EUCLIDES AB OMNI NÆVO VINDICATUS: SIVE CONATUS GEOMETRICUS QUO STABILIUNTUR Prima ip$a univer$æ Geometriæ Principia. _AUCTORE_ HIERONYMO SACCHERIO SOCIETATIS JESU In Ticinen$i Univer$itate Mathe$eos Profe$$ore. _OPUSCULUM_ EX▴<_>MO SENATUI MEDIOLANENSI Ab Auctore Dicatum. MEDIOLANI, MDCCXXXIII. Ex Typographia Pauli Antonii Montani. _Superiorum permi$$u._ EX▴<_>MO SENATUI MEDIOLANENSI Hieronymus Saccherius e Soc. Jesu F.

EUclidem ab omni nævo vindicatum, $up- plicem vobis $i$to, PP. Sapienti$$imi; quibus nempe quotidiano veluti u$u comperti$$imum e$t, quanti in unaquaque di$ciplinâ inter$it, ea- rum prima quædam dogmata inconcu$$a, atque immota con$i$tere, ne tota $uperextructæ in- qui$itionis machina, inopino ca$u, funditùs evertatur. Id enim in ipsâ Divini, Humani- que Juris $cientiâ, quæ Ampli$$imi Ordinis Ve- $tri præcipuum decus e$t, rerumque maxima- rum arbitra, ac moderatrix $edet, per$pectum $atis habere pote$tis. Hæc enim ni$i æqui$$imis Principum Legibus, Sapientiumque Re$pon- $is, quæ vim legis, ac pondus ipsâ humani ge- neris approbatione meruerunt, quibu$dam ve- luti ba$ibus niteretur, quanta emergeret in jure dicendo nunquam vincenda perplexitas, quot in Foro inextricabiles tenebræ, quàm infelix perturbatio publicæ felicitatis! Et hæc quidem cautio, cum in omni di$ciplinarum genere lo- cum habet, tum præcipuè in Mathematicis di- ligentiùs adhibenda e$t, unde omne opinandi arbitrium exulat, $oloque principiorum, ac con$ecutionum in$eparabili nexu elicitur mani- fe$ta, ac comperti$$ima veritas. Eâ de causâ in$ignes Geometræ, tum prioribus illis, tum etiam ad hanc u$que ætatem no$tram con$equen- tibus $æculis, Mathe$eos Elementa ad exacti$$i- mæ firmitatis leges redigere $tuduerunt; eo ta- men conatu, qui & mihi (ab$it verbo invidia) exercendi ingenii, pro muneris mei ratione, facultatem reliquerit, ac excitaverit volunta- tem. Quo $ucce$$u, Eruditorum judicium erit. Me certè, $i audire quempiam in re $uâ decet, non pœnitet laboris mei; qui ut latiùs promana- ret, atque exciperetur libentiùs, cui ni$i Ex- cel$o Ordini Ve$tro, PP. Ampli$$imi, $acran- dus erat, qui Ve$tri Nominis gloriam $plendore $anguinis, Doctrinæ eminentiâ, virtutum me- rito $uperatis? Hoc itaque alterum, po$t Neo- $taticam, $ummi in vos ob$equii mei, pignus, ac monumentum excipite; quodque caput e$t: Authorem ip$um habete, quamdiu vivet, vo- bis Addicti$$imum.

 IGNATIUS VICECOMES SOCIETATIS JESU

In Provincia Mediolanen$i Præpo$itus Provincialis.

CUm librum, cui titulus _Euclides ab omni nævo vindi-_ _catus_ a P. Hieronymo Saccherio no$træ Societatis Sacerdote con$criptum, aliquot eju$dem Societatis Theo- logi recognoverint, & in lucem edi po$$e probaverint; facultate nobis a R. P. No$tro Præpo$ito Generali Franci$co Retz communicata, concedimus ut typis mandetur, $i iis, ad quos $pectat, ita videbitur: Cujus rei gratiâ has litteras manu no$tra $ub$criptas, $igilloque no$tre munitas dedimus. Mediolani 16. Augu$ti 1733.

IGNATIUS VICECOMES.

Loco <001> Sigilli.

DOn Ga$par a Ba$ilica-Petri Sacræ Theologiæ, ac Juris utriu$- que Doctor, S. Offitii Revi$or, ex ju$$u Reverendi$$imi Pa- tris Magi$tri Sylve$tri Martini Inqui$itoris Generalis Mediolani, vidi, & attentè legi Librum, cui titulus, Euclides ab omni næ- vo vindicatus, Auctore Hieronymo Saccherio Societatis Jesu &c. nihilque in eo reperi contra Fidem Orthodoxam; neque contra bonos mores, ac ideo po$$e prælo mandari cen$eo &c.

Die 13. Julii 1733.

IMPRIMATUR

F. Sylve$ter Martini Ord. Præd. Inqui$itor Generalis Mediol.

Franci$cus Curionus S. Eu$ebii Archipresb. pro Eminenti$s. @@ Reverendi$s. D. D. Card. Ode$calco Archiep.

Carlius pro Excellenti$$imo Senatu.

PROŒMIUM ADLECTOREM.

_Q_Uanta $it Elementorum Euclidis præ$tantia_,_ ac di- gnitas_,_ nemo omnium_,_ qui Mathematicas di$cipli- nas noverint_,_ ignorare pote$t. Lecti$$imos hanc in rem te$tes adhibeo Archimedem_,_ Apollonium_,_ Theo- do$ium_,_ alio$que penè innumeros_,_ ad hæc u$que no$tra tempora rerum Mathematicarum Scriptores_,_ qui non ali- ter hæc Euclidis Elementa u$urpant_,_ ni$i ut principia jam diu $tabilita_,_ ac penitus inconcu$$a. Verùm tanta hæc nominis ce- lebritas vetare non potuit_,_ quin multi ex Antiquis pariter_,_ ac Recentioribus_,_ iique Magni Geometræ nævos quo$dam a $e de- præhen$os cen$uerint in his ip$is pulcherrimis_,_ nec unquam $atis laudatis Elementis. Tres autem huju$modi nævos de$ignant_,_ quos $tatim $ubnecto.

Primus re$picit definitionem parallelarum_,_ & $ub ea Axio- ma_,_ quod apud Clavium e$t decimumtertium Libri primi_,_ ubi Euclides $ic pronunciat_: Si in duas rectas lineas, in eodem_ _plano exi$tentes recta incidens linea duos ad ea$dem par-_ _tes internos angulos minores duobus rectis cum ei$dem_ _efficiat, duæ illæ rectæ lineæ ad eas partes in infinitum_ _protractæ inter $e mutuò incident_. Porrò nemo e$t_,_ qui du- bitet de veritate expo$iti Pronunciati_;_ $ed in eo unicè Euclidem accu$ant_,_ quòd nomine Axiomatis u$us fuerit_,_ qua$i nempè ex $olis terminis ritè per$pectis $ibi ip$i faceret fidem. Inde autem non pauci _(_retentâ eæteroquin Euclidæâ parallelarum definitio- ne_)_ illius demon$trationem aggre$$i $unt ex iis $olis Propo$itio- nibus Libri primi Euclidæi_,_ quæ præcedunt vige$imam nonam_,_ ad quam $cilicet u$ui e$$e incipit controver$um Pronunciatum.

Sed rur$um_;_ quoniam antiquorum in hanc rem conatus vi$i non $unt adamu$$im $copum attingere_;_ factum idcircò e$t_,_ ut multi proximiorum temporum eximii Geometræ_,_ idem pen$um aggre$$i_,_ nece$$ariam cen$uerint novam quandam parallelarum definitionem. Itaque_;_ cum Euclides parallelas rectas lineas de- finiat_, quæ in eodem plano exi$tentes, $i in utramque_ _partem in infinitum producantur, nunquam inter $e mu-_ _tuò incidunt;_ po$tremis expo$itæ definitionis vocibus has alias $ub$tituunt_: Semper inter $e æquidi$tant;_ adeò ut nempè $in- gulæ perpendiculares ab uno quolibet unius illarum puncto ad alteram demi$$æ æquales inter $e $int.

At nova rur$um hinc oritur $ci$$ura. Nam aliqui_,_ & ii $anè acutiores_,_ demon$trare conantur parallelas rectas lineas prout $ic definitas_,_ unde utique gradum faciant ad demon$tran- dum $ub ip$is Euclidæis vocibus controver$um Pronunciatum_,_ cui nimirum ab eâ vige$imâ nonâ Libri primi Euclidæi _(_pau- @ulis quibu$dam exceptis_)_ univer$a innititur Geometria. Alii verò _(_non $ine magno in rigidam Logicam peccato_)_ eas tales re- ctas lineas parallelas_,_ nimirum _æquidi$tantes,_ a$$umunt tan- quam datas_,_ ut inde gradum faciant ad reliqua demon$tranda.

Et hæc quidem $atis $unt ad præmonendum Lectorem $uper iis_,_ quæ materiam exhibebunt Libro priori hujus mei Opu$culi_:_ Nam uberior prædictorum omnium explicatio habebitur in Scho- liis po$t Prop. vige$imam primam enunciati Libri_,_ quem divi- dam in duas veluti partes. In priore imitabor antiquiores illos Geometras_,_ nihil propterea $ollicitus de naturâ_,_ aut nomine il- lius lineæ_,_ quæ omnibus $uis punctis a quadam $uppo$itâ rectâ lineâ æquidi$tet_:_ Sed unicè in id incumbam_,_ ut controver$um Euclidæum Axioma citra omnem petitionem principii clarè de- mon$trem; nunquam idcircò adhibens ex ip$is prioribus Libri primi Euclidæi Propo$itionibus_,_ non modò vige$imam $eptimam_,_ aut vige$im ım octavam_,_ $ed nec ip$as quidem decimam $extam_,_ aut decimam $eptimam_,_ ni$i ubi clarè agatur de triangulo omni ex parte circum$cripto. Tum in po$teriore parte_,_ ad novam eju$dem Axiomatis confirmationem demon$trabo non ni$i rectam lineam e$$e po$$e_,_ quæ omnibus $uis punctis a quadam $uppo$itâ rectâ lineâ æquidi$tet. Horum autem occa$ione prima ip$a uni- ver$æ Geometriæ Principia rigido examini $ubjicienda hìc e$$e nullus e$t_,_ qui non videat.

Tran$eo ad alios duos nævos Euclidi objectos. Prior re$pi- cit definitionem $extam Libri quinti $uper æquè proportionali- bus_:_ Po$terior Definitionem quintam Libri $exti $uper compo$i- tione rationum. Hic autem erit $ecundi mei Libri unicus $co- pus_,_ ut dilucidè explicem præfatas Euclidæas Definitiones_,_ $imulque o$tendam non æquo jure hac in parte Euclidis nomen vexatum fui$$e.

Prode$t tamen rur$um præmonere_,_ demon$tratum a me ir@ hac occa$ione unum quoddam Axioma_,_ quod tuti$$imè per omnem Geometriam ver$etur_,_ $ine indigentiâ illius _Po$tulati,_ $ub no- mine Axiomatis ab interpretibus _(_ut reor_)_ intru$i_,_ cujus u$us incipit ad _18_. quinti.

INDICIS LOCO Addenda cen$eo, quæ $equuntur.

1. IN I. & II. Propo$. Lib. primi duo ja- ciuntur principia, ex quibus in III. & IV. demon$tratur, angulos interiores ad rectam jungentem extremitates æqualium perpendiculorum, quæ ex duobus punctis alterius rectæ, veluti ba$is, versùs ea$dem partes (in eodem plano) erigantur, non modò fore inter $e æquales, $ed præterea aut rectos, aut obtu$os, aut acutos, prout illa jungens æqualis fuerit, aut minor, aut major prædictâ ba$i: Atque ita vici$$im.

_a pag_. 1

2. Hinc $umitur occa$io $ecernendi tres diver$as hypothe$es, unam anguli recti, al- teram obtu$i, tertiam acuti: circa quas in V. VI. & VII. demon$tratur, unam quam- libet harum hypothe$ium fore $emper uni- cè veram, $i nimirum depræhendatur vera in uno quolibet ca$u particulari.

_a pag_. 5

3. Tum verò; po$t interpo$itas tres alias nece$$arias Propo$itiones; demon$tra- tur in XI. XII. ac XIII. univer$alis veritas noti Axiomatis, re$pectu habito ad priores duas hypothe$es, unam anguli recti, & al- teram obtu$i; ac tandem in XIV. o$tendi- tur ab$oluta fal$itas hypothe$is anguli ob- tu$i. Atque hinc incipit diuturnum præ- lium adversùs hypothe$in anguli acuti, quæ $ola renuit veritatem illius Axiomatis.

_a pag_. 10

4. Itaque in XV. ac XVI. demon$tra- tur $tabilitum iri hypothe$es aut anguli re- cti, aut obtu$i, aut acuti, ex quolibet trian- gulo rectilineo, cujus tres $imul anguli æquales $int, aut majores, aut minores duo- bus rectis; ac $imiliter ex quolibet quadri- latero rectilineo, cujus quatuor $imul angu- li æquales $int, aut majores, aut minores quatuor rectis.

_a pag_. 20

5. Sequuntur quinque aliæ Propo$itio- nes, in quibus demon$trantur alia indicia pro $ecernenda vera hypothe$i a fal$is.

_a pag_. 23

6. Accedunt quatuor principalia Scho- lia; in quorum po$tremo exhibetur figura quædam geometrica, ad quam forta$$e re- $pexit Euclides, ut $uum illud Pronuncia- tum a$$umeret tanquam per $e notum. In tribus prioribus o$tenditur non valui$$e ad intentum præcedentes in$ignium Geome- trarum conatus. Sed quia controver$um Axioma exacti$$imè demon$tratur ex duabus præ$uppo$itis rectis lineis _æquidi$tantibus_; monet ibi Auctor contineri in eo præ$uppo- $ito manife$tam petitionem _Principii_. Quòd $i provocari hìc velit ad communem per$ua- $ionem, atque item explorati$$imam _praxim_; rur$um monet provocari non debere ad ex- perientiam, quæ re$piciat puncta infinita, cum $atis e$$e po$$it unica experientia uni cuivis puncto affixa. Quo loco tres ab ip$o afferun@ur invicti$$imæ Demon$trationes Phy$ico-Geometricæ.

_a pag_. 29

7. Super$unt duodecim aliæ Propo$i- tiones, quæ primæ Parti hujus Libri finem imponunt. Non expono particularia a$$um- pta, quia nimis implexa. Solùm dico ibi tandem manife$tæ fal$itatis redargui inimi- cam hypothe$im anguli acuti, utpotè quæ duas rectas agno$cere deberet, quæ in uno eodemque puncto commune reciperent in eodem plano perpendiculum: Quod quidem naturæ lineæ rectæ repugnans e$$e demon- $tratur per quinque Lemmata, in quibus concluduntur quinque principalia Geome- triæ Axiomata, quæ re$piciunt lineam re- ctam, ac circulum, cum $uis correlativis Po$tulatis.

_a pag_. 43

8. Secunda pars continet $ex Propo$i- tiones. Ibi autem; po$t expen$am (juxta hypothe$im anguli acuti) naturam illius li- neæ, quæ omnibus $uis punctis a quadam præ$uppo$itâ rectâ lineâ æquidi$tet; multis modis o$tenditur, eam fore æqualem con- trapo$itæ ba$i, unde infertur prænunciatæ hypothe$is certi$$ima fal$itas. Quare tandem in ultima Propo$. quæ e$t XXXIX. exacti$- $imè demon$tratur celebre illud Fuclidæum Axioma, cui nempe (ut omnes $ciunt) uni- ver$a Geometria innititur.

_a pag_. 87

9. Secundus Liber digeri commodè non potuit in Propo$itiones, etiam$i locis opportunis plura intermi$ta $int utili$$ima Theoremata, ac Problemata. Meretur ni- hilominus expre$sè notari unum quoddam Axioma, cujus ibi demon$tratur non modò veritas, verùm etiam univer$alis utilitas pro omni Geometria, $ine indigentia alte- rius parum decori Po$tulati, quod ab inter- pretibus cen$eri pote$t intru$um $ub nomi- ne Axiomatis, cujus nempe u$us incipit ad 18. quinti. Et id quidem pro prima Parte hujus Libri, in qua vindicatur Def. $exta quinti Euclidæi.

_a pag_. 102

10. Tum in $ecunda Parte; præter non- nulla alia opportunè addita, ad tuendas re- liquas Definitiones eju$dem Quinti circa magnitudines proportionales; demon$tratur priore loco (re$pectu habito ad magnitudi- nes commen$urabiles) quinta Definitio Sex- ti, etiam$i recipi ea deberet in _quid rei_, ve- luti Axioma: Sed rur$um multis exemplis, ex ip$o Euclide petitis, o$tenditur nullius demon$trationis indigam eam e$$e, quia Definitionem _puri nominis_. Atque ita, po$t opportunam additam Appendicem, huic Operi finis imponitur.

_a pag_. 132 ### ERRATA # CORRIGE Pag. # lin. # # 11. # 5. # te$pectivè # re$pectivè 20. # 9. # mauife$tum # manife$tum 26. # 9. # _punctum_ D # _punctum_ B 28. # 11. # Jnngantur # Jungantur 28. # 14. # pu ctum # punctum 30. # 17. # In$i$tentis # In$i$tenti 40. # 10. # prætet # præter 46. # 29. # ratioue # ratione 65. # 16. # $uppo$ita ri # $uppo$itam 72. # 30. # unâ _ABX_ rectâ # unâ _ADX_ rectâ 73. # 1. # intelligantur # intelligatur 73. # 5. # cum eâdem rectâ _ABX_ # cum eâdem rectâ _ADX_ 75. # ## penult. $ita # $it a 85. # 1. # exacti$$imæ # exacti$$imè 97. # ult. # Ip$i # ip$i 109. # ult. # _IBC_ # _ABC_ 136. # 16. # habet # $e habet

Reliqua errata leviora, ac præ$ertim circa frequen- tem immutationem literarum n & u, f & $, r & t $apiens Lector condonabit.

 EUCLIDIS AB OMNI NÆVO VINDICATI LIBER PRIMUS: In quo demon$tratur: duas quaslibet in eodem plano exi$tentes rectas lineas, in quas recta quæpiam incidens duos ad ea$dem partes internos an- gulos efficiat duobus rectis minores, ad eas partes aliquando invicem coituras, $i in infinitum producantur. PARS PRIMA PROPOSITIO I.

_S_I duæ æquales rectæ _(_fig. _1_._) A C, B D,_ æquales ad ea$- dem partes efficiant angulos cum recta _A B:_ Dico angu- _Tab. 1._ los ad junctam _C D_ æquales invicem fore.

Demon$tratur. Jungantur _A D_, _C B_. Tum con$ide- rentur triangula _C A B_, _D B A_. Con$tat (ex quarta primi) æquales fore ba$es _C B_, _A D_. Deinde con$iderentur trian- gula _A C D_, _B D C_. Con$tat (ex octava primi) æquales fore angulos _A C D_, _B D C_. Quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO II.

_M_A@ente uniformi quadrilatero _A B D C,_ latera _A B, C D,_ bifariam dividantur _(_fig. _2_._)_ in punctis _M,_ & _H_. Di- co angulos ad junctam _M H_ fore hinc inde rectos.

Demon$tratur. Jungantur _A H_, _B H_, atque item _C M_, _D M_. Quoniam in eo quadrilatero anguli _A_, & _B_ po$iti $unt æquales, atque item (ex præcedente) æquales $unt anguli _C_, & _D_; con$tat ex quarta primi (cum aliàs nota $it æqualitas laterum) æquales fore in triangulis _C A M_, _D B M_, ba$es _C M_, _D M_; atque item, in triangulis _A C H_, _B D H_, ba$es _A H_, _B H_. Quare; collatis inter $e triangulis _C H M_, _D H M_, ac rur$um inter $e triangulis _A M H_, _B M H_; con$tabit (ex octava primi) æquales invicem fore, atque ideo rectos angulos hinc inde ad puncta _M_, & _H_. Quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO III.

_S_I duæ æquales rectæ _(_fig. _3_._) A C, B D,_ perpendiculariter in$i$tant cuivis rectæ _A B:_ Dico junctam _C D_ æqualem fore_,_ aut minorem_,_ aut majorem ipsâ _A B,_ prout anguli ad ean- dem _C D_ fuerint aut recti_,_ aut obtu$i_,_ aut acuti.

Demon$tratur prima pars. Exi$tente recto utroque angulo _C_, & _D_; $it, $i fieri pote$t, alterutra ip$arum, ut _D C_, major alterâ _B A_. Sumatur in _D C_ portio _D K_ æqua- lis ip$i _B A_, jungaturque _A K_. Quoniam igitur $uper _B D_ perpendiculariter in$i$tunt æquales rectæ _B A_, _D K_, æqua- les erunt (ex prima hujus) anguli _B A K_, _D K A_. Hoc autem ab$urdum e$t; cum angulus _B A K_ $it ex con$tru- ctione minor $uppo$ito recto _B A C_; & angulus _D K A_ $it ex con$tructione externus, atque ideo (ex decima$exta primi) major interno, & oppo$ico _D C A_, qui $upponitur rectus. Non ergo alterutra prædictarum rectarum, _D C_, _B A_, e$t altera major, dum anguli ad junctam _C D_ $int re- cti; ac propterea æquales invicem $unt. Quod erat primo loco demon$trandum.

Demon$tratur $ecunda pars. Si autem obtu$i $uerint anguli ad junctam _C D_, dividantur bifariam _A B_, & _C D_, in punctis _M_, & _H_, jungaturque _M H_. Quoniam ergo $u- per recta _M H_ perpendiculariter in$i$tunt (ex præcedente) duæ rectæ _A M_, _C H_, poniturque ad junctam _A C_ angulus rectus in _A_, non erit (ex prima hujus) recta _C H_ æqualis ip$i _A M_, cum de$it angulus rectus in _C_. Sed neque erit major: cæterùm $umptâ in _H C_ portione _K H_ æquali ip$i _A M_, æquales forent (ex prima hujus) anguli ad junctam _A K_. Hoc autem ab$urdum e$t, ut $upra. Nam angulus _M A K_ e$t minor recto; & angulus _H K A_ e$t (ex decima- $exta primi) major obtu$o, qualis $upponitur internus, & oppo$itus _H C A_. Re$tat igitur, ut _C H_, dum anguli ad junctam _C D_ ponantur obtu$i, minor $it ipsâ _A M_; ac prop- terea prioris dupla _C D_ minor $it po$terioris duplâ _A B_. Quod erat $ecundo loco demon$trandum.

Demon$tratur tertia pars. Tandem verò, $i acuti fue- rint anguli ad junctam _C D_, ductâ pariformiter (ex præ- cedente) perpendiculari _M H_, $ic proceditur. Quoniam $uper recta _M H_ perpendiculariter in$i$tunt duæ rectæ _A M_, _C H_, poniturque ad junctam _A C_ angulus rectus in _A_, non erit (ut $uprà) recta _C H_ æqualis ip$i _A M_, cum de$it an- gulus rectus in _C_. Sed neque erit minor: cæterùm; $i in _H C_ protractâ $umatur _H L_ æqualis ip$i _A M_; æquales forent (ut $uprà) anguli ad junctam _A L_. Hoc autem ab$urdum e$t. Nam angulus _M A L_ e$t ex con$tructione major $uppo- $ito recto _M A C_; & angulus _H L A_ e$t ex con$tructione in- ternus, & oppo$itus, atque ideo minor (ex decima$exta primi) externo _H C A_, qui $upponitur acutus. Re$tat igi- tur, ut _C H_, dum anguli ad junctam _C D_ $int acuti, major $it ipsâ _A M_, atque ideo prioris dupla _C D_ major $it po$te- rioris duplâ _A B_. Quod erat tertio loco demon$trandum.

Itaque con$tat junctam _C D_ æqualem fore, aut mino- rem, aut majorem ipsâ _A B_, prout anguli ad eandem _C D_ fuerint aut recti, aut obtu$i, aut acuti. Quæ erant de- mon$tranda.

COROLLARIUM I.

HInc in omni quadrilatero continente tres quidem an- gulos rectos, & unum obtu$um, aut acutum, late- ra adjacentia illi angulo non recto minora $unt, alterum altero, lateribus contrapo$itis, $i ille angulus $it obtu$us, majora autem, $i $it acutus. Id enim demon$tratum jam e$t de latere _C H_ relatè ad contrapo$itum latus _A M_; $imi- lique modo o$tenditur de latere _A C_ relatè ad contrapo$i- tum latus _M H_. Cum enim rectæ _A C_, _M H_, perpendicu- lares $int ip$i _A M_, nequeunt (ex prima hujus) e$$e invi- cem æquales, propter inæquales angulos ad junctam _C H_. Sed neque (in hypothe$i anguli obtu$i in _C_) pote$t quæ- dam _A N_, portio ip$ius _A C_, æqualis e$$e ip$i _M H_, qua ni- mirum major $it prædicta _A C_: cæterùm (ex eadem prima) æquales forent anguli ad junctam _H N_; quod e$t ab$ur- dum, ut $uprà. Rur$um verò (in hypothe$i anguli acuti in eo puncto _C_) $i velis quandam _A X_, $umptam in _A C_ protractâ, æqualem ip$i _M H_, qua nimirum minor $it mo- dò dicta _A C_; jam eodem titulo æquales erunt anguli ad _H X_; quod utique ab$urdum itidem e$t, ut $upra. Re$tat igitur, ut in hypothe$i quidem anguli obtu$i in eo puncto _C_, latus _A C_ minus $it contrapo$ito latere _M H_; in hypo- the$i autem anguli acuti $it eodem majus. Quod erat in- tentum.

COROLLARIUM II.

MUltò autem magis erit _C H_ major portione qualibet ip$ius _A M_, ut putà _P M_, ad quam nempe juncta _C P_ acutiorem adhuc angulum efficiat cum ip$a _C H_ ver- sùs partes pnncti _H_, & obtu$um (ex decima$exta primi) cum ea _P M_ versùs partes puncti _M_.

COROLLARIUM III.

RUr$um con$tat prædicta omnia æquè procedere, $ive a$$umpta perpendicula _A C_, & _B D_, fuerint certæ cuju$dam apud nos longitudinis, $ive $int, aut $upponan- tur infinitè parva. Quod quidem notari opportunè debet in reliquis $equentibus Propo$itionibus.

PROPOSITIO IV.

_V_Ici$$im autem _(_manente figura præcedentis Propo$itionis_)_ anguli ad junctam _C D_ erunt aut recti_,_ aut obtu$i_,_ aut acuti_,_ prout recta _C D_ æqualis fuerit_,_ aut minor_,_ aut major contrapo$itâ _A B_.

Demon$tratur. Si enim recta _C D_ æqualis $it contra- po$itæ _A B_, & nihilominus anguli ad eandem $int aut ob- tu$i, aut acuti; jam ip$i tales anguli eam probabunt (ex præcedente) non æqualem, $ed minorem, aut majorem contrapo$itâ _A B_; quod e$t ab$urdum contra hypothe$im. Idem uniformiter valet circa reliquos ca$us. Stat igitur angulos ad junctam _C D_ e$$e aut rectos, aut obtu$os, aut acutos, prout recta _C D_ æqualis fuerit, aut minor, aut ma- jor contrapo$itâ _A B_. Quod erat demon$trandum.

DEFINITIONES.

QUandoquidem (ex prima hujus) recta jungens extre- mitates æqualium perpendiculorum eidem rectæ (quam vocabimus ba$im) in$i$tentium, æquales ef- ficit angulos cum ip$is perpendiculis; tres idcirco di$tin- guendæ $unt hypothe$es circa $peciem horum angulorum. Et primam quidem appellabo hypothe$im anguli recti; $ecundam verò, & tertiam appellabo hypothe$im anguli obtu$i, & hypothe$im anguli acuti.

PROPOSITIO V.

_H_Ypothe$is anguli recti_,_ $i vel in uno ca$u e$t vera_,_ $emper in omni ca$u illa $ola e$t vera.

Demon$tratur. Efficiat juncta _C D_ (fig. 4.) angulos rectos cum duobus quibu$vis æqualibus perpendiculis _A C_, _B D_, uni cuivis _A B_ in$i$tentibus. Erit _C D_ (ex tertia hu- jus) æqualis ip$i _A B_. Sumantur in _A C_, & _B D_ protractis duæ _C R_, _D X_, æquales ip$is _A C_, _B D_; jungaturque _R X_. Facilè o$tendemus junctam _R X_ æqualem fore ip$i _A B_, & angulos ad eandem rectos. Et primò quidem per fuperpo- $itionem quadrilateri _A B D C_ $uper quadrilaterum _C D X R_, adhibitâ communi ba$i _C D_. Deinde elegantiùs $ic proce- ditur. Jungantur _A D_, _R D_. Con$tat (ex quarta primi) æquales fore in triangulis _A C D_, _R C D_, ba$es _A D_, _R D_, atque item angulos _C D A_, _C D R_, ac propterea æquales reliquos ad unum rectum, nimirum _A D B_, _R D X_. Quare rur$um (ex eadem quarta primi) æqualis erit, in triangu- lis _A D B_, _R D X_, ba$is _A B_, ba$i _R X_. Igitur (ex præce- dente) anguli ad junctam _R X_ erunt recti, ac propterea per$i$temus in eadem hypothe$i anguli recti.

Quoniam verò augeri $imiliter pote$t longitudo per- pendiculorum in infinitum, $ub eadem ba$i _A B_, con$i$ten- te $emper hypothe$i anguli recti, demon$trandum e$t eandem hypothe$im femper man$uram in ca$u cuju$vis im- minutionis eorundem perpendiculorum; quod quidem ita evincitur.

Sumantur in _A R_, & _B X_ duo quælibet æqualia per- pendicula _A L_, _B K_, jungaturque _L K_. Si anguli ad jun- ctam _L K_ recti non $int, erunt tamen (ex prima hujus) invicem æquales. Erunt igitur ex una parte, ut putà ver- sùs _A B_ obtu$i, & versùs _R X_ acuti, ut nimirum anguli hinc inde ad utrunque illorum punctorum æquales $int (ex decimatertia primi) duobus rectis. Con$tat autem æqualia etiam invicem e$$e perpendicula _L R_, _K X_, ip$i _R X_ in$i$tentia. Igitur (ex tertia hujus) erit _L K_ major quidem contrapo$itâ _R X_, & minor contrapo$itâ _A B_.

Hoc autem ab$urdum e$t; cum _A B_, & _R X_ o$ten$æ $int æquales. Non ergo mutabitur hypothe$is anguli recti $ub quacunque imminutione perpendiculorum, dum con- $i$tat $emel po$ita ba$is _A B_.

Sed neque immutabitur hypothe$is anguli recti, $ub quacunque imminutione, aut majori amplitudine ba$is; cum manife$tum $it con$iderari po$$e ut ba$im quodvis perpendiculum _B K_, aut _B X_, atque ideo con$iderari vi- ci$$im ut perpendicula ip$am _A B_, & rectam æqualem con- trapo$itam _K L_, aut _X R_.

Con$tat igitur hypothe$im anguli recti, $i vel in uno ca$u $it vera, $emper in omni ca$u illam $olam e$$e veram. Quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO VI.

_H_Ypothe$is anguli obtu$i_,_ $i vel in uno ca$u e$t vera_,_ $emper in omni ca$u illa $ola e$t vera.

Demon$tratur. Efficiat juncta _C D_ (fig. 5.) angulos obtu$os cum duobus quibu$vis æqualibus perpendiculis _A C_, _B D_, uni cuivis rectæ _A B_ in$i$tentibus. Erit _C D_ (ex tertia hujus) minor ipsâ _A B_. Sumantur in _A C_, _B D_ protractis duæ quælibet invicem æquales portiones _C R_, _D X_; jungaturque _R X_. Jam quæro de angulis ad jun- ctam _R X_, qui utique (ex prima hujus) æquales in- vicem erunt. Si obtu$i $unt, habemus intentum. At recti non $unt; quia $ic unum haberemus ca$um pro hypo- the$i anguli recti, qui nullum (ex præcedente) relinque- ret locum pro hypothe$i anguli obtu$i. Sed neque acuti $unt. Nam $ic e$$et _R X_ (ex tertia hujus) major ipsâ _A B_; ac propterea multò major ipsâ _C D_. Hoc autem $ub$i$tere non po$$e $ic o$tenditur. Si quadrilaterum _C D X R_ intel- ligatur impleri rectis ab$cindentibus ab ip$is _C R_, _D X_, portiones invicem æquales, implicat tran$iri a recta _C D_, quæ minor e$t ipsâ _A B_, ad _R X_ eâdem majorem, quin tran$eatur per quandam _S T_ ip$i _A B_ æqualem. Hoc autem ab$urdum e$$e in hac hypothe$i ex eo con$tat; quia $ic (ex quarta hujus) unus haberetur ca$us pro hypothe$i anguli recti, qui nullum (ex præcedente) relinqueret locum hy- pothe$i anguli obtu$i. Igitur anguli ad junctam _R X_ de- bent e$$e obtu$i.

Deinde, $umptis in _A C_, _B D_, æqualibus portionibus _A L_, _B K_; $imili modo o$tendemus angulos ad junctam _L K_ nequire e$$e acutos versùs ip$am _A B_; quia $ic illa fo- ret major, quàm _A B_, ac propterea multò major rectâ _C D_. Hinc autem reperiri deberet, ut $uprà, quædam interme- dia inter _C D_ minorem, & _L K_ majorem ipsâ _A B_; inter- media, inquam, æqualis ip$i _A B_, quæ utique, ex jam no- tis, omnem locum auferret hypothe$i anguli obtu$i. Tan- dem propter hanc ip$am cau$am recti e$$e nequeunt angu- li ad junctam _L K_; ergo erunt obtu$i. Igitur $ub eadem ba$i _A B_, auctis, aut imminutis ad libitum perpendiculis, manebit $emper hypothe$is anguli obtu$i.

Sed debet idem demon$trari $ub a$$umpta qualibet ba$i. Eligatur (fig. 6.) pro ba$i quodlibet ex prædictis per- pendiculis, ut putà _B X_. Dividantur bifariam in punctis _M_, & _H_ ip$æ _A B_, _R X_; jungaturque _M H_. Erit _M H_ (ex $ecunda hujus) perpendicularis ip$is _A B_, _R X_. E$t autem angulus ad punctum _B_ rectus ex hypothe$i; & obtu$us, ex jam demon$tratis, ad punctum _X_. Fıat igitur angulus re- ctus _B X P_ versùs partes ip$ius _M H_. Occurret _X P_ ip$i _M H_ in quodam puncto _P_ inter puncta _M_, & _H_ con$titu- to; cum ex una parte angulus _B X H_ $it obtu$us; & ex al- tera, $i jungatur _X M_, angulus _B X M_ (ex decima$eptima primi) $it acutus. Tum verò; quoniam quadrilaterum _X B M P_ tres continet angulos rectos ex jam notis, & unum obtu$um (ex decima$exta primi) in puncto _P_, quia e$t externus relarè ad internum, & oppo$itum rectum angu- lum in puncto _H_ trianguli _P H X_, erit latus _X P_ (ex Cor. I. po$t tertiam hujus) minus contrapo$ito _B M_. Quare; a$- $umptâ in _B M_ portione _B_ F æquali ip$i _X P_; erunt (ex prima hujus) anguli ad junctam _P F_ invicem æquales, ni- mirum obtu$i, cum angulus _B F P_ (ex decima$exta primi) $it obtu$us propter rectum angulum internum, & oppo$i- tum _F M P_. Igitur $ub qualibet ba$i _B X_ con$i$tit hypothe- $is anguli obtu$i.

Con$i$tet autem, ut $uprà, eadem hypothe$is $ub ea- dem ba$i _B X_, quamvis æqualia perpendicula ad libitum augeantur, aut minuantur. Itaque con$tat hypothe$im an- guli obtu$i, $i vel in uno ca$u $it vera, $emper in omni ca$u illam $olam e$$e veram. Quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO VII.

_H_Ypothe$is anguli acuti_,_ $i vel in uno ca$u e$t vera_,_ $emper in omni ca$u illa $ola e$t vera.

Demon$tratur facillimè. Si enim hypothe$is anguli acuti permittat aliquem ca$um alterutrius hypothe$is aut anguli recti, aut anguli obtu$i, jam (ex duabus præceden- tibus) nullus relinquetur locus ip$i hypothe$i anguli acu- ti; quod e$t ab$urdum. Itaque hypothe$is anguli acuti, $i vel in uno ca$u e$t vera, $emper in omni ca$u illa $ola e$t vera. Quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO VIII.

_D_Ato quovis triangulo _(_fig. _7_._) A B D,_ rectangulo in _B,_ protrahatur _D A_ u$que ad aliquod punctum _X,_ & per _A_ erigatur ip$i _A B_ perpendicularis _H A C,_ exi$tente puncto _H_ ad partes anguli _X A B_. Dico angulum externum _X A H_ æqualem fore_,_ aut minorem_,_ aut majorem interno_,_ & oppo$ito _A D B,_ prout vera $it hypothe$is anguli recti_,_ aut anguli obtu$i_,_ aut anguli acuti_:_ Et vici$$im.

Demon$tratur. Sumatur in _H C_ portio _A C_ æqualis ip$i _B D_, jungaturque _C D_. Erit _C D_, in hypothe$i anguli recti, æqualis (ex tertia hujus) ip$i _A B_. Quare angulus _A D B_ æqualis erit (ex octava primi) angulo _D A C_, $ive ejus æquali (ex decimaquinta primi) angulo _X A H_. Quod erat primo loco demon$trandum.

Tum, in hypothe$i anguli obtu$i, erit _C D_ (ex eadem tertia hujus) minor ipsâ _A B_. Quare in triangulis _A D B_, _D A C_ erit (ex vige$imaquinta primi) angulus _D A C_, $ive (ip$i ad verticem) _X A H_, minor angulo _A D B_. Quod erat $ecundo loco demon$trandum.

Tandem, in hypothe$i anguli acuti, erit _C D_ (ex ea- dem tertia hujus) major contrapo$itâ _A B_. Quare in præ- dictis triangulis, erit (ex eadem vige$imaquinta primi) angulus _D A C_, $ive (ip$i ad verticem) _X A H_, major an- gulo _A D B_. Quod erat tertio loco demon$trandum.

Vici$$im autem: $i angulus _C A D_, $ive ejus ad verti- cem _X A H_, æqualis $it interno, & oppo$ito _A D B_; erit (ex quarta primi) juncta _C D_ æqualis ip$i _A B_, ac propte- rea (ex quarta hujus) vera erit hypothe$is anguli recti.

Sin verò angulus _C A D_, $ive ejus ad verticem _X A H_, minor $it, aut major interno, & oppo$ito _A D B_; erit etiam (ex vige$imaquarta primi) juncta _C D_ minor, aut major ipsâ _A B_; ac propterea (ex quarta hujus) vera erit te$pe- ctivè hypothe$is aut anguli obtu$i, aut anguli acuti. Quæ omnia erant demon$tranda.

PROPOSITIO IX.

_C_Uju$vis trianguli rectanguli reliqui duo acuti anguli $imul $umpti æquales $unt uni recto_,_ in hypothe$i anguli recti_;_ majores uno recto_,_ in hypothe$i anguli obtu$i_;_ minores autem in hypothe$i anguli acuti.

Demon$tratur. Si enim angulus _X A H_ (manente fi- gura $uperioris Propo$itionis) æqualis e$t (nimirum, ex præcedente, in hypothe$i anguli recti) angulo _A D B_; jam angulus _A D B_ duos rectos efficiet cum angulo _H A D_, prout eos efficit (ex decimatertia primi) prædictus angu- lus _X A H_ cum eodem angulo _H A D_. Quare, dempto re- cto angulo _H A B_, æquales manebunt uni recto duo $imul anguli _A D B_, & _B A D_. Quod erat primum.

Tum verò; $i angulus _X A H_ minor e$t (nimirum, ex præcedente, in hypothe$i anguli obtu$i) angulo _A D B_, jam angulus _A D B_ plu$quam duos rectos efficiet cum an- gulo _H A D_, cum quo duos efficit rectos (ex prædicta decimatertia primi) angulus _X A H_. Quare, dempto an- gulo _H A B_, majores erunt uno recto duo $imul anguli _A D B_, & _B A D_. Quod erat $ecundum.

