quantita che po$toui $u il {1/3} & il {1/4} faccia 84. onde porrai che quel numero $ia 12. delquale il terzo & il quarto $on 7. che aggiunto al detto 12. fa 19. e noi uogliamo che $i faccia 84. doue dirai, $e 19. mi uien per 12. per quanto mi uerra 84. mul- tiplica 12. uie 84. e parti per 19. ne uerra 53 {1/13}, e co$i dirai, che gl'haue$$e $cudi 53 {1/15}.

Vno ha tanti denari, che $pe$one il {1/3}, & il {1/4} men 12 rimarrebbe no $cudi 60. Si dimãda quanti $cudi haueua. chiara co$a è, che $e $i tre$$e il {1/3}, & il {1/4} di quella quantita rimarrebbeno $cudi 48. hora bi $ogna trouare una quantita, che trattone il {1/3} & il {1/4} re$ti 48. hor po ni che quella quantita $ie 12. della quale il rerzo, & il {1/4} $on 7. che in$ino a 12. rimane 5. e noi uogliamo che rimanga 48. doue dirai, $e 5. mi rimane per 12. per quanto mi rimarra 48. e multiplica 12. uie 48. e quel che fa parti per 5. ne uerra 115 {1/5} e $cudi 115 {1/5} dire- mo che $i troua$$e.

Parmi hor tempo di douer mo$trar il modo che per le due fal. $e po$itioni $i tiene nel $oluer le ragioni per il Cataino, hauendo [120] $ino a'hora mo$tro l'ordine di $oluerle per una $ola po$itione. E di mo$trando la prima piu facil che a me pos$ibil paia diro, la per 2. men 36 per 4. men 12 24.2. 12 lib. d'alcuna co$a ual β 60. Si dimanda che uarra l'oncia, pon ga$i che l'oncia uagli β 2. dunque la libra uarrebbe β 24. e noi uogliamo 60. tal che per que$ta prima po$itione ci manca $i no alla uerita β 36. e pero diremo per 2. men 36. e per la $econda po$itione porremo che l'oncia uagli β 4. dunque la lib. uarrebbe β 48. e noi diciamo che ual$e 60. tal che per que$ta $econda po$itio ne ci uien manco 12. della uerita, e pero ci appres$iamo piu 24. alla uerita con que$ta $econda po$itione, che non $acemmo con la pri- ma, perche tratto 12. error della prima di 36. error della $econda re$ta 24. e que$to è il primo numero proportionale & partitore, il $econdo è la differenza ch'è dall'una po$itione all'altra, cioè da 2. a quattro che u'è 2. il terzo è quel che manca alla uerita, cioè 12 e pero diremo, $e 24. ch'io m'acco$to piu alla uerita con 4. ch'io non $eci con 2. uien da 2. che è di differenza dall'una po$itione al- l'altra, quanto $era quel che uerra da 12. che mi manca $ino alla ue rita a punto? onde multiplica 2. uie 12. $a 24. ilqual parti per 24. partitore ne uerra 1. ilqual $i debbe aggiugnere a quella po$itione che piu s'acco$to alla uerita che fu 4. e fara 5. e β 5. uale l'oncia ua- lendo la lib. β 60.

Facciamo hor uenir ambidui gl'errori delle po$itioni maggio- ri della uerita, e poniamo che l'oncia uagli β 8. tal che la lιbra uar- rebbe β 96. enoi uogliamo 60. che ne uien piu 36. della uerita, e pero diremo per 8. piu 36. e per la $ecõda po$itione porremo che l'oncia uagli β 7. che la libra uarrebbe β 84. e noi diciamo che ual $e 60. tal che per que$ta $econda po$itione ci uien piu 24. del uero, e pero' diremo per 7. piu 24. e $egneremo, come dallato, e per 8. piu 36 per 7. piu 24 perche con 7. $econda po$itione ci acco$tiamo piu 12. alla ue rita che non $acemmo con 8. prima po$itione, concio$ia che tratto 24. error di 7. $econda po$itione di 36. error del 8. prima po $itione re$ta 12. di differenza de gli errori, ilqual 12. $era partito- re, e pero diremo $e 12. differenza de gli errori uien da 1. differen- za delle po$itioni da che uerra 24. error minore, cioè quel che man co $ino al uero. doue multiplica 1. uie 24. fara pur 24. il qual par- [121] ti per 12. ne uerra 2. ilqual trai della po$ition che piu s'acco$to al- la uerita the $u 7. e re$tera 5. e β 5. ual$e l'oncia ualendo $oldi 60. la libra.

Faremo hora che delli errori de lle po$itioni ne uenga un mino re, & l'altro maggiore, e per la prima po$itione poniamo che l'on- cia uagli β 4. che la libra uarrebbe β 48. e noi diciamo che ual$e 60. che per que$ta prima ne uien manco 12. e pero' diremo per 4. men 12. e per la $econda porremo che l'oncia uagli β 7. che per 4. men 12 per 7. piu 24 36.3.24 la libra uarrebbe β 84. e noi uogliamo 60. dunque per que- fta $ecunda po$itione ne uiene piu 24. della uerita, e pero di remo per 7.piu 24.e $egneremo, come dal lato. Hora tu ue- di che per e$$ere il 7. $ecõda po$itione piu 3. del 4. prima po$itione ri da 24. piu della uerita, & anco ti da 12. piu che ti de meno la pri ma po$itione che in tutto ti da piu 36. il detto 3.che e di piu la $e- conda po$itione della prima, doue dirai $e 36. mi ricrebbe ꝑ 3.per quanto mi ricre$cera 24. che mi uenne piu della uerita. opera mul tiplicando 3. uie 24. $ara 72. ilqual parti per 36. ne uerra 2. ilqual trai di 7. $econda po$ition re$tera 5. per la uerita. Poteua$i anco di- re $e 36. mi uien meno per 3. che $u manco la prima po$ition del- 36.3. 12 la $econda quanto $era quel che mi uerra per men 12. error della prima po$itione. doue multiplica 3. uie 12. fa 36. ilqual parti per 36. partitore ne uerra 1. ilquale aggiugni a 4. prima po$itione fa- ra pur 5. come di$opra, che in tutti i modi torna il mede$imo pur che $i $appia trouar la uia.

Puos$i anchora la detta regola del Cataino u$ar per un alrro modo ilquale per mio auui$o è for$e piu pratticabile, & é que$to che $i multiplica la prima po$itione per il $econdo errore, & an- chora $i multiplica la $econda po$itione per lo primo errore, e $e gli errori $ono ambidui maggiori, ouero ambidui minori $i trahe la minor multiplicatione della maggiore, & l'auanzo $i parte per la differenza delli errori, e lo auuenimento di tal partire è la uerita, ma quando delli errori ne $era un min ore, & l'altro maggiore al- lhora s'aggiunghino le dette multiplicationi in$ieme, & tale ag- giuntione $i parta per la $omma delli err ori, e lo auuenimento $e- [122] ra la uerita, ouero la $olution del ca$o. Hor perche nel proceder della prima regola per 2.ci uenne men 36. e per 4. ci uenne men 22, dico per tanto che $i multiplichi 2. uie 22.che fara 24. & anco- ra $i multiplichi 4. uie 36. che fara 144. hor per e$$er am- bidui li errori minori, $i debbe trar la minor multiplica- tione della maggiore, cioé, 24. di 144. & re$tera 120. il- per 2. men 36 per 4. men 12 144 24 24. 120 5 quale ci conuien partire per la differenza delli errori, che è 24.e ne uerra;. Il mede$imo modo terremo nella $econ da, che per 8. prima po$itione ci uenne piu 36. e per 7. $e- conda po$itione ci uenne piu 24. doue multiplicando la prima po$itione per il $econdo errore, & la $econda po$i- tione per lo primo errore, e trahendo la minor multipli catione della maggiore, & il rimanente partendo per la differenza delli errori come dal lato $i uede, ne uerra $i- milmente 5. come nella pa$$ata. Ma perche nella terza del per 8. piu 36 per 7. piu 24 292 192 22. 60 5 li errori ce ne uenne un minore, & l'altro maggiore della uerita, dico che in tal ca$o per quel che s'è detto $i multi- plichi 4. prima po$itione uie 24. $econdo errore & fara 96. & ancora $i multiplichi 7. $econda po$itione uie 22. primo errore che $ara 84. ilqual $i $ummi con l'altra mul tiplicatione che fu 96. & fara 180. e que$to $i parta per la $omma delli errori, che è 36. ene uerra 5. come nelle pa$$a te, che co$i per que$to $econdo modo come per il primo per 4. men 12 per 7. piu 24 96 84 361 180 5 $i uiene a trouar la uerita.

Nece$$aria co$a è nella prattica e theorica delle mate- matiche, & mas$ime in Ari$metica e Geometria, il mo$trar le cau$e delli e$$etti delle regole di tali $cientie, e chi cio far non $apra, non $i potra iudicar giamai che d'e$$e habbi la uera notitia. Non uoglio mancar per tanto di dimo$trar d'onde la detta regola delle due $al$e po$itioni proceda. Hor $ia il numero della uera $olutione della pa$$ata propo $ta. la linea. a. d. laquale ancor che $empre s'habbia a pre- $upporre ignota, nondimeno qui per piu facil demo$tra- tione la porremo nota, e faremola longa 5. che, fu quel che ual$e [123] l'oncia, cioè la $olutione della gia fatta domanda, e di tal linea a. d. a z b z c d e 24 f 12 g ne piglio. a. b. per la prima po$itione il quale. a. b. lo $o longo 2. e pre$uppõgomi che mi cau$i d'errore la linea.a.g.e la fo longa 36. ꝑ il primo errore il quale uiene a e$$er manco della uerita. Dipoi ꝑ la $econda po$itione piglio della linea.a.d. la quantita. a. c. laquale $o 4. & d'e$$a ne $egua l'errore.f.g.mãcante ancora alla uerita, ilquale $i uiene a pre$uppor 12. Hora noi hauiamo mani$e$ta tutta la linea e.g.che fu il primo errore, & lo facemmo 36. e per il $econdo erro re hauiamo manife$ta d'e$$a linea la quantita f. g. che $i me$$e 12. cal che tratto f.g.$econdo errore quale è 12. della quantita e. g. pri mo error che fu 36. ci re$ta per la differenza delli errori la quanti- ta. e. f. la quale uiene a e$$er 24. E della linea a. d. hauiamo nota per la prima po$itione la quantita a.b. che fu 2. e per la $econda po$i- tione hauiamo nota la quantita a.c.che fu 4. ma c.d. re$ta a noi igno to. hor tria$i la quantita a.b. prima po$itione, che è 2. della quantita a.c.$econda po$itione che $u 4.e ci re$tera per la differenza delle po $itioni la quantita b.c. che uiene a e$$er 2. Dico hora che in tutte le qui$tioni, che per il Cataino $i po$$on $oluere, che tal proportione debbe e$$er da. e. f. noto al $. g. ancora noto quale è dal b.c. noto al c.d.ignoto.onde uolendo per lo primo modo trouar la detta igno ta quantita c.d.multiplichi$i f.g. $econdo errore che $u 12. per b.c. differenza delle po$itioni che $u 2. & fara 24. ilqual $i debbe partir per e.f.differenza delli errori che è 24.e ne uerra 1.per la quantita c.d.che aggiunto alla linea a.c.che è 4. fara 5.cioè tutta la linea a.d. per la $olutione del ca$o.

E uolendo $econdo l'altro modo trouar la detta uera quantita, [124] multiplichiamo a.b. prima po$itione che fu 2. per f.g. $econdo er- rore, che fu 12. & fara 24. ilqual tria$i di 144. cioé della multiplica tione della $econda po$itione a.c. nel primo errore e.g.& 10 auan- zo $i parta per e.f.differenza delli errori, e ne uerra di tal partitione 5.cioe tutta la quantita a, d. per la $olution del ca$o, come di $opra.

a z b z c d e 24 f 12 g

E que$to procede perche quando $i multiplica la quantita e.g. nella quantita a.e.$i uiene allhora a multiplicare le quantita e. f. & f.g.nella quantita a.c. Et quando $i multiplica la quantita f. g. nella quantita a.c. $i uiene allhora a multiplicare la quantita f. g. nelle quanttita a.b. & b.c. tal che quando $i multiplica la quantita e. g. nella quantita a.c.$i uengono a multiplicare le quantita e. f. & f. g. nelle quantita a.b. & b.e.ma la multiplicatione dell' f.g.in b.c.è co me la multiplicatione dell' e. f. in c. d. impero che egliè co$i e. f. al f.g.come b.c.al c.d. per ilche quando $i multiplica e.g.in a.c. $i uie ne a multiplicare e.f.nelle quantita a.c. & c.d.cioè in tutta la quan- tita a.d. & ancora la quantita f.g.in a.b.onde $e della multiplicatio- ne del e.g.in a.c.cioè dell' error primo nella po$itione $econda, $e ne trah e la multiplicatione del f.g.in a.b.cioè dell' error $econdo nella prima po$itione, re$ta la multiplicatione della quantita e.f. in a.d. laqual multiplicatione $i debbe partir per il mede$imo e.f. differen za delli errori, e ne uerra ancora la quantita a.d. per la $olution del ca$o, ilche era nece$$ario mo$trare.

Sia ancora la linea a.d. la quantita non $aputa, cioèla $olution del ca$o, laquale qui la diuidero in parti 5. equali per piu chiara di mo$tratione, alla quale ancora aggiugnero parti 3. cioè d.c.e per la [125] prima po$itione porremo a.c.che è 8. laquale mi cau$a d'errore la a d b c e f g linea e.g.& per la $econda po$itione piglio la quantita a.b.che uie- ne a e$$er 7.& cau$ami d'errore e.f.& ambidui gli errori $oprabon dano alla uerita. Hor dico che $era di neces$ita, $e la qui$tion $i puo $oluer per il Cataino, che tal proportione $ia dalla differenza nota delle po$itioni che uiene a e$$er b.c.alla quantita d.b.ignora, quale e ancora f.g.differenza delli errori all' e.f.$econdo errore. Et uolen do trouar la quantita d.b.diremo.$e f.g.differenza delli errori uien da b.c. differenza delle po$itioni da che uerra e. f. $econdo errore- doue operando troueremo la quantita d.b. e$$er 2. la qual $i debbe trar della $econda po$itione, cioè della quantita a.b. che $u 7. e re$te racci 5. cioè la linea a.d. per la uera quantita. Et ancor che nella $e- conda no$tra domanda l'error maggiore, cioè la linea e.g. fu$$e 36. e noi hauiamo qui diui$a detta linea in parti 6. equali, ilche s'è fat- to perche tal diui$ion di detta linea ca$ca nella mede$ima propor- tion, che $e $u$$e diui$a in 36. parti equali, & ancora per non hauer d'e$$a linea a far tanti $minuzzamenti.

