LE linee rette $ono dette in potentia communicante quando vna commune $uperficie 2 numera le $uperficie di quelle.

Per ben intendere que$ta diffinitione bi$ogna $aper, che la potentia di vna linea s’in tende il quadrato di quella. E$$empi gratia la potentia di vna linea longa, poniamo 5 piedi $aria 25. cioe 25 $uperficiette quadrate di vno piede per faccia, & co$i la potentia di ℞ 2 $aria 2. cioe il quadrato di ℞ 2. che è 2. & co$i la potenza di ℞ 3 $aria 3. Similmente la potenza di ℞ ℞ 7 $aria ℞ 7. cioe $aria il quadrato di ℞ ℞ 7. che $aria ℞ 7. & co$i di$correndo.

E$$endo adonque due linee, la prima dellequali poniamo che $ia longa piedi 8. & l’altra ℞ 12. lequali piedi 5 25 ℞ 2 2 ℞ 3 3 ℞ ℞ 7 ℞ 7 dico e$$er in potentia cõmunicante, perche vi $ono molte $uperficie, che numeraranno le $uperficie quadrate di quelle, քche il quadrato della prima $aria 64. & quello della $econda $aria 12. & co$i il quadrato di vna linea longa piedi 2. che $aria di $uperficie piedi 4. numerara preci$amente 16 vol- te 64. & preci$amente 3 volte 12. $imilmente il quadrato di ℞ 2. che $aria 2. numerara preci$amen- te 32 volte 64. & preci$amente 6 volte 12. anchora il quadrato di vna linea longa vn $ol piede, che $aria pur vn piede $uperficiale numerara preci$amente 64 volte 64. & 12 volte 12. Se adon- que quando non ve ne fu$$e $aluo, che vna $uperficie, che numera$$e le dette $uperficie quadrate di quelle, tai due linee, cioe 8. & ℞ 12. $ariano (per la $opradetta diffinitione) in potentia communi- cante, tanto piu $aranno in potentia communicante e$$endoui piu commune $uperficie numeran- te le dette $uperficie quadrate di quelle.

Sia anchora que$te due linee, cioe ℞ ℞ 32. & ℞ ℞ 72. & perche le $uperficie quadrate di ambedue $a- ranno communamente numerate dalla $uperficie quadrata di ℞ ℞ 8. s’intenderanno e$$er in po- tentia communicante, la cau$a praticale, che le $iano da quella numerate è que$ta, che il quadrato di ℞ ℞ 32. $aria ℞ 32. & il quadrato di ℞ ℞ 71 $aria ℞ 72. & il quadrato di ℞ ℞ 8 $aria ℞ 8. onde partendo ℞ 32 per ℞ 8. ne venira ℞ 4. laqual ℞ 4 $aria 2. per numero, e pero la detta ℞ 8. numera preci$amente due volte la detta ℞ 32. Similmente partendo ℞ 72. per la detta ℞ 8. ne venira ℞ 9. laqual ℞ 9 $aria 3. per numero, e pero la detta ℞ 8 numera preci$amente 3 volte la detta ℞ 72. e pe ro le dette due linee ℞ ℞ 32. & ℞ ℞ 72 $ono in potentia communicante, perche la $uperficie qua- drata di ℞ ℞ 8 numera communamente le $uperficie quadrate di quelle.

LElinee $ono dette incommen$urabili in potentia quando che non gli $ara alcuna commune $u 3 perficie, che numeri le $uperficie quadrate di quelle. E$$empi gratia que$te due quantita ℞ ℞ 6. & ℞ ℞ 8 (e$$endo linee) diremo e$$ere incommen$urabili in potentia, perche non vi è alcuna com- mune $uperficie, che numeri le $uperficie quadrate di quelle, lequali $uperficie quadrate l’una $aria ℞ 6. & l’altra $aria ℞ 8. la cau$a, che non vi $ia alcuna commune $uperficie, che numeri le dette due $uperficie quadrate s’intendera nella prima del $equente capo. Eglie ben vero, che per la regola da- ta $opra il $ummar, & $ottrar di radice potemmo cono$cere, & $apere le dette ℞ 6. & ℞ 8. e$$er in- commen$urabili, perche multiplicando l’una per l’altra non produra numero quadrato, ouer par- tendo qual $i voglia di quelle per l’altra, lo auenimento non $ara quadrato, cioe di tal auenimento non $e ne potra cauar numero rationale, e pero $ono incommen$urabili le dette due $uperficie qua drate, cioe ℞ 6. & ℞ 8. e per tanto $eguita le dette due linee, cioe ℞ ℞ 6. & ℞ ℞ 8 e$$er incommen- $urabili in potentia.

MA ogni propo$ta retta linea, con laquale ratiocinamo, $ara detta rationale.

In que$ta diffinitione l’auttore ne auerti$$e, come che quella mi$ura materiale, la- quale operaremo nelle no$tre commen$urationi (o $ia pertica, o pa$$o, o piede, o braz- zo, o palmo, o dito, o grano, ouero altra mi$ura formata con il compa$$o a no$tro pia- cere) $ara detta rationale, per e$$er vna quantita a noi cognita, & famigliare in tali cõmen$urationi.

ET le linee a quella communicante $ono dette rationali.

Quantunque que$ta diffinitione $ia po$ta di$gionta dalla precedente la $i debbe in- tendere congionta con quella $ucce$$iuamente, perche in que$ta copulatiuamente dif fini$$e, che tutte quelle linee, che $aranno commen$urabili a quella propo$ta linea (cioe LIBRO a quella mi$ura, con laquale mi$uraremo, $ia pertica, o pa$$o, o piede, o brazzo, o palmo, o dito, o grano, ouero altra mi$ura formata a no$tro piacere con il compa$$o nelle piccole commen$uratio- ni, ouero co$truttioni) $ono dette rationali, e$$empi gratia poniamo, che la no$tra propo$ta linea (con laquale mi$uramo, ouero intendiamo di mi$urare le no$tre co$e occorrenti) $ia quella mi$ura materiale, che $i chiama pa$$o, diui$a in piedi cinque, & cia$cun piede $econdo il co$tume moder- no, in oncie dodici. Hor dico che non $olam\~ete il detto pa$$o $ara linea rationale (per la precedente diffinitione) ma anchora tutte le linee mi$urate con il detto pa$$o, & con le $ue parti $aranno dette rationali (per la pre$ente diffinitione) perche tutte le dette linee veniranno a e$$ere commen$urabi- li con la no$tra propo$ta rationale, cioe con il no$tro pa$$o. Et accioche meglio m’intendi, poniamo che $ia vna linea, ouero longhezza longa pa$$a 6. piedi 4. oncie 7 {1/2}, dico la detta linea, ouero lon- ghezza e$$er quantita rationale (per la precedente diffinitione) per e$$ere commen$urabile con il no $tro pa$$o (per la prima diffinitione) & la loro commune mi$ura veniria a e$$er la mezza oncia, cioe che vna linea longa mezza oncia mi$urara la propo$ta longhezza preci$amente 831 volta, & mi$urara anchora il no$tro pa$$o preci$amente 120 volte, onde per la detta prima diffinitione $a- ranno commen$urabili, & per la precedente, & pre$ente diffinitione, l’una, & l’altra $ara ratio- nale, che è il propo$ito.

Ma bi$ogna notare, che que$ta mede$ima diffinitione nella $econda traduttione (cioe nella traduttio- ne del Zamberto) paria in que$t’altra forma.

ET quelle linee, che a que$ta $aranno commen$urabili in longhezza, & in potentia, & anchora $olamente in potentia $ono dette rationali.

Laqual diffinitione è a$$ai piu larga, & generale dell’altra, perche que$ta vuol, che anchora quelle linee, che $ono commen $urabili $olamente in potentia con la no$tra pro po$ta rationale (cioe con la no$tra mi$ura di pa$$o, ouer pertica, ouero altra $orte di mi$ura) $iano chiamate rationali, per il che $eguita, che quelle quantita, che communamente da pratici $ono det- te radici $orde, & irrationali, come $aria ℞ 10. ouer ℞ 12. & co$i la radice di ogn’altro numero non quadrato. E$$endo tal quantita linee, Euclide vuole, che $iano dette rationali, per e$$ere il $uo qua- drato rationale, & $e co$i non fu$$e $eguiria gran di$cordantıa nelle diffinitioni di binom{ij}, & re$i- dui, come che al $uo luogo s’intendera, vero è, che $e tai radici $orde $aranno $uperficie, $aranno ir- rationali, & $aranno dette $uperficie mediali, come al $uo luogo s’intendera. Ma fra pracici ogni ra- dice $orda, o $ia tal radice di $uperficie, ouer di linea, è detta communamente irrationale, come che da me per il pa$$ato è $tato detto.

ET quelle linee, che $aranno alla mede$ima incommunicante $ono dette irrationali, 6 ouer $orde.

Anchora que$ta diffinitione $i debbe intendere congionta $ucce$$iuamente alla pre- cedente della traduttione del Campano, perche in que$ta lui diffini$$e, che tutte quelle linee, che non $aranno communicanti alla mede$ima no$tra propo$ta retta linea (cioe alla no$tra propo$ta mi$ura materiale) $ono dette linee irrationali, ouero $orde, nondimeno que$ta mede$ima diffinitione nella traduttione del Zamberto parla in que$t’altro modo.

ET quelle linee, che $aranno a quella incommen$urabili per l’uno, & l’altro modo, cioe in longhezza, & in potentia $ono chiamate irrationali.

Laqual diffinitione intendendola congionta $ucce$$iuamente con la precedente (pur della traduttione del Zamberto) viene a con$ormar$i con il conuer$o di quella, cioe che vna linea incommen$urabile $olamente in longhezza con la no$tra mi$ura non $i debbe chia- mare, ne intendere irrationale (come $opra la precedente fu detto) anzi lui vuole, che la s’inten- da rationale, per e$$er il $uo qpadrato rationale, e pero bi$ogna notare, che il vulgo dipratici fin al pre$ente ($eguendo la traduttione del Campano) le radici di tutti li numeri non quadrati, $i e$$en- do linee, come e$$endo $uperficie (come di $opra è $tato detto) li chiamano irrationali, & $orde, nondimeno le $i debbono intendere rationali e$$endo linee, come parla la traduttione del Zam- berto, altram\~ete $eguiria (come di $opra di$$i) grande di$tordãtia nelle co$e, che $eguita nel decimo.

MA ogni quadrata $uperficie, cõ laquale ք il pre$uppo$ito ratiociniamo è detta rationale.

Per maggiore intelligentia di que$ta diffinitione bi$ogna, che quando noi de$ide- riamo di $aper la quantita di alcuna $uperficie inue$tighiamo in che proportione la $ia con il quadrato di qualche no$tra famo$a, & cognita mi$ura, come $aria a dire quanti VNDECIMO. pa$$a quadri è, ouero piedi, percioche o altra mi$ura formata a no$tro piacere (il che $i troua multi- plicando le mi$ure della larghezza di detta $uperficie, fia le mi$ure della $ua longhezza (come fu detto nel principio del $econdo libro di Euclide) & lo produtto di tal multiplicatione $ara la quan tita di quante $uperficiette quadrate (della mifura gia operata) $ara la detta $uperficie, & per $uper- ficietta quadrata $i debbe intendere vno quadretto di vna mi$ura per facciata, cioe di quella, che gia habbiamo operata a mi$urare, o $ia pa$$o, o piede, o pertica, o altra mi$ura formata a no$tro pia cere. Hor ritornando al no$tro propo$ito l’auttore diffini$$e, che ogni $uperficie quadrata, con la- quale per il pre$uppo$ito ratiocinamo (o $ia d’vn pa$$o, ouero d’vn piede, ouero di qual $i voglia altra mi$ura grande, ouer piccola) è detta rationale ք e$$er vna $uperficie a noi cognita, e famigliar.

ET le $uperficie a quella communicanti $ono dette rationale. Cioe che tutte quelle $u- 8 perficie, che $aranno communicanti, ouero commen$urabili a quella no$tra $uperficie quadrata (detta di $opra) $ono dette rationali, ma bi$ogna notare, che $e la no$tra qua- drata $uperficie $ara d’un pa$$o non $olamente vn’altra $uperficie di piu pa$$a integri $uperficiali (come $aria di pa$$a 450) $ara detta rationale, ma anchora di pa$$a, piedi, & oncie, & mezze oncie $ara pur detta rationale ($i come delle linee $opra la quinta diffinitione fu detto) per e$$er commen$urabile con la detta no$tra $uperficie quadrata di vn pa$$o, & la lor commune mi- $ura, $empre $ara la minima parte del pa$$o, che $i trouara e$$er denominata in detta $uperficie, & accio meglio m’intendi poniamo, che vna mi$urata $uperficie $ia pa$$a vinticinque, & vn terzo $u perficiali, dico la detta $uperficie e$$er commen$urabile con la no$tra $uperficie di vn pa$$o, & la lor commune mi$ura $ara vn terzo di pa$$o $uperficiale, $imilmente $e la detta mi$urata $uperficie fu$$e pa$$a trenta$ei, piedi cinque, oncie $ette, e tre quarte di oncia $uperficiale, la lor commune mi- $ura $ara infalante vn quarto di ⓜ $uperficiale, e pero l’una, & l’altra $ara rationale, il mede$imo $i trouara in ogni altra $pecie di rotto. Et nota che vn pa$$o $uperficiale é piedi 25 $uperficiali, & vn piede $uperficiale è oncie 144 $uperficiali, & con que$te euidentie potrai $aper in ogni altra $orte di mi$ura (diui$a come $i voglia) quante $uperficiette di vna delle $ue parti andara a $ormar il tutto, perche molti $i credeno, che $i come vn pa$$o lineale è cinque piedi lineali, che vn pa$$o $uperficiale $ia mede$imamente cinque piedi $uperficiali, anzi è il quadrato di cinque, cioe vinticinque, come è detto di $opra, & $imilmente perche vn piede lineale è diui$o in oncie 12. credono, che $imilmen- te oncie 12 $uperficiali facciano vn piede $uperficiale, per il che non puoco errano nelle $ue ri$olu- tioni, perche (come di $opra è detto) vn piede $uperficiale è oncie 144 $uperficiali, & tutto que$to (per le ragioni adutte $opra la prima diffinitione, ouero $uppo$itione del $econdo del detto Eucli- de $ara manife$to, & non $olamente nelle parti del pa$$o, & del piede, ma anchora nelle parti della pertica, & della cana, & del cauezzo, ouer di vna mi$ura formata a no$tro piacere, perche quello, che è detto del pa$$o, e piede, con la mede$ima euidentia $i procedera nelle parti di qual $i voglia mi$ura diui$a, perche ogni famo$a citta forma, & diuide, & da’ il nome alle $ue famo$e mi$ure $e- condo il loro parere, e pero auerti$$e.

