metadata:
dcterms:identifier ECHO:HBY9GNKU.xml
dcterms:creator (GND:118524844) Descartes, René
dcterms:title (la) Geometria a Renato Des Cartes, anno 1637 gallice edita; postea autem vna cum notis Florimondi de Beavne: Gallice conscriptis in latinam linguam versa, et commentariis illustrata, opera atque studio Francisci a Schooten, nunc demum ab eodem diligenter recognita, locupletioribus commentariis instructa, multisque egregiis accessionibus, tam ad ulteriorem explicationem, quam ad ampliandam hujus geometriae excellentiam facientibus, exornata, quorum omnium catalogum pagina versa exhibet
dcterms:date 1683
dcterms:language lat
text (la) free

http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?mode=imagepath&url=/mpiwg/online/permanent/library/HBY9GNKU/pageimg&viewMode=images


log:
pbsync ok, enthält math

replacements:

parameters:

<pb>[001]

<pb>[002]

<pb>[003]

<pb>[004]

<pb>[005]
<h><bf>RENATI</bf>
<bf>DES-CARTES</bf>
<bf>GEOMETRIA.</bf>
<bf>EDITIO TERTIA,</bf></h>
<h>_Multis acce$$ionibus exornata, & plus_
_alterâ $ui parte adaucta._</h>

<pb>[006]
<fig>
<desc>R<sc>ENATVS</sc> D<sc>ES</sc>-C<sc>ARTES</sc>, D<sc>OMINVS DE</sc> P<sc>ERRON</sc>, N<sc>ATVS</sc> H<sc>AGÆ</sc> T<sc>VRONVM</sc>, A<sc>NNO, M.D.XCVI, VLTIMO DIE</sc> M<sc>ARTII</sc>.</desc>
</fig>
<p it>Primus inaccessum qui per tot sæcula verum
Eruit è tetris longæ caliginis umbris,
Mysta sagax, Natura, tuus, sic cernitur Orbi
Cartesius. Voluit sacros in imagine vultus
$ungere victurce artificis pia dextera famæ,
Omnia ut a$picerent guem sæcula nulla tacebunt.</p>
<p>_C<sc>ONSTANTINI</sc> H<sc>VGENII</sc> F.<_>LY</_>_</p>

<pb>[007]
<h><red>GEOMETRIA,</red>
à
<red>RENATO DES CARTES</red>
Anno 1637 Gallicè edita; po$tea autem
Vnà cum N<sc>OTIS</sc>
<red>_FLORIMONDI DE BE AV NE,_</red>
In Curia Ble$en$i Con$iliarii Regii, Gallicè con$criptis in
Latinam linguam ver$a, & Commentariis illu$trata,
_Operâ atque $tudio_
<red>FRANCISCI à SCHOOTEN,</red>
in Acad. Lugd. Batava Mathe$eos Profe$$oris.</h>
<h it>Nunc demum ab eodem diligenter recognita, locupletioribus Commen-
tariis in$tructa, multisque egregtis acce$sionibus, tam ad ulteriorem
explicationem, quam ad ampliandam bujus Geometriæ
excellentiam facientibus, exornata,</h>
<h>Quorum omnium Catalogum paginaver$a exhibet.</h>
<fig>
<desc>INDEFESSUS AGENDO</desc>
</fig>
<h><red>_AMSTELODAMI,_</red>
Ex Typographia B<sc>LAVIANA</sc>, <red>MDC LXXXIII.</red>
_Sumptibus Societatis._</h>

<pb>[008]
<hd>
<h>CATALOGVS
eorum,
Quæ hoc Opere continentur.</h>
<p>RENATI DES CARTES Geometria, tribus libris
comprehen$a.</p>
<p>FLORIMONDI DE BEAVNE in illam N<sc>OTÆ</sc>
B<sc>REVES</sc>.</p>
<p>FRANCISCI à SCHOOTEN in eandem Commen-
tarii recogniti & aucti.</p>
<p>----- Eju$dem A<sc>PPENDIX</sc>, de Cubicarum Æquatio-
num Re$olutione.</p>
<p>----- item A<sc>DDITAMENTVM</sc>, in quo continetur $o-
lutio arti$icio$i$$ima difficilis cuju$dam Problema-
tis; & Generalis Regula de extrahendis quibu$cun-
que Radicibus Binomiis.</p>
<p>JOHANNIS HVDDENII Epi$tolæ duæ, quarum al-
tera de Æquationum Reductione, altera de Maximis & Mi-
nimis agit.</p>
<p>HENRICI VAN HEVRAET Epi$tola, de Curva-
rum Linearum in Rectas transmutatione.</p>
<p>FRANCISCI à SCHOOTEN Principia Mathe$eos
Vniver$alis, $eu Introductio ad C<sc>ARTESIANÆ</sc> G<sc>EO-
METRIÆ</sc> Methodum.</p>
<p>FLORIMONDI DE BEAVNE duo Tractatus po$t-
humi. Alter de Natura & Con$titutione, alter de Limitibus
Æquationum.</p>
<p>JOHANNIS DE WITT de Elementis Curvarum Li-
nearum libri duo.</p>
<hd>
<p>FRANCISCI à SCHOOTEN Tractatus de concin-
nandis Demon$trationibus Geometricis ex Calculo Alge-
braito.</p>
<hd>

<pb>[009]
<h>S<sc>ERENISSIMÆ</sc> P<sc>RINCIPI</sc>
ELISABETHÆ.
FRIDERICI BOHEMIÆ REGIS,
Comitis Palatini, & Electoris Sacri Ro-
mani Imperii, Filiæ natu maximæ.</h>
<h>_SERENISSIMA PRINCEPS._</h>
<p>CVm ea Cel$itudinis tuæ
$it claritas, ut maximo-
rum hominum monu-
menta, tanti nominis
$plendore illu$trata, in
lucem jam pridem prodierint; quid
mirum, $i & ego lucubrationes ha$-
ce Cel$itudini tuæ con$ecrandas e$-
$e duxerim? Nam, ut reliquas vir-
tutes, quæ in Te eximiæ $unt, ta-
ceam, tantâ cum prudentiâ $ingu-
laris ingenii tui per$picacia conjun-

<pb>[010]<rh>E<sc>PISTOLA</sc></rh>
cta e$t, ut, $pretis illis artibus &
$cientiis, quæ inanis potiùs gloriæ,
altercandique $tudio, quàm veriin-
qui$itionis causâ addi$cuntur, eas
$olas amplexa fueris, quæ placidè
philo$ophantes, nihilque ni$i evi-
dens admittentes, continuâ $im-
plicium rationum ferie ad ab$tru$i$-
$imarum rerum cognitionem per-
ducunt. Vnde fieri non potuit, quin
ad $ublimem illam $apientiam, quam
in Te $u$picimus ac veneramur, fe-
lici$$imè tempore brevi$$imo perve-
neris. Singularem tuum in Mathe-
maticis pro$ectum non e$t quòd hic
commemorem; cum majorum tuo-
rum exemplo, laudati$$imæque me-
moriæ Principum, qui $anguinis
vinculo tibi fuêre juncti, atque ex

<pb>[011]<rh>D<sc>EDICATORIA</sc>.</rh>
harum artium cultura immortalem
$ibi gloriam reportarunt, eas non
minùs colas, quàm hæreditatis ju-
re in ii$dem excellas. Quippe quæ
in earum adyta ita penetra$ti, ut
Artem Analyticam, ip$am in Ma-
thematicis inveniendi viam, in qua
ingenii præ$ertim acumen requiri-
tur, optimè cognoveris, eâque ra-
tione, quantùm incomparabilis in-
genii tui indu$tria præ$tare valeat,
$atis $uperque o$tenderis. Quæ cum
ita $int, atque in$uper in me ip$o
compertum habeam, quanto favo-
re Mathe$eos cultores pro$equaris;
jure meriti$$imo effecêre, ut publi-
cum hoc tanti beneficii, tantorum-
que meritorum tuorum te$timo-
nium extare vellem, atque hoc qua-

<pb>[012]<rh>E<sc>PISTOLA</sc> D<sc>EDICATORIA</sc>.</rh>
lecunque, $ive grati animi monu-
mentum, $ive ob$ervantiæ in Cel-
$itudinem tuam meæ pignus, offer-
rem. Quod, ut $olito favore exci-
piat, $ubmi$sè rogo,</p>
<p>_S<sc>ERENISSIMÆ</sc> C<sc>ELSITVDINIS</sc> T<sc>VÆ</sc>_</p>
<p>Dabam Leydæ, <sc>XII</sc> Cal. Julii
Anni clo Ioc <sc>XLIX</sc>.</p>
<p>_Devoti$$imus cliens_</p>
<p>F<sc>R</sc>. à S<sc>CHOOTEN</sc>.</p>

<pb>[013]<rh>F<sc>RANCISCVS</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<h><bf>LECTORI</bf></h>
<h><bf>S.</bf></h>
<p it>_N_Ovennium e$t, & quod excurrit, Benevole Lector,
cum Geometria bæc Nobili{$s}imi atque incomparabilis
Viri _R<sc>ENATI DES</sc> C<sc>ARTES</sc>,_ quam vernacu-
lâ linguâ anno 1637 inter philo$ophiæ $uæ $pecimina in
lucem edidit, è Gallica a me in Latinam linguam
ver$a commentariisque illu$trata primùm prodiit. Interea autem
temporis cum operam, quam boc in negotio collocâram, Vir{is} lite-
rat{is} & ingenio$is pluribus, quos $tupenda Author{is} no$tri eruditio
latère non potuit, haud ingratam fui$$e compererim; non potui non,
di$tract{is} exemplaribus, cùm novam editionem Typographus ador-
naret, quin bone$tæ ip$ius petitioni locum darem, eaque flagitanti
concederem, quæ ad Oper{is} bujus commendationem illu$trare vel ad-
dere valebam. Quid hîc autem nunc demum præ$titerim, $i candido
Lector{is} judicio relinquam, facilè ex utriu$que edition{is} inter $e col-
latione digno$cet. Cujus etiam labor{is} nunquam me pœnituit, tum
quòd regiam hîc ad pœnitiora univer$æ Matbe$eos adyta viam,
quam cuique ingredi licet, patere $ciebam, tum quòd hanc $ummi
Viri Geometriam publici intere$$e, & è re eorumfore, qui Mathe-
matic{is} operam dant, in me ip$o cum ali{is} $trenu{is} Methodi no-
$træ cultoribus, non $ine voluptate indies experiebar. Verùm enim-
vero cum illius utilitas tanta $it ut, $i eam vel pauc{is} de$criberem, pa-
ginæ, quæ præfationi hîc in$ervient, deficerent, indica$$e $uffecerit,
vix quicquam in univer$a Mathe$i ita difficile aut arduum occur-
rere po$$e, quò non inoffen$o pede per hanc Metbodum penetrare li-
ceat, quodvè Geometriæ hujus legibus non $ubjici $olvique po{$s}it. Ac-
cedit, quòd null{is} Problematum finibus aut numero coërceatur, $ed
fructum, qui vel à Veterum Analy$i vel a Recentiorum Algebra
ex$pectandus erat, omnem in $e contineat, nec quicquam hîc de$i-
derari po$$e videatur; atque adeò fru$tra $it, quòd de aliâ $ibi qu{is}
exoptandâ Metbodo, ad Mathe$eos culturam perfectionemque in

<pb>[014]<rh>P<sc>RÆFATIO</sc></rh>
po$terum cogitet. Quippe hæc illa e$t, cujus exercitio Author men-
tem excolendo, non modò in Mathematicis Scientiis $ummas diffi-
cultates adole$cens adhuc $uperavit, aliisque in inveniendo palmam
præripuit; $edtantam quoqueingenii promptitudinem facilitatemque
$ibi deinceps conciliavit, ut primus clavem, quâ my$teria Vni-
ver$i re$eranda $unt, & cujus ope natura naturæ ac lux orbi ma-
gis magisque redditur, invenerit: adeòut eorum, quæ lumine natu-
rali cogno$ci queunt, nibiltam abditum, den$isque immer$um fui$$e
tenebris, putandum $it, quod ingenii $ui felicitate eruere ip$e de$pe-
ra$$et. Ver$ionem quod attinet, cumfideli$simus ubique verborum in-
terpres, $alvo rerum pondere, e$$e $tuduerim, vix e$t, quòd cen$uram
aliquorum metuam; præ$ertim ubi illam ab Authore, cuipro jure in-
tegrum fuit $uum ubique $en$um vel interpretari vel clariorem redde-
re, po$tea recognitam fui$$e $civerint. Verùm cum hæc Geometria à
paucis, cum propter eruditam brevitatem, tum propter quæ$tionum,
quæ inibi pertractantur, difficultatem, non $ine ab$tru$a attentione
ac indefe$$o $tudio per $e intelligi potuerit, periculum erat, ne labo-
rum impatientes Lectores, cùm metam vel ip$i ignor arent, vel im-
probi negarent, arenam de$ererent. Con$cius itaque ego illam non in
eum finem ab Authore con$criptam e$$e, qua$i ip$ius Methodum ex
ea unu$quisque quàm facillimè haurire po$$et, $èd tantùm ut eximia
aliquot ejus $pecimina ederet: operæ pretium duxi in commune con-
$ulere, & difficilior a loca pa{$s}im à me explicata uberioribus hinc in-
de exempl{is} altiùs illu$trare. Scopum Author{is} quod $pectat, eum hoc
loco exponere haudquaquam duxi nece$$arium, cum cuju$que libri ar-
gumentum commentari{is} me{is} præmi$erim, veterumque circa Geome-
triæ Problemata opiniones ac decreta, $citu non injucunda, ibidem
explicaverim, quò oper{is} $ummam atque adeò commentariorum no-
$trorum u$um breviter complecterer. Porrò ne quid dee$$e videre-
tur, unde hæc Geometria majorem adhuc lucem $ortiretur, additæ
etiam $unt Notæ a Clari$simo atque Ampli$simo Viro _D. F<sc>LORI-_</sc>
_<sc>MONDO DE</sc> B<sc>EAVNE</sc>,_ Con$iliario Ble$en$i, in eandem olim
Gallicè con$criptæ. Quæ eodem modo in Latinam linguam à me tran$-
latæ, po$tquam huic Geometriæ primò ejus permi$$u e$$ent annexæ,
dein ab ip$o recognitæ & emendatæ, nunc denuo vel hoc nomine, ni
fallor, acceptiores $unt acce$$uræ. Præterea, quò unu$qui$que in$tru-
ctus iis, quibus ad adyta ejus Methodi perducatur, $e ad ip$am Geo-
metriam legendam accingere po$sit; haud omittendum duxi, quin

<pb>[015]<rh><sc>AD</sc> L<sc>ECTOREM</sc>.</rh>
$imul Introductionem no$tram, quam Vir Clari{$s}imus, mihique a-
mici{$s}imus, _D. E<sc>RASMIUS</sc> B<sc>ARTHOLINUS</sc>,_ nunc Medi-
cinæ & Mathe$eos in Academia Hafnien$i Profe$$or Regius, in eum
finem olim con$crip$it ac anno 1651 publici jur{is} fecit, prout il-
lam uterque jam demum recognovimus, editioni buic adjunge-
rem. Quo quidem negotio futurum $pero, ut, quod propri{is} condi-
mus borreis, ex aliena non opùs $it me$$e emendicare, licèt Author
antebac, tum ad $uam Geometriam intelligendam Lectorem in ali{is}
Geometriæ libr{is} jam ver$atum præ$uppo$uerit, ne quæ inibi dicta $unt
& demon$trata repetere cogeretur; tum etiam ad $uam Methodum
addi$cendam leviorem vulgar{is} Algebræ cognitionem requi$iverit.
Nec enim video, quid impræ$entiarum, po$t mediocrem in Arith-
meticæ & Geometriæ element{is} exercitationem, calculique, eâ-
dem Introductione explicati, notitiam, Lectori moram injicere
po$sit, quo minus inoffer$o pede ad hanc Geometriam accedat. Et
quanquam optandum fui$$et, hæc omnia ab Authore ip$o fui$$e
præ$tita; quippe qui tantùm regulas $uæ Methodi maximè nece$$a-
rias hîc expo$uit; attamen quia animadvertit laborem atque indu-
$triam, quam Lector in inve$tigand{is} reliquis, demon$trandisque
i{is}, quæ tantùm intento digito indicavit, impenderet, præcipuum
e$$e in hac Scientia, quo cuju$que ingenium excolatur: a $e-
metip$o impetrare non potuit, ut ea fu$ius pertractaret. Hinc cum
$ucce$$u tempor{is} inter eos, quibus hanc Geometriam $edulò ver-
$are ejusque arcana peniti$simè rimari cordi fuit, non pauci reperti
$int, qui, Author{is} ve$tigi{is} arctè in$i$tentes, præclara multa,
ad excellentiam illius Methodi plurimùm facientia, invenerint,
omnesque inter, præ copia inventorum eorumque dignitate, $ub-
tili$simus ac præ$tanti$simus _D. I<sc>OHANNES</sc> H<sc>VDDENIVS</sc>,_
Am$telodamen$is, amicus meus integerrimus, primas facilè
obtineat: vi$um fuit ea, quæ ab ip$o de Æquationum Reductio-
ne ac de Maxim{is} & Minimis, maximam partem Belgicè con-
$cripta, inter alia per literas mibi $unt communicata, po$tquam
à me Latinè e$$ent reddita, Geometriæ buic pariter $ubjungere.
Quibus tanquam colophonem addere placuit Epi$tolam, quam acu-
ti$simus, mibique ut _H<sc>VDDENIO</sc>_ no$tro conjuncti$simus,
_D. H<sc>ENRICVS VAN</sc> H<sc>EVRAET</sc>,_ Harlemen$is, Salmu-
rio nuper ad me tran$mi$it. In qua cum brevem exponat Metho-
dum, inter peregrinandum à $e novi$simè excogitatam, tran$mu-

<pb>[016]<rh>P<sc>PÆFATIO</sc></rh>
tandi complures curvas lineas in rectas, quod ip$um à nemine
(quantum novi) in hunc usque diem o$ten$um e$t, quin imo à
mult{is} ut in$olubile habitum: id mibi agendum putavi, ne exi-
mium adeò inventum occultaretur, ut, impetrato ad id ejus
con$en$u, illud hîc loci in lucem producerem. Eâdem ratione du-
ctus, ne $parta, quam Vir Ampli{$s}imus, nunc piæ memoriæ,
_D. <sc>DE</sc> B<sc>EAVNE</sc>_ in excolenda propagandaque bujus Geome-
triæ Methodo $u$ceperat, præcipiti ejus fato inceriret; ex officio
atque publica Mathe$in amantium utilitate fore exi$timavi, $i
Clari{$s}imum Virum _D. E<sc>RASMIVM</sc> B<sc>ARTHOLI-_
_NVM</sc>_ no$tro rogatu adigerem, ut, quæ de Natura, Con$titu-
tione, ac Limitibus Æquationum _D. <sc>DE</sc> B<sc>EAVNE</sc>_ verna-
culâ $uâ linguâ in lucem dare con$tituerat, cùm in manus ip$ius
incidi$$ent, publico non invideret. Nec fru$tra in eo fui, nactus
enim $um, ut, quæ ex ejus adver$ari{is}, non $ine indefe$$o labo-
re ac difficili fortuna, ad umbilicum perduxerat, Latinè red-
deret, nobisque, quò unà cum his a me typ{is} mandarentur, con-
cederet. Cæterùm ad Art{is} Analyticæ præ$tantiam uberiùs exhi-
bendam, & admeum rei literariæ in$erviendi $tudium comproban-
dum, non abs re fore judicavi, $i Geometriam hanc non modò
fœtu illo po$thumo ac advenâ, $ed alio etiam primogenito eoque in-
digenâ adaugere $atagerem; ni$i fortè bunc alium quoque po$tbu-
mum ac advenam dixer{is}, eo nomine atque intuitu, quòd parens
jam totus Reïpublicæ vivat, nobisque & $tudi{is} no$tr{is} civiliter
mortuus, & qua$i peregrinus factus $it. Etenim cum aliquot ab-
hinc men$ibus occa$io mibi data fuerit, ut in eum quem de Lo-
corum Planorum & Solidorum per Artem Analyticam inven-
tione tractatum Nobili{$s}imus atque Ampli{$s}imus Vir _D. I<sc>OHAN-_
_NESDE</sc> W<sc>ITT</sc>,_ Con$iliarius & Pen$ionarius, $ive mini-
$ter primarius Hollandiæ VVe$t-Fri$iæque, concinnaverat, oppor-
tunus inciderim: non potui non, cum Author{is} permi$$u in$picien-
di pote$tas mihi facta e$$et, quin $ententiam, quid de illo videre-
tur, rogatus, coram lubens exponerem. Hunc itaque quia ad-
modum $ublimem, tantoque Viro dignâ ingenio$itate con$criptum,
ac in$uper ad penitiorem bujus Geometriæ intellectum haud parum
facere po$$e deprehenderam, _(_quippe qui $ubtili{$s}imam illam de Lo-
c{is} materiam, in $ecundo Geometriæ libro paulò $uccinctiùs per-
tractatam, de integro re$umit, alioque pacto componit_:)_ con$ul-

<pb>[017]<rh><sc>AD</sc> L<sc>ECTOREM</sc>.</rh>
tum duxi, ut in publicum emolumentum edition{is} adornandæ au-
thor e$$em. At verò facilè prævidebam, $altem $uprema, quibus
fungitur, Reïpublicæ munera, gravesque homin{is} curas, impedi-
mento fore, quo minùs tam $plendida proles, quæ jam ante decen-
nium formata in conceptu huc u$que delituerat, ab$que ob$tetric{is}
auxilio, in lucem unquam produceretur. Quocirca cum eam mei
jur{is} facere non dedignatus fuerit, neque etiam copiam eorum,
quæ de Element{is} Curvarum Linearum jam pridem con$crip$it,
mibi facere recu$averit: rem ubique gratam me facturum credi-
di, $i tam hunc quam illum tractatum ab ulteriori oblivione vin-
dicandi operam darem; præ$ertim cum id i{is}, qui Mathe$in $eriò
excolunt, acceptum fore per$pexerim, quòd curvarum primi ge-
ner{is} ortum longè $impliciùs generaliusque ab ip$o quàm à veteri-
bus, ab$que ulla $olidi con$ideratione, in$pectum fui$$e, reperturi
$int. Quas itaque curvas eâ ratione pertractavit, ut non $olùm in-
de dimanet ortus $ecundi gener{is} curvarum _(_quas quidem omnes $i-
mili methodo in plano delineavit ac per $pecies di$tinxit,_)_ verùm
etiam ulteriorum graduum curvæ $ponte qua$i ex eodem fonte
fluant atque deriventur. Futurum $<?>perans, ut $i primitiæ hujus
fœtus ad illas viam $ternentes operâ meâ in lucem emitterentur,
iisque extrema imponeretur manus, quilibet judicaturus $it, &
Literatorum commodo, & hujus Viri otio in ab$olvend{is}, quæ de
Super-$olid{is} Locis adinvenit, omni ni$u à me fui$$e con$ultum ac
pro$pectum. Denique ut Methodi bujus Geometriæ dignitas $plen-
dorque omni ex parte in aperto e$$et, & cuique etiam pateret eju$-
dem calculo demon$trationes quoque Geometricas inniti aut ex eo
elici po$$e, quales à Veteribus introductæ adhuc apud Recen-
tiores pa{$s}im in u$u $unt, atque longâ propo$itionum $erie ac lem-
matum permixtione afferri $olent, continuæ $cbematum animad-
ver$ioni obnoxiæ: placuit coronidis loco & in operis complemen-
tum $ubnectere tractatum, in quo artem, ii$dem Veteribus in
difficiliorum huju$modi demon$trationum compo$itione u$itatam,
occa$ione diver$arum quæ$tionum, exponerem. ut, $cilicet, his $i-
milibu$que exemplis viam præeundo, non tantùm eju$modi de-
mon$trationes alias ex calculo facilè depromi o$tenderem; verùm
etiam boc pacto inventionis modum, quem in majorem admi-
rationem $uorum inventorum artificiosè $uppre$$erant, indica-
rem, atque Mathe$eos $tudio$os ad bujus Methodi calculum ceta<?>

<pb>[018]<rh>P<sc>RÆFATIO AD</sc> L<sc>ECTOREM</sc>.</rh>
demon$trationum amu$iim, omni ambage ac ingenii defatigatione
evitatâ, ablegarem. Quibus quidem omnibus, $i $ingulis $atisfacere
non licet, habeo $altem de quo abundè mibigratuler, quòd no$tros in
hoc $tudiorum genere labores rerum æ$timatoribus haud di$plicui$-
$e nec di$plicere $ciam. Vale. Scrip$i Leidæ, anno reparatæ $alutis
_CIɔ Iɔ CLIX._</p>
<fig/>

<pb>[019]
<h>INDEX MATERIARVM,
IN HAC
GEOMETRIA
CONTENTARVM.</h>
<ind it>
LIBER _I._
De Problematis, quæ con$trui po$$unt,
 # adhibendo tantùm rectas li-
 # neas & circulos.
_Q_Vomodo computatio Arithmetica
 # referatur ad operationes Geome-
 # tricas. # _Pag. 1_
Quomodo Geometricè fiat Multiplicatio, Di-
 # vi$io, & radic{is} Quadratæ Extractio. # _2_
Quo pacto not{is} uti liceat in Geometria. # _ib_.
Quomodo ad Æquationes perveniendum $it,
 # quæ re$olvendis Problemat{is} in$erviunt # _4_
Quænam $int Problemata Plana, & quo-
 # modo ip$are$olvantur. # _5 & 6_
Quæ$tio de$umpta ex Pappo. # _7_
Re$pon$um ad Quæ $tionem Pappi. # _11_
Quomodo ponendi $int termini in hac Quæ-
 # $tione, ut ad Æquationem deveniatur. # _13_
Quo pacto cogno$catur, Problema hoc e$$e
 # planum, quando illud in quinque tan-
 # tùm line{is} e$t propo$itum. # _15_
LIBER _II._
_De natura linearum curvarum._
_Q_Vænam $int curvæ lineæ, quæ in Geo-
 # metriam recipi po$$unt. # _17_
Ratio di$tinguendi eas in certa genera: Et
 # cogno$cendi relationem, quam omnia il-
 # larum puncta habent ad puncta linea-
 # rum rectarum. # _21_
Continuatio explication{is} Quæ$tionis, quæ
 # præcedenti libro ex Pappo $uit allata. # _24_
Solutio bujus Quæ$tionis, cùm ip$a in _3_ aut
 # _4_ tantùm lineis e$t propo$ita. # _25_
Demon$tratio eju$dem $olutionis. # _32_
Quid intelligendum $it per loca Plana, &
 # Solida: Et ratio ip$a inveniendi. # _34_
Quænam $it prima & $implici$$ima linea-
 # rum curvarum, Veterum Quæ$tioni in-
 # $ervientium, cùm ip$a Quæ$tio in 5 li-
 # neis e$t propo$ita. # _35_
Quænam curvæ lineæ in Geometriam $int
 # recipiendæ, quæ de$cribuntur, inveniendo
 # plur a earum puncta. # _38_
Quænam etiam illæ $int, quæ ope fili de$cri-
 # buntur, & ibidem recipi po$$unt. # _39_
Quòd, ad inveniendum omnes linearum
 # curvarum proprietates, $ufficiat $cire re-
 # lationem, quam omnia illarum puncta
 # habent ad puncta linearum rectarum, &
 # modum ducendi lineas rectas, quæ ip$as
 # $ecent in omnibus illis punctis ad angu-
 # los rectos. # _40_
Modus generalis inveniendi lineas rectas,
 # quæ $ecent datas curvas, vel earum con-
 # tingentes, ad angulos rectos. # _ibid._
Exemplum bujus operation{is} in Ellip$i; Et
 # in Parabola $ecundi generis. # _41 & 42_
Aliud exemplum in Ellip$i $ecundi gene-
 # ris. # _42_
Exemplum con$tructionis hujus Problema-
 # tis in Conchoide. # _49_
Explicatio quatuor generum novarum O-
 # valium, Opticæ in$ervientium. # _50_
Proprietates harum Ovalium, concernentes
 # refiexiones & refractiones. # _55_
Demon$tratio harum proprietatum. # _57_
Quomodo vitrum ficri po$$it, cujus una $u-
 # perficies tam convexa aut concava $it,
 # quàm libuerit, quod radios omnes, qui
 # ex uno dato puncto prodeunt, colligat
 # rur$us in altero dato puncto. # _61_
Quomodo aliud fieri po$$it, quòd idem præ-
 # $tet, cujus convexitas unius $uperficiei
 # datam rationem habeat ad convexita-
 # tem vel concavitatem alterius. # _63_

<pb>[020]<rh>I<sc>NDEX</sc>.</rh>
Quomodo idomne, quod hîc de lineis curvis,
 # in plana $uperficie de$criptis, dictum
 # fuit, applicari po$$it ad illas, quæ de$cri-
 # buntur in $patio trium dimen$ionum $ive
 # $uperficie aliqua curva. # _65._
LIBER _III._
_De con$tructione Problematum Soli-_
_dorum, & Solida excedentium._
_Q_Vænam curvæ lineæ adbiberi po$$int
 # ad con$tructionem cuju$que Proble-
 # matis. # _67_
Exemplum concernens inventionem plurium
 # mediarum proportionalium. # _ibid._
De natura Æquationum. # _69_
Quot haberi po$$int radices in qualibet Æ-
 # quatione. # _ibid._
Quænam $int fal$æradices. # _ibid._
Quomodo diminui po$$it dimen$ionum nu-
 # merus alicujus Æquationis, quando co-
 # gno$citur aliqua ex ejus radicibus. # _ibid._
Quâ ratione indagari queat, num data
 # quantitas $it valor alicujus radicis. # _70_
Quot haberi po$$int veræ radices in quali-
 # bet Æquatione. # _ibid._
Quomodo faciendum $it, ut fal$æ radices
 # Æquationis evadant veræ, & veræ
 # fal$æ. # _ibid._
Quomodo augeri vel diminui po$$int Æqua-
 # tionis radices, ip$is non cognitis. # _71_
Quòd, augendo veras radices, fal$æ dimi-
 # nuantur, & contra. # _72_
Quâ ratione $ecundus terminus Æquatio-
 # nis tolli po$$it. # _ibid._
Quo pacto fiat ut $al$æ radices Æquationis
 # evadant veræ, nec tamen veræ fiant fal-
 # $æ. # _74_
Quomodo faciendum $it, ut loca omnia
 # Æquationis $int completa. # _ibid._
Quomodo multiplicari vel dividi po$$int Æ-
 # quationis radices, ip$is incognitis. # _75_
Quâ ratione fracti numeri alicujus Æqua-
 # tionis reducantur adintegros. # _ibid._
Quo pacto quantitas cognita alicujus ter-
 # mini Æquationis æqualis fiat cuicunque
 # alteri datæ. # _76_
Quòdradices tam veræ quàm $al$æ po$$int
 # e$$e reales, vel imaginariæ. # _ibid._
Reductio Æquationum Cubitarum, cùm
 # Problema e$t Planum. # _ibid._
Modus dividendi Æquationem per bino-
 # mium, quodillius continet radicem. # _77_
Quænam Problemata $int Solida, Æqua-
 # tione exi$tente Cubica. # _79_
Reductio Æquationum quatuor dimen$io-
 # num, cùm Problema e$t Planum. Et
 # quænam illa $int, quæ Solida $unt dicen-
 # da. # _ibid._
Reductio Æquationis Quadrato-quadratæ
 # ad Cubicam. # _ibid._
Exemplum o$tendens u$um barum reductio-
 # num. # _82_
Regula generalis reducendi Æquationes
 # omnes, quæ Quadrato quadratum ex-
 # cedunt. # _84_
Modus generalis con$truendi omnia Proble-
 # mata Solida, reducta ad Æquationem
 # trium, quatuorve dimen$ionum. # _85_
Inventio duarum mediarum proportiona-
 # lium. # _91_
Ratio dividendi angulum in tres partes æ-
 # quales. # _ibid._
Quòd omnia Solida Problemata reduci po$-
 # $int ad ba$ce duas con$tructiones. # _92_
Modus exprimendi valorem radicum om-
 # nium, Æquationum Cubicarum, ac per
 # con$equens illarum omnium, quæ Qua-
 # drato-quadratum non excedunt. # _94_
Cur Problemata Solida con$trui non po$$int
 # ab$que $ectionibus Conicis, nec quæ ma-
 # gis compo$ita $int $ine aliis lineis, magis
 # compo$itis. # _96_
Modus generalis con$truendi Problemata
 # omnia, reducta ad Æquationem, $ex di-
 # men$iones non excedentem. # _97_
Inventio quatuor mediarum proportiona-
 # lium. # _104._
</ind>

<pb 1>[021]
<h>RENATI DESCARTES
GEOMETRIÆ
LIBER PRIMVS.</h>
<h it>De Problematibus, quæ con$trui po$$unt, adhi-
bendo tantùmrectas lineas & circulos.</h>
<p>OMnia Geometriæ Problemata facilè
ad huju$modi terminos reduci po$$unt,
ut deinde ad illorum con$tructionem,
opùs tantùm $it rectarum quarundam
linearum longitudinem cogno$cere.</p>
<p>Et quemadmodum Arithmetica to-
<mgr>_Quomod@_
_computa-_
_tio Ari-_
_thmetic@_
_referatur_
_ad opera-_
_tiones Geo-_
_metricas._</mgr>
ta ex quatuor aut quinque $olummodo
operationibus con$tat, quæ $unt Additio, Subtractio, Mul-
tiplicatio, Divi$io, & Radicum Extractio, (quæ pro qua-
dam Divi$ionis $pecie haberi pote$t:) Ita $imiliter in
Geometria, quod $pectat ad lineas, quæ quæruntur, præ-
parandas, ut cognitæ fiant, aliud faciendum non e$t,
<mgr>A</mgr>
quàm ut vel ip$is addantur, vel ab ii$dem $ubtrahantur
aliæ; vel etiam $i una $it, (quæ vocetur unitas, ut eò com-
<mgr>B, C</mgr>
modiùs ad numeros referatur, quamque communiter pro
libitu a$$umere licet) atque præter hanc adhuc aliæ duæ,
ut ad ip$as inveniatur quarta, quæ $it ad alterutram,
<mgr>D</mgr>
ut e$t altera ad unitatem, quodidem e$t, atque Multi-
plicatio; vel ut per ip$as inveniatur quarta, quæ $it ad
<mgr>E</mgr>
unam ex illis duabus, ut unitas ad alteram, quod con-
venit cum Divi$ione; vel denique, ut inter unitatem &
aliam quandam rectam inveniantur una, aut duæ, plu-

<pb 2>[022]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
re$ve mediæ proportionales, quod idem e$t, quod radi-
<mgl>_Quomodo_
_Geome-_
_trice fiat._</mgl>
cis Quadratæ, aut Cubicæ, &c. extractio. Neque enim
ho$ce Arithmetices terminos, ut faciliùs intelligi po$$im,
<mgl>_Multipli-_
_eatio,_</mgl>
in Geometriam introducere verebor.</p>
<hd>
<fig>
<var>E C D A B</var>
</fig>
<p>Sit, exempli gra-
tiâ, A B unitas, opor-
teatque multiplicare
B D per B C: jun-
go puncta A & C,
ductâque D E paral-
lelâ A C, erit B
E productum hujus
multiplicationis.</p>
<p>Vel $i dividenda $it B E per B D, junctis punctis E
<mgl>_Divi$io,_</mgl>
& D, duco A C parallelam ip$i D E, eritque B C quo-
tiens hujus Divi$ionis.</p>
<mgl>_Extractio_
_radicis_
_Quadra-_
_tæ._</mgl>
<fig>
<var>I F G K H</var>
</fig>
<p>Vel denique $i ex G H
extrahere oporteat radicem
Quadratam, adjungo ip$t
in directum lineam rectam
F G, quæ unitas e$t; divi-
sâque F H bifariam in pun-
cto K, centro K interval-
lo F K $eu K H de$cribo circulum. quo facto, erit G I,
quæ ex puncto G perpendicularis ducitur $uper F H u$-
que ad I, radix quæ$ita.</p>
<p>Nihil hîc de radice Cubicâ, nec de aliis dico, quòd
<mgl>_Quo pacto_
_notis uti_
_liceat in_
_Geome-_
_tria._</mgl>
de iis in $equentibus commodiùs $im acturus.</p>
<p>At verò $æpe non e$t opùs, ha$ce lineas ita in char-
ta ducere, $ed $ufficit illas litteris quibu$dam de$igna-
re, $ingulas $ingulis. Vt ad addendam lineam B D li-
neæ G H, voco unam _a_ & alteram _b_, $criboque <math>a + b</math>;
Et <math>a - b</math>, ad $ubtrahendam _b_ ex _a_; Et _a b_, ad mul-

<pb 3>[023]<rh>L<sc>IBER</sc> P<sc>RIMVS</sc>.</rh>
tiplicandam unam per alteram; Et {_a_/_b_}, ad dividendam
_a_ per _b_; Et _a a_, $eu _a_<_>2</_>, ad multiplicandam _a_ in $e;
Et _a_<_>3</_>, ad eandem adhuc $emel multiplicandam per _a_,
atque ita in infinitum; Et <math><r>a^2+b^2</r></math>, ad extrahendam
radicem Quadratam ex <math>a^2 + b^2</math>; Et <math><r>C.a^3 - b^3 + abb</r></math>,
ad extrahendam radicem Cubicam ex <math>a^3 - b^3 + abb</math>,
& $ic de cæteris.</p>
<p>Vbi notandum e$t, quòd per _a_<_>2</_> vel _b_<_>3</_>, $imile$ve,
communiter, non ni$i lineas omnino $implices conci-
piam, licèt illas, ut nominibus in Algebra u$itatis utar,
Quadrata aut Cubos, &c. appellem.</p>
<p>Deinde etiam notandum, quòd omnes eju$dem li-
neæ partes, quando unitas in quæ$tione non e$t deter-
minata, æque-multis $emper dimen$ionibus exprimi
debeant, ut hîc _a_<_>3</_> tot habet dimen$iones, quot _abb_,
aut _b_<_>3</_>, ex quibus compo$ita e$t linea, quam nominavi
<math><r>C.a^3 - b^3 + abb</r></math>; Sed hoc non e$t nece$$e, cùm uni-
tas determinata exi$tit, quoniam illa ubique $ubintelligi
pote$t, ubi vel nimis multæ, vel nimis paucæ dimen-
$iones reperiuntur. Vt $i radix Cubica $it extrahenda ex
<mgr>F</mgr>
_aabb_ - _b_, cogitandum e$t, quantitatem _a a b b_ $emel
divi$am e$$e per unitatem, atque alteram quantitatem
_b_ bis per eandem e$$e multiplicatam.</p>
<p>Cæterùm ut quis facilè linearum nominum recorde-
tur, oportet $emper illa in catalogum referre, prout $up-
ponuntur vel mutantur, $cribendo exempli causâ</p>
<p>A B = I, hoc e$t, A B æqualis e$t I, $eu unitati.</p>
<p>G H = _a_</p>
<p>B D = _b_, &c.</p>
<p>Re$oluturus igitur aliquod Problema, con$iderabit
<mgr>G
_Quomodo_
_ad Æqua-_
_tiones per-_
_venien-_
_dum_</mgr>
illud primâ fronte, ut jam factum, nominaque impo-
net lineis omnibus, quæ ad con$tructionem ip$ius ne-

<pb 4>[024]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
ce$$ariæ videbuntur, tam iis, quæ incognitæ $unt,
<mgl>_$it, quæ re-_
_$olvendis_
_Proble-_
_matis in-_
_$erviunt._</mgl>
quàm quæ cognitæ. Deinde nullo inter lineas ha$ce co-
gnitas & incognitas facto di$crimine, evolvenda e$t Pro-
blematis difficultas, eo ordine, quo omnium naturali$$i-
mè pateat, quâ ratione dictæ lineæ à $e invicem depen-
deant, donec inventâ fuerit via eandem quantitatem
duobus modis exprimendi, id quod Æquatio vocatur;
æquales enim $unt termini modi unius terminis modi al-
terius. Iam verò tot huju$modi Æquationes invenire
oportebit, quot $uppo$itæ fuerunt incognitæ lineæ.
Vel $i totidem non inveniantur, nec tamen quidquam
<mgl>G G</mgl>
eorum, quæ in quæ$tione de$iderantur, omittatur, ar-
gumentum e$t, illam non penitùs e$$e determinatam.
Tunc enim ad arbitrium a$$umi po$$unt lineæ cognitæ
pro incognitis, quibus non re$pondet aliqua Æquatio.
Po$tea verò $i plures adhuc $uper$int, ordine quoque u-
<mgl>G G G</mgl>
tendum erit unaquâque Æquationum reliquarum, $ive
illam con$iderando $eparatim, $ive ip$am comparando
cum aliis, ad explicandam unamquamque ex incognitis
lineis; atque ita, reducendo illas, efficere oportet, ut tan-
<mgl>H</mgl>
tùm una remaneat, æqualis alteri cognitæ, aut cujus qua-
dratum, $ive cubus, $ive quadrato-quadratum, $ive $ur-
de-$olidum, $ive quadrato-cubus, &c. æqualis $it ei,
quod provenit ex additione vel $ubtractione duarum,
pluriumve aliarum quantitatum, quarum una quidem
cognita $it, reliquæ autem compo$itæ ex quibu$dam me-
diis proportionalibus inter unitatem & dictum quadra-
tum, $ive cubum, $ive quadrato-quadratum, &c. multi-
plicatis per alias cognitas. Quod hoc pacto de$igno.
<math>z = b, aut</math>
<math>z^2 = - a z + b^2, aut</math>
<math>z^3 = + a z^2 + b^2 z - c^3, aut</math>
<math>z^4 = + a z^3 + b^2 z^2 - c^3 z + d^4, &c.</math>

<pb 5>[025]<rh>L<sc>IBER</sc> P<sc>RIMVS</sc>.</rh>
Hoc e$t, <math>z</math>, quam pro quantitate incognita $umo, e$t
æqualis ip$i <math>b</math>; aut quadratum à <math>z</math> æquale e$t quadra-
to ex <math>b</math>, minus producto ex <math>a</math> in <math>z</math>; aut cubus à <math>z</math>
æqualis e$t producto ex <math>a</math> in quadratum ip$ius <math>z</math>, plus
quadrato ex <math>b</math> ducto in <math>z</math>, minus cubo ex <math>c</math>. & $ic de
cæteris.</p>
<p>Po$$unt autem $emper quantitates incognitæ ita ad
unam $olam reduci, atque tum Problema con$trui per
rectas lineas & circulos, aut per $ectiones Conicas, aut
denique per aliam quandam lineam, quæ nonni$i uno
duobu$ve gradibus magis $it compo$ita.</p>
<p>Sed nolo hîc prolixus e$$e, ut hoc magis particulatim
explicem, eò quod vobis voluptatem præriperem di$cen-
di id ip$um ve$tro marte, & utilitatem ingenium ve-
$trum excolendi, dum vos in eo exercetis, quæ, meo
quidem judicio, præcipua e$t, quam ex hac $cientia per-
cipere licet. Deinde etiam, quòd nihil hîc adeò diffici-
le deprehendam, ut ab illis, qui utcunque in Geometria
communi atque Algebra ver$ati $unt, & ob$ervaturi
porrò $unt, quæ tractatu hoc continentur, inveniri non
po$$it.</p>
<p>Atque ideo $ufficiet, Vos monere, $i quis in reducen-
<mgr>I</mgr>
dis hi$ce Æquationibus non omi$erit uti divi$ionibus
omnibus quæ fieri po$$unt, ip$um quoque in$allibiliter
habiturum $implici$$imos terminos, ad quos quæ$tio re-
duci po$$it.</p>
<p>Iam verò $i illa per Geometriam communem re$ol-
<mgr>_Luœnam_
_$int Pro-_
_blemat@_
_Plana_.</mgr>
vi pote$t, hoc e$t, utendo tantùm rectis lineis & cir-
cularibus, in plana aliqua $uperficie de$criptis, po$t-
quam ultima Æquatio omnino fuerit reducta, relin-
quetur nil præter quadratum aliquod incognitum, æ-
quale ei, quod provenit ex additione vel $ubtractio-
ne ejus radicis, multiplicatæ per quantitatem ali-

<pb 6>[026]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
quam cognitam, & alterius cuju$dam quantitatis co-
gnitæ.
<mgl>_Luomodo_
_ip$a re$ol-_
_vantur._</mgl></p>
<p>Tuncque radix illa, $ive incognita linea, facilè inve-
nitur. Nam $i, exempli gratiâ, habeatur</p>
<fig>
<var>O N P L M</var>
</fig>
<p><math>zz = az + bb</math>,
facio triangulum re-
ctangulum N L M,
cujus unum latus L M
$it æquale <math>b</math>, radi-
ci videlicet quadratæ
quantitatis cognitæ
<math>bb</math>, alterum autem
latus L N æquale <math>{1/2} a</math>,
$emi$$i nimirum reli-
quæ quantitatis co-
gnitæ, quæ multiplicata e$t per <math>z</math>, quam $uppono lineam
e$$e incognitam. Deinde productâ M N, ba$e eju$dem
trianguli, u$que ad O, ita ut N O $it æqualis N L: erit
<mgl>K</mgl>
tota O M æqualis <math>z</math>, lineæ quæ$itæ. Quæ quidem $ic
exprimitur
<math>z = {1/2} a + <r>{1/4} aa + bb.</r></math></p>
<p>Quòd $i verò habeatur <math>yy = - ay + bb</math>, atque <math>y</math> $it
quantitas, quam invenire oporter, facio rur$us idem
triangulum N L M, & à ba$e ejus M N aufero N P, æqua-
lem N L, eritque reliqua P M, æqualis <math>y</math>, radici quæ-
<mgl>L</mgl>
$itæ. Ita ut fiat <math>y = - {1/2} a + <r>{1/4} aa + bb.</r></math> Nec aliter fit,
<mgl>M</mgl>
$i proponatur <math>x^4 = - ax^2 + b^2</math>. PM enim e$$et <math>x^2</math>, &
haberetur <math>x = <r> - {1/2} a + <r>{1/4} aa + bb:</r></r></math> atque ita de
aliis.</p>

<pb 7>[027]<rh>L<sc>IBER</sc> P<sc>RIMVS</sc>.</rh>
<fig>
<var>N L R Q M</var>
</fig>
<p>Denique $i habeatur
<math>zz = az - bb</math>:
facio N L æqualem <math>{1/2} a</math>, & L M
æqualem <math>b</math>, ut ante. Deinde non
duco lineam per puncta M & N,
ut in duobus aliis ca$ibus, $ed
duco M Q R parallelam ip$i
L N; centroque N de$cripto per
L circulo, $ecante M Q R in
punctis Q & R, erit M Q vel
M R æqualis lineæ quæ$itæ <math>z</math>.
Hoc enim ca$u illa duobus mo-
dis exprimitur, nimirum <math>z = {1/2} a + <r>{1/4} aa - bb</r></math>, vel
etiam <math>z = {1/2} a - <r>{1/4} aa - bb</r></math>.</p>
<p>Quòd $i circulus centrum $uum habens in puncto N,
<mgr>N</mgr>
tran$ien$que per punctum L, non $ecet nec tangat li-
neam rectam M Q R, nullam itidem Æquatio radicem
admittet, ita ut inde a$$erere liceat con$tructionem Pro-
blematis propo$iti e$$e impo$$ibilem.</p>
<p>Cæterum po$$unt hæ ip$æ radices infinitis fermè aliis
modis inveniri; $ed prædictos tantùm in medium afferre
volui, velut admodum $implices, ut hâc ratione pateat,
Problemata omnia Geometriæ communis con$trui po$-
$e, faciendo tantùm ea pauca, quæ quatuor præceden-
tibus figuris expo$ui. Quod quidem non credo à Ve-
teribus fui$$e animadver$um, cum aliàs laborem eâ de re
tantos libros con$cribendi non $u$cepi$$ent, in quibus vel
$olus ordo propo$itionum $atis nobis o$tendit, quòd ip$is
non con$titerit vera ratio inveniendi omnes, $ed quòd
$olummodo collegerint illas, in quas fortè inciderunt.</p>
<p>Quod etiam ex iis, quæ Pappus initio $ui $eptimi libri
<mgr>_Luœ$tio_
_de$umpta_
_ex Pappo_.</mgr>
$cribit, evidenti$$imè liquet. Vbi po$tquam aliquamdiu
in recen$endis illis omnibus, quæ ab antece$$oribus $uis in

<pb 8>[028]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
Geometria $cripta $unt, occupatus fuit, tandem de quæ-
$tione quadam loquitur, quam nec Euclides, nec Apollo-
nius, nec qui$quam alius penitùs re$olvere potuerat, his
verbis:</p>
<p it>Luem autem dicit (Apollonius)in tertio libro locum ad
tres, & quatuor lineas ab Euclide perfectum non e$$e, ne-
que ip$e perficere poter at, neque aliquis alius: $ed neque
paululum quid addere iis, quæ Euclides $crip$it, per ea
tantùm Conica, quæ u$que ad Euclidis tempor a pr æmon-
$trata $unt, &c.</p>
<p>Paulò autem po$t explicat, quæ$tionem illam e$$e
hanc $equentem.</p>
<p it>At locus ad tres & quatuor lineas, in quo _(_Apollonius_)_
magnificè $e jactat, & o$tent at, nullâ habitâ gratiâ ei, qui
priùs $crip$erat, e$t huju$modi. Sipo$itione datis tribus
rectis lineis ab uno & eodem puncto, ad tres lineas in da-
tis angulis rectæ lineæ ducantur, & data $it proportio re-
ctanguli contenti duabus ductis ad quadratum reliquœ:
punctum contingit po$itione datum $olidum locum, hoc e$t,
unam ex tribus conicis $ectionibus. Et $i ad quatuor re-
ctas lineas po$itione datas in datis angulis lineœ ducan-
tur; & rectanguli duabus ductis contenti ad contentum
duabus reliquis proportio data $it: $imiliter punctum da-
tam coni $ectionem po$itione continget. Si quidem igitur
ad duas tantùm, locus planus o$ten$us e$t. Luòd $i ad plu-
res quàm quatuor, punctum continget locos non adhuc co-
gnitos, $ed lineas tantùm dictas; quales autem $int, vel
quam habeant proprietatem, non con$tat: earum unam,
neque primam, & quœ manife$ti$$ima videtur, compo$ue-
runt, o$tendentes utilem e$$e, propo$itiones autem ip$arum
hœ $unt.</p>
<p it>Si ab aliquo puncto, ad po$itione datas rectas lineas,
quinque ducantur rectœ lineœ in datis angulis, & data

<pb 9>[029]<rh>L<sc>IBER</sc> P<sc>RIMVS</sc>.</rh>
$it proportio $olidi parallelepipedi rectanguli, quod tri-
bus ductis lineis continetur, ad $olidum par allelepipe-
dum rectangulum, quod continetur reliquis duabus, &
datâ quâpiam lineâ, punctum po$itione datam lineam
continget. Si autem ad $ex, & data $it proportio $olidi
tribus lineis contenti ad $olidum, quod tribus reliquis
continetur; rur$us punctum continget po$itione datam
lineam. Luòd $i ad plures quàm $ex, non adhuc habent
dicere, an data $it proportio cuju$piam contentiquatuor
lineis, ad id, quod reliquis continetur: quoniam non e$t
aliquid contentum pluribus quàm tribus dimen$ionibus.</p>
<p>Vbi velim ut ex occa$ione notetis, Veteres Mathema-
ticos, ex eo, quòd vocabulis in Arithmetica u$itatis, ad
operationes Geometricas $ignificandas, liberè uti no-
luerint, $æpe in modos eas explicandi valde intricatos &
ob$curos incidi$$e, cujus rei non alia potuit cau$a e$$e,
quàm quòd non $atis accuratè perceperint, quænam $it
inter illas duas $cientias affinitas. Pergit enim Pappus
hoc modo.</p>
<p it>Acquie$cunt autem his, qui paulò ante talia interpre-
tati $unt, neque unum aliquo pacto comprehen$ibile $i-
gnificantes, quod his continetur. Licebit autem per con-
junctas proportiones hœc, & dicere, & demon$tr are uni-
versè in dictis proportionibus, atque his in hunc modum.
Si ab aliquo puncto ad po$itione datas rectas lineas du-
cantur rectœ lineœ in datis angulis, & data $it proportio
conjuncta ex ea, quam habet una ductarum ad unam, &
altera ad alteram, & alia ad aliam, & reliqua ad da-
tam lineam, $i $int $eptem; $i verò octo, & reliqua ad re-
liquam : punctum continget po$itione datas lineas. Et
$imiliter quotcunque $int impares vel pares multitudine,
cum bœc, ut dixi, loco ad quatuor lineas re$pondeant,
nullum igitur po$uerunt, it a ut line a not a $it &c.</p>

<pb 10>[030]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<p>Quæ$tio itaque quam Euclides re$olvere inceperat at-
que Apollonius continuaverat, $ed quæ à nemine fuit per-
fecta, erat huju$modi.</p>
<p>Datis po$itione tribus, quatuorve, aut pluribus rectis
lineis; quæritur primò punctum, à quo totidem aliæ re-
ctæ lineæ, $ingulæ ad $ingulas datarum duci po$$int, quæ
cum ip$is datos efficiant angulos, & quarum rectangu-
lum, $ub duabus contentum, datam habeat rationem ad
quadratum tertiæ, $i $int tres; vel ad rectangulum reli-
quarum duarum, $i $int quatuor; Aut $i quinque $int, ut
parallelepipedum, quod $ub tribus ex illis comprehen-
ditur, datam habeat rationem ad parallelepipedum,
quod $ub duabus reliquis comprehenditur & alia quadam
data; Aut $i $ex $int, ut parallelepipedum $ub tribus
contentum datam habeat rationem ad parallelepipe-
dum $ub tribus reliquis comprehen$um; Aut $i $int
$eptem, ut hoc, quod producitur ex multiplicatione qua-
tuor ductarum in $e invicem, datam habeat rationem ad
illud, quod ex mutua multiplicatione reliquarum trium
& alia quadam data producitur; Aut $i $int octo, ut id,
quod ex quatuor ductis inter $e multiplicatis producitur,
datam habeat rationem ad productum ex reliquis qua-
tuor. Atque ita porrò quæ$tionem hanc, ad omnem
alium linearum numerum, extendere licet.</p>
<p>Deinde, quia $emper infinita $unt puncta, quæ $atisfa-
cere po$$unt iis, quæ hîc quæruntur, requiritur in$uper,
ut cogno$catur atque de$cribatur linea, in quâ illa omnia
reperiantur</p>
<p>Dicit autem Pappus, $i tantùm 3 aut 4 lineæ dentur,
lineam illam tunc aliquam ex $ectionibus Conicis exi$te-
re. Verùm non $u$cipit ip$am determinare neque de$cri-
bere, non magis quàm explicare lineas illas, in quibus
quæ$ita puncta inveniri debent, quando quæ$tio propo$i-

<pb 11>[031]<rh>L<sc>IBER</sc> P<sc>RIMVS</sc>.</rh>
ta e$t in pluribus lineis. Tantùm addit, quòd Veteres
unam ex illis $ibi imaginati fuerint, quam ibidem utilem
e$$e mon$trarunt, $ed quæ manife$ti$$ima videretur, nec
tamen prima exi$teret. Quod occa$ionem mihi præbuit
tentandi, num illâ. quâ utor, methodo, æquè longè,
quàm illi pervenerunt, progredi liceret.</p>
<p>Primò autem inveni, quòd, dum hæc quæ$tio in tri-
<mgr>_Re$pon-_
_$um ad_
_Luœ$tio-_
_nem Pap-_
_pi_.</mgr>
bus, quatuorve, aut quinque duntaxat lineis proponi-
tur, puncta quæ$ita per $implicem $emper Geometriam
inveniri queant; hoc e$t, ut non ni$i regulâ atque circi-
no utamur; nec aliud quidquam, quàm quod jam tradi-
tum e$t, faciamus. Præterquam $i quinque lineæ dantur,
quæ omnes inter $e parallelæ fuerint. Quo ca$u, ut &
quum quæ$tio in 6, 7, 8, aut 9 lineis proponitur, quæ$ita
puncta per Solidorum Geometriam inveniri po$$unt;
hoc e$t, adhibendo, ad con$tructionem, aliquam ex tri-
bus Conicis $ectionibus. Excepto tantùm, $i novem li-
neæ datæ fuerint, quæ omnes inter $e parallelæ exi$tant.
Quo ca$u, ut & quum quæ$tio in 10, 11, 12, aut 13 lineis
propo$ita e$t, quæ$ita puncta per curvam lineam, quæ
uno tantùm gradu magis compo$ita e$t, quàm $ectiones
Conicæ, inveniri po$$unt. Excepto in 13, quæ omnes in-
ter $e $int parallelæ. quo ca$u, ut & in 14, 15, 16, & 17 li-
neis, linea curva adhiberi debet, quæ uno gradu $upra
præcedentem compo$ita e$t. Atque ita in infinitum.</p>
<p>Deinde inveni quoque, $i tantùm tres aut quatuor li-
neæ datæ fuerint, quæ$ita puncta, non modò in aliqua
trium Conicarum $ectionum, $ed interdum etiam in cir-
culi circumferentia, aut in recta linea reperiri. Et $i 5,
6, 7, aut 8 lineæ datæ fuerint, tum puncta illa incidere in
aliquam ex lineis, uno gradu magis compo$itis, quàm
$ectiones Conicæ. Quarum quidem nullam, quæ ad
hanc quæ$tionem non $it utilis, imaginari licet. Sed po$-

<pb 12>[032]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
$unt rur$us illa etiam in $ectione Conica, aut in Circulo,
aut linea recta reperiri. Similiter $i 9, 10, 11, aut 12 li-
neæ datæ fuerint, reperientur hæc puncta in aliqua linea,
quæ non ni$i uno gradu $upra præcedentes poterit e$$e
compo$ita: quemadmodum etiam nullam earum ima-
ginari licet, quæ ibidem utilis e$$e non po$$it. Atque ita
porrò in infinitum.</p>
<p>Denique prima & po$t Conicas $ectiones $implici$$i-
ma, ea e$t, quæ per Parabolæ & rectæ lineæ inter$ectio-
nem de$cribi pote$t, quemadmodum pò$t explicabitur.
Adeò ut exi$timem, me pror$us $atisfeci$$e iis, quæ Pap-
pus nobis commemorat hîc à Veteribus fui$$e quæ$ita.
quorum quidem demon$trationem paucis $ubjicere co-
nabor. Quippe me tædet jam multa hac de re $crip$i$$e.</p>
<fig>
<var>T S R E A B G H F C D</var>
</fig>
<p>Sint AB, AD, EF, GH, &c. lineæ quotcunque
po$itione datæ, oporteatque invenire punctum, ut C,

<pb 13>[033]<rh>L<sc>IBER</sc> P<sc>RIMVS</sc>.</rh>
à quo $i ducantur totidem aliæ ad po$itione datas, ut
CB, CD, CF, & CH, in datis angulis CBA, CDA,
CFE, CHG, &c. ut hoc, quod producitur ex multi-
plicatione certarum quarundam harum linearum, $it
æquale illi, quod producitur ex multiplicatione reli-
quarum; vel etiam ut unum ad alterum datam habeat
rationem. id enim quæ$tionem difficiliorem non reddit.</p>
<p>Primò itaque rem ut jam factam $uppono, atque ut
<mgr>_Luomede_
_ponendi_
_$int ter-_
_mini in_
_hac Luœ-_
_$tione, ut_
_ad Æqua-_
_tionem de-_
_veniatur_.</mgr>
ex harum omnium linearum confu$ione me expediam,
con$idero unam ex datis, atque unam ex quæ$itis, exem-
pli gratiâ, AB & CB, velut præcipuas, & ad quas re-
liquas omnes referre conor. Ponendo nimirum $egmen-
tum lineæ AB, quod intra puncta A & B continetur,
vocari <math>x</math>. B C autem vocari <math>y</math>. alia$que lineas datas
omnes productas e$$e, donec $ecent ha$ce duas, etiam
productas, $i opùs fuerit, & ip$is non $int paralle-
læ. quemadmodum hîc apparet illas $ecare, lineam qui-
dem A B in punctis A, E, & G; BC verò in punctis R,
S, & T. Deinde quia omnes anguli trianguli A R B dati
$unt, data quoque erit ratio, quæ e$t inter ejus latera
A B & B R, quam pono ut <math>z</math> ad <math>b</math>, ita ut, cum A B $it <math>x</math>,
R B futura $it <math>{bx / z}</math>, CR autem <math>y + {bx / z}</math>: $iquidem punctum
B cadit inter puncta C & R; nam $i R caderet inter C
& B, C R e$$et <math>y - {bx / z}</math>; $in verò C caderetinter B & R,
CR foret <math>- y + {bx / z}</math>. Similiter, dantur quoque tres an-
guli trianguli D R C, unde & ratio, quæ e$t inter latera
CR & CD, quam pono ut <math>z</math> ad <math>c</math>: ita ut, cum CR $it
<math>y + {bx / z}</math>, C D futura $it <math>{cy / z} + {bcx / zz}</math>. Po$tea, quia lineæ
AB, AD, & EF po$itione datæ $unt, data quoque erit
di$tantia puncti A à puncto E: quæ $i nominetur <math>k</math>, ha-
bebitur EB æqualis <math>k + x</math>; foret autem ip$a <math>k - x</math>,

<pb 14>[034]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
$i punctum B caderet inter E & A; at verò <math>- k + x</math>, $i
E caderet inter A & B. Rur$us, quoniam anguli trian-
guli E S B omnes dantur, dabitur quoque ratio lateris
B E ad B S: quam $i ponam e$$e ut <math>z</math> ad <math>d</math>, B S
fiet <math>{dk + dx / z}</math>, C S verò <math>{zy + dk + dx / z}</math>; quæ quidem foret
<math>{zy - dk - dx / z}</math>, $i punctum S caderet inter B & C; at verò
<math>{- zy + dk + dx / z}</math>, $i C caderet inter B & S. Porrò dantur
tres anguli trianguli F S C, & con$equenter ratio ip$ius
C S ad C F, quæ $it ut <math>z</math> ad <math>e</math>, unde tota C F erit
<math>{ezy + dek + dex / zz}</math>. Eodem modo, data e$t A G, quam vo-
co <math>l</math>, unde B G erit <math>l - x</math>, & quia in triangulo B G T ra-
tio ip$ius BG ad BT data e$t, quæ $itut <math>z</math> ad <math>f</math>, erit
<math>BT = {fl - fx / z}</math>, & <math>CT = {zy + fl - fx / z}</math>. Rur$us, propter
triangulum TCH, data e$t ratio ip$ius CT ad CH: quam
$i ponamus ut <math>z</math> ad <math>g</math>, habebitur <math>CH = {+ gzy + fgl - fgx / zz}</math>.</p>
<p>Atque ita videre e$t, quòd, po$itione datis quotcun-
que lineis, ex puncto C $emper totidem aliæ ad illas du-
ci po$$int in datis angulis, (juxta quæ$tionis tenorem;)
quæ $ingulæ exprimantur ad $ummum per tres terminos;
quorum quidem unus compo$itus $it ex quantitate in-
cognitâ <math>y</math>, multiplicatâ aut divisâ per aliam quandam
cognitam; $ecundus verò ex incognitâ quantitate <math>x</math>,
etiam multiplicatâ aut divisâ per aliam quandam cogni-
tam; ac tertius denique ex quantitate aliquâ omnino
cognitâ. Excepto tantùm, $i datæ lineæ $int omnes pa-
rallelæ, vel lineæ AB, (quo ca$u terminus ex quantita-
te <math>x</math> compo$itus evane$cet;) vel etiam lineæ CB, (quo
ca$u terminus ex quantitate <math>y</math> compo$itus evane$cet;)
quemadmodum id plus $atis per $e manife$tum e$t, nec
prolixiori explicatione eget. Quod autem $pectat ad $i-

<pb 15>[035]<rh>L<sc>IBER</sc> P<sc>RIMVS</sc>.</rh>
gna + & -, quibus hitermini conjunguntur, ip$a qui-
dem variari po$$unt modis omnibus, quos imagina-
ri licet.</p>
<p>Deinde videre etiam licet, quòd multiplicando ita
ha$ce lineas in $e invicem, quantitates <math>x</math> & <math>y</math>, quæ in pro-
ducto reperiuntur, $ingulæ non plures dimen$iones ha-
bere po$$int, quàm extiterint lineæ, (quarum explica-
tioni in$erviunt,) quæ ita $unt multiplicatæ. Adeò ut
nunquam plures duabus habituræ $int dimen$iones, ubi
productum illud ex duarum tantùm linearum multipli-
catione na$citur; nec plures tribus; cùm productum il-
lud ex trium tantùm linearum multiplicatione genitum
fuerit, & $ic in infinitum.</p>
<p>Cæterùm quia ad determinandum punctum C una
<mgr>_Luo pacto_
_cogno$ca-_
_tur, Pro-_
_blema hoc_
_e$$e pla-_
_mum,_
_quando it-_
_lud in_
_quinque_
_tantùm_
_lineis e$t_
_propo$i-_
_tum_.</mgr>
duntaxat conditio adimplenda e$t, nimirum ut hoc quod
ex multiplicatione certi numeri harum linearum produ-
citur $it æquale, vel (quod nihilo difficilius) datam ha-
beat rationem ad illud quod provenit ex reliquarum mul-
tiplicatione: po$$umus ad libitum a$$umere alterutram
quantitatem incognitam <math>x</math> vel <math>y</math>, atque alteram inveni-
re per hanc Æquationem. Vbi liquet, $i quæ$tio in quin-
que tantum lineis propo$ita fuerit, quantitatem <math>x</math>, quæ
quidem expre$$ioni primæ lineæ non in$ervit, po$$e $em-
per non plures quàm duas dimen$iones recipere. Ita ut,
$i pro <math>y</math> $umatur quantitas aliqua cognita, relinquatur
tantùm <math>xx = + vel - ax + vel - bb</math>. Et tum quidem
quantitatem <math>x</math> invenire poterimus regulæ atque circini
beneficio, quemadmodum $uperiùs explicatum fuit.
Adeoque $i in infinitum alia atque alia magnitudo $u-
matur pro linea <math>y</math>, invenietur quoque in infinitum alia
atque alia pro linea <math>x</math>, atque ita obtinebitur infinitus nu-
merus punctorum, cuju$modi e$t punctum C, quorum
ope quæ$ita curva linea de$cribetur.</p>

<pb 16>[036]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<p>Fieri etiam pote$t, quum quæ$tio in $ex aut pluribus
lineis proponitur, $i inter datas fuerint, quæ ip$i A B vel
B C parallelæ exi$tant, ut una duarum quantitatum, <math>x</math>, <math>y</math>,
duas tantùm aut etiam unam in Æquatione dimen$io-
nes habeat, adeò ut punctum C regulæ ac circini benefi-
cio inveniri po$$it. Sed contra, $i omnes $int parallelæ,
etiam$i quæ$tio in quinque tantùm lineis propo$ita fue-
rit; non poterit tamen punctum C dictâ ratione inveni-
ri: quia, dum quantitas <math>x</math> nu$quam in Æquatione repe-
ritur, permi$$um non erit ampliùs pro illa, quæ <math>y</math> vo-
cata fuit, quantitatem cognitam a$$umere, cum hæc ea
ip$a futura $it, quam quærere oportet. Et quandoqui-
dem illa tres dimen$iones habebit, non poterit ip$a
ni$i radicem ex Cubica Æquatione eliciendo inveniri.
Quod quidem in genere, ni$i ad id aliqua ad mini-
mum Conica $ectio adhibeatur, fieri nequit. Rur$us,
licèt lineæ ad novem u$que datæ $int, dummodo non
$int omnes parallelæ, $emper fieri pote$t, ut Æqua-
tio non altius quàm ad quadrato-quadratum a$cendat.
quare ip$a per Conicas $ectiones re$olvi quoque $emper
poterit, eo modo, quem po$tea $um explicaturus. Ac
denique, licèt habeantur u$que ad 13 lineas, efficere
$emper po$$umus, ut Æquatio quadrato-cubum non ex-
cedat. Ita ut illam deinde re$olvere queamus beneficio
lineæ, quæ uno duntaxat gradu $upra $ectiones Coni-
cas e$t compo$ita, quemadmodum etiam po$t explica-
bitur. Atque hoc primum e$t, quod hîc eram demon-
$traturus; $ed antequam ad $ecundum progrediar, opùs
e$t ut in genere aliquid de curvarum linearum natura
dicam.</p>

<pb 17>[037]
<h>GEOMETRIÆ
LIBER SECVNDVS.</h>
<h it>De natura linearum curvarum.</h>
<p>VEteres optimè con$iderârunt, quòd Geometriæ
<mgr>_Luænam_
_int curvæ_
_ineæ, quæ_
_n Geome-_
_riam re-_
_ipi po$-_
_unt._</mgr>
Problematum alia $int Plana; alia Solida; alia
denique Linearia; hoc e$t, quòd quædam eorum
con$trui po$$int, ducendo tantùm rectas lineas & cir-
culos; cum alia con$trui nequeant, ni$i ad minimum
adhibeatur Conica aliqua $ectio; ac reliqua denique,
quin ad con$tructionem eorum a$$umatur alia quædam
linea magis compo$ita.</p>
<p>Verùm $atis mirari non po$$um, quòd non ulteriùs
progre$$i lineas ha$ce magis compo$itas in certos di-
$tinxerint gradus; neque etiam planè capio, cur illas
potiùs Mechanicas, quàm Geometricas nominaverint.
Etenim, $i dicatur, ideo id fui$$e factum, quòd in$tru-
mento quodam, ad illas in plano de$cribendas, uti opùs
$it, circuli quoque & rectæ lineæ ob eandem rationem
rejiciendæ e$$ent: cum ab$que circino & regula, quæ
non minùs in$trumenta dicenda $unt, in charta de$cribi
non po$$int. Neque etiam ideo, quòd in$trumenta, quæ
de$cribendis illis in$erviunt, utpote magis compo$ita
quàm regula & circinus, nequeant e$$e tam exacta:
quandoquidem ob hanc rationem potiùs repudiandæ
forent ex Mechanica, ubi tantùm accurata operis con-
venientia, quæ à manu profici$citur, de$ideratur, quàm
ex Geometria, ubi$olùm $pectatur exacta ratiocinatio.
quippe quæ proculdubio, tam ha$ce lineas quàm illas
concernens, æquè perfecta e$$e pote$t. Neque tandem

<pb 18>[038]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
ea de cau$$a, quòd numerum po$tulatorum $uorum au-
gere noluerint; quodque contenti fuerint, modò lice-
ret, data duo puncta rectâ conjungere lineâ, atque ex
dato centro circulum de$cribere, transeuntem per da-
tum punctum: cum ulteriùs, ut de Conicis $ectionibus
tractarent, $upponere veriti non fuerint, datum Co-
num dato plano $ecare. Vbi $anè ad de$cribendum li-
neas omnes curvas, quas hîc introducere in$tituo, nihil
aliud $upponere e$t opùs: quàm ut duarum pluriumve
linearum una per alteram moveri po$$it, ita ut illarum
inter$ectiones alias de$ignent; $iquidem id nihilo diffi-
cilius mihi videtur. Verum equidem e$t, quòd $ectio-
nes Conicas non omnino in Geometriam $uam recepe-
rint; neque etiam nomina, quæ u$u approbata $unt, im-
mutare volo; veruntamen evidens admodum e$t, ut
mea fert opinio, quòd, $i Geometricum cen$eamus il-
lud, (ut fieri $olet) quod omnino perfectum atque exa-
ctum e$t, & Mechanicum quod eju$modi non exi$tit;
atque Geometriam con$ideremus ut $cientiam, quæ ge-
neraliter men$uras omnium corporum cogno$cere do-
cet, non magis ex ea excludendæ erunt lineæ maximè
compo$itæ, quàm omnium $implici$$imæ: $iquidem
illas, per motum aliquem continuum, aut per plures,
qui $e mutuò con$equantur, quorumque po$teriores à
prioribus regantur, imaginari po$$umus. Hâc enim ra-
tione exactam $emper illarum men$uræ cognitionem
habere licet. Verùm enimverò fieri pote$t, ut $crupu-
lus, quem $ibi Veteres Geometræ in recipiendis lineis,
magis quàm $ectiones Conicæ compo$itis, injecerunt,
fuerit, quòd primæ, quas con$iderarunt, fortè extiterint
Spiralis, Quadratrix, atque $imiles; quæ reverâ non ni-
$i ad Mechanicas pertinent, nec ex illarum numero $unt,
quas hîc recipiendas autumo: quandoquidem illas duo-

<pb 19>[039]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
bus motibus de$cribi imaginamur, qui à $e invicem $unt
diver$i, nec ullam inter $e relationem habent, quæ exa-
ctè men$urari po$$it. Nam licèt po$tea examinaverint
quoque Conchoïdem, Ci$$oïdem, & alias qua$dam; ta-
men, quia fortè illarum proprietates non $atis per$pe-
ctas habuerunt, neque etiam majorem earum quàm
præcedentium rationem habuêre. Vel etiam videntes,
quòd nondum ni$i pauca, quæ ad Conicas $ectiones per-
tinerent cogno$cerent, & quòd multa illorum, quæ re-
gulæ ac circini ope perfici po$$unt, quæ ignorarent, $u-
pere$$ent, crediderunt, non oportere, ut materiam ali-
quam difficiliorem aggrederentur. Sed quoniam $pero,
quòd, qui in utendo calculo Geometrico, hîc propo$i-
to, exercitati erunt, non facilè quid in po$terum reper-
turi $int, in quo hæreant, quod ad Plana, & Solida Pro-
blemata attinet: confido, non abs re fore, $i illos ad alia
inve$tiganda, ubi ip$is nunquam materia $e exercendi de-
futura $it, invitem.</p>
<p>Sunto lineæ AB, AD, AF, & $imiles, quas $up-
pono de$criptas e$$e ope in$trumenti X Y Z, quod
compo$itum e$t ex pluribus regulis, ita junctis, ut, cùm
illa, quæ de$ignatur per Y Z, $uper lineam A N im-
mota manet, angulus X Y Z aperiri claudique po$$it;
&, illo omnino clau$o exi$tente, puncta B, C, D, E,
F, G, H omnia in punctum A cadant; Sed prout
aperitur, ut regula BC, quæ ip$i X Y in puncto B nor-
maliter adfixa e$t, propellat versùs Z regulam C D,
quæ $uper Y Z incedit, faciens continuò cum illa an-
gulos rectos; & rur$us, ut C D propellat D E, quæ
$imiliter $uper Y X incedit, parallela manens ip$i BC;
deinde ut DE propellat EF; EF veròip$am FG; hæc-
que denuo ip$am GH. Atque ita in infinitum, conci.
piendo $emper alias atque alias, quarum $ucce$$ivè una

<pb 20>[040]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<fig>
<var>X H F D B Y Z A C E G N</var>
</fig>
alteram eodem modo propellit, & quarum aliæ eo$dem
perpetuò angulos faciunt cum Y X, atque aliæ cum YZ.</p>
<p>Iam verò dum $ic aperitur angulus XYZ, punctum
B de$cribit lineam A B, quæ circulus e$t; puncta au-
tem D, F, H, ubi cæterarum regularum inter$ectiones
fiunt, de$cribunt alias curvas AD, AF, AH, quarum
po$teriores ordine magis compo$itæ $unt quàm pri-
ma, hæcque magis quam circulus. Verùm non video
quid impedire po$$it, quò minùs accuratè atque di-
$tinctè hujus primæ de$criptionem concipiamus quàm
circuli, aut Conicarum $altem $ectionum; neque etiam
quid impedire queat, cur non $ecundam, tertiam, cæ-
tera$que omnes, quæ $ic de$cribi po$$unt, æquè bene
concipiamus atque primam; nec per con$equens cur
non omnes recipiantur, ut Geometriæ contemplatio-
nibus in$erviant.</p>
<p>Po$$em huc adferre plures alios modos de$cribendi
<mgl>_Ratio di-_
_$tinguendi_
_eas in cer-_</mgl>
atque concipiendi lineas curvas, quæ magis magi$que

<pb 21>[041]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
gradatim in infinitum e$$ent compo$itæ; verùm ut has
<mgr>_ta gene-_
_ra; Et co-_
_gno$cendi_
_relatio-_
_nem, quam_
_omnia il-_
_larum_
_puncta_
_habent ad_
_puncta li-_
_nearum_
_rectarum._</mgr>
omnes, quæ in rerum natura $unt, $imul comprehen-
dam, ea$que in certa genera ordine di$tinguam: aptiùs
quidquam afferre ne$cio, quàm ut dicam, quòd puncta
omnia illarum, quæ Geometricæ appellari po$$unt, hoc
e$t, quæ $ub men$uram aliquam certam & exactam ca-
dunt, nece$$ariò ad puncta omnia lineæ rectæ, certam
quandam relationem habeant, quæ per æquationem
aliquam, omnia puncta re$picientem, exprimi po$$it.
Et quòd, cùm æquatio hæc non ultra rectangulum dua-
rum quantitatum indeterminatarum, aut non ultra
quadratum unius ex illis a$cendit, linea curva tunc
primi & $implici$$imi $it generis; ($ub quo tantùm Cir-
culus, Parabola, Hyperbola, & Ellip$is $unt compre-
hen$æ:) $ed quòd, po$tquam æquatio ad tertiam aut
qúarta\‘m dimen$ionem duarum, aut unius è duabus
quantitatibus indeterminatis a$cendit, ($iquidem hîc
duæ ad relationem unius ad alterum punctum explican-
dam requiruntur) linea illa tunc $ecundi $it generis; &
quòd, prout æquatio ad quintam aut $extam dimen$io-
nem a$cendit, illa tunc $it tertii generis; & $ic in infini-
tum de aliis.</p>
<p>Vt $i $cire cupiam cujus generis $it linea E C, quam
$uppono de$criptam e$$e per inter$ectionem regulæ G L
& plani rectilinei C N K L; cujus latus K N indefinitè
productum e$t versùs C; quodque, dum movetur $u-
pra planum deor$um in recta linea, (hoc e$t, ut diame-
ter ejus K L perpetuò applicata reperiatur alicubi li-
neæ B A, utrinque indefinitè continuatæ,) facit, ut re-
gula G L rotetur circa punctum G, quoniam ip$i con-
tinuò $ic admovetur, ut $imul quoque $emper tran$eat
per punctum L: eligo rectam aliquam lineam, veluti
A B, ut ad diver$a ejus puncta referam omnia puncta

<pb 22>[042]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
hujus curvæ lineæ C E: deinde eligo etiam punctum
aliquod in A B, veluti A, ad ordiendum ab eo calcu-
lum. Dico autem, me utrumque eligere, quoniam li-
<fig>
<var>K N C L B E G A</var>
</fig>
berum e$t, illa a$$umere, prout volumus. Nam licèt
plurimi referat, quo pacto illa eligam, ut æquatio po$-
$it reddi brevior & facilior; tamen. quocunque tandem
modo $umantur, fieri pote$t, ut linea ejufdem gene-
ris e$$e appareat. Quemadmodum facilè demon$trari
pote$t.</p>
<p>Iam verò ad libitum $umens alquod punctum in cur-
va, ut C, $uper quod $uppono in$trumentum, quod
de$criptioni ejus in$ervit, e$$e adplicatum, duco ex C
lineam C B parallelam ip$i G A. Deinde quia C B &
B A duæ $unt quantitates indeterminatæ & incogni-
tæ, voco unam <math>y</math>, & alteram <math>x</math>. Porrò ut inveniam re-
lationem unius ad alteram, con$idero etiam quantita-
tes cognitas, quæ hujus curvæ lineæ de$criptionem de-
terminant, ut G A, quam voco <math>a</math>; K L, quam voco <math>b</math>; &

<pb 23>[043]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
NL parallelam ip$i G A, quam voco <math>c</math>. Tum dico, ut N L
e$t ad LK, vel <math>c</math> ad <math>b</math>, ita C B, vel <math>y</math>, e$t ad BK, quæ ideo
erit <math>{by / c}</math>; ac proinde B L <math>{by / c} - b</math>, & A L <math>x + {by / c} - b</math>.
Denique ut C B e$t ad B L, vel <math>y</math> ad <math>{by / c} - b</math>, ita e$t
G A, vel <math>a</math>, ad L A, vel <math>x + {by / c} - b</math>. adeò ut, $i
multiplicem $ecundam lineam per tertiam, produca-
tur <math>{aby / c} - a b</math>, quod æquale erit <math>xy + {b y^2 / c} - by</math>, ei $cili-
cet, quod producitut multiplicando primam lineam per
ultimam. Atque ita æquatio, quæ invenienda erat, e$t
huju$modi, <math>y^2 = cy - {cxy / b} + ay - ac</math>. Ex qua cogno-
$citur, lineam E C e$$e primi generis, quemadmodum
<mgr>A</mgr>
illa re ipsâ nulla alia e$t quàm Hyperbola.</p>
<p>Quòd $i in in$trumento, quod ip$i de$cribendæ in-
$ervit, loco rectæ lineæ C N K $umatur inventa hæc Hy-
perbola, aut alia quæpiam primi generis curva linea,
quæ planum terminet C N K L; inter$ectio hujus li-
neæ & regulæ G L, loco Hyperbolæ E C, aliam cur-
vam de$cribet, quæ $ecundi erit generis. Vt $i C N K
<mgr>_Vide Pap-_
_pum ad_
_prop. 22._
_lib. 4; &_
_Eutocium_
_in com-_
_ment ariis_
_in $ecund._
_librum_
_Archime-_
_dis de_
_$phæra &_
_cylindro._</mgr>
fuerit Circulus, cujus centrum L, de$cribetur prima
Conchoïdes Veterum; & $i Parabola fuerit, cujus dia-
meter K B, de$cribetur curva linea, quam paulò ante
dixi primam e$$e ac $implici$$imam pro quæ$tione Pap-
pi, cùm quinque tantùm lineæ po$itione datæ $unt. Sed
$i loco alicujus harum linearum primi generis $umatur
quædam $ecundi, quæ terminet planum C N K L, de-
$cribetur ejus ope alia tertii generis; aut $i quædam
tertii generis $umatur, de$cribetur aliqua quarti, & $ic
in infinitum. Vt facilè ex calculo e$t cogno$cere. Et
$anè quocunque tandem modo curvæ alicujus lineæ de-
$criptionem quis imaginatus fuerit, modò ip$a ex illa-
rum numero, quas Geometricas voco, extiterit, pote-

<pb 24>[044]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
rit $emper inveniri æquatio, quâ omnia ejus puncta hâc
ratione determinentur.</p>
<p>Cæterùm lineas curvas, quæ faciunt ut æquatio hæc ad
Quadrato-quadratum ad$cendat, eju$dem generis e$$e
pono cum illis, quæ ip$am tantùm ad Cubum perdu-
cunt. Atque illas, quarum æquatio ad Quadrato-cu-
bum ad$cendit, eju$dem generis cum illis, quæ ip$am
tantùm ad Surde$olidum perducunt. Et $ic de cæteris.</p>
<p>Cujus rei ratio e$t, quòd generalis regula habeatur re-
ducendi ad Cubum difficultates omnes, quæ a$cendunt
ad Quadrato-quadratum; & ad Surde$olidum omnes il-
las, quæ a$cendunt ad Quadrato-cubum, ita ut magis
compo$itæ cen$eri non debeant.</p>
<p>Notandum autem e$t, quòd inter lineas cuju$que ge-
neris, licèt major pars æqualiter $it compo$ita, ita ut
ad eorundem punctorum determinationem $ervire po$-
$int, atque ad eadem Problemata con$truenda; tamen
quædam illarum $int, quæ $impliciores exi$tant, quæ-
que non tantam in $ua potentia exten$ionem habeant.
Vt, inter lineas primi generis, præter Ellip$in, Hyper-
bolam, & Parabolam, quæ æqualiter $unt compo$itæ,
etiam Circulus e$t comprehen$us, qui manife$tò $impli-
cior e$t. Et inter illas $ecundi generis, numeratur quo-
que Conchoïdes vulgaris, quæ $uam originem ex Circu-
lo ducit; quemadmodum & aliæ præterea reperiuntur,
quæ, etiam$i non tantam exten$ionem habeant, quan-
tam maxima illarum pars, quæ eju$dem generis $unt, ta-
men inter lineas primi generis poni non po$$unt.
<mgl>_Continua-_
_tio expli-_
_cationis_
_quæ$tio-_
_nis, quæ_
_præcedenti_
_libro ex_
_Pappo fuit_
_allata._</mgl></p>
<p>Reductis igitur curvis lineis ad certa genera, facilè
erit progredi in demon$tratione re$pon$i, quod paulò
ante dedi ad quæ$tionem Pappi. Primùm enim, cum
$upra o$tenderim, quòd, quando tantùm 3 aut 4 lineæ
rectæ dantur, æquatio, quæ ad quæ$ita puncta determi-

<pb 25>[045]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
nanda in$ervit, non ultra quadratum a$cendat: evidens
e$t, lineam curvam, in qua hæc puncta reperiuntur, ne-
ce$$ariò aliquam e$$e primi generis: quandoquidem hæc
æquatio relationem, quam omnia linearum primi gene-
ris puncta habent ad puncta lineæ rectæ, explicat. Et
quòd, cùm non plures quàm 8 lineæ rectæ datæ $unt,
æquatio hæc tum ad $ummum non ultra Quadrato-
quadratum a$cendat, ac per con$equens quæ$ita linea
non ni$i $ecundi aut inferioris generis e$$e po$$it. Et
quòd, cùm non plures quàm 12 lineæ rectæ datæ $unt,
æquatio tum non ultra Quadrato-cubum a$cendat, ac
per con$equens, quæ$ita linea $olummodo tertii aut in-
ferioris generis exi$tat. Atque ita de reliquis. Quin
etiam, quoniam datarum rectarum po$itio omnifariam
variari pote$t, & per con$equens mutare tam quantita-
tes cognitas, quàm $igna + & - ip$ius æquationis, mo-
dis omnibus, quos $ibi quis imaginari queat: evidens e$t,
nullam primi generis curvam lineam reperiri, quæ ad
hanc quæ$tionem non $it utilis, quando illa in 4 lineis e$t
propo$ita; neque ullam $ecundi, quæ ibidem non in$er-
viat, quando illa in 8 lineis e$t propo$ita; neque etiam ul-
lam tertii, quando illa in 12 lineis e$t propo$ita. Et $ic
de reliquis.</p>
<p>Adeò ut nulla curva linea, quæ $ub calculum cadit,
atque in Geometriam recipi pote$t, reperiatur, quæ ibi-
dem ad aliquem linearum numerum non $it utilis.</p>
<p>Sed oportet ut de his $pecialiùs agam, atque rationem
<mgr>_Solutio_
_hujus_
_quæ$tio-_
_nis, cùm_
_ip$a in 3_
_aut 4 tan-_
_tùm lineis_
_e$t propo-_
_$ita._</mgr>
inveniendi lineam quæ$itam, cuilibet ca$ui in$ervientem,
exhibeam, quando tantùm 3 aut 4 lineæ datæ $unt; atque
eâdem operâ videbitur, quòd primum linearum curva-
rum genus alias nullas, præter tres Sectiones Conicas &
Circulum, complectatur.</p>
<p>Repetamus itaque quatuor lineas A B, A D, E F, &

<pb 26>[046]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
G H, $uperiùs datas, oporteatque aliam invenire li-
neam, in quâ infinita reperiantur puncta, quale e$t C,
unde $i ducantur quatuor lineæ C B, C D, C F, & C H,
in datis angulis ad po$itione datas: ut C B multiplicata
per C F tantundem producat ac C D multiplicata per
C H. hoc e$t, po$itâ <math>C B = y</math>, <math>C D = {czy + bcx / zz}</math>, <math>C F =
{@zy + dek + dex / zz}</math>, & <math>C H = {gzy + fgl - fgx / zz}</math>: æquatio erit
<math>yy = - dekzz\\+ cfglz\\} y\\- dezzx\\- cfgzx\\+ bcgzx\\} y\\+ bcfglx\\- bcfgxx/e z^3 - cgzz}</math>.
<fig>
<var>T S R E A B G H F C D</var>
</fig>
Saltem $i $upponamus quantitatem <math>ez</math> majorem quàm
<mgl>B</mgl>
<math>cg</math>. nam $i minor foret, mutanda e$$ent omnia $igna +
<mgl>BB</mgl>
& -. Vnde $i in hac æquatione quantitas <math>y</math> nulla $it, aut
minor quàm nihil, po$tquam punctum C $uppo$uimus in
angulo D A G, oporteret & illud $upponere in angulo

<pb 27>[047]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
D A E, aut E A R, aut etiam R A G, mutando $igna
+ & -, prout ad effectum hunc requireretur. Quòd
$i verò in quatuor hi$ce po$itionibus valor ip4ius <math>y</math> nul-
lus reperiretur, indicio e$$et, quæ$tionem ca$u propo$i-
to e$$e impo$$ibilem. Sed $upponamus illam hîc po$$i-
bilem e$$e, & ad abbreviandum ejus terminos, loco
quantitatum <math>{cfglz - dekzz / e z^3 - cgzz}</math> $cribamus 2 <math>m</math>, & loco
<math>{dezz + cfgz - bcgz / e z^3 - cgzz}</math> $cribamus <math>{2n / z}</math>; $icque habebimus
<math>yy = 2my - {2n / z} xy {+ bcfglx - bcfgxx / e x^3 - cgzz}</math>, cujus æquatio-
nis radix e$t
<math>y = m - {nx / z} + <r>mm - {2mnx / z} + {nnxx / zz} + {bcfglx - bcfgxx. / e z^3 - cgzz}</r></math></p>
<p>Rur$us autem abbreviandi causâ, pro - <math>{2mn / z}</math> +
<math>{bcfgl / e z^3 - cgzz}</math> $cribamus <math>0</math>, & pro <math>{nn / zz} - {bcfg / e z^3 - cgzz}</math> $cribamus <math>{p / m}</math>.</p>
<p>Cum enim quantitates hæ omnes datæ $int, illas, ut
placuerit, nominare po$$umus. Atque ita habebimus
<math>y = m - {n / z} x + <r>mm + 0x - {p / m} xx.</r></math> quæ longitudo
e$$e debet lineæ B C, relinquendo A B, $eu <math>x</math>, inde-
terminatam.</p>
<p>Vbi patet, $i quæ$tio in tribus aut quatuor tantùm li-
neis e$t propo$ita, $emper eju$modi terminos inveniri
po$$e; præterquam quòd quidam ex illis interdum ab-
e$$e po$$int, $ignaque + & - diver$imodè mutari.</p>
<p>His peractis, duco K I parallelam & æqualem ip$i
A B, ita ut ex B C $egmentum auferat BK, æquale ip$i <math>m</math>:
quandoquidem hîc habetur <math>+ m</math>; quod quidem aliàs
addidi$$em ip$i B C, ducendo hanc lineam I K ad al-
teram partem, $i illic fui$$et <math>- m</math>; eamque nullo mo-
do duxi$$em, $i quantitas <math>m</math> pror$us defui$$et. Deinde
duco I L, ita ut linea I K $it ad K L, $icut <math>z</math> ad <math>n</math>. hoc

<pb 28>[048]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
e$t, ut, cùm I K e$t <math>x</math>, K L $it <math>{nx / z}</math>. Atque hâc ratione in-
note$cit etiam ratio, quæ e$t inter K L & I L, quam
pono eandem, quæ e$t inter <math>n</math> & <math>a</math>: ita ut, cùm K L e$t
<fig>
<var>T S R M E A B G L I K N H F C D</var>
</fig>
<math>{nx / z}</math>, I L $it <math>{ax / z}</math>: & facio ut punctum K cadat inter L & C;
$iquidem hîc habetur <math>- {nx / z}</math>; ubi aliàs L $ump$i$$em in-
ter K & C, $i habui$$em <math>+ {nx / z}</math>. Neque omnino duxi$$em
hanc lineam IL, $i <math>{nx / z}</math> defui$$et.</p>
<p>Hinc nihil mihi ampliùs re$tare video pro linea L C
<mgl>C</mgl>
præter ho$ce terminos: <math>L C = <r>mm + ox - {p / m} xx</r></math>.
Vnde cogno$co, quòd, $i nulli fui$$ent, punctum C re-
pertum fui$$et in linea recta I L; & $i tales extiti$$ent, ut
inde radix extrahi potui$$et, hoc e$t, ut, <math>mm & {p / m} xx</math>

<pb 29>[049]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
$igno + notatis, <math>oo</math> fui$$et æqualis <math>4pm</math>, $ive etiam
termini <math>mm & ox</math>, aut <math>ox & {p / m} xx</math> nihilo fui$$ent æqua-
les, punctum hocce C in aliam rectam lineam cecidi$$et,
quæ quidem inventu di$$icilior non fui$$et quàm I L.
Sed $i hoc non fiat, punctum C reperietur $emper in ali-
<mgr>CC</mgr>
qua trium Conicarum $ectionum, aut in Circulo, cujus
una ex diametris $it in linea IL, & linea L C una ex
iis, quæ ad hanc diametrum ordinatim adplicantur;
vel contra, L C erit parallela diametro, ad quam illa,
quæ e$t in linea I L, ordinatim adplicatur. Nimirum,
$i terminus <math>{p / m} xx</math> non reperiatur, erit Conica hæc $e-
ctio Parabola; at verò $i denotetur $igno +, erit Hy-
perbola; ac denique $i $igno —, erit Ellip$is. Excepto
tantùm, cùm quantitas <math>aam</math> e$t æqualis quantitati
<math>pzz</math>, & angulus I L C rectus: quo ca$u, loco Ellip$is
Circulus obtinebitur.</p>
<p>Quòd $i hæc $ectio Parabola exi$tit, latus rectum æ-
quale erit <math>{oz / a}</math>, diameterque $emper in linea I L. atque
ad inveniendum punctum N, quod illius vertex e$t,
oportebit I N æqualem $umere <math>{amm / oz}</math>; ita ut punctum I
cadat inter L & N, $i termini fuerint <math>+ mm + ox</math>; aut
etiam, ut punctum L cadat inter I & N, $i illi fue-
rint <math>+ mm - ox</math>; aut denique ut N cadatinter I & L,
$i habeatur <math>- mm + ox</math>. Sed nunquam illic haberi po-
te$t <math>- mm</math>, eo modo, quo termini hîc $unt po$iti. Po$tre-
mò verò punctum N erit idem quod punctum I, $i quan-
titas <math>mm</math> nulla $it. Quâ quidem ratione inde facile e$t
<mgr>CCC</mgr>
invenire hanc Parabolam per Problema I<_>_mum_</_> primi libri
Conicorum Apollonii.</p>
<p>Quòd $i quæ$ita linea e$t Circulus, aut Ellip$is, aut
denique Hyperbola, oportet primò invenire pun-

<pb 30>[050]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<fig>
<var>T S R M E A B G L N I K H F C D</var>
</fig>
ctum M, quod illius centrum e$t, quòdque $emper in
linea recta IL cadit, ubi invenitur, $umendo <math>{aom / 2pz}</math> pro
I M. Ita ut, $i quantitas <math>o</math> nulla e$t, centrum hocce
cadat $emper in punctum I. Et $i quæ$ita linea e$t Cir-
culus, aut Ellip$is, erit punctum M ex eadem parte
puncti L $umendum, re$pectu puncti I, $i habeatur
<math>+ ox</math>; at $i habeatur <math>- ox</math>, $umendum erit illud ex al-
tera parte. Sed contra in Hyperbola, $i habeatur <math>- ox</math>,
centrum illud $umi debebit versùs L; & $i habeatur
<math>+ ox</math>, debebit illud $umi versùs alteram partem. Po$t-
ea figuræ rectum latus $umendum erit <math><r>{oozz / aa} + {4mpzz / aa}</r></math>,
cùm habetur <math>+ mm</math>, & quando quæ$ita linea e$t Cir-
culus, aut Ellip$is; vel etiam cùm habetur <math>- mm</math>,
& quando quæ$ita linea e$t Hyperbola. Vel denique
<math><r>{oozz / aa} - {4mpzz / aa}</r></math>, quando quæ$ita linea e$t Circulus,

<pb 31>[051]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
aut Ellip$is, & habetur <math>- mm</math>; vel etiam quando Hy-
perbola, & quantitas <math>oo</math> major e$t quàm <math>4mp</math>, & cùm
habetur <math>+ mm</math>. Quòd $i verò quantitas <math>mm</math> non re-
periatur, latus hocce rectum erit <math>{oz / a}</math>, & $i <math>ox</math> nulla $it,
id ip$um erit <math><r>{4mpzz / aa}</r></math>. Deinde ad inveniendum latus
tran$ver$um, debet inveniri linea, quæ $it ad hoc latus
rectum, ut <math>aam</math> ad <math>pzz</math>, nimirum $i latus hocce
<mgr>D</mgr>
rectum $tatuatur <math><r>{oozz / aa} + {4mpzz / aa}</r></math>, tran$ver$um erit
<math><r>{aaoomm / ppzz} + {4aa m^3 / pzz}</r></math>. Atque in omnibus hi$ce ca$ibus
$ectionis diameter erit in linea I M, eritque L C una ea-
rum, quæ ad ip$am ordinatim adplicantur. Ita ut, $i
fecerimus MN æqualem dimidio lateris tran$ver$i, at-
que illam ex eadem parte puncti M $ump$erimus quâ
punctum L, habebitur punctum N pro vertice ip$ius
diametri. Vnde porrò facile e$t dictam $ectionem inve-
nire, per 2<_>_dum_</_> & 3<_>_tium_</_> Problema I<_>_mi_</_> Libri Conicorum
Apollonii.</p>
<p>Sed $i, $ectione Hyperbolâ exi$tente, habeatur <math>+ mm</math>;
<mgr>E</mgr>
& quidem quantitas <math>oo</math> nulla $it, aut minor quàm <math>4pm</math>;
oportebit ex centro M lineam ducere M O P paralle-
lam ip$i L C, nec non C P ip$i L M, atque M O æqua-
lem facere <math><r>{mm} - {oom / 4p}</r></math>; aut etiam æqualem <math>m</math>, $i non
reperiatur quantitas <math>ox</math>. Deinde con$iderare oportebit
punctum O tanquam verticem Hyperbolæ, cujus dia-
meter $it OP, & linea CP, quæ ad illam $it ordinatim
adplicata, cuju$que latus rectum $it <math><r>{4 a^4 m^4 / pp z^4} - {a^4 oo m^3 / p^3 z^4}</r></math>,
tran$ver$um verò <math><r>4mm - {oom / p}</r></math>. Excepto tantùm
cùm <math>ox</math> nulla e$t: $iquidem eo ca$u latus rectum

<pb 32>[052]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<fig>
<var>T S R E L B M G L O I K P H F C D</var>
</fig>
fit <math>{2aamm / pzz}</math>, & tran$ver$um <math>2m</math>. Ita ut inde facile $it il-
lam invenire per 3<_>_tium_</_> Problema I<_>_mi_</_> libri Conicorum
Apollonii.</p>
<p>Quorum quidem demon$trationes per$picuæ $unt.
Etenim, $i componatur $patium aliquod ex quantitati-
<mgl>_Demon-_
_$tratio_
_eju$dem_
_$olutionis._</mgl>
bus, quas recto & tran$ver$o lateri a$$ignavi, atque
etiam $egmento diametri N L, vel O P, juxta $en$um
11<_>_mi_</_>, 12<_>_mi_</_>, & 13<_>_tii_</_> Theorematum primi libri Conico-
rum Apollonii, invenientur iidem omnes termini, ex
quibus compo$itum e$t quadratum lineæ C P, vel C L,
quæ huic diametro ordinatim e$t adplicata. Vt in hoc
exemplo, auferendo I M, quæ e$t <math>{aom / 2pz}</math>, ab N M, quæ
e$t<math>{am / 2pz} <r>oo + 4mp</r></math>, relinquitur I N; cui $i addatur
I L, quæ e$t <math>{a / z} x</math>, fit $umma N L; quæ ideo erit

<pb 33>[053]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
<math>{a / z} x - {aom / 2pz} + {am / 2pz} <r>oo + 4mp</r></math>. Hæc autem multipli-
cata per <math>{z / a} <r>oo + 4mp</r></math>, quæ e$t figuræ latus rectum,
provenit <math>x <r>oo + 4mp</r> - {om / 2p} <r>oo + 4mp</r> + {mo@ / 2p}
+ 2mm</math>, pro rectangulo. A quo auferendum e$t $pa-
tium, quod $it ad quadratum ex N L, ut latus rectum
ad latus tran$ver$um. Hinc cum quadratum ex NL
$it <math>{aa / zz} xx - {aaom / pzz} x + {aam / pzz} x <r>oo + 4mp</r> + {aaoomm / 2ppzz} +
{aa m^3 / pzz} - {aaomm / 2ppzz} <r>oo + 4mp</r></math>, oportebit id ip$um divi-
dere per <math>aam</math>, & multiplicare per <math>pzz</math>, propterea quòd
hi termini rationem, quæ e$t interlatus tran$ver$um & re-
ctum, explicent, fietque <math>{p / m} xx - ox + x <r>oo + 4mp</r> +
{oom / 2p} - {om / 2p} <r>oo + 4mp</r> + mm</math>. Hoc ergo $i auferatur ex
rectangulo præcedenti, invenietur <math>mm + ox - {p / m} xx</math>,
pro quadrato lineæ C L: quæ proinde una e$t ex ordina-
tim adplicatis in Ellip$i, aut Circulo, ad $egmentum dia-
metri N L.</p>
<p>Iam verò $i datas omnes quantitates numeris velimus
explicare, ponendo, exempli gratiâ, E A = 3, A G = 5,
A B = B R, B S = {1/2} B E, G B = B T, C D = {3/2} C R,
C F = 2 C S, C H = {2/3} C T; & quòd angulus A B R
$it 60 graduum; ac denique quòd rectangulum $ub dua-
bus lineis C B & C F, $it æquale rectangulo $ub duabus
reliquis C D & C H; (quandoquidem hæc omnia data
requiruntur, ut quæ$tio $it penitus determinata;) &
quòd præterea A B $it <math>= x</math>, & <math>C B = y</math>: inveniemus per
modum, $upra explicatum, <math>yy = 2y - xy + 5x - xx,
& y = 1 - {1/2} x + <r>1 + 4x</r> - {3/4} xx</math>: Ita ut BK fieri de-

<pb 34>[054]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
beat 1, & K L $emi$$is ip$ius K I vel A B. Cumque angu-
lus I K L $it 60 graduum, angulus I L K erit rectus.
Quoniam autem I K $eu A B vocata e$t <math>x</math>, K L erit <math>{1/2} x</math>,
IL verò <math>x √{3/4}</math>; & quantitas, quæ paulò ante nominabatur
<math>z</math>, erit 1; quæ autem <math>a</math>, erit <math>√{3/4}</math>; quæ <math>m</math>, erit 1; quæ <math>o</math>, erit
4; & quæ appellabatur <math>p</math>, erit <math>{3/4}</math>: ita ut habeatur <math>√ {16/3}</math> pro
IM, & <math>√{19/3}</math> pro NM. Et quia <math>aam</math>, quæ e$t {3/4}, hîc æ-
quatur <math>pzz</math>, atque angulus I L C e$t rectus, linea cur-
va N C invenitur e$$e circulus. Eodem modo reliqui ca-
$us omnes facilè examinari po$$unt.</p>
<p>Cæterùm, quia æquationes, quæ ultra Quadratum
<mgl>_Quid in-_
_telligen-_
_dum $it_
_per loca_
_Plana, &_
_Solida;_
_Et ratio_
_ip$a inve-_
_niendi._</mgl>
non a$cendunt, omnes in eo $unt comprehen$æ, quod
jam explicavi; non $olum V eterum Problema in 3 &
4 lineis hîc penitus ad finem perductum e$t; $ed etiam
illud, quod ad id, quod Solidorum Locorum Compo-
$itionem vocabant, pertinet; adeoque etiam locorum
Planorum, cum illa in Solidis contineantur. Quippe
<mgl>F</mgl>
hæc loca nihil aliud $unt, quàm cùm in quæ$tione ali-
qua e$t inveniendum punctum, in quâ una deficit con-
ditio, ut ip$a pror$us $it determinata. Quemadmodum
in hoc exemplo, ubi omnia eju$dem lineæ puncta pro eo
accipi po$$unt, quod e$t quæ$itum. Etenim lineâ illâ
exi$tente rectâ aut circulari, locus vocatur Planus. At
$i illa e$t Parabola, vel Hyperbola, vel Ellip$is, tum lo-
cus ille nominatur Solidus. Quotie$cunque autem id
evenit, pote$t perveniriad æquationem, quæ duas quan-
titates incognitas continet, quæque alicui ex illis,
quas jam re$olvi, $imilis exi$tit. Quòd $i verò linea,
quæ $ic quæ$itum punctum determinat, uno gradu ma-
gis quàm $ectiones Conicæ $it compo$ita, ip$am eodem
modo locum Sur$olidum appellare licebit, atque ita
de cæteris. At verò duabus conditionibus de$icienti-
<mgl>G</mgl>
bus ad hujus puncti determinationem, locus, in quo il-

<pb 35>[055]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
lud reperitur, $uperficies e$t, quæ $imiliter aut plana, aut
$phærica, aut magis compo$ita e$$e pote$t. Verùm $um-
mus $copus, quem $ibi in hac materia Veteres præfixêre,
fuit, ut ad Solidorum Locorum compo$itionem perve-
nirent; Et veri$imile e$t, omne illud, quod Apollonius
de Conicis $ectionibus $crip$it, eò tantùm, ut illam inda-
garet, re$pexi$$e.</p>
<p>Præterea apparet etiam, illud, quod pro primo li-
nearum curvarum genere $ump$i, non po$$e alias ullas
præter Circulum, Parabolam, Hyperbolam, & Ellip$im
complecti. Quod quidem id omne e$t, quod demon$tra-
re $u$ceperam.</p>
<p>Quòd $i Veterum quæ$tio in 5 lineis e$t propo$ita,
<mgr>_Quænam_
_$it prima_
_& $impli-_
_ci$$ima li-_
_nearum_
_curva-_
_rum, Ve-_
_terum_
_quæ$tioni_
_in$ervien-_
_tium, cùm_
_ip$a quæ-_
_$tio in 5_
_lineis e$t_
_propo$ita_</mgr>
quæ omnes $unt parellelæ evidens e$t, quæ$itum pun-
ctum $emper in linea recta fore. Sed $i in 5 lineis pro-
po$ita fuerit, ita ut 4 illarum $int parallelæ, & quæ à
quinta ad angulos rectos $ecentur; tum etiam, ut lineæ
omnes à quæ$ito puncto ad angulos rectos illis occur
rant; ac demum ut parallelepipedum ex tribus lineis ita
ductis ad tres ex iis, quæ parallelæ $unt, $it æquale pa-
rallelepipedo ex duabus ad reliquas ductis, & ex tertia
quadam data linea: (qui, ut videtur, po$t præcedentem
$implici$$imus ca$us e$t, quem quis concipere pote$t:)
punctum quæ$itum cadet in lineam curvam, quæ motu
Parabolæ de$cribitur, quemadmodum $uperiùs e$t ex-
plicatum.</p>
<p>Sint, exempli gratiâ, datæ lineæ A B, IH, E D, GF,
& G A; & oporteat invenire punctum C; ita ut, ducen-
do C B, C F, C D, C H, & C M ad angulos rectos ad po-
$itione datas, parallelepipedum ex tribus C F, C D, &
C H compo$itum, $it æquale parallelepipedo compo$i-
to ex duabus reliquis C B, C M, & tertia data linea,
quæ $it AI.</p>

<pb 36>[056]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<p>Pono <math>C B = y</math>, <math>C M = x</math>, A I vel A E vel <math>G E = a</math>;
ita ut, exi$tente puncto C inter lineas A B & D E, habeam
<math>C F = 2a - y</math>, <math>C D = a - y</math>, & <math>C H = y + a</math>; & mul-
tiplicando ha$ce tres in $e invicem, habeam <math>y^3 -^2 ayy
- aay +^2 a^3</math>, æquale producto trium reliquarum, quod
e$t <math>axy</math>.</p>
<p>Po$t hæc con$idero lineam curvam C E G, quam
<fig>
<var>o f d b b N L F D C B H K G E M A I C C O _n_</var>
</fig>
imaginor de$criptam e$$e per inter$ectionem Parabolæ
C K N, interea dum movebatur in linea recta A B, at-
que $ecabatur à regula G L, rotata circa punctum G,
$emperque tran$eunte per punctum L, in plano Para-

<pb 37>[057]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
bolæ. Et facio <math>K L = a</math>, latusque principale, hoc e$t,
quod ad axem Parabolæ pertinet, itidem æquale <math>a</math>, G A
verò <math>= 2a</math>, C B $eu <math>M A = y</math>, & C M $eu <math>A B = x</math>.
Deinde propter $imilitudinem triangulorum G M C &
C B L, G M $eu <math>2 a - y</math> e$t ad M C $eu <math>x</math>, ut C B $eu
<math>y</math> ad B L, quæ ideo e$t <math>{xy / 2a - y}</math>. Unde cum L K $it <math>a</math>, B K
erit <math>a - {xy / 2a-y}</math>, $eu <math>{2aa - ay - xy / 2a - y}</math>. Denique, quoniam ea-
dem B K, quæ diametri Parabolæ e$t $egmentum, $e ha-
bet ad B C, quæ ip$i ordinatim e$t adplicata, ut B C $e
habet ad latus rectum, quod e$t <math>a</math>: calculus mon$trat,
quòd <math>y^3 - 2ayy - aay + 2 a^3</math> æquabitur <math>axy</math>, & per
con$equens, quòd punctum C erit illud, quod quære-
batur. Quod quidem, ubicunque libuerit, in linea
C E G a$$umi pote$t; vel etiam in ejus adjuncta <math>c</math> E G <math>c</math>,
quæ eodem modo de$cribitur, præterquam quòd Para-
bolæ vertex versùs alteram partem vergat; vel denique
in earundem oppo$itis NI <math>o</math>, <math>n</math> I O, quæ per inter$ectio-
nem, quam linea G C facit in altero Parabolæ latere
KN, de$cribuntur.</p>
<p>Iam verò etiam$i datæ parallelæ A B, IH, ED, &
G F non æqualiter inter $e di$tantes e$$ent, nec GA
ip$as ad rectos angulos $ecaret, neque etiam lineæ à
puncto C ad ea$dem ductæ; tamen non minùs hocce
punctum C reperiretur $emper in linea curva, quæ eju$-
dem e$$et naturæ. Quemadmodum id etiam aliquando
contingere pote$t, licèt nullæ ex datis lineis $int paral-
lelæ. Sed quando ita quatuor parallelæ $unt, & quin-
ta ea$dem $ecans; & quidem parallelepipedum ex tri-
bus, à quæ$ito puncto ductis, quarum una $uper quin-
tam cadat, & aliæ duæ $uper duas ex parallelis, æque-
tur parallelepipedo $ub duabus ad duas reliquas paral-
lelas, & tertia quadam data linea: punctum quæ$itum

<pb 38>[058]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
reperietur in linea curva, quæ alterius erit naturæ. $cili-
cet in una, cujus omnes ordinatim adplicatæ ad diame-
trum æquales $unt ordinatim adplicatis ad diametrum
$ectionis Conicæ, cuju$que $egmenta diametri inter
verticem & ordinatim adplicatas interjecta, eandem ra-
tionem habent ad datam aliquam lineam, quam hæc ip$a
ad $imilia diametri $egmenta $ectionis Conicæ, quibus
illæ lineæ ordinatim $unt adplicatæ. Neque a$$everare
au$im, hanc lineam non $impliciorem e$$e præcedenti;
quam tamen pro prima $umendam putavi: propterea
quòd de$criptio ejus ac calculus aliquo modo $int faci-
liores.</p>
<p>Quod ad lineas attinet, quæ reliquis ca$ibus in$er-
viunt, non immorabor iis per $pecies di$tinguendis, ne-
que enim omnia dicere $u$cepi: Sed quia modum inve-
niendi infinita puncta, per quæ tran$ire debent, expli-
cui, $imul modum, quo de$cribendæ $unt, me $atis o$ten-
di$$e puto.</p>
<p>Ac proinde non è re fuerit, hîc con$iderare, ma-
<mgl>_Quænam_
_curvæ li-_
_neæ in_
_Geome-_
_triam $int_
_recipien-_
_dæ, quæ_
_de$cribun-_
_tur inve-_
_niendo_
_plura ea-_
_rum pun-_
_cta._</mgl>
gnum e$$e di$crimen, inter hunc modum inveniendi plu-
ra puncta, ad de$cribendam aliquam curvam lineam, at-
que illum, quo utimur in de$criptione Spiralis & $imi-
lium. Quandoquidem hoc po$teriore modo, non in@
differenter omnia quæ$itæ lineæ puncta inveniuntur,
$ed tantùm ea, quæ per men$uram aliquam $implicio-
rem determinari po$$unt, quàm e$t ea, quæ ad illam
componendam requiritur. Atque ita propriè loquendo
nullum ex ejus punctis invenitur, hoc e$t, nullum eo-
rum, quæ ip$i ita propria $unt, ut non ni$i per illam in-
veniri po$$int. Sed è contra nullum habetur punctum in
lineis, quæ quæ$tioni propo$itæ in$erviunt, quod non
inter illa, quæ modo $upra explicato determinantur, in-
veniri queat. Cum autem modus de$cribendi lineam

<pb 39>[059]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
curvam, indifferenter plura ejus puncta inveniendo, ad
illas tantùm $e extendat, quæ itidem per motum ali-
quem ordinatum & continuum de$cribi po$$unt, non
erit is omnino à Geometria rejiciendus.</p>
<p>Quemadmodum non magis etiam ex ea rejiciendus
<mgr>_Quæ_
_etiam il-_
_læ $int,_
_quæ ope fi-_
_li de$cri-_
_buntur, &_
_ibidem re-_
_cipi po$-_
_$int._</mgr>
e$t modus, in quo filo $eu chordâ complicatâ utimur,
ad determinandam $ummam vel differentiam duarum
pluriumve linearum rectarum, quæ à quolibet quæ$itæ
curvæ puncto duci po$$unt ad certa quædam alia puncta,
vel lineas in certis angulis, $icut in Dioptrica fecimus,
ad explicandam Ellip$in & Hyperbolam. Nam licèt in
Geometria nullæ lineæ, quæ chordis $imiles videntur,
hoc e$t, quæ modò rectæ, modò curvæ $unt, recipi po$-
$int; (cum ratio, quæ inter rectas & curvas exi$tit, non
cognita $it, nec etiam ab hominibus (ut arbitror) co-
gno$ci queat; nihilque inde, quod exactum atque cer-
tum e$t, concludere po$$imus:) Tamen, quia non aliter
chordis illis in dictis con$tructionibus utimur, quàm ut
earum beneficio lineas rectas determinemus, quarum
longitudo exactè cogno$citur, efficere hoc non debet ut
rejiciantur.</p>
<p>Iam verò ex hoc $olo, quòd $citur relatio, quam
<mgr>H</mgr>
omnia lineæ curvæ puncta habent ad puncta omnia li-
<mgr>_Quòd, ad_
_invenien-_
_dum om-_
_nes li-_
_nearum_
_cur varum_
_propriet a-_
_tes, $uffi-_
_ciat $cire_
_relatio-_
_nem quam_
_omnia il-_
_larum_
_puncta_
_babent ad_
_puncta li-_
_nearum_
_rectarum;_</mgr>
neæ rectæ, modo illo, quem $upra explicavi; facile quo-
que e$t invenire relationem, quam habent ad omnia alia
puncta & datas lineas: atque exinde cogno$cere diame-
tros, axes, centra, aliasque lineas, & puncta, ad quæ una-
quæque curva linea relationem habebit $pecialiorem
vel $impliciorem quàm ad alia: atque ita imaginari di-
ver$os modos illas de$cribendi, ex quibus faciliores
eligi po$$unt. Immo verò, pote$t quoque ex hoc $olo
inveniri propemodum omne id, quod determinari po-
te$t, atque ad $pacii, quod comprehendunt, magnitudi-

<pb 40>[060]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
nem $pectat: ita ut non opùs $it de his agere apertiùs.
<mgl>_& modum_
_ducendi_
_lineas re-_
_ctas, quæ_
_ip$as $e-_
_cent in_
_omnibus_
_illis pun-_
_ctis ad_
_angulos_
_rectes._</mgl>
Et denique quantum ad omnes reliquas proprietates,
quas lineis curvis attribuere po$$umus, ip$æ tantummo-
do ab angulorum, quos cum certis quibu$dam aliis li-
neis efficiunt, amplitudine dependent. Sed $i lineæ re-
ctæ duci po$$int, quæ illas in punctis, ubi aliæ, cum qui-
bus angulos faciunt, quos men$urare volumus, ip$is oc-
currunt, $ecent ad angulos rectos, vel, quod hîc pro
<mgl>I</mgl>
eodem haberi volo, quæ earum contingentes $ecent:
magnitudo horum angulorum non erit inventu diffici-
lior, quàm $i à duabus rectis lineis comprehen$i e$$ent.
Atque ideo con$idam, me expo$ui$$e hîc omnia illa,
quæ pro curvarum linearum elementis requiruntur,
po$tquam generalem modum ducendi rectas lineas,
quæ eas ad rectos angulos in quibu$vis ip$arum punctis
$ecent, o$tendero. Nec verebor dicere, Problema hoc,
non modò eorum, quæ $cio, utili$$imum & generali$$i-
mum e$$e; $ed etiam eorum, quæ in Geometria $cire
unquam de$ideraverim.</p>
<fig>
<var>C B E G P M A</var>
</fig>
<p>Sit C E linea cur-
<mgl>K</mgl>
va, oporteatque per
<mgl>_Modus ge-_
_neralis in-_
_veniendi_
_lineas re-_
_ctas, quæ_
_$ecent da-_
_tas cur-_
_vas, vel_
_earum_
_contingen-_
_tes, ad an-_
_gulos re-_
_ct@s._</mgl>
punctum C rectam
lineam ducere, fa-
cientem cum ip$a an-
gulos rectos.</p>
<p>Suppono rem tanquam jam factam, lineamque quæ-
$itam e$$e C P, quam produco u$que ad punctum P, ut
occurrat rectæ G A, quam $uppono illam e$$e, ad cu-
jus puncta referenda $unt puncta omnia lineæ C E: ita
ut faciendo M A $eu <math>C B = y</math>, & C M $eu <math>B A = x</math>,
habeam æquationem aliquam, quæ mihi relationem,
quæ e$t inter <math>x</math> & <math>y</math>, explicet. Deinde facio <math>P C = s</math>,
& <math>P A = v</math>, $eu <math>P M = v - y</math>. Vnde propter triangu-

<pb 41>[061]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
lum rectangulum P M C invenio <math>ss</math>, quod e$t quadra-
tum ba$is, æquale <math>xx + vv - 2vy + yy</math>, quadratis
duorum laterum, hoc e$t, invenio <math>x = <r>ss - vv +
2vy - yy</r></math>, aut <math>y = v - <r>ss - xx</r></math>. Cujus æquationis
ope aufero ex æquatione altera, (quæ mihi relationem
explicat, quam puncta curvæ C E habent ad puncta re-
ctæ G A) alterutram è duabus quantitatibus indeter-
minatis <math>x</math> vel <math>y</math>. Quod quidem facile e$t, $i ubique pro
<math>x</math> ponamus <math><r>ss - vv + 2vy - yy</r></math>, & quadratum hu-
jus $ummæ pro <math>xx</math>,
& ejus cubumpro <math>x^3</math>,
<fig>
<var>K L C B E P G M A</var>
</fig>
&ita porro; $i fuerit
<math>x</math>, quam tollere ve-
limus; aut $i fuerit <math>y</math>,
ponendo ejus loco
<math>v - <r>ss - xx</r></math>, &
quadratum, cubum-
ve, &c. hujus $um-
mæ, loco <math>yy</math>, aut <math>y^3</math>,
&c. Ita ut inde $em-
per re$ter æquatio,
in qua non ni$i una
habeatur quantitas
indeterminata <math>x</math>, vel <math>y</math>.</p>
<p>Quemadmodum $i C E e$t Ellip$is, in qua M A
<mgr>L</mgr>
$it $egmentum diametri ad quam C M $it ordinatim
<mgr>_Exem-_
_plum bx-_
_jus Ope-_
_rationis_
_in Ellip$t._</mgr>
adplicata, quodque pro latere recto habeat <math>r</math>; pro
tran$ver$o autem <math>q</math>: fiet per 13<_>_tium_</_> Theorema 1<_>_mi_</_> li-
bri Conicorum Apollonii: <math>xx = ry - {r / q} yy</math>. Vnde tol-
lendo <math>xx</math>, re$tabit <math>ss - vv + 2vy - yy = ry - {ryy / q}</math>, vel
<math>yy {+ qry - 2qvy + qvv - qss / q - r}</math> æquale nihilo.</p>

<pb 42>[062]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<p>Præ$tat enim hoc loco ita totam $ummam con$idera-
re, quàm unam ejus partem alteriparti adæquare.</p>
<fig>
<var>K L C B E P G M A</var>
</fig>
<p>Eodem modo, $i
<mgl>M</mgl>
C E $it curva linea,
<mgl>_Aliud_
_Exem-_
_plum in_
_Parabola_
_$ecundi_
_generis._</mgl>
per motum Parabolæ
de$cripta, ut $uperiùs
fuit explicatum, &
pro G A ponatur <math>b</math>,
pro K L, <math>c</math>; & <math>d</math> pro la-
tere recto, pertinente
ad Parabolæ diame-
trum K L: æquatio
explicans relationem,
quæ e$t inter <math>x</math> & <math>y</math>, e-
rit <math>y^3 - byy - cdy +
bcd + dxy = o</math>. E qua auferendo <math>x</math>, habebitur <math>y^3 - byy
- cdy + bcd + dy <r>ss - vv + 2vy - yy</r></math>. Hoc e$t,
ordinando æquationem ope multiplicationis, prodibit
<math>y^6 - 2b y^5 - 2cd \\ + bb \\ + dd # y^4 + 4bcd \\ - 2ddv # y^3 - 2bbcd \\ + ccdd \\ - ddss \\ + ddvv # yy - 2bccddy + bbccdd = 0.</math>
Atque ita de aliis.</p>
<p>Quinetiam, licèt puncta lineæ curvæ ad puncta li-
neæ rectæ $e$e eo, quo dixi, modo non haberent; $ed
alio quolibet, quem $ibi quis imaginari po$$et: poterit
tamen nihilominus $emper æquatio eju$modi inveniri.</p>
<p>Quemadmodum $i C E e$t linea, habens eju$modi
<mgl>_Tertium_
_exemplum_
_in O vali,_
_$ive El-_
_lip$i $ecun-_
_di generis._</mgl>
relationem ad tria puncta F, G, & A, ut lineæ rectæ, à
quolibet ejus puncto, ut C, ad punctum F ductæ, ex-
cedant lineam F A, quantitate aliqua, quæ datam habeat
rationem ad quantitatem, quâ G A excedit lineam,
quæ ab eodem puncto C ducitur ad punctum G: fa-
cio <math>G A = b</math>, <math>A F = c</math>, $umendoque punctum C ad li-

<pb 43>[063]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
<fig>
<var>O C N E F A M P G</var>
</fig>
bitum in cur-
va, $uppono,
quantitatem,
quâ C F $upe-
rat F A, e$$e
ad illam, quâ
G A $uperat
G C, $icut <math>d</math> ad <math>e</math>: ita ut $i prior illa quantitas indeter-
minata vocetur <math>z</math>, F C $it <math>c + z</math>, G C verò <math>b - {ez / d}</math>.
Deinde ponendo <math>M A = y</math>, G M erit <math>b - y</math>, & F M
<math>c + y</math>: & quandoquidem triangulum C M G rectangu-
lum e$t, $i au$eram quadratum ex G M à quadrato ex
G C, relinquetur quadratum ex C M, <math>{ee / dd} ZZ - {2be / a} z +
2by - yy</math>. Non $ecus, $i à quadrato ex F C au$eram
quadratum ex F M, relinquetur itidem quadratum ex
C M in aliis terminis, videlicet <math>zz + 2cz - 2cy - yy</math>.
Vnde cum hi termini præcedentibus $int æquales, o$ten-
dunt <math>y</math> $eu M A fore <math>{ddzz + 2cddz - eezz + 2bdez / 2bdd + 2cdd.}</math>. Ac
proinde, $ub$tituendo hanc $ummam loco <math>y</math> in quadrato
ex C M, invenietur, illud exprimendum e$$e hi$ce termi-
nis <math>{bddzz + ceezz + 2bcddz - 2bcdez/bdd + cdd} - yy</math>.</p>
<p>Porrò $uppono, lineam rectam P C occurrere curvæ
C E ad angulos rectos in puncto C, faciendoque <math>P C
= s</math>, & <math>P A = v</math>, ut ante, P M erit <math>v - y</math>; habebiturque
propter triangulum rectangulum P C M, <math>ss - vv +
2vy - yy</math> pro quadrato ex C M. Vbi $i rur$us pro <math>y</math>
$ub$tituamus $ummam ip$i æqualem, exurget
<math>zz {+ 2bcddz - 2bcdez - 2cddvz - 2bdevz - bddss + bddvv -
eddss + cddvv / bdd + cee + eev - ddv}
= 0</math>, pro æquatione, quam quærebamus.</p>
<p>Po$tquam igitur invenimus talem æquationem, non
eâ utemur ad cogno$cendas quantitates <math>x</math>, <math>y</math>, vel <math>z</math>, quæ

<pb 44>[064]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
hîc datæ $unt, quia punctum C e$t datum, $ed ad inve-
niendam quantitatem <math>v</math> vel <math>s</math>, quæ quæ$itum punctum P
determinant. In quem finem con$iderari debet: $i pun-
ctum P tale e$t, quale de$ideratur, quòd circulus, cu-
jus id ip$um e$t centrum, quique per punctum C tran$it,
tangat ibidem curvam lineam C E, nec ip$am $ecet. Sed
quòd, $i idem punctum P propiùs aut remotiùs $umatur
à puncto A, quàm oportet, circulus hic non $olùm in
puncto c, $ed etiam nece$$ariò in alio quodam puncto
curvam C E $it $ecturus.</p>
<p>Deinde con$iderandum quoque e$t, quòd, quando
hic circulus lineam curvam C E $ecat, æquatio, per quam
quantitas <math>x</math> vel <math>y</math>, vel quædam alia $imilis quæritur, $up-
ponendo P A & P C e$$e cognitas, nece$$ariò duas conti-
neat radices, quæ $unt inæquales. Nam $i, exempli
gratiâ, circulus hic $ecet curvam C E, in punctis C & E,
ac ducatur E Q parallela ip$i C M: nomina quantita-
tum indeterminatarum <math>x</math> & <math>y</math> æquè bene convenient
lineis E Q & Q A, atque ip$is C M & M A, exi$tente
P E æquali P C, propter circulum. Adeò, ut quærendo
<fig>
<var>C E P M Q A</var>
</fig>
lineas E Q & Q A, per
P E & P A, (quæ tan-
quam cognitæ $uppo-
nuntur) eandem habi-
turi $imus æquationem,
quam $i quærerentur
C M & M A per P C &
P A. Vnde liquidò con-
$tat, ip$ius <math>x</math>, vel <math>y</math>, vel
alterius eju$modi quantitatis, quam $uppo$uerimus, va-
lorem, in hac æquatione fore duplicem, hoc e$t, æqua-
tionem duas admi$$uram radices, quæ $unt inæquales;
quarum quidem una futura e$t C M, & altera E Q, $i

<pb 45>[065]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
fuerit <math>x</math>, quam quærimus; aut quarum una futura e$t
M A, & altera QA, $i fuerit <math>y</math>, quæ quæritur. Verum
equidem e$t, quòd, cùm punctum E non ad eandem cur-
væ partem reperitur cum puncto C, una tantùm duarum
harum radicum $it vera, & altera inver$a $eu minor quàm
nihil: $ed quò hæc puncta C & E $ibiinvicem $unt pro-
piora, eò quoque differentia inter radices ha$ce erit mi-
nor, quæ denique omnino inter $e æquales futuræ $unt,
$i bina hæc puncta in unum punctum cadant; hoc e$t, $i
circulus, qui per C tran$it, curvam C E ibidem tangat,
nec omnino $ecet.</p>
<p>Præterea con$iderandum e$t, quòd æquatio, in qua
duæ $unt radices æquales, nece$$ariò eandem formam ha-
beat, ac $i in $e ip$am multiplicetur quantitas, quam ve-
lut incognitam $upponimus, multata quantitate cogni-
tâ $ibi æquali: & deinde hæc ultima $umma, $i non
tot dimen$iones habet, quot præcedens, rur$us per aliam
$ummam multiplicetur, totidem, quot alteri de$unt,
dimen$iones habentem, $ic ut $eparatim æquatio in-
ter $ingulos unius atque $ingulos alterius terminos ha-
beri po$$it.</p>
<p>Vt, exempli causâ, dico, primam æquationem $upra
inventam, nimirum: <math>yy {+ qry - qvy + qvv - qss / q-r}</math>, ean-
dem formam habituram, quam illa, quæ producitur,
faciendo <math>e</math> æqualem <math>y</math>,
<fig>
<var>C B E G P M A</var>
</fig>
atque multiplicando
<math>y - e</math> in $e, unde ex$ur-
git <math>yy - 2ey + ee</math>; ita
ut $eparatim $ingulos
earum terminos inter
$e comparare po$$imus, ac dicere: quòd, po$tquam primus
terminus, qui e$t <math>yy</math>, in utraque æquatione planè idem

<pb 46>[066]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
e$t, $ecundus, qui in una e$t <math>{qry - 2qvy / q-r}</math>, $it æqualis $ecun-
do alterius, qui e$t <math>- 2ey</math>. Vnde quærendo quantitatem <math>v</math>,
quæ quantitatem lineæ P A de$ignat, invenietur <math>v = e -
{r / q} e + {1/2} r</math>. vel quia <math>e</math> æqualem $uppo$uimus ip$i <math>y</math>, habe.
bitur <math>v = y - {r / q} y + {1/2} r</math>. Non $ecus inveniri quoque po$-
$et <math>s</math> per tertium terminum <math>ee = {qvv - qss / q-r}</math>; $ed quia
quantitas _v_ $atis determinat punctum P, quod $olum
quærebamus, nece$$e non erit ulteriùs progredi.</p>
<p>Eâdem ratione $ecunda æquatio $uperiùs inventa:
nempe,
<math>y^6 - 2b y^5 - 2cd \\ + bb \\ + dd # y^4 + 4bcd \\ - 2ddv \\ # y^3 - 2bbcd \\ + ccdd \\ - ddss \\ + ddvv # yy - 2bccddy + bbccdd</math>,
eandem debet habere formam, quam $umma, quæ pro-
ducitur multiplicando <math>yy - 2ey + ee</math> per
<math>y^4 + f y^3 + ggyy + b^3 y + k^4</math>, quæ e$t
<math>y^6 + f \\ - 2e # y^5 # + gg \\ - 2ef \\ + ee # y^4 # + b^3 \\ - 2egg \\ + eef # y^3 # + k^4 \\ - 2e b^3 \\ + eegg # yy # - 2e k^4 \\ + ee b^3 # y + ee k^4</math>.
ita ut ex binis hi$ce æquationibus alias $ex eliciam, quæ ad
inveniendas $ex quantitates <math>f</math>, <math>g</math>, <math>h</math>, <math>k</math>, <math>v</math>, & <math>s</math> in$erviunt.</p>
<p>Vnde facilè e$t intelligere, quòd, cuju$cunque gene-
ris linea curva propo$ita e$$e po$$it, tot $emper hoc pro-
cedendi modo æquationes re$ultent, quot quantitates
incognitas $upponere coacti fuerimus. Verùm ut ordine
æquationes ha$ce disjungamus, tandemque quantita-
tem <math>v</math> (quæ quidem ea $ola e$t, qua indigemus, & cujus
occa$ione cæteræ quæruntur) inveniamus: oportet pri-
mò per $ecundum terminum quærere <math>f</math>, primam quan-
titatum incognitarum ultimæ $ummæ, invenieturque
<math>f = 2e - 2b</math>.</p>

<pb 47>[067]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
<p>Deinde per ultimum quærenda e$t <math>k</math>, ultima quan-
titatum incognitarum eju$dem $ummæ, fitque <math>k^4 =
{bbccdd / ee}</math>.</p>
<p>Porrò per tertium terminum quærenda e$t <math>g</math>, $ecun-
da quantitas, & fit <math>gg = 3ee - 4be - 2cd + bb + dd</math>.</p>
<p>Denique per penultimum invenienda e$t <math>b</math>, penul-
tima quantitas, & fit <math>b^3 = {2bccdd / e^3} - {2bccdd / ee}</math>. Atque ita
eodem ordine u$que ad ultimam progrediendum e$$et,
$i plures eju$modi quantitates in eadem $umma ha-
berentur: $iquidem hoc eodem $emper modo fieri po-
te$t.</p>
<p>Præterea per terminum, qui in hoc ip$o ordine $equi-
tur, atque hîc quartus e$t, oportet inve$tigare <math>v</math>, & fit
<fig>
<var>K L C B E P G M A</var>
</fig>
<math>v = {3 e^3 / dd} - {4bee / dd} + {bbe / dd} - {2ce / d} + e + {2bc / d} + {bcc / ee} - {bbcc / c^3>}</math>.
vel, ponendo <math>y</math> loco <math>e</math>, quæ ip$i e$t æqualis, habebitur
<math>v = {3 y^3 / dd} - {4byy / dd} + {bby / dd} - {2cy / d} + y + {2bc / d} + {bcc / yy} - {bbcc / y^3}</math>,
pro linea AP.</p>

<pb 48>[068]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<p>Similiter quoque tertia æquatio, quæ e$t
<math>zz {+ 2bcddz - 2bcdez - 2cddvz - 2bdevz - bddss + bddvv -
cddss + cddvv / bdd + cee + eev - ddv}</math>, eandem formam habet, quam
<math>zz - 2fz + ff</math>, $upponendo <math>f</math> æqualem <math>z</math>: ita ut obti-
neatur rur$us æquatio inter <math>- 2f</math>, vel <math>- 2z</math> &
<math>{+ 2bcdd - 2bcde - 2cddv - 2bdev / bdd + cee + eev - ddv}</math> Vnde cogno$citur quan-
titatem <math>v</math> fore <math>{bcdd - bcde + bddz + ceez / cdd + bde - eez + ddz}</math>.</p>
<fig>
<var>Q C N E F A M P G</var>
</fig>
<p>Ideoque $i
componamus
lineam A P ex
hac $umma,
ip$i <math>v</math> æquali,
cujus quanti-
tates omnes
$unt cognitæ, atque à puncto $ic invento P rectam li-
neam ducamus versùs C, $ecabit ip$a ibidem curvam
C E ad angulos rectos. Quod faciendum erat. Nec vi-
deo quid impedire po$$it, quo minùs Problema hoc eo-
dem modo ad omnes lineas curvas, quæ $ub calculum
aliquem Geometricum cadunt, extendatur.</p>
<p>Et quidem quod ad ultimam $ummam attinet, quæ
pro libitu $umpta e$t ad implendum dimen$ionum nu-
merum alterius $ummæ, quando in illa quædam dimen-
$iones de$unt, quemadmodum paulò ante $ump$imus
<math>y^4 + f y^3 + ggyy + b^3 y + k^4</math>, operæ pretium e$t ut ad-
vertamus, $igna + & - talia ibi $upponi po$$e, qualia
quis voluerit, nec propterea lineam <math>v</math>, $eu A P diver$am
inveniri, ut facilè experienti con$tabit. Si enim de-
mon$trandis Theorematis omnibus, quorum hîc men-
tionem aliquam facio, immorarer, con$cribendus mihi
e$$et liber multò major, quàm quidem mihi e$$et ani-

<pb 49>[069]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
mus. Attamen obiter vos monere volo, quòd inventio
hæc $upponendi duas eju$dem formæ æquationes, ad
comparandum $eparatim omnes terminos unius cum
omnibus terminis alterius, ut inde ex una $ola na$can-
tur plures aliæ, (cujus hîc exempla vidi$tis,) in$initis aliis
Problematis in$ervire po$$it, neque una ex minimis,
methodi, quâ utor, exi$tat.</p>
<p>Non adjungo con$tructiones, $ecundùm quas contin-
gentes, $ive perpendiculares quæ$itæ, po$t calculum,
quem jam explicavi, $unt ducendæ: quandoquidem illæ
$emper facilè inveniri po$$unt; etiam$i aliquâ $æpe indu-
$triâ, ut breves atque $implices reddantur, opùs $it.</p>
<p>Vt, exempli causâ, $i C E e$t prima Conchoïdes Ve-
terum, cujus G $it Polus, & A B regula, cujus ope ducta
<mgr>N</mgr>
<fig>
<var>E C M D L B A F G H I P</var>
</fig>
<mgr>_Exem-_
_plum con-_
_$tructionis_
_bujus Pro-_
_blematis_
_in Con-_
_cboïde._</mgr>
e$t; adeò ut lineæ omnes rectæ, quæ tendunt versùs G,
atque intra curvam C E, & rectam A B continentur,

<pb 50>[070]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
(ut E A & C L) $ibi invicem $int æquales: Velimu$que
rectam lineam ducere C F, quæ $ecet hanc Conchoïdem
in dato puncto C ad angulos rectos: Quærendo juxta
methodum, à nobis expo$itam, in linea A B punctum,
per quod dicta linea C F tran$ire debet, incidemus in
calculum, nullo præcedentium breviorem; & nihilo-
minus con$tructio inde elicienda valde brevis e$t. Opor-
tet enim duntaxat in linea recta C G $umere C D æqua-
<mgl>O</mgl>
lem C B, quæ perpendiculariter cadit in B A, & deinde
ex puncto D ducere D F, parallelam G A, ac æqualem
L G: quâ ratione habebitur punctum F, per quod quæ-
$ita linea C P e$t ducenda.</p>
<p>Cæterùm ut $ciatis, con$iderationem curvarum li-
<mgl>_Explica-_
_tio qua-_
_tuor gene-_
_rum no-_
_varum O-_
_valium_
_Opticæ_
_in$ervien-_
_tium._</mgl>
nearum, hîc propo$itarum, non carere u$u, & quòd il-
læ diver$as habeant proprietates, quæ nullâ ratione ce-
dunt proprietatibus $ectionum Conicarum, libet præ-
terea hîc $ubjicere explicationem certarum quarundam
Ovalium, quas ad Catoptricæ & Dioptricæ Theoriam
utili$$imas e$$e videbitis. Modus autem quo illas de$cri-
bo, talis e$t.</p>
<fig>
<var>R 8 1 1 6 F A 5 7 G V 1 1</var>
</fig>
<p>Primùm ductis rectis lineis F A & AR, $e$e inter-

<pb 51>[071]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
$ecantibus in puncto A, ad quoslibet angulos, $umo ad
arbitrium in una ex ip$is punctum F, hoc e$t, propiùs
aut remotiùs ab A puncto, prout Ovales ha$ce majo-
res aut minores de$cribere animus e$t; atque ex pun-
cto F, ceu centro, de$cribo circulum, tran$euntem ali-
quantulum ultra A, ut per punctum 5. Deinde ex hoc
puncto 5 duco lineam rectam 5, 6, $ecantem alteram in
puncto 6; ita ut A 6 minor $it quàm A 5, juxta quam-
libet rationem datam, nimirum eam, quæ refractiones
men$urat, $i eâ in Dioptrica uti velimus. Quo facto,
ad libitum quoque $umo punctum G in linea F A, ex
eadem parte, quâ punctum 5 e$t $umptum, hoc e$t, fa-
ciendo, ut lineæ A F & G A eam inter $e rationem ha-
beant, quam volumus. Po$tea po$itâ R A æquali G A
in linea A 6, de$cribo alium circulum ex centro G, cu-
jus radius æqualis $it lineæ R 6, priorem ab utraque par-
te lineæ F G in puncto 1 $ecantem; quod quidem unum
e$t ex illis, per quæ prima quæ$itarum Ovalium tran$ire
debet. Similiter, de$cribo rur$us circulum ex centro F,
qui tran$eat aliquantulum ultra citrave punctum 5, ut
per punctum 7; ductâque lineâ rectâ 7, 8, parallelâ ip$i
5, 6, ex centro G de$cribo alium circulum intervallo li-
neæ R 8, priorem, qui per punctum 7 tran$it, $ecantem
in puncto 1, quod aliud præterea punctum e$t eju$dem
Ovalis. Atque ita invenire licet tot alia puncta, quot
voluerimus, ducendo $emper alias atque alias lineas
ip$i 7, 8 parallelas, nec non alios alio$que circulos ex cen-
tris F & G.</p>
<p>Quod ad $ecundæ Ovalis de$criptionem attinet; ibi
nulla quidem alia differentia advertenda occurrit, quàm
quòd loco A R $umere oporteat A S ip$i A G æqualem,
ex altera parte puncti A, & quòd radius circuli, ex cen-
tro G de$cripti, ad $ecandum eum, qui ex centro F per

<pb 52>[072]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
punctum 5 de$criptus e$t, æqualis $umendus $it lineæ
S _6_; aut etiam æqualis lineæ S 8, $i illum, qui per pun-
ctum 7 tran$it, $ecare debeat. Atque ita de aliis. Quâ
quidem ratione hi circuli in punctis 2, 2 $e$e inter$eca-
<mgl>OO</mgl>
bunt, per quæ $ecunda hæc Ovalis erit ducenda.</p>
<fig>
<var>2 2 8 6 F A G X 5 7 S 2 2</var>
</fig>
<p>Porrò quod $pectat ad tertiam & quartam, loco li-
neæ A G $umenda erit A H ex altera parte puncti A,
nimirum ex eadem parte, qua punctum F e$t $umptum.
V bi ampliùs ob$ervandum venit, lineam hanc A H ex-
cedere debere ip$am A F, quæ quoque nulla e$$e po-
te$t, ita ut punctum F idem $it, quod punctum A, in de-
$criptione omnium harum Ovalium. Deinde po$tquam
lineæ A R & A S $ic ip$i A H $unt æquales factæ, ad
de$cribendam tertiam Ovalem A 3 Y, de$cribo circu-
lum ex centro H, cujus radius $it æqualis lineæ S 6, cir-
culum ex centro F, de$criptum per punctum 5, $ecan-

<pb 53>[073]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
<fig>
<var>3 3 Y H F A 5 7 6 8 S 3 3</var>
</fig>
tem in puncto 3; $imiliterquealium excentro H, inter-
vallo lineæ S 8, qui circulum ex centro F, de$criptum
per punctum 7, $ecet in puncto itidem notato 3. atque
ita de aliis. Denique pro ultima, de$cribo circulos ex
<fig>
<var>4 4 Z H F A 5 7 R 8 6 4 4</var>
</fig>

<pb 54>[074]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
centro H, quorum radii $int æquales lineis R 6, & R 8,
atque $imilibus, qui reliquos circulos $ecent in punctis
notatis 4.</p>
<p>Po$$ent præterea in$initi alii modi excogitari ad de-
$cribendas ha$ce Ovales. Vt, exempli causâ, ad de$cri-
bendam primam A V, quando lineæ F A & A G ponun-
tur æquales: divido totam F G in puncto L; ita ut F L $it
<fig>
<var>F A K L G V C E</var>
</fig>
ad L G, $icut A 5 ad A 6. hoc e$t, ut ip$æ inter $e ratio-
nem $ervent, quæ refractiones metitur. Deinde $ectâ
A L bifariam in K, facio rotare regulam aliquam, ut
F E, circa punctum F, interea dum juxta ip$am velut
agglutinata tenetur chorda E C, quæ uno extremo an-
nexa extremitati regulæ versùs E, $e flectit à C versùs K,
atque deinde rur$us à K versùs C, ac denuo à C versùs
G, ubialterum ejus extremum e$t alligatum; $ic ut lon-
gitudo ip$ius compo$ita $it ex longitudine lineæ G A plus
A L, plus F E, minus A F, & motus puncti C Ovalem
hanc de$cribat: ad imitationem ejus, quod in Dioptrica
de Ellip$i & Hyperbola dictum fuit. Sed nolo huic argu-
mento diutiùs immorari.</p>
<p>Ad hæc, etiam$i hæ Ovales eju$dem fermè naturæ

<pb 55>[075]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
videntur, ip$æ nihilominus quatuor diver$orum $unt ge-
nerum, quorum unumquodque $ub $e infinita alia gene-
ra continet, & unumquodque rur$us tot diver$as $pecies,
quot facit Ellip$ium aut Hyperbolarum genus. Etenim
prout ratio, quæ inter lineas A 5 & A 6, $imile$ve, con-
$i$tit, diver$a e$t, genus quoque $ubalternum harum Ova-
lium fit diver$um. Deinde prout ratio inter lineas A F
& A G vel A H mutatur, Ovales quoque cuju$que $ubal-
terni generis mutantur $pecie. Prout autem A G vel A H
major vel minor e$t, ip$æ magnitudine quoque differunt.
Quòd $i verò lineæ A 5 & A 6 æquales $umantur, loco
Ovalium primi aut tertii generis, de$cribentur tantùm
lineæ rectæ; $ed loco $ecundi, omnes Hyperbolæ; & lo-
co ultimi, omnes Ellip$es.</p>
<p>Vlteriùs in qualibet harum Ovalium con$iderandæ
<mgr>_Proprie-_
_tates ba-_
_rum O-_
_valium_
_concernen-_
_tes re-_
_flexiones_
_& refr a-_
_ctiones_.</mgr>
$unt etiam duæ partes, quæ diver$as proprietates ha-
bent; quippe in prima pars illa, quæ e$t versùs A, facit
ut radii, qui in aëre exi$tentes ex puncto F prodeunt,
detorqueantur omnes versùs G punctum, po$tquam in
convexam vitri $uperficiem inciderunt, qualis hîc e$t
<sc>I</sc> A <sc>I</sc>. Etin quo vitro refractiones $ic fiunt, ut juxta ea,
<fig>
<var>F A 5 7 G V R 8 6 1 1 1 1</var>
</fig>

<pb 56>[076]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
quæ in Dioptricis dicta $unt, illæ omnes per rationem,
quæ inter lineas A 5 & A 6, aut $imiles, quarum ope hæc
Ovalis de$cripta e$t, obtinetur, men$urari po$$int.</p>
<p>Verùm pars illa, quæ e$tversùs V, facit ut radii, qui
ex puncto G prodeunt, omnes versùs F reflectantur, $i
in $uperficiem concavam $peculi inciderint, cujus figu-
<mgr>P</mgr>
ra $it <sc>I</sc> V <sc>I</sc>; & quodex tali materia con$ter, ut vim ho-
rum radiorum, $ecundùm rationem, quæ inter lineas A 5
& A 6 reperitur, diminuat. Quandoquidem ex co, quod
in Dioptrica demon$travimus, liquet, hoc po$ito, futu-
rum, ut etiam reflexionum anguli non $ecus ac re$ractio-
num inæquales exi$tant, atque eodem modo men$urari
po$$int.</p>
<p>In $ecunda Ovali, pars 2 A 2 $imiliter re$lexionibus in-
$ervit, quarum anguli inæquales $upponuntur. Si enim
illa $uperficiem $peculi, ex eadem materia, qua præce-
dens, confecti, referrct, faceret ut radii omnes, qui ex
puncto G venirent, $ic reflecterentur, perinde ac $i po$t
reflexionem illam viderentur procedere ex puncto F.
Et notandum e$t, quòd, $i linea A G multò major $it a$-
$umpta quàm A F, $peculum hoc in medio versùs A con-
cavum $it futurum, atque concavum in extremitatibus.
Quippe hujus lineæ figura talis exi$tit, ut potiùs cor
quàm Ovalem repræ$entert.</p>
<p>At verò altera ejus pars 2 X 2 refractionibus in$ervit,
facitque ut radii, qui in aëre $unt, ac tendunt versùs F, $e
omnes incurvent versùs G, tran$eundo $uper$iciem vitri,
quod $iguram illam habet.</p>
<p>Tertia Ovalis tota refractionibus in$ervit, facitque
ut radii, qui in aëre exi$tentes versùs F tendunt, in vi-
tro $e omnes versùs Hrecipiant, po$tquam $uperficiem
ejus tran$iêrunt, cujus figura e$t A 3 Y 3, quæ undique
e$t convexa; præterquam versùs A, ubipaululùm con-

<pb 57>[077]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
cava exi$tit, ita ut ip$a pariter atque præcedens cordi
haud $it ab$imilis. Differentia autem, quæ e$t inter duas
ejus partes, in eo con$i$tit, quòd punctum F uni ex illis
propius $it, quàm punctum H; quodque ab altera remo-
tius quàm idem punctum H exi$tat.</p>
<p>Eodem modo ultima Ovalis omnino re$lexionibus in-
$ervit, facitque, ut radii, qui ex puncto H veniunt, at-
que in $uper$iciem concavam alicujus $peculi eju$dem
cum præcedentibus materiæ incidunt, cuju$que figura
e$t A 4 Z 4, reflectantur omnes versùs F.</p>
<p>Ita ut puncta F, & G $eu H Focos harum Ovalium
appellare liceat, ad exemplum eorum, quæ in Ellip$i-
bus & Hyperbolis habentur, atque in Dioptrica ita no-
minata $unt.</p>
<p>Omitto multas alias refractiones & reflexiones, quæ
harum Ovalium ope diriguntur: cum enim harum $o-
lummodo conver$æ aut contrariæ $int, ex iis $acilè deduci
poterunt.</p>
<fig>
<var>Q C N E F A M P G</var>
</fig>
<p>Verùm non omittenda e$t demon$tration ejus, quod
<mgr>_Demon-_
_$iratio ba-_
_rum pre-_
_prieta-_
_tum_.</mgr>
dixi. In quem finem $umamus, exempli causâ,
ctum C pro libitu in priore parte primæ harum Ova-
lium: deinde ducamus lineam rectam C P, quæ $ecet
hanc curvam in C, ad angulos rectos. Quod quidem
facile e$t, per Problema præcedens. Etenim, $umen-
do _b_ pro A G, _c_ pro A F, _c_ + _z_ pro F C; $upponen-
doque, quòd ratio, quæ e$t inter _d_ & _e_, (quam hîc

<pb 58>[078]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
$emper pro ea $umam, quæ propo$iti vitri re$ractioncs
metitur) illam quoque, quæ e$t inter lineas A 5, & A 6,
$imilesve, quibus in Ovalis hujus de$criptione u$i $umus,
de$ignet: ip$i G C attribuit <math>b - {ez / d}</math>, inveniturque li-
neam A P e$$e <math>{bcdd - bcde + bddz + ceez / bde + cdd + ddz - cez}</math>. ut $upra e$t
o$ten$um.</p>
<p>Porrò expuncto P deductâ $uper rectam F C perpen-
diculari P Q, nec non P N perpendiculari $uper G C,
con$iderandum e$t, num P Q $it ad P N, $icut _d_ ad _e_,
hoc e$t, ut lineæ, quæ vitri convexi A C refractiones me-
tiuntur: hoc enim $i fiat, radius, qui à puncto F venit
ad punctum C, ita $e ibidem incurvare debebit, intran-
do hocce vitrum, ut inde versùs G tendat. Quemad-
modum ex iis, quæ in Dioptrica tradidi, manife$ti$$i-
mum e$t. Atque eapropter per calculum exploremus,
num verum $it, P Q e$$e ad P N. $icut _d_ ad _e_. Vt $e-
quitur.</p>
<p>Triangula rectangula P Q F & C M F $imilia $unt,
unde liquet, C F e$$e ad C M, ut F P ad P Q; ac proin-
<fig>
<var>F A M P G C Q E N</var>
</fig>
de F P multiplicatam per C M atque divi$am per C F,
e$$e æqualem ip$i P Q. Eodem modo, triangula re-
ctangula P N G & C M G $imilia $unt; unde $equitur,
G P multiplicatam per C M & divi$am per C G, e$$e
æqualem ip$i P N. Deinde, quia multiplicationes vel
divi$iones duarum quantitatum per eandem ratio-

<pb 59>[079]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
nem, quæ inter ip$as e$t, non mutant: $i F P multiplica-
ta per C M, & divi$a per C F, e$t ad G P, etiam multi-
plicatam per C M, & divi$am per C G, $icut _d_ ad _e_: di-
videndo utramque $ummam per CM, & deinde multi-
plicando utramque per CF, ac denuo per CG: relin-
quitur, F P multiplicatam per C G, in eadem ratione
e$$e ad G P multiplicatam per C F, ut e$t _d_ ad _e_. Atverò
per con$tructionem F P e$t <math>c {+ bcdd - bcde + bddz + ceez / bde + cdd + ddz - eez}</math>,
$ive <math>F P = {bcdd + ccdd + bddz + cddz / bde + cdd + ddz - eez}</math>, & C G e$t <math>b - {ez / d}</math>
V nde $imultiplicemus F P per C G, proveniet
<math>{bbcdd + bccdd + bbddz + bcddz - bcdez - ccdez - bdezz - cdezz / bde + cdd + ddz - eez}</math></p>
<p>Similiter G P e$t <math>b {- bcdd + bcde - bddz - ceez / bde + cdd + ddz - eez}</math>, $ive
<math>G P = {bbde + bcde - beez - ceez / bde + cdd + ddz - eez}</math>, & C F e$t _c_ + _z_.
Ideo $imultiplicemus G P per C F, exurget
<math>{bbcde + bccde - bceez - cceez + bbdez + bcdez - beezz - ceezz / bde + cdd + ddz - eez}</math></p>
<p>Et quia prima harum $ummarum divi$a per _d_, eadem
e$t quæ $ecunda divi$a per _e_: manife$tum e$t, quòd F P
multiplicata per C G $it ad GP, multiplicatam per CF,
hoc e$t, quòd PQ $it ad PN, $icut _à_ ad _e_. Quod demon-
$trandum erat.</p>
<p>Vbi $ciendum, demon$trationem hanc $e extendere
ad omne illud, quod de aliis refractionibus aut reflexio-
nibus, quæ in expo$itis Ovalibus fiunt, dictum e$t. Præ-
terquam quòd aliud nihil quàm $igna + & - in calculo
$it mutandum. Quæ ideo unu$qui$que proprio marte exa-
minare poterit, ita ut huic rei diutiùs immorari non $it
opùs.</p>
<p>Sed oportet, ut nunc id præ$tem, quod in Dioptri-
ca omi$i, cùm ibi o$ten$um e$t, plurium diver$arum fi-
gurarum vitra haberi po$$e, quæ $ingula faciunt, ut ra-

<pb 60>[080]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
dii, ab eodem objecti puncto venientes, coëant rur$us
omnes in aliud punctum, po$tquam per illa tran$iêrunt;
& quòd horum vitrorum illa, quæ ab una parte admo-
dum convexa $unt, & concava ab altera, majorem effi-
caciam ad comburendum habeant, quàm illa, quæ ab
utraque parte æqualiter $unt convexa; cum hæc po$te-
riora contra pro per$picillis $int meliora: Contentus
enim ibi fui explicare tantùm illa, quæ ad praxin exi$ti-
mavi fore optima, habendo præcipuè rationem diffi-
cultatis, quæ arti$icibus in iis expoliendis occurrere
po$$it. Adeoque ne quid, quod ad ejus $cientiæ Theo-
riam $pectat, de$iderari queat, explicanda hîc mihi $u-
pere$t vitrorum figura, quæ unam ex $uperficiebus $uis
tam convexam aut concavam habeant, quàm quis vo-
luerit, & nihilominus efficiant, ut radii omnes, qui ab
uno puncto effunduntur, aut paralleli $unt, colligantur
rur$us in alio puncto: Quemadmodum etiam figura
vitrorum, quæ idem præ$tant, & æqualiter ab utraque
parte $unt convexa; aut in quibus convexitas unius $u-
per$iciei datam habet rationem ad convexitatem al-
terius.</p>
<fig>
<var>G A Y M H F C C</var>
</fig>
<p>Ponamus igitur pro primo ca$u, quòd, cùm dantur
<mgl>_Quomodo_
_vitrum_
_fieri po$-_
_$it, cujus_
_una $u-_
_perficies_
_tam con-_
_vexa aut_</mgl>
puncta G, Y, C, & F, radii omnes, qui ex puncto G ve-
niunt, aut ip$i G A $unt paralleli, colligi debeant in
puncto F. po$tquam vitrum tran$ierint, ita concavum,
ut, Y in medio ejus $uper$iciei interioris exi$tente, extre-

<pb 61>[081]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
mitas $it in puncto C; ita ut chorda C M C, & $agitta
<mgr>_concava_
_$it, quàm_
_libuerit,_
_quod ra-_
_dios om-_
_nes, qui ex_
_uno dato_
_puncto_
_prodeunt,_
_colligat_
_rur$us in_
_altero da-_
_to puncto_.</mgr>
Y M, arcus C Y C datæ $int. Quæ$tio eò recidit, ut
primò con$iderandum $it, cuju$nam ex Ovalibus jam
explicatis $uperfi\‘cies vitri Y C figuram requirat, ad
faciendum, ut radii omnes, qui intra illud exi$tentes
versùs idem punctum, ut H, quod nondum e$t cogni-
tum, tendunt, egrediendo $e versùs aliud punctum re-
cipiant, ut F. Quippe nullus effectus e$t, rationem,
quâ hi radii reflexione aut re$ractione detorquentur,
concernens, qui per aliquam harum Ovalium produci
non po$$it. Atque facilè cogno$citur, hunc produci
po$$e per tertiæ Ovalis partem, paulò ante vocatam
3 A 3; aut etiamper eju$dem partem, nominatam 3 Y 3;
aut denique per $ecundæ partem, appellatam 2 X 2. Et
quia hæ tres $ub eundem hîc calculum cadunt, pro una
pariter atque pro altera punctum Y $umendum erit pro
ip$arum vertice; C autem pro uno ex punctis, quæ in
ip$arum $unt circum$erentia; & F pro uno ex focis;
po$t quæ tantùm punctum H quærendum re$tat, quod
alter focus e$$e debet. Illud autem invenitur, con$i-
derando, quòd differentia, quæ e$t inter lineas F Y &
F C, $e habere debeat ad differentiam, quæ e$t inter li-
neas H Y & H C, $icut _d_ e$t ad _e_, hoc e$t, ut major li-
nearum, quæ vitri propo$iti refractiones metiuntur, ad
minorem. Quemadmodum ex harum Ovalium de-
$criptione per$picere licet. Et quoniam lineæ F Y &
F C datæ $unt, datur quoque ip$arum differentia, &
per con$equens etiam illa, quæ e$t inter lineas H Y &
H C: quandoquidem ratio, quæ inter duas ha$ce dif-
ferentias con$i$tit data e$t. Ampliùs, quia Y M e$t data,
datur quoque differentia, quæ e$t inter M H & H C; &
tandem, quia C M e$t data, $upere$t tantùm invenien-
dum M H, latus trianguli rectanguli C M H, cujus la-

<pb 62>[082]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
tus C M datum e$t, quemadmodum etiam differentia,
quæ e$t inter C H ba$in, & M H latus quæ$itum. Vnde
illud facilè inveniri pote$t. Si enim $umatur _k_ pro ex-
ce$$u, quo C H excedit M H, & _n_ pro longitudine lineæ
C M, habebitur <math>{nn / 2k} - {1/2} k</math> pro M H.</p>
<p>Po$tquam igitur $ic inventum e$t punctum H, $i il-
lud longiùs reperiatur di$$itum à puncto Y, quàm inde
di$tat punctum F, linea C Y debet e$$e prima pars Ova-
<fig>
<var>G A Y M H F C C</var>
</fig>
lis tertii generis, quæ ante nominata $uit 3 A 3: $ed $i H Y
minor e$t quam F Y, aut in tantum H F $uperat, ut dif-
ferentia ip$arum, ratione totius F Y, major $it, quàm
e$t _e_, minor linearum, quæ refractiones metiuntur, com-
parata cum _d_ majore, hoc e$t, ut faciendo H F = _c_, &
H Y = _c_ + _b_, _db_ $it major quàm 2 _ce_ + _eb_, & tunc
C Y debet e$$e $ecunda pars eju$dem tertiæ Ovalis, quæ
paulò antè vocata fuit 3 Y 3; $ed erit $ecunda pars Ova-
lis $ecundi generis, quæ $upra nominata fuit 2 X 2, $i
_db_ æqualis vel minor e$t quàm 2 _ce_ + _eb_. Et denique
$i punctum H illud ip$um e$t, quod punctum F, quod
quidem non contingit, ni$i cùm F Y & F C $unt æquales,
tum dicta linea Y C erit Circulus.</p>
<p>Po$t hæc quærenda e$t C A C altera hujus vitri $u-
per$icies, quæ debet e$$e Ellip$is, cujus focus H, $i ra-
dii incidentes paralleli $upponantur. Quo etiam ca$u
facile e$t illam invenire. Sed $i $upponantur à puncto

<pb 63>[083]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
G venire, tum quidem $uperficies illa debet e$$e prima
pars Ovalis primi generis, cujus bini foci $int G & H,
quæque tran$eat per punctum C. unde porro invenitur
punctum A, vertex ip$ius Ovalis; con$iderando $cilicet,
quòd G C excedere debeat G A, quantitate aliquâ, quæ
$it ad illam, quâ H A $uperat H C, $icut _d_ ad _e_. Etenim,
$umptâ _k_ pro differentia, quæ e$t inter C H & H M; $i
pro A M $upponatur _x_, habebitur _x_ - _k_, pro differentia,
quæ e$t inter A H & C H. Deinde $i $umatur _g_ pro
differentia, quæ e$t inter G C & G M, quæ datæ $unt,
habebitur _g_ + _x_ pro illa, quæ e$t inter G C & G A.
<mgr>_Quomodo_
_aliud fieri_
_po$$it, quod_
_idem præ-_
_$tet, cuju$-_
_que con-_
_vexit as_
_unius $u-_
_perficiei_
_datam ra-_
_tionem_
_babeat ad_
_convexi-_
_tatem vel_
_concavi-_
_tatem al-\
_terius_.</mgr>
Et quandoquidem hæc ultima _g_ + _x_ e$t ad alteram _x_ - _k_,
$icut _d_ ad _e_, habebitur <math>ge + ex = dx - dk</math>, hoc e$t,
<math>{ge + dk / a - e}</math>, pro linea _x_ vel A M, per quam determinatur
punctum A, quod quærebatur.</p>
<p>Ponamus jam pro ca$u altero, quòd tantùm dentur
puncta G, C, & F, ut & ratio, quæe$t inter lineas A M
& M Y, & quòd invenienda $it $igura vitri A C Y, quæ
faciat ut radii omnes, à puncto G venientes, coëant rur-
$us in punctum F.</p>
<p>Hîc autem rur$us duabus Ovalibus uti po$$umus,
quarum una A C pro focis habeat puncta G & H, altera
<fig>
<var>G A M Y F H C</var>
</fig>
autem C Y puncta F & H. Qui igitur ut inveniantur,
$upponendo primùm punctum H, quod utrique e$t

<pb 64>[084]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
commune, e$$e cognitum, quæro A M per tria puncta
G, C, & H, ratione modò explicatâ; nimirum $umendo
_k_ pro differentia, quæ e$t inter C H & H M, & _g_ pro
eâ, quæ e$t inter G C & G M. Vnde cùm A C e$t pri-
ma pars Ovalis primi generis, invenio <math>{ge + dk / d - e}</math> pro A M.
Deinde quæro etiam M Y pertria puncta F, C, & H, ita
ut C Y $it prima pars Ovalis tertii generis; $umendo-
que _y_ pro M Y, & _f_ pro differentia, quæ e$t inter C F &
F M, habebo _f_ + _y_ pro ea, quæ e$t inter C F & F T:
hinc cum habeam _k_ pro illa, quæ e$t inter C H & H M,
habebo _k_ + _y_ pro ea, quæ e$t inter C H & H Y, quam
$cio e$$e debere ad _f_ + _y_, $icut _e_ ad _d_, propter Ovalem
tertii generis. unde invenio _y_ $eu M Y e$$e <math>{fe - dk / d - e}</math>;
ita ut addendo $imul quantitates inventas pro A M &
M Y, habeam <math>{ge + fe / a - e}</math> pro tota A Y. E quibus mani-
fe$tum $it, quòd, ad quamcunque partem punctum H
$uppo$itum fuerit, dicta linea A Y $emper compo$ita
$it ex quantitate aliqua, quæ $it ad di$ferentiam, quâ
G C & C F $imul $umptæ $uperant G F, ut e$t _e_ minor
duarum linearum, quæ dimetiendis refractionibus vi-
tri propo$iti in$erviunt, ad _d_ - _e_, di$ferentiam, quâ ma-
jor minorem excedit. Quod quidem $atis $citum e$t
Theorema.</p>
<p>Po$tquam igitur $ic inventa e$t tota linea A Y, $e-
canda e$t ip$a juxta rationem, quam inter $e $ervare de-
bent ejus partes A M & M Y; quibus mediantibus,
(quia jam habetur punctum M) invenientur quoque
puncta A & Y; & per con$equens punctum H, per Pro-
blema præcedens. Verùm con$iderandum e$t priùs,
num linea A M $ic inventa, $it major quàm <math>{ge / d - e}</math>, an mi-
nor, an verò ip$i æqualis. Nam $i major fuerit, cogno-

<pb 65>[085]<rh>L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
<fig>
<var>C G A M Y F H</var>
</fig>
$citur inde, quòd curva A C e$$e debeat prima pars
Ovalis primi generis, & CY prima tertiæ, quemad-
modum hîc $uppo$itæ fuêre: cum aliàs, $iminor fuerit,
id indicet, quòd C Y debeat e$$e prima pars Ovalis pri-
mi generis, & A C prima pars tertiæ. Et denique $i
A M æqualis fuerit ip$i <math>{ge / d - e}</math>, quòd duæ hæ curvæ A C
& C Y debeant e$$e duæ Hyperbolæ.</p>
<p>Po$$ent extendi hæc duo Problemata ad infinitos
alios ca$us, quibus quidem deducendis $uper$edeo,
quòd nullum eorum u$um in Dioptricis deprehende-
rim.</p>
<p>Po$$em quoque ulteriùs progredi, & dicere, cùm
una ex vitri $uperficiebus data e$t, modò illa $it aut pla-
na, aut à $ectionibus Conicis, aut Circulo effecta, quo-
modo altera ejus $uperficies confici debeat, ut radios
omnes ab uno dato puncto venientes tran$mittat ad
aliud punctum etiam datum. Neque enim hoc ullo
modo difficilius e$t, quàm quod modò explicavi; im-
mo verò res multò facilior e$t, quoniam via illuc per-
veniendi jam aperta e$t. Verùm malo alios id quære-
re, ut, $i inter inve$tigandum negotii adhuc aliquid re-
pererint, eò pluris inventionem rerum hîc demon$tra-
tarum æ$timent.</p>
<p>Cæterùm in toto hoc libro locutus $um tantùm de
<mgr>_Quomodo_
_id omne,_</mgr>

<pb 66>[086]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc> L<sc>IBER</sc> S<sc>ECVNDVS</sc>.</rh>
lineis curvis quæ in $uperficie aliqua plana de$cribi po$-
<mgl>_quod bic_
_de lineis_
_curvis, in_
_plana $u-_
_perficie de-_
_$criptis,_
_dictum_
_$uit, appli-_
_cari po$$it_
_ad illas,_
_quæ de-_
_$cribuntur_
_in $patio_
_trium di-_
_men$io-_
_num $ive_
_$uper ficie_
_aliqua_
_curva._</mgl>
$unt; verùm facile e$t, quæ de iis dixi, etiam ad omnes
alias referre, quas imaginari po$$umus formatas e$$e,
motu aliquo ordinato punctorum alicujus corporis in
$patio trium dimen$ionum. Nimirum demittendo duas
perpendiculares à quolibet puncto lineæ curvæ, quam
con$iderare volumus, ad duo plana, ad angulos rectos
$e invicem $ecantia, unam ad unum, & alteram ad alte-
rum: quippe perpendicularium harum extremitates
$ingulæ duas alias curvas lineas de$cribunt, unam in
uno, & alteram in altero plano, quarum puncta omnia
modo $uperiùs explicato determinari ac referri po$-
$unt ad puncta lineæ rectæ, quæ utrique plano e$t com-
munis, ut hâc ratione puncta curvæ, tres dimen$iones
habentis, omnino $int determinata. Ita etiam $i re-
ctam lineam ducere velimus, quæ hanc curvam in dato
puncto ad angulos rectos $ecet, opùs tantùm e$t duas
alias rectas lineas ducere, unam in uno, & alteram in
altero plano, quarum $ingulæ $ingulas curvas ibidem
$ecent in punctis, ubi cadunt perpendiculares, quæ à
dato puncto ad utrumque planum $unt deductæ. Ete-
nim po$tquam duo alia plana, unum $uper unam, & al-
terum $uper alteram, erecta $unt, quæ ad utrumque pla-
num, in quibus lineæ illæ $unt, recta exi$tant, erit ho-
rum duorum planorum communis inter$ectio linea re-
cta quæ$ita. Atque ita arbitror me omnia tradidi$$e
Elementa, quæ ad curvarum linearum cognitionem
funt nece$$aria.</p>

<pb 67>[087]
<h>GEOMETRIÆ
LIBER TERTIUS.</h>
<h it>De Con$tructione Problematum Solidorum, &
Solida excedentium.</h>
<p>TAmet$i omnes lineæ curvæ, quæ motu aliquo
<mgr>_Quænam_
_curvæ li-_
_neæ adbi-_
_beri po$$int_
_ad con-_
_$tructio-_
_nem cuju$-_
_que Pro-_
_blematis._</mgr>
ordinato de$cribi po$$unt, in Geometriam $unt
recipiendæ, non ideo tamen permi$$um e$t uti
indifferenter quâlibet, quæ primùm occurrat, ad
Problematis cuju$que con$tructionem; $ed cura $emper
adhibenda e$t, ut $implici$$imam, cujus opeid ip$um $ol-
viqueat, eligamus. Vbi quidem ob$ervandum e$t, per
$implici$$imas non $olùm intelligendas e$$e illas, quæ
omnium facillimè de$cribi po$$unt; neque quæ propo-
$iti Problematis con$tructionem vel demon$trationem
faciliorem reddunt; $ed præ$ertim, quæ $implici$$imi
$unt generis, quod ad quantitatem quæ$itam determi-
nandam in$ervire queat.</p>
<p>Quemadmodum, exempli cau$sâ, ad inveniendas
<mgr>_Exem-_
_plum con-_
_cernens_
_inventio-_
_nem plu-_
_rium me-_
_diarum_
_proportio-_
_nalium._</mgr>
tot medias proportionales, quot libuerit, non opinor
modum ullum faciliorem dari, nec cujus demon$tratio
evidentior $it, quàm $i curvæ lineæ adhibeantur, quæ
per in$trumentum XYZ ($upra explicatum) de$eribun-
tur. Etenim $i inter YA & Y E duas medias propor-
tionales invenire libeat, oportet tantùm circulum de-
$cribere, cujus diameter $it YE, qui curvam A D $ecet
in puncto D, eritque Y D una ex quæ$itis mediis pro-
portionalibus. Cujus rei demon$tratio ex $ola in$tru-
menti hujus ad lineam Y D adplicatione per$picua e$t.

<pb 68>[088]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<fig>
<var>Y B D F H X A C E G N Z</var>
</fig>
Nam $icut YA $eu YB, quæ ip$i e$t æqualis, $e habet
ad Y C; $ic Y C $e habet ad Y D; & Y D ad YE.</p>
<p>Eodem modo ad inveniendas 4 medias proportio-
nales inter Y A & Y G; aut ad inveniendas 6 inter Y A
& Y N, de$cribendus e$t tantùm circulus Y F G, qui
$ecans curvam A F in puncto F determinat lineam re-
ctam YF, quæ una e$t ex quatuor quæ$itis proportio-
nalibus; aut circulus IHN, qui $ecans curvam A H in
puncto H determinat ip$am Y H, quæ una e$t ex $ex
quæ$itis proportionalibus. Et $ic de cæteris.</p>
<p>Verùm quia linea curva A D $ecundi e$t generis, &
duæ mediæ proportionales inveniri po$$unt per $ection-
nes Conicas, quæ $unt primi generis; tum etiam, quo-
niam 4 & 6 mediæ proportionales inveniri queunt be-
neficio linearum, generum non adeò compo$itorum
atque A F & A H: peccatum e$$et in Geometria, $i
illæ hîc adhiberentur. Quemadmodum etiam ex altera
parte pro peccato reputandum e$$et, $i quis inutiliter in

<pb 69>[089]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
con$truendo Problemate aliquo per genus linearum $im-
plicius, quàm natura ejus permittit, de$udaret.</p>
<p>Quocirca ut hîc adducere po$$im regulas qua$dam,
<mgr>_De natura_
_Æquatio-_
_num._</mgr>
quibus utrumque peccatum evitetur, opùs e$t, ut in ge-
nere aliquid dicam de natura Æquationum; hoc e$t, de
$ummis, quæ ex pluribus terminis $unt compo$itæ, par-
tim cognitis, partim verò incognitis, quorum alii aliis
$unt æquales, vel potiùs, qui omnes $imul con$iderati
nihilo $unt æquales. Quippe $æpe præ$tat illos hâc ra-
tione con$iderare.</p>
<p>Sciendum itaque, quòd incognita quantitas in qua-
<mgr>_Quot ba-_
_beri po$-_
_$int radi-_
_ces in qua-_
_libet Æ-_
_quatione._</mgr>
libet Æquatione, tot diver$as radices $eu diver$os va-
lores habere po$$it, quot ip$a habet dimen$iones. Nam
$i, exempli gratiâ, <math>x</math> $upponatur æqualis <math>2</math>, $eu <math>x - 2</math>
æqualis nihilo; & rur$us <math>x = 3</math>, $eu <math>x - 3 = 0</math>; & mul-
tiplicetur <math>x - 2 = 0</math> per <math>x - 3 = 0</math>: habebitur <math>xx - 5x
+ 6 = 0</math>, $eu <math>xx = 5x - 6</math>. quæ Æquatio e$t, in qua
quantitas <math>x</math> valet <math>2</math>, & præterea etiam <math>3</math>. Quòd $i rur-
$us fiat <math>x = 4</math>, atque <math>x - 4 = 0</math> multiplicetur per <math>xx -
5x + 6 = 0</math>, producetur <math>x^3 - 9xx + 26x - 24 = 0</math>.
quæ alia e$t Æquatio, in qua <math>x</math> habens tres dimen$iones,
tres quoque habet valores, qui $unt, <math>2</math>, <math>3</math>, & <math>4</math>.</p>
<p>Verùm $æpe accidit, quòd quædam harum radicum
<mgr>A</mgr>
<mgr>_Yuænam_
_$int fal$æ_
_radices._</mgr>
$int fal$æ, $eu minores quàm nihil: ut, $i $upponatur <math>x</math>
de$ignare quoque defectum alicujus quantitatis, ut-
puta <math>5</math>, ita ut habeatur <math>x + 5 = 0</math>, quæ multiplicata per
<math>x^3 - 9xx + 26x - 24 = 0</math>, faciat <math>x^4 - 4 x^3 - 19xx
+ 106x - 120 = 0</math>, pro Æquatione, in qua quatuor
$unt radices, nimirum tres veræ, quæ $unt <math>2</math>, <math>3</math>, & <math>4</math>, atque
<mgr>B</mgr>
una fal$a, quæ e$t <math>5</math>.</p>
<p>Vnde liquidò con$tat, quòd Æquationis $umma,
<mgr>_Yuomodo_
_diminui_
_po$$it di-_
_men$io-_
_num nu-_
_merus ali-_</mgr>
quæ plures radices continet, dividi $emper po$$it per
binomium, quod compo$itum e$t ex quantitate inco-

<pb 70>[090]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
gnita, minus valore alicujus ex veris radicibus, quæ-
<mgl>_cujus Æ-_
_quationis,_
_quando co-_
_gno$citur_
_aliqua ex_
_ejus radi-_
_cibus._</mgl>
cunque illa tandem $it, aut plus valore alicujus ex fal-
$is. cujus divi$ionis ope dimen$iones ejus in tantum di-
minuuntur.</p>
<p>Et vici$$im $i Æquationis $umma dividi non po$$it
<mgl>C</mgl>
perbinomium, con$tans ex quantitate incognita + vel
<mgl>_Yuâ ra-_
_tione in-_
_dagari_
_queat,_
_num data_
_quantitas_
_$it valor_
_aliaujus_
_radicis._</mgl>
- certa alia quadam quantitate; indicio e$t, quantita-
tem hanc non e$$e valorem alicujus ex ejus radicibus.
Quemadmodum hæc ultima <math>x^4 - 4 x^3 - 19xx + 106x
- 120 = 0</math>, dividi quidem pote$t per <math>x - 2</math>, per <math>x - 3</math>,
per. <math>x - 4</math>, & per <math>x + 5</math>; $ed nullo modo per <math>x +</math> vel
- quacunque alia quantitate. Id quod o$tendit, ip$am
non po$$e admittere alias radices præter ha$ce quatuor
<math>2</math>, <math>3</math>, <math>4</math>, & <math>5</math>.</p>
<p>Exquibus etiam cogno$citur, quot veræ & quot fal$æ
<mgl>D</mgl>
<mgl>_Quot ba-_
_beri po$-_
_$int veræ_
_radices in_
_qualibet_
_Æ quatio-_
_ne._</mgl>
radices in unaquaque Æquatione haberi po$$int. Ni-
mirum, tot in ea veras haberi po$$e, quot variationes re-
periuntur $ignorum + & -; & tot fal$as, quot vicibus
ibidem deprehenduntur duo $igna +, vel duo $igna -,
quæ $e invicem $equuntur. Vtin ultima, quia po$t <math>+ x^4</math>
habetur <math>- 4 x^3</math>, quæ e$t una variatio $igni + in -, &
po$t <math>- 4 x^3</math> habetur <math>- 19xx</math>, quæ $unt duo $igna $imi-
lia; & po$t <math>- 19xx</math> habetur <math>+ 106x</math>; & po$t <math>+ 106x</math>
habetur <math>- 120</math>, quæ $unt adhuc duæ aliæ variationes:
cogno$citur quòd illa tres admittat veras radices, &
unam fal$am, propter duo $igua - terminorum <math>4 x^3</math> &
<math>19xx</math>, quæ $e invicem $equuntur.</p>
<p>Porrò facile e$t efficere, ut in una eademque Æqua-
<mgl>E</mgl>
<mgl>_Quomodo_
_$aciendum_
_$it, ut $al-_
_$æradices_
_Æquat io-_
_nis eva-_
_dant ve-_
_ræ, & ve-_
_ræ fal$æ._</mgl>
tione radices omnes, quæ fal$æ erant, evadant veræ; &
ut eâdem operâ omnes illæ, quæ veræ erant, fal$æ fiant.
Nimirum mutando $igna omnia + & -, quæ in 2<_>_do,_</_>
4<_>_to,_</_> 6<_>_to,_</_> alii$ve locis reperiuntur, qui per numeros pares
de$ignantur; reliquis 1<_>_mi,_</_> 3<_>_tii,_</_> 5<_>_ti,</_> $imiliumque loco-

<pb 71>[091]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
rum, qui per impares numeros de$ignantur, non mu-
tatis.</p>
<p>Vt$iloco
<math>+ x^4 - 4 x^3 - 19xx + 106x - 120 = 0</math>,
$cribatur
<math>+ x^4 + 4 x^3 - 19xx - 106x - 120 = 0</math>,
habebitur Æquatio, in quâ una tantùm e$t vera radix,
quæ e$t 5; & tres fal$æ, quæ $unt <math>2</math>, <math>3</math>, & <math>4</math>.</p>
<p>Quòd $i verò non cognito radicum alicujus Æqua-
<mgr>_Quomodo_
_augeri vel_
_diminui_
_po$$int Æ-_
_quationis_
_radices,_
_ip$is non_
_cognitis._</mgr>
tionis valore, ip$as augere vel diminuere velimus quan-
titate aliquâ cognitâ, oportet tantùm in locum inco-
gniti termini $ub$tituere alium, qui eâdem hâc quanti-
tate major $it vel minor, eumque ubique primi loco
$ubrogare.</p>
<p>Vt $i augere velimus 3<_>_nario_</_> radicem hujus Æquatio-
nis <math>x^4 + 4 x^3 - 19xx - 106x - 120 = 0</math>, $umenda
e$t <math>y</math> loco <math>x</math>, & cogitandum, quantitatem hanc <math>y</math> majo-
rem e$$e quàm <math>x</math>, exce$$u <math>3</math>, ita ut <math>y - 3</math> ip$i <math>x</math> $it æqua-
lis; loco autem <math>xx</math> $cribendum e$t quadratum ex <math>y - 3</math>,
quod e$t <math>yy - 6y + 9</math>; & loco <math>x^3</math> $umendus e$t ejus cu-
bus, quie$t <math>y^3 - 9yy + 27y - 27</math>; & denique loco <math>x^4</math>
ponendum e$t ejus quadrato-quadratum, quod e$t
<math>y^4 - 12 y^3 + 54yy - 108y + 81</math>. Vnde $i $cribamus
<mgr>F</mgr>
$ummam præcedentem, $ub$tituendo ubique <math>y</math> pro <math>x</math>,
invenietur
<tb math>
y^4 - 12 y^3 + 54yy - 108y + 81
 # + 4 y^3 - 36yy + 108y - 108
 # # - 19yy + 114y - 171
 # # # - 106y + 318
 # # # # - 120
y^4 - 8 y^3 - 1yy + 8 y^* = 0, vel y^3 - 8yy - 1y + 8 = 0.
</tb>
ubi vera radix, quæ erat 5, jam e$t 8, propter ternarium
ip$iadditum.</p>

<pb 72>[092]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<p>Sin verò contra ternario radicem eju$dem Æqua-
tionis diminuere velimus, facienda e$t <math>y + 3 = x</math>, &
<math>yy + 6y + 9 = xx</math>. Atque ita porrò. Ita utloco
<math>x^4 + 4 x^3 - 19xx - 106x - 120 = 0</math>.
$cribatur</p>
<tb math>
y^4 + 12 y^3 + 54yy + 108y + 81
 # + 4 y^3 + 36yy + 108y + 108
 # # - 19yy - 114y - 171
 # # # - 106y - 318
 # # # # - 120
y^4 + 16 y^3 + 71yy- # 4y - 420 = 0.
</tb>
<p>Vbi notandum e$t, dum veræ radices alicujus Æ-
<mgl>_Quèd, au-_
_gendo ve-_
_ras radi-_
_ces, fal$æ_
_diminuan-_
_tur, &_
_contra._</mgl>
quationis augentur, fal$as eâdem quantitate diminui;
& contra, dum veræ diminuuntur, fal$as augeri: Et
quidem tum has tum illas pror$us evane$cere, $i quan-
titate ip$is æquali diminuantur; $i verò quantitate
ip$as $uperante, tum ex veris fal$as evadere, & ex fal$is
veras. Vt hîc, augendo ternario veram radicem, quæ
erat <math>5</math>, diminuitur ternario quælibet exfal$is; ita ut illa,
quæ erat <math>4</math>, non valeat plus quàm <math>1</math>; & quæ erat <math>3</math>, $it
cyphra $eu 0; & quæ erat <math>2</math>, facta $it vera, $itque <math>1</math> (cum
<math>- 2 + 3</math> faciat <math>+ 1</math>.) Adeò ut in hac Æquatione
<math>y^3 - 8yy - 1y + 8 = 0</math>, non plures quàm tres $int ra-
dices, inter quas duæ veræ exi$tunt, utpote <math>1</math> & <math>8</math>; &
una fal$a, quæ etiam e$t <math>1</math>: Etin hac altera <math>y^4 + 16 y^3
+ 71yy - 4y - 420 = 0</math>, una tantùm vera, quæ e$t 2,
(quia <math>+ 5 - 3</math> facit <math>+ 2</math>;) & tres fal$æ, quæ $unt <math>5</math>, <math>6</math>,
& <math>7</math>.</p>
<p>Iam verò beneficio modi hujus mutandi valorem ra-
<mgl>_Quâ ra-_
_tione $e-_
_cundus_
_terminus_
_Æquatio-_
_nis tolli_
_po$$it._</mgl>
dicum, ip$is non cognitis, duo fieri po$$unt, quæ in $e-
quentibus u$um aliquem habebunt. Vnum e$t, quòd
$emper $ecundus terminus Æquationis, quam exami-
<mgl>G</mgl>
namus, tolli po$$it: Nimirum, diminuendo veras ra-

<pb 73>[093]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
dices, quantitate cognitâ $ecundi termini divisâ per nu-
merum dimen$ionum primi, $i unus ex hi$ce duobus
terminis notatus fuerit $igno +, & alter $igno -; aut
augendo illas eâdem quantitate, $iuterque eodem $igno
fuerit adfectus.</p>
<p>Vt ad tollendum $ecundum terminum ultimæ Æ-
quationis</p>
<p><math>y^4 + 16 y^3 + 71yy - 4y - 420 = 0</math>,
divi$is <math>16</math> per <math>4</math>, propter <math>4^or</math> dimen$iones termini <math>y^4</math>,
proveniet rur$us <math>4</math>: hinc facio <math>z - 4 = y</math>, & $cribo,
<tb math>
z^4 - 16 z^3 + 96zz - 256z + 256
 # +16 z^3 - 192zz + 768z - 1024
 # # + 71zz - 568z + 1136
 # # # - 4z + 16
 # # # # - 420
z^4 * - 25zz - 60z - 36 = 0.
</tb>
ubi vera radix, quæ erat 2, e$t, 6, cumip$a quaternario $it
aucta; & fal$æ, quæ erant 5, 6, & 7, tantummodo $unt
1, 2, & 3, cum illæ quaternario $ingulæ $int diminutæ.</p>
<p>Eodem modo $i tollere velimus $ecundum terminum
Æquationis
<math>x^4 - 2a x^3 + 2aa \\ - cc # xx - 2 a^3 x + a^4 = 0:</math>
quoniam divi$is <math>2a</math> per <math>4</math>, quotiens fit <math>{1/2} a</math>, faciendum e$t
<math>z + {1 / 2} a = x</math>, ac$cribendum
<tb math>
z^4 + 2a z^3 + {3 / 2} aazz + {1 / 2} a^3 z + {1 / 16} a^4
 # -2a z^3 - 3aazz - {3 / 2} a^3 z - {1 / 4} a^4
 # # +2aazz + 2 a^3 z + {1 / 2} a^4
 # # -cczz - accz - {1 / 4} aacc
 # # # -2 a^3 z - a^4
 # # # # + a^4
z^4 * + {1 / 2} aazz - a^3 z + {5 / 16} a^4 = 0:
 # # -cc - acc -{1 / 4} aacc
</tb>

<pb 74>[094]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
ubi po$tquam innotuit valor ip$ius <math>z</math>, addendoip$i <math>{1 / 2} a</math>,
habebitur valor radicis <math>x</math>.</p>
<p>Alterum, quod hîc po$tea u$um aliquem habebit, e$t,
<mgl>_Quo pacto_
_fiat ut_
_$al$æ ra-_
_dices Æ-_
_quationis_
_evadant_
_veræ, nec_
_tamen ve-_
_ræ fiant_
_fal$æ_.</mgl>
quòd, dum augetur valor verarum radicum, quantitate
majore aliquâ ex fal$is, radices omnes verarum radices omnes veræ $emper fieri
po$$int, ita ut non habeantur duo $igna +, aut duo
$igna -, quæ $e invicem $equantur; & in$uper; ut
quantitas cognita tertii termini quadrato $emi$$is $ecun-
di major $it. Nam licèt id fiat, etiam$i fal$æ radices in-
cognitæ $int; tamen facile e$t de illarum magnitudine
præterpropter judicare, atque quantitatem aliquam a$$u-
mere, quæ ip$as in tantum vel plus $uperet, quantum
ad effectum hunc requiritur.</p>
<p>Vt $i habeatur
<mgl>H</mgl>
<math>x^6 + n x^5 - 6 nn x^4 + 36 n^3 x^3 - 216 n^4 x^2 + 1296 n^5 x - 7776 n^6 = 0:</math>
faciendo <math>y - 6 n = x</math>, invenietur
<tb math>
y^6 - 36 n # +540 nn # - 4320 n^3 # + 19440 n^4 # - 46656 n^5 # + 46656 n^6
 # + n # y^5 # - 30 nn # y^4 # + 360 n^3 # - 2160 n^4 # + 6480 n^5 # - 7776 n^6
 # # - 6 nn # + 144 n^3 # - 1296 n^4 # yy # + 5184 n^5 # y # - 7776 n^6
 # # # + 36 n^3 # y^3 # - 648 n^4 # + 3888 n^5 # # - 7776 n^6
 # # # # - 216 n^4 # + 2592 n^5 # - 7776 n^6
 # # # # # + 1296 n^5 # - 7776 n^6
 # # # # # # - 7776 n^6.
y^6 - 35 n y^5 + 504 nn y^4 - 3780 n^3 y^3 + 15120 n^4 yy - 27216 n^5 y * = 0.
</tb></p>
<p>Vbi manife$tum e$t, quòd 504 <math>nn</math> (quantitas cognita
tertii termini) major $it quadrato à <math>{35 / 2} n</math> ($emi$$e quanti-
tatis cognitæ $ecundi termini.) Neque ullus alius e$t ca-
$us, in quo quantitas, quâ veræ radices augentur, ad hoc
efficiendum, ratione earum quæ datæ $unt, major requi-
ritur.</p>
<p>Quoniam autem ultimus terminus hîc nullus reperi-
tur, $i id quidem non de$ideretur, augendus e$t adhuc ali-
quantillo valor radicum, quod $anè tam parum e$$e non
pote$t, quin id ad effectum hunc $it $atis.</p>
<p>Eodem modo $iaugere velimus dimen$ionum nume-
<mgl>_Quomodo_
_faciendum_
_$it, ut loca_
_@mmia_.</mgl>
rum alicujus Æquationis, & facere ut loca omnia ter-

<pb 75>[095]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS.</sc></rh>
minorum ejus $int repleta (ut $i loco <math>x^5 **** - b = 0</math>,
<mgr>_Æquatio-_
_nis $int_
_completa_.</mgr>
de$ideretur Æquatio, in quâ incognita quantitas $ex di-
men$iones habeat, & in qua nullus terminus de$it):
oportet primùm pro <math>x^5 **** - b = 0</math>, $cribere <math>x^6 ****
- bx = 0</math>; deinde factâ <math>y - a = x</math>, habebitur
<math>y^6 - 6a y^5 + 15aa y^4 - 20 a^3 y^3 + 15 a^4 yy - 6 a^5 y + a^6
- b + ab = 0</math>.</p>
<p>Vbi liquet, quòd, quantula etiam $uppo$ita fuerit quan-
titas <math>a</math>, omnia tamen Æquationis loca non de$inant e$$e
repleta.</p>
<p>Præterea po$$unt quoque radices alicujus Æquatio-
<mgr>_Quomodo_
_multipli-_
_cari vel_
_dividi po$-_
_$int Æ-_
_quationis_
_radices,_
_ip$is inco-_
_gnitis_.</mgr>
nis, etiam$i $int incognitæ, multiplicari aut dividi per
quantitatem aliquam cognitam, quam libuerit.</p>
<p>Quod fit, $upponendo, quantitatem incognitam,
multiplicatam, aut divi$am per quantitatem, quæ mul-
tiplicare aut dividere debet radices, e$$e æqualem ali-
cui alteri. Deinde multiplicando aut dividendo quan-
titatem cognitam $ecundi termini per hanc ip$am, quæ
multiplicare aut dividere debet radices; & per ip$ius
quadratum, quantitatem tertii; & per ip$ius cubum,
quantitatem quarti, atque ita porrò u$que ad ultimum.
Id quod in$ervire pote$t, ut ad integros & rationales nu-
<mgr>_Quâ ra-_
_tione fra-_
_cti numeri_
_alicujus_
_Æquatio-_
_nis redu-_
_cantur ad_
_integros_.</mgr>
meros reducantur fracti, aut $æpe etiam $urdi, qui in
Æquationum terminis reperiuntur.</p>
<p>Vt $i habeatur
<math>x^3 - x x √ 3 + {26 / 27} x - {8 / 27 √ 3} = 0</math>,
& ip$ius loco alia de$ideretur, cujus omnes termini per
numeros rationales exprimantur, oportet $upponere
<math>y = x √ 3</math>, & multiplicare per <math>√ 3</math> quantitatem cogni-
tam $ecundi termini, quæ quoque e$t <math>√ 3</math>; & per ip$ius
quadratum, quod e$t 3, quantitatem tertii, quæ e$t <math>{26 / 27}</math>; &
per ip$ius cubum, qui e$t <math>3 √ 3</math>, quantitatem ultimi, vi-
delicet <math>{8 / 27 √ 3}</math>, id quod facit <math>y^3 - 3yy + {26 / 9} y - {3 / 9} = 0.</math></p>

<pb 76>[096]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<p>Deinde $i hujus loco adhuc alia requiratur, in qua
quantitates omnes cognitæ $olis integris numeris expri-
mantur; $upponendo <math>z = 3y</math>, & multiplicando 3 per
<mgl>I</mgl>
3, <math>{26 / 9}</math> per 9, & <math>{8 / 9}</math> per 27, fiet Æquatio</p>
<p><math>z^3 - 9zz + 26z - 24 = 0</math>, Vbi, cum radices
$int <math>2</math>, <math>3</math>, & <math>4</math>, $equitur alterius radices e$$e <math>{2 / 3}</math>, I, & <math>{4 / 3}</math>; &
prioris Æquationis <math>{2 / 9} √ 3</math>, <math>{1 / 3} √ 3</math>, & <math>{4 / 9} √ 3</math>.</p>
<p>Quæ operatio $ervire quoque pote$t ad faciendam
<mgl>_Quo pacto_
_quantitas_
_cognita a-_
_licujus_
_termini_
_Æquatio-_
_nis æqua-_
_lis fiat_
_cuicunque_
_alteri da-_
_tæ_.</mgl>
quantitatem cognitam alicujus termini in Æquatione
æqualem alicui alteri datæ. Vt $i habeatur
<math>x^3 * - bbx + c^3 = 0</math>, & ip$ius loco alia $it invenien-
da Æquatio, in qua quantitas cognita tertii termini,
nimirum ea, quæ hîc e$t <math>bb</math>, $it <math>3aa</math>, non autem <math>bb</math>: $up-
ponendum e$t <math>y = x √ {3aa / bb}</math>, deinde verò $cribendum,
<mgl>K</mgl>
<math>y^3 * - 3aay + {3 a^3 c^3 / b^3} √ 3 = 0.</math></p>
<p>Cæterùm radices tam veræ quàm fal$æ non $emper
<mgl>_Quòd ra-_
_dices, tam_
_veræ_
_quam fal-_
_$æ, po$-_
_$int e$$e_
_reales, vel_
_imagina-_
_riæ_.</mgl>
$unt reales, $ed aliquando tantùm imaginariæ: hoc e$t,
$emper quidem in qualibet Æquatione tot radices quot
dixi, imaginari licet; verùm nulla interdum e$t quan-
titas, quæ illis, quas imaginamur, re$pondet. Quem-
admodum, tamet$i tres imaginari po$$imus in hac,
<math>x^3 - 6xx + 13x - 10 = 0</math>; tamen una tantùm e$trea-
lis; nempe 2; & quod ad reliquas duas attinet, quamvis
illæ augeantur, diminuantur, aut multiplicentur, $icut
jam expo$ui; tamen non ni$i imaginariæ $ieri po$$unt.</p>
<p>Iam verò, po$tquam ad inveniendam con$tructio-
<mgl>_Reductio_
_Æquatio-_
_num Cu-_
_bicarum,_
_cùm Pro-_
_blema, e$t_
_planum_.</mgl>
nem alicujus Problematis pervenimus ad Æquationem,
in quâ incognita quantitas tres habet dimen$iones:
Primùm $i quantitates cognitæ, quæ in ea reperiuntur,
numeros fractos continent, ip$i ad integros, beneficio
multiplicationis, modò explicatæ, reducendi $unt; At
$i $urdos continent, tum quantùm fieri pote$t, $imiliter

<pb 77>[097]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
ad rationales $unt reducendi, tam per eandem hanc
multiplicationem, quàm per diver$os alios modos, in-
ventu $atis faciles. Deinde examinando ordine quanti-
tates omnes, quæ ab$que fractione ultimum terminum
dividere po$$unt, videndum e$t, num aliqua ex ip$is,
juncta cum quantitate incognita per $ignum + vel -,
componere po$$it binomium, quod dividat totam $um-
mam; Id enim $i contingat, Problema erit Planum,
hoc e$t, con$trui poterit regulâ atquecircino. Etenim
<mgr>L</mgr>
aut quantitas cognita hujus binomii erit radix quæ$ita;
aut Æquatio, perip$um divi$a, ad duas dimen$iones erit
reducta; ita ut deinde radix ejus, per ea, quæ primo
libro $unt o$ten$a, inveniri queat.</p>
<p>Exempli gratiâ, $i habeatur
<math>y^6 - 8 y^4 - 124yy - 64 = o</math>; ultimus terminus, qui
e$t 64, dividi pote$t ab$que fractione per 1, 2, 4, 8, 16,
32, & 64. Quare ordine examinando hanc Æquatio-
nem, num dividi po$$it per aliquod ex binomiis <math>yy - 1</math>
aut <math>yy + 1</math>, <math>yy - 2</math> aut <math>yy + 2</math>, <math>yy - 4</math> aut <math>yy + 4</math>, &c. in-
venitur dividi po$$e per <math>yy - 16</math>, hoc modo:
<math>{+ 6 s - 8 y 4 - 124yy - 64 = 0</math>
<math>- 1y^6 - 8 y^4 - 4yy - 16</math>
<math>0 <ol>- 16y^4</ol> - <ol>128yy</ol></math>
<math>{16 # 16 / + y^4 + 8yy + 4 = o.}</math></p>
<p>Incipio ab ultimo termino, & divido - 64 per - 16,
<mgr>_Modus di-_
_videndi_
_Æquatio-_
_nem per_
_binomium,_
_quod illius_
_continet_
_radicem._</mgr>
quod facit + 4, quæ repono in quotiente; deinde mul-
tiplico + 4 per + _yy_, & fit + 4 _yy_, quare in $umma
dividenda repono - 4_yy_. Quippe $cribendum $emper
e$t $ignum + vel - planè contrarium illi, quod produ-
citur per multiplicationem. Addendo autem - 124 _yy_
ad - 4 _yy_, invenio - 128_yy_, quod rur$us divido per

<pb 78>[098]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
- 16, & provenit + 8_yy_, reponendum in quotiente.
Multiplicado verò hoc ip$um per _yy_, ex$urgit - 8 _y_<_>4</_>,
addendum termino dividendo, qui etiam e$t - 8 _y_<_>4</_>,
quæ quidem $imul conficiunt - 16_y_<_>4</_>, quod per - 16 di-
vido, & fit + 1_y_<_>4</_> pro quotiente, & - 1_y_<_>6</_> addendum ip$i
+ 1_y_<_>6</_>, id quod facito, mon$tratque divi$ionem e$$e ad
finem perductam. Quòd $i verò quantitas aliqua $uper-
fui$$et, vel aliquis præcedentium terminorum ab$que
fractione dividi non potui$$et, manife$tum fui$$et, divi$io-
nem nullo modo fieri potui$$e.</p>
<p>Similiter $i habeatur
<tb math>
y^6 # + a a \\ - 2 cc # # y^4 # - a^4 \\ + c^4 # yy # - a^6 \\ - 2 a^4 c c \\ -aac^4 # = 0.
</tb>
ultimus terminus ab$que fractione dividi pote$t per <math>a,
aa, aa + cc, a^3 + acc</math>, & $imiles. Sed duas $ufficit ex
illis con$iderare, nempe _aa_, & _aa_ + _cc_; aliæ enim, cum
in quotiente plures pauciore$ve dimen$iones exhibeant,
quàm quidem in quantitate cognita penultimi termini
<mgl>M</mgl>
reperiuntur, impedirent, ut divi$io fieri po$$et. Vbi
notandum, meip$ius _y_<_>6</_> dimen$iones tantùm pro tribus
dimen$ionibus habere, cum non reperiatur _y_<_>5</_>, nec _y_<_>3</_>,
nec _y_ in tota $umma. Examinando igitur binomium
<math>yy - aa - cc</math>, invenitur, divi$ionem per illud fieri po$$e,
hoc modo:</p>
<tb math>
+ y<_>6</_> # + aa # y<_>4</_> # - a<_>4</_> # yy # - a<_>6</_>
 # - 2cc # + c<_>4</_> # - 2 a<_>4</_> cc = O,
 # # # # # - a ac<_>4</_>
 # # # # # - aa - cc
</tb>
<tb>
- _y_<_>6</_> # - 2 _aa_ # - _a_<_>4</_>
- - # + _cc_ # - _aacc_
o - # _aa_ - _cc_ # - _aa_ - _cc_
 # + _y_<_>4</_> + 2 _aa yy_ + _a_<_>4</_>
 # ## - _cc_ + _aacc_ = O.
</tb>
<p>Id quod mon$trat radicem quæ$itam e$$e _a a_ + _c c_.
Quemadmodum facilè per multiplicationem probari
pote$t.</p>

<pb 79>[099]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
<p>At verò $i nullum inveniatur binomium, quod ita
<mgr>N</mgr>
<mgr>_Q Nænam_
_Proble-_
_mata $int_
_Solida,_
_Æquatio-_
_ne exiften-_
_te Gubicâ._</mgr>
totam Æquationis propo$itæ $ummam dividere po$$it,
certum e$t, Problema quod ab ea dependet, e$$e Solidum.
Nec minus vitium e$t, con$tructionem ejus po$tea per
rectas lineas & circulos tentare, quàm ad con$tructio-
nem illorum, in quibus non ni$i circulis e$t opus, $ectio-
nes Conicas adhibere: $iquidem quicquid ignorantiam
aliquam te$tatur, peccatum dici meretur.</p>
<p>Porrò $i habeatur Æquatio, in quâ incognita quan-
<mgr>_Reductio_
_Æquatio-_
_num qua-_
_tuor di-_
_men$io-_
_num, cùm_
_Problema_
_e$t Pla-_
_num. Et_
_quænam_
_illa $int,_
_quæ Soli-_
_da $unt_
_dicenda._</mgr>
titas quatuor habeat dimen$iones: eodem modo, $ubla-
tis primùm $urdis & fractis numeris; ($i qui$unt) viden-
dum e$t, num inveniri po$$it binomium, compo$itum
ex incognita quantitate + vel - quantitate aliqua, quæ
ab$que fractione ultimum terminum dividit, quod divi-
dat totam $ummam. Hoc enim $i inveniatur; vel quan-
titas cognita hujus binomii erit radix quæ$ita; vel $altem
po$t divi$ionem hanc relinquentur tantùm in Æquatio-
ne tres dimen$iones, ita ut illa deinde rur$us eodem
modo $it examinanda. Quòd $i verò tale binomium
non inveniatur, oportebit augendo aut diminuendo
valorem radicis, $ecundum $ummæ terminum tolle-
re, modo paulò ante explicato: & deinde ip$am ad aliam
reducere, quæ tres duntaxat dimen$iones contineat. Id
quod hoc modo fit:</p>
<q>
<p><math>loco + x^4 *. pxx. qx. r = o</math>,
$cribendum e$t.</p>
</q>
<mgr>_Reductio_
_Æquatio-_
_nis Qua-_
_drato-_
_quadratæ_
_ad Cubi-_
_cam._</mgr>
<q>
<p><math>+ y^6. 2py^4 + pp/4r yy - qq = O</math>.</p>
</q>
<p>Et quod ad $igna + & - attinet, quæ omi$i, $i ha-
beatur + _p_ in Æquatione præcedente, in hac ponen-
dum e$t + 2_p_; aut $i habeatur - _p_, ponendum e$t - 2_p_.
& contra, $i habeatur ibi + _r_, ponendum hîc e$t - 4_r_;
aut $i habeatur ibi - _r_, ponendum hîc e$t + 4_r_. & $ive

<pb 80>[100]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
illìc fuerit + _q_, $ive - _q_, $emper tamen hîc ponendum
e$t - _q q_, & + _p p_. $altem $i _x_<_>4</_> & _y_<_>6</_> $ignis + notatæ $up-
ponantur. quippe contrarium fieri deberet, $i $uppone-
retur ibi $ignum -.</p>
<p>Exempli causâ, $i habeatur <math>+ x^4* - 4x x - 8x + 35
= o</math>, $cribendum ejus loco e$t <math>y^6 - 8y^4 - 124yy - 64
= o</math>. Cum enim quantitas, quam nominavi _p_, $it - 4,
ponendum e$t <math>- 8 y^4 pro 2 p y^4</math>. & cum illa, quam vo-
cavi _r_, $it 35, ponendum e$t <math>{+ 16 / - 140} yy</math>, hoc e$t, - 124_yy_,
loco <math>{+ pp / - 4r}yy</math>. Et denique cum _q_ $it 8, ponendum e$t -
64, pro - _q q_.</p>
<p>Eodem modo pro <math>+ x^4* - 17x x - 20x - 6 = o</math>,
$cribendum e$t <math>+ y^6 - 34y^4 + 313yy - 400 = o</math>. Nam
34 e$t duplum ip$ius 17, & 313 e$t hujus quadratum jun-
ctum quadruplo ip$ius 6, & 400 e$t quadratum ip$ius 20.</p>
<p>Similiter quoque loco
<math>+ z^4 *+ {1 / 2}aa \\ - cc zz - a^3 \\ - acc z + {5 / 16} a^4 \\ -{1 / 4}aacc = o</math>.
$cribendum e$t
<math>y^6 + aa \\ - 2cc y^4 - a^4 \\ + c^4 yy - a^5 \\ - 2 a^4 cc \\ - a a c^4 = o</math>.
quippe _p_ e$t <math>+ {1 / 2} a a - c c</math>, & <math>p p e$t {1 / 4} a^4 - a a c c + c^4</math>,
& <math>4 r e$t - {5 / 4} a^4 + a a c c</math>, ac tandem <math>- q q e$t - a^6 -
2 a^4 c c - a a c^4</math>.</p>
<p>Po$tquam igitur Æquatio $ic ad tres dimen$iones
e$t reducta, quærendus e$t valor ip$ius _yy_, methodo
jam explicatâ. Quòd $i verò ita inveniri nequeat, non
opùs erit ulteriùs progredi. Infallibiliter enim inde $e-
quitur, Problema e$$e Solidum. Sin autem invenia-
tur, poterit ejus beneficio Æquatio præcedens in duas
alias dividi, in quarum utrâque incognita quantitas duas
tantùm dimen$iones habeat, quarumque radices ab il-

<pb 81>[101]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS.</sc></rh>
lius radicibus non differant. Nimirum loco Æqua-
tionis</p>
<p><math>+ x^4 *. p x x. q x. r = o</math>,</p>
<p>$cribendæ $unt hæ duæ aliæ</p>
<p><math>+ xx - yx + {1 / 2} yy. {1 / 2}p. {q / 2 y} = o</math>, &
<math>+ xx + yx + {1 / 2} yy. {1 / 2}p. {q / 2 y} = o</math>.</p>
<p>Et quod attinet ad $igna + & -, quæ omi$i, $i in
Æquatione præcedente habeatur + _p_, ponendum erit
in utraque harum duarum <math>+ {1 / 2}p</math>; & <math>- {1 / 2}p</math>, $i in priore
habeatur - _p_. Ponendum verò e$t + {_q_ / 2 _y_} in una, ubi ha-
betur - _y x_; & <math>- {q / 2y}</math> in altera, ubi habetur + _y x_; pro-
ut habetur + _q_ in prima. Et contra, $i habetur ibi - _q_,
ponendum e$t <math>- {q / 2 y}</math> in illa, ubi habetur - _y x_; & <math>+ {q / 2 y}</math>
in altera, ubi habetur + _y x_. Vnde con$equenter facile
e$t omnes Æ quationis propo$itæ radices cogno$cere,
atque hinc Problema, cujus $olutionem continet, con-
$truere, adhibendo tantùm circulos, & lineas rectas.</p>
<p>Exempli gratiâ, quia pro <math>x^4 * - 17 x x - 20x - 6 = o</math>
ponendo <math>y^6 - 34y^4 + 313yy - 400 = o</math> invenitur
_yy_ e$$e 16: hinc loco Æquationis <math>+ x^4 * - 17 x x -
20 x - 6 = o</math> $cribendæ $unt hæ duæ <math>+ x x - 4x - 3
= o & + x x + 4x + 2 = o</math>. Nam _y_ e$t 4, {1 / 2} _yy_ e$t 8,
_p_ e$t 17, & _q_ e$t 20; ita ut <math>+ {1 / 2} yy - {1 / 2}p - {q / 2 y}</math> faciat - 3,
& <math>+ {1 / 2}yy - {1 / 2}p + {q / 2 y} faciat + 2</math>. E quibus binis Æ-
quationibus $i extrahantur radices, invenientur eædem
omnes, quæ eliciuntur ex ea, in qua habetur _x_<_>4</_>. Ni-
mirum una vera, quæ e$t <math>√7 + 2</math>, & tres fal$æ, quæ $unt
<math>√7 - 2, 2 + √2, & 2 - √2</math>.</p>
<p>Similiter cùm habetur <math>x^4* - 4x x - 8x + 35 = o</math>:

<pb 82>[102]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
quoniam radix ex <math>y^6 - 8 y^4 - 124yy - 64 = o</math> rur$us
e$t 16, hinc $cribere oportet</p>
<p><math>x x - 4x + 5 = o, & x x + 4x + 7 = o</math>.</p>
<p>Hîc enim <math>+ {1 / 2}yy - {1 / 2}p - {q / 2y}</math> facit 5, & <math>+ {1 / 2}yy- {1 / 2}p + {q / 2 y}</math>
facit 7. Et quandoquidem nulla in utraque harum Æ-
quationum invenitur radix, $ive vera, $ive fal$a, liquidò
con$tat, quatuor radices Æquationis, ex qua deductæ
$unt, imaginarias e$$e, & Problema, cujus gratiâ Æ-
quatio inventa e$t, naturâ $uâ e$$e Planum; $ed nullâ
ratione con$trui po$$e, cum datæ quantitates conjungi
nequeant.</p>
<p>Sic etiam cùm habetur</p>
<p><math>z^4* + {1 / 2} aa \\ - cc zz - a^3 \\ - acc z + {5 / 16} a^4 \\ - {1 / 4} aacc = o</math>:</p>
<p>quia pro _yy_ invenitur _aa_ + _cc_, $cribendum e$t
<math>zz - z <r>aa + cc</r> + {3 / 4} aa - {1 / 2} a <r>aa + cc</r> = o</math>, &
<math>zz + z <r>aa + cc</r> + {3 / 4} aa + {1 / 2} a <r>aa + cc</r> = o</math>.
Nam _y_ e$t <math><r>aa +cc</r>, & + {1 / 2}yy + {1 / 2}p e$t {3 / 4} aa, & {q / 2 y}</math> e$t
<mgl>O</mgl>
<math>{1 / 2} a <r>aa + cc</r></math>. Vnde cogno$citur, valore ip$ius _z_ e$$e
<math>{1 / 2} <r>aa + cc</r> + <r>- {1 / 2}aa + {1 / 4}cc + {1 / 2}a<r>aa + cc</r></r></math>, vel
<math>{1 / 2} <r>aa + cc</r> - <r>- {1 / 2}aa + {1 / 4}cc + {1 / 2}a<r>aa + cc</r></r></math>.
<mgl>P</mgl>
Et quandoquidem $upra feceramus _z_ + {1 / 2}_a_ = _x_, inno-
te$cit, quantitatem _x_, ad quam cogno$cendam omnes
ha$ce operationes in$tituimus, e$$e
<math>+ {1 / 2}a + <r>{1 / 4}aa + {1 / 4}cc</r> - <r>{1 / 4}cc - {1 / 2}aa + {1 / 2}a<r>aa + cc</r></r></math>.</p>
<p>Verùm enimverò ut utilitas hujus regulæ meliùs co-
gno$ci po$$it, operæ pretium e$t, ut illam Problemati
alicui re$olvendo applicemus.</p>
<mgl>_Exem-_
_plum_
_o$tendens_
_u<?>$um ba-_</mgl>
<p>Datis quadrato A D, & rectà lineâ B N; oporteat
producere latus A C u$que ad E, ita ut E F, ducta ab E

<pb 83>[103]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS.</sc></rh>
<fig>
<var>N A C E F B D G</var>
</fig>
versùs B, $it æqualis ip$i N B. Docet Pappus, quòd,
<mgr>_rum redu-_
_ction@@ns._</mgr>
po$tquam primùm latus B D productum e$t u$que in G,
ita ut D G æquetur D N, circulu$que de$criptus e$t, cu-
jus diameter B G, producendum deinde tantùm $it la-
tus A C, donec circumferentiæ hujus circuli occurrat
in puncto E, quod requirebatur. Quæ $anè con$tructio
inve$tigatu iis, quos laτeret, difficilis $atis foret: Ete-
nim quærendo illam per methodum hîc propo$itam,
nunquam certè cogitarent a$$umendam e$$e D G pro
quantitate incognita, $ed potiùs C F vel F D vel C E:
cum hæ tales $int, quæ facillimè omnium nos ad Æqua-
tionem perducant; $ed ad Æquationem quæ non ita fa-
cilè ab$que regula, quam jam expo$ui, explicari po$$et.
Quippe ponendo _a_ pro B D vel C D, _c_ pro E F, & _x_ pro
D F, <math>fit C F = a - x</math>; Et ut C F $eu _a_ - _x_ e$t ad F E $eu _c_,
$ic F D $eu _x_ e$t ad B F, quæ proinde erit <math>{c x / a - x}</math>. Deinde
propter triangulum rectangulum B D F, cujus unum
latus e$t _x_, & alterum _a_, quadrata ip$orum, utpote _x x_
+ _a a_, æqualia $unt quadrato ba$is, quod e$t <math>{c c x x / x x - 2a x + a a}</math>.
Vnde multiplicando totum per <math>x x - 2 a x + a a</math>, in-
venietur Æquatio <math>x^4 - 2 a x^3 + 2 a a x x - 2 a^3 x + a^4
= c c x x, vel x^4 - 2 a x^3
{+ 2aa / - cc} xx - 2 a^3x + a^4 = o</math>.

<pb 84>[104]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<mgl>V</mgl>
Vbi per præcedentes regulas cogno$citur, radicem ejus,
quæ e$t longitudo lineæ D F, e$$e
<math>{1 / 2}a + <r>{1 / 2}aa + {1 / 2}cc</r> - <r>{1 / 2}cc - {1 / 2}aa + {1 / 2}a<r>_aa_ + cc</r></r></math>.</p>
<p>Quòd $i verò B F vel B E poneretur pro quantitate
incognita, perveniremus rur$us ad Æquationem, in qua
quatuor dimen$iones e$$ent, $ed quæ faciliùs reduci po$-
<mgl>R</mgl>
$et; & ad quam etiam $atis facilè perveniretur. Cum
aliàs, $i pro ea $upponeretur D G, multò difficiliùs ad
Æquationem, $ed quæ $implici$$ima foret, pervenire-
mus. Quod quidem hîc refero, ut vobis indicem, quòd,
cùm Problema propo$itum non e$t Solidum, $iquæren-
do illud unâ viâ ad Æquationem deveniatur valde com-
po$itam, tum communiter aliâ viâ ad $impliciorem Æ-
quationem perveniri po$$it.</p>
<p>Po$$em præterea hîc diver$as regulas adjungere, re-
ducendi Æquationes, quæ ad Cubum vel Quadrato-
quadratum ad$cendunt, verùm $uperfluæ forent: quan-
doquidem con$tructionem eorum Problematum, quæ
Plana $unt, $emper per ha$ce invenire licet.</p>
<p>Po$$em quoque alias afferre pro Æquationibus, quæ
<mgl>_Regula_
_generalis_
_reducendi_
_Æquatio-_
_nes omnes,_
_quæ Qua-_
_drato-_
_quadra-_
_tum exce-_
_dunt._</mgl>
ad Surde$olidum, vel Quadrato-cubum, aut altiùs a$-
$urgunt; $ed malo-omnes $ub una comprehendere, di-
cendo in genere: quòd, po$tquam aliquis illas ad ean-
dem formam, quam habent illæ, quæ æquè multis di-
men$ionibus con$tant, & ex multiplicatione duarum
aliarum, pauciorum dimen$ionum, producuntur, redu-
cere conatus fuerit, atque modos omnes, quibus hæc
multiplicatio fieri po$$it, enumeraverit, nec juxta ali-
quem ex ip$is $uccedere compererit, a$$everandum fit,
illas ad $impliciores reduci non po$$e. Ita ut, $i incognita
quantitas 3 vel 4 dimen$iones habeat, Problema, in cu-
jus gratiam Æquatio quæritur, Solidum exi$tat; & $i 5

<pb 85>[105]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
vel 6 dimen$iones habeat, uno gradu magis $it compo-
$itum. Et $ic de cæteris.</p>
<p>Cæterùm omi$i hîc demon$trationes plurimorum,
quæ dixi: quoniam ita faciles mihi vi$æ $unt, ut, $i
modò operam, methodicè examinandi, num erraverim,
impenderitis, illæ $uâ $ponte vobis $int occur$uræ. quin
etiam utiliùs erit ip$as hâc ratione, quàm $i legantur,
addi$cere.</p>
<p>Iam verò po$tquam compertum e$t Problema pro-
<mgr>S</mgr>
<mgr>_Modus ge-_
_ner alis_
_con$truen-_
_di omnia_
_Proble-_
_mata So-_
_lida, vedu-_
_cta ad Æ-_
_quationem_
_trium,_
_quatuorve_
_dimen$io-_
_num._</mgr>
po$itum e$$e Solidum; $ive Æquatio, per quam illud
quæritur, ad Quadrato-quadratum ad$cendat; $ive non
altiùs quàm ad Cubum a$$urgat: pote$t $emper radix
ejus inveniri per aliquam trium Conicarum Sectionum,
quæcunque illa tandem $it; aut etiam per ip$arum par-
ticulam aliquam, quantumlibet exiguam, nec utendo
ni$i rectis lineis & circulis. Verùm $uffecerit regulam
generalem hîc adducere, inveniendi radices omnes ope
Parabolæ, quandoquidem hæc aliquo modo e$t $impli-
ci$$ima.</p>
<p>Primò igitur tollendus e$t $ecundus Æquationis pro-
po$itæ terminus, modò jam non abfuerit, atque ita Æ-
quatio reducenda ad hanc formam: _z_^3 = * _a p z_. _a a q_,
<mgr>T</mgr>
$i incognita quantitas tres tantùm dimen$iones habeat;
aut ad hanc: _z_^4 = *. _a p z z_. _a a q z_. _a_^3 _r_, $i quatuor
obtineat dimen$iones; Seu $umendo _a_ pro unitate, ad
hanc: _z_^3 = *. _p z_. _q_; aut ad hanc _z_^4 = *. _p z z_. _q z_. _r_.</p>
<p>Deinde $upponendo Parabolam F A G jam de$cri-
<mgr>V</mgr>
ptam e$$e, & axem ejus e$$e A C D K L, latu$que rectum
_a_ $eu 1, cujus A C $it dimidium, & denique punctum
C e$$e intrahanc Parabolam, cujus vertex $it A: Opor-
tet facere C D = {1 / 2}_p_, eamque $umere in linea A C, con-
tinuata versùs C, $i in Æquatione habeatur + _p_; $ed
versùs alteram partem, $i habeatur - _p_. Porrò è pun-

<pb 86>[106]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<fig>
<var>a p q r</var>
</fig>
<fig>
<var>H S A C R E D M K L F</var>
</fig>
cto D, aut ex puncto C, $i non habeatur quantitas _p_,
erigendo ad axem perpendicularem D E æqualem {1 / 2}_q_,
oportet ex centro E circulum de$cribere F G, cujus $e-
midiameter $it A E, $i Æquatio tantùm Cubica fue-
rit, hoc e$t, $i non habeatur quantitas _r_. A$t $i habea-
tur _r_, & quidem $igno + adfecta, oportet ulteriùs in
hac linca A E, producta utrinque, exuna parte $umere
A R = _r_, & ex altera parte A S æqualem lateri recto

<pb 87>[107]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
<fig>
<var>R E D A F C L H S</var>
</fig>
Parabolæ, quod e$t 1, de$criptoque circulo cujus dia-
meter R S, erigere A H perpendicularem ad A E, quæ
occurrat huic circulo R H S in puncto H, quod illud
ip$um e$t, per quod alter circulus F H G tran$ire de-
bet. Quòd $i verò habeatur - _r_, oportet in$uper in
alio circulo, cujus diameter e$t A E, in$cribere A I,
æqualem inventæ A H: inventumque erit punctum I,
per quod primus circulus quæ$itus F I G tran$ire de-
bet.</p>
<p>Vbi $ciendum, quòd circulus hic F G $ecare vel tan-
gere po$$it Parabolam in 1, 2, 3, aut 4 punctis, à quibus $i
ad axem demittantur perpendiculares, habebuntur

<pb 88>[108]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<fig>
<var>H _S_ A ʃ L I C _J_ _L_ R E D K G F L</var>
</fig>
omnes Æquationis radices, tam veræ, quàm fal$æ. Ni-
mirum $i quantitas _q_ $it adfecta $igno +, veræ radices
erunt illæ harum perpendicularium, quæ ex eadem Pa-
rabolæ parte, qua e$t E circuli centrum, reperientur,
ut F L; & reliquæ, ut G K, erunt fal$æ. Sed contra, $i
hæc quantitas _q_ notata fuerit $igno -, veræ erunt illæ,
quæ ex altera $unt parte; & fal$æ, $eu minores quàm ni-
hil, quæ ex parte illa, ubi e$t centrum circuli E. Et de-
nique $i hic circulus non $ecat, nec tangit Parabolam in
aliquo puncto, indicio e$t, Æquationem nullam ad-
mittere radicem $ive veram, $ive fal$am, $ed tantùm
<mgl>V V</mgl>
imaginarias. Adeò ut hæc regula omnium, quas quis
exoptare queat, generali$$ima $it & perfecti$$ima.</p>
<p>Quorum quidem demon$tratio admodum facilis e$t.

<pb 89>[109]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
Etenim $i linea G K, per con$tructionem hanc inventa,
vocetur _z_, A K erit _zz_, propter Parabolam, in qua
G K debet e$$e media proportionalis inter A K & latus
rectum, quod e$t 1. Deinde, $i ab A K auferam A C,
quæ e$t {1 / 2}, ut & C D, quæ e$t {1 / 2} _p_, relinquetur D K $eu
E M <math>zz - {1 / 2} p - {1 / 2}</math>, cujus quadratum e$t
<math>z^4 - pzz - zz + {1 / 4} pp + {1 / 2} p + {1 / 4}</math>. Et quia D E $eu
K M e$t {1 / 2} _q_, tota G M fit _z_ + {1 / 2} _q_, cujus quadratum e$t
<math>zz + qz + {1 / 4} qq</math>, additi$que hi$ce duobus quadratis,
habebitur <math>z^4 - pzz + qz + {1 / 4} qq + {1 / 4} pp + {1 / 2} p + {1 / 4}</math>,
<fig>
<var>_a p q r_</var>
</fig>
<fig>
<var>H S A C R E D M K G F L M</var>
</fig>

<pb 90>[110]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
pro quadrato lineæ G E, quippe quæ ba$is e$t trianguli
rectanguli E M G.</p>
<p>Sed quia hæc eadem linea G E e$t $emidiameter cir-
culi F G, poterit ip$a aliis adhuc terminis explicari. Ni-
mirum $i E D fuerit {1 / 2} _q_, & A D <math>{1 / 2} p + {1 / 2}</math>, E A erit
<math><r>{1 / 4} qq + {1 / 4} pp + {1 / 2} p + {1 / 4}</r></math>, propter angulum rectum
A D E. Deinde cum A H $it media proportionalis in-
ter A S, quæ e$t 1, & A R, quæ e$t _r_, erit ip$a <r>_r_</r>. Ac de-
nique, propter angulum rectum E A H, quadratum ex
H E $eu E G e$t <math>{1 / 4} qq + {1 / 4} pp + {1 / 2} p + {1 / 4} + r</math>: adeò ut ha-
beatur Æquatio inter hanc $ummam & præcedentem.
Eadem quippe quæ <math>z^4 = * + pzz - qz + r</math>. Vnde
con$equenter liquet, inventam lineam G K, quæ nomi-
nata fuit _z_, Æquationis hujus e$$e radicem. Quod erat
demon$trandum. Et $i calculum hunc ad omnes alios
hujus regulæ ca$us applicueritis, mutando $igna + & -,
prout opus exiget, eodem modo ad quæ$itum pervenie-
tis; ita ut illis diutiùs immorari non $it opùs.</p>
<fig>
<var>_a_ _q_ E A C F L G</var>
</fig>

<pb 91>[111]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
<p>Si itaque juxta hanc regulam inter lineas _a_ & _q_ duas
<mgr>_Inventis_
_duarum_
_media-_
_rum pro-_
_portiona-_
_lium._</mgr>
libeat medias proportionales invenire, nemo ignorat,
ponendo _z_ pro una, e$$e ut _a_ ad _z_, $ic _z_ ad <math>{zz / a}</math>, & <math>{zz / a}</math> ad <math>{z^3 / aa}</math>;
ita ut habeatur Æquatio inter _q_ & <math>{z^3 / aa}</math>, utpote, z^3 = **</math>
_aaq_. Deinde de$criptâ Parabolâ F A G, unà cum
$egmento $ui axis A C, quod e$t {1 / 2} _a_, $emi$$is nempe la-
teris recti, erigenda e$t ex puncto C perpendicularis
C E, æqualis {1 / 2} _q_, atque ex centro E per A de$criben-
dus circulus A F, ut obtineantur F L & L A, duæ me-
diæ quæ$itæ.</p>
<p>Similiter $i dividere velimus angulum N O P, $ive
<mgr>_Ratio di-_
_videndi_
_angulum_
_in tres_
_partes æ-_
_quales._</mgr>
arcum, portionemve circuli N Q T P in tres æquales
partes; $i $umatur N O = 1 pro radio circuli, & N P = _q_
pro $ubten$a arcus dati, ac N Q = _z_ pro $ubten$a trien-
tis hujus arcus, ex$urget Æquatio _z_<_>3</_> = * 3_z_ - _q_. Ete-
nim ductis lineis N Q, O Q, & O T; $i Q S paral-
lela fiat ip$i T O, patet, quòd, $icut N O e$t ad N Q,
$ic N Q $it ad Q R, & Q R ad R S; adeò ut, cum N O
$it 1, & N Q_z_, Q R futura $it _zz_, & R S _z_<_>3</_>. Et quia
tantùm R S $eu _z_<_>3</_> impedit, quò minùs linea N P, quæ
e$t _q_, tripla $it lineæ N Q, quæ e$t _z_, habebitur</p>
<p><math>q = 3z - z^3, vel z^3 = * 3z - q</math></p>
<p>Deinde de$criptâ Parabolâ F A G, in qua C A $it
æqualis $emi$$i lateris recti principalis, $i $umatur C D
= {3 / 2}, & perpendicularis D E = {1 / 2} _q_: $ecabit circulus
F A _g_ G, centro E per A de$criptus, hanc Parabolam in
tribus punctis F, _g_, & G, non numerato puncto A, quod
e$t ejus vertex. Id quod indicat in hac Æquatione tres
haberi radices, nimirum duas G K & _g k_, quæ veræ $unt,
& tertiam, nempe F L, quæ e$t fal$a; Atque ex hi$ce
duabus veris minorem _g k_ illam e$$e, quam pro quæ$ita
linea N Q $umere oportet. Altera enim G K, æqualis

<pb 92>[112]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<fig>
<var>A _k_ C _g_ E D K G F L</var>
<var>N Q T P S R O V</var>
</fig>
e$t ip$i N V, $ubten$æ trientis arcus N V P, qui cum reli-
<mgl>X</mgl>
quo arcu N Q P totum circulum complet. Fal$a autem
F L æqualis e$t duabus hi$ce Q N & N V $imul $umptis,
quemadmodum ex calculo facile e$t videre.</p>
<mgl>_Quòd om-_
_nia Solida_
_Proble-_
_mata re-_
_duci po$-_
_$int ad_
_ba$ce duas_
_con$tru-_
_s<?>tiones._</mgl>
<p>Superfluum foret $i in$i$terem hîc aliis exemplis in
medium afferendis, cum Problemata omnia, quæ non
ni$i Solida $unt, eò reduci po$$int, ut hâc regulâ ad con-
$tructionem ip$orum non aliter indigeamus, quàm qua-
tenus in$ervit ad inveniendas duas medias proportiona-
les, aut ad dividendum angulum in tres æquales partes.
Quod cogno$cetis, con$iderando, ip$orum difficultates
$emper Æquationibus, quæ ultra Quadrato-quadra-
tum non ad$cendunt, comprehendi po$$e; Et omnes il-
las, quæ ad Quadrato-quadratum a$cendunt, reduci
po$$e ad Quadratum, ope quarundam aliarum, quæ tan-
tùm ad Cubum ad$cendunt; Et tandem, harum $ecun-
dum terminum tolli po$$e. Ita ut nulla earum $it, quam
ad aliquam ex hi$ce tribus formis reducere non liceat.</p>

<pb 93>[113]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
<p><math>z^3 = * - pz + q.</math></p>
<p><math>z^3 = * + pz + q.</math></p>
<p><math>z^3 = * + pz - q.</math></p>
<p>Si autem habeatur <math>z^3 = * - pz + q</math>, regula, cujus
<mgr>Y</mgr>
inventionem Cardanus cuidam, Scipioni Ferreo, tri-
buit, nos docet, radicem e$$e
<math>z = <r>C. + {1 / 2} q + <r>{1 / 4} qq + {1 / 27} p^3</r></r> - <r>C. - {1 / 2} q + <r>{1 / 4} qq + {1 / 27} p<_>3</_></r></r></math>.</p>
<p>Quemadmodum etiam, $i habeatur <math>z^3 = * + pz + q</math>,
& Quadratum $emi$$is ultimi termini majus $it Cubo
trientis, quantitatis cognitæ penultimi; $imilis fermè
regula nos docet, radicem e$$e
<math>z = <r>C. + {1 / 2} q + <r>{1 / 4}qq - {1 / 27} p^3</r></r> + <r>C. + {1 / 2} q - <r>{1 / 4}qq - {1 / 27} p^3</r></r></math>.</p>
<p>Vnde apparet, quòd Problemata omnia, quorum
difficultates ad Æquationem unius ex hi$ce duabus for-
mis reducuntur, con$trui $emper po$$int, ut Conicas
$ectiones adhibere non $it opùs, ni$i ad extrahendas ra-
dices Cubicas ex quibu$dam quantitatibus datis, hoc
e$t, ad inveniendas duas medias proportionales inter
ha$ce quantitates & unitatem.</p>
<p>Deinde $i habeatur <math>z^3 = * + pz + q</math>, & Quadra-
tum $emi$$is ultimi termini non $it majus Cubo trien-
tis, quantitatis cognitæ penultimi termini; $upponen-
do Circulum N Q P V, cujus $emidiameter N O $it <math><r>{1 / 3}p</r></math>,
hoc e$t, media proportionalis inter trientem quanti-
tatis datæ _p_ & unitatem; tum etiam $upponendo lineam
N P huic Circulo e$$e in$criptam, quæ $it <math>{3q / p}</math>, hoc e$t,
quæ $it ad alteram quantitatem datam _q_, ut e$t unitas
ad trientem ip$ius _p_; dividendus tantùm e$t uterque ar-
cus N Q P, N V P in tres æquales partes; eritque N Q,
$ubten$a trientis unius arcus, unà cum N V, $ubtensâ
trientis alterius, æqualis radici quæ$itæ.</p>

<pb 94>[114]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<fig>
<var>A _k_ C _g_ E D K G F L</var>
</fig>
<fig>
<var>N Q T P S R O V</var>
</fig>
<p>Denique $i habeatur <math>z^3 = * + pz - q</math>, $upponendo
rur$us Circulum N Q P V, cujus radius N O $it <math><r>{1 / 3}p</r></math>,
& in quo in$cripta N P $it {3_q_ / _p_}: erit N Q, $ubtendens
trientem arcus N Q P, una ex radicibus quæ$itis: &
N V, $ubtendens trientem arcus N V P, radix altera.
Saltem $i Quadratum $emi$$is ultimi termini non ex-
cedat Cubum è triente quantitatis cognitæ penultimi
termini. Etenim $i majus e$$et, non po$$et linea N P
huic Circulo in$cribi, quippe quæ diametro ejus major
foret. Id quod o$tenderet, duas veras radices hujus
Æquationis non ni$i imaginarias e$$e, nec ullam realem
extare præter fal$am, quæ juxta Cardani regulam foret
<math><r>C. {1 / 2} q + <r>{1 / 4} qq - {1 / 27} p^3</r></r> + <r>C. {1 / 2} q - <r>{1 / 4} qq - {1 / 27} p^3</r></r></math>.</p>
<p>Cæterùm notandum e$t, modum hunc exprimendi
<mgl>_Modus_
_exprimen-_
_di valo-_
_rem ra-_
_dicum_
_omnium_</mgl>
valorem radicum per relationem, quam habent ad la-
tera certorum Cuborum, quorum tantùm contentum
cogno$citur, nequaquam magis intelligibilem, neque

<pb 95>[115]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
$impliciorem e$$e, quàm $i exprimantur per relationem,
<mgr>_Æquatio-_
_num Cu-_
_bicarum:_
_ac per con-_
_$equcns il-_
_larum_
_omnium,_
_quæ Qua-_
_dr ato-_
_quadra-_
_tum non_
_excedunt._</mgr>
quam habent ad $ubtenfas certorum arcuum, $eu Cir-
culi portionum, quarum triplum e$t datum. Ita ut Cu-
bicarum Æquationum radices illæ omnes, quæ per
Cardani regulas exprimi nequeunt, æquè clarè aut
etiam clariùs per modum hîc propo$itum exprimi po$-
$int.</p>
<p>Si enim, exempli cau$sâ, radicem cogno$cere arbi-
tremur hujus Æquationis <math>z^3 = * + pz + q</math>: quia ip$am
compo$itam e$$e $cimus ex duabus lineis; quarum una
e$t latus Cubi, cujus contentum e$t $umma, quæ con-
flatur ex {1 / 2} _q_, & ex latere Quadrati, cujus contentum
e$t <math>{1 / 4} qq - {1 / 27} p^3</math>; & altera latus alterius Cubi, cujus con-
tentum e$t differentia, quæ e$t inter {1 / 2} _q_, & latus Qua-
drati, cujus contentum e$t <math>{1 / 4} qq - {1 / 27} p^3</math>, (quod illud
omne e$t, quod ex Cardani regula addi$cimus); Dubi-
tandum non e$t, quin æquè di$tinctè aut etiam di$tin-
ctiùs radix hujus <math>z^3 = * + pz - q</math> cogno$catur, $i ea
con$ideretur in$cripta Circulo, cujus $emidiameter $it
<math><r>{1 / 3} p</r></math>, in quo pro $ubten$a arcus intelligatur, cujus tri-
pli $ubten$a $it <math>{3q / p}</math>. Quin etiam hi termini prioribus illis
multò minùs $unt intricati, & qui etiam multò brevio-
res reddentur, $i peculiari aliquâ notâ ad exprimendas
ha$ce $ubten$as, quemadmodum fit notâ <r>C.</r> ad expri-
mendum latus Cubicum, uti velimus.</p>
<p>Po$$unt quoque per regulas hîc $upra explicatas dein-
ceps exprimi radices Æquationum omnium, quæ ad
Quadrato-quadratum a$cendunt; ita ut ne$ciam, quid
in hac materia de$iderari ampliùs po$$it. Neque enim
natura harum radicum permittit, ut terminis expriman-
tur $implicioribus, nec ut per con$tructionem aliquam,
quæ unà & generalior & $implicior $it, determinentur.</p>

<pb 96>[116]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<p>Verum quidem e$t, me nondum dixi$$e, quibus ra-
<mgl>_Cur Pro-_
_blemata_
_Solida_
_con$irui_
_non po$$int_
_ab$que $e_
_ctionibus_
_Conicis,_
_nec quæ_
_magis_
_compo$ita_
_$unt $ine_
_aliis li-_
_neis, ma-_
_gis com-_
_po$itis._</mgl>
tionibus nitar, quòd affirmare audeam, utrùm res ali-
qua fieri po$$it nec ne. At verò $i con$ideretur, quo-
modo per methodum qua utor, id omne, quod $ub
Geometricam contemplationem cadit, ad unum idem-
que genus Problematum reducatur, quod e$t, ut quæ-
ratur valor radicum alicujus Æquationis, $atis judica-
bitur, non difficile e$$e ita enumerare vias omnes, qui-
bus inveniri po$$unt: ut hoc $ufficiat ad o$tendendum,
generali$$imam & $implici$$imam fui$$e $electam. Et
$peciatim, quod $pectat ad Solida Problemata, quòd
videlicet, ut dixi, citra lineam aliquam magis compo-
$itam quàm circularem con$trui non po$$int, vel inde
evidens e$$e pote$t, quòd illa omnia ad duas con$tru-
ctiones reducantur; in quarum unâ duo $imul puncta
requiruntur, quæ inter duas datas lineas duas medias
proportionales determinent; & in alterâ duo puncta,
quæ datum arcum in tres æquales partes dividant. Ete-
nim cum Circuli curvatura tantùm dependeat à $im-
plici relatione omnium partium ad punctum unum,
quod e$t ip$ius centrum; inde fit, ut eo quoque non ni$i
ad unum $olummodo punctum inter duas extremas de-
terminandum uti po$$imus, utputa ad inveniendam
unam mediam proportionalem inter duas datas, aut ad
datum arcum in duas Æquales partes dividendum. At
verò curvatura Conicarum Sectionum, quæ $emper à
duabus diver$is rebus dependet, ad duo diver$a puncta
determinanda in$ervire pote$t.</p>
<p>Ob eandem rationem fieri nequit, ut aliquod eo-
rum Problematum, quæ uno gradu magis quam Soli-
da $unt compo$ita, & inventionem 4 mediarum pro-
portionalium, aut anguli in 5 æquales partes divi$io-
nem, præ$upponunt, ope alicujus Conicæ $ectionis con-

<pb 97>[117]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
$trui po$$it. Quare nihil melius hîc à me fieri po$$e con-
fido, quàm $i regulam generalem tradam con$truendi
illa ope lineæ curvæ, quæ de$cribitur per inter$ectio-
nem Parabolæ & lineæ rectæ, quemadmodum $upra
fuit explicatum. Affirmare enim audeo, nullam, quæ
huic effectui in$ervire queat, $impliciorem in rerum
natura inveniri. Atque etiam vidi$tis, quomodo hæc
linea immediatè $ectiones Conicas $equatur in quæ-
$tione tantopere à Veteribus quæ$itâ, cujus $olutio or-
dine omnes curvas lineas, in Geometriam recipiendas,
exhibet.</p>
<p>Iam no$tis, cùm inve$tigantur quantitates, quæ ad
<mgr>_Modus ge-_
_ner alis_
_con$truen-_
_di Proble-_
_mata_
_omnia, re-_
_ducta ad_
_Æquatio-_
_nem, $ex_
_dimen$io-_
_nes non_
_exceden-_
_tem._</mgr>
con$tructionem horum Problematum requiruntur, quâ
ratione $emper ad Æquationem aliquam reduci po$-
$int, quæ non ni$i ad Quadrato-cubum, aut Surde$o-
lidum ad$cendat. Deinde etiam no$tis, quomodo, au-
gendo valorem radicum hujus Æquationis, fieri $em-
per po$$it, ut radices hæ omnes veræ evadant, ac $imul
ut quantitas cognita tertii termini excedat quadratum
à $emi$$e quantitatis cognitæ $ecundi termini. Et de-
nique, quo pacto, $i tantùm ad Surde$olidum ad$cendat,
ip$a ad Quadrato-cubum attolli po$$it, fierique ut nullus
terminorum de$it.</p>
<p>Quocirca ut difficultates omnes, quæ quidem hîc
occurrunt, per eandem regulam re$olvi queant, de$ide-
ro ut hæc omnia fiant, & hâc ratione reducantur $emper
ad Æquationem hujus formæ
<math>y^6 - py^5 + qy^4 - ry^3 + $yy - ty + v = o</math>.
in qua quantitas vocata _q_, major $it quadrato à $emi$$e
ejus, quæ nominatur _p_.</p>

<pb 98>[118]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
<fig>
<var>D F E C G I A L B M H K P N R Q O</var>
</fig>
<p>Po$t hæc ductâ lineâ rectâ B K, utrinque indefinitâ,
erectâque ad eandem ex puncto B perpendiculari A B,
cujus longitudo $it {1 / 2} _p_; de$cribenda e$t in plano aliquo
$eparato Parabola, ut C D F, cujus latus rectum prin-
cipale $it <math><r>{t / <r>v</r>} + q - {1 / 4} pp</r></math>. quod brevitatis causâ vo-
cabo _n_. Tum ponendo planum, in quo Parabola exi-
$tit, $upra planum in quo $unt lineæ A B & B K, ita ut
axis ejus D E omnino congruat cum linea recta B K;

<pb 99>[119]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
$umptoque $egmento hujus axis, quod inter puncta E
& D intercipitur, æquali <math>{2√v / pn}</math>, adplicanda e$t longa re-
gula ad punctum E, ita ut, po$tquam ad punctum A
plani inferioris quoque e$t adplicata, $emper maneat
adjuncta hi$ce duobus punctis, interea dum Parabola
$ecundùm lineam B K, ad quam ejus axis e$t adplica-
tus, vel elevatur vel deprimitur. quâ quidem ratione
Parabolæ atque regulæ inter$ectio, quæ fit in puncto C,
lineam curvam A C N de$ignabit, illam quippe quâ ad
propo$iti Problematis con$tructionem indigebimus.
Etenim eâ $ic de$criptâ, $i fiat B L æqualis D E, hoc e$t,
<math>{2 √v / pn}</math>, ita ut punctum L cadat in lineam B K, versùs par-
tem, quam re$picit Parabolæ vertex, Tum verò in ea-
dem linea à puncto L versùs B $umatur L H æqualis
<math>{t / 2 n √v}</math>, Et ex puncto H, $ic invento, ad partem curvæ
A C N ducatur ad angulos rectos ip$i B K, linea H I,
æqualis <math>{r / 2nn} + {√v / nn} + {pt / 4nn√v}</math>, quam abbreviandi causâ
nominabo <math>{m / nn}</math>, Ac, po$tquam conjuncta $unt puncta L
& I, circulo L P I, cujus diameter I L, in$cribatur li-
nea L P, æqualis <math><r>{s + p √v / nn}</r></math>, Tandemque ex centro I per
punctum P, $ic inventum, circulus de$cribatur P C N:
$ecabit hic circulus vel tanget lineam curvam A C N,
in tot punctis, quot Æquatio admittet radices. Ita ut
perpendiculares, quæ ex hi$ce punctis ad lineam B K
deducentur, Æquationis hujus futuræ $int radices, &
nullam hæc regula patiatur exceptionem neque defe-
ctum. Etenim $i quantitas _$_ adeò magna e$$et re$pectu
aliarum, _p_, _q_, _r_, _t_, & _v_, ut linea L P major inveniretur
diametro circuli I L, $ic ut eidem in$cribi non po$$et,
nulla itidem foret radix in Æquatione propo$ita, quæ

<pb 100>[120]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
non e$$et imaginaria; nec etiam ulla foret radix, $i cir-
culus I P adeò parvus e$$et, ut curvam A C N in nullo
<mgl>Z</mgl>
pror$us puncto $ecaret. Hanc autem curvam in 6 diver-
$is punctis $ecare pote$t, ita ut hîc $ex diver$æ radices
in Æquatione haberi queant. Atque cùm illam in pau-
cioribus $ecat, hoc indicio e$t, qua$dam ex hi$ce radi-
cibus inter $e æquales e$$e, aut ip$arum aliquas e$$e tan-
tùm imaginarias.</p>
<fig>
<var>3C 2C A 3 S 2_S S_ C 3T 3V 2T 2V T B V K</var>
</fig>
<p>Quòd $i verò ratio hæc de$cribendi lineam A C N

<pb 101>[121]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
per motum Parabolæ vobis videatur incommoda, fa-
cile e$t plures alios modos in eundem finem excogi-
tare. Vt, manentibus ei$dem quantitatibus pro AB &
BL, nec non eâdem pro BK, quæ pro latere recto prin-
cipali Parabolæ $upponebatur; de$cribendus e$t tantùm
$emicirculus KST, centro ejus ad libitum in linea BK
a$$umpto, ita tamen ut lineam AB alicubi $ecet, ut in
puncto S. Nam po$tquam à puncto T, ubi terminatur,
versùs K a$$umpta fuerit linea TV, æqualis BL, junga-
turque SV, atque à puncto A junctæ SV parallela duca-
tur AC, quæ rectæ SC, ductæ per punctum S, ip$i BK
parallelæ, occurrat in puncto C: Erit punctum C, ubi hæ
duæ parallelæ $ibi mutuò occurrunt, unum ex punctis
per quod quæ$ita curva tran$ire debet. Eodem modo in-
veniri po$$unt tot alia puncta, quot quis voluerit.</p>
<p>Quorum omnium demon$tratio $atis facilis e$t.</p>
<p>Si enim regula AE unà cum Parabola FD adplice-
tur ad punctum C, (eodem modo, quo con$tat eas ad
punctum C in curva ACN mutuâ inter$ectione de$i-
gnandum e$$e adplicandas) & quidem CG vocetur <math>y</math>: erit
GD <math>{yy / n}</math>, cum latus rectum, quod e$t <math>n</math>, $it ad CG $icut
CG ad GD. Auferendo autem DE, quæ e$t <math>{2 √v / pn}</math> à GD,
relinquetur <math>{yy / n} - {2 √v / pn}</math>, pro GE. Deinde quia AB e$t ad
BE, ut CG ad GE: hinc cum AB $it <math>{1/2} p</math>, BE erit <math>{py / 2n} - {√v / ny}</math>.</p>
<p>Eâdem ratione $i punctum curvæ C $upponatur in-
ventum e$$e per inter$ectionem linearum rectarum, SC,
parallelæ ip$i BK, & AC, parallelæ ip$i SV; SB, quæ
æquatur ip$i CG, e$t <math>y</math>: & cum BK æquetur lateri re-
cto Parabolæ, quod nominavi <math>n</math>, BT erit <math>{yy / n}</math>. e$t enim
ut KB ad B@, ita BS ad BT. Cumque TV eadem $it

<pb 102>[122]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
quæ BL, hoc e$t, <math>{2 √v / pn}</math>, BV erit <math>{yy / n} - {2 √v / pn}</math>. Sicut autem
SB e$t ad BV, $ic AB e$t ad BE, quæ ideo e$t <math>{py / 2n} - {√v / ny}</math>.
ut ante. Vnde apparet, unam eandemque lineam e$$e,
quæ utroque hoc modo de$cribitur.</p>
<p>Porrò, quoniam BL & DE $ibi invicem æquales
$unt, æquales quoque inter $e erunt DL & BE; ita ut,
addendo LH, quæ e$t <math>{t / 2n √v}</math>, ad DL, quæ e$t <math>{py / 2n} - {√v / ny}</math>,
habeatur tota DH, nempe <math>{py / 2n} - {√v / ny} + {t / 2n√v}</math>, è qua
auferendo GD, quæ e$t <math>{yy / n}</math>, relinquetur GH, videlicet
<math>{py / 2n} - {√v / ny} + {t / 2n√v} - {yy / n}</math>. Id quod ordine $cribo, hoc pa-
cto, <math>GH = {-y^3 + {1/2}pyy + {ty / 2 √v} - √v / ny}</math>,</p>
<p>Et fit quadratum ex GH,
<math>{y^6 - p y^5 - {t / √v} \\ + {1/4}pp # y^4 # + 2 √v \\
+ {pt / 2 √v} # y^3 # - p √v \\ + {tt / 4v} # yy - ty + v/nnyy.}</math>
Quocunque autem alio loco hujus curvæ imaginari li-
beat punctum C, utputa versùs N, vel versùs Q, $em-
per tamen invenietur, quadratum lineæ rectæ, quæ in-
ter punctum H, & punctum ubi perpendicularis dedu-
cta ex puncto C cadit $uper BH, intercipitur, ii$dem
hi$ce terminis ii$demque $ignis + & - exprimi po$$e.</p>

<pb 103>[123]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
<fig>
<var>D F E C G L A B M H P K N R Q O</var>
</fig>
<p>Po$tea cum IH $it <math>{m / nn}</math>, & LH <math>{t / 2n √v}</math>, IL erit
<math><r>{mm / n^4} + {tt / 4nnv}</r></math> (propter angulum rectum IHL); &
cum LP $it <math><r>{s / nn} + {p √v / nn}</r></math>, IP vel IC erit
<math><r>{mm / n^4} + {tt / 4nnv} - {s / nn} - {p √v / nn}</r></math>, (propter angulum rectum
IPL). Dein ductâ CM perpendiculari ad IH, erit
IM differentia, quæ e$t inter IH & HM vel CG, hoc

<pb 104>[124]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc></rh>
e$t, inter <math>{m / nn}</math> & <math>y</math>; ita ut quadratum ejus $emper $it <math>{mm / n^4}
- {2my / nn} + yy</math>, quod à quadrato ex IC ablatum relinquit
<math>{tt / 4nnv} - {s / nn} - {p√v / nn} + {2my / nn} - yy</math>, pro quadrato ex CM,
quod e$t æquale quadrato ex GH, jam invento. Aut
etiam faciendo ut hæc $umma quemadmodum altera di-
vi$a $it per <math>nnyy</math>, obtinebitur
<math>{- nn y^4 + 2m y^3 - p√v, yy - syy + {tt / 4v} yy / nnyy}</math>. Cæterùm
re$tituendo <math>{t / √v} y^4 + q y^4 - {1/4} pp y^4</math> pro <math>nn y^4</math>, & <math>r y^3
+ 2 √v, y^3 + {pt / 2 √v} y^3</math> pro <math>2 m y^3</math>, & multiplicando u-
tramque $ummam per <math>nnyy</math>: ex$urget
<math>y^6 - p y^5 - {t / √v} \\ + {1/4}pp # y^4 # + 2 √v \\ + {pt / 2 √v} # y^3 # 
- p √v \\ tt / 4v # yy - ty + v,</math>
æquale
<math>- {t / √v \\ - q \\ + {1/4}pp # y^4 # + r \\ + 2 √v \\
+ {pt / 2 √v} # y^3 # - p √v \\ - s \\+ {tt / 4v} # yy.</math>
Hoc e$t, habebitur
<math>y^6 - p y^5 + q y^4 - r y^3 + syy - ty + v = o</math>.
Vnde apparet, lineas CG, NR, QO, & $imiles e$$e
hujus Æquationis radices. Quod erat demon$trandum.</p>
<p>Hinc $i invenire velimus 4<_>_or_</_> medias proportionales
<mgl>_Inventio_
_quatuor_
_mediarum_
_proportio-_
_nalium._</mgl>
inter lineas <math>a</math> & <math>b</math>; po$itâ <math>x</math> pro prima, prodibit Æquatio
<math>x^5 * * * * - a^4 b = o</math>, vel <math>x^6 * * * * - a^4 bx^* = o</math>. Fa-
ctâque <math>y - a = x</math>, invenietur
<math>y^6 - 6a y^5 + 15aa y^4 - 20 a^3 y^3 + 15 a^4 yy -6 a^5 \\ - a^4 b # y # + a^6 \\ + a^5 b = o</math>
Vnde pro linea AB $umendum e$t 3 <math>a</math>, &
<math><r>{6 a^3 + aab/<r>aa + ab</r>} + 6aa</r></math> pro BK, vel latere recto Parabo-

<pb 105>[125]<rh>L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
læ, quod $upra nominavi <math>n</math>, & <math>{2a / 3n} <r>aa + ab</r></math> pro DE,
vel BL. Porrò de$criptâ lineâ curvâ ACN $ecundùm
men$uram harum trium linearum, facienda e$t <math>L H
= {6 a^3 + aab / 2n<r>aa + ab</r>}</math>, & <math>I H = {10 a^3 / nn} + {aa / nn} <r>aa + ab</r>
+ {18 a^4 + 3 a^3 b / 2nn<r>aa + ab</r>}</math>, & <math>L P = <r>{15 a^4 + 6 a^3 <r>aa + ab</r> / nn}</r></math>. Etenim
circulus, qui centrum $uum habet in puncto I, tran$itu-
rus per punctum $ic inventum P, $ecabit curvam in duo-
bus punctis C & N, à quibus $i ad rectam BK demit-
tantur perpendiculares NR & CG, & minor NR à ma-
jore CG auferatur; erit reliqua <math>x</math>, prima ex quatuor
mediis proportionalibus quæ$itis.</p>
<p>Eodem modo facile e$t datum angulum in quinque
æquales partes dividere, & Circulo figuram in$cribere
11 aut 13 æqualium laterum, atque infinita alia hujus
regulæ exempla reperire.</p>
<p>Verùm notandum e$t in plurimis horum exemplo-
rum, quòd Circulus hic ita obliquè hanc Parabolam
$ecundi generis $ecare po$$it, ut inter$ectionis punctum
cognitu $it difficile, atque adeò hæc con$tructio ad Pra-
xin non $it idonea. Cui quidem rei facilè remedium af-
ferri po$$et, componendo alias regulas ad imitationem
hujus.</p>
<p>Sed in$titutum meum non e$t prolixum librum con-
$cribere, $ed potiùs multa paucis comprehendere: quod
fortè judicabunt me feci$$e, qui con$ideraturi $unt,
quòd, reductis ad eandem con$tructionem Problematis
omnibus eju$dem generis, modum $imul, quo ad infi-
nitas alias diver$as reduci, atque ita omnia infinitis mo-
dis re$olvi po$$int, o$tenderim. Præterea etiam, quòd
con$tructis iis omnibus, quæ Plana $unt, inter$ectione
Circuli & lineæ rectæ, Et iis omnibus, quæ Solida $unt,

<pb 106>[126]<rh>G<sc>EOMETRIÆ</sc> L<sc>IBER</sc> T<sc>ERTIVS</sc>.</rh>
inter$ectione Circuli & Parabolæ, Ac tandem iis omni-
bus, quæ uno gradu magis $unt compo$ita, inter$ectione
$imiliter Circuli & lineæ, uno gradu magis quàm Para-
bola compo$itæ, eandem tantùm viam in con$truendis
reliquis omnibus, quæ magis magi$que in infinitum
$unt compo$ita, $equi oporteat. Etenim cognitis, in
materia Mathematicarumprogre$$ionum, duobus aut
tribus prioribus terminis, reliquos invenire non e$t dif-
ficile. Adeò ut $perem à po$teris mihi gratias habitum
iri, non $olùm pro iis, quæ hîc explicui; $ed etiam pro
iis, quæ con$ultò omi$i, quò ip$is voluptatem illa inve-
niendi relinquerem.</p>
<h>FINIS.</h>
<fig/>

<pb 107>[127]
<h>FLORIMONDI DE BEAVNE
_IN_
GEOMETRIAM
RENATI DES CARTES
NOTÆ BREVES.</h>
<p>AL<_>GEBRA</_> $pecio$a, hoc e$t, quæ exerce-
tur per $pecies rerum, quæ literis Alpha-
beti, alu$ve $imilibus de$ignantur, e$t
Scientia, inve$tigandis, inveniendisque
Theorematis & Problematis in$erviens,
ac res homogeneas, quarum rationes vel
proportiones con$iderantur, concernens.
Dicimus autem rationem inter $e habere
duas res, cùm homogeneæ $eu eju$dem naturæ exi$tentes, aut æ-
quales $unt, aut inæquales, & minor per $ui ip$ius continuam ad-
ditionem, tandem major evadit, majoremque $uperans. Adeò ut
hæc Scientia non $olùm Algebram numero$am atque Veterum
Analy$in Geometricam comprehendat; $ed etiam omne id, quod
relationem quandam habet aut proportionem, ut refert D. des
Cartes, in $ua de Methodo di$$ertatione.</p>
<p>Optimum verò e$t, ad $tabilienda hujus Scientiæ præcepta &
ad cognitionem ejus a$$equendam, ut generaliter rationes ha$ce in
lineis con$ideremus: cum $implici$$imæ $int, & hoc $ibi vendi-
cent, quòd rationes omnes, quæ inter qua$cunque alias res con$i-
derari po$$unt, exprimant. Id quod numeri non efficiunt, qui rela-
tiones, quæ inter incommen$urabiles quantitates reperiuntur, ex-
primere nequeunt. A ccedit, quòd iis ad omnes alias res, rationem
vel proportionem quandam inter $e habentes, uti po$$imus. Ete-
nim l@cèt linea nullam cum $uperficie, aut cum alicujus motus ve-
locitate rationem habeat(atque ita de aliis alterius naturæ rebus;)
po$$umus tamen rationem, quæ inter duas $uperficies, aut inter
duas differentes velocitates, & id genus alia, quæ inter $e relatio-

<pb 108>[128]<rh>F<sc>LORIMONDI DE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
nem aliquam habere $tatuimus, reperitur, exprimere per duas li-
neas. Id tantùm cavendum e$t, ne permutata ratione utamur.</p>
<p>Operationes omnes, quæ in hac Scientia occurrunt, ad quin-
que reducuntur, quæ eædem $unt, quæ Arithmeticæ vulgaris, ni-
mirum, Additio, Subtractio, Multiplicatio, Divi$io, atque Radi-
cum Extractio; hoc præterea commodi habentes, quòd illæ
($icut notavimus) circa incommen$urabiles quantitates, non mi-
nùs quàm circa alias, ver$entur. Vt, cùm proponuntur duæ lineæ
incommen$urabiles, $ive longitudine, $ive longitudine & poten-
tiâ, po$$unt ip$æ $imul addi, una ab altera auferri, per $e invicem
multiplicari, una per alteram dividi, & ex utraque radix extrahi,
perinde ac $i longitudine e$$ent commen$urabiles.</p>
<p>Neque verò docebimus, quo pacto hæ operationes per lite-
ras Alphabeticas, vel alias linearum aliarumve rerum $pecies,
quas de$ignant, $int faciendæ: cum hoc ab aliis jam $it pertra-
ctatum. Tum etiam quoniam hæc Geometria, quâ ratione Ad-
ditio, Subtractio, Multiplicatio, Divi$io, atque Radicum Ex-
tractio, tam in numeris, quàm in lineis in$tituendæ $int, brevi-
ter exponit. Verùm ob$ervari volumus, quòd per ha$ce $pecies,
quas nominamus <math>b</math>, <math>b^2</math>, <math>b^3</math>, <math>b^4</math>, <math>bd</math>, <math>b^2</math> <math>d</math>, <math>b^3</math> <math>d</math>; primam videli-
cet <math>b</math>, numerum aut lineam $implicem; $ecundam <math>b^2</math>, quadra-
tum ip$ius <math>b</math>, $eu <math>b</math> quadratum; tertiam <math>b^3</math> $eu <math>b</math> cubum; quar-
tam <math>b^4</math> $eu <math>b</math> quadrato-quadratum, &c. non ullæ aliæ res, quàm
lineæ omnino $implices concipiantur; ni$i quæ$tio fuerit de ve-
ris Quadratis, Cubis, Planis, & Solidis, aut, per ha$ce $pecies
alias res $ignificemus, $imilem inter $e relationem, quam lineæ
ip$is de$ignatæ, habentes. Attamen con$entaneum e$t, nomina
u$itata retinere, quandoquidem lineæ, $peciebus hi$ce de$igna-
tæ, eandem inter $e rationem, quam veræ $uperficies, & vera $o-
lida, quæ per ip$as denotantur, $ervant. Et hoc quidem ad imi-
tationem Arithmeticæ communis, ubi alios numeros appellamus
Quadratos, alios Cubos, alios Planos, alios Solidos &c. quippe
qui talem inter $e relationem ob$ervant, quatenus $unt numeri
$implices, qualem inter $e obtinent Quadrati, Cubi, &c. quos
repræ$entant.</p>
<p>Oportet itaque o$tendere, $patia & corpora, $peciebus hi$ce
de$ignata, eandem inter $e rationem habere, quam lineæ $im-
plices, quas per ip$as concipimus. Exempli gratiâ, <math>b^2</math> eandem

<pb 109>[129]<rh>N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
rationem habere ad <math>bd</math>, & ad <math>d^2</math>, quatenus $patia $ignificant,
quàm quatenus lineas referunt. Sic etiam relationem ip$ius <math>b^3</math>
ad <math>b^2</math> <math>d</math> & ad <math>d^3</math>, aliasque $imiles, eandem inter hæc Solida exi-
$tere, quam ea, quæ e$t inter lineas, per has $pecies de$ignatas.
Quod ip$um facile erit, $i pro arbitrio lineam aliquam accipia-
mus, quam appellemus unitatem, & ad eam reliquas omnes
referamus. Illa vocetur <math>a</math>, $ic ut hæ tres lineæ <math>a</math>, <math>b</math>, & <math>b^2</math> pro-
portionales exi$tant, juxta id quod de multiplicatione in hac
Geometria dictum e$t. Idem de lineis <math>a</math>, <math>d</math>, & <math>d^2</math> e$t intelli-
gendum. Sic etiam linea <math>a</math> e$t ad lineam <math>b</math>, $icut linea <math>d</math> e$t ad
lineam <math>bd</math>; aut, ut linea <math>a</math> e$t ad lineam <math>d</math>, ita linea <math>b</math> e$t ad ean-
dem lineam <math>bd</math>. Quod cum ita $it, linea <math>b</math> erit ad lineam <math>b^2</math>, $icut
linea <math>d</math> ad lineam <math>bd</math>; cum eadem utrobique $it ratio, nimirum
eadem, quæ lineæ <math>a</math> ad lineam <math>b</math>. Vnde permutando erit, ut li-
nea <math>b</math> ad lineam <math>d</math>, ita linea <math>b^2</math> ad lineam <math>bd</math>. Eodem modo linea <math>b</math>
erit ad lineam <math>bd</math>, ut linea <math>d</math> ad lineam <math>d^2</math>; cum utraque ratio ea-
dem $it, quæ lineæ <math>a</math> ad lineam <math>d</math>. quemadmodum e$t o$ten$um.
Vnde permutando erit, ut linea <math>b</math> ad lineam <math>d</math>, ita linea <math>bd</math> ad li-
neam <math>d^2</math>. Patet itaque, <math>b</math> e$$e ad <math>d</math>, $icut <math>b^2</math> ad <math>bd</math>; itemque <math>b</math> e$$e
ad <math>d</math>, $icut <math>bd</math> ad <math>d^2</math>, & con$equenter, rationem lineæ <math>b^2</math> ad lineam
<math>d^2</math> e$$e duplicatam lineæ <math>b</math> ad lineam <math>d</math>; lineamque <math>bd</math> e$$e me-
diam proportionalem inter lineas <math>b^2</math> & <math>d^2</math>. Id quod unu$qui$que
novit ab Euclide e$$e o$ten$um, nimirum: rationem, quam habet <math>b^2</math>
ad <math>d^2</math>, quatenus de$ignant $uperficies $eu quadrata, duplicatam e$-
$e rationis, quam habet latus <math>b</math> ad latus <math>d</math>: itemque <math>bd</math> rectangu-
lum e$$e medium proportionale inter hæc ip$a quadrata. ac per
con$equens, hæc $patia eandem inter $e relationem habere, quam
lineæ ii$dem $peciebus de$ignatæ. Idem o$tendi pote$t de Cubis
vel Solidis, ad imitationem præcedentis demon$trationis. Vnde
haud parvum emolumentum colligere licet, cum complures ra-
tiones, quas Euclides aliique Geometræ, inter duas $uperficies,
atque inter duo corpora, reperiri, demon$trarunt, nos pro lineis,
aliisve rebus, ii$dem $peciebus de$ignatis, u$urpare po$$imus,
prout eandem quam dicta $patia $eu corpora inter $e relationem
habent.</p>
<p>Exhibeamus aliquod exemplum: Detur triangulum rectan-
gulum ADE, cujus angulus DAE $it rectus. Manife$tum e$t
ex elementis, quòd laterum quadrata $imul $umpta quadrato ba$is

<pb 110>[130]<rh>F<sc>LORIMONDI DE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
<fig>
<var>A B G C D F E H N M</var>
</fig>
<fig>
<var>A H N M D F E B G C</var>
</fig>
$int æqualia: hoc e$t, $i ponamus <math>A D = b</math>, <math>A E = c</math>, & <math>D E
= d</math>, quòd <math>b^2 + c^2</math> æquetur <math>d^2</math>, quatenus de$ignant vera qua-
drata. Quod quoque verum e$t, quatenus de$ignant lineas, mo-
dò eandem inter $e relationem obtineant, quam hæc ip$a qua-
drata; ut demon$tratum e$t à nobis, atque etiamnum in hoc
exemplo palàm facere conabimur.</p>
<p>A$$umatur pro lubitu linea aliqua major vel minor (perinde
enim e$t) quàm DE, quæ quidem $it unitas, & ad quam reliquæ
omnes referantur: ip$a autem e$to BC, parallela exi$tens ip$i DE,
ducaturque perpendicularis AF, ip$am, $i opùs e$t, producendo.
Deinde fiat, ut BC ad DE, ita DE ad HM, fietque <math>H M = d^2</math>.</p>
<p>Iam verò, $icut hæ lineæ BC, DE, HM $unt continuè pro-
portionales, ita quoque lineæ BC, AE, NM, nec non lineæ
BC, DA, HN. Compo$ita enim e$t ratio BC ad AE, ex ra-
tione BC ad AC, & ex ratione AC ad AE. E$t autem ratio
AE ad NM compo$ita ex ii$dem rationibus, nimirum ex ratio-
ne AE ad FE, quæ eadem e$t rationi BC ad AC (propter $i-
militudinem triangulorum rectangulorum AEF & BCA,) &
ex ratione FE ad NM, hoc e$t, AE ad AM, quæ eadem e$t
rationi AC ad AE (per con$tructionem.) Id quod eodem mo-
do patet de BC, AD, HN. Erit igitur <math>N M = c^2</math>, & <math>H N = b^2</math>,
quæ quidem $imul $um ptæ æ quantur ip$i HM, hoc e$t, <math>d^2</math>. Quod
erat demon$trandum.</p>
<p>Cernitur præterea illa in hac Methodo facilitas, quòd etiam
lineam aliquam hoc modo <math>{b / d}</math>, alii$ve $imilibus, exprimere po$$i-
mus; aut quòd eo item modo fractionem aliquam Arithmeticæ
communis, ut {1/2}, {2/3}, &c. denotare valeamus; hoc $anè compen-
dio, quòd literis fractio exprimi po$$it, cujus numerator ad de-

<pb 111>[131]<rh>N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
nominatorem non habeat rationem commen$urabilem; $ed quæ
$imilis $it lineæ ad lineam, quarum una vicem gerat numeratoris,
& altera vicem denominatoris eju$dem fractionis. Id quod non
exiguæ e$t utilitatis, quemadmodum po$tea videbitur.</p>
<p>I am autem explicandum e$t, cur æque-multæ dimen$iones $in-
gulis Æquationis terminis $int tribuendæ. Quod $anè per $e li-
quet, quando $ub hi$ce terminis $uperficies aut corpora intelli-
guntur: cum nulla ratio inter duas quantitates heterogeneas con-
$i$tat, $patiaque illa aut corpora eodem $emper linearum atque di-
men$ionum numero de$ignentur.</p>
<p>Verùm expedit utidem faciamus, quando per ho$ce terminos
non ni$i lineæ de$ignantur, ut Methodus eò univer$alior atque
etiam commodior reddatur: Quandoquidem id præ$tare tene-
mur, cùm linea, quæ pro unitate $umenda e$t, indeterminata exi-
$tit, $eu, cùm requiritur, ut liberum $it a$$umere pro unitate li-
neam qualem volumus. Id quod facilè concipi pote$t, quoniam
$umendo lineam aliquam, ut <math>a</math>, pro unitate, lineæ, verbi gratiâ,
<math>b^2</math> & <math>d^2</math>, denominationes ha$ce accipiunt, prout referuntur ad li-
neam <math>a</math>. At verò $tatuendo aliam quandam lineam pro unitate
quàm <math>a</math>, licèt <math>b</math> & <math>d</math> eædem maneant, nihilominus tamen <math>b^2</math> & <math>d^2</math>
à præcedentibus erunt diver$æ. Ac proinde, $i comparare veli-
mus lineam <math>b</math> cum linea <math>d^2</math>: quoniam <math>d^2</math> diver$a e$t, prout ad di-
ver$as lineas refertur, quas pro unitate accipere po$$umus, ipsâ li-
neâ <math>b</math> eâdem $emper manente; patet lineam <math>b</math> ad lineam <math>d^2</math> non
$emper eandem rationem $ervare: $ed contra, diver$as ad illam
$ortiri relationes, pro diver$is lineis, quæ pro unitate a$$umun-
tur. Et $ic de aliis. A$t quæcunque tandem linea pro unitate $u-
matur, linea tamen indeterminata, & quæ per <math>b^2</math> concipitur, ean-
dem $emper habet rationem ad <math>d^2</math>, quam quadratum lineæ <math>b</math> ad
quadratum lineæ <math>d</math>. Atque ita de aliis omnibus, ut $upra e$t o$ten-
$um. Et quidem generalius e$t atque etiam commodius, relin-
quere ita unitatem indeterminatam & ad cuju$que arbitrium, ut
deinde pro ip$a talis linea a$$umi po$$it, qualis videbitur, quàm
eandem ab initio operationis determinare, $umendo pro ip$a cer-
tam aliquam lineam. Præterquam quod id plurimùm conducat
ad confu$ionem evitandam; ad dirigendum calculum; atque ad
præcavenda vitia, quæ ibidem committi po$$ent. Verùm cùm
unitas determinata exi$tit, tum quidem non ampliùs $ingulis

<pb 112>[132]<rh>F<sc>LORIMONDI DE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
Æquationis terminis æquè multas literas tribuere tenemur: cum
unitas illas ubique $upplere po$$it, ubi numero pauciores ha-
bentur, & ip$a has $pecies multiplicans aut dividens ea$dem
non mutet. Si verò ibidem non $it expre$$a, poterit tum quidem
$ubintelligi. Qua de re plura exempla in hac Geometria repe-
riuntur.</p>
<h>A<sc>D</sc> P<sc>AGINAS</sc> 6 & 7, D<sc>E</sc> R<sc>ADICVM</sc>
E<sc>XTRACTIONE</sc>.</h>
<fig>
<var>O N P L M</var>
</fig>
<p>QVandoquidem linea
L M primæ figuræ
tangit circulum LOP,
rectangulum OMP æ-
quatur quadrato ex LM.
Sunt autem bina rectan-
gula MOP & OMP æ-
qualia quadrato ex OM.
Æquale igitur erit rectan-
gulum MOP, unà cum
quadrato ex LM, qua-
drato ex OM; hoc e$t, erit <math>z^2 = a z + b^2</math>, ac per con$equens
<math>z = {1/2} a + <r>{1/4} a^2 + b^2:</r></math> cum ON æquetur <math>{1/2}a</math>, & quadratum ex
NM tantundem valeat atque duo quadrata ex NL & LM, hoc
e$t, <math>{1/4}a^2</math> & <math>b^2</math>. Id quod primò erat demon$trandum.</p>
<p>Deinde rectangulum OPM & quadratum ex PM æqualia $i-
mul $unt rectangulo OMP. E$t autem rectangulum OMP æ-
quale quadrato ex LM. Quadratum itaque ex PM æquale e$t
quadrato ex LM, minus rectangulo OPM: hoc e$t, erit <math>y^2 =
- ay + bb</math>, ac proinde <math>y = - {1/2} a + <r>{1/4}a^2 + b^2</r></math>. quia, cùm
NM æquatur <math><r>{1/4}a^2 + b^2</r></math>, ut $upra, ac ex ip$a aufertur NP $eu
<math>{1/2}a</math>, relinquitur MP $eu <math>y</math>.</p>
<h>I<sc>N</sc> S<sc>ECVNDAM</sc> F<sc>IGVRAM</sc> D<sc>E</sc> R<sc>ADICVM</sc>
E<sc>XTRACTIONE</sc>. P<sc>AG</sc>. 7.</h>
<p>REducemus hanc figuram ad $equentem, in qua ND & HO
$unt parallelæ & æquales ip$i LM. Quibus po$itis, quoniam

<pb 113>[133]<rh>N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
LM tangit circulum HR QL in puncto L, erit quadratum ex
LM æquale rectangulo RMQ. Deinde, quia MD æqualis e$t
<fig>
<var>H O R N D Q L M</var>
</fig>
DO, & QD ip$i DR, erit & MQ æ-
qualis RO. Vnde additâ communi
QR, fiet quoque MR æqualis QO.
Ac proinde $i à rectangulo OMR au-
feratur rectangulum RMQ, hoc e$t,
quadratum ex LM, erit reliquum
æquale quadrato ex QO $eu MR.
Hinc cum RM <math>$it = z</math>, HL $eu
<math>MO = a</math>, & <math>LM = b</math>: erit <math>z^2 = az
- bb</math>.</p>
<p>Similiter $i à rectangulo OMQ au-
feratur rectangulum RMQ, hoc e$t,
quadratum ex LM, erit reliquum æ-
quale quadrato ex RO $eu MQ. Ac
proinde $i QM $umatur pro <math>z</math>, habe-
bitur <math>z^2 = az - bb</math>.</p>
<p>Jam autem cum linea RQ divi$a $it
bifariam in D, ac ip$i in directum ad-
jecta QM, erit rectangulum RMQ, hoc e$t, quadratum ex LM,
unà cum quadrato ex DQ $eu RD, æquale quadrato ex DM,
hoc e$t, ex $emi$$e ip$ius <math>a</math>; ac proinde quadratum ex DQ $eu
DR æquale quadrato ex DM, minus quadrato ex LM, hoc e$t,
æquale <math>{1/4} aa - bb</math>. Vnde $i addamus <math><r>{1/4} a^2 - b^2</r></math>, hoc e$t, DQ
$eu DR ad DM vel <math>{1/2} a</math>, habebimus MR pro <math>z</math>; $i verò illam
ex eadem DM auferamus, obtinebimus quoque QM pro <math>z</math>. E
quibus patet, primo ca$u fieri MR, hoc e$t, <math>z = {1/2} a + <r>{1/4} a^2 - b^2</r></math>,
$ecundo autem MQ, hoc e$t, <math>z = {1/2} a - <r>{1/4} a^2 - b^2</r></math>. Ita ut hæc
æquatio <math>z^2 = az - bb</math> duas habeat radices, nimirum, MR &
MQ, quæ, $ic ut jam diximus, exprimuntur. Id quod $ecundò
erat demon$trandum.</p>
<p>Po$$unt quoque hæc omnia, quæ de radicibus dicta $unt, per
Algebram demon$trari. Si enim in primo exemplo, $icut feci-
mus, ponatur <math>z = {1/2} a + <r>{1/4} a^2 + b^2</r></math>: auferendo utrinque <math>{1/2} a</math>,
habebitur <math><r>{1/4} a^2 + b^2</r> = z - {1/2} a</math>. Ac proinde, $i $umantur ho-
rum quadrata, erit & <math>z^2 - az + {1/4} a^2 = {1/4} a^2 + b^2</math>. Et ablato

<pb 114>[134]<rh>F<sc>LORIMONDI DE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
utrinque <math>{1/4} a^2</math>, atque transferendo <math>- az</math> in alteram æquationis
partem: <math>z^2 = az + b^2</math>.</p>
<p>In $ecundo exemplo, cùm <math>y</math> æquatur <math>- {1/2} a + <r>{1/4} a^2 + b^2</r></math>, ac
proinde <math>y + {1/2} a = √ {1/4} a^2 + b^2</math>, erunt & horum quadrata æqua-
lia, hoc e$t, <math>y^2 + ay + {1/4} a^2 = {1/4} a^2 + b^2</math>, & per con$equens
<math>y^2 = - ay + bb</math>.</p>
<p>In tertio exemplo, cum primo loco habeatur
<math>z = {1/2} a + <r>{1/4} a^2 - b^2</r></math>, ideoque <math>z - {1/2} a = <r>{1/4} a^2 - b^2</r></math>, erunt &
horum quadrata æqualia, hoc e$t, <math>z^2 - az + {1/4} a^2 = {1/4} aa - bb</math>,
unde & <math>z^2 = az - bb</math>.</p>
<p>In ultimo exemplo, cum$ecundo loco habeatur
<math>z = {1/2} a - <r>{1/4} aa - bb</r></math>, ac idcirco <math>{1/2} a - z = <r>{1/4} a^2 - b^2</r></math>,
erunt & horum quadrata æqualia, hoc e$t, <math>{1/4} aa - az + z^2</math>,
<math>= {1/4} aa - bb</math>, & propterea <math>z^2 = az - bb</math>. Quæ quidem demon-
$trare oportebat.</p>
<h>I<sc>N</sc> C<sc>OMPOSITIONEM</sc> L<sc>OCORVM</sc> P<sc>LANORVM
ET</sc> S<sc>OLIDORVM</sc> P<sc>AG</sc>. 26, & $equent.</h>
<p>QVicquid in primo libro re$tat, nec non in $ecundo u$que ad
Locorum Planorum & Solidorum compo$itionem reperi-
tur, intellectu $atis facile e$t; quare ad paginam 26 & $equentes
progrediemur. Vbi primò notandum, quòd, habentes in æqua-
tione duas quantitates indeterminatas, quarum una licèt pro ar-
bitrio $umatur, altera tamen per eandem æquationem inveniri
po$$it, ita ip$am ordinare oporteat: ut, $i una, puta <math>x</math>, ad libitum
$umatur, altera, quæ e$t <math>y</math>, denominationi terminorum ejus in$er-
viat, $ic, ut <math>y^2<math> unam con$tituat æquationis partem, & altera ejus
pars ordiatur à termino, in quo <math>y</math> $ola $ine <math>x</math> reperitur, quem $e-
quatur <math>y</math> cum <math>x</math>, & po$tea <math>x</math> $ine <math>y</math>, & tandem terminus, in quo
neque <math>x</math> neque <math>y</math> reperiatur. Atque impo$$ibile quidem e$t alios
ca$us invenire, quando quantitates indeterminatæ <math>y</math> & <math>x</math> duas tan-
tùm dimen$iones habent: quanquam $æpi$$imè contingat ex his
terminis aliquos reperiri nihilo æquales.</p>
<p>Deinde ob$ervandum quoque e$t, $i termini illi plures literas
vel dimen$iones contineant, modò quantitates indeterminatæ <math>y</math>
& <math>x</math> duas dimen$iones non excedant, facile e$$e, dividendo totam

<pb 115>[135]<rh>N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
æquationem per literas ip$i <math>yy</math> adhærentes, efficere, ut <math>yy</math> $ola
unam partem æquationis con$tituat & reliquæ alteram partem,
ad in$tar fractionis, pro denominatore habentem literas, quæ an-
tea cum <math>yy</math> jungebantur. Vbi nemo exi$timare debet, fractio-
nem pluribus dimen$ionibus con$tare, quàm numero relinquun-
tur literæ in numeratore, po$tquam ex ip$o numerus literarum
denominatoris e$t $ubductus, quemadmodum in exemplo, eâ-
dem hujus Geometriæ paginâ propo$ito, apparet.</p>
<p>Quod verò de dimen$ionibus jam diximus, eodem $en$u in-
telligendum e$t, quo antea advertimus, utile e$$e, ut $ingulis æqua-
tionis terminis æquè multæ tribuantur literæ. Nam $icut <math>b^2</math> $igni-
ficare pote$t lineam aliquam, $ic etiam <math>{b / d}</math>, & <math>{b / d^2}</math>; quæ tamen $ic
u$urpari non debent, ni$i cùm linea quæ dam pro unitate e$t de-
terminata: ob rationem $upra allatam, ubi utilitatem atque com-
moditatem o$tendimus, quæ $equitur, cùm $ingulis æquationis
terminis æquè multæ literæ vel dimen$iones tribuuntur, etiam$i
illis nil ni$i lineæ aliævè res $imiles de$ignentur.</p>
<p>Porrò notandum e$t, quòd in hac Geometria generaliter pro
uno eodemve loco vel termino habeantur illi omnes, qui eandem
quantitatis, quam invenire volumus, & radicem æquationis ap-
pellamus, denominationem $ortiuntur. Nimirum, quòd omnes
illi pro uno termino habeantur, in quibus reperitur <math>y^2</math>; & pro a-
lio, in quibus reperitur <math>y</math>; & rur$us pro alio omnes, in quibus <math>y</math>
non reperitur. Atque ita ulteriùs, $i radix plures dimen$iones ha-
buerit. E$t autem hoc (ut diximus) generale; $peciatim verò hæc
methodus requirit, ut ex termino, in quo <math>y</math> reperitur, duos ca$us
faciamus; in quorum uno <math>y</math> reperiatur $ine <math>x</math>; & in altero, ubi cum
<math>x</math> $it conjuncta: cum <math>y</math> & <math>x</math> duæ indeterminatæ quantitates $int &
utravis æquationis radix e$$e po$$it. Neque difficile e$t ad unum
terminum reducere omnes illos, qui eodem modo ab æquationis
radice denominantur. Etenim reliquis literis cognitis exi$tenti-
bus, facile e$t, tales a$$umere, quæ $upponantur æquales iis omni-
bus, quæ eandem habent radicis denominationem; vel etiam ei,
quod de$ignatur per fractionem, quam termini efficere ponantur.
Atque hinc fit, quòd loco terminorum, ubi <math>y</math> reperitur $ine <math>x</math>, $o-
lummodo ponatur 2 <math>my</math>, quippe quod $upponitur æquale omni-
bus $imul terminis eju$dem denominationis. Loco autem eorum

<pb 116>[136]<rh>F<sc>LORIMONDI DE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
omnium, ubi <math>y</math> & <math>x</math> $imul reperiuntur, ($iquidem hæc Geometriæ
Methodus po$tulat, ut <math>x</math> retineatur, ac nihilominùs terminus qui-
libet plures quàm duas dimen$iones habere non debeat,) ponitur
tantùm <math>{2n / z} xy</math>, ut $ic de$ignentur fractiones omnes, quæ $imilem
habent radicis denominationem. Quòd verò loco <math>my</math> & <math>{n / z} xy</math>
$umatur <math>2my</math> & <math>{2n / z} xy</math>, id tantùm in eum finem fit, ut faciliùs ad
æquationis radicem perveniatur: ad quam obtinendam requiri-
tur, ut literarum <math>m</math> & <math>n</math> $emi$$es accipiantur. Sicut $uperiùs vidi-
mus pag. 6 & 7, ubi de radicum extractione, quando æquatio
duas $olùm dimen$iones habet, $umus loquuti.</p>
<p>Po$tquam igitur termini, in quibus <math>y</math> ab$que <math>x</math>, atque etiam
in quibus <math>y</math> & <math>x</math> $imul reperiuntur, hoc modo ad $impliciores
reducti $unt, extrahitur radix ex Æquatione eaque exprimitur
juxta id, quod pag. 6 & 7 fuit dictum. Quemadmodum videre
licet in exemplo pag. 27, ubi radix e$t
<math>y = m - {nx / z} + <r>m^2 + {2mn / z} x + {n^2 x^2 / z^2} + {bcfglx - bcfg x^2/ e z^3 - cg z^2}</r></math>,
Deinde $umenda e$t <math>m^2</math> pro omnibus terminis in vinculo, in qui-
bus <math>x</math> non reperitur, cujus quantitas <math>m</math> eadem e$t in æquatione
propo$ita cum ea, quæ e$t extra vinculum; $ed aliàs pote$t e$$e
diver$a, quo ca$u loco <math>m</math> extra vinculum præ$tat quodammodo
aliam literam a$$umere. Po$t quæ præter terminos, in quibus <math>x</math>
ab$que <math>y</math> reperitur, nihil reducendum re$tat. Po$$unt autem hi
duobus modis $e habere: prout nimirum habebitur vel <math>x^2</math>, vel <math>x</math>
$impliciter. Vnde fit, ut etiam, loco terminorum omnium, in
quibus <math>x</math> $impliciter reperitur, $cribendum $it <math>o x</math>. Quo loco
notandum quoque venit, literam <math>o</math> quantitatem aliquam hîc de-
$ignare, non autem cyphram: quandoquidem æqualis e$t ac loco
illorum omnium $cribitur, quæ cum <math>x</math> junguntur; aliàs enim
D. des Cartes eâ ordinariè ad cyphram $eu nihil denotandum uti-
tur: ita ut quodammodo hîc, ad confu$ionem evitandam, præ-
$tare videatur, pro <math>o</math> aliam quandam literam $ub$tituere. Sed hæc
monui$$e $ufficiat. Denique reducendæ $unt etiam literæ, quæ
cum <math>x^2</math> junguntur, quæque nil præter fractionem de$ignare po$-
$unt: cum <math>x^2</math> duas habeat dimen$iones, hoc videlicet modo:
<math>{p / m} x^2</math>. Vbi con$iderare oportet, quòd litera <math>m</math> fractionis <math>{p / m}</math> eadem

<pb 117>[137]<rh>N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
quantitas exi$tat, quæ in <math>m^2</math> in vinculo. Quâ quidem methodo
nulla habebitur æquatio, cujus radix ad duas tantùm dimen$io-
nes a$cendit, quæ, prout ex illa educta e$t, non reducatur ad hanc
formulam: <math>y = m - {n / z} x + <r>m^2 + ox - {p / m} x^2</r></math>. Ita ut hæc ip$a
quibu$libet Locis Planis & Solidis con$truendis in$ervire queat:
cum omnes locos $ive terminos, qui in eorum æquationibus re-
periri po$$unt, comprehendat; adeoque non ni$i $ignorum + &
- variationem, atque loca & terminos, qui in propo$itis æqua-
tionibus deprehendi nequeunt, con$iderare oporteat. Quæ qui-
dem omnia à D. des Cartes $unt animadver$a. Nos verò ea dun-
taxat, quæ difficultatem aliquam afferre po$$ent, illu$trare co-
nabimur.</p>
<h>O<sc>BSERVATIO</sc> P<sc>RIMA</sc>.</h>
<p>PO$tquam æquatio ad $upradictam formulam e$t reducta, &
illa, $ive æquè multos, $ive pauciores terminos habens, etiam
fractionibus numericis e$t affecta: ut exempli gratiâ, $i loco <math>{n / z} x</math>
habeatur <math>{3/4} x</math>, pote$t operatio in$titui per ha$ce fractiones, $up-
ponendo, numeratorem 3 e$$e æqualem numeratori <math>n</math>, & deno-
minatorem 4 æqualem denominatori <math>z</math>. Idem intellige de aliis
fractionibus numericis, quæ æquales $unt, & ad literas $uperio-
ris formulæ referuntur. Vnde cùm habetur fractio denotata hoc
pacto <math>x √ {3/4}</math> loco <math>{n / z} x</math>; erit litera <math>n</math> æqualis <math>√ 3</math>, & <math>z</math> æqualis
<math>√ 4</math>, atque ita de aliis. E$t autem bene ob$ervandum, quod di-
ximus: nimirum, $i in æquatione reperiatur <math>m^2</math>, denominatorem
<math>m</math> fractionis <math>{p / m} x^2</math> tum e$$e æqualem ip$i <math>m</math> quantitatis <math>m^2</math>. id
quod facile e$t; etiam$i alia fractio haberetur, modò $uppona-
mus, <math>m</math> e$$e ad <math>p</math>, $icut denominator hujus fractionis ad $uum
numeratorem: quandoquidem hoc modo fractiones fiunt æqua-
les. Quòd $i autem id per numeros fieri non po$$it, operandum
erit per literas, quod $æpe e$t commodi$$imum. Porrò ob$er-
vandum e$t, quòd ex terminis, qui inveniendis, centro, lateri re-
cto, & tran$ver$o in$erviunt, non aliæ literæ u$urpandæ $int, quàm
quæ in æquatione reperiuntur; & quòd reliquæ literæ eorundem

<pb 118>[138]<rh>F<sc>LORIMONDI DE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
terminorum non magis $int con$iderandæ, quàm $i non haberen-
tur. Cujus ratio e$t, quòd D. des Cartes, ut univer$aliter hæc
tractaret, terminos ho$ce eju$modi con$titutionis effecerit, in
qua loca omnia forent repleta. Adeoque literæ locorum, quæ in
propo$ita æquatione non reperiuntur, non annumerandæ $unt
terminis, qui centris, lateribus rectis, & tran$ver$is exprimen-
dis in$erviunt.</p>
<h>O<sc>BSERVATIO</sc> S<sc>ECVNDA</sc>.</h>
<p>PAg. 27. ca$us, cùm in æquatione non habetur <math>m</math>, difficulta-
tem afferre po$$et, quare ad illum intelligendum cogitandum
e$t, quòd, quando in æquatione non habetur <math>m</math>, ducenda itidem
non $it linea IK in figura eju$dem paginæ. Ac proinde, ut inve-
niatur LI, po$tquam habetur <math>{n / z} x</math>, non referenda e$t illa ad IK
$ed ad AB, eodem modo, quo D. des Cartes ip$am comparat
ip$i IK. Quandoquidem facere oportet, ut AB $it ad BL, $icut
<math>z</math> ad <math>n</math>, hoc e$t, ut AB exi$tente <math>x</math>, BL $it <math>{n / z} x</math>, atque ut pun-
ctum L cadat ex parte puncti C, $i habeatur <math>- {n / z} x</math>; at ex alte-
ra parte versùs R, $i reperiatur <math>+ {n / z} x</math>. Quo facto, ducenda e$t
linea AL, per puncta A & L, quæ eadem erit quæ LI, hoc e$t,
eodem munere fungetur, quo LI in exemplo D<_>ni</_> des Cartes. Et
quidem cognita erit linea AL, cum lineæ AB, BL, angulu$-
que ABL cogno$cantur. Atque ita pro AL accipere po$$umus
<math>{a / z} x</math>; eritque <math>a</math> nota.</p>
<p>Sed rem forta$$is planiùs per exemplum aliquod explicabimus.
Sit, in expo$ita figura, recta linea AY, curva autem AX, cujus
vertex punctum A, cuju$que hæc $it proprietas: ut, a$$umpto in
ea quolibet puncto, ut X, à quo ad rectam AY normaliter du-
catur XY, $umptâque utcunque rectâ AB, hæc ip$a unà cum li-
nea AY $it ad lineam AY, $icut linea AY ad lineam XY.</p>
<p>E$to <math>AB = b</math>, <math>AY = y</math>, & AK æqualis ac parallela ip$i <math>XY
= x</math>. Hinc cum <math>b + y</math> $it ad <math>y</math>, $icut <math>y</math> ad <math>x</math>, erit <math>yy = xy + xb</math>, &
<math>y = {1/2} x + <r>{1/4} x^2 + xb</r></math>. Vnde ex iis, quæ habentur pag. 29.
con$tat, lineam hanc e$$e Hyperbolam, eò quòd habetur <math>+ {1/4} x^2</math>.
Ad quam con$truendam, cum AK $it <math>x</math>, linea KL erit <math>{1/2} x</math>,

<pb 119>[139]<rh>N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
<fig>
<var>M A K B L Y X</var>
</fig>
quandoquidem hæc fractio æqualis e$t ac ip$i <math>{n / z} x</math> re$pondet. Por-
rò, quoniam rectus e$t angulus AKL, erit quadratum ex AL
æquale quadratis ex AK & KL $imul $umptis. Hinc cum qua-
dratum ex AK $it <math>x^2</math>, & quadratum ex KL <math>{1/4} x^2</math>, AL erit <math>√ {5 / 4} x^2</math>
$eu <math>x {5 / 4}</math>; id quod æquale $upponimus ip$i <math>{a / z} x</math>, at <math>{1/4} x^2</math> ip$i <math>{p / m} x^2</math>:
ita ut <math>√ 5</math> $it <math>a</math>, & <math>√ 4</math> $it <math>z</math>, & I $it <math>p</math>, & 4 $it <math>m</math>. Quibus po$itis,
terminus <math>{aom / 2pz}</math>, qui inveniendo centro in$ervit, erit <math>√ {80 / 16} bb</math>, cum
<math>am</math> hoc e$t, <math>4 √ 5</math>, valeat <math>√ 80</math>; & <math>2pz</math>, hoc e$t, <math>2 √ 4p</math>, va-
leat <math>√ 16</math>; & <math>o</math> $it æqualis ip$i <math>b</math>; & <math>b √ {80 / 16}</math> valeat <math>√ {80 / 16} bb</math>, hoc
e$t, <math>√ 5bb</math>. Quod quidem centrum $umendum e$t à puncto A
versùs M, quandoquidem Hyperbola e$t, & habetur <math>+ bx</math>, hoc
e$t, <math>+ ox</math>, juxta pag. 30. Latus rectum hîc e$t <math>{oz / a}</math>, hoc e$t, <math>b √ {4 / 5}</math>
$eu <math>√ {4 / 5} bb</math>. Vnde latus tran$ver$um fit <math>{aom / pz}</math>: quoniam oportet,
ut <math>p z^2</math> $it ad <math>a^2 m</math>, $icut <math>{oz / a}</math> ad latus tran$ver$um, quod idcirco, (ut
diximus,) erit <math>{aom / pz}</math>. id quod facit <math>b √ {80 / 4}</math>, hoc e$t, <math>√ 20bb</math>. Ac

<pb 120>[140]<rh>F<sc>LORIMONDI DE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
proinde cum di$tantia puncti A à centro $it <math>√ 5bb</math>, quæ $emi$$is
e$t lateris tran$ver$i (quoniam, cùm duorum quadratorum unum
alterius e$t quadruplum, latus tantùm lateris fit duplum); mani-
fe$tum e$t, punctum A verticem fore diametri AL. Ideoque $i
fiat <math>MA = √ 20bb</math>, erit ip$a latus tran$ver$um, & latus rectum
erit, (ut diximus,) <math>√ {4 / 5} bb</math>. Quorum demon$tratio facilis e$t.
Nam per prop. 21. lib. I<_>mi</_> Conicorum Apollonii, ut latus tran$-
ver$um <math>MA = √ 20bb</math> e$t ad latus rectum <math>√ {4 / 5} bb</math>, ita e$t rectan-
gulum MLA ad quadratum ex LX. E$t autem <math>AL = √ {5 / 4} x^2</math>.
Hinc $i multiplicetur <math>√ 20bb + √ {4 / 5} x^2</math> per <math>√ {4 / 5} x^2</math>, habebitur
rectangulum MLA, quod proinde erit <math>√ {100 / 4} bb x^2 + √ {25 / 16} x^4</math>.
Multiplicando verò id ip$um per latus rectum <math>√ {4 / 5} bb</math>, ex$urgit
<math>√ {400 / 20} b^4 x^2 + √ {100 / 80} bb x^4</math>, quod divi$um per latus tran$ver$um
<math>√ 20bb</math>, exhibet <math>√ bb x^2 + √ {100 / 1600} x^4</math>, hoc e$t, <math>√ bb x^2 +
√ {1 / 16} x^4</math>, $eu <math>bx + {1/4} x^2</math>, pro quadrato ex LX, unde ip$a LX fit
<math><r>bx + {1/4} x^2</r></math>. Jam $i ad lineam LX addatur linea <math>LK = {1/2} x</math>,
obtinebitur linea XK, hoc e$t, <math>y = {1/2} x + <r>bx + {1/4} x^2</r></math>, ac per
con$equens <math><r>bx + {1/4} x^2</r> = y - {1/2} x</math>. Vnde ductâ utrâque æqua-
litatis parte in $e, fiet <math>bx + {1/4} x^2 = yy - xy + {1/4} x^2</math>, $eu
<math>yy = bx + xy</math>. Hinc ut <math>b + y</math> $e habet ad <math>y</math>, ita <math>y</math> $e habebit ad <math>x</math>.
Quod erat demon$trandum.</p>
<p>Proponatur adhuc aliud exemplum, referens eum ca$um in
quo non reperiatur <math>{n / z} x</math> in æquatione. Habeamus itaque æqua-
tionem hanc <math>yy = 2dy + bx</math>, cujus radix e$t <math>y = - d +
<r>d^2 + bx</r></math>, quam con$truere oporteat. Supponatur in figura
$equente <math>AB = x</math>, & angulus ABC ad libitum, BC autem, in-
definitè continuata versùs B, <math>= y</math>; fiatque <math>BK = d</math>, quæ hîc idem
præ$tat quod <math>m</math> in $uperiori formula, quoniam habetur <math>- d</math>. Du-
ctâ autem NK indefinitè parallelâ ip$i AB, $umatur KI æqua-
lis AB, prout o$ten$um fuit pag. 27 & 28. Quo facto, relinquetur
tantùm <math><r>d^2 + bx</r></math>, & pagina $equens docet lineam quæ$itam e$-
$e Parabolam, quoniam non habetur <math>x^2</math>. Præterea puncto N
exi$tente vertice, linea IN e$$e debet <math>{am^2 / oz}</math> hoc e$t, <math>{d^2 / b}</math>, in hoc
exemplo. Terminus denique, qui explicat latus rectum, erit <math>{oz / a}</math>,

<pb 121>[141]<rh>N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
<fig>
<var>N A I C B K</var>
</fig>
idem hîc exi$tens
quod <math>b</math>, & fit K C or-
dinatim adplicata ad
diametrum. Quorum
demon$tratio nec dif-
ficilis. Nam, $ecundùm
11 prop. 1<_>mi</_> Libri Co-
nicorum Apollonii,
rectangulum compre-
hen$um $ub latere re-
cto <math>b</math> & linea <math>NK =
{d^2 / b} + x</math>, utpote, <math>dd
+ bx</math>, e$t æquale qua-
drato lineæ KC. E$t verò linea KC æqualis ip$is <math>BC = y</math>, & <math>BK
= d</math>, $imul $umptis. Erit itaque linea <math>KC = y + d</math>, & quadratum
ejus <math>= yy + 2dy + dd</math>. Ac proinde <math>yy + 2dy + dd = dd + bx</math>, &
per con$equens <math>yy = - 2dy + bx</math>. Quod demon$trare oportebat.</p>
<h>O<sc>BSERVATIO</sc> T<sc>ERTIA</sc>.</h>
<p>PAginâ 29, circa medium, dictum e$t, lineam quæ$itam e$$e
Circulum, cùm <math>aam = p z^2</math>, & cùm angulus e$t rectus. Ve-
rùm hoc intelligendum etiam e$t, cùm angulus e$t rectus, nec
omnino habetur <math>aam</math>, nec <math>p z^2</math>: aut cùm in æquatione literæ u-
nius termini æquales $unt literis termini alterius. Ad pleniorem
autem horum intellectum $equentia con$truamus exempla.</p>
<fig>
<var>H G A B E F C D</var>
</fig>
<p>Habeatur æquatio <math>yy = bx - x^2</math>, cujus radix e$t <math>y = <r>bx - x^2</r></math>,
& $upponatur in appo$ita figura linea <math>HA = b</math>, linea <math>AB = x</math>, &

<pb 122>[142]<rh>F<sc>LORIMONDI DE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
linea BC vel <math>BD = y</math>. Manife$tum autem e$t, lineam con$truen-
dam e$$e Ellip$in aut Circulum, quoniam habetur <math>- x^2</math>. Non re-
peritur autem <math>m</math>, aut <math>{n / z} x</math>. Et $ufficit pro <math>x</math> $umere AB, atque cen-
trum ab A versùs B, cùm habeatur <math>+ ox</math>, hoc e$t, in hoc exem-
plo, <math>+ bx</math>. Ita ut pro illo $umendum $it <math>{aom / 2pz}</math>, hoc e$t, <math>b</math> divi$um
per 2, $eu <math>{1/2} b</math>, cum non habeatur <math>a</math>, neque <math>m</math>, neque <math>p</math>, neque <math>z</math>. La-
tus autem rectum fit <math>{oz / a}</math>, hoc e$t, <math>b</math>; tran$ver$um verò <math>{aom / pz}</math>, hoc
e$t, <math>b</math>; & tum con$iderare tantùm oportet, utrum angulus ABC
an verò ABD $it rectus. Nam cum hîc non habeatur <math>aam</math>, nec
<math>p z^2</math>, exi$tente angulo (puta ABC) recto, linea quæ$ita erit
Circulus; at verò obliquo exi$tente (ut ABD) erit linea quæ-
$ita Ellip$is. Quapropter $i utroque ca$u faciamus <math>AE = {1/2} b</math>, erit
punctum E centrum, & <math>AF = b</math> latus tran$ver$um; latus autem
rectum <math>= b</math>, atque BC vel <math>BD = y</math> ordinatim adplicata ad dia-
metrum AF. Quorum demon$tratio facilis e$t. Etenim quo-
niam utroque ca$u juxta 21<_>mam</_> prop<_>nem</_> 1<_>mi</_> libri Conicorum A-
pollonii latus tran$ver$um <math>b</math> e$t ad latus rectum <math>b</math>, $icut rectangu-
lum FBA ad quadratum ex BC vel BD: erit rectangulum FBA
æquale quadrato ex BC vel BD. Hinc cum FB <math>$it = b - x</math>, &
<math>AB = x</math>, erit dictum rectangulum, hoc e$t, <math>bx - x^2</math>, æquale
quadrato ex BC vel BD, hoc e$t, erit <math>yy = bx - x^2</math>. Quod erat
demon$trandum.</p>
<p>Quòd $i æquatio haberetur <math>yy = bb + x^2</math>, quæ$ita linea e$$et
Hyperbole: & $i vel BC, vel BD $umatur pro <math>y</math>, hoc e$t, $ive
angulus $it rectus, $ive obliquus; erit con$tructio præcedenti
omnino $imilis; ni$i quòd centrum & latus tran$ver$um $it $u-
mendum à puncto A versùs alteram partem, nempe versùs H.
Atque ita faciendo <math>AG = {1/2} b</math>, fiet punctum G centrum, eritque
tam latus tran$ver$um, quàm rectum <math>= b</math>. Demon$tratio præce-
denti erit $imilis, ob$ervatis tantùm $ignis + & -.</p>
<h>O<sc>BSERVATIO</sc> Q<sc>VARTA</sc>.</h>
<p>ANimadvertendum præterea e$t, $i in æquatione non habea-
tur fractio ip$i <math>x^2</math> adhærens, & nihilominus tamen ad$it <math>m^2</math>,
hoc e$t, habeatur, verbi gratiâ, <math><r>m^2 + ox - x^2</r></math> loco <math>{p / m} x^2</math>:

<pb 123>[143]<rh>N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
quòd tum quidem fractio, (ut $upra notavimus) $i alia quàm <math>{p / m}</math>
fuerit, tran$mutanda $it in fractionem ubi habeatur <math>{p / m}</math>. $uppo-
nendo $cilicet <math>m</math> e$$e ad <math>p<math>, $icut denominator alterius fractionis
ad eju$dem numeratorem: quoniam in hac Methodo requiritur,
ut <math>m</math> ip$ius <math>m^2</math> $it denominator fractionis ip$i <math>x^2</math> adhærentis. Vbi
quidem, in ca$u, quo haberi ponimus <math>m^2</math>, non autem fractionem,
quæ ip$i <math>x^2</math> adhæreat, $upponere oportet <math>p = m</math>, ita ut habeamus
<math>{p / m} x^2</math> non aliûs valoris quàm <math>x^2</math>. Quod cogno$cendis centris, la-
teribu$que rectis atque tran$ver$is in$ervire poterit.</p>
<p>Ad pleniorem verò intellectum, detur in $equente figurâ linea
AB, & puncta in ea A & B; oporteatque invenire punctum,
<fig>
<var>L M N P H R E D A F G B C Q</var>
</fig>
ut D, à quo $i ducantur lineæ AD, DB, ut ip$æ datam inter $e
obtineant rationem, hoc e$t, ut AD $it ad DB, $icut linea PH
ad lineam MN; quarum quidem PH $it major quàm MN.</p>
<p>Demittatur à puncto D $uper AB perpendicularis DG, &
$upponatur <math>AB = b</math>, <math>AG = x</math>, <math>GD = y</math>, <math>MN = f</math>. Quoniam
igitur rectus e$t angulus AGD, erit quadratum ex AD æquale
quadratis ex AG, GD, $imul $umptis, hoc e$t, <math>= x^2 + yy</math>. Eo-
dem modo, cum GB $it <math>b - x</math>, erit quadratum ex DB æquale
quadratis ex BG, GD, hoc e$t, <math>= yy + bb - 2bx + x^2</math>. Iam ve-
rò, cum AD $it ad DB, $icut PH ad MN, erit quoque quadra-
tum ex AD ad quadratum ex DB, $icut quadratum ex PH ad
quadratum ex MN. Porrò fiat, ut PH ad MN, $ic LN ad PH,

<pb 124>[144]<rh>F<sc>LORIMONDI DE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
eritque LN ad MN, ut quadratum à PH ad quadratum ab MN.
Hinc $i LN vocetur <math>c</math>; erit <math>c</math> ad <math>f</math>, $icut quadratum à PH ad qua-
dratum ab MN, hoc e$t, ut quadratum ex <math>AD = x^2 + yy</math> ad qua-
dratum ex <math>DB = yy + bb - 2bx + x^2</math>. Ac proinde productum
extremorum erit æquale producto mediorum, hoc e$t, <math>f x^2 + fyy
= cyy + cbb - 2cbx + cx^2</math>, & per con$equens, <math>cyy - fyy = -
cbb + 2cbx - c x^2 + f x^2</math>, ac denuo <math>yy = {-c b^2 + 2cbx - c x^2 + f x^2 / c - f}</math>,
& tandem <math>y = <r>{-c b^2 + 2cbx - c x^2 + f x^2 / c - f}</r></math>.</p>
<p>Ad abbreviandum autem hunc terminum <math>{- c x^2 + f x^2 / c - f}</math>; licèt
con$ideremus, quòd <math>f - c</math> & <math>c - f</math> exprimant $emper unam ean-
demque differentiam, quippe quæ e$t inter <math>c</math> & <math>f</math>, etiam$i <math>c</math> major
$it quàm <math>f</math> (dum in operatione $upponimus <math>b = c - f</math>); $emper
tamen habebimus <math>{- c x^2 + f x^2 / c - f} = {- b x^2 / b}</math>, hoc e$t <math>x^2</math> $impliciter;
adeò ut relinquatur <math>y = <r>{- c b^2 + 2cbx / c - f} - x^2</r></math>. Id quod nos
docet, locum e$$e Planum, eumque Circulum exi$tere:cum habea-
tur <math>- x^2</math>, angulu$que AGD $it rectus, & <math>aam = p z^2</math>; neque
enim hîc habetur <math>a</math>, neque <math>z</math>; atque <math>m</math> ip$i <math>p</math> æqualis $upponitur;
cum nulla ip$i <math>x^2</math> fractio adhæreat. Quibus ita con$titutis Circu-
lum hoc modo inveniemus.</p>
<p>Terminus, qui centrum nobis exhibere debet, e$t <math>{aom / 2pz}</math>, ex
quo nobis præter <math>{o / 2}</math> nihil in$ervit: cum <math>m</math> ip$i <math>p</math> $it æqualis; hoc
e$t, pro eo tantùm habebimus <math>{cb / c - f}</math>. Ac idcirco, po$tquam linea
LM æquatur <math>c - f</math>, $i fiat ut linea <math>LM = c - f</math> ad lineam <math>LN = c</math>,
ita linea <math>AB = b</math> ad lineam AC, erit linea <math>AC = {cb / c - f}</math>, & pun-
ctum C centrum Circuli. Sumendum autem id erit ab A ver-
sùs B, quoniam habetur <math>+ {2cbx / c - f}</math>, re$pondens ip$i <math>ox</math>. Præterea,
quoniam in Circulo latus rectum & tran$ver$um $ibi invicem $unt
æqualia, alterutro tantùm erit opùs. Formula autem lateris recti
hîc e$t <math><r>{o^2 z^2 / a^2} - {4mp z^2 / a^2}</r></math>. Vnde quidem illud, quod nobis in hoc
exemplo in$ervit, non aliud erit quàm <math><r>oa - 4 m^2</r></math>, hoc e$t,

<pb 125>[145]<rh>N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
quòd, auferendo quadratum <math>{4c b^2 / c-f}</math> à quadrato ex <math>{2cb / c-f}</math>, relinqua-
tur quadratum lateris recti. E$t autem paulò ante inventa linea
<fig>
<var>L M N P H R E D A F G B C Q</var>
</fig>
<math>A C = {cb / c-f}</math>; ideoque ejus dupla <math>A Q = {2cb / c-f}</math>. Hinc invenire
adhuc oportet <math>{4c b^2 / c-f}</math>, quod repræ$entatur per <math>4 m^2</math>. Invenitur
autem; ponendo e$$e, ut <math>c-f</math> ad <math>c</math>, ita <math>bb</math> ad <math>{c b^2 / c-f}</math>. at ut <math>c-f</math>
e$t ad <math>c</math>, $ic <math>A B = b</math> e$t ad A C. Quapropter erit ut <math>b</math> ad lineam
A C, $ic <math>b b</math> ad <math>{c b^2 / c-f}</math>. Quoniam autem ratio duorum quadratorum
ad invicem duplicata e$t rationis, quam inter $e habent ip$orum
latera: hinc, $i ponamus lineam A E mediam proportionalem in-
ter <math>b</math> & lineam A C; erit <math>b</math> ad lineam A E, $icut <math>b</math> ad <math>√ {c b^2 / c-f}</math>. & per
con$equens linea <math>A E = √ {c b^2 / c-f}</math>. Vnde $i A R fiat dupla ip$ius
A E, erit ea æqualis <math>√ {4c b^2 / c-f}</math>. Adeoque $i con$tituamus triangu-
lum A R Q, cujus latus A Q $it æquale <math>{2cb / c-f}</math> (ut dictum e$t), cu-
ju$que angulus A R Q $it rectus; erit latus <math>R Q = √ o^2 - 4 m^2</math>
quandoquidem quadratum ejus æquatur quadrato lineæ <math>{2cb / c-f}</math>, mi-
nus quadrato <math>{4c b^2 / c-f}</math>. Atque ita R Q fit & latus rectum & diame-
ter Circuli. Et $i ex centro C ducatur linea C E parallela ip$i

<pb 126>[146]<rh>F<sc>LORIMONDIDE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
RQ, erit ip$a æqualis radio Circuli, utpote æqualis $emi$$i-li-
neæ RQ.</p>
<p>Et hæc quidem quantum ad con$tructionem juxta hanc Me-
thodum, quæ, po$tquam jam e$t inventa, brevior reddi pote$t.
Nam cum angulus AEC $it rectus, & AE media proportiona-
lis inter A C & A B, $imilia erunt triangula AEC, ABE, &
EBC; ac proinde AC ad CE, ut CE ad CB. Vtautem AB
e$t ad AC, ita e$t LM ad LN. Quare per conver$ionem ra-
tionis erit AC ad BC, ut LN ad NM. At verò ut ratio AC
ad CB duplicata e$t rationis AC ad CE (propterea quòd CE
media e$t proportionalis inter AC & CB), ita etiam, cum linea
PH media $it proportionalis inter LN & NM (per con$tru-
ctionem): erit ratio L N ad N M, hoc e$t, A C ad C B, dupli-
cata rationis LN ad PH. Quapropter erit ut LN ad PH, $eu
PH ad MN, ita AC ad CE; quæ quidem Circuli radius e$t.
Demon$tratio hujus con$tructionis ad imitationem præceden-
tium inveniri pote$t, quam hîc omittimus: cum illa ab Eutocio
initio commentariorum ejus in Apollonii Conica $it o$ten$a.</p>
<h>O<sc>BSERVATIO</sc> Q<sc>VINTA</sc>.</h>
<p>PAg. 21 hujus Geometriæ dictum e$t: quòd, po$tquam hæc
æquatio non a$cendit ultra rectangulum duarum quantitatum
indeterminatarum, aut etiam ultra quadratum unius ex illis, linea
curva $emper $it primi & $implici$$imi generis, $ub quo tantùm
Circulus, Parabola, Hyperbola, & Ellip$is $unt comprehen$æ.
Quod ita intelligendum e$t, duas quantitates indeterminatas
<math>x</math> & <math>y</math>, cùm $eparatim in Æquationis terminis reperiuntur, non
ultra $ua quadrata a$cendere debere; $ed in terminis, ubi $imul
reperiuntur, $ingulas non ni$i unam dimen$ionem habere debere,
ita ut $imul tantùm rectangulum aliquod dua$ve dimen$iones effi-
ciant.</p>
<p>Similiter, $i in Æ quatione reperiretur terminus aliquis, in quo
haberetur <math>y^3</math>, vel <math>x^3</math>; aut <math>y^4</math>, vel <math>x^4</math>; aut denique <math>x y^2</math>, vel <math>x^2 y</math>,
vel <math>x^2 yy</math>: linea curva e$$et $ecundi generis. Et $ic de cæteris. In
quibus omnibus $olùm indeterminatarum quantitatum ratio ha-
benda e$t, non autem quantitatum cognitarum, quibu$cum jun-
guntur.</p>

<pb 127>[147]<rh>N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
<p>Quòd $i quantitates indeterminatæ $ingulæ $eparatim ad duas
dimen$iones non a$cendant, neque etiam $imul, hoc e$t, $i nullus
terminorum ad <math>yy</math>, aut ad <math>x y</math> a$$urgat; linea itidem erit primi
generis, & quidem recta, non curva: adeoque locus talem æqua-
tionem præbens Planus erit, & ad lineam rectam.</p>
<p>Et quidem, cùm locus e$t ad rectam lineam, Geometria hæc
non minùs ip$um componere docet, quàm cùm locus e$t ad cur-
vam lineam, quæ $it primi generis, & cùm in æquatione habetur
<math>yy</math>: $icut ubique in æquatione hujus Geometriæ pro Pappi quæ-
$tione, ex qua $uperior formula deducta fuit, cernere licet. Quòd
$i verò habeatur <math>x^2</math> in æquatione, non autem <math>yy</math>, immutanda
tantùm erunt nomina quantitatum indeterminatarum, ita ut ap-
pelletur <math>y</math>, quæ dicta fuit <math>x</math>, & <math>x</math>, quæ dicta fuit <math>y</math>: in hunc mo-
dum. E$to in $equenti figura <math>A B = x</math>, & <math>B C = y</math>, atque æquatio
inventa <math>x^2 = by</math>, quam ad dictam formulam reducere oportet.
<fig>
<var>A B D C</var>
</fig>
Ducta igitur AD parallelâ ip$i BC,
& DC parallelâ ip$i AB, mutati$-
que nominibus quantitatum inde-
terminatarum, nimirum appellando
AD, cuiæqualis e$t BC, <math>x</math>, & DC,
quæ æqualis e$t A B, <math>y</math>; quæ$ita æ-
quatio erit <math>yy = bx.</math> cujus radix e$t <math>y = √ bx.</math> Atque ita reducta
erit ad formulam, quæ nos docet punctum C fore in Parabola.</p>
<p>At verò $i in æquatione non habeatur <math>x^2</math>, nec <math>y y</math>, $ed <math>x y</math>; qui
quidem ca$us, quoniam nec in æquatione quæ$tionis Pappi re-
peritur, neque ad formulam ex ea deductam refertur; difficulta-
tem aliquam afferre po$$et, quam propterea enodabimus.</p>
<p>Æquatio autem hæc ad $ummum plures quàm quatuor termi-
nos non comprehendit: unum nimirum, ubi <math>x</math> reperitur $ine <math>y</math>;
alterum, ubi <math>y</math> reperitur $ine <math>x</math>; tertium, ubi reperitur <math>x y</math>; ac
quartum denique, ubi neque <math>x</math> neque <math>y</math> reperitur. Adeò ut va-
rietas omnis reducatur ad 17 formulas æquationum ac con$tru-
ctionum, quæ $equenti pag. 129 exhibentur. Quarum quidem ope
videre licet, quonam pacto locus $emper ad Hyperbolam exi$tat,
lineæque indeterminatæ $int A$ymptoti, aut ip$is parallelæ.</p>
<p>Detur enim po$itione linea BH, punctum autem in ea datum
$it A: deinde a$$umptâ lineâ A X pro <math>x</math>, ductâque lineâ X Y,
quam pro <math>y</math> $umemus, facientem cum A X talem angulum, qua-

<pb 128>[148]<rh>F<sc>LORIMONDI DE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
<fig>
<var>Q R S Z T Y L M N O P B A C X H D E F G K</var>
</fig>
lem libuerit, eâque indefinitè productâ: ducantur lineæ D K,
L P, QT parallelæ ip$i BH; ita ut DK cadat infra B H; L P
autem $upra B H, inter puncta X & Y; QT verò ultra pun-
ctum Y. Eodem modo ducantur lineæ Q D, R A E, S F, T K
parallelæ ip$i X Y $eu Z G; ita ut linea Q D tran$eat per li-
neam X A, productam versùs A; & S F per eandem inter pun-
cta A & X; nec non linea T K per eandem A X, productam ver-
sùs X. Quibus ita con$titutis, $i per 4<_>tam</_> Prop<_>nem</_> 2<_>di</_> libri Coni-
corum Apollonii de$cribatur Hyperbola, quæ tran$eat per pun-
ctum Y, cuju$que A$ymptoti $int lineæ, quas refert quælibet
con$tructio; manife$tum e$t, per 12 Prop<_>nem</_> eju$dem libri re-
ctangula omnia, quæ ad ea$dem lineas $imiliter $umuntur, $ibi in-
vicem e$$e æqualia. Ideoque demon$trandum $olùm re$tat, A $ym-
ptotos, atque rectangulum uniu$cuju$que æquationis, ritè e$$e
con$tructa.</p>
<p>E$to igitur $ecundùm ultimam æquationem Hyperbola con-
$tructa, tran$iens per punctum Y, cuju$que A$y mptoti $int D Q,
& D G; & rectangulum, contentum $ub lineis D G, G Y, $it
æquale rectangulo dato <math>df + bc</math>. Hinc $i juxta con$tructionem
fecerimus lineas <math>AX = x</math>, <math>XY = y</math>, <math>AB = c</math>, B D vel <math>X G = b</math>:
manife$tum e$t, B X vel D G fore <math>x + c</math>; G Y autem <math>y + b</math>;
atque multiplicando unam per alteram proditurum <math>bc + bx +
cy + xy</math>, pro rectangulo linearum D G, G Y. quod aliunde quo-
que æquatur <math>df + bc</math>. Ac proinde, $i utrinque commune aufera-
tur rectangulum <math>bc</math>, relinquetur <math>xy + cy + bx = df</math>. quæ e$t
æquatio propo$ita. Eodem modo reliquarum omnium æquatio-
num & con$tructionum demon$tratio o$tendetur.</p>

<pb 129>[149]<rh>N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
<col 1>
<h>_Æquatio I<_>ma</_>_.</h>
<p><math>xy = df.</math></p>
<h>_Con$tructio._</h>
<p>Rectangulum <math>AXY = df.</math></p>
<p>A$ymptoti X A, A R.</p>
<h>_Æquatio 2._</h>
<p><math>xy + cy = bx</math>.</p>
<h>_Con$tr._</h>
<p><math>AB = c, BQ = b.</math></p>
<p>A$ympt. B Q, Q Z.</p>
<p>Rectang. <math>QZY = bc.</math></p>
<h>_Æquat. 3._</h>
<p><math>xy + bx = cy</math>.</p>
<h>_Con$tr_.</h>
<p><math>AH = c, HK = b</math>.</p>
<p>A$ympt. E K, K T.</p>
<p>Rectang. <math>KGY = bc.</math></p>
<h>_Æquat. 4._</h>
<p><math>xy - cy = bx</math>.</p>
<h>_Con$tr._</h>
<p><math>AC = c</math>, <math>CN = b</math>.</p>
<p>A$ympt. S N, N O.</p>
<p>Rectang. <math>NOY = bc</math>.</p>
<h>_Æquat. 5_.</h>
<p><math>xy + cy = df</math>.</p>
<h>_Con$tr._</h>
<p><math>AB = c</math>.</p>
<p>A$ympt. Q B, B X.</p>
<p>Rectang. <math>BXY = df</math>.</p>
<h>_Æquat. 6._</h>
<p><math>xy + bx = df.</math></p>
<h>_Con$tr._</h>
<p><math>AE = b</math>.</p>
<p>A$ympt. R E, E G.</p>
<p>Rectang. <math>EGY = df</math>.</p>
<h>_Æquat. 7._</h>
<p><math>xy - cy = df</math>.</p>
<h>_Con$tr._</h>
<p><math>AC = c</math>.</p>
<p>A$ympt. S C, C X.</p>
<p>Rectang. <math>CXY = df</math>.</p>
</col>
<col 2>
<h>_Æquat. 8._</h>
<p><math>xy - bx = df</math>.</p>
<h>_Con$tr_.</h>
<p><math>AM = b</math>.</p>
<p>A$ympt. R M, M O.</p>
<p>Rectang. <math>MOY = df</math>.</p>
<h>_Æquat. 9._</h>
<p><math>xy + df = cy</math>.</p>
<h>_Con$tr_.</h>
<p><math>AH = c</math>.</p>
<p>A$ympt. A H, H T.</p>
<p>Rectang. <math>HXY = df</math>.</p>
<h>_Æquat. 10._</h>
<p><math>xy + df = bx</math>.</p>
<h>_Con$tr_.</h>
<p><math>AR = b</math>.</p>
<p>A$ympt. A R, R Z.</p>
<p>Rectang. <math>RZY = df</math>.</p>
<h>_Æquat. 11._</h>
<p><math>xy + cy - bx - df = 0</math>.</p>
<p>_Con$tr. quando_ <math>df</math> _excedit_ <math>bc</math>.</p>
<p><math>AB = c</math>, <math>BL = b</math>.</p>
<p>A$ympt. Q L, L O.</p>
<p>Rectang. <math>LOY = df-bc</math>.</p>
<p>_Con$tr. cùm b c excedit d f_.</p>
<p><math>AB = c</math>, <math>BQ = b</math>.</p>
<p>A$ympt. B Q, Q Z.</p>
<p>Rectang. <math>QZY = bc-df</math>.</p>
<h>_Æquat. 12._</h>
<p><math>xy + bx - cy - df = 0</math>.</p>
<p>_Con$tr. quando rectang._ <math>df</math> _majus_
_e$t rectangulo_ <math>bc</math>.</p>
<p><math>AC = c</math>, <math>CF = b</math>.</p>
<p>A$ympt. S F, F G.</p>
<p>Rectang. <math>FGY = df-bc</math>.</p>
<p>_Con$tr. quando_ <math>bc</math> _rectang. excedit_
_rectang._ <math>df</math>.</p>
<p><math>AH = c</math>, <math>HK = b</math>.</p>
<p>A$ympt. E K, K T.</p>
<p>Rectang. <math>KGY = bc-df</math>.</p>
</col>
<col 3>
<h>_Æquat. 13._</h>
<p><math>xy - cy - bx - df = 0</math>.</p>
<h>_Con$tr_.</h>
<p><math>AC = c</math>, <math>CN = b</math>.</p>
<p>A$ympt. S N. N O.</p>
<p>Rectang. <math>NOY = df+bc</math>.</p>
<h>_Æquat. 14._</h>
<p><math>xy + cy - bx + df = 0</math>.</p>
<h>_Con$tr_.</h>
<p><math>AB = c</math>, <math>BQ = b</math>.</p>
<p>A$ympt. B Q, Q Z.</p>
<p>Rectang. <math>QZY = df+bc</math>.</p>
<h>_Æquat. 15._</h>
<p><math>xy + bx - cy + df = 0</math>.</p>
<h>_Con$tr._</h>
<p><math>AH = c</math>, <math>HK = b</math>.</p>
<p>A$ympt. E K, K T.</p>
<p>Rectang. <math>KGY = df + bc</math>.</p>
<h>_Æquat. 16._</h>
<p><math>xy - cy - bx + df = 0</math>.</p>
<p>_Con$tr. quando_ <math>df</math> _$uperat_ <math>bc</math>.</p>
<p><math>AH = c</math>, <math>HP = b</math>.</p>
<p>A$ympt. M P, P T.</p>
<p>Rectang. <math>POY = df - bc</math>.</p>
<p>_Con$tr. cùm_ <math>bc</math> _$uperat_ <math>df</math>.</p>
<p><math>AH = c</math>, <math>HT = b</math>.</p>
<p>A$ympt. H T, T Q.</p>
<p>Rectang. <math>TZY = bc - df</math>.</p>
<h>_Æquat. 17<_>ma</_> & ultima._</h>
<p><math>xy + cy + bx - df = 0</math>.</p>
<h>_Con$tr_.</h>
<p><math>AB = c</math>, <math>BD = b</math>.</p>
<p>A$ympt. Q D, D G.</p>
<p>Rectang. <math>DGY = df + bc</math>.</p>
</col>

<pb 130>[150]<rh>F<sc>LORIMONDI DE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
<fig>
<var>Q R S Z T Y L M N O P B A C X H D E F G K</var>
</fig>
<p>Præterea evidens e$t, in 11<_>ma</_>, 12<_>ma</_>, & 16<_>ta</_> æquatione exi-
$tente rectangulo <math>d f</math> æquali <math>b c</math>, $i hoc ip$um in locum <math>d f</math> $ub$ti-
tuatur, undecimam quidem tunc fore divi$ibilem per <math>x + c</math>, duo-
decimam per <math>y + b</math>, & decimam $extam per <math>c - x</math>; Vtramque
autem 11<_>mam</_> & 16<_>tam</_> po$$e reduci ad <math>y = b</math>; a$t 12<_>mam</_> ad <math>x = c</math>.
Adeò ut tunc tantùm locum ad lineam rectam exhibeant, quan-
do habetur <math>y = b</math>, & X Y ip$i <math>b</math> $it æqualis, atque per punctum Y
recta linea ducitur ip$i A X parallela, ut habeatur quæ$ita; Aut
quando habetur <math>x = c</math>, & X A ip$i <math>c</math> fit æqualis, erit parallela A R
linea recta' quæ$ita.</p>
<p>Cæterùm potuimus quidem æquationum harum varietatem
ad minorem numerum reducere, tran$mutando nempe unam in-
determinatarum quantitatum in alteram ($icut in eum finem illas,
quæ mutationem hanc recipere po$$unt, ordine di$po$uimus);
tum etiam con$tructiones illarum, in quibus quatuor termini non
reperiuntur, comprehendere $ub iis, quæ omnes habent comple-
tos: $ed quoniam multò prolixiori indigui$$emus $ermone, & res
ip$a minùs fui$$et dilucida, ratione o$tensâ uti maluimus.</p>
<h>A<sc>D PAGINAM 40 ET SEQVENTES, DE</sc> M<sc>ODO</sc>
I<sc>NVENIENDI</sc> C<sc>ONTINGENTES</sc> L<sc>INEA-
RVM</sc> C<sc>VRVARVM</sc>.</h>
<p>NOtandum hîc e$t, modum inveniendi tangentes linearum
curvarum, hoc loco expo$itum, con$i$tere in invenienda
æquatione, in quâ linea <math>y</math> vocata $umi pote$t pro duabus quanti-
tatibus diver$is, cùm linea quæ vocatur <math>v</math> ad tangentem non re-

<pb 131>[151]<rh>N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
fertur, at verò cùm ad ip$am refertur, quòd tunc duæ illæ quan-
titates diver$æ intelligantur æquales $eu in unam cöale$cere.
Quod fit comparando æquationem inventam cum æquatione
<math>yy - 2ey + ee = 0</math> aliave ex hac compo$itâ. Ejus rei propona-
mus $equens exemplum.</p>
<fig>
<var>A B C P K L M N</var>
</fig>
<p>E$to linea recta A N, curva au-
tem A M, cujus vertex punctum A,
cuju$que hæc $it proprietas: ut, a$-
$umpto in ea quolibet puncto, utM,
à quo ad rectam A N ducatur per-
pendicularis M L, recta B C, ad ar-
bitrium $umpta, unà cum A L, $it ad
A L, $icut linea A L ad L M. Opor-
tet rectam lineam invenire P M,
tangentem hanc curvam A M in
puncto M. Supponatur linea N M
perpendicularis ad tangentem P M
in puncto M, & <math>BC = b</math>, <math>AL = y</math>,
& <math>LM = x</math>. Hinc cum <math>b + y</math> $it ad <math>y</math>
ut <math>y</math> ad <math>x</math>, fiet æquatio talis: <math>bx + yx = yy</math>, ac proinde <math>x = {y^2 / b+y}</math>.
Iam verò pro eo, quòd in hoc exemplo imaginamur curvam A M
tangi à circulo cujus radius M N, $atiùs e$t imaginari, quòd ip$a
tangatur à recta linea M P: quandoquidem hoc modo $uperfluam
multiplicationem evitamus. Quocirca $tatuendo <math>AP = v</math>, &
<math>PK = s</math> e$$e parallelam ip$i L M, atque ab A K, quæ parallela e$t
ip$i P M, $ecari in K; erit ut <math>v</math> ad <math>s</math>, $ic <math>y - v</math> ad L M $eu <math>{ys-vs / v}</math>.
Quæ quidem cum $upra inventa $it <math>= {y^2 / b+y}</math>, habebitur <math>{yy / b+y} =
{ys-vs / v}</math>, vel <math>y y = {bs-vs / v-s}</math> in <math>y - {bvs / v-s}</math>, comparandum cum
<math>yy = 2ey - e^2</math>. Vnde primò invenimus <math>{bs-vs / v-s} = 2e</math>, vel
<math>s = {2ev / b-v+2e}</math>. Deinde <math>{bvs / v-s} = e^2</math>, vel <math>s = {e^2 v / bv+e^2}</math>, ac per con$e-
quens <math>{2ev / b-v+2e} = {e^2 v / bv+e^2}</math>. Hoc e$t, <math>AP = v = {be / 2b+e}</math> $eu
<math>{by / 2b+y}</math>, & <math>PL = y-v = {by+y^2 / 2b+y}</math>. Cæterùm quoniam LM media

<pb 132>[152]<rh>F<sc>LORIMONDI DE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
e$t proportionalis inter P L & L N, erit <math>LN = {2b y^3+y^4 / b^3+b^2 y+3b y^2+y^3}</math>.
Quod erat faciendum. Vel etiam $ic, imaginando curvam A M
tangiâ circulo, cujus radius e$t M N. Omnino ut in hujus Geo-
metriæ Methodo $upponitur factum.</p>
<p>Igitur quoniam habemus <math>{y^2 / y+b} = x</math>, ac proinde <math>x^2 = {y^4 / y^2+^2 by+b^2}</math>,
$upponamus, quemadmodum hæc Geometria requirit, <math>A N = v</math>,
& <math>M N = s</math>, & erit quadratum ex L M, hoc e$t, <math>x^2</math>, <math>= ss-vv+
zvy-yy</math>, ac idcirco <math>{y^4 / y^2+^2 by+b^2} = ss-vv+2vy-yy</math>. Vn-
de æquatione ope multiplicationis ordinatâ, divisâque totâ $ummâ
per 2, exurgetæquatio talis:</p>
<p><math>y^4 + b y^3 + {1/2} vvyy + bvvy + {1/2} bbvv = 0.</math>
<math>- v + {1/2} bb - bbv - {1/2} bbss</math>
<math>- 2 bv - bss</math>
<math>- {1/2} ss</math></p>
<p>Iam verò multiplicando <math>yy - 2ey + ee = 0</math> per <math>yy + fy + gg</math>,
ut alteri reddatur $imilis, proveniet hæc æquatio:</p>
<p><math>y^4 + f y^3 + ggyy - 2eggy + eegg = 0</math>.
<math>- 2e - 2ef + eef</math>
<math>+ ee</math></p>
<p>Quæ $i comparetur cum præcedente, quantitates $ecundi termi-
ni præbebunt <math>f = b + 2 e - v;</math>ultimi <math>gg = {b^2 v^2 - b^2 s^2 / 2 e^2}</math>; & tertii
<math>{b^2 v^2 - b^2 s^2 / 2 e^2} - 2be - 3ee + 2ev = {1/2} vv + {1/2} bb - 2bv - {1/2} ss</math>.
Ac proinde $i multiplicemus totum per <math>2ee</math>, producetur <math>+ bbvv
- bbss - 4b e^3 - 6 e^4 + 4v e^3 = vvee + bbee - 4bvee -
ssee</math>, $ive <math>bbvv - 4b e^3 - 6 e^4 + 4v e^3 - vvee - bbee +
4bvee = bbss - eess</math>, & per con$equens
<math>{-6 e^4 + 4v e^3 \\ -4b # - vvee \\ + 4bv \\ -bb # + bbvv = ss. / bb-ee}</math></p>
<p>Quartus terminus dabit
<math>{- b^2 v^2 + b^2 s^2 / e} + bee - vee + 2 e^3 = + bvv - bbv - bss</math>.
Vnde multiplicando totum per <math>e</math>, fiet
<math>- bbvv + bbss + b e^3 - v e^3 + 2 e^4 = + bvve - bbve - bess</math>,

<pb 133>[153]<rh>N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
ac per con$equens
<math>{- 2 e^4 + v e^3 \\ - b # + bvve \\ - bbv # +bbvv / bb + be = ss.}</math>
Quocirca habebimus
<math>{6 e^4 + 4v e^3 \\ - 4b # - vvee \\ +4bv \\ -bb # + bbvv / bb - ee} = {- 2 e^4 + v e^3 \\ -b # + bvve \\ -bbv # + bbvv / bb + be}</math>.</p>
<p>Hinc multiplicando per crucem, ut in fractionibus, & auferendo
utrinque producta æqualia, habebitur
<math>{2 e^6 + 7b e^5 \\ - v # + 8bb e^4 \\ - 4bv # + 4 b^3 e^3 \\ - 6bb # - 4 b^3 vee \\ + b^4 # - b^4 v e = 0.</math>
Quam æquationem $i dividamus per <math>e e + b e</math>, orietur
<math>2 e^4 + 5b e^3 \\ - v # + 3bbee \\ - 3bv # - 3bbve \\ + b^3 # - b^3 v = 0</math>:
ac per con$equens
<math>2 e^4 + 5b e^3 + 3bbee + b^3 e = b^3 v + 3bbev + 3beev + e^3 v</math>.
ac demum <math>{2 e^4 + 5b e^3 + 3 b^2 e^2 + b^3 e / b^3 + 3 b^2 e + 3bee + e^3} = v</math>.
Vbi $i in locum <math>e</math> $ub$tituatur <math>y</math>, atque ex hac $umma deinde au-
feratur linea <math>A L = y</math>, relinquetur <math>L N = {2b y^3 + y^4 / b^3 + 3bby + 3byy + y^3}</math>.
ut $upra. Vbi notandum, lineam hanc curvam non aliam e$$e
quàm Hyperbolam, $upra à nobis con$tructam.</p>
<h>A<sc>D PAGINAM</sc> 75 & 76.</h>
<p>DEmon$tranda hîc e$t operatio, quam hæc Geometria nos
docet, cùm radicem incognitam alicujus æquationis multi-
plicare volumus per certam aliquam quantitatem aut numerum
cognitum. Proponatur æquatio <math>x^3 - c x^2 + ddx - b^3 = 0</math>, cu-
jus radicem incognitam <math>x</math> per lineam <math>h</math> multiplicare oporteat.
Supponatur <math>y = x h</math>, & fiet <math>{y / b} = x</math>, ideoque <math>{y^2 / b^2} = x^2</math>, nec non <math>{y^3 / b^3}
= x^3</math>. Proinde $i $ub$tituamus in æquatione præcedente <math>{y / b}</math> loco <math>x</math>,
& <math>{y^2 / b^2}</math> loco <math>x^2</math>, itemque <math>{y^3 / b^3}</math> loco <math>x^3</math>, erit $equens æquatio <math>{y^3 / b^3} -</math>

<pb 134>[154]<rh>F<sc>LORIMONDI DE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
<math>{c y^2 / h^2} + {d^2 y / b} - b^3 = 0</math>, æqualis præcedenti. Vnde multiplicando
totum per <math>h^3</math>, producetur <math>y^3 - cbyy + ddhhy - b^3 h^3 = 0</math>.
Evidens autem e$t, idem productum inveniri, $i in æquatione
propo$ita ponamus <math>y</math>, & quadratum ejus <math>yy</math>, cubumque <math>y^3</math>, lo-
co <math>x</math>, <math>x^2</math>, <math>x^3</math>: atque deinde $ecundum terminum multiplicemus
per <math>h</math>, tertium per <math>h^2</math>, & quartum per <math>h^3</math>. omnino ut hæc Geo-
metria docet. Vbi, po$tquam $ub$tituimus <math>{y / h}</math>, <math>{y^2 / h^2}</math>, & <math>{y^3 / h^3}</math> loco <math>x</math>,
<math>x^2</math>, & <math>x^3</math>, ad multiplicandum totum per <math>h^3</math>, $ufficit auferre deno-
minatorem, qui ab <math>h</math> denominatur, atque tantùm reliquum $e-
cundi termini multiplicare per <math>h</math>, reliquum tertii per <math>hh</math>, & reli-
quum quarti per <math>h^3</math>: quandoquidem à terminis, $ecundo & ter-
tio, auferendo denominatores <math>hh</math> & <math>h</math>, ip$i eatenus $unt multipli-
cati. Adeò ut $ufficiat multiplicare reliquum $ecundi termini
per <math>h</math>, & reliquum tertii per <math>hh</math>, at ip$um quartum per <math>h^3</math>, cum
hic denominatorem ab <math>h</math> denominatum, per quem $ic auferendo
fui$$et multiplicatus, non admittat. non aliter quàm hæc Geo-
metria docet. Quæ demon$tratio & methodus in altioribus quo-
que æquationibus locum obtinent, in quibus radix <math>x</math> plures di-
men$iones, quàm in æquatione propo$ita, admittit.</p>
<p>Notandum autem e$t, cùm termini æquationis hujus $ic pro-
ductæ non $inguli æquè multas literas $eu dimen$iones habent,
lineam, quam pro unitate ad libitum $ump$imus, & cujus ratione
$uppo$uimus <math>{y / h} = x</math>, toties in terminis, qui pauciores dimen$iones
$eu literas habent, $ubintelligendam e$$e, quoties fuerit opùs.
Adeò ut eju$dem lineæ beneficio termini abbreviari po$$int, $ic
ut $inguli non ni$i tres literas $eu dimen$iones admittant, ac præ-
terea ut illius ope, po$tquam radix una <math>y</math> fuerit cognita, mediante
æquatione <math>{y / h} = x</math>, cogno$catur quoque radix altera <math>x</math>.</p>
<p>Ad hæc $upponere quoque po$$umus <math>y y = x h</math>, ita ut habea-
mus <math>{y^2 / h} = x</math>, & <math>{y^4 / h^2} = x^2</math>, nec non <math>{y^6 / h^3} = x^3</math>; quibus, ut $upra,
$ubrogatis, habebimus <math>{y^6 / h^3} - {c y^4 / h^2} + {d^2 y^2 / h} - b^3 = 0</math>. Ac proin-
de multiplicando totum per <math>h^3</math>, fiet <math>y^6 - ch y^4 + ddhhyy -
h^3 b^3 = 0</math>. Vnde per$picuum fit, quòd $ub$tituendo, juxta præ-
$criptum hujus Geometriæ, <math>y y</math> pro <math>x</math>, quadratum ejus <math>y^4</math> pro <math>x^2</math>,

<pb 135>[155]<rh>N<sc>QTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
& ip$ius cubum <math>y^6</math> pro <math>x^3</math>, atque multiplicando $ecundum termi-
num per <math>h</math>, tertium per <math>h h</math>, & quartum per <math>h^3</math>, eandem con$ecu-
turi$imus æquationem. ut ex demon$tratione $uperiori facile e$t
colligere; & omnes quidem termini æquè multas habebunt lite-
ras $eu dimen$iones. Et tantum de operatione per literas.</p>
<p>Quod autem $pectat ad operationem, quæ fit, cùm radix inco-
gnita per numerum aliquem e$t multiplicanda; ip$a eidem de-
mon$trationi innititur.</p>
<p>E$to eadem, quæ$upra, æquatio: <math>x^3 - cxx + ddx - b^3 = 0</math>;
& oporteat radicem incognitam <math>x</math> multiplicare per 3. Suppona-
tur <math>y = 3 x</math>, eritque <math>{y / 3} = x</math>, & <math>{y^2 / 9} = x^2</math>, nec non <math>{y^3 / 27} = x^3</math>. Qui-
bus, ut $upra, $ub$titutis, fiet <math>{y^3 / 27} - {c y^2 / 9} + {d^2 y / 3} - b^3 = 0</math>. Ac
proinde multiplicato toto per 27, ex$urget <math>y^3 - 3cyy + 9ddy
- 27 b^3 = 0</math>. Quæ æquatio etiam invenitur, $i in æquatione
propo$ita $ub$tituamus <math>y</math>, quadratum ejus <math>y y</math>, & ip$ius cubum <math>y^3</math>,
loco <math>x</math>, quadrati <math>x^2</math>, & <math>x^3</math> cubi; atque deinde $ecundum termi-
num per 3 multiplicemus, tertium per 9, & quartum per 27, ex
præ$cripto hujus Geometriæ. Quâ quidem operatione termini
omnes, ob rationes $upra allatas, æquè multas dimen$iones ac-
quirent.</p>
<p>Idem intelligendum e$t de exemplo in hac Geometria pro-
po$ito, <math>x^3 - xx √ 3 + {26 / 27} x - {8 / 27} √ 3 = 0</math>. Etenim $uppo$ito
<math>y = x √ 3</math>, erit <math>{y / √ 3} = x</math>, & <math>{y^2 / 3} = x^2</math>, nec non <math>{y^3 / 3 √ 3} = x^3</math>. Vnde
$i in æquatione propo$ita $ub$tituamus <math>{y / √ 3}</math>, quadratum ejus <math>{y^2 / 3}</math>,
& ip$ius cubum <math>{y^3 / 3 √ 3}</math>, in locum <math>x</math>, quadrati <math>x^2</math>, & cubi <math>x^3</math>; invenie-
tur <math>{y^3 / 3 √ 3} - {y √ 3 / 3} + {26y / 27 √ 3} - {8 / 27 √ 3} = 0</math>. Atque adeò $i totum
multiplicemus per <math>3 √ 3</math>, habebitur <math>y^3 - 3yy + {26 / 9} y - {8 / 9} = 0</math>.
Eadem nempe æquatio, quæ obtinetur operando juxta hujus
Geometriæ methodum, quemadmodum $upra fuit o$ten$um.</p>
<p>Non $ecus fiet demon$tratio, $i de radice incognita per quan-
titatem aliquam cognitam dividenda agatur. Proponatur namque
æquatio <math>x^3 - cxx + ddx - b^3 = 0</math>, $itque <math>x</math> dividenda per <math>h</math>.