Hor quanto al $econdo modo multiplichi$i la quantita e.g. per a d b c e f g la quantita a.b.cioè l'error primo per la po$itione $econda, e di tal [126] multiplicatione $i tria la multiplicatione della quantita e. f. nella quantita a.c.cioè la po$ition prima uie l'error $econdo, & il rima- nente $i parta per la quantita f. g. differenza delli errori e ueracci nota la uera quantita a. d. laquale a noi prima non era mani$e$ta, ilche procede perche quando $i multiplica la quantita e.g. primo er rore per la quantita a.b. po$ition $econda, $i uiene allhora a multi- plicare le quantita e.f.& f. g. nella quantita a.b.$i uiene allhora a multiplicare f.g.nelle quantita a.d.& d.b.concio$ia che la multipli catione del f.g.in d. b. è eguale alla multiplicatione del e.f.in b.c. impero che gliè co$i g.f.al f.e. come c. b. al b. d. e pero quando $i multiplica e.g.in.a.b.$i uiene allhora a multiplicare e.$.nelle quan- tita a.b.& b.c.cioè in tutto a.c.& anchora f.g.in a. d. onde $e della multiplicatione del e. g. primo errore nella po$ition $econda a. b. $e ne trahe la multiplicatione del $ecõdo errore nella prima po$i- tione, cioè del e.f.in a.c.ci re$tera la multiplicatione della quantita f.g.nella quantita a.d.laqual multiplicatione $i debbe partire per f. g.differenza delli errori, e peruerraccene $imilmente la quantita a. d. per la $olutione della qui$tione.

Hor per la terza no$tra domanda del piu, e meno, ouero del meno, e piu, che ambidui $ono il mede$imo, porremo che la ue- ra quantita, cioè la $olution del ca$o $ia la linea a. d. & $ia diui$a in parti 5. eguali, e per la prima po$itione, porremo la quantita a. b. laquale per e$$er mancante cau$a l'error e.f.anchora mancante. Di- poi per la $econda po$itione aggiugneremo alla uera quantita a.d. la quantita d.c.che uiene a e$$er due piu della uera quantita, concio $ia che la uera quantita è parti 5. & a.c. che è la po$ition $econda è parti 7. & dacci d'errore f.g. ilquale ancora è maggior della uerita.

Dico adunq; che $e pos$ibil $era il $oluer le ragioni ꝑ il Cataino, che tal proportione bi$ogna che $ia dalla differenza delle po$itioni alla differenza della prima po$itione alla uera quantita quale è dal congiunto delli errori al primo errore, che co$i è in que$ta, concio- $ia che dalla quantita a.b.prima po$itione che è 4. alla quantita del la $econda po$itione che è 7.ci corre di differenza b. c. che è 3. & la differenza che è dalla quantita a. b. prima po$itione che fu 4. alla differenza della uera quantita ui corre b.d.che è 2. dunque b.c.con [127] tlen 3. uolte b. d. e. co$i debbe e$$er la mede$ima proportione dal e.g.congiunto delli errori al primo errore che fu e.f.ilche per e$$er a d b e e f g diui$a la linea e. g. congiunto delli errori in 7. egual parti chiara- mente comprender puos$i. Volendo per tanto trouar b.d.ignoto, multiplicaremo b.c.per e.f.& partiremo per e.g.& ne uerra 1. per la quantita b.d.ilquale per e$$er mancante aggiun ga$i alla quantita a.b.& fara tutta la uera quantita, cioè la linea a.d. E perche ancho- ra è la mede$ima proportione dal b.c.al d.c.quale é dal e.g. al g.f. multiplichi$i per tanto g.f.error $econdo per b.c. differenza delle po$itioni, e parti$i per e.g.congiunto.delli errori, e ne uerra per la quantita d.c.2. ilquale, perche $u piu della uerita $i debbe trarre del la quantita a.c.& re$teracci la uera quantita, cioè la linea a.d. come chiaramente comprender puos$i.

E per il $econdo modo multiplichiamo e. f. per a. c. cioè l'error primo per la $econda po$itione, laqual multiplicatione s'aggiun- ga alla multiplicatione del f.g.$econdo errore in a. b. prima po$i- tione, e tale aggiuntione partiamo per il cõgiunto delli errori, cioé a b d c e f g per la quantita e.g.e co$i haremo la $olution uera della qui$tione, cioè la quātita a.d.E cio auuiene, ꝑche quando $i multiplica la quä [128] tita e.f.per la quantita a.c.$i uiene a multiplicare la quantita e. f. in a.b.& b.c.& $e con e$$e s'aggiugnera la multiplicatione f.g. in b.a. s'hauera allhora la $omma delle multiplicationi delle quantita e.f. & f.g. nella quantita a.b.& della multiplicatione e.f.in b.c. ma le multiplicationi del e. f. in a.b.& del f.g.in a.b.$ono eguali alla mul tiplicatione di tutto e.g.in a.b.per ilche quando $i multiplica e. f. in a.c.& f.g.in a.b.$i uiene allhora a multiplicare e.g.in a.b. & e.f. in b.c.ma la multiplicatione dell' e.f.in b.c.è come la multiplicatio ne dell' e. g. in b. d. impero che gli è co$i g. e. al f. e. come c. b.al d.b. onde quando $i multiplica e.f.in a.c.& f.g.in a.b. $i uiene allhora a multiplicare e.g.nelle quantita a.b.& b.d.cioè in tutta la quanti ta a.d. Adunque quando $i multiplica e.f.error primo in a.c.$econ da po$itione, & f.g.error $econdo in a.b. prima po$itione, dico che il congiunto di dette due multiplicationi $ono eguali alla multi- plicatione della quantita e.g.nella quantita a.d. onde quando tal $omma $i parta per e.g.congiunto delli errori ne peruerra la quan tita a.d.per la detta $olutione.

Seguiremo al pre$ente altre qui$tioni delle quali e$$endone alcu ne co$i piaceuoli, come nece$$ario mi rendo certis$imo, che con nõ piccol $rutto qualche contentezza alli audienti porgeranno, e d'e$- $e ne $era parte $olute pur per il Cataino, e parte per altre regole $e condo che il ca$o ricerchera, ma quelle del Cataino prima $eguen do diremo. Le 4.$tarne, e duo carlini uagliono 8. carlini meno una $tarna, Se dimanda in tal ca$o quanto ual$e una $tarna. In que$ta è come dire, trouami un numero che multiplicato per 4. e po$toui $u 2. facci quanto tratto il detto numero di 8. Hor ponghi$i che la $tarna uale$$e due carlini, dunque le 4. $tarne, e due carlini uarreb- bono 10. carlini, e noi dicemmo, che ual$eno 8.carlini, meno una $tarna, cioè 6.carlini, per ilche que$ta prima po$itione ci uie- per 2. piu 4 per 3. piu 9 ne a dar d'error piu 4. e però diremo per 2. piu 4. E per la $e- conda faremo pofitione, che la $tarna uale$$e 3. carlini, onde le 4. $tarne, e 2. carlini uarrebbono 14. carlini, e que$ti hanno a e$$ere eguali a 8.carlini, meno una $tarna, cioè a carlini 5. e però per que$ta $econda ci uien d'errore piu 9.onde diremo per 3.piu 9.E per trouar la uerita multiplicaremo la prima po$i- [129] tion per il $econdo errore, & $ara 18. dipoi multiplicaremo la $e- conda po$itione ui è'l primo errore,e fara 12. ilqual $i tria di 18. & re$tera 6.& que$to partiremo per la differenza delli errori che è 5. e uerranne 1 {1/5} & carlini 1 {1/5} ual$e la $tarna.

E dicendo$i due hanno denari, Dice il primo al $econdo, $e tu mi dai il {1/3} de tuoi denari, e mettēdoli in$ieme co miei io haro 48. Dice il $econdo al primo, $e tu mi dai 6.de tuoi,& aggiugnendoli co miei io n'haro quanti ne rimarranno a te, $i dimanda quanti ne haueua cia$cuno. Faremo po$itione che'l primo n'haue$$e 40.e per che ne chiede al $econdo il {1/3} de $uoi, & con es$i dice hauer 48.dun que gli uiene a chieder 8.& il $econdo bi$ogna che haue$$e 24.che con 6.che domanda al primo fanno 30.& al primo ne rima$ero 34.e perche noi uogliamo che il $econdo che non n'ha $e non 30. n'habbi quanti ne rima$e al $econdo che furno 34. onde que$ta prima po$itione ci uiene a dar d'errore men 4. e però diremo per 40.men 4.E per la $econda porremo che il primo haue$$e 42.e per che chiede al $econdo il {1/3} de $uoi, e dice che con es$i hara 48. dun- que gli uiene a chieder 6.& il $econdo uiene hauer 18.che con 6. che domanda al primo fanno 24.& al primo ne rimangono 36. & a que$ti harebbono a e$$ere eguali i denari del $econdo, ma perche non $ono $e non 24.ci uiene d'errore per que$ta per 40. men 4 per 42. men 12 $econda po$itione m\~e 12.e però diremo per 42.a ch'io m'ap po$i men 12. Hor per trouar la uerita multiplicaremo in cro ce la prima po$itione per il $econdo errore, & la $econda po $itione per lo primo errore,& trarremo la minor multiplica tione della maggiore,& il rimanente partiremo per la differenza delli errori,e ne uerra 39.& tanti den.haueua il primo, che in$ino 48.ui corre 9.e perche il detto 9.$ono il {1/3} de den. del $econdo,è di neces$ita che il $econdo haue$$e 27.

Due hanno denari,dice il primo al $econdo, $e tu mi des$i 15. de tuoi den.io ne harei 18.piu che'l tuo rimanente, Dice il $econ- do al primo, $e tu mi des$i 20.de tuoi,io harei 5. contanti men 5. di te, domanda$i quanti den. haueua cia$cuno. Faremo po$itione che'l primo haue$$e 27. che con 25.che domanda al $econdo farã- [130] no 42.e perche dice hauer 20.piu che'l rimanente del $econdo d que al $econdo ne rima$ero 32. che con 15. che da al primo uiene hauer 47.che con 10. che domanda al primo fanno 57. & al pri- mo riman 17.e perche al primo che ha 27.gli riman 27.& il $ecõ do dice hauer 5.cotanti men 5.di lui che alla detta ragione il $ecõ- do harebbe hauere 80.& egli non ha $e non 57. onde diremo per que$ta prima po$itione per 27.men 23. Dipoi per la $econda por remo che'l primo haue$$e 20.che con 15.che domanda al $econdo fanno 35.e perche dice hauer 20.piu che'l rimanente del $econdo, dūque al $econdo rima$ero 25.che con 15.che da al primo uiene hauer 40.che con 10.che domanda al primo fanno 50.& al primo che ha 20.rimãgon 10.onde hau\~edo hauere il $ecõdo 5.cotãti m\~e 5. del primo harebbe hauer 45.& egli ha 50. e pero diremo che que$ta $ecõda po$itione ci dia d'errore piu 5.Hora ꝑ trouar la ueri ta multiplichi$i in croce la prima po$itione per il $econdo errore, et la $econda po$itione per lo primo errore, & dette due multiplica- tioni s'aggiunghino in$ieme, & detta aggiuntione $i parta per la $omma delli errori, & uerranne 21 {1/4} e tanti denari haueua il pri- mo.Et per $aper quanto haueua il $econ do diremo $e il primo ha dal $econdo 15.& dice hauer 10.piu che'l rimanente del $econdo, & 15.con 21 {1/4} fanno 36 {1/4} che trattone 10.rimãgono 26 {1/4} che con 15.che il $econdo ne de al primo fanno 41 {1/4}, e tanti denari haue- ua il $econdo.

A un Capitano gli conuien pagare i $uoi $oldati, & troua$i tan ti $cudi che dandone loro $cudi 4. per uno gl'auanzarebbe $cudi 40.& dandone 5.per uno gliene mancarebbe 60. Si dimanda in tal ca$o, quanti $oldati haueua in $ua compagnia. Facciamo po- $itione ch'egli haue$$e 120. $oldati,che a 4. $cudi per uno $arebbe- no 480.che con $cudi 40.che gli mancaua fanno 520.& a $cudi 5. per uno $e lo darebbe $cudi 600. de iquali $e ne tria 60. per 120, piu 20 per 110. piu 10 che gli auanzauano, e refteranno 540. e di $opra $i di$$e. che gli harebbeno 520. dunque que$ta prima po$itione ci uiene a dar d'errore piu 20.e pero diremo per 120.piu 20.Dipoi per la $econda porremo, che i $oldati fu$$ero 110,che a $cudi 4.per uno,farebbono $cudi 440.che con [131] 40.che gliene mancaua fanno 480.& a $cudi 5.per $oldato $i da- rebbe loro $cudi 550.de quali $e ne tria 60.che gli auanzauano, & re$teranno 490.e di $opra dicemmo, che $e gli darebbe 480.on de ꝑ que$ta $ecõda po$itione ci uiene a dar d'errore piu 10. epero diremmo per 110.piu 10.Et per trouar la uerita, multiplicaremo la prima po$itione per il $econdo errore, & la $econda po$itione per lo primo errore, e trarremo la minor multiplicatione della maggiore,& il rimanente partiremo per la differenza delli errori, & ne uerra 100.& tanti $oldati haueua il detto Capitano in $ua compagnia,& ueniua$i a trouare $cudi 440.

Et dicendo$i,e $on due,de quali un di loro haueua gros$i 16. & l'altro haueua una quantita di gros$i, & andando a $pa$$o trouano un contadino, ilquale portaua a uendere alquanti $agiani, & e$- $endo da loro domandato del prezzo, ri$po$e uolerne gros$i 4. del paio, per ilche di$$e il primo al $econdo, $e tu mi des$i li {2/3} de tuoi denari,& aggiugne$eli con il {1/4} de miei, io comprarei apunto e fagiani. Di$$e il $econdo al primo, $e tu mi de$$i la meta de tuoi denari con il {1/3} de miei, io cõprarei i $agiani, $i dimanda quanti de- nari hauea il $econdo.faremo po$itione che'l $econdo haue$$e gros $i 18.& il primo che ha 16.dice al $econdo, che con il {1/4} de $uoi che $on 4.& con li {1/3} de di quel del $econdo che $on 12. che aggiunti in$ie me fanno 16.& con tanti il primo comprerebbe i fagiani. Hora perche il $econdo chiede la meta de $uoi al primo che $ono 8. & con il {1/3} de $uoi che $ono 6.che agiunti in$ieme fanno 14. compre- rebbe i fagiani, e di $opra dic\~emo che il primo gli com- praua con 16. onde que$ta prima po$itione ci uiene a dar per 18. men 2 per 15. men 1 d'errore men 2.e pero diremo per 18.men 2. Dipoi per la $econda porremo che il $econdo haue$$e 15. e perche il primo che ha 16.dice che con il {1/4} de $uoi che $on 4. e con li {2/3} di quel del $econdo che $on 10.che giunti in$ieme $an no 24.& con que$ti dice comprare i $agiani, ma perche il $econdo che chiede il {1/2} de $uoi al primo che $on 8.& con il {1/3} de $uoi che $on 5.che giunti in$ieme fanno 13.dice con es$i comprare i fagiani & di $opra dicemmo che $i comprauano con 14. e pero que$ta $e- conda po$itione ci da d'errore men 1, onde diremo per 15, meno [132] 1.& uolendo trouar la uerita, multiplicaremo la prima po$itione per il $econdo errore, & la $econda po$itione per il primo errore, e trarremo la minor multiplicatione della maggiore, & il re$tante partiremo per la differenza delli errori,& ne uerra 12.& tanti gro$ $i haueua il $econdo, & gros$i 12. ual$eno i fagiani, & furono 3. paia.