ET le $uperficie a quella mede$ima incommunicanti $ono dette irrationali, ouer $orde. 9 Hauendo l’auttore nella precedente diffinito, quale $iano le $uperficie dette rationali, hora in que$ta copulatiuamente ne diffini$$e il conuer$o, cioe che tutte quelle $uperfi- cie, che non $aranno commen$urabili a quella mede$ima no$tra quadrata $uperficie (detta di $opra) $aranno dette irrationali, ouero $orde.

ET quelle, che ad alcune di quelle (irrationale) $aranno communicanti $aranno dette irrationali.

Que$ta diffinitione ne auerti$$e tutte quelle $uperficie, che $ono, ouero $aranno communicanti ad alcuna $uperficie irrationale, $aranno mede$imamente dette irrationali, perche vna quantita ra- tionale non puo e$$er communicante con vn’altra, che $ia irrationale.

ET ilati potenti in quelle $uperficie quadrate $ono detti irrationali. Cioe che ilati potenti in quel 11 le tai $uperficie irrationali quadrate, $imilmente $ono dette irrationali, il lato potente in vna $u- LIBRO perficie (e$$endo quella tal $uperficie quadrata) $e intende lo proprio lato di quella tal $uper$icie@ ma $e la non fu$$e quadrata $e intende pur per el lato de vna $uperficie quadrata equale a quella, ouero di quella i$te$$a redutta in quadro. E$$empi gratia $e l’area de vna $uperficie $ara poniamo Suꝑficie. ﺹ 10 ﺹ ﺹ 10 ℞ 10 tal ℞ 10 per e$$er $uperficie è detta irrationale $i $econdo Euclide, come $econdo la communa $ententia de pratici, & per tanto il lato potente in tal $uperficie veneria a e$$er ℞ ℞ 10. cioe il lato di tal $uperficie e$$endo quadrata $aria ℞ ℞ 10. e pero $i vede tal lato e$$er irrationale. Cap. II.

HAuendo nel precedente capo ordinatamente dichiarate, & con numeri, & radici e$$emplifi- cate tutte le diffinitioni del decimo di Euclide, al pre$ente principiaremo a far il mede$imo di al cune $ue propo$itioni, cioe di quelle, che ne parera e$$er alla general pratica di numeri, & mi$ure vtile, ouer nece$$arie, & non piu oltra, perche molte propo$itioni $ono po$te dal detto auttore a lui nece$$arie per dimo$trar altre propo$itioni, lequali nella pratica poi non è di molto profitto la loro e$$emplificatione, come che $i puo comprendere della prima propo$itione del detto $uo de- cimo libro, laqual in quanto alla pratica non edi alcun profitto, ma inquanto alla $cientia è nece$$a r{ij}$$ima per dimo$trare la $econda del 11 libro del detto Euclide, & la decimaterza del 12. & altre.

EV clide nella $econda propo$itione del $uo decimo libro volendone $peculatiuamen- 1 te a$$ignar vn proprio accidente delle quantita incommen$urabili, dice que$te parole.

Se $aranno due quantita inequali, & dalla maggior $ia detratto vna quantita equa- le alla menore per fino a tanto, che $opr’auanzi vna quantita menore di e$$a menore, & dapoi dalla menore $ia detratto vna quantita equale di e$$o rimanente per fin a tanto, che ri- manga quantita menore di quello rimanente, anchor di nuouo dal rimanente primo $ia detratto vna quantita eguale al rimanente $econdo per fin a tanto, che rimanga quantita menor di quello, & che dalla continua detrattione fatta in que$to modo, non $ia trouato alcuno rimanente, che nu- meri lo rimanente re$tato per auanti quelle due quantita è nece$$ario e$$er incommen$urabili.

Anchora che per altre vie praticali habbiamo dato regola di $aper cono$cere $e due quantita $iano commen$urabili, oueramente non, nondimeno mi è par$o anchora di voler e$$emplificare que$ta dimo$trata $peculatiuamente dal detto Euclide, & ma$$ime per far cono$cere qualmente que$ta al- tramente s’intende di quella data in numeri nella prima del $ettimo. Anchor che in vna, & nell’al- tra traduttione latina, alcuni affermano que$ta e$$er $imile alla detta prima del $ettimo. Hor per ve- nire alla e$$emplificatione. Pongo che vogliamo $apere $e ℞ 3. $ia commen$urabile con ℞ 6. Eglie il vero, che que$to lo potremo $apere per le no$tre regole praticali, cauate dalla $e$ta propo$itione del detto decimo di Euclide, cioe partendo l’una per l’altra, & $e di tal partimento ne venira numero rationale, tai due quantita $aranno commen$urabili, & $e di tal partimento ne venira numero non quadrato, cioe che non habbia radice rationale, tai due quantita $aranno incommen$urabili, come piu volte è $tato detto. Ma volendo cono$cer que$to per la regola $peculatiuamente data in que$ta dal detto Euclide $ottraremo la menore, cioe ℞ 3 dalla maggiore, cioe da ℞ 6. ma perche tal $ottra tione non $i puo fare $aluo, che con il termine del men, dicendo, che re$ta ℞ 6 men ℞ 3. il qual pri- mo rimanente cauandolo poi dalla menor quantita, cioe da ℞ 3. trouarai, che ne re$tara ℞ 12 men maggior quantita -- # ℞ 6 menor quantita -- -- # ℞ 3 primo rimanente # ℞ 6 men ℞ 3 # ℞ 11 men ℞ 6 # ℞ 6 men ℞ 3 $econdo rimanente # ℞ 27 men ℞ 24 terzo rimanente # ℞ 54 men ℞ 48 ℞ 6. ma perche que$to ℞ 12 \~m ℞ 3. è anchor maggior quan tita di ℞ 6 men ℞ 3. & per tanto ne cauaremo da quello vn’altra volta il mede$imo ℞ 6 men ℞ 3. & trouaremo, che re$tara ℞ 27 men ℞ 24. & que$to $econdo rimanente lo ca- uaremo dal primo (cioe da ℞ 6 men ℞ 3. & trouaremo, che re$tara ℞ 54 men ℞ 48. & perche $i vede, che dalla conti- nua detrattione fatta in que$to modo, procedendo in infini to non $i trouara alcun rimanente, che numeri il rimanente re$tato per auanti, e pero tai due quantita, per la detta pro- po$itione $ono incommen$urabili. Alcun potria ragione- uolmente dire tal regola data dal detto Euclide per cono- $cer le dette quantita incommen$urabili e$$er molto, & mol to tedio$a, & longa ri$petto a quella di $opra allegata, & v$ata nel terzo libro nel $ummar, e $ottra- re di ℞, & che per tal cau$a que$ta data dal detto Euclide non e$$er co$a da v$are nella pratica di ra- dici $orde, & non e$$endo da v$are e$$er co$a $uperflua, & non nece$$aria.

Circa di que$to io ri$pondo, & dico Euclide hauer po$ta tal propo$itione, & le due $equenti piu per $eruir$ene nella pratica del puro operar geometrico, che per $eruir$ene nelle quantita continue de- nominate da numero, ouer da radice, anchor che tai propo$itioni, in quelle ne po$$ino $eruire, & tutto que$to nel trattato del puro operar geometrico $i fara manife$to di quanta vtilita, & com- VNDECIMO. modita tali propo$itioni $iano, non re$tando pero di e$$emplificarle anchora in que$to luogo con numeri, & ℞ tanto quanto s’i$tende il mio puoco $aper.

ANchora Euclide nella terza propo$itione del $uo decimo libro conclude, che di due 2 propo$te quantita inequali communicanti potiamo ritrouare la ma$$ima quantita nu- merante communamente quelle. Et circa a tal propo$itione non vi adduce dimo$tra- tione alcuna, ma in l’una, & nell’altra traduttione latina rimettono tal dimo$tratione a quella fatta $opra la $econda propo$itione del $ettimo nelli numeri, circa di que$to affermo il pro- ce$$o della dimo$tratione di que$ta e$$er $imile al proce$$o della dimo$tratione di quella. Ma la con- clu$ione di que$ta è molto piu generale di quella, perche quella conclude $olamente di numeri pri- mi, & compo$iti di qualita di$creta $econdo la con$ideratione del mathematico, delliquali le loro vnita $ono in diui$ibili, & que$ta conclude della quantita continua, dellaqual quantita continua an- chor che li numeri, & le vnita di quella, nella pratica di mathematici $i proferi$cono a$tratti da ogni materia $en$ibile, nondimeno naturalmente $ono numeri denominati da qualche $pecie di mi$u- ra materiale anchor che’l nome di tal mi$ura $i taccia, & tal $pecie di mi$ura $i $uppone naturalmen te in luogo della vnita, ma perche tal mi$ura è diui$ibile in infinito, $eguita tal $pecie di vnita mate- riale e$$er diui$ibile in infinito, come che nel principio della prima parte, & anchor $opra li rotti, & in molti altri luoghi da me è $tato detto. E per tanto tutti quelli numeri, che nella quantita di$creta $ono detti fra loro primi, & incompo$iti, ouero incõmunicanti, per non e$$er communamente nu- merati, eccetto, che dalla vnita, tali numeri nella quantita continua, non $olam\~ete $ariano commu- nicãti fra lor, ma anchora li numeri rotti, & li $ani, & rotti, che que$to $ia il vero per la pre$ente Eu clidiana propo$itione trouaremo la lor cõmune mi$u$ura, & trouata quella $ara conclu$o il propo $ito, per la prima del precedente capo. Siano adonque que$te due quãtita 13 {2/5}, & 9 {1/3}, i quali dico per le ragioni piu volte dette, che $ono commen$urabili, hor volendo mo ritrouar la $ua ma$$ima Di que$te due quantita communicanti 13 {2/5}, & 9 {1/3}. la ma$$ima quanti- ta numerante cõmuna- mente quelle $aria {1/15}. cõmune mi$ura, prima (per facilitar la operatione) recca l’un, & l’altro rotto a vna mede$ima de- nominatione, che trouarai l’una di dette due quãtita e$$er 13 {6/15}, & l’altra 9 {5/15}, recca l’una, & l’al tra a quintidecimi, & trouarai la maggiore e$$er {201/15}, & la menore e$$er {140/15}, fatto que$to troua mo il ma$$imo numero, ouer quantita numerante communamente li duoi numeratori, cioe 201. & 140. & que$to tal comun numeratore trouarai $econdo la prima, ouer $econda del 0 7 di Euclide (cioe $econdo la regola deta per trouare il $chi$$atore da $chi$$ar vn rotto) & quel tale $ara quinti- decimi, cioe che tanti quintidecimi $ara la commune mi$ura mi$urante le dette due quantita, cioe quel 13 {2/5}, & 9 {1/3}, ma perche trouaremo li detti 201. & 140 e$$er contra $e primi, քche trouaremo che $olamente la vnita $ara a lorocommune mi$ura, laqual vnita in que$to ca$o venira a e$$er {1/15}, qual numerara quel 13 {2/5} preci$amente 201. volta, & quel 9 {1/3} preci$amente 140 volte. E per tanto cõcluderemo le dette due quantita (cioe 13 {2/5}, & 9 {1/3}) e$$er communicante, & la ma$$ima quantita numerante quelle e$$er {1/15}, & que$to {1/15} s’intende e$$er {1/15} di quella principal mi$ura, o $ia gran- de, o $ia piccola $uppo$ta in tal que$tione, dallaqual è denominato quel 13 {2/5}, & 9 {1/3}.

Alcuno potria dir la regola praticale, che $i co$tuma per trouar il ma$$imo $chi$$atore per $chi$are vn rotto, non corri$ponde, ne in parole, ne in fatti alla prima, & $econda propo$itione del $ettimo di Euclide, ne manco a que$te due $opra notate del $uo decimo libro, perche il detto ma$$imo $chi$- $atore $i troua con il partire. Et la prima, & $econda del $ettimo, & le due $opra notate vogliono, che $i troui la ricercata ma$$ima mi$ura con il $ottrar, come in e$$e propo$itioni $i legge, circa di que $to $i ri$ponde, che in que$ti ca$i, & molti altri $imili $i puo trouar tal ma$$ima quantita con il $ot- trare, & anchora con il partire, & perche piu facilmente $i troua con il partire, che con il $ottrare $i procede con il partire, & non con il $ottrare, & accio meglio m’intendi, pongo che $i voglia tro- uar la ma$$ima quantita numerante communamente que$te due 12. & 279. hor per trouar tal ma$ $ima quantita con il $ottrare, come $i legge nelle dette propo$itioni di Euclide, andaremo $ottran- do, ouer detraendo quel 12 da quel 279. per fino a tanto, che re$ti, ouero $opr’auanzi vna quanti- ta menore di 12. oueramente o. Onde $i vede, che a voler far que$to, eglie nece$$ario a $ottrare 23 volte il detto 12. del detto 279. & finalmente $i trouara auanzar 3. qual è manco del detto 12 ma perche $aria vna lõga fili$tocca a $tar a far quelli 23 $ottrari, la pratica ha trouato da e$$equire tal co $a con il partire, perche $i vede, che a partire 279 per il detto 12. trouaremo, che tal 12 v’intrara le mede$ime 23 volte, & $opr’auanzara quel mede$imo 3. menor del detto 12. il qual rimanente vo lendolo $ottrar dal detto 12. $ottrandolo 4 volte re$tara finalmente o. $imilmente partendo il det- 10 12. per il detto rimanente, cioe per 3. trouaremo, che v’intrara pur quattro volte, & auanzara o. E pero diremo $i $econdo la regola data da Euclide nelle $opradette propo$itioni, come $econ- do quella data nella pratica del $chi$ar di rotti, il detto 3 e$$er la ma$$ima quantita numerante com LIBRO munamente le dette due quantita 12. & 279. ma piu corta via è a procedere con il partire, che con tanti $ottrari. Que$to puoco di$cor$o mi è par$o di fare in que$to luogo per accordar tali propo$i- tioni di Euclide con quello, che nella pratica per breuita $i co$tuma.