Tandem, $i angulus _X A H_ major $it (nimirum, ex præcedente, in hypothe$i anguli acuti) angulo _A D B_; jam angulus _A D B_ minus quàm duos rectos efficiet cum angu- lo _H A D_, cum quo duos efficit rectos (ex eadem decima tertia primi) angulus _X A H_. Quare, dempto angulo re- cto _H A B_, minores erunt uno recto duo $imul anguli _AD B_, & _B A D_. Quod erat tertium.

PROPOSITIO X.

_S_I recta _D B (_fig. _8.)_ perpendiculariter in$i$tat cuidam _ABM,_ $itque juncta _D M_ major junctâ _D A,_ etiam ba$is _B M_ major erit ba$i _B A_. Et vici$$im.

Demon$tratut. Et primò quidem non erunt illæ ba- $es invicem æquales. Cæterùm (ex quarta primi) æquales forent, contra hypothe$im, ip$æ _A D_, _D M_. Sed neque erit _B A_ major quàm _B M_. Cæterùm, $umptâ in _B A_ portio- ne _B S_ æquali ip$i _B M_, junctâque _S D_, æquales forent (ex eadem quarta primi) anguli _B S D_, _B M D_: E$t autem an- gulus _B S D_ (ex decima$exta primi) major angulo _B A D_. Ergo eodem major foret angulus _B M D_. Hoc autem e$t contra decimamoctavam primi; cum latus _D M_ in trian- gulo _M D A_ $upponatur majus latere _D A_. Re$tat igitur, ut ba$is _B M_ major $it ba$i _B A_. Quod erat primo loco de- mon$trandum.

Deinde $i alterutra ba$is, ut putà _B A_ (ne immutetur figura) fingatur major alterâ _B M_; tunc juncta _D S_, quæ ex _B A_ ab$cindat portionem _S B_ æqualem ip$i _B M_, æqualis erit (ex quarta primi) junctæ _D M_. Rur$um obtu$us erit (ex decima$exta primi) angulus _D S A_, & acutus (ex de- cima$eptima eju$dem primi) angulus _D A S_. Quare (ex decimaoctava eju$dem) erit juncta _D A_ major junctâ _D S_, eju$que $uppo$itâ æquali junctâ _D M_. Quod erat $ecundo loco demon$trandum. Itaque con$tant propo$ita.

PROPOSITIO XI.

_R_Ecta _A P (_quantælibet longitudinis_)_ $ecet duas rectas _P L, A D (_fig. _9.)_ priorem quidem $ub recto angulo in _P,_ po$teriorem verò in _A_ $ub quovis acuto angulo convergente ad partes ip$ius _P L_. Dico rectas _A D, P L (_in hypothe$i an- guli recti_)_ in aliquo puncto_,_ & quidem ad finit am_,_ $eu termina- tam di$tantiam_,_ tandem coituras_,_ $i protrahantur versùs illas partes_,_ ad quas cum $ubjecta _A P_ duos angulos efficiunt duobus rectis minores.

Demon$tratur. Protrahatur _D A_ versùs alias partes u$que ad aliquod punctum _X_, & per _A_ erigatur ip$i _A P_ perpendicularis _H A C_, exi$tente puncto _H_ ad partes angu- li _X A P_. Tum in _A D_ protractâ versùs partes ip$ius _P L_ $umantur duo æqualia intervalla _A P_, _D F_, demittantur- que ad $ubjectam _A P_ perpendiculares _D B_, _F M_, quæ uti- que cadent, propter decimam$eptimam primi, ad partes anguli acuti _D A P_; jungaturque _D M_. O$tendere debeo junctam _D M_ æqualem fore ip$i _D F_, $ive _D A_.

Et primò quidem nequit _D M_ major e$$e ipsâ _D F_. Cæterùm enim angulus _D M F_ minor foret (ex deci- maoctava primi) angulo _D F M_, $ive ejus æquali (ex octava hujus, in hypothe$i anguli recti) angulo _X A H_, $i- ve ejus ad verticem _C A D_. Quare (cum anguli _C A M_, _F M A_ ponantur æquales, utpote recti) reliquus angulus _D M A_ major foret reliquo angulo _D A M_. Hoc autem ab- $urdum e$t (contra decimamoctavam primi) $i nempe _D M_ ponatur major ipsâ _D F_, $ive _D A_.

Sed neque erit _D M_ minor ipsâ _D F_. Cæterùm angu- lus _D M F_ major foret (ex eadem decimaoctava primi) an- gulo _D F M_, $ive ejus æquali (ex prædicta octava hujus, in hypothe$i anguli recti) angulo _X A H_, $ive ejus ad verti- cem _C A D_. Quare rur$um, ut $uprà, reliquus angulus _D M A_ non major, $ed minor foret reliquo angulo _D A M_. Hoc autem ab$urdum e$t (contra eandem decimamocta- vam primi) $i nempe _D M_ ponatur minor ipsâ _D F_, $ive _D A_.

Re$tat igitur, ut jun cta _D M_ æqualis $it i p$i _D F_, $ive _D A_. Quare in triangulo _D A M_ æquales erunt (ex quin- ta primi) anguli ad puncta _A_, & _M_; atque ideo in trian- gulis _D B A_, _D B M_, rectangulis in _B_, æquales erunt (ex vige$ima$exta primi) ba$es _A B_, _B M_. Quod quidem hoc loco intendebatur.

Quoniam igitur (a$$umpto in _A D_ continuatâ inter- vallo _A F_ duplo intervalli _A D_) perpendicularis _F M_ ad $ubjectam _A P_ demi$$a ab$cindit ex _A P_ versùs _P_ ba$im _A M_ duplam illius _A B_, quam ab$cindit perpendi cular demi$$a ex puncto _D_; manife$tum e$t tot vicibus fieri po$- $e hanc præcedentis intervalli duplicationem, ut $ic in ip$a _A D_ continuata deveniatur ad quoddam punctum _T_, ex quo perpendicularis demi$$a ad continuatam _A P_ ab- $cindat quandam _A R_ majorem ipsà quantâlibet finitâ _A P_. Con$tat autem evenire id non po$$e, ni$i po$t occur$um ip$ius continuatæ _A D_ in quoddam punctum _L_ ip$ius _P L_. Si enim punctum _T_ con$i$teret ante illum occur$um, de- beret ip$a perpendicularis _T R_ $ecare eandem _P L_ in quo- dam puncto _K_. Tunc autem in triangulo _K P R_ inveniren- tur duo anguli recti in punctis _P_, & _R_; quod e$t ab$urdum contra decimam$eptimam primi. Itaque con$tat rectas _A D_, _P L_ $ibi invicem (in hypothe$i anguli recti) in aliquo puncto occur$uras (& quidem ad finitam, $eu terminatam di$tantiam) $i protrahantur versùs illas partes, ad quas cum $ubjecta _A P_ (quantælibet finitæ longitudinis) duos angulos efficiunt duobus rectis minores. Quod erat de- mon$trandum.

PROPOSITIO XII.

_R_Ur$um dico rectam _A D_ alicubi ad eas partes occur$uram rectæ _P L (_& quidem ad finitam_,_ $eu terminatam di- $tantiam_)_ etiam in hypothe$i anguli obtu$i.

Demon$tratur. Nam $umptâ, ut in $uperiore Propo- $itione, _D F_ æquali ip$i _A D_, demi$$i$que jam notis per- pendicularibus, o$tendere debeo junctam _D M_ majorem fore ipsâ _D F_, $ive _D A_, atque ideo (ex decima hujus) re- ctam _B M_ majorem fore ipsâ _A B_. Et primò non erit _D M_ æqualis ip$i _D F_. Cæterùm angulus _D M F_ æqualis foret (ex quarta primi) angulo _D F M_, atque ideo major (ex octava hujus in hypothe$i anguli obtu$i) angulo externo _X A H_, $ive ejus ad verticem _C A F_. Quare (cum anguli _C A M_, _F M A_ ponantur æquales utpote recti) reliquus an- gulus _D M A_ minor foret reliquo angulo _D A M_. Quod e$t ab$urdum contra quintam primi, $i nempe _D M_ æqualis $it ip$i _D F_, $ive _D A_.

Sed neque ip$a _D M_ minor e$t alterâ _D F_, $ive _D A_ Cæterùm (ex decimaoctava primi) angulus _D M F_ major foret angulo _D F M_, atque ideo (in hac hypothe$i anguli obtu$i) multò major angulo externo _X A H_, $ive ejus ad verticem _C A D_. Quare rur$um, ut $uprà, reliquus angu- lus _D M A_ multò minor foret reliquo angulo _D A M_. Hoc autem ab$urdum e$t, contra eandem decimamoctavam pri- mi, $i nempe _D M_ minor $it ipsâ _D F_, $ive _D A_.

Re$tat igitur, ut juncta _D M_ major $it ipsâ _D F_, $ive _D A_, atque ideo (ex decima hujus) ip$a _B M_ major $it al- terâ _A B_. Quod erat hoc loco intentum.

Quoniam igitur, a$$umpto in _A D_ continuatâ inter- vallo _A F_ duplo intervalli _A D_, perpendicularis _F M_ ad $ubjectam _A P_ demi$$a plus duplo ex eadem ab$cindit, quàm ab$cindatur a perpendiculari demi$$a ex puncto _D_; multò citiùs in hac hypothe$i anguli obtu$i, quàm in $u- periore hypothe$i anguli recti, devenietur ad tantum in- tervallum, ex quo perpendicularis demi$$a ab$cindat ba$im majorem ipsâ quantâlibet de$ignatà _A P_. Hoc autem, ut in $uperiore Propo$itione, contingere nequit, ni$i po$t oc- cur$um continuatæ _A D_ in aliquod punctum ip$ius _P L_; & quidem ad finitam, $eu terminatam di$tantiam. Quod erat &c.

PROPOSITIO XIII.

_S_I recta _X A (_quantælibet de$ignatæ longitudinis_)_ incidens in duas rectas _A D, X L_ efficiat cum ei$dem ad ea$dem partes _(_fig. _11.)_ angulos internos _X A D, A X L_ minores duo- bus rectis_:_ dico_,_ illas duas _(_etiam$i neuter illorum angulorum $it rectus_)_ tandem in aliquo puncto ad partes illorum angulo- rum invicem coituras_,_ & quidem ad finitam_,_ $eu terminatam di$tantiam_,_ dum con$i$tat alterutra hypothe$is aut anguli recti_,_ aut anguli obtu$i.

Demon$tratur. Nam unus prædictorum angulorum, ut putà _A X L_, erit acutus. Itaque ex apice alterius angu- li demittatur ad _X L_ perpendicularis _A P_, quæ utique (propter decimam $eptimam primi) cadet ad partes angu- li acuti _A X L_. Quoniam igitur in triangulo _A P X_, re- ctangulo in _P_, duo $imul anguli acuti _P A X_, _P X A_, mi- nores non $unt (ex nona hujus) uno recto, in utraque hy- pothe$i aut anguli recti, aut anguli obtu$i; $i duo i$ti an- guli auferantur a $umma angulorum propo$itorum jam re- liquus angulus _P A D_ minor erit recto. Itaque erimus in ca$u duarum præcedentium Propo$itionum, dum $cilicet alterutra hypothe$is con$i$tat aut anguli recti, aut anguli obtu$i. Quare (ex ei$dem) rectæ _A D_, & P _L_, $ive _X L_, in aliquo puncto finitæ, $eu terminatæ di$tantiæ ad notas partes concurrent, tam $ub una, quàm $ub altera prædi- ctarum hypothe$ium. Quod erat demon$trandum.

SCHOLION I.

UBi ob$ervare licet notabile di$crimen ab hypothe$i anguli acuti. Nam in i$ta demon$trari nequiret ge- neralis huju$modi rectarum concur$us, quoties recta ali- qua in duas incidens, duos ad ea$dem partes efficiat inter- nos angulos duobus rectis minores; nequiret, inquam, directè demon$trari, etiam$i in eadem hypothe$i admitte- retur prædictus generalis concur$us, quoties unus duorum angulorum e$t rectus. Quamvis enim recta _A D_ perpendi- cularis & ip$a foret rectæ _A P_; quo ca$u nequiret certè, propter 17. primi, concurrere cum altera perpendiculari _P L_; nihilominus duo $imul anguli _D A X_, _P X A_, minores forent duobus rectis, juxta hypothe$im prædictam, cum in ea duo $imul anguli _P A X_, _P X A_ minores $int (ex no- na hujus) uno recto. Id autem ob$erva$$e operæ pretium fuit.

Qualiter verò ex eo $olo admi$$o generali concur$u, dum unus angulorum e$t rectus, & quidem $ub a$$ignata quantumlibet parva incidente, de$trui po$$it hypothe$is anguli acuti; docebimus po$t tres $equentes Propo$itiones.

SCHOLION II.

IN tribus ante jactis theorematis $tudiosè appo$ui illam conditionem, quòd recta incidens _A P_, $ive _X A_, in- telligatur e$$e _quantælibet de$ignatæ longitudinis_. Si enim, citra omnem rectæ incidentis determinatam men$uram, præcisè agatur de exhibendo, ac demon$trando duarum rectarum concur$u in apicem cuju$dam trianguli, cujus anguli ad ba$im $int dati (minores utique duobus rectis) ut putà unus rectus, & altet duobus tantùm gradibus, vel, ut libet, minùs deficiens à recto; quis e$t tam expers Geometriæ, quin $tatim rem ip$am demon$trativè exhi- beat? Nam $upponatur (fig. 12.) datus quilibet angulus Tab. II. _B A P_, ut putà 88. graduum. Si ergo ex quolibet puncto _B_ ip$ius _A B_, demittatur ad $ubjectam _A P_ (juxta duode- cimam primi) perpendicularis _B P_, con$tat enim verò in eo triangulo _A B P_ exhibitum fore demon$trativè concur- $um optatum in eo puncto _B_.

Quod $i alter angulus ad ba$im po$tuletur & ip$e mi- nor recto, ut putà 84. graduum, quem nempe exhibeat datus angulus _K_: tunc (juxta 23. primi) efficere poteris versùs partes rectæ _A B_ æqualem angulum _A P D_, occur- rente _P D_ ip$i _A B_ in quodam ejus intermedio puncto _D_. Quare habebitur rur$um demon$trativè concur$us optatus in eo puncto _D_.

Tandem vero: $i alter angulus po$tuletur obtu$us, $ed minor tamen 92. gradibus, ne cum alio dato angulo _B A P_ compleantur duo recti: exhibitus hic $it in quodam angulo _R_ 91. graduum. O$tendendum e$t, unum aliquod e$$e punctum X in ip$a _A P_, ad quod juncta _B X_ efficiat angulum _B X A_ æqualem dato angulo _R_ 91. graduum; adeo ut propterea $ub quadam recta incidente _A X_ habeatur con- cur$us optatus in prædicto puncto _B_. Sic autem proceditur. Quandoquidem (protractâ _P A_ u$que in aliquod punctum _H_) angulus externus _B A H_ & e$t (propter decimamter- tiam primi) 92. graduum, cum angulus interior _B A P_ po- $itus $it 88. graduum; ac rur$um, propter decimam$extam primi, major e$t non $olùm angulo recto _B P A_, verùm etiam quibu$vis eodem titulo obtu$is angulis _B X A_, $um- pto puncto _X_ ubilibet intra ip$am _P A_, & quidem, propter eandem decimam$extam primi, $emper majoribus, dum punctum _X_ a$$umitur propius puncto _A_: con$equens pla- nè e$t, ut inter i$tos angulos, unum 90. graduum in pun- cto _P_, & alterum 92. graduum in puncto _A_, unus reperia- tur angulus _B X A_, qui $it 91. graduum, nimirum æqualis dato angulo _R_.

Nihilominus, omi$$a po$trema hac ob$ervatione circa angulum obtu$um, cavere diligenti$$imè oportet, in eo po$itam e$$e difficultatem illius pronunciati Euclidæi, quòd velit occur$um duarum rectarum; in illam utique partem, ad quam cum recta incidente duos angulos efficiant duo- bus rectis minores; atque ita quidem prædictum occur$um velit, _quantæcunque longitudinis $it incidens a$$ignata_. Cæte- rùm enim (ut jam monui in præcedente Scholio) demon- $trabo generalem i$tum occur$um ex $olo admi$$o occur$u eju$modi, dum unus angulorum $it rectus; & quidem, etiam$i admi$$o non pro qualibet a$$ignabili finita inciden- te, $ed $olùm admi$$o intra limites cuju$dam a$$ignatæ par- vi$$imæ incidentis.

PROPOSITIO XIV.

_H_Ypothe$is anguli obıu$i e$t ab$olutè fal$a_,_ quia $e ip$am de$truit.

Demon$tratur. Ex hypothe$i anguli obtu$i, a$$umptâ ut verâ, jam elicuimus veritatem illius Pronunciati Eu- clidæi; quòd duæ rectæ $ibi invicem in aliquo puncto ad eas partes occur$uræ $int, ad quas recta quædam, ea$dem $ecans, duos quale$cunque effecerit internos angulos, duo- bus rectis minores. Stante autem hoc Pronunciato, cui innititur Euclides po$t vige$imamoctavam $ui Libri primi, manife$tum e$t omnibus Geometris, $olam hypothe$im anguli recti e$$e veram, nec ullum relinqui locum hypo- the$i anguli obtu$i. Igitur hypothe$is anguli obtu$i e$t ab$olutè fal$a, quia $e ip$am de$truit. Quod erat demon- $trandum.

Aliter, ac magis immediatè. Quandoquidem ex hy- pothe$i anguli obtu$i demon$travimus (in nona hujus) duos (fig. 11.) acutos angulos trianguli _A P X_, rectanguli Tab. I. in _P_, majores e$$e uno recto; con$tat talem a$$umi po$$e acutum angulum _P A D_, qui $imul cum prædictis duobus acutis angulis duos rectos efficiat. Tunc autem recta _A D_ deberet (ex præcedente, juxta hypothe$im anguli obtu$i) aliquando concurrere cum ip$a _P L_, $ive _X L_, re$pectu ha- bito ad $ecantem, $ive incidentem _A P_; quod e$t mauife- $tum ab$urdum contra decimam$eptimam primi, $i re$pi- cias ad $ecantem, $ive incidentem _A X_.

PROPOSITIO XV.

_E_X quolibet triangulo _A B C,_ cujus tres $imul anguli _(_fig. _13.)_ æquales $int_,_ aut majores_,_ aut minores duobus re- ctis_,_ $tabilitur re$pectivè hypothe$is aut anguli recti_,_ aut angu- _Tab. II._ li obtu$i_,_ aut anguli acuti.

Demon$tratur. Nam duo $altem illius trianguli angu- li, ut putà ad puncta _A_, & _C_, acuti erunt, propter deci- mam$eptimam primi. Quare perpendicularis, ex apice re- liqui anguli _B_ ad ip$am _A C_ demi$$a, $ecabit ip$am _A C_ (propter eandem decimam$eptimam primi) in aliquo pun- cto intermedio _D_. Si ergo tres anguli ip$ius trianguli _ABC_ $upponantur æquales duobus rectis, con$tat æquales fore quatuor rectis omnes $imul angulos triangulorum _A D B_, _C D B_, propter duos additos rectos angulos ad punctum _D_. Hoc $tante: neutrius modò dictorum triangulorum, ut putà _A D B_, tres $imul anguli minores erunt, aut majores duobus rectis; nam $ic vicever$a alterius trianguli tres $i- mul anguli majores forent, aut minores duobus rectis. Quare (ex nona hujus) ab uno quidem triangulo $tabilire- tur hypothe$is anguli acuti, & ab altero hypothe$is anguli obtu$i; quod repugnat $extæ, & $eptimæ hujus. Igitur tres $imul anguli utriu$que prædictorum triangulorum æquales erunt duobus rectis; ac propterea (ex nona hujus) $tabilietur hypothe$is anguli recti. Quod erat primo loco demon$trandum.

Sin autem tres anguli propo$iti trianguli _A B C_ ponan- tur majores duobus rectis; jam duorum triangulorum _A D B_, _C D B_ omnes $imul anguli majores erunt quatuor rectis, propter duos additos rectos angulos ad punctum _D_. Hoc $tante: neutrius modò dictorum triangulorum tres $imul anguli æquales præcisè erunt, aut minores duo- bus rectis; nam $ic viceversâ alterius trianguli tres $imul anguli majores forent duobus rectis. Quare (ex nona hu- jus) ab uno quidem triangulo $tabiliretur hypothe$is aut anguli recti, aut anguli acuti, & ab altero hypothe$is an- guli obtu$i, quod repugnat quintæ, $extæ, & $eptimæ hujus. Igitur tres $imul anguli utriu$que prædictorum triangulorum majores erunt duobus rectis; ac propterea (ex nona hujus) $tabilietur hypothe$is anguli obtu$i. Quod erat $ecundo loco demon$trandum.

Tandem verò. Si tres anguli propo$iti trianguli _A B C_ ponantur minores duobus rectis, jam duorum triangulo- rum _A D B_, _C D B_, omnes $imul anguli minores erunt qua- tuor rectis, propter duos additos rectos angulos ad pun- ctum _D_. Hoc $tante: neutrius modò dictorum triangulo- rum tres $imul anguli æquales erunt, aut majores duobus rectis; nam $ic viceversâ alterius rrianguli tres $imul an- guli minores forent duobus rectis. Quare (ex nona hujus) ab uno quidem triangulo $tabiliretur hypothe$is aut an- guli recti, aut anguli obtu$i, & ab altero hypothe$is an- guli acuti; quod repugnat quintæ, $extæ, & $eptimæ hu- jus. Igitur tres $imul anguli utriu$que prædictorum trian- gulorum minores erunt duobus rectis; ac propterea (ex nona hujus) $tabilietur hypothe$is anguli acuti. Quod erat tertio loco demon$trandum.

Itaque ex quolibet triangulo _A B C_, cujus tres $imul anguli æquales $int, aut majores, aut minores duobus re- ctis, $tabilitur re$pectivè hypothe$is aut anguli recti, aut anguli obtu$i, aut anguli acuti. Quod erat propo$itum.

COROLLARIUM.

HInc; protracto uno quolibet cuju$vis propo$iti trian- guli latere, ut putà _A B_ in _H_, erit (ex 13. primi) externus angulus _H B C_ aut æqualis, aut minor, aut major reliquis $imul internis, & oppo$itis angulis ad puncta _A_, & _C_, prout vera fuerit hypothe$is aut anguli recti, aut anguli obtu$i, aut anguli acuti. Et vici$$im.

PROPOSITIO XVI.

_E_X quolibet quadrilatero _A B C D,_ cujus quatuor $imul an- guli æquales $int_,_ aut majores_,_ aut minores quatuor re- ctis_,_ $tabilitur re$pectivè hypothe$is aut anguli recti_,_ aut angu- li obtu$i_,_ aut anguli acuti.

Demon$tratur. Jungatur _A C_. Non erunt (fig. 14.) tres $imul anguli trianguli _A B C_ æquales, aut majores, aut minores duobus rectis, quin tres $imul anguli trianguli _A D C_ $int ip$i etiam re$pectivè æquales, aut majores, aut minores duobus rectis; ne $cilicet (ex præcedente) ab uno illorum triangulorum $tabiliatur una hypothe$is, & ab altero altera, contra quintam, $extam, & $eptimam hujus. Hoc $tante: Si quatuor $imul anguli propo$iti qua- drilateri æquales $int quatuor rectis, con$tat utriu$que modò dictorum triangulorum tres $imul angulos æquales fore duobus rectis, atque ideo (ex præcedente) $tabili- tum iri hypothe$im anguli recti.

Sin verò eju$dem quadrilateri quatuor $imul anguli majores $int, aut minores quatuor rectis, debebunt $imili- ter illorum triangulorum tres $imul anguli re$pectivè e$$e aut unà majores, aut unà minores duobus rectis. Quare ab illis triangulis $tabilietur re$pectivè (ex præcedente) aut hypothe$is anguli obtu$i, aut hypothe$is anguli acuti.

Itaque ex quolibet quadrilatero, cujus quatuor $imul anguli æquales $int, aut majores, aut minores quatuor re- ctis, $tabilitur re$pectivè hypothe$is aut anguli recti, aut anguli obtu$i, aut anguli acuti. Quod erat demon$tran- dum.

COROLLARIUM.

HInc: protractis versùs ea$dem partes duobus quibu$- vis propo$iti quadrilateri contrapo$itis lateribus, ut putà _A D_ in _H_, & _B C_ in _M_; erunt (ex 13. primi) duo $i- mul externi anguli _H D C_, _M C D_ aut æquales, aut mino- res, aut majores duobus $imul internis, & oppo$itis angu- lis ad puncta _A_, & _B_, prout vera fuerit hypothe$is aut an- guli recti, aut anguli obtu$i, aut anguli acuti.

PROPOSITIO XVII.

_S_I uni_,_ ut libet_,_ cuidam parvæ rectæ _A B_ in$i$tat _(_fig. _15.)_ ad rectos angulos recta _A H:_ Dico $ub$i$tere non po$$e in hypothe$i anguli acuti_,_ ut quævis _B D,_ efficiens cum _A B_ quem- libet angulum acutum versùs partes ip$ius _A H,_ occur$ura tandem $it ad finitam_,_ $eu terminatam di$tantiam ip$i _A H_ pro- ductæ.

Demon$tratur. Jungatur _H B_. Erit (ex 17. primi) acutus angulus _A B H_, propter angulum rectum ad pun- ctum _A_. Jam (ex 23. primi) ducatur quædam _H D_ ver- sùs partes puncti _B_, quæ non $ecans angulum _A H B_ effi- ciat cum ip$a _H B_ angulum acutum æqualem ip$i acuto _A B H_. Deinde ex puncto _B_ demittatur ad _H D_ perpendi- cularis _B D_, quæ cadet ad partes prædicti anguli acuti ad punctum _H_. Quoniam igitur latus _H B_ opponitur in trian- gulo _H D B_ angulo recto in _D_, atque item in triangulo _B A H_ angulo recto in _A_; ac rur$um in duobus illis trian- gulis adjacent eidem lateri _H B_ æquales anguli, qui $unt in priore quidem triangulo angulus _B H D_, & in po$terio- re angulus _H B A_; erit etiam (ex 26. primi) reliquus an- gulus _H B D_ in priore triangulo æqualis reliquo angulo _B H A_ in po$teriore triangulo. Quare integer angulus _D B A_ æqualis erit integro angulo _A H D_.

Jam verò: non erit uterque prædictorum æqualium angulorum obtu$us, ne incidamus (ex præcedente) in unum ca$um jam reprobatæ hypothe$is anguli obtu$i. Sed neque erit rectus, ne incidamus (ex eadem præcedente) in unum ca$um pro hypothe$i anguli recti, qui nullum (ex 5. hujus) relinqueret locum hypothe$i anguli acuti. Uterque igitur illorum angulorum erit acutus. Hoc $tan- te: Quòd recta _B D_ protracta occurrere nequeat in quo- dam puncto _K_ ip$i _A H_ ad ea$dem partes productæ, ex eo demon$tratur; quia in triangulo _K D H_, præter angulum rectum in _D_, ade$$et angulus obtu$us in _H_, cum angulus _A H D_, in prædicta hypothe$i anguli acuti, demon$tratus $it acutus. Hoc autem ab$urdum e$t, contra 17. primi. Non ergo $ub$i$tere pote$t in ea hypothe$i, ut quævis _B D_, efficiens cum una, ut libet parva recta _A B_, quemlibet angulum acutum versùs partes ip$ius _A H_, occur$ura tan- dem $it ad $initam, $eu terminatam di$tantiam, ip$i _A H_ productæ. Quod erat demon$trandum.

Aliter idem, ac faciliùs. In$i$tant uni cuidam quan- tumlibet parvæ rectæ _A B_ (fig. 16.) duæ perpendiculares _A K_, _B M_. Demittatur ad _A K_ ex aliquo puncto _M_ ip$ius _B M_ perpendicularis _M H_, jungaturque _B H_. Con$tat acu- tum fore angulum _B H M_. E$t etiam (ex præcedeute) acutus angulus _B M H_, in hypothe$i anguli acuti. Ergo perpendicularis _B D X_, ex puncto _B_ ad ip$am _H M_ demi$$a, $ecabit (ex 17. primi) eam _H M_ in quodam puncto inter- medio _D_. Ergo angulus _X B A_ erit acutus. Con$tat au- tem (ex eadem 17. primi) non po$$e invicem concurrere ($altem ad finitam, $eu terminatam di$tantiam) duas il- las utcunque productas _A H K_, _B D X_, propter angulos re- ctos in punctis _H_, & _D_. Itaque nequit $ub$i$tere in hy- pothe$i anguli acuti, ut quævis _B D_, efficiens cum una, ut libet, parva recta _A B_ quemlibet angulum acutum ver- sùs partes ip$ius _A H_, eidem _A B_ perpendicularis, occur$u- ra tandem $it (ad finitam, $eu terminatam di$tantiam) ip$i _A H_ productæ. Quod erat propo$itum.

SCHOLION I.

ATque id e$t, quod $popondi in Scholiis po$t XIII. hujus, nimirum de$tructum iri hypothe$im anguli acuti (quæ $ola obe$$e jam pote$t generali illi Pronuncia- to Euclidæo) ex $olo admi$$o generali duarum rectarum concur$u ad eas partes, versùs quas recta quæpiam, quan- tumlibet parva, in ea$dem incidens, duos efficiat internos angulos minores duobus rectis; atque ita quidem, etiam$i alteruter illorum angulorum $upponi debeat rectus.

SCHOLION II.

SEd rur$um meliore loco, po$t XXV. hujus, o$tendam de$tructum pariter iri hypothe$im anguli acuti, dum unus aliquis tenui$$imus, ut libet, angulus acutus de$i- gnari po$$it; $ub quo, $i recta quæpiam in alteram incidat, debeat hæc producta (ad finitam, $eu terminatam di$tan- tiam) aliquando occurrere cuivis ad quantamlibet finitam di$tantiam excitatæ $uper ea incidente perpendiculari.

PROPOSITIO XVIII.

_E_X quolibet triangulo _A B C,_ cujus angulus _(_fig. _17.)_ ad punctum _D_ in uno quovis $emicirculo exi$tat_,_ cujus dia- meter _A C,_ $tabilitur hypothe$is aut anguli recti_,_ aut anguli obtu$i_,_ aut anguli acuti_,_ prout nempe angulus ad punctum _B_ fuerit aut rectus_,_ aut obtu$us_,_ aut acutus.

Demon$tratur. Ex centro _D_ jungatur _D B_. Erunt (ex quinta primi) æquales anguli ad ba$im _A B_, atque item ad ba$im _B C_, in triangulis _A D B_, _C D B_. Quare, in triangulo _A B C_, duo $imul anguli ad ba$im _A C_ æquales erunt toti angulo _A B C_. Igitur tres $imul anguli triangu- li _A B C_ æquales erunt, aut majores, aut minores duobus rectis, prout angulus ad punctum _B_ fuerit aut rectus, aut obtu$us, aut acutus. Itaque ex quolibet triangulo _A B C_, cujus angulus ad punctum _B_ in uno quovis $emicirculo exi$tat, cujus diameter _A C_, $tabilitur (ex 15. hujus) hy- pothe$is aut anguli recti, aut anguli obtu$i, aut anguli acuti, prout nempe angulus ad punctum _B_ fuerit aut re- ctus, aut obtu$us, aut acutus. Quod erat &c.

PROPOSITIO XIX.

_E_Sto quodvis triangulum _A H D (_fig. _18.)_ rectangulum in _H_. Tum in _A D_ continuatá $umatur portio _D C_ æqua- lis ip$i _A D;_ demittaturque ad _A H_ productam perpendicularis _C B_. Dico $tabilitum hinc iri hypothe$im aut anguli recti_,_ aut anguli obtu$i_,_ aut anguli acuti_,_ prout portio _H B_ æqualis fue- rit, aut major, aut minor ipsâ _A H_.

Demon$tratur. Nam juncta _D B_ erit (ex 4. primi, & ex 10. hujus) aut æqualis, aut major, aut minor ipsâ _A D_, $ive _D C_, pro ut illa portio _H B_ æqualis fuerit, aut major, aut minor ipsâ _A H_.

Et primò quidem $it _H B_ æqualis ip$i _A H_, ita ut prop- terea juncta _D B_ æqualis $it ip$i _A D_, $ive _D C_. Con$tat circumferentiam circuli, qui centro _D_, & intervallo _D B_ de$cribatur, tran$ituram per puncta _A_, & _C_. Igitur angu- lus _A B C_, qui ponitur rectus, exi$tet in eo $emicirculo@ cujus diameter _A C_. Quare (ex præcedente) $tabilietur hypothe$is anguli recti. Quod erat primo loco demon- $trandum.

Sit $ecundò _H B_ major ipsâ _A H_, ita ut propterea jun- cta _D B_ major $it ipsâ _A D_, $ive _D C_. Con$tat circumfe- rentiam circuli, qui centro _D_, & intervallo _D A_, $ive _D C_@ de$cribatur, occur$uram ip$i _D B_ in aliquo puncto inter- medio _K_. Igitur, junctis _A K_, & _C K_, erit angulus _A K C_ obtu$us, quia major (ex 21. primi) angulo _A B C_, qui po- nitur rectus. Quare (ex præcedente) $tabilictur hypo- the$is anguli obtu$i. Quod erat $ecundo loco demon$tran- dum.

Sit tertiò _H B_ minor ipsâ _A H_, ita ut proptereajun- cta _D B_ minor $it ipsâ _A D_, $ive _D C_. Con$tat circumfe- rentiam circuli, qui centro _D_, & intervallo _D A_, $ive _D C_ de$cribatur, occur$uram in aliquo puncto _M_ ip$ius _D B_ ul- teriùs protractæ. Igitur junctis _A M_, & _C M_, erit angulus _A M C_ acutus, quia minor (ex eadem 21. primi) illo angu- lo _A B C_, qui ponitur rectus. Quare (ex præcedente) $ta- bilietur hypothe$is anguli acuti. Quod erat tertio loco demon$trandum. Itaque con$tant omnia propo$ita.

PROPOSITIO XX.

_E_Sto triangulum _A C M (_fig. _19.)_ rectangulum in _C_. Tum ex puncto _B_ dividente bifariam ip$am _A M_ demittatur ad _A C_ perpendicularis _B D_. Dico hanc perpendicularem majorem non fore _(_in hypothe$i anguli acuti_)_ medietate perpendicularis _M C._

Demon$tratur. Continuetur enim _D B_ u$que ad _D H_ duplam ip$ius _D B_. Foret igitur _D H_ ($i _D B_ major $it præ- dicta medietate) major ipsâ _C M_, ac propterea æqualis cuidam continuatæ _C M K_. Jnngantur _A H_, _H K_, _H M_, _M D_. Jam $ic progredimur. Quoniam in triangulis _H B A_, _D B M_, æqualia ponuntur latera _H B_, _B A_, lateribus _D B_, _B M_; $untque (ex 15. primi) æquales anguli ad punctum _B_; erit etiam (ex quarta eju$dem primi) ba$is _H A_ æqua- lis ba$i _M D_. Deinde, propter eandem rationem, æquales erunt in triangulis _H B M_, _D B A_, ba$es _H M_, _D A_. Qua- re in triangulis _M H A_, _A D M_, æquales erunt (ex 8. primi) anguli _M H A_, _A D M_. Rur$um in triangulis _A H B_, _M D B_, æqualis manebit angulus re$iduus _M H B_ re$iduo recto an- gulo _A D B_. Igitur rectus erit angulus _M H B_. At hoc ab- $urdum e$t, in hypothe$i anguli acuti; cum recta _K H_ jun- gens æqualia perpendicula _K C_, _H D_, acutos angulos effi- ciat (ex tertia hujus) cum ei$dem perpendiculis. Non er- go perpendicularis _B D_ major e$t (in hypothe$i anguli acuti) medietate perpendicularis _M C_. Quod erat demon- $trandum.

PROPOSITIO XXI.

_I_I$dem m anentibus_:_ Intelligantur in infinitum produci ip$æ _A M,_ & _A C_. Dico earundem di$tantiam majorem fore _(_in utraque hypothe$i aut anguli recti_,_ aut anguli acuti_)_ qua- libet a$$ignabili finita longitudine.

Demon$tratur. In _A M_ continuatâ $umatur _A P_ dupla ip$ius _A M_, demittaturque ad _A C_ continuatam perpendi- cularis _P N_. Non erit (ex præcedente) in utràvis prædictâ hypothe$i perpendicularis _M C_ major medietate perpendi- cularis _P N_. Igitur _P N_ $altem erit dupla ip$ius _M C_, pro- ut _M C_ $altem e$t dupla alterius _B D_. Atque ita $emper, $i in continuata _A M_ $umatur dupla ip$ius _A P_, ex eju$que termino demittatur perpendicularis ad continuatam _A C_. Scilicet perpendicularis, quæ ex _A M_ $emper magis conti- nuatâ demittetur ad continuatam _A C_, multiplex erit de- terminatæ _B D_ $upra quemlibet finitum a$$ignabilem nu- merum. Igitur prædictarum rectarum di$tantia major erit (in utraque prædicta hypothe$i) qualibet a$$ignabili finita longitudine. Quod erat demon$trandum.

COROLLARIUM.

QUoniam verò hypothe$is anguli obtu$i, quæ unicè obe$$e hìc po$$et, demon$trata jam e$t ab$olutè fal$a; con$equitur $anè ab$olutè verum e$$e, quod di$tan- tia unius ab altera prædictarum rectarum, $i in infinitum producantur, major $it qualibet finita a$$ignabili longi- tudine.

SCHOLION I. In quo expenditur conatus Procli.

PO$t Theoremata a me huc u$que demon$trata $ine ul- la dependentia ab illo Pronunciato Euclidæo, ad cu- jus nempe exacti$$imam demon$trationem omnia con$pi- rant; operæ pretium facturum me judico, $i quorundam etiam celebriorum Geometrarum labores in eandem me- tam contendentium diligenter expendam. Incipio a Pro- clo, cujus e$t apud Clavium in Elementis po$t XXVIII. Libri primi $equens a$$umptum: _Si ab uno puncto duæ rectæ_ _lineæ angulum facientes infinitè producantur, ip$arum di$tantia_ _omnem finitam magnitudinem excedet._ At Proclus demon$trat quidem (ut ibi optimè advertit Clavius) duas rectas (fig. 20.) ut putà _A H_, _A D_ ab eodem puncto _A_ exeuntes ver- sùs ea$dem partes, $emper magis, in majore di$tantia ab eo puncto _A_, inter $e di$tare, $ed non etiam itaut ea di- $tantia cre$cat ultra omnem finitum de$ignabilem limitem, prout opus foret ad ip$ius intentum. Quo loco præfatus Clavius affert exemplum Conchoidis Nicomedeæ, quæ cum recta _A H_ ex eodem puncto _A_ versùs ea$dem partes exiens, ita $emper magis ab eadem recedit, ut tamen ip$a- rum di$tantia non ni$i ad infinitam earundem productio- nem, æqualis $it cuidam finitæ rectæ _A B_ perpendiculari- ter in$i$tentis ip$is _A H_, _B C_, versùs ea$dem partes in infi- nitum protractis. Quid ni ergo, ni$i $pecialis ratio in con- trarium cogat, dici idem po$$it de duabus $uppo$itis re- ctis lineis _A H_, _A D_?

Neque hìc accu$ari pote$t Clavius, quòd Proclo op- ponat eam Conchoidis proprietatem, quæ nempe demon- $trari non pote$t $ine adjumento plurium Theorematum, Pronunciato hìc controver$o innixorum. Nam dico ex hoc ip$o confirmari vim redargutionis Clavianæ; quia $cilicet ex illo Pronunciato a$$umpto ut vero manife$tè con$equi- tur, duas lineas in infinitum protractas, unam rectam, & alteram inflexam, po$$e unam ab altera $emper magis re- cedere intra quendam finitum determinatum limitem; un- de utique oriri pote$t $u$picio, ne $imile quidpiam contin- gere po$$it in duabus lineis rectis, ni$i aliter demon$tre- tur.