<pb 136>[156]<rh>F<sc>LORIMONDI DE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
Supponatur <math>y = {x / h}</math>, eritque <math>yh = x</math>, & <math>y^2 h^2 = x^2</math>, nec non <math>y^3 h^3
= x^3</math>. Quæ $i in æquatione propo$ita $ub$tituantur, fiet <math>y^3 h^3 -
c h^2 y^2 + d^2 hy - b^3 = 0</math>. Ac proinde $i totum dividatur per <math>h^3</math>,
orietur <math>y^3 - {c y^2 / h} + {d^2 / h^2} y - {b^3 / h^3} = 0</math>.</p>
<p>Manife$tum autem e$t, idem nos obtenturos, $i in æquatione
propo$ita $ubrogemus <math>y</math>, quadratum ejus <math>yy</math>, & ip$ius cubum <math>y^3</math>,
in locum <math>x</math>, quadrati <math>x^2</math>, & cubi <math>x^3</math>, atque $ic deinde $ecundum
terminum dividamus per <math>h</math>, tertium per <math>hh</math>, & quartum per <math>h^3</math>:
quoniam in $uperiori operatione, ubi <math>hh</math> in $ecundo termino, & <math>h</math>
in tertio reperitur, per$picuum e$t, quòd, ad dividendum omnes
terminos per <math>h^3</math>, auferendo toties <math>h</math>, quoties in ip$is reperitur,
opùs tantùm $it dividere reliquum $ecundi termini per <math>h</math>, reli-
quum tertii per <math>hh</math>, ip$um autem quartum terminum per <math>h^3</math>, quip-
pe qui quantitatem <math>h</math> non comprehendit. Omnino ut hæc Geo-
metria requirit.</p>
<p>Quia verò æquationis hujus $ic productæ termini $inguli non
æquè multas habent literas $eu dimen$iones; igitur ut æquales
numero reddantur, oportebit in illis, qui pauciores dimen$iones
habent quàm requiritur, toties literam aliquam $ubintelligere,
quoties erit opùs, quæ lineam pro unitate ad libitum $umptam
de$ignet, & cujus ratione $uppo$uimus <math>y = {x / h}</math>. vel potiùs benefi-
cio hujus lineæ, quam pro unitate a$$ump$imus, & linearum co-
gnitarum, efficere, ut $inguli æquationis termini tres literas $eu
dimen$iones habeant. Id quod facile e$t. Etenim cognitâ, v.g. lineâ
<math>{c / h}</math>, pro unitate acceptâ, po$$umus ad eandem denotandam loco <math>{c / h}</math>
$umere <math>p</math>. atque ita de cæteris. Adeò ut, cognita radice <math>y</math>, eju$-
dem unitatis ope cogno$catur quoque <math>x</math>, peræquationem hanc
<math>y = {x / h}</math> vel <math>y h = x</math>.</p>
<p>Nec aliter in numeris veritatem hujus Geometriæ Methodi
o$tendemus. Proponatur enim eadem æquatio, quæ $upra, <math>x^3 -
c x^2 + ddx - b^3 = 0</math>, & oporteat radicem incognitam <math>x</math> divi-
dere per 3. Suppo$itâ igitur <math>y = {x / 3}</math>, fiet <math>3y = x</math>, & <math>9yy = x^2</math>, nec
non <math>27 y^3 = x^3</math>. Quæ $i $ub$tituantur in æquatione propo$ita,
habebitur <math>27 y^3 - 9cyy + 3ddy - b^3 = 0</math>. Ac proinde dividendo

<pb 137>[157]<rh>N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
totum per 27, orietur <math>y^3 - {1/3}cyy + {1/9}ddy - {1 / 27} b^3 = 0</math>. Quæ
æquatio quoque invenietur, $i procedamus juxta hujus Geome-
triæ Methodum: $ubrogando nimirum <math>y</math> in æquatione propo$ita,
quadratum ejus <math>yy</math>, & ip$ius cubum <math>y^3</math>, in locum <math>x</math>, quadrati <math>x^2</math>, &
cubi <math>x^3</math>: & dividendo deinde $ecundum terminum per 3, tertium
per hujus quadratum 9, & quartum per ip$ius cubum 27. Eadem
demon$tratio locum obtinet, $i in æquatione radix incognita plu-
res dimen$iones habuerit.</p>
<h>A<sc>D</sc> P<sc>AGINAM</sc> 79, & $equentes.</h>
<p>PRoponatur <math>x^4 ^* + p x^2 + qx - r = 0</math>, & $upponatur juxta
præ$criptum hujus Geometriæ <math>x^2 + yx + {1/2} y^2 + {1/2} p -
{q / 2y} = 0</math>, eritque <math>x^2 + {1/2}yy + {1/2}p = {q / 2y} - yx</math>, ac proinde quadra-
tum unius partis æquale quadrato partis alterius, hoc e$t, <math>x^4 +
yyxx + {1/4} y^4 + p x^2 + {1/2}pyy + {1/4}pp = {q^2 / 4 y^2} - qx + yy x^2</math>, &
con$equenter <math>x^4 + {1/4} y^4 + p x^2 + {1/2}pyy + {1/4}pp + qx -
{q / 4 y^2} = 0</math>. Ex qua æquatione $i tollatur prima <math>x^4 ^* + pxx + qx
- r = 0</math>, relinquetur <math>{1/4} y^4 + {1/2}p y^2 + {1/4}pp + r - {q^2 / 4 y^2} = 0</math>. Vn-
de multiplicando totum per <math>4yy</math>, ex$urget <math>y^6 + 2py{4 + p^2 + 4r}yy -
qq = 0</math>. Quod erat demon$trandum.</p>
<p>Eâdem ratione demon$tratio fiet $ecundùm omnes variationes
$ignorum + & -, atque ob$ervationes in hac Geometria expo-
$itas. In cujus rei exemplum duorum adhuc $equentium ca$uum
demon$trationem $ubjiciemus.</p>
<p>Sit æquatio propo$ita <math>x^4 ^* - p x^2 + qx - r = 0</math>. Siergo
juxta hanc Geometriam $uppo$uerimus <math>x^2 + yx + {1/2} y^2 - {1/2}p -
{q / 2y} = 0</math>, habebimus <math>x^2 + {1/2}yy - {1/2}p = {q / 2y} - yx</math>. Vnde & qua-
dratum unius partis æquale erit quadrato alterius partis, hoc e$t,
<math>x^4 + yy x^2 + {1/4} y^4 - p x^2 - {1/2}pyy + {1/4}pp = {q^2 / 4 y^2} - qx + yyxx</math>.
Et per con$equens <math>x^4 + {1/4} y^4 - pxx - {1/2}pyy + {1/4}pp + qx} -
{q / 4 y^2} = 0</math>. E qua $i auferatur prima <math>x^4 ^* - pxx + qx - r = 0</math>.

<pb 138>[158]<rh>F<sc>LORIMONDI DE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
relinquetur <math>{1/4} y^4 - {1/2}pyy + {1/4}pp + r - {q^2 / 4 y^2} = 0</math>. Quare $i to-
tum multiplicemus per <math>4yy</math>, inveniemus <math>y^6 - 2p y^4{+ p^2 + 4r} yy
- qq = 0</math>. Quod demon$trare oportebat.</p>
<p>Iam verò $i ponamus <math>x^4 ^* + p x^2 - qx + r = 0</math>, $uppo-
nendo $ecundùm hanc Geometriam <math>x^2 - yx + {1/2}yy + {1/2}p -
{q^2 / 2y} = 0</math>; erit <math>x^2 + {1/2}yy + {1/2}p = {q / 2y} + yx</math>. Vnde quadratum
prioris partis æquale erit quadrato po$terioris, hoc e$t, <math>x^4 + yy x^2
+ {1/4} y^4 + p x^2 + {1/2}pyy + {1/4}pp = yy x^2 + qx + {qq / 4yy}</math>. Ac per
con$equens, <math>x^4 + {1/4} y^4 + p x^2 + {1/2}pyy + {1/4}pp - qx - {qq / 4 y^2} = 0</math>.
E qua $i tollatur prima <math>x^4 ^* + p x^2 - qx + r = 0</math>, remanebit
<math>{1/4} y^4 + {1/2}pyy + {1/4}pp - r - {qq / 4yy} = 0</math>. Atque ideo $i totum mul-
tiplicetur per <math>4yy</math>, invenietur <math>y^6 + 2p y^4 {+ p^2 - 4r} yy - qq = 0</math>.
Quod erat demon$trandum.</p>
<p>Non $ecus demon$trabuntur omnes reliqui ca$us $ecundùm
utramlibet harum $uppo$itionum: nimirum, <math>x^2 - yx + {1/2}yy</math>.
<math>{1/2}p. {q / 2y} = 0</math>, aut <math>x^2 + yx + {1/2}yy. {1/2}p. {q / 2y} = 0</math>, ob$ervando
tantùm $igna + & -, quemadmodum hæc Geometria docet.
Cujus operationis ope in genere æquationes omnes, in quibus
radix incognita 4<_>or</_> habet dimen$iones, ad formam, in hac Geo-
metria propo$itam, reduci po$$unt: nimirum, <math>+ y^6. 2p y^4
{+ p^2 / . 4r} yy - qq = 0</math>. $igna + & - quæ præcipit, ob$ervando,
$icut demon$travimus. Quo fit, ut, $i divi$ionis beneficio æqua-
tionem propo$itam ad eam formam reducere po$$imus, ita ut
po$t divi$ionem radix ejus <math>y</math> plures quàm duas dimen$iones non
admittat, ip$a per Geometriam communem, juxta præ$cripta
paginæ 6 & 7 hujus Geometriæ inveniri po$$it. Quâ inventâ,
mediantibus æquationibus <math>x^2 - yx + {1/2} y^2. {1/2}p. {q / 2y} = 0</math>, & <math>x^2 +
@^x + {1/2}yy. {1/2}p. {q / 2y} = 0</math>, (ob$ervando $igna + & -, ponenda
locis, ubi $unt omi$$a) invenietur quoque radix <math>x</math>, cujus loco in
altera æquatione pro radice $uppo$ueramus <math>y</math>. At verò $i æquatio

<pb 139>[159]<rh>N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
$upra inventa, denominata à radice <math>y</math>, $ic dividi nequeat, tunc
con$iderare illam poterimus, velut tres duntaxat dimen$iones ha-
bentem, $upponendo $cilicet <math>z = yy</math>, ip$amque $ub$tituendo in
æquatione; adeò ut habeamus <math>z^3 - 2p z^2 {+ pp . 4r} z - qq = 0</math>.
Quæ, ob$ervatis ii$dem $ignis + & -, quæ in altera æquatione
reperiuntur, & $ublato $ecundo termino, per id, quod pag. 73 di-
ctum e$t, reducetur ad formam aliquam illarum trium, quæ ha-
bentur paginâ 93, ad inveniendam deinde radicem ejus <math>z</math> per
Geometriam Solidorum, juxta pag. 85, & $equentes. Quæ cer-
te eadem futura e$t quæ <math>yy</math>, quâ cognitâ innote$cet & <math>y</math>. Cujus
ope atque duarum $uperiorum æquationem tandem invenietur <math>x</math>.</p>
<p>Verùm enimverò ob$ervandum e$t, in omnibus præceden-
tibus operationibus utendum e$$e eâdem lineâ, quæ pro unitate
e$t accepta, $i illam determinamus, & u$urpamus ad æquatio-
nem propo$itam reducendam ad $uperioris formam, nempe:
<math>x^4 ^* p x^2. qx. r = 0</math>. ob$ervando $igna + & -.</p>
<p>Verum equidem e$t, quòd, po$tquam æquationem hanc ad
præcedentis formam reduximus, quæ à radice <math>y</math> $it denominata,
nimirum ad æquationem <math>y^6 . 2p y^4 {+ p^2 / .4^r} yy - qq = 0</math>, quæque
dividi$eu reduci non po$$it, ita ut radix ejus <math>y</math> plures quàm duas
dimen$iones habeat, non teneamur ulteriùs progredi: ($iquidem
illo ca$u Problema non Planum, $ed Solidum exi$tit, juxta
pag. 80) atque tunc contenti e$$e po$$imus æquatione primâ
<math>x^4 ^* p x^2. qx. r = 0</math> (cum per illam invenire po$$imus radicem <math>x</math>
mediante Geometriâ Solidorum, $ecundùm paginam 85 & $e-
quentes): Attamen nihilominus operatione præcedente, quam
explicavimus, uti po$$umus, $altem ut o$tendatur veritas ejus,
quod habetur pag. 93 & 94, ubi dicitur, quòd Problemata
omnia, quorum difficultates ad æquationem, quæ ultra quadra-
to-quadratum non a$cendit, reducuntur, $emper ad formam ali-
quam earum, quæ paginâ 93 proponuntur, reduci queant.</p>
<h>A<sc>D PAGINAM</sc> 93.</h>
<p>QVandoquidem ex eo, quod in hac Geometria o$ten$um at-
que $upra adnotatum e$t, liquet, æquationes omnes, qua-
rum difficultates ultra Quadrato-quadratum aut Cubum non

<pb 140>[160]<rh>F<sc>LORIMONDI DE</sc> B<sc>EAVNE</sc></rh>
a$cendunt, reduci po$$e ad aliquam formam earum, quæ hâc pa-
ginâ proponuntur: exhibenda tantùm re$tat demon$tratio radi-
cum, quæ ex ip$is, $ecundùm Cardani regulas, quas $uper hac re
in medium affert Capite $ecundo libri ejus, quem de Arte Magna
$eu Regulis Algebraïcis in$crip$it, educuntur. Cum hoc ip$um
difficultatem fortè non exiguam parere po$$et iis, qui in eundem
locum aliquando inciderent, quippe qui à Specio$æ Algebræ, &
mutuæ inter Arithmeticam & Geometriam relationis atque con-
venientiæ ignaris, non facilè percipiatur. Quocirca ut veritas
extractionis harum radicum expendatur, demon$trabimus pri-
mùm $equens</p>
<h>L<sc>EMMA</sc>.</h>
<fig>
<var>A B C</var>
</fig>
<p>SEctâ utcunque lineâ A C
in B, o$tendendum e$t:
Cubum lineæ A B, unà cum
cubo lineæ B C, & triplo
producto linearum A C,
B C, A B, $imul æquari cubo lineæ A C.</p>
<p>Sit <math>A B = a</math>, <math>B C = b</math>, eritque <math>A C = a + b</math>. Productum li-
nearum A C, B C, A B, erit <math>baa + bba</math>, cujus triplum <math>3baa
+ 3bba</math>. Huic $i addantur cubi linearum A B, B C, fiet <math>a^3 + 3baa
+ 3bba + b^3</math>. Et manife$tum e$t, $ummam hanc æqualem e$$e
cubo lineæ A C.</p>
<p>Demon$trato itaque hoc Lemmate, habebitur primo loco
<math>z = <r>C. + {1/2}q + <r>{1/4}qq + {1/27} p^3</r></r> - <r>C. - {1/2}q + <r>{1/4}qq + {1/27} p^3</r></r></math>.
Hinc in figura adjecta $upponen do binomium
<math><r>C. + {3/2}q + <r>{1/4}qq + {1/27} p^3</r></r></math> æquale lineæ A C, & re$iduum
<math><r>C. - {1/2}q + <r>{1/4}qq + {1/27} p^3</r></r></math> æquale lineæ B C, erit eorum
differentia <math><r>C. + {1/2}q + <r>{1/4} qq + {1/27} p^3</r></r></math>,
<math>- <r>C. - {1/2}q + <r>{1/4}qq + {1/27} p^3</r></r></math> æqualis lineæ A B. Iam vero
$tatuendo <math>A B = z</math>, erit differentia Cuborum ex his radicibus
(nimirum differentia inter cubum <math>+ {1/2} q + <r>{1/4}qq + {1/27} p^3</r></math>, &
cubum <math>- {1/2}q + <r>{1/4}qq + {1/27} p^3</r></math>, (auferendo hunc ab illo) æqua-
lis <math>q</math>. Quæ propterea æqualis erit differentiæ inter cubum li-

<pb 141>[161]<rh>N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
neæ B C. A tqui cubus lineæ A B, & triplum productum linea-
rum A C, B C, A B $imul, æquantur eidem differentjæ <math>q</math>, ($iqui-
dem cum cubo lineæ B C componunt cubum lineæ A C). Erit
itaque <math>z^3</math>, cubus videlicet lineæ A B, unà cum triplo producto li-
nearum A C, B C, A B, æqualis <math>q</math>.</p>
<p>Vt autem habeatur hoc productum, multiplicandum e$t bino-
mium <math><r>C. + {1/2}q + <r>{1/4}qq + {1/27} p^3</r></r></math>, quod æquatur lineæ A C,
per re$iduum <math><r>C. - {1/2}q + <r>{1/4}qq + {1/17} p^3</r></r></math>, quod æquale e$t
lineæ B C. Hinc cum <math><r>{1/4}qq + {1/27} p^3</r></math> in $e multiplicatum faciat
<math>{1/4}qq + {1/27} p^3, ac + {1/2}q in - {1/2} <math>q</math> faciat - <math>{1/4} qq</math>; quæ producta
$imul addita faciunt <math>{1/27} p^3</math> ($iquidem <math>+ {1/4}qq & - {1/4}qq</math> addendo
evane$cunt): & porrò producta, quæ $iunt ex <math>+ {1/2}q & - {1/2}q</math> in
<math><r>{1/4}qq + {1/27} p^3</r></math>, $e mutuò de$truant: Erit totum productum
<math><r>C. {1/27} p^3</r></math> $eu <math>{1/3} p</math>, radix $cilicet cubica ex <math>{1/27} p^3</math>. quandoquidem
quæ$tio erat de multiplicandis radicibus cubicis. Vnde triplum
productum erit <math>p</math>, quod $i multiplicetur per A B, hoc e$t, per <math>z</math>,
fiet <math>pz</math>, æquale triplo producto linearum A C, B C, A B. Et per
con$equens <math>z^3 + pz = q</math>, vel <math>z^3 = - pz + q</math>. Quod erat de-
mon$trandum.</p>
<p>Sit jam $ecundo loco
<math>z = <r>C. + {1/2}q + <r>{1/4}qq - {1/27} p^3</r></r> + <r>C. + {1/2}q - <r>{1/4}qq - {1/27} p^3</r></r></math>.
& $upponatur prima radix ubica (quæ binomium e$t) in figura
præcedente æqualis lineæ A B; $ecunda autem (quæ re$iduum
e$t) æqualis lineæ B C; eritque $umma cuborum utriu$que lineæ
æqualis <math>q</math>. Porrò $upponendo lineam <math>A C = z</math>, auferendoque ex
eju$dem cubo <math>z^3</math>, triplum productum linearum A B, B C, & <math>z</math>,
relinquentur cubi linearum A B & B C, qui quidem $imul $umpti
ip$i <math>q</math> $unt æquales. E$t autem productum ex A B, B C, hoc e$t,
quod fit ex binomio in re$iduum, <math>√ C. {1/27} p^3</math>, $eu <math>{1/3}p</math>. Nam cum
multiplicando <math>+ <r>{1/4}qq - {1/27} p^3</r></math> per - <math><r>{1/4}qq - {1/27} p^3</r></math> (unâ
radice exi$tente $igno + adfectâ, alterâ verò $igno -) produ-
catur utriu$vis quadratum affectum $igno -, nimirum - <math>{1/4} qq
+ {1/27} p^3</math>, & utramque radicem per <math>+ {1/2}q</math> multiplicando, produ-
cta evane$cant; re$tat tantum <math>+ {1/2}q</math> in $e multiplicandum. Qua-
re cum productum illud $it <math>+ {1/4}qq</math>, & alterum productum in-
ventum $it <math>- {1/4}qq + {1/27} p^3</math>; erit totum productum <math>√ C. {1/27} p^3</math>

<pb 142>[162]<rh>F<sc>L. DE</sc> B<sc>EAVNE</sc> N<sc>OTÆ</sc> B<sc>REVES</sc>.</rh>
$eu <math>{1/3} p</math>, $icut diximus, ac proinde ejus triplum <math>p</math>. Quod $i rur$us
multiplicetur per <math>z</math>, producetur <math>pz</math>, æquale triplo producto li-
nearum A B, B C, A C: & per con$equens <math>z^3 - pz = q</math>, hoc
e$t, <math>z^3 = ^* + pz + q</math>. Quod erat demon$trandum.</p>
<p>Adduxi autem demonftrationem extractionis harum radicum,
quòd contemplatio earum atque inventio pulcherrimæ mihi $int
vi$æ. Verùm quantùm ad praxin, cùm Geometricè æquatio-
num hoc loco propo$itarum radices $unt extrahendæ; ejus $anè
methodus, quæ generalis atque facilis e$t, quàm optimè in hac
Geometria demon$trata cernitur. Si ve rò Arithmeticè illas ex-
trahere lubuerit, multò id faciliùs fiet juxta methodum à Vieta in
tractatu de Numero$a Pote$tatum Re$olutione traditam, quàm
per ha$ce regulas Cardani.</p>
<h>FINIS.</h>
<fig/>

<pb>[163]
<h>FRANCISCI à SCHOOTEN
_IN_
GEOMETRIAM
RENATI DES CARTES
COMMENTARII.</h>

<pb>[164]

<pb 145>[165]
<h>ARGVMENTVM PRIMI LIBRI.</h>
<p it>_P_Rimo libro Autor viam quodammodo aperit ad $uam
Methodum, quâ in re$olvendis & con$truendis Geome-
triœ Problematis utitur, quamque tribus hi$ce libris e$t
complexus. Quœ e$t, ut certarum notarum $ive chara-
cterum beneficio, quibus tum datœ tum quœ$itœ lineœ de-
$ignantur, difficultates omnes, quœ in ii$dem Problematis enodandœ ve-
niunt, ad eju$modi terminos reducantur, ut deinde ad illorum con$tru-
ctionem non ni$i rectarum quarundam linearum longitudinem quœrere
$it opùs. Ad quas inveniendas, docet, operationes omnes, quœ circa li-
neas ha$ce, ut cognitœ fiant, $unt in$tituendœ, ad 4 vel 5 diver$as, quem-
admodum in Arithmetica, revocaripo$$e: quœ $unt, Additio, Subtra-
ctio, Multiplicatio, Divi$io, & Radicum Extractio. Quœ quâ ratio-
ne Geometricè fiant, deinceps explicat. Vbi porrò ob$ervandum venit,
quòd, po$tquam bi Arithmetices termini in Geometriam $unt intro-
ducti, ad operationes ha$ce in lineis œquè in $tituendas at que in nume-
ris, con$entaneum $it rectam lineam, quœ unitatis vicem gerat, a$$ume-
re, & ad eandem reliquas referre. Id quod communiter liberum e$t,
cum quamlibet lineam pro ea accipere liceat.</p>
<p it>Quibus explicatis, o$tendit, quo pacto notis atque literis in Geometria
$it utendum ad prœdictas lineas breviter de$ignandas, earumque oper a-
tiones facilè indicandas: ut hâc ratione diver$œ earum relationes con-
$picuœ $int, atque difficultas omnis, verborum involucris exuta, quàm
$implici$$imè ob oculos ponipo$$it. Et quia hœc Methodus in re$olvendis
Geometriœ Problematis requirit, ut difficultates omnes, quœ in illis evol-
vendœ occurrunt, ad unum genus Problematum reducantur, nempe, ut
quœratur tantummodo valor quarundam linearum rectarum, quœ ali-
cujus œquationis $int radices: idcirco docet, quo pacto Problema aliquod
propo$itum perducatur ad œquationem, $upponendo illud ip$um ut jam
factum. Ac deinde, cum Æquatio certum $it medium quo Problema
$olvitur, refert totidem œquationes inveniendas e$$e, quot in eo $uppo$i-
tœfuerint incognitœ lineœ. Cum autem hœc Methodus nullis Problema-
tum finibus coërceatur, ip$aque non tantùm ad Problemata, in quibus
de inveniendis quibu$dam rectis lineis, aut etiam planis, $olidi$ve quœ$tio
e$t (quœ quidem facilè ad tales terminos reduci queunt, ut non ni$i rectœ

<pb 146>[166]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
quœdam lineœ inveniendœ $int) adplicari po$$it; $ed etiam ad Problema-
ta, in quibus certi anguli dantur, vel angulorum inter $e$e co\‘mparatio
facienda e$t; at que ad Problemata in quibus quœdam puncta aut lineœ
datœ $unt, & alia puncta inveniri debent, $e extendat ($iquidem in his à
quœ$it is punctis ad data, aut datarum rectarum terminos, aut etiam in
datis angulis ad po$itione datas rectœ lineœ duci po$$unt, quœ quœ$itorum
punctorum loca determinant; in illis autem quœ dictorum angulorum
vices gerant, $icut po$t exemplis planum fiet): facilè con$tat, illam non
modò Veterum Analy$in at que Recentiorum Algebram comprehende-
re; $ed etiam ad id omne, ubi de quantitatum œqualitate vel proportio-
ne inquiritur, adhiberi po$$e, at que adeò tam generalem e$$e, ut nul-
lum non $uœ artis per univer$am Mathe$in $pecimen edat.</p>
<p it>Iam verò po$tquam Problema aliquod ad œquationem e$t per du-
ctum, ip$aque œquatio ad $implici$$imos terminos reducta, $i quidem id
ip$um per Geometriam communem con$trui pote$t, hoc e$t, ut ad con-
$tructionem ejus non ni$i rectis lineis atque circulis utamur, prout in $u-
perficie aliqua plana de$cribuntur, docet, qualis tunc debeat e$$e œqua-
tio, & quâ ratione radix ejus tam inveniri quàm exprimi po$$it. Atque
ita breviter, quidquid ad planorum Problematum con$tructionem
$pectat, ab$olvit.</p>
<p it>Vt autem tum prœceptionum harum u$ui locus $it, tum verò eju$dem
Methodi facilitas in re$olvendo ac con$truendo nobili aliquo Problema-
te eluceat, inquirendam $ibi tandem proponit rationem componen di loci
adtres, quatuor, vel plures lineas: ad quam, velut $cientiœ culmen,
Veteres ut pervenirent, $ummâ curâ elaborarunt.</p>
<p it>Et hoc quidem primi Libri Argumentum afferre vi$um fuit. Cœte-
rùm loca difficiliora, quœ in eo illu$tranda e$$e duximus, fere $unt
$equentia:</p>

<pb 147>[167]
<h>COMMENTARII
_IN_
LIBRVM PRIMVM.</h>
<p>ET _radicum extractio, quœ pro Divi-_
<mgr>A</mgr>
_$ionis quadam $pecie haberi pote$t_.]
Quandoquidem eadem fermè proportio
utrique operationi convenit. E$t enim in
Divi$ione, ut quotiens ad unitatem, $ic di-
videndus ad divi$orem. In extractione ve-
rò radicis quadratæ, ut radix, ceu quotiens,
ad unitatem; ita datus numerus, ceu divi-
dendus, ad radicem, ceu divi$orem. Adeò ut radicis extractio di-
vi$ionis $pecies $it cen$enda, in qua divi$or quotienti e$t æqualis;
vel etiam, in qua radix inter datum numerum & unitatem e$t me-
dia proportionalis.</p>
<p>_Vel etiam $i una $it, quœ vocetur unitas_.] Per unitatem
<mgr>B</mgr>
intellige lineam quandam determinatam, quæ ad quamvis reliqua-
rum linearum talem relationem habeat, qualem unitas ad certum
aliquem numerum.</p>
<p>_Vt eò commodiùs ad numeros refer atur, quamque com-_
<mgr>C</mgr>
_muniter pro libitu a$$umere licet_.] Sit enim, exempli gratiâ,
datum aliquod rectangulum tran$mutandum in quadratum: $i pro
unitate $umatur latus unum, quod libuerit, & inter ip$um & reli-
quum inveniatur media proportionalis; erit ea latus quadrati, da-
to æqualis. Atque hâc ratione latus alterum vicem gerit alicujus
numeri, è quo radix quadrata e$t extrahenda. Adeò ut manife$tum
$it, Problema propo$itum, nec non mediæ proportionalis inter
duas datas lineas inventionem, nihil aliud e$$e, quàm $i unâ lineâ
a$$umptâ pro unitate, ex reliquâ lineâ tanquam numero extraha-
tur radix quadrata.</p>
<p>_Vt ad ip$as inveniatur quarta, quœ $it ad alterutr am,_
<mgr>D</mgr>
_ut e$t alter a ad unit at em, quod idem e$t at que multipli-_
_catio_.] In multiplicatione enim e$t: ut productum ad multipli-

<pb 148>[168]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
candum, ita multiplicans ad unitatem. Vel permutando, ut pro-
ductum ad multiplicantem, $ic multiplicandus ad unitatem.</p>
<p>_Vel ut per ip$as inveniatur quarta, quœ $it ad unam_
<mgl>E</mgl>
_ex illis duabus, ut unit as ad alteram, quod convenit cum_
_Divi$ione_.] E$t namque in Divi$ione, ut $upra annotavimus, ut
quotiens ad unitatem, $ic dividendus ad divi$orem. Ac proinde
permutando, ut quotiens ad divendum, $ic unitas ad divi$orem.</p>
<p>_Vt $ir adix cubica $it extr ahenda ex aabb - b, cogi-_
<mgl>F</mgl>
_tandum e$t, quantitatem aabb $emel divi$am e$$e per_
_unitatem, atque alter am quantitatem b his per eandem_
_e$$e multiplicatam_.] Puta unitatem, quæ hîc $ubintelligitur,
e$$e <math>c</math>. Vnde $i quantitas <math>aabb</math>, quæ unâ abundat dimen$ione, $e-
mel dividatur per <math>c</math>, fiet <math>{aabb / c}</math>; at verò altera quantitas <math>b</math>, quæ dua-
bus deficit dimen$ionibus, utæquales numero habeantur, bis
multiplicetur per <math>c</math>, hoc e$t, per <math>cc</math>, fiet <math>bcc</math>: adeò ut tota quan-
titas $it <math>{aabb / c} - bcc</math>.</p>
<p>_Re$oluturus igitur aliquod Problema, con$iderabit il-_
<mgl>G</mgl>
_lud primâ fronte ut jam factum, nominaque imponet li-_
_neis omnibus, quœ ad con$tructionem ip$ius nece$$ariœ_
_videbuntur, tam iis quœ incognitœ $unt, quàm quœ cogni-_
_tœ. Deinde, nullo inter lineas ha$ce cognit as & incognit as_
_facto di$crimine, evolvenda e$t Problematis difficultas,_
_eo or dine, quo omnium natur ali$$imè patet, quâ ratione_
_dictœ line œ à $e invicem dependent, donec inventa fuerit_
_via eandem quantitatem duobus modis exprimendi, id_
_quod Æquatio vocatur: œquales enim $unt termini mo-_
_di unius, terminis modi alterius. Iam verò tot buju$modi_
_Æquationes invenire oportebit, quot $uppo$itœ fuerunt_
_incognitœ lineœ_.] Quæ verba ut rectè percipiantur, unum at-
que alterum Problema proponamus.</p>

<pb 149>[169]<rh>C<sc>OMMENTARFI IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> I.</rh>
<h it>PROBLEMA _1_<_>mum.</_></h>
<p>DAtam rectam lineam AB, utcunque $ectam in C,
ita producere ad D, utrectangulum $ub AD, DB
comprehen$um, æquetur quadrato rectæ CD.</p>
<fig>
<var>H G A C B D F E</var>
</fig>
<p>Con$idero rem velut jam fa-
ctam, hoc e$t, $uppono rectangu-
lum ADEF æquari quadrato
CDGH, quod faciendum pro-
ponitur. Deinde, cum omnis
quæ$tio Geometrica eò reduci
po$$it, ut non ni$i longitudo ali-
cujus vel aliquarum rectarum ex
aliis rectis $it quærenda, & nemo
non videat, ad ejus con$tructionem tantummodo quærendam e$$e
lineam BD, omnemque difficultatem in ea invenienda e$$e $itam;
nomina impono lineis tam datis AC, CB, quàm quæ$itæ BD.
Proinde, prolinea AC pono quantitatem cognitam <math>a</math>; pro CB,
<math>b</math>; at pro BD quantitatem incognitam <math>x</math>, fietque AD <math>a + b + x</math>,
CD autem <math>b + x</math>. Quibus peractis, utad Æquationem perve-
niatur, & habeam rectangulum ADEF, duco AD, hoc e$t,
<math>a + b + x</math> in DE $eu DB, hoc e$t, <math>x</math>, quod proinde erit <math>ax +
bx + xx</math>. Similiter ut inveniatur quadratum CDGH, multi-
plico CD, hoc e$t, <math>b + x</math> in $e, fietque <math>bb + 2bx + xx</math>. Itaut
habeatur æquatio <math>ax + bx + xx = bb + 2bx + xx</math>. Ad quam
reducendam tollatur utrinque <math>bx</math> & <math>xx</math>, $ic ut ex una parte rema-
neat <math>ax</math>, & ex altera <math>bb + bx</math>; tum tran$lato <math>bx</math> ad alteram par-
tem $ub contrario $igno, erit æquatio <math>ax - bx = bb</math>. Cujus utrâ-
que parte divisâ per <math>a - b</math>, provenit <math>x = {bb / a-b}</math>. E quibus patet,
lineam quæ$itam BD inveniri per divi$ionem quadrati lineæ CB
per exce$$um, quo linea AC $uperat ip$am CB, veletiam per
hunc exce$$um, tanquam primam, & lineam CB, tanquam $e-
cundam, inveniendo tertiam proportionalem BD.</p>

<pb 150>[170]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<h it>PROBLEMA _2_<_>dum.</_></h>
<p>DAtâ rectâ lineâ terminatâ AB, exterminis ejus A
& B duas rectas lineas inflectere AC, CB, conti-
nentes angulum ACB, æqualem dato D, ut quæ ab
ip$is fiunt quadrata, habeant ad triangulum ACB ra-
tionem datam, ut 4 <math>d</math> ad <math>a</math>.</p>
<fig>
<var>F D I C G _f_ A H E B</var>
</fig>
<p>Factum $it quod quæritur, & ex puncto C demittatur $uper re-
ctam AB perpendicularis CH. Quoniam igitur data $unt pun-
cta A & B; & quidem ad trium punctorum $itum determinan-
dum nihil $impliciùs haberi pote$t, quàm $i no$cantur tres lineæ
AH, HC, & HB: facilè con$tat, quæ$tionem propo$itam
eò reduci, ut inveniendæ tantùm $int duæ lineæ AH, HC, $eu
BH, HC; atque adeò duas $upponendas e$$e lineas incognitas.
Quia verò, $ectâ lineâ AB bifariam in E, datum e$t punctum E,
atque ideo ip$a AE vel EB, quam voco <math>a</math>, atque operatio ali-
quantò brevior evadit, $iloco dictarum AH, HC, $eu BH,
HC, quæramus duas lineas HE, HC: Idcirco pro HE po-
no quantitatem incognitam <math>x</math>, & pro HC quantitatem incogni-
tam <math>y</math>. Unde pro AH invenitur <math>a - x</math>, & pro HB <math>a + x</math>. Jam
inter lineas notas & ignotas nullo facto di$crimine, directè per-
currenda e$t Problematis difficultas, & videndum, quomodo una
ex aliis $it deducenda, donec tandem ad Æquationem devenia-
tur. Primò igitur quadratum ex AC erit <math>aa - 2ax + xx + yy</math>:

<pb 151>[171]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> I.</rh>
quoniam componitur ex duobus quadratis linearum AH & HC.
Eodem modo quadratum lineæ CB erit <math>aa + 2ax + xx + yy</math>:
quia æquale e$t binis quadratis ex BH & HC. Atqueadeò $um-
ma quadratorum ex AC, CB erit <math>2aa + 2xx + 2yy</math>. Quæ
cum eam rationem habeat ad triangulum ABC, quod e$t <math>ay</math>,
(utpote æquale $emi$$i ejus, quod producitur ex ba$i A B & per-
pendiculo C H,) quam habet 4 <math>d</math> ad <math>a</math> : erit productum ex
<math>2aa + 2xx + 2yy</math> in <math>a</math> æquale ei, quod provenit ex <math>ay</math> in <math>4d</math>, hoc
e$t, habebitur Æquatio inter <math>2 a^3 + 2 axx + 2 ayy & 4 ady</math>. Sed
quandoquidem duæ $uppo$itæ $unt incognitæ lineæ <math>x</math> & <math>y</math>, alia
adhuc $upere$t Æquatio invenienda. Quam ut inveniamus, con-
$iderandus in$uper e$t angulus D, cuiæqualis $upponitur angu-
lus A C B; qui$i obtu$us fuerit, produco lineam BC, donec ex
puncto A in ip$am cadat perpendicularis AI, omnino ut factum
e$t circa angulum D. Tum, quoniam datus e$t angulus D, dan-
tur quoque rectæ DF & FG. Acproinde $i pro DF ponatur <math>b</math>,
& pro FG <math>c</math>, gerent ip$æ vicem datianguli D, fientque triangula
ACI & GDF $imilia. Eâdem ratione $imilia erunt triangula
HCB & ABI. Unde erit ut CB ad AB, $ic CH ad AI, & BH
ad BI. Quare $i pro quadrato ex <math>CB = aa + 2ax + xx + yy</math> bre-
vitatis causâ$cribatur <math>ee</math>, h. e., pro <math>CB = <r>aa + 2 ax + xx + yy</r></math>
ponatur <math>e</math>; fiatque ut <math>e</math> ad <math>2a</math>, $ic CH $eu <math>y</math> ad AI: erit <math>AI
= {2ay / e}</math>. Similiter ut <math>e</math> ad <math>2a</math>, $ic BH, $eu <math>a + x</math>, ad BI: erit <math>BI
= {2aa + 2ax / e}</math>. Tum $ubductâ BC $eu <math>e</math> ex BI $eu <math>{2aa + 2ax / e}</math>, re-
linquitur CI <math>{2aa + 2ax - ee / e}</math>. Jam cum CI $it ad AI, hoc e$t,
<math>{2aa + 2ax - ee / e}</math> ad <math>{2ay / e}</math>, $eu <math>2aa + 2ax - ee</math> ad <math>2ay</math>, $icut DF
ad FG, hoc e$t, <math>b</math> ad <math>c</math>: erit <math>2aac + 2acx - cee</math>, productum $ub
extremis, æquale <math>2aby</math>, ei, quod fit $ub mediis. Quæ altera e$t
Æquatio. Atque ad hæc facienda manuduxerunt nos præcepta
jam tradita, ita ut nullæ partes Problematis $int omi$$æ. Et qui-
cunque omnia penitiùs in$pexerit, $e $uo marte propo$itæ quæ-
$tionis $olutionem ex illis huc u$que perducere potui$$e judica-
bit. Difficultas enim tota jam à figuris ad numeros $eu termi-
nos Analyticos e$t traducta, ita ut, quæ $uper$unt, cuilibet ob-
via e$$e po$$int, etiam$i de lineis, punctis, anguli$que ampliùs

<pb 152>[172]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<fig>
<var>F D I C G _f_ A H E B</var>
</fig>
non cogitet. Inventis ergo tot Æquationibus, quot $uppo$itæ
fuerunt incognitæ lineæ quoniam in utraque binæ reperiuntur
quantitates incognitæ hinc talis reductio fieri debet, ut ex una
parte tantùm habeatur <math>xx</math>, ut$equitur. Quocirca cum primùm
<math>2 a^3 + 2 axx + 2ayy</math> æquetur <math>4ady</math>, dividatur utraque pars per
<math>2a</math>, & fit æquatio inter <math>aa + xx + yy</math> & <math>2dy</math>; & <math>aa</math>, <math>yy</math> in alteram
partem tran$latis, inter <math>xx</math> & <math>2dy - yy - aa</math>. Deinde cum <math>2aac
+ 2acx - cee</math> æquetur <math>2aby</math>, re$tituto valore quantitatis a$-
$umptæ <math>ee</math>, ip$oque ducto in - <math>c</math>, prodibit æquatio <math>aac - cxx
- cyy = 2aby</math>. In qua $i fiat porrò terminorum tran$po$itio, ut
<math>cxx</math> unam teneat Æquationis partem $ub $igno + & reliqui par-
tem alteram, atque utraque pars per <math>c</math> dividatur, proveniet Æqua-
tio <math>xx = aa - yy - {2ab / cy}</math>, $eu <math>xx = aa - yy - 2fy</math>, ($criben-
do nempe <math>2f</math> pro <math>{2ab / c}</math>: quandoquidem liberum e$t quolibet no-
mine datas quantitates in$ignire).</p>
<p>Reductâ ergo utrâque Æquatione inventâ ad eandem quanti-
tatem <math>xx</math>, adæquandæ $unt reliquæ quantitates inter$e, ut inve-
niatur inde quantitas incognita <math>y</math>. Quare cum <math>2dy - yy - aa</math>
æquetur <math>aa-yy-2fy</math>, additis utrinque <math>yy</math> & <math>aa</math>, erit <math>2dy = 2aa
- 2fy</math>, $eu, <math>dy = aa - fy</math>: & tran$lato <math>2fy</math> ad alteram partem,
factâque utrobique divi$ione per <math>d + f</math>, fiet <math>y = {aa/d + f}</math>. Inventâ au-
tem quantitate <math>y</math>, non e$t difficile alteram quantitatem incognitam
<math>x</math> invenire. Sienim in præcedenti æquatione <math>xx = 2dy - yy - aa</math>,

<pb 153>[173]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> I.</rh>
pro <math>y</math> $ub$tituatur $umma jam inventa <math>{a^2 / d + f}</math>, & pro <math>yy</math> eju$dem
$ummæ quadratum, nempe <math>{a^4 / d^2 + 2df + f^2}</math>, invenietur
<math>xx = {a^2 d^2 - a^2 f^2 - a^4 / d^2 + 2df + f^2}</math> & <math>x = <r>{a^2 d^2 - a^2 f^2 - a^4 / d^2 + 2df + f^2}</r></math>. Vbi liquet,
<math>dd</math> non debere e$$e minorem quàm <math>ff + aa</math>, cum aliàs Problema
futurum e$$et impo$$ibile. Cujus quidem con$tructio talis e$t.</p>
<fig>
<var>F D _d f_ G C _P_ H E B K L N M</var>
</fig>
<p>Facto angulo KAB æquali dato D, erigatur ex A
ip$i KA perpendicularis AL, occurrens perpendicula-
ri EL in L, centroque L intervallo rectæ <math>d</math> circulus de-
$cribatur, $ecans KA, EL in K & M. Deinde a$$umptâ
EN æquali KA, jungatur MA, & ex N agatur huic
parallela NH, quæ ip$i AB occurrat in H. Po$tea de-
$cripto ex L intervallo LA circuli $egmento ACB, du-
catur exHip$i AB perpendicularis HC, occurrens cir-

<pb 154>[174]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
cumferentiæ in C, ac jungantur AC, CB. Factumque
erit, quod requirebatur.</p>
<p>_Vel$itotidem non inveniantur, nectamen quidquam_
<mgl>GG</mgl>
_eorum, quæ in quæ$tione de$ider antur, omittatur, argu-_
_mentum e$t, illam non penitus e$$e determinatam. Tunc_
_enim ad arbitrium a$$umi po$$unt lineæ cognitæ pro in-_
_cognitis, quibus non re$pondet aliqua Æquatio_.]
Quò cuivis hæc obvia $int, placuit ea per unum autalterum Pro-
blema facile illu$trare.</p>
<h>IP<sc>ROBLEMA</sc>.</h>
<p>DAtis po$itione duabus rectis lineis concurrentibus
AB, AC, punctum invenire intra ip$as D, à quo $i
ducantur duæ rectæ DC, DB ip$is AB, AC parallelæ,
ut $umma ip$arum DC, DB $it datæ rectæ <math>a</math> æqualis.</p>
<fig>
<var>E B D A C F _a_</var>
</fig>
<p>Ponatur factum quod quæritur,
hoc e$t, $uppo$itis rectis DC, DB
ip$is AB, AC parallelis, $tatuan-
tur & DC, DB $imul $umptæ
ip$i datæ <math>a</math> e$$e æ quales. Hinc cum
ad determinandum punctum D
quærenda $it longitudo utriu$-
que rectæ AC, CD $eu utriu$-
que AB, BD, ponopro una AC
vel BD quantitatem incognitam <math>x</math>,
& pro altera CD vel A B quan-
titatem incognitam <math>y</math>. Quibus ita po$itis, ut habeatur Æquatio,
addendæ erunt tantùm duæ rectæ BD, DC, hoc e$t, <math>x</math> & <math>y</math>: erit-
que $umma <math>x + y</math> æqualis <math>a</math>, hoc e$t, erit <math>y = a - x</math>. Quoniam
autem ad alteram Æquationem pro <math>x</math> inveniendam nulla $upere$t
materia, cum conditiones in quæftione præ$tandæ jam omnes $int
impletæ: argumentum e$t, illam non penitus e$$e determinatam.
Quocirca cum in ipsâ una de$it conditio, ut pror$us determinata
exi$tat, poterimus ad arbitrium pro quantitate incognita <math>x</math>, cui
nulla re$pondet Æquatio, a$$umere lineam aliquam cognitam
ipsâ <math>a</math> minorem, atquetot indeinvenire puncta D, quot ip$i <math>x</math>

<pb 155>[175]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> I.</rh>
diver$os tribuerimus valores. Vbinotandum, quòd, po$tquam
a$$umptæ fuerint rectæ AE, AF ip$i datæ <math>a</math> æquales, ac jungatur
EF, puncta hæc omnia in rectam cadant lineam EF, adeoque
punctum quodlibet in ea pro libitu $umptum quæ$ito $atisfacere:
cum, propter $imilia triangula AEF, & CDF, rectæ CD, CF
(puncto D ubicunque in EF a$$umpto) haud aliter atque AE,
AF $emper $int æquales, ac proinde BD, DC $imul eædem
quæ AC, CF $imul, hoc e$t, eadem quæ AF vel <math>a</math>.</p>
<p>Haud di$$imilis erit quæ$tio, $i punctum D inveniendum $it, ita
utip$arum DC, DB differentia $it datæ rectæ <math>a</math> æqualis.</p>
<h>II P<sc>ROBLEMA</sc>.</h>
<p>IN circulo ABCF erectâ $uper diametrum BF per-
pendiculari GD, circum$erentiam hinc inde $ecan-
te in C & A, & à B ad eam ductis BC, BD, quarum hæc
circumferentiam $ecet in E, dantur <math>BE = a</math>, & <math>BC
= b</math>: oporteatque invenire <math>ED = x</math>.</p>
<fig>
<var>B E A G C D F</var>
</fig>
<p>Quoniam ad quæ$tionem hanc $olvendam, $upponendo eam,
at jam factam, nece$$ariæ videntur lineæ BG ac diameter BF:
hinc pro BG pono <math>y</math>, & pro BF pono <math>z</math>: eritque <math>GF = z - y</math>.
Deinde ut perveniatur ad Æquationem, con$idero lineam GD
ip$i BF e$$e perpendicularem, hoc e$t, triangulum BGC e$$e
rectangulum. Undefit, ut, $i quadratum ex <math>BG = yy</math> auferam è
quadrato ex <math>BC = bb</math>, reliquum <math>bb - yy</math> $it æquale quadrato
ex GC. Quodidem & alio modo inveniripote$t, con$iderando

<pb 156>[176]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
perpendicularem GD $ecare hinc inde circumferentiam in C
& A. Quia enim hinc per 35 Tertii Elementorum rectangulum
$ub BG, GF e$t æquale rectangulo $ub AG, GC, hoc e$t, qua-
drato ex GC: fitut $i multiplicavero <math>GF = z - y</math> per <math>BG = y</math>
productum <math>zy - yy</math> $it denuo quadrato ex GC æquale. Ha-
betur ergo Æquatio inter <math>bb - yy</math> & <math>zy - yy</math>, hoc e$t,
addendo utrobique <math>yy</math>, inter <math>bb</math> & <math>zy</math>. Porrò cum in hac quæ-
$tione tres$uppo$itæ $int incognitæ lineæ <math>x</math>, <math>y</math>, & <math>z</math>, $upere$t ut
duas adhuc alias Æquationes inveniamus. Hinc, ductâ FE, quo-
niam, con$iderando lineam BD $ecare circumferentiam in E,
$imilia $unt triangula BGD & BEF, eritut BG ad BD, hoc
e$t, <math>y</math> ad <math>a + x</math>; ita BE ad BF, hoc e$t, <math>a</math> ad <math>z</math>. Acproinde, cum
productum $ub extremis $it æquale producto $ub mediis, erit
<math>zy = aa + ax</math>. Quæ altera e$t Æquatio. In qua $i in locum <math>zy</math>
$ubrogetur ejusvalor ante inventus <math>bb</math>, habebitur <math>bb = aa + ax</math>,
hoc e$t, transferendo <math>aa</math> in alteram partem, atque deinde utro-
bique dividendo per <math>a</math>, erit <math>x = {bb - aa / a}</math>. Quæ quantitas e$t li-
neæ ED, quam inve$tigare intendebamus. Cæterùm, quia in-
ventâ hâc lineâ <math>ED = x</math>, utraque reliquarum incognitarum BG
& BF, per <math>y</math> & <math>z</math> de$ignatarum, quæ ad eam inveniendam nece$-
$ariæ videbantur, ad arbitrium $umi pote$t, cum in Problemate
nulla ampliùs materia $uper$it, quâ perveniatur ad Æquationes,
quibus utraque ip$arum determinari queat, atque idcirco difficul-
tas omnis Problematis jam $it evoluta: indicio e$t, rectam ED
eandem $emper inveniri, etiam$i ad illam quærendam proutra-
que linearum BG, BF diver$a magnitudo accipiatur, hoc e$t,
alius atque alius circulus adhibeatur: quandoquidem Problema,
$i de linearum BG, BF longitudine ex datis BE, BC in ve$tigan-
dâ quæritur, haud determinatum exi$tit, $ed tantùm ip$ius ED.</p>
<p>Qui plura in loci hujus illu$trationem exempla de$ideret, vi-
deat quæ ad literam G $ecundi librià nobis $unt allata.</p>
<p>_Po$tea verò $i plures adhuc $uper$int, or dine quo-_
<mgl>GGG</mgl>
_que utendum erit unaquâque Æquationum reliqua-_
_rum, $ive illam con$iderando $eparatim, $ive ip$am_
_comparando cum aliis, ad explicandam unamquam-_
_que ex incognitis lineis_.] Sic, quoniam, reducto Pro-
blemate aliquo, in quo ad ip$um con$truendum tres $upponen-

<pb 157>[177]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> I.</rh>
dæ $unt incognitæ lineæ <math>x</math>, <math>y</math>, & <math>z</math>, ad duas Æquationes
<math>xx = + 2cx \\ + 2z # + bb, \\ - cc \\ - yy \\ - 2cz</math> & <math>yy = aa + 2zx = xx</math>, pro incognita lineaz,
cuinulla re$pondet Æquatio, ad arbitrium $umi pote$t linea co-
gnita <math>d</math>: potero in locum duarum præcedentium Æquationum
$cribere <math>xx = + 2cx \\ + 2d # + bb, \\ - cc \\ - yy \\ - 2cd</math> & <math>yy = aa + 2dx - xx</math>. Hinc cum
duæ $uper$int lineæ inveniendæ <math>x</math> & <math>y</math>, ordine quoque utenda
erit unaquâque Æquationum reliquarum <math>xx = + 2cx \\ + 2d # + bb, \\ - cc \\ - yy \\ - 2cd</math> &
<math>yy = aa + 2dx - xx</math>, $ive eas con$iderando $eparatim, $ive unam
cum altera comparando, ad explicandam unamquamque ex in-
cognitis lineis. Quocirca con$iderando $eparatim Æquationem
<math>yy = aa + 2dx - xx</math>, cum, quantitatibus <math>+ aa</math> & <math>- xx</math> ad alte-
ram partem $ub contrario $igno tran$latis, fiat <math>2dx = yy + xx
- aa</math>: hinc $i in altera Æquatione <math>xx = + 2cx \\ + 2d # + bb \\ - cc \\ - yy \\ - 2cd</math> pro <math>2dx</math>
$ub$tituatur <math>yy + xx - aa</math>, habebo Æquationem <math>xx = + 2cx,
+ yy + xx - aa, + bb - cc - yy - 2cd</math>. Hoc e$t, demptis æ-
qualibus, ordinatâque æqualitate, habebitur <math>2cx = aa + cc
- bb + 2cd</math>. Et fit, divisâ utrâque æqualitatis parte per <math>2c</math>,
<math>x = {aa + cc - bb + 2cd / 2c}</math>. O$tendens quâ ratione linea incognita
<math>x</math> ex cognitis <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, & ex ad arbitrium $umendâ <math>d</math> $it invenienda.
Inventâ autem lineâ <math>x</math>, ut habeatur <math>y</math>, oportet tantùm in Æqua-
tione $uperiori <math>yy = aa + 2dx - xx</math> in locum <math>x</math> $ubrogare valo-
rem inventum <math>{aa + cc - bb + 2cd / 2c}</math>, & in locum <math>xx</math> hujus valorem,
& fit <math>yy = {2aabb + 2aacc + 2bbcc - a^4 - b^4 - c^4 + 4ccdd / 4cc}</math>. Vn-

<pb 158>[178]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
de, extractâ radice, invenitur
<math>y = <r>{2aabb + 2aacc + 2bbcc - a^4 - b^4 + 4ccdd / 4cc}</r></math>. Exhi-
bens quo pacto linea incognita <math>y</math> ex cognitis <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, & ex ad arbi-
trium $umenda <math>d</math>, obtineri po$$it.</p>
<p>Cæterùm quoniam in Problemate, ad præcedentes Æquatio-
nes reducto, propter lineam <math>d</math>, quæ hîc modò major modò mi-
nor ad arbitrium $umi pote$t, lineæ quoque <math>x</math> & <math>y</math> inde majores ac
minores evadunt, atque ob id Problema non determinatum exi-
$tit, $ed infinitas recipit $olutiones: lubet & alterum Problema,
quod omnino determinatum e$t, atque in cujus $olutione, ad u-
numquemque ex quæ$itis numeris inve$tigandum, unam Æqua-
tionem cum aliâ comparavimus, in medium afferre.</p>
<h>P<sc>ROBLEMA</sc>.</h>
<p>INvenire duos numeros, quorum $umma multipli-
cata per $ummam $uorum quadratorum faciat 715;
& differentia per differentiam eorundem quadratorum
faciat 99.</p>
<p>Suppo$ito Problemate tanquam jam facto, pono pro majori
numero quæ$ito <math>x + y</math>, & pro minori <math>x - y</math>: eritque $umma quæ-
$itorum numerorum <math>= 2x</math>, & eorundem differentia <math>= 2y</math>.</p>
<p>Jam quia <math>x + y</math> & <math>x - y</math> in $e ductifaciunt <math>xx + 2xy + yy</math> &
<math>xx - 2xy + yy</math>, quorum $umma e$t <math>2xx + 2yy</math> & differentia
<math>4xy</math>: re$tat ut <math>2xx + 2yy</math> multiplicata per <math>2x</math>, & <math>4xy</math> per <math>2y</math>,
producta <math>4 x^3 + 4xyy</math> & <math>8xyy</math> $int datis numeris 715 & 99
æqualia.</p>
<p>Quocirca inventis duabus Æquationibus <math>4 x^3 + 4xyy = 715</math>
& <math>8xyy = 99</math>, ut ex iis obtineatur uterque numerus incognitus
<math>x</math> & <math>y</math>, comparo unam Æquationem cum altera:multiplicando pri-
mùm utramque partem prioris per 2, & fit 8 <math>x^3 + 8xyy = 1430</math>,
ac deinde ex ea$ubtrahendo po$teriorem <math>8xyy = 99</math>, & relin-
quitur <math>8 x ^3 = 1331</math>. In quâ, $i utrobique extrahatur radix Cu-
bica, habebitur <math>2x = 11</math>, & fit <math>x = 5 {1/2}</math>.</p>
<p>Po$tea ad inveniendum <math>y</math> dividatur Æquatio po$terior <math>8xyy
= 99</math> per jam inventam <math>2x = 11</math>, & orietur Æquatio <math>4yy = 9</math>.

<pb 159>[179]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> I.</rh>
In qua $i utrinque extrahatur radix quadrata, habebitur <math>2y = 3</math>,
& fit <math>y = 1{1/2}</math>.</p>
<p>Cæterùm inven to utroque numero incognito <math>x</math> & <math>y</math>, quoniam
<mgr>H</mgr>
pro majori quæ$itorum po$ueramus <math>x + y</math> & pro minori <math>x - y</math>:
erit major = 7, & minor = 4. Et$olutum erit Problema.</p>
<p it>Atque it a reducendo illas, efficere oportet, ut tantùm
unaremaneat, æqualis altericognitæ, aut cujus quadra-
tum, $ive cubus, $ive quadr ato-quadratum, $ive $ur de$o-
lidum, $ive quadrato-cubus & c. æqualis $it ei, quod pro-
venit ex additione vel $ubtractione duarum pluriumve
aliarum quantitatum, quarum una quidem cognita $it,
reliquæ autem compo$itæ ex quibu$dam mediis propor-
tionalibus inter unitatem & dictum quadratum, $ive
cubum, $ive quadrato-quadratum, & c. multiplicatis
per alias cognitas. Quod hoc pacto de$igno
<math>z = b</math>, _aut_
<math>zz = - az + bb</math>, _aut_
<math>z^3 = + azz + bbz - c^3</math>, _aut_
<math>z^4 = + a z^3 + bbzz - c^3 z + d^4</math>, & <math>c</math>.]
Hoc e$t, <math>z</math>, quam pro quantitate incognita $umo, e$t æqualis
quantitati cognitæ <math>b</math>. Aut quadratum lineæ <math>z</math> e$t æquale ei, quod
provenit $ubtrahendo <math>az</math> ex <math>bb</math>: quarum quidem <math>bb</math> cognita e$t;
$ed <math>az</math> compo$ita ex <math>z</math> media proportionali inter unitatem &
quadratum <math>zz</math>, ut $upra explicavimus, & ex quantitate cognita <math>a</math>.
Aut cubus lineæ <math>z</math> æqualis e$t ei, quod provenit ex additione &
$ubtractione trium quantitatum <math>azz</math>, <math>bbz</math>, & <math>c^3</math>; quarum qui-
dem <math>c^3</math> cognita e$t; at <math>bbz</math> compo$ita ex <math>z</math>, prima duarum me-
diarum proportionalium inter unitatem & cubum <math>z^3</math>, & ex quan-
titate cognita <math>bb</math>; ac denique <math>azz</math>, compo$ita ex <math>zz</math>, $ecunda di-
ctarum mediarum, & ex quantitate cognita <math>a</math>. Atque $ic de cæteris.</p>
<p>Vbinotandum e$t, per quantitates cognitas, intelligendas e$$e
eas, quæ in quæ$tionevel datæ $unt, vel per certas operationes da-
tarum quantitatum, jam traditas & notas, $ic præparatæ $unt,
ut pro cognitis $ive datis $int habendæ, atque quæ$itis $ive inco-
gnitis æquiparandæ.</p>
<p>Sic cùm ponitur <math>z = b</math>, indicatus lineam incognitam, quæ

<pb 160>[180]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
per <math>z</math> de$ignatur, æqualem e$$e alicui ex cognitis, quæ de$ignatur
per <math>b</math>. Quod quidem rarò contingit, cum incognitæ lineæ ple-
runque aliqua operatione $eu præparatione cognitarum linearum
indigeant, antequam cognitis evadant æquales.</p>
<p>Vt, $i fuerit <math>z = {cd / e}</math>. A$$umptâ pro unitate alterutrâ quantita-
tum <math>c</math>, <math>d</math>, quæ in $e invicem ductæ numeratorem con$tituunt, divi-
denda e$t reliqua per denominatorem, $ive quantitatem <math>e</math> (quem-
admodum $uperiùs e$t o$ten$um); eritque quotiens divi$ionis æ-
qualis quantitati incognitæ <math>z</math>.</p>
<p>Eodem modo $i habeatur <math>z = {cc + cd / e - f}</math>, eritut <math>e - f</math> ad <math>c = d</math>,
ita <math>c</math> ad <math>z</math>; $ive ut <math>e - f</math> ad <math>c</math>, ita <math>c + d</math> ad <math>z</math>.</p>
<p>Et $i $it <math>z = {cc - dd / e + f}</math>, erit <math>e + f</math> ad <math>c + d</math>, $icut <math>c - d</math> ad <math>z</math>; vel
<math>e + f</math> ad <math>c - d</math>, $icut <math>c + d</math> ad <math>z</math>.</p>
<p>Nec non $i habeatur <math>z = {cd + cf / g}</math>, & fiat, ut <math>c</math> ad <math>e</math>, $ic <math>f</math> ad quar-
tam, quæ vocetur <math>h</math>: poterit pro <math>e f</math> $cribi <math>c b</math>, atque adeò loco
<math>{cd + ef / g}</math> $ub$titui <math>{cd + cb / g}</math>. Vbideinde $i fiat ut <math>g</math> ad <math>c</math>, $ic <math>d + b</math> ad
quartam: $ive permutando (quod eodem recidit) ut <math>g</math> ad <math>d + b</math>,
$ic <math>c</math> ad quartam, quam vocarelubet <math>b</math>: erit <math>z = b</math>. Id quod &
aliis modis præ$tari pote$t.</p>
<p>Non $ecus $i $it <math>z = {cdef / ade - agh}</math>, & $tatuatur e$$e ut <math>a</math> ad <math>c</math>, $ic
<math>e</math> ad quartam, quæ $it <math>i</math>; erit <math>ai = ce</math>, ita ut pro <math>{cdef / ade - agb}</math> $cribi
po$$it <math>{adif / ade - agb}</math> $eu <math>{dif / de - gb}</math>. Rur$us $i ponamus e$$e ut <math>d</math> ad <math>g</math>,
$ic <math>h</math> ad quartam, quæ $it <math>k</math>: erit <math>dk = gb</math>, ita ut in locum
<math>{dif / de - gb}</math> $ubrogari po$$it <math>{dif / de - dk}</math> $eu <math>{if / e-k}</math>. Vbidenuo $i fiat, ut
<math>e - k</math> ad <math>i</math>, ita <math>f</math> ad quartam, quam vocabo <math>b</math>; fiet ut $upra <math>z = b</math>.
Quod idem variis modis fieri pote$t.</p>
<p>Denique $it <math>z = {acdd - aacc / d^3 + acd}</math>. Supponendo e$$e ut <math>a</math> ad <math>d</math>, ita
<math>d</math> ad quartam, quæ nominetur <math>e</math>: erit <math>ae = dd</math>: poteritque pro
<math>{acdd - aacc / d^3 + acd}</math> $ubftitui <math>{aacc - aacc / aed + acd}</math> $eu <math>{ace - acc / ed + cd}</math>. Rur$us $tatuen-
do e$$e ut <math>e + c</math> ad <math>e - c</math>, $ic <math>c</math> ad quartam quæ appelletur <math>f</math>,

<pb 161>[181]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> I.</rh>
fiet <math>{ce - cc / e + c} = f</math>: licebitque pro <math>{ace - acc / ed + cd}</math> reponere <math>{af / d}</math>. Vbi de-
mum $i fiat ut _d_ ad _f_, ita _a_ ad quartam, quæ vocetur _b_, fiet rur$us,
ut $upra, <math>{z = b}</math>. Quod $imiliter pluribus modis expedire licet.
A tque ita de cæteris.</p>
<p>E quibus con$tat, quantitatem incognitam <math>z</math>, po$t huju$modi
operationes at que cognitarum linearum requi$itas præparationes,
cò reduci po$$e, ut $ub una $emper $pecie efferatur, & alteri co-
gnitæ dicatur æqualis.</p>
<p>Notandum autem, huc quoque referendas e$$e æquationes in
quibus quantitatis incognitæ quadratum, aut cubus, aut quadra-
to-quadratum, & c. æquatur quantitati alicui cognitæ, ab$que
additione vel $ubductione aliarum quantitatum, quæ componun-
tur ex quibu$dam mediis proportionalibus inter unitatem & di-
ctum quadratum, aut cubum, aut quadrato-quadratum & c. mul-
tiplicatis per alias cognitas. Ubi incognita quantitas, extrahen-
do tantùm aliquam radicem, inveniri pote$t. Vt cùm <math>zz</math> æqua-
tur <math>aq</math>. Suppo$itâ lineâ <math>a</math> pro unitate, erit radix quadrata extra-
cta ex linea <math>q</math>, ut $uperiùs e$t o$ten$um, (nimirum inveniendo
inter lineas <math>a</math> & <math>q</math> mediam proportionalem,) æqualis quæ$itæ li-
neæ <math>z</math>, quæ hoc modo denotatur: <math>z = √ a q</math>. Vbi apparet,
quæ$tionem per hanc extractionem, dum planum <math>aq</math> tran$muta-
tur in quadratum <math>bb</math>, cujus latus e$t <math>b</math>, eò e$$e reductam, ut inco-
gnita quantitas alteri cognitæ dicatur æqualis.</p>
<p>Eodem modo $i <math>z^3</math> æquetur <math>aaq</math>, & quæratur <math>z</math>. A$$umptâ
rur$us <math>a</math> pro unitate, erit extracta ex <math>q</math> radix cubica, hoc e$t, in-
ventarum inter <math>a</math> primam & <math>q</math> quartam duarum mediarum pro-
portionalium (ut tertio libro o$tenditur) prior, radici quæ$itæ
<math>z</math> æqualis. De$ignabitur autem hoc pacto: <math>z = √ C. aaq</math>. Vbi
$imiliter con$tat, quòd, dum hâc operatione $olidum aliquod,
utpote <math>aaq</math>, re$olvitur in cubum <math>b^3</math>, & utrobique deinde extra-
hitur radix cubica, <math>z</math> rur$us fiat ip$i <math>b</math> æqualis.</p>
<p>Nec aliter evenit cum <math>z^4 = aaqq</math>. Etenim dum extrahitur
utrinque radix quadrato-quadrata $eu bi-quadrata, hoc e$t,
po$tquam radix $emel extracta, dat <math>zz = aq</math>, eadem adhuc $emel
repetita radicis extractio, dabit <math>z = √ aq</math>, $ive, $upponendo <math>aq</math>
in quadratum <math>bb</math> e$$e conver$um, <math>z = b</math>. Atque ita ulteriùs in in-
finitum.</p>

<pb 162>[182]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Porrò advertendum e$t, $i quantitates cognitæ, ex quibus
radix aliqua extrahi debet, $ub alia $pecie, quàm hîc expo$itum
fuit, oblatæ fuerint (ut $i ex <math>{aa + bb}</math>, aut ex
<math>{aadd - aaff - a^4 / dd + 2df + ff}</math> & c. extrahenda $it radix quadrata): quòd tunc
facile $it, non $olùm per ea, quæ jam tradita $unt, $ed & aliis modis
quantitates datas in alias tran$mutare: ita ut non aliter ex illis ra-
dices extrahendæ $int, ac $i ex quantitate <math>aq</math> extrahendæ forent
Quod & de radice cubica, quadrato-quadrata, aliisque in infini-
tum, e$t intelligendum.</p>
<p>_Atque ideo $ufficiet vos monere, $i quis in reducendis_
<mgl>I</mgl>
_bi$ce æquationibus non omi$erit uti divi$ionibus omnibus,_
_quæ fieripo$$unt, & c._] Vbinotandum, inter quatuor opera-
tionum $pecies, Additionem & Subtractionem non reddere ter-
minos alicujus quæ$tionis difficiliores, quippe quos tantùm $ignis
+ vel - conjungunt aut disjungunt; quæ quidem $igna diver$a
genera non con$tituunt. Multiplicationem verò quod attinet, ea
e$t, quâ termini involvuntur vel intricantur, & dimen$iones au-
gentur; quæ contra Divi$ione extricantur & minuuntur. Idem de
radicum extractione intellige, quæ, ut $upra dictum fuit, divi$ionis
tantùm $pecies e$t habenda. Adeò ut ad inveniendos terminos
$implici$$imos ad quos quæ$tio aliqua reduci queat, maximopere
ob$ervandum $it, ut in reducendis Æquationibus, omnes divi-
$iones atque extractiones, quæ fieri po$$unt, tentemus. Cujus rei
exemplum non inelegans $uggerere pote$t demon$tratio proprie-
tatis Parabolæ tertio libro adducta.</p>
<p>_Erit tota O M æqualis z, line æ quæ$it æ. Quæ quidem_
<mgl>K</mgl>
_$ic exprimitur:_ <math>z = {1/2} a + <r>{1/4} aa + bb.]</r></math> Sciendum hîc
e$t, æquationem propo$itam <math>zz = az + bb</math>, juxta ea, quæ haben-
tur lib. III. pag. 69, aliam adhuc habere radicem, minorem quàm
nihil, quæ à D. des Cartes fal$a appellatur, quæque hîc per
lineam P M de$ignatur, atque hoc modo exprimitur <math>z = {1/2} a
- <r>{1/4} aa + bb</r></math>. Quemadmodum facilè demon$trari pote$t. Si
enim, po$itâ <math>z = {1/2} a - <r>{1/4} aa + bb</r></math> auferatur utrinque <math>{1/2} a</math>, &
inde utraque pars <math>z - {1/2} a</math>, & <math>- <r>{1/4} aa + bb</r></math> in $e ducatur quadra-
tè, fiet <math>zz - az + {1/4} aa = {1/4} aa + bb</math>. Vbi $i demum utrinque de-
matur <math>{1/4} aa</math>, & <math>- az</math> in alteram partem transferatur, fiet <math>{zz = az
+ bb}</math>.</p>

<pb 163>[183]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> I.</rh>
<p>_Eritque reliqua P M æqualis y, radici quæ$itæ: It a ut_
<mgr>L</mgr>
_fiat_ <math>y = - {1/2} a + <r>{1/4} aa + bb.]</r></math> Verùm æquatio <math>yy = - ay + bb</math>
admittit adhuc aliam radicem, minorem quàm nihil, quæ per li-
neam OM de$ignata ita exprimitur, <math>y = - {1/2} a - <r>{1/4} aa + bb.</r></math>
Cujus demon$tratio ad exemplar præcedentis fieri pote$t.</p>
<p>_Nec aliter fit, $iproponatur_ <math>x^4 = - axx + bb, P M</math>
<mgr>M</mgr>
_enim e$$et_ <math>xx</math>, _& baberetur_ <math>x = <r> -{1/2} a + <r>{1/4} aa + bb.]</r></r></math>
Quoniam enim <math>x^4 = - axx + bb</math>, transferendo <math>- axx</math> in al-
teram æquationis partem, erit <math>x^4 + axx = bb</math>. & additâ utrique
parti <math>+ {1/4} aa</math>, proveniet <math>x^4 + axx + {1/4} aa = {1/4} aa + bb</math>. Iam verò
extractâ utrobique radice, invenietur <math>xx + {1/2} a = <r>{1/4} aa + bb.</r></math>
ac proinde tran$ponendo <math>+ {1/2} a</math>, ut <math>xx</math> unam con$tituat æquatio-
nis partem, erit <math>xx = - {1/2} a + <r>{1/4} aa + bb.</r></math> Vnde extractâ rur-
fus utrinque radice, fiet <math>x = <r>- {1/2} a + <r>{1/4} aa + bb.</r></r></math></p>
<p>Eodem modo $i habeatur <math>z^4 = a z^2 + bb</math>, erit
<math>z = <r>{1/2} a + <r>{1/4} aa + bb.</r></r></math> Nam cum <math>z^4 = a z^2 + bb</math>, erit per
tran$po$itionem <math>z^4 - a z^2 = bb</math>. Addatur jam utrinque <math>{1/4} aa</math>,
fietque <math>z^4 - a z^2 + {1/4} aa = {1/4} aa + bb</math>. Vnde, extractâ utrobi-
que radice, prodibit <math>z^2 - {1/2} a = <r>{1/4}aa + bb.</r></math> hoc e$t,
<math>z^2 = {1/2} a + <r>{1/4} aa + bb,</r></math> & per con$equens
<math>z = <r>{1/2} a + <r>{1/4} aa + bb.</r></r></math></p>
<p>Similiter $i $it <math>z^4 = a z^2 - bb</math>, erit <math>z = <r>{1/2}a + <r>{1/4}aa - bb,</r></r></math>
nec non <math>z = <r>{1/2} a - <r>{1/4} aa - bb.</r></r></math> Cum enim <math>z^4</math> æquetur
<math>a z^2 - bb</math>, & per tran$po$itionem <math>z^4 - a z^2 = - bb</math>; addatur u-
trinque <math>{1/4} aa</math>, fietque <math>z^4 - a z^2 + {1/4} aa = {1/4} aa - bb</math>. Quare ex-
tractâ utrobique radice, emerget <math>z^2 - {1/2} a = <r>{1/4} aa - bb</r></math>, hoc
e$t, <math>z^2 = {1/2} a + <r>{1/4} aa - bb</r></math>, ac per con$equens
<math>z = <r>{1/2} a + <r>{1/2} aa - bb.</r></r></math> Porrò quoniam radix ex <math>z^4 - a z^2
+ {1/4} a a</math> e$t quoque <math>{1/2} a - z^2</math>, hinc & <math>{1/2} a - z^2 = <r>{1/4} aa - bb</r></math>,
hoc e$t, <math>z^2 = {1/2} a - <r>{1/4} aa - bb</r></math>, ac per con$equens
<math>z = <r>{1/2} a - <r>{1/4} aa - bb</r></r></math>.</p>

<pb 164>[184]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Cæterùm ut Geometricè inveniantur harum æquationum ra-
dices, $ciendum e$t, quòd, dum omnes termini non æquè multas
habent dimen$iones, toties illic, ubi numero pauciores haben-
tur, $ubintelligenda $it unitas, quoties requiritur; ut in æqua-
tione <math>x^4 = - axx + bb</math>. Quia in termino <math>axx</math> tres duntaxat
dimen$iones reperiuntur, & in termino <math>bb</math> tantùm duæ, cogi-
tandum e$t, terminum <math>axx</math>, ut dimen$iones fiant æquales, le-
mel per unitatem e$$e multiplicatum, terminum autem <math>bb</math> bis.
A deò ut, $i pro unitate accipiamus <math>c</math>, æquatio $it <math>x^4 = - caxx
+ ccbb</math>. Verùm expedit unitatem illam tanti$per di$$imulare,
& æquationem hanc <math>xx = - ax + bb</math> u$urpare, donec radi-
cem ejus Geometricè, ut traditum e$t, invenerimus, nimirum
lineam PM, quæ exprimitur hoc pacto: <math>x = - {1/2} a + <r>{1/4} aa + bb.</r></math>
Ita ut deinde tantùm opùs $it ex <math>- {1/2} a + <r>{1/4} aa + bb</r></math> extrahe-
re radicem quadratam $eu inter inventam lineam PM & unita-
tem <math>c</math> invenire mediam proportionalem, ut Geometricè obti-
neatur radix <math>x = <r>- {1/2} a + <r>{1/4} aa + bb.</r></r></math> Atque ita in aliis.</p>
<p>Vnde liquidò con$tat, ad inveniendas harum æquationum ra-
dices, nihil aliud requiri, quàm quod circa priores tres Æqua-
tionum formulas, & radicis quadratæ extractionem Auctor præ-
cepit. A deò ut hinc $imul manife$tum $it, quo pacto, poftquam
$ic linea aliqua pro unitate a$$umpta vel concepta fuerit, (quem-
admodum hujus Geometriæ methodus requirit) Problemata
omnia Geometriæ communis, hoc e$t, quæ rectarum linearum
& circulorum beneficio con$trui po$$unt, per ea tantùm, quæ ab
Authore per 4 figuras 1<_>mi</_> libri expo$ita $unt, expediriqueant,
quemadmodum pag. 7 monuit.</p>
<p>_Quod $i circulus, centrum $uum habens in puncto N,_
<mgl>N</mgl>
_tran$ien$que per punctum L, non $ecet nec tangat lineam_
_rectam M Q R, nullam itidem Æquatio radicem ad-_
_mittet, it a ut inde a$$erere liceat, con$tructionem Proble-_
_matis propo$iti e$$e impo$$ibilem_.] Quod itidem ex Æquatione
cogno$ci pote$t. Nam cum Æquatio $it certum medium, quo Pro-
blema aliquod re$olvitur, $anè, $i re$olvendo incidimus in æqua-
tionem impo$$ibilem, argumentum e$t, Problema quoque e$$e im-
po$$ibile. Arguitur autem impo$$ibilitas illa ex contradictione,

<pb 165>[185]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> I.</rh>
quam involvit, cùm nempe in ea $tatuitur minor quantitas æquari
alicui majori, vel cùm jubemur ad eam re$olvendam aliquid præ-
$tare, quod $ieri nullo modo pote$t, ut, quantitatem aliquam ma-
jorem à minore $ubducere. Quemadmodum in æquatione <math>zz =
az - bb</math>. quoniam ad inveniendam radicem <math>z</math>, <math>bb</math> ex <math>{1/4} aa</math> $ubtrahi
debet; oportet ut <math>bb</math> non $it majus quàm <math>{1/4} aa</math>, $ive ut <math>b</math> non $it ma-
jus quàm <math>{1/2} a</math>. Aliàs enim radix ejus $ic explicari non po$$et, & æ-
quatio impo$$ibilis foret. Quod & ex eju$dem con$titutione licet
agno$cere, $i in ea duæ $int radices veræ. Si enim ponamus <math>z = c</math>,
$eu <math>z - c = o</math>, itemque <math>z = d</math>, $eu <math>z - d = o</math>, atque deinde mul-
tiplicemus <math>z - c = o</math> per <math>z - d = o</math>, ex$urget æquatio
<math>z^2 - c \\ - d # z + cd = o</math>, $eu <math>zz = + c \\ + d # z - c d</math>. In qua $i <math>+ c + d</math> in-
terpretemur per <math>+ a</math>, & <math>- cd</math> per <math>- bb</math>, habebimus æquationem
propo$itam <math>zz = az - bb</math>. Adeò ut con$tet æquationem hanc
duas veras radices admittere, $eu quæ majores $unt quàm o, qua-
rum quidem $umma e$t <math>a</math>, & productum ex earum multiplica-
tione <math>bb</math>.</p>
<p>Sed ut duas $emper veras radices recipiat, requiritur, ut <math>bb</math>
non $it majus quàm <math>{1/4} aa</math>, $eu, <math>b</math> non majus quàm <math>{1/2} a</math>: quoniam
maximum productum quod fit ex partibus ip$ius <math>a</math>, e$t, cùm <math>a</math> in
duas partes æquales dividitur. Vbinotandum, quòd ubi <math>bb = {1/4} aa</math>,
<math>{1/2} a</math> e$$e <math>z</math>, quæ quæritur, atque æquationem eo ca$u unam tan-
tùm $ortiri radicem, aut duas quidem, $ed æquales. At verò <math>bb</math>
exi$tente majore quàm <math>{1/4} aa</math>, æquationem e$$e impo$$ibilem, nec
ullam admittere radicem. Id quod $imiliter de æquatione
<math>zz = - az - bb</math> e$t intelligendum, quæ de duabus fal$is radici-
bus e$t explicabilis. Vt patet ex ejus con$titutione. Etenim po-
nendo <math>z = - c</math> $eu <math>z + c = o</math>, nec non <math>z = - d</math> $eu <math>z + d = o</math>,
& multiplicando <math>z + c = o</math> per <math>z + d = o</math>: proveniet Æquatio
<math>zz + c \\ + d # z + cd = o</math>, $eu <math>zz = - c \\ - d # z - cd</math>.
In qua $i interpretemur <math>- c - d per - a</math>, & <math>- cd</math> per <math>- bb</math>, e-
merget æquatio propo$ita <math>zz = - az - bb</math>. Cujus porrò radices
Geometricè inveniuntur perinde atque Æquationis præceden-
tis quæ denique $ic exprimuntur <math>z = - {1/2} a + <r>{1/4} aa - bb,</r></math>
& <math>z = - {1/2} a - <r>{1/4} aa - bb</r></math>.</p>
<p>Cæterùm quod ad duas reliquas æquationes attinet, primam

<pb 166>[186]<rh>F<sc>R</sc>. à S<sc>CHOOTEN</sc> C<sc>OMM. IN</sc> L<sc>IB</sc>. I.</rh>
videlicet <math>zz = az + bb</math>, & $ecundam <math>yy = - ay + bb</math>, eæ
nulli determinationi $unt obnoxiæ, & $emper per duas radices
explicari po$$unt, unam veram & alteram fal$am. Vt $i pona-
tur <math>z = c</math>, $eu <math>z - c = o</math>, & <math>z = - d</math>, $eu <math>z + d = o</math>, & multi-
plicetur <math>z - c = o</math> per <math>z + d = o</math>; fiet <math>z^2 - c \\ + d # z - cd = o</math>, $eu
<math>z^2 = + c \\ - d # z + cd</math>. In qua æquatione $i $tatuamus _c_ majorem e$$e
quàm <math>d</math>, ita ut exce$$us $it penes <math>c</math> cum $igno +, atque <math>+ c - d</math>
interpretemur per <math>+ a</math>, & <math>+ cd</math> per <math>+ bb</math>, habebimus eandem
æquationem, quam priùs, nimirum <math>z^2 = az + bb</math>. Adeò ut per-
$picuum $it ip$am de duabus inæqualibus radicibus e$$e explica-
bilem, majore vera & minore fal$a. At verò $i ponamus <math>c</math> mino-
rem quàm <math>d</math>, ita ut exce$$us $it penes <math>d</math> cum $igno -, atque
<math>+ c - d</math> interpretemur per <math>- a</math>, & <math>+ cd</math> per <math>+ bb</math>; prodibit
æquatio $ecundæ formæ: nimirum, <math>z^2 = - az + bb</math>, quippe
quæ à duabus inæqualibus radicibus explicatur, quarum minor
e$t vera, major autem fal$a. Denique $i <math>d</math> con$tituatur ip$i <math>c</math> æqua-
lis, de$truent $e invicem <math>+ c</math> & <math>- d</math>, & evane$cet $ecundus ter-
minus <math>az</math>, & erit Æquatio <math>z^2 = ^* + bb</math>, cujus duæ radices, ve-
ra <math>+ b</math> & fal$a <math>- b</math>, $unt æquales.</p>
<p>E quibus omnibus apparet, ad æquationes allatas Geometricè
re$olvendas, earumque radices juxta regulas hîc traditas commo-
dè explicandas, requiri, ut ultimus terminus de$ignetur per <math>bb</math>, aut
ad eam formam, $icut $uperiùs e$t o$ten$um, reducatur.</p>

<pb 167>[187]
<h>ARGVMENTVM</h>
<h>SECVNDI LIBR I.</h>
<p it>_S_Ecundus liber agit de lineis curvis, earumque naturam
explicat, docendo, quænam illæ $int, quas in Geometriam
recipere oportet, quæque Geometricæ appellandæ $unt,
itemque quo pacto po$$int cogno$ci. Modus autem eas co-
gno$cendi in eo con$i$tit, quòd de$cribi po$$int per motum
aliquem continuum, vel per plures eju$modi motus, quorum po$teriores
regantur à prioribus. Verùm enimverò licèt allato modo de$criptæ cur-
væ omnes in Geometriam $int recipiendæ, at que pro Geometricis agno-
$cendæ tamen ad comprebendendas omnes, quæ $unt in natura, & ip$as
ordine di$tinguendas in certagenera, prout gradatim magis magi$que in
infinitum $unt compo$itæ, aptiùs quidquam afferrinequit, quàm ut in
genere dicatur: illas omnes Geometricas e$$e appellandas, quarum omnia
puncta ad omnia lineæ rectæ puncta certam habent relationem, quæ ex-
primi pote$t per aliquam æquationem, $e indifferenter ad omnia utriu$-
que lineæ puncta extendentem. Et quidem, quòd, cùm æquatio illa ul-
tra rectangulum $ub duabus quantitatibus indeterminatis, _(_quæ ad di-
ctam relationem explicandam requiruntur_)_ aut ultra quadratum unius
ex ip$is non a$cendit, linea curva tunc primi & $implici$$imi $it generis
(in quo tantùm Circulus, Parabola, Hyperbola, & Ellip$is $unt compre-
ben$æ.) At verò cùm ip$a ad tres quatuorve dimen$iones a$cendit, quòd
illa tunc $it $ecundi generis. Cùm verò ad 5 aut 6 dimen$iones ad$cen-
dit, quòd illa tunc $it tertii generis. Atque it a porrò in infinitum.</p>
<p it>Vbi porrò facilè e$t intelligere, quænam $int, quæ ex Geometria $int
rejiciendæ, & inter Mechanicas ponendæ: Quandoquidem curvæ illæ
omnes, quæ inter prædictas non comprehenduntur, ab hac Geometria
rejiciuntur. Cuju$modi $unt illæ omnes, quæ per motus continuos de-
$cribi nequeunt, & ubi po$t eriores à prioribus non dependent, $ed per
duos motus de$cribi concipiuntur, qui $unt à $e invicem di$tincti, nul-
lamque relationem habentes, quæ po$$it exactè men$urari, $ive quarum
omnia puncta ad omnia lineæ rectæ puncta relationem non habent, quæ
per aliquam æquationem omnibus communem exprimi po$$it.</p>
<p it>Po$tquam autem o$tendimus, quo pacto lineæ curvæ ab Auctore di-
$tinguantur, tam in illas, quas in Geometriam cen$et introducendas,
quam in illas, quas pari jure ab ea cen$et arcendas: ac denique quâ ratio-

<pb 168>[188]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
ne illæ in certa genera $int diftinguendœ operœ pretium videtur ut dein-
ceps ea, quœ Antiqui circaip$as contemplati fuêre, expendamus. Quæ
quidem ex iis, quœ afferuntur à Pappo ad propo$itionem 4<_>tam</_> libritertii,
ut & ad prop<_>nem</_> 30 libri quarti Collectionum Matbematicarum, hand
difficulter colligi po$$unt. Vbi, po$tquam explicavit, Problematum
Geometricorum tria ab Antiquis genera fui$$e con$tituta, quorum alia
dicuntur Plana, alia Solida, alia denique Linearia; nimirum prout
quœdam ex ip$is $olvi po$$unt, de$cribendo tantùm rectas lineas & circu-
lorum circumferentias; & alia, quœ con$trui nequeunt, quin ad mini-
mum adbibeatur aliqua Conica$ectio; & reliqua denique quin in con-
$tructionem a$$umatur alia demum curva linea: Tandem de duarum
mediarum inventione loquitur, quas inquit Geometricœ rationi innixos
invenire non potui$$e. Quorum quidam, a$$erentes, Problema $olidum
e$$e, re$olutionem per Conicas $ectiones, $ive $olidos locos, fecerunt; alii
autem per alias curvas, $ive locos lineares; ac alii denique con$tructionem
ejus in$trumentis tantùm perfecerunt. Nullum autem eorum fui$$e, qui
re$olutionem per locos planos, $ive rectas lineas & circulares, ab$olverit.</p>
<p it>Vbi apparet, quòd tantummodo con$tructiones illas Geometricas ap-
@ellaverint, quœ per rectas lineas & circulorum circumferentias perfi-
ciebantur; quodque con$tructiones in genere non aliter re$pexerint,
quàm quatenus ip$arum perfectio à manuum dexteritate & in$tru-
mentorum perfectione profici$ceretur. Vnde cum ad planorum Proble-
matum con$tructiones non ni$irectas lineas & circulorum circumferen-
tias adbibendas e$$e viderent, quœ omnium facillimè at que expediti$$imè
regulœ & circini beneficio (utpote per in$trumenta omnino $implicia) in
plano de$cribuntur, & $ectiones Conicas reliquasque curvas lineas, va-
rium & difficilem ortum babentes, in plano de$ignare difficile exi$tima-
rent, ideoque de$criptionem earum minus certam $tatuerent; factum in-
de quoque, ut $olam Planorum con$tructionem, Geometricam pronun-
tiarent: adeoque non nifirectas lineas & circulares, reliquas verò non
item, pro Geometricis agno$cerent. Quod quare ita di$tinxerint, non vi-
deo. Quandoquidem rectas lineas & Circulos perinde atque Parabolas,
Hyperbolas, & Ellip$es ex Cono $ecari po$$e ab Apollonio $cio o$ten$um.
Qui porrò po$tquam plurimas proprietatestribus hi$ce $ectionibus pari-
ter atque Circulo convenire o$tendit, & quidem propter mirificas Conico-
rum Theorematum demon$trationes, cum non $olùm illâ tempe$tate, ve-
rùm etiam $equentibus $œculis, magnus Geometra $it appellatus, non ap-
paret quam ob cau$am prœdictœ lineœ non œquè ac rectœ & circulares pro

<pb 169>[189]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
Geometricis fuerint babitœ. Adeò ut non $olùm Veteribusillis, $ed
etiam Vietœ eju$que a$$eclis a$$entirinequeam, dum Geometriœ defe-
ctum bîc $u$picantes, neque Hyperbolas, neque Parabolas χατ' '<?>πτςημο-
υιγ\‘gν λόγον in Geometricis de$cribi a$$everant, ac proinde Menœchmi
inventionem duarum mediarum per Parabolœ & Hyperbolœ, $ive
etiam per binarum Parabolarum inter$ectionem, veluti non Geome-
tricam re$puunt. Quam $anè _(_meo judicio_)_ non minùs Geometricam
cen$ere oportet, quam illam, quœ ab Euclide affertur in Problema
I<_>mum</_> Libri I<_>mi</_> Elementorum: $iquidem punctum, in quo bœ $ectiones
$ibi mutuò occurrunt, non minùs $cientificè invenitur, quàm illud, in
quo binicirculi $e invicem inter$ecant, ad de$cribendum triangulum
œquilaterum.</p>
<p it>Cœterùm $i afferatur, ideo ba$ce lineas Geometricas non fui$$e dictas,
eò quòd in$trumentis de$cribi viderent; Annon ob eandem rationem
linea recta & circular is non Geometricœ fui$$ent dicendœ, cum ad illas
in plano de$cribendas regulâ at que circino $it opus? Adeò ut $i τιχνιχὴν
καὶ <?>πςνμομιχη\‘ν χειρονργίαν Vieta vocaverit con$tructionem illam
quatenus ip$aregulœ & circini beneficio perficitur; Annon parijure ar-
tificio$am atque $cientificam appellare licebit con$tructionem illam,
quœ non ni$i in$trumentis perfici pote$t, quœ majorem indu$triam
atque artificium in $ui compo$itionem requirunt, cuju$que demon-
$tratio $imul ex penitiori Geometriœ penu e$t depromenda? Quo-
circa cum recta & circularis non Geθmetricœ non dicantur, neque
etiam con$tructiones per ip$as factœ ratum igitur e$to, quòd neque
Sectiones Conicœ, quœ cum circulari unum genus curvarum linearum,
illudque primum _(_ut $upra dictum fuit_)_ apud Auctorem no$trum
con$tituunt; neque etiam omnes $uperiorum generum curvæ, con$tru-
ctionesque quœ per ip$as fiunt, aliœ quàm Geometricœ $int babendœ,
prout demon$tratio illas tales e$$e comprobabit. Hœc aut em de curvis li-
neis dicta $ufficiant. Re$tat ut porrò ea, quœ hoc libro ab Autore per-
tractantur, paucis exponamus.</p>
<p it>Explicatâ linearum curvarum naturâ re$umit quœ$tionem Pappi
ab Antiquis quœ$itam, quam primo libro explicuit, at que re$olvere ince-
pit; talem deinde ip$am declarans, ut po$t quam in aliis atque aliis li-
neis propo$ita e$t, illa quoque alias atque alias curvas lineas, $olutio-
nem prœbentes, quœque diver$igeneris $int, prout debita ratio numeri
linearum babeatur, admittat. Adeò ut nulla curva linea $it $ub calcu-
lum cadens, quœque in Geometriam juxta ejus definitionem recipi po$$it

<pb 170>[190]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
quod $anè ob$ervatione dignum,_)_ quœ non etiam $imul pro certo ali-
quo linearum numero utilis exi$tat.</p>
<p it>Vbi prœterea notandum e$t, quòd eam $ic re$olvere doceat, ut $imul
omne illud, quod ad locorum planorum atque $olidorum compo$itionem
$pectat, exponat, $icque paucis complectatur, non $olùm quœ$tionis pro-
po$itœ $olutionem in tribus quatuorve lineis, $ed etiam $olidorum loco-
rum compo$itionem, tantopere à Veteribus quœ$itam. Nullos enim ex
i$tis locis omi$it, prœter omnium $implici$$imos, quosfacilitatis causâ
neglexit.</p>
<p it>Po$t bœc autem, quœ$tione in 5 lineis propo$it â, docet quœnam prima
& $implici$$ima $it linearum omnium, quœ ibidem in$ervire po$$int. At-
que ita tandem illi finem imponit. Quibus peractis declarat, quòd, ad
inveniendas omnes proprietates curvarum linearum, $ufficiat $cire re-
lationem, quam illarum puncta habent ad puncta lineœ rectœ, $icut
etiam quo pacto ínveniri po$$int lineœ rectœ, quœ ip$as $ecent in datis
punctis ad angulosrectos. Quod quidem $ubtili$$imâ ac mirabili pro$e-
quitur metbodo, meoque judicio digna, ut inter ingenio$i$$ima bomi-
num inventa celebretur. Po$tea verò ne quid de$it, quod ad u$um cur-
varum linearum ibidem propo$itarum $pectare videretur, o$tendit ip$as
diver$as babere proprietates, quœ nequaquam $ectionum Conicarum
proprietatibus cedunt, de$cribitque quœdam Ovalium genera, ad
radiorum reflexionem atque refractionem per $pecula & vitra, appri-
mè conducibilia: adeoque in Catoptrica at que Dioptrica u$um in$ignem
babentia. Denique o$tendit, quo pacto, quœ de lineis curvis explicuit,
adplicari etiam po$$int ad lineas curvas, quœ per motum aliquem ordi-
natum quorundam punctorum alicujus corporis in $patio trium dimen-
$ionum de$cribi po$$unt. Atque ita, quœcunque ad curvarum linea-
rum cognitionem nece$$aria $unt, breviter ab$olvit. Quantùm autem
ad Geometriam promovendam, eju$que arcana detegenda, nec non va-
rias illius functiones cogno$cendas hic liber faciat, vel ea ip$a quœ in illo
pertractantur, ac modò recen$uimus, te$taripo$$unt; tum etiam, quia
in eo via ad $urde$olida, altioraque loca, bactenus incognita, inve$tigan-
da $ternitur, atque in eo infinitœ $peculationis campus aperitur.</p>

<pb 171>[191]
<h>COMMENTARII
_IN_
LIBRVM SECVNDVM.</h>
<p>QV<sc>EMADMODVM</sc> _illa re ipsâ nul-_
_la alia e$t quàm Hyperbola._] Si
enim producatur A G ad D, ut D G æqua-
lis $it E A $eu N L, & per D agatur re-
cta D F ip$i C K parallela, occurrens rectæ
A B in F: erit D F una ex A $ymptotis, &
A F altera. Quod facilè demon$trari po-
te$t. Supponamus namque lineam G O C E
Hyperbolam e$$e, cujus A $ymptoti D F, F A, & utraque D G,
E A æqualis $it ip$i N L; nec non D F ip$i C K parallela, ut dixi-
<fig>
<var>F Q O P K N L H I R C B D G M E A</var>
</fig>

<pb 172>[192]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
mus; hoc e$t, angulus D F A æqualis $it angulo C K B. Produ-
catur autem B C, ut $ecet D F in I; & per D agatur recta D H
parallela ip$i A F, occurrens cum B C in H. Quoniam igitur $i-
milia $unt triangula D H I & K L N triangulo F A D, erunt &
ip$a inter $e $imilia. Vnde erit ut K L ad L N, hoc e$t, ut <math>b</math> ad <math>c</math>,
ita D H $eu A B, hoc e$t, <math>x</math>, ad H I, quæideo erit <math>{cx / b}</math>. Deinde
$ubductâ H I ex H B $eu D A, hoc e$t, <math>{cx / b}</math> ex <math>a + c</math>, relinquetur
IB, <math>{a + c - cx / b}</math>. E qua $i auferatur B C $eu <math>y</math>, remanebit I C,
<math>a + c - {cx / b} - y</math>. Quia verò in Hyperbola rectangulum I C B
æquatur rectangulo D E A, per 10 prop. 2<_>di</_> libri Conicorum
A pollonii; ideo $i multiplicetur I C per C B, hoc e$t, <math>{a + c -
ex / b - y}</math> per <math>y</math>, fiet rectangulum I C B, <math>{ay + cy - cxy / b - yy</math>,
æquale rectangulo D E A $eu <math>ac</math>, hoc e$t, ei quod fit ex ductu
ip$ius D E $eu G A in E A. Quare ordinatâ æquatione, factaque
tran$po$itione, ut <math>yy</math> unam obtineat æquationis partem, inve-
nietur <math>{yy = cy - cxy / b + ay - ac}</math>. Quæ æquatio eadem e$t,
quæ $upra ex motu regulæ G L & rectæ lineæ C K fuit inventa.
A deò ut affirmare liceat, de$criptam lineam curvam C E Hyper-
bolam e$$e, cujus A $ymptoti A F, F D; quemadmodum $up-
po$uimus. Quorum pleniorem demon$trationem qui de$iderat,
con$ulat caput 6<_>tum</_> tractatus no$tride Organica Conicarum Se-
ctionum in plano de$criptione, ubi ca$us omnes pro$ecuti$umus.</p>
<p>Sed utile fuerit unum aut alterum Problema $imile adjun-
gere.</p>
<p>In plano quocunque concipiatur moveri A B regula, mobilis
circa punctum fixum A, atque huic regulæ affixa alia æqualis re-
gula B D, in puncto B, ut $imiliter circa punctum B in eodem
plano moveri po$$it. A$$umpto autem in B D inter B & D quo-
vis puncto E, & commoto puncto D per rectam lineam A D;
Quæritur cujus generis $it curva linea, quam punctum E motu
illo de$cribit?</p>
<p>Quoniam igitur ad hanc quæ$tionem oportet cogno$cere re-
lationem, quam hujus curvæ puncta habent ad puncta lineæ rectæ
A D, in qua punctum A e$t datum: $uppono ex puncto E, ad

<pb 173>[193]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<fig>
<var>I B G E F L _P_ A _n q_ N _g_ D K</var>
</fig>
quod in$trumentum huic curvæ de$cribendæ in$erviens e$t ad-
plicatum, demi$$am e$$e $uper A D perpendicularem E N. Et
quidem cum E N, N A duæ $int quantitates indeterminatæ ac
incognitæ; voco unam <math>x</math>, & alteram <math>y</math>. Deinde, ut relationem
unius ad alteram inve$tigem, con$idero etiam quantitates co-
gnitas A B vel B D, & D E, quæ hujus curvæ de$criptionem de-
terminant; illamque appello <math>a</math>; hanc verò <math>b</math>. Tum quia triangu-
lum N E D e$t rectangulum, à quadrato ex D E, hoc e$t <math>bb</math>, au-
fero quadratum ex N E, hoc e$t, <math>xx</math>, & relinquitur quadratum
ex N D, $eu <math>bb - xx</math>, cujus radix <math><r>bb - xx</r></math> e$t ip$a linea N D.
Porrò demi$sâ ex B fuper A D perpendiculari B <math>q</math>, $ecabitur re-
cta A D ab ip$a bifariam in <math>q</math>, propter æqualitatem regularum A B
& B D, fientque triangula B <math>q</math> D & E N D $imilia. Vnde erit ut
D E ad D N, hoc e$t, <math>b</math> ad <math><r>bb - xx</r></math>; ita D B, hoc e$t, <math>a</math>, ad D <math>q</math>,
$eu <math>{a / b} <r>bb - xx</r></math>. & fit <math>A D = {2 a / b} <r>bb - xx.</r></math> Cæterùm cum A N
$it <math>= y</math>, & <math>N D = <r>bb - xx,</r></math> erit tota <math>A D = {y + <r>bb - xx.</r>}</math>
A deò ut habeatur æquatio inter A D bis inventam, hoc e$t, inter
<math>{2 a / b} <r>bb - xx</r> & y + <r>bb - xx,</r>}</math> vel, inter <math>{2 a / b} <r>bb - xx</r>
- <r>bb - xx</r></math> $eu <math>{2 a - b / b} <r>bb - xx</r> & y</math>. Et multiplicatâ utrâque
æqualitatis parte in $e, ut $igna radicalia evane$cant, & æquatio
ab a$ymmetria liberetur, fit <math>4aa - 4ab + bb - {4 aaxx / bb} + {4 axx / b}
- xx = yy</math>. Quæ æquatio $i per tran$po$itionem ac divi$ionem

<pb 174>[194]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
ordinetur, ita ut <math>xx</math> unam teneat æquationis partem ($i $it <math>x</math> quam
invenire volumus, relinquendo <math>y</math> indeterminatam), invenietur
<math>xx = {4aabb - 4a b^3 + b^4 - bbyy / 4aa - 4ab + bb}</math>, vel <math>xx = bb - {bbyy / 4aa - 4ab + bb}</math>.
Vnde cum æquatio non a$cendat ultra quadratum unius ex quan-
titatibus indeterminatis, quemadmodum & $uperiùs in Hyper-
bola evenit: con$tat, lineam curvam de$criptam e$$e primi gene-
ris, quippe quæ alia non e$t quàm Ellip$is, juxta ea quæ $ecundo
capite tractatus no$tri de Organica Conicarum $ectionum de$cri-
ptione demon$travimus. Vbi advertere licet praxin (quam &
Clavius lib. <sc>I</sc>. $uæ Gnom. affert prop. 26<_>tâ</_>) de$cribendi Ellip$in
per puncta, quæ ex inventa æquatione colligi pote$t, quæque li-
gnariis & cæmentariis in extruendis fornicibus familiaris e$t, at-
que in orthographicis Sphæræ delineationibus u$um habet in$i-
gnem. Nam $i productâ A B ad I, ut B I $it æqualis B E, centro A.
intervallo A I circulus de$cribatur, $ecans A D, hinc inde produ-
ctam, in L & K: erit L K axis tran$ver$us Ellip$is. Rectus autem
invenitur, $i ex eodem centro, intervallo D E, circulus de$criba-
tur <math>p</math> G F <math>g</math>, $ecans A I in F. Erit enim A G $emi$$is axis recti. Et $i
à puncto F ip$i A D ducatur F E parallela, $ecans I N in E: erit
punctum E unum ex punctis, per quod Ellip$is tran$ire debet.
Quo quidem modo infinita alia puncta inveniuntur. Quod & ex
calculo fit manife$tum: E$t enim A I <math>2a - b</math>, & A N <math>y</math>; e$tque
ut A I $eu <math>2a - b</math> ad A N $eu <math>y</math>, ita A F $eu <math>b</math> ad A <math>n</math>, quæ ideo e$t
<math>{by / 2a - b}</math>. Cujus quadratum <math>{bbyy / 4aa - 4ab + bb}</math> $i auferatur à quadrato
ex A F $eu <math>bb</math>, remanebit quadratum ex _n_ <math>F = bb - {bbyy / 4aa - 4ab + bb}</math>,
utpote æquale <math>xx</math> quadrato lineæ N E. Quemadmodum fuit in-
ventum.</p>
<p>Eodem modo operaberis in quæ$tione $equenti, quæ ultima
e$t propo$itio lib. 4<_>ti</_> collectionum Mathematicarum Pappi Ale-
xandrini.</p>
<p>Quæritur cujus generis $it curva linea A F D B, cujus hæc e$t
proprietas: ut, deductâ, à quolibet ejus puncto, ut D, per-
pendiculari D C, in rectam A B, po$itione & magnitudine da-
tam, id quod $ub perpendiculari D C & alia quadam data linea <math>k</math>
continetur, æquale $it rectangulo, quod $ub $egmentis A C, C B
comprehenditur.</p>

<pb 175>[195]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<fig>
<var>_k_ F D A E C B</var>
</fig>
<p>Sectâ A B bifariam in E, pono A E vel <math>E B = a</math>, <math>E C = y</math>,
<math>C D = x</math>: eritque <math>A C = a + y</math>, & <math>C B = a - y</math>. Cum igitur
eju$modi $it relatio punctorum curvæ A D B ad puncta rectæ
A B, ut rectangulum $ub C D & <math>k</math> æquetur rectangulo $ub A C,
C B: erit <math>aa - yy = kx</math>. Quæ æquatio ad omnia utriu$que li-
neæ puncta referri pote$t, quandoquidem <math>y</math> & <math>x</math> duæ quantitates
indeterminatæ exi$tunt, quæ ad omnes lineas E C, C D appli-
cari po$$unt. Exceptis punctis F & E, quo ca$u quantitas <math>y</math> nul-
la e$t, & E F æquatur <math>{aa / k}</math>. quod & de duobus præcedentibus.
Problematis e$t intelligendum. Cæterùm cum in æquatione in-
venta <math>aa - yy = kx</math> una quantitatum incognitarum <math>y</math> ad$cen-
dat ad quadratum, indicio e$t, lineam curvam e$$e primi generis.
Quam aliam non e$$e, quàm Parabolam, demon$travit Pappus lo-
co citato.</p>
<p>Non aliter concludes, æquatione exi$tente <math>xy = ab</math>, vel
<math>xy = by - ax</math>, lineam curvam, quæ hanc æquationem produxit,
e$$e primi generis: cum tantùm a$cendat ad rectangulum dua-
rum quantitatum indeterminatarum <math>x</math> & <math>y</math>. E$t autem curva illa
linea Hyperbola. Quod facilè intelligetur, $i in prima æqua-
tione, ubi <math>xy = ab</math>, concipiamus <math>ab</math> con$tituere rectangulum
aliquod parallelogrammum A B C D, cujus unum latus A B $it <math>a</math>,
& alterum B C $it <math>b</math>; atque per punctum C circa A $ymptotos
D A, A B Hyperbolen de$cribamus C F; ac denique à quovis in

<pb 176>[196]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<fig>
<var>A B E G F D C H</var>
</fig>
ea puncto F agamus duas rectas lineas F G, F E, ip$is A B, B C
parallelas: Erit enim parallelogrammum A E F G parallelogram-
mo A B C D æquale, per 12 prop. 2<_>di</_> libri Conicorum Apollonii.
A deò ut A E & E F $umi po$$int pro duabus quantitatibus inde-
terminatis <math>y</math> & <math>x</math>, quæ in $e invicem ductæ efficiant <math>xy = ab</math>.
quod exigebat propo$ita æquatio.</p>
<p>Eodem modo, $i æquatio fuerit <math>xy = by - ax</math>, & producan-
tur rectæ D C, E F, donec concurrant in punctum H: erit itidem
parallelogrammum D H F G parallelogrammo C H E B æquale.
Ac proinde $i D C ponatur <math>= a</math>, & <math>C B = b</math>, (ut ante) & binæ
quantitates indeterminatæ <math>y</math> & <math>x</math> ad binas lineas C H & H F re-
ferantur, atque D H $eu <math>a + y</math> ducatur in H F $eu <math>x</math>: erit rectan-
gulum D F $eu <math>xy + ax</math> æquale rectangulo C E $eu <math>by</math>, utpote
quod invenitur multiplicando C B $eu <math>b</math> per C H $eu <math>y</math>. Adeoque
$i utrinque auferatur <math>ax</math>, relinquetur <math>x y = b y - a x</math>. Quæ e$t
æquatio po$terior.</p>
<p>E quibus manife$tum fit, quòd, licèt plurimi referat, quænam
rectæ pro quantitatibus indeterminatis $umantur, ut æquatio
brevis atque facilis reddatur, $emper tamen linea eju$dem generis
appareat, quocunque tandem modo $umantur.</p>
<p>Omitto alios æquationum modos $eu formulas, eandem cur-
vam de$ignantes, quandoquidem complures $unt. In genere hoc
dicam, totam æquationum illarum varietatem oriri tantùm ex va-
ria harum curvarum ad diver$as rectas lineas relatione. Nam, ut
o$tendatur quænam differentia obtineri po$$it, cùm curva linea
ad diver$as rectas lineas refertur: Sunto duæ rectæ lineæ po$itio-
ne datæ A B, D F, $ibi mutuò occurrentes in D; punctum au-

<pb 177>[197]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<fig>
<var>C D A B F G H</var>
</fig>
tem in curva $it C. Et in
A B quidem puncto A exi-
$tente dato, & in ip$am à
puncto C demi$sâ perpen-
diculari C B, ad referen-
dum punctum C ad ali-
quod punctum ip$ius A B:
voco A B, <math>x</math>; & B C, <math>y</math>.
Deinde, quoniam, propter
po$itione datas A B, D F,
datum e$t punctum inter-
$ectionis D, data quoque
erit recta D A, nec non
A F, quæ ip$i A B e$t perpendicularis, $ecans D H in F. Denique,
demi$sâ ex puncto C $uper D H perpendiculari C G, producatur
C B, donec occurrat rectæ D F in puncto H. Quibus po$itis, ut
inveniantur rectæ D G, G C, o$tendentes relationem, quam ha-
bet punctum C ad punctum G; ponatur <math>DA = a</math>, <math>AF = b</math>. Hinc,
cum A B $it <math>= x</math>, erit <math>DB = a + x</math>. Iam verò quia propter $imi-
litudinem triangulorum D A F, D B H, D A e$t ad A F, hoc e$t,
<math>a</math> ad <math>b</math>, $icut D B, hoc e$t, <math>a + x</math>, ad B H, erit <math>BH = {ab + bx / a}</math>. Cui
$i addatur <math>CB = y</math>, fiet tota <math>CH = y + b + {b x / a}</math>. Porrò quoniam
rectangulum e$t triangulum D A F, erit quadratum ex D F æ-
quale quadratis ex D A & A F; ideoque <math>DF = <r>aa + bb</r></math>. Hinc
cum D A $it ad D F, hoc e$t, <math>a</math> ad <math><r>aa + bb</r></math>, $icut D B, hoc e$t,
<math>a + x</math>, ad D H; erit ip$a <math>= {a + x / a} <r>aa + bb</r></math> $eu <math><r>aa + bb</r> +
{x / a} <r>aa + bb.</r></math> $imiliter, ob $imilitudinem triangulorum F A D,
H G C, cum $it ut D F ad F A, hoc e$t, <math><r>aa + bb</r></math>, ad <math>b</math>, ita C H,
hoc e$t, <math>y + b + {bx / a}</math> ad H G; erit <math>HG = {aby + abb + bbx / a <r>aa + bb</r>}</math>. Quæ
$i $ubtrahatur ex <math>DH = <r>aa + bb</r> + {x / a} <r>aa + bb</r></math>, relinque-
tur <math>D G = {a^3 + aax - aby / a <r>aa + bb</r>}</math> $eu <math>{aa + ax - by / <r>aa + bb</r>}</math>. Denique quoniam
D F e$t ad D A, hoc e$t, <math><r>aa + bb</r></math> ad <math>a</math>, $icut C H, hoc e$t,

<pb 178>[198]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<math>y + b + {bx / a}</math> ad C G; erit <math>C G = {ab + bx + ay / <r>aa + bb</r>}</math>. E quibus per-
$picuum fit, differentiam omnem, quæ in referendis curvæ pun-
ctis C, tum ad puncta rectæ A B, tum ad puncta rectæ D F, obti-
neripote$t, in eo tantùm con$i$tere, quòd, cùm A B indetermi-
nata relinquitur, C B exprimatur per <math>y</math>; $ed C G per <math>{ab + bx + ay / <r>aa + bb</r>}</math>,
& D G per <math>{aa + ax - by / <r>aa + bb</r>}</math>. Ita ut $i <math>y</math> $peciem induat, quæ ei ex
proprietate curvæ convenit; con$tabit $imul relatio, quam cur-
væ puncta C obtinebunt ad puncta utriu$que rectæ A B, D F. Id
quod eodem modo in omni alia datarum linearum po$itione
o$tendi po$$et, ni$i breviores e$$e vellemus.</p>
<p>_Saltem $i $upponamus quantitatem e z majorem quàm_
<mgl>B</mgl>
_c g. nam $i minor foret, mutanda e$$ent omnia $igna_ +
& -.] Exi$tente enim <math>ez</math> minore quàm <math>cg</math>, & multiplicando u-
trobique per <math>z^2</math>, foret <math>e z^3</math> minor quàm <math>cg z^2</math>. Quo ca$u omnes quo-
que numeratoris termini, qui $igno + adficiuntur, minores erunt
illis, qui $igno - adficiuntur; adeò ut tantùm mutanda $int omnia
$igna. Æquationem autem hoc facto illæ$am manere, ita o$tenditur.
E$to <math>y = {fe - dk / d - e}</math> ($ufficit enim id per facile aliquod exemplum
o$tendere), $uppo$itaque <math>d</math> minori quàm <math>e</math>, mutentur omnia $i-
gna + & -: fietque <math>y = {- fe + dk / - d + e}</math>.</p>
<p>Quoniam enim ex hypothe$i <math>y = {fe - dk / d - e}</math>, erit, multiplicando
utrinque per <math>d - e</math>, <math>dy - ey - fe - dk</math>. Vnde factâ tran$po$i-
tione, ut totum æquetur nihilo, erit <math>dy - ey - fe + dk = 0</math>.
Transferantur rur$us + <math>dy - ey</math> in alteram æquationis partem,
& fiet <math>- fe + dk = - dy + ey</math>. Quæ æquatio à præcedenti non
differt, ni$i quòd termini omnes contrariis $ignis $int adfecti.
Quare $i utraque æqualitatis pars dividatur per <math>- d + e</math>, prodibit
<math>y = {- fe + dk / - d + e}</math>. ut erat propo$itum.</p>
<p>Vnde colligere licet: Si quantitates quædam $ignis +
& - junctæ æquentur aliis quibu$dam quantitatibus
etiam $ignis + & - junctis: erunt quoque eædem con-
trariis $ignis affectæ inter $e æquales.</p>

<pb 179>[199]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<p>_Vnde $i in hac æquatione quantitas y nulla $it, aut_
<mgr>B È</mgr>
_minor quàm nihil, po$tquam punctum C $uppo$uimus in_
_angulo D AG, oporteret & illud $upponere in angulo_
_D AE, aut E AR, aut R AG, mutando$igna + & -,_
_prout ad effectum hunc requireretur. Quòd $i verò in_
_quatuor hi$ce po$itionibus valor ip$ius y nullus reperire-_
_tur, indicio e$$et, quæ$tionem ca$u propo$ito e$$e impo$$i-_
_bilem._] Sciendum hic ab Autore obiter notari, ad plenam com-
<mgr>Vide fig.
pag. 12</mgr>
po$itionem loci, in quem cadit quæ$itum punctum C, opùs e$$e
ut inve$tigemus id ip$um in omnibus 4<_>or</_> angulis D A G, D A E,
E A R, & R A G, quærendo nempe ad hoc 4<_>or</_> æquationes di-
ver$as. Id quod notat facile e$$e, unà æquatione jam inventâ, quo-
niam ad reliquas obtinendas tantummodo mutare oportet $igna
+ & -, pro diver$a habitudine quantitatum inventarum ad figu-
ræ lineas; ut punctum C, quando cadit intra angulum D A E, aut
E A R, aut R A G quæratur eâdem ratione, quâ illud hîc inveni-
re docuit, cùm intra angulum D A G cadere $upponitur. Mani-
fe$tum enim e$t, quòd, $i in 4<_>or</_> hi$ce po$itionibus valor ip$ius <math>y</math>
nullus reperiatur, quæ$tio propo$ita futura $itimpo$$ibilis. Quod
ip$um hîc in genere de puncto C intelligi debet, etiam$i quæ$tio
alias conditiones præ$upponat: cum illa vix alioquin A utori (ob
exiguam ejus utilitatem) i$tius momenti vi$a $it, ut in con$tru-
ctione hujus loci totus e$$et, ni$i quatenus hîc unà $imul compo$i-
tionem Locorum Planorum & Solidorum traderet, $icut ip$ius
verba indicant p. 12 & 34. Quippe aliàs in hac po$itione datarum
linearum contingit, quando videlicet rectangulum $ub C B, C F
ponitur æquale rectangulo $ub C D, C H, ut punctum C non
tantùm ubivis cadat in Circulum, qui tran$it per puncta A, G,
& duas inter$ectiones linearum F E, G H, & ip$arum D A, F E;
verùm etiam in utramque duarum oppo$itarum Hyperbolarum,
quarum una tran$it per A & G puncta, & altera per duas reliquas
inter$ectiones dictas. Quemadmodum etiam, $i duæ ex datis li-
neis $unt parallelæ, fieri pote$t, ut punctum C ubilibet cadat in
duas oppo$itas Hyperbolas & in$uper in Parabolam vel in duas
alias oppo$itas Hyperbolas; aut etiam in duas oppo$itas Hyper-
bolas & in rectam lineam, ubi videlicet bina $unt parallelarum
paria $e$e inter$ecantia. atque ita de aliis. Idem ob$ervare licet

<pb 180>[200]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
in Apollonii Locis Planis, à me re$titutis, in quorum nonnullis,
ad plenam loci compo$itionem, quæ$itum punctum præter lineas<?>
jam expre$$as etiam alia plana loca contingit, quæ pari facilitate
inve$tigari & con$trui po$$unt, prout nimirum idem punctum ad.
id in aliis tantùm angulis $uppo$itum fuerit, quemadmodum &
ibidem fuit indicatum.</p>
<p>His $imilia notare quoque licet circa Problemata omnino de-
terminata, in quibus non ni$i certus e$t punctorum numerus. Cu-
ju$modi e$t $equens</p>
<h>P<sc>ROBLEMA</sc>.</h>
<p>IN recta interminata a$$ignatis duobus punctis A, B,
in eadem aliud a$$ignare punctum C, ut rectangulum
<fig>
<var>_d_ c A C @ B _c_</var>
</fig>
A C B, quod fit $ub
rectis A C, C B, ad
a$$ignata puncta A, B
ab$ci$$is, dato $patio
<math>d</math> æquale $it, quod ta-
men minus $it quartâ
parte quadrati ex A B.
quæ $it <math>= a</math>.</p>
<p>Quoniam hîc juxta mentem Problematis punctum C inde-
terminatum e$t re$pectu puncti A, ut & re$pectu puncti B, hoc
e$t, indeterminatum quò magis ad dextram quàm ad $ini$tram
utriu$que cadat, hinc $i concipiatur determinatum inter A & B,
æquatio huc pertinens comprehendet plus quàm oportet, neque
legitima erit, $i ei $oli acquie$cere velimus. Quocirca & illud
ip$um extra A & B ab utraque parte $upponendum e$t, $i velimus
ut $olutio Problematis omnibus numeris $it ab$oluta.</p>
<p>Vnde fupponendo C primùm cadere extra A B ad $ini$tram
ip$ius A, erit, a$$umptâ <math>x</math> pro A c, <math>xx + ax = d</math>; ac deinde $uppo-
nendo C cadere inter A & B, erit <math>ax - xx = d</math>; & denique $up-
ponendo <math>c</math> cadere extra A B ad dextram ip$ius B, erit <math>xx - ax = d</math>.
Hoc e$t in numeris, $i <math>a</math> $it = 20, <math>d = 96</math>, habebitur <math>x = 4</math>,
<math>x = - 24</math>; <math>x = 12</math>; <math>x = 8</math>; <math>x = 24</math>, & <math>x = - 4</math>. Quæ quidem
omnes $unt radices, quæ ad propo$itum Problema pertinent.
Quarum prima & ultima de$ignant longitudinem lineæ A <math>c = x</math>,

<pb 181>[201]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
qualis ip$a $umenda e$t ab A versùs $ini$tram, & quatuor reli-
quæ, qualis ip$a $umi debet ab A versùs dextram, cadente pun-
cto C inter A & B, vel ultra B; adeò ut in toto $int 4<_>or</_> diver$a
puncta, quæ quæ$ito $atisfaciant.</p>
<p>Cæterùm $i velimus, ut una obtineatur æquatio, quæ ha$ce
omnes radices $imul includat, oportet tantùm, ubicunque acce-
pto puncto C, factâque A <math>c = x</math>, multiplicare <math>xx + 20x - 96 = 0</math>
per <math>20x - xx - 96 = 0</math>, & id quod fit rur$us per <math>xx - 20x
- 96 = 0</math>, & invenietur <math>- x^6 + 20 x^5 + 496 x^4 - 11840
x^3 + 47616 xx + 184320 x - 884736 = 0</math> $eu <math>x^6 - 20 x^5 -
496 x^4 + 11840 x^3 - 47616 xx - 184320 x + 884736 = 0</math>.</p>
<p>Id quod etiam univer$aliùs fieri pote$t multiplicando <math>C B
= 🜶 20 🜶 <math>x</math></math> per <math>AC = x</math>, obtinebitur enim <math>🜶 20x 🜶 xx =
96</math>. Quæ æquatio præter radices $uperiores etiam continet <math>x
= - 8</math>, & <math>x = - 12</math>, quippe quæ eliciuntur ex æquatione
<math>- xx - 20x = 96</math>.</p>
<p>Vbidemum notandum, ex æquatione inventa <math>🜶 20 x 🜶 xx =
96</math> facile quoque e$$e aliam vulgari modo affectam invenire, quæ
omnes ea$dem radices cum illa comprehendat, utpote multipli-
cando utramque partem in $e quadratè, & fit <math>400 xx 🜶 40 x^3
+ x^4 = 9216</math>. Vnde $ervatâ <math>🜶 40 x^3</math> ab una parte, & deinde
utrâque rur$us quadratâ, invenitur æquatio <math>x^8 - 800 x^6 +
141568 x^4 - 7372800 xx + 84934656 = 0</math>, cujus radices
eædem $unt quæ præcedentis æquationis <math>🜶 20 x 🜶 xx = 96</math>,
quas enumeravimus. Ratio autem, cur D. des Cartes huju$modi
æquationibus ad $olutionem quæ$tionis ex Pappo allatæ non fue-
rit u$us, vel ea videtur, quòd alias tum vulgares, tum etiam à
quolibet faciliùs perceptibiles animadverterit; ita ut, dum quæ-
$tio per $e $atis difficilis exi$tit, præ$tarc judicaverit, $pecialem
æquationem pro C puncto inve$tigare, po$tquam illud in angulo
D A G $upponitur, ulteriùsque tantùm digito indicare, $i Pro-
blemati penitus $atisfaciendum $it, eodem modo in reliquis an-
gulis D A E, E A R, & R A G e$$e procedendum; quàm æqua-
tionem univer$alem, quæ omnia $imul puncta re$piceret, invenire.</p>
<p>_Hinc nihil mihi ampliùs re$t are video pro linea L C_
_præter ho$ce terminos:_ <math>L C = <r>mm + o x - {p / m} xx</r></math>.

<pb 182>[202]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
_Vnde cogno$citur, quòd $i nulli fui$$ent, futurum fui$$e ut_
_punctum C reperiretur in linea recta IL; & $i tales_
_extiti$$ent, ut inde radix extrahi potui$$et, hoc e$t, ut,_
<math>mm</math> & <math>{p / m} xx</math> _$igno_ + _notatis, <math>oo</math> fui$$et æqualis_ <math>4pm</math>,
_$ive etiam termini <math>mm</math> & <math>ox</math>, aut <math>ox</math> &_ <math>{p / m} xx</math> _nihilo_
_fui$$ent æquales, punctum hocce C in aliam rectam li-_
_neam cecidi$$et, quæ quidem inventu difficilior non fui$$et_
_quàm I L._] Hæc verba tres conditiones complectuntur ad
determinandum punctum C, quando in lineam rectam cadit.
Nam cum facienda $it <math>LC = <r>mm + ox - {pxx / m}</r></math>, reperietur
illud punctum in linea recta I L, $i termini, quibus ip$a exprimi-
tur, nulli$int. Et $i tales fuerint, ut radix ex iis extrahi po$$it, hoc
e$t, ut, <math>mm</math> & <math>{p / m} xx</math> $igno + notatis, <math>oo</math> $it æqualis <math>4pm</math>, hoc e$t,
ut L C $it <math><r>mm + {pxx/m} 🜶 x √ 4pm</r></math> $eu <math>m 🜶 x √ {p/m}</math>: punctum
C $imiliter in recta linea reperietur. Idem continget, $i termini
<math>mm</math> & <math>ox</math>, aut <math>ox</math> & <math>{pxx / m}</math> fuerint nulli, dummodo reliquus <math>{pxx / m}</math>,
aut <math>mm</math> $emper $igno + adfectus $it.</p>
<p>_Sed $i hoc non fiat, punctum C reperietur $emper in_
<mgl><sc>C C</sc></mgl>
_aliqua trium Conicarum $ectionum, aut in Circulo, cu-_
_jus, & c._] Quò i$ta, quæ hîc deinceps pag. 29, 30, & 31 ab
Autore traduntur, cuivis manife$tiora fiant, $equentia in medium
afferre vi$um fuit.</p>
<fig>
<var>A B L Q M N I K C</var>
</fig>
<p>Primus ca$us, cùm Sectio e$t
Parabola, in quâ linea L C una
ex iis exi$tit, quæ ordinatim ad
diametrum, quæ $emper in li-
neam I L cadit, adplicantur; &
cujus vertex N in ea ex altera
parte puncti L $umendus e$t re-
$pectu puncti I, linea L C exi-
$tente <math>= <r>mm + ox</r></math>. Ad quem
inveniendum, $i ut & latus re-

<pb 183>[203]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
ctum <math>r</math>, pono pro NI <math>f</math>, eritque <math>NL = f + {ax / z}</math>,
deinde ita procedo:</p>
<tb math>
 # Mult. N L. f + {ax / z}
 # per # r
 # fit □ L C. fr + {arx / z}, æquale mm + ox.
</tb>
<tb math>
{ar / z} = o # fr = mm, dele r
ar = oz # {foz / a} = mm
r = {oz / a} # foz = amm
 # f = {amm / oz}
</tb>
<fig>
<var>A B Q M N L I K C</var>
</fig>
<p>2<_>dus</_> ca$us,
ubi vertex N
in linea IL ex
eadem parte
puncti L $u-
mendus e$t re-
$pectu puncti
I, lineâ L C
exi$tente <math>=
<r>mm - ox</r></math>.</p>
<p>Quod $ic liquet</p>
<tb math>
 # Mult. L N. f - {ax / z}
 # per # r
 # fit □ L C. fr - {arx / z} æquale mm - ox.
</tb>
<p>Et fit, ut ante, <math>r = {oz / a}</math>, & <math>f = {amm / oz}</math>.</p>

<pb 184>[204]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<fig>
<var>A B L N K I M Q C</var>
</fig>
<p>3<_>tius</_> ca$us, ubi vertex N in
linea I L $umi debet inter
puncta I & L, lineâ L C exi-
$tente <math>= <r>- mm + ox</r></math>.</p>
<p>Quod $ic liquet</p>
<tb math>
Mult. N L. {ax / z} - f
per # r
fit □ L C. {arx / z} - fr, æqua-
 # le - mm + ox.
</tb>
<p>Et fit, ut ante, <math>r = {oz / a}</math>, & <math>f = {amm / oz}</math>.</p>
<fig>
<var>A B L N K Q M I C</var>
</fig>
<p>4<_>tus</_> ca$us, ubivertex N cadit
in punctum I, cùm quantitas <math>mm</math>
nulla e$t, lineâ L C exi$tente =
<math>√ o x</math>.</p>
<p>Quod $ic liquet</p>
<tb math>
Mult. N L. {ax / z}
 # per # r
fit □ L C. {arx / z}, æquale ox.
</tb>
<p>Et fit, ut ante, <math>r = {oz / a}</math>.</p>
<p>E quibus colligitur, cum in omnibus hi$ce Parabolæ ca$ibus $i-
ve diver$is ejus po$itionibus latus rectum $it <math>= {oz / a}</math>, atque in iis
nullibi reperiatur quantitas in <math>xx</math> ducta, nec præter ea$dem ulla
alia excogitari po$$it, quâ linea L C talis, qualis in his omnibus ca-
$ibus data fuit, obtineatur, quæ$itum punctum C cadere in Para-
bolam, cujus latus rectum e$t <math>{oz / a}</math>, quæque pro diver$a termino-
rum ip$ius L C con$titutione, po$itiones jam explicatas admit-
tat.</p>

<pb 185>[205]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<fig>
<var>A B Q L M I K N C</var>
</fig>
<p>Primus ca$us, cùm linea
e$t Circulus, & centrum e-
jus M in linea I L ex eadem
parte puncti L $umendum
e$t re$pectu puncti I, li-
neâ L C exi$tente
<math>= <r>mm + ox - {p / m} xx.</r></math>.
Ad quod inveniendum, ut
& diametrum N Q, po-
no pro N M vel M Q <math>c</math>, &
pro I M <math>d</math>; eritque <math>N L = c - d + {ax / z}</math>, & <math>L Q = c + d - {ax / z}</math>.</p>
<p>Deinde ita procedo:</p>
<tb math>
 # Mult. NL. c - d + {ax / z}
 # per L Q. c + d - {ax / z}
 # cc - cd + {acx / z}
 # + cd - dd + {adx / z}
 # - {acx / z} + {adx / z} - {aaxx / zz}
</tb>
<p>fit ▭ N L Q$eu □ L C.<math>cc - dd + {2adx / z} - {aaxx / zz}</math>, æquale <math>mm + ox - {p / m} xx</math>.</p>
<p>Intellige hîc <math>c</math> majorem e$$e quàm <math>d</math>.</p>
<tb math>
{aa / zz} = {p / m} # {2ad / z} = 0
aam = pzz # 2ad = 0z
 # d = {oz / 2a} $eu {aom / 2pz}. E$t enim aam = pzz. Et fit dd = {oozz / 4aa}.
 # cc - dd = mm, dele dd
 # cc = {oozz / 4aa} + mm
 # 4cc = {oozz / aa} + {4aamm / aa}, dele aam
 # 4cc = {oozz / aa} + {4mpzz / aa}
 # 2c = r = <r>{oozz / aa} + {4mpzz / aa}</r>.
</tb>

<pb 186>[206]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<fig>
<var>A B T N K I M Q C</var>
</fig>
<p>2<_>dus</_> ca$us, ubi centrum M in linea I L ex altera parte puncti L
$umendum e$t re$pectu puncti I, lineâ L C exi$tente
<math>= <r>mm - ox - {p / m} xx</r></math>.</p>
<p>Quod $ic liquet:</p>
<tb math>
 # Mult. Q L. c + d + {ax / z}
 # per LN. c - d - {ax / z}
 # cc + cd + {acx / z}
 # - cd - dd - {adx / z}
 # - {acx / z} - {adx / z} - {aaxx / zz}
</tb>
<p>fit ▭ QL N $eu ⃞ LC. <math>cc - dd {2adx / z} - {aaxx / zz}</math> æquale <math>mm - ox - {p / m} xx</math>.</p>
<p>Intellige hîc $imiliter <math>c</math> majorem quàm <math>d</math>.</p>
<p>Et fit, ut ante, <math>aam = pzz</math>, <math>d = {oz / 2a}</math> $eu <math>{aom / 2pz}</math>, &
<math>2c = r = <r>{oozz / aa} + {4mpzz / aa}</r>.</math></p>

<pb 187>[207]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<fig>
<var>A B N L M K I Q C</var>
</fig>
<p>3<_>tius</_> ca$us, ubi
centrum M cadit in
punctum I, cùm
quantitas <math>ox</math> nul-
la e$t, lineâ L C
exi$tente
<math>= <r>mm - {p / m} xx</r></math>
Et fit <math>2c = 2m</math> vel
<math>{2pzz / aa}</math>, vel etiam
<math><r>4mpzz / aa</r></math>.</p>
<p>Quod $ic liquet</p>
<tb math>
 # Mult. QL. c + {ax / z}
 # per LN. c - {ax / z}
 # cc + {acx / z}
 # - {acx / z} - {aaxx / zz}
</tb>
<p>& fit ▭ QLN $eu □ LC. <math>cc - {aaxx / zz}</math>, æquale <math>mm - {p / m} xx</math>.</p>
<p>Intellige hîc <math>d</math> e$$e <math>= o</math>.</p>
<tb math>
{aa / zz} = {p / m}
aam = pzz
m = {pzz / aa}, & mm = {pp z^4 / a^4} = cc
 # {4pp z^4 / a^4} = 4cc
 # 2c = r = {2pzz / aa} vel 2 m.
</tb>
<p>Nota hîc in tribus allatis ca$ibus, in quibus <math>c</math> major intelligitur
quàm <math>d</math>, verticem N cadere ad alteram partem puncti M re$pectu
puncti I, hoc e$t, quando habetur <math>+mm</math>.</p>

<pb 188>[208]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<fig>
<var>A B Q M L N K I C</var>
</fig>
<p>4<_>tus</_> ca$us, ubi vertex
N cadit ad eandem par-
tem puncti M re$pectu
puncti I, nimirum in-
ter puncta I & L, cùm
quantitas <math>oo</math> e$t major
quàm <math>4mp</math>, lineâ L C
exi$tente =
<math><r>- mm + om - {p / m} xx.</r></math></p>
<p>Et fit <math>d = {oz / 2a}</math> $eu <math>{aom / 2pz}</math>, & <math>2c = <r>{oozz / aa} - {4mpzz / aa}</r></math></p>
<p>Quod $ic liquet</p>
<tb math>
 # Mult. NL. c - d + {ax / z}
 # per LQ. c + d - {ax / z}
 # cc - cd + {acx / z}
 # + cd - dd + {adx / z}
 # - {acx / z} + {adx / z} - {aaxx / zz}
</tb>
<p>fit ▭ NLQ $eu □ LC. <math>cc - dd + {2adx / z} - {aaxx / zz}</math>, æquale
<math>- mm + ox - {p / m} xx</math>.</p>
<p>Intellige hîc <math>c</math> minorem quàm <math>d</math>.</p>
<tb math>
{aa / zz} = {p / m} # {2ad / z} = o
aam = pzz # {2ad / z} = oz
 # d = {oz / 2a} # $eu {aom / 2pz}. E$t enim aam = pzz.
 # Et fit dd = {oozz / 4aa}.
</tb>

<pb 189>[209]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<tb math>
cc - dd = - mm, dele dd
cc = {oozz / 4aa} - mm
4cc = {oozz / aa} - {4aamm / aa}, dele aam
4cc = {oozz / aa} - {4mpzz / aa}
</tb>
<p><math>2c = r = <r>{oozz / aa} - {4mpzz / aa}</r></math>. Vbi etiam liquet, ut punctum C
cadatin Circulum, quemadmodum $uppo$uimus, quantitatem <math>oo</math>
hoc ca$u majorem requiri quàm <math>4mp</math>.</p>
<p>5<_>tus</_> ca$us, ubi ver-
<fig>
<var>A B Q M L N K I C</var>
</fig>
tex N cadit in pun-
ctum I, cùm quan-
titas <math>mm</math> non repe-
ritur, lineâ L C exi-
$tente <math>=
<r>ox - {p / m} xx</r></math>. Et fit
<math>d = c = {oz / 2a}</math> $eu <math>{aom / 2pz}</math>,
& <math>2c = {oz / a}</math>.</p>
<p>Quod $ic liquet</p>
<tb math>
 # Mult. NL. {ax / z}
 # per LQ. 2c - {ax / z}
</tb>
<p>fit ▭ N L Q $eu □ L C. <math>{2acx / z} - {aaxx / zz}</math>, æquale <math>ox - {p / m} xx</math>.</p>
<p>Intellige hîc <math>c</math> & <math>d</math> e$$e æquales.</p>
<tb math>
{2ac / z} = o
2ac = oz # {aa / zz} = {p / m}
2c = r = {oz / a} # aam = pzz
</tb>
<p>Hinc cùm in omnibus hi$ce Circuli ca$ibus $ive diver$is ejus po-
$itionibus quantitas in <math>xx</math> ducta ubique $igno - adfecta reperia-
tur, ut & quantitas <math>aam = pzz</math>; nec præter po$itiones ha$ce ul-

<pb 190>[210]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
la alia excogitari po$$it, quâ linea L C talis, qualis in his omni-
bus ca$ibus data fuit, obtineatur: $equitur, $i in quæ$tione termi-
nus <math>{p / m} xx</math> $igno - fuerit adfectus, & quantitas <math>aam = pzz</math>, an-
gulo I L C exi$tente recto, lineam, in quam punctum quæ$itum
C cadit, fore Circulum, quemadmodum e$t o$ten$um.</p>
<p>Primus ca$us, cùm li-
<fig>
<var>A B Q M L N I K C</var>
</fig>
nea e$t Ellip$is, & cen-
trum ejus M in linea I L
$umendum e$t ex eadem
parte puncti L re$pectu
puncti I, lineâ LC exi$ten-
te <math>= <r>mm + ox - {p / m} xx</r></math>.
Ad quod inveniendum,
$icut & latus rectum <math>r</math>, &
tran$ver$um NQ, pono,
ut ante in Circulo, pro NM vel M Q <math>c</math>, & pro I M <math>d</math>: eritque
<math>NL = c - d + {ax / z}</math>, & <math>LQ = c + d - {ax / z}</math>.</p>
<p>Deindeita procedo:</p>
<p>lat. tran$v. lat. rect. # ▭ N L Q
<math>2c - r - cc - dd + {2adx / z} - {aaxx / zz}</math>, ad
□LC
<math>{ccr - ddr + {2adrx / z} - {aarxx / zz} / 2c}</math>, æquale <math>mm + ox - {p / m} xx}</math>.</p>
<p>Intellige hîc <math>c</math> majorem e$$e quàm <math>d</math>.</p>
<tb math>
{adr / cz} = o
adr = coz
{adr / oz} = c, & {aaddrr / oozz} = cc # {aar / 2czz} = {p / m}
 # dele c, aamr = 2cpzz. Hinc ut r ad 2c, \\ ita pzz \\ ad aam
 # aamr = {2adpzr / o}
 # aom = 2dpz
 # {aom / 2pz} = d
</tb>

<pb 191>[211]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<tb math>
{ccr - ddr / 2c} = mm
ccr - ddr = 2cmm, dele c & cc
{aadd r^3 / oozz} - ddr = {2admmr / oz}
aadrr = doozz + 2ammoz
rr = {oozz / aa} + {2mmoz / ad}, dele, & extr. √
r = <r>{oozz / aa} + {4mpzz / aa}</r>. Hinc ad inveniendum latus tran$ver- \\ $um, fiat ut <math>pzz</math> ad <math>aam</math>, ita
 # <r>{oozz / aa} + {4mpzz / aa}</r>, ad <r>{aaoomm / ppzz} + {4aa m^3 / pzz}</r>.
</tb>
<fig>
<var>A B N L K I M Q C</var>
</fig>
<p>2<_>dus</_> ca$us, ubi centrum M in linea IL ex altera parte e$t $u-
mendum puncti L re$pectu puncti I, lineâ L C exi$tente
<math>= <r>mm - ox - {p / m} xx</r></math>.</p>
<p>Quod $ic liquet</p>
<p>lat. tran$v. # lat. rect. # ▭ QLN
<math>2c - r - cc - dd - {2adx / z} - {aaxx / zz}</math>,
 # □ LC
<math>{2dccr - ddr - {2adrx / z} - {aarxx / zz} / 2c}</math>, æquale <math>mm - ox - {p / m xx}</math>.</p>
<p>Intellige hîc $imiliter <math>c</math> majorem quàm <math>d</math>.</p>
<p>Et fit, ut ante, <math>r</math> ad <math>2c</math>, ut <math>pzz</math> ad <math>aam</math>, <math>d = {aom / 2pz}</math>,
<math>r = <r>{oozz / aa} + {4mpzz / aa}</r></math>, & <math>2c = <r>{aaoomm / ppzz} + {4aa m^3 / pzz}</r></math>.</p>

<pb 192>[212]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<fig>
<var>A B M L N Q I K C</var>
</fig>
<p>3<_>tius</_> ca$us, ubi centrum M cadit in punctum I, cùm quantitas
<math>ox</math> nulla e$t, lineâ L C exi$tente <math>= <r>mm - {p / m} xx</r></math>. Et fit
<math>r = √ {4mpzz / aa}</math> $eu <math>{2z / a} √ mp</math>, & <math>2c = √ {4aa m^3 / pzz}</math>.</p>
<p>Quod $ic liquet
lat. tran$v. # lat. rect. ▭ QKN # □ LC
<math>2c - r - cc - {aaxx / zz}</math>, ad <math>{ccr - {aarxx / zz} / 2c}</math>, æquale
 # <math>mm - {p / m} xx</math>.</p>
<p>Intellige hîc <math>d</math> e$$e <math>=o</math></p>
<tb math>
{aar / 2czz} = {p / m}
aamr = 2cpzz. Hinc ut r ad 2c, ita pzz ad aam.
c = {aamr / 2pzz}
 # {cr / 2} = mm
 # cr = 2mm, dele c
 # {aamrr / 2pzz} = 2mm
 # aarr = 4mpzz
 # rr = {4mpzz / aa}
 # r = √ {4mpzz / aa}. Hinc ad inveniendum la- \\ tus tran$ver$um, fiat up <math>pzz</math> ad <math>aam</math>, ita
√ {4mpzz / aa}, ad √ {4aa m^3 / pzz}.
</tb>

<pb 193>[213]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<p>Ubi notandum, in allatis tribus ca$ibus, $icut in Circulo, pro-
pter <math>c</math> ipsâ <math>d</math> majorem, verticem N cadere ad alteram partem pun-
cti M re$pectu puncti I, hoc e$t, quando habetur <math>+mm</math>.</p>
<p>4<_>tus</_> ca$us, ubi vertex
<fig>
<var>A B Q M L N I K C</var>
</fig>
N cadit ad eandem par-
tem puncti M re$pectu
puncti I, nimirum in-
ter puncta I & L, cùm
<math>oo</math> e$t major quàm <math>4mp</math>.
lineâ L C exi$tente =
<math><r>- mm + ox - {p / m} xx</r></math>.</p>
<p>Et fit <math>d = {aom / 2pz}</math>,
<math>r = <r>{oozz / aa} - {4mpzz / aa}</r></math>, & <math>2c = <r>{aaoomm / ppzz} - {4aa m^3 / pzz}</r></math>.</p>
<p> # Quod $ic liquet</p>
<p>lat. tran$v. lat. rect. # ▭ NLQ
 # <math>2 c - r - cc - dd + {2adx / z} - {aaxx / zz}</math>, ad
□LC # 
<math>{ccr - ddr + {2adrx / z} - {aarxx / zz} / 2c}</math>, æquale <math>- mm + ox - {p / m} xx</math>.</p>
<p>Intellige hîc <math>c</math> minorem quàm <math>d</math>.</p>
<tb math>
{adr / cz} = o
adr = coz
{adr / oz} = c, & # {aaddrr / oozz} = cc # {aar / 2czz} = {p / m}
 # dele c, aamr = 2cpzz. Hinc ut r ad 2c, \\ ita pzz ad aam.
 # aamr = {2adpzr / o}
 # aom = 2dpz
 # d = {aom / 2pz}
</tb>

<pb 194>[214]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<tb math>
{ccr - ddr / 2c} = - mm
ccr - ddr = - 2cmm, dele c & cc
{aadd r^3 / oozz} - ddr = - {2admmr / oz}
aadrr = doozz - 2ammoz
rr = {oozz / aa} - {2mmoz / ad}, dele d, & extr. √
r = <r>{oozz / aa} - {4mpzz / aa}</r>. Hinc ad inveniendum latus tran$ver- \\ $um, fiat ut pzz ad aam, ita
 # <r>{oozz / aa} - {4mpzz / aa}</r>, ad <r>{aaoomm / ppzz} - {4aa m^3 / pzz}</r>.
</tb>
<p>Vbietiam liquet, ut punctum C cadat in Ellip$in, quemadmo-
dum hîc $uppo$uimus, quantitatem <math>oo</math> hoc ca$u minorem requiri
quàm <math>4mp</math>.</p>
<p>5<_>tus</_> ca$us, ubi ver-
<fig>
<var>A B Q L M N K I C</var>
</fig>
tex N cadit in pun-
ctum I, cùm quan-
titas <math>mm</math> non repe-
ritur, lineâ L C exi-
$tente <math>=
<r>ox - {p / m} xx.</r></math> Et fit
<math>d = c = {aom / 2p z^2}</math>, <math>r = {oz / a}</math>,
& <math>2c = {aom / pz}</math>.</p>
<p>Quod $ic liquet</p>
<p>lat. tran$v. lat. rect. # ▭ NLQ # □LC
<math>2c - r - {2acx / z} - {aaxx / zz}</math>, ad <math>{{2acrx / z} - {aarxx / zz} / 2c}</math>, æqua-
 # le <math>ox - {p / m} xx</math>.</p>
<p>Intellige hîc <math>c</math> & <math>d</math> æquales.</p>
<tb>
<math>{ar / z} = o # {aar / 2czz} = {p / m}</math>
<math>ar = oz # aamr = 2cpzz</math>. Hinc ut <math>r</math> ad <math>2c</math>, ita <math>pzz</math> ad <math>aam</math>.
<math>r = { oz / a} # Vnde ad inveniendum latus tran$ver$um, fiat \\ # ut <math>pzz</math> ad <math>aam</math>, ita <math>{oz / a}</math>, ad <math>{aom / pz}</math>.
</tb>

<pb 195>[215]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<p>Quocirca cum in omnibus hi$ce Ellip$cos ca$ibus $ive diver$is
ejus po$itionibus quantitas in <math>xx</math> ducta ubique $igno - adfecta
reperiatur, & ratio recti lateris ad tran$ver$um $it, ut <math>pzz</math> ad
<math>aam</math>; nec præter allatas po$itiones ulla alia excogitari queat, quâ
linea L C talis, qualis in his omnibus ca$ibus data fuit, obtinea-
tur: $equitur, $i in quæ$tione terminus <math>{p/m} x x</math> $igno - denotatus
fuerit, lineam, in quam punctum quæ$itum C cadit, fore Ellip$in,
cujus rectum latus ad tran$ver$um $it ut <math>pzz</math> ad <math>aam</math>, ac eju$-
dem po$itio, cuju$modi jam e$t o$ten$um, exi$tat.</p>
<fig>
<var>A B Q M N L I K C</var>
</fig>
<p>Primus ca$us, cùm $ectio e$t Hyperbola, in quâ linea L C e$t
una ex iis, quæ ad diametrum, quæ e$t in linea IL, ordinatim
adplicantur, & ubi centrum M in linea I M ex eadem parte pun-
cti L $umendum e$t re$pectu puncti I, cùm quantitas <math>oo</math> e$t major
quàm <math>4mp</math>, lineâ L C exi$tente <math>= <r>mm - ox + {p / m} xx</r></math></p>
<p>Hinc ad inveniendum centrum M, latus rectum <math>r</math>, & tran$ver-
$um N Q, pono, ut ante in Circulo & Ellip$i, pro N M vel
M Q <math>c</math>, & pro I M <math>d</math>: eritque <math>N L = d - c - {ax / z}</math>, & <math>L Q =
d + c - {ax / z}</math>.</p>

<pb 196>[216]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Deindeita procedo:</p>
<tb math>
 # Mult. NL. d - c - {ax / z}
 # per LQ. d + c - {ax / z}
 # dd - cd - {adx / z}
 # + cd - cc - {acx / z}
lat. tr. lat. rect. # - {adx / z} + {acx / z} + {aaxx / zz}
2c - r - ▭ NL Q. dd - cc - {2adx / z} + {aaxx / zz},
 # ad □ LC. {ddr - ccr - {2adrx / z} + {aarxx / zz} / 2c}, æquale mm - ox + {p / m} xx.
</tb>
<p>Intellige hîc <math>d</math> majorem e$$e quàm <math>c</math>.
<tb math>
{adr / cz} = o # {aar / 2czz} = {p / m}
adr = coz # dele c, aamr = 2cpzz. # Hinc ut r ad \\ 2c, ita pzz \\ ad aam
{adr / oz} = c, & {aaddrr / oozz} = cc # aamr = {2adpzr / o}
 # aom = 2dpz
 # {aom / 2pz} = d
 # {ddr - ccr / 2c} = mm
ddr - ccr = 2cmm, dele c & cc
ddr - {aadd r^3 / oozz} = {2admmr / oz}
doozz - aadrr = 2ammoz
doozz - 2ammoz = aadrr
 # {oozz / aa} - {2mmoz / ad} = rr, dele d, & extr. √
<r>{oozz / aa} - {4mpzz / aa}</r> = r. Hinc ad inveniendum latus tran$ver- \\ $um, fiat ut pzz ad aam, ita
 # <r>{oozz / aa} - {4mpzz / aa}</r>, ad <r>{aaoomm / ppzz} - {4aa m^3 / pzz}</r>.
</tb>

<pb 197>[217]<rh>C<sc>OMMENTAR II IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
Vbi liquet, ut punctum C cadat in Hyperbolam, quemadmo-
dum $uppo$uimus, quantitatem <math>oo</math> hoc ca$u majorem requiri
quàm <math>4mp</math>.</p>
<fig>
<var>A B L K Q M N I C</var>
</fig>
<p>2<_>dus</_> ca$us, ubi centrum M in linea I L ex altera parte puncti L
$umendum e$t re$pectu puncti I, cùm <math>oo</math> e$t major quàm <math>4mp</math>,
lineâ L C exi$tente = <math><r>mm + ox + {p / m} x x</r></math>.</p>
<p>Quod $ic liquet</p>
<tb math>
 # Mult. Q L. c + d + {ax / z}
 # per L N. - c + d + {ax / z}
 # - cc - cd - {acx / z}
 # + cd + dd + {adx / z}
 # +{acx / z} + {adx / z} + {aaxx / zz}
</tb>
<p>lat. tr. lat. rect.</p>
<p>2c - r - □ QL N. <math>dd-cc + {2adx / z} + {aaxx / zz}</math>,
ad □ LC. <math>{ddr - ccr + {2adrx / z} + {aarxx / zz} / 2c}</math>, æquale
 # <math>mm + ox + {p / m} xx</math>.</p>

<pb 198>[218]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Similiter hîc <math>d</math> majorem intellige quàm c.</p>
<p>Etfit, ut ante, <math>r</math> ad <math>2c</math>, ut <math>pzz</math> ad <math>aam</math>, <math>d = {aom / 2pz}</math>,
<math>r = <r>{oozz / aa} - {4mpzz / aa}</r> & 2 c = <r>{aaoomm / ppzz} - {4aa m^3 / pzz}</r></math>.</p>
<p>Vbi etiam liquet, ut punctum C cadatin Hyperbolam, quem-
admodum $uppo$uimus, quantitatem <math>oo</math> & hoc ca$u majorem re-
quiri quàm <math>4mp</math>.</p>
<fig>
<var>A B L N K I M Q C</var>
</fig>
<p>3<_>tius</_> ca$us, ubi vertex N $umendus e$t inter puncta I & L, lineâ
L C exi$tente <math>= <r>- mm + ox + {p / m} xx}</r></math>.</p>
<p>Et fit <math>d = {aom / 2pz}, r = <r>{oozz / aa} + {4mpzz / aa}</r></math>, & <math>2c = <r>{aaoomm / ppzz} + {4aa m^3 / pzz}</r></math>.</p>
<p>Quod $ic liquet</p>
<tb math>
 # Mult. Q L. c + d + {ax / z}
 # per L N. - c + d + {ax / z}
 # - cc - cd - {acx / z}
 # + cd + dd + {adx / z}
lat. tr. lat. rect. # + {acx / z} + {adx / z} + {aaxx / zz}
2c - r - □ QLN. dd - cc + {2adx / z} - {aaxx / zz}
</tb>
<p>ad □ L C. <math>{ddr - ccr + {2adrx / z} + {aarxx / zz} / 2c}</math>, æquale
<math>- mm + ox + {p / m} xx.</math></p>

<pb 199>[219]<rh>C<sc>OMMENTAR II IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<p>Intellige hîc <math>d</math> minorem e$$e quàm <math>c</math>.</p>
<tb math>
{adr / cz} = o # {aar / 2czz} = {p / m}
adr = coz # dele c, aamr = 2 cpzz. Hinc ut r ad \\ 2 c, ita pzz \\ ad aam.
{adr / oz} = c, & {aaddrr / oozz} = cc # aamr = {2adpzr / o}
 # aom = 2dpz
 # {aom / 2pz} = d
 # {ddr - ccr / 2c} = - mm
 # ddr - ccr = - 2cmm, dele, c & cc
 # ddr - {aadd r^3 / oozz} = - {2admmr / oz}
 # doozz + 2ammoz = aadrr
dele d, & \\ extr. √. # {oozz / aa} + {2mmoz / ad} = rr
 # <r>{oozz / aa} + {4mpzz / aa}</r> = r. Hinc ad inveniendum latus
 # tran$ver$um fiat ut pzz ad aam, ita
 # <r>{oozz / aa} + {4mpzz / aa}</r>, ad <r>{aaoomm / ppzz} + {4aa m^3/pzz}</r>.
</tb>
<fig>
<var>A B N M L Q I K C</var>
</fig>
<p>4<_>tus</_> ca$us, ubi centrum M & vertex N $umi debent inter puncta
I & L, lineâ L C exi$tente <math><r>= - mm - ox + {p/m}xx</r></math>.</p>

<pb 200>[220]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Quod $ic liquet</p>
<tb math>
 # Mult. QL. c - d + {ax / z}
 # per LN. - c - d + {ax / z}
 # -cc + cd - {acx / z}
 # -cd + dd - {adx / z}
lat. tr. lat. rect. # + {acx / z} - {adx / z} + {aaxx / zz}
 # 2c - r - □ QLN. -- cc + dd - {2adx / z} + {aaxx / zz},
 # ad □ L C. {- ccr + ddr - {2adrx / z} + {aarxx / zz} / 2c}, æquale
 # - mm - ox + {p / m} xx.
</tb>
<p>Intellige hîc $imiliter <math>d</math> minorem quàm <math>c</math>.</p>
<p>Et fit, ut ante, <math>r</math> ad <math>2c</math>, ut <math>pzz</math> ad <math>aam</math>, <math>d = {aom / 2pz}</math>,
r = <r>{oozz / aa} + {4mpzz / a}</r>, & 2 c = <r>{aaoomm / ppzz} + {4aa m^3 / pzz}</r>.</math></p>
<fig>
<var>A B L N I K M Q C</var>
</fig>
<p>5<_>tus</_> ca$us, ubi vertex N ca-
dit in punctum I, cùm quan-
titas <math>mm</math> non reperitur, lineâ
L C exi$tente
<math>{= <r>ox + {p / m} xx</r>}</math>.</p>
<p>Quod $ic liquet</p>
<tb math>
Mult. QL. 2c + {ax / z}
per LN. # {ax / z}
</tb>
<p>lat. tran$v. lat. rect.</p>
<p><math>2c - r - □ QLN. {2acx / z} + {aaxx / zz}</math>,
ad □ LC. <math>{{2acrx / z} + {aarxx / zz} / 2c</math>, æquale <math>ox + {p / m} xx</math>.</p>

<pb 201>[221]<rh>C<sc>OMMENT AR II IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<p>Intellige hîc <math>c</math> & <math>d</math> e$$e æquales.</p>
<p>Etfit, ut ante in Ellip$i, <math>r</math> ad <math>2c</math>, ut <math>pzz</math> ad <math>aam</math>,
<math>d = c = {aom / 2pz}, r = {oz / a}, & 2 c = {aom / pz}</math>
<fig>
<var>A B L M I N K Q</var>
</fig>
6<_>tus</_> ca$us, ubi vertex Q ca-
dit in punctum I, cùm quanti-
tas <math>mm</math> non reperitur, lineâ L C
exi$tente
<math>= <r>-ox + {p / m} xx</r></math>.</p>
<p>Quod $ic liquet</p>
<tb math>
Mult. QL. # {ax / z}
per LN. - 2c + {ax / z}
</tb>
<p>lat. tran$v. lat. rect.</p>
<p><math>{2c - r - □ Q L N. - {2acx / z} + {aaxx / zz},</math>
ad □ L C. <math>{-{2acrx / z} + {aarxx / zz} / 2c}</math>, æquale <math>- ox + {p / m} xx.</math></p>
<p>Intellige hîc $imiliter <math>c</math> & <math>d</math> e$$e æquales.</p>
<p>Et$it, ut ante, <math>r</math> ad <math>2c</math>, ut <math>pzz</math> ad <math>aam</math>, <math>d = c = {aom / 2pz}, r = {oz / a},
& 2c = {aom / pz}</math>,</p>
<fig>
<var>A B N M L Q I K C</var>
</fig>
<p>7<_>mus</_> ca$us, ubi centrum M cadit in punctum I, cùm quantitas
<math>ox</math> nulla e$t, lineâ L C exi$tente <math>= <r>- mm + {p / m} xx</r></math>.</p>

<pb 202>[222]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Quod $ic liquet</p>
<tb math>
Mult. Q L. # c + {ax / z}
per L N. -c + {ax / z}
 # - cc - {acx / z}
</tb>
<p>lat. tr. lat. rect. # <math>+ {acx / z} + {aaxx / zz}</math></p>
<p>2c - r - □ QLN. <math>- cc + {aaxx / zz}</math>,
ad □ LC. <math>{- ccr + {aarxx / zz} / 2c}</math>, æquale <math>- mm + {p / m}xx</math>.
Intelligehîc <math>d</math> e$$e <math>= o</math>.</p>
<p>Unde, ut ante in Ellip$i, invenitur, <math>r</math> e$$e ad <math>2c</math>, $icut <math>pzz</math> ad
<math>aam</math>, & <math>r = √ {4mpzz / aa}</math>, at verò <math>2 c = √ {4aa m^3 / pzz}.</math></p>
<fig>
<var>A B Q M L I K O C P</var>
</fig>
<p>8<_>vus</_> ca$us, ubi linea L C e$t parallela diametro, ad quam illa,
quæ e$t in linea IL, ordination adplicatur, & ubi centrum M in
linea I L ex eadem parte puncti L $umendum e$t re$pectu pun-
cti I, cùm quantitas <math>oo</math> e$t minor quàm <math>4mp</math>, lineâ L C exi$tente
<math>= <r>mm - ox + {p / m} xx</r></math>.</p>
<p>Hinc ad inveniendum cent um M, latus rectum R pertinens ad
diametrum OP, & latus tran$ver$um OQ, pono, ut ante, pro
IM <math>d</math>, & pro O M vel M Q <math>e</math>.</p>

<pb 203>[223]<rh>C<sc>OMMENT AR II IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<p>Deinde ita procedo:</p>
<tb math>
 # Mult. L M vel C P. d - {ax / z}
 # per C P. d - {ax / z}
 # dd - {adx / z}
lat. rect. lat. tran$v. # -{adx / z}+{aaxx / zz}
R - 2e - ▭ C P. dd - {2adx / z} + {aaxx / zz},
 # ad ▭ Q P O. {2dde - {4adex / z} + {2aaexx / zz} / R},
 # add. ▭ MO. e e
 # $it ▭ M P vel L C. {2dde + eeR - {4adex / z} + {2aaexx / zz} / R},
 # æquale mm - ox + {p / m} xx.
{4ade / Rz} = o
4ade = o R z # {2aae / Rzz} = {p / m}
 # e = {oRz / 4ad} # dele e, {2aaem = p Rzz}. Hinc ut 2 e ad \\ R, ita pzz ad \\ aam.
 # {aomRz / 2d} = p R zz
 # aom = 2dpz
 # {aom / 2pz} = d
 # {2dde + eeR / R} = mm
 # 2dde + ee R = m m R, dele e
 # {dozR / 2a} + ee R = mm R
 # {oom / 4p} + ee = mm
 # ee = {mm - oom / 4p}
 # e <r>mm - {oom / 4p}</r>, & 2e = <r>4mm - {oom / p}</r>.
</tb>

<pb 204>[224]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Hinc ad inveniendum latus rectum, fiat ut <math>pzz</math> ad <math>aam</math>, ita
<math><r>4 mm - {oom / p}</r></math>, ad <math><r>{4 a^4 m^4 / pp z^4} - {a^4 oo m^3 / p^3 z^4}.</r></math></p>
<p>Ubiliquet, ut punctum C cadat in Hyperbolam, quemadmo-
dum $uppo$uimus, quantitatem <math>oo</math> hoc ca$u minorem requiri
quàm <math>4mp</math>, contra quàm in primo ca$u.</p>
<fig>
<var>A B Q L M K I O C P</var>
</fig>
<p>9<_>nus</_> ca$us, ubi centrum M in li-
nea I L $umendum e$t ex altera
parte puncti L re$pectu puncti I,
cùm <math>oo</math> e$t minor quàm <math>4mp</math>, li-
neâ L C exi$tente
<math>= <r>mm + ox + {p / m} xx.</r></math></p>
<p>Quod $ic liquet</p>
<tb math>
 # Mult. ML vel P C. d + {ax / z }
 # per P C. d + ax / z
 # dd + {adx / z}
lat. rect. lat. tran$v. # + {adx / z} + {aaxx / zz}
 # R - 2e ▭ P C. dd + {2adx / z} + {aaxx / zz},
 # ▭ Q P O
 # ad {2dde + {4adex / z} + {2aaexx / zz} / R},
 # add. ▭ M O. ee
 # fit ▭ M P vel L C. {2dde + eeR + {4adex / z} + {2aaexx / zz} / R},
 # æquale mm + ox + {p / m} xx.
</tb>
<p>Et fit, ut ante, <math>2e</math> ad <math>R</math>, ut <math>pzz</math> ad <math>aam</math>, <math>d = {aom / 2pz}</math>,
<math>2e = <r>4mm- {oom / p}</r></math>, & <math>R = {√{4 a^4 m^4 / pp z^4} - {a^4 oo m^3 / p^3 z^4}.</math></p>

<pb 205>[225]<rh>C<sc>OMMENT AR II IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<p>Ubi etiam liquet, ut punctum C cadat in Hyperbolam, quem-
admodum $uppo$uimus, quantitatem <math>oo</math> & hoc ca$u minorem re-
quiri quàm <math>4mp</math>, contra quàm in 2<_>do</_> ca$u.</p>
<fig>
<var>A B Q I M K I O C P</var>
</fig>
<p>10<_>mus</_> ca$us, ubi centrum M cadit in punctum I, cùm quanti-
tas <math>oo</math> nulla e$t, lineâ L exi$tente <math>= <r>mm + {p / m} xx</r></math>.</p>
<p>Et fit <math>2e = 2m</math>, & <math>R = {2aamm / pzz}</math>, & ratio <math>2e</math> ad <math>R</math>,
ut <math>pzz</math> ad <math>aam</math>.</p>
<p>Quod $ic liquet</p>
<tb math>
 # Mult. M L vel P C. {ax / z}
 # per P C. {ax / z}
</tb>
<p>lat. rect. lat. tran$v.</p>
<p><math>R - 2e</math> ▭ P C. <math>{aaxx / zz}</math>, ad ▭ Q P O. <math>{2aaexx / Rzz}</math>
 # add. ▭ M O. <math>ee</math>
 # fit ▭ M P vel L C. <math>ee + {2aaexx / Rzz}</math>,
 # æquale <math>mm + {p / m} xx</math>.</p>
<tb math>
{ee = mm / e = m}, & 2e = 2m
 # {2aae / Rzz} = {p / m}
 # dele e, 2aaem = p Rzz. Hinc ut 2 e ad R, itap pzz ad aam.
 # 2aamm = pRzz
 # 2aam / pzz} = R.
</tb>

<pb 206>[226]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Hinc cum in omnibus hi$ce Hyperbolæ ca$ibus $ive diver$is
ejus po$itionibus quantitas in <math>xx</math> ducta ubique $igno + adfecta
reperiatur, & in prioribus $eptem latus rectum ad tran$ver$um $it,
ut <math>pzz</math> ad <math>aam</math>, at in tribus po$terioribus ut <math>aam</math> ad <math>pzz</math>; nec
præter has po$itiones ulla alia excogitari queat, quâ linea L C
talis, qualis in his omnibus ca$ibus data fuit, obtineatur: $e-
quitur, $i in quæ$tione terminus <math>{p / m} xx</math> $igno + denotatus fue-
rit, punctum quæ$itum C cadere in Hyperbolam, cujus rectum
latus ad tran$ver$um $ive etiam tran$ver$um ad rectum, pro diver-
$a terminorum ip$ius L C con$titutione, $it ut <math>pzz</math> ad <math>aam</math>, ac
eju$dem po$itio, qualis jam o$ten$a fuit, exi$tat.</p>
<p>Ubi denique notandum, quòd, $icut punctum C in Hyperbo-
lam cadere o$ten$um e$t, cujus vertex N vel O, id ip$um $imili-
ter in Hyperbola oppo$ita pro libitu a$$umi po$$it, cujus vertex e$t-
Q, non autem indifferenter in 4<_>or</_> eju$modi $ectionibus, quæ
Conjugatæ vocantur, $imul.</p>
<p>_Quâ quidem ratione inde facile e$t invenire banc Para-_
<mgl>CCC</mgl>
_bolam per Problema_ I. _primi libri Conicorum Apollonii._]
Quò illis, quibus hi Apollonii libri, aut etiam aliorum, qui de Co-
nicis $crip$erunt, non$unt ad manus, hac in parte $atisfiat: lubet
hoc loco adducere ea, quæ mihi olim circa hæc, dum me inter
peregrinandum in hac Geometriæ methodo exercebam, excide-
rant, $imili occa$ione ip$e inve$tiganda propo$uiac inveni. Quod
etiam iis in hac Methodo $e oblectare cupientibus, ut proprio
marte propo$itiones invenire addi$cant, in$ervire pote$t, prout
iis, hi$ce tanquam exemplis, quibus ad alias quærendas & inve$ti-
gandas in$tigentur, præïvero; ne ad univer$alem Mathe$eos com-
plexionem plura librorum volumina evolvere & propo$itiones in
iis $ingulas excutere (quod pleri$que $ummus e$t $copus) opus ha-
beant; quin potiùs quo pacto illæ inventæ fuerint perpendant,
nova$que alias innumeras, quibus $cientia hæc non parvum incre-
mentum capere valeat, invenire moliantur.</p>
<p>Verùm enimvero ut non $olùm pateat, quâ ratione illa, quæ
hoc loco Autor ab Apollonio o$ten$a citavit, juxta Geometriæ
$uæ methodum inveniri po$$int; $ed etiam illa, quæ ex ip$o p. 29,
31, & 32 allegavit (quæ omnia, quod $ciam, ea $unt, quæ ab eo
ad Geometriam $uam ex Apollonio præ$upponuntur): non abs

<pb 207>[227]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
re fuerit illa præ$enti commentario $imul comprehendere atque
ad Autoris mentem $ic explicata exhibere.</p>
<h it>DE LOCIS SOLIDIS SIVE CONICARVM
SECTIONVM PROPRIET ATIBVS.</h>
<h it>Suppo$itiones.</h>
<p>1. REctam lineam B A vel B C, quæ à vertice coni
B ducitur ad ba$is A C circumferentiam, e$$e:
in $uperficie conica.</p>
<p>2. Sectionem K F L, ba$i coni A C parallelam, e$$e
circulum.</p>
<fig>
<var>B E S N K I L F H A C D G</var>
</fig>
<p>De _PARABOLA_, quæ e$t $ectio coni A B C per planum
G F E H, in quâ linea E D, communis $ectio trianguli per axem
A B C & plani$ecantis G F E H, quæ & $ectionis diameter di-
ci con$uevit, parallela e$t uni laterum A B, B C eju$dem trian-
guli, ut hîc ip$i B C; lineâ G H, quæ Ba$is Sectionis G F E H vo-
catur, ip$am A C, ba$in trianguli per axem, ad rectos angulos
$ecante.</p>

<pb 208>[228]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<mgl>
<math>E$to A B = a
B C = b
A C = c
E B = d
E I = x
F I = y</math>
</mgl>
<p>Fiat propter $imilitudinem ∆<_>rum</_> A B C & K E I</p>
<tb>
ut B C ad C A, ita E I ad I K
<math>b - c - x / {cx / b}</math>
Rur$us fiat propter $imilitudinem
∆<_>rum</_> A B C & E B S
ut A B ad A C, ita E B ad E S $eu I L
<math>a - c - d / {cd / a} # Mult.
</tb>
<p> # - ▭ F I
 # fit ▭ K I L. <math>{ccd / ab} x = yy</math>.</p>
<p>Hinc $i fiat, ut <math>ab</math> ad <math>cc</math>, hoc e$t, ut □ A B C ad □ A C, ita <math>d</math>,
hoc e$t, E B, ad quartam, quæ $it E N: erit <math>E N = {ccd / ab}. Quæ
$i brevitatis causâ nominetur <math>r</math>, habebitur <math>r x = yy</math>. Quod ip$um
e$t, quod ab A pollonio e$t o$ten$um Theoremate 11<_>mo</_> primi li-
bri Conicorum, ubi docet, rectangulum quodlibet, $ub rectâ
E N $eu <math>r</math> $ic inventâ, & diametri $egmento EI, quod inter
verticem ejus E & ordinatim adplicatam FI intercipitur, com-
prehen$um, e$$e æquale quadrato eju$dem ordinatim adplica-
tæ FI.</p>
<p>Ubi notandum, lineam hanc inventam E N $eu <math>r</math>, ab Apollo-
nio vocari Latus rectum Parabolæ, vel etiam Lineam,
juxta quam po$$unt, quæ ad diametrum E D ordinatim
adplicantur. à Mydorgio autem hæc linea Parameter appel-
latur. Quam porrò lineam breviùs obtinere licet, quàm hîc cum
Apollonio o$tendimus. Etenim lineâ E S exi$tente <math>= {cd / a}</math>, cum
B C $it ad <math>CA</math>, hoc e$t, <math>b</math> ad <math>c</math>, $icut E S, hoc e$t, <math>{cd / a}</math> ad <math>E N = {ccd / ab}</math>:
inveniri poterit E N, quærendo tantùm ip$is B C, C A, & E S
quartam proportionalem. Quemadmodum ex o$ten$is e$t mani-
fe$tum.</p>

<pb 209>[229]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<fig>
<var>D B O N E S K I L P Q F A R H M C G</var>
</fig>
<p>De _HYPERBOLA_, quæ e$t $ectio coni A B C per planum
G F E H, in quâ linea E R, communis $ectio trianguli per axem
A B C & plani $ecantis G F E H, quæ & Sectionis diameter dici-
tur, extra ejus verticem E producta convenit cum uno laterum
A B, B C eju$dem trianguli extra verticem coni B producto, ut
hîc in D; lineâ G H, quæ ba$is $ectionis G F E H vocatur, ip$am
A C, ba$in trianguli per axem, ad rectos angulos $ecante.</p>
<mgl>
<math>Sit A M = a
M B = b
M C = c
D E = q
E I = x,
F I = y.</math>
</mgl>
<p>Fiat propter $imilitudinem ∆<_>rum</_> C B M & L D I</p>
<tb>
 # ut B M ad M C, ita D I ad I L
eritque <math>DI = q + xb - c - q + x / {cq+cz / b}</math>
Rur$us fiat propter $imilitudinem
Δ<_>rum</_> M B A & I E K
ut B M ad M A, ita E I ad I K
<math>b - a - x / {ax / b} # Mult.
</tb>
<p> # - ▭ F I</p>
<p> # fit ▭ L I K. <math>{acqx + acxx / bb} = yy</math>.</p>

<pb 210>[230]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Hinc $i $iat, ut <math>bb</math> ad <math>ac</math>, hoc e$t, ut ▭ B M ad ▭ A M C, ita
<math>q</math>, hoc e$t, D E, ad quartam, quæ $it E N: erit <math>E N = {acq / bb}</math>. Ip$a
autem brevitatis causâ nominetur <math>r</math>.</p>
<p>Deinde fiat rur$us, ut <math>bb</math> ad <math>ac</math>, hoc e$t, ut D E ad E N, ita <math>x</math>, hoc
e$t, E I $eu N Q ad <math>QP = acx / bb</math>. Eritque <math>rx + QP</math> in <math>x - yy</math>.
Quod ip$um e$t, quod ab Apollonio e$t, o$ten$um Theoremate
duodecimo primi libri Conicorum, ubi docet, rectangulum
quodvis, $ub rectâ E N $eu <math>r</math> $ic inventâ, & diametri $egmento
E I $eu <math>x</math>, quod inter ejus verticem E & ordinatim adplicatam
F I interjicitur, comprehen$um, unà cum rectangulo N Q P,
quod $ub eodem diametri$egmento E I vel N Q, & lineâ Q P, ad
quam N Q eandem rationem habet, quam D E ad E N, contine-
tur, quadrato eju$dem ordinatim adplicatæ F I e$$e æquale.</p>
<p>Ubi notandum, lineam D E ab Apollonio vocari Latus
tran$ver$um Hyperbolæ, & lineam inventam E N Latus
rectum, vel etiam Lineam, juxta quam po$$unt, quæ ad
diametrum E R ordinatim adplicantur. à Mydorgio verò
hæc ip$a Parameter appellatur. Quæ porrò linea faciliùs ob-
tineri pote$t, hoc modo; Ductâ $cilicet E S ip$i A C parallelâ,
ac deinde ip$is B M, M A, & S E quærendo quartam proportio-
nalem E N. Etenim cum B M $it ad M C, hoc e$t, <math>b</math> ad <math>c</math>, $icut
D E, hoc e$t, <math>q</math>, ad E S: erit <math>E S = {cq / b}</math>. Unde cum præterea B M
ad M A $it, hoc e$t, <math>b</math> ad <math>a</math>, $icut E S, hoc e$t, <math>{cq / b}</math>, ad quartam <math>{acq / bb}</math>,
quæ hîc eadem e$t, quæ linea E N $uperiori modo inventa: ma-
nife$tum e$t id, quod proponitur.</p>
<p>De _E L L I P S I_, quæ e$t $ectio Coni A B C per planum
G F E H, in quâ linea E R, communis $ectio trianguli per axem
A B C & plani $ecantis G F E H convenit cum utroque latere
A B, B C eju$dem trianguli in E & D; lineâ G H, quæ ba$is
$ectionis G F E H vocatur, ip$am A C, ba$in trianguli per axem,
eandemve productam, ad rectos angulos $ecante.</p>

<pb 211>[231]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<tb math>
 # E$to A M = a
 # M B = b
 # M C = c
 # E D = q
 # E I = x, eritque I D = q - x
 # F I = y.
</tb>
<fig>
<var>B E S R L F O D N P H Q A C R M G</var>
</fig>
<tb math>
 # Fiat propter $imilitudinem Δ<_>rum</_> B C M & D L I
 # ut B M ad M C, ita D I ad I L
 # b - c - q - x / {cq-cx / b}
Rur$us fiat propter $imilitu dinem Δ<_>rum</_> A B M & K E I
 # ut B M ad M A, ita E I ad I K
 # b - a - x / {ax / b} # Mult.
 # - ▭ F I
 # fit ▭ K I L. {acqx - acxx / bb} = yy
</tb>
<p>Hinc $i ut in Hyperbola fiat, ut <math>bb</math> ad <math>ac</math>, hoc e$t, ut ▭ B M
ad □ A M C, ita <math>q</math>, hoc e$t, D E, ad quartam, quæ $it E N:
erit <math>E N = {acq / bb}</math>. Ip$a autem brevitatis causâ nominetur <math>r</math>.</p>
<p>Deinde fiat rur$us, ut <math>bb</math> ad <math>ac</math>, hoc e$t, ut D E ad E N, ita <math>x</math>,
hoc e$t, I E $eu P O, ad <math>O N = {acx / bb}</math>. Eritque <math>rx</math> - N O in <math>x = yy</math>.

<pb 212>[232]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
Quod ip$um e$t, quod ab Apollonio e$t o$ten$um Theoremate
decimotertio primi libri Conicorum, Ubi docet, rectangulum
quodvis, $ub rectâ N E $eu <math>r</math> $ic inventâ, & diametri $egmento E I
$eu <math>x</math>, quod inter ejus verticem E & ordinatim adplicatam F I
interjicitur, comprehen$um, minus rectangulo N O P, quod $ub
eodem diametri $egmento E I vel O P, & lineâ N O, ad quam
O P eandem rationem habet, quam D E ad E N, continetur,
quadrato eju$dem ordinatim adplicatæ F I e$$e æquale.</p>
<p>Ubi notandum lineam E D, $ectionis diametrum, ab Apollo-
nio vocari Latus tran$ver$um ut & Diametrum tran$ver-
$am Ellip$is, & lineam inventam N E Latus rectum, vel
etiam Lineam, juxta quam po$$unt, quæ ad diametrum
E D ordinatim adplicantur. à Mydorgio autem hæc linea
N E Parameter appellatur. Quæ porrò linea, ut ante in Hy-
perbola, po$tquam linea E S ip$i A C ducta e$t parallela, bre-
viùs obtineri pote$t, $i tantùm ip$is B M, M A, & S E quæra-
tur quarta proportionalis: quandoquidem hæc $emper eadem
exi$tit, quæ ip$a N E, inventa, ut$upra. Sicut $uperiùs à nobis
in Hyperbola e$t o$ten$um.</p>
<p>Ex his porrò facilè liquet, quam inter $e rationem habeant
quadrata ordinatim adplicatarum ad diametrum in unaquaque
harum trium $ectionum. Etenim $i in Parabolâ linea E D voce-
<mgl>Vide fi-
guram 1.</mgl>
tur <math>z</math>, & ordinatim adplicata G D vocetur <math>v</math>, erit, ut $upra,
<math>{ccdz / ab} = vv</math>: ac proinde <math>yy</math> ad <math>vv</math>, hoc e$t, ▭ F I ad ▭ G D, ut
<math>{ccdx / ab}</math> ad <math>{ccdz / ab}</math>, $eu <math>x</math> ad <math>z</math>, hoc e$t, E I ad E D. Hoc e$t, in Pa-
rabola quadrata ordinatim adplicatarum F I, G D inter $e $unt,
$icut lineæ E I, E D, quæ ab ip$is ex diametro E D ad verticem
E ab$cinduntur. Quod ip$um e$t, quod docet Apollonius Prop<_>ne</_>
20<_>ma</_> libri 1<_>mi</_> Conicorum.</p>
<p>Eodem modo in Hyperbola & Ellip$i acceptâ pro E I aliâ
<mgl>Vide fig.
2. & 3.</mgl>
magnitudine quàm ante, ut puta <math>z</math>, erit in Hyperbola <math>vv =
{acqz + aczz / bb}</math>, & in Ellip$i <math>vv = {acqz - aczz / bb}</math>. Unde <math>yy</math> ad <math>vv</math>
in Hyperbola $it, ut <math>{acqx + acxx / bb}</math> ad <math>{acqx + aczz / bb}</math>, hoc e$t, ut
<math>qx + xx ad qz + zz</math>; at in Ellip$i, ut <math>acqx + acxx / bb</math> ad

<pb 213>[233]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<math>{acqz - aczz / bb}</math>, hoc e$t, ut <math>qx - xx ad qz - zz</math>. Hoc e$t, in Hy-
perbola & Ellip$i quadrata ordinatim adplicatarum inter$e $unt,
ut rectangula contenta lineis, quæ inter ip$as & vertices tran$-
ver$i lateris interjiciuntur. Denique, quia in Hyperbola ▭ F I
<math>= {acqx + acxx / bb}</math> e$t ad □ <math>EID = qx + xx</math>, ut <math>ac</math> ad <math>bb</math>; $imili-
terque in Ellip$i □ <math>FI = {acqx - acxx / bb}</math> ad □ <math>EID = qx - xx</math>,
ut <math>ac</math> ad <math>bb</math>, hoc e$t, ut N E ad E D: patet in utrâque figurâ qua-
drata ordinatim adplicatarum FI e$$e ad rectangula E I D, quæ
fub rectis E I, I D, inter F I & vertices tran$ver$i lateris E, D
interceptis, comprehenduntur, ut figuræ rectum latus N E ad
tran$ver$um E D. Omnino ut habet Prop<_>tio</_> 21<_>ma</_> libri I<_>mi</_> Coni-
corum Apollonii. Eadem e$t ratio in Circulo, qui non ni$i certa
Ellip$is $pecies cen$enda e$t, quippe in qua rectum latus & tran$-
ver$um $unt æqualia.</p>
<p>O$ten$is igitur quo pacto Cono dato, eoque $ecto, ita ut $ectio
Parabola, Hyperbola, vel Ellip$is exi$tat, $ectionis $ive figuræ
hujus latera inveniri queant: re$tat ut è contra o$tendamus, quâ
viâ Conus inveniri po$$it, & in eo unaquæque trium barum figu-
rarum exhiberi, cujus latera $int datis rectis lineis æqualia.</p>
<p>Ut ad inveniendum Conum A B C, in eoque $ectionem
<mgr>Vide
fig. 1.</mgr>
G F E H, quæ Parabola appellatur, cujus latus rectum $it
<math>= {oz / a}</math>, facio <math>{ccd / ab} = {oz / a}</math> $eu <math>{boz / ab}</math>, & fit rejecto <math>ab</math>, communi
denominatore, <math>ccd = boz</math>. Hoc e$t, divi$o utrobique per <math>cc</math>, erit
<mth>d = {boz / cc}</math>. Hinc a$$umpto triangulo quolibet A B C, cujus latera.
$int, <math>A B = a</math>, <math>B C = b</math>, & <math>A C = c</math>, $i in ip$o $umatur <math>EB
= {boz / cc}</math>, atque ex E ducatur E D ip$i B C parallela: erit A C dia-
meter circuli $ive ba$is Coni, & A B C triangulum per axem. Ac
proinde $i per D in plano ba$is hujus Coni ip$i A C ad rectos an-
gulos ducatur G H, atque per rectas G H, D E $ectio in$tituatur,
faciens in $uperficie Conica curvam lineam G F E H: erit hæc ip$a
Parabola, cujus latus rectum N E $it datæ <math>{oz / a}</math> æqualis, quem-
admodum requirebatur. Quòd $i verò ip$a talis præterea exhi-
beri debeat, ut rectæ F I, quæ $emper ip$i G H parallelæ intelli-

<pb 214>[234]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
guntur, in dato angulo ad diametrum E D adplicentur, opùs
tantùm erit angulum G D E $ive E D H dato æqualem efficere,
intelligendo ad id circulum A G C H moveri circa A C, tan-
quam axem, eritque Problemati ex omni parte $atisfactum.</p>
<p>Similiter ad inveniendum Conum A B C, & in eo $ectionem
<mgl>Vide 2.
& 3. fig.</mgl>
G F E H, quæ $it vel Hyperbola vel Ellip$is, cujus latus rectum
$it <math>= <r>{oozz / aa} + {4mpzz / aa}</r></math>, & tran$ver$um <math>= <r>{aaoomm / ppzz} + {4aa m^3 / pzz}</r></math>:
facio <math>{acq / bb} = <r>{oozz / aa} + {4mpzz / aa}</r></math>, & <math>q = <r>{aaoomm / ppzz} + {4aa m^3 / pzz}</r></math>.
Hoc e$t, a$$umptis horum quadratis, erit <math>{aaccqq / b^1} = {oozz + 4mpzz / aa}</math>,
& <math>qq = {aaoomm + 4aa m^3 p / ppzz}</math>. Adeoque $i in termino <math>{aaccqq / b}</math> pro
<math>qq</math> hic numerus $ub$tituatur, habebitur <math>{a^4 ccoomm + 4 a^4 cc m^3 p / b^4 ppzz} =
{oozz + 4 mpzz / aa}</math>. Hoc e$t, multiplicato per crucem, erit
<math>a^6 ccoomm + 4 a^6 cc m^3 p = b^4 oopp z^4 + 4 b^4 m p^3 z^4</math>: & fit,
$i utrinque per <math>oopp z^4 + 4m p^3 z^4</math> dividatur,
<math>{a^6 ccoomm + 4 a^6 cc m^3 p / oopp z^4 + 4m p^3 z^4}</math> $eu <math>{a^6 ccmm / pp z^4} = b^4</math>. Unde, extrahendo
utrobique radicem biquadratam, invenitur <math>√ {a^3 cm / pzz} = b</math>. Hinc
a$$umptis ad libitum duabus lineis A M & M C, ii$que in dire-
ctum $eu in unam lineam po$itis, quarum major A M $it <math>=a</math>, &
minor <math>M C = c</math>, duco ex M in angulo quocunque rectam M B
<math>= √ {a^3 cm / pzz}</math>, jungoque B A & B C; ita ut habeatur triangulum
per axem A B C, cujus ba$is A C diametrum circuli referat, qui
Coni ba$is exi$tit, & punctum B verticem ip$ius Coni. Deinde
productâ B C, ad Hyperbolam obtinendam, inter angulum A B D
pro utrâque figurâ aptanda erit recta <math>ED = <r>{aaoomm / ppzz} + {4aa m^3 / pzz}</r></math>;
ita ut ip$a parallela $it lineæ B M, (quod facile e$t,) continuataque
occurrat rectæ A M in R. Quibus $ic po$itis, $i per R in plano
ba$is hujus Coni ip$i A M ad rectos angulos ducatur G H, atque
per rectas G H, R E $ectio in$tituatur, faciens in $uperficie conica
curvam lineam F E: erit hæc ip$a Hyperbola vel Ellip$is quæ$ita,
hoc e$t, cujus rectum latus e$t <math>= <r>{oozz / a} + {4mpzz / aa}</r></math>, & tran$ver-

<pb 215>[235]<rh>C<sc>OMMENT ARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
$um <math>= <r>aaoomm / ppzz + 4aa m^3 / pzz</r></math>. Quòd $i verò in$uper tales exhi-
bendæ $int, utrectæ F I, quæ $emper ip$i G H parallelæ intelli-
guntur, in dato angulo ad diametrum E R adplicentur, oportet
tantùm (ut ante in Parabola) angulum G R E five E R H dato
æqualem efficere, intelligendo ad id planum ba$is hujus Coni
e$$e mobile circa A M, tanquam axem: eruntque $ic conditiones
quæ$tionis omnes adimpletæ, ita ut his primo, $ecundo, & tertio
Problematis primi libri Conicorum Apollonii $atisfactum pu-
tem. Quorum quidem omnium veritas ex præcedentibus fit ma-
ni$e$ta.</p>
<p>Eodem modo reliquos ca$us Ellip$eos & Hyperbolæ, in qui-
bus latera recta & tran$ver$a alias quantitates ab his diver$as $or-
tiuntur, quale$que eas in antecedentibus determinare docuimus,
per$equi licet.</p>
<p>Denique ut appareat, quâ ratione Propo$itiones de Hyperbolæ
A$ymptotis agentes, de quibus Apollonius $ecundo atque $e-
quentibus Conicorum libris multas egregias proprietates de-
mon$travit, inventæ fuerint, $equentia protuli$$e juvabit.</p>

<pb 216>[236]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<tb math>
 # Sit AM = a
 # M B = b
 # M C = c
 # D E = q
 # E I = x
 # F I = y
 # E R = z, eritque D R = q + z.
 # G R = v
 # a E = $
 # X M = t, eritque X C = t - e.
</tb>
<fig>
<var>D a B c e E L I b K T Z F d X H d C M R A V G Y</var>
</fig>
<tb math>
 # Mult. X A. t + a
 # per X C. t - c
 # Ad ▭ X M. tt # - tc - ac
 # add. ▭ C M A $eu ▭ M V. ac # tt + ta
 # - ▭ C X A.
<mgl>_per_ 47. I_<_>mi</_>_
_Elem._</mgl>
{▭ X V. tt + ac = tt + ta - tc - ac. / 2ac = ta - tc}
<mgr>_per_ 36. 3_<_>tis</_>_
_Elem._</mgr>
 # 2 ac = ta - tc
 # XM. {2ac / a-c} = t
</tb>

<pb 217>[237]<rh>C<sc>OMMENT ARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<tb math>
 # Fiat propter $imilitudinem Δ<_>rum</_> BMA & E R A
 # ut B M ad M A, ita E R ad R A
 # b - a - z / {az / b}
 # Rur$us fiat propter $imilitudinem Δ<_>rum</_>
 # B M C & D R C
 # ut BM ad MC, ita DR ad RC
 # b - c - q + z / {cq + cz / b} # add.
 # C A. {az + cz + cq / b} = a + c
 # az + cz + cq = ab + cb
 # az + cz = ab + cb - cq
 # z = {ab + cb - cq / a + c}}.
 # Ad R C. {cq + cz / b}
 # adde X C. t - c
Fiat propter $imilitudinem
 # Δ<_>rum</_> X M B & X R a.
 # XM # MB # - # Ra
 # t------b------XR. {cq + cz + bt - bc / b} / ad $ + z
<mgl>Eritque, per 16.
6<_>ti</_> Elem.</mgl>
 # t$ + tz = cq + cz + bt - bc
 # t$ + tz - bt = cq + cz - bc
 # t = {cq + cz - bc/$ + z - b} = {2ac / a - c}
 # aq + az - ab - cq - cz + cb = 2a$ + 2az - 2ab
 # ab + cb + aq - cq - 2a$ = az + cz
 # {ab + cb - cq / a + c} = {ab + cb + aq - cq - 2a$ / a + c} = z
 # ab + cb - cq = ab + cb + aq - cq - 2a$
 # 2a$ = aq.
</tb>
<p>fit <math>a E = $ = 1/2 q</math>. Id quod o$tendit, rectas, quæop-
po$itarum $ectionum A$ymptoti dicuntur, in medio
tran$ver$i lateris D E $e invicem decu$$are. Ubi etiam
patet, angulos, quos comprehendunt, angulo ver-
ticis trianguli T B V, cui planum harum $ectionum
æquidi$tat, e$$e æquales.</p>

<pb 218>[238]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Fiat propter $imilitudinem Δ<_>rum</_> B M V & <math>a</math> R Y</p>
<tb math>
▭ B M ▭ M V \\ bb - ac # ▭ a E \\ {1/4} qq # ad # ▭ E b \\ {1/4} {acqq / bb}.
 # ▭ a I \\ {1/4} qq + qx + xx # # ▭ Id \\ {1/4} {acqq + acqx + acxx / bb}. A quo $ub- \\ ducto ▭^to I F ante invento, = \\ {acqx + acxx / bb}, relinquetur, per 5. \\ 2^di Elem., ▭ e F d = {1/4} {acqq/bb}.
 # ▭ a R \\ {1/4} qq + qz + zz # # ▭ RY \\ {1/4}{acqq + acqz + aczz / bb}</math>. A quo $ub- \\ ducto ▭^to R G, ante invento, = \\ {acqz + aczz / bb}, relinquetur, per 5. \\ 2^di Elem, ▭ Z G Y = {1/4} {acqq / bb}.
</tb>
<p>Jam cùm ▭ <math>E b</math>, ▭ <math>e F d</math>, & ▭ Z G Y $ingula $int inventa
<math>= {1/4} {acqq/bb}</math>, con$tat ip$a inter$e e$$e æqualia. Eadem e$t ratio de
quibu$cunque aliis huju$modi rectangulis, in infinitum a$$umptis.
Quod ip$um e$t, quod docet Prop<_>tio</_> 10. 2<_>di</_> libri Conicorum
Apollonii.</p>
<p>Porrò, quoniam <math>{1/4} {acqq / bb}</math> e$t <math>{1/4}^ta</math> pars rectanguli $ub latere tran$-
ver$o <math>D E = q</math> & latere recto N E, ante invento, <math>= {acq / bb}</math>, manife-
$ta hinc etiam e$t Prop<_>tio</_> I<_>ma</_> eju$dem libri.</p>

<pb 219>[239]<rh>C<sc>OMMENT ARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<fig>
<var>a g i c E o e I k d F h</var>
</fig>
<p>Præterea $upponatur <math>c E</math> vel <math>E b = e</math>
<math>e F = f</math>, eritque
<math>F d = {ee / j}</math>
<math>g E = g</math>
<math>E F = b</math>
<math>F h = i</math>, eritque
<math>E h = b + i</math>
<math>E i = k</math>
<math>a i = l</math>
<math>F k = m</math>
& <math>a k = n</math>, eritque
<math>ik = n - l</math>.</p>
<p>Tum fiat propter $imilitudinem Δ<_>lorum</_> <math>cg E</math> & <math>e g F</math>
ut <math>g E</math> ad <math>E c</math>, ita <math>g F</math> ad <math>F e</math>
<math>g - e - g + b / f</math>
Eritque per 15. 6<_>ti</_> Elem. <math>{g$ = eg + eh / gf - ge = eh}</math></p>
<p>Rur$us fiat propter $imilitudinem Δ<_>lorum</_> <math>F d b</math> & <math>E bb</math>.
ut <math>F b</math> ad <math>F d</math>, ita <math>Eb</math> ad <math>Eb</math>
<math>i - {ee / f } - h + i / e</math>
Eritque per 16. 6<_>ti</_> Elem. <math>i = {eb + ei / f}</math>
<math>fi = eb + ei</math>
<math>Et $it gf - ge = fi - ei = eh</math></p>
<p>Id e$t, dividendo utrinque per <math>f - e</math>, erit <math>g = i</math>. Hoc e$t, <math>g E</math> e$t
æqualis <math>F h</math>. Eadem e$t ratio de recta E F, quomodocunque per
duo quælibet alia puncta in Hyperbolâ ducta, & utrinque A$ym-
ptotis terminata. Id quod cum octava convenit Propo$itione $e-
cundi libri Conicorum Apollonii.</p>
<p>Ad hæc fiat propter parallelas <math>E i</math> & <math>F k</math>
ut <math>g E</math> ad E F, ita <math>ai</math> ad <math>ik</math>
<math>g - h - l / n - l</math>
Eritque per 16.6<_>ti</_> Elem. <math>gn - gl - bl</math></p>
<p>Hoc e$t, in locum <math>g</math> $ub$tituto <math>i</math>, habebitur <math>in - il - bl</math>, & fit
<math>b = in-il / l</math>.</p>

<pb 220>[240]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Denique fiat propter $imilitudinem Δ<_>lorum</_> <math>E ib</math> & <math>F kb</math>
ut <math>E i</math> ad <math>E h</math>, ita <math>F k</math> ad <math>F b</math>
<math>k - b + i - m / i</math>
Eritque per 16.6<_>ti</_> Elem. <math>ki = hm + im</math>
<tb>
 # vel <math>ki - mi = bm</math>
 # & fit <math>b = {ki - mi / m} = {in - il / l}</math>
 # # <math>kl - ml = mn - ml</math>/&
 # # <math>kl-mn</math>. Hoc e$t, rectangulum
</tb>
$ub <math>E i</math> & <math>ia</math> e$t æquale rectangulo $ub <math>Fk</math> & <math>ka</math>.
Id quod eodem modo de omnibus aliis rectangu-
lis, $ub $imilibus lineis comprehen$is, manife-
$tum e$t; prout nimirum ad hoc præter puncta
E & F alia quævis in Hyperbola a$$umpta fuerint.
Quibus haud di$$imilia $unt ea, quæ Apollonius
demon$travit Prop<_>ne</_> 12<_>ma</_> libri 2<_>di</_> Conicorum.</p>
<p>Unde demum facile e$t inferre, cum puncta hæc ulteriùs at-
que ulteriùs $emper in Hyperbola a$$umi po$$int, ac inde uno la-
tere horum rectangulorum continuè accre$cente latus alterum
ip$orum perpetuò decre$cat; quòd idcirco A$ymptoti <math>a b</math>, <math>a c</math>, &
Hyperbola E F in infinitum productæ ad $e ip$as propiùs acce-
dant, & ad intervallum perveniant, minus quolibet dato inter-
vallo. Quibus & illa quadrant, quæ ab Apollonio Prop<_>bus</_> I<_>ma</_> &
14<_>ta</_> eju$dem libri$unt o$ten$a.</p>
<p>Cæterùm quoniam D<_>nus</_> des Cartes univer$im iis tantùm pro-
po$itionibus u$us fui$$e videtur, quæ non ni$i proprietates decla-
rant, quæ cum $ubjecto $uo omnimodè reciprocantur, & à Logi-
cis proprietates 4<_>ti</_> modi appellari $olent: vi$um fuit hoc loco
deinceps modum, quo cogno$ci po$$unt, qualem eum eruditi$-
$imus atque ingenio$i$$imus Vir-Juvenis D. Johannes Hudde-
nius, Am$telodamen$is, Gerh. fil. excogitavit, per unum aut al-
terum exemplum exponere.</p>

<pb 221>[241]<rh>C<sc>OMMENTAR II IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<fig>
<var>D A C E B</var>
</fig>
<p>Ut ad inquirendum, utrum pro-
prietas circuli, quæ declarat, qua-
drata ordinatim adplicatarum ad
diametrum e$$e æqualia rectangulis
$ub $egmentis diametri, cum circu-
lo $it reciproca nec ne: $upponatur
recta A B, & in eam perpendicula-
ris C D, hanc habens proprietatem, ut quadratum $uper ipsâ $it
æquale rectangulo $ub $egmentis A C, C B. Quæritur qualis $it
linea A D B.</p>
<p>Ad quod inve$tigandum, $ectâ A B bi$ariam in E, ponatur
A E vel <math>E B = a</math>, <math>C E = x</math>, & <math>C D = y</math>: eritque <math>A C = a - x</math>,
& <math>C B = a + x</math>. Jam cum A C multiplicatâ per C B proveniat
<math>aa - xx</math>, pro rectangulo A C B; hocque ex data proprietate
æquetur quadrato ex CD: erit <math>aa - xx = yy</math>. Deinde, quo-
niam, lineâ C D perpendiculari exi$tente $uper A B, quadratum
ex E D, per 47 Primi Elementorum Euclidis, e$t æquale duo-
bus quadratis ex E C & C D: erit quadratum ex <math>E D = xx + yy</math>.
Acproinde $i in hac $umma pro <math>yy</math> $ubrogetur <math>aa - xx</math>, habe-
bitur quadratum ex <math>E D = aa</math>, hoc e$t, <math>E D = a</math>. Id quod o$ten-
dit, rectis A E, E D, & E B $ingulis ip$i <math>a</math> æqualibus exi$tenti-
bus, lineam A D B e$$e circulum, cujus centrum E, ac idcirco
proprietatem allegatam cum circulo e$$e reciprocam. Quod
ip$um & hoc modo cogno$ci pote$t. Advertendo $cilicet, utrum
proprietas propo$ita $ine nece$$ariâ $ubjecti inclu$ione demon-
$trari po$$it nec ne. Si enim ea ab$que nece$$aria $ubjecti inclu-
$ione demon$trari nequeat, proprietas erit reciproca; $in $ecus,
proprietas communis.</p>
<fig/>
<p>Ut ad intelligendum, num proprietas
hæc cum triangulo rectangulo $it reci-
proca, nimirum: tres angulos $imul $um-
ptos æquales e$$e duobus rectis: adver-
tendum tantummodo e$t, utrum de-
mon$tratio illius triangulum rectangu-
lum præ$upponat nec ne; ac proinde cum
ip$a ab$que ulla di$cretione in quolibet
trian gulo locum obtineat, concludendum

<pb 222>[242]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
e$t eandem non ni$i pro communi trianguli rectanguli proprietate
e$$e habendam.</p>
<p>Ita etiam con$iderando demon$trationem $upradictæ proprie-
tatis circuli, quoniam ip$a radiorum æqualitatem, in quâ circuli
natura con$i$tit, omnino expo$cit, convincitur eandem proprie-
tatem $oli circulo competere ac cum eodem reciprocari.</p>
<p>Similiter, $i quis naturam demon$trationis perpendat, quâ
o$tenditur, quadrata ordinatim adplicatarum inter $e e$$e, $icut
rectangula $ub $egmentis diametri: comperietur, eandem de-
mon$trationem radiorum æqualitatem non includere, adeoque
proprietatem hanc non ni$i communem proprietatem circuli exi-
$tere: quandoquidem & Ellip$i, cujus Circulus non ni$i $peciem
refert, omnino convenit.</p>
<p>Sed & u$um horum perpendere, cum in univer$a Mathe$i haud
exigui $it momenti, non inutile fuerit $equentia, quibus eundem
quadantenus indica$$e exi$timamus, in medium afferre.</p>
<p>Primò itaque, po$tquam in quærenda æquatione proprietas
reciproca adhibita fuit, certi $umus totam $ubjecti naturam hâc
ratione in ea e$$e inclu$am; adeoque, ad aliam adhuc æquationem
à præcedenti diver$am obtinendam, non licere ut ad id alia eju$-
dem $ubjecti proprietas adhibeatur, ni$i accedat aliquid, quod in
præcedenti æquatione nondum $it involutum: quandoquidem $ic
circulum committi manife$tum e$t.</p>
<p>2<_>do</_>, Theorernata omnia, quæ nece$$itatem $ubjecti inferunt
ex proprietate jam o$tensâ, (ut, verbi gratiâ, Prop. 48. primi li-
bri Elementorum) quæque ut plurimùm indirectè per deductio-
nem ad ab$urdum demon$trari $olent, po$$unt directè demon-
$trari, dummodo o$tendatur, proprietatem illam cum $ubjecto
$uo e$$e reciprocam.</p>
<p>3<_>tio</_>, Si quis ad $olvenda Problemata naturam $ubjecti retinere
velit, commodi$$imè id præ$tare poterit, retinendo tantùm pro-
prietatem aliquam, cum eodem $ubjecto reciprocam, quæ aut
omnium facillimè memoriæ mandari queat aut etiam $implici$$i-
ma exi$tat: cum minimè nece$$um $it, ut is retinendis omnibus
illius Thcorematis aggravetur, quippe quæ omnia Geometriæ
hujus Methodo certâ arte ex huju$modi proprietate deducuntur.</p>
<p>4<_>to</_>, Hinc etiam per$picuum e$t, quàm parùm nece$$e $it, libros,
qui Theorematibus referti $int, con$cribere, quæ aut u$um nul-

<pb 223>[243]<rh>C<sc>OMMENTAR II IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
lum habent, aut difficulter retineri po$$unt, aut etiam beneficio
alicujus facilioris $ive $implicioris proprietatis reciprocæ è natura
fubjecti $ui nullo negotio eruuntur.</p>
<p>_Nimirum $ilatus boccerectum $tatuatur_ <math><r>{oozz / aa}+{4mpzz / aa}</r></math>,
<mgr>D</mgr>
_tr an$ver $um erit_ <math><r>{aaoomm / ppzz}+{4aa m^3 / pzz}</r></math>.] Qui termini hoc
etiam pacto $cribi po$$unt <math>{z / a} <r>oo+4mp</r></math>, & <math>{am / pz} <r>oo + 4mp</r></math>,
quemadmodum po$tea in demon$tratione pag. 33à Domino des
Cartes $unt a$$umpti. Similiter, $ihabeatur, ut paulò $uperiùs,
<math><r>{oozz / aa} - {4mpzz / aa}</r></math>: poterit ejus loco $cribi <math>{z / a} <r>oo-4mp</r></math>. Eo-
dem modo cùm habetur <math><r>{4 a^4 m^4 / pp z^4}-{a^4 oo m^3 / p^3 z^4}</r></math> (ut paulò po$t pa-
gin. 31): po$$umus ejus loco $cribere <math>{aam / pzz} <r>4mm-{4oom / p}</r></math>, tol-
lendo $cilicet ex $igno radicali quicquid e$t rationale. Haud $ecus
$it, cùm pro <math>√ {3 aa / bb}</math> $cribitur <math>{a / b} √ 3</math>. Quæ $cribendi ratio non
ineptè quoque ad radicum commen$urabilium $pecies $ive opera-
tiones adhiberi pote$t. Ut, ad addendum <math>√ 27</math> ad <math>√ 75</math>: quoniam
<math>3 √ 3</math> idem e$t quod <math>√ 27</math>, & <math>5 √ 3</math> idem quod <math>√ 75</math>, hinc $um-
ma earum erit <math>8 √ 3</math>, & differentia <math>2 √ 3</math>, productum verò mul-
tiplicationis 1 5, 3 $eu 45; & quotiens ex divi$ione majoris per mi-
norem <math>{5/3}</math> $eu <math>1 {2/3}</math>. Sic ad multiplicandum <math>{8 / 27 √ 3}</math> per <math>3 √ 3</math>, divido
<mgr>_Vide pag._
_75. lin._
_penult. &_
_ult._</mgr>
<math>27 √ 3</math> per <math>3 √ 3</math>, $eu, quod idem e$t, 27 per 3, & fit productum <math>{8/9}</math>.
Similiter ad dividendum fractiones <math>{2/3}</math>, 1, & <math>{4/3}</math> per <math>√ 3</math>, multiplico
earum denominatores per <math>√ 3</math>, & fiunt quotientes <math>{2 / 3 √ 3}</math>, <math>{1 / √ 3}</math>, &
<mgr>_Vide pag._
_76. lin. 7._</mgr>
<math>{4/3 √ 3}</math> $eu <math>{2/9 √ 3}</math>, <math>{1/3} √ 3</math>, & <math>{4/9} √ 3</math>, perinde enim e$t $ive hoc $ive illo
modo $cribantur. Idem de $equentibus formulis, quas hîc $ub-
jungere vi$um fuit, intellige. Ut $i habeatur <math>√ ac</math>, ejus loco $cri-
bere po$$umus <math>a √ {c / a}</math>, vel <math>c √ {a / c}</math>. Et $i habeatur <math>{ab / √ ac}</math> $cribi ejus
loco pote$t <math>b √ {a / c}</math>; adeò ut, $i habeatur <math>{acc + a^3 / 2<r>aa+cc</r>}</math>, ejus loco $ub-
<mgr>_Vide pag._
82. _lin._ 18</mgr>
$titui po$$it <math>{1/2} a <r>aa + cc.</r></math> lta pro <math>b √ {ac / bb}</math> ponere licet <math>√ a c</math>, nec

<pb 224>[244]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
non pro <math>2 b √ {cbb / a}</math> reponere <math>{2 bb / a} √ ac</math>. Similiter pro <math>d + {bb-bd / b+d}</math>
$cribi pote$t <math>{dd+bb / b+d}</math>. Sic etiam loco@ <math>d + {bb / b+d}</math> $cribi pote$t
<math>b + {dd / b+d}</math>: cum $ub eodem denominatore reducti faciant
<math>{bb+bd+dd / b+d}</math>. Et denique pro <math>{c / √ c}-{a / √ a}</math> $cribere po$$umus
<math>{c-a / √ c + √ a}</math> vel <math>√ c - √ a</math>. Et $ic de aliis, ut pa$$im in hi$ce com-
mentariis e$t videre.</p>
<p>_Sed $i $ectione Hyperbolâ exi$tente & c_.] Notandum hîc,
<mgl>E</mgl>
applicatam e$$e Hyperbolam ei linearum po$itioni, cui po$tea Cir-
culum quadrare ab Authore o$tenditur. Quod tam per$picuita-
tis quàm brevitatis $tudio factum; quandoquidem ea, cùm literæ
A, B, C, D, & c. in ii$dem omnium figurarum locis reperiuntur,
quæ ibidem $crip$it, $ic faciliùs intelligi po$$unt, quàm $i nunc in
uno, nunc in alio e$$ent quærendæ.</p>
<p>Etenim cùm requiritur, ut productum, quod oritur ex multi-
plicatione C B per C F, æquale $it ei, quod fit ex ductu C D in
C H, oportet lineam illam curvam tran$rre per quatuor inter$e-
ctionum puncta datarum linearum: nimirum, per inter$ectionem
A, linearum D A, A B (quoniam eo ca$u lineæ B C & C D nullæ
$unt, ac proinde $ingulæ, in $ingulas ex reliquis ductæ, nihil pro-
ducunt), & per inter$ectionem G linearum A B, G H, (quo ca$u
lineæ C H & C B nullæ $unt): nec non per utramque reliquam,
utpote ip$arum F E, G H (quo ca$u C F & C H nullæ $unt), &
ip$arum D A, E F (quo ca$u C D & C F nullæ $unt), quæ in hac
figura non $unt expre$$æ, $ed in Circulo ob$ervatæ apparent.
Unde, cum D<_>nus</_> des Cartes, brevitati $tudens, referre voluerit
ca$us omnes ad unum exemplum, figuræ nempe pag. 12. mirum
viderinon debet, quòd, po$tquam hujus exempli locum Circu-
lum e$$e o$ten dit, nec in quæ$tione quicquam mutavit, eidem li-
nearum po$itioni non Hyperbola $icut Circulus re$ponderit. Nec
etiam hinc ullus $equitur error, quandoquidem tota quæ$tio non-
dum determinata exi$tit, $ed pagin. 33 primò determinatur.
Quippe fieri pote$t, ut, paucis in ea mutatis, eidem linearum
po$itioni, cui Circulus competit, quadret Hyperbola; & quidem
Hyperbola, quæ non tran$eat per ullas datarum linearum inter-

<pb 225>[245]<rh>C<sc>OMMENTAR II IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
$ectiones. Ut, exempli causâ $i rectangulum ex F C in C D de-
beat e$$e majus, quàm rectangulum ex C B in C H, datâ quâdam
quantitate, vel aliud quid $imile: $equitur eam $ic applicari po$$e,
ut, manentibus literis I, K, L, B, C, D, &c. $uis locis, ea pauca,
quæ de Hyperbola afferre voluit, faciliùs intelligantur, quàm $i
figura mutata fui$$et.</p>
<p>Eju$dem brevitatis $tudio nulla etiam hîc mentio fit oppo$ita-
rum Hyperbolarum, non quòd ab Authore ignorentur, utpote
qui paulò po$t pag. 37. quatuor lineas Hyperbolæ affines, inter
$e oppo$itas, exhibuit: Sed quòd faciliora ferè $emper in hac
Geometria neglexerit. In difficilioribus certè, quæ tractandà
$u$cepit, nihil omi$it. A tque idcirco hîc maluit eam linearum
po$itionem exhibere, cui conveniret Circulus, quàm cui com-
peteret Ellip$is, aut Hyperbola, quia ejus inventio peculiarem ha-
bet difficultatem.</p>
<p>_Zuippe bœc loca nibil aliud $unt, quàm cùm in quœ $tione_
_aliqua e$t inveniendum punctum, in quâ una deficit condi-_
_tio, ut ip$a pror $us $it determinata._] Nimirum, ubi ad inve-
niendum illud punctum duas $upponere oportet lineas incognitas,
& materia tantùm pro una æ quatione $uppetit. Ut in hoc exemplo,
ubiad determinandum punctum C, duæ $upponendæ $untinco-
gnitæ lineæ A B & B C; quarum una o$tendat, ad quod punctum
lineæ A B duci debeatrecta B C in dato angulo; & altera, ubi-
nam illud ip$um in eadem recta $it $umendum. Ubi porrò, po$t-
quam conditiones omnes $unt adimpletæ, inventa e$t æquatio
<math>yy = {- dekzz \\ + cfglz # y # - dezzx \\ - cfgzx \\ + bcgzx # y # + bcfglx \\ - bcfgxx / e z^3 - cgzz}</math>, duas continens quanti-
tates incognitas <math>x</math> & <math>y</math>. Adeò ut, cum in ipsâ una de$it conditio
ut $it pror$us determinata, quantitatem aliquam cognitam pro
arbitrio a$$umere liceat pro incognita <math>x</math>, cui non re$pondet ali-
qua æquatio, atque tot inde invenire puncta C, quot ip$i radici <math>x</math>
tribuerimus diver$os valores.</p>
<p>Cæterùm quoniam hæc quæ$tio extendi pote$t ad omnes li-
neas curvas, quæ $ub calculum cadunt, atque in Geometriam
recipi po$$unt: ita ut nulla $it linea curva primi generis, quæ ad
illam non $it utilis, quando in quatuor lineis proponitur: nec ulla

<pb 226>[246]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
$ecundi, quando in 8 lineis: nec ulla tertii, quando in 12 lineis
e$t propo$ita, atque ita porrò: placuit hîc quoque $ubjungere ca-
$um, quando in duabus tantùm lineis e$t propo$ita, qui quidem
omnium $implici$$imus exi$tit.</p>
<p>Datis po$itione duabus rectis lineis A B, C D, inter
<mgl>_Locus ad_
_duas li-_
_neas._</mgl>
$e parallelis, aut concurrentibus in puncto D; punctum
extra ip$as invenire, ut E, à quo $i in datis angulis F &
G ad po$itione datas A B, C D, duæ ducantur rectæ
lineæ E H, E C, ip$æ datam inter $e habeant ratio-
nem <math>r</math> ad <math>$</math>.</p>
<fig>
<desc>_fig.1_</desc>
<var>_d_ E _e_ I K H A B _h b_ F C C D G</var>
<desc>_fig.2_</desc>
<var>I _e_ K F E B _b_ G D A _h_ H C _c_</var>
</fig>
<p>Supponantur anguli B A I, D C B æquales angulis F, G; &

<pb 227>[247]<rh>C<sc>OMMENTAR II IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
concurrant rectæ A I, C B, (ubicunque ho$ce æquales angulos
ad po$itione datas con$tituentes) in punctum I. Deinde ratio,
quam H E ad E C $ervare debet, detur ut A I ad K, vel $i non ita
detur, ad hanc formam reducatur.</p>
<p>_Re$olutio_. Puta factum e$$e, quod quæritur, ponaturque <math>B C = q</math>,
<math>A I = r</math>, <math>K = $</math>, <math>B I = t</math>, & <math>B E = x</math>. Unde, cum propter triangu-
lorum B I A, B E H $imilitudinem, B I $it ad I A, hoc e$t, <math>t</math> ad <math>r</math>, $i-
cut B E $eu <math>x</math> ad E H, erit <math>E H = {rx / t}</math>. Deinde quoniam A I e$t ad
K, hoc e$t, <math>r</math> ad <math>$</math>, $icut H E ad E C, $ive <math>{rx / t}</math> ad <math>q + x</math>: erit pro-
ductum $ub extremis <math>rq + rx</math>, æquale producto $ub mediis <math>{r$x / t}</math>.
Ac proinde $i utrinque dividatur per <math>r</math>, atque multiplicetur per <math>t</math>,
æquatio erit <math>$x - tx = tq</math>. Hoc e$t, revocatâ æ qualitate ad pro-
portionem, erit ut <math>$ - t</math> ad <math>t</math>, ita <math>q</math> ad <math>x</math>. Unde talis emergit _Con-_
_$tructio_. Fiat, ut exce$$us, quo K excedit B I, ad B I; ita B C ad B E.
Tum per E ducatur E <math>d</math> ip$i A B $eu C D parallela (ut in prima
fig.); aut ex D per E agatur recta D E indefinitè (ut in $ecunda
fig.): Dico $i ex quolibet ejus puncto, ut <math>e</math>, ad po$itione datas
A B, C D, duæ ducantur rectæ lineæ <math>e h</math>, <math>ec</math> in datis angulis F & G,
hoc e$t, ip$is A I, I C parallelæ, dictas lineas datam inter $e ratio-
nem $ervaturas, hoc e$t, <math>be</math> fore ad <math>ec</math>, $icut A I ad K, $eu <math>r</math> ad <math>$</math>.</p>
<p>_Demon$tratio_. Quoniam enim e$t, ut exce$$us, quo K excedit
B I, ad B I, ita B C ad B E: erit quoque componendo K ad B I,
$icut C E ad E B. Unde cum ratio C E ad E B compo$ita $it ex
ratione C E ad E H, & ex ratione H E ad E B $eu A I ad I B: erit
quoque ratio K ad B I ex ei$dem rationibus compo$ita. Eodem
modo, quoniam item ratio K ad B I componitur ex ratione K ad
A I, & ex ratione A I ad I B: erit ratio compo$ita ex ratione C E
ad E H, & ex ratione A I ad I B, eadem cum ratione, quæ com-
ponitur ex K ad A I, & ex A I ad I B. Quare $i communis aufe-
ratur ratio A I ad I B, erit quoque reliqua ratio C E ad E H ea-
dem reliquæ rationi K ad A I, $eu $ ad <math>r</math>. Quod erat faciendum.
Eadem e$t ratio ubicunque tandem in recta <math>d</math> E punctum <math>e</math> a$$u-
matur. Unde manife$tum fit, punctum quæ$itum <math>e</math> rectam lineam
contingere D E, po$itione datam, ac proinde in loco plano e$$e.
Omitto reliquos hujus quæ$tionis ca$us, cum à quovis ad horum
imitationem facilè con$trui po$$int.</p>

<pb 228>[248]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>_At verò duabus conditionibus deficientibus ad bujus_
<mgl>G</mgl>
_puncti determinationem, locus, in quo illud reperitur, $u-_
_perficies e$t, quœ $imiliter aut plana, aut Spbœrica, aut_
_magis compo$it a e$$e pote$t_.] Quæ verba, ut rectè intelligan-
tur, exemplis $equentibus illu$trare conabimur.</p>
<p>Dato triangulo æquilatero A B C, à cujus vertice B
<mgl>_Locus ad_
_Super fi-_
_ciem._</mgl>
ad ba$in A C demi$$a $it perpendicularis B D: oporteat
intra ip$um invenire punctum, ut E, à quo $i ad oppo-
$ita latera deducantur perpendiculares E F, E G, &
E H, ip$æ $imul $umptæ æquentur perpendiculari B D.</p>
<fig>
<var>K B I G H E A F D C</var>
</fig>
<p>Factum jam $it, & pro-
ductâ F E, u$que dum $e-
cet latus A B in I, B C
verò productum in K;
ponatur A D $eu D C
<math>= a</math>, <math>D B = b</math>, <math>A F = x</math>,
& <math>F E = y</math>. Hinc cum $i-
milia $int triangula A D
B, & A F I, erit $icut A D
ad D B, hoc e$t, <math>a</math> ad <math>b</math>,
ita A F $eu <math>x</math> ad F I; quæ
ideo erit <math>{bx / a}</math>. E qua $i
auferatur <math>F E = y</math>, relin-
quetur <math>E I = {bx / a} - y</math>. Si-
militer, quoniam $imilia $unt triangula C D B & C F K, erit C D
ad D B, hoc e$t, <math>a</math> ad <math>b</math>, ut C F $eu <math>2a - x</math> ad F K; quæ ideo erit
<math>2b - {bx / a}</math>. E qua $i auferatur <math>F E = y</math>, re$tabit <math>E K = 2b - {bx / a} - y</math>.
Eodem modo cum, propter $imilitudinem triangulorum A D B,
E G I, A B $it ad A D, hoc e$t, 2 <math>a</math> ad <math>a</math> $eu 2 ad 1, $icut I E $eu
<math>{bx / a} - y</math> ad E G; erit <math>E G = {bx / za} - {1/2} y</math>. Non $ecus, cum $imilia
$int triangula E K H & D B C, erit ut B C ad C D, hoc e$t,
<math>2a</math> ad <math>a</math>, $eu 2 ad 1, ita E K $eu <math>2b - {bx / a} - y</math> ad E H; quæ ideo

<pb 229>[249]<rh>C<sc>OMMENTAR II IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
erit <math>b- {bx / 2a} - {1/2} y</math>. Adeoque $i addantur perpendiculares inventæ
E F, E G, & E H, erit earum $umma <math>b</math>, æqualis <math>b</math>, perpendiculo
trianguli A B C.</p>
<p>Ubi patet, quòd, po$tquam incidimus in æquationem, in qua
ab utraque parte reperitur eadem quantitas, quæ$tio propo$ita
non $it Problema, $ed Theorema; $eu quòd conditio, ex qua
hæc æquatio deducta fuit, in quæ$tionis datis $it comprehen$a,
neque unquam $ine hac conditione e$$e po$$it: Atque adeò,
duas in ea conditiones de$iderari, ad dicti puncti determinatio-
nem; unam, ad æquationem pro <math>x</math> inveniendam, quâinnote$cat,
ad quod punctum lineæ A C duci debet perpendicularis E F; at-
que alteram, ad æquationem pro <math>y</math> inveniendam, quâ cogno$ca-
tur, ubinam illud ip$um in hac perpendiculari $it $umendum: qui-
bus mediantibus quæ$tio penitus determinata reddatur. Quare,
<mgr>_Vide ea,_
_quæ ba-_
_bentur_
_pag. 4_</mgr>
po$tquam conditiones in quæ$tione præ$tandæ ex$ecutæ $unt, &
neutri linearum incognitarum A F, F E æquatio re$pondet, po-
terunt illæ ad arbitrium accipi, atque idcirco quæ$itum punctum
E ubique intra triangulum A B C a$$umi. Cujus demon$tratio
facilis e$t.</p>
<p>Ducantur enim rectæ A E, E B, & E C, ut con$tituantur tria
triangula A E C, A E B, & B E C.</p>
<p>Quoniam igitur horum triangulorum ba$es $unt æquales, ac
quælibet ex ip$is æqualis ba$i trianguli A B C; habebunt ip$a ad
triangulum A B C eandem rationem, quam perpendicula F E,
E G, & E H. Quare cum triangula A E C, A E B, & B E C $imul
$umpta ip$i triangulo A B C $int æqualia: erunt quoque perpen-
diculares E F, E G, & E H $imul $umptæ ip$i perpendiculari B D
æquales. Quod erat demon$trandum.</p>
<p>Porrò notandum e$t, quòd, quemadmodum punctum E, intra
triangulum A B C a$$umptum, exhibet $emper eandem $ummam
perpendicularium E F, E G & E H, quæ ab eo ad trianguli late-
ra deducuntur, & æqualem perpendiculari B D, ita contra, $i $u-
matur extra triangulum A B C, atque ab eo ad $ingula ejus latera,
$i opùs e$t, producta perpendiculares demittantur, obtineatur
$emper eadem perpendicularium differentia, quæ rur$us perpen-
diculari B D $it æqualis. Oportet autem perpendicularem, quæ
ducitur in latus $ubten$um angulo, intra quem punctum $umptum

<pb 230>[250]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
erit, auferre ex $umma duarum reliquarum. Quæ $imili ratione
aliis quoque figuris rectilineis ordinatis competunt, cum eadem
in omnibus $it demon$tratio.</p>
<p>Alterum exemplum, quod hîc afferendum duxi, de$ump$i ex
inventis Nobili$$imi & præclari Juvenis D. Chri$tiani Hugenii,
quibus $ibi jam pridem apud Doctos tantam paravit laudem at-
que admirationem, ut non ni$i magna quæque ab eo expectanda
e$$e affirmare non veriti fuerint.</p>
<fig>
<var>K E G F H I A D C B</var>
</fig>
<p>Dato Circulo A G B, dataque po$itione diametro
A B: invenire extra ip$am punctum E, à quo $i ad A B
demittatur perpendicularis E D, & per idem punctum
agatur recta quædam linea F G utrinque à circumferen-
tiâ terminatâ, ut rectangulum F E G, $ub $egmentis ejus
F E, E G comprehen$um, unà cum quadrato perpendi-
cularis demi$$æ E D, æquetur rectangulo A D B, $ub
$egmentis diametri A D, D B.</p>
<p>Ductâ per E rectâ K I parallelâ ip$i A B, deducatur ex cen-
tro C in eam perpendicularis C H, jungaturque C I. Po$itâigitur
A C vel <math>C B = a</math>, <math>C D = x</math>, & <math>D E = y</math>: erit <math>H I = <r>aa-yy,</r></math>
<math>E I = <r>aa-yy</r> + x</math>, & <math>E K = <r>aa-yy</r>-x</math>. Unde $i multi-
plicavero <math>E K = <r>aa-yy</r>-x</math> per <math>E I = <r>aa-yy</r>+x</math>, fiet

<pb 231>[251]<rh>C<sc>OMMENTAR II IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
rectangulum K E I $eu <math>F E G = aa-yy-xx</math>. Cui $i addatur
<mgr>_35 Tertii_
_Elem._</mgr>
quadratum ex <math>E D = yy</math>, erit $umma <math>aa-xx = aa - xx</math>, re-
ctangulo A D B, utpote æqualis ei, quod fit ex <math>a - x</math> in <math>a + x</math>.</p>
<p>Quia igitur hîc utrinque eædem reperiuntur quantitates, &
adimpletis omnibus conditionibus nulla ampliùs inveniri pote$t
æquatio, quâ innote$cat utraque incognita quantitas <math>x</math> & <math>y</math>: li-
quet eas ad arbitrium $umi po$$e, atque Problema propo$itum e$$e
Theorema. Defectus itaque duarum in hac quæ$tione conditio-
num, ad determinandum punctum E, o$tendit, illud ubique extra
diametrum, intra circulum cadere po$$e, & locum ejus e$$e ad $u-
perficiem Circuli. Id quod facilè demon$trari pote$t.</p>
<p>Quoniam enim C H perpendicularis e$t ad K I, $ecabit re-
<mgr>_3 Tertii_
_Elem._
_5 Secundi_
_Elem._
_35 Tertii_
_Elem._</mgr>
ctam K I bifariam in H. Unde cum in E quoque inæqualiter $it
$ecta, erit rectangulum K E I, $ub inæqualibus $egmentis com-
prehen$um, $eu, quod idem e$t rectangulum F E G, unà cum
quadrato $egmenti intermedii E H, æquale quadrato dimidiæ li-
neæ H I. Eodem modo, quoniam recta A B bifariam divi$a e$t
in C, & non bifariam in D: erit rectangulum A D B unà cum
quadrato inter$egmenti D C, æquale quadrato ex C B $eu C I.
Quare cum quadratum C I æquetur quoque quadratis C H, H I,
quorum quidem quadratum H I æquale e$t o$ten$um rectangulo
F E G, unà cum quadrato E H: $equitur rectangulum A D B unà
cum quadrato D C $eu E H æquari rectangulo F E G unà cum
duobus quadratis C H, E H. Ac proinde, dempto communi qua-
drato E H, remanebit rectangulum A D B æquale rectangulo
F E G, unà cum quadrato C H $eu E D. Quod erat demon$tran-
dum. Non $ecus demon$trabitur, omne aliud punctum, intra Cir-
culum extra diametrum A B a$$umptum, præ$tare id quod quæri-
tur: Quocirca, Si in Circulo extra diametrum, $umatur
aliquod punctum, à quo ad diametrum demittatur per-
pendicularis, & per idem punctum agatur recta linea à
circumferentia utrinque terminata: erit rectangulum
$ub $egmentis hujus rectæ comprehen$um, unà cum
quadrato perpendicularis demi$$æ, æquale rectangulo
$ub $egmentis diametri. Idem ferè contingit $i extra Circu-
lum acceptum fuerit punctum.</p>

<pb 232>[252]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Etenim,</p>
<p>A$$umpto extra Circulum puncto quolibet, ut E, ab
eoque ad diametrum A B, ip$amve productam, $i opùs
e$t, deductâ perpendiculari E D, tum verò rectâ E F,
Circulum utcunque in F & G $ecante: erit rectangulum
A D B, unà cum quadrato rectæ D E, æquale rectan-
gulo F E G. Quod $imiliter ut $upra experiri licet, atque de-
mon$trare.</p>
<fig>
<var>E G I F A C B D K</var>
</fig>
<p>Porrò $icut in allatis exemplis loca quæ$itorum punctorum
fuerunt ad $uperficies planas, ea$que terminatas, vel in infinitum
exten$as; ita quoque inveniuntur loca punctorum, quæ $unt ad
$uperficies curvas, & quidem vel terminatas, vel in infinitum
exten$as.</p>
<p>Si enim, exempli cau$sâ, in figura pag. 123 manente rectâ A B,
& in ea punctis A & B, circumvolvatur $emicirculus F D E, do-
nec ad eum locum, à quo moveri cœpit, redeat, de$cribetur $u-
perficies Sphærica, in qua $i quodlibet punctum accipiatur, ut D,
ab eoque ad puncta A & B rectæ agantur D A, D B; habebunt
ip$æ datam inter $e rationem, hoc e$t, eandem, quam P H ad M N.
Ita ut punctum D $it ad $uperficiem curvam terminatam, utpote
ad $uperficiem Sphæricam, conver$ione $emicirculi F D E de$cri-
ptam. Eadem ratione, $i à duobus datis punctis duæ inflectantur

<pb 233>[253]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
rectæ lineæ in data differentia: punctum ad inflexionem erit ad
$uper$iciem Hyperbolicam, po$itione datam. Etenim $i in plano
quocunque, quod per data puncta tran$it, de$cribatur Hyperbo-
la, cujus foci hæc puncta exi$tant, & axis tran$ver$us differentia
data: & manentibus punctis Hyperbola circa axem circumver-
tatur, donec ad eum locum, à quo moveri cœpit, redeat; de$cri-
betur $uperficies curva, quæ in infinitum extenditur, & Hy-
perbolica dicitur (quippe Hyperbolâ in infinitum extensâ),
in qua $i ad libitum $umatur punctum, à quo ad data puncta
agantur duæ rectæ lineæ, $ervabunt illæ inter $e differentiam da-
tam.</p>
<p>A tque $ic progrediendo curvæ $uperficies o$tendi po$$unt, in
infinitum magis magisque compo$itæ, quæ quæ$itorum puncto-
rum determinationi in$erviunt. Verùm cum $ufficiat nobis per
exempla aliquot modum explicui$$e, quo hæc loca per calculum
detegantur, & à locis planis, $olidis, alii$ve magis compo$itis
di$cernantur: ulteriori explicationi $uper$edebimus.</p>
<p>Cæterùm, ne quid, quod ad hanc materiam $pectare po$$it, de-
$ideretur, $ed Geometria omnibus numeris $it ab$oluta, paucis
$ubjiciam, quomodo cogno$ci po$$it, quando locus alicujus pun-
cti e$t ad $olidum: cum id neque ab Antiquis, neque à Recentio-
ribus (quod $ciam) hactenus $it deprehen$um.</p>
<p>Tribus igitur conditionibus deficientibus, ad puncti
alicujus determinationem, locus, in quo illud reperi-
tur, Solidum e$t: & vel planis con$tans $uperficiebus, vel
Sphæricâ, vel aliâ magis compo$itâ, vel denique mixtis ex planis
& curvis. Solida autem hæc vel $unt terminata, vel indefinitè
exten$a.</p>
<p>Ut, $i intra Tetraëdrum, invenien dum $it punctum, ita ut $um-
<mgr>_Locus ad_
_Solïdum._</mgr>
ma perpendicularium, ab eo in quatuor ejus plana, quibus, con-
$tat, demi$$arum, æquetur perpendiculo Tetraëdri: cadet illud
quovis loco intra Tetraëdrum, ita ut nullum intra ip$um pun-
ctum a$$umi po$$it, quod quæ$ito non $atisfaciat, Quod eodem
modo indagatur & demon$tratur, atque $uperiùs in triangulo
æquilatero e$t o$ten$um. Nam, cum ad hujus puncti determina-
tionem tres requirantur radices $eu incognitæ quantitates (qua-
rum una in$ervit determinandæ longitudini perpendicularis,

<pb 234>[254]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
quæ à quæ$ito puncto cadit $upra unum ex planis, & reliquæ duæ,
ad locum hujus perpendicularis in eodem plano determinan-
dum), & adimpletis conditionibus omnibus tandem in æ quatio-
nem incidamus, ubi utrinque eædcm occurrunt quantitates: in-
dicio e$t, incognitas quantitates ad libitum $umi po$$e, atque
Problema propo$itum e$$e Theorema. Nihiligitur refert quod-
cunque intra Tetraëdrum a$$umatur punctum, cum omnia quæ-
$ito $atisfaciant.</p>
<p>Non di$$imili ratione demon$trare po$$umus: Si extra Te-
traëdrum $umatur punctum, à quo ad $ingula ejus pla-
na demittantur perpendiculares, earum differentiam
æquari perpendiculo Tetraëdri. Adeò ut, $i quæ$tio fuerit
de inveniendo puncto, à quo demi$$æ perpendiculares $imul col-
lectæ, æquentur Tetraëdri perpendiculo, punctum illud futurum
$it in $olido terminato, utpote ubique intra Tetraëdrum; $i verò
po$tuletur, ut differentia ip$arum eidem perpendiculo $it æqua-
lis, reperietur punctum illud in $olido indefinitè exten$o, atque
$umi poterit extra Tetraëdrum, ubicunque libuerit. Idem de aliis
figuris ordinatis, plani$que $uperficiebus contentis, dici & de-
mon$trari po$$e, per$picuum e$t.</p>
<p>Alterum exemplum, quod hîc adducemus, ex Hugeniano
Problematc deduci pote$t, quemadmodum præcedens Te-
traëdri ex triangulo æquilatero deduximus, & e$t huju$modi:
Si Sphæra plano per centrum $ecetur, $umatur autem
extra planum quodlibet punctum intra Sphæram, ab
eoque ad planum demittatur perpendicularis, & per
$ubjectum punctum in eodem plano utcunque ducatur
recta linea, utrinque à Sphæræ $uperficie terminata:
erit rectangulum, $ub $egmentis hujus rectæ compre-
hen$um, æquale rectangulo $ub $egmentis rectæ, ut-
cunque per a$$umptum punctum ad Sphæræ $uperfi-
ciem ductæ, unà cum demi$$æ perpendicularis quadrato.
Idem fermè contingit $i punctum $umatur extra Sphæram.</p>
<p>His adde $equens Problema, quod occa$ione i$tius Hugeniani
$ibi ante tres annos è ve$tigio inquirendum propo$uit Vir Cele-

<pb 235>[255]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
berrimus atque undequaque Docti$$imus D. Johannes Walli$ius,
S.T.D, & in Academia Oxonien$i Geometriæ Profe$$or S<sc>A-
VILIANUS.</sc> E$tque huju$modi:</p>
<p>In circulo, cujus centrum C, a$$ignato ubivis pun-
cto A, per quod ducta recta peripheriæ occurrat in
punctis B, D: inveniantur alia quotlibet puncta, ita ut,
$i per quodvis eorum ducatur recta peripheriæ occur-
rens in punctis L, M, quadratum di$tantiæ A E æque-
tur vel differentiæ vel $ummæ rectangulorum LEM,
BAD.</p>
<tb math>
 # ▭LEM-▭BAD.
Puta □ A E = # ▭ BAD - ▭ LEM.
 # ▭ BAD + ▭ LEM.
</tb>
<p>Diametro A C de$cribatur circellus, quem contingat recta in-
finita FAG. Dico, $ingula puncta in peripheria circelli præ$tare</p>
<fig>
<var>S B F e A G B H M E D I C K T</var>
</fig>
<p>primum quæ$itum: quæ verò in recta F G intra circulum, $ecun-
dum: quæ denique in eadem continuata extra circulum, tertium.</p>
<p>Nam 1<_>mò</_>, $i $it E in peripheria circelli, (ductis diametris
SACT, HECK,) erit<n *> ▭ B A D = ▭ SAT = □<_>to</_> Radii
<mgr *>_per 35._
_Tertii_
_Elem._</mgr>
(- □ AC =) - □ EC - □ AE<n *>. Et ▭ LEM = ▭ HEK
= □<_>to</_> Radii - □ EC. Ergo ▭ LEM - □ AE = ▭ BAD,
<mgr *>_per 5_
_Secundi_
_Elem._</mgr>
vel ▭ LEM - ▭ BAD = □ AE.</p>
<p>2<_>dò</_>. Siin recta FG intra circulum $umatur E vel e: erit ▭
BAD = ▭ FAG = □ FA = ▭ F e G + □ A e. Et ▭ lem
= ▭ F e G. Ergo ▭ BAD - ▭ lem = □ A e.</p>

<pb 236>[256]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>3<_>tiò</_>. Siin F C continuatâ $umatur <math>e</math> vel ε extra circulum, erit
<mgl *>_per 36_
_Tertii_
_Elem._</mgl>
<n *>▭ λ ε μ = ▭ F ε G = □ A ε (- □ FA =) - ▭ BAD<n *>.
Ergo ▭ BAD + ▭ λ ε μ = □ A ε. Quod erat faciendum. Idem,
<mgl *>_per 6_
_Secundi_
_Elem._</mgl>
mutatis paucis, procederet pariter, etiam$i puncturn A extra circu-
lum a$$ignaretur.</p>
<p>Quoniam igitur a$$umpto puncto A ceu dato, puncta invenien-
da E cadunt in locum planum, utpote in peripheriam circelli,
autin rectam F G intra circulum, aut denique in eandem extra
circulum continuatam: patet, $iin locum horum circulorum ac-
cipiantur duæ $phæræ, quòd $imiliter hæc puncta E ubique pro
lubitu $umi po$$intin $uperficie convexa $phæræ A E C, aut in
$uperficie plana circuli, cujus diameter F G, aut denique in eo-
dem plano, extra hujus circumferentiam in infinitum exten$o,
prout $cilicet, ut ante, dictorum rectangulorum vel differentia
vel $umma quadrato di$tantiæ horum $umendorum punctorum
E à puncto A requiritur æqualis. Quòd $i verò idem punctum A
non unum locum obtineat, $ed ubivis intra circulum S L T a$$i-
gnetur, quòd tunc quidem locus puncti E ubique in $olido intra
vel extra $uperficiem $phæræ S L T, pro diver$a quæ$iti ratione,
$it futurus. A tque ita de aliis.</p>
<p>_I am verò ex boc $olo, quòd $citur relatio, quam omnia_
<mgl>H</mgl>
_line æ curvæ puncta babent ad puncta omnia line æ rectæ,_
_modo illo, quem $upra explicavi; facile quoque e$t inve-_
_nire relationem, quam babent ad omnia alia puncta &_
_datas lineas: at que exinde cogno$cere diametros, axes,_
_centra, alia$que lineas, & puncta, ad quæ unaquæque_
_curva linea relationem babebit $pecialiorem vel $impli-_
_ciorem, quàm ad alia: atque it a imaginari diver $os mo-_
_dosillas de$cribendi, exquibus faciliores eligi po$$unt._]
Ita, cum relatio, quam habent puncta lineæ C E, per motum re-
gulæ G L & plani rectilinei C N K L de$criptæ, (quam $uperiùs
Hyperbolam e$$e o$tendimus) ad puncta lineæ rectæ A B expri-
matur per æquationem <math>yy = cy - {cx / b} y + ay - ac</math>; prout nimi-
rum in ea a$$umitur punctum A, tanquam certum ac determina-
tum, à quo calculus incipiat: facile quoque e$t invenire relatio-
nem, quam habent ad puncta eju$dem A B, quando in ea, loco

<pb 237>[257]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
puncti A, a$$umitur aliud punctum nempe F, à quo calculus ini-
tium $umat. Etenim $i fiat, ut N L ad L K, hoc e$t, ut <math>c</math> ad <math>b</math>, ita
D A $eu <math>a + c</math> ad A F, erit ip$a <math>= {ab / c} + b</math>. E qua $i dematur A B
<fig>
<var>F Q O P K L N H I R C B D G M E A</var>
</fig>
<math>= x</math>, relinquetur <math>B F = {ab / c} + b - x</math>. Hinc $i in æquatione inven-
ta <math>yy = cy - {cx / b} y + ay - ac</math> loco <math>x</math> $ub$tituamus <math>{ab / c} + b - x</math>:
inveniemus æquationem <math>yy = {cx / b} y - ac</math>, quâ o$tenditur relatio,
quam habent puncta Hyperbolæ C E ad puncta rectæ B A, re$pe-
ctu puncti F. Quæ æquatio, cum præcedenti $it $implicior, ar-
guit, Hyperbolæ puncta ad puncta rectæ B A $pecialiorem $eu
$impliciorem habere relationem, quando in A B punctum F
pro certo & determinato a$$umitur, quàm cum in ea accipitur
punctum A.</p>
<p>Cæterùm relationem, quam Hyperbolæ puncta $ervant ad
omnia alia puncta & lineas datas, cogno$ces expag. 177. Ubi ex
relatione, quam habent puncta alicujus curvæ ad puncta rectæ

<pb 238>[258]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
po$itione datæ, datus e$t modus inveniendi relationem eorundem
punctorum ad puncta alterius cuju$vis rectæ po$itione datæ.
Adeoque tot inventis æquationibus diver$is, ad quot diver$as re-
ctas curva illa fuerit relata, atque ex iis juxta æquationum regulas
extractis radicibus: con$tabunt totidem modi eam de$cribendi,
ex quibus faciliores $eligi poterunt.</p>
<p>_I mmo verò, pote$t quoque ex boc $olo inveniri propemo-_
<mgl>I</mgl>
_dum omne id, quod deter minari pote$t, atque ad $pacii,_
_quod comprebendunt, magnitudinem $pectat: it a ut non_
_opùs $it de bis agere apertiùs._] Sic ad comparandam Ellip$in
cum Circulo, atque ad inveniendam relationem, quam inter $e ha-
bent, prout circa eundem axem $unt de$criptæ: E$to axis <math>= q</math>,
latus rectum pertinens ad axem <math>= r</math>, $egmentum axis inter ver-
ticem & utriu$que ordinatam interceptum <math>= x</math>, ip$a verò adplica-
ta <math>= y</math>. Hinc cum in Circulo latus tran$ver$um $ive diameter æ-
quale $it lateri recto, & æquatio exprimens relationem punctorum
Circuli ad puncta diametri vel axis $it <math>yy = qx - xx</math>; at verò
quæ relationem exprimit punctorum Ellip$is ad puncta axis $it <math>yy
= rx - {rxx / q}</math>: quæ inter $e $unt ut <math>q</math> ad <math>r</math>, hoc e$t, ut axis ad latus
rectum pertinens ad eundem axem; quæ quidem ratio duplicata
e$t rationis, quam habet hic axis ad axem $ecundum, $equitur
Circulum ad Ellip$in e$$e, ut axis primus ad axem $ecundum. Id
quod demon$tratum e$t ab Archimede prop<_>ne</_> 5<_>tâ</_> libri de Conoï-
dibus & Sphæroïdibus, ut & à nobis cap. 2<_>do</_> tractatus de organi-
ca Conicarum Sectionum in plano de$criptione.</p>
<p>Porrò extendi pote$t hoc ip$um ad cogno$cendam quoque re-
lationem, quam habet Sphæra ad Sphæroïdes, prout eundem
habent axem.</p>
<p>Etenim, cum o$ten$um $it, quadrata ordinatim adplicatarum
utriu$que curvæ e$$e inter$e, $icut axis ad latus rectum, pertinens
ad eundem axem; & quadrata illa ad $e invicem $int ut Circuli,
qui ab ip$is tanquam radiis conver$ione $emicirculi & $emi-elli-
p$is fiunt & utramque figuram de$cribunt: patet Sphæram ad
Sphæroïdes e$$e, ut axis ad latus rectum, pertinens ad eundem
axem: vel, ut quadratum eju$dem axis ad quadratum axis mino-
ris. Quod & ab Archimede o$ten$um.</p>
<p>Adeò ut non modò ex hoc $olo inveniri propemodum po$$it

<pb 239>[259]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
omne id, quod determinari pote$t, atque ad magnitudinem $pa-
cii, quod hæ curvæ comprehendunt, $pectat, quemadmodum
Auctor innuit; $ed etiam, quod $pectat ad magnitudinem $olidi,
à $uperficie aliqua curva comprehen$i, atque ab huju$modi linea
generati. Sic ut ex his omnibus con$tet, Authorem id præcipuè
operam dedi$$e, ut, neglectis particularibus, & præ$uppo$itis iis,
quæ ab aliis vel inventa vel demon$trata e$$ent, ea tantùm trade-
ret, quæ difficilia, utilia, & maximè generalia e$$ent, omniaque
paucis comprehenderet; quæ verò faciliora & levioris momenti,
non ni$i obiter tantùm per$tringeret. Quod $anè rarò ab Aucto-
ribus hodie ob$ervatum cernimus, cum plerique id $tudeant, ut
eorum opera in ampli$$ima volumina excre$cant.</p>
<p>Cæterùm cum ex hac $pacii aut $olidi magnitudine deinceps
facile $it invenire eju$dem centrum gravitatis, non abs re fuerit $i
hîc $imiliter modum, quo id inve$tigari po$$it, uno atque altero
exemplo exponam.</p>
<fig>
<var>B I H E F G K A D C L</var>
</fig>
<p>Igitur ad inveniendum, exempli cau$sâ, gravitatis centrum
Parabolæ A B C ac ejus portionis A E F C, ab$ci$$æ videlicet per
rectam E F ip$i A C parallelam: $uppono centrum totius A B C
e$$e H, Parabolæ autem E B F centrum e$$e I, & centrum portio-
nis A E F C e$$e K. Deinde factâ <math>B D = a</math>, A D vel <math>D C = b</math>, E G
vel <math>G F = c</math>, <math>B H = x</math>, & <math>H K = y</math>, jungo A B, B C, E B, & B F.
Quibus po$itis, quæro rationem, quæ e$t inter triangulum A B C
& triangulum E B F. Hinc cum ex natura Parabolæ quadratum
ex A D $eu <math>bb</math> $it ad quadratum ex E G $eu <math>cc</math>, $icut D B $eu <math>a</math> ad

<pb 240>[260]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
G B: erit <math>G B = {acc / bb}</math>. Ac proinde cum A D multiplicata per D B
producat <math>ab</math>, at E G multiplicata per G B producat <math>{a c^3 / bb}</math>, erit ra-
tio trianguli A B C ad triangulum E B F quæ <math>ab</math> ad <math>{a c^3 / bb}</math> $eu <math>b^3</math>
ad <math>c^3</math>. Hæc autem cum eadem $it rationi, quam inter $e habent
Parabolæ A B C & E B F ($iquidem Parabola quælibet trianguli
$ibi in$cripti maximi e$t $e$quitertia): $equitur rationem portio-
nis A E F C ad Parabolam E B F eandem fore quam <math>b^3 - c^3</math> ad <math>c^3</math>.
Porrò cum eadem $it $itus ratio centri I in Parabola E B F, quæ
centri H in Parabola A B C: erit D B $eu <math>a</math> ad B H $eu <math>x</math>, $icut
G B $eu <math>{acc / bb}</math> ad B I <math>{ccx / bb}</math>. Quâ $ubductâ ex B H $eu <math>x</math>, relinquitur
<math>IH = {bbx-ccx / bb}</math>. Denique cum I H ad H K, hoc e$t, <math>{bbx-ccx / bb}</math>,
ady, eandem habere debeat rationem, quam portio A E F C ad
Parabolam E B F $eu <math>b^3 - c^3</math> ad <math>c^3</math>, fiet, abbreviando primum
& tertium terminum per <math>b - c</math>, ac deinde multiplicando extre-
mos tum medios, <math>{b c^3 x + c^4 x / bb} = bby + bcy + ccy</math>, vel
<math>{b c^3 x + c^4 x / b^4 + b^3 c + bbcc} + y</math>. E quibus liquet, invento H, centro gravi-
tatis Parabolæ A B C, ad inveniendum K, centrum gravitatis
portionis A E F C, faciendum e$$e, ut B H $eu <math>x</math> $it ad H K $eu <math>y</math>,
$icut <math>b^4 + b^3 c + bbcc</math> ad <math>b c^3 + c^4</math>; hoc e$t, inventis in ratione
A D ad E G quinque continuè proportionalibus, erit B H ad
H K, ut$umma priorum trium ad $ummam duarum po$teriorum.
Ubi demum, ad obtinen dum ip$um punctum H, opùs tantùm e$t
concipere rectas A D & E G e$$e æ quales, hoc e$t, <math>b = c</math>, ita ut
E G F coïncidat cum A D C, quo ca$u & punctum I in punctum
H cadet, & K in D, lineaque D H $eu <math>y</math> æqualis fiet <math>{2/3</math>} x, hoc e$t,
duabus tertiis ip$ius H B. Quod ip$um mon$trat, $ectâ diametro
B D in 5 æquales partes, pro linea B H $eu x tunc earundem $u-
mendas e$$e tres. Id quod aliter quoque à nobis e$t o$ten$um in
Exercitationibus no$tris Mathematicis libr. 5. $ectione 19.</p>
<p>Eodem modo $i in Conoïde Parabolico A B C & eju$dem por-
tione A E F C centra gravitatum H & K invenire velimus, opor-
tet, ii$dem quæ $upra po$itis, quærere rationem, quæ e$t inter
Conum A B C & Conum E B F: invenieturque ut <math>b^4</math> ad <math>c^4</math>. Hæc

<pb 241>[261]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<fig>
<var>B I E H F G K A C D L</var>
</fig>
enim cum eadem quoque $it rationi, quæ e$t inter duos Conoïdes
A B C & E B F (quandoquidem per 23 Prop. de Conoïdibus &
Sphæroïdibus Archimedis Conoïs quilibet Parabolicus $e$quial-
ter e$$e probatur Coni, qui eandem habet ba$in eundemque
axem cum Conoïde): patet portionem A E F C ad Conoï-
dem E B F fore, ut <math>b^4 - c^4</math>. E quibus porrò, ut $upra, in-
venitur <math>y = {c^4 x / b^4 + bbcc}</math>, hoc e$t, invento H, centro gravitatis
Conoïdis A B C, ad obtinendum K, centrum gravitatis portio-
nis A E F C, faciendum e$$e ut B H $it ad H K, $icut <math>b^4 + bbcc</math> ad
<math>c^4</math>, $eu, quodidem e$t, ad D B & G B quærendam e$$e tertiam
proportionalem L, atque deinde faciendum ut B H $it ad H K, $ic-
ut $umma ip$arum D B, G B ad tertiam L. Ubi tandem, $i ad ip$um
punctum H habendum $tatuamus, ut ante, <math>b = c</math>, invenietur <math>y =
{1/2} x</math>. Quod ip$um docet diametrum B D in 3 æquales partes e$$e di-
videndam, atque pro B H earundem $umendas e$$e duas. A tque ita
de aliis.</p>
<p>_Sit C E linea curva, oporte at que per punctum C, & c._]
<mgr>K</mgr>
Quæ hâc lineâ & $equentibus u$que ad paginæ $equentis lineam
25 continentur, in genere referri debent ad illa, quæ deinceps ab
Authore afferuntur u$que ad pag. 44, quibus in $pecie agit de na-
tura quarundam curvarum, quas, po$tquam ad æ quationes redu-
xit, deinde ha$ce æquationes cum alia comparat, nempe <math>yy -
2ey + ee = o</math> aut <math>zz - 2fz + ff = o</math>, aliave quæ ex hac vel illa
$it compo$ita, ut inveniatur tandem quantitas incognita <math>v</math>.</p>
<p>_Zuemadmodum $i C E e$t Ellip$is, in qua M A $it $egmen-_
<mgr>L</mgr>
_tú diametri, ad quam C M $it or dinatim adplicata, quodq;_

<pb 242>[262]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
_pro latere recto habeatr, pro tran $ver $o autem q: fiet per_
13_<_>tium</_> Theorema_ I_<_>mi</_> libri Conicorum Apollonii:_ <math>xx = ry
- {r / q} yy</math>, unde tollendo x x, re$tabit <math>$$ - vv + 2vy - yy
= ry - {ryy / q}</math>, _vel_ <math>yy {+ qry - 2qvy + qvv - q$$ / q - r}</math> _æquale ni-_
_bilo_.] Etenim A D latere exi$tente recto <math>= r</math>, eoque ad A G per-
pendiculari: erit, propter triangulorum G A D, D H F $imilitu-
dinem, ut G A ad A D, hoc e$t, <math>q</math> ad <math>r</math>, ita H F $eu M A, hoc e$t, <math>y</math>, ad
F D, quæ ideo e$t <math>{ry / q</math>}. Quam $i per H F multiplicemus, fiet rectan-
<fig>
<var>C B E G P M A I H F D</var>
</fig>
gulum <math>H F D = {ryy / q}</math>.
Deinde quoniam per
13<_>tiam</_> Prop. 1<_>mi</_> libri
Conicorum Apollo-
nii rectangulum M A
D, minus rectangu-
lo H F D, æquatur
quadrato ex C M; &
quidem rectangulum
M A D $it <math>ry</math>: erit re-
ctangulum <math>M F = ry
- {ryy / q}</math>. Atque idcir-
co æquatio talis; <math>ry - {ryy / q} = xx</math>; hoc e$t, <math>ry - {ryy / q} = ss - vv
+ 2vy - yy</math>: quippe quod $imiliter ip$i <math>xx</math> e$t æquale. Hæc au-
tem æquatio ut ad $uperiorem reducatur, oportebit utrobique
per <math>q</math> multiplicare, ut fractio evane$cat: fietque <math>qry - ryy = qss
- qvv + 2qvy - qyy</math>. Denique factâ tran$po$itione, ut quan-
titates in <math>yy</math> ductæ unam teneant æquationis partem, reliquæ au-
tem alteram, dividatur utrinque per <math>q - r</math>, habebiturque
<math>yy = {qss - qvv + 2qvy - qry / q - r}</math> $ive <math>yy {-qss+qvv - 2qvy + qry / q - r} = o</math>.</p>
<p>Cætera, quæ huc $pectant, inveniuntur inter lin. 21. pag. 45.
& lin. 9. p. 46: quæ, cum $atis $int clara, explicatione non egent.</p>
<p>_Eodem modo, $i C E $it curva linea, per motum Par abo-_
_læ de$cripta, & c._] Cum enim, propter $imilitudinem triangulo-

<pb 243>[263]<rh>C<sc>OMMENT AR II IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
rum G M C, C B L, G M $it ad M C, hoc e$t, <math>b - y</math> ad <math>x</math>, ut
C B, hoc e$t, <math>y</math>, ad B L; erit B L <math>{xy / b-y}</math>. Cui $i addatur <math>K L = c</math>,
fiet <math>K B = {cb - cy + xy / b - y}</math>. Jam verò, quia, per 11 Prop<_>nem</_> libri 1<_>mi</_>
Conicorum Apollonii, in Parabola C K rectangulum $ub dia-
<fig>
<var>K L C B E P G M A</var>
</fig>
metri $egmento K B &
latere ejus recto <math>d</math> æqua-
tur quadrato ip$ius C B,
quæ ad eandem diame-
trum ordinatim e$t ap-
plicata: hinc $i multipli-
cetur <math>{cb - cy + xy / b - y}</math> per <math>d</math>,
erit æquatio talis:
<math>yy = {dcb - dcy + dxy / b - y}</math>.
Unde multiplicando u-
trinque per <math>b - y</math>, fiet
<math>dcb - dcy + dxy = byy
- y^3</math>. Factaque tran$po-
$itione, ut <math>dxy</math> unam teneat æquationis partem, erit
<math>dxy = dcy - dcb + byy - y^3</math>. In qua $i pro <math>x</math> ponatur $umma
ip$i æqualis, habebitur <math>dy <r>ss - vv + 2vy - yy</r></math>, $eu
<math><r>ddssyy - ddvvyy + 2 ddv y^3 - dd y^4</r> = dcy - dcb
+ byy - y3</math>. Ut autem æquatio ab a$ymmetria liberetur, qua-
dretur utraque pars, fiatque tran$po$itio ut quantitates omnes ab
una parte habeantur, invenieturque
<math>y^6 - 2b y^5 + bb \\ + dd \\ - 2dc # y^4 # + 4bcd \\ - 2ddv # y^3 # + ddcc \\ + ddvv \\ - 2 dcbb \\ - ddss # yy - 2ddccby + ddccbb = o.</math></p>
<p>Reliqua huc $pectantia invenientur à lin. 9. pag. 46. u$que
ad lineam ultimam paginæ $equentis, quæ explicatione non in-
digent.</p>
<p>Quoniam autem inventio harum linearum non $olùm elegans
ac$ubtilis, verùm etiam per $e jucunda atque utilis exi$tit: non
ingratum futurum confido, quibus hæc exercere volupe e$t, $i
o$tendero quo pacto in Hyperbola & Parabola nec non in Con-
choïde $int inveniendæ.</p>

<pb 244>[264]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<fig>
<var>C B E P M A G I D H F</var>
</fig>
<p>Sit latus tran$ver$um <math>A G = q</math>, rectum verò <math>= r</math>, C M vel
<mgl>_Inventio_
_dictarum_
_linearum_
_in Hyper-_
_bola._</mgl>
<math>A B = x</math>, M A vel <math>B C = y</math>, <math>P A = v</math>, & <math>P C = $</math>. Deinde, pro-
pter $imilitudinem triangulorum G A D, D F H, fiat, ut G A ad
A D, hoc e$t, <math>q</math> ad <math>r</math>, ita H F $eu M A, hoc e$t, <math>y</math>, ad F D, quæ ideo
erit <math>{ry / q}</math>. Hæc $i multiplicetur per <math>H F = y</math>, prodibit rectangulum
<math>H F D = {ryy2 / q}</math>. Cui porrò $i addatur rectangulum D M, <math>= ry</math>, fiet
rectangulum <math>M A F = {ryy / q + ry}</math>. Jam verò, quia, per 12<_>mam</_>
Prop<_>nem</_> 1<_>mi</_> libri Conicorum Apollonii, rectangulum M A F æ-
quale e$t quadrato ex M C $eu <math>xx</math>, erit æquatio <math>{ryy / q + ry = xx}</math>,
vel <math>{ryy / q + ry = $$ - vv + 2vy - yy}</math>, $ubrogando nempe
<math>$$ - vv + 2vy - yy</math> in locum <math>xx</math>. Unde multiplicatâ utrâque
parte per <math>q</math>, fiet <math>ryy + qry = q$$ - qvv + 2qvy - qyy</math>;
tran$po$itisque <math>qyy</math> & <math>qry</math> in contrarias partes, <math>qyy + ryy =
- qry + 2qvy - qvv + q$$</math>; ac denique uträque parte divisâ
per <math>q + r</math>,
<math>yy = {- qry + 2qvy - qvv + q$$ / q + r}</math>, vel
<math>yy {+ qry - 2qvy + qvv - q$$ / q + r} = o</math>, collocando nimirum
quantitates omnes ad unam partem.</p>

<pb 245>[265]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<p>Deinde, ad inveniendam quantitatem quæ$itam <math>v</math>, compare-
tur æquatio inventa cum æquatione eju$dem formæ <math>yy - 2ey
+ ee = o</math>, ubi <math>y</math> æquatur <math>e</math>. Quare cum utriu$que primus termi-
nus planè $it idem, comparetur $ecundus cum $ecundo, nempe,
<math>{+ qry - 2 qvy / q + r}</math> cum <math>- 2ey</math>, vel, quod idem e$t, <math>{+ qry - 2qv / q + r}</math> cum
<math>-2e</math>: acidcirco multiplicetur utrinque per <math>q+r</math>, & fiet <math>+qr
-2qv = -2qe - 2re</math>. Po$tea tran$lato <math>2re</math> ad alteram par-
tem dividatur utrinque per <math>2q</math>, fietque <math>{1/2} r + e + {re / q} = v</math>, vel <math>v
= y + {ry / q} + {1/2} r</math>, quandoquidem <math>e</math> ip$i <math>y</math> $uppo$ita e$t æqualis.</p>
<p>E quibus patet, ad inveniendam rectam P C, latus rectum A D
$ecandum e$le bifariam in I, & rectam P M ip$i I F $umendam e$$e
æqualem. Quod in Ellip$i quoque e$t ob$ervandum.</p>
<p>His adde $equentem con-
$tructionem, quam Vir in$i-
<fig>
<var>C E D L I P M A K G</var>
</fig>
gnis ac Geometra præ$tan-
ti$$imus D. Auzotius utri-
que huic $ectioni pariter
convenientem invenit, eju$-
que me quinquennio abhinc
per literas participem fieri
<fig>
<var>D C E I L G K P M A</var>
</fig>
voluit, & talis e$t.</p>
<p>Exi$tente A D, ut ante,
latere recto, & A G latere
tran$ver$o, ad inveniendam
P C, ductis C M, A D ordi-
natim ad A G, junctâque
G D, agatur per centrum
$ectionis K eidem parallela K I, $ecans C M in L. Dein a$$umptâ
P M æquali M L, jungatur P C, eritque $ecans quæ$ita.</p>
<p>Quod ita patet.</p>
<p>E$t enim propter $imilitudinem triangulorum G A D, K M L,
ut G A ad A D, hoc e$t, <math>q</math> ad <math>r</math>, ita K M, hoc e$t, <math>{1/2} q 🜶 y</math> ad
M L <math>{1/2} r 🜶 {rv / q}</math>. Unde cum A P inventa $it <math>= y 🜶 {ry / q} + {1/2} r</math>, ad-
eoque <math>P M = {1/2} r 🜶 {ry / q}</math>, liquet P M & M L e$$e æquales. Quem-
admodum fuerunt a$$umptæ.</p>