Ma tornando al no$tro propo$ito $e le dette due quantita communicanti fu$$ero irrationali, come $a- ria a dire ℞ 12. & ℞ 75. & che di que$te tai due quantita tu de$idera$$i di voler trouare la $ua ma$- $ima quantita mi$urante, ouer numerante communamente quelle. Eglie il vero, che tu la puoi tro uare per la detta regola data da Euclide nelle $opra po$te due propo$itioni, cioe $ottrando ℞ 12 di ℞ 75. il che facendo trouarai che ti re$tara ℞ 27. & perche ℞ 27 è maggiore della detta ℞ 12. ne $ottraremo vn’altra volta la detta ℞ 12. & ne re$tara ℞ 3. & que$to $ara il primo rimanente, ilqual primo rimanente per e$$er menor di ℞ 12. lo $ottraremo da quella, cioe da ℞ 12. & trouaremo, che ne re$tara ℞ 3. & que$to $econdo rimanente lo $ottraremo dal primo, cioe da ℞ 3. & re$tara nulla, & per tanto concluderemo ℞ 3 e$$er la ma$$ima quantita mi$urante communamente ℞ 12. & ℞ 75. come che in fine $i prouara.

Ma volendo trouar la detta ma$$ima quantita, per vn’altra no$tra via piu i$pediente, prima troua il quadrato di vna, & dell’altra di dette due quantita, che trouarai l’uno e$$er 12. & l’altro 75. fatto Di que$te due quantita cõmen$urabili ℞ 12. & ℞ 75. la ma$$ima quan- tita mi$urante cõmuna- mente quelle $aria ℞ 3. que$to troua mo la ma$$ima quantita numerante communamente li detti duoi quadrati, cioe 12. & 75. onde procedendo $econdo l’ordine dato per trouar il $chi$$atore da $chi$$ar vn rotto, tro- uarai tal quantita e$$er 3. il qual 3 $ara della natura di dette quantita 12. & 75. lequali $ono $uper- ficie quadrate perche la mi$ura bi$ogna $ia della natura della co$a mi$urata, e pero il detto 3 $ara $u perficie quadrata, il cui lato $ara ℞ 3. & co$i concluderemo ℞ 3 e$$er la ma$$ima quantita numeran te communamente ℞ 12. & ℞ 75. ($i come per l’altra regola fu trouato) & di que$to con la i$pe- rienza te ne potrai chiarire, perche $e partirai ℞ 12 per ℞ 3. te ne venira ℞ 4. laqual è 2 per nume- ro, e pero la detta ℞ 3 numera preci$amente due volte ℞ 12. $imilmente partendo ℞ 75 per la me- de$ima ℞ 3. te ne venira ℞ 75. laqual è 5. per numero, & per tanto la detta ℞ 3 numera preci$amen te cinque volte ℞ 75. onde $ei chiaro la detta ℞ 3. numerar communamente ℞ 12. & ℞ 75. che è il propo$ito. Ma quando che le dette due quantita communicanti fu$$ero pur irrationali, & in nu- meri rotti, come $aria a dire ℞ {3/5}, & ℞ {12/45}, & che ti fu$$e dibi$ogno di trouare la ma$$ima quan- tita numerante communamente ambedue quelle, volendo procedere per la no$tra regola, per Di que$te due quantita commen$urabili ℞ {3/5}, et ℞ {12/45} la ma$$ima quan- tita mi$urante commu- namente quelle $aria ℞ {15/225}. piu breuita, quadra prima l’una, & l’altra, & trouarai l’un quadrato e$$er {3/5}, & l’altro {12/45}, rec- ca li detti duoi rotti a vna mede$ima denominatione, & trouarai l’uno e$$er {135/225}, & l’altro {60/225}, fatto que$to troua la ma$$ima quantita numerante communamente li duoi numeratori, cioe 135. & 60. onde procedendo $econdo il $olito trouarai quello e$$ere 15. & que$to 15 $i debbe inten- dere {15/225}, & co$i per le ragioni dette di $opra, la ℞ {15/225} $ara la ma$$ima quantita mi$uran- te communamente ℞ {3/5}, & ℞ {12/45}, & di que$to con la i$perienza te ne potrai certificare, per- che $e partirai ℞ {3/5} per ℞ {15/225} trouarai, che te ne venira ℞ 9. che è numero quadrato, la cui ra- dice è 3. e pero la detta quantita radice {15/225} mi$ura tre volte ℞ {3/5}. Sımilmente partendo radice {12/45} per la detta quantita ℞ {15/225} trouarai, che te ne venira ℞ 4. che è pur numero quadrato, la cui ℞ è 2. e pero la detta ℞ {15/225} mi$urara due volte ℞ {12/45}, e pero $ei certo la detta ℞ {15/225} mi$urar communamente ℞ {3/5}, & ℞ {12/45}.

Ma quando che le dette due quantita commen$urabili, & irrationali fu$$e in numeri $ani, & rotti, co- me $aria a dir ℞ 3 {1/2}, & ℞ 19 {1/18}, & che tu de$idera$$i di voler trouar la ma$$ima quantita mi$uran Di que$te due quantita comma$urabili ℞ 3 {1/2}, & radice 19 {1/18} la ma$$ima quãtita milurante com munamente quelle $a- ria ℞ {14/36}. te communamente quelle, volendo procedere pur per la no$tra regola (per abbreuiar la operatio- ne) quadrale, & reccale a rotti di vna mede$ima denominatione, il che facendo trouarai l’una e$$er {126/36}, & l’altra {686/36}, fatto que$to troua ($econdo il $olito) la ma$$ima quantita mi$urante commu namente li duoi numeratori (cio è 126. & 686.) che trouarai quella e$$er 14. il qual 14. venira a e$$er {14/36} la radice delquale $ara ℞ {14/36} & que$ta (per le ragioni piu volte dette) $ara la ma$$ima quan tita mi$urante communamente le dette due quantita, cio è ℞ 3 {1/2} & ℞ 19 {1/18}, che $e ne farai pro- ua partendo ℞ 3 {1/2} per ℞ {14/36} trouarai che te ne venira ℞ 9. che è numero quadrato, la cui ℞ è 3. & co$i diremo la detta ℞ {14/36} mi$urar 3 volte la detta ℞ 3 {1/2}, $imilmente partendo ℞ 19 {1/18} per la det- ta ℞ {14/36} trouarai, che te ne venira ℞ 49. che è numero quadrato, la cui radice è 7. & co$i diremo la detta ℞ {14/36} mi$urar 7. volte la detta ℞ 19 {1/18}, & co$i $ei certo la detta ℞ {14/36} mi$urar commu- namente ℞ 3 {1/2}, & ℞ 19 {1/18}, che è il propo$ito.

Che le $opra trouate quantita $iano le ma$$ime, $i dimo$tra in Euclide $peculatiuamente, & tal dimo- $tratione $i a$petta $olamente al Theorico, perche il pratico non $i puo per vigore della pura pra- tica certificar di que$to. Bi$ogna notare, che tutti que$ti e$$empi propo$ti in radici quadre, $i in que- $te due propo$itioni, come in molte di quelle, che $i hanno da dire $i po$$ono applicare ad ogm $pe VNDECIMO. cie di radice communicante, come da te mede$imo con la i$perienza te ne potrai verificare, perche nelle e$$emplificationi, che da me $aranno adutte $opra il decimo di Euclide non voglio trappa$$ar in altre $pecie di quantita di quelle po$te da tal auttore.

ANchora Euclide nella quarta propo$itione del $uo decimo libro, conclude che propo- 3 $te tre quantita communicanti, potemo trouar la ma$$ima quantita numerante quelle, & $i rimette la operatione, & la dimo$tratione di tal propo$itione a quella fatta $opra la terza del $ettimo (come nella precedente) & quantunque il proce$$o della dimo$tra- tione della terza del detto $ettimo $erua per dimo$trar que$ta, nondimeno la conclu$ione di quel- la non è $imile alla conclu$ione di que$ta, perche quella conclude $olam\~ete di numeri fra loro com- po$iti, & que$ta conclude delle quantita continue, laqual conclu$ione é piu generale di quella (co- me fu detto anchora $opra la precedente) & a e$$emplificarla è di maggior artificio, perche le dette tre quantita ponno variar, come nella precedente è $tato detto, cioe in quantita denominate da nu- meri $ani, ouer rotti, ouer $ani, & rotti, ouer di radici $orde, ma perche a voler dar e$$empio partico lar in cia$cuna $pecie, come fu fatto nella precedente, $aria co$a $uper$lua, քche il tutto in quello, che nella preced\~ete è $tato detto, e pero voglio, che que$to $olo e$$empio ti ba$ti. Siano que$te tre quan tita commen$urabili ℞ 3 {1/2}, & ℞ 19 {1/18}, et ℞ 24 {8/9}, hor volendo trouar la ma$$ima quãtita numeran te communamente le dette 3 quantita, prima trouaremo la ma$$ima quantita numerante commu- nam\~ete due di quelle, poniamo ℞ 3 {1/2}, & ℞ 19 {1/18}, onde procedendo $econdo l’ordine della prece- dente, trouaremo tal ma$$ima quãtita e$$er pur ℞ {14/36}, o vuoi dir ℞ {7/18}, fatto que$to vederemo $e la detta ℞ {7/18} numera quell’altra terza quantita, cioe quella ℞ 24 {8/9}, & $e per $orte la la numera$$e $aria la detta ℞ {7/18} la ma$$ima mi$ura mi$urante le dette 3 quantita, & tutto que$to dimo$tra Euclide nel la $opra allegata terza del 0 7, & perche in effetto la detta ℞ {7/18} numera la detta ℞ 24 {8/9}, perche a par tir la detta ℞ 24 {8/9} per la detta ℞ {7/18} ne vien ℞ 64. laqual ℞ 64 $aria 8 per numero, diremo la detta ℞ {7/18} e$$er la ma$$ima quantita numerante le dette tre quantita, cioe ℞ 3 {1/2}, & ℞ 19 {1/18}, & ℞ 24 {8/9}.

Ma $e per ca$o la detta ℞ {7/18} non haue$$e numerato la detta ℞ 24 {8/9} nece$$ariamente la $aria $tata al- meno communicante con lei (per le ragioni adutte da Euclide $opra la detta terza del $ettimo li- bro) onde trouando la ma$$ima quantita numerante communamente ambedue quelle, $econdo l’ordine dato nella precedente, & quella tale (trouata che fu$$e) $aria la ma$$ima quantita nume- rante le dette tre quantita, che $aria il propo$ito.

ANchora Euclide nella quinta propo$itione del $uo decimo libro $peculatiuamente di- 4 mo$tra, che la proportione di ogni due quantita communicante, è $i come da nume- ro a numero.

Oltra li molti co$trutti, che nella $peculatiua $cientia, di tal propo$itione $i cauano, per dimo$trar altre propo$itioni (come in e$$o Euclide $i manife$ta) Anchora molti altri nella pra- tica $e ne puo cauare, delliquali vn $olo (per $ueggiarti) ne narraro, il qual è que$to, che a ogni pro po$ta quantita irrationale, gli potemmo trouare vno con$equente, ouero vno antecedente a quel la communicante, & in che $pecie di proportion ne pare. E$$empi gratia volendo trouare vn con- $equente a ℞ 12a lei commen$urabile in longhezza, & in proportione $e$quialtera, ouero in $ub- $e$quialtera. Troua duoi numeri in tal proportione, come $aria 3. & 2. poi per l’ordine della regola del 3. dirai, $e 3. mi da 2. che mi dara ℞ 12. opera (reccando li termini a vna mede$ima natura) tro- uarai, che ti dara ℞ 5 {1/3}, & co$i ℞ 5 {1/3}, $ara communicante in longhezza con detta ℞ 12 (per la detta propo$itione) perche la proportione di ℞ 12. a ℞ 5 {1/3}, è come quella di 3. a 2. cioe da numero a nu- mero, laqual proportione è $e$quialtera, & $e di que$te particolarita ne farai proua, $econdo l’or- dine dato nelle proportioni, & quantita proportionali, trouarai il tutto e$$er $econdo il propo$ito, & que$ta regola ti $eruira non $olamente in qualunque altra $pecie di radice $orda, che fu$$e propo $ta, & in qual $i voglia altra proportione, ma in ogni altra $pecie di quantita irrationale, che il tut- to non $i puo e$$emplificare, e pero bi$ogna, che con il tuo giuditio comprendi, che que$te propo- $itioni $ono generali.

SImilmente Euclide nella $e$ta propofitione del detto $uo decimo libro dimo$tra, che $e 5 $aranno due quantita, dellequali la proportione di vna all’altra $ia, $i come da numero a numero, quelle due quantita è nece$$ario e$$er communicante.