Sed non idcirco; po$tquam ego in Cor, præcedentis Propo$itionis manife$tam jam feci ab$olutam veritatem præcitati a$$umpti; tran$iri $tatim pote$t ad a$$erendum Pronunciatum illud Euclidæum. Nam antea demon$trari etiam oporteret, quòd duæ illæ rectæ _A H_, _B C_, quæ cum incidente _A B_ duos ad ea$dem partes angulos efficiant duo- bus rectis æquales, ut putà utrunque rectum, non etiam ip$æ, ad eas partes in infinitum protractæ, $emper magis invicem di$$iliant ultra omnem finitam a$$ignabilem di$tan- tiam. Quatenus enim partem affirmativam præ$umere quis velit; quæ utique veri$$ima e$t in hypothe$i anguli acuti; non erit $anè legitimum con$equens, quòd recta _A D_ quomodolibet $ecans angulum _H A B_; unde nempe mino- res fiant duobus rectis duo $imul ad ea$dem partes interni anguli _D A B_, _C B A_; quòd, inquam, ea recta _A D_, in infi- nitum producta coire tandem debeat cum producta _B C_; etiam$i aliàs demon$tratum $it, quòd di$tantia duarum _A H_, _A D_ in infinitum productarum major $emper evadat ultra omnem finitum de$ignabilem limitem.

Quòd autem præfatus Clavius $atis e$$e judicaverit veritatem illius a$$umpti ad demon$trandum Pronuncia- tum hìc controver$um; condonari id debet præconceptæ ab ip$o Clavio opinioni circa rectas lineas æquidi$tantes, de quibus in $equente Scholio commodiùs agemus.

SCHOLION II. In quo expenditur idea Clari$$imi Viri Joannis Alphon $i Borellii in $uo _Euclide Re$tituto_.

_ACcu$at docti$$imus hic Auctor Euclidem, quòd rectas_ _lineas parallelas eas e$$e de$iniverit,_ quæ in eodem pla- no exi$tentes non concurrunt ad utra$que partes_,_ licèt in in$ini- tum producantur. _Rationem accu$ationis affert, quòd talis_ _pa$$io ignota $it:_ tum quia_, inquit,_ ignoramus_,_ an tales linea infinitæ non concurrentes reperiri po$$int in natura_:_ tum etiam quia infiniti proprietates percipere non po$$umus_,_ & proinde non e$t evidenter cognita pa$$io eju$modi.

Sed pace tanti Viri dictum $it: Numquid reprehen- di pote$t Euclides, quòd _quadratum_ (ut unum inter innu- mera exemplum proferam) definiverit e$$e _figuram quadri-_ _lateram_, _æquilateram_, _rectangulam_; cum dubitari po$$it, an figura eju$modi locum habeat in natura? Repræhendi, in- quam, æqui$$imè po$$et; $i, ante omnem Problematicam demon$trativam con$tructionem, figuram prædictam a$- $ump$i$$et tanquam datam. Hujus autem vitii immunem e$$e Euclidem ex eo manife$tè liquet, quòd nu$quam præ- $umit quadratum a $e definitum, ni$i po$t Prop. 46. Libri primi, in qua problematicè docet, ac demon$trat _quadrati_ _prout ab ipfo definiti_, _a data recta linea de$criptionem_. Simili igitur modo reprehendi nequit Euclides, quòd rectas li- neas parallelas eo tali modo definiverit, cum eas nu$quam ad con$tructionem ullius Problematis a$$umat tanquam datas, ni$i po$t Prop. 31. lib. primi, in qua Problematicè demon$trat, quo pacto _a dato extra datam rectam lineam_ _puncto duci debeat recta linea eidem parallela_, & quidem jux- ta definitionem ab eo traditam parallelarum, _ita ut nempe_ _in infinitum protractæ in neutram partem $ibi invicem occur-_ _rant_: Quodque amplius e$t; id ip$um demon$trat $ine ulla dependentia a Pronunciato hìc controver$o. Itaque Eu- clides $ine ulla petitione principii demon$trat _reperiri po$$e_ _in natura duas tales lineas rectas_, _quæ_ (in eodem plano con- $i$tentes) _in utramque partem in infinitum protractæ nunquam_ _concurrant_; ac propterea _cognitam nobis evidenter facit eam_ _pa$$ionem_, per quam rectas lineas parallelas definit.

Pergamus porrò, quò nos invitat diligens Euclidis ac- cu$ator. Parallelas rectas lineas appellat duas quaslibet rectas _A C_, _B D_, quæ perpendiculariter ad ea$dem partes (fig. apud me 21.) in$i$tant uni cuidam rectæ _A B_. Nihil moror, quin definitio eju$modi expo$ita $it _per pa$$ionem_ (ut ip$e ait) po$$ibilem, & evidenti$$imam; cum (ex un- decima primi) a quolibet in data recta puncto excitari po$- $it perpendicularis.

Verùm hanc ip$am & po$$ibilitatem, & evidentiam jam demon$travi circa definitionem traditam ab Euclide. Quare unicè re$tat, ut conferatur notum illud Pronuncia- tum Euclidæum cum altero itidem Pronunciato, quod u$ui e$$e debeat ad ulteriorem progre$$um po$t novam i$tam parallelarum definitionem. Ecce autem alterum i$tud Pronunciatum apud Clavium (ad quem di$ertè pro- vocat ip$e Borellius) in Scholio po$t Prop. 28. lib. primi @ Si recta linea, ut putà _B D_ $uper aliam rectam, ut putæ _B A_, in tran$ver$um moveatur con$tituens cum ea in $uo extremo _B_ angulos $emper rectos, de$cribet alterum illius extremum _D_ lineam quoque rectam _D C_, dum nempe ip$a _B D_ pervenerit ad congruendum alteri æquali _A C_.

Agno$co opportunitatem Pronunciati, ut inde tran$i- tus fiat ad demon$trandum illud alterum Euclidæum, quo nempe fulciri tandem debet reliqua omnis Geometria. Nam antea propo$uerat Clavius; quòd linea, cujus omnia puncta æquè di$tent a quadam $uppo$ita recta _A B_; qualis utique eft (ex hypothe$i prædictæ de$criptionis) linea _D C_; debet e$$e etiam ip$a linea recta; quia nempe eju$- modi erit, ut omnia ip$ius puncta intermedia _ex æquo ja-_ _ceant_ (qualis e$t rectæ lineæ definitio) inter ejus extrema puncta _D_, & _C_; _ex æquo_, inquam, _jaceant_; cum omnia æquè di$tent ab ea $uppo$ita recta _A B_, nimirum quanta e$t longitudo ip$ius _B D_, aut _A C_. Quo loco affert Clavius exemplum lineæ circularis, de qua commodiùs infra di$- $eremus; ubi o$tendam clari$$imam hac in parte di$parita- tem inter lineam rectam, & circularem. Nam interim di- co non $atis liquere, an linea de$cripta ab eo puncto _D_ $it potiùs recta _D C_, quàm curva quædam _D G C_ $eu convexa, $eu concava versùs partes ip$ius _B A_.

Si enim ex puncto _F_ dividente bifariam ip$am _B A_ in- telligatur educta perpendicularis, quæ occurrat rectæ _D C_ in _E_, & prædictis curvis in _G_, & _G_, con$tat $anè (ex 2. hujus) rectos fore angulos hinc inde ad punctum _E_; qua- li$cunque tandem in eo motu intelligatur de$cripta linea _D C_ a puncto _D_; ac præterea (ex facili intellecta $uperpo- $itione) æquales hinc inde fore angulos ad puncta _G_, prout alterutra curva _D G C_ de$cripta fuerit.

Sed rur$um; a$$umpto in _A B_ quolibet puncto _M_; $i educatur perpendicularis, quæ occurrat rectæ _D C_ in _N_, & prædictis curvis in _H_, & _H_, paulò po$t demon$trabo rectos fore angulos hinc inde ad punctum _N_, quatenus quidem recta ip$a _D C_ genita $upponatur in $uo illo motu a puncto _D_, $eu quatenus recta _M N_ æqualis cen$eatur ip$i _B D_. Sin verò alterutra curva _D H C_ genita putetur; ex facili itidem præ$cripta $uperpo$itione demon$trabitur æquales rur$um hinc inde fore angulos _M H D_, _M H C_, ubi- vis in ea alterutra de$cripta curva $umptum fuerit pun- ctum _H_, ex quo ad $ubjectam rectam lineam _A B_ demi$$a intelligatur perpendicularis _H M_. V erùm hac de re fu$iùs, ac diligentiùs in altera parte hujus libri, ubi locum pro- prium habet.

Quor$um igitur, inquies, præcox i$ta anticipatio? In eum, inquam, finem; ut ne ex i$ta lineæ eo modo genitæ veri$$ima, & a me exacti$$imè in præcitato loco demon- $tranda proprietate; & quidem citra omnem defectum quomodolibet infinitè parvum; præcipitanter cen$eremus non ni$i rectam lineam e$$e po$$e. Scilicet hìc inquiritur penitior rectæ lineæ natura, $ine qua vix infantiam præ- tergre$$a Geometria $ub$i$tere ibi deberet. Non igitur hac in re vituperari pote$t major quædam exacti$$imæ verita- tis inqui$itio.

Neque tamen hìc renuo, quin diligenti$$imâ aliquâ experientiâ phy$icâ deprehendi po$$it, quòd linea _D C_ eo motu genita non ni$i recta linea cen$enda $it. Sed quate- nus ad experientiam phy$icam provocare hìc liceat; tres $tatim afferam demon$trationes Phy$ico-Geometricas ad comprobandum Pronunciatum Euclidæum. Ubi non lo- quor de experientia phy$ica tendente in infinitum, ac proprerea nobis impo$$ibili; qualis nempe requireretur ad cogno$cendum, quòd puncta omnia junctæ rectæ _D C_ æqui- di$tent a recta _A B_, quæ $upponitur in eodem cum ip$a _D C_ plano con$i$tens. Nam mihi $atis erit unicus indivi- duus ca$us; ut putâ, $i junctâ rectà _D C_, a$$umptoque uno aliquo ejus puncto _N_, perpendicularis _N M_ demi$$a ad $ub- jectam _A B_ comperiatur e$$e æqualis ip$i _B D_, $ive _A C_. Tunc enim anguli hinc inde ad punctum _N_ æquales forent (ex 1. hujus) angulis $ibi corre$pondentibus ad puncta _C_, & _D_, qui rur$um (ex eadem 1. hujus) æquales inter $e fo- rent. Quare anguli hinc inde ad punctum _N_, atque ideo etiam reliqui duo recti erunt. Igitur unum habebimus ca$um pro hypothe$i anguli recti; ac propterea (juxta quintam, & decimamtertiam hujus) demon$tratum habe- bimus Pronunciatum Euclidæum. Atque hæc e$$e pote$t prima demon$tratio Phy$ico-Geometrica.

Tran$eo ad $ecundam. E$to $emicirculus, cujus cen- trum _D_, & diameter _A C_. Si ergo (fig. 17.) in ejus cir- cumferentia a$$umatur punctum aliquod _B_, ad quod jun- ctæ _A B_, _C B_ comperiantur continere angulum rectum, $a- tis erit hic unicus ca$us (prout demon$travi in 18. hujus) ad $tabiliendam hypothe$im anguli recti, ac propterea (ex prædicta 13. hujus) ad demon$trandum notum illud Pro- nunciatum.

Supere$t tertia demon$tratio Phy$ico-Geometrica, quam puto omnium efficaci$$imam, ac $implici$$imam, ut- pote quæ $ube$t communi, facillimæ, parati$$imæque ex- perientiæ. Si enim in circulo, cujus centrum _D_, tres co- aptentur (fig. 22.) rectæ lineæ _C B_, _B L_, _L A_, æquales $in- gulæ radio _D C_, comperiaturque juncta _A C_ tran$ire per centrum _D_, $atis id erit ad demon$trandum intentum. Nam junctis _D B_, _D L_, tria habebimus triangula, quæ (ex 8. & 5. primi) tum inter $e invicem, tum etiam in $e ip$is $ingula erunt æquiangula. Quoniam igitur tres $imul anguli ad punctum _D_, nimirum _A D L_, _L D B_, _B D C_ æqua- les $unt (ex 13. primi) duobus rectis; duobus etiam re- ctis æquales erunt tres $imul anguli cuju$vis illorum trian@ gulorum, ut putà trianguli _B D C_. Quare (ex 15. hujus) $tabilita hinc erit hypothe$is anguli recti; ac propterea (ex jam nota 13. hujus) demon$tratum manebit illud Pro- nunciatum.

Sin verò, ante omnem attentatam $eu demon$tratio- nem, $eu figuralem exhibitionem, conferre inter $e pla- ceat duo illa Pronunciata, fateor $anè Euclidæum videri po$$e ob$curius, aut etiam fal$itati obnoxium. At po$t fi- guralem exhibitionem, quam Scholio IV. con$equenti re- $ervo, con$tabit viceversâ Pronunciatum quidem Eucli- dæum retinere po$$e dignitatem, ac nomen Pronunciati, alterum verò inter Theoremata computari tutiùs debere.

Sed hìc explicare debeo (prout paulò ante me factu- rum $popondi) manife$tam i$to in genere di$paritatem in- ter lineam circularem, & lineam rectam. Di$paritas autem ex eo oritur; quòd recta quidem linea dicitur ad $e ip$am; circularis verò, ut putà (fig. 23.) _M D H N M_, non ad $e ip$am, $ed ad alterum dicitur, nimirum ad quoddam al- terum in eodem cum ip$a plano exi$tens punctum _A_, quod e$t eju$dem centrum. Con$equens igitur e$t, prout opti- mè demon$tratur a Clavio, quòd linea _F B C L_ in eodem cum illa plano con$i$tens, & cujus omnia puncta æquidi- $tent a prædicta _M D H N M_, $it & ip$a circularis, nimirum omnibus $uis punctis æquidi$tans a communi centro _A_. Quod enim _B D_, quæ $it continuatio in rectum ip$ius _A B_, $it men$ura di$tantiæ illius puncti _B_ ab ea circulari _M D H_- _N M_, ex eo con$tat; quia (ex 7. tertii, quæ e$t indepen- dens a Pronunciato hìc controver$o) minima omnium ip$a e$t, quæ ab eo puncto in eam circumferentiam cadere po$$int. Idem valet de reliquis _C H_, _L N_, _F M_. Quoniam igitur & totæ _A M_, _A D_, _A H_ æquales $unt, utpote radii ex centro _A_ ad $uppo$itam lineam circularem _M D H N M_; atque item æquales $unt ab$ci$$æ _F M_, _B D_, _C H_, _L N_, quæ nempe men$ura $unt æqualis di$tantiæ omnium punctorum illius lineæ _F B C L F_ ab ea $uppo$ita linea circulari _M D H_- _N M_; con$equens planè e$t, ut æquales pariter $int re$iduæ _A F_, _A B_, _A C_, _A L_, ac propterea ip$a etiam linea _F B C L F_ $ub eodem centro _A_ circularis $it.

Numquid autem uniformiter, ad demon$trandum, quòd linea _D C_ (fig. 21.) eo tali motu genita a puncto _D_ $it linea recta, $atis erit æquidi$tantia omnium ip$ius pun- ctorum a $ubjecta recta _A B_? Nullo modo. Nam linea re- cta dicitur ab$olutè ad $e ip$am, $ive in $e ip$a, nimirum ita _ex æquo jacens inter $ua puncta_, ac præ$ertim extrema, ut manentibus i$tis immotis nequeat ip$a revolvi ad occu- pandum novum locum. Ni$i hæc pa$$io aliquo pacto de- mon$tretur de ea _D C_, nunquam con$tabit eam e$$e lineam rectam, quali$cunque tandem $upponatur, aut demon$tre- tur omnium ip$ius punctorum relatio ad $ubjectam in eo- dem plano rectam _A B_; præ$ertim verò, ne uniformiter di- camus nullam aliam in eo plano fore lineam rectam, quæ omnibus $uis punctis non æquidi$tet ab ea $uppo$ita recta linea _A B_.

Neque tamen dictum hoc meum ita accipi volo, qua$i putem demon$trari non po$$e, quòd linea $ic genita ip$a $it linea recta, ni$i po$t demon$tratam veritatem contro- ver$i Pronunciati; cum magis ego ip$e prope finem hujus Libri demon$traturus id $im, ad confirmandum ip$um tale Pronunciatum.

SCHOLION III. In quo expenditur conatus Na$$aradini Arabis_,_ & $imul idea $uper eodem negotio Clari$s. Viri Joannis Valli$ii.

COnatum i$tum Na$$aradini Arabis latino idiomate ty- pis vulgavit prælaudatus Vir Joannes Valli$ius, cum animadver$ionibus opportuno loco adjectis. Duo autem in rem $uam po$tulat $ibi concedi Na$$aradinus.

Primum e$t; ut duæ quælibet rectæ lineæ in eodem plano po$itæ, in quas aliæ quotlibet rectæ lineæ ita inci- dant, ut uni quidem earum perpendiculares $emper $int, alteram verò ad angulos inæquales $emper $ecent, nimi- rum versùs unam partium $ub angulo $emper acuto, & versùs alteram $ub angulo $emper obtu$o; ut, inquam, priore loco dictæ lineæ cen$eantur $emper magis (quandiu $e mutuò non $ecent) ad $e invicem accedere versùs par- tes illorum angulorum acutorum; & vici$$im $emper ma- gis a $e invicem recedere versùs partes angulorum obtu- $orum.

At ego quidem, $i nihil aliud moratur Na$$aradinum, libens permitto, quod po$tulat; cum i$tud ip$um, quod ab eo indemon$tratum relinquitur, intelligi po$$it exa- cti$$imè a me demon$tratum in Cor. II. po$t 3. hujus.

Alterum Na$$aradini Po$tulatum e$t reciprocum pri- mi; ut nempe acutus $emper $it angulus versùs eas partes, ad quas jam dictæ perpendiculares $upponantur fieri $em- per breviores; obtu$us autem versùs alias partes, ad quas eædem perpendiculares $upponantur evadere $emper lon- giores.

Verùm hìc latet æquivocatio. Cur enim (dum ab una aliqua $tatuta tanquam prima perpendiculari proceda- tur ad alias) con$equentium perpendicularium anguli, ad eandem partem acuti, non fiant $emper majores, quo u$- que incidatur in angulum rectum, nimirum in talem per- pendicularem, quæ ip$a $it utriu$que prædictarum recta- rum commune perpendiculum? Et i$tud quidem $i acci- dat, evane$cit latebro$a i$ta Na$$aradini præparatio, po$t- quam ingeniosè quidem, $ed magno cum labore Eucli- dæum Pronunciatum demon$trat.

Quòd $i Na$$aradinus jure quodam $uo præ$umere ve- lit tanquam per $e notam con$i$tentiam illam ad eandem partem angulorum acutorum: Cur non etiam (dicam cum Valli$io) concipi pote$t tanquam per $e clarum: _Duas re-_ _ctas in eodem plano convergentes_ (in quas nempe alia recta incidens duos ad ea$dem partes angulos efficiat minores duobus rectis, ut putà unum rectum, & alterum quomo- dolibet acutum) _tandem occur$uras, $i producantur_? Neque enim opponi pote$t, quòd major i$ta ad unas partes con- vergentia $ub$i$tere $emper po$$it intra quendam determi- natum limitem, adeò ut nempe tanta quædam di$tantia inter eas lineas ad eam partem $emper inter$it, etiam$i cæ- teroquin una ad alteram $emper propiùs accedat. Non, inquam, opponi id pote$t; quoniam ex hoc ip$o demon$tra- bo, po$t XXV. hujus, omnium talium rectarum ad finitam di$tantiam occur$um, juxta Pronunciatum Euclidæum.

Jam tran$eo ad prælaudatum Joannem Valli$ium, qui nempe, ut morem gereret tot Magnis Viris, Veteri- bus pariter, ac Recentioribus, & rur$um ex onere Cathe- dræ $uæ Oxonien$i impo$ito, hoc idem pen$um aggredi voluit demon$trandi $æpe dictum Pronunciatum. Unicè autem a$$umit tanquam certum, quod $equitur: nimirum _Datæ cuicunque figuræ $imilem aliam cuju$cunque magnitudinis_ _po$$ibilem e$$e_. Et id quidem præ$umi po$$e de qualibet figura (etiam $i in rem $uam unicè a$$umat triangularem rectilineam) bene argumentatur ex circulo, quem $cili- cet $ub quantolibet radio de$cribi po$$e omnes agno- $cunt. Deinde acutus Vir cauti$$imè ob$ervat præ$um- ptioni huic $uæ non ob$tare, quòd prætet corre$ponden- tium angulorum æqualitatem requiratur etiam corre$pon- dentium omnium laterum proportionalitas, ut habeatur una figura rectilinea, v. g. triangularis, alteri rectilineæ triangulari $imilis; cum tamen Proportionalium, ac $u- binde $imilium Figurarum definitio ex Quinto, ac Sexto Euclidis Libro de$umendæ $int: _Poterat enim Euclides_ (inquit ip$e) _utramque Libro Primo præmi$i$$e_. Porrò au- tem, hoc $tante (quod tamen negari à quopiam po$$et, ni$i demon$tretur) intentum $uum pulchro $anè, atque ingenio$o molimine exequitur laudatus Vir.

Sed nolo oneri a me $u$cepto in quoquam dee$$e. Itaque a$$umo duo triangula, unum _A B C_, & alterum _D E F_ (fig. 24.) invicem æquiangula: Non dico planè $imilia; quia non indigeo proportionalitate laterum circa angulos æquales, immo neque ullâ ip$orum laterum de- terminatâ men$urâ. Solùm igitur nolo triangula invicem æquilatera, quia tunc $ufficeret $ola octava primi, $ine ulla præ$umptione. Itaque anguli ad puncta _A_, _B_, _C_, æquales $int angulis ad puncta _D_, _E_, _F_; $itque latus _D E_ minus latere _A B_; a$$umaturque in _A B_ portio _A G_ æqualis ip$i _D E_, atque item in _A C_ portio _A H_ æqualis ip$i _D F_. Debere autem _D F_ minorem e$$e ipsà _A C_ infrà declarabo. Tum (junctâ _G H_) con$tat (ex 4. primi) æquales fore angulos ad puncta _E_, & _F_, ip$is _A G H_, _A H G_. Quapro- pter; cum modò dicti anguli unâ cum aliis _B G H_, _C H G_, æquales $int (ex 13. primi) quatuor rectis; quatuor iti- dem rectis æquales erunt anguli ad puncta _B_, & _C_, unà cum ei$dem angulis _B G H_, _C H G_. Igitur quatuor $imul anguli quadrilateri _B G H C_ æquales erunt quatuor rectis; ac propterea (ex 16. hujus) $tabilietur hypothe$is anguli recti; & $imul (ex 13. hujus) Pronunciatum Eucli- dæum.

Porrò $uppo$ui Iatus _D F_, $ive _A H_ $umptum ip$i æquale, minus fore latere _A C_. Si enim æquale foret, & $ic punctum _H_ caderet in punctum _C_; tunc angulus _B C A_ æqualis foret (ex hypothe$i) angulo _E F D_, $ive _G C A_ (qui tunc fieret) totum parti; quod e$t ab$urdum. Sin verò majus foret, & $ic juncta _G H_ $ecaret in aliquo pun- cto ip$am _B C_; jam angulus _A C B_ externus æqualis foret ex hypothe$i (contra 16. primi) angulo interno, & oppo- $ito (qui tunc fieret) _A H G_, $ive _G H A_. Itaque bene $uppo$ui latus _D F_ unius trianguli minus fore latere _A C_ alterius trianguli, juxta hypothe$im jam $tabilitam.

Quare ex duobus quibu$vis invicem æquiangulis triangulis, $ed non etiam invicem æquilateris, $tabilitur Pronunciatum Euclidæum. Quod intendebatur.

SCHOLION IV. In quo exponitur figuralis quædam exhibitio, ad quam forta$$e re$pexit Euclides, ut $uum illud Pronunciatum tanquam per $e notum $tabiliret.

PRæmitto primò: $ub quolibet angulo acuto _B A X_ (recole ex hac Tab. Fig. 12.) educi po$$e ex aliquo puncto _X_ ip$ius _A X_ quandam _X B_, quæ $ub quovis de$i- gnato etiam$i obtu$o angulo _R_, qui nimirum cum eo acu- to _B A X_ deficiat à duobus rectis; quandam, inquam, edu- ci po$$e _X B_, quæ ad finitam di$tantiam occurrat ip$i _A B_ in quodam puncto _B_. Nam id ip$um jam demon$travi in Scholio po$t XIII. hujus.

Præmitto $ecundò: eas _A B_, _A X_ (Fig. 25.) intelli- Tab. III. gi po$$e in infinitum protractas u$que in quædam puncta _Y_, & _Z_; atque item prædictam _X B_ (in infinitum & ip$am protractam u$que in quoddam punctum _Y_) intelligi po$$e ita moveri $uper eâ _A Z_ versùs partes puncti _Z_, ut angu- lus ad punctum _X_ versùs partes puncti _A_ æqualis $emper $it dato cuivis obtu$o angulo _R_.

Præmitto tertiò: nulli jam dubitationi obnoxium fore illud Pronunciatum Euclidæum, $i antedicta _X Y_ in eo quantocunque motu $uper rectâ _A Z_ $ecet $emper illam _A Y_ in quibu$dam punctis _B_, _D_, _H_, _P_, atque ita con$e- quenter in aliis punctis remotioribus ab eo puncto _A_. Ra- tio evidens e$t; quia $ic duæ quælibet in eodem plano exi$tentes rectæ _A B_, _X H_, in quas recta quælibet incidens _A X_ duos ad ea$dem partes angulos _B A X_, _H X A_, duobus rectis minores efficiat, convenire tandem ad eas partes deberent in uno eodemque puncto _H_.

Præmitto quartò: nulli item dubitationi locum fore $uper veritate præcedentis hypothetici a$$umpti; $i po$te- riores illi externi anguli _Y D H_, _Y H P_, & $ic alii quilibet con$equentes, aut æquales $emper $int priori externo an- gulo _Y B D_, aut $altem non ita minores $emper $int, quin corum unu$qui$que major $emper $it parvulo quopiam de- $ignato acuto angulo _K_@ Hoc enim $tante manife$tum fiet, quòd ea _X Y_, in $uo illo quantocunque motu versùs partes puncti _Z_, nunquam ce$$abit $ecare prædictam _A Y_; quod utique (ex præcedente notato) $atis e$t ad $ta- biliendum Pronunciatum controver$um.

Unicè igitur $upere$t, ut quidam Adver$arius dicat angulos illos externos in majore, ac majore di$tantia ab illo puncto _A_ fieri $emper minores $ine ullo determinato limite. Inde autem fiet, ut illa _X Y_ in $uo illo motu $u- per recta _A Z_ occurrere tandem debeat ip$i _A Y_ in quodam puncto _P_ $ine ullo angulo cum $egmento _P Y_, adeo ut nem- pe $egmentum eju$modi commune $it duarum rectarum _A P Y_, & _X P Y_. At hoc evidenter repugnat naturæ lineæ rectæ.

Sin verò cuiquam minùs opportunus videatur angu- lus obtu$us ad illud punctum _X_ versùs partes puncti _A_, nullo negotio $upponi poterit rectus; adeò ut nempe (in motu prædictæ _X Y_ ad angulos $emper rectos $uper rectâ _A Z_) manife$tiùs appareat $ingula illius _X Y_ puncta æqua- biliter $emper moveri relatè ad $ubjectam _A Z_; ac propte- rea nequire jam dictam _X Y_ tran$ire de $ecante in non $e- cantem alterius indefinitæ _A Y_, ni$i eam aut aliquando in aliquo puncto præcisè contingat, aut ip$i occurrat in ali- quo puncto _P_, ubi cum eadem _A Y_ commune obtineat $egmentum _P Y_; quorum utrunque adver$ari naturæ lineæ rectæ o$tendam ad XXXIII. hujus. Igitur juxta veram ideam lineæ rectæ, debebit illa _X Y_, in quantacunque di- $tantia puncti _X_ a puncto _A_, occurrere $emper in aliquo puncto ip$i _A Y_. Atque id quidem (quantumlibet parvus $upponatur acutus angulus ad punctum _A_) $atis e$$e ad demon$trandum, contra hypothe$im anguli acuti, Pronun- ciatum Euclidæum, con$tabit ex XXVII. hujus.

PROPOSITIO XXII.

_S_I duæ rectæ _A B, C D_ in eodem plano exi$tentes perpendicu- lariter in$i$tant cuidam rectæ _B D;_ ip$a autem _A C_ jun- gens ea perpendicula internos _(_in bypothe$i anguli acuti_)_ acu- tos angulos cum ei$dem efficiat: Dico _(_fig. _26.)_ rectas termina- _Tab._ _III._ tas _A C, B D_ commune aliquod habere perpendiculum, & qui- dem intra limites de$ignatis punctis _A,_ & _C_ præfinitos.

Demon$tratur. Si enim æquales $int ip$æ _A B_, _C D_; con$tat (ex 2. hujus) rectam _L K_, a qua bifariam dividan- tur illæ duæ _A C_, & _B D_, commune fore ei$dem perpendi- culum. Sin verò alterutra $it major, ut putà _A B_: demit- tatur ad _B D_ (juxta 12. primi) ex quovis puncto _L_ ip$ius _A C_ perpendicularis _L K_, occurrens alteri _B D_ in _K_. Oc- curret autem in aliquo puncto _K_, con$i$tente inter puncta _B_, & _D_; ne (contra 17. primi) perpendicularis _L K_ $ecet alterutram _A B_, aut _C D_, perpendiculares eidem _B D_. Si ergo anguli ad punctum _L_ recti non $unt, unus eorum acutus erit, & alter obtu$us. Sit obtu$us versùs punctum _C_. Jam verò intelligatur _L K_ ita procedere versùs _A B_, ut $emper ad rectos angulos in$i$tat ip$i _B D_, atque item op- portunè aucta, aut imminuta, in aliquo $ui puncto $ecet rectam _A C_. Con$tat angulos ad puncta inter$ectiva ip$ius _A C_ non po$$e omnes e$$e obtu$os versùs partes puncti _C_, ne tandem in ip$o puncto _A_, dum recta _L K_ congruet cum recta _A B_, angulus ad punctum _A_ versùs partes puncti _C_ $it obtu$us, cum ad eas partes po$itus $it acutus. Quoniam ergo angulus ad punctum _L_ ip$ius _L K_ po$itus e$t obtu$us versùs partes puncti _C_, non tran$ibit in eo motu recta _L K_ ad faciendum in aliquo $ui puncto cum recta _A C_ angulum acutum versùs partes prædicti puncti _C_, ni$i priùs tran$eat ad con$tituendum in aliquo $ui puncto cum eadem _A C_ angulum rectum versùs partes eju$dem puncti _C_. Erit igitur inter puncta _A_, & _L_ unum aliquod punctum inter- medium _H_, in quo _H K_ perpendicularis ip$i _B D_ $it etiam perpendicularis alteri _A C_.

Simili modo o$tendetur ade$$e aliquam _X K_ inter ip$as _L K_, _C D_, quæ $it perpendicularis & rectæ _B D_, & rectæ _A C_, dum $cilicet angulus obtu$us ad punctum _L_ po- natur con$i$tere versùs partes puncti _A_.

Con$tat igitur rectas _A C_, _B D_ commune aliquod ha- bituras e$$e perpendiculum, & quidem intra limites de$i- gnatis punctis _A_, & _C_ præfinitos, quoties junctæ _A B_, _C D_ in eodem plano exi$tant, $intque perpendiculares ip$i _B D_. Quod erat &c.

PROPOSITIO XXIII.

_S_I duæ quælibet rectæ _A X, B X_ _(_fig. _27.)_ in eodem plano exi$tant_;_ vel unum aliquod _(_etiam in hypothe$i anguli acu- ti_)_ commune obtinent perpendiculum_;_ vel in alterutram eandem partem protractæ_,_ ni$i aliquando ad finitam di$tantiam una in alteram incidat_,_ $emper magis ad $e invicem accedunt.

Demon$tratur. Ex quolibet puncto _A_ ip$ius _A X_ de- mittatur ad rectam _B X_ perpendicularis _A B_. Si ip$a _B A_ efficiat cum _A X_ angulum rectum, habemus intentum communis perpendiculi. Cæterùm verò ea recta efficiat ad alterutram partem, ut putà versùs partes puncti _X_, an- gulum acutum. Itaque in prædicta recta _A X_ de$ignen- tur inter puncta _A_, & _X_ quælibet puncta _D_, _H_, _L_, ex quibus demittantur ad rectam _B X_ perpendiculares _D K_, _H K_, _L K_. Si unus aliquis angulus ad puncta _D_, _H_, _L_ acu- tus $it versùs partes puncti _A_, con$tat (ex præcedente) unum aliquod adfuturum commune perpendiculum ip$a- rum _A X_, _B X_. Sin verò omnis huju$modi angulus $it ma- jor acuto, vel unus aliquis erit rectus, & $ic rur$um ha- bemus intentum communis perpendiculi, cum omnes an- guli ad puncta _K_ $upponantur recti; vel omnes illi anguli ponuntur obtu$i versùs partes puncti _A_, ac propterea om- nes itidem acuti versùs partes puncti _X_, & $ic rur$um ar- gumentor. Quoniam in quadrilatero _K D H K_ recti $unt anguli ad puncta _K_, ponitur autem acutus angulus ad pun- ctum _D_, erit (ex Cor. II. po$t 3. hujus) latus _D K_ majus latere _H K_. Simili modo o$tendetur latus _H K_ majus e$$e latere _L K_; atque ita $emper, conferendo inter $e perpen- diculares ex quolibet puncto altiore ip$ius _A X_ demi$$as ad alteram _B X_. Quapropter ip$æ _A X_, _B X_ $emper magis versùs partes puncti _X_ ad $e invicem accedent: Quæ e$t altera pars propo$iti disjuncti.

Ex quibus omnibus con$tat duas quaslibet rectas _A X_, _B X_, quæ in eodem plano exi$tant, vel unum aliquod (etiam in hypothe$i anguli acuti) commune habere per- pendiculum, vel in alterutram eandem partem protractas, ni$i aliquando ad finitam di$tantiam una in alteram inci- dat, $emper magis ad $e invicem accedere. Quod erat &c.

COROLLARIUM I.

HInc anguli versùs ba$im _A B_ erunt $emper obtu$i ad illud punctum ip$ius _A X_, ex quo demittitur per- pendicularis ad rectam _B X_: erunt, inquam, $emper obtu$i, quoties duæ illæ _A X_, & _B X_ $emper magis ad $e invicem accedant versùs partes punctorum _X_; quod quidem $ano modo intelligi debet, nimirum de perpendicularibus de- mi$$is ante prædictum occur$um, $i fortè ad finitam di$tan- tiam una in alteram incidere debeat.

SCHOLION.

VIdeo tamen inquiri hìc po$$e, qua ratioue o$tenden- dum $it commune illud perpendiculum; quoties re- cta quæpiam _P F H D_ (fig. 28.) occurrens duabus _AX_, _B X_ in punctis _F_, & _H_, duos ad ea$dem partes efficiat internos angulos _A H F_, _B F H_, non eos quidem rectos, $ed tamen æquales $imul duobus rectis. Ecce autem commune illud perpendiculum geometricè dem on$tratum. Divisâ _F H_ bi- fariam in _M_ demittantur ad _A X_, & _B X_ perpendiculares _M K_, _M L_. Angulus _M F L_ æqualis erit (ex 13. primi) an- gulo _M H K_, qui nempe $upponitur duos rectos efficere cum angulo _B F H_. Præterea recti $unt anguli ad puncta _K_, & L; ac rur$um æquales $unt ip$æ _M F_, _M H_. Igitur (ex 26. primi) æquales itidem erunt anguli _F M L_, _H M K_. Quare angulus _H M K_ duos efficiet rectos angulos cum an- gulo _H M L_, prout cum eodem duos efficit rectos angulos (ex 13. primi) angulus _F M L_. Igitur (ex 14. primi) unæ erit recta linea continuata ip$a _K M L_, commune idcirco perpendiculum prædictis rectis _A X_, _B X_. Quod erat &c.

COROLLARIUM II.

SEd rur$um docere hinc po$$um, quòd illæ duæ _AX_, _BX_, in quas incidens recta _P F H D_, aut duos efficiat cum ip$is _A X_, _B X_ internos ad ea$dem partes angulos æquales duobus rectis; aut con$equenter (ex 13. & 15. primi) al- ternos $ive externos, $ive internos angulos inter $e æqua- les; aut rur$um, eodem titulo, externum (ut putà _D H X_) æqualem interno, & oppo$ito _H F X_: quòd, inquam, illæ duæ rectæ neque ad infinitam earundem productionem coire inter $e po$$int. Si enim ex quolibet puncto _N_ ip$ius _A X_ demittatur ad _B X_ perpendicularis _N R_, erit hæc in ip$a hypothe$i anguli acuti (quæ utique $ola obe$$e nobis po$$et) major (ex Cor. I. po$t 3. hujus) eo communi per- pendiculo _K L_. Non igitur illæ duæ _A X_, _B X_ conveniro unquam inter $e poterunt.

Porrò autem demon$tratas hinc habes Propo$. 27. & 28. Libri primi Euclidis; & quidem citra immediatam de- pendentiam a præcedentibus 16. & 17. eju$dem primi, cir- ca quas oriri po$$et difficultas, quoties $ub ba$i finita infi- nitilaterum e$$et triangulum; ad quale nempe triangulum provocare non dubitaret, qui eas duas _A X_, _B X_ ad infini- tam $altem di$tantiam inter $e coituras cen$eret, quam- vis anguli ad incidentem _P F H D_ tales forent, quales $up- po$uimus.

Præterea, propter demon$tratum commune perpen- diculum _K L_, nequirent $anè illæ duæ _K X_, _L X_ ad $uam partem punctorum _X_ $imul concurrere, quin etiam (ex facili intellecta $uper po$itione) ad alteram etiam partem $imul concurrerent reliquæ & ip$æ interminatæ _K A_, _L B_. Quare duæ rectæ _A X_, _B X_ clauderent $patium; quod e$t contra naturam lineæ rectæ.

Sed hæc po$teriora $unt. Nam in præcedentibus nu$- quam adhibui aut 16. aut 17. primi, ni$i ubi clarè agere- tur de triangulo omni ex parte circum$cripto, prout nem- pe in Proemio ad Lectorem ita me curaturum $popon- deram.

PROPOSITIO XXIV.

_I_@$dem manentibus_:_ Dico quatuor $imul angulos _(_fig. _27.)_ quadrilateri _K D H K_ proximioris ba$i _A B_ minores e$$e _(_in hypothe$i anguli acuti_)_ quatuor $imul angulis quadrilate- ri _K H L K_ remotioris ab eadem ba$i_;_ atque ita quidem_,_ $ive illæ duæ _A X, B X_ aliquando ad finitam di$tantiam incidant versùs partes puncti _X;_ $ive nunquam inter $e incidant_;_ $ed versùs eas partes aut $emper magis ad $e invicem accedant_,_ aut aliquando recipiant commune perpendiculum_,_ po$t quod nempe _(_juxta Cor. II. præc. Propo$._)_ ad ea$dem partes incipiant invi- cem di$$ilire.

Demon$tratur. Verùm hìc $upponimus portiones _K K_ $umptas e$$e invicem æquales. Quoniam igitur (ex præ- cedente) latus _D K_ majus e$t latere _H K_, ac $imiliter _H K_ majus latere _L K_; $umatur in _H K_ portio _M K_ æqualis ip$i _L K_, & in _D K_ portio _N K_ æqualis ip$i _H K_; jungantur- que _M N_, _M K_, _L K_; nimirum punctum _K_ intermedium cum puncto _L_, & punctum _K_ vicinius puncto _B_ cum pun- cto _M_. Jam $ic progredior. Quandoquidem latera trian- guli _K K L_ (initium $emper ducam à puncto _K_ viciniore puncto _B_) æqualia $unt lateribus trianguli _K K M_, & an- guli comprehen$i æquales, utpotè recti; æquales etiam erunt (ex 4. primi) ba$es _L_ K, _M K_; atque item æquales, qui corre$pondent invicem anguli, ad ea$dem ba$es, ni- mirum angulus _K L K_ angulo _K M K_, & angulus _L K K_ angulo _M K K_. Igitur æquales etiam $unt re$idui _N K M_, & _H K L_. Quare, cum latera _N_ K, _K M_ trianguli _N K M_ æqualia itidem $int lateribus _H K_, K _L_ trianguli _H K L_; æquales etiam erunt (ex eadem 4. primi) ba$es _N M_, _H L_; anguli _K N M_, _K H L_; ac tandem anguli K _M N_, _K L H_. Sunt autem in prioribus triangulis jam probati æquales anguli _K L K_, & _K M K_. Igitur totus angulus _N M K_ æqualis e$t toti@angulo _H L K_. Quare, cum omnes ad pun- cta K anguli $int recti, manife$tè con$equitur omnes $imul quatuor angulos quadrilateri _K N M K_ æquales e$$e omni- bus $imul quatuor angulis quadrilateri _K H L K_. Quoniam verò duo $imul anguli ad puncta _N_, & _M_ in quadrilatero _K N M K_ majores $unt, in hypothe$i anguli acuti, duobus $imul angulis (ex Cor. po$t XVI. hujus) ad puncta _D_, & _H_ in quadrilatero _N D H M_, $eu quadrilatero _K D H K_; con$equens inde e$t, ut (additis communibus rectis an- gulis ad puncta _K_) quatuor $imul anguli quadrilateri _K N M K_, $eu quadrilateri _K H L K_, majores $int (in hy- pothe$i anguli acuti) quatuor $imul angulis quadrilateri _K D H K_. Quod erat demon$trandum.