<pb 246>[266]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Ubi porrò animadvertere licet, $i ex puncto P ceu dato recta
P C $it ducenda, quæ utramque $ectionem vel earum contingen-
tes ad rectos angulos $ecet, $ive ut circulus, qui ex P ejus interval-
lo de$cribitur, utramque curvam tangat, opùs tantùm e$$e ducere
P L, ita ut angulus A P L $it $emi$$is anguli A M C: $i enim per L,
ubi hæc recta ip$i K I L occurrit, ducatur M L C ordinatim ad
A G, hoc e$t, ip$i A D parallela, erit juncta P C $ecans quæ$ita,
$ive circulus ex P intervallo P C de$criptus utramque curvam in
C continget, ut requirebatur.</p>
<p>Sit latus rectum <math>A D = r</math>, C M vel <math>A B = x</math>, M A vel <math>B C = y</math>,
<mgl>_In Para-_
_bola._</mgl>
<math>P A = v</math>, & <math>P C = s</math>. Quoniam igitur per II<_>mam</_> Prop<_>nem</_> I<_>mi</_> li-
bri Conicorum Apollonii rectangulum $ub $egmento diametri
M A & latere recto A D æquatur quadrato ordinatim applica-
tæ C M: erit <math>ry = xx</math>, vel
<math>ry = ss - vv + 2vy - yy</math>,
<fig>
<var>C B E P M A I D</var>
</fig>
$ub$tituendo nempe <math>ss - vv
+ 2vy - yy</math> in locum <math>xx</math>.
Deinde quantitatibus omni-
bus ab una parte in alteram
tran$latis, ut <math>yy</math> $it adfecta
$igno +, habebitur æquatio
<math>yy + r \\ 2v # y # + vv \\ - ss # = o.</p>
<p>Quam $i porrò compares
cum æquatione <math>yy - 2ey
+ ee = o</math>, ubi <math>y</math> & <math>e</math> $unt æ-
quales, conferendo nempe $ingulos terminos unius cum $ingulis
alterius: nimirum, $ecundum <math>+ r - 2v</math> cum $ecundo <math>- 2e</math>, inve-
nietur <math>v = e + {1/2} r</math>, vel <math>v = y + {1/2} r</math>. E quibus manife$tum fit, ad
ducendam rectam P C, opus tantùm e$$e, dividere latus rectum
A D bifariam in puncto I, atque deinde a$$umere P M ip$i A I $eu
I D æqualem.</p>
<p>Quòd $i verò ip$a
<fig>
<var>C S E M A T</var>
</fig>
tangens C T $it inve$ti-
ganda, poterimus, ut an-
te, $upponendo latus re-
ctum <math>= r</math>, <math>C M = x</math>, &
<math>M A = y</math>, quærere <math>A T
= v</math>, & <math>A S = $</math>, hoc
pacto:</p>

<pb 247>[267]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<p>Fiat propter $imilitudinem triangulorum A S T & M C T, ut
A T ad A S, hoc e$t, <math>v</math> ad <math>s</math>, $ic M T, hoc e$t, <math>y + v</math>, ad M C. Quæ
ideo erit <math>{sy + sv / v}</math>. Unde cum & M C $it <math>= x</math>, erit <math>{sy + sv / v} = x</math>.
Hoc e$t, ductâ utrâque parte in $e quadratè, habebitur
<math>{ssyy + 2ssvy + ssvv / vv} = xx</math>. Quoniam autem, multiplicatâ M A
per latus rectum, rectangulum <math>ry</math>, quod inde fit, $imiliter ip$i <math>xx</math>,
hoc e$t, quadrato ex M C e$t æquale: erit pariter
<math>{ssyy + 2ssvy + ssvv / vv} = ry</math>. Unde ordinatâ æquatione, termini$-
que omnibus ad unam partem tran$po$itis, fit <math>yy + 2v \\ - {vvr / ss} # y + vv
= o</math>. Quam $i porrò compares cum æquatione <math>yy - 2ey + ee
= o</math>, conferendo $ingulos terminos unius cum $ingulis alterius,
tertium videlicet cum tertio, obtinebitur <math>vv = ee</math>, hoc e$t, <math>v = e</math>.
Ac proinde $i in locum <math>e</math> $ub$tituatur <math>y</math>: fiet <math>v = y</math>. Id quod o$ten-
dit, ad ducendam rectam C T ad datum punctum C, opùs tan-
tummodo e$$e a$$umere A T æqualem A M, atque connectere
puncta C & T.</p>
<p>Quòd $i autem quæratur A S, poterimus $ecundum terminum
cum $ecundo comparare, $ubrogando <math>y</math> in locum <math>v</math>, ut & <math>y</math> in
locum <math>e</math>: invenieturque <math>s = {1/2} √ ry</math>.</p>
<p>Eodem modò procedendo in binis reliquis $ectionibus, in-
venietur in Ellip$i <math>v = {qy / q - 2y}</math> & <math>s = {1/2} √ {qry / q - y}</math>; at in Hyper-
bola <math>v = {qy / q + 2 y}</math>, & <math>s = {1/2} √ {qry / q + y}</math>.</p>
<p>Porrò ut appareat, quo pacto è puncto T, in axe vel diametro
dato, recta T C $it ducenda: oportet duntaxat, a$$umptâ quanti-
tate <math>v</math> ceu datâ, quærere <math>y</math>, reliquis manentibus invariatis. Ac
proinde, cum in Parabola <math>v</math> & <math>y</math> æquentur, opùs tantùm erit ac-
cipere M A æqualem A T, &, ductâ M C ordinatim adplicatâ ad
M A, jungere deinde puncta C & T, ut habeatur tangens quæ$ita.</p>
<p>Quoniam vero in Ellip$i <math>v</math> æquatur <math>{qy / q - 2y}</math>, multiplicando u-
trinque per <math>q - 2y</math>, fiet <math>qv - 2vy = qy</math>, $eu <math>qy + 2vy = qv</math>.
Adeoque $i dividatur utrobique per <math>q + 2v</math>, invenietur <math>M A = y
= {qv / q + 2v}</math>.</p>

<pb 248>[268]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Pari ratione $i quæratur M A in Hyperbola erit ip$a <math>= {qv / q - 2v}</math>.
Ubiliquet, ad ducendam ex puncto T rectam T C, quæ tangat
Hyperbolam A E C, quantitatem <math>v</math> $ive lineam A T minorem
$emper debere dari quàm <math>{1/2} q</math>, hoc e$t, minorem $emi$$e lateris
tran$ver$i, cum aliàs propter A $ymptotos Problema hoc impo$$i-
bile $it futurum. Quæ determinatio, cum in Parabola & Ellip$i
nullum locum habeat, o$tendit, quòd in duabus hi$ce $ectionibus
eju$modi A $ymptotæ non $int $u$piciendæ $ed in iis ex omni
puncto, ubi libet in producta M A a$$umpto, rectas duci po$$e,
quæ ea$dem $ectiones contingant.</p>
<fig>
<var>C G E O _m_ A B M N T F _g_ _c_ D</var>
</fig>
<p>Ad hæc, $i ex puncto O, extra axem vel diametrum dato, re-
ctam lineam ducere velimus, ut O C, quæ Parabolam C E con-
tingat: ponatur, ut $upra, latus rectum <math>= r</math>, <math>M A = y</math>, <math>M C = x</math>,
<math>A N = a</math>, & <math>N O = b</math>, eritque ex jam inventis <math>M T = 2y</math> &
<math>N T = y - a</math>.</p>
<p>Deinde cum propter $imilitudinem triangulorum M C T
& N O T, M C ad M T, hoc e$t, <math>x</math> ad <math>2y</math>, $icut N O
ad N T, hoc e$t, <math>b</math> ad <math>y - a</math>: erit <math>xy - ax</math>, productum
$ub extremis, æquale <math>2by</math>, producto $ub mediis. Quoniam
verò ex natura Parabolæ, <math>ry</math>, ut $upra, æquatur <math>xx</math>, hoc e$t, di-
videndo utrinque per <math>r</math>, <math>y</math> e$t æqualis <math>{xx / r}</math>: hinc $i in æquatione
inventa <math>xy - ax = 2by</math> in locum <math>y</math> $ub$tituamus <math>{xx / r}</math>, habebi-

<pb 249>[269]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
mus <math>{x^3 / r} - ax = {2bxx / r}</math>. Hoc e$t, dividendo ubique per <math>x</math>, & mul-
tiplicando per <math>r</math>, invenietur <math>xx - ar = 2bx</math>, $eu <math>xx = 2bx + ar</math>.
Quæ e$t æquatio primi ca$us quadratarum pag. 6 & 7, admittens
unam veram radicem, quæ e$t <math>b + <r>bb + ar</r></math>, & unam fal$am,
$eu minorem quàm nihil, quæ e$t <math>b - <r>bb + ar</r></math>. Sicut ibidem
annotavimus. Cujus utriu$que u$us porrò hîc eleganter elucet.</p>
<p>Nam $i ad ducendam O C, a$$umptâ N B æquali <math>r</math>, hoc e$t,
= lateri recto Parabolæ, $uper totâ A B de$cribatur $emicirculus,
$ecans O N productam in D: erit <math>N D = √ ar</math>. Quâ po$itâ ab
Nad F, $i jungatur O F, erit ip$a <math>= <r>bb + ar</r></math>. Ac proinde $i
centro O intervallo OF circulus de$cribatur, $ecans N O hinc
inde productam in punctis G, <math>g</math>, de$ignabit N G verum valorem
inventum <math>b + <r>bb + ar</r></math>, & N <math>g</math> valorem fal$um <math>b - <r>bb + ar</r></math>.
Vnde ducendo ex punctis G, <math>g</math> rectas G C, <math>gc</math>, ip$i A M paralle-
las, donec Parabolæ occurrant: obtinebuntur duo $imul puncta
C, <math>c</math> in quibus rectæ ex O ducendæ eandem contingent.</p>
<p>Simili modo in reliquis $ectionibus e$t procedendum.</p>
<p>_E$to C E prima Conchoïdes Veterum, cujus Polus G_,
<fig>
<var>E C M D L B A F G H I P</var>
</fig>
_norma verò vel regu-
<mgr>_In Con-_
_choidæ._</mgr>
_la, cujus ope ducta e$t,_
_$it A B; ita ut rectæ_
_omnes, quæ tendunt_
_versùs G, atque in-_
_tra curvam C E &_
_rectam A B conti-_
_nentur, (ut A E, L C)_
_$int æquales. Opor-_
_teat autem rectam li-_
_neam ducere (ut C P),_
_quæ Conchoïdem hanc_
_ad angulos rectos $e-_
_cet in dato puncto C._]
Notandum hîc, quòd, $i
per præcedentem me-
thodum quæratur pun-

<pb 250>[270]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
ctum in recta A B, per quod quæ$ita linea C P tran$ire debet,
calculus occurrat nullo antecedentium brevior, licèt con$tructio
$it valde brevis. _Oportet enim tantùm in recta C G $umere_
_C D, æqualem C B, quæ perpendicularis e$t ad A B; &_
_deinde ex puncto D rectam ducere D F, parallelam ip$i_
_AG, atque æqualem G L: habebiturque hác ratione_
_punctum F, per quod quæ$it a linea C P erit ducenda._]
Quoniam autem in hoc exemplo calculus multò e$t brevior, $i in
recta A G quæratur punctum P, per quod linea quæ$ita C P tran-
fire debet, quàm $i quæratur in recta A B, atque etiam con$tructio
allata ex illo faciliùs pote$t o$tendi: vi$um fuit breviorem hîc $ub-
jungere, atque con$tructionem ex eo patefacere.</p>
<p>E$to ergo <math>G A = b</math>, A E vel <math>L C = c</math>, C M vel <math>A B = x</math>, M A
vel <math>B C = y</math>, <math>A P = v</math>, & <math>P C = s</math>; eritque tota <math>P M = v + y</math>.
Cujus quadratum <math>vv + 2vy + yy</math> $i $ubtrahatur à quadrato re-
ctæ <math>P C = ss</math>, relinquetur quadratum rectæ <math>C M = ss - vv
- 2vy - yy</math>. Vnde cum C M $it <math>= x</math>, & quadratum ejus <math>= xx</math>:
erit <math>xx = ss - vv - 2vy - yy</math>.</p>
<p>Eodemmodo, $i in triangulo rectangulo B C L à quadrato ex
<math>L C = cc</math> auferatur quadratum rectæ <math>B C = yy</math>, relinquetur qua-
dratum rectæ <math>B L = cc - yy</math>: adeoque ip$a <math>B L = <r>cc - yy</r></math>:
quâ ab <math>A B = x</math> $ublatâ, re$tabit <math>A L = x - <r>cc - yy</r></math>.</p>
<p>Iam verò, cum, propter $imilia triangula G M C & G A L,
G M $it ad M C, hoc e$t, <math>b + y</math> ad <math>x</math>, $icut G A ad A L, hoc e$t,
<math>b</math> ad <math>x - <r>cc - yy</r></math>: erit rectangulum $ub extremis æquale re-
ctangulo $ub mediis, nimirum
<math>bx + xy - <r>bbcc + 2bccy - bb \\ + cc # yy - 2b y^3 - y^4</r> = bx</math>. &
deletis utrobique <math>bx</math>, ordinataque æquatione:
<math>xy = <r>bbcc + 2bccy - bb \\ + cc # yy - 2b y^3 - y^4</r></math>. Deinde ut evane$cat
$ignum radicale, ducatur utraque pars in $e quadratè, atque ad
tollendum <math>xx</math> $ub$tituatur ejus loco <math>$$ - vv - 2vy - yy</math>, fiet-
que æquatio <math>$$yy - vvyy - 2v y^3 - y^4 = bbcc + 2bccy - bb \\ + cc # yy
- 2b y^3 - y^4</math>. Vbi $i utrinque auferatur <math>y^4</math>, & fiat tran$po$i-
tio ut quantitates in <math>y^3</math> ductæ unam obtineant æquationis par-

<pb 251>[271]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
tem, reliquæ verò alteram, ac demum utraque pars dividatur per
<math>2v - 2b</math>, orietur æquatio talis:</p>
<p><math>y^3 = {+ bb \\ - cc \\ + $$ \\ - vv # yy - 2bccy - bbcc / 2v - 2b.}</math></p>
<p>Hoc e$t, tran$latis quantitatibus omnibus ad unam partem, erit:</p>
<p><math>y^3 {- bb \\ + cc \\ - $$ \\ + vv # yy + 2bccy + bbcc = o. / 2v - 2b}</math></p>
<p>Quæ æquatio relationem o$tendit, quam puncta Conchoïdis
C E habent ad puncta lineæ rectæ B A. Quare, po$tquam in ip$a
quantitas <math>y</math> e$t data, quandoquidem punctum C datum e$t, $uper-
e$t ut inveniamus quantitates <math>v</math> & <math>f</math>, determinantes punctum quæ-
$itum P. Hunc in finem aliam æquationem in$tituo, quæ æquè
multas habeat dimen$iones, & in qua <math>y</math> duas valeat quantitates,
quæ $ibi invicem $int æquales. Ideoque $upponendo <math>y = e</math>, $ive
<math>y - e = o</math>: duco <math>y - e</math> in $e, & fit <math>yy - 2ey + ee = o</math>. æquatio
duas habens radices æquales. Hanc porrò multiplico per <math>y + f</math>, ut
a$cendat ad aliam trium dimen$ionum, eju$demque formæ cum
præcedente, & provenit æquatio <math>y^3 + f \\ - 2e # yy # - 2ef \\ + ee # y + eef = o</math>.
Cujus terminos $eparatim confero cum terminis præcedentis
<math>y^3 {- bb \\ + cc \\ - $$ \\ + vv # yy + 2bccy - bbcc = o. / 2v - 2b}</math></p>
<p>Vnde cum primus terminus in utraque æquatione $it idem,
comparo $ecundum cum $ecundo, ac reliquos cum reliquis. Adeò
ut, $i $tatuamus <math>{bbcc / 2v - 2b} = eef</math>, & utrinque dividamus per <math>ee</math>,
oriatur <math>f = {bbcc / 2vee - 2bee}</math>. Pariratione, $i <math>{+ 2bccy / 2v - 2b} = - 2ef \\ + ee # y</math>, $eu
<math>{bcc / v - b} = - 2ef + ee</math>, in locum <math>f</math> $ubrogetur valor ejus inventus

<pb 252>[272]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<math>{bbcc / 2vee - 2bee}</math>: habebitur <math>{bcc / v - b} = {-bbcc / 2ve - 2be} + ee</math>, hoc e$t, $ub eo-
dem denominatore <math>{-bcce / ve - be} = {+ bbcc + be^3 - e^3 v / ve - be}</math>. Et omi$$o de-
nominatore, adhibitaque decenti tran$po$itione, ut quantitas <math>e^3 v</math>
unam con$tituat æquationis partem, reliquæ verò alteram; divi-
datur utrinque per <math>e^3</math>, invenieturque <math>v = b + {bcc / ee} + {bbcc / e^3}</math>. Sive,
$ub$tituendo <math>y</math> in locum quantitatis $uppo$itæ <math>e</math>, <math>v = b + {bcc / yy} +
{bbcc / y^3}</math>.</p>
<p>Eodem modo $i reliquus terminus cum reliquo comparetur,
invenietur quantitas incognita <math>s</math>. Quia verò quantitas inventa <math>v</math>
$atis determinat punctum P, quod modò in recta A G quæreba-
tur; & tantùm ab invento puncto P rectam lineam P C ducere
oportet, ut quæ$tioni $atisfiat: ulteriori operationi incumbere
$upervacaneum fuerit.</p>
<p>Vt verò ad demon$tra-
<fig>
<var>C E M D L B A F G H I P</var>
</fig>
tionem $upra dictæ con-
$tructionis accedamus,
producatur inventa linea
C F donec $ecet A G pro-
ductam in P, atque per L
agatur recta L H parallela
A G, occurrens ip$i P C
in H: unde ductâ H I ip$i
C G parallelâ, quæ $ecet
A P in I; Dico A P $eu <math>v</math> æ-
qualem e$$e inventæ quan-
titati <math>b + {bcc / yy} + {bbcc / y^3}</math>.</p>
<p>Cum enim, propter $i-
militudinem triangulo-
rum B C L, A G L, B C $it
ad C L, hoc e$t, <math>y</math> ad <math>c</math>, $icut
A G, hoc e$t, <math>b</math>, ad G L: erit
<math>G L = {bc / y}</math>. Deinde, quia, propter $imilia triangula C D F &
C L H, <math>C D = y</math> e$t ad D F $eu <math>G L = {bc / y}</math>, $icut <math>CL = c</math> ad L H:

<pb 253>[273]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
erit <math>L H = {bcc / yy}</math>. Denique, cum, ob $imilia triangula C D F, HIP,
C D $it ad D F $eu G L, hoc e$t, <math>y</math> ad <math>{bc / y}</math>, $icut H I $eu G L, hoc
e$t, <math>{bc / y}</math>, ad I P: erit <math>IP = {bbcc / y}</math>. Quare $i ducatur recta G C, in
eaque a$$umatur C D æqualis C B, ac deinde ex puncto D recta
agatur D F æqualis GL, & parallela AG: manife$tum e$t, re-
ctam, quæ puncta F, C, connectit, e$$e lineam quæ$itam, quippe
quæ Conchoïdem $ecat ad angulos rectos. Quandoquidem, $i
producatur ad P, G I $it <math>= {bcc / yy}</math>, <math>IP = {bbcc / y^3}</math>, atque adeò tota <math>A P
= b + {bcc / yy} + {bbcc / y^3}</math>. Quod eratfaciendum.</p>
<p>Porrò, ut con$tructio adhuc brevior evadat, operæ pretium
e$t con$iderare, rectam ab H ad G ductam ip$i G C e$$e perpen-
dicularem. Id quod, ab acuti$$imo no$tro Hugenio primùm ob-
$ervatum, deinde $ic verum deprehendi:</p>
<p>Quoniam enim L H ip$i A G e$t parallela, erit angulus H L G
æqualis angulo L G A. Deinde, quoniam <math>G A = b</math> multiplicata
per <math>L H = {bcc / yy}</math> facit <math>{bbcc / yy}</math>, quadratum ip$ius G L, quæ e$t <math>{bc / y}</math>:
erit A G ad GL, $icut GL ad LH. Vnde cum in triangulis
AGL, LGH latera circa æquales angulos ad G & L $int pro-
portionalia, erunt itidem anguli GAL & LGH æquales. E$t
autem GAL rectus. Quare & LGH rectus erit.</p>
<p>Hinc talis emergit con$tructio:</p>
<p>Ductâ CG, $ecante AB in L, agatur ex L ip$i A G
parallela L H, donec occurrat perpendiculari G H in
H: eritque recta HC, quæ ex H per C ducitur, $ecans
quæ$ita.</p>
<p>Non di$$imili ratione invenire licet con$tructionem exempli
pag. 47.</p>
<p>Verùm enimverò quoniam lineæ CP alio quoque modo inve-
$tigari queunt, beneficio Methodi de Maximis & Minimis, cujus
Author e$t Vir Clari$$imus D. de Fermat, in Parlamento Tolo-
$ano Con$iliarius, quam Herigonius in $upplemento Cur$us $ui
Mathematici exemplis aliquot illu$travit, atque ibidem etiam ad
inveniendas tangentes adhibere docuit: haud abs re fore duxi, $i

<pb 254>[274]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
hoc loco viam, quâ lineæ CP ope eju$dem Methodi $int inve-
niendæ, $equenti calculo expo$uero.</p>
<p>E$to, ut $upra, <math>GA = b</math>, AE vel <math>LC = c</math>, <math>AM = y</math>, & <math>PA
= v</math>: eritque <math>GM = b + y</math>, & <math>PM = v + y</math>. Deinde quæro
quadratum ex PC, $upponendo illud e$$e minimum quadratorum
omnium, quæ fiunt à lineis ex P ad Conchoïdem ductis. Hoc
pacto:</p>
<tb math>
 # AM # LC # GM # GC
 # y - c - b + y, ad {bc + cy / y} \\ {bc + cy / y}
 # $ubtr. # ᄆ GC. {bbcc + 2bccy + ccyy / yy}
 # ᄆ GM. bb + 2by + yy
 # ᄆ MC. {bbcc + 2bccy + ccyy / yy} - bb - 2by - yy
 # add. ᄆ PM. vv + 2vy + yy
 # fit ᄆ PC. {bbcc + 2bccy + ccyy / yy} - bb - 2by + vv + 2vy.
</tb>
<p>Hoc autem ut $it minimum, po$itâ jam <math>AM = y + e</math>, quæratur
rur$us, ut ante, quadratum ex P C, quò obtineatur æquatio inter
id ip$um bis inventum, quâ innote$cat quæ$ita quantitas <math>v</math>, $up-
ponendo <math>e</math> e$$e <math>= o</math>.</p>
<tb math>
AM # LC # GM # GC
y + e - c - b + y + e, ad {bc + cy + ce / y + e} \\ {bc + cy + ce / y + e}
$ubtr. # {ᄆ GC. {bbcc + 2bccy + ccyy + 2bcce + 2ccey + ccee / yy + 2ey + ee}
 # ᄆ GM. bb + 2by + yy + 2be + 2ey + ee
ᄆ CM. {bbcc + 2bccy + ccyy + 2bcce + 2ccey + ccee / yy + 2ey + ee} - bb - 2by - yy -2be - 2ey - ee.
add. ᄆ PM. vv + 2vy + yy +2ve + 2ey + ee
ᄆ PC. {bbcc + 2bccy + ccyy + 2bcce + 2ccey + ccee / yy + 2ey + ee} - bb - 2by - 2be + vv + 2vy + 2ve.}
</tb>

<pb 255>[275]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<p>Hinc dempto utrobique <math>- bb - 2by + vv + 2vy</math>, remanebit
<math>{bbcc + 2bccy + ccyy / yy}</math>
<math>= {bbcc + 2bccy + ccyy + 2bcce + 2ccey + ccee / yy + 2ey + ee} - 2be + 2ve</math>, $eu
<math>{bbcc + 2bccy + ccyy + 2bcce + 2ccey + ccee - 2beyy - 4beey - 2b e^3 + 2evyy + 4eevy + 2 e^3 v / yy + 2ey + ee}</math>
Hoc e$t, multiplicato per crucem, erit <math>bbccyy + 2bcc y^3 + cc y^4
+ 2bbccey + 4bcceyy + 2cce y^3 + bbccee + 2bcceey + cceeyy
= bbccyy + 2bcc y^3 + cc y^4 + 2bcceyy + 2cce y^3 + cceey -
2be y^4 - 4bee y^3 - 2b e^3 yy + 2ev y^4 + 4eev y^3 + 2 e^3 vyy</math>. Ac
proinde $ublatis utrinque æqualibus, re$tabit <math>2bbccey + 2bcceyy
+ bbccee + 2bcceey = - 2be y^4 - 4bee y^3 - 2b e^3 yy + 2ev y^4
+ 4eev y^3 + 2 e^3 vyy</math>. Divi$o jam ubique per <math>e</math>, re$erventur quan-
titates in <math>v</math> ductæ ad unam partem, fietque, tran$latis reliquis,
<math>2v y^4 + 4ev y^3 + 2eevyy = 2bbccy + 2bccyy + bbcce + 2bccey
+ 2b y^4 + 4be y^3 + 2beeyy</math>. Vnde neglectis iis, quæ in <math>e</math> aut <math>ee</math> ductæ
$unt, obtinebitur <math>2v y^4 = 2bbccy + 2bccyy + 2b y^4</math>. Et fit, dividen-
do utrinque per <math>2 y^4</math>, <math>v = {bbcc / y^3} + {bcc / yy} + b</math>. ut ante. Vbi$ciendum,
calculum multò abbreviari po$$e, $i in $ecunda hac operatione mul-
tiplicationes, quibus ad <math>ee</math> aut <math>e^3</math> a$cenditur, continuè omittantur.</p>
<p>Atq;hæc quidem via e$t, quam & Hugenium $ecutum fui$$e con-
fido, prout tangentes curvarum linearum $e aliter quàm Ferma-
tius ope hujus ip$ius Methodi quæ$ivi$$e mihi a$leveravit. Quam
viam ut omnium maximè contrahamus, poterimus, invento, ut
priùs, quadrato ex PC, cum $ubtili$$imo ac $æpiùs laudato no$tro
Huddenio $ecundam hanc operationem omnino in$uper habe-
re, atque rejectis quantitatibus <math>cc</math>, <math>bb</math>, <math>vv</math>, & <math>ss</math> reliquas per ip$ius
<math>y</math> dimen$iones multiplicare, invertendo porrò $igna + & - quan-
titatum, per <math>y</math> & <math>yy</math> divi$arum. Perinde, ut hîc videre e$t.</p>
<tb math>
ᄆ P C. {bbcc / yy} + {2bcc / y} + cc - bb - 2by + vv + 2vy = ss
Mult. per {2 # 1 # 1 # 1}
 # - {2bbcc / yy} - {2bcc / y} - 2by + 2vy = o
 # 2vy = {2bbcc / yy} + {2bcc / y} + 2by
</tb>
<p>Et fit <math>v = {bbcc / y^3} + {bcc / yy} + b</math>. ut ante. Atque ita de aliis.</p>

<pb 256>[276]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Cæterùm \‘quod ad alias Methodos attinet, quibus tum Maximi
& Minimi determinatio, tum tangentium $ive $ecantium harum
inventio, tum etiam infinitorum aliorum difficiliorum Proble-
matum $olutio obtineri queunt, poteris eas ab eodem Huddenio
expectare; qui adeò multa ac præclara circa hæc invenit, ut ne-
minem putem repertum iri, qui cum eo in his $it æquiparandus.
quippe is non cantùm Maximi aut Minimi determinationem, cùm
quæ$tio non ni$i unum tale agno$cit, exhibere valet; $ed etiam,
quando complura nec non vario modo infinita Maxima aut Mi-
nima admittit, viâ omnium $implici$$imâ elicere novit.</p>
<p>Ad hæc $i $uperiori modo ip$am tangentem Conchoïdis C T
inve$tigare lubeat, ponatur, ut ante, <math>GA = b</math>, AE vel <math>LC = c</math>,
CM vel <math>AB = x</math>, MA vel <math>BC = y</math>, <math>ET = v</math>, & <math>ES = $</math>: eritque
<math>ME = c - y</math>, & <math>MT = c - y + v</math>. Tum fiat, propter $imilitudi-
nem triangulorum STE & CTM, ut TE ad ES, hoc e$t, <math>v</math> ad <math>$</math>,
ita T M, hoc e$t, <math>c - y + v</math>, ad MC. <math>{c$ - $y + $v / v} = x</math>. Hinc cum
& $upra inventum $it <math>xy = <r>bbcc + 2bccy - bbyy + ccyy - 2b y^3 - y^4</r></math>,
id e$t, dividendo utrinque per <math>y</math>,
<math>x = {<r>bbcc + 2bccy - bbyy + ccyy - 2b y^3 - y^4</r> / y}</math>: erit <math>{c$ - $y + $v / v}
= {<r>bbcc + 2bccy - bbyy + ccyy - 2b y^3 - y^4</r> / y}</math>. Vnde quadratis
$ingulis partibus ordinatâque æquatione invenitur
<math>y^4 = {+ 2 c$$ y^3 \\ + 2v$$ \\ - 2bvv # ccvvyy \\ - bbvv \\ - cc$$ \\ - 2cv$$ \\ - vv$$ # + 2bccvvy + bbccvv / $$ + vv}.</math></p>
<p>Hoc e$t, tran$latis quantitatibus omnibus ad unam partem, ha-
bebitur <math>y^4 - 2c$$ y^3 \\ - 2v$$ \\ + 2bvv # - ccvvyy \\ + bbvv \\ + cc$$ \\ + 2cv$$ \\ + vv$$ # - 2bccvvy - bbccvv = o. / $$ + vv}</math>.</p>
<p>Deinde, ad inveniendas quantitates <math>v</math> & <math>$</math>, po$itâ <math>y = e</math>, $eu <math>y - e</math>

<pb 257>[277]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<math>= o</math>, multiplico <math>y - e = o</math> per <math>y - e = o</math>, & fit <math>yy - 2ey + ee = o</math>.
æquatio duas habens radices æquales. Quam porrò, ut ad æquè-
multas cum præcedente dimen$iones a$cendat ac eju$dem cum il-
la $it formæ, multiplico per <math>yy - fy - gg</math>, & provenit
<math>y^4 - 2e y^3 \\ - f # + eeyy \\ + 2ef \\ - gg # - eefy \\ + 2egg # - eegg = o</math>. Cujus itaque termi-
nos $eparatim comparo cum terminis præcedentis. Vltimus ter-
minus, qui hîc e$t quintus, dat <math>gg = {bbccvv / ee$$ + eevv}</math>, quartus dat
<math>f = {2bbccvv + 2bccevv / e^3 $$ + e^3 vv}</math>, tertius dat
<math>$$ = {3bbccvv + 4bccevv + e^4vv + cceevv - bbeevv / ccee + 2ceev + eevv - e^4}</math>, & $ecun-
dus dat {vv = e^3 $$ v + c e^3 $ $ \\ - e^4 $$ / e^4 + b e^3 + bbcc + bcce}</math>. Quocirca, ut obtineatur <math>v</math>,
$i ip$ius $$ valor jam inventus multiplicetur per
<math>{e^3 v + c e^3 - e^4 / e^4 + b e^3 + bbcc + bcce}</math>, abbreviando priùs, ad facilitatem opera-
tionis, numeratorem prioris & denominatorem po$terioris fra-
ctionis per <math>e + b</math>, ac deinde denominatorem prioris & numerato-
rem po$terioris fractionis per <math>eev + cee - e^3</math>, exurget <math>e^4 - b e^3
+ ccee + 3bcce = e^4 + e^3 v + c e^3 + bcce + bccv + b c^3</math>. Fiet-
que, ordinatâ æqualitate, <math>v = {-b c^3 + 2bcce + ccee - b e^3 - c e^3 / bcc + e^3}</math>.
Seu, quia <math>y</math> e$t <math>= e</math>, erit <math>v = {-b c^3 + 2bccy + ccyy - b y^3 - c y^3 / bcc + e^3}</math>.</p>
<p>Denique, inventâ quantitate <math>v</math>, facile e$t invenire quantita-
tem <math>f</math>. Si enim in $uperiori æquatione <math>{c$ - $y + $v / v}
= {<r>bbcc + 2bccy - bbyy + ccyy - 2b y^3 - y^4</r> / y}</math> in locum <math>v</math> $ubro-
getur valor ejus nunc inventus, obtinebitur
<math>$ = {- bcc +bcy +cyy +byy / y^4 + b y^3 + c y^3 + bcyy} <r>bbcc +2bccy -bbyy +ccyy -2b y^3 - y^4</r></math>.</p>
<p>Quod ad con$tructionem hujus attinet, quoniam ip$a, quam
inveni, haud inconcinna mihi e$t vi$a, placuit eam hîc paucis $ub-
nectere.</p>

<pb 258>[278]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<fig>
<var>T S E C K M N B L A G P</var>
</fig>
<p>Ductâ ex C $uper GE perpendiculari CM, agatur
GC, $ecans AB in L; & ex L ducatur L K parallela GE,
occurrens ip$i CM in K. Deinde ex K demi$sâ KN per-
pendiculari ad CG, jungatur NM: eritque CT huic
parallela tangens quæ$ita.</p>
<p>Quibus explicatis facile etiam e$t hîc o$tendere, quonam pa-
cto punctum Conchoïdis C, quod duas ejus portiones, conca-
vam & convexam, à $e invicem di$tinguit, inve$tigari queat. De
quo egit Nobili$$imus D. Hugenius ultimo Problematum Illu-
$trium, quæ de Circuli magnitudine inventis adjecit.</p>
<p>Etenim inventâ ad hoc, ut ante, æquatione
<math>{y^4 - 2c$$ y^3 \\ - 2v$$ \\ + 2bvv # - ccvvyy \\ + bbvv \\ + cc$$ \\ + 2cv$$ \\ +vv$$ # - 2bccvvy-bbccvv = o, / vv + $$}</math>
quoniam ex puncto T, utcunque in producta GE accepto, nulla
recta duci pote$t, Conchoïdem in aliquo puncto tangens, quæ,
$eu po$tquam e$t producta, hanc ip$am in alio puncto non $ecat,
exceptâ tantùm rectâ, quæ per flexus punctum ducitur: requiri-
tur ut dicta æquatio ad puncti hujus determinationem tres admit-

<pb 259>[279]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
tat radicis valores, qui omnes inter $e $int æquales. Quod ip$um
ut fiat, confero æquationem $uperiorem cum æquatione
<math>y^3 - 3eyy + 3eey - e^3 = o</math>, in qua <math>y</math> tres habet valores æquales,
qui $inguli $unt <math>= e</math>. Hanc autem, ut ad æquè multas dimen$iones
a$cendat, & eju$dem cum præcedenti $it formæ, multiplico per
<math>y + f</math>, & prodit æquatio <math>y^4 - 3e y^3 \\ + f # + 3eeyy \\ - 3ef # - e^3 y \\ + 3eef - e^3 f = o</math>.
Cujus termini $i cum alterius terminis comparentur, invenientur
inde <math>f = {bbccvv / e^3 $$ + e^3 vv</math>, <math>$$ = {3bbccvv / e^4} + {2bccvv / e^3} - vv</math>,
<math>v = {bbcc + 2bcce + ccee / 3bcc - 3bee} - b -c</math>, & <math>e^3 = - 3bee* + 2bcc</math>,
$eu, quia <math>y</math> e$t <math>= e</math>, <math>y^3 = - 3byy* + 2bcc</math>.</p>
<p>Quoniam autem hæc æquatio Cubica e$t, neque ad Quadra-
tam reduci pote$t, $upere$t ut valorem radicis <math>y</math> per $ectiones
Conicas determinemus. At verò cum æquationes omnes inferio-
res con$trui etiam queant bene$icio linearum curvarum, quæ $unt
$uperiorum generum, non ingratum fore judicavi, $i hîc ulteriùs
exponerem, quo pacto ope datæ Conchoïdis CE Problema pro-
po$itum $olvi po$$it, $ic ut ad con$tructionem ejus non ni$i regu-
la atque circino utamur, haud $ecus ac $i Problema foret Planum.
Quemadmodum id ab eruditi$$imo ac præ$tanti$$imo Viro-Iu-
vene D. Henrico van Heuraet, Harlemo-Batavo, inventum fuit,
mihique ab eo communicatum.</p>
<p>E$to, ut ante, <math>G A = b</math>, AE vel <math>LC = c</math>, BC vel <math>AM = y</math>,
& <math>AT = z</math>. Vnde ut $upra pro AP invenietur <math>{b y^3 + bccy + bbcc / y^3}</math>.
<tb math>
 # add. AM. y
PM. {y^4 + b y^3 + bccy + bbcc / y^3}
MT. # z - y
□PMT. {- y^5 + z \\ -b # y^4 + bz y^3 - bccyy + bccz \\ bbcc # y+bbccz
E$t autem □ CM. {- y^4 - 2b y^3 - bb \\ + cc # yy + 2bccy + bbcc / yy}.
</tb>

<pb 260>[280]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
Erit itaque <math>{- y^5 + z \\ - b # y^4 + bz y^3 - bccyy + bccz \\ - bbcc # y + bbccz / y^3}</math>
<math>= {- y^4 - 2b y^3 - bb \\ + cc # yy + 2bccy + bbcc / yy}</math>
<math>-y^5 + z \\ - b # y^4 # + bz y^3 - bccyy # + bccz \\ - bbcc # y + bbccz = - y^5 - 2b y^4 # - bb \\ + cc # y^3 + 2bccyy + bbccy</math>
<math>+ z \\ + b # y^4 # + bz \\ + bb \\ - cc # y^3 - 3bccyy # + bccz \\ - 2 bbcc # y + bbccz = o}</math>
div. per <math>{y + b}</mth>. fit <math>+ z \\ + b # y^3 - ccyy - 2bccy + bccz = o</math>. Hæc æqua-
tio duas habet veras radices, quippe quæ ad duas tangentes, ex
eodem puncto ad utramque portionem ductas, pertinent; quæ $i
æquales fuerint, tanget T C utramque portionem in eodem
puncto.</p>
<tb math>
y - e
y - e # {- cc / z + b} = 2 e + g
yy - 2ey + ee = o
y + g # g = 2 e - {cc / z + b}
y^3 - 2eyy \\ g # + eey \\ -2eg # + eeg = o
dele g. {bccz / z + b} = eeg # dele g. {- 2bcc / z + b} = ee - 2eg
{bccz / z + b} = 2 e^3 - {ccee / z + b} # - {2bcc / z + b} = ee - 4ee + {2cce / z + b}
bccz = 2z e^3 + 2b e^3 - ccee # - 2bcc = - 3zee - 3bee + 2cce
Mult. per 3. 2z e^3 + 2b e^3 - ccee - bccz = o # Mult.per 2e. 3zee + 3bee - 2cce - 2bcc = o
6z e^3 + 6b e^3 - 3ccee - 3bccz = o # 6ze^3 + 6be^3 - 4ccee - 4bcce = o
$ubtr. {6z e^3 + 6b e^3 - 4ccee - 4bcce = o}
div. per cc. {ccee + 4bcce - 3bccz = o / ee + 4be - 3bz = o}
Mult. per 3z + 3b.
$ubtr. 3zee + 3bee + 12bze + 12bbe - 9bzz - 9bbz = o
3zee + 3bee - 2cce - 2bcc = o
12bze + 12bbe + 2cce - 9bzz - 9bbz + 2bcc = o
12bze + 12bbe + 2cce = 9bzz + 9bbz - 2bcc
e = {9bzz + 9bbz - 2bcc / 2cc + 12bz + 12bb}.
</tb>

<pb 261>[281]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<p>Igitur $i in æquatione <math>ee + 4be - 3bz = o</math> in locum <math>e</math> $ub-
$tituatur hic valor inventus, habebitur:</p>
<math>81bb z^4 + 162 b^3 z^3 - 108bbcczz \\ + 81 b^4 # - 204 b^3 ccz \\ - 12b c^4 # -12bb c^4 \\ -96 b^4 cc # =0</math>
<math>div. per 3 b. 27b z^4 + 54bb z^3 - 36bcczz \\ +27 b^3 # - 68bbccz \\ - 4 c^4 # - 4b c^4 \\ -32 b^3 cc # =0</math>
<math>div. per z + b. <math>27b z^3 + 27bbzz - 36bccz - 32bbcc \\ - 4 c^4 # =0</math>
<math>div. per 27 b. Et $it z^3 + bzz - {4/3}ccz - {32bbcc \\ - 4 c^4 / 27b}=0.</math>
<p>Iam ut æquatio hæc ope circuliac datæ Conchoïdis $olvatur,
ponatur <math>G A = b</math>
<math>A E = c</math> # Tum $iat, ut $equitur.
<math>A T = x</math>
<math>T C = y</math>
& <math>AM = z</math>, eritque <math>MT = x - z</math>.
$ubtr.<math> # □ CT. yy \\ □ MT. xx - 2xz - zz \\ □ CM. yy - xx + 2xz - zz = # □ CM. Ex natura Conchoïdis. \\ {- z^4 - 2b z^3 - bbzz + cczz + 2bccz + bbcc \\ zz}
<math>yyzz - xxzz + 2x z^3 - z^4 = -z^4 - 2b z^3 -bbzz + cczz + 2bccz + bbcc</math>
<math>+ 2x \\ + 2b # z^3 # + yy \\ -xx \\ +bb \\ -cc # zz - 2bccz - bbcc = o</math></p>
<p>div. per 2x + 2b.</p>
<p>Et $it z^3 # {+ yy \\ - xx \\ + bb \\ - cc # zz - 2bccz - bbcc = o / 2x + 2b}</math></p>
<p>Hinc cum termini hujus æquationis cum terminis proximè
antecedentis $int comparandi, & quidem ad inveniendas quanti-
tates <math>x</math> & <math>y</math> tres e$$ent æquationes quærendæ: facio ut in eadem
æquatione tertius terminus $it ad quartum, $icut tertius hujus e$t
ad quartum. In quem $inem $ecundum illius terminum multiplico

<pb 262>[282]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
per <math>{9bb / 16bb + 2cc}</math>, & tertium per <math>{81 b^4 / 256 b^4 + 64bbcc + 4 c^4}</math>. Omnino
ut hîc videre e$t.</p>
<tb math>
z^3 + bzz - {4/3}ccz - # &c. # = o
{9bb / 16bb + 2cc} # {81 b^4 / 256 b^4 + 64bbcc + 4 c^4}
{z^3 + {9 b^3 / 16bb + 2cc} zz - {27 b^4 cc / 64 b^4 + 16bbcc + c^4} z - &c. = o.
{27 b^4 cc / 64 b^4 + 16bbcc + c^4} = {bcc / x + b} # {9 b^3 / 16bb + 2cc} = {yy - xx + bb - cc / 2x + 2b}
{27 b^3 / 64 b^4 + 16bbcc + c^4} = {1 / x + b} # {9 b^3 x + 9 b^4 / 8bb + cc} = yy - xx + bb - cc}
27 b^3 x + 27 b^4 = 64 b^4 + 16bbcc + c^4 # yy = {9 b^3 x + 9 b^4 / 8bb + cc} + xx + cc - bb
x = {64 b^4 + 16bbcc + c^4 / 27 b^3} - b. # y = <r>9 b^3 x + 9 b^4 / 8bb + cc} + xx + cc - bb</r>.
</tb>
<fig>
<var>O T E C M V R A G</var>
</fig>
<p>Igitur $umendo in axe li-
neam <math>A O
= {64 b^4 + 16bbcc + c^4 / 27 b^3} -b</math>,
eamque vocando <math>x</math>, $i ex
puncto O intervallo <math>O V
= √ {9 b^3 x + 9 b^4 / 8bb + cc} + xx + cc - bb}</math>
arcus Circuli de$cribatur, at-
que ex $ectionis puncto V du-
catur ad A O perpendicularis
V R: erit AT, quæ $e ha-
bet ad AR, ut <math>16bb + 2cc</math> ad <math>9bb</math>, inventæ æquationis radix.
Vnde facile e$t invenire lineam AM. O$ten$um enim e$t <math>yy +
4by - 3bz = o</math>.</p>
<p>Denique cum inventio $upponendi duas eju$dem formæ æqua-
tiones, ad comparandum $eparatim omnes terminos unius cum
omnibus terminis alterius, non tantùm ad inveniendas tangentes
aut $ecantes curvarum linearum, quemadmodum fuit expo$itum,
adhiberi po$$it; $ed ip$a generalis $it atque infinitis aliis Proble-
matis re$olvendis, ut Author a$$erit, in$ervire queat: haud inuti-
le fuerit hîc ulteriùs quoque exponere, quo pacto illam ad Maxi-
mi aut Minimi determinationem applicari po$$e deprehendi, pro-
ponendo in eum finem $equentia Problemata.</p>

<pb 263>[283]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<fig>
<var>A B C</var>
</fig>
<p>Datam rectam lineam
AC $ecare in puncto B,
ut parallelepipedum,
quod fit $ub quadrato u-
nius partis A B & altera
parte B C, $it omnium parallelepipedorum, $ic facto-
rum, maximum.</p>
<p>E$to <math>A C = a</math>, & <math>A B = x</math>: eritque <math>B C = a - x</math>. Deinde ma-
ximum $olidum, cui parallelepipedum quæ$itum $tatui pote$t æ-
quale, e$to <math>b^3</math>. Quibus $ic po$itis, $i quadratum ex <math>A B = xx</math> mul-
tiplicetur per <math>B C = a - x</math>, proveniet <math>axx - x^3 = b^3</math>, $eu
<math>x^3 - ax x^* + b^3 = o</math>. Iam factâ <math>x = e</math>, $eu <math>x - e = o</math>, multi-
plico <math>x - e</math> per <math>x - e</math>, & fit <math>xx - 2ex + ee = o</math>. Quam porrò,
ut eju$dem $it formæ cum præcedente, multiplico per <math>x + f</math>, &
exurgit <math>x^3 - 2exx \\ + f # + eex \\ - 2ef # + eef = o</math>. Ex quarum mutua inter
$e collatione eliciuntur hæ tres æquationes <math>- 2e + f = - a, + e@
- 2ef = o</math>, & <math>eef = b^3</math>: quæ re$olutæ dant <math>f = {1/2} e</math>,
<math>e</math> $eu <math>x = {2/3} a</math>,
& <math>b^3 = {4/27} a^3</math>.</p>
<p>Quod ip$um docet, ad $ecandam lineam A C, qua-
lis requiritur, eandem in Bita e$$e dividendam, ut A B ip$ius A C
contineat duas tertias partes; & maximum $olidum, cui paralle-
lepipedum quæ$itum adæquari pote$t, e$$e <math>{4/27} a^3</math>.</p>
<p>Dividere <math>p</math> planum in tria plana proportionalia, ita
ut $olidum, quod fit ex ductu $ummæ duorum priorum
in latus $ecundum vel duorum po$teriorum in latus
primum, $it omnium maximum.</p>
<p>A$$umptis ad hoc <math>x</math> pro latere primo, & <math>y</math> pro latere $ecundo,
fient inde proportionalia plana <math>xx</math>. 1<_>mum</_>
<math>xy</math>. 2<_>dum</_>
<math>yy</math>. 3<_>tium.</_></p>
<p>Et manife$tum e$t, <math>xxy + xyy</math>, quod fit ex <math>xx + xy</math>, $ummâ
duorum priorum planorum, in latus $ecundum <math>y</math>, e$$e æquale ei,
quod fit ex <math>xy + yy</math>, $ummâ duorum po$teriorum planorum, in
latus primum <math>x</math>. Supere$t ut <math>xxy + xyy</math> $it omnium eju$modi $o-

<pb 264>[284]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
lidorum maximum. Quoniam autem <math>xx + xy + yy</math> e$t <math>= p</math>
vel <math>yy = p - xx - xy</math>
mult. per <math>x # x</math>
veletiam <math>xyy = px - x^3 - xxy</math>:
Hinc $i pro <math>xyy</math> dicti$olidi <math>xxy + xyy</math> $ub$tituatur <math>px - x^3 -
xxy</math>, habebitur <math>px - x^3</math>. Quocirca ut <math>px - x^3</math> fiat maximum
$olidum, quod e$$e po$$it, intelligatur ip$um æquale $olido <math>q</math>: erit-
que <math>x^3 * - px + q = o</math>. Deinde factâ <math>x = e</math> $eu <math>x - e = o</math>, mul-
tiplico <math>x - e</math> per <math>x - e</math>, & fit <math>xx - 2ex + ee = o</math>. Quam rur$us,
ut eandem formam habeat cum præcedenti, multiplico per <math>x + 2e</math>,
& ex$urgit <math>x^3 * - 3eex + 2 e^3 = o</math>. Ex quibus binis æquationi-
bus, $i $inguli termini unius cum $ingulis terminis alterius com-
parentur, elicio <math>x = √ {1/3}p</math>, & <math>q = {2/3}p √ {1/3}p</math>. Eodem modo in veni-
tur <math>y = √ {1/3}p</math>. Quod ip$um mon$trat, ad dividendum <math>p</math> planum
in tria plana proportionalia, maximum $olidum, quod ex ductu
$ummæ duorum priorum in latus $ecundum vel ex ductu duorum
po$teriorum in latus primum gignitur, e$$e illud, quod obtinetur
dividendo <math>p</math> planum in tria plana æqualia. Et $ic de aliis.</p>
<p>Cæterùm, cum allatis exemplis $atis $uperque $it o$ten$um,
quâ ratione lineæ rectæ inveniri po$$int, $ecantes lineas curvas in
Geometriam recipiendas in datis punctis ad angulos rectos: lu-
bet etiam afferre modum ducendi illas in iis curvis, quas pro Geo-
metricis pari jure habere non licet. Qualem Dominus des Car-
tes excogitavit, atque jam pridem ejus exemplum R. P. Mer$en-
no per literas o$tendit in curva, quæ Cycloïdes $ive Trochoïdes
appellatur, quam Vir Clari$$imus Euangeli$ta Toricellius, $cri-
bit à Galilæo Galilæi, prædece$$ore $uo, primùm fui$$e con$ide-
ratam; cujusque ulteriori $peculationi ip$um po$tea, ut & Virum
Celeberrimum D. de Roberval, Mathematum in Academia
Pari$ien$i Profe$$orem Regium, $e addixi$$e novi. Originem au-
tem ducit ex motu puncti, in rota $ive circulo a$$umpti, $uper
rectam aliquam lineam circumvoluti.</p>

<pb 265>[285]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<fig>
<var>C F B D A E</var>
</fig>
<p>Vt $i $uper recta linea AE circumvolvatur rota $ive circulus
A B C D, donec punctum ejus A, in quo dictam lineam tangit,
eidem rur$us occurrat in E: de$cribet punctum A hoc motu li-
neam curvam A F E, quæ Trochoïdes $ive Cycloïdes appellatur.
Idem intellige de quovis alio puncto, extra vel intra rotam $ive
circulum a$$umpto, excepto tantùm ejus centro.</p>
<p>Iam ut in genere o$tendatur, quâ ratione lineæ rectæ duci po$-
$int, quæ ha$ce curvas $ecent in datis punctis ad angulos rectos;
non abs re fuerit cum Ari$totele hîc explicare, quo pacto inæqua-
les circuli, qui circa idem centrum con$tituti ac conjuncti circum-
volvuntur, æquales rectas lineas ab$olvant.</p>
<fig>
<var>B F E I A G Q C N H P O L D R M K</var>
</fig>
<p>Sunt ergo duo circuli inæquales, major quidem B C D E; mi-
nor autem F G H I, idem habentes centrum A: $intque diametri
majoris B D, E C; minoris verò F H & I G, $e$e ad angulos re-

<pb 266>[286]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
ctos $ecantes in A. ita ut quadrans circuli majoris $it C D; mino-
ris verò G H. Iam igitur ut pateat ratio, quâ hi circuli, $imul cir-
cumvoluti, æquales lineas ab$olvant; concipiatur primùm majo-
rem B C D E dextror$um moveri $uper recta D K, & minorem
F G H I ad motum illius de$cribere lineam rectam ip$i D K pa-
rallelam, quæ $it H L. Vnde manife$tum, cùm punctum C per-
venerit ad M, exi$tente arcu D C æquali rectæ D M, $emidiame-
trum quoque A C tunc fore perpendicularem $uper D K in M;
ita ut coïncidat cum M N, hoc e$t, punctum C cum puncto M, &
punctum A cum puncto N. Ac proinde cum punctum G circuli
minoris $it in recta A C: $equitur ip$um quoque po$t hujus qua-
drantis devolutionem cadere in punctum O; ita ut $emidiameter
A G circuli minoris transferatur in NO. Adeò ut, NO æquali
exi$tente & parallelâ ip$i AH, ip$a quoque HO $it æqualis fu-
tura ip$i A N $eu DM, & $ingulæ rectæ DM, HO $eparatim ab
utroque circuli quadrante eodem tempore peragrentur. Idem de
integris circulis e$t intelligendum.</p>
<p>Non $ecus o$tendetur, $i moveatur circulus minor F G H I $u-
per rectam HL, $ecum deferens circulum majorem B C D E, $ibi
affixum in centro A, lineas rectas æquales ab$olvi. Devoluto enim
circuli minoris quadrante H G $uper rectam HL, ab H ver$us L;
ita ut rectam lineam H P $ibi æqualem percurrat: ducatur per P
recta Q P R, $ecans rectam H L ad angulos rectos in P; $ed A N
& D K in Q & R. Quo facto, per$picuum e$t, cùm punctum G
e$t in P, punctum quoque A e$$e in Q, rectamque A G $uper re-
ctam QP. Atque ideo, cum punctum C circuli majoris exi$tat in
linea A G producta, patet, illud po$t hujus quadrantis devolutio-
nem inventum iri in puncto R, rectamque D R æqualem fore
rectæ A Q $eu H P, & $ingulas eodem temporis $patio ab utro-
que circuli quadrante perfici. Quod & detota circuli circumfe-
rentia concludere licet. E quibus tandem liquet, quâ ratione cir-
culus circumvolvi po$$it, ut rectam ab$olvat lineam, quæ circum-
ferentiæ ejus $it vel æqualis, vel major, vel minor.</p>
<p>Sed de $upra dicta linea A F E notandum, eam duobus moti-
bus de$cribi, inter $e di$tinctis; recto nempe, quo circulus
A B C D defertur ab A ad E; & circulari, quo punctum in ejus
circumferentia A (quod Trochoïdem de$cribit) rotatur circa cen-
trum, dum movetur per lineam rectam ip$i A E æqualem & pa-
rallelam.</p>

<pb 267>[287]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<p>Quibus $ic explicatis, ut ad propo$itum redeamus, atque re-
ctam, quæ Trochoïdem in dato puncto tangat, ducamus: $cien-
dum e$t, lineam rectam, tran$euntem per punctum dictum, &
punctum, in quo rota ba$in, dum punctum in Trochoïde datum
de$cribitur, contingit, $ecare $emper tangentem quæ$itam ad an-
gulos rectos.</p>
<p>Vt $i invenienda $it linea re-
<fig>
<var>C L B N A O D</var>
</fig>
cta, tangens in B curvam $i-
ve Trochoïdem A B C, de-
$criptam $uper ba$in A D per
punctum aliquod circumfe-
rentiæ rotæ D N C, $uper ba-
$in A D circumvolutæ: opor-
tet tantùm per punctum B
rectam lineam ducere B N,
parallelam ba$i A D; & dein-
de ab N (ubi rotæ occurrit) ad D, (ubi rota ba$in tangit) rectam
N D; tumque eidem parallelam B O; ac denique huic perpendi-
cularem B L: Quæ erit tangens quæ$ita.</p>
<p>Cujus rei brevem atque $implicem demon$trationem affert. ut
$equitur.</p>
<p>Si $uper rectam lineam circumvolvatur polygonum aliquod
rectilineum, erit linea curva, quæ per aliquod ejus punctum de-
$cribitur, compo$ita ex pluribus circulorum portionibus, quarum
tangentes ad $ingula earum puncta normaliter $ecant lineas re-
ctas, quæ ab ip$is ad puncta, in quibus polygonum, unamquam-
que portionem de$cribendo, ba$in contingit, ducuntur.</p>
<p>Exempli gratiâ, $i facia-
<fig>
<var>A I B H C E F G D</var>
</fig>
mus ut volvatur Hexago-
num A B C D $uper re-
ctam E F G D, de$cribet
punctum ejus A, lineam
curvam E H I A, compo$i-
tam ex arcu E H, qui de-
$cribitur, dum Hexagonum
hoc contingit ba$in in pun-
cto F (quod eju$dem arcus
e$t centrum; & ex arcu HI (cujus centrum e$t punctum G); ut

<pb 268>[288]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
& ex arcu IA (cujus centrum e$t punctum D): per quæ centra
tran$eunt omnes rectæ, quæ dictorum arcuum tangentibus ad an-
gulos rectos occurrunt. Quod cum accidat polygono centies
millenorum millium, palàm e$t, idem convenire quoque Cir-
culo.</p>
<p>Cæterùm po$$em hanc tangentem alio modo, & meâ $enten-
<mgl>_Verba_
_Authoris._</mgl>
tiâ, elegantiori, magisque Geometrico demon$trare; verùm quo-
niam prolixior foret, & brevitati hîc mihi con$ulendum videtur,
in præ$ens ei de$cribendo $uper$edebo. Notandum $olummodo
e$t, cùm ba$is hujus Trochoïdis æ qualis e$t circumferentiæ rotæ,
quam $uper eandem ba$in ad ejus de$criptionem circumvolvi ima-
ginamur, curvam hanc, à fornice circulari non ab$imilem figuram,
referre: hoc e$t, quòd tangens utriu$que ejus extremi puncti ad ba-
$in $it perpendicularis. Sed cùm minor e$t, quod tunc utraque ex-
tremitas intror$um $it involuta, ita ut complures revolutiones
hanc repræ$entent figuram</p>
<fig/>
<fig>
<var>D F L C N G B P A E</var>
</fig>
<p>Ad cujus Trochoïdis
tangentes inveniendas,
atque $ciendum ubi $e
involvere incipiat: ima-
ginandum e$t, punctum
D, à quo de$cribitur,
e$$e extrarotam. Dein-
de, duæ $upponendæ
$unt ba$es; una A E, $u-
pra quam Trochoïdes
A B C D per punctum
D e$t de$cripta; & alte-
ra B G, $uper quam ro-
ta F G $ecum deferens
circulum DE $ibi affixum circa ejus centrum e$t circumvoluta,
cujusque $emicircumferentia dimidiæ ba$i A E e$t æqualis. Vbi
$ciendum, tangentes inveniri per circulum D E & punctum G,
ubi rota F G ba$in B G contingit. Adeò ut ad ducendam lineam
rectam, quæ tangat hanc Trochoïdem, verbi gratiâ, in puncto C,
opùs tantùm $it ducere C N parallelam ba$i AE, occurrentem

<pb 269>[289]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
circulo DE in puncto N; tum verò junctæ N G parallelam CP:
quæ ip$i tangenti quæ$itæ erit perpendicularis. Ita ut per$picuum
$it, punctum B, ubi hæc $ecunda ba$is B G Trochoïdi occurrit,
fore illud, ubi ip$a $e intror$um involvere incipiet: quandoqui-
dem linea, quæ illam ibidem tangit, ad ba$in A E perpendicula-
ris exi$tit.</p>
<p>Denique $i ba$is Trochoïdis major fuerit circumferentiâ cir-
culi, qui per a$$umptum punctum, quod eam de$ignat, circa ro-
tæ centrum de$cribitur: binæ extremitates extror$um erunt in-
flexæ; ita ut complures eju$modi linearum revolutiones hanc ex-
hibeant figuram.</p>
<fig/>
<p>Cujus Trochoïdis tangen-
tes ut inveniantur, atque $cia-
tur ubi $e inflectere incipiat,
imaginandum e$t, punctum, quodip$am de$ignat, e$$e intra ro-
tam: adeoque $ecundam ba$in e$$e B G, $upra quam rota F G,
cujus circumferentia huic ba$i e$t æqualis, circumvolvatur, inter-
ea dum punctum D, Trochoïdem de$ignans, $uper primam ba-
$in A E de$cribit circulum D E, circa rotæ centrum. Iam utinve-
niatur linea, quæ ip$am in puncto C, utcunque in Trochoïde a$-
$umpto, tangat: ducatur C N parallela ba$i, occurrens circulo
<fig>
<var>F L D C N H R A E B P G</var>
</fig>
D N E in puncto N. Tum ab N ad G, ubi rota F G ba$in $uam
contingit, ductâ rectâ N G, agatur ip$i parallela C P: eritque
recta C L, quæ ad eam perpendicularis ducitur, tangens quæ$ita.
Porrò ad inveniendum punctum H, ubi Trochoïdis portio A H

<pb 270>[290]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
de$init e$$e concava, & H C D convexa, opùs tantùm e$t à pun-
cto G rectam ducere G R, quæ tangat circulum D R E in puncto
R; tum ab R rectam R H, parallelam ba$i, & occurrentem Tro-
choïdi in puncto H. Quod erit quæ$itum.</p>
<p>Vbi notandum, nullam dari lineam rectam, quæ Trochoïdem
hanc A H C D tangat in puncto H: quandoquidem illud ip$um
duas ejus portiones, quarum una e$t concava, & altera convexa,
di$tinguit.</p>
<p>Deinde ob$ervandum, quòd ea, quæ de tangentibus Trochoï-
dum, per rotam circularem de$criptarum, hîc allata $unt, etiam
omnibus aliis Trochoïdibus competant, quæ circumvolutione
aliarum quarumlibet figurarum de$cribuntur.</p>
<p>Denique, quòd lineæ hæ $int Mechanicæ, & è numero earum,
quæ in hac Geometria repudiantur; adeò ut nemini mirum videri
debeat, quòd tangentes earum non inveniantur per regulas ibi
expo$itas, cum ad ip$as non referantur.</p>
<p>Quá quidem ratione bi circuli in punctis 2, 2 $e$e in-
<mgl>O O</mgl>
ter $ecabunt, per quæ $ecunda hæc Ovalis erit ducenda.]
Notavit hîc Clari$$imus Hugenius, $ecundam hanc Ovalem (quod
animadver$ione dignum e$t) uno ca$u Circulum perfectum eva-
dere, cùm nempe F A ad A G eandem rationem habet, quam 5 A
ad A 6. A deoque radios lucis, ad punctum aliquod tendentes, ope
$uperficiei Sphæricæ ad datum aliud punctum omnes accuratè co-
gi po$$e. Quod $e apertiùs in tractatu de Dioptricis demon$tratu-
rum $u$cepit, in quo multa egregia ac ingeniosè à $e inventa, quæ
huc $pectant, brevi, $i volet Deus, e$t exhibiturus.</p>
<p>_Et quod ex tali materia con$tet, ut vim horum radio-_
<mgl>P</mgl>
_rum, $ecundùm rationem, quæ inter lineas A5 & A6_
_reperitur, diminuat. Quandoquidem ex eo, quod in_
_Dioptrica demon$travimus, liquet, hoc po$ito, futu-_
_rum, ut etiam reflexionum anguli, non $ecus ac refractio-_
_num, inæquales exi$tant, atque eodem modo men$urari_
_po$$int_.] Hæc refer ad caput 2<_>dum</_> Dioptricæ, ubi demon-
$tratum e$t, reflexionis angulum angulo incidentiæ e$$e æqua-
lem: quoniam vis alicujus radii per reflexionem non diminui-
tur. Sicut per refractionem vis radii, tran$eundo ex uno corpore
pellucido in aliud, augetur aut diminuitur, ac propterea an-

<pb 271>[291]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
gulos facit inæquales. Adeò ut hinc $equatur: $i $peculum habe-
ri po$$it, ex tali con$tans materia, ut vim radiorum, quos reflecte-
ret, augeret aut diminueret (omnino ut o$tendit, vitrum vim ra-
diorum, quos in $e recipit, augere, eorumque refractionis cau$am
e$$e): e$$ent reflexionum anguli non $ecus ac refractionum inæ-
quales: & po$$et eorum ratio men$urari per rationem, quæ e$t in-
ter lineas A 5 & A 6, $upponendo illam eandem e$$e, quæ e$t in-
ter vim alicujus radii antequam in $peculum incideret, & inter
vim, quam immediatè po$t obtineret, cum e$$et reflexus.</p>
<p>Cæterùm quoniam ad radios per reflexionem ac refractionem
diver$imode detorquendos Sectiones Conicæ $ingularem habent
u$um, atque $pecula & vitra ad ip$arum figuram expolita miros
effectus præbent: haud inopportunum fore duxi, $i, tum ad peni-
tiorem intellectum eorum, quæ in Dioptrica de figura vitrorum
ab Authore $unt o$ten$a, tum ad u$um eorum, quæ de invenien-
dis tangentibus aut $ecantibus expo$ita $unt, deinceps hîc adjun-
gerem, quo pacto in axe puncta inve$tigari po$$int, in quibus radii
Solis, po$tquam in $uperficiem concavam $peculi Parabolici in-
ciderunt, aut per Elliptica vel Hyperbolica vitra tran$ierunt, re-
flectuntur aut colliguntur.</p>
<fig>
<var>H F C B G E S P M I A T</var>
</fig>
<p>Vt $i fuerit $peculum,
habens figuram Parabo-
læ A E C, cujus axis $it
M A, & vertex A: ad in-
ve$tigandum punctum I,
ad quod radius Solis F C,
qui ip$i M A e$t paralle-
lus, reflectatur, po$tquam
in idem $peculum incidit
in C, $uppono, ut ante, la-
tus rectum <math>= x</math>, <math>M A = y</math>, & <math>I A = z</math>. Quibus po$itis cum ex
$uperioribus P M $it <math>= {1/2} r</math>, & A T $it <math>= A M</math> $eu <math>y</math>: erit <math>P T = {1/2} r
+ 2y</math>, & <math>P I = {1/2} r + y - z</math>. Quoniam autem propter æquales
angulos incidentiæ & reflexionis F C H & I C T, ut & rectam
P C ip$i tangenti H T perpendicularem, anguli quoque F C P
& P C I $unt æquales; atque horum quidem angulus F C P an-
gulo C P I $it æqualis: erunt pariter anguli P C I & C P I æqua-
les; lineaque I G, ip$i P C perpendicularis, rectam P C bifa-

<pb 272>[292]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
riam in G $ecabit. Quibus $ic exi$tentibus, cum & hinc P I ip$i
I T $it æqualis, erit <math>r + 2y - 2z = {1/2} r + 2y</math>. Vnde, dempto u-
trinque <math>2y</math>, & reliquis per 2 divi$is, invenitur <math>z = {1/4} r</math>. Quod
ip$um, cum de quovis radio ip$i axi parallelo $imiliter intelligen-
dum $it, nos docet, radios Solis, axi parallelos, ubi in $uperfr<?>-
ciem concavam $peculi Parabolici inciderunt, omnes ad idem
axis punctum I reflecti, di$tans à vertice quartâ parte lateris recti.</p>
<p>Vnde porrò fit manife$tum, cum lucente Sole, beneficio hujus
$peculi, prout ip$i directè e$t obver$um, aliquid in I accendatur,
quam ob rationem idem $peculum u$torium dictum fuerit, pun-
ctumque I Foci nomine appellari con$ueverit.</p>
<fig>
<var>E A B C Q M D H F N I K</var>
</fig>
<p>Deinde $i fuerit vitrum, habens formam Ellip$is D B K, cujus
maxima diameter $it D K: ad inve$tigandum quo modo radius
A B, qui in aëre exi$tens ip$i D K e$t paralle@us, tendere debeat,
po$tquam intravit ejus $uperficiem convexam, & in quo vitro re-
fractiones $ic fieri intelliguntur, ut, juxta ea, quæ in Dioptricis
tradita $unt, illæ omnes men$urari po$$int per rationem, quæ e$t
inter lineas <math>d</math> & <math>e</math>, facio D H vel <math>I K = a</math>, <math>H I = z</math>, & <math>D F = y</math>,
eritque <math>H F = y - a vel a - y, & F I = a + z - y vel y - a - z</math>.
Quibus po$itis, $i Ellip$is D B K de$cripta e$$e intelligatur ope fili
H B I, haud $ecus ac illud Capite 8<_>vo</_> Dioptrices ab Authore aut
etiam à nobis in Organica Conicarum Sectionum de$criptione
expo$itum fuit, erit, factâ <math>B I = x, B H = 2 a + z - x</math>. Vnde jam
facile e$t invenire quantitatem <math>y</math>, a$$umptis $cilicet quantitatibus
<math>x & z</math>, ut cognitis. Etenim $i à quadrato B H. <math>4 aa + 4 az + zz
- 4ax - 2zx + xx</math> tollatur quadratum H F. <math>yy - 2ay + aa</math>,
re$tabit <math>3aa + 4az + zz - 4ax - 2zx + xx + 2ay - yy</math>, pro
quadrato B F. Similiter, $i à quadrato B I. <math>x x</math> auferatur quadra-
tum F I. <math>aa + 2az + zz - 2ay - 2zy + yy</math>, relinquetur etiam

<pb 273>[293]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
<math>xx - aa - 2az - zz + 2ay + 2zy - yy</math>, pro quadrato B F.
Hinc cum habeatur æquatio inter quadratum B F bis inventum,
invenietur, ordinatâ æqualitate, <math>y = {2aa + 3az + zz - 2ax - zx / z}</math>.
E$to jam <math>D N = v, & N B = $</math>, eritque <math>F N = v - y</math>. E quibus
rur$us facile e$t invenire quantitatem <math>y</math>, $uppo$itis quantitatibus
<math>v</math> & <math>s</math>. Si enim à quadrato B N. <math>$$</math> ab$tulero quadratum F N.
<math>vv - 2vy + yy</math>, remanebit <math>ss - vv + 2vy - yy</math>, pro quadrato
B F. Vnde factâ æquatione inter hanc $ummam & po$teriorem
duarum præcedentium habebitur <math>y = {$$ - vv - xx + aa + 2az + zz / 2a + 2z - 2v}</math>.
Quibus jam inter $e æquatis, & æquatione de <math>xx</math> ordinatâ,</p>
<tb math>
fiet x x = - 4avx # + ssz
-2vz # - vvz
+ 4aa # + 4aav
+ 6az # + 6avz
+ 2zz # + 2vzz
 # - 4 a^3
 # - 9aaz
 # - 6azz
 # - z^3
z.
</tb>
<p>Porrò ut inveniantur quantitates <math>v</math> & <math>$</math>, po$itâ <math>x = f</math>, multipli-
cetur <math>x - f = o per x - f = o</math>, & fit <math>xx - 2fx + ff = o</math>, $eu
<math>x x = 2fx - ff</math>, æquatio eju$dem formæ cum præcedente. Vn-
de, comparando $ecundum terminum unius cum $ecundo alte-
rius, emergit <math>v</math>, hoc e$t, <math>D N = {2aa + 3az + zz - zx / 2a + z}</math>. Quæ à
DI $eu <math>a + z</math> ablata relinquit <math>NI = {zx / 2a + z}</math>. Denique cum li-
nea N Q vel F B & linea N M eandem inter $e rationem ha-
beant, quam lineæ, quæ refractionem vitri D B K men$urant;
& quidem F B ad N M $it, ut B I ad I N: $upere$t ut <math>d</math> $it ad <math>e</math>,
$icut <math>x ad {zx / 2a + z}</math>. Et $it, multiplicando extremos, tum medios,
<math>{dzx / 2a + z} = e x</math>. Vnde, re$olutâ æqualitate, invenitur HI $eu
<math>z = {2 ae / d - e}</math>. Cui $i addantur DH & IK, hoc e$t, <math>2a</math>, habebitur

<pb 274>[294]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<math>DK = {2ad / d - e}</math>. Et patet DK ad HI e$$e, ut <math>2ad</math> ad <math>2ae</math>, hoc e$t,
ut <math>d</math> ad <math>e</math>. Quod ip$um, cum de quovis radio AB ip$i DK paral-
lelo $imiliter intelligendum $it, nos docet, ope vitri Elliptici
D B K, in quo D K ad H I eandem habet rationem, quam <math>d</math> ad <math>e</math>,
hoc e$t, eandem quam inter $e $ervant lineæ, quæ hujus vitri re-
fractionem metiuntur, radios, qui in aëre exi$tentes diametro
D K $unt paralleli, omnes ita detorqueri, ut, po$tquam $uperfi-
ciem ejus convexam D B K tran$ierunt, colligantur $imul in
puncto I.</p>
<fig>
<var>C M A B Q E N F H D K I T</var>
</fig>
<p>Denique $i fuerit vitrum, habens figuram Hyperbolæ D B,
cujus axis $it D K: ad inve$tigandum, quo pacto radius A B, qui
in vitro exi$tens ip$i D K e$t parallelus, $e inflectere debeat, po$t-
quam $uperficiem ejus convexam D B erit egre$$us, $upponendo
eju$dem vitri refractionem e$$e eam, quæ e$t inter lineas <math>d</math> & <math>e</math>, fa-
cio H D vel <math>K I = a</math>, <math>H I = z</math>, & <math>D F = y</math>: eritque <math>F H = y - a</math>
vel <math>a - y</math>, & <math>F I = z + y - a</math>. Quibus po$itis, $i Hyperbola D B
de$cripta intelligatur beneficio fili, quemadmodum Capite 8<_>vo</_>
Dioptrices ab Authore fuit indicatum, vel etiam à nobis libro 4<_>to</_>
Exercitationum no$trarum Mathematicarum, erit, factâ <math>B I = x</math>,
<math>B H = x - z + 2a</math>. Vnde jam facile e$t invenire quantitatem <math>y</math>,
$upponendo quippe quantitates <math>x & z</math> e$$e cognitæ. Si enim à
quadrato B H. <math>xx - 2zx + zz + 4ax - 4az + 4aa</math> $ubduca-
tur quadratum F H. <math>yy - 2ay + aa</math>, re$tabit <math>xx - 2zx + zz -
yy + 2ay + 3aa + 4ax - 4az</math>, pro quadrato F B. Similiter, $i
à quadrato BI. <math>xx</math> auferatur quadratum F I. <math>zz + 2zy + yy -
2az - 2ay + aa</math>, relinquetur quoque <math>xx - zz - 2zy - yy +
2az + 2ay - aa</math>, pro quadrato F B. Hinc, cum habeatur æquatio

<pb 275>[295]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> II.</rh>
inter quadratum F B dupliciter inventum, invenietur, ordinatâ
æqualitate, <math>y = {zx - zz - 2aa + 3az - 2ax / z}</math>. E$to jam <math>D N = v</math>
& <math>N B = $</math>, eritque <math>N F = v - y</math>. E quibus rur$us facile e$t in-
venire quantitatem <math>y</math>, $uppo$itis quantitatibus <math>v</math> & <math>s</math>. Etenim $i à
quadrato N B. <math>ss</math> detraxero quadratum N F. <math>vv - 2vy + yy</math>, re-
manebit <math>ss - vv + 2vy - yy</math>, pro quadrato FB. Vnde factâ æ-
quatione inter hanc $ummam & po$teriorem duarum præceden-
tium, habebitur <math>y = {- ss + vv + xx - aa + 2az - zz / -2a + 2z + 2v}</math>. Quibus
jam inter $e æquatis, & æquatione de <math>xx</math> ordinatâ, fiet</p>
<tb math>
xx = + 2zzx # + ssz
- 6az # - vvz
+ 4aa # - 2vzz
+ 2vz # - 4aav
- 4av # + 6avz
 # - z^3
 # - 9aaz
 # + 6azz
 # + 4 a^3
 # z.
</tb>
<p>Porrò ut innote$cant quantitates <math>v</math> & <math>$</math>, po$itâ <math>x = f</math>, multipli-
co <math>x - f = o</math> per <math>x - f = o</math>, & fit <math>xx - 2fx + ff = o</math>, $eu
<math>xx = 2 fx - ff</math>, æ quatio $imilis præcedenti. Vnde, comparando
$ecundum terminum unius cum $ecundo alterius, invenitur <math>v</math>,
hoc e$t, <math>D N = {zx - zz + 3az - 2aa / z - 2a}</math>. Cui $i addatur DI. <math>z - a</math>,
habebitur <math>NI = {zx / z - 2a}</math>. Denique cum linea NM ad NQ vel
FB eam habeat rationem, quam inter $e habent lineæ refractio-
nem vitri DB men$urantes; & quidem NM ad NQ vel FB $it,
ut NI ad IB: relinquitur, ut <math>d</math> $it ad <math>e</math>, $icut <math>{zx / z - 2a}</math> ad <math>x</math>. Et fit,
multiplicando extremos, tum medios, <math>dx = {ezx / z - 2a}</math>. Vnde, re-
$olutâ æ qualitate, invenitur HI $eu <math>z = {2ad / d - e}</math>. E qua ablatis HD
& K I $eu <math>2a</math>, erit reliqua <math>D K = {2ae / d - e}</math>. Et manife$tum e$t HI ad
DK e$$e, ut <math>2ad</math> ad <math>2ae</math> vel ut <math>d</math> ad <math>e</math>. Id quod, dum de quolibet

<pb 276>[296]<rh>F<sc>R</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc> C<sc>OMM. IN</sc> L<sc>IB</sc>. II.</rh>
radio A B ip$i D K parallelo perinde e$t intelligendum, nobis
mon$trat, beneficio vitri Hyperbolici D B, in quo H I ad D K
eam obtinet rationem, quam <math>d</math> ad <math>e</math>, quæ e$t eju$dem vitri men$u-
ra refractionis, radios, qui in vitro D B exi$tentes axi D K $unt
paralleli, egrediendo $uperficiem ejus convexam D B ita flexum
iri, ut egre$$i omnes coëant in punctum I.</p>
<p>_Cujus figura e$t A 3 r 3, quæ undique e$t convexa;_
<mgl>PP</mgl>
_pr æter quam ver sùs A, ubi paululum concava exi$tit, it a_
_ut ip$a pariter atque pr æcedens cordi haud $it ab$imilis_.]
Vbi etiam $ciendum, ex po$itione punctorum H & F, quemad-
modum Nobili$$imus Hugenius notavit, contingere po$$e, ut ver-
sùs A convexa exi$tat.</p>
<fig/>

<pb 277>[297]
<h>ARGVMENTVM
TERTII LIBRI.</h>
<p it>_P_O$tquam primo libro expo$ita $unt ea, quæ viam ape-
riunt ad Autoris Methodum, quâ in re$olvendis & con-
$truendis Geometriæ Problematis utitur, ibidemque $i-
mul o$ten$a e$t ratio con$truendi Problemata Plana, hoc
e$t, quæ reduci po$$unt ad æquationes Quadr at as, quæque
rectarum linearum atque circuli circumferentiarum ope $olvi po$$unt_;_
accedit deinceps ad Solidorum & Linearium con$tructiones, hoc e$t, quæ
ad æquationes Cubicas altiorumve graduum a$cendunt, & ad quorum
con$tructiones, $ectionibus Conicis, aliisque curvis lineis magis compo$i-
tis utinece$$arium e$t. Vbi ob$ervandum e$t, quòd, cum peccatum $it
non leve apud Geometras, Problema Planum con$truere per Conica aut
Linearia, hoc e$t, ip$um per improprium $olvere genus, ita quoque $it
cavendum ne in con$tructionem ejus adhibeamus lineam aliquam cur-
vam, quæ magis $it compo$ita, quam ip$ius natura admittit.</p>
<p it>Quocirca, po$tquam $ecundo libro o$ten$um e$t, quo pacto curvæ
lineæ, mediantibus æquationibus, quæ exhibent relationem, quam
ip$arum puncta habent ad puncta lineæ rectæ, di$tingui po{$s}int in certa
genera, atque exinde cogno$ci, quænam illarum magis $int compo$itæ_;_
$upere$t ut explicemus, quomodo $ciri po{$s}it, utrum Problema aliquod
$it vel Planum, vel Solidum, vel denique Lineare. Arguìtur au-
tem Problema Planum e$$e, cùm æquatio, ad quam perducitur, po$t-
quam ad $implici{$s}imos ter minos e$t reducta, atque ampliùs reduci ne-
quit, Plana exi$tit, hoc e$t, ut incognita quantit as ad quadratum ad$cen-
dat, duasve habeat dimen$iones, illaque per rectas lineas & circulorum
circumferentias in veniri po{$s}it, quemadmodum primo libro fuit o$ten-
$um. At vero Solidum e$$e, quando æquatio, quæ ex eo deducitur, po$t-
quam ad $implici$simos terminos reducta e$t, talis exi$tit, ut incognita
quantitas ad Cubum aut Quadrato-quadr at um, hoc e$t, ad _3_ aut _4_ di-
men$iones ad$cendat, ip$aque non ni$i Conicam aliquam $ectionem in
con$tructionem adhibendo inveniri queat. Ac Lineare denique, ubi
æquatio illa, po$t quam non ampliùs reducibilis e$t, plùs quàm Solida exi-
$tit, & incognita quantit as ad 5 aut 6 dimen$iones a$$urgit; veletiam ad
7 aut 8; vel ad 9 aut 10 dimen$iones, atque it a porrò in infinitum; ip$a-
que non ni$i per curvam $ecundi, aut tertii, aut $uperioris denique gene-
ris, inveniri pote$t.</p>

<pb 278>[298]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p it>Ex quibus per $picuum e$t, quòd, etiam$i lineæ curvæ omnes, quæmo-
tu aliquo or dinato de$cribi po$$unt, in Geometriam $int recipiendæ, non
ideo tamen indifferenter primâ, quæ fortè occurrat, ad con$tructionem
cuju$que Problemat is uti lice at; $ed eligendam e$$e $emper $implici{$3}i-
mam, per quam po{$3}ibile $it illud ip$um re$olvere. Atque pro $impli-
ci$simis non habendas e$$e illas, quæ facillimè omnium de$cribi po$$unt,
$ive quæ Problematis con$tructionem aut demon$trationem faciliorem
reddunt; $ed præ$ertim illas, quæ $implici$simi $unt generis, & ad quæ-
$itam lineam determin an dam in$ervire queunt. It a ut, $i peccatum $it
in Geometria (quemadmodum $upra diximus) Problema aliquod pro-
po$itum con$truere per genus Linearum curvarum, magis compo$itum,
quam natur a ejus permittit; contra quoque pro vitio habendum $it, $i
quis inutiliter de$udet ad illud ip$um, per genus aliquod lιnearum $im-
plicius, quam natura ejus admittit, con$truendum.</p>
<p it>Quapropter ut utrumque vitium evitari, ac unumquodque Pro-
blema exproprio $uo linearum genere $olvi po{$s}it, po$tquam tam Proble-
matis quam ip$ius curvæ cognitionem ab æquationum cognitione depen-
dere e$t o$t en$um; hinc ad explicandam æquationum naturam progre-
ditur, docens, unamquamque tot admittere po$$e diver$as radices $i-
ve differentes valores quantitatis incognitæ, quot ip$a habet dimen$io-
nes; earumque interdum qua$dam e$$e, quæ fal$æ exi$tunt vel nihilo$unt
minores; interdum etiam, quæ planè imaginariæ; $icut etiam quâ ratio-
ne ip$æ æquationes producantur ex $uis radicibus in $e in vicem ductis,
ita ut per illas rur$us $int divi$ibiles. Quas divi$iones $ubinde utiles o$ten-
dit ad explor andum utrum certæ quædam quantitates $int æquationis
radices nec ne, tum etiam ad ip$as indagandas, ac denique ad æquatio-
nem ad pauciores dimen$iones reducendam. Deinde, po$tquam o$ten-
dit quot veræ & quot fal$æ radices in unaquaque æquatione haberi pa$-
fint, $icut etiam quo pacto fal$æ reddantur veræ, & veræ fal$æ, docet,
quo pacto quælibet æquatio tran$mutari po$sit in aliam, ita ut radices
ejus $int certâ quâdam quantitate majores vel minores, quàmradices
prioris; & quidem quoties id fit, ut quædam ex illis $int veræ, quædam
verò fal$æ, quòd tum augendo veras, fal$æ tantundem diminuantur,
& contra. Quibus explicatis, tradit, quâ ratione, ad abbreviandam
terminorum multitudinem, $ecundus terminus in qualibet æquatione
ope prædictæ tran$mutationis tollipo$iit; it a ut in Quadratis æquationi-
bus affectiones $ub latere, in Cubicis $ub quadrato, in Quadrato qua-
dratt<?>s $ub cubo, & c. evane$cant. Po$t hæc, quando quædam ex radicibus
veræ $unt, quædam verò fal$æ, (id quod ex $ignorum $erie manife$tum
fit) declarat, facile e$$e eju$dem tran$mutationis beneficio efficere, ut

<pb 279>[299]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM III.</sc></rh>
radices omnes evadant veræ. Porrò, quemadmodum æquationes Cubicæ
atque Quadrato-quadratæ omnes per eandem curvam lineam $olvi
po$$unt, utpote per aliquam trium Coni $ectionum; & rur$us Surde$oli-
dæ at que Quadrato-cubicæ omnes per aliam curvam, quæ uno gradu
magis e$t compo$ita quàm $ectiones Conicæ, at que $ic ulteriùs; $ic ut binæ
priores juxt a eandem regulam con$trui queant, $icut etiam binæ po$t e-
riores per aliam regulam: Attamen cum in his altioribus æquationibus
ob multitudinem terminorum & variationem $ignorum + & - pluri-
mæ inde (ut diximus) na$cantur formulæ, regulaque illa valde foret
difficilis ac longa: docet quo pacto æquationes illas attollere liceat,
hoc e$t, Surde$olidas reducere ad Quadrato-cubicas, atque $imul effi-
cere, ut, $i quæ terminorum locain illis de$int, ip$a repleta exi$tant, ut
tandem, $i quædam ex radicibus fal$æ, quædam autem veræ $int, ip$æ
æquationes tran$mutaripo{$s}int in alias, ubi radices omnes $int veræ, ip$æ-
que $ecundùm eandem con$tructionis regulam inveniri po{$s}int. Præ-
terea, quoniam æquationes frequenter fractionibus & $urdis numeris
involutæ occurrunt, aut ip$æ etiam prolixos numeros continent; quo fit, ut
aut minùs expeditè re$olvantur feliciterque explicentur, aut ut non ni$i
opero$iorem in re$olvendo indu$triam requirant: docet deinceps, quo
pacto ad evit andas fractiones illas atque $urdos numeros, $icut etiam ad
tran$mutandos va$tos illos numeros in facilioxes, radices earum multi-
plicari aut dividi po{$s}int per quantitatem aliquam cognitam $ive nume-
rum. Id quod in$ervire in$uper pote$t ad inveniendas radices proximas
veris, alioquin irrationales; quemadmodum etiam ad reddendam quan-
titatem cognitam alicujus termini in æquatione æqualem cuidam alteri
datæ. Cæterùm ne quid de$it, quod ad intelligendas radices alicujus æ-
quationis requiratur, o$tendit ip$as interdum $ive veras $ive fal$as $o-
lummodo imaginarias e$$e. It a ut, licèt $emper in qualibet æquatione
tot talesque, quales $upra diximus, imagin ariliceat, nonnunquam ta-
men nullam reperiamus quantitatem, quæ aliquibus ex ip$is re$pondeat.</p>
<p it>Po$tquam igitur ea, quæ ad æquationum recognitionem atque emen-
dationem pertinent, expo$ita $unt, & quidem ex æquationum cognitio-
ne (ut $upra admonuimus) dependeat quoque Problematum cognitio,
acprout æquatio e$t vel Quadr ata, vel Cubica aut Quadrato-quadra-
ta, vel Surde$olida aut Quadrato-cubica, vel plurium denique dimen-
$ionum, Problema, quod ad ip$am reducitur, dicatur vel Planum, vel
Solidum, & c; illudque exinde con$trui queat vel per rectas lineas &
Circulos, vel per Sectiones Conicas, vel per lineam curvam uno vel
pluribus gradibus magis compo$itam: Hinc, priu$quàm ad æqua-
tionum re$olutionem accedit, ac Problema propo$itum ex proprio. $uo

<pb 280>[300]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
Linearum genere $olvit, tradit, quo pacto po$t tran$mutationes requi$i-
tas, quando Problema e$t Planum & æquatio ad Cubum aut Quadrato-
quadratum ad$cendit, ip$a dividi atque reduci po$sit ad Quadratum,
it a ut deinde regulæ ac circini beneficio, $icut primo libro mon$tratum
fuit, re$olvi queat; ac denique quid in genere ob$ervandum $it circare-
liquas $uperiores æquationes. It a ut po$t in$titut as illas divi$iones, quan-
do æquatio ad tres quatuorve dimen$iones a$$urgit ip$aque ampliùs di-
vidi nequit, a$$erere liceat, Problema, quod ad æquationem illam perdu-
ctum fuit, Solidum exi$tere, nec inde minus vitium reputandum e$$e,
illud per rectas lineas & circulares expedire velle, quàm adhibere Coni-
eas $ectiones in con$tructionem eorum, quæ per regulam & circinum $ol-
vi po$$unt.</p>
<p it>Quibus explicatis, accingit $e deinceps ad Solidorum Problematum
con$tructionem, po$tquam reducta $unt ad æquationem trium aut qua-
tuor dimen$ionum, & in æquatione $ecundus terminus e$t $ublatus. Eâ-
que it a præparatâ, docet, unicâ regulâ ope Parabolæ facilè ac expeditè
po$$e con$trui. In quo $anè eximium atque $ummi ejus ingenii artifi-
cium elucet, à nullo (quòd $ciam) ante vel excogitatum vel o$ten$um.
Cæterùm ut hujus regulæ facilit as ac u$us in Solidorum Problematum
con$tructionibus eniteat, ip$am deinde, in $olvendis nobili$simis bi-
nïs illis, ac celebratis, nec non antiquitùs u$que adeò agit at is Proble-
matis; altero $cilicet de duabus mediis proportionalibus inter duas da-
tas inveniendis; altero autem de dividendo angulo in tres æquales par-
tes, adhibet. Quæ breviùs expeditiu$que, quàm ab aliquo hactenus
o$ten$um e$t, $olius Circuli & Parabolæ ope, $cientificè atque Geometri-
câ ratione re$olvit. Vbi tandem declarat (quod animad ver$ione di-
gnum) in Problematibus Solidis omnibus, po$tquam ad æquationem
trium quatuorve dimen$ionum reducta $unt, non $ecus hanc regulàm
ad explic and as earum radices requiri, quàm quatenus ip$a adhibenda
e$t ad inveniendas duas medias proportionales inter duas dat as lineas;
aut ad $ecandum datum angulum in tres æquales partes. Quandoqui-
dem natura illarum non $init, ut terminis $implicioribus, quàm per certa
quædam Cuborum latera, quorum contentum cogno$citur, aut per $ub-
ten$as quorundam arcuum, quorum triplum datum e$t, exprimantur;
neque etiam per con$tructionem aliquam, quæ $imul generalior & $im-
plicior $it, determinentur.</p>
<p it>Finitâ verò Solidorum Problematum con$tructione, aggreditur demum
Surde$olidorum con$tructionem, hoc e$t, eorum quæ ad æquationem 5 aut
6 dimen$ionum reducuntur, & ad quarum con$tructionem curva linea
adhibenda e$t, quæ unogradu magis e$t compo$it a quàm $ectiones Conicæ.

<pb 281>[301]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
Quam ut breviter ac unius regulæ beneficio re$olvere doceat, ob$ervari
vult ea, quæ $upra monuimus, nimirum ut æquationes quinque dimen-
$ionum attollantur ad $ex dimen$iones, ip$æque demum, $i opùs e$t, trans-
mutentur in alias, quarum radices omnes $int veræ. Qualem autem &
quantum in hi$ce Problematis con$truendis Geometram $e prodiderit
Auctor, $anè $i id ip$um ex $uperioribus per$picere cuipiam non contige-
rit, illud demum vel ex hac $ola artificio$i$$ima atque planè $tupenda
eorum con$tructione Geometrica, antea ne cogitata quidem, nedum
inventa, latêre ip$um non pote$t. E quibus tandem colligere licet, quòd,
po$t quam omnia Geometriæ Problemata ad unum qua$i Problema re-
vocata fuerint, quod e$t, ut quæratur tantummodo longitudo quarun-
dam linearum rectarum, quæ alicujus æquationis $int radices, reductis-
que ad eandem con$tructionem, quæ eju$dem generis exi$tunt, tradita
$imul $it via eadem re$olvendi. Adeò ut nullum Problematam difficile
velarduum, modò æquationem 5 aut 6 dimen$ionum non excedat, re-
periri queat, quòd hujus Geometriæ Methodo $olvi $eu con$trui non
po$$it.</p>
<h>COMMENTARII
_IN_
LIBRVM TERTIVM.</h>
<p>VE<sc>R ÙM</sc> _$æpè accidit, quòd quædam_
<mgr>A</mgr>
_harum radicum $int fal$æ, $eu mino-_
_res quàm nihil: ut, $i $upponatur x_
_de$ignare quoque defectum alicujus_
_quantitatis, puta 5_.] Hoc e$t, quòd <math>x</math>
æ quetur - 5, vel <math>x + 5</math> $it æquale o. Quod
non ineptè explicatur per eum, qui plus de-
bet quàm e$t $olvendo; vel, cùm id, quod reliquatur, de$igna-
mus per -. Quò referenda e$t jucunda atque ingenio$a quæ$tio,
à laudati$$imæ memoriæ, Mauritio, Principe Auriaco, atque Con-
fœderati Belgii gubernatore, olim excogitata, quam Ampli$$i-
mus & Prudenti$$imus Vir D. Henricus Stevinus, Simonis filius,

<pb 282>[302]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
Dominus in Alphen, paternarum virtutum hæres unicus, ex plu-
ribus monumentis, ad vitam communem utili$$imis, & publicâ
luce digni$$imis, quæ inter adver$aria parentis po$$idet, pro $ua
liberalitate mihi communicavit.</p>
<p>A & B, $ocietatem ineuntes, lucrati $unt 12 aureos;
quorum A expendit aureos 5; B autem debet aureos 2,
hoc e$t, habet - 2 aureos. Quæritur quantum utrique
ex $umma debeatur? Re$pondetur, $olvendos e$$e à B
ip$i A, 8 aureos, quamvis lucrum hîc e$$e $it manife$tum.</p>
<p>Aliud exemplum de damno.</p>
<p>Per$onæ duæ A & B jacturam faciunt 12 aureorum,
hoc e$t, habent - 12 aur. Cùm igitur A contribuit 5
aur., & <math>B - 2</math> aur., manife$tum fit, ip$i A ex natura
quæ$tionis deberi - 20 aureos, & ip$i <math>B + 8</math> aur., hoc
e$t, B habebit 8 aureos; etiam$i jacturam factam e$$e
con$tet.</p>
<p>Quamvis autem non $it u$itatum, ut qui aliquid habet in bonis
$ocietatem ineat cum eo, qui minus habet quàm nihil; tamen ca-
$us occurrere po$$unt, in quibus hoc contingit. Exempli gratiâ:
Duo mercatores Am$telodami habitantes habent qui$que in$ti-
torem $uum Venetiis, & quia in$titoribus i$tis non $atis fidunt,
$ciuntque inter ip$os e$$e inimicitias, mandant illis per literas, ut
$ibi invicem rationem reddant omnis pecuniæ, ad dominos $uos
pertinentis, quam penes $e habebunt eo tempore, quo literas
i$tas accipient; atque $i unus fortè aliquid debeat, ut hoc ex alte-
rius pecunia $olvatur, & cum re$iduo ita mercaturam faciant, ut
unus nihil emat vel vendat, ni$i cum alterius con$en$u. Ip$i autem
mercatores qui certò non $ciunt, quid Venetiis eo tempore $int
habituri, quo literæ i$tæ eò pervenient, talem inter $e $ocietatem
ineunt, ut qui$que lucrum aut damnum pro ratione pecuniæ, quam
tunc habuerit, $it accepturus. Quibus po$itis, $i contingat unum
habere 5000 aureos, alium verò debere 2000 aureos, his 2000
ex alterius pecunia per$olutis, tria tantùm aureorum millia pro
mercibus emendis remanebunt; ex quibus $i lucrum fiat duode-
cim millium aureorum, quod e$t quadruplum pecuniæ: $equitur
ex vi $ocietatis illum qui habuit 5 millia debere 20 millia lucrari,

<pb 283>[303]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
& alium 8 millia amittere. Contra verò $i damnum $it 12 mil-
lium, qui habuit 5 millia debet amittere 20 millia, quadruplum
nempe $uæ pecuniæ; alius autem 8 millia lucrari debet, propterea
quòd à priori $ump$erit 2 millia, quæ $i emendis mercibus im-
pen$a fui$$ent, damnum 8 millium ei attuli$$ent.</p>
<p>Porrò radices hæ fal$æ non inconvenienter in Geometria ex-
plicantur retrogrediendo, hoc e$t, ut, quæ de$ignantur<?> per -, re-
trocedant, $icut illæ, quæ denotantur per <math>+</math>, progrediuntur. Cu-
jus rei exemplum po$t videbitur.</p>
<p>In$ervit autem earum cognitio ad inveniendas veras radices,
quippe, fal$is cognitis, æquationes facilè divi$ionis ope ad paucio-
res dimen$iones reducuntur, ex iisque veræ eruuntur. Cujus rei
exemplum in $equentibus habebitur.</p>
<p>Accedit & hoc, quòd, po$tquam tam fal$æ quàm veræ radices
alicujus æquationis fuerint inventæ, earum beneficio ad plenam
totius quæ$tionis cognitionem atque $olutionem perducamur, &
ca$us nonnullos detegamus, de quibus nobis antea nihil certi con-
$tabat. Cujus rei exemplum $equentia itidem $uppeditabunt.</p>
<p>_Vnde liquidò con$tat, quòd Æquationis $umma, quæ_
<mgr>B</mgr>
_plures radices continet, dividi $emper po$$it per bino-_
_mium, quod compo$itum e$t ex quantitate incognita, minus_
_valore alicujus ex veris radicibus, quæcunque illa tan-_
_dem $it, aut plus valore alicujus ex fal$is.]_ Hoc enim ex
Æquationis, quæ plures radices admittit, con$titutione manife-
$tum e$t: cum æquatio quævis producatur ex $uis radicibus, in $e
invicem ductis. Quemadmodum ab Authore fuit explicatum.
Vnde fit, ut rur$us per illas dividi po$$it, cum id, quod multipli-
catione componitur, rur$us divi$ione re$olvatur.</p>
<p>Sic $i ponatur <math>x = a</math>, hoc e$t, <math>x - a = o</math>, & rur$us <math>x = b</math>, hoc
e$t, <math>x - b = o</math>, & denique <math>x = c</math>, hoc e$t, <math>x - c = o</math>, atque mul-
tiplicemus <math>x - a = o</math> per <math>x - b = o</math>, & rur$us productum per
<math>x - c = o</math>: exurget Æquatio <math>x^3 - axx + abx - abc = o.</p>
<tb>
-_b_ # +_bc_
-_c_ # +_ac_
</tb>
<p>Quæ dividi pote$t per <math>x - a = o</math>, per <math>x - b = o</math>, & per <math>x - c = o</math>;
$ed non per <math>x</math> plus vel minus ullâ aliâ quantitate. Si autem eadem
æquatio rur$us multiplicetur per <math>x + d = o</math>, ($upponendo <math>x</math> de$i-

<pb 284>[304]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
gnare quoque defectum alicujus quantitatis, utpote <math>d</math>, hoc e$t,
<math>x</math> æquari - <math></math>) producetur Æquatio
<math>x^4 - ax^3 + abxx - abcx - abcd = o</math>. Quæ dividi pote$t
<tb math>
-b # +bc # +abd
-c # +ac # +bcd
+d # -ad # +acd
 # -bd # 
 # -cd # 
</tb>
per <math>x - a = o</math>, per <math>x - b = o</math>, per <math>x - c = o</math>, & per <math>x + d = o</math>,
& non per <math>x</math> plus vel minus ullâ aliâ quantitate.</p>
<p>_Cujus divi$ionis ope dimen$iones ejus in tantum dimi-_
<mgl>C</mgl>
_nuuntur_.] Sic dividendo æquationem præcedentem, quatuor
dimen$iones habentem, per <math>x + d = o</math>, orietur Æquatio
<math>x^3 - axx + abx - abc = o</math>. In quâ incognita quantitas tres
<math>-b + bc</math>
<math>-c + ac</math>
duntaxat dimen$iones habet. Quâ rur$us divisâ per <math>x - c = o</math>, pro-
dibit <math>xx -a\\-b x + ab = o</math>, æquatio duarum dimen$ionum. Quæ denuo
per <math>x - b = o</math> divi$a exhibet <math>x - a = o</math>, æquationem $implicem.</p>
<p>Vnde per$picere licet, quâ ratione, in qualibet Æquatione,
plures radices habente, quantitas cognita $ecundi termini, æqua-
lis $it $ummæ omnium radicum; & quantitas cognita tertii ter-
mini, æqualis $ummæ productorum ex $ingulis binis; & quantitas
cognita quarti termini, æqualis $ummæ productorum ex $ingulis
ternis, atque ita porrò; at verò quantitas cognita ultimi termini
$ive ip$e ultimus terminus, æqualis producto ex omnibus.</p>
<p>Sic cum in æquatione <math>x^3 - 9xx + 26x - 24 = o</math> tres $int
radices 2, 3, & 4, quæ de$ignantur per <math>a</math>, <math>b</math>, & <math>c</math>: erit earum $um-
ma 9, quæ denotatur per <math>-a - b - c</math>, æqualis - 9, quantitati
cognitæ $ecundi termini <math>- 9xx</math>. Summa autem productorum
ex $ingulis binis 26, quæ denotatur per <math>+ ab + bc + ac</math>, æqua-
lis + 26, quantitati cognitæ tertii termini <math>+ 26 x</math>. Et productum
ex ip$is tribus, 24, quod denotatur per <math>- abc</math>, æqualis - 24,
quantitati cognitæ ultimi termini, $ive ip$i ultimo termino.</p>
<p>Eodem modo, $i fuerit Æquatio talis: <math>x^4 - 4x^3 - 19xx +
106x - 120 = o</math>, cujus radices $unt 2, 3, 4, & - 5, atque
de$ignantur per <math>+ a, + b, + c, & - d</math>: di$ponatur ip$a, ut termi-

<pb 285>[305]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBR VM</sc> III.</rh>
ni, in quibus incognita quantitas <math>x</math> pares dimen$iones habet, u-
nam con$tituant æquationis partem, & reliqui alteram, hoc mo-
do: <math>x^4 - 19xx - 120 = 4x^3 - 106x</math>. Eodem videlicet quo
hæc: <math>x^4 + abxx - abcd = + ax^3 + abcx</math>. Præ$tat enim
<tb math>
+bc # +b # -abd
+ac # +c # -bcd
-ad # -d # -acd
-bd # # 
-cd # # 
</tb>
illam hîc ita con$iderare, ut ea, quæ proponuntur, meliùs expli-
centur: quoniam hoc pacto radices, earumque producta $imul
addita omnino cum quantitatibus cognitis terminorum æquatio-
nis, eorumque $ignis conveniunt. Et manife$tum e$t, $ummam
harum radicum efficere <math>+ 4</math>, & æqualem e$$e <math>+ 4</math>, quantitati co-
gnitæ $ecundi termini <math>4 x^3</math>. Deinde $ummam productorum ex
$ingulis binis efficere - 19, & æqualem e$$e - 19, quantitati
cognitæ tertii termini 19 <math>x x</math>. Po$tea $ummam productorum ex
$ingulis ternis efficere - 106, & æqualem e$$e - 106, quanti-
tati cognitæ quarti termini 106 <math>x</math>. Denique productum ex ip$is
omnibus in $e invicem ductis efficere - 120, & æqualem e$$e
- 120, quantitati cognitæ ultimi termini, $ive ip$i ultimo termi-
no 120. Quæ porrò, quo pacto intelligenda $int de Æquationi-
bus, in quibus non omnes termini extant, docebit appendix de
Cubicarum Æquationum re$olutione, quam hi$ce Commentariis
$ubjunximus, ubi i$ta fu$iùs pertractantur.</p>
<p>_Ex quibus etiam cogno$citur, quot veræ & quot_
<mgr>D</mgr>
_fal$æ radices in unaquaque Æquatione haberi po$-_
_$int. Nimirum, tot in ea veras haberi po$$e, quot_
_variationes reperiuntur $ignorum + & -; & tot_
_fal$as, quot vicibus ibidem deprehenduntur duo $i-_
_gna +, vel duo $igna -, quæ $e invicem $equuntur_.]
Notandum, hæc concernere æquationes, quæ producuntur ex
$uis radicibus, in $e invicem ductis, quemadmodum pag. 69 & 70
e$t o$ten$um, quod & de cæteris regulis, ubi $ignorum + & - fit
mentio, e$t ob$ervandum. Vt $atis declarant priora verba: _Ex qui-_
_bus etiam cogno$citur_. quæ horum verborum cum prioribus cohæ-
rentiam demon$trant: cum aliàs fieri po$$et, ut in qualibet Æqua-
tione non tot radices haberentur, quot incognita quantitas habet

<pb 286>[306]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
dimen$iones; neque tot veræ, quot in ea reperiuntur variationes
$ignorum + & -; aut tot fal$æ, quot vicibus deprehenduntur
duo figna + vel duo $igna -, quæ $e invicem $equantur.</p>
<p>Vt in æquatione <math>x^3 - 6xx + 13x - 10 = o</math>, quæ non pro-
ducitur ex multiplicatione trium radicum, ut fit pag. 69 & 70,
$ed tantùm ex multiplicatione æquationis impo$$ibilis <math>xx - 4x
+ 5 = o</math> per <math>x - 2 = o</math>. Vnde $it, quòd, licèt in æquatione pro-
po$ita tres concipiantur veræ radices, tamen una tantùm ex illis $it
realis, nimirum 2, & reliquæ duæ non ni$i imaginariæ, quarum
valor nullo modo comprehendi pote$t.</p>
<p>Quæ autem dicta $unt de æquationibus, quæ ex radicibus $uis
in $e invicem ductis procreantur, non tantùm referenda $untad
æquationes completas, hoc e$t, in quibus omnes termini extant,
ut in exemplo ab Authore allato; $ed etiam de incompletis, ubi
unus vel plures termini de$unt.</p>
<p>Vt $i habeatur <math>z^3 = * - pz + q</math>, & $cire velim, po$tquam mul-
tiplicatione productam $uppo$uerim, quot admittat veras radices,
& quot fal$as; $cribo <math>z^3 = o zz + pz - q = o</math>. Deinde $upponen-
do o <math>z z</math> e$$e primò $igno + adfectum (perinde enim e$t, $ive illum
$igno + $ive $igno - adfectum concipias): invenio, propter ter-
minos <math>+ z^3 & + o zz</math>, eodem $igno affectos, $tatuendam e$$e u-
nam fal$am radicem: $imiliter, propter terminos <math>+ o zz & + pz</math>,
eodem rur$us $igno adfectos, $tatuendam e$$e alteram fal$am: ac
denique, propter terminos <math>+ px & - q</math>, diver$is $ignis notatos,
ponendam e$$e unam veram radicem. Po$tea, $upponendo $ecun-
dum terminum $igno - adfici: erit, propter terminos <math>+ z^3 &
- o zz</math>, diver$is $ignis notatos, una vera radix: &, propter termi-
nos <math>- o zz & + pz</math>, qui diver$a po$$ident $igna, altera vera: ac
denique, propter terminos <math>+ pz & - q</math>, etiam diver$is $ignis de-
$ignatos, tertia radix vera. Adeò ut ex prima $uppo$itione eliciam
duas fal$as & unam veram, at ex $ecunda tres veras. Quas $ic de-
$igno: Verùm, quoniam, $upponendo $ecundum terminum affe-
<fig>
<var>1. 2. f v f v v v</var>
</fig>
ctum e$$e $igno $ive + $ive -, certò $cimus, nihil in
propo$ita æquatione mutari: ideo, ut hæc regula mul-
tiplicationem, quâ æquatio allata producta fuerit,
nos edoceat: radices illas inter $e confero. Vnde,
cum deprehendam duas tantùm e$$e, quæ con$entiunt, easque
veras; reliq uas autem, quomodocunque collatio in$tituatur, ne-

<pb 287>[307]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
quaquam con$onare: concludo æquationem propo$itam explica-
bilem tantùm e$$e de unica radice vera, & reliquas duas non ni$i
imaginarias exi$tere; neque ip$am æquationem magis ex multi-
plicatione trium radicum productam e$$e, quàm $uperiorem
<math>x^3 - 6xx + 13x - 10 = o</math>.</p>
<p>Eodem modo, $i habeatur <math>z^3 = * - pz - q</math>, $eu <math>z^3 = o zz
+ pz + q = o</math>: invenio è priori $uppo$itione tres fal$as radices;
è po$teriori verò duas veras & unam fal$am. Quibus inter $e col-
<fig>
<var>1. 2. _f v f v f f_</var>
</fig>
latis, ut con$en$us earum appareat, invenio, æquatio-
nem propo$itam unam tantùm admittere radicem,
nempe fal$am; duasque reliquas e$$e imaginarias: ac
proinde æquationem non po$$e procreari multiplica-
tione trium radicum.</p>
<p>Similiter, $i fuerit <math>z^3 = * + pz + q</math>, $eu <math>z^3 = o zz - pz - q = o</math>;
quoniam è priori $uppo$itione invenio duas fal$as & unam veram
<fig>
<var>1. 2. _f v v f f f_</var>
</fig>
radicem; & è po$teriori duas itidem fal$as & unam
veram: cogno$co, æquationem propo$itam, multi-
plicatione trium radicum, quarum duæ $unt fal$æ &
una vera, produci po$$e.</p>
<p>Non $ecus, $i habeatur <math>z^3 = * + pz - q</math> $eu <math>z^3 = o zz - pz
+ q = o</math>; video in priori $uppo$itione reperiri duas veras radices,
<fig>
<var>1. 2. _f v v f v v_</var>
</fig>
cum una fal$a, atque in po$teriori $imiliter duas ve-
ras, & unam fal$am: adeo ut concedendum $it, ip$am
procreari po$$e ex multiplicatione trium radicum, qua-
rum duæ $unt veræ, & tertia fal$a. Idem de aliis $en-
tiendum. Vbi notandum, radices veras & fal$as alicujus æquatio-
nis $emper e$$e reales, $eu exi$tentes, hoc e$t, quantitatem ali-
quam aut defectum quantitatis de$ignantes, quarum valor A rith-
meticè vel Geometricè exprimi pote$t; imaginarias verò non
item. Vt in æquatione <math>xx - 4x + 5 = o</math>. Quamvis enim in ea
duas nobis imaginari po$$imus radices; tamen nulla iis re$pondet
quantitas; nec, quocunque tandem modo vel augeantur, vel di-
minuantur, aliæ quàm imaginariæ fieri po$$unt. Quod $anè nemi-
ni mirum videbitur, modò ex iis, quæ pag. 165 explicuimus, in-
tellexerit, æquationem propo$itam e$$e impo$$ibilem; neque ul-
lam veram nec fal$am radicem admittere, adeoque nec quantita-
tem aliquam, quæ ip$is re$pondeat, inveniri po$$e. Ni$i velis, ra-
dices ejus e$$e <math>x = 2 + √ - 1</math>, & <math>x = 2 - √ -1</math>, quarum certè

<pb 288>[308]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
valor nullo modo comprehendi pote$t. Non magis quàm $i illa-
rum quantitatem Geometricè invenire velimus. Quandoquidem
in figura p. 7, de$cribendo ex centro N, intervallo lineæ <math>N L = 2</math>,
(utpote æqualis $emi$$i ip$ius 4, qua titatis cognitæ $ecundi ter-
mini) circulum L Q R, faciendoque rectam <math>L M = √ 5</math> (utpote
æqualem radici quadratæ ultimi termini 5); circulus de$criptus
L Q R neutiquam $ecare aut tangere pote$t rectam M R, quæ ip$i
L M ducitur perpen dicularis, ad duas in ea radices de$ignandas.</p>
<p>Idem de altioribus æquationibus e$t intelligendum pag. 85, 86,
& 87, cùm Circulus centro E de$criptus Parabolam F A G $eca-
re aut tangere nequit; ut & pag. 99, cùm Circulus C N Q cur-
vam A C N neutiquam vel tangit vel $ecat.</p>
<p>_Nimirum mutando $igna omnia + & -, quæ in 2<_>do</_>, 4<_>to</_>,_
<mgl>E</mgl>
_6<_>to</_>, aliisve locis reperiuntur, qui per numeros pares_
_de$ignantur; reliquis 1<_>mi</_>, 3<_>tii</_>, 5<_>ti</_>, $imiliumque locorum,_
_qui per impares numeros de$ignantur, non mutatis_.]
Quæ locum quoque habent in æquationibus incompletis, ubi
quidam ex imparibus locis de$unt, qui cyphrâ $unt $upplendi. Vt
$i fuerit <math>x^3 = * - 8x - 24</math> $eu <math>x^3 = o xx + 8x + 24 = o</math>, mu-
tando $igna + & - $ecundi & quartiloci in contraria, fit æquatio
<math>x^3 = o xx + 8x - 24 = o</math>, $eu <math>x^3 = * - 8x + 24</math>, cujus ra-
dix e$t <math>x = 2</math>, unde radix prioris fit <math>x = - 2</math>.</p>
<p>Eodem modo $i $it <math>x^3 = * 1201x + 14400</math>, $eu <math>x^3 = o xx
- 1201x - 14400 = o</math>, mutatis $ignis 2<_>di</_> & 4<_>ti</_> loci, fiet æqua-
tio <math>x^3 = oxx - 1201x + 14400 = o</math>, $eu <math>x^3 = * 1201x - 14400</math>,
cujus radices $unt <math>x = 25</math>, & <math>x = √ 732 {1/4} - 12 {1/2}</math>, nec non
<math>x = - √ 732 {1/4} - 12 {1/2}</math>. Vnde radices prioris erunt <math>x = - 25</math>, &
<math>x = 12 {1/2} - √ 732 {1/4}</math>, nec non <math>x = 12 {1/2} + √ 732 {1/4}</math>. Et $ic de aliis.</p>
<p it>Vnde $i $cribamus $ummam præcedentem, $ub$tituen-
<mgl>F</mgl>
do ubique y pro x, invenietur</p>
<p><math>{y^4 - 12y^3 + 54yy - 108y + 81 \\
+ 4y^3 - 36yy + 108y - 108 \\
- 19yy + 114y - 171 \\
- 106y + 318 \\
- 120/y^4 - 8y^3 - 1yy + 8y * = o, <rom>vel</rom> y^3 - 8yy - 1y + 8 = o}</math>.
_Vbiveraradix, quæ er at 5, jam e$t 8, propter ter-_

<pb 289>[309]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
_narium ip$i additum_.] Notandum hîc e$t, quòd, dum, augendo
ternario veram radicem æquationis propo$itæ <math>x^4 + 4x^3 - 19
xx - 106x - 120 = o</math>, in æquationem incidimus, tres tantùm
dimen$iones habentem, cujus ideo non ni$i tres $unt radices, nu-
merus 3, quo vera radix æquationis propo$itæ e$t aucta, $it æqua-
lis alicui ex fal$is radicibus, ut liquet ex iis, quæ ab Autore p. 72
paulò po$t explicantur. Ita, quoniam, diminuendo ternario veras
radices æquationis <math>x^4 - 4x^3 - 19xx + 106x - 120 = o</math>, in-
cidimus in æquationem <math>y^4 + 8y^3 - 1yy - 8y* = o</math>, vel <math>y^3
+ 8yy - 1y - 8 = o</math>, innote$cit, unam ex veris radicibus
e$$e 3. Et $ic de aliis.</p>
<p>_Nimirum, diminuendo veras radices, quantitate_
<mgr>G</mgr>
_cognitâ $ecundi termini divisã per numerum dimen$io-_
_num primi, $iunus ex hi$ce duobus terminis not atus fue-_
_rit $igno + & alter $igno -_.] Vel etiam hoc modo: _Ni-_
_mirum, diminuendo quantit at em cognitam $ecundi_
_termini divi$am per numerum dimen$ionum primi, u-_
_naquâque ver arum radicum, $iunus ex hi$ce duobus ter-_
_minis notatus fuerit $igno_ + & _alter $igno_ -. Vt ad
tollendum $ecundum terminum Æquationis <math>x^4 - 2ax^3 + {2aa \\ - cc}
xx - 2a^3x + a^4 = o</math>, divido 2<math>a</math> per 4, & provenit <math>{1/2} a</math>: unde
faciendo <math>{1/2} a - x = z</math>, hoc e$t, <math>{1/2} a - z = x</math>, $cribendum e$t
<tb math>
 # + {1/16} a^4 - {1/2} a^3z + {3/2} aazz - 2az^3 + z^4 # <rom>pro</rom> # x^4
<rom>&</rom> # - {1/4} a^4 + {3/2} a^3z - 3aazz + 2az^3 # <rom>pro</rom> # -2ax^3
<rom>&</rom> # + {1/2} a^4 - 2a^3z + 2aazz # <rom>pro</rom> # +2aaxx
<rom>&</rom> # - {1/4} aacc + accz - cczz # <rom>pro</rom> # - ccxx
<rom>&</rom> # - a^4 + 2a^3z # <rom>pro</rom> # - 2a^3x
<rom>tum</rom> # +a^4 # , & ex$urget
 # + {5/16} a^4 + a^3z + {1/2} aazz * + z^4 = o, æquatio,
 # - {1/4} aacc + acc - cc
</tb>
$ecundo carens termino, & ab illa Autoris differens tantùm in
quarto termino, qui hîc per + denotatur, & illic per -. Vnde
fit, ut per ea, quæ pag. 70 $unt o$ten$a, æquationes hæ in eo tan-
tùm inter $e differant, quòd fal$æ illius æquales $int veris hujus, &
contra, atque ita radicum mutua $it reciprocatio. Quod in aliis
quoque evenire reperietur.</p>

<pb 290>[310]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Vbi porrò operæ pretium e$t con$iderare, quòd, tollendo $e-
cundum terminum Æquationis <math>x^4 + 2ax^3 + 2aa \\ - cc xx - 2accx -
aacc = o</math>, (quæ quidem invenitur, cùm pro linea C E in quæ-
$tione pagin. 83 ponitur <math>x</math>) in eandem incidamus Æquationem,
quam invenimus tollendo $ecundum terminum præcedentis
<math>x^4 - 2ax^3 + 2aa \\ - cc xx - 2a^3x + a^4 = o</math>, quæ ab illa omnino
e$t diver$a, re$ultans ex inve$tigatione lineæ D F.</p>
<p>Deinde animadver$ione dignum e$t, quòd hâc $ublatione $e-
cundi termini Æquationes pagin. 6 & 7 in faciliores $ic tran$mu-
tentur, ut earum radices $tatim $e prodant, nec aliâ regulâ ad eas
inveniendas opùs e$$e videatur. Etenim, tollendo $ecundum ter-
minum æquationis <math>zz = az + bb</math> $eu <math>zz - az - bb = o</math>, $i di-
vidatur <math>a</math> per 2, fit <math>{1/2} a</math>, ac ponatur
<math>z - {1/2}a = x</math>, $ive <math>z = x + {1/2} a</math>,
<tb math>
<rom>atque pro _zz_ reponatur</rom> xx + ax + {1/4} aa,
<rom>nec non pro - _az_</rom> # - ax - {1/2} aa,
<rom>& addatur</rom> # - bb:
</tb>
re$ultabit æquatio hæc <math>xx* - {1/4}aa - bb = o</math>, vel <math>xx = {1/4} aa + bb</math>,
cujus radix e$t <math>x = <r>{1/4}aa + bb</r></math>, vel <math>x = - <r>{1/4} aa + bb</r></math>.
Vnde $equitur radicem prioris æquationis <math>zz = az + bb</math> fore
<math>z = {1/2} a + <r>{1/4} aa + bb</r></math>, vel <math>z = {1/2} a - <r>{1/4} aa + bb</r></math>. Quæ ra-
dices, cum vera tum fal$a etiam inveniuntur tollendo $ecundum
terminum, hoc pacto: ponatur
<math>{1/2} a - z = x</math>, $eu <math>z = {1/2} a - x</math>
<math>{1/2} a - x</math>
<math>- {1/2} ax + xx</math>
<math>{1/4} aa - {1/2} ax</math>
<rom>& $cribatur</rom> <math>{1/4} aa - ax + xx</math><rom>pro</rom> _zz_,
<rom>atque</rom><math>{1/2} aa + ax</math> <math><rom>pro</rom> - az</math>,
<math><rom>tum</rom> - bb</math>
Et emerget Æquatio <math>- {1/4} aa - bb* + xx = o</math>, vel <math>xx = {1/4} aa
+ bb</math>. eadem quippe, quæ invenitur, ponendo <math>z = {1/2} a + x</math>
(quod $imiliter in reliquis $equentibus quadratis Æquationibus
locum habet), & fit, ut $upra, <math>x = <r>{1/2} aa + bb</r></math>, vel
<math>x = - <r>{1/4} aa + bb</r></math>; ac proinde <math>z = {1/2} a - <r>{1/4} aa + bb</r></math>, vel
<math>z = {1/2} a + <r>{1/4} aa + bb</r></math>.</p>

<pb 291>[311]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
<p>Eodem modo, quia auferendo $ecundum terminum Æquatio-
nis <math>yy = - ay + bb</math>, $eu <math>yy + ay - bb = o</math>, ponitur <math>y + {1/2} a = z</math>,
$ive <math>y = z - {1/2} a</math>,
<tb math>
<rom>atque pro _yy_ $cribitur</rom> <math>zz - az + {1/4} aa</math>,
<rom>& pro - _ay_</rom> # <math>+ az - {1/2} aa,</math>
<rom>atque deinde</rom> # <math>- bb:</math>
</tb>
prodibit æquatio <math>zz * - {1/4} aa - bb = o</math>, vel <math>zz = {1/4} aa + bb</math>,
cujus radix e$t <math>z = <r>{1/4} aa + bb</r></math>, vel <math>z = - <r>{1/4} aa + bb</r></math>: hinc
radix prioris erit <math>y = <r>{1/4} aa + bb</r> - {1/2} a</math>, vel <math>y = - <r>{1/4} aa + bb</r>
- {1/2} a</math>. Quæ quidem fal$a & vera radix invenitur quoque tollen-
do $ecundum terminum Æquationis hâc ratione: videlicet, $up-
ponendo <math>y</math> de$ignare etiam defectum alicujus quantitatis, quæ
major $it quàm <math>{1/2} a</math>, Exempli causâ, <math>y = - {1/2} a - z</math>,
<tb math>
<rom>& $ub$tituendo</rom> # {1/4} aa + az + zz # <rom>loco</rom> yy,
<rom>&</rom> # - {1/2} aa - az # <rom>loco</rom> + ay,
<rom>tum</rom> # - bb:
</tb>
unde fit Æquatio <math>- {1/4} aa - bb * + zz = o</math>, vel <math>zz = {1/4} aa + bb</math>,
cujus radix e$t <math>z = <r>{1/4} aa + bb</r></math>, vel <math>z = - <r>{1/4} aa + bb</r></math>;
atque adeò <math>y = - {1/2} a - <r>{1/4} aa + bb</r></math>, vel <math>y = - {1/2} a +
<r>{1/4} aa + bb</r></math>. ut ante. Quem modum, tollendi $ecundum termi-
num, tanquam diver$um ab eo, qui ab Authore pag. 73 e$t o$ten-
$us, notare potes, cùm primus & $ecundus terminus eodem $igno
+ vel - $unt adfecti.</p>
<p>Similiter, cum ad tollendum $ecundum terminum Æquationis
<math>zz = az - bb</math>, vel <math>zz - az + bb = o</math>, ponendum $it
<math>z - {1/2} a = x</math>, vel <math>z = x + {1/2} a</math>,
<tb math>
<rom>& $cribendum</rom> # <math>xx + ax + {1/4} aa</math> <rom>pro</rom> _zz_,
<rom>&</rom> # <math>- ax - {1/2} aa</math> <rom>pro</rom> <math>- az,</math>
<rom>& addendum</rom> # <math>+ bb:</math>
</tb>
proveniet Æquatio <math>xx* - {1/4} aa + bb = o</math>, vel <math>xx = {1/4} aa - bb</math>,
cujus radix e$t <math>x = <r>{1/4} aa - bb</r></math>, vel <math>x = - <r>{1/4}aa - bb</r></math>. Et fit
radix prioris <math>z = {1/2} a + <r>{1/4} aa - bb</r></math>, vel <math>z = {1/2} a - <r>{1/4} aa - bb</r></math>.
Quæ radix utraque vera e$t, & alio item modo inveniri pote$t, $i
nimirum ponatur <math>{1/2} a - z = x</math> $ive <math>z = {1/2} a - x</math>, & $ub$tituatur

<pb 292>[312]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<tb>
<math>{1/4} aa - ax + xx</math> <rom>in locum</rom> <math>zz,</math>
<math>& - {1/2} aa + ax</math> # <rom>in locum</rom> <math>- az,</math>
<rom>& addatur</rom> <math>+ bb</math>:
</tb>
ex$urget æquatio <math>- {1/4} aa + bb * + xx = o</math>, vel <math>xx = {1/4} aa - bb</math>,
cujus radix e$t <math>x = <r>{1/4} aa - bb</r></math>, vel <math>x = - <r>{1/4} aa - bb</r></math>. Et fit
prioris radix <math>z = {1/2} a <r>{1/4} aa - bb</r></math>, vel <math>z = {1/2}a + <r>{1/4} aa - bb</r></math>.
ut $upra.</p>
<p>Denique, quoniam tollendo $ecundum terminum Æqua-
tionis <math>zz = - az - bb</math>, vel <math>zz + az + bb = o</math>, ponendum e$t
<math>z + {1/2} a = x</math> $ive <math>z = x - {1/2} a</math>, & $ubrogandum
<math>xx - ax + {1/4} aa</math> in locum _zz_,
<math>& + ax - {1/2} aa</math> in locum + _az_,
atque addendum + _bb_:
producetur æquation <math>xx * - {1/4} aa + bb = o</math>, vel <math>xx = {1/4} aa - bb</math>,
cujus radix e$t <math>x = <r>{1/4} aa - bb</r></math>, vel <math>x = - <r>{1/4} aa - bb</r></math>. Vnde
radix prioris fit <math>z = <r>{1/4} aa - bb</r> - {1/2}a</math>, vel <math>z = - <r>{1/4} aa - bb</r> - {1/2}a</math>.
Quæ utraque hoc ca$u e$t fal$a, & hâc etiam viâ inveniri pote$t,
nimirum $upponendo <math>z</math> de$ignare quoque defectum alicujus
quantitatis, quæ major $it quàm <math>{1/2} a</math>, utpote ponendo <math>z = - {1/2}a - y</math>,
& $ub$tituendo
<tb math>
 # + {1/4} aa + ay # + yy <rom>loco</rom> zz,
<rom>&</rom> # - {1/2} aa - ay # <rom>loco</rom> + az,
<rom>tum addendo</rom> # + bb,
</tb>
unde provenit æquatio <math>- {1/4} aa + bb* + yy = o, <rom>vel</rom> yy = {1/4} aa - bb,</math>
cujus radix e$t <math>y = <r>{1/4} aa - bb</r></math>, vel <math>y = - <r>{1/4} aa - bb</r></math>;
atque adeò <math>z = - {1/2} a - <r>{1/4} aa - bb</r></math>, vel <math>z = - {1/2} a + <r>{1/4} aa - bb</r></math>.
ut ante.</p>
<p>Eâdem ratione tolletur $ecundus terminus reliquarum Æqua-
tionum quadratarum pag. 6 & 7, quæ $imiliter hâc operatione
eò reducentur, ut ad ip$arum radices inveniendas hæc regula $uffi-
cere videatur.</p>
<p>Verùm enimverò animadvertendum e$t, quòd, $icut Æquatio
<mgl>_Intellige_
_Æqua-_
_tiones, in_
_quibus_
_z<_>3</_> æqua-_
_tur due-_</mgl>
quælibet Quadrata compo$ita $ublatione $ecundi termini ad a-
liam reducitur, in qua duo tantùm $unt termini, $ic nulla Cubica
e$$e po$$it, pluribus terminis con$tans, (ex quibus 13 ca$us confi-

<pb 293>[313]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
ci po$$unt) quæ hâc ratione non reducatur $emper ad aliquam
<mgr>_bus aut_
_tribus_
_terminis,_
_per_ +,
_aut per_
+ & -,
_$imul_
_junctis._</mgr>
trium $equentium formularum:</p>
<p><math>z^3 = * - pz + q</math></p>
<p><math>z^3 = ^* + pz + q</math></p>
<p><math>z^3 = ^* + pz - q.</math></p>
<p>Idem de Quadrato-quadratis Æquationibus, quæ ex pluribus ter-
minis $unt compo$itæ, quarumque 42 diver$i modi extare po$-
$unt, e$t intelligendum. Cum enim per regulam pag. 79 expo$i-
tam ad Cubicas reduci queant, quarum radices duas habent di-
men$iones & termini omnes $unt completi, $ic nulla itidem earum
e$$e pote$t, quæ hâc $ublatione non reducatur ad aliquam trium
prædictarum formularum.</p>
<p>Sic po$tquam Æquatio Quadrato-quadrata 1 ℨℨ + 8 &
- 26 ℨ - 68 ᰕ - 84 = 0</math> per dictam regulam reducta e$t ad
Cubicam <math>x^6 - 100 x^4 + 2900 xx - 10000 = 0</math>, in qua omnes
termini $unt completi, tollitur $ecundus terminus, hoc modo:
Divi$is 100 per 3, fit <math>33{1/3}</math>. Vnde ponendo <math>xx - 33{1/3} = yy</math>, $ive
<math>xx = yy + 33{/3}</math>, $cribendum e$t</p>
<p><math>y^6 + 100 y^4 + 3333{1/3} yy + 37037 {1/27} pro x^6</math>,
& <math>- 100 y^4 - 6666{1/3} yy - 111111 {1/9} pro - 100 x^4</math>,
& <math>+ 2900 yy + 96666 {2/3} pro 2900 xx</math>,
<math>tum - 10000:</math>
fietque æquatio <math>y^6* - 433{1/3}yy+ 12592 {16/27} = 0, vel y^6 = *
+ 433 {1/3} yy - 12592{16/27}</math>, tertiæ formulæ. Vbi notandum, di-
men$ionum numerum primi termini <math>x^6</math> tantùm pro 3 haberi, cum
non $it <math>x^5</math>, <math>x^3</math>, & <math>x</math> in tota $umma. Id quod $imiliter in $ublatione
$ecundi termini æquationum Quadratarum, quarum radices
duas dimen$iones habent, e$t notandum. Quòd $i verò ponatur
<math>33{1/3} - xx = yy</math>, hoc e$t, <math>xx = 33{1/3} - yy</math>, prodibit Æquatio
<math>y^6 = ^* + 433{1/3}yy + 12592{16/27}</math>, $ecundæ formulæ, à præceden-
ti tantùm differens termino quarto, quiibi $igno + adficitur, hîc
verò $igno -. Vnde fit, quòd hujus æquationis fal$æ radices æ-
quales $int veris illius, & contra.</p>
<p>Ad augendum valorem verarum radicum, & ad faciendum, ut
<mgr>H</mgr>
radices omnes veræ evadant, $ciendum e$t, nos uti po$$e exemplo
ab Authore propo$ito pag. 74: nimirum, <math>x^6 + n x^5 - 6nnx^4
+ 36 n^3 x^3 - 216 n^4 xx + 1296 n^5 x - 7776 n^6 = 0</math>, tanquam
regulâ $eu canone, ad quantitatem, quâ veræ radices augendæ

<pb 294>[314]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
$unt, inveniendam, $icut annotavit Vir Nobili$$imus D. Gotho-
fridus ab Hae$trecht, Mathematum cultor eximius, hujusque
$cientiæ periti$$imus. Sienim, exempli causâ, propo$ita $it Æqua-
tio <math>x^6 + ax^5 + b x^4 - cx^3 - dxx + ex + f = o</math>, oportet, ne-
glectis omnibus terminis, in quibus $igna + & - diver$a $unt ab
iis, quæ in canone reperiuntur, nempe <math>b, c, & f</math>, con$iderare tan-
tùm omnes reliquos, ut <math>a, d</math>, & <math>e</math>. Vtpote <math>+ ax^5</math>, quia in canone
fhabetur <math>+ nx^5</math>; & <math>- dxx</math>, quia in <math>canone-216 n^4 xx</math>; nec non
+ ex, quia in <math>canone + 1296 n^5 x</math>. Qui quidem $eor$im con$ide-
randi $unt, & quærenda quantitas <math>n</math>, quæ non $it minor quàm <math>a</math>, quia
in canone habetur <math>n</math>, ubi in data Æquatione e$t <math>a</math>: & cujus quadra-
to-quadratum non $it minus quàm <math>{1/216}d</math>, quia in canone habetur
<math>216 n^4</math>, ubi in data Æquatione e$t <math>d</math>:nec non cujus $ur$olidum non
$it minus quàm <math>{1/1296} e</math>, quia in canone habetur <math>1296 n^5</math>, ubi in da-
ta Æquatione e$t <math>e</math>. Quantitate <math>n</math> $ic inventâ, manife$tè ex ip$a ope-
ratione demon$tratur, $i ponatur <math>y-6 n = x</math>, inventum iri Æqua-
tionem, in quâ nulla radix fal$a e$$e pote$t, ut in exemplo Autho-
ris. Quod Authori tam facilè vi$um fuit, ut id explicare neglexerit.</p>
<p>Ad multiplicationem radicum alicujus æquationis addatur
<mgl>I</mgl>
$equens exemplum. Proponatur æquatio <math>y^6 = * + 433{1/3}yy +
12592{16/27}</math>, cujus loco alia invenienda $it, cujus termini per nume-
ros integros exprimantur. Suppo$ito igitur <math>zz = {3/10}yy</math>, $cribatur
æquatio, hoc modo:
Et multiplicetur per nu-
<math>y^6 = 0 y^4 - 433 {1/3}yy - 12592{16/27} = 0.</math>
<rom>meros proportionales</rom> <math>I. {3/10}. {9/100}. {27/1000}./z^6 = oz^4 - 39 zz - 340 = 0, vel}</math>
<rom>fietque Æquatio</rom> <math>z^6 =* + 39zz + 340</math>, cujus radix <math>zz</math> ad præcedentis radi-
cem <math>yy</math> e$t, ut 3 ad 10.</p>
<p>Quæ radicum multiplicatio in$ervire etiam pote$t inveniendis
radicibus proximè veris, cùm ip$æ $unt irrationales. Vt, ad inve-
niendam veram radicem æquationis <math>y^3 = 200y + 400</math> (quæ ir-
rationalis e$t) quàm proximè, ita ut differentia mille$imâ parte
unitatis minor $it: $uppo$ito <math>z = 1000y</math>,
$cribo <math>y^3 🜶 0 yy - 200 y - 400 = 0</math>,
<rom>& multiplico per</rom> 1. 1000. 1000000. 1000000000</math>.
& ex$urget æquatio <math>z^3 🜶 ozz - 200000000z - 400000000000
= 0</math>, vel <math>z^3* - 200000000z = 400000000000</math>, cujus radix <math>z</math>
præcedentis radicis <math>y</math> e$t millecupla. Quocirca eliciendo radicem

<pb 295>[315]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
ex hac æquatione, methodo à Viëta tradita in tractatu de Nu-
mero$a Pote$tatum re$olutione, invenietur <math>z</math> major quàm 15052,
& minor quàm 15053. Quibus divi$is per 1000 (quia præceden-
tis radicem multiplicavimus per 1000), fiet <math>y</math> major quàm <math>15{52/1000}</math>,
& minor quàm <math>15{53/1000}</math>. adeò ut differentia inter hanc utramque
inventam & veram mille$imâ parte unitatis minor $it. Quod erat
inveniendum. Porrò quoniam æquatio propo$ita <math>y^3 = 200y +
400</math> duas adhuc admittit fal$as radices, quæ $imiliter $unt irratio-
nales, quia ip$a per <math>y + vel - nullo</math> numero ultimum terminum
dividente dividi pote$t, po$$unt eæ eâdem ratione inveniri, mu-
tato tantùm $igno + in -. Quarum equidem major excedet
<math>13{10/1000}</math>, & minor deficiet à <math>2{42/1000}</math>, componentes $imul veram in-
ventam <math>15{52/1000}</math>. Cæterùm, $icut æquationes ope multiplicationis
à fractionibus liberantur, atque ad faciliores reducuntur, ita quo-
que interdum licet ip$as beneficio divi$ionis, quando tam proli-
xos numeros continent, ut earum re$olutio non ni$i opero$iorem
indu$triam requirat, in faciliores tran$mutare. Vt $i fuerit æqua-
tio <math>x^3 = * + 203125x + 23437500</math>, & ejus loco alia de$ideretur,
quæ minoribus numeris exprimatur, dividenda e$t ip$a per nume-
ros proportionales <math>1. 125. 15625. 1953125,
<rom>hoc pacto:</rom> x^3 🜶 0xx - 203125x - 23437500 = 0,
1. 125. 15625. 1953125.
<rom>& prodibit æquatio</rom> y^3 🜶 0yy - 13y - 12 = 0</math>, vel <math>y^3 = * 13y
+ 12</math>, cujus radices <math>$unt + 4,- 3, & - 1</math>, quibus per 125 mul-
tiplicatis (quoniam prioris radices per 125 divi$imus) ex$urgent
radices <math>prioris + 500, - 375, & - 125</math>.</p>
<p>Vbi porrò notandum, quòd, po$tquam æquatio quælibet à
fractionibus aut $urdis numeris e$t liberata, atque in faciliorem
tran$mutata, fieri non po$$it, ut ulla ex hujus radicibus, $ive fal-
$is, $ive veris, $it numerus aliquis fractus. Quemadmodum facilè
ex 7<_>mo</_> Elementorum libro demon$trari pote$t. A deò ut, $i illa
deinde $icut pag. 77 e$t o$ten$um dividi nequeat, concedendum
$it, nullam ex radicibus $ive fal$is $ive veris numero explicari po$-
$e, $ed omnes e$$e irrationales.</p>
<p>Quibus ita con$titutis, ut pateat quo pacto hæ radices $urdis
numeris $int exprimendæ, vi$um fuit ea, quæ ab ingenio$i$$imo
Huddenio no$tro circa hæc excogitata $unt, in medium adducere.</p>
<p>Hinc ut inve$tigetur, quo pacto, exempli causâ, radices æqua-

<pb 296>[316]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
tionis <math>zz - az - bb = 0</math>, quæ per <math>z + vel - b = 0</math> dividine-
quit, per $urdas quantitates exprimi po$$int: $uppono primùm <math>z</math>
e$$e æqualis $implici alicui quantitati $urdæ, utputa, <math>√ x</math>, & fit
<math>z - √x = o</math>. Quam, ut ad æquationem quadratam eju$dem for-
mæ perducam, in qua $ecundus terminus e$t rationalis, multipli-
care debeo per <math>z + y + √x = o</math>. Sed quoniam $ic non producitur
æquatio, in qua etiam tertius terminus rationalis e$t, concludo
radices æquationis propo$itæ hoc modo non po$$e denotari $ive
exprimi. Idem fit $upponen do <math>z = - √x</math>.</p>
<p>Quocirca $tatuendo nunc <math>z = y + √x</math> $eu <math>z - y - √x = o</math>,
oportet ip$am, ut ad æquationem quadratam a$cendat, in qua rur-
$us $ecundus terminus $it rationalis, multiplicare per <math>z - y + √ x
= o</math>, & fit <math>zz - 2yz + yy = o</math>, æquatio eju$dem formæ cum al-
<math>- x</math>
lata, & in qua item tertius terminus rationalis e$t. Hinc compa-
rando $ecundum terminum unius cum $ecundo alterius invenio
<math>- 2y = - a</math>, hoc e$t, <math>y = {1/2}a</math>. Tertius autem terminus cum tertio
comparatus dat <math>yy - x = - bb</math>. In qua $i in locum _yy_ $ubroge-
tur <math>{1/4} aa</math>, habebo <math>{1/4}aa + bb = x</math>. Ac proinde cum pro quæ$itis
radicibus $uppo$uerimus <math>z = y + √ x</math>, & <math>z = y - √ x</math>, erunt ip$æ:
<math>z = {1/2} a + <r>{1/4}aa + bb</r></math>, & <math>z = {1/2}a - <r>{1/4}aa + bb</r></math>.</p>
<p>Eodem modo $i inve$tigare velimus, quo pacto radices æqua-
tionis indivi$ibilis <math>yy + ay - bb = o</math> per quantitates $urdas ex-
primi queant, $tatuatur (neglectâ $uppo$itione ip$ius <math>y = 🜶 √ x</math>)
<math>y = - z + √ x</math> $eu <math>y + z √ x = o</math>, eaque, ut ad æquationem
quadratam a$$urgat, in qua rur$us $ecundus terminus $it rationalis,
multiplicetur per <math>y + z + √ x = 0</math>, & fit <math>yy + 2zy + zz \\ - x = o</math>.
æquatio eju$dem formæ cum allata, & in qua etiam tertius termi-
nus e$t rationalis. Vnde comparando $ecundum terminum hujus
cum $ecundo illius invenitur <math>z = {1/2} a</math>. Tertius autem terminus
cum tertio comparatus dat <math>x = {1/4} aa + bb</math>. Atque adeò, cum pro
quæ$itis radicibus $uppo$uerimus <math>y = - z + √ x</math>, & <math>y = - z
- √ x</math>, erunt ip$æ: <math>y = - {1/2}a + <r>{1/4}aa + bb</r></math>, & <math>y = - {1/2}a -
<r>{1/4}aa + bb</r></math>.</p>
<p>Similter, inve$tigando num radices æquationis <math>zz - az + bb
= o</math>, quam per <math>z + vel - b = o</math> dividere non licet, per$urdas

<pb 297>[317]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
quantitates exprimi queant, invenitur <math>z</math> exprimi po$$e per <math>{1/2} a +
<r>{1/4}aa - bb</r></math>, & per <math>{1/2} a - <r>{1/4}aa - bb</r></math>. Eodem modo proce-
datur in altioribus æquationibus.</p>
<p>E quibus per$picuum fit, hac ratione inveniri quoque $impli-
ci$$imos $urdos numeros, quibus radices ha$ce exprimere licet,
atque ideo hinc etiam con$tare, quæ circa hæc à D<_>no</_> des Cartes
pag. 95 referuntur, nimirum: quòd natura harum radicum non
permittat, ut $implicioribus terminis exprimantur.</p>
<p>Vbi tandem etiam e$t advertendum, quòd, quantò partes è
quibus hæ radices componuntur pauciores numero exi$tunt, tan-
tò etiam quæ$itum faciliùs obtineri po$$it, ac proinde in altiori-
bus æquationibus conducere $ecundum terminum tollere, ita ut
deinde, $i res bene in$piciatur, perpauci ca$us $uperfuturi $int.</p>
<p>_Supponendum e$t_ <math>y = x√{3aa/bb}</math>, _deinde verò $cribendum_
<mgr>K</mgr>
<math>y^3* - 3a ay + {3a^3 c^3/b^3} √ 3 = o</math>.] Etenim po$itâ <math>y = x √ {3aa/bb}</math>
$ive <math>y = {ax/b} √ 3</math>; erit <math>x = {by/a√3}</math>, & <math>xx = {bbyy/3aa}</math>, & <math>x^3 = {b^3 y^3/3 a^3 √ 3}</math>.
Quæ $i in æquatione $ub$tituantur, habebitur <math>{b^3 y^3/3 a^3 √ 3} * - {b^3 y/^a√ 3}
+ c^3 = o</math>; hoc e$t, communi multiplicatore <math>3a^3√ 3</math>, fiet <math>b^3 y^3
* - 3aab^3 y + 3a^3 c^3 √ 3 = o</math>: ac proinde communi divi$ore <math>b^3</math>,
erit <math>y^3 * - 3aay - {3 a^3 c^3/b^3} √ 3 = 0</math>. Quod erat demon$tran-
dum.</p>
<p>_Etenim aut quantitas cognita bujus binomii erit ra_-
<mgr>L</mgr>
_dix quæ$ita; aut Æquatio, per ip$am divi$a, ad duas_
_dimen$iones erit reducta; ita ut deinde radix ejus, per_
_ea, quæ primo libro $unt o$ten$a, inveniri queat.]_
Sic æquatio $uperior pag. 76: <math>x^3 - 6xx + 13 x - 10 = 0</math> di-
vi$a per binomium <math>x - 2 = 0</math> dat æquationem impo$$ibilem
<math>xx - 4x + 5 = 0</math>, & fit radix quæ$ita 2. Sic æquatio <math>x^3 = 1201 x
+ 14400</math> $eu <math>x^3 🜶 0 xx - 1201 x - 14400 = 0</math> divi$a per <math>x</mah>
<mgr>_Vide hîc_
_po$t in_
_Appendi-_
_ce de Cu-_
_bic arum_
_æquatio-_
_num re$o-_
_lutione_.</mgr>
<math>+ 25 = 0</math> dat æquationem <math>xx - 25 x - 576 = 0</math> $eu <math>xx = 25 x
+ 576</math>, quæ juxta præcepta pag. 6 & 7 re$oluta o$tendit radicem
quæ$itam e$$e <math>12{1/2} + √ 732 {1/4}</math>.</p>
<p>Huc etiam refer reductionem Æquationum Quadratarum,
cùm Problema e$t Simplex.</p>

<pb 298>[318]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Vt$i, verbi gratiâ, habeatur æquatio <math>xx = ax + ab \\ + bb $eu xx -
<mgl>_Reductio_
_Æquatio-_
_num Jua-_
_dratarum,_
_cùm Pro-_
_blema e$t_
_Simplex_.</mgl>
- ax - ab \\ - bb = o</math>, poterit ea, inventis ip$ius <math>ab + bb</math> ultimi ter-
mini divi$oribus 1, <math>b, a + b</math>, & <math>ab + bb</math>, dividi per binomium
<math>x + b = 0</math>, oriturque <math>x - a - b = 0</math>. Id quod o$tendit, radicem
quæ$itam e$$e <math>= a + b</math>, & Problema, quod ad hanc æquationem
reducitur, e$$e Simplex, hoc e$t, con$trui po$$e ducendo tantùm
rectas lineas.</p>
<p>Eodem modo, $i fuerit <math>xx = {-aax + aa/a + 1}</math> $eu <math>xx + {aax/a+1} - {aa/a+1} = 0</math>,
quoniam, ad tollendas fractiones, multiplicatâ primùm
<math>xx + {aax/a+1} - {aa/a+1} = 0
<rom>per quan titates proportionales</rom> 1. a + 1. aa + 2a + 1,
<rom>fit æquatio</rom> yy + aay - a^3 - aa = 0</math>,
atque hâc, ut ante, divisâ per binomium <math>y + aa + a = 0</math>, oritur
<math>y - a = 0</math>: liquet, Problema, quod huc pertinet, non præter $im-
plex exi$tere, & <math>y</math> e$$e <math>= a</math>, adeoque <math>x = {a/a + 1}</math>.</p>
<p>Haud $ecus Problema $implex erit, $i obtineatur æquatio
<math>xx = {aax - aac/a - c}</math> $eu <math>xx - {aax/a-c} + {aac/a-c} = 0</math>. Multiplicata enim
eâ per proportionales 1, <math>a - c</math>, & <math>aa - 2ac + cc</math>, fit <math>yy - aay
+ a^3 c - aa cc = 0</math>. Quæ dividi pote$t per binomium <math>y - ac = 0</math>,
oriturque <math>y - aa + ac = 0</math>. Vnde <math>y</math> invenitur <math>= ac</math>, aut etiam
<math>y = aa - ac</math>: ac proinde <math>x = {ac/a - c}</math>, aut etiam <math>x = a</math>. Quorum
duorum valorum ip$ius <math>x</math> non ni$iunus tantùm quæ$ito Problema-
tis re$pondet, licèt uterque æquationi propo$itæ $atisfaciat. Quod
ip$um ex Problemate non adeò difficile $emper e$t digno$cere.</p>
<p>Cæterùm Problema aliquod non præter $implex exi$tere, vel
hinc quoque inferre licet, cùm, operando juxta regulas pag. 6
& 7, quantitas, quæ per <math><r>{1/4}aa+bb</r></math> aut per <math><r>{1/4}aa-bb</r></math> expri-
mitur, omnino per extractionem radicis inveniri pote$t; ita ut
ip$a $it rationalis, quemadmodum in allatis exemplis contingit.
Vbi porrò ob$ervare licèt, quòd, in primo & $ecundo ca$u earun-
dem æquationum, po$tquam ultimus terminus per _bb_ fuerit de-
$ignatus, aut is inventione mediæ proportionalis ($icut pag. 2
docetur) ad hanc formam fuerit reductus, nil ad ulteriorem ip$a-

<pb 299>[319]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
rum con$tructionem faciendum relinquatur, quod non per $ola-
rum rectarum linearum ductum ab$olvatur. Vide Exercitationum
no$trarum Mathematicarum librum 2, in quo de Simplicium
Problematum con$tructione ex profe$$o agitur.</p>
<p>Vbi demum ob$ervatu dignum, in genere æquationes omnes
numericas trium dictarum formularum omnino per $olas rectas
lineas con$trui po$$e, in quibus <math>a & bb</math> non ni$i numeros de$ignant
$ive integros $ive fractos; aut etiam eas, in quibus hæ quantitates
non per diver$as literas denotatæ reperiuntur, etiam$i ip$is inte-
gri aut fracti numeri præfigantur.</p>
<p>_Vbi notandum, me ip$ius_ <math>y^6</math> _dimen$iones tantùm pro
<mgr>M</mgr>
tribus dimen$ionibus habere, cum non reperiatur <math>y^5, nec
<math>y^3</math>, _nec y in tota $umma_.] Pote$t enim pro æquatione
<math>y^6 # + aa \\ - 2cc y^4 - a^4 \\ + c^4 yy - a^6 \\ - 2a^4 cc \\ - aac^4 = 0</math> $ub$titui æquatio hæc:
<math>z^3 # + aa \\ - 2cc z z - a^4 \\ + c^4 z - a^6 \\ -2 a^4 cc \\ - aac^4 = 0</math>. nimirum, $upponendo <math>z = yy</math>,
atque $ubrogando <math>zz</math> in locum <math>y^4</math>, & <math>z^3</math> in locum <math>y^6</math>; ita ut, po$t-
quam innotuerit valor radicis <math>z</math>, opùs tantùm $it, ex hoc invento
valore extrahere radicem quadratam, ad habendum valorem ra-
dicis <math>y</math>.</p>
<p>Nec aliter operandum, $i habeatur <math>x^4 = - axx + bb</math>. Po$-
<mgr>_Vide pag_.
6.</mgr>
$umus enim ip$ius <math>x^4</math> dimen$iones $olummodo pro duabus di-
men$ionibus habere, & $cribere <math>yy = - ay + bb</math>, $upponendo
<math>y = xx</math>, & <math>yy = x^4</math>, eritque radix ejus <math>y = - {1/2} a + <r>{1/4} aa + bb</r></math>:
adeoque radix <math>x = <r>-{1/2}a + <r>{1/4}aa + bb</r></r></math>.</p>
<p>Quin & $i fuerit <math>z^6 = * 39 zz + 340</math>, $upponendo <math>x = zz</math> po-
te$t pro ea reponi <math>x^3 = * 39 x+340</math>, atque adeò ip$ius <math>z^6</math> di-
men$iones tantùm pro tribus dimen$ionibus haberi.</p>
<p>Eodem modo, $i fuerit <math>x^8 = * + 10 x^4 + 16 xx - 9</math>, atque <math>z</math>
$upponatur <math>= x x</math>: poterit ejus loco $cribi <math>z^4 = * + 10zz + 16z
-9</math>, ita ut ip$ius <math>x^8</math> dimen$iones tantùm pro 4<_>or</_> dimen$ionibus
habeantur. Et $ic de aliis.</p>
<p>_At verò $inullum inveniatur binomium, quod ita to-_
<mgr>N</mgr>
_tam Æquationis propo$it æ $ummam dividere po$$it, cer-_
_tum e$t, Problema, quod ab ea dependet, e$$e $olidum.]_

<pb 300>[320]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
Sic quoniam æquatio <math>x^3 = 300 x + 1200</math>, $eu <math>x^3 🜶 0 xx - 300x
- 1200 = 0</math>, dividi nequit per <math>x</math> plus vel minus aliquo numero,
ultimum terminum 1200 ab$que fractione dividente, quin aliquid
po$t divi$ionem $uper$it, certum e$t, Problema, quod ad illam re-
ducitur, e$$e Solidum. Quo autem pacto inveniantur numeri
omnes, datum numerum ab$que fractione dividentes, manife$tum
fiet, ubi ex Stifelio expo$uero rationem, inveniendi omnes cu-
ju$que numeri partes aliquotas, quod unum idemque e$t.</p>
<p>Etenim, $i numerus par fuerit, dividendus e$t per 2, & divi$or
re$ervandus; tum rur$us, $i quotiens e$t par, dividatur $imiliter
per 2, & divi$or re$ervetur; illudque tam diu continuetur, donec
perveniatur ad numerum imparem. Quòd $i verò numerus e$t
impar, vel divi$ione jam factâ ad numerum imparem $it perven-
tum, dividi debet per 3, $i fieri pote$t, idque tam diu continuan-
dum, donec proveniat quotiens, qui per 3 ampliùs dividi non
po$$it. Tum eadem divi$io tentanda per 5, 7, 11, 13, 17, 19, a-
liumve numerum primum, $ive nullam partem aliquotam præter
unitatem habentem. Suffecerit autem id tenta$$e, donec ad dati
numeri radicem quadratam, $ive veram, $ive veræ proximam,
perventum fuerit: cum ulteriores divi$iones $upervacaneæ $int
habendæ. Iam verò quomodo ex re$ervatis numeris partes ali-
quotæ, $eu divi$ores omnes dati cuju$que numeri, inveniantur,
$equentia exempla manife$tabunt. Etenim ad inveniendos divi$o-
res omnes numeri 462, divido 462 per 2, & fiunt 231. Hinc 2
re$ervo, & 231 divido per 3, fiuntque 77, & 3 re$ervo. Po$tea
divi$is 77 per 7, fiunt 11, & 7 re$ervo. Denique divido 11 per 11,
& fit 1, & 11 re$ervo. Vnde numeri re$ervati erunt 2, 3, 7, & 11.
E quibus divi$ores omnes $eu partes aliquotæ $ic inveniuntur.</p>
<tb>
1
2 # . # 3
6
 # 7. # 14. # 21. # 42.
11. # 22. # 33. # 66. # 77. # 154. # 231. # 462.
</tb>
<p>Primò ducito 2 in 3, & producentur 6. Deinde 7 in 1, 2, 3, & 6,
& fient 7, 14, 21, 42. Denique 11 in 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, & 42,
fientque 11, 22, 33, 66, 77, 154, 231, 462. Et erunt divi$ores
omnes 1. 2. 3. 6. 7. 14. 21. 42. 11. 22. 33. 66. 77. 154. 231.

<pb 301>[321]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
& 462. Vbi notandum, ex ductu ultimi numeri re$ervati
11 in ultimum productum inventum 42 produci datum nume-
rum 462; adeò ut, ad inveniendum dati alicujus numeri partes
omnes aliquotas, opùs non $it ho$ce duos numeros in $e invicem
ducere, $i tantùm de illis quæ$tio fuerit, & non de divi$oribus.
Eodem modo, numerus 2310 divi$ores habebit $equentes.</p>
<tb>
<del>1</del> # <del>21</del> # <del>3</del>
<del>2310</del> # <del>1155</del> # <del>385</del> # <del>77</del> # <del>11</del> # <del>1</del>
2 # 3 # 5 # 7 # 11 # 
</tb>
<tb>
1
2 # . # 3
6
5 # . # 10 # . # 15 # . # 30. # 
7. 14. 21. 42. 35. 70. 105. 210
11. 22. 33. 66. 55. 110. 165. 330. 77. 154. 231. 462. 385.
770. 1155. 2310.</tb>
<p>Similiter divi$ores numeri 1200 erunt</p>
<tb>
<del>1</del> # <del>1</del> # <del>1</del>
<del>1200</del> # <del>600</del> # <del>300</del> # <del>150</del> # <del>75</del> # <del>28</del> # <del>8</del> # <del>1</del>
2 # 2 # 2 # 2 # 3 # 5 # 5 # 
</tb>
<tb>
1
2 # . # <del>2</del>
4
<del>2</del> # . # 8
<del>2</del> # . # 16
3. 6. 12. 24. 48.
5. 10. 20. 40. 80. 15. 30. 60. 120. 240.
<del>5</del>. 25. 50. 100. 200. 400. 75. 150. 300. 600. 1200.
</tb>
<p>Verùm enimverò cum allata ratio inveniendi Binomium, per
quod Æquationis propo$itæ $umma dividenda e$t, ad inve$tigan-
dum, utrum Problema, quod ad æquationem illam e$t perdu-
ctum, $it Solidum, an verò Planum, & $i Planum $it, ip$a ad eju$-
dem æquationis radices inveniendas valde videatur prolixa; præ-
$ertim cùm ultimus terminus plures admittit divi$ores: $ciendum
e$t, quo$dam ex iis $eligi po$$e, è quibus $i componatur bino-
mium, per quod æquationis divi$io non $uccedat, certi e$$e po$$i-
mus Problema ab ea dependens Solidum exi$tere.</p>

<pb 302>[322]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Sic cum in $uperiori æquatione <math>x^3 = * 300 x+1200</math>, vel
<math>x^3 🜶 0 xx - 300 x - 1200 = 0</math>, triginta $int numeri, ultimum
terminum 1200 ab$que fractione dividentes, atque hinc divi$io
vel $exagies e$$et tentanda, antequam certò con$taret, Problema
e$$e Solidum; $ciendum e$t non opùs e$$e ni$i tres vel quatuor ex
iis con$iderare, ut 4, 15, & 20, atque reliquos in$uper habere.
Quemadmodum ex $equentibus fiet manife$tum.</p>
<fig>
<var>P F M N H G L K</var>
</fig>
<p>Etenim $i numerus 300 vo-
cetur <math>p</math>, & numerus 1200 voce-
tur <math>q</math>, & juxta id, quod docetur
pag. 93, circulus de$cribatur
FGN, cujus radius F H $it 10,
utpote <math>= √ {1/3}</math> <math>p</math>, & in eo recta
in$cribatur <math>FG = 12</math>, quippe
<math>= {3q/p}</math>, ac deinde $inguli arcus
FMG, FNG, & GLK in
tres æquales partes dividantur
per rectas FM, FN, & F L: de-
$ignabunt duæ rectæ FM & FN quantitatem utriu$que fal$æ ra-
dicis, & F L quantitatem veræ. Adeò ut, ad eligendos divi$ores,
qui ad æquationem dividendam utiles cen$eri po$$unt, opùs tan-
tùm $it con$iderare eos, qui inventis lineis FM, FN, & F L quàm
proximè accedunt, nullâ reliquorum habitâ ratione: adeoque di-
vi$ionem tentandam tantùm e$$e per <math>x + 4 = 0</math>, vel per <math>x + 15 = 0</math>,
vel per <math>x - 20 = 0</math>. Ac proinde cum tentatâ divi$ione aliquid $u-
per$it: $equitur, Problema, quod ad æquationem propo$itam per-
ducitur, e$$e Solidum, nec ullam radicem $ive veram $ive fal$am,
quæ numero exprimi queat, admittere; $ed omnes e$$e irrationa-
les, earumque valorem e$$e exprimendam per quantitatem linea-
rum dictarum FM, FN, & F L.</p>
<p>Eodem modo $i habeatur <math>x^3 = * + 300 x - 1200</math>, vel <math>x^3 🜶 0
xx - 300 x + 1200 = 0</math>: de$cripto rur$us circulo F G N, cujus
radius F H $it 10 $eu <math>√ {1/3} p</math>, in quo in$criptâ rectâ F G = 12 $eu
<math>{3q/p}</math>, $i $ecentur $inguli arcus FMG, FNG, & GLK in tres æ-
quales partes, de$ignabunt FM, FN utramque veram radicem, &
FL fal$am. Adeò ut, cum divi$io æquationis <math>x^3 🜶 0 xx - 300 x

<pb 303>[323]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
+ 1200 = 0</math> tentata per <math>x - 4 = 0</math>, per <math>x - 15 = 0</math>, & per
<math>x + 20 = 0</math> non $uccedat, concedendum $it illam admittere nul-
lam radicem, nec veram nec fal$am, quæ numero exprimi queat;
$ed omnes e$$e irrationales: adeoque earum valorem non aliter
quàm per quantitatem linearum FM, FN, & FL e$$e expri-
mendum, & Problema, unde allata æquatio deducta fuit, Soli-
dum e$$e.</p>
<p>Sed licet hæc aliter adhuc & quidem generaliùs efficere.</p>
<p>Vt $i habeatur Æquatio primæ formulæ <math>x^3 = * - 8x + 24</math>,
cujus inve$tigandæ $int radices. Quoniam igitur ultimus termi-
nus 24 octo admittit divi$ores, qui$unt 1. 2. 3. 4. 6. 8. 12. 24:
hinc octies fortè divi$io tentanda e$$et antequam radicem propo-
$itæ Æquationis $ic invenire po$$emus. Verùm $ufficit $emel vel
bis id experiri, cum certi quidam ex inventis hi$ce divi$oribus
$eligi po$$int, per quos $i divi$io non $uccedat, certi reddamur ra-
dicem e$$e irrationalem.</p>
<p>Cogitetur Æquatio allata hujus e$$e formæ <math>x^3 = * - <del>2</del>, 4x
+ <del>4</del>, 6</math>, eadem nempe quæ <math>x^3 = * - á px + ááq</math>; in qua <math>a</math> pro
unitate a$$umpta valet 2, <math>p</math> 4, & <math>q</math> 6. Quâ Æquatione juxta re-
gulam pag. 85, 86, 87, & 88 re$olutâ, invenitur radicem quæ$i-
<fig>
<var>E 3 D j A j C F L</var>
<dec>_a_ = 2</dec>
<dec>_p_ = 4</dec>
<dec>_q_ = 6.</dec>
</fig>
tam de$ignari per lineam FL. Po$tea exploretur qui$nam ex in-
ventis divi$oribus huic lineæ proximè accedat, ut $eligantur per
quos divi$io $it tentanda, neglectis reliquis. Po$tquam autem
compertum fuerit nullum ex ip$is propiùs huic lineæ congruere

<pb 304>[324]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
quàm divi$orem 2, & quidem Æquationem propo$itam <math>x^3 🜶 0
xx + 8 x - 24 = 0</math> dividi po$$e per <math>x - 2 = 0</math>, & prodire Æqua-
tionem impo$$ibilem <math>xx + 2x + 12 = 0</math>, quæ per <math>x</math> + vel - ali-
quo numero, ultimum terminum dividente, ulteriùs dividine-
quit: $equitur radicem quæ$itam fore 2, neque ullam aliam exta-
re, cum reliquæ duæ in hac formula $emper $int imaginariæ.</p>
<p>Nec aliter fit, $i fuerit <math>x^3 = * - 8 x - 24</math>, quæ e$t Æquatio u-
nam habens radicem fal$am, nempe 2, & duas imaginarias: cum
producatur ex multiplicatione Æquationis impo$$ibilis <math>xx - 2 x
+ 12 = 0</math> per <math>x + 2 = 0</math>. Vbi ob$ervandum, quòd, licèt D. des
Cartes eju$modi Æquationis formulam inter Cubic as non repo-
$uerit, $ed tantùm eas, in quibus bini po$teriores termini per +
aut per + & - juncti $unt, ip$a tamen nihilominus eodem modo,
quo præcedens, re$olvi, atque radix ejus ex primi po$$it. quod &
de æquatione quadrata <math>zz = - az - bb = 0</math> $upra monuimus.
Hinc $i fuerit <math>x^3 = - 3 x - 10</math>, $eu <math>x^3 🜶 0xx + 3 x + 10 = 0</math>,
quæ per <math>x</math> + aliquo numero ultimum terminum dividente dividi
nequit: $equitur radicem ejus e$$e irrationalem, eamque juxta
primam Cardani regulam, pagin. 93 de$criptam, $ic exprimi
<math>x = - <r>C. √ 26 + 5</r> + <r>C. √26 - 5</r></math>. nempe mutatis tan-
tùm $ignis + & - utriu$que partis. Idem intellige de Æquatio-
nibus <math>x^3 = - 8</math>, aut <math>x^3 = - 10</math>, quarum radices $unt <math>x = - 2</math>,
& <math>x = - √ C. 10</math>.</p>
<p>Eodem modo operandum erit in Æquatione primi ca$us $ecun-
dæ formulæ, puta <math>x^3 = + 8 x + 24</math>, ubi <math>{1/4} q q</math> e$t majus quàm
<math>{1/27} p^3</math>. Quoniam enim dividi nequit per <math>x - 4 = 0</math>, qui divi$or ad
quantitatem radicis proximè accedit, non opùs e$t ut ulteriùs pro-
grediamur, $iquidem binæ reliquæ radices hujus ca$us $emper
$unt imaginariæ. Quare radix quæ$ita erit irrationalis, quæ juxta
$ecundam Cardani regulam, pag. 93 exhibitam, $ic exprimetur:
<math>x = <r>C. 12 + √ 125 {1/27}</r> + <r>C.12 - √ 125 {1/27}</r></math>. A deò ut di-
catur compo$ita ex duabus lineis, quarum una e$t prima dua-
rum mediarum proportionalium inter unitatem & lineam <math>12
+ √ 125 {1/27}</math>, & altera prima duarum mediarum proportiona-
lium inter unitatem & lineam <math>12 - √ 125 {1/27}</math>. E quibus per$pi-
cua fiunt illa, quæ habentur pag. 92 & 95. Notandum verò, me
potui$$e quidem accipere <math>a</math> pro 1, ita ut <math>p</math> futura fui$$et 8, & <math>q</math> 24:

<pb 305>[325]<rh><bf>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</bf></rh>
quoniam hîc liberum e$t a$$umere pro unitate, qualem libuerit,
quantitatem; verùm quia praxis aliquo modo accommodatior
vi$a e$t, $i pro <math>a</math> ponatur 2, non 1, malui illam hypothe$in huic
po$thabere.</p>
<p>Vbi porrò advertendum, radicibus Æquationum ita implicatis
exi$tentibus, $implicius cen$endum e$$e, earundem habitudinem
ex $ola Æquationum con$titutione innuere, quàm ip$as prædicto
modo exprimere. Vt in hac ultima <math>x^3 = + 8x + 24</math>, dicendo <math>x</math>
talem e$$e, ut in $e Cubicè ducta tantundem faciat ac $i per 8 mul-
tiplicetur, ac deinde ei quod fit addatur 24. Quippe $ic ejus ha-
bitudinem longè $impliciùs concipere valemus, quàm $i eandem
hoc modo exprimeremus: <math>x = <r>C. 12 + √125 {1/27}</r>
+ <r>C. 12 - √ 125 {1/27}</r></math>. Id quod $imiliter de Æquatione <math>x^3 =
- 3x + 10</math> pote$t intelligi, cujus radix juxta primam Cardani
regulam $ic exprimitur <math>x = <r>C. √ 26 + 5</r> - <r>C. √ 26 - 5</r></math>:
cum illius habitudinem, quam ex Æquationis con$titutione in-
duit, multò faciliùs concipiamus, prout eandem in $e Cubicè du-
ctam idem producere intelligimus, quod 10 minus ip$ius triplo.
Et $ic de aliis.</p>
<p>Porrò $i habeatur <math>x^4 = * + 10xx + 40x + 16</math>; $uppo$itâ <math>a
= 2</math>, erit <math>aa = 4</math>, & <math>a^3 = 8</math>, fietque æquatio <math>x^4 = * + <del>2</del></math>, <math>5xx
+ <del>4</del></math>, <math>10x + <del>8</del></math>, 2, eju$dem formæ cum <math>x^4 = * ápxx + ááqx
+ a^3 r</math>, in qua <math>p</math> idem valet quod 5, <math>q</math> idem quod 10, & <math>r</math> idem
quod 2. Deinde inventis numeris ultimum terminum 16 divi-
dentibus, utpote 1, 2, 4, 8, & 16, æquationem re$olvo juxta
regulam ab Authore pag. 85, 86, 87, & 88 o$ten$am, eritque ve-
<mgr>_Vide figu-_
_ram pagi-_
_nâ versâ_.</mgr>
ra radix FL, & fal$a GK. Denique, examinando ordine divi-
$ores inventos, explorando quinam ex ip$is ab inventis radici-
bus FL & GK quàm minimùm di$cedant; invenio divi$ionem
$olummodo tentandam e$$e per <math>x - 4 = 0</math>, aut per <math>x + 1 = 0</math>.
Ac proinde cum neutra harum divi$ionum $uccedat, concludo,
Æquationem propo$itam, unam admittere veram radicem, & u-
nam fal$am, quarum utraque e$t irrationalis; ac reliquas duas e$$e
imaginarias.</p>
<p>Haud $ecus $i fuerit æquatio <math>x^4 = * - 60xx + 7400x + 36000</math>,
cujus ultimus terminus dividi pote$t per 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10,
12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 60, 72,

<pb 306>[326]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<fig>
<var>H 2 A G I K C 2{1/2} E 5 D F L</var>
<dec>_a_ = 2</dec>
<dec>_p_ = 5</dec>
<dec>_q_ = 10</dec>
<dec>_r_ = 2</desc>
</fig>
75, 80, 90, 96, 100, 120, 125, 144, 150, 160, 180, 200, 225,
240, 250, 288, 300, 360, 375, 400, 450, 480, 500, 600, 720,
750, 800, 900, 1000, 1125, 1200, 1440, 1500, 1800, 2000,
2250, 2400, 3000, 3600, 4000, 4500, 6000, 7200, 9000,
12000, 18000, & 36000, fingo <math>a</math> e$$e 10, ac proinde æquatio-
nem propo$itam e$$e hanc <math>x^4 =^* - <del>10</del></math>, <math>6xx + <del>100</del></math>, <math>74x + <del>1000</del></math>,
36, hoc e$t, ip$am e$$e hujus formæ <math>x^4 =^* - ápxx + ááqx + a^3r</math>;
ita ut, $ecto latere recto <math>a</math> in 10 æquales partes, <math>p</math> earundem fa-
ciat 6, <math>q</math> 74, & <math>r</math> 36. Quâ deinde juxta regulam pag. 85, 86, 87 &
88 con$tructâ, invenio ip$am $icut antecedentem non ni$i unam
veram radicem admittere, utputa FL, & unam fal$am, utpote
K G, quarum longitudo ad partes lateris recti ceu $calæ relata
o$tendit divi$ionem æquationis propo$itæ $olummodo tentan-
dam e$$e per <math>x - 20 = 0</math> aut per <math>x + 5 = 0</math>. Hinc cum ip$a divi-
di po$$it per <math>x - 20 = 0</math> & oriatur æquatio <math>x^3 + 20xx + 460x +
1800 = 0</math>, non autem per <math>x + 5 = 0</math> quin aliquid po$t divi$io-
nem relinquatur: concludo veram ejus radicem e$$e 20, & fal$am
e$$e irrationalem, cujus valor $eu quantitas, dum per longitudi-

<pb 307>[327]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
nem $olius inventæ rectæ K G accuratè exhibetur, propter hujus
cum reliquis a$ymmetriam, numero tantùm quadantenus ex
ip$ius ad ha$ce relatione innote$cit. Eodem modo inve$tigari
queunt radices æquationum, plures pauciore$ve dimen$iones ha-
bentium.</p>
<p>Cæterùm cum radicum inventio res magni $it momenti, atque
eorum, circa quæ Algebra ver$atur, præcipua: alium modum $e-
ligendi divi$ores, qui ad æquationem dividendam utiles judicari
po$$unt, $ubjungam, quem communicavit Iacobus à Wae$$enaer,
Vltrajectinus, Geometra periti$$imus, atque in hac Carte$iana
Methodo ver$ati$$imus.</p>
<p>Inveniantur radices æquationis <math>x^3 - 1xx - 30x + 72 = 0</math>,
cujus ultimus terminus dividi pote$t per 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18,
24, 36, 72. Vnde æquatio propo$ita dividenda e$t per <math>x 🜶 1</math>, vel
per <math>x 🜶 2</math>, & c. Verùm cum complures hîc $int divi$ores, & tan-
tùm tres hîc e$$e po$$int, per quos divi$io fieri queat: con$tat, di-
vi$ionem pluries e$$e tentandam, antequam fortè incideremus in
aliquem, qui quæ$ito $atisfacere po$$et. Quapropter ut $eligantur
illi, quorum præ cæteris e$t ratio habenda: augendæ $untradices
veræ certâ quâdam quantitate, hoc e$t, tran$mutanda e$t æqua-
tio in aliam, cujus veræ radices $int dato numero majores. Com-
modi$$imum autem fuerit ad id a$$umere 1 vel 10: quia cùm mul-
tiplicatio alicujus numeri in$tituitur per 1, vel 10, numerus ille
$ic non mutatur, $ed ip$i tantùm in fine cyphra adjungitur. Vnde
ponendo <math>y = x + 1</math>, $ive <math>x = y - 1</math>, ex$urget æquatio <math>y^3 - 4yy
- 25y + 100 = 0</math>, cujus veræ radices unitate majores $unt veris
prioris & fal$æ contra unitate minores fal$is. Quia verò in hac æ-
quatione, numeri ultimum terminum 100 dividentes, $unt 1, 2, 4,
5, 10, 20, 25, 50, 100: ideo dividen da foret per <math>y 🜶 1</math>, vel per <math>y 🜶 2</math>,
vel per <math>y 🜶 4</math>, & c. quod cum non minorem quàm in $uperiori re-
quirat laborem, oportet $imiliter ex iis quo$dam $eligere. Atque
adeò cum cogno$catur, ad inveniendas veras radices, divi$ores
hujus unitate debere e$$e majores divi$oribus prioris æquationis,
facilè con$tat, $i ex inventis, 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 aliqui
idonei $unt ad po$teriorem æquationem dividendam, aliquos
etiam inter eo$dem unitate diminutos, nempe inter 0, 1', 3', 4',
9', 19, 24', 49, 99, ad priorem æquationem dividendam utiles
futuros. Qui ut inveniantur, conferendi $unt iidem divi$ores

<pb 308>[328]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
1, 3, 4', 9', 19, 24', 49, 99 cum $upra inventis 1', 2, 3', 4', 6', 8, 9', 12,
18, 24', 36, 72, $umendique qui $ibi invicem re$pondent, cæteris
neglectis. Ac proinde cum hîc quinque $int qui concordant, nem-
pe 1, 3, 4, 9, & 24, oportet, ad inveniendas veras radices, divi$io-
nem tentare per <math>x - 1</math>, per <math>x - 3</math>, per <math>x - 4</math>, per <math>x - 9</math>, & per
<math>x - 24</math>; aut, ad obtinendas fal$as, quæ quidem hâc auctione in tan-
tum $unt diminutæ, per <math>x + 2</math>, per <math>x + 3</math>, & per <math>x + 6</math>. Quòd $i
verò id nimis longum videatur, quandoquidem æquatio quælibet
tot tantùm radices ad $ummum habere pote$t, quot incognita
quantitas habet dimen$iones, ita ut hîc non ultra tres inveniantur:
poterimus veras radices prioris æquationis unitate diminuere,
$upponendo videlicet <math>z = x - 1</math>, $ive <math>x = z + 1</math>, & prodibit æqua-
tio <math>z^3 + 2zz - 29z + 42 = 0</math>. Cujus ultimus terminus dividi
pote$t per 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42, qui unitate aucti efficiunt divi$o-
res 2, 3', 4', 7, 8, 15, 22, 43. Iam verò cum ex prioribus quinque
1, 3', 4', 9, 24 bini tantùm $int, utpote 3 & 4, qui cum binis ho-
rum con$entiunt, eò deventum e$t, ut ad inveniendas veras radi-
ces opùs tantùm $it divi$ionem tentare per <math>x - 3</math>, vel per <math>x - 4</math>;
aut, ad obtinendas fal$as, quæ hâc diminutione verarum unitate
$unt auctæ, per <math>x + 2</math>, & per <math>x + 6</math>. Hinc, cum <math>x^3 - 1xx - 30^x
+ 72 = 0</math> dividi po$$it per <math>x - 3 = 0</math>, atque oriatur <math>xx +
2xx - 24 = 0</math>, cujus radices $unt <math>+ 4, & - 6</math>; vel etiam <math>x^3 -
1xx - 30x + 72 = 0</math> dividi po$$it per <math>x - 4 = 0</math>, & proveniat
<math>xx + 3x - 18 = 0</math>, cujus radices $unt <math>+ 3 & - 6</math>; vel denique
<math>x^3 - 1xx - 30x + 72 = 0</math> dividi po$$it per <math>x + 6 = 0</math>, & re$ul-
tet <math>xx - 7x + 12 = 0</math>, cujus radices $unt <math>+ 4, & + 3</math>; $equitur,
radices propo$itæ æquationis e$$e + 3, + 4, & - 6. Vbi notan-
dum, in huju$modi praxi $eligendi divi$ores, non opùs e$$e totius
operationis, quæ ad inveniendas po$teriores ha$ce æquationes
requiritur, rationem habere; $ed tantùm quatenus ad ultimum
terminum inveniendum in$ervire po$$it. Ad quem obtinendum,
quando prioris radices unitate augentur vel diminuuntur, numeri
in æquatione dati $olummodo addendi $unt vel $ubtrahendi, prout
$igna + & - indicant. At verò cùm per denarium aliumve nu-
merum augentur vel diminuuntur, tum priùs cyphræ ip$is in fine
apponendæ $unt, vel ip$i per datos numeros $unt multiplicandi,
antequam addantur vel à $e invicem $ubtrahantur. quod u$us
edocebit.</p>

<pb 309>[329]<rh>C<sc>OMMENTAR II IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
<p>Vbi tandem notandum, ad $eligendos divi$ores divi$ione$que
$uperfluas evitandas, $pectarietiam po$$e ea, quæ Vir Clari$$imus
D. de Beaune de limitibus Æquationis, intra quos ejus radices
cadunt, tradidit. Qualia i$ta in 2<_>do</_> tractatu continentur, qui unâ
cùm primo de natura & con$titutione Æquationum huic editioni
nunc acce$$it.</p>
<p>_Vnde cogno$citur, valorem ip$ius z e$$e_ <math>{1/2} <r>aa + cc</r>
<mgr>O.</mgr>
+ <r>-{1/2}aa + {1/4}cc + {1/2}a<r>aa + cc</r>,</r></math> _vel_ <math>{1/2} <r>aa + cc</r>
- <r>-{1/2}aa + {1/4}cc + {1/2}a <r>aa + cc</r></r></math>.] utpote qui elicitur
ex priori æquatione <math>zz - z <r>aa + cc</r> + {3/4}aa - {1/2}a<r>aa + cc</r> = 0</math>.
Quæ quidem primi vel tertii ca$us e$$e pote$t æquationum Qua-
dratarum pag. 6 & 7. Primi videlicet, $i {5/4}_aa_ e$t minus quàm _cc_,
quo ca$u <math>{1/2}<r>aa + cc</r> + <r>-{1/2}aa + {1/4}cc + {1/2}a <r>aa + cc</r></r></math> de-
$ignabit verum valorem radicis <math>z</math>, & <math>{1/2}a <r>aa + cc</r>
- <r>-{1/2}aa + {1/4}cc + {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>, fal$um valorem, juxta ea quæ
pag. 162 annotavimus. At tertii, $i {5/4}_aa_ majus fuerit quàm _cc_, quo
ca$u utraque radix e$t vera. Vbi porrò notandum, æquationem
po$teriorem <math>zz + z<r>aa + cc</r> + {3/4}aa + {1/2}a<r>aa + cc</r> = 0</math>,
po$tquam <math>{1/4}aa + {1/4}cc</math> non fuerit minus quàm <math>{3/4}aa + {1/2}a
<r>aa + cc</r></math>, $ive, quod idem e$t, _cc_ non minus quàm 8_aa_, duas ad-
mittere fal$as radices, quemadmodum p. 165 monuimus, quæ $unt
<math>- {1/2} <r>aa + cc</r> + <r>- {1/2}aa + {1/4}cc - {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>, &
<math>- {1/2} <r>aa + cc</r> - <r>- {1/2}aa + {1/4}cc - {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>. Ita ut
quatuor $int radices binarum præcedentjum æquationum $ive æ-
quationis
<tb math>
z^4* # + {1/2}aa\\ - cc # zz # - a^3 \\ - acc # z # +{5/16}a^4 \\ - {1/4}aacc = 0,
</tb>
nempe <math>z = {1/2} <r>aa + cc</r> + <r>{1/4}cc - {1/2}aa + {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>,
<math>z = {1/2} <r>aa + cc</r> - <r>{1/4}cc - {1/2}aa + {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>,
<math>z = {1/2} <r>aa + cc</r> + <r>{1/4}cc - {1/2}aa + {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>,
<math>z = {1/2} <r>aa + cc</r> - <r>{1/4}cc - {1/2}aa + {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>.</p>
<p>_Et quandoquidem $upr a fecer amus_ <math>z + {1/2}a = x</math>, _in_-
<mgr>P</mgr>

<pb 310>[330]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
_note$cit, quantit atem x, ad quàm cogno$cendam omnes_
_ha$ce operationes in$tituimus, e$$e_
<math>+ {1/2}a + <r>{1/4}aa + {1/4}cc</r> - <r>{1/4}cc - {1/2}aa + {1/2}a <r>aa + cc</r></r></math>.]
vel <math>{1/2}a + <r>{1/4}aa + {1/4}cc</r> + <r>{1/4}cc - {1/2}aa + {1/2}a <r>aa + cc</r></r></math>,
vel <math>{1/2}a - <r>{1/4}aa + {1/4}cc</r> + <r>{1/4}cc - {1/2}aa - {1/2}a <r>aa + cc</r></r></math>,
vel denique <math>{1/2}a - <r>{1/4}aa + {1/4}cc</r> - <r>{1/4}cc - {1/2}aa - {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>.
Vtliquet ex iis, quæ proximè annotata $unt.</p>
<p>_Vbi per præcedentes regulas cogno$citur, radicem ejus,_
<mgl>Q</mgl>
_quæ e$t longitudo line æ D F, e$$e_ <math>{1/2}a + <r>{1/4}aa + {1/4}cc</r>
- <r>{1/4}cc - {1/2}aa + {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>.] Vbi patet, quòd ex
quatuor radicibus $upra expo$itis, æquationis <math>x^4 - 2ax^3 + 2aa \\ - cc xx
- 2a^3x + a^4 = 0</math>, quarum binæ priores $emper veræ $unt,
<mgl>_Vide figu-_
_vam p.83_.</mgl>
$eu plus quàm o, D. des Cartes eam tantùm $ibi delegerit, quæ
ad quantitatem lineæ D F, pro qua invenienda <math>x</math> po$uerat de$i-
gnandam in$ervire po$$it, & reliquam veram <math>{1/2}a + <r>{1/4}aa + {1/4}cc</r>
+ <r>{1/4}cc - {1/2}aa + {1/2}a <r>aa + cc</r></r></math> neglexerit, eò quòd lineam
ipsâ D C majorem exhibeat.</p>
<p>Pote$t autem hîc eleganter o$tendi u$us, quem radices tam fal-
$æ quàm veræ alicujus æquationis in Geometria habent, ac quo
pacto earum ope ad plenam alicujus Problematis cognitionem
perducamur; $ic ut nullus ca$us exi$tat, quem non detegamus, at-
que eju$dem determinationem non inveniamus. Sciendum enim
e$t, quòd, quemadmodum veræ radices in Arithmetica (ut $upra
indicavimus) quantitatem aliquam de$ignant, majorem quàm ni-
hil, & fal$æ defectum alicujus quantitatis, $eu quantò nihilo $unt
minores, $ic in Geometria veræ radices eas communiter lineas
de$ignent, $en$u illo, quales inveniendæ proponuntur, at verò
fal$æ, $en$u contrario. Adeò ut $i veræ accipiantur in data recta
indefinita, à dato puncto versùs aliquod in ea punctum de$igna-
tum, progrediendo, fal$æ in ip$a ab eodem puncto $umi debeant
versùs contrarium punctum, regrediendo.</p>

<pb 311>[331]<rh>C<sc>OMMENT ARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
<fig>
<var>H 24 L P N A I C E 24. F 24. B 7. D 24. K O M</var>
</fig>
<p>Vt, quoniam in expo$ito Problemate, ad inveniendam quan-
titatem lineæ <math>D F = x</math>, $ive ad cogno$cendum quanta $umi debeat
longitudo à puncto D versùs C, ut fiant quæ quæruntur, inventa
e$t æquatio
<math>x^4 - 2ax^3 + 2aa \\ - cc xx - 2a^3x + a^4 = 0</math>, quæ duas admittit
veras radices, utpote
<math>{1/2}a + <r>{1/4}aa + {1/4}cc</r> - <r>{1/4}cc - {1/2}aa + {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>,

<pb 312>[332]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<fig>
<var>H 24 L P N A I C E 24. F 24. B 7. D 24. K O M</var>
</fig>
& <math>{1/2}a + <r>{1/4}aa + {1/4}cc</r> + <r>{1/4}cc - {1/2}aa + {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>:
hinc à puncto D versùs C $umendæ $unt duæ lineæ, quarum una
e$t æqualis
<math>{1/2}a + <r>{1/4}aa + {1/4}cc</r> - <r>{1/4}cc - {1/2}aa + {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>,
de$ignans lineam D F, & altera æqualis
<math>{1/2}a + <r>{1/4}aa + {1/4}cc</r> + <r>{1/4}cc - {1/2}aa + {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>,
de$ignans lineam D H; deinde à puncto B ad inventa puncta

<pb 313>[333]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
F & H ducendæ rectæ B F, B H, quarum hæc $ecet latus A C in I,
& illa idem latus productum in E: Eritque quælibet intercepta-
rum F E, I H æqualis datæ <math>c</math>. Porrò, quoniam dicta æquatio duas
quoque admittit fal$as radices, quæ $unt
<math>{1/2}a - <r>{1/4}aa + {1/4}cc</r> - <r>{1/4}cc - {1/2}aa - {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>,
& <math>{1/2}a - <r>{1/4}aa + {1/4}cc</r> + <r>{1/4}cc - {1/2}aa - {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>:
ideo à puncto D, versùs alteram partem, $umendæ $unt duæ li-
neæ, quarum una e$t æqualis
<math>{1/2}a - <r>{1/4}aa + {1/4}cc</r> - <r>{1/4}cc - {1/2}aa - {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>,
de$ignans lineam D K, & altera æqualis
<math>{1/2}a - <r>{1/4}aa + {1/4}cc</r> + <r>{1/4}cc - {1/2}aa - {1/2}a<r>aa + cc</r></r></math>,
de$ignans lineam D M. Quibus $ic inventis, $i ab inventis pun-
ctis K & M per punctum B ducantur lineæ occurrentes ip$i A C
productæ versùs A: erit $imiliter unaquæque interceptarum K L,
M N ip$i <math>c</math> æqualis.</p>
<p>Vnde apparet, quòd, etiam$i de $ola D F invenienda quæ$tio
fuerit, nec quicquam de interceptis I H, K L, & M N cogitave-
rimus, ip$æ tamen ultro po$t æquationis re$olutionem $e$e offe-
rant. Ita ut con$tet, per harum radicum cognitionem nos deduci
in notitiam uniuscujusque ca$us, quem Problema propo$itum
pote$t admittere; nec non, quo pacto quilibet ex ip$is e$t con-
$truendus ac determinandus.</p>
<p>Vt, quoniam, ad explicandas radices æquationis
<math>zz + z<r>aa + cc</r> + {3/4}aa + {1/2}a<r>aa + cc</r> = 0</math>, requiritur,
ut <math>{1/4}aa + {1/4}cc</math> non $it minus quàm <math>{3/4}aa + {1/2}a<r>aa + cc</r></math>, $ive <math>cc</math>
non minus quàm 8 <math>aa</math> ($icut dictum e$t pag. 309): Sic quoque
ad ducendas interceptas K L, M N opùs e$t, ut _cc_ non $it minus
quàm 8 <math>aa</math>. Quemadmodum facilè demon$trari pote$t, ducen-
do tantùm rectam O P ip$i B C perpendicularem: $iquidem recta
O P rectarum omnium, quæ per punctum B duci po$$unt, mini-
ma exi$tit. Cujus quadratum cum duplum $it quadrati ex P C, &
hoc duplum quadrati ex B C, & hoc rur$us quadrati ex B D du-
plum : erit quadratum ip$ius O P quadrati ex B D octuplum.
Hæc igitur ad ducendas interceptas K L, M N Problemati præfi-
genda e$t determinatio.</p>
<p>Porrò, quod ad reliquas interceptas attinet, ut F E & I H, eæ

<pb 314>[334]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
$emper $ic duci po$$unt, ut datis rectis $int æquales, nec e$t Pro-
blema eo ca$u determinationi obnoxium.</p>
<p>In numeris, e$to <math>B D = a = 7, E F = c = 24</math>, fietque æquatio
quæ$ita <math>x^4 - 14x^3 - 478xx - 686x + 2401 = 0</math>. Quæ
cum dividi nequeat per <math>x</math> + vel - aliquo numero, ultimum ter-
minum dividente, tollo $ecundum ejus terminum, & fit æquatio
<math>z^4* - 551 {1/2}zz - 4375z - 6305{11/16} = 0</math>. Quæ ad tres di-
men$iones reducta dabit æquationem <math>y^6 - 1103y^4 + 329375yy
- 19140625 = 0</math>. Hæc autem cum dividi po$$it per <math>yy - 625
= 0</math>, arguitur <math>y</math> e$$e 25, quâ mediante dividetur æquatio <math>z^4 *
- 551{1/2}zz - 4375z - 6305{11/16} = 0</math> in duas æquationes,
<math>zz - 25z - 50{3/4} = 0</math>, & <math>zz + 25z + 124{1/4} = 0</math>: fient-
que radices prioris <math>z = 12{1/2} + √207</math>, & <math>z = 12{1/2} - √207</math>;
at po$terioris <math>z = - 12{1/2} + √32</math>, & <math>z = - 12{1/2} - √32</math>.
Verùm quoniam, ad tollendum $ecundum terminum primæ æ-
quationis, $uppo$ita fuit <math>x = z + {1/2}a</math>: hinc radices ejus erunt
<math>x = 16 + √207</math>, & <math>x = 16 - √207</math>, ut & <math>x = - 9 + √32</math>,
nec non <math>x = - 9 - √32</math>. Et liquet D F fore <math>16 - √207</math>,
<math>D H 16 + √207, D K 9 - √ 32</math>, ac denique <math>D M 9 + √ 32</math>.</p>
<p>Eodem modo, $i B D fuerit 3, & F E 4, invenietur æquatio
<math>x^4 - 6x^3 + 2xx - 54x + 81 = 0</math>, quæ $imiliter per <math>x + vel -</math>
aliquo numero ultimum terminum 81 dividente dividi nequit:
unde $ublato $ecundo ejus termino, fiet æquatio <math>z^4* - 11 {1/2}zz
- 75z - 10{11/16} = 0</math>, quæ ad tres dimen$iones reducta, dabit
æquationem <math>y^6 - 23y^4 + 175yy - 5625 = 0</math>. Hæc, cum
per <math>yy - 25 = 0</math> dividi po$$it, $equitur <math>y</math> fore 5. Vnde divisâ
æquatione præcedente in duas æquationes <math>zz - 5z - {3/4} = 0</math>,
& <math>zz + 5z + 14{1/4} = 0</math>, inveniemus <math>z = √7 + 2{1/2}</math>, vel
<math>z = √7 - 2{1/2}</math>. Quæ binæ tantùm radices ex utraque æquatione
erui po$$unt, cum po$terior æquatio <math>zz + 5z + 14{1/4} = 0</math> $it
impo$$ibilis, per ea, quæ p. 165 expo$uimus, adeoque nullas ad-
mittat radices nec veras nec fal$as, $ed tantùm imaginarias. Qui-
bus radicibus $i addatur <math>1{1/2}</math> (quoniam ad tollendum $ecundum
terminum primæ æquationis po$uimus <math>x = z + 1{1/2}</math>), habebitur
<math>x = √7 + 4</math>, vel <math>x = √7 - 1</math>. Id quod mon$trat lineam D F
$umendam e$$e æqualem <math>√7 - 1</math>, & lineam <math>D H = √7 + 4</math>. Ex
quibus con$tat, quòd, po$tquam æquatio inventa <math>x^4 - 6x^3
+ 2xx - 54x - 81 = 0</math> nullam agno$cat radicem fal$am,

<pb 315>[335]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
(quandoquidem radices æquationis <math>zz + 5z + 14{1/4} = 0</math>, tan-
tummodo $unt imaginariæ, & æquatio impo$$ibilis) ideo $imili-
ter nulla linea, cujus longitudo $it 4, per punctum B duci, atque
à rectis C A, C D intercipi po$$it.</p>
<p>Cæterùm, ne quid ad penitiorem intellectum harum regula-
rum, quibus hîc in reducendis ac dividendis æquationibus u$i $u-
mus, deficiat, vi$um fuit $equentia adjicere.</p>
<p>Hinc $i, exempli causâ, æquatio reducenda <math>$it x^4 * - pxx
- qx + r = 0</math>, inve$tigare oportet ex quibus binis æquationibus
produci queat æquatio, quæ reducendæ $imilis exi$tit. Quocirca
cum, $upponendo <math>xx + yx + z = 0</math> ac <math>xx - yx + v = 0</math>, ex
mutua harum duarum multiplicatione producatur
<tb math>x^4* # + zxx \\ - yy \\ + v # -zyx \\ + vy # + vz = 0</tb>, æquatio eju$dem formæ cum pro-
po$ita, elicio inde tres æquationes diver$as: nimirum, <math>z - yy + v
= - p,-zy + vy = - q, & vz = r</math>. E quibus deinde, $i ad in-
veniendam quantitatem <math>y</math>, in locum <math>z</math> & <math>v</math> $ubrogentur earum va-
lores <math>{1/2}yy - {1/2}p + {q/2y} & {1/2}yy - {1/2}p - {q/2y}</math>, emerget æquatio
<tb math>y^6 - 2py^4 # + pp \\ - 4r # yy - qq = 0</tb>.
Inventâ autem quantitate <math>y</math>, loco
duarum præcedentium æquationum <math>xx + yx + z = 0 ac xx -
yx + v = 0</math> $cribo ha$ce duas <math>xx + yx + {1/2}yy - {1/2}p + {q/2y} = 0</math> ac
<math>xx - yx + {1/2}yy - {1/2}p - {q/2y} = 0</math>. Et patet quæ$itum. Idem pa-
riter de cæteris æquationibus, quarum $igna ab allatæ $ignis $unt
diver$a, e$t intelligendum, è quibus omnibus po$tea inter $e col-
latis dictarum regularum veritas penitùs eluce$cit. Vbi etiam li-
quet, $i valor ip$ius <math>yy</math> per divi$ionem $uperioris æquationis Cu-
bicæ inveniri po$$it, Problema, quod ad æquationem propo$itam
<math>x^4 * - pxx - qx + r = 0</math> perducitur, fore omnino Planum; $in
minus, illud ip$um tunc e$$e Solidum.</p>
<p>Denique ex his quoque emanat, quo pacto regula generalis re-
ducendi omnes æquationes altiores, pag. 84 ab Authore adducta,
intelligi nec non ad praxin revocari debeat.</p>
<p>_Cum aliàs; $i proea $upponeretur D G, multò diffici-_
<mgr>R</mgr>
_liùs ad Æquationem, $ed quæ fimplici$$ima foret, per-_

<pb 316>[336]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
_veniremus. Luod quidem hîc refero, ut vobis indicem,_
_quòd, cùm Problema propo$itum non e$t Solidum, $iquæ-_
_rendo illud unâ viâ ad Æquationem deveniatur valde_
_compo$itam, tum communiter aliâ viâ ad $impliciorem_
_Æquationem perveniri po$$it._] Modus autem, quo ad
Æquationem dictam pervenerim, talis e$t.</p>
<fig>
<var>N A C E F B D H G</var>
</fig>
<p>Iungatur E G, ductâque E H parallelâ ip$i C D vel A B, po-
natur B D vel <math>D C = a</math>, <math>F E = c</math>, <math>B F = y</math>, & <math>D G = x</math>. Hinc
cum E H æqualis $it ip$i C D vel D B, & triangulum E H G $i-
mile triangulo B D F: erit & E G æqualis B F, hoc e$t, <math>= y</math>. Eo-
dem modo $imilia $unt triangula B G E & B E H: unde erit, ut
B G, $eu <math>a + x</math>, ad G E, $eu <math>y</math>; ita B E, $eu <math>y + c</math>, ad E H, $eu <math>a</math>.
Ac proinde ductis tum mediis tum extremis in $e invicem, fiet
æquatio inter <math>yy + cy</math> & <math>aa + ax</math>, vel inter <math>yy & - cy + aa \\ + ax</math>.
Non $ecus, triangula B F D & B E H $unt $imilia: quare, $i fiat
ut B F, $eu <math>y</math>, ad B D, $eu <math>a</math>; ita B E $eu <math>y + c</math> ad B H; erit <math>B H
= {ay + ac/y}</math>. Subductâ autem B H ex B G $eu <math>a + x</math>, relinquetur
<math>H G = {xy - ac/y}</math>. Porrò cum B H, H E, & H G tres $int propor-
tionales: hinc $i multiplicetur B H per H G, hoc e$t, <math>{ay + ac/y}</math>
per <math>{xy - ac/y}</math>, erit productum <math>{axyy + acxy - aacy - aacc/yy}</math> æqua-
le ei, quod fit ex H E in $e, hoc e$t, <math>aa</math>; & per con$equens
<math>xyy - ayy = # + ac \\- cx # y + acc</math>, unde <math>yy = - cy + {acc/x - a}</math>. Cæterùm

<pb 317>[337]<rh>C<sc>OMMENTAR II IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
cumilla, quæ eidem $unt æqualia, inter $e quoque $int æ qualia,
<math>erit - cy + aa\\ + ax = - cy + {acc/x - a}</math>. Ac proinde ablatis utrinque æ-
qualibus, reliquumque multiplicando per <math>x - a</math>, habebitur <math>axx
- a^3 = acc</math>, ideoque <math>xx = aa + cc</math>. Quod erat o$tenden-
dum.</p>
<p>Sed lubet hîc aliud exemplum non inelegans afferre, quod mi-
hi à Docti$$imo, ac in omni $tudiorum genere ver$ati$$imo
D. Marco Meibomio, e$t $uppeditatum, cujus operâ A ri$toxenus,
Alypius, aliique Veteres Mu$ici pri$tino nitori $unt re$tituti.</p>
<p>Datis trianguli rectanguli A B C, minore latere A B,
& differentiâ $egmentorum ba$is E C, invenire differen-
tiam laterum F C.</p>
<fig>
<var>G B F 2 5 A D E C</var>
<desc>Ponatur <math>AB = a</math>,</desc>
<desc><math>E C = b</math>,</desc>
<desc><math>F C = x</math>:</desc>
<desc>eritque <math>GC = 2a + x</math></desc>.
<desc><math>EC\\b - FC\\x - GC\\2 a + x / AC\\{2ax + xx / b}</math></desc>

<pb 318>[338]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<math>{2ax + xx
2ax + xx/
+ 2ax^3 + x^4}</math>
<math>{4aaxx + 2ax^3/
4aaxx + 4ax^3 + x^4}</math>
<math>bb = 2aa + 2ax + xx</math>
<math>{4aaxx + 4ax^3 + x^4 = 2aabb + 2abbx + bbxx/
x^4 + 4ax^3 + 4aa \\ - bbxx - 2abbx - 2aabb = o.}</math>
<p>Quoniam verò hæc æquatio dividi nequit per <math>x 🜶 a</math>, vel per <math>x 🜶
b</math>, vel per <math>x = 2 a</math>, vel per <math>x = 2 b</math>, hinc tollendus e$t $ecundus
terminus, ut reducatur ad aliam tres tantùm dimen$iones haben-
tem: quod fiet ponendo <math>z - a = x</math>
<math>{z^4 - 4az^3 + 6aazz - 4a^3 z + a^4 = x^4
+ 4az^3 - 12aazz + 12a^3 z - 4a^4 = + 4ax^3
+ 4aazz - 8a^3 z + 4a^4 = + 4aaxx
- bbzz + 2 abbz - aabb=- bbxx
- 2abbz + 2aabb = - 2abbx
- 2aabb = - 2aabb./
z^4 * - 2aa \\ - bbzz * + a^4 - aabb= o. Quia autem}</math>
hîc po$t $ublationem $ecundi termini contingit æquationem e$$e
Quadratam, cum in ea de$it <math>z^3</math> & <math>z</math> : non opùs e$t ulteriùs pro-
gredi, cum radix ejus per ea, quæ primo libro $unt o$ten$a inve-
niri po$$it. Erit enim</p>
<math>zz = aa + {1/2}bb + b <r>2aa + {1/4}bb,</r>
& z = <r>aa + {1/2}bb + b</r> <r>2aa + {1/4}bb,</r> ac proinde
x = - a + <r>aa + {1/2}bb + b</r> <r>2aa + {1/4}bb</r>.</math>
<p>Vbi notandum, $i pro majori latere B C ponatur <math>x</math>, æquationem
quæ$itam fore quadratam: utpote,
<math>x^4 * - 2aa - bbxx^* + a^4 - aabb = o, five x^4 = + 2aa + bbxx - a^4 + aabb,</math> cu-
jus radix e$t <math>xx = aa + {1/2}bb + b <r>2aa + {1/4}bb</r></math>, hoc e$t,
<maht>x = <r>aa + {1/2}bb + b <r>2aa + {1/4}bb</r></r>.</math> Cujus $anè cum præce-
dente convenientia ex ip$o $chemate e$t per$picua. Quòd $i ve-
rò pro A E, duplo minori $egmento, ponatur <math>x</math>, fiet Æquatio
<math>xx = - bx + 2aa</math>, cujus radix e$t <math>x = - {1/2}b + <r>{1/4}bb + 2aa.</r></math>

<pb 319>[339]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
Quæ loco alterius exempli haberi queunt, quorum nos admonet
Author pag. 84.</p>
<p>Non di$$imilis erit quæ$tio, $i datis <math>A B = a</math>, & <math>D C = b</math>, quæ-
ratur <math>F C = x</math>. Fiet enim æquatio
<math>x^4 + 4a x^3 + 6aa \\ - bbxx + 4a^3 \\ - 2abbx + a^4 \\ - 2aabb = 0</math>. In qua $i tollatur
$ecundus terminus, ponendo $cilicet <math>z - a = x</math>, prodibit æqua-
tio <math>z^4* - bbzz^* - aabb = 0</math>, $ive <math>z^4 = bbzz + aabb</math>, cujus
radix e$t <math><r>z z = {1/2}bb + b</r> <r>{1/4}bb + aa,</r></math> hoc e$t,</p>
<p><math>z = <r>{1/2}bb + b{1/4}bb + aa</r></math>, adeoque <math>x = - a +
<r>{1/2}bb + b{1/4}bb + aa.</r></math> Sed $i quæratur <math>B C = x</math>, erit æquatio
<math>xx = {1/2}bb + b <r>{1/4}bb + aa</r></math>, cujus radix e$t <math>x = <r>{1/2} bb + b {1/4} bb + aa</r></math>.
Cujus cum præcedente con$en$us ex figura per$picitur. Denique
$i quæratur A D, habebitur æquatio <math>x x = - b x + a a</math>, cujus ra-
dix e$t <math>x = - {1/2} b + <r>{1/4}bb + aa</r>.</math> Quod $imiliter $uperioris mo-
niti non inelegans e$t exemplum.</p>
<p>His adde $equentem quæ$tionem, quam olim ab Arithmetico
$ubtili$$imo, D. Nicolao Huberti à Per$yn, Harlemen$i, fautore
meo honorando, $olvendam accepi.</p>
<p>Invenire quatuor numeros, unitate $e invicem exce-
dentes, qui inter $e multiplicati faciant 100.</p>
<p>Ponatur primus <math>x</math>, $ecundus <math>x + 1</math>, tertius <math>x + 2</math>, & quartus
<math>x + 3</math>. Fietque æquatio <math>x^4 + 6 x^3 + 11 xx + 6 x = 100</math>, vel
<math>x^4 + 6 x^3 + 11 xx + 6 x - 100 = 0</math>. cujus ultimus terminus
dividi pote$t per 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, & 100. Divi$io verò
tentata per <math>x 🜶 1</math>, vel per <math>x 🜶 2</math>, vel per <math>x 🜶 4</math> & c. non $uccedit.
Hinc $ublato $ecundo termino, prodibit æquatio <math>z^4* - 2 {1/2} z z^*
- 99 {7/16} = 0</math>, vel <math>z^4 = 2 {1/2} zz + 99 {7/16}</math>, cujus radix e$t <math>zz =
√ 101 + 1{1/4}</math>, hoc e$t, <math>z = <r>√ 101 + 1{1/4}.</r></math> Ac proinde, cum ibi
tollendo $ecundum terminum po$uerimus <math>x = z - 1{1/2}</math>, fiet
<math>x = <r>√ 101 + 1{1/4} - 1{1/2}</r></math>. Eritque quæ$itorum numerorum, pri-
mus <math><r>√ 101 + 1{1/4} - 1{1/2}</r></math>, $ecundus <math><r>√ 101 + 1{1/4} - {1/2}</r></math>, ter-
tius <math><r>√ 101 + 1{1/4} + {1/2}</r></math>, & quartus <math><r>√ 101 + 1{1/4} + 1{1/2}</r></math>. Quod
facilè probari pote$t.</p>
<p>Vbi notandum, $i cum hujus quæ$tionis Authore pro primo
numero ponamus <math>x - 3{1/2}</math>, pro $ecundo <math>x - {1/2}</math>, pro tertio <math>x + {1/2}</math>,

<pb 320>[340]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
pro quarto <math>x + 1 {1/2}</math>, quæ$tionem faciliùs $olvi po$$e. Invenitur
enim æquatio <math>x^4 = 2 {1/2} x x + 99 {7/16}</math>, omnino ut præcedens, de-
nominata à radice <math>z</math>: unde quæ$iti numeri $iunt ut $upra. Verùm
difficile $atis foret in ha$ce hypothe$es incidere, non $ecus quàm
in $uperiorem Pappi con$tructionem, $icut Author innuit pag. 83.</p>
<p>Re$tat jam exemplum aliquod exhibendum, ubi æquationem
ad Quadratam reducere non licet, & Problema Solidum exi$tit.
Quale e$t illud, quod ante annos aliquot $ibi ad inve$tigandum
propo$uit Nobili$$imus atque Ampli$$imus Vir D. Ioannes de
Wit, Con$iliarius & Pen$ionarius $ive primarius Hollandiæ
We$t-Fri$iæque mini$ter, Mathematum periti$$imus. à quo in$i-
gnem tractatum, brevi, $i volet Deus, expectare poteris, in quo
Planorum atque Solidorum Locorum per artem Analyticam in-
ventionem aliter quàm Carte$ius exponit.</p>
<p>Datis in $uperiori triangulo rectangulo A B C, $eg-
mento ba$is <math>D C = a</math>, & differentiâ laterum <math>C F = b</math>;
invenire A B, latus minus.</p>
<p>E$to <math>A B = x</math>, fietque æquatio <math>x^4 + 4bx^3 + 6bb \\ - 2aaxx + 4b^3 \\ - 2aabx
+ b4 \\ - 2aabb = 0</math>. Quæ cum dividi nequeat per <math>x = b</math>, tollo $ecundum
ejus terminum, $tatuendo <math>z - b = x</math>, unde emergit æquatio
<math>z^4* - 2aazz + 2aab z - aabb = 0</math>, quippe quæ invenitur,
quærendo latus majus B C. Hanc porrò reduco ad aliam, tres tan-
tum dimen$iones habentem, juxta regulam pag. 79, fietque æqua-
tio <math>y^6 - 4aay^4 + 4a^4 \\ + 4aabbyy - 4a^4 bb = 0</math>. Quæ cum dividi
nequeat per binomium aliquod, con$tans ex quantitate incognitâ
<math>yy =</math> quantitate cognitâ, ultimum terminum <math>4a^4 bb</math> dividente, in-
dicio e$t, Problema propo$itum e$$e Solidum, adeoque non ni$i per
Conicas $ectiones $olvi po$$e. Neque minus vitium e$t, $olutionem
ejus po$t hæc tentare per lineas rectas & circulos, quàm adhibere
Conicas $ectiones ad con$tructionem eorum, quæ per lineas rectas
& Circulos con$trui po$$unt, ut monet D. des Cartes pag. 79.</p>
<p>In numeris, e$to <math>D C = 5</math>, <math>C F = 2</math>, <math>A B = 1 ᰕ</math>, eritque æ-
quatio <math>1 ℨ ℨ + 8 & - 26 ℨ - 68 ᰕ - 84 = o</math>. Quæ cum di-
vidi non po$$it per 1 ᰕ plus vel minus aliquo numero, ultimum
terminum 84 dividente, au$ero $ecundum terminum 8 ᰕ, & fit,
<math>1 Q Q^* - 50 Q + 100 N - 100 = 0</math>. Hæc autem ad tres di-

<pb 321>[341]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
men$iones reducta producit <math>x^6 - 100 x^4 + 2900 x x - 10000
= 0</math>. quæ cum $imiliter dividi non po$$it per <math>x x</math> + vel - aliquo
numero, ultimum terminum dividente: $equitur Problema in da-
tis numeris e$$e Solidum, lineamque A B per planorum Geome-
triam $ive per regulas primo libro expo$itas non po$$e inveniri.</p>
<p>Non di$$imilis erit quæ$tio, $i, datis <math>A D = a</math>, <math>F C = b</math>, quæra-
tur <math>B C = x</math>. Invenitur enim æquatio
<math>x^4 - 4bx^3 + 6bb \\ - 2aaxx - 4 b^3 \\ + 4aabx + b^4 \\ - aabb = 0</math>. Vnde ponendo
<math>x = z + b</math>, emerget æquatio <math>z^4* - 2aazz - 2 aabz - aabb = 0</math>.
eadem nempe, quæ provenit, quærendo A B = <math>z</math>.</p>
<p>Porrò, $i exemplorum copiam de$ideres, potes rur$us ex ii$dem
datis quærere <math>E C = x</math>, & habebis
<math>x^4 + 4ax^3 + 4aa\\ - 2bbxx - 8abbx - 8aabb \\ + b^4 = 0</math>. Cujus $ecundum
terminum $i tollas, ponendo <math>z - a = x</math>, obtinebis <math>z^4* - 2aa \\ - 2bbzz
- 4abbz + a^4 \\ - 2aabb \\ + b^4 = 0</math>, eandem, quam $i quæras <math>D C = z</math>.</p>
<p>Vbi $i denique quæras B D, invenies hanc æquationem:
<math>x^8 - 2a^4 \\ - 2aabbx^4 - 4a^4 bbxx + a^4 b^4 \\ + a^8 \\ - 2a^6 bb = 0</math>. Sed hæc for$an ni-
mia videbuntur.</p>
<p>E quibus colligere licèt: quòd, Problemate aliquo Solido exi-
$tente, $i per viam aliquam perveniatur ad Æquationem valde
compo$itam, communiter etiam per aliam viam ad $impliciorem
deveniri po$$it, veruntamen pauciores quàm tres dimen$iones
non habentem.</p>
<p>_I am verò po$t quam comper tum e$t, Problema propo$i-_
_tum e$$e Solidum; $ive Æquatio, per quam illud quœri-_
_tur, ad Quadr ato-quadratum a$cendat; $ive ip$a non_
_altiùs quàm ad Cubum a$$urgat: pot e$t $emper radix ejus_
_inveniri per aliquam trium Conicarum $ectionum, quæ-_
_cunque illa tandem $it, & c_.] Ex his notandum e$t, quoties in
propo$ita quæ$tione data e$t aliqua Conica $ectio, & Æquatio ad
3 vel 4 tantùm dimen$iones a$cendit, tunc eam $emper ope illius
datæ Conicæ $ectionis per $olam regulam & circinum $olvi po$$e.
Adeò ut pro Plano Problemate haberi quodammodo po$$it,
etiam$i reverâ $it Solidum, ut etiam ab Authore hîc appellatur.</p>

<pb 322>[342]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<p>Hujus rei elegans exemplum $uggerere pote$t Problema
Apollonii de Parabola, lib. 5 Conicorum, de quo meminit Pap-
pus Alexandrius in $cholio Prop<_>nis</_> 30 libri 4<_>ti</_> Collectionum
Mathematicarum. In cujus $olutionem eos, qui id per Conica vel
Linearia, hoc e$t, per improprium genus $olvere quæ$iverunt,
dum illud pro Plano Problemate habet, meritò reprehendit.
Quoniam autem vir docti$$imus ac de Mathematicis $tudiis perin-
de meritus A lexander Ander$onus in exercitatione $ua 5<_>ta</_> di-
ctum Problema non levibus indiciis $equentis argumenti fui$$e
innuit, $eque ibidem $cribit Analyticâ $uâ duce tandem repe-
ri$$e ab$que $olida inclinatione (ut Pappus loquitur) non po$$e
definiri: vi$um fuit id ip$um hîc loci, in hoc rationum æquili-
brio autoribus i$tis $ic di$$entientibus, cuivis inquirendum pro-
ponere.</p>
<h>P<sc>ROBLEMA</sc>.</h>
<p>Parabolâ datâ, è puncto, intra vel extra eam dato,
rectam lineam ducere, quæ Parabolæ ad rectos angu-
los occurrat.</p>
<p>Etenim $i in hujus Problematis $olutione inve$tiganda, re-
ctam, quæ ad axem è puncto in Parabola, ad quod quæ$ita recta
duci debet, perpendicularis demittitur, pro incognita quantitate
accipiamus: incidemus in æquationem Cubicam, quæ nullo mo-
do erit reducibilis, & tamen $ecundùm regulam generalem p. 85
ope eju$dem datæ Parabolæ quàm facillimè con$trui poterit, u-
tendo tantùm rectis lineis & circulo. Cujus porrò demon$tratio-
nem univer$alem, quam $ibi vulgari modo Geometrarum, conti-
nuæ contemplationi $iguræ obnoxiam, acuti$$imus pariter atque
eruditi$$imus no$ter Chr. Hugenius concinnavit, cum ip$a jam
pridem nobis alii$que ab eo communicata fuerit, nec illa etiam
hujus loci exi$tat, eandem hîc prætereundam duximus.</p>
<p>_Atque it a Æquatio reducenda ad banc formam:_ <math>z^3
= *apz. aaq</math>, _$i incognita quantitas tres tantùm_
_dimen$iones habeat; aut ad banc:_ <math>z^4 = *apzz.
aaqz. a^3 r</math>. _$i quatuor obtineat dimen$iones ; $eu,_
_$umendo a pro unitate, ad banc:_ <math>z^3 = *pz.q</math>; _aut_
_ad banc:_ <math>z^4 = *pzz. qz. r.</math>] Vbi apparet, hujus

<pb 323>[343]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
Geometriæ Methodum requirere, ut, literæ, quæ in priori æqua-
tione pro unitate e$t accepta, quadratum reperiatur in ultimo
termino; in po$teriori verò æquatione, ut literæ, quæ pro unita-
te in termino <math>zz</math> e$t accepta, quadratum reperiatur in termino <math>z</math>,
ac ejus cubus in termino ultimo. Etenim $i habeatur æquatio
<math>z^3i = * bbz. c^3</math>, ac illius loco alia de$ideretur, cujus penultimus
ter minus habeat <math>a</math>, ac ultimus <math>aa</math>: Fiat ut <math>a</math> ad <math>b</math>, $ic <math>b</math> ad quartam,
quæ vocetur <math>p</math>: eritque <math>ap = bb</math>; Rur$us, fiat ut <math>a a</math> ad <math>c c</math>, $ic <math>c</math> ad
quartam, quæ $it <math>q</math>; $ive etiam (quòd eòdem redit) ut <math>a</math> ad <math>c</math>, $ic <math>c</math>
ad tertiam, quæ vocetur <math>d</math>; ac denuo ut <math>a</math> ad <math>d</math>, $ic <math>c</math> ad <math>q</math>: eritque
<math>aaq = c^3</math>. Vnde pro <math>z^3 = *. bbz. c^3</math> $cribi poterit <math>z^3 = * a p z. a a q</math>,
$ive, $umendo <math>a</math> pro unitate: <math>z^3 = *pz.q.</math></p>
<p>Nec aliter fit $i habeatur <math>z^4 = *bbzz. c^3 z. d^4</math>. Sub$tituto
enim <math>ap</math> in locum <math>bb</math>, & <math>aaq</math> in locum <math>c^3</math> (ut ante), faciendum e$t,
ut <math>a</math> ad <math>d</math>, $ic <math>d</math> ad quartam, quæ vocetur <math>e</math>, eritque <math>ae = dd</math>, ideo-
que <math>aaee = d^4</math>. Vbi rur$us, $i fiat, ut <math>a</math> ad <math>e</math>, ita <math>e</math> ad tertiam, quæ
vocetur <math>r</math>, erit <math>ar = ee</math>, ac proinde <math>a^3 r = d^4</math>. Ita ut pro æquatione
propo$itâ <math>z^4 = *. bbzz. c^3 z. d^4</math> reponi po$$it <math>z^4 = *apzz.
aaqz. a^3 r</math>, $ive, $umendo <math>a</math> pro unitate : <math>z^4 = *.pzz.
qz. r.</math> Quod erat o$tendendum. Eadem e$t ratio æquationis
pag. 97.</p>
<p>E quibus liquidò con$tat, quanti $it momenti in Geometria
concipere unitatem, cum, præter ejus utilitatem, primo libro
o$ten$am, non $olùm ejus beneficio æquationes 3 & 4, ut & 5
& 6 dimen$ionum ita præparentur, ut hæ juxta unam & illæ juxta
aliam regulam re$olvi queant; $ed ip$æ etiam hoc pacto de$igna-
tæ ad numeros referri, atque ad ip$arum radices explicandas in-
$ervire po$$int, adeoque, quænam inter Arithmeticam & Geo-
metriam relatio ac convenientia exi$tat, edoceant.</p>
<p>_Deinde $upponendo Parabolam F A G jam de$cri-_
_ptam e$$e, & axem ejus e$$e ACDKL, latusque rectum_
_a $eu_ 1.] Vbi liquet, quòd, po$tquam in æquatione re$olvenda
quantitatem <math>a</math> $eu unitatem, ut proximè e$t explicatum, $ubrogavi-
mus, eamque juxta regulam pro latere recto Parabolæ F A G a$-
$ump$imus, quo pacto Problemata omnia Solida unius eju$dem-
que Parabolæ ope $olvi po$$int. Cum enim reduci $emper queant
ad æquationem trium aut quatuor dimen$ionum, $uperiorum for-

<pb 324>[344]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
mularum, & una eademque quantitas <math>a</math> in earundem æquationum
ter minis $ubrogari $emper po$$it, evidens e$t, ip$am unius eju$dem-
que Parabolæ ope con$trui po$$e. Idem intelligendum quoque e$t
de æquationibus numericis trium quatuorve dimen$ionum, qua-
rum nulla ex radicibus e$t rationalis, quarumque valor $imiliter
per $ectionem Conicam e$t determinandus. Vt $upra $uit o$ten-
$um.</p>
<p>Cæterùm uthæc regula cuivis per$pecta reddatur, concipiatur
<mgl>_Vide $i-_
_guram_
_p. 86 vel_
_89_.</mgl>
Parabola e$$e de$cripta F A G, cujus latus rectum $it <math>= a</math>, $eu 1, &
in axe cjus A D K L a$$umptâ <math>A D = b</math>, fingatur ex D eidem
perpendicularis e$$e erecta <math>D E = c</math>, centroque E intervallo <math>E H
= d</math> de$criptus circulus F H G, qui Parabolam ab utraque parte
axis $ecet in G & F: oporteatque inve$tigare æquationem, cujus
radix $it perpendicularis G K aut <math>F L = z</math>.</p>
<p>Ad quam inveniendam, dividatur <math>z z</math>, quadratum ex G K, per
latus rectum $eu <math>a</math>, & fit <math>A K = {z z/a}</math>. E qua $ubductâ <math>A D = b</math>, re-
linquetur D K $eu <math>E M = {zz/a} - b</math>. Deinde, quoniam additis E D,
hoc e$t, M K, & K G, tota M G e$t <math>= c + z</math>; & quadrata ex E M
& M G $imul addita faciant <math>{z^4/aa} - {2bzz/a} + bb + cc + 2cz + zz</math>,
quadratum ex E G:erit <math>{z^4/aa} - {2bzz/a} + bb + cc + 2cz + zz = dd</math>,
hoc e$t, ordinatâ æqualitate, habebitur æquatio
<math>z^4 = * + 2abzz \\ - aa - 2aacz + aadd. \\ - aabb - aacc</math>. Eadem quippe, quæ in-
venitur, ponendo <math>F L = - z</math>. Hinc $i, exempli cau$sâ, æquatio
propo$ita con$truenda fuerit <math>z^4 = * + apzz - aaqz + a^3 r</math>:
erit, factâ $eparatim comparatione inter $ingulos terminos unius
& $ingulos alterius, <math>b = {a + p/2}, <math>c</math> = {1/2} <math>q</math>, &
d = <r>{1/4}aa + {1/2}ap + {1/4}pp + {1/4}qq + ar}</r>.</math> Quod illud ip$um e$t,
quod Authoris regula faciendum præcipit. Eodem modo reliquo-
rum ca$uum con$tructio inveniri pote$t. Idem intellige de con-
$tructione æquationis pag<_>næ</_> 97, aliarumque hîc $equentium.</p>
<p>_Adeò ut hæc regula omnium, quas aliquis exoptare_
<mgl>V V</mgl>
_queat, generali$$ima $it & perfecti$$ima._] Quoniam autem,

<pb 325>[345]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
quo pacto Solida Problemata etiam Hyperbolæ & Circuli bene-
ficio, po$tquam ad æquationem trium quatuorve dimen$ionum
$unt reducta, con$trui po$$int, intelligere non modò jucundum
quin imò utile exi$tit: vi$um fuit hoc loco afferre regulam, ab in-
genio$i$$imo atque integerrimo no$tro Huddenio inventam, quâ
eju$dem æquationis radices, prout ip$a ad hanc formam <math>z^4 - pz^3
+ qzz - rz + $ = 0</math> aut ad hanc <math>z^3 - pzz + qz - r = 0</math> e$t
revocata, ita ut omnes termini per $igna + & - $e invicem $e-
quantur, inveniri valeant.</p>
<h it>CONSTRVCTIO ÆQVATIONIS</h>
<math>z^4pz^3 + qzz - rz + $ = 0</math>
<p>Ductis A B, A C, rectum angulum A efficientibus,
$umptâque in A B lineâ A D = <math>{1/2}P</math>, agatur ex D ip$i A C
<fig>
<var>C F i h 1 h k E I K A H G D B</var>
</fig>
parallela DF. Deinde in hac invento puncto E, ita ut
id, quod$ub A D, D E continetur, $it <math>= √ $</math>, de$cribatur
per E circa A$ymptotos A B, A C Hyperbola H E h.

<pb 326>[346]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
Porrò a$$umptâ <math>D F = {r/2√$}</math>, jungatur A F; & $uper A F
de$cripto $emicirculo A D F, collocetur in eo <math>A G = √ q</math>,
centroque F circulus de$cribatur, tran$iens per inven-
tum punctum G. Qui quidem Circulus Hyperbolam
$ecabit vel tanget in tot punctis, quot æquatio diver$as
radices admittet, à quibus $i ad lineam A C demittan-
tur perpendiculares HI, hi, & <math>hi</math>: erunt ip$æ radices
quæ$itæ.</p>
<p>Vbi notandum, $i A G major inveniretur, quàm ut
$emicirculo $uper A F de$cripto in$cribi po$$et; aut etiam
Circulus G H <math>h</math> adeò parvus e$$et, ut Hyperbolam H E <math>h</math>
in nullo pror$us puncto $ecaret vel tangeret, nullam
itidem tunc fore radicem in æquatione, quæ non e$$et
imaginaria.</p>
<h it>Demon$tratio.</h>
<p>Etenim lineâ I H exi$tente = <math>z</math>, cum id, quod $ub A D, D E
vel $ub A I, I H continetur, $it <math>= √ $</math>: erit A I $eu <math>D K = {√ $/z}</math>.
Vnde cum D F & D K à $e invicem $ubductæ relinquant K F, &
D F $it <math>= {r/2√$}</math>: erit <math>K F = {r/2√$} - √$/z}</math> $eu <math>{√$/z} - {r/2√$}</math>, adeoque
ᆷ K F $emper <math>= {$/zz - r/z + rr/4$}</math>. E$t autem <math>K H = z - {1/2} p</math> $eu
<math>{1/2}p - z</math>, ac proinde ᆷ K H $emper = <math>zz - pz + {1/4}pp</math>. Hinc
$umma utriu$que $imul, hoc e$t, ᆷ F H erit <math>= {$/zz - r/z + rr/4$ +
zz - pz + {1/4}pp}.</math> Hoc verò cum æquetur ᆷ<_>to</_> A F - ᆷ<_>to</_> A G, hoc
e$t, <math>= {1/4}pp + {rr/4$} - q</math>: fiet, ordinatâ æqualitate, <math>z^4 - pz^3 +
qzz - rz + $ = 0</math>. Quæ e$t æquatio propo$ita. Vnde liquet
I H e$$e = <math>z</math>.</p>

<pb 327>[347]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
<h it>CONSTRVCTIO ÆQVATIONIS</h>
<math>z^3 - pzz + qz - r = 0</math>.
<p>Ductis, ut ante, A B, A C, & in A B a$$umptâ <math>A D
= √ q</math>, agatur ex D ip$i A C parallela D F. Deinde in
hac acceptis <math>D E = {r/q}</math>, & <math>E F = p</math>, de$cribatur per E
circa A$ymptotos A B, A C Hyperbola E h H. Porrò
$ectâ D F bifariam in G,
centro G & intervallo
G E de$cribatur circulus
E H L, qui quidem Hy-
perbolam in tot punctis
præter E $ecabit vel tan-
get, quot æquatio diver-
$as radices admitter, è
quibus $i ad lineam A B
demittantur perpendicu-
lares H I, hi, erunt ip$æ
radices quæ$itæ.</p>
<fig>
<var>F L C K H G h E A I i D B</var>
</fig>
<h it>Demon$tratio.</h>
<p>Quoniam, H I exi$tente = <math>z</math>, A I, per $upra dicta, e$t <math>= {r/qz} √ q</math>,
& eadem ab A D $ubducta relinquit I D vel H K <math>= √ q - {r/qz} √ q</math>:
erit ᆷ ex H K <math>= q - {2r/z} + {rr/qzz}</math>. Deinde, quoniam <math>D E = {r/q}</math> ab-
latâ ex D K $eu I H = <math>z</math>, relinquitur E K <math>= z - {r/q}</math>; at verò
D K = <math>z</math> $ubtractâ ex D L $eu E F = <math>p</math>, relinquitur K L = <math>p</math> - <math>z</math>:
erit ᆷ E K L <math>= pz - {pr/q} - zz + {rz/q}</math>. Hinc cum ᆷ ex H K æ-
quetur ᆷ E K L, erit <math>q = {2r/z} + {rr/qzz} = p z - {pr/q} - z z + {rz/q}</math>.
Et $it, ordinatâ æqualitate, <math>z^4 - {r/q} z^3 \\ - p + qzz \\ + {pr/q} - 2rz + {rr/q} = 0</math>.

<pb 328>[348]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
Quæ æquatio dividi pote$t per <math>z - {r/q} = 0</math>, & fit <math>z^3 - p z z + qz
- r = 0</math>, æquatio propo$ita. Vnde liquet H I e$$e = <math>z</math>.</p>
<p>His $ubjunge $equentem regulam, à me inventam, quâ ope
Circuli & Parabolæ Æquationes Cubicæ, in quibus 2<_>dus</_> terminus
non e$t $ublatus, con$trui po$$unt, proutip$æ ad hanc formam
<math>z^3 = pzz. aqz. aar</math>, aut ad hanc <math>z^3 = pzz^*. aar</math>; $ive etiam
($umendo <math>a</math> pro unitate) ad hanc <math>z^3 = pzz. qz. r</math>, aut ad hanc
<math>z^3 = pzz ^*. r</math>, $unt reductæ. Ea autem talis e$t.</p>
<fig>
<var>a p q r A O B D G K L M F E</var>
<var>A C K G B D M L E</var>
</fig>

<pb 329>[349]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
<fig>
<var>A C M L n o G K N O B D E F</var>
</fig>
<p>De$criptâ Parabolâ N A M, cujus axis $it A B E, &
latus rectum = <math>a</math> $eu 1, erigo ex vertice A, ad dextram
Parabolæ, $uper axe, perpendicularem A C = <math>p</math>; & ex
C ductâ C D ip$i A B parallelâ, donec Parabolæ oc-
currat in D, duco ex D ip$i A C parallelam D B, oc-
currentem axi in B. Dehinc in linea A B, continuatâ
versùs B, $umendo B E = 1, oporter facere E F = <math>q</math>,
eamque ulteriùs in illa versùs hanc eandem partem $u-
mere, $i habeatur + <math>q</math> in æquatione; $ed versùs alteram
partem, $i habeatur - <math>q</math>. Porrò $ectâ A F bifariam, aut
A E, $i <math>q</math> $it nulla, in G, $i habeatur - <math>p</math>, & <math>q</math> & <math>r</math> diver$is
$ignis $int adfectæ; aut etiam $i habeatur + <math>p</math>, & <math>q</math> & <math>r</math>
ii$dem $ignis denotatæ fuerint, erigenda e$t ex G per-

<pb 330>[350]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
pendicularis G K <math>= {r + pq/2}</math>, aut = <math>{1/2} r</math>, $i <math>q</math> nulla $it, eaque
ad dextram collocanda, $i <math>p</math> & <math>r</math> diver$a $igna habeant,
aut ad $ini$tram, $i eadem. Vel contra, $i habeatur - <math>p</math>.
& <math>q</math> & <math>r</math> ii$dem $ignis adficiantur; aut etiam $i habeatur
+ <math>p</math>, & <math>q</math> & <math>r</math> diver$is $ignis de$ignentur, oporter face-
<mgl>_Signum =_
_$ignificat_
_differen-_
_tiam, quœ_
_e$t inter r_
_& pq_.</mgl>
re <math>GK = {r = pq/2}</math>, aut = <math>{1/2}r</math>, $i <math>q</math> nulla $it, eamque, ut
ante, ad dextram $ini$tramve collocare, $i <math>r</math> $it major
quàm <math>pq</math>; vel contra, $i <math>r</math> minor $it quàm <math>pq</math>. Quo per-
acto, $i ex K circulus de$cribatur, tran$iens per pun-
ctum D, $ecabit is vel tanget Parabolam in tot punctis
præter D, quot æquatio diver$as radices admittet; è
quibus $i ad axem demittantur perpendiculares, obti-
nebuntur omnes æquationis radices, tam fal$æ, quàm
veræ. Quarum quidem veræ, ut ML, ad dextram ca-
dent, & fal$æ, ut NO, ad $ini$tram, $ihabeatur - <math>p</math> in
æquatione. Sed contra, $i habeatur ibi + <math>p</math>, veræ ca-
dent ad $ini$tram, & fal$æ ad dextram.</p>
<p>Cujus quidem demon$trationem, cum eodem modo fieri po$-
$it, quo illa Authoris paginæ 89, brevitatis $tudio hîc omittimus.</p>
<p>Vbi demum advertendum, regulam hanc habere etiam locum
in Æquationibus Cubicis, quarum 2<_>dus</_> terminus e$t $ublatus, $i
tantùm in iis <math>p</math> intelligamus e$$e = 0, & veras radices ex eadem
parte Parabolæ e$$e $umendas, quâ erecta e$t perpendicularis
G K, & fal$as ex altera, cùm habetur + <math>r</math> in æquatione; aut con-
tra, $i in ea habetur - <math>r</math>.</p>
<p>Cæterùm cum & alias regulas huc afferre po$$em, quibus hæ
eædem æquationes $icut & $uperiores Quadrato-quadratæ con-
$trui queunt: tamen, ne in iis hîc recen$endis nimis longus $im
(quandoquidem infinitas invenire licet), $uffecerit jam allatas,
tanquam faciliores expo$ui$$e, cæterasque etiam aliis quærendas
reliqui$$e.</p>
<p>_Fal$a autem F L œqualis e$t duabus bi$ce QN & NV_
<mgl>X</mgl>
_$imul $umptis, quemadmodum ex calculo facile e$t videre_.]
Veritatem proprietatis Parabolæ, quam hîc obiter adnotat Au-

<pb 331>[351]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
ctor, & ad quam inve$tigandam me ante annos aliquot Pari$iis in-
$tigavit Docti$$imus, ac Mathematum peritiâ, non minùs quàm
omnigenâ virtute, ornati$$imus vir D. Claudius Mylon, I. C, $icut
à me tum inventa fuit, $equenti Theoremate exponam.</p>
<h it>THEOREMA.</h>
<p>Si Circulus Parabolam in pluribus punctis $ecuerit.
à quibus ad axem ex utraque parte perpendiculares de-
mittantur: erit ea, quæ ab una parte axis reperitur, æ-
qualis illis, quæ $unt ab altera parte. Quòd $i verò ab
utraque parte in duobus punctis illam $ecet: erunt $i-
militer duæ ab una parte æquales duabus ab altera
parte.</p>
<p>Sit Parabola H A BE, cujus axis A I, vertex A, Circulus autem
ip$am $ecans H B E. Qui quidem primò tran$eat per verticem,
$ecetque Parabolam ab una parte in puncto H, & ab altera in
punctis B & E. Demi$$is autem ex punctis H, B, & E in axem
<fig>
<var>A L B C O D E F G H I K</var>
</fig>
perpendicularibus HI, BC, & ED: o$tendendum e$t, HI æ-
qualem e$$e ip$is B C & ED $imul $umptis.</p>
<p>E$to latus rectum Parabolæ = <math>a</math>, C B = <math>c</math>, D E = <math>d</math>, H I = <math>z</math>,
A G = <math>x</math>, & F G = <math>y</math>. Hinc cum, per 11 propo$itionem 1 libri

<pb 332>[352]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
Conicorum A pollonii, latus rectum $eu <math>a</math> $it ad C B $eu <math>c</math>, ut CB
$eu <math>c</math> ad A C: erit <math>A C = {cc/a}</math>. Eâdem ratione cum $it utlatus re-
ctum ad D E, ita DE ad AD: erit <math>AD = {dd/a}</math>. Similiter, quo-
niam latus rectum e$t ad HI, ut HI ad I A: erit <math>A I = {zz/a}</math>. Vnde,
$i auferatur <math>A C = {cc/a}</math> ex <math>A G = x</math>, relinquetur C G $eu <math>L F = x
- {cc/a}</math>. Cujus quadratum <math>xx - {2ccx/a} + {c^4/aa}</math> $i addatur quadrato
rectæ L B <math>yy + 2cy + cc</math>, erit $umma <math>xx - {2ccx/a} + {c^4/aa} + yy
+ 2cy + cc</math>, quadratum rectæ F B, per 47 prop. I<_>mi</_> lib. Ele-
mentorum. Sic etiam, $i addantur quadrata ip$arum A G & G F,
nimirum, <math>xx</math> & <math>yy</math>, erit $umma <math>xx</math> + <math>yy</math> quadratum rectæ F A.
Quoniam autem in Circulo rectæ lineæ, à centro ad circumfe-
rentiam ductæ, $unt æquales; erunt quoque rectæ F B F A æqua-
<fig>
<var>A L B C O D E F G H I K</var>
</fig>
les, unde & earum quadrata <math>xx - {2ccx/a} + {c^4/aa} + yy + 2cy + cc
& xx + yy</math>. Quæ quidem æqualitas, $i ritè ordinetur, dabit
<math>x = {c^3 + 2aay + aac/2ac}</math>.</p>
<p>Eodem modo auferendo <math>A D = {dd/a}</math> ex <math>A G = x</math>, relinquetur

<pb 333>[353]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
GD $eu <math>F O = x - {dd/a}</math>. Cujus quadrato <math>xx - {2ddx/a} + {d^4/aa}</math> $i
addatur quadratum ex <math>E O dd + 2dy + yy</math>, erit $umma
<math>xx - {2ddx/a} + {d^4/aa} + dd + 2dy + yy</math> quadratum ex F E. Quod
$imiliter adæquetur quadrato ex F A <math>xx + yy</math>, atque æquatio ritè
ordinetur, ut inveniatur rur$us <math>x = {d^3 + 2aay + aad/2ad}</math>.</p>
<p>Quia verò, quæ uni æquantur, illa quoque æqualia $unt inter
$e, erit <math>{c^3 + 2aay + aac/2ac} = {d^3 + 2aay + aad/2ad}</math>. In qua æquatione,
$i multiplicemus per crucem, atque po$t æqualium ex æqualibus
$ubductionem, ita transferamus quantitates, ut utraque æqualita-
tis pars dividi po$$it per <math>d - c</math>, orietur <math>cdd + ccd = 2aay</math>.</p>
<p>Similiter, $i ex <math>A I = {zz/a}</math> auferatur <math>A G = x</math>, relinquetur G I
$eu <math>F K = {zz/a} - x</math>. cujus quadrato <math>{z^4/aa} - {2zzx/a} + xx</math> $i addatur
quadratum ex H K <math>zz - 2yz + yy</math>, erit aggregatum <math>{z^4/aa} - {2zzx/a}
+ xx + zz - 2yz + yy</math> quadratum ex H F. Quod item ob
rationem $upradictam quadrato ex F A $eu <math>xx + yy</math> erit æquale.
Quibus adæquatis, $i æquatio ritè ordinetur, con$tabit tertiò
<math>x = {z^3 - 2aay + aaz/2az</math>.</p>
<p>Quoniam autem primò inventa fuit <math>x = {c^3 + 2aay + aac/2ac}</math>, e-
runtitidem <math>{z^3 - 2aay + aaz/2az} & {c^3 + 2aay + aac/2ac}</math> inter $e æqualia.
Quocirca, $i multiplicatio fiat per crucem, atque, po$t æqua-
lium ex æqualibus ablationem, quantitates transferantur, ut u-
tra æqualitatis pars dividi po$$it per <math>z + c</math>: orietur <math>czz -
ccz = 2aay</math>.</p>
<p>Cum verò & $upra inventnm fuerit <math>2aay = cdd + ccd</math>, erunt
itidem <math>czz - ccz</math> & <math>cdd + ccd</math> inter $e æquales. Quam æqua-
tionem $i porrò per <math>c</math> dividamus, atque quantitates unius partis
transferamus in aliam $ub contrario $igno, $iet <math>zz - cz - dd\\- cd = 0</math>.</p>
<p>Po$tquam igitur evolvimus atque enodavimus propo$itionis
data, donec tandem pervenerimus ad æquationem <math>zz - cz - dd\\-cd = 0</math>,
re$tat ut illa quæ$ito re$pondeat, atque ejus beneficio propo$iti

<pb 334>[354]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
veritas eluceat, modò ex datis elici po$$it. Ideoque tentatâ divi-
$ione eju$dem æquationis per <math>z - c - d = 0</math>, ut con$tet, num ve-
rum $it, quod intenditur, nempe, <math>z</math> æquari <math>c + d</math>: reperitur divi-
$ionem fieri po$$e, & oriri <math>z + d = 0</math>. Et manife$tum fit, <math>z</math> æquari
<math>c</math> + <math>d</math>, $ive H I æqualem e$$e ip$is B C, E D $imul $umptis. Quod
erat demon$trandum.</p>
<fig>
<var>A P M N B L C O D E F G H K I</var>
</fig>
<p>Vnde patet, $i Circulus, tran$iens per verticem Parabolæ, eam
in B vel E tangat, hoc e$t, rectas C B, D E $ibi invicem æquales
faciat, tunc quidem H I ip$ius C B $eu D E duplam fore. Si enim
in hac ultima æquatione pro <math>d</math> $cribatur <math>c</math>, fiet æquatio <math>zz - cz
- 2cc = 0</math>. Quæ dividi poterit per <math>z - 2c = 0</math>, & orietur
<math>z + c = 0</math>. Id quod arguit <math>z</math> valere 2 <math>c</math>, hoc e$t, HI ip$ius C B
$eu D E duplam e$$e.</p>
<p>Sed non tran$eat circulus HBE per verticem A, verùm $ecet

<pb 335>[355]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
Parabolam ab una parte in puncto H, & ab altera in tribus pun-
ctis E, B, & M: Dico $imiliter HI æqualem e$$e ip$is E D, B C,
& M N $imul $umptis.</p>
<p>Po$itis enim ii$dem quæ priùs, e$to præterea M N = <math>b</math>. Vnde,
$imili ratione, quâ ante, A N erit <math>{bb/a}</math>. Sublatâ autem A N ex
A G = <math>x</math>, relinquitur N G $eu P F = <math>x - {bb/a}</math>. Cujus quadratum
<math>xx - {2bbx/a} + {b^4/aa}</math> $i addatur quadrato rectæ MP = <math>bb + 2by
+ yy</math>, erit $umma <math>xx - {2bbx/a} + {b^4/aa} + bb + 2by + yy</math> quadra-
tum rectæ F M.</p>
<p>Quoniam autem in Circulo, ob æqualitatem radiorum, rectæ
lineæ F B & F M $unt æquales, erunt quoque eorundem quadrata
<math>xx - {2ccx/a} + {c^4/aa} + yy + 2cy + cc</math>, & <math>xx - {2bbx/a} + {b^4/aa} + bb
+ 2by + yy</math> æqualia. Vnde, $i demantur utrinque æquales quan-
titates & reliquæ multiplicentur per <math>aa</math>, atque quantitates in <math>x</math>
ductæ ad unam æquationis partem transferantur, reliquæ verò ad
alteram, fiet <math>c^4 - b^4 + 2aacy - 2aaby + aacc - aabb =
2accx - 2abbx</math>. Dividatur jam utraque pars per <math>c - b</math>, & orie-
tur <math>c^3 + bcc + bbc + b^3 + 2aay + aac + aab = 2acx +
2abx</math>. Rur$us dividatur utrinque per 2 <math>ac + 2ab</math>, & orietur
<math>x = {c^3 + bcc + bbc + b^3 + 2aay + aac + aab/2ac + 2ab}</math>.</p>
<p>Eodem modo, cum rectæ F E & F M $int æquales, erunt etiam
earum quadrata, nempe, <math>xx - {2dd x/a} + {d^4/aa} + dd + 2dy + yy
& xx - {2bbx/a} + {b^4/aa} + bb + 2by + yy</math> æqualia. Quare demptis
utrobique æqualibus, reliquisque ductis in <math>a a</math>, tran$eant porrò
quantitates in <math>x</math> ductæ ad unam partem, & reliquæ ad alteram, fiet-
que <math>d^4 - b^4 + 2aady - 2aaby + aadd - aabb = 2addx -
2abbx</math>. Dividatur utraque pars per <math>d - b</math>, orieturque <math>d^3 + bdd
+ bbd + b^3 + 2aay + aad + aab + 2adx + 2abx</math>. Rur-
$us dividatur utrinque per 2 <math>ad + 2ab</math>, & habebitur
<math>x = {d^3 + bdd + bbd + b^3 + 2aay + aad + aab/2ad + 2ab}</math>.</p>
<p>I am verò, quoniam, quæ uni æqualia $unt, illa quoque inter $e

<pb 336>[356]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
$unt æqualia, erit <math>{d^3 + bdd + bbd + b^3 + 2aay + aad + aab/2ad + 2ab}
= {c^3 + bcc + bbc + b^3 + 2aay + aac + aab/2ac + 2ab}</math>.</p>
<p>Brevitatis verò causâ pro <math>b^3 + 2aay + aab</math> $cribatur + <math>e^3</math> du-
ctâque utrâque æqualitatis parte in 2 <math>a</math>, $eu (quod idem e$t) divi$o
utriu$que denominatore per 2 <math>a</math>, in$tituatur porrò multiplicatio
per crucem, ut fractiones evane$cant, fietque <math>cd^3 + bd^3 + bcdd
+ bbdd + bbcd + b^3 d + aacd + aabd + ce^3 + be^3 = c^3 d
+ c^3 b + bccd + bbcc + bbcd + b^3 c + aacd + aabc +
de^3 + be^3</math>. Et, deletis utrinque æqualibus, re$tituatur valor quan-
titatis a$$umptæ <math>e^3</math>, habebiturque <math>cd^3 + bd^3 + bcdd + bbdd +
b^3 d + aabd + b^3 c + 2aacy + aabc = c^3 d + c^3 b + bccd +
bbcc + b^3 c + aabc + b^3 d + aady + aabd</math>. Rur$us demptis
utrobique æqualibus, transferantur quantitates in <math>y</math> ductæ ad unam
partem, reliquæ verò ad alteram, & divi$io tandem in$tituatur
per <math>d - c</math>, orieturque <math>cdd + ccd + bdd + 2 bcd + bbd + bbc
+ bcc = 2aay</math>.</p>
<p>Similiter, cum rectæ H F & F M $int æquales, erunt pariter
earum quadrata <math>{z^4/aa} - {2zzx/a} + xx + zz - 2zy + yy</math>, &
<math>xx - {2bbx/a} + {b^4/aa} + bb + 2by + yy</math> æqualia. Vnde $ublatis
utrinque æqualibus, reliquisque per _a a_ multiplicatis, $i transfe-
rantur porrò quantitates, ita ut, quæ in <math>x</math> ductæ $unt, unam faciant
æquationis partem, reliquæ verò alteram, fiet <math>z^4 - b^4 - 2aazy
- 2aaby + aazz - aabb = 2azzx - 2abbx</math>. Dividatur
jam utraque pars per <maht>z + b</math>, orieturque <math>z^3 - bzz + bbz - b^3
- 2aay + aaz - aab = 2azx - 2abx</math>. Et rur$us utrinque
per 2 <math>az - 2ab</math>, fietque
<math>x = {z^3 - bzz + bbz - b^3 - 2aay + aaz - aab/2az - 2ab</math>.</p>
<p>Quoniam verò $uperiùs inventa fuit quantitas <math>x</math> æqualis
<math>{c^3 + bcc + bbc + b^3 + 2aay + aac + aab/2ac + 2ab}</math>, hinc
<math>{z^3 - bzz + bbz - b^3 - 2aay + aaz - aab/2az - 2ab}</math> &
<math>{c^3 + bcc + bbc + b^3 + 2aay + aac + aab/2ac + 2ab}</math> erunt quoque inter $e
æqualia.</p>

<pb 337>[357]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
<p>Brevitatis autem causâ rur$us pro + <math>b^3 + 2aay + aab</math> $criba-
tur + <math>e^3</math>, & - <math>e^3</maht> pro - <math>b^3 - 2aay - aab</math>. Deinde, multipli-
catâ utrâque æqualitatis parte per 2 <math>a</math>, $eu (quod idem e$t), divi$o
utriu$que denominatore per 2 <math>a</math>, fiat multiplicatio per crucem,
ut fractiones evane$cant, fietque <math>cz^3 + bz^3 - bczz - bbzz
+ bbcz + b^3 z + aacz + aabz - ce^3 - be^3 = c^3 z - bc^3
+ bccz - bbcc + bbcz - b^3 c + aacz - aabc + ze^3 -
be^3</math>. Po$tea auferantur utrinque æquales quantitates, & re$titua-
tur valor quantitatis a$$umptæ <math>e^3</math>, & fit <math>cz^3 + bz^3 - bczz -
bbzz + b^3 z + aabz - b^3 c - 2aacy - aabc = c^3 z - bc^3
+ bccz - bbcc - b^3 c - aabc + b^3 z + 2aayz + aabz</math>.
Denique deletis rur$us utrobique æqualibus, & revocatis quan-
titatibus in <math>y</math> ductis ad unam partem æquationis, reliquis verò ad
alteram, in$tituatur divi$io per <math>z + c</math>, & orietur <math>2aay = czz -
ccz + bzz - 2bcz + bcc - bbz + bbc</math>.</p>
<p>Verùm cum & $upra inventum fuerit <math>cdd + ccd + bdd +
2bcd + bbd + bbc + bcc = 2aay</math>, &, quæ eidem $unt æqualia, ea
quoque inter $e $int æqualia, erit <math>czz - ccz + bzz - 2bcz +
bcc - bbz + bbc = cdd + ccd + bdd + 2bcd + bbd + bbc
+ bcc</math>. Deleantur jam utrinque æqualia, & quantitates in <math>zz</math> du-
ctæ unam partem æquationis con$tituant, reliquæ verò alteram,
fietque <math>czz + ccz + cdd</math>. Deinde dividatur utrobique
<math>+ b + 2bc + ccd</math>
<math>+ bb + bdd</math>
<math>+ 2bcd</math>
<math>+ bbd</math>
per <math>c + b</math>, ut oriatur <math>zz = + bz + dd</math>, $ive tran$latis omnibus
<math>+ c + bd</math>
<math>+ cd</math>
ad unam partem: <math>zz - bz - dd = 0</math>.
<math>- c - bd
- cd</math></p>
<p>Po$tquam igitur percurrimus data propo$itionis, eaque $ic
enodavimus, ut difficultas omnis $it tran$lata ad æquationem
<math>zz - b\\- cz - dd\\- bd\\- cd = 0</math>, $upere$t ut o$tendamus eam quæ$ito pro-
po$itionis $atisfacere, quantùm quidem ex $uppo$itis datis de-

<pb 338>[358]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
duci pote$t. Hunc in finem tentanda erit divi$io æquationis per
<math>z - b - c - d = 0</math>, ut con$tet num verum $it, quod intenditur.
Quare cum tentatâ divi$ione reperiatur divi$ionem fieri po$$e,
atque oriri <math>z + d = 0</math>, $equitur quoque quæ$itum propo$itionis
e$$e verum, hoc e$t, <math>z</math> æquari <math>b + c + d</math>, $ive H I æqualem e$$e
ip$is M N, B C, & E D $imul $umptis. Quod erat demon-
$trandum.</p>
<p>Vnde liquet, $i circulus non tran$iens per verticem Parabolæ
eam tangat in M vel B, hoc e$t, rectas N M, C B $ibi invicem æ-
quales faciat, tunc H I æqualem fore ip$i D E, unà cum dupla ip$ius
N M vel C B. Si enim in hac ultima æquatione pro <math>c</math> $cribatur <math>b</math>,
<fig>
<var>A P M N B L C O D E F G H I K</var>
</fig>
fict æquatio <math>zz - 2bz - dd\\- 2bd = 0</math>, quæ dividi poterit per
<math>z - d - 2b = 0</math>, & orietur <math>z + d = 0</math>. Id quod arguit <math>z</math> valere

<pb 339>[359]<rh>C<sc>OMMENTARII IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
<math>d + 2b</math>, hoc e$t, HI æqualem e$$e compo$itæ ex D E & dupla
N M $eu C B.</p>
<p>Præterea hinc con$tat, (quod $anè animadver$ione dignum) $i
recta tangens Parabolam in aliquo puncto extra verticem ip$a ibi-
dem quoque tangatur à Circulo non per verticem tran$eunte, qui-
que Parabolam in eodem puncto $ecet, hoc e$t, ut rectæ N M,
C B, & D E omnes tres $int inter $e æquales: quòd tunc quidem
H I ip$ius N M, C B, vel D E tripla $it futura. Quippe con$ide-
rando N M vel C B bis $umendam e$$e, propter hujus rectæ con-
tactum in M vel B, ac deinde adhuc $emel, propter Circuli & Pa-
rabolæ in eodem puncto inter$ectionem. Vel etiam in æquatione
inventa <math>zz - bz\\- c - dd\\- bd\\- cd = 0</math> pro <math>c</math> & <math>d</math> $cribendo <math>b</math>, ac deinde
<math>zz - 2bz - 3bb = 0</math> dividendo per <math>z - 3b = 0</math>. oritur namque
<math>z + b = 0</math>. Id quod arguit <math>z</math> valere 3 <math>b</math>, hoc e$t, H I triplæ ip$ius
N M, C B, vel D E e$$e æqualem.</p>
<p>Denique $ecet Circulus H B E Parabolam extra verticem A,
ab utraque parte axis in duobus punctis; hinc quidem in H & M;
i$tinc verò in B & E. Dico itidem HI, M N $imul $umptas ip$is
B C, E D $imul $umptis e$$e æquales.</p>
<p>Po$itis enim ii$dem quæ priùs, invenietur $imiliter, $icut ante
o$tendimus, quadratum ex F M e$$e <math>xx - {2bbx/a} + {b^4/aa} + bb -
2by + yy</math>. Et quoniam per definitionem Circuli rectæ lineæ F B
& F M $unt æquales, erunt quoque earum quadrata æqualia:
<math>xx - {2ccx/a} + {c^4/aa} + yy + 2cy + cc</math> & <math>xx - {2bbx/a} + {b^4/aa} + bb
-2by + yy</math>. Vnde deletis utrinque æqualibus, & reliquis per
_a a_ multiplicatis, $i transferantur porrò quantitates in <math>x</math> ductæ, ut
unam partem æquationis efficiant, reliquæ verò alteram, fiet
<math>c^4 - b^4 + 2aacy + 2aaby + aacc - aabb = 2accx -
2abbx</math>. Divisâ autem utrâque parte per <math>c + b</math>, orietur <math>c^3 - bcc
+ bbc - b^3 + 2aay + aac - aab = 2acx - 2abx</math>. Vbi
rur$us $i utrinque dividatur per <math>2ac - 2ab</math>, orietur
<math>x = {c^3 - bcc + bbc - b^3 + 2aay + aac - aab/2ac - 2ab}</math>.</p>
<p>Eodem modo, cum rectæ F E & F M $int æquales, erunt
etiam earum quadrata <math>x x - {2ddx/a} + {d^4/a a} + dd + 2dy + yy</math> &

<pb 340>[360]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
<fig>
<var>A M P N L C B O D E F G H K I</var>
</fig>
<math>xx - {2bbx/a} + {b^4/aa} + bb - 2by + yy</math> æqualia. Quare $i deman-
tur utrobique æquales, & reliquæ ducantur in <math>aa</math>, nec non quan-
titates in <math>x</math> ductæ di$ponantur ad unam, reliquæ verò ad alteram
æquationis partem con$tituendam, fiet <math>d^4 - b^4 + 2aady +
2aaby + aadd - aabb = 2addx - 2abbx</math>. Dividatur jam
utraque pars per <math>d + b</math>, & proveniet <math>d^3 - bdd + bbd - b^3 +
2aay + aad - aab = 2adx - 2abx</math>, & rur$us utrinque per
<math>2 ad - 2 ab</math>, orieturque <math>x = {d^3 - bdd+bbd-b^3+2aay+aad-aab/2ad-2ab}</math>.</p>
<p>Quia verò quæ uni æquantur, illa quoque æqualia $unt inter
$e, erit <math>d^3 - bdd + bbd - b^3 + 2aay + aad - aab/2ad - 2ab}
= {c^3 - bcc + bbc - b^3 + 2aay + aac - aab/2ac - 2ab}</math>. Brevitatis autem
causâ pro <math>- b^3 + 2aay - aab</math> $cribatur, propter earundem
<mgl>_signum 🜶_
_$ignificat_
+ _vel_ -
_Signum 🜶_
_$igni$icat_
+ _vel_ -
_$en$u con-_
_trario_</mgl>
quantitatum amphiboliam, 🜶 <math>e^3</math>, & multiplicatâ utrâque æqua-
litatis parte per 2 <math>a</math>, $eu, quod idem e$t, divi$o utriu$que denomi-
natore per 2 <math>a</math>, in$tituatur porrò multiplicatio per crucem, ut fra-
ctiones evane$cant, fietque <math>cd^3 - bd^3 - bcdd + bbdd + bbcd
- b^3 d + aacd - aabd 🜶 ce^3 🜶 be^3 = c^3 d - c^3 b - bccd +
bbcc + bbcd - b^3 c + aacd - aabc 🜶 de^3 🜶 be^3</math>, Et, dele-

<pb 341>[361]<rh>C<sc>OMMENTAR II IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
tis utrinque æqualibus, re$titutoque valore quantitatis a$$umptæ
<mgr>_prioris $i-_
_gni, h. e.,_
_cum per_
_$ignum 🜶_
_intelligitur_
+, _tum_
_per $i-_
_gnum 🜶_
_intelligi-_
_tur-; aut_
_cùm per_
_$ignum 🜶_
_intelligi-_
_tur-, tum_
_per $ignum_
_🜶 intelli-_
_gitur_ +.</mgr>
🜶 <math>e^3, fiet cd^3 - bd^3 - bcdd + bbdd - b^3 d - aabd - b^3 c
+ 2aacy - aabc = c^3 d - c^3 b - bccd + bbcc - b^3 c - aabc
- b^3 d + 2 aady - aabd</math>. Vbi$i demum demantur utrobique
æquales quantitates, & quæ in <math>y</math> ductæ $unt transferantur, utu-
nam faciant æquationis partem, reliquæ autem alteram, ac tan-
dem divi$io in$tituatur per <math>d - c</math>, orietur <math>cdd + ccd - bdd -
2 bcd + bbd + bbc - bcc = 2 aay</math>.</p>
<p>Similiter, cum rectæ H F & F M æquales $int, erunt quoque
earum quadrata <math>{z^4/aa} - {2zzx/a} + xx + zz - 2zy + yy & xx - {2bbx/a}
+ {b^4/aa} + bb - 2by + yy</math> æqualia. Vnde ablatis utrinque æquali-
bus, reliquisque multiplicatis per _a a_, adhibeatur porrò tran$latio,
ut quantitates in <math>x</math> ductæ unam teneant æquationis partem, reli-
quæ verò alteram, $ietque <math>z^4 - b^4 + 2 aaby - 2 aazy + aazz
- aabb = 2 azzx - 2 abbx</math>. Dividatur jam utraque pars per
<math>z - b</math>, & orietur <math>z^3 + bzz + bbz + b^3 - 2 aay + aaz + aab
= 2 azx + 2 abx</math>. Rur$us dividatur utrinque per <math>2 az + 2 ab</math>,
& habebitur <math>x = {z^3 + bzz + bzz + b^3 - 2 aay + aaz + aab/2 az + 2 ab}</math>.</p>
<p>Quia verò & $upra quantitas <math>x</math> inventa fuit
= <math>{c^3 - bcc + bbc - b^3 + 2 aay + aac - aab/2 ac - 2 ab}</math>, erunt
<math>{z^3 + bzz + bbz + b^3 - 2 aay + aaz + aab/2 az + 2 ab}</math> &
<math>{c^3 - bcc + bbc - b^3 + 2 aay + aac - aab/2 ac - 2 ab}</math> inter $e æqualia. Brevi-
tatis cau$sâ, $cribatur rur$us 🜶 <math>e^3 pro - <math>b^3 + 2 aay - aab</math>, &
🜶 <math>e^3 pro + <math>b^3 - 2 aay + aab</math>, & multiplicatâ utrâque æquali-
tatis parte per 2 <math>a</math>, $eu, quod idem e$t, divi$o utriu$que denomina-
tore per 2 <math>a</math>, in$tituatur multiplicatio per crucem, ut fractiones
evane$cant, fietque <math>cz^3 - bz^3 + bczz - bbzz + bbcz -
b^3 z + aacz - aabz 🜶 ce^3 🜶 be^3 🜶 c^3 z + bc^3 - bccz -
bbcc + aacz + b^3 c + bbcz + aabc 🜶 ze^3 🜶 be^3</math>. Ablatis
porrò utrinque æqualibus, re$titutisque valoribus quantitatum
a$$umptarum 🜶 <math>e^3 & 🜶 e^3, fiet cz^3 - bz^3 + bozz - bbzz -
b^3 z - aabz + b^3 c - 2 aacy + aabc= c^3 z + bc^3 - bccz -
bbcc + b^3 c + aabc - b^3 z + 2 aazy - aabz</math>. Vbi $i rur$us
utrobique demantur æquales, & quantitates in <math>y</math> ductæ ad unam

<pb 342>[362]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
partem revocentur, reliquæ verò ad alteram, ac demum utraque
pars æqualitatis dividatur per <math>z + c</math>, orietur <math>czz - ccz - bzz
+ 2bcz - bcc - bbz + bbc = 2 aay</math>.</p>
<p>Cum verò & $upra inventum fuerit <math>cdd + ccd - bdd - 2 bcd
+ bbd + bbc - bcc = 2 aay</math>, &, quæ eidem æquantur, inter $e
quoque $int æqualia, erit <math>czz - ccz - bzz + 2 bcz - bcc -
bbz + bbc = cdd + ccd - bdd - 2 bcd + bbd + bbc - bcc</math>.
Deleantur utrinque æqualia, & quantitates in <math>zz</math> ductæ unam
partem æquationis con$tituant, reliquæ verò alteram, habebitur-
que + <math>czz = + ccz + cdd</math>. Vbi tandem $i utrobique divida-
- <math>b - 2bc + ccd
+ bb - bdd
- 2bcd
+ bbd</math>
tur per <math>c - b</math>, orietur <math>zz = cz + dd</math>. Hoc e$t, $i collocentur
- <math>b + cd
- bd</math>
quantitates omnes ad unam partem, erit
<math>zz - cz - dd = o.
+ b - cd
+ bd</math></p>
<p>Quare po$tquam percurrimus omnia propo$itionis data, ea-
que $ic enodavimus, ut difficultas omnis reducta $it ad æquatio-
nem <math>zz - cz - dd = o</math>: $upere$t ut ip$a contineat quæ$itum
<math>+ b - cd
+ bd</math>
propo$itionis, modò $it verum atque ex datis deduci po$$it. Ad
quod explorandum, videri debet, num æquatio inventa dividi
po$$it per <math>z - c - d + b = o</math>. Quare cum reperiatur divi$ionem
fieri po$$e, atque oriri <math>z + d = o</math>. $equitur quæ$itum propo$itio-
nis e$$e verum, hoc e$t, <math>z + b</math> æquari <math>c + d</math>, $ive H I & M N $imul
$umptas æquales e$$e ip$is B C & E D $imul $umptis. Quod erat
demon$trandum.</p>
<p>Vnde liquet, $i Circulus non tran$iens per verticem Parabolæ
eam tangat in B vel E, hoc e$t, rectas C B, D E $ibi invicem æ-
quales faciat, tunc H I, M N $imul $umptas ip$ius C B vel D E
duplas fore.</p>
<p>Si enim in hac ultima æquatione pro <math>d</math> $cribatur <math>c</math>, erit æqua-

<pb 343>[363]<rh>C<sc>OMMENTAR II IN</sc> L<sc>IBRVM</sc> III.</rh>
tio talis: <math>zz - cz - 2 cc = o</math>, quæ dividi pote$t per <math>z - 2 c +
+ b + bc
b = o</math>, & oritur <math>z + c = o</math>. Id quod arguit, <math>z</math> valere 2 <math>c - b</math>, $ive
<math>z + b</math> e$$e = 2 <math>c</math>, hoc e$t, H I & M N $imul $umptas æquales e$$e
ip$i C B $eu D E his $umptæ.</p>
<p>Quare con$tat Theorematis veritas.</p>
<p>_Siautem habeatur_ <math>z^3 = * - pz + q</math>, _regula, cujus in_-
<mgr><sc>Y</sc></mgr>
_ventionem Cardanus_ & <math>c</math>.] Quò ea, quæ de exprimendis ra-
dicibus Æquationum Cubicarum Autor hîc breviter per$trinxit,
cuivis manife$tiora fiant: vi$um fuit po$t $equentis loci illu$tratio-
nem afferre huc Appendicem, quam de Cubicarum Æquationum
re$olutione anno 1646 $imul cum Organica Conicarum Sectio-
num de$criptione in lucem emi$imus, & nunc emendato hîc illic
$en$u cum additione quorundam $ubjungimus.</p>
<p>_Hanc autem curvam in 6 diver$is punctis $ecare po-
<mgr><sc>Z</sc></mgr>
_te$t, ita ut hîc $ex diver $æ radices in Æquatione ha_-
_beri queant. Atque cùm illam in paucioribus $ecat, hoc_
_indicio e$t, qua$dam ex hi$ce radicibus inter $e æquales_
_e$$e, aut ip$arum aliquas e$$e tantùm imaginarias_.]
Quoniam hîc nonnulli $crupulum $ibi ip$is injiciunt, concipien-
di, qui fieri po$$it, ut circulus aliquis hanc curvam in 6 diver$is
punctis $ecet: haud abs re fore credidi, $i hoc loco exemplum, quod
$ibi jam pridem ingenio$i$$imus Huddenius, ad difficultatem hu-
jus rei è medio tollendam, $ubjecit, adducerem.</p>
<p>Quocirca $umendo ad hoc æquationem <math>y^6 - 21 y^5 + 169 y^4 -
675 y^3 + 1414 yy - 1464 y + 576 = o</math>, cujus radices, ut, 1, 2, 3,
3, 4, & 8, $unt omnes veræ ac rationales, & ex his duæ, ut 3 & 3,
ad calculi prolixitatem evitandam, inter $e æquales: oportet, ad
curvæ hujus de$criptionem, a$$umere A B = <math>{1/2} p = 10{1/2}</math>,
<math>p = 21 B K = <r>{t/√ v} + q - {1/4} pp</r> $eu n = √ {479/4}</math>, & E D vel
<mgr>_Vide $i_-
_guras_
_pag_. 98
& 100.</mgr>
<math>q = 169</math>
<math>r = 675 T V = {2 √ v/pn} = √ {9216/211239}</math>. Deinde, ut inveniatur
$ = 1414 circulus P C N, oportet, acceptâ B L æquali E D =
<math>t = 1464</math>
<math>v = 576 √ {9216/211239}</math>, a$$umere L H = <math>{t/2 n √ v} = √ {3721/479}</math>; & ex pun-
cto H erectâ perpendiculari H I = <math>{r/2 nn} + {√ v/nn} + {pt/4nn√v}</math>
(id quod brevitatis causâ vocetur <math>{m/nn}) = {2727/479}</math>, in circulo cujus

<pb 344>[364]<rh>F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc></rh>
diameter I L in$cribere L P = <math><r>{$ + p √ v/nn}</r> = √ {7672/479}</math>: eritque I P
radius quæ$iti circuli = <math><r>{mm/n^4} + {tt/4nnv} - {$/nn} - {p √ v/nn}</r> = √ {5544000/229441}</math>.</p>
<p>I am ut con$tet, circulum hunc ex I intervallo invento I P de-
$criptum $ecare vel tangere curvam A C N in tot diver$is pun-
ctis, quot æquatio inæquales habet radices, hoc e$t, hîc in 5 di-
ver$is punctis, cum propter duas æquales 3 & 3 circulus hanc cur-
vam ibidem non $ecet $ed tangat: con$iderandum e$t, lineam I M
e$$e = <math>{m/nn} - y vel y - {m/nx}, adeoque quadratum ex I M $emper e$$e
{mm/n^4} - {2my/nn} + yy</math>, & lineam G H vel C M $emper
= <math>{-y^3 + {1/2}pyy + {ty/2√v} - √ v./ny}</math> Ac proinde, $i, tribuendo radici <math>y</math>
unumquemque ex $upra dictis valoribus, ex lineis hi$ce, per 47
primi Elem. Eucl., quæramus lineam I C, eamque $ingulis vicibus
æqualem reperiamus radio ante invento I P = <math>√ {5544000/229441}</math>: certum
e$t, quòd circulus P C N eandem curvam A C N, quemadmo-
dum indicatum fuit, $it $ecturus vel tacturus.</p>
<p>Hinc, $i ponatur <math>y = 1</math>, erit <math> # □ I M. {5053504/229441}\\□ C M. {490496/229441} y = 2</math>, erit <math> # □ I M. {3129361/229441}\\□ C M. {2414639/229441}</math>
adeoque □ I C. <math>{5544000/229441}</math> adeoque □ I C. <math>{5544000/229441}</math>
<math>y = 3</math>, erit <math> # □ I M. {1664100/229441}\\□ C M. {3879900/229441} y = 4</math>, erit <math> # □ I M. {657721/229441}\\□ C M. {4886279/229441} y = 8</math>, erit <math> # □ I M. {1221025/229441}\\□ C M. {4322975/229441}</math>
adeoque □ I C. <math>{5544000/229441}</math> adeoque □ I C. <math>{5544000/229441}</math> adeoque □ I C. <math>{5544000/229441}</math>.</p>
<p>Ex quibus igitur apparet, quòd, a$$umptâ qualibet ex radici-
bus, linea I C $emper ip$i I P inveniatur æqualis, hoc e$t, quòd
circulus, qui ex I intervallo I P de$cribitur, curvam A C N in 5 di-
ver$is punctis $ecet vel tangat, in tot videlicet, quot æquatio pro-
po$ita diver$os admittit radicis valores. Quod erat o$tendendum.</p>
<p>Eodem modo liquet, $i æquatio propo$ita 6 radices inæquales
habuerit, quòd tunc quoque circulus P C N curvam A C N in
6 diver$is punctis $ecet.</p>

<pb 345>[365]
<h>APPENDIX,
DE
CVBICARVM</h>
<h>ÆQVATIONVM RESOLVTIONE.</h>
<p>A E<sc>QVATIONES</sc> Cubicæ omnes, & Quadrato-
quadratæ, <n *> quæ quidem & ad Cubicas reducun-
<mgr *>_Vide quæ_
_babentur_
_pag_. 92. _à_
_lin_. 11 _u$-_
_que ad fi-_
_nem eju$-_
_dem pagi-_
_næ_.</mgr>
tur, quarum radix duarum e$t dimen$ionum, $em-
per ad aliquam trium $equentium formularum re-
duci po$$unt.</p>
<math>z^3 = * - pz + q</math>.
<math>z^3 = * - pz + q</math>.
<math>z^3 = * - pz + q</math>.
<p>In priori autem formulâ, ubi <math>z^3</math> æquatur - <math>pz + q</math>, regula
Cardani, cujus inventionem Scipioni Ferreo tribuit, nos docet ra-
dicem e$$e <math><r>C.+{1/2}q + <r>{1/4}qq + {1/27}p^3</r></r> - <r>C.-{1/2}q+<r>{1/4}qq + {1/27}p^3</r></r></math>.</p>
<p>Quemadmodum etiam $i habeatur <math>z^3 = + pz + q</math>, in qua qua-
dratum $emi$$is ultimi termini $it majus cubo trientis quantitatis
cognitæ penultimi termini, $imilis regula o$tendit radicem fore
<math><r>C. + {1/2}q + <r>{1/4}qq - {1/27}p^3</r></r> + <r>C. + {1/2}q - <r>{1/4}qq - {1/27}p^3.</r></r></math></p>
<p>Vnde liquet in omnibus Problematibus, quorum difficultates
ad æquationem hujus vel illius formulæ reducuntur, ejus æqua-
tionis radices, aliàs numero non explicabiles, $emper hoc modo
juxta Cardani regulas per latera cuborum quorundam, quorum
contentum cogno$citur, exprimi po$$e.</p>
<p>Deinde verò $i habeatur <math>z^3 = + pz + q</math>, ubi <math>{1/4}qq</math> $it minus
quàm <math>{1/27} p^3</math>, ibi prædicta regula non habet locum, nec eju$dem
bene$icio radix ullo modo intelligibili explicari pote$t, $icut infe-
riùs o$tendemus. Quæ quidem res olim multæ fuit caliginis, &
ut$cribit Albertus Girardus in libello cuititulus: _Invention nou_-
_velle en l'Algebre_, qui anno 1629 prodiit: _hoc e$t, in quo Autores_
_hactenus fuerunt valde intricati, & ut verum fatear in re quàm maxi_-
_mè difficili_.</p>
<p>Hinc, quæ hùc $pectant $ubob$cura, aut neglectâ demon$tra-

<pb 346>[366]<rh>A<sc>PPENDIX DE</sc> C<sc>VBICARVM</sc></rh>
tione apud prædictos Autores invenimus, ea illu$trare nobis vi-
$um fuit: præmittentes ad hoc $equentia Theoremata demon-
$trata.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> I.</h>
<p>Si fuerit triangulum æquilaterum M N L circulo in-
$criptum, atque ex L educta utcunque recta L F u$que
ad circum$erentiam in F, quæ $ecet M N in O, junctæ-
que rectæ M F, F N: Dico F L æqualem e$$e ip$is M F,
F N $imul $umptis.</p>
<p>Triangula enim L N O &
<fig>
<var>F M N O L</var>
</fig>
L N F $imilia $unt, cum ha-
beant angulum ad L commu-
nem, & angulum L N O, hoc
<mgl 1>_per_ 21
_prop. ter_-
_tii Elem_.</mgl>
<mgl 2>_per_ 32
_primi E_-
_lem_.</mgl>
<mgl 3>_per_ 4<_>tam</_>
_$exti E_-
_lem_.</mgl>
<mgl 4>_per_ 24
_quinti_
_Elem_.</mgl>
e$t, L M N ip$i L F N <n 1> æqua-
lem, unde & tertius L O N
tertio L N F <n 2> æqualis e$t.
Quocirca <n 3> erit ut N O ad
L N, ita F N ad L F. Eodem
modo cum $imilia $int trian-
gula L M O & L F M, erit ut
M O ad L M $eu L N, ita F M ad L F. Igitur<n 4> erit, ut N O, M O
$imul ad L N, ita F N, F M $imul ad L F. Æquales autem $unt
N O, M O $imul $umptæ ip$i L N, æquales ergo quoque erunt
F N, F M $imul $umptæ ip$i L F. Quod erat o$tendendum.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> II.</h>
<p>Ii$dem po$itis, ductâ diametro F H K, $umatur ar-
cus G L K triplus arcûs L K, jungaturque G F: Dico
$imiliter arcum G M F arcus M F, nec non arcum
G N F arcûs N F triplum e$$e.</p>
<p>Ducatur enim diameter L H P. Hæc namque $ecabit arcum
M F N bifariam in P. Quoniam autem propter triangulum æ-
quilaterum M N L circumferentia circuli dividitur in tres partes

<pb 347>[367]<rh>Æ<sc>QVATIONVM RESOLVTIONE</sc>.</rh>
æquales, ac ip$a tripla e$t
<fig>
<var>P F M N H G K L</var>
</fig>
arcus M P N, erit & $e-
micircumferentia F M K
tripla arcus M P. Quo-
circa cum eadem ratio $it
arcus F M K ad arcum
M P, totius ad totum,
quæ arcus G L K ad ar-
cum L K $eu F P, ablati
ad ablatum, erit quoque
reliqui arcus G M F ad
reliquum arcum M F ea-
dem ratio, quæ totius ad totum <n *>. Triplus autem e$t arcus F M K
<mgr *>_per_ 19@
_quinti_
_Elem_.</mgr>
arcus M P. Triplus ergo etiam e$t arcus G M F arcus M F. Quod
erat demon$trandum.</p>
<p>Eodem modo o$tenditur arcum G N F arcus N F triplum e$$e.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> III.</h>
<p>Ii$dem po$itis, ducatur recta <math>n</math> N parallela F <math>m</math>, oc-
currens rectæ F L in N; itemque <math>m</math> M <math>l</math parallela F <math>n</math>,
$ecans quidem rectam F L in M, occurrens autem du-
ctæ <math>n</math> N in <math>l</math>: Dico $i ducantur H <math>l</math>, H N, & H M ip$as
inter $e æquales e$$e, unamquamque verò æqualem re-
ctæ L K.</p>
<p>Quoniam enim anguli <math>m</math> F M & N F <math>n</math> $inguli circum$erentiæ
tertiæ parti in$i$tunt, & ob parallelas ductas angulus F M <math>m</math> an-
gulo N F <math>n</math> æquatur, at angulus F N <math>n</math> angulo <math>m</math> F M: erunt trian-
gula <math>m</math> F M & N F <math>n</math>, quemadmodum etiam triangulum N M <math>l</math>
æquiangula, ac proinde æquilatera. Porrò cum F L æquetur ip$is
<math>m</math> F, F <math>n</math> $imul $umptis (ut $upra o$ten$um fuit); at que ablata F M
ip$i <math>m</math> F, erit reliqua M L ip$i F <math>n</math> æqualis: cumque F N æquetur
ip$i <math>ml</math>, erunt quoque M L & <math>ml</math>, atque adeò omnes tres <math>ml</math>,
<math>n</math> N, & M L inter $e æquales. Vnde $i ab his æqualibus rectis aufe-
rantur rectæ inter $e æquales M <math>l</math>, N <math>l</math>, & M N, remanebunt $imili-
ter <math>m</math> M, <math>nl</math>, & N L inter $e æquales. Præterea cum <math>mn</math>, <math>n</math> L, & L <math>m</math>
tres rectæ $int inter $e æquales, liquet triangula <math>mnl</math>, <math>n</math> L N, & L<math>m</math>M

<pb 348>[368]<rh>A<sc>PPENDIX DE</sc> C<sc>VBICARVM</sc></rh>
inter $e con$tare ex æqualibus lateribus, ip$aque ob hoc & angulos
$ingulos $ingulis æquales habere, hoc e$t, æquales inter $e erunt
anguli <math>mnl</math>, <math>n</math> L N, & L <math>m</math> M. Quia autem & anguli <math>mn</math> H, <math>n</math> L H,
& L <math>m</math> H inter $e æquales $unt, patet, $i hi ex prædictis æqualibus
inter $e angulis demantur, reliquos itidem angulos H <math>nl</math>, H L N,
& H <math>m</math> M inter $e æquales fore. Denique, propter æqualitatem
radiorum H <math>n</math>, H L, & H <math>m</math>, per$picuum e$t, triangula H <math>nl</math>, H N L,
<fig>
<var>F _m_ _n_ M _l_ H Q G N I K L</var>
</fig>
& H <math>m</math> M habere inter $e duo latera duobus lateribus, utrumque
utrique æqualia; ac in$uper angulum angulo, inter æqualia late-
ra contentum: unde & ba$in ba$i æqualem habebunt, atque adeò
æquales inter $e erunt rectæ H <math>l</math>, H N, & H M. Quòd autem præ-
terea unaquæque ex ip$is æquetur rectæ L K, con$equenter $ic
o$tenditur. Producatur <math>l</math> H ut $ecet F L in Q. Hæc igitur ad re-
ctos angulos cadet in F L, atque eam bifariam $ecabit in Q. Quia
porrò, propter $imilitu dinem triangulorum F L K & F Q H, F L
e$t ad L K, ut F Q ad Q H; & permutando F L ad F Q, ut L K
ad Q H, atque F L ip$ius F Q e$t dupla: erit quoque L K ip$ius

<pb 349>[369]<rh>Æ<sc>QVATIONVM RESOLVTIONE</sc>.</rh>
Q H dupla. Dupla autem etiam e$t H <math>l</math> ip$ius Q H, $iquidem æ-
quilaterum e$t triangulum M <math>l</math> N: quare & H <math>l</math> nec non H M,
H N ip$i L K æquales erunt. Quod erat o$tendendum.</p>
<p>Ex his per$picua $unt ea, quæ ab Alberto Girardo afferuntur
in libello $upra citato, ubi docet quo pacto radix æquationis
1 ③ = 13 ① + 12, in qua cubus trientis numeri radicum major
e$t quadrato $emi$$is numeri ab$oluti, $it exprimenda.</p>
<p>Vt autem pateat M N
e$$e √ 13, ob 13 ① in
<fig>
<var>P F M N R H G I K L T S</var>
</fig>
æquatione, $ciendum e$t
ductis rectis H M, M P
triangulum H M P e$$e
æquilaterum, ac proin-
de quadratum M R tri-
plum e$$e quadrati H R.
Quocirca cum eadem $it
ratio duplæ M R, hoc
e$t, ip$ius M N ad du-
plam H R, hoc e$t, H P,
quàm $implæ M R ad
$implam H R: erit quo-
que quadratum M N qua-
drati H P triplum. Vn-
de $i $tatuamus radium
circuli æqualem radici
quadratæ ex triente nu-
meri radicum 13, hoc
e$t, = <math>√ 4{1/3}</math>, liquet M N
tunc fore √ 13. Sicut
proponebatur.</p>
<p>Lubet autem propo$itum ip$ius ulteriùs inquirere, atque rem
omnem paucis patefacere.</p>
<p>In quem finem eju$modi quæ$tionem proponimus.</p>
<p>_Circulo exi$tente_ F G K, _cujus diameter_ F K, _in eoque_
_in$criptâ_ F G, _trifariam $ecetur arcus_ G K, _à diametro_
& _in$criptâ interceptus, in punctis_ I & L, & _recta conne_-

<pb 350>[370]<rh>A<sc>PPENDIX DE</sc> C<sc>VBICARVM</sc></rh>
_ctatur_ F L_; datâ autem_ F H _$eu_ H K = <math>a</math>, & F G = <math>b</math>,
_oporteat invenire_ F L = <math>x</math>.</p>
<p>Iungantur K L, L I, & I G, ductâque F I producatur ad S, do-
nec angulus F S L æquetur angulo I F L: eritque S L æqualis L F,
<mgl 1>_per 6_
_primi_
_Elem_.</mgl>
<mgl 2>_per_ 21
& 22
_tertit E-_
_lem. nec_
_non_ 13
_primi_
_Elem_.</mgl>
<mgl 3>_per_ 29
_tertii_
_Elem_.</mgl>
& S I æqualis F L. Æqualis enim e$t S L ip$i L F<n 1>, & S I ip$i F K,
propter triangula I L S & K L F, quorum duo anguli L I S & S
unius $inguli $unt æquales duobus L K F & L F K alterius <n 2>, ac
præterea latus I L lateri L K <n 3>. Eodem modo, productâ F G do-
nec angulus F T I æquetur angulo G F I; erit $imiliter T I æqua-
lis I F, atque T G ip$i L F. Porrò cum $imilia $int triangula F H L,
F L S, & F I T: erit ut H F ad F L, ita L F ad F S. Vnde cum
H F $it = <math>a</math>, & F L = <math>x</math>, erit F S = <math>{xx/a}</math>, è quâ $i auferatur S I $eu
K F = <n 2><math>a</math>, relinquetur I F = <math>{xx/a} - 2 a</math>. Eâdem ratione, cum $it ut
H F ad F L, ita I F ad F T, erit F T = <math>{x3/aa} - 2 x</math>, è quâ $i tollatur T G
$eu F L = <math>x</math>, remanebit
<fig>
<var>P F M N R H G I K L T S</var>
</fig>
G F = <math>{x3/aa} - 3 x</math>. Re$tat
igitur, ut <math>{x3/aa} - 3 x</math> ad-
æquetur ip$i G F da-
tæ = <math>b</math>. Quare æquali-
tate ordinatâ, <math>x^3 æqua-
bitur 3 <math>aax + aab</math>. Quæ
æquatio $ecundæ for-
mulæ e$t, in quâ qua-
dratum $emi$$is ultimi
termini e$t minus cubo
trientis quantitatis co-
gnitæ penultimi: majus
enim e$t <math>a^6</math> quàm <math>{1/4}a^4 b b</math>.
Nam $i utrobique divi-
damus per <math>a^4</math>, fit <math>a a</math> ma-
jus quàm <math>{1/4}bb</math>, cum, u-
trinque extrahendo ra-
dicem, <math>a</math> fiat majus quàm
<math>{1/2}b</math>, $eu<_>2</_> <math>a</math> majus quàm <math>b</math>.
Vt e$t manife$tum, cum

<pb 351>[371]<rh>Æ<sc>QVATIONVM RESOLVTIONE</sc>.</rh>
2 <math>a</math> diametrum circuli referat, <math>b</math> autem in eodem in$criptam G F,
atque diameter omnium rectarum circulo in$criptarum <n 1> $it ma-
<mgr 1>_per_ 15
_tertii_
_Elem_.</mgr>
xima. Vnde $i <math>a^6</math> æquetur <math>{1/4}a^4 bb</math>, tunc quoque in$cripta G F æ-
qualis erit diametro F K: ita ut eo ca$u duæ hæ lineæ coincidant,
ac eadem fiat quæ$tio ac $i $emicircumferentia F G K in tres æ-
quales partes $ecanda foret. Quo quidem ca$u radix quæ$ita F L
fit latus trianguli æquilateri, eodem circulo in$cripti.</p>
<p>E quibus plana fiunt illa, quæ ad explicationem radicis $upra-
dictæ æquationis 1 <math>③ = 13 ① + 12</math> Albertus Girardus in me-
dium affert. Vbi inter 4{1/3} (tertiam partem ip$ius 13) & unitatem,
mediam proportionalem invenit <math>√ 4{1/3}</math>, eamque $emidiametrum
circuli $tatuit F H, quâ ut radio ip$um de$cribit, ac in eo deinde
lineam F G adaptat æqualem <math>2{10/13}</math>, (quotienti videlicet divi$ionis
12 per <math>4{1/3}</math>). In quo porrò trifariam $ecando arcum G K in punctis
I & L, jungendoque F L, ait F L e$$e valorem radicis quæ$itæ 1 ①
æquationis propo$itæ. Dicens præterea alios duos valores ip$ius
①, per - expre$$os, de$ignari per rectas F M, F N, eosque duo-
bus modis inveniri. Iuxta priorem quidem, $i <n 2> centro H & in-
<mgr 2>_ut in fig_.
_pag_. 348.</mgr>
<mgr 3>_ut in fig_.
_pag_. 347.</mgr>
tervallo L K arcus de$cribatur M N, $ecans F L in M & N; Iuxta
po$teriorem verò, <n 3> de$cribendo in circulo à puncto L triangu-
lum æquilaterum L M N, jungendoque F M & F N. Illas enim
utroque modo ea$dem inveniri, ex $upra demon$tratis mani$e-
$tum e$t.</p>
<p>Vbi præterea notat in æquatione 1 <math>③ = 13 ① - 12</math> o$ten$os
valores prioris æquationis radici quæ$itæ propo$itæ æquationis
$atisfacere, $i tantùm eorum $igna + & - immutaverimus, ea-
que denotaverimus per - F L, + F M, & + F N. Sed hoc ex $e-
quentibus per$picuum fiet. Quemadmodum etiam illud, quod
$pectat ad æquationes $ecundæ formulæ, quas inquit neminem ad
$uum u$que tempus re$olvere $civi$$e, quæ $ecundùm Analy$in
$pecio$am Vietæ ita denotantur:</p>
<p>A cubus æqualis + <sc>BB</sc>\\+<sc>BC</sc>\\+ <sc>CC</sc> # in <sc>A</sc> + <sc>B</sc>\\+ <sc>C</sc> # in <sc>BC</sc>.</p>
<p>Quòd eodem recidit ac $i earundem con$titutionem $ic agno-
$ceres, conciperesque è duobus lateribus, puta B & C, facta e$$e
tria proportionalia plana B B, B C & C C, quorum aggregatum
$it B B + B C + C C, $eu quantitas <math>p</math>; & quod fit ex medio

<pb 352>[372]<rh>A<sc>PPENDIX DE</sc> C<sc>VBICARVM</sc></rh>
plano in aggregatum eorundem laterum $it <sc>B</sc> + <sc>C</sc> in B C, $eu
quantitas <math>q</math>. Quod quidem ultimum factum $ic quoque interpre-
tari poteris, dicendo illud produci ex multiplicatione duorum
priorum planorum in latus $ecundum; vel etiam ex $umma duo-
rum po$teriorum planorum in latus primum: cum tria illa $olida
inter $e æqualia $int, ut experienti con$tabit.</p>
<p>Vt autem penitiùs hæc intro$piciamus, atque æquationum ha-
rum con$titutionem agno$camus, ponamus <math>x = d</math> $eu <math>x - d = o</math>,
& rur$us <math>x = - b</math> $eu <math>x + b = o</math>, ac denuo <math>x = - c</math> $eu <math>x + c = o</math>,
ducamusque <math>x - d = o</math> in <math>x + b = o</math>, tum verò quod inde fit in
<math>x + c = o</math>, & prodibit æquatio:</p>
<p><math>x^3 - dxx - bdx - bcd = o</math>, vel <math>x^3 = + dxx + bdx + bcd</math>.
<math>+ b - cd - b + cd</math>
<math>+ c + bc - c - bc</math></p>
<p>In qua $i ponatur <math>d</math>, verus valor radicis <math>x</math>, æqualis <math>b + c</math>, duo-
bus fal$is valoribus ip$ius <math>x</math> $imul $umptis, tunc quidem + <math>d</math> de-
$truet - <math>b - c</math>, fietque <math>oxx</math>, hoc e$t, evane$cet adfectio $ub qua-
drato, nec ampliùs $e$e de$truent. Nam cùm ex hypothe$i <math>d</math> æ-
quatur <math>b + c</math>, communi multiplicatore <math>d</math>, fiet quoque <math>dd</math> æquale
<math>bd + cd</math>. At verò <math>dd</math> majus e$t quàm <math>bc</math>, quandoquidem idem
valet quod <math>bb + 2bc + cc</math>, quadratum videlicet à <math>b + c</math>. Quare
& <math>bd + cd</math> majus erit quàm <math>bc</math>, manebitque adfectio $ub latere
cum $igno +. Ita ut, $i + <math>bd + cd - bc</math> interpreteris per + <math>p</math>,
& + <math>bcd</math> per + <math>q</math>, æquatio hanc recipiat formam: <math>x^3 = * + px
+ q</math>. Quam itaque con$tat tres admittere diver$os radicis valo-
res, unum quidem verum $en + quàm o, & alios duos fal$os $eu
- quàm o, qui $imul $umpti ip$i vero $unt æquales.</p>
<p>Porrò, ut hæc æquatio tres $emper eju$modi radicis valores re-
cipiat, requiritur, ut in illâ <math>{2/3}p √ {1/3}p</math> non $it minus quàm <math>q</math>, $eu
quod idem e$t, ut <math>2 √ {1/3}p</math> non $it minus quàm <math>{3q/p}</math>, $ive etiam <math>{1/27}p^3</math>
non minus quàm <math>{1/4}qq</math>. Quandoquidem, $i <math>p</math> planum in tria plana
dividitur proportionalia, maximum $olidum, quod fit ex ductu
$ummæ duorum priorum vel duorum po$teriorum in latus $ecun-
dum vel primum, e$t illud, quod fit, cùm <math>p</math> planum in tria plana
æqualia dividitur.</p>
<p>Aliàs enim radix eju$dem æquationis de unico tantùm valore
explicabilis e$t, utpote verò, cum æquatio tunc non producatur

<pb 353>[373]<rh>Æ<sc>QVATIONVM RESOLVTIONE</sc>.</rh>
ex ductu trium eju$modi laterum in $e invicem, ni$i duo $uman-
tur fictitia $eu non exi$tentia, quæ & impo$$ibilia appellantur.
Quemadmodum in exemplum afferre licet æquationem I C =
6 N + 40, ubi 1 N valet + 4, cum 1 C 🜶 o Q - 6 N - 40 = o
<mgr>_Signum_ 🜶
_$ignificat_
+_vel_-.</mgr>
dividatur per 1 N - 4 = o, oriaturque æquatio impo$$ibilis
1 Q + 4 N + 10 = o, quæ nullas omnino admittit radices. Ni-
$i velis illas, quarum $anè valor nullo modo comprehendi pote$t,
utcunque tamen exprimere, ut $cribendo 1 N = - 2 + √ - 6, nec
non <math>1 N = - 2 - √ - 6</math>. Ita ut verus valor ip$ius 1 N realis exi-
$tat & $it 4, & duo fal$i fictitii $int <math>- 2 + √ - 6, & - 2 - √ - 6</math>.</p>
<p>Quòd $i verò proponatur æquatio <math>1 & = 6 ᰕ + 6</math>, $eu <math>1 & 🜶 o
ℨ - 6 ᰕ - 6 = o</math>, quæ per 1 ᰕ + vel - aliquo numero, ulti-
mum terminum 6 dividente, dividi nequit, poterit neque ra-
dix ejus 1 & per ullum numerum ab$olutum vel fractum de$i-
gnari; $ed verum valorem admittet, qui e$t irrationalis, quique
juxta $ecundam Cardani regulam (hîc ante expo$itam) $ic expri-
mitur: <math>1 ᰕ = √ & 4 + √ & 2</math>.</p>
<p>In quo porrò $en$u æquatio prioris formulæ accipi debet,
quæ nullæ determinationi e$t obnoxia. Nam $i, verbi gratiâ, pro-
ponatur <math>1 C = - 3 N + 14</math>, poterit <math>1 C 🜶 o Q + 3 N - 14 = o</math>
dividi per 1 N - 2, & orietur æquatio impo$$ibilis <math>1 Q + 2 N +
7 = o</math>. Vnde liquet 1 N valere tantùm 2, nec ullos alios valo-
res admittere; ni$i eos $ic velis exprimere <math>- 1 + √ - 6</math>, & <math>- 1
- √ - 6</math>.</p>
<p>Sin autem æquatio eju$dem formulæ $it <math>1 & = - 3 ᰕ + 10</math> $eu
<math>1 & 🜶 o ℨ + 3 ᰕ - 10 = o</math>, quæ per 1 N - aliquo numero, ul-
timum terminum 10 dividente, dividi nequit, valor quoque verus
radicis nullo numero ab$oluto vel fracto de$ignari poterit. Quo
igitur ca$u explicabitur $ecundùm priorem Cardani regulam,
hoc modo: <math>1 ᰕ = <r>&. √ 26 + 5</r> - <r>& √ 26 - 5</r></math>.</p>
<p>Sed hæc mittentes veniamus ad ea, quibus $ecundæ formulæ
æquationis u$um detegamus. Proponentes in eum finem hoc
quod $equitur.</p>

<pb 354>[374]<rh>A<sc>PPENDIX DE</sc> C<sc>VBICARVM</sc></rh>
<h>P<sc>ROBLEMA</sc>.</h>
<p>_In $emicirculo $upra diametrum_ A D _de$cripto qua-_
_drilatero_ A B C D, _cognita $int tria ejus later a_ AB, BC,
& C D: _Oporteatque invenire diametrum $eu quartum_
_latus_ A D.</p>
<p>E$to <math>A B = a</math>, <math>B C = b</math>, <math>C D = c</math>, diameter verò <math>A D = x</math>;
ducaturque recta B D, atque in B C productam perpendicularis
demittatur D E.</p>
<p>Quia itaque <n 1> triangulum A B D e$t rectangulum, ideoque
<mgl 1>_per_ 31
_tertii_
_Elem_.</mgl>
<mgl 2>_per_ 47
_primi E-_
_lem_.</mgl>
<mgl 3>_per_ 12
_$ecundi_
_Elem_.</mgl>
<n 2> quadratum A D æquale duobus quadratis A B, B D: $i à qua-
drato <math>A D = xx</math> $ubducatur quadratum <math>A B = aa</math>, relinquetur
quadratum <math>B D = xx - aa</math>. Porrò quoniam obtu$angulum e$t
triangulum B D C, atque <n 3> quadratum B D majus quadratis B C,
C D $imul $umptis, duplo rectangulo B C E; $i à quadrato <math>B D =
xx - aa</math> $ubducamus aggregatum quadratorum B C, <math>C D = bb
+ cc</math>, re$tabit duplum re-
ctangulum <math>B C E = xx -
<fig>
<var>F B C E A D</var>
</fig>
aa - bb - cc</math>. Denique
cum $imilia $int triangula
A B D & C E D, $iquidem
ip$a rectangula $unt, ac an-
gulos præterea A & D C E
<n 4> æquales habent : erit ut
D A ad A B, ita D C ad
<mgl 4>_per_ 22
_tertii &_
13 _primi_
_Elem_.</mgl>
C E. Vnde cum <math>A D $it = x</math>, <math>A B = a</math>, & <math>D C = c</math>: erit <math>C E = {ac/x}</math>.
Quæ $i ducatur in duplam <math>B C = 2 b</math>, fiet duplum rectangulum
<math>B C E = {2abc/x}</math>. Æquandum propterea duplo rectangulo <math>B C E
ante invento = xx - aa - bb - cc</math>. Quare <math>{2abc/x}</math> æquabitur
<math>xx - aa - bb - cc</math>. Hoc e$t ordinatâ æqualitate, erit</p>
<p><math>x^3 = + aax \\ + bb \\ + cc + 2 abc</math>.</p>
<p>Vnde cum hæc æquatio $it cubica $ecundæ formulæ, viden-
dum deinceps an quadratum $emi$$is ultimi termini $it majus cu-
bo trientis quantitatis cognitæ penultimi, an verò ip$i æquale, an

<pb 355>[375]<rh>Æ<sc>QVATIONVM RESOLVTIONE</sc>.</rh>
eo minus. In quem finem quæro tam hunc cubum quàm illud
quadratum. Triens autem quantitatis cognitæ penultimi termi-
ni e$t <math>{aa + bb + cc/3}</math>, ejus cubus
<math>{a^6 + 3 a^4 bb + 3 aab^4 + 3 a^4 cc + b^5 + 6 aabbcc + 3 b^4 cc + 3 aac^4 + 3 bbc^4 + c^5/27.}</math></p>
<p>Quadratum autem $emi$$is ultimi termini e$t <math>aabbcc</math>. Opor-
tet itaque horum utriu$que relationem indagare. In quem finem
productas quantitates <math>a^6 + 3 a^4 bb + 3 aab^4 + 3 a^4 cc + b^6 +
6 aabbcc + 3 b^4cc + 3 aac^4 + 3 bbc^4 + c^6 & 27 aabbcc</math> inter
$e con$ero, ut $equitur.</p>
<p><math>3 a^4 bb. 3 aabbcc. 3 bbc^4</math>. $unt tres proportionales in ratio-
ne <math>aa</math> ad <math>cc</math>, unde <math>3 a^4 bb + 3 bbc^4 majus erit quàm 6 <math>aabbcc</math>,
_per 25 quinti Elementorum_.</p>
<p>Sic 3 <math>aab^4</math>. 3 <math>aabbcc. 3 <math>aac^4</math>. $unt tres proportionales in ratio-
ne <math>bb</math> ad <math>cc</math>, unde 3 <math>aab^4 + 3 aac^4</math> majus erit quà 6 <math>aabbcc</math>.</p>
<p>Vt & 3 <math>a^4 cc. 3 aabbcc. 3 b^4 cc</math>. $unt tres proportionales in
ratione <math>aa</math> ad <math>bb</math>, unde 3 <math>a^4 cc + 3 b^4 cc</math> majus erit quàm
6 <math>aabbcc</math>.</p>
<p>Quare & omnes $imul omnibus $imul erunt majores, hoc e$t,
erit <math>3 a^4 bb + 3 aab^4 + 3 a^4 cc + 3 bbc^4 + 3 aac^4 + 3 b^4 cc</math> majus
quàm 18 <math>aabbcc</math>.</p>
<p>Vnde & illius $ubtriplum <math>a^4 bb + aab^4 + a^4 cc + bbc^4 +
aac^4 + b^4 cc</math> majus quàm hujus $ubtriplum 6 <math>aabbcc</math>.</p>
<p>Rur$us quoniam <math>a^6. a^4 bb. aab^4. b^6.</math> $unt proportionales con-
tinuè in ratione <math>aa</math> ad <math>bb</math>, erit <math>a^6 + b^6</math> majus quàm <math>a^4 bb + aab^4</math>.</p>
<p>Sic etiam quia <math>b^6. b^4 cc. bbc^4. c^6</math>. $unt proportionales continuè
in ratione <math>bb</math> ad <math>cc</math>, erit <math>b^6 + c^6</math> majus quàm <math>b^4 cc + bbc^4</math>.</p>
<p>Similiter cum <math>a^6. a^4cc. aac^4. c^6</math>. $int proportionales continuè
in ratione <math>aa</math> ad <math>cc</math>, erit <math>a^6 + c^6</math> majus quàm <math>a^4 cc + aac^4</math>.</p>
<p>Quare & $imul omnes $imul omnibus erunt majores, hoc e$t,
erit <math>2 a^6 + 2 b^6 + 2 c^6</math> majus quàm <math>a^4 bb + aab^4 + b^4 cc + bbc^4<?>
+ a^4 cc + aac^4</math>. Quia autem hoc ip$um majus e$t quàm 6 <math>aabbcc</math>,
ut $upra o$tendimus, erit <math>2 a^6 + 2 b^6 + 2 c^6</math> majus quàm 6 <math>aabbcc</math>.
Vnde & $emi$$is <math>a^6 + b^6 + c^6</math> majus quàm 3 <math>aabbcc</math>.</p>
<p>Quocirca cum <math>3a4bb + 3aab4 + 3a4cc + 3bbc4 + 3aac4 + 3b4cc</math> majus $it quàm
<mgr>18 <math>aabbcc</math>.
3 <math>aabbcc</math>.
6 <math>aabbcc</math>.</mgr>
ac ip$i addatur <math>a^6 + b^5 + c^5</math> - - - quod majus e$t quàm
& adhuc utrobique 6 <math>aabbcc</math> - - - - -
Fiet quoque <math>a^6 + 3a^4 b + 3 aab^4 + 3 a^4 cc + b^5 + 6 aabbcc + 3b^4cc + 3aac^4 + 3bbc^4 + c^5</math>
majus quàm 27 <math>aabbcc</math>.</p>

<pb 356>[376]<rh>A<sc>PPENDIX DE</sc> C<sc>VBICARVM</sc></rh>
<p>E quibus liquet cubum trientis quantitatis cognitæ penultimi
termini majorem e$$e quadrato $emi$$is ultimi, ac propterea ra-
dicem æquationis juxta regulam Cardani inveniri non po$$e.</p>
<p>Notandum autem porrò e$t, Problema propo$itum $olidum
e$$e, $i tria latera data A B, B C, & C D inter $e inæqualia $tatuan-
tur, cum ad æquationem cubicam reducatur, quæ divi$ione ad
quadratam reduci nequit. Cùm verò duo quælibet ex dictis late-
ribus $unt æqualia, tunc quidem æquatio reducitur ad quadra-
tam. Vt $i <math>b</math> & <math>c</math> æqualia fuerint, devenietur ad æquationem:
<math>x^3 - aa\\- 2bb x - 2 abb = 0</math>, quæ dividi poterit per <math>x + a = o</math>, quâ
ratione ip$a reducetur ad quadratam: <math>xx - ax - 2 bb = o</math>, quæ
ulteriùs dividi nequit.</p>
<p>Sin autem tria latera æqualia ponantur, tunc quidem æquatio
hanc accipiet formam: <math>x^3 - 3 aax - 2 a^3 = o</math>, eaque dividi po-
terit per <math>x - 2a = o</math>, orietur namque æquatio: <math>xx + 2ax + aa = o</math>,
duas admittens fal$as radices, quæ $ibi invicem $unt æquales. Vn-
de $equitur verum valorem radicis <math>x</math> eo ca$u fore 2 <math>a</math>, & duos fal-
$os valores e$$e - <math>a</math> & - <math>a</math>. Hoc enim manife$tum e$t, quoniam,
$i tria latera A B, B C, & C D æqualia inter $e extiterint, figura
A B C D fit $emi-hexagonum regulare, in quo latus quodlibet
$emidiametro e$t æquale.</p>
<p>Porrò $i velimus idem Problema per numeros re$olvere, e$to
A B $eu <math>a = 24</math>, B C $eu <math>b = 20</math>, C D $eu <math>c = 15</math>, & quæratur
<math>A D = x</math>. Hinc, cum <math>aa + bb + cc</math> inveniatur = 1201, & 2 <math>abc =
14400</math>, exurget eju$modi æquatio: <math>x^3 = 1201 x + 14400</math>, $eu
<math>x^3 🜶 o xx - 1201 x - 14400 = o</math>. Quæ dividi pote$t per <math>x +
25 = o</math>, oritur namque æquatio <math>xx - 25 x - 576 = o</math>, $eu <math>xx =
25 x + 576</math>, cujus radix <math>x</math> duos admittit valores, ut <math>12 {1/2} + √732{1/4}</math>
& <math>12{1/2} - √ 732{1/4}</math>. Ita ut radix prædictæ æquationis <math>x^3 = 1201 x
+ 14400</math> $eu diameter quæ$ita A D tres recipiat diver$os valo-
res, unum verum $eu + quàm o, ut <math>12{1/2} + √ 732{1/4}</math>; atque duos
fal$os $eu - quàm o, ut - 25 & <math>12{1/2} - √ 732{1/4}</math>. Qui quidem $i-
mul $umpti ip$i vero $unt æquales.</p>
<p>Quòd $i verò æquatio $upra dicta <math>x^3 🜶 o xx - 1201 x -
14400 = o</math> dividi non potui$$et per quantitatem incognitam <math>x</math> +
vel - aliquo numero ultimum terminum 14400 dividente, ar-
gui$$et id ip$um & neque ullam ex radicibus tam veram quàm fal-

<pb 357>[377]<rh>Æ<sc>QVATIONVM RESOLVTIONE</sc>.</rh>
$am ullo numero exprimi potui$$e, $ed eam hoc ca$u denotandam
e$$e per rectam datum angulum vel arcum in tres æquales partes
dividentem, vel alio denique modo, ut infra o$tendetur.</p>
<p>Vt $i, exempli gratiâ, proponatur æquatio <math>x^3 = 243 x + 1215</math>,
$eu <math>x^3 🜶 o xx - 243 x - 1215 = o</math>, quæ cum præcedenti modo
dividi nequeat, poterit neque ulla ex radicibus tam vera quàm
fal$a ullis numeris exprimi, nec minùs per latera quorundam cu-
borum, quorum contentum cogno$citur, ut docet Cardani regu-
la. Quandoquidem ad illam revocare non licet, cum hîc cubus
trientis numeri radicum major $it quàm quadratum $emi$$is nu-
meri ab$oluti. Adeò ut radix ejus per $ectionem anguli in tres
æquales partes $it denotanda, quemadmodum innuit Albertus
Girardus. Nimirum de$cribendo circulum cujus radius F H $eu
H K $it 9 $eu √ <math>{1/3}p</math>, in eoque adaptando rectam F G æqualem 15
$eu <math>{3q/p}</math>, atque trifariam porrò $ecando arcum G K $eu angulum
G F K per rectam F L, quam ait veram quantitatem ip$ius radi-
cis <math>x</math> exprimere. Vbi præterea, $i centro H intervallo rectæ L K
arcum de$crip$erimus $ecantem ip$am F L in M & N <n 1>, vel quod
<mgr 1>_ut in fig_.
_pag_. 349.</mgr>
<mgr 2>_ut in fig_.
_pag_. 350.</mgr>
idem e$t à puncto L triangulum æquilaterum circulo in$crip$eri-
mus L M N <n 2>, rectæ F M & F N utramque fal$am quantitatem ra-
dicis <math>x</math> de$ignabunt.</p>
<p>Quod idem cum D. des Cartes in eundem ferè modum licebit
ex$equi. Videlicet, $i, <n 3> intervallo rectæ F H vel H K = 9 $eu <math>√ {1/3}p</math>
<mgr 3>_ut in fig_.
_pag_. 350.</mgr>
de$cribatur circulus, in quo, in$criptâ rectâ F G = 15 $eu <math>{3q/p}</math>, ar-
cus F M G & F N G trifariam porrò $ecentur, per rectas F M &
F N, quas inquit $imul $umptas radici quæ$itæ e$$e æquales.</p>
<p>Sin autem eju$dem æquationis radicem juxta modum Viëtæ
exponere lubeat, Oportebit duo triangula æquicrura concipere,
cruribus alterum alteri æqualia, quorum $ecundi angulus, qui e$t
ad ba$in, triplus $it anguli, qui e$t ad ba$in primi, & intelligere
ba$in quidem $ecundi e$$e <math>7 {1/2}</math> $eu <math>{3q/2p}</math>, crus verò e$$e 9 $eu <math>√ {1/3}p</math>.
<math>x</math> autem, de qua quæritur, e$$e ba$in primi.</p>
<p>Quod ut cuivis obvium $it, $upponamus triangula illa e$$e
A B C, & C D E, quorum crus quodlibet A B, B C, C D, vel
<math>D E $it = a</math>, & ba$is $ecundi <math>C E = b</math>: Oporteatque invenire ba$in
primi <math>A C = x</math>.</p>

<pb 358>[378]<rh>A<sc>PPENDIX DE</sc> C<sc>VBICARVM</sc></rh>
<fig>
<var>D B A F I C K E</var>
</fig>
<p>Quia itaque demi$$is ad hoc perpendicularibus B I, D K, in
triangulo rectangulo A B I, quadratum ex <math>A I = {1/4} xx</math> $ubductum
<mgl 1>_per_ 47
_primi_
_Elem_.</mgl>
à quadrato ex <math>A B = aa</math>, relinquit quadratum ex B I <n 1>: erit qua-
dratum ex <math>B I = aa - {1/4}xx</math>.</p>
<p>Eodem modo, in triangulo rectangulo C D K, quadrato ex
<math>C K = {1/4}bb</math> $ubducto à quadrato ex <math>C D = aa</math>, relinquetur <math>aa -
{1/4}bb</math>, pro quadrato ex D K.</p>
<p>Porrò quoniam, propter $imilitudinem triangulorum A B I &
<mgl 2>_per_ 4
_Sexti_
_Elem_.</mgl>
A D K <n 2>, A I e$t ad I B, $icut A K ad K D: erit quoque ut <math>{1/4}xx</math>,
quad. ex A I, ad <math>aa - {1/4}xx</math>, quad. ex I B; $ic <math>xx + bx + {1/4}bb</math>,
quad. ex A K, ad <math>aa - {1/4}bb</math>, quad. ex K D. Vnde multiplicando
extrema, invenietur productum <math>{1/4}aaxx - {1/16}bbxx</math> æquale <math>aaxx
+ aabx + {1/4}aabb - {1/4}x^4 - {1/4}bx^3 - {1/16}bbxx</math>, producto $ub
mediis. Hoc e$t, demptis utrinque æqualibus, & terminis omni-
bus per 4 ductis, $i ip$i deinde ad unam partem transferantur, ha-
bebitur <math>x^4 + bx^3 - 3 aaxx - 4 aabx - aabb = o</math>. Quæ $um-
ma $i porrò per <math>x + b = o</math> dividatur, obtinebitur æquatio <math>x^3 -
3 aax - aab = o</math>, $eu <math>x^3 = * + 3 aax + aab</math>. eadem nempe
quæ $uperior pag. 350, in qua cubus trientis quantitatis cognitæ
penultimi termini excedit quadratum $emi$$is ultimi termini, cu-
<mgl 3>_per_ 5
_primi_
_Elem_.</mgl>
<mgl 4>_per_ 32
_primi_
_Elem_.</mgl>
<mgl 5>_per_ 5
_primi_
_Elem_.</mgl>
<mgl 6>_per_ 32
_primi_
_Elem_.</mgl>
jusque æquationis vera radix illic per rectam F L, hîc autem per
rectam A C de$ignatur.</p>
<p>Cæterùm quòd angulus $ecundi trianguli D C E, qui e$t ad
ba$in, triplus $it anguli A, qui e$t ad ba$in primi, ita patet: Æqua-
les enim $unt anguli A & B C A <n 3>, propter æqualia crura A B,
B C; & ob id <n 4> externus C B D alterutrius hujus duplus. E$t
autem hic C B D æqualis ip$i C D B <n 5>, propter æqualitatem li-
nearum C B, C D. Quare & C D B, id e$t, C D A ip$ius A du-
plus e$t. Atqui <n 6> binis hi$ce A & C D A æqualis e$t externus

<pb 359>[379]<rh>Æ<sc>QVATIONVM RESOLVTIONE</sc>.</rh>
D C E. Hinc, qualium partium angulus A e$t 1, talium angulus
C D A erit 2, & D C E 3, hoc e$t, triplus erit angulus D C E an-
guli A. Quemadmodum fuit propo$itum.</p>
<p>Denique quoniam omnes $imiles æquationes ad æquationem
præcedentis Problematis revocari queunt, poterimus quoque ra-
dicem <math>x</math> æquationis propo$itæ <math>x^3 = 243 x + 1215</math> $ic interpreta-
ri: dicentes eam e$$e diametrum $emicirculi, $upra quam de$cri-
pto quadrilatero inæqualium laterum, tria $uperiora in $e invicem
ducta faciant <math>607 {1/2}</math> $eu <math>{1/2}q</math>; at verò $umma quadratorum ex ip$is
faciat 243 $eu <math>p</math>.</p>
<p>Vbi præterea notandum, æquationem numericam <math>1 ③ = 13 ①
+ 12</math>, à Girardo allatam, non indigere ut radix ejus hoc modo
exprimatur, cum in illa <math>1 ① valeat + 4, - 3</math>, & <math>- 1</math>; ac ip$a æ-
quatio <math>1 ③ 🜶 o ② - 13 ① - 12 = o per 1 ① - 4 = o</math>, & per
<math>1 ① + 3 = o</math>, atque etiam per <math>1 ① + 1 = o</math> dividi queat. Ita ut
tantùm radices earum æquationum $ecundæ formulæ juxta ali-
quem præcedentium modorum opùs $it exprimere, in quibus
con$tat ip$as nec numero, nec Cardani regulâ exprimi po$$e.</p>
<p>Sed jam tempus e$t ut ad tertiam æquationum Cubicarum for-
mulam accedamus, ubi <math>z^3</math> æquatur <math>* + pz - q</math>.</p>
<p>Hæc autem æquatio tres diver$os radicis valores admittit, duos
nempe veros & unum fal$um, æqualem veris illis $imul $umptis,
$icut ex eju$dem æquationis con$titutione agno$cere licet. Nam $i
ponamus <math>x = b</math> $eu <math>x - b = o</math>, & <math>x = c</math> $eu <math>x - c = o</math>, atque etiam
<math>x = - d</math> $eu <math>x + d = o</math>, & multiplicemus <math>x - b = o</math> per <math>x - c = o</math>,
ac denuo quod inde fit per <math>x + d = o</math>, proveniet æquatio:
<math>x^3 + dxx \\ - b \\ - c - bdx \\ - cd \\ + bc + bcd = o</math>, vel <math>x^3 = - dxx \\ + b \\ + c + bdx \\ + cd \\ -bc - bcd</math>.</p>
<p>In qua $i ponatur <math>d</math>, valor fal$us radicis <math>x</math>, æqualis <math>b + c</math>, duo-
bus veris valoribus ip$ius <math>x</math> $imul $umptis, tunc quidem <math>b + c</math> de-
$truet - <math>d</math>, fietque o <math>x x</math>, hoc e$t, evane$cet adfectio $ub <math>xx</math>, nec
ampliùs $e$e de$truent. Nam cùm ex hypothe$i <math>b + c</math> æquatur <math>d</math>,
multiplicando utrinque per <math>d</math>, fiet quoque <math>bd + cd</math> æquale <math>dd</math>.
At verò <math>dd</math> majus e$t quàm <math>bc</math>, quandoquidem tantundem valet
ac <math>bb + 2 bc + cc</math>, quadratum videlicet à <math>b + c</math>. Quare & <math>bd +
cd</math> majus erit quàm <math>bc</math>, manebitque adfectio $ub <math>x</math> cum $igno-.