Oltra li co$trutti, che di tal propo$ition $i caua in e$$o Euclide per dimo$trar altre $ue propo$itioni, anchora da que$to $i caua quel i$pediente modo generale da cono$cere $e due pro- po$te quantita $iano communicante, che $opra della pratica del $ummar, & $ottrar di radici fu det- to, cioe a partir vna quantita per l’altra, & $e di tal partimento ne vien numero rationale $i affer- ma tai due quantita e$$er communicanti, perche quel partir l’una per l’altra, non $i fa per altro, $al- LIBRO uo che per trouar il denominator della proportione, che è fra quelle due quantita irrationali (come $i co$tuma nelle proportioni, che $e ben ti aricordi volendo trouar il denominatore di qualche da- ta proportione, quel $i troua partendo l’antecedente per il $uo con$equente, & lo auenimento $ara il detto denominatore, & accio meglio m’intendi, pongo che vogliamo $apere $e ℞ 108 $ia com- municante con ℞ 12. Et pongo anchora che vogliamo $apere, ouero trouar il denominator della proportione, che è da ℞ 108. a ℞ 12. tu vedi, che in l’una, & l’altra di que$te due que$tioni bi$ogna partir ℞ 108 per ℞ 12. il che facendo ne venira ℞ 9. che $aria 3. & perche que$to 3 è il denomina- tore di tal proportione, & perche anchora il detto 3. è il denominatore della proportione tripla nelli numeri. Seguita adonque la proportione di ℞ 108. a ℞ 12. e$$er $i come quella, ch’è da 3. a 1. perche l’una, & l’altra è denominata da 3. E per tanto per la $opradetta Euclidiana propo$itione concluderemo ℞ 108 e$$er communicante con ℞ 12. perche la loro proportione è, come da nume- ro a numero, cioe come da 3. a 1. ouer da 6. a 2. & c. E per tanto $i puo comprendere, che qua$i tut te le regole, che nella pratica communamente $i o$$erua deriuare da qualche propo$itione di Eu- clide, anchor che il pratico non $a molte volte doue tal regola $ia $tata cauata.

ANchora Euclide nella $ettima propo$itione del decimo $peculatiuam\~ete dimo$tra qual 6 mente le quantita incommen$urabile fra loro non hanno proportione, come da nu- mero a numero.

Que$ta è il conuer$o della $ua quinta, dallaqual propo$itione, oltra li co$trutti, che di lei $i caua per dimo$trare altre propo$itioni, ne in$egna anchora la regola di $aper trouare a qua- lunque propo$ta quantita vn con$equente, ouero vno antecedente a lei incommen$urabile, & per far que$to, poniamo che la propo$ta quantita $ia ℞ 20. hor volendo trouare vn con$equente a que $ta ℞ 20. che $ia a lei incommen$urabile, prima trouaremo due quantita, che la loro proportione non $ia, come da numero a numero, & que$te tal due quantita ponno e$$ere ambedue denomina- te da due radici $orde, ouer vna da radice, & l’altra da numero, ma perche molte volte due radici $orde hanno proportione (per le precedenti) come da numero a numero, onde per trouarle $icu- ramente $enz’altra cõ$ideratione, pigliaremo vn numero, & vna ℞ $orda, perche fra vn numero, & vna radice $orda mai vi puo e$$er proportione, come da numero a numero (come in altri luo- ghi piu volte habbiamo detto) pigliaremo adunque per al pre$ente 2. & ℞ 3. & per la regola del tre diremo. Se 2 mi da ℞ 3. che mi dara ℞ 20. onde multiplicando, & partendo trouaremo, che ne dara ℞ 15. & co$i ℞ 15 $ara la ricercata quantita incommen$urabile con ℞ 20. il mede$imo modo o$$eruaremo quando che la detta propo$ta quantita fu$$e qualche altra $pecie di radice, ouero altra quantita irrationale, & anchora quando fu$$e rationale, cioe denominata da vn numero.

ANchora Euclide nella ottaua propo$itione del $uo decimo libro $peculatiuamente di- 7 mo$tra, che $e due quantita non haueranno fra loro proportione, come da numero a numero quelle tai quantita $aranno incommunicanti.

Que$ta è il conuer$o della $ua $e$ta, e pero anchora $e ne caua il conuer$o di quella, perche @e di due propo$te quantita partendo l’una per l’altra non ne peruenıra quantita rationa- le, taı due quantita $aranno incommunicanti, & que$to na$ce, per che il denominator della lor pro- portione (che $ara il detto auenimento) non e$lendo denominato da numero, tal proportione non puo e$$er, come da numero a numero, perche ogni proportione, che $ia da numero a numero è $empre denominata da numero. Et que$ta è la cau$a praticale, che partendo qual $i voglia $pecie di radice $orda per vn’altra, $e di tal $uo auenimento non $e ne potra cauar numero, tal due quan- tita $aranno incommen$urabili.

SImilmente Euclide nella nona propo$itione del $uo decimo libro geometricamente di- 8 mo$tra, che di ogni due $uperficie quadrate, dellequali i lati communicano in longhez za. La proportione dell’una all’altra è, come da numero quadrato a numero quadra- to, & (è conuer$o) $e la proportione di vna $uperficie quadrata a vna $uperficie qua- drata, @ara $i come la proportione di vn numero quadrato a vn numero quadrato, li lati di quelle $aranno communicanti in longhezza. Et $e li lati di due $uperficie quadrate $aranno incommen- $urabili in longhezza, le dette $uperficie fra loro non haueranno proportione, come di numero quadrato a numero quadrato. Et $e la proportione di vna $uperficie quadrata a vna $uperficie qua drata non $ara, come di numero quadrato a numero quadrato, li lati di quelle $aranno incommen $urabili in longhezza.

Laqual propo$itione in que$to luogo faremo chiara $olamente con e$$emp{ij} di numeri, & radici, che de$iderara poi d’intendere tal propo$itione con $peculatiue dimo$trationi geometrice ricorra dal detto Euclide, perche mi ba$ta a dichiarire in que$to luogo quello, che alla pratica di numeri, & ra- VNDECIMO. dici $i appartiene. Sia adunque due linee l’una lõga ℞ 8. & l’altra ℞ 128. lequali (per le ragioni adut te nelle precedenti) $ono commen$urabili in longhezza, hor dico per la pre$ente propo$itione) che la proportione delle $uperficie quadrate di quelle $ara, come di numero quadrato a numero qua- drato, & que$to con la i$perienza (come co$tumano li naturali, & anchora li puri pratici) lo appro- Suꝑficic’ 8 ﺹ 8 uaremo. Eglie chiaro che il quadrato di ℞ 8. $ara 8. & il quadrato di ℞ 128. $ara 128. douendo mo e$$er la proportione di 128. a 8. come da numero quadrato a numero quadrato. Eglie nece$$ario, che la denominatione di tal proportione $ia vn numero quadrato, ք trouar mo la denominatione di tal proportione, tu $ai che bi$ogna partire lo antecedente per il con$equente, partendo adunque 128 per 8. ne venira 16. che ben è numero quadrato, e pero tal proportione $i vede e$$er, come di Superficie 128 ℞ 128 numero quadrato a numero quadrato, come $i conclude nella detta propo$itione, il mede$imo $e- guiria ponendo per antecedente 8. & per con$equente 128. perche partendo 8 per 128. ne veni- ra {8/12@}, che $chi$a $aria {1/16}, che è quadrato, la cui radice $aria {1/4}, $i che per qual modo $i voglia $i vede, che la proportione di ogni due $uperficie quadrate, dellequali li lati communicano in lon- ghezza, é come di numero quadrato a numero quadrato. Il conuer$o di que$ta parte $i e$$emplifi- ca al cõtrario. E$$empi gratia $iano due $uperficie, poniamo le mede$ime 128. & 8. & perche a par- tir l’una per l’altra ne vien numero quadrato, e pero da que$to $eguita, che la proportione dell’una all’altra e$$er, come da numero quadrato a numero quadrato, onde per la $econda parte della $o- pra$critta propo$itione li lati di que$te due $uperficie $aranno communicanti in longhezza, i quali Superfici@ 20 ﺹ 20 lati $ara ℞ 128. & l’altro ℞ 8. La terza, & quarta parte (in quanto alla pratica) vien a e$$er da $e ma- nife$ta, cioe che e$$endo due linee, ouer lati di due $uperficie quadrate $aranno incommen$urabili in longhezza, le dette $uperficie non haueranno proportione, come da numero quadrato a nu- mero quadrato, cioe che il denominatore della $ua proportione, nõ $ara numero quadrato, il qual denominatore (come è detto) $i troua partendo l’una $uperficie per l’altra. E$$empi gratia $iano due linee vna longa ℞ 20. & l’altra ℞ 10. & perche que$te due radici $ono incomm\~e$urabili, per le ragioni dette nelle pa$$ate. Hor dico che la proportione delle $ue $uperficie quadrate non $ara, co- me di numero quadrato a numero quadrato, dellequali $uperficie l’una $ara 20. & l’altra 10. onde per trouar il denominatore di tal proportione, partiremo 20 per 10. & ne vien 2. il qual 2. per non e$$er numero quadrato, tal $ua proportione non è come da a numero quadrato a numero quadra- Suꝑfici@ 10 ﺹ 10 to, che è il propo$ito. La quarta parte vien a manife$tar$i al contrario, cioe che e$$endo due $uper- ficie, poniamo le mede$ime 20. & 10. dellequali la proportione di vna all’altra (per la cau$a det- ta) non è come da numero quadrato a numero quadrato. E pero per la detta propo$itione, li lati di tal due $uperficie $aranno incommen$urabili in longhezza, iquali latil’uno $ara ℞ 20. & l’altro ℞ 10. ch’è il propo$ito.

Alcuni potria dire, che que$to modo, ouer regola data da Euclide in que$ta propo$itione, per cono- $cere le quantita communicanti, & incommunicanti e$$er in $o$tantia $imile a quelli modi dati nel- le quattro precedenti propo$itioni, anchor che in parole $ia differenti da quelle. Ri$pondo che nel- le co$e $eguita, nell’opra $ua $i troua alcune $ue propo$itioni, che per dimo$trarle $i puo argumen- tare ք vn di detti modi, & nõ per gli altri, & è cõuer$o, e pero non bi$ogna marauiliar$i di que$to.

Con$equentem\~ete a que$ta nona propo$itione del detto decimo di Euclide vi $eguita la decima, vn- decima, duodecima, & decimaterza, nella decima geometricamente dimo$tra, che $e $aranno due quantita communicanti a vna mede$ima quantita, che anchora quelle due quantita $aranno nece$ $ariamente communicanti fra loro. E per tanto $eguita anchora, che $e $ara l’una di dette due ma- gnitudini commen$urabili, & l’altra incommen$urabile a vna mede$ima quantita, che le dette due quantita, ouer magnitudini $aranno fra loro incommen$urabili, & nella vndecima dimo$tra il conuer$o della detta decima, nella duodecima poi dimo$tra, che $e $aranno due quantita commu- nicanti, anchora tutto il compo$ito di ambedue a l’una, & l’altra di quelle $ara commen$urabile, & è conuer$o, & nella decimaterza dimo$tra il conuer$o della detta duodecima, & perche tai quat tro propo$itioni ($e non ti hauerai $cordato il $ummar, & $ottrar delle radici communicanti) da te mede$imo facilmente te ne $aperai con e$$emp{ij} praticalmente certificare, & per que$ta cau$a (per abbreuiar $crittura) le habbiamo interla$ciate.

ANchora Euclide nella decimaquarta propo$itione del $uo decimo libro, $peculatiua- 9 mente conclude, & dimo$tra, che $e la prima di ogni quattro quantita proportionale $ara commen$urabile alla $econda, che anchor la terza $ara commen$urabile alla quar- ta, & è couuer$o, cioe $e la prima $ara incommen$urabile alla $econda, che anchor la terza $ara incommen$urabile alla quarta.

Dallaqual propo$itione, oltra li co$trutti, che di lei $i caua per dimo$trar altre propo$itioni in e$$o Eu LIBRO clide. Potremmo a qual $i voglia propo$ta quantita trouarne vn’altra a quella commen$urabile, ouero incommen$urabile $econdo, che ne parera. E$$empi gratia $ia la propo$ta quantita ℞ ℞ 12. & $ia la intention no$tra di voler trouar vn con$equente a que$ta ℞ ℞ 12. a lei commen$urabile.

Per far que$to troua prima a tuo piacer due quantita commen$urabile, o $iano tal due quantita due radici communicanti, & di che $pecie $i voglia le dette radici, ouer duoi numeri. Hor pigliamo prima due radici, lequal $iano ℞ 10. & ℞ 90. poi per la regola del 3. dirai $e ℞ 10 mi da ℞ 90. che mi dara ℞ ℞ 12. opera (reccando li termini a radice di radice) & trouarai, che ti dara ℞ ℞ 972. & co$i que$ta ℞ ℞ 972. $ara commen$urabile alla detta ℞ ℞ 12. che $e ne farai proua, trouarai co$i e$- $ere, il mede$imo ti $eguiria in ogni altra $pecie di radice, il mede$imo anchor $eguiria pigliando duoi numeri, come che nella quarta fu fatto manife$to. Ma volendo trouar il detto con$equente incommen$urabile alla detta ℞ ℞ 12. tu hauere$ti pigliato le dette due quantita incommen$urabili, come $aria a dire vn numero, & vna radice $orda, ouer due radici $orde incommen$urabili, & pro ceder poi per il mede$imo modo.

EV clide nella decimaquinta propo$itione del decimo geometricamente ne in$egna, & 10 $peculatiuamente dimo$tra il modo di $apere a qualunque propo$ta retta linea, troua- re due altre rette linee a quella incommen$urabili, l’una $olamente in longhezza, & l’altra in larghezza, & in potentia, laqual propo$itione intendo quiui dimo$trare il modo di far que$to praticalmente con numeri, & radici.