Et $e ti $u$$e detto un'huomo da bene fece 3. limo$ine a 3. poue ri huomini al primo dette il {1/2} di cio ch'egli haueua,& {1/2} gro$$o piu al $econdo dette il {1/3} di cio ch'egli haueua, & {1/3} gro$$o piu. al terzo pouero de il {1/4} di cio ch'egli haueua,& {1/4} gro$$o piu,& $atto ch'egli hebbe le dette lemo$ine rima$e in bor$a al detto huom da bene duo gros$i.Si dimanda hora quanti denari haucua prima.In que$ta arguiremo co$i per $aper ri$pondere, quando ei fece l'ultima ele- mo$ina,egli dette il {1/4} d'un gro$$o,e rima$eli 2.gros$i, adũque inan zi che lui de$$e il detto quarto haueua gros$i 2 {1/4}, e que$to $i trouo quando hebbe dato il {1/4} di cio ch'egli haueua,per ilche è dibi$ogno trouare un numero, che trattone il {1/4} rimanga 2 {1/4} onde porremo che quel numero fu$$e 4. del quale a leuarne il {1/4} re$ta 3. e noi uo- gliamo che re$ti 2 {1/4}, onde diremo.$e tre uien da 4. a ch'io m'appo $i, da che uerra 2 {1/4}, e operando troueremo che uerra da 3. e tanto gli rima$e fatto ch'egli hebbe la $econda elemo$ina, $opra ilqual 3. aggiugneremo {1/3} gro$$o ch'egli dette di piu, & far 3 {1/3}, onde ci con- uien trouare un numero, che trattone il {1/3} rimanga 3 {1/3}.hor ponia- mo che quel numero fu$$e 3.delqual trattone il {1/3} re$ta 2.e noi uo- gliamo che re$ti 3 {1/3}, per ilche diremo, $e 2.uien da 3.a ch'io m'ap po$i, da quanto uerra 3 {1/3},& operando troueremo che uerra da 5. & tanti gros$i gli rima$e, fatto ch'egli hebbe la prima elemo$ina, col qual 5.aggiugneremo {1/2} gro$$o ch'egli dette in oltre alla meta di quel che $i trouaua,& fara 5 {1/2}.Hora ci cõuien trouare un nume- ro che trattone il {1/2} re$ti 5 {1/2} onde porremo che quel numero $ia 2. del qual trattone il {1/2} re$ta 2.e noi uogliamo che re$ti 5 {1/2}, per ilche diremo $e 1. uien da 2.a ch'io m'appo$i, da quanto uerra 5 {1/2}? & operando troueremo che uerra da 11.e tanti gros$i haueua in tut- to il detto huomo da bene quando comincio a lemo$inare, & cio prouando chiaramente ueder potra$$i.

[133]

Et $e ti fu$$e detto tre hãno denari, & uoglion comprar 3. caualli de quali il primo uale 36. $cudi, e'l $econdo uale 39.& il terzo uale 41.& ne$lun di co$toro ha tanti denari che pos$i comprare alcun di que$ti caualli, ma i denari del primo,& $econdo comprano il caual lo di 36.$cudi,e li denari del $econdo,e terzo comprano il caual- lo di 39.$cudi,& li denari del terzo,& primo comprano il caual- lo di 41. $cudi, $i dimanda quanti denari haueua cia$cuno. Dico che per $aper ri$pondere che $ummi tutte tre le ualute de caualli, cioè 36.con 39.& con 41.& faranno 116. ilquale parti per un me no che non furono gli huomini che 10 uerraia partire per 2. & uerrane 58. e tanti $cudi haueuano fra tutti, e tte. E perche il pri- mo,& $econdo comprauano il cauallo di 36.$cudi, ne $egue che il terzo huomo ueniua hauere la differenza che è da 36. a 58. cioè $cudi 22.E perche il $econdo.e terzo huomo comprauano il caual lo di 39. $cudi, ne $eguita che il primo haueua la differenza che è da 39.a 58.cioè $cudi 19.e perche il terzo,e primo comprauano il cauallo di 41. $cudi, ne $egue che il $econdo haueua la differenza che è da 41.a 58. cioè 17. & co$i hai che il terzo haueua $cudi 22. & il primo $cudi 19.& il $econdo $cudi 17.Et uolendone la proua $umma que$te tre quantita, & faranno 58. come $i di$$e che in fra tutti $i trouorono. adũq; $i puo giudicare la $olutione e$$er buona.

Et dicendo$i una lepre è innanzi a un cane 30.pas$i di lepre,& ogni 3. pas$i del cane $ono per 4. di que'della lepre, dimanda$i in quanti pas$i il cane l'hara giunta.Per ri$po$ta diremo, $e li 3. pas$i del cane $ono per 4.della lepre,adunque il cane d'ogni 3. pas$i n'a- uanza uno alla lepre, per ilche dirai, $e 1. uien da 3. da che uerra 30?onde multiplica 3, uie 30.& fara 90.ilqual parti per 1.e ne uer ra pur 90.& in tanti pas$i il cane giugnera la lepre.

Et $e ti $u$$e detto due huomini andorono a mangiare a l'ho$te ria,e portoron$i il pane, & il primo di loro ne porto 4.& l'altro 3. & auuenne che in quello che gl'entrorono a tauola ci s'abbatte un loro amico,e po$e$i a mangiare con loro, & finito che hebbero di mangi@re,& pagato cia$cuno la $ua parte di quanto haueua haue re l'ho$te,quello amico che mangio con loro per non hauer porta [134] to pane dette per la portion $ua $oldi 7.a gli altri due che $e li diui de$$ero in$ra di loro, dimanda$i che ne tocca per uno.Per ri$po$ta, chiara co$a è che $e mangiorono egualmente, & quel che ui s'ab- batte pago 7.$oldi,che in fra tutti mangiorono per $oldi 21.di pa ne, cioè $oldi 7. per uno,e perche mangiorono 7. pani, ne $eguita che ogni pane uale$$e 3.$oldi, onde il primo che me$$e quattro pa ni che uagliono $oldi 12.e mangionne per 7.re$ta hauere 5.$oldi, & il $econdo che me$$e 3. pani che uagliono $oldi 9.e mangionne per $oldi 7. re$ta hauere $oldi 2.& co$i dirai che il primo habbi ha uere $oldi 5. & il $econdo $oldi 2. uolendo che cia$cuno habbi quanto $e li uiene.

Et dicendo$i tre huomini hanno uelluto d'una mede$ima ragio ne,il primo n'ha 7.braccia, il $econdo 5. braccia,& il terzo 4. brac- cia, & uanno a un $arto per $ar$i un giubbone per uno, dice il $ar- to,e ci auanza tanto uelluto ch'io $aro anchora un giubbone per me,& co$i fa 4. giubboni d'egual grandezza, e per lo $uo da loro 8.Ⴥ,& dice hauerli pagati. Hora $i dimanda che ne tocca per uno. Per ri$po$ta dico,che $ra tutti $e ben guardi haueuano braccia 16. di uelluto delle quali facendo 4. giubboni ne uiene a toccare 4. braccia per giubbone, adunque il $arto hebbe da loro 4 braccia di uelluto, & de a quelli 8.Ⴥ che uenne a pagare il braccio 8 2. onde perche il primo n'haueua braccia 7.& nel $uo giubbone n'ando 4.braccia conuiene ch'egliene $ia pagato 3.braccia, onde gli uerra 8 9.& il $econdo che dette 5. braccia re$ta hauere il pagamento d'un braccio che $ono. 8 2. e perche il terzo ne de braccia 4. come egli n'hebbe non re$ta hauer nulla,e que$ta è $imile alla pa$$ata.

Et $e ti fu$$e detto due gioueni andando a $pa$$o per una uia uid dero una bor$a con denari, & qua$i in uno i$tante ambidui ui po $ero $u le mani,e per uolere ogn'un di loro quella. in$ieme uole- uano contendere,ma abbattendoui$i un loro amico gli mi$$e d'ac- cordo,con que$ti patti,che chi prima di loro uinceua 7. giuochi al la palla tira$$e i denari,e la bor$a la$cia$$ero a lui, e co$i $urono con tenti,& quando il primo hebbe uinto 5. giuochi, & il $econdo 2. $i per$e la palla,& non poterono finire, & nella bor$a u'era den- [135] tro $cudi 6. Hora dimanda$i quanti ne debbe toccare per uno. Per ri$po$ta dirai co$i in que$ta dimanda eglie chiaro che quello che uorra i denari della bor$a bi$ognera che uinca 7. giuochi,& l'altro non ne puo uincere piu che 6. per ilche il piu che in tutto pos$ino giuocare $ono 13. giuochi, onde perche il primo uin$e 5. giuochi uiene a uincere {5/13} di 6.$cudi,& il $econdo che uin$e 2. giuochi ne uiene a uincere li {2/13} che delli 6.$cudi ui re$ta anchora {6/13} de iquali- piglia la metta che $ono {3/13} & aggiugneli a {5/13} e faranno {8/13} & l'al- tra meta aggiugni alli {2/13} & faranno {5/13} & co$i dirai che al primo debbe toccare delli 6.$cudi {8/13} & al $econdo ne debbe toccare {5/13} & in que$to modo cia$cuno ha hauuto il douer $uo.

Et dicendo$i che tre mariti gelo$i con le lor mogli uole$$ero pa$ $are un $iume, & haue$$ero una barchetta che non ne pa$$a$$e per uolta piu che 2. di loro, & uoles$i $apere in che modo conueni$$e lor pa$$are, accio che in $ra di loro non haue$$e a cadere ne$$una gelo$ia. Dico che $i pas$i prima due donne,& pa$$ate ch'elle $ien o, una ne re$ti,& l'altra ritorni con la barca per l'altra donna, & co$i hauerai da un lato le tre donne,& dall'altro li tre mariti,& la bar ca $era dal lato delle donne, hora torni in dietro una di quelle, & re$ti$i col $uo marito, & li due altri mariti pas$ino alle donne loro. Dipoi un marito con la $ua moglie pas$i di qua cal $iume, & di la pas$ino li due mariti,& rimarra di qua dal fiume due mogli, & di la tre mariti,& un di quelli hauera a canto la $ua moglie,& faralla pa$$are li qua,accio che l'altre due mogli pas$ino a i loro mariti, & pa$$ate ch'elle $ieno uno di quelli $e ne ritorni per la $ua, & in tal modo $eranno tutti pa$$ati $enza $o$petto di gelo$ia. Et co$i habbia mo con que$te piaceuolezze dato fine a quel che di prattica d'Arithmetica de$iderauano, hora tempo é che pas$iamo alla pra- tica di Geometria.

DE LA GEOMETRIA.

Dopo che per gratia di Dio habbiamo quanto della Arithme- tica de$iderauamo parlare, Hora con l'aiuto di quello intendiamo anchora di dichiarar quelle co$e che piu alla prattica di Geome- tria, ouero arte me$uratoria bi$ogneuoli parranno,e prima è da di chiarar cinque co$e,& di quante $pecie $ia cia$cheduna di quelle.

[136]

La prima è punto,& è quella co$a che non ha parte alcuna.

La $econda co$a è linea, & $ono di due $orti linee, la prim a $i chiama linea retta,& è quella che di$te$amente, ouero dirittamente giace tra i $uoi ponti, l'altra $i dice linea curua,& è quella che tor- tuo$amente procede,ne mai alcuna linea co$i curua, come retta ha linea retta. linea curua. in $e larghezza,o altezza, ma ha $olo lun- ghezza, e li termini $uoi $ono li ponti, & pero' Euclide di$$e la linea e$$er longitudi ne $enza larghezza.

La terza co$a $i dice $uper$icie, & è quel la che ha in $e $olamente larghezza,& lon- ghezza,& $ono le $uper$icie alle uolte $olo di linee rette,& alle uolte $olo di linee cur- ue,& anchora di linee rette,& curue me$colate, & $i uariano e$$e $uper$icie in molti modi.

$uperficie rette linee. $uper$icie curue linee. $uper$icie mi$te. _Cateta._ _Angulo retto._

La quarta co$a $i chiama angulo,& $ono anguli alle uolte di li- nee rette,& allhora $i chiamano anguli rettilinei, & anchora $ono anguli di linee curue,& quelli $i chiamano anguli curuilinei, & al tri $ono di linee rette,& curue me$colati,e tali $i chiamano anguli mi$ti, Sono li an guli rettilinei di tre $orti, il primo $i chiama angu lo retto,& allhora $era angulo retto, quando una linea retta $tara Ottu$o. Acuto. Curuilinei. Anguli mi$ti. $opra un'altra retta cau$ando due anguli infra loro eguali, perche [137] allhota cia$cheduno d'es$i $era retto,& la detta linea cadente $i chia ma catetta, ouero perpendiculare. La $econda $pecie $i dice an- gulo ottu$o,& è quello che è maggiore del retto.l.a terza & ulti- ma $pecie de i rettilinei $i chiama angulo acuto, & è quello che é piu aguzzo,ouero $tretto,ouero minor del retto.

La quinta & ultima co$a $i dice corpo, & è quello che ha lun- ghezza, larghezza, & altezza,& li termini di quelli $ono le $uper$i cie,& $ono li corpi d'in$inite $pecie,perche $i uariano $econdo la uarieta delle $uper$icie.

Contengon$i le $igure trilatere,ouero triangulari $otto tre lati, & le $igure quadrilatere $otto quattro lati,& le pentagonali $otto 5.anguli e lati,& le hexagonali $otto 6.lati,& le figure decagona- li $otto 7. lati,& le $igure multilatere $ono quelle che $i contengo- no $otto molti lati.