<pb 360>[380]<rh>A<sc>PPENDIX DE</sc> C<sc>VBICARVM</sc></rh>
Ita ut, <math>$i + bd + cd - bc</math> interpreteris per + <math>p</math>, & - <math>bcd</math> per
+ <math>q</math>, æquatio hanc induat formam: <math>x^3 = * + px - q</math>. Quam
con$tat tres admittere differentes valores radicis <math>x</math>, duos quidem
veros $eu + quàm o, unum autem fal$um $eu - quàm o, æqua-
lem veris illis $imul $umptis.</p>
<p>Porrò ut hæc æquatio recipiat $emper tres eju$modi radicis
valores, requiritur ut in illa <math>{2/3} p √ {1/3}p</math> non $it minus quàm <math>q</math>, $eu
<math>2 √ {1/3}p</math> non minus quàm <math>{3q/p}</math>, $ive etiam <math>{1/27}p^3</math> non minus quàm <math>{1/4}qq</math>.
Ob rationem $upra dictam.</p>
<p>Aliàs enim duo veri valores non ni$i fictitii forent, nec ullus
realis extaret præter fal$um, qui juxta Cardani regulam $ic expri-
meretur: <math>x = <r>C. {1/2} q + <r>{1/4} qq - {1/27} p^3</r></r> + <r>C. {1/2}q - <r>{1/4}qq - {1/27}p^3</r></r>.</math></p>
<p>Vt in exemplum afferre licet æquationem: <math>1 & = 6 ᰕ - 40</math>,
in qua 1 ᰕ valet - 4, cum <math>1 ᰕ 🜶 o ℨ - 6 ᰕ + 40 = o</math> dividi
queat per <math>1 & + 4 = o</math>, oriaturque æquatio impo$$ibilis 1 ℨ -
<math>4 ᰕ + 10 = o</math>, $eu <math>1 ℨ = 4 ᰕ - 10</math>, cujus valores radicis nullo
modo comprehendi po$$unt, ni$i eos $ic exprimere velimus:
<math>1 ᰕ = 2 + √ - 6, & 1 ᰕ = 2 - √ - 6</math>. Adeò ut duo veri va-
lores ip$ius 1 ᰕ $int tantùm fictitii <math>2 + √ - 6 & 2 - √ - 6</math>, &
fal$us realis $it = - 4.</p>
<p>E quibus patet tertiæ hujus atque $ecundæ formulæ æquatio-
num convenientia mutuaque radicum $uarum reciprocatio.</p>
<p>Lubet autem in u$um æquationis hujus tertiæ formulæ unum
aut alterum Problema adducere, ut $equentia manife$tiora fiant.</p>
<h>P<sc>ROBLEMA</sc>.</h>
<p>_Circulo dato_ F M G N, _in eoque in$criptâ_ F G, _trifa-_
_riam $ecetur arcus uterque_ F M G & F N G _in_ M & N:
_Oporteatque invenire_ F M _$ubten$am trientis unius_, &
F N _$ubten$am trientis alterius_.</p>
<p>E$to F H $eu <math>H K = a</math>, <math>F G = b</math>, & <math>F M = x</math>, quæraturque ex
H F & F M ceu datis juxta modum paginæ 91 hujus Geometriæ
in$cripta F G, perinde atque ip$a e$$et incognita: quæ ideo erit
<math>3 x - {x^3/aa}</math>. Iam verò cum ip$a detur = <math>b</math>, erit <math>3 x - {x^3/aa} = b</math>. Vnde
æqualitate ordinatâ, <math>x^3</math> æquabitur <math>3 aax - aab</math>.</p>

<pb 361>[381]<rh>Æ<sc>QVATIONVM RESOLVTIONE</sc>.</rh>
<p>Eodem modo, $i pro F N
<fig>
<var>P F M N H G K L</var>
</fig>
ponatur <math>x</math>, atque ex H F &
F N quæramus F G, incide-
mus in eandem æquationem.
E quibus $equitur utramlibet
$ubten$am F M vel F N quæ-
$itæ quantitati radicis <math>x</math> æqua-
lem e$$e. Hinc cum 1 ③ æque-
tur <math>13 ① - 12</math>, $eu <math>1 ③ 🜶 o
③ - 13 ① + 12</math> æquetur o,
ac ip$a æquatio dividi po$$it
per <math>1 ① - 1 = o</math>, & per <math>1 ①
- 3 = o</math>, nec non per <math>1 ① + 4 = o</math>: arguit id ip$um F M fore 1,
at verò F N 3. Porrò quoniam æquationes hujus tertiæ formulæ
æquè ac $ecundæ formulæ tres admittunt differentes valores ra-
dicis, quorum quidem duo $imul $umpti tertio $unt æquales, ita
& addendo duos veros 1 & 3, fiet falfus - 4, $eu quantitas lineæ
F L. quæ ip$is M F & F N $imul $umptis o$ten$a e$t æqualis.</p>
<p>Vnde per$picua fiunt ea, quæ ab Alberto Girardo in libello $u-
pra citato allata $unt ad æquationum radices hujus tertiæ formulæ
inveniendas. Vbi docet, illas ad $ecundum ca$um $ecundæ for-
mulæ revocandas e$$e, convertendo tantùm $ignum - numeri
ab$oluti in $ignum +: cum in iis $icut hîc cubus trientis numeri
radicum non minor requitatur quàm quadratum $emi$$is numeri
ab$oluti. Ac proinde inventis tribus valoribus radicis quæ$itæ,
$icut in $ecunda formula explicuimus, oportet tantùm illos ex o
auferre $eu eorum $igna immutare, ut habeantur tres quæ$iti hu-
jus, in qua duo $emper veri $unt$eu + quàm o, & tertius e$tfal-
$us $eu - quàm o, quemadmodum e$t o$ten$um.</p>
<h>A<sc>LIVD</sc> P<sc>ROBLEMA</sc>.</h>
<p>_In circulo, cujus diameter_ A D, _in$criptis tribus inæ-_
_qualibus rectis lineis_ A B, B C, & C D, _$ibi invicem con-_
_tiguis, quarum quidem extremæ prodeunt ex diametri_
_terminis_ A & D: _Oportet ex ii$dem cognitis invenire_
_diametrum_ A D.</p>
<p>Ponatur ad hoc <math>A B = a</math>, <math>B C = b</math>, <math>C D = c</math>, & <math>A D = x</math>. jun-

<pb 362>[382]<rh>A<sc>PPENDIX DE</sc> C<sc>VBICARVM</sc></rh>
ganturque A C, B D, & in B C, productam, $i opùs $it, perpen-
dicularis demittatur D E.</p>
<p>Duplex autem hîc occurrit ca$us con$iderandus, juxta quem
hæ in$criptæ diver$imodè in circulo po$itæ intelligi po$$unt; pri-
mus, in quo rectæ A B & C D è diametri terminis prodeunt ad
diver$as partes; & $ecundus, in quo ip$æ ex ii$dem terminis edu-
ctæ $unt ad eandem partem, $e mutuò inter$ecantes. In priori
igitur po$itione $i quadratum <math>B D = xx - aa</math> $ubducatur ex ag-
<fig>
<var>A B F E C D</var>
</fig>
<mgl 1>_per_ 13
_$ecundi_
_Elem_.</mgl>
<mgl 2>_per_ 21
_tertii_
_Elem_.</mgl>
gregato quadratorum B C, <math>C D = bb + cc</math>, relinquetur <n 1> du-
plum rectangulum <math>B C E = bb + cc - xx + aa</math>. Deinde, quo-
niam triangula A B D & C E D $imilia $unt, cum anguli ad B & E
$int recti, & B A D, E C D æquales <n 2>, utpote eidem peripheriæ
B D in$i$tentes: erit ut <math>D A = x</math> ad <math>A B = a</math>, ita <math>D C = c</math> ad
<math>C E = {ac/x}</math>. Hæc autem ducta in duplam <math>B C = 2 b</math> dat duplum re-
ctangulum <math>B C E = {2abc/x}</math>, æquale <math>bb + cc - xx + aa</math>, duplo vi-
delicet rectangulo B C E, ante invento. Vnde ordinatâ æquatio-
ne invenitur: <math>x^3 = + aax \\ + bb \\ + cc - 2abc</math>, æquatio cubica tertiæ for-
mulæ, in qua quadratum $emi$$is ultimi termini e$t minus cubo
quantitatis cognitæ penultimi termini, ut con$tat ex præmi$$o
Problemate paginæ 354.</p>
<p>In $ecunda autem po$itione, $i à quadrato <math>D C = cc</math> au$erantur
<mgl 3>_per_ 12
_$ecundi_
_Elem_.</mgl>
quadrata D B, <math>B C = xx - aa + bb</math>, relinquetur <n 3> duplum re-
ctangulum <math>C B E = cc - xx + aa - bb</math>. Cæterùm, quoniam

<pb 363>[383]<rh>Æ<sc>QVATIONVM RESOLVTIONE</sc>.</rh>
rur$us propter $imilitudi-
nem triangulorum A B D
<fig>
<var>F P C E A D</var>
</fig>
& C E D, <math>A D = x</math> e$t ad
<math>A B = a</math>, $icut <math>D C = c</math> ad
C E: erit <math>C E = {ac/x}</math>. E quâ
$ubductâ <math>C B = b</math>, rema-
nebit <math>B E = {ac/x} - b</math>. Hæc
autem $i multiplicetur pet
duplam C B, proveniet du-
plum rectangulum <math>C B E = {2abc/x} - 2bb</math>: æquale duplo rectan-
gulo C B E ante invento <math>= cc - xx + aa - bb</math>. Vnde addito
utrinque <math>bb</math>, ordinatâque $ecundùm artem æquatione, obtinebi-
tur eadem atque $uperior: <math>x^3 = + aax \\ + bb \\ + cc - 2 a b c</math>.</p>
<p>Quocirca cum utroque ca$u in eandem incidamus æquatio-
nem, cujus radix diametrum referat A D, $equitur quoque eam
differentem $ortiri quantitatem, & ex ei$dem datis in$criptis pro
diver$a earum po$itione dupliciter inveniri.</p>
<p>Vbi præterea notandum e$t, Problema propo$itum e$$e $oli-
dum, $i tres in$criptæ A B, B C, & C D inæquales inter $e fuerint:
$iquidem ad cubicam æquationem ad$cendit, quæ divi$ione ad
quadratam reduci nequit. Quum verò duæ quælibet ex in$criptis
æquales ponuntur, tunc quidem æquatio inventa reducetur ad
quadratam, & Problema erit planum. Statuendo enim <math>b</math> & <math>c</math> æ-
qualia, ex$urget æquatio talis: <math>x^3 - aax \\ - 2 bb + 2abb = o</math>, quæ di-
vidi poterit per <math>x - a = o</math>, & orietur æquatio quadrata <math>xx + ax
- 2bb = o</math>, quæ ulteriùs non e$t reducibilis.</p>
<p>Si autem juxta alterutram po$itionem omnes hæ tres in$criptæ
æquales fingantur, ita ut inde deducatur æquatio <math>x^3 - 3 aax +
2 a^3 = o</math>, poterit hæc ip$a dividi per <math>x + 2 a = o</math>, orieturque æ-
quatio <math>xx - 2ax + aa = o</math>, quæ porrò dividi poterit per <math>x - a = o</math>,
& orietur <math>x - @ = o</math>. Quoniam verò hoc ca$u in$criptæ cum dia-
metro coïncidere intelliguntur ac ip$i diametro e$$e æquales, con-
$tat æquationis radicem <math>x</math>, hoc e$t, diametrum A D duos in eo

<pb 364>[384]<rh>A<sc>PPENDIX DE</sc> C<sc>VBICARVM</sc></rh>
admittere veros valores $ibi invicem æquales, qui $inguli per
unamquamque ex illis in$criptis de$ignantur; ac præterea fal$um,
alterutrius illius duplum.</p>
<p>Cæterùm $i de$ideremus propo$itum Problema per numeros
re$olvere, e$to <math>A B = a = 24</math>, <math>B C = b = 20</math>, <math>C D = c = 152</math> &
quæratur <math>A D = x</math>. Hinc cum <math>aa + bb + cc</math> $it 1201, & <math>2 abc =
14400</math>, invenietur æquatio talis: <math>x^3 = 1201 x - 14400</math>, $eu
<math>x^3 🜶 o xx - 1201 x + 14400 = o</math>. Quæ dividi pote$t per
<math>x - 25 = o</math>, oritur namque æquatio <math>xx + 25 x - 576 = o</math>,
$eu <math>xx = - 25 x + 576</math>. Cujus porrò vera radix e$t <math>√ 732{1/4} -
12{1/2}</math>, & fal$a - <math>√ 732{1/4} - 12{1/2}</math>. Ita ut diameter quæ$ita A D,
hoc e$t, <math>x</math> radix prædictæ æquationis <math>x^3 = 1201 x - 14400</math>, tres
ferat differentes valores, duos $cilicet veros $eu + quàm o, ni-
mirum + 25 majorem, & <math>√ 732{1/4} - 12{1/2}</math> minorem, & unum
fal$um $eu - quàm o, nimirum - <math>√ 732{1/4} - 12{1/2}</math>, qui veris i$tis
$imul $umptis e$t æqualis. Quocirca cum tres $uperioris æquatio-
nis <math>x^3 = 1201 x + 14400</math> radices inventæ $int - 25, <math>12{1/2} -
√ 732{1/4}</math>, & <math>12{1/2} + √ 732{1/4}</math>, patet eas tantùm ex o e$$e auferendas,
$eu earum $igna e$$e immutanda, ad habendas tres radices hujus
po$terioris æquationis.</p>
<p>Quòd $i verò hæc ip$a æquatio <math>x^3 🜶 o xx - 1201 x + 14400 = o</math>j
dividi non potui$$et per quantitatem incognitam <math>x</math> + vel - aliquo
numero ultimum terminum 14400 dividente, argumentum fui$-
$et quòd & nulla radicum tam vera quàm fal$a ullo numero fui$-
$et explicabilis, $ed eam tunc de$ignandam e$$e per rectam datum
angulum vel arcum in tres æquales partes dividentem, vel alio de-
nique modo, ut infra o$tendetur.</p>
<p>Vt $i in exemplum proponatur æquatio <math>x^3 = 2700 x - 32400</math>,
$eu <math>x^3 🜶 o xx - 2700 x + 32400 = o</math>, quæ cum præcedenti
modo dividi nequeat, poterit quoque valor radicis <math>x</math>, $ive is verus
$ive fal$us fuerit, nullis numeris exprimi, nec per latera quorun-
dam cuborum, quorum contentum cogno$citur, ut docent Car-
dani regulæ. Quippe illum ad has non revocare licet, cum ip$æ
exigant ut cubus trientis numeri radicum à quadrato $emi$$is nu-
meri ab$oluti auferatur, qui quidem cubus hîc major datur. Adeò
ut radices ejus per rectas $ubtendentes trientem anguli vel arcus
dati $int denotandæ, ut vult D. des Cartes, atque ut etiam Alber-
tus Girardus innuit. Scilicet de$cribendo circulum cujus radius

<pb 365>[385]<rh>Æ<sc>QVATIONVM RESOLVTIONE</sc>.</rh>
FH $eu HK $it 30 $eu <math>√ {1/3} p</math>, in eoque accommodando rectam
<math>FG = 36</math> $eu <math>{3q/p}</math>, atque deinde trifariam $ecando utrumque ar-
cum FMG & FNG per rectas FM & FN. Nam uti circulus,
cujus radius 30 per in$criptam 36 in duos inæquales arcus di$pe-
$citur, ita quoque incognita quantitas <math>x</math> duplicem verum valorem
$ortitur; fitque alterutra è $ubten$is FM vel FN, tam trientis
FM minoris arcus FMG, quàm trientis FN majoris FNG:
Fal$us autem eju$dem valor æqualis e$t veris illis $imul $umptis,
atque per rectam FL de$ignatur.</p>
<p>Quos binos radicis valores cum Vieta aliâ porrò ratione ex-
plicare licet, ut $equitur.</p>
<p>Duo intelligantur triangula æquicrura, cruribus alterum alteri
æqualia, quorum $ecundi angulus, qui e$t ad ba$in, $it triplus an-
guli, qui e$t ad ba$in primi, & ba$is $ecundi intelligatur e$$e 18
$eu <math>{3q/2p}</math>, crus verò 30 $eu <math>√ {1/3} p.x</math> autem de qua quæritur, e$$e ba$in
dimidiam primi, multatam continuatamve longitudine ejus re-
ctæ, cujus quadratum e$t æquale triplo quadrato altitudinis primi.</p>
<p>Quod ut per$picuum fiat, fingantur triangula illa e$$e ABC &
CDE, quorum (ut ante) crus quodlibet AB, BC, CD, vel DE
<math>$it = a</math>, & ba$is $ecundi <math>CE $it = b</math>. Demi$$is autem in iis perpen-
dicularibus BI, DK, $umatur BF æqualis duplæ BI: eritque FI
recta, cujus quadratum e$t æquale triplo quadrato altitudinis primi.</p>
<fig>
<var>D B A F I C K E</var>
</fig>
<p>Quibus ita po$itis, ut inveniatur AF, liquet, $i pro ea pona-
mus <math>y</math>, & pro AC, ut ante, ponamus <math>x</math>, quadratum ex BI fore <math>= aa
- {1/4} xx</math>, adeoque quadratum ex <math>FI = 3 aa - {3/4} xx</math>. Quoniam verò
ex <math>AI = {1/2} x</math> $ublatâ <math>AF = y</math>, relinquitur <math>FI = {1/2} x - y</math>, cujus qua-
dratum e$t <math>{1/4} xx - xy + yy</math> : erit <math>{1/4} xx - xy + yy = 3 aa - {3/4} xx</math>.

<pb 366>[386]<rh>A<sc>PPENDIX DE</sc> C<sc>VBICARVM</sc></rh>
Hoc e$t, ordinatâ æquatione, habebitur <math>xx = yx {+ 3 aa - yy}</math>. Vnde
extractâ radice, fit <math>x = {1/2} y 🜶 <r>3 aa - {3/4} yy.</r></math> Hinc, $i in æquatione
olim inventa <math>x^3 = * + 3 aax + aab</math> in locum <math>x</math> $ub$tituatur valor
inventus <math>{1/2} y <r>3 aa - {3/4} yy</r></math>, & in locum <math>x^3</math> ejus cubus, qui e$t
<math>{9/2} aay - y^3 🜶 3 aa <r>3 aa - {3/4} yy</r></math>. obtinebimus æquationem
<math>y^3 = * + 3 aay - aab</math>. Cujus ideo vera radix erit linea AF.</p>
<p>Eodem modo ad inveniendam FC, $i pro ea ponamus <math>z</math>, atque
ab ip$a tollamus <math>IC = {1/2} x</math>, remanebit <math>FI = z - {1/2} x</math>, Vnde cum
quadratum ejus $it <math>zz - xz + {1/4} xx</math>: erit itidem <math>zz - xz + {1/4} xx
= 3 aa - {3/4} xx</math>. Hoc e$t, ordinatâ æquatione, habebitur
<math>xx = zx + 3 aa</math>. Et fit, extractâ radice <math>x = {1/2} z 🜶 <r>3 aa - {3/4} zz.</r>
- zz</math></p>
<p>Hinc $i rur$us in æquatione olim inventa <math>x^3 = * + 3 aax + aab</math>
in locum <math>x</math> $ubrogetur valor inventus <math>{1/2} z 🜶 <r>3 aa - {3/4} zz</r></math>, & in
locum <math>x^3</math> ejus cubus <math>{9/2} aaz - z^3 🜶 3 aa <r>3 aa - {3/4} zz</r></math>, obtinebi-
mus æquationem <math>z^3 = * + 3 aaz - aab</math>. Cujus ideo vera radix
e$t linea FC.</p>
<p>Ex quibus colligitur, $i æquatio propo$ita $uerit <math>x^3 = * + 3 aax -
aab</math>, eandem duas admittere veras radices, quarum minor AF ob-
tinetur, $i ex AI vel IC dimidia ba$e primi trianguli ABC au-
feratur recta FI, cujus quadratum $it æquale triplo quadrato eju$-
dem altitudinis BI; & major, $i ad AI vel IC ip$a FI addatur.
Omnino ut fuit propo$itum.</p>
<p>Vbi porrò advertendum, quòd, in eadem æquatione <math>x^3 = * +
3 aax - aab</math>, ob mutuam radicum æquationis hujus tertiæ ac $e-
cundæ formulæ reciprocationem, tertia radix $it fal$a, quæ per
AC, ba$in primi trianguli ABC, de$ignatur, quæque ip$is veris
AF, FC $imul $umptis e$t æqualis. Et contra $i æquatio fuerit
<math>x^3 = * + 3 aax + aab,</math> quòd præter veram, quæ per AC exhi-
betur, aliæ duæ extent fal$æ, quarum minor e$t AF, & major FC,
quæ $imiliter $imul $umptæ ip$i veræ AC $untæquales.</p>
<p>Denique quoniam omnes $imiles æquationes ad æquationem
po$terioris Problematis revocari queunt, poterimus quoque pro-
<mgl>_Vide fi_-
_guras_
_pag_. 362.
& 363.</mgl>
po$itæ æquationis <math>x^3 = 2700 x - 32400</math> valores radicis <math>x</math> $ic cx-
primere: Dicentes eos per diametrum circuli AD de$ignari, in
quo $i in$cribantur tres rectæ lineæ inæquales AB, BC, & CD,

<pb 367>[387]<rh>Æ<sc>QVATIONVM RESOLVTIONE</sc>.</rh>
$ibi invicem contiguæ, quarum extremæ prodeunt è diametri ter-
minis A & D, $olidum ex ip$is tribus <math>$it = 16200</math> $eu <math>{1/2}q</math>, & $um-
ma quadratorum earundem <math>$it = 2700</math> $eu <math>p</math>. Nam quemadmo-
dum hæ tres in$criptæ cum diametro duobus modis girgillum re-
ferunt, & utrâque po$itione diameter duplicem quantitatem $or-
titur, ita quoque ip$a in hac vel illa po$itione veram $emper radi-
cem de$ignat. Fal$a autem, ip$is veris adæquans, exhibetur per dia-
metrum $emicirculi, in quo de$cripto $upra diametrum quadrila-
tero, tria hujus reliqua latera dictis in$criptis $umpta $int æqualia.
Vt ex $uperioribus manife$tum e$t.</p>
<p>Vbi advertendum in$uper re$tat, æquationem numericam <math>1 ③
= 13 ① - 12</math>, à Girardo propo$itam, non requirere ut radices
ejus hoc modo exprimantur: cum in illa 1 ① valeat - 4, + 1, &
+ 3, ac ip$a æquatio <math>1 ③ = 0 ② - 13 ① + 12 = o per 1 ① +
4 = 0</math>, & per <math>1 ① - 1 = 0</math>, nec non per <math>1 ① - 3 = 0</math> dividi po$-
$it. Ita ut duntaxat radices earum æquationum tertiæ formulæ
juxta aliquem præcedentium modorum opùs $it exprimere, in
quibus con$tat ip$as nec numero, nec Cardani regula explicari
po$$e.</p>
<p>Vnde demum cum D. des Cartes concludere licet, valorem ra-
dicum æquè facilè, immo quidem faciliùs concipi, cùm ip$e per
$ubten$as arcuum de$ignatur, quorum triplum e$t da@um, quàm
cùm per latera certorum cuborum exprimitur, quorum non ni$i
contentum cogno$citur. Præterquam quòd ad illas $ubten$as non
magis in digeamus aliquo charactere peculiari, quàm √ C. ad ex-
primenda latera cubica, & √ ad quadrata. A deò ut cubicarum æ-
quationum valores radicum, qui nec numero nec per Cardani re-
gulas exprimi queunt, allatis quidem modis clarè ac di$tinctè ex-
plicari po$$int.</p>
<p>Cæterùm ne quid hîc de$ideretur, $ed etiam appareat, quo pa-
cto hæ Cardani regulæ fuerint inventæ, lubet hoc loco afferre ea,
quæ circa hanc rem acuti$$imus no$ter Huddenius olim adinve-
nit, mihique coram communicavit.</p>
<p>Proponatur æquatio <math>z^3 = * - pz + q</math>, & $it <math>z</math> quantitas, quàm
invenire oportet.</p>
<p>Ponatur ad hoc <math>z = x - y</math>. Eritque <math>z^3 = x^3 - 3 xxy + 3 xyy - y^3</math>,
Vnde cum & <math>z^3</math> æquetur - <math>pz + q</math>: erit $imiliter - <math>pz + q =
x^3 - 3 xxy + 3 xyy - y^3</math>.</p>

<pb 368>[388]<rh>A<sc>PPENDIX DE</sc> C<sc>VBIC</sc>. Æ<sc>QVAT</sc>. <sc>RESOLVT.</sc></rh>
<p>Dividamus jam hanc æquationem in duas, nempe - <math>pz = -
3 xxy + 3 xyy</math>, & <math>q = x^3 - y^3</math>. Quarum prima divi$a per <math>z = x - y</math>
dat - <math>p = - 3 xy</math>, $eu <math>p = 3 xy</math>; & fit <math>x = {{1/3}p/y}</math>. Vnde, $i in $ecunda
in locum <math>x</math> $ubrogetur valor inventus <math>{{1/3}p/y}</math>, & in locum <math>x^3</math> hujus cu-
bus <math>{{1/27}p3/y}</math>, obtinebitur <math>q = {{1/27} p^3/y^3} - y^3</math>. Hoc e$t, multiplicando u-
trinque per <math>y^3</math>, & ordinando æquationem, habebitur <math>y^6 = - qy^3
+ {1/27}p^3</math>. Cujus radix, juxta pag. 6, e$t <math>y^3 = - {1/2}q + <r>{1/4} qq + {1/27} p^3</r></math>.
Et fit <math>y = <r>C. - {1/2}q + <r>{1/4}qq + {1/27} p^3</r></r></math>. Adeoque <math>x = {{1/3}p/y}
= <r>{1/3}p/</r>C. - {1/2}q + <r>{1/4}qq + {1/27}p^3</r></math>. Po$ueramus autem <math>z = x - y</math>. Erit
itaque <math>z = {1/3}p/C. - {1/2}q + <r>{1/4}qq + {1/27}p^3</r> - <r>C. - {1/2}q + <r>{1/4}qq + {1/27}p^3</r></r></math>.
Qui $anè valor eo Cardani $implicior cen$eri pote$t, $iquidem ad
hunc obtinendum radix cubica $emel tantùm e$t extrahenda.
Quòd $i verò ip$ius <math>z</math> valor cum Cardano $it exhibendus, ita por-
rô operari licebit. videlicet in æquatione jam dictâ <math>q = x^3 - y^3</math> in
locum <math>y^3</math> $ub$tituendo valorem inventum <math>- {1/2}q + <r>{1/4}qq + {1/27}p^3</r></math>:
habebiturque <math>q = x^3 + {1/2}q - <r>{1/4}qq + {1/27}p^3</r></math>, $eu <math>x^3 = + {1/2}q +
<r>{1/4}qq + {1/27}p^3</r></math>. Et fit <math>x = <r>C. + {1/2}q + <r>{1/4}qq + {1/27}p^3</r></r></math>. Hinc cum <math>z</math> $it
<math>= x - y</math>: erit <math>z = <r>C. + {1/2}q + <r>{1/4}qq + {1/27}p^3</r></r> - <r>C. - {1/2}q + <r>{1/4}qq + {1/27}p^3</r></r></math>.</p>
<p>Haud di$$imili modo procedendum in æquatione <math>z^3 = * + pz
+ q</math>, ubi <math>z</math> valet <math><r>C. + {1/2}q + <r>{1/4}qq - {1/27}p^3</r></r> +
<r>C. + {1/2}q + <r>{1/4}qq - {1/27}p^3</r></r></math>. ponendo nempe <math>z = x + y</math>.</p>
<p>Notandum verò, in his <math>z</math> æqualem $upponi <math>x</math> + vel - <math>y</math>, non
autem pluribus incognitis quantitatibus, ex eo quòd plures dua-
bus diver$is æquationibus in$titui nequeunt; ut & - <math>pz</math> $upponi
<math>= - 3 xxy + 3 xyy</math>, ex eo quòd tunc æquationem hanc divide-
re licet per <math>z = x - y</math>, atque $ic deinde ip$arum <math>x, y</math>, & <math>z</math> valores
in $implici$$imis terminis invenire. Idem quoque aliter fieri po-
te$t, ad modum paginæ 296.</p>
<p>Hæc autem de Cubicarum Æquationum Re$olutione dicta $uf-
ficiant.</p>

<pb 369>[389]<rh>ADDITAMENTVM.</rh>
<p>CÆterùm ut pateat, non facilè Problema aliquod datum
iri, quod hanc Geometriam effugiat, aut eju$dem Me-
thodo $olvi non po$$it, $ubjungam in ejus $pecimen $olu-
tionem artificio $i$$imam Problematis, quod habetur in
libello ingenio$i$$imo, qui operâ Iacobià W ae$$enaer Anno 1640
$ub titulo: _Den onwi$$en VVis-kon$tenaer. I.I. Stampioënius_, in lu-
cem prodiit. Verùm enimverò quoniam ad ejus $olutionem, ibi
traditam, quædam admittuntur ut conce$$a, quæ demon$trare
operæ pretium duxi, vi$um fuit ea $equenti Theoremate demon-
$trata exhibere.</p>
<h it>THE ORE MA.</h>
<p>Alicubi terrarum in Zonis frigidis, cùm Sol non oc-
cidit, defixis ad plumbum $upra planum horizontale
tribus baculis in punctis A, B, & C, ita $e habentibus,
ut, po$tquam eodem die extremitas umbræ baculi A
tran$ire deprehen$a fuerit per B & C, reperta item $it
extremitas umbræ baculi B tran$ii$$e per C & A, nec
non ejus qui in C per A: Demon$trandum e$t eandem
tran$ii$$e pariter per B.</p>
<p>Quod ut fiat, $ciendum primò e$t umbram baculi A de$crip$i$-
$e Ellip$in vel Circulum, tran$euntem per puncta B & C, prout
videlicet hæc ob$ervata ponantur in Sphæra obliqua vel parallela.
Deinde junctis CA, AB, BC, productisque BA, AC donec
ejus circumferentiæ occurrant in punctis E & F, ductâque per A
rectâ DG ip$i BC parallelâ, & utrinque peripheriæ occurrente
in punctis D & G: evidens e$t, quòd, po$tquam umbra baculi B
finiitin A, eodem puncto temporis umbra baculi A finierit quo-
que in E; ita ut BA ad AE, rationem, quæ e$t inter baculum B
& baculum A, de$ignet. Eodem modo, po$tquam umbra baculi
C pertigit ad A, pertigit etiam umbra baculi A ad F; ita ut CA
ad AF $it, $icut baculus C ad baculum A. Similiter, dum umbra
ip$ius B pervenit ad C, pervenit etiam umbra ip$ius A ad D; ita
ut BC $it ad AD, $icut baculus B ad baculum A. Quibus $ic in-

<pb 370>[390]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
<fig>
<var>F G E A I B K D M N L C H</var>
<desc>O</desc>
<desc>P</desc>
<desc>Q</desc
<desc>R</desc>
</fig>
tellectis, ut con$tet, umbram baculi C tran$ii$$e item per B,
o$tendendum e$t, cùm umbra baculi A incidit in G, umbram
ip$ius C incidi$$e $imiliter in B, hoc e$t, baculum C ad baculum A,
vel CA ad AF e$$e, $icut CB ad AG.</p>
<p>Quod ip$um igitur ut fiat manife$tum, inveniendus nobis e$t
valor lineæ AG. Quocirca ad hoc ductâ GH parallelâ AC, $e-
cante AB, BC in I & K, & Ellip$is vel Circuli circumferentiæ
occurrente in H, ponatur <math>AB = a</math>, <math>BC = b</math>, <math>CA = c</math>, <math>AF = d</math>,
<math>AE = e</math>, <math>HK = x</math>, & AG vel <math>CK = z</math>: eritque <math>KB = b - z</math>.</p>
<p>Deinde, ut innote$cat AD, quoniam baculus B e$t ad bacu-
lum A, ut BA ad AE; itemque B baculus ad A baculum, ut BC
ad AD: erit ut BA ad AE, vel <math>a</math> ad <math>e</math>, $ic BC vel <math>b</math> ad AD. quæ
ideo erit <math>{be/a}</math>. Cum autem hæc multiplicata per AG $eu <math>z</math> produ-
cat <math>{bez/a}</math> rectangulum DAG, $imiliterque AG vel CK $eu <math>z</math> mul-
tiplicata per KB $eu <math>b - z</math> producat <math>bz - zz</math> rectangulum CKB;
& quidem, juxta 17 prop. 3<_>tii</_> libri Conicorum Apollonii, <math>{bez/a}
ad bz - zz</math> $it, vel <math>{be/a}</math> ad <math>b - z</math>, $icut ᄆ FAC ad ᄆ GKH $eu

<pb 371>[391]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
<math>cd</math> ad <math>cx</math>, vel <math>d</math> ad <math>x</math>: fiet, multiplicando medios tum extremos,
<math>db - dz = {bex/a}</math>, vel <math>adb - adz = bex</math>.</p>
<p>Iam, ut habeatur KI, fiat, propter $imilitu dinem triangulorum
BCA & BKI, ut <math>BC = b</math> ad <math>CA = c</math>, ita <math>BK = b - z</math> ad <math>KI
= {cb - cz/b}</math>. quæ ad HK $eu <math>x</math> addita dat <math>HI = {cb - cz + bx/b}</math>; at
verò ex KG vel CA $eu <math>c</math> $ubducta relinquit <math>IG = {cz/b}</math>. ex qua-
rum ductu unius in alteram invenitur ᄆ <math>GIH = {ccbz - cczz + cbxz/bb}<math>.</p>
<p>Porrò, ut obtineatur AI, fiat, propter $imilitu dinem triangu-
lorum AGI & BCA, ut <math>BC = b</math> ad <math>BA = a</math>, ita <math>AG = z</math> ad
<math>AI = {az/b}</math>. quæ ad AE $eu <math>e</math> addita dat <math>EI = {az + eb/b}</math>; at vero ex
<math>AB = a</math> $ubducta relinquit <math>IB = {ab - az/b}</math>. ex quarum mutua
multiplicatione exurgit ᄆ <math>EIB = {aabz + abbe - aazz - abez/bb}</math>. Iam
cum, ut ante, per 17. 3<_>tii</_> Con. Apoll., ᄆ FAC $eu <math>cd</math> $it ad
ᄆ GIH $eu <math>{ccbz - cczz + cbxz/bb}</math>, $ive ad <math>{cbz - czz + bxz/bb}</math>, $icut
ᄆ EAB $eu <math>ea</math> ad ᄆ EIB $eu <math>{aabz + abbe - aazz - abez/bb}</math>, $ive <math>e</math> ad
<math>{abz + bbe - azz - bez/bb}</math>: fiet, multiplicando extremos tum me-
dios, omi$$o priùs communi denominatore <math>bb</math>, <math>abdz + bbed -
adzz - bedz = cbez - cezz + bexz</math>. Quoniam autem $u-
pra inventum $uit <math>adb - adz = bex</math>, hoc e$t, multiplicando u-
trinque per <math>z</math>, <math>abdz - adzz = bexz</math>: obtinebitur, $ubducen-
do unam æquationem ex altera, <math>bbed - bedz = cbez - cezz</math>,
vel <math>bbd - bdz = cbz - czz</math>. Hoc e$t, æqualitate ritè ordina-
tâ, erit <math>zz = {cb + db/c}</math> in <math>z - {bbd/c}</math>. Quæ æquatio juxta regulam
pag. 7 re$oluta dat <math>z = b</math>, ut & <math>z = {db/c}</math>. Cum verò horum duo-
rum valorum ip$ius <math>z</math> duntaxat <math>{db/c}</math> quæ$itæ AG re$pondeat, hic-
que nos doceat <math>c</math> e$$e ad <math>d</math>, $icut <math>b</math> ad <math>z</math>: patet, CA ad AF e$$e
$icut CB ad AG. Quod erat o$tendendum.</p>
<p>Sequitur Problema, eju$que $olutio.</p>

<pb 372>[392]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
<h it>PROBLEMA.</h>
<p>TEmpore verno erectis alicubi terrarum ad perpen-
diculum tribus baculis in plano Horizontali in
punctis A, B, & C, quorum is qui in A $it 6 pedum,
qui in B 18 pedum, & qui in C 8 pedum, exi$tente li-
neâ AB 33 pedum: Contingit quodam die extremita-
tem umbræ baculi A tran$ire per puncta B & C, bacu-
li autem B per puncta A & C, & baculi C per pun-
ctum A, unde fit ut etiam per punctum B $it tran$itu-
ra. Quæritur jam quo terræ loco atque anni die hæc
evenerint?</p>
<fig>
<var>O F G B P N K L H Q E A V I _a_ M D C</var>
</fig>
<p>Solutio.</p>
<p>Vt hoc Problema $olverem, primò con$ideravi, Solem, baculi
cuju$que umbrâ, eo die quo hæc ob$ervata $unt, de$crip$i$$e El-
lip$in, Hyperbolam, aut Parabolam.</p>
<p>Deinde etiam facilè per$pexi, umbram illam non Hyperbo-
lam, nec Parabolam, $ed Ellip$in de$crip$i$$e, eamque ob$erva-
tionem, quæ prima recen$etur, non matutino tempore, $ed ante

<pb 373>[393]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
mediam noctem factam fui$$e. Quibus brevitatis causâ $uppo$i-
tis ad Problematis $olutionem ita procedo.</p>
<p>Sit PGQC Ellip$is, quam de$crip$it umbra baculi A, ejusque
maxima diameter $it PQ, repræ$entans lineam meridianam: li-
quet, cùm umbra baculia A pertigit ad Q, fui$$e mediam noctem,
& cùm à Q per C tran$iens pervenit ad P fui$$e meridiem, & de-
nique à P per G decurrens u$que in Q rur$us ad mediam noctem
fui$$e perventum. Deinde, cùm umbra baculi B incidit in A, tum
quoque umbra baculi A incidit in E; ita ut AB $it ad AE, ut 3
ad 1. Porrò, cùm umbra baculi C pertigit ad A, pertigit etiam
umbra baculi A ad F; ita ut CA ad AF $it, ut 4 ad 3. Denique,
cùm umbra baculi B terminabatur in C, terminabatur quoque
umbra baculi A in D; ita ut GA ad AD $it, ut 9 ad 4. Quibus
<mgr>A</mgr>
rationibus in Ellip$i $ic explicatis, demittantur perpendiculares
BM, EN, CH, FL, GI, & DK.</p>
<fig>
<var>R P Y S V A X T Q Z</var>
</fig>
<p>Deinde, in $ecunda figura $upponendo PRQ e$$e Conum,
in quo PQ de$ignet majorem prædictæ Ellip$eos diametrum,
AR baculum A, RS axem Coni, angulus ASR altitudinem
Poli, & angulus RPY di$tantiam inter æquatorem & locum So-
lis in Ecliptica: fiat in Ellip$i <math>PQ = q</math>, latus rectum <math>QO = r</math>,
<math>AQ = p</math>, <math>MQ = x</math>, <math>HQ = y</math>, & <math>KQ = z</math>: eritque <math>AM = p - x</math>,
<math>AN = {1/3}p - {1/3}x</math>, <math>NQ = {4/3}p - {1/3}x</math>, <math>AH = p - y</math>, <math>AL = {3/4}p - {3/4}y</math>,
<math>LQ = {7/4}p - {3/4}y</math>, & <math>KA = z - p</math>; In Cono verò, <math>AR = c</math>,
$eu 6, <math>PQ = q</math>, <math>AV = qu</math>, <math>SV = fuq</math>: eritque <math>AS = qu - fuq</math>,
<mgr>B</mgr>
& <math>PS = {1/2}q - fuq</math>.</p>

<pb 374>[394]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
<p>His po$itis, quæro primùm rationem, quam inter $e habent
MQ, HQ, & KQ, ut &, BM, HC, & DK: & invenio BM +
HC æquari 3 DK: cum BC & AD parallelæ exi$tentes inter
<mgl>C</mgl>
$e $int, $icut baculus B ad baculum A, hoc e$t, ut 3 ad 1: ac pro-
<mgl>D</mgl>
inde <math>BM + HC = 3 DK</math>. E quibus porrò invenitur PA ad
AQ e$$e, ut <math>{1/2}q - {7q/16√3}</math> ad <math>{1/2}q + {7q/16√3}</math>, hoc e$t, ut <math>√3 - {7/8}</math> ad
<math>√3 + {7/8}</math>.</p>
<p>Deinde beneficio AM & AB quæro perpendicularem BM,
quæ etiam in aliis terminis inveniri pote$t. unde innote$cit latus
rectum <math>r</math>, quod po$tea quoque aliter beneficio Coni invenitur.</p>
<p>Ex duplicibus terminis quantitati <math>r</math> æqualibus quæro <math>f</math>, tum <math>q</math>,
ac po$tea etiam <math>u</math>.</p>
<p>Cognitis autem <math>f, q,</math> & <math>u</math>, quæritur ratio A S ad A R, o$tendens
Poli elevationem.</p>
<p>Denique inve$tigatur ratio, quæ e$t inter TX & TR, hoc
e$t, inter PY & YR, & inde innote$cit di$tantia inter Æquato-
rem & locum Solis in Ecliptica.</p>
<p>Primò igitur MQ $ic inve$tigatur: VtP Q $eu <math>q</math> ad QO $eu <math>r</math>,
ita quadratum MQ $eu <math>xx</math> ad <math>{rxx/q}</math>, quod $ubductum ab <math>rx</math>, re-
ctangulo MQO, relinquit <math>rx - {rxx/q}</math>, pro quadrato ex BM,
adeoque <math><r>rx - {rxx/q}</r></math> pro BM. Rur$us, ut <math>q</math> ad <math>r</math>, ita quadratum
<math>NQ {16/9}pp - {8/9}px + {1/9}xx</math> ad <math>{{16/9}ppr - {8/9}prx + {1/9}rxx}</math>. quod $i
$ubtrahatur à <math>{4/3}pr - {1/3} rx</math>, rectangulo NQO, & ex reliquo ex-
trahatur radix quadrata, fiet <math><r>{4/3}pr - {1/3} rx {-16ppr + 8 prx - rxx/9q}</r></math>
<mgl>E</mgl>
pro NE, <math>= <r>{rx/9} - {rxx/9q}</r></math>, tertiæ videlicet parti ip$ius BM. Quæ
æquatio $i reducatur, invenietur <math>x = {4pp - 3pq/2p - q}</math>, pro MQ.</p>
<p>Deinde, ad inveniendam HQ, inve$tigetur priùs eodem mo-
do HC, <math><r>ry - {ryy/q}</r></math>. Tum fiat, ut CA ad AF, $eu 4 ad 3, ita
<math><r>rx - {ryy/q}</r></math> ad <math><r>{9/16} ry - {9ryy/16q}</r></math>, $eu LF. Porrò, ut <math>q</math> ad <math>r</math>, ita
quadratum LQ <math>{49pp/16} - {21py/8} + {9yy/16} ad {49ppr/16q} - {21pry/8q} + {9ryy/16q}.</math>

<pb 375>[395]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
<fig>
<var>O F G B P N K L H Q P A V I _a_ M E D C</var>
</fig>
Quod $i auferatur à <math>{7pr/4} - {3ry/4}</math>, rectangulo LQO, & ex reliquo
extrahatur radix, fiet <math><r>{7pr/4} - {3ry/4} - {49ppr/16q} + {21pry/8q} - {9ryy/16q}</r></math>
pro <math>LF = <r>{9ry/16} - {9ryy/16q}</r></math>, ante inventâ, Quæ æquatio reducta
dat <math>y = {7pr - 4pq/6p - 3q}</math>, pro HQ.</p>
<p>Porrò, ad inveniendam KQ, inve$tigetur ut priùs KD
<math><r>rz - {rzz/q}</r></math>. Deinde fiat ut AD ad AG, $eu 4 ad 9, ita
<math><r>rz - {rzz/q}</r></math> ad <math><r>{81rz/16} - {81rzz/16q}</r></math>, $eu GI. Rur$us, ut 4 ad 9,
ita AK <math>z - p</math> ad <math>{9z - 9p/4}</math>, $eu AI. quæ ex AQ $ublata relinquit
IQ <math>{13p/4} - {9z/4}</math>. Porrò ut <math>q</math> ad <math>r</math>, ita quadratum QI <math>{169pp/16} - {117pz/8}
+ {81zz/16}</math> ad <math>{169ppr/16q} - {117rpz/8q} + {81rzz/16q}</math>. Quod $i auferatur à
<math>{13pr/4} - {9rz/4}</math>, rectangulo IQO, & ex reliquo extrahatur radix,
proveniet <math><r>{13pr/4} - {9rz/4} - {169ppr/16q} + {117rpz/8q} - {81rzz/16q}</r></math>, pro

<pb 376>[396]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
<math>GI = <r>{81rz/16} - {81rzz/16q}</r></math>, ante inventæ Quæ æquatio $i reduca-
tur, habebitur <math>z = {13pp - 4pq/18p - 9q}</math>.</p>
<p>Atque ita inventæ $unt
MQ $eu <math>x = {4pp - 3pq/2p - q}</math>.
HQ $eu <math>y = {7pp - 4pq/6p - 3q}</math>.
KQ $eu <math>z = {13pp - 4pq/18p - 9q}</math>.</p>
<p>Ad inveniendas jam BM, HC, & DK, quoniam ante in-
venta e$t BM <math><r>rx - {rxx/q},</r></math> loco <math>x</math> $ub$tituatur <math>{4pp - 3pq/2p - q}</math>, &
<math>{16p^4 - 24p^3 q + 9 ppqq/4pp - 4pq + qq}</math> loco <math>xx</math>, fietque BM
<math><r>{- 16p^4 r + 32p^3 qr - 19 ppqqr + 3 pq^3 r/4ppq - 4pqq + q^3}</r></math>.</p>
<p>Eodem modo, quoniam HC inventa e$t <math><r>ry - {ryy/q},</r></math> loco
<math>y</math> $cribatur <math>{7pp - 4pq/6p - 3q}, & {49 p^4 - 56qp^3 + 16ppqq/36pp - 36pq + 9qq}</math> loco <math>yy
eritque HC <math><r>{- 49 p^4 r + 98 p^3 qr - 61 ppqqr + 12 pq^3 r/36 ppq - 36 pqq + 9 q^3}</r></math>.</p>
<p>Similiter, quoniam DK inventa e$t <math><r>rz - {rzz/q}</r></math>, loco <math>z</math> po-
natur <math>{13 pp - 4 pq/18 p - 9 q}</math>, & <math>{169 p^4 - 104 p^3 q + 16 ppqq/324 pp - 324 pq + 81 qq}</math> loco <math>zz</math>,
fietque DK <math><r>{-169 pr + 338 p^3 qr - 205 ppqqr + 36 pq^3 r/324 ppq - 324 bqq + 81 q^3}</r></math>.</p>
<p>Quibus inventis, facile e$t invenire rationem ip$ius PA ad
AQ. Cum enim 3 DK æquetur BM + HC, ut $upra dictum
e$t: hinc inventos terminos ad eandem denominationem redu-
co, ut pote ip$ius HC, multiplicando tam numeratorem, quàm
denominatorem ip$ius BM per √ 9, & denominatorem ip$ius
DK dividendo per 3, fietque omi$$o communi denominatore,
pro BM <math><r>- 144 p^4 r + 288 p^3 qr - 171 ppqqr + 27 pq^3 r</r></math>,

<pb 377>[397]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
<fig>
<var>O G F B N K L H P Q A V I _a_ M Q E D O</var>
</fig>
pro H C <math><r>- 49 p^4^r + 98 p^3 q^r - 61 ppqqr + 12 pq^3^r</r></math>, &
pro tripla D K <math><r>- 169 p^4 r + 338 p^3 qr - 205 ppqqr + 36 pq^3 r</r></math>.
Qui $inguli $i per _p r_ dividantur, fiet pro B M
<math><r>- 144 p^3 + 288 ppq - 171 pqq + 27 q^3</r></math>, pro H C
<math><r>- 49 p^3 + 98 ppq - 61 pqq + 12 q^3</r></math>, & pro tripla D K
<math><r>- 169 p^3 + 338 ppq - 205 pqq + 36 q^3</r></math>; & hirur$us di-
<mgr>F</mgr>
vi$i per <math>- p + q</math>, dant pro B M <math><r>- 144 P P + 144 pq - 27 qq</r></math>,
pro H C <math><r>- 49 pp + 49 pq - 12 qq</r></math>, & pro tripla D K
<math><r>- 169 pp + 169 pq - 36 qq</r></math>. Vbi porrò, $i $upponatur
<mgr>G</mgr>
<math>- p + q = n</math>, habebitur <math><r>+ 144 pn - 27 qq</r></math> pro B M,
<math><r>+ 49 pn - 12 qq</r></math> pro H C, & <math><r>+ 169 pn - 36 qq</r></math> pro
tripla D K, adeoque <math><r>144 pn - 27 qq</r> + <r>49 pn - 12 qq</r>
= <r>169 pn - 36 qq</r></math>. Quæ æquatio reducta dabit <math>ppnn = +
{335qq/768} pn - {143 q^4 / 3072}</math>. Et fit <math>pn = {1/4}qq</math>, nec non <math>pn = {143/768}qq</math>.</p>
<p>Vbi$ciendum, accipiendam e$$e tantùm radicem <math>pn = {143/768}qq</math>:
cum reliqua radix <math>pn = {1/4}qq</math>, re$tituendo valorem ip$ius <math>n</math>, pro-
ducat hanc æquationem <math>pp = qp - {1/4}qq</math>, cujus radix e$t <math>p = {1/2}q</math>;
o$tendens baculum A in medio ip$ius P Q fui$$e con$titutum.</p>

<pb 378>[398]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
<p>Quod $anè fieri non pote$t, quandoquidem umbræ baculi A
utrinque non $unt æquales. Hinc, cum <math>pn</math>, hoc e$t, <math>{143/768}qq</math>,
$it <math>= - pp + pq</math>, $eu <math>pp = qp - {143/768}qq</math>, cujus radix e$t <math>p = {1/2}q -
<mgl>H</mgl>
{7q/16 √ 3}</math>, nec non <math>p = {1/2} q + {7q/16 √ 3}</math>: fiet pro P A <math>{1/2} q - {7q/16 √ 3}</math>, & <math>{1/2}q +
<mgl>I</mgl>
{7q/16 √ 3}</math> pro A Q. Vnde porro innote$cit P A e$$e ad A Q, $icut
<math>√ 3 - {7/8}</math> ad <math>√ 3 + {7/8}</math>.</p>
<p>Iam $i in Ellip$i primam ob$ervationem matutino tempore
<mgl>_Quo pacto_
_cogno$ca-_
_tur pri-_
_mam ob-_
_$ervatio-_
_nem ma-_
_tutino_
_tempore_
_non $ui$$e_
_factam_.</mgl>
ponamus factam e$$e, & P Q, ut ante, lineam meridianam de-
$ignare, atque baculi A umbram, motum Solis in$equentem, à P
per F tran$ii$$e u$que ad Q (quo tempore Sol humillimus exi-
$tens mediam noctem efficit) : erit B ex eadem parte $umen-
dum qua punctum C, non autem qua punctum F. Quo po$ito,
$i per modum præcedentem quæratur æquatio, fiet <math>ppnn =
{67qq/160}pn - {143q^4/320l0}</math>: in qua numerus ab$olutus major e$t quadrato
$emi$$is numeri radicum. Vnde, cum nulla $it linea, quæ Æqua-
tionis hujus radix e$$e po$$it: liquet, primam ob$ervationem ma-
tutino tempore non contigi$$e, $ed ante mediam noctem. Sicut
initio fuit $uppo$itum.</p>
<p>Deinde, $i ponatur, umbram baculi A de$crip$i$$e Hyperbo-
<mgl>_Quâ ra-_
_tione inno-_
_te$cat um-_
_bram non_
_de$crip$i$$e_
_Hyperbo-_
_lam, aut_
_Parabo-_
_lam. Quo-_
_modo in-_
_veniatur_
_latus re-_
_ctum per_
_Ellip$in_.</mgl>
lam, invenietur æquatio <math>ppnn = - {335qq/768}pn - {143q^4/3072}</math>. Quæ cum
nullam admittat radicem, quæ propo$ito convenire po$$it, indicio
e$t, umbram non de$crip$i$$e Hyperbolam. Eodem modo o$ten-
ditur ip$am non de$crip$i$$e Parabolam.</p>
<p>Po$tea ad inveniendum <math>r</math>, latus rectum Ellip$eos, quæratur
A M, ut $equitur. Quoniam $ubducendo M Q ex A Q, hoc e$t,
<math>{4pp - 3pq/2p - q}</math> ex <math>p</math>, relinquitur <math>{- 2pp + 2pq/2p - q}</math></math>, pro A M: hinc $i
loco <math>p</math> $ub$tituatur <math>{1/2}q + {7q/16 √ 3}</math>, ante inventum, & <math>{1/2}qq +
{7qq/16 √ 3} + {49qq/768}</math> loco <math>pp</math>; fiet <math>{143q/112 √ 3}</math> pro A M. Porrò, po$ito
baculo A <math>= 6 = c</math>, erit A B <math>= 33 = {11c/2}</math> (e$t enim ut 6 ad 33,
$eu 2 ad 11, $ic <math>c</math> ad <math>{11c/2}</math>). à cujus quadrato <math>{121cc/4}</math> $i auferatur

<pb 379>[399]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
<math>{143, 143, qq/112, 112, 3}</math>, quadratum ex A M; relinquetur <math>{121 cc/4} - {143, 143, qq/112, 112, 3}</math>,
pro quadrato ex B M. Subductâ autem A M <math>{143q/112 √ 3}</math> ex A Q
<math>{1/2} q + {7q/16 √ 3}</math>, remanet <math>{1/2} q - {47q / 56 √ 3}</math> pro M Q $eu <math>x</math>. Iam cum
quadratum ex B M, primò inventum, $it <math>rx - {rxx/q}</math>, $ubrogato
<math>{1/2} q - {47q/56 √ 3}</math> in locum <math>x</math>, & <math>{1/4}qq - {47qq/56 √ 3} + {47, 47, qq / 56, 56, 3}</math> in locum <math>xx</math>;
<mgr>K</mgr>
habebitur <math>{143 q r/56, 56, 3}</math>, pro quadrato ex B M. Ac proinde, cum paulò
ante pro quadrato ex B M inventum quoque $it <math>{121 cc/4} - {143, 143, qq/112, 112, 3}</math>:
erit <math>{143 qr/56, 56, 3} = {121 cc/4} - {143, 143, qq/112, 112, 3}</math>. Quæ æquatio $i reducatur,
proveniet <math>r = {11, 14, 56, 3 cc/13 q} - {143 q/4}</math>.</p>
<p>Præterea, ad inve$tigandum latus rectum <math>r</math> in aliis terminis
<mgr>_Quomodo<?>_
_latus re-_
_ctum in-_
_veniatur_
_per Co-_
_num_.</mgr>
addatur quadratum ex A S, <math>qqvv - 2 fvvqq + ffvvqq</math>, ad
quadratum ex A R, <math>cc</math>; & habebitur <math>cc + qqvv - 2 fvvqq
+ ffvvqq</math>, pro quadrato ex R S: adeoque
<math><r>cc + qqvv - 2 fvvqq + ffvvqq</r></math>, pro R S. quæ brevitatis
cau$sâ nominetur <math>n</math>. Deinde, quoniam, propter $imilitudinem
triangulorum A R S, T S V, & P Y S, R S $eu <math>n</math> e$t ad A R $eu <math>c</math>,
$icut S V $eu <math>fvq</math> ad T V, & P S $eu <math>{1/2} q - fvq</math> ad P Y; invenietur
<math>{fvqc/n}</math> pro T V, & <math>{{1/2}qc - fvqc/n}</math>, pro P Y, quæ additæ efficiunt
<math>{{1/2}qc/n}</math>, pro T X. Rur$us, quia, propter eandem triangulorum $i-
<mgr>L</mgr>
militudinem, R S, $eu <math>n</math>, e$t ad A S $eu <math>qv - fvq</math>, $icut S V
$eu <math>fvq</math> ad S T, & P S $eu <math>{1/2}q - fvq</math> ad S Y; fiet pro S T
<math>{qqvvf - ffvvqq/n}</math>, & <math>{{1/2}qqv - fvvqq - {1/2}fvqq + ffvvqq/n}</math>, pro
S Y. quæ ab R S <math>{cc + qqvv - 2 fvvqq + ffvvqq/n}</math> $ubducta, re-
linquit <math>{cc + qqvv - fvvqq + {1/2} fvqq - {1/2} qqv/n}</math> pro R Y. Ad-
ditis autem R S & S T, habebitur <math>{cc + qqvv - fvvqq/n}</math> pro R T.

<pb 380>[400]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
<fig>
<var>R P Y S A V X T Q Z</var>
</fig>
Iam cum, ob quatuor lineas proportionales R T, R Y, T X, &
P Y, R T multiplicata per P Y tantundem producat atque R Y
per T X: proveniet <math>{1/2} cc + {1/2} qqvv - {1/2} fvvqq - ccfv - fqqv^3
+ ffv^3 qq = {1/2} cc + {1/2} qqvv - {1/2} fvvqq + {1/4} fvqq - {1/4} qqv</math>,
adeoque <math>cc = fvvqq - qqvv {+ {1/4} qq/f} - {1/4} qq</math>. Porrò $ubducto
quadrato ex T V à quadrato ex T X vel T Z, relinquetur
<math>{{1/4} qqcc - ffvvqqcc/nn}</math> pro quadrato ex Z V, <math>= {1/4} qr</math>. Vnde <math>r</math> $ic
invenitur. Re$tituatur valor ip$ius <math>nn</math>, & fit
<math>{{1/4} ccqq - ffvvqqcc/cc + qqvv - 2 fvvqq + ffvvqq} = {1/4} qr</math>, vel <math>ccq - ccr -
4 ffvvqcc = qqvvr - 2 fvvqqr + ffvvqqr</math>: itemque loco <math>cc</math>
valor ejus jam modò inventus, & habebitur, <math>qq</math> utrobique exem-
ptis, <math>fvvq - 4 f^3 v^4 q - vvq + 4 ffv^4 q - {1/4} q + {1/4} r + ffvvq
- fvvq {+ {1/4} q - {1/4} r/f} = - fvvr + ffvvr</math>. Quibus demum
per <math>f</math> multiplicatis, $i quantitates in <math>r</math> ductæ ad unam partem trans-
ferantur, obtinebitur, utramque partem per <math>{1/4} - {1/4} f - ffvv + f^3 vv</math>
<mgl>_Quâ ra-_
_tione, ex_
_duplici_
_termino-_
_rum gene-_
_re ip$ius_
_r, inve-_
_niati<?>sr f_.</mgl>
dividendo, <math>r = q - 4 fvvq</math>.</p>
<p>Po$tquam igitur inventa e$t <math>r = {11, 14, 56, 3, cc/13q} - {143q/4}</math>,
nec non <math>r = q - 4 fvvq</math>, erit <math>{11, 14, 56, 3, cc/13 q} - {143 q/4} = q -

<pb 381>[401]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
4 fvvq</math>. Ex qua æquatione quæro <math>f</math>, hoc modo: pro <math>{11, 14, 56, 3/13}</math>
$cribatur brevitatis causâ <math>d</math>, eritque <math>{dcc/q} - {143 q/4} = q - 4 fvvq</math>.
Rur$us pro <math>{143/4}</math> $cribatur <math>b</math>, & erit <math>{dcc/q} - bq = q - 4 fvvq</math>, hoc
e$t, $ubrogato <math>fvvqq - qqvv + {{1/4} qq/f} - {1/4} qq</math> in locum <math>cc</math>, habe-
bitur <math>dfvvq - dvvq + {{1/4} dq/f} - {1/4} dq - bq = q - 4 fvvq</math>. Vn-
de, dividendo utrinque per <math>q</math>, & multiplicando per <math>f</math>, invenietur,
quantitatibus in <math>ff</math> ductis ad unam partem tran$latis, <math>dvvff +
4 vvff = f + bf + {1/4} df + dvvf - {1/4} d</math>: adeoque $i re$tituantur
valores quantitatum <math>d</math> & <math>b</math>, atque in locum <math>v</math> $ub$tituatur <math>{7/16 √ 3}</math>,
<math>{317569/2496} ff = {137543/208} f - {6468/13}</math>, vel <math>ff = {33684/6481} f - {25344/6481}</math>,
<mgr>M</mgr>
cujus æquationis radix e$t <math>f = {16842 - √ 119398500/6481}</math> $eu
<mgr>N</mgr>
<math>{16842 - 390 √ 785/6481.}</math>.</p>
<p>Deinde, ex ii$dem terminis quæro <math>q</math>, ut $equitur. Re$umptâ
<mgr>_Quâ ra-_
_tione ex_
_ii$dem ter-_
_minis_
_ip$ius r_
_invenia-_
_tur q_.</mgr>
æquatione <math>{25872 cc/13 q} - {143 q/4} = q - 4 fvvq</math>, loco <math>cc</math> repona-
tur valor ejus datus 36, & ubique multiplicetur per <math>q</math>, fietque
<math>{25872, 36/13} - {143 qq/4} = qq - 4 fvvqq</math>, vel <math>{25872, 36/13} = qq +
{143 qq/4} - 4 fvvqq</math>, adeoque <math>qq = {{25872,36/13}/ 1 + {143/4} - 4 fvv}</math>. Quoniam
autem inventa e$t <math>f</math> & <math>v</math>, hinc in locum <math>- 4 fvv</math> $ubftituatur
<math>{- 4, 7, 7, 16842 + 4, 7, 7, 390 √ 785/16, 16, 3, 6481}</math>,
$eu <math>{- 196, 16842 + 76440 √ 785/768, 6481}</math>,

<pb 382>[402]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
$eu <math>{- 24, 137543 + 24, 3185 √ 785/24, 32, 6481}</math>, hoc e$t,
<math>{- 137543 + 3185 √ 785/32, 6481}</math>; eritque <math>qq = {{25872,36/13}/{7484113 + 3185 √ 785/32, 6481}}</math>,
$eu <math>qq = {{25872,36/13}/{49, 13 in 11749 + 5 √ 785/32, 6481}}</math>, hoc e$t,
<math>{25872, 36, 32, 6481/13, 13, 49 in 11749 + 5 √ 785}</math>, $eu <math>{528, 49, 36, 32, 6481/169, 49 in 11749 + 5 √ 785}</math>
hoc e$t, <math>{11, 48, 36, 32, 6481/169 in 11749 + 5 √ 785}</math>. Hinc po$ito <math>cc = 1</math>, erit
<math>qq = {11, 48, 32, 6481/169 in 11749 + 5 √ 785}</math>; at vero exi$tente
<fig>
<var>R P Y S A V T X Q Z</var>
</fig>
<math>cc = <ol>169</ol> in <ol>11749 + 5 √ 785</ol></math>, erit <math>qq = 11, 48, 32, 6481</math>, adeo-
que <math>q = <r>11, 48, 32, 6481</r></math>, & <math>qv = {<r>49, 11, 48, 32, 6481</r>/16, 16, 3}</math>,

<pb 383>[403]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
$eu <math><r>{49, 11, 48, 32, 6481/16, 48}</r></math>, hoc e$t <math><r>{49, 11, 32, 6481/16}</r></math>,
$eu <math>= <r>49, 22, 6481</r></math>.</p>
<p>Iam, ut inveniatur ratio A S ad A R, quoniam <math>1 - f</math> multi-
<mgr>_Vt & ra-_
_tio A S ad_
_A R_.</mgr>
plicata per <math>qv</math> producit <math>qv - fvq</math>, atque <math>f</math> e$t
<math>{16842 - 390 √ 785/6481}</math>: ideo, $i <math>1 - f = {390 √ 785 - 10361/6481}</math>
multiplicetur per <math>qv = <r>49, 22, 6481</r></math>, ex$urget <math>qv - fvq =
<r>{49, 22, 6481 in 390 √ 785 - 10361/6481}</r></math>, pro A S; $eu A S <math>=
{7 <r>22, 6481</r> in <r>13, 30 √ 785 - 13, 797</r>/<r>6481, 6481</r>}</math>, hoc e$t,
<math>{7, 13, √ 22 in 30 <r>785-797</r>/√ 6481}</math>; & A R <math>= 13 in <r>11749 + 5 √ 785</r></math>.
Quibus per 13 divi$is, erit A S <math>= {7 √ 22 in 30 √ 785 - 797/√ 6481}</math>,
& A R <math>= <r>11749 + 5 √ 785</r></math>, aut, $i ponatur A S <math>= 7 √ 22</math>, erit
A R <math>{√ 6481 in <r>11749 + 5 √ 785</r>/30 √ 785 - 797}</math>: multiplicatoque hujus tum
numeratore tum denominatore per denominatoris re$iduum,
proveniet A R <math>= {√ 6481 in <r>11749 + 5 √ 785</r> in 797 + 30 √ 785/11, 6481, vel 11, √ 6481, √ 6481}</math>,
hoc c$t, A R <math>= {<r>11749 + 5 √ 785</r> in 797 + 30 √ 785/11 √ 6481}</math>,
$eu <math><r>{15951432541 + 568545725 √ 785/121, 6481}</r></math>, $en
<math><r>20341 + 725 √ 785</r></math>. Ac proinde $i A S <math>= 7 √ 22</math> $umatur
pro radio, erit A R <math>= <r>20341 + 725 √ 785</r></math>, tangens anguli
A S R $ive elevationis Poli, videlicet 80 grad. 45 min. circiter.</p>
<p>Denique ad inve$tigandam rationem T X ad T R, vel P Y ad
<mgr>O</mgr>
Y R; cum T X $upra inventa $it <math>{{1/2} cq/n}</math>, & T R <math>= {cc + qqvv - fvvqq/n}</math>:

<pb 384>[404]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
hinc ut inveniatur ratio horum terminorum, (quoniam $uppo$itâ
A R $eu <math>c = 1</math>, <math>qq</math> e$t <math>{11, 48, 32, 6481/169 in 11749 + 5 √ 785}</math>, vel, numeratore
atque denominatore per <math>11749 - 5 √ 785</math> multiplicato,
<math>qq = {11, 48, 32, 6481 in 11749 - 5 √ 785/169, 138019376}</math>, $eu
<math>{48, 2, 176, 6481 in 11749 - 5 √ 785/169, 121, 176, 6481}</math> hoc e$t, <math>{48, 2 in 11749 - 5 √ 785/169, 121}</math>,
& <math>q = <r>{48, 2 in 11749 - 5 √ 785/169, 121}</r></math>, & <math>vv</math> e$t <math>{49, 256, 3}</math>, adeoque <math>qqvv
= {48, 2, 49, in 11749 - 5 √ 785/169, 121, 256, 3}</math>, $eu <math>{96, 49 in 11749 - 5 √ 785/169, 121, 96, 8}</math>, hoc e$t,
<math>{49 in 11749 - 5 √ 785/169, 121, 8}</math>) neglecto communi denominatore <math>n</math>, mul-
tiplicetur <math>1 - f</math> per <math>qqvv</math>, & fit <math>qqvv - fvvqq =
{390 √ 785 - 10361/6481} in {49 in 11749 - 5 √ 785/169, 121, 8}</math>, $eu
<math>{- 6517, 11, 6481 + 49, 5, 11, 6481 √ 785/13, 11, 11, 8, 6481}</math>, hoc e$t, <math>{- 6517 + 49, 5 √ 785/13, 11, 8}</math>,
Cui $i addatur <math>cc = 1</math>, fiet <math>cc + qqvv - fvvqq =
{- 5373 + 49, 5 √ 785/13, 11, 8}</math>, pro T R. Eodem modo multiplicato
<math>q = {<r>48, 2 in 11749 - 5 √ 785</r>/169, 121}</math>, per <math>{1/2} c</math>, $eu <math>{1/2}</math> (quandoquidem <math>c</math> e$t 1):
habebitur <math>{1/2} cq = {<r>24 in 11749 - 5 √ 785</r>/169, 121}</math>, pro T X. Inventæ igi-
tur T X & T R $i reducantur ad eandem denominationem, ac
deinde denominator communis omittatur, obtinebitur T X <math>=
<r>64, 24 in 11749 - 5 √ 785</r></math>, & T R <math>=49, 5 √ 785 - 5373</math>, $ive
T X <math>= <r>18046464 - <r>46301184000</r></r></math>, & T R <math>= <r>47119625 - 5373</r></math>.
<mgl>P</mgl>
Quarum $i T X vel P Y $umatur pro radio, erit T R vel Y R
tangens anguli T X R vel Y P R, grad. 19, & 27 min. circiter,
di$tantiæ loci Solis in Ecliptica ab Æquatore.</p>
<p>Cum autem in expo$ita hujus Problematis $olutione nonnulla
occurrant, quæ illu$trationem aliquam requirere videntur, atque

<pb 385>[405]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
minùs exercitatis $crupulum injicere po$$ent; placuit ea, quæ ad
eorum explicationem Vir Clari$$imus D. Era$mius Bartholinus,
Ca$p. Fil. Medicinæ ac Mathematum in A cademia Hafnien$i Pro-
fe$$or Regius concinnavit, paucis hîc adjicere.</p>
<p>_Ita ut G A ad A D $it_, _ut 9 ad 4_.] O$ten$um enim e$t
<mgr>A</mgr>
Theoremate præcedenti C A e$$e ad A F, hoc e$t, baculum C ad
baculum A, $icut C B ad A G. Vnde cum baculus A ad baculum
B $it, $icut D A ad C B: erit quoque ex æqualitate in proportione
perturbata, ut C baculus ad B baculum, hoc e$t, ut 8 ad 18, $eu 4
ad 9, ita D A ad A G; & convertendo G A ad A D, ut 9 ad 4.</p>
<p>_AV_ = <math>qu</math>, _SV_ = <math>fuq</math>.] Puta hîc unitatem $ubintelligi,
<mgr>B</mgr>
quæ $it <math>a</math>; ita ut <math>a</math> $eu 1 $it ad <math>q</math>, $icut <math>u</math> ad <math>qu</math>; & rur$us <math>a</math> $eu 1 ad
<math>qu</math>, $icut <math>f</math> ad <math>fuq</math>.</p>
<p>_Ac proinde B M + H C = 3 D K_.] Nam cum, propter
<mgr>C
_Huc refer_
_fig. p._ 372.</mgr>
$imilitudinem triangulorum <math>a</math> B M & <math>a</math> C H, <math>a</math> B $it ad B M, $icut
α C ad C H, & permutando <math>a</math> B ad <math>a</math>C, $icut B M ad C H, com-
ponendoque B C ad <math>a</math> C, $icut B M + C H ad C H: & propter
$imilia triangula C <math>a</math> H & D A K, <math>a</math> C ad C H, $icut A D ad D K,
permutandoque <math>a</math> C ad A D, $icut C H ad D K; erit ex æquo, ut
B C ad A D, $ic B M + C H ad D K. Vnde cum B C ip$ius A D
tripla $it, erit quoque B M + H C ip$ius D K tripla.</p>
<p>_E quibus porrò invenitur P A ad A Q e$$e, ut_ <math>{1/2} q - {7 q/16 √ 3}</math>
<mgr>D</mgr>
ad <math>{1/2} q + {7q/ 16 √ 3}</math>, hoc e$t, ut <math>√ 3 - {7/8}</math> ad <math>√ 3 + {7/8}</math>.] Quemadmo-
dum po$tea per$picuum fiet.</p>
<p>_Tertiœ videlicet parti ip$ius B M_.] Nimirum, propter
<mgr>E</mgr>
$imilitudinem triangulorum A B M & A E N, ubi A B e$t ad B M,
$icut A E ad E N, & permutando A B ad A E, $icut B M ad N E.
Vnde cum A B ad A E (ut $upra) $it, $icut 3 ad 1: erit quoque
B M ip$ius N E tripla.</p>
<p>_Et bi rur $us divi$i per_ <math>- p + q</math>, &<math>c</math>.] Vbi notandum, $i
<mgr>F</mgr>
B M <math><r>- 144 p^3 + 288 ppq - 171 pqq + 27 q^3</r></math>, H C
<math><r>- 49 p^3 + 98 ppq - 61 pqq + 12 q^3</r></math>, & tripla D K
<math><r>- 169 p^3 + 338 ppq - 205 pqq + 36 q^3</r></math> dividantur per
<math>- p + q</math>, oriri pro B M <math><r>+ 144 pp - 144 pq + 27 qq</r></math>, pro

<pb 386>[406]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
H C <math><r>+ 49 pp - 49 pq + 12 qq</r></math>, & pro tripla D K
<math><r>+ 169 pp - 169 pq + 36 qq</r></math>; non autem
<math><r>- 144 pp + 144 pq - 27 qq</r> <r>- 49 pp + 49 pq - 12 qq</r></math>,
& <math><r>- 169 pp + 169 pq - 36 qq</r></math>, ut habet Auctor, Ratio au-
tem cur ita $igna immutaverit, e$t, quòd $igna negata prævaleant
$ignis affirmatis. quod $ic o$tendi pote$t.</p>
<tb>
 # Etenim cum # <math>2 p -</math> major $it quàm <math>- q - - - 2 p</math> major quàm <math>q</math>
& utrinque multiplicetur per <math>72 q - - - - 72 q</math> utraque in $e <math>2 p - - q</math>
 # # ---------------------- ducatur -----------
 # erit quoque <math>144 pq -</math> major quàm <math>- 72 qq</math>, & fiet 4 _pp_ major quàm <math>qq</math>:
unde $i auferatur<_>*</_> <math>144 pq -</math> major quàm <math>- 36 qq</math> adeoque mul-
 # # --------------------- tiplicando u-
 # relinquetur <math>144 pq - 144 pp</math> major quàm <math>36 qq</math>: trinque per 36 - - - 36
adeoque addendo utrinque <math>144 pp - - - - - 144 pp</math> *erit 144 <math>pp</math> major quàm 36 <math>qq</math>
 # erit quoque 144 <math>pq</math> major quàm <math>144 pp + 36 qq</math>.
</tb>
<p>Ac proinde 144 <math>pq</math> multò major quàm <math>144 pp + 27 qq</math>. Et $ic
de reliquis. Vbi notandum, $i loco divi$oris $uperioris <math>- p + q</math>
$umatur divi$or <math>+ p - q</math>, eo$dem terminos inveniri, ii$demque
$ignis affectos, quemadmodum ab Auctore $unt propo$iti.</p>
<p>_Vbi porrò $i $upponatur_ <math>- p + q = n</math>, _habebitur_
<mgl>G</mgl>
<math><r>+ 144 pn - 27 qq</r></math> _pro B M_.] Etenim exi$tente <math>- p
+ q = n</math>, $i utrobique multiplicetur per <math>+ 144 p</math>, fiet <math>- 144 pp
+ 144 pq = + 144 pn</math>: adeoque <math>- 144 pp + 144 pq
- 27 qq = + 144 pn - 27 qq</math>, ac proinde
<math><r>- 144 pp + 144 pq - 27 qq</r> = <r>+ 144 pn - 27 qq</r></math>.
Et $ic de reliquis.</p>
<p>_Fiet pro P A_ <math>{1/2} q - {7 q/16 √ 3}</math>, & <math>{1/2} q + {7 q/16 √ 3}</math> _pro A Q.]</p>
<p>Quoniam enim æquatio <math>pp = qp - {143/768} qq</math>, duas admittit veras
<mgl>H</mgl>
<mgl>_Vide_
_pag_. 165
_vel_ 284.</mgl>
radices, quarum $umma e$t <math>q</math>, referens quantitatem cognitam
$ecundi termini <math>qp</math>, atque de$ignans lineam P Q: $it, ut $i una
<math>{1/2} q + {7 q/16 √ 3}</math> $umatur pro linea A Q, pro quâ $uppo$ita fuit <math>p</math>, al-
tera <math>{1/2} q - {7 q/16 √ 3}</math> $umenda $it pro linea P A.</p>
<p>_Vnde porrò innote$cit P A e$$e ad A Q, $icut_ <math>√ 3 - {7/8}</math>
<mgl>I</mgl>
ad <math>√ 3 + {7/8}</math>.] Quod $ic liquet,

<pb 387>[407]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
AP AQ
Multiplicetur <math>{1/2} q - {7 q/16 √ 3}</math> ad <math>{1/2} q + {7 q/16 √ 3}</math>
utrinque per 2, & $it <math>q - {7q/8 √ 3}</math> ad <math>q + {7 q/8 √ 3}</math>.
tum rur$us
per <math>√ 3</math>, & fit <math><ol>q √ 3 - {7 q/8} ad q √ 3 + {7 q/8}</ol></math>.
Denique dividatur
utrobique per <math>q</math>, fietque <math>√ 3 - {7/8}</math> ad <math>√ 3 + {7/8}</math>.</p>
<p>_Subrogato_ <math>{1/2} q - {47 q/56 √ 3}</math> in locum <math>x</math>, & <math>{1/4} qq - {47 qq/56 √ 3} +
<mgr>K</mgr>
{47, 47, qq/56, 56, 3}</math> _in locum_ <math>xx</math>, _habebitur_ <math>{143 qr/56, 56, 3}</math>, _pro quadrato ex_
_B M_.] Id quod hoc pacto fieri pote$t.</p>
<p>Ex <math>rx = {1/2} qr - {47 qr/56 √ 3}</math>
$ubtr ahatur <math>{rxx/q} = {1/4} qr - {47 qr / 56 √ 3} + {47, 47, qr/56, 56, 3}</math>:
& remanebit <math>rx - {rxx/q} = {1/4} qr - {47, 47, qr/56, 56, 3}</math> vel <math>{142 qr/56, 56, 3}</math>.
Nimirum $i reducatur <math>{1/4} qr</math> ad denominatorem ip$ius <math>{47, 47, qr/56, 56, 3}</math>.
utpote faciendo ut 4 ad 56, $ic 1 ad 14, eritque <math>{1/4} qr = {14 qr/56}</math>.
& deinde multiplicando tam numeratorem quàm denomina-
torem hujus fractionis per 56, 3, fiet <math>{56, 3, 14 qr/56, 56, 3}</math>, vel <math>{23 52 qr/56, 56, 3}</math>:
à quo $ubducto <math>{47, 47, qr/56, 56, 3}</math> $eu <math>{2209 qr/56, 56, 3}</math>, relinquetur <math>{143 qr/56, 56, 3}</math>.</p>
<p>_Quœ additœ efficiunt_ <math>{{1/2} qc/n}</math>, _pro T X_.] E$t enim P Y æ-
<mgr>L</mgr>
qualis V X. Quod facilè demon$trari pote$t. Cum enim Sol quoti-
dianâ $uâ conver$ione circa mundi axem rectos Conos efficiat:
fit, ut P Y, $i producta concipiatur, donec ip$i R Qoccurrat, ab
axe R T in puncto Y bifariam atque ad angulos rectos $ecetur,
triangulumque efficiat, quod triangulo V X Q $it $imile ac $imi-
liter po$itum. cujus latus P Q duplum exi$tens lateris V Q trian-
guli V X Q (propter punctum V, quod centrum refert Ellip$is,
cujus tran$ver$a diameter e$t P Q, & Z V $emi$$is $ecundæ dia-

<pb 388>[408]<rh>A<sc>DDITAMENTVM</sc>.</rh>
metri) facit ut etiam linea P Y producta ip$ius V X dupla $it fu-
tura, adeoque P Y æqualis V X.</p>
<p>_Atque in locumv $ub$tituatur_ <math>{7/16 √ 3}</math>.] Convincitur autem
<mgl>M</mgl>
<math>v</math> e$$e <math>{7/16 √ 3}</math>: e$t enim A Q $upra inventa <math>= {1/2} q + {7q/16 √ 3}</math>, & P A
<math>= {1/2} q - {7q/16 √ 3}</math>. Vnde cum P Q $it <math>= q</math>, & V punctum medium
ip$ius P Q, adeoque P V vel V Q <math>= {1/2} q</math>; erit A V <math>= {7q/16 √ 3}</math>. Hinc
cum A V $uppo$ita $it <math>= vq</math>, erit <math>vq = {7q/16 √ 3}</math>, ac proinde <math>v = {7/16 √ 3}</math>.</p>
<p>_Cujus œquationis radix f e$t_ <math>{16842 - √ 119398500/6481}</math>,
<mgl>N</mgl>
$eu <math>{16842 - 390 √ 785/6481}</math>.] Notandum hîc, æquationem
<math>ff = {33684/6481} f - {25344/6481}</math> aliam adhuc admittere radicem, nem-
pe <math>f = {16842 + 390 √ 785/6481}</math>, juxta ea, quæ habentur pag. 7.
Quam quidem radicem, cum major $it quàm <math>v = {7/16 √ 3}</math>, cu-
jus non ni$i partem de$ignare debet, Author meritò neglexit.
E$$e autem <math>{16842 + 390 √ 785/6481}</math> quàm <math>{7/16 √ 3}</math> majorem, patet,
$i reducantur ad eandem denominationem, utpote ponendo
<math>{16842, 7 + 390, 7 √ 785/6481, 16, √ 3}</math>, & <math>{6481, 7/6481, 16 √ 3}</math>.</p>
<p>_Ac proinde $i A S_ <math>= 7 √ 22</math> _$umatur proradio_, _erit_
<mgl>O</mgl>
_A R_ <math>= <r>20341 + 725 √ 785</r></math>, _tangens anguli A S R $ive_
_elevationis Poli_, _videlicet 80 grad_. 45 _min_. _circiter_.]
E$t enim <math>7 √ 22</math> in rationalibus <math>= 32</math>, 8′ 3″ 1′″, circiter, &
<math><r>20341 + 725 √ 785</r> = 201</math>, 6′ 2″ 8′″, circiter. Vnde $i fiat
ut A S 32, 8′ 3″ 1′″ ad radium 100000, ita A R 201, 6′ 2″ 8′″ ad
quartum 614105: erit 614105 tangens anguli A S R. proximè
re$pondens tangenti grad. 80, & 45 min.</p>

<pb 389>[409]<rh>ADDITAMENTVM.</rh>
<p>_Quarum $i T X vel P Y $umatur pro radio, erit T R_
<mgr>P</mgr>
_vel Y R tangens anguli T X R vel Y P R, grad. 19, &_
_27 min. circiter, di$tantiæ loci Solis in Ecliptica ab_
_Æquatore_.] Cum enim pro T X inventa $it
<r>001 18046464</r> - <r>001 46301184000</r>, quæ in rationalibus ferè
e$t 4222, 7′ 1″ 1‴, & pro TR <r>001 47119625 - 5373</r>, quæ
in rationalibus e$t 1491, 3′ 7″ 4‴ circiter: hinc, $i $iat ut TX
4222, 7′ 1″ 1‴ ad radium 100000, ita T R 1491, 3′ 7″ 4‴ ad
quartum 35318; erit 35318; tangens anguli TXR vel
YPR, congruens quàm proximè tangenti grad. 19. &
27 min.</p>
<p>Et tantum de $olutione Problematis, quod in $pecimen hu-
jus Methodi afferre vi$um fuit: quæ cum talis $it, ut ad Arith-
meticæ quæ$tiones enodandas, non minùs quàm ad Geome-
triæ Problemata re$olvenda atque con$truenda de$erviat, non
abs re fuerit, $i Coronidis loco hîc $ubjiciam regulam quan-
dam generalem, ex eadem Methodo depromptam, extrahen-
di radices qua$libet ex quibu$cunque Binomiis, radicem bino-
miam habentibus, quæ unà cum præcedenti $olutione tunc tem-
poris prodiit; præ$ertim cum illa à nemine (quod $ciam) antea
$it inventa, nec ab aliquo ea in re cuiquam $atisfactum, cujus
demon$trationem, qualis à me inventa e$t, breviter $um $ub-
juncturus.</p>
<h it>Regula gener alis extrahendi qua$libet radices
ex quibu$cunque Binomiis, radicem
binomiam habentibus.</h>
<h>PRÆPARATIO.</h>
<p>P Rimo, $i in dato Binomio reperiantur fractiones, oportet il-
las, multiplicando binomium per illarum denominatorem,
eximere. Vt, exempli gratiâ, ad extrahendam <math>√ ③ ex √ 242
+ 12{1/2}</math>, multiplico binomium per 2, & fit <math>√ 968 + 25</math>. Simili-
ter $i $it <math><r>{242/5}</r> + √ <r>{125/4}</r></math>, primùm multiplico binomium per

<pb 390>[410]<rh>ADDITAMENTVM.</rh>
<math>√ 5</math>, & $it <math>√ 242 + {25/2}</math>, deinde per 2, ut jam factum e$t, & $ic de
cæteris.</p>
<p>Deinde, $i neutra pars binomii rationalis $uerit, reducendum
e$t per multiplicationem aut divi$ionem ad aliud binomium, cu-
jus altera pars $it rationalis. Id quod per multiplicationem alter-
utrius partis $emper fieri pote$t; $ed breviùs plerumque per mi-
noris numeri multiplicationem aut divi$ionem. Quemadmodum
<math>√ 242 + √ 243</math> multiplicari quidem pote$t per <math>√ 242</math>, & <math>fit 242
+ √ 58806</math>; $ed compendio$iùs per <math>√ 2</math>, & provenit <math>22 + √ 486</math>.
Eodem modo <math>√ ③ 3993 + √⑥ 17578125</math> pote$t bis multipli-
cariper <math>√ ③3993</math>, & producitur aliud binomium, cujus ab$olu-
tus numerus e$t 3993; $ed breviùs per <math>√ ③ 9</math>; & adhuc breviùs,
$i dividatur per <math>√ ③ 3</math>, fietque <math>11 + √ 125</math>.</p>
<p>Vbinotandum, po$tquam habetur binomium, cujus una pars
e$t rationalis, tunc quoque quadratum alterius partis rationale
e$$e debere; aut nullam ex eo radicem, nec etiam ex alio bino-
mio, utramque partem irrationalem habente, à quo per multipli-
cationem aut divi$ionem deductum e$t, extrahi po$$e.</p>
<p>Tertiò, ad extrahendam <math>√ ⑥</math>, oportet primò radicem qua-
dratam extrahere, & deinde ex hac <math>√ ③</math>. Et ad extrahendam
<math>√ ⑨</math> oportet bis extrahere <math>√ ③</math>. Et $ic de reliquis radicibus, quæ
per numeros compo$itos, hoc e$t, qui per alios dividi po$$unt, de-
$ignantur. Radicem verò quadratam quod attinet, regula ad il-
lam extrahendam $atis nota e$t: quapropter hîc tantùm opùs e$t,
ut doceam, quo pacto extrahendæ $int <math>√ ③, √ ⑤, √ ⑦, √ ⑪</math>, &
$imiles aliæ, quæ per numeros primos, hoce$t, quiper alios di-
vidi nequeunt, denotantur.</p>
<p>Po$tremò ad extrahendam <math>√ ③, √ ⑤, √ ⑦</math>, aut $imilem, per
numerum primum de$ignatam, explorandum primò e$t, utrum
radix Binomium e$$e po$$it, cujus una pars $it rationalis. Id quod
innote$cit $ubducendo quadrata partium à $e invicem, & ex reli-
quo extrahen do radicem, nempe cubicam $i ex dato binomio
<math>√ ③</math> $it extrahenda; aut $urde$olidam, $i <math>√ ⑤</math> $it extrahenda, & $ic
de cæteris. Quod ita in po$terum, ubi radix aliqua extrahi debet,
intelligendum e$t, licèt expre$sè non dicatur. Etenim $i radix
hæc numerus rationalis non $uerit, certò con$tat, radicem quæ-
$itam parte rationali carere. Sed cum binomium adhuc e$$e po$-

<pb 391>[411]<rh>ADDITAMENTVM.</rh>
$it, cujus utraque pars $it irrationalis: hinc ad eam extrahendam
datum binomium per differentiam quadratorum partium erit
multiplicandum, $ide radice cubica extrahenda quæ$tio fuerit;
aut per quadratum hujus differentiæ, $i de <math>√ ⑤</math>; autper eju$dem
cubum, $i de <math>√ ⑦</math>; aut per ip$ius $urde$olidum, $i de <math>√ ⑪</math> quæ-
ratur, atque ita de cæteris. Quâ ratione aliud $emper binomium
habebitur, in quo radix differentiæ quadratorum partium crit di$-
ferentia quadratorum partium prioris binomii. Vt ad extrahen-
dam radicem cubicam ex <math>25 + √ 968</math>, $ubduco primùm 625,
quadratum ex 25, à 968, & remanent 343, cujus numeri radix
cubica e$t 7, numerus nimirum rationalis. Id quod arguit, radi-
cem, modò ex dato binomio extrahi po$$it, fore binomiam, cu-
jus una pars futura $it rationalis. Similiter ad extrahendam <math>√ ③</math>
ex <math>22 + √ 486</math>, oportet 484, quadratum à 22, $ubducere ex
486, & ex reliquo 2 elicere radicem cubicam. Quoniam verò id
$ieri non pote$t, con$tat radicem cubicam ex <math>22 + √ 486</math> parte
rationali carere: ac propterea <math>22 + √ 486</math> per 2 multiplicandam
e$$e, ut habeatur binomium <math>44 + √ 1944</math>, in quo radix differen-
tiæ quadratorum partium e$t 2. Sic ad extrahendam radicem $ur-
$olidam ex <math>11 + √ 125</math>, quoniam $ubductis 121 à 125, rema-
nent 4, qui numerus $urde$olidus non e$t: hinc <math>11 + √ 125</math> mul-
tiplicari debet per 16, quadratum ex 4, ut proveniat <math>176 +
√ 32000.</math> In quo radix $ur$olida differentiæ quadratorum par-
tium e$t 4. Denique ad extrahendam <math>√ ⑦ ex 338 + √ 114242</math>,
in quo differentia quadratorum partium e$t 2, quoniam hic nume-
rus B-$urde$olidus non e$t: ideo datum binomium multiplicari
debet per 8, hoc e$t, per cubum ex 2, & <math>$it 2704 + √ 7311488</math>,
in quo <math>√ ⑦</math> differentiæ quadratorum partium e$t 2.</p>
<h it>REGVLA.</h>
<p>Per præcedentem præparationem $emper invenitur binomium,
cujus una pars, & alterius partis quadratum, nec non radix diffe-
rentiæ quadratorum partium, $unt numeri rationales integri; ex
quo <math>√ ③</math>, aut <math>√ ⑤</math>, aut <math>√ ⑦</math>, & c. extrahi debet.</p>
<p>In quem $inem inveniendus e$t numerus rationalis radice quæ-
$itâ paulò major; ita ut differentia non major $it quàm <math>{1/2}</math>. Quod
facilè per vulgarem Arithmeticam fieri pote$t.</p>

<pb 392>[412]<rh>ADDITAMENTVM.</rh>
<p>Iam $i pars rationalis dati binomii reliquâ parte major fuerit,
oportet huic radici rationali addere radicem differentiæ quadra-
torum partium, divi$am per eandem radicem rationalem: erit-
que $emi$$is maximi integri numeri, in aggregato contenti, pars
rationalis radicis quæ$itæ. A cujus partis quadrato $i au$eratur ra-
dix differentiæ quadratorum partium, habebitur reliquæ partis
quadratum; dummodo radix ex dato binomio extrahi po$$it. Id
quod facilè per multiplicationem hujus inventæ radicis experiri
licet, quæ datum binomium, $i aliqua ex eo extrahi po$$it, pro-
ducere debet.</p>
<p>Verùm, $i dati binomii pars rationalis reliquâ parte minor
fuerit, oportet à radice rationali, quam ex toto binomio extra-
ximus, $ubducere radicem differentiæ quadratorum partium, di-
vi$am per eandem radicem rationalem: eritque media pars ma-
ximiintegri numeri in reliquo contenti, pars rationalis, radicis
quæ$itæ. Ad cujus partis quadratum $i addatur radix differentiæ
quadratorum partium, habebitur quadratum reliquæ partis; mo-
dò radix $uerit binomium. Quod ex multiplicatione (ut $upra)
manife$tum fiet.</p>
<p>Exempli causâ, ad extrahendam radicem cubicam ex <math>25 +
√ 968</math>, cognito jam radicem cubicam differentiæ quadratorum
partium e$$e 7, extraho radicem quadratam ex <math>√ 968</math>, quæ e$t
major quàm 31, at minor quàm 32; deinde ad 25, numerum ab-
$olutum, addo 31 aut 32, & $it $umma 56 aut 57. Ex quaradicem
cubicam extraho, quæ quidem minor e$t quàm 4, at major quàm
3{1/2}; ita ut 4 $it numerus quæ$itus rationalis, verâ radice paulò
major. Po$tea ex 4 $ubtraho <math>{7/4}</math> (hoc e$t, 7, radicem cubicam di$-
ferentiæ quadratorum partium, po$tquam per radicem inventam
4 e$t divi$a), & remanent <math>2 {1/4}</math>. Subtraho autem, quoniam nume-
rus ab$olutus 25 minor e$t quàm <math>√ 968</math>; $i enim e$$et major ad-
denda fui$$et. Maximus verò integer numerus in <math>2 {1/4}</math> contentus,
e$t 2, cujus $emi$$is e$t 1, pars rationalis, radicis. Cujus quadra-
to 1, addo 7, <math>√ ③</math> nempe differentiæ quadratorum partium, & $it
$umma 8, quadratum alterius partis. Ita ut 1 + <math>√ 8 $it √ ③</math> ex <math>25
+ √ 968</math>, nimirum $i √ ③ ex eo extrahi po$$it. Quod ut cogno-
$catur, oportet per multiplicationem inve$tigare cubum ex 1 + √ 8;
aut $i brevitati con$ulamus, tantùm ejus partem rationalem:
quod $it addendo 1, cubum partis rationalis radicis, ad triplum

<pb 393>[413]<rh>ADDITAMENTVM.</rh>
eju$dem partis 1, multiplicatæ per 8, quadratum alterius partis.
Quod quia cum 25 parte rationali dati binomii convenit, con-
$tat, 1 + √ 8 e$$e veram radicem: $i verò non conveniret, radi-
cem extrahi non po$$e, liquidò con$taret.</p>
<p>Eodem modo ad extrahendam <math>√ ③ ex 44 + √ 1944</math>: radix
cubica differentiæ quadratorum partium e$t 2, & radix quadrata
ex 1944 major quàm 44, at minor quàm 45. Quam addo nume-
ro ab$oluto 44, & $it $umma 88 aut 89, cujus <math>√ ③</math> major e$t quàm
4, & minor quàm <math>4{1/2}</math>. Quapropter $ubtractâ <math>{4/9}</math>, radice differen-
tiæ quadratorum partium, divisâ per radicem rationalem, ex <math>4{1/2}</math>,
pro radice rationali a$$umptâ, remanent <math>4{1/18}</math>. Et $it 2, $emi$$is ex
4, pars rationalis radicis. cujus quadrato 4, $i addatur 2, radix
differentiæ, prodibit 6, quadratum reliquæ partis. Vt patet, ad-
dendo 8 ad ter 2, multiplicatum per 6, hoc e$t, 36; & $it $um-
ma 44, pars rationalis binomii dati: adeoque <math>2 + √ 6</math> radix
quæ$ita.</p>
<p>Ad extrahendam <math>√ ⑤</math> ex <math>176 + √ 32000</math>; radix $ur$olida di$-
ferentiæ quadratorum partium e$t 4; radix autem $ur$olida ratio-
nalis ex dato binomio e$t <math>3{1/2}</math>, unde $ubductis 4, divi$is per <math>3{1/2}</math>, hoc
e$t, <math>1{1/7}</math>, remanebunt <math>2 + {5/14}</math>. Semi$$is verò ex 2 e$t 1, cujus qua-
dratum 1 additum ad 4 efficit 5, & $it <math>1 + √ 5</math>, radix $ur$olida
quæ$ita ex <math>176 + √ 32000</math>; $altem$i aliqua inveniri po$$it. Id
quod totius binomii multiplicatione indagari pote$t, vel breviùs,
addendo $imul, $urde$olidum partis rationalis, radicis; decuplum
cubum eju$dem, multiplicatum per quadratum alterius partis; &
quintuplum partis rationalis, multiplicatum per quadrato-qua-
dratum eju$dem alterius partis. Nimirum addendo 1, 50, & 125,
unde ex$urgunt 176. Quod cum parti rationali dati binomii
$it æquale, $equitur <math>1 + √ 5</math> propo$iti binomii e$$e veram ra-
dicem.</p>
<p>Ad extrahendam <math>√ ⑦ ex 2704 + √ 7311488</math>; radix B-$ur$o-
lida differentiæ quadratorum partium e$t 2; radix autem B-$ur-
$olida rationalis totius binomii e$t <math>3{1/2}</math>, cuiaddo <math>{4/7}</math> (quoniam hîc
numerus ab$olutus major e$t), & $it $umma 4{1/14}: ac proinde 2 ra-
dicis pars rationalis. A cujus quadrato 4 $ubtraho 2, radicem B-
$ur$olidam differentiæ quadratorum partium, & relinquetur alte-
rius partis quadratum 2. Porrò multiplico <math>2 + √ 2</math> B-$ur$olidè,
vel breviùs, in unam $ummam colligo; 128, B-$ur$olidum ex 2;

<pb 394>[414]<rh>ADDITAMENTVM.</rh>
1344, vicies & $emel $ur$olidum ex 2, multiplicatum per quadra-
tum ex <math>√ 2</math>; 1120, trige$ies & quinquies cubum ex 2, multipli-
catum per quadrato-quadratum ex <math>√ 2</math>; & 112, $epties 2, multipli-
catum per quadrato-cubum ex <math>√ 2</math>, & provenient 2704. Vn-
de manife$tum $it, <math>2 + √ 2</math> e$$e radicem quæ$itam.</p>
<p>Cæterùm ob$ervandum hîc e$t, po$tquam datum binomium
per numerum aliquem multiplicatum aut divi$um fuerit, atque
ad aliud reductum, cujus radix jam $it inventa, quòd, ad prioris
binomii radicem obtinendam, radicem inventam dividere aut
multiplicare oporteat per radicem numeri, per quem binomium
multiplicatum $uit aut divi$um.</p>
<p>Sic quoniam ad extrahendam <math>√ ③ ex √ 242 + 12{1/2}</math>, ip$um
per 2 multiplicavimus, & deinde hujus po$terioris binomii radi-
cem invenimus e$$e 1 + √ 8; dividendum erit <math>1 + √ 8 per √ ③</math>
ex 2, & $iet <math>√ ③{1/2} + √ ⑥ 128</math>, radix cubica ex <math>√ 242 + 12 {1/2}</math>.</p>
<p>Multiplicavimus <math>√ {242/5} + √ {125/4}</math> per <math>√ 5</math>, & invenimus
<math>√ 242 + 12 {1/2}</math>, cujus radix e$t <math>√ ③ {1/2} + √ ⑥ 128</math>; quâ di-
visâ per <math>√ ⑥ 5</math>, emerget <math>√ ⑥ {1/20} + √ ⑥ {128/5}</math>, pro radice ex
<math>√ {242/5} + √ {125/4}</math>.</p>
<p>Multiplicatum e$t <math>√ 242 + √ 243</math>, primò per <math>√ 2</math>, & deinde
per 2; unde $it ut inventa radix cubica <math>2 + √ 6</math> dividenda $it per
<math>√ 2</math>, & prodibit <math>√ 2 + √ 3</math>, pro radice cubica quæ$ita ex
<math>√ 242 + √ 243</math>.</p>
<p>Divi$imus <math>√ ③ 3993 + √ ⑥ 17578125</math> per <math>√ ③ 3</math>, & mul-
tiplicavimus per 16, ad extrahendam <math>√ ⑤</math>: quare nece$$e e$t in-
ventam radicem <math>1 + √ 5</math> dividere per <math>√ ⑤ 16</math>, & multiplicare
per <math>√ ⑮ 3</math>, ut habeatur vera radix $ur$olida ex dato binomio.</p>
<h it>SEQVITVR DEMONSTRATIO.</h>
<p>IN primis e$t o$tendendum, quòd, $i binomium aliquod in $e
multiplicetur cubicè, proveniat $emper aliud binomium, cu-
jus partium quadrata, à$e invicem $ubducta, relinquant cubum
differentiæ, quadratorum partium radicis $ive primi binomii. Id

<pb 395>[415]<rh>ADDITAMENTVM.</rh>
quod mani$e$tum $it, $upponendo binomium illud de$ignari per
<math>a 🜶 √ b c</math>, quod in $e multiplicatum quadratè producit binomium
<math>a a + b c 🜶 2 a √ b c</math>, & hoc rur$us per <math>a 🜶 √ b c</math>, producit bino-
mium <math>a^3 + 3 abc 🜶 3 aa + bc √ bc</math>; utpote cubum ex <math>a 🜶 √ bc</math>.</p>
<p>Vbi notandum, quòd, licèt in binomio plures reperiantur
partes, tamen non ni$i pro duabus $int habendæ, quarum una,
utpote, <math>a^3 + 3 abc</math>, de$ignet numerum rationalem, at verò
<math>3 aa + bc √ bc</math>, numerum irrationalem $eu $urdum. Deinde
con$tat, partem rationalem <math>a^3 + 3 abc</math>, compo$itam e$$e ex
cubo partis rationalis radicis, & ex triplo $olido, quod $it ex ea-
dem hac parte in quadratum reliquæ partis radicis: ac denique,
$i dictarum partium <math>a^3 + 3 abc & 3 aa + bc √ bc</math> quadrata
<math>a^6 + 6 a^4 bc + 9 aabbcc & b^3 c^3 + 6 aabbcc + 9 a^4 b c à</math> $e in-
vicem au$erantur, relinqui <math>a^6 = 3 a^4 bc + 3 aabbcc = b^3 c^3</math>, cu-
<mgr>_Signum_=
_$igni$icat_
_differen_-
_tiam inter_
_duas plu_-
_re$ve_
_quantita_-
_tes, cùm_
_non expri_-
_mitur aut_
_cogno$ci_-
_tur, penes_
_quas $it_
_exce$$us_.</mgr>
bum ex <math>aa = bc</math>, differentiâ quadratorum partium radicis.</p>
<p>In numeris. E$to <math>a = 2</math>, <math>√ bc = √ 6</math>. Hinc multiplicato bino-
mio <math>2 + √ 6</math> in $e cubicè, $it binomium <math>44 + √ 1944</math>: in quo
partium quadrata, 1936 & 1944, à $e invicem $ubducta, relin-
quunt 8, cubum differentiæ quadratorum partium.</p>
<p>Deinde o$tendendum, binomium multiplicatum per diffe-
rentiam quadratorum partium producere $emper aliud bino-
mium, in quo differentia quadratorum partium $it numerus cu-
bicus.</p>
<p>Quod patet $i multiplicetur binomium <math>a 🜶 √ b, per aa = bc</math>,
differentiam quadratorum partium. Ex$urgit enim binomium
<math>a^3 = abc 🜶 <r>a^+ bc=2 aabbcc + b^3 c^3</r></math>: cujus partium quadrata,
<math>a^6 = 2 a^4 bc + aabbcc & a^4 bc = 2 aabbcc + b^3 c^3 à</math> $e invicem
$ubducta, relinquunt <math>a^6 = 3 a^4 bc + 3 aabbcc = b^3 c^3</math>, nume-
rum cubicum, cujus radix cubica <math>aa = bc</math>, e$t, ut $upra, differen-
tia quadratorum partium prioris binomii <math>a 🜶 √ bc</math>.</p>
<p>In numeris. Sit <math>a = 22</math>, & <math>√ bc = √ 486</math>. Vnde multiplicato
binomio <math>22 + √ 486</math> per differentiam quadratorum partium 2,
prodibit binomium <math>44 + √ 1944</math>. in quo differentia quadrato-
rum partium e$t 8, utpote cubus differentiæ 2, quæ e$t inter 484
& 486, partium quadrata prioris binomii <math>22 + √ 486</math>.</p>
<p>Quibus expo$itis, ad extrahendam <math>√ ③</math> ex binomio <math>20 +
√ 392</math>, in quo pars rationalis 20 e$t major reliquâ parte <math>√ 392</math>:

<pb 396>[416]<rh>ADDITAMENTVM.</rh>
cogitetur <math>a^3 + 3 abc</math> e$$e 20, & <math>3 aa + bc √ bc</math> e$$e <math>√ 392</math>, ita ut
<math>{+ a^3 + 3 aa/+ 3 abc + bc}√ bc</math> de$ignet datum binomium <math>20 + √ 392</math>, &
radix ejus cubica <math>a + √ bc</math> ip$am radicem quærendam, cujus ma-
jor pars$it <math>a</math>, & minor <math>√ bc</math>. Tum operare $ecundùm regulam.</p>
<math>{20 + √ 392
20
$ubt.{400 \\ 392} quadrata partium à $e invicem.
reliq. 8,
2 radix cubica reliqui, $ive aa — bc.</math>
<tb>
<del>1</del> # <del>2</del>
<del>2</del> # <del>1</del>
<del>3</del> # <del>0</del> 2
<del>1</del> # 9
 # <del>2</del>
</tb>
<p>Adde ad 20, partem rationalem binomii
- - -19, præter propter valorem partis irrationalis.
& $it 39, valor dati binomii in rationalibus, circi-
ter. utpote à vero unitate non di$cedens, quippe
qui inter 39 & 40 con$i$tit. Vnde radix cubica fit
major quàm 3 & minor quàm <math>3{1/2}</math>, ita ut <math>3{1/2}</math> radicem
veram non $upra <math>{1/2}</math> excedat. Sumatur autem qua$i
e$$et vera, & æqualis <math>a + √ bc</math>.</p>
<p>Etdivid. 2, hoc e$t, <math>aa - bc</math>,
per <math>3{1/2}</math>, hoc e$t, <math>a + √ bc</math>:
& <math>$it {4/7}</math>, $ive <math>a - √ bc</math>.
add. <math>3{1/2}</math>, hoc e$t, <math>a + √ bc</math>,
& $it $umma <math>4{1/14}</math>, $ive <math>2 a</math>, duplum partis rationalis, radicis.
$upponendo <math>3{1/2}</math> e$$e veram radicem. Sed cum <math>3{1/2}</math> $it major ra-
dice verâ; ita tamen, ut differentia non $it $upra <math>{1/2}</math>, $it, ut <math>4{1/14}</math>
quoque duplo partis rationalis major exi$tat, & differentia mi-
nor quàm 1. $icut in$eriùs o$ten$uri $umus. Vnde cum eadem
pars $it numerus rationalis integer, $equitur duplum ejus fore 4,
utpote maximum integrum numerum in <math>4{1/14}</math> contentum, adeo-
que ip$am dictam partem fore 2. Quâ inventâ, facile e$t reli-
quam invenire. Etenim, $i à 4, quadrato eju$dem partis, $ubdu-
catur 2, radix cubica differentiæ quadratorum partium dati bi-
nomii, relinquetur 2, quadratum alterius partis: Ita ut radix in-
venta $it <math>2 + √ 2</math>.</p>

<pb 397>[417]<rh>ADDITAMENTVM.</rh>
<p>Vbi notandum, operationem hanc $ufficere ad inve$tigandam
radicem, cùm con$tat illam binomium e$$e; $ed quando id incer-
tum fuerit, explorari poterit per multiplicationem inventi bino-
mii in $e cubicè, aut etiam breviùs per $equentem operationem.</p>
<p>Divid. 40, hoc e$t, 2 <math>a^3 + 6 abc</math>
per 4, hoc e$t, 2 <math>a</math>:
& $it quotiens 10, $ive <math>aa + 3 bc</math>.</p>
<p>Cui addatur ter 2, $eu 6, hoc e$t, 3 <math>aa - 3 bc</math>.</p>
<p>& provenit 16, five 4 <math>aa</math>: quod e$t quadratum $upe-
rioris 4, nimirum duplum partis rationalis inventæ 2. Vnde radix
binomia erit, & duplum eju$dem partis 4: adeoque <math>2 + √ 2</math> ra-
dix quæ$ita.</p>
<p>Vel etiam hoc modo:</p>
<p>Ad 8, hoc e$t, <math>a^3</math></p>
<p>add. 12, hoc e$t, 3 <math>abc</math>:</p>
<p>& provenit 20, $ive <math>a^3 + 3 abc</math>. quod cum $it pars rationalis dati
binomii: $equitur <math>2 + √ 2</math> e$$e radicem quæ$itam.</p>
<p>Omnino ut $upra fuit expo$itum.</p>
<p>Similiter, ad extrahendam <math>√ ③</math> ex <math>44 + √ 1944</math>, in quo pars
rationalis 44 e$t minor reliquâ parte <math>√ 1944;</math> cogitetur (ut $upra)
<math>{a^3/+ 3 abc}</math> e$$e 44, & <math>{3 aa/+bc} √ bc</math> e$$e <math>√ 1944</math>, ita ut <math>{a^3 + 3 aa/+ 3 abc + bc} √ bc</math>
de$ignet datum binomium <math>44 + √ 1944</math>, & illius radix cubica
<math>a + √ bc</math> hujus radicem quærendam, cujus <math>a</math> $it minor pars, &
<math>√ bc</math> major. Tum operare $ecundùm regulam.</p>
<math>44 + √ 1944 \\ $ubt. {1944 \\ 1936} quadrata partium à $e invicem.</math>
<p>reliq. <math>{8/2}</math>, radix cubica reliqui, $ive <math>bc - aa</math>.</p>
<p><math><del>3</del> \\ <del>1</del> <del>0</del> \\ 4 <del>4</del> 4 \\ 4 \\ 8</math>
Adde ad 44 partem rationalem binomii
- - 44, præter propter valorem partis irrationalis:
& fit 88, valor binomii datiin rationalibus, circiter.
quippe qui à vero unitate non ab$it, cum inter 88 & 89 con$i$tat.
Radix autem ejus cubica e$t major quàm 4, & minor quàm <math>4{1/2}</math>;

<pb 398>[418]<rh>ADDITAMENTVM.</rh>
ita ut <math>4{1/2}</math> $it major radice verâ, exce$$u minore quàm <math>{1/2}</math>. A$$uma-
tur autem ut vera, & æqualis <math>a + √ bc</math>.</p>
<p>Et divid. 2, hoc e$t, <math>bc - aa</math>,
per <math>4{1/2}</math>, hoc e$t, <math>√ bc + a</math>:
& $it quotiens <math>{4/9}</math>, $ive <math>√ bc - a</math>.
$ubt. ex <math>4 {1/2}</math>, hoc e$t, <math>√ bc + a</math>,
<math>{4/9}</math>, hoc e$t, <math>√ bc - a</math>:
& relinquitur <math>4{1/18}</math>, $ive 2 <math>a</math>, duplum partis rationalis radicis, vi-
delicet$upponendo <math>4{1/2}</math>, e$$e veram radicem. Sed cum major $it, fit
ut etiam 4 <math>{1/18}</math> excedat idem duplum, differentiâ minore quàm 1;
$icut mox o$tendemus. Vnde cum eadem pars $it numerus inte-
ger rationalis: $equitur duplum eju$dem partis fore 4, utpote
maximum integrum numerum in <math>4 + {1/18}</math> comprehen$um: adeo-
que ip$am partem e$$e 2. Quâ inventâ, facile e$t reliquam par-
tem invenire. Etenim $i ad 4, quadratum dictæ partis, addatur 2,
radix cubica differentiæ quadratorum partium binomii dati, fit
$umma 6, quadratum alterius partis: ita ut radix inventa $it
<math>2 + √ 6</math>.</p>
<p>Vbi (ut $upra) notandum, non opùs e$$e ut ulteriùs operemur,
po$tquam con$tat radicem extrahi po$$e, hoc e$t, ip$am bino-
mium e$$e: quandoquidem eo ca$u radix inventa fit quæ$ita. Illud
autem $i ignoretur, digno$ci poterit multiplicando radicem in-
ventam in $e cubicè, aut etiam breviùs, hoc modo:</p>
<p>Divid. 88, hoc e$t, 2 <math>a^3 + 6 abc</math>,
per 4, hoc e$t, 2 <math>a</math>:
& $it quotiens 22, $ive <math>aa + 3 bc</math>.
Subtr. ter 2, $ive 6, hoc e$t, <math>3 bc - 3 aa</math>:</p>
<p>& relinquitur 16, $ive 4 <math>aa</math>, quod e$t quadratum præceden-
tis 4. nimirum duplæ partis rationalis inventæ 2. Id quod mon-
$trat, duplum eju$dem partis e$$e 4, adeoque radicem quæ$itam
binomium e$$e, videlicet <math>2 + √ 6</math>. quemadmodum modò inven-
ta fuit.</p>
<p>Vel etiam $ic:</p>
<p>Ad 8, hoc e$t, <math>a^3</math>
add. 36, hoc e$t, <math>3 abc</math>:</p>
<p>& provenit 44, $ive <math>a^3 + 3 abc</math>. quod cum$it pars rationalis
dati binomii: $equitur <math>2 + √ 6</math> e$$e radicem quæ$itam.</p>

<pb 399>[419]<rh>ADDITAMENTVM.</rh>
<p>Vt$upra expo$itum fuit.</p>
<p>Quibus explicatis, demon$trandum nunc e$t, quod $uperiùs
polliciti $umus.</p>
<p>In quem finem, pro radice cubica rationali inventa, veram, ut
dictum e$t, $uperante, $cribatur <math>m</math>; at pro vera, quam in allatis
exemplis per <math>a + √ bc</math> de$ignavimus, brevitatis causâ$cribatur <math>v</math>;
$imiliterque pro <math>aa = bc</math>, differentiâ quadratorum partium radi-
cis, $cribatur <math>d</math>. Hinc, cùm <math>d</math> divi$a per <math>m</math> dat <math>{d/m}</math>, quæ in primo
exemplo ip$i <math>m</math> e$t addita, & in $ecundo exemplo ab <math>m</math> ablata;
o$tendendum e$t, differentiam, quâ <math>m + {d/m}</math> excedit <math>v + {d/v}</math>, quod
duplum partis rationalis, antea 2 <math>a</math> nominatum, & quâ <math>m - {d/m}</math>
excedit <math>v - {d/v}</math>, quod $imiliter duplum partis rationalis, $uperiùs
2 <math>a</math> nominatum, de$ignat, unitate non e$$e majorem. Quod faci-
le erit, $i tantùm o$tendatur exce$$um ip$ius <math>{d/v}</math> $upra <math>{d/m}</math> mino-
rem e$$e exce$$u ip$ius <math>m</math> $upra <math>v</math>. hoc modo:</p>
<fig>
<var>D C F E I H K A B G</var>
</fig>
<p>E$to <math>A B = v</math>, $upra quam de-
$cribatur quadratum A B C D,
quod majus erit quàm <math>d</math>, quippe
quæ tantùm differentiam de$ignat,
quæ e$t inter quadrata partium
ip$ius <math>v</math>, cujus quadratum earun-
dem partium quadratis unà cum
duplo $ub partibus rectangulo e$t
æquale. Hinc $i $upponatur rectan-
gulum <math>A B E F = d</math>, erit <math>A F = {d/v}</math>.
Tum a$$umptâ <math>A G = m</math>, ita ut B G non $uperet <math>{1/2}</math>, factoque re-
ctangulo <math>A G H I = d</math>, hoc e$t, æquali rectangulo A BEF: erit
<math>A I = {d/m}</math>; nec non rectangulum I K E F æquale rectangulo
KBGH. Atque adeò cum I K $it major quàm K B, erit I F minor
quam B G, hoc e$t, exce$$us ip$ius <math>{d/v}</math> $upra <math>{d/m}</math> minor erit exce$$u
ip$ius <math>m</math> $upra <math>v</math>. Quod erat demon$trandum.</p>
<p>Eadem e$t ratio cùm dati binomii partes per $ignum - disjun-

<pb 400>[420]<rh>ADDITAMENTVM.</rh>
guntur. Si enim, exempli causâ, proponatur binomium <math>20 -
√ 392</math>. oportet tantùm $ignum - tran$mutare in $ignum +, atque
ut $upra ex <math>20 + √ 392</math> radicem cubicam extrahere, quæ e$t <math>2 +
√ 2</math>, & $it <math>2 - √ 2</math> radix cubica ex <math>20 - √ 392</math>. Quemadmo-
dum liquet ex iis, quæ $uperiùs $unt o$ten$a. Et $ic de aliis.</p>
<p>Cæterùm, quæ hîc de radice cubica o$ten$a $unt, applicari
quoque po$$unt ad ea, quæ ad reliquarum radicum extractionem
$unt allata: cum eadem ubique $it demon$trandi ratio, idemque
proce$$us; ita ut plura hac de re afferre non $it opùs. Tantùm
$ciendum, modum, quo hæc regula inventa fuit, ad plures alias re-
gulas, in Arithmetica hactenus incognitas, inveniendas in$ervire
po$$e. Qui quidem in eo con$i$tit, ut, dum in aliqua quæ$tione
ignoratur ratio inveniendi verum numerum, quem integrum e$$e
certò con$titerit, quæratur numerus fractus unitate verum non
$uperans: eritque maximus integer numerus, in eo contentus, is
qui quæritur.</p>
<h>F I N I S.</h>
<fig/>

<pb 401>[421]
<h it>Celeberrimo, Amici$$imoque Viro,</h>
<h>D. FRANCISCO à SCHOOTEN
IOHANNES HVDDE</h>
<h it>S. P. D.</h>
<p>Clari$$ime Vir,</p>
<p it>_V_T copiam Tibi faciamrogas, prolixam
illam de Reductione Æquationum
epi$tolam, $ive libellum mavis, ut &
alteramillam, quæ meam de Maximis
& Minimis Methodum continet,
Commentariis, tuis in D. Carte$ii Geo-
metriam annectendi edendique. Certè,
cum id non modò po$tules, $ed etiam $eriò, ut faciam, mihi
author $is, in illam opinionem, $ive imaginationem potius
devenio, aliquid illis, tuo $altem judicio, contineri, quod
laboribus in lucem edendire$pondere queat; quippe cum
continuo dies nocte$que cogitationes tuæ circa illa, quæ
aliquo commodo humanum genus beare po$$int, ver $entur
occupenturque, nec unquam, vel levi$$imo indicio, de-
prehendere potuerim, Te, $ecus ac Batavum deceat,
aliud clau$um in pectore premere, aliud verò linguâ pro-
mere, in animum inducere nequaquam potui, Te, eo tan-
tùm temporis articulo, quo has po$ceres, mihique ut fa-
cerem author e$$es, à con$uetâ tibi & regiâ viâ defle-
xi$$e. Præterea amicitiæ no$træ, nec hodie, nec herinatæ,
vinculum, tuu$que candor $ingularis, mihi $atis $uperque,
Te nequaquam hoc ab animo tuo impetraturum fui$$e,
te$tatum faciunt. Quare, $i hac in re Tibi obluctarer,
commi$$i erroris forta$$e in $imularer. Non pauca tamen
ob$tant, quo minus a$$en$um planè pr æbeam. Non enim Te
latet, me multâ tempor is ege$tate, quod tunc aliis $tudiis

<pb 402>[422]
de$tinâram, hæc non ita ad normam exigere potui$$e,
quam illa quidem, quæ publico u$ui viritim legenda te-
rendaque permittuntur, qua$i $uo quodam jure po$tulant:
cum non tantùm benevolorum amicorum, $ed etiam viti-
litigatorum, acerborumque inimicorum, quorum $i non
in præ$ens, in po$terum forta$$e copia $uppetere po$$it,
judicium $ubire debeant. At fortè inquies, quòd non
$ub libelli, $ed epi$tolarum, ad Te datarum, nomine, in
lucem proditur a $int, idque iis temporibus datarum, qui-
bus aliis $tudiis animum applica$$em, ideoque nullo me-
rito accur atam illam diligentiam, $ummamque curam,
omniumque probationes de$iderari po$$e. Sed quid cau-
$æ e$t, quin paulo diutius ex$pectem, illaque, quibu$-
dam præterea additis, $ub libelli nomine, accur atius e-
laborata publici juris faciam ? maximè cum libellum
quendam, _(_quibu$dam $tudiis ex voto ad finem perductis,_)_
_de Natura, Reductione, Determinatione, Re$olutione, at-_
_que Inventione Æquationum_ prælo $ubjicere propo$ue-
rim, (ni$i $ontica quædam cau$a denuo cur$um meum re-
moretur,) cujus maximam jam partem, quod mate-
riam $pectat, $i pauca quædam excipias, in numer ato ba-
beo, adeo ut non ni$iin or dinem redigendi labor & qua$i
forma de$ideretur. cum enim in animo habeam, illum i-
ta accurare, ut à quolibet, qui modo ab ovo, quod dici-
tur, rem ip$am or diri, & per numeros gradu$que pro-
cedere, nec uno impetu montis verticem $uperare cupit,
intelligi & in u$um transferri po$$it; certè multo magis,
procul omni dubio, utilitate $uâ, quam hæ epi$tolæ, quæ
non ni$i partem continent, eamque ita, ut dictum e$t,
$criptam, $e publico commendaret. Sed jam mihi re$pon-
$ionem tuam audire videor: Luid ob$tat, Huddeni, quo
minus utriu$que nos participes facias?</p>
<p it>_Nam bene conveniunt unaque in $ede morantur._
Sed quid utilitatis imperfectior ille, & qua$i abortivus

<pb 403>[423]
fætus, tum allaturus e$t? Nullum equidem, forta$$e, in-
quies, ubicon$ummatior $e con$piciendum præbuerit, $ed
jam quidem quandiu ille intra penetralia V e$tæ latet,
cum experientiâ in omnibus pæne $cientiis compertum $it,
illos, qui earum amore tenentur, velquibus res curæ &
cordi e$t, eamque quam peniti$$imè, & quam maxime fieri
pote$t, circum$pectè rimari & penetrare cupiunt, raro
quid amplius, quam rudi Minervâ delineatam, aut ma-
nuductionem ad eamrequirant, vel nudam modo, omni-
bus demon$tr ationibus, qua$i $upervacaneis or namentis,
neglectis, veritatem expetant: Ita namque partim ma-
gis ad intimam rerum medullam ingenio $uo penetr are
illis datur, cum ex parte iis quoque inve$tigandi labor
incumbat: partim majore voluptate perfunduntur, at-
que adeo multo aptiores ad aliarum rerum veritatem in
apricum producendam evadunt. Cum etiam id experien-
tia doceat, eos, nec ferè alterius gener is homines, ali-
quid, quod communem captum $uperet, & cornicum qua$i
oculos configat, elabor atum dare po$$e. Vnde illud con-
fici videtur, $cientiarum amatoribus $atis $uperque di-
ctum, nec mihi fas licitumque e$$e, illud $ubducere aut
invidere iis, quibus, $i non aliis, aliquo modo $atisfacere
queat. quibus addere po$$es: alios, licèt multis in locis,
ejus, quod dicitur, veritatem demon$trationibus fulci-
tam, & ad unguem elaboratam, (quod variis in locis,
levi tantùul brachio attigi,) non reperturi $int, nihilo-
minus mult as regulas ad u$um, cujus re$pectu non paucæ
ad amu$$im factæ $unt, transferre po$$e. Atque it a jam
cau$am meam contr a me ip$um egi$$e videor, ut vix muti-
revel hi$cere adver $us ea, quæ dixi, mihi licitum vide-
ripo$$it, $i in Lectores, quales e$$e decet, incidere mihi
contingat: $ed cum maxima hominum pars eò propen-
deat, ut ante de re aliqua, quam illam clarè & di$tinctè
perceperit, judicium ferat, remque potius in deter o-

<pb 404>[424]
rem, quam meliorem partem interpretetur, atque eorum
judicium $it periculi plenum, $i circa res ver $etur, quæ
non exactè $criptæ, dilucidè explicatæ, demon$tratio-
nibus $ubnixæ $unt; eoque magis $i illæ paucis verbis in-
dicatæ fuerint, ip$aque res ita $it comparata, ut non ni$i
difficulter paucis verbisita $e comprehendi $inat, quin
alicubi aliquid, quod dubiam, variamque interpreta-
tionem $u$cipere po$$it, irrepat, $eque immi$ceat: Cum-
que multo maxima pars eorum quæ epi$tolis meis conti-
nentur talia $int, demon$tr ationibu$que de$tituta, ver-
bi$que paucis, uti jam dictum, indicata, cum T ibi hoc
plu$quam abundè $ufficeret; Satis mihi vel hoc $olum,
cau$æ videtur, epi$tolarum editioni, nulla ex parte $uf-
fragari. Pone verò me majori felicitate quam cuiquam
$perare fas $it, hac in parte uti, mea$que liter as non ni$i
in genuinorum veritatis amatorum, qui nihil, exceptâ
veritate, inve$tigant, manus incidere, neque meos Le-
ctores tales e$$e, qui, ubi ad dubium verbum, qua$i $co-
pulum, offenderint, veritati con$onâ $ignificatione in$u-
per habitâ, eam magis quæ fal$itatis aliquid $ecum tra-
hit, veluti obtorto collo arripiunt, tanquam in $inu gau-
dentes, & ca$tellanos ne$cio quos triumphos ducentes,
qua$i verò jam repererint aliquid, quo $u$pectam autoris
inventionem reddant, eju$que apud alios exi$timationem
elevent, ut ip$i eò majores videantur, atque ita vel alte-
rius nominis, $i fieri po$$it, ruinâ gradum $ibi ad glorio-
lam, licèt inanem, faciant: Pone inquam</p>
<p it>_Omnia jam fieri, fieri quæ po$$e negamus,_
Tamen adbuc plura ob$tant: nam, cum non tantum typo-
praphicæ emendationis mole$tiam, $atis $æpe tædio$am,
Te devor aturum, $ed & illa, quæ vernaculâ linguâ à me
$cripta $unt, Latio Te donaturum, liberaliter, qui tuus
e$t mos, obtuleris, videor mihi $atis graviter in publica
commoda peccaturus, ni$i repul$am feras. Nonne enim

<pb 405>[425]
tempus illud, quod operæ illi impendere nece$$e habebis,
nec id modicum, tum propter rite in Latinum $ermonem
convertendi, tum propter recte, ubi prælo $ubjecta fue-
rint, corrigendi mole$tiam, melioribus curis impendere,
bona$que horas melius collocare po$$es? ni$i enim me ex-
perientia docui$$et, quid non po$$is, ubi penitus cogita-
tiones tuas in rem aliquam defixeris, quamque multis in
rebus, quarum ego $um con$cius, optatum Tibi exitum
con$equutus fueris, facilius a$$en$um præberem. Ne igi-
tur impræ$entiarum ægrè feras, quòd is audire nolim,
qui, cum tempori tuo non contemnendam partem $uffura-
tus fuerit, meliora, quæ alioquin invenires, publico in-
vidi$$e videri po$$it. Atque adeo omnes hæ rationes eo me
impellerent, ut, ni$i à mea con$uetudine abborreret, amicis
aliquid denegare, jam $ine omni dubio repul$am ferres.
Quid ergo in re dubia con$ilii? Si edendi copiam faciam,
baud leviter peccabo; $in id recu$em, optimo meorum a-
micorum præter con$uetudinem refragabor. $ed in omnes
partes mentem ver $ando, tandem videor mihi Gordio
huic nodo gladium reperi$$e, & rationem, qua anceps
malum effugere queam. Nimirum: nec a$$entior, nec re-
pugno editioni epi$tolarum, $ed totum hoc, quicquid e$t,
Tibi plane trado & committo, ut id, quod optimum Tibi
videbitur, probes & $equaris, ubi rationum mearum mo-
menta non præoccupato, $ed libero ac provido animo per-
penderis, libraveri$que. Vale, Vir Amici$$ime, & me,
quod facis, amare perge.</p>
<p>Datum Am$telæ dami ip$is
Calendis Aprilis 1658.</p>

<pb>[426]
<h>IOHANNIS HVDDENII
EPISTOLA PRIMA
DE
REDVCTIONE
ÆQVATIONVM.</h>

<pb 407>[427]
<h it>Clari$$imo, Præ$tanti$$imoque Viro,</h>
<h>D. FRANCISCO SCHOTENIO
IOHANNES HVDDE</h>
<h>S. P. D.</h>
<p it>_D_Oleo, Vir Amici$$ime, quòd dubia valetudi-
ne & negotiis impeditus amicæ petitioni tuæ,
de iis latiùs deducendis, quæ de Reductione
Æquationum ad Amicum quempiam ante
aliquot annos breviter per$crip$eram, ha-
ctenus $atisfacere nequiverim. Impræ$entiarum ergo
aliquid temporis (quamvis parum eo abundem) deci-
dam, ut promi$$a, $inon in totum, ex parte $altem ex$ol-
vam, ne vel nimis longa te offendat mora, vel nomen
malum apud te audiam, quamvis non videar is immeritò
mihi crimen illud impingere po$$e, $ed tamen velim me-
mor $is Belgici adagii: _Die noch wat betaalt, wil noch_
_betalen, en is van de quaat$te $lagh niet._</p>
<p>Quod igitur ad _Reductionem Æquationum_ attinet,
eam duobus modis con$idero, vel quatenus æquatio _ab-_
_$olutè_ con$iderari pote$t, vel _relativè_ in quantum $cili-
cet illam ad aliquod Problema, è quo originem duxit,
referre licet.</p>
<p>Primò verò eam _ab$olutè_ con$iderabo, omi$$a vulgari
Reductione, quæ per additionem, $ubtractionem, mul-
tiplicationem, divi$ionem & extractionem procedit:
ponamque tantùm Reductionum Regulas qua$dam,
quarum plurimas non ita pridem inveni, easque exem-
plis, ut mentem meam meliùs percipias, illu$trabo, re-
lictis earum demon$trationibus, tum quòd maxima ea-
rum pars $it perquàm inventu $acilis, tum, quod rei

<pb 408>[428]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I</rh>
capute$t, quòd hominis foret otio $uo abutentis, eas
tibi (cui, quicquid in Mathe$i inacce$$um aliis videtur,
per$pectum e$t,) tran$mittere.</p>
<p>Et ut di$tinctius meos conceptus exprimam, primo
re$tringam meas Regulas ad eas æquationes, in quibus
una tantùm incognita quantitas reperitur, quam $em-
per nominabo <math>x</math>; & in quibus Primus Terminus (Pri-
mum Terminum eum dico, in quo <math>x</math> plurimarum e$t
dimen$ionum; Secundum, ubi <math>x</math> e$t unâ dimen$ione
minor, & $ic porrò) non e$t multiplicatus aut divi$us
per aliquam cognitam quantitatem, atque $emper a$-
fectus $igno +: Quia non tantum hoc pacto omnes
æquationes con$iderare con$uevimus, $ed etiam quia
nullo, aut parvo admodum labore, ut cuilibet no-
tum e$t, ad talem formam, $i eam non habeant, redigi
po$$unt.</p>
<h>SEQVENTES NOVEM REGVL Æ SE EXTENDVNT
AD OMNEM ÆQVATIONEM, SIVE IN EA
IRRATIONALES QVANTITATES ET FRA-
CTIONES, SIVE NVLLÆ INVENIANTVR.</h>
<h>I. REGVLA.</h>
<p>Si in æquatione literali una vel plures literæ $eu
quantitates cognitæ $upponantur = o, atque eo _ultimus_
_Terminus non evane$cat_, neque æquatio, quæ hinc re$ul-
tat, reducibilis $it, certum e$t neque Propo$itam æqua-
tionem reducibilem fore; at verò $i _vltimus Terminus_
_evane$cat_, atque etiam inde Re$ultans æquatio non exi-
$tat reducibilis, æquatio Propo$ita ad pauciores dimen-
$iones quàm i$ta re$ultans reduci non poterit.</p>

<pb 409>[429]<rh>DE REDVCTIONE ÆQVATIONVM.</rh>
<p it>Exemplum, ubi ultimus T erminus non evane$cit.</p>
<p>Sic in æquatione <math>x^3 - 3 axx \\ - b + 2 bbx \\ + 3 ab \\ + 4 aa \\ - 3 a^3 \\ - b^3 \\ - 5 aab \\ - 4 bba = o</math>, $i $uppo-
natur <math>a = o</math>, re$ultabit, inde <math>x^3 - bxx + 2 bbx - b^3 = o</math>. Quia
autem hæc æquatio reducibilis non e$t, certum e$t neque Propo-
$itam reducibilem fore.</p>
<h it>Exemplum, ubi ultimus T erminus evane$cit.</h>
<p>Siin æquatione <math>x^6 - 6 abx^4 \\ 3 aa + 6 c^3 x^3 \\ + ccd \\ - bba + 6 a^3 bxx - 12 aac^3 x \\ - 6 abccd \\ + 6 aab^3 + 12 c^5 d \\ - 12 abbc^3 = o</math>
$upponantur <math>d</math> & <math>a = o</math>, re$ultat inde <math>x^3 + 6 c^3 = o</math>. Quia verò
hæc æquatio trium dimen$ionum reduci nequit, argumentum e$t
neque Propo$itam ad pauciores dimen$iones quàm ad tres, redu-
cibilem fore.</p>
<p>Sic etiam $upponendo <math>d</math> & <math>b = o</math>, vel tantùm <math>c = o</math>, orientur
hæ duæ æquationes
<math>x^5 - 3 aax^3 + 6 c^3 xx - 12 aac^3 = o.</math>
<math>x^5 - 6 abx^3 \\ - 3 aa - bbaxx + 6 a^3 bx + 6 aab^3 = o</math>.</p>
<p>Quæ $i reduci non poterunt, denotabunt Propo$itam æquatio-
nem, ad pauciores dimen$iones quàm ad 5, reduci non po$$e.</p>
<p>Dico, _illam non ad pauciores dimen$iones reducibilem fore_, quippe
aliquando contingere pote$t, ut Propo$ita æquatio ad eundem di-
men$ionum numerum $it reducibilis. quemadmodum contingit
in hac <math>x^4 - 4 ax^3 + 4 aaxx + 2 b^3 x - 4 ab^3 = o</math>, $upponendo
<math>a = o</math>: ex$urgit enim <math>x^3 + 2 b^3 = o</math>, quæ non pote$t reduci, &
tamen æquatio Propo$ita e$t reducibilis per <math>x - 2 a = o</math>.</p>
<h>II. _R<sc>EGVLA</sc>_.</h>
<p>Si in æquatione literali pro una, vel pluribus, vel
omnibus literis $eu quantitatibus cognitis, $upponan-

<pb 410>[430]<rh>IOHANNIS HVDDENII EPIST. I.</rh>
tur numeri, vel aliæ quantitates ad libitum, atque eo _ul-_
_timus T erminus non evane$cat,_ neque æquatio, $ive nu-
meralis, $ive literalis, quæ hinc re$ultat, reducibilis $it,
certum e$t, neque Propo$itam æquationem reducibilem
fore; $i verò _ultimus T erminus evane$cat_, atque etiam
inde Re$ultans æquatio non exi$tat reducibilis, æqua-
tio Propo$ita ad pauciores dimen$iones, quàm i$ta Re-
$ultans, reduci non poterit.</p>
<h it>Exempla, ubi ultimus T erminus non evane $cit.</h>
<p>1. Si in hac æquatione <math>x^3 - 2 axx \\ - b + 3 bbx \\ + 3 ab \\ + 4 aa - 3 a^3 \\ - 3b^3 \\ - 6 aab \\ + 9 abb = o $up-
ponatur <math>a = 1</math>, & <math>b = 1</math>, re$ultabit inde æquatio numeralis
<math>x^3 - 3 xx + 10 x - <_>3</_> = o</math>. Quæ, quoniam non e$t reducibilis, in-
dicabit, neque Propo$itam æquationem reducibilem e$$e.</p>
<p>2. Sic etiam, $i habeamus hanc <math>x^5 *** + 4 aabbx \\ {3a^3 bb/a-b} - 10 a^4 b \\ - {2/3}b^3 aa = o</math>,
atque $upponamus <math>4 aabb = {3 a^3 b b\\a - b}</math>, $eu <math>b = {1/4}a</math>, ex$urget inde
<math>x^5 * * * * - 2 {49/96}a^5 = o</math>. Quia verò hæc æquatio reduci non
pote$t, certum e$t, neque Propo$itam reducibilem fore.</p>
<p>3. Non $ecus, $i in æquatione <math>x^5 * * - 8a^3 xx \\ - 2 aac + 4 ca^3 x \\ + accd - 2 a^3 cd = o</math>
$upponatur - <math>8 a^3 - 2 aac = o</math>, $eu <math>c = - 4 a</math>; ac <math>4 ca^3 + accd = o</math>,
$eu <math>d = - {4aa/c},</math> $iet inde <math>x^5 * * * * + 8 a^5 = o</math>. Quoniam verò
hæc æquatio non reducibilis exi$tit, _certum e$t, & <math>c</math>.</p>
<p>4. Eodem modo $eres habet in æquationibus, ubi quantitates
Irrationales reperiuntur: nam, exempli gratiâ, $i detur hæc æ-
quatio <math>x^5 * * + xx <r>{1/4}aa + bb</r>, * + a^3 b <r>C. {1/8}a^3 + {1/27}abb</r> = o</math>,
$upponendo <math>{1/4}aa + bb = o</math>, $eu <math>bb = - {1/4} aa</math>, re$ultabit
<math>x^5 * * * * + a^3 b √ C</math>. <math>{25/216} a^3 = o</math>. quæ, quoniam reduci non
pote$t, _certum e$t,_ &, <math>c</math>.</p>

<pb 411>[431]<rh>DE REDVCTIONE ÆQVATIONVM.</rh>
<h it>Exempla, ubi æquatio Re$ultans pauciores quàm
Propo$ita dimen$iones babet.</h>
<p>1. Sihabeatur <math>x^4 + 4 cx^3 + 4 ccxx \\ - dd \\ - 2 bb - 4 bbcx + b^4 \\ - bbdd = o</math>, ac
$upponatur <math>c = 1, b = 1, d = 1</math>, re$ultabit inde æquatio numerica
<math>x^3 + 4 xx + 1 x - 4 = o</math>. Quia verò hæc æquatio trium dimen-
$ionum non exi$tit reducibilis, etiam æquatio Propo$ita ad pau-
ciores dimen$iones quàm ad tres reduci non poterit.</p>
<p>2. Si proponatur <math>x^3 - {1/4}ab <r>xx+aa-bb</r> + 3 axx + {1/4}abx - aab = o,
+ bb<r>3aa+bb</r></math>
& $upponatur <math>aa - bb = o</math>, $eu <math>a = b</math>, re$ultabit <math>x^3 + 3 axx * + a^3 = o</math>.
quæ etiam non poterit reduci, ideoque indicabit Propo$itam æ-
quationem ad pauciores quàm ad tres dimen$iones reduci non
po$$e.</p>
<p>Dico _non ad pauciores dimen$iones illam reducibilem fore_, quippe
aliquando contingere pote$t, ut Propo$ita æquatio ad eundem di-
men$ionum numerum $it reducibilis. Quod etiam in I<_>ma</_> Regula
locum habuit, ibique explicatum e$t. Sed $i roges, quot ego di-
men$iones 2<_>do</_> huic exemplo ad$cribam. re$pondeo, me tot di-
men$iones cuilibet æquationi ad$cribere, quot ejus incognita
quantitas ad $ummum dimen$iones habet, dempto omni $igno
radicali, quod illam in cognitam quantitatem in cludit: ideoque
illud 2<_>dum</_> exemplum habiturum 6 dimen$iones, po$tquam $ignum
radicale ante quantitatem incognitam, nempe <math><r>xx + aa - bb,</r></math>
ablatum fuerit.</p>
<h>Not Æ _duæ in hanc_ I & II _Regulam._</h>
<p>I. Notandum e$t, utramque hanc Regulam non tantùm ma-
gnum habere u$um in inquirendo, utrum æquatio aliqua literalis
reducibilis $it, verùm etiam eodem modo inquiri po$$e:</p>
<p>1<_>mo</_>. Num æquatio illa vel etiam quantitas quævis compo$ita,
per aliam æquationem vel quantitatem, quæ rationalis $it, dividi
po$$it.</p>
<p>2<_>do.</_> Num admittat radicem quadratam, cubicam, vel aliam.</p>

<pb 412>[432]<rh>IOHANNIS HVDDENII EPIST. I.</rh>
<p>3. <_>tio.</_> Num duæ vel plures æquationes, vel quantitates dictæ,
admittant communem aliquem divi$orem.</p>
<p>Nam, _$i non admittant divi$orem rationalem, vel radicem aliquam,_
_vel communem divi$orem_, illud plerumque, mon$tratam jam ineun-
do viam, vel uno intuitu, vel $altem admodum facilè, innote$cet;
præ$ertim in æquationibus vel quantitatibus valde compo$itis,
atque ex multis diver$is literis con$tantibus, quod $æpenumero
ineundo aliam viam valde difficile inventu e$$et, magnumque &
laborem & indu$triam requireret. Hæc enim Methodus tantùm
exigit, ut æquationes, vel quantitates dictæ, determinentur ($up-
ponendo unam vel plures literas nihilo, vel unitati, vel numero,
vel quantitati, ad libitum $umendis, æquales,) ad alias, quas
aliunde $cimus non admittere reductionem, vel rationalem divi-
$orem, vel radicem aliquam, vel communem divi$orem. Quod
omne, exemplis explicare, $upervacuum erit, quemadmodum
etiam omnem ejus methodi u$um enumerare, quem $atis in$i-
gnem e$$e jam patuit; ac vel eo nomine, quòd ip$a nec fractiones,
nec irrationales quantitates moretur, non rarò magnum adfert
compendium.</p>
<p>Denique, _$i æquationes, vel quantitates compo$itæ, admittant redu-_
_ctionem, vel divi$orem rationalem, vel aliquam radicem, vel commu-_
_nem divi$orem_, po$$unt etiam illa omnia in multis ca$ibus hâc Me-
thodo $atis compendiosè inveniri. $ed hæc non $unt hujus loci,
po$thac forta$$is aliquid de iis indicabo.</p>
<p>II. Quid velim per _æquationem ex Propo$ita Re$ultantem_, nece$-
farium videtur, ut paulò clariùs exponam: maximè quia id etiam
in $equentibus Regulis, ubilitera aliqua = o $upponitur, u$um
$uum habebit. Quando enim una plure$ve literæ vel quantita-
tes = o $umuntur, liquet, omnes quantitates, ex multiplicatione
harum per alias productas, etiam æquales nihilo fieri; ideoque in
Propo$ita æquatione nece$$ariò evane$cere. quemadmodum in
allatis exemplis quoque e$t videre. Adeò ut in æquationibus, quæ
literales fractiones non includunt, pateat, quid per æquationem
Re$ultantem intelligam. Sed $i literales fractiones dantur, tunc
quidem facilè, ni$i quis probè animum advertat, error committi
po$$et. Etenim fractionis numeratore = o exi$tente, tollenda e$t
i$ta fractio ex Propo$ita æquatione; at denominatore = o exi$ten-
te, oportet terminos omnes æquationis primùm per eju$modi

<pb 413>[433]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> ÆQVATIONVM.</rh>
denominatores multiplicare. Quo peracto, erit æquatio hæc, in
quâ $cilicet nulla ampliùs reperitur fractio literalis, cujus deno-
minator e$t = 0, & in qua conditiones omnes a$$umptæ, $ive $up-
po$itiones, $unt adimpletæ, illa, quam ex Propo$ita re$ultare
dico.</p>
<h it>Exempla.</h>
<tb>
Æ<sc>QVATIONES</sc> P<sc>ROPOSITÆ.</sc> # Æ<sc>QVATIONES</sc> R<sc>ESVLTANTES</sc>.
<math>xx-{cc/a}x \\ + b + cc \\ - aa = 0. $upponatur c = 0 # xx + bx - aa \\ + ab = 0</math>
<math> # -{ccb/a} \\ + ab # a = 0, -ccx-ccb=o, $eu x+b=o.</math>
<math>xx -cx + {c^3/2a} = 0. # c=o # xx+a=o, $eu x+a=o</math>
<math> # + a - {1/2}cc</math>
<math>+{ac/a+b} - {cca/2a+2b} \\+ -{cc/2a} # a= 0. # - {ccx/2} + {c^3/2} = o, $ue x-c=o.</math>
</tb>
<math>x^5**+{2ac-ab/3a-b}xx+{ccb^3/3aa-ab}x+{b^3a3/a+b} = 0</math>,
<p>$uppo$itâ3 <math>a - b = 0</math></p>:
<p>habebitur <math>2 ac - ab</math> in <math>xx,+ {ccb^3/a} x = 0</math>,$eu <math>+2acx \\ - ab +{ccb^3/a} = 0.</math></p>
<p>Vnde, $uppo$itione <math>3 a = b</math> adimpletâ, re$ultat
<math>+2 acx \\ - 3 aa + 27 aacc + = 0.</math></p>
<p>Nec tantùm hoc ob$ervandum in æquationibus, $ed etiam in
quantitatibus compo$itis, quarum communis men$ura, vel divi-
$or, vel radix petitur. Vt, exempli gratiâ, $i inquirere velis, num
√ Qextrahi po$$it ex <math>cc - 2cd + dd + {b^4/cc-2cd+dd} + 2 bb</math>, & in
eum finem $uppo$ui$$es <math>cc - 2cd + dd = 0</math>: retinendum e$$et <math>b^4</math>,
non autem 2 <math>bb</math>. Sienim 2 <math>bb</math> retineres, concludendum foret,

<pb 414>[434]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
meam $equendo methodum, quòd √ Q ex <math>cc - 2cd + dd + {b^4/cc - 2cd + dd} + 2bb</math>
extrahinon po$$et, quæ tamen e$t
<math>c - d + {bb / c - d}</math>.</p>
<p>S<sc>EQVENTES 3, 4, ET 5 REGVL ÆSEEXTENDVNT
AD OMNES Æ QVATIONES, QV Æ EX MVLTI-
PLICATIONE DVARVM ALIARVM PRODV-
CIPOSSVNT, IN QVARVM VNA ALIQVA LI-
TERA INCLVDITVR, QV Æ IN ALTERA NON
CONTINETVR</sc>.</p>
<h><bf>III</bf>. R<sc>EGVLA</sc>,</h>
<p it>Quœ modum docet reducendi omnem œquationem, quæ
produci pot e$t ex multiplicatione duarum aliarum, qua-
rum una literam aliquam comprebendit, quæ in altera
non continetur; & quæ litera non babet eundem dimen-
$ionum numerum in diver $is Terminis.</p>
<p>Suppono omnes Propo$itæ æquationis quantitates,
in quibus eadem litera reperitur, quæque $imul $ic divi-
di po$$unt, ut litera illa evane$cat, = o. Atque hoc in
_$ingulis literis_ in$tituo, verùm _uno tantùm modo_. Quippe
id interdum variis modis fieri pote$t, quo ca$u illi præ
cæteris eligendi veniunt, qui facillimas æquationes
$ubmini$trant, vel quibus omnium brevi$$imè ad quæ-
$itum pervenire licet. Et, $i Propo$ita æquatio ex dua-
bus eju$modi dictis æquationibus produci poterit,
etiam per aliquam harum fictarum æquationum, in
quibus dictæ _liter æ_ $unt $ublatæ, divi$ibilis erit.</p>
<p it>I<_>mum</_> genus exemplorum, in quibus Propo$itæ æqua-
tiones nec numerales nec literales fractiones continent.</p>
<p>I. Proponatur hæc æquatio
<math>x^4 -6ax^3+4bcxx \\ + 4 ac \\ + 16 aa \\ + 4 ab -16abcx \\ - 16 aac \\ - 8 aab \\ - 16 a^3 + 16bbca \\ + 48 aabc \\ + 32 a^3 c = # 0</math>.

<pb 415>[435]<rh>DE R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
Primò itaque periculum faciam in litera <math>a</math>, $upponendo
<math>- 16a^3 x + 32 a^3 c = 0</math>. Quæ $unt omnes quantitates per <math>a^3</math> di-
vi$ibiles, quæ in Propo$ita æquatione inveniuntur, & in quibus
factâ divi$ione litera a evane$cit: oritur enim <math>- 16x + 32 c = 0</math>,
$eu, dividendo per <math>- 16, x - 2 c = 0</math>.</p>
<p>Iam tento, num Propo$ita æquatio dividi queat per <math>x - 2 c = 0</math>.
Nam $i per hanc dividinon po$$it, _uti &, $i bœc_ <math>x - 2 c = 0</math> <math>ab</math> _omni_
_fractione non libera fui$$et_, (_quod buic quidem primo exemplorum ge-_
_neri e$t proprium_) ad aliam literam tran$ii$$em. (Quamvis enim
aliæ adhuc quantitates in æquatione reperiantur, in quibus a con-
tinetur, quæque omnes per aliam quàm <math>a^3</math> dividi po$$unt, $ic ut li-
tera a ubique evane$cat, utpote $upponendo
<math>+16 aaxx - 16 aacx \\ - 8 aab + 48 aabc = 0</math>, ut &
<math>-6 ax^3 + 4 acxx \\ + 4 ab - 16 abcx + 16 bbca = 0;</math>
tamen id _uno modo_ in hac Regula tenta$$e $ufficit.) Hinc cum Pro-
po$ita æquatio per <math>x - 2 c = 0</math> divi$ibilis non $it, tran$eo ad aliam
literam, puta <math>b</math>. Quoniam autem hîc una tantùm quantitas exi-
$tit, in qua <math>bb</math> reperitur, nempe 16 <math>bbca</math>, idcirco & hanc tran$eo,
quandoquidem per 16 <math>bbca</math> nullus valor ip$ius x obtineri pote$t,
& con$idero literam c, ponendo
<math>4 bcxx \\ 4 ac -16 abcx \\ - 16 aac + 16 bbac \\ + 48 aabc \\ + 32 a^3 c = 0.</math> Hæc igitur cum ab$que
fractione dividatur per <math>4 bc + 4 a^6</math>, ac oriatur <math>xx - 4 ax + 4 ab \\ + 8 aa = 0</math>:
inquirendum ulteriùs re$tat, an Propo$ita æquatio dividi po$$it
per <math>xx - 4 ax + 4 ab \\ + 8 aa = 0.</math> inveniturque divi$ionem fieri po$$e.</p>
<p>Dixi in Regula, _quòd $ufficiat, rem $ingulis literis uno tantùm modo_
_tenta$$e, & quòd illi modi præ cæteris eligendi veniant, qui facillimas œ-_
_quationes $ubmini$trant, vel quibus omnium brevi$$imè ad quæ$itum_
_pervenire licet_ Sic enim breviorem viam ingre$$us e$$em, $i quanti-
tates $ump$i$$em, in quibus a ubique unam tantùm dimen$ionem
habet. Nam quoniam tunc obtineo <math>- 6 ax^3 + 4 acxx + 4 abxx - 16 abcx + 16 bbca = 0</math>,
primo intuitu apparet, cum 4 per 6 dividi
nequeat, quòd hæ quantitates non $ine fractione dividi po$$int.</p>

<pb 416>[436]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
<p>2. Eodem modo, ad reducendam hanc æquationem
<math>x^3-3 cxx \\ - 2 a \\ + 3 b +abx \\ + 6 ac \\ - 9 bc -2 aab \\ + 3 abb = # 0</math>:
quia quantitas <math>- 2 aab</math> in eâ$ola reperitur, in qua a duas habet
dimen$iones; & quantitas + 3 <math>abb</math> $ola, in qua <math>b</math> duas dimen$io-
nes habet: idcirco tran$eo ad literam c, obtineoque
<math>- 36 xx + 6 acx \\ - 9 bc x = 0</math> $eu <math>- 3 cx + 6 ac \\ - 9 bc = 0</math>. Id quod divi$um
per - 3 <math>c</math>, dat <math>x - 2 a \\ + 3 b = 0</math>. Cujus ope Propo$ita æquatio dividi
pote$t. Quod, $i aliter eveni$$et, po$tquam jam periculum in
omnibus factum e$$et literis, indicio fui$$et, æquationem Pro-
po$itam ex duabus eju$modi aliis, quales $upra determinavi, pro-
ducinon po$$e.</p>
<p>3. Similiter examinaturus hanc æquationem
<math>x^3 + b xx + 2b <r>ab + 3 bb</r></math> in <math>x - 6 bb \\ + 18 b^3 <r>ab + 3 bb</r> = 0,</math>
-<r>ab + 3 bb</r>
exordiens à litera a, invenio æquationem <math>-<r>ab + 3bb</r></math> in <math>xx</math>,
<math>+ 2 b <r>ab + 3 bb</r></math> in <math>x</math>, <math>- 6 bb <r>ab + 3 bb</r> = 0</math>. Quam divido
per <math>- <r>ab + 3 bb</r></math>, & evane$cit <math>a</math>, obtineoque hanc <math>xx - 2 bx
+ 6 bb = 0</math>; per quam Propo$ita dividi pote$t. Quòd $i verò hæc
divi$io non fieri potui$$et, progrediendum fu$$et ad literam <math>b</math>.
Quia autem liquet per <math>b</math>, $ecundùm $ingulas etiam $uas dimen$io-
nes con$iderata, non po$$e aliquem ip$ius <math>x</math> valorem inveniri:
conclu$i$$em, ut ante, æquationem Propo$itam ex duabus eju$-
modi aliis, quales $upra determinavi, produci non po$$e.</p>
<p>4. Necaliter $e res habet in hac æquatione
<math>x^3 - xx <r>xx + aa</r> - 2cxx \\ + 2 a + 2cx <r>xx + aa</r> \\ + ax<r>xx + aa </r>-3 aax \\ + ax<r>3 cc+ aa</r> - 6 acx - a <r>3 cc + aa</r> in <r>xx + aa</r> \\ + 3 aa<r>3 cc + aa</r>= 0.</math>
Nam primò video literam a negligi po$$e, quia $ola - 3 <math>aax</math> re-
peritur, nec ullaalia, quæ per aa $ic dividi po$$it, utip$a a pror$us
evane$cat. Tran$eo itaque ad literam c, $upponendo
<math>-2cxx + 2cx <r>xx + aa</r> - 6 acx = 0</math> $eu <math>-2 cx + 2 c <r>xx + aa</r> - 6 ac = 0</math>,
& $it, dividendo ubique per - 2 <math>c</math>, <math>x - <r>xx + aa</r> + 3 a = 0</math>. Cujus

<pb 417>[437]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
ope Propo$itam æquationem dividere licet. Quæ $i per hanc di-
vidi non potui$$et, quia jam res $ingulis literis tentata e$$et, con-
clu$i$$em, ut priùs, Propo$itam æquationem, &c.</p>
<p>2<_>_dum_</_> _genus exemplorum, in quibus Propo$itæ æqua-_
_tiones fractiones continent_.</p>
<p>Inter hæc & præcedentia exempla, nullaalia differentia re$pe-
ctu operationis exi$tit, quàm quòd Ficta æquatio, per quam di-
vi$io Propo$itæ tentatur, non nece$$ariò $icutibi, ab omni fra-
ctione libera e$$e debeat. Quocirca unicum exemplum in me-
dium adduxi$$e $uffecerit.</p>
<p>Proponatur æquatio <math>x^3 +{2bb/a+c} \\ + 2 b xx +{bba/a+c} \\ + {3/4} aa \\ - cc \\ + ab x -{1/2}a^3 \\ + {1/2}acc \\ + 2 aab \\ - 2 cbb \\ + 2 aab \\ - 2 bcc = 0</math>.
Tran$eo literam a, propter quantitatem - <math>{1/2} a^3</math>, quoniam a nu$-
quam ampliùs 3 dimen$ionum reperitur. Hinc tran$iens ad b, in-
venio <math>2 bxx + abx + 2 aab - 2ccb = 0</math>. $eu dividens ubique
per <math>2 b, xx + {1/2} ax + aa \\- cc = 0</math>, per quam Propo$ita dividi po-
te$t. Quòd $i verò hæc divi$io fieri non potui$$et, conclu$i$$em;
cum tantùm per literam <math>c</math> adhuc explorandum foret, atque hæc
ip$a c non magis quàm litera <math>a</math>, $icut ex quantitate - 2 <math>cbb</math> ma-
nife$tum e$t, ad rem quidquam faciat; æquationem Propo$itam
ex duabus eju$modi aliis, quales $upra determinavi, produci non
po$$e.</p>
<p>Ordo verò, quem in hac inqui$itione, an nimirum Propo$ita
æquatio per huju$modi Fictas divi$ibilis $it, ob$ervo, talis e$t:
primùm inquiro, an nullæ aliæ quantitates, in quibus hæc abla-
ta litera reperitur, in Propo$ita æquatione exi$tant. Si enim plu-
tes reperiantur, tum ip$as omnes, quæ ita per illam dividi po$-
$unt, ut ea ubique evane$cat, in unam $ummam colligo. (ut in
hoc exemplo, quantitates omnes in quibus <math>b</math> duas dimen$iones
habet.) Quo peracto, $i quotiens non idem $it cum præ cedenti,
per quod divi$io examinatur, concludo, hanc divi$ionem fieri non

<pb 418>[438]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
po$$e. Denique, $i nullæ ampliùs in Propo$ita æquatione $uper$int
quantitates, in quibus dicta litera reperitur, divido ultimò per
illam Fictun æquationem omnes reliquas quantitates, in quibus
litera illa non reperitur; quæque $imul per dictam Fictam divi$i-
biles $unt $uturæ, $i quidem Propo$ita æquatio per eam divi$ibilis
exi$tat.</p>
<p>Vt <math>2 bxx + abx + 2 aab - 2 bcc = 0</math> div. per <math>+ 2 b</math>, fit <math>xx + {1/2} ax + aa \\ - cc = 0</math>,
itemq; <math>{2bb/a+c} xx + {bba/a+c} + 2 abb \\ - 2 cbb = 0</math> div.per + <math>+ {2bb/a+c}</math>, fit <math>xx + {1/2} ax + aa \\ - cc = 0.</math>
Si igitur hoc quotiens cum præcedenti non conveni$$et, etiam
Propo$ita æquatio per <math>xx + {1/2}ax + aa \\ - cc = 0</math> divi$ibilis non fui$$et.
Quoniam autem conveniunt, & nullæ ampliùs quantitates in
Propo$ita æquatione $uper$unt, in quibus litera <math>b</math> reperitur, in-
quiro tandem, num omnes reliquæ etiam per <math>xx + {1/2}ax + aa \\ - cc = 0</math>
dividi po$$int. Hinc cum reliquæ quantitates, in quibus <math>b</math> non re-
peritur, $int <math>x^3* + {3/4}aax \\ - cc - {1/2}a^3 \\ + {1/2}acc</math>, ip$æque per <math>xx +{1/2}ax + aa \\ - cc</math>
dividi queant, ac oriatur <math>x - {1/2}a</math>;, idcirco & Propo$ita æquatio
per <math>xx + {1/2}ax + aa \\ - cc = 0</math> dividi poterit. Quæ aliàs, ut manife-
$tum e$t, per illam non divi$ibilis fui$$et, $i ultima hæc divi$io fieri
non potui$$et; Quotiens verò e$t <math>x - {1/2}a + {2bb/a+c} + 2b = 0</math>.</p>
<h>IV. _R<sc>EGVLA_</sc>,</h>
<p it>Quæ modum docet reducendi omnem Æquationem,
quæ produci pote$t ex multiplicatione duarum alia-
rum, quarum una literam aliquam comprebendit, quæ
in altera non continetur; quæque litera in aliquoter-
mino tot dimen$iones babet, quot in nullo alio.</p>
<p>Suppono omnes Propo$itæ æquationis quantitates,
in quibus _eadem litera_ reperitur, quæque $imul $ic divi-

<pb 419>[439]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
di po$$unt, ut illa _litera_ evane$cat, = 0. Atque hoc in
_$ingulis literis_ facio, verùm _non uno duntaxat modo_, $icut
in præcedenti 3<_>tia</_> Regula, $ed _modis omnibus, quibus id_
_$ieri pote$t_. Et $i Propo$ita Æquatio ex duabus eju$modi
dictis æquationibus produci poterit, erit etiam divi$i-
bilis per aliquam harum Fictarum Æquationum, in qui-
bus dictæ _liter æ_ $unt $ublatæ.</p>
<p>Quoniam autem hæc Rcgula omnino eadem facienda præ$cri-
bit, quæ præcedens 3<_>tia</_>; hoc tantùm excepto, quòd illic in $in-
gulis diver$is literis duntaxat _uno modo_, uti dictum e$t, hîc _modis_
_omnibus_ $ittentandum; $ufficit uno exemplo rem declarare.</p>
<p>Proponatur itaque hæc æquatio
<math>x^4 - ax^3 \\ - {1/2}b + {1/2}aaxx \\ 1{1/2} ab \\ - {1/4} bb - {1/4}aabx \\ - {1/4}abb - {1/8}aabb \\ - {1/4}ab^3 = 0</math>.</p>
<p>Exordiens à litera a, prout unam habet dimen$ionem, obtineo
<math>-ax^3 + 1{1/2}abxx - {1/4}abbx - {1/4}ab^3 = 0</math>, $eu <math>-x^3 + I{1/2}bxx
-{1/4}bbx - {1/4}b^3 = 0.</math> Cujus ope Propo$ita æquatio dividi ne-
quit (quod ip$um in hoc exemplo vel hinc apparet, quòd hîc ul-
timus terminus <math>-{1/4}b^3, ultimum terminum Propo$itæ æquationis
non ab$que literali fractione dividat). Iam, non quidem ad aliam
literam tran$eo, quemadmodum in præcedenti Regula, $ed tam-
diu con$iderabo eandem <math>a</math>, quamdiu adhuc aliæ quantitates in
æquatione extant, in quibus illa plurium aut pauciorum dimen$io-
num reperitur. Atque ideo cum ip$a a hîc adhuc 2 dimen$ionum
reperiatur, $uppono $imiliter quantitates omnes, in quibus 2 di-
men$iones habet, = 0: nimirum, <math>{1/2}aaxx - {1/4}aabx - {1/8}aabb = 0</math>,
$eu. <math>xx - {1/2}bx - {1/4}bb = 0</math>, quæ Propo$itam æquationem divide-
re pote$t. Quod $i $ecus eveni$$et, ad aliam literam tran$i$$em,
quandoquidem omnes quantitates, in quibus <math>a</math> continetur, $o-
lummodo dividi po$$unt per <math>a</math>, vel <math>aa</math>. Quocirca facto periculo
in $ingulis literis, & omnibus modis, $i comperiatur, divi$ionem
æquationis Propo$itæ per nullam Fictarum $uccedere, certum
e$t, neque Propo$itam æquationem, ex duabus eju$modi aliis,
quales $upra determinavi, produci po$$e.</p>

<pb 420>[440]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
<h>V. _REGVLA_,</h>
<p it>Quæ modum docet reducendi omnem æquationem,
quæ produci pote$t ex multiplic atione duarum alia-
rum, quarum una literam aliquam comprebendit, quæ
in alter a non continetur.</p>
<p>Supponatur aliqua litera = 0; inve$tigeturque num
æquatio, quæ hinc re$ultat, habeat cum Propo$ita
communem divi$orem. Si non habeat, $upponatur ite-
rum alia litera = 0, inve$tigeturque num i$ta Re$ultans
habeat communem divi$orem: atque $ic porrò, donec
aut communis reperiatur divi$or, aut nulla ampliùs li-
tera $uper$it, quæ non $uppo$ita $it = 0. Et $i non inve-
niatur communis divi$or, $ignum erit, æquationem
Propo$itam, ex multiplicatione duarum aliarum, qua-
rum una literam aliquam comprehendit, quæ in altera
non continetur, produci non po$$e.</p>
<p>Ex. gratiâ, $i proponatur hæc æquatio
<math>x^5 * + 4abx^3 \\ + bb \\ + {a^4/bb} + 30b^3 xx \\ - 10 abb \\ - {2a^4/b} + 34ab^3 x \\ + 7a^4 + 20ab^4 \\ + 10a^4 b = 0</math>,
$upponaturque litera <math>a = 0</math>, re$ultabit inde <math>x^5* + bbx^3 + 30
bbbxx = 0</math>, quæ cum Propo$ita communem habet divi$orem,
nempe <math>xx - 3bx + 10 bb = 0</math>. Quod, $i aliter eveni$$et, aliam
literam, nimirum <math>b</math>, po$ui$$em = 0. & $i inde Re$ultans æquatio
etiam non habui$$et communem divi$orem, conclu$i$$em æqua-
tionem Propo$itam, quoniam tantùm duas i$tas <math>a</math> & <math>b</math> diver$as
habet literas, non re$ultare po$$e ex multiplicatione duarum alia-
rum, & c.</p>
<p>Res eodem modo $e habet in æquationibus, quæ irrationa-
les quantitates includunt, ita ut non opùs $it alia exempla ad-
jungere.</p>

<pb 421>[441]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<p>S<sc>EQVENTES 6<_>ta</_>, 7<_>ma</_>, ET 8<_>va</_> REGVL Æ SE EXTEN-
DVNT AD OMNES Æ QVATIONES, QVÆ EX
MVLTIPLICATIONE DVARVM ALIARVM
PRODVCI POSSVNT, IN QVARVM VNA IR-
RATIONALIS QVANTITAS IN CLVDITVR, QVÆ
IN ALTERA NON CONTINETVR</sc>.</p>
<h>VI. _R<sc>EGVLA_</sc>,</h>
<p it>Quœ modum docet reducendi omnem æquationem, quæ
produci pote$t ex multiplicatione duarum aliarum, qua-
rum una irrationalem aliquam quantitatem compreben-
dit, quæ in altera non continetur; quæque quantitas
non eundem dimen$ionum numerum in diver $is Termi-
nis babet.</p>
<p>Suppono, & c.</p>
<h>VII. _R<sc>EGVLA_</sc>,</h>
<p it>Quœ modum docet reducendi omnem æquationem, quæ
produci pote$t ex multiplicatione duarum aliarum,
quarum una _irrationalem aliquam quantitatem_ com-
prebendit, quæ in altera non continetur; quæque
_quantitas_ in aliquo Termino tot babet dimen$iones,
quot in nullo alio.</p>
<p>Suppono, & c.</p>
<h>VIII. _R<sc>EGVLA</sc>_,</h>
<p it>Quœ modum docet reducendi omnem æquationem, quæ
produci pote$t ex multiplicatione duarum aliarum,
quarum una irrationalem aliquam quantitatem com-
prebendit, quæ in alter a non continetur.</p>
<p>Supponatur, & c.</p>
<p>Quoniam inter hanc 6<_>tam</_> & 3<_>tiam</_> Regulam, & inter 7<_>mam</_> &
4<_>tam</_>, nec non inter 8<_>vam</_> & 5<_>tam</_> haud magna di$paritas exi$tit, &
tantùm pro litera poni debet _irrationalis quantitas_; erunt hæ Regu-

<pb 422>[442]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
læ per illas jam explicatæ. Si enim pro unaquaque diver$a quan-
titate irrationali duntaxat diver$am literam concipias aut ponas,
evadent hæ cum illis planè eædem. Atque idcirco hæc verba in
6<_>ta</_> Regula: _quœque quantitas œquè multarum dimen$ionum in diver-
$is ter minis non exi$tit; & hæc in 7<_>ma</_>: _quœque quantitas in aliquo ter-_
_mino talem dimen$ionum numerum babet, qualem in nullo alio_; item-
que quid $it _quantitas alia irrationalis_, nullâ explicatione indigent.</p>
<p>Et Corollarii loco hîc annotari po$$et, hanc 8<_>vam</_> Regulam
etiam comprehendere Reductionem omnis æquationis, quæ pro-
duci pote$t ex multiplicatione duarum aliarum, quarum una e$t
_ratìonalis_, hoc e$t, _in quanullum e$t $ignum radicale_, & altera irra-
tionalis.</p>
<p>Quia verò hæc 5<_>ta</_> & 8<_>va</_> Regula præ$upponunt inventionem
communis duarum æquationum divi$oris, adjungam hîc, quo
ego utor,</p>
<p it>Modum, inveniendi maximum, duarum (vel plurium) $ive
æquationum $ive quantitatum, divi$orem communem.</p>
<p>Proponatur, exempli causâ, inveniendus maximus communis
divi$or duarum $equentium æquationum vel quantitatum, (con$i-
dero enim quantitates haud $ecus atqueæquationes, $upponendo
$c. illas = 0: cum $uppo$itio hæc, ad inveniendum earum com-
munem divi$orem, nullum errorem inferre po$$it.)
<math>d^3 c - acdd + 2 aabc - 2 abcd = 0</math>, & <math>d^4 c - bbcdd + caabb - caadd = 0.</math>
Primò itaque inquiro, num aliqua litera vel numerus reperiatur,
cujus ope $inguli utriu$que æquationis termini dividi queant. Hoc
enim $i contingat, oportet priùs eju$modi divi$ionem in$tituere,
ut hîc per literam c, fiuntque</p>
<p><math>d^3 - add + 2aab - 2abd = 0</math>, & <math>d^4 - bbdd + aabb - aadd = 0</math>.
Deinde ad libitum $umatur aliqua litera, quæ in utraque harum
æquationum reperiatur, ut <math>d</math>, <math>a</math>, vel <math>b</math>. Atque con$iderando ip$am,
puta <math>d</math>, tanquam incognitam quantitatem, redigatur utraque in
ordinem, habebiturque
<tb>
I<_>ma</_> Æquatio # 2<_>da</_> Æquatio
<math>d^3 - add - 2 abd + 2 aab = 0.</math> # <math>d^4 * - bbdd* \\ - aa + aabb = 0.</math>
 # -aa</tb></p>
<p>Porrò valor ip$ius <math>d^3</math>, per I<_>mam</_> æquationem inventus, $ub$ti-

<pb 423>[443]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
tuatur ubique in locum ip$ius d<_>3</_> $ecundæ æquationis: invenie-
turque
<math>d^4 = ad^3 + 2 abdd -2 aabd = bbdd, + aadd - aabb</math>
$eu
<math>aadd + 2 aabd \\ - 2 aabd - 2a^3 b \\ + 2 abdd</math>
Hoc e$t, <math>aabb - 2a^3 b + 2 abdd - bbdd = 0</math>
& <math>dd = {2a^3 b - aabb/2 ab - bb}</math> $eu aa; # & <math>d = a</math>, $eu <math>d - a = 0</math>.
Sijam hujus <math>dd</math> valor $ub$tituatur in ip$ius locum in I<_>ma</_> æqua-
tione, habebitur <math>aad - a^3 - 2 abd + 2 aab = 0.</math></p>
<p>Denique $ub$tituatur ip$ius <math>d</math> valor <math>a</math> in ejus locum in hac ulti-
ma, obtinebitur <math>a^3 - a^3 - 2 aab + 2 aab = 0.</math></p>
<p>In hac igitur cum termini omnes $e mutuò de$truant, indicio e$t
tam æquationem <math>d^3 - add - 2 abd + 2 aab = 0</math> quàm
<math>d^4 * - bbdd* \\ - aa + aabb = 0</math> e$$e divi$ibilem per <math>d - a = 0</math>, &
<math>d - a</math> utriu$que maximum communem divi$orem exi$tere. At-
que adeò, cum duæ Propo$itæ æquationes (vel quantitates) priùs
per c $int divi$æ, manife$tum e$t earundem maximum communem
divi$orem fore <math>d - a</math> in <math>c</math>, $eu <math>dc - ac</math>.</p>
<p>Quòd$i autem aliam literam quàm <math>d</math> ceu incognitam quantita-
tem con$ideremus, licebit $imiliter illius ope eo$dem $emper di-
vi$ores invenire. Exempli gratiâ, $i <math>a</math> ut incognita quantitas con-
$ideretur, obtinebitur pro
<tb>
I<_>ma</_> Æq. # 2<_>da</_> Æq.
<math>aa - da + {d^3/2b} = 0.</math> # <math>aa - {bbdd + d4/bb - dd} = 0.</math>
<math> # -{dd / 2d} # vel aa - dd = 0, $eu aa = dd</math>
<math> # vel a - d = 0, $eu a = d.</math>
</tb>
Subrogetur jam _d d_ valor ip$ius _aa_, per 2<_>dam</_> æquationem inven-
tus, in locum _aa_ primæ æquationis, & invenietur pro ip$a
<math>dd - da \\ - {dd/2b} + {d^3/2b} = + = 0.</math>

<pb 424>[444]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
Denuo in hac ultima in locum ip$ius <math>a</math> $ubrogetur ejus valor <math>d</math>,
obtinebitur <math>dd - dd +{d^3/2b} = + - {ddd/2b} = 0.</math></p>
<p>In hac igitur cum rur$us termini omnes $e mutuò tollant, ar-
gumentum e$t, utramque æquationem, ut ante, & c.</p>
<p>Eadem e$t ratio, quæcunque tandem litera pro incognita quan-
titate $umatur.</p>
<p>Siverò accidi$$et, ut nec per $ubrogationem valoris ip$ius <math>d^3</math>,
nec ip$ius <math>dd</math>, nec denique ip$ius <math>d</math>, termini omnes $e mutuò de-
$truxi$$ent, argumentum fui$$et, quòd duæ illæ æquationes
<math>d^3 - add - 2 abd + 2 aab = 0</math>, & <math>d^4 * - bbdd* \\ - aa + aabb + = 0</math>
nullum communem divi$orem habui$$ent, & quòd duarum Pro-
po$itarum æquationum, quæ priùs per c fuerunt divi$æ, nullus
communis divi$or præter c extiti$$et. Excepto tantùm, ubi divi-
$io fieri pote$t per eju$modi quantitates, quæ $imul po$$unt fie-
ri = 0, atque in cau$a e$$e, quòd valor ejus literæ, quæ tanquam
incognita quantitas con$ideratur, per i$tam æquationem inveniri
non po$$it.</p>
<p>Exempli gratiâ, $i in Propo$itis æquationibus literam b, ut in-
cognitam quantitatem con$idera$$em, obtinui$$em
<tb>
<math>Pro I<_>mâ</_> # Pro 2<_>dâ</_>
<math>b = {d^3 - add/2ad - 2aa}</math> $eu <math>{dd/2a}</math>, # & <math>bb = {d^4 - aadd/dd - aa}</math> $eu <math>dd</math> \\
 # vel <math>b = d.</math></tb></p>
<p>Vbi videmus, valores ip$ius <math>b</math>, nempe <math>{dd/2a} = d</math>, $e invicem non
tollere, ideoque concludendum e$$et, has duas æquationes non
habere communem divi$orem, $i nempe eju$modi quantitates
non reperirentur, quæ, dum = 0 ponuntur, efficiunt, ut valor
ip$ius b inveniri nequeat. Quemadmodum $i ponatur <math>d - a = 0</math>,
non poterit valor ip$ius <math>b</math> per I<_>mam</_> æquationem inveniri: quippe
tum <math>d^3 erit = <math>add</math>.</p>
<p>Priu$quam itaque concludatur, non dari duarum $ive æquatio-
num $ive quantitatum communem aliquem divi$orem: I<_>mo</_> ob-
$ervandum venit, num eju$modi quantitates in æquatione repe-
riantur, quæ in cau$a e$$e po$$unt, quòd valor incognitæ literæ,

<pb 425>[445]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
$eu in$tar incognitæ con$ideratæ, per i$tam æquationem inveniri
nequeat. 2<_>do</_> $i reperiantur, num utramque æquationem divi-
dant. quemadmodum in hoc exemplo, ubi reperitur <math>d - a = o</math>,
cujus ope utraque æquatio dividitur, quod, $ubrogando <math>a</math> in lo-
cum <math>d</math>, uno intuitu videre e$t. At verò $i aliter eveni$$et, conclu-
$i$$em, non dari, &c.</p>
<p>Vnum adhuc exemplum adjungam.
Proponamus inveniendum e$$e maximum communem divi$orem
harum duarum æquationum $ive quantitatum
<math>12a^4 + 11aaxx + # I^ma Æq. \\ x^4 - 4ax^3 # - 20a^3 x = o</math>, &<math>12aaxx # 2^da Æq. \\ - 3ax^3 # + 24a^4 - 16a^3x + x^4 =o</math>.
Quoniam autem hæ non divi$ibiles $unt per aliquam literam nec
per numerum, con$idero literam aliquam, ad libitum $umendam,
tanquam incognitam quantitatem, puta _x_, atque operationem
porrò in$tituo, ut $equitur
<tb>
per 1<_>mam</_> invenitur # <math>x^4 = 4ax^3 - 11aaxx + 20a^3x - 12a^4</math>
add. # <math>- 3ax^3 + 12aaxx - 16a^3x + 24a^4</math>
fit pro 2<_>da</_> æquatione # <math>ax^3 + 12aaxx + 4a^3x + 12</ol> a^4 = o</math>
div. per <math>a. # x^3 = - axx - 4aax - 12a^3</math>
</tb>
Sub$tituatur jam hîc valor ip$ius <math>x^3</math> in ejus locum in alterutra æ-
quatione, utpote primâ (quamvis autem in hoc exemplo parum
inter$it, pote$t tamen in multis ca$ibus magnum e$$e di$crimen,
tunc enim oportet, brevitatis causâ, eligere eam, per quam ope-
ratio facillimè procedit; quemadmodum vulgò, cùm duæ $unt,
dimen$ionibus differentes, ea, quæ pauciores habet, eligenda ve-
nit), obtinebiturque <math>xx = ax - 6aa</math>.</p>
<p>Sub$tituatur rur$us hîc valor ip$ius _xx_ ubique in ejus locum in
una præcedentium æquationum, $umendo, brevitatis causâ, præ-
cedentem 3 dimen$ionum, invenietur
<tb math>
2<_>da</_> Æq.
x^3 = axx - 6aax $eu # + axx \\ - 6aax # - 6a^3 # = 0
+ axx = # + aax - 6a^3
+ 4aax + 12 a^3 = # + 4aax + 12a^3
</tb></p>
<p>In qua videmus terminos omnes $e invicem tollere, quod ar-
guit, ha$ce Propo$itas æquationes $ive quantitates divi$ibiles e$$e

<pb 426>[446]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
per <math>xx - ax + 6aa</math>; quæ ideo maximus e$t earum communis
divi$or.</p>
<p>Porrò manife$tum e$t, $i quis _omnes duarum vel plurium $ive_
_Æquationum $ive Quantitatum communes divi$ores_ invenire velit,
tantùm inveniendos e$$e _divi$ores omnes Maximi earum communis_
_divi$oris_.</p>
<p>Præterea etiam liquet, non tantùm in multis ca$ibus, per 1<_>mam</_>
& 2<_>dam</_> Regulam (uti annotatum e$t) uno intuitu videri po$$e,
duas Æquationes vel Quantitates non habere communem ali-
quem divi$orem; verùm etiam Regulas omnes, de Reductione
æquationum agentes, ad inveniendos omnes ip$arum communes
divi$ores in$ervire po$$e.</p>
<h>IX. _R<sc>EGVLA</sc>_,</h>
<p it>Luœ modum docet reducendi omnem œquationem,
$ive literalem, $ive numer alem, quœ per aliam, cujus
$olummodo unus terminus datus e$t, dividi pote$t.</p>
<p>O$tendam hoc in uno aut altero tantùm exemplo, quoniam
generalis modus ex iis deprehendi $atis poterit.</p>
<p>Proponatur itaque æquatio <math>x^5 - 4x^4 + 4x^3 + 1{1/2}xx - 7x - 3 = o</math>,
deturque illam dividi po$$e per aliam duarum dimen$ionum, cu-
jus ultimus Terminus $it - 2. E$to autem illa <math>xx + yx - 2 = o</math>,
$eu, <math>xx = - yx + 2</math>. Hunc valorem ip$ius <math>xx</math> ubique $ub$tituo
in ejus locum, aliamque æquationem loco Propo$itæ obtineo, in
qua <math>x</math> tantùm unius dimen$ionis reperitur: nimirum,
<math><ol>y^4 + 4y^3 + 10yy + 14{1/2}y + 5</ol></math> in <math>x, - 2y^3 - 8yy - 16y - 16 = o</math>.
quemadmodum ex $equenti operatione videre e$t.</p>

<pb 427>[447]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE ÆQVATIONVM</sc>.</rh>
<tb math>
 # xx = - yx + 2
ergo x^4 = yyxx - 4yx + 4} # $eu # - y^3 x + 2yy
 # # # # # - 4yx + 4
 # # x^5 = y^3 xx + 2yyx # $eu # + y^4 x - 2 y^3
 # # # - 4yxx + 4x # # + 2yyx
 # # # # # + 4yyx - 8y
 # # # # # + 4x
- 4 x^4 = # # # + 4 y^3 x - 16
 # # # # # + 16yx - 8yy
+ 4 x^3 = - 4yxx + 8x # $eu # + 4yyx - 8y
 # # # # # + 8 x
+ 1{1/2}xx = # # # - 1{1/2}yx + 3
-7x - 3 = # # # - 7 x - 3
 # # # # $umma # + y^4 x - 2 y^3
 # # # # # + 4 y^3 - 8 yy = o.
 # # # # # + 10yy - 16y
 # # # # # + 14{1/2}y - 16
 # # # # # + 5
</tb>
<p>Deinde con$idero unumquemque terminum $eparatum æqua-
tionis hujus deductæ = o, & cum hîc duo tantùm $int termini,
habebo inde ha$ce duas æquationes
<math>y^4 + 4 y^3 + 10yy + # I. \\ 14 # {1/2}y + 5 = o, & -2 y^3 - # II. \\ 8yy # - 16y - 16 = o \\ $eu y^3 + 4 yy + 8 y + 8 = o</math>.</p>
<p>Quarum quidem æquationum, $i juxta præcedentem metho-
dum quæratur maximus communis divi$or, invenietur pro ip$o
<math>y + 2 = o</math>; ita ut Propo$ita æquatio, cum <math>y</math> $it <math>= -2</math>, divi$ibilis
$it per <math>xx - 2x - 2 = o</math>.</p>
<p>Eodem modo, proponatur hæc æquatio
<math>x^4 - 2ax^3 # + 2aaxx \\- cc # - 2a^3 x + a^4 = o</math>, deturque ip$am dividi
po$$e per æquationem duarum dimen$ionum, cujus ultimus ter-
minus $it <math>+ aa</math>. E$to autem æquatio illa <math>xx + yx + aa = o</math>, adeo-
que <math>xx = - yx - aa</math>. Hinc, $ubrogato hoc valore in locum <math>xx</math>,
obtinebitur loco Propo$itæ æquationis alia, in qua <math>x</math> unius tan-
tùm erit dimen$ionis, nempe <math>- y^3 x \\ - 2 ayy \\ + ccy # - aayy \\ - 2 a^3 y \\ + aacc # = o</math>.</p>

<pb 428>[448]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
<p>Cujus $i unu$qui$que $eparatus terminus rur$us con$ideretur = o,
habebimus has duas æquationes
<tb math>
I. # II.
- y^3 - 2ayy + ccy = o, # & - aayy - 2a^3 y + aacc = o
$eu # $eu
- yy - 2ay + cc = o # - yy - 2ay + cc = o.
</tb>
Cum igitur harum communis men$ura $eu divi$or $it <math>- yy -
2ay + cc = o</math>, quæro hinc valorem ip$ius _y_: invenioque <math>y =
- a = <r>aa + cc</r></math>, ac proinde æquationem Propo$itam e$$e divi-
$ibilem per <math>xx - <ol>a = <r>aa + cc</r></ol></math> in <math>x, + aa = o</math>.</p>
<p>Similiter, $i detur, hanc æquationem
<math>x^5 * # + bb x^3 \\+ aa # + 3abbxx^* \\ - 2a^3 # + 2ab^4 = o</math> e$$e divi$ibilem per aliam
3 dimen$ionum, cujus tertius terminus $it <math>+ 2aax</math>: pono pro
ip$a <math>x^3 + yxx + 2 aax + z = o</math>, $eu <math>x^3 = - yxx - 2aax - z</math>,
Quo valore abique in locum <math>x^3</math> in Propo$ita æquatione $ubroga-
to, obtinebitur
<tb math>
-z xx # + yzx # + aaz # = o.
+ 3aay # + 2 a^4 # - yyz
- y^3 # - 2aayy # - bbz
-bby # - 2aabb # + 2ab^4
+ 3abb
- 2a^3
</tb>
Quoniam autem hæc æquatio 3 habet $eparatos terminos, ha-
bebuntur inde hæ 3 æquationes
<math>- z + # 3aay \\ 2^da # - y^3 - # I^ma \\ bby # + 3 abb # - \\ 3^tia # 2a^3 = o,
yz + 2a^4 - 2aayy - 2aabb = o, aaz - yyz - bbz + 2ab^4 = o</math>.
Hinc per I<_>mam</_> $ublatâ <math>z</math>, quæ e$t <math>= 3 aay - y^3 - bby + 3 abb - 2 a^3</math>,
invenietur pro 2<_>d</_>: <math>- y^4 * # + aayy \\ - bb # +3abby \\ - 2 a^3 # -2aabb \\ + 2 a^4 # = o</math>,
& pro 3<_>tia</_>: <math>+ y^5 * # - 4aa y^3 \\ 2bb # + 2 a^3 yy \\ - 3abb # + 3 a^4 \\ - 4aabb \\ + b^4 # + 5 a^3 bb \\ - 2 a^5 \\ - ab^4 # = o.</math></p>
<p>Quarum duarum maxima communis men$ura per $uperiorem

<pb 429>[449]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
methodum e$t <math>y - a = o</math>, ideoque <math>y = a</math>; cumque <math>z</math> $it <math>= 3 aay -
y^3 - bby + 3abb - 2 a^3</math>, erit inde <math>z</math> etiam <math>= + 2abb</math>. Æqua-
tio autem, per quam Propo$ita dividi pote$t, po$ita erat <math>x^3 +
yxx + 2aax + z = o</math>. Quocirca $i in hac $ubrogentur valores
quantitatum incognitarum <math>y</math> & <math>z</math>, invenietur pro ip$a <math>x^3 + axx
+ 2aax + 2abb = o</math>.</p>
<p>Atque ita de aliis omnibus Propo$itis æquationibus, $ive ra-
tionalibus $ive irrationalibus, & vel aliquam vel nullam fractio-
nem habentibus; atque etiam $ive ultimus Terminus, $ive aliquis
alius, quem libuerit, æquationis, per quam Propo$itæ dividi
queunt, datus fuerit, $ive alicui quantitati (ut in his exemplis), $i-
ve nihilo æqualis $it; cujus quidem generis nullum exemplum
affero, cum operatio haudquaquam diver$a exi$tat. Id tantùm ad-
dam, hæc omnia etiam ex comparatione terminorum duarum
eju$dem formæ æquationum inveniri po$$e.</p>
<p>10<_>ma</_>, <sc>ET 11</sc><_>ma</_> R<sc>EGVL Æ SE EXTENDVNT AD
OMNEM ÆQVATIONEM, SIVE IN EA</sc> I<sc>RRA-
TIONALES QVANTITATES ET</sc> F<sc>RACTIONES,
SIVE NVLE Æ REPERIANTVR, EXCEPTIS
TANTVM ILLIS ÆQVATIONIBVS, IN QVI-
BVS SIGNA RADICALIA SVNT, QVÆ INCO-
GNITAM QVANTITATEM INCLVDVNT</sc>.</p>
<p>Cum autem hæ duæ Regulæ Methodum requirant, qua omnia
$igna radicalia, quæ incognitam quantitatem includunt, $i in
æquatione Propo$ita talia fortè fuerint, primùm tollantur; $e-
quentes verò Regulæ, quibus omnia $igna $ine di$crimine pri-
mùm auferantur: præmittam</p>
<h it>Modum tollendi $igna radicalia ex qualibet
œquatione Propo$ita.</h>
<p>Proponatur, verbi gratiâ, æquatio <math>n = e + g + h + k + m</math>, &c.
in qua 1°. quælibet litera quantitatem de$ignet, $igno radicali
√ Qadfectam. Multiplicetur utraque pars quadratè, & evane-
$cet $ignum quantitatis <math>n</math>. Quoniam autem reliquæ literæ <math>e, g, h,
k, m</math>, &c. aut unam aut duas dimen$iones habebunt, $ignumque
radicale, in quantum duas habent, evane$cet; manife$tum e$t, ob-

<pb 430>[450]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
tineri po$$e æquationem, in qua _e_ æquatur aliis terminis, in qui-
bus _e_ non comprehenditur. Quæ æquatio $i rur$us eodem modo
in $e ducatur quadratè, evane$cet pariter $ignum radicale ip$ius <math>e</math>;
& quoniam in hac ultima æquatione tunc reliquæ literæ habebunt
aut 1, aut 2, aut 3, aut 4 dimen$iones, ac ip$æ in quantum ex pa-
ribus dimen$ionibus con$tant nullum $ignum radicale habent, &
quantùm ex imparibus con$tant ratione tollendi $igni radicalis
$olummodo con$iderandæ $unt tanquam unâ duntaxat dimen$io-
ne con$tantes, cum duæ $igno radicali $emper carent: manife-
$tum e$t rur$us inveniri po$$e æquationem, in qua <math>g</math> $it æqualis
aliquot terminis, in quibus _g_ non comprehenditur. Quâ æqua-
tione denuo quadratâ, $ublatum item erit $ignum radicale ip$ius <math>g</math>.
Atque ita facile e$t intelligere, quâlibet quadratione unum $ignum
radicale tolli.</p>
<p>Majoris per$picuitatis ergo addatur $equens operatio, exi$ten-
te <math>n = e + g + h + k</math>, ubi quadrando utramque partem æqua-
tionis prodit æquatio <math>nn = ee + gg + hh + kk + 2eg + 2eh +
2ek + 2gh + 2gk + 2hk</math>. Brevitatis autem causâ, pro
<math>{nn - ee - gg - hh - kk / 2}</math> $cribatur <math>pp</math>; cum hæ quantitates $igno
radicali careant; & fit <math>pp = eg + eh + ek + gh + gk + hk</math>,
$ive <math>e = {pp - gh - gk - hk / g + h + k}</math>. Vnde quadrando rur$us utramque
partem invenitur:
<math>ee = {p^4 + gghh + ggkk + hhkk - 2ppgh - 2ppgk - 2pphk + 2gghk + 2ghhk + 2ghkk / gg + bb + kk + 2gh + 2gk + 2hk}</math>,
$eu
<math>p^4 + gghh + ggkk + hhkk - 2ppgh - 2ppgk - 2pphk + 2gghk + 2ghhk +
2ghkk <ol>- gg - hh - kk - 2gh - 2gk - 2hk</ol></math> in <math>ee = o</math>.</p>
<p>Supponatur, ut ante, brevitatis causâ,
<math>p^4 + gghh + ggkk + hhkk <ol>- gg - hh - kk</ol> in <ol>ee</ol> = q^4
 # + 2kk - 2pp - 2ee = rr
 # + 2hh - 2pp - 2ee = $$
 # + 2gg - 2pp - 2ee = tt</math>,

<pb 431>[451]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<tb math>
eritque # q^4 + rrgh + $$gk + tthk = o
 # {q^4 + tthk / rrh + $$k} = - g
 # {q^8 + t^4 hhkk + 2 q^4 tthk / r^4 hh + $^4 kk + 2rr$$hk} = gg
 # q^8 + t^4 hhkk + 2 q^4 tthk <ol>-r^4 hh - $^4 kk - 2rr$$hk</ol> in <ol>gg</ol> = o.
</tb>
Supponatur rur$us, brevitatis causâ,
<math>q^8 + t^4 hhkk - r^4 hhgg - $^4 kkgg = v^8, \\ & 2 q^4 tt - 2rr$$gg = w^6</math>:
fietque <math>{v^8 + w^6 hk = o / v^8 = - w^6 hk}</math>
& invenietur <math>v^16 = w^12 hhkk</math>. Quæ æquatio ab omnibus $i-
gnis radicalibus liberata e$t.</p>
<p>Deinde ponatur unaquæque litera æquationis $uperioris
<math>n = e + g + h</math>, &c. de$ignare quantitatem $igno radicali √ C. ad-
fectam. In hac igitur $i loco quadratæ multiplicationis utraque
pars multiplicetur cubicè, evane$cet $ignum radicale ip$ius <math>n</math>, &
unaquæque reliquarum literarum, <math>e, g, h</math>, &c. acquiret 1, 2, aut 3
dimen$iones. In quantum autem tres dimen$iones habent, in tan-
tum carent etiam $igno radicali, adeò ut hâc ratione obtineri
queat æquatio, in qua <math>e</math> non ni$i 1 aut 2 dimen$iones habere po-
te$t. Quocirca multiplicando omnes ho$ce terminos per <math>e</math>, ob-
tinebitur æquatio, in qua <math>e</math> præter 1, 2, & 3 dimen$iones habere
nequit. In quantum autem 3 habet, in tantum quoque $ignum
radicale, uti dictum e$t, evane$cit; ac proinde ip$a <math>e</math> in hac æqua-
tione etiam non ni$i 1 & 2 dimen$iones retinere poterit. Hinc $i
ope hujus æquationis quæratur valor ip$ius <math>ee</math>, isque in locum <math>ee</math>
præcedentis $ub$tituatur, obtinebitur æquatio in qua <math>e</math> unam
tantùm dimen$ionem habebit, atque ideo inveniri poterit <math>e</math> æ-
qualis aliquot terminis, in quibus ip$a non comprehenditur. Quæ
æquatio, $i deinde cubetur, dabit aliam, in qua $imiliter $ignum
radicale ip$ius <math>e</math> pror$us evane$cet. vel pote$t rur$um per <math>e</math> multi-
plicari, & valor <math>ee</math> de novo inveniri, qui iterum, ut antea, po$itus
loco <math>ee</math>, habes valorem ip$ius <math>e</math> alio adhuc modo; ideoque duo hi
valores invicem comparati, æquationem dabunt, in quâ √ œ<_>am</_>.

<pb 432>[452]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
ip$ius <math>e</math> non reperies. Atque $ic omnia alia $igna radicalia ex æqua-
tione tolli po$$unt; quod facillimè per$picitur, $i tantùm adver-
tamus, quòd, verbi gratià, <math>g, gg, g^4, g^5, g^7, g^8, g^10, g^11, g^13, g^14</math>, &c.
$olummodo haben dæ $int pro <math>g, gg</math>, cum <math>g^3</math> $ignum radicale de-
ponat. Quæ ut magis per$picua evadant, $equentem operationem
adjicere vi$um $uit.</p>
<p>Sit ex. gr. <math>{n = e + g / n^3 = e^3 + 3eeg + 3egg + g^3} \\ n^3 - e^3 - g^3 = 3eeg + 3egg</math>.</p>
<p>E$to jam, brevitatis causâ, <math>n^3 - e^3 - g^3 = f^3</math>, quoniam ip$æ
A$ymmetriâ carent, fietque <math>f^3 = 3eeg + 3egg \\ f^3 e = 3 e^3 g + 3eegg \\ &{f^3 e - 3 e^3 g / g} = 3eeg</math>.</p>
<p>Invento valore ip$ius 3_eeg_ in ejus locum in æquatione præ-
cedente $ubrogato, habebitur:
<math>f^3 = {f^3 e - 3e^3g / g} +3egg \\ f^3 g = f^3 e - 3 e^3 g + 3 eg^3 \\ f^3 g = 3 e^3 g = f^3 e + 3 eg^3 \\ {f^3 g + 3e^3 g / f^3 + 3 g^3} = e</math>.</p>
<p>Denique ponatur, brevitatis causâ, <math>f^3 + 3e^3 = p^3</math>, & <math>f^3 +
3 g^3 = q^3</math>, cum $ingulæ $ignum radicale deponant,
eritque <math>{{p^3 g / q^3} = e / & {p^9 g^3 / q^9} = e^3}</math>.
Quæ æquatio ab A$ymmetria libera e$t. Vel
hoc modo: multiplicetur <math>{p^3 g / q^3} = e</math> per e, erit <math>{p^3 ge / q^3} = ee</math>; & quo-
niam inventa e$t <math>f^3 = 3 gee + 3gge</math>, $eu, <math>{f^3 3gge / 3g} = ee \\
erit <math>{p^3 ge / q^3} = {f^3 3gge / 3g} \\
& 3 ggp^3 e = q^3 f^3 - 3 q^3 gge \\
ergo e = {q^3 f^3 / 3 ggp^3 + 3 q^3 gg} = {p^3 g / q^3} \\
& q^6 f^3 = 3 g^3 p^6 + 3 g^3 p^3 q^3</math>. Quæ æquatio
itidem ab omni $igno radicali libera e$t.</p>

<pb 433>[453]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<p>Pari ratione tolli quoque po$$unt $igna quævis altiora, $ive illa
eju$dem, $ive diver$æ dimen$ionis $int. Sed notandum e$t, quòd
$igna hæc, $ive ip$a cognitis, $ive incognitis quantitatibus præfi-
gantur, per hunc modum $emper quidem tolli po$$int, $ed eum
$æpi$$imè non e$$e brevi$$imum, quando $cilicet $igna radicalia ad
quantitates cognitas pertinent; quemadmodum pag. 75 Geo-
metriæ cernere licet, ubi con$tat, quædam $igna tolli po$$e multi-
plicando radicem æquationis per certam aliquam quantitatem,
quo opere ip$a in aliam æquationem tran$mutatur, æquè multas
dimen$iones habentem.</p>
<p>Dantur præterea adhuc alia compendia, quorum $upra allatum
exemplum $pecimen erit: hæc enim æquatio <math>f^3 = 3gee + 3gge</math>
divi$a per <math>n</math> ab una parte, & per <math>e + g</math> (quæ æqualis e$t <math>n</math>,)
ab altera parte, dat <math>{f^3 / n} = 3ge</math>, cujus partes cubicè multiplica-
tæ dabunt <math>{f^9 / n^3} = 27 g^3 e^3</math>, æquationem, in qua nullum $ignum ra-
dicale invenitur: Sed quoniam propo$ui tantummodo hîc gene-
ralem modum indicare, quo $emper omnia $igna radicalia tolli
queant, & non compendia, quibus in multis ca$ibus faciliùs eo
pervenire po$$es, mon$trare; ideo huic rei finem imponam, & ad
Regulas Reductionum revertar.</p>
<h it>X. _R<sc>EGVLA</sc>_.</h>
<p it>Luœ modum docet reducendi omnem œquationem,
$ive literalem, $ive numer alem, cujus incognit a quan-
titas, (vel alia litera, quœ tanquam incognita con-
$ider ari pote$t) duos vel plures æquales habet valores.</p>
<p>Primò $i in Propo$ita æquatione duæ æquales radi-
ces exi$tant, multiplico eam per Arithmeticam Pro-
gre$$ionem pro libitu a$$umptam: nimirum, 1<_>mum</_> ter-
minum æquationis per 1<_>mum</_> terminum progre$$ionis,
2<_>dum</_> terminum æquationis per 2<_>dum</_> terminum progre$-
$ionis, & $ic deinceps; & Productum, quod inde $it,
erit = o. Deinde, cum $ic duas habeam æquationes,

<pb 434>[454]<rh>I<sc>O HANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
quæro, per Methodum $uperiùs explicatam, maximum
earum communem divi$orem; atque hujus ope æqua-
tionem Propo$itam toties divido, quoties id fieri po-
te$t.</p>
<p>Exempli gratiâ, proponatur hæc æquatio <math>x^3 - 4xx + 5x - 2 = o</math>,
in qua duæ $unt æquales radices. Multiplico ergo ip$am per A-
rithmeticam Progre$$ionem qualemcunque, hoc e$t, cujus incre-
mentum vel decrementum $it vel 1, vel 2, vel 3, vel alius quili-
bet numerus; & cujus primus terminus $it vel o, vel + vel -
quam o: Ita ut $emper ejus ope talis terminus æquationis tolli
po$$it, qualem quis voluerit, collocando tantùm $ub eo o.</p>
<p>Vt $i, exempli causâ, ultimum ejus terminum auferre velim,</p>
<tb>
multiplicatio fieri pote$t ip$ius # <math>x^3 - 4xx + 5x - 2 = o</math>
 # per hanc progre$$ionem # <math> # 3. # 2. # 1. # o<math>
 # # fietque # <math>{3 x^3 - 8xx + 5x * = o.</math>
</tb>
<p>Maxima autem communis divi$or hujus & Propo$itæ æqua-
tionis e$t <math>x - 1 = o</math>, per quam Propo$ita bis dividi pote$t; ita
ut eju$dem radices $int 1, 1, & 2.</p>
<p>Sic $i cupiam 1<_>mum</_> æquationis terminum auferre, multiplica-
tio in$titui pote$t ip $ius <math>x^3 - 4xx + 5x - 2 = o</math></p>
<tb>
per hanc progre$$ionem # <math>0. # 1. # 2. # 3.</math>
 # & fit # <math>* - 4xx + 10x - 6 = o.</math>
</tb>
<p>Cujus quidem ac Propo$itæ æquationis maximus communis
divi$or, ut antea, e$t <math>x - 1 = o</math>.</p>
<p>Similiter $i 2<_>dum</_> terminum tollere lubeat, multiplicatio fieri</p>
<tb>
pote$t, hoc pacto: # <math>x^3 - 4xx + 5x - 2 = o</math>
 # # <math>+1. # o. # - 1. # - 2</math>
 # & prodibit # <math>x^3 # * # - 5x + 4 = o.</math>
</tb>
<p>Cujus item & Propo$itæ maximus communis divi$or e$t
<math>x - 1 = o</math>.</p>
<p>Vbi notandum, non nece$$arium e$$e, $emper uti Progre$$ione
cujus exce$$us $it 1, quanquam ea communiter $it optima.</p>
<p>Cæterùm notandum, inter omnes has diver$as operationes,
quamvis eundem communem divi$orem maximum exhibeant, ta-
men alias aliis $æpe e$$e præferendas, quandoquidem unius termi-
ni de$tructione $æpenumero multò faciliùs ad finem pervenitur

<pb 435>[455]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
quàm alterius. Neque etiam tenemur hunc divi$orem immedia-
tè ex Propo$ita æquatione & aliqua huju$modi Progre$$ione ge-
nita inve$tigare: cum duæ ex his eligi po$$int, quarum beneficio
eum invenireliceat. Vt $umendo, verbi gratiâ, <math>3xx - 8x +
5 = o & - 4xx + 10x - 6 = o</math>, vel <math>3xx - 8x + 5 = o &
x^3* - 5x + 4 = o</math>, vel <math>- 4xx + 10x - 6 = o</math> & <math>x^3* - 5x
+ 4 = o</math>. Et$æpe etiam longè compendio$iùs e$t, duo huju$mo-
di producta $ibi eligere, ac deinde illorum communem divi$orem
quærere, quàm uti uno aliquo producto & æquatione Propo$itâ.
Quæ quidem omnia u$us hujus Regulæ abundè docebit.</p>
<p>Quemadmodum autem in hoc exemplo, ita in quovis alio Pro-
po$ito procedo: cum perinde $it, $ive æquatio numerica, $ive li-
teralis fuerit, & $ive fractiones aut $urdas quantitates includat, $i-
ve non; modò incognita quantitas inter $urdas non contineatur:
ita ut $uperfluum $it plura exempla hac de re afferre. Quocirca
ad alteram hujus Regulæ partem tran$eo.</p>
<p>2<_>dò</_>. Si in Propo$ita æquatione 3 æquales radices
fuerint, multiplico illam per Arithmeticam Progre$$io-
nem, ut antea; eritque Productum = o: Hoc Produ-
ctum rur$us multiplico per Arithmeticam Progre$$io-
nem; eritque hoc $ecundum Productum etiam = o. Si
æquatio Propo$ita 4 radices æquales habeat, ter mul-
tiplico; $i 5, quater; & ita $emper obtinebuntur tot
æquationes, quot radices æquales in æquatione Propo-
$ita continentur.</p>
<p>Exempli gratiâ, detur hæc æquatio <math>x^4* - 6xx + 8x - 3 = o</math>,
habens 3 æquales radices.</p>
<tb>
Primò multiplico eam per # <math>0. # 1. # 2. # 3. # 4.</math>
 # # & $it # <math>- 12 xx + 24x - 12 = o.</math>
 # Hoc productum iterum multiplico per # <math>0. # 1. # 2</math>
 # # # & provenit # <math>24x - 24 = o.</math>
 # # eritque communis divi$or # <math>x - 1 = 0,</math>
</tb>
<p>Ita ut Propo$ita æquatio habeat has 4 radices <math>1, 1, 1, & - 3</math>. Et
$ic de aliis omnibus.</p>

<pb 436>[456]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
<p>Quod verò u$um hujus Methodi concernit, is tantus e$t, in in-
veniendis Tangentibus, determinandis Maximis & Minimis, &
quibu$vis extremis, ut, quamvis $e ad alia non extenderet, im-
men$us tamen dici po$$et. Etenim reductis talibus Problematis
ad Æquationem, in qua hæc $ola conditio ad ejus determinatio-
nem adhuc requiritur, ut incognita quantitas (aut alia quævis li-
tera, quæ ut incognita con$ideratur) ad duas æquales radices de-
terminetur: poterit Quæ$itum beneficio hujus Methodi quàm
facillimè inveniri. quippe nihil aliud opùs e$t, quàm æquatio-
nem dicto modo per Arithmeticam Progre$$ionem multiplica-
re: cum duæ hæ æquationes tunc omnes Problematis conditio-
nes $int comprehen$uræ, ita ut ip$æ tantùm re$olvendæ re$tent.
Et notandum e$t, hoc $æpe beneficio $olius productæ æquationis,
nullo, aut exiguo admodum labore, præ$tari po$$e; quod patet
in omnibus illis exemplis, quæ de inveniendis tangentibus pa-
gin. 40, 41, & 42 à D<_>no</_> des Cartes in $ua Geometria $unt al-
lata, in quibus _v_ & _$_ incognitæ exi$tunt & <math>y</math> quidem cognita, $ed
quæ ut incognita con$ideratur: omnes enim illorum Problema-
tum conditiones æquationibus erunt comprehen$æ, $i illæ ip$æ
æquationes $ic determinentur, ut dicta quantitas <math>y</math> duas æquales
radices obtineat.</p>
<p>Primum dictorum exemplorum e$t <math>yy {+ qr - 2qv / q - r} y {+ qvv - qss / q-r} = o</math>
<tb>
Multiplico per meam Methodum per # <math>2. # 1. # 0</math>
 # fit # <math>2yy + {qr - 2qv / q - n} y = o</math>
 # $eu # <math>2qy - 2ry + qr = 2qv</math>
 # # & <math>y - {ry / q} + {1/2} r = v.</math>
</tb>
2<_>dum</_> exemplum e$t
<math>y^6 - 2b y^5 # - 2cd y^4 \\ + bb \\ + dd # + 4bcd y^3 \\ - 2ddv # - 2bbcdyy \\ + ccdd \\ - dd$$ \\+ ddvv # - 2bccddy + bbccdd = o</math>
<tb>
Mult. per # <math>+4,+3,+2, # +1, # 0, # -1, # -2</math>
 # eritque productum
 # <math>4 y^6 - 6b y^5 # - 4cd y^4 + 4bcd y^3 # * # + 2bccddy - 2bbccdd = o</math>
 # # <math>+ 2bb - 2ddv</math>
 # # <math>+ 2dd</math>
</tb>

<pb 437>[457]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
Dividendo jam per <math>2dd y^3</math> & transferendo <math>v</math> ad alteram partem,
obtinebitur <math>{2 y^3 / dd} - {3byy / dd} - {2cy / d} \\ + {bby / dd} \\ + y + {2bc / d} + {bcc / yy} - {bbcc / y^3} = v</math>.
3<_>tium</_> autem exemplum eju$dem e$t naturæ cum 1<_>mo</_>.</p>
<p>Vbi patet, in omnibus hi$ce exemplis Quæ$itum ex $ola Pro-
ducta æquatione uno intuitu inveniri, <math>y</math> enim cognita e$t, atque _v_,
quæ erat incognita ac $ola quærebatur, jam etiam innotuit.</p>
<p>At verò $æpe etiam accidit, ut Quæ$itum ex $ola hac Producta
æquatione inveniri nequeat; quemadmodum contingit $i valo-
rem quantitatis incognitæ $ inve$tigare velimus. Quippe tunc
valor ip$ius _v_ in prima æquatione in ejus locum $ubrogandus e$t,
vel potiùs in alia æquatione, per aliam Progre$$ionem productâ,
cujus beneficio ex illa prima terminus aliquis pro lubitu (excepto
eo, qui per 1<_>mam</_> Progre$$ionem e$t $ublatus) tolli pote$t.</p>
<p>Exempli gratiâ, in 1<_>mo</_> exemplo multiplicatum fuit per 2, 1, 0,
ac inde inventum <math>v = y - {ry / q} + {1/2} r</math>; Iam $i multiplicetur
<tb math>yy + {qr - 2qv / q - r} y + {qvv - qss / q - r} = 0
per + 1, # 0, # - 1:
obtinetur yy # * # {-qvv + qss / q-r} = 0
mult. per q - r.
div. per q. qyy - ryy # * # - qvv + qss = 0
 # ss = - yy + {ryy / q} + vv
 # fit s = <r>- yy + {ryy / q} + vv</r>.</tb>
Quocirca $i in hac æquatione in locum <math>vv</math> $ubrogetur ejus valor,
innote$cet inde etiam quantitas <math>s</math>.</p>
<p>Eodem modo, multiplicando in 2<_>do</_> exemplo per hanc Pro-
gre$$ionem 3, 2, 1, 0, - 1, - 2, - 3, inveniri pote$t valor
quantitatis <math>s</math>. Vbi $i $imiliter in locum <math>vv</math>, ejus valor $ub$titua-
tur, quantitas <math>s</math> inde innote$cet.</p>
<p>Quòd $i verò contingat, æquationem, per quam <math>v</math> quæritur,
e$$e talem, ut valor ip$ius <math>v</math> per eandem æquationem $olam $ine

<pb 438>[458]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
ip$ius <math>s</math> inclu$ione obtineri non po$$it; quemadmodum hîc valor
ip$ius <math>s</math> ab$que inclu$ione ip$ius <math>v</math> ex producta æquatione inveni-
ri nequit; pote$t tamen $emper, quotcunque etiam dimen$iones
quælibet incognita quantitas habeat, tandem inveniri æquatio
(operando haud $ecus ac $i illarum communis divi$or, ut $upra
o$ten$um fuit, quæreretur), in qua duntaxat una incognita quan-
titas includitur, cujus radices deinceps $unt inveniendæ.</p>
<p>Exempli gratiâ, $i habeatur hæc æquatio
<tb math>y^4 * - 6zzyy - 12 z^3 y + 9 z^4 # = 0,
 # - 9aazz</tb>
in qua <math>y</math> & <math>z</math> $int incognitæ, & <math>y</math> ad 2 æquales radices determi-
nari debeat: operationem in$tituo, ut $equitur,
<tb math> # y^4 * - 6zzyy - 12 z^3 y + 9 z^4 # = 0
 # # - 9aazz
Mult. per # 0, # 1, # 2, # 3, # 4
fit # - 12zzyy - 36 z^3 y + 36 z^4 # = 0
 # # - 36aazz
div. per 12zz. # - yy - 3zy + 3zz # = 0
 # # - 3aa
 # yy = - 3zy + 3zz.
 # # - 3aa</tb>
Similiter multiplicetur Propo$ita
<tb math> # y^4 * - 6zzyy - 12 z^3 y + 9 z^4 # = 0
 # # - 9aazz
per 4, # 3, # 2, # 1, # 0
fit 4 y^4 * - 12zzyy - 12 z^3 y # * # = 0
div. per 4y. y^3 * - 3zzy - 3 z^3 = 0.</tb></p>
<p>Sub$tituendo jam valorem ip$ius <math>yy</math>, $upra inventum, in ejus
locum, habebitur
<tb math>y^3 = - 3zyy + 3zzy $eu + 9zzy - 9 z^3
- 3aay # + 3zzy + 9aaz
 # # - 3aay
- 3zzy - 3 z^3 = # . . . # - 3zzy - 3 z^3
$umma + 9zzy - 12 z^3 # = 0
 # # - 3aay + 9aaz
 # # y = {4 z^3 - 3aaz / 3zz - aa}.</tb></p>

<pb 439>[459]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<p>Quocirca $ub$tituendo rur$us hunc valorem ubique in locum _y_
in hac æquatione <math>yy = - 3zy + 3zz \\ - 3aa</math>, exurget inde alia æqua-
tio, in quâ nulla incognita præterquam $ola _z_ reperitur, quæque
per eam porrò inveniri pote$t.</p>
<p>Denique, quicquid hîc de duabus æqualibus radicibus dixi,
eodem etiam modo de 3 aut pluribus æqualibus e$t intelligen-
dum. Si enim æquatio habeatur, quæ omnes conditiones Pro-
blematis includat, exceptâ hac $olâ, quòd incognita quantitas,
vel quæ ut incognita con$ideratur, ad 3 vel plures æquales radi-
ces adhuc $it determinanda : oportet ip$am primùm multiplicare
per A rithmeticam Progre$$ionem, & hoc productum rur$us eo-
dem modo, & $ic deinceps, donec totidem æquationes habean-
tur, quot æquales radices. ut $upra dictum atque explicatum fuit.
Quo peracto, tantùm æquationes eodem modo re$olvendæ $unt,
ut in $uperiori exemplo o$ten$um e$t, donec una tandem obti-
neatur æquatio, in qua non ni$i una incognita quantitas reperia-
tur. Et demum notandum, in$inita Problemata, quæ multis planè
arti$icio$a ac ingenio$a dicuntur, ad talem æquationem, in qua
$olummodo una huju$modi determinatio adhuc implenda e$t,
quàm facillimè reduci & deinde per hanc Methodum $olvi po$$e.</p>
<h>XI. _R<sc>EGVLA</sc>_,</h>
<p it>Luæ modum docet reducendi omnes æquationes,
$ive literales, $ive numer ales, quæ produci po$$unt ex
multiplicatione duarum aliarum, in quarum alter-
utr a unus plure $ve termini deficiunt.</p>
<p>Brevitatis causâ, quantitatem cognitam 2<_>di</_> termini, adfectam
$uis $ignis + & -, vocabo <math>p</math>; 3<_>tii</_> <math>q</math>; 4<_>ti</_> <math>r</math>; 5<_>ti</_> $; atque $ic dein-
ceps: & - <math>p</math>, - <math>q</math>, - $, &c. ea$dem quantitates de$ignabunt,
$ed contrariis $ignis adfectas.</p>
<p>Ex. gr. in hac æquatione <math>x^4 - 2a x^3 \\ + 3b - 4bbxx + 6abbx \\ + 2aab - 4 a^4 = 0</math>,
erit <math>-2a + 3b = p; - 4bb = q; + 6abb + 2aab = r; - 4 a^4 = s;
& + 2a - 3b = - p; + 4bb= - q;</math> & c.</p>

<pb 440>[460]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
<h>I<_>ma</_> _Pars_.</h>
<p>Si aliqua æquatio, 6 aut pauciores dimen$iones ha-
bens, produci po$$it ex multiplicatione duarum alia-
rum, quarum altera $it unius dimen$ionis, altera verò
uno pluribu$ve terminis careat; erit ejus Formula ali-
qua ex $equentibus, & poterit dividi vel per unam-
quamque æquationem $ibi adjunctam, vel per aliquam
earum.</p>
<p>Per _unamquamque_, ubi hæ æquationes $eu Divi$ores copu-
lantur per voculam &; per _aliquam_ verò, ubi disjunguntur per
voculam _vel_.</p>
<tb math>x^3, pxx, qx, r = 0 ... # per x + p = 0, & x + {r / q} = 0.
x^4, p x^3, qxx, rx, s = 0 # per x + p = 0, vel x + {s / r} = 0.
x^4, p x^3, *, rx, s = 0 # per x + p = 0, & x + {s / r} = 0.
x^4, p x^3, qxx, *, s = 0 # per x + p = 0, & x 🜶 √- {s / q} = 0.
x^4, *, qxx, rx, s = 0 # per x + {s / r} = 0, & x 🜶 √-q = 0.
x^5, p x^4, q x^3, rxx, sx, t = 0 # per x + p = 0, vel x + {t / s} = 0,
 # vel x + {1/2} p 🜶 <r>{1/4} pp-q</r> = 0.
x^5, p x^4, q x^3, *, sx, t = 0 # per x + p = 0, vel x + {t / s} = 0.
x^5, p x^4, *, rxx, sx, t = 0 # per x + p = 0, vel x + {t / s} = 0.
x^5, p x^4, q x^3, rxx, *, t = 0 # per x + p = 0, vel x 🜶 √- {t / r} = 0
x^5, *, q x^3, rxx, s x, t = 0 # per x + {t / s} = 0, vel x 🜶 √-q = 0.
x^5, p x^4, *, *, s x, t = 0 # per x + p = 0, & x + {t / s} = 0.
x^5, p x^4, *, rxx, *, t = 0 # per x + p = 0, & x 🜶 √-{t / r} = 0.

<pb 441>[461]<rh><sc>DE</sc> R<sc>REDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
x^5, *, q x^3, *, sx, t = 0 # per x + {t / s} = 0, & x 🜶 √-q = 0.
x^5, p x^4, q x^3, *, *, t = 0 # per x + p = 0, & x + √C. {t / q} = 0.
x^5, *, *, rxx, sx, t = 0 # per x + {t / s} = 0, & x + √C.r = 0.
x^5, *, q x^3, rxx, *, t = 0 # per x 🜶 √-q = 0, & x 🜶 √-{t / r} = 0.
x^6, p x^5, q x^4, r x^3, sxx, tx, v = 0 # per x + p =, vel x + {v / t} = 0,
 # vel x + {1/2} p 🜶 <r>{1/4} pp-q</r> = 0,
 # vel x + {t/2$} 🜶 <r>{tt/4$$} - {v/$}</r> = 0,
x^6, p x^5, q x^4, *, sxx, tx, v = 0 # per x + p = 0, vel x + {v / t} = 0,
 # vel x + {1/2} p 🜶 <r>{1/4} pp - q</r> = 0.
x^6, p x^5, q x^4, r x^3, *, tx, v = 0 # per x + p = 0, vel x + {v / t} = 0.
 # vel x + {1/2} p 🜶 <r>{1/4} pp-q</r> = 0.
x^6, p x^5, q x^4, r x^3, sxx, *, v = 0 # per x + p = 0, vel x 🜶 √-{v / s} = 0,
 # vel x + {1/2} p 🜶 <r>{1/4} pp-q</r> = 0.
x^6, p x^5, q x^4, *, *, tx, v = 0 # per x + p = 0, vel x + {v / t} = 0.
x^6, p x^5, q x^4, *, sxx, *, v = 0 # per x + p = 0, vel x 🜶 √-{v / s} = 0.
x^6, p x^5, q x^4, r x^3, *, *, v = 0 # per x + p = 0, vel per utram-
 # que harum duarum
 # x + √C. {v / r} = 0,
 # x + {1/2} p 🜶 <r>{1/4} pp-q</r> = 0.
x^6, *, q x^4, r x^3, sxx, tx, v = 0 per x + {v / t} = 0, vel x 🜶 √-q = 0.
 # vel x + {t / 2$} 🜶 <r>{tt / 4$$} - {v / s}</r> = 0.
x^6, *, q x^4, r x^3, *, tx, v = 0 # per x + {v / t} = 0, vel x 🜶 √-q = 0.
x^6, *, q x^4, r x^3, sxx, *, v = 0 # per x 🜶 √-q = 0, vel x 🜶
 # √-{v / s} = 0.

<pb 442>[462]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
x^6, *, *, r x^3, sxx, tx, v = 0 # per x + {v / t} = 0, vel x + √C.r = 0.
x^6, p x^5, *, r x^3, sxx, *, v = 0 # per x + p = 0, vel x 🜶 √-{v / s} = 0.
x^6, p x^5, *, r x^3, sxx, tx, v = 0 # per x + p = 0, vel x + {v / t} = 0,
 # vel x + {t / 2$} 🜶 <r>{tt / 4$$} - {v / s}</r> = 0.
x^6, *, q x^4, *, sxx, tx, v = 0 # per x + {v / t} = 0, vel x 🜶 √-q = 0.
x^6, p x^5, *, *, sxx, tx, v = 0 # per x + p = 0, vel x + {v / t} = 0.
x^6, p x^5, *, r x^3, *, tx, v = 0 # per x + p = 0, vel x + {v / t} = 0.
x^6, p x^5, q x^4, *, *, *, v = 0 # per x + p = 0, & x - {v / p^3} = 0,
 # & x 🜶 <r>-{v / ppq}</r> = 0,
 # & x 🜶 √√-{v / q} = 0.
x^6, *, q x^4, r x^3, *, *, v = 0 # per x 🜶 √-q = 0, & x - {v / qr} = 0,
 # & x + √C. {v / r} = 0.
x^6, *, *, r x^3, sxx, *, v = 0 # per x - {rs / v} = 0, & x 🜶 √-{v / s} = 0,
 # & x + √C. r = 0.
x^6, *, *, *, sxx, tx, v = 0 # per x + {v / t} = 0, & x - {$ t^3 / v^3} = 0,
 # & x 🜶 {t/v} √-s = 0,
 # & x - √C. {st / v} = 0,
 # & x 🜶 √√-s = 0.
x^6, p x^5, *, r x^3, *, *, v = 0 # per x + p = 0, & x + √C. {v / r} = 0,
 # & x + {v / ppr} = 0.
x^6, *, q x^4, *, sxx, *, v = 0 # per x 🜶 √-q = 0, & x 🜶 √-{v / s} = 0.
x^6, *, *, r x^3, *, tx, v = 0 # per x + {v / t} = 0, & x + √C. r = 0.
x^6, p x^5, *, *, sxx, *, v = 0 # per x + p = 0, & x 🜶 √-{v / s} = 0.

<pb 443>[463]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
x^6, *, q x^4, *, *, tx, v = 0 # per x + {v / t} = 0, & x 🜶 √-q = 0.
x^6, p x^5, *, *, *, tx, v = 0 # per x + p = 0, & x + {v / t} = 0.
</tb>
<h>2<_>da</_> _Pars_.</h>
<p>Si aliqua æquatio, 6 aut pauciores dimen$iones ha-
bens, produci po$$it ex multiplicatione duarum alia-
rum, quarum altera $it duarum vel plurium dimen$io-
num, ac duorum tantùm terminorum; erit ejus For-
mula aliqua ex $equentibus, & poterit dividi per unam-
quamque æquationem $ibi adjunctam.</p>
<p>I<_>mò</_>. _Per xx_ 🜶 _quantitate aliquâ cognitâ_ = 0.</p>
<tb math>
x^3, pxx, qx, r = 0 # per xx + q = 0, (& x + p = 0.)
x^4, p x^3, qxx, rx, s = 0 # per xx + {r / p} = 0, & xx + {1/2} q 🜶
 # <r>{1/4} qq - s</r> = 0.
x^4, p x^3, *, rx, s = 0 # per xx + {r / p} = 0, & xx 🜶 √-s = 0.
x^4, *, qxx, *, s = 0 # per xx + {1/2}q + <r>{1/4} qq - s</r> = 0,
 # & xx + {1/2} q - <r>{1/4} qq - s</r> = 0.
x^4, *, *, *, s = 0 # per xx + √-s = 0, & xx - √-s = 0.
x^5, p x^4, q x^3, rxx, sx, t = 0 # per xx + {1/2} q 🜶 <r>{1/4} qq - s</r> = 0,
 # & xx + {r / 2p} 🜶 <r>{rr / 4pp} - {t / p}</r> = 0.
x^5, p x^4, q x^3, rxx, *, t = 0 # per xx + q = 0, & xx + {r / 2p} 🜶
 # <r>{rr / 4pp} - {t / p}</r> = 0.
x^5, p x^4, q x^3, *, *, t = 0 # per xx + q = 0, & xx 🜶 √-{t / p} = 0.
x^5, *, q x^3, rxx, *, t = 0 # per xx + q = 0, & xx + {t / v} = 0.
x^5, *, *, rxx, sx, t = 0 # per xx + {t / r} = 0, & xx 🜶 √-s = 0.

<pb 444>[464]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
x^5, *, q x^3, rxx, sx, t = 0 # per xx + {t / r} = 0, & xx + {1/2} q 🜶
 # <r>{1/4} qq - s</r> = 0.
x^5, p x^4, *, *, sx, t = 0 # per xx 🜶 √-s = 0, & xx 🜶
 # √-{t / p} = 0.
x^5, p x^4, *, rxx, sx, t = 0 # per xx 🜶 √-s = 0, & xx +
 # {r / 2p} 🜶 <r>{rr / 4pp} - {t / p}</r> = 0.
x^5, p x^4, q x^3, *, sx, t = 0 # per xx 🜶 √-{t / p} = 0, & xx + {1/2} q
 # 🜶 <r>{1/4} qq - s</r> = 0.
x^6, p x^5, q x^4, r x^3, sxx, tx, v = 0 # per xx + {r / 2p} 🜶 <r>{rr / 4pp} - {t / p}</r> = 0.
x^6, p x^5, *, r x^3, sxx, tx, v = 0 # per xx + {r / 2p} 🜶 <r>{rr / 4pp} - {t / p}</r> = 0.
x^6, p x^5, q x^4, r x^3, *, tx, v = 0 # per xx + {r / 2p} 🜶 <r>{rr / 4pp} - {t / p}</r> = 0.
x^6, p x^5, *, r x^3, *, tx, v = 0 # per xx + {r / 2p} 🜶 <r>{rr / 4pp} - {t / p}</r> = 0,
 # & xx + √C. v = 0.
x^6, p x^5, *, r x^3, sxx, *, v = 0 # per xx + {r / p} = 0.
x^6, p x^5, q x^4, r x^3, *, *, v = 0 # per xx + {r / p} = 0.
x^6, p x^5, q x^4, r x^3, sxx, *, v = 0 # per xx + {r / p} = 0.
x^6, p x^5, *, r x^3, *, *, v = 0 # per xx + {r / p} = 0, & xx +
 # √C. v = 0.
x^6, *, q x^4, r x^3, sxx, tx, v = 0 # per xx + {t / r} = 0.
x^6, *, *, r x^3, sxx, tx, v = 0 # per xx + {t / r} = 0.
x^6, *, q x^4, r x^3, *, tx, v = 0 # per xx + {t / r} = 0.
x^6, *, *, r x^3, *, tx, v = 0 # per xx + {t / r} = 0, & xx +
 # √C. v = 0.
x^6, p x^5, q x^4, *, sxx, tx, v = 0 # per xx 🜶 √-{t / p} = 0.

<pb 445>[465]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
x^6, p x^5, q x^4, *, *, tx, v = 0 # per xx 🜶 √-{t / p} = 0.
x^6, p x^5, *, *, sxx, tx, v = 0 # per xx 🜶 √-{t / p} = 0.
x^6, p x^5, *, *, *, tx, v = 0 # per xx 🜶 √-{t / p} = 0, & xx +
 # √C. v = 0.
x^6, *, q x^4, *, sxx, *, v = 0 # per xx + y = 0, exi$tente y^3 -
 # qyy + sy - v = 0.
x^6, *, *, *, sxx, *, v = 0 # per xx + y = 0, exi$tente y^3 x
 # + sy - v = 0.
x^6, *, q x^4, *, *, *, v = 0 # per xx + y = 0, exi$tente y^3 -
 # qyy^* - v = 0.
x^6, *, *, *, *, *, v = 0 # per xx + √C. v = 0.
</tb>
<h>2<_>dò</_>. _Per x^3_ 🜶 _quantitate aliquâ cognitâ_ = 0.</h>
<tb math>
x^4, p x^3, *, rx, s = 0 # per x^3 + r = 0, & x^3 + {s / p} = 0 (& x + p = 0)
x^5, p x^4, q x^3, rxx, sx, t = 0 # per x^3 + r = 0, x^3 + {s / p} = 0, & x^3
 # + {t / q} = 0.
x^5, *, q x^3, rxx, *, t = 0 # per x^3 + r = 0, & x^3 + {t / q} = 0,
 # (& xx + q = 0)
x^6, p x^5, q x^4, r x^3, sxx, tx, v = 0 # per x^3 + {s / p} = 0 x^3 + {t / q} = 0,
 # & x^3 + {1/2} r 🜶 <r>{1/4} rr - v</r> = 0.
x^6, p x^5, q x^4, *, sxx, tx, v = 0 # per x^3 + {s / p} = 0, x^3 + {t / q} = 0,
 # & x^3 🜶 √-v = 0.
x^6, p x^5, *, *, sxx, *, v = 0 # per x^3 + {s / p} = 0, & x^3 🜶 √-v = 0.
x^6, p x^5, *, r x^3, sxx, *, v = 0 # per x^3 + {s / p} = 0, & x^3 + {1/2} r
 # 🜶 <r>{1/4} rr - v</r> = 0.

<pb 446>[466]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
x^6, *, q x^4, *, *, tx, v = 0 # per x^3 + {t / q} = 0, & x^3 🜶 √-v = 0.
x^6, *, q x^4, r x^3, *, tx, v = 0 # per x^3 + {t / q} = 0, & x^3 + {1/2} r 🜶
 # <r>{1/4} rr - v</r> = 0.
x^6, *, *, r x^3, *, *, v = 0 # per x^3 + {1/2} r + <r>{1/4} rr-v</r> = 0,
 # & x^3 + {1/2} r - <r>{1/4} rr - v</r> = 0.
x^6, *, *, *, *, *, v = 0 # per x^3 + √-v = 0, & x^3 - √-v = 0.
</tb>
<h>3<_>tiò</_>. _Per_ <math>x^4</math> 🜶 _quantitate aliquâ cognitâ_ = 0.</h>
<tb math>
x^5, p x^4, *, *, sx, t = 0 # per x^4 + s = 0, & x^4 + {t / p} = 0,
 # (& x + p = 0.)
x^6, p x^5, q x^4, *, sxx, tx, v = 0 # per x^4 + s = 0, x^4 + {t / p} & x^4
 # + {v / q} = 0.
x^6, *, q x^4, *, sxx, *, v = 0 # per x^4 + s = 0, & x^4 + {v / q} = 0
 # (& xx + q = 0.)
</tb>
<h>4<_>tò</_>. _Per_ <math>x^5</math> 🜶 _quantitate aliquâ cognitâ_ = 0.</h>
<tb math>
x^6, p x^5, *, *, *, tx, v = 0 # per x^5 + t = 0, & x^5 + {v / p} = 0,
 # (& x + p = 0.)
</tb>
<h>3<_>tia</_> _Pars_.</h>
<p>Si aliqua æquatio 5 dimen$ionum produci po$$it ex
multiplicatione duarum aliarum, quarum altera ha-
beat duas dimen$iones, & nullum terminum = 0, al-
tera verò aliquem terminum = 0; erit ejus Formula
aliqua ex $equentibus, & poterit dividi vel per unam-
quamque æquationem $ibi adjunctam, vel per aliquam
carum.</p>
<p>Per _unamquamque_, ubi vocula &; per _aliquam_, ubi _vel_ inve-
nitur: ut antea.</p>

<pb 447>[467]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<p>Quantitatem cognitam 2<_>di</_> termini æquationum $equentium
quadratarum, adfectam $uis $ignis + & -, brevitatis cau-
sâ, vocabo <math>y</math>, & ultimum terminum <math>z</math>.</p>
<tb math>
x^5, p x^4, q x^3, rxx, sx, t = 0 # per xx + px + {1/2}q - {r / 2p} 🜶 <r>{1/2}q - {r / 2p}□^tè + {t / p}</r> = 0,
 # vel per xx, + {1/2}p + {t / 2$} 🜶 <r>{1/2}p + {t / 2$}√^tè - q</r>
 # in x, + {yt / s} = 0,
 # vel per x^3 + r = 0.
x^5, p x^4, *, rxx, sx, t = 0 # per xx + px - {r / 2p} 🜶 <r>{rr / 4pp} + {t / p}</r> = 0,
 # vel per xx, + p + {t / s} in x, + {yt / s} = 0.
x^5, p x^4, q x^3, *, sx, t = 0 # per xx + px + {1/2}q 🜶 <r>{1/4}qq + {t / p}</r> = 0,
 # vel per xx + {zs / t}x + {1/2}q 🜶 <r>{1/4}qq + s</r> = 0.
x^5, p x^4, *, *, sx, t = 0 # per xx + px 🜶 √{t / p} = 0,
 # vel per utramque # xx, + p + {t / s} in x, + {yt / s} = 0,
 # harum duarum # xx, 🜶 {s / t} √s in x, 🜶 √s = 0.
x^5, p x^4, q x^3, rxx, *, t = 0 # per xx + px + {1/2}q - {r / 2p} 🜶 <r>{1/2}q - {r / 2p}√^tè + {t / p}</r> = 0,
 # & per xx + px + {t / 2r} 🜶 <r>{tt / 4rr} - {ppt / r}</r> = 0.
x^5, p x^4, *, rxx, *, t = 0 # per xx + px + {1/2}pp 🜶 <r>{1/4}p^4</r> + pr = 0,
 # & per xx + px + √C. pt = 0,
 # & per xx + px - {r / 2p} 🜶 <r>{rr / 4pp} + {t / p}</r> = 0.
x^5, p x^4, q x^3, *, *, t = 0 # per xx + px + pp = 0,
 # & per xx + px + {1/2}q 🜶 <r>{1/4}qq + {t / p}</r> = 0.
x^5, p x^4, *, *, *, t = 0 # per xx + px + pp = 0,
 # & per xx + px 🜶 √{t / p} = 0.
x^5, *, q x^3, rxx, sx, t = 0 # per xx, + {t / 2$} 🜶 <r>{tt / 4$$} - q</r> in x, + {yt / s} = 0.

<pb 448>[468]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
x^5, *, *, rxx, sx, t = 0 # per xx + {t / s} x + {tt / ss} = 0.
x^5, *, q x^3, *, sx, t = 0 # per xx + {zs / t} x + {1/2}q 🜶 <r>{1/4}qq + s</r> = 0,
 # & per xx, 🜶 √{s / z} in x, + {1/2}q 🜶 <r>{1/4}qq + s</r> = 0,
 # & per xx, + {t / 2$} 🜶 <r>{tt / 4$$} - q</r> in x, + {yt / s} = 0,
 # & per xx + x√C. {ss / t} + √C. {tt / s} = 0.
x^5, *, *, *, sx, t = 0 # per xx, 🜶 {s / t} √s in x, 🜶 √s = 0,
 # & per xx, 🜶 √√s in x, 🜶 √s = 0,
 # & per xx + {t / s}x + {tt / ss} = 0,
 # & per xx, + √C. {ss / t} in x, + √C. {tt / s} = 0,
 # & per xx, + √β. t in x, + {tt / ss} = 0.
</tb>
<p>Ad I<_>mam</_> & 3<_>tiam</_> Partem annotandum venit, $i non con$tet an
Propo$ita æquatio ex duabus aliis, requi$itas conditiones haben-
tibus, produci po$$it, quòd id facillimo negotio ut plurimum ex-
periri liceat: quotie$cunque enim divi$ores, qui per voculam &
copulantur, inter $e non $ecundùm omnes terminos conve-
niant, concludendum e$t, Propo$itam æquationem ita produci
non po$$e, adeò ut eo in ca$u divi$io irrita foret. Exempli gratiâ,
$i Proponatur æquatio <math>x^6, *, *, *, -xx √3 - 2 {1/2} x + 10 {1/8} = 0</math>,
quæ hujus e$t formulæ <math>x^6, *, *, *, sxx, tx, v = 0</math>, ea divi$ibilis
erit $ecundùm I<_>mam</_> Partem, per <math>x + {v / t} = 0</math>, & per <math>x 🜶 √√- s
= 0</math>; & per <math>x 🜶 {t / v} √- s = 0</math>; & per <math>x - √C. {st / v} = 0</math>; & per
<math>x - {s t^3 / v^3} = 0</math>, $i produci po$$it _ex multiplicatione duarum aliarum,_
_quarum altera $it unius dimen$ionis, altera verò uno pluribu$ve termi-_
_nis careat._ Vt autem $ciatur, utrum hoc fieri queat, non opùs e$t id
divi$ione per aliquem ex divi$oribus explorare, cum hîc duo di-
vi$ores reperian tur inter $e non convenientes: nimirum,
<math>x + {v / t} = 0</math>, & <math>x 🜶 √√- s = 0</math>, nam <math>{v / t}</math> rationalem, & <math>√√-s</math>
irrationalem numerum de$ignat. Atque cum in divi$ibilitas etiam

<pb 449>[469]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
$æpe uno intuitu ex variis $ignis con$tet, ut, ex. gr. $i loco <math>- √ 3</math>
habui$$emus <math>+ √ 3</math>, quo ca$u <math>√ Q</math>. ex <math>- s</math> extrahi non potui$$et;
Poterimus interdum opero$as aliquot multiplicationes & divi$io-
nes, quæ alioquin e$$ent faciendæ, in$uper habere. Majoris per-
$picuitatis gratiâ alterum exemplum addam. Divi$ores æquatio-
nis <math>x^5, *, *, *, s x, t = o</math> $unt, $ecundùm 3<_>tiam</_> Partem, <math>x x 🜶 {s / t} √ s
in x, 🜶 √ s = o; x x 🜶 √√ s in x, 🜶 √ s = o; x x + {t / s} x + {tt / ss} = o;
x x + √ C. {ss / t} in x + √ C. {tt / s} = o; & x x + √ β. t in x + {tt / ss} = o</math>:
$i jam comperiatur <math>🜶 {s / t} √ s</math> non e$$e <math>= √√ s, vel = {t / s} vel = √C.
{ss / t}, vel = √β. t</math>, quæ $unt quantitates cognitæ 2<_>di</_> termini; vel
ultimos terminos <math>🜶 √ s, & + {tt / ss}</math>, &c. non inter $e convenire;
indicio e$$et æquationem Propo$itam produci non po$$e _ex multi-_
_plicatione duarum aliarum, quarum altera habet duas dimen$iones, &_
_nullum terminum_ <math>= o</math>, _alter a verò aliquem terminum_ <math>= o</math>.</p>
<h>4<_>_ta_</_> _Pars_.</h>
<p>Si æquatio aliqua 6 dimen$ionum produci po$$it ex
multiplicatione duarum aliarum, quarum altera ha-
beat duas dimen$iones, & nullum terminum <math>= o</math>; al-
tera verò unum, plure$ve terminos <math>= o</math>; erit ea divi$i-
bilis per <math>xx + yx + z = o</math>, cujus <math>y</math> & <math>z</math> valores per
$equentes æquationes ac $equenti modo $unt inve-
niendi.</p>
<p>Æquationem Propo$itam, $ive in ea aliquis terminus deficiat,
$ive non, $ic de$ignabo: <math>x^6 + p x^5 + q x^4 + r x^3 + 5xx + tx + v = o</math>;
ubi <math>p</math> denotat quantitatem cognitam 2<_>di</_> termini, vel o, $i is defi-
ciat; <math>q</math> quantitatem cognitam 3<_>tii</_> termini, vel o, $i is de$it; <math>r</math> 4<_>ti</_>
termini, &c.</p>

<pb 450>[470]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
<tb math>
A # zz - 2 qz + ppq = o # zz - {t / pz + 2v = o # y = p
 # - pp - rp # -$
 # + {r / p} + $ # +rp
 # # - {t / p} # - ppq
 # 2 # {r / p} + pp
</tb>
<tb math>
B # y^3 - pyy+ qy - r = o # yy - {qt/v}y + {t^4/v^3} = o # z = {yv / t}
 # - {2v / t} + {pv / t} # - p + {rt / v}
 # # + {rtt / vv}
 # # - {t^3$ / v^3}
 # # 2
</tb>
<tb math>
C # y^4 - {q / p}y^3 + 3qyy - {$ / p}y + {t / p} = o # y^4 - {t / $}y^3 + ppyy - 2pqy + qq = o
 # - 2p + pp - 2pq + qq # - 2p + {tp / $} - {tq / $} - {vq / $}
 # # - {qq/p} - {rq/p} # + 2q + {vp / $}
 # # +r
 # -{t / $}y^3 + {tp / $}yy - {tq / $}y - {vq / $} = o # z = - py + yy + q
 # + {q / p} - q + {vp / $} - {t / p}
 # # + {$ / p} + {rq / p}
 # # + {qq / p}
 # # - r
</tb>
<tb math>
D # ### + q y^3* + $y - t = o + $y^4 - t y^3 + 2 q$yy - tqy + qq$ = o
 # + qq + rq # # - vq
 # # z = yy + q
 # e # f # g
 # y = p # y = p # y = {t / $}
 # z = q # z = q - {r / p = {vp / t} # z = {v / $}.
</tb>

<pb 451>[471]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<p>Quando nulli termini in æquatione Propo$ita $unt <math>= o</math>,
illa dividi poterit peraliquam harum A, B, C, e, f, g.</p>
<p>Quando e$t <math>p = o </math>... per aliquam harum B, D, g</p>
<tb>
_q_ # - # - # - # A, B, C, f, g
_r_ # - # - # - # A, B, C
_$_ # - # - # - # A, B, C, e, f
_t_ # - # - # - # A, C, e
_p, q_ # - # - # - # B, D, g
_p, r_ # - # - # - # B, D
_p, $_ # - # - # - # B, D
_p, t_ # - # - # - # D
_q, r_ # - # - # - # A, B, C
_q, $_ # - # - # - # A, B, C, f
_q, t_ # - # - # - # A, C
_r, $_ # - # - # - # A, B, C
_r, t_ # - # - # - # A, C
_$, t_ # - # - # - # A, C, e
_p, q, r_ # - # - # - # B, D
_p, q, $_ # - # - # - # B
_p, r, $_ # - # - # - # B, D
_p, r, t_ # - # - # - # D
_q, r, $_ # - # - # - # A, B, C
_q, r, t_ # - # - # - # A, C
_q, $, t_ # - # - # - # A
_r, $, t_ # - # - # - # A C
_p, q, r, $_ # - # - # - # B
_p, q, $, t_ # - # ### erit <math>y^6** + r y^3** + v = o,</math>
 # # # # & <math>z = yy</math>
_q, r, $, t_ # - # - # - # A
_p, q, r, $, t_ # - # ### erit <math>y^6***** + v = o,</math>
 # # # # & <math>z = yy.</math>
</tb>

<pb 452>[472]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
<p>1. Pro A, vel B, vel C a$$umere licet, vel unam æ-
quationum juxta po$itarum, quam libuerit, quærendo
ejus tantùm ope valorem ip$ius <math>y</math>, vel <math>z</math>; vel duas ean-
dem quantitatem incognitam habentes, quærendo-
que, ut $uperiùs o$ten$um e$t, earum communem di-
vi$orem, qui, aut unius, aut plurium futurus e$t dimen-
$ionum. $i unius, habebitur quæ$itus valor ip$ius <math>y</math> vel <math>z</math>;
$i plurium, eundem ex hoc communi divi$ore inve$tigare
oportet.</p>
<p>2. Si primò per capitales $ive maju$culas A, B, C, D
explorare velimus, reliquæ e, f, g, non $unt nece$$ariæ;
$ed non vice versâ.</p>
<p>Exempligratiâ, proponatur
<math>x^6 + # 2 x^5 \\ p # - # 3x^4 \\ q # + # 7 x^3 \\ r # - # 3xx \\ $ # - # 13x \\ t # - # 5 \\ v # = o</math>.</p>
<p>Cum nullus terminus hîc deficiat, examinanda e$t æquatio per
A, B, C, e, f, g. & quidem per omnes, $i à minu$culis g, f, e
incipiamus, $i autem à capitalibus, erunt minu$culæ in$uper ha-
bendæ. Incipiamus igitur à capitalibus, ac primùm ab A, pro
<tb math>
qua itaque $umere licet æquationem # zz - 2qz + ppq = o,
 # - pp # - rp
 # + {r / p} # + $
 # # - {t / p}
 # # 2
</tb>
vel <math>zz - {b / p} z + 2v = o
 # - $
 # + rp
 # - ppq
 # {r / p} + pp</math>, vel utramque.</p>
<p>Si primam $umamus, obtinebitur pro ip$a (quoniam <math>p = 2,
q = - 3, r = 7, $ = -3, t = -13, & v = -5</math>) <math>2zz + 5 {1/2}z -
22 {1/2} = o</math>; $in alteram, obtinebitur <math>7 {1/2}zz + 35 {1/2} z - 10 = o</math>,
quarum communis divi$or e$t <math>z + 5 = o</math>. Quoniam autem

<pb 453>[473]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<math>y = p = 2</math>, dividendum e$t per <math>x x + y x + z = o = x x + 2x -
5 = o</math>, invenieturque pro quotiente <math>x^4* + 2xx + 3x + 1 = o</math>. Et
manife$tum e$t, nos etiam alterutra tantùm duarum illarum æ-
quationum uti potui$$e. Facilior itaque via eligenda erit: non
enim $emper illa per communem divi$orem brevior e$t, neque
$emper longior; verùm hanc habet prærogativam, quæ $anè non
parva e$t, quòd inutiles radices ab$cindat. Quemadmodum $e-
quenti exemplo clariùs patebit.</p>
<p>E$to æquatio Propo$ita <math>x^6* - 2x^4 + 3x^3 - 3xx - 5x - 1 = o</math>.
Quoniam hîc <math>p</math> e$t = o, reductio tentanda erit per B, D, g.
Incipiendo à B, invenietur pro 1<_>mâ</_> <math>y^3 # - pyy \\ - {2v / 5} # + qy \\ + {pv / t} # - r = o</math>,
<tb>
hæc æquatio <math>y^3 - {2/5} yy - 2y - 3 = o</math>; & pro 2<_>dâ</_> <math>yy - {qt / v}y + {t^4 / v^3} = o,
 # - p # + {vt / v}
 # + {rtt / vv}
 # - {t^3$ / v^3}
 # 2
</tb>
hæc <math>yy + 230y - 305 = o</math>: e$t enim in hoc exemplo <math>q = - 2,
r = 3, $ = - 3, t = - 5, & v = - 1</math>. Vnde, quærendo earum
communem divi$orem, comperietur nullum dari, ac proinde
divi$ionem per B fieri non po$$e. Hinc tran$eo ad D, ubi pro
1^mâ æquatione <math>q y^3* # + $y - t \\ + qq + rq # = o</math> invenio <math>- 2 y^3* + 1y - 1 = o</math>,
& pro 2<_>dâ</_> <math>$y^4 - t y^3 + 2q$yy - tqy # + qq$ \\ - v1 # = o</math> invenio
<math>- 3 y^4 + 5 y^3 + 12 yy - 10y -14 = o</math>. Quarum æquatio-
num divi$or communis e$t <math>y + 1 = o</math>; adeoque <math>z = yy + q = - 1</math>;
ita ut divi$io $it facienda per <math>xx + yx + z = o = xx -1x -1</math>,
eritque quotiens <math>x^4 + 1x^3* + 4x + 1 = o</math>.</p>
<p>Vbi notandum, modum hunc quærendi communem divi$o-
rem in altioribus præ$ertim æquationibus permagni e$$e u$us,
non autem tanti u$us, cùm æquationes, quarum divi$or commu-
nis inve$tigandus e$t, $olummodo $unt 2 dimen$ionum, aut
etiam trium, quoniam tum divi$ores faciles $unt inventu. Vt in

<pb 454>[474]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
æquatione $uperiori <math>-2 y^3* + 1y - 1 = o</math>, ubi protinus appa-
ret <math>y e$$e = - 1</math>, adeoque $i ip$a dividatur per <math>y + 1 = o</math>, obti-
nebitur <math>- 2yy + 2y - 1 = o</math>. Cujus radices quoniam $unt im-
po$$ibiles, $olùm $upere$t <math>y = - 1</math>; adeò ut divi$io æquationis
Propo$itæ tentanda $it per <math>xx - 1x - 1 = o</math>.</p>
<p>Sic & $i habeatur æquatio <math>x^6 + 2x^5 + 3x^4 + 2x^3 + 2xx + 1x + 1 = o</math>,
comperietur ejus divi$ionem fieri po$$e beneficio æquationum
juxta B, ubi pro una invenitur <math>2yy - 5y + 3 = o</math>, & pro altera
<math>y^3 - 4yy + 5y - 2 = o</math>, & pro communi divi$ore <math>y - 1 = o</math>.
Et quoniam <math>z e$t = {yv / t} = 1</math>, erit <math>xx + yx + z = o = xx + 1x + 1 = o</math>.
Per quam igitur $i Propo$ita æquatio dividatur, fiet pro quotien-
te <math>x^4 + 1x^3 + 1xx^* + 1 = o</math>.</p>
<p>Si autem detur æquatio <math>x^6 + 2x^5 + 2x^4* + 1xx + 14x + 2 = o</math>,
in qua r e$t o, oportet ip$am examinare per A, B, & C. Inci-
<tb>
piendo autem ab A, loco æquationis # <math>zz - 2qz + ppq = o</math>
 # <math>-pp # -rp</math>
 # <math>+ {r / p} # + $</math>
 # # <math>- {t / p}</math>
 # # <math>2</math>
invenitur <math>zz - 4z + 1 = o</math>; & loco æquationis <math>zz - {t / p}z + 2v = o
 # <math>- $</math>
 # <math>+ rp</math>
 # <math>- ppq</math>
 # <math>{r / p} + pp</math>
</tb>
invenitur eadem <math>zz - 4z + 1 = o</math>. Ex qua, quia utriu$que com-
munis divi$or e$t, radices invenire oportet, quæ $unt <math>z = 2 + √ 3</math>,
& <math>z = 2 - √ 3</math>. Vnde cum <math>y $it = p</math>, hoc e$t, 2, pro <math>xx + yx
+ z = o</math> obtinebuntur hæ duæ <math>xx + 2x + 2 + √ 3 = o</math>, &
<math>xx + 2x + 2 + √ 3 = o</math>. Per quas igitur $i Propo$ita æquatio
divi$a fuerit, comperietur ip$am produci po$$e multiplicatione
harum trium <math>xx + 2x + 2 + √ 3 = o, xx + 2x + 2 - √ 3 = o</math>,
& <math>xx + 2x + 2 = o</math>.</p>

<pb 455>[475]<rh>D<sc>E</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<h it>5<_>ta</_> Pars.</h>
<p>Si æquatio aliqua 6 dimen$ionum produci po$$it mul-
tiplicatione duarum aliarum, quæ $ingulæ 3 dimen-
$iones habeant, in quarum alterutra unus plure$ve ter-
mini $int <math>= o</math>; erit ip$a divi$ibilis vel per æquationem
tantùm 2 terminorum, juxta 2<_>dam</_> partem, vel per æqua-
tionem <math>x^3 + yxx + zx + w = o</math>, in qua tantùm
alterutra vel <math>y vel z e$t = o</math>; quarumque <math>y, z, & w</math> valores
inveniuntur per $equentes æquationes.</p>
<p>Æquationem Propo$itam, $ive in ea aliquis terminus deficiat,
$ive non, $ic de$ignabo: <math>x^6 + px^5 + qx^4 + rx^3 + $xx + tx + v = o</math>;
ubi <math>p</math> denotat quantitatem cognitam 2<_>di</_> termini, vel o, $i is defi-
ciat; <math>q</math> quantitatem cognitam 3<_>tii</_> termini, vel o, $i is de$it; _r_ quar-
ti termini, &c.</p>
<tb math>
A # 2z^3 - 3qzz # - rpz # - $q= o # + qqzz # + 4$q z # -4$$ = o w = # {$ + zz - qx / p}
 # + pp # + 2$ # + tp # + p^4 # - 3pqr # - 4ppv
 # # + qq # - 4$ # - 2pp$ # + 4p$r
 # # # + 2pr # + 2tp # + $qq
 # # # # - q^3 # - ptq # y = o.
 # # # # - rp^3 # - $qpp
 # # # # + qqpp # + tp^3
</tb>
<tb math>
B # ## y^4 - {qt / v} y^3 + {pqt / v} yy - {$t / v} y - qq = o # y^4 - 2py^3 + qyy - ry + pr = o
 # - p # + qp - {tt / v} # + {2v / t} + pp - pq - $
 # # - {qqt / v} + {rtq / v} # - {3pv / t} + {2qv / t} - {pqv / t}
 # # # # + {ppv / t}
 # # # w = {t / q - py + yy}
 # # # z = o.
</tb>
<tb math>
C # zz - qz + $ = o # ww - rw + v = o # y = o.
D # yy - py + q = o # ww - rw + v = o # z = o.
e # z = q # w = {$ / p} # y = o.
f # y = p # w = {t / q} # z = o.
</tb>

<pb 456>[476]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
<p>Quando nulli termini in æquatione Propo$ita $unt
<math>= o</math>, illa dividi poterit per aliquam harum A, B, e, f.</p>
<p>Quando e$t <math>p = o</math> ... per aliquam harum C, B</p>
<tb>
_q_ # - # - # - # A, B
_r_ # - # - # - # A, B, e, f
_$_ # - # - # - # A, B
_t_ # - # - # - # A, D
_p, q_ # - # - # - # C, B
_p, r_ # - # - # - # C, B
_p, $_ # - # - # - # B
_p, t_ # - # - # - # C, D
_q, r_ # - # - # - # A, B
_q, $_ # - # - # - # A, B
_q, t_ # - # - # - # A
_r, $_ # - # - # - # A, B
_r, t_ # - # - # - # A, D
_$, t_ # - # - # - # A, D
_p, q, r_ # - # - # - # C, B
_p, q, $_ # - # - # - # B
_p, q, t_ # - # - # - # C
_p, r, $_ # - # - # - # B
_p, r, t_ # - # - # - # C, D
_p, $, t_ # - # - # - # D
_q, r, $_ # - # - # - # A, B
_q, r, t_ # - # - # - # A
_q, $, t_ # - # - # - # A
_r, $, t_ # - # - # - # A, D
_p, q, r, $_ # - # - # - # B
_q, r, $, t_ # - # - # - # A
</tb>
<p>1. Pro A vel B a$$umere licet vel unam æquationum
juxta po$itarum, quam libuerit, quærendo ejus tan-
tùm ope valorem ip$ius <math>y</math>, vel <math>z</math>; vel duas, eandem in-

<pb 457>[477]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
cognitam quantitatem habentes, quærendoque per ea-
rum communem divi$orem valores ip$ius <math>y</math> vel <math>z</math> eodem
modo quo in Parte 4<_>ta</_> dictum e$t.</p>
<p>2. Si primò per capitales A, B, C, D, examen fiat, tum
examen per reliquas e & f $uperfluum habendum e$t,
$ed non vice versâ.</p>
<p>Exempli gratiâ, proponatur hæc æquatio
<math>x^6 + 1x^5 + 4x^4 + 8x^3 + 5xx + 11x + 6 = o</math>.</p>
<p>Quoniam nulli termini de$unt, Reductio erit tentanda per
A, B, e, f; incipiendoque à minu$culis, ac primùm ab e, habe-
bitur <math>z = q = 4, & w = {$ / p} = 5</math>, adeoque pro <math>x^3 + yxx + zx
+ w = o</math>, fiet <math>x^3* + 4x + 5 = o</math>. Cum verò Propo$ita æqua-
tio per hanc dividi nequeat, tran$eo ad f, obtineoque <math>y = p = 1;
w = {t / q} = {11/4}; z = o</math>; & in locum <math>x^3 + yxx + zx + w = o</math> obti-
neo <math>x^3 + 1xx^* + {11/4} = o</math>. Et cum Propo$ita per hanc quoque non
divi$ibilis exi$tat, tran$eo ad A, & pro <math>2z^3 - 3qzz - rpz - $q = o
 # + pp # + 2$ + tp
 # # + qq</math>
obtineo <math>2z^3 - 11zz + 18z - 9 = o</math>, cujus radices $unt <math>+ 3,
+ 1, & + 1{1/2}</math>. Quia autem omnes hæ radices $unt rationales,
ac æquatio Propo$ita fractis numeris caret, non poterit nobis
hæc ultima radix in$ervire. Vnde explorandum tantùm re$tat per
<math>z = 3, & z = 1</math>. Sumendo autem <math>z = 1</math>, reperitur divi$ionem fie-
ri non po$$e, ac idcirco $i $umatur <math>z = 3</math>, fiet <math>w = {$ + zz - qz / p} = 2</math>.
Quoniam verò <math>y e$t = o</math>, pro <math>x^3 + yxx + zx + w = o</math> obti-
nebitur <math>x^3* + 3x + 2 = o</math>, per quam $i divi$io Propo$itæ ten-
tetur, comperietur ip$am fieri po$$e, atque oriri <math>x^3 + 1xx +
1x + 3 = o</math>. Sed loco 1<_>mæ</_> æquationis juxta A $umere potui$$e-
mus 2<_>dam</_>, unâ dimen$ione depre$$iorem, pro qua obtinui$$emus
<math>13zz - 60z + 63 = o</math>. Quæ unam tantùm radicem rationa-
lem ab$olutam admittit, quæ, ut $upra, e$t <math>+ 3</math>.</p>
<p>Et notandum, quòd, inventis duabus æquationibus, (quæ $em-
per, $i per communem divi$orem Quæ$itum obtinere velimus,
inveniri debent;) quæri pote$t radix alterutrius æquationis, $i
nempe ea facilis $it inventu, atque explorari, num & altera æqua-

<pb 458>[478]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
tio dictam radicem admittat: Quo $æpe nonnihil laboris ab-
$cindi pote$t.</p>
<p>Priu$quam huic XI Regulæ finem imponam, adjungam, quòd,
eodem modo, quo hæ Regulæ inventæ $unt, & reliquæ altiorum
æquationum inveniri po$$int; uti & multæ, ne dicam infinitæ aliæ
ad æquationes 6, & pauciorum dimen$ionum, quarum aliquot ex
facilioribus indicare volui, prætermittens nonnullas, non quidem
admodum difficiles, $ed quæ determinationem aliquam involve-
bant. Vt in 1<_>ma</_> Parte, ubi æquationi <math>x^6, px^5, qx^4, ^* $xx, tx, v = o</math>,
loco divi$oris <math>x + {1/2}p 🜶 <r>{1/4}pp - q</r> = o</math>, adjungere potui$$em di-
vi$orem <math>x - {v - q$} / p$ - t} = o</math>: quem, cum determinationem invol-
vat, ($iquidem <math>x + 3 = o</math>, divi$or æquationis <math>x^6 + 5 x^5 + 6 x^4
* + 5xx + 25x + 30 = o</math>, per illum inveniri nequit:) omit-
tendum duxi, præferendo ei alterum <math>x + {1/2}p 🜶 <r>{1/4}pp - q</r> = o</math>,
qui determinationi nulli obnoxius e$t.</p>
<p>Denique, u$us hujus XI Regulæ $e longè lateque extendit,
quod nemo facilè negaverit, qui modò viderit, non nece$$e e$$e,
vel fractiones, vel cognitas quantitates $urdas priùs ex æquatione
tolli; & quot modis una eademque æquatio, præ$ertim valde
compo$ita, & multarum dimen$ionum, ex multiplicatione dua-
rum aliarum produci queat; tumque inter omnes illas ex quibus
produci po$$it, tantùm unam requiri, in qua unus plure$ve termini
deficiant, ut Reductio per has Regulas inveniatur.</p>
<h>S<sc>EQVENTES</sc> 12, 13, 14, 15 R<sc>EGVLÆ SE EX-
TENDVNT AD ÆQVATIONES, IN QVIBVS
NEC SIGNA</sc> R<sc>ADICALIA, NEC LITERALES</sc>
F<sc>RACTIONES INVENIVNTVR</sc>.</h>
<h>XII. _REGVLA_.</h>
<p>Si in æquatione Propo$ita reperiatur litera cognita,
_quæ in ultimo Termino non contineatur_; $i illa non ni$i $e-
mel in æquatione extet, vel $emel tantùm reperiatur
$ecundùm eundem dimen$ionum numerum, (ut in Æ-
quatione <math>x # - 2 ax^3 \\ - 2c # + aaxx \\ + bb \\ + 4 ac \\ - dd # - 2abbx \\ - 2 acc # + aabb = o</math>,

<pb 459>[479]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
in qua <math>d d</math> $emel duntaxat reperitur, duas habens di-
men$iones) æquatio $emper indivi$ibilis erit per <math>x</math>, aut
<math>xx</math>, &c. <math>+ vel</math> - quantitate quâvis cognitâ atque ra-
tionali.</p>
<h>XIII. _REGVLA_.</h>
<p>Si pluries in æquatione Propo$ita reperiatur litera co-
gnita, _quæ in ultimo termino non contineatur;_ $i illa ubi-
que eodem $igno <math>+ vel</math> - $it adfecta, ac per incogni-
tam quantitatem, impares ubique aut ubique pares di-
men$iones habentem, multiplicata: æquatio illa $em-
per indivi$ibilis erit per <math>x + vel -</math>, vel per <math>xx, x^3</math>, &c.
- quantitate quâvis cognitâ atque rationali. ut hæc Æ-
quatio <math>x^4 + 4c x^3 - ddxx # + 4bbcx \\ - 2bbd # + b^4 = o</math>, in
quâ c bis tantùm reperitur adfecta $igno +, ac multi-
plicata per x unius & trium dimen$ionum. aut hæc
<math>x^6 # - a x^5 \\ + b # + cf x^4 \\ - dd # - c^3 x^3 \\ - add # - c^4 xx \\ + ddff # - ddccax \\ + d^3 bb # + c^3 d^3 = o</math>,
ubi <math>a</math> ter invenitur adfecta ubique $igno -; aut <math>b</math> bis $i-
gno +; ac ducta utraque in <math>x</math>, ubique habentem di-
men$iones impares: aut in quâ etiam <math>f</math> bis reperitur
adfecta $igno +, ac ducta in <math>x</math>, ubique pares dimen$iones
habentem.</p>
<h>XIV. _REGVLA_.</h>
<p>Si in æquatione Propo$ita reperiatur litera cognita,
_quæ innullo alio quàm in ultimotermino contineatur_; $i
ejus dimen$ionum numerus $it minor numero dimen-
$ionum incognitæ quantitatis, ad $ummum con$iderato,
(ut in hac <math>x^6 - bbx^4 # + b^3 cxx \\ - bbcc # + bcd^4 \\ + 2b d^5 # , = o</math>, in qua

<pb 460>[480]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
<math>d</math> tantùm in ultimo termino continetur, habens ad
$ummum 5, & <math>x</math> plures, nimirum 6 dimen$iones) cer-
tum e$t illam æquationem per <math>x + vel -</math> quantitate
quâvis rationali atque cognitâ e$$e indivi$ibilem; Si ejus
dimen$ionum numerus $it minor $emi$$e numeri dimen-
$ionum incognitæ quantitatis, ad $ummum con$iderati,
(ut in eodem exemplo, $i loco ultimi termini <math>bcd^4 + 2b d^5</math>
ponatur <math>b c^3 dd + 2 b^5 d</math>) certum e$t illam æquationem
per <math>xx + vel -</math> quantitate quâvis rationali atque cogni-
tâ indivi$ibilem exi$tere. Si ejus dimen$ionum numerus
$it minor triente numeri dimen$ionum incognitæ quanti-
tatis, ad $ummum con$iderati, certum e$t illam æqua-
tionem per <math>x^3 + vel -</math> &c. non po$$e dividi. atque ita
porrò in infinitum.</p>
<h>XV. _REGVLA_.</h>
<p>_Si in æquatione Propo$ita litera cognita reperia-_
_tur_, quæ in ultimo termino non continetur, _atque ea_
_divi$ibilis $it per_ <math>x, xx, x^3</math>, &c. + vel - _aliquâ quan-_
_titate rationali & cognitâ; facile erit beneficio alte-_
_rius æquationis dictum divi$orem invenire_.</p>
<p>Vt in hac æquatione
<math>x^5 - fx^4 # + bf \\ + 1{1/2}bc # x^3 # - 16 bcdxx \\ - {1/2} bcf # + {1/2}bbcfx \\ + {1/2}bbcc # - 8ccdbb = o</math>
in quâ <math>f</math> in ultimo termino non continetur, _opùs tantùm e$t, ut_
_omnes quantitates, in quibus f æquè multas habet dimen-_
_$iones nihilo æquales ponantur, atque Propoò inve$tigetur_
_utriu$que, inventæ $cilicet atque Propo$itæ æquationis_,
_communis divi$or_. Quocirca po$ito <math>- fx^4 + bfx^3 - {1/2} bcfxx
+ {1/2} bbcfx = o</math>, $eu <math>- x^3 + bxx - {1/2} bcx + {1/2} bbc = o</math>, inveni-
tur, $ecundùm Methodum ante de$criptam, pro earum commu-
ni divi$ore <math>xx + {1/2} bc = o</math>.</p>

<pb 461>[481]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<p>Sic etiam $i proponatur hæc æquatio
<math>x^4 # - a x^3 \\ - b \\ + c # + aaxx \\ + ab \\ - ac # + c^3 x \\ - baa \\ + aac # - bc^3 \\ + c^4 # = o</math> in qua <math>a</math> ultimo ter-
mino non continetur; po$ito <math>-a x^3 # +ab \\ - ac # xx = o</math>, erit <math>x - b + c = o.</math>
Divi$io itaque tentanda e$t per <math>x - b + c = o</math>; quoniam nullus
præter hunc communis divi$or haberi pote$t. Eundem Divi$o-
rem obtinui$$emus $i quantitates omnes ubi <math>a</math> e$t duarum dimen-
$ionum po$ui$$emus <math>= o</math>. Notandum e$t in his 12, 13, 14 & 15 Re-
gulis, non opùs e$$e, ut literales Fractiones $emper priùs ex æqua-
tionibus auferantur: Nam $i contingat, his Fractionibus $ubla-
tis, literam, de qua ibi agitur, nihilominus tamen in ultimo Ter-
mino tantùm inveniri, quemadmodum in Regula 14 requiritur:
vel illâ ablatione factâ in ultimo Termino non inveniri, quod in
tribus aliis requiritur; ablatio talium Fractionum nece$$aria non
e$t.</p>
<h>S<sc>EQVENTES 16, 17, 18, 19 ET 20</sc> R<sc>EGVLÆSE
EXTENDVNT AD ÆQVATIONES, VBI NEC
SIGNA</sc> R<sc>ADICALIA, NEC</sc> F<sc>RACTIONES LI-
TERALES VEL NVMERALES INVENIVN-
TVR</sc>.</h>
<p>Hucu$que perinde e$t, an Propo$itæ æquationis omnia mem-
bra, $ive terminorum partes $eparatæ per $ignum + vel - jun-
ctæ eundem habeant dimen$ionum numerum vel $ecus: In his
$equentibus verò 16, 17, 18, 19, & 20 Regulis con$iderabo,
brevitatis causâ, eju$modi tantùm æquationes, quarum omnia
Membra habent eundem numerum dimen$ionum; pote$t enim
omnis æquatio, hanc conditionem non habens, facilè in talem
permutari, ut cuique notum e$t.</p>
<p>Quomodo omnia radicalia $igna ex æquatione tolli po$$int,
jam antea o$tendi. Quomodò verò omnes Fractiones tolli
queant, nihil difficultatis habet, & $atis à D<_>no</_> des Cartes mon-
$tratum e$t in Fractionibus numeralibus, quod etiam eodem mo-
do in literalibus locum habet. Sed cum in his Regulis $equentibus
divi$ores rationales ultimi Termini nece$$ariò $ciri debeant, præ-
mittam</p>

<pb 462>[482]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
<h it>Modum inveniendi omnes rationales Divi$ores ul-
timi Termini $ur dis & Fractionibus carentis.</h>
<p>Vltimus Terminus æquationis Propo$itæ aut ex _uno_
aut ex _pluribus Membris_ $eu quantitatibus, per + & -
junctis con$tabit. Si _unius tantùm Membri_ $it, notum
e$t quâ tatione ip$ius divi$ores inveniantur. Quòd $i au-
tem ex _pluribus Membris_ con$titerit, $æpenumero diffi-
cile e$t eos omnes reperire. Hinc ad eos inveniendos,
con$idero $eor$im ultimum Terminum æquationis Pro-
po$itæ, $upponendo ip$um <math>= o</math>, atque pro lubitu eligo
aliquam ex literis, quam pro incognita quantitate hu-
jus fictæ æquationis habeo, cujus re$pectu fictam æqua-
tionem illam in ordinem redigo.</p>
<p>Exempli gratiâ, ex ultimo Termino hujus æquationis,
<math>x^4 - 4ax^3 # + 2ccxx \\ + 7aa \\ + 2ac # - 4accx \\ - 4aac \\ - 6 a^3 # + c^4 \\ - 4 a^ \\ + 8 a^3 c \\ + 2 ac^3 \\ + 3aacc # = o</math>
$umendo literam _c_ pro incognita quantitate, invenio æquatio-
nem hanc <math>c^4 + 2ac^3 + 3aacc + 8a^3c - 4a^4 = o</math>.</p>
<p>Deinde inquiro per antecedentes vel $equentes Re-
gulas utrum hæc Ficta per aliam rationalem dividi
po$$it; Si enim hoc fieri nequeat, manife$tum e$t ulti-
mum Terminum æquationis Propo$itæ nullos quoque
divi$ores rationales admittere (ni$i unitatem atque
ip$um ultimum Terminum integrum inter divi$ores
numerare velimus; $ed hi in æquationibus literalibus,
ubi omnes quantitates eundem dimen$ionum nume-
rum habent, nullius u$us $unt); Quòd $i verò dividi
po$$it, oportet rur$us eodem modo quærere divi$ores
hujus divi$oris & quotientis, atque ita evidens erit,
quo pacto omnes rationales æquationes, quæ hanc Fi-

<pb 463>[483]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
ctam æquationem dividere po$$unt, inveniri queant,
quæ quidem æquationes tunc futuræ $unt quæ$iti divi-
$ores ultimi Termini æquationis Propo$itæ.</p>
<p>Per præcedentes autem uti & per $equentes Regulas
omnes divi$ores hujus Fictæ æquationis, non cognitis
ejus divi$oribus ultimi Termini, ut plurimùm facilli-
mo negotio inveniri poterunt, imo perpaucæ æqua-
tiones occurrunt, quarum divi$ores ultimi Termini
non per $equentem 21 Regulam, & dicto modo inve-
niri pro$$ent. Quoniam verò aliquando tales dantur,
quarum divi$ores nec per hanc 21 Reg. nec per aliquam
præcedentium obtineri queant; ulteriùs videndum e$t,
num Fictæ æquationis ultimus Terminus, _unum an plu-_
_ra membr a_ habeat. Si enim _unum tantùm membrum_ ha-
buerit, quemadmodum in hoc exemplo, in quo ulti-
mus Terminus e$t <math>- 4 a^4</math>, notum e$t quo pacto eju$-
dem divi$ores inve$tigare liceat, po$$untque deinde
eorum ope per $equentes Regulas inveniri æquationes
omnes rationales, per quas hæc Ficta divi$ibilis erit, at-
que ita habebuntur etiam omnes divi$ores ultimi Ter-
mini æquationis Propo$itæ, qui requirebantur.</p>
<p>Quòd $i verò ultimus Terminus Fictæ æquationis
_plurium membrorum_ fuerit, tum rur$us eundem, ut an-
te, $upponerem <math>= o</math>, ac iterùm agerem, quemadmo-
dum jam dictum e$t, donecinveniatur æquatio, vel cu-
jus rationales divi$ores per aliquam præcedentium, $i-
ve per 21 Regulam facillimè inveniuntur; vel cujus ul-
timus Terminus tantùm _unius membri_ exi$tit. & ad al-
terutrum obtinendum parum temporis requiritur; &
alterutro invento, Quæ$itum obtineri pote$t, quoniam
tunc per $equentes Kegulas inveniri po$$unt æquatio-
nes omnes, ultimam hanc Fictam dividentes; atque ita
inventis omnibus divi$oribus ultimi Termini proximè

<pb 464>[484]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
antecedentis Fictæ æquationis po$$unt denuo per ea$-
dem Regulas, ope horum divi$orum ultimi Termini,
inveniri æquationes omnes, quæ huic proximè antece-
dentem Fictam dividere queunt, $icque ulteriùs a$cen-
dendo obtinebuntur tandem divi$ores omnes, quicun-
que fuerint, ultimi Termini Propo$itæ æquationis, qui
inveniendi proponebantur.</p>
<p>Exempli gratiâ, $i proponantur inveniendi divi$ores omnes ul-
timi Termini hujus æquationis
<tb math>
x^4 * # - 14aaxx # + 32aacx # + a^4 # = o,
 # + 4ac # + 4acd # - 10aacc
 # + 2cc # - 16add # - 2accd
 # + 4dd # # + 4aadd
 # + dc # # 4 ac^3
 # # # + 4 a^3 c
 # # # + dcaa
 # # # + 24acdd
 # # # + 4ccdd
 # # # + 4c d^3
 # # # + c^4
 # # # +d c^3
</tb>
nimirum ope Regularum $equentium, æquationes omnes ratio-
nales, per quas aliqua Propo$ita dividi pote$t, detegentium be-
neficio divi$orum ultimi Termini: $uppono ejus ultimum Ter-
minum <math>= o</math>, atque unam ex ip$ius literis con$idero ceu incogni-
tam quantitatem, ut puta <math>a</math>, obtineoque æquationem in ordi-
nem redactam,
<math>a^4 + 4ca^3 # - 10ccaa \\ + 4dd \\ + dc # - 2ccda \\ + 4 c^3 \\ + 24cdd # + 4ccdd \\ +4c d^3 \\ + c^4 \\ + d c^3 # = o.</math>
Quoniam autem hujus ultimus terminus etiam plura membra
habet, $uppono ip$um rur$us, ut ante, <math>= o</math> $umendoque <math>c</math> pro
incognita quantitate, obtineo inde hanc æquationem
<math>c^4 + dc + 4ddcc + 4d^3c = o.</math>
Quæ divi$a per <math>c</math> dat <math>c^3 + dcc + $ddc + 4d^3 = o</math>, quæ e$t
æquatio in qua ultimus Terminus <math>4 d^3</math> tantùm _unum Membrum_

<pb 465>[485]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
habet. Con$tat autem quo pacto divi$ores hujus ultimi termini
inveniantur, qui, po$tquam cogniti erunt, in$ervire poterunt, ut
eorundem ope per $equentes Regulas quærantur, æquationes o-
mnes rationales, hanc ultimam Fictam <math>c^3 + dcc + 4ddc + 4d^3 = o</math>
dividentes, ac proinde etiam æquationes, quæ <math>c^4 + d c^3 + 4ddcc
+ 4 d^3 c = o</math> dividere po$$unt, quæ quidem e$t ultimus Terminus
Fictæ æquationis proximè præcedentis
<math>a^4 + 4c a^3 # - 10ccaa \\ + 4dd \\ + dc # - 2ccda \\ + 4 c^3 \\ + 24cdd # + 4ccdd \\ + 4cd^3 \\ + c^4 \\ +dc^3 # = o.</math>
Inventis verò divi$oribus omnibus ultimi hujus æquationis Ter-
mini, po$$unt denuo per ea$dem Regulas inveniri omnes æqua-
tiones rationales hanc ip$am dividentes; quibus cognitis inven-
tum e$t, quod quærebatur, cum æquatio hæc Ficta ultimus $it
Propo$itæ æquationis Terminus.</p>
<p>Hinc liquet per $olam $equentem XVII Regulam $emper
omnes divi$ores ultimi Termini inveniri po$$e: $ed, quoniam
per præcedentes uti & per reliquas $equentes Regulas $æpe pri-
mo intuitu cernitur tales divi$ores non dari, $i non dentur, & ii
qui dantur $æpe minori labore inveniuntur, poterunt & hæ Re-
gulæ magno cum fructu adhiberi.</p>
<h>XVI. _R<sc>EGVLA_</sc>.</h>
<h it>Quæ modum docet inveniendi omnes æquationes ra-
tionales, duos tantùm Terminos babentes, quibus
æquatio quævis rationalis & Fractione carens, $ive
liter alis $ive numer alis $it, dividi po$$it.</h>
<p>Fiat alia æquatio pro libitu ex duabus aut pluribus
quantitatibus, aut etiam terminis Propo$itæ æquatio-
nis; atque juxta hanc $uppo$itionem inveniatur valor
ip$ius <math>x</math>; vel $umatur tantùm aliquis valor pro <math>x</math>, ut li-
bet. Deinde $ub$tituto hoc valore Ficto ip$ius <math>x</math>, vel eo
quem ex æquatione Ficta invenimus, ubique in locum
ip$ius <math>x</math> æquationis Propo$itæ: Sitermini $e mutuò de-

<pb 466>[486]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
$truere reperiantur, erit Propo$ita æquatio divi$ibilis
per <math>x</math> - hoc Ficto valore <math>= o</math>; $i autem hi termini $e
mutuò non de$truant, quærantur divi$ores aggregati
horum omnium terminorum (quod quidem aggrega-
tum, ut ab ultimo termino æquationis di$tinguatur, in
po$terum vocabo _Terminum Fictum_); atque ab unoquo-
que divi$ore unius dimen$ionis auferatur valor Fictus
ip$ius <math>x</math>, at ab unoquoque divi$ore duarum dimen$io-
num auferatur eju$dem valoris quadratum, & $ic dein-
ceps. Quo peracto, videndum erit num aliqua horum
reliquorum con$entiant cum divi$oribus ultimi Ter-
mini æquationis Propo$itæ $i enim nulla eorum cum
iis con$entiant, indicio e$t æquationem Propo$itam per
aliam duos tantùm Terminos habentem, $eu per <math>x</math>, aut
<math>xx</math>, &c. + vel - quantitate quâvis cognitâ atque ra-
tionali non e$$e divi$ibilem: Si verò aliqua con$en-
tiant, oportet, facto unoquoque con$entiente <math>+ x</math>
earundem dimen$ionum, <math>= o</math>, explorare per quam ha-
rum æquationum æquatio Propo$ita dividi po$$it; $i
enim per nullam ip$arum divi$ibilis $it, erit quoque
Propo$ita per <math>x</math>, aut <math>x x</math>, &c. + vel - quâvis quanti-
tate cognitâ atque rationali indivi$ibilis. Quæ quidem
omnia $equenti exemplo clariora evadent.</p>
<p>Vt ad inve$tigandos divi$ores, $i qui $int, hujus æquationis
<math>x^3 - 21axx # - bbx \\ + 20 aa # + 20abb = o</math>, $uppono <math>x^3 = 21 a x x,</math>
vel <math>bbx = 20abb</math>, vel ad libitum quemlibet pro <math>x</math> valorem a$$u-
mo, utputa <math>a</math> vel <math>b</math>: $ed a$$umamus <math>x^3 = 21 a x x</math>, $ive <math>x = 21a</math>.
Deinde $ubrogando 21 <math>a</math> ubique in locum <math>x</math> in æquatione Propo-
$ita <math>x^3 - 21axx # - \\ + 20aa # bbx + 20abb = o</math> (rejiciendo brevi-
tatis causâ terminos, ex quibus æquatio Ficta e$t conflata, cum
ip$i, dum nihilo $unt æquales po$iti, nece$$ariò evane$cant) obti-
neo pro terminorum omnium aggregato <math>- 21 abb + 21,

<pb 467>[487]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
20 a^3 + 20 abb</math>, vel <math>- abb + 21, 20a^3</math>, quod quidem ag-
gregatum voco _Fictum Terminum,_ cujus divi$ores hi quatuor exi-
$tunt <math>+ a, & - a; - bb + 21, 20 aa, & + bb - 21, 20 aa</math>.
Porrò $ubducto hoc Ficto valore <math>21 a</math> ab utroque priorum; &
ab utroque duorum $equentium eju$dem valoris quadrato, (quo-
niam ip$i duarum $unt dimen$ionum;) relinquentur <math>- 20 a,
- 22 a; - bb - 21 aa / bb - 41, 21 aa.</math> Quo peracto, $i vi-
deatur num aliqua horum Reliquorum con$entiant cum divi$o-
ribus ultimi Termini <math>+ 20 abb</math> æquationis Propo$itæ, compe-
rietur $olummodo <math>- 20 a</math> con$entire. Quocirca ad <math>- 20 a</math> ad-
ditâ <math>x</math> unius dimen$ionis, $iquidem <math>- 20 a</math> unius tantùm dimen-
$ionis exi$tit, explorandum duntaxat re$tat num æquatio Propo-
$ita dividi po$$it per <math>x - 20 a</math>. quod, $i non contingat, erit ea
per <math>x</math>, aut <math>xx</math>, + vel - quâvis aliâ quantitate cognitâ atque
rationali indivi$ibilis, quemadmodum quoque $i nulli dividi poterit
congruentes reperti fui$$ent. at verò hæc æquatio dividi poterit
per <math>x - 20 a</math>, orieturque pro quotiente <math>xx - ax - bb = o</math>.</p>
<p>Hîc autem quædam con$ideranda veniunt, quæ breviter $al-
tem indicabo.</p>
<p>1. Per hanc viam omnes æquationes duorum terminorum,
quibus æquatio Propo$ita dividipo$$it, eâdem operâ inveniun-
tur.</p>
<p>2. In formanda nova æquatione, aut cùm ip$i <math>x</math> affingitur ali-
quis valor, ob$ervandum e$t, eum brevitatis causâ ita fingi po$$e,
ut ip$o in locum <math>x</math> $ubrogato re$ultet inde tale quantitatum ag-
gregatum $eu _Fictus terminus_, cujus divi$ores faciles $int inventu,
ac pauci numero. id quod communiter levi negotio obtineri
pote$t.</p>
<p>3. Sæpenumero $upervacaneum e$t, ut omnes divi$ores ulti-
mi Termini æquationis Propo$itæ quærantur; ut in $uperiore
exemplo videre e$t, ubi quæ re$tabant Reliqua, ex divi$oribus Fi-
cti Termini & ex a$$umpto valore ip$ius <math>x</math> & <math>xx</math> facta, hæc erant
quatuor <math>- 20a, - 22a, - bb - 21a a, + bb - 41, 21 aa</math>,
quorum duo po$teriora non po$$unt congruere cum divi$oribus
ultimi Termini <math>20 abb</math> æquationis Propo$itæ, _cum duo Membra_
_babeant, atque bîc terminus tantùm unum_. deinde apparet etiam,
quòd <math>22a</math> divi$or e$$e non po$$it ip$ius <math>20 abb</math>, _quoniam numeru_,
<math>22</math> _major e$t numero_ <math>20</math>; atque eapropter con$iderare tantùm opor-

<pb 468>[488]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
tet <math>- 20 a</math>, ita ut$olummodo inquirendum $it num ultimus Ter-
minus <math>20 abb</math> divi$ibilis $it per <math>- 20 a</math>. Po$$umus quoque eodem
modo, quando divi$ores ultimi Termini æquationis Propo$itæ
cogniti $unt, invenire divi$ores omnes _Ficti Termini_, quinobis in-
$ervire queunt, reliquis qui inutiles $unt prætermi$$is. Quin imò
in multis ca$ubus, præ$ertim cùm æquatio indivi$ibilis e$t, parce-
re po$$umus labori, qui in quærendis divi$oribus tam ultimi Ter-
mini æquationis Propo$itæ quàm _Ficti Termini_ e$$et impenden-
dus, $i modò ip$os inter $e comparaverimus, quod modicà expe-
rientiâ longè clariùs, quàm multis verbis pate$cet.</p>
<p>4. Si fortè contingat ut divi$ores Congruentes multi adhuc
numero exi$tant, ita ut etiamnum nimis laborio$um foret omni-
bus i$tis divi$oribus divi$ionem æquationis Propo$itæ tentare,
poterimus aliam æquationem fingendo aut ip$i <math>x</math> alium valorem
a$$ignando rur$us operari, &, ut ante, _Reliqua_ (quæ $ingulis divi-
$oribus hujus ultimi Ficti termini, - ultimò ip$ius <math>x</math>, aut <math>x x</math>, & c.
fictis valoribus $unt æqualia, quemadmodum in Regula fuit di-
ctum,) cum jam ipventis Congruentibus comparare, & iterum
congruentes, $i qui $int, eligere, $i verò nulli reperiantur, argumen-
tum e$t æquationem per <math>x</math>, aut <math>x x</math>, &c. + vel - quâvis quanti-
tate cognitâ atque rationali e$$e indivi$ibilem. Et $i adhuc nimis
multi fuerint, eodem modo denuo quidam re$cindi po$$unt. Sed
hoc rarò accidit in æquationibus literalibus.</p>
<p>5. Si æquatio Propo$ita Fractionibus carens $it divi$ibilis per
aliam æquationem rationalem, duos tantùm Terminos haben-
tem, non opùs e$t, ad inveniendum hunc divi$orem, omnia $igna
radicalia ex Propo$ita æquatione auferre, $ed ea $olummodo, quæ
in ultimo Termino reperiuntur.</p>
<h>_Pote$t etiam bæc Regula_ XVI _dividi in duas par-_
_tes, boc modo:_</h>
<p>Inquire primùm num Propo$ita æquatio $it divi$i-
bilis per aliam in qua unus plure$ve termini de$unt, $e-
cundùm XI Regulam; Si non $it, tantùm $ecundùm
jam de$criptam XVI Regulam inquirendum e$t, num
$it divi$ibilis per <math>x</math> + vel - aliquo divi$ore ultimi Ter-

<pb 469>[489]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
mini, omi$$is omnibus reliquis divi$oribus duarum plu-
riumve dimen$ionum.</p>
<h>XVII. _R<sc>EGVLA.</sc>_</h>
<p it>Quæ docet modum inveniendi omnes æquationes ra-
tionales, quibus æquatio quævis rationalis & Fra-
ctione carens, $ive literalis, $ive numer alis $it, di-
vidi po$$it.</p>
<p>Æquatio talis erit divi$ibilis per aliam rationalem fra-
ctione carentem, in qua vel unus plure$ve termini de-
ficiunt, vel nullus. Primò itaque inquirendum e$t per
X I Regulam, num per rationalem fractione carentem,
in qua unus plure$ve termini deficiant, dividi po$$it; $i
comperiatur id fieri non po$$e, erit ea divi$ibilis per
æquationem nullo termino carentem, & quidem unius
dimen$ionis, $i Propo$ita $it 3 dimen$ionum; vel per
aliquam unius vel duarum dimen$ionum, $i Propo$ita $it
4 vel 5 dimen$ionum; vel per aliquam 1, 2, 3, $i Propo$t-
ta $it 6 vel 7 dimen$ionum; vel per aliquam 1, 2, 3, vel 4
dimen$ionum, $i Propo$ita habeat 8 vel 9 dimen$iones;
& $ic in infinitum.</p>
<p>Modum verò inquirendi an ea divi$ibilis $it per æ-
quationem $implicem $ive unius dimen$ionis, antea
o$tendi: unde $olummodo re$tat, quo modo reliqui
divi$ores, $eu æquationes duarum, trium, &c. dimen-
$ionum inveniri queant.</p>
<p>Et $ciendum, me quantitatem cognitam 2<_>di</_> termini, adfectam
$uis $ignis + & - vocare <math>p</math>; 3<_>tii</_> termini <math>q</math>; 4<_>ti</_> <math>r</math>; 5<_>ti</_> $; 6<_>ti</_> <math>t</math>; 7<_>mi</_> <math>v</math>;
at divi$orem ultimi termini, $imiliter $ignis $uis adfectum, <math>b</math>.</p>
<h>R<sc>EGVLA PRO</sc> Æ<sc>QVATIONIBVS</sc> 4<_>or</_> <sc>DIMENSIO-
NVM</sc>.</h>
<p>Si æquatio Propo$ita divi$ibilis $it per æquationem

<pb 470>[490]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
rationalem, plures quàm unam dimen$ionem haben-
tem, in qua nullus terminus deficiat; erit ea divi$ibilis per
<math>xx + {r - bp / {s / b } - b} x + b = o.</math>
Excepto tantùm, cùm <math>{s / b} e$t = b</math>, ac $imul <math>r = b p</math>, id
e$t, <math>b = 🜶 √ s</math>, & <math>b = {r / p}</math> tunc enim divi$ibilis erit per
<math>x x + {p / {1/2} p 🜶 <r>{1/4}P P + 2 b - q</r>}</math> in <math>x, + b = o.</math></p>
<p>1. Et cum æquatio Propo$ita $it liberata ab omni-
bus fractis & $urdis quantitatibus, atque dividi queat
per æquationem rationalem: $equitur, <math>{r - b p / {s/b} - b}</math> debere
integram e$$e quantitatem rationalem. Patet etiam _$_
nunquam e$$e po$$e <math>= b b</math>, ni$i _$_ quadratum fuerit, ac
<math>r</math> per <math>p</math> dividi po$$it.</p>
<p>2. Sufficiet etiam illos $olùm divi$ores ultimi Termini
qui ip$ius √ Q<_>am</_>. non excedunt con$iderare, nimirum,
$i æquatio $it numeralis; $ed $i $it literalis, opùs tan-
tùm erit divi$oribus uti duarum dimen$ionum, atque ex
his $emper alterutro tantùm duorum talium, quorum
productum con$tituat ultimum Terminum.</p>
<p>Exempli gratiâ, $i proponatur hæc æquatio numeralis
<math>x^4 - 3 x^3 + 12 x x - 30 x - 200 = o</math>, quæ dividi pote$t per
aliquam rationalem; & $i compertum $it ip$am indivi$ibilem e$$e
per <math>x</math>, + vel - aliquo divi$ore ultimi Termini, ut & per æqua-
tionem 2 dimen$ionum, in qua aliquis terminus deficit; dividi
poterit per hanc <math>x x + {r - b p / {s / b} - b} x + b = o.</math></p>
<p>Quia igitur hîc <math>p</math> e$t <math>= - 3</math>
<math>q</math>, quâ non indigemus, prætereo,
<math>r = - 30</math>
<math>$ = - 200</math>,

<pb 471>[491]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
hinc erit <math>x x + {r - b p / <ol>b</ol> - b} x + b = x x + {- 30 + 3 b / {-200 / b} - b } x + b = o.</math></p>
<p>Sunt autem Divi$ores ultimi Termini radicem Quadratam</p>
<tb>
non excedentes; $eu valores ip$ius <math>b</math>, <math>= # + 1 # vel - 1</math>
 # <math>+ 2 # - 2</math>
 # <math>+ 4 # - 4</math>
 # <math>+ 5 # - 5</math>
 # <math>+ 8 # - 8</math>
 # <math>+ 10 # - 10</math>
</tb>
<p>Vnde $umendo <math>b = + 1</math>, erit <math>{- 30 + 3b / - {200/b} - b }</math> fractio, $imiliterque
$i $umatur <math>b = - 1; = + 2; = - 2; = + 4; = - 4, & = + 5</math>.
At $i $umatur <math>b = - 5</math>, obtinebitur - 1, ac proinde tentanda
erit divi$io per <math>x x - 1 x - 5 = o</math>. Quoniam autem per hanc
fieri nequit, tran$eo ad alium valorem ip$ius <math>b</math>, puta + 8. Sed
cum $ic rur$us prædicta quan titas fractio evaderet; ut & quando
pro <math>b</math> a$$umitur - 8, tran$eo ad <math>b = + 10</math>. Quia verò _r_ fit <math>= b p</math>,
ac idcirco <math>x x + b = o</math>, non poterit $imiliter hic valor nobis in-
$ervire; ita ut nobis $olùm re$tet <math>b = - 10</math>. Vnde obtin etur æ-
quatio <math>x x - 2 x - 10 = o</math>, per quam Propo$ita dividi pote$t.</p>
<p>Eodem modo, $i proponatur æquatio literalis
<math>x^4* # -b b \\ + 2ab # xx # +4 abb \\ - a^3 \\ - 4b^3 \\ + a a b # x # -4 b^4 \\ + 2 a a b b # = o</math>,
Quoniam <math>p</math> e$t <math>= o</math>
<math>r = 4 a b b - a^3 - 4 b^3 + a a b</math>
<math>$ = 2 a a b b - 4 b^4</math>,
erit <math>x x + {r - b p / {s/b} - b } x + b = x x + {4 abb - a^3 - 4 b^3 + aab / {2 aabb - 4 b^4 / b} - b} x + b = o.</math></p>
<p>Divi$ores ultimi Termini, duas habentes dimen$iones, $eu va-
<tb>
lores ip$ius <math>b</math>, $unt # <math>+ bb, & - 4bb + 2aa,</math>
 # <math>- bb, + 4bb - 2aa,</math>
 # <math>+ 2bb, + 2bb + aa,</math>
 # <math>- 2bb, - 2bb - aa.</math>
</tb>
Quorum tantùm prioribus 4 indigemus, nimirum, <math>+ bb, - bb, \\ + 2bb,</math>

<pb 472>[492]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST.</sc> I.</rh>
<math>+ 2bb, - 2bb</math>: quoniam reliqui per hos multiplicati ultimum
Terminum producunt.</p>
<p>Sumendo autem <math>b = + bb,</math> 2<_>dus</_> terminus erit fractio. Hinc
tran$eundo ad <math>b= + 2bb</math>, obtinebitur æquatio <math>xx # + b \\ - a # x + 2bb = o.</math>
Per quam Propo$ita dividi pote$t, invenitur enim pro quotiente
hæc <math>xx # + a \\ -b # x # -2 bb \\ + aa # = o.</math></p>
<p>R<sc>EGVLA PRO</sc> Æ<sc>QVATIONIBVS</sc> 5<_>que</_> <sc>DIMEN-
SIONVM</sc>.</p>
<p>Si æquatio Propo$ita 5 dimen$ionum divi$ibilis $it
per æquationem rationalem, plures quàm unam di-
men$ionem habentem, in qua nullus terminus de$it;
poterit ip$a dividi per æquationem hanc
<math>xx - <ol>{{t / b} / + 2b} + {1/2}P 🜶 √<ol><ol>- {{t / b} / 2b} + {1/2} P⃞^tè</ol>. - q + b + { s / b }</ol></ol> in <math>x, + b = o.</math></p>
<p>Et cum æquatio hæc debeat e$$e rationalis quæ nullas
admittat fractiones; $equitur 2<_>dum</_> terminum debere e$$e
integram quantitatem rationalem.</p>
<h it>Exemplum.</h>
<p>Proponatur hæc æquatio
<math>x^5** # + 8aabxx \\ - 63 a^3 \\ + 8 abb \\ - b^3 # + 2ab^3 x \\ + 16 a^3 b \\ + 15 aabb \\ - b^4 \\ - 4 a^4 # - b^5 \\ + a^4 b \\ - a b^4 \\ + a^3 bb # = o.</math></p>
<p>Po$tquam con$tat, æquationem hanc dividi non po$$e per ul-
lam aliam, 2 aut 3 dimen$iones habentem, in qua unus aut plu-
restermini deficiunt, nec per <math>x</math> 🜶 aliquo divi$ore ultimi termini;
erit illa divi$ibilis per $uperiorem
<math>xx - <ol>{{t / b} / 2b } + {1/2}P 🜶 √ - <ol>{{t / b} / 2b } + {1/2} p ⃞^tè.</ol> - q + b +</ol></ol> {s / b}</math> in <math>x, + b = o.</math>

<pb 473>[493]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
Quantitates cognitæ $unt <math>p = o</math>
<math>q = o</math>
_r_ nullius hîc e$t u$us.
<math>$ = 2 a b^3 + 16 a^3 b + 15 aabb - b^4 - 4 a^4</math>
<math>t = - b^5 + a^4 b - a b^4 + a^3 bb</math>,
& divi$ores ultimi Termini, duas dimen$iones habentes, $eu va-
lores ip$ius <math>b</math> $unt <math>= ab + bb, vel - ab - bb</math>, vel <math>bb - aa</math>, vel <math>- bb + aa</math>
vel <math>ab - bb</math>, vel <math>- ab + bb</math>
vel <math>aa + ab + bb</math>, vel <math>- aa - ab - bb</math>:
hinc $i <math>b</math> $umatur <math>= ab + bb</math>, obtinebitur
<math>xx - <ol>{{t / b} / 2b} + {1/2} p 🜶 √ <ol>- {{t / b} / 2b } + {1/2} p □^tè</ol> - q + b</ol></ol> + {s / b} in x, + b</math>
æquale <math>xx - 4 ax # + ab \\ + bb # = o</math>. Per quam $i tentetur utrum Pro-
po$ita dividi queat, invenietur divi$ionem fieri po$$e, atque pro
quotiente oriri <math>x^3 + 4 axx + 16 aax - b^3 = o.
 # - ab # + a^3
 # - bb</math></p>
<h>R<sc>EGVLA PRO</sc> Æ<sc>QVATIONIBVS</sc> 6 <sc>DIMEN-
SIONVM</sc>.</h>
<p>Si æquatio Propo$ita 6 dimen$ionum divi$ibilis $it
per æquationem rationalem, plures quàm unam di-
men$ionem habentem, in qua nullus terminus de$it;
erit ip$a divi$ibilis vel per æquationem 2 dimen$ionum,
vel per aliquam 3 dimen$ionum. Si divi$ibilis $it per æ-
quationem rationalem 2 dimen$ionum, poterit dividi
per æquationem <math>xx + yx + b = o</math>,
exi$tente <math>y = # {pb - {t / b} / 2b - {{2v / b} / b}} # 🜶 # <ol>√{pb - {t / b} / 2b - {{2v / b} / b}} # □^tè # {+ $ - {v / b} + bb - qb / b - {{v / b} / b}}</ol></math>
Si divi$ibilis $it per æquationem rationalem 3 dimen-
$ionum, erit divi$ibilis

<pb 474>[494]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
per æquationem <math>x^3 + yxx + zx + b = o</math>,
exi$tente
<tb math>
y^3 # {-{pv / b} - 2pb / {v / b} + b} # yy # {+ppb - 2t / {v / b} + b} # y # {<ol>-{v / b} + b</ol>inr, <ol>- qb + t</ol>inp / {v / b} + b} # = o,
 # # # + qy # {v / b} - b
 # & z = {y^3 - pyy + qy + {v / b} + b - r / 2y - p}.
</tb>
Porrò ob eandem rationem atque in præcedentibus
Regulis $equitur <math>y</math> & <math>z</math> debere e$$e integras quantitates
rationales.</p>
<p>Atque in hoc ultimo ca$u, ubi divi$io per <math>x^3 + yxx
+ zx + b = o</math> tentanda e$t, opùs tantùm e$t uti divi-
$oribus ultimi Termini qui ejus radicem quadratam non
excedunt, nimirum quando æquatio numeralis e$t; at
ipsâ literali exi$tente, $ufficit uti divi$oribus 3 dimen-
$ionum, atque ex his duntaxat alterutro duorum ta-
lium, quorum productum ultimum Terminum efficit,
haud $ecus ac id in præcedenti Regula pro æquationi-
bus 4<_>or</_> dimen$ionum quoque annotatum fuit. Quæ
porrò animadver$io locum etiam obtinet in omnibus
æquationibus parium dimen$ionum, quas dividere ten-
tamus per aliam dimidium præcedentium dimen$ionum
numerum habentem.</p>
<h it>DETERMINATIO I<_>mi</_> CASVS.</h>
<p>Cùm <math>2b - {{2v / b} / b}</math> e$t <math>= o</math>, hoc e$t, <math>b^3 = v</math>, & <math>h = √C. v</math>:
erit <math>y = {-$ + q √C.v / p√C. v - {t / √C.v}}</math>.</p>

<pb 475>[495]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<p>Cùm <math>2b - {{2v / b} / b} e$t = o</math>, ac $imul <math>p √C. v - {t / √C. v} = o</math>, &
<math>- $ + q √C. v = o</math>, hoc e$t, <math>b = √C. v, b = √{t / b}</math>, & <math>b = {$ / q}</math>:
erit <math>y^3 - pyy # + {$ / √C. v} \\ - 3 √C.v # y # + 2p √C. v \\ - r # = o</math>.</p>
<h it>DETERMINATIO 2<_>di</_> CASVS.</h>
<p>Cùm <math>{v / b} + b e$t = o</math>, erit <math>yy # - p \\ + {2t / pb} # y # - {2r / p} + q - {t / b} = o</math>.</p>
<p>Cùm <math>p e$t = o</math>, ac $imul <math>{v / b} + b = o</math>, erit <math>y = {rb / t}</math>.</p>
<p>Cùm <math>t e$t = o</math>, & <math>r = o</math>, ac $imul <math>p = o</math>, & <math>{v / b} + b = o</math>,
erit <math>y ^* + 2qyy - 8by # - 4$ \\ + qq # = o</math>.</p>
<p>Cùm <math>2 y e$t = p</math>, & <math>y^3 - pyy + qy + {v / b} + b - r = o</math>,
erit <math>z = {t + byy - qb / {v / b} - b}</math>.
Sed cùm determinationes illæ manent, ac $imul <math>{v / b} - b e$t
= o</math>, & <math>t + byy - qb = o</math>, erit <math>z = {t / 2√v} 🜶 <r>{tt / 4v} - $ + p √v</r></math>.</p>
<p>Denique in omnibus determinationibus adverten-
dum e$t, quòd, $i reperiatur <math>2b - {{2v / b} / b} = o</math>, & <math>p √C. v -
{t / √C. v} = o</math>, $ed <math>- $ + q √C. v</math> non $imul e$$e = o; ut & $i
reperiatur <math>{v / b} + b = o, p = o, & t = o</math>, $ed <math>r</math> non $imul <math>= o</math>;
itemque $i reperiatur <math>2y = p, & y^3 - pyy + qy + {v / b} + b
- r = o</math>, & <math>{v / b} - b = o</math>, $ed <math>t + byy - qb</math> non $imul <math>= o</math>;

<pb 476>[496]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
atque $imiliter in Regula pro 4<_>or</_> dimen$ionibus, $i <math>{$ / b} - b</math>
reperiatur <math>= o</math>, $ed non perinde <math>r - bp = o</math>: quòd tum
inquam valor a$$umptus ip$ius <math>b</math>, quò hoc contingit,
nobis in$ervire non po$$it.</p>
<h it>Exempla 1<_>mi</_> Ca$us.</h>
<p>Proponatur inquirendum, an hæc æquatio
<math>x^6 - 3 x^5 + 7 x^4 - 5 x^3 + 4 xx^* + 8 = o</math>
dividi po$$it per æquationem rationalem 2 dimen$ionum, in qua
nulli termini deficiant.</p>
<tb math>
Cum igitur hîc # p $it # = # - 3
 # q # = # 7
 # r # = # -5
 # s # = # 4
 # t # = # o
 # v # = # 8</tb>
<p>erit <math>y = # {pb - {t / b} / 2b - {{2v / b} / b}} # 🜶 √ # <ol>{pb - {t / b} / 2b - {{2v / b} / b}} # □^tè # {+ s - {v / b} + bb - qb / b - {{v / b} / b}}</ol></math>
æqualis
<math>{-3b / 2b - {{16 / b} / b} # 🜶 √ # <ol>{ - 3b / 2b - {{16 / b} / b} # □^tè # {4 - {8 / b} + bb - 7^b / b - {{8 / b} / b}</ol>.</math>
Divi$ores autem ultimi Termini, $eu valores ip$ius <math>b</math> $unt
<tb math>
+ 1, # vel # - I
+ 2, # # - 2
+ 4, # # - 4
+ 8, # # - 8.
</tb>
Hinc $i primò $umatur <math>b = + 1</math>, poterit radix ex
<math><ol>{- 3b / 2b - {{16 / b} / b}} # □^tè # {4 - {8 / b} + bb - 7^b / b - {{8 / b} / b}}</ol></math> extrahi, inveniturque
<math>y = - 1</math>, $ed æquatio propo$ita non poterit dividi per <math>xx

<pb 477>[497]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
- 1x + 1 = o</math>, ac proinde tran$eo ad <math>b = + 2</math>, $ed
cum $ic <math>b</math> fiat <math>= √ C. v</math>, deberet, juxta determinatio-
nes $uperiores, <math>y</math> e$$e <math>= {- $ + q √ C. v / p √C. v - {t / √ C. v}}</math>, hoc e$t, <math>= {+ 10 / - 6}</math>. Id
quod cum fractio exi$tat, tran$eo ad <math>b = + 4</math>, atque inde obti-
neo <math>y = {- 12 / + 7} 🜶 {2/7}</math>, hoc e$t, <math>y = - 2</math>, aut <math>= - {10/7}</math>. Quorum qui-
dem non ni$i <math>y = - 2</math> retinendum e$t, adeoque divi$io tentanda
per <math>xx + yx + b = xx - 2x + 4 = o</math>. Hæc autem procedere
comperitur, oritur namque pro quotiente <math>x^4 - 1 x^3 + 1 xx +
1x + 2 = o</math>.</p>
<p>Eodem modo, $i examinare velimus hanc æquationem
<math>x^6 + 1 x^5 + 1 x^4 - 2 x^3 + 2xx + 4x + 8 = o</math>: quoniam <math>p</math>
e$t <math>= I, q = 1, r = - 2, $ = 2, t = 4, & v = 8</math>, invenitur
<math>y = # {1b - {4 / b} / 2b - {{16 / b} / b}} # 🜶 √ # <ol>{1b - {4 / b} / 2b - {{16 / b} / b}} # □^tè # {+ 2 - {8 / b} + bb - b / b - {{8 / b} / b}}</math>.
Sumendo autem <math>b = + 1</math>, non poterit √ Q. extrahi; quocirca
tran$eo ad <math>b = + 2</math>, invenioque <math>b</math> fore <math>= √ C. v, ac b = √ {t / p}</math>, ut
& <math>b = {$ / q}</math>. Vnde fit ut juxta dictam determinationem valorem
quæram ip$ius <math>y</math> per hanc æquationem
<math>y^3 - pyy # + {$ / √ C. v} y + 2 p \\ - 3 √C. v - r # √C. v = o</math>,
hoc e$t, <math>y^3 - 1yy - 5y + 6 = o</math>.</p>
<p>Equa æquatione pro _y_ nullus valor rationalis invenitur præter
2, ac proinde divi$io tentanda relinquitur per <math>xx + yx + b = xx
+ 2x + 2 = o</math>. Comperitur autem fieri po$$e, oritur enim pro
quotiente <math>x^4 - 1 x^3 + 1xx - 2x + 4 = o</math>.</p>
<h it>Exempla 2<_>di</_> Ca$us.</h>
<p>E$to examinandum, an hæc æquatio
<math>x^6* + 1 x^4 + 3 x^3 + 6 xx + 3 x - 4 = o</math>
dividi po$$it per æquationem rationalem 3 dimen$ionum, in qua
nulli termini deficiant.</p>

<pb 478>[498]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
<p><tb math>
Cum hîc # p $it # = # o
 # q # = # 1
 # r # = # 3
 # s # = # 6
 # t # = # 3
 # v # = # - 4,
</tb>
crit <math>v^3 # {- {pv / b } - 2pb / {v / b} + b } # yy # {+ ppb - 2t / {v / b} + b \\ + q y} # y # {<ol>- {v / b} + b</ol> in r, <ol>- qb + t</ol> in p / {v / b} + b \\ {v / b} - b }</math>
æqualis
<math>y^3* # { + Iy \\ - 6 / - {4 / b} + b} # y # {<ol>{4 / b} + b</ol> in 3 / - {4 / b} + b \\ - {4 / b} - b} # = o</math>.
Divi$ores ultimi Termini, $eu valores ip$ius <math>b</math>, qui $oli $unt con$i-
derandi, $unt <math>+ 1, vel - 1, vel + 2</math>. Vnde $umendo <math>b = + 1</math>, obti-
nebitur <math>y^3 * + 3 y^* - 10 = o</math>. Sed cum <math>y</math> hujus æquationis nul-
lum valorem rationalem admittat, tran$eo ad alium, nempe <math>+ 2</math>.
Cum autem $ic <math>{v / b} + b</math> fiat <math>= o</math>, atque etiam <math>p $it = o</math>, erit, juxta
dictam determinationem, <math>y = {rb / t}</math>, hoc e$t, <math>y = 2</math>. At quoniam
pro <math>z = {y^3 - pyy + qy + {v / b} + b - r / 2y - p}</math> invenitur fractio, tran$eo
demum ad <math>b = - 1</math>, atque hinc obtineo <math>y^3* - 1 y* = o</math>, hoc
e$t, <math>y = + 1</math>, & <math>y = - 1</math>. E quibus tandem inveniendus $upere$t
valor ip$ius <math>z</math>. Quocirca $i primùm $umatur <math>y = + 1</math>, invenietur
inde <math>z = 1</math>, & <math>x^3 + yxx + zx + b = x^3 + 1xx + 1x - 1 = o</math>.
Per quam æquationem Propo$ita dividi pote$t, oritur enim pro
quotiente <math>x^3 - 1xx + 1x + 4 = o</math>. Quòd $i autem per eam
dividi non potui$$et, ut nec per aliam, ubi <math>y</math> e$t <math>= - 1</math>, æquatio
Propo$ita dicto modo non divi$ibilis fui$$et, quandoquidem $ic
omnes ip$ius <math>b</math> valores examini $ubjeci$$emus.</p>

<pb 479>[499]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<p>Similiter examinaturi hanc æquationem
<math>x^6 - 6 x^5 + 25 x^4 - 36 x^3 + 3 xx + 16x - 28 = o</math>,
in qua <math>p e$t = - 6, q = 25, r = - 36, $ = 3, t = 16, v = - 28</math>,
& <math>b = + 1</math> vel <math>- 1</math>, aut <math>+ 2</math> vel <math>- 2</math>, aut <math>+ 4</math> vel <math>- 4</math>, (negle-
ctis $cilicet reliquis divi$oribus, radicem quadratam ultimi termi-
ni excedentibus:) inveniemus, faciendo, ut ante, periculum cum
unoquoque valore ip$ius <math>b</math>, $i pro <math>b</math> a$$umitur <math>- 2</math>, æquationem
hanc <math>y^3 + 5 yy + 16 {1/3} y + 31 = o</math>, in qua <math>y</math> admittit tantum-
modo unum valorem rationalem, qui integer numerus e$t nem-
pe <math>- 3</math>. Per hunc autem quæro valorem ip$ius <math>z</math>. Sed cum hîc
<math>2 y $it = p, & y^3 - pyy + qy + {v / b} + b - r = o</math>, non po$$um eun-
dem per hanc æquationem <math>z = {y^3 - pyy + qy + {v / b} + b - r / 2y - p}</math> in-
venire, quo circa illum quæro per hanc <math>z = {t + byy - qb / {v / b} - b}</math>, atque
invenio <math>z = 3</math>, &
<math>x^3 + yxx + zx + b = x^3 - 3xx + 3 x - 2 = o</math>.
Per quam igitur examinando an Propo$ita dividi queat, compe-
rietur divi$ionem fieri po$$e, orieturque pro quotiente <math>x^3 - 3xx
+ 13 x + 14 = o</math>. Si verò in hoc ultimo exemplo, ubi <math>2y e$t = p</math>,
non fui$$et <math>y^3 - pyy + qy + {v / b} + b - r = o</math>, oportui$$et tran$ire
ad alium valorem ip$ius <math>b</math>.</p>
<p>Vbi notandum per has Regulas pro æquationibus 4, 5, & 6 di-
men$ionum non $olùm $ciri po$$e, an Propo$ita aliqua æquatio per
aliam rationalem, in qua omnes Termini extant, divi$ibilis $it;
$ed etiam utrum ip$a divi$ibilis $it per rationalem, in qua aliquis
Terminus deficiat. Verùm cum idem faciliùs cogno$ci queat per
XI Regulam, hanc iis duntaxat æquationibus, in quibus nulli
termini deficiunt, applicare volui.</p>
<p>2. Quoniam autem u$us harum Regularum vel eo major e$t,
quo pauciores divi$ores ultimus Terminus Propo$itæ æquationis
admittit, haud incon$ultum fuerit hîc adjungere modum, quo
plerumque levi negotio Propo$itam æquationem in aliam tran$-
mutare licet, in qua ultimus Terminus pauciores habeat dimen-
$iones, quæque indivi$ibilis $it $i Propo$ita $it indivi$ibilis, at di-

<pb 480>[500]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
vi$ibilis, $i Propo$ita divi$ibilis fuerit, & ex cujus æquationibus
ip$am dividentibus facilè quoque inveniri po$$int æquationes,
Propo$itam dividentes.</p>
<p>A$$umpto in hunc finem valore aliquo pro <math>x</math>, ut lu-
bet, eoque $ubrogato ubique in locum <math>x</math>, quærantur
divi$ores omnes aggregati omnium terminorum; &, $i
divi$ores hi non pauciores numero fuerint divi$oribus
ultimi Termini æquationis Propo$itæ, $umatur rur$us
alius valor pro <math>x</math>, exploreturque num hinc aggregatum
pauciorum divi$orum inveniatur; quòd $i non fiat, de-
nuò pro <math>x</math> alius valor a$$umendus e$t, idque tam diu
continuetur, donec inde aggregatum re$ultet, quod
pauciores divi$ores habeat. Quo peracto, ponatur
<math>x = z</math>, + a$$umptoip$ius <math>x</math> valore, huju$modi aggrega-
tum pauciorum divi$orum $uggerente, atque hîc va-
lor <math>z + &c</math>. ubique in locum <math>x</math> $ub$tituatur, obtinebi-
turque alia æquatio, in qua <math>z</math> erit incognita quantitas,
& ultimus Terminus dictum aggregatum inventum
pauciorum divi$orum; ita ut hæc æquatio talis $utura
$it, qualis requiritur, nimirum indivi$ibilis $i Propo-
$ita indivi$ibilis $it, at divi$ibilis $i Propo$ita divi$ibilis
fuerit.</p>
<p>Exempli gratiâ, e$to invenienda eju$modi æquatio loco hujus
<math>x^5 + 2 x^4 - 58 x^3 - 49 xx - 50 x - 600 = o</math>.
Sumatur <math>x = 1</math>, fietque <math>x^5 = + 1
 # + 2 x^4 = + 2
 # - 58 x^3 = . . - 58
 # - 49 xx = . . - 49
 # - 50 x = . . - 50
 # - 600 = . . - 600</math>,
& <math>x^5 + 2 x^4 - 58 x^3 - 49xx - 50 x - 600 = <ol>+ 3 - 757</ol></math>, hoc
e$t, <math>= - 754</math>. cujus quidem numeri divi$ores multò pauciores
exi$tunt quàm ip$ius <math>- 600</math>.</p>
<p>Hinc ponendo <math>x = z + 1</math>,

<pb 481>[501]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<tb math>
erit # x^5 = z^5 + 5 z^4 + 10 z^3 + 10zz # + 5z # + 1
 # + 2 x^4 = # + 2 z^4 + 8 z^3 + 12 zz # + 8z # + 2
 # - 58 x^3 = # - 58 z^3 - 174zz - 174z - 58
 # - 49 xx = # # - 49 zz - 98 z - 49
 # - 50 x = # # # - 50z - 50
 # - 600 = # # # # - 600,
 # # & z^5 + 7 z^4 - 40 z^3 - 201zz - 309z - 754 = o.
</tb>
Quæ æquatio per præcedentes Regulas examinata divi$ibilis re-
peritur per <math>zz + 3z - 58 = o</math>, ac proinde cum <math>x $it = z + 1</math>,
erit <math>z = x - 1</math>. Vnde $i in locum <math>z</math> $ubrogetur <math>x - 1</math>, obtinebi-
tur <math>zz + 3z - 58 = xx + 1 x - 60 = o</math>. per quam itaque
Propo$ita quoque æquatio divi$ibilis erit.</p>
<p>Quòd $i autem po$t primam po$itionem ip$ius <math>x = + 1</math> obti-
nui$$emus aggregatum, quod nobis non in$ervii$$et, id e$t, quod
non pauciores aut adhuc nimis multos divi$ores admi$i$$et, pone-
re potui$$emus <math>x = - 1</math>; quòd $i verò & hinc quæ$itum aggre-
gatum nondum inveni$$emus, ponere po$$emus <math>x = + 2</math>; dein-
de <math>x = - 2</math>, atque ita porrò; vel etiam po$$emus nonnullos ter-
minos $upponere <math>= o</math>, $i aliqui fuerint è quibus idonea quantitas
pro <math>x</math> inveniri po$$et. Exempligratiâ, po$$emus in æquatione al-
lata duos priores terminos <math>x^5 + 2 x^4</math> $upponere <math>= o</math>, atque $ic in-
venire <math>x = - 2</math>, quærendo tantùm ulteriùs aggregatum reliquo-
rum Terminorum <math>- 58 x^3 - 49xx - 50x - 600</math>. Porrò,
quod hîc de æquationibus numeralibus diximus, idem quoque
locum obtinet in literalibus. Si enim, verbi gratiâ, habeatur æqua-
tio literalis hæc <math>x^5 * - 6 ab x^3 + 30 aabxx # - 24 a^3 bx \\ + 10a^4 # + 120ab^4 = o</math>,
ponere po$$umus <math>x = + a, vel x = - a, vel x = + b, vel x = - b</math>, &c.
vel etiam $upponere terminos aliquos <math>= o</math>, ut <math>- 6 ab x^3 = + 30
aabxx</math>, prout vi$um fuerit.</p>
<p>3. Verùm enimvero magnum hîc commodum in literalibus æ-
quationibus elucet: Nam _non tantùm, cùm boc aggregatum_
_nullos divi$ores præter unitatem ac $e ip$um admittit_
(quos quidem divi$ores in æquationibus literalibus, ubi omnia cu-
ju$que termini membra eundem dimen$ionum numerum habent,
quemadmodum in his de quibus agimus, prætermittere $oleo, cum
nulla divi$io per eos fieri po$$it), _manife$tum e$t, æquatio-_

<pb 482>[502]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
_nem Propo$itam per aliam rationalem, in qua $ive omnes_
_$ive non omnes termini extant, & $ive unius $ive Plurium_
_e$t dimen$ionum, penitus e$$e indivi$ibilem; Sed præterea_
_etiam liquet, æquationem Propo$itam nunquam fore di-_
_vi$ibilem per æquationem rationalem, cujus dimen$ionum_
_numerus non congruit cum dimen$ionum numero alicu-_
_jus ex divi$oribus ultimi Termini vel dicti aggregati_.
Quocirca $i æquatione exi$tente 6 dimen$ionum divi$ores non
ni$i 1 & 5 dimen$ionum fuerint, erit ea indivi$ibilis per æquatio-
nem 2, 3, & 4 dimen$ionum; & $i divi$ores tantùm 2 & 4 dimen-
$ionum fuerint, erit ip$a indivi$ibilis per æquationem 1, 3, &
5 dimen$ionum, atque ita de omnibus aliis.</p>
<p it>It a ut per hanc con$ider ationem non tantùm multi ca-
$us re$ecari queant, quando æquatio per aliam rationa-
lem divi$ibilis e$t; $ed etiam $i inquirere velimus, num
Propo$ita aliqua æquatio rationalis per aliam rationa-
lem divi$ibilis $it, poterit $æpi$$imè parvo admodum la-
bore indivi$ibilitas, $i ea $it indivi$ibilis, cogno$ci.</p>
<p>Si enim, exempli causâ, proponatur æquatio
<math>x^5* - 6abx^3 + 30aabxx # - 24a^3bx \\ + 10 a^4 # + 120 ab^4 = o</math>,
<tb math>
ponaturque x = a, obtinebitur x^5 = + a^5
 # - 6ab x^3 = . . . - 6 a^4 b
 # + 30 aabxx = + 30a^4b
 # + 24 a^3 b x = . . . - 24 a^4 b
 # + 10 a^4 x = + 10 a^5
 # + 120 a b^4 = + 120 a b^4
 # & fit aggregatum + 11a^5 + 120 ab^4.
</tb>
Cujus divi$ores (omi$$is unitate ac ip$o aggregato) tantùm $unt
<math>+ a, - a, 11 a^4 + 120 b^4, & - 11 a^4 - 120 b^4</math>, unius $cilicet
& 4<_>or</_> dimen$ionum: ita ut Propo$ita æquatio, $i per rationalem
unius dimen$ionis divi$ibilis non fuerit, penitus per rationalem
futura $it indivi$ibilis. Quoniam autem hîc <math>x e$t = z + a</math>, addi
debet <math>a</math> divi$oribus <math>+ a, & - a</math>, ad habendos valores ip$ius _x_,
idcirco tantummodo <math>x - 2a = o</math> pro divi$ore a$$umi po$$et. Sed

<pb 483>[503]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
per hunc æquatio Propo$ita non e$t divi$ibilis, quare illa etiam
per nullam æquationem rationalem dividi poterit. Quod $i juxta
unam po$itionem non ita accidi$$et, facilè fuerit aliam in$tituere,
ponendo <math>x = b, vel = - a, vel = - b</math>, &c. Etrarò continget,
quin per hanc tran$mutationem æquationis Propo$itæ in aliam
aliquod commodum con$equuturi atque operæ plurimùm $ub-
levaturi $imus.</p>
<h>XVIII. _REGVLA_,</h>
<p it>Zuæ modum docet reducendi omnem æquationem $i-
ve liter alem $ive numer alem, & quæ ex multiplica-
tione duarum aliarum, quarum ultimi Termini $unt
quantitates rationales, fractioneque carentes, pro-
duci po$$unt.</p>
<p>Hæc Regula parùm à præcedenti differt, ni$i quòd $e latiùs
extendat, & per hanc quoque Reductiones eju$modi æquatio-
num $emper inveniri po$$int, quæ ex duabus aliis, $ive rationales,
$ive irrationales $int, produci po$$unt, hoc tantùm excepto, quòd
ultimi earum termini $int quantitates rationales: cum præcedens
Regula $e $olùm extendat ad æquationes, quæ non ni$i ex ratio-
nalibus produci po$$unt: ideoque tantùm opùs e$t, ut $olummo-
do ii$dem Regulis utamur, omnibus illis particularibus relictis,
quæ originem duxerunt ex eo, quòd nece$$e $it, ut illæ æquatio-
nes, ex quibus Propo$ita æquatio produci pote$t, $int rationales,
quod hîc non requiritur. Exempli loco $it prima</p>
<p>R<sc>EGVLA PRO</sc> Æ<sc>QVATIONIBVS</sc> 4<_>or</_> <sc>DIMENSIO-
NVM</sc>.</p>
<p>Si æquatio Propo$ita divi$ibilis $it peraliam, plures
quàm unam dimen$ionem habentem, in qua nullus
terminus deficiat, & cujus ultimus terminus $it ratio-
nalis; erit ea divi$ibilis per
<math>xx + {r - bp / {s / b} - b } x + b = o</math>.