Hor poniamo che la propo$ta retta linea $ia 10 piedi, ouer 10 altre mi$ure formate a no$tro piacer con il compa$$o, & c. Et poniamo che l’intento no$tro $ia di voler trouare due altre linee, dellequali l’u- na $ia incommen$urabile con il detto 10. in longhezza, & l’altra gli $ia incommen$urabile non $o- $olamente in longhezza, ma anchora in potentia. Quadremo il detto 10. fa 100. poi a que$to 100 gli daremo (con la regola del tre) vn con$equente, con il quale non habbia proportione, come di numero quadrato a numero quadrato, & quantunque in finiti $e ne potria trouar, & in diuer$e $pe cie di proportione pur per non $tar molto a pen$are glilo daremo in vna proportione $uperparti- colare, perche $appemo, che niuna $uperparticolare è come da numero quadrato a numero qua- drato. Hor demoglilo in $e$quialtera, ouero in $ub$e$quialtera dicendo, $e 3 mi da 2. che mi dara 100. ouer $e 2 mi da 3. che mi dara 100. opera che al primo modo ti dara 66 {2/3}, & al $econdo ti da ra 150. & perche que$te quantita $ono $uperficie quadrate, troua li lor lati pigliando la radice di cia$cuna di quelle, lequai radici l’una $ara il no$tro 10. l’altra $ara ℞ 66 {2/3} (cioe $ara $orda) l’altra $a- ra ℞ 150 per e$$er anchora lei $orda. Et co$i quala vorremo di que$te due ℞ 66 {2/3}, ouer ℞ 150 $ara la ricercata linea incommen$urabile in longhezza con il no$tro 10. Et perche lo intento no$tro è di voler trouare anchora vn’altra linea, che $ia incommen$urabile in potentia con la no$tra 10. tro- uaremo vna media proportionale fra la detta 10. & l’una di quelle due gia trouate, & per $uggir rotti la trouaremo fra 10. & ℞ 150. onde procedendo $econdo la regola data $opra le proportio- ni, trouaremo tal media proportionale e$$er ℞ ℞ 15000. & que$ta $ara la ricercata linea incommen $urabile in potentia alla no$tra 10. perche la potentia di 10 è 100. & la potentia di ℞ ℞ 15000. è ℞ 1500. & co$i 100 $aria incommen$urabile con ℞ 1500 alla ℞ 15000. perche a partir l’una per l’al- tra non ne vien numero quadrato, ma $olamente vna radice $orda, cioe a partir ℞ 15000 per 100. ne vien ℞ 1 {1/2}, & con tal regola procederai nelle $imili.

AVanti della decima$e$ta propo$itione del detto decimo, nella traduttione del Zam- 11 berto da greci vi è $tato aggionto que$to problema, che date due linee inequali, a $aper geometricamente trouare quanto piu puo la maggior della menore, laqual co$a è fa- cile a trouarla praticalm\~ete con numeri, & radici. Perche $e vorremo $aper quanto che piu po$$a 4 della ℞ 7. quadremo quel 4. fara 16. quadraremo anchora ℞ 7 fara 7. poi cauaremo que$to 7. di 16. & re$tara 9. la cui ℞ è 3. & co$i diremo 4. poter piu di ℞ 7. il quadrato di 3. Et co$i volendo $aper quanto puo piu 5. di ℞ 20. quadraremo l’una, & l’altra di que$te due linee, & l’un quadrato $ara 25. & l’altro 20. hor cauando 20 di 25 re$ta 5. la cui radice $aria ℞ 5. & co$i diremo 5 poter piu di ℞ 20. nel quadrato della detta ℞ 5. Et con tal regola diremo ℞ 12 poter piu di ℞ 10. il quadrato di ℞ 2.

EV clide nella decima$e$ta propo$itione del $uo decimo libro $peculatiuamente dimo- 12 $tra, che $e la prima di ogni quattro linee proportionali puo piu della $econda tanto quanto è il quadrato di alcuna linea, a $e communicante in longhezza. Anchor la ter- za è nece$$ario poter tanto piu della quarta quanto è il quadrato di alcuna linea a $e communicante in longhezza, & $e la prima $ara piu potente della $econda nel quadrato di alcu- na linea a $e incommen$urabile in longhezza. Anchora la terza $ara piu potente della quarta nel VNDECIMO. quadrato d’alcuna linea a $e incomm\~e$urabile in longhezza. Dellaqual propo$itione, oltra li molti co$trutti, che di lei $i caua per dimo$trar altre propo$itioni in e$$o Euclide, potremo praticalmente a qual $i voglia propo$ta linea trouarui vn’altra linea menore, ouer maggiore di tal qualita, che la maggior di quelle $ara piu potente della menor nel quadrato di vna linea a lei cõmen$urabile, ouer incõmen$urabile in longhezza $ecõdo, che ne parera. E$$empi gratia $ia la propo$ta quãtita ℞ ℞ 24. hor volendo trouar vn’altra linea menor di lei, talm\~ete che la detta ℞ ℞ 24. $ia piu potente di quel- la nel quadrato di vna linea a $e cõmen$urabile in longhezza. Troua due linee, che la maggior po$ $a piu della menore nel quadrato pur di vna linea a $e commen$urabile in longhezza, come $aria a dir 4. & ℞ 7. ouer ℞ 18. & 4. ouer ℞ 20. & ℞ 15. perche $e ben guardi tutte que$te hanno la detta conditione, perche 4 puo piu di ℞ 7 (come nella precedente fu detto) il quadrato di 3. il qual 3 è commen$urabile in longhezza con il 4. & co$i ℞ 18 è piu potente di 4. nel quadrato di ℞ 2. laqual ℞ 2 è commen$urabile in longhezza con ℞ 18. & co$i il quadrato di ℞ 20 è piu potente della ℞ 15. per il quadrato di ℞ 5. laqual ℞ 5 è commen$urabile con la detta ℞ 20. in longhezza, il modo general di trouar que$te tai linee nella decima$e$ta $i hauera, ma per e$$emplificar que$ta propo$i- tione, le $opranotate le habbiamo $trauacantemente po$te. Hor per tornar al no$tro primo propo $ito volendo trouare la $opradetta ricercata linea, diremo per la regola del 3. $e 4 mi da ℞ 7. che mi dara ℞ ℞ 24. opera che trouarai, che ti dara ℞ ℞ 4 {152/256}, & que$ta $ara la ricercata linea, che $e ne fa- rai la proua trouarai, che la detta ℞ ℞ 24. hauera con quella la ricercata conditione, & co$i $eguiria $e in luogo di 4. & ℞ 7. haue$ti tolto ℞ 18. & 4. ouer ℞ 20. & ℞ 15. ouero altre $imili. Et co$i quan- do che tu vole$$i trouar la detta, con l’altra $econda conditione in tal ordine hauere$ti tolte le due prime linee, che per e$$er facile non ti pongo altro e$$empio circa cio.

AV anti della decima$ettima del detto decimo di Euclide da greci vi è $tato aggionto 13 que$ta propo$itione, $e $opra ad alcuna retta linea $ara $opra po$to, ouer de$critto vno parallelogrammo, alqual manchia compir la detta linea vn quadrato, il detto paralle- logrammo de$critto, $ara eguale a quello, che vien fatto $otto alla po$ition di fragmen ti di det@alinea, & tutto que$to $i dimo$tra geometricamente e f 21 a b d 21 21 .c. co$i e$$ere.

Laqual propo$itione, oltra il co$trutto, che di lei $i caua nelle due $equenti propo$itioni, & altre. In pratica ne auerti$$e di que- $to, che ogni volta, che ne fu$$e propo$to di douer de$criuere $opra vna data linea vna $uperficie di linee, ouer lati equidi- $tanti eguali a vna data $uperficie, che non $ia maggiore del quadrato della mita della data linea (perche $aria impo$$ibi- le per la 27 del $e$to del detto Euclide) & con tal conditione, che al compimento della data linea gli manchi vn quadrato, che que$to non vuol dir altro, che far di quella data linea due tal parti, che il dutto di vna in l’altra faccia la detta data $uper- ficie. E$$empi gratia poniamo, che la data linea $ia la. a b. longa piedi 10. & la data $uperficie $ia la. c. & $ia piedi 11 $uperficia- li. Et che ne $ia propo$to di douer de$criuere $opra la detta li- nea. a b. vna $uperficie di lati equidi$tanti eguali alla $uperficie c. (cioe a 21) con tal conditione, che al compir la detta linea. a b. gli manchi vn quadrato, & che finalmente adimanda$$e in che parte la detta $uperficie termina- ra $opra la detta inea. a b. Dico che que$to non vuol dir altro, che far della detta linea. a b. (cioe di 10) due tal parti, che il dutto di vna in l’altra faccia 21. ouero far di 10 due tal parti, che fra quelle vi ca$chi la ℞ 21. media proportionale, che $aria il mede$imo.

Il modo, ouer la regola da e$$equir praticalmente con numeri, & radici tal $orte di que$tioni nel quar to capo $i fara manife$to in varie $pecie di quantita, $i irrationali, come rationali, con lequai regole $i trouara, che le parti di que$ta linea. a b l’una (cioe la maggiore) fara 7 piedi, & la menore 3 piedi, come nella figura po$ta in margine puoi veder, che la $uperficie. d e f b. vien a e$$er 21. per e$$er longa 7. & larga 3. & al compir la detta linea. a b. per fin in. a. gli manca vn quadrato di piedi 3 per facciata, come $en$ibilmente puoi vedere in detta figura.

EV clide nella decima$ettima propo$itione del $uo decimo libro, $peculatiuamente di- 14 mo$tra, che $e $aranno due rette linee inequali, dellequali la $uperficie eguale alla quarta parte del quadrato della menor po$ta $opra alla maggior, talm\~ete che mãchi a compir tutta la linea, vna $uperficie quadrata, diuida la piu longa in due parti communicanti. LIBRO Eglie nece$$ario detta linea piu longa poter tanto piu della linea piu corta, quanto è il quadrato di alcuna linea communicante in longhezza a detta linea piu longa, & (è conuer$o) $e la piu longa $a- ra piu potente della piu corta per accre$cimento del quadrato di vna linea a lei mede$ima commu nicante in longhezza, & che a quella $ia aggionta vna $uperficie eguale alla quarta parte del qua- drato della piu corta linea, allaqual manchi vna $uperficie quadrata. La $uperficie $opra a quella po $ta, ouero aggionta, è nece$$ario diuidere la mede$ima linea piu lõga in due parti commen$urabili.

Laqual propo$itione in que$to luogo e$$emplificaremo figuralmente con numeri, & radici. Sia e$$em pi gratia le due linee. a b. &. c d. inequali, & la. a b. $ia la maggiore, & $ia longa poniamo 10 piedi, & la menore $ia la. c d. & $ia longa piedi ℞ 84. & perche il quadrato della menore (cioe di piedi ℞ 84) $aria piedi 84 $uperficiali, la quarta parte di quali $aria 21. $uperficiali, laqual $uperficie di piedi 21. po$ta $opra alla linea. a b. talmente che a compir tutta la detta linea. a b. gli manchi vn quadra- to, il che (come nella precedente fu detto) non vuol dir altro, che far di 10. due tai parti, che il dut- to di vna in l’altra faccia 21. Ma perche le dette due parti alle volte vengono communicanti fra lo- e g 21 a b f c ℞ 84 d 21 21 84 21 21 h k ro, & alle volte vengono incommunicanti. Euclide dimo$tra in tal propo$itione, che quando le dette parti vengono com- municanti fra loro. Eglie nece$$ario la linea piu longa poter tanto piu della piu breue, quãto è il quadrato di vna linea a lei communicante in longhezza. Et perche $i è vi$to nella propo $itione pa$$ata, che a far di 10 le dette due tal parti, che il dut- to di vna in l’altra faccia 21. che l’una parte (cioe la maggiore) $ara piedi 7. & l’altra (cioe la menore) $ara piedi 3. come che in que$ta $econda figuratione in margine puoi vedere, la $uper- ficie. f b e g. e$$er longa piedi 7 (cioe dal b al f) & larga piedi 3. (cioe dal f. al e.) & a cõpir tutta la linea. a b. gli manca vn qua- drato di piedi 3 per facciata, & perche le dette due parti, cioe b f. &. f a. $ono communicanti in longhezza, $eguira quello, che dice la propo$itione, cioe la linea. a b. e$$er piu potente del- la. c d. nel quadrato di vna linea a $e cõmunicante in longhez- za, & per veder $e co$i $ia pigliaremo il quadrato della. a b. (cioe di 10) che $ara 100. & di que$to ne cauaremo il quadra- to della. c d. (cioe di ℞ 84) che $ara 84. & re$tara 16. & per- che $i vede, che la radice di 16. qual è 4. è cõmunicante in lon- ghezza, con la linea. a b. quala è piedi 10. $eguita il propo$ito.

Circa al conuerfo da te mede$imo te ne potrai chiarire in que$to mede$imo e$$empio, cioe $upponen do la que$tione al contrario, cioe la. a b. e$$er piu potente della. c d. come che la è, & trouarai, che a$ $ettando la detta $uperficie di 21. $opra la. a b. con le dette conditioni, che la diuidera quella nelle mede$ime due parti commen$urabili. Il modo di far geometricamente le due adimandate parti della detta linea. a b. è $tato aggiõto in fine della $opradetta decima$ettima del decimo di Euclide. Ma noi habbiamo po$to il modo di far tal effetto con numeri, & radici nel quarto capo di que$to libro, & in varie qualita di linee, come che nella pratica puo intrauenire.

ANchora Euclide nella 18 propo$itione del $uo decimo libro geometricamente dimo- 15 $tra li conuer$i delle $oprapo$te due parti, cioe dimo$tra, che $e $aranno due linee ine- quali, dellequali $e la $uperficie eguale alla quarta parte del quadrato della piu corta po $to $opra alla piu longa, talmente che manchi al compimento di quella vna $uperficie quadrata, diuida quella in due parti incommen$urabili, la piu longa $ara piu potente della piu cor- ta nello augmento del quadrato di vna linea incommen$urabile in longhezza a e$$a linea piu lon- ga. Et (al contraro) $e la piu longa $ara piu pot\~ete della piu corta nel quadrato di vna linea incom- men$urabile in longhezza a e$$a linea piu longa. Et $ia po$to, ouero aggionto $opra a e$$a vna $u- perficie eguale alla quarta parte del quadrato della piu corta, & manchi a compir la piu longa vna $uperficie quadrata, eglie nece$$ario, che e$$a $uperficie po$ta, ouer aggionta $opra a e$$a linea, diui- da e$$a linea piu longa in due parti incommen$urabili.