Sono li trianguli alle uolte di 3. lati eguali,& alle uolte di 2. la- ti eguali,& alle uolte anchora di tre lati ineguali,& di que$ti alcu- ni ne $ono ortogonii,& $on quelli che hanno uno angulo retto. Alcuni altri $ono oxigonii,& $on quelli che hanno lianguli acu- ti.Et alcuni altri $ono ampligonii,& $on quelli che hanno un'an- gulo ottu$o,e gli altri due acuti.

Ortogonio. Oxigonio. Ampligonio.

Delle figure quadrangulari $ono alcune quadrate, cioè di equa li anguli, elati, & alcune $olamente di equali anguli, ma non di equali lati,& quella che di tali $i troua $i chiama piu lunga nell'al- tra parte,& alcune $ono anchora rombe, o romboide, & alcune dette trapezie, il rombo è quello che ha tutti i lati equali, & in $e non contiene angulo retto,il romboide è quello che hai lati, & li [138] anguli oppo$iti equali,ma non è equilatero ne rettangulo. Le tra- pezie $on quelle che in oltre alle predette $i trouano.

Quadro. Tetragono longo. Rombo. Romboide. Circunferentid. Centro. Diametro.

Le linee parallele $on quelle che nel mede$imo Parallele. piano trouando$i,& menate in in$inito mai $i con- giungono.

Le linee ortogonalmente menate $ono quelle che $i muouono dal ponto cau$ante l'angulo retto.

Il circulo è una figura piana, nel mezzo della quale è un ponto dalquale tutte le linee menate alla circunferentia $ono equali, & detto ponto $i chiama centro del circulo.

Diametro del circulo è una linea che diuide il circulo in due equali parti.

MODO DI TROVAR LE RADICI QVADRATE.

DOuendo hor noi teoricamente dar principio a trouar l'area o quadratura de le $uper$icie e campi di terra $econdo che per Euclide $i dimo$tra,è nece$$ario mo$trar prima come $i trouir o le radici de numeri, $enza le quali non $i puo peruenire a la per$et tion di geometria. Onde s'io non mo$tra$$e la natura di quelle mi parrebbe hauer mal $odi$$atto allo intento mio,pertanto è da $ape re che trouar la radice non è altro che trouar d'alcuna quantita tal parte che multiplicata in $e mede$ima facci la detta quantita,come dicendo la radice di 16.è 4.perche multiplicato 4. in $e mede$imo fa il detto 16.& la radice di 25. è 5. perche multiplicato 5. in $e fa 25.& que$ti tai numeri de quali $i troua la radice,$i dicono quadra ti,ma della maggior parte de numeri non $i troua la radice in quan tita di$creta,& quelli $i dicono numeri $ordi,come di 2. di 3.di 5.& di 7. & d'altri infiniti numeri, onde uolendo appros$imar$i alla ra- [139] dice d'un numero che non $u$$e quadrato, come fu$$e che uole$$e- mo appros$imarci alla radice di 17. Dico che $i troui un numero che in $e multiplicato, la detta multiplicatione s'appres$i piu a 17. che pos$ibil $ia, ilquale num.è 4. & que$to multiplica in $e, & fara 16.ilqual trahe di 17.& re$tera 1.d'auanzo, ilquale auanzo $empre $i deue partir per lo doppio della radice trouata. parti$i per tanto 1. per lo doppio di 4.che è 8.& hauerai 4 {1/@} per la pros$ima radice di 17.

E perche molte uolte bi$ogna trouare la radice di qualche gran numero,è prima da $apere che d'una quantita di due figure d'Aba co la $ua radice $era d'una $igura & d'una quantita di 3. figure, la $ua radice $era di due figure,come per e$$empio la radice di 225.è 15. perche multiplicato 15. uíe 15. fa il detto 225.& d'una quanti ta di quattro figure la $ua radice $era ancora di due figure, & d'una quantita di cinque figure, la $ua radice $era di tre figure, & d'una quantita di $ei figure $era ancora la $ua radice di tre figure, & co$i continuando in infinito. Ma hauendo a trouar le dette radici, è di- bi$ogno cominciare a pontare dalla prima figura di man de$tra, & $eguitando uer$o man $ini$tra ad ogni due figure fare un ponto cioè la$$ando $empre in$ra le due pontate, una $enza ponto, & $e l'ultimo tuo ponto ueni$$e a puntare l'ultima figura di man de$tra, ouero la prima di man $ini$tra, allhora ti conuien trouare una quã tita che in $e multiplicata, la detta multiplicatione s'appres$i piu che pos$ibil $ia alla detta figura puntata,e perche $pe$$e uolte dal lato $ini$tro della figura che $i fa, l'ultimo punto ui rimane un'al- tra figura, anchora in que$to ca$o ti gouerna come s'è detto, cioè che tu troui una quantita che in $e multiplicata, la detta multipli- catione s'appres$i piu che $i puo a quel che rileueranno la figura rima$ta $enza punto con la ultima puntata, & $eguendo a gui$a di partire a danda come qui appre$$o ti mo$tro, hauerai l'inten- to tuo.

Hor $ia che haues$i a trouare la radice di 54756. Fa co$i, co- mincia a puntare il 6. prima figura di man de$tra, & uenendo uer- $o man $ini$tra $arai ad ogni due figure un punto come qui dal la- [140] to, & l'ultimo punto uerra $otto il 5. prima figura di man $ini- $tra, & d'e$$o 5. ti bi$ogna trouar la piu pros$ima $ua radice che e 2.il quale multiplica in $emede$imo,& fa- 5 4 7 5 6 [ 2 3 4 4 primo duplato 4 14 $econdo 56 12 27 9 185 184 16 16 auanzo o ra 4 ilqual $egna $otto il 5.come $e parti$$e a danda, & del detto 5. $ottra il 4. & re$tera 1. alquale darai dal lato de$tro il 4. figura $eguente del 547 56. & fara 14. hor ti bi$ogna trouare un numero che multiplica- to per lo doppio della radice trouata, cioè per lo dop- pio di 2. che è 4. la detta multiplicatione $i pos$i trar di 14.& di quel che auanza accompagnato col 7. del 547 56. $e ne pos$i trarre la multiplicatione del detto numero in $e mede$imo & non auanzi piu che il dop- pio della radice trouata, laquale radice $era 23. & pero' dirai, che quel numero $ia 3. ilqual multiplica uie il doppio di 2.cioè uie 24.& $ara 12. che tratto di 14. re$ta 2. & accõpagnato con il detto 2. il 7. del 547 56. fara 27.del qual trarrai la multiplicatione del 3. in $e che $a 9. & re$tera 18. co'l quale accompagnerai il 5. $eguente & $econda $igu ra di man de$tra del 547 56.& fara 185.& co$i ti bi$ogna trouare un numero che multiplicato per lo doppio della radice trouata, cioè per lo doppio di 23.cheè 46.la detta multiplicatione $i pos$i trarre di 185.& il rimanente compo$to con 6.$eguente figura del 547 56.$e ne pos$i trarre la multiplicatione del detto numero & non auanzi piu che il doppio della radice trouata, onde dirai, che il detto numero $ia 4.ilquale multiplica per lo doppio di 23.che è 46.& fara 184.& que$to trarrai di 185.& re$tera 1. col quale ac- compagna il 6.del 547 56.& fara 16.delquale trarrai la multipli- catione del 4.in $e che è pur 16.& non auanzera nulla. Per tanto $i puo giudicare il 54756.e$$er numero di$creto, & la $ua radice e$ $er 234.impercioche multiplicato 234. in $e mede$imo $a il detto numero,cioè 547 56.delquale s'è pre$a la radice.

Et hauendo a trouare la radice 32 1495. in prima farai un pun to $otto il 5.prima figura di man de$tra,& uenendotene uer$o man $ini$tra $acendo ad ogni due figure un punto come s'è detto,& co- me qui dal lato $i uede. e trouerai che l'ultimo punto uerra $otto [141] il 2. $econda figura di man $ini$tra del 321495. per ilche ti bi$ogna trouare la piu pros$ima radice di 32. che è 5. ilqual multiplica in in $e mede$imo & fara 25. & que$to trarrai di 32. & re$tera 7. il, quale accõpagna con 1. $eguente figura del 321495. & fara 71. hora ti bi$ogna trouare un numero che 321495 [567 {1/125} {25/71} 10. primo duplato 112. $ecundo {60/114} {36/789} {784/55} 49 auanzo. 6. multiplicato per lo doppio dela radice trouata, cioè per lo doppio di 5. che è 10 $i pos$i la detta multipli catione trarre di 71. & il rimanente compo$to con 4. $eguente figura del 321495. $e ne pos$i trarre la multiplicatione del detto numero, & non auanzi piu che il doppio della radice trouata, onde $eguen do come s'è detto ti uerra per la detta radice 567. & auanzera 6. che per e$$erci auanzo $i puo giudicare 321495. non e$$er numero di$creto, onde partirai il detto 6. per lo doppio della radice trouata, cioè per lo doppio di 567. che è 1134. ene uerra {6/1134} che $chi$ati $ono {1/183} ilquale accompagnato con 567. fa ra 567 {1/185} per la pros$ima radice di 321495. & co $i procederai hauendone a trouare dell'altre mag- giori & minori.

DEL QVADRARE IL TRIANGOLO ortogonio propo$ition prima.

PA$lando hora al quadrar le $uperficie rettelinee diremo eglié il triangulo ortogonio a.b.c. che per il catetto a.b.è 6. e per la ba$a b.c.è 8. Si dimanda la quantita a. c. Multiplica a.b. che è 6. in $e $te$$o e fara 36. Di- poi multiplica b. c. in $e $te$$o che fa 64. e a 6 c 8 b le dette due multiplicationi giogne in$ieme et faranno 100. hor dico che la radice di cento che è 10. $era la quantita a.c.e que$to $i proua per la penultima del primo d'Euclide, doue di ce che i quadrati de le due co$te d'ogni qua- drato rettangulo gionti in $ieme $ono equali al quadrato del $uo diametro.

[142] PROPOSITION SECONDA. a 10 b 8 c

EDicendo$i eglie il triangolo ortogonio a. b. c. che per la piu longa linea a. c. è 10. e per la ba$a b.c.è 8. $i domanda il catetto a.b. in que$ta e nelle $imili procede- rai co$i multiplica il maggior lato in $e $te$$o che 10. e fara 100. Dipoi multiplica b.c. ba$a in $e $te$$o e fara 64. ilqual trae di 100. & re$tera 36. del qual la radice e.6. etanto è la catetta a.b.

PROPOSITION TERZA.

NEI mede$imo modo $i deue procedere hauendo noto a.b. & a.c. uolendo trouar b.c. pero che traendo il quadrato di 6. a.b. che è 36. del quadrato di 10. a.c. che è 100. re$ta 64. per il qua drato di b.c. del quale la radice è 8. e tanto è la linea b.c. come s'è detto.

PROPOSITION QVARTA. a 6 c 8 b

ESe del mede$imo triangolo ortogonio $i uorra $aper la $ua quadratura multi pli- chi$i la meta di 6. catetto a.b. che è 3. uie tutta la ba$a b.c. che è 8. e fara 24. per la $ua area o quadratura, o uero $i multiplichi la meta dela ba$a b.c. che è 4. uie tutto il catetto a.b. che è 6. & fara pur 24. che tutto è il mede$imo.

PROPOSITION QVINTA. a 22 12 b 6 d 6 c

EGliè il triangolo equilatero che per ogni $uo lato è 12. domanda$i quanto $era la $ua catet- ta, facil co$a è a $oluer tal propo$ta pero che gliè chiaro che la catetta diuide il detto triãgulo in due trianguli ortogoni equali intra loro, pero che la ca- tetta a. d. diuide la ba$a b.c. in due equali parti onde [143] b.d. e 6. & co$i ancor d. c. e 6. hora $i uede che cia$cuno dei due trianguli ortogonii e per il maggior lato 12. & per il minore 6. che uolendo la quadratura d'un d'es$i proceda$i come s'è mo$tro ne la pa$$ata propo$itione e giunga$i in$ieme le due lor quadratu- re & haueras$i l'area di tutto il detto triangulo.

PROPOSITION SESTA.

ET e$$endo il triangulo equiclario a.b.c. che i due $uoi lati op- po$iti da le bande fu$$ero equali & ogni un d'es$i fu$$e 12. & la $ua ba$a b.c. fu$$e 10. & uole$$emo $aper la $ua, ca a 12 12 b 5 d 5 c tetta a. d. Que$ta è qua$i $imile a la pa$$ata, onde multiplica la meta de la ba$a che è 5. in $e $te$$o e fara 25. & que$to quadrato trallo del quadrato dal lato a. b. ouero del' quadrato dal lato a.c. che è 144. & re$tera 119. e la radice di 119. $era la catet ta o perpendiculare a.d. uolendo la quadratura di tal triangulo multiplica radice 119. per la meta de la $ua ba$a che è 5. recando 5. a radice multiplican- dolo in $e $te$$o che fa 25. ilqual multiplica per radice 119. & fara 2975. & la radice di 2975. $era la $uperficie quadrata di detto triangulo.

PROPOSITION SETTIMA.

ESe fu$$e il triangulo diuer$ilatero a.b.c. del quale il lato a.b. fu$$e 12. & il lato a.c. 16. e la $ua ba$a b.c. 14. a 12 16 b 1 4 c & uole$$emo $aper la quantita de la catetta e la qua- drata $ua $uper ficie, onde prima per la $ua perpen- diculare o catetta è nece$$ario $aper in che parte quella ca$chi de la ba$e b. c. che in tal ca$o bi$ogna trarre il quadrato de la linea a.c. cioè la multiplica- tion di 16. in $e $te$$o del congionto de i duo qua- drati a. b. & b. c. & lo auanzo diui$o per il doppio di b. c. cioè per 28. lo auuenimento $era b. d. onde multiplica 12. in $e $te$$o fara 144. & anco multiplica 14. in $e $te$$o fara 196. ilqual [144] aggiogne con 144. fara 340. del quale comeè detto $e ne ha da trarre il lato a.c. che è 256. ere$tera 84. che partito per il doppio de la ba$a b. c. ne uerra 3. e tanto $era b.d. & d. c. re$tera 11. Poteua- $i anco trarre il quadrato a. b. del congionto dei duo quadrati b. c. & a.c. & lo auanzo partir per il doppio de la ba$a b. c. & ne uer- rebbe 11. per la quantita de la linea d.c. Hauendo hor trouato la quantita d.c.e la quantita b.d.e facil co$a come ne la no$tra $econ- da propo$ition s'è mo$tro il trouar la quantita de la perpendicula- re a.d. pero che traendoil quadrato ouero multiplicatione d.c. in $e $te$$o che è 121. del quadrato di 16. a.c. in $e $te$$o che è 256. re- $tera 135. e la radice di 135. $era la catetta a.d. il mede$imo ne uer rebbe per tal catetto trahendo il quadrato b.d. che è 9. del quadra- to a.b. che è 144. pero che ne re$tera pur 135. come s'è detto e uo lendo il quadrato de la $uperficie di tal triangulo proceda$i come- ne la no$tra prima propo$ition $i di$$e.