<pb 484>[504]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
Excepto tantùm, cum <math>{s / b} e$t = b</math>, ac $imul <math>r = bp</math>, id e$t,
<math>b = 🜶 √$, & b = {r / p}</math>, tunc enim divi$ibilis erit per
<math>xx + <ol>{1/2} p 🜶 <r>{1/4}pp + 2b - q</r></ol></math>, in <math>x, + b = o</math>.
ubi patet _$_ nunquam e$$e po$$e <math>= bb</math>, ni$i _$_ quadratum
fuerit, ac <math>r</math> per <math>p</math> dividi po$$it.</p>
<p>2. Sufficit etiam illos $olùm divi$ores ultimi termini,
qui ip$ius radicem quadratam non excedunt, con$ide-
rare, &c.</p>
<p>Exempli gratiâ, examinaturus hanc æquationem
<math>x^4 - 2ax^3 # + 2aaxx \\ - cc # - 2a^3x + a^4 = o</math>:
quoniam <math>p = - 2 a, q = 2 aa - cc, r = - 2a^3, $ = a^4</math>, hinc @rit
<math>xx + {r - bp / {s / b} - b} x + b = xx {- 2a^3 + 2ab / {a^4 / b} - b} x + b = o</math>.
Sunt autem divi$ores ultimi Termini, $eu valores ip$ius <math>b, + aa &
- aa</math>. Vnde $umendo <math>b = aa</math>, obtinebitur <math>{a^4 / b} - b = o</math>, ac etiam
<math>- 2 a^3 + 2ab = o</math> (hoc e$t, <math>{s / b} = b</math>, & $imul <math>r = bp</math>.) ac proinde
tentanda erit divi$io per <math>xx + {1/2} p x 🜶 <r>{1/4}pp + 2b - q</r>, x, + b
= o</math>, hoc e$t, per <math>xx - ax + <r>aa + cc</r>, x, + aa = o</math>, vel per
<math>xx - ax - <r>aa + cc</r>, x, + aa = o</math>: Quæ divi$io per utram-
que $uccedit.</p>
<p>Ita etiam $e res habet in</p>
<p>R<sc>EGVLA PRO</sc> Æ<sc>QVATIONIBVS</sc> 5<_>que</_> <sc>DIMEN-
SIONVM</sc>.</p>
<p>Si enim æquatio Propo$ita 5 dimen$ionum divi$ibi-
lis $it per aliam plures quàm unam dimen$ionem ha-
bentem, in qua nullus terminus deficiat, cuju$que ul-
timus terminus $itrationalis; erit ea divi$ibilis per
<math>xx - <ol>{{t / b} / 2b} + {1/2}p 🜶 √ <ol>- {{t / b} / 2b} + {1/2}p □^tè</ol>. - q + b + {s / b}</ol></ol> in x, + b = o</math>.</p>

<pb 485>[505]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM.</sc></rh>
<p>Et$ic porrò de cæteris Regulis, tantùm, uti dictum e$t, omni-
bus illis particularibus relictis, quæ originem duxerunt ex eo,
quòd nece$$e $it, utillæ æquationes ex quibus Propo$ita æquatio
produci pote$t, illic $int rationales, quod $olùm hîc non requi-
ritur.</p>
<p>Animadvertendum quoque e$t, hanc Regulam $e non $olùm
extendere ad æquationes, in quibus nec $igna radicalia, nec Fra-
ctiones inveniuntur, (quemadmodum præcedens illis tantùm
quadrat,) $ed quoque ad illas, in quibus & radicalia $igna & Fra-
ctiones reperiuntur, hoc tantùm excepto, quòd non $int in ulti-
mo Termino, ut antea dictum.</p>
<p>Denique notandum e$t, quòd idem etiam $equenti modo inve-
niri po$$it.</p>
<h>R<sc>EGVLA PRO</sc> Æ<sc>QVATIONIBVS S DIMEN-
SIONVM.</sc></h>
<p>Quære communem divi$orem duarum æquationum,
<math>yy # + {t / bb} \\ - p # y # + q \\ - b \\ - {s / b} # = 0, & yy # - {$b / t} \\ + {b^3 / t} # {y - bbp - t + rb / {t / b}} = o</math>,
& per eum, valorem ip$ius <math>y</math>; eritque Propo$ita æquatio
divi$ibilis per <math>x x + y x + b = o</math>.</p>
<h>R<sc>EGVLA PRO</sc> Æ<sc>QVATIONIBVS 6 DIMEN-
SIONVM</sc>.</h>
<p>Si Propo$ita æquatio divi$ibilis e$t per
<math>x x + y x + b = o</math>,
quæratur communis divi$or duarum æquationum,
<math>b y y - {v / bb} y y # - p b y \\ + {t / b} # - $ \\ + {v / b} \\ - bb \\ + qb # = o, & y^3 - p yy # + qy - r = o \\ - 2b + pb \\ - {v / bb} + {t / b}</math>,
& per eum, valor ip$ius y.</p>

<pb 486>[506]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST.</sc> I.</rh>
<p>Si Propo$ita æquatio e$t divi$ibilis per <math>x^3 + yxx +
zx + b = o</math>, po$$unt per eandem methodum, quâ
priores æquationes inventæ $unt, etiam inveniri duæ
aliæ, altera trium, altera 4<_>or</_> dimen$ionum, quarum
communi divi$ore invento, per eum valor incognitæ
quantitatis <math>y</math> inveniri pote$t; valor verò ip$ius z quæra-
tur eodem modo, quo antea. Eadem e$t ration in altio-
ribus æquationibus.</p>
<p>Sed $i nullus inveniatur communis divi$or, a$$um-
ptum valorem ip$ius <math>b</math> relinquo, & alium a$$umo. Et
$i omnes termini alterius æquationis $e invicem tol-
lant, per alteram inveniendus e$t valor ip$ius _y_.</p>
<h>XIX. _R<sc>EGVLA</sc>,_</h>
<p it>Luæ modum docet reducendi omnem æquationem
rationalem Fractione & 2<_>de</_> termino carentem, quæ
dividi po$$it per aliam cujus 2<_>dus</_> terminus $it rationa-
lis, &c.</p>
<p>Primùm inquiro per XI Regulam, an Propo$ita æ-
quatio divi$ibilis $it per aliam in qua non omnes ter-
mini extant; quod $i fieri nequit, erit divi$ibilis per a-
liam in qua omnes termini extant, quam $equenti mo-
do invenio. I<_>mo.</_> Experior num dividi po$$it per <math>x</math> + vel
- aliquo divi$ore ultimi Termini; $i neque hoc $ucce-
dat, facio æquationem eju$dem formæ, quam multi-
plicatione deduco ex tot aliis paribus, quot paria ita
$umi queunt, ut productum totidem habeat dimen-
$iones quot Propo$ita æquatio, non annumerando æ-
quationem unius tantùm dimen$ionis. Exempli gratiâ,
$i æquatio Propo$ita habeat 8 dimen$iones, con$idero
duas æquationes, habentes 2 & 6, 3 & 5, 4 & 4 dimen-
$iones; aut, $i 9 dimen$iones habeat, duas, quæ 2 & 7,
3 & 6, 4 & 5 dimen$ionum fuerint, ex quarum multi-

<pb 487>[507]<rh><sc>DE REDVCTIONE ÆQVATIONVM.</sc></rh>
plicatione Propo$ita po$$et produci. 3<_>tiò</_>. Po$t hæc
tran$muto Propo$itam æquationem in aliam, cujus in-
cognita quantitas de$ignet quantitatem 2<_>di</_> Termini,
unius harum duarum æquationum, quæ, ($i inæqua-
lium dimen$ionum fuerint,) pauciores dimen$iones
habeat, 4<_>tò</_>. Po$tremò inquiro num inventa æquatio
divi$ibilis $it per incognitam quantitatem + vel - ali-
quo divi$ore ultimi $ui Termini. &c.</p>
<p>Sumamus, verbi gratiâ, hanc æquationem 6 dimen$ionum,
<math>x^6* + 9 x^4 + rx^3 + $xx + tx + v = o,</math>
in qua <math>q</math> de$ignet quantitatem cognitam tertii termini $uis $ignis
+ & - adfectam; <math>r</math> quarti; <math>$</math> quinti; <math>t</math> $exti; & <math>v</math> ip$um ulti-
mum terminum: Et quam $uppono indivi$ibilem per aliam æ-
quationem, in qua unus aut plures Termini deficiunt, ut & per <math>x</math>,
+ vel - aliquo divi$ore ultimi Termini.</p>
<p>Primò itaque inquiro utrum ip$a divi$ibilis $it per æquatio-
nem 2 dimen$ionum, in qua omnes termini extant, hoc pacto:</p>
<tb math>
x^4 - yx^3 + zxx + kx + l # = o
xx + yx + w # = o
x^6 - y x^5 + z x^4 + k x^3 + lxx
 # + y # - yy # + yz # + yk # + ylx
 # # + w # - wy # + wz # + wk # + wl
x^6 # * # + q x^4 # + r x^3 # + $xx # + t x # + v # = o.
</tb>
<p>Vnde hæ 5 æquationes re$ultant</p>
<tb>
1<_>ma</_>. # <math>z - yy + w = q</math>
2<_>da</_>. # <math>k + yz - wy = r</math>
3<_>tia</_>. # <math>l + yk + wz = $</math>
4<_>ta</_>. # <math>yl + wk # = t</math>
5<_>ta</_>. # <math>wl # = v.</math>
</tb>
<p>Per I<_>mam</_> fit <math>z = q + yy - w</math>, qui valor $i in locum ip$ius <math>z</math> in
reliquis æquationibus $ubrogetur, habebitur</p>
<tb math>
pro # 2<_>dà</_>. # <math>k + qy + y^3 - 2wy = r</math>
 # 3<_>tiâ</_>. # <math>l + yk + qw + yyw - ww = $</math>
 # 4<_>tâ</_>. # <math>yl + wk = t</math>
 # 5<_>tâ</_>. # <math>wl = v.</math>
</tb>

<pb 488>[508]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST.</sc> I.</rh>
<p>Per 2<_>dam</_> fit <math>k = r - qy - y^3 + 2wy,</math> qui valor in locum ip$ius <math>k</math>
in reliquis æquationibus $ub$titutus dat</p>
<tb>
pro # 3<_>tiâ</_>. # <math>l + ry - qyy - y^4 + 3wyy + qw - ww= $</math>
 # 4<_>tâ</_>. # <math>yl + rw - qwy - y^3 + 2wwy = t</math>
 # 5<_>tà</_>. # <math>wl = v.</math>
</tb>
<p>Per 3<_>tiam</_> fit <math>l = $ - ry + qyy + y^4 - 3wyy - qw + ww<x>2</x></math>
qui valor in reliquis æquationibus $ub$titutus dat</p>
<tb>
pro # 4<_>tâ</_>. # <math>$y - ryy + q y^3 + y^5 - 4w y^3 - 2qwy + 3wwy + rw = t</math>
 # 5<_>tâ</_>. # <math>$w - ryw + qyyw + y^4 w - 3wwyy - qww + w^3 = v.</math>
</tb>
<p>Per 4<_>tam</_> æquationem invento valore ip$ius <math>w w</math> (aut ip$ius
3 <math>w w</math>), $ub$tituo ip$um in locum <math>w w</math> (aut 3 <math>w w</math>) in 5<_>ta</_> æqua-
tione, obtineoque 6<_>tam</_> æquationem, in qua <math>w</math> tantùm I dimen-
$ionem habet, nimirum:
<tb math>
w= # s y^3 + 6q y^6 - 4r y^5 + 5$ y^4 + qq y^4 - st y^3 - rryy + q$yy - qvyy - qty + $ry - tr
 # # 14 y^6 + 8q y^4 + sr y^3 + 2qqyy - 6$yy + qry - 3ty - rr
</tb>
Qui valor $i jam in 4<_>ta</_> æquatione in locum <math>w</math> $ubrogetur, habe-
bitur proip$a
<tb math>
y^15 * + 49 y^13 - 2r y^12 + 6qq y^11 + 10t y^10 - 2q$ y^9 + 12qt y^s - 3rt y^7 + 10$t y^6
 # # - 2$ # - 6qr # - 26v # + 6r$ # - 24qv # - 30rv
 # # # # + 49^3 # - 6qqr # - 7$$ # + 2qqt
 # # # # # # + 2qq$ # + 49r$
 # # # # # # + q^4 # + 2 r^3
 # # # # # # # - 2 q^3 r
 # - 12tt y^3 # + 2q$t y^4 # - 5qtt y^3 # - 6rttyy # - qqtty # - qrtt = o.
 # + 6qrt # - 6qrv # + 7r$t # + 2 r^3$ # + 3$tt # + t^3
 # - 18qqv # - 6rrt # + 3rrv # # + qr$t # + rr$t
 # - 6q$$ # + 8r$$ # + qqrt # # + 3qrrv # - r^3 v
 # - 6rr$ # - 2qqr$ # - 4 q^3 v # # - 9rtv
 # + 2 q^3 $ # + 2q r^3 # + qq$$ # # - r^3 t
 # + 54$v # - 18tv # + 18q$v # # - rr$$
 # # # - 4 $^3
 # # # - 2qrr$
 # # # - r^4
 # # # - 27vv
</tb>
Hæc autem æquatio ea e$t, quæ juxta Regulam erat quærenda,
nempe in qua <math>y</math> de$ignat quantitatem $ecundi Termini hujus æ-
quationis <math>xx + yx + w = o,</math> quæ una e$t duarum, ex quarum
multiplicatione Propo$ita $upponitur e$$e producta, quæque pau-
ciores habet dimen$iones.</p>
<p>Nunc verò inquirendum re$tat, num hæc æquatio divi$ibilis $it
per <math>y + vel -</math> aliquo divi$ore ultimi Termini <math>- qrtt + t^3 +
rr$t - r^3 v</math>; Si enim divi$ibilis $it, erit quoque <math>w</math> cognita, po-

<pb 489>[509]<rh>Æ<sc>QVATIONVM RESOLVTIONE</sc>.</rh>
teritque Propo$ita æquatio dividi per <math>xx + yx + w = o.</math> Inveni-
tur namque valor ip$ius <math>w</math> per quartam æquationem
<math>{$y - ryy + q y^3 + y^5 - 4w y^3 - 2qwy + 3wwy + rw = t / ww # = {4/3}yyw \\ {2/3} q \\ - {1/3} r # + {t / 3y} # {- $ + ry - qyy - y^4. / 3}}</math>
Vel ip$a inveniri quoque pote$t per 5<_>tam</_>; ut & per 6<_>tam</_>, cùm
5<_>ta</_> per 4<_>tam</_> non e$t divi$ibilis.</p>
<p>Quòd $i jam hæc æquatio 15 dimen$ionum non fuerit divi$ibi-
lis per <math>y</math> + vel - aliquo divi$ore ultimi Termini, poterimus rur-
$us eodem modo æquationem eju$dem formæ facere, $upponen-
do Propo$itam e$$e productam per multiplicationem duarum a-
liarum, quæ $ingulæ 3 dimen$iones habeant, inve$tigando æqua-
tionem, in quâ incognita quantitas rur$us de$ignet quantitatem
2<_>di</_> termini alterutrius harum æquationum. Hæc autem a$cen-
det ad 20 dimen$iones, $ed ubique parium erit dimen$ionum; ita
ut hîc divi$io tunc exploranda $it per incognitæ quantitatis qua-
dratum + vel - aliquo divi$ore ultimi Termini.</p>
<p>Haud $ecus $i Propo$ita æquatio $it 5 aut 4 dimen$ionum, at-
que con$tet ip$am dividi non po$$e per aliam æquationem in qua
unus plure$ve Termini deficiant, nec per <math>x + vel -</math> aliquo divi-
$ore ultimi Termini, erit ea divi$ibilis per æquationem 2 dimen-
$ionum, in qua omnes Termini extant. Itaque ex hac æquatio-
ne 5 dimen$ionum
<math>x^5* + q x^3 + rxx + $x + t = o,</math>
$i $olummodo in operatione præcedenti ponamusl & <math>v = o</math>, in-
veniemus
pro 3<_>tiâ</_>. <math>ry - qyy - y^4 + 3wyy + qw - ww = $,</math>
& pro 4<_>tâ</_>. <math>rw - qwy - y^3w + 2wwy = t.</math>
Per 3<_>tiam</_> autem valor ip$ius <math>ww e$t = ry - qyy - y^4 + 3wyy
+ qw - $</math>, qui valor in locum ip$ius <math>ww</math> $ub$titutus in 4<_>ta</_> dabit
pro 5<_>tâ</_>. <math>w = {- 2ryy + 2q y^3 + 2 y^5 + 2$y + t / r + 5 y^3 + qy}</math>.</p>
<p>Porrò $ubrogato hoc valore ubique in locum ip$ius <math>w</math> in 3^tia,
obtinebitur

<pb 490>[510]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST.</sc> I.</rh>
<math>y^10* + 3q y^8 - r y^7 # + 3qq y^6 \\ - 3 $ # - 2qr y^5 \\ + 11 t # - 2q$ y^4 \\ - rr \\ + q^3 # + 4$r y^3 \\ + 4q5 \\ - qqr # - 4$$yy \\ + 7rt \\ + qq$ \\ - qrr # - 4$ty \\ + r^3 \\ + tqq # - tt = o \\ - rr$ \\ + tqr.</math>
Et hæc e$t æquatio quæ in$ervit dividendis æquationibus 5 di-
men$ionum, quæ quærebatur.</p>
<p>Pro æquationibus autem quatuor dimen$ionum, utpote
<math>x^4* + qxx + rx + $ = 0</math>, concipiendo <math>k, l, t, & v = o</math>, in-
venio
pro 2<_>dâ</_>. <math>qy + y^3 - 2wy = r</math>,
& pro 3<_>tiâ</_>. <math>qw + yyw - ww = $</math>.</p>
<p>Ponendo jam valorem ip$ius <math>w = {qy + y^3 - r / 2y}</math> in 3<_>tiâ</_>, obtine
bitur
<math>y^6 + 2qy^4 # + qqyy \\ - 4$ # - rr = 0.
Quæ æquatio erit divi$ibilis per <math>yy</math>, + vel - aliquo divi$ore ul-
timi Termini, atque æquatio Propo$ita <math>x^4* + qxx + rx + $ = 0</math>
per <math>xx + yx + w = 0</math>, ut & per <math>xx - yx + z = 0</math>; hoc e$t,
per <math>xx + yx + {1/2}q + {1/2}yy - {r / 2y} = 0</math>,
& <math>xx - yx + {1/2}q + {1/2}yy + {r / 2y} = 0</math>.</p>
<p>Vbi notandum, hanc Regulam, quâ omnes reducibiles æqua-
tiones Quadrato-quadratæ reduci po$$unt, e$$e planè eandem
cum illa, quam D. des Cartes pag. 79, 80, & 81 $uæ Geometriæ
de$crip$it. Nec dubitare po$$im, quin ip$am eodem modo, vel
certè non multùm ab$imili invenerit; præ$ertim $i ea, quæ pa-
gin. 84 in genere de æquationum Reductione docuit, conferan-
tur cum ip$ius Methodo $ecantium, & quæ deinceps pag. 49 ex-
po$uit. A deò ut, judicio meo, ne quidem veri$imile videatur, im-
primis $i concinnam præced entium cum $equentibus cohæren-
tiam $pectemus, ip$um ex ullis aliis authoribus, ut nonnulli opi-
nantur, eam de$ump$i$$e. Quippe pro excellenti, quâ pollebat,
animi genero$itate, (ut novi$ti & tu & quotquot ejus familiarita-
te u$i $unt,) non modò nunquam tantopere animo indulgebat,
$ed parvus etiam hÎc ejus tractatus tam varia profundæ & admi-
randæ eruditionis $pecimina $ummique ingenii inventa exhibet,

<pb 491>[511]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM.</sc></rh>
& quæ præ Antiquorum monumentis adeò $unt generalia, utilia,
ac à vulgo remota, ut nemo, qui illum intellexerit atque ip$o-
rum $cripta cum hujus $criptis comparaverit, in ha$ce cogitatio-
nes incidere unquam po$$it; Quemadmodum nemo tam præpo-
$tero e$t ingenio, ut fulgentem $olis lucem à micantibus $tellis
derivandam arbitretur. Non tamen hîc quicquam Veteribus de-
tractum volo, dum eos micantibus $tellis a$$imilo; credo enim
$tellas dari, quæ in $e $int ip$o etiam $ole majores ac fulgidiores,
quanquam non quidem no$trûm re$pectu, qui terram inhabita-
mus. Namque inter illos, Archimedes imprimis ac Diophantus,
multique alii, qui $uperiori & hoc no$tro $æculo vixerunt, viri
celebres, magni certe apud me nominis & æ$timationis $unt, ac
$uis etiam monumentis immortalem in omnes Po$teros nominis
gloriam promeritos lubenti$$imè fateor. At majorem po$t il-
los lucem mundo exortam e$$e, ip$i etiam, $i revivi$cerent, in
no$tro Carte$io non tantùm agno$cerent, $ed etiam $ibi ex ejus
lumine majus lumen accendere $atagerent, aliosque ut illo po-
tiùs, quàm $uo uterentur, monerent: quia non modò jucundiùs
$ed tutiùs etiam in $olis lumine vivitur, & per compendio$iores
vias ad multò plura objecta pervenitur, eaque multò luculentiùs
ac di$tinctiùs quàm in $tellarum lumine oculis patent. Sed quid
nudam veritatem tot verbis palliare conor, idque apud te, qui in-
comparabilem illum Virum, non tantùm ex ip$ius $criptis, $ed
præ$ertim ex intima familiaritate, quæ tibi cum eo à multis retrò
annis interce$$it, penitus pernovi$ti, quemque interea non $emel
maximo cum $tupore admiratus es, cum videres eum quæ$tiones
in Mathe$i difficillimas è ve$tigio tantâ promptitudine re$olvere,
ac $i non difficilliores, quàm omnium facillimæ, ip$i fui$$ent,
quæ nihilominus à præ$tanti$$imis etiam Mathematicis in ea u$-
que tempora, aut non, aut non ni$i maximâ cum perplexitate in-
veniri potuerant. Et cum te pœniteat, (uti aliquando coram ip$e
fa$$us es) quòd non omnia, quæ ullo unquam tempore ex ejus ore
emanarunt, fideliter chartis mandata cu$todieris, id mihi $atis
amplum te$timonium e$t, unde certus $im, tibi, ut mihi, ne qui-
dem veri$imile fieri po$$e, Illum hanc Reductionis Regulam ex
aliorum $eriptis ad $e potius tran$tuli$$e, quàm ex propriis funda-
mentis, fœcun di$$imis illis omnium $cientiarum $eminariis, erui$-
$e atque inveni$$e. Sed de his $atis.</p>

<pb 492>[512]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST.</sc> I.</rh>
<p>Iam ad Regulam revertar, & paucis innuam, quòd ex ope-
ratione hÎc factâ eluceat generalis Methodus tollendi ordine
omnes, quæ quidem po$$unt, quantitates incognitas, vel eas quæ
ut incognitæ con$iderantur; quod, meo quidem judicio, magni
u$us e$t, cum $æpenumero quæ$tiones difficiliores, unam tantùm
incognitam quantitatem $upponendo, aut non re$olvi po$$e, aut
multo majori labore, aut certè ad eas re$olvendas alias vias quàm
hactenus imitari con$uevimus ineundas e$$e, deprehenderim;
quod etiam Carte$ium no$trum non latui$$e ex pag. 4, aliisque
pa$$im locis luculenter con$tat. quod nihilominus haud ita pri-
dem ab in$igni Mathematico in dubium revocari comperi, cujus
rei cau$am hanc conjicio, quòd in aliorum $criptis magis quàm
in hujus ver$atus fuerit. Dixi autem hâc Regulâ tolli eas quanti-
tates, quæ quidem tolli po$$unt: non enim $emper omnes po$-
$unt, neque etiam unâ exceptâ, neque duabus, &c. Nam $i quæ-
$tio non $it Theorema, omnes tolli nequeunt; & $i determinata
$it, omnes unâ exceptâ tolli po$$unt; $i verò una deficiat condi-
tio, quò minùs determinata exi$tat, omnes tolli queunt duabus
exceptis, & $ic deinceps, ut no$ti. Neque, quod $edulò ob-
$ervo, etiam $emper per quamlibet æquationem una quantitas
incognita tolli pote$t. Exempli gratiâ, in duabus hi$ce æquatio-
nibus <math>x^3 - 3zxx # + bbx \\ + bz \\ + 2zz # - zzb \\ - zbb # = 0</math>,
& <math>x^3 - 4zxx # + zbx \\ + 4zz \\ + bb # - zzzb \\ - 2zbb # = 0</math>, in quibus <math>x</math> & <math>z</math> duas
incognitas quantitates de$ignant, pote$t <math>x</math> vel <math>z</math> per neutram ex
altera tolli. Quod, ubi accidit, indicio e$t, Problema, è quo hæ
duæ æquationes fuerunt deductæ, $i omnes ejus conditiones in-
cludant, non determinatum e$$e, atque unam in eo conditionem,
ut pror$us determinatum $it, deficere. Non rarò etiam licet in
re$olvendo aliquo Problemate determinato diver$as invenire æ-
quationes, unam eandemque incognitam quantitatem habentes,
idque magno cum emolumento. Sed de his aliàs.</p>
<p>Porrò quomodo ea$dem Regulas aliâ adhuc Metho-
do inveniam, breviter adjungam.</p>

<pb 493>[513]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM.</sc></rh>
<p>Sit æquatio Propo$ita, ut ante,
<math>x^6* + q x^4 + r x^3 + $xx + tx + v = 0</math>,
& inquiratur num dividi po$$it per æquationem dua-
rum dimen$ionum cui nullus terminus de$it, pone per
<math>xx + yx + w = 0</math>. $i itaque per eam divi$ibilis $it, erit
<math>xx = - yx - w</math>, quo valore ip$ius <math>xx</math>, ubique in locum
<math>xx</math> $ubrogato, re$ultabit æquatio in qua <math>x</math> unam tantùm
habebit dimen$ionem, nimirum
<tb math>
- 3wwyx # - w^3 # = 0.
- y^5 # - w y^4
+ 4w y^3 # + 3 wwyy
- q y^3 # + qww
+ 2qwy # + rwy
- rw # -$w
+ yyr # - qwyy
- $y # + v
+ t
</tb>
Deinde pono $ingulos terminos <math>= o</math>, adeò ut tum ha-
beas has duas æquationes,
<math> - 3 wwy - y^5 &c. = 0. &, - w^3 - w y^4 &c. = 0</math>.
ea$dem quæ præcedentes 4<_>ta</_> & 5<_>ta;</_> Ita ut <math>w</math>, eodem quo
ibi modo, ablatâ, eandem tandem æquationem nanci-
$caris <math>y^15* + 49 y^13, &c. = o</math>
Eodem modo $e res habet in reliquis.</p>
<p>Illud verò notandum e$t, hanc po$itionem <math>xx - yx - w = 0</math>
$eu <math>xx = yx + w</math> paulò faciliorem reddere operationem, cum in
$ubrogatione valoris ip$ius <math>xx</math> non opùs $it ut $igna mutentur,
quod alioqui $ecundùm priorem po$itionem <math>xx + yx + w = 0</math>
contingit: Itaquo hæc pro illa potiùs e$t eligenda. Et quod hanc
non elegerim, ideo factum e$t, ut idem effectus utriu$que motho-
di evidentiùs pateret. Eodem modo, $i præcedens æquatio inqui-
renda e$$et, num dividi po$$et per æquationem trium dimentio-
num, in qua nullus ter minus deficiat, ponerem illam <math>x^3 = yxx +
wx + z</math>, $ed non <math>x^3 + yxx + wx + z = 0</math>, quemadmodum, $i
aliam Methodum $equerer, facturus e$$em.</p>

<pb 494>[514]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. I.</rh>
<p>Supervacaneum verò e$t me dicere, has tres præcedentes Re-
gulas æ quationum 6, 5, & 4<_>or</_> dimen$ionum, (quamvis illæ tan-
quam exemplum generalis Regulæ in medium allatæ $int) $e
extendere ad omnes ca$us: nam cum <math>q</math> denotet quantitatem co-
gnitam tertii termini Propo$itæ æquationis, affectam $uis $ignis
+ & -; manife$tum e$t in Regulis valorem ip$ius <math>q</math> tantùm $ub-
rogandum e$$e in locum <math>q</math>; vel $i fortè tertius hic terminus in æ-
quatione deficiat, omnes quantitates per <math>q</math> multiplicatas, cum
etiam tum $int <math>= o</math>, delendas e$$e. ita quoque $e res habetin <math>r</math>,
$, & <math>t</math>. Verbi gratiâ, $i hæc æquatio 5 dimen$ionum <math>x^5** + 6xx
- 25x - 39 = o</math> divi$ibilis e$$et per rationalem duarum dimen-
$ionum, in qua nullus terminus dee$t; Oportet, cum in hac æqua-
tione <math>q</math> $it <math> = o, r=6, $= - 25, t= - 39,</math> loco hujus <math>y^10* + 3q y^8
- r y^7 &c. = o</math>, $cribere hanc <math>y^10** - 6 y^7 + 75 y^6 - 429 y^5
- 36 y^4 - 600 y^3 - 4138yy - 3684y - 621 = o.</math> quâ <math>y</math> inve-
nitur <math>= - 1</math>, ideoque <math>w = {- 2ryy + 2q y^3 &c. / r + 5 y^3 + qy} = - 3</math>; & pro
<math>xx + yx + w = o</math>, hæc <math>xx - 1x - 3 = o</math>, per quam Propo-
$ita æquatio erit divi$ibilis. atque ita in reliquis. A deò ut hinc pa-
teat, $icut etiam in 17<_>ma</_> aliisque Regulis, quomodo omnes ca$us
æquationum æqualium dimen$ionum, $ive aliqui termini de$int,
$ive non, vel quo tandem modo $ignis + & - affecti $int, $ub una
eademque Regula comprehendi po$$int, adeò ut $excenti eju$mo-
di ca$us ad unum referri & multi labores re$cindi queant. Quod
$atis $uperque Regula æquationum 4 dimen$ionum, cum omni-
bus ca$ibus, quos aliqui elaborarunt, comparata, immen$usque
labor, quem illis hoc negotium peperit, demon$trant; præ$ertim
$i eâdem ratione omnes ca$us æquationum 5 & 6 dimen$ionum
de$eribere vellent.</p>
<p>Denique notandum, cùm dico, primùm inquirendum e$$e num
æquatio Propo$ita dividi po$$it per aliam in qua omnes termini
non extant, non adeò rigidè illud $equendum e$$e; non enim id
nece$$arium, $ed plerumque brevi$$ima via e$t ad æquationem
Propo$itam reducendam.</p>
<h>XX. R<sc>EGVLA</sc>,</h>
<p it>Luæ modum docet reducendi omnem æ quationem ra-

<pb 495>[515]<rh>DE R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ <sc>QVATIONVM.</sc></rh>
tionalem 4 dimen$ionum, fractioneque carentem,
z<_>d.</_> verò termino, $i ad$it, manente, ad aliam trium,
& banc iterum, $ifieri pote$t, ad alias pauciorum di-
men$ionum.</p>
<p>Po$tquam exploratum e$t æquationem Propo$itam
non e$$e divi$ibilem per aliam, duos duntaxat terminos
habentem, inveniendus e$t valor hujus æquationis
<math>y^3 - qyy # - 4$y \\ + pr # - $pp \\ + rq$ \\ - rr # = o.</math>
ubi <math>p</math> de$ignat quantitatem cognitam, $uis $ignis + vel
- adfectam 2<_>di</_> termini; <math>q</math>, tertii; <math>r</math>, quarti; <math>$</math>, quinti.
Invento autem valore ip$ius <math>y</math>, poterit æquatio Propo-
$ita eju$dem ope dividi in duas æquationes $equentes,
quæ $ingulæ duas dimen$iones habent, nimirum in
<math>xx + {1/2}px + <r>{1/4}pp - q + y</r>in x, + {1/2}y + {{1/2}yp - r / 2<r>{1/4}pp - q + y</r>} = o</math>,
& <math>xx + {1/2}px - <r>{1/4}pp - q +</r>y in x, + {1/4}y - {{1/2}yp - r / 2<r>{1/4}pp - q + y</r>} = o</math>,
Quòd $i verò valor ip$ius <math>y</math> non $it æqualis alicui ex di-
vi$oribus ultimi termini <math>- $pp + 4q$ - rr</math>, non pote-
rit æquatio Propo$ita ulteriùs quàm ad tres dimen$iones
reduci.</p>
<p>Exempli gratia, $i reducere velimus æquationem <math>x^4 - 2 x^3 -
2xx - 2x + 1 = o</math>, quæ per æquationem, duos $olummodo ter-
minos habentem, e$t indivi$ibilis, invenio
<math>y^3 - qyy # - 4$y \\ + pr # - $pp \\ + 4q$ \\ - rr # = y^3 + 2y y^* - 16 = o</math>.
(nam <math>p = - 2; q = - 2; r = - 2; $ = 1</math>). quæ dividi pote$t
per <math>y - 2 = o</math>, ita ut loco duarum æquationum habeantur hæ duæ
<math>xx # - 1x \\ + √ 5 # + 1 = o, & xx # - 1x \\ - √ 5 # + 1 = o</math>.</p>
<p>Eodem modo $i habeatur æquatio <math>x^4** - 12 x - 5 = o</math>, ob-

<pb 496>[516]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST.</sc> I.</rh>
tineo <math>y^3* + 20y - 144 = o</math>, pro <math>y^3 - qyy # - 4$y \\ + pr # - $pp \\ + 4q$ \\ - rr # = o</math>
(nam <math>p = o, q = o, r = - 12, $ = - 5.</math>) quæ divi$ibilis e$t per
<math>y - 4 = o</math>, ita ut loco duarum æquationum habeas has duas
<math>xx + 2x + 5 = o,</math>
& <math>xx - 2x - 1 = o</math>.</p>
<p>Similiter $i proponatur æquatio literalis
<math>x^4 - 2a x^3 # + 2 aaxx \\ - cc # - 2 a^3 x + a^4 = o</math>, erit <math>p = - 2a;
q = 2aa - cc; r = - a^3; $ = a^4</math>, ideoque in locum æquationis
<math>y^3 - qyy # - 4$y \\ + pr # - $pp \\ + 4q$ \\ - rr # = o</math>, $cribenda <math>y^3 # - 2aay y^* \\ + cc # - 4 a^4 cc = o</math>,
quæ dividi pote$t per <math>y - 2aa = o</math>, ita ut loco duarum æquatio-
num habeantur hæ duæ
<math>xx - ax + x<r>aa + cc,</r> + aa = o,</math>
& <math>xx - ax - x<r>aa + cc,</r> + aa = o</math>.
Si verò hæ æquationes per <math>y</math> + vel - aliquo divi$ore ultimi Ter-
mini non fui$$ent divi$ibiles, non potui$$ent etiam æquationes
Propo$itæ ulteriùs quàm ad 3 dimen$iones reduci.</p>
<h>XXI. R<sc>EGVLA.</sc></h>
<p>Hactenus Regulæ, quas tradidi, re$pexerunt æquationes,
in quibus una tantùm incognita quantitas, quam _x_ nomina-
vi, inveniebatur, ut meos conceptus di$tinctiùs exprimerem.
Iam uno adhuc verbo adjiciam: _Luòd in Propo$ita æqua-_
_tione quamlibet cognitam pro incognita & vice ver-_
_$a quamlibet incognitam pro cognita re$pectu Redu-_
_ctionis con$ider are liceat; & quòd $æpe compendio $it_
_incognitam tanquam cognitam & unam ex cognitis tan-_
_quam incognitam con$iderare & $ic Reductionem inqui-_
_rere_. Nam primò in omnibus æquationibus, quæ ex duabus
rationalibus oriri po$$unt, æquè per quamlibet cognitam, eam
tanquam incognitam con$iderando, quàm per incognitam re-
ductio inveniri pote$t, & $æpe etiam breviùs, $i ex $olis irratio-
nalibus produci po$$unt. Dein quòd hoc $æpe compendio $it, vel

<pb 497>[517]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE ÆQVATIONVM.</sc></rh>
hinc manife$tum fit, quia rarò admodum omnes literæ eundem
dimen$ionum numerum habent, atque adeò, $i aliquam ex cogni-
tis pro incognita con$ideres, $æpe quoque aliqua æquatio ex$ur-
get, quæ pauciorum $it dimen$ionum quàm Propo$ita; & adhuc
pauciorum, $i etiam inter ip$as cognitas delectum in$tituas; aut
$altem reductio hoc velillo modo facilior evadet.</p>
<p>_Con$iderando itaque omnes $ine di$crimine liter as ut_
_cognitas, eju$modi ex illis eligere & pro incognita $uppo-_
_nere integrum erit, quæ ad reductionem facillimè expe-_
_diendam (per præcedentes Regulas) maximè conducere_
_judicabitur_. Ethæc omnium, quas tradidi, Regularum, re$pe-
ctu Reductionum, utili$$ima e$t.</p>
<p>Et per eam non tantùm Reductiones ultimarum æquationum,
quæ omnes Propo$iti Problematis conditiones includunt, ope
Regularum $upra explicatarum $æpe compendio$i$$imè inveniun-
tur, $ed etiam priu$quam ad ultimam deveniatur, quam plurimæ
reductiones re$cindi & $implici$$imæ $æpe æquationes haberi
po$$unt. Et quidem operæ pretium foret, rem hanc aliquot exem-
plis clariorem reddere, $ed ne te atque etiam me diutiùs remorer,
unum tantùm & alterum exemplum adjungam.</p>
<p it>Luo modo reducere po$$is omnem rationalem æquatio-
nem, quæ per aliam rationalem, non cognitis ultimi
Termini divi$oribus, dividi queat, remanente etiam,
$i placet, omni Fractione, quæ in illareperitur; ni-
mirum, $iin æquatione illa aliqua litera, $ive cogni-
ta, $ive incognita reperiatur, $ecundùm quam æqua-
tio ordinata non plures quàm quatuor dimen$iones
habeat; $eu in qua litera aliqua reperitur non plures
habens quàm 1, vel 1 & 2, vel 1, 2, & 3, vel 1, 2, 3
& 4 dimen$iones, vel etiamplures, $ed quæ ex his de-
rivari po$$int: Id quod $emper ex inve$tigatione
valoris bujus literæ, quæ velincognita e$t, velut in-
cognita con$ideratur, innote$cit, uno tantùm ca$u
excepto, quem po$tea indicabo.</p>

<pb 498>[518]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST.</sc> I.</rh>
<h>1. _Exemplum_, in quo litera <math>b</math> ubique unam tan-
tùm dimen$ionem habet.</h>
<tb math>
E$to æquatio Propo$ita # x^4 - 2 a x^3 + aaxx + a^3x - a^4 = o
 # # +b # - ab # + b a^3
 # Ergo b x^3 - abxx + b a^3 = - x^4 + 2a x^3 - aaxx - a^3 x + a^4
div. per x3 - axx + a^3. # fit b = - x + a
 # # & x - a + b = o. Æquatio, per
 # # quam Propo$ita dividi pote$t.
</tb>
<h it>2 Exemplum.</h>
<tb math>
E$to æquatio Propo$ita # x^3 - 20bxx + 60aax - 120 a^3 = o
 # # - 2a # + 70ab # - 60 aab
Ergo - 20bxx + 70abx - 60aab = - x^3 + 2axx - 60aax + 120 a^3
div. per - 20xx + 70ax - 60aa. # fit b = {-x^3 + 2axx - 60aax + 120 a^3 / - 20xx + 60ax - 60aa}. Hujus
autem maximus communis divi$or, per Methodum ante de$cri-
ptam, e$t x - 2 a, per quem $i fractio abbrevietur,
 # fiet b = {- xx - 60aa / -20x + 30a}, vel {xx + 60aa / 20x - 30a}
$eu, quod idem e$t, xx - 20bx + 30a = 0. Ita ut æquatio
 # # # + 60aa
Propo$ita in hanc, & præcedentem x - 2a = 0 divi$a $it.
</tb>
<h>3 _Exemplum_, in quo quantitas <math>c</math> tantùm
1 & 2 habet dimen$iones.</h>
<tb math>
E$to æquatio Propo$ita # x^4* + 8 acxx - 4aacx + 12 aacc = 0
 # # # - aa
 # # Ergo 12 aacc = - 8axxc - x^4
 # # # + 4aaxc + aaxx
div.per 12 aa.
 # # fit cc = {<ol>4ax - 8xx</ol> / 12a} in c, + {aaxx - x^4 / 12aa}
 # Vnde extractâ radice invenietur
 # c = {ax - xx / 2a}, hoc e$t, xx - ax + 2ac = 0
 # vel c = {-ax - / 6a}, hoc e$t, xx + ax + 6ac = 0.
</tb>
<p>Ita ut æquatio Propo$ita in ha$ce duas $it divi$a. Quoniam au-

<pb 499>[519]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM.</sc></rh>
tem in ea <math>a</math> quoque 1 & 2 tantùm dimen$iones habet, potui$$et
idem ctiam quærendo valorem ip$ius <math>a</math> inve$tigari.</p>
<p>Vbi notari pote$t, quòd, ad inveniendas radices alicujus æqua-
tionis, in quâ litera, cujus valor quæritur, non plures habet di-
men$iones quàm 1 & 2, vel 2 & 4, vel 3 & 6, &c. $cire non $it
nece$$e, cuju$nam illa $equentium formularum exi$tat.
<math>xx-ax+bc=0</math>
<math>xx+ax+bc=0</math>
<math>xx+ax-bc=0</math>
<math>xx-ax-bc=0.</math>
Etenim po$itâ <math>xx, px, q = 0,</math> $i <math>p x</math> $tatuatur pro 2<_>do</_>, & <math>q</math> pro ul-
timo termino, erit $emper <math>x = - {1/2}p √ {1/4}pp - q = 0.</math></p>
<h it>4 Exemplum.</h>
<p>Porrò quoniam æquationes omnes quatuor dimen$ionum re-
duci po$$unt ad æquationes trium dimen$ionum, & in omnibus
quidem æquationibus $ecundus terminus tolli pote$t, o$tenden-
dum $olummodo re$tat, quo pacto divi$ores æquationis inveniri
queant, in quâ incognita quantitas, vel alia quævis litera, quæ ut
incognita con$ideratur, tantùm 1 & 3 dimen$iones habet. In
quem itaque finem proponatur æquatio <math>x^3 = * q x. r.</math></p>
<p>In qua <math>x</math> de$ignet quantitatem, cujus valor quæritur; <math>q</math> & <math>r</math> au-
tem quantitates cum $uis $ignis, quales illæ in æquatione repe-
riuntur.</p>
<p>E$to etiam <math>x = y + z</math>
Eritque <math>x^3 = <ol>y^3 + 3zyy + 3zzy + z^3</ol> = qx + r.</math></p>
<p>Ex hac autem æquatione fiant jam duæ aliæ, ponendo
<tb math>
 # 3zyy + 3zzy = qx, # & {y^3 + z^3} = r
div. pery + z. # fit 3zy = q # vel y^3 = r - z^3
 # # y = {{1/3} q} / z}
 # # y^3 = {{1/27}q^3 / z^3} = r - z^3
 # # z^3 = {1/2}r 🜶 <r>{1/4} rr - {1/27} q^3</r>,
 # # & y^3 = {1/2}r ♉ <r>{1/4}rr - {1/27}</r>q^3, quia y^3 = r - z^3
</tb>

<pb 500>[520]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST.</sc> I.</rh>
vel <math>y = {{1/3}q / <r>C. {1/2} r 🜶 {1/4}rr - {1/27}q^3</r>}</math>, quia <math>y = {{1/3}q / z}</math>
& <math>x = <r>C. {1/2}r 🜶 <r>{1/4}rr - {1/27}q^3</r></r>, + <r>C. {1/2}r ♉ <r>{1/4}rr - {1/27}q^3,</r></r>
quia <math>x = z + y</math>
vel <math>x = <r>C. {1/2}r 🜶 <r>{1/4}rr - {1/27}q^3,</r></r> + {{1/3}q / <r>C. {1/2}r 🜶 <r>{1/4}rr - {1/27}q^3.</r></r></math></p>
<p>Quoniam verò in prima parte prioris valoris ip$ius _x_ reperi-
tur $ignum 🜶, & in $ecunda $ignum contrarium 🜶, atque quan-
titates per ea conjunctæ omnino eædem exi$tunt; & quoniam ad
obtinendum valorem ip$ius <math>x</math>, duæ illæ partes $imul addi debent;
poterunt ip$a determinari, ponendo pro uno +, & pro altero-,
ita ut habeatur
<math>x = <r>C. {1/2}r + <r>{1/4}rr - {1/27}q^3</r></r> + <r>C. {1/2}r - <r>{1/4}rr - {1/27}q^3,</r></r></math>
vel <math>x = <r>C. {1/2}r + <r>{1/4}rr - {1/27}q^3</r></r> + {{1/3}q / <r>C. {1/2}r + <r>{1/4}rr - {1/27}q^3.</r></r>}</math></p>
<p>Quocirca quærendo juxta hanc Regulam valorem quantita-
tis _x_, licebit ip$ius bene$icio æquationem, $i reducibilis $it, in duas
rationales dividere: quoniam tunc <math>√ C. ex {1/2}r + <r>{1/4}rr - {1/27}q^3</r></math>
extrahi poterit, excepto tantùm, quando quantitate <math>q</math> $igno +
adfectâ, <math>{1/4} rr</math> minor e$t quàm <math>{1/27} q^3</math>.</p>
<p>Vbi difficultas aliqua $upere$$e videtur in radicis Cubicæ ex
binomiis hi$ce extractione; $ed cum <math>√ C</math>. ex binomio numerali
ope Regulæ pag. 389 extrahi queat, poterit etiam eju$dem be-
neficio radix ex binomio literali inveniri, cum pro literis nume-
ros ad arbitrium a$$umere liceat, &c.</p>
<p>Quanquam autem $æpenumero in reducendis æquationibus
hujus quarti exempli contingat, ut Quæ$itum per aliquam ex
aliis Regulis faciliùs inveniatur, poterit tamen interdum hæc Re-
gula, præ$ertim in æquationibus numeralibus, ubi divi$ores ulti-
mi Termini complures exi$tunt aut difficiles $unt inventu, cum
fructu u$urpari.</p>
<p>Quibus præmi$$is, potero generalem Regulam commodiùs
exprimere, quæ talis e$t:</p>
<p>Si in æquatione Propo$ita, quæ in duas alias rationa-
les e$t divi$ibilis, quæratur valor quantitatis incognitæ

<pb 501>[521]<rh>Æ<sc>QVATIONVM RESOLVTIONE</sc>.</rh>
vel alicujus alterius, quæ ut incognita con$ideratur,
poterimus ip$am aut dividere ($icut in 1<_>mo</_> exemplo);
aut fractionem inde ortam per communem aliquem di-
vi$orem abbreviare ($icut in 2<_>do</_> exemplo) aut denique
radicem quadratam ($icut in 3<_>tio</_> exemplo) aut radicem
cubicam extrahere, excepto tantùm, ut diximus, uno
ca$u, ubi <math>q</math> de$ignat quantitatem $igno + adfectam,
exi$tente <math>{1/4} rr</math> minore quàm <math>{1/27} q^3</math>.</p>
<p>Vbi tandem id advertendum, Regulam hanc in re$olvendis æ-
quationibus trium & quatuor dimen$ionum eandem e$$e cum illa
Cardani, cujus inventionem Scipioni Ferreo tribuit; ita ut ex
$uperiori calculo manife$tum $it quòd ea Regula, quamvis ille
author ex alio fortè fundamento eam eruerit, hoc tamen etiam
modo inveniri po$$it. Hanc verò eandem e$$e, vel hinc evidens
fit, $i ex illa $ola conficiamus ha$ce quatuor: quippe ponendo
quantitates <math>q</math> & <math>r</math> $igno + adfectas e$$e, obtinebimus, exi$tente
<math>x^3 = + q x + r</math>,
<math>x = <r>C. {1/2} r + <r>{1/4} rr - {1/27} q^3,</r></r> + <r>C. {1/2} r - <r>{1/4} rr - {1/27} q^3.</r></r></math>
Si <math>q</math> de$ignet quantitatem $igno +, <math>r</math> autem quantitatem $igno-
adfectam, obtinebimus, exi$tente <math>x^3 = + qx - r,</math> (mutando tan-
tùm in Regula $igna, quæ ip$i <math>r</math> impares dimen$iones habenti
præ$iguntur)
<math>x = <r>C. - {1/2}r + <r>{1/4}rr - {1/27}q^3,</r></r> + <r>C. - {1/2}r - <r>{1/4}rr - {1/27}q^3.</r></r></math>
Si <math>q</math> de$ignet quantitatem $igno-, & <math>r</math> $igno + adfectam, obti-
nebimus, exi$tente <math>x^3 = - qx + r</math>, (mutando $igna, quæ ip$i <math>q</math>
impares dimen$iones habenti præ$iguntur)
<math>x = <r>C. {1/2} r + <r>{1/4}rr + {1/27}q^3,</r></r> + <r>C. {1/2}r - <r>{1/4} rr - {1/27} q^3.</r></r></math>
Denique $i <math>q</math> & <math>r</math> $igno - $int adfectæ, obtinebimus, exi$tente
<math>x^3 = - qx - r</math>, (mutando $igna, ut $upra)
<math>x = <r>C. - {1/2} r + <r>{1/4} rr - {1/27} q^3</r></r>, + <r>C. - {1/2} r - <r>{1/4} rr - {1/27} q^3</r></r>.</math>
Etnota, quòd eodem modo operando $imiles regulæ pro altiori-
bus æquationibu s inveniri po$$int.</p>
<p>2. Sed cum Methodus hæc reducendarum æquationum, ubi
incognita quantitas, vel quæ ut incognita con$ideratur, trium vel

<pb 502>[522]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST.</sc> I.</rh>
quatuor dimen$ionum e$t, aliquando paulò longior $it, præ$tat
tum ejus loco vige$imâ Regulâ uti, per quam omnes ca$us trium
vel quatuor dimen$ionum, nullo excepto, reduci po$$unt; Vel
ctiam regulâ 17, ubi non ad$tringeris æquationibus quatuor di-
men$ionum, $ed omnes rationales, quæ per aliquam rationalem
æquationem dividi queunt, reducere poteris, atque adeò etiam
omnem Propo$itam rationalem æquationem, quæ per aliquam
rationalem divi$ibilis e$t, $i modo aliqua litera, quam libuerit,
tanquam incognita, & reliquæ omnes ut cognitæ con$iderentur.</p>
<p>3. Sæpe autem $atis breviter Reductio æquationum, quæ tan-
tummodo per irrationales reduci po$$unt, inveniri pote$t. exem-
pli gratiâ, $i habeas hanc æquationem,
<math>x^4 - 2ax^3 # + 2aaxx \\ - cc # - 2a^3 x + a^4 = 0</math>
vel <math><ol>x^4 - 2a x^3 + 2aaxx - 2 a^3 x + a^4 =</ol> ccxx</math>
addas utrimque quantitatem aliquam per _x x_ multiplicatam, (cum
ab altera parte habeas <math>cc</math> in <math>xx</math>) talem nempe ut √ quadrata ex
altera parte extrahi po$$it, quod $tatim per extractionem reperies
e$$e <math>+ aaxx</math>, ideoque utrimque hac <math>+ a a x x</math> addita, & radice
quadrata extractâ invenies
<math>xx - ax + aa = x <r>aa + cc</r></math>
atque ideo Propo$ita æquatio ex multiplicatione duarum $equen-
tium æquationum re$ultare poterit</p>
<tb math>
xx - ax # + aa = 0.
 # - <r>aa+cc</r>
xx - ax # + aa = 0.
 # + <r>aa+cc</r>
</tb>
<p>4. Magnum quoque u$um habent aliæ quædam Regulæ, tam
in reducenda æquatione, quæ per rationales, quàm quæ tantum-
modo per irrationales reduci po$$unt. ex. gr. per 11 Regulam,
omnes æquationes reduci poterunt, quæ non tantùm ex duabus
aliis per multiplicationem produci po$$unt, in quarum alterutra,
unus plure$ve termini deficiunt, $i æquatio con$ideretur $ecun-
dùm incognitam quantitatem, $ed etiam $i tantùm quævis alia li-
tera, $ive cognita, $ive incognita, reperitur, quæ ut incognita
con$ideratur, & æquatio $ecundùm illam in ordinem redacta ta-
lis $it, ut ex duabus aliis produci po$$it, in quarum alterutra unus

<pb 503>[523]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM.</sc></rh>
plure$ve termini deficiunt. $ic quamvis $equens æquatio 6 di-
men$ionum</p>
<tb math>
 # x^3 - 2axx + 3abx + 6a^3 = o
 # # # # + 6abb
per # x^3 + 2 axx + 4 aax - 4a^3 = o
 # # + 2 ab # - 8 b^3
</tb>
<p>Product. <math>x^6</math>, & c.
produci non po$$it ex duabus aliis, in quarum alterutra unus vel
plures termini deficiunt, $i $cilicet <math>x</math> ut incognita quantitas con-
$ideretur, poterittamen ex duabus talibus produci, $i vel <math>a</math> vel <math>b</math>
ut incognita quantitas con$ideretur, ut ex æquationibus, ex qui-
bus producta e$t, patet; ac proinde æquatio illa Propo$ita per
X I R egulam reduci poterit.</p>
<p>Hîc ergo hanc Regulam abrumpam, & celeriori in $equentibus
gradu ad finem, quem jam dudum de$idero, fe$tinabo.</p>
<p>Diver$as adhuc alias Regulas in paratu habeo, quas hîc $imul
adjungerem, $i non aliquid in futurum re$ervare animus e$$et: Ni-
mirum inter cæteras una e$t, per quam omnes irrationales radi-
ces tam numeralium, quàm literalium æquationum invenio; una
per quam omnes æquationes numerales, quæ ex duabus rationa-
libus produci po$$unt, ad ea$dem reduco, non cognitis divi$ori-
bus ultimi termini; item alia, per quam $æpe literales æquatio-
nes reduco, quæque in eo con$i$tit, quòd unam aut alteram lite-
ram ponam <math>= o</math>, vel = alii alicui quantitati, quam libuerit, &
quòd hanc æquationem inde re$ultantem priùs reducere coner,
& po$tea etiam Propo$itam per hanc. Exempli loco adjungam
hanc</p>
<h it>R<sc>EGVLAM</sc>,</h>
<p it>Luâ omnes rationales æquationes, quæ nullas fractio-
nes continent & reduci po$$unt, reducuntur, $i ponendo
unam aut plures liter as <math>= o</math>, aut = alii quam libuerit
quantitati, talis inde æquatio re$ultet, quæ una tantùm
dimen$ione minor & irreducibilis $it.</p>
<p>Ex. gr. habeatur hæc æquatio <math>x^3 - 5 axx + 6bbx - 18 abb \\
- 9bc - 9 a^3 \\
- 9aa + 27abc # = 0</math>,

<pb 504>[524]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST.</sc> I.</rh>
in qua $i <math>a</math> ponatur <math>= o</math>, ex$urgit hæc
<math>x^3 + 6bbx - 9bcx = 0</math>
$eu <math>xx + 6bb - 9bc = 0</math>, quæ non pote$t reduci.
Regula verò per quam reductionem Propo$itæ æquationis jam in-
$tituo, talis e$t:</p>
<p>_Dividantur per ultimum terminum exortæ æquatio-_
_nis, $i non ex diver$is partibus aut Membris con$tet_,
(partes aut Membra eas nomino quantitates, quæ in eodem termi-
no $ignis + vel - cæteris connectuntur) _vel aliàs per unum_
_membrum ultimi termini quodcunque libuerit_, (quemad-
modum hîc per <math>+ 6bb</math>, vel <math>- 9bc</math>) _omnia Membra ultimi
termini Propo$itæ æquationis, quæcunque per illud divi-
di po$$unt, at que illud quotiens, $ive unum $ive plur a fue-
rint, addatur quantitatix, & per banc $ummam Propo-
$ita æquatio dividi poterit.</p>
<p>Vt in hoc exemplo, dividendo <math>- 18 abb</math> per <math>+ 6bb</math>, ex$urgit
quotiens <math>- 3 a</math>, quod additum ip$i <math>x</math>, quia in Propo$ita æquatio-
ne inter membra ultimi termini nullum aliud habetur, quod per
<math>+ 6bb</math> $it divi$ibile, ex$urgit <math>x</math> - 3 a</math>, quod Propo$itam æquatio-
nem dividere poterit. Vel $i alterum exortæ æquationis Mem-
brum a$$umptum fui$$et, nimirum <math>- 9bc</math>, $imiliter prodii$$et <math>- 3a</math>,
quia $olum <math>+ 27 abc</math> inter Membra ultimi termini in Propo$ita
æquatione reperitur, quod per <math>- 3 a</math> dividi pote$t.</p>
<p>Nota, quòd per hanc methodum, dum literam unam aut plu-
res pono <math>= o</math>, vel = alii alicui quantitati, quam libuerit, non tan-
tùm rationales literalium æquationum radices, $ed etiam irratio-
nales tam literalium quàm numeralium æquationum inveniri
po$$int. Nam etiam Regulæ, quarum ope quarundam Cubicarum
æquationum radices inve$tigantur, quas Cardanus Authori Sci-
pioni Ferreo a$$cribit, hac etiam methodo inveniri po$$unt, quæ
alia e$t, quàm quæ in 21 Regula o$ten$a fuit.</p>
<p it>Hactenus æquationes ab$olutè tantùm con$ideravi,
nunc $upere$t, ut eas etiam relativè, quatenus referun-
tur ad Problema, ex quo educuntur, con$iderem.</p>
<p>Sed priu$quàm hoc aggrediar pauca quædam de iis Regulis,
quas hucu$que tradidi, dicenda re$tant. Illæ verò $unt duorum
generum, quædam enim aliquibus in ca$ibus docent Propo$itam

<pb 505>[525]<rh><sc>DE</sc> R<sc>EDVCTIONE</sc> Æ<sc>QVATIONVM.</sc></rh>
æquationem _vel non e$$e reducibilem, velinquantum, vel_
_per quales non $it reducibilis_, ut Regula 1, 2, 12, 13, & 14,
& 15. quædam etiam docent, _quo pacto æquationes reduci_
_debeant, quas $cimus reducibiles e$$e, vel per aliquam in_
_qua aliquis terminus datus, aut <math>= o</math> e$t_, quales $unt 9 & 11,
_vel per aliquam rationalem_, ut $unt 16 & 17, _veldenique_
_per alias_. Sed quia $æpelatet, utrum Propo$ita æquatio, vel
quæ ex Problemate quodam educta e$t, reducibilis $it, nec ne, ad
hoc inquirendum aliquis ordo ob$ervandus e$t. Et quem harum
Regularum re$pectu optimum judico, talis e$t: Inquirerem primò
ope priorum Regularum anne æquatio $it irreducibilis; quod in
æquationibus irreducibilibus primo plerumque intuitu apparet,
aut $altem magna ex parte; adeò, ut multi labores tali in ca$u præ-
$cindantur. At $i hoc non ita appareret, tran$irem ad Regulam XI,
(imprimis $i Vltimus æquationis terminus multos divi$ores, vel
qui inventu difficiles $int, admittat, vel $i æquatio $urdas qua$dam
aut fractas quantitates contineat) per quam omnes æquationes re-
duci po$$unt, quæ divi$ibiles $unt ope alterius in qua una aut plu-
res quantitates de$unt, $ive æquationem in ordinem redigas re-
$pectu incognitæ, $ive re$pectu alicujus cognitæ, quæ ut incogni-
ta con$ideratur.</p>
<p>Et $ic omnes pæne literales & reducibiles æquationes, ut &
quàm plurimæ numerales reduci po$$unt. Si verò nec hoc pacto
$uccedat Reductio, eam per cæteras Regulas inquirerem.</p>
<p>Po$$unt etiam hîc quædam adjungi de $ignis, ex quibus cogno-
$citur $itne aliqua æquatio reducibilis nec ne; Verùm cum hoc u-
num $it ex primariis rei capitibus, plus otii & patientiæ, quam qui-
dem in præ$entiarum mihi $uppetit, ad id requiritur.</p>
<p>_Luod igitur alter am partem Reductionum concernit,_
_quæ refertur ad Problema, ex quo æquatio e$t deducta_,
multa adhuc dici po$$ent, tam de ultimæ æquationis (in qua omnes
Problematis conditiones includuntur) _Inventione_, quâ omnes
aut $altem multæ Reductiones re$cindi queunt; quàm _de aliis_
_Reductionibus, quæ $æpe illis $upra de$criptis breviores_
_exi$tunt_. Nam quod primum attinet, experientia docet in omni-
bus ferè Problematis multos e$$e, eosque diver$os modos ultimam
æquationem inveniendi, & ad pauciorum dimen$ionum æquatio-

<pb 506>[526]<rh>I<sc>OH.</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>P.</sc> I. <sc>DE</sc> R<sc>ED.</sc> Æ<sc>QVAT.</sc></rh>
nem, $i hunc, quàm $i alium modum $equaris, perveniendi. Imò
non tantum diversâ, $ed etiam eâdem methodo utendo, tandem
in æquationem plurium aut pauciorum dimen$ionum pervenies.
Atque ita breviori ac faciliori viâ non tantùm multum laboris
inveniendo po$tremam æquationem præteribis, $ed etiam redu-
ctiones valde inventu difficiles, quæ alioqui, $i ad altiores æ-
quationes delabaris, quærendæ e$$ent, re$cindes.</p>
<p>Quod alterum $pectat, ejus à me $pecimen habes, ubi nempe
æquationes omnium figurarum ordinatarum circulo in$cripta-
rum inveniuntur, in eo nempe con$i$tens, quòd cum ultimam
æquationem, quæ omnes Problematis conditiones includit, ha-
<mgl>_Vide Se-_
_ctionem_
X X I
_tuarum_
_Exercita-_
_tionum_
_Mathe-_
_matica-_
_rum._</mgl>
beas, præterea adhuc aliam, $ed aliâ methodo, inve$tiges, quæ
itidem omnes conditiones comprehendat, adeò ut, cum duas æ-
quationes eandem incognitam quantitatem includentes obti-
nueris, ip$as à $e invicem tam diu, quàm $ieri po$$it, $ubtrahas,
vel quod eodem redit, earum communem divi$orem invenias,
quemadmodum tunc in inveniendis illis æquationibus $atis fusè
o$tendi.</p>
<p>Et hujus Methodi utilitas $e longè lateque diffundit, præ$er-
tim ad Problemata difficiliora, quorum æquationes ad plures di-
men$iones excurrunt. Nam $æpe numero, $i earum reductionem
per præcedentes Regulas inve$tigares, ætatem con$umeres, quod
alioquin, $i hanc viam $equaris, breviter, & ut ita dicam, uno mo-
mento ab$olvere po$$es.</p>
<p>Cum igitur utrumque & Reductiones in principio in totum
vel ex parte re$cindendi, & eas in multis ca$ibus adhuc compen-
dio$iùs quàm per præ$criptas Regulas inveniendi, majoris mo-
menti$it, quàm ut hîc dignè pertractari po$$it; atque ego etiam
$cribendo, tu verò legendo, defe$$i $imus: præ$tat, ut hîc $ub$i-
$tamus atque aliquantulùm re$piremus, reliquâque opportuniori
tempori re$ervemus.</p>
<p>Interim vale & me ama.</p>
<p>_Datum Am$telædami Pridie_
_Iduum Iulii A 1657._</p>

<pb 507>[527]
<h>IOHANNIS HVDDENII
EPISTOLA SECVNDA,
DE
MAXIMIS ET
MINIMIS.</h>
<p>Clari$$ime Vir,</p>
<p>Q_Vod attinet meam Metbodum de Maximis_
_& Minimis, eam breviter bîc de$cribere_
_conabor; & in antece$$um demon$trabo boc_</p>
<h it>THEOREMA.</h>
<p>Si in æquatione duæ radices $int æquales, atque ip$a
multiplicetur per Arithmeticam Progre$$ionem, quam
libuerit; nimirum, primus terminus æquationis per pri-
mum terminum Progre$$ionis, $ecundus terminus æ-
quationis per $ecundum terminum Progre$$ionis, & $ic
deinceps: dico Productum fore æquationem, in quâ una
dictarum radicum reperietur.</p>
<p>In hunc finem a$$umatur æquatio quælibet, in qua <math>x</math> de$ignet
quantitatem incognitam, ut, verbi gratiâ, hæc æquatio
<math>x^3 + pxx + qx + y = 0</math>
ip$aque multiplicetur per <math>xx - 2yx + yy = 0,</math> id e$t, per æ-
quationem, in qua duæ radices $untæquales, & habebitur hæc
æquatio
<math>xx - 2yx + yyin x^3 \\ xx - 2yx + yyin pxx \\ xx - 2yx + yyin qx \\ xx - 2yx + yyin r # = 0</math>

<pb 508>[528]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. II.</rh>
in qua etiam duæ radices æquales comprehenduntur, videlicet
<math>x = y,</math> ac denuo <math>x = y.</math> Vel $i illam multiplica$$emus per <math>x x +
2 y x + y y = 0,</math> obtinui$$emus duas fal$as radices æquales: ut-
cunque autem hæc multiplication fiat, $i pro _y_ ponatur ejus valor,
habebitur
<math>xx - 2xx + xxin x^3 \\ xx - 2xx + xxin pxx \\ xx - 2xx + xxin qx \\ xx - 2xx + xxin r # = 0.</math></p>
<p>Si jam unumquodque horum quatuor productorum, $eu, quod
eodem redit, <math>+ 1, - 2, + 1</math> (quoniam dividi pote$t per <math>xx</math>,
& multiplicatores <math>x^3, pxx, qx, & r</math> nullam mutationem effi-
ciunt) multiplicetur per Arithmeticam Proge$$ionem: erit pro-
ductum hujus multiplicationis <math>= o</math>.</p>
<p>Nam</p>
<tb math>
Mult. # + 1, # -2, # +1 # Mult. # + 1, # -2, # +1
per # a, # a+b, # a+2b # per # a, # a-b, # a-2b
fit # a,-2a-2b,+a+2b # fit # a,-2a+2b, # a-2b
 # $eu +2a-2a,+2b-2b=0. # $eu 2a-2a,+2b-2b=0.
</tb>
<p>Huc u$que univer$aliter con$ideravi omnes æquationes, duas
æquales radices habentes, quomodocunque ip$æ proponantur,
hoc e$t, $ive in iis termini quidam de$int $ive non, ut & quomo-
docunque $igna + & - $e$e habuerint. Quod manife$tum erit
con$ideranti nobis $olummodo rem e$$e cum hi$ce numeris <math>+ 1,
-2, + 1</math>, non autem cum multiplicatoribus <math>x^3, p x x, q x, & r.</math></p>
<p>Similiter re$pectu Arithmeticæ Progre$$ionis res etiam ge-
neralis manet, quandoquidem duo priores terminia, <math>a + b, &
a, a - b</math> indeterminati $unt. Quod re$tat, ex $ola in$pectione
præcedentis exempli, conferendo duas $equentes multiplicatio-
nes, per$picuum fiet.</p>
<tb math>
x^3 + pxx + qx + r = o # # x^3 + pxx + qx + r = 0
xx - 2xx + xx = o # # xx - 2yx + yy = o
xx - 2xx + xx in x^3 # = o. # x^5 - 2y x^4 + yy x^3 # = o.
xx - 2xx + xx in pxx # # # + p x^4 - 2py x^3 + pyyxx
xx - 2xx + xx in qx # # # # + q x^3 - 2qyxx + qyyx
xx - 2xx + xx in r # # # # # # + rxx - 2ryx + ryy
</tb>
<p>Mult. per <math>a. a 🜶 b. a 🜶 2 b. a 🜶 3 b. a 🜶 4 b. a 🜶 5 b.</math></p>

<pb 509>[529]<rh><sc>DE</sc> M<sc>AXIMIS ET</sc> M<sc>INIMIS</sc>.</rh>
<p>Nam quoniam hæc producta <math>x^5 - 2y x^4 + yy x^3, & xx -
2 xx + xx</math> in <math>x^3</math> eadem exi$tunt, erit etiam <math>x^5 - 2y x^4 + yy x^3</math> mul-
tiplicatum per <math>a,a 🜶 b,a 🜶 2 b</math> æquale o; $ic &, quoniam <math>+ p x^4 -
2py x^3 + pyyxx</math> idem e$t quod <math>xx - 2xx + xx</math> in <math>pxx</math>, erit
quoque <math>p x^4 - 2py x^3 + pyyxx</math> multiplicatum per <math>a 🜶 b,a 🜶 2 b,
a 🜶 3 b</math> ($iquidem, ut ex præcedentibus liquet, primus terminus
Progre$$ionis ad libitum $umi pote$t) æquale o; atque $ic dein-
ceps. Vnde $it, ut etiam Productum totius æquationis per hanc
$eriem proportionalium $it <math>= o</math>, nec non ut unus valor ip$ius
<math>x = y</math>, quæ una duarum radicum æqualium e$t, nece$$ariò inclu-
datur. Et cum hîc rur$us nulla habeatur ratio multitudinis aut
paucitatis aut etiam qualitatis multiplicatorum: erit Propo$itum
Theorema univer$aliter demon$tratum de quibu$cunque æqua-
tionibus, duas radices æquales habentibus.</p>
<p>Hinc emanat</p>
<p>Si in æquatione aliqua 3 $int radices æquales, & ip$a
multiplicetur per Arithmeticam Progre$$ionem, quam
libuerit, eo modo quo jam dictum e$t, remanebunt in
Producto duæ adhuc æquales radices i$tarum trium;
ac proinde Productum hoc denuo per Arithmeticam
Progre$$ionem multiplicari poterit. Quòd $i autem in
Propo$ita æquatione quatuor radices æquales fuerint,
atque ip$a multiplicetur per Arithmeticam Progre$$io-
nem, relinquentur in hoc Producto adhuc 3 æquales
radices i$tarum 4, & $ic porrò, quotcunque æquales
radices æquatio habuerit, $emper per $ingulas eju$mo-
di multiplicationes una tantùm i$tarum æqualium ra-
dicum tolletur.</p>
<p>Hoc itaque demon$trato, tran$eo ad meam Methodum de
Maximis & Minimis, quæ $ic $e habet.</p>
<p>Po$itis quotcunque quantitatibus Algebraïcis, ma-
ximum aut minimum de$ignantibus, ponantur ip$æ <math>= z</math>;
& ordinatâ æquatione multiplicetur ea per Progre$$io-
nem Arithmeticam, eo modo, quo dictum e$t: & Pro-

<pb 510>[530]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. II.</rh>
ductum erit æquatio, quæ communem cum præceden-
ti radicem habebit.</p>
<p>Ita ut ad hujus Methodi demon$trationem tantummodo pro-
bandum re$tet, æquationem illam primam duas æquales radices
comprehendere. Quod equidem demon$tratu adeò facile e$t, ut
huic rei ulteriùs in$i$tere nihil aliud $it, quàm operam & oleum
perdere.</p>
<p>Et hæc quidem generalis mea Methodus e$t. Particulares ve-
rò, quas antehac in aliquibus exemplis vidi$ti, hinc re$ultant.
quemadmodum ex $ubjunctis operationibus, utroque modo fa-
ctis, per$picere licebit.</p>
<p>1. _Cùm Algebr aïci termini, maximum aut minimum_
_de$ignantes, non ni$i unam incognitam quantitatem con-_
_tinent, & nullas habent fractiones, in quarum denomi-_
_natorc incognita quantitas reperitur_, multiplico tan-
tùm unum quemque terminum per numerum dimen$ionum inco-
gnitæ quantitatis, neglectis quantitatibus omnibus, in quibus
incognita non reperitur, & $uppono Productum = 0.</p>
<p>Ex. gr. $it <math>3 a x^3 - b x^3 - {2bba / 3c} x + aab =</math> alicui maximo.</p>
<tb>
mult. per # <math>3 # 3 # 1</math>
 # fit <math>9a x^3 - 3b x^3 - {2bba / 3c}x =0</math>, vel <math>9axx - 3bxx - {2bba / 3c} =0.</math>
</tb>
<p>Iuxta generalem Methodum erit</p>
<tb>
 # # 3a x^3 - b x^3* - {2bba / 3c} x + aab = 0.</math>
 # # # <math>- z</math>
mult. per Arithm. Progr. # <math>3. # 3.2. # 1. # 0.</math>
 # & $it, ut ante, # <math>9a x^3 - 3b x^3* - {2bba / 3c} x = 0</math>, $eu
 # # <math>9axx - 3 bxx - {2bba / 3c} = 0.</math>
</tb>
<p>2. _Si Algebraïci termini, maximum aut minimum_
_de$ignantes, unam tantùm incognitam quantitatem_
_comprehendunt, atque aliquot fractiones admittunt,_
_in quarum denominatore incognita quantitas reperitur_,
operatio in$titui poterit, hoc pacto:</p>
<p>Primò deleo omnes quantitates cognitas. Deinde $i reliquæ

<pb 511>[531]<rh><sc>DE</sc> M<sc>AXIMIS ET</sc> M<sc>INIMIS</sc>.</rh>
quantitates non eju$dem denominationis fuerint, ip$as $ub eun-
dem denominatorem reduco. Quo peracto, con$idero hujus fra-
ctionis integrum Numeratorem cum unoquoque Membro $eu
parte $eparata Denominatoris ($i ex diver$is partibus con$tet)
tanquam unam quantitatem, Maximum aut Minimum de$ignan-
tem, ac unumquodque membrum $eu partem $eparatam Nume-
ratoris multiplico per dimen$ionum numerum quantitatis inco-
gnitæ i$tius Membri, po$tquam ab eodem numero e$t ablatus di-
men$ionum numerus incognitæ quantitatis, qui in hoc Membro
Denominatoris reperitur; productoque per hoc Membrum De-
nominatoris multiplicato, erunt omnia eju$modi producta $imul
= 0, ut ex $equentibus exemplis clariùs patebit.</p>
<h>1 _Exemplum._</h>
<p>E$to <math>{4aa b^3 + 5 a^3 x + x^5 / x^3} - ax + bx + ab =</math> alicui maximo.</p>
<p>Deletâ quantitate cognitâ <math>ab</math>, reliquisque terminis $ub com-
muni Denominatore reductis, obtinebitur</p>
<math>{4aa b^3 + 5 a^3 x + x^5 - a x^4 + b x^4. / x^3}</math>
<tb>
Mult. num.per # <math>- 3, # - 2, # + 2, # + 1, # + 1:</math>
 # fit <math>- 12 aa b^3 - 10 a^3 x + 2 x^5 - a x^4 + b x^4</math> mult. per <math>x^3 = o.</math>
 # # # &, dividendo per <math>x^3</math>,
 # # <math>- 12 aa b^3 - 10 a^3 x + 2 x^5 - a x^4 + b x^4 = o.</math>
</tb>
<p>Iuxta generalem Methodum</p>
<tb>
 # # e$t <math>{4aa b^3 + 5 a^3 x + x^5 / x^3} - ax + bx + ab = 0</math>,
 # # # # # <math>- z</math>
 # id e$t, <math>4aa b^3 + 5 a^3 x + x^5 - a x^4 + b x^4 + ab x^3 = o;</math>
 # # # # # <math>- z</math>
Seu, ordinatâ æquatione, # <math>x^5 - a x^4 + ab x^3* + 5 a^3 x + 4 aa b^3 = o.</math>
 # # # # <math>+ b # - z</math>
 # # # <math>+ 2, + 1, # 0, - 1, - 2, - 3</math>
 # # # <math>2 x^5 - a x^4 # * * - 10 a^3 x - 12 aa b^3 = o.</math>
 # # # # <math>+ b</math>
</tb>
<h it>2 Exemplum.</h>
<p>E$to <math>{baax + aaxx - bx<x>3</x> - x<x>4</x> / baa + x^3 - a + x =</math> alicui maximo,</p>

<pb 512>[532]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. II.</rh>
<p>Deletâ quantitate cognitâ <math>a</math>, & reliquis $ub communi divi$ore</p>
<tb>
reductis, habebitur # <math>{2baax + aaxx - b x^3 / baa + x^3.}.</math>
 # # <math>+1, + a, + 3</math>
Porrò pro <math>{2baax + aaxx - b x^3 / baa}</math>, $cribo <math>2baax + 2aaxx - 3b x^3</math> in baa # = .
 # # <math>- 2, - 1, o</math>
 # pro # <math>{2baax + aaxx - bx3 / x^3}</math>, $cribo <math>- 4baax - aaxx</math> in <math>x^3</math>
 # Divi$is per <math>aax</math>, habebitur <math>2baa + 2aax - 3bxx</math> in <math>b</math> # = 0</math>
 # # # # <math>- 4bx - xx</math> # in <math>xx</math>
 # # # adeoque <math>- x^4 - 4b x^3 - 3bbxx + 2aabx + 2bbaa = o.</math>
</tb>
<p>Sic & $i fuerit <math>{2baax + aaxx - b x^3 + a^4 / 4 x^3 + 2bxx - 3aax - c^3} =</math> alicui maximo,</p>
<tb>
 # <math>- 2, - 1, 0, - 3</math>
Pro # <math>{2baax + aaxx - bx3 + a^4 / 4 x^3}</math>, $cribo <math>- 4baax - aaxx - 3 a^4 in 4x^3 # = o.</math>
 # <math>- 1, o, + 1, -2</math>
pro # {2baax + aaxx - bx^3 + a^4 / 2bxx}, # - 2baax - b x^3 - 2 a^4 in 2bxx</math>
 # <math>0, + 1, + 2, - 1</math>
pro # <math>{2baax + aaxx - b x^3 + a^4 / - 3aax}, # + aaxx - 2b x^3 - a^4 in - 3aax</math>
 # <math>1, 2, 3, 0</math>
pro # {2baax + aaxx - b x^3 + a^4 / - c^3} # + 2baax + 2aaxx - 3b x^3 in - c^3</math>
</tb>
<p>Iuxta generalem Methodum</p>
<tb>
 # e$t # <math>{2baax + aaxx - b x^3 / baa + x^3} = z</math>
 # vel # <math>2baax + aaxx - bx^3 = baaz + x^3 z</math>
 # $eu # <math>- b x^3 + aaxx + 2baax - baaz = 0</math>
 # # <math>- z</math>
Arith. Prog. # <math>3 # 2 # 1 # 0</math>
 # # <math>- 3b x^3 + 2aaxx + 2baax = 0</math>, hoc e$t,
 # # <math>- 3z</math>
 # # # <math>{- 3b x^3 + 2aaxx + 2baax / 3 x^3} = z</math>
 # # ac proinde # <math>{2baax + aaxx - b x^3 / baa + x^3} = {+ 2baax + 2aaxx - 3b x^3 / 3 x^3}</math>
 # &, ut $upra, # <math>x^4 + 4b x^3 + 3bbxx - 2aabx - 2bbaa = 0.</math>
</tb>

<pb 513>[533]<rh><sc>DE</sc> M<sc>AXIMIS ET</sc> M<sc>INIMIS</sc>.</rh>
<p>Patet itaque, duas has $peciales Regulas in generali illa Me-
thodo e$$e fundatas re$pectu hujus Progre$$ionis 0, 1, 2, 3, 4, &c.
multiplicando $cilicet terminum, in quo incognita quantitas <math>x</math>
non reperitur per 0; ubi <math>x</math> unam habet dimen$ionem per 1; &
$ic porrò. Sed in genere notandum, quòd, dum operando juxta
generalem Methodum Progre$$ionem illam Arithmeticam ad li-
bitum $umere licet, $emper is ter minus æquationis, quem libue-
rit, tolli po$$it, multiplicando illum tantùm per 0. A tque ita va-
lor ip$ius <math>z</math> per unam Progre$$ionem $impliciùs obtineri poterit,
quàm per aliam: ut, $i in præcedenti exemplo, ubi multiplicavi-
mus per 3, 2, 1, 0, multiplica$$emus per 0, 1, 2, 3, obtinui$$e-
mus <math>aaxx + 4baax - 3baaz = o</math>, $eu <math>{xx + 4bx / 3b} = z</math>.</p>
<p>Vnde apparet, ip$am quantitatem <math>z</math> ($ive maximum vel mi-
nimum), $i <math>x</math> cognita $upponatur, inveniri atque exprimi po$$e
multis diver$is modis, è quibus faciliores pro Con$tructione eli-
gere licebit: Aut $i <math>z</math> cognita $upponatur, poterit <math>x</math> totidem di-
ver$is modis inveniri. Porrò con$iderando <math>z</math> & <math>x</math>, ut incognitas,
poterimus ad alterutram tollendam æquationem in$tituere inter
duos ex $implici$$imis valores: ut, in $uperiori exemplo, inter
<math>z = {- 3 bxx + 2 aax + 2 baa / 3xx} & z = {xx + 4 bx / 3 b}</math>.</p>
<p>3. _Si termini Algebraïci, Maximum aut Minimum_
_di$ignantes, plures unâ quantitate incognitâ includunt_,
$uppono ip$os <math>= z</math>; & per hanc æquationem & per cæteras datas,
$eu quæ ex natura Problematis manant, (quæque $emper $imul, $i
omnes Problematis conditiones includunt, tot numero exi$tunt,
quot incognitæ quantitates, unâ exceptâ, habentur, nimirum $i
unum tantùm Maximum aut Minimum inter infinitas magnitu-
dines quæritur, non autem inter infinita Maxima;) reduco æqua-
tiones omnes ad unam, in qua nece$$ariò duæ quantitates inco-
gnitæ continebuntur, & inter eas <math>z</math>. Cumque tunc $ola <math>z</math> ad Ma-
ximi vel Minimi inventionem nota e$$e debeat, manife$tum e$t in
eum finem duntaxat concipiendum e$$e, alteram quantitatem in-
cognitam duas æquales radices habere.</p>
<p>Sumamus, exempli gratiâ, tres æquationes, quibus maximam
latitudinem curvæ determinavi, quales illæ pag. 498 Exercita-
tionum tuarum Mathematicarum reperiuntur; excepto tantùm

<pb 514>[534]<rh>I<sc>OHANNIS</sc> H<sc>VDDENII</sc> E<sc>PIST</sc>. II.</rh>
quòd Maximùm hîc appellem <math>z</math>, & quod ibi <math>z</math> nominatum e$t,
hîc appellem <math>v</math>.
<tb>
1<_>ma</_> Æq. # <math>y^3 - nyx + x^3 = 0</math>
2<_>da</_> Æq. # <math>v - x = y</math>
3<_>tia</_> Æq. # <math>{1/2}v - y = z maximo.</math>
</tb>
Sub$tituto valore ip$ius <math>y</math> 2<_>dæ</_> æquationis in locum ip$ius <math>y</math> 1<_>mæ</_>
& 3<_>tiæ</_>, habebitur
pro 1<_>ma</_> Æq. <math>v^3 - 3vvx + 3vxx = vnx - nxx</math>
& pro 3<_>tia</_> Æq. <math>x = z + {1/2} v</math>.
Subrogato autem valore ip$ius <math>x</math> 3<_>tiæ</_> æquationis in eju$dem lo-
cum in 1<_>ma</_>, fiet pro
<tb>
1<_>ma</_> Æq. # <math>{1/4} v^3 + 3vzz = {1/4} nvv - nzz</math>
 # vel # <math>{1/4}v^3 - {1/4}nvv + 3zzv + nzz = 0.}</math>
</tb>
Atque hæc quidem æquatio jam $ola relicta e$t, in qua igitur ut
ultimæ conditioni Problematis $atis$iat, hoc e$t, ut ea ita deter-
minetur, ut <math>z</math> fiat Maximum, multiplico (quemadmodum ibi fa-
ctum fuit) eandem æquationem
<tb>
 # # # <math>{1/4} v^3 - {1/4}nvv + 3zzv + nzz = 0</math>
per Arith. Prog. # <math>3, # 2, # 1, # 0:</math>
 # obtineoque # <math>{3/4} v^3 - {1/2}nvv + 3zzv ^* = 0</math>
 # # vel # <math>3zz = {1/2} nv - {3/4}vv.}</math>
</tb>
Hinc $ubrogato valore ip$ius <math>zz</math>, per hanc æquationem invento,
in ejus locum in præcedenti <math>{1/4}v^3 - {1/4}nvv + 3zzv + nzz = 0</math>,
obtinebitur <math>{1/4} v^3 - {1/4}nvv + {1/2}nvv - {3/4} v^3 + {1/6} nnv - {1/4}nvv = 0</math>
hoc e$t, <math>- {{1/2} v^3 + {1/6}nnv = 0 / vel vv = {1/3}nn.}}</math></p>
<p>Si Arithmetica Progre$$io fui$$et <math>0, 1, 2, 3,</math> inveni$$emus
<math>3 zz = {nvv / 8v + 4n}</math>; $i <math>2, 1, 0, - 1,</math> habui$$emus <math>3 zz = {{3/2} v^3 - {3/4}vvn / n}}</math>
Et $ive valor ip$ius <math>zz</math>, per utramlibet harum æquationum in-
ventus, in præcedenti $ubrogetur æquatione <math>{1/4} v^3 - {1/4}nvv + 3zzv
+ nzz = 0</math>, $ive alter alteri adæquetur, ponendo <math>{1/2}nv - {3/4} vv
= {nvv / 8 v + 4n}</math>, vel <math>= {{3/2} v^3 - {3/4}vvn / n}</math>, obtinebitur $emper <math>vv = {1/3} nn</math>.
Quamvis autem operationes uno aut alio modo factæ hîc parùm

<pb 515>[535]<rh><sc>DE</sc> M<sc>AXIMIS ET</sc> M<sc>INIMIS</sc>.</rh>
inter $e differant, pote$t tamen $æpe numero, ut $upra monui,
contingere, ut una multo prolixior ac difficilior $it quàm alia,
quo quidem ca$u commodiorem viam, quæ facilè per$picitur,
eligere $atius erit.</p>
<p>Cæterùm notandum, ultimam hanc æquationem <math>{1/4} v^3 + 3 vzz
= {1/4} nvv - nzz</math> determinari ctiam po$$e per $ecundum modum
præcedentem. Etenim exi$tente <math>zz = {{1/4} nvv - {1/4} v^3 / 3 v + n}, & z =</math> ma-
ximo: erit etiam hic valor ip$ius <math>zz</math> omnium maximus, ideo-
que</p>
<tb math>
 # {1/4} nvv - {2/4} v^3 in 3 v # = 0
div. per vv. # # {2/4} nvv - {3/4} v^3 in n
 # vel {1/4}n - {2/4} v in 3 v # = 0, id e$t, # {3/4} nv - {6/4} vv # = 0
 # # {2/4} n - {3/4} v in n # # {2/4} nn - {3/4} nv
 # # # vel # {2/4} nn - {6/4} vv = 0
 # # # # $eu {1/3} nn = vv.
</tb>
<p>Quoniam verò in multis ca$ibus æquatio ultimò relicta non
$init ut valor ip$ius <math>z</math> vel <math>zz</math>, aut <math>z^3</math>, &c. in eju$modi terminis, in
quibus ip$e <math>z</math> non invenitur, exprimi po$$it, vi$um fuit in exempli
hujus operatione generalem Methodum indicare.</p>
<p>Atque hîc, Vir Amici$$ime, multa adhuc dicenda re$tarent,
$ed ne rur$us epi$tola mea voluminis in$tar $e extendat, $criptio-
nis meæ filum abrumpam; præ$ertim cum id, quod hîc de$idera-
tur, non difficile $it ex præcedentibus colligere. At verò ne te
lateat, quid hîc de$iderari putem, adjungam argumentum tra-
ctatus, quem de hac materia ante 2 aut 3 annos in proprios u$us
adornavi, quemque nuper obiter & qua$i per tran$ennam in$pe-
xi$ti. In eo autem pertractantur</p>

<pb 516>[536]<rh>I<sc>OH</sc>. H<sc>VDD</sc>. E<sc>P</sc>. II. <sc>DE</sc> M<sc>AX</sc>. <sc>ET</sc> M<sc>IN</sc>.</rh>
<tb>
 ######### 1. _Methodus de Maximis & Minimis._ Termini verò Alge-
 # # ####### braici, Maximum vel Minimum de$ignantes, con$iderantur
 # ######## 1. _Velre$pectu cognitionis no$træ, $ic ut certi $imus in_
 # # # ###### _iis Maximum e$$e comprehen$um, $i aliquod detur_
 # # # ###### _Maximum; aut Minimum, $i aliquod Minimum_
 # # # ###### _detur._
 # # # # ##### Termini autem hi Algebraïci in $e continent
 # # # # ##### _Velunam duntaxat incognitam quantitatem_,
 # # # # # #### habentem
 # # # # # #### 1. _Velfractionem nullam, in cujus Denomi-_
 # # # # # # ### _natore incognita reperitur quantitas._
 # # # # # #### 2. _Vel fractiones, in quarum Denominatore_
 # # # # # # ### _ip$a reperitur_.
 # # # # ##### _Vel plures unâ incognitâ quantitate_, quæ du-
 # # # # # #### plices $unt
 # # # # # # # ## 1. _Veltot $imul cum i{is} æquationes_
 # # # # # # # # _dantur, $eu in natur a Problema-_
 # # # # # # # # _t{is} includuntur, quot $unt inco-_
 # # # # # # # # _gnitæ quantitates una exceptâ_;
 # # # # # # # ## 2. _Vel non totidem, aut etiam nullæ_.
 # ######## 2. _Vel re$pectu no$træ in$cientiæ_, id e$t, cùm incerti $umus,
 # # ####### utrum in iis aliquod Maximum aut Minimum, aut utrum-
 # # ####### que, aut etiam neutrum contineatur, ip$os autem rur$us
 # # ####### con$idero vel _ab$olutè_, vel _relativè_ ad aliquod Problema.
 ######### 2. _Eju$dem u$us atque utilitas_, quæ quidem $e longè lateque
 # ######## extendit, ac præ$ertim ad ea Problemata, quæ aliàs difficulter ad
 # ######## æquationem revocari po$$unt. Cujus exemplum illu$tre e$t
 # ######## _Determinatio omnium æquationum_, quæ res adeò gene-
 # ######## ralis atque utilis, hujus Methodi tantùm corollarium exi$tit.
</tb>
<h it>Vale, Vir Amici$$ime, & me amare perge.</h>
<p it>Dabam Am$telædami
6 Cal. Februar.
Ao 1658.</p>
<p>Tui</p>
<p it>Ob$ervanti$$imum</p>
<h>I<sc>OHANNEM</sc> H<sc>VDDE</sc>.</h>
<h>FINIS.</h>

<pb 517>[537]
<h>HENRICI van HEVRAET
EPISTOLA
DE
TRANSMVTATIONE
CVRVARVM LINEARVM
IN RECTAS.</h>
<h it>Clari$$imo Viro</h>
<h>D. FRANCISCO à SCHOOTEN
HENRICVS van HEVRAET
S. D.</h>
<p it>_C_Vm nuperrimè ex tuis ad me datis, Vir Cla-
ri$$ime, intellexerim, de$iderio te teneri viden-
di Methodum à me inventam, cujus benefi-
cio complures curvæ line æ (ut tibi indicavit
_D. Huddenius_) in rectas po$$unt tran$mutari: non omit-
tendum duxi, quin eandem tibi ocyùs tran$mitterem, tuo-
que inprimis judicio exponerem. Verùm præmonere te
volui, eam à me tunc temporis excogit at am e$$e, cùm iter
in Galliam meditarer, quo nec omnia, quæ ea dere dici
queunt, perpendere, nec quæ ante di$ce$$um inveneram,
chartis committere valui. In Gallia verò nunquam rebus
Mathematicis vacare, $ed me totum aliis $tudiis applica-
re con$titui, adeò ut vix quicquam prælo dignum me $cri-
bere po$$e confidam. Attamen ut petitioni tuæ utcunque
$atisfaciam, habitâratione temporis, quod mibi valde ca-
rum e$t: vi$um fuit in memoriam revocare, ac breviter
con$cribere, quæ ante circa banc rem meditatus $um, ea-
que paucis hîc $ubjicere. Quæ, $i Mathematicis non di-
$plicitur a judices, Comment ariis tuis adjungere poteris.</p>
<p>Dat. Salmurii, die 13
Ianuarii. Ao.1659.</p>
<p>Huddenius _no$ter te_
_$alutat diligenter._</p>
<p it>Vale, & perge amare</p>
<p>ex a$$e tuum</p>
<p>H<sc>ENRICVM</sc> van H<sc>EVRAET</sc>.</p>

<pb 518>[538]<rh>H<sc>ENRICI</sc> van H<sc>EVRAET</sc> E<sc>PISTOLA</sc></rh>
<p>Si dentur duæ lineæ curvæ, exempli gratia, ABCDE,
GHIKL, & recta AF, ejus naturæ, ut, (ductâ ex pun-
cto M, in linea AF pro libitu a$$umpto, perpendiculari
MI, $ecante datas curvas in C & I, uti & CQ perpen-
diculari ad curvam ABCDE,) MC $it ad CQ, $icut
linea aliqua data ∑ ad MI: erit $uperficies AGHIKLF
æqualis rectangulo comprehen$o $ub data linea ∑ & alia
recta æquali curvæ ABCDE.</p>
<fig>
<var>Δ A G R _f a_ ∑ N O B H Y _b_ S C _g_ M I Z X _h c_ Q P T D K _c i d_ F V E L</var>
</fig>
<p>Dividatur linea
A F in partes quot-
cunque, verbi gra-
tiâ, in punctis O,
M, & P, ducantur-
que perpendicula-
res O H, M I, P K,
$ecantes curvam
A B C D E in pun-
ctis B, C, & D, at
curvam G H I K L
in punctis H, I, &
K; & per puncta
A, B, C, D, & E
agantur tangentes,
quæ $ibi mutuò oc-
currant in R, S, T,
& V; & per hæc
puncta ducantur li-
neæ R _a_, Y _b_, Z _c_,
_e d_ perpendiculares
ip$i A F; & per
puncta G, H, I, K,
& L agantur lineæ
ip$i A F parallelæ,
$ecantes R _a_ in _f_ &
_a_, Y _b_ in _g_ & _b_, Z _c_

<pb 519>[539]<rh><sc>DE</sc> T<sc>RANSMVT</sc>. C<sc>VRVAR</sc>. L<sc>IN. IN</sc> R<sc>ECT</sc>.</rh>
in _h_ & _c_, _e d_ in _i_ & _d_; denique ex S ducatur SX parallela lineæ
A F, producaturque tangens T S u$que in N.</p>
<p>Propter rectum angulum N C Q, erit C M ad C Q, ut M N
ad N C. Atqui M N e$t ad N C, ut S X ad S T. Quare erit S X
ad S T, ut C M ad CQ. Et quia C M e$t ad C Q, ut ∑ ad M I,
erit & S X ad S T, ut ∑ ad M I, ac proinde rectangulum $ub
S X $ive Y Z & M I $ive Y _b_ æquale rectangulo $ub S T & ∑. Eo-
dem modo demon$trabitur, rectangulum _c e_ e$$e æquale ▭<_>10</_> $ub
T V & ∑, & ▭ _d_ F = ▭ V E, ∑, & ▭ _a_ Y = ▭<_>10</_> $ub R S & ∑.
Quapropter omnia hæc rectangula $imul $umpta æqualia erunt
rectangulo $ub ∑ & alia recta æqualia omnibus tangentibus $imul
$umptis. Vnde cum illud verum $it, quotcunque rectangula at-
que tangentes extiterint, & figura ex parallelogrammis con-
$tans, $i eorum numerus in in$initum augeatur, de$inat in $uper-
ficiem A G H I K L F, ac tangentes $imiliter in lineam curvam
A B C D E, liquet $uperficiem A G H I K L F æqualem e$$e re-
ctangulo $ub ∑ & recta æquali curvæ A B C D E. Quod erat
demon$trandum.</p>
<p>Quomodo autem hinc longitudo datæ curvæ lineæ inve$tigari
po$$it, $equentibus exemplis patebit.</p>
<p>Sit primò curva A B C D E ejus naturæ, ut, $umpto in linea
A F pro libitu puncto M, ductâque perpendiculari M C, $i A M
vocetur <math>x</math>, & M C vocetur <math>y</math>, $emper <math>yy</math> $it <math>= {x^3 / a}</math>. Deinde po$i-
tis <math>A Q = $, C Q = v, & M I = z</math>: erit <math>Q M = $ - x</math>, & ejus
quadratum <math>= $$ - 2 $ x + xx</math>. Cui $i addatur quadratum ex MC,
hoc e$t, <math>yy</math> $ive <math>{x^3 / a}</math>, invenietur <math>$$ - 2 $ x + xx + {x^3 / a} = vv</math>.</p>
<p>Propter duas æquales radices</p>
<tb>
mult. juxta meth. Huddenii per # <math>0 # 1 # 2 # 3 # 0,
 # & invenietur<math>- 2$x + 2xx + {3x^3 / a} = 0.</math>
</tb>
<p>Vnde A Q $ive <math>$ = x + {3xx / 2a}.</math> à qua $i $ubtrahatur <math>A M = x</math>, re-
manebit <math>M Q = {3xx / 2a}</math>, cujus quadratum e$t <math>{9x^4 / 4aa}</math>. cui adde ▭ C M
$eu <math>{x^3 / a}</math>, & proveniet ▭ <math>C Q = {9x^4 / 4aa} + {x^3 / a}</math>. Erit jam ut <math>CM √ {x^3 / a}</math>
ad <math>C Q <r>{9x^4 / 4aa} + {x^3 / a}</r>, ita cognita aliqua linea, puta <math>{1/3} a</math>, (licet

<pb 520>[540]<rh>H<sc>ENR</sc>. van H<sc>EVRAET</sc> E<sc>P</sc>. <sc>DE</sc> T<sc>RANSMVT</sc>. &c.</rh>
enim eam pro libitu a$$umere) ad <math>M I = z</math>, eritque <math>z = <r>{1/4}ax + {1/9}aa.</r></math>
Id quod arguit, lineam G H I K L e$$e Parabolam, cujus vertex
e$t in Δ, exi$tente <math>A Δ = {4/9} a</math>, & latere recto <math>= {1/4}a</math>. ac proinde
longitudo lineæ curvæ A B C D E e$t <math>□ {v^3 / a} - {8/27} a</math>, exi$tente
Δ <math>F = v</math>.</p>
<p>Similiter $i loco <math>yy = {x^3 / a}</math> ponatur hæc æquatio <math>y^4 = {x^5 / a}</math>, aut
<math>y^6 = {x^7 / a}</math>, aut <math>y^8 = {x^9 / a}</math>, atque $ic porrò in infinitum: invenietur
$emper $uperficies A G H I K L F ejus naturæ ut quadrari po$$it,
ac proinde omnes hæ curvæ in rectam $unt permutabiles.</p>
<p>Si verò A B C D E $it Parabola, cujus axis A G, & latus re-
ctum <math>= a</math>: invenietur <math>M Q = {2 x^3 / aa}</math>, & ejus quadratum <math>= {4 x^6 / a^4}</math>. cui
adde quadratum C M, & habebitur <math>{4 x^5 / a^4} + {x^4 / aa}</math> pro ▭ C Q. Hinc
ut <math>C M {xx / a}</math> ad <math>C Q <r>{4 x^6 / a^4} + {x^4 / aa}</r></math>, $ic cognita aliqua linea, puta <math>a</math>,
ad <math>M I = z</math>: eritque <math>z = <r>4xx + aa</r></math>, & linea G H I K L Hy-
perbola, cujus axis linea A G, centrum punctum A, latus re-
ctum <math>= {1/2} a</math>, & tran$ver$um <math>= 2 a</math>.</p>
<p>Quod ip$um docet, longitudinem curvæ Parabolicæ inveniri
non po$$e, quin $imul inveniatur quadratura Hyperbolæ, & vi-
ce versâ.</p>
<h>F I N I S.</h>

<pb>[541]
<h>PRINCIPIA
<red>MATHESEOS</red>
VNIVERSALIS,
_SEV_
<red>INTRODVCTIO</red>
AD
GEOMETRIÆ METHODVM
<red>RENATI DES CARTES,</red>
Con$cripta ab
<red>E<sc>R</sc>. B<sc>ARTHOLINO</sc>,</red> C<sc>ASP</sc>. F<sc>IL</sc>.</h>
<p it>Editio tertia, priore correctior.</p>
<fig>
<cap>INDEFESSUS AGENDO</cap>
</fig>
<h it><red>AMSTELODAMI,</red></h>
<h>Ex Typographia B<sc>LAVIANA</sc>, <red><sc>MDCLXXXIII</sc>.</red></h>
<p it>Sumptibus Societatis.</p>

<pb>[542]

<pb>[543]
<h it>Generis & virtutum Nobilitate Perillu$tri
& Genero$o Heroï,</h>
<p>D. CHRISTIANO THOMÆ,
TOPARCHÆ IN STAVGARD,
Equiti Aurato, Sereni$$imæ Regiæ Maje$tatis
Cancellario Magno, Regni Daniæ Senatori
primario, Regiæ Academiæ Hafnien$is Con-
$ervatori $ummo, Patrono incomparabili.</p>
<p>NOn minùs verè quam ele-
ganter Cicero lib. 1. Tu$c.
quæ$t. _Magni_, inquit, _e$t_
_ingenii revocare mentem à $en-_
_$ibus, & cogitationem à con$ue-_
_tudine abducere._ Cùm enim mens no$tra,
quam in nobis conclu$am circumferi-
mus, divina quædam particula habea-
tur, nihil $anè illi gratius accidere po-
te$t, quàm, cùm contemplando à cor-
poreis rebus laxatur, originique $uæ
quàm $imillima redditur. Sen$uum

<pb>[544]<rh>E<sc>PISTOLA</sc></rh>
quippe u$urâ non minus fruuntur bru-
ta animantia, quàm homines, imò,
quædam longè nobis præ$tant; mente
verò quia non gaudent, univer$am
hanc mundi machinam, qua$i tabu-
lam pictam a$piciunt, nec cogitant
quâ de causâ quóve modo tot varie-
tates rerum $int ordinatæ. Quicun-
que igitur hominum non cupiunt $e-
metip$os privare bono, quo reliqua
animantia excedunt, non temerè
permittent $e$e $en$uum judicio ita
mancipari, ut ea $ufficere putent,
quæ manibus qua$i palpare po$$unt,
ac pauca velint $i non oculis omnium
obvia, pauciora credant quæ $en$us
non approbant, & pauci$$ima eligant,
ni$i ab experientia firmentur. Non
equidem diffiteri po$$umus, hoc pro-
po$itum utile e$$e atque nece$$arium,
ut initio juvetur cogitatio no$tra &

<pb>[545]<rh>D<sc>EDICATORIA</sc>.</rh>
intellectus; unde factum e$t, quòd
Geometræ figuras, Arithmetici nu-
merorum characteres, alii\’que alia
$ub$idia invenerint; Sed experimen-
tis eju$modi vix acquie$cere debent
magna ingenia, nec pote$t is, qui $a-
pientiæ famam affectat. Communis
enim experientia docet, multa facilè
mereri mentis a$$en$um, & e$$e ve-
ri$$ima, etiam$i $en$uum judicio pro
veris non agno$cantur: & vice ver-
sâ, $en$us quædam approbare; quæ,
quia fal$a, ratio nullo modo admit-
tere pote$t. Atque hæc licèt omni-
bus in confe$$o $int, non de$unt ta-
men, qui nihil ni$i Praxin amantes,
Theoriam & $peculationes omnes o-
dio pro$equuntur, atque ut inutilia
eliminant: quos pertinaciæ $uæ $erò
nimis poenitebit, cùm aliorum impe-
rio ita $ubjecti e$$e coguntur, ut ne

<pb>[546]<rh>E<sc>PISTOLA</sc></rh>
in Praxi quidem $olita ob$tacula re-
movere $ciant, nec unquam novi
quicquam addi$cant, ni$i quod vel
ca$us ip$is, vel aliorum humanitas $up-
peditaverit. At alii, quorum animus
longiùs ex$patiatur, & demon$tra-
tiones cau$as\’que inquirit, utilia mul-
ta inveniunt, quæ ab aliis ignoran-
tur; adeo\’que in Praxi multa excogi-
tantes compendia, allaborant ut tæ-
dia & impedimenta obvia tollantur;
quorum tamen inventa non e$$ent
repudianda, etiam$i humani ingenii
imbecillitas, aut u$us raritas, ea $ta-
tim ad praxin revocare prohiberet.
Hinc non contenti doctiores iis, quæ
à Geometris aut Arithmeticis demon-
$trata atque inventa $unt, quæ \’que
u$us dudum confirmavit, ni$i vel
ip$as demon$trationes penetrare, ea$-
dem\’que invenire po$$int; adeo\’que

<pb>[547]<rh>D<sc>EDICATORIA</sc>.</rh>
$uperflua re$cindere, defectus $upple-
re, & deperdita re$tituere queant.
Neque enim exi$timandum e$t, ma-
jores no$tors omnem po$teris præri-
pui$$e materiem, quâ excolatur inge-
nium; cùm contra $ocordiæ meritò
nos incu$arent, $i plus temporis in
$criptis $uis etiamnum intelligendis
impendi, quàm ip$i in incognitis in-
veniendis po$uêre, viderent. Ad quæ
invenienda cùm non aliâ viâ, (quan-
tum con$tat) quàm quæ per compo-
$itionem & re$olutionem procedit,
uterentur, quæ\’que naturalis potiùs
ingenii facultas aut indu$tria, u$u &
exercitatione potita, quàm ars certis
legibus & præceptis contenta, dici
meretur; Recentiores artem quan-
dam excogitarunt, quam vocant A-
nalyticam, cujus principia tradit hoc
opu$culum. quæ po$tquam innotuit,

<pb>[548]<rh>E<sc>PISTOLA</sc></rh>
longè plura & majora, quàm ab An-
tiquitate nobis relicta $unt, in lucem
prodiêre. Non patitur tempus & lex
$cribendi, ut commemorem, quan-
ta ex hac arte, non tantùm ad Arith-
meticam, Geometriam, Mechani-
cam, $ed etiam Opticam alias\’que
$cientias manaverint emolumenta.
Nihil enim $ani antehac de vi$u novi-
mus, cum omnia hîc, $icut in aliis
artibus, quæ materiæ immer$æ, non
ab$trahuntur à $en$ibus, ad directio-
nem mentis, di$putationibus huc il-
luc trahebantur; jam omnia deter-
minata, omnia demon$trationibus
munita. Qui enim in Opticis non pla-
nè ho$pites $unt, $at $ciunt, quàm in-
certa, quam\’que defectuo$a fuerint
ea, quæ de Refractionum legibus an-
tea novimus, & quàm fal$a illa deter-
minatio figuræ vitrorum, (de quibus

<pb>[549]<rh>D<sc>EDICATORIA</sc>.</rh>
Dioptrica agit) quâ nihil jam nobis
optari pote$t perfectius, nihil certius.
$ed de his for$an aliàs. Id mihi in præ-
$ens $ufficit, hanc artem $ibi proprio
jure vendicare non $olùm ea, quæ de
Mathe$eos utilitate, deque Arithme-
ticæ, Geometriæ, A$tronomiæ, &
Mu$icæ præ$tantia, tot rationibus,
tot voluminibus, totque $eculis dicta
$unt, $ed & multò plura; quod facilè
demon$trare po$$em, ni$i plurimis,
qui hæc penitiùs intro$picere dignan-
tur, notum id fore $cirem. Nec opus
mihi e$t, multa coram Te, Heros Per-
illu$tris, de hujus artis totiusque Ma-
the$eos utilitate dicere: quoniam,
dum animus tuus magna $emper &
excel$a meditatur, Mathematicas et-
iam $cientias colui$ti & amplexus es,
nihilque Tibi ad $apientiæ comple-
mentum dee$$e volui$ti. Sed malo de

<pb>[550]<rh>E<sc>PISTOLA</sc></rh>
Heroicis & eximiis tuis virtutibus
tacendo, publicum omnium te$timo-
nium implorare, quàm in præ$ens
pauca dicere. Ars $anè Analytica per-
$pectum habet, cujus viri præ$idium
expectat, cùm implorat tuum: nec
enim Daniæ unquam, quamdiu Ma-
the$is aliæque artes liberales tales in-
venerint Patronos, vel virtus vel $a-
pientia deficiet. Patere igitur, Heros
Perillu$tris, nomini tuo Principia hæc
in$cribi, & fructum inceptæ peregri-
nationis $erenâ fronte accipe. Tui e-
nim nominis clypeo munita, frontem
audent obvertere ho$tibus, quibus
$eculum hoc abundat, quique varia
tela in obvios effundere non veren-
tur, prout affectus malevoli ip$is di-
ctaverint. Solent plerique, qui rodere
amant, objicere, pervulgata omnia
e$$e & ex aliis de$umpta; quâ cen$ura

<pb>[551]<rh>D<sc>EDICATORIA</sc>.</rh>
quamquam $ciam hoc $criptum non
po$$e notari; tamen præ$agit animus,
fore, ut hæc tanquam inutilia & nimis
curio$a rejiciant. Si enim intellexe-
rint, hoc ambitu, etiam Algebram
complecti, fa$tidio commoti, $ubtili-
tates ejus cane pejus & angue fu-
gient. Sed vix metuet $ibi Ars Ana-
lytica à talibus ho$tibus, nam, cum
docti$$imis quibusque Mathematicis,
quibus $eculum hoc qua$i $uperbit,
probetur, de reliquis ip$i minus e$t la-
borandum: nec ulla alia hujus Me-
thodi defen$io requiritur, ni$i quam
experientia, & ip$ius rei intellectæ
u$us attulerit. Et, ut verba in pauca
conferam, $i tuo exacti$$imo limati$-
$imoque judicio probentur, nullius
in po$terum cen$uram aut notam per-
time$cent. Neque ego exilitate ope-
ris deterritus, $ed contra utilitate po-

<pb>[552]<rh>E<sc>PISTOLA</sc> D<sc>EDICATORIA</sc>.</rh>
tius in$tigatus, Tibi hæc con$ecra-
re $um veritus: & quidem tantâ ma-
jore fiduciâ, & $pe certiore, quantò
certius mihi con$tat Te omnibus iis,
qui inter bonas artes etiam Mathe-
maticis incumbunt, favere; quem
favorem quotidie familia no$tra $en-
tit, & grato animo $emper recolit.
Vale regni Daniæ decus, & æqui bo-
nique con$ule hoc grati animi monu-
mentum, quod humillimè offert</p>
<h it>PERILLVSTRIS GENEROSIT ATIS
TV AE</h>
<p it>Scribebam Leidæ,
Anno cI{con} I{con}c L.
Calend. Iun.</p>
<p>Devoti$$imus & ob$equen-
ti$$imus cliens</p>
<p>E<sc>RASMIUS</sc> B<sc>ARTHOLINUS</sc>.</p>

<pb>[553]<rh>LECTORI S.</rh>
<p it>_C_Vm omnes $apientes audire velint, & nihil tam
temer arium tamque indignum $apientis gravi-
tate atque con$tantia $it, quàm aut fal$um $en-
tire, aut quod non $atis explor atum $it, $ine ulla
dubit atione defendere: ne$cio quo fato fiat, quòd
non oper am dent eju$modi $tudiorum viam ingredi, quâ mens
ad$ue $cat verum à fal$is & dubiis di$tinguere. Quandoqui-
dem enim à tener is ad$ue $cere multum e$t, egregiè $ibi con-
$ulerent, $i ad Mathe$in excolendam ab ineunte ætate ani-
mum appellerent. Mathematicas autem di$ciplinas hanc
præ aliis babere prærogativam, vix dubitari pote$t, modò
con$ideretur, quicquid in iis concluditur & determinatur,
id omne ex præmi$$is nece$$itate quadam $equi, vel verum,
vel dubium, vel fal$um, prout præmi$$æ variis modis $e$e
babuerint: Adeò ut, et$i non aliis u$ibus in$erviret Mathe-
$is, tamen vel hoc nomine, ad $ui cognitionem trabere debe-
ret etiam eos, quibus nullum aliud ex ea $per aretur emolu-
mentum. Quod cum abundè ob$ervatum & u$u comprobatum
$it à Veteribus, quos plerique no$tra ætate ita $u$piciunt &
vener antur, ut majus quoddam animo complexi, plus mul-
to etiam vidi$$e videantur, quàm quantum no$trorum inge-
niorum acies intueri pote$t; inter alia mir ari $ubit, omnes
ferè, exemplum illorum bac in re de$erui$$e. Quippe comper-
tum e$t, antiquos Philo$ophos non permi$i$$e, αγεωμεႤρήτȣς
$cholas $uas ingredi, ut ad Sapientiæ $tudium admitter en-
tur, quique ante non baberent λαϐὰς τῆς φιλο☊φίας. Quod
$anè propo$itum, non ratione prudentius, quàm eventu fe-
licius fuit: cum hanc fui$$e cau$am, quòd ad illam pertige-
rint $cientiam, quam po$terit as tantopere miratur, & quò
virtute $ua nonnulli eniti $e po$$e de$perant, conjiciam.
Fru$tra enim $pectatur fructus di$ciplinarum, ab eo, qui
earum altitudinem non metitur; nec in cacumen evadere

<pb>[554]<rh>P<sc>RÆFATIO</sc></rh>
pote$t, qui non $olerter rimatur viam, & aditus, qui eò
ferunt, negligit. Mathe$is autem, cum ex notionibus $im-
plici$$imis, cognituque facillim{is}, ad difficilior a, atque re-
moti$$ima quæque cogno$cenda perducat juniores, qui præ-
concept{is} opinionibus vacui non impediuntur varietate re-
rum, quæ anim{is} provectiorum inhærent; non dubito, quin
$i ea à tener {is} imbuatur mens, ad aliarum quoque rerum,
maximè compo$itarum atque ob$curiorum, cognitionem $it
penetr atur a. Et quoniam Mathe$is vari{is} partibus con$tat,
quæ omnes circa quantitatem ver $antur; res à no$tri $eculi
Luminibus eò redacta e$t, ut generaliter illæ omnes tra-
ctari, & quantitas hæc in univer $ali & ab$tracto per lite-
ras Alphabeti concipi po$$it. Ita enim, factâ ad omnes quan-
titat{is} $pecies applicatione, intellectus ratiocinando ad va-
rias res inveniendas di$tinctè progredi pote$t. Po$t quam nu-
tem Methodus illa diu latuit, tecta verborum involucr{is},
cum quibus prius luct andum er at quàm fructus ullus $pe-
rari poterat; opportunè nob{is} Nobili$$imus D. Des-cartes,
in$uper abil{is} ingenii Vir (qui, reclusâ à $e, bactenus inco-
gnitâ, ad veram $apientiam viâ, po$t tot $eculorum fædi$-
$imam $ervitutem, omnibus imit ando exemplo, ita naturæ
my$teria pandit, ut ver æ $apientiæ $tudium, humanarum-
que $cientiarum encyclopædia & perfectio, immaturâ ejus
ac deplor abili morte, major em nunquam jactur am facere
potuerit) eam ad hanc facilitatem per duxit, ut, quod diffi-
cultat{is} reliquum e$t, non aliâ ratione quàm $tudio & dili-
gentia evinci po$$it. Taceo hîc perfectionem, ad quam res
Mathematic as hujus Metbodi $ub$idio redegit: cum ip$a-
rum te$timonia non tantùm invitos laudumque $uarum de-
tractores in illis palmam ei dare cogant, $ed etiam quou$-
que, humanum ingenium in ii$dem progredi quidve præ $ta-
re valeat determinent. Verùm enimvero cum omnium ma-
gnarum rerum $icut arborum altitudo nos delectet, & ra-

<pb>[555]<rh>A<sc>D</sc> L<sc>ECTOREM</sc>.</rh>
dices $tirpe$que non item: $ic multi ad $umma pervenire
optarent, ni$i in elementis hærere opus haberent. atqui,
quemadmodum illa altitudo $ine radicibus, $tirpibu$que e$$e
non pote$t; ita illi fru$tra $e in id fa$tigium recipi $perant,
quibus cordi non e$t fundamenta fideliter jacere. Et cum
ant ehac non edita $int ulla principia, quæ ad adita hujus
Methodi ducerent; quid mirum? $i multi in ip$o limine hæ-
$it averint, plure$que, quos, re inexpertâ, de$peratio in fu-
gam averterit. Etenim nec hujus Methbodi Auctor, nec Do-
cti$$imi ejus Commentatores à $emetip$is impetrare potue-
runt, nt bonas horas, quas $ubtilioribus inventis dicave-
rant, in edendis, quæ viam ad hanc Metbodum $ternerent,
impenderent. Cum itaque nihil hac in re, omnibus vot is,
tam à me ip$o olim, quàm à mult is hodie expetita, præ$ti-
tum e$$e repererim: diu multumqne inter $pem & metum
herens, dolui, tamdiu inter tot Mathematicorum monu-
menta ea de$ider ari, quæ ad $cientiarum incrementa emun-
etioris naris homines nece$$ariò requiri jam pridem cen$ue-
runt. Ego $anè opportunitate mira, ante aliquot annos
voti campos factus, po$tquam ad ba$ce or as Academiam Il-
lu$trem, quæ Leidæ e$t, acce$$i, Vir Celeberrimus atque Do-
cti$$imus Franci$cus à Schooten, Mathe$eos ibidem Pro-
fe$$or publicus, me Artem Analyticam, hancque Metho-
dum, tam eximia fide docuit, ut ad perfectionem nihil mi-
bi præter ingenium & propriam indu$triam defui$$e cre-
diderim. Quocirca $epo$it â privati commodi æ$timatione ut
plures felicit at is hujus participes facerem, & quæ propriis
u$ibus de$tinaveram, publici juris redderem, de elemen-
tis hi$ce, quibus inter alia imbutus eram, evulgandis, co-
gitare cæpi. Et licèt ver erer ne amicitiæ jura, quæ inter
nos cum fido $emper $ervari optabam, hac ratione viola-
rem; tamen facilem mihi veniam $perabam, $i non ni-
$i officio$a fraude fallerem, quæ gloriæ ejus, qui $e bono

<pb>[556]<rh>P<sc>RÆFATIO</sc></rh>
publico uni devovit, cedere, nec aliàs magis animum meum
gratum te$tari po$$et. Ac ne primas quidem $pes fortuna
de$tituit: quippe ab ip$o, qui nullum erga me bene volentiæ
pignus atque indicium omittit, non modò veniam hujus zeli
impetravi, $ed & eam humanitatem, ut omnia perlegere
& examinare haud gravatus fuerit, lucemque ingenii &
con$ilii $ui porrigere. Operis brevitatem quod attinet, non
e$t, quam di$plicere cuipiam putem: $iquidem copiam exem-
plorum, quibus ad di$cendum nihil aptius, nullus (ut opi-
nor) hîc de$iderabit; in quibus afferendis eju$modi dele-
etus e$t ob$ervatus, ut, quoad fieri potuit, in medium ad-
ducerentur ea, quæ vel in ip$o Auctore, vel in ejus Com-
mentatoribus reperiuntur: quæ ideo $par $im ita $unt di$po-
$ita, ut, meo judicio, non alio loco meliùs intelligi, $imul-
que prædictis locis illu$tr and is in$ervire potuerint, in quem
finem, in margine paginarum citationem additam e$$e ap-
parebit. Adeò ut, quicunque tantùm Aritbmeticæ Spe-
cies, cum in integris, tum in fractis perdidicerit, levique
numerorum irrationalium notitiâ in$tructus, in allatis
exemplis accur atè examinandis $e$e exercuerit, $e non in-
utiliter tempus, ubi ad Geometriam D<_>ni</_>. Des-Cartes ac-
ce$$erit, con$ump$i$$e experturus $it. Quin imò videbit ja-
nuam re$er atam omni ei, quod ab Algebra & Analy$i Geo-
metrica ex$pectari pote$t: ideoque $e Mathe$eos Vniver-
$alis con$titutionem animo comprehendi$$e. neque enim exi-
$timo, hi$ce intellectis, operæ pretium fore, Algebræ vul-
garis cognitionem ampliùs exoptare, licèt leviorem ejus
notitiam, vel ip$e D. Des-Cartes, antehac, ad $uæ Geo-
metriæ Methodum intelligendam, requi$iverit. Vale.</p>

<pb 1>[557]
<h>PRINCIPIA
MATHESEOS
VNIVERSALIS,
_SEV_
INTRODVCTIO
AD
GEOMETRIÆ METHODVM
RENATI DES CARTES.</h>
<h it>D<sc>E LOGISTICA QV ANTIT ATVM SIMPLICIVM</sc>.</h>
<p>_C_V<sc>M</sc> in omni Scientia, ad difficiliorum re-
rum cognitionem, utile $it à $implici$$imis
& cognitu facillimis ordiri; haud incon$ul-
tum fuerit, ad generalem atque facilem
comprehen$ionum Mathematicarum Scien-
tiarum, quæ omnes circa quantitatem ver-
$antur, ad ea primùm attendere, quæ non
aliquam ejus $peciem excludere, $ed eas,
quocunque $e habeant modo, $ub certis notis cuique ob-
viis repræ$entare po$$int. Vnde cum in univer$a illarum
<mgr>_Vide di$-_
_$ertationem_
_de metho-_
_do, parte_
_$ecunda._</mgr>
Scientiarum con$titutione, licèt diver$a objecta re$piciant, non
ni$i relationes $ive proportiones quædam, quæ in iis reperiun-
tur, con$iderentur; con$entaneum e$t rationes atque propor-
tiones illas $eor$im $pectare, easque literis Alphabeti, utpo-
te notis $implici$$imis nobisque cogniti$$imis, in$ignire. Ne-
que enim ratio ulla e$t, quo minùs per <math>a, b, c</math>, & c. concipian-
tur magnitudines <math>a, b, c</math>, & c. quàm pondera aut numeri ii$-
dem characteribus de$ignati. Attamen quia tum phanta$iæ tum
$en$ibus ip$is, nihil $implicius nec di$tinctius exhiberi po$$e oc-
currit, quàm rectæ lineæ, quæque relationes & proportiones,
quæ inter omnes alias res inveniuntur, exprimere valent: præ-

<pb 2>[558]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
$tat per prædictas literas $olummodo lineas rectas concipere.
Hinc $i duæ fuerint quantitates de$ignatæ per <math>a & b</math>, intelligentur
per ip$as duæ differentes lineæ rectæ, diver$æ $cilicet longitudi-
nis: ita ut per <math>a</math> intelligatur longitudo $eu quantitas unius, & per
<math>b</math> longitudo $eu quantitas alterius. Non $ecus atque per <math>a</math> & <math>a</math>,
aut per <math>b</math> & <math>b</math> duæ intelliguntur lineæ æquales; ni$i indicaveris
$uppo$ueri$ve <math>a</math> e$$e æqualem ip$i <math>b</math>, vel <math>a</math> & <math>b</math> eju$dem e$$e valoris,
id quod $ic denotatur <math>a = b</math>. Et $ic de aliis.</p>
<p>Cum autem non rarò occurrat, ut linea aliqua $it aliquoties $u-
menda, oportet tantùm numerum convenientem ip$i literæ præ-
figere: Vt ad de$ignandum, lineam <math>a</math> e$$e bis $umendam, $cribo
<math>2a</math>. Sic & ad de$ignan dum duplum, triplum, quadruplum & c.
ip$ius <math>b</math>, $cribo <math>2b, 3b, 4b</math> & c. Nec aliter fit $i ad de$ignandum
$emi$$em, tertiam aut aliam quamcunque partem lineæ <math>a</math>, $cri-
batur <math>{1/2}a, {1/3}a</math>, & c. id quod etiam hoc pacto fieri $olet <math>{a / 2}, {a / 3}</math>, & c. $ic
& duas tertias, tres quartas, & c. ip$ius <math>b</math>, ita de$ignaveris <math>{2/3}b, {3/4}b</math>:
vel $ic, <math>{2b / 3}, {3b / 4}</math>, atque ita de aliis.</p>
<p>Iam cum in univer$a Mathe$i operationes omnes ad quinque
diver$as (vulgò Species dictas) reduci po$$int, quæ $unt Additio,
Subtractio, Multiplicatio, Divi$io, & Radicum extractio; con$e-
quens e$t ut o$tendatur, quâ ratione dictæ operationes per literas
$int in$tituendæ.</p>
<h it>De Additione quantitatum $implicium.</h>
<p>IGitur ad addendum lineam <math>a</math> ad lineam <math>a</math>, $cribo pro $umma
<math>2a</math>: $ic & ad addendum <math>2b</math> ad <math>3b</math>, $cribo <math>5b</math>. Lineæ enim ei$-
dem literis $i denotantur, oportet tantùm numeros præfixos ad-
dere, & $ummam eidem literæ præfigere. Si verò diver$æ fuerint,
additio fiet interpo$ito $igno +, quod denotat plus. Vt $i ad li-
neam <math>a</math> $it addenda linea <math>b</math>, $cribo <math>a + b</math>, hoc e$t, <math>a</math> plus <math>b</math>, quo in-
dicatur <math>b</math> e$$e additam ip$i <math>a</math>, vel adhuc e$$e addendam. Vbi pa-
tet dictum $ignum $emper e$$e referendum ad $equentem literam,
$eu quæ priori addi debet.</p>
<p>Nec aliter fit, $i plures in unam $ummam $unt colligendæ. Vt
ad addendum <math>2b, b<x>2</x> & 3b</math>, $cribo <math>6b</math>. Sic & ad addendùm <math>a, b, & c</math>,
$cribo <math>a + b + c</math>.</p>

<pb 3>[559]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
<h it>Exempla additionis $implicium.</h>
<tb math>
 # # # # 2b
Add. # a. # 2b. # 3d. # b.
 # a. # 3b. # d. # 3b.
Summa # 2a. # 5b. # 4d. # 6b.
 # # # # a.
Add. # a. # a. # 3c. # b.
 # b. # 2b. # 4d. # c.
Summa # a + b. # a + 2b. # 3c + 4d. # a + b + c.
</tb>
<p>Vbi notandum, in additione literarum <math>d</math> & <math>3d</math>, cogitandum e$-
$e literam <math>d</math> $ibi præfixam habere unitatem: id quod etiam in $e-
quenti exemplo & $imilibus e$t ob$ervandum: ut &, cùm plu-
res adduntur diver$æ literæ, perinde e$$e quo ordine $cribantur,
ut <math>a + b</math>, vel <math>b + a.</math></p>
<h it>De Subtractione quantitatum $implicium.</h>
<p>IAm verò ad $ubtrahendum lineam <math>2a</math> à linea <math>5a</math>, $cribendum
e$t <math>3a</math>: $iquidem lineæ, quæ ii$dem literis $unt de$ignatæ, $ub-
ducuntur, $ubtrahendo tantùm à $e invicem numeros præfixos.
Sic & $i <math>2b</math> auferantur à <math>3b</math>, reliquum erit <math>1b</math> $eu <math>b</math>. Similiter $ub-
lato <math>d</math> de <math>4d</math>, relinquitur <math>3d</math>: At <math>a</math> de <math>a</math> manet o $eu nihil.</p>
<p>Quòd $i verò lineæ diver$is literis notatæ fuerint, $ubductio
fiet interpo$ito $igno -, quod denotat minus. Vt $i ab <math>a</math> $ubtra-
henda $it <math>b</math>, $cribo <math>a - b</math>, hoc e$t, <math>a</math> minus <math>b</math>, quo indicatur <math>b</math> e$$e
$ublatam ex <math>a</math>, vel adhuc e$$e $ubducendam. Vbi patet dictum $i-
gnum $emper e$$e referendum ad $equentem literam, hoc e$t, quæ
ex priori e$t $ubtrahenda.</p>
<p>Eodem modo, $ublatis <math>4d</math> ex <math>3c</math>, reliquum erit <math>3c - 4d</math>.</p>
<h it>Exempla $ubtractionis $implicium.</h>
<tb math>
Ex # 5a. # 3b. # 4d. # a. # Ex # a. # 3c. # a. # 2c.
$ubtr. # 2a. # 2b. # d. # a. # $ubtr. # b. # 4d. # 4b. # d.
reliq. # 3.a. # b. # 3d. # o. # reliq. # a-b. # 3c-4d, # a-4b. # 2c-d.
</tb>
<p>Vnde notandum, in eju$modi quantitatum $ubtractione, opor-
tere quantitatem illam, quæ ex alia $ubtrahi debet, e$$e minorem:

<pb 4>[560]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
hoc e$t, ad $ubtrahendum <math>b</math> ex <math>a</math>, (ut in $uperiori exemplo) opùs
e$$e, ut <math>b</math> $it minor quàm <math>a</math>. Quòd $i autem non proponatur aut
con$tet, utra quantitas $it major aut minor, & tamen $ubductio
fieri debeat; differentia earum denotari poterit hoc modo: <math>a <ol>-</ol> b</math>,
hoc e$t, <math>a - b</math> vel <math>b - a</math>.</p>
<h it>De Multiplicatione quantitatum $implicium.</h>
<p>POrrò ad multiplicandum lineam <math>a</math> per lineam <math>b</math>, $cribo <math>ab</math> vel
<math>ba</math>. Sic & ad multiplicandum <math>a</math> per <math>a</math>, hoc e$t, <math>a</math> in $e, $cribo
<math>aa</math> $eu <math>a^2</math>: & <math>aaa</math> $eu <math>a^3</math> ad præ dictum productum <math>aa</math> adhuc $emel
multiplicandum per <math>a</math>. Adeò ut literæ immediatè $e$e con$equen-
tes, multiplicationem earum per invicem factam, vel adhuc fa-
ciendam e$$e, indicent. Non $ecus, $i multiplicare velim <math>a, b & c</math>
per invicem, $cribo <math>abc</math>, vel <math>bac</math>, vel <math>cba</math> & c: & <math>abb</math> $eu <math>ab^2</math> vel
<math>b^2 a</math>, ad multiplicandum <math>a, b, & b</math>. Hîc enim, ut in additione, non
refert, quo ordine $cribantur.</p>
<p>Quemadmodum verò ex ductu alicujus numeri in $e, id quod
producitur vocatur Quadratum eju$dem numeri, & $i productum
illud adhuc $emel per eundem numerum multiplicetur, produ-
ctus numerus appellatur ip$ius Cubus, atque ita deinceps; ita
quoque $i <math>a</math> multiplicetur per <math>a</math>, productum <math>aa</math> $eu <math>a^2</math> appellari
con$uevit <math>a</math> quadratum, $eu <math>a</math> duarum dimen$ionum; & $i <math>aa</math> rur-
$us multiplicetur per <math>a</math>, producetur <math>aaa</math> $eu <math>a^3</math>, quod ideo appel-
lari poterit <math>a</math> cubus, $eu <math>a</math> trium dimen$ionum: atque ita <math>a^4, a^5</math>,
<math>a^6</math>, & c. dici poterunt <math>a</math> quadrato-quadratum, <math>a</math> $urde$olidum,
<math>a</math> quadrato-cubus, & c. $eu, <math>a</math> habens 4, 5, aut 6, & c. dimen$iones.</p>
<p>Sicuti autem numerus aliquis, $i in $e ducatur, dicitur radix qua-
drata i$tius producti $eu quadrati: & $i adhuc $emel per hoc pro-
ductum multiplicetur, tum radix Cubica hujus po$terioris produ-
cti appellatur, & c; $ic & <math>a</math> dicitur radix Quadrata ex <math>aa</math> $eu <math>a^2</math>, &
radix Cubica ex <math>a^3</math>, & radix Quadrato-Quadrata ex <math>a^4</math>, & radix
Sur$olida ex <math>a^5</math>, & radix Quadrato-Cubica ex <math>a^6</math>, atque ita por-
rò. Idem de reliquis e$t intelligendum.</p>
<p>Ex quibus con$tat diligenter e$$e notandum, quòd magnum $it
di$crimen inter aliquam quantitatem, cui numerus aliquis præfi-
xus e$t, & inter eandem quantitatem, ubi idem numerus à tergo
e$t ad$criptus. Vtinter <math>2a & a^2, 3a & a^3, 4a & a^4</math>, & c. $iquidem

<pb 5>[561]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
per <math>2a, 3a, 4a</math>, & c. $impliciter intelligitur quantitas <math>a</math> bis, ter,
quater, & c. $umpta, hoc e$t, <math>a</math> $ibi ip$i toties addita: at verò per <math>a^2,
a^3, a^4</math>, & c. Quadratum, Cubus, Quadrato-Quadratum, & c.
ip$ius <math>a</math>, hoc e$t, ip$a quantitas <math>a</math> toties po$ita & multiplicata.</p>
<h it>Exempla multiplicationis $implicium.</h>
<tb math>
Multipl. # a. # a # aa # ab # ab # ab # aa # a^3.
per # b. # a # a # c # b # cd # ab # a^3.
productum # ab. # aa. # a^3. # abc. # abb. # abcd. # a^3b. # a^6.
</tb>
<p>Vbi notandum in <math>a^3 b</math>, producto multiplicationis quantitatum
<math>aa & ab</math>, numerum ternarium quantitatem præcedentem <math>a</math> re-
$picere, non autem $equentem <math>b</math>: quod, cum brevitatis causâ $cri-
batur pro <math>aaab</math>, in omnibus $imilibus ca$ibus quoque e$t intelli-
gendum. Eâdem ratione, ad multiplicandum <math>a^3</math>, hoc e$t, <math>aaa</math> per
<math>a^3</math> $eu <math>aaa</math>, producetur <math>a^6</math>, hoc e$t, <math>aaaaaa</math>.</p>
<p>Quòd $i quantitates occurrant multiplicandæ, quibus numeri,
$ive integri $ive fracti præfiguntur, oportebit dictos numeros in
$e invicem ducere, ut in vulgari Arithmetica, & eorum produ-
ctum præfigere producto, quod ex$urgit ex multiplicatione
quantitatum dictarum. Vt ad multiplicandum <math>2a</math> per <math>3b</math>; mul-
tiplicatis 2 per 3, provenit 6, quod $i præfigatur ip$i <math>ab</math>, produ-
cto quantitatum <math>a</math> & <math>b</math> per invicem, erit quæ$itum productum
<math>6ab</math>. Similiter multiplicatis <math>2b</math> per <math>c</math>, productum erit <math>2bc</math>. nam
unitas, quæ hîc ip$i <math>c</math> præfigi $ubintelligitur, ducta in 2, pro-
ducit 2.</p>
<p>Nec aliter fit, $i ad multiplicandum <math>3ab</math>, hoc e$t, ter <math>ab</math> per
<math>2cd</math>, hoc e$t, bis <math>cd</math>, $cribatur <math>6abcd</math>. Sic &, multiplicatis <math>{1/2} aa</math>
per <math>{1/3} ab</math>, hoc e$t, $emi$$e ip$ius <math>aa</math> per tertiam partem ip$ius <math>ab</math>,
productum fiet <math>{1/6} a^3 b</math>, hoc e$t, <math>{1/6} aaab</math>.</p>
<h it>Exempla multiplicationis.</h>
<tb math>
Multipl. # 2a # 2b # {3/2}a # 3ab # {1/2}aa # a^3 # 6 a^3.
per # >3b # c # {1/2}d # 2cd # {1/3}ab # 3 b^3 # {2/3} a^3.
product. # 6ab. # 2bc. # {3/4}ad. # 6abcd. # {1/6}ab. # 3 a^3 b^3. # 4 a^6.
</tb>
<p>Vbi tandem $ciendum, quòd licet ex multiplicatione produ-
cantur quantitates plurium dimen$ionum $eu literarum; earum

<pb 6>[562]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
tamen additionem atque $ubtractionem non aliter fieri atque
præcedentium. Vt ad addendum <math>2ab</math> ad <math>3ab</math>, $cribitur <math>5ab</math>: &
ad addendum <math>6ab</math> ad <math>2bc</math>, $cribitur <math>6ab + 2bc</math>. Non $ecus, ad
$ubtrahendum <math>2ab</math> de <math>3ab</math>, $cribitur <math>ab</math>: & ad $ubtrahendum
<math>2bc</math> de <math>6ab</math>, $cribitur <math>6ab - 2bc</math>, Et $ic de aliis.</p>
<h it>De Divi$ione quantitatum $implicium.</h>
<p>QVoniam verò divi$io re$olvit id, quod multiplicatio compo-
nit: facilè apparet, ad dividendam quantitatem <math>ab</math> $eu <math>ba</math>
per <math>a</math>, opùs tantùm e$$e ex quantitate dividenda <math>ab</math> tollere quan-
titatem <math>a</math>, quæ divi$or e$t, & pro quotiente $cribere reliquam
quantitatem <math>b</math>. Eodem modo, $i dividatur <math>aa</math> per <math>a</math>, orietur <math>a</math>; &
<math>aaa</math> $eu <math>a^3</math> per <math>a</math>, orietur <math>aa</math>. Non $ecus divisâ <math>abc</math> per <math>a</math>, fiet <math>bc</math>:
at per <math>b</math>, fiet <math>ac</math>: & per <math>c</math>, fiet <math>ab</math>.</p>
<p>Quòd $i verò quantitates dividendæ occurrant, quibus numeri
$int præfixi; oportet, factâ divi$ione quantitatum, ut jam o$ten-
$um e$t, $imiliter dictos numeros dividere, ut in Arithmetica vul-
gari, & quod oritur invento quotienti quantitatum præfigere.</p>
<h it>Exempla divi$ionis $implicium.</h>
<tb math> 15
Divid. # ab # # b quot. # aa # a. # a^3 # aa. # abc # bc. # abc # c. # a^3 b # aa. # a^5 # a^3.
 # per # a # # a # # a # # a # # ab # # ab # # aa
Divid. # 6ab # 3b. # {1/6}a^3 b # {1/2} aa. # 3 a^3 b^3 # 1 a^3 $eu a^3. # 3 a^3 b^3 # 3 b^3.
 # per # 2a # # {1/3}ab # # 3 b^3 # # a^3
</tb>
<p>Cùm autem occurrunt quantitates dividendæ, ex quibus lite-
ræ divi$oris præcedenti modo tolli nequeunt; $ub$cribitur Divi-
$or ip$i Dividendo interjectâ lineolâ, ad modum fractionis Arith-
meticæ vulgaris. Vt ad dividendum <math>ab</math> per <math>c</math>, $cribo <math>{ab / c}</math>, quo in-
dicatur <math>ab</math> e$$e divi$am per <math>c</math>, vel adhuc e$$e dividendam. Sic & ad
dividendum <math>a</math> per <math>b</math>, $cribitur <math>{a / b}</math>. $imiliter divisâ <math>abc</math> per <math>de</math>, quo-
tiens erit <math>{abc / de}</math>. & $ic de aliis. Quæ quidem quantitates $ic divi$æ
appellantur Fractiones.</p>
<p>E$t verò hîc obiter notandum, divi$is <math>a</math> per <math>a, 2b</math> per <math>2b</math>, $imi-
libu$ve, quotientem e$$e I: $iquidem quævis quantitas $e ip$am
$emel continet, ideoque per $eip$am divi$a, unitatem profert.</p>

<pb 7>[563]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
<h it>DELOGISTICA QV ANTIT ATVM COMPOSIT ARVM.</h>
<p>EXplicatâ Simplicium quantitatum operatione, quoniam ex
illarum additione & $ubtractione oriuntur quantitates, per
$ignum + compo$itæ, aut per $ignum - disjunctæ, (quæ com-
muniter generali nomine Compo$itæ dicuntur); con$equens e$t,
ut harum quoque operationem deinceps o$tendamus.</p>
<h it>De Additione quantit atum compo$itarum.</h>
<p>IGitur ad addendum quantitates Compo$itas, ii$dem literis no-
tatas, oportet con$iderare $igna + & -, quibus afficiuntur, &
notare, $i eadem fuerint, additionem fieri ut in $implicibus, & ea-
rum $ummæ præfigi idem $ignum. Vt ad addendum <math>a + 3b</math> ad <math>a
+ 2b</math>: additis <math>a</math> ad <math>a</math>, & <math>3b</math> ad <math>2b</math>, $umma erit <math>2a + 5b</math>. Eodem
modo <math>2a - b</math> additum ad <math>3a - 3b</math>, facit $ummam <math>5a - 4b</math>.</p>
<p>Quòd $i verò $igna diver$a fuerint, $ubtrahendæ erunt quanti-
tates ei$dem literis denotatæ, $icut in $ubtractione $implicium, &
ei quod relinquitur præfigendum e$t $ignum, quo major quanti-
tas afficitur. Vt $i addendum $it <math>3b + 5a</math> ad <math>2b - 2a</math>: additis
<math>3b</math> ad <math>2b</math>, & $ubtractis <math>2a</math> ex <math>5a</math>, $umma erit <math>5b + 3a</math>. Simi-
liter $i <math>a + d</math> addatur ad <math>a - 4d</math>, fiet $umma <math>2a - 3d</math>. Vbi pa-
tet $i <math>2b + a</math> addatur ad <math>3b - a</math>, $ummam fore <math>5b</math>: quantitates
enim <math>+ a & - a</math>, cum propter diver$a $igna $int $ubtrahendæ, $e
mutuò tollunt.</p>
<p>Iam ad adden dum quantitates diver$is literis denotatas, opor-
tet tantùm eas $uis $ignis connectere. Vt ad addendum <math>a + b</math> ad
<math>c - d</math>, $cribo <math>a + b + c - d</math>: $iquidem quantitas <math>c</math>, & omnis alia
cui nullum præponitur $ignum, intelligitur $ibi præfixum habere
$ignum +.</p>
<h it>Exempla additionis compo$itarum.</h>
<tb math>
 # Add. # a+3b 2a - b {1/2}ab + {2/3} bb a^3 - {5/4}abc aa + 2a - 3.
 # # a + 2b 3a - 3b {1/2}ab + {1/3}bb {2/3} a^3 - {3/4}abc aa + a - 6.
$umma # 2a + 5b. 5a - 4b. ab + bb. {5/3} a^3 - 2abc. 2aa + 3a - 9.
Add. # 3b + 5a # a + d. # 2b + a aa - 2ab 3 a^3-{1/3}aab aa-5 a+6.
 # # 2b - 2a # a - 4d. # 3b - a aa + ab 2a^3 + {1/2}aab aa + a - 6.
aggr. # 5b + 3a. 2a - 3d. 5b. 2aa - ab. 5a^3 + {1/6}aab. 2aa - 4a.

<pb 8>[564]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
 # Add. # a + b # 2aa + 3ab - bb # 3abc # a^3 + 2abb - aab + abc.
Summa # c - d # 5ab - 3aa # a^3 - abc # a^3 + aab - 3abb - b^3.
$eu aggr. # a + b + c - d. # oab - aa - bb. # a^3 + 2abc. # 2 a^3 - abb + abc - b^3.
</tb>
<p>E quibus manife$tum fit, (cum ad addendum <math>3b + 5a</math> ad <math>2b
- 2a</math>, $cribi po$$it <math>3b + 5a + 2b - 2a</math>, hoc e$t, <math>5b + 3a</math>: $i-
quidem <math>+ 3b & + 2b</math> faciunt <math>5b, & + 5a - 2a</math> faciunt <math>+ 3a</math>)
quantitates ei$dem literis denotatas, quando diver$a habent $i-
gna, $ubtrahendas e$$e, & $ummæ a$cribendum e$$e $ignum ma-
joris quantitatis.</p>
<h it>De Subtractione quantitatum compo$itarum.</h>
<p>POrrò ad $ubtrahendum quantitates compo$itas, quæ ei$dem
literis $unt denotatæ, $ciendum e$t: $i $igna eadem fuerint, &
quantitas è qua $ubtractio fieri debet, major $it quantitate $ubdu-
cendâ; tum $ubtractionem fieri ut in $implicibus, & ei quod re-
linquitur præfigendum e$$e idem $ignum. Vt $i $ubtrahatur <math>a + 2b</math>
ex <math>2a + 5b</math>: ($ubtractis <math>a</math> ex <math>2a</math>, & <math>2b</math> ex <math>5b</math>,) remanet <math>a + 3b</math>.
Non $ecus $i $ubtrahatur <math>3a - 3b</math> ex <math>5a - 4b</math>, reliquum erit
<math>2a - b</math>.</p>
<p>Si verò $igna eadem fuerint, & quantitas à qua $ubtractio fieri
debet quantitate $ubducendâ minor $it; oportet, $ubtractâ mino-
re ex majore, re$iduo $ignum contrarium præponere. Vt $i $ub-
trahendum $it <math>a + 3b</math> ab <math>3a + 2b</math>: $ubtractis <math>a</math> ex <math>3a</math>, & <math>2b</math> ex
<math>3b</math>, re$iduum erit <math>2a - b</math>. Similiter, $ublatis <math>a - 3b</math> ex <math>2a - b</math>,
relinquitur <math>a + 2b</math>.</p>
<p>Quòd $i quantitates ii$dem literis de$ignatæ, atque ad $ubtra-
hendum propo$itæ, diver$a $igna habeant; erunt ip$æ addendæ,
ut in $implicibus, & $ummæ præfigendum $ignum quantitatis, à
qua $ubductio fieri debet. Vt $i velimus $ubtrahere <math>a - b</math> ex <math>2a
+ b</math>: $ubtractis <math>a</math> ex <math>2a</math>, additisque <math>b</math> ad <math>b</math>, re$iduum erit <math>a + 2b</math>.
Eodem modo, <math>2a + 5d</math> $ubductum à <math>3a - 2d</math>, relinquet <math>a - 7d</math>.</p>
<p>Cæterùm ad $ubtrahendum quantitates diver$is literis denota-
tas, oportet quantitates $ubducendas, variatis $ignis connectere
cum iis, à quibus $ubductio fieri debet. Vt $i $ubtrahi debeat <math>c-d</math>
ab <math>a + b</math>; erit differentia $eu re$iduum <math>a + b - c + d</math>: variatis
nempe $ignis quantitatum <math>c</math> & <math>d</math>.</p>

<pb 9>[565]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
<h it>Exempla $ubtractionis compo$itarum.</h>
<tb math>
 # Ex # 2a + 5b # 5a - 4b # {1/2}ab + {2/3}bb # a^3 - {5/4}abc + abb - b^3 # 2aa + 3a - 9.
Subtr. # a + 2b # 3a - 3b # {1/4}ab + {1/3}bb # {2/3}a^3 - {3/4}abc + abb - b^3 # aa + 2a - 3.
Reliq. # a + 3b # 2a - b. # {1/4}ab + {1/3} bb. # {1/3}a^3 - {1/2}abc. # aa + a-6.
 # Ex # 3a + 2b # 2a - b # 2aa - ab # 5a^3 + {1/6}aab - {2/3}abb # 3aa - 2a + 6.
Subtr. # a + 3b # a - 3b # aa - 2ab # 2a^3 + {1/2}aab - abb # 2aa - 3a + 9.
Re$id. # 2a - b. # a + 2b. # aa + ab. # 3a^3 - {1/3}aab + {1/3}abb. # aa + a - 3.
 # Ex # 2a + b # 3a - 2d # 8ab - aa # 3a^3 - {1/3}aab + {2/3}abb - b^3 # 3aa - 2a + 6.
Subtr. # a - b # 2a + 5d # 2aa - 3ab # - 2a^3 + {2/3} aab # aa + a - 3.
Diff. # a + 2b. # a - 7d. # 11ab - 3aa. # 5a^3 - aab + {2/3}abb - b^3. # 2aa - 3a + 9.
 # Ex # # a + b # 2aa - 4a # 3abc # a^3 + aab - abb - b^3.
Subtr. # # c - d # aa + a - 6 # a^3 - abc # aab - 2a^3 + c^3 - abb.
Rel. re$id. $eu diff. # a + b - c + d. # aa - 5a + 6. # 4abc - a^3. # 3a^3 - b^3 - c^3.
</tb>
<p>E quibus per$picuum fit (cum ad $ubtrahendum <math>a + 3b</math> ex <math>3a
+ 2b</math> $cribi po$$it <math>3a + 2b - a - 3b</math>, hoc e$t, <math>2a - b</math>, $ubtractis
nempe <math>a</math> ex 3 <math>a</math>, & <math>2b</math> ex <math>3b</math>): quantitates ei$dem literis denota-
tas, quando eadem habent $igna, $ed quantitates $ubducendæ aliis
$unt majores, $ubtrahendas e$$e, & relicto præponendum e$$e $i-
gnum contrarium.</p>
<p>Similiter quoniam ad $ubtrahendum <math>a - b</math> ex <math>2a + b</math>, $cribere
po$$um <math>2a + b - a + b</math>, hoc e$t, <math>a + 2b</math>, ($ubtrahendo videlicet
<math>a</math> à <math>2a</math>, & addendo <math>b</math> ad <math>b</math>) patet, quâ ratione, quantitates ei$dem
literis de$ignatæ, cùm diver$a habuerint $igna, $int addendæ, &
$ummæ præ figendum $it $ignum ejus, à quâ $ubtractio fieri debet.
Quòd autem $ubtrahendo <math>a - b ex 2 a + b</math>, $cribendum $it <math>2a + b
- a + b</math>, variatis nempe $ignis quantitatum $ubducendarum, inde
manife$tum fit; quòd ad $ubtrahen dum <math>a</math> ex <math>2a + b</math> differentia
denotetur per <math>2a + b - a</math>, utpote $ubducendo quantitatem <math>a</math>, præ-
ponendo ei $ignum -, ut in $ubtractione $implicium e$t di@ctum:
at quoniam $ubducendo quantitatem <math>a</math> ex <math>2a + b</math>, plus ju$to tol-
litur, $iquidem non <math>a</math> ab$olutè tollen dum proponitur, $ed dimi-
nuta quantitate <math>b</math>; hinc fit, ut <math>2a + b - a</math> minor $it quàm ju$ta
differentia, quantitate <math>b</math>: adeoque ad veram differentiam obti-
nendam, oportet addere quantitatem <math>b</math>, & $cribere <math>2a + b - a + b</math>,
hoc e$t, <math>a + 2b</math>. Et $ic de aliis</p>

<pb 10>[566]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
<h it>De Multiplicatione quantitatum compo$itarum.</h>
<p>PO$t hæc, ad multiplicandum quantitates compo$itas, opera-
tio in$titui pote$t ad modum Arithmeticæ vulgaris: oportet
enim earum partes multiplicare in $e invicem, ut in $implicibus
e$t o$ten$um, atque producta $imul addere. Quod autem ad $igna
+ & - attinet ii$dem præfigenda, $ciendum e$t: eadem $igna
(hoc e$t + per +, vel - per -) facere $ignum +, diver$a verò
(hoc e$t + per -, vel - per +) facere -. Vt ad multiplican-
dum <math>a + b</math> per <math>c</math>: multiplicatis <math>+ a</math> per <math>+ c</math>, & <math>+ b</math> per <math>+ c</math>,
fiunt <math>+ ac</math>, & <math>+ bc</math>: quibus additis, fit productum <math>+ ac + bc</math>,
$eu <math>ac + bc</math>. Sic $i multiplicandum $it <math>a - b</math> per <math>c</math>, producetur
<math>ac - bc</math>.</p>
<p>Nec aliter fit, $i ad multiplicandum proponatur <math>a + b</math> per <math>c + d</math>:
multiplicatis enim <math>a + b</math> per <math>c</math>, ut ante; & rur$us <math>a + b</math> per <math>d</math> ($i-
quidem <math>a + b</math> non tantùm per <math>c</math>, $ed etiam per <math>d</math> multiplicari de-
bet): fiet <math>ac + bc + ad + bd</math>. Non $ecus ad multiplicandum
<math>a - b</math> per <math>c - d</math> $cribitur <math>ac - ad - bc + bd</math>: multiplicatis nem-
per primùm <math>a - b</math> per <math>+ c</math>, fit <math>+ ac - bc</math>: deinde <math>a - b</math> per <math>- d</math>,
fit <math>- ad + bd</math>. quippe <math>+ a</math> per <math>- d</math>, producit <math>- ad</math>: at <math>- b</math>
per <math>- d</math> producit <math>+ bd</math>, juxta regulam. Et $ic de aliis. Nec re-
fert utrum à dextra an verò à $ini$tra initium fiat, $icut $equenti-
bus exemplis manife$tum fiet.</p>
<h it>Exempla multiplicationis compo$it arum.</h>
<tb math>
Mult. # a + b # a - b # a + b # a - b # a + b
 # per # c # c # c + d # c - d # a + b
prod. # ac + bc. # ac - cb. # ac + bc # ac - bc # + ab + bb
 # # # # + ad + bd # - ad + bd # aa + ab
 # # # product. ac + bc + ad + bd. ac - bc - ad + bd. aa + 2ab + bb.
Multipl. # a - b # a + b # aa - 2ab + bb # aa - ab + bb
 # per # a - b # a - b # a - b # a + b
 # # - ab + bb # aa + ab # - aab + 2abb - b^3 # + aab - abb + b^3
 # # aa - ab # - ab - bb # a^3 - 2aab + abb # a^3 - aab + abb
prod. # aa - 2ab + bb. # aa - bb. # a^3 - 3 aab + 3 abb - b^3. # a^3 + b^3.
</tb>

<pb 11>[567]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
<tb math>
Mult. # 3 dd + 4 de + ee # # 2 a^3 + {1/2}aab + {2/3}abb
 # per # 3dd - ee # # {{2/3} ab - {1/2} aa
 # # 9 d^4 + 12 d^3 e + 3 ddee # # -a^5 - {1/4} a^4 b - {1/3} a^3 bb
 # # - 3 ddee - 4d e^3 - e^4 # + {4/3} a^4 b + {1/3} a^3 bb + {4/9}aa b^3
product. # 9 d^4 + 12 d^3 e - 4d e^3 - e^4. # {13/12} a^4 b + {4/9}aa b^3 - a^5.
 # # # Multipl. # 4 a^3 + 3aa - 2a + 1
 # # # per # aa - 5a + 6
 # # # + 24 a^3 + 18aa - 12a + 6
 # # - 20 a^4 - 15 a^3 + 10aa - 5a
 # # + 4 a^5 + 3 a^4 - 2 a^3 + 1aa
product. # 4 a^5 - 17 a^4 + 7 a^3 + 29aa - 17a + 6.
</tb>
<p>Cæterùm advertendum hîc e$t, non rarò utile e$$e, multiplica-
tionem hoc modo non in$tituere, $ed tantummodo eam innuere
inter$erendo voculam _in_ vel M. Vt ad multiplicandum <math>4 a^3 + 3aa
- 2a + 1</math> per <math>aa - 5a + 6</math>, $cribo <math><ol>4 a^3 + 3aa - 2a + 1</ol></math>
in <math><ol>aa - 5a + 6</ol></math>, vel <math><ol>4 a^3 + 3aa - 2a + 1</ol></math> M <math><ol>aa - 5a + 6</ol></math>.</p>
<p>Quòd autem + per -, vel - per + faciat -, $ic patet. E$to
<math>a - b</math> multiplicandum per <math>c</math>, & $it <math>a - b = e</math>: hinc $i utrobique
addatur <math>b</math>, fiet <math>a = b + e</math>. Iam quoniam æquales quantitates per
eandem quantitatem multiplicatæ producunt æquales; ideo $i
utrinque multiplicetur per <math>c</math>, erit <math>ac = bc + ec</math>, hoc e$t, auferen-
do utrinque <math>bc</math>, erit <math>ac - bc = ec</math>. Quocirca cum $tatuatur <math>a - b
= e</math>, & utrâque parte ductâ in <math>c</math>, producatur <math>ac - bc = ec</math>; per-
$picuum fit, <math>- b</math> ductum in <math>+ c</math>, producere <math>- bc</math>.</p>
<p>Nec aliter o$tendetur - per - multiplicatum producere +.
Etenim $i <math>a - b</math> multiplicandum $it per <math>c - d</math>: ponendo, ut an-
te, <math>a - b = e</math>, erit productum ex <math>a - b</math> in <math>c - d</math> æquale producto
ex <math>e</math> in <math>c - d</math> vel <math>c - d</math> in <math>e</math>: id e$t, <math>ce - de</math>. Sed <math>ce</math>, ut $upra, æ-
quatur <math>ac - bc</math>: unde <math>ac - bc - de</math> æquabitur producto ex <math>a - b</math>
in <math>c - d</math>. Porrò cum <math>a - b</math> æqualis $it po$ita ip$i <math>e</math>, & utrâque par-
te ductâ in <math>d</math>, productum <math>ad - bd</math> æquetur producto <math>de</math>: hinc $i
ex <math>ac - bc</math> $ubtrahatur <math>ad - bd</math> loco <math>de</math>, ei æquale; erit juxta
regulam $ubtractionis <math>ac - bc - ad + bd</math> productum quæ$itum.
E quibus liquet <math>- b</math> multiplicatum per <math>- d</math> producere <math>+ bd</math>.</p>

<pb 12>[568]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
<h it>De Divi$ione quantitatum compo$itarum.</h>
<p>PRæterea, ad dividendum quantitates compo$itas, operatio
non ab$imilis erit ei, quâ in Arithmetica vulgari duo integri
numeri per $e invicem dividuntur. Quod autem $igna + & -
concernit, $ciendum e$t, $i dividatur + per +, aut - per -,
$emper oriri +; at $i + per -, vel - per + dividatur, $em-
per oriri -. omnino ut in multiplicatione. Operationem autem
$ive à dextra $ive à $ini$tra incipias perinde erit. Vtad dividen-
dum <math>ac + bc</math> per <math>c</math>: divi$is <math>+ ac</math> per <math>+ c</math>, & <math>+ bc</math> per <math>+ c</math>, fiunt
ut in $implicibus e$t o$ten$um <math>+ a</math> & <math>+ b</math>, unde quotiens quæ$i-
tus erit <math>a + b</math>. Similiter $i dividatur <math>ac - cb</math> per <math>c</math>, orietur <math>a - b</math>:
divi$is enim <math>+ ac</math> per <math>+ c</math>, fit <math>+ a</math>, & <math>- cb</math> per <math>+ c</math>, fit <math>- b</math>.
Non di$$imili ratione dividitur <math>ac + ad + bc + bd</math> per <math>c + d</math>,
& fit <math>a + b</math>. Cujus operatio talis e$t.</p>
<tb math>
Divid. # ac + ad + bc + bd # + ac # + a. + bc # + b.
per c + d) # ac + ad + bc + bd # + c # # + c
 # o # o # o # o
Quotiens # + a + b.
</tb>
<p>Divi$o <math>ac</math> per <math>c</math>, (ut in $implicibus) fit <math>a</math>, $cribendum $ub linea
in quotiente. hinc multiplicato divi$ore <math>c + d</math> per quotientem in-
ventum <math>a</math>, productum <math>ac + ad</math> ex dividendo auferatur, $criben-
do partes eju$dem denominationis $ub invicem, & reliquum $ub
linea infra ductâ. Vnde cum $ubducto <math>ac</math> ex <math>ac</math>, & <math>ad</math> ex <math>ad</math> ma-
neat nihil, $cribitur $ub linea ducta o. Deinde divi$o <math>+ bc</math> per
<math>+ c</math>, fit <math>+ b</math>, a$cribendum priori quotienti. unde multiplicato
divi$ore <math>c + d</math> per hunc quotientem <math>b</math>, fit productum <math>+ bc + bd</math>.
id quod $i $cribatur, ut ante, $ub dividendo, & fiat $ub ductio; erit
pro reliquo $ub linea $cribendum o. Et peracta erit divi$io.
<tb>
Eodem modo ad dividen dum # <math>ac - ad - bc + bd # + ac # + a</math>
 # per <math>c - d</math>:) # ac - ad - bc + bd # + c
 # # o # o # o # o # + bc # - b
 # Erit quotiens # + a - b. # + c
</tb>
Divido primùm <math>ac</math> per <math>c</math>, & fit <math>a</math>, $criben dum $ub linea in quo-
tiente. Iam multiplicato divi$ore <math>c - d</math> per <math>+ a</math>, fit productum

<pb 13>[569]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
<math>ac - ad</math>, $ubducendum ex dividendo, & relinquitur o. Deinde
divido <math>- bc</math> per <math>+ c</math>, & oritur <math>- b</math>, $ub linea $cribendum in quo-
tiente. Quoniam autem multiplicato divi$ore <math>c - d</math> per <math>- b</math>, fit
productum <math>- bc + bd</math>, & eo ex reliquo dividendi ablato, re-
manet nihil; patet divi$ionem e$$e ad finem perductam, & quo-
tientem e$$e <math>a - b</math>.</p>
<tb>
Sic etiam ad dividendum # <math>aa - 2ab + bb # aa # a</math>
 # per <math>a - b</math>:) # <math>aa - ab # a
 # # # o - ab # - ab # - b
 # # # # - ab + bb # + a
 # # # # # o # o
 # # fit quotiens # a - b.
</tb>
<p>Divido primùm <math>aa</math> per <math>a</math>, & oritur <math>a</math>, $cribendum $ub linea in
quotiente. Vnde multiplicato divi$ore <math>a - b</math> per <math>a</math>, & ablato
producto <math>aa - ab</math> ex dividendo, $cribendum erit reliquum <math>- ab</math>
$ub linea ducta infra <math>- 2ab</math>. Deinde divido <math>- ab</math> per <math>+ a</math>, & fit
<math>- b</math>, $cribendum $ub linea in quotiente. Tum ducto divi$ore
<math>a - b</math> in <math>- b</math>, fit productum <math>- ab + bb</math>, quod $ublatum à reli-
quo dividendi relinquit o. Et erit operatio finita, ac quotiens
quæ$itus <math>a - b</math>.</p>
<p>Eâdem ratione $i dividendum $it <math>aa - bb</math> per <math>a + b</math>.
<tb math>
Divid. # # aa - bb - ab # aa # a
Divi$. # a + b) # aa - bb - ab # a
 # # o # o # o # - ab # - b
 # Quotiens # a - b # + a
</tb>
Incipiendo rur$us à primo termino, divido <math>aa</math> per <math>a</math>, & habebitur
<math>a</math>, $cribendum $ub linea in quotiente. Vnde multiplicato divi$ore
<math>a + b</math> per quotientem inventum <math>a</math>, producetur <math>aa + ab</math>, quod
$ublatum ex dividendo relinquet <math>- ab</math>: & quoniam hîc terminus
præter $uper$titem <math>- bb</math> ad dividendum huc acce$$it, ideo po$t li-
neam eiad$cribitur. Deinde divido <math>- ab</math> (nempe id quod modò
ad dividendum acce$$it) per <math>+ a</math>, & habetur <math>- b</math> in quotiente
$ub linea $cribendum. Quo facto, $i multiplicetur divi$or <math>a + b</math>
per hunc quotientem <math>- b</math>, ex$urget <math>- ab - bb</math> ad $ubtrahendum
ex eo, quod relinquitur in dividendo: quod cum po$t $ubtractio-

<pb 14>[570]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
nem relinquato; liquet ab$olutam e$$e operationem, & quotien-
tem fore <math>a - b</math>.</p>
<p>Nec aliter $e res habet $i dividatur <math>a^3 + b^3</math> per <math>a + b</math>, & inci-
piatur ab ultimo termino.
<tb math>
 # # # b^3 # bb
Dividend. # a^3 + b^3 - abb + aab # b
Divi$or a + b) # + a^3 + b^3 - abb + aab # - abb # - ab
 # # o # o # o # o # + b
 # Quotiens # + aa - ab + bb. # + aab # + aa
 # # # + b
</tb>
Etenim divi$o <math>+ b^3</math> per <math>+ b</math>, fit <math>+ bb</math>, $cribendum in quotiente.
tum ducto divi$ore <math>a + b</math> in <math>+ bb</math>, producitur <math>+ abb + b^3</math>: Id
quod $i $ubtrahatur ex dividendo, relinquetur <math>- abb</math>. Deinde
divi$o <math>- abb</math> per <math>+ b</math>, oritur <math>- ab</math>, $cribendum in quotiente,
quo multiplicato per divi$orem <math>a + b</math> ex$urgit <math>- aab - abb</math>, ad
$ubtrahendum ex reliquo dividendi, eritque re$iduum <math>+ aab</math>.
Denique divi$o <math>+ aab</math> per <math>+ b</math>, prodibit <math>+ aa</math> $cribendum in
quotiente. unde $i multiplicetur divi$or <math>a + b</math> per <math>+ aa</math>, & pro-
ductum <math>+ a^3 + aab</math> auferatur ex re$iduo dividendi, erit reli-
quum o. Id quod o$tendit, divi$o <math>a^3 + b^3</math> per <math>a + b</math>, oriri <math>a a -
ab + bb</math>, quod erat faciendum.</p>
<h it>Sequuntur adhuc nonnulla exempla ad uberiorem
exercitationem divi$ionis compo$it arum.</h>
<tb math>
Dividend. # a^3 - 3aab + 3abb - b^3 # - b^3 + bb
Divi$or a - b.) # # + abb - b^3 # - b
 # # # + 2abb # o # + 2abb - 2ab
 # # - 2aab + 2abb # - b
 # # - aab # o # - aab + aa
 # # a^3 - aab # - b
 # # o # o
 # Quotiens # + aa - 2ab + bb.
</tb>

<pb 15>[571]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
<tb math>
 # # # -e^4 + ee
Dividend. # 9 d^4 + 12 d^3 e - 4d e^3 - e^4 - 3ddee # - ee
Divi$. 3dd - ee) # 9 d^4 + 12 d^3 e - 4d e^3 - e^4 - 3ddee # - 3ddee + 3dd.
 # # o # o # o # o # o # - # ee
 # Quotiens # + 4de + 3dd + ee # - 4d e^3 + 4de.
 # # # - ee
</tb>
<tb math>
Dividend. # {13/12} a^4 b + {4/9}aa b^3 - a^5 - {1/3} a^3 bb # - a^5 + 2 a^3.
Divi$. {2/3}ab - {1/2} aa) # + {4/3} a^4 b + {4/9}aa b^3 - a^5 - {1/3} a^3 bb # - {1/2} aa
 # # - {1/4} a^4 b # o # o # o # - {1/4} a^4 b + {1/2}aab.
 # # - {1/4} a^4 b # # # # - {1/2}aa
 # # o # # # # - {1/3} a^3 bb + {2/3} abb.
 # Quotiens # + {2/3}abb + {1/2}aab + 2 a^3. # - {1/2} aa
</tb>
<tb math>
Divid. # d^4 - b^4 + 2aady + 2aaby + aadd - aabb - b d^3 + bbdd - b^3 d - aabd
<mgr>_Pag._ 340.
_lin._ 4.</mgr>
Div. d + b) # d^4 - b^4 + 2aady + 2aaby + aadd - aabb - b d^3 + bbda - b^3 a - aabd
 # # o # o # o # o # o # o # o # o # o # o
 # Quotiens # + d^3 - bdd + bbd - b^3 + 2aay + aad - aab.
 # # d^4 d^3. - bd^3 - bdd. + bbdd + bbd. - b^3 d - b^3.
 # # d # + d # # + d # # + d
 # # + 2aady + 2aay. + aadd + aad. - aabd aab.
 # # + # d # # + d # # + d
</tb>
<tb math>
Dividend. # + y^6 - 8 y^4 - 124 yy - 64 # - 64 + 4
<mgr>_Pag. 77._</mgr>
Divi$or yy - 16) # + y^6 + 8y^4 + 4yy - 64 # - 16
 # # o - 16 y^4 - 128 yy # o # - 128 yy + 8yy.
 # # - 16 y^4 - 128 yy # - 16
 # # # o # o # - 16 y^4 + 1 y^4.
 # Quotiens # + 1 y^4 + 8 yy + 4. # - 16
</tb>

<pb 16>[572]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
<tb math>
Dividend. # + y^6 + aa y^4 - 2cc y^4 - a^4 yy + c^4 yy - a^6 - 2 a^4 cc - aac^4 + 2aaccyy
Div. yy - aa - cc) # + y^6 - aa y^4 - cc y^4 - 2 a^4 yy + c^4 yy - a^6 - a^4 cc - aa c^4 + aaccyy
<mgl>_Pag. 78._</mgl>
 # # # o + 2aa y^4 - cc y^4 + a^4 yy # o # o - a^4 cc # o # + aaccyy
 # # # # + 2aa y^4 - ccy + a^4 yy # # - a^4 cc # + aaccyy
 # # # # # o # o # o # # o # # o
 # Quotiens # + y^4 + 2aayy - ccyy + a^4 + aacc.
 # # + y^6 + y^4. + 2aay^4 + 2aayy. - cc y^4 - ccyy.
 # # + yy # # + yy # # + yy
 # # # + a^4 yy + a^4. + aaccyy + aacc.
 # # # + yy # # + yy
</tb>
<tb math>
Dividend. # # + {1/4}q - {1/4} fq + f^3 uuq - fuuq - 4 f^4 u^4 q + 4 f^3 u^4 q + ffuuq
<mgl>_Pag._ 380.
_lin._ 15.</mgl>
Div. {1/4} - {1/4}f - ffuu + f^3 uu) # {1/4}q - {1/4}fq + f^3 uuq - fuuq - 4 f^4 u^4 q + 4 f^3 u^4 q + ffuuq
 # # # o # o # o # o # o # o # o
 # Quotiens # + q - 4 fuuq.
 # # + {1/4} q + q. # # - fuuq - 4 fuuq.
 # # + {1/4} # # # + {1/4}
</tb>
<p>Quòd $i quantitates dividendæ occurrant, quæ præcedenti
modo dividi nequeunt, $ub$cribendus erit divi$or ip$i dividendo,
interjectâ lineolâ, $icut in fractionibus vulgaribus. Vtad divi-
dendum <math>ad - ae</math> per <math>d + e</math>, $cribo pro quotiente <math>{ad - ae/d + e}</math>. quo
indicatur <math>ad - ae</math> divi$um e$$e per <math>d + e</math>, vel adhuc e$$e dividen-
dum. Sic & $i <math>bb + bd + cc</math> dividatur per <math>b + d</math>, fit quotiens $eu
fractio <math>{bb + bd + cc/b + d}</math>, hoc e$t, <math>b + {cc/b + d}</math>. Quippe $æpe conducit,
ut in Arithmetica vulgari, divi$ionem, quantùm fieri pote$t, in-
$tituere, & quod $upere$t in$tar fractionis quotienti ad$cribere.
Et tantum de divi$ione.</p>
<h it>D<sc>E EXTR ACTIONE RADICIS</sc>.</h>
<p>QVoniam autem de Radicis Extractione, quæ pro divi$ionis
$pecie haberi pote$t, agendum re$tat, $ciendum e$t, ejus ope-
rationem non e$$e diver$am ab illa, quâ in Arithmetica vulgari ra-
dix ex dato aliquo numero elicitur.</p>

<pb 17>[573]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
<p>Etenim ut <math>a</math> multiplicatum per <math>a</math> facit <math>aa</math>, $eu <math>a</math> quadratum, cu-
jus radix $eu latus dicitur <math>a</math>; $ic & radice quadratâ extractâ ex <math>aa</math>
proveniet rur$us <math>a</math>. Similiter cum <math>aa</math>, hoc e$t, <math>a</math> quadratum mul-
tiplicatum per <math>a</math> producat <math>a^3</math> $eu cubum ex <math>a</math>; ita etiam extractâ
radice cubicâ ex <math>a^3</math>, fiet <math>a</math>. Et $ic de cæteris radicibus.</p>
<p>Nec aliter fit $i ex quantitatibus compo$itis radix $it extrahen-
da. Sicut enim ex quantitatibus $implicibus radicis extractio non
$ecus $e habet atque extractio radicis ex aliquo numero, quæ tan-
tùm unius $it characteris: ita radix, quantitas exi$tens compo$ita,
non aliter extrahetur, ac $i ex aliquo numero radix, quæ pluribus
con$tet characteribus, eliceretur.</p>
<p>Vt ad extrahendam radicem quadratam ex <math>aa + 2ab + bb</math>:
extraho primùm radicem ex <math>aa</math>, & fit <math>a</math>, quæ in $e multiplicata & ab
<math>aa</math> ablata relinquit o. Deinde multiplicato <math>a</math> per 2, divido <math>+ 2ab</math>
<tb math>
Quadratum # aa + 2ab + bb
 # # aa + 2ab + bb
 # # o # o # o
 # Radix # a + b
 # Divi$or # 2a
</tb>
per <math>2a</math>, & fit <math>+ b</math>: quod ad$cribo priori radici inventæ <math>a</math>. Hinc
$i ducatur <math>2a</math> in <math>b</math>, fit <math>+ 2ab</math>, quod $ublatum ex <math>2ab</math> relinquit o.
Similiter $i multiplicetur <math>b</math> in $e, fiet <math>+ bb</math>; quâ itidem ex <math>+ bb</math>
ablatâ, remanebit o. Et operatio erit ad finem perducta, eritque
radix quæ$ita <math>a + b</math>. Et $ic de aliis.</p>
<h it>Exempla extractionis radicum ex compo$itis.</h>
<tb math>
Quadratum # a^4 - 2 aabb + b^4
 # Radix # aa - bb
 # Divi$or # 2 aa
Quadratum # 64 xx - 160 x + 100
 # Radix # 8 x - 10
 # Divi$or # 16x
</tb>

<pb 18>[574]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
<tb math>
Quadratum # aa + 2ac + cc - 2ab - 2bc + bb
 # # # aa + 2ac + cc - 2ab - 2bc + bb
 # # # o # o # o # o # o # o
 # # Radix # a + c - b
 # Primus divi$or # 2a
 # # Secundus divi$or # 2a + 2c
 # Quadratum # aa # # # a + c
 # # Radix # a # # per # 2
 # # # # # 2a + 2c. # $ecundus divi$or.
 # # # a # a
 # # # per 2 # a # # - 2ab # - b # quot. $ecundus.
Primus divi$or # 2a # aa # + 2a
 # # # + 2ac # + c # quotus primus # # 2a + 2c
 # # # + 2a # # # # - b
 # # # 2a # c # - b # # - 2 ab - 2 bc.
 # # # + c # c # - b
 # # # + 2ac # cc. # + bb
</tb>
<tb math>
Cubus # a^3 + 3 aab + 3 abb + b^3
 # Radix # a + b # + 3 aab # + b.
 # Divi$or # 3 aa # + 3aa
</tb>
<tb math>
Cub. # 27 x^6 - 54 x^5 + 171 x^4 - 188 x^3 + 285xx - 150x + 125 # Cub. # 27 x^6
 # 27 x^6 - 54 x^5 + 36 x^4 - 8 x^3 + 60xx - 150x + 125 # Rad. # 3 xx.
 # # o # o + 135 x^4 - 180 x^3 + 225xx # o # o # 3xx
 # # # # + 135 x^4 - 180 x^3 + 225xx # # # 3xx
 # # # # # o # o # o # # # 9 x^4.
 # # # Radix # 3xx - 2x + 5. # # per # 3
 # Primus divi$. # 27 x^4 # # # - 54 x^5 # # 27 x^4 I. div.
 # Secundus divi$or # 27 x^4 - 36 x^3 + 12xx + 27 x^4 - 2x quot. primus.
</tb>

<pb 19>[575]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
<tb math>
 # # # - 2x # - 2x # # 3xx - 2x
+ 27 x^4 # # - 2x # - 2x # # 3xx - 2x
- 2x # # + 4xx # + 4xx # # - 6 x^3 + 4xx
- 54 x^5 # # + 3xx # - 2x # 9x - 6 x^3
 # # # + 12 x^4 # - 8 x^3 # 9 x^4 - 12 x^3 + 4xx
 # # per # 3 # # per # 3
 # # # + 36 x^4. # # 27 x^4 - 36 x^3 + 12xx. Secund. div.
 # # # # # + 5 # + 5
+ 135 x^4 + 5 quotus $ecund. # + 5 # + 5
+ 27 x^4 # # # + 25 # + 25
 # # # # # + 3xx - 2x # + 5
 # + 27 x^4 - 36 x^3 + 12 xx # + 75xx - 50x # + 125.
 # # # # + 5 # per 3
+ 135 x^4 - 180 x^3 + 60xx. # + 225xx - 150x.
</tb>
<p>Cæterùm $i quantitates, ex quibus radix extrahi debet, tales
fuerint, ut radix prædicto modo inveniri non po$$it, de$ignabitur
ip$a præfigendo quantitatibus propo$itis $ignum √. Vt ad extra-
hendum radicem quadratam ex <math>a q</math>, $cribo √ <math>a q</math>; quo indicatur
radicem quadratam ex <math>a q</math> e$$e extractam, vel adhuc e$$e extra-
hendam. Sic & <math><r>aa + bb</r></math> de$ignabit radicem quadratam ex
<math>aa + bb</math>.</p>
<p>Similiter ad extrahendum radicem cubicam ex <math>aaq</math>, $cribo
<math>√ C. aaq.</math> Vt & <math><r>C. a^3 - b^3 + abb</r></math>, ad extrahendam radicem
cubicam ex <math>a^3 - b^3 + abb</math>. Quæ quidem radices vocantur quan-
titates Surdæ $eu Irrationales, ad modum numerorum $urdorum
$eu irrationalium, de quibus Arithmetici agunt.</p>
<p>Vbi notandum, $ignum √, vocari Signum Radicale, atque in
genere u$urpari ad denotandam quamcunque radicem, $ive Qua-
dratam, $ive Cubicam, $ive Quadrato-quadratam, & c; $ed ad il-
lam di$tinguendam, communiter $cribi <math>√ L</math>, vel etiam $implici-
ter √, ad denotandam radicem Quadratam: & <math>√ C</math>, ad denotan-
dam radicem Cubicam: & <math>√ L L</math> $eu √ √, ad denotandam ra-
dicem Quadrato-quadratam, & c. quæ radices etiam $ic de$ignan-
tur: √ ②, √ ③, √ ④, & c; atque ab aliis, hoc quoque pacto:
√ &, √ &, √ &&, &c.</p>

<pb 20>[576]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
<h it>D<sc>E LOGISTICA FRACTIONVM</sc>.</h>
<p>QVandoquidem ex divi$ione quantitatum $implicium & com-
po$itarum o$ten$um e$t oriri Fractiones, $icut in Arithmeti-
ca vulgari, quarum operatio ea$dem leges $equitur atque nume-
rorum fractorum vulgarium; $atis erit, $i $uppo$itis horum regu-
lis, illarum operationem exemplis exponamus.</p>
<p>Hinc, cum per fractionem quamlibet de$ignetur $emper divi-
$ionem aliquam e$$e faciendam, utpote illarum quantitatum, quæ
numeratoris vicem gerunt, per quantitates, quæ pro denomina-
tore habentur, facile con$tat, $i numerator denominatori fue-
rit æqualis, tunc per fractionem illam de$ignari unitatem. Vt
<math>{bb / bb}</math>, <math>{ab + bb / ab + bb}</math>, & $imiles. Vnde patet, quânam ratione unitas de-
notari po$$it in formam fractionis, cujus denominator $it is, qul
requiritur.</p>
<p>Quòd $i verò <math>ab, aa - bb</math>, &c. in formam fractionis de$ignare
velimus, oportet tantùm, a$$umpto <math>ab & aa - bb</math>, & c. tanquam
numeratore fractionis, $ub$cribere pro denominatore unitatem,
hoc pacto: <math>{ab / 1}</math> & <math>{aa - bb / 1}</math>, &c.</p>
<p>Porrò $i quantitas aliqua, ut <math>a</math>, de$ignanda $it in formam
fractionis, cujus denominator ea $it, quæ præ$cribitur, ut <math>d</math>, aut
<math>a + b</math>, & c; oportet multiplicato <math>a</math> per <math>d</math>, aut per <math>a + b</math>, $cribere
<math>{ad / d}</math>, aut <math>{aa + ab / a + b}</math>, & c.</p>
<p>Non aliter fit, $i <math>a + {aa / d}</math> $it redigendum ad formam unius fra-
ctionis. Etenim, multiplicato <math>a</math> per denominatorem <math>d</math>, addatur
producto <math>ad</math> numerator <math>aa</math>, & $ummæ <math>ad + aa</math> $ub$cribatur de-
nominator <math>d</math>, habebiturque <math>{ad + aa / d}</math>. Sic &, <math>{aa / d} - a</math> in formam
unius fractionis reductum, facit <math>{aa-ad / d}</math>. Haud $ecus $i <math>a + b
{+ aa + bb / a - b}</math> reducatur ad fractionem, fiet <math>{2aa / a-b}</math>.</p>
<p>Cæterùm notandum hîc, cum ad dividendum <math>aa</math> per <math>bb</math>, $criba-
tur <math>{aa / bb}</math> pro quotiente; ideo ad hunc quotientem $ive fractionem
<math>{aa / bb}</math> multiplicandum per divi$orem $eu denominatorem <math>bb</math>, pro

<pb 21>[577]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
producto $cribendum e$$e numeratorem <math>aa</math>. Non $ecus $i <math>{bb / a-b}</math>
multiplicetur per <math>a - b</math>, productum erit <math>bb</math>. Vnde patet ad mul-
tiplicandum <math>{a / 2b}</math> per <math>2ab</math>; quoniam multiplicato <math>{a / 2b}</math> per <math>2b</math>, pro-
ductum e$t <math>a</math>; $upere$t tantùm ut hoc productum adhuc multiplicetur
per <math>a</math>, ut habeatur quæ$itum productum <math>aa</math>. Similiter ad
multiplicandum <math>{1/2}</math> per <math>2ab</math>: cum multiplicato <math>{1/2}</math> per 2, fiat I; hinc
multiplicandum tantùm re$tat I per <math>ab</math>, & fit productum quæ$i-
tum I <math>ab</math>. $eu <math>ab</math>. Et $ic de aliis.</p>
<h it>De Reductione fractionum ad $impliciores.</h>
<p>IAm ad reducendum fractionem <math>{aac / cd}</math> ad $impliciorem; elisâ com-
muniliterâ <math>c</math>, quæ tam in numeratore quàm in denominatore
reperitur, fiet <math>{aa / d}</math>. Sic & ad abbreviandum <math>{ab^3 / abc}</math>: eli$is literis <math>a, b,</math>
numeratoris atque denominatoris, hoc e$t, divi$o tam <math>ab^3</math> quàm
<math>abc</math> per <math>ab</math>, fiet <math>{bb / c}</math>.</p>
<p>Eodem modo ad abbreviandum <math>{aac-aad / cd-dd}</math>: quoniam divi$o
<math>aac</math> per <math>cd</math>, oritur <math>{aa / d}</math>, id quod multiplicatum per <math>cd - dd</math>, pro-
ducit <math>aac - aad</math>; hinc <math>{aac - aad / cd - dd}</math> ad minores terminos redu-
ctum, erit <math>{aa / d}</math>.</p>
<p>Pari ratione ad reducendum <math>{aac - aad - bbc + bbd / cd - dd}</math>: quia (ut
$upra) divi$o <math>aac</math> per <math>cd</math>, oritur <math>{aa / d}</math>, id quod multiplicatum per
<math>cd - dd</math>, producit <math>aac - aad</math>; & rur$us <math>- bbc</math> divi$o per <math>cd</math>,
oritur <math>- {bb / d}</math>, quod per <math>cd - dd</math> multiplicatum producit <math>- bbc
+ bbd</math>; hinc <math>{aac - aad - bbc + bbd / cd - dd}</math> abbreviatum, facit <math>{aa - bb / d}</math>.
Sic & <math>{a^5 ccoomm + 4 a^6 cc m^3 p / oopp z^4 + 4m p^3 z^4}</math> abbreviatum, facit <math>{a^5 ccmm / pp z^4}</math>
<mgr>_Pag._ 214
_lim._ 15.</mgr></p>
<p>Non $ecus <math>{aac - aad - acd + add / cd - dd}</math> reducitur ad <math>{aa / d} - a</math>, vel

<pb 22>[578]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
<math>{aa - ad / d}</math>. Nam <math>aac - aad</math> divi$um per <math>cd - dd</math>, facit <math>{aa / d}</math>; &
<math>- acd + add</math> divi$um per <math>cd - dd</math>, facit <math>- a</math>.</p>
<p>Similiter $i fuerit <math>{a^3 - abb / aa + 2ab + bb}</math>: divido <math>a^3 - abb</math> per <math>aa +
2ab + bb,</math> & relinquitur po$t divi$ionem <math>+ 2abb + 2b^3</math>(nul-
lâ hîc quotientis <math>a - 2b</math> habitâ ratione). Deinde divido <math>aa +
2ab + bb</math> per reliquum <math>+ 2abb + 2b^3</math>, & fit quotiens <math>{a / 2bb} + {1 / 2b}</math>.
Hinc cum peracta $it divi$io, & nihil remaneat, dividendus erit
numerator <math>a^3 - abb</math> & denominator <math>aa + 2ab + bb</math> per <math>2abb
+ 2b^3</math>, Invenieturque <math>{aa / 2bb} - {a / 2b}</math>, pro numeratore,
& <math><ol>{a / 2bb} + {1 / 2b}</ol></math>, pro denominatore.
hoc e$t, multiplicando ubique per <math>2bb</math>, habebitur <math>{aa - ab / a+b}</math>.</p>
<p>Nec aliter fit ad abbreviandum <math>{a^3 - b^3 / aa-bb}</math>. Divi$is enim <math>a^3 - b^3</math>
per <math>aa - bb,</math> relinquitur <math>abb - b^3</math>: dein <math>aa - bb</math> per <math>abb - b^3</math>,
fit quotiens <math>{a / bb} + {1 / b}</math>, & peracta e$t divi$io ab$que reliquo. Qua-
re $i dividatur <math>a^3 - b^3</math> & <math>aa - bb</math> per <math>abb - b^3</math>,
fiet <math>{aa / bb} + {a / b} + I</math>, pro numeratore.
& <math><ol>{a / bb} + {1 / b}</ol></math>, pro denominatore.
Ideoque $i ubique multiplicetur per <math>bb</math>, fiet fractio reducta
<math>{aa + ab + bb / a+b}</math>.</p>
<p>Simili operatione reducitur <math>{a^4 - b^4 / aa + ab}</math> ad <math>{a^3 - aab + abb - b^3 / a}</math>: Vt
& <math>{x^3 - 25x / xx + 10x + 25}</math> ad <math>{xx - 5x / x+5}</math>. Et $ic de aliis.</p>
<p>O$tensâ igitur ratione, quâ fractiones ad $impliciores reduci
po$$unt, $upere$t ut explicemus, quo pacto datis duabus aut plu-
ribus quantitatibus, $ive $implicibus, $ive compo$itis, inveniatur
minima quantitas, quæ per ip$as $ine reliquo dividi pote$t. id
quod in $equentibus u$um habere patebit. E$t autem operatio $i-
milis ei, quâ $ecundùm prop. 36. lib. 7. Elementorum Euclidis,
datis duobus numeris, minimus invenitur numerus, qui per ip$os
$ine reliquo dividitur.</p>

<pb 23>[579]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
<p>Vt, ad inveniendum minimam quantitatem, quæ dividi pote$t
per duas datas <math>aac</math> & <math>cd</math>:con$titutis <math>aac</math> & <math>cd</math> in formam fractionis,
hoc pacto: <math>{aac / cd}</math>; reduco fractionem hanc ad ejus primitivam, $eu
$impliciorem <math>{aa / d}</math>. Quibus juxta $e po$itis, hoc modo: <math>{aac / cd} X {aa / d}</math>,
$i multiplicatio in$tituatur per crucem, procreabitur eadem
quantitas ex <math>aac</math> in <math>d</math>, atque ex <math>cd</math> in <math>aa</math>: fiet enim utrobique
<math>aacd</math>, minima quippe quantitas, quæ $ine reliquo dividi pote$t
per <math>aac</math> & <math>cd</math>.</p>
<p>Sic & ad inveniendam minimam quantitatem, quæ dividi po-
te$t per duas datas <math>aac - aad</math> & <math>cd - dd</math>; reduco (ut ante) fra-
ctionem <math>{aac - aad / cd - dd}</math> ad ejus primitivam <math>{aa / d}</math>: Tum multiplicato
<math>aac - aad</math> per <math>d</math>, aut <math>cd - dd</math> per <math>aa</math>, fiet quantitas quæ$ita <math>aacd
- aadd</math>. minima $cilicet, quæ divi$ibilis e$t per <math>aac - aad</math> &
<math>cd - dd</math>.</p>
<p>Similiter $i dentur <math>a^4 - b^4</math> & <math>aa + ab</math>: quoniam <math>{a^4 - b^4 / aa + ab}</math> reducitur
ad <math>{a^3 - aab + abb - b^3 / a}</math>, & <math>a^4 - b^4</math> multiplicatum per <math>a</math> fa-
cit <math>a^5 - a b^4</math>; erit <math>a^5 - a b^4</math> quantitas quæ$ita.</p>
<p>Eâdem ratione $i datæ fuerint <math>x^3 - 25x</math> & <math>xx + 10x + 25</math>,
erit quæ$ita quantitas <math>x^4 + 5 x^3 - 25 xx - 125 x</math>. Et $ic de
cæteris.</p>
<p>Quòd $i verò compertum $it aut con$tet, duas illas datas quan-
titates ad $impliciores reduci non po$$e, $ed primitivas e$$e; opor-
tet unam per alteram multiplicare, ad inveniendam quantitatem
quæ$itam. Vtad inveniendam minimam quantitatem, quæ divi-
di pote$t per <math>aa - ab</math> & <math>a + b</math>: quoniam <math>{aa - ab / a + b}</math> ad $implicio-
res terminos reduci nequit, multiplico <math>aa - ab</math> per <math>a + b</math>, (cum
$ecundùm præcedentia $cribendum foret <math>{aa - ab / a + b} X {aa - ab / a + b}</math>),
& fit quæ$ita quantitas <math>a^3- abb</math>.</p>
<p>Cæterùm datis tribus aut pluribus quantitatibus, invenietur
minima quantitas quæ perip$as ab$que reliquo dividi pote$t, hoc
modo: Vt ad inveniendam minimam quantitatem, quæ dividi
pote$t per <math>a^3 - abb, aa + 2ab + bb</math>, & <math>aa - bb</math>: quæro pri-
mùm, ut ante, minimam quantitatem, quæ dividi pote$t per

<pb 24>[580]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
<math>a^3 - abb & aa + 2ab + bb</math>, & fit <math>a^4 + a^3 b - aabb - a b^3</math>.
quæ cum & dividatur per <math>aa - bb</math>, manife$tum e$t <math>a^4 + a^3 b -
aabb - a b^3</math> e$$e quantitatem quæ$itam. Sic & $i datæ fuerint
<math>a^4 - b^4, aa+ab, a^4 + a b^3, & a + b</math>: inventâ primùm minimâ
quantitate <math>a^5 - a b^4</math>, quæ dividi pote$t per duas <math>a^4 - b^4</math> & <math>aa + ab</math>,
(ut ante), quoniam ip$a dividi nequit per tertiam <math>a^4 + a b^3</math>: hinc
ad <math>a^5 - a b^4 & a^4 + a b^3</math> $imiliter aliam quæro, ut <math>a^7 - a^6 b +
a^5 bb - a^3 b^4 + aa b^5 - a b^6</math>. quæcum hîc etiam divi$ibilis $it per
reliquam <math>a + b</math>, patet <math>a^7 - a^6 b + a^5 bb - a^3 b^4 + aa b^5 - a b^6</math>
e$$e quantitatem quæ$itam. Et $ic de cæteris.</p>
<h it>De Reductione fractionum ad eandem
denominationem.</h>
<p>QVibus explicatis, facile e$t o$tendere, quâ ratione fractiones
diver$æ denominationis reducantur ad fractiones eju$dem
denominationis. Vtad reducendum fractiones <math>{b^3 d / aac}</math> & <math>{a^3 / cd}</math> ad ean-
dem denominationem: quæro primùm minimam quantitatem,
quæ dividi pote$t per denominatores <math>aac & cd</math> (ut jam e$t o$ten-
$um), & fit <math>aacd</math>: quæ erit denominator communis. Iam ad in-
veniendum numeratores, dividatur denominator inventus <math>aacd</math>
per <math>aac</math> & <math>cd</math>, unumquemque $cilicet ex denominatoribus datis,
& quotientis <math>d</math> & <math>aa</math> multiplicentur per numeratores <math>b^3 d & a^3</math>
datarum fractionum, ut habeantur numeratores quæ$iti <math>b^3 d d & a^5</math>,
fiuntque fractiones quæ$itæ <math>{b^3 dd / aacd}</math> & <math>{a^5 / aacd}</math>.</p>
<p>Similiter ad reducendum <math>{b^4 / aac - aad}</math> & <math>{a^3 + b^3 / cd - dd}</math> ad eandem de-
nominationem: invento denominatore communi <math>aacd - aadd</math>,
minimâ nempe quantitate, quæ dividi pote$t per <math>aac - aad</math> &
<math>cd - dd</math>, divido <math>aacd - aadd</math> per <math>aac - aad</math> & <math>cd - dd</math>, &
quotientes <math>d & aa</math> multiplico per numeratores <math>b^4 & a^3 + b^3</math>, fiunt-
quefractiones quæ$itæ <math>{b^4 + d / aacd - aadd}</math> & <math>{a^5 + aa b^3 / aacd - aadd}</math>.</p>
<p>Eodem modo $i <math>{125 / x^3 - 25x}</math> & <math>{x - 25 / xx + 10x + 25}</math> reducantur ad ean-
dem denominationem, provenient <math>{125x + 625 / x^4 + 5 x^3 - 25xx - 125x}</math> &
<math>{x^3 - 30xx +125x / x^4 + 5 x^3 - 25xx -125x}</math>.</p>

<pb 25>[581]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
<p>Non $ecus <math>{a^5 / a^4 - b^4}, {a^3 - aab / aa + ab}, {a^5 - b^5 / a^4 + a b^3}</math>, & <math>{aa + ab + bb / a + b}</math> redu-
ctæ $ub eodem denominatore, facient
<math>{a^8 - a^7 b + a^6 bb / a^7 - a^6 b + a^5 bb - a^3 b^4 + aab^5 - ab^6}</math>,
<math>{a^8 - 3 a^7 b + 5 a^7 bb - 6 a^5 b^3 + 5 a^4 b^4 - 3 a^3 b^5 + aa b^5 / a^6 - a^5 b + a^5 bb - a^3 b^4 + aa b^5 - a b^5}</math>,
<math>{a^8 - a^7 b + a^5 bb - a^5 b^3 - a^3 b^5 + aa b^5 - a b^7 + b^8 / a^7 - a^5 b + a^5 bb - a^3 b^4 + aa b^5 - a b^5}</math>, &
<math>{a^3 - a^7 b + 2 a^6 bb - 2 a^5 b^3 + 2 a^4 b^4 - 2 a^3 b^5 + aab^5 - ab^7 / a^7 - a^6 b + a^5 bb - a^3 b^4 + aab^5 - ab^5}.</math></p>
<h it>De Additione & Subtractione fractionum.</h>
<p>ADditio & Subtractio fractionum eodem modo perficiuntur,
atque additio & $ubtractio numerorum fractorum vulga-
rium. Etenim $i fractiones eju$dem fuerint denominationis, opor-
tet tantùm earum numeratores addere aut $ubtrahere, & $ummæ
vel reliquo $ub$cribere denominatorem communem. Vt ad ad-
dendum <math>{aa / c}</math> ad <math>{bb / c}</math>, $umma erit <math>{aa + bb / c}</math>. Sic & <math>{2ad / d + e}</math> additum ad
<math>{2ae / d + e}</math>, facit <math>{2ad + 2ae / d + e}</math>, $eu <math>2a</math>. Non $ecus $i addantur <math>{bd / b + d}</math>,
<math>d + {bb / b + d}</math>, & <math>a - {dd / b + d}</math>, erit $umma <math>a + {2bd + bb / b + d}</math>.</p>
<p>Quod $i fractiones diver$æ denominationis fuerint, reducendæ
erunt priùs ad eandem denominationem: quo facto, operandum
erit ut jam dictum e$t. Vtad addendum <math>{125 / x^3 - 25 x}</math> ad <math>{x - 25 / xx + 10x + 25}</math>,
fiet $umma <math>{x^3 - 30 xx + 250x + 625 / x^4 + 5 x^3 - 25xx - 125x}</math>.</p>
<p>Non $ecus $i addantur <math>{a^5 / a^4 - b^4}, {a^3 - aab / aa + ab}, {a^5 - b^5 / a^4 + a b^3}</math>, & <math>{aa + ab + bb / a + b}</math>,
erit $umma <math>{4 a^8 - 6 a^7 b + 9 a^5 bb - 9 a^5 b^3 + 7 a^4 b^4 - 6 a^3 b^5 + 3 aa b^5 - 2a b^7 + b^3 / a^7 - a^5 b + a^5 bb - a^3 b^4 + aa b^5 - a b^5}</math>,</p>
<p>Iam ad $ubtrahendum <math>{aa / c}</math> de <math>{bb / c}</math>, $cribo pro differentia <math>{bb - aa / c}</math>.
Eodem modo $ubductis <math>{2ac / d - e}</math> à <math>{2ad / d - e}</math>, reliquum erit <math>{2ad - 2ae / d- e}</math> $eu
<math>2a</math> Similiter <math>{bd / b + d}</math> de <math>d+ {bd / b + d}</math> relinquit <math>{dd + bb / b + d}</math>.</p>
<p>Nec aliter fit, $i $ubtrahendum $it <math>{b^4 / aac - aad}</math> de <math>{a^3 + b^3 / cd-dd}</math>. Ete-

<pb 26>[582]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
nim reductis ad eundem denominatorem, $i auferatur <math>{b^4 d / aacd - aadd}</math>
de <math>{a^5 + aa b^3 / aacd - aadd}</math> relinquetur <math>{a^5 + aa b^3 - b^4 d / aacd - aadd}</math>. Sic & $i tollatur
<math>{125 / x^3 - 25x}</math> ex <math>{x - 25 / xx + 10x + 25}</math>, remanebit <math>{x^3 - 30xx - 625 / x^4 + 5 x^3 - 25xx - 125x}</math>.</p>
<p>Eâdem ratione ad $ubducendum <math>{aa - ab / a + b}</math> de <math>a</math>, reductâ quanti-
tate <math>a</math> ad denominatorem <math>a +b</math>, demptoque <math>{aa - ab / a + b}</math> de <math>{aa + ab / a + b}</math>,
fiet reliquum <math>{2ab / a + b}</math>. Non $ecus $i $ubtrahatur <math>b + {cc / b + d}</math> de <math>a + b</math>,
relinquetur <math>a - {cc / b + d}</math>.</p>
<h it>De Multiplicatione fractionum.</h>
<p>AD multiplicandum <math>{ab / c}</math> per <math>{de / f}</math>, multiplico numeratorem <math>ab</math>
per numeratorem <math>de</math>, ut & denominatorem <math>c</math> per denomi-
natorem <math>f</math> (ad modum fractionum vulgarium), fitque productum
<math>{abde / cf}</math>. Sic & <math>{aa - bb / c}</math> multiplicatum per <math>{2ab / b + c}</math> producit <math>{2 a^3 b - 2a b^3 / bc + cc}</math>.</p>
<p>Ad faciliorem autem operationem non rarò convenit abbre-
viare quantitates per crucem. Vtad multiplicandum
<math>{aac - aad - bbc + bbd / aa + 2ab + bb}</math> per <math>{a^3 - abb / cd - dd}</math>: quoniam <math>aac - aad - bbc
+ bbd & cd - dd</math> reducuntur ad $impliciores <math>aa - bb & d</math>, ut &
<math>a^3 - abb & aa + 2ab + bb</math> ad <math>aa - ab</math> & <math>a + b</math>; hinc loco mul-
tiplicandi <math>aac - aad - bbc + bbd</math> per <math>a^3 - abb</math> multiplico <math>aa - bb</math>
per <math>aa - ab</math>; & loco multiplicandi <math>aa + 2ab + bb</math> per <math>cd - dd</math>
multiplico <math>a + b</math> per <math>d</math>: eritque productum <math>{a^4 - a^3 b - aabb + a b^3 / ad + bd}</math>.</p>
<p>Porrò ad multiplicandum <math>aa - bb</math> per <math>{aa - ab / a + b}</math>: $ub$tituto I
pro denominatore ip$ius <math>aa - bb</math>, quoniam numerator <math>aa - bb</math>
& denominator <math>a + b</math> reduci po$$unt ad <math>a - b & 1</math>, hinc multi-
plicatis numeratoribus inter $e, ut & denominatoribus, fiet pro-
ductum <math>{a^3 - 2aab + abb / 1}</math> $eu <math>a^3 - 2 aab + abb}</math>.</p>
<p>Eâdem ratione cùm multiplicatur <math>a + {bb / a-b}</math> per <math>a-2b + {bb / a}</math>, hoc
e$t, <math>{aa-ab+bb / a-b}</math> per <math>{aa - 2ab + bb / a}</math>: quoniam <math>aa - 2ab + bb</math>

<pb 27>[583]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
& <math>a-b</math> reduci po$$unt ad <math>a-b</math> & I; hinc multiplicatis <math>aa - ab
+ bb</math> per <math>a-b</math>, & <math>a</math> per I, provenit <math>{a^3 - 2 aab + 2 abb - b^3 / a}</math> $eu
<math>aa - 2 ab + 2 bb - {b^3 / a}</math>.</p>
<p>Similiter $i ad multiplicandum proponatur <math>{xx-5x / x+5}</math> per <math>{xx-25 / x}</math>:
reductis <math>xx - 5 x & x</math> ad <math>x - 5 & I</math>, itemque <math>xx - 25</math> & <math>x + 5</math>
ad <math>x - 5 & I</math>, multiplico tantùm <math>x - 5</math> per <math>x - 5</math>, & fit produ-
ctum <math>xx - 10 x + 25</math>.</p>
<p>Præterea ad multiplicandum <math>a + {bb / a-b}</math> per <math>a-b</math>: quoniam <math>a</math>
per <math>a - b</math> facit <math>aa - ab</math>, & <math>{bb / a-b}</math> per <math>a-b</math> facit <math>bb</math>; hinc produ-
ctum quæ$itum erit <math>aa - ab + bb</math>. Quâ quoque ratione multi-
plicabitur <math>{aa-ab / a+b}</math> per <math>aa - bb</math>, & producetur <math>a^3 - 2aab + abb</math>.
cum enim <math>aa - bb</math> fiat ex <math>a + b</math> in <math>a - b</math>, & <math>{aa - ab / a+b}</math> multiplica-
tum per <math>a + b</math> producat <math>aa - ab</math>, $upere$t tantùm multiplican-
dum <math>aa - ab</math> per <math>a - b</math>, ut habeatur <math>a^3 - 2aab + abb</math>.</p>
<p>Denique $i multiplicandum $it <math>{a^3 - abb / cd-dd}</math> per <math>c - d</math>, fiet, divi$is
<math>cd - dd</math> per <math>c - d</math>, productum <math>{a^3 - abb / a}</math>.</p>
<h it>De Divi$ione fractionum.</h>
<p>AD dividendum <math>{a b^3 / c}</math> per <math>{bb / c}</math>: omi$$o communi denominatore
<math>c</math>, divido <math>a b^3</math> per <math>bb</math>, fietque quotiens <math>ab</math>. Pari ratione $i
<math>{a^3 - abb / c - d}</math> dividatur per <math>{aa + 2ab + bb / c-d}</math>, orietur <math>{a^3 - abb / aa + 2ab + bb}</math> $eu
<math>{aa - ab / a+b}</math>.</p>
<p>Quòd $i denominatores fuerint diver$i, reductio ad eandem
denominationem fiet, $i multiplicatio in$tituatur per crucem, ut
in vulgaribus. Vtad dividendum <math>{a^3 - b^1 / a+b}</math> per <math>{aa - ab + bb / c}</math>: quo-
niam multiplicato prioris numeratore <math>a^3 - b^3</math> per po$terioris de-
nominatorem <math>c</math>, & hujus numeratore <math>aa - ab + bb</math> per illius
denominatorem <math>a + b</math>, fiunt <math>a^3 c - b^3 c & a^3 + b^3</math>; hinc quotiens
erit <math>{a^3 c - b^3 c / a^3 + b^3}</math>.</p>

<pb 28>[584]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
<p>Advertendum autem hîc e$t, ad facilitatem operationis, fra-
ctionum numeratores, $icut etiam denominatores non rarò ad
$impliciores terminos reduci po$$e. Vt ad dividendum <math>{a^4 - b^4 / aa-2ab+bb}</math>
per <math>{aa + ab / a - b}</math>: cum numeratores <math>a^4 - b^4 & aa + ab</math> reduci po$$int
ad <math>a^3 - aab + abb - b^3 & a</math>, & denominatores <math>aa - 2ab + bb</math>
& <math>a - b</math> ad <math>a - b & I</math>; ideo loco multiplicandi <math>a^4 - b^4</math> per <math>a - b</math>,
multiplico <math>a^3 - aab + abb - b^3</math> per I, & fit <math>a^4 - aab + abb - b^3</math>;
& loco multiplicandi <math>aa + ab</math> per <math>a - 2ab + bb</math> multiplico
<math>a</math> per <math>a - b</math>, & fit <math>aa - ab</math>. unde quotiens divi$ionis fit
<math>{a^3 - aab + abb - b^3 / aa - ab}</math> vel <math>a+ {bb / a}</math>. Eâdem ratione $i <math>{x^4 - 625 / xx - 10x + 25}</math>
dividatur per <math>{xx+5x / x-5}</math>, orietur <math>{x^3 - 5xx + 25x - 125 / xx - 5x}</math>. Nam <math>x^4 - 625</math>
& <math>xx + 5x</math> reduci po$$unt ad <math>{x^3 - 5xx + 25x - 125 & x</math>, quin
& <math>xx - 10 x + 25 & x - 5</math> ad <math>x - 5 & I</math>, unde producta ex
multiplicatione per crucem fiunt <math>x^3 - 5 xx + 25 x - 125</math> &
<math>xx - 5x</math>.</p>
<p>Porrò ad dividendum <math>a^3 - 2aab + abb</math> per <math>{aa - ab / a+b}</math>: $ub$tituto I
pro denominatore dividendi <math>a^3 - 2 aab + abb</math>, quoniam nume-
ratores <math>a^3 - 2 aab + abb & aa - ab</math> reduci po$$unt ad <math>a-b & I</math>;
hinc multiplicatis <math>a - b</math> per <math>a + b & I</math> per I, fiet quotiens <math>aa - bb</math>.</p>
<p>Sic & ad dividendum <math>aa + {3abb / a + 4b}</math> per <math>a + b</math>, hoc e$t,
<math>a^3 + 4aab + 3abb / a + 4b}</math> per <math>{a + b / I}</math>: divido <math>a^3 + 4aab + 3abb</math> per <math>a + b</math>,
& fit <math>aa + 3ab</math>, unde quotiens quæ$itus fit <math>{aa + 3ab / a + 4b}</math>. Haud aliter,
$i dividatur <math>aa - ab</math> per <math>{aa - ab / a + b}</math>, orietur <math>a + b</math>. Et <math>{xx + 5x / x - 5}</math> per
<math>xx + 5x</math>, orietur <math>{1 / x - 5}</math>. Ac <math>a^3 - aab</math> per <math>{aa - ab / a + b}</math>, orietur
<math>aa + ab</math>. Et denique <math>{xx + 5x / x - 5}</math> per <math>x + 5</math>, ex$urget <math>{x / x - 5}</math>.</p>
<h it>De Radicum extractione ex fractionibus.</h>
<p>CVm in Radicum extractione ex fractionibus radix ex nume-
ratore & denominatore extracta exhibeat radicem quæ$i-
tam: hinc $i extrahenda $it radix quadrata ex <math>{aabb / cc}</math>, quoniam ra-

<pb 29>[585]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
dix quadrata ex <math>aabb</math> e$t <math>ab</math>, & radix quadrata ex <math>cc</math> e$t <math>c</math>, $cribo
pro radice quæ$ita <math>{ab / c}</math>.</p>
<p>Eodem modo, $i extrahatur radix quadrata ex <math>{a^4 - 2aabb + b^4/ aa + 4ab + 4bb}</math>,
fiet <math>{aa - bb / a + 2b}</math>. Pari ratione ad extrahendam radicem quadratam ex
<math>4 + {64xx - 160x / 25}</math>: quoniam <math>4 + {64xx - 160x / 25}</math> in formam fra-
ctionis facit <math>{100 - 160x + 64xx / 25}</math>, & radix quadrata ex <math>100 - 160x
+ 64xx</math> e$t <math>10 - 8x</math>, & radix quadrata ex 25 e$t 5; erit radix
quæ$ita <math>{10 - 8x / 5}</math> $eu <math>2 - {8x / 5}</math>.</p>
<p>Non $ecus radix cubica ex
<math>{27 x^6 - 54 x^5 + 171 x^4 - 188 x^3 + 285xx - 150x + 125 / x^3 - 9xx + 27x - 27}</math> erit <math>{3xx - 2x + 5 / x - 3}</math>.</p>
<p>Quòd $i quæ$ita radix prædicto modo ex numeratore atque
denominatore extrahi nequit, præponitur datæ fractioni $ignum
radicale √. Vtad extrahendam radicem quadratam ex <math>{ccxx / 4bb} - ac</math>,
$cribo <math><r>{ccxx / 4bb} - ac;</r></math> vel quia <math>{ccxx / 4bb} - ac</math> in formam fractionis
facit <math>{ccxx - 4abbc / 4bb}</math>, & ex denominatore <math>4bb</math> extrahi pote$t ra-
dix, quæ e$t <math>2b</math>: ideo quæ$ita radix $ic quoque $cribi poterit
<math>{<r>ccxx - 4abbc</r> / 2b}</math>. Similiter radix quadrata ex <math>{aabb / aa+bb}</math>, erit <math>{ab / <r>aa+bb</r>}</math>.
Idem de reliquis radicibus e$t intelligendum.</p>
<h it>DE LOGISTICA QV ANTIT ATVM SVRD ARVM.</h>
<p>QVemadmodum fractiones oriuntur ex divi$ione imperfecta
quantitatum, quarum una per alteram $ine reliquo dividi ne-
quit: ita ex extractione radicis quantitatum radicem non haben-
tium ex$urgunt quantitates Surdæ, quarum operationem $equen-
tibus exemplis exponere vi$um fuit.</p>
<h it>De Reductione quantitatum $urdarum.</h>
<p>SCiendum itaque, quòd, $icut ad operationem fractionum di-
ver$æ denominationis oportet priùs ip$as ad eundem denomi-

<pb 30>[586]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
natorem reducere, ita & opùs $it, quantitates $urdas, $i diver$a $i-
gna radicalia habuerint, reducere ad idem $ignum radicale. Quod
fit, $i ad numeros, à quibus radices denominantur, minimus in-
veniatur numerus, qui per ip$os $ine reliquo dividi po$$it. Vt ad
reducen dum <math>√ aq</math> $eu <math>√ ② aq</math> & <math>√ C. aaq</math> $eu <math>√ ③ aaq</math> ad idem
$ignum radicale: quæro ad 2 & 3 (numeros à quibus <math>√ Q & √ C</math>
denominantur) minimum numerum, qui per ip$os $ine reliquo
dividi pote$t, qui e$t 6. Iam cum 6 divi$o per 2 oriatur 3, & per
3 divi$o oriatur 2; hinc <math>aq</math> multiplicandum erit in $e cubicè, &
<math>aaq</math> quadratè fientque $ub eodem $igno <math>√ QC. a^3 q^3</math> $eu <math>√ ⑥ a^3 q^3,
& √ Q C. a^4 qq</math> $eu <math>√ ⑥ a^4 qq</math>. Sic & <math>√ ab & √ <r>a^3 b + a b^3</r></math> $ub
eodem $igno radicali erunt <math>√ √ aabb & √ <r>a^3 b + a b^3.</r></math></p>
<p>Huc refer cùm quantitas aliqua rationalis per multiplicatio-
nem in $e reducitur ad aliquod $ignum radicale. Exempli gratiâ:
ad reducendum <math>a + b</math> ad idem $ignum radicis cum <math><r>aa + bb.</r></math>
oportet multiplicare <math>a + b</math> in $e quadratè, & fit <math><r>aa + 2ab + bb.</r></math>
Non $ecus $i multiplicetur <math>a + b</math> in $e cubicè, fiet
<math><r>C. a^3 + 3aab + 3 abb + b^3</r></math> $ub eodem $igno cum <math><r>C. a^3 - b^3 + abb.</r></math></p>
<p>Et $ic de aliis.</p>
<p>Deinde $ciendum, quantitates $urdas non rarò ad $impliciores
reduci po$$e, tollendo ex $igno radicali quicquid e$t rationale:
nimirum, dividendo quantitates $ub eodem $igno √ comprehen-
$as per aliquod Quadratum, vel Cubum, &c. per quod multiplica-
tione fuerint productæ. Vt <math><r>75aa</r></math> reduci pote$t ad <math>5 a √ 3</math>: nam
<math>75 aa</math> producitur ex multiplicatione <math>25 aa</math> per 3, quarum radi-
ces $unt <math>5a</math> & <math>√ 3</math>; adeò ut, $i <math>75aa</math> dividatur per quadratum
<math>25aa</math>, $ub $igno radicali tantùm $cribendum $it 3, hoc modo:
<math>5a √ 3</math>. Id quod mon$trat <math>5a</math>, hoc e$t, <math><r>25 aa,</r></math> multiplicatum
e$$e per <math>√ 3</math>.</p>
<p>Eodem modo cum <math>a^3 b + aabb</math> dividi po$$it per quadratum
<math>aa</math>, & oriatur <math>ab + bb</math>; fit ut pro <math><r>a^3 b + aabb</r></math> $cribi queat
<math>a<r>ab + bb.</r></math></p>
<p>Similiter quoniam <math>a^3 b - aabb + 2 aabc + abcc - ab^3 +
bbcc - 2 b^3 c + b^4</math> dividi pote$t per quadratum <math>aa + 2ac +
cc - 2ab - 2bc + bb</math>, cujus radix e$t <math>a+c-b</math>, & quotiens e$t <math>ab+bb</math>;

<pb 31>[587]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
hinc loco <math><r>a^3 b - aabb + 2aabc + abcc - a b^3 + bbcc - 2 b^3 c + b^4</r></math>
$cribi pote$t <math><ol>a + c - b</ol> <r>ab + bb</r></math>.</p>
<p>Non $ecus pro <math><r>{aaoomm / ppzz} + {4aa m^3 / pzz}</r></math> $cribi poterit <math>{am / pz}<r>oo + 4mp:</r></math>
<mgr>_Pag._ 31.
_lin._ 9.</mgr>
reducto enim ultimo termino ad eandem denominationem cum
priori, pote$t utriu$que numerator dividi per <math>aamm</math>, cujus radix
e$t <math>am</math>, oriturque <math>oo + 4mp</math>. Denominator autem cum $it ratio-
nalis, liberabitur à $igno √, extrahendo radicem ex <math>ppzz</math>.</p>
<p>Eâdem ratione loco
<math><r>C. x^6 - 9 x^5 + 27 x^4 - 15 x^3 - 108 xx + 324 x - 324</r></math>
$cribi pote$t <math><ol>x - 3</ol> <r>C. x^3 + 12</r></math>. Et $ic de aliis.</p>
<p>Verùm enimverò quoniam $æpenumero difficile e$t invenire
Quadratum, Cubum, &c. per quod divi$io, ad hanc reductionem
nece$$aria, in$titui po$$it; non inutile fuerit, $i hoc loco o$tenda-
mus, quâ ratione datarum quarumlibet quantitatum divi$ores
omnes inveniantur, perinde atque in numeris e$t o$ten$um. vide
p. 300.</p>
<p>Dividantur datæ quantitates per quantitatem aliquam primiti-
<mgr>_Ratio in-_
_veniendi_
_divi$ores_
_omnes_
_quarum-_
_cunque_
_datarum_
_quantita-_
_tum._</mgr>
vam (hoc e$t, quæ non ni$i per unitatem aut $e ip$am dividi po-
te$t), & rur$us quotiens per hanc eandem $ive aliam primitivam,
idque fiat donec perveniatur ad quantitatem aliquam primitivam,
quæ per $e ip$am e$t dividenda. Vt ad inveniendum divi$ores
omnes quantitatis <math>a^3 b + aabb</math>: divido <math>a^3 b + aabb</math> per <math>a</math>, & fit
<math>aab + abb</math>, id quod rur$us per <math>a</math> divi$um dat <math>ab + bb</math>. Iam quia
quotiens hîc per <math>a</math> ampliùs dividi nequit, divido <math>ab + bb</math> per <math>b</math>,
& provenit <math>a + b</math>, quæ quantitas e$t primitiva, ideoque per $e
ip$am dividenda. Quibus peractis re$erventur divi$ores <math>a, a, b,
& a + b</math>.
<math>a^3 b + # aabb \\ a # aab + # abb \\ a # ab + # bb \\ b # a+b \\ a+b # I</math>
Iam ut ex hi$ce divi$oribus inveniantur divi$ores omnes quanti-
tatis <math>a^3 b + aabb</math>, multiplico primùm <math>a</math> per <math>a</math>, & fit <math>aa</math>. Deinde
<math>b</math> per I, <math>a</math>, & <math>aa</math>, fiuntque <math>b, ab, & aab</math>. Denique multiplico <math>a + b</math>
per I, <math>a, aa, b, ab, & aab</math>, & fiunt <math>a + b, aa + ab, a^3 + aab,
ab + bb, aab + abb, & a^3 b + aabb</math>.</p>

<pb 32>[588]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
<tb math>
 # # # I.
 # # a. # a.
 # # # aa.
 # b. # ab. # aab.
a+b.aa+ab. a^3 +aab.ab+bb.aab+abb. a^3 b+aabb.
</tb>
<p>Atque ita divi$ores omnes erunt I, <math>a, aa, b, ab, aab, a + b,
aa + ab, a^3 + aab, ab + bb, aab + abb, & a^3 b + aabb</math>.</p>
<p>Sic & ad inveniendum omnes divi$ores quantitatis <math>a^6 - 2 a^4 bb
- 2aa b^4 + b^6</math>: divido <math>a^6 - 2 a^4 bb - 2aa b^4 + b^6</math> per quanti-
tatem primitivam <math>aa + bb</math>, & fit <math>a^4 - 3aabb + b^4</math>, id quod
rur$us divi$um per quantitatem primitivam <math>aa + ab - bb</math> dat
<math>aa - ab - bb</math>, quæ quantitas etiam primitiva e$t, adeoque per
$e ip$am dividenda. Eruntque divi$ores re$ervandi <math>aa + bb,
aa + ab - bb</math>, & <math>aa - ab - bb</math>.
<tb math>
a^6 - 2 a^4 bb - 2aa b^4 + b^6 a^4 - 3aabb + b^4 aa-ab-bb I
 # aa+bb # aa+ab-bb # aa-ab-bb
</tb>
Ex quibus ut inveniantur divi$ores omnes quantitatis <math>a^6 - 2 a^4 bb
- 2aa b^4 + b^6</math>: multiplico primùm <math>aa + bb</math> per <math>aa + ab - bb</math>,
& fit <math>a^4 + a^3 b + a b^3 - b^4</math>. Deinde I, <math>aa + bb</math>, <math>aa + ab - bb</math>,
& <math>a^4 + a^3 b + a b^3</math> per <math>aa - ab - ab - bb</math>, fiuntque <math>aa - ab - bb</math>,
<math>a^4 - a^3 b - a b^3 - b^4</math>, <math>a^4 - 3 aabb + b^4</math>, & <math>a^6 - 2 a^4 bb -
2 aa b^4 + b^6</math>.
<tb math>
 # # # I.
 # aa+bb. # aa+ab-bb.
 # # a^4 + a^3 b + a b^3 - b^4.
aa-ab-bb. a^4 - a^3 b - a b^3 - b^4. a^4 - 3aabb+ b^4. a^6 - 2 a^4 bb - 2aa b^4 +b^6.
</tb>
Ita ut divi$ores omnes $int I, <math>aa + bb, aa + ab - bb, a^4 + a^3 b
+ a b^3 - b^4, aa - ab - bb, a^4 a^3 b - a b^3 - b^4, a^4 - 3aabb + b^4,
& a^6 - 2 a^4 bb - 2aa b^4 + b^6</math>.</p>
<p>Eodem modo ut inveniantur divi$ores omnes quantitatis
<mgl>_Pag._ 78,
_lin._ 12.</mgl>
<math>a^6 + 2 a^4 cc + aa c^4</math>: divido <math>a^6 + 2 a^4 cc + aa c^4</math> per <math>a</math>, & fit
<math>a^5 + 2 a^3 cc + a c^4</math>, quod rur$us per <math>a</math> divi$um, dat <math>a^4 + 2aacc + c^4</math>.
Iam cum hic quotiens dividi ampliùs non po$$it per <math>a</math> aut <math>c</math> $imi-
lemve quantitatem, divido <math>a^4 + 2aacc + c^4</math> per <math>aa + cc</math>, vel,
quod hîc idem e$t, ex <math>a^4 + 2aacc + c^4</math> extraho radicem qua-

<pb 33>[589]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
dratam <math>aa + cc</math>, quâ denuo per $eip$am divisâ, provenit I. Vn-
de cum divi$ores re$ervati $int <math>a, a, aa + cc</math>, & <math>aa + cc</math>; ideo ut
ex iis inveniantur divi$ores omnes quantitatis <math>a^6 + 2 a^4 cc + aa c^4</math>:
multiplico primùm <math>a</math> per <math>a</math>, & fit <math>aa</math>: deinde I, <math>a</math>, & <math>aa</math> per
<math>aa + cc</math>, fiuntque <math>aa + cc, a^3 + acc</math>, & <math>a^4 + aacc</math>: ac deni-
que <math>aa + cc, a^3 + acc</math>, & <math>a^4 + aacc</math> per <math>aa + cc</math>, & fiunt <math>a^4 +
2aacc + c^4, a^5 + 2 a^3 cc + ac^4</math>, & <math>a^6 + 2 a^4 cc + aac^4</math>; erunt-
que divi$ores omnes I, <math>a, aa, aa + cc, a^3 + acc, a^4 + aacc,
a^4 + 2aacc + c^4, a^5 + 2a^3 cc + ac^4</math>, & <math>a^6 + 2 a^4 cc + aac^4</math>.</p>
<tb math>
a^6 + 2 a^4 cc + aa c^4 a^5 + 2 a^3 cc + a c^4 a^4 + 2aacc + c^4 aa + cc 1
 # a # a # aa+cc # aa+cc
</tb>
<tb math>
 # # # I.
 # # a. # a
 # # # aa.
 # aa + cc. a^3 + acc. a^4 + aacc.
aa + cc. a^4 + 2aacc + c^4. a^5 + 2 a^3 cc + a c^4. a^6 + 2 a^4 cc + aa c^4.
</tb>
<p>Similiter ad inveniendum divi$ores omnes quantitatis <math>a^3 b -
aabb + 2aabc + abcc - ab^3 + bbcc - 2b^3 c + b^4</math>: quia, fa-
ctâ divi$ione per <math>b</math>, oritur <math>a^3 - aab + 2aac + acc - abb +
bcc - 2bbc + b^3</math>, & hujus quotientis per <math>a + b</math>, oritur <math>aa -
2ab + 2ac - 2bc + cc + bb</math>, & radix quadrata ex <math>aa - 2ab
+ 2ac - 2bc + cc + bb</math> e$t <math>a + c - b</math>, hoc e$t, <math>aa - 2ab -
2ac - 2bc + cc + bb</math> divi$um per <math>a + c - b</math>, dat <math>a + c - b</math>;
divido demum <math>a + c - b</math> per <math>a + c - b</math>, & fit I. Vnde cum di-
vi$ores re$ervati $int <math>b, a + b, a + c - b, & a + c - b</math>; multipli-
co <math>b</math> per <math>a + b</math>, & fit <math>ab + bb</math>: tum <math>I, b, a + b, & ab + bb</math> per
<math>a + c - b</math>, fiuntque <math>a + c - b, ab + bc - bb, aa + ac + bc
- bb, & aab + abc + bbc - b^3</math>: ac denique <math>a + c - b, ab +
bc - bb, aa + ac + bc - bb, & aab + abc + bbc - b^3</math> per
<math>a + c - b</math>, fiuntque <math>aa - 2ab + 2ac - 2bc + cc + bb, aab +
2abc + bcc - 2abb - 2bbc + b^3, a^3 + 2aac + acc - aab
- abb + bcc - 2bbc + b^3</math>, & <math>a^3 b + aabb + 2aabc + abcc
- ab^3 + bbcc - 2b^3 c + b^4</math>. Atque ita divi$ores omnes erunt <math>I,
b, a + b, ab + bb, a + c - b, ab + bc - bb, aa + ac + bc
- bb, aab + abc + bbc - b^3, aa - 2ab + 2ac - 2bc + cc
+ bb, aa b + 2abc + bcc - 2abb - 2bbc + b^3, a^3 + 2aac

<pb 34>[590]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
+ acc - aab - abb + bcc - 2bbc + b^3</math>, & <math>a^3 b - aabb + 2aabc
+ abcc - ab^3 + bbcc - 2b^3 c + b^4</math>.</p>
<p>Non $ecus $i proponatur <math>a^3 bc - ab^3 c</math>, invenientur ex divi$o-
ribus re$ervatis <math>a, b, c, a - b</math>, & <math>a + b</math> divi$ores $equentes: <math>I, a, b,
ab, c, ac, bc, abc, a - b, aa - ab, ab - bb, aab - abb, ac + bc,
aac - abc, abc - bbc, aabc - abbc, a + b, aa + ab, ab + bb,
aab + abb, ac + bc, aac + abc, abc + bbc, aabc + abbc,
aa - bb, a^3 - abb, aab - b^3, a^3 b - ab^3, aac - bbc, a^3 c -,
abbc, aabc - b^3 c</math>, & <math>a^3 bc - ab^3 c</math>.</p>
<p>Neque prætereundum hoc loco videtur, quo pacto horum di-
vi$orum ope duæ plure$ve quantitates dataæ aliâ ratione, quam
ex $uperioribus facilè fuit colligere, ad $implici$$imos terminos
reduci queant. Vt ad reducendum <math>a^3 - abb, aab - b^3</math>, & <math>a^3 +
aab - abb - b^3</math> ad terminos $implici$$imos, eandem cumip$is
rationem habentes; quæro primo (ut ante) omnes cuju$que
quantitatis datæ divi$ores: eruntque ip$ius <math>a^3 - abb</math> divi$ores <math>I,
a, a - b, aa - ab, a + b, aa + ab, aa - bb</math>, & <math>a^3 - abb</math>: ip$ius
autem <math>aab - b^3</math> divi$ores erunt <math>I, b, a - b, ab - bb, a + b,
ab + bb, aa - bb</math>, & <math>aab - b^3</math>: at verò ip$ius <math>a^3 + aab - abb
- b^3</math> divi$ores erunt <math>1, a - b, a + b, aa - bb, aa + 2ab + bb</math>,
& <math>a^3 + aab - abb - b^3</math>. Iam cum inter ip$os tres $int, qui $ibi
invicem re$pondeant, ut <math>a - b, a + b</math>, & <math>aa - bb</math>, quorum ope
datæ quantitates ad $impliciores reduci po$$unt; hinc ad inve -
niendum terminos $implici$$imos, divido <math>a^3 - abb, aab, aab - b^3</math>, &
<math>a^3 + aab - abb - b^3</math> per <math>aa - bb</math> (utpote divi$orem pluribus
dimen$ionibus con$tantem), fiuntque <math>a, b</math>, & <math>a + b</math>. Vbinotan-
dum, quantitates propo$itas fore inter $e primas, $i nulli ex divi-
$oribus $ibi mutuò re$pondeant.</p>
<p>Quæ ratio inveniendi divi$ores non ineptè quoque adhiberi
pote$t ad fractionum abbreviationem. Vt ad abbreviandum
<math>{a^3 - abb / aa + 2ab + bb}</math>: quia tam numerator quàm denominator dividi
<mgl>_Vide $upra_
_pag_. 22.</mgl>
pote$t per <math>a + b</math>, poterit pro <math>{a^3 - abb / aa + 2ab + bb}</math> $cribi <math>{aa - ab / a + b}</math>. Et $ic
de cæteris.</p>
<p>Inventis autem omnibus divi$oribus, videndum e$t num aliqui
ex ip$is $int quadrati, vel cubi, & c. qui $i reperiantur, adhiberi
poterunt ad prædictum modum liberandi quantitates ex $igno ra-

<pb 35>[591]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
dicali. Vt quia inter divi$ores quantitatis <math>a^3 b + aabb</math> reperitur
quadratum <math>aa</math>, poterit <math><r>a^3 b + aabb</r></math>, dividendo per <math>aa</math>, reduci
ad <math>a <r>ab + bb</r></math>.</p>
<p>Sic & cum <math>a^3 b - aabb + 2 aabc + abcc - ab^3 + bbcc -
2 b^3 c + b^4</math> pro divi$ore habeat quoque quadratum <math>aa + 2ac +
cc - 2ab - 2bc + bb</math>, poterit pro
<math><r>a^3 b - aabb + 2aabc + abcc - ab^3 + bbcc - 2b^3 c + b^4</r></math>
$cribi <math><ol>a + c - b</ol> <r>ab + bb</r></math>. Similiter cum numerus 75 inter di-
vi$ores quoque habeat quadratum numerum 25, reduci poterit
<math><r>75 aa</r></math> ad <math>5a √ 3</math>. Ita &, quia 1200 dividi pote$t per numeros
quadratos 4, 16, 25, 100, & 400; poterit pro <math><r>1200aabb</r></math>
$cribi <math>2ab √</math> 300 vel <math>4ab √ 75</math>, vel <math>5ab √ 48</math>, vel <math>10 ab √ 12</math>,
vel denique <math>20ab √ 3</math>.</p>
<p>Quòd $i inter divi$ores præter unitatem quadratum nullum
aut cubus & c. reperiatur, non poterit data quantitas præcedenti
modo reduci, ni$i velis eam in formam fractionis de$ignare. Vt
quia 10 præter unitatem quadratum nullum inter divi$ores ad-
mittit, poterit <math><r>10aa</r></math>, dividendo 10 per aliquod quadratum,
utlubet, ut 4, 25, 100, & c. denotari hoc pacto: <math>2a √ <math>{5/2}</math>, vel
<math>5a √ {2/5}</math>, vel <math>10a √ {1/10}</math>, & c.</p>
<p>Sciendum denique, quòd, licèt hæ quantitates omnes per $e
con$ideratæ $urdæ exi$tant, tamen inter $e collatæ duorum $int
generum: aliæ enim dicuntur Commen$urabiles $eu Communi-
cantes; aliæ verò Incommen$urabiles $eu non Communicantes.</p>
<p>Communicantes $unt, quæ affinitatem habentes cum quanti-
tatibus rationalibus, aut etiam numeris, inter $e $unt ut quantitas
rationalis ad quantitatem rationalem, $eu $icut numerus ad nu-
merum.</p>
<p>Non Communicantes verò $unt, quarum unius ad alteram re-
latio non e$t ut quantitatis rationalis ad quantitatem rationalem,
aut numeri ad numerum.</p>
<p>Ratio autem digno$cendi communicantes à non communican-
tibus e$t, $i, po$tquam ad $implici$$imos terminos $unt reductæ,
reperian tur inter $e e$$e ut quantitas rationalis ad quantitatem ra-
tionalem, aut numerus ad numerum. Vt <math><r>75aa</r></math> & <math><r>27aa</r></math> $unt
communicantes, quia divi$ione per <math>√ 3</math>, maximum earum com-

<pb 36>[592]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
munem divi$orem, reducuntur ad <math><r>25aa</r></math> & <math><r>9aa</r></math>, hoc e$t, ad
<math>5a & 3a</math>: adeò ut pro <math><r>75aa</r></math> & <math><r>27aa</r></math> $cribi po$$it <math>5a √ 3
& 3a √ 3</math>, quæ inter $e $unt ut <math>5a</math> ad <math>3a</math>, vel 5 ad 3.</p>
<p>Eodem modo communicantes erunt <math><r>a^4 + aabb</r></math> & <math><r>aabb + b^4</r></math>,
quia utrâque divisâ per <math>aa + bb</math>, oriuntur √ <math>aa</math> & √ <math>bb</math>, $eu <math>a</math> & <math>b</math>:
ideoque reducuntur ad <math>a <r>aa + bb</r></math> & <math>b <r>aa + bb</r></math>, quæ inter $e
$unt ut <math>a</math> ad <math>b</math>.</p>
<p>Similiter communicantes $unt <math><r>{oozz / aa + 4mpzz / a}</r></math> &
<mgl>_Pag_. 31.</mgl>
<math><r>{aaoomm / ppzz} + {4aa m^3 / pzz}</r></math>: quippe reducuntur ad <math>{z / a} <r>oo + 4mp</r></math> &
<math>{am / pz} <r>oo + 4mp</r></math>, quarum unius ad alteram ratio e$t, ut <math>{z / a}</math> ad <math>{am / pz}</math>,
$eu <math>pzz</math> ad <math>aam</math>.</p>
<p>Haud aliter communicantes erunt <math>x^4 + 6 x^3 + 21 xx + 72 x + 108</math>
& <math><r>x^4 - 10 x^3 + 37xx - 120x + 300</r></math>: reductæ enim ad <math><ol>x + 3</ol>
<r>xx + 12</r> & <ol>5 - x</ol> <r>xx + 12</r></math>, habent inter $e eam rationem,
quæ e$t ip$ius <math>x + 3</math> ad <math>5 - x</math>. Et $ic de aliis.</p>
<h it>De Additione & Subtractione quantitatum
$urdarum.</h>
<p>AD addendum vel $ubtrahendum quantitates $urdas, oportet
primùm explorare utrum $int communicantes nec ne: $i
enim communicantes fuerint, adduntur tantùm vel $ubtrahuntur
quantitates vel numeri, qui extra $ignum radicale reperiuntur. Vt
ad addendum <math><r>75aa</r></math> & <math><r>27aa</r></math>, hoc e$t, <math>5a √ 3 & 3a √ 3</math>,
$cribo, additis <math>5a & 3a</math>, por $umma <math>8a √ 3; & 2a √ 3</math>, pro ea-
rundem differentia, utpote $ublatis <math>3a</math> ex <math>5a</math>.</p>
<p>Eodem modo $i fuerint <math><r>a^4 + aabb</r></math> & <math><r>aabb + b^4</r></math>, hoc e$t,
<math>a <r>aa + bb</r></math> & <math>b <r>aa + bb</r></math>: addendo & $ubtrahendo <math>a</math> & <math>b</math>, erit
$umma <math><ol>a + b </ol> <r>aa + bb</r></math>, & differentia <math><ol>a - b</ol> <r>aa + bb</r></math>. Simili-
ter $i proponatur <math><r>{oozz / aa} + {4mpzz / aa}</r></math> & <math><r>{aaoomm / ppzz} + 4aa m^3 / pzz}</r></math>, hoce$t,
<math>{z / a} <r>oo + 4mp</r></math> & <math>{am / pz} <r>oo + 4mp</r></math>, erit $umma <math>{<ol>pzz + aam</ol> / apz} <r>oo + 4mp</r></math>,

<pb 37>[593]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
& differentia <math>{<ol>pzz = aam</ol> / apz} <r>oo + 4mp</r></math>. Nec aliter fit $i habeatur
<math><r>{4aabb - 4aaxx / bb}</r></math> vel <math>{2a / b} <r>bb - xx</r></math> & <math><r>bb - xx</r></math>: erit enim
<mgr>_Pag_. 173,
_lin_. 18.</mgr>
$umma <math>{<ol>2a+b</ol> / b} <r>bb - xx</r></math>, & differentia <math>{<ol>2a=b</ol> / b} <r>bb - xx</r></math>. Pari
ratione additis <math><r>x^4 + 6 x^3 + 21xx + 72x + 108</r></math> &
<math><r>x^4 - 10 x^3 + 37 xx - 120 x + 300</r></math>, hoc e$t, <math><ol>x + 3</ol>
<r>xx + 12</r></math> & <math><ol>5 - x</ol> <r>xx + 12</r></math>, erit $umma <math>8 <r>xx + 12</r></math>, ei$-
demque $ubtractis, erit differentia <math><ol>2x = 2</ol> <r>xx + 12</r></math>.</p>
<p>Quòd $i verò non communicantes fuerint, non poterunt addi
vel $ubtrahi ita ut unam radicem con$tituant, quocirca addendæ
vel $ubtrahendæ $unt mediantibus $ignis + & -. unde Binomia
& Multinomia ex$urgunt. Vt $i addendum $it <math><r>aa + bb</r></math> ad <math><r>aa - bb</r></math>,
$cribo pro $umma <math><r>aa + bb</r> + <r>aa - bb</r></math>; & ad $ubtrahendum
<math><r>aa - bb</r></math> de <math><r>aa + bb</r></math>, $cribo pro reliquo <math><r>aa + bb</r> - <r>aa - bb</r></math>.
Non $ecus $i addatur <math>a + b</math> ad <math><r>aa + bb</r></math>, erit $umma
<math>a + b + <r>aa + bb</r></math>; at $i $ubducatur <math><r>aa + bb</r></math> de <math>a + b</math>, erit
reliquum <math>a + b - <r>aa + bb</r></math>. Cum enim <math>a + b</math> $it quantitas ra-
tionalis, & <math><r>aa + bb</r></math> quantitas $urda, non magis communicantes
e$$e po$$unt, quàm omnes quantitates $urdæ, quæ diver$is $ignis
radicalibus de$ignantur. Haud di$$imili ratione concludes $um-
mam ex <math>aa + bb + a <r>aa + bb</r></math> & <math>aa - bb - b <r>aa + bb</r></math> e$$e
<math>2aa + <ol>a - b</ol> <r>aa + bb</r></math>, & differentiam e$$e <math>2bb + <ol>a + b</ol> <r>aa + bb</r></math>.</p>
<h it>De Multiplicatione quantitatum $urdarum.</h>
<p>SI quantitates datæ $unt communicantes, oportet, multiplica-
tis quantitatibus vel numeris extra $ignum radicale po$itis,
productum multiplicare per quantitatem vel numerum $ub $igno
radicali contentum, ut habeatur productum quæ$itum. Vt ad
multiplicandum <math><r>75aa</r></math> per <math><r>27aa</r></math>, hoc e$t, <math>5a √ 3</math> per <math>3a √ 3</math>,
multiplico primùm <math>5a</math> per <math>3a</math>, & fit <math>15aa</math>: tum <math>15aa</math> per 3,
eritque productum quæ$itum <math>45aa</math>.</p>
<p>Eodem modo ad multiplicandum <math><r>a^4 + aabb</r></math> per <math><r>aabb + b^4</r></math>,
hoc e$t, <math>a √ aa + bb</math> per <math>b <r>aa + bb</r></math>: multiplicato <math>a</math> per <math>b</math>, &

<pb 38>[594]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
producto <math>ab</math> per <math>aa + bb</math>, fiet productum quæ$itum <math>a^3 b + ab^3</math>.
Nec aliter fit $i ad multiplicandum proponatur
<math><r>x^4 + 6 x^3 + 21 x x + 72 x + 108</r></math> per
<math><r>x^4 - 10 x^3 + 37 xx - 120 x + 300</r></math>, hoc e$t, <math><ol>x + 3</ol> <r>xx + 12,</r></math>
per <math><ol>5 - x</ol> <r>xx + 12</r></math>: Multiplicatis enim <math>x + 3</math> per <math>5 - x</math>, fit
<math>15 + 2x - xx</math>, quod multiplicatum per <math>xx + 12</math>, productum
facit <math>180 + 24x + 3xx + 2 x^3 - x^4</math>.</p>
<p>Quòd $i datæ quantitates non fuerint communicantes, opor-
tet tantùm multiplicare quantitates $ub $ignis radicalibus com-
prehen$as, & producto præfigere commune $ignum radicale. Si
verò $igna radicalia diver$a fuerint, reducenda priùs $unt ad idem
$ignum, $icut $uperiùs e$t o$ten$um, & deinde operandum, ut jam
dictum e$t. Vt, ad multiplicandum <math>√ ab</math> per <math>√ cd</math> : multiplicatis
<math>ab</math> per <math>cd</math>, præfigatur producto <math>abcd</math> $ignum √, & fit productum
quæ$itum <math>√ abcd</math>. Sic & ad multiplicandum <math><r>aa + bb</r></math> per
<math><r>aa - bb</r></math>: multiplicatis <math>aa + bb</math> per <math>aa - bb</math>, fiet productum
<math><r>a^4 - b^4</r></math>. Similiter $i multiplicari debeat <math><r>aa + bb</r></math> per <math>a + b</math>,
reduco priùs <math>a + b</math> ad idem $ignum radicale, & fit <math><r>aa + 2ab + bb:</r></math>
tum multiplicatis <math>aa + 2ab + bb</math> per <math>aa + bb</math>, fit productum
<math><r>a^4 + 2 a^3 b + 2aabb + 2a b^3 + b^4</r></math>, vel etiam $cribendo hoc
pacto: <math><ol>a + b</ol> <r>aa + bb</r></math>. Nec aliter fit $i multiplicandum $it
<math>a + √ bc</math> per <math>a + √ bc</math>, hoc e$t, <math>a + √ bc</math> in $e: multiplico pri-
mùm <math>a + √ bc</math>, per <math>a</math>, & fit <math>aa + a√ bc</math>: tum <math>a + √ bc</math> per <math>√ bc</math>,
fitque <math>a √ bc + bc</math>. quæ producta $i addantur, fiet productum quæ -
$itum <math>aa + bc + 2a√bc</math>. Non $ecus $i multiplicandum propo-
natur <math><r>aa + bb</r> + <r>aa - bb</r></math> per <math><r>aa + bb</r> - <r>aa - bb</r></math>: quia
multiplicando <math><r>aa + bb</r></math> per <math><r>aa + bb,</r></math> & <math>+ <r>aa - bb</r></math> per
<math>- <r>aa - bb</r></math> (omi$$is $cilicet tantùm $ignis radicalibus) fiunt
<math>aa + bb & - aa + bb</math>; at verò multiplicando <math><r>aa + bb</r></math> per
<math>-<r>aa - bb,</r> & <r>aa + bb</r></math> per <math><r>aa - bb</r></math> producta eva-
ne$cunt: hinc productum quæ$itum erit 2 <math>bb</math>.</p>
<h it>De Divi$ione quantitatum $urdarum.</h>
<p>SI datæ quantitates $unt communicantes, oportet tantùm divi-
dere quantitates, vel numeros, extra $ignum radicale po$itos,

<pb 39>[595]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
& quod oritur erit quotiens quæ$itus. Vt ad dividendum <math><r>75aa</r></math>
per <math><r>27aa</r></math>, hoc e$t, <math>5a √ 3</math> per <math>3a √ 3</math>: divido <math>5a</math> per <math>3a</math>, $eu
5 per 3; eritque quotiens quæ$itus <math>{5/3}</math> $eu 1 <math>{2/3}</math>. Sic & ad dividendum
<math><r>a^4 + aabb</r></math> per <math><r>aabb + b^4</r></math>, hoc e$t, <math>a <r>aa + bb</r></math> per <math>b <r>aa + bb</r></math>:
divi$is <math>a</math> per <math>b</math>, fit quotiens <math>{a/b}</math>. Non $ecus √ <math>abcc</math> $eu <math>c</math> √ <math>ab</math> di-
vi$um per <math>√ ab</math> dat <math>c</math>. Et $ic de aliis.</p>
<p>Quòd $i communicantes non fuerint, dividendæ erunt quan-
titates $ub $ignis radicalibus comprehen$æ, & ei quod oritur
præfigendum e$t commune $ignum radicale. Vt ad dividendum
<math><r>a^3 b - ab^3</r></math> per <math><r>aa - bb</r></math>: divi$is <math>a^3 b - ab^3</math> per <math>aa - bb</math>, fit
<math>ab</math>; unde quotiens quæ$itus erit <math>√ ab</math>.</p>
<p>Et quidem $i $igna radicalia fuerint diver$a, reducenda priùs
erunt ad idem $ignum, & deinde operatio in$tituenda erit, ut jam
dictum e$t. Vt ad dividendum <math>a^3 + abb</math> per <math><r>a^4 + aabb</r></math>: mul-
tiplicando <math>a^3 + abb</math> in $e, fit <math>a^6 + 2 a^4 bb + aab^4</math>; quare divisâ
<math><r>a^6 + 2a^4 bb + aab^4</r></math> per <math><r>a^4 + aabb</r></math>, erit quotiens <math><r>aa + bb</r></math>.
Sic & $i dividatur <math><r>a^4 + 2a^3 b - 2ab^3 - b^4</r></math> per <math>a + b</math>: multi-
plico primùm <math>a + b</math> in $e, ut $iat $ub eodem $igno radicali
<math><r>aa + 2ab + bb</r></math>, quo facto, $i dividatur <math><r>a^4 + 2 a^3 b - 2 a^3 b - b^4</r></math>
per <math><r>aa + 2ab + bb</r></math>, fiet quotiens quæ$itus <math><r>aa - bb</r></math>.</p>
<p>Non aliâ ratione <math>aa + bb</math> divi$um per <math><r>aa + bb</r></math>, facit <math><r>aa + bb</r></math>.
quippe divi$o quadrato per $uum latus, oritur latus. Vnde $i
<math>a^3 + abb</math> dividatur per <math><r>aa + bb</r></math>, orietur <math>a <r>aa + bb</r></math>.</p>
<p>Porrò $i dividendum $it <math>a^3 + abb + ab <r>aa + bb</r></math> per <math>a <r>aa + bb</r></math>,
divido primùm <math>a^3 + abb</math> per <math>a <r>aa + bb</r></math>, & fit, ut ante, <math><r>aa + bb</r></math>;
tum <math>ab <r>aa + bb</r></math> per <math>a <r>aa + bb</r></math>, & fit <math>b</math>, unde quotiens quæ$itus erit
<math><r>aa + bb</r> + b</math>. Non $ecus $i dividatur <math><r>a^4 + 2 a^3 b - 2a b^3 - b^4</r> - aa + bb</math>
per <math>a + b</math>, orietur <math><r>aa - bb</r> - a + b</math>. Similiter $i dividendum pro-
ponatur <math>ab + b √ bc</math> per <math>a + √ bc</math>: quoniam <math>ab</math> divisâ per <math>a</math>, ea-
dem exoritur quantitas <math>b</math>, quæ provenit dividendo <math>b √ bc</math> per <math>√ bc</math>:
hinc quotiens quæ$itus erit <math>b</math>. Eodem modo <math>aab - bbc - <ol>ab + {bbc / a}</ol></math>
<math>√ bc</math> divi$um per <math>a - √ bc</math>, facit <math>ab - {bbc / a}</math>.</p>
<p>Po$tea ad dividendum <math>aa - bc</math> per <math>a + √ bc</math> divido <math>aa</math> per <math>a</math>,

<pb 40>[596]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
& fit <math>a</math>, quod multiplicatum per <math>√ bc</math> producit <math>a √ bc</math>, eritque re-
liquum dividendi <math>- a √ bc - bc</math>. divi$o jam <math>- a √ bc</math> per <math>a</math>, fit
<math>√ bc</math>, quod multiplicatum per <math>+ √ bc</math>, facit <math>- bc</math>: hoc igitur $i
auferatur à reliquo dividendi <math>- bc</math>, relinquetur o, & ab$oluta
erit divi$io, eritque quotiens quæ$itus <math>a - √ bc</math>. Eodem modo
<math>ab - cd</math> divi$um per <math>√ ab - √ cd</math>, dat <math>√ ab + √ cd</math>: & <math>a^3 + bc √ bc</math>
divi$um per <math>a + √ bc</math>, dat <math>aa + bc - a √ bc</math>: & <math>aabb - ccdd</math>
divi$um per <math>√ ab - √ cd</math>, dat <math><ol>ab + cd</ol> √ ab + <ol>ab + cd</ol> √ cd</math>: &
<math>a^3 b - abbc</math> divi$um per <math>aa + a √ bc</math>, dat <math>ab - b √ bc</math>: ut & <math>a^3 +
abc + <ol>aa - bc</ol> √ bc</math> divi$um per <math>a - √ bc</math>, dat <math>aa + bc + 2 a√ bc</math>.</p>
<p>Denique ad dividendum <math><r>a^4 + b^4</r></math> per <math>c - d</math>: quia <math><r>a^4 + b^4</r></math>
per <math>c - d</math> $eu <math><r>cc - 2cd + dd</r></math> dividi nequit, $cribo pro quotiente
<math>{<r>a<x>4</x> + b^4</r> / c - d}</math>, vel <math><r>{a^4 + b^ 4 / cc - 2cd + dd}</r></math>, vel etiam hoc pacto: <math>{I / c - d} <r>a^4 + b^4.</r></math>
Eodem modo $i dividatur <math>a <r>aa + bb</r></math> per <math>a + b</math>, fiet quotiens <math>{a / a + b}
<r>aa + bb.</r></math> Similiter <math>aa + bb</math> divi$um per <math><r>aa - bb</r></math> exhibet quo-
tientem <math>{aa + bb / <r>aa - bb</r>}</math>: & <math>aa + √ abcd</math> per <math>a + √ bc</math>, facit <math>{aa + √ abcd / a + √ bc}</math>.
Sic etiam ad dividendum <math>180 + 24x + 3xx + 2 x^3 - x^4</math> per
<math>8 <r>xx + 12</r></math>, $cribitur pro quotiente <math>{180 + 24x + 3xx + 2x3 - x^4 / 8<r>xx + 12</r>}</math>; vel
quia <math>180 + 24x + 3 xx + 2 x^3 - x^4</math> producitur ex <math>15 + 2 x - xx</math>
in <math>xx + 12</math>, quadratum nempe ip$ius <math><r>xx + 12,</r></math> fitut $cribi
quoque po$$it <math>{<ol>15 + 2x - xx</ol> in <ol>xx + 12</ol> / 8<r>xx + 12</r>}</math>, vel breviùs <math>{<ol>15 + 2x - xx</ol> / 8}</math>
<math><r>xx + 12,</r></math> utpote dividendo <math>xx + 12</math> per <math><r>xx + 12</r></math>. Non
aliter $i <math>180 + 24x + 3xx + 2x^3 - x^4</math> $it dividendum per
<math><ol>x + 3</ol> <r>xx + 12</r></math>, $cribo pro quotiente <math>{180 + 24x + 3xx + 2 x^3 - x^4 / <ol>x + 3</ol> <r>xx + 12</r>}</math>
$eu <math>{60 - 12x + 5xx - x^3 / <r>xx + 12</r>}</math>. nam <math>180 + 24x + 3xx + 2 x^3 - x^4</math>
dividi pote$t per <math>x + 3</math>, & fit <math>60 - 12x + 5xx - x^3</math>; vel quo-
niam <math>60 - 12x + 5xx - x^3</math> producitur ex <math>5 - x</math> in <math>xx + 12</math>, fit
ut etiam $cribi po$$it <math>{<ol>5 - x</ol> in <ol>xx + 12</ol> / <r>xx + 12</r>}</math> $eu <math><ol>5 - x</ol> <r>xx + 12</r></math>.</p>

<pb 41>[597]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
<h it>De Extractione Radicis Quadratœ ex Binomiis.</h>
<p>M Odus, quo ex quantitatibus binomiis radix quadrata ex-
trahitur, non differt ab eo, qui in numeris adhiberi $olet ad
<mgr>_Regula_
_extrabendi_
_radicem_
_quadra-_
_tam ex Bi-_
_nomiis._</mgr>
inventionem radicis quadratæ ex Binomiis, e$tque talis:</p>
<p it>Subductis quadratis partium dati Binomii à $e invicem, $i radix
quadrata reliqui ad partem majorem addatur, & ab eadem aufera-
tur; erunt radices quadratœ ex $emi$$e $ummœ & differentiœ, per $i-
gnum + vel - dati Binomii connexœ, binœ partes radicis quœ$itœ.</p>
<p>Vt ad extrahendum radicem quadratam ex <math>aa + bc + 2 a √ bc</math>,
$ubtraho <math>4aabc</math>, quadratum minoris partis ex <math>a^4 + 2aabc + bbcc</math>
quadrato partis majoris, & relinquitur <math>a^4 - 2aabc + bbcc</math>, cujus
radix quadrata <math>aa - bc</math> addita ad majorem partem <math>aa + bc</math>, &
ab eadem ablata facit $ummam <math>2aa</math>, & differentiam <math>2bc</math>, qua-
rum $emi$$es $unt <math>aa & bc</math> : unde radices quadratæ $unt <math>a</math> & <math>√ bc</math>,
quæ $i connectantur per $ignum +, erit radix quæ$ita <math>a + √ bc</math>.</p>
<p>Sic radix quadrata ex <math>mm + {pxx / m} + x <r> 4pm</r></math> erit <math>m + x √ {p / m}</math>,
<mgr>_Pag_. 182.
_lin_. 13.</mgr></p>
<p>Eodem modo $i extrahenda $it radix quadrata ex <math><ol>a + b</ol> <r>ab</r> + 2ab</math>:
$ubducto <math>4aabb</math>, quadrato partis minoris, ex <math>a^3 b + 2 aabb + ab^3</math>,
quadrato majoris partis, erit reliqui <math>a^3 b - 2 aabb + ab^3</math> radix
quadrata <math><ol>a - b</ol> √ ab</math>. quæ $i addatur & auferatur ex majori parte
<math>a + b √ ab</math>, fiet $umma <math>2a √ ab</math>, & differentia <math>2b √ ab</math>, unde $e-
mi$$ium radices quadratæ con$tituunt radicem quæ$itam.
<math><r>a √ ab</r> + <r>b √ ab</r></math> $eu <math>√ √ a^3 b + √ √ a b^3</math>.</p>
<p>Nec aliter fit cùm extrahitur radix quadrata ex <math><ol>a + d</ol> √ bc +
2 √ abcd</math>: etenim $ubtracto <math>4abcd</math>, quadrato minoris partis, ex
<math>aabc + 2abcd + bcdd</math>, quadrato majoris partis, relinquetur <math>aabc -
2abcd + bcdd</math>, cujus radix quadrata e$t <math><ol>a - d</ol> √ bc</math>: hæc ergo
$i addatur & $ubtrahatur ex majori parte <math><ol>a + d</ol> √ bc</math>, erit $umma
<math>2a √ bc</math>, & differentia <math>2d √ bc</math>: Ex quarum dimidiis $i radices
quadratæ extrahantur, fiet radix quæ$ita <math><r>a √ bc</r> + <r>d √ bc</r></math> vel
<math>√ √ aabc + √ √ d d b c</math>.</p>

<pb 42>[598]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
<p>Quòd $i, $ubductis quadratis partium dati binomii à $e invi-
cem, reliqui radix quadrata & major pars binomii communican-
tes non fuerint: $atius erit ip$i binomio $ignum univer$ale radi-
cis quadratæ præfigere. Vt ad extrahendam radicem quadratam
<math>ex - {1/2} a + <r>{1/4} aa + bb</r></math> $cribo <math><r>- {1/2} a + {1/4} aa + bb</r></math>. quæ radi-
<mgl>_Pag_. 6.</mgl>
ces vulgò appellantur Vniver$ales.</p>
<h it><sc>DE REDVCTIONE Æ QVATIONVM</sc>.</h>
<p>Q Voniam ad re$olvendum aliquod Problema, id ip$um $up-
ponendum e$t ut jam factum, atque nomina imponenda
$unt quantitatibus tum datis, tum quæ$itis; & quidem pro datis
à D. Des - Cartes ordinariè ponuntur priores literæ Alphabeti
<math>a, b, c</math>, & c. pro quæ$itis autem po$teriores <math>z, y, x,</math> & c: fit ut per-
currendo Problematis difficultatem, eo ordine, quo omnium na-
turali$$imè patet, quâ ratione dictæ quantitates, nullo inter co-
gnitas & incognitas facto di$crimine, à $e invicem dependent,
tandem inveniatur via quantitatem aliquam duobus modis expri-
mendi. id quod Æquatio vocatur. Vnde cum æquatio nihil aliud
$it, quàm mutua comparatio duarum rerum æqualium, quæ variè
denominantur: facilè con$tat, quantitates ha$ce cognitas & in-
cognitas, prout diver$imode $unt affectæ atque di$po$itæ, diver-
$as efficere po$$e Æquationum formulas, quæ tamen per $equen-
tes regulas reduci queunt ad ha$ce $imile$ve $pecies:
<math>z = b</math>, aut
<math>zz = - az + bb</math>, aut
<math>z^3 = + azz + bbz - c^3</math>, aut
<math>z^4 = + a z^3 + bbzz - c^3 z + d^4</math>, & c.</p>
<h it>De Reductione per Additionem.</h>
<p>VT $i habeatur æquatio inter <math>z - 3 & 12</math>, hoc e$t, $i fuerit
<math>z - 3 = 12</math>: quoniam $i æqualibus æqualia vel idem addas,
ea quæ fiunt $unt æqualia; hinc $i utrinque addatur <math>+ 3</math>, fiet
<math>z = 15</math>. nam <math>- 3 & + 3</math> addita faciunt o.</p>
<p>Sic & $i fuerit <math>z - b = o</math>, addendo utrinque <math>b</math>, fiet <math>z = b</math>. Aut

<pb 43>[599]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
$i habeatur <math>b - z = 0</math>, fiet, addendo utrobique <math>z, b = z.</math> Et $i ha -
beatur <math>zz - aq = 0</math>, erit <math>zz = aq</math>: ut & $i <math>z^3 - aaq</math> æquetur o,
fiet <math>z^3 = aaq</math>, & c.</p>
<p>Non $ecus $i habeatur <math>z^4 - az^3 - bbzz = d^4 - c^3 z</math>, adden -
do utrique parti <math> + az^3 + bbzz</math>, fiet <math>z^4 = a z^3 + bbzz - c^3 z + d^4</math>.</p>
<p>Ex quibus con$tat, quantitates $igno - adfectas addi utrique
parti, $i eximantur ab una parte, & in alteram partem transfe -
rantur $ub $igno +.</p>
<h it>De Reductione per Subtractionem.</h>
<p>D Einde $i fuerit <math>z + 3 = 12</math>; quia $i ab æqualibus æqualia vel
idem auferas, illa quæ relinquuntur $unt æqualia, fit ut, $ub -
trahendo utrinque <math>+ 3</math>, habeatur <math>z = 9</math>.</p>
<p>Eodem modo $i habeatur <math>zz + az = bb</math>, $ubtracto utrinque
<math>+ az</math>, fiet <math>zz = - az + bb</math>.</p>
<p>Similiter <math>z^3 + 2 c^3 = azz + bbz + c^3</math> reducetur ad <math>z^3 = azz
+ bbz - c^3</math>, $ubtrahendo utrinque <math>+ 2 c^3</math>.</p>
<p>Vnde colligitur quantitates $igno + adfectas ab utraque parte
$ubtrahi, eximendo ip$as ex una parte & transferendo in alteram
partem $ub $igno -: atque adeò quicquid vel additione vel $ub-
tractione transfertur, adfici $igno contrario.</p>
<h it>De Reductione per Multiplicationem.</h>
<p>P Orrò $i ad reducendum proponatur <math>{z/3} = 5</math>: quoniam æqua-
lia per æqualia vel idem multiplicata, producunt æqualia;
fiet multiplicando utrinque per <math>3, z = 15</math>. Sic & $i habeatur
<math>z = {aq / z}</math>, invenietur, multiplicando utrinque per <math>z, zz = aq</math>, & c.</p>
<p>Eodem modo $i fuerit <math>{zz / z-b} = a</math>: quoniam, delendo denomina -
torem <math>z - b</math> prioris partis <math>{zz / z - b}</math>, ip$a pars multiplicatur per <math>z - b</math>:
hinc oportet etiam alteram partem <math>a</math> multiplicare per <math>z - b</math>, ut
habeatur æquatio in ter <math>zz & az - ab</math>.</p>
<p>Similiter $i $it <math>{zz / a} = {zz - bz + bb / z}</math>: quoniam, $ublato denomina-

<pb 44>[600]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
tore <math>a</math> partis prioris <math>{zz / a}</math>, multiplicata e$t pars prior per <math>a</math>, & fit
<math>zz</math>; hinc oportet & alteram partem <math>{zz - bz + bb / z}</math> multiplicare
per <math>a</math>, ut habeatur <math>{azz - abz + abb / z}</math>. Vnde cum æquatio pro-
po$ita reducta $it ad <math>zz = {azz - abz + abb / z}</math>, $i denuo utraque
pars multiplicetur per <math>z</math>, denominatorem po$terioris partis
<math>{azz - abz + abb / z}</math>, fiet <math>z^3 = azz - abz + abb</math>.</p>
<p>Ex quibus patet, æquationem, cujus utraque pars e$t fractio,
reduci ad aliam, quæ fractione caret, multiplicando per cru-
cem, numeratorem nempe prioris partis per denominatorem
po$terioris, & numeratorem po$terioris partis per denominato-
rem prioris. Quod idem e$t ac $i binæ partes æquationis ad ean-
dem denominationem reducantur, ip$æque deinde, omittendo
communem denominatorem, per eundem multiplicentur.</p>
<p>Vbi notandum, ad majorem abbreviationem atque operatio-
nis facilitatem, non rarò tum numeratores, tum denominatores,
ante hanc multiplicationem ad $impliciores terminos reduci po$-
$e. Vt $i fuerit <math>{z^3 / zz - aa} = {az - aa / z + a}</math>: reductis denominatoribus
<math>zz - aa</math> & <math>z + a</math> ad <math>z - a</math> & I, fiet <math>{z^3 / z - a} = {az - aa / I}</math>. ac proinde,
$i multiplicetur per crucem, invenietur <math>z^3 = azz - 2 azz + a^3</math>.
Similiter $i habeatur <math>{aaz - bbz / z + b} = {a^3 - abb / z}</math>: reductis numerato-
ribus <math>aaz - bbz</math> & <math>a^3 - ab b</math> ad <math>z</math> & <math>a</math>, habebitur <math>{z / z + b} = {a / z}</math>, ubi
$i per crucem multiplicetur, fiet <math>zz = az + ab</math>. Non $ecus $i
habeatur <math>{azz - bzz / bb - bz} = {aa - ab / b}</math>: cum numeratores <math>azz - bzz</math>
& <math>aa - ab</math> reduci po$$int ad <math>zz & a</math>, ut & denominatores <math>bb - bz</math>
& <math>b</math> ad <math>b - z</math> & I, fiet <math>{zz / b - z} = {a / I}</math>; ideoque multiplicando per
crucem, ex$urget <math>zz = - az + ab</math>.</p>
<p>Huc etiam refer, cùm integrum æquatur fractioni. Vt $i ha-
beatur æquatio inter <math>{a z^3 - bz^3 / zz + az + aa}</math> & <math>ab - bb</math>: $ub$tituta enim
unitate pro denominatore ip$ius integri <math>ab - bb</math>, cum <math>a z^3 - b z^3</math>
& <math>ab - bb</math> reduci po$$int ad <math>z^3 & b</math>, erit æquatio talis

<pb 45>[601]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
<math>{x^3 / zz + az + aa} = {b / I}</math>, unde multiplicando per crucem, invenietur
æquatio <math>z^3 = bzz + abz + aab</math>.</p>
<p>Ad hæc $i proponatur <math>√z</math> æquari 5: quoniam æqualium æqua-
lia quoque $unt quadrata, cubi, & c; hinc $i utraque pars in $e mul-
tiplicetur quadratè, habebitur <math>z = 25</math>. Sic & $i fuerit <math>√z = √5</math>:
ductâ utrâque parte in $e quadratè, fiet <math>z = 5</math>. Pari ratione $i <math>√ z</math>
æquetur <r>aab-b</r>, erit <math>z = aab-b</math>. Haud $ecus $i fuerit <math>√C.z
= <r>C.aabb-b</r></math>, fiet, utramque partem in $e multiplicando cu-
bicè, <math>z = aabb-b</math>. Et $ic de aliis.</p>
<h it>De Reductione per Divi$ionem.</h>
<p>P O$tea $i detur <math>zz = 4z</math>: quoniam, æqualibus per æqualia vel
idem divi$is, proveniunt æqualia, fit ut, $i utraque pars divi-
datur per <math>z</math>, oriatur <math>z = 4</math>. Sic & $i habeatur <math>z^4 = a z^3+bbzz</math>, di-
videndo utrinque per <math>zz</math>, fiet <math>zz = az + bb</math>. Similiter fit, $i propo-
natur <math>3z = 12</math>: etenim $i utrobique dividatur per 3, proveniet
<math>z = 4</math>. Eodem modo $i fuerit <math>az = ab</math>, dividendo utramque par-
tem per <math>a</math>, fiet <math>z = b</math>. Nec aliter $i habeatur <math>ax - bx = bb</math>, orie-
tur, divisâ utrâque parte per <math>a-b, x = {bb / a-b}</math>. Haud $ecus $i pro-
<mgr>_Pag._ 149.
_lin._ 27.</mgr>
ponatur <math>azz + bzz = abz + bbz - abb - b^3</math>: quoniam u-
traque pars dividi pote$t per <math>a + b</math>, orietur <math>zz = bz - bb</math>. Sic &
$i fuerit <math>azz - bzz = aaz - bbz + abc</math>, dividendo utrinque
per <math>a-b</math>, $iet <math>zz = az + bz + {abc / a-b}</math>, $eu <math>zz = {a / +b} z + {abc / a-b}</math>.</p>
<p>Huc referendum quoque e$t, cùm binæ æquationis partes, juxta
modum p. 34. o$ten$um, reduci po$$unt ad $impliciores terminos.
Vt $i fuerit æquatio inter <math>a z^4 - ab z^3 + abbzz & -ab z^3 + 2abbzz
- 2 a b^3 z + a b^4</math>: dividendo utramque partem per maximum com-
munem divi$orem <math>azz - abz + abb</math>, orietur <math>zz = - bz + bb</math>.</p>
<h it>De Reductione per Extractionem Radicis.</h>
<p>DEnique ad reducendum <math>zz = 25</math>: quoniam æqualium qua-
dratorum ac cuborum &c. æqualia quoque $unt latera $eu
radices, fit ut, $i ex utraque parte extrahatur radix quadrata, pro-