Per e$$emplificar que$ta poneremo pur che $ia le due linee inequali. a b. maggiore, lõga pur piedi 10. &. b c. menore longa $olamente ℞ 80. & perche la quarta parte del quadrato di ℞ 80. $aria 20. on- de e$$equendo la propo$itione, cioe ponendo 20. di $uperficie $opra la. a b. con le adimandate con- ditioni $i trouara (procedendo per la regola data nel detto quarto capo) che la menor parte della linea. a b. $ara 5 men ℞ 5. & la maggiore $ara 5 piu ℞ 5. lequai due parti multiplicate l’una fia l’altra VNDECIMO. fanno a ponto 20. come $i ricerca, & perche le dette due parti $ono incommen$urabili fra loro, $e- guira quello, che dice la propo$itione, cioe che la linea. a b. $ara piu potente della. c b. nel quadrato 5 \~m ﺹ 5 5 piu ﺹ 5 20 a b di ℞ 20. laqual ℞ 20. è incommen$urabile con la detta linea. a b. (cioe con 10) come dice la propo$i- tione, che è il propo$ito, & perche la e$$emplificatione della $econda parte di tal propo$itione, fa- cilmente la puoi far $upponendo la detta que$tione al contrario, a te la$cio la impre$a.

Con$equentemente a que$ta decimaottaua del decimo del detto Euclide, vi $eguita la decimanona, & la vinte$ima nella decimanona geometricamente dimo$tra, che ogni $uperficie rettangola, che contenga due linee rationali in longhezza e$$er rationali, ma nella traduttione del Zamberto, $i dimo$tra il mede$imo $eguir di due linee rationali anchora $olamente in potentia domente, che $iano commen$urabili in longhezza, & nella vinte$ima poi dimo$tra il conuer$o, cioe che $opra a c ﺹ 80. d 20 20 80 20 20 vna linea rationale vi $ara po$ta vna $uperficie rationale, che fara la $ua larghezza rationale com- men$urabile in longhezza, lequai due propo$itioni per e$$er da $e facile da e$$emplificar le ho in- la$ciate, perche credo che tu $appi (per le co$e dette $opra il multiplicar di ℞) che a multiplicar due radici commen$urabili, che producano numero rationale, & maggiormente a multiplicar nume- ro fia numero fa numero rationale, & è conuer$o, che a partir vn numero per vna radice $orda, che ne venira vna radice $orda commen$urabile con la prima.

EV clide nella 21 propo$itione del $uo decimo libro geometricamente n’in$egna, & $pe 16 culatiuamente dimo$tra la regola da $aper trouar due linee rationali, $olamente in po- tentia communicanti, dellequali la piu longa po$$a piu della piu corta nel quadrato di vna linea a $e commen$urabile in longhezza, per laqual propo$itione ne manife$ta, quello fu da noi detto nella no$tra ottaua dichiaratione del precedente capo, cioe che ogni linea denominata da vna radice $orda quadra s’intende e$$er rationale, perche $e lui intende$$e per linee rationali $olamente quelle, che $ono denominate da numeri, $aria impo$$ibile di poter trouare due lin ee rationali, che fu$$ero $olamente in potentia communicanti, perche tutte le linee denominate da numeri, o $iano tai numeri $ani, ouer rotti, ouer $ani, & rotti, $ono communicanti in longhezza (come fu detto $opra la terza dichiaratione del precedente capo) replichiamo adonque che tutte le linee $i denominate da vna radice $orda quadra, come quelle che $ono denominate da numero da Euclide $ono inte$e e$$er rationali, anchor che l’una $ia da pratici detta rationale $olamente in po- tentia, & l’altra rationale in potentia, & in longhezza.

Per trouar adunque praticalmente con numeri, & radici due linee rationali $olam\~ete in potentia com municanti, dellequai la piu longa po$$a piu della piu corta il quadrato di vna linea a $e commen$u- rabile in longhezza. Que$te tai linee le potiamo trouare, che l’una $ia denominata da vn numero, & l’altra da vna radice $orda, ouero che ambedue $iano denominate da radice $orda, volendole trouar, che l’una $ia denominata da numero, potemmo far che quella $ia la prima, cioe la piu lon- ga, ouer la $econda, cioe la piu corta, per procedere adunque regolatamente, voglio che prima tro- uiamo le dette due linee, & che la piu longa $ia denominata da numero. Et per trouar le ponere- mo la detta piu longa a no$tro piacere. Hor poniamo che la $ia longa 10 piedi, ouero 10 altre mi- $urette limitate con il compa$$o a no$tro piacere, dapoi que$ta po$itione, per trouar l’altra $econda linea $i puo procedere per piu vie, ma volendo $eguir l’ordine di Euclide praticalmente pigliare- mo vn numero quadrato, & lo diuideremo in due tal parti, che l’una di quelle $ia pur numero qua drato, & l’altra non $ia numero quadrato, & perche tal diui$ione $i puo far in ogni numero qua- drato, non $taro a narrare a che modo $i troui tal numero, ne tai parti, ma pigliaremo per al pre$en te il 9. & lo diuideremo in 4. numero quadrato, & in 5. numero non quadrato, fatto que$to qua- draremo la no$tra linea, cioe il no$tro 10. & fara 100. & a que$to quadrato (come antecedente) gli trouaremo vn’altro con$equente con la regola del 3. alquale habbia tal proportione, come che ha 9. a quel 5. numero non quadrato, dicendo $e 9 mi da 5. che mi dara 100. opera che ti dara 55 {5/9}, & co$i li lati di que$ti duoi quadrati (delliquali l’uno $ara 10. & l’altro $ara ℞ 55 {5/9}) $aranno le due ricercate linee, perche $i vede che l’una, & l’altra è ratiouale ($econdo la diffinitione di Euclide) ol- tra di que$to $i vede, che il quadrato della piu lõga, il qual è 100 è maggior del quadrato della me- nore, qual è 55 {5/9} in 44 {4/9}, il qual 44 {4/9} è quadrato, & la $ua radice è 6 {2/3}, il qual 6 {2/3} è communicante in longhezza con la no$tra piu longa linea, quala fu po$ta 10. E per tanto habbiamo ritrouate le dette due linee rationali, dellequai la piu longa puo piu della piu corta nel quadrato di vna linea, (laqual linea $aria quel 6 {2/3}) a $e commen$urabile in longhezza, che è il propo$ito.

Ma $e l’intento no$tro fu$$e, che la detta linea piu longa fu$$e denominata da vna radice $orda $i proce deria pur per il mede$imo modo. E$$empi gratia volendo, che la detta linea piu longa fu$$e ponia- mo ℞ 12. quadraremo la detta ℞ 12 fara 12. poi trouaremo vn numero quadrato, & per variar LIBRO della precedente torremo il 16. & lo diuideremo in 9. numero quadrato, & in 7 numero non qua drato, & per la regola del 3. diremo, $e 16 mi da 7. che mi dara 12. opera che ti dara 5 {1/4}, & co$i la ℞ 5 {1/4} $ara la ricercata linea piu corta, & la piu longa $aria la no$tra ℞ 12. & que$te due linee, cioe ℞ $Se\; 16\; //\; 7\; //\; 12\; 84\; ℞\; 5\; \{1/4\}$ @2. & ℞ 5 {1/4}, lequai (per la diffinitione) $ono rationali, anchor che $econdo la communa openione di pratici $ono irrationali, & il quadrato della piu longa, quala è 12 è maggiore del quadrato della piu corta, qual è 5 {1/4} in 6 {3/4}, la cui radice $aria ℞ 6 {3/4}, & que$ta ℞ 6 {3/4} è communicante in longhezza con la piu longa, cioe ℞ 12. perche partendo ℞ 12. per ℞ 6 {3/4} ne vien {16/9}, che è quadrato, la cui ra- dice è 1 {1/3} per numero, e pero per le ragioni piu volte dette quando che $i parte vna radice $orda per vn’altra radice $orda, & che di tal partimento ne venga numero rationale, o $ia tal numero $a- no, ouer rotto, ouer $ano, & rotto (e$$endo tai radici linee) $aranno communicante in longhezza, e pero $eguita il propo$ito. Ma $e tai radici fu$$ero $uperficie li lati di tai $uperficie ridutti in qua- dro tai lati s’intenderiano in potentia communicanti.

Ma $e l’intento no$tro fu$$e di voler, che la piu corta lineafu$$e denominata da numero, & non da ℞ $orda, tu voltarai la regola nelli duoi primi numeri facendo dello antecedente con$equente, & del con$equente antecedente. E$$empi gratia volendo trouar praticalmente con numeri, & radicile dette due linee rationali ($econdo la intentione di Euclide) cioe con la conditione detta nella prece- dente, ma con que$t’altra conditione, che la piu corta di dette due linee $ia denominata da nume- ro, & non da radice $orda, poneremo la piu corta linea denominata da che numero ne piace, hor poniamo che quella $ia 6. per trouar mo la piu longa quadraremo il detto 6 fara 36. fatto que$to diuideremo pur vn numero quadrato $econdo il $olito, hor pigliamo pur 16. & lo diuideremo in 4. numero quadrato, & in 12. non quadrato, & dapoi trouaremo vn’antecedente a quel 36 in tal proportione con lui, $i come, ch’è 16 al 12. & per trouarlo diremo, $e 12 mi da 16. che mi dara 36. $Se\; 12\; //\; 16\; //\; 36\; 16\; 576\; ℞\; 48\; ℞\; 48.\; 6$ opera che ti dara 48. & co$i la ℞ 48 $ara la piu longa linea delle due ricercate, & la piu corta $ara quel 6 (gia tolto a no$tro piacer) lequai due linee hanno le 3 ricercate conditioni, prima $ono am- bedue rationali ($econdo Euclide) $econdariamente il quadrato della piu longa, qual è 48. $uper- chia il quadrato della piu corta, qual è 36. in 12. la cui radice è ℞ 12. & que$ta ℞ 12 è cõmunicante in longhezza con la piu longa, cioe con ℞ 48. perche partendo ℞ 48 per ℞ 12 ne vien ℞ 4. che $aria 2 per numero, terzo, & vltimo la detta linea piu corta è denominata da numero, & non da radice $orda, qual numero è 6. come fu propo$to. Et $e tu de$idera$ti anchora di trouare piu di due linee rationali $olamente in potentia communicanti, dellequali vna di quelle $ia piu pot\~ete di qual $i vo glia delle altre nel quadrato di vna linea a $e commen$urabile in longhezza. Sia tolto vn numero quadrato, che $ia diui$ibile in molti numeri quadrati, & nõ quadrati, di quali non quadrati, la pro- portione non $ia, come da numero quadrato a numero quadrato, come $aria il 36. il quale è diui$i- bile in 25. & 11. & anchor in 16. & 20. & $imilmente in 9. & 27. & anchor in 4. & 32. & di que$ti non quadrati, i quali $ono 12. 20. 27. 32. fra loro non è proportione, come da numero quadrato a numero quadrato. E per tanto pigliando a no$tro piacer la linea piu longa denominata da nume- ro, ouer da ℞ $orda, come ne pare, & volendo trouar 4 altre linee piu corte di lei con la detta con- ditione, che la $ia piu potente di cia$cuna di quelle nel quadrato di vna linea a $e commen$urabile in longhezza. Quadrarai tal linea piu longa $econdo il $olito, dapoi dirai, $e 36 mi da 11. mi da 20. mi da 27. mi da 32. che mi dara il detto quadrato di detta linea piu longa, onde la radice di cia$cun di detti quattro auenimenti $aranno le quattro linee ricercate, che $e ne farai proua, trouarai co$i e$ $ere. Et $el ti pare$$e di voler, che la piu corta $ia denominata da numero, ouer da radice, & trouar- ne quattro piu longhe di lei con la detta conditione voltarai la proportione, & dirai, $e 11. $e 20. $e 27. $e 32 mi da 36. che mi dara il quadrato di quella menore (tolto a no$tro piacere) & co$i la radice di cia$cuno di detti quattro auenimenti $arãno le quattro ricercate linee piu longhe di quel- la tolta a no$tro piacere, lequali cia$cuna di loro haueranno con quella la adimandata conditione, che $e ne farai proua trouarai co$i e$$ere.

Per vn’altra breue regola $i puo trouare le $opradette due linee in numeri $ani, cioe $enza rotto, & ma$$ime quando $i vuol, che la piu longa $ia denominata da numero, & non da radice $orda, la- qual tegola è que$ta, prima pigliaremo la detta linea piu longa a no$tro piacer, cioe denominata da che numero ne piace, hor pigliamola denominata da 10. cioe poniamo che la $ia longa 10 mi$uret te formate con il compa$$o a no$tro piacere, ouero 10. piedi, o palmi, o diti, o grani, & c. Fatto que $to quadraremo que$to 10 fara 100. & da que$to 100. ne cauaremo vn di quelli numeri quadra- ti, che $ono contenuti dal detto 100. qual ne pare domente, che quello, che re$tara non $ia numero quadrato, & la radice $orda di quel tal re$to $ara la no$tra piu corta linea ricercata. Et perche li nu- meri quadrati contenuti dal detto 100. $ono molti, che farãno tal effetto, e pero $eguita, che molte VNDECIMO. linee piu corte della no$tra 10. potremo trouar da accompagnare con la detta 10. che haueranno la adimandata conditione. E$$empi gratia $e del detto 100. ne cauaremo il primo numero quadrato da lui contenuto, qual è 1. re$tara 99. qual non è quadrato, e pero la piu corta linea $ara ℞ 99. & la piu longa $ara la no$tra 10. hor per veder $e hanno le adimandate conditioni prima l’una, & l’altra (cioe 10. & ℞ 99) è rationale ($econdo Euclide) oltra di que$to il quadrato della piu longa, cioe di 10. qual è 100. è piu del quadrato della piu corta, cioe del quadrato di ℞ 99. qual è 99. per 1. la ra- dice delqual 1. è pur 1. & que$to 1 vien a e$$er communicante in longhezza alla detta no$tra linea piu longa, cioe alla no$tra 10. che è il propo$ito.