COROLLARIUM.

SEd opportunè ob$ervari hìc debet, nihil defuturum factæ argumentationi, quamvis angulus ad punctum _L_ poneretur rectus, juxta hypothe$in anguli acuti. Nam adhuc illa communis perpendicularis _L_ K minor foret (ex Cor. I. po$t III. hujus) altera perpendiculari _H_ K, ex qua propterea $umi adhuc po$$et portio _M_ K æqualis prædictæ _L_ K: Quo $tante con$tat nullum po$$e obicem intercur- rere.

SCHOLION.

DUbitari nihilominus po$$et, an ex quolibet puncto K (a$$umpto nimirum in _B X_ ante occur$um ip$ius _B X_ in alteram _A X_) perpendicularis educta versùs partes rectæ _A X_ occurrere huic debeat (fig. 29.) in aliquo pun- cto _L_; dum nempe illæ duæ, ante prædictum occur$um, ponantur ad $e invicem $emper magis accedere. Ego au- tem dico ita omnino $ecuturum.

Demon$tratur. A$$ignatum $it in _B X_ quodvis pun- ctum K. Sumatur in _A X_ quædam _A M_ æqualis $ummæ ex ipsâ _B_ K, & duplâ _A B_. Tum ex puncto _M_ ducatur ad _B X_ (juxta 12. primi) perpendicularis _M N_. Erit _M N_ (juxta præfentem $uppo$itionem) minor ipsâ _A B_. Quare _A M_ (facta æqualis $ummæ ex ipsâ _B_ K, & duplâ _A B_) major erit $ummâ ip$arum _B_ K, _A B_, & _N M_. Jam o$tendere oportet eandem _A M_ minorem e$$e $ummâ ip$arum _B N_, _A B_, & _M N_, ut inde con$tet eam _B N_ majorem e$$e præ- dictâ _B K_, ac propterea punctum K jacere inter puncta _B_, & _N_. Jungatur _B M_. Erit latus _A M_ (ex 20. primi) mi- nus duobus $imul reliquis lateribus _A B_, & _B M_. Rur$um latus _B M_ (ex eadem 20. primi) minus erit duobus $imul lateribus _B N_, & _M N_. Igitur latus _A M_ multò minus erit tribus $imul lateribus _A B_, _B N_, & _N M_. Hoc autem erat o$tendendum, ut con$taret punctum K jacere inter pun- cta _B_, & _N_. Inde autem con$equens e$t, ut perpendicu- laris ex puncto K educta versùs partes ip$ius _A X_ occurre- re huic debeat in aliquo puncto _L_ inter puncta _A_, & _M_ con$tituto; ne $cilicet (contra 17. primi) $ecare debeat alterutram _A B_, aut _M N_ perpendiculares eidem _B X_. Quod &c.

PROPOSITIO XXV.

_S_I duæ rectæ _(_fig. _30.) A X, B X_ in eodem plano exi$tentes _(_una quidem $ub angulo acuto in puncto _A,_ & altera in puncto _B_ perpendiculariter in$i$tens ip$i _A B)_ it a ad $e invicem $emper magis accedant versùs partes punctorum _X,_ ut nibilo- minus earundem di$tantia $emper major $it a$$ignatâ quadam longitudine_,_ de$truitur hypothe$is anguli acuti.

Demon$tratur. A$$ignata $it longitudo _R_. Si ergo in ea _B X_ $umatur quædam _B K_ quantumliber multiplex pro- po$itæ longitudinis _R_; con$tat (ex præcedente Scholio) perpendicularem ex puncto K eductam versùs partes ip$ius _A X_ in aliquo puncto _L_ eidem occur$uram; ac rur$um (ex præ$ente hypothe$i) con$tat eam K _L_ majorem fore prædi- cta longitudine _R_. Porrò intelligatur _B_ K divi$a in portio- nes _K_ K, æquales $ingulas ip$i _R_, u$que dum _K B_ æqualis $it ip$i longitudini _R_. Tandem verò ex punctis _K_ erectæ $int ad _B X_ perpendiculares occurrentes ip$i _A X_ in punctis _L_, _H_, _D_, _M_, u$que ad punctum _N_ proximius puncto _A_. Jam $ic progredior.

Erunt (ex Prop. præcedente) quatuor $imul anguli quadrilateri _K H L K_, remotioris ab ea ba$i _A B_, majores quatuor $imul angulis quadrilateri _K D H K_, proximioris eidem ba$i; cujus itidem quadrilateri quatuor $imul an- guli majores erunt quatuor $imul angulis $ub$equentis versùs eandem ba$im quadrilateri _K M D K_. Atque ita $emper u$que ad ultimum quadrilaterum _K N A B_, cujus utique quatuor $imul anguli minimi erunt, relatè ad qua- tuor $imul angulos $ingulorum a$cendentium versùs pun- cta _X_ quadrilaterorum.

Quoniam verò tot aderunt prædicto modo recen$ita quadrilatera, quot $unt præter ba$im _A B_ demi$$æ ex pun- ctis ip$ius _A X_ ad rectam _B X_ perpendiculares; expenden- da e$t $umma omnium $imul angulorum, qui comprehen- duntur in illis quadrilateris. Ponamus e$$e novem eju$mo- di perpendiculares demi$$as, ac propterea novem itidem quadrilatera. Con$tat (ex 13. primi) æquales e$$e quatuor rectis angulos hinc inde comprehen$os ad bina puncta il- larum octo perpendicularium, quæ mediæ jaceant inter ba$im _A B_, & remotiorem perpendicularem _L K_. Itaque $umma horum omnium angulorum erit 32. rectorum. Re- $tant duo anguli ad perpendiculum _L K_, & duo ad ba$im _A B_. At anguli, unus quidem ad punctum _K_, & alter ad punctum _B_, $upponuntur recti; angulus autem ad pun- ctum _L_ (ex Cor. po$t XXIII. hujus) e$t obtu$us. Qua- propter (etiam neglecto angulo acuto ad punctum _A_) $umma omnium angulorum, qui comprehenduntur ab il- lis novem quadrilateris, excedet 35. rectos. Inde autem fit, ut quatuor $imul anguli quadrilateri _K H L K_, remotio- ris a ba$i, minùs deficiant a quatuor rectis, quàm $it nona pars unius recti; & id quidem etiam $i æqualis portio prædictæ omnium angulorum $ummæ contingeret $ingu- lis illis quadrilateris. Ergo minor adhuc erit in$inuatus defectus, cum $umma quatuor $imul angulorum illius qua- drilateri K _H L K_ o$ten$a $it omnium maxima, relatè ad quatuor $imul angulos reliquorum quadrilaterorum.

Sed rur$um; juxta $uppo$itionem, in qua procedit hæc Propo$itio; a$$umi pote$t tanta longitudo ip$ius _B_ k, ut confici $emper po$$int non tot quin plura quadrilatera $ub ba$ibus k k, æqualibus $ingulis illi a$$ignatæ longitu- dini _R_. Quare defectus quatuor $imul angulorum illius remotioris quadrilateri k _H L_ k a quatuor rectis o$tende- tur $emper minor & unâ cente$imâ, & unâ mille$imâ, & $ic $ub quolibet a$$ignabili numero unâ portiunculâ unius recti.

Porrò autem erunt $emper (juxta prædictam $uppo$i- tionem) ip$æ _L_ k, & _H_ k majores de$ignata longitudine _R_. Si ergo in k _L_, & k _H_ $umantur k _S_, & k _T_ æquales ip$i k k, $eu longitudini _R_; erunt, junctâ _S T_, duo $imul an- guli k _S T_, k _T S_ majores, in hypothe$i anguli acuti, duo- bus $imul angulis (ex Cor. po$t XVI. hujus) ad puncta _H_, & _L_ in quadrilatero _T H L S_, $eu quadrilatero k _H L_ k; ac propterea (additis communibus rectis angulis ad pun- cta k, k) erunt quatuor $imul anguli quadrilateri k _T S_ k majores quatuor $imul angulis illius quadrilateri k _H L_ k.

Jam verò: cum ex una parte $tabile $it, ac datum quadrilaterum k _T S_ k, utpotè con$tans data ba$i k k, quæ nimirum æqualis ponitur a$$ignatæ longitudini _R_, ac rur- $um con$tans duobus perpendiculis _T_ k, _S_ k eidem ba$i æqualibus, ac tandem jungente _T S_, quæ evadit omnino determinata; & ex altera quatuor $imul anguli $tabilis il- lius, ac dati quadrilateri, o$ten$i jam $int majores quatuor $imul angulis quadrilateri k _H L_ k quantumlibet di$tantis ab ea ba$i _A B_: con$equens utique fit, ut quatuor $imul anguli $tabilis illius, ac dati quadrilateri k _T S_ k majores $int qualibet angulorum $ummâ, quæ quomodolibet defi- ciat a quatuor rectis; quandoquidem o$ten$um jam e$t de- $ignari $emper po$$e tale aliquod quadrilaterum k _H L_ k, cujus quatuor $imul anguli minus deficiant a quatuor re- ctis, quàm $it quævis de$ignabilis unius recti portiuncula. Igitur quatuor $imul anguli $tabilis illius, ac dati quadri- lateri, vel æquales $unt quatuor rectis, vel ei$dem majo- res. Tunc autem (ex XVI. hujus) $tabilitur hypothe$is aut anguli recti, aut anguli obtu$i; ac propterea (ex V. & VI. hujus) de$truitur hypothe$is anguli acuti.

Itaque con$tat de$tructum iri hypothe$im anguli acu- ti, $i duæ rectæ in eodem plano exi$tentes ita ad $e invi- cem $emper magis accedant, ut nihilominus earundem di$tantia major $emper $it a$$ignatâ quadam longitudine. Hoc autem erat demon$trandum.

COROLLARIUM I.

AT (de$tructâ hypothe$i anguli acuti) manife$tum fit, ex 13. hujus, controver$um Pronunciatum Eucli- dæum; prout a me hoc loco declaratum iri $popondi in Scholio III. po$t XXI. hujus, ubi de conatu Na$$aradini Arabis locuti $umus.

COROLLARIUM II.

RUr$um ex hac Propo$itione, & ex præcedente XXIII. manife$tè colligitur $atis non e$$e ad $tabiliendam Geometriam Euclidæam duo puncta $equentia. Unum e$t: quòd nomine parallelarum illas rectas cen$eamus, quæ in eodem plano exi$tentes commune aliquod obtinent per- pendiculum. Alterum verò, quòd omnes rectæ in eodem plano exi$tentes, quarum nullum commune $it perpendi- culum, ac propterea quæ juxta a$$umptam Definitionem parallelæ non $int, debeant ip$æ in alterutram partem $em- per magis protractæ inter $e aliquando incidere, $i non ad finitam, $altem ad infinitam di$tantiam. Nam rur$um de- mon$trare oporteret, quòd duæ quælibet in eodem plano exi$tentes, in quas recta quæpiam incidens duos ad ea$dem partes internos angulos efficiat minores duobus rectis, nu$quam alibi po$$int ip$æ recipere commune perpendicu- lum. Quòd autem, hoc demon$trato, exacti$$imè $tabi- liatur Geometria Euclidæa, infrà con$tabit.

PROPOSITIO XXVI.

_S_I prædictæ _A X, B X (_fig. _31.)_ coire quidem inter $e de- beant, $ed non ni$i ad infinitam earundem productionem versùs partes punctorum _X:_ Dico nullum fore a$$ignabile pun- ctum _T_ in ip$a _A B,_ ex quo perpendicularis educta versùs par- tes ip$ius _A X_ non occurrat ad finitam_,_ $eu terminatam di$tan- tiam eidem _A X_ in aliquo puncto _F_.

Demon$tratur. Nam (ex præcedente hypothe$i) unum aliquod erit in ip$a _A X_ punctum _N_, ex quo per- pendicularis _N_ k demi$$a ad _B X_ minor $it qualibet a$$igna- ta longitudine, ut putà eâ _T B_. Tum verò $umatur in _T B_ portio _C B_ æqualis ip$i _N_ k, jungaturque _C N_. Con$tat an- gulum _N C B_ acutum fore, in hypothe$i anguli acuti. Er- go (ex 13. primi) obtu$us erit, qui deinceps e$t angulus _N C T_. Igitur recta, quæ ex puncto _T_ (inter puncta _A_, & _C_ con$tituto) perpendiculariter educatur versùs partes ip$ius _A X_, non incidet (ex 17. primi) in ullum punctum ip$ius _C N_; ac propterea (ne claudat $patium cum _A T_, aut cum _T C_) occurret ip$i terminatæ _A N_ in aliquo pun- cto _F_. Igitur in ip$a etiam hypothe$i anguli acuti (quam $cimus obe$$e unicè hic po$$e) nullum erit a$$ignabile punctum _T_ in ea _A B_, ex quo perpendiculariter educta versùs partes ip$ius _A X_ non occurrat ad finitam, $eu ter- minatam di$tantiam eidem _A X_ in quodam puncto _F_. Quod &c.

COROLLARIUM I.

INde autem fit, ut a$$umpto in _A B_ protractâ quolibet puncto _M_, ex quo versùs partes punctorum _X_ educa- tur perpendicularis _M Z_, nequeat ip$a, etiam$i infinitè pro- ducatur, occurrere prædictæ _A X_; quia cæterùm illa altera _B X_ deberet (ex præmi$$a demon$tratione) ad finitam di- $tantiam occurrere eidem _A X_; quod e$t contra præ$entem hypothe$in.

COROLLARIUM II.

EX quo rur$um con$equitur omnem perpendiculariter eductam ex quolibet puncto illius quantumlibet con- tinuatæ _A B_, $ed non tamen infinitè di$$ito, debere ad fi- nitam di$tantiam occurrere prædictæ _A X_; quatenus nem- pe $upponatur omnem talem perpendiculariter eductam $emper magis, $ine ullo certo limite accedere ad alteram $emper continuatam _A X_.

COROLLARIUM III.

UNde tandem fit, ut ab illa _A X_ neque ad infinitam eju$dem productionem $ecari po$$it ip$a _B X_; quia cæterum ex quodam illius _A X_ ultra prædictam $ectionem puncto intelligi po$$et demi$$a ad _A B_ productam quædam perpendicularis _Z M_; unde rur$um fieret, ut ip$a _B X_ (con- tra præ$entem hypothe$im) non ad infinitam, $ed omnino ad finitam di$tantiam occurreret prædictæ _A X_. Sed hoc po$tremum dictum $it ultra nece$$itatem.

PROPOSITIO XXVII.

_S_I recta _A X (_fig. _32.)_ $ub aliquo_,_ ut libet_,_ parvo angulo edu- cta ex puncto _A_ ip$ius _A B,_ occurrere tandem debeat _(_$al- tem ad infinitam di$tantiam_)_ cuivis perpendiculari _B X,_ quæ ad quantamlibet ab eo puncto _A_ di$tantiam excitari intelliga- tur $uper ea incidente _A B:_ Dico nullum jam fore locum hypo- the$i anguli acuti.

Demon$tratur. Ex quodam puncto k prope punctum _A_, ad libitum in ipsa _A B_ de$ignato, erigatur ad _A B_ per- pendicularis k _L_, quæ utique (ex Cor. II. præcedentis Propo$itionis) occurret ip$i _A X_ ad finitam, $eu termina- tam di$tantiam in aliquo puncto _L_. Jam verò con$tat $umi po$$e in k _B_ portiones k k æquales $ingulas cuidam a$$igna- bili longitudini _R_, & eas plures quolibet a$$ignabili nu- mero finito; quandoquidem punctum _B_ $tatui pote$t; juxta præ$entem $uppo$itionem; in quantalibet di$tantià ab eo puncto _A_. Itaque ex aliis punctis k erigantur ad _A B_ per- pendiculares k _H_, k _D_, k _P_, quæ omnes (ex præcitato Corollar@o) occurrent rectæ _A X_ in quibu$dam punctis _H_, _D_, _P_; atque ita circa reliqua puncta k uniformiter de$i- gnata versùs punctum _B_. Con$tat $ecundò (ex 16. primi) angulos ad puncta _L_, _H_, _D_, _P_, fore omnes obtu$os versùs partes punctorum _X_; atque item (ex 13. eju$dem primi) angulos ad prædicta puncta fore omnes acutos versùs pun- ctum _A_. Igitur (ex Cor. II. po$t 3. hujus) latus k _H_ majus erit latere k _L_; latus k _D_ majus latere k _H_; atque ita $em- per, procedendo versùs puncta _X_. Con$tat tertiò quatuor $imul angulos quadrilateri k _L H_ k majores fore quatuor $imul angulis quadrilateri k _H D_ k: nam id in $imili de- mon$tratum jam e$t in XXIV. hujus. Con$tat quartò idem $imiliter valere de quadrilatero k _H D_ k relatè ad quadri- laterum _K D P_ k; atque ita $emper, procedendo ad qua- drilatera remotiora ab eo puncto _A_.

Quoniam igitur tot aderunt (ut in XXV. hujus) prædicto modo recen$ita quadrilatera, quot $unt, præter primam _L_ k, demi$$æ ex punctis ip$ius _A X_ perpendicula- res ad rectam _A B_; con$tabit uniformiter ($i ponamus no- vem, præter primam, demi$$as eju$inodi perpendiculares) $ummam omnium angulorum, qui comprehenduntur ab illis novem quadrilateris, excedere 35. rectos; ac propte- rea quatuor $imul angulos primi quadrilateri k _L H_ k, quod quidem in hac ratione o$ten$um e$t omnium maximum, minùs deficere à quatuor rectis, quàm $it nona pars unius recti. Quare; multiplicatis ultra quemlibet a$$ignabilem finitum numerum ei$dem quadrilateris, procedendo $em- per versùs partes punctorum _X_; con$tabit $imiliter (ut in eadem præcitata) quatuor $imul angulos $tabilis illius quadrilateri k _H L_ k minùs deficere à quatuor rectis, quàm $it quælibet a$$ignabilis unius recti portiuncula. Igitur quatuor $imul illi anguli vel æquales erunt quatuor re- ctis, vel ei$dem majores. Tunc autem (ex XVI. hujus) $tabilitur hypothe$is aut anguli recti, aut anguli obtu$i; ac propterea (ex V. & VI. hujus) de$truitur hypothe$is anguli acuti.

Itaque con$tat nullum jam fore locum hypothe$i an- guli acuti, $i recta _A X_ $ub aliquo, ut libet, parvo angulo, educta ex puncto _A_ ip$ius _A B_ occurrere tandem debeat ($altem ad infinitam di$tantiam) cuivis perpendiculari _B X_, quæ ad quantamlibet ab eo puncto _A_ di$tantiam ex- citari intelligatur $uper eâ incidente _A B_. Quod erat &c.

SCHOLION I.

ET hoc e$t, quod prædixi in Cor. II. po$t XXV. hujus; nullum $cilicet $uperfuturum locum hypothe$i an- guli acuti, $eu $tabilitum exacti$$imè iri Geometriam Eu- clidæam; $i duæ quælibet in eodem plano exi$tentes rectæ, ut putà _A X_, _B X_, in quas incidens recta _A B_ ($um- pto puncto _B_ in quantalibet di$tantiâ a puncto _A_) duos cum ei$dem ad ea$dem partes punctorum _X_ angulos effi- ciat minores duobus rectis; $i (inquam) nu$quam alibi (hoc $tante) po$$int illæ recipere commune perpendicu- lum. Tunc enim illæ duæ _A X_, _B X_ $emper magis ad $e invicem accedent; nimirum vel intra quendam determi- natum limitem, prout in XXV. hujus; vel $ine ullo certo limite, ac propterea u$que ad occur$um $altem po$t infi- nitam productionem, prout in hac XXVII. Con$tat autem in utroque prædictorum ca$uum o$ten$am jam e$$e de- $tructionem hypothe$is anguli acuti. Quod intendeba- tur.

SCHOLION II.

ATque id rur$um e$t, quod $popondi in fine Scholii IV. po$t XXI. hujus, prout ex ip$is terminis clarè eluce$cit.

SCHOLION III.

PRæterea ob$ervari hic velim di$crimen inter hanc Pro- po$. & præcedentem XVII. Nam ibi (recole fig. 15.) Tab. II. o$ten$a e$t de$tructio hypothe$is anguli acuti, $i (exi$ten- te, ut libet parvâ, rectâ _A B_) omnis _B D_ $ub quovis acu- to angulo educta, occurrere tandem debeat in quodam puncto _K_ ip$i perpendiculari _A H_ productæ. Hìc autem (viceversâ) permittitur quidem de$ignatio cuju$vis par- vi$$imi acuti anguli ad punctum _A_, dum tamen interjecta _A B_, ad quam erigenda e$t perpendicularis indefinita _B X_, $tatui po$$it quantælibet longitudinis.

PROPOSITIO XXVIII.

_S_I duæ rectæ _A X, B X (_quarum prior $ub angulo acuto, & altera ad perpendiculum eductæ $int versùs ea$dem partes ex quantalibet recta _A B)_ $emper magis $ine ullo certo limite ad $e invicem accedant, præterquam ad infinitam earundem produ- ctionem_;_ Dico omnes angulos _(_fig. 33._)_ ad quælibet puncta _L,_ _Tab._ _IV._ _H, D_ ip$ius _A X,_ ex quibus demittantur ad rectam _B X_ per- pendiculares _L K, H_ K_, D_ K_;_ tum fore omnes obtu$os versùs partes puncti _A;_ tum fore $emper minores, qui magis di$tant ab eo puncto _A;_ ac tandem angulos magis_,_ ac magis di$tantes ab eodem puncto _A,_ $emper magis $ine ullo certo limite accedere ad æqualitatem cum angulo recto.

Demon$tratur. Et prima quidem pars con$tat ex Cor. I. po$t XXIII. hujus. Secunda verò pars ita evincitur. Nam duo $imul anguli ad _L K_ versùs ba$im _A B_ majores $unt (ex Cor. po$t XVI. hujus) duobus $imul internis, & oppo$itis angulis ad _H K_ versùs eandem ba$im _A B_. Sunt autem in- ter $e æquales, utpote recti, anguli ad utrumque punctum _K_ versùs ba$im _A B_. Ergo angulus obtu$us ad _L_ versùs ba- $im _A B_ major e$tangulo obtu$o ad _H_ versùs eandem ba$im _A B_. Simili modo o$tendetur prædictum angulum obtu $um ad _H_ majorem e$$e angulo obtu$o ad punctum _D_. Atque ita $emper, procedendo versùs puncta _X_.

Tertia tandem pars majore indiget di$qui$itione. Si ergo fieri pote$t, a$$ignatus $it (fig. 34.) quidam angulus _M N C_, quo $emper major $it, aut $altem non minor, ex- ce$$us cuju$vis ex prædictis angulis obtu$is $upra angulum rectum. Con$tat (ex XXI. hujus) latera _N M_, _N C_ com- prehendentia illum angulum _M N C_ taliter produci po$$e, at perpendicularis _M C_, ex quodam puncto _M_ ip$ius _M N_ demi$$a ad _N C_, major $it (in ip$a etiam hypothe$i anguli acuti) qualibet finitâ a$$ignatâ longitudine, ut putà præ- dictâ ba$i _A B_. Hoc $tante: a$$umatur in _B X_ (fig. 35.) quædam _B T_ æqualis ip$i _C N_; educaturque ex puncto _T_ versùs _A X_ perpendicularis _T S_, quæ nempe (ex Scholio po$t XXIV. hujus) occurret ip$i _A X_ in quodam puncto _S_. Deinde ex puncto _S_ demittatur ad _A B_ perpendicularis _S Q_. Cadet hæc (propter 17. primi) ad partes anguli acu- ti _S A B_ inter puncta _A_, & _B_. Porrò acutus erit angulus _Q S T_ in quadrilatero _Q S T B_, cum reliqui tres anguli $int recti; ne (contra V. & VI. hujus) incidamus in hypothe- $in aut anguli recti, aut anguli obtu$i. Hinc recta _S Q_ ma- jor erit (ex Cor. I. po$t 3. hujus) rectâ _B T_, $ive _C N_; ac rur$um angulus _A S Q_ major erit exce$$u, quo angulus ob- tu$us _A S T_ excedit angulum rectum, & $ic major angulo _M N C_. Ducatur igitur quædam _S F_ $ecans _A Q_ in F, & efficiens cum _S A_ angulum æqualem ip$i _M N C_. Deinde ex puncto _A_ ducatur ad _S F_ productam perpendicularis _A O_. Cadet punctum _O_ (ex 17. primi) infra punctum _F_, cum angulus _A F S_ (ex 16. eju$dem primi) $it obtu$us. Tandem verò; cum _F S_ major $it (ex 18. primi) ipsâ _Q S_, & $ic multò major ipsâ _B T_, $ive _C N_; $umatur in _F S_ por- tio _I S_ æqualis ip$i _C N_, & ex puncto _I_ erigatur ad _F S_ per- pendicularis _I R_ occurrens in puncto _R_ ip$i _A S_. Cadet au- tem punctum _R_ inter puncta _A_, & _S_: $i enim caderet in aliquod punctum ip$ius _A F_, haberemus in eodem trian- gulo (contra 17. primi) duos angulos majores duobus re- ctis, cum angulus ad punctum _F_ versùs partes puncti _A_ o$ten$us jam $it obtu$us.

Po$t tantum apparatum $ic concludo. Quandoquidem in quadrilatero _A O I R_ recti $unt anguli ad puncta _O_, & _I_; & e$t acutus angulus (ex 17. primi) ad punctum _A_, prop- ter rectum angulum _A O S_; ac rur$um e$t obtu$us (ex 16. eju$dem primi) angulus _I R A_, cum rectus $it angulus _R I S_: con$equens tandem e$t (ex Cor. II. po$t 3. hujus) ut latus _A O_ majus $it latere _I R_. At (junctâ _O Q_) latus _A Q_ majus e$t (ex 18. primi) latere _A O_ propter angulum obtu$um in _O_, cum angulus _A O S_ factus $it rectus. Igitur recta _A Q_ multò major erit rectâ _I R_, $ive (ex 26. primi) rectâ _N C_, & $ic multò major rectâ _A B_, pars toto; quod e$t ab$urdum.

Non igitur ullus a$$ignari pote$t angulus _M N C_, quo $emper major $it, aut $altem non minor exce$$us cuju$vis ex prædictis angulis obtu$is $upra angulum rectum. Qua- re anguli@ illi obtu$i, magis ac magis di$tantes ab eo pun- cto _A_, $emper magis $ine ullo certo limite accedent ad æqualitatem cum angulo recto. Quod erat po$tremo loco demon$trandum.

COROLLARIUM.

HOc autem $tante, quod po$tremo Ioco demon$tratum e$t, manife$tè con$equitur, duas illas _A X_, _B X_, in infinitum protractas, commune tandem habituras, vel in duobus di$tinctis punctis, vel in uno, eodemque puncto _X_ infinitè di$$ito, perpendiculum. Rur$um verò, quòd non in duobus di$tinctis punctis haberi po$$it commune i$tud perpendiculum, ex eo manife$tè liquet; quia cæte- rum (ex Cor. II. po$t XXIII. hujus) inciperent inde illæ rectæ invicem di$$ilire, & $ic neque ad infinitam di$tan- tiam inter $e concurrerent; quin etiam (contra expre$$am $uppo$itionem) non ad $e invicem, $ine ullo certo limite, $emper magis versùs eas partes accederent. Itaque in uno, eodemque puncto _X_ infinitè di$$ito commune haberent perpendiculum.

PROPOSITIO XXIX.

_R_E$umptâ fig. _(33.)_ præcedentis Propo$itionis_:_ Dico omnem rectam _A C,_ quæ $ecet angulum _B A X,_ aliquando ad finit am, $eu terminatam di$tantiam (etiam in hypothe$i anguli acuti) occur$uram ip$i _B X_ in quodam puncto _P,_ dum nempe illa _A C_ $emper magis protrahatur versùs partes punctorum _X_.

Demon$tratur. Et primò quidem (ne recta _A C_ $pa- tium claudat cum ea _A X_) occurret ip$a ad finitam di$tan- tiam rectis _L K_, _H K_, _D K_ in quibu$dam punctis _C_, _N_, _M_; occurret, inquam, ni$i antea (ad finitam utique di$tantiam, prout intendimus) occurrat ip$i _B X_ in aliquo puncto inter punctum _B_, & unum aliquod punctorum _K_ con$tituto. Deinde (ex Cor. I. po$t XXIII. hujus) obtu$i erunt anguli _A C K_, _A N K_, _A M K_. Præterea anguli i$ti, $emper obtu$i, accedent (ex præcedente) $ine ullo certo limite ad æqua- litatem cum angulo recto, quoties nempe illa _A C_ non ni@@ ad infinitam di$tantiam occur$ura putetur i $i _B X_. Igitur deveniri po$$et ad talem ordinatam K _M D_, ad quam an- gulus _A M K_ minùs $uperaret angulum rectum, quàm $it ille angulus _D A C_. Tunc autem angulus _D A C_, $ive _D A M_, unà cum angulo _A M D_ major erit uno recto. Quare; addi- to obtu$o angulo _A D M_; tres $imul anguli trianguli _A D M_ majores erunt duobus rectis, quod e$t contra hypothe$in anguli acuti. Igitur omnis recta _A C_, quæ $ecet illum an- gulum _B A X_, aliquando ad finitam, $eu terminatam di- $tantiam (etiam in hypothe$i anguli acuti) occurret ip$i _B X_ in quodam puncto _P_. Quod &c.

COROLLARIUM I.

HInc nulla _A Z_, quæ versùs partes punctorum _X_ angu- lum acutum efficiat majorem illo _B A X_, occurrere unquam poterit, $ive ad finitam, $ive ad infinitam di$tan- tiam ip$i _B X_. Quatenus enim ita contingeret, jam illa _A X_, dividens angulum _B A Z_, deberet (contra præmi$$am $uppo$itionem) ad finitam di$tantiam occurrere ip$i _B X_; prout demon$tratum id e$t de recta _A C_ dividente angu- lum _B A X_.

COROLLARIUM II.

PRæterea $equitur nullum fore determinatum acutun angulum omnium maximum, $ub quo educta ex pun- cto _A_ ad finitam di$tantiam occurrat illi _B X_. Si enim ver- sùs partes puncti _X_ punctum quodvis a$$umas, quod $it al- tius puncto _P_, con$tat rectam jungentem punctum _A_ cum illo puncto altiore majorem angulum effecturam cum ip$a _A B_, quàm $it angulus _B A P_. Atque ita $emper $ine ullo termino intrin$eco. Quare angulus _B A X_ (dum $cilicet ip$a _A X_, & $emper accedat ad eam _B X_, & non ni$i ad in- finitam di$tantiam in eandem incidat) erit limes extrin$e- cus acutorum omnium angulorum, $ub quibus rectæ edu- ctæ ex illo puncto _A_ ad finitam di$tantiam occurrunt præ- dictæ _B X_.

PROPOSITIO XXX.

_C_Uivis terminatæ _A B_ in$i$tat ad perpendiculum _(_fig. _36.)_ quædam indefinita _B X_. Dico primò rectam _A Y,_ perpen- diculariter elevatam versùs partes ea$dem fuper illâ _A B,_ fore limitem unum intrin$ecum earum omnium_,_ quæ ex illo puncto _A_ versùs ea$dem partes eductæ commune aliquod _(_juxta hypo- the$in anguli acuti_)_ in duobus di$tinctis punctis obtinent per- pendiculum cum alterâ indefinitâ _B X_. Dico $ecundò nullum fore acutum angulum omnium minimum_,_ $ub quo educta ex præ- dicto puncto _A_ commune aliquod _(_juxta prædictam hypothe$in_)_ in duobus di$tinctis punctis obtineat perpendiculum cum eadem _B X_.

Demon$tratur prima pars. Quoniam enim illa _A Y_ commune obtinet cum altera _B X_ perpendiculum _A B_ in duobus di$tinctis punctis _A_, & _B_; $i educatur versùs ea$- dem partes $ub angulo obtu$o quæpiam _A Z_, con$tat nul- lum ad eas partes e$$e po$$e in duobus di$tinctis punctis commune perpendiculum ip$arum _A Z_, _B X_; ne $cilicet ex con$ecuturo quadrilatero continente quatuor angulos majores quatuor rectis incidamus (ex XVI. hujus) in hy- pothe$in jam reprobatam anguli obtu$i, contra $uppo$itam hoc loco hypothe$in anguli acuti. Igltur illa perpendicu- laris _A Y_ erit ex i$ta parte limes intrin$ecus earum om- nium, quæ ex illo puncto _A_ versùs ea$dem partes eductæ commune aliquod (juxta illam hypothe$in anguli acuti) in duobus di$tinctis punctis obtineant perpendiculum cum alterâ indefinitâ _B X_. Quod erat primum.

Demon$tratur $ecunda pars. Si enim fieri pote$t; e$to quidam angulus acutus omnium minimus, $ub quo edu- cta _A N_ commune habeat cum illa _B X_ in duobus di$tin- ctis punctis perpendiculum _N D_. Tum a$$umpto in _B X_ altiore puncto k, ex eo educatur ad _B X_ perpendicularis _K L_, ad quam ex puncto _A_ demittatur (juxta 12. primi) perpendicularis _A L_. Jam verò, $i hæc _A L_ occurrat in quodam puncto _S_ ip$i _N D_, con$tat $anè angulum _B A L_ minorem fore eo _B A N_, qui propterea non erit omnium minimus, $ub quo educta _A N_ commune habeat cum illa _B X_ in duobus di$tinctis punctis perpendiculum _N D_. Porrò autem ab ea perpendiculari _A L_ $ecari prædictam _N D_ in quodam ejus intermedio puncto _S_ $ic demon$tra- tur.

Et primò quidem non po$$e ab ea _A L_ $ecari ip$am _B K_ in quodam puncto _M_ con$tare ab$olutè pote$t ex 17. primi, ne $cilicet in eodem triangulo _M K L_ duos habea- mus angulos rectos in punctis _K_, & _L_; præterquam quòd in hoc ip$o haberemus intentum contra illum angulum _B A N_, ne $cilicet in hac tali ratione cen$eatur omnium minimus. Rur$um verò nequit _A L_ e$$e continuatio ip$ius _A N_; quia cæterum in quadrilatero _N D K L_ quatuor ha- beremus angulos rectos, contra hypothe$im anguli acuti. Sed neque eam _D N_ protractam $ecare pote$t in quovis ul- teriore puncto _H_; quia angulus _A H N_ (ex 16. primi) fo- ret acutus, propter $uppo$itum rectum angulum externum _A N D_; ac propterea angulus _D H L_ foret obtu$us, & $ic in quadrilatero _D H L K_ quatuor haberemus angulos, qui $imul $umpti majores forent quatuor rectis, contra prædi- ctam hypothe$in anguli acuti. Igitur con$tat ab ea _A L_ $e- cati debere angulum _B A N_, qui propterea nequit dici omnium minimus, $ub quo educta _A N_ commune habeat cum illa _B X_ in duobus di$tinctis punctis perpendiculum _N D_. Quod erat $ecundo loco demon$trandum. Itaque con$tat &c.

COROLLARIUM.

INde autem ob$ervare licet, quòd $ub angulo minore _B A L_ obtinetur (in hypothe$i anguli acuti) commu- ne _L K_ perpendiculum, remotius quidem ab illa ba$i _A B_, prout con$tat ex ip$a con$tructione, $ed rur$um minus al- tero viciniore communi perpendiculo _N D_, quod obtine- tur $ub angulo majore _B A N_. Ratio hujus po$terioris e$t, quia in quadrilatero _L K D S_ angulus ad punctum _S_ acutus e$t in prædicta hypothe$i, cum reliqui tres $upponantur recti. Quare (ex Cor. I. po$t 3. hujus) latus _L K_ minus erit contrapo$ito latere _S D_, & $ic multò minus latere _N D_.

PROPOSITIO XXXI.

_J_Am dico nullum fore prædictorum in duobus di$tinctis pun- ctis eommunium perpendiculorum limitem determinatum_,_ quo minùs $ub minore_,_ ac minore acuto angulo_,_ ad illud punctum _A_ con$tituto_,_ deveniri $emper po$$it _(_juxta hypothe$in anguli acuti_)_ ad tale commune in duobus di$tinctis punctis per- pendiculum_,_ quod $it minus qualibet a$$ignatá longitudine _R_.

Demon$tratur. Quatenus enim aliter res $e habeat; $i ex puncto _K_ (recole fig. 30.) in quantalibet à puncto Tab. III. _B_ di$tantiâ in ea _B X_ a$$ignato, educatur perpendicularis _K L_, ad quam ex puncto _A_ (juxta 12. primi) demi$$a in- telligatur perpendicularis _A L_, deberet ip$a _K L_ major e$$e eâ longitudine _R_. Ratio autem e$t; quia a$$umpto in eadem _B X_ altiore puncto _Q_, ex quo educatur ad ip$am _B X_ perpendicularis _Q F_, ad quam (juxta eandem 12. pri- mi) demittatur perpendicularis _A F_, deberet hæc rur$um $altem non e$$e minor eâ longitudine _R_. Erit autem _K L_ (ex Cor. præced. Prop.) major ipsâ _Q F_. Igitur ea _K L_ ma- jor foret prædictâ longitudine _R_. Atque ita $emper altiùs procedendo.

Jam verò: $i illa quantacunque _K B_ divi$a intelliga- tur (prout in XXV. hujus) in portiones _K_ K, æquales illi longitudini _R_, educanturque ex illis punctis _K_ perpendi- culares, quæ occurrant ip$i _A X_ in punctis _H_, _D_, _M_; non erunt anguli ad hæc puncta, versùs partes puncti _L_, aut recti, aut obtu$i; ne in aliquo quadrilatero, ut putà _K M-_ _L K_ quatuor $imul anguli æquales $int, aut majores qua- tuor rectis, contra hypote$im anguli acuti, juxta quam procedimus. Omnes igitur huju$modi anguli acuti erunt versùs partes puncti _L_; ac propterea omnes itidem ad illa puncta obtu$i ver$us partes puncti _A_. Quare (ex Cor. I. po$t 3. hujus) prædictarum perpendicularium minima quidem erit _K L_ remotior à ba$i _A B_, maxima _K M_ propin- quior eidem ba$i; reliquarum verò propinquior remotiore $emper major erit. Igitur (ex meâ præced. 24 eju$que Coroll.) quatuor $imul anguli quadrilateri _K H L K_ remo- tioris à ba$i _A B_ majores erunt quatuor $imul angulis reli- quorum omnium quadrilaterorum eidem ba$i proximio- rum. Quare (prout in XXV. hujus) de$tructa maneret hypothe$is anguli acuti.

Itaq; con$tat nullum fore prædictorum in duobus di$tin- ctis punctis communium perpendiculorum limitem deter- minatum, quo minùs $ub minore, ac minore acuto angu- lo, ad illud punctum _A_ con$tituto, deveniri $emper po$$it (juxta hypothe$in anguli acuti) ad tale commune in duo- bus di$tinctis punctis perpendiculum, quod $it minus qua- libet a$$ignatâ longitudine _R_. Quod erat &c.

PROPOSITIO XXXII.

_J_Am dico unum aliquem fore _(_in hypothe$i anguli acuti_)_ de- terminatum acutum angulum _B A X,_ $ub quo educta _A X_ _(_fig. _33.)_ non ni$i ad infinitam di$tantiam incidat in eam _Tab._ _IV._ _B X,_ ac propterea $it ip$a limes partim intrin$ecus, partim ex- trin$ecus_;_ tum earum omnium_,_ quæ $ub minoribus acutis angu- lis ad finitam di$tantiam incidunt in prædictam _B X;_ tum etiam aliarum_,_ quæ $ub majoribus angulis acutis, u$que ad angulum rectum inclu$ivè_,_ commune obtinent in duobus di$tinctis punctis perpendiculum cum eadem _B X_.