<pb 46>[602]<rh>P<sc>RINCIPIA</sc></rh>
veniat <math>z = 5</math>. Sic & $i fuerit <math>z^3 = 125</math>, erit, extractâ utrinque radi-
ce cubicâ, <math>z = 5</math>. Eâdem ratione, $i habeatur <math>zz = aa + 2ab + bb</math>:
extractâ utrobique radice quadratâ, fiet <math>z = a + b</math>. Nec aliter fit $i
fuerit <math>zz = aa + bc + 2a√bc</math>, erit enim <math>z = a + √bc</math>. Non $ecus $i <math>xx</math>
æquetur <math>-{1/2}a +<r>{1/4}aa + bb</r></math>, erit <math>x = <r>-{1/2}a + {1/4}aa + bb</r>.</math>
<mgl>_Pag._ 6.</mgl></p>
<p>His $ubjunge $equens exemplum, in quo omnes præcedentes
modi reductionis $imul occurrunt. Proponatur <math><r>{zz+3aa / 4}</r> - <r>{zz-3aa / 4}</r>
= √{azz / b}</math>: quia igitur eorum, quæ æqualia $unt, æqualia quoque
$unt quadrata, fiet, multiplicando utramque partem in $e quadratè,
<math>{1/2} zz-<r>{z^4-9 a^4 / 4}</r> = {azz / b}</math>. Addatur jam utrinque <math><r>{z^4-9 a^4 / 4}</r></math>, & $ub-
trahatur <math>{azz / b}</math>, transferendo $cilicet ip$as in alteram partem $ub
contrario $igno, ut habeatur <math><r>{z^4-9 a^4 / 4}</r></math> $ola ex una parte, fietque
<math>{1/2}zz - {azz / b} = <r>{z^4-9 a^4 / 4}</r></math>. Quo $acto, multiplicetur rur$us utraque
pars æquationis in $e quadratè, ut evane$cat $ignum radicale; ha-
bebiturque <math>{1/4} z^4 - {a z^4 / b} + {aa z^4 / bb} = {z^4 - 9 a^4 / 4}</math>. Vbi $i utrinque dematur
<math>{1/4} z^4</math>, ac reliquæ partes omnes addendo ac $ubtrahendo ex una
parte in alteram transferantur, quod fit mutatis tantùm $ignis, erit
<math>{a z^4 / b} - {aa z^4 / bb} = {9 a^4 / 4}</math>. Porrò ut deleantur fractiones, reducantur
omnes termini ad communem denominatorem <math>4 bb</math>: quo pera-
cto $i utrinque per eundem multiplicetur, ip$um nempe deno-
minatorem omittendo, obtinebitur <math>4ab z^4 - 4aa z^4 = 9 a^4 bb</math>.
Dividatur jam ubique per <math>a</math>, hoc e$t, <math>a</math> ubique deleatur fitque
<math>4b z^4 - 4a z^4 = 9 a^3bb</math>: quo facto, dividatur utraque pars per
<math>4b - 4a</math> ut habeatur quantitas <math>z^4</math> ex una parte $ola, eritque
<math>z^4 = {9 a^3 bb / 4b-4a}</math>. Vbi $i utrobique extrahatur radix quadrata, habe-
bitur <math>zz = {3/2} ab √{a / b-a}</math>: & $i denuo utrinque extrahatur radix
quadrata, invenietur <math>z = <r>{3/2}ab√{a / b-a}</r></math>.</p>
<p>E quibus patet, reductionem per additionem & $ubtractio-

<pb 47>[603]<rh>M<sc>ATHESEOS</sc> V<sc>NIVERSALIS</sc>.</rh>
nem in$titui tam ad diminuendam multitudinem terminorum,
quàm ad æquationem ritè ordinandam; reductionem verò per
multiplicationem ad evitandas tum fractiones tum quantitates
$urdas; & reductionem per divi$ionem, tam ad deprimendas di-
men$iones, quàm ad reducendam æquationem ad debitam $or-
mam & $implici$$imos terminos; ac denique reductionem per
extractionem radicis, ad obtinendam æquationem ex minimis
terminis con$tantem; præterquam quòd omnes hæ reductiones
etiam ad quantitatem quæ$itam ex data æquatione inveniendam
utiles e$$e po$$int. Atque hæc quidem ad introductionem Metho-
di Geometriæ Renati Des-Cartes dicta $ufficiant.</p>
<h>FINIS.</h>
<fig/>

<pb 48>[604]<rh>FRANCISCVS à SCHOOTEN</rh>
<h>ADLECTOREM.</h>
<p>CÆterùm ne locus $uper$tes hujus paginæ vacuus relinquere-
tur, vi$um fuit hoc loco $imul indicare $phalmata, quæ in
Exercitationibus no$tris Mathematicis, quas anno 1657 in lucem
emi$imus, fuerunt commi$$a, ac po$tmodum à nobis recognita: ut,
iis $equenti modo correctis, Lectoris $tundium in con$imili argu-
mento ab$que mora occuparetur.</p>
<p>Pag. 6. 1. 2 lege _pretium_. p. 7. 1. 8 lege _quæ$tio_. p. 163. 1. penult. lege
_quæ$iverim_.p. 193. 1. 12. lege _nullæ omnino._ p. 228. 1. 3 lege $it_zz-2aa._
ibid. 1. penult. lege _in circumferentia_. p. 295. 1. 28. _lege de$criptio._
p. 317. 1. 22 lege _quod e$t rectum._ p. 327. 1. 4 lege _O$ten$o._ ibid. 1.an-
tep. _lege ip$a circa._ p.329.1.10 pro _E G lege_ E C.p.347.1.5 pro
EC, EF _lege_ ε C,ε F.p.361.1.1.lege _ad_ E, _itaut_ A E $it æqualis AB.
p.372.1.antep.po$t Quod, & p.393.1.9 po$t _Quod eo_ tolle vir-
gulas. p. 423. 1. 15 pro 69 lege 639. p. 432. 1. 7 lege 1634.
p.434. 1. ult. & p. 462. 1. 30, ut & p. 480. 1. 24. lefe _abs re_. p. 471.
1. 22 lege _in locum xx_. p. 525. lineæ 6, 7, 8, 9, 10 in locum linea-
rum 2, 3, 4, 5, $unt $ub$tituendæ, & vice versâ. p. 527. 1. 21 lege
_Hæ autem_.</p></math>

<pb>[605]
<h>DE</h>
<h>ÆQVATIONVM</h>
<p it>Natura, Con$titutione, & Limitibus</p>
<h>Opu$cula Duo.</h>
<p it>Incepta à</p>
<h>FLORIMONDO DE BEAVNE,</h>
<p it>In Curia Ble$en$i Con$iliario Regio;
Ab$oluta verò, & po$t mortem ejus edita ab</p>
<h>ERASMIO BARTHOLINO,</h>
<p>Medicinæ & Mathematum in Regia Academia
Hafnien$i Profe$$ore publico.</p>
<fig/>
<p it>AMSTELODAMI,</p>
<p>Ex Typographia B<sc>LAVIANA, MDC LXXXIII</sc>.</p>
<p it>Sumptibus Societatis.</p>

<pb>[606]
<h>SVMMO MVSARVM</h>
<h>MÆCENATI</h>
<h>I<sc>LLVSTRISSIMO ET</sc> E<sc>XCELLE NTISSIMO</sc></h>
<h>DOMINO,
IOACHIMO GERSDORPH</h>
<p>TOPAR CHÆ IN TVNDBYHOLM, &c.</p>
<p>EQVITI AVRATO,</p>
<p>REGNI DANIÆ SVMMO AVL Æ MAGISTRO,</p>
<p>PRINCIPI SENATORI,</p>
<p>REGIÆ MAIESTATIS PRÆSIDI BORINGHOLMENSI</p>
<h>HOC
SPECIMEN AN ALYTICES
NOVO ARGVMENTO CONSECRAT</h>
<h>OBSEQVIVM.</h>

<pb>[607]
<p>QVod jam pridem in votis
erat, $tudii & pietatis meæ
experimentum Tibi pro-
bari, id recenti$$ima Mu-
$arum Algebra interpre-
tabitur. Et$i enim, beneficia maxima,
quibus me totamque domum no$tram
onera$ti, quàm grato animo exceperim,
mihi ip$e $im te$tis; tamen mi$eram eam
vitam putavi, cui e$$e gratam probare
antea non licuit: id aliquo ob$equio,
tum ip$i Tibi, tum cæteris omnibus in-
dicatum, maximeque per$picuum e$$e
de$ideravi. Neque æquum e$t, virtutis
deprædicationem privatis tantùm pa-
rietibus claudi. Inter ingratos etiam
annumerantur ii, qui beneficia accepta
paucis commemorant; totus Orbis,
adhibendus e$t, pietatis no$træ te$tis &
con$cius. Quoniam verò monimen-
tum Tuarum virtutum nulla unquam
ob$curabit oblivio; nullum erit tali
Heroi dignius genus ob$equii, quàm

<pb>[608]
quod nulla temporis circum$criptione
terminatur. Quocirca hoc opu$culum
Algebraïcum opportuni$$imum exi$ti-
mavi, quod meæ perpetuæ ob$ervan-
tiæ te$tem $empiternum con$tituerem;
in quod haud ob$curè conjicio, nihil
$enectuti, nihil $ucce$$oribus licere.
Mirandam Algebræ vim multis verbis
exponere $upervacuum e$t, quippe $e-
cura demon$trationis $uæ, $emper &
pacis & belli $erviit artibus; in qua hoc
eximium e$t, quòd abundantias defe-
ctusque pari momento æ$timet, neque
illi, quæ plus habent, magis nece$$aria
$unt, quàm quæ minus; atque hoc $uæ
$cientiæ habet monimentum, quod
mortales faciunt Virtutis. Verùm, ar-
tium & $cientiarum incrementa, non in
ip$arum modo ingenio, $ed etiam in $u-
periorum clementia $ita $unt; æ$timan-
tur quoque pleraque mortalium pre-
tio, quod libido calumniandi con$ti-
tuit; & quis neget, eximium decus, $æ-

<pb>[609]
piùs favoris, quàm virtutis e$$e benefi-
cium? unde patrono & defen$ore iis
opus e$t, $ub cujus au$piciis floreant.
Algebræ nihil ad augendum fa$tigium
$upere$t, hoc tamen uno modo cre$cere
pote$t. Te ergo præ$ertim invocat, cu-
jus cepimus & affectus & judicii expe-
rimentum, quantum maximum Mu$æ
capere potuerunt. Indulgentiæ Tuæ
propinquum exemplum e$t A$trono-
mia, quam in Tuo gremio $u$cepi$ti,
cum naufragium illud ob$ervationum
Tychonicarum, quas invidiosâ tran-
quillitate provectas improvi$us turbo
ab$tulerat, Tuâ benignitate re$arcires.
Tuo beneficio patriam receperunt. Ta-
ceo literas Græcas, quas majoribus $uis
ita reddidi$ti, ut illæ utrum plus Tibi, an
Tu illis debeas ambigi po$$it. Et ut ver-
bo ab$olvam, Tuæ benevolentiæ u$um
nec litteris nec hominibus unquam de-
nega$ti. Quare illud extremum oro, ut
eidem Genero$itati, cui tribui$ti hoc, ut

<pb>[610]
literas $u$cipcres, attribuas, ut $u$ce-
ptas tuearis ac foveas: atque hoc grati
animi, non omnino quale velim, $ed
quale po$$um hoc tempore monimen-
tum, favore excipere digneris. Cele-
bratum e$t famâ & acclamatione quan-
tum A$tronomiam amplificaverit Da-
nia, Tibi verò rena$centis A$tronomiæ
gratia debetur. Et $i propo$ito annue-
ris, non tam patriæ quàm Tibi debito-
rem con$titues etiam Algebram, hoc
e$t, Mathe$in Vniver$alem. Ego floren-
tem virtutis Tuæ gloriam æternam o-
pto, Tibique felici$$imos annos preca-
tus, in clientelam Tuam receptum e$$e,
$upra humanum $olatium recreabor.</p>
<p>Ill<_>æ</_> & Exc<_>mæ</_> D<_>ni</_> V<_>æ</_></p>
<p it>Ha$niæ, Anno</p>
<p>cI@I@ <sc>CLVII</sc>.</p>
<p it>Dediti$$imus</p>
<p>E<sc>RASMIVS</sc> B<sc>ARTHOLINVS</sc>,
Medicinæ & Mathematum Profe$-
$or Regius.</p>

<pb>[611]<rh>E<sc>RASM</sc> I B<sc>ARTHOLINI</sc></rh>
<p>Ad Tractatum de Natura & Con$titutione
Æquationum</p>
<h>EPISTOLA PRÆLIMINARIS</h>
<p it>Ad Clari$$imum Virum</p>
<h>CLAVDIVM HARDY,</h>
<p>Regis Galliæ Con$iliarium.</p>
<p it>_Q_V amvis $ini$tra bujus $eculi judicia parùm
apud me valeant, tamen à divulgandis e-
ju$modi quemlibet jure ab$terrerent, quæ
diver$as bominum cen$uras vitare ne-
queunt. V erùm ego alto $upercilio $pretis calumniis,
æquitatis amantior & publicæ utilitatis, propo$ito
de$i$tere nolui, tibique, Vir Clari$$ime, exponere con-
$titui, ea, quæ ad præfationem utilia e$$e putavi, eò li-
bentius, quò cognoverim amici$$imum tibi fui$$e, dum
in vivis e$$et, D. De Beaune, in Curia Ble$en$i Con$i-
liarium Regium. Nam et$i vir bic fuerit pereleganti
ingenio, & in tantum laudandus, in quantum intelli-
gi virtus pote$t; tamen hoc in eo maximum fuit, quòd
Mathemata docti$$imus, ut tempore æqualis Viro
$ummo D. Des-Cartes, ita Analytices $pecio$æ peri-
tiâ proximus. Luo momento impul$us, dum Ble$iis
linguæ Gallicæ exercendæ gratiâ degerem, amicitiam
tanti Viri colui, diligenterque eâ familiaritate u$us
$um, quâ ip$e me comiter amplectebatur. Interea de
rebus Mathematicis omnis ferè $ermo, & quoties

<pb>[612]
alterutri de Analyticis $ermocinari volupe, toties
no$tra conferri colloquia nece$$e er at. Vnde non ob-
$curè intellexi, quantis fuer at ingenii dotibus ac $tu-
diorum eminens, à quo, $i publica negotia permitte-
rent, perfectio Algebræ maximè $perari po$$et.
Luare variis precibus bortatus $um, ut, quæ medita-
tus erat, publicis de$tinaret u$ibus. Verùm ille mul-
ta $ibi ob$tare, occupationes tam publicas quàm pri-
vatas, valetudinem, oper as amicorum, ea denique
principia, quæ ad intellectum $uarum meditationum
nece$$aria erant, de$ider ari innuebat. I um ego, &
meam oper am ip$i polliceri par ati$$imam cæpi, & $i-
gnificare con$criptam e$$e à me I$agogen Carte $ia-
nam, quorum neutrum propo$ito moram afferre diu-
tiùs po$$et. Luibus valde recreatus, de edendis ope-
ribus $uis $eriò cogitabat. Sed, cùm Arthriticis do-
loribus plus $olito, lecto detineretur, omnem à Ma-
thematicis, ad corporis valetudinem, curam trans-
ferre cogebatur. Ego interim ad perlu$tr and as reli-
quas Galliæ provincias avocatus, per aliquod
tempus $ub$titi Flexiæ; unde, cum varia negotia
reverti Lutetiam $uaderent, placuit Ca$trum Ble-
$en$e tran$ire, ut de $anitate amici certior fierem.
Luem in prædio $uo, cum doloribus Colicis acriter
conflictantem, cùm deprebendi$$em, & affirman-
tem parùm pro$per â valetudine ex eo tempore $e u-
$um fui$$e; non mediocriter dolui, egregiis inventis
fortunam tam e$$e adver$am: mea verò $tudia ite-

<pb>[613]
ratò obtuli, promittens, me bono publico, eju$que gra-
tiâ, qua$vis $ubiturum mole$tias. Sed po$t quam re-
laxationis morbi nulla affulgeret $pes, $u$pirans va-
ledixi, iter que $u$ceptum ingre$$us, Lutetiam redii.
Vixibi con$ueta $tudia revocaveram, cum literæ mi-
hi redderentur ab ho$pite meo, Viro humani$$imo,
D. Antonio Marchais, inurbe Ble$en$e tunc linguæ
Gallicæ Profe$$ore, nunc verò Sereni$$imi Principis
Ga$tonis, Ducis Aurelianen$ium, Mathematico,
quibus nuntiabatur, ægrum no$trum, oculorum u$u
privatum fui$$e, temporibus $ol$titii Brumalis, ab
acrimonia defluxionis Arthriticæ; exopta$$e verò
meam præ$entiam tanto de$iderio, ut de editione co-
gitationum $uarum de$peraret, ni$i meâ operâ uti
po$$et; adeoque roga$$e, ni$i grave nimis e$$et, ope-
ram quam pollicitus er am accommodarem. Exar$e-
rat eâ tempe$tate bellum civile inter Regem Galliæ
& Principes con$anguineos, $ede$que exercitus
Principum erat Stampæ, quam ob$idione aggredie-
batur Dux exercitus Regii. Hac cum tran$eundem
e$$et iis, qui ad Comitatum Ble$en$em pergunt; an-
cipiti curâ di$tr actus, con$tituer am tamen longi$$imis
viarum ambagibus, per Normanniam & Ducatum
Andegaven$em potiùs iter moliri, quàm $pes ami-
ci de$erere. Luippe ea pars territorii Pari$ien$is,
Rothomagum versùs, tantum militibus vacavit.
Cum inex$pectato, propter adventum exercitus
Lotharingici, $olutâ ob$idione Stampæ, ager Ga$ti-

<pb>[614]
nen$is, milite utriu$que partis liberaretur; prædoni-
bus tamen infe$tari vias $ignificatum e$t. Luare ar-
reptâ occa$ione, di$$uadentibus amicis, itineri me com-
mi$i; parvi æ$timans, uno periculo, & amico prode$$e,
& præclara inventa redimere. Neque primas $pes
fortuna de$tituit; quippe emen$o periculo$i$$imo itine-
re, $alvus revi$i amicum, corpore $atis $anum, ni$i lu-
men oculorum rapui$$et ægritudo. Sed dubium itine-
ris eventum deterior fortuna excepit; cum in primor-
dio no$trorum operum, for$an quòd diligentius, quàm
permitteret anni tempus, Algebraïcis $ubtilitatibus
incumberem, æ$tate mediâ, $ummis caloribus, $ub Ca-
niculam, in gravi$$imum morbum ex febri $ynocho in-
ciderem. Et jam de mea $alute de$per antibus Medi-
cis, inopinatò animam efflavit Vir Ampli$$imus
D. De Beaune. Nam, cum amico aliquo, qui lecto
ejus a$$iderat, de rebus Analyticis di$$erentem, $ubitò
de$tituit vox, deinde totum corpus vitalis calor re-
liquit, atque eva$it perpetuam valetudinem die
19 Augu$ti, Anno 1652, natus Anno 1601 die
27 Sept. Sic præcipitantibus fatis, fefellit $pes
omnium mortalitas. Ego, cum mihi indicari incon-
$ultum ducerent no$tri, dum morbus nondum declina-
ret, ne ægritudinem aggravarent, non ni$i po$t mul-
tum tempus id re$civi. Tum nihil cunctatus, operam
dedi, ut fidei meæ committerentur, quæ relicta fue-
rant adver$aria, nullam cur am mortuo detrectans,
quam vivo de$tinaveram, publicæ utilitatis ratio-

<pb>[615]
nem habiturus. Reluctantibus verò hæredibus, cum
alius pecuniâ $olicita$$et animos eorum; parum ab-
fuit, quinidem $cripta, qui auctorem, ca$us traxi$-
$et. Ergo omni $tudio demon$trare occœpi, perituros
omnes defuncti conatus ni$i mihi traderentur; $par-
$as chartas, $ine ordine, $ine numero, $ine explicatio-
ne, notis & characteribus exar atas $upputationes,
non ab alio intelligi po$$e, quàm qui aliquo tempore
cum ip$o familiariter vixi$$et. Luibus perpen$is,
tandem obtinui propo$itum, $ed majori labore, quàm
$ucce$$u. Luippe omnia diligentiùs in$piciens, anim-
adverti plura affectata quam effecta. Inter tot ad-
ver$aria $olummodo ab$olutum inveni opus de An-
gulo Solido, quod jam pridem in publicum edidi$$em,
ni$i $umptus, propter copiam figurarum, Bibliopolæ
fa$tidivi$$ent. T ractatûs de Natura & Con$titutio-
ne Æquationum ne litera quidem extabat, menti
tamen D. de Beaune pleraque conformia e$$e di$$eren-
do dum licuit cum vivo comperi. Ex iis, quæ de Li-
mitibus Æquationum con$crip$i, quædam reperta
$unt in adver$ariis, quibus, cum multa de$ideraren-
tur, ultimam manum imponere nece$$e habui. Præ-
fationem denique, quam Author huic operi præ-
mittendam duxit, ne religio e$$et omittere, addidi.
Non ignoras, Vir Clari$$ime, me rogatu Authoris
omnia Gallicè prius con$crip$i$$e, tibique & aliis per-
legenda dedi$$e & corrigenda; tamen nunc Latinè
edere coactus $um, ne diutiùs laterent. Nam et$i tibi

<pb>[616]
dum in Italia degerem, adeò cordi fuerit horum $cri-
ptorum à me tibi relictorum editio, ut $umptibus pro-
priis excudi parares, quo nomine multum tibi debe-
bunt po$teri; tamen ne in Gallia quidem votum a$$e-
cutus es. Luocirca, cum Am$telodami iter ato præ-
lo $ubjiceretur Geometria Renati Des-Cartes, id
operam dedi, ut hæc unà imprimerentur. Con-
$entiente verò Typographo modò Latinè exta-
rent, placuit Latinam interpretationem in con$i-
lium adhibere, & potiùs authoris precibus inobe-
diens, quàm publici negligentior reputari. Luod
perpendendum relinquo iis, qui me violatæ fidei
tacitè accu$abunt. Subjunxi$$em alia, quorum ve-
$tigia adhuc $uper$unt in adver$ariis, $ed quædam
tanti indigent laboris, ut de re$titutione qua$i de$pe-
rem, alia remoratur multitudo figurarum: cun-
cta tamen brevi videbit benevolus Lector, $i Ty-
pographi obedierint. Interea hi$ce fruere, tuque Vir
Clari$$ime, judica quid ex meis curis, & difficilli-
mis itineribus, fructus colligi po$$it, tuum namque
judicium erit in$tar omnium. Luod $i tamen & alii
confiteantur, hinc non exiguum emolumentum ad
omnes redundare, rogo ut id Manibus Viri Cla-
ri$$imi Florimondi de Beaune acceptum referant;
errores verò $i offenderint, benigne corrigant, meæ-
que humanitati a$cribant. Vale.</p>

<pb>[617]<rh>FLORIMONDI DE BEAVNE</rh>
<h>PRÆFATIO.</h>
<p>DEcreveram in publicum edere ho$ce
tractatus, multò prolixiores atque
perfectiores, proximo in$equente an-
no. Verùm anni hujus initio confli-
ctatus cum gravi$$imo ad oculos defluxu, ocu-
lorum u$u privatus fui. Vnde propo$ito planè
de$titi$$em, ni$i D. Era$mius Bartholinus ope-
ram mihi $uam, ne mea circa hanc artem in-
venta oblivione $epulta jacerent, obtuli$$et.
Ejus igitur auxilio hoc opus compo$ui, ad quod
intelligendum $uppono Lectores jam in Geo-
metria Renati Des-Cartes ver$atos, additisque
in eam Notis, à nobis olim (non quidem ani-
mo illas in publicum edendi) concinnatis; ut &
docti$$imis Franci$ci à Schooten Commenta-
riis; nec non Principiis Mathe$eos Vniver$alis,
$eu Introductione ad Methodum Geometriæ
Renati Des-Cartes, ab eodem Bartholino editâ.</p>

<pb>[618]
<h it>PRIOR TRACT ATVS</h>
<h>DE
NATVRA
ET
CONSTITVTIONE
ÆQVATIONVM.</h>

<pb 63>[619]
<h>DE
NATVRA ÆQVATIONVM.</h>
<h>C<sc>APVT</sc> I.</h>
<p>MVltò faciliùs inveniemus Naturam & Con-
$titutionem Æquationum ex earum gene-
ratione & comparatione cum $imilibus $eu
eju$dem formæ, quàm conferendo earum
radices cum certis mediis Geometricè pro-
portionalibus, ut præ$titit Viëta.</p>
<p>Æquationes autem facilitatis gratiâ ita
di$ponere libet, ut omnes termini ab una
parte reperiantur æquales nihilo, ponendo ip$os ordine, prout
gradatim per incognitæ quantitatis dimen$iones de$cendunt. Pri-
mum enim terminum vocabimus, ip$am quantitatem incognitam,
quæ plurimarum dimen$ionum exi$tens nullis aliis quantitatibus
adficitur; $ecundum verò, in quo incognita quantitas unâ dimen-
$ione minor e$t; tertium in quo duabus; & $ic deinceps, u$que ad
terminum omnino cognitum, quem pro ultimo habemus. Dein-
de, loca, ubi terminorum aliqui deficiunt, a$teri$co complebi-
mus, quæ tum $ub numero terminorum comprehendentur. Hæc
omnia beneficio tran$po$itionis facilè peraguntur.</p>
<p>Ex iis, quæ $cripta & commentata $unt in Geometriam Renati
des Cartes, nota e$t methodus cogno$cendi, quot haberi po$$int
radices in qualibet Æquatione: nimirum, po$$e Æquationem tot
habere veras radices, quot mutationes $ignorum continuæ adfue-
rint, & quoties eadem $igna $e invicem $equuntur immutata, tot
po$$e reperiri fal$as radices: modò in numerum terminorum ii
numerentur, qui deficiunt.</p>
<p>Porrò, duas Æquationes $imiles e$$e dicimus $eu eju$dem for-
mæ, quando in utraque idem e$t primus terminus, & reliqui ter-
mini in utraque $imiliter $unt affecti; & $i in una terminus ali-
quis abfuerit, ut is quoque ab$it in altera. Nam cùm $imiles $unt
Æquationes, eandem habebunt con$titutionem & naturam, &
fieri poterit comparatio $eu collatio $ingulorum terminorum u-
nius cum $ingulis terminis corre$pondentibus alterius.</p>

<pb 64>[620]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
<h>C<sc>APVT</sc> II.</h>
<p it>De natura & con$titutione Æquationum Luadra-
tarum, $eu duarum dimen$ionum.</p>
<p>QVando æquationes hæ $unt affectæ, reducuntur omnes ad
tres formas $equentes:</p>
<math>xx + lx - mm = o</math>
<math>xx - lx - mm = o</math>
<math>xx - lx + mm = o</math>.
<h>I _Propo$itio_.</h>
<p>Ad intelligendam naturam & con$titutionem prioris æquatio-
nis, formetur per multiplicationem harum duarum <math>x - b = o</math> &
<math>x + c = o</math> $equens æquatio: <math>xx - bx \\ + c # - bc = o</math>. Supponendo
igitur <math>c</math> majorem quàm <math>b</math>, eandem habebit formam atque prima
propo$itarum <math>xx + lx - mm = o</math>. & per con$equens, binæ hæ
æquationes erunt eju$dem naturæ & con$titutionis. Fiat collatio
unius cum altera; & per comparationem terminorum $ecundo-
rum habebimus <math>c - b = l</math>. Vnde di$cimus, <math>l</math> e$$e differentiam in-
terfal$am radicem <math>c</math> & veram <math>b</math>; &, cognitâ falsâ <math>c</math>, veram <math>b</math> e$$e
æqualem ip$i <math>c - l</math>; &, cognitâ verâ <math>b</math>, fal$am <math>c</math> e$$e æqualem ip$i
<math>b + l</math>.</p>
<p>Præterea, ex comparatione po$tremorum terminorum habe-
bimus <math>mm</math> æqualem <math>bc</math>. Vnde $equitur <math>mm</math> e$$e æquale rectan-
gulo $ub vera & fal$a radice; &, cognitâ falsâ <math>c</math>, veram <math>b</math> æqualem
e$$e <math>{mm / c}</math>; &, cognitâ verâ <math>b</math>, fal$am _c_ æqualem e$$e <math>{mm / b}</math>.</p>
<h>2 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro $ecunda æquatione propo$ita formetur rur$us per multipli-
cationem duarum <math>x - b = o</math> & <math>x + c = o</math>, æquatio <math>xx - bx \\ + c # - bc = o</math>.
In qua $i $upponamus <math>b</math> majorem quàm <math>c</math>, erit ip$a eju$dem for-
mæ cum $ecunda propo$ita <math>xx - lx - mm = o</math>. Et per con$e-
quens duæ illæ æquationes erunt eju$dem naturæ & con$titutio-
nis. Factâ ergo collatione unius cum altera, habebimus ex col-

<pb 65>[621]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
latione $ecundorum terminorum <math>c - b = - l</math>, vel <math>l = b - c</math>. Vn-
de di$cimus, quòd <math>l</math> e$t differentia inter veram radicem <math>b</math> & fal$am
<math>c</math>; & $i cognita fuerit fal$a <math>c</math>, erit vera <math>b</math> æqualis <math>l + c</math>; & $i fuerit
cognita vera <math>b</math>, fal$a <math>c</math> erit æqualis <math>b - l</math>.</p>
<p>Porrò, per comparationem po$tremorum terminorum, ha-
bebimus <math>mm = bc</math>. Vnde $equitur <math>mm</math> e$$e æquale rectangulo
$ub vera & fal$a radice; &, cognitâ falsâ <math>c</math>, veram <math>b</math> e$$e æqualem
<math>{mm / c}</math>; &, cognitâ verâ <math>b</math>, fal$am <math>c</math> e$$e <math>= {mm / b}</math>.</p>
<h it>3 Propo$itio.</h>
<p>Pro tertia $upra po$ita æquatione, formemus, per multiplica-
tionem duarum <math>x - b = o</math> & <math>x - c = o</math>, æquationem $equentem
<math>xx - bx \\ -c # + bc = o</math>, & habebit eandem formam atque propo$ita
tertia <math>xx - lx + mm = o</math>, & con$equenter hæ binæ æquationes
erunt eju$dem naturæ & con$titutionis. Comparemus ergo unam
cum altera, atque ex collatione $ecundorum terminorum habe-
bimus <math>b + c = l</math>. Vnde di$cimus, quòd <math>l</math> e$t $umma duarum vera-
rum radicum, & $i una earum, exempli gratiâ, <math>c</math>, e$t cognita, re-
liqua <math>b</math> æquabitur <math>l - c</math>.</p>
<p>Præterea ex comparatione ultimorum terminorum habebi-
mus <math>mm = bc</math>, hoc e$t, <math>mm</math> æquale rectangulo $ub duabus veris
radicibus, quarum $i alterutra e$t nota, exempli gratiâ, <math>c</math>, altera <math>b</math>
æquabitur <math>{mm / c}</math>.</p>
<p>Quantum ad æquationem quadratam <math>xx - mm = o</math>, quæ
non e$t affecta, ip$a oritur ex duabus $equentibus <math>x - m = o</math>, &
<math>x + m = o</math>. Vnde $equitur ip$am duas po$$idere radices, unam
veram, alteram fal$am, quarum utraque æquatur ip$i <math>m</math>.</math></p>
<h>C<sc>APVT</sc> III.</h>
<p it>De natura & con$titutione Æquationum Cubicarum
$eu tertiæ dimen$ionis, $ecundo termino carentium.</p>
<p>OMnes hæ æquationes reducuntur ad tres $equentes formas:</p>
<math>x^3 * + mmx - n^3 = o.</math>
<math>x^3 * - mmx - n^3 = o.</math>
<math>x^3 * - mmx + n^3 = o.</math>

<pb 66>[622]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
<h>I _Propo$itio_.</h>
<p>Ad cogno$cendam naturam & con$titutionem prioris æqua-
tionis propo$itæ, formemus per multiplicationem harum dua-
rum <math>xx + bx + cc = o</math> & <math>x - b = o</math> hanc æquationem
<math>x^3 * - bbx \\ + cc # - bcc = o</math>. Suppo$ito autem <math>cc</math> majori quàm <math>b b</math>,
ip$a eandem habebit formam atque prima propo$ita <math>x^3 * + mmx
- n^3 = o</math>. & per con$equens eju$dem erunt naturæ & con$titu-
tionis. Fiatigitur illarum collatio, & per comparationem tertio-
rum terminorum habebimus <math>cc - bb = mm</math>. Vnde con$tat, $i
vera radix <math>b</math> cogno$citur, <math>cc</math> fore æquale <math>mm + bb</math>, & con$e-
quenter <math>xx + bx + mm + bb = o</math>. quæ æquatio duas reliquas
radices re$picit, ac cum vera radice <math>b</math> concurrit ad formandam
æquationem propo$itam.</p>
<p>Præterea, factâ comparatione ultimorum terminorum, habe-
bimus <math>n^3 = bcc</math>. Vnde $equitur <math>cc</math> e$$e æquale <math>{n^3 / b}</math>; &, cognitâ
verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem <math>xx + bx + {n^3 / b} = o</math> $imiliter
duas reliquas radices re$picere, & cum vera _b_ concurrere ad for-
mationem propo$itæ æquationis.</p>
<h>2 _Propo$itio._</h>
<p>Pro $ecunda æquatione propo$ita formetur rur$us per multi-
plicationem duarum <math>xx + bx + cc = o</math> & <math>x - b = o</math> æquatio
<math>x^3 * - bbx \\ + cc # - bcc = o</math>. Suppo$ito autem <math>bb</math> majori quàm <math>cc</math>, ha-
bebit illa eandem formam atque $ecunda <math>x^3 * - mmx - n^3 = o</math>,
& per con$equens habebunt eandem naturam & con$titutionem.
Fiatigitur collatio, & ex comparatione tertiorum terminorum ha-
bebimus <math>bb - cc = mm</math>. Vnde con$tat, <math>cc</math> e$$e æquale <math>bb - mm</math>; &,
cognitâ verâ radice <math>b</math>, æquationem hanc <math>xx + bx + bb - mm = o</math>
duas reliquas radices concernere. Porrò, ex comparatione duo-
rum po$tremorum terminorum, habebimus <math>n^3 = bcc</math>, unde $e-
quitur <math>cc</math> e$$e æquale <math>{n^3 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquatio-
nem <math>xx + bx + {n^3 / b}</math> $imiliter ad duas reliquas re$picere.</p>

<pb 67>[623]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<h>3 _Propo$itio_.</h>
<p>Ad inveniendam naturam & con$titutionem tertiæ æquationis
propo$itæ, $iat ex duabus hi$ce <math>xx + bx - cc = o</math> & <math>x - b = o</math>
æquatio <math>x^3 * - bbx \\ -cc # + bcc = o</math>, eandem habens formam cum
tertia propo$ita <math>x^3 * - mmx + n^3 = o</math>. Vnde & ip$æ eandem
habebunt naturam atque con$titutionem. Fiat ergo collatio, &
per comparationem tertiorum terminorum habebimus <math>bb +
cc = mm</math>. Vnde con$tat, <math>cc</math> æquale e$$e <math>mm - bb</math>; &, cogni-
tâ verâ radice <math>b</math>, æquationem hanc <math>xx + bx + bb - mm = o</math>
ad duas reliquas radices re$picere.</p>
<p>Præterea, ex comparatione po$tremorum terminorum, habe-
bimus <math>n^3 = bcc</math>, & per con$equens <math>cc = {n^3 / b}</math>. Quare, cognitâ ve-
râ radice <math>b</math>, hæc æquatio <math>xx + bx - {n^3 / b} = o</math> $imiliter duas reli-
quas radices concernet.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> IV.</h>
<p it>De natur a & con$titutione Æquationum Cubicarum
$eu trium dimen$ionum, tertio termino carentium.</p>
<p>HÆ æquationes reducuntur ad tres formas $equentes:</p>
<math>x^3 + lxx^* - n^3 = o</math>.
<math>x^3 - lxx^* - n^3 = o</math>.
<math>x^3 - lxx^* + n^3 = o</math>.
<h>I _Propo$itio_.</h>
<p>Pro natura & con$titutione primæ propo$itionis, fiat per mul-
tiplicationem harum duarum <math>xx + cx + bc = o</math> & <math>x - b = o</math>
hæc æquatio <math>x^3 \\ +c # - bxx^* - bbc = o</math>. Et $uppo$itâ <math>c</math> majore
quàm _b_, habebit ip$a eandem formam cum prima propo$ita
<math>x^3 + lxx^* - n^3 = o</math>, & per con$equens erunt eju$dem naturæ.
Factâ ergo collatione, habebimus ex comparatione $ecundorum
terminorum <math>c - b = l</math>, hoc e$t, <math>c = l + b</math>. Vnde con$tat, co-

<pb 68>[624]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
gnitâ verâ radice <math>b</math>, æquationem <math>xx + bx \\ +l # + bb + bl = o</math> duas
reliquas radices re$picere.</p>
<p>Præterea, ex comparatione duorum ultimorum terminorum,
habebitur <math>n^3 = bbc</math>. unde $equitur <math>c</math> e$$e æqualem <math>{n^3 / bb}</math>; &, cognitâ
radice <math>b</math>, æquationem <math>xx + {n^3 / b} x + {n^3 / b} = o</math> duas reliquas radi-
ces concernere.</p>
<h>2 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro $ecunda propo$itione fiat ex multiplicatione harum dua-
rum <math>xx + cx + bc = o</math> & <math>x - b = o</math> hæc æquatio
<math>x^3 - bxx^* \\ +c # - bbc = o</math>. Et $uppo$itâ <math>b</math> majore quàm _c_ erit eju$-
demformæ cum $ecunda propo$itarum <math>x^3 - lxx^* - n^3 = o</math>,
adeoque erunt eju$dem naturæ & con$titutionis. Factâ igitur
collatione, ex comparatione $ecundorum terminorum habebi-
mus <math>b - c = l</math>. Vnde con$tat, <math>c</math> e$$e æqualem <math>b - l</math>; &, cognitâ
verâ radice <math>b</math>, æquationem hanc <math>xx + bx \\ -l # + bb - bl = o</math> duas
reliquas radices re$picere.</p>
<p>Porrò per comparationem po$tremorum terminorum habe-
bimus <math>n^3 = bbc</math>. Vnde $equitur <math>c</math> e$$e æqualem <math>{n^3 / bb}</math>; &, $i vera
radix fuerit cognita, hanc æquationem <math>xx + {n^3 / bb} x + {n^3 / b} = o</math>
duas reliquas radices concernere.</p>
<h>3 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro tertia propo$itione formemus ex duabus <math>xx - cx - bc = o</math>
& <math>x - b = o</math> hanc æquationem <math>x^3 - cxx^* \\ - b # + bbc = o</math>, quæ
habebit eandem formam atque tertia æquationum propo$itarum
<math>x^3 - lxx^* + n^3 = o</math>, & per con$equens erunt eju$dem naturæ
& con$titutionis. Quare factâ collatione, per comparationem
$ecundorum terminorum habebimus <math>c + b = l</math>. Vnde di$cimus,
quòd <math>c</math> æquetur <math>l - b</math>; &, $i vera radix <math>b</math> $it cognita, quòd æqua-
tio <math>xx - bx \\ -l # - bb - bl = o</math> ad duas reliquas radices inve$tigan-
das referri debeat.</p>

<pb 69>[625]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<p>Præterea, comparatis ultimis terminis, habebimus <math>n^3 = bbc</math>,
unde $equitur <math>c</math> æquari <math>{n^3 / bb}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æqua-
tionem <math>xx - {n^3 / bb} x - {n^3 / b} = o</math> reliquis duabus inveniendis in$er-
vire.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> V.</h>
<h it>De natur a & con$titutione Æquationum Cubicarum
$eu trium dimen$ionum, in quibus omnes ter-
mini extant.</h>
<p>Æ Quationes hæ reducuntur ad $eptem formas $equentes:</p>
<p><math>x^3 - lxx + mmx - n^3 = o.</math></p>
<p><math>x^3 + lxx - mmx - n^3 = o.</math></p>
<p><math>x^3 - lxx - mmx - n^3 = o.</math></p>
<p><math>x^3 + lxx + mmx - n^3 = o.</math></p>
<p><math>x^3 - lxx + mmx + n^3 = o.</math></p>
<p><math>x^3 + lxx - mmx + n^3 = o.</math></p>
<p><math>x^3 - lxx - mmx + n^3 = o.</math></p>
<h>1 _Propo$itio._</h>
<p>Ad cogno$cendam naturam & con$titutionem primæ propo-
$itionis, fiat ex multiplicatione <math>xx - cx + dd = o</math> per <math>x - b = o</math>,
æquatio $equens <math>x^3 - bxx \\ - c # + ddx \\ + bc # - bdd = o</math>. atque eandem ha-
bebunt naturam & con$titutionem. Factâ ergo comparatione,
ex collatione $ecundorum terminorum habebimus <math>b + c = l</math>, vel
<math>c = l - b</math>. Deinde ex collatione tertiorum terminorum habebi-
mus <math>dd + bc = mm</math>, hoc e$t, <math>dd = mm + bb - bl</math>, quoniam <math>c</math>
e$t inventa æquari <math>l - b</math>. Vnde apparet, cognitâ verâ radice <math>b</math>,
æquationem hanc <math>xx - lx \\ +b # + mm + bb - bl = o</math> duas reliquas radices
re$picere. Denique ex collatione po$tremorum terminorum ha-
bebimus <math>bdd = n^3</math>. unde con$tat, <math>dd</math> æquari <math>{n^3 / b}</math>; &, cognitâ verâ
radice <math>b</math>, æquationem hanc <math>xx - lx \\ + b # + {n^3 / b} = o</math> duas reliquas ra-
dices concernere.</p>

<pb 70>[626]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc>.</rh>
<h>2 _Propo$itio._</h>
<p>Pro $ecunda propo$itarum fiat ex multiplicatione <math>xx + cx +
dd = o</math> per <math>x - b = o</math> æquatio hæc <math>x^3 \\ + c # - bxx - bcx \\ + dd # - bdd = o.</math>
& $uppo$itâ <math>c</math> majore quàm <math>b</math>, & <math>bc</math> majore quàm <math>dd</math>, habebit ean-
dem formam, quàm propo$itio $ecunda <math>x^3 + lxx - mmx -
n^3 = o</math>, & con$equenter erunt eju$dem naturæ & con$titutionis.
Factâ ergo adæquatione, ex comparatione $ecundorum termi-
norum habebimus <math>c - b = l</math>, hoc e$t, <math>c = l + b</math>. Deinde ex col-
latione tertiorum terminorum habebimus <math>dd - bc = - mm</math>,
hoc e$t, re$tituto valore ip$ius _c_ invento, habebitur <math>dd = bl + bb
- mm</math>. Vnde con$tat, cognitâ verâ radice _b_, hanc æquationem
<math>xx + lx \\ + b # + bb + bl - mm = o</math> duabus reliquis radicibus inve$ti-
gandis e$$e utilem. Denique, ex comparatione po$tremorum
terminorum, habebimus <math>bdd = n^3</math>. Vnde $equitur <math>dd</math> fore æqua-
lem <math>{n^3 \\ b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, æquationem hanc
<math>xx + bx \\ + l # + {n<x>3</x> / b} = o</math> reliquis duabus in$ervituram.</p>
<h>3 _Propo$itio._</h>
<p>Pro tertia propo$itione, fiat ex multiplicatione <math>xx + cx + dd = o</math>
per <math>x - b = o</math> eadem æquatio <math>x^3 - bxx \\ + c # - bcx \\ + dd - bdd = o</math>.
Et $uppo$itâ <math>b</math> majore quàm <math>c</math>, & <math>bc</math> majore quàm <math>dd</math>, erit eju$-
dem formæ cum tertiâ propo$itarum <math>x^3 - lxx - mmx - n^3 = o</math>,
& con$equenter eju$dem erunt naturæ & con$titutionis. Factâ
ergo adæquatione, ex collatione $ecundorum terminorum habe-
bimus <math>c - b = - l</math>, hoc e$t, <math>c = b - l</math>. Deinde ex collatione
tertiorum terminorum habebimus <math>dd - bc = mm</math>, hoc e$t, $ub-
$tituto valore invento ip$ius <math>c</math>, erit <math>dd = bb - bl - mm</math>. Vnde
con$tat, quòd, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hæc æquatio <math>xx + bx \\ - l # + bb \\ - bl \\ - mm # = o</math>
ad duas inve$tigandas reliquas adhiberi po$$it. Denique, ex col-

<pb 71>[627]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
latione po$tremorum terminorum, habebitur <math>bdd = n^3</math>. Vnde
$equitur, <math>dd</math> æquari <math>{n^3 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquatio-
nem <math>xx + bx \\ - l # + {n^3 / b} = o</math> ad duas reliquas quærendas e$$e utilem.</p>
<h>4 _Propo$itio._</h>
<p>Pro quarta propo$itarum fiat ex multiplicatione <math>xx + cx + dd = o</math>
per <math>x - b = o</math> eadem æquatio <math>x^3 - bxx \\ + c # - bcx \\ + dd # - bdd = o</math>. Et
$uppo$itâ <math>c</math> majore quàm <math>b</math>, & <math>dd</math> majore quàm <math>bc</math>, erunt eju$-
dem formæ ac quarta propo$itio <math>x^3 + lxx + mmx - n^3 = o</math>, &
con$equenter eju$dem naturæ & con$titutionis. Factâ ergo ad-
æquatione, ex collatione $ecundorum terminorum habebimus
<math>c - b = l</math>, $eu <math>c = l + b</math>. Deinde, ex comparatione tertiorum
terminorum, habebimus <math>dd - bc = mm</math>, hoc e$t, re$tituto valo-
re ip$ius <math>c</math> invento, erit <math>dd = bb + bl + mm</math>. Vnde con$tat, co-
gnitâ vera radice <math>b</math>, hanc æquationem <math>xx + bx \\ + l # + bb + bl + mm = o</math>
duas reliquas radices re$picere. Denique ex collatione po$tre-
morum terminorum habebimus <math>bdd = n^3</math>. Vnde $equitur, <math>dd</math> fo-
re æquale <math>{n^3 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem
<math>xx + bx \\ + l # + {n^3 / b} = o</math> ad indagandas duas reliquas adhiberi po$$e.</p>
<h it>5 Propo$itio.</h>
<p>Pro quinta propo$itione fiat ex multiplicatione <math>xx - cx - dd = o</math>
per <math>x - b = o</math> æquatio <math>x^3 - cxx \\ - b # - ddx \\ + bc # + ddb = o</math>. Et $uppo$ito <math>bc</math>
majore quàm <math>dd</math>, erit eju$dem formæ cum quinta propo$itarum
<math>x^3 - lxx + mmx + n^3 = o</math>, & con$equenter eju$dem naturæ &
con$titutionis erunt. Factâ ergo adæquatione, ex comparatione
$ecundorum terminorum, habebimus <math>l = c + b</math>, vel <math>c = l - b</math>.
Deinde, ex comparatione tertiorum terminorum, habebimus
<math>bc - dd = mm</math>, hoc e$t, re$titu to valore ip$ius _c_ invento, erit
<math>dd = bl - bb - mm</math>. Vnde di$cimus, cognitâ radice verâ <math>b</math>,

<pb 72>[628]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc>.</rh>
æquationem hanc <math>xx - lx \\ + b # - bl + bb + mm = o</math> duabus reli-
quis inveniendis e$$e u$ui. Denique ex collatione po$tremorum
terminorum habebimus <math>n^3 = bdd</math>. Vnde colligitur <math>dd</math> æquari
<math>{n^3 / b}</math>; &, cognitâ radice verâ <math>b</math>, hanc æquationem <math>xx - lx \\ + b # - {n^3 / b} = o</math>
duabus reliquis inveniendis in$ervire.</p>
<h>_6 Propo$itio._</h>
<p>Pro $exta propo$itione formetur ex duabus <math>xx + cx - dd = o</math>
& <math>x - b = o</math> æquatio <math>x^3 + cxx \\ - b # - ddx \\ - bc # + ddb = o</math>. Et, $uppo$itâ
<math>c</math> majori quàm <math>b</math>, habebit ip$a eandem formam atque $exta pro-
po$itarum <math>x^3 + lxx - mmx + n^3 = o</math>, & per con$equens erunt
eju$dem naturæ & con$titutionis. Fiat jam comparatio, & ex col-
latione $ecundorum terminorum habebimus <math>l = c - b</math>, $eu
<math>c = l + b</math>. Deinde ex collatione tertiorum terminorum erit <math>mm =
dd + bc</math>, hoc e$t, $ub$tituto valore <math>c</math> invento, habebitur <math>dd = mm
- bl - bb</math>. Vnde con$tat, $i vera radix <math>b</math> $it cognita, hanc æqua-
tionem <math>xx + lx \\ + b # - mm \\ + bl \\ + bb # = o</math>, pro duabus reliquis inveniendis
u$ui futuram. Denique, comparando ultimos terminos, habebi-
mus <math>ddb = n^3</math>: & per con$equens <math>dd = {n^3 / b}</math>; adeoque, cognitâ
verâ radice <math>b</math>, hæc æquatio <math>xx + lx \\ + b # - {n^3 / b} = o</math> ad inve$tigandas
duas reliquas utilis erit.</p>
<h>_7 Propo$itio._</h>
<p>Pro $eptima propo$itione formetur ex duabus <math>x - b = o</math> &
<math>xx + cx - dd = o</math> æquatio <math>x^3 + cxx \\ - b # - ddx \\ - bc # + ddb = o</math>. Sup-
po$itâ autem <math>b</math> majore quàm <math>c</math>, habebit ip$a eandem formam
cum $eptima propo$itarum <math>x^3 - lxx - mmx + n^3 = o</math>, & con-
$equenter erunt eju$dem naturæ & con$titutionis. Factâ igitur
comparatione, orietur ex collatione $ecundorum terminorum,

<pb 73>[629]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<math>l = b - c</math>, $eu <math>c = b - l</math>. Deinde, conferendo tertios terminos,
erit <math>mm = bc + dd</math>, hoc e$t, $ub$tituendo valorem <math>c</math> inventum,
habebitur <math>dd = mm - bb + bl</math>. Vnde di$cimus, cognitâ verâ ra-
dice <math>b</math>, hanc æquationem <math>xx + bx \\ - l # - mm + bb - bl = o</math> ad in-
veniendas duas reliquas in$ervire. Po$tremò, collatis ultimis ter-
minis, habebimus <math>ddb = n^3</math>, unde erit <math>dd</math> æquale <math>{n^3 / b}</math>; &, cùm
cogno$citur vera radix <math>b</math>, hæc æquatio <math>xx + bx \\ - l # + {n^3 / b} = o</math> ad duas
reliquas inveniendas adhiberi poterit.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> VI.</h>
<h>_De natura & con$titutione Æquationum quatuor di-_
_men$ionum, $ecundo & tertio termino carentium._</h>
<p>HVjus generis æquationes ad tres formas $equentes redu-
cuntur:</p>
<math>x^4 * * + n^3 x - p^4 = o.</math>
<math>x^4 * * - n^3 x - p^4 = o.</math>
<math>x^4 * * - n^3 x + p^4 = o.</math>
<h>1 _Propo$itio._</h>
<p>Pro natura & con$titutione prioris propo$itionis formemus ex
duabus <math>x^3 + bxx + bbx + c^3 = o</math> & <math>x - b = o</math> hanc æquatio-
nem <math>x^4 * * + c^3 x \\ - b^3 # - b c^3 = o</math>. Suppo$ito verò <math>c^3</math> majore quàm <math>b^3</math>,
habebit ea eandem formam atque prima propo$itio <math>x^4 * * + n^3 x
- p^4 = o</math>, & per con$equens erit eju$dem naturæ & con$titu-
tionis. Fiat ergo comparatio, & ex collatione quartorum ter-
minorum habebitur <math>c^3 - b^3 = n^3</math>, hoc e$t, <math>c^3 = n^3 + b^3</math>. unde co-
gno$cimus, quando innote$cit vera radix <math>b</math>, æquationem hanc
<math>x^3 + bxx + bbx + n^3 + b^3 = o</math> $pectare ad in ve$tigationem trium
reliquarum radicum.</p>
<p>Præterea, collatis ultimis terminis, fit <math>p^4 = b c^3</math>: unde $equi-
tur, <math>c^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, æquationem hanc

<pb 74>[630]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
<math>x^3 + bxx + bbx + {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas inve$tigan das
po$$e u$urpari.</p>
<h>2 _Propo$itio._</h>
<p>Pro $ecunda propo$itione fiat ex duabus <math>x^3 + bxx + bbx + c^3 = o</math>
& <math>x - b = o</math> hæc æquatio <math>x^4 * * + c^3 x \\ - b^3 # - b c^3 = o</math>. Et, $i pona-
tur <math>b^3</math> major quàm <math>c^3</math>, habebit illa eandem formam atque $ecunda
propo$itarum <math>x^4 * * - n^3 x - p^4 = o</math>, & con$equenter erunt
eju$dem naturæ & con$titutionis. Fiat jam comparatio, & ex
collatione quartorum terminorum habebimus <math>c^3 - b^3 = - n^3</math>,
hoc e$t, <math>c^3 = b^3 - n^3</math>. Vnde cogno$cimus, inventâ verâ radice <math>b</math>,
hanc æquationem <math>x^3 + bxx + bbx + b^3 - n^3 = o</math>, ad tres reli-
quas radices re$picere. Porrò, comparatis inter $e terminis ulti-
mis, habebimus <math>p^4 = b c^3</math>. Vnde $equitur, <math>c^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cogni-
tâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 + bxx + bbx + {p^4 / b} = o</math>
tres reliquas radices concernere.</p>
<h>3 _Propo$itio._</h>
<p>Pro tertia propo$itione fiat ex duabus <math>x^3 + bxx + bbx - c^3 = o</math>
& <math>x - b = o</math> æquatio <math>x^4 * * - c^3x \\ b^3 # + b c^3 = o</math>, & habebit eandem
formam atque tertia propo$itarum <math>x^4 * * - n^3 x + p^4 = o</math>, ac per
con$equens erunt eju$dem naturæ & con$titutionis. Fiat jam
comparatio, & ex collatione quartorum terminorum habebimus
<math>c^3 + b^3 = n^3</math>, hoc e$t, <math>c^3 = n^3 - b^3</math>. Vnde con$tat, cognitâ verâ
radice <math>b</math>, æquationem hanc <math>x^3 + bxx + bbx - n^3 + b^3 = o</math> ad
tres reliquas inve$tigandas adhiberi po$$e. Præterea ex collatione
ultimorum habebitur <math>p^4 = b c^3</math>. Vnde $equitur, <math>c^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &,
cognitâ verâ radice <math>b</math>, æquationem hanc <math>x^3 + bxx + bbx - {p^4 / b} = o</math>
ad tres reliquas quærendas e$$e utilem.</p>

<pb 75>[631]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<h>C<sc>APVT</sc> VII.</h>
<h>_De natur a & con$t it utione Æquationum quatuor di-_
_men$ionum, tertio & quarto termino carentium._</h>
<p>ÆQuationes hæ ad $equentes tres formas reducuntur:</p>
<math>x^4 + l x^3** - p^4 = o.</math>
<math>x^4 - l x^3** - p^4 = o.</math>
<math>x^4 - l x^3** + p^4 = o.</math>
<h>1 _Propo$itio._</h>
<p>Ad cogno$cendam naturam & con$titutionem primæ propo-
$itionis, fiat ex multiplicatione harum duarum <math>x^3 + cxx + bcx +
bbc = o</math> & <math>x - b = o</math> hæc æquatio <math>x^4 + c x^3 * * \\ - b # - b^3 c = o</math>.
Suppo$itâ vero <math>c</math> majore quàm <math>b</math>, habebit illa eandem formam
atque prima propo$itio <math>x^4 + l x^3 ** - p^4 = o</math>, ac per con$e-
quens erunt eju$dem naturæ & con$titutionis. Fiat igitur adæ-
quatio, & comparando $ecundos terminos habebimus <math>c - b = l</math>,
hoc e$t, <math>c = l + b</math>. Vnde di$cimus, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc
æquationem <math>x^3 + bxx \\ + l # + blx \\ + bb # + b^3 + bbl = o</math> tribus reliquis
inve$tigandis in$ervire. Deinde, collatis ultimis terminis, habe-
bitur <math>p^4 = b^3 c</math>. unde $equitur, <math>c</math> æquari <math>{p^4 / b^3}</math>; &, cognitâ verâ radi-
ce <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 + {p^4 / b^3} xx + {p^4 / bb} x + {p^4 / b} = o</math> ad tres
reliquas indagandas adhiberi po$$e.</p>
<h>2 _Propo$itio._</h>
<p>Pro $ecunda propo$itione fiat ex duabus <math>x^3 + cxx + bcx +
bbc = o</math> & <math>x - b = o</math> hæc æquatio <math>x^4 + c x^3** \\ - b # - b^3c = o</math>. Et
$upponendo <math>b</math> $uperare ip$am <math>c</math>, habebit illa eandem formam at-
que $ecunda propo$itio <math>x^4 - l x^3** - p^4 = o</math>, & con$equenter
erunt eju$dem naturæ & con$titutionis. Fiat ergo adæquatio, &
collatis $ecundis terminorum habebimus <math>- b + c = - l</math>, hoc

<pb 76>[632]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
e$t <math>c = b - l</math>. Vnde di$cimus, cognitâ verâ radice <math>b</math>, æquationem
hanc <math>x^3 + bxx \\ - l # + bbx \\ - bl # + b^3 - bbl = o</math> ad tres reliquas inve$ti-
gandas u$urpari po$$e. Præterea, comparando po$tremos termi-
norum, habebimus <math>p^4 = b^3 c</math>. Vnde $equitur, <math>c</math> æquari <math>{p^4 / b^3}</math>; &, co-
gnitâ verâ radice <math>b</math>, æquationem hanc <math>x^3 + {p^4 / b^3} xx + {p^4 / b} = o</math> tri-
bus reliquis in$ervire.</p>
<h>3 _Propo$itio._</h>
<p>Pro tertia propo$itione formetur ex duabus <math>x^3 - cxx - bcx
- bbc = o</math> & <math>x - b = o</math> æquatio hæc <math>x^4 - c x^3** \\ -b # + b^3 c = o</math>
& erit eju$dem formæ atque tertia propo$itarum <math>x^4 - l x^3** +
p^4 = o</math>, ac per con$equens eandem habebunt naturam & con$ti-
tutionem. Fiat ergo adæquatio, & ex collatione $ecundorum
terminorum habebimus <math>l = c + b</math>, hoc e$t, <math>c = l - b</math>. Vnde
con$tat, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem
<math>x^3 - lxx \\ + b # - blx \\ + bb # - bbl + b^3 = o</math> tribus reliquis in$ervire. Por-
rò, comparando po$tremos terminos, habebimus <math>p^4 = b^3 c</math>, & per
con$equens <math>c = {p^4 / b^3}</math>; adeoque, cognitâ verâ radice <math>b</math>, poterit æ-
quatio <math>x^3 - {p^4 / bb} xx - {p^4 / bb} x - {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas radices in-
ve$tigandas adhiberi.</p>
<p>Non operæ pretium duximus memini$$e æquationum quatuor
dimen$ionum, in quibus $ecundus & quartus terminus de$unt:
quia illæ omnes reducuntur ad Quadratas, ac idcirco earum na-
tura & con$titutio eodem modo habetur.</p>

<pb 77>[633]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<h>C<sc>APVT</sc> VIII.</h>
<h>_De natur a & con$titutione Æquationum quatuor di-_
_men$ionum, $ecundo termino carentium._</h>
<p>Æ Quationes hæ reducuntur ad $eptem formas $equentes:</p>
<math>x^4 * - mmxx + n^3 x - p^4 = o.</math>
<math>x^4 * + mmxx - n^3 x - p^4 = o.</math>
<math>x^4 * - mmxx - n^3 x - p^4 = o.</math>
<math>x^4 * + mmxx + n^3 x - p^4 = o.</math>
<math>x^4 * - mmxx + n^3 x + p^4 = o.</math>
<math>x^4 * + mmxx - n^3 x + p^4 = o.</math>
<math>x^4 * + mmxx - n^3 x + p^4 = o.</math>
<h>I _Propo$itio_.</h>
<p>Ad cogno$cendam naturam & con$titutionem primæ propo-
$itionis, fiat ex multiplicatione duarum <math>x^3 + bxx - ccx + d^3 = o</math>
& <math>x - b = o</math> hæc æquatio <math>x^4 * - ccxx \\ - bb # + d^3 x \\ +bcc # - b d^3 = o</math>. quæ ean-
dem habebit formam atque prima propo$itarum <math>x^4* - mmxx
+ n^3 x - p^4 = o</math>, ac per con$equens erunt eju$dem naturæ & con-
$titutionis. Fiat ergo adæquatio, & ex collatione tertiorum ter-
minorum habebimus <math>mm = cc + bb</math>, hoc e$t, <math>cc = mm - bb</math>.
Deinde, comparando terminos quartos, erit <math>n^3 = d^3 + bcc</math>, hoc
e$t, re$tituendo valorem <math>cc</math> inventum, habebitur <math>d^3 = n^3 + b^3
- bmm</math>. Vnde comperimus, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æqua-
tionem <math>x^3 + bxx \\ - m # + n^3 \\ + b^3 \\ - bmm # = o</math> tribus reliquis indagandis in$ervire.
Præterea, conferendo inter $e terminos ultimos, habebimus
<math>p^4 = b d^3</math>. Vnde $equitur, <math>d^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, inventâ verâ radice <math>b</math>,
hanc æquationem <math>x^3 + bxx - mmx \\ + bb # + {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas
quærendas adhiberi po$$e.</p>

<pb 78>[634]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
<h>2 _Propo$itio._</h>
<p>Pro $ecunda fiat ex multiplicatione <math>x^3 + bxx + ccx + d^3 = o</math>
per <math>x - b = o</math> hæc æquatio <math>x^4* + ccxx \\ - bb # + d^3x \\ - ccb # - d^3 b = o</math>.
Suppo$ito verò <math>cc</math> majore quàm <math>bb</math>, & <math>ccb</math> majore quàm <math>d^3</math>, ha-
bebit illa eandem formam cum $ecunda propo$itarum <math>x^4* + mm
xx - n^3 x - p^4 = o</math>, ac per con$equens erunt eju$dem naturæ &
con$titutionis. Fiat igitur adæquatio, & ex comparatione tertio-
rum ter minorum habebimus <math>mm = cc - bb</math>, hoc e$t, <math>cc = mm + bb</math>.
Deinde, collatis quartis terminis, erit <math>- c b^3 + d^3 = - n^3</math>, hoc e$t,
re$tituendo valorem <math>cc</math> inventum, habebitur <math>d^3 = bmm +
b^3 - n^3</math>. Vnde di$cimus, cognitâ verâ radice <math>b</math>, æquationem
<math>x^3 + bxx + mmx \\ + bb # + bmm \\ + b^3 \\ - n^3 # = o</math>, tribus reliquis inve$tigandis in$ervire.</p>
<p>Præterea, comparando ultimos terminos, habebimus <math>p^4 = d^3 b</math>.
unde $equitur, <math>d^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, æquatio-
nem hanc <math>x^3 + bxx + mmx \\ + bb # + {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas indagan-
das po$$e u$urpari.</p>
<h>3 _Propo$itio._</h>
<p>Pro tertia, fiat ex duabus his <math>x^3 + bxx + ccx + d^3 = o</math> &
<math>x - b = o</math> æquatio <math>x^4* + ccxx \\ - bb # + d^3 x \\ - ccb # - d^3 b = o</math>. Et, $uppo$i-
to <math>bb</math> majore quàm <math>cc</math>, & <math>ccb</math> majore quàm <math>d^3</math>, habebit ip$a eandem
formam atque tertia propo$itio <math>x^4* - mmxx - n^3x - p^4 = o</math>, ac per
con$equens eju$dem erunt naturæ & con$titutionis. Vnde factâ
adæquatione, ex collatione tertiorum terminorum habebimus
<math>- mm = - bb + cc</math>, hoc e$t, <math>cc = bb - mm</math>. Deinde, collatis quartis
terminis, habebimus <math>- n^3 = - ccb + d^3</math>, hoc e$t, $ub$tituendo
valorem _cc_ inventum, erit <math>d^3 = b^3 + bmm - n^3</math>. unde patet, $i
cognita $it radix vera <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 + bxx + bbx \\ - m^2 # + b^3 \\ + b m^2 \\ - n^3 = o</math>

<pb 79>[635]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
tribus reliquis inve$tigandis in$ervire. Po$tremo, comparando ul-
timos terminos, habebimus <math>p^4 = b d^3</math>, ac proinde <math>d^3 = {p^4 / b}</math>; &, co-gnitâ verâ radice _b_, poterit æquatio <math>x^3 + bxx + bbx \\ -mm # + {p^4/b} = o</math>
ad reliquas tres inve$tigan das u$urpari.</p>
<h>4 _Propo$itio._</h>
<p>Pro quarta propo$itarum formemus ex duabus <math>x^3 - bxx + ccx
+ d^3 = o</math> & <math>x - b = o</math> hanc æquationem <math>x^4* + ccxx \\ - bb # + d^3x \\ - ccb # - d^3b = o</math>.
Et $uppo$ito <math>cc</math> majore quàm <math>b</math>, ac <math>d^3</math> majore quàm <math>ccb</math>, habebit
ip$a eandem formam atque quarta propo$itio <math>x^4* + mmxx + n^3x
- p^4 = o</math>, ac per con$equens erunt eju$dem naturæ & con$titu-
tionis. Fiat ergo adæquatio, & comparando tertios terminos
habebimus <math>mm = cc - bb</math>, hoc e$t, <math>cc = mm + bb</math>. Deinde, con-
ferendo quartos terminos, habebimus <math>n^3 = d^3 - ccb</math>, hoc e$t,
re$tituendo valorem <math>cc</math> inventum, erit <math>d^3 = b^3 + bmm + n^3</math>. Vnde
di$cimus, cognitâ verâ radice <math>b</math>, æquationem hanc <math>x^3 + bxx + mmx \\ + bb
 # + b^3 \\ + bmm \\ + n^3 # = o</math> tribus reliquis quærendis in$ervire. Denique, collatis
ultimis terminis, erit <math>d^3 b = p^4</math>; & per con$equens <math>d^3 = {p^4 / b}</math>. unde,
cognitâ verâ radice <math>b</math>, hæc æquatio <math>x^3 + bxx + mmx \\ + bb # + {p^4 / b} = o</math>
ad reliquas tres indagandas erit adhibenda.</p>
<h>5 _Propo$itio._</h>
<p>Pro quinta propo$itione, fiat ex duabus <math>x^3 + bxx - ccx - d^3 = o</math>
& <math>x - b = o</math> hæc æquatio <math>x^4* - ccxx \\ - bb # - d^3x \\ + bcc # + d^3 b = o</math>. Et
$uppo$ito <math>bcc</math> majore quàm <math>d^3</math>, habebit ip$a eandem formam at-
que quinta propo$itarum <math>x^4* - mmxx + n^3 x + p^4 = o</math>, ac per
con$equens eju$dem erunt naturæ & con$titutionis. Fiat jam ad-
æquatio, & comparando tertios terminos habebimus <math>mm = cc + bb</math>,

<pb 80>[636]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
hoc e$t, <math>cc = mm - bb</math>. Deinde, conferendo quartos terminos,
habebimus <math>n^3 = bcc - d^3</math>; ideoque, re$tituendo valorem <math>cc</math> inven-
tum, erit <math>d^3 = bmm - b^3 - n^3</math>. Vnde patet, cognitâ verâ radi-
ce <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 + bxx - mmx \\ + bb # - bmm \\ + b^3 \\ + n^3 # = o</math> reliquis
tribus quærendis in$ervituram. Denique, comparatis ultimis ter-
minis, habebimus <math>d^3 b = p^4</math>. Vnde $equitur, <math>d^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, co-
gnitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 + bxx - mmx \\ + bb # - {p^4 / b} = o</math>
ad tres reliquas inve$tigandas po$$e adhiberi.</p>
<h>_6 Propo$itio._</h>
<p>Pro $exta propo$itione formemus ex duabus <math>x^3 + bxx + ccx
- d^3 = o</math> & <math>x - b = o</math> hanc æquationem <math>x^4* + ccxx \\ - bb # - d^3 x \\ ccb # + d^3 b = o</math>.
& $upponendo <math>cc</math> majus quàm <math>bb</math>, habebit ip$a
eandem formam cum $exta propo$itarum <math>x^4* + mmxx - n^3 x
+ p^4 = o</math>, ac per con$equens erit utraque eju$dem naturæ & con-
$titutionis. Fiat ergo adæquatio & per comparationem $ecundo-
rum terminorum habebimus <math>mm = cc - bb</math>, hoc e$t, <math>cc = mm + bb</math>.
Deinde, collatis tertiis terminis, habebimus <math>n^3 = d^3 + bcc</math>, hoc
e$t, re$tituendo valorem <math>cc</math> inventum, erit <math>d^3 = n^3 - bmm - b^3</math>.
Vnde patet, datâ verâ radice <math>b</math>, æquationem <math>x^3 + bxx + mmx \\ + bb # - n^3 \\ + bmm \\ + b^3 # = o</math>
ad trium reliquarum inve$tigationem po$$e u$urpari.</p>
<p>Po$tremò, comparando ultimos terminos, erit <math>p^4 = d^3 b</math>. unde
$equitur, <math>d^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquatio-
nem <math>x^3 + bxx + mmx \\ + bb # - {p^4 / b} = o</math> ad reliquas tres quærendas
e$$e adhibendam.</p>

<pb 81>[637]<rh>ÆQVATIONVM.</rh>
<h it>7 Propo$itio.</h>
<p>Pro $eptima propo$itarum fiat ex duabus <math>x^3 + bxx + ccx - d^3 = o</math>
& <math>x - b = o</math> hæc æquatio <math>x^4* + ccxx \\ - bb # - d^3x \\ - bcc # + b d^3 = o</math>. Et $up-
po$ito <math>bb</math> majore quàm <math>cc</math>, habebit ip$a eandem formam atque
$eptima propo$itio <math>x^4* - mmxx - n^3 x + p^4 = o</math>, & per con$e-
quens eju$dem erunt naturæ & con$titutionis. Fiat ergo adæqua-
tio, & comparando tertios terminos habebimus <math>- mm = - bb
+ cc</math>, hoc e$t, <math>cc = bb - mm</math>. Deinde, collatis quartis termi-
nis, erit <math>n^3 = d^3 + bcc</math>, hoc e$t, re$tituendo valorem <math>cc</math> inventum,
erit <math>d^3 = n^3 - b^3 + bmm</math>. unde con$tat, cognitâ verâ radice <math>b</math>,
hanc æquationem <math>x^3 + bxx + bbx \\ - mm # - n^3 \\ + b^3 \\ - bmm # = o</math> ad reliquas tres
inve$tigandas utilem e$$e. Po$tremò, comparando ultimos ter-
minos, habebimus <math>p^4 = b d^3</math>. unde di$cimus, <math>d^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, co-
gnitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 + bxx + b^3x \\ - m^2 b # - {p^4 / b} = o</math>
ad reliquas tres quærendas adhiberi po$$e.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> IX.</h>
<p it>De natura & con$titutione Æquationum quatuor
dimen$ionum, quarto termino carentium.</p>
<p>HÆ æquationes reducuntur omnes ad $eptem $equentes for-
mulas:</p>
<math>x^4 - l x^3 + mmxx^* - p^4 = o.</math>
<math>x^4 + l x^3 - mmxx^* - p^4 = o.</math>
<math>x^4 - l x^3 - mmxx^* - p^4 = o.</math>
<math>x^4 - l x^3 + mmxx^* - p^4 = o.</math>
<math>x^4 - l x^3 + mmxx^* + p^4 = o.</math>
<math>x^4 + l x^3 - mmxx^* + p^4 = o.</math>
<math>x^4 - l x^3 - mmxx^* + p^4 = o.</math>

<pb 82>[638]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
<h>I _Propo$itio_.</h>
<p>Ad inve$tigandam naturam & con$titutionem primæ propo$i-
tionis, formemus ex duabus <math>x^3 - cxx + ddx + bdd = o</math> &
<math>x - b = o</math> æquationem hanc <math>x^4 - c x^3 \\ - b # + ddxx^* \\ + bc # - bbdd = o</math>;
habebitque ip$a eandem formam atque prima propo$itio <math>x^4 -
l x^3 + mmxx^* - p^4 = o</math>, & per con$equens duæ illæ æquationes
eju$dem erunt naturæ & con$titutionis. Fiat jam adæquatio, &
ex comparatione $ecundorum terminorum habebimus <math>l = c - b</math>,
$eu <math>c = l + b</math>. Deinde, comparando tertios terminos, erit <math>mm =
dd + bc</math>, hoc e$t, re$tituendo valorem _c_ inventum, habebitur <math>dd =
mm - bl - bb</math>. unde con$tat, $i cogno$citur verâ radix <math>b</math>, hanc
æquationem <math>x^3 - lxx \\ - b # + mmx \\ - bl \\ - bb # + bmm \\ - bbl \\ b^3 # = o</math> ad reliquas tres in-
ve$tigandas in$ervire.</p>
<h>2 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro $ecunda propo$itione formemus ex duabus <math>x^3 + cxx +
ddx - bdd = o</math> & <math>x - b = o</math> hanc æquationem <math>x^4 + c x^3 \\ -b # + ddxx \\ - bc
 # * - ddbb = o</math>. Suppo$itâ verò <math>c</math> majore quàm <math>b</math>, & <math>bc</math> majore
quam <math>dd</math>, habebit illa eandem formam atque $ecunda propo$ita-
rum <math>x^4 + l x^3 - mmxx^* - p^4 = o</math>, & per con$equens eju$dem
erunt naturæ & con$titutionis. Fiat ergo adæquatio, & ex colla-
tione $ecundorum terminorum habebimus <math>l = c - b</math>, hoc e$t,
<math>c = l + b</math>. Deinde, comparatis tertiis terminis, erit <math>- mm = dd
- bc</math>, hoc e$t, re$tituendo valorem <math>c</math> inventum, habebitur <math>dd =
bl + bb - mm</math>. Vnde di$cimus, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æqua-
tionem <math>x^3 + lxx \\ + b # + blx \\ + bb \\ - m^2 # + bbl \\ + b^3 \\ - b m^2 # = o</math> ad reliquas tres quærendas
po$$e adhiberi.</p>
<p>Denique, comparando ultimos terminos, habebimus <math>p^4 =
bbdd</math>. unde $equitur, <math>dd</math> æquari {p^4 / bb}</math>; &, cùm cogno$citur vera

<pb 83>[639]<rh>ÆQVATIONVM.</rh>
radix <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 + lxx \\ + b # + blx \\ + bb \\ - mm # + {p^4 / b} = o</math> tres reli-
quas radices concernere.</p>
<h>3 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro tertia propo$itione, fiat ex duabus <math>x^3 + cxx + ddx + bdd = o</math>
& <math>x - b = o</math> hæc æquatio <math>x^4 + c x^3 \\ - b # + ddxx^* \\ - bc # - bbdd = o</math>. Sup-
po$itis autem <math>b</math> majore quàm <math>c</math>, & <math>bc</math> majore quàm <math>dd</math>, habebit
ip$a eandem formam atque tertia propo$itio <math>x^4 - l x^3 - mmxx^*
- p^4 = o</math>, & per con$equens eju$dem erunt naturæ & con$titu-
tionis. Fiat jam adæquatio, & comparando $ecundos terminos
habebimus <math>- l = c - b</math>, hoc e$t, <math>c = b - l</math>. Deinde, conferendo
tertios terminos, erit <math>- mm = dd - bc</math>, hoc e$t, re$tituendo va-
lorem <math>c</math> inventum, habebitur <math>dd = bb + bl - mm</math>. Vnde di$cimus,
cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 + bxx \\ - l # + bbx \\ + bl \\ - m^2 # + bbl \\ + b^3 \\ - b m^2 # = o
tribus reliquis in$ervire.</p>
<p>Po$tremò, comparatis ultimis terminis, habebimus <math>p^4 = bb dd</math>.
unde $equitur, <math>dd</math> æ quari {p^4 / bb}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æqua-
tionem <math>x^3 + bxx \\ - l # + bbx \\ + bl \\ - mm # + {p^4 / b}</math> pro tribus reliquis u$urpari.</p>
<h>4 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro quarta propo$itione fiat ex duabus <math>x^3 + cxx + ddx + bdd = o</math>
& <math>x - b = o</math> hæc æquatio <math>x^4 + cx \\ - b # + ddxx^* \\ - bc # - bbdd = o</math>. Sup-
po$itis autem <math>c</math> majore quàm <math>b</math>, & <math>dd</math> majore quàm <math>bc</math>, habebit
ip$a eandem formam atque tertia propo$itio <math>x^4 + l x^3 + mmxx^* -
p^4 = o</math>, ac per con$equens duæ illæ æquationes eandem habebunt
naturam & con$titutionem. Fiat jam adæquatio, comparatisque
$ecundis terminis habebimus <math>l = c - b</math>, hoc e$t, <math>c = l + b</math>. Dein-

<pb 84>[640]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
de, conferendo rertios terminos, habebimus <math>mm = dd - bc</math>, hoc
e$t, re$tituendo valorem <math>c</math> inventum, erit <math>dd = mm + bl + bb</math>.
unde con$tat, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem
<math>x^3 + lxx \\ + b # + mmx \\ + bl \\ + bb # + bmm \\ + bbl \\ b^3 # = o</math> ad tres reliquas adhiberi.</p>
<p>Denique, comparando ultimos terminos, habebimus <math>p^4 =
bbdd</math>. unde $equitur, <math>dd</math> æquari <math>{p^4 / bb}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>,
hanc æquationem <math>x^3 + bxx \\ + l # + mmx \\ + bl \\ + bb # + {p^4 / b} = o</math> ad reliquas tres
quærendas e$$e utilem.</p>
<h it>5 Propo$itio.</h>
<p>Pro quinta propo$itione, fiat ex duabus, <math>x^3 - cxx - ddx - bdd = o</math>
& <math>x - b = o</math>, hæc æquatio <math>x^4 - c x^3 \\ - b # - ddxx^* \\ + bc # + bbdd = o</math>. Et
$upponendo <math>bc</math> majus quàm <math>dd</math>, erit ip$a eju$dem formæ cum
quinta propo$itione <math>x^4 - l x^3 + mmxx^* + p^4 = o</math>, ac per con-
$equens eandem habebunt naturam & con$titutionem. Fiat jam
adæquatio, & comparatis $ecundis terminis, habebimus <math>l = b + c</math>,
hoc e$t, <math>c = l - b</math>. Deinde, ex comparatione tertiorum termino-
rum, habebimus <math>mm = bc - dd</math>, hoc e$t, re$tituendo valorem
inventum <math>c</math>, erit <math>dd = bl - bb - mm</math>. unde patet, cognitâ verâ
radice <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 - lxx \\ + b # - blx \\ + bb \\ + mm # - bbl \\ + bmm \\ + b^3 # = o</math> ad reli-
quas tres quærendas adhiberi po$$e.</p>
<p>Po$tremò, comparando ultimos terminos, habebimus <math>bbdd
= p^4</math>, ac per con$equens <math>dd = {p^4 / bb}</math>. unde, cognitâ verâ radice <math>b</math>,
hæc æquatio <math>x^3 - lxx \\ + b # - blx \\ + bb \\ + mm # - {p^4 / b} = o</math> pro tribus reliquis in-
ve$tigandis in$ervire poterit.</p>

<pb 85>[641]<rh>ÆQVATIONVM.</rh>
<h it>6 Propo$itio.</h>
<p>Pro $exta propo$itarum, fiat ex duabus <math>x^3 + cxx - ddx - bdd = o</math>
& <math>x - b = o</math> hæc æquatio <math>x^4 + c x^3 \\ - b # - ddxx^* \\ - bc # + bbdd = o</math>.
Supponendo autem <math>c</math> majorem quàm <math>b</math>, habebitip$a eandem for-
mam atque $exta propo$itio, ac per con$equens eju$dem erunt na-
turæ & con$titutionis. Fiat ergo adæquatio, & comparando $e-
cundos terminos habebimus <math>l = c - b</math>, hoc e$t, <math>c = l + b</math>. Dein-
de, ex collatione tertiorum terminorum, habebimus <math>mm = dd + bc</math>,
hoc e$t, re$tituendo valorem <math>c</math> inventum, erit <math>dd = mm - bl - bb</math>.
Vnde di$cimus, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem
<math>x^3 + lxx \\ +b # - mmx \\ + bl \\ + bb # - bmm \\ + bbl \\ + b^3 # = o</math> tres reliquas radices re$picere.</p>
<p>Po$tremò, ex comparatione ultimorum terminorum, habebi-
mus <math>p^4 = bbdd</math>, ac per con$equens <math>dd = {p^4 / bb}</math>; adeoque, cognitâ
verâ radice <math>b</math>, hæc æquatio <math>x^3 + lxx \\ + b # - mmx \\ + bl \\ + bb # - {p^4 / b} = o</math> ad tres
reliquas inve$tigandas erit adhibenda.</p>
<h it>7 Propo$itio.</h>
<p>Pro $eptima propo$itione, fiat ex duabus, <math>x^3 + cxx - ddx -
bdd = o</math> & <math>x - b = o</math>, hæc æquatio <math>x^4 + c x^3 \\ - b # - ddxx^* \\ - bc # + bbdd = o</math>.
Suppo$itâ autem <math>b</math> majore quàm <math>c</math>, habebit ip$a eandem formam
atque $eptima propo$itarum <math>x^4 - l x^3 - mmxx^* + p^4 = o</math>, ac
per con$equens eju$dem erunt naturæ & con$titutionis. Fiat ergo
adæquatio, & per comparationem $ecundorum terminorum ha-
bebimus <math>c - b = - l</math>, hoc e$t, <math>c = b - l</math>. Deinde, conferendo
tertios terminos, habebimus <math>mm = dd + bc</math>, hoc e$t, $ub$tituto
valore <math>c</math> invento, erit <math>dd = mm - bb + bl</math> unde di$cimus, co-
gnitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 + bxx \\ - l # - mmx \\ - bl \\ + bb # - bmm \\ - bbl \\ + b^3 # = o</math>

<pb 86>[642]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
tribus reliquis in$ervire. Denique, comparando po$tremos ter-
minos, habebimus <math>p^4 = bbdd</math>; ac per con$equens <math>dd = {p^4 / bb}</math>; &,
cognitâ verâ radice <math>b</math>, hæc æquatio <math>x^3 + bxx \\ -l # - mmx \\ - bl \\ + bb # - {p^4 / b} = o</math>
ad tres reliquas erit re$erenda.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> X.</h>
<h it>De natura & con$titutione Æquationum quatuor
dimen$ionum, tertio termino carentium.</h>
<p>REducuntur autem hæ æquationes ad $eptem $equentes for-
mulas:
<math>x^4 - l x^3* + n^3 x - p^4 = o</math>.
<math>x^4 + l x^3* - n^3 x - p^4 = o</math>.
<math>x^4 + l x^3* - n^3 x - p^4 = o</math>.
<math>x^4 + l x^3* + n^3 x - p^4 = o</math>.
<math>x^4 - l x^3* + n^3 x + p^4 = o</math>.
<math>x^4 + l x^3* - n^3 x + p^4 = o</math>.
<math>x^4 - l x^3* - n^3 x + p^4 = o</math>.</p>
<h>I _Propo$itio_.</h>
<p>Pro natura & con$titutione primæ propo$itionis, formemus,
ex duabus <math>x^3 - cxx - bcx + d^3 = o</math> & <math>x - b = o</math>, hanc æqua-
tionem <math>x^4 - c x^3* \\ - b # + d^3 x \\ + bbc # - b d^3 = o</math>, & habebit ip$a eandem
formam atque prima propo$itio <math>x^4 - l x^3* + nx - p^4 = o</math>, ac
per con$equens eju$dem erunt naturæ & con$titutionis. Fiat ergo
adæquatio, & ex comparatione $ecundorum terminorum habe-
bimus <math>l = c + b</math>, hoc e$t, <math>c = l -b</math>. Deinde, conferendo quar-
tos terminos, habebimus <math>n^3 = d^3 + bbc</math>, hoc e$t, re$tituendo va-
lorem inventum <math>c</math>, erit <math>d^3 = n^3 - bbl + b^3</math>. Vnde di$cimus, co-
gnitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 - lxx \\ + b # - blx \\ + bb # + n^3 \\ + b^3 \\ - bbl # = o</math>
ad tres reliquas quærendas adhiberi po$$e. Denique, comparando

<pb 87>[643]<rh>Æ QVATIONVM.</rh>
ultimos terminos, habebimus <math>p^4 = b d^3</math>. unde $equitur, <math>d^3 æqua-
ri {p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hæc æquatio <math>x^3 - lxx \\ + b # - blx \\ + bb # + {p^4 / b} = o</math>
ad reliquas tres erit referenda.</p>
<h>2 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro $ecunda propo$itione, fiat ex duabus, <math>x^3 + cxx + bcx + d^3 = o</math>
& <math>x - b = o</math>, hæc æquatio <math>x^4 + c x^3* \\ - b # + d^3 x \\ - bbc # - d^3 b = o</math>. Suppo-
$itis autem <math>c</math> majore quàm <math>b</math>, & <math>bbc</math> majore quàm <math>d^3</math>, habebit ip$a
eandem formam atque $ecunda propo$itio <math>x^4 + l x^3* - n^3 x - p^4 = o</math>,
ac per con$equens eju$dem erunt naturæ & con$titutionis. Fiat
ergo adæquatio, & per comparationem $ecundorum termino-
rum habebimus, <math>l = c - b</math>, hoc e$t, <math>c = l + b</math>. Deinde, collatis
quartis terminis, habebimus <math>d^3 - bbc = - n^3</math>, hoc e$t, $ub$ti-
tuendo valorem <math>c</math> inventum, erit <math>d^3 = bbl + b^3 - n^3</math>. Vnde pa-
tet, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 + lxx \\ + b # + blx \\ + bb # + bbl \\ + b^3 \\ - n^3 # = o</math>
tribus reliquis in$ervire. Po$tremò, per comparationem ultimo-
rum terminorum, habebimus <math>p^4 = b d^3</math>, ac per con$equens <math>d^3 = {p^4 / b}</math>;
&, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hæc æquatio <math>x^3 + lxx \\ + b # + blx \\ + bb # + {p^4 / b} = o</math>
ad tres reliquas inve$tigandas erit utilis.</p>
<h>3 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro tertia propo$itione fiat ex duabus, <math>x + cxx + bcx + d^3 = o</math>
& <math>x - b = o</math>, hæc æquatio <math>x^4 + c x^3* \\ - b # + d^3 x \\ - bbc # - d^3 b = o</math>. Suppo-
$itis autem <math>b</math> majore quàm <math>c</math>, & <math>bbc</math> majore quàm <math>d^3</math>, habebit ip$a
eandem formam atque tertia propo$itio <math>x^4 + lx ^* - n^3 x - p^4 = o</math>,
ac per con$equens eju$dem erunt naturæ & con$titutionis. Fiat
itaque earum adæquatio, & per comparationem $ecundorum ter-
minorum habebimus <math>l = c - b</math>, hoc e$t, <math>c = l + b</math>. Deinde, con-
$erendo quartos terminos, habebimus <math>d^3 - bbc = - n^3</math>, hoc e$t,

<pb 88>[644]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
re$tituendo valorem <math>c</math> inventum, erit <math>d^3 = lbb + b^3 - n^3</math>. Vnde
di$cimus, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem
<math>x^3 + lxx \\ + b # + blx \\ + bb # + lbb \\ + b^3 \\ - n^3 # = o</math> ad reliquas tres quærendas e$$e uti-
lem. Denique, collatis ultimis terminis, habebimus <math>p^4 = d^3 b</math>, ac
per con$equens <math>d^3 = {p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hæc æquatio
<math>x^3 + lxx \\ + b # + blx \\ + bb # + {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas erit referenda.</p>
<h>4 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro quarta propo$itione fiat ex duabus <math>x^3 + cxx + bcx + d^3 = o</math>
& <math>x - b = o</math> hæc æquatio <math>x^4 + c x^3* \\ - b # + d^3 x \\ - bbc # - d^3 b = o</math>. Sup-
po$itis autem <math>c</math> majore quàm <math>b</math>, & <math>d^3</math> majore quàm <math>bbc</math>, habe-
bit ip$a eandem formam atque quarta propo$itarum <math>x^4 + l x^3*
+ n^3 x - p^4 = o</math>, ac per con$equens erunt eju$dem naturæ &
con$titutionis. Fiat ergo adæquatio, collatisque $ecunais termi-
nis habebimus <math>l = c - b</math>, hoc e$t, <math>c = b + l</math>. Deinde, comparan-
do quartos terminos, habebimus <math>n^3 = d^3 - bbc</math>, hoc e$t, re$ti-
tuendo valorem <math>c</math> inventum, fiet <math>d^3 = n^3 + b^3 + bbl</math>. Vnde di$ci-
mus, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem
<math>x^3 + bxx \\ + l # + bbx \\ + bl # + n^3 \\ + b^3 \\ + bbl # = o</math> ad tres reliquas e$$e referendam.</p>
<p>Denique, conferendo ultimos terminos, habebimus <math>p^4 = d^3 b</math>,
ac per con$equens <math>d^3 = {p^4 / b}</math>. unde, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hæc æ-
quatio <math>x^3 + bxx \\ + l # + bbx \\ + bl # + {p^4 / b} = o</math> tribus reliquis in$erviet.</p>
<h it>5 Propo$itio.</h>
<p>Pro quinta propo$itione, fiat ex duabus, <math>x^3 - cxx - bcx - d^3 = o</math>
& <math>x - b = o</math>, hæc æquatio <math>x^4 - c x^3* \\ - b # - d^3 x \\ + bbc # + b d^3 = o</math>. $uppo-
nendo autem <math>bbc</math> majus quàm <math>d^3</math>, habebit ip$a eandem formam

<pb 89>[645]<rh>ÆQVATIONVM.</rh>
atque quinta propo$itio <math>x^4 - l x^3* + n^3 x + p^4 = o</math>, ac per con-
$equens erunt eju$dem naturæ & con$titutionis. Fiat ergo ad-
æquatio, comparandoque $ecundos terminos habebimus <math>l = 6
+ b</math>, hoc e$t, <math>c = l - b</math>. Deinde, ex collatione quartorum ter-
minorum, habebimus <math>n^3 = bbc - d^3</math>, hoc e$t, <math>d^3 = bbl - b^3 - n^3</math>,
$ub$tituto nempe valore <math>c</math> invento. Vnde patet, cùm innote$cit
vera radix _b_, hanc æquationem <math>x^3 - lxx \\ + b # - blx \\+bb # - bbl \\ + b^3 \\ + b^3 # = o</math> tri-
bus reliquis in$ervire.</p>
<p>Po$tremò, ex collatione ultimorum terminorum, habebimus
<math>p^4 = d^3 b</math>. unde $equitur, <math>d^3</math> æquari {p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>,
hanc æquationem <math>x^3 - lxx \\ +b # - blx \\ + bb # - {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas in-
ve$tigandas e$$e adhibendam.</p>
<h it>6 Propo$itio.</h>
<p>Pro $exta propo$itione, fiat ex duabus, <math>x^3 + cxx + bcx - d^3 = o</math>
& <math>x - b = o</math>, æquatio <math>x^4 - c x^3* \\ - b # + d^3 x \\ - bbc # + b d^3 = o</math>. Suppo-
$itâ autem <math>c</math> majore quàm <math>b</math>, habebit ip$a eandem formam atque
$exta propo$itarum <math>x^4 + l x^3* - n^3 x + p^4 = o</math>, ac per con$equens
eju$dem erunt naturæ & con$titutionis. Fiat ergo adæquatio,
comparandoque $ecundos terminos habebimus <math>l = c - b</math>, hoc e$t,
<math>c = l + b</math>. Deinde, ex collatione quartorum terminorum, habe-
bimus <math>n^3 = d^3 + bbc</math>, hoc e$t, re$tituendo valorem <math>c</math> inventum,
$iet <math>d^3 = n^3 - bbl - b^3</math>. Vnde patet, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc
æquationem <math>x^3 + lxx \\ +b # + blx \\ + bb # - n^3 \\ + bbl \\ + b^3 # = o</math> tribus reliquis in$ervire.</p>
<p>Denique, conferendo ultimos terminos, habebimus <math>p^4 = b d^3</math>.
unde $equitur, <math>d^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æqua-
tionem <math>x^3 + lxx \\ + b # + bbx \\ + bb # - {p^4 / b} = o</math> ad reliquas tres e$$e referendam.</p>

<pb 90>[646]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
<h it>7 Propo$itio.</h>
<p>Pro $eptima propo$itione, fiat ex duabus, <math>x^3 + cxx + bcx - d^3 = o</math>
& <math>x - b = o</math>, hæc æquatio <math>x^4 + c x^3* \\ -b # - d^3 x \\ - bbc # + b d^3 = o</math>. Suppo-
nendo autem <math>b</math> majorem quàm <math>c</math>, habebit ip$a eandem formam at-
que $eptima propo$itarum <math>x^4 - l x^3* - n^3 x + p^4 = o</math>, ac per con$e-
quens eju$dem erunt naturæ & con$titutionis. Fiat ergo adæqua-
tio, comparandoque $ecundos terminos habebimus <math>c - b = - l</math>,
hoc e$t, <math>c = b - l</math>. Deinde, ex collatione quartorum termino-
rum, habebimus <math>n^3 = d^3 + bbc</math>, hoc e$t, re$tituendo valorem <math>c</math>
inventum, fiet <math>d^3 = n^3 - b^3 + bbl</math>. unde $equitur, cognitâ verâ
radice <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 + bxx \\ - l # + bbx \\ - bl # - n^3 \\ - bbl \\ + b^3 # = o</math> reliquis
tribus in$ervire.</p>
<p>Po$tremò, comparatis ultimis terminis, habebimus <math>p^4 = d^3 b</math>.
unde con$tat, <math>d^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, æquationem
hanc <math>x^3 + bxx \\ -l # + bbx \\ - bl # - {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas e$$e referendam.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> XI.</h>
<p it>Denatura & con$titutione Æquationum quatuor di-
men$ionum, in quibus nullus terminus dee$t.</p>
<p>REducuntur hæ æquationes omnes ad quindecim $equentes
formas:</p>
<p><math>x^4 - l x^3 + mmxx - n^3 x + p^4 = o</math>.</p>
<p><math>x^4 - l x^3 + mmxx + n^3 x + p^4 = o</math>.</p>
<p><math>x^4 - l x^3 - mmxx - n^3 x + p^4 = o</math>.</p>
<p><math>x^4 - l x^3 - mmxx + n^3 x + p^4 = o</math>.</p>
<p><math>x^4 + l x^3 + mmxx - n^3 x + p^4 = o</math>.</p>
<p><math>x^4 + l x^3 - mmxx - n^3 x + p^4 = o</math>.</p>
<p><math>x^4 + l x^3 - mmxx + n^3 x + p^4 = o</math>.</p>
<p><math>x^4 - l x^3 + mmxx - n^3 x - p^4 = o</math>.</p>

<pb 91>[647]<rh>ÆQVATIONVM.</rh>
<p><math>x^4 - l x^3 + mmxx + n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p><math>x^4 - l x^3 - mmxx - n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p><math>x^4 - l x^3 - mmxx + n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p><math>x^4 + l x^3 + mmxx - n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p><math>x^4 + l x^3 + mmxx + n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p><math>x^4 + l x^3 - mmxx - n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p><math>x^4 + l x^3 - mmxx + n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<h>I _Propo$itio_.</h>
<p>Pro natura & con$titutione primæ propo$itionis, digno$cendâ
$iat ex duabus hi$ce, <math>x^3 - cxx + ddx - f^3 = o</math> & <math>x - b = o</math>,
hæc æquatio <math>x^4 - c x^3 \\ -b # + ddxx \\ + bc # - f^3 x \\ - bdd # + b f^3 = o</math>, quæ eandem
habebit formam atque prima propo$itarum <math>x^4 - l x^3 + mmxx -
n^3 x + p^4 = o</math>, ac per con$equens eju$dem erunt naturæ & con$ti-
tutionis. Fiat ergo adæquatio, unde comparando $ecundos ter-
minos habebimus <math>l = c + b</math>, hoc e$t, <math>c = l - b</math>. Deinde, confe-
rendo tertios terminos, habebimus <math>mm = dd + bc</math>, hoc e$t,
re$tituendo valorem _c_ inventum, fiet <math>dd = mm - bl + bb</math>. Tum
per collationem quartorum terminorum habebimus <math>n^3 = f^3 + bdd</math>,
hoc e$t, $ub$tituendo valorem _dd_ inventum, fiet <math>f^3 = n^3 + bbl -
bmm - b^3</math>. Vnde con$tat, cùm innote$cit vera radix <math>b</math>, hanc æ-
quationem <math>x^3 - lxx \\ + b # + mmx \\ + bb \\ - bl # - n^3 \\ - bbl \\ + b m^2 \\ + b^3 # = o</math> tribus reliquis in$ervire.</p>
<p>Po$tremò, conferendo ultimos terminos, habebimus <math>p^4 = b f^3</math>.
unde $equitur, <math>f^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æ-
quationem <math>x^3 - lxx \\ + b # + mmx \\ + bb \\ - bl # - {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas e$$e re-
ferendam.</p>
<h it>2 Propo$itio.</h>
<p>Pro $ecunda propo$itione, fiat ex duabus, <math>x^3 - cxx - ddx - f^3 = o</math>
& <math>x - b = o</math>, hæc æquatio <math>x^4 - c x^3 \\ - b # - ddxx \\ + bc # - f^3 x \\ + bdd # + b f^3 = o</math>.

<pb 92>[648]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
Suppo$itis autem <math>bc</math> majore quàm <math>dd</math>, & <math>bdd</math> majore quàm <math>f^3</math>,
habebit ip$a eandem formam atque $ecunda propo$itarum <math>x^4 -
l x^3 + mmxx + n^3 x + p^4 = o</math>, ac per con$equens eju$dem erunt
naturæ & con$titutionis. Fiat ergo adæquatio & per comparatio-
nem $ecundorum terminorum habebimus <math>l = c + b</math>, hoc e$t,
<math>c = l - b</math>. Deinde, conferendo tertios terminos, habebimus
<math>mm = bc - dd</math>, hoc e$t, $ub$tituendo valorem <math>c</math> inventum, fiet
<math>dd = bl - bb - mm</math>. Tum ex collatione quartorum termino-
rum habebimus <math>n^3 = bdd - f^3</math>, hoc e$t, re$tituendo valorem <math>dd</math>
inventum, fiet <math>f^3 = bbl - b^3 - bmm - n^3</math>. Vnde patet, cognitâ
verâ radice _b_, hanc æquationem <math>x^3 - lxx \\ + b # + mmx \\ + bb \\ - bl # + n^3 \\ + b^3 \\ + bmm \\ - bbl # = o</math> tri-
bus reliquis in$ervire.</p>
<p>Denique, collatis ultimis terminis, habebimus <math>p^4 = b f^3</math>. un-
de $equitur, <math>f^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æqua-
tionem <math>x^3 - lxx \\ + b # + mmx \\ + bb \\ - bl # - {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas inve$tigan-
das po$$e adhiberi.</p>
<h>3 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro tertia propo$itione fiat ex duabus <math>x^3 - cxx - ddx - f^3 = o</math>,
& <math>x - b = o</math> hæc æquatio <math>x^4 - c x^3 \\ - b # - ddxx \\ + bc # - f^3 x \\ + bdd # + b f^3 = o</math>.
Suppo$itis autem <math>dd</math> majore quàm <math>bc</math>, & <math>f^3</math> majore quàm <math>bdd</math>,
habebit ip$a eandem formam atque tertia propo$itio <math>x^4 - l x^3 -
mmxx - n^3 x + p^4 = o</math>, ac per con$equens eju$dem erunt naturæ
& con$titutionis. Fiat ergo adæquatio, & per comparationem
$ecundorum terminorum habebimus <math>c = l - b</math>. Deinde, confe-
rendo tertios terminos, habebimus <math>bc - dd = - mm</math>, hoc e$t,
$ub$tituto valore _c_ invento, erit <math>dd = bl + mm - bb</math>. Tum ex
comparatione quartorum terminorum habebimus <math>bdd - f^3=
- n^3</math>, hoc e$t, re$tituendo valorem <math>dd</math> inventum, fiet <math>f^3 = n^3 +
bbl + bmm - b^3</math>. Vnde con$tat, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc

<pb 93>[649]<rh>Æ <sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
æquationem <math>x^3 -lxx \\ + b # - blx \\ - mm \\ + bb # - n^3 \\ - bbl \\ b m^2 \\ b^3 # = o</math> tribus reliquis in$ervire.</p>
<p>Po$tremò, comparatis ultimis terminis, habebimus <math>p^4 = b f^3</math>.
unde $equitur, <math>f^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æ-
quationem <math>x^3 -lxx \\ + b # - mmx \\ - bl \\ + bb # - {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas e$$e re-
ferendam.</p>
<h>4 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro quarta propo$itione fiat ex duabus <math>x^3 - cxx - ddx - f^3 = o</math>
& <math>x - b = o</math> hæc æquatio <math>x^4 - c x^3 \\ - b # - ddxx \\ +bc # -f^3 x \\ + bdd # +b f^3 = o.</math>
Suppo$itis autem <math>dd</math> majore quàm <math>bc</math>, & <math>bdd</math> majore quàm <math>f^3</math>,
habebit ip$a eandem formam atque quarta propo$itio <math>x^4 - lx^3 -
mmxx + n^3 x + p^4 = o</math>, ac per con$equens eju$dem erunt naturæ
& con$titutionis. Fiat ergo adæquatio, unde comparando $ecun-
dos terminos habebimus <math>c = l - b</math>. Deinde, collatis tertiis ter-
minis, habebimus <math>bc - dd = - mm</math>, hoc e$t, re$tituendo valo-
rem <math>c</math> inventum, fiet <math>dd = mm + bl - bb</math>. Tum ex comparatio-
ne quartorum terminorum habebimus <math>n^3 = bdd - f^3</math>, hoc e$t,
$ub$tituto valore <math>dd</math> invento, erit <math>f^3 = bmm + bbl - b^3 - n^3</math>.
Vnde con$tat, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem
<math>x^3 -lxx \\ + b # - mmx \\ - bl \\ + bb # - bmm \\ - bbl \\ + b^3 \\ + n^3 # = o</math> tribus reliquis in$ervire.</p>
<p>Denique, comparatis ultimis terminis, habebimus, <math>p^4 = b f^3</math>.
unde $equitur, <math>f^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æqua-
tionem <math>x^3 # - lxx \\ + b # - mmx \\ - bl \\ +bb # -{p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas e$$e re$e-
rendam.</p>

<pb 94>[650]<rh>D<sc>E NATVRA</sc></rh>
<h>5 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro quinta propo$itione, formemus ex duabus, <math>x^3 + cxx +
ddx - f^3 = o</math> & <math>x-b</math>, hanc æquationem <math>x^4 + cx^3 \\ -b # + ddxx \\ - bc # -f^3 x \\
- bdd # 
+ b f^3 = o</math>. Suppo$itis autem <math>c</math> majore quàm <math>b</math>, & <math>dd</math> majore
quàm <math>bc</math>, habebit ip$a eandem formam atque quinta propo$ita-
rum <math>x^4 + l x^3 + mmxx - n^3 x + p^4 = o</math>, ac per con$equens
eju$dem erunt naturæ & con$titutionis. Fiat ergo adæquatio, un-
de comparando $ecundos terminos, habebimus <math>c = l + b</math>. Dein-
de, collatis tertiis terminis habebimus <math>mm = dd - bc</math>, hoc
e$t, $ub$tituto valore <math>c</math> invento, erit <math>dd = mm - bl - bb</math>. Tum, ex
collatione quartorum terminorum, habebimus <math>n^3 = f^3 + ddb</math>,
hoc e$t, re$tituto valore <math>dd</math> invento, erit <math>f^3 = n^3 + mmb - bbl - b^3</math>.
Vnde patet, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem
<math>x^3 + lxx \\ + b # + mmx \\ - bl \\ - bb # -n^3 \\ - m^2 b \\ + bbl \\ + b^3. # = o</math> tribus reliquis in$ervire.</p>
<p>Denique, ex comparatione ultimorum terminorum, habebi-
mus <math>b f^3 = p^4</math>, ac per con$equens <math>f^3 = {p^4 / b}</math>. unde con$tat, cognitâ verâ
radice <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 + lxx \\ + b # + mmx \\ - bl \\ - bb # - {p^4 / b} = o</math> ad tres
reliquas e$$e referendam.</p>
<h>6 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro $exta propo$itione fiat ex duabus <math>x^3 + cxx + ddx - f^3 = o</math>
& <math>x - b = o</math> hæc æquatio <math>x^4 - b x^3 \\ + c # - bcxx \\ + dd # - bddx \\ -f^3 # + b f^3 = o</math>.
Suppo$itis autem <math>c</math> majore quàm <math>b</math>, & <math>bc</math> majore quàm <math>dd</math>, habe-
bitip$a eandem formam atque $exta propo$itio <math>x^4 + l x^3 - mmxx
- n^3 x + p^4 = o</math>, ac per con$equens eju$dem erunt naturæ & con-
$titutionis. Fiat ergo adæquatio, & per comparationem $ecun-
dorum terminorum habebimus <math>c = l + b</math>. Deinde, collatis tertiis
terminis, habebitur <math>dd - bc = - mm</math>, hoc e$t, $ub$tituto valore <math>c</math>

<pb 95>[651]<rh>Æ <sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
invento, erit <math>dd = bl + bb - mm</math>. Tum, comparando quartos
terminos, habebitur <math>n^3 = f^3 + bdd</math>, hoc e$t, re$tituto valore <math>dd</math>
invento, erit <math>f^3 = n^3 + bmm - b^3 - bbl</math>. Vnde con$tat, cogni-
tâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 + lxx \\ + b # + blx \\ + bb \\ - mm # - n^3 \\ - bmm \\ + bbl \\ + b^3 # = o</math>
tribus reliquis in$ervire.</p>
<p>Denique, collatis ultimis terminis, habebimus <math>p^4 = b f^3</math>. unde
$equitur, <math>f^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquatio-
nem <math>x^3 + lxx \\ + b # + blx \\ + bb \\ - mm # - {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas e$$e referendam.</p>
<h>7 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro $eptima propo$itione, fiat ex duabus, <math>x^3 + cxx - ddx -
f^3 = o</math> & <math>x - b = o</math>, hæc æquatio <math>x^4 + c x^3 \\ - b # - ddxx \\ - bc # - f^3 x \\ + bdd # + b f^3 = o</math>.
Suppo$itis autem <math>c</math> majore quàm <math>b</math>, & <math>bdd</math> majore quàm <math>f^3</math>, habe-
bit ip$a eandem formam atque $eptima propo$itio <math>x^4 + l x^3 -
mmxx + n^3 x + p^4 = o</math>, ac per con$equens eju$dem erunt na-
turæ & con$titutionis. Fiat ergo adæquatio, unde comparando
$ecundos terminos habebimus <math>l = c - b</math>, hoc e$t, <math>c = b + l</math>.
Deinde, collatis tertiis terminis, habebitur <math>mm = dd + bc</math>, hoc
e$t, re$tituendo valorem <math>c</math> inventum, fiet <math>dd = mm - bb - bl</math>.
Tum ex comparatione quartorum terminorum habebimus <math>n^3 =
bdd - f^3</math>, hoc e$t, $ub$tituto valore <math>dd</math> invento, erit <math>f^3 = bmm -
b^3 - bbl - n^3</math>. Vnde $equitur, cognitâ verâ radice <math>b</math>, æquatio-
nem hanc <math>x^3 + bxx \\ + l # - mmx \\ + bb \\ + bl # - bmm \\ + b^3 \\ + bbl \\ + n^3 # = o</math> reliquis tribusin$ervire.</p>
<p>Po$tremò, conferendo ultimos terminos, habebimus <math>p^4 = b f^3</math>.
unde $equitur, <math>f^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æqua-

<pb 96>[652]<rh>D<sc>E NATVRA</sc></rh>
tionem <math>x^3 + bxx \\ + l # - mmx \\ + bb \\ + bl # - {p^4 / b} # = o</math> ad reliquas tres e$$e refe-
rendam.</p>
<h>8 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro octava propo$itione, fiat ex duabus, <math>x^3 - cxx + ddx + f^3 = o</math>
& <math>x - b = o</math>, hæc æquatio <math>x^4 - c x^3 \\ - b # + ddxx \\ + bc # + f^3 x - f^3 b \\ - bdd # = o</math>.
Suppo$ito autem <math>bdd</math> majore quàm <math>f^3</math>, habebit ip$a eandem for-
mam atque octava propo$itio <math>x^4 - l x^3 + mmxx - n^3 x - p^4 = o</math>,
ac per con$equens eju$dem erunt naturæ & con$titutionis. Fiat
ergo adæquatio, unde comparando $ecundos terminos habebi-
mus <math>l = c + b</math>, hoc e$t, <math>c = l - b</math>. Deinde, collatis tertiis termi-
nis, habebitur <math>mm = dd + bc</math>, hoc e$t, re$tituendo valorem <math>c</math> in-
ventum, fiet <math>dd = mm - bl + bb</math>. Tum ex collatione quarto-
rum terminorum habebitur <math>f^3 - bdd = - n^3</math>, hoc e$t, $ub$tituto
valore <math>dd</math> invento, erit <math>f^3 = bmm - bbl - n^3 + b^3</math>. Vnde con-
$tat, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem
<math>x^3 - lxx \\ + b # + mmx \\ + bb \\ - bl # + bmm \\ + b^3 \\ - bbl \\ - n^3 # = o</math> tribus reliquis in$ervire.</p>
<p>Denique, comparatis ultimis terminis, habebimus <math>p^4 = b f^3</math>,
unde $equitur, <math>f^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æqua-
tionem <math>x^3 - lxx \\ + b # + mmx \\ + bb \\ - bl # + {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas e$$e refe-
rendam.</p>
<h>9 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro nona propo$itione, fiat ex duabus, <math>x^3 - cxx + ddx + f^3 = o</math>
& <math>x - b = o</math>, hæc æquatio <math>x^4 - c x^3 \\ - b # + d^3 xx \\ + bc # + f^3 x \\ - bdd # - f^3 b = o</math>.
Suppo$ito verò <math>f^3</math> majore quàm <math>bdd</math>, erit ip$a eju$dem formæ cum
propo$itione nona <math>x^4 - l x^3 + mmxx + n^3x - p^4 = o</math>, ac per

<pb 97>[653]<rh>Æ <sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
con$equens habebunt duæ illæ æquationes eandem naturam &
con$titutionem. Fiat ergo adæquatio, unde comparando $ecun-
dos terminos habebimus <math>l = b + c</math>, hoc e$t, <math>c = l - b</math>. Deinde,
ex comparatione tertiorum terminorum, habebitur <math>mm = dd
+ bc</math>, hoc e$t, $ubrogato valore <math>c</math> invento, erit <math>dd = mm + bb
- bl</math>. Tum collatis quartis terminis, fiet <math>n^3 = f^3 - bdd</math>, hoc e$t,
$ub$tituto valore <math>dd</math> invento, erit <math>f^3 = n^3 + b^3 + bmm - bbl</math>.
Vnde con$tat, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem
<math>x^3 -lxx \\ + b # + mmx \\ + bb \\ - bl # + n^3 \\ + bmm + b^3 \\ - bbl # = o</math> tribus reliquis in$ervire.</p>
<p>Præterea, comparatis ultimis terminis, habebimus <math>f^3 b = p^4</math>.
unde $equitur, <math>f^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æqua-
tionem <math>x^3 - lxx \\ + b # + mmx \\ + bb \\ - bl # + {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas e$$e refe-
rendam.</p>
<h>10 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro decima propo$itione fiat ex duabus hi$ce <math>x^3 + cxx + ddx
+ f^3 = o</math> & <math>x - b = o</math> hæc æquatio <math>x^4 + c x^3 \\ - b # + ddxx \\ - bc # + f^3x \\ - b d^2 # - f^3 b = o</math>.
Suppo$itis autem <math>b</math> majore quàm <math>c</math>, & <math>bc</math> majore quàm <math>dd</math>, nec non
<math>bdd</math> majore quàm <math>f^3</math>, habebit ip$a eandem formam atque decima
propo$itio <math>x^4 - l x^3 - mmxx - n^3 x - p^4 = o</math>, ac per con$equens
eju$dem erunt naturæ & con$titutionis. Fiat ergo adæquatio,
comparatis que $ecundis terminis habebimus <math>c - b = - l</math>, hoc e$t,
<math>c = b - l</math>. Deinde, collatis tertiis terminis, habebitur <math>dd - bc =
- mm</math>, hoc e$t, $ub$tituto valore <math>c</math> invento, erit <math>dd = bb - bl - mm</math>.
Tum ex comparatione quartorum terminorum habebitur <math>f^3 - b d^3
= n^3</math>, hoc e$t, re$tituendo valorem <math>dd</math> inventum, fiet <math>f^3 = b^3 -
bbl - bmm - n^3</math>. Vnde con$tat, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æ -
quationem <math>x^3 + bxx \\ - l # + bbx \\ - bl \\ - m^2 # + b^3 \\ - bbl \\ - bmm \\ - n^3 # = o</math> tribus reliquis in$ervire.</p>

<pb 98>[654]<rh>D<sc>E NATVRA</sc></rh>
<p>Denique, comparatis ultimis terminis, habebitur <math>p^4 = b f^3</math>.
unde con$tat, <math>f^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æqua-
tionem <math>x^3 + bxx \\ - l # + bbx \\ - bl \\ + mm # + {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas e$$e refe-
rendam.</p>
<h>11 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro undecima propo$itione fiat ex duabus <math>x^3 + cxx - ddx
- f^3 = o</math> & <math>x - b = o</math> hæc æquatio <math>x^4 + c x^4 \\ - b # - ddxx \\ - bc # + f^3 x \\ + ddb # -b f^3 = o</math>.
Suppo$itâ autem <math>b</math> majore quàm <math>c</math>, habebit ip$a eandem formam
atque undecima propo$itio <math>x^4 - l x^3 - mmxx + n^3 x - p^4 = o</math>,
ac per con$equens eju$dem erunt naturæ & con$titutionis. Factâ
ergo adæquatione, ex comparatione $ecundorum terminorum
habebimus <math>c - b = - l</math>, hoc e$t, <math>c = b - l</math>. Deinde, comparando
tertios terminos, habebimus <math>mm = dd + bc</math>, hoc e$t, re$tituendo
valorem <math>c</math> inventum, erit <math>dd = mm + bb - bl</math>. Tum, ex colla-
tione quartorum terminorum, habebitur <math>n^3 = f^3 + ddb</math>, hoc e$t,
$ub$tituendo valorem <math>dd</math> inventum, fiet <math>f^3 = n^3 - mmb - b^3
+ bbl</math>. Vnde di$cimus, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem
<math>x^3 + bxx \\ - l # - mmx \\ - bb \\ + bl # + n^3 \\ + bbl \\ - mmb \\ - b^3 # = o</math> reliquis tribus in$ervire.</p>
<p>Po$tremò, collatis ultimis terminis, habebimus <math>b f^3 = p^4</math>.
unde $equitur, <math>f^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æ-
quationem <math>x^3 + bxx \\ - l # - mmx \\ - bb \\ + bl # + {p^4 / b} = o</math> ad reliquas tres e$$e re-
ferendam.</p>
<h>12 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro duo decima propo$itione, fiat ex duabus, <math>x^3 + cxx + ddx
+ f^3 = o</math> & <math>x - b = o</math>, hæc æquatio <math>x^4 + c x^3 \\ - b # + ddxx \\ - bc # +f^3x \\ - bdd # - f^3 b = o</math>.

<pb 99>[655]<rh>Æ <sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
Suppo$itis autem <math>c</math> majore quàm <math>b</math>, & <math>dd</math> majore quàm <math>bc</math>, nec
non <math>bdd</math> majore quàm </math>f^3</math>, habebit ip$a eandem formam atque
duodecima propo$itio <math>x^4 + l x^3 + mmxx - n^3 x - p^4 = o</math>, ac
per con$equens erunt eju$dem naturæ & con$titutionis. Fiat ergo
adæquatio, unde conferendo $ecundos terminos habebimus <math>l = c
- b</math>, hoc e$t, <math>c = l + b</math>. Deinde, collatis tertiis terminis,
habebitur <math>mm = dd - bc</math>, hoc e$t, $ub$tituendo valorem <math>c</math> inven-
tum, erit <math>dd = mm + bb + bl</math>. Tum comparan do quartos termi-
nos habebimus <math>f^3 - bdd = - n^3</math>, hoc e$t, $ub$tituto valore <math>dd</math>
invento, erit <math>f^3 = bmm + bbl + b^3 - n^3</math>. Vnde di$cimus, co-
gnitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 + bxx \\ + l # + bbx \\ + bl \\ + mm # + b^3 \\ + bbl \\ + b m^2 \\ - n^3 # = o</math>
tribus reliquis in$ervire.</p>
<p>Denique, comparatis po$tremis terminis, habebimus <math>b f^3 = p^4</math>,
ac per con$equens <math>f^3 = {p^4 / b}</math>. unde, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hæc æ-
quatio <math>x^3 + bxx \\+ l # + bbx \\ + bl \\ + mm # + {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas erit referenda.</p>
<h>13 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro decima tertia propo$itione, fiat ex duabus, <math>x^3 + cxx +
ddx + f^3 = o</math> & <math>x - b = o</math>, hæc æquatio <math>x^4 + c x^3 \\ - b # + ddxx \\ - bc # + f^3 x \\ - bdd
 # - f^3 b = o</math>. Suppo$itis autem <math>c</math> majore quàm <math>b</math>, & <math>dd</math> majore
quàm <math>bc</math>, nec non <math>f^3</math> majore quàm <math>bdd</math>, habebitip$a eandem for-
mam atque decima tertia propo$itio <math>x^4 + l x^3 + mmxx + n^3 x
- p^4 = o</math>, ac per con$equens eju$dem erunt naturæ & con$titu-
tionis. Fiat ergo adæ quatio, collatisque $ecundis terminis, habe-
bimus <math>l = c - b</math>, hoc e$t, <math>c = l + b</math>. Deinde, comparando tertios
terminos, habebimus <math>mm = dd - bc</math>, hoc e$t, re$tituto valore <math>c</math>
invento, erit <math>dd = mm - bb - bl</math>. Tum, comparatis quartis ter-
minis, habebimus <math>n^3 = f^3 - bdd</math>, hoc e$t, $ub$tituto valore <math>dd</math> in -
vento, erit <math>f^3 = n + b^3 + bbl - bmm</math>. Vnde con$tat, cognitâ

<pb 100>[656]<rh>D<sc>E NATVRA</sc></rh>
verâ radice <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 + bxx \\ + l # - bbx \\ - bl \\ + m^2 # + b^3 \\ + bbl \\ n^3 \\ - b m^2 # = o</math>
reliquis tribus in$ervire.</p>
<p>Po$tremò, ex collatione ultimorum terminorum, habebimus
<math>b f^3 = p^4</math>. unde $equitur, <math>f^3</math> æquari <math>{p^4 / b}</math>; &, cognitâ verâ radice <math>b</math>,
hanc æquationem <math>x^3 + bxx \\ + l # - bbx \\ - bl \\ + mm # + {p^4 / b} = o</math> ad reliquas tres
e$$e referendam.</p>
<h>14 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro decima quarta propo$itione formemus ex duabus hi$ce
<math>x^3 + cxx + ddx + f^3 = o</math> & <math>x - b = o</math> hanc æquationem
<math>x^4 + c x^3 \\ - b # + ddxx \\ - bc # + f^3 x \\ - bdd # - f^3 b = o</math>. Suppo$itis autem <math>c</math> majore
quàm <math>b</math>, & <math>bc</math> majore quàm <math>dd</math>, nec non <math>bdd</math> majore quàm <math>f^3</math>,
habebit ip$a eandem formam atque decima quarta propo$itio
<math>x^4 + l x^3 - mmxx - n^3 x - p^4 = o</math>, ac per con$equens eju$dem
erunt naturæ & con$titutionis. Fiat ergo adæquatio, unde ex
collatione $ecundorum terminorum habebimus <math>l = c - b</math>, hoc
e$t, <math>c = l + b</math>. Deinde, comparatis tertiis terminis, habebitur
<math>dd - bc = - mm</math>, hoc e$t, $ub$tituto valore <math>c</math> invento, erit <math>dd =
bb + bl - mm</math>. Tum collatis quartis terminis habebitur <math>f^3 - bdd
= - n^3</math>, hoc e$t, $ub$tituto valore <math>dd</math> invento, erit <math>f^3 = b^3 + bbl
- bmm - n^3</math>. Vnde di$cimus, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æ-
quationem <math>x^3 + bxx \\ + l # + bbx \\ + bl \\ - m^2 # + b^3 \\ bbl \\ - b m^2 \\ - n^3 # = o</math> tribus reliquis in$ervire.</p>
<p>Denique, ex comparatione po$tremorum terminorum, habe-
bimus <math>p^4 = f^3 b</math>. unde $equitur, cognitâ verâ radice <math>b</math>, hanc æqua-
tionem <math>x^3 + bxx \\ + l # + bbx \\ + bl \\ - m^2 # + {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas e$$e referendam.</p>

<pb 101>[657]<rh>Æ <sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<h>15 _Propo$itio_.</h>
<p>Pro decima quinta & ultima propo$itione, fiat ex duabus,
<math>x^3 + cxx - ddx + f^3 = o</math> & <math>x - b = o</math>, hæc æquatio
<math>x^4 + c x^3 \\ - b # - ddxx \\ - bc # + f^3 x \\ + bdd # - b f^3 = o</math>. Suppo$itâ verò <math>c</math> majore
quàm <math>b</math>, habebitip$a eandem formam atque decima quinta pro-
po$itio <math>x^4 + l x^3 - mmxx + n^3 x - p^4 = o</math>, ac per con$equens
eju$dem erunt naturæ & con$titutionis. Fiat ergo adæquatio,
conferendoque $ecundos terminos habebimus <math>l = c - b</math>, hoc e$t,
<math>c = l + b</math>. Deinde, ex comparatione tertiorum terminorum, ha-
bebimus <math>mm = dd + bc</math>, hoc e$t, $ub$tituendo valorem <math>c</math> inven-
tum, fiet <math>dd = mm - bb - bl</math>. Tum collatis quartis terminis,
habebitur <math>n^3 = f^3 + bdd</math>, hoc e$t, $ub$tituto valore <math>dd</math> invento,
erit <math>f^3 = b^3 + bbl + n^3 - bmm</math>. Vnde di$cimus, cognitâ verâ ra-
dice <math>b</math>, hanc æquationem <math>x^3 + bxx \\ + l # + bbx \\ + bl \\ - mm # + b^3 \\ + bbl \\ + n^3 \\ - b m^2 # = o</math> tribus re-
liquis in$ervire.</p>
<p>Po$tremò, collatis ultimis terminis, habebimus <math>p^4 = f^3 b</math>, ac
per con$equens <math>f^3 = {p^4 / b}</math>. unde $equitur, cognitâ verâ radice <math>b</math>,
hanc æquationem <math>x^3 + bxx \\ + l # + bbx \\ + bl \\ - mm # + {p^4 / b} = o</math> ad tres reliquas
e$$e referendam.</p>
<h>OBSERVANDA
_bîc in genere nonnulla_.</h>
<p>1. N Otandum, nos in omnibus præced entibus adæ quationi-
bus $upponere æquationes comparatas inter $e habui$$e
æque multas radices, aut veras, aut fal$as, aut imaginarias. Et ad
digno$cendas imaginarias à reliquis, in$erviet Tractatus Diori-
$ticus, quem $ubjungere animus e$t.</p>
<p>2. Quòd $i diligenter perpendantur ea, quæ præcedunt, pa-

<pb 102>[658]<rh>D<sc>E NATVRA</sc></rh>
tebit, mutatis $ignis terminorum locorum parium, ut 2<_>di</_>, 4<_>ti</_>, & c.
non mutatis $ignis reliquorum, (comprehendendo $ub termino-
rum numero etiam locos vacantes:) $ecundum terminum $em-
per æquari $ummæ radicum æquationis, affectarum cum $uis $i-
gnis + & -; tertium verò, $ummæ productorum earundem ra-
dicum, cùm $ingulæ binæ in $e invicem ducuntur: & quartum,
$ummæ productorum multiplicationis, factæ ex $ingulis ternis,
atque $ic deinceps.</p>
<p>Vnde $equitur, deficiente $ecundo termino, ip$am fal$am $um-
mamvè fal$arum radicum æquari ip$i veræ vel verarum $ummæ;
&, de$iciente tertio termino, productum vel $ummam producto-
rum ex binis, per $ignum + vel - de$ignatorum, æquari $um-
mæ productorum vel ei, quod ex reliquis binis producitur ac cum
contrario $igno afficitur, & $ic de cæteris.</p>
<p>_Primum Exemplum_. Fiat ex multiplicatione <math>x - b = o</math> per
<math>x + c = o</math> hæc æquatio <math>xx - bx \\ + c # - bc = o</math>. Quare mutatis $ignis
$ecundi termini ac retento $igno tertii, habebimus <math>xx + bx \\ -c # -
bc = o</math>. Vnde apparet, <math>b - c</math> e$$e $ummam radicis veræ <math>+ b</math> &
fal$æ <math>- c</math>; & <math>- bc</math> e$$e productum ex multiplicatione fal$æ <math>- c</math>
per veram <math>+ b</math>.</p>
<p>_Secundum Exemplum_. Fiat deinde alia æquatio <math>xx - bx \\ -c # + bc = o</math>,
ex multiplicatione <math>x - b = o</math> per <math>x - c = o</math>. Quare mutatis $ignis
$ecundi termini, retento $igno tertii, habebitur <math>xx + bx \\ + c # + bc = o</math>.
Vnde apparet, <math>+ b + c</math> e$$e $ummam duarum verarum radicum,
& <math>+ bc</math> e$$e productum ex earum multiplicatione.</p>
<p>_Tertium Exemplum_. Fiat ex continua multiplicatione trium ra-
dicum <math>x - b = o</math>, <math>x - c = o</math>, & <math>x + f = o</math> æquatio $equens:
<math>x^3 - bxx \\ - c \\ + f # + bcx \\ - bf \\ - cf # + bcf = o</math>. Quare mutatis $ignis terminorum
loco pari po$itorum, relinquendo $igna reliquorum, habebimus
<math>x^3 + bxx \\ + c \\ - f # + bcx \\ - bf \\ cf # - bcf = o</math>. Vnde apparet, $ecundum termi-

<pb 103>[659]<rh>Æ <sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
num <math>+ b + c - f</math> e$$e $ummam verarum radicum <math>+ b</math>, <math>+ c</math>, & fal-
$æ <math>- f</math>; & tertium terminum <math>bc - bf - cf</math> e$$e $ummam trium
productorum <math>+ bc</math>, <math>- bf</math>, & <math>- cf</math>, prout $ingulæ binæ radices
in $e invicem ducuntur; at quartum terminum <math>- bcf</math> e$$e pro-
ductum multiplicationis trium radicum <math>+ b</math>, <math>+ c</math>, & <math>- f</math>. Patet
quoque, deficiente $ecundo termino, fal$am <math>f</math> æquari $ummæ
duarum verarum <math>+ b</math> & <math>+ c</math>; &, deficiente tertio termino, pro-
ducta multiplicationis <math>- bf</math> & <math>- cf</math>, $igno - affecta, æquari pro-
ducto <math>+ bc</math>, $igno + affecto.</p>
<p>_Quartum Exemplum_. Formemus æquationem ex continua mul-
tiplicatione trium <math>x - b = o</math>, <math>x - c = o</math>, & <math>x - d = o</math>, quæ $it
<math>x^3 - bxx \\ - c \\ - d # + bcx \\ + db \\ + dc # - bcd = o</math>. Et mutatis $ignis locorum parium,
retentis $ignis reliquorum, habebimus <math>x^3 + bxx \\ + c \\ + d # + dcx \\ + bd \\ + bc # + bcd</math>.
Vnde per$picimus, $ecundum terminum <math>+ b + c + d</math> e$$e $um-
mam radicum <math>+ b, + c</math>, & <math>+ d</math>; & tertium terminum <math>+ dc + db
+ bc</math> e$$e $ummam productorum ex $ingulis binis radicibus in $e
invicem ductis; at quartum terminum <math>+ bdc</math> e$$e productum
multiplicationis omnium trium radicum.</p>
<p>_Quintum Exemplum_. Fiat ex multiplicatione quatuor <math>x - b = o</math>,
<math>x - c = o</math>, <math>x - d = o</math>, & <math>x + f = o</math> $equens æquatio
<math>x^4 # - b x^3 \\ - c \\ -d \\ + f # + bcxx \\ + bd \\ + cd \\ - bf \\ - cf \\ - df # - bcdx \\ + bcf \\ + bdf \\ + cdf # - bcdf = o</math>. Vnde mutatis $ignis
terminorum, locis paribus con$titutorum, retentis $ignis reli-
quorum, habebimus <math>x^4 + b x^3 \\ + c \\ + d \\ - f # + bcxx \\ + bd \\ + cd \\ - bf \\ - cf \\ - df # + bcdx \\ - bcf \\ - bdf \\ - cdf # - bcdf = o</math>.
Atque apparet, <math>+ b + c + d - f</math> e$$e $ummam quatuor radicum

<pb 104>[660]<rh>D<sc>E NATVRA</sc></rh>
æquationis; & tertium terminum e$$e $ummam productorum ex
$ingulis binis radicibus in $e invicem ductis; at quartum termi-
num e$$e $ummam productorum ex $ingulis ternis radicibus; ac
denique ultimum terminum e$$e productum earundem quator
radicum <math>+ b</math>, <math>+ c</math>, <math>+ d</math>, & <math>- f</math>, in $e invicem ductarum. Patet
quoque, deficiente $ecundo termino, fal$am radicem <math>- f</math> æquari
$ummæ trium verarum <math>+ b</math>, <math>+ c</math>, & <math>+ d</math>. Et, de$iciente tertio
termino, $ummam productorum ex binis, per - de$ignatorum,
æquari reliquæ $ummæ productorum ex binis, cum $igno + af-
fectorum. Non $ecus $e res habet cum defecerit quartus.</p>
<p>_Sextum & ultimum exemplum_. Fingamus quoque ex multiplica-
tione continua quatuor radicum <math>x - b = o</math>, <math>x - c = o</math>, <math>x - d = o</math>,
& <math>x - f = o</math> hanc exurgere æquationem
<math>x^4 - b x^3 \\ - c \\ - d \\ -f # + bcxx \\ + bd \\ + cd \\ + bf \\ + cd \\ + df # - bcdx \\ - bcf \\ - bdf \\ - cdf # + bcdf = o</math>. Et mutatis $ignis lo-
corum imparium, retentis reliquis, habebimus
<math>x^4 + b x^3 \\ + c \\ + d \\ + f # + bcxx \\ + bd \\ + bf \\ + cd \\ + cf \\ + df # + bcdx \\ + bcf \\ + bdf \\ + cdf # - bcdf</math>. Atque apparet, $ecun-
dum terminum <math>+ b + c + d + f</math> e$$e $ummam quatuor radi-
cum; tertium terminum <math>+ bc + bd + cd + bf + cf + df</math> e$$e
$ummam productorum multiplicationis ex $ingulis binis; quar-
tum <math>+ bcd + bcf + bdf + cdf</math> e$$e $ummam productorum
multiplicationis ex $ingulis ternis; ac denique <math>+ bcdf</math> e$$e pro-
ductum earundem quatuor radicum <math>+ b</math>, <math>+ c</math>, <math>+ d</math>, & <math>+ f</math>, in
$e invicem ductarum.</p>

<pb 105>[661]<rh>Æ <sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<h>C<sc>APVT</sc> XII.</h>
<h it>Regula pro inveniendis reliquis Æquationis
radicibus, unâ fal$arum datâ.</h>
<p>O Portet mutare $igna terminorum locorum parium æquatio-
nis propo$itæ, ita ut fal$æ radices evadant veræ, & veræ fal-
$æ. Trans$ormatâ hoc pacto æquatione, $uppo$itâque radice da-
tâ pro vera, inveniatur æquatio, reliquis radicibus inveniendis
in$erviens, $icuti $upra docuimus. Atque in æquatione $ic inven-
ta mutentur $igna terminorum locorum parium, habebimusque
æquationem requi$ito $atis$acientem.</p>
<p>Exempli gratiâ. E$to æquationis <math>x^3 + lxx - mmx - n^3 = o</math>
una ex fal$is radicibus data, quæ $it <math>b</math>, atque mutatis $ignis termi-
norum locorum parium, habebimus <math>x^3 - lxx - mmx + n^3 = o</math>.
Supponatur jam radix $al$a <math>b</math> hujus æquationis e$$e vera, atque ut
habeatur æquatio, reliquis duabus radicibus in$erviens, con$ula-
tur Capitis V. Prop<_>tio</_> 2<_>da</_>; & elicientur inde hæ duæ æquationes</p>
<math>xx + lx \\ + b # + bb \\ + bl \\ - mm # = o</math> & <math>xx + bx \\ + l # + {n^3 / b} = o</math>.
<p>Quocirca mutatis utriu$que æquationis $ignis locorum pa-
rium, habebimus <math>xx - lx \\ - b # + bb \\ + bl \\ - mm # = o</math> & <math>xx - bx \\ - l # + {n^3 / b} = o</math>,
quarum quælibet quæ$ito $atisfaciet.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> XIII.</h>
<p it>Ad tollendum $ecundum terminum Æquationum</p>
<h>QVADRATARVM.</h>
<tb math>
xx + lx - mm = o. Sit z - {1/2} l = x, & habebimus zz * - {1/4} ll = o.
 # # # - mm
xx - lx - mm = o. Sit # {1/2} l + z = x, # eritque # zz^* - {1/4} ll = o
 # # # - mm
 # {1/2} l - y = x, # # yy * - {1/4} ll = o.
 # # # - mm
</tb>

<pb 106>[662]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
<tb math>
xx - lx + mm = o. Sit # {1/2} l + z = x, # eritque # zz * - {1/4} ll = o.
 # # # + mm
 # {1/2} l - y = x, # # yy * - {1/4} ll = o.
 # # # + mm
</tb>
<h>CVBICARVM.</h>
<tb math>
x^3 - lxx + mmx - n^3 = o. Sit # {1/3}l + z = x, # eritque # {z^3* - {1/3}llz - {2/27} l^3 = o.
 # # # +m^2 - n^3
 # # # +{1/3}l m^2
 # {1/3}l - y = x, # # y^3* - {1/3}lly + {2/27} l^3 = o.
 # # # +m^2 - n^3
 # # # {1/3}l m^2
x^3 - lxx - mmx - n^3 = o. Sit # {1/3}l + z = x, # eritque # {z^3* - {1/3}llz - {2/27} l^3 = o.
 # # # - m^2 - {1/3}l m^2
 # # # - n^3
 # {1/3}l - y = x, # # y^3* - {1/3}lly + {2/27} l^3 = o.
 # # # - m^2 + {1/3}l m^2
 # # # + n^3
x^3 - lxx + mmx + n^3 = o. Sit # {1/3}l + z = x, # eritque # {z^3* - {1/3}llz - {2/27} l^3 = o.
 # # # + mm + {1/3}l m^2
 # # # + n^3
 # {1/3}l - y = x, # # y^3* - {1/3}lly + {2/27} l^3 = o.
 # # # + m^2 - {1/3}l m^2
 # # # - n^3
x^3 - lxx - mmx + n^3 = o. Sit # {1/3}l + z = x, # eritque # {z^3* - {1/3}llz - {2/27} l^3 = o.
 # # # - m^2 - {1/3}l m^2
 # # # + n^3
 # {1/3}l - y = x, # # y^3* - {1/3}lly + {2/27} l^3 = o.
 # # # - m^2 + {1/3}l m^2
 # # # - n^3
x^3 + lxx - mmx - n^3 = o. Sit z- {1/3} l = x, eritque z^3* - {1/3} llz + {2/27} l^3 = o.
 # # # - m^2 + {1/3}l m^2
 # # # - n^3
x^3 + lxx + mmx - n^3 = o. Sit z - {1/3} l = x, eritque z^3* - {1/3} llz + {2/27} l^3 = o.
 # # # + m^2 - {1/3}l m^2
 # # # - n^3
</tb>

<pb 107>[663]<rh>Æ <sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<tb math>
x^3 + lxx - mmx + n^3 = o. Sit z - {1/3} l = x, eritque z^3* - {1/3} llz + {2/27} l^3 = o.
 # # # - m^2 + {1/3}l m^2
 # # # + n^3
</tb>
<h>QVADRATO-QVADRATARVM.</h>
<tb math>
x^4 - l x^3 + mmxx - n^3 x + p^4 = o. E$to # {1/4} + z = x, # eritque # {z^4* - {3/8}llzz - {1/8} l^3 z - {3/256} l^4
 # # # + m^2 + {1/2} l m^2 + {1/16}ll m^2 = o.
 # # # - n^3 - {1/4} l n^3
 # # # + p^4
 # {1/4}l - y = x, # # y^4* - {3/8}llyy + {1/8} l^3 y {3/256} l^4
 # # # + m^2 - {1/2}l m^2 + {1/16}ll m^2 # = o.
 # # # + n^3 - {1/4}ln
 # # # + p^4
x^4 - l x^3 - mmxx + n^3 x + p^4 = o. Sit # {1/4}l + z = x, # eritque # z^4* - {3/8}llzz - {1/8} l^3 z - {3/256} l^4
 # # # - m^2 - {1/2}l m^2 - {1/16}ll m^2 = o.
 # # # + n^3 + {1/4}l n^3
 # # # + p^4
 # {1/4}l - y = x, # # y^4* - {3/8}llyy + {1/8} l^3 y - {3/256} l^4
 # # # - m^2 + {1/2}l m^2 - {1/16}ll m^2 = o.
 # # # - n^3 + {1/4}l n^3
 # # # + p^4
x^4 - l x^3 + mmxx + n^3 x + p^4 = o. Sit # {1/4}l + z = x, # eritque # {z^4* - {3/8}llzz - {1/8} l^3 z - {3/256} l^4
 # # # + m^2 + {1/2}l m^2 + {1/16}ll m^2 = o.
 # # # + n^3 + {1/4}l n^3
 # # # + p^4
 # {1/4}l - y = x, # # y^4* - {3/8}llyy + {1/8} l^3 y - {3/256} l^
 # # # + m^2 - {1/2}l m^2 + {1/16}ll m^2 = o.
 # # # - n^3 + {1/4}l n^3
 # # # + p^4
x^4 - l x^3 - mmxx - n^3 x + p^4 = o. E$to # {{1/4} + z = x, # eritque # {z^4* - {3/8}llzz - {1/8} l^3 z - {3/256} l^4
 # # # - m^2 - {1/2}l m^2 - {1/16}ll m^2 = o.
 # # # - n^3 - {1/4}l n^3
 # # # + p^4
 # {1/4}l - y = x, # # y^4* - {3/8}llyy + {1/8} l^3 y - {3/256} l^4
 # # # - m^2 + {1/2}l m^2 - {1/16}ll m^2 = o.
 # # # + n^3 - {1/4}l n^3
 # # # + p^4</math>
</tb>

<pb 108>[664]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
<tb math>
x^4 + lx^3 - mmxx + n^3 x + p^4 = o. E$to z - {1/4} l = x, erit-
que z^4* - {3/8}llzz + {1/8} l^3 z - {3/256} l^4 = o.
+ m^2 # - {1/2}l m^2 # + {1/16}ll m^2
 # # - n^3 # + {1/4}l n^3
 # # + p^4
x^4 + l x^3 - mmxx + n^3 x + p^4 = o. E$to z - {1/4} l = x, erit-
que z^4* - {3/8}llzz + {1/8} l^3 z - {3/256} l^4
 # - mm # + {1/2}l m^2 # - {1/16}llmm = o.
 # # + n^3 # - {1/4}l n^3
 # # + p^4
x^4 + l x^3 - mmxx - n^3 x + p^4 = o. E$to z - {1/4} l = x, erit-
que z^4* - {3/8}llzz + {1/8} l^3 z - {3/256} l^4
 # - mm # + {1/2}l m^2 # - {1/16}llmm = o.
 # # -n^3 # + {1/4}l n^3
 # # # + p^4
</tb>
<tb math>
x^4 - l x^3 + mmxx - n^3 x - p^4 = o. E$to # {1/4}l + z = x, # eritque # z^4* - {3/8}llzz - {1/8} l^3 z - {3/256} l^4
 # # # + m^2 + {1/2}l m^2 + {1/16}ll m^2 = o.
 # # # - n^3 - {1/4}l n^3
 # # # - p^4
 # {1/4}l - y = x, # # y^4* - {3/8}llyy + {1/8} l^3 y - {3/256} l^4
 # # # + m^2 - {1/2}l m^2 + {1/16}ll m^2 = o.
 # # # + n^3 - {1/4}l n^3
 # # # - p^4
x^4 - l x^3 - mmxx + n^3x - p^4 = o. E$to # {1/4}l + z = x, # eritque # z^4* - {3/8}llzz - {1/8} l^3 z - {3/256} l^4
 # # # - m^2 - {1/2}l m^2 - {1/16}ll m^2 = o.
 # # # + n^3 + {1/4}l n^3
 # # # - p^4
 # {1/4}l - y = x, # # y^4* - {3/8}llyy + {1/8} l^3 y - {3/256} l^4
 # # # - m^2 + {1/2}l m^2 - {1/16}ll m^2 = o.
 # # # - n^3 + {1/4}l n^3
 # # # - p^4
</tb>

<pb 109>[665]<rh>Æ <sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<tb math>
x^4 - l x^3 + mmxx + n^3 x - p^4 = o. E$to # {1/4}l + z = x, # eritque # z^4* - {3/8}llzz - {1/8} l^3 z - {3/256} l^4
 # # # + m^2 + {1/2}l m^2 + {1/16}ll m^2 = o.
 # # # + n^3 + {1/4}l n^3
 # # # - p^4
 # {1/4}l - y = x, # # y^4* - {3/8}llyy + {1/8} l^3 y - {3/256} l^4
 # # # + m^2 - {1/2}l m^2 + {1/16}ll m^2 = o.
 # # # - n^3 + {1/4}l n^3
 # # # - p^4}
x^4 - l x^3 - mmxx - n^3 x - p^4 = o. E$to # {1/4}l + z = x, # eritque # z^4* - {3/8}llzz - {1/8} l^3 z - {3/256} l^4
 # # # - m^2 - {1/2}l m^2 - {1/16}ll m^2 = o.
 # # # - n^3 - {1/4}l n^3
 # # # - p^4
 # {1/4}l - y = x, # # y^4* - {3/8}llyy + {1/8} l^3 y - {3/256}l^4
 # # # - m^2 + {1/2}l m^2 - {1/16}ll m^2 = o.
 # # # + n^3 - {1/4}l n^3
 # # # - p^4
</tb>
<tb math>
x^4 + l x^3 + mmxx - n^3 x - p^4 = o. E$to z - {1/4} l = x, erit-
que z^4* - {3/8}llzz + {1/8} l^3 z - {3/256} l^4
+ m^2 # - {1/2}l m^2 # + {1/16}ll m^2 = o.
 # - n^3 # + {1/4}l n^3
 # # - p^4
x^4 + l x^3 - mmxx + n^3 x - p^4 = o. E$to z - {1/4}l = x, erit-
que z^4* - {3/8}llzz + {1/8} l^3 z - {3/256} l^4
- m^2 # + {1/2}l m^2 # - {1/16}ll m^2 = o.
 # + n^3 # - {1/4}l n^3
 # # - p^4
x^4 + l x^3 - mmxx - n^3 x - p^4 = o. E$to z - {1/4} l = x, erit-
que z^4* - {3/8}llzz + {1/8} l^3 z - {3/256} l^4
- m^2 # + {1/2}l m^2 # - {1/16}ll m^2 = o.
 # - n^3 # + {1/4}l n^3
 # # - p^4
x^4 + l x^3 + mmxx + n^3 x - p^4 = o. E$to z - {1/4}l = x, erit-
que z^4* - {3/8}llzz + {1/8} l^3 z - {3/256} l^4
+ m^2 # - {1/2}l m^2 # - {1/16}ll m^2 = o.
 # + n^3 # - {1/4}l n^3
 # # - p^4
</tb>

<pb 110>[666]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
<p>Vnde colligere licet, omnes $uppo$itiones, quæ ad tollendum
$ecundum terminum adhibentur, nece$$ariò exhibere æquatio-
nem realem, modò reales radices ad$uerint in æquatione propo-
$ita; & $i nullæ in his fuerint, id indicio e$$e, nullas quoque e$$e
imaginarias in æquatione propo$ita. Nam, exempli gratiâ, $i $it
æquatio <math>x^4 - l x^3 - mmxx + n^3 x + p^4 = o</math>: patet, $i radix e$t
realis, <math>x</math> nece$$ariò debere æqualis e$$e <math>{1/4} l</math>, vel major, vel minor.
Si æqualis $uerit <math>{1/4} l</math>, ultimus terminus æquationis transformatæ
de$icere debet; $i major $uerit quàm <math>{1/4} l</math>, æquatio trans$ormata
denominata à radice <math>z</math> erit realis; $i denique minor fuerit; trans-
formata æquatio à radice <math>y</math> denominata itidem realis erit.</p>
<p>Quòd $i $ecundus terminus æquationis propo$itæ afficitur $i-
gno +, ut, exempli gratiâ, $i $it <math>x^4 + l x^3 - mmxx + n^3 x - p^4 = o</math>:
patet, $i ad$uerit radix aliqua realis, $uppo$itionem hanc <math>z - {1/4} l = x</math>
$emper e$$e nece$$ariò realem ac denotare aliquam quantitatem;
adeoque transformatam æquationem admittere quoque aliquam
radicem.</p>
<p>Deinde con$tat, radices veras æquationum à radice <math>y</math> denomi-
natarum e$$e fal$as æquationum à radice <math>z</math> denominatarum; &
contra, radices veras æquationum à radice <math>z</math> denominatarum e$$e
fal$as æquationum à radice <math>y</math> denominatarum.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> XIV.</h>
<h it>Continens modum tollendi penultimum terminum
Æquationum, $ecundo termino carentium.</h>
<p>P _Ro Cubicis_. Supponatur ultimus terminus divi$us per incogni-
tam quantitatem <math>R^2</math> e$$e æqualis radici æquationis propo$itæ,
& $ic æquatio transformetur, in qua demum penultimus de$iciet
terminus.</p>
<p>_Pro Quadrato-quadratis_. Supponatur ultimus terminus divi$us
per incognitam quantitatem <math>R^4</math> e$$e æqualis radici æquationis
propo$itæ, & tum rur$us transformatâ æquatione penultimus
terminus deficiet.</p>
<p>Pro æquationibus quinque dimen$ionum $upponatur ultimus
terminus divi$us per incognitam quantitatem <math>R^4</math> e$$e æqualis ra-
dici æquationis propo$itæ, & $ic in in$initum, tran$mutatis dein-
de æ quationibus, uti dictum e$t.</p>

<pb 111>[667]<rh>Æ <sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<p>Sed pro æquationibus quatuor dimen$ionum commodius e$t,
$upponere quadratum ultimi termini divi$um per incognitam
quantitatem R e$$e æquale radici incognitæ, atque ita transfor-
mare æquationem.</p>
<p>_Exemplum Cubicarum_. Proponatur <math>x^3* + mmx - n^3 = o</math>. E$to
<math>{n^3 / R^2} = x</math>, &, transformatâ æquatione, habebitur <math>{n^9 / R^6} + {mm n^3 / R^2}
- n^3 = o</math>. Hinc multiplicatis omnibus per <math>R^6</math>, $iet <math>n^9 + mm n^3
R^4 - n^3 R^6 = o</math>, adeoque divi$is per <math>n^3</math>, $iet <math>n^6 + mm R^4 - R^6 = o</math>,
hoc e$t, per tran$po$itionem, habebitur <math>R^6 - mm R^4* - n^6 = o</math>.
æquatio cubica, carens penultimo termino, & in qua cùm datur
<math>R^2</math> ex $uppo$itione habetur <math>x = {n^3 / R^2}</math>.</p>
<p>_Aliud Exemplum_. Proponatur <math>x^3* - mmx - n^3 = o</math>. E$to
<math>{n^3 / R^2} = x</math>, $ietque <math>{n^9 / R^6} - {mm n^3 / R^2} - n^3 = o</math>, hoc e$t, <math>R^6 + mm R^4*
- n^6 = o</math>. æquatio cubica, in qua penultimus terminus de$i-
cit, & in qua cùm datur <math>R^2</math>, ex $upra po$ita $uppo$itione habe-
tur <math>x</math>.</p>
<p>_Tertium Exemplum_. Proponatur <math>x^3* - mmx + n^3 = o</math>. E$to
<math>{n^3 / R^2} = x</math>, eritque, transformatâ æquatione, <math>{n^9 / R^6} - {mm n^3 / R^2} + n^3 = o</math>,
hoc e$t, <math>R^6 - mm R^4* + n^6 = o</math>. æquatio cubica, carens penul-
timo termino, & in qua cùm datur <math>R^2</math> ex $uppo$itione id habetur
quod requiritur.</p>
<p>_Exemplum Quadrato-quadratarum_. Proponatur <math>x^4* - mmxx
+ n^3 x - p^4 = o</math>. E$to <math>{p^2 / R} = x</math>, &, transformatâ æquatione fiet,
<math>{p^8 / R^4} - {mm p^4 / R^2} + {n^3 pp / R} - p^4 = o</math>. Hoc e$t, multiplicatis omnibus
per <math>R^4</math>, habebimus <math>p^8 - mm p^4 R^2 + n^3 pp R^3 - p^4 R^4 = o</math>, ac
proinde divi$is per <math>p^4</math>, habebitur <math>R^4 - {n^3 / pp} R^3 + mm R^2* - p^4 = o</math>.
æquatio quatuor dimen$ionum, carens penultimo termino.</p>
<p>_Exemplum $ecundum_. Proponatur <math>x^4* + mmxx - n^3 x + p^4 = o</math>.
Supponendo <math>{pp / R} = x</math>, transformetur æquatio, $ietque <math>R^4 - {n^3 / pp} R^3 +
mm R^2* + p^4 = o</math>. æquatio in qua penultimus terminus de-
$icit.</p>

<pb 112>[668]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
<p>_Exemplum tertium_. Proponatur <math>x^4* - mmxx - n^3 x + p^4 = o</math>.
Suppo$itâ <math>x = {pp / R}, æ quatio transformata erit <math>R^4 - {n^3 / pp} R^3 - mm R^2*
+ p^4 = o</math>, carens penultimo termino.</p>
<p>_Exemplum quartum_. Proponatur <math>x^4* - mmxx + n^3 x + p^4 = o</math>.
Suppo$ito <math>{pp / R} = x</math>, erit transformata æquatio <math>R^4 + {n^3 / pp} R^3 - mm R^2*
+ p^4 = o</math>, penultimo termino de$tituta.</p>
<p>_Exemplum quintum_. Proponatur <math>x^4* + mmxx - n^3 x - p^4 = o</math>.
Et $uppo$ito <math>{pp / R} = x</math>, æquatio transformata erit <math>R^4 + {n^3 / pp} R^3 - mm R^2*
- p^4 = o</math>, carens penultimo termino.</p>
<p>_Exemplum $extum_. Proponatur <math>x^4* - mmxx - n^3 x - p^4 = o</math>.
Et $uppo$ito <math>{pp / R} = x</math>, erit æquatio transformata <math>R^4 + {n^3 / pp} R^3 + mm R^2
* - p^4 = o</math>, quæ de$tituitur penultimo termino.</p>
<p>_Exemplum $eptimum_. Proponatur <math>x^4* + mmxx + n^3 x - p^4 = o</math>.
Suppo$ito <math>{pp / R} = x</math>, transformata æquatio erit <math>R^4 - {n^3 / pp} R^3 - mm R^2
* - p^4 = o</math>, carens penultimo termino.</p>
<p>Ex quibus mani$e$tum e$t, ex omnibus æquationibus auferri
po$$e penultimum terminum, quandoquidem $uperiùs o$ten$um
e$t, ex omni æquatione tolli po$$e $ecundum, ac modò jam e$t de-
mon$tratum, quo pacto ex æquationibus, $ecundo termino ca-
rentibus, penultimus terminus auferatur. Id quod annota$$e ope-
ræ pretium duximus, cum Vieta, po$tquam Capite I<_>mo</_> de _Æqua-_
_tionum Emendatione_ $ecundum terminum cuju$que æquationis
tollere docuit, versùs $inem eju$dem Capitis affirmet, po$$e
etiam aliquando alios au$erri æquationis terminos, atque ex hac
no$tra quidem methodo con$tet, quomodo $emper penultimus
tolli queat.</p>

<pb 113>[669]<rh>Æ <sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<h>C<sc>APVT</sc> XV.</h>
<h it>Methodus tran$mutandi Æquationes Cubicas compo$i-
tas, in quibus $ecundus terminus dee$t, in Æquatio-
nes Cubicas $implices, quando id fieri pote$t.</h>
<p>P Roponatur hæc æquatio <math>x^3* + 3 mmx - n^3 = o</math>. Suppo-
namus <math>zz - zx - mm = o</math>, hoc e$t, <math>x = {zz - mm / z.}</math>. Vn-
de, transformatâ æquatione, habebitur
<math>z^6 - 3 mm z^4 + 3 m^4 zz - m^6 / z^3} + {3 mmzz - 3 m^4 / z} - n^3 = o</math>,
hoc e$t, multiplicatis omnibus per _z^3_, invenietur hæc æquatio
<math>z^6 - n^3 z^3 - m^6 = o</math>, vel <math>z^6 = n^3 z^3 + m^6</math>, cujus radix e$t
<math>z^3 = {1/2} n^3 + <r>{1/4} n^6 + m^6</r></math>. Quæ e$t æquatio cubica $implex.</p>
<p>Cognita autem ejus radice <math>z</math>, erit ex $upra po$itis radix altera
<math>x = {zz - mm / z}</math>. Quæ $emper e$t po$$ibilis, cum <math>z</math> major $it
quàm <math>m</math>.</p>
<p>_Aliter_. Supponatur <math>zz + zx - mm = o</math>, eritque
<math>x = {mm - zz / z}</math>. Vnde trans$ormatâ æquatione habebimus
<math>z^6 + n^3 z^3 - m^6 = o</math>, hoc e$t, <math>z^6 = - n^3 z^3 + m^6</math>, cujus ra-
dix e$t <math>z^3 = - {1/2} n^3 + <r>{1/4} n^6 + m^6</r></math>. Quæ rur$us æquatio e$t
cubica $implex. Cujus ope, cùm cogno$citur <math>z</math>, habebitur
<math>x = {mm - zz / z}</math>, quæ $emper erit po$$ibilis.</p>
<p>Proponatur item hæc æquatio <math>x^3* - mmx - n^3 = o</math>, $up-
ponaturque <math>zz - zx + mm = o</math>, hoc e$t, <math>x = {zz + mm / z}</math>. Vnde
transformatâ æquatione habebimus <math>{z^6 + 3 mm z^4 + 3 m^4 zz + m^6 / z^3}
- {3 mmzz - 3 m^4 / z} - n^3 = o</math>, hoc e$t, <math>z^6 - n^3 z^3 + m^6 = o</math>.
$eu <math>z^6 = n^3 z^3 - m^6</math>, cujus radix e$t <math>z^3 - {1/2} n^3 🜶 <r>{1/4} n^6 - m^6</r></math>

<pb 114>[670]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc></rh>
Vnde patet, oportere <math>m^6</math> non majus e$$e quà <math>{1/4} n^6</math>, ut æquatio
hæc <math>z^6 = n^3 z^3 - m^6</math> locum obtineat. Nam $i majus $it, non po$-
$et propo$ita æquatio <math>x^3* - mmx - n^3 = o</math> $ic in $implicem
cubicam tran$mutari.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> XVI.</h>
<h it>Methodus generalis, concernens u$um $ecundarum radi-
cum, ad tollenda $igna radicalia ex Æquatione
propo$ita.</h>
<p>SI $uerint duæ æquationes, in quibus eadem litera reperitur,
licet ip$as reducere comparando cum duabus aliis, in quibus
hæc litera pauciores habet dimen$iones.</p>
<p>Exempli gratiâ, habeamus ha$ce duas æquationes <math>x^3 + bxx
- ccx - d^3 = o</math> & <math>x^3 - lxx + mmx - n^3 = o</math>. Quibus tran$-
po$itis, habebimus <math>x^3 = - bxx + ccx + d^3</math> & <math>x^3 = + lxx -
mmx + n^3</math>, ac per con$equens <math>lxx \\ b # - mmx \\ - cc # + n^3 \\ - d^3 # = o</math>, hoc
e$t, <math>xx = {mmx + ccx + d^3 - n^3 / l + b}</math>. in quâ litera _x_ pauciorum e$t
dimen$ionum. Atque ut habeatur adhuc alia, multiplicetur tan-
tùm æquatio inventa per <math>x</math>, & invenietur <math>x^3 = {mmxx \\ cc # + d^3 x \\ - n^3 / l + b}</math>.
Quæ comparata cum aliqua ex præcedentibus, verbi gratiâ, cum
$ecunda, exhibet $equentem æquationem <tb math>+ m^2 xx - n^3 x - l n^3 = o.
+ cc # + l m^2 - b n^3
- ll # + b m^2
- lb # + d^3</tb>
in quâ litera <math>x</math> $imiliter duarum tantùm e$t dimen$ionum. Sed $i
collata fui$$et cum prima æquatione, inventa $ui$$et alia, ubi <math>x</math>
adhuc pauciores habui$$et dimen$iones, ita ut eligenda $it ad com-
parationem facillima. Atque $ic continuando inveniri hîc po$-
$unt duæ aliæ, ubi <math>x</math> e$t unius dimen$ionis, & tandem alia ubi
pror$us dee$t. Quod ip$um docet, dari tales æquationes, in quibus
litera, quæ in utraque inveniri debet, mutuâ illâ comparatione
planè aufertur. Vnde apparet, po$$e quidem aliquando au$erri
hanc literam, quamvis non diminuatur numerus dimen$ionum.</p>

<pb 115>[671]<rh>Æ <sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<p>Exempli gratiâ, $i dentur hæ æquationes <math>xx - bx - cc = o
& xx - bx + dd - bb = o</math>, habebimus <math>xx - bx = cc, &
xx - bx = + bb - dd</math>, ergo <math>cc = - bb - dd</math>.</p>
<p>Venio jam ad a$ymmetrias $eu irrationales quantitates, pro
quibus tollendis, oportet tantùm $upponere literas æquales $in-
gulis ter minis a$ymmetris æquationis propo$itæ. Quâ quidem ra-
tione non tantùm obtinebimus æquationem propo$itam, in qua
omnes hæ literæ $unt $ub$titutæ; $ed etiam tot alias, quot literæ
fuerunt $uppo$itæ. Vnde collatis ordine omnibus hi$ce æquatio-
nibus, devenietur ad æquationem, ubi nulla literarum invenitur
ac per con$equens nullum $ignum radicale.</p>
<p>Exempli gratiâ, proponatur æquatio <math>c + √C.bbx - √dx = o</math>.
Ad tollendas igitur ejus a$ymmetrias, ponamus <math>R = √ C. bbx</math>,
& <math>z = √ dx</math>. Quibus in æquatione propo$ita $ub$titutis, habe-
bimus <math>c + R - z = o</math>; atque ex reliquis $uppo$itionibus erit
<math>R^3 = bbx, & zz = dx</math>. Primò, ad tollendum <math>R</math>, habebimus
<math>R = z - c</math>, ideoque <math>R^3 = z^3 - 3czz + 3ccz - c^3</math>. Atqui e$t
quoque <math>R^3 = bbx</math>. Quare erit <math>z^3 - 3ccz + 3ccz - c^3 -
bbx = o</math>, & per con$equens <math>z^3 = + 3czz - 3ccz +
c^3 + bbx</math>. Sed $i multiplicetur $uperiùs propo$ita æquatio <math>zz
= dx</math> per <math>z</math>, habebitur etiam <math>z^3 = dxz</math>. Ergo erit
<math>3 czz - 3 ccz \\ - dx # + c^3 \\ + bbx # = o</math>, & $ub$tituto <math>dx</math> loco <math>zz</math>, habebi-
mus <math>3cdx - 3ccz \\ - dx # + c^3 \\ + bbx # = o</math>, hoc e$t, <math>3 ccz \\ dx # = 3 cdx \\c^3 # + bb x^3</math>
$eu <math>z = {3cdx + bbx + c^3 / 3cc + dx}</math>. Quæ $i multiplicetur per <math>z</math>, fiet
<math>zz = {3cdxz + bbxz + c^3 z / 3cc + dx}</math>. Sed e$t quoque <math>zz = dx</math>. Igi-
tur habebimus <math>3 cdxz + bbxz + c^3 z = 3ccdx + ddxx</math>,
hoc e$t, <math>{3 ccdx + ddxx / 3cdx + bbx + c^3} = z</math>. Inventa autem e$t
<math>z = {3cdx + bbx + c^3 / 3cc + dx}</math>. Quare habebimus tandem

<pb 116>[672]<rh>D<sc>E</sc> N<sc>ATVRA</sc> Æ <sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<math>d^3 x^3 - 3ccddxx \\ - 6bbcd \\ - b^4 # + 3 c^4 dx \\ - 2c^3 bb # - c^6 = o</math>. In qua æquatione nul-
lus terminus irrationalis reperitur. Quòd $i autem alii adhuc re-
perirentur, oporteret tantùm operando ut $upra au$erre cæteras
literas, cæteris terminis irrationalibus æquales $uppo$itas. Quâ
quidem ratione omnes omnino termini irrationales tollentur,
calculus verò prolixior evadet.</p>
<p>Nece$$itas hujus methodi vel hinc patet, quòd, $i fuerint plu-
res quatuor terminis irrationalibus, $igna radicalia, per metho-
dum à Vieta traditam, Capite quinto de Emendatione Æquatio-
num, tolli non po$$int.</p>
<h>FINIS.</h>
<fig/>

<pb 117>[673]
<p>Ad Tractatum de Limitibus Æquationum</p>
<h>EPISTOLA PRÆLIMINARIS.</h>
<p>_Clari$$imo Viro_</p>
<h>FRANCISCO à SCHOOTEN,</h>
<p>Mathematum in Illu$tri Leiden$i Academia
Profe$$ori,</p>
<h>ERASMIVS BARTHOLINVS</h>
<h>S.P.</h>
<p it>NI$i memini$$em, quanto majore animo
bone$tatis fructus in con$cientia, quàm
in fama reponatur; nequaquam op-
portunum fui$$et, in edendis bi$ce
opu$culis Analyticis con$ilium. Verùm quia
communibus magis commodis quàm privatæ
jactantiæ $tudui, eò animus au$us e$t, delibe-
rato con$ilio ob$equi. Cujus meæ con$cientiæ in-
terpretem, non alium magis de$idero, quàm te,
Vir Clari$$ime, quem utilitatibus aliorum, plus
quàm propriæ laudi, indies de$ervire, compertum
habeo. Venit in mentem $tudio$um illud otium,
quod Leidæ mibi $emper emolumento, utri$que
deinde $olatio erat, cujusque varietates $i oratio-
ne repetere vellem, prout animo pleræque obver-
$antur, non dubito quin exi$timationi bominum
diligentia & $ides no$tra, & in pleri$que etiam
pietas $ubjiceretur. Et licèt ne$ciam, an ullum

<pb 118>[674]
tempus jucundiùs exegerim; tameneâ de causâ
magnifacio, quòd amicitiæ tuæ, u$que ad inti-
mam familiaritatem, capacem me redderet. Ne-
que aliam interpretationem babuit, quòd Leidâ
di$ce$$urus, I$agogen Carte$ianam typis excu-
dendam concinnaveram, ut meam famam cum
tua extenderem. Zuâ de causâ, cum non modò
offen$as, verùm etiam $imultates varias $ubie-
rim; non ignoro, quæ futura $it de bi$ce jam
edendis $ententia. Ne dubites tamen quin omnia
æquo animo toleraverim, præ$ertim quia piet as
& ob$equium cau$am junxêre. Zuem enim præ-
terit, fatum literatorum? Mibi certè non im-
provi$a e$t calumniandi vanitas. E$t ita natu-
râ comprobatum, ut benefactis major ex con$cien-
tiâ merces, quàm in ore bominum reponatur:
nam plerique, tantum $uæ detractum iri gloriæ
exi$timant, quantum ce$$erit alienæ: po$tremò,
ignavi$$imus qui$que aliorum $cripta carpere
non veretur. Sic contendere pro moribus tempo-
rum eruditio e$t. Zuod recordantem, po$terita-
tis magna mi$eratio $ubit. Zuot enim præclara
inventa putas ob$curari, propter $celus boc ob-
trectandi? Plerique $e intra perpetuum $ilen-
tium tenere amant, potiùs quàm malignitati in-
terpretantium exponi. It a commùnem bunc er-
rorem, bonum publicum magnis detrimentis ex-
piabit. Ego aliorum exemplo quidem didici,

<pb 119>[675]
nullam ex meis laboribus $per are laudem; tanta
tamen mibi $emper fuit reverentia po$terûm, ut
cen$ur am erroris non tam reformidem quam in-
bumanitatis. Sed, ut de pictore ni$i Artifex ju-
dicare, ita ni$i Mathematicus non $atis pote$t
per$picere Mathematica; tuæ poti$$imùm $en-
tentiæ bæc exponuntur. Eximium babent u$um
ea quæ $equenti tractatu exponentur, ad nume-
ro$am Æquationum re$olutionem, ut reliquas
utilitates pertran$eam, quia Tu eas ignor are
non potes. Zuare Lectores rogo, ut judiciis
parcant, donec penitus omnia in$pexerint. Et
$i qui fuerint qui bæcrecu$averint, $ciant $enec
inventis gratiam adimere, nec mibi laudis con-
$cientiam. Te verò Vir Clari$$ime, $i offen-
derint, omnibus commendationibus de$tituta
reputabo. Vale.</p>

<pb 120>[676]
<h it>POSTERIOR TRACT ATVS</h>
<h>DE</h>
<h>LIMITIBVS</h>
<h>ÆQVATIONVM,</h>
<p>_Seu_</p>
<p>Quo pacto ex forma Æquationum affectarum
definiri po$$int limites, intra quos radices
veræ debent offendi.</p>

<pb 121>[677]
<h>DE
LIMITIBVS
ÆQVATIONVM.</h>
<h>C<sc>APVT</sc>I.</h>
<p it>De Æquationum Zuadr at arum $eu duarum
dimen$ionum limitibus.</p>
<p>Prop. I. <math>xx - lx + mm = o</math>.</p>
<p>PEr tran$po$itionem erit <math>mm = lx - xx</math>, &
$i prima pars fuerit realis, erit etiam altera
pars realis, ideoque <math>lx</math> majus quàm <math>xx</math>; &
divi$o utroque termino per <math>x</math>, erit <math>l</math> major
quàm <math>x</math>. Quin & per tran$po$itionem pro-
po$itæ æquationis habebitur <math>xx = lx - mm</math>:
ideoque altera pars e$t realis, & <math>lx</math> majus
quàm <math>mm</math>. Vnde divi$o utroque termino
per <math>l</math>, erit <math>x</math> major quàm <math>{mm / l}</math>. Quare æquationis propo$itæ utra-
que radix <math>x</math> major erit quàm <math>{mm / l}</math>, $ed minor quàm <math>l</math>.</p>
<p>_Prop_. 2. <math>xx - lx - mm = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem habebimus <math>xx = lx + mm</math>, ideoque <math>xx</math>
majus erit quàm <math>mm</math>, & <math>x</math> major quàm <math>m</math>, ac proinde <math>mx</math> majus
quàm <math>mm</math>. Vnde <math>xx</math> minus erit quàm <math>lx + mx</math>, adeoque $i utra-
que pars dividatur per <math>x</math>, erit <math>x</math> minor quàm <math>l + m</math>. Rur$us, quo-
niam <math>xx</math> æquatur <math>lx + mm</math>, erit <math>xx</math> majus quàm <math>lx</math>; ac proinde
$i uterque terminus dividatur per <math>x</math>, erit <math>x</math> major quàm <math>l</math>, & <math>lx</math>
majus quàm <math>ll</math>. Hinc cum <math>xx</math> æquetur <math>lx + mm</math>, erit <math>xx</math> majus
quàm <math>ll + mm</math>, hoc e$t, <math>x</math> major quàm <math><r>ll + mm</r></math>.
Po$tremò,
quandoquidem <math>x</math> major e$t quàm <math>m</math>, erit <math>lx</math> majus quàm <math>lm</math>, &
<math>xx</math> majus quàm <math>lm + mm</math>, hoc e$t, <math>x</math> major quàm <math><r>lm + mm</r></math>.
Vnde radix æquationis propo$itæ erit major quàm maxima ha-
rum duarum <math><r>ll + mm</r></math> & <math><r>lm + mm</r></math>, $ed minor quàm <math>l + m</math>.</p>

<pb 122>[678]<rh>D<sc>E</sc> L<sc>IMITIBVS</sc></rh>
<p>_Prop._ 3. <math>xx + lx - mm = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem habebimus <math>xx + lx = mm</math>, & per con$e-
quens <math>{mm / l}</math> majus erit quàm <math>x</math>. Rur$us exi$tente <math>xx + lx = mm</math>,
erit <math>mm</math> majus quàm <math>xx</math>, & <math>m</math> major quàm <math>x</math>, ac proinde <math>mx</math> ma-
jus quàm <math>xx</math>. Atqui habemus <math>xx + lx = mm</math>. Ergo <math>mx + lx</math>
majus erit quàm <math>mm</math>. Hinc divisâ utrâque parte per <math>m + l</math>, fiet <math>x</math>
major quàm <math>{mm / l+m}</math>. Quare inventa e$t <math>x</math> radix æquationis propo-
$itæ major quàm <math>{mm / l + m}</math>, at minor quàm <math>{mm / l}</math> & <math>m</math>.</p>
<h>C<sc>APVT</sc>II.</h>
<p it>De limitibus Æquationum Cubic arum $eu trium
dimen$ionum, $ecundo termino carentium.</p>
<p>_Prop_. I. <math>x^3* - mmx + n^3 = o</math>.</p>
<p>PEr tran$po$itionem habebimus <math>x^3 = + mmx - n^3</math>, eritque
<math>mmx</math> majus quàm <math>n^3</math>. Vnde divi$o utroque termino per <math>mm</math>,
erit <math>x</math> major quàm <math>{n^3 / mm}</math>. Deinde per tran$po$itionem erit <math>mmx -
x^3 = n^3</math>, ac per con$equens <math>mm</math> majus quàm <math>xx</math>, & <math>m</math> major
quàm <math>x</math>. Quare inventa e$t utraque radix <math>x</math> æquationis propo$itæ
major quàm <math>{n^3 / mm}</math>, & minor quàm <math>m</math>.</p>
<p>_Prop._ 2. <math>x^3 * - mmx - n^3 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem habebimus <math>x^3 - mmx = n^3</math>, eritque <math>xx</math>
majus quàm <math>mm</math>, & <math>x</math> major quàm <math>m</math>. Erit quoque <math>x^3 - n^3 = mmx</math>,
ideoque <math>x^3</math> major quàm <math>n^3</math>, & <math>x</math> major quàm <math>n</math>, ac proinde <math>nnx</math>
majus quàm <math>n^3</math>. Atqui per tran$po$itionem propo$itionis habe-
mus <math>mmx + n^3 = x^3</math>. Quare <math>mmx + nnx</math> majus erit quàm <math>x^3</math>;
& divisâ utrâque parte per <math>x</math>. erit <math>mm + nn</math> majus quàm <math>xx</math>; ideo-
que <math>x</math> minor quàm <math><r>mm + nn</r></math>. Inventa ergo e$t <math>x</math> radix æqua-
tionis propo$itæ major quàm <math>m & n</math>, at minor quàm <math><r>mm + nn.</r></math>
Atque liquet, ad evitandam extractionem radicis cubicæ ip$ius <math>n^3</math>,
quòd loco <math>nn</math> in vinculo a$$umi po$$it quantitas aliqua, quæ non

<pb 123>[679]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
$it minor. Id quod non erit difficile, cognitis nempe tribus di-
men$ionibus ip$ius <math>n^3</math>, $umendoque loco <math>nn</math> rectangulum $ub dua-
bus quantitatibus; quarum alterutra non $it ipsâ <math>n</math> minor. Erit-
que hoc ad $equentia notatu dignum.</p>
<p>_Prop_. 3. <math>x^3* + mmx - n^3 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem habebimus <math>x^3 = n^3 - mmx</math>, eritque <math>{n^3 / mm}</math>
major quàm <math>x</math>. Rur$us erit <math>mmx = n^3 - x^3</math>, & con$equenter <math>n^3</math> ma-
jor quàm <math>x^3</math>, & <math>n</math> major quàm <math>x</math>, ac proinde <math>nnx</math> majus quàm <math>x^3</math>. Sed
per tran$po$itionem æquationis propo$itæ e$t quoque <math>x^3 + mmx =
n^3</math>. Ergo <math>mmx + nnx</math> majus erit quàm <math>n^3</math>, & divisâ utrâque parte per
<math>nn + mm</math>, erit <math>x</math> major quàm <math>{n^3 / nn + mm}</math>. Inventa itaque e$t radix <math>x</math>
æquationis propo$itæ e$$e major quam <math>{n^3 / mm + nn}</math>, $ed minor quàm
<math>{n^3 / mm}</math> & <math>n</math>. Po$$umus etiam loco <math>nn</math> accipere rectangulum duarum
maximarum dimen$ionum ip$ius <math>n^3</math>, ut radicis cubicæ extractio
evitetur.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> III.</h>
<p it>De limitibus Æquationum Cubicarum, penultimo
termino carentium.</p>
<p>_Prop_. 1. <math>x^3 - lxx^* + n^3 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem erit <math>x^3 + n^3 = lxx</math>, ideoque <math>xx</math> majus
quàm <math>{n^3 / l}</math>. Rur$us erit <math>n^3 = lxx - x^3</math>, & con$equenter <math>l</math> major
quàm <math>x</math>. Quælibet igitur radicum _x_ æquationis propo$itæ major
erit quàm <math>√{n^3 / l}</math>, & minor quàm <math>l</math>.</p>
<p>_Prop_. 2. <math>x^3 - lxx^* - n^3 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem erit <math>x^3 - lxx = n^3</math>, ideoque <math>x</math> major quàm <math>l</math>.
Rur$us erit <math>x^3 - n^3 = lxx</math>, & con$equenter <math>x</math> major quàm <math>n</math>, &
<math>xx</math> majus quàm <math>nn</math>, & <math>nxx</math> majus quàm <math>n^3</math>. Atqui habemus quo-
que per tran$po$itionem <math>lxx + n^3 = x^3</math>. Quare erit <math>lxx + nxx</math>
majus quàm <math>x^3</math>. Dividatur utraque pars per <math>xx</math>, eritque <math>l + n</math>

<pb 124>[680]<rh>D<sc>e</sc> L<sc>IMITIBVS</sc></rh>
major quàm <math>x</math>. Inventa itaque e$t radix <math>x</math> æquationis propo$itæ
major quàm <math>l</math> & <math>n</math>, $ed minor quàm <math>l + n</math>. Manife$tum e$t quo-
que ad evitandam extractionem radicis cubicæ ex <math>n^3</math>, quòd loco <math>n</math>
$umi po$$it minor trium dimen$ionum ip$ius <math>n^3</math>, quando <math>x</math> major
e$t; & quando minor perhibetur quàm <math>l + n</math>, quòd tunc loco <math>n</math>
maxima trium dimen$ionum ip$ius <math>n^3</math> accipi queat, & $ic de reli-
quis, quibus ob nimiam facilitatem non immoramur.</p>
<p>_Prop._ 3. <math>x^3 + lxx^* - n^3 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem erit <math>x^3 = n^3 - lxx</math>, ac per con$equens <math>{n^3 / l}</math>
majus quàm <math>xx</math>. E$t etiam <math>lxx = n^3 - x^3</math>, & con$equenter <math>n</math> ma-
jor quàm <math>x</math>, & <math>nxx</math> majus quàm <math>x^3</math>. Sed habetur <math>x^3 + lxx = n^3</math>.
Ergo <math>nxx + lxx</math> majus erit quàm <math>n^3</math>, hoc e$t, divisâ utrâque par-
te per <math>n + l</math>, erit <math>xx</math> majus quàm <math>{n^3 / n + l}</math>. Inventa e$t itaque radix <math>x</math>
æquationis propo$itæ major quàm <math>√{n^3 / l + n}</math>, $ed minor quàm <math>√{n^3 / l}</math>
& <math>n</math>. Demon$tratur præterea <math>nnx + lnx</math> majus e$$e quàm <math>n^3</math>, &
<math>nx + lx</math> majus quàm <math>nn</math>, & con$equenter <math>x</math> major quàm <math>{nn / l + n}</math>,
quandoquidem <math>n</math> major e$t quàm <math>x</math>.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> IV.</h>
<p it>De Æquationibus Cubicis, in quibus omnes ter-
mini extant.</p>
<p>_Prop._ 1. <math>x^3 - lxx + mmx - n^3 = o</math>.</p>
<p>PEr tran$po$itionem habebimus <math>x^3 - lxx = n^3 - mmx</math>. Hinc
$i <math>x</math> æquetur ip$i <math>l</math>, erit etiam <math>x</math> ip$i <math>{n^3 / mm}</math> æqualis. Ideoque, $i
vici$$im <math>l</math> æquetur ip$i <math>{n^3 / mm}</math> hoc e$t, <math>lmm = n^3</math>, erit $imiliter <math>x</math> ra-
dix æquationis propo$itæ æqualis ip$i <math>l</math> & <math>{n^3 / mm}</math>. Præterea $i <math>x^3 - lxx</math>
e$t realis, hoc e$t,<math>x</math> major quàm <math>l</math>, erit quoque <math>n^3 - mmx</math> realis,
& con$equ enter <math>{n, / mm}</math> major quàm <math>x</math>. Quòd $i autem eadem quan-
titas <math>x^3 - lxx</math> nihilo minor $it, tran$ponatur propo$ita æquatio
hâc ratione <math>lxx - x^3 = mmx - n^3</math>. Et quandoquidem $upponi-

<pb 125>[681]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
tur <math>lxx - x^3</math> e$$e realis, hoc e$t, <math>l</math> major quàm <math>x</math>, erit <math>mmx - n^3</math>
etiam realis, & con$equenter major erit <math>x</math> quàm <math>{n^3 / mm}</math>. Inventa e$t
itaque radix æquationis propo$itæ æqualis ip$i <math>l</math> & ip$i <math>{n^3 / mm}</math>, cùm
duo hi termini æquantur. Et $i unam tantùm habeat aut tres, quæ-
libet earum erit intra hos limites, quando inæquales $unt; $i verò
æquales, hoc e$t, <math>lmm = n^3</math>, $ub$tituto <math>lmm</math> loco <math>n^3</math> in æquatio-
ne propo$ita, & dividendo per <math>x - l</math>, cogno$cemus eam non ha-
bere aliam radicem in hoc ca$u quam <math>l</math>.</p>
<p>_Prop._ 2. <math>x^3 + lxx - mmx - n^3 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem habebimus <math>x^3 - mmx = n^3 - lxx</math>. Quòd
$i ergo <math>xx</math> & <math>mm</math> $unt æqualia, erit etiam <math>xx</math> ip$i <math>{n^3 / l}</math> æquale; & $i
<math>xx</math> majus e$t quam <math>mm</math>, erit quoque <math>{n^3 / l}</math> majus quam <math>xx</math>; & $i <math>xx</math>
minus e$t quam <math>mm</math>, minus quoque erit <math>{n^3 / l}</math> quam <math>xx</math>. Inventi ita-
que $unt duo limites <math>m</math> & <math>√{n^3 / l}</math>, quorum cuilibet æquatur radix
æquationis propo$itæ, $i $uerint æquales, hoc e$t, $i <math>lmm</math> æquatur
ip$i <math>n^3</math>; aut nece$$ariò inter duos erit, $i inæquales fuerint. Eadem
e$t ratio duorum reliquorum limitum <math>n</math> & <math>{mm / l}</math>.</p>
<p>_Prop._ 3. <math>x^3 - lxx - mmx - n^3 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem erit <math>x^3 - lxx = mmx + n^3</math>, ideoque x
major quàm <math>l</math>. Rur$us cum per tran$po$itionem $it <math>x^3 - mmx =
lxx + n^3</math>, erit <math>xx</math> majus quam <math>mm</math>, & <math>x</math> major quam <math>m</math>, & <math>mxx</math>
majus quam <math>mmx</math>. Sed per tran$po$itionem e$t quoque <math>x^3 - n^3 =
lxx + mmx</math>, & per con$equens <math>x</math> major quam <math>n</math>, & <math>nxx</math> majus
quam <math>n^3</math>. Quin & per tran$po$itionem propo$itæ habetur <math>lxx +
mmx + n^3 = x^3</math>, atque inventum e$t <math>mxx</math> majus quam <math>mmx</math>, &
<math>nxx</math> majus quam <math>n^3</math>. Ergo erit <math>lxx + mxx + nxx</math> majus quam
<math>x^3</math>. Quocirca $i utraque pars dividatur per <math>xx</math>, erit <math>l + m + n</math> ma-
jor quam <math>x</math>. Inventa e$t itaque radix <math>x</math> æquationis propo$itæ ma-
jor quam <math>l, m</math>, & <math>n</math>, $ed minor quam <math>l + m + n</math>.</p>

<pb 126>[682]<rh>D<sc>E</sc> L<sc>IMITIBVS</sc></rh>
<p>_Prop._ 4. <math>x^3 + lxx + mmx - n^3 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem erit <math>x^3 + mmx = n^3 - lxx</math>, ideoque <math>{n^3 / l}</math>
majus quàm <math>xx</math>. Sed e$t quoque <math>x^3 + lxx = n^3 - mmx</math>, ideoque
<math>{n^3 / mm}</math> major quàm <math>x</math>. At verò e$t etiam <math>lxx + mmx = n^3 - x^3</math>, &
con$equenter <math>n</math> major quàm <math>x</math>; quare & <math>nnx</math> majus erit quàm <math>x^3</math>,
& <math>lnx</math> majus quàm <math>lxx</math>. Atqui e$t <math>x^3 + lxx + mmx = n^3</math>. Ergo
<math>nnx + lnx + mmx</math> majus erit quàm <math>n^3</math>, & <math>x</math> major quàm
<math>{n^3 / nn + lx + mm}</math>. Quare inventa e$t radix <math>x</math> æquationis propo$itæ
major quàm <math>{n^3 / mm + ln + mm}</math>, at minor quàm <math>√{n^3 / l}</math>, <math>{n^3 / mm}</math>, & <math>n</math>.</p>
<p>_Prop._ 5. <math>x^3 - lxx + mmx + n^3 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem erit <math>mmx + n^3 = lxx - x^3</math>, ideoque l ma-
jor quàm <math>x</math>. Rur$us erit <math>x^3 + n^3 = lxx - mmx</math>, & per con$e-
quens <math>x</math> major quàm <math>{mm / l}<math>. Invenimus ergo, quamlibet duarum ra-
dicum æquationis propo$itæ nece$$ariò majorem e$$e quàm <math>{mm / l}</math>, &
minorem quàm <math>l</math>. Sed per tran$po$itionem e$t quoque <math>x^3 + mmx
= lxx - n^3</math>, & con$equenter <math>xx</math> majus quàm <math>{n^3 / l}</math>. Quare & <math>x</math> ma-
jor erit quàm <math>√{n^3 / l}</math>.</p>
<p>_Prop._ 6. <math>x^3 + lxx - mmx + n^3 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem erit <math>x^3 + lxx = mmx - n^3</math>, ideoque <math>x</math>
major quàm <math>{n^3 / mm}</math>. Similiter erit <math>x^3 + n^3 = mmx - lxx</math>, & per
con$equens <math>{mm / l}</math> major quàm <math>x</math>. Rur$us erit <math>lxx + n^3 = mmx - x^3</math>,
& con$equenter <math>m</math> major quàm <math>x</math>. Invenimus ergo, quamlibet
duarum radicum æquationis propo$itæ nece$$ariò majorem e$$e
quàm <math>{n^3 / mm}</math>, $ed minorem quàm <math>{mm / l}</math> & <math>m</math>.</p>

<pb 127>[683]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<p>_Prop._ 7. <math>x^3 - lxx - mmx + n^3 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem erit <math>x^3 - lxx = mmx - n^3</math>. Vnde patet,
$i <math>x</math> æqualis e$t ip$i <math>l</math>, quòd tunc quoque <math>x</math> ip$i <math>{n^3 / mm}</math> e$t æqualis.
Ideoque $i <math>l</math> æquatur ip$i <math>{n^3 / mm}</math>, hoc e$t, <math>lmm = n^3</math>, una radicum æ-
quationis propo$itæ æquabitur $ingulis terminorum <math>l</math> & <math>{n^3 / mm}</math>; & $i
inæquales fuerint, neutra ex duabus radicibus æquationis propo-
$itæ poterit e$$e inter hos terminos. Quia videmus, cùm <math>x</math> major
e$t quàm <math>l</math>, tum quoque <math>x</math> majorem e$$e quàm <math>{n^3 / mm}</math>; & $i minor e$t
quàm <math>l</math>, tum $imiliter <math>x</math> minorem e$$e quàm <math>{n^3 / mm}</math>. Sed per tran$po-
$itionem e$t etiam <math>x^3 - mmx = lxx - n^3</math>. Hinc $i <math>xx</math> æquetur
ip$i <math>mm</math>, erit quoque <math>xx = {n^3 / l}</math>. Ideoque $i fuerint hi termini <math>mm</math>
& <math>{n^3 / l}</math> æquales, hoc e$t, <math>lmm = n^3</math>, una radicum æquationis pro-
po$itæ major erit unoquoque terminorum æqualium <math>m</math> & <math>√{n^3 / l}</math>, &
$i inæquales $uerint, neutra duarum radicum æquationis propo$i-
tæ erit inter duos ex his terminis. Præterea per tran$po$itionem
e$t quoque <math>x^3 + n^3 = lxx + mmx</math>, ideoque <math>lxx + mmx</math> majus
quàm <math>x^3</math>, & <math>lx + mm</math> majus quàm <math>xx</math>. At <math>x</math> erit realis, & vel æqua-
lis, vel major, vel minor quàm <math>m</math>, $i æquatio propo$ita $uerit rea-
lis. Et $i æqualis $uerit vel major quàm m, erit & <math>lx + mx</math> majus
quàm <math>xx</math>, ac per con$equens <math>l + m</math> major quàm <math>x</math>. Quòd $i au-
tem minor fuerit quàm <math>m</math>, multo magis <math>l + m</math> major erit quàm <math>x</math>.
Porrò ex hac eadem æquatione con$tat, quòd <math>lxx + mmx</math> etiam
majus e$t quàm <math>n^3</math>. Hinc cum <math>l + m</math> major $it quàm <math>x</math>, ideoque
<math>llx + lmx</math> majus quàm <math>lxx</math>, erit quoque <math>llx + lmx + mmx</math> ma-
jus quàm <math>n^3</math>, & <math>x</math> major quàm <math>{n^3 / ll + lm + mm}</math>. Invenimus igitur,
quòd quælibet radicum æquationis propo$itæ major e$t quàm
<math>{n^3 / ll + lm + mm}</math>, & multo major quàm <math>{n^3 / ll + 2lm + mm}</math>, at minor
quàm <math>l + mm</math>. Denique, quoniam <math>l + m</math> major e$t quàm <math>x</math>, $i major
fuerit <math>x</math> quàm <math>m</math>, erit inter ho$ce terminos <math>l + m</math> & <math>m</math>. Quòd $i
verò <math>m</math> major e$t quàm <math>x</math>, invenimus, quòd <math>lxx + mmx</math> e$t ma-

<pb 128>[684]<rh>D<sc>E</sc> L<sc>IMITIBVS</sc></rh>
jus quàm <math>n^3</math>, hinc <math>lmx + mmx</math> multo magis erit majus quàm <math>n^3</math>;
adeoque <math>x</math> major quàm <math>{n^3 / lm + mm}</math>, & con$equenter <math>x</math> major quàm
minor horum duorum terminorum <math>m</math> & <math>{n^3 / lm + mm}</math>.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> V.</h>
<p it>De Æquationibus quatuor dimen$ionum, $ecunde
& tertio termino carentibus.</p>
<p>_Prop._ 1. <math>x^4** - n^3 x + p^4 = o</math>.</p>
<p>PEr tran$po$itionem e$t <math>x^4 = n^3 x - p^4</math>, ideoque <math>x</math> major quàm
<math>{p^4 / n^3}</math>. Sed per tran$po$itionem e$t quoque <math>p^4 = n^3 x - x^4</math>, & con-
$equenter <math>n^3</math> major quàm <math>x^3</math>, ac <math>n</math> major quàm <math>x</math>. Ergo utra-
que radix <math>x</math> æquationis propo$itæ major erit quàm <math>{p^4 / n^3}</math>, at minor
quàm <math>n</math>.</p>
<p>_Prop._ 2. <math>x^4** - n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - n^3 x = p^4</math>, ideoque <math>x^3</math> major quàm
<math>n^3</math>, & <math>x</math> major quàm <math>n</math>, & <math>nnxx</math> majus quàm <math>n^3 x</math>. Sed e$t quoque
<math>x^4 - p^4 = n^3 x</math>, ideoque <math>x^4</math> majus quàm <math>p^4</math>, & <math>x</math> major quàm <math>p</math>, &
<math>ppxx</math> majus quàm <math>p^4</math>. At per tran$po$itionem e$t etiam <math>n^3 x +
p^4 = x^4</math>. Ergo <math>nnxx + ppxx</math> majus erit quàm <math>x^4</math>. Hinc divisâ
utraque parte per <math>xx</math>, erit <math>xx</math> minus quàm <math>nn + pp</math>, & <math>x</math> minor
quàm <math><r>nn + pp.</r></math> Invenimus igitur, quòd radix æquationis pro-
po$itæ e$t major quàm <math>n & p</math>, $ed minor quàm <math><r>nn + pp</r></math>, ac proin-
de multo minor quam <math>n + p</math>.</p>
<p>_Prop._ 3. <math>x^4** + n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem erit <math>x^4 = p^4 - n^3 x</math>, ac per con$equens <math>{p^4 / n^3}</math>
major quàm <math>x</math>. Similiter erit <math>n^3 x = p^4 - x^4</math>, & con$equenter <math>p^4</math>
majus quàm <math>x^4</math>, & <math>p</math> major quàm <math>x</math>, & <math>p^3 x</math> majus quàm <math>x^4</math>. Sed
e$t præterea <math>x^4 + n^3 x = p^4</math>, ideoque <math>p^3 x + n^3 x</math> majus quàm <math>p^4</math>, &
<math>x</math> major quàm <math>{p^4 / p^4 + n^3}</math>. Invenimus itaque, quòd radix æquationis
propo$itæ e$t major quàm <math>{p^4 / p^3 + n^3}</math>, at minor quàm <math>{p^4 / n^3}</math> & <math>p</math>.</p>

<pb 129>[685]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<h>C<sc>APVT</sc> VI.</h>
<p it>De Æquationibus quatuor dimen$ionum, in quibus
tertius & quartus terminus deficiunt.</p>
<p>_Prop._ I. <math>x^4 - l x^3** + p^4 = o.</math></p>
<p>PEr tran$po$itionem e$t <math>x^4 = + l x^3 - x^4</math>, ideoque <math>x^3</math> major
quàm <math>{p^4 / l}</math>. At verò e$t etiam <math>p^4 = l x^3 - x^4</math>, & con$equen-
ter <math>l</math> major quàm <math>x</math>. Invenimusigitur, quòd unaquæque duarum
radicum æquationis propo$itæ e$t major quàm <math>√ C. {p^4 / l}</math>, at minor
quàm <math>l</math>. Hinc quoniam <math>l</math> major e$t quàm <math>x</math>, & <math>l x^3</math> majus quàm <math>p^4</math>,
habebitur <math>llxx</math> majus quàm <math>p^4</math>,
& con$equenter <math>xx</math> majus quàm
<math>{p^4 / ll}</math>, & <math>x</math> major quàm <math>{pp / l}</math>.</p>
<p>_Prop._ 2. <math>x^4 - l x^3** - p^4 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 -l x^3 = p^4</math>, ideoque <math>x</math> major quàm <math>l</math>.
Similiter e$t <math>x^4 - p^4 = l x^3</math>, & con$equenter <math>x^4</math> majus quàm p^4, &
<math>x</math> major quàm <math>p</math>, ac proinde <math>p x^3</math> majus quàm <math>p^4</math>. Sed e$t etiam
<math>l x^3 + p^4 = x^4</math>. Ergo <math>l x^3 + p x^3</math> majus erit quàm <math>x^4</math>, & <math>l + p</math> major
quàm <math>x</math>. Invenimus igitur, quòd radix <math>x</math> æquationis propo$itæ
major e$t quàm <math>l & p</math>, at minor quàm <math>l + p</math>.</p>
<p>_Prop._ 3. <math>x^4 + l x^3** - p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 = p^4 - l x^3</math> ideoque <math>{p^4 / l}</math> majus quàm
<math>x^3</math>. Similiter e$t <math>l x^3 = p^4 - x^4</math>, ac per con$equens <math>p</math> major quàm <math>x</math>,
& <math>p x^3</math> majus quàm <math>x^4</math>. Atqui e$t etiam <math>x^4 + l x^3 = p^4</math>. Ergo <math>l x^3
+ p x^3</math> majus erit quàm <math>p^4</math>, & <math>x^3</math> major quàm
<math>p^4 / l + p</math>. Quare inve-
nimus, quòd radix <math>x</math> æquationis propo$itæ major e$t quàm
<math>√ C. {p^4 / l + p</math>, $ed minor quàm <math>p & √ C. {p^4 / l}</math>. Facillimè verò evitan-
tur extractiones radicum cubicarum, $umendo terminos paulò
majores aut minores, prout nece$$itas requirit. Atque in hoc ca-

<pb 130>[686]<rh>D<sc>E</sc> L<sc>IMITIBVS</sc></rh>
$u, quoniam <math>x^3</math> major e$t quàm <math>{p^4 / l + p}</math>, & <math>p</math> major quàm <math>x</math>, erit <math>pxx</math>
majus quàm <math>p^4 / l + p</math>, & <math>xx</math> majus quàm <math>p^4 / lp + pp</math>, & <math>x</math> major quàm
<math>√ {p^4 / lp + pp}</math>. Præterea, quandoquidem <math>{p^4 / l}</math> majus e$t quàm <math>x^3</math>, erit
<math>{p^4 x / l}</math> majus quàm <math>x^4</math>, & <math>lppx</math> majus quàm <math>l x^3</math>, quia <math>p</math> major e$t
quàm <math>x</math>. Atqui e$t <math>x^4 +l x^3 = p^4</math>. Ergo <math>{p^4 x / l} + lppx</math> majus erit
quàm <math>p^4</math>. Hinc, multiplicatâ utrâque parte per <math>l</math>, & divisâ per <math>pp</math>,
habebitur <math>ppx + llx</math> majus quàm <math>lpp</math>, & <math>x</math> major quàm <math>{lpp / ll + pp}</math>.</p>
<p>De æquationibus quatuor dimen$ionum, in quibus $ecundus
& quartus terminus deficiunt, nihil addimus: $iquidem illæ ad
quadratas referuntur, ita ut ip$arum limites eodem modo quo
quadratarum inveniri po$$int.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> VII.</h>
<p it>De Æquationibus quatuor dimen$ionum, $ecundo
termino carentibus.</p>
<p>_Prop._ 1. <math>x^4* - mmxx + n^3 x - p^4 = o.</math></p>
<p>PEr tran$po$itionem erit <math>x^4 - mmxx = p^4 - n^3 x.</math> Vnde appa-
rct, quòd, $ifuerit <math>xx</math> æquale ip$i <math>mm</math>, hoc e$t, <math>x = m</math>, etiam
<math>x</math> ip$i <math>{p^4 / n^3}</math> $it æqualis futura. Ideoque $i fuerit m æqualis ip$i <math>{p^4 / n^3}</math>, hoc
e$t, <math>m n^3 - p^4</math>, radix <math>x</math> æquationis propo$itæ æquabitur $ingulis
terminorum <math>m</math> & <math>{p^4 / n^3}</math>; & $i inæquales $uerint, unaquæque radicum
æquationis propo$itæ, $iveunam $ive tres habuerit, $emper erit
inter duos ho$ce terminos. Præterea cogno$citur, $i duo hi ter-
mini fuerint æquales, hoc e$t, <math>m n^3 = p^4</math>, $ub$tituto <math>m n^3</math> loco <math>p^4</math> in
æquatione propo$ita, eâque divisâ per <math>x - m</math>, fore, utnon po$$it
habere aliam radicem realem præter <math>m</math>.</p>

<pb 131>[687]<rh>Æ <sc>QVATIONVM.</sc></rh>
<p>_Prop._ 2. <math>x^4* + mmxx - n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem habebimus <math>x^4 - n^3 x = p^4 - mmxx</math>. Vn-
decon$tat, $i <math>x</math> æqualis fuerit ip$i <math>n</math>, fore etiam <math>xx = {p^4 / mm}</math>; hoc
e$t, <math>x = √ {p^4 / mm}</math> aut <math>{pp / m}</math>, tunc radicem
æquationis fore æqualem cuilibet horum terminorum; & $i in-
æquales fuerint, tunc eam nece$$ariò futuram inter ho$ce duos.
Idem demon$trabitur de duobus reliquis <math>p</math> & <math>{n^3 / mm}</math>; nempe $i fue-
rint æquales, radix æquationis propo$itæ æquabitur unicuique il-
lorum duorum; $in inæquales, nece$$ariò con$tituetur inter duos,
tran$po$itâ $cilicet æquatione in hunc modum <math>x^4 - p^4 = n^3 x -
mmxx</math>.</p>
<p>_Prop._ 3. <math>x^4* - mmxx - n^3 x - p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem erit <math>x^4 - mmxx = n^3 x + p^4</math>, ideoque <math>xx</math>
majus quàm <math>mm</math>, & <math>x</math> major quàm <math>m</math>, & <math>m x^3</math> majus quàm <math>mmxx</math>.
Sed e$t etiam <math>x^4 - n^3 x = mmxx + p^4</math>, ideoque <math>x^3</math> major quàm
<math>n^3</math>, & <math>x</math> major quàm <math>n</math>, & <math>n x^3</math> majus quàm <math>n^3 x</math>. Eodem modo e$t
<math>x^4 - p^4 = mmxx + n^3 x</math>, & con$equenter <math>x^4</math> majus quàm <math>p^4</math>, & <math>x</math>
major quàm <math>p</math>, & <math>p x^3</math> majus quàm <math>p^4</math>. Atqui per tran$po$itionem
e$t quoque <math>mmxx + n^3 x + p^4 = x^4</math>. Quare <math>m x^3 + n x^3 + p x^3</math>
majus erit quàm <math>x^4</math>, & <math>m + n + p</math> major quàm <math>x</math>. Con$imili ra-
tione demon$trabitur, quòd <math>mmxx + nnxx + ppxx</math> majus erit
quàm <math>x^4</math>, & con$equenter <math>mm + nn + pp</math> majus quàm <math>xx</math>. In-
venimus ergo, quòd radix <math>x</math> propo$itæ æquationis major e$t
quàm <math>m</math>, <math>n</math>, & <math>p</math>, at minor quàm <math>m + n + p</math>, & <math><r>mm + nn + pp</r>.</math></p>
<p>_Prop._ 4. <math>x^4* + mmxx + n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 + mmxx = p^4 - n^3 x</math>, ideoque <math>{p^4 / n^3}</math>
majus quàm <math>x</math>. Similiter e$t <math>x^4 + n^3 x = p^4 - mmxx</math>, ac per con-

<pb 132>[688]<rh>D<sc>E</sc> L<sc>IMITIBVS</sc></rh>
$equens <math>{p^4 / mm}</math> majus quàm <math>xx</math>, hoc e$t, <math>{pp / m}</math> majus quàm <math>x</math>. Atqui
e$t quoque <math>mmxx + n^3 x = p^4 - x^4</math>, & con$equenter <math>p^4</math> majus
quàm <math>x^4</math>, ac <math>p</math> major quàm <math>x</math>, & <math>p^3 x</math> majus quàm <math>x^4</math>, nec non
<math>mmpx</math> majus quàm <math>mmxx</math>. Sed e$t etiam <math>x^4 + mmxx + n^3 x = p^4</math>.
Quare <math>p^3 x + mmpx + n^3 x</math> majus e$t quàm <math>p^4</math>, ac per con$e-
quens, divisâ utrâque parte per <math>p^3 + mmp + n^3</math>, erit radix <math>x</math> pro-
po$itæ æquationis major quàm <math>{p^4 / p^3 + mmp + n^3}</math>; at minor quàm
<math>{p^4 / n^3}</math>, <math>{pp / m}</math>, & <math>p</math>.</p>
<p>_Prop._ 5. <math>x^4* - mmxx + n^3 x + p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>n^3 x + p^4 = mmxx - x^4</math>, ideoque <math>mm</math>
majus quàm <math>xx</math>, & <math>m</math> major quàm <math>x</math>. Similiter e$t <math>x^4 + p^4 =
mmxx - n^3 x</math>, & con$equenter <math>x</math> major quàm <math>{n^3 / mm}</math>. Præterea e$t
<math>x^4 + n^3 x = mmxx - p^4</math>, ac per con$equens <math>xx</math> majus quàm
<math>{p^4 / mm}</math>, hoc e$t, <math>x</math> major quàm <math>{pp / m}</math>. Invenimus ergo quamlibet ra-
dicum æquationis propo$itæ majorem e$$e quàm <math>{n^3 / mm}</math> & <math>{pp / m}</math>, at mi-
norem quàm <math>m</math>.</p>
<p>_Prop._ 6. <math>x^4* + mmxx - n^3 x + p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 + mmxx = n^3 x - p^4</math>, ideoque <math>x</math>
major quàm <math>{p^4 / n^3}</math>. Sed e$t etiam <math>x^4 + p^4 = n^3 x - mmxx</math>, ac per
con$equens <math>{n^3 / mm}</math> majus quàm <math>x</math>. Similiter e$t <math>x^4 + mmxx + p^4
= n^3 x</math>, ideoque <math>n^3</math> major quàm <math>x^3</math>, & <math>n</math> major quàm <math>x</math>. Inveni-
mus ergo quamlibet duarum radicum æquationis propo$itæ ma-
jorem e$$e quàm <math>{p^4 / n^3}</math>, at minorem quàm <math>{n^3 / mm}</math> & <math>n</math>.</p>
<p>_Prop._ 7. <math>x^4* - mmxx - n^3 x + p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - mmxx = n^3 x - p^4</math>. Vnde pa-

<pb 133>[689]<rh>Æ <sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
tet, $i <math>xx</math> æquaturip$i <math>mm</math>, hoc e$t, <math>x = m</math>, eandem <math>x</math> $ore æqua-
lem ip$i <math>{p^4 / n^3}</math>; ac per con$equens, $i fuerint termini hi <math>m & {p^4 / n^3}</math> æqua-
les, erit una radicum æquationis propo$itæ æqualis $ingulis ip$o-
rum; & $i inæquales $uerint; neutra duarum radicum æquatio-
nis propo$itæ poterit e$$e inter illos duos <math>m</math> & <math>{p^4 / n^3}</math>. Eodem modo
per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - n^3 x = mmxx - p^4</math>. Vnde $imiliter
di$cimus, $i <math>x^3</math> æquatur ip$i <math>n^3</math>, hoc e$t, <math>x = n</math>, fore etiam
<math>xx = {p^4 / mm}</math>, hoc e$t, <math>x = {pp / m}</math>. Ideoque $i hi termini <math>n</math> & <math>{pp / m}</math> $uerint
æquales, una ex radicibus æquationis propo$itæ æquabitur $in-
gulis eorundem terminorum; $in verò inæquales fuerint, nul-
la radicum æquationis propo$itæ inter illos duos con$tituta erit.
Præterea per tran$po$itionem e$t <math>x^4 + p^4 = mmxx + n^3 x</math>, ideo-
que <math>mmxx + n^3 x</math> majus quàm <math>x^4</math>, & <math>mmx + n^3</math> majus quàm <math>x^3</math>.
Porrò, $i propo$ita æquatio e$t realis, erit <math>x</math> realis, & æqualis,
vel major, vel minor quàm <math>n</math>. Si fuerit æqualis vel major, erit
<math>mmx + nnx</math> majus quàm <math>x^3</math>, & <math>mm + nn</math> majus quàm <math>xx</math>, hoc
e$t, <math>x</math> minor erit quàm <math><r>mm + nn.</r></math> Si fuerit <math>x</math> minor quàm <math>n</math>,
minor etiam erit quàm <math><r>mm + nn.</r></math> Quare patet, quamlibet
radicum æquationis propo$itæ nece$$ariò minorem e$$e quàm
<math><r>mm + nn.</r></math> Denique exi$tente <math>x^4 + p^4 = mmxx + n^3 x</math>, erit
$imiliter <math>mmxx + n^3 x</math> majus quàm <math>p^4</math>. Et quia inventa e$t
<math><r>mm + nn</r></math> major quàm <math>x</math>, erit con$equenter <math>mmx <r>mm + nn</r></math>
majus quàm <math>mmxx</math>, ideoque <math>mmx <r>mm + nn</r></math>, <math>+ n^3 x</math>, majus
quàm <math>p^4</math>, & <math>x</math> major quàm <math>{p^4 / mm <r>mm + nn,</r> + n^3}</math>. Quare inventus
e$t terminus unus major & alter minor quàm quælibet dua-
rum radicum æquationis propo$itæ. Atque ita modo $equenti
capite ob$ervato propo$itione $eptimâ demon$trari pote$t, quòd
x major e$t quàm minor horum terminorum <math>n</math> & <math>{p^4 / mmn + n^3}</math>.</p>

<pb 134>[690]<rh>D<sc>E</sc> L<sc>IMITIBVS</sc></rh>
<h>C<sc>APVT</sc> VIII.</h>
<p it>De Æquationibus quatuor dimen$ionum, penultimo
termino carentibus.</p>
<p>_Prop._ 1. <math>x^4 - l x^3 + mmx x^* - p^4 = o.</math></p>
<p>PEr tran$po$itionem e$t <math>x^4 - l x^3 = p^4 - mmxx.</math> Vnde con-
$tat, $i <math>x</math> e$t æqualis ip$i <math>l</math>, etiam <math>xx</math> æquari <math>{p^4 / mm}</math>, hoc e$t,
<math>x = {pp / m}</math> ideoque $i <math>l</math> æqualis e$t ip$i <math>{pp / m}</math>, hoc e$t, <math>lm = pp</math>, erit ra-
dix æquationis propo$itæ æqualis $ingulis terminorum <math>l</math> & <math>{pp / m}</math>; &
$i fuerint in æquales, unaquæque radicum æquationis propo$itæ,
$ive unam, $ive tres habuerit, $emper erit inter hos terminos; $ed
$i fuerint æquales, hoc e$t, <math>lm = pp</math>, & <math>llmm = p^4</math>, $ub$tituto
<math>llmm</math> loco <math>p^4</math> in æquatione propo$ita, eâque divisâ per <math>x - l</math>, co-
gno$cemus in hoc ca$u non haberi aliam radicem veram præ-
ter <math>l</math>.</p>
<p>_Prop._ 2. <math>x^4 + l x^3 - mmx x^* - p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - mmxx = p^4 - l x^3</math>. Vnde con-
$tat, $i fuerit <math>x = m</math>, etiam <math>√C. {p^4 / l}</math> æquari ip$i <math>x</math>; ideoque $i duo
termini <math>m</math> & <math>√ C. {p^4 / l}</math> $int æquales, erit radix æquationis æqualis
$ingulis horum terminorum; $in verò inæquales fuerint, erit illa
nece$$ariò inter duos. Similiter per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - p^4 =
mmxx - l x^3</math>. Vnde di$cimus, quòd $i <math>x</math> æqualis e$t ip$i <math>p</math>, fore
quoque eam æqualem ip$i <math>{mm / l}</math>; ideoque $i termini <math>p</math> & <math>{mm / l}</math> æquan-
tur, erit radix æquationis æqualis unicuique illorum; $ed $i in-
æquales fuerint, erit illa nece$$ariò inter utro$que con$tituta.</p>
<p>_Prop._ 3. <math>x^4 - l x^3 - mmxx^* - p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - l x^3 = mmxx + p^4</math>, ideoque <math>x</math>

<pb 135>[691]<rh>Æ<sc>QVATIONVM.</sc></rh>
major quàm <math>l</math>. Sed & per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - mmxx = l x^3
+ p^4</math>, ideoque <math>x</math> major quàm <math>m</math>, & <math>m x^3</math> majus quàm <math>mmxx</math>. Si-
militer per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - p^4 = l x^3 + mmxx</math>, ideoque
<math>x</math> major quàm <math>p</math>, & <math>p x^3</math> majus quàm <math>p^4</math>. Præterea per tran$po$i-
tionem propo$itionis e$t <math>l x^3 + mmxx + p^4 = x^4</math>, ideoque <math>l x^3 +
m x^3 + p x^3</math>, majus quàm <math>x^4</math>, & <math>l + m + p</math> majus quàm <math>x</math>. Quare
invenimus radicem <math>x</math> æquationis propo$itæ majorem e$$e quàm
<math>l</math>, <math>m</math>, & <math>p</math>, at minorem quàm <math>l + m + p</math>. Denique per tran$po$i-
tionem e$t <math>x^4 = l x^3 + mmxx + p^4</math>, ideoque <math>x^4</math> majus quàm <math>l x^3 +
mmxx</math>, & <math>xx</math> majus quàm <math>lx + mm</math>. Atqui demon$tratum e$t $u-
periùs <math>x</math> majorem e$$e quàm <math>l</math>, ac proinde <math>ll</math> minus quam <math>lx</math>. Mul-
tò igitur magis <math>xx</math> majus erit quàm <math>ll + mm</math>, & <math>x</math> major quàm
<math><r>ll + mm.</r></math> Non di$$imili ratione demon$trabitur, quòd <math>x</math> ma-
jor e$t quàm <math>√ <r>l^4 + p^4,</r> √ <r>m^4 + p^4,</r></math> & <math>√ <r>mmpp + p^4</r>.</math></p>
<p>_Prop._ 4. <math>x^4 + l x^3 + mmxx^* - p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 + l x^3 = p^4 - mmxx</math>, ideoque <math>{p^4 / mm}</math>
majus quàm <math>xx</math>, & <math>{pp / m}</math> majus quàm <math>x</math>. Similiter e$t <math>x^4 + mmxx =
p^4 - l x^3</math>, ac per con$equens <math>p</math> major quàm <math>x</math>, & <math>ppxx</math> majus
quàm <math>x^4</math>, & <math>llpp</math> majus quàm <math>l x^3</math>. Sed per tran$po$itionem pro-
po$itionis e$t etiam <math>x^4 + l x^3 + mmxx = p^4</math>. Quare <math>ppxx + lpxx
+ mmxx</math> majus erit quàm <math>p^4</math>, & <math>xx</math> majus quàm <math>{p^4 / pp + lp + mm}</math>, &
<math>x</math> major quàm <math>√ {p^4 / pp + lp + mm}</math>. At verò exi$tente <math>x^4 + l x^3 +
mmxx = p^4</math>, erit quoque <math>p^4</math> majus quàm <math>l x^3</math>, ideoque <math>{p^4 / l}</math> majus
quàm <math>x^3</math>, & <math>√ C. {p^4 / l}</math> majus quàm <math>x</math>. Inventa igitur e$t radix <math>x</math> æ-
quationis propo$itæ major quàm <math>√ {p^4 / pp + lp + mm}</math>; at minor quàm
<math>{pp / m}</math>, <math>√ C. {p^4 / l}</math>, & <math>p</math>.</p>
<p>_Prop._ 5. <math>x^4 - l x^3 + mmxx^* + p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>mmxx + p^4 = l x^3 - x^4</math>, ideoque <math>l</math> ma-

<pb 136>[692]<rh>D<sc>E</sc> L<sc>IMITIBVS</sc></rh>
jor quàm <math>x</math>. Deinde e$t <math>x^4 + p^4 = l x^3 - mmxx</math>, ac per con$e-
quens <math>x</math> major quàm <math>{mm / l}</math>. Præterea e$t <math>x^4 + mmxx = l x^3 - p^4</math>,
ac proinde <math>x^3</math> major quàm <math>{p^4 / l}</math>, & <math>x</math> major quàm <math>√ C. {p^4 / l}</math>. Inveni-
musigitur, unamquamque duarum radicum æquationis propo$i-
tæ majorem e$$e quàm <math>{mm / l}</math> & <math>√ C. {p^4 / l}</math>, at minorem quàm <math>l</math>.</p>
<p>_Prop._ 6. <math>x^4 + l x^3 - mmxx^* + p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 + p^4 = mmxx - l x^3</math>, ideoque <math>{mm / l}</math>
majus quàm <math>x</math>. Deinde e$t <math>{l x^3 + p^4 = mmxx - x^4}</math>, ac proinde
<math>m</math> major quàm <math>x</math>. Præterea e$t <math>x^4 + l x^3 = mmxx - p^4</math>, & con-
$equenter <math>xx</math> majus quàm <math>{p^4 / mm}</math>, hoc e$t, <math>x</math> major quàm <math>{pp / m}</math>. Inve-
nimus ergo, unamquamque duarum radicum æquationis propo-
$itæ majorem e$$e quàm <math>{pp / m}</math>, at minorem quàm <math>{mm / l}</math> & <math>m</math>.</p>
<p>_Prop._ 7. <math>x^4 - l x^3 - mmxx^* + p^4 = o.</math></p>
<p>Pertran$po$itionem habebimus <math>x^4 - l x^3 = mmxx - p^4</math>. Vn-
de pater, $i <math>x</math> æqualis e$t ip$i <math>l</math>, ip$am <math>x</math> quoque fore æqualem ip$i
<math>{pp / m}</math>; & per con$equens, $i $uerint ter mini <math>l</math> & <math>{pp / m}</math> æquales, erit una
radicum æquationis propo$itæ æqualis $ingulis illorum; & $i fue-
rint inæquales, neutra duarum radicum æquationis propo$itæ
poterit e$$e inter illos duos con$tituta. Eodem modo per tran$-
po$itionem e$t <math>x^4 - mmxx = l x^3 - p^4</math>. Vnde $imiliter con$tat,
$i fuerit <math>x</math> æqualis ip$i <math>m</math>, fore quoque <math>x</math> æqualem ip$i <math>√ C. {p^4 / l}</math>;
ideoque $i æquales fuerint <math>m</math> & <math>√ C. {p^4 / l}</math>, una radicum æquationis
propo$itæ æqualis erit cuilibet horum terminorum æqualium; &
$i $uerint inæquales, nulla radicum æquationis propo$itæ erit in-
ter illos duos con$tituta. Porrò per tran$po$itionem e$t quoque
<math>x^4 + p^4 = l x^3 + mmxx</math>, unde <math>l x^3 + mmxx</math> majus erit quàm <math>x^4</math>,
& <math>lx + mm</math> majus quàm <math>xx</math>. Iam $i fuerit æquatio propo$ita rea-

<pb 137>[693]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
lis, erit <math>x</math> vel æqualis, vel major, vel minor quàm <math>m</math>, & <math>l + m</math>
major quàm <math>x</math>. Quòd $i fuerit <math>x</math> minor quàm <math>m</math>, multo magis
ip$a minor erit quàm <math>l + m</math>.</p>
<p>Deinde ex eadem æquatione <math>x^4 + p^4 = l x^3 + mmxx</math> etiam
con$tat, quòd <math>l x^3 + mmxx</math> majus e$t quàm <math>p^4</math>. Atqui inventa
e$t <math>l + m</math> major quàm <math>x</math>. Ergo <math>llxx + lmxx</math> majus erit quàm
<math>l x^3</math>, & <math>llxx + lmxx + mmxx</math> majus quàm <math>p^4</math>, ideoque <math>xx</math>
majus quàm <math>{p^4 / ll + lm + mm}</math>. Hinc cum <math>llxx + 2lmxx + mmxx</math>
multò majus $it quàm <math>p^4</math>, erit quoque per con$equens <math>lx + mx</math>
majus quàm <math>pp</math>, & <math>x</math> major quàm <math>{pp / l + m}</math>. Quare invenimus
quamlibet duarum radicum æquationis propo$itæ majorem e$$e
quàm <math>√ {p^4 / ll + lm + mm}</math> & <math>{pp / l + m}</math>, at minorem quàm <math>l + m</math>.</p>
<p>Cæterùm quoniam invenimus, quòd <math>x</math> nece$$ariò e$t minor
quàm <math>l + m</math>; patet, $i <math>x</math> $upponitur major quàm <math>m</math>, eam fore in-
ter hos terminos <math>l + m</math> & <math>m</math>. Quòd $i <math>m</math> fuerit æqualis aut ma-
jor quàm <math>x</math>; quoniam <math>l x^3 + mmxx</math> majus e$t quàm <math>p^4</math>, erit &
<math>lmxx + mmxx</math> majus quàm <math>p^4</math>, & <math>xx</math> majus quàm <math>{p^4 / lm + mm}</math>, &
<math>x</math> major quàm <math>√ {p^4 / lm + mm}</math>. Quare unaquæque duarum radicum
æquationis propo$itæ major erit quàm minor duorum termino-
rum <math>m</math> & <math>√ {p^4 / lm + mm}</math>, at minor quàm <math>l + m</math>.</p>
<h>C <sc>APVT</sc> IX.</h>
<p it>De limitibus Æquationum quatuor dimen$ionum
tertio termino carentium.</p>
<p>_Prop._ I. <math>x^4 - l x^3* + n^3 x - p^4 = o.</math></p>
<p>PEr tran$po$itionem e$t <math>x^4 - l x^3 = p^4 - n^3 x</math>. Vnde patet,
quòd $i <math>x</math> æqualis e$t ip$i <math>l</math>, $ore quoque <math>x</math> æqualem ip$i <math>{p^4 / n^3}</math>;
ideoque $i fuerit <math>l</math> æqualis ip$i <math>{p^4 / n^3}</math>, hoc e$t, <math>l n^3 = p^4</math>, radix æqua-

<pb 138>[694]<rh>D<sc>E</sc> L<sc>IMITIBVS</sc></rh>
tionis propo$itæ æqualis erit $ingulis terminorum <math>l</math> & <math>{p^4 / n^3}</math>; & $i
fuerint inæquales, unaquæque radicum æquationis propo$itæ, $i-
ve unam, $ive tres habuerit, $emper erit inter hos terminos. Præ-
terea cogno$cimus, quòd, $i $uerint hi ultimi termini æquales,
hoc e$t, <math>l n^3 = p^4</math>, $ub$tituto in æquatione propo$ita <math>l n^3</math> loco <math>p^4</math>,
& divisâ æquatione per <math>x - l</math>, ip$a non po$$it aliam habere ve-
ram radicem quàm <math>l</math>.</p>
<p>_Prop._ 2. <math>x^4 + l x^3* - n^3 x - p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - n^3 x = p^4 - l x^3</math>. Vnde con$tat,
$i <math>x</math> æqualis e$t ip$i <math>n</math>, fore quoque <math>x^3 = {p^4 / l}</math>, hoc e$t, <math>x = √ C. {p^4 /l}</math>;
& $i fuerit <math>n</math> æqualis ip$i <math>√ C. {p^4 / l}</math>, radix æquationis æquabitur $in-
gulis horum terminorum; & $i fuerint inæquales, erit nece$$ariò
inter duos. Deinde per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - p^4 = n^3 x - l x^3</math>.
Vnde patet, $i fuerit <math>x</math> æqualis ip$i <math>p</math>, fore quoque <math>xx = {n^3 / l}</math>, hoc
e$t, <math>x = √ {n^3 / l}</math>; ideoque $i fuerit <math>p</math> æqualis ip$i <math>√{n^3 / l}</math>, radix æqua-
tionis propo$itæ æquabitur $ingulis horum terminorum, & $i fue-
rint inæquales, erit nece$$ariò inter utro$que.</p>
<p>_Prop._ 3. <math>x^4 - l x^3* - n^3 x - p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - l x^3 = n^3 x + p^4</math>, ideoque <math>x</math> ma-
jor quàm <math>l</math>. eodem modo e$t <math>x^4 - n^3 x = l x^3 + p^4</math>, ac proinde
<math>x</math> major quàm <math>n</math>, & <math>n x^3</math> majus quàm <math>n^3 x</math>. Similiter e$t <math>x^4 - p^4
= l x^3 + n^3 x</math>, ideoque <math>x</math> major quàm <math>p</math>, & <math>p x^3</math> majus quà <math>p^4</math>.
Sed per tran$po$itionem e$t quoque <math>l x^3 + n^3 x + p^4 = x^4</math>. Qua-
re <math>l x^3 + n x^3 + p x^3</math> majus erit quàm <math>x^4</math>, & <math>l + n + p</math> major quàm <math>x</math>.
Ergo invenimus radicem <math>x</math> æquationis propo$itæ majorem e$$e
quàm <math>l</math>, <math>n</math>, & <math>p</math>, at minorem quàm <math>l + n + p</math>. Porrò ex hac æ-
quatione <math>l x^3 + n^3 x + p^4 = x^4</math> etiam con$tat, quod <math>l x^3 + n^3 x</math> e$t
minus quàm <math>x^4</math>: & quandoquidem invenimus <math>l</math> minorem e$$e
quàm <math>x</math>, erit <math>l^3 x</math> minus quàm <math>l x^3</math>, ideoque <math>l^3 x + n^3 x</math> multo minus
quàm <math>x^4</math>, & <math>x^3</math> major quàm <math>l^3 + n^3</math>. Non di$$imili ratione demon-
$trabitur, quòd <math>x</math> major e$t quàm <math>√<r>l^4 + p^4</r></math> & <math>√<r>l n^3 + p^4</r>.</math></p>

<pb 139>[695]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<p>_Prop._ 4. <math>x^4 + l x^3 * + n^3 x - p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 + l x^3 = p^4 - n^3 x</math>, ideoque <math>{p^4 / n^3}</math> ma-
jus quàm <math>x</math>. Eodem modo e$t <math>x^4 + n^3 x = p^4 - l x^3</math>, ac proinde
<math>{p^4 / l}</math> majus quàm <math>x^3</math>. Similiter e$t <math>l x^3 + n^3 x = p^4 - x^4</math>, & per con-
$equens <math>p</math> major quàm <math>x</math>, & <math>p^3 x</math> majus quàm <math>x^4</math>, ac <math>lpp x</math> majus
quàm <math>l x^3</math>. Sed per tran$po$itionem propo$itionis e$t quoque
<math>x^4 + l x^3 + n^3 x = p^4</math>. Quare <math>p^3 x + lppx + n^3 x</math> majus erit quàm
<math>p^4</math>, & <math>x</math> major quàm <math>{p^4 / p^3 + lpp + n^3}</math>. Et$ic inventa e$t radix <math>x</math> æ-
quationis propo$itæ major quàm <math>{p^4 / p^3 + lpp + n^3}</math>, at minor quàm
<math>{p^4 / n^3}</math>, <math>√ C. {p^4 / l}</math>, & <math>p</math>.</p>
<p>_Prop. 5._ <math>x^4 - l x^3 * + n^3 x + p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>n^3 x + p^4 = l x^3 - x^4</math>, ideoque <math>l</math> major
quàm <math>x</math>. Deinde e$t <math>x^4 + p^4 = l x^3 - n^3 x</math>, quare erit <math>xx</math> majus
quàm <math>{n^3 / l}</math>, hoc e$t, <math>x</math> major quàm <math>√ n^3 / l</math>. Sed e$t quoque <math>x^4 + n^3 x
= l x^3 - p^4</math>, ideoque <math>x^3</math> majus quàm <math>{p^4 / l}</math>, & <math>x</math> major quàm <math>√ C. {p^4 / l}</math>.
Quare invenimus, quòd quælibet duarum radicum æquationis
propo$itæ nece$$ariò major e$t quàm <math>√ {n^3 / l}</math> & <math>√ C. {p^4 / l}</math>, at minor
quàm <math>l</math>.</p>
<p>Prop. 6. <math>x^4 + l x^3* - n^3 x + p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 + p^4 = n^3 x - l x^3</math>, ideoque <math>{n^3 / l}</math> ma-
jus quàm <math>xx</math>, hoc e$t, <math>x</math> minor quàm <math>√ {n^3 / l}</math>. Deinde e$t <math>x^4 + l x^3
= n^3 x - p^4</math>, ideoque <math>x</math> major quàm <math>{p^4 / n^3}</math>. Præterea e$t <math>l x^3 + p^4 =
n^3 x - x^4</math>, & idcirco <math>n^3</math> major quàm <math>x^3</math>, hoc e$t, <math>x</math> mainor quàm <math>n</math>.
Ergo invenimus, unamquamque duarum radicum <math>x</math> æquationis
propo$itæ majorem e$$e quàm <math>{p^4 / n^3}</math>, at minorem quàm <math>√ {n^3 / l}</math> & <math>n</math>.</p>

<pb 140>[696]<rh>D<sc>E</sc> L<sc>IMITIBVS</sc></rh>
<p>_Prop._ 7. <math>x^4 - l x^3* - n^3 x + p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem habebimus <math>x^4 - l x^3 = n^3 x - p^4.</math> Vn-
de patet, $i <math>x</math> æqualis e$t ip$i <math>l</math>, fore quoque <math>x</math> æqualem ip$i
<math>{p^4 / n^3}</math>; & per con$equens, $i fuerint hi termini <math>l</math> & <math>{p^4 / n^3}</math> æquales, hoc
e$t, <math>l n^3 = p^4</math>, una ex radicibus æquationis propo$itæ æqualis erit
$ingulis horum terminorum æqualium <math>l</math> & <math>{p^4 / n^3}</math>; & $i inæquales fue-
rint, neutra duarum radicum æquationis propo$itæ poterit e$$e
inter ip$os. Deinde per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - n^3 x = l x^3 - p^4.</math>
Vnde $imili modo patet, $i <math>x</math> æquatur ip$i <math>n</math>, ip$am <math>x</math> quoque æ-
quari ip$i <math>√ C. {p^4 / l}</math>; ideoque $i termini hi <math>n</math> & <math>√ C. {p^4 / l}</math> æquales fue-
rint, una radicum æquationis propo$itæ æquabitur $ingulis ho-
rum terminorum æqualium; & $i fuerint inæquales, nulla radi-
cum æquationis propo$itæ erit inter utro$que. Porrò per tran$-
po$itionem e$t quoque <math>x^4 + p^4 = l x^3 + n^3 x</math>, ideoque <math>l x^3 + n^3 x</math>
majus quàm <math>x^4</math>, & <math>lxx + n^3</math> majus quàm <math>x^3</math>. Iam $i fuerit pro-
po$ita æquatio realis, erit <math>x</math> realis, & vel æqualis, vel major vel
minor quàm <math>m</math>. Quòd $i fuerit æqualis vel major, erit <math>lxx + nxx</math>
majus quàm <math>x^3</math>. Sin verò minor $it, erit <math>x</math> multò minor quàm
<math>l + n</math>. Quare utraque duarum radicum propo$itæ æquationis ne-
ce$$ariò minor erit quàm <math>l + n</math>. Quin & exi$tente <math>x^4 + p^4 = l x^3
+ n^3 x</math>, erit quoque <math>l x^3 + n^3 x</math> majus quàm <math>p^4</math>. Atqui invenimus
<math>l + n</math> majorem e$$e quàm <math>x</math>, ac proinde <math>ll + nn + 2 ln</math> majus
quàm <math>xx</math>, & <math>l^3 + lnn + 2lln</math> majus quàm <math>lxx</math>, nec non <math>l^3 x +
lnnx + 2llnx</math> majus quàm <math>l x^3</math>. Ergo <math>l^3 x + lnnx + 2llnx +
n^3 x</math> majus erit quàm <math>p^4</math>, & <math>x</math> major quàm <math>p^4 / l^3 + lnn + 2lln + n^3</math>.
Et quandoquidem cubus ex <math>l + n</math> major e$t quàm <math>l^3 + lnn +
2lln + n^3</math>, multò magis erit <math>x</math> major quàm <math>p^4</math> divi$um per cubum
ex <math>l + n</math>. Invenimus itaque quòd quælibet duarum radicum æ-
quationis propo$itæ major e$t quàm <math>p^4</math> divi$um per cubum ex
<math>l + n</math>, ut & major quàm <math>{p^4 / l^3 + lnn + 2lln + n^3}</math>, at minor quàm
<math>l + n</math>. Præterea, quoniam <math>l + n</math> major e$t quàm <math>x</math>, $i fuerit <math>x</math>

<pb 141>[697]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
major quàm <math>n</math>, erit nece$$ariò inter hos terminos <math>l + n</math> & <math>n</math>.
Quòd $i verò <math>n</math> fuerit vel æqualis vel major quàm <math>x</math>, quia <math>l x^3 +
n^3 x</math> majus e$t quàm <math>p^4</math>, crit & <math>lnnx + n^3 x</math> majus quàm <math>p^4</math>, & <math>x</math>
major quàm <math>{p^4 / lnn + n^3}</math>. Ac proinde quælibet radicum æquationis
propo$itæ major erit quàm minor horum terminorum <math>n</math> &
<math>{p^4 / lnn + n^3}</math>, at minor quàm <math>l + n</math>.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> X.</h>
<h it>De limitibus Æquationum quatuor dimen$ionum,
in quibus nullus terminus dee$t.</h>
<p>_Prop._ 1. <math>x^4 - l x^3 + mmxx - n^3 x + p^4 = o.</math></p>
<p>PEr tran$po$itionem e$t <math>l x^3 + n^3 x = x^4 + mmxx + p^4</math>, ideo-
que <math>l x^3 + n^3 x</math> majus quàm <math>x^4</math>, & <math>lxx + n^3</math> majus quàm <math>x^3</math>.
Iam $i fuerit propo$ita æquatio realis, erit & <math>x</math> realis, & vel æ-
qualis vel major vel minor quàm <math>n</math>. Quòd $i fuerit æqualis vel
major, erit <math>lxx + nxx</math> majus quàm <math>x^3</math>, hoc e$t, <math>l + n</math> major
quàm <math>x</math>, & <math>x</math> minor quàm <math>n</math>. Multò igitur magis minor erit quàm
<math>l + n</math>. Ergo <math>x</math> nece$lariò minor erit quàm <math>l + n</math>. Deinde ex ea-
dem æquatione <math>l x^3 + n^3 x = x^4 + mmxx + p^4</math> con$tat, e$$e
<math>l x^3 + n^3 x</math> majus quàm <math>p^4</math>. Sed inventa e$t <math>l + n</math> major quàm <math>x</math>,
ac per con$equens <math>ll + nn + 2ln</math> majus quàm <math>xx</math>, & <math>l^3 x + lnnx + 2llnx</math>
majus quàm <math>l x^3</math>. Quare erit <math>l^3 x + lnnx + 2llnx
+ n^3 x</math> majus quàm <math>p^4</math>, & <math>x</math> major quàm
<math>{p^4 / l^3 + lnn + 2lln + n^3}</math>; &
quandoquidem cubus ex <math>l + n</math> major e$t quàm <math>l^3 + lnn +
2lln + n^3</math>, multò magis erit <math>x</math> major quàm <math>p^4</math> divi$um per cubum
ex <math>l + n</math>. Inventus e$t itaque terminus unus major & alter mi-
nor quàm unaquæque radicum æquationis propo$itæ, $ive hæc
duas $ive quatuor radices habuerit. Præterea, quoniam inveni-
nus, quòd <math>l + n</math> $emper major e$t quàm <math>x</math>, $i ponatur <math>x</math> quo-
que major quàm <math>n</math>; manife$tum e$t eam e$$e inter duos termi-
nos <math>l + n</math> & <math>n</math>. Quòd $i autem <math>x</math> fuerit æqualis vel minor quàm
<math>n</math>, quoniam e$t <math>l x^3 + n^3 x</math> majus quàm <math>p^4</math>; erit <math>lnnx + n^3 x</math>

<pb 142>[698]<rh>D<sc>E</sc> L<sc>IMITIBVS</sc></rh>
majus quàm <math>p^4</math>, ideoque <math>x</math> major quàm <math>{p^4 / lnn + n^3}</math>. ergo unaquæ-
que radicum propo$itæ æquationis, $ive duas, $ive tres habuerit,
major erit quàm minor horum duorum terminorum <math>n & {p^4 / lnn + n^3}</math>,
at minor quàm <math>l + n</math>.</p>
<p>_Prop._ 2. <math>x^4 - l x^3 + mmxx + n^3 x + p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>mmxx + n^3 x + p^4 = l x^3 - x^4</math>,
ideoque <math>l</math> major quàm <math>x</math>. Similiter e$t <math>x^4 + n^3 x + p^4 = l x^3 -
mmxx</math>, ac idcirco <math>x</math> major quàm <math>{mm / l}</math>. Præterea e$t <math>x^4 + mmxx
+ p^4 = l x^3 - n^3 x</math>, ac per con$equens <math>xx</math> majus quàm <math>{n^3 / l}</math>. De-
nique e$t <math>x^4 + mmxx + n^3 x = l x^3 - p^4</math>, & con$equenter <math>x^3</math>
major quàm <math>{p^4 / l}</math>. Quare invenimus, unamquamque duarum ra-
dicum æquationis propo$itæ majorem e$$e quàm <math>{mm / l}</math>, √ <math>{n^3 / l}</math>, &
<math>√ C. {p^4 / l}</math>, at minorem quàm <math>l</math>.</p>
<p>Prop. 3. <math>x^4 - l x^3 - mmxx - n^3 x + p^4 = o.</math></p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>l x^3 + mmxx + n^3 x = x^4 + p^4</math>,
ideoque <math>l x^3 + mmxx + n^3 x</math> majus quàm <math>x^4</math>. Iam $i propo-
$ita æquatio fuerit realis, erit <math>x</math> realis, & vel æqualis vel major
vel minor quàm maxima duarum <math>m</math> & <math>n</math>. Quòd $i fuerit æqua-
lis vel major, erit <math>l x^3 + m x^3 + n x^3</math> majus quàm <math>x^4</math>, & <math>l + m
+ n</math> major erit quàm <math>x</math>, & magis $i fuerit <math>x</math> minor quàm ma-
xima duarum <math>m</math> & <math>n</math>. Quare <math>l + m + n</math> erit nece$$ario major
quàm <math>x</math>. Præterea <math>m</math> erit aut æqualis, aut major, aut minor
quàm <math>n</math>. Quòd $i fuerit æqualis aut major, & quidem <math>x</math> major
quàm <math>m</math>, erit radix æquationis propo$itæ inter ho$ce terminos
<math>l + m + n & m</math>. Quòd $i, exi$tente <math>m</math> æquali aut majore quàm
<math>n</math>, etiam <math>m</math> $it æqualis vel major quàm <math>x</math>; erit & <math>lmmx + m^3 x</math>

<pb 143>[699]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<math>+ n^3 x</math> æquale aut majus quàm <math>l x^3 + mmxx + n^3 x</math>, ac per
con$equens majus quàm <math>p^4</math>; ideoque <math>x</math> major quàm
<math>{p^4 / lmm + m^3 + n^3}</math>. Vnde $i fuerit <math>m</math> vel æqualis vel major quàm <math>n</math>,
erit <math>x</math> nece$$ariò major quàm minor horum duorum terminorum
<math>m</math> & <math>{p^4 / lmm + m^3 + n^3}</math>; & $i <math>n</math> fuerit major quàm <math>m</math>, con$imili ra-
tione demon$trabitur <math>x</math> etiam nece$$ariò majorem e$$e minore
horum duorum terminorum <math>n</math> & <math>{p^4 / lnn + mmn + n^3}</math>. Invenimus
ergo unamquamque duarum radicum æquationis propo$itæ ma-
jorem e$$e minore horum terminorum <math>m</math> & <math>{p^4 / lmm + m^3 + n^3}</math>, $i
<math>m</math> vel æqualis vel major fuerit quàm <math>n</math>; aut majorem minore
duorum <math>n</math> & <math>{p^4 / lnn + mmn + n^3}</math>, $i <math>n</math> major $it quàm <math>m</math>; at verò
$emper minorem quàm <math>l + m + n</math>.</p>
<p>_Prop._ 4. <math>x^4 - l x^3 - mmxx + n^3 x + p^4 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>l x^3 + mmxx = x^4 + n^3 x + p^4</math>,
ideoque <math>l x^3 + mmxx</math> majus quàm <math>x^4</math>, & <math>lx + mm</math> majus
quàm <math>xx</math>. Iam $i fuerit propo$ita æquatio realis, erit & <math>x</math> realis,
& vel æqualis vel major vel minor quàm <math>m</math>. Quòd $i fuerit æ-
qualis vel major, erit <math>lx + mx</math> majus quàm <math>xx</math>, & <math>l + m</math> ma-
jor quàm <math>x</math>; & multò magis, $i fuerit <math>x</math> minor quàm <math>m</math>. Ergo <math>x</math>
nece$$ariò minor erit quàm <math>l + m</math>. Vnde $i fuerit <math>x</math> major quàm
<math>m</math>, erit inter ho$ce terminos <math>l + m & m</math>. Quòd $i <math>x</math> fuerit vel
æqualis vel minor quàm <math>m</math>, quandoquidem & <math>l x^3 + mmxx</math>
majus e$t quàm <math>p^4</math>; erit <math>lmxx + mmxx</math> majus quàm <math>p^4</math>; ideo-
que <math>xx</math> majus quàm <math>{p^4 / lm + mm}</math>, & <math>x</math> major quàm <math>√ {p^4 / lm + mm}</math>.
Quare quælibet duarum radicum æquationis propo$itæ major
erit quàm minor duorum terminorum <math>m</math> & <math>√ {p^4 / lm + mm}</math>, at mi-
nor quàm <math>l + m</math>.</p>

<pb 144>[700]<rh>D<sc>E</sc> L<sc>IMITIBVS</sc></rh>
<p>_Prop._ 5. <math>x^4 + l x^3 + mmxx - n^3 x + p^4 = o</math>.</p>
<p>Demon$trabitur ex tran$po$itionibus requi$itis <math>n^3 x</math> fore majus
quàm <math>x^4</math>, ideoque <math>n</math> majorem quàm <math>x</math>; & <math>n^3 x</math> majus quàm <math>l x^3</math>,
ac proinde <math>{n^3 / l}</math> majus quàm <math>xx</math>; & denique <math>n^3 x</math> majus quàm <math>p^4</math>,
& per con$equens <math>x</math> majorem quàm <math>{p^4 / n^3}</math>. Invenimus itaque ter-
minum unum majorem $ingulis radicum æquationis propo$itæ, at
verò duos alios minores.</p>
<p>_Prop._ 6. <math>x^4 + l x^3 - mmxx - n^3 x + p^4 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>mmxx + n^3 x = x^4 + l x^3 + p^4</math>,
ideoque <math>mmxx + n^3 x</math> majus quàm <math>x^4</math>, & <math>mmx + n^3</math> majus
quàm <math>x^3</math>. Iam $i fuerit propo$ita æquatio realis, erit <math>x</math> realis, &
vel æqualis vel major vel minor quàm <math>n</math>. Quòd $i fuerit æqualis
vel major, erit <math>mmx + nnx</math> majus quàm <math>x^3</math>, & <math><r>mm + nn</r></math>
major quàm <math>x</math>; & multò magis, $i fuerit <math>x</math> minor quàm <math>n</math>. Qua-
re erit <math><r>mm + nn</r></math> $emper major quàm <math>x</math>, & <math>x</math> erit inter termi-
nos <math><r>mm + nn</r></math> & <math>n</math>, $i major e$t quàm <math>n</math>. Quòd $i fuerit æqualis
aut minor quàm <math>n</math>, quoniam e$t <math>mmxx + n^3 x</math> majus quàm <math>p^4</math>,
erit quoque <math>mmnx + n^3 x</math> majus quàm <math>p^4</math>, ideoque <math>x</math> major
quàm <math>{p^4 / mmn + n^3}</math>. Ergo quælibet duarum radicum æquationis
propo$itæ major erit quàm minor horum duorum terminorum <math>n</math>
& <math>{p^4 / mmn + n^3}</math>, at minor quàm <math>mm + nn</math>.</p>
<p it>_Prop._ 7. <math>x^4 + l x^3 - mmxx + n^3 x + p^4 = o</math>.</p>
<p>Factis tran$po$itionibus requi$itis, demon$trabitur e$$e <math>x</math> mino-
rem quàm <math>m</math> & <math>{mm / l}</math>, at majorem quàm <math>{n^3 / mm}</math> & <math>{pp / m}</math>.</p>

<pb 145>[701]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
<p>_Prop._ 8. <math>x^4 - l x^3 + mmxx - n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - l x^3 = n^3 x + p^4 - mmxx</math>, ideo-
que $i fuerit <math>x^4 = l x^3</math>, erit <math>x = l</math>, & <math>l n^3 = n^3 x</math>, & <math>n^3 x + p^4
= mmxx</math>, ac proinde <math>l n^3 + p^4 = mmxx</math>, & <math>x = <r>{l n^3 + p^4 / mm}</r></math>.
Vnde parte, $i fuerit <math>l = <r>{l n^3 + p^4 / mm}</r></math>, hoc e$t, $i habeatur <math>llmm
= l n^3 + p^4</math>; radicem æquationis propo$itæ fore æqualem $in-
gulis terminorum æqualium <math>l</math> & <math><r>{l n^3 + p^4 / mm}</r></math>: ac idcirco, $ub$ti-
tuto in hoc ca$u in æquatione propo$ita valore ip$ius <math>p^4</math>, nempe
<math>llmm - l n^3</math>, ip$am e$$e divi$ibilem per <math>x - l</math>. Quòd $i fuerit <math>x^4</math>
majus quàm <math>l x^3</math>, hoc e$t, <math>x</math> major quàm <math>l</math>, erit quoque <math>n^3 x + p^4</math>
majus quàm <math>mmxx</math>; & $i fuerit <math>l x^3</math> majus quàm <math>x^4</math>, hoc e$t,
<math>l</math> major quàm <math>x</math>, erit & <math>mmxx</math> majus quàm <math>n^3 x + p^4</math>. Iam
quandoquidem æquatio propo$ita e$t realis, erit <math>x</math> realis & vel
æqualis, vel major, vel minor quàm <math>p</math>. Quòd $i fuerit æqualis
vel major quàm <math>p</math>, $itque major quàm <math>l</math>, quoniam tunc <math>n^3 x + p^4</math>
quoque majus e$t quàm <math>mmxx</math>, erit & <math>n^3 x + p^3 x</math> majus quàm
<math>mmxx</math>, & <math>{n^3 + p^3 / mm}</math> majus quàm <math>x</math>. Ergo in hoc ca$u erit <math>x</math> major
quàm <math>l</math>, & minor quàm <math>{n^3 + p^3 / mm}</math>. Quòd $i autem <math>x</math> minori exi-
$tente quàm <math>l</math>, ip$a $it æqualis vel major quàm <math>p</math>, quoniam &
tunc <math>n^3 x + p^4</math> minus e$t quàm <math>mmxx</math>, erit $imiliter <math>n^3 x + p^3 x</math>
minùs quàm <math>mmxx</math>, & con$equenter <math>{n^3 + p^3 / mm}</math> minus quàm <math>x</math>.
Igitur in hoc ca$u erit <math>x</math> minor quàm <math>l</math>, & major quàm <math>{n^3 + p^3 / mm}</math>.
Quare univer$aliter apparet, æquationem propo$itam non ha-
bere præter unam radicem realem ip$i <math>l</math> æqualem, cùm e$t <math>llmm
= l n^3 + p^4</math>; modò quælibet radicum, $ive unam, $ive tres ha-
buerit, fuerit $emper nece$$ariò inter maximum & minimum
trium terminorum <math>l</math>, <math>{n^3 + p^3 / mm}</math>, & <math><r>{n^3 p + p^4 / mm}</r></math>.</p>

<pb 146>[702]<rh>D<sc>E</sc> L<sc>IMITIBVS</sc></rh>
<p>_Prop._ 9. <math>x^4 - l x^3 + mmxx + n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - l x^3 = p^4 - mmxx - n^3 x</math>, ideo-
que $i fuerit <math>x^4 = l x^3</math>, hoc e$t, <math>x = l</math>, erit <math>mmxx = - n^3 x + p^4</math>,
& per con$equens <math>mmxx = - n^3 l + p^4</math>, & <math>xx = {p^4 - l n^3 / mm}</math>, &
<math>x = <r>{p^4 - l n^3 / mm}</r></math>. Quòd $i ergo <math>l</math> æqualis e$t <math>{p^4 - l n^3 / mm}</math>, hoc e$t,
$i fuerit <math>llmm = p^4 - l n^3</math>; radix æquationis propo$itæ æqualis
erit unicuique terminorum æqualium <math>l</math> & <math><r>{p^4 - l n^3 / mm}</r></math>: ideoque $i
in hoc ca$u in æquatione propo$ita loco <math>p^4</math>, $ub$tituatur ejus
valor, nempe <math>llmm + l n^3</math>, apparebit ip$am dividi po$$e pez
<math>x - l</math>, atque nullam aliam radicem veram admittere præter <math>l</math>.
Si verò <math>x^4</math> fuerit majus quàm <math>l x^3</math>, hoc e$t, <math>x</math> major quàm <math>l</math>,
erit & <math>p^4</math> majus quàm <math>mmxx + n^3 x</math>; & contra, $i fuerit <math>l</math> ma-
jor quàm <math>x</math>, erit etiam <math>mmxx + n^3 x</math> majus quàm <math>p^4</math>. Iam $i æ-
quatio propo$ita e$t realis, erit <math>x</math> realis, & vel æqualis, vel ma-
jor, vel minor quàm <math>n</math>. E$to igitur, quòd <math>x</math> major quàm <math>l</math> $it vel
æqualis vel major quàm <math>n</math>; quare cum & <math>p^4</math> tunc majus $it quàm
<math>mmxx + n^3 x</math>, erit quoque <math>p^4</math> majus quàm <math>mmnx + n^3 x</math>; ideo-
que <math>{p^4 / mmn + n^3}</math> majus quàm <math>x</math>. Quare in hoc ca$u erit <math>x</math> major
quàm <math>l</math>, & minor quàm <math>{p^4 / mmn + n^3}</math>. Quòd $i <math>x</math>, cùm major e$t
quàm <math>l</math>, minor fuerit quàm <math>n</math>, erit & <math>p^4</math> majus quàm <math>mmxx +
n^3 x</math>, ideoque multò majus quàm <math>mmxx + nnxx</math>, & con$e-
quenter <math>{p^4 / mm + nn}</math> majus quàm <math>xx</math>, & √ <math>{p^4 / mm + nn}</math> major quàm <math>x</math>.
Quare in hoc ca$u <math>x</math> erit major quàm <math>l</math>, & minor quàm
√ <math>{p^4 / mm + nn}</math>. Quòd $i verò <math>x</math>, cùm minor e$t quàm <math>l</math>, vel æqualis
fuerit vel major quàm <math>n</math>, erit <math>mmxx + n^3 x</math> majus quàm <math>p^4</math>,
ideoque <math>mmxx + nnxx</math> majus quàm <math>p^4</math>, & <math>xx</math> majus quàm
<math>{p^4 / mm + nn}</math>, & <math>x</math> major quàm √ <math>{p^4 / mm + nn}</math>. Ergo in hoc ca$u erit <math>x</math>

<pb 147>[703]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
minor quàm <math>l</math>, & major quàm √ <math>{p^4 / mm + nn}</math>. Po$tremò, cùm <math>x</math>
minor quàm <math>l</math>, etiam ip$a minor $it quàm <math>n</math>, erit <math>mmxx + n^3 x</math>
majus quàm <math>p^4</math>, & <math>mmnx + n^3 x</math> multò majus quàm <math>p^4</math>, & per
con$equens <math>x</math> major quàm <math>{p^4 / mmn + n^3}</math>. Igitur <math>x</math> in hoc ca$u, mi-
nor erit quàm <math>l</math>, & major quàm <math>{p^4 / mmn + n^3}</math>.</p>
<p>Quæ cum ita $int, con$tat univer$aliter, æquationem propo$i-
tam non habere ni$i unam veram radicem, quæ æqualis e$t ip$i <math>l</math>,
quando e$t <math>llmm = p^4 - l n^3</math>, modo unaquæque radicum, $ive
unam tantùm, $ive tres habuerit, fuerit $emper nece$$ario in-
ter maximum & minimum trium terminorum <math>l</math>, <math>{p^4 / mmn + n^3}</math>, &
<math>√ {p^4 / mm + nn}</math>.</p>
<p>_Prop._ 10. <math>x^4 - l x^3 - mmxx - n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p>Factis nece$$ariis tran$po$itionibus, demon$trabitur, quòd <math>x</math>
major e$t quàm <math>l</math>, <math>m</math>, <math>n</math>, & <math>p</math>. Deinde erit quoque per tran$po$i-
tionem <math>l x^3 + mmxx + n^3 x + p^4 = x^4</math>, & per con$equens <math>l x^3
+ m x^3 + n x^3 + p x^3</math> majus quàm <math>x^4</math>, & <math>l + m + n + p</math> ma-
jor quàm <math>x</math>. Porrò, quoniam e$t <math>x^4 = l x^3 + mmxx + n^3 x + p^4</math>,
erit <math>x^4</math> majus quàm <math>l x^3 + mmxx</math>, & <math>xx</math> majus quàm <math>lx + mm</math>,
ideoque multo magis <math>x</math> major erit quàm <math><r>ll + mm</r></math> & <math><r>lm + mm</r></math>.
Similiter, cum <math>x^3</math> major $it quàm <math>lxx + mmx + n^3</math>, erit mul-
to magis major quàm <math>l^3 + m^3 + n^3</math>, <math>l^3 + lmm + n^3</math>, & 2 <math>lmm
+ n^3</math>, & $ic de reliquis terminis, quos $ub$tituere licet loco <math>x^3</math>,
minores quàm <math>x^3</math>. Sic <math>x^4</math> majus e$t quàm <math>l^4 + m^4 + n^4</math>, quàm
<math>m^4 + n^4 + p^4</math>, & $ic de reliquis. Præterea, quoniam <math>x</math> major e$t
quàm <math>n</math> & <math>p</math>, & <math>l x^3 + mmxx + n^3 x + p^4 = x^4</math>, erit <math>l x^3 + mmxx
+ nnxx + ppxx</math> majus quàm <math>x^4</math>, ideoque <math>lx + mm + nn + pp</math>
majus quàm <math>xx</math> aliquâ quantitate. quæ quidem quantitas, etiam-
$i $it incognita, $i appelletur <math>zz</math>, habebitur <math>lx + mm + nn + pp
= xx + zz</math>. Quantitas autem hæc incognita <math>zz</math> nece$$ariò mi-
nor erit quàm <math>mm + nn + pp</math>, aliàs, ablatis ex duabus partibus
æquationis præcedentis, æqualibus, aut minori quantitate ex pri-

<pb 148>[704]<rh>D<sc>E</sc> L<sc>IMITIBVS</sc></rh>
ma & majori ex $ecunda, e$$et reliqua <math>lx</math> aut æqualis, aut major
quàm <math>xx</math>. Quod foret ab$urdum, quandoquidem <math>x</math> demon$tra-
ta e$t major quàm <math>l</math>. Quare habemus hanc æquationem <math>xx = lx
+ mm + nn + pp - zz</math>, quæ erit realis, eritque <math>x = {1/2} l +
<r>{1/4}ll + mm + nn + pp</r></math>. Manife$tum verò e$t, quòd <math>{1/4} ll + mm
+ nn + pp</math> majus e$t quàm <math>{1/4}ll + mm + nn + pp - zz</math>. Er-
go <math>{1/2}l + <r>{1/4}ll + mm + nn + pp</r></math> major erit quàm <math>x</math>, ideoque
<math><r>ll + mm + nn + pp</r></math> multo magis major erit quàm <math>x</math>; ita ut
radix propo$itæ æquationis nece$$ariò $it inter <math>ll + mm</math> &
<math>{1/2} l + <r>{1/4}ll + mm + nn + pp</r></math>.</p>
<p it>_Prop. 11._ <math>x^4 - l x^3 - mmxx + n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - l x^3 - mmxx = p^4 - n^3 x</math>. Vn-
de, $i fuerit <math>x^4 - l x^3 - mmxx = o</math>, hoc e$t, omnibus per <math>xx</math>
divi$is, <math>xx - lx - mm = o</math>, erit quoque <math>p^4 - n^3 x = o</math>. Hoc
e$t, $i $uerit <math>xx = lx + mm</math>, vel <math>x = {1/2} l + <r>{1/4} ll + mm</r></math>; erit &
<math>p^4 = n^3 x</math>, vel <math>x = {p^4 / n^3}</math>. Quare con$tat, $i fuerit <math>{p^4 / n^3} = {1/2} l + <r>{1/4}ll + mm,</r></math>
radicem æquationis propo$itæ fore æqualem $ingulis termino-
rum æqualium <math>{p^4 / n^3}</math> & <math>{1/2}l + <r>{1/4}ll + mm</r></math>. Quòd $i fuerit <math>x^4</math> ma-
jus quàm <math>l x^3 + mmxx</math>, hoc e$t, <math>xx</math> majus quàm <math>lx + mm</math>; erit
<math>p^4</math> etiam majus quàm <math>n^3 x</math>, hoc e$t, <math>{p^4 / n^3}</math> majus quàm <math>x</math>. Iam exi-
$tente <math>xx</math> majori quàm <math>lx + mm</math>, erit <math>xx = lx + mm</math> plus ali-
quâ quantitate. Quæ quidem quantitas, etiam$i $it incognita,
$i v ocetur <math>zz</math>: habebitur <math>xx = lx + mm + zz</math>, & <math>x = {1/2} l +
<r>{1/4}ll + mm + zz</r></math>, eritque <math>x</math> major quàm <math>{1/2} l + <r>{1/4}ll + mm.</r></math>
Quare in hoc ca$u erit <math>x</math> minor quàm <math>{p^4 / n^3}</math>, & major quàm <math>{1/2} l +
<r>{1/4}ll + mm.</r></math> Quòd $i fuerit <math>x^4</math> minus quàm <math>l x^3 + mmxx</math>, hoc
e$t, <math>xx</math> minus quàm <math>lx + mm</math>; erit & <math>p^4</math> minus quàm <math>n^3 x</math>, hoc
e$t, <math>x</math> major quàm <math>{p^4 / n^3}</math>. Hinc exi$tente <math>xx</math> minori quàm <math>lx + mm</math>,

<pb 149>[705]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
erit <math>xx = lx + mm</math> minus aliquâ quantitate. Quæ $i nominetur
<math>zz</math>, habebitur <math>xx = lx + mm - zz</math>, hoc e$t, <math>x = {1 / 2} l +
<r>{1/4}ll + mm - zz</r></math>, eritque <math>x</math> minor quàm <math>{1/2} l + <r>{1/4}ll + mm.</r></math>
Ergo in hoc ca$u erit <math>x</math> major quàm <math>{p^4 / n^3}</math>, & minor quàm <math>{1/2}l +
<r>{1/4}ll + mm</r></math>. Quare univer$aliter pater, radicem æquationis
propo$itæ æqualem e$$e ip$i <math>{p^4 / n^3}</math> & <math>{1/2}l + <r>{1/4}ll + mm</r></math>, quando <math>{p^4 / n^3}</math>
æquatur ip$i <math>{1/2}l + {1/4}ll + mm</math>; Sin $ecus, quamlibet radicum,
$ive unam tantùm, $ive tres habuerit, $emper e$$e inter ho$ce
terminos <math>{p^4 / n^3}</math> & <math>{1/2}l + <r>{1/4}ll + mm}.</r></math></p>
<p>_Prop._ 12. <math>x^4 + l x^3 + mmxx - n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - p^4 = n^3 x - l x^3 - mmxx</math>; ideo-
que $i fuerit <math>x = p</math>, erit quoque <math>n^3 x = l x^3 + mmxx</math>, &
<math>x = {n^3 / lp + mm}</math>. Vnde con$tat, $i <math>lpp + mmp</math> æquetur <math>n^3</math>, radi-
cem æquationis fore æqualem $ingulis terminorum æqualium <math>p</math> &
<math>{n^3 / lp + mm}</math>. Quòd $i fuerit <math>x^4</math> majus quàm <math>p^4</math>, hoc e$t, <math>x</math> major
quàm <math>p</math>, erit quoque <math>n^3 x</math> majus quàm <math>l x^3 + mmxx</math>. Iam $i æ-
quatio propo$ita e$t realis, erit & <math>x</math> realis, & vel æqualis, vel
major, vel minor quàm <math>m</math>. Quòd $i fuerit æqualis vel major quàm
<math>m</math>, & eadem quantitas <math>x</math> etiam major $it quàm <math>p</math>, quandoquidem
& tunc <math>n^3 x</math> majus e$t quàm <math>l x^3 + mmxx</math>, erit <math>n^3 x</math> majus quàm
<math>lmxx + mmxx</math>, & <math>{n^3 / lm + mm}</math> majus quàm <math>x</math>. Quare in hoc ca$u
erit <math>x</math> major quàm <math>p</math>, & minor quàm <math>{n^3 / lm + mm}</math>. Quòd $i exi$tente
<math>x</math> majore quàm <math>p</math> ip$a minor $it quàm <math>m</math>, erit <math>n^3 x</math> majus quàm
<math>l x^3 + m x^3</math>, & <math>{n^3 / l + m}</math> majus quàm <math>xx</math>. Ergo in hoc ca$u erit <math>x</math>
major quàm <math>p</math>, & minor quàm <math>√ {n^3 / l + m}</math>. Quòd $i verò, <math>x</math> minori
exi$tente quàm <math>p</math>, ip$a $it major quàm <math>m</math>, vel eidem æqualis, quan-
doquidem & tunc <math>n^3 x</math> minus e$t quàm <math>lx + mmxx</math>, erit <math>n^3 x</math>

<pb 150>[706]<rh>D<sc>E</sc> L<sc>IMITIBVS</sc></rh>
minor quàm <math>l x^3 + m x^3</math>, hoc e$t, <math>xx</math> majus quàm <math>{n^3 / l + m}</math>. Quare
in hoc ca$u erit <math>x</math> minor quàm <math>p</math>, & major quàm <math>√ {n^3 / l + m}</math>. Deni-
que, cùm fuerit <math>x</math> minor quàm <math>p</math>, & ip$a etiam minor quàm <math>m</math>,
quoniam & tunc <math>n^3 x</math> minus e$t quàm <math>l x^3 + mmxx</math>, erit <math>n^3 x</math> mi-
nus quàm <math>lmxx + mmxx</math>, & <math>x</math> major quàm <math>{n^3 / lm + mm}</math>. Vnde
con$tat univer$aliter, radicem æquationis propo$itæ e$$e æqua-
lem $ingulis terminorum æqualium <math>p</math> & <math>{n^3 / lp + mm}</math>, cùm e$t <math>lpp +
mmp</math> æquale ip$i <math>n^3</math>; $ed cùm inæquales $unt, e$$e radicem æ-
quationis propo$itæ nece$$ariò inter majorem & minorem termi-
norum <math>p</math>, <math>√ {n^3 / l + m}</math>, & <math>{n^3 / lm + mm}</math>.</p>
<p>_Prop._ 13. <math>x^4 + l x^3 + mmxx + n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p>Factis nece$$ariis tran$po$itionibus, demon$trabitur <math>x</math> fore mi-
norem quàm <math>p</math>, <math>√ C. {p^4 / l}</math>, <math>√ {p^4 / mm}</math>, & <math>{p^4 / n^3}</math>; at verò majorem quàm
<math>{p^4 / p^3 + lpp + mmp + n^3}</math>.</p>
<p>_Prop._ 14. <math>x^4 + l x^3 - mmxx - n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 - n^3 x = mmxx + p^4 - l x^3</math>; ideo-
que $i fuerit <math>x^4 = n^3 x</math>, hoc e$t, <math>x = n</math>, erit <math>mmxx + p^4 = l x^3</math>,
hoc e$t, <math>{mmnn + p^4 / l} = x^3</math>. Quòd $i fuerit <math>x</math> major quàm <math>n</math>, erit &
<math>mmxx + p^4</math> majus quàm <math>l x^3</math>: $in minor fuerit, erit <math>mmxx + p^4</math>
minus quàm <math>l x^3</math>. Iam, $i <math>x</math> major e$t quàm <math>n</math>, & etiam vel æqua-
lis vel major quàm <math>p</math>, quandoquidem & tunc <math>mmxx + p^4</math> majus
e$t quàm <math>l x^3</math>, multo magis erit <math>mmxx + ppxx</math> majus quàm <math>l x^3</math>,
hoc e$t, <math>{mm + pp / l}</math> majus quàm <math>x</math>. Ergo in hoc ca$u erit <math>x</math> major
quàm <math>n</math>, & minor quàm <math>{mm + pp / l}</math>. Quòd $i <math>x</math> major fuerit quàm
<math>n</math>, & etiam minor quàm <math>p</math>, quoniam & tunc <math>mmxx + p^4</math> majus
e$t quàm <math>l x^3</math>, erit quoque <math>mmpp + p^4</math> majus quàm <math>l x^3</math>, hoc e$t,
<math>x^3</math> minor quàm <math>{mmpp + p^4 / l}</math>, & <math>x</math> minor quàm <math>√ C. {mmpp + p^4 / l}</math>.