Il mede$imo $eguira $e dal $opradetto 100. ne cauaremo il $econdo numero quadrato da lui contenu to, qual è 4. re$tara 96. il qual 96 non è numero quadrato, e pero potemmo anchora dire, che la det E$$empio $econdo ta piu corta linea $ara ℞ 96. & che $ia il vero prima l’una, & l’altra, cioe 10. & ℞ 96. $ono rationali ($econdo Euclide) oltra di que$to la po$$anza di 10. quala è 100. è maggiore della po$$anza di ℞ 96. quala è 96. in 4. la ℞ delqual 4 è 2. per numero, il qual 2 vien a e$$er commen$urabile in lon- ghezza con la detta 10. che è pur il propo$ito.

Il mede$imo $eguira $e del $opradetto 100. ne cauaremo il terzo numero quadrato da lui contenuto, qual è 9. re$tara 91. il qual 91 non è numero quadrato, e pero potemo anchor dire la detta piu cor E$$empio terzo ta linea e$$er ℞ 91. per le mede$ime ragioni dette nelle nelle due precedenti, cioe $ono ambedue ra- tionali, cioe 10. & ℞ 91. & la piu longa è piu potente della piu corta in 9. la radice delqual 9. è 3. il qual 3 è communicante in longhezza con la no$tra 10. che è pur il propo$ito.

Il mede$imo $eguira $e del $opradetto 100 ne cauarai il quarto numero quadrato, & anchora il quin- to, perche cauando 16 re$tara 84. il qual 84 non è numero quadrato, e pero potremo anchora di- re la detta linea piu corta e$$er ℞ 84. laqual $e ben la con$iderarai, trouarai il detto 10 poter piu di lei 16. la cui radice è 4 per numero, che $ara commen$urabile in longhezza con la detta 10. Ma ca- uandone il quinto numero quadrato, cioe 25. la detta piu corta linea $ara ℞ 75. con laquale la no- $tra 10 hauera le mede$ime ricercate conditioni con lei.

Vero è che il mede$imo non $eguitara $e cauarai dal $opradetto 100. il $e$to numero quadrato da lui contenuto, qual è il 36. perche re$taria 64. il qual 64. è numero quadrato, & gia te di$$i in principio, che bi$ogna, che tal re$to non $ia numero quadrato, accio lo lato di tal re$tante $uperficie venga a e$$er radice $orda, & que$to mede$imo $eguiria $e ne caua$ti l’ottauo quadrato, cioe 64. perche ve niria a re$tar 36. che $aria pur numero quadrato, ma $e ne cauarai il $ettimo, ouer il nono numero quadrato, cioe 49. ouer 81. trouarai, che da vno ti re$tara 51. & dall’altro 19. i quali ne vno, ne l’altro è numero quadrato, e pero potre$$imo anchora dite la detta piu corta linea e$$er ℞ 51. oue- ramente’℞ 19. perche in qual $i voglia di quelle, vi $e gli trouara la ricercata conditione.

ANchora il detto Euclide nella 22 propo$itione del $uo decimo libro ne da la regola di 17 $aper trouare geometricamente due linee rationali $olamente in potentia communi- cante, dellequali la piu longa $ia piu potente della piu corta quanto è il quadrato di vna inea a $e incommen$urabile in longhezza.

Laqual propo$itione volendola e$$equire per numeri, & radici, procederemo qua$i al modo della pre cedente, cioe pigliaremo vn numero quadrato (come v$a Euclide, anchor che con altro numero $i potria far il mede$imo, & quel tal quadrato lo diuideremo in due parti (non dico eguali) talmen- te che ne vna, ne l’altra non $ia numero quadrato. E$$empi gratia pigliaremo per al pre$ente 16. numero quadrato, & lo diuideremo poniamo in 10. & in 6. lequai parti tu vedi, che ne l’una, ne l’altra è numero quadrato, fatto que$to volendo, che la piu longa delle due ricercate linee $ia deno minata da numero, poneremo quella a no$tro piacere, cioe longa quanto ne piace, hor $upponia- mola longa 12 palmi, ouer piedi, volendo mo trouar la piu corta quadraremo 12. fara 144. Hor bi$ogna a que$to 144 darui vn con$equente con l’ordine della regola del tre in tal proportione, qual ha il no$tro 16. a quala ne pare di quelle due parti, cioe a quel 10. ouero a quel 6. & la radice di quel tal con$equente $ara la no$tra ricercata linea piu corta. Adunque per trouar tal con$equente $econdo la proportione di 16 a 10. diremo, $e 16 mi da 10. che mi dara 144. opera, che ti dara 90. il qual 90 per e$$er $uperficie (cioe del genere di 144) ne pigliaremo la ℞, laqual $ara ℞ 90. & tãto $a ra la linea piu corta, & la piu longa $ara la ℞ di quel 144. quala è la no$tra 12. lequai due linee, cioe 12. & ℞ 90. $ono rationali, & il quadrato della piu longa, qual è 144. è piu del quadrato della piu corta (qual quadrato $aria 90) 54. il qual 54 vien a e$$er $uperficie, & la linea potente in tal $uperfi- cie $aria ℞ 54. laqual ℞ 54 $aria incommen$urabile in longhezza con la no$tra linea piu longa, qual è 12. perche il numero è $empre incommen$urabile con ogni ℞ $orda, che $aria il propo$ito.

Il mede$imo $eguiria, che piglia$$e l’altra parte del no$tro 16. dicendo, $e 16. mi da 6. che mi dara 144. LIBRO onde operando ne veniria 54. & co$i potre$$imo anchor dire la no$tra ricercata linea piu corta e$- $er ℞ 54. il quadrato dellaquale (qual è 54) veniria a e$$er manco di 144. 90. la radice delqual 90 veniria a e$$er pur incommen$urabile in longhezza con la radice di 144. cioe con la no$tra 12. e pero $eguiria mede$imamente il propo$ito, & co$i infinite altre linee piu corte $i potria trouare da accompagnar con la no$tra 12. che haueriano la ricercata conditione.

Ma volendo che la detta linea piu longa fu$$e denominata da vna radice $orda, procedere$$imo per il mede$imo modo. E$$empi gratia $upponendo, che la detta linea piu longa fu$$e poniamo ℞ 14. quadrare$$imo pur que$ta ℞ 24. che faria 24. & pigliando il mede$imo numero quadrato, & di- uidendolo in 10. & 6 (come di $opra fu fatto, anchor che altramente lo potre$$imo diuidere) fatto que$to trouare$$imo vn con$equente alla detta $uperficie 24. $i come che è da 16 a 10. ouero da 16 a 6. & la radice di tal con$equente $aria la detta ricercata piu corta linea, & per trouar tal cõ$equen- te, $i come da 16 a 10. diremo, $e 16 mi da 10. che mi dara 24. opera che ti dara 15. & tanto $ara il detto con$equente $uperficiale, & co$i la radice di tal $uperficie, qual $ara ℞ 15. $ara la detta piu cor ta ricercata linea, & la piu longa $aria la ℞ 24. dellequal due linee $e cauarai il quadrato della piu corta, qual $ara 15. dal quadrato della ℞ 24 (piu longa) re$tara 9. la radice delqual 9. $aria 3. per numero, il qual 3. $aria incommen$urabile in longhezza con la linea piu longa, cioe con ℞ 24. per che ogni radice $orda, come piu volte è $tato detto, la cau$a, che partendo qual $i voglia per l’altra non ne puo peruenir numero rationale, e pero $eguita il propo$ito.

Il mede$imo $eguiria pigliando l’altra parte del detto 16. cioe quel 6. come da te mede$imo $perimen tando trouarai $eguire, & con tal ordine infinite altre ne potre$ti trouare.

Ma volendo che la piu corta linea fu$$e denominata da numero, & non da radice, tu procederai, co- me face$ti nella precedente, voltando $olamente la regola nelli duoi primi numeri facendo del an- tecedente con$equente, & del con$equente antecedente, & ponendo anchor la detta linea piu cor- ta a no$tro piacere, cioe denominata da che numero ne piace, hor poniamo la detta piu corta linea e$$er otto mi$ure, pigliando (per maggior intelligentia) anchora il mede$imo numero quadrato 16. & diui$o anchora in 10. & in 6. non quadrati (anchor che in altre parti lo potre$$imo diuidere, come $aria in 11. & in 5. ouero in 13. & in 3. & c.) Dapoi diremo, $e 10 mi da 16. che mi dara 64. (cioe il quadrato della no$tra 8) onde operando trouaremo, che ne dara 102 {2/5}, & co$i la ℞ 102 {2/5} $ara la piu longa linea, & la piu corta $ara la radice di 64. cioe la no$tra 8. & perche il quadrato del- la piu longa (qual vien a e$$er 102 {2/5}) $uperchia il quadrato della piu corta, qual è 64. in 38 {2/5}, la ra- dice delqual $uperchiamento vien a e$$er ℞ 38 {2/5}, & que$ta ℞ 38 {2/5} vien a e$$er incommen$urabile con la detta linea piu longa, cioe con ℞ 102 {2/5}, perche partendo ℞ 102 {2/5} per 8 ne venira 1 {192/320}, qual auenimento non è quadrato, & non e$$endo quadrato non $ono communicanti, & non e$- $endo communicanti $eguita il propo$ito.

Et $el ti pare$$e di trouar piu di due linee rationali, $olamente in potentia communicanti, dellequali vna di quelle $ia piu potente di qual $i voglia delle altre nel quadrato di vna linea non communi- cante con loro in longhezza. Sia tolto tal numero, il qual po$$a e$$er co$i diui$o in piu parti, che la proportione di quello a niuna delle dette $ue parti, ne di alcuna parte ad alcuna delle altre $ia, come da numero quadrato a numero quadrato, & quantunque infinite $e ne potria trouare, nondime- no per trouarlo con piu breuita, pigliaremo vn numero quadrato, come $aria 25. il qual $i puo diuidere in 2. & 23. anchora in 5. & in 20. & $imilmente in 7. & in 18. & dapoi procedere, come fu fatto nella precedente.

ANchor che le linee irrationali $iano infinite (come fu detto in principio di que$to li- 18 bro) nondimeno quando che Euclide hebbe deliberato di voler comporre la $ua de- gna opera, di quella infinità di linee, ele$$e quelle, che conobbe e$$er piu communa- mente accadenti, o vogliamo dir piu nece$$arie alli princip{ij} di tal $cientia, ouer di$cipli- na geometrica, & circa di quelle delibero con ogni $tudio, & diligenza $peculatiuamente trattare, & que$te tai linee elette in genere furno 15. dellequali due da lui $ono dette rationali, & 13 irratio- nali, la prima di quelle due rationali è cia$cuna linea, che $ia denominata da numero, o $ia tal nume ro $ano, ouer rotto, ouer $ano, & rotto, l’altra delle dette due linee rationali, è qualunque linea de- nominata da radice $orda quadra, che communamente fra pratici è detta irrationale per la $ua $or- dita, ma Euclide la chiama rationale per e$$er la $ua potentia, cioe il $uo quadrato rationale. Delle 13 irrationali, la prima dal detto Euclide è detta linea mediale, & que$ta è $implice delle altre 12. VNDECIMO. $ei$ono compo$te da due aitre linee, & $ei $ono li re$idui delle dette 6. compo$te, cioe la $econda li- nea irrationale (come nel no$tro proce$$o s’intendera) è detta Binomio, la terza Bimedial primo, la quarta Bimedial $econdo, la quinta Linea Maggiore, la $e$ta Linea Potente in rationale, & me- diale, la $ettima Potente in due mediale, le altre $ei linee delle dette 13 irrationali $ono li re$idui del- le dette $ei vltime delle $opradette 7. Il primo di detti 6 re$idui è detto $implicemente Re$iduo, cioe la ottaua delle $opradette 13 linee irrationali è detta $implicemente Re$iduo, la nona è detta Re$i- duo medial primo, la decima Re$iduo medial $econdo, la vndecima è detta Linea menore, la duo- decima è detta la gionta con rationale componente il tutto mediale, la decimaterza, & vltima delle dette 13 linee irrationali è chiamata la gionta con mediale, che fa il tutto mediale, la qualita, & for- ma di cia$cuna di que$te 13 linee irrationali alli $uoi conuenienti luoghi $i fara manife$ta.

EV clide nella 23 propo$itione del decimo libro conclude, & geometricamente dimo- 19 $tra che ogni $uperficie, che $ia contenuta da due linee rationali $olamente in potentia communicante è irrationale, & è detta $uperficie mediale, et diffini$$e con$equentemen- te, che il lato tetragonico, cioe quello lato, che puol in quella tal $uperficie è irrationale, & che è detto linea mediale, & que$ta è la prima linea irrationale delle $opradette 13. laqual $i for- ma $econdo che dice la propo$itione, vero è che per ben intendere que$ta propo$itione, & molte altre, che $opra il detto decimo di Euclide $i ha da dire, bi$ogna $apere, come che ogni $uperficie rettangola s’intende e$$er contenuta $otto delle due linee, che contiene qual $i voglia di $uoi 4 an- goli retti, come $opra il principio del $econdo di Euclide fu da noi e$$emplificato. Ma perche molti non hanno vi$ta tal dichiaratione la voglio e$$emplificare ???? a 5. a 8 b 6 6 c 8 d vn’altra volta in que$to luogo, ma $otto breuita.