Demon$tratur. Nam primò con$tat (ex Cor. II. po$t XXIX. hujus) nullum fore determinatum acutum angu- lum, omnium maximum, $ub quo educta ex illo puncto _A_ ad finitam di$tantiam occurrat prædictæ _B X_. Secundò con$tat nullum itidem e$$e (in hypothe$i anguli acuti) acutum angulum omnium minimum, $ub quo educta com- mune habeat in duobus di$tinctis punctis perpendiculum cum illa _B X_; quandoquidem (ex præcedente) nullus e$- $e pote$t limes determinatus, quo minùs $ub minore acu- to angulo ad illud punctum _A_ con$tituto deveniri po$$it ad tale commune in duobus di$tinctis punctis perpendicu- lum, quod $it minus qualibet a$$ignabili longitudine _R_.

Atque hinc tertiò con$equitur unum aliquem (in eæ hypothe$i) e$$e debere determinatum acutum angulum _B A X_, $ub quo educta _A X_ ita $emper magis accedat ad eam _B X_, ut non ni$i ad infinitam di$tantiam in eandem incidat.

Porrò autem hanc ip$am _A X_ fore limitem partim in- trin$ecum, partim extrin$ecum utriu$que prædictarum re- ctarum cla$$is, $ic demon$tratur. Nam primò conveniet cum illis rectis, quæ ad finitam di$tantiam occurrunt ip$i _B X_, cum ip$a etiam aliquando conveniat; di$crepabit au- tem, quia ip$a non ni$i ad infinitam di$tantiam. Secundò autem conveniet etiam, & $imul di$crepabit ab illis rectis, quæ commune obtinent in duobus di$tinctis punctis per- pendiculum cum illâ _B X_; quia ip$a etiam commune obti- net perpendiculum cum eadem _B X_; $ed in uno eodemque puncto _X_ infinitè di$$ito. Hoc autem po$tremum cen$eri debet demon$tratum in XXVIII. hujus, prout moneo in eju$dem Corollario.

Itaque con$tat unum aliquem fore (in hypothe$i an- guli acuti) determinatum acutum angulum _B A X_, $ub quo educta _A X_ non ni$i ad infinitam di$tantiam incidat in eam _B X_, ac propterea $it ip$a limes partim intrin$ecus, partim extrin$ecus; tum earum omnium, quæ $ub minori- bus acutis angulis ad finitam di$tantiam incidunt in præ- dictam _B X_; tum etiam aliarum, quæ $ub majoribus angu- lis acutis, u$que ad angulum rectum inclu$ivè, commune obtinent in duobus di$tinctis punctis perpendiculum cum eadem _B X_. Quod erat &c.

PROPOSITIO XXXIII.

_H_Ypothe$is anguli acuti e$t ab$olutè fal$a_;_ quia repugnans naturæ lineæ rectæ.

Demon$tratur. Ex præmi$$is Theorematis con$tare pote$t eò tandem perducere Geometriæ Euclideæ inimi- cam hypothe$in anguli acuti, ut agno$cere debeamus duas in eodem plano exi$tentes rectas _A X_, _B X_, quæ in infini- tum protractæ versùs eas partes punctorum _X_ in unam tandem eandemque rectam lineam coire debeant, nimi- rum recipiendo, in uno eodemque infinitè di$$ito puncto _X_, commune in eodem cum ip$is plano perpendiculum. Quoniam verò de primis ip$is principiis agendum mihi hìc e$t, diligenter curabo, ut nihil omittam qua$i nimis $crupulosè objectum, quod quidem exacti$$imæ demon- $trationi opportunum e$$e cogno$cam.

LEMMA I. Duæ rectæ lineæ $patium non comprehendunt.

DEfinit Euclides lineam rectam, quæ _ex æquo $ua inter-_ _jacet puncta_. E$to igitur (fig. 37.) linea quædam _A X_, quæ ex puncto _A_ per $ua quælibet intermedia pun- cta continuativè excurrat u$que ad punctum _X_. Non di- cetur hæc linea recta, $i talis ip$a fuerit, ut circa duo illa immota extrema $ua puncta po$$it ip$a in alteram partem converti, ut putà a læva parte in dexteram: Non dicetur, inquam, linea recta; quia non jacebit ex æquo inter $ua de$ignata extrema puncta; quandoquidem vel in lævam partem declinabit, ubi ex puncto _A_ excurrit ad punctum _X_ per quædam intermedia puncta _B_; vel declinabit in dex- teram, ubi ex eodem immoto puncto _A_ excurrit ad idem im- motum punctum _X_ per quædam intermedia puncta _C_, quæ alia planè $unt a prædictis punctis _B_. Scilicet illa $ola li- nea _A X_ dici poterit recta, quæ excurrat ex puncto _A_ ad punctum _X_ per talia intermedia puncta _D_, quæ ip$a, pro- ut $ic invicem continuata, revolvi nequeant, circa illa im- mota extrema puncta _A_, & _X_, ad novum & novum occu- pandum $itum.

In hac autem rectæ lineæ idea manife$tè continetur propo$ita veritas, duas nempe rectas lineas $patium non com prehendere. Si enim duæ exhibeantur lineæ clauden- tes $patium, quarum nempe communia $int extrema duo puncta _A_, & _X_, facilè o$tenditur vel neutram, vel unam tantùm illarum linearum e$$e rectam. Neutra erit recta, ut putà _A B B X_, & _A C C X_, $i circa duo extrema immota puncta _A_, & _X_, ita revolvi po$$e intelligantur ip$æ _A B B X_, _A C C X_, ut reliqua ip$arum intermedia puncta ad novum, & novum occupandum locum pertran$eant. Una tantùm erit recta, ut putà _A D D X_, $i circa illa immota extrema puncta ita revolvi intelligantur ip$æ _A B B X_, _A C C X_, quæ hinc inde cum illa _A D D X_ $patium claudunt, ut ip$arum quidem _A B B X_, _A C C X_ puncta intermedia ad novum, & novum occupandum locum pertran$eant, ip$ius verò _A D-_ _D X_ puncta omnia etiam intermedia in eodem loco per$i- $tant. Non igitur fieri pote$t, ut duæ juxta præmi$$am in- telligentiam rectæ lineæ, $patium comprehendant. Quod erat propo$itum.

COROLLARIUM I.

HInc porrò $equitur admitti oportere po$tulatum illud Euclidæum: quòd _à dato puncto ad quodlibet a$$igna-_ _tum punctum rectam lineam ducere liceat_. Nam clarè intelli- gitur, duas $emper $ine ullo certo limite duci po$$e lineas, prædictis punctis _A_, & _X_ terminatas, quæ propiores in vicem fiant, minu$que idcirco $patium comprehendant, dum $cilicet una quidem ducatur ad lævam partem, & al- tera uniformis ad dexteram, $ive una $ur$um, & altera deor$um; duci, inquam, po$$e lineas eju$modi $emper in- vicem $ine ullo certo limite propiores, quæ utique omnino uniformes inter $e $int, $ibique invicem idcirco $uccedant, dum circa immota extrema puncta _A_, & _X_, revolvi ip$æ intelligantur. Inde autem clarè itidem intelligitur, $equi tandem debere (in $emper majore harum uniformium li- nearum, unius ad alteram acce$$u) coitionem in unam, eandemque lineam _A D X_, quæ circa immota extrema illa puncta revolvi nequeat ad occupandum novum locum. Et hæc erit linea recta po$lulata.

Ubi rur$um con$tat unicam e$$e, quæ à dato puncto ad quodlibet alterum a$$ignatum punctum pote$t duci li- nea recta.

COROLLARIUM II.

PRæterea $equitur uniformem e$$e debere intelligen- tiam alterius Euclideæ definitionis, in qua dicit pla- nam $uperficiem e$$e, _quæ ex æquo $uas interjacet lineas_. Si enim $uperficies clau$a prædictis lineis unâ _A B X_ rectâ, & alterâ _A B B X_ ($ive hæc $it unica, aut multiplex linea curva, $ive $it compo$ita ex duabus, aut pluribus lineis rectis, ut putà _A B_, _B B_, _B X_) $i, inquam, $uperficies eju$modi revolvi intelligantur circa immotam rectam _A D X_, u$que dum ip$a linea _A B X_ perveniat ad con- gruendum lineæ _A C X_, in parte adversâ locatæ, quæ uti- que ad omnimodam æqualitatem, & $imilis omnino $it ip$i _A B X_, & rur$um cum eadem rectâ _A B X_ claudat (versùs eandem $ive $upernam, $ive infernam partem) $uperficiem omnino æqualem, & $imilem antedictæ: alte- rutrum $anè continget; vel ita ut una $uperficies alteri adamu$$im congruat; vel ita ut intra duas illas $uperficies claudatur $patium trinæ dimen$ionis. Et primum quidem $i contingat, dicetur $uperficies plana; $in verò contingat $ecundum, non dicetur $uperficies plana; quia tunc aliæ intermediæ intelligi poterunt inter ea$dem extremas li- neas interpo$itæ $uperficies invicem æquales, ac $imiles, quæ $emper magis ad $e invicem $ine ullo certo limite accedant, ac propterea u$que ad excludendum omne $pa- tium intermedium. Tunc autem utraque illa $uperficies dicetur plana, quia verè jacebit ex æquo inter $uas extre- mas lineas, $ine ullo a$cen$u, aut de$cen$u in partes ad- ver$as.

LEMMA II. Duæ lineæ rectæ non po$$unt habere unum & idem $egmentum commune.

DEmon$tratur. Si enim fieri pote$t; unum & idem $egmentum _A X_ commune $it (fig. 38.) duabus re- ctis, per punctum _X_ in eodem plano continuatis _A X B_, & _A X C_. Tum centro _X_, & intervallo _X B_, $ive _X C_, de$cri- batur arcus _B M C_, ad cujus quodlibet punctum _M_ junga- tur ex puncto _X_ recta _X M_.

Dico primò, lineam _A X M_ fore & ip$am, in facta hy- pothe$i, lineam rectam, ex puncto _A_ per punctum _X_ con- tinuatam. Si enim linea eju$modi recta non $it, duci po- terit (ex Cor. I. præcedentis Lemmatis) alia quædam li- nea _A M_, quæ ip$a $it recta. Hæc autem vel $ecabit in ali- quo puncto _K_ alterutram ip$arum _X B_, _X C_; vel earundem alterutram, ut putà eam _X B_ claudet intra $patium com- prehen$um ip$is _A X_, _X M_, & _A P L M_. At horum prius manife$tè repugnat præcedenti Lemmati; quia $ic duæ $uppo$itæ rectæ lineæ, una _A X K_, & altera _A T K_, $patium clauderent. Po$terius autem uniformis ab$urdi $tatim con- vincitur.

Nam con$tat rectam _X B_, $i per _B_ ulteriùs protraha- tur, occur$uram tandem in aliquo puncto _L_ ip$i _A P L M_; unde rur$um duæ $uppo$itæ rectæ, una _A X B L_, & altera _A P L_, $patium claudent. Porrò uniforme $equitur ab$ur- dum, $i fingamus, quòd recta _X B_, ulteriùs protracta per _B_, occurrat tandem in quovis alio puncto aut rectæ _X M_, aut rectæ _X A_.

Ex i$tis autem evidenter con$equitur lineam _A X M_ fore ip$am, in facta hypothe$i, lineam rectam ex puncto _A_ ad punctum _M_ deductam. Quod erat propo$itum.

Dico $ecundò, eam $uppo$itam rectam _A X B_ (quate- nus quidem intelligatur con$ervare $uam illam qualem. cunque continuationem ex puncto _A_ per _X_ versùs _B_) non po$$e recipere duplicem aliam in eodem plano po$itionem, in quarum utrâque portio quidem _A X_ in eodem $itu per- $i$tat, portio verò altera _X B_ in una illarum duarum po$i- tionum congruat (exempli causâ) ip$i _X C_, & in alia po- $itione congruat ip$i _X M_.

Scilicet non hìc renuo, quin portio _X B_, $i intelliga- tur moveri in illo fuo plano circa punctum _X_, adeò ut $ucce$$ivè adamu$$im congruat (ex præcedente Lemmate) non modò ip$is _X M_, _X C_, verùm etiam adamu$$im con- gruat infinitis aliis rectis, quæ ex puncto _X_ duci po$$unt ad reliqua intermedia puncta arcus _B C_: Non, inquam, hic renuo, quin illa _X B_ in qualibet illarum po$itionum con- $iderari debeat tanquam continuatio in rectum ip$ius im- motæ _A X_; cum magis circa eam _A X M_ jam demon$trave- rim id $ecuturum in facta hypothe$i illius communis $eg- menti: Unicè igitur hìc a$$ero, in una tantùm novarum illarum po$itionum, ut putà dum congruit ip$i _X C_, reti- neri ab ea po$$e illam eandem qualemcunque continuatio- nem, quam obtinet in prima po$itione, ubi ex puncto _A_ per _X_ procedit versùs punctum _B_.

Et i$tud quidem $ic demon$tratur. Nam primò con- $tat continuationem illam _A X B_ nequire e$$e omnino $i- milem, aut æqualem continuationi _A X C_, $i utraque con- $ideretur versùs eandem $eu lævam, $eu dexteram partem; quia cæterùm in ea tali po$itione deberent invicem con- gruere ip$æ _A X B_, _A X C_; quod e$t contra hypothe$im communis illius $egmenti _A X_: Deberent, inquam, con- gruere; dum $cilicet, relatè ad eam immotam _A X_, æquè $imiliter in eandem $eu lævam, $eu dexteram partem con- vergerent in eo tali plano illæ continuatæ _X B_, & _X C_. Secundò con$tat nihil vetare, quin prædicta continuatio _A X B_, con$iderata versùs unam partem, ut putà, ad læ- vam, $imilis planè $it, aut æqualis continuationi _A X C_, con$ideratæ versùs partem adver$am, ut putà, ad dexte- ram, adeò ut propterea, $ine ulla immutatione in ip$a _A X B_, locari hæc po$$it ad congruendum in eodem plano alteri _A X C_. At manife$tè repugnat, quòd rur$um, $ine ulla immutatione illius $uæ continuationis, locari ea po$- $it in eodem plano ad congruendum alteri _A X M_, quæ ni- mirum dividat in _X_ illum qualemcunque angulum _B X C_. Quòd enim continuatio _A X B_ alia planè $ita continuatio- ne _A X M_, $i utraque con$ideretur versùs eandem $eu læ- vam, $eu dexteram partem, ex eo manife$tum e$$e debet; quia cæterùm (ut in $imili ob$ervatum jam e$t) in ea tali po$itione deberent invicem congruere ip$æ _A X B_, _A X M_. Sed neque $u$tineri pote$t, quòd continuatio _A X B_ versùs unam partem, ut putà ad lævam, $imilis planè $it, aut æqualis continuationi _A X M_ versùs partem adver$am, ut putà ad dexteram; quia cæterùm continuatio _A X M_ ver- sùs dexteram $imilis planè foret, aut æqualis continuatio- ni _A X C_ versùs eandem dexteram partem, propter $uppo- $itam omnimodam $imilitudinem, aut æqualitatem inter modò dictam continuationem, & illam aliam _A X B_ ver- sùs lævam. Tunc autem in ea tali po$itione (ut e$t præ- dictum) deberent invicem congruere ip$æ _A X M_, _A X C_; quod e$t contra præ$entem hypothe$im.

Ex quibus omnibus infero: eam $uppo$itam recta@ _A X B_ (quatenus quidem intelligatur con$ervare $uam il- lam qualemcunque continuationem ex puncto _A_ versùs _B_) recipere non po$$e duplicem aliam in eodem plano po- $itionem, in quarum utrâque portio quidem _A X_ in eo- dem $itu per$i$tat, portio verò altera _X B_ in una illarum duarum po$itionum congruat (exempli causâ) ip$i _X C_, & in alia po$itione congruat ip$i _X M_. Quod erat propo- $itum.

Dico tertiò: eandem $uppo$itam rectam _A X B_ non aliâ ratione con$ervare po$$e $uam illam qualemcunque continuationem, dum eju$dem portio _X B_ intelligitur trans- ferri per nova, & nova loca u$que ad congruendum in illo quodam plano ip$i _X C_, per$i$tente interim in eodem $uo loco portione _A X_; non po$$e, inquam, con$ervare $uam illam qualemcunque continuationem, ni$i quatenus portio ip$a _X B_ intelligatur a$cendere, aut de$cendere ad exi$ten- dum cum illa immota _A X_ in novis, & novis planis, u$que dum redeat ad antiquum planum, congruens ibi prædictæ _X C_.

Id enim cen$eri pote$t jam demon$tratum; quia $cili- cet nulla alia in eodem illo plano reperiri pote$t po$itio, juxta quam ip$a _A X B_ (per$i$tente portione _A X_ in $uo eodem loco) con$ervet $uam illam qualemcunque conti- nuationem, præterquam ubi deveniat ad congruendum prædictæ _A X C_.

Dico quartò: de$ignari po$$e in eo arcu _B C_ tale pun- ctum _D_, ad quod $i jungatur _X D_, jam ip$a _A X D_ non modò recta linea $it, $ed rur$um ita $e habeat, ut conti- nuario _A X D_, con$iderata versùs lævam, æqualis planè $it, aut $imilis eidem continuationi con$ideratæ versùs dexteram.

Demon$tratur. Et prior quidem pars (qualecunque $it illud punctum _D_ in arcu _B C_ de$ignatum) eo modo o$tenditur, quo $upra u$i $umus circa continuatam _A X M_. Po$terior verò pars ita evincitur. Nam hìc $upponimus duas rectas _A X B_, _A X C_, $ub eodem communi $egmento _A X_. Præterea $upponimus continuationem _A X B_ versùs lævam non e$$e omnino $imilem, aut æqualem eidemmet continuationi versùs dexteram; quia $tante omnimodà eju$modi $imilitudine, aut æqualitate, facilè o$tenditur nulli alteri rectæ lineæ commune e$$e po$$e illud $egmen- tum _A X_, prout nempe $ic demon$trabimus de illa conti- nuata _A X D_. Tandem con$equenter $upponimus conti- nuatam illam _A X B_ ita locari po$$e in eodem plano, ut $ub eodem immoto $egmento _A X_ congruat cuidam alteri _A X C_, in qua nimirum continuatio ip$a _A X C_ versùs dexteram $imilis planè $it, aut æqualis continuationi _A X B_ versùs lævam, ac rur$um continuatio _A X C_ versùs lævam $imilis planè $it, aut æqualis continuationi _A X B_ versùs dexteram.

His $tantibus: $i ad quodvis punctum _M_ $umptum in eo arcu _B C_ jungatur _X M_; vel continuatio _A X M_ erir $ibi ip$i planè uniformis relatè ad lævam; ac dexteram partem ip$ius _A X_; vel non. Si primum; demon$trabo de i$ta _A X M_, quod $tatim demon$traturus $um de illa con- tinuata _A X D_. Si $ecundum, ergo prædicta _A X M_ ita rur$um locari poterit in eodem plano, ut $ub eodem im- moto $egmento _A X_ congruat cuidam alteri _A X F_, in qua nimiru m continuatio ip$a _A X F_ versùs dexteram $imilis planè $it, aut æqualis continuationi _A X M_ versùs lævam, ac rur$um continuatio _A X F_ versùs lævam $imilis planè $it, aut æqualis continuationi _A X M_ versùs dexteram. Porrò, cum punctum _M_ $upponi po$$it vicinius puncto _B_, quàm punctum _C_, non cadet punctum _F_ in ip$um punctum _C_; quia $ic continuatio _A X M_ versùs lævam $imilis planè fo- ret, aut æqualis continuationi _A X F_, $ive _A X C_ versùs dexteram, ac propterea $imilis planè, aut æqualis conti- nuationi _A X B_ versùs lævam, quod e$t ab$urdum, cum il- læ duæ _X M_, _X B_ non $ibi invicem congruant in $ua tali po$itione. Sed neque etiam exi$tet punctum _F_ ultra pun- ctum _C_ in eo arcu _B C_ ulteriùs producto; quia $ic unifor- mi ratiocinio o$tendetur, contra hypothe$im, quòd etiam punctum _M_ deberet exi$tere in eo arcu _C B_ ulteriùs pro- ducto, adeo ut nimirum ip$a _X M_ divideret versùs lævam eum qualemcunque angulum _A X B_, prout _X F_ poneretur dividere versùs dexteram eum qualemcunque angulum _A X C_: Deberet, inquam, $ic exi$tere, ad eum utique finem, ut ea _A X M_ $ub eodem immoto $egmento _A X_ lo- cari rur$um po$$it in eodem plano ad congruendum illi alteri _A X F_, in qua nimirum continuatio ip$a _A X F_ ver- sùs dexteram $imilis planè $it, aut æqualis continuatio- ni _A X M_ versùs lævam, ac rur $um continuatio _A X F_ ver- sùs lævam $imilis planè $it, aut æqualis continuationi _A X M_ versùs dexteram.

Quoniam verò arcus _B C_ major e$t eju$dem portione _M F_, de$ignarique uniformiter po$$unt in ea portione _M F_ alia duo puncta cum minore, $ine ullo certo termino, in- tercapedine; alterutrum $anè in hac prædictorum puncto- rum approximatione contingere debet. Unum e$t, $i tan- dem incidatur in unum idemque intermedium punctum _D_, ad quod $i jungatur _X D_, talis habeatur continuatio _A X D_, cui $oli conveniat (factâ comparatione inter læ- vam, ac dexteram partem) e$$e $ibi ip$i omnino $imilem, aut æqualem. Alterum e$t, $i duo talia inveniantur di$tin- cta puncta _M_, & _F_, ad quæ junctæ _X M_, & _X F_, duas ex- hibeant continuationes, unam _A X M_, & alteram _A X F_, quarum utraque $it $ibi ip$i, modo jam explicato, omnino $imilis, aut æqualis. Hoc autem $ecundum impo$$ibile e$$e $ic demon$tro. Nam ex ip$is terminis con$tare pote$t, quòd recta linea, ex puncto _A_ per _X_ ulteriùs producta, unicam tantùm $ortiri pote$t in eo tali plano po$itionem, dum $cilicet quædam $uperaddita _X F_ æquè omnino $e ha- beat in lævam, & in dexteram partem præ$uppo$itæ _A X_, $eu non magis in lævam, quàm in dexteram eju$dem par- tem convergat. Non ergo alia erit continuatio _A X M_, quæ rur$um æquè omnino $e habeat in lævam, & in dexteram partem eju$dem _A X_. Scilicet con$tat $ub$i$tere $imul non po$$e; & quòd continuatio _A X F_ versùs dexteram $imilis planè $it, aut æqualis $ibi ip$i con$ideratæ versùs lævam; & quòd alia quædam continuatio _A X M_ versùs lævam (quæ, ex ip$a po$itione, minor $it continuatione _A X F_ versùs eandem lævam) æqualis iterum $it eidem conti- nuationi versùs dexteram, quæ certè, ex ip$a rur$um po- $itione, major e$t prædictâ continuatione _A X F_ versùs ean- dem dexteram.

Non ergo in eo arcu _B C_ duo talia inveniri po$$unt puncta _M_, & _F_, ad quæ junctæ _X M_, & _X F_, duas exhi- beant continuationes, unam _A X M_, & alteram _A X F_, qua- rum utraque $it $ibi ip$i, modo jam explicato, omnino $imilis, aut æqualis. Unde tandem con$equitur incidi ali- quando debere in unum, idemque punctum _D_, ad quod juncta _X D_ talem exhibeat continuationem _A X D_, cui $oli conveniat (factâ comparatione inter lævam, ac dexteram partem) e$$e $ibi ip$i omnino $imilem, aut æqualem. Quod erat hoc loco demon$trandum.

Dico tandem quintò: eam $olam _A X D_ fore lineam _rectam_, nimirum ex _A_ per _X directè_ continuatam in _D_. Quamvis enim ly _ex æquo_, in definitione lineæ rectæ, ap- plicari primitùs debeat punctis intermediis relatè ad pun- cta ip$ius extrema; unde utique jam elicuimus, _duas lineas_ _rectas non claudere $patium_; intelligi tamen etiam debet de eju$dem rectæ lineæ continuatione _in directum_. Itaque ea $ola _X D_ (in eodem cum _A X_ plano exi$tens) dicetur e$$e continuatio _recta_, $ive _in rectum_ prædictæ _A X_, quando ip$a neque in lævam, neque in dexteram illius partem con- vergat, $ed utrinque _ex æquo_ procedat; adeo ut nempe coutinuatio illa _A X D_ versùs lævam $imilis planè $it, aut æqualis eidem continuationi con$ideratæ versùs dexteram. Inde enim fiet, ut illi $oli _A X D_ conveniat non po$$e ab ea $u$cipi in eo tali plano aliam po$itionem $ub illa immota _A X_; cum certè (ex jam demon$tratis) illæ aliæ _A X B_, & _A X M_, citra omnem $uarum talium continuationum im- mutationem, $u$cipere po$$int $ub eadem immota _A X_ alias in eodem plano po$itiones, quales $unt ip$arum _A X C_, & _A X F_. Igitur illa $ola _A X D_, cujus nempe continuatio _X D_ tum in eodem cum ip$a _A X_ plano exi$tat, tum etiam æquè omnino $e habeat in lævam, ac dexteram partem prædictæ _A X_, e$t linea _recta_ juxta explicatam definitionem, $eu con- tinuatio _in rectum_ eju$dem præ$uppo$itæ rectæ _A X_.

Ex quibus omnibus tandem con$tat evenire non po$- $e, ut unum quodpiam $it commune $egmentum duarum rectarum. Quod erat demon$trandum.

COROLLARIUM.

EX duobus præmi$$is Lemmatis tria opportunè $ubno- tare licet. Unum e$t: duas rectas, neque $ub infini- tè parvâ inter ip$as di$tantiâ, claudere $patium po$$e. Ra- tio e$t, quia (prout in primo Lemmate) vel utraque illa- rum $ub duobus illis communibus extremis punctis im- motis revolvi po$$et ad novum $itum occupandum, & $ic (ex jam tradita lineæ rectæ definitione) neutra foret li- nea recta: vel una tantum in $uo eodem $itu per$i$teret, & $ic illa $ola recta linea foret. Quod autem nequeat utra- que in eodem ip$o $itu per$i$tere, dum aliquod conclu- dant $patium, etiam$i infinitè parvum, manife$tum fier con$ideranti po$$e faciem illius plani, in quo illæ duæ con$i$tunt, converti de $uperna in infernam, manentibus cæteroquin in $uo eodem loco duobus illis extremis pun- ctis.

Alterum e$t: neque item ullam lineam rectam, in quantalibet eju$dem productione in directum, diffindi po$$e in duas, quamvis $ub infinitè parva intercapedine. Ratio e$t; quia (prout in præcedente Lemmate) conti- nuatio in directum præ$uppo$itæ cuju$dam $implicis rectæ _A X_ non alia e$$e intelligitur præter unam _X D_, quæ _ex_ _æquo_ utrinque procedat relatè ad lævam, ac dexteram par- tem prædictæ _A X_; ex quo utique fiat, ut $ub ea immota _A X_ non aliam ip$a immutata habere po$$it in eo plano po$itionem. Quòd autem in eodem plano alia quædam ad lævam decerni po$$it _X M_, infinitè parum di$$iliens ab ip$a _X D_, nihil $uffragatur. Nam rur$um alia item ad dexteram de$ignari poterit _X F_, quæ uniformiter infinitè parum di$- $iliat ab eadem _X D_. Quare (prout in præcitato Lemma- te) illa $ola _A X D_ erit linea recta a nobis definita.

Tertium tandem e$t: in hoc ip$o $ecundo Lemmate cen$eri po$$e immediatè demon$tratam 4. undecimi; quòd nempe eju$dem rectæ nequeat pars una quidem in $ubje- cto plano exi$tere, & altera in $ublimi.

LEMMA III. Si duæ rectæ _A B, C X D_ $ibi inviccm occurrant _(_fig. _39.)_ in aliquo ip$arum intermedio puncto _X,_ non ibi $e invicem contingent_,_ $ed una alteram ibidem $ecabit.

DEmon$tratur. Si enim fieri pote$t, tota _C X D_ ad unam eandemque partem ip$ius _A B_ con$i$tat. Jun- gatur _A C_. Non erit porrò _A C_ eadem cum ipsâ veluti con- Tab. IV. tinuatâ _A X C_; quia cæterùm (contra præcedens Lemma) duarum rectarum, unius _A X C_, & alterius præ$uppo$itæ _D X C_, unum idemque foret commune $egmentum _X C_. Itaque jungatur _B C_. Non erit rur$um hæc _B C_ continua- tio ip$ius _B A_ u$que in punctum _C_; ne duæ rectæ, una _X A C_, portio ip$ius _B A C_, & altera _X C_ $patium claudant, contra præmi$$um Lemma primum. Igitur ea _B C_ vel $e- cabit in aliquo puncto _L_ ip$am _X D_, $ive præ$uppo$itam rectam _D X C_; & tunc rur$um duæ rectæ lineæ, una _L C_ portio ip$ius _B C_, & altera _L X C_ portio prædictæ _D X C_, $patium claudent; vel alterutrum extremum punctum $ive _A_ ip$ius _B A_, $ive _D_ ip$ius _C X D_, claudetur intra $patium comprehen$um ip$is _C X_, _X B_, & alterutrâ vel _B F C_, vel _B H C_. At in utroque ca$u idem ab$urdum con$equitur: Sive enim _B A_ protracta per _A_ occurrat ip$i _B F C_ in ali- quo puncto _F_; $ive _C X D_ protracta per _D_ occurrat ip$i _B H C_ in aliquo puncto _H_: in idem $emper ab$urdum inci- dimus, quòd duæ rectæ $patium claudant; nimirum aut recta _B F_ portio ip$ius _B F C_ unà cum altera _B A F_; aut re- cta _H C_, portio ip$ius _B H C_, unà cum altera præ$uppo$ita recta continuata _C X D H_.

Porrò idem, aut majus ab$urdum con$equitur, $i illa _B A_ protracta per _A_ occurrat in aliquo puncto vel ip$i _CX_, vel $ibi ip$i in aliquo puncto $uæ portionis _X B_. Atque id $imiliter valet, $i altera _C X D_ protracta per _D_ occurrat in aliquo puncto vel ip$i _X B_, vel $ibi ip$i in aliquo puncto $uæ portionis _C X_.

Itaque con$tat, quòd duæ rectæ _A B_, _C X D_ $ibi invi- cem occurrentes in aliquo ip$arum intermedio puncto _X_, non ibi $e invicem contingent, $ed una alteram ibidem $ecabit. Quod erat &c.

LEMMA IV. Omnis diameter dividit bifariam $uum circulum_,_ eju$que circumferentiam.

DEmon$tratur. E$to circulus (recole fig. 23.) _M D H_- _N K M_, cujus centrum _A_, & diameter _M N_. Intelli- gatur illius circuli portio _M N K M_ ita revolvi circa im- Tab. II. mota puncta _M_, & _N_, ut tandem accommodetur, $eu co- aptetur reliquæ portioni _MNHDM_. Con$tat primò totam diametrum _M A N_ quoad omnia ip$ius puncta in eodem $itu e$$e man$uram: ne duæ rectæ lineæ (contra præce- dens Lemma primum) $patium claudant. Con$tat $ecun- dò nullum punctum _K_ circumferentiæ _N K M_ ca$urum vel intra, vel extra $uperficiem clau$am diametro _M A N_, & altera circumferentiâ _N H D M_; ne $cilicet contra natu- ram circuli, unus radius v. g. _A K_ minor $it, aut major al- tero eju$dem circuli radio v. g. _A H_. Con$tat tertiò quem- libet radium _M A_ continuari unicè po$$e in rectum per alterum quendam radium _A N_, ne (contra ptæcedens Lem- ma $ecundum) duæ $uppo$itæ rectæ lineæ, ut putà _M A N_, _M A H_, unum idemque commune habeant $egmentum _MA_. Con$tat quartò (ex proximè antecedente Lemmate) om- nes cuju$vis circuli diametros $e invicem in centro $ecare, & ex notâ naturâ circuli bifariam.

Ex quibus omnibus con$tare pote$t, quòd diameter _M A N_ tum dividit exacti$$imè $uum circulum, eju$que circumferentiam in duas æquales partes, tum etiam a$$u- mi univer$im pote$t pro qualibet eju$dem circuli diame- tro. Quod erat &c.

SCHOLION.

HAnc eandem veritatem demon$tratam leges apud Clavium a Thalete Mile$io, $ed forta$$e non exhau- $tâ omni qualibet objectione.

LEMMA V. Inter angulos rectilineos omnes anguli recti $unt invicem exacti$$imè æquales_,_ $ine ullo defectu etiam infinitè parvo.

DEm on$tratur. Angulum inter rectilineos rectum de- finit Euclides: _qui e$t æqualis $uo deinceps_. Non hunc po$tulat ip$e $ibi concedi, $ed problematicè demon$trat in Tab. IV. $ua Prop. XI. Libri primi. Ibi enim ex dato in recta _B C_ quolibet puncto _A_ (fig. 40.) docet excitare perpendi- cularem _A D_, ad quam anguli _D A B_, _D A C_ $int invicem æquales. Porrò illos duos angulos e$$e invicem exacti$$imè æquales, $ine ullo defectu etiam infinitè parvo, con$tare pote$t ex Corollario po$t duo priora præmi$$a Lemmata $i nempe ip$æ _A B_, _A C_ de$ignatæ $int exacti$$imæ æquales.

Sed aliqua oriri pote$t dubitatio, $i duo alii ad quan- dam alteram _F M_ recti anguli _L H F_, _L H M_ (fig. 41.) con- ferantur cum prædictis rectis angulis _D A B_, _D A C_. Ita- que _H L_ æqualis $it ip$i _A D_, ac rur$um po$terior integra Figura ita intelligatur $uperponi priori, ut punctum _H_ cadat $uper punctum _A_, & punctum _L_ $uper punctum _D_. Jam $ic progredior. Et primò quidem (ex præcedente Lemmate) ip$a _F H M_ non præcisè continget alteram _B C_ in eo puncto _A_. Ergo vel adamu$$im procurret $uper illa _B C_, vel eandem ita $ecabit, ut unum ejus punctum ex- tremum v. g. _F_ cadat $uprà, & alterum _M_ deor$um. Si primum: jam clarè habemus exacti$$imam inter omnes re- ctilineos angulos rectos æqualitatem intentam. At non $ecundum; quia $ic angulus _L H F_, hoc e$t _D A F_, minor foret angulo _D A B_, eju$que $uppo$ito exacti$$imè æquali _D A C_, & $ic multò minor angulo _D A M_, $ive _L H M_; con- tra hypothe$in. Deinde verò nihil $uffragatur, quòd an- gulus _D A F_ infinitè parùm deficiat ab angulo _D A B_, $ive ejus exacti$$imè æquali _D A C_, qui rur$um $olùm infinitè parum $uperetur ab angulo _D A M_. Nam $emper angulus _D A F_, $ive _L H F_, non erit exacti$$imè æqualis angulo _D A M_, $ive _L H M_, contra hypothe$in.

Itaque con$tat omnes rectilineos angulos rectos e$$e invicem exacti$$imè æquales, $ine ullo defectu etiam infi- nitè parvo. Quod &c.

COROLLARIUM.

INde autem fit, ut quæ ex uno dato cuju$vis rectæ li- neæ puncto perpendiculariter in aliquo plano ad ean- dem educitur, ip$a $it in eo tali plano unica exacti$$imè linea recta, nec potens diffindi in duas.

Po$t quinque præmi$$a Lemmata_,_ eorumque Corollaria_,_ progredi jam debeo ad demon$tr andum principale a$$umptum contra hypothe$in anguli acuti.

UBi $tatuere po$$um, tanquam per $e notum, non mi- nùs repugnare, quòd duæ rectæ lineæ ($ive ad fini- tam, $ive ad infinitam earundem productionem) in unam tandem, eandemque rectam lineam coeant; quàm quòd una eademque linea recta ($ive ad finitam, $ive ad infini- tam eju$dem continuationem) in duas rectas lineas diffin- datur, contra præcedens Lemma $ecundum, eju$que Co- rollarium. Quoniam ergo naturæ lineæ rectæ (ex præce- dente Corol. proximi Lemmatis) oppo$itum itidem e$t, quòd duæ rectæ lineæ ad unum, idemque punctum cuju$- dam tertiæ rectæ, perpendiculares ip$i $int in eodem com- muni plano; agno$cere oportet tanquam ab$olutè fal$am, quia repugnantem naturæ prædictæ, hypothe$in anguli acuti, juxta quam duæ illæ _A X_, _B X_ (fig. 33.) in uno eo- demque communi puncto _X_ perpendiculares e$$e debe- rent cuidam tertiæ rectæ, quæ in eodem cum ip$is plano exi$teret. Hoc autem erat principale demon$trandum.

SCHOLION.

ATque hìc $ub$i$tere tutus po$$em. Sed nullum non movere lapidem volo, ut inimicam anguli acuti hy- pothe$im, a primis u$que radicibus revul$am, $ibi ip$i re- pugnantem o$tendam. I$te autem erit con$equentium hu- jus Libri Theorematum unicus $copus.

LIBRI PRIMI PARS ALTERA. In qua idem Pronunciatum Euclidæum contra hypothe$in anguli acuti redargutivè demon$tratur. PROPOSITIO XXXIV. In qua expenditur curva quædam ena$cens ex hypothe$i anguli acuti.

REcta _C D_ jungat æqualia perpendicula _A C_, _B D_ cui- dam rectæ _A B_ in$i$tentia. Tum divi$is bifariam in punctis _M_, & _H_ (fig. 42.) ip$is _A B_, _C D_, jungatur _M H_ (ex 2. hujus) utrique perpendicularis. Rur$um in hac hy- Tab. V. pothe$i $upponuntur acuti anguli ad junctam _C D_. Quare in quadrilatero _A M H C_ erit _M H_ (ex Cor. I po$t 3. hujus) minor ipsâ _A C_. Hinc autem; $i in _M H_ protractâ $umas _M K_ æqualem ip$i _A C_; puncta _C_, _K_, _D_ $pectabunt ad cur- vam hìc expen$am. Deinde anguli ad junctam _C K_ erunt & ip$i (ex 7. hujus) acuti. Igitur juncta _L X_, quæ bifa- riam, atque ideo (ex 2. hujus) ad angulos rectos dividat ip$as _A M_, _C K_, erit $imiliter (ex Cor. I. po$t 3. hujus) mi- nor eâdem _A C_. Quapropter; $i in _L X_ protractâ $umas _LF_ æqualem ip$i _A C_, aut _M K_; etiam punctum _F_ $pectabit ad eam curvam. Præterea jungens _C F_, & _F K_ invenies $i- militer duo alia puncta ad eandem curvam $pectantia. At- que ita $emper. Quod autem dico pro inveniendis pun- ctis inter puncta _C_, & _K_, idem etiam uniformiter valet pro inveniendis punctis inter puncta _K_, & _D_, $cilicet cur- va _C K D_, ena$cens ex hypothe$i anguli acuti, e$t linea jungens extremitates omnium æqualium perpendiculorum $uper eâdem ba$i ver$us eandem partem erectorum, quæ utique venire po$$unt $ub nomine rectarum ordinatim ap- plicatarum; e$t, inquam, linea eju$modi, quæ propter ip- $am, ex qua na$citur, hypothe$im anguli acuti, $emper e$t cava versùs partes contrapo$itæ ba$is _A B_. Quod quidem hoc loco declarandum, ac demon$trandum a nobis erat.

PROPOSITIO XXXV.

_S_I ex quolibet puncto _L_ ba$is _A B_ ordinatim applicetur ad eam curvam _C K D_ recta _L F:_ Dico rectam _N F X_ per- pendicul arem ip$i _L F_ cadere totam ex utraque parte debere versùs partes convexas eju$dem curvæ_,_ atque ideo eam fore eju$- dem curvæ tangentem.