<pb 151>[707]<rh>Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
Quare in hoc ca$u erit <math>x</math> major quàm <math>n</math>, & minor quàm
<math><r>C. {mmpp + p^4 / l}</r></math>. Quòd $i <math>x</math> minor fuerit quàm <math>n</math>, & vel æqualis
vel major quàm <math>p</math>, quandoquidem & tunc <math>mmxx + p^4</math> minus e$t
quàm <math>l x^3</math>, erit quoque <math>mmpp + p^4</math> minus quàm <math>l x^3</math>, & <math>x</math> major
quàm <math><r>C. {mmpp + p^4 / l}</r></math>. Ergo in hoc ca$u erit <math>x</math> minor quàm <math>n</math>, &
major quàm <math><r>C. {mmpp + p^4 / l}</r></math>. Quòd $i verò <math>x</math> minor fuerit quàm
<math>n</math>, & ip$a etiam minor $it quàm <math>p</math>, quoniam & tunc <math>mmxx + p^4</math>
minor e$t quàm <math>l x^3</math>; erit quoque <math>mmxx + ppxx</math> minus quàm
<math>l x^3</math>, & <math>{mm + pp / l}</math> minus quàm <math>x</math>. Quare in hoc ca$u, erit <math>x</math> minor
quàm <math>n</math>, & major quàm <math>{mm + pp / l}</math>. Vnde univer$aliter apparet,
radicem æquationis propo$itæ nece$$ariò e$$e inter maximum &
minimum trium terminorum <math>n</math>, <math>{mm + pp / l}</math>, & <math><r>C. {mmpp + p^4 / l}</r></math>.</p>
<p>_Prop._ 15. <math>x^4 + l x^3 - mmxx + n^3 x - p^4 = o</math>.</p>
<p>Per tran$po$itionem e$t <math>x^4 + l x^3 - mmxx = p^4 - n^3 x</math>; ideo-
que $i fuerit <math>x^4 + l x^3 - mmxx = o</math>, $eu, divi$is omnibus termi-
nis per <math>xx</math>, <math>xx + lx - mm = o</math>; erit quoque <math>p^4 - n^3 x = o</math>,
hoc e$t, $i e$t <math>xx = - lx + mm</math>, vel <math>x = - {1/2} l + <r>{1/4}ll + mm</r></math>
erit <math>p^4 = n^3 x</math>, $eu <math>x = {p^4 / n^3}</math>. Vnde patet, $i <math>{p^4 / n^3}</math> e$t æquale ip$i <math>- {1/2}l +
<r>{1/4}ll + mm</r></math>, radicem æquationis propo$itæ e$$e æqualem $in-
gulis terminorum æqualium <math>{p^4 / n^3}</math> & <math>{1/2} l + <r>{1/4} ll + mm</r></math>. Quòd
$i fuerit <math>x^4 + l x^3</math> majus quàm <math>mmxx</math>, hoc e$t, <math>xx + lx</math> majus
quàm <math>mm</math>, erit quoque <math>p^4</math> majus quàm <math>n^3 x</math>, hoc e$t, <math>{p^4 / n^3}</math> majus quàm
<math>x</math>. Ac proinde cum <math>xx + lx</math> majus $it quàm <math>mm</math>, erit <math>xx + lx</math> majus
quàm <math>mm</math> aliquâ quantitate. Quantitas autem hæc, licèt $it incogni-
ta, vocetur <math>zz</math>, eritque <math>xx + lx = mm + zz</math>, $eu <math>xx = - lx + mm + zz</math>,
hoc e$t, <math>x = - {1/2} l + <r>{1/4}ll + mm + zz</r></math>, ideoque <math>x</math> major quàm
<math>- {1/2}l + <r>{1/4}ll + mm</r></math>. Ergo in hoc ca$u <math>x</math> minor erit quàm <math>{p^4 / n^3}</math>, &
major quàm <math>- {1/2} l + <r>{1/4}ll + mm</r></math>. Quòd $i fuerit <math>x^4 + l x^3</math> mi-

<pb 152>[708]<rh>D<sc>E</sc> L<sc>IMITIBVS</sc> Æ<sc>QVATIONVM</sc>.</rh>
nus quàm <math>mmxx</math>, hoc e$t, <math>xx + lx</math> minus quàm <math>mm</math>, erit quo-
que <math>p^4</math> minus quàm <math>n^3 x</math>, hoc e$t, <math>x</math> major quàm <math>{p^4 / n^3}</math>. Hinc cum
<math>xx + lx</math> minus $it quàm <math>mm</math>, erit <math>xx + lx</math> minor quàm <math>mm</math> ali-
quâ quantitate. Vocetur quantitas hæc quamvis incognita <math>zz</math>,
eritque <math>xx + lx + zz = mm</math>, vel <math>xx = - lx + mm - zz</math>, hoc
e$t, <math>x = - {1/2} l + <r>{1/4}ll + mm - zz</r></math>, ideoque <math>x</math> minor erit quàm
<math>- {1/2} l + <r>{1/4}ll + mm</r></math>. Quare in hoc ca$u erit <math>x</math> major quàm <math>{p^4 / n^3}</math>,
& minor quàm <math>- {1/2}l + <r>{1/4}ll + mm.</r></math> Atque ita in genere per-
$picuum e$t, cùm <math>{p^4 / n^3}</math> æquatur ip$i <math>- {1/2}l + <r>{1/4}ll + mm</r></math>, radicem
æquationis propo$itæ æqualem e$$e $ingulis terminorum æqua-
lium <math>{p^4 / n^3}</math> & <math>- {1/2}l + <r>{1/4}ll + mm</r></math>; $in minus, quamlibet radicum,
$ive unam tantùm, $ive tres habuerit, nece$$ariò e$$e inter ho$ce
terminos <math>{p^4 / n^3} & - {1/2}l + <r>{1/4}ll + mm</r></math>.</p>
<h>FINIS.</h>
<fig/>

<pb>[709]
<h>JOHANNIS DE WITT
ELEMENTA</h>
<h>CVRVARVM
LINEARVM.</h>
<h>Edita</h>
<p>Operâ F<sc>RANCISCI</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc>,
in Academia Lugduno-Batava Mathe$eos
Profe$$oris.</p>
<fig/>
<p>_AMSTELODAMI,_
Ex Typographia B<sc>LAVIANA, MDC LXXXIII.</sc>
_Sumptibus Societatis._</p>

<pb>[710]

<pb>[711]
<h>_Clari$$imo, Docti$$imoque Viro_,</h>
<h>D°. FRANCISCO à SCHOOTEN,
IOHANNES DE WITT
S. P. D.</h>
<p it>LInearum rectarum, angulorum-
que, quos comprehendunt, ut &
figurarum rectilinearum, quœ
inde na$cuntur, nec non Circu-
lorum naturam veram atque in-
trin$ecam, proprietate$que prœ-
cipuas, meo quidem judicio, $atis per$picuè tradi-
derunt Antiqui, ac quo pacto ex ii$dem traditis,
imò ex paucis & principalioribus eorundem
principiis, quœlibet Problemata Plana, ac gene-
raliter quœcunque in linearum rectarum, angu-
lorum, figurarumque rectilinearum, nec non Cir-
culorum contemplatione & cognitione de$idera-
ri queunt, re$olvantur atque eruantur, univer-
$ali quâdam viâ & Methodo Analyticâ, per
Æquationum inventionem, harumque re$olutio-
nem, pleniùs planiú$que à Recentioribus o$ten$um
e$t; Adeò ut vel unico Circulo dato, utut exiguo
aut ingenti, quœcunque Problemata Plana per
$ol as line as rectas unu$qui$que, in dictis Antiquo-
rum Recentiorumque Geometrarum prœceptis
mediocriter ver$atus, facillimè re$olvat; ac pro-

<pb>[712]
inde de ii$dem vel plura vel alio modo propo$ita
ac demon$trata quœdam de$iderare, & $uper-
vacuum & ineptum $emper exi$timavi. At ve-
rò cum cœterarum linearum curvarum Elemen-
ta, prout a Veteribus tradita at que à Recentiori-
bus explicata $unt, diligentiùs con$ider a$$em, ori-
ginem earum è $olido peti atque inde ip$as in pla-
num transferri natur ali ordini, qui in Mathe-
maticis quam maximè ob$ervandus e$t, omnino
contrarium duxi; quemadmodum & demon-
$tr ationes in ii$dem Elementis propo$itas, multis
in locis eadem de cau$a & propter varias ratio-
num compo$itiones, quibus $œpe innituntur, $ub-
ob$cur as, ac longa Propo$itionum $erie Lectori-
bustœdio memoriœ que oneri e$$e judicavi. Atque
eâ quidem contemplatione excitatus jampridem,
dum $tudiis humanioribus Liber aliumque Ar-
tium doctrinœ incumbere mihi otium er at, anim-
adverti, non eas $olùm, quas vulgò _Coni $e-_
_ctiones_ appellarunt, $ed & omnes omnino cur-
vas lineas, cuju$cunque $int generis, multiplici-
ter quidem ex varia corporum diver$imodè com-
po$itorum aut figuratorum $ectione gigni, at ve-
rò earundem $ingulas infinitis quoque modis in
plano generari, ip$arum atuem autem naturam & pro-
prietates ex ea generatione multò faciliùs quam
ex corporum $ectione deduci, ac firmiter mihi per-
$ua$um habeo, nullam aliam e$$e cau$am, quod

<pb>[713]
linearum curvarum $ecundi generis ulteriorum-
que graduum ortus, natura, proprietas, atque
e$$entia, cum exacta $pecierum enumer atione, à
nemine antehac explicata ac demon$trata $int,
quam quòd tam in tractatione ortus & genera-
tionis, quam in demon$tratione e$$entiœ ac pro-
prietatum linearum curvarum primi generis à
natur ali & $implici$$ima via deflexum $it, ut-
pote cum earundem contemplatio, prout in plano
$implici$$imè & quidem diver$imodè generan-
tur, intellectum & imaginationem ad gene$in
linearum curvarum $ecundi generis qua$i $ponte
ducat. Cumque eorum, quœ antebac, dum per
otium licuit, eò $pectantia meditatus $um, tu nunc
amici$$ime _Schooteni,_ copiam tibi fieri de$ideres,
en, quantum in me e$t, de$iderio tuo $atisfacio,
quœque de eodem argumento a me quondam con-
$cripta ac pene in ordinem redacta inveni, jam
tibi mitto, tuique omnino juris facio, cœtera au-
tem, quœ $par$im tantùm annotata $unt, $i modò
graviora id ferent negotia, recolligam, debito-
que ordine conjungam; recollecta, at que ordinata
$uo quoque tempore tibi mi$$urus, Vale. Hagœ
Com. _<sc>VIII</sc>_ Octobr. Anni _<sc>M. DC. LVIII</sc>_.</p>

<pb>[714]
<fig>
<cap>_Fig._ I.</cap>
<var>P E D H F A B I C K X G N M O Q P R</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig._ II.</cap>
<var>E D P L T C A B H F K G</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig._ III.</cap>
<var>F H D P A L E B N K I Q C G X M P O R</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig._ IV.</cap>
<var>E D C H L I B G F P K A</var>
</fig>

<pb 159>[715]
<h>JOHANNIS DE WITT
ELEMENTA
CVRVARVM
LINEARVM.</h>
<h it>LIBER PRIMVS.</h>
<h>C<sc>APUT</sc> I.</h>
<h>DEFINITIONES PRIMÆ</h>
<h>I.</h>
<p>SI per rectam lineam immotam altera
recta certo $ui puncto $ibi $emper pa-
rallela moveatur aut incedat, eodem-
que illo motu anguli cuju$dam rectili-
nei, circa punctum fixum (quod idem
$it cum ejus vertice) circulariter mo-
bilis, crus unum $emper per prædi-
ctum mobile punctum tran$iens $ecum ducat, atque ita
$imul cruris alterius, & dictæ lineæ incedentis inter$e-
ctione curva de$cribatur linea; recta, quæ, utl prædictum
e$t, $ibi $emper parallela movetur aut incedit, _De$cri-_
_bens_ dicetur.</p>
<h>II.</h>
<p>Altera verò recta, immota manens, _Directrix_ voca-
bitur.</p>
<h>III.</h>
<p>Prædictus autem angulus rectilineus, atque is qui ei
e$t deinceps, _Angulorum mobilium_ nomine venient.</p>

<pb 160>[716]<rh>E<sc>LEM.</sc> C<sc>URVARUM</sc></rh>
<h>IV.</h>
<p>At quos _de$cribens_ ad _directricem_ efficit, _Anguli ad_
_Directricem_ dicentur.</p>
<h>V.</h>
<p>Punctum fixum, circa quod _angulus mobilis_ circulari-
ter movetur, _Polus_ nuncupabitur.</p>
<h>VI.</h>
<p>Ea autem _de$cribentis_ pars, quæ inter _Polum & dire-_
_ctricem_ intercipitur, _Intervallum_ nominabitur.</p>
<h>VII.</h>
<p>Crus _anguli mobilis,_ quod _de$cribens_ $ecum ducit, _Crus_
_Patiens._</p>
<h>VIII.</h>
<p>Alterum verò crus, quod à _de$cribente_ $ecatur, _Crus_
_Efficiens,_ & per anguli verticem productum, _Linea Effi-_
_ciens_ appellabitur.</p>
<h>IX.</h>
<p>Cum _de$cribens_ per _Polum_ tran$it, ac proinde & cum
_crure patiente_ coïncidit, e$$e tam _de$cribentem_ quàm
_crus patiens_, ut & _lineam efficientem_ totumque _angulum_
_mobilem_ in _$tatione prima_ con$titutum dicemus; ac quo-
ties de iis $impliciter $ermo erit in tali ip$as po$itione con-
$iderabimus,</p>
<h>X.</h>
<p>Quamlibet curvam, inter$ectione, uti prædictum e$t,
in plano genitam, de$criptam dicemus, _efficiente_ atque
_intervallo_ con$ideratis, ut exhibentur ac $ibi invicem
junguntur _in $tatione prima;_ adeò ut _efficiens_ cum _inter-_
_vallo,_ quod tam cum ip$a _de$cribente_ quam cum _crure_
_patiente_ in eadem $tatione coïncidit, _angulum mobilem_
utrinque con$tituat.</p>

<pb 161>[717]<rh>L<sc>IB.</sc> I. C<sc>AP.</sc> I.</rh>
<p>Vt in appo$itis figuris, $i recta HG $ibi $emper parallela certo
$ui puncto, puta H, moveri concipiatur per immotam EF, eo-
demque illo motu $ecum ducere crus BH anguli HBG, circu-
<fig>
<cap>_Fig._ I.</cap>
<var>P E D H F A B I C K X G N M O Q P R</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig._ II.</cap>
<var>E C D I P L H F B A G K</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig._ III.</cap>
<var>F H D P A L E B N K I Q C G X M P O R</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig._ IV.</cap>
<var>E D C H L I B G F P K A</var>
</fig>

<pb 162>[718]<rh>E<sc>LEM.</sc> C<sc>VRVARVM</sc></rh>
lariter mobilis circa punctum B; ita ut idem crus BH $emper
tran$eat per prædictum ip$ius HG punctum H, $imulque alte-
rius cruris BG ac dictæ lineæ HG inter$ectione G de$cribatur
curva linea BG: erunt</p>
<p>H G _de$cribens._</p>
<p>EF _directrix._</p>
<p>HBG, HBP _anguli mobiles._</p>
<p>FHG, EHG _anguli ad directricem._</p>
<p>B _Polus._</p>
<p>BD _intervallum._</p>
<p>BH _crus patiens._</p>
<p>BG _crus efficiens._</p>
<p>PG _linea efficiens._</p>
<p>DK _de$cribens in $tatione prima,_ $ive _de$cribens_ $impliciter.</p>
<p>DBC, DBA _anguli mobiles in $tatione prima._</p>
<p>AC _efficiens in $tatione prima,_ $ive _efficiens_ $impliciter.</p>
<p>Curvam BG, _efficiente_ AC, _intervallo_ verò BD de$eriptam di-
cemus; ET apparet, cùm _efficiens_ PG e$t in $tatione AC, _crus pa-_
_tiens_ BH coïncidere cum _intervallo_ BD; ac _de$cribentem_ HG tunc
e$$e in $tatione D K, atque per _efficientem & intervallum_ con$titui
utrinque _angulos mobiles_ DBC, DBA.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> I.</h>
<h it>Propo$itio I.</h>
<p>Quâlibet _efficiente,_ & quocunque _intervallo,_ $i _anguli_
_mobiles_ æquales $intiis, qui _ad directricem_ $unt ab eadem
parte, curvâ de$criptâ, hoc ip$i proprium erit, ut quæ-
vis recta à quolibet curvæ puncto ad _de$cribentem effi-_
_cienti_ æquidi$tans applicata po$$it rectangulum, $ub _in-_
_tervallo_ atque ea _de$cribentis_ parte, quæ inter _Polum_
& applicatam intercipitur, contentum.</p>
<p>Sit _efficiente_ ABC, _intervallo_ BD, & _directrice_ EF de$cripta
curva BG; ita ut _angulus mobilis_ DBA$it æqualis angulo EDB
_ad directricem,_ $itque à puncto G in curva utcunque a$$umpto ad
_de$cribentem_ DBK applicata recta GK _efficienti_ AC parallela:
dico quadratum applicatæ GK rectangulo DBK æquale e$$e.</p>

<pb 163>[719]<rh>L<sc>IB.</sc> I. C<sc>AP.</sc> I.</rh>
<p>Con$titutis enim tam _angulo mobili_ quàm _de$cribente_ in $tatione
uti $uêre, cùm per ip$arum inter$ectionem de$criptum e$t pun-
ctum G, veluti in HBG & HIG: $i tam _angulus mobilis_ quàm is
<fig>
<cap>_Fig._ I.</cap>
<var>P E D H F A B I C K X G N M O Q P R</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig._ II.</cap>
<var>E C D I P L H F B A G K</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig._ III.</cap>
<var>F H D P A L E B N K I Q C G X M P O R</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig._ IV.</cap>
<var>E D C H L I B G F P K A</var>
</fig>

<pb 164>[720]<rh>E<sc>LEM.</sc> C<sc>VRVARVM</sc></rh>
qui ad _directricem_ e$t rectus $it, uti in prima $igura, erit<n 1> ut HI
<mgl 1>per Cor-
8 $exti
Eucl.</mgl>
ad IB, ita IB ad IG, id e$t <n 2>, ut D B ad G K, ita G K ad B K.
ac proinde <n 3> quadratum rectæ G K rectangulo D B K æquale
<mgl 2>per 3 4
primi.</mgl>
erit.</p>
<p>At verò $i obliquus fuerit uterque angulorum A B D, E D B,
<mgl 3>per 17
$exti.</mgl>
uti in cæteris $iguris, $ecabunt $e$e _efficiens & directrix_ productæ
ad eas partes, ubi _angulus mobilis,_ isque qui ad _directricem_ e$t, acu-
ti erunt. $it itaque ip$arum inter$ectio in L puncto. Quoniam igi-
<mgl 4>per 29
primi.</mgl>
<mgl 5>per 6
primi.</mgl>
<mgl a>in ca$u
fig. II &
$imili-
bus.</mgl>
<mgl b>in ca-
$ib. fig.
III &
IV, aut
$imili-
bus.</mgl>
<mgl c>in ca$u
fig. II. &
$im.</mgl>
<mgl d>in ca$ib. fig. III & IV, aut $imilibus.</mgl>
<mgl 6>per 29 primi.</mgl>
<mgl 7>per 29 primi.</mgl>
<mgl 8>per 32 primi.</mgl>
<mgl 9>per 4 $exti.</mgl>
<mgl 10>per 3 4 primi.</mgl>
<mgl 11>per 17 $exti.</mgl>
tur tam anguli LBD, LDB, ex con$tructione, quàm LIH,
LHI, propter parallelas D B, H I, æquales $unt <n 4>; erunt quo-
que <n 5> tam lineæ LD, LB, quàm LH, LI; ac proinde & com-
po$itæ <n a> vel re$iduæ <n b> DH, BI æquales. Cum autem, an
gulis DBI, HBG ii$dem, $ive æqualibus exi$tentibus, addito <n c>,
vel ablato <n d> communi angulo HBI, angulus DBH angulo
IBG, id e$t <n 6>, B G K, fiat æqualis, atque angulus BDH ex
con$tructione angulo DBI, id e$t <n 7>, BKG, $it æqualis: erunt <n 8>
triangula BDH, GKB æquiangula, eritque proinde <n 9>, ut BD
ad DH $ive BI, hoc e$t<n 10>, ad G K, ita eadem G K ad KB.
quare, ut$upra <n 11>, quadratum applicatæ GK rectangulo DBK
æquale erit. Quod e$t propo$itum.</p>
<p>Con$tat itaque, curvam inter$ectione, uti prædictum
e$t, de$criptam, eam ip$am e$$e, quæ Veteribus Para-
bola; _Polumque_ idem punctum quod vertex; _lineam_ au-
tem _de$cribentem in $tatione prima_ eandem quæ diame-
ter, aut $i _anguli mobiles_ recti $uerint, quæ axis; _inter-_
_vallum_ verò idem quod latus rectum $ive recentioribus
Parameter ad eandem diametrum eundemvè axem per-
tinens; atque _e$$icienti_ parallelas, eas, quæ ordinatim
ad diametrum vel axem applicatæ dicebantur; quare &
eadem nomina retinento.</p>
<h>_Corollarium_ I.</h>
<p>Cum _de$cribentis efficientisque_ inter$ectio quibu$cunque $tationi-
bus in uno tantùm puncto fiat, mani$e$tum e$t, _de$cribentem_ in qua-

<pb 165>[721]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. I.</rh>
<fig>
<cap it>Fig. I.</cap>
<var>P E D H F A B I C K X G N M O Q P R</var>
</fig>
cunque $tatione, id
e$t, rectas omnes
diametro æquidi$tan-
tes, in uno tantùm
puncto Parabolæ oc-
currere.</p>
<h>_Corollarium_ 2.</h>
<p>Cumque continuo
_de$cribentis à Polo_ re-
ce$$u major major-
que $emper $iat an-
gulus, quem _crus effi-_
_ciens_ con$tituit ad _li-_
_neam efficientem in_
_$tatione prima_, veluti
G B I, manife$tum
<fig>
<cap it>Fig. III.</cap>
<var>E F H D P A L N B K I Q M X G C P O R</var>
</fig>
e$t, quamlibet re-
ctam à _Polo_ ad quod-
libet curvæ punctum
ductam, ut, ex. gr.,
B G, totam intra Pa-
rabolam, productam
autem, uti ad R, ex-
tra Parabolam ca-
dere.</p>
<h>_Corollarium_ 3.</h>
<p>Con$tat præterea
angulum G B K in-
definitè quidem di-
minui, omnique pro-
po$ito angulo recti-
lineo minorem reddi
po$$e; $ed _crus_ tamen
_efficiens_ B G nunquam cum _de$cribente_ B K coincidere, multò mi-
nùs ip$am tran$ire: ad hoc enim nece$$um foret, ut _crus patiens_

<pb 166>[722]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
BH _directrici_ E F foret parallelum <n 1>, aut certè ut caderet infra
<mgl 1>_per_ 29
_primi_.</mgl>
eam, quæ à _Polo directrici_ æ quidi$tans ducta e$$et, quod planè im-
po$$ibile e$t, cum _directriceni_ $emper $ecet.</p>
<h>_Corollarium_ 4.</h>
<p>Ideoque apparet, rectas omnes, quæ Parabolæ axem vel dia-
metrum $ecant, productas tandem Parabolæ occurrere. Secet
cnim recta K X diametrum B K M, ac _crus efficiens_ B G, in ea $ta-
tione con$titutum, ut K B G angulus minor $it dato angulo
M K X <n 2>, per Parabolam tran$eat in puncto G. Quoniam igitur
<mgl 2>_juxta_
_Cor. præ-_
_cedens_.</mgl>
recta K X cruri B G occurrit, aut eidem occurret inter B & G,
quo ca$u ip$a producta etiam curvæ B G occur$ura e$t<n 3>, auteidem
<mgl 3>_per Co-_
_rol. 2 bu-_
_jus_.</mgl>
in ip$o G puncto occurret, quo ca$u & $imul Parabolæ ibidem
occurret, aut denique ip$i B G occurret ad partes G productæ,
quo utique ca$u priùs Parabolæ occurret<n 4>.
<mgl 4>_per Cor._
_2 hujus_.</mgl></p>
<h>_Corollarium_ 5.</h>
<p>Manife$tum quoque e$t, applicatas omnes, utrinque Parabolâ
terminatas, ab axe aut diametro bifariam dividi. Vt, $i ducta $it
applicata N M O, quoniam <n 5> tam quadratum N M quàm qua-
<mgl 5>_per I_
_bujus_.</mgl>
dratum M O æquale e$t rectangulo D B M: erunt quoque eadem
quadrata inter $e æqualia, ac proinde & rectæ N M, M O æquales.</p>
<h>_Corollarium_ 6.</h>
<p>Patet quoque præcedentis conver$um, nempe non po$$e alias
rectas præter eas, quæ _efficienti_ æquidi$tant, in Parabola ab axe $i-
ve diametro bifariam $ecari. Si enim O Q, quæ non $it æquidi-
$tans ip$i A C, ab axe $ive diametro B P bi$ariam divideretur in P,
ductâ O N _efficienti_ A C parallelâ, quæque proinde ab eodem
axe $ive diametro bi$ariam quoque $ecabitur in M<n 6>, foret O P ad
<mgl 6>_per Co-_
_rol. prœ-_
_cedens._</mgl>
P Q, ut O M ad M N: ideoque <n 7> ducta recta per N & Q e$$et
diametro parallela, ac Parabolæ occurreret in duobus punctis N
<mgl 7>_per_ 2
_$exti_.</mgl>
& Q. quod fieri non pote$t<n 8>.</p>
<p>Itaque non $olùm applicatæ omnes à diametro bifa-
<mgl 8>_juxta_
_Corol_. i
_hujus._</mgl>
riam dividuntur, $ed & quæ à diametro bi$ecantur ad

<pb 167>[723]<rh>L<sc>IB.</sc> I. C<sc>AP.</sc> I.</rh>
eandem ordinatim applicatæ $unt: & $i diameter re-
ctam quamlibet in Parabola ductam bifariam dividat
omnes quoque ip$i æquidi$tantes bifariam $ecabit.</p>
<fig>
<cap it>Fig. I.</cap>
<var>P E D H F A B I C K X G N M O R Q P</var>
</fig>
<h>_Corollarium_ 7.</h>
<p>Ex demon$tratis
quoque facilè colli-
gitur, applicatarum
quadrata ad $e invi-
cem e$$e, $icut ad $e
invicem $unt diame-
tri portiones inter
verticem & applica-
tas interceptæ. Vt, $i
applicatæ $int G K,
N M, erit<n 1> qua-
<mgr 1>_per I_
_bujus._</mgr>
dratum rectæ G K
ad quadratum ip$ius
N M, ut rectangu-
<fig>
<cap it>Fig. III.</cap>
<var>F H D P A E L B N Q K I M X G C P O R</var>
</fig>
lum D B K ad re-
ctangulum D B M,
id e$t <n 2>, ut B K ad
<mgr 2>_per I_
_$exti._</mgr>
BM.</p>
<h>_Corollarium_ 8.</h>
<p>Ex ip$a porrò de-
$criptione mani$e-
$tum e$t, _efficientem in_
_$tatione prima_, id e$t,
rectam, quæ per _Po-_
_lum_ $ive verticem ap-
plicatis æquidi$tans
ducitur, ibidem Pa-
rabolam nec in a-
lio præterea puncto
contingere, multò
minùs eandem $eca-

<pb 168>[724]<rh>E<sc>LEM.</sc> C<sc>VRVARVM</sc></rh>
re. Sumpto enim in curva præter _Polum_ B puncto utcunque, velu-
ti G, $i _crus e$$iciens_ eidem applicetur, utiin po$itione B G, con$ti-
tue tur ab ip$o & e$$iciente angulus, ut G B C: atque adeò punctum
G, utcunque $umptum, id e$t, tota Parabola, præter _Polum_ B, in-
fr a _efficientem_ A B C cadet.</p>
<h>_Corollarium_ 9.</h>
<p>Con$tat quoque ex antedictis, non po$$e aliam rectam præter
_efficientem_ Parabolam in _Polo_ $eu vertice contingere. Quoniam
enim alia quævis recta per B ducta, ex. gr., P R, angulum con-
$tituit cum _efficiente_ A C, ut R B C, $i à _Polo_ ad _directricem_ ducatur
recta B H, ita ut eidem angulo R B C æqualis $it angulus D B H,
ac per punctum H agatur recta diametro parallela, ut H G: erit
ea ip$a _de$cribens,_ & H B R _angulus mobilis_, utpote æqualis _angulo_
_mobili_ D B C; B R verò _crus efficiens_: ac proinde ip$arum H G,
B R inter$ectio G in Parabola. Quare cum recta P R non in
puncto B $olummodo, $ed & in puncto G Parabolæ occurrat, ac
tota B G recta <n 3> intra curvam cadat, non continget recta P R
<mgl 3>_per Co-_
_rol. I bu-_
_jus._</mgl>
Parabolam, $ed eandem $ecabit.</p>
<p>Itaque omnes rectæ in Parabola ductæ, quæ contin-
genti in vertice æquidi$tant, ordinatim ad diametrum
applicantur $ive ab eadem diametro bifariam dividun-
tur; & contra, quæ cuilibet rectæ, à diametro bifariam
divi$æ, per verticem æquidi$tans ducitur, Parabolam
in vertice contingit.</p>
<h>_Corollarium_ 10.</h>
<p>Ex dictis quoque obvium e$t, quo pacto datâ po$itione Para-
bolæ diametro, ejusque vertice, & latere recto, nec non angulo,
quem ordinatim applicatæ faciunt ad eandem diametrum, ip$a
Parabola in plano de$cribatur. Si enim de$cribendæ Parabolæ dia-
meter $it B K, vertex B, latus rectum ad eandem diametrum
pertinens B D, (quod quidem ip$i diametro in directum $it po$i-
tum,) atque angulus quem faciunt ad dictam diametrum or dina-
tim applicatæ A B K vel C B K: oportet, ductâ per D. lateris recti

<pb 169>[725]<rh>L<sc>IB.</sc> I. C<sc>AP.</sc> I.</rh>
<fig>
<cap it>Fig. I.</cap>
<var>P E D H F A B I C K X G N M O Q P R</var>
</fig>
<fig>
<cap it>Fig. III.</cap>
<var>F H D P A L E N B K I Q M X G C P O R</var>
</fig>
terminum rectâ E D F in angulo E D B ip$i A B D æquali, _e$$icien-_
_te_ A C, & _intervallo_ B D, ad _directricem_ E F curvam de$cribere, ut
N B G: eritque hæ cip$a, quæ de$cribenda proponitur Parabola.</p>

<pb 170>[726]<rh>E<sc>LEM.</sc> C<sc>VRVARVM</sc></rh>
<h>T<sc>HEOREMA</sc>II.</h>
<h>_Propo$itio_ 2.</h>
<p>Si per a$$umptum utcunque in Parabola punctum re-
cta ducatur, axi diametrovè parallela, erit quoque a$-
$umptum punctum Parabolæ vertex, ductaque parallela
itidem diameter.</p>
<p>Sit Parabola quælibet H A M, cujus axis diametervè A B, &
latus rectum ad eandem pertinens A C; $itque per punctum M,
in curva utcunque a$$umptum, ducta recta M O, axi$ive diame-
tro A B parallela: dico a$$umptum quoque punctum M verti-
cem, dictamque M O diametrum e$$e; imò $i ductâ, per M rectâ
S V, ita ut ab axe $ive diametro A B extra Parabolam ab$cindat
portionem A I æqualem A B, quæ inter verticem A & applica-
tam M B intercipitur; productâque O M ad K, ita ut $it M K
ip$is A B vel A I & I M tertia proportionalis, _efficiente_ S V, _inter-_
_vallo_ verò M K Parabola de$cribatur: dico hanc cum expo$ita
Parabola H A M eandem $ore, ita ut altera alteri per omnia con-
gruat, ac proinde non $olùm M O diametrum, atque M verti-
cem fore, $ed & M K latus rectum e$$e ad dictam diametrum M O
pertinens, & S V Parabolam in vertice M contingere, omnesque
ip$i parallelas in Parabola ductas ab M O bi$ariam dividi, atque
ad hanc ip$am M O or dinatim applicari.</p>
<p>Sit enim in expo$ita Parabola H A M a$$umptum præterea
aliud quodpiam punctum, ex. gr., H; $itque ab eodem ducta H G
ad axem $ive diametrum A B ordinatim applicata, nec non H O
ip$i S V æquidi$tans, quarum prior, $i opùs fuerit producta, rectæ
K O occurrat in E; po$terior verò, itidem producta, ubi opùs
fuerit, prædictum axem $ive diametrum A B $ecet in D. Etap-
paret <n 1>, $i quadratum rectæ H O æquale $it rectangulo K M O,
<mgl 1>_ex_ I
_bujus._</mgl>
Parabolam, quæ _efficients_ S V, _intervallo_ verò M K de$cribetur,
per punctum quoque H tran$ituram. E$$e autem quadratum re-
ctæ H O æquale rectangulo K M O multifariam id quidem, &,
meo $altem judicio, breviter $impliciterque $atis in eum qui $e-
quitur modum demon$tratur.
<mgl 2>_per_ I
_bujus, &_
_17 $exti._</mgl></p>
<p>Quoniam e$t <n 2> ut C A ad M B, ita M B ad B A, erit, dupli-

<pb 171>[727]<rh>L<sc>IB.</sc> I. C<sc> A P</sc>. I</rh>
<fig>
<cap it>Fig. I.</cap>
<var>K S P C I A B M H G E D V O</var>
</fig>
<fig>
<cap it>Fig. II.</cap>
<var>K S P I C D A E G V H M B O V</var>
</fig>
<fig>
<cap it>Fig. III.</cap>
<var>S C K P I A M B D V O H E G</var>
</fig>

<pb 172>[728]<rh>E<sc>LEM.</sc> C<sc>VRVARVM</sc></rh>
catis con$equentibus, ut C A ad duplam M B $eu ad G E bis, ita
<mgl 3>_per_ 29
_primi, &_
_4 $exti._</mgl>
MB ad BI, hoc e$t <n 3>, ita H G ad G D: ac proinde <n 4> contentum
$ub mediis, nempe rectangulum H G E , bis, æquale contento $ub
<mgl 4>_per_ 16
_$exti._</mgl>
extremis, nimirum rectangulo $ub C A & G D. Vnde cum bi-
na quadrata rectarum H G & B M $eu G E æqualia $int <n 5> binis
<mgl 5>_per_ I
_bujus._</mgl>
rectangulis C A G & C A B $eu C A I, id e$t <n 6>, rectangulo $ub
C A & I G: erunt quoque, additis <n a> demptifve <n b> utrinque æqua-
<mgl 6>_per_ I
_$ecundi._</mgl>
libus, nimirum rectangulo H G E bis ab una, ac rectangulo $ub
<mgl a>_in ca$u_
_fig. I &_
_$imili-_
_bus_.</mgl>
<mgl b>_in ca$u_
_fig. II & III ac $imilibus_.</mgl>
C A & G D ab altera parte <n 7>, compo$ita <_>a</_> vel re$idua <_>b</_>, nempe
<mgl 7>_quippe per $upra demon$trata rectangulum H G E bis æquale e$t re-_
_ctangulo $ub_ C A & G D.</mgl>
quadratum E H ac rectangulum $ub C A & I D $eu M O æqua-
lia<n c>.</p>
<mgl c>in ca$u enim fig. I, $i ab una parte ad bina quadrata rectarum
H G & G E addatur rectangulum H G E bis, compo$itum $it E H quadratum, per 4 $e-
cundi; ac $i ab altera parte ad rectangulum $ub C A & I G addatur rectangulum $ub C A
& G D, fit, per I $ecundi, rectangulum $ub C A & I D $eu M O. Eodem modo, $i in ca$i-
bus fig. II & III ab una parte à binis quadratis rectarum H G & G E auferatur rectangu-
lum H G E bis, re$iduum erit, per 7 $ecundi, E H quadratum; ac $i ab altera parte à rectan-
gulo $ub C A & I G au$eratur rectangulum $ub C A & G D re$iduum erit, per I $ecundi,
rectangulum $ub C A & I D $eu M O.</mgl>
<p>Ideoque cum $it ut B M quadratum ad MI quadratum, $ive ut
C A B rectangulum <n 8>ad rectangulum $ub K M & A B<n 9>, hoc e$t<n 10>,
<mgl 8>_per_ I
_bujus, &_
_ex bypo-_
_the$i._</mgl>
ut C A ad K M, $eu, a$$umptâ communi altitudine M O, ut præ-
dictum rectangulum $ub C A & M O ad K M O, rectangulum,
ita <n 11> E H quadratum ad H O quadratum; $itque rectangulum
<mgl 9>_per_ 17
_$exti, &_
_ex bypo-_
_the$i._</mgl>
$ub C A & M O, ut jam o$ten$um e$t, æquale quadrato E H:
erit quoque <n 12> rectangulum K M O quadrato H O æquale.</p>
<p>Vnde cum punctum H, ubicunque id in expo$ita Parabola
<mgl 10>_per_ I
_$exti._</mgl>
A H a$$umptum fuerit, $emper quoque $it in Parabola, quæ _effi-_
_cients_ S V, _intervallo_ verò M K de$cribitur: $equitur alteram alte-
<mgl 11>_per_ 4
_& 22_
_$exti_.</mgl>
ri per omnia congruere, ideoque hanc cum illa eandem e$$e; ita
ut con$tet veritas eorum, quæ proponebantur.</p>
<mgl 12>_per_ 14
_quinti_.</mgl>
<h>_Corollarium_ I.</h>
<p>Ex antedictis manife$tum e$t, quòd, ductis in Parabola binis
quibu$libet rectis $ibi invicem æquidi$tantibus, quæ utramque
bi$ariam dividit recta linea illius diameter exi$tat. Quippe quæ
per medium æquidi$tantium unius diameter ducetur, $ive hæc $it
ip$a diameter ex generatione, $ive eidem parallela, per medium

<pb 173>[729]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. I.</rh>
<fig>
<cap it>Fig I.</cap>
<var>K S P C I A B M H G E D V O</var>
</fig>
<fig>
<cap it>Fig. II.</cap>
<var>K S P I C D A E G H M B O V</var>
</fig>
<fig>
<cap it>Fig. III.</cap>
<var>S C K P I A M B D V O H E G</var>
</fig>

<pb 174>[730]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
quoque alterius æquidi$tantium tran$ibit <n 1>. Atque ita apparet,
<mgl 1>_per con-_
_clu$ionem_
_6 Cor. I_
_bujus._</mgl>
quo pacto datæ cuju$libet Parabolæ diametrum $imulque ordina-
tim ad eandem applicatas in venire liceat.</p>
<h>_Corollarium_ 2.</h>
<p>Patetque porrò, qua$libet rectas Parabolam ubivis contingen-
tes, atque ordinatim à puncto contactus ad diametrum applica-
tas, æquales utrinque à vertice diametri portiones ab$cindere;
&, vice versâ à terminis applicatarum per diametrum ductas, ita
ut æquales utrinque à vertice diametri portiones ductæ applica-
tæ que ab$cindant, Parabolam in dictis terminis contingere. Re-
ctam enim S V, ex eo quòd æquales $int A I, A B, Parabolam in
puncto M utcunque a$$umpto contingere, nunc <n 2> demon$tra-
<mgl 2>_in 2 bu-_
_jus._</mgl>
tum; at nec aliam rectam in puncto M Parabolam contingere
po$$e, $uperiùs <n 3> o$ten$um e$t.</p>
<mgl 3>_per_ 9
_Cor._ 1
_bujus._</mgl>
<h>_Corollarium_ 3.</h>
<p>Atque hinc non difficulter colligitur, quo pacto à quolibet
puncto, non intra Parabolam dato, recta ducatur, quæ Parabo-
lam contingat. Inventis enim <n 4> diametro quâcunque & rectis,
<mgl 4>_per_ 1
_Corol._ 2
_bujus_.</mgl>
quæ ad illam ordinatim applicantur, $i in eju$dem diametri ter-
mino $it datum punctum, notum nunc e$t <n 5> rectam per idem pun-
<mgl 5>_per_ 8
_& 9 Co-_
_rol._ 1 _hu-_
_jus_.</mgl>
ctum ductam, atque ordinatim applicatis æquidi$tantem, Para-
bolam ibidem contingere. At $i alibi in curva $it punctum datum,
veluti M, $itque inventa diameter A D: oportet, ductâ ex M re-
ctâ M B ip$i A D applicatâ, $umptâque A I ip$i A B æquali, duce-
re rectam per I & M. Sin autem extra curvam detur in diametro
producta, veluti I: oportet, factâ A B ip$i A I æquali, atque BM
ordinatim ad A D applicatâ, quæ Parabolæ occurrat in M, ducere
rur$us rectam per I & M. Atverò $i neque in curva neque in dia-
metro producta detur, ut, $i inventa diameter $it M O, datumque
punctum I: oportet, ductâ I D diametro M O parallelâ quæ Pa-
rabolam $ecet in A, $umptâque A B ip$i A I æquali, atque ex B
ductâ B M ordinatim ad A D applicatâ, nimirum, quæ æquidi-
$tans $it contingenti in A, Parabolæque occurrat in M, ducere
<mgl 6>_per_ 2
_bujus,_
_eju$que_
_Cor._ 2.</mgl>
iterum rectam per I & M. quippe con$tat ex antedictis <n 6>, ip$am
I M omni ca$u Parabolam contingere in puncto M.</p>

<pb 175>[731]<rh>L<sc>IB.</sc> I. C<sc>AP.</sc> I.</rh>
<fig>
<cap it>Fig I.</cap>
<var>S K P C I A B M H G E D V O</var>
</fig>
<fig>
<cap it>Fig. II.</cap>
<var>K S P I C D A E G H M B O V</var>
</fig>
<fig>
<cap it>Fig. III.</cap>
<var>S C K P I A M B D V O H E G</var>
</fig>

<pb 176>[732]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
<h>_Corollarium_ 4.</h>
<p>Con$tat præterea, a$$umptæ cuju$libet diametri parametrum
e$$e tertiam proportionalem duabus rectis, quarum una e$t vel
axis vel datæ diametri portio, intercepta inter eju$ dem verticem
& eam, quæ Parabolam in a$$umptæ diametri termino contingit,
altera verò ea prædictæ contingentis pars, quæ inter datam &
a$$umptam diametrum interjacet. Demon$tratum enim e$t <n 1>,
<mgl 1>_in_ 2
_bujus._</mgl>
rectam M K, ex eo quòd ip$is A I, I M tertia $it proportionalis,
a$$umptæ utcunque diametri M O parametrum e$$e.</p>
<h>_Corollarium_ 5.</h>
<p>Ex demon$tratis quoque non difficulter colligitur, quo pacto,
datâ po$itione quâlibet Parabolæ diametro, ejusque vertice, &
latere recto, nec non angulo, quem faciunt ordinatim ad dictam
diametrum applicatæ, alia eju$dem Parabolæ diameter, quâcum
applicatæ alium quemlibet angulum con$tituant, ac ip$ius ver-
tex, & latus rectum inveniantur. Si enim datâ po$itione diame-
tro M O, vertice M, & latere recto M K, anguloque S M K vel
V M K, quem applicatæ faciunt ad dictam diametrum M O,
aliam eju$dem Parabolæ diametrum invenire oporteat, quâcum
applicatæ angulum con$tituant æqualem dato cuilibet angulo
A B M: ducatur à termino K ad S V recta K P in angulo K P V
ip$i dato A B M æquali, divisâque P M bifariam in I ducatur per
I recta I B ip$i M O æquidi$tans. Deinde ab M ad eandem I B
applicetur recta M B in angulo M B I dato angulo æquali, divisâ-
que B I bifariam in A, erit quæ$ita diameter A B, vertex punctum
A, ejusque parameter A C, recta nempe, quæ ip$is A B, B M ter-
tia proportionalis exi$tit. E$t enim <n 2> punctum M in Parabola,
<mgl 2>_per_ I
_bujus._</mgl>
quæ _efficiente_ ip$i B M parallelâ ac_intervallo_ A C de$cribitur, quan-
<mgl 3>_per_ 17
_$exti._</mgl>
doquidem quadratum applicatæ B M ex con$tructione <n 3> rectan-
gulo C A B e$t æquale. Deinde quoniam $imilia $unt triangula
B I M & P M K, ob æquales angulos ad B & P (ex con$tructione),
atque ad I & M<n 4> (ob parallelas A D, M O) erit <n 5> ut B I ad I M,
<mgl 4>_per_ 29
_primi._</mgl>
ita P M ad M K. &, $umptis antecedentium dimidiis, ut A I ad
<mgl 5>_per_ 4
_$exti._</mgl>
IM, ita IM ad M K. Quare $ecundùm ea quæ $uperiùs <n 6> demon-
$trata $unt, Parabolæ diametris A B, M O, ac parametris A C,
<mgl 6>_in_ 2
_hujus_.</mgl>

<pb 177>[733]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. I</rh>
<fig>
<cap>_Fig_. I.</cap>
<var>S K P C I A B M H G E D V O</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig_. II.</cap>
<var>K S P I C D A E H G M B O V</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig_. III.</cap>
<var>S C K P I A M B D O V H E G</var>
</fig>

<pb 178>[734]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
MK, in dictis angulis de$criptæ omnino eædem erunt. Sunt au-
tem & anguli, quos faciunt M B aliæque ad diametrum A D ap-
plicatæ, ex con$tructione, dato angulo A B M æquales. Quocirca
effectum e$t, quod quærebatur. Quòd $i verò datus angulus
A B M rectus fuerit, ip$e axis erit, inventa A D.</p>
<p>Etiam$i curva, quâlibet _efficiente_, & quocunque _in-_
_tervallo_ de$cripta, $i _anguli mobiles_ inæquales $int iis, qui
ad _directricem_ $unt ab eadem parte, eaip$a $it, cui po$t
Circulum & Parabolam inter curvas primi generis pri-
mum locum tribuam, utpote quam $equenti $pecie
quodammodo $impliciorem judicem; cujusque pro-
pterea ortum, naturam, & proprietates nunc expo-
$iturus eidem de$cribendi methodo in$i$tere, præmi$$i$-
que in principio definitionibus inhærere po$$em; cum
tamen ea ip$ius proprietas, quam primam ac maximè
univer$alem exi$timo, & è qua cæteras facillimè de-
duco, ex aliis generationum $peciebus di$tinctiùs ap-
pareat atque expeditiùs demon$tretur, quod in Ma-
thematicis, & præcipuè in Elementorum explicatione
non parvi faciendum puto, eam $elegi, quæ à jam di-
cta quàm minimum deflectat, quæque $imiliter anguli
rectilinei rectæque lineæ motu & inter$ectione perfi-
citur; at in qua dicti anguli motus non circularis $ed
rectus, ac contra dictæ lineæ non rectus $ed circularis
e$t, ut ex definitionibus in eum finem adaptatis, & $e-
quenti Capite propo$itis, magis eluce$cet.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> II.</h>
<h>DEFINITIONES SECVNDÆ.</h>
<h>I.</h>
<p>SI recta linea circa punctum fixum circulariter mo-
ta angulum quendam rectilineum, altero $ui crure

<pb 179>[735]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
immotæ rectæ lineæ applicatum, per eandem immo-
tam lineam promoveat, & $ecum ducat, ita ut prædi-
cta recta circulariter mota $emper per idem applicati
cruris punctum tran$eat, $imulque alterius cruris ac
eju$dem lineæ motæ inter$ectione curva de$cribatur,
appellabitur hæc ip$a circulariter mota _linea de$cribens_.</p>
<h>II.</h>
<p>Altera verò immota manens _Directricis_ nomen reti-
nebit.</p>
<h>III.</h>
<p>Prædictus autem angulus rectilineus, isque qui ei e$t
deinceps, $imiliter & hîc _Angulorum mobilium_ nomine
venient.</p>
<h>IV.</h>
<p>Sicuti & punctum fixum, circa quod _de$cribens_ cir-
culariter movetur, _Polus_ nuncupabitur.</p>
<h>V.</h>
<p>Rur$usque crus _anguli mobilis_, quòd à _de$cribente_ per
_directricem_ promovetur, _Crus patiens_.</p>
<h>VI.</h>
<p>Alterum autem crus, quod à de$cribente $ecatur,
_Crus efficiens_, & per anguli verticem productum _Linea_
_efficiens_ appellabitur.</p>
<h>VII.</h>
<p>Cùm _de$cribens efficienti_ parallela e$t ac proinde nulla
ip$arum inter$ectio exi$tit, tam _efficientem_ quàm _de $cri-_
_bentem_ in _$tatione prima_ con$titutas dicemus; ac quo-
ties de iis $impliciter $ermo erit, in tali ip$as $tatione con-
$iderabimus.</p>

<pb 180>[736]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
<h>VIII.</h>
<p>_Intervallum_ autem hic nominabimus tam eam _Cruris_
_patientis_ partem, quæ inter _anguli mobilis_ verticem &
_de$cribentem_ interjacet, quàm eam _de$cribentis_ portio-
nem, quæ inter _Polum_ & _directricem_ intercipitur.</p>
<p>Vt in appo$ita figura, $i recta A B C <n a> circa A punctum cir-
culariter moveri concipiatur, motuque $uo promovere & $ecum
ducere angulum B E C<_>a</_>; ita ut crus E B $emper applicatum ma-
<mgl a>quæ
quidem
recta
A B C, ut
& angu-
lus B E C
in figura
quatuor
di$tinctis
$tationi-
bus exhi-
bentur.</mgl>
neat immotæ rectæ lineæ K L, ac prædicta A B C mobilis $em-
per tran$eat per idem punctum cruris E B, ex. gr., per B, $imul-
que alterius cruris E C & dictæ lineæ A B C inter$ectione C de-
$cribatur curva linea _c_ C, $itque ducta A D cruri E C parallela:
apparet, quò magis recta A B C ad ip$am A D accedit, eò mino-
rem fieri angulum E C B., ac tandem cùm ip$a A B C pervenit ad
A D, ita ut cum ip$a coincidat, eundem angulum E C B tunc pe-
nitus evane$cere: cum A D, ac proinde & dicta A B C, $tatione il-
lâ, cruri E C parallela $it; ita ut tunc dictum crus E C $ive recta
C E M eadem $it cum linea G F H, nimirum $uppo$itâ D F ip$i
B E, æquali, eruntque</p>
<p>A B C _de$cribens_ in $tationibus diver$is.</p>
<p>K L _directrix_.</p>
<p>B E C, B E M, $ive D F H & D F G _anguli mobiles_.</p>
<p>A _Polus_.</p>
<p>E B _crus patiens_.</p>
<p>E C _crus efficiens_.</p>
<p>M C _linea efficiens_.</p>
<p>G F H _efficiens in $tatione prima_, $eu _efficiens_ $impliciter.</p>
<p>A D I _de$cribens in $tatione prima_, $eu _de$cribens_ $impliciter.</p>
<p>E B $eu F D & A D utrumque _intervallum_.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> III.</h>
<h it>Propo$itio 3.</h>
<p>Quibu$libet _angulis mobilibus_ ac quibu$cunque _in-_
_tervallis_, juxta definitiones præmi$$as de$criptâ cur-
vâ, hoc ip$i proprium erit, ut rectangulum conten-

<pb 181>[737]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
tum $ub qualibet recta _efficienti_ parallelâ, à quocunque
curvæ puncto ad _directricem_ ductâ, atque eâ _directricis_
parte, quæ inter dictam parallelam & _efficientem_ inter-
cipitur, æquale $it ei,quod $ub utroque _intervallo_ con-
tinetur, rectangulo.</p>
<fig>
<var>K H c e m 6 C I E M B P O N M F E D B M A E C B G C L i</var>
</fig>
<p>Sit quolibet _angulo mobili_ B E C, & quibu$cunque _intervallis_
E B, $eu F D & A D, _directrice_ K D L, de$cripta curva _c_ C; ita ut
e<?>fficiens $it G F H, $itque à puncto C in curva utcunque a$$umpto
ad _directricem_ ducta C E _efficienti_ G F H, ac proinde & _intervallo_
A D parallela: dico rectangulum F E C æquale e$$e A D F re-
ctangulo, $ive ei, quod $ub A D, E B continetur.</p>

<pb 182>[738]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
<p>Con$titutis enim tam _angulo mobili_ quàm _de$cribente_ in $tatione
uti fuêre, cùm per ip$arum inter$ectionem de$criptum e$t pun-
ctum C, veluti in B E C, & A B C, quoniam æquales $unt rectæ
E B, F D, additâ vel ablatâ utrinque F B vel E D: erunt quo-
que rectæ B D, F E æquales; cumque <n 1> propter parallelas E C,
<mgl 1>_per_ 29
_primi_.</mgl>
A D æquiangula $int triangula B D A, B E C: erit <n 2> ut B D, id
e$t, F E, ad D A, ita B E ad E C: ideoque <n 3> rectangulum F E C
<mgl 2>_per_ 4
_$exti_.</mgl>
$ub extremis æquale rectangulo $ub mediis A D, E B $eu A D F.
<mgl 3>_per_ 16
_$exti_.</mgl>
Quod erat propo$itum.</p>
<p>Quare cum & omnia rectangula, ut F E C, inter $e
quoque $int æqualia, manife$tum e$t, curvam, inter$e-
ctione, uti prædictum e$t, de$criptam, eam ip$am e$$e,
quam Veteres Hyperbolam vocarunt, aut, $i binas cur-
vas eodem & continuato motu genitas $imul con$ide-
res, e$$e eas, quas Oppo$itas Sectiones dixêre: _directri-_
_cem_ verò K L ac _efficientem_ G H eas ip$as, quas A$ym-
ptotos nuncupaverunt, atque ip$arum occur$um $ive
inter$ectionem, ut F, idem illud punctum, quod Hy-
perbolæ $ive Oppo$itarum Sectionum Centrum ab ip$is
appellatum fuit. ideoque & hæc $ingula ii$dem illis no-
minibus in po$terum indigitabimus, $olummodo $e-
ctionum nomen, ob rationes $uperiùs <n 4> expo$itas, minùs
<mgl 4>_in Epi-_
_$tola ad_
_Schote-_
_nium_.</mgl>
congruum evitaturi. Rectangulum autem $ub _intervallis_
contentum, $eu, quadratum ei æquale, Hyperbolæ Po-
tentiam dicemus.</p>
<h>_Corollarium_ I.</h>
<p>Ex ip$a de$criptione manife$tum e$t, A$ymptotos & Hyperbo-
lam magis magisque ad $e invicem continuè accedere, tandem-
que pervenire ad di$tantiam, datâ quâlibet di$tantiâ minorem;
cujus tamen, $i demon$trationem exactiorem de$ideres, data di-
$tantia $it recta N O, ad A$ymptoton F K perpendicularis. Sum-
ptâ igitur N P, quæ câdem N O minor $it, $i fiat ut N P ad A D,
ita D F ad F _e_, ac per _e_ ducatur _e c_ ip$i N P æqualis atque A $ym-
<mgl>5 _per_ 16
_fexti_.</mgl>
ptoto F H æquidi$tans: erit <n 5> rectangulum F _e c_ Potentiæ A D F

<pb 183>[739]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
æquale, ideoque juxta ea, quæ<n 6> demon$trata $unt, punctum C in
<mgr 6>_in 3 bu-_
_jus_.</mgr>
Hyperbola. E$t autem & _c e_ ip$i P N æqualis, hoc e$t, datâ di-
<fig>
<var>K H c e m b c I E M B P O N M F E D B M A E C B G C L _i_</var>
</fig>
ftantiâ N O minor. Quare& perpendicularis à puncto _c_ ad A $ym-
ptoton F K ducta, id e$t, di$tantia Hyperbolæ à prædicta A $ym-
ptoto, ibidem datâ di$tantiâ N O multò minor erit.</p>
<h>_Coroll arium_ 2.</h>
<p>Atque ita $imul apparet, rectas omnes, quæ ductæ ex quolibet
puncto intra angulum, qui ad verticem e$t ei, qui Hyperbolam
continet, per centrum tran$eunt, vel A$ymptotorum alterutram
$ecant, Hyperbolæ tandem occurrere, productasque eandem, &

<pb 184>[740]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
in uno tantùm puncto, $ecare: quandoquidem hæ productæ ab
utraque A $ymptoto magis magis magisque $emper ab$cedunt.</p>
<h>_Corollarium_ 3.</h>
<p>Con$tat præterea, _efficientem_ in quacunque $tatione, id e$t, re-
ctas omnes A$ymptoto parallelas $imiliter Hyperbolæ, & qui-
dem in uno tantùm puncto, occurrere, producta$que illam ibidem
$ecare. Impo$$ibile enim e$t, ut _de$cribens_ atque _e$$iciens_ ullâ $tatio-
ne $e$e in pluribus punctis inter$ecent.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> IV.</h>
<h>_Propo$itio_ 4.</h>
<p>Recta linea, $ive per bina quælibet in Hyperbola pun-
cta tran$iens, $ive eidem ita occurrens, ut producta u-
trinque extra Hyperbolam cadat, utrique A$ymptoto,
intra angulum, qui curvam continet, occurrit.</p>
<p>Sint in Hyperbola B C D, cujus A$ymptoti K A E, H A F,
<fig>
<var>D F E B L C M G A K H</var>
</fig>
ductæ F B C G,
tran$iens per bina
curvæ puncta B &
C, atque M C ei-
dem occurrens in
C, ita ut producta
versùs L utrinque
extra Hyperbolam
cadat; Dico tam
rectam F B C G
quàm rectam MCL
utrique A$ymptoto
K A E & H A F in-
tra angulum E A F
occurrere. Hoc e-
nim $i non accide-
ret, eadem F B C G
vel M C L aut

<pb 185>[741]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
A$ymptotorum alterutri parallela e$$et, aut, $i vel huic vel illi
A$ymptoto extra angulum E A F occurreret, ex puncto intra an-
gulum K A H ad verticem ei qui Hyperbolam continet ducta
hanc vel illam A$ymptoton $ecaret; ideoque <n 1> curvæ in uno tan-
<mgr 1>_per_ 2
& 3 _Cor_.
3 _hujus_.</mgr>
tùm puncto non verò in duobus occurreret, ac producta eandem
$ecaret, non autem utrinque extra Hyperbolam caderet, contra
id quod ponitur. Ac proinde con$tat propo$itum.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> V.</h>
<h it>Propo$itio 5.</h>
<p>A$$umptis, vel in una eademque, vel in oppo$itis
Hyperbolis, duobus utcunque punctis, ductisque per
eadem $ive unâ rectâ $ive duabus, $ibi mutuò parallelis:
erunt rectangula $ub ductæ vel ductarum partibus, Hy-
perbolâ & A$ymptoto utrinque interceptis, $ibi invi-
cem æqualia.</p>
<fig>
<cap>_Fig_ I.</cap>
<var>F S D X H R P M L A N O C K G B V I Q E T</var>
</fig>
<p>Sint, vel in eadem, vel
in oppo$itis Hyperbolis
B P C D, cujus A$ym-
ptoti A E, A F, a$$um-
pta utcunque bina pun-
cta B & C, ac per ea-
dem ductæ binæ rectæ
B D, C P $ibi invicem
<mgr a>qui u-
tique oc-
cur$us in
ca$u pri-
mæ figu-
ræ fit in-
tra angu-
lum E A
F, per 4
hujus.</mgr>
parallelæ A$ymptoti$-
que occurrentes in pun-
ctis E, F, G, H <n a>: dico
rectangulum E B F re-
ctangulo G C H æquale
e$$e.</p>
<p>Ductis enim per ea-
dem puncta B & C re-
<mgr 1>_per_ 16
_$exti_.</mgr>
<mgrl 2>_per_ 3
_bujus_.</mgr>
<mgr 3>_per_ 29
_primi_, &
4 _$exti_.</mgr>
ctis, utrique A$ymptoto
parallelis alteraque A-
$ymptoto terminatis, BI, BL, CK, CM: erit <n 1>, propter rectan-
gula I B L & K C M <n 2> æqualia, ut I B ad K C, hoc e$t <n 3>, ut E B

<pb 186>[742]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
ad G C, ita C M ad B L, id e$t, ita C H ad B F. ac proinde <n 4> re-
<mgl 4>_per_ 16
_$exti_.</mgl>
ctangula E B F & G C H æqualia $unt. Quod demon$trandum
erat.</p>
<p>Eodem modo o$tendetur, $i per bina puncta, ut B &
D, una recta ducatur B D, quæ utrique A$ymptoto oc-
currat in punctis E & F<_>a</_>, rectangula E B F, F D E $ibi
invicem æqualia e$$e.</p>
<h>_Corollarium_ I.</h>
<p>In oppo$itis Hyperbolis, $i parallelarum altera per centrum
tran$eat, ut C P in tertia, figura, eâdem demon$tratione compro-
batum erit, rectangula $ub partibus quarumlibet rectarum, quæ
per A$ymptotos ad utramque curvam ducuntur, $ingula æqua-
lia e$$e quadrato æquidi$tantis à centro ad Hyperbolam ductæ.
Quare cum ex dictis appareat, $i ductâ per centrum rectâ ut-
cunque veluti C G P in eadem figura, eidem ubivis alia recta æ-
quidi$tans ducatur B D, quæ $ecet A$ymptotos in E & F, rectan-
gulum E B F vel F D E quadrato G C itemque & G P quadrato
æquale e$$e: $equitur, ip$as quoque G C, G P e$$e $ibi invicem
æquales, hoc e$t, quamlibet rectam ad oppo$itas Hyperbolas per
centrum ductam, in eodem centro bifariam $ecari.</p>
<h>_Corollarium_ 2.</h>
<p>Con$tat quoque cuju$libet rectæ, $ive per unam eandemque,
$ive per oppo$itas Hyperbolas ductæ, partes Hyperbolâ & A$ym-
ptotis interceptas $ibi invicem e$$e æquales.</p>
<p>Ductâ enim utcunque B D, quæ A$ymptotis occurrat in E &
F, cum ex antedictis <n 5> B F $it ad D F, ut D E ad B E: erit quoque
<mgl 5>_per_ 5
_hujus_, &
16 _$exti_.</mgl>
<mgl 6>_per_ 17
_quinti_.</mgl>
<mgl 7>_per_ 18
_quinti_.</mgl>
<mgl 8>_per_ 9
_quinti_.</mgl>
dividendo <n 6>, vel, in oppo$itis Hyperbolis, componendo <n 7>, B D
ad D F, ut eadem B D ad B E, ideoque D F, B E <n 8>, ac proinde &
B F, D E $ibi invicem æquales erunt.</p>
<h>_Corollarium_ 3.</h>
<p>Unde pariter con$tat, rectam, quæ vel unius eju$demque, vel
oppo$itarum Hyperbolarum, bina puncta conjungit, nullo alio

<pb 187>[743]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
<fig>
<cap>_Fig._ II.</cap>
<var>D R X C F M S H K A N O L G V E P I T B Q</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig._ III.</cap>
<var>C D K M F H G L A E P I B</var>
</fig>
$ui puncto in Hyperbola e$$e. Si enim præter D & B aliud quod-
dam ip$ius D B punctum, ex.gr. X, in Hyperbola foret, e$$et <n 1> X F
<mgr 1>_per Co-_
_roll.prœ-_
_ced_.</mgr>
ip$i B E ac proinde & ip$i D F æqualis, pars toti, quod e$t ab-
$urdum.</p>
<h>_Corollarium_ 4.</h>
<p>Facilè autem apparet, & conver$um quoque propo$itionis ve-
rum e$$e: nempe, $i, ii$dem po$itis, & rectangulis E B F, G C H
æqualibus, punctorum B & C unum in Hyperbola $it, & alterum
quoque fore in eadem vel oppo$ita Hyperbola, cujus A$ymptoti
$unt A E & A F. Ex eo enim quòd æqualia $int rectangula E B F
& G C H, demon$trabitur æqualia quoque e$$e rectangula A I B
& A K C eâdem methodo, quâ conver$um $upra o$ten$um fuit.
ideoque $i punctum B $it in Hyperbola, erit quoque <n 2> punctum
<mgr 2>_per_ 3
_hujus_.</mgr>
C in eadem aut in oppo$ita Hyperbola, cujus A$ymptoti$unt A E,
A F, & vice versâ. De binis autem punctis in eadem linea, ut B
& D, idem dictum e$to; imò & idem erit in eadem linea, $i dicta

<pb 188>[744]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
puncta, ut B & D, æqualiter ab A$ymptotis di$tent: quandoqui-
dem, $i B E, D F æquales $unt, additâ utrinque B D, vel in op-
po$itis Hyperbolis ipsâ E F, & B F, ip$i D E, ideoque & rectangu-
lum E B F rectangulo F D E æquale erit.</p>
<h it>Corollarium. 5.</h>
<p>Apparet quoque, eam, quæ ex centro quamlibet rectam, vel
in una eademque, vel in oppo$itis Hyperbolis ductam, bifariam
dividit, omnes quoque ip$i æquidi$tantes bifariam dividere. Ut,
$i ex centro A ducta A N O dividat bifariam rectam C P, cui æ-
quidi$tans $it B D; cum, æqualibus N P, N C additis dempti$vè
æqualibus <n 1> P H, C G, æquales quoque $int N H, N G, ideo-
<mgl 1>_per_ 2
_Cor_. 5
_hujus_.</mgl>
que & O E, O F <n 2>: erunt $imiliter, demptis rur$um additi$vè
æqualibus <n 3> B E, D F, ip$æ O B & O D quoqueæquales.
<mgl 2>_per_ 9
_quinti_, &
4 _$exti_.</mgl>
<mgl 3>_per_ 2
_Cor_. 5
_bujus_.</mgl>
<mgl a>ut A O
$imile$-
que in
I figura.</mgl>
<mgl b>ut A O
$imile$-
que in
II figura.</mgl></p>
<p>Eju$modi autem rectæ à centro per Hyperbolam du-
<mgl c>ut P C,
D B in
utraque
figura.</mgl>
ctæ <n a>, interceptæ diametri, $eu diametri $impliciter; at
quæ à cento inter oppo$itas Hyperbolas ducuntur <n 3>,
$ecundæ diametri; parallelæ verò per ea$dem bifariam
$ectæ <n c>, ordinatim ad diametros applicatæ vocantur;
& $i applicatæ ad angulos rectos à diametris $ecen-
tur, eædem diametri Hyperbolæ axes appellantur.
Quando autem $ecunda diameter ordinatim ad inter-
ceptam diametrum applicatis parallela e$t, altera alte-
ri _Conjugata_ dicitur.</p>
<h>_Corollarium_ 6.</h>
<p>Ex præmi$$is colligitur, non po$$e alias rectas, quàm dictas
parallelas $eu ordinatim applicatas, à diametro bifariam $eca-
ri. Si enim fieri po$$it, $ecetur à diametro A O bifariam præ-
ter applicatas alia recta, ut Q R, A$ymptotis occurrens in S &
T; & $it per O ordinatim applicata B O D, A$ymptotis occur-
rens in E & F. Æquales ergo erunt tam E O, F O <n 4>, quàm
<mgl 4>_per_ 2,
& _5 Cor._
5 _bujus._</mgl>
<mgl 5>_ex by-_
_D<?>oth, iuncto Cor. 5 bujus._</mgl>
<mgl 6>_per 15 & 29 Prim_.</mgl>
T O, S O <n 5>. Quoniam verò, ductâ E V ip$i S F parallelâ <n 6>,

<pb 189>[745]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
<fig>
<cap>_Fig._ I.</cap>
<var>F S D X H R P M L N O A C K G B V I Q E T</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig._ II.</cap>
<var>D R X C F S M H K A N O L G V P E I B T Q</var>
</fig>
æquiangula $unt triangula E O V & FOS: erit <n 1> ut E O ad
<mgr 1>_per_ 4
_$exti._</mgr>
O V, ita F O ad O S. Quare cum E O ip$i F O $it æqualis,
erit & <n 2> O V ip$i O S, hoc e$t, rectæ O T æqualis, pars toti,
<mgr 2>_per_ 14
_quinti_.</mgr>
quod e$t ab$urdum. Non ergo bifariam $ecatur recta R Q à dia-
metro A O.</p>
<h it>Corollarium 7.</h>
<p>Atque hinc manife$tum fit, quòd, $i vel in una eademque vel
ad oppo$itas Hyperbolas binæ quælibet rectæ $ibi invicem æqui-
di$tantes ductæ $int, quæ utramque bifariam dividit recta linea
per centrum tran$eat $eu diameter $it: Quippe quæ per medium
unius æquidi$tantium diameter ducetur, per medium quoque al-
terius æquidi$tantium tran$ibit<n 3>. Unde apparet, quo pacto datæ
<mgr 3>_per 5_
_Corol. 5_
_bujus_.</mgr>
Hyperbolæ vel oppo$itarum Hyperbolarum diametros quotli-
bet, $imulque ordinatim applicatas ad ea$dem, nec non & cen-
trum, utpote quod binarum pluriumvè diametrorum communis
inter$ectio e$t, reperire liceat.</p>

<pb 190>[746]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> VI.</h>
<h it>Propo$itio 6.</h>
<p>Recta per quodlibet Hyperbolæ punctum ad utram-
que A$ymptoton ducta, quæ in eodem puncto bifariam
diyiditur, curvam ibidem contingit; & contra, contin-
gens ad utramque A$ymptoton producta in puncto con-
tactus bifariam divi$a e$t.</p>
<p>Sit per punctum C in Hyperbola B C D, cujus A$ymptoti A E,
A F, ducta recta G C H, utrinque A$ymptotis terminata, quæ
in eodem puncto C bifariam dividatur. Dico rectam G H cur-
vam contingere in C. Secet enim, $i fieri pote$t, recta G H Hy-
perbolam in C & I: eritque <n 1> I H rectæ C G, ideoque & ip$i
<mgl 1>_per 2_
_Cor. 5_
_hujus_.</mgl>
C H æqualis. quod e$t ab$urdum. Non $ecat ergo G H Hyper-
bolam, $ed eandem contingit. Dico porrò conver$im, $i G H in
puncto C Hyperbolam contingat, eandem quoque in C bifariam
dividi. Hoc enim $i non $it, $umatur in C H majori parte ip$a H I
æqualis G C. Hinc cum punctum C $it in Hyperbola, erit quo-
que <n 2> punctum I in Hyperbola, totaque C I <n 3> intra curvam ca-
<mgl 2>_per 4_
_Cor. 5_
_hujus_.</mgl>
<mgl 3>_per 3_
_Cor. 5_
_hujus_.</mgl>
det, ideoque ip$a G H Hyperbolam non continget, $ed eandem
in punctis C & I $ecabit, contra id quod ponebatur. Non ergo
G C ip$i CH inæqualis e$t. Ideoque ca$u utroque con$tat pro-
po$itum.</p>
<h>_Corollarium_ 1.</h>
<p>Manife$tum itaque e$t ex antedictis, $ingula rectangula, quæ
comprehenduntur $ub partibus cuju$libet rectæ contingenti pa-
rallelæ, inter Hyperbolam & A$ymptotos interceptis, e$$e æ-
qualia dimidiæ tangentis quadrato. Ut, $i tangenti G C H æqui-
di$tans utcunque ducta $it B D, A$ymptotis occurrens in E & F:
erit rectangulum E B F $ive <n 4> B F D, ut & F D E $ive D E B æqua-
<mgl 4>_per 2_
_Cor. 5_
_hujus_.</mgl>
<mgl 5>_per 5_
_hujus_.</mgl>
le rectangulo G C H <n 5>, id e$t, ip$ius C H vel C G, dimidiæ tan-
gentis quadrato.</p>

<pb 191>[747]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
<h>_Corollarium_ 2.</h>
<p>Patet porrò, rectam, quæ per diametri terminum ducitur æ-
quidi$tans ei, quæ in Hyperbola ab eadem diametro bifariam $e-
<fig>
<var>P A G C H O I E B N D F</var>
</fig>
catur, id e$t, ordinatim
applicatis parallela, Hy-
perbolam in dicto termi-
no contingere. Ut, $i ad
diametrum A N ordina-
tim applicata $it BND,
quæ producta A$ympto-
tis occurrat in E & F, ac
per diametri terminum
C ducta $it recta G C H,
ip$i B N D æquidi$tans,
cum æquales $int N F
& N E <n 1>: erunt <n 2> quo-
<mgr 1>_per_ 2
& _5 Co-_
_rol. 5 bu-_
_jus._</mgr>
<mgr 2>_per 9_
_quinti, &_
_4 $exti._</mgr>
que C H & C G æ-
quales, ideoque <n 3> G C H
<mgr 3>_per 6_
_hujus._</mgr>
Hyperbolam # continget
in C.</p>
<h>_Corollarium_ 3.</h>
<p>Hinc liquet, non $olùm omnes rectas in Hyperbola, contin-
genti parallelas, à diametro per tactum ductâ bifariam $ecari,
ideoque ad eam ordinatim applicatas e$$e, $ed & non po$$e plures
rectas in uno eodemque puncto Hyperbolam contingere. Ut, $i
contingenti G H parallela $it B D, A$ymptotis occurrens in E
& F, ductâ per tactum C diametro A C N, quæ ductæ B D oc-
currat in N: quoniam <n 4> G C, G H æquales $unt, nec non E N,
<mgr 4>_per 6_
_hujus_.</mgr>
N F <n 5>, erunt quoque (demptis æqualibus <n 6> E B, D F,) B N, N D
<mgr 5>_per 9_
_quinti &_
_4 $exti._</mgr>
<mgr 6>_per 2_
_Cor. 5_
_hujus_.</mgr>
æquales, ideoque & ad dictam diametrum A CN ordinatim ap-
plicatæ. At verò non po$$e aliam rectam præter G H Hyperbo-
lam in puncto C contingere, patet, quandoquidem & omnes ip$i
æquidi$tantes in Hyperbola ductæ, quæque aliæ e$$ent quàm præ-
dictæ applicatæ, bifariam quoque per eandem diametrum divide-
rentur <n 7>. quod fieri non po$$e $uperiùs <n 8> o$ten$um e$t.
<mgr 7>_per $u-_
_pra de-_
_mon$tra-_
_ta._</mgr>
<mgr 8>_in Cor. 6_
_5 hujus._</mgr></p>

<pb 192>[748]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
<p>Cæterùm monendum hîc, ut diametrorum quoque
magnitudo determinetur, eam, quæ à quocunque in
<fig>
<var>P A G C H I O E B N D F</var>
</fig>
Hyperbola puncto per
centrum ducta oppo-
$itâ Hyperbolâ termi-
natur, ideoque inter-
ceptæ inter centrum
& curvam dupla e$t <n 1>,
<mgl 1>_per Co-_
_rol._ I
_5 hujus_.</mgl>
ut C A P, vel Hy-
perbolæ, vel oppo$i-
tarum Hyperbolarum
tran$ver$am; diame-
trum; eamque, quæ
in ip$ius termino cur-
vam contingens utrin-
que A$ymptotis ter-
minatur, aut quæ ip$i
per centrum æqualis
& parallela ducitur, ut G C H. $ecundam diametrum
tran$ver$æ conjugatam; at verò illam, quæ ip$is P C,
G H, tran$ver$æ nempe $ecundæque diametro tertia e$t
proportionalis, ut C O, rectum latus $ive Parametrum
dici.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> VII.</h>
<h it>Propo$itio 7.</h>
<p>Quæ per terminum tran$ver$æ cuju$libet diametri
recta ducitur, contingenti in vertice parallela, oppo$i-
tam Hyperbolam contingit, & quæ ad $ecundam dia-
metrum, a$$umptæ cuicunque diametro conjugatam,
ordinatim applicatur, eidem a$$umptæ diametro æqui-
di$tat.</p>

<pb 193>[749]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
<p>Sit Hyperbolæ, vel oppo$itarum Hyperbolarum I C, HE,
quarum A$ymptoti B G, D F, diameter tran$ver$a utcunque a$-
$umpta C E, perque ejus terminum E ducta recta F E G paralle-
la ip$i B D, quæ curvam in ver-
<fig>
<var>F E H G A K B C D I</var>
</fig>
tice C contingit, ita ut hæc at-
que illa A$ymptotis occurrant
in punctis B, D & F, G: dico
prædictam quoque F E G oppo-
$itam Hyperbolam contingere
in E; & $i per centrum A duca-
tur $ecunda diameter A K, dia-
metro C E conjugata, ordinatim
ad eandem A K applicatas ip$i
C E diametro æquidi$tare.
<mgr 1>_per 29_
_primi, &_
_4 $exti_.</mgr></p>
<p>Quoniam enim e$t <n 1> tam A E
ad E G, ut A C ad C B, quàm
A E ad E F, ut A C ad C D; &
<mgr 2>_per_ 1
_Corol. 5_
_hujus_.</mgr>
$unt tam A E, A C <n 2> quàm C B,
C D <n 3> æquales, erit quoque
<mgr 3>_per_ 6
_hujus._</mgr>
<n 4>tam E G ip$i C B, quàm E F
<mgr 4>_per_ 14
_quinti._</mgr>
ip$i C D, ac proinde & E G ip$i
E F æqualis. Unde <n 5> recta F G
<mgr 5>_per_ 6
_hujus._</mgr>
oppo$itam Hyperbolam H E continget in puncto E. Quod primo
loco propo$itum fuit. Porrò $i per G & D ducatur recta G D, $e-
cans $ecundam diametrum A K in K, oppo$itisque Hyperbolis
occurrens in H & I, cum æquales & parallelæ $int E G, C D,
erunt & <n 6> quæ ip$as conjungunt G D, C E parallelæ & æquales.
<mgr 6>_per_ 33
_primi._</mgr>
Ideoque cum $ecunda diameter A K contingentibus B D, F G, id
e$t <n 7> ordinatim ad diametrum C E applicatis æquidi$tans $it, ut-
<mgr 7>_per_ 3
_Cor. 6 bu-_
_jus._</mgr>
pote ex Hypothe$i ip$i C E conjugata: erunt quoque <n 8> rectæ
<mgr 8>_per_ 34
_primi._</mgr>
G K, E A, ut & K D, A C, ideoque & <n 9> G K, K D æquales.
<mgr 9>_per_ 1
_Cor. 5 bu-_
_jus._</mgr>
Quibus $i addantur æquales <n 10> G H, D I: erunt $imiliter rectæ
<mgr 10>_per_ 2
_Cor. 5_
_hujus._</mgr>
K H, K I $ibi invicem æquales. Quocirca cum <n 11> ad $ecundam
<mgr 11>_per_ 6
_Cor. 5_
_hujus._</mgr>
diametrum A K applicata $it recta H I, etiam cæteræ omnes ad
eandem applicatæ <n 12> eidem H I ac proinde & diametro C E æqui-
di$tabunt. Quod $ecundo loco propo$itum erat.
<mgr 12>_per 5_
_& 6 Cor._
_5 hujus_</mgr></p>

<pb 194>[750]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
<h>P<sc>ROBLEMA</sc> I.</h>
<h>_Propo$itio_ 8.</h>
<p>Datis quibu$cunque diametris conjugatis, Hyperbolæ
axes conjugatos invenire.</p>
<p>Sint datæ diametri conjugatæ P C, GH, oporteatque invenire
conjugatos axes ejus Hyperbolæ, cujus eædem PC, GH conju-
gatæ diametri exi$tunt.</p>
<p>Ductis ab A centro per G & H A$ymptotis A G, A H, ductâ-
que à C ad eorum alterutram rectâ CB alteri æquidi$tante, $u-
matur inter A B, B C
<fig>
<var>P F A D H B I K E C G</var>
</fig>
media proportionalis
A D. Dein ductâ D E
ip$i A D æquali, atque
A$ymptoto A H pa-
rallelâ, erit E A F,
tran$iens per E & A ac
ip$ius EA dupla, tran$-
ver$us axis qui quæri-
tur, atque IEK ad ean-
dem perpendicularis,
ac utrinque A$ympto-
tis terminata, axis $e-
cundus, priori conju-
gatus.</p>
<p>Quoniam enim pun-
ctum C <n 1> in Hyperbo-
<mgl 1>_ex hypo-_
_the$i._</mgl>
la e$t, rectangulumque A D E ip$i A B C æquale<n 2>; erit quoque
<mgl 2>_per 17_
_$exti_.</mgl>
punctum E <n 3> in Hyperbola. Porrò cum propter rectas D A, D E
æquales <n 4>æqualis quoque $it D A E angulus ip$i D E A, id e$t <n 5>,
<mgl 3>_per 3_
_hujus_.</mgl>
<mgl 4>_per 5_
_primi_.</mgl>
<mgl 5>_per 29_
_primi_.</mgl>
<mgl 6>_per 32_
_primi_.</mgl>
<mgl 7>_per 26_
_primi_.</mgl>
<mgl 8>_per $up._
_demon$tr_.</mgl>
<mgl 9>_per 6_
_hujus_.</mgl>
E A K angulo, $intque & anguli A E I, A E K ex con$tructione
æquales: erunt <n 6> triangula A E I, A E K æquiangula, atque ob la-
tus A E commune<n 7> etiam æqualia, latusque I E lateri E K æqua-
le. Unde cum punctum E <n 8> in Hyperbola exi$tat, dividatque bi-
fariam rectam I K, utrinque A$ymptotis terminatam, continget
ip$a I K<n 9> curvam in E: ideoque, & propter angulos F E I, F E K
rectos, conjugati axes erunt F E, I K.</p>

<pb 195>[751]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> VIII.</h>
<h>_Propo$itio_ 9.</h>
<p>Quælibet contingentes ab angulo Hyperbolæ A$ym-
ptotis comprehen$o æqualia ab$cindunt triangula, &
rectangula $ub eorundem triangulorum lateribus com-
prehen$a invicem quoque æqualia $unt, ac præterea ma-
jora eorundem latera à contingentibus, ip$æque ba$es
$eu contingentes A$ymptotis terminatæ, in mutuo oc-
cur$u, nec non ip$arum partes curvam contingentes in-
ter occur$um & A$ymptotos interjectæ, in punctis con-
tactus, in eadem ratione $ecantur.</p>
<p>Hyperbolam CE, cujus A$ymptoti AG, AK, rectæ GH,
IK utrinque A$ymptotis terminatæ, ac $ibi mutuò in R occur-
rentes, contingant in punctis C & E: dico tam rectangula quàm
triangula G A H, I A K æqualia e$$e; ac præterea e$$e G I ad I A,
$icut K H ad H A; itemque G R ad R H, $icut K R ad R I; nec
non G C ad C R, $icut K E ad E R.</p>
<p>Ductis enim à punctis contactus C & E rectis C B, E D A$ym-
ptotorum alterutri, ut A H, parallelis, cum $it ut G C ad G H,
ita G B ad G A, & B C ad A H <n 1>; $itque G H ip$ius G C dupla<n 2>.
<mgr 1>_per_ 4
_$exti._</mgr>
<mgr 2>_per_ 6
_bujus._</mgr>
erit quoque tam G A
<fig>
<var>A D H B R I K E C G</var>
</fig>
ip$ius G B quàm A H
ip$ius B C dupla, ideo-
que <n 3> rectangulum G A
<mgr 3>_per_ 20
_$exti._</mgr>
H rectanguli G B C $i-
ve A B C quadruplum.
Eodem modo rectangu-
lum I A K rectanguli
A D E quadruplum o-
$tendetur. Hinc cum
æqualia $int rectangula
A B C, A D E <n 4>, erunt quoque eorum quadrupla, nimirum
<mgr 4>_per_ 3
_bujus._</mgr>
rectangula G A H & I A K æqualia. Quod e$t primum.</p>
<p>Unde cum <n 5> $it ut G A ad A K, ita I A ad A H, triangula quo-
<mgr 5>_per_ 16
_$exti._</mgr>

<pb 196>[752]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
que G A H, I A K æqualia erunt <n 6>, utpote habentia latera circa
<mgl 6>_per_ 15
_$exti._</mgl>
communem angulum, reciproca. Quod e$t $ecundum.</p>
<fig>
<var>A D B H I R E K C G</var>
</fig>
<p>Ac cum permutando
<n 7> quoque $it G A ad I A,
<mgl 7>_per_ 16
_quinti._</mgl>
ut A K ad A H: erit &
<n 8> dividendo G I ad I A,
<mgl 8>_per_ 17
_quinti._</mgl>
ut K H ad H A. Quod
e$t tertium.</p>
<p>Porrò cum ab æqua-
libus triangulis G A H,
I A K ablato communi
quadrilatero I R H A,
re$idua, nempe trian-
gula G R I & K R H, quoque æqualia remaneant, erunt <n 9> eorun-
<mgl 9>_per_ 15
_$exti._</mgl>
dem latera circa æqualem angulum ad R reciproca, id e$t, erit
G R ad R H, ut K R ad R I. Quod e$t quartum.</p>
<p>Unde cum componendo <n 10> quoque $it G H ad R H, ut K I ad
<mgl 10>_per_ 18
_quinti._</mgl>
R I, aut, $umptis antecedentium dimidiis, C H ad H R, ut E I
ad I R: erit & per conver$ionem rationis <n 11> C H $ive G C ad
<mgl 11>_per Co-_
_roll._ 19
_quinti._</mgl>
C R, ut E I $ive K E ad E R. Quod e$t quintum. Atque ita de-
mon$trata $unt ea, quæ proponebantur.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> IX.</h>
<h>_Propo$itio_ 10.</h>
<p>Ductâ quacunque in Hyperbola diametro, erit ut qua-
dratum $ecundæ ad quadratum tranver$æ diametri, $i-
ve ut parameter ad tran$ver$am diametrum, ita qua-
dratum cuju$libet ordinatim applicatæ ad rectangu-
lum $ub eju$dem diametri partibus, utroque tran$-
ver$æ termino & applicatâ interceptis, comprehen-
$um.</p>
<p>Sit in Hyperbola B C D, cujus A $ymptoti A E, A F, ducta
diameter utcunque P A C N, cujus $ecunda diameter tran$ver$æ
P C conjugata $it G C H, parameter verò C I, ip$is nempe P C,
G H tertia proportionalis, & $it ordinatim ad dictam diametrum

<pb 197>[753]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
applicata quælibet D N: dico e$$e ut G H quadratum ad C P
quadratum, aut, quod idem e$t <n 1>, ut recta I C ad rectam C P, ita
<mgr 1>_per Co-_
_rol._ 20
_$exti._</mgr>
quadratum D N ac P N C rectangulum.</p>
<p>Productâ enim applicatâ D N utrinque per Hyperbolam ad
A$ymptotos, ut E B N D F, cum $it <n 2> F N quadratum ad H C
<mgr 2>_per_ 4,
& 22
_$exti._</mgr>
quadratum, id e$t <n 3>, ad B F D rectangulum, ut N A quadratum
<mgr 3>_per_ 1
_Corol._ 6
_hujus_.</mgr>
<mgr 4>_per 6_
_$ecundi, &_
_17 quinti_.</mgr>
<mgr 5>_per 6_
_$ecundi_.</mgr>
<mgr 6>_per 16_
_quinti_.</mgr>
ad C A quadratum:
<fig>
<var>F P A D H B I E K C G</var>
</fig>
erit dividendo <n 4> D N
quadratum ad H C
quadratum, ut P N C
rectangulum <n 5> ad
C A quadratum, &
permutando <n 6> D N
quadratum ad P N C
rectangulum, ut H C
quadratum ad C A
quadratum, $ive <n 7> ut
<mgr 7>_per_ 15
_quinti._</mgr>
G H quadratum ad
C P quadratum, aut,
quod idem e$t, ut I C
ad C P. Quod de-
mon$trandum erat.</p>
<h>_Corollarium_ 1.</h>
<p>Hinc colligitur,
quo pacto datæ cuju$libet Hyperbolæ, ut B C D, A$ymptoti inve-
niantur. Quippe inventis <n 8> centro A, diametro quâcunque A N
<mgr 8>_per_ 7
_Coroll._ 5
_hujus._</mgr>
quæ curvam $ecet in C, & ordinatim ad eandem applicatâ B N; $i,
productâ N A ad P, ut A P ip$i A C $it æqualis, ductâque per C re-
ctâ G C I applicatæ B N parallelâ, in eadem notentur puncta H &
G, ita ut $it P N C rectangulum ad B N quadratum, $icut A C qua-
dratum ad quadratum abs C G $eu C H: erunt, quæ ex A centro
per G & H ducuntur rectæ A G E & A H F, A$ymptoti quæ$itæ <n 9>.
<mgr 9>_per con-_
_ver$um_
10 _hujus._</mgr></p>
<h>_Corollarium._ 2.</h>
<p>Ex demon$tratis patet, $i per P & I tran$ver$æ diametri para-
metrique terminos ducatur recta P I K, occurrens cuilibet appli-

<pb 198>[754]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
catæ, ut N D, productæ, $i opùs fuerit, in K: rectangulum C N K
quadrato # applicatæ
<fig>
<var>P A I H C D F K G N L B E M</var>
</fig>
D N æquale e$$e.
Quoniam enim e$t <n 1>
<mgl 1>_per_ 10
_hujus_
_conv._</mgl>
ut P C ad C I, $ive
ut P N ad N K<n 2>, id
<mgl 2>_per_ 4
_$exti._</mgl>
e$t, ($umptâ N C
communi altitudine)
ut P N C rectangu-
lum ad C N K re-
ctangulum <n 3>, ita i-
<mgl 3>_per_ 1
_$exti._</mgl>
dem P N C rectan-
gulum ad D N, qua-
dratum, erit <n 4> re-
<mgl 4>_per_ 9
_quinti._</mgl>
ctangulum C N K
quadrato applicatæ
D N æquale, id e$t,
$i veterum Geome-
trarum more id pro-
poni placeat:</p>
<p>Quæ ab Hyperbola ad diametrum ordinatim applica-
tur, pote$t $patium adjacens lateri recto, latitudinem
habens lineam, quæ à diametro ab$cinditur inter ip$am
applicatam & diametri verticem interjectam, excedens-
que figurâ $imili $imiliterque po$itâ ei, quæ lateribus
tran$ver$o rectoque continetur.</p>
<h>_Corollarium_ 3.</h>
<p>Manife$tum quoque e$t ex demon$tratis, in Hyperbola appli-
catarum quadrata ad $e invicem e$$e, veluti rectangula $ub inter-
ceptis diametri portionibus, ab utroque tran$ver$æ termino $um-
ptis, ut, $i applicatæ$int L M, D N, erit ut quadratum L M ad
rectangulum P M C, ita quadratum D N ad rectangulum P N C;
cum utriu$que eadem $it ratio, quæ e$t parametri ad tran$yer$am
diametrum <n 5>, eritque propterea <n 6> permutatim L M quadratum ad
<mgl 5>_per_ 10
_hujus._</mgl>
<mgl 6>_per_ 16
_quinti._</mgl>
D N quadratum, ut P M C rectangulum ad P N C rectangulum.</p>

<pb 199>[755]<rh>L<sc>IB</sc> I. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> X.</h>
<h>_Propo$itio_ II.</h>
<p>Si quælibet contingens cuicunque Hyperbolæ diame-
tro occurrat, atque à puncto contactus recta ad ean-
dem diametrum ordinatim applicetur, erit rectangulum
fub diametri portionibus à centro per contingentem
applicatamque ab$ci$$is æquale $emidiametri tran$ver$æ
quadrato.</p>
<p>Quamcunque Hyperbolam K C, cujus A$ymptoti A D, A F,
contingat in puncto C utcunque $umpto recta E C F, A$ympto-
tis occurrens in E & F, diametro autem A H utcunque ductæ
in I; & per punctum con-
<fig>
<var>A E I G R L K M D C H F</var>
</fig>
tactus C ad eandem dia-
metrum ordinatim appli-
cata $it C H, quæ produ-
cta A$ymptoto occurrat
in M. Dico rectangulum
H A I æquale fore quadra-
to $emidiametri K A, $ive,
quod idem e$t<n 1>, continuè
<mgr 1>_per 17_
_$exti_.</mgr>
proportionales e$$e H A,
K A, & I A.</p>
<p>Ductis enim D K G ap-
plicatæ C H, & K L con-
tingenti F E parallelis, notatoque inter$ectionis puncto R, cum
$it <n 2> R C ad C F, ut R K ad K D, hoc e$t <n 3>, M G ad M F, ut
<mgr 2>_per_ 2
_Cor. $extr,_
_& 9 hu-_
_jus_.</mgr>
<mgr 3>_per_ 2
_$exti_.</mgr>
<mgr 4>_per com-_
_po$itio-_
_nem ratio-_
_nis contrariam, vide Clavium ad 18 quinti_.</mgr>
<mgr 5>_per 9 hujus_.</mgr>
<mgr 6>_per 22 quinti_.</mgr>
<mgr 7>_per 2 $exti_.</mgr>
<mgr 8>_per 2 $exti_.</mgr>
<mgr 9>_per 18 quinti_.</mgr>
L E ad L D: erit quoque <n 4>M G ad G F, ut L E ad E D. Qua-
re cum porrò <n 5> $it F G ad G A, ut D E ad E A: erit<n 6> ex æquo
MG ad GA, id e$t<n 7>, HK ad KA, ut L E ad E A, hoc e$t<n 8>, ut
K I ad I A: & <n 9> componendo H A ad K A, ut K A ad I A. Quod
demon$trandum erat.</p>

<pb 200>[756]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> XI.</h>
<h>_Propo$itio_ 12.</h>
<p>Si quælibet contingens cuicunque $ecundæ Hyperbo-
les diametro occurrat, atque à puncto contactus recta
ad eandem diametrum ordinatim applicetur, erit rectan-
gulum $ub $ecundæ diametri portionibus, à centro per
contingentem applicatamque ab$ci$$is, æquale $e mi-
$ecundæ diametri quadrato.</p>
<p>Quamcunque Hyperbolam K C, cujus A$ymptoti A D, A F,
contingat in puncto C, utcunque $umpto, recta F C Q, occur-
rens $ecundæ diametro A B, utcunque ductæ in Q: dico, $i ex C
ad eandem diame-
<fig>
<var>B A Q P I G K D M C H T F</var>
</fig>
trum A B ordina-
tim applicetur recta
C B, & ex A eidem
æquidi$tans ducatur
A K H, $ecans con-
tingentem F C Q
in I, Hyperbolæque
occurrens in K, at-
que per K recta a-
gatur D K G ip$i
A B parallela, (ita
ut<n 1> A K H diame-
<mgl 1>_per 7_
_hujus_.</mgl>
ter $it $ecundæ dia-
metro A B conjuga-
ta, ac $emi-$ecundæ
diametri magnitudine $int K G, K D,) fore rectangulum B A Q
æquale ip$ius K G vel K D $emi-$ecundæ diametri quadrato.</p>
<p>Ductâ enim per C rectâ T C M $ecundæ diametro A B paral-
<mgl 2>_per 11_
_hujus, &_
_Cor. 20_
_$exti_.</mgl>
<mgl 3>_per 4_
_& 22_
_$exti_.</mgl>
lelâ, ideoque ad interceptam diametrum A K H ordinatim appli-
catâ, quæ Hyperbolæ occurrat in T diametroque A H in H, A-
$ymptoto verò A F in M: Quoniam e$t <n 2> H A quadratum ad
K A quadratum, $ive <n 3> H M quadratum ad K G quadratum

<pb 201>[757]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
$eu<n 1> ad T M C rectangulum, ut H A $eu C B ad I A, id e$t<n 2>, ut
<mgr 1>_per_ 1
_Cor._ 6
_bujus._</mgr>
<mgr 2>_per_ 4
_$exti._</mgr>
<mgr 3>_per_ 17
_quinti._</mgr>
<mgr 4>_per Cor_
20 _$exti._</mgr>
<mgr 5>_per_ 17
_$exti._</mgr>
B Q ad A Q; erit dividendo <n 3> H C quadratum $eu B A quadratum
ad K G quadratum, ut B A ad A Q. Ac propterea <n 4> B A, K G,
& A Q proportionales erunt, rectangulumque B A Q <n 5> quadra-
to K G æquale. Quod demon$trandum erat.</p>
<h it>Corollarium ad duas propo$itiones præcedentes.</h>
<p>Ex dictis facillimè colligitur, quo pacto à dato quolibet puncto
ducenda $it recta, quae datam Hy perbolam contingat.</p>
<p>Si enim datum punctum in ip$a curva $it, veluti K, inventis A-
$ymptotis<n 6>, ductâque ad illarum alterutram rectâ alteri A $ympto-
<mgr 6>_per_ 1
_Cor._ 10
_bujus._</mgr>
<mgr 7>_per_ 6
_bujus._</mgr>
<mgr 8>_per_ 2
_$exti._</mgr>
to parallelâ, ut K P, ac $umptâ P G ip$i A P aequali, continget jun-
cta G K D Hyperbolam in K<n 7>. quoniam uti G P ip$i P A, ita G K
ip$i K D aequalis e$t<n 8>.</p>
<p>Eodem modo, $i datum punctum $it in A$ymptotorum alteru-
tra, veluti G, divisâ A G bifariam in P, ductâque P K alteri A$ym-
ptoto parallelâ, quae curvae occurrat<n 9> in K: continget juncta
<mgr 9>_per_ 2
_Cor._ 3
_bujas_.</mgr>
G K D<n 10> Hyperbolam in puncto occur$us K.</p>
<p>Sit deinde datum punctum intra angulum A$ymptotis com-
<mgr 10>_per_ 2
_$exti,_ &
6 _bujus_.</mgr>
prehen$um, veluti I: ductâ à centro<n 11> per I diametro, ut A I H,
quae curvae occurrat in K, $umptâque A H ip$is A I, A K tertiâ
<mgr 11>_inven-_
_to per_ 7
_Corol._ 5
_bujus_.</mgr>
proportionali, $i per H agatur ordinatim applic ata H C (nimi-
rum, quae contingenti in K aequidi$ter <n 12>), occurrens curvae in C,
continget juncta I C<n 13> Hyperbolam in eodem C puncto.
<mgr 12>_per_ 3
_Cor._ 6
_bujus._</mgr></p>
<p>Sit denique datum punctum in alterutro angulorum, qui dein-
ceps $unt, angulo Hyperbolam continenti, veluti Q: ductâ per Q
& centrum A $ecundâ diametro Q A B, tran$versâqueip$i conju-
<mgr 13>_per_ 11
_bujus_.</mgr>
gatâ A K H (nimirum, quae producta quamlibet rectam in Hyper-
bola ductamip$i Q A B aequidi$tantem bifariam dividat), nec non
tangente K G vel K D, A$ymptoto terminatâ $i fiat quadrato
K G vel K D aequale rectangulum Q A B, ac per B ad $ecundam
diametrum A H applicetur recta B C, nempeip$i A K aequidi-
$tans<n 14>, quae curvae occurratin C: juncta Q C<n 15> in eodem pun-
<mgr 14>_per_ 7
_bujus_.</mgr>
cto C Hyperbolam continget.
<mgr 15>_per_ 12
_bujus._</mgr></p>
<p>Manife$tum porrò e$t, $i datum punctum velintra Hyperbo-
lam foret, vel intra angulum ad verticem ei, qui Hyperbolam
continet: fieri non po$$e<n 16>, ut ab eodem puncto ducatur recta,
<mgr 16>_juxta_
I _Cor._ 3
_bujus._</mgr>
quae producta eandem non $ecet.</p>

<pb 202>[758]<rh>E<sc>LEM.</sc> C<sc>URVARUM</sc></rh>
<h>C<sc>APUT</sc> III.</h>
<h>DEFINITIONES TERTI AE.</h>
<h>I.</h>
<p>SIquodlibet trianguli rectanguli latus, $iveid rectum
angulum $ubtendat, $ive acutorum alterutri oppo$i-
tum $it, in eodem angulo moveatur, ita ut uterque mo-
ti lateris terminus $emper exi$tat, maneatque in latere,
cui ab initio junctus fuit, producto tamen $ive ab altera
$ive ab utraque parte, prout opùs fuerit; idemque ille
motus tam per angulos, qui praefato deinceps $unt,
quàm per eum, qui ip$i ad verticem e$t, ordine con-
tinuetur, donec ad po$itionem $itumque pri$tinum
latus motum redierit, atque ita quolibet puncto quod
in eodem, utcunque etiam producto, notare placue-
rit, curva de$cribatur linea, praedictum mobile latus
_De$cribentis Lineæ_ nomine de$ignabitur.</p>
<h>II.</h>
<p>Punctum autem quod in eodem ad de$criptionem
notare placuerit, _Punctum Efficiens_, aut _Punctum_ $im-
pliciter vocabitur.</p>
<h>III.</h>
<p>Di$tantia verò eju$dem puncti tam ab uno quàm ab al-
tero _de$cribentis_ termino _Interuallum_ dicetur.</p>
<h>IV.</h>
<p>Cum de _angulo_ $impliciter $ermo erit, eum intellige-
mus, quem $ubtendit, & in quo movetur _de$cribens_.</p>
<h>V.</h>
<p>Anguli vertex, quem _de$cribens_ continuato motu
qua$i circumambulat, _Centrum_ appellabitur.</p>

<pb 203>[759]<rh>L<sc>IB</sc> I. C<sc>AP.</sc> III.</rh>
<h>VI.</h>
<p>Alterutrum _anguli_ crus, utrinque, $i opùs fuerit, pro-
ductum, atque ab utraque parte à _Centro_ $umptum, ma-
gnitudine _intervalli_ in altero crure terminati _Directrix_
vocabitur.</p>
<h>VII.</h>
<p>_De$cribentem in $tatione prima_ dicemus, cùm ea ad
_directricem_ e$t perpendicularis: idem autem & tunc de
_puncto_ dictum e$to, ac cùm de iis $impliciter $ermo erit
in ea $tatione con$iderabuntur.</p>
<h>VIII.</h>
<p>Recta à _puncto_ per _Centrum_ ducta, interceptae inter
_punctum_ & _centrum_ dupla, _Secans_ nuncupabitur.</p>
<p>Ut $i trianguli rectanguli A B C latus B C moveatur in _angulo_
B A C, ex. gr., ut terminus C tendat ad A, $imulque B vel retro-
cedat vel promoveatur versùs I; ita tamen, utiidem termini B &
C $emper $int & exactè maneant in lateribus, quibus ab initio
<fig>
<cap>_Fig._ I.</cap>
<var>F L H N D C A O E K M Q B K I G P</var>
</fig>
junctifuêre, nempe B
in latere A B, ac C in
latere A C, productis
ubi opùs fuerit; eo-
demque illo motu
quolibet $ui puncto.
ex.gr., H, a$$umpto,
prout placuerit, $ive
in ip$a B C, $ive in ea-
dem producta, (ut à
nobis plerumque a$-
$umetur, cum id natu-
rae quodammodo con-
venientiùs videatur,)
de$cribat curvam li-
neam: nempe, ut, ubi punctum C pervenerit ad A, ac punctum B
ad I, $imulque H proce$$erit ad F, de$cripta $it per motum puncti

<pb 204>[760]<rh>E<sc>LEM.</sc> C<sc>URVARUM</sc></rh>
Hcurvae portio HF: deinde puncto C promoto per A ad M, $i-
mulque termino B retrogre$$o vel progre$$o ab I ad K, ita ut H
<fig>
<cap>_Fig._ II.</cap>
<var>H F L I B D Q K E O M A C N P G</var>
</fig>
pervenerit ad L, de$criptus $it arcus F L:
eodemque modo, ubipunctum B per
K continuato motu pervenerit ad A, $i-
mulque punctum C per M progredien-
do pervenerit ad Q, ac punctum
H in E inciderit, de$criptus $it arcus
L E: ac rur$us ubipunctum B per A
progre$$um fuerit ad N, $imulque pun-
ctum C ex Q vel retroce$$erit vel pro-
gre$$um $itad O, ita uttunc punctum
H pervenerit ad P, de$criptus $it arcus
E P: atque $i porrò eodem pacto mo-
tusille continuetur, donec praedictum
punctum per G & D tran$ierit rur$u$-
quead H pervenerit, de$cripta $it tota
curva H F L E P G D: erunt
B C, quae & in aliis ftationibus e$t I A, K M, A Q, N O, &c,
_linea de$cribens_.</p>
<p>H _punctum efficiens._</p>
<p>H C & H B utrumque _intervallum._</p>
<p>_Anguli_ vertex, nempe punctum A, _Centrum_.</p>
<fig>
<cap>_Fig._ III.</cap>
<var>H F N L C A O D E M Q K I B P G</var>
</fig>
<p>Et $i alterutrum _anguli_
crus, exempli gratiâ, A C,
utrinque, $i opùs fuerit,
productum $it, veluti ad
D & E; ita nempe, ut tam
A D quàm A E æqualis $it
rectæ H B, _intervallo_ vi-
delicet, quod in altero
crure terminatur, tota
D E _directrix_ erit.</p>
<p>Cum autem _de$cribens_
B C eidem _directrici_ D E
e$t perpendicularis, quod quidem fit, quando ip$a po$itione ea-
dem e$t cum crure A B, uti A I, _angulo_ nempe exi$tente recto,

<pb 205>[761]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. III.</rh>
utin prima figura, aut $iobliquus fuerit _angulus_, in ip$a po$itione
B C, utiexhibetur in $equentibus figuris, erit I A, ca$u primo, &
B C, ca$u altero, _de$cribens in $tatione prima_ $eu _de$cribens_ $im-
pliciter, ideoque punctum F vel H, quod eidem in directum e$t,
_punctum efficiens in $tatione prima $eu punctum_ $impliciter.</p>
<p>Ac proinde F A G<n a> vel H A G<n b>, nempeab eodem _puncto_ per
<mgr a>in ca$u
fig. I &
$imilib.</mgr>
<mgr b>in ca$u
fig. II &
III ac $i-
milib.</mgr>
_centrum_ A ducta atque ip$ius F A $ive H A dupla, _$ecantem_ reprae-
$entat.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> XII.</h>
<h>_Propo$itio_ 13.</h>
<p>In quocunque _angulo_, & quibu$libet _intervallis._ juxta
de$initiones hoc capite propo$itas, curvâ de$criptâ, hoc
ip$i proprium erit, ut quadratum cuju$libet _$ecanti ae-_
quidi$tantis, à quolibet _directricis_ puncto ad curvam
applicatae, eandem rationem habeat ad rectangulum $ub
partibus _directricis_ per applicatam factis, quam quadra-
tum _$ecantis_ ad quadratum _directricis_.</p>
<p>Sit in quocunque _angulo_ B A C, _intervallis_ quibu$libet H C,
H B, de$cripta curva D H E G, cujus _directrix_ D A E, _$ecans_
<mgr a>in ca-
$ib. fig. I,
II, & $i-
milibus.</mgr>
<mgr b>in ca-
$ib. cæ-
terarum
fig. & $i-
milibus.</mgr>
F A G<n a> vel H A G<n b>; atque à puncto I in _directrice_ D E utcunque
a$$umpto, ad curvam applicata IL _$ecanti_ F A G<n a> vel H A G<n b>
æquidi$tans: dico fore quadratum applicatae L I ad rectangulum
D I E, ut e$t quadratum _Secantis_ F G <n a> vel H G<n b> ad quadratum
_directricis_ D E.</p>
<p>Sit enim recta K M _de$cribens_ in ea $tatione, utifuit, cùm per
eandem de$criptum e$t punctum L. Et primò quidem, $i _angulus_
B A C rectus $it<n a>, ductâ K N _directrici_ D E parallelâ, quae oc-
<mgr 1>_per_ 34
_primi._</mgr>
currat applicatæ L I, aut eidem productae, $iopùs fuerit, in N:
cum _intervallum_ K L æquale $it dimidiae _directrici_ A E vel A D,
<mgr 2>_per_ 47
_primi, &_
5 _$ecundi._</mgr>
ideoque & K L quadratum æquale A E vel A D quadrato, abla-
tis utrinque æqualibus, nimirum<n 1>, quadrato K N ab una, &
<mgr 3>_per_ 4 &
22 _$exti._</mgr>
quadrato A I ab altera parte, re$idua quoque, nempe L N qua-
dratum & D I E rectangulum<n 2>, æqualia erunt. Unde cum<n 3> $it
<mgr 4>_per $u-_
_pra de-_
_mon$tr_.</mgr>
ut L I quadratum ad L N quadratum, id e$t<n 4>, ad D I E rectan-

<pb 206>[762]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
<fig>
<cap>_Fig._ I.</cap>
<var>S F T L W K N A I D E M C X B Z R Y Q V H G</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig._ II.</cap>
<var>E N I L M F A G K B C D H</var>
</fig>
gulum, ita L M quadratum ad L K quadratum, hoc e$t, ita F A
<mgl 1>_per_ 15
_quinti_.</mgl>
quadratum ad A E quadratum, $ive<n 1> ut F G quadratum ad D E
<fig>
<cap>_Fig._ III.</cap>
<var>S H T F L X A O C I E D P M K N B Z W G</var>
</fig>
quadratum, con-
$tat priori ca$u
propo$itum.</p>
<p>Non $it dein-
de _angulus_ B A C
rectus<n b>, ducan-
turque ad _dire-_
_ctricem_, eamvè
productam, $i
opùs fuerit, re-
ctæ K O, L P
_de$cribenti_ B C
parallelae, ideo-
que ad _directricem_ D E perpendiculares, ut & I N lateri A B pa-
rallela, quae ip$i L P, eidemvè productae, $i opùs fuerit, occur-
rat in N; ita ut<n 2> $imilia $int triangula A H C & ILP, item-
<mgr 2>_per_ 29
_primt._</mgr>

<pb 207>[763]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. III.</rh>
<fig>
<cap>_Fig._ IV.</cap>
<var>L H F D I P M O C E A N K B G</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig._ v.</cap>
<var>H L F D I P A O C E M N K B G</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig._ VI.</cap>
<var>H L F A D O C E I P M N K B G</var>
</fig>
que A H B &
I L N, ac de-
nique jungatur
K N. Quoniam
itaque e$t<n 1>, ut
<mgr 1>_per_ 4
_$exti_.</mgr>
B A ad K A,
$ive ut B C, id
e$t, M K, ad
K O, ita M L,
hoc e$t, H C,
ad L P; ut au-
tem H C ad L
P, ita H A ad
LI, & ita B A
ad N I, ac per
con$equens B A
ad K A, ut ea-
dem B A ad N I:
erit<n 2> K A ip-
<mgr 2>_per_ 9
_quinti._</mgr>
$i N I aequalis.
Sunt autem &
parallelae, ex hy-
pothe$i. Qua-
re & A I, K N
æquales & pa-
rallelæ erunt<n 3>.
<mgr 3>_per_ 33
_primi._</mgr>
Porrò cum æ-
quales $int re-
ctæ K L & A E
vel A D, ideo-
que & ip$arum
quadrata, hinc
$ubductis ab iis
æqualibus, qua-
drato nimirum
K N ab una,
ac quadrato A I
ab altera parte,

<pb 208>[764]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
<fig>
<cap>_Fig._ VII.</cap>
<var>H F N K P D I M O A C E L B G</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig._ VIII.</cap>
<var>H B D A P C I E M O N K F L G</var>
</fig>
<mgl 1>_per_ 47
_primi._ &
5 _$ecundi_.</mgl>
<mgl 2>_per_ 4 &
22 _$exti_.</mgl>
<mgl 3>_per $u-_
_pra de-_
_mon$tr_.</mgl>
<mgl 4>_per_ 15
_quinti_.</mgl>
erunt quoque re$i-
dua, quadratum nem-
pe L N & rectan-
gulum D I E æqua-
lia <n 1>. Unde cum $it
<n 2> L I quadratum ad
L N quadratum, hoc
e$t <n 3>, ad D I E re-
ctangulum, ut A H
quadratum ad H B
quadratum, id e$t,
ad A E quadratum,
$ive <n 4> ut H G qua-
dratum ad D E qua-
dratum, erit etiam
hoc ca$u propo$itum
manife$tum.</p>
<p>Atque ita liquet, praedictam curvam eam ip$am e$$e,
quæ V eteribus Ellip$is dicta fuit, _directricem_ verò ac
_$ecantem_ eas ip$as, quas conjugatas diametros, aut, $i
_angulus_ rectus fuerit, conjugatos axes vocârunt.</p>
<p>Conjugatas itaque diametros appellabimus binas
rectas per centrum ductas, acutrinque Ellip$i termina-

<pb 209>[765]<rh>L<sc>IB.</sc> I. C<sc>AP</sc>. III.</rh>
tas; ita ut (quemadmodum de _directrice_ & _$ecante_ jam
demon$tratum e$t,) quadrata rectarum quæ alteri ip$a-
rum applicantur alteri æquidi$tant, ita $e habeant ad
rectangula $ub partibus per applicationem factis, ut
quadratum alterius adquadratum eju$dem quæ per ap-
plicatas $ecatur.</p>
<p>Et hæc quidem, cui applicatæ in$i$tunt, ttan$ver$a;
illa verò, cui eædem æquidi$tant, $ecunda diameter vo-
cabitur.</p>
<p>Cæteræ autem omnes, per centrum ductæ ac u-
trinque Ellip$i terminatæ, diametri $impliciter di-
centur.</p>
<p>Rectam lineam quae tran$ver$æ $ecundæque diame-
tro tertia e$t proportionalis, Latus Rectum $ive Para-
metrum vocabimus ad tran$ver$am diametrum perti-
nentem.</p>
<p>Notandum tamen e$t, $i _angulus_ rectus $it, ac _pun-_
_ctum_ ab utroque _de$cribentis_ termino æqualiter di$tet,
curvam, quae motu eju$dem _puncti_, uti praedictum e$t,
de$cribitur, circumferentiam Circuli e$$e.</p>
<h it>Corollarium. I.</h>
<p>Exip$a demon$tratione & collatione figurae primae cum $ecun-
da manife$tum e$t: in Ellip$i, conjugatorum axium tran$ver$um
etiam $ecundum e$$e, & contra. Sive enim L I. vel huic velilli
axi applicata $it, eodem modo $emper probabitur e$$e quadra-
tum eju$dem applicatae ad rectangulum $ub partibus axis cui
applicatio fit, ut quadratum axis alterius ad quadratum axis
praedicti quiper applicatam $ecatur.</p>
<h>_Corollarium_ 2.</h>
<p>Apparet porrò rectam per punctum ductam _directrici_ paralle-
lam, hoc e$t, eam, quæ per terminum $ecundæ diametri tran$-

<pb 210>[766]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
ver$æ æquidi$tans ducitur, Ellip$in in eodem termino, & in
nullo præterea puncto contingere, multò minus eandem $eca-
<fig>
<cap>_Fig._ I.</cap>
<var>S F T L W K N D A I E M C X B Z R Q Y V H G</var>
</fig>
<fig>
<cap>_Fig._ II.</cap>
<var>E L N I M F A G K B C H D</var>
</fig>
re. Si enim per F<n a> aut H<n b> terminum $ecundæ diametri GF<_>a</_>
<mgr a>in ca$u
fig.I &
fimilib.</mgr>
<mgr b>in ca$u
fig. III &
$imilib.</mgr>
vel G H<n b> ductâ rectâ S T, tran$ver$æ diametro D E paralle-
<fig>
<cap>_Fig._ III.</cap>
<var>S H T F L D X A O C I E P M K N B Z W G</var>
</fig>
lâ, a$$umatur aliud quodcunque in curva punctum, veluti L,
quod de$criptum $it _de$cribente_ in $tatione K M, ducaturque

<pb 211>[767]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. III.</rh>
LI<n a> vel L P<n b> ad tran$ver$am diametrum perpendicularis, fiet ut
<mgr a> in ca$u
fig. I & $i-
milib.</mgr>
in triangulo M L I<_>a</_> vel M L P<_>b</_> recta M L, id e$t, perpendicula-
ris F A<_>a</_> vel H C<_>b</_>, major $it<n 1> quàm L I<_>a</_> vel L P<_>b</_>; adeò ut pun-
<mgr b>in ca$u
fig. III &
$imilib.</mgr>
ctum L, quod in curva utcunque a$$umptum e$t, id e$t, tota El-
lip$is, praeter F<_>a</_> aut H<_>b</_> punctum, infra ductam S T, $eu versùs
Ellip$eos centrum, cadat.
<mgr 1>per 18
primi.</mgr></p>
<h>_Corollarium_ 3.</h>
<p>Manife$tum quoque e$t in Ellip$i applicatarum quadrata ad $e
invicem e$$e, ut rectangula $ub diametri portionibus per applica-
tas factis. Ut $i applicataæ $int L I, W X, erit quadratum W X
ad rectangulum D X E, ut quadratum L I ad rectangulum D I E:
cum<n 2> utriu$que ratio $it eadem quae quadrati F G<_>a</_> vel H G<_>b</_> ad
<mgr 2>_per_ 13
_bujus._</mgr>
quadratum D E, $ive quae parametri ad tran$ver$am diametrum;
ideoque & permutatim W X quadratum ad L I quadratum, ut
D X E rectangulum ad D I E rectangulum.</p>
<h>_Corollarium_ 4.</h>
<p>Con$tat etiam ordinatim ad axem $ive diametrum applicatas
utrinque ad Ellip$in productas ab axe $ive diametro bifariam $e-
cari. Ut, $i applicata L I producta Ellip$i occurrat in V, quoniam
e$t<n 3> quadratum L I ad rectangulum D I E, ut quadratum V I ad
<mgr 3>_per Cor._
_præced._</mgr>
idem D I E rectangulum, erit <n 4>quadratum L I æquale quadrato
<mgr 4>_per_ 9
_quinti._</mgr>
V I, ideoque & ip$a recta L I ip$i rectæ V I æqualis.</p>
<h>_Corollarium_ 5.</h>
<p>Con$tat porrò, applicatas Ellip$i in pluribus quàm duobus
punctis non occurrere. Si enim L I V alio$ui puncto praeter L &
V, exempligratiâ, puncto Z, in Ellip$i e$$et, rectæ I L & I Z<n 5>,
<mgr 5>_per Cor,_
_præced._</mgr>
ideoque I V & I Z pars & totum, æquales forent, quod e$t ab-
$urdum.</p>
<h>_Corollarium_ 6.</h>
<p>Ex dictis porrò colligitur, $i ab extremitate tran$ver$æ dia-

<pb 212>[768]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
metri, ut puta F G<n a>, eductâ parametro F S $ecundæ diametro
<mgl a>in ca$u
fig. I &
fimilib.</mgl>
D E parallelâ, jungatur S G, atque ad eandem diametrum recta
<fig>
<cap>_Fig._ I.</cap>
<var>S F T L W K N A I D M C X E B Z R Y Q V H G</var>
</fig>
quælibet ordinatim applicetur, ut R Q, quæ $ecet junctam S G
in Y: fore rectangulum F Q Y quadrato applicatæ R Q æquale.</p>
<fig>
<cap>_Fig._ III.</cap>
<var>S H T F L X A O C I E D P M K N B Z W G</var>
</fig>
<p>Quoniam enim e$t <n 1>GF quadratum ad DE quadratum, id e$t<n 2>,
<mgl 1>_per_ 13
_bujus_.</mgl>
<mgl 2>_per Cor._
20 _$exti._</mgl>
<mgl 3>_per_ 1
_$exti_.</mgl>
G F ad F S, $ive G Q ad Q Y, hoc e$t<n 3>, G Q F rectangulum ad

<pb 213>[769]<rh>L<sc>I B</sc>. I. C<sc>A P</sc>. III.</rh>
Y Q F rectangulum, ut<n 1> idem G Q F rectangulum ad R Q qua-
<mgr 1>_per 13_
_bujus._</mgr>
dratum, æqualia erunt <n 2> Y Q F rectangulum ad R Q quadratum:
<mgr 2>_per 9_
_quinti._</mgr>
id e$t, $i veterum Geometrarum more id proponi placeat.</p>
<p>Quæ ab Ellip$i ad diametrum applicatur pote$t $pa-
tium adjacens lateri recto, latitudinem habens lineam
quæ à diametro inter ip$am applicatam & diametri ver-
ticem ab$cinditur, defrciensque figurâ fimili $imiliter-
que po$itâ ei quæ lateribus tran$ver$o rectoque con-
tinetur.</p>
<h it>Corollarium 7.</h>
<p>Patet quoque ex antedictis, quo pacto, datis quibu$libet dia-
metris conjugatis, Ellip$is in plano de$cribatur.</p>
<p>Ut $i conjugatis axibus D A E & F A G <n a> Ellip$is $it de$cri-
benda, _de$cribente_ B C, quæ $emi-axium A D, A F differentia $it,
<mgr a>in ca$u
fig. I. &
$imilib.</mgr>
_intervallis_ verò H C, H B, ip$is A F, A D utroque utriqueæquali-
bus, in _angulo_ D A G, curva de$cribatur, eritque hæc ip$a Ellip$is
quæ$ita.</p>
<p>At$i aliis quibu$libet conjugatis diametris, obliquè $e$e inter-
$ecantibus, ut D E, H G<n b>, Ellip$is $it de$cribenda: demi$sâ à ter-
<mgr b>in ca$u
fig. III &
$imilib.</mgr>
mino unius ad alteram perpendiculari, ut H C, $umptâque in ea-
dem $eu in ip$a producta, $i opùs fuerit, rectâ H B ip$i D A vel
A E æquali, & per B & A ductâ rectâ B A F, $i _de$cribente_ B C, _in-_
_tervallis_ verò H C, H B, in _angulo_ B A C Ellip$is de$cribatur, erit
hæc ea ip$a quæ quæritur.</p>
<p>Itaque cum datis diametro parametroque, nec non angulo
quem faciunt cum eadem diametro ordinatim ad ip$am applica-
tæ, conjugatæ quoque diametri datæ $int: $imul quoque inno-
te$cit, quo pacto & illis datis Ellip$is de$cribatur.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> XIII.</h>
<h it>Propo$itio 14.</h>
<p>In Ellip$i circa quo$cunque axes de$criptâ, ducta quæ-
libet diameter tran$ver$a e$t, habetque $ecundam $ibi
conjugatam.</p>

<pb 214>[770]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
<p>Sit in Ellip$i S Y X Z, cujus centrum A, axes verò S X, Y Z,
ducta quælibet diameter D A E; & $ic de$cribens O W in ea $ta-
tione, uti fuit cùm de$criptum e$t punctum D vel E, ita ut inter-
valla $int D W, D O. Deinde applicatâ eâdem de$cribente in $ta-
tione reciproca, hoc e$t, in alterutro angulorum qui ip$i W A O
deinceps $unt, veluti P R, ita ut rectæ A R, A P ip$is A W, A O
reciprocè $int æquales, nimirum A R ip$i A O, & A P ip$i A W,
ac proinde triangulum W A O<n 1> $imile & æquale triangulo
<mgl 1>_per 4_
_primi._</mgl>
P A R, ab Ellip$eos puncto H, quod de$cribenti P R in dire-
ctum e$t, ducta $it diameter altera H A G. Dico diametrum D E
tran$ver$am e$$e, H G autem $ecundam ip$i D E conjugatam: id
e$t, $i, ductâ H C ad D E perpendiculari, in eadem H C, produ-
<fig>
<cap it>Fig. I.</cap>
<var>Y H F K T D M V A R S X I C O N Q E P B L G Z</var>
</fig>
ctâ, $i opùs fuerit, $umatur H B ip$i D A æqualis; ductâque per
B & A rectâ B A F, in angulo B A C, intervallis verò H C, H B,
Ellip$is de$cribatur, cujus utique conjugatæ diametri $unt in D E,
& H G <n 2>: dico illam cum expo$ita Ellip$i omnino eandem fore,
<mgl 2>_per 13_
_bujus_
_Corol._ 7</mgl>
ita ut altera alteri per omnia congruat.</p>
<p>A $$umpto enim in expo$ita Ellip$i alio quopiam puncto L,
quod quidem de$criptum $it de$cribente in $tatione T V, diame-
tro T V circulus de$cribatur, qui, propter angulum T A V re-
ctum<n a>, nece$$ariò quoque per A tran$ibit<n 3>, linea$que B A F &
<mgl a>aut cer-
tè, quia
puncto-
rum T
& V al-
terutrum cum puncto A coincidit, uti e$t ca$us in fig. VI</mgl>
<mgl 3>_per conver$am 31 tertii._</mgl>

<pb 215>[771]<rh>L<sc>I B</sc>. I. C<sc>A P</sc>. III.</rh>
D A E alibi etiam $ecabit<n b>, utiin K & M. Deinde junetâ K M,
<mgr b>aut il-
larum al-
teram
contin-
get, alte-
ram verò
$ecabit,
ut in
ca$ib. fig.
III & IV.</mgr>
eaque productâ versùs L, agantur T K, P B.</p>
<fig>
<cap it>Fig. II.</cap>
<var>Y D M T F H F K V A X W S R G I N B P Q L C O E Z</var>
</fig>
<p>Cumigitur ip$arum D O, H P, productarum, $i opùs fuerit,
inter$ectio ad Q fiat ad angulos rectos, ob $imilitudinem trian-
guli O Q P cum utroque triangulorum O A W, R A P <n c>, nota-
<mgr c>vel, $i
puncta
O & P
coïnci-
dant, ob
angulos
A O W,
A P R $e-
mirectos.</mgr>
to ip$arum D E, P H inter$ectionis puncto I, erunt triangula
<fig>
<cap it>Fig. III.</cap>
<var>H Y F O E Q M W R A K S X C I V A D T P B Z G</var>
</fig>
IQD, ICH æquiangula, ob angulos ad Q & C rectos, ad I
verò aut communem aut ad verticem. Ideoque cum triangula
O D A, P H B latera O D, D A lateribus P H, H B, utrumque
utrique, circum æquales angulos æqualia habeant; erit & <n 1> ba$is
<mgr 1>_per 4_
_primi._</mgr>

<pb 216>[772]<rh>E<sc>L E M</sc>. C<sc>U R V A R U M</sc></rh>
O A, $ive recta A R, ba$i P B, angulusque D O A, id e$t P R A,
angulo H P B æqualis; ac propterea <n 1> recta P B ip$i R A paralle-
<mgl 1>_per 27_
_primi._</mgl>
la. Hinc cum triangulorum R A P & B P A latera R A, A P la-
teribus B P, P A circa æquales angulos, nempe rectos, utrumque
utrique $int æqualia: erit & <n 2> ba$is A B ba$i P R, $eu de$cri-
<mgl 2>_per 4_
_primi._</mgl>
benti T V, angulusque A R P angulo P B A æqualis. Quocirca
& circulus diametro A B de$criptus (qui quidem, ob angulos
A C B, A P B rectos, ac A B P, A R P æquales, per puncta C,
P <n 3>, & R <n 4> tran$it) circulo T K V æqualis erit. Unde cum an-
<mgl 3>_per con-_
_ver$am_
_31 tertii._</mgl>
<mgl 4>_per con-_
_ver$am_
_21 tertii._</mgl>
guli P B C, B P R ip$is T K M, K T V, uterque utrique, æqua-
les $int, nempe P B C ip$i T K M<n d>, quoniam uterque cum an-
<mgl d>pro ca$u fig. II adde: ideoque & hi qui ip$is deinceps $unt.</mgl>
gulo P A C $eu T A M <n 5> binos rectos con$tituit<n e>, & B P R ip$i
<mgl 5>_per 22 tertii_._</mgl>
<mgl e>in ca$u
fig. II uterque angulo P A C $eu T A M æqualis e$t _per 20 tertii_. In ca$u fig. III uterque
cum angulo P A C binos rectos con$tituit, nempe hic _per 13 primi_, & ille _per 22 tertii_. In
ca$u fig. IV æquales $unt anguli P B C, T K M, quoniam prior cum angulo P A C, po$te-
rior verò cum angulo T V A (qui quidem P A C, T V A æquales $unt _per 32 tertii_) binos
rectos con$tituit _per_ 22 _tertii_. In ca$u fig. V, T K M $ive T A M æqualis e$t angulo P B C,
quia uterque cum angulo P A C duos rectos con$tituit _per 13 primi_ & 20 ac 22 _tertii_. In
ca$u fig. VI æquales $unt anguli P B C, T K M, uoniam angulus P A C æqualis e$t ei, qui
in $egmento A V M con$titueretur _per 32 tertii_, quorum quidem prior cum angulo P B C,
po$terior verò cum angulo T K M binos rectos con$tituit _per 22 tertii_.</mgl>
<fig>
<cap it>Fig. IV.</cap>
<var>F O L E H Q A M W S X V R I C K Z G D P B T</var>
</fig>
K T V, propterea quòd uterque<n 6> angulo B A R $eu K A V $ive
<mgl 6>_per 20_
_tertii_, at-
que in
ca$u fig.
III per
eandem
& 32 _tertii_.</mgl>
F A V æqualis e$t <n f>; $intque porrò, ob æquales angulos P A B,
<mgl f>In ca$ibus fig. IV & V tam angulus B P R $eu B A R, quàm angulus K T V
cum angulo K A V duos rectos con$tituit _per_ 13 _prtmi, & 22 tertii_.</mgl>
T A K<n 7>, tam peripheriæ P B, T K, quàm earum $ubten$æ, nem-
<mgl 7>_per 26 & 29 tertii._</mgl>

<pb 217>[773]<rh>L<sc>I B</sc>. I. C<sc>A P</sc>. III.</rh>
pe latera P B, T K dictis æqualibus angulis adjacentia inter $e
æqualia <n g>: apparet $icutirectæ B C, P R productæ concurrunt
<mgr g>In ca$u
fig. III. u-
bi recta
B A F
tangit
circulum
T K V,
æqualis
$unt late-
ra B P, T K ob angulos B A P, T V K æquales _per 32 tertii_. In ca$u fig. VI, ubi recta P A Y
contingit circulum T K V, æquales $unt $ubten$æ B P, T K ob angulos P A B, T M K æ-
quales _per 32 tertii_.</mgr>
in H, ita quoque rectas K M, T V productas, & quidem, cum
ip$i P H æqualis $it T L, in ip$o puncto L concur$uras. quippe
ex antedictis <n 1> $imilia atque in totum æqualia $unt triangula
<mgr 1>_per 26 primi_.</mgr>
B P H, K T L, adeoque & latus K L lateri B H æquale. E$t au-
tem <n 2> & $ubten$a K M $ubten$æ B C æqualis<n b>, ob æquales an-
<mgr 2>_per 26 & 29 tertii_.</mgr>
<mgr b>In ca$u fig. III, K M ip$i B C e$t
æqualis, quandoquidem angulus qui con$i$teret in $egmento K T M æqualis foret angulo
FAM $eu BAC _per 32 tertii_. In ca$u fig.IV, KM ip$i BC e$t æqualis, quandoquidem an-
gulus KTM æqualis e$t angulo KAC $eu BAC _per 32 tertii_. In ca$u fig. V, K M ip$i B C
e$t æqualis, quandoquidem angulus in $egmento BC æqualis foret angulo KAM, utpote
cum tam hic quàm ille cum angulo C A B duos rectos con$ititueret _per 13 primi & 22 tertii_.</mgr>
<fig>
<cap it>Fig. V.</cap>
<var>Y H F L O Q I M W A R X S V I C D K T P B G Z</var>
</fig>
gulos K A M, B A C. Quocirca & L M ip$i H C æqualis erit.
<mgr i>ut in
ca$u fig.
VI.</mgr>
Unde cum de$cribens $it K M, utpote ip$i B C æqualis, ac con-
$tituta in angulo K A M (qui cum ip$o B A C vel idem <n i>, vel ei ad
<mgr k>ut in
ca$ibus
fig. I. & II.</mgr>
verticem <n k>, vel denique ip$i deinceps e$t<n l>) aut certè cum al-
terutro crurum coïncidens<n m>, atque ex demon$tratis æqualia
quoque $int intervalla H B, H C intervallis L K, L M: $equi-
<mgr l>in ca$u
fig. V.</mgr>
tur punctum L, in expo$ita Ellip$i utcunque $umptum, id e$t,
<mgr m>ut in
ca$ibus
fig. III.
& IV.</mgr>
totam Ellip$in S Y X Z, e$$e in Ellip$i, quæ in angulo B A C, in-
tervallis H B, H C, de$cribitur, ideoque alteram alteri per

<pb 218>[774]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
omnia congruere. Sunt autem <n 1> hujus conjugatæ diametri D E,
<mgl 1>_per 13_
_bujus,_
_eju$que_
_Cor. 7_.</mgl>
H G. Quare & illius, quæ cum ip$a eadem e$t, conjugatæ dia-
<fig>
<cap it>Fig. VI.</cap>
<var>Y H F D S A R V X W L T I C K M O Q E P B G Z</var>
</fig>
metri erunt, nimirum D E tran$ver$a, & H G $ecunda. Quod
demon$trandum erat.</p>
<h it>Corollarium. I.</h>
<p>Hinc colligitur non $olùm Ellip$es omnes $uos habere axes,
$ed & quo pacto datis quibu$libet diametris conjugatis, ejus Elli-
p$eos cujus diametri $unt, axes inveniantur.</p>
<p>Ut $i cuju$cunque Ellip$eos conjugatæ diametri $int D A E &
H A G, ductâ H B, $emidiametro D A vel A E æquali, atque ad
D E perpendiculari, junctâque B A ac ipsâ bifariam in N divisâ,
$i centro N intervallo N A vel N B circulus de$cribatur, $ecans
rectam per H & N ductam in P & R: erunt rectæ H P, H R $e-
mi-axes magnitudine, quæ idcirco utrinque àcentro A versùs, aut
per puncta R & P, æqualilongitudine in directum po$itæ, $icut
totæ S X & Y Z, exhibebunt magnitudine ac po$itione quæ$itos
axes eju$dem Ellip$eos, cujus D A E & H A G conjugatæ diame-
tri exi$tunt.</p>
<p>Ductâ enim P B, $umptâque A O ip$i A R, ideoque<n 2> & du-
<mgl 2>_per 4_
_primi_.</mgl>
ctæ P B æquali, agatur D O, occurrens ip$i S X in W. Cum ita-
que ob angulum A C B rectum de$criptus circulus etiam per C
tran$eat <n 3>, erunt anguli P B H & O A D æquales, quoniam uter-
<mgl 3>_per 31_
_pertii_.</mgl>

<pb 219>[775]<rh>L<sc>I B</sc>. I. C<sc>A P</sc>. III.</rh>
que cum angulo <n a> P A C $eu P B C duos rectos con$tituit<n 1>. Un-
<mgr a>nimi-
rum _cum_
_angulo_
P A C in
ca$u fig. I.
& $imili-
bus, &
_cum angu-_
_lo_ P A C
_$eu_ P B C,
in ca$u
fig. II. &
$imilibus.</mgr>
<mgr 1>_per 13 primi & 22 tertii_.</mgr>
de cum triangula O A D, P B H latera O A, A D lateribus P B,
B H, utrumque utrique, & quidem circa æquales angulos æqua-
lia habeant: erit quoque<n 2> ba$is O D ba$i P H, id e$t, rectæ S A
<mgr 2>_per 4 primi_.</mgr>
vel A X, ut & angulus A O D angulo B P H $eu <n 3> P R A æqualis.
<mgr 3>_per 29 primi_.</mgr>
Hinc cum æqualia $int triangula R A P, O A W, propter angu-
los ad R & O æquales, atque<n 4> R A P, O A W rectos, nec non
<mgr 4>_per 31 tertii & 13_
_primi_.</mgr>
latera R A & O A æqualia: erit etiam <n 5> latus A W lateri A P, ut
<mgr 5>_per 26 primi_.</mgr>
& latus O W ip$i P R æquale. Quocirca cum <n 6> _de$cribentes_ $int in ca$u
<mgr 6>_per 13 bujus_.</mgr>
<fig>
<cap it>Fig. I.</cap>
<var>Y H F K T D M S V A R X W I C O Q N E P B L G Z</var>
</fig>
O W, P R ejus Ellip$eos, cujus axes $unt S X, Y Z, & quidem in
$tatione reciproca con$titutæ, _punctataque effcientia_ D & H: mani-
fe$tum e$t ex $uperiori demon$tratione, Ellip$in, quæ axibus S X,
Y Z de$cribitur, cum ea, cujus diametri conjugatæ $unt D E &
H G, omnino eandem e$$e:</p>
<p>Atque ita, quæ de Ellip$i, circa quo$cunque axes de-
$cripta, $uperiori Theoremate propo$ita ac demon-
$trata $unt, etiam cuilibet Ellip$i, & circa qua$cunque
diametros conjugatas de$criptæ, convenire, manife-
$tum e$t.</p>

<pb 220>[776]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
<h it>Corollarium 2.</h>
<p>Sequitur porrò ex demon$tratione eju$dem Theorematis, in
Ellip$i diametros omnes à centro bifariam $ecari. demon$tratum
enim e$t, in diametro D E, utcunque ductâ, partem A E parti D A
æqualem e$$e, cum utraque _intervallo_ H B æqualis $it.</p>
<h it>Corollarium 3.</h>
<p>Patet in$uper in Ellip$i, quarumcunque diametrorum conju-
gatarum tran$ver$am etiam $ecundam e$$e, & contra. Ut, $i con-
jugatarum diametrorum D E, H G tran$ver$a $it D E, & H G $e-
<fig>
<cap it>Fig. II.</cap>
<var>Y D M T F K A V S W X R I N B G P Q L C O E Z</var>
</fig>
cunda; cum in Ellip$i ducta quælibet diameter<n 1> tran$ver$a $it,
<mgl 1>_per 14_
_bujus_
_eju$que_
_Corol. 1_.</mgl>
habeatque $ecundam $ibi conjugatam, erit quoque H G tran$-
ver$a. At verò & D E $ecundam e$$e ip$i H G conjugatam, factâ
collatione figuræ I cum II tran$po$itis tantùm literis, ac muta-
tis mutandis demon$tratum $imul apparebit.</p>
<h it>Corollarium 4.</h>
<p>Quare & quæ per terminum tran$ver$æ diametri $ecundæ æ-
quidi$tans $eu ordinatim applicatis parallela ducitur Ellip$in in
<mgl 2>_per 2_
_Cor. 13, &_
_3 Cor.14_
_bujus_.</mgl>
eodem termino & in nullo præterea puncto contingit, totaque ex-
tra Ellip$in cadit<n 2>.</p>

<pb 221>[777]<rh>L<sc>I B</sc>. I. C<sc>A P</sc>. III.</rh>
<h it>Corollarium 5.</h>
<p>Adeoque quælibet recta, à quovis curvæ puncto ad quamcun-
que Ellip$eos diametrum ordinatim applicata, tota intra Ellip$in
cadit; utpote cum eanec in totum extra Ellip$in cadere<n 1>, nec ei-
<mgr 1>_per-_
_Cor. pra-_
_cedens._</mgr>
dem in pluribus quàm duobus punctis occurrere<n 2> po$$it.
<mgr 2>_per 5_
_Cor. 13_
_bujus._</mgr></p>
<h>T<sc>H E O R E M A</sc> XIV.</h>
<h it>Propo$itio 15.</h>
<p>Quæ bina quælibet Ellip$eos puncta conjungens re-
cta linea bifariam à diametro dividitur, erit aut per cen-
trum ducta, aut adeandem diametrum ordinatim appli-
cata, hoce$t, conjugatæ diametro æquidi$tans.</p>
<fig>
<var>A F I G E H B K D L C</var>
</fig>
<fig>
<var>A G I D F H K B E L C</var>
</fig>
<p>Si enim in Ellip$i A B C D, cujus
centrum K, à diametro A K C bi-
fariam divideretur recta E H G, quæ
neque per centrum tran$eat, neque
conjugatæ diametro B D æquidi$tans
$it; applicatâ ordinatim G I F, ductâ-
que per centrum rectâ G K L: Quo-
niam effet, ut G H ad H E, ita tam
G I ad I F<n 3>, quàm G K ad K L<n 4>, re-
<mgr 3>_per 4_
_Cor. 13_
_bujus._</mgr>
cta per F & E, nec non per E & L du-
cta foret unalinea recta diametroque
<mgr 4>_per 2_
_Cor, 14_
_bujus_.</mgr>
A C parallela<n 5>; ideoque ad alteram
ip$i conjugatam, nempe ad B D,
<mgr 5>_per 2_
_$exti._</mgr>
ordinatim applicata<n 6>, atque Ellip$i in
tribus punctis occurreret; quod fie-
<mgr 6>_per 13_
_& 3 Cor._
_14 bujus._</mgr>
rinon po$$e $upra<n 7> o$ten$um e$t.</p>
<mgr 7>_in 5<_>to</_>_
_Coroll. 13_
_bujus._</mgr>
<h it>Corollarium I.</h>
<p>Ideoque $i diameter rectam quam-
libet in Ellip$i non per centrum du-
<mgr 8>_per 4_
_Cor. 13,_
_&_ 15<_>tam</_>
_bujus_.</mgr>
ctam bi$ariam dividat, omnes quoque
ip$i æquidi$tantes bi$ariam $ecabit<n 8>.</p>

<pb 222>[778]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
<h it>Corollarium 2.</h>
<p>Quocirca $i in Ellip$i binæ quælibet rectæ $ibi invicem æqui-
di$tantes ductæ $int, quæ utramque bifariam dividet recta linea
per illius centrum tran$ibit, $eu eju$dem diameter exi$tet. Quip-
pe quæ per medium unius æquidi$tantium diameter ducetur per
medium quoque alterius æquidi$tantium tran$ibit<n 1>. Unde appa-
<mgl 1>_per 1_
_Cor. 15_
_bujus_.</mgl>
ret, quo pacto datæ Ellip$eos diametros quotlibet, $imulque ad
ea$dem ordinatim applicatas, nec non & ejus centrum, utpote
quod duarum pluriumve diametrorum communis inter$ectio e$t,
ideoque & diametros conjugatas, axesque<n 2> invenire liceat.</p>
<mgl 2>_per 1_
_Cor. 14_
_bujus,_
_aliterve,_
_ut cuilibet_
_ob vium_
_e$t_.</mgl>
<h it>Corollarium 3.</h>
<p>Ex dictis facilè apparet, quamlibet rectam, quæ bina quæcun-
que Ellip$eos puncta conjungit, totam intra Ellip$in cadere<n 3>:
utpote cum ip$a<n 4> vel diameter $it, vel ordinatim applicata ad eam
<mgl 3>_per 5_
_Cor. 14_
_bujus_.</mgl>
diametrum, quæ per ip$ius medium & centrum ducitur.</p>
<mgl 4>_per 15_
_bujus_
_eju$que_
_Cor. 1_.</mgl>
<h>P<sc>ROBLEMA</sc> II.</h>
<h it>Propo$itio 16.</h>
<p>In data quacunque Ellip$i ductæ cuilibet diametro al-
teram conjugatam invenire.</p>
<p>In data Ellip$i S Y X Z ductæ utcunque diametro D A E al-
<fig>
<var>Y H D A R S X W O E P G Z</var>
</fig>
tera conjugata
in venienda $it.
Inventis<n 5> axi-
<mgl 5>_per 2_
_Cor. 15_
_bujus_.</mgl>
bus S A X &
Y A Z, atque à
termino D vel
E ad axium al-
terutrum, ve-
lutiad Y A Z,
applicatâ re-
ctâ, ut D O,
$emi-axi alteri
S A æquali, quæ producta, $i opùs fuerit, $ecet eundem axem

<pb 223>[779]<rh>L<sc>I B</sc>. I. C<sc>A P</sc>. III.</rh>
alterum, utiin W, applicetur in $tatione reciproca ip$i O W,
eidem æqualis recta P R, nempe ut A P, A R ip$is A W, A O
$ingulæ $ingulis æquales $int, ac producta P R Ellip$i occurrat in
puncto H, à quo $i per centrum A ducatur recta H A G, Ellip$i
terminata: con$tat, per ea, quæ ad Propo$itionem 14<_>tam</_> hujus
libri demon$trata $unt, eandem H A G e$$e diametrum ip$i D E
conjugatam.</p>
<p>Atque ita $imul apparet, $ingulis diametris $uas quo-
que di$tin ctas conjugatas diametros e$$e, eidemque dia-
metro unam tantum conjugatam duci po$$e.</p>
<h it>Corollarium.</h>
<p>Unde porrò per$picuum fit, quo pacto per datum quodlibet in
Ellip$i punctum recta ducatur, quæ curvam in eodem ac in nullo
alio præterea puncto contingat. Si enim ductâ per datum pun-
ctum & centrum diametro, inventâque alterâ ip$i conjugatâ<n 1>
<mgr 1>_per 16_
_bujus_</mgr>
per idem punctum recta ducatur inventæ diametro conjugatæ
<mgr 2>_per 4_
_Cor. 14_
_bujus._</mgr>
æquidi$tans: erit eadem recta <n 2>contingens quæ$ita.</p>
<h>T<sc>H E O R E M A</sc> X V.</h>
<h it>Propo$itio 17.</h>
<p>Ellip$in in uno eodemque puncto præter rectam, quæ
parallela e$t diametro illi, quæ per punctum & centrum
ducitur, conjugatæ, alia recta non contingit.</p>
<fig>
<var>D P I N C Q K G E L M H F O</var>
</fig>
<p>Contingat Ellip$in CHFG in
puncto C recta D C E, parallela
diametro GH, quæconjugata $it
diametro C F, per punctum C &
centrum ductæ: dico aliam rectam
in puncto C eandem Ellip$in non
contingere.</p>
<p>Si enim fieri pote$t, contingat
eandem quoque in puncto C recta
I C K, diametroque L M, eidem
I C K æquidi$tanti, altera conjuga-
ta ducatur N O, (quæ cum à priori

<pb 224>[780]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
C F diver$a $it<n 1>, punctum N cum puncto C non coïncidet,) ac
<mgl 1>_per 4_
_Cor. 14_
_bujus._</mgl>
per N ip$i L M, ideoque & contingenti I C K, æquidi$tans du-
cta $it P Q. Cadet itaque<n 2> punctum C, adeoque recta I C K infra
<mgl 2>_per 2_
_Cor. 13_
_bujus_.</mgl>
rectam P N Q: nimirum, versùs Ellip$eos centrum. At verò &
eodem modo<n 3> punctum N, ideoque recta P N Q, infra contin-
<mgl 3>_per idem_
_Coroll._</mgl>
gentem I C K: nempe, versùs idem centrum cadet, quod re-
pugnat. Non contingit ergo I C K Ellip$in. Eadem de omnibus
aliis e$t demon$tratio, ac proinde con$tat propo$itum.</p>
<h it>Corollarium.</h>
<p>Con$tat itaque<n 4> in Ellip$i cuilibet tangenti parallelas, æqui-
<mgl 4>_per Co-_
_roll. præ-_
_cedens_.</mgl>
di$tantes quoque e$$e diametro conjugatæ ei, quæ per tactum &
centrum ducitur; ac proinde & ad diametrum per tactum ductam
ordinatim applicari, atque ab illa bifariam dividi<n 5>, & contra,
<mgl 5>_per 4_
_Cor. 13_
_bujus_.</mgl>
quæ per cuju$cunque diametri terminum ducitur æquidi$tans cui-
libet rectæ, per eandem diametrum bifariam $ectæ, Ellip$in in
eodem vertice contingere.</p>
<h>T<sc>H E O R E M A</sc> XVI.</h>
<h it>Propo$itio 18.</h>
<p>Si quælibet contingens productæ Ellip$eos diametro
cuicunque occurrat, atque à puncto contactus ad ean-
dem diametrum recta ordinatim applicetur: erit rectan-
gulum $ub diametri portionibus, à centro per contingen-
tem applicatamque ab$ci$$is, $emidiametri quadrato
æquale, & contra.</p>
<p>Quamcunque Ellip$in G D, cujus centrum A, contingat in
puncto D, utcunque $umpto, recta D E, diametro I G occurrens
in E; atque à puncto contactus D ad eandem diametrum ordina-
tim applicata $it D C: dico rectangulum C A E quadrato $emi-
diametri A G æquale e$$e.</p>
<p>Sit enim primùm axis diameter I G, $itque O W _de$cribens_, in
$tatione uti fuit, cùm per eandem de$criptum e$t punctum D; ita
ut O D _intervallum_ $emi-axi A G æquale $it, P R autem _de$cribens_
in $tatione, ip$i O W reciprocâ ita ut à curvæ puncto H, quod

<pb 225>[781]<rh>L<sc>IB.</sc> I. C<sc>AP.</sc> III.</rh>
nempe _de$cribenti_ P R in directum e$t, ducta diameter H A con-
jugata $it ei, quæ per D & A duceretur<n 1>, ideoque & contingen-
<mgr 1>_per_ 4
_Cor_. 14
_bujus._</mgr>
ti D E parallela<n 2>. Sitque porrò ad $ecundum axem A K applica-
ta H F, ducanturque O B, R T
<mgr 2>_per Cor._
_17 bujus._</mgr>
ip$is A G, A K æquidi$tantes,
quæ applicatis D C, H F, pro-
ductis, $i opus fuerit, occurrant
in B & T.</p>
<fig>
<var>E G D B C W O A F X P R T H I</var>
</fig>
<p>Itaque cum $imilia $int trian-
gula O A W & R A P <n 3>, erunt
<mgr 3>_ex con-_
_$tructione._</mgr>
quoque triangula W C D &
R T H, nec non O B D &
<mgr 4>_per 29_
_primi_, &
21 _$exti_.</mgr>
P F H <n 4> $imilia. At verò & la-
tera W D & R H, nec non
<mgr 5>_ex con-_
_$tructione._</mgr>
O D & P H <n 5> æqualia $unt.
Quare & latera W C & R T
<fig>
<var>E G H C B D K F A P O W T R I</var>
</fig>
<mgr 6>_per 26_
_primi._</mgr>
$ive A F, nec non D B, & H F <n 6>
<mgr 7>_per 29_
_primi._</mgr>
æqualia erunt. Sunt autem por-
rò <n 7> triangula E D C & H A F
<mgr 8>_per 4_
_$exti._</mgr>
æquiangula; unde ex antedi-
<mgr 9>_propter_
_triangula_
E D C,
H F A
_æquiang._</mgr>
ctis erit <n 8> D C ad C W $ive
A F, id e$t <n 9>, E C ad H F $ive
D B, uti eadem D B ad B O <n 10>.
Unde cum proportionales $int
<mgr 10>_propter_
_triangula_
D C W,
D B O _æ-_
_quiangu-_
_la._</mgr>
E C, D B, B O, erit <n 11> ut E C
ad B O $ive C A, ita D B qua-
dratum ad B O quadratum; &
componendo <n 12>, ut E A ad C A, ita <n 13> D O quadratum ad B O
quadratum, hoc e$t, G A quadratum ad C A quadratum; ac pro-
<mgr 11>_per_
_Cor._ 20
_$exti._</mgr>
inde <n 14> & rectæ E A, G A, C A proportionales erunt, ideoque <n 15>
rectangulum C A E quadrato $emi-axis A G æquale. Cumque in
<mgr 12>_per_ 18
_quinti._</mgr>
puncto D alia recta præter ip$am D E Ellip$in contingere non
po$$it <n 16>, patet conver$um quoque verum e$$e: nimirum, $i re-
<mgr 13>_per_ 47
_primi._</mgr>
ctangulum C A E æquale $it quadrato $emi-axis A G, & per C
<mgr 14>_per Cor._
20 _$exti._</mgr>
ordinatim applicata Ellip$i ocrurrat in D, junctam E D e$$e con-
tingentem.
<mgr 15>_per_ 17
_$exti._</mgr></p>
<p>Deinde non $it recta I G Ellip$eos G D axis, $ed alia diameter
<mgr 16>_per 17_
_bujus._</mgr>
quæcunque, cujus parameter IB, atque ab a$$umpto in curva

<pb 226>[782]<rh>E<sc>LEM.</sc> C<sc>URVARUM</sc></rh>
utcunque puncto D ad eandem diametrum ordinatim applicetur
D C, $itque quadrato $emidiametri A G æquale rectangulum
C A E: dico junctam E D, productamque, totam extra Ellip$in
cadere, ideoque eandem in puncto D contingere, & conver$im.</p>
<p>Sit enim in eadem E D, aut in ip$a producta, prout libuerit,
a$$umptum utcunque punctum F, $itque per F ducta recta F H
ip$i C D æquidi$tans, quæ dictæ
<fig>
<var>E G L C D N H M A K F I B</var>
</fig>
diametro I G occurrat in H, Elli-
p$i verò G D in K. (Etenim $i El-
lip$i non occurreret, manife$ti$$i-
mè punctum F extra Ellip$in fo-
ret.) Deinde I G ut axe, eâdem-
que parametro I B, intelligatur
de$cripta alia Ellip$is G L, ac per
C & H ad eundem axem ordina-
tim applicentur CL, HM, quæ
curvæ occurrant in L & M, jun-
gaturque E L, (quæ utique Elli-
p$in G L in L continget <n 1>,) eaque
<mgl 1>_per $up._
_demon$tr._</mgl>
producta, $i opùs fuerit, produ-
ctæ H M occurrat in N.</p>
<p>Itaque quoniam e$t quadratum
D C ad rectangulum G C I, ut
quadratum L C ad idem G C I re-
ctangulum, (quippe utriu$que ea-
dem e$t ratio, quæ parametri I B
ad diametrum $ive axem I G <n 2>:)
<mgl 2>_per 13_
_bujus, &_
_Cor. 20._
_$exti._</mgl>
erunt <n 3> quadrata D C, L C, ideoque & rectæ D C, L C æquales.
Eodem modo, & rectas K H, M H æquales e$$e, demon$trabitur.
Atverò cum $it C D ad H F, ut C L ad H N, ($iquidem <n 4> utriu$-
<mgl 3>_per 9_
_quinti._</mgl>
que eadem e$t ratio, quæ rectæ E C ad rectam E H,) erunt quo-
<mgl 4>_per 4_
_$exti._</mgl>
que <n 5> H F & HN æquales. E$t autem H N major applicatâ
H M, cum contingens $it E L N: ergo & H F applicatâ H K
<mgl 5>_per 14_
_quinti._</mgl>
major erit, ideoque punctum F, in recta E D F utcunque $um-
ptum, hoc e$t, to ta E D F, extra Ellip$in, G D cadet, $ive, quod
idem e$t, eandem in puncto D continget. Cumque non po$$it
<mgl 6>_per 17_
_bujus._</mgl>
præter E D F alia recta eandem Ellip$in in puncto D contingere <n 6>,
manife$tum quoque e$t conver$um: $i nempe E D Ellip$in G D

<pb 227>[783]<rh>L<sc>IB.</sc> I. C<sc>AP</sc>. III.</rh>
in D. contingat, diametroque G I occurrat in E, & ad eandem
diametrum ordinatim applicata $it D C, rectangulum C A E qua-
drato $emidiametri A G æquale e$$e.</p>
<h it>Corollarium.</h>
<p>Ex dictis per$picuum e$t, quo pacto à dato quolibet puncto
ducenda $it recta, quæ Ellip$in contingat.</p>
<p>Si enim datum punctum in ip$a curva $it, veluti D: jam $upra <n 1>
<mgr 1>_in Cor._
_16. bu-_
_jus._</mgr>
o$ten$um e$t, quo pacto per dictum punctum contingens ducatur.
Quod tamen & hoc quoque modo per præcedens Theorema
perficietur.</p>
<p>Ductâ ex D ad inventam <n 2> diametrum G I rectâ ordinatim <n 2>
<mgr 2>_per_
_2 Cor. 15._
_bujus._</mgr>
D C, fiat rectangulum C A E quadrato $emidiametri A G æqua-
le, jungaturque E D.</p>
<p>At $i extra Ellip$in $it datum punctum, ut E: ductâ ad A cen-
trum <n 3> rectâ E A, quæ Ellip$in $ecet in G, quadrato A G æqua-
<mgr 3>_inven-_
_tum per_
_2 Coroll._
_15 bujus._</mgr>
le fiat rectangulum E A C; ac per C ductâ ordinatim applicatâ
C D: nimirum, quæ <n 4> æquidi$tet contingenti quæ per G ducere-
tur <n 5>, occuratque Ellip$i in D, jungatur E D: eritque hæc ip$a
<mgr 4>_juxta_
_Cor. 17._
_bujus._</mgr>
tam priori quàm po$teriori ca$u <n 6> contingens quæ$ita.</p>
<p>A puncto autem intra Ellip$in dato non po$$e duci rectam, quæ
<mgr 5>_per præ-_
_cedentia,_
_aut 5 Co-_
_roll. 14._
_bujus._</mgr>
eandem contingat, manife$ti$$imum e$t.</p>
<p>Atque ita me compendiosè viâ $atis planâ ac maxi-
mè naturali, ab$que ulla $olidi con$ideratione, Ele-
<mgr 6>_per 18_
_bujus._</mgr>
menta proprietatesque præcipuas Curvarum, quas Ve-
teres _Coni $ectiones_ appellavêre, tradidi$$e confido. E
quibus principiis cætera omnia, quæ ad Parabolam,
Hyperbolam, vel Ellip$in pertinent, ab$que ulteriori
manuductione facillimè deducet, quicunque animum
iis debitè applicuerit, atque in Geometricis per $e ad
ulteriora progredi valeat. Adeò ut eâdem tractandi
methodo hi$ce diutiùs inhærere $upervacuum putem,
præ$ertim cum in$ignis & $ublimior quædam $cientia
$uper$it, cui Veteres enixi$$imè incubui$$e ex quorun-
dam relatu ac nonnullis antiquorum Geometrarum
fragmentis manife$tum e$t; quæque tam ab ii$dem

<pb 228>[784]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
quàm à Recentioribus _Locorum Inventio_ $ive _Compo-_
_$itio_ appellata fuit. Ad quam promovendam, ab Apol-
lonio cæteri$que Geometris ea præcipuè con$cripta e$$e,
quæ in Conicorum tractatione prædictis Elementis $u-
peraddidere, omnino credibile e$t. Cumque penitio-
rem curvarum linearum notitiam perfectamque earum
enumerationem ac di$tinctionem, ut & di$tributionem
in $ua genera & $pecies, cum $egregatione earum, quæ
verè Geometricæ non $unt, ab iis quæ in Geometriam
$unt recipiendæ, ex accurata _Loci_ tractatione imprimis
petendam exi$timem: è re fore duxi, eandem tracta-
tionem hîc $ubjungere, non quidem eâ methodo, $i-
cut à Veteribus inchoata videtur, cum vix integrum
& ingens volumen eidem $ufficeret, $i vel tantùm _Lo-_
_corum_, quæ _Plana_, ac _Solida_ (quamvis, meo judi-
cio, minùs rectè,) vocârunt, id e$t, quæ vel _recta_
_linea_, vel _Parabola_, vel _Hyperbola_, vel _Ellip$is_, $ive
_circuli circumferentia_ exi$tunt, (quorumque Locorum
Compo$itioni eos $olummodo intentos fui$$e inveni-
mus,) doctrinam exactè complecteretur, atque id por-
rò volumen in immen$um excre$ceret, $i ad Loca,
quæ $unt lineæ curvæ $ecundi generis, uti nobis pro-
po$itum e$t, extenderetur; $ed Arte Analyticâ per Æ-
quationum examen & præcepta generalia, quibus omnes
omnino ca$us po$$ibiles re$olvantur ac determinentur.
In quibus pertractandis eum ordinem $umus ob$erva-
turi, ut jam po$t explicationem Elementorum Parabo-
læ, Hyperbolæ, & Ellip$is, ($uppo$itâ notitiâ eorum,
quæ ad linearum rectarum, angulorum, & figurarum re-
ctilinearum, nec non Circulorum naturam pertinent) in-
ventionem ac determinationem tradamus eorum _loco-_
_rum_, quæ vel rectæ lineæ $unt vel ex prædictis curvis
con$tant; (Illa autem & nobis, ne quid temerè mute-

<pb 229>[785]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. III.</rh>
mus, _Locorum Planorum, Solidorumque_ nomine ve-
nient) atque eo ip$o o$tendamus in primo curvarum ge-
nere, præter Circulum, non ni$i Parabolam, Hyper-
bolam, & Ellip$in e$$e recipiendas. Tractationi autem
ulteriorum locorum, quæ pertinent ad lineas curvas $e-
cundi generis, $imiliter quoque earundem curvarum
Elementa præmittemus. Cum verò ad ip$arum genera-
tionem viam $ternant non tantùm de$criptiones linea-
rum curvarum primi generis, hoc libro propo$itæ atque
explicatæ, $ed & multi alii illas in plano de$cribendi mo-
di: operæ pretium duximus eorundem modorum, qui
certè infiniti $unt, ut quilibet huic $peculationi inten-
tus facilè experietur, vel illos $altem hîc adjungere,
quos aut ad de$criptiones curvarum $ecundi generis
auxilio nobis fore, aut Mechanicæ curvarum primigene-
ris in plano delineationi præcedentibus aptiores judi-
camus.</p>
<h>C<sc>APUT</sc> IV.</h>
<h it>Alia Parabolam, Hyperbolam, & Ellip$in in
plano delineandi Metbodus.</h>
<p>SIt triangulum quodcunque i$o$celes A B C, & tam æqualia
crura A B, A C, quàm ba$is B C utrinque indefinitè produ-
cantur, ut ad D, E, & F, G, nec non HI; $itque ab alterutro
angulorum ad ba$in ducta quævis recta terminata, oppo$ito cru-
riæquidi$tans, ut B K, & per terminum eju$dem K altera recta,
utrinque indefinitè exten$a, liberè tran$eat, quæ circa verticem
anguli reliqui, nempe punctum A, ut Polum, circulariter mo-
bilis $it, veluti L A K M; ac denique rectæ F G in$i$tens C N ip$i
D E parallela tran$eat per ip$arum F G & H I inter$ectionem
C. Dico, $i angulus E B H atque ip$i ad verticem D B I cum
recta B K moveatur in utramque partem, ita tamen ut crus A B
$emper applicatum maneat rectæ D E, $imulque recta H I huc
atque illuc promoveat rectam C N, $ibi ip$i $emper æquidi$tan-

<pb 230>[786]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
tem, ac recta B K ad polum A circulariter moveri faciat prædi-
ctam L M, per pun-
<fig>
<var>q L e E b m b k H G C A C F i Q o P B K l P O I n d D N M</var>
</fig>
ctum K $emper tran$-
euntem, inter$ectio-
nem ip$arum C N,
L M, quæ fit ad O,
Parabolam de$cribe-
re, cujus diameter e$t
A D, parameter K B,
ac F G eandem con-
tingens in vertice A.</p>
<p>In quacunque enim
$tatione con$titutus
fuerit angulus E B H
$eu D B I, $i inter$e-
ctio rectarum F G,
H I de$ignetur per C,
atque ab inter$ectio-
nis puncto O ad dia-
metrum applicata $it O P ip$i F G æquidi$tans: erit $emper K B
ad B A, hoc e$t, ad A C,
uti eadem A C ad C O <n 1>:
<mgl 1>_per 29_
_primi, &_
_4 $exti._</mgl>
<fig>
<var>E H L C F A G Q K B O I P N M D e q b m k b c p i o l n d</var>
</fig>
ac proinde <n 2> rectangulum
<mgl 2>_per 17_
_$exti._</mgl>
$ub K B, C O, id e$t <n 3>,
$ub K B, A P quadrato
<mgl 3>_per 34_
_primi._</mgl>
rectæ A C, hoc e$t <n 4>, ip$ius
O P æquale. Unde$i B A C
<mgl 4>_per ean-_
_dem._</mgl>
angulus rectus fuerit, erit
A D axis, $in minùs, dia-
meter, ad quam ordina-
tim applicatæ faciunt an-
gulos ip$i B A C vel B A G
angulo æquales.</p>
<p>In tran$itu etiam hîc no-
tandum e$t, eodem illo
motu per inter$ectionem
ip$arum H I, L M, puta
Q, Hyperbolam $ive op-

<pb 231>[787]<rh>L<sc>IB.</sc> I. C<sc>AP</sc>. IV.</rh>
po$itas Hyperbolas de$cribi; ut &, quamvis triangulum B A C
i$o$celes non foret, nec etiam recta B K ex angulari puncto B $ed
ubivis in recta A D educta e$$et, nihilominus tamen curvam A O
Parabolam fore; at verò nec parametrum priori, nec verticem,
nec diametrum po$teriori ca$u ea$dem remanere, quas tamen illis
quoque ca$ibus determinare facillimum e$t.</p>
<p>Quoniam autem circa finem capitis primi monuimus,
curvam, juxta definitiones in principio eju$dem capi-
tis propo$itas, quâlibet _efficiente_; & quocunque _inter-_
_vallo_ de$criptam, $i _anguli mobiles_ inæquales $int _iis qui_
_ad directricem_ $unt ab eadem parte, Hyperbolam e$$e,
idque Mechanicæ eju$dem in plano delineationi non inu-
tile judicamus: idcirco id demon$tratione jam compro-
bandum duximus, $imul o$ten$uri, quo pacto eadem Me-
thodus ad prædictas Hyperbolarum delineationes com-
modè applicetur.</p>
<p>Sit itaque _efficiente_ I G, _intervallo_ A L, & _directrice_ K L O, an-
gulis autem I A L & K L A inæqualibus, de$cripta curva D A M:
dico eandem curvam Hyperbolam e$$e; ac $i ductâ à _Polo_ A ad
_directricem_ rectâ A K, ita ut angulus L A K angulo L A G æqua-
lis $it, centro A & intervallo A K circulus de$cribatur, $ecans _ef-_
<mgr a>aut
eandem
in K
contin-
gens, uti
in ca$u
fig. V. ex-
hibito.</mgr>
_ficientem_ in I & G, ad _directricem_ in K & Q <n a>, perque puncta I &
K, nec non per G & Q ducantur rectæ I K, G Q, $ibi mutuò oc-
currentes in F, rectas F I, F G A$ymptotos e$$e <n b>.</p>
<p>Sumpto enim in curva puncto utcunque, veluti D, applice-
tur tam _angulus mobilis_, ut O A D, quàm _de$cribens_, ut O D, in
$tatione uti fuêre, cùm per eas de$criptum e$t punctum D. Quo-
<mgr b>$i verò
dicto-
rum
puncto-
rum bina
coïnci-
dant ve-
lut I & K
in III, ac
G & Q
in IV. fig. tangat ibidem circulum recta, ut I F in priori, & G F in po$teriori eum con-
tingere cernitur.</mgr>
<mgr 1>_per 5 primi._</mgr>
<mgr 2>_per 13 & 32 primi._</mgr>
<mgr 3>_per 28 primi._</mgr>
<mgr c>in ca$u fig. III,
quoniam uterque angulorum A I F & G A L rectus e$t, r<_>e</_>ctæ I F, A B parallelæ erunt.</mgr>
niam igitur æquales $unt anguli A I K, A K I inter $e <n 1>, nec non
$imul $umpti angulo K A G, (quippe tam po$terior quàm prio-
res <n 2> cum angulo I A K binos rectos con$tituunt): erunt quoque
anguli A I K $eu A I F & G A L, utpote æqualium dimidia, in-
ter $e æquales, ac propterea <n 3> rectæ I K F & A L parallelæ <n c>;
ideoque $icut I K F rectæ F G occurrit, ita & eidem F G occur-

<pb 232>[788]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
rent de$cribentes A L & O D, utpote ip$i I K F æquidi$tantes.
Sint itaque ip$arum occur$us in B & C, ac per B agatur recta
B N directrici K O æquidi$tans, occurrensque de$cribenti D O
<mgl 1>_per 2_
_$exti, &_
_14 quinti._</mgl>
in N: eritque ut G A ip$i A I, ita <n 1> G B ip$i B F æqualis. Cum
<fig>
<cap it>Fig. I.</cap>
<var>m d c e n o F B N K Q L O I A G C M D E</var>
</fig>
autem in triangulis L A K, O Q C æquales $int anguli ad L &
<mgl 2>_per 29_
_primi._</mgl>
O, (propter <n 2> A L, C O parallelas,) $itque & angulus L A K
$ive G A L, id e$t, G I F, æqualis angulo O Q C, (quippetam hic
quàm ille cum angulo K Q G, vel K Q E duos rectos con$ti-

<pb 233>[789]<rh>L<sc>IB.</sc> I. C<sc>AP</sc>. IV.</rh>
tuit <n 1>,) <n d> æquiangula erunt eadem triangula L A K & O Q C
<mgr 1>_in_ I &
II _fig. per_
_13 primi,_
_& 22 ter-_
_tii. in_ IV
_per 13 pri-_
_mi, & 18_
_ac 31 ter-_
_tii._</mgr>
$ive <n 2> N B C. Porrò,
<fig>
<cap it>Fig. II.</cap>
<var>F C N B K E L Q G I A D M o</var>
</fig>
quoniam angulus
A G E angulo I K O
$eu A L O æqualis
e$t, (quippe tam hîc
quàm ille cum angu-
<mgr d>in ca$u fig. III apparet, tam angu-
lum O Q C quàm L A K rectum
e$$e, per 13 primi, & 31 tertii: ac in
fig. V & V I angulos G I F & O Q C
æquales, per 32 tertii & 21 eju$dem.</mgr>
<mgr 2>_per 29 primi._</mgr>
lo I G Q $ive I G F <n 3>
<mgr 3>_in fig._ I,
_per 13_
_primi &_
_22 tertii, in fig._ III, _per 13 primi & 31_
_tertii; in fig._ I V _per 13 primi, 18 & 31_
_tertii; in fig._ V _per 13 primi & 32 tertii;_
_in fig._ VI, _per 13 primi, quoniam angulo_
I G Q _æqualis e$t_ I K Q _per 21 tertii._</mgr>
binos rectos con$ti-
tuit <n e>,) atque angulis
<mgr e>in fig. II
angulus
A G E
angulo
A L O
e$t æqua-
lis, quia
uterque
cum an-
gulo
I K Q
duos re-
ctos con-
$tituit,
per 29
primi &
22 tertii.</mgr>
L A G, O A D vel
O A E ii$dem $ive æ-
<fig>
<cap it>Fig. III.</cap>
<var>F B N I L Q K O A G M C D E</var>
</fig>
qualibus addito vel
ablato communi
O A G <n f>, compo$iti
vel re$idui L A O,
G A D vel G A E æ-
quales quoque $unt,
ac L O, A O $ibi mu-
tuò occurrant; G E
quoque & A D $ibi
mutuò occurrant ne-
ce$$e e$t; $it itaque
<mgr f>vel, in
ca$u fig.
II & $i-
milibus,
B A E.</mgr>
ip$arum occur$us E
punctum; & æquian-
gula erunt triangula,
A G E, A L O, erit-
que propterea <n 4> A L
<mgr 4>_per 4_
_$exti per-_
_mut._</mgr>
ad A G, ut L O $ive
N B ad G E. At verò

<pb 234>[790]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>URVARUM</sc></rh>
(ob triangula L A K & N B C <n 1> $imilia) e$t qùoque <n 2> eadem
<mgl 1>_per $up._
_dem._</mgl>
A L ad A K, hoc e$t, ad eandem A G, ut N B ad B C. unde per
<mgl 2>_per 4_
_$exti._</mgl>
con$equens erit <n 3>, ut N B ad G E, ita eadem N B ad B C. ac pro-
<mgl 3>_per 11_
_quinti._</mgl>
inde <n 4> rectæ G E & B C, ideoque & G B $eu <n 5> F B & C E, nec
non B E & F C æquales erunt. Denique cum, propter triangula
<mgl 4>_per 9_
_quinti._</mgl>
<mgl 5>_per $up._
_demon$tr._</mgl>
<fig>
<cap it>Fig. IV.</cap>
<var>m d c e @ o F B N K L Q G O C A I D E M</var>
</fig>
A B E & D C E <n 6> $imilia, <n 7> B E $it ad C E, hoc e$t <n 8>, F C ad
<mgl 6>_per 29_
_primi._</mgl>
F B, ut B A ad C D: erit <n 9> rectangulum F C D $ub extremis æ-
<mgl 7>_per 4_
_<x>$e</x>xti._</mgl>
quale rectangulo F B A $ub mediis. Quod cum $emper accidat,
<mgl 8>_per $up._
_demon$tr._</mgl>
<mgl 9>_per 16_
_$exti._</mgl>

<pb 235>[791]<rh>L<sc>IB.</sc> I. C<sc>AP</sc>. IV.</rh>
ubicunque in curva a$$umptum fuerit D punctum, $equitur <n 1>
<mgr 1>_per 3_
_bujus._</mgr>
curvam D A M Hyperbolam e$$e, cujus A$ymptoti F I, F G.
Quod erat o$tendendum.</p>
<fig>
<cap it>Fig. V.</cap>
<var>K O F Q L O B N C I G A D M E</var>
</fig>
<p>Ex antedictis manife$tum e$t, $i _efficiens_ $eu <n 2> contingens, ut
<mgr 2>_per 6_
_bujus._</mgr>
I G, ad A$ymptotorum alterutram perpendicularis $it, veluti in
tertia & quarta figura, vel _angulos mobiles_ L A I & L A G rectos
fore, $i nempe _intervallum_, ut A L, æquidi$tans ductum $it ei A-
$ymptoto cui _efficiens_ $eu contingens I G ad angulos rectos occur-
<fig>
<cap it>Fig. VI.</cap>
<var>m d c o e n K L O Q F B N G C E A D I M</var>
</fig>
rit, ut in tertia figura, vel certè _de$eribentem_ ad _directricem_ fore per-
pendicularem, $i nempe _intervallum_ parallelum fuerit ei A$ym-
pto, cui eadem _efficiens_ $eu congtingens G I occurrit ad angulos
obliquos, ut in quarta figura.</p>
<p>Itaque $i vel A$ymptotis F I, F G, & contingente I G; vel dia-

<pb 236>[792]<rh>E<sc>LEM.</sc> C<sc>URVARUM</sc></rh>
metris conjugatis H A, I G,
Hyperbola $it de$cribenda, du-
ctis in ca$u po$teriore A$ym-
ptotis F I, F G, diametro I G
circulus de$cribatur, qui $ecet
utramque A$ymptoton, puta
<fig>
<cap it>Fig. I.</cap>
<var>H F O Q L K I A G E</var>
</fig>
<fig>
<cap it>Fig. II.</cap>
<var>H F O Q L K I A G</var>
</fig>
<fig>
<cap it>Fig. III.</cap>
<var>H F K L Q O G A I</var>
</fig>
<mgl a>aut al-
teram
tangat, &
alteram
$ecet, ut
in II fig.
fit in I &
Q, ac in
III fig. in
G & K.</mgl>
in K & Q <n a>, ductâque per K & Q
rectâK O, cui ducta A L, A $ym-
ptotorum alterutri, ut F I, æqui-
di$tans, occurrat in L: facillimè
colligitur ex præmi$$is, $i _effi-_
_eiente_ I G, _intervallo_ A L, ac _di-_
_rectrice_ K O, curva de$cribatur,
eandem fore Hyperbolam, quæ delineanda proponitur.</p>
<p>Nonnunquam tamen, ut obliquos circumferentiæ & rectarum
occur$us evitemus, hæc eadem ab$que Circuli de$criptione effi-
cere expediet.</p>

<pb 237>[793]<rh>L<sc>IB</sc> I. C<sc>AP</sc> IV.</rh>
<p>Itaque $i, ductâ AL A$ymptotorum alterutri, ut FI, parallelâ,
ad eandem A$ymptoton ducatur A K, ita ut L A K angulus angu-
lo L A G æqualis $it, & per K recta K O $ecans prædictam A L
in L, ita ut angulus F K O angulo F G I æqualis $it: erit curva,
_efficiente_ I G, _intervallo_ A L, ac _directrice_ K O de$cripta, ea ip$a
Hyperbola, quæ quæritur.</p>
<p>Ad Mechanicas porrò Hyperbolarum de$criptiones
non inutile forejudicavimus paucis hîc o$tendere, quo
pacto vel _angulis mobilibus_ rectis, velita ut _de$cribens_ ad
_directricem_ $it perpendicularis, quælibet Hyperbolæ in
plano delineari queant.</p>
<p>Siitaque vel hoc, vel illo modo de$cribenda $it in plano Hyper-
bola, cujus A$ymptoti $int F S, F T, quamque contingat recta S T,
utrinque A$ymptotis terminata: Ductâ ab alterutro punctorum S
<fig>
<var>F K L L G O S A T I V</var>
</fig>
vel T rectâ, vel ad hanc, vel ad il-
lam A$ymptoton perpendiculari, uti
T V, quam ad F T angulos rectos ef-
ficere $upponimus, eidem T V per
punctum I (nempe ita $umtum ut
IF inter VF & SF media $it propor-
tionalis) agatur æquidi$tans I G, quæ
continget quoque Hyperbolam
quæ$itam <n 1>, propterea quòd $it V F
<mgr 1>_per 9_
_bujus._</mgr>
ad I F, hoc e$t<n 2>, I F ad S F, uti <n 3> T F
<mgr 2>_ex hy-_
_pothe$i._</mgr>
ad G F. Ideoque de$cripto $uper ean-
dem I G circulo I K G, qui tangat
<mgr 3>_per 2_
_$exti, &_
_componen-_
_do per 18_
_quinti._</mgr>
A$ymptoton F T in G <n 4>, atque alte-
ram $ecet in K, $i per K & G duca-
tur recta K G O, eidemque occurrat
ducta ab A, puncto medio tangentis I G, recta A L in L, quæ qui-
<mgr 4>_per Cor._
_16 tertiia_</mgr>
dem A L vel ad eandem I G, vel ad ductam K O $it perpendicula-
ris: erit Hyperbola, quæ _efficiente_ I G, _directrice_ K O, atque _inter-_
_vallo_ A L, ad eandem _efficientem_, dictamvè _directricem_ perpendicu-
lari, de$cribitur, juxta ea quæ modò expo$ita $unt, hæc ip$a, quæ
delineanda proponitur.</p>
<p>Similiter & vel datis quibu$libet _angulis mobilibus_, vel

<pb 238>[794]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
ita ut _de$cribens_ ad _directricem_ datos quo$libet angulos
efficiat quamcunque Hyperbolam in plano delineare
haud difficile erit.</p>
<p>Cæterùm $equentem quoque Ellip$in in plano de-
$cribendi rationem hîc adjeci$$e $uum aliquando u$um
habebit.</p>
<p>Recta linea, ut A B C, ad Polum B circulariter mota binis $ui
punctis A & C, in eadem utcunque a$$umptis ($ive B $it inter A
& C, $ive C $it inter A & B,) promoveat rectas A D E, D C F,
<fig>
<var>A I G L B H D C F K E</var>
</fig>
$ibi ip$is $emper æquidi-
$tantes, ac $e invicem ad
rectos angulos inter$ecan-
tes: dico curvam, quæ
continuâ earundem inter-
$ectione, veluti D, de$cri-
bitur, Ellip$in e$$e, cujus
centrum e$t B, & axes
G B H, I B K, nempe ma-
gnitudine ip$arum A B,
B C duplæ, po$itione ve-
rò ip$is A D E, D C F,
æquidi$tantes per B Po-
lum ductæ, atque ibidem
bifariam divi$æ.</p>
<fig>
<var>H C K B I D L A E F G</var>
</fig>
<p>Sumpto enim in eadem
curva puncto utcunque,
veluti D, applicentur ip$i
_de$cribentes_ A D E, D C F
in $tatione utifuêre, cùm
per illarum inter$ectio-
nem de$criptum e$t pun-
ctum D; noteturque porrò punctum, ubi earum alterutra, veluti
A D E, vel hanc vel illam ductarum G H, I K, ex. gr., ip$am
<mgl 1>_per 2_
_& 22_
_$exti._</mgl>
G H, $ecat, ut in L. & $it G A H circumferentia Circuli, qui per
motum puncti A de$cribitur. Quoniam itaque e$t <n 1> A B qua-
<mgl 2>_per 14_
_$ecundi,_
_vel 35_
_tertii._</mgl>
dratum ad B C quadratum, hoc e$t, G B quadratum ad B K qua-
dratum, ut A L quadratum $ive <n 2> G L H rectangulum ad L D

<pb 239>[795]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. IV.</rh>
quadratum: con$tat <n 1>, curvam G K H, uti prædictum e$t, de$cri-
<mgr 1>_per 13_
_hujus._</mgr>
ptam Ellip$in e$$e, cujus axes $unt G H, I K.</p>
<p>Manife$tum autem e$t, $i puncta A & C æqualiter à B
Polo di$tent, prædictam curvam Circuli circumferen-
tiam fore.</p>
<p>Non $it deinde A B C una linea recta, $ed angulus quicunque,
$ive obtu$us, $ive acutus A B C, $intque prædictæ rectæ D A E,
<fig>
<var>E H A O D M N B L C F G K P I</var>
</fig>
<fig>
<var>E I K A G H B D C L N M F O P</var>
</fig>
D C F in punctis A & C ita junctæ, ut, cùm earum altera uni

<pb 240>[796]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
cruri coincidat, (quemadmodum in $tatione A B C recta D C F
coincidit cruri B C,) altera ad reliquum crus $it perpendicularis,
($icut in eadem $tatione recta D A E ad crus A B perpendicularis
e$t:) dico iterum, $i angulus A B C circa Polum B circulariter
motis punctis A & C in utroque crure utcunque a$$umptis pro-
moveat rectas D A E & D C F $ibi ip$is $emper æquidi$tantes, cur-
<fig>
<var>E H A O D M N B L C F G K P I</var>
</fig>
vam, continuâ ip$arum inter$ectione, veluti D vel K, de$criptam,
Ellip$in e$$e, cujus $emi-diametri magnitudine $unt rectæ D B,
B G, nempe dictorum crurum, $i opùs fuerit, productorum, por-
tiones à perpendicularibus A D, C G, per a$$umpta puncta A &
C reciprocè ductis, ad Polum interceptæ; & quidem altera, uti
D B, etiam po$itione; altera verò, ut B G, non item, $ed B P ip$i
æqualis, rectæque D A E æquidi$tans.</p>
<p>Sit enim prædictus A B C angulus in alia $tatione utcunque,
ex. gr., in H B I; ideoque præfata inter$ectio ad K. Demi$$is
autem ab I & K ad rectam D F, ip$ius D B duplam, perpendicu-
laribus I L, K M, notatisque inter$ectionem punctis ad N & O,
<mgl 1>_ex hy-_
_pothe$i, &_
_per 29_
_primi._</mgl>
quoniam æquales $ive iidem $unt angulus A B C $ive O B L &
H B I, erunt quoque, addito vel ablato communi H B F, anguli
H B O & I B L æquales; ideoque triangula H B O & I B L, ob
<mgl 2>_per 21
$exti.</mgl>
angulos præterea ad O & L rectos <n 1>, æquiangula. Sunt autem <n 2>

<pb 241>[797]<rh>L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. IV.</rh>
& æquiangula triangula C B G & M N K, cum tam hoc quàm il-
lud triangulo O B N $imile $it<n 1>: quare cum $it <n 2> D B quadratum
<mgr 1>_ob an-_
_gulos ad_
C, O, &
M _rector,_
_ad_ B _verò_
& N _$ive_
_eo$dem $i-_
_ve ad ver-_
_ticem_.</mgr>
ad N B quadratum, ut A B quadratum, id e$t <n 3>, H B quadratum,
ad O B quadratum, erit <n 4> per conver$ionem rationis D B quadra-
tum ad D N F <n 5> rectangulum, $icut H B quadratum ad H O <n 6> qua-
dratum, id e$t <n 7>, uti B I quadratum ad I L quadratum, vel uti B C
quadratum ad K M quadratum <n 8>, id e$t <n 9>, uti B G $ive B P quadra-
tum ad K N quadratum, & permutando <n 10> D B quadratum ad
<mgr>2 _per_ 4
& 22 _$exti._</mgr>
<mgr>3 _ex hypothe$i_.</mgr>
<mgr>4 _per Cor._ 19 _quinti._</mgr>
<mgr>5 _per 5 $ecundi._</mgr>
<mgr>6 _per_ 47 _primi._</mgr>
<mgr>7 _per_ 4
& 22 _$exti._</mgr>
<mgr>8 _œqualis e$t enim_ B C _ip$i_ B I, & I L _ip$i_ K M.</mgr>
<mgr>9 _per_ 4 _$exti propter triangula_
C G B & M K N _æquiangula._</mgr>
<mgr>10 _per_ 16 _quinti._</mgr>
<fig>
<var>E A I K G H B D C L N M F O P</var>
</fig>
B P quadratum, ut D N F rectangulum ad K N quadratum. Ac
proinde Ellip$is e$t curva D K P F, inter$ectione uti prædictum e$t
de$cripta <n 11>, cujus $emi-diametri conjugatæ D B, B P; ideoque
<mgr 11>_per_ 13
_hujus._</mgr>
B centrum, ac D A E contingens Ellip$in in vertice D <n 12>.
<mgr 12>_per_ 2
_Cor._ 13
_hujus._</mgr></p>
<p>Notandum hîc e$t, quòd $i rectus foret A B C angu-
lus, inter$ectione, uti prædictume$t, non curvam, $ed
rectam lineam de$cribi.</p>
<p>Quemadmodum autem Ellip$in, quæ $uperiùs per
motum puncti in una eademque recta de$cripta fuit,
nunc per duarum rectarum inter$ectionem delineavi-

<pb 242>[798]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVAR</sc>. L<sc>IB</sc>. I. C<sc>AP</sc>. IV.</rh>
mus, ita & Parabola Hyperbolaque, quarum genera-
tiones $olummodo per $imiles inter$ectiones in præce-
dentibus expo$uimus, per motum puncti in una eadem-
que recta de$cribi po$$unt. At verò quoniam prædictarum
curvarum generationes, ut jam ante quoque monui-
mus, infinitæ $unt, atque earum facillimas quidem ac
maximè naturales à nobis jam propo$itas exi$tima-
mus, hi$ce diutiùs inhærendum non videtur; itaque
ad _Locorum Planorum_, _Solidorumque_ inventiones ac
determinationes progredimur.</p>
<fig/>

<pb 243>[799]
<h>IOHANNIS DE WITT
ELEMENTA
CVRVARVM
LINEARVM.</h>
<h it>LIBER SECVNDVS.</h>
<h>C<sc>APVT</sc> I.
PROPOSITIO GENERALIS.</h>
<p>IN omni quæ$tione, ubi indagandus
proponitur Locus, $ive is $it ad li-
neam rectam, $ive ad curvam, $uppo$i-
tis duabus lineis rectis incognitis at-
que indeterminatis, datum vel a$$um-
ptum angulum comprehendentibus,
tanquam cognitis ac determinatis,
devenitur ad Æquationem, a$$umptum quodlibet quæ$iti
Loci punctum determinantem; in qua quidem æquatio-
ne, po$tquam ad $implici$$imos terminos erit reducta, $i
neutra incognitarum ad duas plure$ve dimen$iones a$$ur-
gat, hoc e$t, $i neque in $e, neque in alteram incognitam
ducta $eu multiplicata reperiatur, quæ$itus Locus erit
linea recta: At $i earundem incognitarum altera ad qua-
dratum a$cendat, altera verò non item, $ed neque in $e,
neque in alteram incognitam ducta $it, erit Locus quæ-
$itus Parabola. Quòd $i verò utraque ad quadratum
a$cendat, $ive altera in alteram ducta in æquatione re-
periatur (altiùs enim æquatio non a$$urget, $i de loco
Plano Solidovè quæ$tio $it): erit Locus quæ$itus vel
Hyperbola, vel Ellip$is, vel Circuli circumferentia.

<pb 244>[800]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
Quorum quidem omnium particularis determinatio,
de$criptio, & demon$tratio variis modis fieri pote$t;
at verò ex $implici$$imis, generali$$imisque aliquem
annota$$e $uffecerit.</p>
<p>Ac primo quidem ca$u, cùm neutra quantitatum
incognitarum ad duas plure$ve dimen$iones a$cendit, $i
earum una exprimatur per <math>x</math>, atque altera pery, pote$t
æquatio ad aliquam $equentium formularum reduci.</p>
<p>I. <math>y = {bx/a}</math>, $ive <math>(po$ito a = b)</math> <math>y = x.</math></p>
<p>II. <math>y = {bx/a} + c</math>, $ive, po$ito, ut $upra, <math>y = x + c.</math></p>
<p>III. <math>y = {bx/a} - c</math>, $ive <math>y = x - c.</math></p>
<p>IV. <math>y = - {bx/a} + c/?math>, $ive <math>y = x + c.</math></p>
<p>Fiat autem earundem quantitatum incognitarum $e-
cundùm regulam talis a$$umptio, ut initium unius,
verbi gratiâ, ip$ius <math>x</math>, certum $it & immutabile, utque
eadem illa quantitas ex certo & immutabili illo initio
in linea recta po$itione data intelligatur indefinitè ex-
tendi, altera verò indeterminatæ quoque longitudinis
linea priori in extremitate incerta in dato vel a$$um-
pto angulo conjungi. Quibus quidem $uppo$itis, ea,
quæ prædicta $unt, $equentibus Theorematis non in-
congruè proponi, determinari, ac demon$trari po$$e
videntur.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> I.</h>
<h>_Propo$itio_ I.</h>
<p>Siæquatio $it <math>y = {bx/a}</math>, erit locus quæ$itus linea recta.</p>
<p>Sit enim ip$ius <math>x</math> initium immutabile punctum A, atque eadem
illa <math>x</math> per rectam A B indefinitè $e extendere intelligatur. Dein,
$umpto in eadem A B puncto utcunque, veluti B, agatur B C in

<pb 245>[801]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. I.</rh>
angulo A B C, ip$i dato vel a$$umpto æquali; ita ut eadem $it ratio
interceptæ A B ad ductam B C, quæ e$t <math>a</math> cognitæ ad <math>b</math> cognitam.
<fig>
<var>D C A B E</var>
</fig>
hoc e$t, ut $it uti <math>a</math> ad <math>b</math>,
ita A B ad B C. Deni-
que per puncta A & C
ducatur recta A C, inde-
finitè exten$a, eritque
hæc ip$a locus quæ$itus.</p>
<p>Etenim a$$umpto in
A C puncto utcunque,
veluti D, ductâque D E
in angulo D E A, dato
vel a$$umpto æquali, $i eadem D E vocetur <math>y</math>, erit <n 1> ut A B ad
<mgr 1>_per_ 29
_primi,_ &
4 _$exti._</mgr>
B C, hoc e$t, ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita A E ad E D, hoc e$t, ita <math>x</math> ad <math>y.</math> Et
fit <n 2> <math>a y = b x</math>, hoc e$t, dividendo utrinque per <math>a</math>, erit <math>y = {bx/a}</math>.
<mgr 2>_per_ 16
_$exti._</mgr></p>
<p>Quare cum punctum D utcunque $umptum $it in linea A C,
erit eadem de omnibus aliis lineæ A C punctis demon$tratio, ac
proinde ip$a A C locus e$t quæ$itus. Atque ita non $olùm Theo-
rematis propo$iti veritas demon$trata, $ed & Locus quæ$itus de-
terminatus e$t.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> II.</h>
<h>_Propo$itio_ 2.</h>
<p>Si æquatio $it <math>y = {bx/a} + c</math>, erit Locus quæ$itus linea
recta.</p>
<fig>
<var>G D C F A B E</var>
</fig>
<p>Po$itis, factisque, ut $u-
pra, agatur in$uper ex A re-
cta A F ip$i B C parallela,
atque ad ea$dem cum ea par-
tes, quæ $it æqualis <math>c</math> cogni-
tæ. Et ex F ductâ F G paral-
lelâ A C, dico eandem F G
e$$e Locum quæ$itum.</p>
<p>Sumpto enim in F G pun-
cto utcunque, veluti G, du-
ctâque GE in angulo AEG,

<pb 246>[802]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
dato vel a$$umpto æquali, quæ $ecet rectam A C in D, $i eadem
G E vocetur <math>y</math>, erit <math>E D = y - c</math>. Atverò e$t, ut $upra <n 1>, uti A B
<mgl 1>_per_ 29
_primi,_ &
4 _$exti._
2 _per_ 16
_$exti._</mgl>
ad B C, ita A E ad E D, hoc e$t, ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>x</math> ad <math>y - c</math>: ac pro-
pterea <n 2> <math>ay - a c = b x</math>, vel <math>a y = b x + ac</math>, adeoque, factâ divi-
$ione per <math>a, y = {bx/a} + c</math>. Quod demon$trandum determinan-
dumque erat.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> III.</h>
<h it>Propo$itio _3._</h>
<p>Si æquatio $it <math>y = {bx/a} - c</math>, erit Locus quæ$itus linea
recta.</p>
<fig>
<var>D C G H A B E F</var>
</fig>
<p>Po$itis factisque ut in
Theoremate 1<_>mo</_>, agatur
in$uper ex A recta A F,
ip$i B C parallela, atque
ad oppo$itas cum ea par-
tes, quæ $it æqualis <math>c</math> co-
gnitæ. Et ex F ductâ ite-
rum F G ip$i A C paralle-
lâ, $ecante rectam A B in
H, dico H G e$$e Locum
quæ$itum.</p>
<p>Sumpto enim in eadem
puncto utcunque veluti
G, ductâque G E in an-
gulo A E G, dato vel a$$umpto æquali, quæ producta $ecet A C
in D, $i eadem G E vocetur <math>y</math>, erit <math>E D = a + c</math>. Iam verò e$t <n 3>
<mgl>3 _per_ 29
_primi,_ &
4 _$exti._
4 _per_ 16
_$exti._</mgl>
ex con$tructione, ut A B ad B C, ita A E ad E D, hoc e$t, ut <math>a</math> ad
<math>b</math>, ita <math>x</math> ad <math>y + c</math>: ac propterea <n 4> <math>ay + ac = b x</math>, vel <math>a y = b x - a c</math>,
adeoque, factâ divi$ione per <math>a</math>, <math>y = {bx/a} - c</math>. Quod e$t propo$i-
tum.</p>

<pb 247>[803]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. I.</rh>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> IV.</h>
<h it>Propo$itio _4._</h>
<p>Si æquatio $it <math>y = c - {bx/a}</math>, erit Locus quæ$itus linea
recta.</p>
<fig>
<var>F G A B E H C D</var>
</fig>
<p>Po$itis, factisque,
ut in Theoremate
2<_>do</_>, excepto quòd
punctum C ab op-
po$ita parte ip$ius AB
cadat, quodque an-
gulus A B C æqua-
lis $it dati vel a$$um-
pti anguli ad binos
rectos complemen-
to, quemadmodum in
adjuncta figura appa-
ret, agatur ex F re-
cta F G ip$i A C pa-
rallela, occurrens re-
ctæ A B in H: dico
F H e$$e Locum quæ-
$itum.</p>
<p>Sumpto enim in F H puncto utcunque, veluti G, ductâque
G E in angulo A E G, dato vel a$$umpto æquali, quæ producta
$ecet A C in D, $i eadem G E vocetur <math>y</math>, erit <math>E D = c-y</math>, Cum-
que $it <n 1> ex con$tructione, ut A B ad B C, ita A E ad E D, hoc
<mgr>1 _per_ 13
& 29
_primi,_ &
4 _$exti._
2 _per_ 16
_$exti._</mgr>
e$t, ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>x</math> ad <math>c-y</math>: erit propterea <n 2> <math>ac-ay = b x</math>, vel
<math>a y=a c-b x</math>, id e$t, dividendo utrinque per <math>a</math>, <math>y = c - {bx/a}</math>. Quod
erat propo$itum.</p>
<p>At verò fieri etiam pote$t, ut per operationem,
priu$quam ad æquationem deveniatur, quantitatum
incognitarum altera penitus evane$cat, alteraque $ola
alicui cognitæ quantitati æqualis remaneat; atque

<pb 248>[804]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
exinde binæ in$uper formulæ na$cuntur, quæ huc re-
ferri debent: nimirum,</p>
<p>1. <math>y = c</math>, vel</p>
<p>2. <math>x = c</math>.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> V.</h>
<h it>Propo$itio 5.</h>
<p>Si æquatio $it <math>y = c</math>, Locus quæ$itus e$t linea recta.</p>
<fig>
<var>F G A B</var>
</fig>
<p>Sit quantitatis <math>x</math>, quæ
per operationem evanuit,
initium immutabile pun-
ctum A, atque eadem il-
la <math>x</math> per rectam A B in-
definitè $e extendere in-
telligatur. Deinde ex A
ductâ A F ∞ <math>c</math>, faciente
cum A B angulum, ip$i dato vel a$$umpto aut eju$dem ad binos
rectos $upplemento æqualem, $i ex F agatur F G ip$i A B paralle-
la, dico eandem F G e$$e Locum quæ$itum.</p>
<p>Etenim a$$umpto in F G puncto utcunque, veluti G, ductâque
G B ip$i A F parallelâ, apparet eandem G B omnesque ip$i æ qui-
di$tantes <n 1> rectæ A F fore æ quales, hoc e$t, e$$e <math>y = c</math>. Quod erat
<mgl 1>_per_ 34
_primi._</mgl>
demon$trandum.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> VI.</h>
<h it>Propo$itio 6.</h>
<p>Si æquatio $it <math>x = c</math>, erit Locus quæ$itus linea recta.</p>
<fig>
<var>C C C A B</var>
</fig>
<p>In linea A B, quæ, ut$upra,
pro <math>x</math> concepta $it, $umatur à
puncto A longitudo A B æqua-
lis <math>c</math> cognitæ, atque ex B in dato
vel a$$umpto angulo ducatur
recta B C. dico eandem B C,
indefinitè productam, e$$e Lo-
cum quæ$itum.</p>
<p>Su mpto enim in eadem pun-

<pb 249>[805]<rh>L<sc>IB</sc> II. C<sc>AP</sc> II.</rh>
cto utcunque, veluti C, erit ex hypothe$i CB cum priore A B
comprehendens angulum A B C dato vel a$$umpto æqualem, po-
teritque proinde eadem C B vocari <math>y</math>. At verò e$t ex con$tructio-
ne, & remanet $emper A B, hoc e$t, <math>x = c</math>. Quod e$t propo$itum.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> II.</h>
<p>POrrò $ecundo ca$u, $upra expre$$o, cùm nempe in
æquatione, ad $implici$$imos terminos reductâ,
quantitatum incognitarum altera ad quadratum a$cen-
dit, altera verò non item, $ed neque in $e, neque in al-
teram quantitatem incognitam ducta reperitur: poterit
æquatio ad aliquam $equentium formularum reduci.</p>
<tb math>
I. # yy = # ax # vel conver$im # ay = xx
II. # yy = # ax + bb # # ay + bb = xx
III. # yy = # ax - bb # # ay - bb = xx
IV. # yy = - ax + bb # # bb - ay = xx.
</tb>
<p>Supponendo <math>y</math> & <math>x</math> e$$e quantitates, vel ab initio
conceptas, vel po$tmodum a$$umptas, ut mox latiùs explicabitur.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> VII.</h>
<h it>Propo$itio 7.</h>
<p>Si æquatio $it <math>yy = ax</math>, vel conver$im <math>ay = xx</math>: erit
Locus quæ$itus Parabola.</p>
<p>Sit ip$ius <math>x</math> initium immutabile punctum A, atque eadem illa <math>x</math>
per rectam A B indefinitè $e extendere intelligatur, & $it datus
<fig>
<cap it>Pars II.</cap>
<var>C D F A E B</var>
</fig>
vel a$$umptus angulus æ-
qualis angulo A B C; A$-
$umatur primò eadem A B
ut Parabolæ diameter, ad
quam ordinatim applica-
tæ faciant cum ip$a angu-
los æquales dato vel a$-
$umpto angulo A B C, cu-
jusque latus rectum A F

<pb 250>[806]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
$it æquale <math>a</math> cognitæ. Dico Parabolam A D C, quæ <n 1> per præ-
<mgl 1>_per 10_
_Coroll._
_primi, &_
4 _Coroll._
_$ecundi_
_bujus_.</mgl>
dictæ diametri verticem A de$cripta $it, habeatque latus rectum
eidem diametro corre$pondens <math>= a</math>, e$$e Locum quæ$itum.</p>
<p>Sit enim in eadem curva A D C a$$umptum punctum utcun-
que, veluti D, ductâque D E in angulo A E D dato vel a$$umpto
æquali, $i ip$a D E vocetur <math>y</math>, erit, ex natura Paraboles<n 2> quadra-
<mgl 2>_per 1_
_primi_
_bujus_.</mgl>
tum ex ED = F A E rectangulo, hoc e$t, <math>yy = ax</math>. Quod erat
propo$itum.</p>
<fig>
<var>H C G D F A E B</var>
</fig>
<p>Ad demon$trationem autem $e-
cundæ hujus Theorematis partis
ii$dem ut $upra $uppo$itis, ducenda
e$t ex A puncto recta A H ip$i B C
parallela, atque eadem A H a$$u-
menda pro diametro, ad quam or-
dinatim applicatæ faciant angulos,
dato vel a$$umpto angulo A B C
$eu A H C æquales, ac cætera, ut
$upra, eritque Parabola A D C
Locus quæ$itus.</p>
<p>E$t enim <n 3> quadratum ex G D
<mgl 3>_per 1_
_primi_
_bujus_.</mgl>
$ive A E quadratum æquale re-
ctangulo $ub F A & A G, $eu F A
& E D, id e$t, <math>xx = ay</math>. Quod erat
demon$trandum.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> VIII.</h>
<h it>Propo$itio 8.</h>
<p>Si æquatio $it <math>yy = ax + bb</math> aut conver$im <math>ay + bb
= xx</math>, erit Locus quæ$itus linea Parabolica.</p>
<p>Sit ip$ius <math>x</math> initium immutabile A punctum, atque eadem il-
la <math>x</math> per rectam A B indefinitè $e extendere intelligatur, $itque
angulus datus vel a$$umptus æqualis angulo A B C. Deinde pro-
ducatur A B versùs A u$que ad G, ita ut $it <math>A G = {bb / a}</math>; a$$umptâ-
que G B pro diametro, ad quam ordinatim applicatæ faciant an-
gulos æquales dato vel a$$umpto angulo A B C, cujusque latus

<pb 251>[807]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
rectum G F $it æquale <math>a</math> cognitæ: dico Parabolam G C D, quæ
<fig>
<var>F D C G A B E</var>
</fig>
per prædictæ diame-
tri verticem G de-
$cripta $it, habeat-
que latus rectum ei-
dem diametro cor-
re$pondens <math>= a</math>, e$$e
Locum quæ$itum.</p>
<p>Sumpto enim in
eadem curva puncto
utcunque, veluti D,
ductâque D E in an-
gulo A E D, dato vel
a$$umpto æquali, $i ip$a D E vocetur <math>y</math>, quoniam G E $ive A E +
A G e$t <math>= x + {bb / a}</math>, atque ex natura Paraboles <n 1> quadratum ex
<mgr 1>_per 1_
_primi bu-_
_jus_.</mgr>
E D = rectangulo $ub F G & G E, erit <math>yy = ax + bb</math>. Quod
primò erat demon$trandum.</p>
<p>Ad explicationem verò $ecundæ hujus Theorematis partis ii$-
dem ut $upra po$itis, ducatur ex A recta A H ip$i B C parallela;
eâdemque productâ versùs A u$que ad G, ita ut A G $it <math>= {bb / a}</math>, di-
<fig>
<var>H D C A I B E F G</var>
</fig>
co, $i ad G H diametrum latere recto G F = <math>a</math> Parabola de$criba-
tur ut G C, quæ $ecet rectam A B in I, curvam I D e$$e Locum
quæ$itum.
<mgr 2>_per I_
_primi bu-_
_jus_.</mgr></p>
<p>E$t enim <n 2> ex natura Paraboles rectangulum $ub F G & G H

<pb 252>[808]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
contentum æquale quadrato ex H D $eu A E, ac proinde, quo-
niam G H, $ive D E + A G, <math>= y + {bb / a}</math>, atque <math>F G = a</math>, erit, factâ
debitâ multiplicatione, <math>ay + bb = xx</math>. Quod e$t propo$itum.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> IX.</h>
<h it>Propo$itio 9.</h>
<p>Si æquatio $it <math>yy = ax - bb</math> aut conver$im <math>ay - bb
= xx</math>, erit Locus quæ$itus linea Parabolica.</p>
<p>Suppo$itis ii$dem, quæ in præcedenti Theoremate, auferatur
ab A B recta <math>A G = {bb / a}</math>, fiantque cætera, ut ibidem dictum e$t:
dico curvam G C D e$$e Locum quæ$itum.</p>
<fig>
<var>F C D A G B E</var>
</fig>
<p>Sumpto enim in ea puncto utcunque, veluti D, demi$sâque
D E ip$i C B parallelâ, $i eadem D E vocetur <math>y</math>, erit ex natura
<mgl 1>_per 1_
_primi bu-_
_jus_.</mgl>
Paraboles <n 1> quadratum ex E D $eu <math>yy</math> æquale rectangulo $ub
F G & G E, id e$t, producto ex <math>a</math> in <math>x - {bb / a}</math>, nimirum, <math>ax - bb</math>.
Quod demon$trandum determinandumque erat.</p>
<p>Ad explicationem autem $ecundæ hujus Theorematis partis,
ii$dem ut $upra po$itis, ducatur ex A recta A H ip$i B C parallela,
atque ab ea $ubductâ <math>A G = {bb / a}</math>, $umatur G H pro diametro, & c.
ut $upra, dico curvam G C D fore Locum quæ$itum.</p>

<pb 253>[809]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
<fig>
<var>H D C F G A B E</var>
</fig>
<p>E$t enim <n 1> ex natura Paraboles rectangulum $ub F G & G H
<mgr 1>_per ean-_
_dem_.</mgr>
contentum æquale quadrato ex HD $eu A E, ideoque, quoniam
G H $ive D E - A G æquatur <math>y - {bb / a}</math>, atque <math>F G = a</math>, erit, factâ
debitâ multiplicatione, <math>ay - bb = xx</math>. Quod erat propo$itum.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> X.</h>
<h it>Propo$itio 10.</h>
<p>Si æquatio $it <math>yy = bb - ax</math> aut conver$im <math>bb - ay
= xx</math>, erit Locus quæ$itus linea Parabolica.</p>
<p>Sit enim, ut $upra, ip$ius <math>x</math> initium immutabile A punctum,
<fig>
<var>I D C F A E B G</var>
</fig>
intelligaturque
eadem <math>x</math> in re-
cta A B inde-
finitè $e ab A
extendere ver-
sùs B; angu-
lus verò da-
tus vel a$$um-
ptus e$to æ-
qualis angulo
A B C. Deinde ab A versùs B a$$umptâ <math>A G = {bb / a}</math> $umatur G A

<pb 254>[810]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
pro diametro, ad quam ordinatim applicatæ faciant angulos
æquales dato vel a$$umpto A B C, aut eju$dem ad duos rectos
$upplemento. Quo facto, $i per prædictæ diametri verticem G
versùs A Parabola de$cribatur, cujus latus rectum G F ei-
dem diametro corre$pondens $it <math>= a</math>, quæque Parabola rectam
A I ip$i B C parallelam $ecet in I: dico eju$dem Parabolæ por-
tionem, inter verticem G & punctum inter$ectionis I inter ce-
ptam, nempe curvam G C I, e$$e Locum quæ$itum.</p>
<p>Sumpto enim in ea puncto utcunque, veluti D, demi$sâque
D E ip$i C B parallelâ, $i eadem D E vocetur <math>y</math>, cum <n 1> ex natu-
<mgl 1>_per 1_
_primi_
_bujus_.</mgl>
ra Paraboles quadratum ip$ius D E $it æquale rectangulo $ub F G
& G E, & G E $ive A G - A E $it <math>= {bb / a} - x</math>, ac <math>F G = a</math>, factâ
debitâ multiplicatione, erit <math>yy = bb - ax</math>. Quod demon$tran-
dum determinandumque erat.</p>
<fig>
<var>G F H D C A E B I</var>
</fig>
<p>Ad explicationem au-
tem $ecundæ hujus Theo-
rematis partis, ii$dem ut
$upra po$itis, ex A duca-
tur A G ip$i B C parallela
atque <math>= {bb / a}</math>, a$$umaturque
G A pro diametro, & c.
per omnia, ut $upra, exce-
pto quòd punctum inter-
$ectionis I $it in recta A E.</p>
<p>Cum enim ductâ D H
<mgl 2>_per ean-_
_dem_.</mgl>
ip$i A B parallelâ <n 2> ex na-
tura Paraboles rectangu-
lum $ub F G & G H con-
tentum $it æquale quadra-
to ex H D $eu A E, $itque
G H $ive <math>A G - E D = {bb / a} - y</math>, atque <math>F G = a</math>, factâ multipli-
catione, ut decet, erit <math>bb - ay = xx</math>. Quod erat propo$itum.</p>

<pb 255>[811]<rh>L<sc>IB</sc> II. C<sc>AP</sc> II.</rh>
<p it>Regula univer$alis, modu$que reducendi
omnes æquationes, quæ ex convenienti ope-
ratione producuntur, cùm Locus quæ$itus
e$t Parabola, ad aliquem quatuor ca-
$uum, præcedentibus totidem Theorema-
tibus jam explicatorum.</p>
<p>Si contingat ut quantitas incognita, quæ in æquatione
ad duas dimen$iones a$cendit, in eadem quoque invenia-
tur unius dimen$ionis, cum alia, $ive cognita, $ive incogni-
ta quantitate, vel etiam cum utraque planum aliquod fa-
ciens, loco eju$dem a$$umenda e$t alia, vel ip$am exce-
dens, vel ab ea deficiens dimidio quantitatis, quacum illa
planum, uti dictum e$t, con$tituere reperitur, pro diver$a
dicti plani $igno + vel - affectione. Quo opere ip$a æ-
quatio ad aliquem quatuor præcedentium ca$uum redu-
cetur, ita ut ei convenientem lineam Parabolicam deter-
minare, per ea quæ $uperiùs $unt explicata, haud diffici-
le $it.</p>
<h it>Exempla reductionis æquationum ad formulam
Theorematis _VII_.</h>
<p>Si æquatio $it <math>yy + 2ay = bx - aa</math>; a$$umpto, juxta Regu-
lam, <math>z = y + a</math>, erit <math>z - a = y</math>. Hinc $i ubique in æquatione loco
ip$ius y $ub$tituatur <math>z - a</math>, eju$demque quadratum loco yy: ha-
bebitur <math>zz - 2 az + aa, + 2 az - 2 aa = bx - aa</math>, hoc e$t,
omi$$is iis quæ $e$e mutuò tollunt, erit <math>zz = bx</math>. Vnde $tatim
apparet æquationem e$$e reductam ad formulam Theorema-
tis VII, ac proinde Locum quæ$itum e$$e Parabolam. Ad cujus
$pecificam determinationem e$to in appo$ita figura ip$ius <math>x</math> ini-
tium immutabile A punctum, eademque <math>x</math> intelligatur $e ab A
per rectam AE inde$initè extendere; $itque datus vel a$$umptus
angulus, quem <math>y</math> & <math>x</math> comprehendunt, æqualis angulo EAF.
Deinde, quoniam <math>z</math> e$t <math>= y + a</math>, $i <math>y</math> $upra lineam AE ex$urgere
intelligatur, ducenda e$t infra eam recta GB ip$i AE parallela,

<pb 256>[812]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
ita ut pars rectæ AF, omniumque ip$i parallelarum, intercepta
<fig>
<var>D A E G B F C</var>
</fig>
inter AE & GB, ve-
luti AG, æquetur <math>a</math>
cognitæ. Porrò præ-
dicta GB a$$umenda
e$t ut Parabolæ dia-
meter, ad quam $i per
eju$dem verticem G,
exi$tente GF latere
recto, ip$i diametro
G B corre$pondente,
<math>= b</math> Parabola de$cri-
batur, $ecans rectam
A E in I: dico cur-
vam ID inde$initè
versùs D productam
e$$e Locum quæ$itum.</p>
<p>Etenim a$$umpto in
eadem curva puncto
utcunque, veluti D,
ductâque DE ip$i A F parallelâ, $i eadem D E vocetur <math>y</math>, produ-
caturque donec prædictæ diametro G B occurrat in B: erit ex
con$tructione intercepta <math>E B = a</math>, ac proinde tota <math>D B = y + a</math>,
hoc e$t, <math>z</math>. Quare cum ex natura Paraboles quadratum ex D B
æquetur rectangulo $ub F G & GB, vel FG & AE: erit quoque
<math>zz = bx</math>, $ive, re$tituto <math>y + a</math> loco <math>z</math>, <math>yy + 2 ay + aa = bx</math>, id
e$t, <math>yy + 2 ay = bx - aa</math>. Quod demon$trandum determinan-
dumque erat.</p>
<p>Quòd $i æquatio fui$$et <math>yy - 2 ay = bx - aa</math>, factâ a$$um-
ptione $ecundùm Regulam, atque operatione, ut $upra; deven-
tum fui$$et ad eandem æquationem, nimirum, <math>zz = bx</math>. Sed quo-
niam <math>z</math> eo ca$u juxta Regulam a$$umenda fui$$et <math>= y - a</math>, idcirco
quoque diameter GB (ii$dem ut $upra po$itis) non infra, $ed $u-
pra rectam AE cecidi$$et, cæteraque omnia eodem quo $upra
modo expedienda fui$$ent.</p>
<p>Si verò æquatio $it <math>by - aa = xx + 2 ax</math>, quæ e$t conver$a $u-
periùs expo$i tæ, a$$umpto juxta Regulam <math>v = x + a</math>, erit <math>v - a
= x</math>. Quare $i loco ip$ius <math>x</math> in æquatione $ub$tituatur <math>v - a</math>, atque

<pb 257>[813]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
hujus quadratum loco <math>xx</math>: erit <math>by - aa = vv - 2 av + aa</math>,
<math>+ 2 av - 2 aa</math>, hoc e$t, omi$$is iis, quæ $e mutuò tollunt, erit
<math>by = vv</math>.</p>
<p>Vnde $tatim apparet, reductam e$$e æquationem ad formulam
prædicti Theorematis $eptimi conver$im, ac proinde Locum
quæ$itum e$$e Parabolam. Ad cujus $pecificam determinationem
e$to in appo$ita figura ip$ius <math>x</math> initium immutabile punctum A,
<fig>
<var>H D F G A E</var>
</fig>
intelligaturque eadem <math>x</math> à prædicto puncto A per rectam AE in-
definitè $e extendere, $itque datus vel a$$umptus angulus, quem
comprehendunt <math>y</math> & <math>x</math>, æqualis angulo AGH vel FGH. Dein-
de, quoniam <math>v</math> æquatur <math>x + a</math>, producenda e$t recta AE versùs A
u$que ad G, ita ut AG $it <math>= a</math>; & ex G ducenda e$t GH, faciens
angulum EGH vel FGH dato vel a$$umpto angulo æqualem,
ip$aque GH $umenda e$t pro Parabolæ diametro, ad quam $i per
ejus verticem G atque latere recto <math>FG = b</math> Parabola de$cribatur,
ut GD: dico curvam GD e$$e Locum quæ$itum.</p>
<p>Sumpto enim in ea puncto utcunque, veluti D, ductâque DE
ip$i HG parallelâ, $i eadem DE vocetur <math>y</math>, cum GE $it <math>= x + a</math>
$eu <math>v</math>, atque ex natura Paraboles FGH rectangulum = quadrato
ex HD $ive GE, erit <math>by = vv</math>, $ive, re$tituto <math>x + a</math> loco <math>v</math>, <math>by
= xx + 2 ax + aa</math>, $eu <math>by - aa = xx + 2 ax</math>. Quod determi-
nandum, demon$trandumque erat.</p>
<p>Quòd $i æquatio fui$$et <math>by - aa = xx - 2 ax</math>, eadem per omnia
mutatis mutandis $ecundùm Regulam in$tituenda fui$$et opera-
tio, cecidi$$etque eo ca$u punctum G inter A & E.</p>

<pb 258>[814]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
<p>Eodem modo $i æquatio $it <math>yy + {2bxy / a} + 2cy = bx - {bbxx / aa} - cc</math>,
a$$umpto juxta Regulam <math>z = y + {bx / a} + c</math>: erit <math>y = z - {bx / a} - c</math>.
Quo $ub$tituto in locum ip$ius <math>y</math>, eju$demque quadrato loco <math>yy</math>,
expunctisque iis, quæ $e invicem tollunt, atque omnibus ri-
tè ordinatis $equentem formam induta erit $uperior æquatio:
<math>zz = {2bc / a} x + bx</math>, aut <math>zz = dx</math>, $i loco <math>{2bc / a} + b</math> $ub$tituatur <math>d</math>.
Vnde iterum apparet, æquationem e$$e reductam ad formulam
Theorematis VII, ac propterea Locum quæ$itum e$$e Parabo-
lam. Ad cujus $pecificam determinationem e$to in $equenti figu-
ra ip$ius <math>x</math> initium immutabile punctum A, atque eadem <math>x</math> ab A
puncto per rectam AE indefinitè $e extendere intelligatur, $itque
datus vel a$$umptus angulus, quem <math>y</math> & <math>x</math> comprehendunt, æqua-
lis angulo EAF vel EAG. Deinde quoniam <math>z</math> e$t <math>= y + c + {bx / a}</math>,
<fig>
<var>F D A I E G B C</var>
</fig>
$i <math>y</math> $upra lineam
AE ex$urgere in-
telligatur, veluti
ED, ducenda pri-
mùm e$t infra
eandem recta GB
ip$i parallela, ita
ut partes rectæ
FG omniumque
ip$i æquidi$tan-
tium inter prædi-
ctas AE & GB
interceptæ, veluti
AG, EB, æquen-
tur <math>c</math> cognitæ. Quo peracto, cum quævis recta, quæ po$$it e$$e <math>y</math>,
ad rectam GB producta, ut, exempli gratiâ, DB, $it <math>= y + c</math>,
oportet ip$i adhuc adjungere <math>{bx / a}</math>, ut fiat æqualis <math>z</math> a$$umptæ.
Quare, cum GB $eu AE indefinitè $umpta $it <math>= x</math>, $i ex G juxta
I Theorema hujus libri infra eandem GB recta ducatur, ut GC;
ita ut omnium ip$i GF parallelarum partes inter GB & GC in-
terceptæ, veluti BC, ad partes ip$ius GB inter G & dictas pa-

<pb 259>[815]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
rallelas interceptas, veluti BG, eandem rationem habeant, quæ
e$t inter <math>b</math> & <math>a</math>. Quod ip$um ut fiat, $tatuatur ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita GB ad
BC: eritque <math>BC = {bx / a}</math>. Eodem modo rectæ omnes ip$i BC pa-
rallelæ, quæ à GB ad GC ducuntur, <math>erunt <math>= {bx / a}</math>. Atque ita re-
cta quælibet $upra AE ex$urgens, quæ po$$it e$$e <math>y</math>, po$tquam ad
rectam GC erit producta, ut, exempli gratiâ, DC, erit <math>= y + c
+ {bx / a}</math> $eu <math>z</math>. Hujus igitur quadratum cum debeat e$$e <math>= dx</math>, $ta-
tim inde apparet, $i Parabola de$cripta foret ad diametrum GC,
cujus latus rectum GF ita e$$et a$$umptum, ut rectangula, $ub
eodem latuere recto & diametri portionibus, inter verticem & or-
dinatim applicatas interceptis, contenta, forent <math>= dx</math>, eandem
illam Parabolam fore Locum quæ$itum. At verò cum ratio re-
ctæ GB ad rectam BC, aliarumque $imilium, cognita $it, nem-
pe, ut <math>a</math> ad <math>b</math>; $itque itidem notus angulus G B C, $ub ii$dem com-
prehen$us, utpote æqualis dato vel a$$umque E A F: erit pro-
pterea quoque <n 1> nota ratio G B ad G C, aliarumque $imilium,
<mgr 1>_per 6_
_$exti_.</mgr>
quæ $it ut <math>a</math> cognitæ ad <math>e</math> cognitam. Hinc cum G B $eu A E inde-
finitè $umpta exprimatur per <math>x</math>, erit G C itidem inde$initè $umpta,
hoc e$t, omnis diametri portio inter verticem & ordinatim ap-
plicatas intercepta <math>= {ex / a}</math>. Quæ cum in latus rectum ducta pro-
ducere debeat æquationis terminum <math>dx</math>, idem quoque æquatio-
nis terminus <math>dx</math> per <math>{ex / a}</math> divi$us ut prædictum latus rectum re$ti-
tuat nece$$e e$t: ac proinde per eandem divi$ionem cogno$citur
quæ$itum latus rectum æquari <math>{ad / e}</math>. Sumptâ ergo <math>GF = {ad / e}</math> pro
latere recto, $i ad diametrum GC, ut $upra dictum e$t, de$cri-
batur Parabola GID, $ecans rectam AE in I: dico curvam ID
fore Locum quæ$itum.</p>
<p>Atque hîc, ut & in aliis $imilibus exemplis obiter
notandum, $i Parabola de$cripta prædictam AE non
$ecaret, id certo indicio fore, quæ$tionem propo$itam,
per quam legitimâ operatione ad $upra expre$$am æ-
quationem perventum fuerit, ejus e$$e conditionis, ut
Locus ad indagandum propo$itus $ui quidem naturâ

<pb 260>[816]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
linea Parabolica exi$tat; $ed quòd nulla tamen quæ$tioni
$atisfaciens de$cribi po$$it, cum propo$itæ quantitates,
eo, ut petitur, modo, conjungi nequeant.</p>
<p>Ad demon$trationem autem eorum, quæ $upra dicta $unt, $u-
matur in curva ID punctum utcunque, veluti D, ductâque DE
ip$i FG parallelâ, quæ protracta $ecet rectam GB in B, occur-
ratque diametro GC in C, $i DE vocetur <math>y</math>, cum EB $eu AG
$it <math>= c</math>, & <math>BC = {bx / a}</math>, erit tota <math>DC = y + c + {bx / a}</math>, hoc e$t, <math>z</math>.
Cumque ex natura Parabolæ quadratum ex DC = FGC rectan-
gulo, erit quoque ex antedictis <math>zz = dx</math>. Ac proinde $ub$titutis
aut re$titutis <math>y + c + {bx / a}</math> loco <math>z</math>, itemque <math>{2bc / a} + b</math> in locum ip$ius
<math>d</math>, & ablatis quæ propter æqualitatem $e invicem tollunt, ordi-
natisque omnibus, ut decet, erit <math>yy + {2bxy / a} + 2cy = bx - {bbxx / aa}
- cc</math>. Quod determinandum, demon$trandumque erat.</p>
<p>Sin autem æquatio $ui$$et <math>yy - {2bxy / a} - 2cy = bx - {bbxx / aa} - cc</math>,
factâ a$$umptione $ecundùm Regulam atque operatione uti de-
cet, ad eandem æquationem perventum $ui$$et; $ed quoniam <math>z</math>
juxta a$$umptionem eo ca$u faciendam fui$$et æqualis <math>y - {bx / a} - c</math>,
idcirco quoque $uppo$itis, ut ante, rectâ GB non in$ra $ed $upra
rectam AE, ut & GC non infra $ed $upra eandem GB ducenda
fui$$et, cæteraque omnia eodem quo $upra modo fui$$ent expe-
dienda.</p>
<p>Si verò æquatio $it <math>by - {bbyy / aa} - cc = xx + {2byx / a} + 2cx</math>, quæ
e$t conver$a $uperiùs expo$itæ, a$$umpto juxta Regulam <math>v =
x + {by / a} + c</math>, erit <math>x = v - {by / a} - c</math>. Vnde $ub$tituto hoc valore in
locum ip$ius <math>x</math>, eju$demque quadrato loco <math>xx</math>, expunctisque iis,
quæ $e invicem tollunt, atque omnibus ritè ordinatis, $uperior
æquatio $equenti formâ induta erit <math>{2bc / a} y + by = vv</math>, aut ($i loco
<math>{2bc / a} + b</math> $ub$tituatur <math>d</math>) <math>dy = vv</math>. Id quod rur$us arguit æquatio-
nem propo$itam reductam e$$e ad formulam prædicti Theorema-
tis VII conver$im, ac proinde Locum quæ$itum e$$e Parabolam.</p>

<pb 261>[817]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. II</rh>
<p>Ad cujus $pecificam determinationem e$to in $equenti figura
ip$ius <math>x</math> initium immutabile punctum A, atque eadem <math>x</math> à puncto
A per rectam A E indefinitè $e extendere intelligatur, $itque da-
<fig>
<var>C B H D I F G A E</var>
</fig>
tus vel a$$umptus angulus EAH vel FAH. Deinde, quoniam
ex $ecunda parte Theorematis VII con$tat, prædictam Parabo-
lam ita e$$e de$cribendam, ut ordinatim applicatæ ad ejus diame-
trum $int ip$i AE parallelæ, debeantque juxta æquationem pro-
po$itam æquales e$$e quantitati a$$umptæ <math>v</math>, hoc e$t, <math>x + {by / a} + c</math>,
ducenda primùm e$t recta GB ip$i AH parallela, ita ut pars re-
ctæ EA, versùs A productæ, ut & omnium ip$i æquidi$tantium,
velut AG vel HB $it <math>= c</math> cognitæ. Quo facto, cum quævis recta,
quæ po$$it e$$e ip$i AE æquidi$tans & æqualis, ac proinde expri-
miper <math>x</math>, ut, verbi gratiâ, DH, ad rectam G B producta; uti DB,
æquetur <math>x + c</math>: ita porrò è puncto G ducenda, &, $ecundùm ea,
quæ in præcedentibus explicata $unt, con$tituenda e$t Parabolæ
diameter ab adver$a parte ip$ius GB, quàm e$t punctum E in
recta GC, ut, $i GB indefinitè vocetur <math>y</math>, BC, aliarumque
omnium ip$i AE parallelarum inter eandem GC & rectam GB
interceptæ partes exprimantur per <math>{by / a}</math>. Atque ita quælibet recta
ip$i AE parallela, quæ po$$it e$$e <math>x</math> ad rectam G C producta, ve-
luti DC, fit <math>= x + c + {by / a}</math>, hoc e$t, <math>v</math>. Cujus quidem quadratum
cum æquale e$$e debeat alteriæquationis termino, nempe, <math>dy</math>:
$tatim apparet, $i Parabola de$cripta foret ad diametrum GC,

<pb 262>[818]<rh>E<sc>LEM.</sc> C<sc>VRVARVM</sc></rh>
cujus latus rectum GF ita e$$et a$$umptum, ut rectangula conten-
ta $ub eodem latere recto & diametri portionibus, inter verticem
G & ordinatim applicatas interceptis, forent <math>= dy</math>, eandem illam
Parabolam fore Locum quæ$itum. Atverò cum ratio rectæ GB
ad rectam BC aliarumque $imilium cognita $it, nimirum, ut <math>a</math>
ad <math>b</math>; $itque itidem notus angulus $ub ii$dem comprehen$us, ut-
pote æqualis dato vel a$$umpto EAH: erit quoque<n 1> ratio ip$ius
<mgl 1>_per 6_
_$exti_.</mgl>
GB ad G C aliarumque $imilium cognita, quæ $it ut <math>a</math> cognitæ
ad <math>e</math> cognitam. Quocirca $i GB $ive ED indefinitè $umpta ex-
primatur per <math>y</math>, erit GC itidem indefinitè $umpta, hoc e$t, omnis
diametri portio, inter verticem & ordinatim applicatas interce-
pta <math>= {ey / a}</math>. Quæ cum in latus rectum ducta producere debeat æ-
quationis terminum <math>dy</math>, idem quoque æquationis terminus <math>dy</math> per
<math>{ey / a}</math> divi$us ut prædictum latus rectum re$tituat nece$$e e$t. ac pro-
inde factâ eâdem divi$ione indicabit quotiens latus rectum quæ-
$itum fore <math>{ad / e}</math>. Hinc, $umptâ <math>GF = {ad / e}</math> pro latere recto, $i ad dia-
metrum GC inventam, ut $upra dictum e$t, de$cribatur Para-
bola GID, $ecans rectam AH in I: dico curvam ID fore Lo-
cum quæ$itum.</p>
<p>Sumpto enim in eadem puncto utcunque, veluti D, ductâque
DE ip$i AH, ut & DC ip$i AE parallelâ, quæ quidem DC $e-
cet rectas AH & GB in punctis H & B, occurratque diametro
G C in puncto C: erit <math>AE = x</math> = DH; <math>E D = y</math> = GB; <math>AG &
HB = c</math>; <math>BC = {by / a}</math> ideoque tota <math>DC = x + c + {by / a}</math>, hoc e$t, <math>v</math>.
Cumque ex natura Parabolæ rectangulum FGC $it æquale qua-
drato DC: erit, factâ multiplicatione <math>{ad / e}</math> in <math>{ey / a}</math>, atque <math>v</math> in $e
ip$am, <math>dy = vv</math>. Et$ub$titutis aut re$titutis <math>x + c + {by / a}</math> loco <math>v</math>,
itemque <math>{2bc / a} + b</math> in locum ip$ius <math>d</math>, atque ablatis quæ propter æ-
qualitatem $e invicem tollunt, ordinatisque omnibus, ut decet,
<math>by - {bbyy / aa} - cc = xx + {2byx / a} + 2cx</math>. Quod determinan-
dum, demon$trandumque erat.</p>
<p>De cæteris autem ca$ibus, ad prædictam formulam $pectanti-
bus, $upervacuum fuerit plura exponere, cum ex prædictis facilè

<pb 263>[819]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
explicari, determinari, ac demon$trari queant; ob$ervatâ $olum-
modo diversâ linearum po$itione, quæ ex $ignorum + & - dif-
ferentia oriri debet, cumque omnes $imilium locorum ca$us mox
per generalem Regulam $im exhibiturus.</p>
<h it>Exempla reductionis æquationum ad formulam Theo-
rematis _VIII._</h>
<p>Si æquatio $it <math>yy - {bxy / a} = - {bbxx / 4aa} + bx + dd</math>, a$$umpto juxta
Regulam <math>z = y - {bx / 2a}</math>, erit <math>y = z + {bx / 2a}</math>. quo $ub$tituto in locum
ip$ius <math>y</math>, & eju$dem quadrato loco <math>yy</math>, omi$$isque iis, quæ $e in-
vicem tollunt, atque omnibus ritè ordinatis, æquatio $uperior $e-
quenti formâ erit induta: <math>zz = bx + dd</math>.</p>
<fig>
<var>d D I 6 B C A E C G F</var>
</fig>
<p>Vnde apparet, eandem e$$e reductam ad formulam Theore-
matis VIII, ac proinde Locum quæ$itum e$$e Parabolam. Ad
cujus particularem de$criptionem e$to in adjuncta figura ip$ius <math>x</math>
initium immutabile punctum A, atque eadem <math>x</math> à dicto puncto A

<pb 264>[820]<rh>E<sc>LEM.</sc> C<sc>VRVARVM</sc></rh>
per rectam AE indefinitè $e extendere intelligatur, $itque datus
vel a$$umptus angulus, quem <math>y</math> & <math>x</math> comprehendunt, æqualis an-
gulo AED. Deinde, quoniam <math>z = y - {bx / 2a}</math>, $i <math>y</math> $upra lineam AE
ex$urgere intelligatur, veluti E D, ducenda quoque e$t $upra li-
neam AE ex puncto A recta AB, ita ut eadem $it ratio AE ad
EB, quæ e$t ip$ius <math>2a</math> cognitæ ad <math>b</math> cognitam, hoc e$t, ut $it uti
<math>2a</math> ad <math>b</math>, ita AE $eu <math>x</math> ad EB, eritque <math>EB = {bx / 2a}</math>. idem intellige
de omnibus aliis rectis ip$i EB parallelis, atque inter AE & AB
interceptis, quæ quidem $ingulæ ip$i <math>{bx / 2a}</math> erunt æquales. Hinc,
<fig>
<var>d D I 6 B C A E C G F</var>
</fig>
quemadmodum ex $upra dictis patet, $i terminus <math>dd</math> in æquatio-
ne de$iceret, prædicta A B Parabolæ diameter foret, eju$que
vertex punctum A, &, po$itâ ratione AE ad AB, ut <math>2a</math> ad <math>e</math>, la-
tus rectum ip$i corre$pondens e$$et <math>= {2ab / e}</math>. Iam verò cum rectan-
gulum, quod $ub latere recto & portione diametri, inter verti-
cem atque ordinatim applicatas interceptâ, continetur, æquale
e$$e debeat <math>bx + dd</math>: manife$tum e$t, $i, ii$dem po$itis, diameter

<pb 265>[821]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
AB versùs A producatur ad G, ita ut rectangulum $ub prædicto
latere recto & parte GA contentum $it <math>= dd</math>, rectam GB quæ-
$itam fore diametrum, eju$que verticem prædictum G punctum:
ac proinde & <math>dd</math> per prædictum latus rectum, hoc e$t per <math>{2ab / e}</math>, di-
vi$um æquari longitudini GA, ideoque GA fore <math>= {dde / 2ab}</math>. Quare
$i diametro GB & latere recto <math>GF = {2ab / e}</math> in dato angulo Para-
bola de$cribatur GD <math>d</math>, $ecans A I ip$i ED parallelam in I: di-
co curvam ID <math>d</math> fore Locum quæ$itum.</p>
<p>Verùm obiter hîc quoque notandum venit, prædictum verti-
cem G etiam inveniri hoc pacto: $i nempe EA producatur ad C,
ita ut AC $it <math>= {dd / b}</math>, ac deinde per punctum C ip$i DE parallela
ducatur C G, occurrens productæ AB in G: erit enim in eodem
illo concur$us puncto vertex quæ$itus.</p>
<h it>Demon$tratio.</h>
<p>Sumatur in prædicta curva punctum utcunque, veluti D, du-
ctâque DE in angulo AED, dato vel a$$umpto æquali, $ecante
diametrum GB in B: erit, ex con$tructione, BE <math>= {bx / 2a}</math>; ideoque
$i E D vocetur <math>y</math>, erit <math>D B = y - {bx / 2a}</math> $eu <math>z</math>; <math>F G = {2ab / e}</math>, <math>G A =
{dde / 2ab}</math>; <math>A B = {ex / 2a}</math>, totaque <math>G B = {dde / 2ab} + {ex / 2a}</math>. At cum ex proprie-
tate Parabolæ D B quadratum $it æquale rectangulo F G B, erit,
factâ multiplicatione ip$ius <math>z</math> in $e ip$am, atque <math>{2ab / c}</math> in <math>{dde / 2ab} + {ex / 2a}</math>,
<math>zz = dd + bx</math>. Vnde $ub$tituto <math>y - {bx / 2a}</math> loco <math>z</math>, obtinebitur
<math>yy - {bxy / a} + {bbxx / 4aa} = bx + dd</math>, id e$t, <math>yy - {bxy / a} = - {bbxx / 4aa} + bx
+ dd</math>. Quod erat demon$trandum.</p>
<p>Quomodo autem pro ca$u hujus exempli conver$o Parabola
de$cribenda $it, ex comparatione eju$dem cum antedictis facile
e$t colligere.</p>
<p>Si æquatio fuerit <math>{bcy / a} + by - {bbyy / aa} + {1/4} cc = xx + {2byx / a} - cx</math>,

<pb 266>[822]<rh>E<sc>LEM.</sc> C<sc>VRVARVM</sc></rh>
a$$umpto juxta Regulam <math>v = x + {by / a} - {1/2} c</math>, erit <math>x = v - {by / a} + {1/2} c</math>.
quo $ub$tituto in locum ip$ius _x_, eju$demque quadrato loco <math>xx</math>,
ablatisque iis, quæ $e invicem de$truunt, atque omnibus ritè or-
dinatis, æquatio $uperior $equenti formâ erit induta.</p>
<p><math>by + {1/2} cc = vv</math>.</p>
<p>Vnde apparet eandem e$$e reductam ad formulam prædicti
Theorematis VIII conver$im, ac proinde Locum quæ$itum e$$e
Parabolam. Cujus $pecifica determinatio ($uppo$itis, ut in adjun-
cta figura, A E indefinitè a$$umptam e$$e quantitatem incogni-
tam _x_, atque cum altera _y_ con$tituere angulum æqualem angulo
E A C vel eju$dem ad binos rectos $upplemento) quoniam ex jam
ante explicatis qua$i $ponte profluit, idcirco eam adjunctâ figurâ
breviter indica$$e $uffecerit.</p>
<h it>Determinatio Loci.</h>
<p>A E inde$initè <math>= x</math>.</p>
<p>E D omnesque ip$i parallelæ <math>= y</math>.</p>
<p><math>A K = {1/2} c = C H</math>, quia K H parallela A C.</p>
<fig>
<var>C B H D A K I E F G</var>
</fig>
<p>Vt <math>a</math> ad <math>b</math>, ita K H $eu <math>y</math> ad HB: unde H B fit <math>= {by / a}</math>, & <math>D B = x
- {1/2} c + {by / a} = v</math>.</p>
<p>Vt <math>a</math> ad <math>e</math>, ita K H $eu <math>y</math> ad K B: under K B (in qua diameter) $it
<math>= {ey / a}</math>.</p>
<p>_by_ divi$um per <math>{ey / a}</math>, reddit <math>{ab / e}</math>: unde latus rectum F G fit <math>= {ab / e}</math>.
<math>{1/2} cc</math>, nempe terminus æquationis in totum cognitus, divi$us per

<pb 267>[823]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
<math>{ab / c}</math>, nempe per latus rectum, reddit <math>{cce / 2ab}</math>: unde KG fit = <math>{cce / 2ab}</math>, at-
que <math>G B = {cce / 2ab} + {ey / a}.</math></p>
<h it>Demon$tratio.</h>
<p>Rectangulum F G B = B D quadrato, ergo <math>{1/2} cc + by = vv</math>, vel
<math>by = vv - {1/2} cc</math>, hoc e$t, <math>by = xx + {2byx / a} + {bbyy / aa} - cx -
{bcy / a} + {1/4} cc</math>.</p>
<p><math>- {1/2} cc</math>.</p>
<p>Quocirca deletis delendis, factâque decenti tran$po$itione,
fiet <math>{bcy / a} + by - {bbyy / aa} + {1/4} cc = xx + {2byx / a} - cx</math>. Quod
erat propo$itum.</p>
<h it>Exemplumreductionis æquationum ad formulam
Theorematis _IX_.</h>
<p>Sit æquatio <math>yy + {bxy / a} - cy = ax - {bbxx / 4aa} - cc</math>. A$$umatur
juxta Regulam <math>z = y + {bx / 2a} - {1/2} c</math>, eritque <math>y = z - {bx / 2a} + {1/2} c</math>. Quo
$ub$tituto in locum ip$ius <math>y</math>, & ejus quadrato loco <math>yy</math>, fient æqua-
tionis termini, ut $equitur: <math>zz = ax - {bcx / 2a} - {3/4} cc</math>. Facilitatis
ergo pro <math>a - {bc / 2a}</math> $cribatur <math>d</math>, $upponendo <math>a</math> e$$e majorem quàm <math>{bc / 2a}</math>,
eritque æquatio <math>zz = dx - {3/4} cc</math>. Et apparet eandem reductam
e$$e ad formulam Theorematis IX, ac propterea Locum quæ$i-
tum e$$e Parabolam, quàm ex iis, quæ jam explicata $unt, deter-
minare ac de$cribere facillimum erit; ut ex $equenti figura iisque
quæ $uper eâdem breviter annotata $unt, colligere licebit.</p>
<h it>Determinatio Loci.</h>
<p>Sit initium immutabile ip$ius _x_ punctum A.</p>
<p>A E indefinitè <math>= x</math>.</p>
<p>ED omnesque ip$i parallelæ <math>= y</math>.</p>
<p>E A K vel A E D, angulus quem <math>x</math> & <math>y</math> comprehendere debent.</p>

<pb 268>[824]<rh>E<sc>LEM.</sc> C<sc>VRVARVM</sc></rh>
<p>A K <math>= {1/2} 6</math>.</p>
<p>K H parallela ip$i AE.</p>
<p>Vt <math>2a</math> ad <math>b</math>, ita K H $eu <math>x</math> ad H B: unde H B erit <math>= {bx / 2a}</math>.</p>
<fig>
<var>D K I H G B A E F</var>
</fig>
<p>Vt <math>2a</math> ad <math>e</math>, ita K H $eu <math>x</math>
ad K B: unde K B (in
quâ diameter) <math>= {ex / 2a}</math>.
<math>dx</math> divi$um per <math>{ex / 2a}</math>, reddit
<math>{2ad / e}</math>: unde latus re-
ctum, quod $it F G, erit
<math>= {2ad / e}</math>.</p>
<p><math>{3/4} cc</math> divi$um per <math>{2ad / e}</math>, red-
dit <math>{3cce / 8ad}</math>: unde K G fit
<math>= {3cce / 8ad}</math>, atque <math>G B = {ex / 2a}
- {3cce / 8ad}</math>.</p>
<p>Hinc $i G B diametro & latere recto F G per verticem G de-
$cripta $it Parabola, $ecans K H in I, erit ID Locus quæ$itus.</p>
<h it>Demon$tratio.</h>
<p>E$to punctum D utcunque $umptum in ID, & DE ducta pa-
rallela ip$i AK, quæ $i vocetur <math>y</math>; erit <math>HD = y - {1/2} c</math>, ac <math>DB =
y - {1/2} c + {bx / 2a}</math>, hoc e$t, <math>z</math>. Cujus quadratum cum æquetur rectan-
gulo F G B, erit <math>zz = dx - {3/4} cc</math>, hoc e$t, <math>yy - cy + {1/4} cc +
{bxy / a} - {bcx / 2a} + {bbxx / 4aa} = ax - {bcx / 2a} - {3/4} cc.</math> Ac proinde, $i utrin-
que demantur æquales, terminique ritè tran$ponantur, habebitur
<math>yy + {bxy / a} - cy = ax - {bbxx / 4aa} - cc</math>. Quod erat propo$itum.</p>
<p>Atque hujus quidem exempli conver$um, ut & cæteros ca$us
huc $pectantes, ex iis, quæ jam dicta $unt, $imili modo reducere
atque re$olvere non difficile erit.</p>

<pb 269>[825]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
<h it>Exempla reductionis æquationum ad formulam
Theorematis _X._</h>
<p>Si æquatio $it <math>ay - yy = bx</math>, $ive, quod idem e$t, <math>yy - ay +
bx = 0</math>, a$$umpto juxta Regulam <math>z = y - {1/2} a</math>, erit <math>y = z + {1/2} a</math>.
Quo $ub$tituto in locum ip$ius <math>y</math>, & eju$dem quadrato loco <math>yy</math>,
remanebit <math>zz = {1/4} aa - bx</math>. Vnde apparet, eandem e$$e reductam
ad ca$um Theorematis X, ideoque per ea, quæ ibidem $unt de-
mon$trata, Locum quæ$itum e$$e Parabolam.</p>
<p>Ad cujus $pecificam determinationem e$to in appo$ita figura
ip$ius <math>x</math> initium immutabile punctum A, eademque <math>x</math> $e indefinitè
ab A versùs E extendere intelligatur; $it autem datus vel a$$um-
ptus angulus, quem <math>y</math> & <math>x</math> comprehendunt, æqualis angulo E A K,
<fig>
<var>I F D K B G A E</var>
</fig>
aut ip$ius ad binos rectos complemento. Deinde, quoniam <math>z</math> a$-
fumpta e$t <math>= y - {1/2} a</math>, $i <math>y</math> $upra rectam A E exurgere in telligatur,
ducenda quoque e$t $upra ip$am recta K G ip$i A E parallela, ita
ut A K omnesque ip$i æquidi$tantes inter A E & K G interceptæ
$int <math>= {1/2} a</math>. Quo facto, $i juxta Regulam fiat <math>K G = {aa / 4b}</math>, eadem-
que $umatur pro Parabolæ diametro, ad quam ordinatim appli-
catæ $int ip$i A K parallelæ, cujusque latus rectum F G $it <math>= b</math>:
erit ip$ius portio de$cripta G D I, quæ inter verticem G & pro-
ductam A K intercipitur, Locus quæ$itus.</p>

<pb 270>[826]<rh>E<sc>LEM.</sc> C<sc>VRVARVM</sc></rh>
<p>Etenim a$$umpto in curva G D I puncto utcunque, veluti D,
ductâque DE ip$i A K parallelâ, quæ $ecet diametrum K G in B,
$i eadem D E vocetur <math>y</math>: erit <math>D B = y - {1/2} a</math> $eu <math>z</math>, ac G B $ive
<math>G K - K B = {aa / 4b} - x</math>. Hinc, cum ex natura Paraboles quadra-
tum ex B D $it æquale rectangulo F G B. erit <math>zz = {1/4} aa - bx</math>,
hoc e$t, <math>yy- ay + {1/4} aa = {1/4} aa - bx</math>, $ive <math>yy - ay + bx = 0</math>,
$ive etiam <math>ay - yy = bx</math>. Quod erat propo$itum.</p>
<p>Si æquatio fuerit <math>{bbyy / aa} + dy - cc = {2byx / a} - xx</math>, $ive, quod
idem e$t, <math>xx - {2byx / a} + {bbyy / aa} + dy - cc = 0</math>: a$$umpto juxta
Regulam <math>v = x - {by / a}</math>, erit <math>x = v + {by / a}</math>. Quo $ub$tituto in lo-
cum ip$ius <math>x</math>, eju$demque quadrato loco <math>xx</math>, fiet, omnibus ritè
ordinatis, <math>cc - dy = vv</math>. Vnde apparet ca$um e$$e Theorema-
tis X conver$im, ac proinde Locum quæ$itum e$$e Parabolam.
Quæ quidem ut $pecificè de$cribatur, e$to ip$ius <math>x</math> initium immu-
tabile A punctum, intelligaturque eadem <math>x</math> $e extendere ab A ver-
sùs E indeterminatè, $itque angulus datus vel a$$umptus, quem <math>y</math>
<fig>
<var>C G F H B D A I E</var>
</fig>
& <math>x</math> comprehendunt, æqualis angulo E A H aut ip$ius ad duos re-
ctos complemento. Deinde $umatur in A H recta <math>A C = {cc / d}</math>, du-
caturque ex C recta C F ip$i A E parallela, atque in eadem $umptâ,
C G, quæ $e habeat ad C A, ut cognita <math>b</math> ad <math>a</math> cognitam, hoc eft,
ut $it uti <math>a</math> ad <math>b</math>, ita A C ad C G, agatur A G, eaque pro diametro
Parabolæ $umatur, quæ per verticem G versùs A erit de$cribenda.
Porrò cum in triangulo A C G ob rationem cognitam laterum

<pb 271>[827]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
AC, C G, cognitum angulum C comprehendentium, utpote
dato vel a$$umpto aut eju$dem ad duos rectos $upplemento æqua-
lem, cognita item $it ratio, quam habet A C ad A G, quæ $it
ut <math>a</math> ad <math>e</math>; erit, A C exi$tente <math>= {cc / d}</math>, <math>A G = {cce / ad}</math>. Per quam $i
terminus æquationis, in totum cognitus, nimirum <math>cc</math>, dividatur,
orietur <math>{ad / e}</math> pro latere recto. Ac proinde $i fiat <math>G F = {ad / e}</math>, erit G F
latus rectum quæ$itæ Parabolæ, diametro G A corre$pondens;
atque iccirco $i ad dictam diametrum, dictumque latus rectum
Parabola de$cribatur, ut G D I, $ecans A E in I: dico I D G cur-
vam e$$e Locum quæ$itum.</p>
<p>Sumpto enim in ea puncto utcunque, veluti D, ductisque D E
ip$i A H, ac D B H ip$i A E parallelis, $i eadem D E exprimatur
per <math>y</math>, erit quoque <math>A H = y</math>. Cumque $it ut A C ad C G, id e$t,
ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita A H ad H B: erit <math>H B = {by / a}</math>, ideoque cum D H $eu
A E $it <math>= x</math>, erit <math>D B = x - {by / a}</math> $eu <math>v</math>. Similiter cum $it ut A C ad
A G, hoc e$t, ut <math>a</math> ad <math>e</math>, ita A H $eu <math>y</math> ad A B: erit <math>A B = {ey / a}</math>, &
G A - A B $eu <math>G B = {cce / ad} - {ey / a}</math>. Hinc cum ex natura Paraboles
rcctangulum F G B $it æquale quadrato ex B D, erit, factâ multi-
plicatione ip$ius F G $eu <math>{ad / e}</math> in G B $eu <math>{cce / ad} - {ey / a}</math>, & ip$ius B D $eu
<math>v</math> in $e ip$am, <math>cc - dy = vv.</math> Hoc e$t, re$tituto <math>x - {by / a}</math> loco <math>v</math>, erit
<math>cc - dy = xx - {2byx / a} + {bbyy / aa}</math>, vel <math>{bbyy / aa} + dy - cc = {2byx / a} - xx</math>.
Quod determinandum, demon$trandumque erat.</p>
<p>Obiter autem & hîc notandum, ut ex antedictis quoque facile
e$t colligere, aliter etiam diametrum G A atque latus rectum G F
indagari potui$$e, hoc modo:</p>
<p>Cum A H indeterminatè $it <math>= y</math>, juxta primum Theorema hu-
jus ita ducatur A G, ut recta H B, quemadmodum & quælibet alia
ip$i A E parallela, quæ inter A H & A G intercipitur, $it <math>= {by / a}</math>;
ponaturque ratio, quæ e$t inter A H & A B $imilesque, ut <math>a</math> ad <math>e</math>:
ideoque cum A B indeterminatè $it <math>= {ey / a}</math>, terminus æquationis <math>dy</math>

<pb 272>[828]<rh>E<sc>LEM.</sc> C<sc>VRVARVM</sc></rh>
per eandem divi$us o$tendet latus rectum $ectionis <math>F G = {ad / e}</math>. Si-
militer terminus æquationis <math>cc</math> per prædictum latus rectum $eu
<math>{ad / e}</math> divi$us dabit quotientem <math>{cce / ad}</math> pro quæ$ita A G.</p>
<p>Plura hîc exempla $ubjungere $upervacuum foret, cum mox
omnes omnino ca$us po$$ibiles generali regulâ annotare ac de-
mon$trare animus $it.</p>
<p>Porrò quamvis Regulas capite primo explicatas par-
ticularibus ibidem exemplis $eu ca$ibus in hypothe$i
non illu$traverimus, neque etiam id aut hîc aut in $e-
quentibus ullo modo nece$$arium ducamus, quippe
cum unu$qui$que, qui Regulas ip$as rectè perceperit,
ea$dem quibu$libet propo$itis exemplis $eu ca$ibus in
hypothe$i facilè applicare valeat: quandoquidem ta-
men libro primo in$ignes qua$dam proprietates Para-
bolæ, Hyperbolæ, atque Ellip$is con$ultò prætermi$i-
mus, eâ mente, ut in hoc libro $uis locis per modum
Problematum non incongruè proponi ac demon$trari,
$imulque tanquam propo$itarum Regularum particu-
laria exempla haberi po$$ent, earundem explicationem
hîc & $ub finem $equentis capitis $ubjiciemus.</p>
<h>P<sc>ROBLEMA</sc> I.</h>
<h it>Propo$itio <sc>II</sc>.</h>
<p>Datis puncto & lineâ rectâ, in plano per utrumque
ducto aliud punctum invenire, à quo binæ rectæ, alte-
ra ad datum punctum, altera ad datam lineam perpen-
diculariter ductæ, $ibi invicem $int æquales: & quo-
niam infinita $unt eju$modi puncta, quæ quæ$tioni $a-
tisfaciunt, Locum determinare ac de$cribere, in quo
cuncta & $ingula reperiantur.</p>
<p>Sit datum punctum A, & data po$itione recta linea B C, opor-
teatque in plano quod per utrumque ducitur, aliud punctum inve-

<pb 273>[829]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
nire, quemadmodum D; ita ut ductæ rectæ DA, DF, quarum
hæc ad datam B C intelligitur perpendicularis, $ibi invicem æqua-
les $int.</p>
<fig>
<var>M I D I G A H B F E C K</var>
</fig>
<p>Ductâ perpendiculari A E, quæ vocetur <math>a</math>, ac $uppo$itis juxta
Regulam binis lineis E F, F D incognitis atque indeterminatis
datum angulum rectum E F D comprehendentibus tanquam co-
gnitis ac determinatis, quarum prior E F vocetur <math>x</math>, ac po$terior
F D nominetur <math>y</math>; $i ducta præterea intelligatur A G ip$i E F
æquidi$tans, erit in triangulo rectangulo A G D ba$is <math>A D = y</math>,
utpote = ductæ D F; latus verò A G $eu recta <math>E F = x</math>, & G D,
$ive ($i punctum G cadat inter D & F) F D - A E, aut ($i pun-
ctum D inter F & G cadat) <math>A E - F D = y = a</math>. Vnde, cum qua-
dratum ba$is æquale $it binis laterum quadratis $imul $umptis, æ-
quatio erit <math>yy = xx + yy - 2ay + aa</math>, hoc e$t, ablatis iis quæ $e
invicem de$truunt, omnibusque ritè ordinatis, erit <math>2ay - aa = xx</math>.
Qui quidem ca$us e$t Theorematis noni hujus libri conver$im,
ac proinde Locus quæ$itus erit linea Parabolica. Quare $i juxta

<pb 274>[830]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
ea, quæ ibidem expo$ita $unt, ex E ducatur recta E I indefinitè ex-
ten$a atque ip$i F D æquidi$tans; & ab eadem auferatur recta
<math>E H = {aa / 2a}</math>, id e$t, <math>{1/2} a</math>: erit de$cribendæ Parabolæ diameter in di-
cta E I, (quæ quidem diameter axis quoque e$t, propter angulum
E F D rectum) vertex autem in H, ac parameter <math>= 2a</math>. Vnde,
per ea quæ libri primi capite primo expo$ita $unt, Parabolam
ip$am de$cribere facillimum erit. Cumque porrò axis punctum A,
utpote quod ab H vertice di$tat quartâ ip$ius parametri parte, id
ip$um $it, quod vulgò Parabolæ Focus $eu Vmbilicus nuncupa-
tur, apparet ex præmi$$is rectè inferri, quæ $equuntur.</p>
<h>_Corollarium_ 1.</h>
<p>Quæ ab Vmbilico ad quodlibet Parabolæ punctum
recta ducitur æqualis e$t axis portioni per applicatam
ab eodem puncto ab$ci$$æ & quadrante parametri per
verticem productæ.</p>
<p>Con$tat enim ex antedictis rectam A D, utcunque a$$umptum
fuerit in curva punctum D, $i per idem illud ad axem ordinatim
applicata $it D I, æqualem e$$e perpendiculari D F, hoc e$t, rectæ
I E, nempe axis portioni, per applicatam D I ab$ci$$æ, & per
verticem H, longitudine <math>H E = {1/2} a</math>, id e$t, quadrante parametri,
productæ.</p>
<h>_Corollarium_ 2.</h>
<p>Manife$tum quoque e$t ex antedictis, $i po$itis quæ
$upra, & productâ F D, uti ad M, per a$$umptum pun-
ctum D contingens ducta $it, ut L D K, angulum F D K
$ive M D L angulo A D K æqualem e$$e.</p>
<p>Occurrat enim contingens L D K axi producto in K, eritque<n 1>
<mgl 1>_per 1_
_Cor. 2_
_primi bu-_
_jus._</mgl>
recta I H ip$i H K, ideoque (æqualibus H E, A H utrinque addi-
tis) recta I E, hoc e$t, A D, ip$i A K æqualis; ac proinde<n 2> & an-
gulus A D K angulo A K D, hoc e$t, angulo F D K $ive M D L æ-
<mgl 2>_per 5_
_primi_.</mgl>
qualis $it nece$$e e$t.</p>

<pb 275>[831]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. III.</rh>
<h>C<sc>APVT</sc> III.</h>
<p>TErtio autem ca$u $upra expre$$o, cùm nempe quan-
titatum incognitarum utraque ad quadratum a$cen-
dit, $ive altera in alteram ducta in æquatione reperi-
tur, neque æquatio ad terminos magis $implices redu-
ci pote$t, ad aliquam $equentium formularum deven-
tum erit;</p>
<p>I. <math>yx = ff</math>.</p>
<p>II. <math>{lyy / g} = xx - ff</math>.</p>
<p>III. <math>yy - ff = {lxx / g}</math>.</p>
<p>IV. <math>{lyy / g} = ff - xx</math>.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> XI.</h>
<h>_Propo$itio_ 12.</h>
<p>Si æquatio $it <math>yx = ff</math>, Locus quæ$itus e$t Hyper-
bola.</p>
<p>Sit enim, ut in præcedentibus, ip$ius <math>x</math> initium immutabile A
<fig>
<var>B G D A C E</var>
</fig>
punctum, atque ea-
dem illa <math>x</math> per rectam
A E indefinitè $e ex-
tendere intelligatur;
$itque datus vel a$$um-
ptus angulus, quem <math>y</math>
& <math>x</math> comprehendunt,
æqualis angulo E A B,
aut eju$dem ad binos
rectos $upplemento.
Deinde $umatur in
A E recta <math>A C = f</math>, du-
caturque C G eidem
æqualis ac ip$i A B parallela, de$criptâque<n 1> per punctum G at-
<mgr 1>_per ea_
_quæ in_
_Corol. ad_
_11 & 12, nec non cap. ult. lib. primi hujus tradita $unt,_</mgr>

<pb 276>[832]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
que A$ymptotis A E, A B Hyperbolâ G D: dico curvam G D
e$$e Locum quæ$itum.</p>
<p>Sumatur enim in eadem curva punctum utcunque, veluti D,
ductâque D E ip$i A B parallelâ, erit ex natura Hyperboles<n 1> re-
<mgl 1>_per 3_
_primi hu-_
_jus._</mgl>
ctangulum A E D rectangulo A C G, hoc e$t, quadrato ex A C
æquale. Hinc, cum A E $it a$$umpta pro incognita quantitate <math>x</math>,
$i E D vocetur <math>y</math>, erit <math>yx = ff</math>. Quod determinandum, demon-
$trandumque erat.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> XII.</h>
<h>_Propo$itio_ 13.</h>
<p>Si æquatio $it <math>{lyy / g} = xx - ff</math>, erit Locus quæ$itus li-
nea Hyperbolica.</p>
<p>Aut enim <math>l</math> ip$i <math>g</math> æqualis e$t aut inæqualis, & $i æqualis $it, erit
$uperior æquatio eadem ac $i e$$et <math>yy = xx - ff</math> (quod $emel mo-
<fig>
<var>F D C A G E</var>
</fig>
nui$$e $ufficiat). Ac
facilè apparet, $i i-
p$ius <math>x</math> initium im-
mutabile fit pun-
ctum A, atque ea-
dem <math>x</math> $e in linea
A E ab A versùs E
indefinitè extende-
re intelligatur, $it-
que angulus da-
tus vel a$$umptus,
quem <math>y</math> & <math>x</math> com-
prehendunt, æqua-
lis angulo A G F,
quòd $i tam A G quàm A C fiant <math>= f</math> cognitæ, ac G F $umatur
<mgl 2>_per ea_
_quæ cap._
_ult. primi_
_hujus_
_o$ten$a_
_$unt_.</mgl>
= G C, centroque A, & transversâ diametro C G ip$i G F late-
ri recto $ive parametro æquali de$cribatur <n 2> Hyperbola, ut G D,
eandem curvam G D fore Locum quæ$itum.</p>
<p>Sumpto enim in ea puncto utcunque, veluti D, ductâque D E
ip$i F G parallelâ, erit <n 3>ex natura Hyperboles, cùm C G & G F
<mgl 3>_per 10_
_primi hu-_
_jus._</mgl>
$upponantur æquales, quadratum ex D E æquale rectangulo

<pb 277>[833]<rh>L<sc>IB</sc> II. C<sc>AP</sc> III.</rh>
C E G. Hine, $i D E vocetur <math>y</math>, cum ex hypothe$i C E $eu A E
+ A C $it <math>= x + f</math>, & G E $ive <math>A E - A G = x - f</math>, erit <math>yy =
xx - ff</math>.</p>
<p>At verò $i <math>l</math> & <math>g</math> $int inæquales, apparet e$$e, ut <math>l</math> ad <math>g</math>, ita <math>xx - ff</math>
ad <math>yy</math>. Ac proinde $i juxta ea, quæ $upra expo$ita $unt, non jam
parameter G F diametro tran$ver$æ C G æqualis, $ed ut <math>l</math> ad <math>g</math>,
<fig>
<var>F D C A G E</var>
</fig>
ita fiat tran$ver$a diameter C G ad G F parametrum, cæteraque
omnia, ut $upra, eodem modo quæ$ito erit $atis factum.</p>
<p>E$t enim <n 1> ex natura Hyperboles, ut F G ad G C, ita E D
<mgr 1>_per 10_
_primi hu-_
_jus_.</mgr>
quadratum ad C E G rectangulum, hoc e$t, ut <math>g</math> ad <math>l</math>, ita <math>yy</math> ad
<math>xx - ff</math>, unde, revocando proportionem ad æqualitatem, erit
<math>lyy = gxx - gff</math>. Ac proinde $i utraque hujus æqualitatis pars
dividatur per <math>g</math>, erit <math>{lyy / g} = xx - ff</math>. Quod determinandum,
demon$trandumque erat.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> XIII.</h>
<h>_Propo$itio_ 14.</h>
<p>Si æquatio $it <math>yy - ff = {lxx / g}</math>, erit Locus quæ$itus
Hyperbola.</p>
<p>Ad cujus determinationem $pecificam e$to in appo$ita $igura
ip$ius <math>x</math> initium immutabile punctum A, ip$aque <math>x</math> $e ab A versùs

<pb 278>[834]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
E in linea A E inde$initè extendere intelligatur, $itque angulus
quem <math>y</math> & <math>x</math> comprehendunt æqualis angulo E A G aut eju$dem
ad duos rectos $upplemento. Deinde, cum $it ut <math>l</math> ad <math>g</math>, ita <math>yy - ff</math>
<fig>
<var>B D F G A E C</var>
</fig>
ad <math>xx</math>, $tatim apparet, $i tam A G quam A C $umantur æquales
<math>f</math> cognitæ, fiatque ut <math>l</math> ad <math>g</math>, ita C G ad G F (quæ quidem G F $it
ip$i A E parallela), ac po$tea centro A, tran$versâ diametro C G,
& parametro G F Hyperbola de$cribatur G D, eandem curvam
G D fore Locum quæ$itum.</p>
<p>Sumpto namque in ea puncto utcunque, veluti D, ductâque
D E ip$i A G, ac D B ip$i A E parallelâ, $i eadem D E vocetur <math>y</math>,
erit C B, hoc e$t, <math>D E + A C, = y + f</math>; & B G, $ive D E - A G,
= y - f</math>, ideoque C B G rectangulum = <math>y y - f f</math>. Dein cum<n 1> ex
<mgl 1>_per 10_
_primi hu-_
_jus_.</mgl>
natura Hyperbolæ $it ut C G ad G F, hoc e$t, ex hypothe$i ut <math>l</math> ad
<math>g</math>, ita rectangulum C B G ad D B $ive A E quadratum, id e$t, ita
<math>yy - ff</math> ad <math>xx</math>: erit <math>gyy - gff = lxx</math>, hoc e$t, <math>yy - ff = {lxx / g}</math>.
Quod demon$trandum, determinandumque erat.</p>

<pb 279>[835]<rh>L<sc>IB.</sc> II. C<sc>AP.</sc> III.</rh>
<h>T<sc>HEOREMA</sc> XIV.</h>
<h>_Propo$itio_ 15.</h>
<p>Si æquatio $it <math>{lyy / g} = ff - xx</math>, erit Locus quæ$itus El-
lip$is.</p>
<p>At verò cum Ellip$eos $pecies, quæ latera rectum &
tran$ver$um æqualia habet, angulumque quem ordina-
tim applicatæ faciunt ad diametrum rectum, $it Circuli
circumferentia: palam fit ca$u propo$ito Locum quæ$i-
tum etiam Circuli peripheriam e$$e po$$e.</p>
<p>Hinc ad prædicti Loci determinationem e$to in appo$ita figu-
ra ip$ius <math>x</math> initium immutabile A punctum, atque eadem <math>x</math> $e per
lineam A E ab A versùs E indeterminatè extendere intelliga-
<fig>
<var>F D C A E G</var>
</fig>
tur, $itque angulus, quem <math>y</math> & <math>x</math> comprehendunt, æqualis an-
gulo A G F. Porrò cum $it ut <math>l</math> ad <math>g</math>, ita <math>ff - xx</math> ad <math>yy</math>: fa-
cilè apparet, $i tam A G quàm A C $umantur æquales <math>f</math> cogni-
tæ; fiatque ut <math>l</math> ad <math>g</math>, ita C G ad G F, ac centro A, tran$versâ dia-
metro C G, & parametro G F <n 1> Ellip$is de$cribatur G D C
<mgr 1>_per 7_
_Corol. 13_
_& 1 Cor._
_14 primi_
_hujus, ut & per ea quæ circa finem cap. 4 eju$dem lib. tradita $unt._</mgr>
eandem curvam G D C fore Locum quæ$itum.</p>

<pb 280>[836]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
<p>Sumpto namque in ea puncto utcunque, veluti D, ductâque
<fig>
<var>F D C A E G</var>
</fig>
D E ip$i F G paral-
<mgl 1>_per 13_
_primi hu-_
_jus_.</mgl>
lelâ, erit <n 1> ex natu-
ra Ellip$eos ut F G
ad G C, ita E D qua-
dratum ad C E G re-
ctangulum. Hoc e$t,
$i E D vocetur <math>y</math>, cum
C E $it <math>= f + x</math>, &
<math>E G = f - x</math>, erit ut
<math>g</math> ad <math>l</math>, ita <math>yy</math> ad <math>ff
- xx</math>, unde <math>{lyy / g} = ff
- xx</math>. Quod erat pro-
po$itum.</p>
<p>Cæterùm liquidò
con$tat, $i C G & G F
æquales fuerint, hoc
e$t, $i <math>l = g</math>, quòd
etiam C E G rectan-
gulum quadrato E D
æquale $it futurum. Ideoque $i angulus C G F $it rectus, curvam
G D C fore Circuli circumferentiam.</p>
<p it>Regula univer$alis, modu$que reducendi
omnes æquationes, quæ ex convenienti ope-
ratione exi$tunt, cùm Locus vel Hyperbo-
la e$t, vel Ellip$is, vel Circuli circumfe-
rentia, ad aliquem quatuor ca$uum præ-
cedentium, totidem Theorematibus jam
explicatorum.</p>
<p>Si contingat, ut quantitatum incognitarum non mo-
dò una in alteram, aut non tantùm alterutra vel utra-
que in $e ducta, $ed & vel hæc, vel illa, vel utraque u-
nius præterea dimen$ionis in æquatione reperiatur,
con$tituens planum cum alia, $ive cognitâ $ive incogni-

<pb 281>[837]<rh>L<sc>IB.</sc> II. C<sc>AP.</sc> III.</rh>
tâ, $ive etiam cum partim cognita & partim incognita
quantitate: oportet loco incognitarum, aut illarum
alterutrius, a$$umere alias vel aliam, quæ ip$as exce-
dunt, vel ab iis deficiunt; idque integrâ quantitate,
quæ cum illa incognita, in cujus locum nova non e$t
a$$umpta, planum con$tituere reperitur, $i nempe in-
cognitarum neutra in $e ip$am in æquatione ducta $it;
$in $ecus, dimidio tantùm ejus quantitatis, quæ pla-
num con$tituit cum incognita, in cujus locum a$$um-
ptio facta e$t, ca$u utroque juxta differentem affectio-
nem per $igna + vel -, quæ præfiguntur ii$dem illis
quantitatibus, ita ordinatis, ut cum incognitis ab ea-
dem æquationis parte reperiantur. Quo facto, & reï-
terato, ubi opùs, $i ad formulas Parabolarum, capite
$ecundo expo$itas perventum non fuerit, ad aliquem
quatuor $uprapo$itorum ca$uum reducta erit æquatio,
ac proinde ip$i convenientem Locum determinare ac
de$cribere, per ea quæ $uperiùs explicata $unt, haud dif-
ficile erit.</p>
<h it>Exemplumreductionis æquationum ad formulam
Theorematis _XI_.</h>
<p>Si æquatio fuerit <math>yx - cx + hy = ee</math>: a$$umpto <math>z = y - c</math>, &
<math>v = x + h</math>, erit <math>z + c = y</math>, & <math>v - h = x</math>.</p>
<p>Vnde $i $ecundùm Regulam ubique in æquatione loco <math>y</math> $ub-
$tituatur <math>z + c</math>, erit <math>zx + cx - cx + hz + hc = ee</math>, $ive <math>zx + hz
+ hc = ee</math>; ac rur$us $i loco ip$ius <math>x</math> $ubrogetur <math>v</math> - <math>h</math>, erit <math>zv -
hz + hz + hc = ee</math>, id e$t, <math>zv = ee - hc</math>. aut, ($i loco termini
<math>ee - hc</math>, qui in totum cognitus e$t, $cribatur <math>ff</math>) <math>zv = ff</math>. Et
apparet æquationem reductam e$$e ad formulam Theorema-
tis XI, ac proinde Locum quæ$itum e$$e Hyperbolam.</p>
<p>Ad cujus $pecificam determinationem ac de$criptionem e$to
in appo$ita figura initium ip$ius <math>x</math> immutabile punctum A, atque
eadem <math>x</math> per rectam A E indefinitè $e extendere intelligatur, $it-
que angulus, quem <math>y</math> & <math>x</math> comprehendunt, æqualis angulo E A K

<pb 282>[838]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
aut eju$dem ad duos rectos $upplemento. Deinde, quoniam <math>z</math> e$t
<math>= y - c</math>, $i <math>y</math> $upra lineam A E ex$urgere concipiatur, ducenda
quoque e$t $upra eandem recta K B ip$i A E parallela; ita ut pars
rectæ A K, omniumque ip$i æquidi$tantium, inter A E & K B in-
tercepta, veluti A K, æquetur <math>c</math> cognitæ. Porrò, quoniam <math>v</math> e$t
<math>= x + h</math>, producenda e$t ip$a B K per K u$que ad G, ita ut K G $it
<fig>
<var>H F D G K C B A E</var>
</fig>
<math>= h</math>. Quo facto, erit G centrum ip$ius curvæ, & G B una A $ym-
ptotωn, eritque altera ip$i A K parallela, ut G H. Vnde $i juxta
Regulam prædicti Theorematis XI in recta G B $umatur G C æ-
qualis <math>f</math> cognitæ, ducaturque C F eidem G C æqualis, ac paralle-
la rectæ A K vel G H, atque per punctum F, A$ymptotis G B &
G H, $ive A$ymptoto G B atque ad axem G F, Hyperbola de$cri-
batur F D: dico curvam F D fore Locum quæ$itum.</p>
<p>Sumpto enim in ea puncto utcunque, veluti D, ductâque D E
ip$i A K parallelâ, quæ $ecet rectam K B in B, $i eadem D E vo-
cetur <math>y</math>, erit D B $ive <math>D E - E B = y - c</math>, id e$t, <math>z</math>. E$t autem &
G B $ive A E + G K = <math>x</math> + <math>h</math>, hoc e$t, <math>v</math>. Quare cum ex natura
Hyperboles rectangulum G B D æquetur G C quadrato, erit
quoque <math>zv = ff</math>. aut re$titutis <math>y - c</math> loco ip$ius <math>z</math>, & <math>x + h</math> in lo-
cum ip$ius <math>v</math>, atque <math>ee - ch</math> loco <math>ff</math>, erit <math>yx - cx + hy - ch =
ee - ch</math>, hoc e$t, <math>yx - cx + hy = ee</math>. Quod erat propo-
$itum.</p>

<pb 283>[839]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. III.</rh>
<h it>Exempla reductionis æquationum ad for mulam
Theorematis _XII & XIII._</h>
<p>Siæquatio $it <math>yy + {2bxy / a} + 2cy = {fxx / a} + ex + dd</math>, a$$umpto
<math>z = y + {bx / a} + c</math>, erit <math>y = z - {bx / a} - c</math>, eoque $ub$tituto in locum
ip$ius <math>y</math>, atque eju$dem quadrato loco <math>yy</math>, $ublatisque iis, quæ $e
invicem de$truunt, erit <math>zz - {bbxx / aa} - {2bcx / a} - cc = {fxx / a} + ex + dd</math>.
Et factâ congruâ tran$po$itione, <math>zz = {fxx / a} + {bbxx / aa} + ex + {2bcx / a}
+ dd + cc</math>, hoc e$t, multiplicatis omnibus æquationis terminis
per <math>aa</math>, productoque divi$o per <math>fa + bb</math>; ut quantitas <math>xx</math> ab$que
fractione remaneat, fiet <math>{aazz / fa + bb} = xx + {aaex + 2abcx / fa + bb} + {aadd + aacc / fa + bb}</math>.</p>
<p>Deinde a$$umpto <math>v = x + {aae + 2abc / 2fa + 2bb}</math>, ut terminus quoque æ-
quationis, in quo <math>x</math> unius dimen$ionis reperitur, planè evane$cat,
habebitur <math>x = v {- aae - 2abc / 2fa + 2bb}</math>. Quo $ub$tituto in locum ip$ius <math>x</math>,
atque eju$dem quadrato loco <math>xx</math>, ablatisque iis quæ $e invicem
tollunt, reducta erit æquatio ad formulam requi$itam. At verò ut
vitetur prolixior operatio loco <math>{aae + 2abc / fa + bb}</math> $cribatur <math>2h</math>, ita ut
fiat æquatio <math>{aazz / fa + bb} = xx + 2hx {+ aadd + aacc / fa + bb}</math>. Tum a$$um-
pto <math>v = x + h</math> $eu <math>x = v - h</math>, eoque $ub$tituto loco <math>x</math> in æquatio-
ne, ac eju$dem quadrato loco <math>xx</math>: erit <math>{aazz / fa + bb} = vv - hh +
{aadd + aacc / fa + bb}</math>. Vnde apparet, ante omnia hîc e$$e con$ideran-
dum, utrum <math>hh</math> $it majus quàm <math>{aadd + aacc / fa + bb}</math>, an contra. $i enim
majus $it, erit ca$us Theorematis XII; $in contra, erit ca$us
Theorematis XIII. Ponatur itaque primò majus, ac proinde æ-
quatio formulæ Theorematis XII. Et con$tat exinde Locum
quæ$itum Hyperbolam e$$e.</p>
<p>Ad cujus peculiarem determinationem e$to in appo$ita $igura
ip$ius <math>x</math> initium immutabile A punctum, eademque <math>x</math> in linea A E
ab A versùs E indefinitè $e extendere intelligatur; $itque angulus

<pb 284>[840]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
quem <math>x</math> & <math>y</math> comprehendunt æqualis angulo E A K aut ip$ius ad
duos rectos $upplemento. Porrò quoniam <math>z = y + c + {bx / a}</math>, $i <math>y</math>
$upra lineam A E ex$urgere intelligatur, ut E D, ducenda primùm
e$t infra eandem A E recta K L ip$i A E parallela; ita ut pars re-
ctæ A K omniumque ip$i æquidi$tantium inter prædictas A E &
K L intercepta, veluti A K, E L, & c. æquetur <math>c</math> cognitæ. Dein-
de productâ L K u$que ad H, ita ut K H $it <math>= h</math>, ideoque H L in-
definitè $umpta <math>= x + h</math>, hoc e$t, <math>v</math>, ducatur per H punctum recta
H G ip$i A K parallela, ita ut K H ad H G $it, ut <math>a</math> ad <math>b</math>. Quo fa-
cto, $i per puncta G & K recta agatur linea G K B, habebunt
omnium ip$i A K parallelarum partes, quæ inter K L & K B in-
<fig>
<var>N D A I E C G M F L H K B</var>
</fig>
tercipiuntur (ut, exempli gratiâ, L B), ad partes ip$ius K L, in-
ter ea$dem parallelas & punctum K interceptas (ut, verbi gratiâ,
L K) eandem rationem, quæ e$t inter <math>b</math> & <math>a</math>: hoc e$t, erit ut <math>a</math>
ad <math>b</math>, ita K L ad L B, cum utraque $it ut K H ad H G. Ideoque
cum K L $ive A E indefinitè $umpta $it <math>= x</math>, erit L B, ut & quæli-
bet ip$i parallela, inter K L & K B intercepta, <math>= {bx / a}</math>: ac proinde
omnis linea $upra A E rectam ex$urgens, quæ po$$it e$$e <math>y</math> inco-
gnita, ad rectam K B producta, veluti D B $ive D E + E L + L B
erit <math>= y + c + {bx / a}</math>, hoc e$t, <math>z</math>. Vnde apparet, juxta Regulam li-
neam G B $umendam e$$e pro Hyperbolæ diametro, ad quam or-
dinatim applicatæ $intip$i A K $eu D B parallelæ: eritque eju$-

<pb 285>[841]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. III.</rh>
dem Hyperbolæ centrum G punctum. Atverò cum ex ante di-
ctis triangulum KHG omnino $it cognitum, utpote lateribus
KH & HG anguloque ad H $ub ii$dem comprehen$o notis, erit
quoque cognita ratio lateris KH ad KG, hoc e$t, ip$ius GM
(quæ per G ip$i KL æquidi$tans intelligitur) ad GB, quæ $it ut
<math>a</math> ad <math>i</math>. Quare cum GM $eu HL inde$initè$it <math>v</math>, GB quoque in-
definitè concepta, hoc e$t, quælibet diametri portio, inter cen-
trum & ordinatim applicatas intercepta, erit <math>{iv / a}</math>. Cujus quidem
interceptæ quadratum cum juxta formulam Regulæ unum æqua-
tionis terminum con$tituat, per multiplicationem aut divi$ionem,
vel per utramque ita reducatur æquatio, ut in eadem quoque idem
quadratum, nimirum <math>{iivv / aa} inveniatur. Quod quidem ut certâ
methodo $iat, prædictum quadratum rectæ GB indefinitè con-
ceptæ, hoc e$t, <math>{iivv / aa}</math>, dividatur per æquationis terminum, in quo
<math>vv</math> $ive $impliciter, $ive aliâ fractione a$$ectum invenitur, ac per
inventum quotientem to ta æquatio multiplicetur. ut in $upra po-
$ito exemplo, $i <math>{iivv / aa}</math> dividatur per <math>vv</math>, $iet quotiens <math>{ii / aa}</math>. quare
tota æquatio multiplicanda e$t per <math>ii</math>, productumque dividendum
per <math>aa</math>, ita ut $iat <math>{iizz / fa + bb} = {iivv / aa} - {iibb / aa} + {iidd + iicc / fa + bb}</math>. Vnde
$i juxta Regulam $emi-latus tran$ver$um $iat GF vel <math>G C =
<r>{iibb / aa} {- iidd - iicc / fa + bb}</r></math>, atque ratio tran$ver$i lateris C F ad re-
ctum F N, ut <math>ii</math> ad <math>fa + bb</math>, & ii$dem lateribus, diametroque ac
centro jam inventis Hyperbole de$cribatur FD, $ecans rectam
A E vel K A productam in I: dico curvam ID e$$e Locum quæ-
$itum.</p>
<p>Sumpto enim in eadem curva puncto utcunque, veluti D, du-
ctâque D E ip$i A K parallelâ, eâque productâ ut $ecet rectam
K L in L, & diametro G B occurrat in B, $i eadem D E vocetur <math>y</math>,
erit ex ante dictis <math>D B = z</math>. E$t autem, utjam annotatum, <math>G B =
{iv / a}</math>, atque ex hypothe$i G F $eu <math>G C = <r>{iibb / aa} {- iidd - iicc / $a + bb}</r></math>,
ideoque <math>B C = {iv / a} + <r>{iibb / aa} {- iidd - iicc / fa + bb}</r></math>, ac <math>B F = {iv / a} -</math>

<pb 286>[842]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
<math><r>{iibb / aa} {- iidd - iicc / fa + bb}</r></math>, & rectangulum <math>C B F = {iivv / aa} - {iibb / aa} +
{iidd + iicc / fa + bb}</math>. Hinc cum ex natura Hyperboles N F ad F C, $eu
<math>fa + bb</math> ad <math>ii</math> $it, ut D B quadratum, hoc e$t, <math>zz</math>, ad prædictum
rectangulum C B F: erit <math>{iizz / fa + bb} = {iivv / aa} - {iibb / aa} + {iidd + iicc / fa + bb}</math>,
<fig>
<var>N D A I E C G M F L H K B</var>
</fig>
Multiplicetur jam utrinque per <math>aa</math>, & dividatur per <math>ii</math>, eritque
<math>{aazz / fa + bb} = vv - bb + {aadd + aacc / fa + bb}</math>. Dein re$tituto <math>x + b</math> loco <math>v</math>,
exurget <math>{aazz / fa + bb} = xx + 2bx + {aadd + aacc / fa + bb}</math>; itemque <math>{eaa + 2bca / fa + bb}</math>
loco <math>2b</math>, exurget <math>{aazz / fa + bb} = xx + {eaax + 2bcax / fa + bb} + {aadd + aacc / fa + bb}</math>.
Porrò multiplicatis omnibus per <math>fa + bb</math> iisque divi$is per <math>aa</math>,
habebitur <math>zz = {fxx / a} + {bbxx / aa} + ex + {2bcx / a} + dd + cc</math>. Ac deni-
que re$tituto <math>y + {bx / a} + c</math> loco ip$ius <math>z</math>, expunctisque quæ $ein-
vicem de$truunt ac omnibus ritè ordinatis, $iet <math>yy + {2bxy / a} + 2cy
= {fxx / a} + ex + dd</math>. Quod erat propo$itum.</p>
<p>At verò ponatur $ecundò <math>bb</math> minus quàm <math>{ddaa + ccaa / fa + bb}</math>, & $u-
pra po$ita æquatio <math>{iizz / fa + bb} = {iivv / aa} - {iibb / aa} + {ddii + ccii / $a + bb}</math>, quæ,
multiplicatis omnibus eju$dem terminis per <math>fa + bb</math>, ac producto

<pb 287>[843]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. III.</rh>
divi$o per <math>ii</math>, factâque decenti tran$po$itione, eadem cum $equenti
<math>zz - dd - cc + {fabb + bbbb / aa} = {iivv / aa}</math> multip. per <math>$a + bb</math> ac di-
vi$. per <math>ii</math>, id e$t, <math>= {favv + bbvv / aa}</math>. erit formulæ Theorema-
tis XIII, unde Locus quæ$itus iterum erit Hyperbola. Ad cujus
$peci$icam determinationem & de$criptionem, po$tquam ut in
præcedenti$igura ductæ $unt lineæ A E, A K, K L, K H, H G, &
G K B: erit quidem, ut$upra, G centrum, at verò non erit dia-
meter in linea G K, $ed, juxta Regulam, in linea H G producta
<fig>
<var>M F I D N G A E H K L B C</var>
</fig>
ad partes G, ad quam ordinatim applicatæ $int ip$i G K B paral-
lelæ, eritque juxta eandem Regulam dimidium tran$ver$æ dia-
metri, nempe G F vel G C, æquale <math><r>dd + cc {- fabb - bbbb / aa}</r></math>, ac
ratio diametriad parametrum ut <math>fa + bb</math> ad <math>ii</math>. Quare $i $iat, ut
<math>fa + bb</math> ad <math>ii</math>, ita C F ad F N, quæ quidem F N ip$i G K B æqui-
di$tans $it, erit F N parameter: ac proinde $i centro G tran$versâ
diametro C F & parametro F N Hyperbola de$cribatur F D, $e-
cans ip$am A E vel K A productam in I, erit I D curva Locus
quæ$itus.</p>
<p>Sumpto enim in eadem curva puncto utcunque, veluti D, du-
ctâque D B ip$i A K ($ive G F), & D M ip$i G B parallelâ, $i

<pb 288>[844]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
E D vocetur <math>y</math>, erit, ut $upra, D B $ive <math>M G = z</math>, & B G $ive
<math>D M = {iv / a}</math>. Cumque $it G F vel <math>G C = <r>dd + cc {- fabb - bbbb / aa}</r></math>,
erit <math>C M = z + <r>dd + cc {- fabb - bbbb / aa}</r></math>, & <math>M F = z -
<r>dd + cc {- fabb - bbbb / aa}</r></math>, ac propterea rectangulum <math>C M F =
zz - dd - cc {+ fabb + bbbb / aa}</math>. E$t autem D M quadratum <math>= {iivv / aa}</math>.
<fig>
<var>M F I D N G A E H K L B C</var>
</fig>
Quare cum ex natura Hyperboles $it ut F N ad F C, ita D M qua-
dratum ad C M F rectangulum, hoc e$t, ut <math>ii</math> ad <math>fa + bb</math>, ita
<math>{iivv / aa}</math> ad <math>zz - dd - cc {+ fabb + bbbb / aa}</math>: erit quoque <math>zz - dd - cc
{+ fabb + bbbb / aa} = {favv + bbvv / aa}</math>. Et multiplicatis omnibus per
<math>aa</math>, ac divi$is per <math>fa + bb</math>, factâque tran$po$itione cogniti ter-
mini, erit <math>{aazz / fa + bb} = vv - bb {+ ddaa + ccaa / fa + bb}</math>. Dein re$titutis
<math>x + b</math> loco <math>v</math>, <math>{eaa + 2bca / fa + bb}</math> loco <math>2b</math>, atque <math>y + {bx / a} + c</math> loco ip$ius <math>z</math>,
expunctisque quæ $e invicem de$truunt ac omnibus ritè ordina-
tis, $iet <math>yy + {2bxy / a} + 2cy = {fxx / a} + ex + dd</math>. Quod determi-
nandum, demon$trandumque erat.</p>

<pb 289>[845]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. III.</rh>
<p>Si æquatio $it <math>xx + 2ay = {2bxy / a}</math>, aut <math>xx - {2byx / a} + 2ay = o</math>.
A$$umpto juxta Regulam <math>v = x - {by / a}</math>, erit <math>x = v + {by / a}</math>, eoque $ub-
$tituto in locum ip$ius <math>x</math>, eju$demque quadrato loco <math>xx</math>, $ublati$-
queiis quæ $e invicem de$truunt, erit <math>vv - {bbyy / aa} + 2ay = o</math>. &,
factâ congruâ tran$po$itione, <math>vv = {bb yy / aa} - 2ay</math>; hoc e$t, multi-
plicatis omnibus æquationis terminis per <math>aa</math>, productoque divi$o
per <math>bb</math>, <math>{aavv / bb} = yy - {2 a^3 y / bb}</math>. Dein, a$$umpto <math>z = y - {a^3 / bb}</math>, habe-
bitur <math>y = z + {a^3 / bb}</math>, eoque $ub$tituto in æquatione loco ip$ius <math>y</math>, at-
que ip$ius quadrato loco <math>yy</math>, erit <math>{aavv / bb} = zz - {a^3 / b^4}</math>, $ive <math>zz - {a^5 / b^4}
= {aavv / bb}</math>. Qui quidem ca$us e$t Theorematis 13<_>tii</_>, ac proinde
Locus quæ$itus erit Hyperbola.</p>
<p>Ad cujus itaque peculiarem determinationem e$to in appo$ita
figura ip$ius <math>x</math> initium immutabile A punctum, eademque <math>x</math> in li-
nea A B ab A versùs B inde$initè $e$e extendere intelligatur, $it-
que angulus, quem <math>x</math> & <math>y</math> comprehendunt, æqualis angulo A B E.
Deinde, quoniam ex antedictis facilè colligitur Hyperbolam hoc
ca$u & $imilibus ita e$$e de$cribendam, ut ordinatim ad ejus dia-
metrum applicatæ $int ip$i A B æquidi$tantes, ductâ rectâ A C ip$i
B E parallelâ, quoniam <math>v = x - {by / a}</math>, ducenda porrò e$t recta
A M; ita ut omnium ip$i A B parallelarum partes, inter A C &
A M interceptæ, veluti C M, ad partes ip$ius A C inter A & di-
ctas parallelas interceptas, veluti A C, eandem rationem ha-
beant, quæ e$t inter <math>b</math> & <math>a</math>; hoc e$t, ut $it quemadmodum <math>a</math> ad <math>b</math>,
ita A C ad C M. Vnde $i A C $eu B E inde$initè $umpta voce-
tur <math>y</math>, erit C M & $imiles <math>= {by / a}</math>, ac de$cribendæ Hyperboles dia-
meter in dicta A M. Porrò, quoniam <math>z = y - {a^3 / bb}</math>, $i ab A C au-
feratur <math>A F = {a^3 / bb}</math>: erit F C inde$initè $umpta <math>= z</math>, &, ductâ F N
ip$i A B parallelâ, N centrum. Ac proinde, cum ratio ductæ N D
ip$i F C æquidi$tantis & æqualis ad rectam D M aliarumque $imi-
lium $it cognita, nempe ut <math>a</math> ad <math>b</math>, $itque itidem notus angulus

<pb 290>[846]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
N D M, $ub ii$dem comprehen$us, utpote æqualis dato vel a$-
$umpto angulo A B E, erit quoque ratio N D ad N M aliarum-
que $imilium nota, quæ $it ut <math>a</math> cognitæ ad <math>e</math> itidem cognitam.
<fig>
<var>C D M E G F N A B H</var>
</fig>
Hinc cum N D $eu F C inde$initè $umpta exprimatur per <math>z</math>, erit
N M itidem inde$initè $umpta <math>= {ez / a}</math>, cujus quidem quadratum
cum juxta formulam Regulæ unum æquationis terminum con-
$tituere debeat, multiplicanda e$t $upra$cripta æquatio per <math>ee</math>,
productumque dividendum per <math>aa</math>, ita ut $iat <math>{eezz / aa} - {ee a^4 / b^4} = {eevv / bb}</math>.
Quo peracto, $i juxta Regulam $emi-latus tran$ver$um $iat N G
vel N H = <math>{eaa / bb}</math>, ac ratio tran$ver$i lateris ad rectum, ut <math>ee</math> ad <math>bb</math>;
ii$demque lateribus ac diametro & centro jam inventis Hyper-
bole de$cribatur G E: dico curvam G E e$$e Locum quæ$itum.</p>
<p>Sumpto enim in ea puncto utcunque, veluti E, ductâque E B
in angulo A B E, dato vel a$$umpto æquali, nec non E C ip$i A B
parallelâ, $ecante diametrum A M in M; $i eadem E B, hoc e$t,
A C, vocetur <math>y</math>, erit, ut $upra, <math>C M = {by / a}</math>, ac proinde M E, $ive
A B - C M, <math>= x - {by / a}</math>, hoc e$t, <math>v</math>. E$t autem, ut $uperiùs anno-
tatum, <math>N M = {ez / a}</math>, atque ex hypothe$i N G $eu <math>N H = {eaa / bb}</math>, ideo-
que <math>H M = {ez / a} + {eaa / bb}</math>, & <math>M G = {ez / a} - {eaa / bb}</math>, ac proinde rectan-

<pb 291>[847]<rh>L<sc>IB</sc> II. C<sc>AP</sc> III.</rh>
gulum <math>H M G = {eezz / aa} - {ee a^4 / b^4}</math>: hinc cum ex natura Hyperboles
$it utlatus rectum ad tran$ver$um, $ive ut <math>bb</math> ad <math>ee</math>, ita M E qua-
dratum, id e$t, <math>vv</math>, ad prædictum rectangulum H M G: erit
<math>{eevv / bb} = {eezz / aa} - {ee a^4 / b^4}</math>, &, multiplicatis omnibus terminis per <math>aa</math>,
factoque per <math>ee</math> divi$o, <math>{aavv / bb} = zz - {a^5 / b^4}</math>. Dein re$tituto <math>y - {a^3 / bb}</math>
in locum ip$ius <math>z</math>, exurget <math>{aavv / bb} = yy - {2 a^3 y / bb}</math>; adeoque, multi-
plicatis omnibus per <math>bb</math>, factoque divi$o per <math>aa</math>, habebitur
<math>vv = {bbyy / aa} - 2ay</math>. Denique re$tituo <math>x - {by / a}</math> in locum ip$ius <math>v</math>,
expunctisque iis quæ $e invicem de$truunt, atque omnibus ritè
ordinatis, $iet <math>xx + 2ay = {2byx / a}</math>. Quod fuit propo$itum.</p>
<h>P<sc>ROBLEMA</sc> II.</h>
<h>_Propo$itio_ 16.</h>
<p>Datis duobus punctis tertium invenire, à quo ad
bina data ductæ rectæ lineæ dato differant intervallo,
locumque determinare ac de$cribere, quem quæ$itum
punctum contingat.</p>
<p>Sint data duo puncta A & B, oporteatque invenire tertium, ut-
puta C, ita nempe ut ductæ rectæ C A, C B differant dato inter-
vallo F G $eu A D.</p>
<p>Quoniam in quæ$tione angulus datus non e$t, quò facilior $it
operatio, a$$umatur rectus, ideoque à puncto C in rectam A B,
quæ data puncta conjungit, productam, $i opùs fuerit, intelliga-
tur demi$$a perpendicularis, ut C E; tum, $uppo$itis, juxta Re-
gulam, A E & E C incognitis atque indeterminatis, a$$umptum
angulum A E C comprehendentibus, tanquam cognitis ac deter-
minatis, earum prior, nimirum A E, vocetur <math>x</math>, ac po$terior,
nempe E C, nominetur <math>y</math>, ip$a autem A B, $eu datorum puncto-
rum cognita di$tantia, vocetur <math>a</math>, & data F G $ive A D exprima-
tur per <math>b</math>. Hinc cum B E $ive ($i punctum B cadat inter A & E)
A E - A B, aut ($i punctum E inter A & B cadat) A B - A E $it

<pb 292>[848]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
<math>= x = a</math>, & <math>A C = <r>xx + yy</r></math>, at <math>B C = <r>xx - 2ax + aa + yy</r></math>;
$itque A C - A D = B C: æquatio erit
<math><r>xx + yy</r> - b = <math><r>xx - 2ax + aa + yy</r></math>, $actâque operatio-
ne convenienti, ut utraque æquationis pars à $igno radicali libe-
retur, & tran$po$itis tran$ponendis, erit
<math>4bbyy = 4aaxx - 4bbxx - 4 a^3 x + 4bbax + a^4 - 2bbaa + b^4</math>.
Vnde factâ divi$ione per <math>4aa - 4bb</math> habebitur <math>{bbyy / aa-bb} = xx -
ax + {1/4} aa - {1/4} bb</math>. Deinde a$$umpto juxta Regulam <math>v = x - {1/2} a</math>,
erit <math>x = v + {1/2} a</math>, ideoque $ub$tituto hoc valore in locum ip$ius <math>x</math>,
atque eju$dem quadrato loco <math>xx</math>, expunctisque iis quæ $e invi-
<fig>
<cap it>Fig. 1.</cap>
<var>K C D A F H I G B E M</var>
</fig>
cem de$truunt, erit <math>{bbyy / aa - bb} = vv - {1/4} bb</math>. Qui quidem ca$us e$t
Theorematis 12<_>mi</_> hujus libri, ac proinde Locus quæ$itus erit
Hyperbola. Cumque <math>v</math> a$$umpta $it pro <math>x - {1/2} a</math>, $i ab A versùs E
$umatur <math>A H = {1/2} a</math>, erit, juxta Regulam, H centrum, & $emi-
diameter tran$ver$a (puta H G ab una, & H F ab altera parte,)
<math>= √ {1/4} bb</math>, id e$t, <math>{1/2} b</math>; ita ut diameter tran$ver$a F G (quæ qui-
dem, ob applicatam C E ad diametrum H E perpendicularem,
tran$ver$us quoque axis e$t,) $it <math>= b</math>. Ratio autem tran$ver$æ
diametri ad parametrum, $eu quadrati tran$ver$æ ad quadratum
$ecundæ diametri, erit ut <math>bb</math> ad <math>aa - bb</math>. Vnde per ea quæ libri
primi capitibus $ecundo & ultimo expo$ita $unt Hyperbolam
ip$am de$cribere haud difficile erit. Porrò cum quadratum $emi-

<pb 293>[849]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. III.</rh>
diametri tran$ver$æ $it <math>= {1/4} bb</math>, erit quadratum $emi-$ecundæ dia-
metri <math>= {1/4} aa - {1/4} bb</math>. Atqui cum FB $ive BH + HF $it <math>= {1/2} a + {1/2} b</math>,
& B G $ive <math>B H - H G = {1/2} a - {1/2} b</math>, erit quoque rectangulum
<math>F B G = {1/4} aa - {1/4} bb</math>, nempe = quadrato $emi-$ecundæ diametrr,
$ive, ut Veteres loquebantur, æquale quadranti $iguræ ad tran$-
ver$um axem factæ: ideoque puncta A & B ea ip$a $unt, quæ vul-
go oppo$itarum Hyperbolarum Foci $ive Vmbilici nuncupantur.
Vnde apparet, ex præmi$$is rectè inferri, quæ $equuntur.</p>
<h>_Corollarium_ I.</h>
<p>Si ab a$$umpto utcunque in Hyperbola puncto ad u-
trumque Vmbilicum rectæ ducantur, earum major mi-
norem longitudine tran$ver$i axis $uperabit.</p>
<p>Etiam$i veritas præcedentis Corollarii ex antedictis omnino
con$tet, cum tamen illud à Veteribus, Recentioribu$vè, quòd
$ciam, non ni$i per multas ambages longâque di$$icilium Theo-
rematum concatenatione hactenus demon$tratum $it: id ip$um
hîc demon$tratione unicâ, & quidem breviore $atisque $implici,
aliter o$tendi$$e non inutile fortè judicabitur.</p>
<p>E$to igitur Hyperbola quælibet G C, cujus centram H, tran$-
ver$us axis F G, atque Vmbilici A & B, adeoque rectangulum
F B G ut & G A F $emi-$ecundæ diametri quadrato æquale. Du-
<mgr 1>_per 16 $exti_.</mgr>
ctis autem ab a$$umpto quolibet curvæ puncto Cad puncta A &
B rectis C A, C B, ordinatim ad axem applicetur C E, $iatque ut
<mgr 2>_ex by-_
_poth. &_
_per 10 pri-_
_mi bujus_.</mgr>
H F ad H A, ita H E ad H M, ideoque <n 1> A H E rectangulo æ-
quale rectangulum F H M. Vnde cum $it <n 2>, ut
H F <math>q</math> ad G A F, ita F E G ad C E <math>q</math>: erit quoque, per compo$. ra-
<mgr 3>_per 6_
_$ecundi_.</mgr>
tionis contrariam, ut
H F <math>q</math> ad (H F <math>q</math> + G A F, id e$t<n 3>, ad) H A <math>q</math>; ita F E G ad F E G
<mgr 4>cum $it
ut una
antece-
dentium
ad unam
con$eq.,
ita o-
mnes an-
teceden-
tes ad
omnes
con$eq. _per 12 quinti_.</mgr>
+ C E <math>q</math>; adeoque <n 4> ut
H F <math>q</math> ad H A <math>q</math>, ita (H F <math>q</math> + F E G $ive<n 5>) H E <math>q</math> ad H A <math>q</math> +
<mgr 5>_per 6 $ecundi,_</mgr>
F E G + C E <math>q</math>. E$t autem quoque <n 6>, ut
<mgr 6>_ex con$tructione & per 22 $exti_.</mgr>
H F <math>q</math> ad H A <math>q</math>, ita H E <math>q</math> ad H M <math>q</math>. Quocirca <n 7>
<mgr 7>_per_ 9 & 11 _quinti_.</mgr>
<math>H M q = H A q + F E G + C E q</math>; hoc e$t, addito utrinque H F <math>q</math>
$eu H G <math>q</math>, erit

<pb 294>[850]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
<tb math>
 # {HFq # # HAq
HMq + # $eu # = # $eu + (HFq + FEG, i.e.<n 1>) HEq, + CEq.
 # HGq} # # {HBq
</tb>
<mgl 1>_per 6_
_$ecundi_.</mgl>
Hinc additis vel $ublatis ab utraque æquationis parte æqualibus,
<tb math>
 # FHM # # AHE
nimirum # $eu # bis ab una, & # $eu # bis ab altera parte:
erit<n 2>
 # GHM # # BHE
</tb>
<mgl 2>_per_ 4
_$ecundi_.</mgl>
<math>FMq = (AEq + CEq, id e$t<n 3>) ACq</math>; itemque<n 4>
<mgl 3>_per_ 47
_primi_.</mgl>
<math>GMq = (BEq + CEq, id e$t<n 5>) BCq</math>. Cumque propterea
<mgl 4>_per_ 7
_$ecundi_.</mgl>
<math>F M $it = A C</math>; & <math>G M = B C</math>; $itque ip$arum F M & G M dif-
ferentia F G, manife$tum e$t ip$arum quoque A C & B C majo-
<mgl 5>_per_ 47
_primi_.</mgl>
rem $uperare minorem, eju$dem F G, nempe axis tran$ver$i, lon-
gitudine. Quod demon$trandum erat.</p>
<h>_Corollarium_ 2.</h>
<p>Ductis à quolibet Hyperbolæ puncto ad utrumque
Vmbilicum rectis, quæ angulum iis comprehen$um
bi$ariam dividit linea curvam in eodem puncto con-
tingit; & conver$im.</p>
<p>Sienim quæ angulum A C B bifariam dividitrecta I C K non
contingat Hyperbolam in C puncto, $ecet eandem, $i $ieri pote$t,
<fig>
<cap it>Fig. 1.</cap>
<var>K C D A F H I G B E M</var>
</fig>
atque ita $altem aliquo $ui puncto, veluti K, intra Hyperbolam $it.

<pb 295>[851]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. II.</rh>
Tum ductis K B, K D, & K A (quarum po$terior Hyperbolam
$ecet in L, à quo ad B ducta $it B L), cum in triangulis D C K,
B C K latera D C, C K lateribus B C, C K utrumque utrique,
<fig>
<cap it>Fig. 11.</cap>
<var>K L C D A F I G B</var>
</fig>
circa<n 1> æquales angulos, æqualia $int, erit quoque ba$is D K ba-
<mgr 1>Cum e-
nim ex
hypothe-
$i anguli
A C I &
B C I æ-
quales
ponan-
tur, erunt
quoque
anguli
A C K &
B C K,
qui ip$is
$unt
deinceps,
per 13
primi æ-
quales.</mgr>
$i B K æqualis. Cumque porrò, juxta Corollarium præcedens,
A L ip$am L B, ideoque & A K rectas B L, L K, $imul $umptas,
$uperet intervallo A D; $itque B K, ideoque & K D, ip$is B L,
L K $imul $umptis minor: per con$equens A K eandem K D ma-
jori longitudine quàm e$t A D excedet, id e$t, ip$a A K binis re-
<fig>
<cap it>Fig. III.</cap>
<var>C D L K A F I G B</var>
</fig>
ctis K D, D A $imul $umptis major erit. Quod cum ab$urdi$$i-
mum $it <n 2>, non $ecat Hyperbolam recta I C K, $ed eandem con-
<mgr 2>_per_ 20
_primi_.</mgr>
tingit in C puncto. Cumque non po$$it in eodem puncto C alia

<pb 296>[852]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
recta Hyperbolam contingere quàm I C K<n 1>, manife$tum e$t con-
<mgl 1>_per_ 3
_Corol._ 6
_primi bu-_
_jus_.</mgl>
ver$im, eam, quæ Hyperbolam in C contingit, angulum quoque
A B C bifariam dividere.</p>
<h>_Exemplumreductionis œquationum ad formulam_
_Theorematis_ XIV.</h>
<p>Siæquatio $it <math>yy + {2bxy / a} - 2cy = - xx + dx + kk</math>, a$$um-
pto juxta Regulam <math>z = y - c + {bx / a}</math>, hoc e$t, <math>y = z + c - {bx / a}</math>,
coque $ub$tituto in locum ip$ius <math>y</math>, eju$demque quadrato loco <math>yy</math>,
$ublatisque iis, quæ $e invicem de$truunt, erit <math>zz - {bbxx / aa} + {2bcx / a}
- cc = - xx + dx + kk</math>. id e$t, factâ decenti tran$po$itione,
crit <math>zz = - xx + {bbxx / aa} + dx - {2bcx / a} + cc + kk</math> $ive
<math>zz = {- aaxx + bbxx / aa} + {dax - 2bcx / a} + cc + kk</math>. Suppo$ito au-
tem <math>a</math> majore quàm <math>b</math>, ac multiplicatis omnibus æquationis ter-
minis per <math>aa</math>, productoque divi$o per <math>aa - bb</math>, ut quantitas <math>xx</math>
ab$que fractione inveniatur, erit <math>{aazz / aa - bb} = - xx {+ daax - 2bacx / aa - bb}
+ {ccaa + kkaa / aa - bb}</math>. Iam verò $i facilioris operationis gratiâ loco
<math>{daa - 2bac / aa - bb}</math> $ub$tituatur <math>2b</math>: erit æquatio <math>{aazz / aa - bb} = - xx + 2bx
+ {ccaa + kkaa / aa - bb}</math>, aut <math>{aazz / aa - bb} + xx - 2bx = {ccaa + kkaa / aa - bb}</math>.</p>
<p>Hinc $i juxta Regulam a$$umatur <math>v = x - b</math> $ive <math>x = v + b</math>, atque
hoc in locum ip$ius <math>x</math>, ejusque quadratum loco <math>xx</math> $ub$tituatur,
ac expungantur quæ $e invicem de$truunt, habebitur <math>{aazz / aa - bb}
+ vv - bb = {ccaa + kkaa / aa - bb}</math>. Hoc e$t, factâ decenti tran$po$itio-
ne, erit <math>{aazz / aa - bb} = - vv + bb + {ccaa + kkaa / aa - bb}</math>. Atque ita appa-
ret æquationem e$$e reductam ad formulam Theorematis XIV,
ideoque Locum quæ$itum aut Ellip$in aut Circuli circumferen-
tiam exi$tere. Rur$us verò facilioris operationis ergo loco
<math>{aa / aa - bb}</math> $cribatur {1/8}, & loco <math>bb + {ccaa + kkaa / aa - bb}</math> $cribatur <math>ff</math>, ita
ut æquatio $it talis <math>{lzz / g} = ff - vv</math>.</p>

<pb 297>[853]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. III.</rh>
<p>Ad peculiarem autem prædicti Loci determinationem ac de-
$criptionem e$to in appo$ita figura ip$ius <math>x</math> initium immutabile A
punctum, atque eadem <math>x</math> $e in linea A E ab A versùs E indefinitè
exten dere intelligatur, $itque angulus datus vel a$$umptus, quem
<math>y</math> & <math>x</math> comprehendunt, æqualis angulo E A K vel eju$dem ad duos
rectos complemento. Hinc quoniam <math>z = y - c + {bx / a}</math>, $i <math>y</math> $upra
lineam A E ex$urgere intelligatur, ducenda quoque e$t $upra ip$am
recta K L eidem parallela, ita ut pars rectæ A K omniumque ip$i
æquidi$tantium inter prædictas A E & K L intercepta, veluti A K,
<fig>
<var>N F I K H L D G M B C A E</var>
</fig>
E L, &c. æquetur <math>c</math> cognitæ: ac deinde per punctum K infra re-
ctam K L ducenda e$t recta K B in tali angulo, ut rectarum o-
mnium ip$i A K parallelarum partes, quæ in ter K L & K B inter-
cipiuntur (veluti L B) ad partes ip$ius K L, inter ea$dem paral-
lelas & punctum K interceptas (ut verbi gratiâ L K) eandem ha-
beant rationem, quæ e$t inter <math>b</math> & <math>a</math>, hoc e$t, ut $it uti <math>a</math> ad <math>b</math>, ita
K L ad L B. Atque ita po$itâ K L $ive A E, inde$initè $umptâ,
<math>= x</math>, L B omnesque ip$i parallelæ inter K L & K B interceptæ
erunt <math>{bx / a}</math>. Vnde ex prædictis con$tat diametrum fore in recta K B,

<pb 298>[854]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
ad quam or dinatim applicatæ $int ip$i A K æquidi$tantes. Iam verò
cum <math>v</math> $it <math>= x - b</math>, à recta K L $ive A E auferenda e$t K H, ita ut
eadem K H $it <math>= b</math>, ideoque H L indefinitè quoque $umpta <math>=
x - b</math> $eu <math>v</math>. Deinde per punctum H ducenda e$t H G ip$i A K
parallela, $ecans inventam diametrum in G, eritque idem inter-
$ectionis punctum G quæ$itæ Ellip$eos centrum. Porrò quoniam
$imilium triangulorum K H G & K L B nota e$t ratio lateris K H
ad H G $ive K L ad L B, ut & angulus $ub ii$dem lateribus con-
tentus, utpote æqualis angulo dato vel a$$umpto E A K, erit quo-
que nota ratio lateris K H ad latus K G $ive K L ad K B, quæ po-
natur ut <math>a</math> cognitæ ad <math>e</math> itidem cognitam. Ideoque cum H L $ive
G M, quæ ip$i H L parallela intelligitur, indeterminatè $umpta
$it <math>= v</math>, erit G B, $imiliter indeterminatè $umpta, hoc e$t, quæli-
bet diametri portio inter centrum & quamlibet ordinatim appli-
catam intercepta, <math>= {ev / a}</math>. Cujus quidem interceptæ quadratum
cum in formula Theorematis XIV ultimum æquationis termi-
num con$tituat, æquatio $upra expo$ito modo ita reducatur, ut
terminus ejus extremus fiat <math>{eevv / aa}</math>, id quod factum erit, $i $inguli
æquationis termini multiplicentur per <math>ee</math>, productumque di-
vidatur per <math>aa</math>. inde enim $equenti modo $e habebit æquatio
<math>{leezz / gaa} = {ffee / aa} - {eevv / aa}</math>. Hinc $i juxta Regulam $emi-latus tran$-
ver$um G F vel G C fiat <math>= √ {eeff / aa}</math>, id e$t, <math>{ef / a}</math>, & ratio tran$ver-
$i lateris C F ad rectum latus F N, ut <math>lee</math> ad <math>gaa</math>, ii$demque lateri-
bus, ac diametro, centroque, modò inventis, Ellip$is de$criba-
tur F D C, $ecans rectam A E vel A K productam in I: erit curva
I D C Locus quæ$itus.</p>
<p>Sumpto enim in ea puncto utcunque, veluti D, ductâque D E
ip$i A K parallelâ, ac $i opùs $it productâ ut $ecet rectas K L &
K B in L & B, $i eadem D E vocetur <math>y</math>, erit D B, hoc e$t, <math>DE
- EL + LB = y - c + {bx / a}</math> $eu <math>z</math>. E$t autem ut jam annotatum
e$t <math>G B = {ev / a}</math>, atque ex con$tructione G F vel <math>G C = {ef / a}</math>, ideoque
<math>F B = {ef / a} + {ev / a}</math>, & <math>B C = {ef / a} - {ev / a}</math>, ac rectangulum <math>F B C = {ffee / aa}
- {eevv / aa}</math>. Hinc cum ex natura Ellip$is $it ut N F ad F C, hoc e$t,

<pb 299>[855]<rh>L<sc>IB</sc> II. C<sc>AP</sc> III.</rh>
ut <math>gaa</math> ad <math>lee</math>, ita D B quadratum, hoc e$t, <math>zz</math> ad prædictum re-
ctangulum F B C; erit <math>{leezz / gaa} = {ffee / aa} - {eevv / aa}</math>, id e$t, multiplica-
tis omnibus per <math>aa</math>,
<fig>
<var>N I F D H K L G M B C A E</var>
</fig>
ac divi$is per <math>ee</math>, erit
<math>{lzz / g} = ff - vv</math>, ideo-
que re$tituto <math>x - b</math>
loco <math>v</math>, atque <math>bb +
{ccaa + kkaa / aa - bb}</math> loco <math>ff</math>,
ut & <math>{aa / aa - bb}</math> loco <math>{l / g}</math>,
erit <math>{aazz / aa - bb} = bb + {ccaa + kkaa / aa - bb} - xx +
2bx - bb</math>, hoc e$t,
<math>{aazz / aa - bb} + xx - 2bx
= {ccaa + kkaa / aa - bb}</math>. Por-
rò re$tituto
<math>{daa - 2bca / aa - bb}</math> loco 2 <math>b</math>,
fiet <math>{aazz / aa - bb} + xx {- daax + 2bcax / aa - bb} =
{ccaa + kkaa / aa - bb}</math>, id e$t, factâ multiplicatione per <math>aa - bb</math> ac divi-
fione per <math>aa</math>, erit <math>zz + xx - {bbxx / aa} - dx + {2bcx / a} = cc + kk</math>.
Ac denique loco <math>z</math> factâ re$titutione ip$ius <math>y - c + { bx / a }</math>, deletisque
iis quæ $e invicem tollunt, ac omnibus ritè ordinatis, obtinebi-
tur <math>yy + {2bxy / a} - 2cy = - xx + dx + kk</math>. Quod determi-
nandum ac demon$trandum erat.</p>
<p>Notandum porrò hîc e$t, quòd $i angulus A K B foret rectus,
ac proinde ordinatim applicatæ, ut D B, K I, & c. ad diametrum
K B perpendiculares, ac $imul F N æqualis F C, prædictam cur-
vam fore Circulum, quemadmodum ex elementis per$picuum e$t.</p>

<pb 300>[856]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc> P<sc>ROBLEMA</sc> III.</rh>
<h>_Propo$itio_ 17.</h>
<p>Datis duobus punctis tertium invenire, à quo ad bi-
na data ductæ rectæ lineæ $imul $umptæ datæ longitu-
dini æquales $int; locumque determinare ac de$cribere,
quem quæ$itum punctum contingat.</p>
<p>Sint data duo puncta A & B, oporteatque invenire tertium,
utputa C; ita nempe, ut ductæ rectæ C A, C B $imul $umptæ
æquales $int datæ rectæ lineæ D.</p>
<p>Quoniam in quæ$tione angulus datus non e$t, quò facilior
$it operatio, a$$um atur rectus; ideoque à puncto C in rectam
A B, quæ data puncta conjungit, productam, $i opùs fuerit,
<fig>
<cap>_Fig._ 1.</cap>
<var>K C I F B A E H A B G D</var>
</fig>
intelligatur demi$$a perpendicularis, ut C E. Tum $uppo$itis,
juxta Regulam, A E & E C incognitis atque indeterminatis
a$$umptum angulum rectum A E C comprehendentibus tan-
quam cognitis ac determinatis, earum prior, nimirum A E, vo-
cetur <math>x</math>, ac po$terior, nempe E C, nominetur <math>y</math>; ip$a autem
A B $eu datorum punctorum di$tantia cognita appelletur <math>a</math>, & da-
ta D exprimatur per <math>b</math>. Hinc cum B E $ive ($i punctum E cadat
inter A & B) <math>A B - A E</math>, aut ($ipunctum B inter A & E cadat)
<math>AE - AB</math> $it <math>= a = x</math>; atque <math>A C = <r>xx + yy</r></math>; & <math>C B =
<r>aa - 2ax + xx + yy</r></math>; $itque <math>D - AC = C B</math>: æquatio erit
<math>b - <r>xx + yy</r> = <r>aa - 2ax + xx + yy</r></math>; factâque operatio-

<pb 301>[857]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. III.</rh>
ne decenti, ut utraque æ quationis pars à $igno radicali liberetur,
& tran$po$itis tran$ponendis, erit
<math>4bbxx - 4aaxx - 4bbax + 4 a^3 x = b^4 - 2bbaa + a^4 - 4bbyy</math>,
hoc e$t, factâ divi$ione per <math>4bb - 4aa</math>, erit
<math>xx - ax = {1 / 4} bb - {1 / 4} aa - {bbyy / bb - aa}</math>. A$$umpto deinde juxta Re-
gulam <math>v = x - {1 / 2} a</math>, erit <math>x = v + {1 / 2} a</math>, eâque $ub$titutâ in locum
ip$ius <math>x</math>, eju$demque quadrato loco <math>xx</math>, expunctisque iis quæ $e
invicem de$truunt: erit <math>xx = {1 / 4} bb - {bbyy / bb - aa}</math>, $ive <math>{bbyy / bb - aa} = {1 / 4} bb
- xx</math>. Qui quidem ca$us e$t Theorematis 13<_>tii</_>, ac proinde Lo-
cus quæ$itus Ellip$is. Cumque <math>v</math> a$$umpta $it pro <math>x - {1 / 2} a</math>, $i ab A
versùs E $umatur <math>A H = {1 / 2} a</math>: erit, juxta Regulam, H centrum,
& $emi-diameter tran$ver$a (velut H F ab una, & H G ab altera
parte) <math> = {1 / 2} b</math>; ita ut diameter tran$ver$a F G (quæ quidem, ob
applicatam C E ad eandem perpendicularem, tran$ver$us quoque
axis e$t,) $it <math>= b</math>. Ratio autem tran$ver$æ diametri ad parame-
trum, $eu quadrati tran$ver$æ ad quadratum $ecundæ diametri
erit, ut <math>bb</math> ad <math>bb - aa</math>. Vnde per ea, quæ Capitibus tertio & ul-
timo libri primi expo$ita $unt, quæ$ita Ellip$is facillimè de$cribe-
tur. Porrò cum quadratum $emi-diametri tran$ver$æ $it <math>= {1 / 4} bb</math>,
erit quadratum $emi-$ecundæ diametri <math>= {1 / 4} bb - {1 / 4} aa</math>. Atqui cum
F B $eu G A $it <math>= {1 / 2} b + {1 / 2} a</math>, & B G $eu <math>A F = {1 / 2} b - {1 / 2} a</math>, erit quo-
que rectangulum F B G $eu <math>G A F = {1 / 4} bb - {1 / 4} aa</math>, nempe æquale
quadrato $emi-$ecundæ diametri, $ive, ut Veteres loquebantur,
æquale quadranti figuræ ad tran$ver$um axem factæ. Ideoque
puncta A & B ea ip$a $unt, quæ vulgò Ellip$eos Foci $ive Vmbi-
lici nuncupantur. Vnde apparet, ex præmi$$is rectè inferri, quæ
$equuntur.</p>
<h>_Corollarium_ I.</h>
<p>Quæ à quolibet in Ellip$i puncto ad utrumque Vm-
bilicum rectæ ducuntur, $imul $umptæ tran$ver$o axi
æquales $unt.</p>
<p>Quemadmodum autem in Hyperbola $uperiùs demon$tra-
tum e$t, ductarum C A, C B differentiam tran$ver$o axi F G æ-
quari, ita & hîc earum aggregatum eidem tran$ver$o axi æquale
e$$e o$tendetur, nempe, $i non per additionem & compo$itionem,

<pb 302>[858]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
ut ibidem factum e$t, $ed per $ub ductionem & divi$ionem argu-
mentatio in$tituatur. Quod ip$um tamen, adhibitâ nonnullâ mu-
tatione, elegantiùs quoque in hunc modum ab$olvi po$$e vi-
detur.</p>
<p>E$to quælibet Ellip$is F C G, cujus centrum H, axis major
F G, minor O P, atque Vmbilici A & B; adeoque rectangu-
lum F B G ut & G A F æquale quadrato $emi-$ecundæ diametri
H O.</p>
<fig>
<var>C O N F A E M H Q B G P</var>
</fig>
<p>Ductis ab a$$umpto quolibet curvæ puncto C rectis C A, C B,
ordinatim ad utrumque axem applicentur C E, C N; & fiat ut
H F ad H A, ita H E ad H M, adeò ut <n 1> A H E rectangulo
<mgl 1>_per_ 16
_$exti._</mgl>
æquale $it rectangulum F H M; $umaturque H Q æqualis ip$i
<mgl 2>_per_ 22
_$exti_.</mgl>
H E. Hinc cum $it <n 2> ut H F <math>q</math> ad H A <math>q</math>, ita H E <math>q</math> ad H M <math>q</math>, erit
quoque per conver$ionem rationis ut H F <math>q</math> ad G A F $eu <n 3> H O <math>q</math>,
<mgl 3>_ex by-_
_pothe$i_.</mgl>
id e$t <n 4>, ut C N <math>q</math> $ive H E <math>q</math> ad O N P, ita idem H E <math>q</math> ad E M Q;
<mgl 4>_per 13_
_primi bu-_
_jus eju$_
_que Co-_
_vol. I_</mgl>
ac proinde <n 5> æqualia $unt rectangula O N P & E M Q. Quocir-
ca cum <n 6> H M <math>q</math> unà cum E M Q, id e$t, cum O N P rectangulo,
æquale $it H E <math>q</math>; $itque & H F <math>q</math> <n 7> æquale quadratis recta-
rum H A & (H O <n 8> $eu <n 9>) C E unà cum rectangulo O N P:
<mgl 5>_per_ 9
_quinti._</mgl>
erunt <math>H M q + O N P + H F q</math> æqualia <math>H E q + H A q + C E q
+ O N P</math>. Ac proinde $i utrinque auferatur O N P rectangulum,
<mgl 6>_per_ 5
_$ecundi_.</mgl>
<mgl 7>_per_ 5
_$ecundi_.</mgl>
remanebunt bina quadrata rectarum H M & H F $eu H G $imul
æqualia tribus quadratis rectarum H E, H A $eu H B, & C E.
<mgl 8>quippe
quadr. ex
H O æquale e$t GAF rectang. ex hypoth.</mgl>
<mgl 9>_per 5_
_$ecundi_.</mgl>

<pb 303>[859]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. III.</rh>
Hinc additis ablatifvè ab utraque æquationis parte æqualibus,
nimirum F H M $eu G H M bis'ab una, & A H E $eu B H E bis ab
altera parte: erit <n 1> F M <math>q</math> æquale (<math>A E q + C E q</math>, id e$t <n 2>,) A C <math>q</math>:
<mgr 1>_per 7_
_$ecundi_.</mgr>
<mgr 2>_per 47_
_primi_.</mgr>
itemque <n 3> G M <math>q</math> æquale (<math>B E q + C E q</math>, id e$t <n 4>,) B C <math>q</math>. Cum-
<mgr 3>_per 4_
_$ecundi_.</mgr>
<mgr 4>_per 47_
_primi_.</mgr>
que propterea recta F M æquetur ip$i A C, & GM ip$i BC: erit
ip$arum A C & B C aggregatum tran$ver$o axi F G æquale.
Quod demon$trandum erat.</p>
<h>_Corollarium_ 2.</h>
<p>Ductis à quolibet Ellip$eos puncto ad utrumque
Vmbilicum rectis, $i per idem illud punctum altera re-
cta agatur, æquales cum utraque ducta angulos con-
$tituens, eadem curvam in dicto puncto contingit; &
contra.</p>
<p>Si enim recta I C K ita ducta, ut æquales $int anguli A C I,
B C K, non contingat Ellip$in in C puncto, $ecet eandem, $i
$ieri pote$t, in C & K. Deinde productâ A C ad L, ita ut tota A L
<fig>
<cap>_Fig_. I.</cap>
<var>K C I F B A A E H B G D</var>
</fig>
axi F G, ideoque <n 5> adjecta C L ip$i C B æqualis $it, jungan-
<mgr 5>_per Co-_
_rol. I bu-_
_jus_.</mgr>
tur A K, B K, L K. Cum igitur, in triangulis L C K, B C K
latera L C, C K lateribus B C, C K, utrumque utrique, circa
æquales angulos, æqualia $int, erit quoque ba$is L K ba$i B K
æqualis. At verò cum punctum K in Ellip$i $upponatur, erunt,

<pb 304>[860]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
per Corollarium præcedens, rectæ A K, K B, hoc e$t, latera
A K, K L $imul $umpta tran$ver$o axi F G, ideoque & ba$i A L
<fig>
<cap>_Fig_ II.</cap>
<var>L K C I F G A B</var>
</fig>
æqualia, quod e$t ab$urdum <n 1>. Non igitur $ecat recta I C K El-
<mgl 1>_per 20_
_primi_.</mgl>
lip$in, $ed eandem contingit in C puncto. Cumque non po$$it in
eodem puncto C alia recta Ellip$in contingere quàm I C K <n 2>, ma-
<mgl 2>_per 17_
_primi bu-_
_jus_.</mgl>
nife$tum e$t, è contra quoque eam, quæ Ellip$in in C contingit,
efficere angulos A C I, B C K æquales.</p>
<h>C<sc>APVT</sc> IV.</h>
<h it>Regula univer$alis inveniendi ac determinandi
loca quælibet plana & $olida.</h>
<p>Iam verò his omnibus ita præmi$$is, pro generali
Regula concludi pote$t, æquationes omnes, quæ in in-
dagatione Locorum prædicto modo obvenire atque
obtingere po$$unt, ita ut in iis neutra quantitatum in-
cognitarum in $e ducta, neque factum $ub ii$dem ad $o-

<pb 305>[861]<rh>L<sc>IB</sc> II. C<sc>AP</sc> IV.</rh>
lidum excurrat, $ed aut quadratum, aut planum non
excedat, ex aliqua $equentium formularum con$tare,
vel ad earundem aliquam Methodo jam explicatâ re-
duci po$$e: nimirum,
<tb>
 # <math>y = {bx / a}</math>, $ive, quod idem e$t, <math>y = x</math>: cum $upponi
I^mò. # po$$it e$$e <math>a = b</math>.
<mgr>_Signum 🜶_
_$igni$icat_
_+ vel -_.</mgr>
 # <math>y = {bx / a}</math> 🜶 <math>c</math>, vel <math>y = c - {bx / a}</math>.
</tb></p>
<p>Sed hîc notandum, fieri etiam po$$e, ut per opera-
tionem quantitatum incognitarum altera evane$cat,
alteraque $ola notæ alicui quantitati æqualis remaneat,
$icut $uperiùs expo$itum e$t.</p>
<tb>
 # <math>yy = dx</math>, aut conver$im <math>dy = xx</math>.
2^dò. # <math>yy = dx. ff</math>, aut conver$im dy. <math>ff = xx</math>.
 # <math>zz = dx</math>, aut conver$im <math>dy = vv</math>.
 # <math>zz = dx</math>. ff, aut conver$im dy. <math>ff = vv</math>.
</tb>
<tb math>
 # yy = {lxx / g}. ff. # five etiam # yx = ff.
3^tiò. # zz = {lxx / g}. ff. # zx = ff.
 # yy = {lvv / g}. ff. # yv = ff.
 # zz = {lvv / g}. ff. # zv = ff.
</tb>
<p>Supponendo ubique <math>y</math> & <math>x</math> e$$e quantitates indeter-
minatas ac primò conceptas; at verò <math>z</math> e$$e quantita-
tem a$$umptam, & quæ compo$ita $it ex <math>y</math> 🜶 aliâ quâ-
dam quantitate, vel in totum cognitâ, vel cui etiam
altera incognita primùm concepta, nimirum <math>x</math>, permi-
xta $it; atque <math>v</math> quidem a$$umptam quoque e$$e, $ed
eo ca$u con$tare $olummodo ex <math>x</math> 🜶 aliâ quantitate
cognitâ, ab$que ulla ip$ius <math>y</math> incognitæ quantitatis per-
mixtione: aut contra <math>v</math> e$$e <math>= x</math> 🜶 aliâ quâdam quan-

<pb 306>[862]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
titate, cui & <math>y</math> incognita permixta e$$e po$$it atque eo
quidem ca$u <math>z</math> ex <math>y</math> 🜶 aliâ quantitate in totum cognitâ
con$tare.</p>
<p>Et $i æquatio $imilis $it alicui formularum $ub N° 1.
comprehen$arum, erit Locus quæ$itus Linea Recta;
$ub N° 2. Parabola; & $ub N° 3. $ecundùm $ignorum
angulorumque varietatem vel Hyperbola, vel Ellip$is,
vel Circulus.</p>
<p>Vt autem prædicta Loca $pecificè determinentur $ive prædi-
ctæ Lineæ in plano Geometricè de$cribantur, $ciendum e$t, ali-
quod debere præ$upponi punctum, ut & aliquam lineam à quo
exordium $umat, & per quam inde$initè $e extendere intelliga-
tur altera incognitarum quantitatum primò conceptarum; item-
que angulum quendam e$$e præ$upponendum, quem dictæ quan-
titates incognitæ con$tituant in puncto, in quo $ibi invicem jun-
ctæ intelliguntur.</p>
<p>Sit itaque in appo$ita figura, ut & in $equentibus omnibus,
prædictum punctum A, dictaque linea A B, à quo, & per quam
quantitas <math>x</math> $e inde$initè extendere concipiatur; atque angulus
A B E, quem faciunt quantitates <math>y</math> & <math>x</math>, in puncto B $ibi invicem
junctæ.</p>
<p>Et primo quidem ca$u, cùm Locus quæ$itus e$t Linea recta,
nimirum, æquatione exi$tente <math>y = x</math> vel <math>y = {bx / a}</math>, ip$um A pun-
ctum erit initium dictæ lineæ, atque ut eadem $pecificè de$criba-
tur $umendum e$t in linea A B punctum utcunque, exempli gra-
tiâ, B, ac per illud ductâ rectâ, velut H B E, ita ut angulus A B E
præ$uppo$ito vel concepto angulo $it æqualis, $i in eadem recta
$umatur punctum, veluti D; ita ut A B & B D $int æquales, vel
ut A B $it ad B D, $icut <math>a</math> ad <math>b</math>, atque ex A per punctum D duca-
tur recta A D: erit eadem A D indefinitè exten$a Locus quæ$i-
tus. At $i in æquatione inveniatur quoque terminus <math>c</math>, ac ip$e qui-
dem $igno + affectus $it, ducenda e$t è puncto A ad eandem par-
tem lineæ A B quàm e$t punctum E, aut $i $igno - adficiatur ab
altera parte, recta A F ip$i H B E parallela atque æqualis _c_ cogni-
tæ; ductâque F E vel F G, quæ rectam A B $ecet in O, ip$i A D
parallelâ: erit F E vel O G inde$initè producta Locus quæ$itus.