DE LA QVADRATVRA DEL triangulo, propo$ition ottaua.

EVolendo la quadratura di tal triangulo o d'altri $imili $en- za inue$tigar la catetta $ommin$i tutti e tre i lati di tal trian- gulo cioè 12. 14. 16. fara 42. del qual $i pigli la meta che è 21. Di- poi $i pigli la differenza che è da tal meta a cia$cun deitre lati del triangulo cioè quel che è da 21. e 12. che ui corre 9. e quel che è da 21. a 14. che ui è 7. e quel che è da 21. a 16. che ui è 5. hor mul- tiplichin$i que$te tre differenze in$ieme cioè 7. uie 9. fa 63. e 5. uia 63. fa 315. e que$to $i multiplichi per 21. & fara 66 15. & la radice di 66 15. che è 81 {1/3} in circa e la $uperficie quadra d'e$$o triangulo de quai trian guli $ia in que$to luogo detto a ba$tanza.

PROPOSITIONE NONA. a b c d

EGliè il quadrato perfetto rettangulo a.b.c.d. che per cia$cuna $ua faccia è 30. $i domanda quanto $era la $ua area o quadratura. E' da $aper che l'area di tutti i quadri perfetti s'hauera $empre [145] multiplicando uno de $uoi lati in $e mede$imo onde multiplica 30. uie 30. fara 900. e tanto è la $ua area.

PROPOSITION DECIMA.

ESe del mede$imo quadrato a.b.c.d. che è 30. a b c d per ogni $uo lato uole$$emo trouar la $ua dia- gonale che co$i $i chiama la linea a.d. multiplichifi pur un de $uoi lati in $e $te$$o cioè 30. uie 30. fara 900. ilquale $i dupli che fara 1800. e la radice di 1800. $era la detta linea diagonale.

PROPOSITION XI.

ET e$$endo il tetragono rettangulo a.b.c.d. come in margi- ne $i uede che per la $ua longhezza e 56. e a 56 b 25 25 c 56 d per la larghezza è 25. Dico che uolendo di que$to e d'altri $imili la $ua quadratura $i mul- tiplichi la longhezza per la larghezza, onde mul- tiplica 56. uie 25. fara 1400. e tanto $era la $ua a- rea o $uperficial quadratura.

PROPOSITION XII.

ET uolendo $apere quanto $ia la diagonale ouero linea a.d. del detto tetragono longo che per la longhezza e a d 56. e per la larghezza è 25. multiplichi$i 56. longhezza in $e $te$$o fara 3136. E co$i ancora $i multiplichi 25. lar- ghezza in $e $te$io, fara 625. ilquale s'aggiunga con 3136. & fara 3761. e la radice di 3761. $erala detta diagonale.

PROPOSITION XIII.

DElo E$agono equilatero $i puo anco hauer la $ua area o quadratura e $ia che $u$$e lo e$agono ouero figura di $ei lati [146] equali che per cia$cuna $ua faccia fu$$e braccia 16. enoi uole$$emo trouar la $ua area dico che tal figura $e ben $i con$ide- ra $ono $ei trianguli equilateri che ogn'un d'es$i è per cia$cun $uo lato braccia 16. pero che e$$endo l'a- pertura del compa$$o la $e$ta parte di tutto il circulo che crea pero che andando con la mede$ima apertu- ra in torno a la $ua circunferenza compa$$ando e $e- gnando ad ogni apertura il $uo punto $i trouera la $ua circunferenza e$$er $ei aperture di compa$$o giu- $te e però il compa$$o è bene il chiamarlo $e$to per e$$ere la $ua apertura il $e$to de la circunferenza che crea, onde ne $eguita come s'è detto che il detto e$ago- no equilatero $ieno $ei trianguli equilateri che cia$cuno d'es$i trian guli e per cia$cuno de $uoi lati braccia 16. per e$$er la mede$ima di $tantia dal centro del circulo a la $ua circunferentia e anguli de lo e$agono che è da angulo & angulo di tale e$agono del quale uo- lendo l'area o quadratura uegga$i prima quanto $ia l'area d'uno de i detti $ei trianguli procedendo come ne la quarta propo$ition di que$to s'è mo$tro e trouerai e$$er la quadratura d'un triangolo radice 12288. adunque i $ei trianguli cioè tutto lo e$agono $era $ei uolte tanto, doue riduce 6. aradice che fa 36. & multiplica uia radice 12288. & uerranne radice 110592. etanto è l'area o qua- dratura del detto e$agono.

PROPOSITION XIIII.

SOno alcuni che per la poca loro accortezza ui$to che dello e$a gono equilatero $i puo trouar l'area o quadratura, pen$ano che del pentagono equilatero, Del eptagono e co$i dell'altre figure di piu lati equilatere $i po$$a anco trouar la loro quadratura, dicendo che co$i come lo e$agono è compo$to di $ei triangoli equilateri Error d'al cuni. che ancora il pentagono equilatero è compo$to di cinque triangu li equilateri, e lo eptagono ouer figura di $ette lati equali è compo- $to di $ette trianguli equilateri & co$i dicano dellaltre figure di piu lati equilatere non auuertendo che tal co$a non ca$ca $e non nello e$agono pero che uolendo cau$ar le figure latere perfette e nece$$a [147] rio qua$i tutte trouarle $opra il circulo, di che tratteremo larga- m\~ete nela no$tra opera d'architettura, ma ritornãdo al no$tro inten to dico che $olo la mede$ima a pertura che cau$a il $uo circulo cau- $a ancor $opra quello lo e$agono perfetto per e$$er la circunferen- tia $ei aperture di compa$$o onde tanta di$tantia è dal centro del circulo a la circunferentia e cia$cuno angulo de lo esagono quanto è cia$cun lato di quello, ilche non auuiene in altra figura peroche dal centro del circulo $ino all'angulo del pentagono equilatero è meno che non è un de $uoi lati. Il contrario auuiene ne le figure che $on di piu lati dello e$agono pero che di quelle $on minori i lati di fuore che quelli di dentro che $i referi$cano al centro e pero que$te $imili è nece$$ario oltre hauer noti i lor lati intorno, hauer noto ancora un de i lati che $i muouono da la circunferenria e uan no al centro che co$i s'haueranno noti tutti di che $era dipoi facile a trouar la loro quadratura.

DE LA QVADRATVRA DEL CIRCVLO è come quella non $i puo trouar perfettamente, Propo$ition XV.

SEguendo appre$$o il modo dello appro$imar$i a l'area o qua- dratura de le $uperficie e corpi circulari pero che di quelle non $i puo trouar perfettamente la loro quadratura per non e$$er comparata la linea curua a la linea retta e pero Euclide capo e pr\~e cipe de matematici non ne uol$e parlare come quello che di tutte le $ue dimo$trationi uoleua poter addurre la uera proua de la per- fetta loro $olutione, ma cono$ciuto da Archimede non $i poter far $enza l'appros$imamento di tal quadratura del circulo fu il primo che troua$$e il uero modo di tale appros$imamento il qual modo e da gl'antichi e da i moderni è $tato $ino ade$$o o$$eruato ilquale per uarii e diuer$i e$empi dimo$traremo. onde dire mo egliè il circulo che il $uo diametro è 16. $i domanda la $ua area ouero quadratura, fa co$i multiplica 16. diame- tro in $e & fara 256. del quale piglia li {11/14} multiplicando il detto 16. per 11. & quel che fa partendo per 14. & uer- ranne 201 {1/7} e tante tauole e canne o braccia quadre $era [148] l'area del detto circulo $econdo con qual mi$ura $i fu$$e il $uo dia- metro mi$urato.

PROPOSITION XVI.

EDicendo$i egliè il circulo che il $uo diametro è 15. $i domanda la quantita de la $ua circunfer\~etia, fa co $i multiplica il diametro che è 15. uie 22. fara 330. ilqual parti per 7. & uerranne 47 {1/7} e tanto uiene a girare il det- to circulo. E $e per uia de la circunferentia uorrai trouar la quantita del diametro multiplica la circunferentia che in que$ta è 46 {1/7} per 7. & quel che fa parte per 22. & uer- ranne pur 15. come di $o pra s'è detto che fu il diametro onde la $olutione dell'una propo$ta uiene a e$$er proua dell'altra ilche in tutte l'altre $imili ti $ia guida enorma.

PROPOSITION XVII. a c g d b

EDicendo$i egliè una parte di cerchio che la cor da $ua c.d.è 16. & la $aetta a.g. è 4. $i dimanda la quantita di tutto il diametro del circulo a.b. Dico che per $egare la $aetta a.g. la corda c.d. equalmente ne $egue che c.g.è 8. et il mede$imo uien a e$$er g.d. che multiplicate que$te due parti di corda in$ieme cioe 8. uie 8. che fa 64. ilquale $i debbe diuidere p a.g. che è 4. ene uerra 16. per la quantita de le parte maggiore del diametro g.b. dunque tutto a.b. che è lo integro diametro di tutto il circulo uiene a e$$er 20. per quel che per il piu breue modo de$iderauamo $apere.

PROPOSITION XVIII.

ESe ti fu$$e detto egliè il triangulo che per cia$cuna fac cia è braccia 15. $i domanda quanto $era il diametro del tondo che lo cir cunda, fa co$i multiplica 15. in $e e fara 225. ilqual parti per tre & uerranne 75. e que$to $omma con 225. & fara 300. & la radice di 300. conuiene e$$ere il diame tro d'e$$o circulo.

[149] PROPOSITION XIX.

ESe fu$$e il triangolo diuer$ilatero che per un la 15 17 18 to fu$$e 15. e per l'altro 17. e per l'altro 18. & uoles$i $aper quanto $aria il diametro del maggior cir culo che dentro capir ui po$$a, dico che troui prima la $uperficie quadra del triangulo e trouata che $ia $i parti per la meta di quel che fa a $ommar tutti e tre i lati del triangulo & l'auuenimento del detto partire $era il dia- metro del circulo.

PROPOSITIONE XX.

EDicendo$i egliè il triangulo equilatero che per cia$cun $uo lato e braccia 12. $i dimanda quanto $arebbe per faccia il maggior quadro che dentro capir ui po$$a. Dico che debbi prima triplare un de i lati di tal triangulo che è 12. & $ara 36. e que$to quadra multiplicandolo in $e $te$$o e fara 1296. del quale piglia il {1/13} che è 432. e que$to aggiugne a 1296. & fara 1728@. & la $ua radi ce meno il triplato di 12. che fu 36. conuiene e$$er per ogni lato il detto quadro.

PROPOSITIONE XXI.

ET e$$endo il circulo che il $uo diametro fu$$e 12. & uo- les$i $aper quanto $arebbe per faccia il maggior qua- dro che dentro capir ui pote$$e debbi in que$to quadrar 12. diametro del circulo & fara 144. e di que$to pigliare la me- ta che è 72. & la radice di 72. $era per ogni, lato detto qua- dro, e quel che è detto ba$ti quanto a $imil modo di procede re, $eguita hora il mi$urar le co$e corporee.

DEL VERO E PRATICO MODO DEL MI@ $urar la terra, Propo$ition XXII.

HAuendo $ino ade$$o mo$tro il modo di quadrare le $uper- [150] ficie teoricamente è nece$$ario hor mo$trare come $i mi$uri la ter- ra praticamente non piu mo$tro $ino ade$$o da ne$$uno altro, e per che raro o non mai $i trouano campi che $ieno quadri perfetti, ne che habbino tutti i loro anguli retti ne io di quanti ne habbia mai mi$urati non ne ho gia mai trouato ne$$uno quadro perfetto, & ra ro, o non mai $i trouano ancora tetragoni che habbino tutti e quat tro li anguli retti, pero uoglio mo$trar come $i debbi in quelli & in tutti gli altri di piu è meno anguli procedere per il piu pratico Mi$ure di Tofcana. pre$to e meglior modo che tener $i po$$a. E prima è da $aper che per il dominio di Siena, Fiorenza, e di qua$i tutta To$cana $i mi$u- rano i terreni o con la canna, o con la tauola, ma il piu de le uolte con la tauola, pero che quanto la co$a con che $i mi$ura è piu lon- ga tanto piu ci rende la uerita, la canna è una mi$ura di quattro braccia e la tauola è una mi$ura di $ei braccia, note ambe due que- $te mi$ure a molte per$one, & in que$ti due luoghi di Tofcana $i compra, & $i uende la terra a tanto lo $taio, & uno $taio ha da e$$er di quadro perfetto per ogni uer$o braccia 60. o canne 15. ouero tauole dieci che tutto importa il mede$imo, peroche multiplicate braccia 60. in $e $te$$o fanno braccia 3600. che tanto è uno $taio di terra riquadrato, & co$i ancora a multiplicare canne 15. che $ono braccia 60. in $e $te$$o fanno pur 3600, e $imilmente a multiplica- re tauole dieci uno de i detti lati del quadro in $e $te$$o che $ono ancora braccia 60. fanno pur 3600. braccia e que$to faceua a propo$ito mo$trare.

Del mi$urar di prattica, propo$ition XXIII. a b d 4 c 5

DAndo hor principio a la figura triangulare, diremo che $ia un campo di terra triangula- re non rettangulo come in margine $i uede del quale uoIendo pratticamente la $ua quadratura ti- ri$i prima la corda $opra la $ua ba$a e $opra tal filo o corda $i uadi mi$urando con la tauola o canna, & diciamo che la ba$a b.d. di que$to triangulo $ia tauole 45. hor non mouendo la corda uadi$i con la tauola in tal parte d'e$$a che iui facci uera croce e [151] cau$i$i li anguli retti, & la punta de la tauola o canna batta nel $upe riore angulo $egnato a. & in talluogo de la ba$a $i cominci a mi$u rare, & $i uada uer$o l'angulo a. adochiando come $e s'hau e$$e a trar con l'archibu$o accio che la punta della mi$ura batta $empre alla drittura del $uperiore angulo $egnato a. & in tal modo $i mi- $uri tutta la linea a. c. laquale $i chiama catetta ouero per pendicula re, & diciamo che qui $iã tauole 32. & uolendo la quadratura del detto triangulo, multiplichi$i la meta del catetto a b d c uie tutta la ba$a, ouero la meta della ba$a uie tutto il catetto, & ne uerra tauole 720. che a tauole 100. per $taio uiene a e$$ete il detto campo triangulare $taia 7 {1/5}. E tale ordine è da tenere in tutti i triangu li co$i diuer$i lateri come equilateri, & auuenga che da alcuni $ia detta catetta cau$ata con la $quadra e ti rata con la corda, iquali uãno dipoi $opra e$$a mi$u rando con la tauola o canna, nondimeno per e$$er modo lungo e da per$one poco prattiche, non mi par da u$are, $e cio gia non $i face$se per compiacere a chi fe$$e mi$urare.