Demon$tratur. Si enim fieri pote$t, cadat quoddam punctum _X_ (fig. 43.) ip$ius _N F X_ intra cavitatem eju$dem curvæ. Demittatur ex puncto _X_ ad ba$im _A B_ perpendi- cularis _X P_, quæ protracta per _X_ occurrat curvæ in quo@ dam puncto _R_. Jam $ic. In quadrilatero _L F X P_ non erit angulus in puncto _X_ aut rectus, aut obtu$us: Cæterùm (ex 5. & 6. hujus) de$trueretur præ$ens hypothe$is angu- li acuti. Ergo prædictus angulus erit acutus. Quare erit _P X_ (ex Cor. I. po$t 3. hujus) & $ic multò magis _P R_ ma- jor ipsâ _L F_. Hoc autem ab$urdum e$t (ex præcedente) contra naturam i$tius curvæ. Itaque illa _N F_ protracta ca- dere tota debet versùs partes convexas, atque ideo ip$a erit eju$dem curvæ tangens. Quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO XXXVI.

_S_I recta quæpiam _X F (_fig. _44.)_ acutum angulum efficiat cum quavis ordinatâ _L F,_ non cadet punctum _X_ extra ca- vıtatem curvæ_,_ ni$i priùs ip$a _X F_ in aliquo puncto _O_ curvam $ecuerit.

Demon$tratur. Con$tat $umi po$$e in ip$a _X F_ pun- ctum quoddam _X_ adeò vicinum ip$i puncto _F_, ut juncta _L X_ priùs curvam $ecet in aliquo puncto _S_: cæterùm ip$a _X F_ vel non cadet tota extra cavitatem curvæ, & $ic ha- bemus intentum; vel adeò non efficiet cum _F L_ angulum acutum, ut magis cen$enda jam $it in unicam rectam cum altera _L F_ coire. Itaque ex puncto _S_ demittatur ad ba$im _A B_ perpendicularis _S P_. Erit hæc (ex 34. hujus) æqualis ip$i _L F_. E$t autem _S P_ (ex 18. primi) minor ipsâ _L S_. Ergo etiam _L F_ minor e$t eâdem _L S_, ac propterea multò minor ipsâ _L X_. Hinc in triangulo _L X F_ acutus erit an- gulus in puncto _X_, quia minor (ex 18. primi) angulo _LFX_ $uppo$ito acuto. Jam demittatur ad _F X_ perpendicularis _L T_. Cadet hæc (propter 17. primi) ad partes utriu$que anguli acuti. Quare punctum _T_ jacebit inter puncta _X_, & _F_. Deinde ex puncto _T_ demittatur ad ba$im _A B_ perpen- dicularis _T Q_. Erit _L F_ (propter angulum rectum in _T_) major ipsâ _L T_, & hæc (propter angulum rectum in _Q_) major alterâ _Q T_. Igitur _L F_ multò major erit ipsâ _Q T_. Hinc autem; $i in _Q T_ protractâ $umatur _Q K_ æqualis ip$i _L F_; punctum _K_ (ex 34. hujus) ad præ$entem curvam $pectabit, cadetque idcirco punctum _T_ intra cavitatem eju$dem curvæ. Non ergo recta _F T_, quæ $ecat duas re- ctas _Q K_, & _L T_ in _T_, promoveri pote$t ad $ecandam pro- tractam _L S_ in puncto _X_, con$tituto extra cavitatem præ- $entis curvæ, ni$i priùs ip$a protracta _F T_ $ecet in aliquo puncto _O_ portionem eju$dem curvæ inter puncta _S_, & _K_ con$titutam. Hoc autem erat demon$trandum.

COROLLARIUM.

ATque hinc manife$tè liquet, inter tangentem hujus curvæ, & ip$am curvam locari non po$$e quandam rectam, quæ tota ad hanc, vel illam tangentis partem ex- tra curvæ cavitatem cadat; quandoquidem recta $ic locata efficere debet (ex præcedente) angulum acutum cum demi$$a ex puncto contactus ad contrapo$itam ba$im per- pendiculari.

PROPOSITIO XXXVII.

_C_Urva _C K D,_ ex hypothe$i anguli acuti ena$cens_,_ æqualis e$$e deberet contrapo$itæ ba$i _A B_.

Ante demon$trationem præmitto $equens axioma.

Si duæ lineæ bifariam dividantur, tum earum medie- tates, ac rur$um quadrantes bifariam, atque ita in infini- tum uniformiter procedatur; certo argumento erit, duas i$tas lineas e$$e inter $e æquales, quoties in i$ta uniformi in infinitum divi$ione comperiatur, $eu demon$tretur, de- veniri tandem debere ad duas illarum $ibi invicem re$pon- dentes partes, quas con$tet e$$e inter $e æquales.

Jam demon$tratur propo$itum. Intelligantur erecta ex ba$i _A B_ ad eam curvam _C K D_ (fig. 45.) quotvis per- pendicula _N F_, _L F_, _P F_, _M K_, _T F_, _V F_, _I F_; $intque æqua- les in ip$a ba$i _A B_ portiones _A N_, _N L_, _L P_, _P M_, _M T_, _T V_, _V I_, _I B_.

Con$tat primò angulum ip$ius _A C_ cum eâ curvâ æqualem fore $ingulis hinc inde ad puncta _F_, $ive ad pun- ctum _K_, aut punctum _D_, prædictarum perpendicularium angulis cum eâdem curvâ. Si enim mi$tum quadrilate- rum _A N F C_ $uperponi intelligatur mi$to quadrilatero _N L F F_, con$titutâ ba$i _A N_ $uper æquali ba$i _N L_, cadet _A C_ $uper _N F_, & _N F_ $uper _L F_, propter æquales angulos rectos ad puncta _A_, _N_, _L_. Deinde propter æqualitatem rectarum (ex 34. hujus) _A C_, _N F_, _L F_, cadet punctum _C_ $uper punctum _F_ ip$ius _N F_, & hoc $uper alterum pun- ctum _F_ ip$ius _L F_. Præterea curva _C F_ congruet adamu$$im ip$i curvæ _F F_: $i enim una illarum, ut _C F_ intror$um, aut extror$um cadat; $umpto quolibet puncto _Q_ inter puncta _N_, & _L_, ductâque perpendiculari $ecante unam curvam in _X_, & alteram in _S_, æquales forent (ex notâ hujus curvæ naturâ) ip$æ _Q X_, _Q S_, quod e$t ab$urdum. Idem valebit, $i in dicta $uperpo$itione maneat in $uo $itu recta _N F_, & recta _A C_ cadat $uper _L F_. Rur$um idem valebit, $i idem quadrilaterum mi$tum _A N F C_ utrovis modo $uperponi in- telligatur cuivis reliquorum quadrilaterorum u$que ad ip$um inclu$ivè po$tremum quadrilaterum _B D F I_. Itaque angulus ip$ius _A C_ cum eâ curvâ æqualis e$t $ingulis hinc inde ad puncta _F_, $ive ad punctum _K_, aut punctum _D_, prædictarum perpendicularium angulis cum eadem curva.

Con$tat hinc $ecundò æquales adamu$$im inter $e e$$e portiones ip$ius curvæ ab i$tis perpendicularibus hinc in- de ab$ci$$as.

Si ergo ba$is _A B_ divi$a $it bifariam in _M_, & medie- tas _A M_ bifariam in _L_; tum quadrans _L M_ bifariam in _P_; atque ita in infinitum, procedendo $emper versùs partes puncti _M_; con$tabit tertiò, etiam curvam _C K D_ bifariam dividi in _K_ a perpendic ulari _M K_, medietatem _C K_ bifa- riam itidem dividi in _F_ a perpendiculari _L F_, quadrantem _F K_ bifariam in _F_ a perpendiculari _P F_; atque ita in infi- nitum, procedendo $emper uniformiter versùs partes ip$ius puncti _K_.

Quoniam verò in i$tâ ba$is _A B_ in infinitum divi$ione con$iderare po$$umus rem deveni$$e ad portionem ip$ius _A B_ infinitè parvam, quæ nempe exhibeatur per latitudi- nem infinitè parvam perpendicularis _M K_, con$tabit quar- tò (ex præmi$$o axiomate) æqualitas intenta totius ba$is _A B_ cum totâ cutvâ _C K D_, dum aliàs o$tendam portionem infinitè parvam ab$ci$$am ex ba$i _A B_ a perpendiculari _M K_ æqualem e$$e adamu$$im portioni infinitè parvæ, quam ea- dem perpendicularis ab$cindit ex curva _C K D_. Et hoc quidem po$tremum $ic demon$tro.

Nam _R K_ perpendicularis ip$i _K M_ tanget (ex 35. hu- jus) curvam in _K_, atque ita eandem tanget in _K_, ut in- ter ip$am tangentem (ex Cor. po$t 36, hujus) & curvam, ex neutra parte locari po$$it recta, quæ ip$am curvam non $ecet. Igitur infinite$ima _K_, $pectans ad curvam, æqualis omnino erit infinite$imæ _K_ $pectanti ad tangentem. Con- $tat autem infinite$imam _K_ $pectantem ad tangentem, nec majorem, nec minorem, $ed omnino æqualem e$$e infini- te$imæ _M_ $pectanti ad ba$im _A B_; quia nempe recta illa _M K_ intelligi pote$t de$cripta ex fluxu $emper ex æquo eju$dem puncti _M_ u$que ad eam $ummitatem _K_.

Quare (juxta præmi$$um axioma) curva _C K D_, ex hypothe$i anguli acuti ena$cens, æqualis e$$e deberet con- trapo$itæ ba$i _A B_. Quod erat demon$trandum.

SCHOLION I.

SEd fortè minùs evidens cuipiam videbitur enunciata exacti$$ima æqualitas inter illas infinite$imas _M_, & _K_. Quare ad avertendum hunc $crupulum $ic rur$um proce- do. Cuidam rectæ _A B_ in$i$tant ad rectos angulos in eo- dem plano (fig. 48.) duæ rectæ æquales _A C_, _B D_. Rur- Tab. V. $um in eodem plano intelligatur exi$tere circulus _B L D H_, cujus diameter _B D_; $itque $emicircumferentia _B L D_ æqua- lis prædictæ _A B_. Præterea idem circulus ita in eo plano revolvi concipiatur $uper eâ rectâ _A B_, ut motu $emper continuo, & æquabili perficiat, $eu de$cribat $uæ ip$ius $emicircumferentiæ punctis prædictam _B A_; quou$que nempe punctum _D_, ad illam $emicircumferentiam $pe- ctans, perveniat ad congruendum ip$i puncto _A_, itaut propterea punctum _B_, eju$dem $emicircumferentiæ alte- rum extremum punctum, deveniat ad congruendum illi puncto _C_.

His $tantibus; $i in $emicircumferentia _B L D_ de$i- gnetur quodvis punctum _L_, cui in de$cripta recta linea _B A_ corre$pondeat punctum _M_, ex quo in eo tali plano educatur perpendicularis _M K_, æqualis ip$i _B D_: Dico il- lud punctum K fore ip$um punctum _H_ diametraliter op- po$itum illi puncto _L_. Nam ibi in puncto _M_, $ive _L_ recta _A B_ continget prædictum circulum. Igitur _M K_ eidem _A B_ perpendicularis tran$ibit (ex 19. tertii, quæ utique independens e$t ab Axiomate controver$o) per centrum eju$dem circuli. Quare; ubi punctum _L_ in eâ tali circuli _B L D H_ revolutione perveniat ad congruendum cum pun- cto _M_ ip$ius _A B_, etiam punctum _H_, diametraliter oppo- $itum prædicto puncto _L_, incidet in punctum _K_ illius _M K_.

Porrò con$tat idem $imiliter valere de reliquis pun- ctis $emicircumferentiæ _B L D_, & horum diametraliter correlativis in altera $emicircumferentia _B H D_. Quare li- nea, eo tali modo $ucce$$ivè de$cripta a punctis $emicir- cumferentiæ _B H D_, erit illa eadem jam expen$a _D K C_, quæ nempe $uis omnibus punctis æquidi$tet ab illa recta _B A_; $itque idcirco (juxta hypothe$in anguli acuti) $em- per cava versùs partes eju$dem _A B_.

Inde autem fit, ut punctum _M_ in ea _B A_ cen$endum $it exacti$$imè æquale puncto _K_ in altera _D K C_, propter omnimodam i$torum æqualitatem cum punctis _L_, & _H_ diametraliter oppo$itis in eo circulo _B L D H_. Quare; cum idem valeat de omnibus punctis de$criptæ rectæ _B A_, $i conferantur cum aliis uniformiter contrapo$itis in prædi- cta $uppo$ita curva _D K C_; con$equens planè e$t, ut ip$a talis curva, ex hypothe$i anguli acuti ena$cens, cen$enda $it æqualis contrapo$itæ ba$i _A B_. Atque id e$t, quod no- vâ hac methodo iterum demon$trandum $u$ceperam.

SCHOLION II.

RUr$um verò: quoniam recta _B A_ intelligitur $ucce$- $ivè de$cripta a punctis $emicircumferentiæ _B L D_ motu illo $emper æquabili, & continuo; cui nempe de- $criptioni corre$pondet de$criptio illius lineæ _D K C_ a pun- ctis diametraliter correlativis alterius $emicircumferentiæ _B H D_: obvium e$t intelligere, quòd ip$a recta _B A_ motu illo $emper æquabili, & continuo de$cribatur ab eo unico puncto _B_, quod nempe (veluti replicatum) intelligatur cum ip$a tali $emicircumferentia $emper excurrere $uper eâ _B A_; dûm interim eodem ip$o tempore, motu eodem $emper æquabili, & continuo, de$cribitur illa altera _D K C_ ab altero diametraliter correlativo unico puncto _D_, quod ip$um rur$um (veluti replicatum) intelligatur cum $ua altera $emicircumferentia _B H D_ $emper excurrere $uper prædicta _D K C_. Tunc autem faciliùs intelligitur intenta æqualitas inteream _D K C_, & eidem contrapo$itam rectam _B A_; quippe quæ duæ æquali ip$o tempore, & æquali mo- tu intelliguntur de$criptæ a duobus exacti$$imè inter $e æqualibus punctis, $eu mavis infinite$imis. Ubi con$tat hanc ip$am exacti$$imam prædictorum punctorum æquali- tatem non e$$e mihi in i$ta nova contemplatione nece$$a- riam.

PROPOSITIO XXXVIII.

_H_Ypothe$is anguli acuti e$t ab$olutè fal$a_,_ quia $e ip$am de$truit.

Demon$tratur. Nam $uprà ex ip$a hypothe$i anguli acuti evidenter elicuimus, curvam _C K D_ (fig 46.) ex ea prognatam æqualem e$$e debere contrapo$itæ ba$i _A B_. Nunc autem contradictorium ex eadem hypothe$i elici- mus, quòd curva _C K D_ nequeat e$$e æqualis illi ba$i, cum certè $it eâdem major. Quod enim curva _C K D_ major $it rectâ _C D_ ejus extremitates jungente, notio e$t omnibus communis, quam etiam demon$trare po$$umus ex vige$i- ma primi, quòd duo trianguli latera reliquo $emper $unt majora; junctis nimirum _C K_, & _K D_; ac rur$um junctis $imiliter apicibus, primò quidem duorum, tum quatuor, & $ic in infinitum, duplicato numero ena$centium $egmen- torum, quou$que intelligatur hoc pacto ab$umi, $eu de$i- nere in ip$as infinitè parvas $eu chordas, $eu tangentes, to- ta curva _C K D_. Sed hìc procedere po$$umus ex $ola com- muni notione. Quòd autem juncta _C D_ major $it ba$i _AB_, demon$tratum a nobis e$t in 3. hujus ex ip$is vi$ceribus hypothe$is anguli acuti. Igitur curva _C K D_, ex hypothe$i anguli acuti ena$cens, e$t certè major ba$i _A B_, quia e$t major, $altem ex communi notione, rectâ _C D_, quæ ex hac ip$a hypothe$i anguli acuti demon$tratur major ba$i _A B_. Non igitur pote$t $imul con$i$tere, quòd curva i$ta _C K D_ æqualis $it ba$i _A B_. Itaque con$tat hypothe$im an- guli acuti e$$e ab$olutè fal$am, quia $e ip$am de$truit.

SCHOLION.

OB$ervare tamen debeo, quòd etiam ex hypothe$i an- guli obtu$i ena$citur curva quædam _C K D_, $ed con- vexa versùs partes ba$is _A B_. Nam _M H_ (fig. 47.) bifariam dividens ip$as _A B_, _C D_ erit (ex 2. hujus) ei$dem perpen- dicularis; & major (ex Cor. I. po$t 3. hujus) ip$is _AC_, _B D_, in hypothe$i anguli obtu$i. Quare ip$ius _M H_ portio quæ- dam _M K_ æqualis erit ip$i _A C_, aut _B D_. Tum junctis _C_ k, & k _D_, divi$i$que bifariam in punctis _X_, _P_, _Q_, _N_ rectis _C_k, _A M_, _M B_, k _D_, con$tat (ex eadem 2. hujus) junctas _P X_, _Q M_, perpendiculares fore ip$is rectis divi$is. At rur- $um erunt illæ (ex eodem Cor. I. po$t 3. hujus) majores ip$is _A C_, _M_ k, _B D_. Hinc; a$$umptis earundem portioni- bus _P L_, _Q S_, quæ prædictis æquales $int; habebimus cur- vam, ex hypothe$i anguli obtu$i ena$centem, quæ tran$i- bit per puncta _C_, _L_, k, _S_, _D_. Atque ita $emper, $i decer- nere velimus reliqua puncta eju$dem curvæ. Inde autem con$tat eam fore convexam versùs partes ba$is _A B_. Jam fateor demon$trari uniformi planè methodo potui$$e æqua- litatem hujus curvæ cum ip$a ba$i _A B_. At quis fructus? Nullus $anè. Quemadmodum enim curva i$ta _C_k _D_ cen- $eri debet, ex communi $altem notione, major rectâ _C D_; ita etiam (in 3. hujus) ba$is _A B_ demon$tratur major eâ- dem _C D_, dum $ter hypothe$is anguli obtu$i. Nullum er- go ex hac parte ab$urdum, $i ba$is _A B_ æqualis $it prædi- ctæ curvæ. Aliter verò rem procedere in hypothe$i an- guli acuti, con$tat ex dictis $uprà.

Ex hoc igitur Scholio, & ex altero po$t 13. hujus in- telligi pote$t, diver$am planè viam iniri debui$$e ad refel- lendam utranque fal$am hypothe$im, unam anguli obtu$i, & alteram anguli acuti.

Præterea facilè itidem e$t ex i$tis digno$cere, non ni$i rectam lineam _C D_ e$$e po$$e, quæ omnibus $uis pun- ctis æquidi$tet ab ea $uppo$ita recta linea _A B_.

PROPOSITIO XXXIX.

_S_I in duas rectas lineas altera recta incidens_,_ internos ad ca$demque partes angulos duobus rectis minores faciat_,_ duæ illæ rectæ lineæ in infinitum productæ $ibi mutuò incident ad @as partes_,_ ubi $unt anguli duobus rectis minores.

Et hoc e$t notum illud Axioma Euclidæum, quod tandem ab$olutè demon$trandum $u$cipio. Ad hunc au- tem finem $atis erit recolere nonnullas præcedentium De- mon$trationum. Itaque in meis Propo$itionibus, u$que ad VII. hujus inclu$ivè, tres $ecrevi hypothe$es circa rectam jungentem extrema puncta duorum æqualium perpendi- culorum, quæ uni cuidam rectæ, quam ba$im appello, in eodem plano in$i$tant. Porrò circa has hypothe$es (quas invicem $ecerno ex $pecie angulorum, qui ad eam jun- gentem fieri cen$eantur) demon$tro unam quamlibet ea- rum, nimirum aut anguli recti, aut anguli obtu$i, aut an- guli acuti, $i vel in uno ca$u $it vera, $emper & in omni ca$u illam $olam e$$e veram. Tum in XIII. o$tendo uni- ver$alem veritatem Axiomatis controver$i, dum con$i$tat alterutra hypothe$is aut anguli recti, aut anguli obtu$i. Hinc in XIV. declaro ab$olutam fal$itatem hypothe$is an- guli obtu$i, quia $e ip$am de$truentis, utpote quæ prædi- cti Axiomatis veritatem infert, ex quo contra reliquas duas hypothe$es $oli hypothe$i anguli recti locus relinqui- tur. Igitur $ola re$tat hypothe$is anguli acuti, contra quam diutiùs pugnandum fuit.

Et hujus quidem (po$t multa, ne dicam omnia, con- ditionatè expen$a) ab$olutam fal$itatem in XXXIII. tan- dem o$tendo, quia repugnantis naturæ lineæ rectæ, circa quam multa ibi inter$ero nece$$aria Lemmata. Tandem verò in præcedente Propo$itione ab$olutè demon$tro $ibi ip$i repugnantem hypothe$in anguli acuti. Quoniam igi- tur unica re$tat hypothe$is anguli recti, con$equens planè e$t, ut ex prædicta XIII. hujus $tabilitum ab$olutè maneat prænunciatum Euclidæum Axioma. Quod erat propo$itum.

SCHOLION.

SEd juvat expendere hoc loco notabile di$crimen inter præmi$$as duarum hypothe$ium redargutiones. Nam circa hypothe$in anguli obtu$i res e$t meridianâ luce cla- rior; quandoquidem ex ea a$$umpta ut verâ demon$tratur ab$oluta univer$alis veritas controver$i Pronunciati Eucli- dæi, ex quo po$tea demon$tratur ab$oluta fal$itas ip$ius talis hypothe$is; prout con$tat ex XIII. & XIV. hujus. Contra verò non devenio ad probandam fal$itatem alterius hypothe$is, quæ e$t anguli acuti, ni$i priùs demo$trando; quòd linea, cujus omnia puncta æquidi$tent a quadam $up- po$ita recta linea in eodem cum ip$a plano exi$tente, æqua- lis $it ip$i tali rectæ; quod ip$um tamen non videor de- mon$trare ex vi$ceribus ip$ius met hypothe$is, prout opus foret ad perfectam redargutionem.

Re$pondeo autem triplici medio u$um me fui$$e in XXXVII. hujus ad demon$trandam prædictam æqualita- tem. Et primò quidem, in corpore illius Propo$itionis, demon$tro eam curvam _C K D_, prout ena$centem ex hy- pothe$i anguli acuti (ac propterea $emper cavam versùs partes illius rectæ _A B_) æqualem eidem e$$e debere, & quidem argumentum ducendo ex ip$is eju$dem curvæ tan- gentibus. Deinde in duobus eju$dem Propo$itionis $ub- $equentibus Scholiis, præci$ivè a qualibet $peciali hypo- the$i, bis rur$um demon$tro æqualitatem illius genitæ li- neæ _C D_ cum $ubjecta recta linea _A B_, quali$cunque tan- dem cen$eatur e$$e ip$a linea _C D_ eo modo genita.

Jam verò quatenus illa curva _C K D_, prout ena$cens ex hypothe$i anguli acuti, cen$eatur primo illo modo de- mon$trata æqualis $ubjectæ rectæ lineæ _A B_; manife$ta eva- dit redargutio, cum ex eadem hypothe$i evidenter de- mon$tretur major. Sin autem alterutro ex duobus aliis modis o$ten$a cen$eatur æqualitas prædicta; neque tunc ce$$at redargutio contra hypothe$in anguli acuti. Ratio e$t; quia nihil vetat, quin illa _C D_ $it curva, & nihilomi- nus æqualis $it illi rectæ _A B_, dum tamen $it $emper ver- sùs eas partes convexa, ac propterea recta jungens illa ea- dem puncta _C_, & _D_ minor $it contrapo$itâ ba$i _A B_, prout in hypothe$i anguli obtu$i: At omnino repugnat, $i ver- sùs ea$dem partes $it $emper cava, ac propterea recta jun- gens prædicta illa puncta _C_, & _D_ major $it eâdem contra- po$itâ ba$i _A B_, prout in hypothe$i anguli acuti. Atque ita declaratum jam e$t in Scholio præcedentis Propo$itio- nis. Scilicet contra hypothe$in anguli obtu$i manife$tum e$t nullam hinc $equi redargutionem, quæ propterea uni- cè impetit hypothe$in anguli acuti.

Hoc tamen loco aliquis forta$$e inquiret, cur adeo $ollicitus $im in demon$tranda utriu$que fal$æ hypothe$is exacta redargutione. Ad eum, inquam, finem, ut inde magis con$tet non $ine cau$a a$$umptum fui$$e ab Euclide tanquam per $e notum celebre illud Axioma. Nam hic maximè videtur e$$e cuju$que primæ veritatis veluti cha- racter, ut non ni$i exqui$itâ aliquâ redargutione, ex $uo ip$ius contradictorio, a$$umpto ut vero, illa ip$a $ibi tan- dem re$titui po$$it. Atque ita a prima u$que ætate mihi feliciter contigi$$e circa examen primarum quarundam ve- ritatum profiteri po$$um, prout con$tat ex mea Logica de- mon$trativa.

Inde autem tran$ire po$$um ad explicandum, cur in Proemio ad Lectorem dixerim: _non $ine magno in rigidam_ _Logicam peccato a$$umptas a quibu$dam fui$$e tanquam datas_ _duas rectas lineas æquidi$tantes_. Ubi monere debeo nullum eorum a me hìc carpi, quos in hoc meo Libro vel indire- ctè nominavi, quia verè magnos Geometras, huju$que peccati veri$$imè immunes. Dico autem: _magnum in rigi-_ _dam Logicam peccatum_: quid enim aliud e$t a$$umere tan- quam datas _duas rectas lineas æquidi$tantes_: ni$i aut velle; quòd omnis linea in eodem plano æquidi$tans a quadam $uppo$itâ lineâ rectâ $it ip$a etiam linea recta; aut $altem $upponere, quòd una aliqua $ic æquidi$tans po$$it e$$e li- nea recta, quam idcirco $eu per hypothe$in, $eu per po- $tulatum præ$umere liceat in tanta aliqua unius ab altera di$tantia? At con$tat neutrum horum venditari po$$e tan- quam per $e notum. Scilicet ratio objectiva lineæ, quæ omnibus $uis punctis æquidi$tet a quadam $uppo$ita linea recta, non ita clarè per $e ip$am congruit cum definitione propria ip$ius lineæ rectæ. Quare a$$umere duas rectas li- neas $ub i$ta _æquidi$tantiæ_ ratione inter $e _parallelas_ falla- cia e$t, quam in prædicta mea Logica appello _Definitionis_ _complexæ_, juxta quam irritus e$t omnis progre$$us ad a$$e- quendam veritatem ab$olutè talem.

Unam tamen $upere$$e adhuc video nece$$ariam ob- $ervationem. Nam lineam jungentem extrema puncta omnium æqualium perpendiculorum, quæ in eodem pla- no versùs ea$dem partes erigantur a $ingulis punctis $ub- jectæ rectæ lineæ _A B_, debere e$$e & æqualem prædictæ _A B_, & rur$um in $eip$a rectam, fateri omnes volumus. Sed dico prius e$$e apud nos, quòd æqualis $it; deinde autem, quòd recta. Cum enim $ingula puncta illius rectæ _A B_ intelligi po$$int $emper æquabiliter procedere per $ua illa perpendicula ad formandam tandem illam qualemcun- que _C D_; manife$tum videri debet, quòd illa quali$cun- que genita _C D_ æqualis $it eidem _A B_; præ$ertim verò, $i re$piciamus explicationem contentam in Scholio II. po$t XXXVII. hujus, ubi hoc punctum clari$$imè demon$tra- tum e$t.

Sed po$tea magna adhuc re$tat difficultas in demon- $trando, quòd illa eadem $ic genita _C D_ non ni$i recta li- nea $it. Atque hinc factum e$$e puto, ut ex communi quadam per$ua$ione rectam lineam, pro faciliore progre$- $u, maluerint præ$umere, ut inde æqualem o$tenderent illi ba$i _A B_, ac po$tea inferrent rectos angulos ad ip$am talem jungentem _C D_. Dico autem _magnam difficultatem_: Nam priùs expendere oportebat tres hypothe$es circa an- gulos ad illam junctam _rectam C D_, nimirùm aut rectos, $i ip$a æqualis $it ba$i _A B_; aut obtu$os, fi minor; aut acu- tos, $i major. Tum verò o$tendi debebat non ni$i cavam e$$e po$$e versùs ba$im _A B_ lineam curvam, quæ (in hy- pothe$i anguli acuti) jungat extremitates illorum æqua- lium perpendiculorum, ac rur$um non ni$i convexam ver- sùs eandem ba$im aliam curvam, quæ (in hypothe$i angu- li obtu$i) jungat extremitates eorundem perpendiculo- rum. Deinde autem hypothe$is quidem anguli acuti ex eo demon$tranda erat fal$a; quia linea jungens prædicto- rum perpendiculorum extremitates adeò non erit æqualis ba$i _A B_, ut immo (ex communi $altem notione) major $it illâ junctâ rectâ _C D_, quæ ex natura ip$iu$met hypo. the$is major e$t prædictâ ba$i _A B_. At hypothe$is anguli obtu$i aliunde o$tendenda erat $ibi ip$i repugnans, prout in XIV. hujus. Sed hæc jam $atis.

Finis Libri primi. EUCLIDIS AB OMNI NÆVO VINDICATI LIBER SECUNDUS.

SOlo plerunque ratiocinio opus erit in toto hujus Libri decur$u. Nam hìc Euclidem in eo unicè accu$ant, quòd in $exta Definitione Quinti magis obtenebret, quàm explicet naturam magnitudinum æquè proportionalium, $ibique idcirco onus imponat demon$trandi plures Propo- $itiones, quæ per $e ip$as clari$$imæ videri po$$unt, vel certè allatis ab ip$o demon$trationibus clariores: Tum ve- rò, quòd in quinta Definitione Sexti $ub $pecie Definitio- nis Axioma quoddam a$$umat non facilè permittendum, $ine prævia demon$tratione.

PARS PRIMA. In qua expenditur $exta Definitio Libri quinti Euclidæi.

DEfinit ibi Euclides magnitudines æquè proportiona- les, prout $equitur: _In eadem ratione magnitudines_ _dıcuntur e$$e_, _prima ad $ecundam_, _& tertia ad quartam_, _cum_ _primæ_, _& tertiÆ _æquè _multiplicia_, _a $ecundæ_, _& quartæ_, _æquè _multiplicibus_, _quali$cunq_; _$it hæc multiplicatio_, _utrunque ab_ _utroque vel unà _deficiunt_, _vel unà _æqualia $unt_, _vel unà@ excc-_ _dunt_, _$i ea $umantur_, _quÆ _inter $e re$pondent._ Super$edeo ab omni exemplo, quia profiteor me $cribere jam ver$atis in Geometria, non autem immaturis novitiis. Moneo tamen ju$tè hoc loco reprehendi a Clavio Campanum, atque Orontium, quòd ita hanc Euclidis definitionem interpre- tentur, qua$i tunc $olùm illa _proportionalitas_ $ub$i$tere de- beat, quando prædicta æquè multiplicia vel unà deficiant, vel unà excedant _proportionaliter_, _$ive in eadem proportione_. Nam id foret inducere Euclidem de$ipientem, qui nempe idem per idem definiret. Fateri igitur debemus, quòd Euclides loquatur de quolibet defectu, aut exce$$u; dum tamen ad utramque partem juxta quamlibet multiplica- tionem alteruter idem $emper con$i$tat, & non etiam ali- quando ex una quidem parte defectus, ex altera autem aut æqualitas, aut exce$$us.

Audire jam oportet, quid reprehen$ione dignum in- venerint in expo$ita Euclidæa Definitione. Itaque dicunt debui$$e probari ab Euclide i$tud ip$um e$$e verum; quòd nempe, quoties prædicta qualiacunque æquè multiplicia vel unà excedunt, vel unà deficiunt, vel unà æqualia $unt, toties quatuor illæ magnitudines in eâdem $int ratione. Ego autem non $atis miror, quomodo Viri apprimè docti in hunc lapidem impegerint. Quid enim, quæ$o, probari debuit ab Euclide? An fortè, quòd nu$quam a$$erat, $eu præ$umat quatuor magnitudines in eadem e$$e ratione, ni$i quando aliunde con$tet prædicta qualiacunque earun- dem æquè multiplicia vel unà excedere, vel unà defice- re, vel unà æqualia e$$e? At id ip$um tam religiosè exe- quitur, ut nimius hac in parte videri quibu$dam potuerit in demon$trandis primis undecim Propo$itionibus Libri quinti, quæ nimirùm, $ub alio quodam magis vulgari æquè Proportionalium conceptu, immediatam $ibi ip$is facerent fidem.

Rur$um verò: Quid per $e ip$um clarius, $i præcisè attendamus ad vulgarem quandam acceptionem, quàm quòd Partes cum pariter Multiplicibus in eadem $int ra- tione; ut putà, quòd 4. eandem habeat rationem ad 6. quam habet 8. duplus ip$ius 4. ad 12. duplum illius 6.? Nihilominus magna i$ta claritas $atis non fuit Euclidi, qui in Propo$. 15. prædicti Libri i$tud ip$um demon$trat ex Definitione ab eo a$$umpta æquè Proportionalium; ne $ci- licet accu$ari po$$et de petitione Principii, hoc e$t de du- plici a$$umpta Definitione. Nihil ergo probare debuit Eu- clides, quod facto ip$o non probet.

Sed in hoc ip$o (inquiet aliquis) peccare ip$e vide- tur, quòd rem per $e claram $uâ illâ Definitione ob$cura- re voluerit. Qua$i verò (inquam ego) non potuerit acu- tus Euclides magnitudines invicem commen$urabiles ab aliis non talibus $eparare, illa$que idcirco ita definire, pro- ut in Libro VII. Defin. XX. numeros proportionales apud Clavium definit: tunc nimirùm quatuor magnitudines pro- portionales fore: _Cum prima $ecundæ_, _& tertia quartÆ _æquè_ _multiplex e$t_; _vel eadem pars_, _vel eædem partes_; _Vel certè_, _cum_ _prima $ecundam_, _& tertia quartam_, _æqualiter continet_, _ean-_ _demque in$uper illius partem_, _vel ea$dem partes._ Ita $anè: At quis fructus, cum tandem de$cendere debuerit ad magni- tudines multis modis incommen$urabiles? Decuit igitur, ut unâ, eâdemque Definitione ip$as etiam non invicem commen$urabiles magnitudines complecteretur.

Nullus, inquiunt, refragatur; aliamque idcirco ip$is etiam quomodolibet incommen$urabilibus magnitudini- bus Definitionem a$$ignant, quæ $equitur: _Prima ad $ecun-_ _dam eandem rationem habebit_, _ac tertia ad quartam_, _$i prima_ _$ecundÆ _partes aliquotas qua$cunque contineat_, _quoties tertio_ _quartÆ _$imiles partes aliquotas continet:_ Ut putà; $i magni- tudo _A_ toties continet magnitudinis _B_ partes cente$imas, mille$imas, centies mille$imas, & qua$cunque alias aliquo- tas $imiles; ita ut nulla $it pars magnitudinis _B_, quæ plu- ries contineatur in magnitudine _A_, quàm $imilis pars ali- quota ip$ius _D_ contineatur in _C_, licèt in irrationalibus re- $tet $emper aliqua quantitas; tunc ita e$t _A_ ad _B_, ut _C_ ad _D_.

Agno$co eximium, mei$que oculis familiarem Geo- metram $ic loquentem. Sed pace ip$ius dictum $it: nul- lum video hujus novæ Definitionis commendabilem fru- ctum. Et primò quidem in dignum puto homine Geome- tra aliud quidpiam intelligere in u$u alicujus termini $cien- tifici præter id, quod in eju$dem Definitione exprimitur; ac præ$ertim, ubi Definitio tradita $it per voces minimè ambiguas, quales $unt _multiplicatio_, _majus_, _minus_, _æquale_. Igitur Definitio Euclidæa repræhendi non debuit titulo ob$curitatis. Deinde verò: Nemo ibit inficias, quin prom- ptior $it ad u$um, ac propterea opportunior ad rectam, expeditamque intelligentiam multiplicatio præ$cripta ab Euclide, quàm divi$io ab aliis $ub$tituta. Unicè igitur expendendum $upere$t, an nova illa æquè proportionalium Definitio opportunior $it ad demon$trandum, ubi applica- ri debeat in $pecialibus materiis. Ad hunc finem a$$umo Prop. primam Libri $exti, quæ utique prima e$t omnium talium applicationum: ubi Euclides demon$trat: Triangu- la, & Parallelogramma, quorum eadem fuerit altitudo, ita $e habere, ut ba$es.

Ecce autem ex Euclide nitidi$$iman demon$tratio- nem. Sint duo triangula (fig. 49.) _A B C_, _D E F_, eandemTab. VI. habentia altitudinem, quorum ba$es _B C_, _E F_. Omitto pa- rallelogramma, quia $cribo jam ver$atis in Geometria. Jam dico ita e$$e triangulum _A B C_ ad triangulum _D E F_, ut ba$is _B C_ ad ba$im _E F_. Nimirùm; $i ba$is _B C_ $tatuatur prima magnitudo, ba$is _E F_ $ecunda, triangulum _ABC_ ter- tia, & triangulum _D E F_ quarta; Dico qualiacunque æquè multiplicia primæ ac tertiæ a quibu$vis æquè multiplici- bus $ecundæ & quartæ vel unà deficere, vel unà æqualia e$$e, vel unà excedere, prout exigit Definitio $exta Libri quinti.

Intelligantur enim prædicta triangula tum in eodem plano exi$tere, tum etiam con$tituta e$$e inter ea$dem pa- rallelas _A D_, _C B E F_; adeò ut nempe (ex natura paralle- larum) æqualem altitudinem habeant. Tum verò $umptis in _B C_ indefinitè protractâ quotvis portionibus _CI_, _IK_, _KL_, æqualibus ip$i _B C_; atque item in _E F_ $imiliter protractâ quotvis _F M_, _M N_, æqualibus ip$i _E F_; jungantur _A I_, _A K_, _A L_; atque item _D M_, _D N_. Con$tat (ex 38. primi) æqua- lia inter $e fore triangula _A L K_, _A K I_, _A I C_, _A C B_; at- que item eâdem ratione æqualia inter $e fore triangula _D E F_, _D F M_, _D M N_. Igitur, quàm multiplex e$t rectæ _C B_ quæcunque a$$umpta recta _C L_, tam multiplex quoque erit triangulum _A C L_ trianguli _A C B_; & quam multiplex e$t recta _E N_ rectæ _E F_, tam quoque multiplex erit trian- gulum _D E N_ trianguli _D E F_; quia in tot triangula æqua- lia $unt divi$a tota triangula _A C L_, _D E N_, in quot rectas æquales $ectæ $unt totæ rectæ _C L_, _E N_. Quoniam verò, $i ba$is _C L_ æqualis fuerit ba$i _E N_, nece$$ariò (ex predicta 38. primi) etiam triangulum _A C L_ æquale e$t triangulo _D E N_; ac proinde, $i _C L_ major fuerit quàm _E N_, nece$- $ariò _A C L_ majus e$t quàm _D E N_; & $i minor, minus: con$equens planè e$t, ut recta _C L_, & triangulum _A C L_, quæ a$$umpta $unt pro quibu$vis æquè multiplicibus pri- mæ magnitudinis _B C_, & tertiæ _A B C_; $i conferantur (pro- ut inter $e re$pondent) cum recta _E N_, & triangulo _D E N_, quæ ip$a rur$um a$$umpta $unt pro quibu$vis æquè multi- plicibus $ecundæ magnitudinis _E F_, & quartæ _D E F_; in- veniantur $emper vel unà æqualia e$$e, vel unà excedere, vel unà deficere. Igitur (juxta $extam Definitionem quin- ti) quæ proportio primæ _B C_ ad $ecundam _E F_, ba$is ad ba$im, ea e$t tertiæ _A B C_ ad quartam _D E F_, trianguli ad triangulum. Quod erat propo$itum.

Conferre nunc debeo præmi$$am Euclidæam Demon- $trationem cum alterâ indicati eximii Geometræ, quam ip$is eju$dem vocibus $tatim exhibeo.