<pb 307>[863]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. IV.</rh>
Sed $i æquatio $it <math>y = c - {bx / a}</math>, in dicta linea H B E $umendum e$t
ab altera parte lineæ A B, quâ datus vel a$$umptus angulus A B E
exi$tit, punctum H, ita ut A B ad B H $it, $icut <math>a</math> ad <math>b</math>; ductâque
A H, ex prædicto puncto F ab oppo$ita parte lineæ A B, quâ $um-
<fig>
<var>E D F G I A O B F H</var>
</fig>
ptum e$t punctum H, ducenda e$t F I ip$i A H parallela: eritque
eadem FI producta donec cum linea A B coïncidat Locus quæ-
$itus.</p>
<p>Etenim, cum tam A B quàm B D $it <math>= x</math>, aut A B ad B D ab
una, ut & A B ad B H ab altera parte, $it ut <math>a</math> ad <math>b</math>; ac proinde
BD vel <math>BH = {bx / a}</math>: itemque, cum A F $eu D E vel D G ut & HI
$int æquales <math>c</math> cognitæ: erit B E $ive <math>BD + DE = {bx / a} + c</math>, & B G
$ive <math>BD - DG = {bx / a} - c</math>, ac B I $ive <math>HI - HB = c - {bx / a}</math>. Vn-
de cum punctum B $umptum $it utcunque, eadem erit de omni-
bus aliis, in linea A B, prædicti$vè locis, a$$umptis punctis de-
mon$tratio: atque ita patet prædictas lineas A D, F E, F G, &
F I e$$e Loca quæ$ita. Quod determinandum, demon$trandum-
que erat.</p>

<pb 308>[864]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
<p>At verò $i juxta formulas $ub N°. 2 exhibitas Locus quæ$itus
$it linea Parabolica, erit</p>
<p>I. Primo ca$u, quando æquatio e$t <math>yy = dx</math>, ip$a A B Parabolæ
diameter, ad quam ordinatim applicatæ faciant angulos, dato
vel a$$umpto angulo A B E æquales, atque eju$dem v ertex
A punctum.</p>
<fig>
<var>Q L Q N F N Q L Q D A D Q L Q N F N Q L Q E O K M P B P M K Q Q N L Q F Q L N Q</var>
</fig>
<p>II. Secundo ca$u po$itâ æquatione <math>yy = dx. ff</math>, manente diame-
tro in eadem linea A B, $umptâque, ut in $equenti figura,
<math>A F = {ff / d}</math>, erit eju$dem vertex in puncto F. Quod quidem
punctum F, $i uterque terminus tam <math>d x</math> quàm <math>ff</math> $igno + $it
affectus, ab altera parte puncti A, quâ e$t punctum B, $umen-
dum e$t; $ed $i vel terminus <math>d x</math>, vel terminus <math>ff</math> $igno - affe-
ctus $it, ab eadem parte puncti A, quâ e$t punctum B, $umi
debet: & quidem $i terminus <math>d x</math> $igno + affectus $it, ab A
versùs B Parabola de$cribenda e$t; $in contra terminus <math>d x</math>
$igno - affectus fuerit, in contrariam partem, ab F nempe
versùs Á, de$cribi debet.</p>

<pb 309>[865]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. IV.</rh>
<p>At $i æquatio $it <math>zz = dx</math>, vel <math>zz = dxff</math>, cum <math>z</math> non $it
quantitas primò concepta $ed a$$umpta, vel a$$umpta erit pro
<math>y 🜶 c</math>, vel pro <math>y 🜶 {bx / a}</math>, vel denique pro <math>y 🜶 {bx / a} 🜶 c</math>.</p>
<p>III. Et $i quidem <math>z</math> a$$umpta $it pro <math>y 🜶 c</math>, qui $it ca$us tertius, du-
cenda e$t per punctum A recta A D ip$i B E parallela atque
<math>= c</math>; ita ut, $i <math>z</math> a$$umpta $it pro <math>y - c</math>, punctum D cadat ad
eandem partem lineæ A B, quam conceptus e$t angulus
A B E: Et, $i <math>z</math> $it a$$umpta pro <math>y + c</math>, punctum D è contra
ad alteram partem lineæ A B cadat. Deinde ductâ D K ip$i
A B parallelâ, erit in eadem D K Parabolæ diameter, & D
vertex, $i æquatio $it <math>zz = dx</math>.</p>
<p>IV. Sed $i $it <math>zz = dx</math>. <math>ff</math>, qui $it quartus ca$us, $umptâ <math>D L =
{ff / d}</math>, erit vertex punctum L; quod quidem pro terminorum <math>dx
& ff per + vel -</math> affectione eodem modo, ut $upra de pun-
cto F dictum e$t, vel citra vel ultra D punctum cadet; uti &
vel in hanc vel in illam partem, prout terminus <math>dx</math> $igno +
vel - adfectus fuerit, ip$a Parabola, ut $upra notatum e$t,
de$cribi debet: eritque omnibus & $ingulis prædictis qua-
tuor ca$ibus Parameter <math>= d</math>.</p>
<p>V. Si verò <math>z</math> a$$umpta $it pro <math>y 🜶 {bx / a}</math>, qui ca$us $it quintus, $um-
pto in linea B E puncto M, ita ut $it A B ad B M, $icut <math>a</math> ad <math>b</math>,
(quod quidem punctum M $umendum e$t ab eadem parte li-
neæ A B, quâ conceptus e$t angulus A B E, $i habeatur <math>- {bx / a}</math>,
fed ab altera parte, $i habeatur <math>+ {bx / a}</math>) ducenda e$t per
puncta A & M recta A M: eritque A M eo ca$u Parabolæ
diameter, ad quam ordinatim applicatæ faciant angulos an-
gulo A M E æquales, & $i in æquatione terminus <math>ff</math> deficiat
aut nullus $it, erit vertex in puncto A.</p>
<p>VI. Sin minus, qui $it ca$us $extus, ductis per puncta F & L rectis
L F L, quæ inter$ecent $upra dictas diametros A M vel iis in
directum adjunctas in punctis N: erit vertex in N, vel citra,
vel ultra A punctum cadens, prout termini <math>dx & ff</math> in æqua-
tione vel $igno + vel $igno - affecti fuerint; uti & vel in
hanc vel in illam partem ip$a Parabola pro varia termini <math>dx</math>
affectione, ut $upra notatum e$t, de$cribenda erit.</p>

<pb 310>[866]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
<p>Si denique <math>z</math> a$$umpta $it pro <math>y 🜶 {bx / a} 🜶 c</math>, ductâ, ut modò
expo$itum fuit, <math>A D = c</math>, ex puncto D (quod pro quantitatis
<math>c</math> per $ignum + vel - affectione, ut $upra, vel ab hac, vel ab
illa parte lineæ A B $umi debet) ducenda e$t recta D O ip$i</p>
<p>VII. A M, quæ e$t ad eandem partem, parallela, $i termini <math>{bx / a}</math> & <math>c</math>
eodem $igno $int affecti, qui ca$us $it $eptimus.</p>
<p>VIII. At $i diver$o, qui $it ca$us octavus, ducenda e$t recta D P
parallela ip$i A M, quæ e$t ab adver$a parte lineæ A B, atque
eadem D O vel D P $umenda e$t pro diametro, ad quam or-
dinatim applicatæ faciant angulos angulo D O E vel D P E
æquales: eritque vertex punctum D, $i terminus <math>ff</math> in æqua-
tione deficiat.</p>
<fig>
<var>E Q D Q O Q L L K N Q Q M L N N A P Q F F B F N N P Q Q Q M L L K L Q D Q O Q</var>
</fig>
<p>IX. Sin minùs, qui $it ca$us nonus, erit idem vertex ip$arum D O
vel D P diametrorum & linearum L F L communis inter$e-
ctio, videlicet punctum Q, quodque iterum pro terminorum
<math>dx</math> & <math>ff</math> per $ignum + vel - affectione vel citra vel ultra D
punctum cadit; quemadmodum & ip$a Parabola vel versùs

<pb 311>[867]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. IV.</rh>
hanc vel versùs illam partem pro diver$a termini <math>dx</math> affectio-
ne, ut $upra e$t notatum, de$cribenda e$t: Ac po$tremis qui-
dem i$tis quinque ca$ibus jam explicatis Parameter erit ad <math>d</math>
cognitam, $icut A B ad A M, hoc e$t, erit ut A M ad A B, ita <math>d</math>
ad Parametrum.</p>
<p>Quorum quidem omnium demon$tratio perfacilis e$t. In-
telligantur enim Parabolæ prædictis diametris ac parametris
de$criptæ, quæ per annotatos vertices tran$eant, $itque ordi-
natim ad ea$dem diametros applicatarum aliqua in recta O E
utcunque $umpta, & $upponatur ea$dem Parabolas prædictam
applicatam $ecare in E puncto: & primo ca$u, cum pars dia-
metri A B inter verticem A & quamlibet ad eandem diame-
trum applicatam intercepta, veluti A B, concipiatur, ut <math>x</math>,
ac $ingulæ illæ applicatæ, ut <math>y</math>; $itque Parameter <math>= d</math>, atque
ex natura Parabolæ <n 1> rectangulum $ub dicta Parametro & re-
<mgr 1>_per_ I
_primi bu-_
_jus_.</mgr>
cta A B contentum $it = B E quadrato: erit <math>dx = yy</math>.</p>
<p>Secundo ca$u, ubi vertex e$t in puncto F cum triplici di$tin-
<mgl>1.</mgl>
ctione, ut $upra monitum e$t, notandum primò venit, in ca$i-
bus, ubi æquatio e$t <math>yy = dx 🜶 ff</math>, punctum B in linea F B ab
A versùs B indefinitè $umi po$$e: cum i$tis ca$ibus ab A versùs
B Parabolam de$cribendam e$$e $upra annotatum $it; At verò
ca$u, ubi æquatio e$t <math>yy = ff - dx</math>, cum juxta Regulam Pa-
rabola in contrariam partem ab F versùs A $it de$cribenda,
punctum B non ni$i inter F & A a$$umendum e$$e. id quod
etiam ex ip$a æquatione manife$tum e$t. Quoniam enim in
prædicta æquatione <math>yy = ff - dx</math> $ive quod idem e$t <math>ff- yy =
dx</math>, terminus <math>ff</math> major e$t quàm <math>dx</math>, utpote eundem excedens
quantitate <math>yy</math>; idcirco quoque $i utrinque divi$io fiat per <math>d</math>,
<math>{ff / d}</math> majus erit quàm <math>x</math>. Quare cum $ecundum Regulam <math>{ff / d}</math> æ-
quetur rectæ A F, & <math>x =</math> rectæ A B, erit $imiliter recta A F
major quàm A B: ideoque B punctum inter A & F puncta,
$icut dictum e$t, cadet. id quod ad ca$us quoque $equentes ap-
plicatum e$to. Porrò quoniam A F e$t <math>= {ff / d}</math>, erit F B (hoc e$t,
ob$ervatâ triplici di$tinctione, ut prædictum e$t, A B 🜶 A F,
atque etiam A F - A B) æqualis <math>x 🜶 {ff / d}</math>, atque etiam <math>{ff / d} - x</math>;
eâque multi plicatâ per parametrum <math>d</math>, fit rectangulum <math>d x 🜶 ff</math>,

<pb 312>[868]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
atque etiam <math>ff - dx</math>. quod æquale e$t quadrato applicatæ B E
$ive <math>yy</math>, ac proinde <math>yy = dx 🜶 ff</math>, atque <math>yy = ff - dx</math>.
<mgl>2.</mgl></p>
<p>Tertio ca$u, ubi vertex e$t in puncto D, ac diameter in re-
cta D K, quoniam A D $eu B K e$t <math>= c</math>: erit K E, hoc e$t,
<math>B E - B K = y - c</math>; & K B E, hoc e$t, <math>B E + B K = y + c</math>.
Cumque eo ca$u <math>z</math> a$$umpta $it pro <math>y 🜶 c</math>, erit K E & <math>K B E = z</math>.
E$t autem D K $eu <math>A B = x</math>, parameterque <math>= d</math>, & rectangu-
lum $ub dicta Parametro & recta D K contentum = quadrato
ex K E vel K B E. Quare cum hoc quadratum $it <math>= zz</math>, atque
rectangulum illud <math>= dx</math>, erit <math>zz = dx</math>.
<mgl>3.</mgl></p>
<p>Quarto ca$u, ubi manente diametro in recta D K vertex e$t
in puncto L, quoniam D L $ive A F e$t <math>= {ff / d}</math>, erit L K (hoc
e$t, ob$ervatâ triplici di$tinctione juxta Regulam, D K 🜶 D L,
atque etiam L D - D K) æqualis <math>x 🜶 {ff / d}</math>, atque etiam <math>{ff / d} - x</math>.
quâ multiplicatâ per Parametrum <math>d</math>, fit rectangulum <math>dx 🜶 ff</math>,
atque etiam <math>ff - dx</math>. quod æquale e$t quadrato applicatæ K E
vel K B E, hoc e$t, <math>zz</math>: eritque proinde <math>zz = dx 🜶 ff</math>, atque
<math>zz = ff - dx</math>.
<mgl>4.</mgl></p>
<p>Quinto ca$u, ubi vertex e$t in puncto A, diameterque in
recta A M, cum $it ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita A B, hoc e$t, <math>x</math>, ad B M: erit
<math>B M = {bx / a}</math>, ideoque M E, hoc e$t, <math>B E - B M = y - {bx / a}</math>, & M B E,
hoc e$t, <math>B E + B M = y + {bx / a}</math>. Et quoniam eo ca$u <math>z</math> a$$umpta
e$t pro <math>y 🜶 {bx / a}</math>, erit M E & <math>M B E = z</math>. At cum in triangulo
A B M cognita $int & angulus A B M, & ratio laterum A B,
B M, dictum angulum comprehendentium, nota quoque e$t<n 1>
<mgl 1> _per_ 6
_$exti._</mgl>
ratio reliquorum dicti trianguli laterum ad invicem, atque in
$pecie etiam lateris A B ad A M, quæ $it ut <math>a</math> ad <math>e</math>. Ac proinde
cum $it ut <math>a</math> ad <math>e</math>, ita A B, h. e., <math>x</math> ad A M: erit <math>A M = {ex / a}</math>. Cumque
porrò juxta Regulam eo ca$u $it ut A M ad A B, hoc e$t, ut <math>e</math>
ad <math>a</math>, ita <math>d</math> ad Parametrum: erit Parameter <math>= {ad / e}</math>. Quâ multi-
plicatâ per A M $eu <math>{ex / a}</math> fiet rectangulum <math>= dx</math>. Quod æquale
e$t quadrato applicatæ M E vel M B E, hoc e$t, <math>zz</math>; ac proin-
de e$t <math>zz = dx</math>.
<mgl>5.</mgl></p>

<pb 313>[869]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. IV.</rh>
<p>Sexto ca$u, ubi vertex e$t in puncto N, & diameter in re-
cta N M, quoniam e$t ut A B ad A M, ita A F ad A N, hoc e$t,
ut <math>a</math> ad <math>e</math>, ita <math>{ff / d}</math> ad A N: erit <math>A N = {eff / ad}</math>, & N M (hoc e$t,
ob$ervatâ juxta Regulam triplici di$tinctione, A M 🜶 A N,
atque etiam N A - A M) æqualis <math>{ex / a} 🜶 {eff / ad}</math>, atque etiam <math>{eff / ad}
- {ex / a}</math>. Quâ multiplicatâ per Parametrum <math>{ad / e}</math>, fit rectangu-
<fig>
<var>E Q O Q Q D L L K N L Q Q M N P Q N A F B F F N N P Q Q Q M L L K L Q D Q N O Q</var>
</fig>
lum <math>dx 🜶 ff</math>, atque etiam <math>ff - dx</math>. Quod cum æquale $it
quadrato applicatæ M E vel M B E, hoc e$t, <math>zz</math>: erit
<math>zz = dx 🜶 ff</math>, atque <math>zz = ff - dx</math>.
<mgl>6.</mgl></p>
<p>Septimo ca$u, ubi vertex e$t in puncto D, & diameter in re-
cta D O, quoniam A D $eu M O e$t <math>= c</math>, erit O E ($ive B E -
B M - M O) <math>= y - {bx / a} - c</math>, & O B E ($ive B E + B M + M O)
<math>= y + {bx / a} + c</math>. Cumque eo ca$u <math>z</math> a$$umpta $it pro <math>y - {bx / a} - d</math>,
vel pro <math>y + {bx / a} + d</math>: erit O E & <math>O B E = z</math>. Porrò cum D O

<pb 314>[870]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
$eu A M $it <math>= {ex / a}</math>, Parameterque $ectionis <math>= {ad / e}</math>, erit rectangu-
lum $ub Parametro & recta D O contentum <math>= dx</math>. Cumque
idem illud rectangulum æquetur quadrato applicatæ O E vel
O B E, id e$t, <math>zz</math>: erit <math>zz = dx</math>.
<mgl>7.</mgl></p>
<p>Octavo ca$u, ubi, manente vertice in puncto D, diameter
e$t in recta D P, quoniam A D $eu B K e$t <math>= c</math>, & <math>K P = {bx / a}</math>,
erit P E una ($ive B E - B K + K P) <math>= y - c + {bx / a}</math>, & P E al-
tera ($ive B E + B K - K P) <math>= y + c - {bx / a}</math>. Cumque eo ca$u
<math>z</math> a$$umpta $it pro <math>y + {bx / a} - c</math> vel pro <math>y - {bx / a} + c</math>: erit utraque
<math>P E = z</math>. Porrò cum D P $eu A M $it <math>= {ex / a}</math> ac Parameter <math>= {ad / e}</math>,
erit rectangulum $ub Parametro & recta D P contentum <math>= dx</math>.
Cumque idem rectangulum æquale $it quadrato utriu$que ap-
plicatæ P E, hoc e$t, <math>zz</math>: erit quoque <math>zz = dx</math>.
<mgl>8.</mgl></p>
<p>Nono ca$u, ubi vertex e$t in puncto Q, & diameter in recta
Q O vel Q P, quo niam, ut $upra, O E e$t <math>= y - {bx / a} - c</math>, atque
O B E <math>= y + {bx / a} + c</math>; at verò P E una <math>= y - c + {bx / a}</math>, ac P E al-
tera <math>= y + c - {bx / a}</math>, $itque eo ca$u <math>z</math> a$$umpta pro <math>y 🜶 {bx / a} 🜶 c</math>:
erit O E, O B E, atque utraque <math>P E = z</math>. Et cum D O aut D P
$eu A M $it <math>= {ex / a}</math>, atque D Q $eu <math>A N = {eff / ad}</math>: erit Q O vel Q P
(hoc e$t, ob$ervatâ juxta Regulam triplici di$tinctione, D O
vel D P 🜶 D Q, atque etiam Q D - D O vel D P) æqualis
<math>{ex / a} 🜶 {eff / ad}</math>, atque etiam <math>{eff / ad} - {ex / a}</math>. Vnde $i eadem Q O vel Q P
multiplicetur per Parametrum <math>= {ad / e}</math>, erit rectangulum <math>= dx
🜶 ff</math>, atque etiam <math>ff - dx</math>. Quod quidem rectangulum cum
æquale $it quadrato applicatæ O E, O B E, aut utriu$que P E,
hoc e$t, <math>zz</math>: erit quoque <math>zz = dx 🜶 ff</math>, atque <math>zz = ff - dx</math>.
<mgl>9.</mgl>
Quæ quidem omnia $unt, quæ hîc demon$tranda erant.</p>
<p>Quod autem ad æquationes $uperioribus novem ca$ibus
conver$im corre$pondentes $pectat, ut lineæ Parabolicæ de-
$cribantur, quæ $int Loca quæ$ita: po$itis ii$dem, ut $upra, per

<pb 315>[871]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. IV.</rh>
punctum A ducenda e$t recta A C ip$i B E parallela, ac dein-
de ip$a A C, ubique con$ideranda, ut con$iderata fuit recta
A B in $uperiori figura. Porrò $umpto in eadem A C puncto
utcunque, veluti C, atque per id ductâ rectâ ip$i A B paralle-
lâ, velut O C E, erit $imiliter hæc O C E ubique con$ide-
randa, $icut con$iderata fuit recta O B E in præcedenti figura,
nullâ $cilicet aliâ mutatione adhibitâ. Exempli gratiâ: Si æ-
quatio $it <math>dy = xx</math>, erit A C diameter, A vertex, & Parame-
<mgl>I.</mgl>
<fig>
<var>Q N L Q F Q L N Q O K M P C P M K O E Q L Q N F N Q L Q D A D B Q L Q N F N Q L Q</var>
</fig>
ter <math>= d</math>. Cum enim A C $eu B E $it concepta ut <math>y</math>, & C E $eu
A B ut <math>x</math>, rectangulumque $ub Parametro & A C contentum,
hoc e$t, <math>dy</math>, æquetur quadrato rectæ C E $eu A B, hoc e$t, <math>xx</math>:
erit, ut petitur, <math>dy = xx</math>.</p>
<p>Siæquatio $it <math>dy</math>. <math>ff = xx</math>, $umptâ <math>A F = {ff / d}</math>, erit F vertex,
<mgl>II.</mgl>
manente diametro in recta F C, atque Parametro <math>= d</math>. E$t

<pb 316>[872]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
enim pro triplici juxta Regulam di$tinctione <math>F C = y 🜶 {ff / d}</math>,
atque etiam <math>{ff / d} - y</math>: ac proinde rectangulum $ub Parametro
ac eadem F C contentum <math>= dy 🜶 ff</math>, atque etiam <math>ff - dy</math>.
Quod quidem rectangulum cum æquale $it quadrato appli-
catæ C E, hoc e$t, <math>xx</math>: erit, ut petitur, <math>dy</math>. <math>ff = xx</math>.</p>
<p>Si æquatio $it <math>dy = vv</math>, vel <math>dy</math>. <math>ff = vv</math>, atque <math>v</math> primùm
<mgl>III.</mgl>
a$$umpta $it pro <math>x 🜶 c</math>, factâ <math>A D = c</math>, $umptoque puncto D ab
A versùs B, $i <math>v</math> $it a$$umpta pro <math>x - c</math>; at contra ab altera
parte, $i <math>v</math> affumpta fuerit pro <math>x + c</math>, erit, ductâ D K ip$i A C
parallelâ, diameter in recta D K. Et $i terminus <math>ff</math> deficiat,
erit vertex in D; $in $ecus in L, cum triplici variatione, ut
<mgl>IV.</mgl>
$upra expo$itum e$t. Et patet, D B $ive D A B, hoc e$t, K E
$ive K C E fore <math>v</math>, <math>D K = y</math>, atque <math>L K = y 🜶 {ff / d}</math>, atque etiam
<math>{ff / d} - y</math>: ac proinde rectangulum $ub Parametro <math>d</math> dictaque
D K comprehen$um <math>= dy</math>; at verò id quod $ub <math>d</math> & L K com-
prehenditur <math>= dy 🜶 ff</math>, atque etiam <math>ff - dy</math>. Quod quidem
rectangulum cum æquale $it aut $upponatur quadrato appli-
catæ K E $ive K C E, hoc e$t, <math>vv</math>: erit, ut petitur, <math>dy = vv</math>, vel
<math>dy</math>. <math>ff = vv</math>.</p>
<p>Sit deinde <math>v</math> a$$umpta pro <math>x 🜶 {by / a}</math>, $umptoque in linea O C E
<mgl>V.</mgl>
puncto M à C versùs E, $i habeatur <math>- {by / a}</math>; at ab altera parte
lineæ A C, $i habeatur <math>+ {by / a}</math>, ita ut A C $it ad C M, $icut <math>a</math>
ad <math>b</math>: erit in recta. A M diameter, ejusque vertex in
puncto A, $i terminus <math>ff</math> deficiat; $in minus, in N. Et po$itâ
<mgl>VI.</mgl>
ratione A C ad A M, ut <math>a</math> ad <math>e</math>, ac proinde recta <math>A M = {ey / a}</math>,
erit Parameter <math>= {ad / e}</math>. E$t enim recta <math>C M = {by / a}</math>, ac proinde
<math>M E = y - {by / a}</math>, atque <math>M C E = y + {by / a}</math>, id e$t, M E vel
<math>M C E = v</math>. Quoniam ergo ex natura Paraboles rectangulum
$ub dicta Parametro & recta A M contentum = quadrato ex
M E vel M C E, erit, <math>dy = vv</math>.</p>
<p>Porrò cum N A $it <math>= {ffe / da}</math>, erit <math>N M = {ey / a} 🜶 {ffe / da}</math>, atque

<pb 317>[873]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. IV.</rh>
etiam <math>{ffe / da} - {ey / a}</math>: ideoque rectangulum $ub Parametro
& recta N M contentum <math>= dy 🜶 ff</math>, atque etiam <math>ff - dy</math>.
Quod quidem rectangulum cum $it = quadrato ex M E
vel M C E, hoc e$t, <math>vv</math>; erit quoque <math>dy</math>. <math>ff = vv</math>.</p>
<fig>
<var>Q N L Q F Q L N Q O K M P C P M K O E Q L Q N F N Q L Q D A D B Q L Q N F N Q L Q</var>
</fig>
<p>Sit denique <math>v</math> a$$umpta pro <math>x 🜶 {by / a} 🜶 c</math>: eritque, $up-
po$itis ii$dem quæ $upra, diameter in D O, vel in D P;
<mgl>VII. VIII.
IX.</mgl>
&, $i terminus <math>ff</math> deficiat vertex in D; $in minus, in Q.
Et po$itâ ratione D K ad D O, ut & D K ad D P, $icut
<math>a</math> ad <math>e</math>, ac proinde rectâ D O, ut & <math>D P = {ey / a}</math>; erit pa-
rameter <math>= {ad / e}</math>. E$t enim <math>O E = x - {by / a} - c</math>, atque

<pb 318>[874]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
<math>O C E = x + {by / a} + c</math>; itemque P E una <math>= x - {by / a} + c</math>, ac P E alte-
ra <math>= x + {by / a} - c</math>, hoc e$t, O E, O C E, & P E una vel altera
erit <math>= v</math>. E$tque Q O vel Q P ($icut $upra N M) <math>= {ey / a} 🜶 {ffe / da}</math>, at-
que etiam <math>{ffe / da} - {ey / a}</math>: ac proinde rectangulum $ub Parametro &
Q O vel <math>Q P = dy 🜶 ff</math>, atque etiam <math>ff - dy</math>. Quare cum idem
rectangulum æquale $it quadrato ex O E vel O C E, aut ex una
alteravè P E, id e$t, <math>vv</math>: erit quoque <math>dy</math>. <math>ff = vv</math>.</p>
<p>Atque ita demon$tratum e$t generaliter, quod hoc loco propo-
$itum fuit.</p>
<p>At $i denique æquatio $imilis $it alicui formularum
$ub N° 3 comprehen$arum, erit Locus quæ$itus, $i ter-
minus in quo invenitur <math>xx</math> vel <math>vv</math> $igno + $it affectus,
Hyperbola; $in idem terminus $igno - affectus $it, El-
lip$is: excepto tantùm, cùm po$teriori ca$u ordinatim
ad diametrum applicatæ cum ea rectos angulos fa-
ciunt, & $imul tran$ver$a diameter parametro e$t æ-
qualis: quippe eo ca$u, ut patet, quæ$itus Locus Cir-
culus exi$tit.</p>
<p>Et primo quidem ca$u, cùm nempe terminus in quo <math>xx</math> vel <math>vv</math>
$igno + affectus reperitur, ac proinde Locus quæ$itus e$t Hyper-
bola, erit quoque terminus <math>ff</math> cum illo ab eadem æquationis par-
te con$titutus vel $igno + affectus, vel contra; & $i $igno - af-
fectus $it, atque in æquatione habeatur fractio, ip$a majoris per-
$picuitatis gratiâ in terminum <math>yy</math> vel <math>zz</math> rejiciatur. Quo facto,
remanente utrâque quantitate incognitâ primùm conceptâ, $e-
quenti formâ $e exhibebit æquatio: <math>yy = {lxx / g} + ff</math>, (id e$t,
<mgl>_Ca$us_
I_<_>mus</_>, cùm_
_Locus e$t_
_Hyperbo-_
_la._</mgl>
<math>yy - ff = {lxx / g}</math>) aut <math>{lyy / g} = xx - ff</math>: eritque, ut in $equenti figura,
ca$u primo, nempe $i terminus <math>ff</math> cum termino in quo <math>xx</math> unam
æquationis partem con$tituens $igno + affectus $it, diameter Hy-
perbolæ de$cribendæ in recta A X, quæ ducitur per punctum A
po$itione datæ B E parallela. Sin contra, hoc e$t, $i terminus <math>ff</math>
$igno - affectus $it, uti ca$u $ecundo, erit diameter in data po$i-
tione recta A B, quæ indeterminatè pro <math>x</math> concipitur; ita ut ad

<pb 319>[875]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. IV.</rh>
ea$dem diametros ordinatim applicatæ faciant angulos, dato vel
a$$umpto angulo A B E æquales: eritque ca$u utroque centrum
Hyperboles in puncto A, & $emi-latus tran$ver$um <math>= f</math>, quod in
<fig>
<var>P W P E Y X Y P W P O V T H T Q D R L V R K T Q H T M L C O S N A G S I F C I B S N G S O F V M T H T Q R L D V R K T Q H T L O</var>
</fig>
dictis diametris re$pectivè per lineas A C vel A F exprimatur.
Porrò $i <math>l</math> $it <math>= g</math>, vel, quod idem e$t, $i termino <math>xx</math> vel <math>yy</math> nulla ad-

<pb 320>[876]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
hæreat fractio, erunt latera tran$ver$um & rectum $ibi invicem
æqualia. At verò po$itis <math>l</math> & <math>g</math> inæqualibus, erit ratio lateris tran$-
ver$i ad rectum ut <math>l</math> ad <math>g</math>.</p>
<p>Si enim de$cripta intelligatur prædicta Hyperbola per pun-
ctum C in utraque diametro versùs X & versùs B re$pectivè; $up-
ponaturque eandem $ecare rectam X E, quæ ducta $it ip$i A B æ-
quidi$tans, ut & ip$am B E, ad dictas diametros re$pectivè ordi-
natim applicatas, in puncto E: erit
<tb math>
F X = y + f, # F B = x + f,
C X = y - f, # C B = x - f;
</tb>
ideoque rectangulum
<math>F X C = yy - ff</math>, & <math>F B C = xx - ff</math>.</p>
<p>Cum autem latere recto ip$i tran$ver$o æquali exi$tente re-
ctangulum F X C <n 1> $it = quadrato ex X E $eu A B, hoc e$t, <math>xx</math>;
<mgl 1>_per_ 10
_primi bu-_
_jus._</mgl>
itemque rectangulum F B C $it = quadrato ex B E, hoc e$t, <math>yy</math>:
erit <math>yy - ff = xx</math>, hoc e$t, <math>yy = xx + ff</math> itemque
<math>xx - ff = yy</math>, $ive <math>yy = xx - ff</math>.</p>
<p>Sed cum $ecus recto latere ip$i tran$ver$o inæquali exi$tente
unius ad alterum ratio $it, ut <math>l</math> ad <math>g</math>; $imiliterque etiam ratio re-
Ctanguli F X C ad quadratum X E, aut rectanguli F B C ad qua-
dratum B E eadem $it <n 2>, quæ tran$ver$i lateris ad rectum, hoc
<mgl 2>_per_ 10
_permi bu-_
_jus_.</mgl>
e$t, eadem quæ <math>l</math> ad <math>g</math>: erit ut <math>l</math> ad <math>g</math>, ita <math>yy - ff</math> ad <math>xx</math>; itemque
ut <math>l</math> ad <math>g</math>, ita <math>xx - ff</math> ad <math>yy</math>, hoc e$t, reductâ proportione ad æ-
qualitatem, erit <math>lxx = gyy - gff</math>, ut & <math>lyy = gxx - gff</math>. unde
divi$is omnibus per <math>g</math>, $it <math>{lxx / g} = yy - ff</math>, hoc e$t, <math>yy = {lxx / g} + ff</math>;
& <math>{lyy / g} = xx - ff</math>. Quod demon$trandum erat.</p>
<p>At $i quantitatum incognitarum primò conceptarum unâ ex
<mgl>_Ca$us_
2_<_>dus</_>, cùm_
_Locus e$t_
_Hyperbo-_
_la_.</mgl>
æquatione $ublatâ, aliâque in eju$dem locum juxta Regulam a$-
$umptâ, æquatio $it <math>zz = {lxx / g} + ff</math> (id e$t, <math>zz - ff = {lxx / g}</math>), vel
<math>{lzz / g} = xx - ff</math>: aut <math>z</math> a$$umpta erit pro <math>y 🜶 c</math>, vel pro <math>y 🜶 {bx / a}</math>, aut
pro <math>y 🜶 {bx / a} 🜶 c</math>. Et quidem primò $i <math>z</math> a$$umpta $it pro <math>y 🜶 c</math>,
<mgl>§. 1.</mgl>
ducenda e$t per punctum A recta A D ip$i B E parallela & <math>= c</math>;
ita ut, $i <math>z</math> fuerit a$$umpta pro <math>y - c</math>, prædictum punctum D cadat
ab eadem parte lineæ A B, quâ datus vel conceptus e$t angulus
A B E. Sin contra <math>z</math> fuerit a$$umpta pro <math>y + c</math>, idem illud pun-

<pb 321>[877]<rh>L<sc>IB. II. CAP. IV</sc>.</rh>
ctum D reperiatur ab altera parte lineæ A B. Deinde per punctum
D ductâ rectâ D K ip$i A B parallelâ, quæ $ecet rectam BE pro-
ductam, $i opùs fuerit, in puncto K: erit de$cribendæ Hyperbolæ
<fig>
<var>P W P Y X Y E P W P O V T T Q D H R L V R K T Q H T M L O C S N A G S I F C I B S N G S O F V M T Q D H T R L V R K T Q H T O L</var>
</fig>
diameter, $i terminus <math>ff</math> $igno + affectus $it, in recta D X. $in
contra, hoc e$t, $i terminus <math>ff</math> $igno - affectus $it, in prædicta

<pb 322>[878]<rh>E<sc>LEM. CVRVARVM</sc></rh>
recta DK; ita ut ad ea$dem diametros ordinatim applicatæ an-
gulos faciant, dato vel a$$umpto angulo A B E vel D K E $ive
D X E æquales. Eritque ca$u utroque D centrum, & $emi-
latus tran$ver$um <math>= f</math>, quod in dictis diametris re$pectivè per
lineas D V vel D L exprimatur; eritque porrò tran$ver$i late-
ris ad rectum ratio, ut <math>l</math> ad <math>g</math>. Sienim de$cripta intelligatur præ-
dicta Hyperbola per punctum V in utraque diametro, versùs X
& K re$pectivè, eademque $ecare $upponatur rectam X E, ut &
ip$am K E, ad dictas diametros ordinatim applicatas, in puncto
E: erit D A X $ive <math>K B E = y + c</math>, & D X $eu <math>K E = y - c</math>; ideo-
que eadem D A X & K B E vel D X & K E ea ip$a, quæ pro <math>z</math> e$t
a$$umpta: ac propterea <math>L X = z + f</math>, & <math>L K = x + f</math>
atque <math>V X = z - f</math>, & <math>V K = x - f</math>:
ideoque rectangula
<math>L X V = zz - ff</math>, & <math>L K V = xx - ff</math>.</p>
<p>Cumque eadem $it ratio tam unius quàm alterius rectanguli
L X V ad quadratum X E, ut & utriu$que rectanguli L K V ad
quadratum ex K E vel K B E re$pectivè, quæ e$t lateris tran$ver$i
ad rectum, hoc e$t, ut <math>l</math> ad <math>g</math>: erit quoque ut
<math>l</math> ad <math>g</math>, ita <math>zz - ff</math> ad <math>xx</math>,
itemque ut <math>l</math> ad <math>g</math>, ita <math>xx - ff</math> ad <math>zz</math>:
hoc e$t, revocatâ proportione ad æqualitatem,
erit <math>{lxx / g} = zz - ff</math>, $ive <math>zz = {lxx / g} + ff</math>,
&<math>{lzz / g} = xx - ff</math>: aut, $i <math>l</math> $it <math>= g</math>,
erit <math>zz = xx + ff</math>,
& <math>zz = xx - ff</math>.
Quod quidem hîc demon$trandum erat.</p>
<p>At verò $ecundò, $i <math>z</math> a$$umpta $it pro <math>y 🜶 {bx / a}</math>, $umpto in linea
<mgl>§ 2.</mgl>
BE puncto M, ita ut A B ad B M $it, $icut <math>a</math> ad <math>b</math>; hoc e$t, ut B M
$it <math>= {bx / a}</math>, (quod quidem punctum M, $i <math>z</math> a$$umpta fuerit pro <math>y - {bx / a}</math>,
ab eadem parte lineæ A B quâ datus vel conceptus angulus A B E
$umendum e$t; $ed contra, $i habeatur <math>z = y + {bx / a}</math>, ab altera par-
te eju$dem lineæ A B $umi debet,) oportet per puncta A & M
rectam lineam ducere A M, $ecantem H C H & Q F Q per præ-
dicta puncta C & F ductas ip$i B E parallelas in punctis G & N.

<pb 323>[879]<rh>L<sc>IB. II. CAP. IV</sc>.</rh>
Quo facto, $i terminus <math>ff</math> $igno + affectus $it, erit quæ$itæ Hy-
perbolæ diameter in recta A W ip$i B E parallela, ad quam or-
dinatim applicatæ, ut E W, $unt ip$i A M æquidi$tantes. Sin con-
<fig>
<var>P W P E Y X Y P W P O V T Q D H T R L V R K T Q H T M L C O S N A G S I F C I B S N G S O F V M T Q D H T R L V R K T Q H T L O</var>
tra, hoc e$t, $i terminus <math>ff</math> $igno - $it affectus, erit diameter in
prædicta recta A M, ita ut ordinatim ad eam applicatæ cum ip$a

<pb 324>[880]<rh>E<sc>LEM. CVRVARVM</sc></rh>
faciant angulos angulo A M E vel A M B E æquales: eritque tam
unius quàm alterius Hyperbolæ centrum in puncto A. Et quan-
tùm ad earundem latera tam tran$ver$a quàm recta, erit ejus Hy-
perboles, quæ ad diametrum A W de$cribitur, $emi-latus tran$-
ver$um <math>= f</math> (idque iterum exprimatur per A C vel A F), & ratio
eju$dem tran$ver$i lateris ad rectum, ut <math>aal</math> ad <math>eeg</math>; po$ito nimi-
rum quòd ratio ip$ius A B ad ductam A M $it ut <math>a</math> ad <math>e</math>; at verò
Hyperboles, quæ ad diametrum A M de$cribitur, $emi-latus
tran$ver$um erit A G vel A N. Quæ quidem A G vel A N erit
<math>= {ef / a}</math>; cum $it ut A B ad A M, $ive ut <math>a</math> ad <math>e</math>; ita A C vel A F, hoc
e$t, <math>f</math>, ad A G vel A N; & ratio eju$dem tran$ver$i lateris ad re-
ctum, ut <math>eel</math> ad <math>aag</math>. Si enim prædicta Hyperbola de$cripta intel-
ligatur, tran$iens per prædictum punctum C in diametro A W
& per punctum G in diametro A M, præ$upponaturque rectam
M E vel W E ordinatim ad ea$dem diametros applicatas à prædi-
cta Hyperbola $ecari in puncto E: erit M B E vel <math>A X W = y +
{bx / a}</math>, & M E vel <math>A W = y - {bx / a}</math>, hoc e$t, A X W $eu M B E, uti &
A W $eu M E ea ip$a erit, quæ pro <math>z</math> a$$umpta e$t. E$t autem A M
$eu <math>W E = {ex / a}</math>, ac porrò ca$u priori, ubi de$cripta e$t Hyperbo-
la ad diametrum A W, (cùm nempe terminus <math>ff</math> $igno + e$t af-
fectus) F W $ive <math>F X W = z + f</math>,
& C W $ive <math>C X W = z - f</math>:
ideoque rectangulum
F W C vel <math>F X W C = zz - ff</math>, & quadratum <math>W E = {eexx / aa}</math>.</p>
<p>Cumque $it ut latus tran$ver$um ad rectum, ita prædictum re-
ctangulum ad prædictum quadratum, hoc e$t, eo ca$u ut <math>aal</math> ad
<math>eeg</math>, ita <math>zz - ff</math> ad <math>{eexx / aa}</math>: erit <math>eelxx = eegzz - eegff</math>, &, omni-
bus per <math>eeg</math> divi$is, <math>{lxx / g} = zz - ff</math>, id e$t, <math>zz = {lxx / g} + ff</math>.</p>
<p>At verò ca$u po$teriori, ubi de$cripta e$t Hyperbola ad dia-
metrum A M, cùm nempe terminus <math>ff</math> $igno - e$t affectus, erit
<math>N M = {ex / a} + {ef / a}</math>, & <math>GM = {ex / a} - {ef / a}</math>: ideoque rectangulum <math>N M G
= {eexx / aa} - {eeff / aa}</math>. Cumque $it ut latus tran$ver$um ad rectum, id
e$t, hoc ca$u, ut <math>eel</math> ad <math>aag</math>, ita prædictum rectangulum N M G

<pb 325>[881]<rh>L<sc>IB. II. CAP. IV</sc>.</rh>
ad M E vel M B E quadratum, hoc e$t, ad <math>zz</math>: erit ut <math>eel</math> ad <math>aag</math>,
ita <math>{eexx - eeff / aa}</math> ad <math>zz</math>: ac proinde <math>eelzz = eegxx - eegff</math>.
<fig>
<var>P W P E Y X Y P W P O V T Q D H T R L V R K T Q H T M L C S O S N A G I F C I B S N G S O F V M T Q D H T R L V R K T Q H T O L</var>
</fig>
Hoc e$t, factâ divi$ione per <math>eeg</math>, erit <math>{lzz / g} = xx - ff</math>. Quod hîc
demon$trandum erat.</p>

<pb 326>[882]<rh>E<sc>LEM. CVRVARVM</sc></rh>
<p>Si denique tertiò <math>z</math> a$$umpta $it pro <math>y 🜶 {bx / a} 🜶 c</math>, ductâ, ut $u-
<mgl>§. 3.</mgl>
pra, <math>A D = f</math>, & D K ip$i A B parallelâ, $umptoque in linea K E
puncto O; ita ut D K ad K O $it, $icut <math>a</math> ad <math>b</math>, hoc e$t, ut K O $it
<math>= {bx / a}</math>, ducenda e$t per puncta D & O recta D O, $ecans prædi-
ctam H C H in H, atque occurrens præfatæ Q F Q in Q. (Con-
$tat autem ex $uperiùs explicatis prædictum punctum O, $i in æ-
quatione habeatur <math>- {bx / a}</math>, ab eadem parte lineæ A B $umendum
e$$e, quâ datus aut a$$umptus e$t angulus A B E; at $i habeatur
<math>+ {bx / a}</math>, illud ip$um punctum ex altera eju$dem lineæ parte $umi
debere.) Quo facto, $i terminus <math>ff</math> $igno + affectus $it, erit dia-
meter quæ$itæ Hyperbolæ in recta D W. Sin contra, hoc e$t, $i
terminus <math>ff</math> $igno - $it affectus, erit ip$a in prædicta recta D O;
ita ut ad ea$dem diametros ordmatim applicatæ angulos faciant
angulo D W E $ive D X W E, aut D O E $ive D O K E æquales:
eritque tam unius quàm alterius Hyperbolæ centrum in pun-
cto D. Et quantùm ad earundem latera tam tran$ver$a quàm re-
cta, erit ejus Hyperbolæ, quæ ad diametrum D W de$cribitur,
hoc e$t, cùm terminus <math>ff</math> $igno + afficitur, latus tran$ver$um <math>= f</math>.
idque hîc iterum exprimatur per D V vel D L, ac ratio eju$dem
lateris tran$ver$i ad rectum, ut <math>aal</math> ad <math>eeg</math>; at verò Hyperboles,
quæ ad diametrum D O de$cribitur, nimirum, quando terminus
<math>ff</math> $igno - affectus e$t, erit $emi-latus tran$ver$um recta D Q vel
D H, id e$t, <math>{ef / a}</math>; atque ratio eju$dem lateris tran$ver$i ad rectum,
ut <math>eel</math> ad <math>aag</math>. Si enim de$cripta intelligatur Hyperbola, tran$iens
per punctum V in diametro D W & per punctum H in dia-
metro D O, $upponaturque eandem Hyperbolam $ecare rectam
W E vel O E in puncto E, erit O K B E $ive <math>D A X W = y + c +
{bx / a}</math>, & O E $ive <math>D W = y - c - {bx / a}</math>, ac O B E $ive <math>D A W = y + c
- {bx / a}</math>, atque O K E vel <math>D X W = y - d + {bx / a}</math>. Hoc e$t, erunt
omnes illæ prænominatæ lineæ eædem, quæ pro <math>z</math> a$$umptæ $unt.
E$t autem D O $eu <math>W E = {ex / a}</math>, ideoque quadratum <math>W E = {eexx / aa}</math>:
ac porrò ca$u priori, ubi de$cripta e$t Hyperbola ad diametrum

<pb 327>[883]<rh>L<sc>IB. II. CAP. IV</sc>.</rh>
D W, cùm nempe terminus <math>ff</math> $igno + afficitur, L W $ive
<math>L X W = z + f</math>, & V W $ive <math>V X W = z - f</math>: ideoque rectan-
gulum L W V $ive <math>L X W V = zz - ff</math>. Cumque $it ut latus
<fig>
<var>P W P E Y X Y P W P O V T Q D H T R L V R K T Q H T M L C O S N A G S I F C I B S N G S O F V T Q D H T R L V R K T Q H T L O</var>
</fig>
tran$ver$um ad rectum, ita prædictum rectangulum ad W E
quadratum, hoc e$t, eo ca$u, ut <math>aal</math> ad <math>eeg</math>, ita <math>zz - ff</math> ad

<pb 328>[884]<rh>E<sc>LEM. CVRVARVM</sc></rh>
<math>{eexx / aa}</math>: erit <math>eelxx = eegzz - eegff</math>, ac, divi$is omnibus per <math>eeg</math>,
<math>{lxx / g} = zz - ff</math>, $ive <math>zz = {lxx / g} + ff</math>.</p>
<p>At verò ca$u po$teriori, ubi de$cripta e$t Hyperbola ad dia-
metrum D O, erit <math>Q O = {ex / a} + {ef / a}</math>, & <math>H O = {ex / a} - {ef / a}</math>; ideo-
que rectangulum <math>Q O H = {eexx - eeff / aa}</math>. Cumque iterum $it, ut la-
tus tran$v er$um ad rectum, ita prædictum rectangulum Q O H ad
quadratum ex O K B E vel O E, $ive O B E aut O K E: id e$t,
eo ca$u, ut <math>eel</math> ad <math>aag</math>, ita <math>{eexx - eeff / aa}</math> ad <math>zz</math>: erit quoque proin-
de <math>eelzz = eegxx - eegff</math>. Hoc e$t, divi$is omnibus per <math>eeg</math>,
erit <math>{lzz / g} = xx - ff</math>. Quæ quidem omnia $unt, quæ ca$u $upe-
riori in triplici $ua di$tinctione determinanda ac demon$tranda
erant.</p>
<p>Si verò quantitatum incognitarum ab initio conceptarum, al-
<mgl>_Ca$us_
3<_>_tius_</_>, _cùm_
_Locus e$t_
_Hyper-_
_bola_.</mgl>
terâ ex æquatione $ublatâ, aliâque eju$dem loco $ecundùm Re-
gulam a$$umptâ, æquatio $it <math>yy = {lvv / g} + ff</math>, (id e$t, <math>yy - ff = {lvv / g}</math>)
aut <math>{lyy / g} = vv - ff</math>; atque ip$a <math>v</math> tantùm a$$umpta $it pro <math>x 🜶</math> notâ
aliquâ quantitate, Sit <math>v</math> a$$umpta pro <math>x 🜶 h</math>; Hoc ca$u in linea A B
vel eadem productâ $umendum e$t punctum I, ita ut A I $it <math>= h</math>
(quod quidem punctum I, $i <math>v</math> a$$umpta fuerit pro <math>x - h</math>, ab A
versùs B; Sin contra, ab altera parte puncti A in producta B A
$umi debet.) Quo facto, erit idem illud punctum I centrum de-
$cribendæ Hyperboles, &, mutatis mutandis, cætera omnia, ut
$upra ca$u I<_>mo</_> memoratum e$t, nempe, diameter in recta I Y vel
in recta I B, $emi-latus tran$ver$um <math>= f</math>, atque proportio lateris
tran$ver$i ad rectum, ut <math>l</math> ad <math>g</math>.</p>
<p>Si denique quantitatum incognitarum, primò conceptarum,
<mgl>_Ca$us_
4<_>_tus_</_>, _cùm_
_Locus_
_e$t Hyper-_
_bola_.</mgl>
utrâque ex æquatione $ublatâ, aliisque earundem loco juxta Re-
gulam a$$umptis, æquatio $it <math>zz = {lvv / g} + ff</math>, (id e$t, <math>zz - ff =
{lvv / g}</math>), aut <math>{lzz / g} = vv - ff</math>; atque <math>z</math> primùm a$$umpta $it pro <math>y 🜶 c</math>,
ducenda e$t utrinque I R parallela B E, & <math>= c</math>: quo facto, e-
rit idem illud punctum R centrum, & diameter in recta R Y

<pb 329>[885]<rh>L<sc>IB. II. CAP. IV</sc>.</rh>
vel R K, eju$que $emi-latus tran$ver$um <math>= f</math>, ac ratio tran$ver-
$i lateris ad rectum, ut <math>l</math> ad <math>g</math>. quemadmodum ea omnia, mu-
tatis mutandis, ca$u $ecundo § I. fu$iùs explicata $unt.</p>
<fig>
<var>P W P E Y X Y P W P O V T Q D H T R L V R K T Q H T M L C O S N A G S I F C I B S N G S O F V M T Q D H T R L V R K T Q H T L O</var>
</fig>
<p>At $i <math>z</math> a$$umpta fuerit pro <math>y 🜶 {bx / a}</math>, erit punctum S, in
<mgl>§ 2.</mgl>

<pb 330>[886]<rh>E<sc>LEM. CVRVARVM</sc></rh>
quo MA, vel quæ ip$i in directum adjungitur, per prædictam
IR, vel eandem productam, $i opùs $it, inter$ecatur, centrum $e-
ctionis; & cætera omnia, mutatis mutandis, ut $upra ca$u $ecundo
§. 2. memoratum e$t. Nempe erit $ectionis diameter in recta S P
vel S M (atque ut ibidem A M $eu E W erat <math>= {ex / a}</math>, ita hîc S M $eu
E P erit <math>= {ev / a}</math>: cum $it ut A B ad A M, hoc e$t, ut <math>a</math> ad <math>e</math>, ita B I,
hoc e$t, <math>v</math>, ad S M); eritque porrò $emi-latus tran$ver$um <math>= f</math> &
<math>{ef / a}</math> re$pectivè, ac ratio tran$ver$i lateris ad rectum, ut <math>aal</math> ad <math>eeg</math>,
vel ut <math>eel</math> ad <math>aag</math>.</p>
<p>Si denique <math>z</math> a$$umpta fuerit pro <math>y 🜶 {bx / a} 🜶 c</math>, erit punctum T,
<mgl>§. 3.</mgl>
in quo D O, vel quæ ip$i in directum adjungitur, per prædi-
ctam I R, vel productam, $i opùs $it, inter$ecatur, centrum; &
reliqua omnia, mutatis mutandis, ut paragrapho præcedenti,
& $upra ca$u $ecundo §. 3. fu$iùs expo$itum e$t. Atque eorum
omnium demon$tratio in præcedentibus explicitè e$t compre-
hen$a, cum termini & quantitates omnes hîc cum prioribus con-
veniant, excepto tantùm, quòd, quæ ibidem de$ignabantur per <math>x</math>,
hîc $int <math>x 🜶 b</math>, hoc e$t, <math>v</math>. Ita enim quod ibi erat A B & <math>E X = x</math>,
hîc e$t I B & <math>E Y = v</math>; quod ibi erat D K & <math>E X = x</math>, hîc e$t R K
& <math>E Y = v</math>; quod ibi erat A M & <math>E W = {ex / a}</math>, hîc e$t S M & <math>E P =
{ev / a}</math>; quod ibi erat D O & <math>E W = {ex / a}</math>, hîc e$t T O & <math>E P = {ev / a}</math>.</p>
<p>Quamvis autem $ecundùm Regulam accidere etiam po$$it, ut
<math>v</math> compo$ita $it ex <math>x 🜶</math> aliâ quâdam quantitate, cui & incognita <math>y</math>
permixta $it; ita tamen, ut eo ca$u <math>z</math> $olummodo ex <math>y 🜶</math> aliâ quanti-
tate in totum cognitâ con$tare queat, haudquaquam tamen operæ
pretium exi$timamus, ca$us omnes eò $pectantes $peciatim per$e-
qui: cum ex iis, quæ tam in Locis Parabolicis quàm in po$teriori
exemplo reductionis æquationum ad formulas Theorematum
12<_>mi</_> & 13<_>tii</_> $uperiùs ex plicata $unt, iidem illi ca$us per $e manife$ti
$int atque in præcedentibus etiam omnino plenèque comprehen-
dantur, $i nimirum, $ub$tituto per omnia <math>x</math> loco <math>y</math> & vice versâ, ea-
dem <math>x</math> non per rectam A B $ed per eam, quæ ex A ip$i B E paral-
lela ducta $it, atque <math>y</math> non per B E $ed per rectam ip$i A B æqui-
di$tantem, de$ignetur, Quòd hîc generaliter monui$$e $uffecerit.</p>

<pb 331>[887]<rh>L<sc>IB. II. CAP. IV</sc>.</rh>
<h it>Alii quatuor ca$us, cùm Locus e$t Hyperbola.</h>
<p>Iam verò quod $upra annotavimus accidere quoque
po$$e, ut æquatio $it</p>
<p>1. <math>yx = ff</math>,</p>
<p>2. <math>zx = ff</math>,</p>
<p>3. <math>yv = ff</math>,</p>
<p>4. <math>zv = ff</math>,</p>
<p>omnibusque i$tis ca$ibus Locum quæ$itum e$$e Hyper-
bolam, ejus determinatio $ive de$criptio atque demon-
$tratio ex iis, quæ jam ante explicata $unt, $ponte quo-
que profluunt.</p>
<p>Primo enim ca$u, $i in recta A B $umatur <math>A C = f</math>, atque ex
puncto C eductâ rectâ C D, quæ ip$i B E $it æquidi$tans & æqualis
priori A C, hoc e$t <math>= f</math>, per A & D recta linea ducatur: erit A
centrum Hyperbolæ, cujus axis e$t in recta A D, & punctum D
vertex, atque A B a$ymptotos. $ive (ductâ rectâ D F ad A D
perpendiculari ac in A B terminata) erit A D $emi-latus tran$-
ver$um, & ratio tran$ver$i ad rectum, ut A D quadratum ad D F
<fig>
<var>D K G K H E I A I C F B K G K H</var>
</fig>
quadratum. Si namque prædicta Hyperbole $ecare $upponatur
rectam B E in puncto E, erit<n 1> rectangulum A B E = quadrato
<mgr 1>_per_ 3
_primi bu-_
_jus_.</mgr>
ex A C vel C D. Quare cum A B $it <math>= x</math>, <math>B E = y</math>, & <math>A C = f</math>: erit
<math>xy = ff</math>. Quod primo ca$u erat demon$trandum.</p>
<p>Secundo ca$u, cùm nempe æquatio e$t <math>zx = ff</math>, oportet ut <math>z</math>
juxta Regulam $it a$$umpta pro <math>y 🜶</math> notâ quâdam quantitate. E$to

<pb 332>[888]<rh>E<sc>LEM. CVRVARVM</sc></rh>
itaque a$$umpta pro <math>y 🜶 c</math>, atque idcirco ad de$cribendam Hyper-
bolam ducatur per punctum A recta A G ip$i B E parallela, ac
<math>= c</math>: $umpto nimirum puncto G vel ab hac vel ab illa parte lineæ
A B, prout <math>c</math> quantitas $igno + vel - fuerit affecta; ductâque
porrò G H ip$i A B parallelâ, centro G, A $ymptoto G H, cæte-
risque, ut$upra, mutatis mutandis, Hyperbole de$cribatur. Hæc
igitur $i $ecare $upponatur rectam B E in puncto E, erit rectan-
gulum G H B E vel <math>G H E = ff</math>. Vnde cum $it <math>G H = x</math>, & H E
vel <math>H B E = y 🜶 c</math>, id e$t, <math>z</math>: erit G H E vel G H B E rectangu-
lum <math>= zx</math>, ac propterea <math>zx = ff</math>. Quod 2<_>do</_> ca$u demon$tran-
dum erat.</p>
<p>Tertio ca$u, nempe $i æquatio $it <math>yv = ff</math>: <math>v</math> quoque tantùm
pro <math>x 🜶</math> notâ quâdam quantitate $umpta $it oportet, veluti pro
<math>x 🜶 h</math>. Ideoque ad inventionem Loci quæ$iti, in recta A B vel in
ipsâ productâ $umenda e$t <math>A I = h</math>, ac porrò centro I, atque
A$ymptoto I A B vel I B, cæterisque, ut $upra, mutatis mutan-
dis, de$cribenda e$t Hyperbola, quæ $i rectam B E $ecare $uppo-
natur in E: erit rectangulum I A B E vel <math>I B E = ff</math>. Quare cum
I A B vel I B $it <math>= x 🜶 h</math>, hoc e$t, <math>v</math>, & <math>B E = y</math>: erit <math>yv = ff</math>.
Quod 3<_>tio</_> ca$u demon$trandum erat.</p>
<p>Denique quarto ca$u, $i nempe æquatio $it <math>zv = ff</math>: erit <math>z</math> a$-
$umpta pro <math>y 🜶 c</math>, & <math>v</math> pro <math>x 🜶 h</math>. Ideoque per prædictum punctum
I ducenda e$t I K ip$i BE æquidi$tans & <math>= c</math>; ductâque K H ip$i A B
parallelâ, centro K, atque A $ymptoto K G H vel K H, cæterisque,
ut ca$u 1<_>mo</_>, mutatis mutandis Hyperbole de$cribenda e$t, quæ
$i $ecare $upponatur rectam B E in E: erit rectangulum K G H E
vel K H E, ut & K G H B E vel <math>K H B E = ff</math>. Hinc cum H B E
vel H E $it <math>= y 🜶 c</math>, id e$t, <math>z</math>, & K G H vel <math>K H = x 🜶 h</math>, hoc e$t,
<math>v</math>: erit <math>zv = ff</math>. Quod 4<_>to</_> ca$u demon$trandum erat.</p>
<p>Atque hæc quidem omnia $unt, quæ circa inventionem Loco-
rum eo ca$u, quo iidem $unt in linea Hyperbolica, con$ideranda
veniunt.</p>
<p>Altero autem ca$u generali formularum $ub N<_>ro</_> 3. compre-
hen$arum, cùm nempe terminus, in quo invenitur <math>xx</math> vel <math>vv</math> $i-
gno - $it affectus, ac proinde Locus quæ$itus vel Ellip$is vel
Circuli circumferentia exi$tit, $i in æquatione fractio reperiatur,
rejici quoque illa poterit majoris per$picuitatis gratiâ in termi-
num <math>yy</math> vel <math>zz</math>. Quo facto primò, remanente utrâque quantitate

<pb 333>[889]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. IV.</rh>
incognitâ ab initio conceptâ, $equenti formulâ $e exhibebit æ-
quatio <math>{lyy / g} = ff - xx</math>: eritque, ut in $equenti figura, de$cribendæ
<mgr>_Ca$us_
I_<_>mus</_>, cùm_
_Locus vel_
_Ellip$is_
_vel Circu-_
_li circum-_
_ferentia_
_exi$tit_.</mgr>
Ellip$eos diameter in recta A B, quæ pro <math>x</math> indeterminatè e$t con-
cepta, ita ut ad eandem diametrum ordinatim applicatæ cum ea
angulos faciant, dato vel a$$umpto angulo A B E æquales; ac cen-
trum in puncto A, & $emi-latus tran$ver$um <math>= f</math>. id quod in di-
cta diametro per lineam A C vel A F exprimatur, eritque ratio
eju$dem tran$ver$i lateris ad rectum, ut <math>l</math> ad <math>g</math>.</p>
<p>Si enim de$cripta intelligatur prædicta Ellip$is, tran$iens per
puncta C & F, $ecansque applicatam B E in puncto E: erit <math>F B
= f + x</math>, & <math>B C = f - x</math>: ideoque rectangulum <math>F B C = ff - xx</math>.
At cum ex natura Ellip$eos, lateribus recto tran$ver$oque æqua-
libus, prædictum rectangulum F B C <n 1> $it = quadrato ex B E,
<mgr 1>_per 13_
_primi bu-_
_jus._</mgr>
hoc e$t, <math>yy</math>: erit quoque proinde eo ca$u <math>yy = ff - xx</math>. Et facilè
<fig>
<var>E H Q O T T N R D R K G L V T T M Q S S O H F I A I B C Q S S O H T T M L R R K V N D G T T O Q H</var>
</fig>
apparet, $i, ii$dem po$itis, B E $uper rectam F C foret quoque
perpendicularis, hoc e$t, ut angulus quem ordinatim applicatæ
faciunt ad diametrum $it rectus, prædictam curvam fore Circuli
circumferentiam.</p>
<p>Cum autem porrò, lateribus tran$ver$o rectoque inæqualibus

<pb 334>[890]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
atque in ratione ut <math>l</math> ad <math>g</math>, eadem $it ratio <n 1> rectanguli F B C ad
<mgl 1>_per 13_
_primi bu-_
_jus._</mgl>
B E quadratum, quæ e$t lateris tran$ver$i ad rectum, hoc e$t, ut
<math>l</math> ad <math>g</math>: ex prædictis palàm e$t fore ut <math>l</math> ad <math>g</math>, ita <math>ff - xx</math> ad <math>yy</math>,
hoc e$t, e$$e <math>{lyy / g} = ff - xx</math>. Quod eo ca$u demon$trandum erat.</p>
<p>At $i, quantitatum incognitarum primò conceptarum unâ ex
<mgl>_Ca$us_
2_<_>dus</_>, cùm_
_Locus e$t_
_vel Ellip$is_
_vel Circuli_
_cir cumfe-_
_rentia._</mgl>
æquatione $ublatâ aliâque in eju$dem locum juxta Regulam a$-
$umptâ, æquatio $it <math>{lzz / g} = ff - xx</math>: aut <math>z</math> a$$umpta erit pro <math>y 🜶 c</math>,
aut pro <math>y 🜶 {bx / a}</math>, aut pro <math>y 🜶 c 🜶 {bx / a}</math>.</p>
<p>Et primùm quidem, $i <math>z</math> a$$umpta fuerit pro <math>y 🜶 c</math>, ducenda e$t
<mgl>§ 1.</mgl>
per punctum A recta A D ip$i B E parallela ac <math>= c</math>, ita ut, $i <math>z</math>
fuerit a$$umpta pro <math>y - c</math>, prædictum punctum D cadat ab eadem
parte lineæ A B, quâ datus vel conceptus e$t angulus A B E; $in
contra <math>z</math> fuerit a$$umpta pro <math>y + c</math>, idem illud punctum D ab al-
tera parte lineæ A B reperiatur. Deinde ductâ per D rectâ D K
ip$i A B parallelâ, quæ $ecet rectam B E, productam versùs B, $i
opùs fuerit, in puncto K, erit quæ$itæ Ellip$eos diameter in recta
D K, ad quam ordinatim applicatæ cum ea angulos faciant, dato
vel a$$umpto angulo A B E $eu D K E æquales. Punctum autem
D centrum erit, & $emi-latus tran$ver$um <math>= f</math>. quod in dictis
diametris per lineas D V & D L exprimatur, eritque ratio tran$-
ver$i lateris ad rectum, ut <math>l</math> ad <math>g</math>.</p>
<p>Si enim prædicta Ellip$is de$cripta intelligatur tran$iens per
puncta L & V, quæ $upponatur $ecare rectam B E, ad prædictam
diametrum ordinatim applicatam, in puncto E: erit <math>K B E = y + c</math>,
& <math>K E = y - c</math>, ideoque eadem K B E vel K E ea ip$a, quæ pro <math>z</math>
a$$umpta e$t. Cumque L K $it <math>= f + x</math>, & <math>K V = f - x</math>: erit re-
ctangulum <math>L K V = ff - xx</math>. Atcum eadem $it ratio dicti re-
ctanguli L K V ad quadratum ex K B E vel K E, hoc e$t, ad <math>zz</math>,
quæ e$t lateris tran$ver$i ad rectum, hoc e$t, ut <math>l</math> ad <math>g</math>: erit ut <math>l</math> ad
<math>g</math>, ita <math>ff - xx</math> ad <math>zz</math>, hoc e$t, erit <math>{lzz / g} = ff - xx</math>. Quod quidem,
$i <math>l</math> $it = <math>g</math>, idem e$t ac <math>zz = ff - xx</math>. Atque hîc iterum facilè ap-
paret, quòd, exi$tente angulo D K B E vel D K E recto, & <math>l = g</math>,
hoc e$t, rectangulo L K V = K E quadrato, prædicta curva Cir-
culus $it futura.</p>
<p>At verò, $i _z_ a$$umpta fuerit pro <math>y 🜶 {bx / a}</math>, $umpto in linea B E,
<mgl>§ 2.</mgl>

<pb 335>[891]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. IV.</rh>
productâ versùs B, $i opùs fuerit, puncto M; ita ut A B ad B M
$it, $icut <math>a</math> ad <math>b</math>, hoc e$t, ut B M $it <math>= {bx / a}</math>, (quod quidem punctum
M, $i <math>z</math> a$$umpta fuerit pro <math>y - {bx / a}</math>, ab eadem parte lineæ A B, quâ
datus vel conceptus e$t angulus A B E, $umi debet; $in contra, <math>z</math>
pro <math>y + {bx / a}</math> a$$umpta fuerit, ab altera eju$dem lineæ A B parte $u-
mendum e$t) oportet per puncta A & M rectam lineam ducere
N A M G, $ecantem rectam H C H, atque occurrentem ip$i
Q F Q, quæ per prædicta puncta C & F ip$i B E ductæ $unt æqui-
di$tantes, in G & N. Quo facto, erit quæ$itæ Ellip$eos diameter
<fig>
<var>E Q H O T T N R D R K G L V T T M Q S S O H F I A I B C Q S S O H T T M L R R K V N D G T T O Q H</var>
</fig>
in recta N G, ita ut ad eandem diametrum ordinatim applicatæ
cum ea angulos faciant, angulo A M E vel A M B E æquales.
Porrò centrum eju$dem erit in puncto A, & $emi-latus tran$ver-
$um erit recta A N vel A G. (quæ quidem A N vel A G, $i ratio
A B ad A M $upponatur ut <math>a</math> ad <math>e</math>, æquabitur <math>{ef / a}</math>: cum $it ut A B
ad A M, $ive ut <math>a</math> ad <math>e</math>, ita A C, hoc e$t, <math>f</math>, ad A G.) Denique ra-
tio tran$ver$i lateris ad rectum erit ut <math>eel</math> ad <math>aag</math>, id e$t, $i <math>l</math> $it

<pb 336>[892]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
<math>= g</math>, $ive, quod idem e$t, $i termino <math>zz</math> nulla adhæreat fractio,
ut <math>ee</math> ad <math>aa</math>, hoc e$t, ut A M quadratum ad quadratum A B.</p>
<p>Etenim $i prædicta Ellip$is de$cripta intelligatur, tran$iens
per N & G, $upponaturque eandem $ecare rectam M E vel
M B E, ad prædictam diametrum ordinatim applicatam in pun-
cto E: erit eadem <math>M E = y - {bx / a}</math>, & <math>M B E = y + {bx / a}</math>, ac
proinde ea ip$a, quæ pro <math>z</math> a$$umpta e$t. Cumque A M $it <math>=
{ex / a}</math>, erit <math>N M = {ef / a} + {ex / a}</math>, & <math>M G = {ef / a} - {ex / a}</math>: ideoque rectan-
gulum <math>N M G = {eeff / aa} - {eexx / aa}</math>. At cum eadem $it ratio dicti re-
ctanguli N M G ad quad ratum ex M B E vel M E, quæ e$t la-
teris tran$ver$i ad rectum, hoc e$t, eadem quæ <math>eel ad <math>aag</math>: erit
quoque ut <math>eel</math> ad <math>aag</math>, ita <math>{eeff - eexx / a }</math> a d <math>zz</math>, ac proinde <math>eelzz
= eegff - eegxx</math>. id e$t, factâ divi$ione per <math>eeg</math>, erit <math>{lzz / g}
= ff - xx</math>. $ive, po$itâ <math>l = g, zz = ff - xx</math>. Vnde ex ante di-
ctis iterum apparet, quòd $i angulus A M B E vel A M E rectus $it,
ac $imul <math>eel = aag</math>, hoc e$t, rectangulum N M G = quadrato
ex M E vel M B E, prædictam curvam fore Circulum, cujus cen-
trum $it A, & $emi-diameter A N vel A G.</p>
<p>Denique $i tertiò _z_ a$$umpta $it pro <math>y 🜶 c 🜶 {bx / a}</math>, ductâ, ut $u-
<mgl>§ 3.</mgl>
pra, <math>A D = f</math>, & D K ip$i A B parallelâ, $umptoque in linea K E
puncto O, ita ut D K ad K O $it, $icut <math>a</math> ad <math>b</math>, hoc e$t, ut K O
$it <math>= {bx / a}</math>: ducenda e$t per puncta D & O recta Q D O H, $ecans
prædictam H C H in H, atque occurrens præfatæ Q F Q in Q.
(con$tat autem ex iis, quæ jam $æpiùs monita $unt, $i habeatur
<math>- {bx / a}</math>, prædictum punctum O ab eadem parte lineæ D K, quâ
datus vel a$$umptus e$t angulus D K E, $umendum e$$e; at $i ha-
beatur <math>+ {bx / a}</math>, illud ip$um ab altera eju$dem lineæ parte $umi de-
berc.) Quo facto, erit de$cribendæ Ellip$eos diameter in præ-
dicta recta Q D H, ita ut ad eandem diametrum ordinatim ap-

<pb 337>[893]<rh>L<sc>IB</sc>. II. C<sc>AP</sc>. IV.</rh>
plicatæ cum ea angulos faciant, angulo D O K E vel D O E
æquales. Porrò centrum erit in D, & $emi-latus tran$ver$um
D Q vel D H = A N $eu <math>{ef / a}</math>, ac ratio tran$ver$i lateris ad rectum,
ut <math>eel</math> ad <math>aag</math>.</p>
<p>Si enim quæ$ita Ellip$is de$cripta intelligatur, tran$iens per
puncta Q & H, eademque $ecare $upponatur rectam O E vel
O K E in puncto E: erit <math>O K B E = y + c + {bx / a}</math>, O E =
<fig>
<var>E Q H O T T N R D R K G L V T T M Q S A S O H F I I B C Q S S O H T T M L R R K V N D G T T O Q H</var>
</fig>
<math>y - c - {bx / a}</math>, <math>O B E = y + c - {bx / a}</math>, & <math>O K E = y - c +
{bx / a}</math>: ac proinde prænominatæ illæ lineæ eædem erunt, quæ pro
_z_ a$$umptæ $unt. Cumque porrò $it D O $eu <math>A M = {ex / a}</math>, ideoque
<math>Q O = {ef / a} + {ex / a}</math>, & <math>O H = {ef / a} - {ex / a}</math>: erit rectangulum <math>Q O H
= {eeff - eexx / aa}</math>. Atcum eadem $it ratio dicti rectanguli Q O H

<pb 338>[894]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVARVM</sc></rh>
ad quadratum ex O K B E vel O E, aut ad quadratum ex O B E
vel O K E, quæ e$t tran$ver$i lateris ad rectum, hoc e$t, ut <math>eel</math>
ad <math>aag</math>: erit quoque ut <math>eel</math> ad <math>aag</math>, ita <math>{eeff - eexx / aa}</math> ad <math>zz</math>;
ac propterea <math>eelzz = eegff - eegxx</math>, &, divi$is omnibus
per <math>eeg</math>, <math>{lzz / g} = ff - xx</math>. id e$t, $i <math>l</math> $it <math>= g</math>, erit <math>zz = ff
- xx</math>.</p>
<p>Atque hîc iterum facilè apparet, $i angulus D O K B E, D O E,
D O B E, vel D O K E rectus foret, & $imul <math>eel = aag</math>, præ-
dictam curvam fore Circulum. Quæ quidem omnia $unt, quæ
$upra dicto ca$u in triplici $ua variatione demon$tranda erant.</p>
<p>Si verò quantitatum incognitarum ab initio conceptarum al-
<mgl>_Ca$us_
3<_>_tius_</_>, _cùm_
_Locus e$t_
_vel Elli-_
_p$is vel_
_Circuli_
_circumfe-_
_rentia._</mgl>
terâ ex æquatione $ublatâ, aliâque eju$dem loco $ecundùm Re-
gulam a$$umptâ, æquatio $it <math>{lyy / g} = ff - vv</math>, atque ip$a <math>v</math> a$$um-
pta $it pro <math>x 🜶</math> notâ aliquâ quantitate; Sit <math>v</math> a$$umpta pro <math>x 🜶 b</math>,
eritque eo ca$u in linea A B vel A F $umendum punctum I; ita
ut A I $it <math>= b</math>. (quod quidem punctum I, $i <math>v</math> a$$umpta fuerit pro
<math>x - b</math>, ab A versùs B; $in contra ab A versùs F $umi debet.)
Quo facto, erit idem punctum I centrum de$cribendæ Elli-
p$eos, &, mutatis mutandis, cætera omnia, ut $upra, ca$u
primo memoratum e$t. Hoc e$t, diameter erit in recta I B, ac
$emi-latus tran$ver$um erit <math>= f</math>, atque ratio tran$ver$i lateris ad
rectum, ut <math>l</math> ad <math>g</math>.</p>
<p>Si denique quantitatum incognitarum primùm conceptarum
<mgl>_Ca$us_
4<_>_tus_</_>, _cùm_
_Locus vel_
_Ellip$is vel_
_Circuli_
_circumfe-_
_rentia exi-_
_$tit._</mgl>
utrâque ex æquatione $ublatâ, aliisque earundem loco juxta Re-
gulam a$$umptis, æquatio $it <math>{lzz / g} = ff - vv</math>; atque <math>z</math> primò
a$$umpta $it pro <math>y 🜶 c</math>, ducenda e$t utrinque I R, parallela ip$i
B E, ac <math>= c</math>. Quo facto, erit idem punctum R centrum Elli-
p$eos, & diameter ejus in recta R K vel R L, eritque ejus $emi-
<mgl>§. 1.</mgl>
latus tran$ver$um <math>= f</math>, ac ratio tran$ver$i lateris ad rectum, ut <math>l</math>
ad <math>g</math>. quemadmodum ea omnia Ca$u 2<_>do</_> § 1, mutatis mutandis,
fu$iùs explicata $unt.</p>
<p>At $i <math>z</math> a$$umpta fuerit pro <math>y 🜶 {bx / a}</math>, erit punctum S, ubi M A,
<mgl>§. 2.</mgl>

<pb 339>[895]<rh>L<sc>IB</sc> II. C<sc>AP</sc> IV.</rh>
vel, quæ ip$i in directum adjungitur, per prædictam I R,
productam, $i opùs fuerit, inter$ecatur, centrum Ellip$eos;
& cætera omnia, mutatis mutandis, ut $upra ca$u $ecun-
do §. 2. memoratum e$t. Nempe erit $ectionis diameter
in recta S M, (atque ut ibidem erat <math>A M = {ex / a}</math>, ita hîc S M
erit <math>{ev / a}</math>: cum $it ut B A ad A M, hoc e$t, ut <math>a</math> ad <math>e</math>, ita
BI, id e$t, <math>v</math>, ad S M:) eritque porrò $emi-latus tran$-
<fig>
<var>E Q H O T T N R D R K G L V T T M Q S A S O H F I I B C Q S S O H T T M L R R K V N D G T T O Q H</var>
</fig>
ver$um <math>= {ef / a}</math>, & ratio tran$ver$i lateris ad rectum, ut <math>eel</math>
ad <math>aag</math>.</p>
<p>Denique $i <math>z</math> a$$umpta fuerit pro <math>y 🜶 c 🜶 {bx / a}</math>, erit pun-
<mgl>§. 3.</mgl>
ctum T, in quo D O, vel, quæ ip$i in directum adjungitur,
per prædictam I R, productam, $i opùs fuerit, inter$eca-
tur, centrum Ellip$eos; & reliqua omnia, mutatis mutan-
dis, ut paragrapho præcedenti ac $upra ca$u $ecundo §. 3

<pb 340>[896]<rh>E<sc>LEM</sc>. C<sc>VRVAR</sc>. L<sc>IB</sc>. II. CAP. IV.</rh>
fu$iùs explicatum e$t. Nempe erit diameter in recta T O, &
$emi-latus tran$ver$um <math>= {ef / a}</math>, ac ratio tran$ver$i lateris ad re-
ctum, ut <math>eel</math> ad <math>aag</math>. Atque eorum omnium demon$tratio
in præcedentibus explicitè e$t comprehen$a, cum termini &
quantitates omnes hîc cum prioribus conveniant; excepto tan-
tùm, quòd quæ ibidem de$ignabantur per <math>x</math> hîc de$ignentur
per <math>x 🜶 b</math>, hoc e$t, <math>v</math>. Ita enim quòd ibi erat <math>A B = x</math>, hîc e$t
<math>I B = v</math>; quod ibi erat <math>D K = x</math>, hîc e$t <math>R K = v</math>; quod ibi erat
<math>A M = {ex / a}</math>, hîc e$t <math>S M = {ev / a}</math>; & quod ibi erat <math>D O = {ex / a}</math>, hic
e$t <math>T O = {ev / a}</math>.</p>
<p>Quæ quidem omnia $unt, quæ circa inventionem Loci illo
ca$u, quo idem vel Ellip$is vel Circuli circumferentia exi$tit,
con$ideranda veniunt.</p>
<p>Atque ita generali Regulâ ca$us omnes inveniendi Loca per
æquationes, in quibus neutra quantitatum incognitarum in $e
ducta nec factum $ub ii$dem ad tres dimen$iones a$cendit, $ed
vel quadratum vel planum non excedit, complexi $umus.</p>
<h>FINIS.</h>

<pb>[897]
<h>FRANCISCI à SCHOOTEN,</h>
<h>LEIDENSIS,</h>
<h>_dum viveret in Academia Lugduno - Batava_
_Mathe$eos Profe$$oris,_</h>
<h>TRACTATVS</h>
<h>DE</h>
<h>CONCINNANDIS</h>
<h>DEMONSTRATIONIBVS</h>
<h>GEOMETRICIS</h>
<h>ex Calculo Algebraïco.</h>
<h>_In lucem editus_</h>
<h>à</h>
<h>PETRO à SCHOOTEN,</h>
<p>Franci$ci Fratre.</p>
<fig />
<h>_AMSTELODAMI,_</h>
<p>Ex Typographia B<sc>LAVIANA</sc>, MDC LXXXIII.</p>
<p>_Sumptibus Societatis_</p>

<pb>[898]
<h it>Nobili$$imis & Splendi$$imis Viris, Academiæ Lugdu-
nen$is Cur atoribus vigilanti$$imis,</h>
<p>D. AMELIO à BOVCHORST, Wimmenumi
Domino, de Ordine Eque$tri in Delegatos Præpoten-
tium Hollandiæ Ordinum ad$cripto, & eju$dem ho-
norati$$imi Collegii Præ$idi, Rhenolandiæ Aggerum
Comiti, &c.</p>
<p>D. GERARDO SCHAEP, I. C. Cortenhoevii
Domino, Exlegato ad Sereni$$imos Daniæ Sueciæque
Reges, antehac in Con$e$$u Ordinum Generalium &
Collegii Ordinum Hollandiæ Con$iliariorum Dele-
gato, Magnificæque Reip. Am$telædamen$is Excon-
$uli, & nunc Ærarii urbani Præfecto.</p>
<p>D. CORNELIO <sc>DE</sc> BEVERE, Equiti Aurato,
Strevelshoeckii, We$t-i$$elmondæ, Lindæ, &c. Domi-
no, Exlegato ad Sereni$$imos Magnæ Britanniæ Da-
niæque Reges, Excon$uli primæ in Hollandiâ Dor-
drechtanorum Vrbis, in Concilio Præpotentium Hol-
landiæ Ordinum ordinario A$$e$$ori.</p>
<h>EORVMQVE COLLEGIS,</h>
<p>_Ampli$$imis, Spectati$$imi$que, florenti$$imæ Reipublicæ Leiden$is Con$ulibus_,</p>
<p>D. CORNELIO à BVYTEVEST.</p>
<p>D. GVILHELMO PAETS, I. C. Aggerum
Rhenolandiæ Chomarcho, &c.</p>
<p>D. PAVLO à SWANENBVRG, I. C. in Præ-
potentium Fœderati Belgii Ordinum Con$e$$u Hollandiæ no-
mine Delegato & A$$e$$ori.</p>
<p>D. RIPPARDO à GROENENDYCK, I. C.</p>
<h>NEC NON</h>
<h>_Ampli$$imo, Con$ulti$$imoque Viro_,</h>
<p>D. IOHANNI à WEVELINCHOVEN, I. C.</p>
<p>Reip. Leiden$is Syndico, & D D. Curatoribus à Secretis.</p>

<pb>[899]
<h it>Nobili$$imi atque Ampli$$imi Viri, Domini
plurimum bonorandi,</h>
<p>CEminam a$$equendæ veritatis metho-
dum, quarum altera Synthe$is $ive
Compo$itio dicta, altera Analy$is vo-
cata $ive Re$olutio, cumprimis in
Mathe$i à Veteribus frequentatam
tritamque fui$$e, palam faciunt ce-
lebria eorundem monumenta. Quo-
rum imitari exempla cupiens meus p. m. Frater, po$t-
quam methodo Synthetica $cientiæ hujus præclara multa
publicis tam $criptis quam prælectionibus cum fructu
tradidi$$et, ad Analy$in quoque, certi$$imam inveniendi
artem, eju$que perficiendæ rationem $ua $tudia conver-
tit. Neque dubitabat quin pleraque omnia, quæ Veteri-
bus tantum gloriæ peperi$$ent, Analy$eos beneficio ac
ope reperta e$$ent: $ed quæ illi, ut inventorum major
admiratio foret, di$$imulato hoc artificio & $uppre$$o,
vulgari tantum Synthe$eos forma exhibui$$ent. Sed cum
Veterum di$$imulatione factum videret, hunc Analyti-
cæ methodi præ$tantem u$um non modo à multis igno-
rari ac negligi, $ed ip$am ejus certitudinem ac evidentiam
à nonnullis $u$pectam haberi, atque adeo $oli Synthe$i
mi$erando labore inhæreretur: con$ultum judicavit hac
peculiari diatriba o$tendere, ip$um quoque Syntheticum
demon$trandi modum in Analy$i contineri, atque ex ea
elici po$$e; ut eo argumento quemvis convinceret, quan-
tum illa & prævaleat, & præferenda $it. Sed vix huic tra-
ctatui $upremam impo$uerat manum, cum, proh dolor,
vita ejus, atque omnis reliqua de eo expectatio, interce-
dente fato abrupta fuit. At vero, ut po$thumus idem at-
que novi$$imus indu$triæ ejus fœtus in publicam lucem,
cui de$tinatus erat, rite & hone$te prodire po$$et: ego, ut

<pb>[900]
defuncti frater unicus, mei e$$e officii atque pietatis exi-
$timavi, non tantum in me recipere editionis promoven-
dæ ac juvandæ curam; $ed etiam pro veneratione & ob-
$ervantia, quæ vobis, Nobili$$imi atque Ampli$$imi Do-
mini, jure multiplici debetur, eundem fœtum inclytæ di-
gnitati ve$træ ac honori con$ecrare. Vtique futurum
$pero, ut cujus ingenii primitias, illu$tribus ve$tris no-
minibus olim in$criptas, propitia benignitate excepi$tis,
hunc quoque ultimum eju$dem fructum gratio$e $u$cipia-
tis. Neque $olita humanitas ve$tra ob$tare $inet meam
offerentis tenuitatem, qui $imul hoc quantulocunque co-
natu pro ve$tris non modo in Fratrem, $ed etiam in p. m.
Parentem meum, longi temporis beneficiis meriti$que
gratum animum profiteri ac te$tari exoptem. Quod qui-
dem pro illis, meque ip$o, luculentius aliquando me fa-
cturum confido, $i & mihi, à prima ætate $imilibus $tu-
diis innutrito, benevolentiæ & favoris ve$tri auram
a$pirare contingat. Interim D<sc>EVM</sc> O<sc>PT</sc>. M<sc>AX</sc>.
$uppliciter oro, ut con$ilia ve$tra & pro Reip. $alute
atque A cademiæ decore curas $ecundet, optimi$que $uc-
ce$$ibus donet.</p>
<h it>Ve$trarum Nobb. & Ampp.</h>
<p>humillimus cliens</p>
<p>P<sc>ETRVS</sc> à S<sc>CHOOTEN</sc>.</p>

<pb 345>[901]
<h>FRANCISCI à SCHOOTEN</h>
<h>Tractatus</h>
<h>De concinnandis Demon$trationibus Geo-
metricis ex Calculo Algebraïco.</h>
<h>L<sc>ECTORI</sc> S.</h>
<p it>_Q_Voniam, quæ in Tractatu boc do-
centur, evidentiùs per exempla quàm
præcepta explicari atque intelligi po$-
$unt: $ufficere judicavi variis diver-
$orum generum exemplis rem aperti$$imè expone-
re, candidéque impertiri. Vale.</p>
<h>P<sc>ROBLEMA.</sc></h>
<p>Datam rectam A B, utcunque $ectam in C, ita produ-
<mgr>_Vide $e-_
_quentem_
_figuram_.</mgr>
cere ad D, ut rectangulum $ub A D, D B comprehen$um
æquetur quadrato rectæ CD.</p>
<h>Series _Analy$eos_ $ive _Re$olutionis_.</h>
<tb math>
Suppo$ito Problemate ut jam facto;
 # voco A C. a
 # # C B. b
& B D vel D E. x: eritque A D. a + b + x, & C D. b + x.
 # # Deinde ut habeatur æquatio,
 # # # Multiplico A D. a + b + x
 # # # per B D vel D E. # x
Eritque rectangulum $ub A D, D B com-
 # # # prehen$um, hoc e$t,ᆷ A D E F. a.x + bx + xx.
</tb>

<pb 346>[902]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<tb>
 # # # Similiter, multiplico C D. b + x
 # # # # per C D vel D G. b + x
 # # # # # + bx + xx
 # # # # # bb + bx
</tb>
<p>Et fit quadratum ex CD, hoc e$t, ᆷ C D G H. <math>bb + 2bx + xx</math>.</p>
<p> # Vnde talis emergit æquatio
<math>ax + bx + xx = bb + 2bx + xx</math>.</p>
<p>Ad quam reducendam tollatur utrinque </math>b x</math> & <math>x x</math>,
 # eritque <math>a x = b b + b x</math>. †</p>
<p>Deinde transferatur _b x_ ad alteram partem, utincognitæ quan-
titates ab una & cognitæ ab altera parte habeantur,
 # & fit <math>ax - bx = bb</math>.</p>
<p>Cujus utraque pars $i dividatur per <math>a - b</math>,
 # invenietur <math>x = {bb / a-b}</math>. Hoc e$t, re$olutâ æqualitate
in proportionem, erit ut <math>a - b</math> ad <math>b</math>, ita <math>b</math> ad <math>x</math>.</p>
<fig>
<var>H G A a b B x D I C x F E</var>
</fig>
<p>Id quod docet, ad producen-
dam A B u$que ad D, qualis re-
quiritur, $umendam e$$e C I æ-
qualem C B, ita ut A I $it <math>= a - b</math>;
ac deinde ad A I & I C vel C B,
hoc e$t, ad <math>a - b</math> & <math>b</math>, e$$e inve-
niendam 3<_>tiam</_> proportionalem
B D.</p>
<p>Vnde tale formari poterit
Theorema, $upponendo rectan-
gulum A D B quadrato ex C D
æquale e$$e.</p>
<p>Si A B producatur ad D, ita ut rectangulum A D B $it
æquale quadrato ex C D : erit A C major quàm C B,
& exce$$us A I ad I C vel C B eandem habebit ratio-
nem, quam C B ad B D.</p>
<p>Cujus demon$tratio eodem ordine procedit quo Analy$is,
$equendo nimirum eju$dem ve$tigia, hoc pacto:</p>

<pb 347>[903]<rh>D<sc>E MONSTRATIONIBVS.</sc></rh>
<tb math>
Cum enim ex hypothe$i ᆷ A D B $it æquale ⃞<_>to</_> ex C D,
 # # # ax + bx + xx = bb + 2bx + xx
 # # ablato utrinque ᆷ<_>10</_> $ub C D & D B,
 # # # # bx + xx
 # erit <n a> ᆷ $ub A C & D B æquale ᆷ<_>10</_> $ub C D & C B<n b>.
<mgr a>_per_ 1 _$e-_
_cundi._</mgr>
<mgr b>_per_ 2 _$e-_
_cundi._</mgr>
 # # # ax # = # bb # + # bx.
Rur$us auferatur utrinque ᆷ $ub I C vel C B & B D, id e$t, b x,
 # eritque <n c> ᆷ $ub A I & B D æquale ⃞<_>to</_> ex C B <n d>.
<mgr c>_per_ 1 _$e-_
_cundi._</mgr>
<mgr>d _per_ 3 _$e-_
_cundi._</mgr>
 # # # ax - b x # = # b b.
</tb>
<p>Hoc e$t, re$olutâ âqualitate in proportionem, erit <n e>
<mgr e>_per_ 17
_$exti._</mgr>
 # ut A I ad I C vel C B, ita C B ad B D.
 # # a - b - b - b / x. Quod erat propo$itum.</p>
<p it>Luoniam autem præ$tare videtur, loco horum æqua-
lium rectangulorum con$ider are laterum proportionem,
quandoquidem in demon$tr ationibus Geometricis, ubi hæ
æqualitates vel proportiones $cbematum contemplationi
in$uper $unt a$tringendæ, linearum bæc inter $e collatio
$implicior e$t cen$enda quàm planorum aut $olidorum,
ip$aque etiam figur as requir it minùs intricatas, vel $al-
tem ratiocinationes, quæ circa illas fiunt, magis liber as
reddit: idcirco convertenda erit æqualit as in proportio-
nem atque hæc eòu$que continuanda varièque tran$mu-
tanda, utendo $c. ad id modis argument andi libro 5<_>to</_> E-
lementorum expo$itis, donec appareat quæ$itum ex tri-
bus prioribus proportionis terminis con$tare $eu inveniri
po$$e. Luod ip$um ut rectiùs percipiatur, vi$um nobis fuit
aliam præcedentis Theorematis demon$tr ationem hîc
afferre, qualis illa à principio u$que ad finem per pro-
portionalia procedit, & prioribus æqualitatibus ad
amu$$im re$pondet.</p>
<p>Etenim cum ex hypothe$i $it
<tb math>
ᆷ A D B # æquale # ⃞<_>to</_> ex C D:
ax + bx + xx # = # bb + 2bx + xx:
</tb>

<pb 348>[904]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<tb math>
Erit<n f, re$olvendo æqualitatem in proportionem,
<mgl f>_per_ 17
_$exti_.</mgl>
 # # ut # AD # ad # CD, # ita # CD # ad # BD.
 # # # a + b + x - - b + x - - b + x / x.
Hinc cum $it
 # ut totum A D ad totum C D,
 # # a + b + x - - b + x
ita ablatum C D ad ablatum B D:
 # # b + x - x
erit etiam<n g>
<mgl g>_per 19_
_quinti_.</mgl>
reliquum A C ad reliquum C B, ut ablatum C D ad ablatum BD.
 # # a - b - b + x / x.
Et dividendo<n h>
<mgl h>_per 17_
_quinti._</mgl>
 # ut A I ad I C vel C B, ita C B ad B D
 # # a - b - b - b / x. ut proponebatur.
</tb></p>
<p>Hinc, ut Problemati huic $it locus, patet, rectam A C ipsâ C B
debere e$$e majorem; atque adeò hanc conditionem Problemati
e$$e præfigendam, cum $ine eâ con$tare nequeat, $i velimus ut
<fig>
<var>H G A a b B x D I C x F E</var>
</fig>
quæ$itum ex datis inveniatur, ut-
pote ad quod obtinendum B C
ex C A e$t $ubtrahenda.</p>
<p>Idem etiam liquet, $upponen-
do A C æqualem aut minorem
quàm C B. Nam A C æquali exi-
$tente ip$i C B, non po$$et re-
ctangulum A D B quadrato ex
C D æquale e$$e: cum illud<n i> unà
<mgl i>_per 6_
_$ecundi_.</mgl>
cum quadrato ex C B ei tantum
æquale exi$tat. Et quidem $i A C ipsâ C B minor $it, manife$tum
e$t, rectangulum A D B quadrato ex C D tunc adhuc multò mi-
nus fore.</p>
<p>Cum igitur con$tet Determinatio, Problema con$truetur hoc
modo:</p>
<h it>Con$tructio.</h>
<p>A$$umptâ C I æquali C B, $i fiat ut reliqua A I ad
I C vel C B, ita C B ad B D: dico rectangulum A D E F,

<pb 349>[905]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS.</sc></rh>
quod $ub A D & D B $eu D E comprehenditur, æquale
e$$e quadrato C D G H, à recta C D de$cripto.</p>
<p>Quod ip$um retrogrado ordine fit manife$tum, incipiendo ab
Analy$eos fine & per eju$dem ve$tigia redeundo ad illius prin-
cipium.</p>
<h>Finis _Compo$itionis_.</h>
<mgr>N<sc>OTA</sc>
Hujus at-
que $e-
quentium
Proble-
matum
Compo$i-
tiones re-
tro legen-
das e$$e.</mgr>
<tb math>
habebitur <n k>
<mgr k>_per 1 $e-_
_cundi._</mgr>
 # ᆷ $ub A D & D B $eu ADEF æquale ⃞<_>to</_> ex C D $eu CDGH<n l>.
<mgr l>_per 2 $e-_
_cundi._</mgr>
 # # ax + bx + xx # = # bb + 2bx + xx.
Quod erat faciendum.
Rur$us addito utrinque ᆷ<_>lo</_> $ub C D & D B, id e$t, b x + x x,
 # fiet<n m> ᆷ $ub A C & D B æquale ᆷ<_>lo</_> $ub C D & C B <n n>.
<mgr m>_per_ I
_$ecundi._</mgr>
<mgr n>_per 3 $e-_
_cundi._</mgr>
 # # ax # = # bb + bx.
Deinde addito utrinque ᆷ<_>lo</_> $ub I C vel C B & B D, id e$t, b x, ut
in alteram tran$eat partem,
 # erit<n o> ᆷ $ub A I & B D æquale ⃞<_>to</_> ex C B.
<mgr o>_per 17_
_$exti._</mgr>
 # # ax - bx # = # bb.
 # # revocatâ proportione ad æqualitatem,
 # ut A I ad I C vel C B, ita C B ad B D:
 # a - b - b - b / x
Etenim cum ex Con$tructione $it
</tb>
<h>Principium _Compo$itionis_.</h>
<p>Alia eju$dem Problematis Compo$itio, per ve$tigia pro-
 # portionalium $ecundæ Re$olutionis regrediens.</p>
<h>Finis _Compo$itionis_.</h>
<p>erit<n p>ᆷ $ub AD & BD $eu ADEF æquale ⃞<_>to</_> ex CD $eu CDGH.
<mgr p>_per 17_
_$exti_.</mgr>
<math>ax + bx + xx = bb + 2bx + xx</math>.</p>
<p>Quod erat faciendum.
 # id e$t, revocatâ proportione ad æqualitatem,

<pb 350>[906]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
erit etiam <n q>
<mgl q>_per 12_
_quinti_.</mgl>
ut AD $umma antec. ad CD $ummã con$., ita CD una antec. ad BD
 # unam con$eq.
<math>a + b + x - b + x - b + x - x</math>
 # ita C D anteced. ad B D con$equentem:
<math>b + x - x</math>
Hinc cum $it ut A C antec. ad C B con$eq.,
<math>a - b</math>
 # ut A C ad C B, ita C D ad B D.
<math>a - b - b + x / x</math>.
erit componendo <n r>
<mgl r>_per_ 18
_quinti_.</mgl>
 # ut A I ad I C vel C B, ita C B ad B D:
<math>a - b - b - b / x</math></p>
<p>Cum enim ex con$tructione $it</p>
<h>Principium _Compo$itionis_</h>
<p>His igitur ita $e habentibus, $i velimus, ut, neglecto artificio,
quo tum Con$tructio Problematis, tum ejus demon$tratio fuit in-
venta, tantummodo con$tet, allatâ Con$tructione quæ$itum $em-
per obtineri: poterimus, calculi ve$tigiis nunc prætermi$$is, hu-
ju$modi ad id afferre demon$trationem.</p>
<h it>Demon$tratio.</h>
<p>Cum enim ex con$tructione A I $it ad I C vel C B, $icut C B
ad B D: erit<n s> rectangulum $ub extremis A I & B D æquale
<mgl s>_per 17_
_$exti_.</mgl>
quadrato mediæ C B. Quibus $i
<fig>
<var>H G A a b B x D I C x F E</var>
</fig>
addatur commune rectangulum
$ub I C vel C B & B D, erit
& <n t> rectangulum $ub A C &
<mgl t>_per 1 $e-_
_cundi._</mgl>
B D <n u> æquale rectangulo $ub
<mgl u>_per 3 $e-_
_cundi_.</mgl>
C D & C B. His igitur $i rur$us
addatur commune rectangulum
$ub C D & D B, erit $imiliter <n x>
<mgl x>_per 1_
_$ecundi._</mgl>
rectangulum $ub A D & D B
$eu ADEF <n y> æquale quadrato
<mgl y>_per 2_
_$ecundi_.</mgl>
ex C D. Quod erat faciendum.</p>

<pb 351>[907]<rh>D<sc>E MONSTRATIONIBVS.</sc></rh>
<h it>Vel etiam $ic:</h>
<p>Cum ex con$tructione A I $it ad I C vel C B, $icut C B ad
B D: erit componendo <n a> A C ad C B, $icut C D ad B D. Sed ut
<mgr a>_per 18_
_quinti._</mgr>
una antecedentium C D ad unam con$equentium B D, ita $unt <n b>
<mgr b>_per 12_
_quinti._</mgr>
antecedentes A C & C D $imul, id e$t, tota A D, ad con$equen-
tes C B & B D $imul, id e$t, ad totam C D. Æqualia igitur $unt <n c>
<mgr c>_per 17_
_$exti_.</mgr>
quadratum C D & rectangulum A D B. Quod erat faciendum.</p>
<p it>Zuoniam itaque Problemate ad æquationem per ducto
Algebr æ munus e$t eam deinde juxta certas regulas
tran$inut are, $ervando $emper æqualitatem, $ic ut tan-
dem con$tet, quo pacto illius ope quæ$ita quantit as ex da-
tis inveniri po$$it: non inconveniens duxi, $iunà bîc o$ten-
derem, quibus modis aliquot illius u$itatiores tran$inuta-
tiones in proportiones re$olvi queant, cum hæ, ut $upra
monitum fuit, in Problematîs Geometricè re$olvendis ac
in Theorematîs $olito more demon$trandis, concinniores
$int judicandæ; præ$ertim ubi eadem æqualitas ad tres
plure$ve dimen$iones a$cendit, atque idcirco illa cuique
minùs obvia e$t, quâ ratione per Geometriæ Elementa
$it explicanda.</p>
<p>Typus aliquot æquationum, $ecundùm Algebræ leges
reductarum, & earundem in proportiones corre-
$pondentes re$olutio; tam ad Problematum Re$olu-
tiones Geometricas ex calculo eliciendas, quàm ad
Theorematum Demon$trationes ex eodem compo-
nendas, utilis.</p>
<tb>
_Reductiones Algebraïcæ_ # _Re$olutiones Geometricæ._
Si fuerit <math>ax = bc</math>: # erit <n d> ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>c</math> ad <math>x</math>.
<mgr d>_per_ 16
_$exti_.</mgr>
dividatur utrinque per <math>a</math> # vel permutatim
fit <math>x = {bc / a}</math>. # ut <math>a</math> ad <math>c</math>, ita <math>b</math> ad <math>x</math>.
Si $it <math>ax</math> 🜶 <math>bx = cd</math>: # erit <n e> ut <math>a = b</math> ad <math>c</math>, ita <math>d</math> ad <math>x</math>.
<mgr e>_per_ 16
_$exti_.</mgr>
dividatur utrinque per <math>a</math> 🜶 <math>b</math> # vel permutatim
fit <math>x = {cd / a 🜶 b}</math>. # ut <math>a</math> = <math>b</math> ad <math>d</math>, ita <math>c</math> ad <math>x</math>.

<pb 352>[908]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
Si $it <math>ax = bc</math> 🜶 <math>dc</math>: # erit <n f> ut <math>a</math> ad <math>b</math> 🜶 <math>d</math>, ita <math>c</math> ad <math>x</math>.
<mgl f>_per 16_
_$exti_.</mgl>
dividatur utrinque per <math>a</math> # vel permutatim
fit <math>x = {bc 🜶 dc / a}</math>. # ut <math>a</math> ad <math>c</math>, ita <math>b</math> 🜶 <math>d</math> ad <math>x</math>.
Si $it <math>ax</math> 🜶 <math>bx = cd</math> 🜶 <math>ed</math>: # erit <n g> ut <math>a</math> 🜶 <math>b</math> ad <math>c</math> 🜶 <math>e</math>, ita <math>d</math> ad <math>x</math>.
<mgl g>_per 16_
_$exti_.</mgl>
dividatur utrinque per <math>a</math> 🜶 <math>b</math> # vel permutatim
fit <math>x = {cd 🜶 ed / a 🜶 b}</math>. # ut <math>a</math> 🜶 <math>b</math> ad <math>d</math>, ita <math>c</math> 🜶 <math>e</math> ad <math>x</math>.
Si $it <math>ax = bb - cc</math>: # erit <n h> ut <math>a</math> ad <math>b + c</math>, ita <math>b - c</math> ad <math>x</math>.
<mgl h>_per_ 16
_$exti_.</mgl>
dividatur utrinque per <math>a</math> # vel permutatim
fit <math>x = {bb - cc / a}</math>. # ut <math>a</math> ad <math>b - c</math>, ita <math>b + c</math> ad <math>x</math>.
Si $it <math>ax = bb + bx</math>: <n *> # erit <n i> ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>b + x</math> ad <math>x</math>.
<mgl i>_per_ 16
_$exti_.</mgl>
<mgl *>Vt $upra
ad no-
tam †</mgl>
auferatur utrinque <math>bx</math> # & dividendo <n k>
<mgl k>_per_ 17
_quinti_.</mgl>
eritque <math>ax - bx = bb</math>. # ut <math>a - b</math> ad <math>b</math>, ita <math>b</math> ad <math>x</math>.
dividatur utrinque per <math>a - b</math>
fit <math>x = {bb / a - b}</math>.
Si $it <math>ax = bb - bx</math>: # erit <n l> ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>b - x</math> ad <math>x</math>.
<mgl l>_per_ 16
_$exti_.</mgl>
addatur utrinque <math>bx</math>: # & componendo <n m>
<mgl m>_per_ 18
_quinti_.</mgl>
eritque <math>ax + bx = bb</math>. # ut <math>a + b</math> ad <math>b</math>, ita <math>b</math> ad <math>x</math>.
dividatur utrinque per <math>a + b</math>
fit <math>x = {bb / a + b}</math>.
Si $it <math>ax - ac = bx</math>: # erit <n n> ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>x</math> ad <math>x - c</math>.
<mgl n>_per 16_
_$exti._</mgl>
addito utrinque <math>ac</math> # & dividendo <n o>
<mgl o>_per_ 17
_quinti_.</mgl>
erit <math>ax = bx + ac</math>. # ut <math>a - b</math> ad <math>b</math>, ita <math>c</math> ad <math>x - c</math>.
auferatur utrinque <math>bx</math> # & per compo$itionem rationis
eritque <math>ax - bx = ac</math>. # contrariam <n p>
<mgl p>_vide_
_Clavium_
_ad_ 18
_quinti_.</mgl>
dividatur utrinque per <math>a - b</math> # ut <math>a - b</math> ad <math>a</math>, ita <math>c</math> ad <math>x</math>.
fit <math>x = {ac / a - b}</math>.
Si $it <math>ax - ac = bx + bc</math>: # erit <n q> ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>x + c</math> ad <math>x - c</math>. <math>a</math>.
<mgl q>_per 16_
_$exti._</mgl>
addito utrinque <math>ac</math> # & dividendo <n r>
<mgl r>_per 17_
_quinti_.</mgl>
erit <math>ax = bx + bc + ac</math>. # ut <math>a - b</math> ad <math>b</math>, ita 2 <math>c</math> ad <math>x - c</math>.
auferatur utrinque <math>bx</math> # Vbi liquet, etiam$i 4<_>tus</_> hîc ter-
eritque <math>ax - bx = bc + ac</math>. # minus proportionalis quantita-

<pb 353>[909]<rh>D<sc>E MONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
dividatur utrinque per <math>a - b</math> # tem quæ$itam <math>x</math> $eor$im non ex-
fit <math>x = {bc + ac / a - b}</math>.
 # hibeat, ip$am tamen ex tribus
 # prioribus, qui quidem omnes $unt
 # cogniti, inveniri po$$e. Id quod
 # $imiliter de præcedenti ac $equen-
 # ti formula aliisque e$t intelligen-
 # dum.
 # At verò $i ip$a <math>x</math> quarto loco
 # $eparatim de$ideretur, licebit ul-
 # teriùs $ic argumentari.
 # <math>a</math> Haud $ecus, cum $it
 # ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>x + c</math> ad <math>x - c</math>,
 # erit invertendo <n a>
 # <mgr a>_per Co-_
 # _roll. 4_
 # _quinti_.</mgr>
 # ut <math>b</math> ad <math>a</math>, ita <math>x - c</math> ad <math>x + c</math>.
 # & per compo$itionem ratio-
 # nis contrariam <n b>
 # <mgr b>_vide_
 # _Clavium_
 # _ad 18_
 # _quinti_.</mgr>
 # ut <math>b</math> ad <math>b + a</math>, ita <math>x - c</math> ad 2 <math>x</math>.
 # Hinc cum <math>a - b - b ....... b + a</math>
 # $int 3 magnitudines ab una parte,
 # & <math>2 c - x - c ....... 2 x</math>
 # tres aliæ ab altera parte, quæ bi-
 # næ in eadem $unt ratione, qua-
 # rumque proportio e$t ordinata:
 # erunt ip$æ quoque <n c> ex æquali-
 # <mgr c>_per 22_
 # _quinti_.</mgr>
 # tate in eadem ratione, hoc e$t,
 # <math>a - b</math> ad <math>b + a</math>, $icut 2 <math>c</math> ad 2 <math>x</math> $eu <math>c</math> ad <math>x</math>.<n d>
<mgr d>_per 15_
_quinti_.</mgr>
Si $it <math>ac + ax = bc - bx</math>: # erit <n e> ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>c - x</math> ad <math>c + x</math>. <math>a</math>
<mgr e>_per_ 16
_$exti_.</mgr>
addito utrinque <math>bx</math> # & componendo <n f>
<mgr f>_per_ 18
_quinti_.</mgr>
erit <math>ac + ax + bx = bc</math>. # ut <math>a + b</math> ad <math>b</math>, ita 2 <math>c</math> ad <math>c + x</math>.
auferatur utrinque <math>ac</math> # Rur$us cum $it
eritque <math>ax + bx = bc - ac</math>. # <math>a</math> ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>c - x</math> ad <math>c + x</math>,
dividatur utrinque per <math>a + b</math> # erit invertendo <n g>
<mgr g>_per Co-_
_roll. 4_
_quinti_.</mgr>
fit <math>x = {bc - ac / a + b}</math>.ut <math>b</math> ad <math>a</math>, ita <math>c + x</math> ad <math>c - x</math>.
 # & per conver$ionem rationis <n h>
<mgr h>_per_ Co-
_roll._ 19
_quinti_.</mgr>
 # ut <math>b</math> ad <math>b - a</math>, ita <math>c + x</math> ad 2 <math>x</math>.

<pb 354>[910]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
 # Hinc cum <math>a + b</math> - <math>b</math> .... <math>b</math> -
 # $int 3 magnitudines ab una parte,
 # & 2 <math>c</math> - <math>c + x</math> .... 2 <math>x</math>
 # tres aliæ ab altera parte, quæ bi-
 # næ in eadem $unt ratione, qua-
 # rumque proportio e$t ordinata:
 # erunt ip$æ quoque <n i> ex æqualita-
<mgl i>_per_ 22
_quinti_.</mgl>
 # te in eadem ratione, hoc e$t,
 # <math>a + b</math> ad <math>b - a</math>, $icut 2 <math>c</math> ad 2 _x_ $eu <math>c</math> ad <math>x</math>. <n k>
<mgl k>_per_ 15
_quinti_.</mgl>
Si $it <math>ax + ac = bx - bc</math>: # erit<n l> ut <math>b</math> ad <math>a</math>, ita <math>x + c</math> ad <math>x - c.a</math>
<mgl l>_per_ 16
_$exti_.</mgl>
addito utrinque <math>bc</math> # & dividendo <n m>
<mgl m>_per_ 17
_quinti_.</mgl>
erit <math>ax + ac + bc = bx</math>. # ut <math>b - a</math> ad <math>a</math>, ita 2 <math>c</math> ad <math>x - c</math>.
auferatur utrinque <math>ax</math> # Rur$us cum $it
eritque <math>ac + bc = bx - ax</math>. # <math>a</math> ut <math>b</math> ad <math>a</math>, ita <math>x + c</math> ad <math>x - c</math>,
dividatur utrinque per <math>b - a</math> # erit invertendo <n n>
<mgl n>_per Cor_.
4 _quinti_.</mgl>
fit <math>{ac + bc / b - a} = x</math>. # ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>x - c</math> ad <math>x + c</math>.
 # & per compo$itionem rationis
 # contrariam <n o>
<mgl o>_vide_
_Clavium_
_ad_ 18
_quinti_.</mgl>
 # ut <math>a</math> ad <math>a + b</math>, ita <math>x - c</math> ad 2 <math>x</math>.
 # Hinc cum <math>b - a</math> - <math>a</math> ...... <math>a + b</math>
 # $int 3 magnitudines ab una parte,
 # & 2 <math>c</math> - <math>x - c</math> ...... 2 </math>x</math>,
 # tres aliæ ab altera parte, quæ bi-
 # næ in eadem $unt ratione, qua-
 # rumque proportio e$t ordinata:
 # erunt ip$æ quoque<n p> ex æqualita-
<mgl p>_per_ 22
_quinti_.</mgl>
 # te in eadem ratione, hoc e$t,
 # <math>b - a</math> ad <math>a + b</math>, $icut 2 <math>c</math> ad 2 <math>x</math> $eu <math>c</math> ad <math>x</math>.<n q>
<mgl q>_per_ 15</mgl>
Si $it <math>ac - ax = bx + bc</math>: # erit<n r> ut <math>b</math> ad <math>a</math>, ita <math>c - x</math> ad <math>x + c.a</math>
<mgl r>_per_ 16
_$exti_.</mgl>
addito utrinque <math>ax</math> # & componendo <n s>
<mgl s>_per_ 18
_quinti_.</mgl>
erit <math>ac = bx + ax + bc</math>. # ut <math>b + a</math> ad <math>a</math>, ita 2 <math>c</math> ad <math>x + c</math>.
auferatur utrinque <math>bc</math> # Rur$us cum $it
eritque <math>ac - bc = bx + ax</math>. # <math>a</math> ut <math>b</math> ad <math>a</math>, ita <math>c - x</math> ad <math>x + c</math>,
dividatur utrinque per <math>b + a</math> # erit invertendo <n t>
<mgl t>_per Cor_.
4 _quinti_.</mgl>
fit <math>{ac - bc / b + a} = x</math> # ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>x + c</math> ad <math>c - x</math>.
 # & per conver$ionem rationis<n n>
 # ut <math>a</math> ad <math>a - b</math>, ita <math>x + c</math> ad 2 <math>x</math>.
<mgl n>_per Cor_.
19 _quinti_.</mgl>

<pb 355>[911]<rh>D<sc>E MONSTRATIONIBVS.</sc></rh>
 # Hinc cum <math>b + a</math> - <math>a</math> ..... <math>a - b</math>
 # $int 3 magnitudines ab una parte,
 # & 2 <math>c</math> - <math>x + c</math> ..... 2 <math>x</math>
 # tres aliæ ab altera parte, quæ bi-
 # næ in eadem $unt ratione, qua-
 # rumque proportio e$t ordinata:
 # erunt ip$æ quoque <n a> ex æquali-
<mgr a>_per 22_
_quinti_.</mgr>
 # tate in eadem ratione, hoc e$t,
 # <math>b + a</math> ad <math>a - b</math>, $icut 2 <math>c</math> ad 2 <math>x</math> $eu <math>c</math> ad <math>x</math>.<n b>
<mgr b>_per 15_
_quinti._</mgr>
Si $it <math>ax - ac = bc - bx</math>: # erit <n c>ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>c - x</math> ad <math>x - c</math>.
<mgr c>_per 16_
_$exti_.</mgr>
addito utrinque <math>ac</math> # Vnde concluditur <math>c</math> e$$e = <math>x</math>.
erit <math>ax = bc + ac - bx</math>. # Nam minor e$$e non pote$t,
addatur utrinque <math>bx</math> # quoniam componendo <n d> foret,
<mgr d>_per 18_
_quinti_.</mgr>
eritque <math>ax + bx = bc + ac</math>. # ut <math>a + b</math> ad <math>b</math>, ita o ad <math>x - c</math>. quod
dividatur utrinque per <math>a + b</math> # e$t ab$urdum. Similiter major
fit <math>x = c</math>. # e$$e nequit, quandoquidem per
 # compo$itionem rationis con-
 # trariam <n e> foret ut <math>a</math> ad <math>a + b</math>, ita
<mgr e>_vide_
_Clavium_
_ad_ 18
_quinti_.</mgr>
 # <math>c - x</math> ad o. quod perinde ab$ur-
 # dum e$t. Nec aliter $e res habet
 # in $equenti formula.
Si $it <math>ac - ax = bx - bc</math>: # erit<n f> ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>x - c</math> ad <math>c - x</math>.
<mgr f>_per 16_
_$exti_.</mgr>
addito utrinque <math>ax</math> # Vnde rur$us ut ante concludi-
erit <math>ac = ax + bx - bc</math>. # tur <math>c</math> e$$e = <math>x</math>: cum nec major
addatur utrinque <math>bc</math> # nec minor e$$e po$$it.
eritque <math>ac + bc = ax + bx</math>.
dividatur utrinque per <math>a + b</math>
fit <math>c = x</math>.
</tb>
<p it>Cum igitur in re$olvendo Problemate appareat, $up-
ponendo illud ip $um ut jam factum, quo pacto quis argu-
mentari po$$it, ut id quod in eo quæritur ex datis inve-
niat: ritè me facturum judicavi, $i ulteriùs hîc o$tende-
rem, quâr atione præcedentium reductionum ve$tigiis in-
$i$tendo per illa eadem retrogradi liceat, ad æquationes
propo$itas, quas ip$ius Problematis conditiones adim-
plere $uppono, Geometricè componendas.</p>

<pb 356>[912]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<p>Typus ve$tigiorum, juxta quæ æquationes $uperiùs
reductæ ac re$olutæ rur$us componuntur, initium
faciendo à fine reductionis & per eadem ve$ti-
gia regrediendo; ad Compo$itiones Geo-
metricas ex calculo eruendas utilis.</p>
<tb>
_Compo$itiones Algebr aïcæ_ # _Compo$itiones Geometricæ_
fit <math>ax = bc</math>. # erit <n a> <math>ax = bc</math>.
<mgl a>_per_ 16
_$exti_.</mgl>
multiplicetur utrinque per <math>a</math> # facto rectangulo tum $ub extremis
 # tum $ub mediis
Si fuerit <math>x = {bc / a}</math>: h.e., $i $it ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>c</math> ad <math>x</math>; vel permutatim
 # <math>a</math> ad <math>c</math>, ita <math>b</math> ad <math>x</math>:
fit <math>ax 🜶 bx = cd</math>. # erit <n b> <math>ax</math> 🜶 <math>bx = cd</math>.
<mgl b>_per_ 16
_$exti_.</mgl>
multiplicetur utrinque per <math>a</math> 🜶 <math>b</math> # facto rectangulo tum $ub ex-
 # tremis tum $ub mediis
Si $it <math>x = {cd / a 🜶 b}</math>: h.e., $i $it ut <math>a</math> 🜶 <math>b</math>, ad <math>c</math>, ita <math>d</math> ad <math>x</math>; vel permuta-
 # tim <math>a</math> 🜶 <math>b</math> ad <math>d</math>, ita <math>c</math> ad <math>x</math>:
fit <math>ax = bc 🜶 dc</math>. # erit <n c> <math>ax = bc</math> 🜶 <math>dc</math>.
<mgl c>_per_ 16
_$exti_.</mgl>
multiplicetur utrinque per <math>a</math> # facto rectangulo tum $ub extre-
 # mis tum $ub mediis
Si $it <math>x = {bc 🜶 dc / a}</math>: h.e., $i $it ut <math>a</math> ad <math>b</math> 🜶 <math>d</math>, ita <math>c</math> ad <math>x</math>; vel permu-
 # tatim <math>a</math> ad <math>c</math>, ita <math>b</math> 🜶 <math>d</math> ad <math>x</math>:
fit <math>ax</math> 🜶 <math>bx = cd</math> 🜶 <math>ed</math>. # erit <n d> <math>ax</math> 🜶 <math>bx = cd</math> 🜶 <math>ed</math>.
<mgl d>_per_ 16
_$exti_.</mgl>
multiplicetur per <math>a</math> 🜶 <math>b</math> # facto rectangulo tum $ub extremis
 # tum $ub mediis
Si $it <math>x = {cd 🜶 ed / a 🜶 b}</math>: h.e., $i $it ut <math>a</math> 🜶 <math>b</math> ad <math>c</math> 🜶 <math>e</math>, ita <math>d</math> ad <math>x</math>; vel
 # permutatim <math>a</math> 🜶 <math>b</math> ad <math>d</math>, ita <math>c</math> 🜶 <math>e</math> ad <math>x</math>:
fit <math>ax = bb - c c</math>. # erit <n e> <math>ax = bb - cc</math>.
<mgl e>_per_ 16
_$exti_.</mgl>
multiplicetur utrinque per <math>a</math> # facto rectangulo tum $ub extre-
 # mis tum $ub mediis
Si $it <math>x = {bb - cc / a}</math>: h.e., $i $it ut <math>a</math> ad <math>b + c</math>, ita <math>b - c</math> ad <math>x</math>; vel
 # permutatim <math>a</math> ad <math>b - c</math>, ita <math>b + x</math> ad <math>x</math>:

<pb 357>[913]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS.</sc></rh>
$it <math>ax = bb + bx</math>. # erit <n f> <math>ax = bb + bx.</math>
<mgr f>_per_ 16.
_$exti_.</mgr>
addatur utrinque <math>b x</math> # id e$t, reducendo proportionem
 # ad æqualitatem
eritque <math>ax - bx = b b</math>. # ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>b + x ad x</math>.
multiplicetur utrinque per <math>a - b</math> # erit componendo<n g>
<mgr g>_per_ 18
_quinti._</mgr>
Si $it <math>x = {bb / a - b}</math>: hoc e$t, $i $it ut <math>a - b</math> ad b, ita <math>b</math> ad x: ‡
<mgr>Vt $upra ad
notam ‡</mgr>
$it <math>ax = bb - bx</math>. # erit <n h> <math>ax = bb - bx</math>.
<mgr h>_per_ 16
_$exti._</mgr>
auferatur utrinque <math>bx</math> # id e$t, reducendo proportionem
 # ad æqualitatem
eritque <math>ax + bx = bb</math>. # ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>b - x</math> ad <math>x</math>.
multiplicetur utrinque per <math>a + b</math> # erit dividendo <n i>
<mgr i>_per_ 17
_quinti._</mgr>
Si $it <math>x = {bb / a + b}</math>: hoc e$t, $i $it ut <math>a + b</math> ad <math>b</math>, ita <math>b</math> ad <math>x</math>:
$it <math>ax - ac = bx</math>. # erit <n k> <math>ax - ac = bx</math>.
<mgr k>_per_ 16
_$exti._</mgr>
auferatur utrinque <math>ac</math> # id e$t, reducendo proportionem
 # ad æqualitatem
eritque <math>ax = bx + ac</math>. # ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita x ad <math>x - c</math>.
addatur utrinque <math>b x</math> # & componendo <n l>
<mgr l>_per_ 18
_quinti._</mgr>
erit <math>ax - bx = ac</math>. # ut <math>a - b</math> ad <math>b</math>, ita <math>c</math> ad <math>x - c</math>.
multiplicato utrinque per <math>a - b</math> # erit per divi$ionem rationis
contrariam <n m>
<mgr m>_vide_
_Clavium_
_ad_ 17
_quinti._</mgr>
Si $it <math>x = {ac / a - b}</math>: hoc e$t, $i $it ut <math>a - b</math> ad <math>a</math>, ita <math>c</math> ad <math>x</math>:
 # erit <n n> <math>ax - ac = bx + bc</math>.
<mgr n>_per_ 16
_$exti._</mgr>
 # id e$t, reducendo proportionem
 # ad æqualitatem,
 # ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>x + cad x - c</math>
<mgr o>_per_ 18
_quinti._</mgr>
 # & componendo <n o>
 # ut <math>a - b</math> ad <math>b</math>, ita 2 <math>c</math> ad <math>x - c.</math>
<mgr p>_vide_
_Clavium_
_ad_ 22.
_quinti._</mgr>
fit <math>a x - ac = bx + bc</math>. # vel, $umptis con$equentium $e-
auferatur utrinque <math>ac</math>. # mi$$ibus,<n p>
eritque <math>ax = bx + bc + ac</math>. # ut <math>a - b</math> ad <math>2b</math>, ita <math>2c</math> ad <math>2 x - 2c.</math>
addatur utrinque <math>bx</math> # id e$t, per divi$ionem rationis
erit <math>ax - bx = bc + ac</math>. # contrariam, <n q>
<mgr q>_vide_
_Clavium ad_ 17
_quinti._</mgr>

<pb 358>[914]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
multiplicato utrinque per <math>a - b</math> # ut <math>a - b</math> ad <math>b + a</math>, ita <math>2c</math> ad <math>2x</math>.
 # erit etiam<n r>
<mgl r>_per_ 15
_quinti._</mgl>
Si $it <math>x = {bc + ac / a - b}</math>: hoc e$t, $i $it ut <math>a - b</math> ad <math>b + a</math>, ita <math>c</math> ad <math>x</math>:
 # erit <n s> <math>a c + a x = b c - b x</math>.
<mgl s>_per_ 16
_$exti._</mgl>
 # id e$t, reducendo proportionem
 # ad æqualitatem,
 # ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>c - x</math> ad <math>c + x</math>.
 # & dividendo<n t>
<mgl t>_per_ 17
_quinti._</mgl>
 # ut <math>a + b</math> ad <math>b</math>, ita <math>2c</math> ad <math>c + x</math>.
 # vel, $umptis con$equentium $e-
fit <math>ac + ax = bc - bx</math>. # mi$$ibus,<n u>
<mgl u>_vide_
_Clavium_
_ad 22_
_quiniti._</mgl>
au$eratur utrinque <math>b x</math> # ut <math>a + b</math> ad <math>2b</math>, ita <math>2c</math> ad <math>2 c + 2 x</math>.
eritque <math>ac + ax + bx = bc.</math> # id e$t, per compo$itionem ratio-
addatur utrinque <math>a c</math> # nis contrariam,<n x>
<mgl x>_vide_
_Clavium_
_ad_ 18
_quinti._</mgl>
erit <math>ax + bx = bc - ac</math>. # ut <math>a + b</math> ad <math>b - a</math>, ita <math>2c</math> ad <math>2x</math>.
multiplicato utrinque per <math>a + b</math> # erit etiam<n y>
<mgl y>_per_ 15
_quinti._</mgl>
<p>Si $it <math>x = {bc - ac / a + b}</math>: hoc e$t, $i $it ut <math>a + b</math> ad <math>b - a</math>, ita <math>c</math> ad <math>x</math>:
 # erit<n z> <math>ax + ac = bx - bc</math>.
<mgl z>_per_ 16
_$exti._</mgl>
 # id e$t, reducendo proportionem
 # ad æqualitatem,
 # ut <math>b</math> ad <math>a</math>, ita <math>x + c</math> ad <math>x - c</math>.
 # & componendo <n a>
<mgl a>_per_ 18
_quinti._</mgl>
 # ut <math>b - a</math> ad <math>a</math>, ita <math>2c</math> ad <math>x - c</math>.
 # vel, $umptis con$equentium $e-
fit <math>a x + ac = bx - bc</math>. # mi$$ibus,<n b>
<mgl b>_vide_
_Clavium_
_ad_ 22
_quinti._</mgl>
auferatur utrinque <math>b c</math>. # ut <math>b - a</math> ad <math>2a</math>, ita <math>2c</math> ad <math>2x - 2c</math>.
eritque <math>ax + ac + bc = bx</math>. # id e$t, per divi$ionem rationis
addatur utrinque <math>a x</math> # contrariam,<n c>
<mgl c>_vide_
_ad_ 17
_quinti._</mgl>
erit <math>ac + bc = bx - ax</math>. # ut <math>b - a</math> ad <math>a + b</math>, ita <math>2c</math> ad <math>2x</math>.
multiplicato utrinque per <math>b - a</math> # erit etiam<n d>
<mgl d>_per_ 15
_quinti._</mgl>
Si $it <math>{ac + bc / b - a} = x</math>: hoc e$t, $i $it ut <math>b - a</math> ad <math>a + b</math>, ita <math>c</math> ad x:

<pb 359>[915]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS.</sc></rh>
 # erit <n e> <math>ac - ax = bx + bc</math>.
<mgr e>_per_ 16
_$exti._</mgr>
 # id e$t, reducendo proportionem
 # ad æqualitatem
 # ut <math>b</math> ad <math>a</math>, ita <math>c - x</math> ad <math>x + c</math>.
 # & dividendo <n f>
<mgr f>_per_ 17
_quinti._</mgr>
 # ut <math>b + a</math> ad <math>a</math>, ita <math>2c</math> ad <math>x + c</math>.
 # vel, $umptis con$equentium $e-
$it <math>ac - ax = bx + bc</math>. # mi$$ibus,<n g>
<mgr g>_vide_
_Clavium_
_ad_ 22
_quinti._</mgr>
au$eratur utrinque <math>a x</math> # ut <math>b + a</math> ad <math>2a</math>, ita <math>2c</math> ad <math>2 x + 2 c</math>.
eritque <math>ac = bx + ax + bc</math>. # id e$t, per compo$itionem ratio-
addatur utrinque <math>b c</math> # nis contrariam, <n h>
<mgr h>_vide_
_Clavium_
_ad_ 18
_quinti._</mgr>
erit <math>ac - bc = bx + ax</math>. # ut <math>b + a</math> ad <math>a - b</math>, ita <math>2c</math> ad <math>2x</math>.
multiplicato utrinque per <math>b + a</math> # erit etiam<n i>
<mgr i>_per_ 15
_quinti._</mgr>
Si $it <math>{ac - bc / b + a} = x</math>: hoc e$t, $i $it ut <math>b + a</math> ad <math>a - b</math>, ita <math>c</math> ad x:
fit <math>ax - ac = bc - bx</math>.
auferatur utrinque a c
eritque <math>ax = bc + ac - bx</math>.
auferatur utrinque <math>b x</math>
erit <math>ax + bx = bc + ac</math>.
multiplicato utrinque per <math>a + b</math>
Si $it <math>x = c</math>: $eu, quod idem e$t, $i <math>x</math> $it ad <math>c</math>, $icut <math>a + b</math> ad <math>a + b</math>:
fit <math>a c - a x = b x - b c</math>.
auferatur utrinque <math>a x</math>
eritque <math>ac = ax + bx - bc</math>.
auferatur utrinque <math>b c</math>
erit <math>ac + bc = ax + bx</math>.
multiplicato utrinque per <math>a + b</math>
Si $it <math>c = x</math>: $eu, quod idem e$t, $i <math>c $it ad <math>x</math>, $icut <math>a + b</math> ad <math>a + b</math>:
</tb></p>
<p>Cum in duabus præcedentibus formulis non occurrat quâ viâ
per proportionales, ut ante, ad æquationes priores pervenia-
tur: licebit per æqualitatem procedere, æqualia per æqualia
multiplicando, ac deinde ab æqualibus æqualia auferendo, omni-
no ut in Compo$itionibus hi$ce Algebraïcis factum e$t.</p>

<pb 360>[916]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<h>P<sc>ROBLEMA.</sc></h>
<p>Datam rectam A B, utcunque $ectam in C, rur$us
$ecare in D; ita ut rectangulum $ub A D, D C compre-
hen$um $it æquale quadrato ex D B.</p>
<p>Series _Analy$eos_ $ive _Re$olutionis_.</p>
<p>Suppo$ito Problemate ut jam facto,
voco A C. <math>a</math>
C B. <math>b</math>
& C D. <math>x</math>; eritque A D <math>= a + x</math>, & <math>D B = b - x</math>.</p>
<fig>
<var>H G A C D K B I F E</var>
</fig>
<tb>
Deinde ut habeatur æquatio,
Multiplico A D. <math>a + x</math>
per D C $eu D E. # <math>x</math>
Et $it rectangulum A D E F. <math><ol>ax + xx</ol></math>.
Similiter multiplico D B. <math>b - x</math>
per D B $eu B G. <math>b - x</math>
 # <math>- bx + xx</math>
 # <math>bb - bx</math>
Et $it quadratum D B G H. <math>bb - 2bx + xx</math>.
Vnde talis exurgit æquatio
<math>a x + x x = b b - 2 b x + x x</math>.
Ad quam reducendam tollatur utrinque <math>x x</math>,
eritque <math>ax = bb - 2b x</math>.
</tb>
<p>Deinde transferatur <math>2 b x</math> ad alteram partem, ut incognitæ
quantitates ab una parte habeantur, & cognitæ ab altera parte,
<math>& $it ax + 2bx = bb</math>.</p>

<pb 361>[917]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS.</sc></rh>
<p>Cujus utraque pars $i dividatur per <math>a + 2b</math>,
invenietur <math>x = {bb / a + 2b}</math>. Hoc e$t, re$olutâ æqualitate
in proportionem, erit ut <math>a + 2b</math> ad <math>b</math>, ita <math>b</math> ad <math>x</math>.</p>
<p>Id quod docet, ad $ecandam A B in D, qualis requiritur, pro-
ducendam e$$e A B ad I, ita ut B I $it æqualis B C; ac deinde ad
A I & I B vel B C in veniendam e$$e 3<_>tiam</_> proportionalem, hoc
e$t, ut A I $it ad I B vel B C, $icut B C ad C D.</p>
<p>Vt autem pateat demon$tratio, repetantur Analy$eos ve$tigia.
Si enim per hæc ip$a regrediamur, incipiendo ab ejus fine & de$i-
nendo ubi illa initium $ump$it, inventa $imul erit via à dato $eu
conce$$o perveniendi ad quæ$itum. In quem igitur finem binas
$equentes compo$itiones, quarum altera Algebræ, altera Geo-
metriæ genuina e$t, ob oculos ponere vi$um fuit, adhibitâ utriu$-
que calculi interpretatione $ive ad figuram relatione.</p>
<h it>Compo$itio Algebr aïca. # Compo$itio Geometrica.</h>
<h>Finis _Compo$itionis._</h>
<tb>
 # ᆷ A D, C D vel A D E F
 # Et $it, per 3. 2<_>di</_>, <math>ax + xx =</math>
ᆷ A D, C D vel A D E F
 # ᆷ D B vel D B G H.
<n a> # <math>bb - 2 b x + xx</math>. per 6. 2<_>di</_>,
<mgr a>_per_ 3
_$ecundi._</mgr>
& fit <math>ax + xx =</math>
□ D B vel D B G H. # □ C D vel D K
 # <n b> # Addatur utrinque <math>x x</math>
<math>bb - 2bx + xx</math>. # ᆷ A C D ᆷ C B K
<mgr b>_per_ 6
_$ecundi._</mgr>
□ C D vel D K # erit, _per_ 16. 6<_>ti.</_> <math>ax = bb - 2bx</math>.
Addatur utrinque <math>xx</math>, # Id e$t, reducta proportione ad
ᆷ A C, C D # æqualitatem,
 # AC CB BK KD vel CD
eritque<n c> <math>a x =</math> # ut <math>a</math> ad <math>b</math>, ita <math>b - 2x</math> ad <math>x</math>.
<mgr c>_per_ 5
_$ecundi._</mgr>
(□ DB - □ C D vel DK) i.e.<n d>, # Et, $umptis con$equentium $e-
ᆷCBK # mi$$ibus, _vide Clavium ad 22 5.<_>ti.</_>.
<mgr d>_per_ 1
_$ecundi._</mgr>
<math>bb^d - 2bx</math>. # AC CI BK KC
ᆷCI, CD vel<n e>ᆷ CDI + □ CD # ut <math>a</math> ad 2 <math>b</math>, ita <math>b - 2x</math> ad <math>2x</math>.
<mgr e>_per_ 3
_$ecundi._</mgr>
Auferatur utrinque <math>2bx</math>, # Vnde dividendo erit, _per_ 17 _quinti_.
ᆷAI, CD □ IB vel BC # AI IC BC 2 CD vel CK
erit<n f> <math>ax + 2bx = bb</math>. # ut <math>a + 2b</math> ad <math>2b</math>, ita <math>b</math> ad 2 <math>x</math>.
<mgr f>_per_ 17
_$exti._</mgr>

<pb 362>[918]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
id e$t, reductâ proportione # $ive, $umptis con$equentium du-
ad æqualitatem, # plis, _vide Clavium ad_ 22. _5<_>ti</_>_.
 # AI IB BC CD
Ex con$tructione e$t, # ut <math>a + 2b ad b</math>, ita <math>b</math> ad <math>x</math>.
</tb>
<h>Principium _Compo$itionis._</h>
<p>Adapertâ itaque tum ad Con$tructionem tum ad Demon$tra-
tionem viâ, licebit Problema con$truere atque dupliciter demon-
$trare, ut $equitur.</p>
<h it>Con$tructio.</h>
<p>Productâ A B ad I, donec BI $it æqualis B C. fiat ut
A I ad I B vel B C, ita B C ad C D: dico rectangulum
A D C $eu A D E F quadrato D B $eu D B G H æquale
e$$e.</p>
<h it>Demon$tratio.</h>
<p>Cum enim ex con$tructione A I $it ad IB vel B C, ut B C ad
C D: erit <n g> rectangulum $ub extremis A I, C D, id e$t, <n h> re-
<mgl g>_per_ 17
_$exti._</mgl>
<mgl h>_per_ 1
_$ecundi._</mgl>
ctangulum $ub A C, CD unà cum rectangulo $ub CI, CD, æ-
quale quadrato mediæ I B vel B C. A quibus $i commune aufe-
<fig>
<var>H G A C D K B I F E</var>
</fig>
ratur rectangulum $ub C I, C D: erit reliquum rectangulum $ub
AC, CD æquale B C quadrato, dempto eidem rectangulo $ub
CI, CD, id e$t, <n i> rectangulo CDI unà cum quadrato CD.
<mgl i>_ per_ 3
_$ecundi._</mgl>
At cum dempto C D I rectangulo à quadrato C B vel B I <n k> re-
<mgl k>_per_ 5
_$ecundi._</mgl>
linquatur quadratum D B: patet dictum rectangulum A C D
quadrato D B æquale e$$e minus quadrato C D. Hinc cum, $u-

<pb 363>[919]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS.</sc></rh>
mendo C D & D K æquales, quadratum D B minus quadrato
CD vel DK<n l> æquale $it rectangulo C B K: mani$e$tum e$t, $i
<mgr l>_per_ 6 _$e-_
_cundi._</mgr>
æqualibus hi$ce rectangulis A C D & C B K addatur commune
quadratum C D vel D K, etiam totum toti æquale e$$e, id e$t, <n m>
<mgr m>_per_ 3
_$ecundi._</mgr>
rectangulum A D C $eu A D E F ip$i D B quadrato $eu D B G H.
Quod erat faciendum.</p>
<p>_Vel $ic:_</p>
<p>Cum ex con$tructione $it ut A I ad I B, ita B C ad C D: erit
quoque, $umptis con$equentium duplis, <n n> ut A I ad I C, ita B C
<mgr n>_vide_
_Clavium_
_ad_ 22
_quinti._</mgr>
ad 2 C D $eu CK; & dividendo <n o> ut A C ad C I, ita B K ad K C;
id e$t, $umptis con$equentium $emi$$ibus. <n p> ut A C ad C B, ita
BK ad K D vel C D. Æquale igitur e$t <n q> rectangulum $ub extre-
<mgr o>_per_ 17
_quinti._</mgr>
mis AC, CD rectangulo $ub mediis C B, B K. Quibus $i adda-
<mgr p>_vide_
_Clavium_
_ad_ 22
_quinti._</mgr>
tur commune quadratum C D vel D K, erit & totum toti æqua-
le, id e$t, <n r> rectangulum A D C $eu A D E F ip$i quadrato D B
$eu D B G H <n s>. Quod erat faciendum.
<mgr q>_per_ 16
_$exti._</mgr></p>
<h>P<sc>ROBLEMA.</sc></h>
<mgr r>_per_ 3
_$ecundi._</mgr>
<p>Datâ rectâ A B utcunque $ectâ in C, erectâque ex
<mgr s>_per_ 6
_$ecundi._</mgr>
ejus termino B $uperip$a perpendiculari indefinitâ B D:
ex altero ejus termino A rectam lineam ducere A D,
huic occurrentem in D; ita ut ip$a æqualis $it rectis
D B, B C $imul $umptis.</p>
<h>Series _Analy$eos._</h>
<fig>
<var>D x A C b a B E F</var>
</fig>
<p>Ponatur factum quod
quæritur,
$itque <math>A B = a</math>
<math>C B = b</math>
& <math>B D = x</math>: eritque
<math>A D = b + x</math>.</p>
<p>Hinc cum angulus ad B
$it rectus, erit <n a> quadra-
<mgr a>_per_ 47
_primi._</mgr>
tum ex A D æquale binis
quadratis ex A B & B D.</p>

<pb 364>[920]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<h>Vnde talis re$ultat æquatio</h>
<tb>
□ A D <math>□ A B + □ B D</math>
<math>bb + 2 bx + xx = aa + xx</math>.
Ad quam reducendam, tollatur utrinque <math>x x</math>,
eritque <math>bb + 2bx = aa</math>.
</tb>
<p>Deinde transferatur <math>bb</math> ad alteram partem, ut incognita quan-
titas ab una parte habeatur & reliquæ ab altera parte,
& $it <math>2 bx = aa - bb</math>.</p>
<p>Cujus utraque pars $i dividatur per <math>2b</math>,
obtinebitur <math>x = {aa - bb / 2b}</math>. Hoc e$t, re$olutâ æqualitate
in proportionem, erit ut <math>2b</math> ad <math>a + b</math>, ita <math>a - b</math> ad <math>x</math>.</p>
<p>Quod ip$um docet, ad Problema hoc $olvendum, prout BE
in directum ip$ius A B $umpta e$t æqualis BC, opùs tantùm e$$e,
ad CE, A E, & A Cinvenire 4<_>tam</_> proportionalem B D.</p>
<p>Ad inveniendam autem demon$trationem, fiat repetitio ve$ti-
giorum Analy$eos, incipiendo ab ejus $ine & per eadem ve$tigia
progrediendo u$que ad ip$ius initium; ita videlicet, ut quod in
Analy $i $eu Re$olutione addendum præcipitur, id in Synthe$i $eu
Compo$itione $ubtrahatur, & contra: cum Analy$is & Synthe$is
directè omnino $ibi invicem opponantur.</p>
<h>Finis _Compo$itionis._</h>
<p>Vnde & ip$æ rectæ F D & A D.</p>
<p>Æqualia igitur $unt □ F D & □ A D.
<mgl c>_per_ 4 _$e-_
_cundi._</mgl>
<math>□ FB + 2ᆷFBD + □BD</math>, vel □FD<n b>. <math>□AB + □BD</math>, vel □AD<n c>.
<mgl b>_per_ 47
_primi._</mgl></p>
<p>Et $it <math>bb + 2bx + xx = aa + xx</math>.
□BD</p>
<p>Rur$us addatur utrinque xx,
<mgl c>_per_ 4 _$e-_
_cundi._</mgl>
□FB + 2 ᆷFBD □AB <n d>.
<mgl d>_per_ 6 _$e-_
_cundi._</mgl>
eritque <math>bb + 2bx = aa</math>.
□FB vel BC
Addatur utrinque <math>bb</math>,
ᆷCE, BD $eu 2 ᆷ FBD ᆷEAC.
<mgl e>_per_ 16
_$exti._</mgl>
erit <n e> <math>2bx = aa - bb</math>

<pb 365>[921]<rh>D<sc>EM ONSTRATIONIBVS.</sc></rh>
id e$t, reductâ proportione ad æqualitatem, $umptâque FB
æquali B C,
CE AE AC BD</p>
<p>Ex con$tructione e$t ut <math>2b</math> ad <math>a + b</math>, ita <math>a - b</math> ad <math>x.</math></p>
<h>Principium _Compo$itionis._</h>
<p>Inventâ igitur tum Con$tructione tum Compo$itione $ive De-
mon$tratione, poterit Problema, neglecto jam arti$icio, quo
utraque fuit inve$tigata, in hunc modum con$trui atque componi.</p>
<h>_Con$tructio_.</h>
<p>Productâ A B ad E, ut B E $it æqualis B C: fiat ut C E ad A E,
ita A C ad BD, jungaturque A D. Dico hanc ip$is D B, BC
$imul $umptis æqualem e$$e.</p>
<h>_Demon$tratio._</h>
<p>Etenim productâ D B ad F, ita ut B F $it æqualis B C, quo-
niam per con$tructionem
CE e$t ad A E, $icut A C
ad B D: erit <n f> rectangu-
<mgr f>_per_ 16
_$exti._</mgr>
lum $ub extremis C E,
BD, id e$t, duplum re-
ctangulum F B D, æquale
rectangulo $ub mediis E A,
A C. Quibus $i addatur
commune quadratum ex
F B vel BC, erit etiam
quadratum F B unà cum
duplo rectangulo F B D
<fig>
<var>D x A C a b B E F</var>
</fig>
æquale quadrato ex A B <n g>. Quibus $i rur$us addatur commune
<mgr g>_per_ 6
_$e-_
_cundi._</mgr>
quadratum ex BD: erunt quoque bina quadrata ex F B, BD $i-
mul cum duplo rectangulo F B D, id e$t <n h>, quadratum totius F D,
<mgr h>_per_ 4 _$e-_
_cundi._</mgr>
æqualia binis quadratis ex A B, B D, id e$t <n i>, æquale quadrato
<mgr i>_per_ 47
_primi._</mgr>
ex AD. Vnde & ip$æ rectæ F D & AD æquales erunt. Hinc
cum FD æqualis $it ip$is DB, BC $imul $umptis, erit etiam A D
ip$is DB, BC $imul $umptis æqualis. Quod erat faciendum.</p>

<pb 366>[922]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<h>T<sc>HEOREMA</sc>.</h>
<p>Si in quadrante circuli A B C $umatur arcus quilibet
BD minor quàm 45 gr. cujus duplus $it BE, eorumque
tangentes BF, BG: erit ut quadratum radii AB minus
quadrato BF ad duplum quadrati A B, ita BF ad BG.</p>
<p>Series _Analy$eos_.</p>
<p>E$to <math>A B = a</math>
<math>B F = x</math>
<math>B G = y</math>, eritque <math>F G = y - x</math>
& <math>A G = z.</math></p>
<fig>
<var>G C H E F D A a B</var>
</fig>
<p>Quoniam itaque arcus B E ip$ius
B D duplus ponitur, ac proinde an-
gulus BAG duplus anguli BAF:
erit angulus ad A in triangulo ABG
rectâ A F bifariam $ectus.</p>
<p>Vnde <n a> erit
ut FG ad B F, ita A G ad A B
<mgl a>_per_ 3
_$exti._</mgl>
<math>y - x - x - z/ # a.</math></p>
<p>Ideoque <n b> ᆷBF, A G æquale ᆷ<_>10</_> FG, AB
<mgl b>_per_ 16
_$exti._</mgl>
div. utrinque per <math>x {xz = ay - ax. / fit z = {ay - ax / x}}</math></p>
<p>Hinc ductâ utrâque parte in $e quadratè,
<tb>
 # # add # □AB. <math>aa</math> # □ A G,
 # # # □ BG. <math>yy</math>
<mgr>_per_ 47
_primi._</mgr>
erit <math>z z. = {aayy - 2aaxy + aaxx / xx} =</math> # <math>aa + yy = zz</math>.
mult. utrinque per <math>xx</math> # <math>aayy - 2aaxy + aaxx = aaxx + xxyy</math>
toll. utrinque <math>aaxx</math> # <math>aayy - 2aaxy = xxyy</math>
div. utrinque per <math>y</math> # <math>aay - 2aax = xxy</math>
add. utrinque <math>2 aax</math> # <math>aay = 2 aax + xxy</math>
toll.utrinque <math>xxy</math> # <math>aay - xxy = 2aax</math>
div. utrinque per <math>aa - xx # fit y = {2aax / aa - xx}</math>.
□AB - □BF 2□AB BF BG
</tb></p>
<p>Hoc e$t, erit ut <math>aa - xx</math> ad <math>2 aa</math>, ita <math>x</math> ad <math>y</math>. Vt proponebatur.</p>

<pb 367>[923]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS.</sc></rh>
<p>Demon$trationis $eries eodem modo $e habet quo Analy$eos,
cum utriu$que ve$tigia con$entiant, quibus ab hypothe$i ad quæ-
$iti conclu$ionem perducimur. Vti hîc videre e$t.</p>
<tb>
Etenim cum <n c> $it
<mgr c>_per_ 3
_$exti._</mgr>
ut FG ad BF, ita AG ad AB:
<math>y - x —— x —— z/a</math>
erit quoque <n d>
<mgr d>_per_ 16
_$exti._</mgr>
ut □ FG ad □BF, ita □AG $eu □ AB + □ BG ad □AB
<math>yy - 2xy + xx —— xx —— zz</math>, id e$t, <math>aa + yy / aa</math>.
& dividendo <n e>
<mgr e>_per_ 17
_quinti._</mgr>
ut □FG - □ BF vel FH,
id e$t, ᆷBGH <n f> # ad□BF, ita□BG ad □AB
<mgr f>_per_ 6
_$ecundi._</mgr>
<math>yy - 2xy —— xx —— yy / aa</math>.
permutandoque <n g>
<mgr g>_per_ 16
_quinti._</mgr>
ut ᆷ BGH ad □ BG, vel<n h> ut HG ad GB, ita □ BF ad □ AB
<mgr h>_per_ 1
_$exti._</mgr>
<math>y - 2x —— y —— xx / aa</math>.
Id e$t, in vertendo & per conver$ionem rationis <n i>,
<mgr i>_per Cor,_
_4 quinti,_
_& per_
_Cor. 19_
_quinti._</mgr>
ut □ AB ad □ AB - □BF, ita GB ad BH
<math>aa —— aa - xx —— y / 2x</math>.
& duplatis antecedentibus <n k> convertendoque
<mgr k>_vide_
_Clavium_
_ad_ 22
_quinti._</mgr>
ut □AB - □ BF ad 2 □ AB, ita B H ad 2 G B $eu BF ad BG<n l>
<math>aa - xx —— 2aa —————— x / y</math>.
Quod erat o$tendendum.
</tb>
<p>Quòd $i autem Algebræ ignaris $ive in inveniendi arte impe-
<mgr l>_per_ 15
_quinti._</mgr>
ritis ip$a demon$tratio $it exhibenda, poterit ea prætermi$$is jam
hi$ce ve$tigiis $ic adhiberi.</p>
<p>Sumatur FH æqualis FB. Cum igitur in triangulo ABG an-
<mgr m>_per_ 3
_$exti._</mgr>
gulus ad A rectâ A F bifariam $ectus $it, erit<n m> ut FG ad BF, ita
AG ad AB. Sed cum linearum proportionalium etiam propor-
<mgr n>_per_ 22
_$exti._</mgr>
tionalia $int quadrata, erit & <n n> ut quadratum F G ad quadratum
BF, ita quadratum AG, id e$t, _per_ 47 _primi_, $umma quadrato-
<mgr o>_per_ 17
_quinti._</mgr>
rum AB, BG, ad quadratum A B. Et dividendo <n o> ut quadratum
<mgr p>_per_ 6
_$ecundi._</mgr>
FG minus quadrato BF vel FH, id e$t <n p> rectangulum BGH,
ad quadratum BF, ita quadratum BG ad quadratum AB; per-
<mgr q>_per_ 16
_quinti._</mgr>
mutandoque <n q> ut rectangulum BGH ad quadratum BG $eu <n r> ut
<mgr r>_per_ 1
_$exti._</mgr>
HG ad GB, ita quadratum BF ad quadratum AB. Hoc e$t,

<pb 368>[924]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
invertendo & per conver$ionem rationis<n s>, ut quadratum A B ad
<mgl s>_per Cor._
4 _quinti,_
_& per_
_Cor._ 19
_quinti._</mgl>
<mgl t>_vide Cla-_
_vium ad_
22 _quinti._</mgl>
<mgl u>_per_ 15
_quinti._</mgl>
quadratum A B minus quadrato BF, ita GB ad BH; & dupla-
tis antecedentibus <n t> convertendoque, ut quadratum AB minus
quadrato BF ad duplum quadrati AB, ita BH ad duplum ip$ius
G B $eu <n u> BF ad BG. Quod erat demon$trandum.</p>
<p>Hinc</p>
<p it>Si, Tangens cuju$libet arcûs minoris quàm _45_ gr. du-
„ catur in duplum Luadr atum Radii; à Quadr ato Radii
aufer atur Tangentis quadr atum; Illud productum divi-
datur per hoc re$iduum: Quotus erit T angens arcûs dupli.</p>
<p>Theorema hoc à Clari$$imo viro D. Ioanne Pellio excogitatum
atque ingeniosè adhibitum pluribus modis demon$tratum repe-
ritur in tractatu ejus de controver$iis, circa veram circuli men-
$uram, inter ip$um & Clar. virum D. Chri$tianum Severini Lon-
gomontanum ortis, ac anno 1647 in lucem editis.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc>.</h>
<p>Si fuerit triangulum ABC, cujus angulus ad B re-
ctâ BD bifariam $it divi$us, & ex BC ab$cindatur BE
æqualis AB, jungaturque AE, $ecans BD in F: dico,
$i agatur EG parallela A C, occurrens ip$i BD in G,
e$$e ut BG ad BD, ita AD ad DC, & AB ad BC;
nec non DC bis e$$e ad exce$$um; quo DC $uperat
AD, $icut BD ad DF.</p>
<p>Series _Analy$eos._</p>
<p>E$to <math>BD = b</math>
<math>AD = c</math>
<math>DC = y</math>
<math>& DF = z</math>.</p>
<fig>
<var>B G E F A D C</var>
</fig>
<p>Quoniam itaque trian-
gulorum ABF, EBF an-
guli ad B ex hypothe$i $unt
æquales, nec non latera AB, BF & EB, BF, quæ ip$os compre-
hendunt, æqualia: erunt & <n a> anguli ad F æquales, id e$t recti,
<mgl a>_per_ 4
_primi._</mgl>

<pb 369>[925]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS.</sc></rh>
ba$isque AF ba$i FE æqualis. Porrò cum <n b> propter parallelas
<mgr b>_per_ 29
_primi._</mgr>
AC, GE anguli DAF, FEG in triangulis AFD, FGE æqua-
les $int, ut & <n c> anguli ad verticem AFD & GFE, latusque AF
<mgr c>_per_ 15
_primi._</mgr>
lateri FE, ut o$ten$um e$t: erunt quoque <n d> reliqua latera AD,
<mgr d>_per_ 26
_primi._</mgr>
DF reliquis lateribus EG, GF æqualia. Hinc cum <n e> propter $i-
militudinem triangulorum BGE, BDC, BG $it ad GE, id e$t,
<mgr e>_per Cor._
4 _quinti._</mgr>
AD, $icut BD ad DC; nec non BG ad BE, id e$t AB $icut
<mgr f>_per_ 16
_quinti._</mgr>
BD ad BC: erit quoque <n f> permutando BG ad BD, $icut AD
ad DC, & AB ad BC. Quod e$t primum.</p>
<p>Cæterum DC bis e$$e ad exce$$um, quo DC $uperat AD, $icut
BD ad DF: ita patet.</p>
<tb>
E$t enim, ut BG ad BD, ita AD ad DC
 # <math>b-zz—b———c / y.</math>
Ideoque<n g> ᄆ BG, DC = ᄆ<_>10</_> BD, AD.
<mgr g>_per_ 16
_$exti._</mgr>
 # <math>by-2yz= bc.</math>
add. utrinque <math>2 yz</math>
 # <math>by = 2 yz + bc</math>
toll. utrinque <math>by = 2 yz + bc</math>
 # <math>by - bc = 2 yz</math>
div. utrinque per <math>2 y</math>
 # fit <math>{by-bc / 2y} = z</math> Hoc e$t, erit ut
 # <math>2 DC DC-AD BD DF</math>
 # <math>2 y</math> ad </math>y-c</math>, ita <math>b</math> ad <math>z</math>. Quod e$t $ecundum.
</tb>
<p it>Veletiam, hoc modo:</p>
<tb>
Etenim cum $it
ut BG ad BD, ita AD ad DC
 # <math>b-2z——b——c / y</math>.
erit invertendo<n h>
<mgr h>_per Cor._
4 _quinti._</mgr>
 # ut DC ad AD, ita BD ad BG
 # <math>y——c———b / b-2z</math>.
<mgr i>_per Cor._
19 _quinti._</mgr>
& per conver$ionem rationis<n i>
 # ut DC ad DC-AD, ita BD ad DG
 # <math>y——y-c———b / 2z</math>.
id e$t, duplatis antecedentibus, <n k>
<mgr k>_vide_
_Clavium_
_ad_ 22
_quinti._</mgr>
 # ut 2DC ad DC-AD, ita 2 BD ad DG $eu BD ad DF
 # <math>2y —— y - c ——————— b / z</math>.
</tb>

<pb 370>[926]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<p>Ex his facile e$t, cognitis AD, DB, & DC, invenire DF.</p>
<p>Si enim, exempli gratiâ, AD $it 39, DB 45, & DC 325:
fiat ut 2 DC 650 ad DC- AD 286, ita DB 45, ad DF 19{4/5}.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc>.</h>
<p>Ii$dem po$itis, dico rectangulum ADC unà cum
quadrato DB æquale e$$e rectangulo ABC.</p>
<tb>
Series _Analy$eos._
E$to <math>A B = a</math>
 # <math>BD = b</math>
 # <math>AD = c</math>
 # <math>BC = x</math>
 # <math>DC = y</math>
& <math>DF = z</math>.
</tb>
<p>Etenim cum<n a> 2 ᄆ BDF $it = □ AD + □DB-□AB,
<mgl a>_per_ 13
_$ecundi_.</mgl>
id e$t, <math>{2bz = cc+bb-aa:}</math>
erit, dividendo utrinque per <math>2b, z = {cc+bb-aa / 2b}</math>.</p>
<p>Vnde cum per antec. theorema inventum quoq;$it <math>{by-bc / 2y} = z</math>:
<col 1>
<tb>
erit <math>{cc + bb-aa / b} = {by-bc / y}</math>
 # <math>ccy+bby-aay=bby-bbc</math>
 # <math>ccy+bby=aay+bby-bbc</math>
 # <math>ccy=aay-bbc</math>
 # <math>ccy+bbc=aay</math>
 # <math>ccy+bbc=acx</math>
 # ᄆADC+□DB ᄆABC</math>
</tb>
</col></p>
<col 2>
<p>Ex demon$tratis in antec.
Theoremate vel 3^tia _Sexti_ e$t
ut AD ad DC, ita AB ad BC
<math>{c——y——a / x.}</math>
ac proinde _per 16 $exti_
ᄆAD, BC=ᄆAB, DC
<math>cx = ay</math>.</p>
</col>
<col 3>
<p>divi$o utroque denomina-
tore per 2, in$tituatur
multiplicatio per crucem
add. utrinque <math>aay</math></p>
<p>toll.utrinque <math>bby</math></p>
<p>add. utrinque <math>bbc</math></p>
<p>loco <math>ay</math> $ub$tit. <math>cx</math></p>
<p>div.utrinque per <math>c</math></p>
</col>
<p>Et fit <math>cy + bb = ax</math>. Quod erat propo$itum.</p>
<p>Quo autem pacto in adæquatione hac re$olvenda argumen-
tandum $it, ut $equendo ve$tigia allatæ reductionis, quæ ob $u-
periorem multiplicationem per crucem propriè Algebraïca e$t,

<pb 371>[927]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS.</sc></rh>
quæ$itum Theorematis Geometricè concludatur, $equens ter-
minorum di$po$itio docebit.</p>
<p>Ex præcedenti Theoremate e$t
ut 2 DC ad DC-AD, ita BD ad DF
<math>2y———y-c———b / z</math>.
ac proinde <n b>2 ᄆCDF æqual. ᄆBDC-ᄆADB
<mgr b>_per_ 16
_$exti._</mgr>
<math>α 2yz = by-bc.</math></p>
<p>Deinde<n c> e$t, ut BD ad DC, ita 2 ᄆ BDF ad 2 ᄆ CDF. a$-
<mgr c>_per_ 1
_$exti._</mgr>
<math>b——y———2bz / 2yz</math>.
$umptâ $c. com. alt. 2 DF, id e$t, 2z.
<mgr d>_per_ 13
_$ecundi._</mgr></p>
<p>Hinc cum <n d>
2ᄆBDF æqu. □AD + □DB-□AB, & α2ᄆCDF æqu. ᄆBDC-ᄆADB:
<math>2bz = cc+bb-aa, & 2yz = by-bc:</math>
erit ut BD ad DC, $eu<n e> □BD ad ᄆ BDC,
<mgr e>a$$um-
ptâ com.
altit. BD,
id e$t, _b_.</mgr>
<math>bb-by</math>
ita □AD+□DB-□AB ad ᄆBDC-ᄆADB.
<math>cc+bb-aa———by-bc</math>
ideoque<n f>
<mgr f>_per_ 19
_quinti._</mgr>
& reliq. □AB-□AD ad rel. ᄆADB, ut totum ad totum $eu BD ad DC.
<math>aa-cc————bc————————b / y</math>.</p>
<p it>Facile hîc e$$et quæ$itum Propo$itionis concludere, re-
vocando hanc proportionem ad æqualitatem, & deinde
in locum a y $ub$tituendo c x. Sed quoniam $ic ad $olida
a$cenditur, de quibus in po$terioribus Elementorum li-
bris agitur, qui ob difficultatem $uam magis præteriri
quàm pro Elementis Geometriæ addi$ci $olent, poteri-
mus ii$dem $epo$itis in quæ$iti conclu$ionem $ic ulteriùs
argumentari.</p>
<p>Sed ut BD e$t ad DC, ita quoque e$t<n g> ᄆADB ad ᄆADC;
<mgr g>a$$um-
ptâ com.
altit. AD
$eu _c_.</mgr>
<math>b———y———————bc / cy;</math>
& ut BD ad AD, ita quoque e$t <n h> ᄆ ADB ad □AD; & <n i>,
<mgr h>a$$um-
ptâ com.
altit. AD
$eu _c_.</mgr>
<math>b———c———————bc / cc</math>
<mgr i>a$$um-
ptâ com.
altit. BD
$eu _b_</mgr>
□ BD ad ᄆADB $eu <math>bb</math> ad <math>bc</math>.</p>

<pb 372>[928]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<p>Eruntitaque □AB-□AD, ᄆADB, & □AD
tres magnitudines
<math>aa-cc——bc......cc</math> ab una parte;
& □BD, ᄆADB, & ᄆ ADC tres aliæ ab altera
</math>bb.......bc——cy</math> parte, quæ binæ
$umptæ in ea-
dem $unt ratio-
ne, quarum-
que proportio
e$t perturbata:
<mgl k>_per_ 23
_quinti_.</mgl>
quare etiam ex æqualitate proportionales erunt,
id e$t, □AB - □ AD ad □ AD, $icut □ BD ad ᄆ ADC.
<math>aa-cc———cc———bb / cy.</math></p>
<p>Et componendo<n l>.</p>
<p>□ AB ad □AD, $icut □ BD+ᄆADC ad ᄆADC
<mgl l>_per_ 18
_quinti._</mgl>
<math>aa——cc—————bb+cy / cy</math>.</p>
<p>Permutandoque<n m>
□AB ad □BD+ᄆADC, $icut □AD ad ᄆADC $eu
<mgl m>_per_ 16
_quinti._</mgl>
<math>aa———bb+cy————cc / cy</math>.</p>
AD ad DC, id e$t, <math>c</math> ad <math>y</math>.<n n>
<p>Sed ut AD ad DC, ita<n o> e$t quoque AB ad BC, $eu <n p>, □ AB
<mgl n>_per_ 1
_$exti._
relictâ
$c. com.
altit. AD
$eu _c_.</mgl>
<math>c——y——————a / x</math>.
ad ᄆ ABC, id e$t, <math>aa</math> ad <math>ax</math>.</p>
<p>Vnde erit ut □ AB ad □ BD + ᄆ ADC, ita □AB ad ᄆ ABC.
<mgl o>_per_
_antec_.
_Theore-_
_ma vel 3_
_$exti_.</mgl>
<math>aa———bb+cy———aa / ax</math>.</p>
<p>Æqualia igitur $unt <n q> □BD+ᄆADC & ᄆABC.
<math>bb+cy = ax.</math> Quod
erat o$tendendum.
<mgl p>a$$um-
ptâ com.
altit. AB
$eu _a_.</mgl></p>
<p>Idem quoque aliter à nobis demon$tratum reperitur Prop<_>ne</_>
<mgl q>_per 9
_quinti_.</mgl>
20<_>mà</_> $ecundæ partis prioris tractatus Exercitationum no$trarum
Mathematicarum; ac præterea etiam adhuc aliter ab aliis.</p>

<pb 373>[929]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
<p it>Alia pr æcedentis Theorematis Analy$is, $upponendo tan-
tùm 26 & 47 Propo$itiones primi libri Euclidis.</p>
<fig>
<var>B G F A E D C</var>
</fig>
<p>Demi$$is ex D $uper AB,
BC, perpendicularibus DF,
DG, patet, ob angulum ABC
rectâ BD bifariam divi$um,
ip$as DF & DG, ut & FB &
BG _per 16 primi_ e$$e æquales.
Deinde e$to etiam BE per-
pendicularis ad AC, $itque
<math>AB = a</math>
<math>BD = b</math>
<math>AD = c</math>
<math>BC = x</math>
<math>DC = y</math></p>
<p>FB vel <math>BG = t</math>, eritque <math>AF = a-t</math>,
& <math>GC = x-t</math>.
& <math>ED = v</math>, eritque <math>AE = c-v</math>,
& <math>EC = y+v</math>.</p>
<tb>
<col 1>
 # _per 47 primi._
Subtr. □AD. <math>cc</math> # Subtr. <math>bb</math>. □BD
 # □AF. <math>aa-2 at+tt</math> # <math>tt</math>. □FB
 # □ FD. <math>cc-aa+2 at-tt = bb-tt</math>. □ FD</math>
 # 2 ᄆ ABF □AB+□BD-□AD
 # 2 <math>at = aa+bb-cc^*</math>
 # # fit <math>t = {aa+bb-cc / 2a}</math>.
</tb>
</col>
<col 2>
<p>dele utrinque <math>tt</math>, &
 # transfer <math>cc</math> & <math>a</math> æ</p>
<p>div. utrinque per 2 <math>a</math></p>
</col>
<p>Sed <math>t</math> in aliis quoque terminis inveniri pote$t, quærendo eam
per 3 latera trianguli DBC, hoc pacto:</p>

<pb 374>[930]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<col 1>
<tb>
_per 47 primi._
Subtr. □ DC. <math>yy</math> # Subtr. # <math>bb</math>. □BD
 # □GC. <math>xx-2 xt+tt</math> # <math>tt</math>.□BG
 # □DG. yy-xx+2xt-tt = bb-tt. □DG
 # 2ᄆCBG □BC+□BD-□DC
 # <math>2 xt = xx+bb-yy^*</math>
 # # fit <math>t = {xx+bb-yy / 2x}.</math>
</tb>
</col>
<col 2>
<p>del. utrinque <math>tt</math>, &</p>
<p>transf. <math>yy</math> & <math>xx</math></p>
<p>div. utrinque per 2 <math>x</math></p>
</col>
<p>Sive igitur quæratur <math>t</math> per 3<_>a</_> latera Δ<_>li</_> ABD, $ive per 3<_>a</_> late-
ra Δ<_>li</_> DBC, elucet utique inde<_>*</_> Propo$itio 13 $ecundi libri
Euclidis, ac præterea quomodo hæc ip$a adhibenda $it ad FB
vel B G inveniendam.</p>
<col 1>
<tb>
Erit itaque
 # <math>{aa+bb-cc / a} = {xx+bb-yy / x}.</math>
 # <math><ol>aax+bbx-ccx=axx+abb-ayy</ol></math>
 # <math><ol>bbx-abb=axx-ayy+ccx-aax</ol></math>
 # eritque <math>bb={axx-ayy+ccx-aax/x-a</math>.
</tb>
</col>
<col 2>
<tb>
Quæratur jam <math>v</math> per 3<_>a</_> latera trianguli ABD
 # _per 47 primi._
Subtr. # □ AB. <math>aa</math> # Subtr. # <math>bb</math>. □BD
 # □AE. <math>cc-2 cv+vv</math> # <math>vv</math>. □ ED</math>
 # □EB. <math>aa-cc+2 cv-vv = bb-vv</math>. □ EB
 # # <math>2 cv = bb + cc-aa</math>
 # # fit v = {bb+cc-aa / 2c}</math>.
</tb>
</col>
<col 3>
<p>divi$o utroque denominatore per 2, in-
$tituatur multiplicatio per crucem</p>
<p>transf. quantitates, ut, quæ in <math>bb</math> ductæ
$unt ab una parte habeantur</p>
<p>div. utrinque per <math>x-a</math></p>
</col>
<col 4>
<p>del. utrinque <math>vv</math>, &
transf. <math>aa</math> & <math>cc</math></p>
<p>div. utrinque per <math>2c</math></p>
</col>
<p>Sed <math>v</math> quoque in aliis terminis inveniri pote$t, quærendo eam
per 3<_>a</_> latera trianguli DBC, hoc pacto:</p>

<pb 375>[931]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
<col 1>
<tb>
 # per 47 primi
Subtr. # □BD.<math>bb</math> # Subtr. # <math>xx.</math> □BC
 # □ED. <math>vv</math> # # <math>yy+2yv+vv</math>. # □ EC
 # □ EB. <math>bb-vv = xx-yy-2yv-vv</math> # □ EB
 # 2ᄆCDE □BC-□DC-□BD
 # <math>2 yv = xx-yy-bb +</math>
 # fit <math>v = {xx-yy-bb/2y}</math>
</tb>
</col>
<col 2>
<p>del. utrinque <math>vv</math>, &
transf. <math>bb</math> & <math>2yv</math></p>
<p>div. urinque per 2 <math>y<math></p>
</col>
<p>Quærendo itaque <math>v</math> per 3<_>a</_> latera Δ<_>li</_> DBC, emanat hinc
Prop. 12 $ecundi libri Euclidis, ac præterea quomodo hæc ip$a
debeat adhiberi ut inveniatur ED.</p>
<p>Quare erit</p>
<col 1>
<tb>
 # <math>{bb+cc-aa/c} = {xx-yy-bb/y}</math>
 # <math>bby+ccy-aay=cxx-cyy-cbb</math>
 # <math>bby+cbb=cxx+aay-cyy-ccy</math>
 # & fit <math>bb = {cxx+aay-cyy-ccy / y+c}</math>.
</tb>
</col>
<col 2>
<p>divi$o utroque denominatore per 2,
in$tituatur multiplicatio per crucem</p>
<p>transf. quantitates, ut, quæ in <math>bb</math>
ductæ $unt, ab una parte habeantur</p>
<p>div. utrinque per <math>y + c</math></p>
</col>
<p>Dupliciter igitur invento <math>bb</math>, habebitur æquatio
inter <math>{axx-ayy+ccx-aax / x-a} & {cxx+aay-cyy-ccy / y+c}.</math>
mult. per crucem
<math>axxy-a y^3 + ccxy - aaxy + acxx - acyy + c^3 x - aacx
=
c x^3 + aaxy - cxyy - ccxy - acxx - a^3 y + acyy + accy</math>
tran$po$itis tran$ponendis, fit
<math>2 acxx + cxyy + c^3 x - cx^3 - aacx + 2 ccxy
=
2 aaxy + ay^3 + accy - axxy - a^3 y + 2 accy</math>
div. utrinque per <math>2 ax + yy + cc - xx - aa + 2cy</math>.
AD DC AB BC
eritque <math>c x = ay</math>. Hoc e$t, erit ut <math>c</math> ad <math>y</math>, ita <math>a</math> ad <math>x</math>.
ac proinde <math>x = {ay / c}</math>, & <math>{cx / a} = y</math>.
Quæ tertia e$t Propo$itio li-
bri $exti Euclidis.</p>

<pb 376>[932]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<p>Hinc exi$tente <math>bb = {axx - ayy + ccx - aax/x - a}</math>, $i in locum <math>ay</math>
$ub$tituatur <math>cx</math> & vice versâ: habebitur <math>bb = {axx-cxy+cay-aax / x-a}</math>,
ᄆADC + □DB ᄆABC
id e$t, <math>bb = ax - cy</math>; $eu, quod codem recidit, <math>cy + bb = ax</math>.
Omnino ut in antecedenti Theoremate. Vnde facile e$t, cogni-
tis AB, BC, AD, & DC, invenire BD.</p>
<p>Quòd $i autem, exi$tente <math>bb = ax - cy</math>. pro <math>x</math> $cribatur
{ay / c} fiet <math>bb = {aay / c} - cy</math> vel <math>bbc = aay - ccy</math>. id e$t, dividendo
utrinque per <math>aa - cc</math>, erit <math>{bbc / aa-cc} = y</math>. Vel, re$olvendo æqua-
□AB-□AD □BD AD DC
litatem in proportionem, erit ut <math>aa-cc</math> ad <math>bb</math>, ita <math>c</math> ad <math>y</math>. Simi-
liter, $i pro <math>y</math> $cribatur <math>{cx / a}</math>, erit <math>bb=ax-{ccx / a}</math> vel <math>bba=aax-ccx</math>.
id e$t, dividendo utrinque per <math>aa-cc</math>, erit <math>{bba / aa-cc} = x</math>. Vel,
□AB-□AD
re$olvendo æqualitatem in proportionem, erit ut <math>aa-cc</math> ad
□BD AB BC
<math>bb</math>, ita <math>a</math> ad <math>x</math>. Quæ quidem in$uper o$tendunt, quo pacto ex
tribus lateribus Δ<_>li</_> ABD inveniri po$$int BC & DC.</p>
<p it>Atque ita con$t at, $i ad præcedentis Theorematis in-
ve$tigationem duntaxat adhibeantur 26 & 47 Propo$i-
tiones primi libri Euclidis, quâr atione ex calculo non
modò idem Theorema emanet, verùm etiam Propo$itio 12
& 13 $ecundi libri, 3<_>tia</_> $exti, aliæque propo$itiones, in Eu-
clide non extantes, quæ triangulum concernunt, cujus an-
gulus bifariam e$t divi$us.</p>
<p it>Cæterum calculum hunc multò prolixiorem e$$e calculo
antecedentis Theorematis nemini (ut opinor) mirum vi-
deri debet, cum ad illud indagandum $uppo$uerimus
Theorema, quod ei immediatè præcedit, tum etiam Prop.
12 aut 13 $ecundi: $iquidem rationes, quæ in iis compro-
bandis cunctæ ac $ingulæ $unt per pendendæ, illis $ic jam
præ$uppo$itis omnino prætermittuntur; quæ alioquin, $i

<pb 377>[933]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS.</sc></rh>
rem ip$am penitiùs in$picere atque à primis velut prin-
cipiis, (quemadmodum in Algebr a pr æ$ertim fieri $olet,)
deducere velimus, longâ $erie forent $pectandæ. Luæ qui-
dem hîc refero, ut quilibet intelligat, nonnullos reperiri,
etiam in Mathematicis haud leviter ver $atos, qui vi-
dentes huju$modi calculum $æpenumero valde prolixum
evadere, plurimi$ve terminis con$tantem, demon$tratio-
nes Geometricas ei longè præferunt, non animadverten-
tes eju$dem beneficio elici Theoremata, quibus ad id con-
catenatim utuntur. Exi$timantes præterea Algebr am
vel hoc nomine non magni faciendam e$$e, quòd $olummo-
do circa æquationes ver $etur ac ea$dem continuè re$pi-
ciat, quod $anè ego maximi momenti judicaverim, quip-
pe harum ope infinita genera Problematum pro uno ge-
nere Problematum haberi queunt, ac demum quicquid in
univer $a Mathe$i ar duum $eu difficile occurrit, id omne
per æquationem ab $que ulla ambage & verborum invo-
lucris quàm $imp lic i$$ime pote$t explicari.</p>
<h>P<sc>ROBLEMA</sc>.</h>
<p>Datis po$itione duabus rectis lineis parallelis AB,
CD, & in iis duobus punctis A & E: è puncto F extra
ip$as dato rectam lineam ducere FBD, quæ à po$itione
datis ab$cindat rectas AB, ED, datam inter $e ratio-
nem habentes AF ad CG, $eu <math>a</math> ad <math>d</math>.</p>
<fig>
<var>F A B G H C F. D</var>
</fig>
<p>Series _Re$olutionis_.</p>
<p>Ponatur factum, quod quæ-
ritur, hoc e$t, $it AB ad ED,
ut <math>a</math> ad <math>d</math>, $itque <math>AF = a</math>
<math>CF = b</math>
<math>CE = c</math>
& </math>AB = x</math>.</p>

<pb 378>[934]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<p>Hinc ut AF ad CG, ita AB ad 4<_>tam</_> $eu ED
<math>a——d——x/ {dx / a}</math></p>
<p>Sed ex $imilitudine Δ<_>lorum</_> AFB & CFD e$t quoque
ut AF ad AB, ita CF add. CE. <math>c</math>
<math>a——x——b/ad <ol>CD.c+{dx / a}</ol></math>
Quare erit _per 16 $exti_ ᄆ AF, CD ᄆAB, CF
<math>ac+dx = bx.</math>
Transferatur <math>dx</math> ad alteram partem, ut incognitæ quantitates
ab una parte habeantur
eritque <math>ac = bx-dx</math>.
Dividatur jam utraque pars per <math>b-d</math>
& fit <math>x = {ac / b-d}</math>. Hoc e$t, re$olutâ æqualitate in propor-
tionem, erit ut <math>b-d</math> ad <math>c</math>, ita <math>a</math> ad <math>x</math>.</p>
<p>Id quod arguit, ad Problema hoc $olvendum, $tatuendum e$$e
ut GF ad CE, ita AF ad AB. Vtautem ip$um componatur,
repetantur Re$olutionis ve$tigia & ab ejus fine per eadem redea-
tur ad id unde initium cepit. Quemadmodum $uperiùs jam $æ-
piùs mon$tratum fuit, atque etiam hîc videre e$t, præmittendo
priùs Con$tructionem, quæ $ic $e habet.</p>
<h it>Con$tructio.</h>
<p>Ductâ GH parallelâ AB vel CD ac æquali CE,
agatur ex F per H recta FHD, $ecans AB, CD in B
& D: dico AB ad ED e$$e, $icut AF ad CG, $eu <math>a</math> ad <math>d</math>.</p>
<h>Finis _Compo$itionis_.</h>
<p>AF CG AB ED.
Vnde _per 16 $exti_ erit, ut <math>a</math> ad <math>d</math>, ita <math>x</math> ad <math>f</math>.
ᄆ AF, ED ᄆCG, AB
erit $imiliter <math>af = dx</math>.
ᄆ AF, CE
Hinc dempto utrinque communi <math>ac</math>,

<pb 379>[935]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
ᄆAF, CE+ᄆAF, ED ᄆAF, CE+ᄆCG, AB.
Quare erit etiam <math>ac + af = ac + dx</math>.
ᄆCF, AB ᄆAF, CE+ᄆCG,AB.
Erat autem & <math>b x = a c + d x</math>.
ᄆCF, AB ᄆAF, CD, $eu, ᄆAF, CE+ᄆAF, ED.
Quare _per_ 16 _$exti_ erit <math>bx = ac + af</math>.
AF AB CF CD
eritque ex $imilitudine Δ<_>lorum</_> AFB, & CFD, ut <math>a</math> ad <math>x</math>, ita <math>b</math> ad <math>c+f</math>.
E$to jam <math>ED = f</math>,
ᄆCF, AB ᄆAF, CE+ᄆCG, AB.
eritque <math>b x = a c + d x</math>.
ᄆCG, AB
Addatur utrinque <math>d x</math>,
ᄆGF, AB $eu ᄆCF, AB-ᄆCG, AB ᄆAF, CE.
erit _per_ 16 _$exti_ <math>b x - d x = a c</math>
id e$t, reductâ proportione ad æqualitatem,
GF GH vel CE AF AB</p>
<p>Ex con$tructione e$t, ut <math>b-d</math> ad <math>c</math>, ita <math>a</math> ad <math>x</math>:</p>
<p>Principium _Compo$itionis._</p>
<p>Relictis igitur hi$ce ve$tigiis demon$tratio ei$dem $uper$tru-
cta erit talis.</p>
<h it>Demon$tratio.</h>
<p>Quoniam itaque ex con$tructione GF e$t ad GH vel CE,
$icut AF ad AB: erit <n a> rectangulum $ub extremis GF, AB
<mgr a>_per_ 16
_$exti._</mgr>
æquale rectangulo $ub mediis AF, CE. Quibus $i addatur com-
mune rectangulum $ub CG, AB, erit<n b> rectangulum $ub tota
<mgr b>_per_ 1 _$e-_
_cundi._</mgr>
CF & AB æquale duobus rectangulis $ub AF, CE & $ub CG,
AB. Porrò, quoniam ex $imilitudine triangulorum AFB &
CFD, AF e$t ad AB, $icut CF ad CD: erit <n c> rectangulum
<mgr c>_per_ 16
_$exti._</mgr>
$ub mediis CF, AB æquale rectangulo $ub extremis, AF, CD.
hoc e$t, <n d> æquale duobus rectangulis $ub AF, CE & $ub AF,
<mgr d>_per_ 1 _$e-
_cundi_.</mgr>
ED. Erat autem quoque rectangulum $ub CF, AB æquale duo-

<pb 380>[936]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
bus rectangulis $ub AF, CE & $ub CG, AB. Æqualia igitur
erunt bina rectangula $ub AF, CE & $ub AF, ED binis rectan-
gulis $ub AF, CE & $ub CG, AB. A quibus $i commune au-
feratur rectangulum $ub AF, CE, erit etiam reliquum rectan-
gulum $ub AF, ED æquale reliquo rectangulo $ub CG, AB.
Vnde <n e> ut AF ad CG, ita AB ad ED. Quod erat faciendum.</p>
<p it>Hactenus quæ præce$$erunt Problemata & Theore-
<mgl e>_per_ 16
_$exti_.</mgl>
mata i$tius natur æ cen$eri po$$unt, quorum difficult as in
demon$trationibus ex calculi ve$tigiis eliciendis potiùs
quàm in ii$dem per Algebram $olvendis & o$tendendis
con$i$tere judicari debet. Etenim cum in Algebra Pro-
blemate aut Theoremate ad Æquationem perducto hæc
$ecundùm certas regulas reducatur re$olvaturque, at ve-
rò demon$tratioGeometrica, quæ ex eorum calculo depro-
menda e$t, non $emper ei$dem legibus $it obnoxia, $ed di-
ver $imodè prout requiritur, immut and a veniat, ut ip $a
commodè feliciter que per Geometriæ Elementa explice-
tur: vi$um nobis fuit hîc con$equenter illius contrarium
in adductis aliquot exemplis patefacere, utpote in quibus
pr æcipua difficult as in ip $orum per Algebram enodatio-
ne $ita e$$e appareat. In quem finem duas primùm Luæ-
$tiones Arithmeticas in medium afferam, ut, ip$is benefi-
cio calculi hujus Geometriæ $olutis, cuique fiat manife-
$tum, quo pacto illius ignari deinde ad ea$dem $olvendas
ratiocinari po$$int, vulgaribus tantùm Arit hmetices re-
gulis in$tructi. Luibus aliquot Luæ$tiones Geometricas e-
ju$dem generis $ubjuncturus $um, quò $imul con$tet pluri-
mas etiam tales reperiri, po$t quarum $olutionem Alge-
braïcam ultrò velut $e$e offert $olutio ip$arum Geome-
trica, ita, ut quod illius demon$trationem in$uper concer-
nit Geometriæ Elementa jam edoctos non effugiat.</p>
<h>Q<sc>VÆSTIO.</sc></h>
<p it>O Enopola duplex habet vinum, unius 8 $tufris, alte-
<mgl>_Luæ$tio_
_44 primæ_
_partis libri_
_primi_</mgl>
rius 14 $tufris con$tat cantharus. Vult autem mixtionem
<mgl>_Exercita-_</mgl>

<pb 381>[937]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
facere, it a ut dolium vini vendere po$$it 35 florenis. Luæ-
<mgr>_tionem no-_
_$trarum_
_Mathe-_
_matica-_
_rum._</mgr>
ritur, quot cantharos utriu$que ad hanc mixtionem fa-
ciendam $umere debeat?</p>
<p>Ponatur eum debere $umere <math>x</math> cantharos primi 8 $tufr. $eu <math>a</math>,
& <math>y</math> cantharos $ecundi 14 $tu$r. $eu <math>b</math>.</p>
<p>Deinde $upponendo dolium continere 80 cantharos $eu <math>c</math>, &
pretium 35 flor. vel 700 $tufrorum, quo ip$um vendi debet,
vocari <math>d</math>: erit <math>{x + y = c / & x = c - y}</math>.</p>
<p>Quæratur jam quanti con$tent canthari utriu$que vini, quo
dolium impleri debet: dicendo</p>
<col 1>
<tb>
Canth. _con$tat_ $tufr., _quanti con$tabunt_ Canth. # $tufr.
<math>I ——— a —————— x /</math> # facit <math>a x</math>. con$tant
 # canthari primi
 # vini, in dolium
 # infundendi
Canth. _con$tat_ $tufr., _quanti con$tabunt_ Canth. # $tufr.
<math>I ——— b —————— y / # facit <math>by.</math> con$tant
 # canthari $ecundi
 # vini, in dolium
 # infundendi
 # - $tufr.
 # eritque $umma <math>ax + by = d.</math>
 # <math>ax = d - by</math>
 # fit <math>x = {d - b y / a}</math>.
</tb>
</col>
<col 2>
<tb>
Erat autem & <math>x = c - y</math>.
Quare erit <math>c - y = {d - b y / a}</math>
 # <math>ac - ay = d - by</math>
 # <math>by - ay = d - ac</math>
 # & fit <math>y = {d - ac / b - a}</math> vel <math>{Id - Iac / b - a}</math>. Id e$t, erit ut
 # # <math>b - a</math> ad1, ita <math>d - ac</math> ady.
</tb>
</col>
<col 3>
<p>transf. <math>by</math> in alt. part.</p>
<p>divid. utrinque per <math>a</math></p>
</col>
<col 4>
<p>mult. utrinque per <math>a</math></p>
<p>transf. quantitates, ut quæ
in <math>y</math> ductæ $unt unam te-
neant æquationis partem</p>
<p>div. utrinque per <math>b - a</math></p>
</col>

<pb 382>[938]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<p>Quæ$tione hâc ita re$olutâ, ut con$tet, quo pacto in quæ$iti
inventionem circa hæc facienda ratiocinari liceat, in$piciatur $e-
quens illorum interpretatio.</p>
<tb>
Mult. <math>c</math>. 80 Canth. $eu, dolium \\ per <math>a</math>. 8 $tufr. \\ — # Subtr. \\ Ex <math>d</math>. 700 $tufr. con$tat dolium plenum \\ vino 8 & 14 $tufrorum
fiunt <math>ac</math>. 640 $tufr. . . . . . . . <math>ac</math>. 640 $tufr.
con$tat dolium ple- \\ num vino 8 $tufro- \\ rum. # Relinq. <math>d-ac</math>. 60 $tufri, quibus dolium plus \\ con$tat impletum vino 8 $tufr. & \\ 14 $tufrorum, quàm plenum $olo \\ vino 8 $tufrorum: vel etiam, qui- bus canthari 14 $tufrorum in do- lio contenti cariores $unt cantha- ris 8 $tufrorum, illorum loco $umptis.
</tb>
<tb>
$tufr. # # # $ubtr.
Ex <math>b</math>. 14
$ubtr. <math>a</math>. 8 # Canth. # <math>c</math>. 80 Canth. dolii
<math>b-a</math> 6 $tufr. <math>-I-d-ac</math>. 60 $tufr./facit <math>{Id-Iac / b-a}</math> $eu 10 canth. 14 $tu-
</tb>
<tb>
differentia pre- \\ tii unius can- \\ thari # differentia pre- \\ tii cantharorum \\ in dolio # rel. <math><ol>c-y. 70</ol></math> # frorum <math>= y</math> \\ canth. 8 $tu- \\ frorum <math>= x</math>.
</tb>
<h>Q<sc>væstio.</sc></h>
<p>Ancilla forum petit, habens 9{1/2} $tufros, ut iis poma
<mgl>_Quæ$tio_
_46 primæ_
_partis libri_
_primi_
_Exercita-_
_tionum_
_no$trarum_
_Mathe-_
_matica-_
_@um._</mgl>
& pira emat; ubi veniens, 10 poma ip$i offeruntur
1 $tufr. & 25 pira 2 $tufris. Quæritur, $i utriu$que fructus
$imul 100 habere velit, quot poma & pira $eor$im acci-
pere debeat?</p>
<p>Ponatur ancillam debere accipere <math>x</math> poma, unde cum utriu$-
que $ructus 100 $eu <math>a</math> $imul pro 9{1/2} $tu$r. $eu <math>b</math> habere velit, $equi-
tur ip$am recipere debere <math>a - x</math> pira.</p>
<p>Hinc cum 10 poma $eu <math>c</math> offerantur 1 $tufro $eu <math>d</math>, & 25 pira
$eu <math>e</math> $tufris 2 $eu <math>f</math>, quæratur quanti jam con$tent a$$umpta <math>x</math>
poma, & <math>a-x</math> pira.</p>

<pb 383>[939]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
<p>Dicendo:
Poma _con$tant_ $tufr., _quanti con$tabunt_ Poma $tufr.
<math>c ——— d ———————— x</math>/facit <math>{dx / c}</math>. con$tant poma $umenda
Pira _con$tant_ $tu$r., _quanti con$tabunt_ Pira
<math>e ——— f —————— a-x</math>/ facit. <math>{fa-fx / e}</math>. con$tant pira $u-
menda</p>
<col 1>
<tb>
 # - $tufr.
eritque $umma # <math>{dex + cfa - cfx / ce} = b.</math>
<math>dex + cfa - cfx = cbe</math>
<math>dex - cfx = cbe - cfa</math>
& $it <math>x = {cbe - cfa / de - cf}</math>.
</tb>
</col>
<col 2>
<p>mult. utrinque per <math>ce</math></p>
<p>transf. <math>cf</math> a ad alt. partem</p>
<p>div. utrinque per <math>de - cf</math></p>
</col>
<p>Ad $ractionis hujus re$olutionem, $iat ut <math>c</math> ad <math>d</math>, ita <math>e</math> ad quar-
tam, quæ vocetur <math>g</math>: eritque <math>c g = d e</math>. Vnde pro <math>x = {cbe - cfa / de - cf}</math>
$cribi poterit <math>x = {cbe - cfa / cg - cf}</math> vel <math>{be - fa / g - f}</math>. Deinde fiat ut <math>e</math> ad <math>f</math>, ita
<math>a</math> ad 4<_>tam</_>, quæ vocetur <math>h</math>: eritque <math>eh = fa</math>; ita ut pro <math>x = {be - fa / g - f}</math>
$cribi po$$it <math>x = {be - eh / g - f}</math>. Hinc $i demum fiat, ut <math>g - f</math> ad <math>e</math>, ita
<math>b - h</math> ad 4<_>tam</_>, erit ea <math>= x</math>, quantitati quæ$itæ $umendorum po-
morum.</p>
<p>Quæ itaque ad quæ$tionis $olutionem citra Algebram $equen-
ti modo argumentandum e$$e inferunt
<tb>
Poma $tufr. Poma
<math>c d e g</math>
<math>10——1——25</math> / facit 2{1/2} $tufr. con$tant 25 Poma.
 # $ubtr. f. 2 $tufr. pretium 25 pirorum.
Relinq. <math>g-f</math>. <math>{1/2}</math> $tu$r. quo 25 poma cariora $unt 25 piris,
Pira $tu$r. Pira Subtr.
<math>e f a b. 9.{1/2}</math> $tufr. con$tant 100 poma & pira $imul
<math>25——2——100</math>/facit <math>h</math>. 8 $tufr. con$tant 100 pira
 # relinq. <math>b-<ol>b. 1{1/2}</ol></math> $tufri, quibus 100 poma &
 # pira $imul cariora $unt 100 piris, vel etiam,

<pb 384>[940]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
 # quibus poma in centenario contenta cario-
 # ra $unt piris eorum loco $umptis.
$tufr. differ. Poma $tufr. differ. Subtr.
<math>g - f e b-b a</math>. 100
<math>{1/2} ——— 25 ——— 1{1/2}</math>/ facit <math>x</math>. 75 poma
 # & <math>a - x</math>. 25 pira.
</tb></p>
<h>P<sc>ROBLEMA</sc>.</h>
<p>Metiri altitudinem turris AB, ut & di$tantiam AC,
beneficio duorum baculorum CD, EF, datis <math>GD = a</math>,
<math>CE = b</math>, & <math>HF = c</math>.</p>
<fig>
<var>B D I K F L G H A C E</var>
</fig>
<p>E$to <math>A C = x</math>,
& <math>A B = y</math>.
Series _Analy$eos._</p>
<p>Ductâ IF parallelâ AE, erit propter $imilitudinem ∆<_>rum</_> ABF
& GDF
ut AB ad IF vel AE, ita GD ad KF vel CE.
<math>y ——— x + b ——— a / b</math>.
Ac proinde per 16 $exti <math>by = ax + ab</math>.</p>
<p>Eodem modo, erit propter $imilitudinem ∆<_>rum</_> BDG & BFH
ut BD ad BF, $ive IK ad IF
hoe e$t, AC ad AE, ita GD ad HF.
<math>x——x+b——a/ c</math>.

<pb 385>[941]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
Adeoque per 16 $exti
<math>cx = ax + ab</math>.
Auferatur utrinque <math>ax</math>,
& $it <math>cx - ax = ab</math>.
Dividatur jam utraque pars per <math>c-a</math>,
eritque <math>x = {ab / c-a}</math>. Hoc e$t, re$olvendo æqualita-
tem in proportionem, erit ut
<math>c - a</math> ad <math>a</math>, ita <math>b</math> ad <math>x</math>.</p>
<p>Iam cum eidem æqualia inter $e quoque $int æqualia
erit <math>by = cx</math>. Hoc e$t, erit ut <math>b</math> ad <math>c</math>, ita <math>x</math> ad <math>y</math>.</p>
<p>Quod $i autem invenire lubeat <math>y</math>, non inventâ priùs <math>x</math>, $ubro-
getur in hujus locum in æquatione ultimò hîc inventâ valor ejus
inventus <math>{ab / c-a}</math>,
fietque <math>by = {abc / c-a}</math>.</p>
<p>Vbi, $i utrin que dividatur per <math>b</math>, invenietur <math>y = {ac / c - a}</math>. Quæ
quidem æqualitas in proportionem $ic re$olvitur, dicendo: ut
<math>c - a</math> ad <math>a</math>, ita <math>c</math> ad <math>y</math>. E quibus itaque huju$modi Con$tructio $eu
operandi modus eluce$cit.</p>
<p>Sumptâ HL æquali GD, junctaque DK, fiat ut
<math>c - a</math> ad <math>a</math>, hoc e$t, ut FL ad LH, $ive FD ad DB, $ive
etiam FG ad GA, ita EC $eu <math>b</math> ad CA $eu <math>x</math>; & ita quo-
que F H $eu <math>c</math> ad AB $eu <math>y</math>.</p>
<p>Cujus demon$tratio ex 2<_>da</_> & 4<_>ta</_> $exti libri Elementorum per-
$picua e$t, quippe con$iderando rectam DL ip$i BH parallelam
$ecare proportionaliter rectas BF, FH, perinde ac DC, quæ ip$i
AB e$t parallela, $ecat rectas AF, AE; ut & rectam FE eidem
AB parallelam, facientem ∆<_>la</_> $imilia GFH & GAB.</p>
<p>Cæterùm ut praxis hujus Problematis cuivis obvia $it, vi$um
$uit illud per numeros illu$trare, ut $equitur.</p>
<tb>
 # digit.
 # E$to <math>GD = a = 24</math>
 # <math>CE = b = 30</math>
 # & <math>HF = c = 25</math>

<pb 386>[942]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
 # Vt F L ad L H
 # $eu F D ad D B,
$ive etiam F G ad G A, # digit.
</tb>
<tb>
1 —— 24, ita # EC. 30 # ad # CA. 720.
 # FH. 25 # # AB. 600.
</tb>
<h>P<sc>ROBLEMA</sc>.</h>
<p>Metiri di$tantiam turrium A, B, cùm ad A perve-
nire licet, datis <math>CA = a</math>, <math>AD = b</math>, <math>CD = c</math>, <math>AE = d</math>,
& <math>CF = e</math>.</p>
<p>E$to <math>AB = x</math>.
<fig>
<var>B A E G K D F C H I</var>
</fig>
Series _Analy$eos._</p>
<p>Ductâ GE parallelâ CD, fiat
propter $imilitudinem ∆<_>rum</_> ADC
& AEG,
ut AD ad DC, ita AE ad EG
<math>b —— c —— d/{cd / b}</math>:
itemque
ut AD ad AC, ita AE ad AG.
<math>b - a - d/{a / b}</math>.</p>
<p>Hinc propter $imilia
∆<_>la</_> CBF & GBE
erit ut
CF ad CB, ita GE add. <math>AB. x</math>
<math>e - a + x - {cd / b}</math>/ad GB. <math>{ad+bx / b}</math></p>
<p>Ac proinde per 16 $exti erit
▭ CF, GB æquale ▭ CB, GE
<math>{ade + bex / b} = {acd + cdx / b}</math>.</p>
<p>Inventâ igitur æquatione, ut
evane$cant $ractiones, multiplice-
tur utrinque per <math>b</math>, & fit <math>ade +
bex = acd + cdx</math>.</p>
<p>Transferantur jam quantitates,

<pb 387>[943]<rh>D<sc>E MONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
ita ut quæ in <math>x</math> ductæ $unt unam partem æquationis obtineant, re-
liquæ autem alteram
fietque <math>bex - cdx = acd - ade</math>.</p>
<p>Denique dividatur utrinque per <math>be - cd</math>
eritque <math>x = {acd - ade / be - cd}</math>.</p>
<p>Iam ut æqualitas hæc omnium facillimè in proportionem re-
$olvatur, $imulque inde eluceat, quo pacto quis ratiocinari tenea-
tur, ut quæ$itam lineam AB $eu <math>x</math> ex datis quàm brevi$$imè in-
veniat: animadvertere oportet, quænam litera plurimùm
omnium in hi$ce terminis reperiatur. Quæ igitur cum hîc de-
prehendatur e$$e <math>d</math>, ip$aque $e ter prodat, ubi reliquæ non ni$i bis
offen duntur, faciendum e$t, ad deprimendas dimen$iones, ut illa
in omnibus terminis inveniatur. In quem finem $i fiat ut <math>d</math> ad <math>b</math>,
ita <math>e</math> ad 4<_>tam</_>, quæ vocetur <math>f</math>: erit <math>df = be</math>, ac proinde <math>x = {acd - ade / df - cd}</math>
$eu <math>{ac - ae / f - c}</math>. nimirum, abbreviando terminos omnes per <math>d</math>. Vbi
$i demum $iat ut <math>f - c</math> ad <math>c - e</math>, ita <math>a</math> ad 4<_>tam</_>: erit ip$a <math>= x</math>, hoc
e$t, = quæ$itæ lineæ AB. Atque ita apparet longitu dinem ejus
duabus regulis trium $eu proportionum inveniri po$$e, quæ aliàs
3<_>bus</_> aut pluribus inve$tiganda foret, $i nullum in re$olvenda hac
fractione fieret di$crimen.</p>
<p>Vbi notandum, eandem fractionem <math>{acd - ade / be - cd}</math> etiam alio mo-
do in duas proportionum regulas e$$e re$olubilem, quæ $ingulæ
$icut præcedentes non præter unam dimen$ionem agno$cunt $ive
omnino $implices exi$tunt. Nimirum con$iderando in duobus
terminis reperiri <math>cd</math>, & in $ingulis reliquorum duorum reperiri <math>e</math>;
adeò ut, $i planum <math>cd</math> in aliud tran$mutetur, cujus unum latus
$it <math>e</math>, litera e</math> $ic in omnibus terminis haberi valeat, quæ deinde
omitti po$$it. Ac proinde $i $tatuatur, ut <math>e</math> ad <math>c</math>, ita <math>d</math> ad 4<_>tam</_>,
quævocetur <math>g</math>: erit <math>eg = cd</math>, ita ut pro <math>{acd - ade / be - cd}</math> $cribi po$$it
<math>{aeg - ade / be - eg}</math> vel <math>{ag - ad / b - g}</math>. Vnde $i rur$us fiat ut <math>b - g</math> ad <math>g - d</math>, ita
<math>a</math> ad 4<_>tam</_>: erit ea <math>= x</math>, lineæ quæ$itæ AB. Quæ quidem animad-
ver$io, cum in ab$tracto fiat nullâ factâ calculi relatione $ive re-
$trictione ad $iguræ lineas, luculenter o$tendit, quàm perperam
judicent illi, qui non ritè per$picientes hujus Geometriæ Metho-

<pb 388>[944]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
dum con$tructiones concinnas aliunde potiùs quàm ex ejus cal-
culo derivari autumant. Quod utique plurimis exemplis demon-
$trare po$$em, iisque non inelegantibus, $ed cum id prolixiùs
explicare non $it hujus loci, hæc in medium attuli$$e $uffecerit.</p>
<p>Denique ut pateat, quo pacto præcedentis fractionis re$olutio
ad $iguræ lineas pertineat eaque $imul nobis manife$tet, quales
lineæ ducendæ $int, quæ nos ad quæ$iti $inem perducant: con$e-
quens fuerit ut ea quæ ad facilitatem reductionis circa calculum
$eor$im $umus meditati ad figuræ lineas referamus. Con$tructio
igitur $ive operandi modus talis e$t.</p>
<p>Fiat ut <math>d</math> ad <math>b</math>, hoc e$t, ut A E ad A D $ive C H ad
CI, ita CF $eu <math>e</math> ad CK $eu <math>f</math>. Deinde fiat ut <math>f - c</math> ad
<math>c - e</math>, hoc e$t, ut KD ad DF $ive ID ad DB, ita CA
$eu <math>a</math> ad AB $eu <math>x</math>.</p>
<p>Cujus demon$tratio ex ip$a proportionalium applicatione ma-
ni$e$ta e$t.</p>
<p>Eâdem manente fractionis re$olutione po$$unt dictæ propor-
tionales diver$is aliis modis $iguræ accommodari, indeque velut
aliæ con$tructiones concinnari, quibus licèt figuræ valde di$$imi-
les appareant, operatio tamen una eademque exi$tit. Quas qui-
dem omnes hîc exponere propter earum multitudinem $uperva-
cuum duximus. Idem intellige cùm præcedens $ractio $ecundo
modo re$olvitur.</p>
<p>Vnde colligere licet, cum ex $ola applicatione harum propor-
tionalium, manente re$olutione fractionis aut eâdem aliquantu-
lum immutatâ, complures viæ ultro qua$i $e$e prodant, quibus à
datis ad quæ$itum perducamur, quanto ideo cum emolumento
hujus Geometriæ calculus ad omni$arias quæ$tiones adhibeatur;
utpote cujus bene$icio non modò difficultas omnis breviter ob
oculos ponitur, $ed etiam quid circa illas $it factu opùs plenèedo-
cetur.</p>
<p>Cæterùm ut iis, quibus hujus generis Problemata arrident,
quæ ab$que ullo in$trumento Mathematico in campo per$ici
queunt, etiam praxis allati Problematis con$tet, vi$um fuit illud
$ervando priorem $ractionis re$olutionem $ecundùm $uperiorem
ejus applicationem per numeros illu$trare, ut $equitur.</p>

<pb 389>[945]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
<tb>
 # pedum
E$to <math>CA = a = 450<math>
<math>AD = b = 390</math>
<math>CD = c = 420</math>
<math>AE = d = 225</math>
& <math>CF = e = 252</math>.
</tb>
<tb>
Tum $iat
Vt AE ad AD,
$ive CH ad CI, ita CF ad CK
225 - 390 - 252/ 436{4/5}
 # # CD. 420
 # $ubtr. CD. 420 $ubtr. CF. 252 # ped.
Deinde, ut DK. 16{4/5} ad FD. 168, ita CA. 450/ad AB. 4500.
 # Sive ut ID ad DB
</tb>
<h>P<sc>ROBLEMA</sc>.</h>
<p>Trianguli ABC producto latere AC ad D, ductâ-
que rectâ DEF, $ecante CB, AB in E & F, dantur
<math>AB = a</math>, <math>BC = b</math>, <math>AC = c</math>, <math>CD = d</math>, & <math>CE = e</math>:
oporteatque invenire <math>AF = x</math>.</p>
<fig>
<var>B F E A G C D H</var>
</fig>
<h>Series _Analy$eos_.</h>
<p>Ductâ FG parallelâ BC, fiat propter $imilitudinem triangu-
lorum ABC & AFG
ut AB ad BC, ita AF ad FG
<math>a —— b ——— x/{bx / a}</math>.</p>

<pb 390>[946]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<col 1>
<tb>
Itemque
ut AB ad AC, ita AF ad AG # AC # GC
<math>a —— c —— x {cx / a}</math>. quæ $ubducta ex <math>c</math>, relinquit <math>{ca - cx / a}</math>.
Hinc propter $imilia ∆<_>la</_> CED & GFD
 # erit
 # # ut EC ad CD, ita FG # add. C D. <math>d</math>
<math>e —— d —— {bx / a}</math>/ad GD. <math>{da + ca - cx / a}</math>.
 # Ac proinde per 16 $exti
 # # # ▭EC, GD ▭CD, FG
 # # # <math>{dae + cae - cex / a} = {dbx / a}</math>.
 # # # <math>dae + cae - cex = dbx</math>
 # # # <math>dae + cae = dbx + cex</math>
 # # # & fit <math>{dae + cae / db + ce} = x.</math>
</tb>
</col>
<col 2>
<p>mult. utrinque pera</p>
<p>add. utrinque <math>cex</math></p>
<p>div. utrinque per <math>d b + ce</math></p>
</col>
<p>Ad re$olvendam hanc fractionem, fiat ut <math>e</math> ad <math>d</math>, ita <math>b</math> ad 4<_>tam</_>,
quæ vocetur <math>f</math>: eritque <math>fe = db</math>, adeoque <math>x = {dae + cae / fe + ce}</math> $eu <math>{da + ca / f + c}</math>.
Deinde fiat ut <math>f + c</math> ad <math>a</math>, ita <math>d + c</math> ad <math>x</math>. Quod ip$um docet, ut
ex datis lineis inve$tigetur quæ$ita linea AF, ducendam e$$e ex B
lineam BH ip$i FED parallelam, donec occurrat productæ
ACD in H. Cum enim $tatuendum $it ut <math>e</math> ad <math>d</math>, hoc e$t, ut CE
ad CD, ita <math>b</math> $eu CB ad 4<_>tam</_> <math>f</math>: patet hanc foreip$am CH. Ac
proinde $i porrò fiat ut <math>f + c</math> ad <math>a</math>, hoc e$t, ut AH ad AB, ita
<math>d + c</math> $eu AD ad <math>x</math>: manife$tum e$t inveniri hinc quantitatem
quæ$itæ lineæ AF; ita ut hîc $icut in duobus præcedentibus Pro-
blematis demon$tratio ex $ola proportionalium applicatione per
$e per$picua $it.</p>
<p>Quòd $i autem quis alio operandi modo aut etiam eodem $ed
aliarum linearum ductu quæ$itam lineam AF invenire de$ideret,
ob$ervare poterit ea, quæ à nobis in antecedenti Problemate in-
dicata $unt.</p>
<p>Cæterùm cum & praxis hujus Problematis in extruendis for-
talitiis, chomatibus, promontoriis, alii$ve, non parvi u$us exi-
$tat: nimirum, ubi in fluvio, mari, aut locis paludo$is à certo

<pb 391>[947]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
puncto ceu termino recta linea determinari debet, datum conti-
nens virgarum pedumve numerum: non abs re fuerit, $i & illius
praxin paucis hîc explicavero, præ$ertim cum ab$que ullo in$tru-
mento Mathematico negotium hoc expedire liceat.</p>
<p>Ponamus itaque in directum ip$ius AC à C u$que ad D de$i-
nienda e$$e recta CD, continens 10 perticas $eu virgas. In quem
finem erectis tribus baculis, A, C, & B, efformantibus triangu-
lum qualecunque ABC, ac inter B & C erecto ubicunque quar-
to E, $i men$urentur AB, BC, AC, & CE, $itque, ex. gr., AB =
<math>a = 15</math>, <math>BC = b = 13</math>, <math>AC = c = 14</math>, & </math>CE = e = 5</math> perti-
carum $eu virgarum: oportebit ex his juxta & ipsâ <math>CD = d = 10</math>
quærere longitudinem lineæ AF, perinde ut $upra atque ex $e-
quenti operatione videre e$t.</p>
<tb>
CE # CD # CB # # Add.
5——10——13/adCH. 26 # # AC. 14
 # # add. # A C. 14 # AB # CD. 10
 # # # AH. 40——15——AD.24/ad AF. 9.
</tb>
<p>Hinc $i ab A versùs B in recta AB men$urentur 9 perticæ $eu
virgæ, atque in F hujus men$urationis termino baculus erigatur,
fiet, ut, $i à C in directum ip$ius AC progrediamur, extruendo
aggerem aut etiam navigando cum $capha, donec perventum
fuerit in directum ip$ius FE, recta CD tunc 10 perticarum $eu
virgarum $it futura. qualis requirebatur.</p>
<p>Qui plura hujus generis Problemata videre de$ideret, adeat
Appendicem no$tram de Simplicium Problematum con$tructio-
ne, quam unà cum Exercitationibus no$tris Mathematicis haud
ita pridem in lucem emi$imus, ubii$ta fu$iùs pertractantur, etiam
$ine ullius calculi adjumento.</p>
<h>P<sc>ROBLEMA</sc>,</h>
<p it>cujus $olutione innote$cit, quâ ratione priora duo Tbeore-
mata _11_<_>mi</_> Capitis _1_<_>mi</_> libri Almage$ti _P<sc>TOLEMÆI_</sc>
inventa fuerint $eu inveniri po$$int.</p>
<p>In rectas AB, AG ductis utcunque rectis BE, DG,
$e mutuò decu$$antibus in Z, detur ratio GD ad DZ,

<pb 392>[948]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
ut <math>a</math> ad <math>b</math>, nec non ratio ZB ad BE, ut <math>c</math> ad <math>d</math>: oporteat-
que invenire rationem GA ad AE.</p>
<p>Series _Analy$eos_.</p>
<fig>
<var>A F D E Z G B</var>
</fig>
<p>E$to <math>GD = a</math>
<math>DZ = b</math>, eritque <math>ZG = a - b</math>
<math>BZ = c</math>
<math>BE = d</math>, eritque <math>ZE = d - c</math>
<math>AG = x</math>
& <math>AE = y</math>, eritque <math>E G = x - y</math>.</p>
<p>Ductâ DF parallelâ BE, erit
per 2 $exti
ut GZ ad ZD, ita GE Ex AE.
<math>a - b —— b —— x - y/</math> ad EF. <math>{y / bx - by / a - b}</math> # $ubtr.
rel. AF. <math>{<ol>ay - bx</ol> / a - b}</math>.</p>
<p>Tum fiat propter $imilia ∆<_>la</_> GZE & GDF
ut GZ ad ZE, ita GD \\ <math>a - b - d - c —— a</math> / ad DF. <math>{ad - ac / a - b}</math>.</p>
<p>Quibus $ic con$titutis, erit ex $imilitudine ∆<_>lorum</_> DAF & BAE
ut DF ad AF, ita BE ad AE
<math>{ad - ac / a - b} - {ay - bx / a - b} - d/ y</math></p>
<p>Et $it per 16 $exti
<math>{ady - acy / a - b} = {ady - bdx / a - b}</math>.</p>
<p>Hoc e$t, omi$$o communi denominatore <math>a - b</math>
erit <math>ady - acy = ady - bdx</math>.</p>
<p>Vnde dempto utrinque <math>ady</math>, ac reliquis hinc inde tran$latis,
ut $igno + ad$iciantur
habebitur <math>bdx = acy</math>.</p>
<p>Quæ æqualitas in proportionem $ic re$olvitur
ut <math>x</math> ad <math>y</math>, ita <math>ac</math> ad <math>b d</math>.</p>

<pb 393>[949]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
<p>Quod ip$um docet, rationem quæ$itam G A ad A E $eu <math>x</math> ad <math>y</math>
e$$e compo$itam ex ratione G D ad D Z $eu <math>a</math> ad <math>b</math>, & ex ratione
Z B ad B E $eu <math>c</math> ad <math>d</math>, id e$t, rationem G A ad A E per 23 $exti
e$$e eandem, quàm rectanguli $ub G D, B Z $eu <math>a c</math> ad rectangu-
lum $ub B E, D Z $eu <math>b d</math>. Atque ita con$tat, quo pacto primum
dictorum Theorematum inventum fuerit $eu inveniri po$$it. Id
autem ex Rheinoldi ver$ione ita $onat.</p>
<p it>In duas rectas line as A B & A G deduct æ duæ rectæ
line æ B E & G D $ecent $e mutuò in puncto Z. Dico
quòdratio G A ad A E compo$ita e$t ex ratione G D ad
D Z, & ex ratione Z B ad B E.</p>
<p>Hinc po$tquam innotuit, quo pacto datis rationibus G D ad
D Z, & Z B ad B E etiam dari intelligatur ratio ip$ius G A ad
A E, utpote quæ ex datis hi$ce rationibus e$t compo$ita: haud
inutile fuerit, $i ulteriùs hîc o$tendam, quibus datis lineis hæc
quæ$ita ratio exprimatur, quandoquidem ratio dari dicitur cui
eandem exhibere valemus.</p>
<p>In quem finem $i inventa ratio _a c_ ad _b d_ ad communem altitu-
dinem redigatur, quod quidem quadrupliciter fieri pote$t, $umen-
do ad hoc aliquam ex datis lineis, obtinebitur quæ$ita ratio in $im-
plici$$imis terminis.</p>
<p>Etenim a$$umendo communem
<fig>
<var>A I D E Z G B</var>
</fig>
altitudinem <math>c</math>, $i fiat ut <math>c</math> ad <math>d</math>, ita
b ad 4<_>tam</_>, quæ vocetur <math>e</math>: erit
<math>c e = b d</math>, ita ut quæ$ita ratio $it
eadem, quæ <math>a c</math> ad <math>c e</math>, hoc e$t, re-
jectâ communi altitudine <math>c</math>, ut <math>a</math>
ad <math>e</math>. Quod ip$um Pcolemæi $i-
guram prodit, in qua ex puncto E
ducta e$t E I parallela ip$i G D.
Si enim in ea fiat ut <math>c</math> ad <math>d</math>, id e$t,
ut Z B ad B E, ita D Z $eu <math>b</math> ad
4<_>tam</_> _e_, erit ea linea E I; ita ut G D
ad E I $eu <math>a</math> ad <math>e</math> quæ$itam rationem manife$tet, eandem quippe
quæ e$t ip$ius G A ad A E. Vt patet ex 4<_>ta</_> $exti, propter $imili-
tudinem ∆<_>rum</_> D A G & I A E.</p>
<p>Sic etiam a$$umendo communem altitudinem <math>a</math>, $i $iat ut <math>a</math> ad <math>b</math>,

<pb 394>[950]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc>.</rh>
hoc e$t, ut D G ad D Z, ita H G
<fig>
<var>A D E Z G I B H K</var>
</fig>
vel B E $eu <math>d</math> ad 4<_>tam</_>, quæ vo-
cetur <math>f</math>: erit <math>ea = Z I</math>. Et fit
<math>a f = b d</math>, ita ut quæ$ita ratio $it
eadem, quæ <math>a c</math> ad <math>a f</math>, hoc e$t,
rejectâ <math>a</math> communi altitudine,
eadem quæ <math>c</math> ad <math>f</math> $eu B Z ad Z I.
Hanc autem eandem e$$e, quam
ip$ius G A ad A E, ita patet.</p>
<p>Productis namque A B, G H
donec coëant in K, erit propter
$imilitudinem ∆<_>rum</_> B D Z,
K D G, lineamque D H $imili-
ter in utroque ductam, ut B Z
ad Z I, ita K G ad G H $eu B E. Vt autem K G ad B E, ita e$t,
propter $imilitudinem ∆<_>rum</_> K A G & B A E, quoque G A ad
A E. Quare etiam B Z ad Z I erit, ut G A ad A E. Vnde liquet,
$i _a_ pro communi altitudine $umatur, ducendam e$$e ex G rectam
G H ip$i B E parallelam, donec occurrat rectæ ex B ductæ ip$i
A G parallelæ in H: eritque, junctâ H D, B Z ad Z I ratio
quæ$ita.</p>
<p>Haud $ecus, $i a$$uma-
<fig>
<var>A D E Z B G I</var>
</fig>
tur communis altitudo <math>b</math>,
fiatque ut <math>b</math> ad <math>a</math>, hoc e$t,
ut Z D ad D G, ita B Z
$eu <math>c</math> ad 4<_>tam</_>, quæ voce-
tur <math>g</math>: erit <math>ea = I G</math>. Et fit
<math>b g = a c</math>, ita ut quæ$ita ra-
tio G A ad A E eadem $it,
quæ <math>b g</math> ad <math>b d</math>, hoc e$t, re-
jectâ communi altitudine <math>b</math>,
eadem quæ <math>g</math> ad <math>d</math> $eu I G
ad B E. ut patet ex $imili-
tudine ∆<_>rum</_> I A G & B A E.
Quod ip$um arguit, $umen-
do <math>b</math> pro communi altitudine, ducendam e$$e ex G rectam G I
ip$i B E parallelam, donec occurrat productæ A B in I, ut ha-
beatur ratio quæ$ita I G ad B E.</p>

<pb 395>[951]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
<fig>
<var>A I D E C Z F G B</var>
</fig>
<p>Nec aliter fit, $i, a$$umptâ
communi altitudine <math>d</math>, fiat ut <math>d</math>
ad <math>c</math>, hoc e$t, ut B E ad B Z, ita
G D vel I C $eu <math>a</math> ad 4<_>tam</_>, quæ
vocetur <math>h</math>: erit <math>ea = D F</math>. Et fit
<math>d h = a c</math>, ita ut quæ$ita ratio $it
eadem, quæ <math>d h</math> ad <math>b d</math>, hoc e$t,
rejectâ communi altitudine <math>d</math>,
eadem quæ <math>h</math> ad <math>b</math> $eu D F ad D Z.</p>
<p>Hanc autem eandem e$$e,
quam G A ad A E, ita patet.</p>
<p>E$t enim, propter $imilitudi-
nem ∆<_>rum</_> B D F & B I C, lineamque B E in utroque $imiliter
ductam, ut D F ad D Z ita C I $eu D G ad I E. Vt autem D G
ad I E, ita e$t, propter $imilitudinem ∆<_>rum</_> D A G & I A E, G A
ad A E. Quocirca & D F ad D Z erit, ut G A ad A E. Atque ita
liquet, $umendo _d_ pro communi altitudine, ducendam e$$e ex G
rectam G C ip$i B A parallelam, donec occurrat rectæ per E ip$i
D G parallelæ in C, rationem quæ$itam e$$e D F ad D Z.</p>
<p>Cæterùm ut pateat, qua ratione demon$tratio præcedentis
Theorematis, qualis à Ptolemæo affertur, ex allatis deduci po$$it;
ut & quo pacto exinde plures alias demon$trationes $imiles con-
ficere liceat: vi$um fuit eandem unà cum aliis tribus, à me dedu-
ctis, hîc $ubjungere, calculique ve$tigia, quibus innituntur, $imul
hîc adhibere atque patefacere.</p>
<fig>
<var>A I D E Z G B</var>
</fig>
<tb>
Vt $upra e$t # Ratio
ZB BE DZ IE # G A ad A E
_c_ - _d_ - _b_ / _e_ # _a c_ ....... _b d_
& _c e_ = _b d_. # vel _a c_ ....... _c e_
 # $eu G D E I
</tb>
<fig>
<desc>med. term.</desc>
<var>a e b DZ BE ZB c d</var>
</fig>

<pb 396>[952]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc>.</rh>
<h>_Demon$tratio_ P<sc>TOLEMÆ1</sc>.</h>
<p it><q>Ducatur enim per punctum E linea E I æ quidi$tans
lineæ G D.</q></p>
<p it><q>Quoniam igitur line œ G D & E I $unt œquidi$tantes,
ratio line æ G A ad A E eadem e$t, quæ e$t line æ G D ad
lineam E I. Ad$umatur autem de$oris linea Z D. Erit
igitur compo$it a ratio line æ G D ad lineam E I ex ratio-
ne line æ G D ad line am D Z, & ex ratione line æ D Z ad
lineam E I. Quare & ratio lineæ G A ad lineam A E
compo$it a e$t ex ratione lineæ G D ad lineam D Z, & ex
ratione lineæ D Z ad lineam E I. E$t autem & ratio
lineæ D Z ad E I eadem rationi lineæ Z B ad lineam
B E, cumæ quidi$tantes $int lineæ E I & Z D. Ratio igi-
tur lineæ G A ad lineam A E compo$ita e$t ex ratione li-
neœ G D ad lineam D Z, & ex ratione lineœ Z B ad li-
neam B E. Quod er at demon$trandum.</q></p>
<fig>
<var>A D E Z G B I H K</var>
</fig>
<tb>
 # Aliter.
Vt $upra e$t # Ratio
GD DZ BE vel HG ZI # GA ad A E
_a_ - _b_ - _d_ / _f_ # _a c_ ...... _b d_
& _a f_ = _b d_. # vel _a c_ ...... _a f_
 # BZ ZI
</tb>
<fig>
<desc>med. term.</desc>
<desc>$eu</desc>
<desc>vel</desc>
<var>c f d BE HG DZ G D a b</var>
</fig>
<p>Ductâ G K parallelâ ip$i B E, donec occurrat productæ A B
in K, agatur B H æquidi$tans A G, occurrens ip$i K G in H, jun-
gaturque H D, $ecans B E in I.</p>
<p>Quoniam itaque, propter $imilitudinem ∆<_>rum</_> K A G & B A E,
G A e$t ad A E, $icut K G ad B E vel H G; $ed ut K G ad G H,
ita quoque e$t, propter $imilitudinem ∆<_>rum</_> K D G & B D Z, li-
neamque D H in utroque $imiliter ductam, B Z ad Z I. Quare

<pb 397>[953]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
etiam erit G A ad A E, $icut B Z ad Z I. Hinc a$$umpta $orin$ecus
lineâ B E, quoniam ratio B Z ad Z I compo$ita e$t ex ratione B Z
ad B E, & ex ratione B E vel H G ad Z I, id e$t, propter $imilitu-
dinem ∆<_>rum</_> H D G & I D Z, ex G D ad D Z: erit perinde ratio
G A ad A E compo$ita ex ratione B Z ad B E, & ex ratione G D
ad D Z. Quod erat o$tendendum.</p>
<fig>
<var>A D E Z B G I</var>
</fig>
<tb>
 # Adhuc aliter.
Vt $upra e$t # Ratio
DZ GD BZ IG # GA ad AE
_b_ - _a_ - _c_/_g_ # _a c_ ...... _b d_
& _b g_ = _a c_. # vel _b g_ ...... _b d_
 # IG BE
</tb>
<fig>
<desc>$eu</desc>
<desc>med. term.</desc>
<var>g d c GD BZ DZ a b</var>
</fig>
<p>Etenim ductâ G I parallelâ B E, u$que dum occurrat productæ
A B in I: erit propter $imilitu dinem ∆<_>rum</_> I A G & B A E, ut G A
ad A E, ita I G ad B E. Hinc cum, a$$umptâ forin$ecus rectâ B Z,
ratio ip$ius I G ad B E compo$ita $it ex ratione I G ad B Z, id e$t,
propter $imilitudinem ∆<_>rum</_> I D G & B D Z, ex G D ad D Z, &
ex ratione B Z ad B E: erit pariter ratio G A ad A E ex ii$dem
rationibus compo$ita. Quod erat o$tendendum.</p>
<fig>
<var>A I D E C Z F G B</var>
</fig>
<tb>
 # Veletiam hoc pacto:
Vt $upra e$t # Ratio
BE BZ GD DF # GA ad AE
_d_ - _c_ - _a_/_h_ # _a c_ ...... _b d_
& _d h_ = _a c_. # vel _d h_ ...... _b d_
 # DF DZ
</tb>
<fig>
<desc>$eu</desc>
<desc>med. term.</desc>
<desc>vel</desc>
<var>g d c BZ DG IC BE a b</var>
</fig>

<pb 398>[954]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc>.</rh>
<p>Ductâ G C ip$i B A parallelâ, donec occurrat rectæ I E C ip$i
D G parallelæ in C, jungatur B, $ecans D G in F.</p>
<p>Quoniam itaque, propter $imilitudinem ∆<_>rum</_> D A G &
I A E, G A e$t ad A E, $icut G D vel I C ad I E; at ut I C ad
I E, ita quoque e$t, propter $imilitudinem ∆<_>rum</_> B I C & B D F,
lineamque B E in utroque $imiliter ductam, D F ad D Z: erit
etiam G A ad A E, $icut D F ad D Z. A$$umatur jam forin-
$ecus linea D G. Hinc cum ratio D F ad D Z $it compo$ita
ex ratione D F ad D G vel I C, $ive B Z ad B E, & ex ratio-
ne D G ad D G: erit $imiliter ratio G A ad A E compo$ita ex
ratione B Z ad B E, & ex ratione D G ad D Z. Quod erat
o$tendendum.</p>
<p>Idem pariter de 2<_>do</_> P<sc>TOLEMÆI</sc> Theoremate aliisque $imi-
libus e$t in telligendum.</p>
<p it>Vnde con$tat, præ$uppo$itâ Algebr æ cognitione, baud-
quaquam nece$$aria e$$e exi$timanda, quæ de Rationum
Logi$tica communiter traduntur, non magis quàm $i ad
cuju$vis generis quœ$tiones per Algebram $olvendas mul-
ti$aria addi$cantur Theoremata: cum & invenire illa
& demon$trare ip$ius Algebr æ $it munus, quam quidem
excolendo non modò ingenium exercetur, $ed res ip$a fun-
ditus eruitur, citra eam verò $æpi$$ime illa ip$a Theore-
mata non $atis feliciter adbibentur.</p>
<h>P<sc>ROBLEMA</sc>.</h>
<p>Lati$undii A B C D cognitis omnibus lateribus &
angulis, ab eodem datam portionem re$ecare, li-
neis E F, F G, G H, & H E latifundii lateribus A B,
B C, C D, & D A parallelis, & ab ii$dem pari ubique in-
tervallo di$$itis.</p>
<p>Iunctis A E, B F, C G, & D H, demittantur ex E, F, &
G $uper A B, B C, C D, & D A perpendiculares E I, F L,
F M, G N, G O, & E K; at ex D $uper G H & H E perpendi-
culares D P & D Q.</p>
<p>Quoniam itaque in rectangulis triangulis AIE & AKE qua-

<pb 399>[955]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
drata, quæ fiunt ex A I,
<fig>
<var>S R V T B 50 38 M I F 50.1① 53.64② Y Z X N G H P 54 12 C Q 10 O 205 O H E D 21.07 ② K 50 0 24.8① A</var>
</fig>
I E nec non ex A K, K E
quadrato ex A E _per_ 47
_primi Elementorum $unt æ-
qualia, erunt & ip$a in-
ter $e æqualia. E$t autem
quadratum ex E I æqua-
le quadrato ex E K, quip-
pe ob æqualitatem recta-
rum E I, E K, æquale
intervallum indicantium;
Quare etiam quadratum
ex A I quadrato ex A K
æquale erit, adeoque &
A I æqualis A K. Hinc
cum tria latera trianguli
A I E æqualia $int tribus
lateribus trianguli A K E,
erit quoque angulus I A E
angulo K A E _per_ 8 _primi_
æqualis, ac proinde an-
gulus B A D per rectam
A E bifariam divi$us.
Haud $ecus liquet, angu-
los ad B, C, & D per
rectas B F, C G, & D H
bifariam divi$os e$$e.</p>
<p>Series _Analy$eos_.
E$to <math>A B = a</math>
<math>B C = b</math>
<math>C D = c</math>
<math>D A = d</math>
& E I, F L, F M, G N, G O,
D P, D Q, vel <math>E K = x</math>.</p>
<p>Iam cum propter datos angulos A, B, C, & D etiam eorum $e-
mi$$es dati $int, erit in unoquoque triangulorum ad angulos ho$ce
con$titutorum data quoque ratio laterum.</p>

<pb 400>[956]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc>.</rh>
<tb>
Ponatur itaque E I ad I A vel E K ad K A e$$e, ut <math>e</math> ad <math>f</math>
 # F L ad L B vel F M ad M B, ut <math>e</math> ad <math>g</math>
 # G N ad N C vel G O ad O C, ut <math>e</math> ad <math>h</math>
 # & D P ad P H vel D Q ad Q H, ut <math>e</math> ad <math>i</math>.
</tb>
<tb>
Tum fiat # E I vel E K A I vel A K
 # ut <math>e</math> ad <math>f</math>, ita <math>x</math> / ad <math>{fx / e}</math>
 # F L vel F M L B vel B M
 # ut <math>e</math> ad <math>g</math>, ita <math>x</math> / ad <math>{gx / e}</math>
 # G N vel G O N C vel C O
 # ut <math>e</math> ad <math>h</math>, ita <math>x</math> / ad <math>{hx / e}</math>
 # D P vel D Q P H vel H Q
 # ut <math>e</math> ad <math>i</math>, ita <math>x</math> / ad <math>{ix / e}</math>
</tb>
<p>Additis jam A I, A K, L B, B M, N C, C O, $i ip$arum $umma
<math>{2fx + 2gx + 2hx / e}</math> auferatur ex <math>a + b + c + d</math>, $umma laterum A B,
B C, C D, & D A, relinquetur <math>a + b + c + d {- 2fx - 2gx - 2hx / e}</math>,
$umma rectarum I L, M N, O D, & D K, id e$t, ip$arum E F,
F G, G P, & Q E. Quibus $i addatur <math>{2ix / e}</math>, $umma ip$arum P H,
H Q, erit <math>a + b + c + d {- 2fx - 2gx - 2hx + 2ix / e}</math> $umma late-
rum internorum E F, F G, G H, & H E. Porrò quoniam portio
ab$cindenda, quæ vocetur <math>k</math>, pro trapezio accipi pote$t, cujus
duo latera $unt parallela, fit ut $i A B, B C, C D, & D A in rectam
lineam A R junctim collocentur, ut & E F, F G, G H, & H E in
rectam lineam E T, trapezium A R T E ip$i portioni ab$cin-
dendæ _k_ futurum $it æquale. Quocirca $i juxta vulgarem regu-
lam hujus area quæratur, addendo $cilicet latera parallela A R
& E T, & $emi$$em $ummæ multiplicando per ip$ius latitu di-
nem E I $eu <math><math>x</math>, habebitur æquatio inter <math>ax + bx + cx + dx
{- fxx - gxx - hxx + ixx / e}</math> & <math>k</math>, id e$t, æquatione ritè ordinatâ,
erit <math>x x = {aex + bex + cex + dex / f + g + h - i} - {k e / f + g + h - i}</math>. Cujus radices
inveniuntur operando ulteriùs, quemadmodum pag. 7 hujus

<pb 401>[957]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
Geometriæ indicatur, quarum quidem major dum lineam exhibet
quæ$itâ E I manife$tè majorem, idcirco meritò hîc erit negligenda.</p>
<p>Quoniam autem ex E, F, G, & D intervallis E I vel E K, F L
vel F M, G N vel G O, & D P vel D Q de$criptis circulis rectæ
A I vel A K, L B vel B M, N C vel C O, & P H vel H Q tan-
gentes $unt complementorum $emi$$ium datorum angulorum A,
B, C, & D; fiet ut, $i <math>e</math> pro radio $umatur, ip$æ <math>f</math>, <math>g</math>, <math>h</math>, & <math>i</math> di-
ctas tangentes de$ignent. Quod cum eodem modo de omnibus
aliis figuris rectilineis intelligendum $it, à quibus huju$modi por-
tio re$ecari debet: haud difficulter poterimus, $i angulos A, B, C,
$imilesque vocemus externos, at angulum D internum, ut &
eos omnes, qui huju$ce generis exi$tunt, atque præter æquatio-
nis con$titutionem $pectemus in$uper, quænam ad illam re$ol-
vendam $ive ad quæ$itam latitudinem ex ea obtinendam $int fa-
cienda, regulam inde generalem formare, quæ $ic $e habet.</p>
<p>Additis figuræ lateribus, multiplicetur $umma per
radium 100000, productumque dividatur per $um-
mam tangentium, angulorum qui $emi$$ium datorum
$unt complementa, cùm videlicet dati anguli omnes
$unt externi, aut per earundem differentiam, quum
externi ac interni exi$tunt, & fit primum inventum.</p>
<p>Deinde multiplicatâ areâ protionis ab$cindendæ
per radium 100000, dividatur productum per præ-
dictam $ummam vel differentiam tangentium, & fit
$ecundum inventum. Quo $ubducto à quadrato $emi$-
$is primi inventi, $i reliqui radix ab eodem $emi$$e aufe-
ratur, relinquetur latitudo quæ$ita.</p>
<p>Inventâ igitur per Algebram viâ, quâ Problema propo$itum
$olvendum $it, ip$ius veritas ex $equentis calculi applicatione,
quæ ab ea parùm e$t aliena, mani$e$ta fiet; $i modò ibidem
con$ideraverimus, completo parallelogrammo A R S E, produ-
ctisque A E, R T donec coëant in X, rectam S T, duplum $upra
dictæ $ummæ vel differentiæ tangentium referre, atque demi$$is
perpendicularibus R V & X Y rectam S T ad R V, ob $imilitu-
dinem triangulorum S T R & A R X, eam habere rationem,
quam A R habet ad X Y.</p>

<pb 402>[958]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc>.</rh>
<col 1>
<tb>
 # Angul.
 # A. 50. 0' # # Add.
$emi$$is. 25. 0', ejus Tang. Compl.
 # B. 50. 38' # AI vel AK e$t 214451
$emi$$is. 25. 19, ejus Tang. Compl.
 # C. 54. 12' # LB vel BM e$t 211392
$emi$$is. 27.6, ejus Tang. Compl.
 # # N C vel C O e$t {195417 / 621260}
 # D. 205.10' # # Add.
$emi$$is. 102.35, ejus Tang. Compl. # $ubtr. # AB. 53 64
 # PH vel HQ e$t # # BC. 50 1
 # # differentia {22322 / 598938} # # CD. 21 07
 # # # 2 Rad. RV. DA. 24 8
 # partes ST. 1197876-100000-AR. 149 61 ②
 # # # multipl.
 # # # AR. 14961 ②
Vt ∆ A R X $eu {1/2} XY, A R # ad XY. 1249 ②.
 # ad □ XY $eu X Y, X Y, # 134649
vel, relicta communi # 59844
 # altitudine XY # 29922
 # ut {1 / 2} A R ad X Y, # 14961
$ive etiam, propter # 
 # $imil. ∆<_>rum</_> S T R # product. # 1868 6289 ④
 # & A R X # # ARX. 934 3144 ④
 # ut {1 / 2}ST ad RV, ita # ARTE. 600
598938 - 100000 - rel. triang. # ETX. 334 3144 ④ / ad □ XZ. 55 81 78 ④
eritque XZ. 7 4 7 ②
</tb>
</col>
<col 2>
<p>$emi$$is $eu triang.
$ubtr. part. re-
$ec. $eu trap.</p>
</col>
<p>Hinc $ubducta X Z $eu 747 ② ex XY $eu 1249 ②, relinque-
tur 502 ② pro YZ latitudine quæ$ita portionis ab$cindendæ.</p>
<p>Cæterùm cum non ab$imili modo à data qualibet figura recti-
linea portio datæ magnitudinis ab$cindi po$$it, aut etiam quæ
ip$ius figuræ certam partem $ive partes contineat, lineis quibu$-
dam duntaxat lateribus parallelis & ab ii$dem æquali intervallo
di$tantibus: plura hac de re afferre $upervacaneum duximus, præ-
$ertim cum materiam hanc nec non determinationes eò $pectan-
tes jam $æpiùs in Lectionibus no$tris Publicis abundè pertracta-

<pb 403>[959]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
verimus, eaque occa$ione illa multis etiam jam diu innotui$$e cer-
tò $civerimus.</p>
<h>T<sc>HEOREMA</sc>,
quod ad $olutionem arti$icio$i$$imam Problema-
tis pag. 372 ut conce$$um $upponitur.</h>
<p it>Cum in rimanda olim $olutione Problematis p. 372 non-
nulla deprebendi$$em, quœ ad eandem ut conc e$$a $uppo-
nebantur, eaque po$t comment arios meos in hanc Geome-
triam Theoremate ad id Geometricè re$oluto corrobo-
râ$$em: vi$um fuit calculum è quo eandem re$olutionem
tunc depromp$i bîc in medium afferre, ac quo pacto idem
à me $it præ$titum eâ quâ potero per$picuitate cuivis ob
oculos ponere. In quem finem $ibuc revocetur Theorema
jam dictum unà cum illis, quæ ad explicationem ejus
p. 369 & 370 ulteriùs $unt allata, in$piciendus erit dein-
ceps $equens calculus.</p>
<fig>
<var>G F E A I B K N M L D H C O P Q R</var>
</fig>
<p>A$$umpto quæ$i-
to ut vero, hoc e$t,
C A e$$e ad A F,
$icut C B ad A G
ducatur porrò D L
parallela A B, $e-
cans C A, C B in M
& N, ac occurrens
ip$i G H in L, po-
naturque <math>D A = y</math>.</p>
<p>Deinde calculus
$ic procedat</p>
<p>Ex a$$umptione e$t
CA AF CB AG
<math>c - d - b / ad {db / c} = z</math></p>
<tb math>
Ex $imilitudine ∆<_>lorum</_> B A C & A I G e$t
BC # CA # AG # GI
b - c - {db / c} / ad d. Vnde IK erit = c - d. pro qua
 # brevitatis causâ $cribatur f.
Et apparet ex hac a$$umptione G I inveniri æqualem F A.
</tb>

<pb 404>[960]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc>.</rh>
<col 1>
<tb math>
itemque
CA AB GI IA
c - a - d / ad {ad / c}
add.
A E. e
1*
CA AB KI
E I. {ce + ad / c}
 # Mult.
c - a - f/ ad I B. {af / c}
c - a - f/ ad I B. {af / c}
ᆷEIB. {ceaf + adaf / cc}
</tb>
</col>
<col 2>
<tb math>
Ex hypothe$i e$t
BA # AE # BC # AD
a - e - b / ad {eb / a} = y
Ex natura Ellip$is, per 17. 3<_>tii</_>
Conicorum Apollonii, pro-
portionalia $unt
ᆷFAC ᆷGKH ᆷDAG ᆷCKB
dc - cx - yz - bz - zz
$eu, rejectis communibus altitudini-
bus A C, G K; & A G, C K
FA # KH # DA # KB
d - x - y - b - z
hoc e$t, re$titutis valoribus ip$a-
rum _y_ & _z_
d - x - {ed / a} - {cb - db / c} $eu {fb / c}
Vnde K H $eu _x_, per 16. 6<_>ti</_>,
 # $it = {acd - add / ce} $eu {ad$ / ce}
 # # add. I K. f.
 # # IH. {cef + adf / ce}
</tb>
</col>
<col 3>
<p>Denique ex natura Elli-
p$is, per 17. 3<_>tii</_> Conicorum
Apollonii,</p>
<p>ᆷ GIH e$t ad ᆷ F A C.
Seu, propter rectas G I, F A,
 # $upra æquales,
IH ad AC, ut ᆷEIB ad ᆷEAB
<math>{cef + adf / ce} - c - {ceaf + adaf / cc} - ea</math>
Et $it, multiplicando tum medios tum
extremos, <math>ace + aad = ace + aad</math>.</p>
</col>
<col 4>
<p>Ex $imilitudi-
ne ∆<_>rum</_> C A B
& K I B e$t</p>
</col>
<p>Id quod arguit, cum a$$umendo quæ$itum tanquam conce$-
$um per calculum hunc Geometricum ad verum conce$$um de-
venerimus, quæ$itum illud, quod cum hoc conce$$o omnimode
connectitur, e$$e quoque verum. Quod erat o$tendendum.</p>
<p it>Porrò ut intelligatur, quâ ratione ex hoc calculo $upra-
dicta re$olutio à me de ducta fuerit: haud gravabor eun-
dem calculum hîc ulter iùs ita di$ponere, dictamque re$o-
lutionem illi à latere $ic adhibere, ut cuivis $edulò hœc
in$picienti enucleatè appareat, qui$nam inter illum &
hanc re$olutionem mutuus con$en$us exi$tat. Præ$ertim
cum hujus re$olutionis inventio deinde mihi an$am, com-
plures alias demon$trationes Geometricas conficiendi,

<pb 405>[961]<rh>D<sc>EMONSTR ATIONIBVS</sc>.</rh>
_$ubmini$traverit, atque ip$a etiam artificium detexi$$e
mibi vi$a $it, quo V eteres, in multis difficilioribus demon-
$trationibus concinnandis, u$i $unt. Lui quidem id unicè
$tudui$$e videntur, quò $ua inventa eorumque demon $tr a-
tiones po$teris majori admir ationi for ent, ut modum, quo
ea ip$a invenerint ac demon $tr ationibus muniverint,
pror $us $upprimer ent & ab$conderent.</p>
<fig>
<var>F G E A I B K D M N L C H O P Q R</var>
</fig>
<col 1>
<p>Exa$$umptione
<math>CA AF CB AG
c - d - b / ad {db / c} = z</math>
<math>Et permutando per 16.5
CA CB AF AG
c - b - d / ad {db / c}</math></p>
<p>Ex $imilitudine Δ <_>rum</_> BAC, AIG
<math>BC CA AG GI
b - c - {db / c} / ad d.</math></p>
<p>Et convertendo per Cor. 4. 5
<math>CA CB GI AG
c - b - d / ad {db / c}</math></p>
</col>
<col 2>
<p>Quoniam igitur $upponitur
C A e$$e ad A F, $icut C B ad
A G; erit etiam permutando
C A ad C B. $icut A F ad A G.</p>
<p>Iam quia, ex $imilitudine
Δ<_>rum</_> B A C & AIG, B C e$t ad
C A, $icut A G ad GI; & con-
vertendo C A ad C B, $icut
G I ad A G: erit A F per 9.5<_>ti</_>
ip$i GI æqua-
lis. Eodem
modo æqua-
les erunt E A
& D M.</p>
</col>
<col 3>
<p>Quia hîc ex a$$umptione repe-
ritur G I exprimi per ean-
dem quantitatem quam
AF, colligitur inde ip$as
æquales e$$e.</p>
<p>Haud $ecus æquales erunt
E A & D M.</p>
</col>

<pb 406>[962]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<col 1>
<math>Exhypothe$i
 # BA AE BC AD
 # a - e - b / ad {ed / a} = y
Ex natura Ellip$is, per 17.3<_>tii</_> Conico-
 # # rum Apollonii
▭ FAC ▭ GKH ▭ DAG ▭ CKB
 # dc - cx - yz - bz - zz
H.e., rejectis communibus altitu dinibus
 # # AC, GK; & A G, C K,
 # FA KH DA KB
 # d - x - y - b - z
Etre$titutis ip$arum _y_ & _z_ valoribus
 # FA KH DA KB
 # d - x -{eb / a} - {cb - db / c} $eu {fb / c}
 # KH {ceb - afb / ce - af}
 # Fit x = {adf / ce}.
</col>
<col 2>
<p>Porrò cum ex natura
Ellip$is ▭ F A C $it ad
▭ G K H, $eu, propter
rectarum A C, G K æ-
qualitatem, F A ad K H,
$icut ▭ D A G ad
▭ C K B, h. e., propter
æqualitatem rectarum
AG, CK, ut DA ad KB;
& quidem ratio D A ad
K B, compo$ita $it ex
ratione D A ad C B $eu
E A ad A B, & ex ratio-
ne C B ad K B $eu C A
ad I K: erit quoque ra-
tio F A ad K H compo-
$ita ex ratione E A ad
A B, & ex ratione C A
ad I K. Ideoque cum
ratio compo$ita ex ra-
tione E A ad A B, &
ex ratione C A ad I K,
$it ea, quam habet
▭ CAE ad ▭ KI, AB:
erit $imiliter ratio i-
p$ius F A ad K H ea,
quam habet ▭ C A E
ad ▭ K I, A B.</p>
</col>
<col 3>
<p>Iam ut ex Elementis con$tet, quo pa-
cto ratio ip$ius D A ad K B in $implici$$i-
mis terminis exprimi po$$it, cum via il-
lam inveniendi multiplicatione per cru-
cem (quemadmodum vulgo fit) omnino
$it Algebraïca: calculum hîc apponam
è quo ip$æ D A & K B re$ultant.</p>
</col>
<col 4>
<math>BA AE BC AD
 # a - e - b / ad {ed / a}
CA IK BC KB
 # c - f - b / ad {fb / c}
 # EA # AB
 # e - a
 # CA IK
23.6.c - f
▭CAE ▭ KI,AB
 # # ce - af</math>
</col>
<col 5>
<p>Vbi apparet, cum in
utraque hac proportionis regula idem ter-
minus B C ip$is A D & K B præcedat, quod
ratio ip$ius A D ad K B, per hujus B C in-
terpo$itionem, $it compo$ita ex ratione A D
ad B C $eu E A ad A B, hoc e$t, _e_ ad _a_, & ex
ratione B C ad K B $eu C A ad I K, hoc e$t,
_c_ ad _f_. Ac proinde, cum ratio ex his compo-
$ita, per 23.6, $it eadem rationi, quam habet
▭ CAE ad ▭ KI, AB, $eu _ce_ ad _af_: erit quo-
</col>

<pb 407>[963]<rh>D<sc>EMONSTR ATIONIBVS</sc>.</rh>
que ratio ip$ius F A ad K H $eu _d_ ad _x_ eadem, quam habet
▭ C A E ad ▭ K I, A B, $eu _ce_ ad _af_.</p>
<fig>
<var>F G E A I B K D M N L C H O P Q R</var>
</fig>
<col 1>
<p>Ad com-
parandam
I H cum
A C, quia,
inventâ
<math>K H ={adf/ce}</math>,
ad KH ad-
di priùs
debet <math>IK
= f</math>, ut ha-
beatur <math>IH
={cef+adf/ce}</math>,
$ed hoc
pacto ra-
tio ip$ius
IH ad A C non $atis commodè videtur Geometricè ex-
plicabilis: quæ$ivi priùs rationem ip$ius I H ad I K; inde
per compo$itionem rationis conver$am, & per alias deni-
que comparationes venio ad rationem ip$ius I H ad A C,
ut $equitur.</p>
</col>
<col 2>
<math>E$to K I ad FA, KH
 # # f - d....... x
 # # ut O ad CA.
3<_>*</_> {cf / d} - c
Mult. per A E. e........ e
hoc e$t, ut ▭ O, A E ad ▭ C A E ▭ K I, A B
 # per I. 6. {cef / d} - ce ...... af
Vnde ex æquo & per compo$itionem rationis
 # conver$am erit
VtKI + KH$eu IH ad KI,
 # f + x - f
$ic ▭ O, AE + ▭ KI, A B ad ▭ O, AE.
 # {cef / d} + af - {cef / d}</math>
</col>
<col 3>
<p>E$to jam
KI ad F A,
$icut linea
O ad C A.
Vnde, a$-
$umptâ
A E pro
communi
altitudine,
erit K I ad
F A, $icut
▭ $ub O
& A E ad
▭ C A E.
Erat au-
tem F A ad
K H, $icut
▭ C A E
ad ▭ K I,
A B. Qua-
re ex æquo
erit ut K I
ad KH, $ic
▭ O, A E
ad ▭ K I,
A B; & per
compo$i-
tionem ra-
tionis con-
ver$am K I
+ K H $eu
I H ad K I,
$icut ▭ O,
A E + ▭
K I, A B, ad
▭ O, AE.</p>
</col>

<pb 408>[964]<rh>D<sc>E CONCINN ANDIS</sc></rh>
<col 1>
<p>IH Sit KI ad AC,
<math>f + x ........ f - c
 # ut O ad P. 4^*
 # # {cf / d} - {cc / d }
Mult. per A E. e......... e
hoce$t,
▭O, AE + ▭KI, AB ut▭ O, AE ad ▭ P, AE
{cef + adf / d}............{cef / d} - {cce / d}</math></p>
<p>Vnde ex æquo erit ut IH ad A C, ita
▭ O, AE + ▭ KI, AB ad ▭ P, A E.</p>
<p>Sed ut I H ad A C, ita quoque e$t
propter rectas I G & F A $upra æquales
mult. per I G......F A
per 1.6. ▭ GIH ad ▭ FAC, hoc e$t, per
17.3<_>tii</_> Conic. Apoll., ut ▭ EIB ad ▭ EAB</p>
<p>Quocirca erit ut ▭ O, <math>AE + ▭ KI</math>, AB
ad ▭ P, A E, ita ▭ E I B ad ▭ E A B.</p>
</col>
<col 2>
<p>Deinde $it ut
K I ad A C, ita
O ad P. Vnde,
a$$umptâ A E
pro communi
altitudine, erit
K I ad A C, $ic-
ut ▭ O, A E
ad ▭ P, A E.
Sed ut I H ad
K I, ita e$t
▭ O, <math>A E +
▭ K I</math>, A B ad ▭ O, A E.
Quapropter ex æquo
erit ut IH ad A C, $ic
▭ O, <math>AE + ▭ KI</math>, AB
ad ▭ P, AE. Cum ve-
rò rur$us, ut ante,
▭ GIH $it ad ▭ FAC,
$icut ▭ E I B ad ▭ E A B; & quidem I G & A F, ut $upra, æqua-
les $int o$ten$æ: erit quoque I H ad A C, $icut ▭ E I B ad ▭ E A B.
Vtautem IH ad A C, $ic quoque erat ▭ O; <math>A E + ▭ K I</math>, A B ad
▭ P, A E. Quocirca erit ut ▭ O, <math>A E + ▭ K I</math>, A B ad ▭ P, A E
ita ▭ E I B ad ▭ E A B.</p>
</col>
<col 3>
<p>Fiat jam, ut A E ad A B, ita KI ad Q
<math>e - a - f {af / e} . 5<_>*</_></math>
eritque per 16.6. ▭ KI, <math>AB = ▭ Q</math>, AE.
Adeoque ut
▭ O, <math>AE + ▭KI</math>, AB, $eu Q, AE ad ▭ P, AE,
hoc e$t, rejectâ communi altitudine A E,
ut <math>O + Q</math> ad P, $ic ▭ E I B ad ▭ E A B.
<math>{cf / d} + {af / e} - {cc / d} - {ceaf + adaf / cc} - ea</math></p>
</col>
<col 4>
<p>Fiat jam ut A E
ad A B, ita K I ad
Q: eritque ▭ KI,
AB æquale ▭ Q,
A E. Hinc ut
▭ O, A E plus
▭ KI, AB $eu Q,
AE, ad ▭ P, AE,
hoc e$t, de$truen-
do communem
altitudinem A E, ut O + Q ad P, $ic ▭ E I B ad ▭ E A B.</p>
</col>
<p>Explicita itaque e$t ratio, quam habet ▭ G I H ad ▭ F A C,
quippe o$ten$a e$t eadem quæ ip$ius I H ad A C, $eu <math>O + Q</math> ad P.</p>

<pb 409>[965]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
<p>Quocirca jam ratio explicanda re$tat, quæ e$t inter ▭ E I B
& ▭ E A B.</p>
<p>Quoniam autem in hac explicanda ad 4<_>or</_> dimen$iones a$cen-
ditur, deveniendum erit ad pauciores dimen$iones, ut tota re$o-
lutio duntaxat per rectarum aut planorum con$iderationem ab-
$olvatur.</p>
<fig>
<var>F G E A I B K D M N L C H O P Q R</var>
</fig>
<tb>
EI # $eu # EA + AI # EA
{ce+ad/c}-e
23.6 # IB # AB
{af/c}-a
</tb>
<col 1>
<p> # ▭ E I B $eu ▭ $ub <math>E A + A I</math> in I B # ▭ E A B
 # <math>{ceaf+adaf / cc} - ea</math>
Vt EI $eu <math>E A + A I</math> e$t ad E A,
 # <math>{ce + ad / c} - e</math>
Mult. per C A. _c_ ..... _c_
$ic ▭ E A, <math>C A + ▭ A I</math>, C A e$t ad ▭ C A E.</p>
<math>ce + ad # ce</math>
<p>Vel, $i pro ▭ E A, C A, propter $imilitudinem
Δ<_>rum</_> C A B & A M D, ubi C A e$t ad A B,</p>
</col>
<col 2>
<p>Porrò
quoniam
ratio ▭<_>li</_>
E I B ad
▭ E A B
compo$i-
ta e$t ex
ratione
E I $eu <math>E A
+ A I</math> ad
E A, & ex
ratione
IB ad AB;
& qui-
dem <math>E A
+ AI</math> ad
E A, $i</p>
</col>

<pb 410>[966]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<col 1>
<p>$icut A M ad MD $eu E A $cribatur ▭ B A M,
 # $icut ▭ <math>B A M + ▭ C A I</math> ad ▭ B A M.</p>
<p>Vel rur$us, $i pro ▭ C A I, propter $imilitudinem
Δ<_>rum</_> B A C & A I G, $cribatur ▭ B A, G I,
$icut ▭ <math>B A M + ▭ B A</math>, G I ad ▭ B A M,
hoc e$t, $icut <math>A M + G I</math>, hoc e$t, G L ad A M.
relictâ com-
muni altitudine B A,
Vt IB e$t ad AB,
 # <math>{af / c} - a</math>
Mult. per C A
 # _c_...... _c_
ita ▭ I B, C A e$t ad ▭ C A B.
af - ca
Vel, $i pro ▭ I B, C A, propter $imilitudinem
Δ<_>rum</_> C A B & K I B, $cribatur ▭ K I, A B,
$ic ▭ K I, A B, ad ▭ C A B, hoc e$t, relictâ
communi altitudine A B, $icut K I ad C A.</p>
</col>
<col 2>
<p>vide $u-
pra ad no-
tam I <_>*</_></p>
<p>Vide $upra
ad notam
2<_>*</_></p>
</col>
<col 3>
<p>communis
a$$umatur al-
titudo C A,
$it $icut
▭C A E, $eu
B A M, +
▭ C A I $eu
B A, G I ad
▭ C A E $eu
B A M, hoc
e$t, relin-
quendo
communem
altitudinem
B A, $icut
<math>A M + G I</math>
$eu G L ad
AM; at verò
I B ad A B,
$icut ▭ I B,
C A $eu K I, A B ad ▭ C A B, hoc e$t, de$truendo communem al-
titudinem A B, $icut K I ad C A: Erit quoque ratio ▭<_>li</_> E I B ad
▭ E A B, hoc e$t, ip$ius <math>O + Q</math> ad P, compo$ita ex ratione G L
ad A M, & ex ratione K I ad C A.</p>
</col>
<p>Con$tat igitur, rationem ▭<_>li</_> E I B ad ▭ E A B $eu ip$ius
<math>O + Q</math> ad P e$$e compo$itam ex ratione G L ad A M, & ex ra-
tione K I ad C A.</p>
<p>Iam quia $uperior ratio ip$ius <math>O + Q</math> ad P nulli rationi linea-
rum, quæ in Ellip$i ductæ $unt, re$pondet; neque etiam adhuc
luculenter patet, eam, $i cum ratione G L ad A M, aut K I ad C A
confertur, ex his compo$itam e$$e, quemadmodum ex a$$umptis
jam fuit deductum; fiat præterea ut</p>
<col 1>
<p>KI ad Q, $ic F A ad R.
<math>f - {af / e} - d/ {ad / c} . 6<_>*</_>
eritque, per 16.6<_>ti</_>,
▭KI, R = ▭ Q, F A.</math></p>
</col>
<col 2>
<p>Denique fiat ut KI
ad Q, $ic F A ad R:
eritque ▭ K I, R æ-
quale ▭ Q, F A. Ac
proinde cum O + Q</p>
</col>

<pb 411>[967]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
<fig>
<var>F G E A I B K D M N L C H O P Q R</var>
</fig>
<col 1>
<p><math>Vt O + Q</math> e$t ad P,
 # <math>{cf / d} + {af / e} - {cc / d}</math>
Mult. per F A. _d_...... _d_
fic ▭ O, FA $eu KI, CA, <math>+ ▭ Q</math>, FA $euKI, R e$t ad ▭P, FA $eu ▭CA.
<math>cf + {daf / e} - cc</math></p>
<p>Cur ▭ P, F A $it = ▭ C A, ita concluditur
3<_>*</_> E$t namque K I ad F A, ut O ad C A;
<math>f - d - {cf / d} - c</math>
& convertendo
 # F A ad K I, C A
 # <math>d - f ...... c</math>
 # ut C A ad O. P
 # <math>c - {cf / d} ..... {cc / d}</math>
Vnde ex æquo erit
 # ut F A ad C A, ita C A ad P.
 # <math>d - c - c - {cc / d}</math>
Ac proinde, per 17. 6<_>ti</_>, ▭ P, F A = ▭ C A.</p>
</col>
<col 2>
<p>Vide $upra ad
notam 3<_>*</_></p>
</col>
<col 3>
<p>ad P, a$$umendo communem al-
titudinem F A, $it $icut ▭ O, F A
$eu K I, C A, <math>+ ▭<_>10</_> Q</math>, F A $eu
KI,
Rad
▭ P,
F A $eu
▭ C A: Erit ratio
compo$ita ex ra-
tione G L ad
A M, & ex ratio-
ne K I ad C A ea-
dem rationi ▭<_>li</_>
<mgl>Vide $upra
ad notam
+<_>*</_></mgl>
K I, C A + ▭ K I,
R ad ▭ C A, hoc
e$t, eadem rationi, quæ
componitur ex ratione
K I ad C A, & ex ratio-
ne <math>C A + R</math> ad C A.
Ideoque $i com-
munis auferatur</p>
</col>

<pb 412>[968]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<col 1>
<math>KI # C A
 # f - c
23.6. CA + R # C A
 # c+ {ad / e} - c
▭KI, C A + ▭ K I, R # ▭ C A
cf + {daf/e} - cc</math>
</col>
<col 2>
<p>ratio K I ad C A, erit quo-
que reliqua ratio G L ad
A M eadem reliquæ ra-
tioni C A + R ad C A hoc
e$t, erit G L ad A M, ut
C A + R ad C A. Quod
verum e$$e deinceps $ic
o$tenditur.</p>
</col>
<col 3>
<p>Hinc cum ratio ▭<_>li</_> G I H ad ▭ F A C $ive ip$ius I H ad A C
eadem $it o$ten$a quæ ip$ius <math>O + Q</math> ad P, & hæc rur$us eadem
rationi, quæ componitur ex ratione K I ad C A, & ex ratione
<math>C A + R</math> ad C A; at verò ratio ▭<_>li</_> E I B ad ▭ E A B eadem ra-
tioni, quæ componitur ex ratione G L ad A M, & ex ratione K I
ad C A: $equitur, $i ratio ▭<_>li</_> G I H ad ▭ F A C (quemadmodum
$uppo$itum fuit) eadem $it rationi ▭<_>li</_> E I B ad ▭ E A B, ratio-
nem compo$itam ex K I ad C A, & ex ratione <math>C A + R</math> ad C A
debere quoque eandem e$$e rationi, quæ ex G L ad A M, & ex
K I ad C A componitur. Ac proinde, $i utrobique communis
auferatur ratio K I ad C A, rationem reliquam <math>C A + R</math> ad C A
eandem quoque fore reliquæ rationi G L ad A M.</p>
<p>Hoc autem cum nondum per $e evidens $it, $upere$t ut ip$um
$equenti argumentatione re$olvamus atque penitus mani$e$tum
reddamus.</p>
</col>
<col 4>
<p>Ex $imilitudine Δ<_>lorum</_> A B C & M D A e$t
A B A C M D $eu A E M A $eu I L
<math>a - c - e / ad {ce / a}. Vnde G L $it = d + {ce / a}.</math>
Ex $imilitudine Δ<_>lorum</_> A B C & I A G e$t
B A A C AI IG $eu A F
<math>a - c - {ad / c} - d</math></p>
<p>Ac proinde, per 16.6<_>ti</_>, ▭ B A F = ▭ C A I.
Ex $imilitudine Δ<_>lorum</_> G L D & A M D e$t
GL ad AM,
<math>d + {ce / a} - {ce / a}</math></p>
<p>Quo-
niam e-
nim, pro-
pter $imi-
litudinem
triangu-
lorum
G L D &
A M D,
e$t ut GL
ad A M
ita D L
$eu E I ad
</col>

<pb 413>[969]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
<col 1>
$icut D L $eu E I ad D M $eu E A;
<math>e + {ad / c} - e</math>
mult. per C A. c..........c
$icut ▭ E I, C A $eu C A E + C A I $eu AE, R ad ▭ CAE.
<math>ce + ad - ce</math>
hoc e$t, relictâ communi altitudine
A E $icut C A + R ad C A.</p>
<p>Ex con$tructione e$t
<math>KI Q FA R
 # f - {af / e} - d / {ad / e}
itemque AE AB KI Q
e - a - f/ {af / e}
Ideoque AE AB FA R
per 11. 5<_>ti</_>.
e - a - d -{ad /e}</math></p>
</col>
<col 2>
<p>DM $eu
E A; ut
autem
E I ad
E A, ita,
a$$ump-
tâ com-
muni al-
titudine
C A, ▭ E I, C A $eu
C A E plus ▭ C A I
$eu A E, R e$t ad
▭ C A E: Erit ut G L
ad A M, ita ▭ <math>C A E
+ ▭ R</math>, A E ad ▭
C A E, hoc e$t, de-
$truendo communem
altitudinem A E, $ic
<math>C A + R</math> ad C A.</p>
</col>
<col 3>
<p>Vel per
I. 2di</p>
<p>Vide $upra ad
notam 6<_>*</_></p>
<p>Vide $upra ad
notam 5<_>*</_></p>
</col>
<p>Ac proinde per 16.6<_>ti</_>, ▭B A F = ▭ A E, R.</p>
<p>Hinc cum ▭ B A F etiam $it = ▭ C A I, erit $imiliter ▭ A E,
<math>R = ▭ C A I.</math></p>
<p>Patet itaque G L e$$e ad A M, $icut C A + R ad C A. Vt erat
propo$itum.</p>
<p>Quare cum hoc pacto, a$$umentes quæ$itum tanquam verum,
per re$olutionem Geometricam devenerimus ad verum conce$-
$um: $equitur, quæ$itum illud, quod cum conce$$o i$to omnimo-
dè connectitur, verum e$$e. hoc e$t, umbram baculi C, quæ
tran$ibat per A, tran$ii$$e $imiliter per B. Quod erat demon-
$trandum.</p>
<p it>Et hæc quidem, quæ Re$olutionem Geometricam Theo-
rematis concernunt, quod ad $olutionem Problematis
pag. 372 ut conce$$um $uppo$itum fuit. Cæterùm quoniam
iis, qui cum Logicis $tatuunt ex fal$is etiam po$$e verum
concludi, re$olutio bat ad quæ $iti o$ten $ionem incerta vi-
deripote$t: placuit majoris certitudinis ergo idem Theo-
rema Syntbeticè verificare, procedendo à conce$$is ad
quæ$ita, prout ad hoc me in$tig avit præ$tanti$$imus ac

<pb 414>[970]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
undeqùaque docti$$imus juvenis D. Petrus Hart$ingius,
Iaponen$is, quondam in addi$cendis Mathematis di$ci-
pulus meus $oler ti$$imus.</p>
<p it>Demon$tr atio autem ip$a filûm calculi $equitur, qua-
lis extat pag. 370 & 371, at eodem nonnibil bîc immuta-
to; ut appareat pa$$im artificium, quo $ingula Geome-
tricè explicari queant.</p>
<fig>
<var>F G E A I B K D M N L C H O P Q R</var>
</fig>
<col 1>
<p>Po$itâ, ut ante, A D = y
erit ut B A ad A E, ita B C ad A D
<math> # a - e - b / ad y $eu {be / a}.
ac proinde per 16.6<_>ti</_>
 # ▭ B A, A D, ▭ B C, A E
 # a ay = be.
 # A D. y K B. b - z
 # A G. z A G vel C K z
e$t ▭ D A G. y z ad ▭ CKB. bz - zz,
 # F A. d K H. x
 # A C. c. A C vel K G. c
ut ▭ F A C. cd ad ▭ G K H. c x.</math></p>
</col>
<col 2>
<p>Quoniam igitur ex
hypothe$i e$t B A ad
A E, $icut B C ad
A D: erit ▭<_>lum</_> $ub
extremis B A, A D a
æquale ▭<_>10</_> $ub me-
diis B C, A E. Dein-
de quoniam ex natu-
ra Ellip$is e$t, ut
▭ D A G ad ▭ C K B,
$ive, rejectâ commu-
ni altitudine A G vel
C K, ut D A ad
K B, ita ▭ F A C</p>
</col>
<col 3>
<p>Ex natura El-
lip$is per 17
Conicorum
Apollonii</p>
</col>

<pb 415>[971]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
<col 1>
<p>AG AC
id e$t, rejectis communibus altitudinibus z & c,
erit ut D A ad K B, ita F A ad K H
<math>y - b - z - d/ ad x.
B A</math>
$ive, a$$umendo communem altitudinema,
ut ▭ BA, AD $eu ▭ BC, AE ad ▭ BA. KB, ita FA ad KH
<math>a ay vel be - ab - az - d/ ad x.</math> σ</p>
</col>
<col 2>
<p>ad ▭ G K H, id e$t, re-
lictâ communi altitu-
dine A C vel G K, ita
F A ad K H; & qui-
dem D A ad K B, $i B A
pro communi altitu-
dine $umatur, $it
$icut ▭ BA, AD
$eu a B C, A E
ad ▭ B A, K B: erit ut ▭ B C, A E ad ▭ B A, K B, ita F A ad K H.
E$to jam <math>K I = f.</math></p>
</col>
<col 3>
<p>eritque propter $imilitudinem Δ<_>rum</_> B C A & B K I
ut B C ad C A, ita B K ad K I
<math>b - c - b - z / ad f $eu {cb - cz / b}</math>. ac proinde
add. H K. <math>x</math> per 16.6<_>ti</_>.
mult. HI. <math>f + x</math> ▭ BC. KI, ▭CA, BK
per IG. h <math>bf = cb - cz.</math>
Deinde $it <math>IG = b.</math>
▭ GIH. <math>fb + bx</math>
eritque propt. $imil. Δ<_>rum</_> B C A & A G I
ut B C ad C A, ita A G ad G I
<math>b - c - z / ad b $eu {cz / b}</math>. ac proinde per
16.6<_>ti</_>
▭ BC, IG ▭ CA, AG
β <math>bb = c z.</math></p>
<p>Similiter e$to <math>A I = k.</math>
eritque propter $imil. Δ<_>rum</_>
B C A & A G I
ut B C ad B A, ita A G ad A I
<math>b - a - z / ad k $eu {az / b}.</math> ac proinde per
16.6<_>ti</_>
add. A E. e
mult. E I. <math>k + e</math> ▭ BC, AI ▭ BA, AG
per I B. l ε <math>bk = az.</math>
▭ E I B. <math>kl + el</math></p>
<p>Sit item <math>I B = l.</math>
eritque propter $imil. Δ<_>rum</_> B C A & B K I</p>
</col>
<col 4>
<p>Porrò cum
ex $imilitudine
Δ<_>rum</_> B C A &
B K I, B C $it
ad C A, $icut
B K ad K I: erit
▭ $ub B C, K I
æquale ▭<_>10</_> $ub
C A, B K. Eâ-
dem ratione
cum B C $it ad
B A, $icut B K
ad B I: erit ▭
$ub B C, B I æ-
quale ▭<_>10</_> $ub
B A, B K.</p>
<p>Haud $ecus
cum $imilia $int
Δ<_>la</_> B C A &
A G I, ac idcir-
co B C ad C A,
$icut A G ad
G I: erit ▭ $ub
B C, G I æqua-
le ▭<_>10</_> $ub C A,
A G. Similiter
cum B C $it ad</p>
</col>

<pb 416>[972]<rh>D<sc>E CONCINNANDIS</sc></rh>
<col 1>
<p>ut B C ad B A, ita B K ad B I
<math>b - a - b - z / ad l $eu {ab - az / b}.</math> ac proinde per
1.6<_>ti</_>
▭ B C, B I ▭ B A, B K
γ <math>bl = ab - az.</math></p>
<fig>
<var>F G E A I B D M N K L C H O P Q R</var>
</fig>
</col>
<col 2>
<p>B A, $icut A G
ad A I: erit pa-
riter ▭ $ub B C,
A I æquale ▭<_>10</_>
$ub A B, A G.</p>
</col>
<fig>
<var>F G E A I B K D M N L C H O P Q R</var>
</fig>
<col 3>
<p>Ex natura Ellip$is per 17.3<_>tii</_> Conic. Apollonii
e$t ▭ F A C ad ▭ G I H, ut ▭ E A B ad ▭ E I B
<math>cd - bf + bx - ae / ad kl + el.</math>
E$t autem per 23.6<_>ti</_> ratio ▭<_>li</_> F A C ad ▭ G I H
<math>cd - bf + bx</math>
compo$ita ex ratione F A ad I H $eu IK + KH, &
<math>d - f + x</math>
ex ratione C A ad G I, id e$t, a$$umendo commu-
<math>c - b
 # B C</math>
nem altitu dinem <math>b</math>, ex ratione ▭<_>li</_>
<math>B C, C A ad ▭ B C, G I vel ▭ C A, A G, $ive, reje-
bc - bb # $eu # cz
 # C A</math>
ctâ communi altitudine c, ex ratione B C ad A G.</p>
</col>
<col 4>
<p>Iam verò, quia ex
natura Ellip$is ▭
F A C e$t ad ▭ GIH,
ut ▭ E A B ad ▭ E I B;
& quidem ratio ▭<_>li</_>
F A C ad ▭ G I H
compo$ita $it ex ra-
tione F A ad I H $eu
<math>I K + K H</math>, & ex ra-
tione C A ad G I, id
e$t, a$$umendo com-
munem altitu dinem
B C, ex ratione ▭<_>li</_>
B C, C A ad ▭ B C,
G I vel β ▭ C A,
A G, $ive etiam, re-
</col>

<pb 417>[973]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
<col 1>
Similiter ratio ▭<_>li</_> EAB ad ▭ EIB compo$ita e$t
<math>ae-kl+el</math>
ex ratione EA ad IB, & ex ratione AB ad EI.
<math>e - l</math> # # <math>a-k+e.</math></p>
<p>Quarum quidem EA ad IB, $i B C pro communi
<math>e - l # b</math>
altitudine $umatur, eadem e$t quæ ▭<_>li</_>
γ
BC, EA ad ▭ B C, IB $eu ▭ BA, BK, hoc e$t, ea-
<math>be - bl</math> vel <math>ab - az</math>
dem quæ δ FA ad KH.
 # <math>d - x</math></p>
<p>Sed AB ad E I, $i B C $imiliter pro communi altitu-
<math>a - k + e # b</math>
dine $umatur, eadem, quæ ▭<_>li</_> A B, B C ad ▭ B C, E I
 # <math>ab - bk + be</math>
<math>ε # α</math>
vel ▭ BC, AI, id e$t, BA, AG, <math>+ ▭ BC</math>, EA vel ▭ BA,
$ive # <math>az + ay,</math>
AD, hoc e$t, relictâ communi altitudine A B, $eu _a_,
eadem quæ B C ad <math>A G + A D.</math>
 # <math>b - z + y</math>.</p>
<p>Erit igitur ratio compo$ita ex ratione
F A ad I K + K H, & ex ratione B C ad A G, id e$t,
<math>d - f + x</math> # <math>b - z</math>
per 23.6<_>ti</_>, ratio ▭<_>li</_> FA, BC ad ▭ IK, AG + ▭ KH, AG,
 # <math>bd - fz + xz</math>
eadem rationi quæ componitur ex ratione FA ad KH,
 # # <math>d-x</math>
& ex ratione B C ad A G + A D, id e$t, per 23.6<_>ti</_>,
 # <math>b - z + y</math>
eadem rationi, quam habet
▭ F A, B C ad ▭ K H, A G + ▭ K H, A D.
 # <math>bd - xz + xy.</math></p>
</col>
<col 2>
<p>jectâ communi
altitudine CA,
ex ratione BC ad
AG; At ratio ▭<_>li</_>
EAB ad ▭ EIB
compo$ita ex ra-
tione EA ad IB,
& ex rationel AB
ad EI; quarum
quidem EA ad
IB, $i BC pro
communi altitu-
dine $umatur, e$t
$icut ▭ BC, EA
ad ▭ BC, IB $eu
γ ▭ BA, BK,
quæ eadem o-
$ten$a e$t δ ratio-
ni FA ad KH;
$ed AB ad EI, $i
BC $imiliter pro
communi altitu-
dine $umatur, ut
▭ A B, B C, ad
▭ B C, E I, id e$t,
ad ▭ BC, A I vel
ε B A, A G, <math>+
▭ B C</math>, E A vel
α ▭ B A, A D, $i-
ve etiam, relictâ
communi altitu-
dine A B, ut B C
ad <math>A G + A D</math>:
Erit ratio com-
po$ita ex ratione F A ad <math>I K + K H</math>, & ex ratione B C ad A G, id e$t, per 23.
6<_>ti</_>, ratio ▭<_>li</_> F A, B C ad ▭ I K, <math>A G + ▭ K H</math>, A G, eadem rationi, quæ
componitur exFA ad KH, & ex ratione BC ad <math>AG+AD</math>. id e$t, per 23.6<_>ti</_>,
eadem rationi, quam habet ▭ FA, BC ad ▭ KH, <math>AG + ▭ KH</math>, AD.</p>
</col>

<pb 418>[974]<rh>D<sc> E CONCINNANDIS</sc></rh>
<fig>
<var>G F E A I B K M N D L H C O P Q R</var>
</fig>
<col 1>
<p>Hinc cum
▭ FA, BC, $it ad ▭ IK, <math>AG + ▭ KH</math>, AG, $icut idem ▭ FA, BC ad
<math>bd - fz + xz - bd/</math>
▭ KH, <math>AG + ▭ KH</math>, AD: erit, per 9.5<_>ti</_>,
ad # <math>xz+xy:</math>
▭ IK, <math>AG + ▭ KH</math>, AG æq. ▭ KH, <math>AG + ▭ KH</math>, AD.
<math>fz + xz # = # xz + xy.</math></p>
<p>Vnde, dempto utrinque communi ▭<_>lo</_> KH, AG,
 # # <math>x z</math>
erit quoque reliq. ▭ IK, AG æquale reliquo ▭<_>lo</_>
 # # <math>f z</math>
KH, AD
<math>x y</math>
Ac proinde, per 16.6<_>ti</_>,
 # ut IK ad KH, ita DA ad AG.
 # <math>f - x - y/ ad z.</math></p>
</col>
<col 2>
<p>Hinc
cum ▭
FA, BC
ad ▭ IK, <math>AG +
▭ KH</math>, AG ean-
dem habeat ra-
tionem, quam i-
dem ▭ FA, BC
ad ▭ KH, <math>AG
+ ▭ KH</math>, AD:
erit ▭ IK, <math>AG
+ ▭ KH</math>, AG
æquale ▭<_>lo</_> KH,
<math>AG + ▭<_>lo</_> KH</math>,
AD. A quibus
$i commune au-
feratur ▭ KH,
AG, erit quoque
reliquum ▭ IK, AG æquale reliquo ▭<_>lo</_> KH, AD. Vnde erit ut IK ad
KH, ita D A ad A G.</p>
</col>

<pb>[975]
<h>RENATI</h>
<h>DES-CARTES</h>
<h>GEOMETRIÆ</h>
<h>PARS SECVNDA.</h>
<p it>Cujus contenta $equens pagina exhibebit.</p>

<pb>[976]
<h>CATALOGVS</h>
<h>eorum,</h>
<h it>Luœ in hâc $ecundâ parte continentur.</h>
<p>FRANCISCI à SCHOOTEN Principia Mathe$eos
Vniver$alis, $eu Introductio ad C<sc>ARTESIAN Æ</sc> G<sc>EO-
METRIÆ</sc> Methodum. Con$cripta ab E<sc>RASMIO</sc> B<sc>AR-
THOLINO</sc>.</p>
<p>FLORIMONDI DE BEAVNE duo tractatus po$thu-
mi. Alter de Natura & Con$titutione, alter de Limitibus
Æquationum.</p>
<p>IOHANNIS DE WITT DE Elementis Curvarum li-
nearum libriduo.</p>
<p>FRANCISCI à SCHOOTEN Tractatus de con-
cinnandis Demon$trationibus Geometricis ex Calculo Alge-
braïco.</p>

<pb>[977]
<h>LECTORI BENEVOLO</h>
<h>I. H<sc>VDDE</sc> S. P.</h>
<p>IN Galliis eram cum epi$tolæ meæ imprimerentur, ideoque domumredux,
onus in me $u$cepi omnia de integro revidendi & ad calculum revocandi,
ut probe mihi con$taret, num quædam nimis ob$curè expre$$a e$$ent, vel
etiam errata irrep$i$$ent; Quæcunque inveni, illa $unt quæ $equuntur.</p>
<p>Ad clariorem $en$um.</p>
<p>p.42 41. 15. _Excepto_ &c. Cum <math>x - a = o</math>, multiplicatur per <math>b - c</math>, re$ultat
<math>b x - c x - a b + a c = o</math>, $eu <math>x = {ab - ac / b - c}</math>; $i ponas jam <math>b - c = o</math>, non $equitur
valorem <math>x</math> per hanc æquationem non po$$e inveniri, quandoquidem Nominator
<math>ab - a c</math> per <math>b - c</math>, dividi pote$t, $ed tum $equitur cum Nominator per Deno-
minatorem non dividi pote$t, vel cum ambo per eandem quantitatem indivi$ibi-
les $unt: Notandum ergo e$t Denominatorem hic con$iderari $ine relatione ad
Nominatorem, veluti patet ex $equentibus, 1°. _Ob$ervandum venit num eju$-_
_modi quantitates in æquatione reperiantur_ &c. 2°. _$i reperiantur, num utramque æqua-_
_tionem dividant._ Sed hæc omnia forta$$is clarius $ic intelligentur. Excepto tan-
tum $i æquationis primus terminus non affectus quantitate cognita $it ab una
parte, reliqui, qui ab altera $unt, faciant fractionem, cujus Denominator, vel
Denominatoris divi$or aliquis, Nominatorem dividat, quod $i contingat, vi-
dendum e$t, priu$quam concludatur non dari duarum æquationum communem
aliquem divi$orem, num etiam altera æquatio per hunc Denominatorem, vel
Denominatoris divi$orem aliquem, divi$ibilis $it. p. 459. 1. 10. vel $ic lege, æqua-
tio illa $emper indivi$ibilis erit per <math>x, x^3, x^5,</math> &c., 8, vel per <math>x x, x^4, x^6,</math> &c.,
-quantitate quavis cognita atque rationali. p. 462, 1. 29. pro _omnes quantitates_
pone omnia membra. p. 492, l. 13. pro _Regula,_ $cribe Methodo. p. 451 & 456, l. 1.
lege, nullus terminus e$t = o. p. 500, in medio, pro _Luoniam tunc_ <math>√ C. ex {1/2} r
+ <r>{1/4}rr - {1/27}q^3</r></math> _extrabi poterit_; $cribe, extrahendo <math>√ C.ex {1/2} r + √ {1/4}rr - {1/27}q^3</math>.
& pro, _$ed cum_ <math>√ C &c.</math>, u$quead, _liceat_ & <math>c</math>.; pone, $ed cum <math>√ C.</math> ex bino-
mio numerali ope Regulæ p. 389, vel perfectè extrahi queat, vel vulgari modo
præterpropter, quod $ufficit, poterit etiam eju$dem beneficio radix ex æquatione
Propo$ita five numerali, $ive literali $it, inveniri, cum pro literis numeros, vel o,
ad arbitrium a$$umere liceat. p. 502, l. 31. & p. 505, l. 17. _reduci_ hic $umitur pro
redigi ad duas alias, ex quarum multiplicatione Propo$ita æquatio produci po-
te$t. Errata, quæ irrep$erunt, inveniuntur inter errata primæ partis.</p>
<p>Nec tacere $as e$t me, non $ine admiratione, in Epi$tolis meis, quæ tam $edu-
lam typothetarum operam requirebant, tam paucos errores o$tendi$$e, ni$i cogi-
tarem D. Elzevirios & Clari$$imum Schotenium totis viribus huic operæ incu-
bui$$e, quapropter nullus dubito quin reliquum totum opus accuratius impre$-
$um $it, quam quis forta$$is ex$pecta$$et.</p>

<pb>[978]
<h>CARMEN</h>
<h it>IN LAVDEM</h>
<p>FR. à SCHOOTEN,
Mathematicorum ocelli.</p>
<p it>SCotenI cum $cripta legis, $e promit ubique
Ingenii mira dexteritate vigor.</p>
<p it>Cum vitam ac mores $pectas, $e prœbet ubique
Spectandam integritas, ac $ine fraude manus.</p>
<p it>Sic quœ perrarò concurrunt corpore in uno,
Hic jungi ingenium cum probitate vides.</p>
<p it>Adde quod, ingenium cum $it $uper abile paucis,
Vix tamen invenies in probitate parem.</p>
<h>IIEPI
Φ PATKI'ΣKOγ ΣKΩTH'NOγ,</h>
<p>τ{der~} μαααgíτ{der},</p>
<p>Δlάλoγ& Mα{the;}ή{σε}ως, E'υ{σε}{ς}εíασ, {ko}ì O'{sgi;o}l πóg{der}.</p>
<col 1>
<p>TI' uκλ{στί}ers; σφετÉg{der}ς τś vέov φgέvας
<mgr>Mάς</mgr>
ïκετο πέvΘ&;
(E'ξα\’νδα,καί μη\~ν ςε ν γρ, E\‘νσεξιη)</p>
<p>H'σ' ἐ σ {ὺΠὸ}ὴ τα μέλαιναν ἐ έ σν αο; χώμα-
{τι} τ{der2} τω</p>
<p>H' μ α {τα} {καὶ} {πά} σ α{ὺΠὸ} ν\’ματα{ὺΠὸ} έφες ο{με\’ν} ν;
<mgr>E\’νσ.</mgr>
θνμήgκς μοι μός ἀπωλετο, φέgτατ&
άν{σρ}ῶν,</p>
<p>Ο'ς Σοφνσεί{ην}.
Tóν Bαταςων Λ{der2} λσ{der}νον έ λείνατο, τόν τε
μαςητ{η\‘ν}</p>
<p>Δῶ{κά} σοι ἐξ ἀπαλ{der~} ἀςχίνοον βςέφε&.
<mgr>M.</mgr>
Σκώ τ {ην}&; e. Ε. {εῖ} ν&. Μ. Σκώ τ {ην} &;
λ{εί} ψ ανον ἀν δρᾶν</p>
<p>Χςνσεί{der} {μέυ} ε &, λ {εί} ψ ανον \’νμιςέων;
Σκώτ{ην} ο ς; \“τ ἐ μοῖσιν ἴσον φαέεσς ι φίλησα,</p>
<p>H'σέ μ' {\‘νII}ὲς πασῶν ὰντεφίλησε Θεῶν-
Ο<_>el</_>ς πό{ρο}ν {οι}'ς' {οἰ}τό ςων, αί εί φώπ{ον}ε τχο-
τετνὸν}</p>
<p>Σνμμ\’νςμις, ξοφες{ως}{χε}τα ἐνὶ τκότεϊ;
<mgr>Eὺσ.</mgr>
Eἰνὶ σκότω κ{εῖ}τας, πᾶ{σι}ν μεςόπεοςι
φαεινὸς,</p>
</col>
<col 2>
<p>Oï τε {καὶ} Eù σεςί{ην}, {καί} σε, φίλη, έφιλσν.
<mgr>Mάς.</mgr>
O\‘νκ ὰλόλως ὰκεί τως τε, ςεὰ, κατὰ σά-
κςνœ λείβεις,</p>
<p>Kαὶ ςέςνον, πλήττεις αἰὲν ὀδνςο{νκ\’ν} η.
Δ ὸς τόπον, {der'}χ ӧπωως (τὸ πάλαι τά χœ
ποιησαίμ{ην}</p>
<p>O'τταν έ{ην} πάντων π{der}λ\‘ν {μά} κας μα-
κάκων)</p>
<p>Iαί{ην} κινήσαιμι, ἀκίνητόν πεκ ἐ{der~}σσν,
A\’ν τὰς ӧπως, ωοςὶν σεῖ ο ωοκ σι σα {μκ\’ν} η,
A\‘ντὴ} άκίνητ& μίμνω, νεαςῆς τελνπηκςὸν</p>
<p>Mνῆ μα πέλω Nιόςης πασιν ἐφημεeίσις-
O'σοτπ.\~Ω ςεαὶ, {der'}κἐ ςιν σακς\’νων ἄλις; {der:}ποτε
νεκςὸς</p>
<p>Δάκςνσι {καὶ} ςσν α χ {αῖ}ς {εί}ς φὰ & α\~ν ςις
ε:;ςη.</p>
<p>A' λλ' ϊτε, κ'. σι'όςοιστ κ' όσοιςκαταπά σ-
σατε λαί {ην},</p>
<p>Λείεια μιξά{μκν} αι {καὶ} κνανανλὲς ἲον.
Eϋ\’ξαος', ẅ{σω}ες ἓ{ην} μες\’σόπων βας\‘νς {der} σε-
νὶ ζωὸς,</p>
<p>Ow^:τω {καὶ} κ{der2} φη λαῖα νεκςω τελέθκ.</p>
</col>

<pb 419>[979]<rh>D<sc>EMONSTRATIONIBVS</sc>.</rh>
<col 1>
<tb math>
 # # BC
Sed ut IK ad KH, ita e$t, a$$. comm. altit. _b_,
 # f - x
 # ζ
▭ IK, BC vel ▭ CA, BK ad ▭ KH, BC.
bf # cb - cz - bx.
 # # AB
At DA ad A G, ita a$$. comm. alt. _a_, e$t ▭D A, A B
 # y - z # ay
α
vel ▭ BC, AE ad ▭ AG, AB.
 # be - az.
Quare erit ut
▭ CA, BK ad▭KH, BC, ita▭BC, AE ad▭AG, AB.
 # cb - cz - bx - be / ad az.
 # # σ # BC
Cum autem $upra $it F A ad KH, i.e., a$$. comm. alt. _b_,
 # # d-x
▭ FA, BC ad▭KH, BC, $icut▭AE, BCad▭KB, BA,
 # bd - bx - be / ad ab - az,
hoc e$t, convertendo
▭ KH, BCad▭FA, BC, $icut▭ KB, BA ad▭AE, BC:
 # bx - bd - ab - az/ ad be:
Erunt ▭CA, BK ▭KH, BC ▭FA, BC tres magni-
 # cb - cz - bx ....... bd tudines ab
una parte,
& ▭KB, BA ▭AE, BC ▭AG, AB tres aliæ ab
 # ab - az ..... be - az altera par-
te, quæ bi-
næ $umptæ in eadem
$unt ratione, qua-
rumque proportio
e$t perturbata:
</tb>
</col>
<col 2>
<p>Sed ut I K ad
K H, ita e$t, a$-
$umptâ commu-
ni altitudine B C,
▭ IK, BC vel
ζ ▭ C A, B K
ad ▭ K H, B C.
At $icut D A ad
A G, ita, a$$umptâ
communi altitu-
dine A B, ▭DA,
A B vel α ▭ B C,
A E ad ▭ A G,
A B. Quare erit
ut ▭ C A, B K ad
▭ KH, BC, ita
▭ BC, AE ad ▭
AG, AB. Cum
autem $upra $it σ,
ut FA ad KH, $i-
ve, a$$umptâ com-
muni altitudine
BC, ▭ F A, B C
ad ▭ KH, BC,
ita ▭ AE, BC ad
▭ KB, BA; id
e$t, convertendo,
▭ KH, BC ad
▭ FA, BC, $icut
▭ KB, BA ad ▭
AE, BC: erunt
▭ CA, BK, ▭
KH, BC, & ▭
FA, BC 3 magni-
tudines ab una
parte, & ▭ KB
BA, ▭ AE, BC, & ▭ AG, AB tres aliæ ab altera parte, quæ binæ
$umptæ in eadem $unt ratione, quarumque proportio e$t perturbata.</p>
</col>

<pb 420>[980]<rh>D<sc>ECONCINNANDIS</sc></rh>
<col 1>
<p>Quare etiam per 23.5<_>ti</_> ex æqualitate proportionales
erunt
id e$t, ▭ CA, BK ad ▭ FA, BC, $icut ▭ K B, BA
<math>cb - cz - bd - ab - az</math>
BA
ad ▭ AG, BA, $eu, rej. com. alt. _a_, ut KB ad A G.
<math>- az ............ b - z -z.</math></p>
<p it>Id quod convenit cum œquatione inventa pag. 371, multiplicando
$c. tum extremos tum medios terminos, o$tendens nos in eodem
calculo Geometrice explicando eò perveni$$e, ubi
<math>c b z - c z z</math> æquatur <math>b b d - b d z</math>.</p>
<p>Denique utinveniatur A G $eu _z_, quoniam $umen-
do C A $eu _c_ pro communi altitudine,</p>
<p>K B e$t ad A G, $icut ▭ C A, K B ad ▭ C A, AG:
<math>b - z - z - c b - cz / ad c z</math>:</p>
<p>eritut
▭ C A, B K ad▭FA, BC, ita▭ CA, KB ad ▭ CA, AG.
<math>c b - cz - bd - c b - c z/ad c z.</math>
Hinc cum ▭ CA, BK ad ▭ FA, B C & ad ▭ CA, AG
<math>cb - c z # bd # cz</math>
eandem habeat rationem, erit per 9. 5<_>ti</_>,
▭ FA, B C. æ q. ▭<_>lo</_> C A, A G.
<math>bd = # cz.</math></p>
<p>Vnde per 16.6<_>ti</_> erit,
 # ut CA ad A F, it BC ad AG.
<math>c - d - b/ ad z.</math>
Quod erat propo$itum.</p>
</col>
<col 2>
<p>Vnde & ip$æ ex
æqualitate pro-
portionales e-
runt, nimirum,
erit ut ▭ C A,
B K ad ▭ F A,
B C, ita ▭ K B,
B A ad ▭ A G,
B A, id e$t, reli-
ctâ communi al-
titudine B A, ita
K B ad A G. De-
nique, quoniam,
a$$umptâ com-
muni altitudine
C A, K B e$t ad
A G, $icut ▭ C A,
K B ad ▭ C A,
A G: erit ut ▭
C A, B K ad ▭
F A, B C, ita ▭
C A, K B ad ▭
C A, A G. Quo-
circa cum ▭ CA,
B K ad ▭ FA,
B C & ad ▭ C A,
A G eandem ha-
beat rationem, e-
rit ▭ F A, B C
æquale ▭<_>lo</_> C A,
A G; ac proinde C A ad A F, $icut B C ad A G. Quod crat demon-
$trandum.</p>
</col>
<h it>FINIS.</h>

<pb 1>[981]
<h>Celeberrimi de Centro O$cillationis proble-
matis $olutio.</h>
<h>Viro Sapienti$$imo $alutem dat</h>
<h>STEPHANVS GILLET,</h>
<p it>Nulla in retam irrito conatu labor arunt Viri Clari$$imi,
quam in centro o$cillationis inve$tigando; licet enim
quadraginta abbinc annis matbematicus celebris nus-
quam gentium extiterit ullus, qui buic indagationi ac-
cur ati$$ime baud incubuerit, quin etiam plurimi E:;νςηκα
audacter exclamarint; nullos tamen in errores incidit
nullus. Nœ ego aliena infelicitate minime exterritus,
viam adeo expedit am inveni, ut ad $copum optatum recte
pervenerim. Luo circa arbitror tibi rebus mathema-
ticis gaudenti non ingratum fore, $i boc arcanum tan-
topere inve$tigatum exhibuero.</p>
<h>Centri o$cillationis demon$tratio.</h>
<h>I. _Definitio._</h>
<p>OScillatio e$t ip$a agitatio penduli $ua
<fig>
<var>A μ υ A</var>
</fig>
gravitate circa axem horizonti pa-
rallelum moti. V. G. Si pendulum,
A, $uam agitationem vigravitatis in-
cipiat in puncto μ. inhibeatque in puncto v. ip$a agitatio hujus pen-
duli totum arcum μ ν. percurrentis vocatur o$cillatio.</p>
<h>II. _Definitio._</h>
<p>Quorum pendulorum centra gravitatis arcus
<fig>
<var>b b A A</var>
</fig>
$imiles percurrunt, eadem $uas o$cillationes,
$imiles faciunt, $icut pendula A & _b_.</p>
<h>III. _Definitio_.</h>
<p>Centrum o$cillationis e$t punctum, quod in pendulo compo$ito
agitato perinde movetur, ac $i nullo modo $tipatum $oret: ac proinde

<pb 2>[982]
$i in extremo penduli $implicis re$ideret, o$cillationes $uas eodem
tempore con$iceret, atque pendulum compo$itum datum. Itaque tota
difficultas huc recidit, ut inveniatur longitudo penduli $implicis, quod
$uas o$cillationes $imiles eodem tempore conficiat, atque pendu-
lum compo$itum datum: nam longitudo hujus penduli $implicis ea-
dem e$t, atque di$tantia centri o$cillationis penduli compo$iti ab axe.
Qua in inve$tigatione ut mens dirigatur, aliquid de gravitate, $patio-
que decur$o præmittendum e$t.</p>
<h>I. _Lemma._</h>
<p>Gravia gravitatem habent a levioribus, quæ tantumdem a$cen-
dunt, quantum graviora de$cendunt.</p>
<h>I. _Coroll._</h>
<p>Hinc colliges mobili $ecundum horizontem moto gravitatem ac-
quiri nullam: Quia nulla leviora a$cendunt.</p>
<h>II. _Coroll._</h>
<p>Hinc animadvertis mobili circa centrum moto gravitatem acquiri
nullam: ideo quod mobile haud magis deprimitur, quam extollitur.</p>
<h>III. _Coroll._</h>
<p>Hinc vides gravitatem acquiri per $olam de$cen$ionem centri:
quippe qui alii motus pro nihilo habeantur; ac proinde incidentiam
gravis $emper e$$e $pectandam ex altitudine de$cen$ionis centri.</p>
<h>IV. _Coroll._</h>
<p>Hinc per$picis duorum gravium ex eadem altitudine
cadentium, quorum unum perpendiculariter, alterum
vero oblique decidit; utriu$que velocitatem eandem e$$e
in horizonte, $ive in plano horizonti parallelo: propterea
quod gravitas per motum vel circa centrum, vel horizon-
ti parallelum, neque intenditur, neque remittitur.</p>
<fig/>
<h>V. _Coroll._</h>
<p>Hinc mani$e$tum e$t velocitatem gravis pen$ilis, $i-
<fig/>
ve penduli eandem e$$e, atque gravis ex eadem altitudi-
dine perp. decidentis: pen$ile enim nihil aliud e$t, quam
grave oblique decidens.</p>

<pb 3>[983]
<h>VI. _Coroll._</h>
<p>Hinc clarum e$t eandem e$$e velocitatem in omnibus pendulis
quorum centra gravitatis æque di$tant ab axibus, quandoquidem
æqualiter de$cendunt.</p>
<fig>
<var>θ ς</var>
</fig>
<h>VII. _Coroll._</h>
<p>Hinc liquet eandem e$$e velocitatem eju$dem plani tum in planum,
tum in latus moti: utpote quod centrum utroque modo æque depri-
matur.</p>
<h>II. _Lemma_.</h>
<p>Duobus gravibus ex cadem altitudine cadentibus, quorum unum
perp. alterum vero oblique $ecundum rectam lineam decidit; Tem-
pora utriusque incidentiæ $unt inter $e $icut utraque linea $ecundum
quas incidunt; quandoquidem eadem e$t velocitas in utroque mobili
æqualiter de$cendente.</p>
<h it>Coroll.</h>
<p>Hinc $equitur ut duobus gravibus ex eadem altitudine $ecundum
$ingulas lineas rectas oblique cadentibus; Tempora utriu$que inci-
dentiæ inter $e referantur, $icut utraque linea obliqua, vel $icut $pa-
tia decur$a, $i gravia $intæqualia.</p>
<h>III. _Lemma._</h>
<p>Si planum inde$inite dividatur in partes aliquotas. Summa produ-
ctorum $ingularum partium per$uam ab axe di$tantiam multiplicata-
rum, æqualis e$t producto totius plani per $ui centri ab eodem axe
di$tantiam multiplicati.</p>
<p>Sit planum (A B) indefinite
<fig>
<var>θ ς χ y AB</var>
</fig>
divi$um in partes aliquotas (_aa_),
ex quibus $ingulis dimittantur
$ingulæ lineæ inter $e parallelæ,
eæque ad axem θς extra po$itum
perpendiculares, quæ vocentur
_y_: linea e plani centro ad eundem

<pb 4>[984]
axem perp. ducta appelletur _x_: dico $ummam omnium producto-
rum, _a a y_, e$$e æqualem producto _a b x_.</p>
<p>Namque plani ita divi$i $ingulæ partes perinde $pectari po$$unt, ac
$i forent $ingula pondera: at ex geo$tatica $umma productorum $in-
gulorum ponderum per $uam ab axe di$tantiam multiplicatorum, æ-
qualis e$t producto omnium ponderum per centri communis ab eo-
dem axe di$tantiam multiplicatorum; Ergo & c.</p>
<h>I. _Coroll_.</h>
<p>Hinc per$picuum e$t $ummam productorum $ingularum partium
eju$dem plani multiplicatarum per $ingulas peripherias, quarum $e-
midiametri $unt ip$æ perpend. ad axem, e$$e æqualem producto totius
plani multiplicati per peripheriam, cujus $emidiameter e$t ip$a di-
$tantia centri ab axe.</p>
<h>II. _Coroll._</h>
<p>Hinc patet $patium a plano in planum circa axem extra po$itum
moto decur$um, æquari producto ip$ius plani multiplicati per peri-
pheriam, cujus $emidiameter e$t di$tantia centri ip$ius plani ab axe.</p>
<h>III. _Coroll._</h>
<p>Hinc ultro emergit inve$tigatio omnium $olidorum a planis circa
axes motis de$criptorum; $ed i$tæc alibi.</p>
<h>IV. _Coroll._</h>
<p>Hinc deduces $patium a plano in planum circa axem extra po$itum
moto decur$um, æquari alteri $patio, quod percurreretur $i $ingula
puncta, vel $ingulæ partes aliquotæ plani tantumdem ab axe di$tarent,
quantum ip$ius centrum gravitatis.</p>
<h>V. _Coroll._</h>
<p>Hinc apparet $patia a planis æqualibus decur$a, e$$e in eadem ratio-
ne, atque eorujmdem planorum di$tantias centrorum gravitatis ab
axe.</p>
<h>VI. _Coroll._</h>
<p>Hinc nullo negotio reperias $patium a plano in latus moto de-
cur$um:</p>

<pb 5>[985]
<p>Si enim planum A indefinite dividatur per $uperficies cylindra-
ceas parallelas, quarum omnium $it idem axis θ ρ: con$iciatur pla-
num, <math>b</math>, cujus $in-
gulæ lineæ axi pa-
rallelæ æquentur
<fig>
<var>θ ρ Z x p A q M B N</var>
</fig>
$ingulis $ectionibus
cylin draceis, quæ
tantumdem ab axe
di$tant, V. G. linea
recta MN. æquetur
$ectioni. <math>pq</math>. $icque
de cæteris; ex hujus
plani <math>b</math> centro linea
ad axem θ ρ perp. ducta vocetur Z: ex plani A centro linea perpend.
ducta ad eundem axem appelletur, <math>x.</math> Spatium a plano A in planum
e$t ad $patium ab eodem plano in latus moto decur$um, $icut <math>x. z.</math>
nam $patium a plano A in latus moto decur$um, æquatur $patio per
planum <math>b</math> in planum motum decur$o.</p>
<p>Iam vero centrum o$cillationis collu$tretur.</p>
<h>I. _Problem._</h>
<p>Invenire centrum o$cillationis plani in planum circa axem extra
po$itum moti.</p>
<p>Centrum o$cillationis idem e$t, atque centrum gravitatis ip$ius
plani.</p>
<fig>
<var>θ ρ A o</var>
</fig>
<p>Cum enim, ex 6° corollario primi lemmatis, & ex 4° coroll. 3<_>tii</_>
lemmatis, planum A eadem velocitate, idem $patium percurrat,
quod percurreret $i ip$ius omnia puncta tantumdem ab axe di$tarent,
quantum centrum gravitatis; nece$$e e$t ut o$cillationes $uas eodem
tempore perficiat, atque per$iceret $i $ingula puncta tantumdem ab
axe di$tarent: atqui $i $ingula puncta tantumdem ab axe di$tarent,
o$cillationes $uas eodem tempore conficeret, atque pendulum $im-
plex, cujus longitudo e$t ip$a di$tantia centri gravitatis ab axe,
Ergo &c.</p>

<pb 6>[986]
<h>I. _Coroll._</h>
<p>Hinc noveris omnium planorum, quorum centra gravitatis ab
axe æque di$tant, idem e$$e centrum o$cillationis in planum.</p>
<h>II. _Coroll._</h>
<p>Hinc intelligis cuju$libet lineæ in planum circa axem extra po$i-
tum motæ, centrum o$cillationis idem e$$e, atque centrum gravita-
tis; Quandoquidem quælibet linea $pectari pote$t, $icut planum mi-
nimæ latitudinis.</p>
<h>II. _Probl._</h>
<p>Invenire durationem o$cillationis plani in latus circa axem extra
po$itum moti.</p>
<p>Tempora o$cillationum plani tum in planum, tum in latus moti,
$unt inter$e, $icut $patia utroque motu decur$a; propterea quod u-
triu$que o$cillationis tempora perinde $pectanda $unt, atque tempo-
ra incidentiarum duorum gravium æqualium ex eadem altitudine
oblique decidentium.</p>
<h>III. _Probl._</h>
<p>Invenire centrum o$cillationis plani in latus circa axem extra po-
$itum moti.</p>
<p>Si centri plani ab axe di$tantia vocetur <math>x.</math> tempusque o$cillatio-
nis in planum, $it ad tempus o$cillationis in latus, $icut <math>x. z</math>: hujus
relationis <math>x^2. z^2: x. z^2 / x</math>. ultimus terminus de$ignabit di$tantiam cen-
tri o$cillationis ab axe, $ive longitudinem penduli $implicis, quod
$uas o$cillationes $imiles eodem tempore con$icit, atque pendulum
in latus motum; propterea quod longitudines pendulorum $impli-
cium $unt inter $e, $icut quadrata temporum o$cillationum.</p>
<h>IV. _Probl._</h>
<p>Invenire durationem o$cillationis $olidi.</p>
<p>Si$olidum A, indefinite dividatur per $uper$icies cylindraceas pa-
rallelas, quarum omnium idem $it axis, atque o$cillationis; com-

<pb 7>[987]
ponatur planum <math>b</math>, cu-
<fig>
<var>x Z A B</var>
</fig>
jus $ingulæ lineæ axi
parallelæ, $int inter
$e, $icut $ingulæ $ectio-
nes cylindraceæ, quæ
tantumdem ab axe di-
$tant. Di$tantia cen-
tri hujus plani ab axe
vocetur <math>z</math>. di$tantiaque centri $olidi ab eodem axe appelletur <math>x.</math>
Tempus o$cillationis $olidi, e$t ad tempus o$cillationis penduli $im-
plicis, cujus longitudo $it <math>x.</math> $icut <math>z. x.</math> quandoquidem $olidum $pe-
ctari debet $icut planum in latus motum.</p>
<h>V. _Probl._</h>
<p>Invenire centrum o$cillationis $olidi.</p>
<p>Hoc problema perinde $olvitur, atque 3. prob. $upra.</p>
<h>VI. _Probl._</h>
<p>Invenire centrum o$cillationis peripheriæ in latus circa tangen-
tem motæ.</p>
<p>Di$tantia centri o$cillationis ab axe, $ive longitudo penduli $impli-
cis o$cillationes $uas eodem tempore conficientis, refertur ad radium,
$icut quadratoquadratum diametri ad productum circuli per $e ip$um
multiplicati; Quandoquidem $patium o$cillatione in planum e$t ad
$patium o$cillatione in latus decur$um, $icut circulus ad quadratum
diametri, ut ex infinitorum geometria demon$tratur.</p>
<h>VII. _Probl._</h>
<p>Componere pendulum quod o$cillationes $uas eodem tempore
conficiat, atque pendulum $implex datum.</p>
<p>Longitudo penduli $implicis dati
$it diameter peripheriæ, quam axis
tangit in puncto O. $i hac in peri-
pheria bina puncta A & B a puncto
$u$pen$ionis æque di$tantia ad libi-
tum $umantur; hæc duo puncta com-
ponent pendulum, quod $uas o$cilla-
tiones in latus eodem tempore con-
ficiet, atque pendulum $implex. ad
quod probandum.</p>
<fig>
<var>o Z Z X A D B</var>
</fig>

<pb 8>[988]
<p>Hæc duo puncta linea diametrum perp. $ecante in puncto D. jun-
gantur, $ectio diametri DO, vocatur <math>x.</math> linea AO $ive BO appel-
letur <math>z</math>.</p>
<p>Ex $upra dictis tempus o$cillationis in planum, e$t ad tempus o$cil-
lationis in latus $icut <math>x. z</math>, ac proinde hujus relationis <math>x^2. z^2: x. z^2 / x</math>.
ultimus terminus $ive diameter de$ignabit longitudinem penduli $im-
plicis, quod o$cillationes $uas eodem tempore conficit, atque pendu-
lum ex i$tis binis punctis compo$itum, in latus motum.</p>
<h it>Coroll.</h>
<p>Hinc tibi confe$tim occurrunt in$inita pendula compo$ita, quæ
$uas quodque o$cillationes eodem tempore conficiunt: verum haud
$cio an ob$tupe$cas quod peripheria $uas o$cillationes breviore tem-
pore perficiat, quam pendulum $implex, cujus longitudo e$t ip$a
diameter, cum peripheria integra re$olvi po$$it in pendula $impli-
ciora componentia, quorum $ingula $uam quodque o$cillationem
eodem tempore $eor$im conficiant; mirari tamen de$ines $i per$pexe-
ris majorem e$$e gravitatem in peripheria conglutinata, quam in
omnibus ip$ius partibus disjunctim motis.</p>
<h>VIII. _Probl._</h>
<p>Invenire durationem o$cillationis cuju$libet penduli circa axem
intra po$itum moti.</p>
<p>Si pendu-
lum A, cu-
jus di$tantia
<fig>
<var>θ ρ x Z A B</var>
</fig>
ab axe voce-
tur <math>x.</math> inde-
finite divi-
datur per $uper$icies cylindraceas parallelas, quarum omnium idem
$it axis, atque o$cillationis: componatur planum B, cujus $ingulæ li-
neæ axi parallelæ $int inter $e, $icut $ingulæ $ectiones cylindraceæ,
quæ tantumdem ab axe di$tant: di$tantiaque centri plani B ab axe ap-
pelletur <math>z</math>: Tempus o$cillationis penduli A, erit ad tempus o$cilla-
tionis penduli $implicis, cujus longitudo $it <math>x</math>, $icut <math>z. x.</math></p>

<pb>[989]
<h>PRIVILEGIE.</h>
<p>DE STATEN VAN HOLLANDT ENDE WEST-
VRIESLANDT, doen te weeten: Alzoo Ons vertoont is by
_M<_>r</_>. Foan Blaeu en Compagnie_, hoe dat by haar onder de Per$$e waren
te drukken R<sc>ENATI</sc> D<sc>ESCARTES</sc> _Opera omnia_, in't Latyn en
in't Fran$ch, be$taande in de _Philo$ophia, Meditationes, De Homine_
_& Fœtu, Geometria, Mu$ica, Epi$tolœ, De Lumine, & c._ en't geen haar verder van
dien Auteur noch meer mogte ter handt komen; ende alzoo de voor$z. Werken,
ten meerder nutte van alle de geene die in de Philo$ophie quamen te $tudeeren,
op goet Papier wel ende correct dienden gedrukt te worden, ende door de groote
meenigte van Plaaten ende Figuuren, die daar in quamen, een groote $omme quam
te beloopen, ende de $upplianten bekommert waren, dat haar de voor$z. Werken
in't geheel, ofte eenige van dien in het byzonder, door eenige baatzoekende men-
fchen mogten werden naargedrukt, zoo was't dat zy haar keerden tot Ons, oot-
moedelyk verzoekende, dat het Onze gelie$te zyn mogte, de voor$z. $upplianten
te verleenen Ons Octroy ende Privilegie om alle de voor$z. Werken in't geheel
ende ten deel in Onzen Lande alleen te moogen drukken, doen drukken ende ver-
koopen voor den tydt van vy$tien Jaren, met interdictie aan allen ende eenen iege-
lyken, buiten haar de voor$z. Werken in't geheel, o$te eenige van dien apart,
't zy met of zonder Noten of Commentarien, in't Latyn ofte Fran$ch te moogen
naar drukken, ofte elders naargedrukt zynde, inbrengen of verkoopen, op zekere
pene boven de confi$catie der naargedrukte ofte ingebragte exemplaren tegens de
contraventeurs te $tellen. ZOO IS'T, dat Wy, de zake en't verzoek voor$z.
overgemerkt hebbende, ende genegen wezende ter bede van de $upplianten, uit
Onze rechte weten$chap, $ouveraine magt ende authoriteit, de $upplianten gecon-
fenteert, geaccordeert ende geoctroyeert hebben, con$enteren, accorderen ende
octroyeren de zelve by dezen, dat zy, geduurende den tydt van vyftien eer$t ach-
ter een volgende Jaren, de bovengemelte Werken R<sc>ENATI</sc> D<sc>ESCARTES</sc>
binnen den voor$z. Onzen Lande alleen zullen moogen drukken, doen drukken,
uitgeeven ende verkoopen. Verbiedende daarom allen ende eenen iegelyken de
voor$z. Werken in't geheel, ofte eenige van dien apart, 't zy met of zonder No-
ten of Commentarien, in't Latyn of Fran$ch naar te drukken, o$te elders naar-
gedrukt binnen den zelven Onzen Lande te brengen, uit te geeven ofte te verkoo-
pen, op verbeurte van alle de naargedrukte, ingebragte ofte verkochte exempla-
ren, ende een boete van drie honderdt guldens daarenboven te verbeuren, te ap-
pliceren een derde part voor den Officier die de calange doen zal, een derde part
voor den Armen der plaatze daar het ca$us voorvallen zal, ende het re$terende
derde part voor de $upplianten. Alles in dien ver$tande, dat Wy, de $upplianten
met dezen Onzen Octroye alleen willende grati$iceren, tot verhoedinge van hare
$chade, door het naardrukken van de voor$z. Werken, daar door in eenigen deele
ver$taan den inhoude van dien te authori$eeren ofte te advoueren, ende veel min
de zelve onder Onze protectie en be$cherminge eenig meerder credit, aanzien
ofte reputatie te geven, nemaar den $upplianten, in cas daar inne iets onbehoor-
lyks zoude moogen influeren, alle het zelve tot haren la$te zullen gehouden wezen
te verantwoorden; tot dien einde wel expre$$elyk begeerende, dat, by aldien zy

<pb>[990]
dezen Onzen Octroye voor de zelve Werken zullen willen $tellen, daar van geene
geabbrevieerde ofte gecontraheerde mentie zullen moogen maken, nemaar ge-
houden zullen wezen het zelve Octroy in't geheel ende zonder eenige omi$$ie daar
voor te drukken, o$te te doen drukken: Ende dat zy gehouden zullen zyn een
exemplaar van de voor$z. Werken, gebonden ende wel geconditioneert, te bren-
gen in de Bibliotheecq van Onze Univer$iteit tot Leiden, ende daar van behoorlyk
te doen blyken, op pene-van het effect van dezen te verliezen. Ende ten einde de
$upplianten dezen Onzen con$ente ende Octroye moogen genieten als naar behoo-
ren, la$ten Wy allen ende eenen iegelyken die't aangaan mag, dat zy de $upplian-
ten van den inhoude van dezen doen ende laten gedogen, ru$telyk, vredelyk ende
volkomentlyk genieten ende gebruiken, ce$$erende alle belet ende wederzeggen
ter contrarie. Gedaan in den Hage, onder Onzen grooten Zegele, hier aan doen
hangen, den xxij. January, in't Jaar Ons Heeren en Zaligmakers duizent zes hon-
dert vy$entachtig.</p>
<p>GASP. FAGEL.</p>
<p it>Ter ordonnantie van de Staten.</p>

<pb>[991]
<hd>

<pb>[992]

<pb>[993]

<pb>[994]