DEL MISVRAR LA TERRA PRATTICA- mente, propo$itione XXIIII.

EDicendo$i, egliè un campo di terra di quattro lati, & è a gui $a di rombo, ilquale in $e non contiene alcuno angulo retto, dico che co$i in tutte l'altre figure b a 84 26 e f c d di quattro, o di piu lati come in que$ta, & nella pa$sata, che uolen- do pratticamente la $ua quadratu- ra, $i tiri $empre il filo da quelli an guli che $ieno l'un dall'altro piu lõ tani, e tal filonõ $olam\~eteuiene a e$ $er guida della ba$a di tutti i trian guli, ma per quello $i uiene anco a cau$ar meglio le ca- tette, ilqual filo, o ba$a in que$ta uiene a e$$er a.c.e diuide la detta fi gura in due trianguli, dei quali l'uno uiene a e$$ere a.b.c. & l'altro a.d.c. de iquali hora è dibi$ogno trouar le catette, e comincin$ia [152] mi$urar dette catette $opra il $ilo in tal parte della ba$a che iui uen ga a far uera croce, & andando mi$urando uer$o il $uperior angu- lo di cia$cun triangulo, de iquali in que$ta l'uno è b. & l'altro d. & adocchiando $i uegga $empre batter la ponta della tauola, o canna nel mezzo delli anguli detti. Hor come ho detto que$to campo è diui$o in due trianguli, e di cia$cuno è ba$a la lin ea a.c. che è 84. & dell'uno la catetta è 26. & dell'altro è 30. e cia$cuno dei due detti trianguli ampligoni è diui$o in due trianguli ortogonirettanguli, onde uolendo la quadratura del detto rombo, $umma a mbedue le catette in$ieme, cioè 30. con 26. & faranno 56. del qual piglia la meta che è 28. & multiplica per 84. ba$a, & fara tauole 2352. Po- trebbe$i anco dire la meta di 26. catetta è 13. ilqual multiplichi$i uie 84. ba$a, & fara 1092. per le tauole quadre del triangulo di $o- pra. E dipoi multiplichi$i la meta di 30. catetta dell'altro triangulo che 15. uie 84. ba$a, & fara 1260. per le tauole quadre di quel di $otto, lequali aggiugni con 1092. tauole quadre che fu l'altro triã- gulo, & fara tauole 2352. come di $opra, che a tauole 100. quadre per $taio $era il detto campo $taia 23. e tauole 52. & il mede$imo ne uerrebbe multiplicando tutte le catette uia la meta della ba$a.

DEL MISVRAR DI PRATTICA, propo$itione XXV.

ESe fu$$e un campo di terra in foggia di romboide o trape- zia a.b.c.d. come qui dal lato $i uede, & uole$$emo prattica- b a d f c mente riguardarlo è da con$iderar che in que$te $imili bi$ogna di$tendere il filo dal- langulo d. all'angulo a. & una delle due ca tette è nece$$ario pigliarla in tal luogo de la ba$a del triangulo a.c.d. che iui uenga a far ue ra croce ouero anguli retti, tal che la punta de la tauola batta nell'angulo a. & co$i $i cau $i la catetta a.f. & l'altra catetta ca$chera dal ponto b. in $u la ba$a a.d. Hora in que$ta è dibi$ogno mi$urar il la to ouero ba$a c.d.e multiplicar la meta di quella uie tutta la catet- ta a.f. ouero la meta di tal catetta uie tutto c.d. E co$i ancora multi- [153] plicar tutta la catetta b. uie la meta de la ba$a a.d. ouero tutta la det ta ba$a uia la meta de la catetta b. e le dette due multiplicationi $umare in$ieme e tal $omma $era l'area o quadratura di tal campo.

DEL MISVRAR DI PRATTICA, propo$itione XXVI.

ESe fu$$e un campo di terra pentagonale di lati non equali, come qui da bãda, e noi uoles$imo $aper quãto gliè quadro, dico che $i tiri con il filo la linea a.c. & la li b a 20 c 28h 386 12 14 d e nea a.e. Hora è da cõ$iderar che il filo della linea a.c. $era guida alla mi$ura della ba$a di duo triãguli, de iquali l'uno $era a.b.c. & l'altro a.c.e. & $opra e$$a ba$a a.c. $i tiri le ca tette d'es$i duo trianguli dellequali l'una $e ra b.g. & l'altra ca$chera dal pũto e. in $u la ba$a a.c. ma il filo a.e. $era guida a la mi$ura della ba$a del triangulo a.d.e. et $opra detta ba$a a.e. $i cau$i $ecõdo i no$tri amae$tram\~e ti la cateta d.h. & co$i $i $erã fatte tutte le mi $ure del detto p\~etagono ilquale uolendo hor quadrare $umma la catetta del triãgulo a.b.c. che è 20. tauole cõ la catetta del triãgulo a.c.e. che è 14. & fara 34. del qual piglia la meta che è 17. & multi plicalo uie la ba$a a.c. che è 36. tauole, & fara 612. Dipoi multipli- ca la meta della catetta d.h. che è tauole 6. uie la ba$a a.e. che è 28. & fara 168. per la quadratura del triangulo a.d.e. ilquale aggiu- gni con 612. tauole quadratura delli altri due trianguli, & fara 780. tauole quadre, e tanto $era tutto il detto campo, che a tauole 100. quadre per $taio uiene a e$$er $taia 7 {4/5}. Et il mede$imo ci $a- rebbe uenuto $e haues$imo multiplicato tutte le catette uie la me- ta delle lor ba$e.

DEL MISVRAR DI PRATTICA, propo$itione XXVII.

EPerche gli auuiene alle uolte che in un campo che $i mi$ura [154] ui uiene a entrare da qualche lato qualche uicino. onde $e non $era molta la terra che del uicino in tal campo $i uiene come qui dal la- to a interchiudere, $i debbe ancho il detto lato mi$urar drittamen- te come li altri, & co$i quel lato doue s'interchiude$$e la ca$a del 18 a b 19 NICI f CASA e 40 20 T c 5 d podere. Hor $ia che fu$$e un campo di terra come qui dal lato $egnato a.b.c.d di quattro faccia non equali, & non contenenti in $e alcuno angulo retto, ilquale uolendo $econdo le regole no- $tre mi$urare, tiri$i con il filo, o corda la linea c.b. laquale uiene a diuidere il campo in due trianguli, e d'ambidui tal linea b.c. uiene a e$$er ba$a. laquale qui la $acciamo 40. tauole, & $opra e$$a $i tiri la catetta a.e. che è 19. & la catetta d.f. che la fo 20. & cio fatto $i multipli chi la meta delle catette uie tutta la ba$a, ouero tutte le La ca$a $i pre$uppo ne la parte ombrata. catette uie la meta della ba$a che in tutti i modi ne uerra 760. e tante tauole quadre $arebbe detto campo quando in e$$o non ui s'interchiude$$e ne la terra del uicino ne la ca$a, ma per e$lerui il ui cino con un triangulo rettangulo che la ba$a è 18. e la catetta è 4. multiplichi$i la meta di 4. catetta che è 2. uie 18. ba$a, & fara 36. per la quadratura della terra del uicino. Dipoi per e$$er la ca$a lun ga tauole 5. & larga 2. multiplichi$i 2. uie 5. che fara 10. per la qua dratura della ca$a, laquale s'aggiunga con 36. quadratura del terre no del uicino, e fara 46. ilqual $i debbe trarre di 760. quadratura di tutto il campo, & re$tera 714. e tante tauole quadre $era il det- to campo che uiene a e$$ere $taia 7. e tauole 14. & co$i $i debbe $em pre nelle $imili procedere.

DEL MISVRAR DI PRATTICA, propo$itione XXVIII.

ACca$ca alle uolte che da qualche lato uiene hauere il cam- po tanti anguli che a quelli che non fu$$ero ben prattichi parrebbe che tal banda ueni$$e a circulare, & anchora puo accade- re che qualche lato del campo per cau$a di qualche fo$$o anda$$e [155] molto tortuo$o, debbe per tanto il giudicio$o Agrimen$ore, co$i per l'una, come per l'altra cagione, ben pen$atamente procedere. Hor $ia che haue$$emo a mi$u- h i a g n m b k f p d rare un campo, come qui da la to. Dico che prima $i tiri, come s'è detto, il filo da quelli anguli che $ra di loro $ono piu lonta- ni che in que$to tal filo, o cor- da, $i tirera quattro uolte, cioè dal. a. h. & dal a.b. & dal a.g. & dal a.h. & la corda tirata dal a.d. $era guida della ba$a de i doi maggiori triãguli, de iqua li l'uno uiene a e$$ere a.b.d. & l'altro a.c.d. & d'ambidui le catette caderanno nella ba$a. a.d. & la corda a.b. $era guida della ba$a del triangulo a.g.b. del quale la ca- tetta $era g.k. & la corda a.g. $era guida della ba$a del triangulo a.h.g. del quale la catetta $era h.n. & la corda a. h. $era guida della ba$a del triangulo a.i.h. & d'e$$o la catetta $era i.m. & co$i habbia- mo perfettamente mi$urato il detto campo, del quale $apendo la quantita delle tauole delle ba$e, & delle catette, $era facile per uia delle regole gia date, hauer la $ua quadratura, ilche non s'è fatto per non occupar tanto la detta figura. E $e ci fu$$e tortuo$ita, di- co che non e$$endo molte ne di non troppa grandezza, che anco- ra $i debbe tirar dritta, & in tal modo la corda, che tanto $i uenga a torre, come a dare al detto campo.

DEL MISVRAR DEIBOSCHI, propo$itione XXIX.

SVccede molte uolte il mi$urar de i bo$chi, dentro a iquali per la loro foltezza non ui $i puo ne di$tender filo ne maneg- giarui la canna o tauola per mi$urarli, onde tutto quel che $i $ace$- $e fuor de la no$tra dimo$tratione $i faria a ca$o ne $i potrebbe a gran pezo acco$tar$i a la lor uera $uperficial quadratura a la quale [156] tanto meno $i acco$tarebbe quanto maggiore e di piu $trana figu- ra fu$$e il bo$co. Hor $ia che fu$$e un bo$co come la figura om- brata qui da lato de la quale non metto mi$ura alcuna perche ba$ta intendere il modo del procedere, e $eguendo l'ordi- ne no$tro gia dato $i trouera, e di que$to e di tutti gl'altri la loro area. Dico dun- que che co$i in ogn'altro come in que$to $i tiri fuor del bo$co a co$to a quello piu che $ia pos$ibile un quadro perfetto, o un tetragono rettangulo con la $quadra au- uertendo con ogni diligentia che tutti e quattro gl'anguli $ieno giu$tamente retti, Dipoi troui$i l'area del detto quadro o tetragono e di tal area o quadratura $e ne caui il congionto de le quadrature di tutte quel- le parti del quadro o tetragono che re$tano fuor del bo$co che ne la no$tra figura $on cinq; riducendo cia$cuna parte per uia de le ca tette in trianguli ortogonii come p le pa$$ate no$tre regole s'è mo $tro, e co$i s'hauera l'area o $uperficial quadratura di cia$cun bo$co non e$$endo pero congionti con altre bo$caglie. S'io uole$$e mo- $trare $olo una parte delli e$fetti che dalli anguli elati de le $uperfi cie $i ueggono fare me n'anderei qua$i in infinito. ma a quelle per- $one che haaanno il no$tro proceder ben compre$o non $era dif- ficil di tutti gl'altri campi per $trani che $ieno hauer la perfetta lor quadratura. Pa$$ando hora a le co$e corporee.

DEL QVADRAR LE COSE CORPOREE, propo$ition XXX.

HAuendo $ino a qui mo$tro il modo di quadrar le $uperfi- cie e intorno a quelle parlato quanto a la teorica, e la pratti ca $ia piu nece$$ario, mo$traremo hora il modo di quadrar le figu- re corporee, come colonne, piramide, muraglie, & inue$tigar la te- nuta de le tina, botti, fornaci, fo$$e da grano, & altre co$e di tal na- tura con quella piu breuita, e retto modo che le poche forze no- $tre $i di$tenderanno. E prima è da $apere che in Siena, Fiorenza, [157] e per la maggior parte di To$cana un braccio corporeo riquadra Me$ure di To$cana. to tiene $taia undeci di uino, e co$i $taia 11. di grano e $imilmente $taia undeci d'oglio, co$i delli altri biadumi e alimenti che $i rado- no, ma di calcina di ge$$o e d'altre co$e gro$$e o di poca ualuta che $i mi$urano a $taia colme s'e' co$tumato anticamente, e co$i s'u$a an cora, che di tali ne uada $olo $taia 10. per braccio quadro corpo- reo, lo $taio $i diuide in quattro quarti, & il quarto $i diuide in quattro boccali, e $taia 24. fanno un moggio.

DEL QVADRAR LE COLONNE TRIAN- gulari, propo$ition XXXI.

NEl riquadrar i corpi cominciaremo prima a li angular dic\~e- do, egliè una colonna triangulare che per cia$cuna delle tre faccie è braccia 4. e l'altezza $ua è 36. $i domanda la $ua corporal quadratura. Fa co$i troua prima l'area del triangulo equilatero che per ogni faccia $ia 4. che operando come nella ottaua propo$ition di que$to s'è mo$tro, trouerai e$$er radice 48. quale multiplica uie 36. altezza d'e$$a colonna riducendo prima 36. a radice & hauerai radice 62208. per la corporal quadratura di detta colonna.

DEL QVADRAR LE COLONNE QVA- drangulari, propo$ition XXXII.

EDicendo$i egliè una colonna quadrangula rettangula, che per cia$cuna de le quattro faccie è braccia 3. e l'altezza è 28. fi domanda la $ua corporal quadratura, fa co$i, troua prima la $uperfi cie del quadro di braccia 3. per ogni uer$o multiplicando 3. in $e; fara 9. e que$to multiplica per 28. che s'è detto che è alta la colon- na, e fara 252. e tante braccia quadre corporee $era tal colonna.

DEL QVADRAR LE PIR AMIDE QVA. drangulari, propo$ition XXXIII.

ESe ti fu$$e detto egliè una piramide acuta quadrangulare, che la larghezza de la ba$a di cia$cuna delle $ue quattro fac- [158] cie è braccia 3. e l'altezza $ua è braccia 18. Dimanda$i la $ua corpo ral quadratura: procederai come s'è mo$tro & uerranne pur brac- cia 252. come di $opra, ma perche ogni piramide è la terza parte de la $ua colonna, quando detta colonna $ia egualmente gro$$a, pi- glierai dunque il terzo di braccia 252. cubica quadratura d'e$$a co lonna & uerranne 84. e tante braccia quadre corporee $era la $ua capacita.