Sint duo triangula (fig. 50.) _A B C_, _D E F_, quorum altitudo $it eadem. Dico eandem e$$e rationem trian- guli _A B C_ ad triangulum _D E F_, quæ ba$is _B C_ ad ba$im _E F_. Demon$tratur. Intelligatur ba$is _E F_ divi$a in quot- cunque partes æquales, ut putà in quatuor, & ex puncto _D_ ducantur lineæ _D G_, _D H_, _D I_; & linea _B C_ quadrantem lineæ _E F_ contineat ter, $intque lineæ _C M_, _M L_, _L K_, quæ $int $ingulæ æquales lineis _E G_, _G H_, _H I_, _I F_, ducan- turque lineæ _A K_, _A L_, _A M_. Triangula _D E G_, _D G H_, _D H I_, _D I F_ $ingula $unt æqualia (per 38. 1.) quia $unt $upra ba$es æquales, & in ei$dem parallelis. Igitur $unt quadrantes trianguli _D E F_: & quia triangula _A B C_, _D E F_ habent æquales altitudines, etiam in ei$dem parallelis in- telligi po$$unt con$tituta, & $ic triangula _A K L_, _A L M_, _A M C_, habentia ba$es æquales cum triangulis _DEG_, _DGH_, _D H I_, _D I F_, illis æqualia erunt. Ergo quot erunt qua- drantes lineæ _E F_ in linea _B C_, tot erunt quadrantes trian- guli _D E F_ in triangulo _A B C_. Quod autem o$ten$um e$t de quadrantibus, pote$t $imiliter o$tendi de quibuslibet partibus aliquotis. Igitur (juxta a$$umptam novam illam æquè proportionalium Definitionem) ut ba$is _B C_ ad ba- $im _E F_, ita triangulum _A B C_ ad triangulum _D E F_. Quod erat &c.

Jam fateor hanc etiam demon$trationem opportunam e$$e intento; $ed puto non æquè claram e$$e, atque Eucli- dæam. Ratio di$criminis hæc e$t; quia po$terior Definitio procedit in _quid rei_; prior autem in _quid nominis_. Scilicet non eo inficias, quin probè demon$tratum $it tot fore v. g. quadrantes (fig. 50.) trianguli _D E F_ in triangulo _A B C_, quot erunt quadrantes ba$is _E F_ in ba$i _B C_; atque ita uni- formiter $ecundùm quamlibet aliam partem aliquotam. At ubi venitur ad conclu$ionem, quòd triangulum _A B C_ ita $it ad triangulum _D E F_, ut ba$is _B C_ ad ba$in _E F_, hæ- ret $tatim men; cum magis immediatè debuerit inferri, ita e$$e ba$im _K C_ ad ba$im _E F_, ut triangulum _A K C_ ad triangulum _D E F_.

Neque juvat reponere, quòd una veritas alteri office- re non debeat. Nam dico ex hac ip$a innegabili veritate oriri dubium po$$e, an fortè per nullam partem aliquotam ip$ius _E F_ quomodolibet multiplicatam exhauriri præcisè po$$it ip$a _B C_; quod $anè omninò continget, $i ip$æ _E F_, _B C_ $int incommen$urabiles; ni$i fortè provocare velimus ad partem aliquotam infinitè parvam, circa quam rur$um non levis oriri po$$et difficultas.

Cur autem (urgebit qui$piam) licitum fuerit Eucli- di tradere $uam illam Definitionem æquè proportionalium, quæ nulli communi notioni innititur; & non etiam aliis liceat quampiam aliam $ubrogare, quæ ex quadam cum numeris æquè proportionalibus $imilitudine $ibi ip$i faciat fidem? Per me (inquam) quidquid libeat, licitum etiam hac in parte puto; dum tamen ob$erventur duo $equentia. Primò; ut ne (quatenus procedi velit per Definitionem _puri nominis_) accu$etur ut mala quæpiam alia _puri nominis_ a$$umpta Definitio; ni$i aut o$tendatur ex ip$is eju$dem vocibus nimis perplexa, aut aliunde con$tet longiore qua- dam indagine opus e$$e ad a$$equendam _rem ip$am_, cujus nempe veluti propria digno$ci tandem debeat expo$ita Definitio. Secundò autem; ut (quatenus procedi velit per Definitionem _ip$ius rei_ aliunde cognitæ) nunquam pu- temus _rem ip$am_ a$$ecutos nos e$$e, ni$i clarè deveniamus ad illam originem, unde $umpta e$t occa$io, aut opportu- nitas talis Definitionis.

Po$t hanc non inutilem digre$$ionem duo alia oppor- tunè $ubdo. Unum e$t; me non negare, quin po$teriore loco expo$ita Demon$tratio optima $it, & evidenti$$ima; dum tamen ibi a$$umpta æquè proportionalium Definitio recipi unicè debeat in _quid nominis_. Sed tunc ob$ervo nul- lam fui$$e cau$am re$puendi, ac multò minùs damnandi Definitionem Euclidæam: cum ex una parte & Demon- $tratio eidem innixa nulli tergiver$ationi obnoxia $it; & ex alterâ Definitio, certi$$imè ibi a$$umpta in _quid nominis_, procedat per multiplicationem, quam unu$qui$que intel- ligit clariorem e$$e, ac faciliorem divi$ione, & quidem ($uo quodam proprio jure) $ine ullo periculo cnju$vis objectæ incommen$urabilitatis; prout con$tare pore$t ex antea dictis.

Alterum e$t; me rur$um non negare, quin aliquo tan- dem pacto demon$trari po$$it prima illa Propo$itio Libri $exti, etiam$i a$$umpta cen$eatur in _quid rei_ prædicta æquè proportionalium nova Definitio. Verùm arbitror hac $ola ratione demon$trari eam po$$e, dum aliàs præ$umatur unam aliquam e$$e rectam lineam determinatam, quæ ad ba$im _B C_ eam habeat rationem, quæ e$t trianguli _D E F_ ad triangulum _A B C_. Nam demon$trabo nullam _E I_, quæ $it portio ip$ius _E F_, ac $imiliter nullam _E X_, quæ a$$um- pta $it in _E F_ productâ, tales e$$e po$$e, ut eam habeant ad ba$im _B C_ rationem, quæ e$t trianguli _D E F_ ad trian- gulum _A B C_.

Demon$tratur prima pars. Nam con$tat primò (fig. 50.) talem ip$ius _B C_ a$$umi po$$e partem aliquotam _B K_, ut putà _octavam_, quæ minor $it illâ in _E F_ re$iauâ portio- ne _I F_. Con$tat hinc $ecundò; tot in _E F_ de$ignari po$$e portiones æquales ip$i _B K_, ita ut po$trema de$ignata por- tio de$inat in punctum _Q_, quod jaceat inter puncta _I_, & _F_. Tunc autem (junctâ _Q D_) manife$tum fiet (ex 38. 1.) tot contineri in triangulo _D E Q_ octavas partes trianguli _@ B C_, quot in ba$i _E Q_ continentur octavæ partes illius ba$is _B C_. Quare (ex nova illa affumpta in _quid rei_ æque proportionalium Definitione) ita erit triangulum _D E Q_ ad triangulum _A B C_, ut ba$is _E Q_ ad ba$im _B C_. Habet autem _E Q_ ad _B C_ majorem rationem (ex 8. 5.) quàm illa _E I_ ad eandem _B C_; Igitur (ex 13. 5.) etiam triangulum _D E Q_ non æqualem, $ed majorem rationem habebit ad triangulum _A B C_, quàm $it ratio prædictæ _E I_ ad illam ba- $im _B C_. Quod erat priore loco demon$trandum.

Demon$tratur $ecunda pars. Nam rur$um con$tat pri- mò; talem illius _B C_ a$$umi po$$e partem aliquotam _B K_, ut putà _decimam_, quæ minor $it illo exce$$u _F X_, quo ba- $is _E F_ $uperatur ab ip$a _E X_. Atque hinc con$tat $ecundò; tot in _E X_ de$ignari po$$e portiones æquales ip$i _B K_, ita ut po$trema de$ignata portio de$inat in punctum _T_, quod jaceat inter puncta _F_, & X. Tunc autem (junctâ _T D_) manife$tum fiet (ex eadem 38. 1.) tot in triangulo _D E T_ decimas partes trianguli _A B C_ contineri, quot in ba$i _E T_ continentur decimæ partes ip$ius ba$is _B C_. Quare (ex eadem a$$umpta in _quid rei_ æquè proportionalium nova Definitione) ita erit triangulum _D E T_ ad triangulum _ABC_, ut ba$is _E T_ ad ba$im _B C_; & invertendo ita erit triangu- lum _A B C_ ad triangulum _D E T_, ut ba$is _B C_ ad ba$im _E T_. Habet autem ba$is _B C_ ad ba$im _E T_ rationem majorem (ex eadem 8. 5.) quâm $it ratio eju$dem ba$is _B C_ ad il- lam _E X_, quæ $upponitur major prædictâ _E T_; ac propte- rea (ex eadem 13. 5.) majorem ratione trianguli _A B C_ ad triangulum _D E F_. Non igitur ulla _E X_, quæ $it major ipsâ _E F_, talis e$$e pote$t, ad quam ba$is _B C_ eam habeat tationem, quæ e$t trianguli _A B C_ ad triangulum _D E F_. Quod erat $ecundo loco demon$trandum.

Unde tandem fit, ut ratio trianguli _A B C_ ad triangu- lum _D E F_, quod eandem cum ip$o altitudinem habeat, cadem $it ac ba$is _B C_ ad ba$im _E F_; dum $cilicet aliàs præ- $umatur unam aliquam e$$e rectam lineam determinatam, ad quam ba$is _B C_ eam habeat rationem, quæ e$t trianguli _A B C_ ad triangulum _D E F_. Quod erat principale inten- tum.

Po$t hæc autem addere in$uper debeo, non placere mihi nece$$itatem illius _Petitionis_, quòd una aliqua $it re- cta linea determinata, ad quam prædicta ba$is _B C_ eam ha- beat rationem, quæ e$t trianguli _A B C_ ad triangulum _DEF_. Nam certè verus nævus hic foret, maximè dolendus in primo ingre$$u novæ hujus apud Geometras nobili$$imæ partis; quòd $cilicet reperiri demon$trativè non po$$it re- cta linea, ad quam talis quæpiam data recta eam rationem habeat, quæ e$t vel talis cuju$dam dati trianguli rectili- nei ad alterum datum triangulum rectilineum, vel talis cujuslibet datæ rectæ ad alteram quamlibet propo$itam rectam lineam; quòd, inquam, talis recta linea reperiri non po$$it, ni$i antea præ$umendo, per modum primi Principii, quòd una aliqua eju$modi recta linea verè exi- $tat in rerum natura.

Sed hìc audio quempiam reclamantem, quòd ip$e etiam Euclides, $ine demon$tratione, hoc veluti Axioma- te utitur in Propo$. 18. 5. ubi demon$trat compo$itionem rationis; hoc e$t, _duas magnitudines_, _quæ divi$æ proportiona-_ _les $int_, _has quoque compo$itas proportionales e$$e._ Quin etiam Clavius, acuti$$imus Euclidis Interpres, $ub expre$$o _Axio-_ _matis_ nomine, ante omnes prædicti Libri Propo$itiones $ic præmittit: _Quam proportionem habet magnitudo aliqua ad_ _aliam_, _eandem habebit quævis magnitudo propo$ita ad aliquam_ _aliam_; _& eandem habebit quæpiam alia magnitudo ad quam-_ _vis magnitudinem propo$itam._ Hujus autem a$$umpti hanc reddit rationem. _Quamvis enim ignoremus interdum_, _quæ-_ _nam $it quarta illa magnitudo_, _dubitandum tamen non e$t_, _eam_ _e$$e po$$e in rerum natura_, _cum id contradictionem non impli-_ _@et_, _ut Philo$ophi loquuntur_, _neque ab$urdi aliquid ex eo con-_ _$equatur._

Veruntamen, his ip$is $tantibus, non de$ino agno$ce- re indecorum nævum, a quo, ex officio a$$umpto, vindi- care debeam Euclidem; præ$ertim verò, cum ip$e Clavius non Euclidi, $ed interpretibus i$tud attribuat. Itaque di- co illam 18. 5. demon$trari potui$$e $ine ullo recur$u ad intru$um illud Axioma; nimirùm provocando ad qua$dam Libri $exti Propo$itiones, quæ ab illo intru$o Axiomate nullatenus pendent; & ex quibus illud ip$um Problemati- cè demon$tratur, $altem quoad lineas rectas. Cur autem oculati$$imus Clavius non id animadverterit, in cau$a e$$e potuit, quòd ibi fu$ior e$$e debuerit in explicanda vera doctrina proportionum, adversùs quo$dam non ignobiles Euclidis interpretes.

Jam pergo ad exequendum munus a$$umptum: Ubi, ut expeditior $im, re$olvendo magis, quàm componendo, rem ip$am paucioribus exhibere conabor. Præmitto au- rem, a$$umi hìc po$$e tanquam a me juxta Euclidem jam demon$tratam primam $exti, $ine ulla dependentia a præ- fato Axiomate; cum ibi ($i excipias doctrinam parallela- rum) $ola u$ui fuerit ex Libro primo Propo$itio 38. & ex quinto Euclidæa æquè proportionalium Definitio.

Deinde tran$eo ad exequendum Problema, quod con- tinetur in 12. $exti; ubi datis tribus rectis lineis, ut putà _A D_, _D B_, _A E_, præcipitur quartæ proportionalis inven- tio. Di$ponantur enim (fig. 51.) primæ duæ _A D_, _D B_ $e- cundùm lineam rectam, quæ $it _A B_: Tertia verò _A E_ quemlibet angulum _A_ efficiat cum prima _A D_. Deinde ex _D_ ad _E_ recta ducatur _D E_, cui per _B_ parallela ducatur _B C_, occurrens rectæ _A E_ productæ in _C_. Dico ip$am _E C_ e$$e quartam proportionalem quæ$itam. Cum enim in tri- gulo _A B C_ acta $it parallela _D E_; erit (ex 2. 6.) ut _A D_ ad _D B_, ita _A E_ ad _E C_. Quare _E C_ erit quarta proportio- nalis quæ$ita. Quod erat &c.

Verùm ob$tat, quòd nondum demon$travi indepen- dentiam $ecundæ Sexti ab illo intru$o Axiomate. Itaque (manente eadem Figura) jungantur _E B_, _C D_. Con$tat (ex 37. primi) æqualia inter $e fore triangula _DEB_, _DEC_, utpotè con$tituta inter ea$dem parallelas _D E_, _B C_, & $u- per eadem ba$i _D E_. Quare (ex 7. 5.) ut triangulum _ADE_ ad triangulum _D E B_, ita e$t idem triangulum _A D E_ ad triangulum _D E C_. Atqui ut triangulum _A D E_ ad trian- gulum _D E B_, ita e$t (ex 1. 6.) ba$is _A D_ ad ba$im _D B_; propter æqualem eorundem altitudinem in puncto _E_: & eadem ratione, ut triangulum _A D E_ ad triangulum _CDE_, ita e$t ba$is _A E_ ad ba$im _E C_; propter æqualem eorundem altitudinem in puncto _D_. Igitur (ex 11. quinti) ut _A D_ ad _D B_, ita e$t _A E_ ad _E C_; cum hæ duæ proportiones eæ- dem $int proportionibus trianguli _A D E_ ad triangulum _D E B_, & eju$dem trianguli _A D E_ ad triangulum _D E C_. Quod erat hoc loco demon$trandum.

Hinc porrò evidenter con$tat nihil vetui$$e, quin $ta- tim (præci$o ordine materiæ) po$t 17. 5. procederet Eu- clides ad demon$trandas pr@mam, $ecundam, & duodeci- mam $exti, quæ utique $atis erant ad $tabiliendam, $altem pro lineis rectis, illam 18. eju$dem quinti, pro qua $ola induci ibi debuerat præfatum Axioma. Quòd enim po$t illam 12. $exti progredi facilè po$$imus ($ine indigentia novæ alicujus præ$umptæ veritatis) ad inveniendam re- ctam lineam, quæ ita $e habeat ad aliam quamlibet datam rectam, ut unum quodvis datum triangulum rectilineum ad alterum quodlibet datum triangulum rectilineum, etiam$i non æqualis altitudinis cum priore; $olis Geome- triæ imperitis difficile videri poterit. Porrò uniformiter con$tabit, reperiri $imiliter po$$e rectam lineam, quæ ita $e habeat ad quamlibet aliam datam rectam, ut una quæ- libet data figura rectilinea ad alteram quamlibet datam figuram rectilineam. Atque hæc rur$um utrovis modo vi- ce versâ.

Sed video opponi adhuc mihi po$$e ip$ummet Eucli- dem, qui in 2. 12., ut o$tendat eandem e$$e rationem cu- ju$vis circuli ad alterum quemlibet exhibitum circulum, quæ e$t quadratorum ab ip$orum diametris, tacitè præ$u- mit unam aliquam e$$e in rerum natura $uperficiem, vel æqualem, vel majorem, vel minorem exhibito circulo, ad quam alter circulus eam habeat rationem, quæ e$t prædi- ctorum ab illis diametris quadratorum.

Et hìc quidem duo re$pondenda cen$eo. Unum e$t; ab$onam utique videri potui$$e, in ip$o primo ingre$$u hu- jus materiæ _de proportionibus_, præ$umptionem eju$modi; $ed non etiam, po$tquam circa lineas rectas, ac figuras re- ctilineas demon$tratum generaliter id $it (non ob$tante qualicunque earundem irrationalitate) aut incongruum, aut nimis remotum a veritate videri po$$e, quòd $imile quidpiam præ$umatur circa duas figuras rectilineas ex una parte, & ex altera duas circulares. Alterum e$t; neque ibi nece$$ariam e$$e Euclidi jam dictam præ$umptionem. Nam antea in prima duodecimi $ine ulla præ$umptione demon$trat, duo quælibet in circulis $imilia poligona e$$e inter $e, ut a diametris quadrata. Deinde (in ip$a $ecun- da) ab$olutè rur$um demon$trat, tale in exhibito circulo (duplicando, ac duplicando numerum laterum) in$cribi po$$e poligonum, cujus defectus ab ip$o integro circulo minor $it qualibet parvulâ a$$ignatâ magnitudine; intactâ nihilominus manente eâdem $emper ratione ad alterum $imile poligonum, quod in alio circulo in$cribatur. Qua- re ip$o$met circulos con$iderare jam potuit tanquam $imi- lia infinitilatera poligona, in quibus propterea firma adhuc con$i$teret jam demon $trata ratio, quæ e$t quadratorum a diametris.

Agno$co tamen doctioribus Geometris nunquam ple- nè $atisfactum iri, ni$i aliquo tandem pacto aut generali- ter demon$trem præ$umptum illud Axioma, aut $altem unum aliquod in ejus locum $ub$tituam, quod u$ui e$$e po$$it in decur$u univer$æ Geometriæ. Ecce autem $tatim rem exequor.

Dico enim a$$umi po$$e hoc alterum Axioma; quòd nempe _duæ quælibet_, _in quolibet eodem genere con$titutæ ma-_ _gnitudines_, _rationem inter $e habebunt_, _quæ vel æqualis $it_, _vel_ _major_, _vel minor ratione duarum quarumlibet aliarum magni-_ _tudinum_, _quæ vel in eodem cum prioribns genere_, _vel in ali@_ _quolibet ip$arum proprio con$titutæ $int._ Ubi con$tat duplex a me onus a$$umi; nimirùm demon$trandi & veritatem propo$iti Axiomatis, & plenam eju$dem $ufficientiam pro u$u in decur$u totius Geometriæ.

Priori oneri $ic $atisfacio. Sint quatuor magnitudines (fig. 52.) _A_, _B_, _C_, _D_, quarum duæ priores in $uo proprio genere, ac $imiliter po$teriores vel in eodem cum priori- bus genere, vel in alio quodam $uo proprio genere con$i- $tant. Dico rationem tertiæ _C_ ad quartam _D_ vel æqualem fore, vel majorem, vel minorem ratione primæ _A_ ad $e- cundam _B_.

Demon$tratur. Sumantur enim ip$arum _A_ primæ, & tertiæ _C_, duæ quælibet æquè multiplices _E F_, _G H_; atque item ip$arum _B_ $ecundæ, & quartæ _D_, duæ quælibet æquè multiplices _I K_, _L M_. Con$tat primò, rationem ip$ius _A_ ad _B_ æqualem fore rationi ip$ius _C_ ad _D_, $i vel in uno ca- $u talium a$$umptarum æquè multiplicium contingat, ut _E F_ multiplex primæ æqualis $it ip$i _I K_ multiplici $ecun- dæ, & _G H_ multiplex tertiæ æqualis $it ip$i _L M_ multipli- ci quartæ.

Ratio evidens e$t; quia hic agitur de multiplici pro- priè tali $ecundùm veram rationem numeri, juxta quam multiplicatum non tran$it in novam $peciem entis, $ed in eadem $pecie con$i$tens ita $e habet v. g. _E F_ ad _A_, ut nu- merus ibi multiplicans ad unitatem. Quoniam igitur ge- nitæ magnitudines _E F_, & _I K_ ponuntur æquales; con$e- quens e$t (ex 19. 7.) ut numeri, per quos multiplicantur magnitudines _A_, & _B_, $int inter $e reciprocè, ut ip$æ ma- gnitudines multiplicatæ. Simili modo o$tendetur nume- ros, per quos multiplicantur magnitudines _C_, & _D_, e$$e inter $e reciprocè, ut $unt magnitudines multiplicatæ; Porrò (ex hypothe$i) per eundem quempiam numerum multiplicatæ intelliguntur magnitudines _A_, & _C_; ac $imilter magnitudines _B_, & _D_. Igitur (ex 11. 5.) ita erit prima _A_ ad $ecundam _B_, ut tertia _C_ ad quartam _D_. Quod erat hìc demon$trandum.

Con$tat $ecundò, rationem primæ _A_ ad $ecundam _B_ majorem fore ratione tertiæ _C_ ad quartam _D_; $i vel in uno ca$u talium a$lumptarum æquè multiplicium contingat, ut _E F_ multiplex primæ excedat ip$am _I K_ multiplicem $e- cundæ, $ed _G H_ multiplex tertiæ non excedat illam _L M_ multiplicem quartæ; aut illa _E F_ æqualis $it prædictæ _I K_ (prout ego cum Clavio interpretor) dum altera _G H_ mi- nor e$t $ibi corre$pondente _L M_.

Patet autem nullâ mihi argumentatione opus hìc e$- $e. Nam omnes $ciunt hanc ip$am e$$e rectam intelligen- tiam Definitionis octavæ Libri quintì, juxta quam Eucli- des con$tanti$$imè, ac rigidi$$imè $emper procedit. Ubi adverto (propter quo$dam minùs doctos) aliud e$$e ac- cu$are Euclidem de quadam velutì affectatâ in $uis quibu$- dam definitionibus ob$curitate; & aliud longè diver$um, quòd non ritè juxta a$$umpta proce$$erit; cum magis om- docti con$entiant accurati$$imum hac in parte eundem fui$- $e. Unicè igitur re$tat hoc loco, ut $ub$titutum a me Axio- ma clari$$imè demon$trem.

Sic autem procedo. Vel inter po$$ibiles æquè multiplices primæ _A_, & tertiæ _C_, ac $imul inter po$$ibiles æquè multi- plices $ecundæ _B_, & quartæ _D_, una quæpiam reperitur _E F_ multiplex primæ _A_, & _I K_ multiplex $ecundæ _B_ invicem æquales; ac $imul (in eodem ca$u) una quædam _G H_ multi- plex tertiæ _C_ æqualis ip$i _L M_ multiplici quartæ _D_: vel nu$- quam talis æqualitas reperitur. Si primum; con$tat ex jam demon$tratis ita fore _A_ ad _B_, ut _C_ ad _D_. Sin verò nu$quam reperitur eju$modi $imul ex utrâque parte æqualitas; vel $altem ad alterutram partem reperitur, ut putà ad partem primæ _A_, vel nu$quam. Si primum; ergo (ex præmi$$a Euclidæa majoris, ac minoris proportionis Definitione) habebit _A_ ad _B_ majorem, aut minorem proportionem, quàm _C_ ad _D_; prout _G H_ multiplex tertiæ _C_ minor fuerit, aut major ipsâ _L M_ multiplici quartæ _D_. Sin verò $ecun- dum; ergo ex una quidem parte v. g. ad ip$as _A_ primam, & _B_ $ecundam, contingere poterit, ut illa multiplex _E F_ minor $it alterâ multiplici _I K_, dum vice versâ ex altera parte illa multiplex _G H_ major e$t alterà multiplici _L M_. Tunc autem ($ub eadem Euclidæa Definitione) ratio pri- mæ _A_ ad $ecundam _B_ erit minor ratione tertiæ _C_ ad quar- tam _D_; aut vice versâ.

Igitur demon$tratum manet $ub$titutum illud Axio- ma; quòd nempe duæ quælibet, in quolibet eodem gene- re con$titutæ magnitudines, rationem inter $e habebunt, quæ vel æqualis $it, vel major, vel minor ratione duarum quarumlibet aliarum magnitudinum, quæ vel in eodem cum prioribus genere, vel in alio quolibet ip$arum pro- prio con$titutæ $int. Quod erat onus priore loco mihi im- po$itum.

Tran$eo ad $ecundum onus mihi adjectum. Ubi, ad exemplum aliarum in decur$u Geometriæ $imilium, illu- $trandam $u$cipio illam $ecundam duodecimi, pr{ae} mi$$is (claritatis gtatiâ) duobus $equentibus Lemmatis.

LEMMA I.

SI qu{ae}piam tertia magnitudo _C_ habeat (fig. 52.) ad quar- tam _D_ majorem rationem, quàm $it ratio prim{ae} _A_ ad $ecundam _B_; habebit etiam illa _C_ ad eandem _D_, auctam quapiam magnitudine _X_, majorem rationem, quàm $it pr{ae}dicta ratio prim{ae} _A_ ad $ecundam _B_.

Nam con$tat pr{ae}dictam _L M_, multiplicem quart{ae} _D_, tali magnitudine _S_ augeri po$$e, ut adhuc minor $it illâ _G H_ multiplici terti{ae} _C_. Quare, $i quarta _D_ augeatur ma- gnitudine _X_, cujus pr{ae}dicta _S_ ita $it multiplex, ut _L M_ e$t multiplex quart{ae} _D_, $ive illa _I K_ e$t multiplex $ecund{ae} _B_; non ideo (ex defin. 8. 5.) ratio terti{ae} _C_ ad quartam _D X_ de- $inet e$$e major ratione prim{ae} _A_ ad $ecundam _B_; quia adhuc _G H_ multiplex terti{ae} _C_ major erit illâ _L S_ multipli- ci quarte _D X_, dum interim _E F_ multiplex prim{ae} _A_ major non e$t illâ _I K_ multiplici $ecund{ae} _B_. Quod erat &c.

LEMMA II.

POrrò autem (ne peritum Geometram in re facili mo- le$tè detineam) $imili modo o$tendam, quòd tertia illa magnitudo _C_; quatenus ponatur habere ad quartam _D_ minorem rationem, quàm $it ratio prim{ae} _A_ ad $ecundam _B_; habebit etiam ad eandem _D_, imminutam quapiam ma- gnitudine _T_, minorem rationem, quàm $it pr{ae}dicta ratio prim{ae} _A_ ad $ecundam _B_. Ratio e$t; quia (ex 26. 5.) ha- bebit convertendo $ecunda _B_ ad primam _A_ minorem ra- tionem, quàm quarta _D_ ad tertiam _C_. Igitur (ut in pr{ae}- cedente Lemmate) habebit adhuc quarta _D_ ad tertiam _C_, auctam quapiam magnitudine _Y_, majorem rationem, quàm $it $ecund{ae} _B_ ad primam _A_. Quapropter (ex eâdem 26. 5.) habebit rur$um convertendo prima _A_ ad $ecundam _B_ majorem rationem, quàm tertia _C_, aucta illâ magnitu- dine _Y_, ad quartam _D_.

Quoniam verò illa magnitudo _Y_ $umi pote$t minor, ac minor, adeò ut $it pars qu{ae}dam ip$ius _C_ ab aliquo fini- to numero denominata; ac propterea $it pars ip$ius _Y C_ @ numero unâ unitate majore denominata: $i rur$um illius magnitudinis _D_ $umatur pars qu{ae}piam _T_, ab eodem nu- mero denominata, a quo _Y_ denominatur talis pars pr{ae}dict{ae} _Y C_; erit (ex 15. 5.) _Y_ ad _T_, ut _Y C_ ad _D_. Igitur (ex 13. 5.) ratio prim{ae} _A_ ad $ecundam _B_ major etiam erit ratione il- lius _Y_ ad alteram _T_. Unde tandem fit (ex illâ 13. & pr{ae}- dictâ 15. 5.) ut illa tertia _C_, po$t $ublatam ab _Y C_ additam illam portionem _Y_, minorem adhuc habeat rationem ad quartam _D_, imminutam notâ illa magnitudine _T_, quàm $it ratio prim{ae} _A_ ad $ecundam _B_. Quod erat intentum.

PROPOSITIO PRINCIPALIS: In qua illu$tratur $ecunda Duodecimi; $imulque ex- ponitur $ub$tituti Axiomatis Major for$itan op- portunitas pro $imilibus ca$ibus in decur$u totius Geometriæ.

DEmon$trat ibi Clavius ex Euclide, circulos e$$e inter $e, quemadmodum a diametris quadrata. At $uppo- nit (ex communi ab Interpretibus intru$o Axiomate) quòd unus circulus habebit ad aliquam magnitudinem, quæ vel æqualis $it, vel major, vel minor altero circulo, eam rationem, quæ e$t prædicta quadratorum a diametris. Porrò, hoc $tante, clari$$imè exequitur intentum $uum; quia optimè demon$trat nullam e$$e po$$e magnitudinem aut majorem, aur minorem altero circulo, ad quam prior circulus eam habeat rationem, quam expo$uimus.

Jam ego $ub$tituo alterum a me demon$tratum Axio- ma, quòd unà cum duobus adjectis Lemmatis $ic applica- tur in no$trâ materia: Habebit unus circulus ad alterum cir- culum vel eandem rationem, quæ e$t jam dicta quadratorum a diametris, vel habebit rationem i$tâ majorem, non modò ad illum alterum circulum, $ed etiam ad aliquam magni- tudinem eodem altero circulo majorem, ut putà ad po- ligonum aliquod eidem circum$criptum: vel tandem ha- bebit rationem minorem, non modò ad prædictum alte- rum circulum, $ed etiam ad aliquam magnitudinem eodem minorem, ut putà ad poligonum aliquod eidem in$crip- tum.

Tum unu$qui$que videt, quàm facilè (ex Prop. 8. 5.) demon$trari po$$it, non po$$e priorem circulum ad quod- dam poligonum, po$teriori circulo circum$criptum, ha- bere majorem rationem, quàm $it ratio illa quadratorum ex diametris; cum $imile poligonum priori circulo circum- $eriptum habeat ad jam dictum poligonum (ex 1. 12.) eam $olam rationem, quæ e$t prædictorum quadratorum: ac $i- militer priorem jam dictum circulum habere non po$$e ad quoddam poligonum, eidem po$teriori circulo in$criptum, minorem rationem, quàm $it eadem ratio prædictorum quadratorum; cum $imile poligonum priori circulo in$crip- tum habeat (ex eâdem 1. 12.) ad modô dictum poligonum eam ip$am rationem, quæ e$t illorum $tabilium quadrato- rum: Atque hinc tandem fit, ut prior ille circulus (ex meo $ub$tituto, ac demon$trato Axiomate cum adnexis Lem- matis) eam habere debeat ad po$teriorem circulum ratio- nem, quæ e$t jam dictorum quadratorum.

Con$tat autem pro $imilibus ca$ibus procedi $imiliter po$$e in decur$u totius Geometriæ. Igitur $ub$titutum, ac demon$tratum a me Axioma, cum $uis adnexis Lem- matis, non modò utile, verùm etiam opportunius videri pote$t illo alio communi merè præ$umpto, & indemon- $trato. Quod &c.

SCHOLION I.

QUia tamen in meo $ecundo Lemmate bis a$$ump$i 26. 5. quæ apud Clavium non demon$tratur $ine recur$u ad illud commune Axioma, a me repudiatum in ri- gore Axiomatis; eam idcirco demon$tro ex $ola Definitio- ne Euclidæa. Si enim prima _A_ (fig. 52.) ponatur habere ad $ecundam _B_ majorem rationem, quàm tertia _C_ ad quar- tam _D_; debebit quædam _E F_ multiplex primæ _A_ æqualis e$$e, aut major quadam _I K_ multiplici $ecundæ _B_; dum in- terim (ex æquo) quædam _G H_ æquè multiplex tertiæ _C_, ut _E F_ e$t multiplex primæ _A_, vel minor e$t, vel non ma- jor quadam _L M_ æquè multiplici quartæ _D_, ut _I K_ e$t mul- tiplex $ecundæ _B_. Tunc autem (con$iderando vice versâ _B_ ut primam, & _A_ ut $ecundam; ac $imiliter _D_ ut tertiam, & _C_ ut quartam) debebit quædam _I K_ multiplex primæ _B_ aut æqualis e$$e, aut minor quadam _E F_ multiplici $e- cundæ _A_; dum interim (ex æquo) quædam _L M_ æquè multiplex tertiæ _D_, ut _I K_ e$t multiplex primæ _B_, vel ma- jor e$t, vel non minor quadam _G H_ æquè multiplici quar- tæ _C_, ut _E F_ e$t multiplex $ecundæ _A_. Quare (ex Def. 8. 5.) habebit ex oppo$ito illa _B_ $tatuta ut prima, ad alte- ram _A_ $tatutam ut $ecundam, minorem rationem, quàm $ir ratio illius _D_ $tatutæ ut tertiæ, ad alteram _C_ $tatutam ut quartam. Quod erat &c.

SCHOLION II.

NE verò acutus qui$piam Geometra accu$are me po$$it, qua$i de indu$tria in rem meam immutaverim Defi- nitionem Euclidæam majoris, ac minoris proportionis; quoniam ego volo rationem primæ _A_ ad $ecundam _B_ ma- jorem e$$e ratione tertiæ _C_ ad quartam _D_; quoties (colla- tis inter $e jam notis quibu$vis illis æquè multiplicibus) vel $emel inveniatur multiplex primæ æqualis e$$e, aut major multiplici $ecundæ, dum ex æquo multiplex tertiæ vel minor e$t, vel non major multiplici quartæ; cum Eu- clides (in illa Def. 8. 5.) unicè id a$$umat, quoties multi- plex primæ major $it multiplici $ecundæ, & non etiam multiplex tertiæ major $it multiplici quartæ: duas afferre hìc debeo clari$$imas re$pon$iones, quæ omnem dubitatio- nem $u$tollant.

Prior re$pon$io hæc e$t; quòd ip$e Clavius (prout $uo loco in$inuavi) prædictam Definitionem $ic interpreratur: _Quòd $i quando è contrario multiplex primæ deficiat a multipli-_ _ci $ecundæ_, _non autem multiplex tertiæ a multiplici quartæ_, _di-_ _cetur prima magnitudo ad $ecnndam minorem habere proportio-_ _nem_, _quàm tertia ad quartam._ Porrò nemo omnium ne$cit _majus_, ac _minus_ correlativè invicem dici. Igitur, juxta hanc interpretationem, tertia magnitudo dicetur habere majo rem rationem ad quartam, quàm prima ad $ecundam; $i quando contingat, ut multiplex tertiæ vel æqualis $it, vel major multiplici quartæ, dum multiplex primæ minor e$t multiplici $ecundæ; atque id propterea eodem jure vice versâ. Cur verò (hoc $tante) præfatus Clavius (cu- jus eximium in demon$trando nitorem magni a me fieri fateor) non demon$traverit eam 26. 5. ex $ola Definitione; ex eo eveni$$e vaticinor, quia aliàs non dubitabat de ve- ritate illius ab aliis Interpretibus jam intru$i Axiomatis; unde fieri potuit, ut nobilius, aut expeditius forta$$e cen- $uerit a prima ip$a Definitione aliquantulum recedere.

Po$terior, & longè potior re$pon$io e$t, quæ $equi- tur. Licitum e$t unicuique definire, prout ip$i libuerit, terminos $uæ facultatis; dum tamen ex unâ parte eos nun- quam u$urpet, ni$i juxta Definitiones jam $tabilitas; & ex altera accu$ari i$tæ non po$$int de confu$ione unius termi- ni cum altero. Hoc autem loco nos e$$e in ca$u manife$tè liquet. Nam con$tat, Definitiones æqualis, majoris, ac minoris proportionis traditas e$$e per membra opportunè contradictoria, inter quæ nec medium dari pote$t, nec inexpectata confu$io. Quid enim clarius, minu$que con- fu$ioni obnoxium; quàm quòd ($umptis quibu$vis æquè multiplicibus primæ, ac tertiæ, ac rur$um quibu$vis $e- cundùm eandem, vel quamlibet aliam multiplicationem, æquè multiplicibus $ecundæ, ac quartæ) $i fiat compara- tio multiplicis primæ cum multiplici $ecundæ, ac $imili- ter multiplicis tertiæ cum multiplici quartæ, vel unà de- ficiant, vel unà excedant, vel unà æqualia $int? Similiter verò: quid clarius, minù$que rur$um confu$ioni obnoxium, quàm quòd (in defectu prædictæ uniformitatis) aliquan- do contingat, ut multiplex primæ vel major $it, vel $al- tem æqualis multiplici $ecundæ, dum interim multiplex tertiæ vel major non e$t, vel neque æqualis multiplici quartæ; aut vice versâ? Atque hinc (occlusâ nece$$itate alterius $ubdivi$ionis) clari$$imè di$tinctas habemus Defi- nitiones æqualis, majoris, ac minoris proportionis; inter primam, & $ecundam ex una parte; ex altera verò tertiam, & quartam. Plura alia in hanc rem hìc omitto, quia $pe- ctantia ad $equens in hac materia Principale Scholium.

SCHOLION III. _omnino Principale._

NObilis quidam Nationis no$træ Italicæ Scriptor, quem honoris cau$sâ hìc non nomino, quia verè eximium, ac magnum Geometram; nimius videri pote$t in accu$an- do tam frequenter Euclide $uper Definitionibus termino- rum. A$$umo hìc præ cæteris expendendam accu$ationem circa magnitudines proportionales. Præmittit laudatus Auctor neminem inficiari, quin $exta illa Libri quinti De- finitio _perplexa $it_, _ignota_, _& ideo re$puenda_, Rationem af- fert, quia _Definitio $cientifica debet evidenti$$imè exponere na-_ _turam rei definitæ per pa$$ionem po$$ibilem_, _veram_, _primam_, _&_ _noti$$imam_, _per quam definitum di$tinguatur a quolibet alio_ _$ubjecto._ At ego (cum bona venia tanti Viri) reponere po$$em, unum aliquem inter omnes e$$e Chri$tophorum Clavium, ip$i optimè notum, & aliàs in rem $uam circa parallelas ab eodem citatum, qui tamen hanc ip$am circa proportionales magnitudines Euclidæam Definitionem ma- ximè commendat, tueturque ab adver$is, aut extraneis in- terpretationibus. Sed præ$tat meritum cau$æ diligentiùs in$picere.

Admitto _Definitionem $cientificam_ tradi debere, prout ibi de$cribitur; omi$sâ dumtaxat illâ particulâ _primam_, de qua po$tea $peciatim agemus. Nam multiplicatio propo- $itarum quatuor magnitudinum, $imulque præ$cripta col- latio inter earundem multiplices, $ecundùm rationem _ma-_ _joris_, _minoris_, aut _æqualis_, quæ $emper, aut non $emper con$i$tat, pa$$io e$t _po$$ibilis_, _vera_, & _noti$$ima_, immo etiam (propter membra contradictoria) cognita nece$$aria, _per_ _quam definitum di$tinguitur a quolibet alio non tali $ubjecto_. Ubi indignum foret tanto Viro; $i quis cen$eret eum re- $picere ad infinitas $ecundùm quemlibet numerum propo- $itarum magnitudinum præ$criptas multiplicationes, quas certè mens humana a$$equi omnes di$tinctè non pote$t, & $ic neque inter $e conferre $ecundùm præ$criptas rationes _majoris_, _minoris_, aut _æqualis_. Nam id nece$$arium non e$$e con$tare pote$t ex prima $exti, prout jam evidenter decla- ravi.