DEL RIQ VADRAR I VASI QVADRAN- gulari, propo$ition XXXIIII.

EDicendo$i egliè una ca$$a o altro ua$o quadrangulare che il uano $uo è longo braccia 4. & largo braccia 3. & alto brac- cia 2. Domanda$i quanto grano ui capira dentro per $olution di que$ta multiplicherai 3. largheza uie 4. lungheza & fara 12. ilqual multiplica per 2. altezza & fara 24. e tante braccia quadre cube $e- ra il uano di detta ca$$a che per tegnir ogni braccio quadro $taia 11. di grano multiplica 11. uie 24. & fara $taia 264. che uolen- dole ridurre a moggia partile per 24. e uerranne moggia 11. a punto.

DEL RIQVADRAR LE MVRAGLIE, propo$ition XXXV.

IL mede$imo modo è da o$$eruar nel riquadrar le muraglie ret- te linee che s'alloga$$ero a fare ai muratori a canne quadre corporee. Hor diciamo che un muratore haue$$e fatto un muro che fu$$e longo braccia 20. largo braccia 12. e gro$$o braccia 1 {1/2} e uole$ $emo $aper quante canne quadre corporee fu$$e tal muro, dico che multiplichi 12. largheza uia 20. lõgheza & fara 240. il qual multi- plica per 1 {1/2} gro$$ezza e fara braccia 360. quadre corporee che per e$$er ogni canna quadra braccia 16. $aria tal muro canne 22. e brac cia 8. e que$ta $erui per regula generale nel riquadrar qual $i uo- glia altre muraglie rettelinee.

[159] ALTRO MODO DI RIQVADRAR MVRA@ glie palchi, $cialbi, palchi e legnami, propo$ition XXXVI.

CO$tuma$i in Siena, Fiorenza, e per tutta To$cana il piu de le uolte anzi qua$i $empre patuir co i muratori a tanto la can- na di quella gro$$ezza che piace che $ia il muro a chi fa edificare, e di poi $i riquadra tal muraglia $uperficialmente come i campi di terra, multiplicando $olo la longhezza uie la larghezza del muro e co$i ancora $uper ficialmente $i mi$urano i palchi, i tetti, gli $cial- bi, & i legnami, iquali $i pagono a tanto la canna $uperficialmente riquadrata, e la canna non $olo in Siena, e Fiorenza, ma per tutta To$cana, e molti altri luoghi d'Italia è mi$ura di 4. braccia, & il braccio $i diuide in diuer$i parti.

DEL MISVRAR I CASAMENTI, propo$ition XXXVII.

DEbbe$i per non incorrere in errore nel mi$urare i ca$amen- ti, mi$urar le due oppo$ite faccie di fuore, e le due altre op- po$ite di dentro & è con$ueto di mi$urar le porte e fine$tre d'es$i ca$amenti per ripieno, e quando pure i uani de le porte e fine$tre non s'haue$$ero a contar nel lauoro o mi$ure $i deueno anco ri- quadrate e$$e facciate come $e non ui fu$$e ne$$uno uano, e de la lor quadratura trarre la $omma de lequadrature de i uani de le porte e fine$tre che in tai facciate fu$$ero.

DEL RIQVADRAR LE SCARPE DEI muri, propo$ition XXXVIII.

ET hauendo a mi$urar alcuna $carpa di muro che uadi per li- nea retta debbe$i mi$urar per pendicularmente la $ua altezza da la banda di dentro e multiplicarla uia la $ua lunghezza, e quel che fa multiplicare ancora per la gro$$ezza de la $ua ba$a e la meta del produtto $era la corporal quadratura d'e$$a $carpa. E $e $i fu$$e pattuito tal $carpa a tanto la canna come dire a $oldi cinquanta la canna di {3/4} di braccio di gro$$ezza, e che tale $carpa fu$$e alta brac- [160] cia uinti, e longa 40. e gro$$a ne la $ua ba$a braccia 4. Dico che in tal patto s'intende che tal muraglia s'habbia a riguardar $uperfi- cialmente, e che la $ua gro$$eza $ia per tutto {3/4} di braccio, onde tu ue di che tal $carpa di muro e in fondo de la $ua ba$a braccia 4. & a la $ua $ommita $i riduce a niente tal che la $ua gro$$ezza per tutto ragguagliata è braccia 2. & il muratore non è obligato far il muro gro$$o $e non {3/4} di braccio, dunque ha d'hauer quel piu di prezzo che è di differenza da {3/4} di braccio a due braccia, onde procederai per la quarta quantita proportionale, ouero regula del tre, dicen- do $e {3/4} ual $oldi 50. che uarranno 2. multiplica 2. uie 50. fara 100. ilqual parte per {3/4} e ne uerra $oldi 133 {1/3} che $ono Ⴥ 6. β 13. den. 4. Hor per ueder quanto monta tale $carpa di muro quadrala pri- ma $uperficialmente multiplicando 20. che $i di$$e che era alta uia 40. che è longa e fara 800. braccia quadre $uperficiali, e perche in una canna quadra $uper ficiali ne ua di tali braccia 16. parti 800. per 16. e ne uerra 50. e tante canne di muro $uper ficialmente ri- quadrate $era tale $carpa che a Ⴥ 6. β 1{2/3}3. den. 4 la canna monta Ⴥ 301. β 6.{1/3}. den. 8. e tanto ha d'hauere il muratore per la $ua fatica.

DEL RIQVADRAR I CORPI DI SEI FAC- cie quadre, propo$ition XXXIX.

ESe ti fu$$e detto egliè una pietra quadrata a modo di dado che per cia$cuna de le $ei faccie è braccia 6. $i domanda quan te braccia quadre cube $era tal pietra. Dico che per e$$ere il detto dado tanto largo quanto alto, e quanto lungo che multiplichi 6. larghezza uie 6. lunghezza e fara 36. ilqual multiplica per 6. altez- za e fara 216. e tante braccia quadre corporee $era la detta pietra.

DEL RIQVADRARE I PALCHI, E QVAN- ti mattoni uadino per braccio quadro $uper ficiale, prop. XL.

PErche co$i per tutta To$cana, come in Siena, $ono i mattoni lunghi {1/2} braccio e larghi {1/4} e quanto a la lunghezza, e larghez za, ancora le mezzane e le pianelle $ono d'una mede$ima mi$ura dico per tanto che di cia$cuna di que$te $orte ne ua 8. per braccio [161] quadro $uperficiale, per ilche uolendo $aper quanti mattoni ua- di nel palco di qual $i uogli $tanza che prima $i quadri $uperficial mente il uano di tale $tanza, e quella dipoi $i multiplichi per 8 .e per tal uia $i $apra quanti mattoni n'andera. Hor $ia che uole$$emo $aper quanti mattoni anda$$e nel palco d'una $ala che il uano $uo fu$$e braccia 20. longo, e 14 Jargo. Per quel che s'è detto, dico che multiplichi 14. larghezza uia 20. longhezza, & fara braccia 280. $uperficialmente quadre, che per andare in ogni braccio quadro 8 mattoni multiplica 8, uie 280. & fara 2249 .e tanti mattoni anda- rebbe in detta $ala.

MODO DI SAPER QVANTI MATTONI uadino ne le muraglie, propo$ition XLI.

EDicendo$i qúanti mattoni andera in un muro longo brac- cia 25. e alto braccia 8. e gro$$o braccia 2. fa co$i, quadra pri- ma corporalmente il detto muro multiplicando 25. longhezza uia 8. altezza. & fara 200. ilquale multiplica ancora per 2. gro$$ez- za, & fara 400. per le braccia quadre corporee del detto muro, e perche comes'è detto ua 8. mattoni per braccio quadro $uperfi- ciale, & il mattone $i fa gro$$o {1/2} di braccio, dunque multiplica 8. uie 8. & fara 64.e tanti mattoni ua per ogni braccio quadro cor- poreo, onde uolendo $aper quanti n'andera in detto muro multi- plica 64. uie 400. & fara 25600.e tanti mattoni bi$ognaria proue der per il detto muro. Pas$iamo hora a i corpi circulari.

DEL QVADRAR I CORPI ROTONDI, E prima del quadrar una palla, propo$ition XL II.

PA$sando hora ai corpi circulari, diremo egliè una palla che il $uo diametro è braccia 8. Domanda$i la $ua $uperficie e la $ua corporal quadratura. Fa co$i, multiplica 8. in $e e fara 64. del quale pigliane li {11/14} che $ono 50 {2/7} e tanto uiene a e$$er la $uperfi- cie del $uo circulo, onde per e$$er la sfera quattro tanti de la $uper ficie del circulo, multiplica 4.uie 50 {2/7} & faranno 201 {1/7} per la $u- perficie ouero apparenza d'e$$o. Hor per trouare la $ua corporal [162] quadratura multiplica la $e$ta parte del $uo diametro che è 1 {1/3} uie 201 {1/7} $ua $uperficie & fara 268 {4/21} per la detta $ua corporal quadratura.

DEL QVADRARE I POZZI O CISTER, ne, propo$ition XL III.

ESe ti fu$$e detto egliè un pozzo che il diametro del $uo uano è braccia 6.e l'altezza è 21. $i domanda quanta acqua ui capi ra dentro, fa co$i, multiplica 6. diametro in $e e fara 36. del quale pigliane li {11/14}, multiplicando 36. per 11. & quel che fa parcendo per 14. & uerranne 28 {2/7} & que$to multiplica per l'altezza che è 21.e fara 594.e tante braccia quadre corporee $era il uano di det- to pozzo che per tener come s'è detto ogni braccio quadro $taia 11. multiplica 11. uie 594. & uerranne $taia 6534. che per e$$ere ogni moggio $taia 24.le dette $taia 6534. $eranno moggia 272. e $taia 6. e tanta acqua puo capire in detto pozzo.

DI QVADRAR LE COLONNE TONDE equalmenti gro$$e, propo$itione LXIIII.

EDicendo$i egliè una colonna tonda di equal gro$$ezza che il $uo diametro è braccia 4.e l'altezza $ua é braccia 27. doman da$i quante braccia quadre corporee $era detta colonna procede come ne la pa$$ata multiplicando 4.in $e & fara 16. del quale pi- gliane li {11/14} che $ono 12 {4/7} & que$to multiplica per 27. altezza d'e$ fa piramide & fara 339 {3/7} e tante braccia quadre corporee $era det ta colonna.

DEL QVADRAR LE PIR AMIDE TON, de, propo$ition XLV.

EGliè una piramide tonda che il diametro de la $ua ba$a é braccia 4. & l'altezza $ua è braccia 14. domanda$i quãte brac cia quadre corporee $era detta piramide. multiplica 4. in $e & fara 16, del quale ne piglia li {11/14} e ne uerra 12 {4/7} ilqual multiplica per [163] 14. altezza & fara 176. hor perche come ne la 33. propo$ition di que$to, dicemo ogni piramide acuta pe$are il terzo de la $ua colon na, piglierai il terzo di 176. e ne uerra braccia 58 {2/3} per la corpo- ral quadratura di tal piramide.

DELLO INVESTIGAR LA QVANTITA di qual $i uoglia monte di grano, propo$itione XLVI.

EDicendo$i egliè un monte di grano nel mezzo d'una $ala amontato piu che $i puo, che il diametro del $uo giro è brac @ia 3. & l'altezza è braccia 2. do manda$i quanto $era il detto gra- no, farai come ne la pa$$ata s'é mo$tro multiplicando 3. diametro in $e & fara 9. del qual pigliane li {11/14} multiplicando 9. uie 11. & quel che fa partendo per 14. e ne uerra 7 {1/14} ilqual multiplica per 2. altezza & fara 14 {1/7} del quale piglia il terzo che e 4 {5/7} e tante braccia quadre cube è il detto monte. Hor perche ogni braccio quadro cubo tiene in To$@ana come s'è detto $taia 11. di grano multiplica 4 {5/7} per 11. ene uerra $taia 51 {6/7} e tanto grano fu il det- to monte.

ALTRA FOR MA DI MONTE DI GRANO, propo$ition XL VII.

MA dicendo$i che fu$$e un monte di grano appoggiato a un muro che dall'una e$tremita all'altra del $uo appoggia- mento fu$$e braccia 3. & l'altezza $ua fu$$e braccia 2. dico che $e ben $i con$idera que$ta non è altro che la meta de la piramide ouero monte pa$$ato, onde procederai come in quella face$ti multiplican do 3. in $e e di quel che $a pigliane li {11/14} e di quel che ne uiene mul tiplica per 2. altezza & di quel che fa piglia il terzo e ne uerra pur 4 {5/7} e perche que$ta come s'è detto è la meta de la piramide pa$$ata piglia di 4 {5/7} e ne uerra 2 {5/14} per le $ue braccia quadre corporee il qual multiplica per 11. e ne uerra $taia 25 {13/14} e tanto conuenne e$$e re il detto monte di grano.

[164] DIVERSA FORMA DI MONTE DI GRANO propo$itione XL VIII.

MA dicendo$i egliè un monte di grano in un canto retto d'u na $ala amontato piuche $i puo, che dalla e$tremita del $uo giro al detto canto è braccia 4. & l'altezza $ua è braccia 5. $i di- manda quanto grano $era il detto monte, in que$to ca$o $appi che il diametro $uo uiene a e$$er la meta del diametro d'una piramide acuta de laquale il diametro de la ba$a fu$$e 8. & il detto monte uie ne a e$$er la quarta parte di detta piramide. Per tanto addoppia 4. diametro d'e$$o monte fara 8. ilqual quadra ouero multiplica in $e e fara 64. del qual piglia li {11/14} che $ono 50 {2/7} & multiplicali per 3. altezza & faranno 150 {6/7} del quale piglia il terzo che $on 50 {2/7} e tanto $arebbe quando fu$$e la piramide intera cioè che il detto monte fu$$e nel mezzo d'una $ala, ma per e$$er la quarta parte di quello piglia il quarto di 50 {2/7} che $on 12 {4/7} e tante braccia quadre cube $era il detto monte che multiplicandole per $taia 11. che tiene il uano del braccio quadro cubo faranno $taia 138 {2/7} che ridutte a moggia partendole per 24. ne uerra moggia 5. $taia 18 {2/7} e tanto fu il detto monte di grano.

DELL'INVESTIGAR LA TENVTA DE LE tina propo$ition XLIX.

EGliè un tino che il diametro del uano del $uo fondo è brac- cia 3 {1/2} e quel dela bocca è braccia 2. e dal fondo a la bocca è braccia 3. $i domanda la $ua corporal capacita. que$ta non è altro che parte d'una piramide tonda de la quale è nece$$ario trouar la $ua integrita. Onde diremo $e 1 {1/2} che corre di differenza dal diami tro dela bocca a quel del fondo mi da braccia 3. d'altezza che mi dara 2. ba$a de la minore che uien a e$$er la bocca del tino?opera ti dara 4. e tanto $era alta la piramide trouata, al qual 4. aggiugne 3. che è alto il tino e fara 7. e tanto $era alta la integra piramide, onde $e ben guardi tu hai due piramide che la maggiore è alt a 7. & il dia metro de la $ua ba$a è 3 {1/2} e la minore che è la trouata è alta braccia 4. & il diametro de la $ua ba$a è 2. onde quadrarai prima la mag- [165] giore multiplicando 3 {1/2} ba$a in $e $te$$o e fara 12 {1/4} del quale pi- gliane li {11/14} ne uerra 9 {5/8} il quale multiplica per 7. altezza fara 67 {3/8} del qual piglia la terza parte che è 22 {11/24} e tanto è quadra la mag- giore. Hor per la minore multiplica 2. ba$a in $e fa 4. pigliane li {11/14} ne uien 3 {1/7} ilqual multiplica per 4. alteza fara 12 {4/7} del qual piglia la terza parte che è 4 {4/21} e tante braccia quadre cube è la minore, le quali conuien cauare de le braccia 22 {11/24} che è la maggiore & re$te ra braccia 18 {135/504} per la corporal quadratura del detto tino. Hor uolendo $aper quanto uino ui cape dentro multiplica 18 {135/504} per $taia 11. che tiene ogni braccio quadro cubo e li {135/504} puo metter per {1/4} che in tal ca$o poco o niente puo importare & hauerai che il detto tino terra $taia 200 {477/504} che tal rotto $i puo dir quattro quinti e perche quando pero il detto tino fu$$e pieno di uin puro ogni 4. $taia in to$cana fanno una $oma ouer due barili le dette $taia 200. $eranno 50. $ome, e $e il tino fu$$e pieno d'uue pe$tate ci $aria den- tro li duo terzi di uino puro di quel che s'è detto.

DELLO INVESTIGAR LA TENVTA DE le botti, propo$ition L.

EDicendo$i egliè una botte che il diametro del uano di cia$cu no de $uoi fondi è braccia 2. al cocchiume è alta braccia 3. e la di$tãtia del uano da l'un fondo a l'altro è braccia 4. Si domanda la $ua corporal capacita, e quanto uino ui capirebbe dentro. Se $i con$idera bene una botte $on due tina sfondate che $i uoltano la ba$a o i fondi in tra loro. Doue in que$ta propo$tta tu hai due ti- na che trouando la quadratura d'uno e quella addoperando haue rai la tenuta di tutta la botte, e perche tu hai duo tina che il diame- tro del uano e la ba$a di cia$cuno è braccia 3. che co$i è alta al coc- chiume la botte e l'altezza di cia$cuno de i detti duo tini è braccia 2. cioè la meta di 4. che gliè il uano de la botte da l'un fondo all'al tro. Hor troua la corporal capacita d'uno d'e$$i tini proced\~edo per piramide come ne la pa$$ata s'è fatto dic\~edo $e 1. di differenza che corre di largheza dal fondo a la bocca mi da 1. d'alteza che mi dara 2. di ba$a che è la bocca del tino trouerai che ti dara 4. e tanto è la piramide trouata a la quale aggiugne 2. che gliè alto il tino e fara [166] 6. per tutta la piramide integra. Hor tu hai due piramide tonde che la maggiore è alta braccia 6. e il diametro de la $ua ba$a é 3. & la minore è alta braccia 4. e'l diametro de la $ua ba$a è 2. Onde pri ma per la maggiore multiplica 3. ba$a in $e fara 9. pigliane li {11/14} ne uerra 7 {1/14} il quale n. ultiplica per 9. altezza ne uerra 42 {3/7} e di que $to piglia il {1/3} che è 14 {1/7} e tanto é la quadratura corporal di detta piramide maggiore. Hor per la minore multiplica 2. ba$a in $e fa 4. pigliane li {11/14} che $ono 3 {1/7} e que$to multiplica per 4. altezza ne uerra 12 {4/7} del qual piglia il {1/3} che è 4 {4/21} e tante braccia quadre cor poree è la minore le quali trae di 14 {1/7} che $i di$$e che era la mag giore & re$teratti 9 {20/21} per la corporal capacita d'un dei duo tini ouer de la meta de la botte, ilquale addoppia & fara 19 {19/21} e tante braccia quadre corporee $era il uano di tutta la botte che a $taia 11. per braccio quadro terra $taia 218 {20/21} ilqual parti per 4. perche in To$cana 4. $taia fanno una $oma, e ne uerra $ome 54. $taia 2 {20/21} per la $ua tenuta.

ALTRO MODO DA INVESTIGAR LA TE- nuta de le tina e botti, propo$ition LI.

VSa$i in Siena, e per la maggior parte di To$cana, mi$urar le tina in que$to modo che $i $umma il diametro del uano del fondo co il diametro del uano de la bocca, e di tal $omma $i piglia la meta per la ragguagliata largheza, la qual meta $i multiplica in $e $te$$a e di quel che fa $e ne piglia li {11/14} & quel che ne uiene $i multi plica per la altezza del uano del tino & il produtto di que$to è la quadrata $ua capacita, onde uolendo per que$ta regola la quadra- tura d'uno de i detti duo tini de la propo$itione pa$$ata che è la me ta de la predetta botte $umma 3. fondo con 2. bocca fa 5. del quale piglia la meta che è 2 {1/2} ilqual multiplica in $e $te$$o fa 6 {1/4} del qual piglia li {11/14} ne uerra 4 {51/56} ilqual multiplica per l'altezza del tino che è 2. e ne uerra 9 {23/28} e tante braccia quadre corporee $era per tal re- gola un de i detti duo tini che è la meta de la botte $uddetta ne la propo$ition pa$$ata. Donque le braccia quadre corporee di tutta la botte $eranno 19<_>9 @ e nell'altra no$tra propo$ition pa$$ata ne uen- [167] ne 19 {19/21} che poco uaria dall'altra attienti nondimeno a quella per piramidi per e$$er piu perfetta di que$ta.

DE LE FOSSE O BVCHE DA GRANO, propo$ition LII.

LE fo$$e o buche da grano $i co$tumano fare ouate, ma piu larghe nel fondo che da capo, e piu larghe nel mezo che in altro luogo. Hor pre$uppo$to che fu$$e una buca da grano che l'al teza del $uo uano $ino al collo de la $ua bocca fu$$e braccia 8. e'l dia metro del uano del $uo fondo fu$$e braccia 3. e quel da capo 2. e nel mezo 4. e uole$$emo $aper quanto grano capi$$e in detta buca o fo$$a. In que$ta è da di$correre che diui$a la $ua altezza nel me- zo come de la botte pa$$ata $i fece ne la propo$ition cinquanta, che tu hai duo tina sfondate, ma piu largo ne la bocca l'un dell'altro pero che la largheza del mezzo di que$ta che è 4. $erue per il uano del fondo d'ambe due, ma la largheza de la bocca dell'uno de le due tina uiene a e$$er 3. che co$i è larga in fondo la buca, e la bocca dell'altro uien a e$$er per diametro braccia 2. che co$i é larga da ca po la detta buca o fo$$a, & ambe due $ono alte di uano braccia 4. cioè la meta di braccia 8. che s'è detto e$$er alta tal fo$$a, onde pro- cedendo come ne la propo$ition 49. s'è fatto hauerai la $ua capa- cita appunto, ne la quale potrai anco proceder per la regola pa$$a ta, quantunque non $ia co$i perfetta come quella de le piramidi.

DEL QVADRAR LE COLONNE TONDE diminuite, propo$ition L III.

PEr quanto ci mo$tra Vetruuio, & anco per quel che $i uede da gli altri buoni antichi e$$ere $tato o$$eruato non uanno le colonne tonde equalmente gro$$e $e non in$ino al terzo di loro al- teza & gli altri duo terzi $ino a la $ommita loro diminui$cano cir- ca la quarta parte di lor gro$$ezza. Hor $ia che fu$$e una colonna tonda che il diametro de la $ua ba$a fu$$e braccia 2. e quel da capo fu$$e 1 {1/2} & la $ua alteza fu$$e braccia 15. & anda$$e come s'è detto $ino a le braccia cinque che il terzo di $ua altezza equalmente gro$ [168] $a braccia 2. come è ne la ba$a, & il re$to che $on braccia 10. $ino a la $ua $ommita diminui$ce come s'è detto, e uole$$emo $apere la $ua corporal quadratura. In quefta & in tutte laltre che uan dimi nuite quadrarai prima la terza parte da ba$$o che ua equalmente gro$$a come ne la 44. di que$to $i mo$tro multiplicando 2. diame- tro della ba$a in $e fa 4. delqual piglia li {11/14} ne uerra 3 {1/7} ilqual mul tiplica per braccia 5. che è il terzo di $ua alteza, che $ino a tanto ua equalmente gro$$a & ne uerra 15 {5/7} e tante braccia quadre corpo- ree $era tal parte. Hor li {2/3} dell'alteza di tal colonna uengono a e$- $er braccia 10. & il diametro de la ba$a braccia 2. & il diametro de la $ommita 1 {1/2}. Dico adunque que$ta non e$$er altro che parte d'una piramide tonda de la quale ci conuien trouare la $ua inte- grita, come ne la 49. di que$to $i mo$tro, uedendo prima la diffe- réza che gliè dal diametro de la ba$a a 1 {1/2} diametro de la $ommi ta che ui corre {1/2}, onde dirai $e {1/2} di differenza che dal diametro de la ba$a al diametro de la $ommita mi da braccia 10. d'altezza che mi dara 1 {1/2} ba$a, pero che il diametro de la $ommita di tal pirami de corta uiene a e$$er la ba$a de la piramide da trouar$i, opera ti da ra 30. e tante braccia $era la integra piramide, e la no$tra corta era dieci, dunque la piramide trouata uiene a e$$er alta braccia 20. Hor $e ben con$ideri tu hai due piramidi che l'altezza de la maggiore è braccia 30. & il diametro de la $ua ba$a è braccia 2. Et l'altezza dela trouata è braccia 20. & il diametro de la $ua ba$a è 1 {1/2}. Hor quadrarai l'una e l'altra come ne la 45. di que$to in torno a le pira midi tonde s'è mo$tro, e trarrai la quadratura de la maggiore de la quadratura de la minore, & re$teratti 19 {9/14} e tante braccia qua- dre corporee $era tal parte di detta colonna che $ono li duo terzi dell'altezza, che ua diminuita, a lequali braccia 19 {9/14} aggiugne le braccia 15 {5/7} che $i di$$e, che fu quadra la terza parte che era equal- mente gro$$a e fara 35 {5/14} e tante braccia quadre corporee $era tu@ ta la colonna.

DEL QVADRAR LE MVRAGLIE TONDE, propo$itione LIIII.

ET hauendo a quadrar muraglie tonde come, uerbi gratia al muraglia d'un pozzo tondo a $e$to che il diametro del $uo [169] uano fu$$e braccia 3. & il $uo muro fu$$e'equalmente gro$$o un braccio & alto braccia 15. & uole$$i $aper quante braccia quadre coporee $era tal muraglia, Fa co$i uede prima quanto è il diametro del uano e del muro in$ieme che uerra a e$$er braccia 5. ilquale è dibi$ogno riquadrare, e di tal quadratura trarne la quadratura del uano che è 3. per diametro e lo auanzo $era la corporal quadratu- ra di tal muraglia, onde quadra 5. diametro del tutto fara 25. del qual piglia li {11/14} ne uerra 19 {9/14}. Hor quadra 3. diametro del uano fa 9. del piglia li {11/14} ne uerra 7 {1/14} per la quadratura del uano ilqua le come ho detto è dibi$ogno trarlo di 19 {9/14} qua- dratura del tutto e re$terati 12 {4/7} ilqual multiplica per braccia 15. che $i di$$e che era alto il muro del pozzo e ne uerra braccia 188 {4/7} per la quadratura corporea di tutta la muraglia di detto pozzo o ci$ter na, de le quali uolendo far canne partile per 16. e ne uerra canne 11. braccia 12 {4/7} quadre corporee. E $e il detto pozzo anda$$e a $carpa in$ino al terzo di $ua altezza e fu$$e gro$$a nella ba$a e$$a $carpa un braccio dico che s'ad- doppii la $ua gro$$ezza e fara 2. ilquale s'aggiunga a 5. diametro che gli era prima il uano & il muro e fara 7. ilqual $i multiplichi in $e e fara 49. & di que$to $e ne pigli li {11/14} che $ono 38 {1/2} & que$to $i multiplichi per 5. perche $ino a tale altezza ua detta $carpa e fara 192 {1/2} dipoi $i multiplichi 5. diametro di prima in $e fara 25. del qual $e ne pigli li {11/14} che $ono 19 {9/14} ilqual $i multiplichi per brac- cia 5. che è alta tale $carpa e fara 98 {3/14} e que$to $i tria di 192 {1/2} & re$tera 94 {2/7} del qual $i debbe pigliar la meta 47 {1/7} e tante braccia quadre corporee uiene a e$$er la detta $carpa di muro che a braccia 16. per canna $eria canne 2. braccia 15 {1/7}.

PROPOSITIONE LV.

EGliè una torre alta braccia 30. e da pie ui pa$$a un fiume che è pur largo braccia 30. & è nece$$ario fare un ponte che uada da la riua del fiume $ino a la $ommita d'e$$a torre. $i domãda quãto conuerranno e$$er longhe l'antenne per far detto ponte. Que$ta non uol dir altro $e non, troua la diagonale del quadrato rettangu [170] lo che per ogni faccia $ia 30. per il che multiplica 30. in $e e fara 900. e que$to addoppia e fara 1800 e la radice di 1800. conuerran no e$$er lunghe tali antenne.

PR OPOSITION LVI.

ESe la propo$ta haue$$e detto che la torre fu$$e alta 40. & il fiu me largo braccia 20. & $i de$idera$$e quanto uole$$ero e$$er longhe l'antenne accio che aggiugne$$ero o punto a la $ommita de la torre, multiplichi$i 20. in $e, & fara 400. & co$i ancora $i multi- plichi 40. in $e & fara 1600. al quale s'aggiunga 400. & fara 2000. e la radice di 2000. conuerra e$$er longa cia$cuna antenna a uoler che aggiunghi appunto a la $ommita de la torre. E co$i con la Dio gratia hauiamo dato fine a quelle co$e che è Aritmetica e Geome- tria ci $on par$e piu nece$$arie.

IL FINE.

IN VENETIA, appre$$o Giouan Griffio, ad in$tantia di M. Pietro Cataneo, M D LIX.

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