Venio ad ly _primam_. Atque hìc (cum bona rur$um venia) $atis mirari non po$$um, quomodo laudatus Vir provocare velit ad pa$$ionem _primam_ in $en$u veluti meta- phy$ico, ex qua nempe, tanquam primo fonte, reliquæ pro- prietates ratione no$trâ promanare intelligantur. Si enim loquatur de pa$$ione _primâ_ quò ad nos, tam certum e$t a$- $ignatam ab Euclide e$$e veri$$imè primam, quàm certum e$t, eju$modi eam e$$e, ut inde reliquæ omnes huc u$que notæ proportionalium pa$$iones cum $umma certitudine eruantur; quod utique notum e$t omnibus Geometris. In hac proinde materia di$tinguendum $ic puto. Vel agitur de $ubjecto quopiam per aliquam experientiam aliunde cognito, ut $unt elementa vulgaria, mi$ta, planetæ, $tel- læ, aliaque huju$cemodi: & in i$tis dico Definitionem tra- di debere per talem pa$$ionem, quæ præcognita jam $it, eamque appello Definitionem _quid rei_. At ubi agitur de $ubjecto, quod nulli communi experientiæ $ubjaceat, un- de ab omni non ip$o $upponi debeat jam di$cretum, qua- les procul dubio $unt magnitudines inter $e proportiona- les, & tunc dico opportunius omnino e$$e procedere per Definitionem _quid nominis_, dum $cilicet ob$erventur hæc duo. Unum e$t; ut ne talis afferatur Definitio, quæ re- pugnet, $eu non compræhendat magnitudines invicem commen$urabiles, quæ nimirum $ub datis quibu$dam nu- meris exhiberi po$$int. Nam Definitio debet e$$e univer- $alis, ac propterea non excludens magnitudines $ub tali nomenclatura jam notas. Alterum e$t, ut nulla altera pa$- @o de ip$o tali $ic definito præ$umatur, ni$i quæ ex ip$a tali $tatuta Definitione promanet. Atque ita certi$$imè, nullo refragante, procedit in hac materiâ Euclides.

Adeò igitur hac in parte repræhendi ip$e non pote$t, ut immo a quadraginta circiter annis in fine meæ Logicæ Demon$trativæ $ic $crip$erim, ac demon$traverim. _Huc $i_ _re$pexi$$ent docti$$imi cæteroqui Geometræ_, _non tantùm pecca$-_ _$ent_, _ut in dubium revocarent Definitionem $extam Libri quin-_ _ti Euclidis de æquè proportionalibus. Scilicet deponere nolue-_ _runt omnem prævium conceptum æquè proportionalium_; _unde fa-_ _ctum e$t_, _ut quæ recipienda erat tanquam Definitio_ quid no- minis, _re$piceretur ut conclu$io Theorematica aliunde confir-_ _manda._ Paucis: In eodem meo Opu$culo clari$$imè o$ten- do non Matrem, $ed Filiam plurium præcedentium De- mon$trationum e$$e debere illam _Definitionem_, quam nobis laudatus Vir tanquam origine primam commendare in- tendit.

Nondum tamen rem omnem a primis u$que fibris di$cu$$i. Nam adhuc repræhendi ego po$$um, quòd illam Def. 8. 5. ita a$$ump$erim juxta Clavium; qua$i unâ aliquâ vice contingere non po$$it, ut multiplex primæ æqualis $it multiplici $ecundæ, dum multiplex tertiæ minor e$t mul- tiplici quartæ; quin juxta quandam aliam a$$umptam ex æquo multiplicationem, multiplex primæ excedat multi- plicem $ecundæ, dum multiplex tertiæ non excedit mul- tiplicem quartæ; ac propterea unus quilibet priore loco dictus ca$us $atis $it ad decernendum, quòd ratio primæ ad $ecundam major $it ratione tertiæ ad quartam, cum aliis ab Euclide con$equenter demon$tratis. Quare hoc loco rem totam di$cutiendam a$$umo.

Sint igitur quatuor (fig. 52.) magnitudines, prima _A_, $e- cunda _B_, tertia _C_, & quarta _D_; vel omnes quatuor in eodem genere; vel priores quidem in uno, & aliæ duæ po$teriores in alio ip$arum communi genere con$titutæ. A$$umptæ etiam $int earundem, juxta præ$criptum, æquè multipli- ces _E F_, _I K_, _G H_, _L M_; reperiaturque in uno tali ca$u _E F_ quidem æqualis ip$i _I K_, at _G H_ minor ipsâ _L M_. Dico pro- portionem primæ _A_ ad $ecundam _B_ majorem fore (juxta voces ip$as ab Euclide adhibitas in illâ Def. 8. 5.) propor- tione tertiæ _C_ ad quartam _D_.

Demon$tratur. Nam con$tat primò (ex Def. 6. 5.) hunc unicum ca$um $ufficere, ut una proportio non dica- tur e$$e alteri æqualis. Con$tat $ecundò (ex prædictâ Def. 8. 5.) unicum item ca$um $ufficere, ut prima _A_ dicatur ha- bere ad $ecundam _B_ majorem proportionem, quàm $it ter- tiæ _C_ ad quartam _D_; $i probetur unam aliquam e$$e mul- tiplicationem inter præ$criptas, juxta quam multiplex pri- mæ _A_ excedat multiplicem $ecundæ _B_, dum interim mul- tiplex tertiæ _C_ non excedit multiplicem quartæ _D_. Hunc verò ca$um demon$trandum a$$umo ex illo ip$o ca$u pro- po$ito, in quo _E F_ multiplex primæ _A_ æqualis e$t ip$i _I K_ mu ltiplici $ecundæ _B_, dum _G H_ multiplex tertiæ _C_ minor e$t illâ _L M_ multiplici quartæ _D_.

E$to enim portio _N M_ exce$$us quo _L M_ $uperat illam _G H_. Tum prædicta ip$a _G H_ tali magnitudine _X G_ augeri intelligatur, quæ & minor $it illo exce$$u _N M_, & $it pars quædam tertiæ _C_ ab aliquo finito numero denominata. De- inde augeatur _E F_ tali magnitudine _F T_, quæ $it pars pri- mæ _A_, qualis _X G_ pars e$t tertiæ _C_. Quoniam igitur $ermo e$t de multiplicibus, $ive per numeros integros, $ive per fractos; erit _E T_ æquè multiplex primæ _A_, ut _X H_ e$t multiplex tertiæ _C_. Præterea manebunt, ut $uprà, _I K_, & _L M_ æquè multiplices $ecundæ _B_, & quartæ _D_. Atqui _E T_ multiplex primæ _A_ excedet tunc illam _I K_ multiplicem $e- cundæ _B_, dum interim _X H_ multiplex tertiæ _C_ adeò non excedit, ut immo deficiat a corre$pondente _L M_ multipli- ci quartæ _D_. Igitur a ca$u propo$ito tran$itur demon$tra- tivè ad alterum, qui exprimitur ab Euclide in illâ Def. 8. 5. Quare con$tat de veritate, quam demon$trandam a$- $ump$eram.

Neque hìc remorari quempiam debet, quòd $æpe a$- $umam divi$ionem cuju$vis datæ rectæ in quotlibet præ- $criptas æquales partes. Nam con$tat divi$ionem eju$modi non indigere doctrinâ æquè proportionalium, ut videri pote$t apud Clavium, qui hanc divi$ionem demon$trat po$t Prop. 40. Libri primi. Neque etiam accu$ari hìc po$- $um, quòd ordine quodam præpo$tero u$us fuerim; quia nempe, re$olvendo magis quàm componendo demon$tra- re multa debui illu$trando Euclidi nece$$aria. Nam facile e$t, $i placeat, ip$um naturæ ordinem $equi.

Et primò cen$eo Euclidæam æquè proportionalium Definitionem pulcherrimam e$$e; & quia conceptam per voces communi intelligentiæ facillimas, quales $unt _mul-_ _tiplicatio_, _majus_, _minus_, _æquale_; & quia compræhendentem, $ine ullâ nece$$ariâ di$cretione, omnes magnitudines, $eu rationales, $eu quomodolibet irrationales.

Secundò cen$eo excludendum e$$e indecorum illud Po$tulatum, $ub nomine Axiomatis intru$um; cum $ine illo, & ex $olis aliunde notis, etiam problematicè procedi po$$it circa omnes & lineas rectas, & figuras itidem recti- lineas, opportunè invicem comparatas; prout $uprà non modò declaravi, verùm etiam ex parte demon$travi; unde utique opportunior po$tea, $i opus $it, videri po$$it $imilis præ$umptio circa reliquas omnes magnitudines.

Tertiò cen$eo, $ine ullo adjecto extraneo Po$tulato, ex $ola Euclidæa æquè Proportionalium Definitione tale elici po$$e veluti Axioma, quod tuti$$imè per omnem Geo- metriam ver$etur. Eju$modi autem e$t: _Omnis magnitudo_ _ad aliam quamlibet eju$dem generis magnitudinem habet ratio-_ _nom vel æqualem_, _vel majorem_, _vel minorem illâ_, _quæ e$t cu-_ _ju$vis alterius magnitudinis ad aliam quamlibet in $uo earun@_ _dem proprio genere con$titutam magnitudinem._ Tum verò, po$t duo alia a me demon$trata Lemmata, $ic tandem $ta- bilio integrum Axioma, quod $it immediatè utile in qua- libet materia: _Habebit omnis quæpiam tertia magnitudo_ C _ad_ _quamlibet aliam quartam magnitudinem_ D _in eodem cum ipsâ_ _genere con$titutam_; _vel rationem æqualem illi_, _quæ e$t cuju$dam_ _primæ magnitudinis_ A _ad quamlibet $ecundam magnitudinem_ B, _quæ in eodem $uo proprio cum magnitudine_ A _genere con$i-_ _$tat_; _vel tertia illa magnitudo_ C _habebit majorem rationem non_ _modò ad magnitudinem_ D, _verùm etiam ad aliquam magnitu-_ _dinem majorem illâ magnitudine_ D; _vel tandem habebit ratio-_ _nem minorem non modò ad prædictam magnitudinem_ D, _verùm_ _etiam ad aliquam magnitudinem eâdem magnitudine_ D _mino-_ _rem._

Quòd autem Axioma eju$modi opportuni$$imum $it, jam $uprà o$tendi, $umptâ experientiâ a $ecunda duode- cimi. Sed idem rur$um experiri volo $ub tota $ua gene- ralitate, circa illam 18. 5. ut magis con$tet nullam fui$$e, in ip$o fermè Geometriæ initio, nece$$itatem illius intru$i Po$tulati.

Proponit ibi Euclides (fig. 53.) compo$itas magni- tudines proportionales fore, $i divi$æ proportionales $int; ut putà, ita fore _A C_ ad _B C_, ut _D F_ ad _E F_; $i divi$æ pro- portionales $int; nimirùm, $i ita $it _A B_ ad _B C_, ut _D E_ ad _E F_.

Demon$tratur. Et primò non erit _A C_ ad quandam _Y C_, minorem eâ _B C_, ut _D F_ ad _E F_; quia dividendo ita foret (ex præc. 17. 5.) _A Y_ ad _Y C_, ut _D E_ ad _E F_, $ive (ex 11. 5.) ut _A B_ ad _B C_; cum divi$æ i$tæ magnitudines $uppo$itæ $int proportionales. Hoc autem ab$urdum e$t, contra 8. eju$dem 5. ex qua con$tat rationem illius _A Y_ ad _Y C_ majorem fore ratione prædictæ _A B_ ad _B C_.

Simili modo o$tendetur non e$$e _A C_ ad quandam _A X_, minorem prædictâ _A B_, ut _D F_ ad _E F_; quia uniformiter (ex prædictis 17. & 11. 5.) deberet e$$e _A X_ ad _X C_, ut _A B_ ad _B C_; contra eandem 8. 5.

Tum ex meo illo Axiomate, $ub adnexis Lemmatis perfectè con$tituto, demon$tro principale intentum. Nam _A C_ ad _B C_ habebit vel æqualem, vel minorem, vel majo- rem rationem, quàm _D F_ ad _E F_. At non minorem, ne- que majorem; quia, in qualibet vicinitate punctorum _Y_, & _X_ ad punctum _B_, erit $emper ($taute proportionalita- te jam dictarum partium) ratio illius _AY_ ad _Y C_, major, & ratio illius _A X_ ad _X C_, minor ratione prædictæ _A B_ ad _B C_, $ive _D E_ ad _E F_. Igitur; ne factâ incidentiâ puncto- rum _Y_, & _X_ in idem punctum _B_, ex liberâ permi$sâ de- $tinatione, debeat e$$e ratio _A B_ ad _B C_ & major, & minor ratione illius _D E_ ad _E F_; con$equens e$t ita fore _A C_ ad _B C_, ut _D F_ ad _E F_; dum $cilicet divi$æ illæ magnitudines _A B_, _B C_, & _D E_, _E F_ $upponantur proportionales. Quod &c.

Sed quia hìc agitur de $tabiliendo uno modo argu- mentandi circa magnitudines proportionales, qui frequen- ti$$imus e$t apud Geometras; nolo fidere (in hac $ummè ab$tractâ rationum $imilitudine) illi $oli communi notio- ni; quòd, ubi con$i$titur in eodem infimo genere, non po$$it $ucce$$ivè ordinatim tran$iri de majori in minus, ni$i tran$eundo per æquale. Itaque $ic rur$um argumentor ex eodem meo, @oviter illu$trato Axiomate. Nequit _A C_ ad _B C_ habere v. g. majorem rationem, quàm _D F_ ad _E F_, quin majorem etiam habeat rationem ad quandam _X C_, majo- rem prædictâ _B C_, dum nempe aliàs $upponatur ita e$$e _A C_ ad _B C_, ut _D F_ ad _E F_. Hæc autem $imul $tare non po$$e, ita demon$tro.

Quandoquidem rur$um (ex illo eodem meo Axio- mate) haberet _A C_ ad quandam _T C_, majorem illâ _X C_, ra- tionem adhuc majorem, quàm $it eju$dem _D F_ ad _E F_; at- que ita $emper u$que ad ip$um punctum _A_. Hoc autem ex ip$o Euclide certi$$imè ab$urdum e$t; quòd nempe ma- gnitudo aliqua ad æqualem habeat majorem rationem, quàm tota quæpiam _D F_ ad unam $ui partem _E F_. Unicè igitur re$tat, ut harum rationum majorum unus qui$piam $it terminus, $i non intrin$ecus, at $altem merè extrin$e- cus, ut putà in eo puncto _T_; adeò ut nempe habeat qui- dem _A C_ ad _T C_ rationem minorem, quàm _D F_ ad _E F_; $ed rur$um ad quamlibet, minorem illâ _T C_, majorem ratio- nem obtineat. Verùm hoc etiam repugnat meo illi Axio- mati. Si enim habet _A C_ ad _T C_ minorem rationem, quàm _D F_ ad _E F_, habebit etiam _A C_ ad aliquam, quæ minor $it eâdem _T C_, minorem adhuc rationem illius _D F_ ad _E F_. Non igitur $ub$i$tere pote$t terminus ille extrin$ecus con- $titutus in illo quolibet de$ignato puncto _T_. Inde autem $it, ut ratio _A C_ ad _B C_ nequeat e$$e major ratione _D F_ ad _E F_. At $imili modo o$tendetur rationem _D F_ ad _E F_ ma- jorem non e$$e ratione _A B_ ad _B C_. Quare (ex illo meo Axiomate) unicè re$tat, ut ratio illius _D F_ ad _E F_ non ni$i æqualis $it rationi ip$ius _A C_ ad _B C_, dum $cilicet divi$æ magnitudines _A B_, _B C_ proportionales $upponantur divi$is magnitudınibus _D E_, _E F_. Quod erat &c.

Atque hæc $atis jam $unt ad o$tendendam illius De- finitionis Euclidææ non modò certitudinem, verùm etiam opportunitatem ad repellendum intru$um illud, $ub no- mine Axiomatis, Po$tulatum.

LIBRI SECUNDI PARS SECUNDA. In qua expenditur quinta Definitio Libri $exti Euclidæi.

_DEfinitio e$t, quæ $equitur:_ Ratio ex rationibus compo- ni dicitur_,_ cum rationum quantitates inter $e multipli- catæ aliquam effecerint rationem.

Definitionem hanc egregiè more $uo elucidat Cla- vius, qui nempe ad Def. @0. Lib. 5. jam explicaverat, quo $en$u una ratio dicatur penes Euclidem alterius cuju$dam _duplicata_, _triplicata_, atque ita con$equenter. Sed placet rem totam a primis u$que initiis diligentiùs $crutari; ni- mirum hìc addendo, quæ in priore hujus Libri parte vi- deri potui$$ent importuna.

Nam prælaudatus, Nationis no$træ Italicæ, eximius Geometra ip$am etiam Libri quinti Def. 3. accu$at, ubi legimus: _Ratio e$t duarum magnitudinum eju$dem generis mu-_ _tua quædam_, _$ecundùm quantitatem_, _habitudo_; ac $imiliter Def 4. ubi habemus: _Proportionem e$$e harum rationum $imi-_ _@itudinem._ Qua$i verò (inquam ego) Definitiones i$tiu$- modi quidquam amplius continere deberent, præter ab- $tractos quo$dam terminos, grammatico more ibi explica- tos, $ed po$tea per voces communi u$u noti$$imas philo $o- phicè explicandos, $ine periculo ullius confu$ionis; prout $it in Definitionibus $extâ, & octavâ eju$dem Libri.

Quid verò, $i latinus interpres malè po$uerit _quanti-_ _tatem_, cum magis debuerit $cribere _quotitatem_, prout in- terpretatur, ac demon$trat ex Græco Euclidæo textu, om- @imodè laudandus Joannes Valli$ius? Tunc enim multò magis, etiam ante $ub$equentes Definitiones, promptum foret intelligere non loqui ibi Euclidem de qualicunque habitudine, $eu relatione unius magnitudinis ad alteram, $ed de illa dumtaxat, juxta quam una vel e$t alteri æqua- lis, vel tali quodam modo alterâ major, aut minor. Ubi; ne quis erraret circa magnitudines invicem comparatas, notumque faceret $e loqui de magnitudinibus eju$dem generis; $ubdit Definitionem quintam, in qua dicit: _Ra-_ _tionem inter $e habere magnitudines_, _quæ po$$unt multiplicatæ_ _$e$e mutuò $uperare_: Unde utique con$tat nullam e$$e v. g. cuju$vis lineæ rationem ad quamlibet $uperficiem, quia nulla linea quantumvis multiplicata $uperare pote$t vel mi- nimam quampiam $uperficiem.

Quo loco fateor præclarum Geometram Chri$tianum Volfium bene ob$ervare in $uis Elementis Arithmeticæ Cap. III. Schol. I. quòd tertia illa Euclidæa Definitio _vide-_ _ri pote$t incompleta_; quia nempe _dantur & aliæ magnitudi-_ _num relationes_, _quæ $unt con$tantes_, _nec tamen in rationum nu-_ _mero continentur_: Ubi ex Trigonometria in exemplum af- fert relationem _$inus recti ad $inum complementi_. Quamvis enim certi$$imum $it talem e$$e habitudinem, $eu relatio- nem cuju$vis $inus recti ad $inum corre$pondentis comple- menti, ut quadrata utriu$que $inus $imul $umpta æquent quadratum $inus totius; aliunde tamen $cimus non ean- dem e$$e _rationem_ cuju$vis $inus recti ad $inum corre$pon- dentis complementi, quæ e$t alterius $inus recti ad $inum $ibi corre$pondentis complementi. Unde infert non idem e$$e hac in re _habitudinem_, $eu _relationem_ ex una parte, & ex altera _rationem_, juxta communem Geometrarum intel- ligentiam.

N@hilominus dico, neque ex hoc capite accu$ari po$- $e Euclidem. Nam in $ua Definitione dicit; mutua _quæ-_ _dam_ $ecundùm quantitatem _habitudo_. Qui autem dicit _quandam habitudinem_, certè non vult compræhendere om- nes habitudines, $eu relationes. Et hìc rur$um expendere debeo ly _$ecundùm quantitatem_. Quis enim putet loqui ibi Euclidem de _quantitate_ metaphy$ico more expensâ, juxta quam unum corpus dicitur alteri naturaliter impenetra- bile; & non magis loqui de _exten$ione_ in $uo tali quodam genere, juxta quam una magnitudo dicitur, relatè ad al- teram, vel æqualis, vel major, vel minor? Et $anè ad in- terrogationem _quanta $it_ quæpiam linea recta, re$pondebi- tur v. g. palmaris, bipalmaris, tripalmaris, aut alio quovis modo, cum relatione ($eu per numeros integros, $eu per fractos, $ive etiam per minutiam) ad palmum, aut ad aliam longitudinem jam notam. Atque ita uniformiter circa alias cuju$vis generis magnitudines.

Unde infero tertiam illam Def. Euclidæam nulli que- relæ obnoxiam e$$e, etiam$i in$piciatur $eorsùm a con$e- quentibus. Quòd enim prælaudatus Chri$tianus Volfius _rationem_ definiat _e$$e eam homogeneorum relationem_, _quæ quan-_ _titatem unius determinat ex quantitate alterius $ine tertio ho-_ _mogeneo a$$umpto_, veri$$imè quidem dicit; quia hinc mani- fe$tum fit, non omnem _relationem_, etiam con$tantem, unius talis magnitudinis ad alteram, ut putâ $inus recti ad $inum complementi, e$$e _rationem_; cum quantitas $inus complementi determinari non po$$it ex quantitate $inus recti, ni$i a$$umatur tertium homogeneum, quale e$t $inus totus: $ed non ideo repræhendi hinc pote$t Euclides, qua$i _incompletè_ definiverit; cum hæc ip$a di$cretio manife$ta $it in illis $uis vocibus _$ecundùm quantitatem_, acceptâ nimirum _quantitate_ pro _quotitate_, prout certi$$imè intelligi $ie debe- re paulò ante declaravi, $umpto argumento ex interroga- tione $uper _quantitate_ talis cuju$dam propo$itæ magnitudi- nis. Atque ita a prima u$que ætate intellectum a me fui$- $e Euclidem, fateri omnibus po$$um. Hoc autem $tante vix intelligo, quomodo dubitari po$$it, an ex quantitat@ unius magnitudinis decerni po$$it immediatè quantitas al- terius, dum aliàs nota $it prædicta unius ad alteram _$ecun-_ _dùm quantitatem_ habitudo: Nam qualiter una illarum no- ta erit, taliter rur$um, $ine alio extrin$ecùs a$$umpto, no- ta erit etiam altera ex illa $ola præcognita habitudine.

Po$t hæc gradum facio ad illam quintam Def. $exti: Ubi dico fal$i$$imum e$$e, quòd $ub $pecie $implicis Defi- nitionis Axioma quoddam intrudatur, non permittendum $ine demon$tratione.

Et primò: Si $ermo $it de magnitudinibus in $uo tali quodam ordine commen$urabilibus, $ive rationem inter $e habentibus, quæ e$t alicujus numeri (aut integri, aut fracti, aut cuju$vis minutiæ) ad alium quempiam huju$- modi numerum, ita ut nempe prima quædam magnitudo _A_ per talem quempiam $eu numerum, $eu minutiam mul- tiplicata, æqualis fiat $ecundæ magnitudini _B_; adeò clarè, & immediatè o$tendetur veritas illius Definitionis, ut etiam Axiomatis loco æqui$$imè cen$eri po$$it.

Sint enim quatuor quælibet (fig. 54.) eju$dem gene- ris magnitudines, prima _A_, $ecunda _B_, tertia _C_, & quartæ _D_, prædicto modo invicem rationales. Dico rationem primæ _A_ ad quartam _D_ componi ex rationibus magnitu- dinum intermediarum, hoc e$t primæ _A_ ad $ecundam _B_, $ecundæ _B_ ad tertiam _C_, & tertiæ _C_ ad quartam _D_. Sci- licet dico magnitudinem _A_ toties contineri in magnitudi- ne _D_ ($umpto ly _toties_ pro quolibet numero, $ive integro, $ive fracto, $ive unitate, aut qualibet ip$ius unitatis minu- tiâ) quotus fuerit numerus ortus, aut quælibet unitatis minutia, ex ductu inter $e numerorum prædicto modo $umptorum, qui $ignificent quoties magnitudo _A_ contine- tur in magnitudine _B_, hæc in magnitudine _C_, & i$ta in magnitudine _D_. Sint porrò i$ti numeri _T_, _X_, _Y_, qui inter $e ducti procreent numerum _Z_.

Jam $ic. Con$tat, quòd magnitudo _A_ multiplicata per numerum _T_ facit magnitudinem _B_, & hæc multipli- cata per _X_ facit magnitudinem _C_, quæ rur$um multipli- cata per _Y_ facit magnitudinem _D_. Igitur _A_ in _T_, in _X_, in _Y_ producit magnitudinem _D_. Ponitur autem, quòd nu- meri _T_, _X_, _Y_ inter $e multiplicati faciant numerum _Z_. Igi- tur magnitudo _A_ multiplicata per numerum _Z_ facit eam magnitudinem _D_. Rur$um con$tat, quòd numerus _T_ ex- primit illam quantitatem, $eu _quotitatem_, juxta quam pri- ma magnitudo _A_ taliter $e habet ad $ecundam magnitudi- nem _B_, nimirum prout unitas $e habet ad eum numerum _T_; atque ita uniformiter de $ecunda magnitudine _B_ rela- tè ad tertiam _C_, prout unitas $e habet ad eum numerum _X_; ac tandem de hac tertia _C_ ad quartam _D_, prout unitas habet ad reliquum numerum _Y_.

Simili modo o$tendetur exhiberi ab eo numero _Z_ (qui nempe oritur ex ductu prædictorum inter $e nume- rorum _T_, _X_, _Y_) illam quantitatem, $eu _quotitatem_, juxta quam prima magnitudo _A_ taliter $e habet ad quartam ma- gnitudinem _D_, nimirum prout unitas $e habet ad eundem numerum _Z_. Cum ergo hic numerus _Z_ compo$itus $it ex prædictis numeris _T_, _X_, _Y_, manife$tum fit nos e$$e in ca- $u illius Def. Euclidææ. Si enim quantitates, $eu quotita- tes rationum primæ _A_ ad $ecundam _B_, $ecundæ _B_ ad ter- tiam _C_, ac tandem tertiæ _C_ ad quartam _D_, invicem mul- tiplices, gignaturque quantitas, $eu quotitas _Z_, hæc por- rò exhibebit rationem primæ magnitudinis _A_ ad quartam _D_, rationem idcirco compo$itam ex rationibus magnitu- dinum intermediarum. Quod utique erat demon$trandum.

Tum $ecundò: non diffiterer i$tud ip$um demon$trari a me po$$e, dum $ermo $it de magnitudinibus quomodo- libet irrationalibus. Sed non vacat tantum laborem im- pendere in re non nece$$ariâ. Nam dico non ni$i iniquè hac in parte Euclidis nomen vexatum fui$$e; quia nempe (ad ip$ius u$um) nullam ibi veritatem proponit præter eam, quæ in u$u _puri nominis_ con$i$tit. Ad quod explican- dum, $eu mavis demon$trandum, capere licet exemplum ex Propo$. 23. lib. 6. in qua Euclides demon$trat æquian- gula parallelogramma eam inter $e rationem habere, quæ ex rationibus laterum componitur.

Sint enim duo talia parallelogramma (fig. 55.) unum _A B C D_, & alterum _C E F G_ ita con$tituta, ut anguli ad punctum _C_ $int æquales, ac propterea in unam rectam li- neam coeant ip$æ _B C G_, & _D C E_: Tum compleatur alte- rum parallelogrammum _B C E H_, fiatque, ut latus _B C_ unius parallelogrammi ad latus _C G_ alterius, ita recta quæ- piam linea _I_ ad _K_, & ut latus _D C_ ad latus _C E_, ita illa _K_ ad alteram _L_. Jam $ic. Con$tat (ex 1. $exti) parallelogram- mum _A C_ ita fore ad parallelogrammum _C H_, ut ba$is _D C_ ad ba$im _C E_, $ive (ex 11. quinti) ut _I_ ad _K_. Rur$um, eodem jure, parallelogrammum _C H_ ita erit ad parallelo- grammum _C F_, ut ba$is _B C_ ad ba$im _C G_, $ive (ex eâdem 11. quinti) ut _K_ ad _L_. Igitur ex æquo (nimirum ex 22. quinti) ita erit parallelogrammum _A C_ ad parallelogram- mum _C F_, ut _I_ ad _L_.

Atque id e$t, quod intelligit Euclides, dum dicit ra- tionem unius parallelogrammi ad alterum æquiangulum parallelogrammum componi ex rationibus laterum: Id enim unicè vult, ut ratio prædicta æqnalis $it rationi cu- ju$dam rectæ lineæ _I_ ad alteram _L_, inter quas interpona- tur quæpiam _K_, per quam continuentur duæ rationes æquales rationibus prædictorum laterum; dum $cilicet ita $it _I_ ad _K_, ut latus _D C_ unius parallelogrammi ad latus _C E_ alterius; & rur$um ita $it _K_ ad _L_, ut e$t prioris paral- lelogrammi alterum latus _B C_ ad alterum po$terioris paral- lelogrammi latus _C G_.

Eodem planè modo interpretari debemus Propo$. 19. & 20. eju$dem Sexti, in quibus legimus $imilia triangula, & quælibet $imilia itidem poligona, duplicatam habere inter $e eam rationem, quæ e$t lateris homologi ad latus homologum. Ibi enim nihil aliud demon$trari debere in- telligitur, ni$i quòd ratio unius trianguli, aut poligoni, ad alterum $imile triangulum, aut poligonum, æqualis $it rationi cuju$dam rectæ lineæ _I_ ad alteram _L_, inter quas interpo$ita $it quæpiam _K_, per quam continuentur duæ rationes æquales illi, quæ e$t cuju$dam lateris unius trian- guli, aut poligoni ad latus homologum alterius trianguli, aut poligoni.

Præterea (ut nullus $uper$it dubitationi locus) $imi- li itidem modo interpretari debemus Propo$. 33. undeci- mi, ubi legimus: Similia $olida parallelepipeda e$$e inter $e in triplicata ratione laterum homologorum. Nam ibi nihil alind demon$trandum a$$umitur, ni$i quòd ratio unius parallelepipedi ad alterum $imile parallelepipedum æqualis $it rationi cuju$dam rectæ lineæ _H_ ad alteram _L_, inter quas duæ quædam _I_, & _K_ interpo$itæ $int, per quas continuentur tres rationes æquales illi, quæ e$t cuju$dam lateris unius parallelepipedi ad latus homologum alterius parallelepipedi.

Sed nolo di$$imulare, quòd jam inutilis fieret illa Definitio, $uper qua di$putamus. Nam re$pondeo volui$$e utique Euclidem rationem veluti reddere nominis ab ip$o a$$umpti, ita ut nempe ad eum modum una aliqua ratio intelligatur ex pluribus rationibus componi, quo unus qui$piam numerus ex pluribus numeris invicem multipli- catis exoriri intelligitur, & componi; $ed eâ tamen nu$- quam violatâ lege, ut nunquam ad demon$trandum eam definitionem adhibeat, ni$i antea ita omnes terminos di$- ponat, ut locum habere po$$it demon$tratio _ex æquo_ juxta prædictam 22. quinti. Atque ita $emper faciunt omnes magni Geometræ tam veteres, quàm recentiores; quod $anè nece$$arium præ$ertim e$t, ubi componendæ invicem $int rationes magnitudinum diver$orum generum, ut pu- tà linearum, planorum, $olidorum, velocitatum, tempo- rum, & eju$modi. Tunc enim certum e$t has omnes ra- tiones ex utrâque parte reduci primùm debere ad unam aliquam talium magnitudinum $peciem, ut po$tea detur locus alicui argumentationi _ex æquo_; nimirum vel ad pro- bandam (ex illa 22. quinti) æqualem rationem inter ex- tremas; vel ad probandam inter ea$dem unam rationem alterâ majorem, ex unâ aliquâ con$equentium eju$dem Libri quinti Propo$itionum. Unde tandem con$tat, illam 5. Def. $exti nulli difficultati obnoxiam e$$e; utpotè quæ _$olius nominis_ impo$itionem decernit, nulli po$tea ad de- mon$trandum u$ui futuram.

APPENDIX.

ATque hìc opportunum e$t ob$ervare, nullius Analy- ticæ ope decerni po$$e rationem datæ cuju$dam fi- guræ, etiam$i rectilineæ, ad alteram quamlibet datam fi- guram rectilineam, ni$i priùs $tabilitum $upponatur Eu- clidæum illud Axioma, unde pendet doctrina parallela- rum.

Demon$tratur. Præmitto autem communes e$$e Ana- lyticæ, & Arithmeticæ vulgari, regulas omnes additionis, $ubtractionis, divi$ionis, & extractionis radicum; quou$q; nempe in eodem infimo jam $tabilito entis genere con$i- $titur. At ubi tran$ire oporteat de genere in genus, ut putà (per multiplicationem, $eu ductum cuju$dam rectæ lineæ in alteram rectam lineam) de mera longitudine in $uperficiem planam; tum con$imiliter de hac (per quan- dam rur$um rectam lineam multiplicatâ) in $olidum trinæ dimen$ionis; atque ita a$cendendo per novas multiplica- tiones ad altiores conceptibiles gradus plurium dimen$io- num; quod utique uniformiter valet de divi$ione, per quam ad inferiores gradus de$cenditur: Tunc enimverò cen$eo, nullum ab Analytica $ubmini$trari po$$e Princi- pium, quo fulciantur præ$criptæ ab ip$a operationes ad a$$equendam veritatem.

Nam con$tat duas intelligi po$$e figuras rectilineas, unam (fig. 55.) _D A B C_, & alteram _C E F G_; quarum & no- ti $int anguli ad puncta _D_, _C_, _G_, ut putà omnes quatuor recti; & rur$um nota $int perpendicula _D A_, _C B_, _C E_, _G F_, nimirum æqualia $ingula uni palmo; ac tandem notæ $int ip$æ ba$es _D C_, _C G_; prior quidem v. g. unius palmi, & al- tera duorum. Ex his autem rur$um con$tat, datas fore po- $itione ip$as rectas _A B_, _E F_, nimirum jungentes ip$arum extrema puncta, quæ $upponuntur data in $ua tali po$i- tione.

His po$itis: audire cupio ab Analyticâ Principium aliquod, ex quo decerni po$$it ratio prioris rectilineæ figu- ræ _D A B C_ ad alteram itidem rectilineam _C E F G_. Re$pon- debit qui$piam rationem e$$e, ut ba$is _D C_ ad ba$im _C G_; addetque demon$trari id po$$e (jure quodam Analyticæ proprio) ex 18. $eptimi; ubi habemus, numeros genitos ex duobus, unum quempiam multiplicantibus, eandem inter $e habere rationem, quam multiplicantes.

Et ego quidem non renuo jus quoddam hac in parte proprium Analyticæ præ Arithmeticâ vulgari. Itaque agno$co rectam _D A_, quæ ad angulos rectos $emper ex- currat $uper rectâ _D C_, quoad u$que congruat ip$i _C B_, to- ties multiplicari, quot $unt quomodolibet di$tinguibilia puncta in eâdem _D C_; adeò ut propterea $uperficies quæ- dam _D A B C_ intelligi po$$it genita ex illâ _D A_ multiplica- tâ per _D C_. Tum $imili rur$um modo agno$co, rectam _C H_, quæ ad angulos rectos $emper excurrat $uper rectâ _C G_, quoad u$que congruat ip$i _G F_, toties multiplicari, quot $unt quomodolibet di$tinguibilia puncta in eâ _C G_; adeò ut $imiliter $uperficies quædam _C E F G_ intelligi po$$it ge- nita ex prædictâ _C E_, $ive ip$ius æquali _D A_, multiplicatâ per _C G_.

At hoc opus, hic labor: Decernere enim oportet, quænam $int i$tæ $uperficies genitæ, una _D A B C_, & alte- ra _C E F G_, circa quas demon$tratum agno$co fore eas in- ter $e, ut ba$es _D C_, _C G_.

Si enim præ$umere quis velit non alias e$$e modò di- ctas $uperficies, præter illas, quas jam $uppo$uimus con- cludi a duabus illis rectis, unâ _A B_, & alterâ _E F_, jungen- tibus extremitates illorum quatuor æqualium perpendi- culorum, quæ $upponuntur in eodem plano in$i$tere re- ctis _D C_, _C G_: Is enimverò convinci po$$et de manife$tâ petitione principii; cum id ip$um maximè inquiratur, an $cilicet utraque linea jungens extremitates etiam inter- mediorum perpendiculorum $it ip$a etiam linea recta, & non magis aut $emper cava, aut $emper convexa versùs partes $uæ ba$is, juxta diver$am hypothe$in aut anguli acuti, aut anguli obtu$i; quod quidem $atis con$tat ex di- ctis in $ecunda Parte mei primi Libri.

Præterea non renuo, quin demon$trari uniformiter po$$it ab Analyticâ, quòd ratio unius $uperficiei genitæ _D A B C_ ad alteram $uperficiem genitam _C E F G_ (quamvis ip$æ _D A_, & _C E_ ponantur invicem inæquales) compona- tur ex rationibus perpendiculi _D A_ ad perpendiculum _CE_, $eu perpendiculi _C B_ ad perpendiculum _G F_; ac rur$um ba$is _D C_ ad ba$im _C G_; dum $cilicet ip$æ _A B_, _E F_ ponan- tur jungere extremitates omnium æqualium perpendicu- lorum a $ubjectis ba$ibus erectorum: Atque id in$uper multis aliis modis. At $emper manebit quæ$tio circa jun- gentes extrema puncta illorum perpendiculorum. Qua- propter tandem $tatuo recurri $emper oportere ad Geo- metriam, quæ nempe ex illo $tabilito Euclidæo Axioma- te demon$tret naturam talium linearum.

Ex quibus omnibus $atis con$tat, nullius Analyticæ ope decerni po$$e rationem datæ cuju$dam figuræ, etiam$i rectilineæ, ad alteram quamlibet datam figuram rectili- neam, ni$i priùs $tabilitum $upponatur Euclidæum illud Axioma, unde pendet doctrina parallelarum. Quod &c.

Atque hæc $ufficere jam po$$unt ad vindican- dum Euclidem a nævis eidem objectis.

FINIS TOTIUS OPERIS. TABULA I. Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 Fig. 8 Fig. 9 Fig. 10 Fig. 11 C D A B C H D A M B X L K H C D N A P M B R X L K C D L K A B R X S T C D L K A B R H X P C D A M F B C D A B X H D A S B M T L T F C D K X A B M P R H L F C D X A B M P H A D P X P L TABULA II. Fig. 12 Fig. 13 Fig. 14 Fig. 15 Fig. 16 Fig. 17 Fig. 18 Fig. 19 Fig. 20 Fig. 21 Fig. 22 Fig. 23 Fig. 24 R K B D H A X X P H B A D C A B D C H M K H D A B K X H M D A B B A D C A D H K C B M A B H D K M L C P N A H D B C G H C D E N G H A B F M L B A D C D H B C M N F A L K D E F A H G B C TABULA III. Fig. 25. Fig. 26. Fig. 27. Fig. 28. Fig. 29. Fig. 30. Fig. 31. Fig. 32. K R Y Y P Y D Y H B A Z X X X X A B H K L K X K C D X X L K H M K D K N A B A N K D N X H M B F R P L R X X X M N L K A B R X X F Q L S K H K D T K M K N K A B X X Z N K F A T C B M R X X P D H L A K K K K B TABULA IV. Fig. 33. Fig. 34 Fig. 35 Fig. 36. Fig. 37. Fig. 38. Fig. 39. Fig. 40. Fig. 41. Z X X P D K M H K N L K C A B N M C X X S T R I A F B Q O Z Y X X L L L L L K L H D H H N S M A B X B D C B D C A M D F L B C K K X P T T A F A X B L D C H D F B C A M L F M H  TABULA V Fig. 42. Fig. 43. Fig. 44. Fig. 45. Fig. 46. Fig. 47. Fig. 48. F K X C D H A L M B N F R K X C D A L P M B X O K F S T C D A P Q L B R K F S F F F F X F C D A N Q L P M T V I B K C D H A M B C H D X N L K S A P M Q B C K D L H A M B TABULA. _VI_ Fig. 49. Fig. 50. Fig. 51 Fig. 52 Fig. 53 Fig. 54 Fig. 55. D A N M F E B G I K L D A X T F Q I H G E C M L K B A D E B C A T E F B X I K C X Y G H T D S X L N M A T X B Y C D E F Z T X Y A B C D A B H D C E G F H I K L