Sia la $uperficie. a b c d. rettangola (cioe che cia$cuno di $uoi 4 angoli $ia retto) & poniamo, che il lato, ouer linea. a b. $ia longa 8 pa$$i, & lo lato. a c. $ia 6. pa$$a, hor dico che la det- ta $uperficie. a b c d. s’int\~ede e$$er contenuta $otto delle due linee. a b. &. a c. perche tal $uperficie $i cono$ce, & troua ducendo, ouer multiplicando il numero di pa$$a della. a b. fia li pa$$a della. a c. dicendo 6 fia 8 fa 48. & que$to 48 vie- ne a e$$ere la detta $uperficie. a b c d. perche quel numero di 48. s’intende e$$er tanti pa$$a $uperficiali, cioe 48 qua- drettini di vn pa$$o per facciata, ouer per lato, & di que$to $e ne potiamo al $en$o certificare, tirando di pa$$o in pa$$o vna linea perpendicolarmente, cioe a a $quadra al lato oppo$ito, il che facendo $i trouara la detta $uperficie. a b c d. e$$er $en$ibilmente li detti 48. quadrettini di vn pa$$o per facciata, ouer per lato, come nella detta figura appare, il me- de$imo $eguiria in ogni altra $pecie di mi$ure $i irrationali, come rationali, cioe ogni volta, che vna linea $ia denominata da numero, ouer da qualche $pecie di radice, o altra quantita irrationale, $em- pre $i debbe intendere tal quantita naturalmente relatiua a qualche $pecie di mi$ura tolta $econdo la volonta del operante, ouer del preponente, il mede$imo $i debbe intendere nelle $uperficie, & nelli corpi anchor che’l non $i dica in $crittura. Hor per tornar al no$tro primo propo$ito dice, & dimo$tra il detto Euclide, che ogni $uperficie, che $ia contenuta da due linee rationali $olamente in potentia communicanti, ch’eglie nece$$ario, che tal $uperficie $ia irrationale, e per tanto $e $aranno due linee rationali, $olamente in potentia communicante, eglie manife$to, che ambedue non pon- no e$$er denominate da numero, perche $ariano communicanti in lõghezza, che $aria al contrario della propo$itione, anzi eglie nece$$ario, ouer l’una $ia denominata da numero, & l’altra da ℞ $or- da, ouer ambedue da ℞ $orda, domente che tali due ℞ $orde non $iano communicanti in longhez za, cioe che la proportione da l’una all’altra non $ia, come da numero quadrato a numero quadra- to, cioe che partendo l’una per l’altra, ouer multiplicando l’una per l’altra non dia numero qua- drato, come che $opra il multiplicar, partire, $ummar, & $ottrar delle radici quadre nel terzo libro piu volte è $tato detto, e per tanto $eguita, che il produtto, che na$ce dalla multiplicatione di vn nu mero fia vna radice $orda è $empre irrationale, & è detto $uperficie mediale, & $imilmente quello che vien fatto dalla multiplicatione di due radici $orde non communicanti, & perche tai produtti $ono pur ℞ $orde (come nel detto terzo libro praticalmente fu fatto manife$to) $eguita, che tutte le radici $orde produtte da tai multiplicationi da Euclide $ono dette $uperficie mediali, & $ono an chora dimo$trate da lui e$$er irrationali, e pero non è da marauigliar$i $e li pratici dicono a tutte le radici $orde irrationali, perche non $tanno loro a con$iderare $e tai radici $orde $iano linee, ouero $uperficie, ma per e$$er meglio inte$o, non tanto per que$to, che è detto, quanto per quello, che $i LIBRO ha da dire. E$$empi gratia pongo, che $ia la $uperficie rettangola. a b c d. che $ia longa piedi 3 linea- li, & larga piedi ℞ 5. la quantita della $uperficie, a b c d. $i cono$ce dal produtto della multiplicatio- Superficie media ﺹ 45. a 3 b ﺹ 5 ﺹ 5 3 Superficie media ﺹ 80. a 5. e ﺹ 10 f ﺹ 8 ﺹ 8 g ﺹ 10 h Superficie media ﺹ 45. a ﺹﺹ 45 b ﺹ ﺹ 45 ﺹ ﺹ 45 c ﺹﺹ 45 d ne della larghezza fia la longhezza, come di $opra è $tato det- to, cioe di ℞ 5 fia quel 3 numero, che faria ℞ 45. e pero la det- ta $uperficie veniria a e$$er ℞ 45 piedi $uperficiali, & tal $uper- ficie (cioe quelli ℞ 45 piedi $uperficiali) dal detto Euclide è det ta $uperficie mediale, & anchora è detta irrationale per le ra- gioni da lui adutte, cioe perche le dette due linee, cioe 3. & ℞ 5. $ono rationali ($econdo lui) ma non communicanti in lon- ghezza, e pero per la detta propo$itione la detta $uperficie. a b c d. è irrationale, & detta $uperficie mediale. Il mede$imo $e- guiria nella $uperficie. e f g h. qual è $uppo$ta lõga piedi lineali ℞ 10. & larga ℞ 8. laqual $uperficie per e$$er il dutto di ℞ 8 fia ℞ 10. $eguira e$$er ℞ 80. & per e$$er le dette due linee. e f. & e g. ouer. g h. & h f. rationali ($econdo Euclide) & non com- men$urabili in longhezza, tal $uperficie $ara pur irrationale, & detta $uperficie mediale, ma li lati tetragonici di dette $u- perficie, cioe le linee potente in l’una, & l’altra di dette $uper- ficie, l’uno veniria a e$$er ℞ ℞ 45. & l’altro ℞ ℞ 80. perche chi forma$$e vn quadrato di vna, & dell’altra di dette due $uper- ficie, quel quadrato fatto della $uperficie. a b c d (qual $ia pur il quadrato. a b c d.) veniria a e$$er di $uperficie mede$imamen. te ℞ 45. & il lato di tal quadrato veniria pur a e$$er ℞ ℞ 45. come per e$$empio in margine appare, & tal lato veniria a e$- $er irrationale, & veniria a e$$er la prima linea (in genere) del- le $opradette 13 linee irrationali, & detta linea mediale.

Que$to mede$imo s’intende della $uperficie. e f g h. cioe for- mando il quadrato. e f g h. di $uperficie eguale alla detta $u- $prima\; linea\; irrationale\; ℞\; ℞\; 45\; c\; ----------\; d$ perficie. e f g h. tal quadrato venira a e$$er di $uperficie mede- $imamente ℞ 80 detta $uperficie mediale. Ma il lato di tal qua drato venira a e$$er ℞ ℞ 80. come nel e$$empio in margine ap pare, & tal lato veniria pur a e$$er irrationale, & veniria ancho ra a e$$er la prima linea irrationale delle $opradette 13. & chia mata linea mediale $econdo la diffinitione di Euclide, e pero diremo ogni ℞ ℞ (e$$endo linea) e$$er linea mediale.

DElle $opradette linee mediale alcune $ono fra loro 2@ Superficie media ﺹ 80. e ﺹ ﺹ 80 f ﺹ ﺹ 80 ﺹ ﺹ 80 g ﺹﺹ 80 h communicanti in longhezza, & alcune $olamen- te in potentia, & alcune, che $ono incommen$u- rabili in longhezza, & in potentia, quelle che $o- no communicanti in longhezza (come fu detto nel terzo li- $prima\; linea\; irratiouale\; detta\; linea\; mediale\; ℞\; ℞\; 80\; g\; ------------\; h$ bro) $ono quelle che partendo l’una per l’altra ne vien nume- ro, cioe diremo ℞ ℞ 5 e$$er communicante in longhezza con ℞ ℞ 80. perche partendo ℞ ℞ 80 per ℞ ℞ 5 ne vien ℞ ℞ 16. che $aria 2. per numero, il mede$imo $eguira partendo ℞ ℞ 5. per ℞ ℞ 80. perche ne venira ℞ ℞ {5/80}, che $chi$$a fara {1/16}, cioe {1/2}, che è pur numero (largo modo) ma le commen$urabili $ola- mente in potentia $ono quelle, che partendo $olamente il qua drato di vna per il quadrato dell’altra di tal partimento ne vien pur numero. E$$empi gratia ℞ ℞ 7. diremo e$$er commen$urabile $olamente in potentia con ℞ ℞ 63. perche pigliando il quadrato di ℞ ℞ 63. che $ara ℞ 63. & partendolo per il quadrato di ℞ ℞ 7. che $ara ℞ 7. di tal partimento ne ve- nira ℞ 9. che $ara 3. per numero. Anchora $i potria dire praticalmente due linee mediale, o vuoi dire due ℞ ℞ e$$er $olamente in potentia communicanti quando, che partendo l’una per l’altra ne vien vna $implice radice $orda, cioe a partir ℞ ℞ 63. per ℞ ℞ 7 ne vien ℞ ℞ 9. che $aria ℞ 3.

E pero $i manife$ta quelle linee mediale, che $ono communicanti in longhezza nece$$ariamente $ono VNDECIMO. anchora communicanti in potentia, ma non $eguita il contrario, cioe che quelle, che $ono commu- nicanti in potentia $iano nece$$ario e$$er communicanti anchora in longhezza, ma ponno e$$ere, & non e$$ere.

Ma quelle linee mediale, che non $ono communicanti in longhezza, ne in potentia $ono quelle, che partendo l’una per l’altra ne venira ℞ ℞ di numero non quadrato, e pero re$tara ℞ ℞. E$$empi gra- tia ℞ ℞ 5. diremo e$$er incommen$urabile in longhezza, & anchora in potentia con ℞ ℞ 40. per- che partendo ℞ ℞ 40 per ℞ ℞ 5. ne venira ℞ ℞ 8. laqual ℞ ℞ 8 conuien re$tar in quel mede$imo e$- $ere, cioe denominata da ℞ ℞, & co$i per tal ragione in pratica ℞ ℞ 5. diremo e$$er incommen$ura- bile in longhezza, & anchora in potentia con la ℞ ℞ 40. & di que$te linee mediali incommen$ura- bili in longhezza, & in potentia, Euclide niente ne ha parlato.

Con$equentemente a que$ta 23 del decimo di Euclide vi $eguita la 24. 25. & 26. nella 24 geometri- camente dimo$tra, che po$to il quadrato di vna linea media $opra vna linea rationale fara la lar- ghezza rationale, & incommen$urabile in longhezza a quella linea, allaqual fu $opra po$ta, & la 25 d@mo$tra, che ogni linea communicante a vna mediale è mediale, nella 26 dimo$tra, che ogni differentia, nella quale abondi vna mediale da vna mediale e$$er irrationale, lequai tre propo$itioni habbiamo interla$ciate per e$$er di facile appren$ione, & e$$emplificatione per abbreuiar $crittura, perche per la 24 eglie co$a nota (per le co$e dette nel algorithmo delle radici) che a partir per vna quantita rationale, il quadrato di vna ℞ ℞ lo auenimento $ara vna radice incommen$urabile in lon ghezza a quella quantita rationale, anchora per la 25 eglie co$a nota, che ogni quantita commu- nicante a vna ℞ ℞ e$$er pur ℞ ℞, $imilmente per la 26 eglie manife$to, che a $ottrare vna ℞ ℞ da vn’altra ℞ ℞ il re$tante $ara vna quantita irrationale, e pero me ne pa$$o $enza altro e$$empio.

EVclide nella 27 propo$itione del $uo decimo libro da noi tradutto geometricamente 21 dimo$tra, che il rettangolo compre$o $otto di due linee mediale commen$urabili in longhezza e$$er mediale.

Laqual propo$itione con e$$emp{ij} faremo manife$ta. E$$empi gratia $iano que$te due linee mediale ℞ ℞ 5. & ℞ ℞ 80. lequai per le ragioni adutte nella precedente $ono communican ﺹ ﺹ 80 ﺹ ﺹ 5 a 7 ﺹ 20 ti in longhezza. Il rettangolo compre$o $otto di dette ℞ ℞ 5. & ℞ ℞ 80. non vuol dir altro, che il dutto fatto di vna in l’altra qual $ara ℞ ℞ 400. & perche tal produtto è numero quadrato cauan done la radice venira a far ℞ 20. laqual ℞ 20 è $uperficie irrationale, & detta $uperficie mediale, come che la propo$itione chiaramente dice, il mede$imo $eguira in ogni altre due linee mediale communamente in longhezza.

SImilmente Euclide nella 28 propo$itione del $uo decimo libro geometricam\~ete dimo- 22 ﺹ ﺹ 8 a 8 4 ﺹ ﺹ 32 $tra, che ogni $uperficie, che $ia contenuta da due linee mediale $olamente in potentia communicante, ouer che la $ara rationale, ouer mediale.

Laqual $ua propo$itione praticalmente con e$$emp{ij} faremo chiara. E$$empi gratia $ia que$te due linee mediale ℞ ℞ 8. & ℞ ℞ 32. lequai (per le ragioni dette nella $e$ta) $ono commen- $urabili $olamente in potentia, & la $uper$icie contenuta $otto le dette due linee (cioe il produtto di vna fia l’altra) $ara ℞ ℞ 256. che veniria a e$$er 4. che è rationale.

Sia anchora que$te due linee mediale ℞ ℞ 7. & ℞ ℞ 63. lequai $e ben le con$ideri trouarai e$$er mede $imamente commen$urabili $olamente in potentia, & trouarai anchora la $uperficie contenuta da quelle (cioe il lor dutto) e$$er prima ℞ ℞ 441. che è numero quadrato, la radice delquale $ara ℞ 21. & que$ta ℞ 21 per e$$er $uperficie vien a e$$er irrationale detta $uperficie mediale, e pero con que- $ti duoi e$$emp{ij} vien a e$$er praticalmente verificata la detta propo$itione, cioe che tal $uperficie contenuta da dette linee $empre $ara, ouer rationale, ouer mediale.

EV clide nella vinte$imanona propo$itione del $uo decimo libro geometricamente ne 23 ﺹ ﺹ 63 ﺹ ﺹ 7 a 8 ﺹ 21 in$egna, & dimo$tra la regola da trouar due linee mediale $olamente in potentia com- municanti, lequai contenghino $uperficie rationali, dellequali la piu longa $ia piu poten te della piu corta nel quadrato di vna linea communicante in longhezza alla mede$i- ma linea piu longa, laqual propo$itione in que$to luogo noi mo$traremo di far praticalmente.

Per e$$equire adunque praticalmente que$to problema, per la regola data nella $econda di que$to ca- po, trouarai due linee rationali $olamente in potentia communicanti, dellequai la piu longa po$$a piu della piu corta nel quadrato di vna linea a $e communicante in longhezza, hor poniamo che que$te due linee trouate (con tal regola) la piu longa $ia 10. & la piu corta ℞ 19. hor fra que$te due $10\; ℞\; ℞\; 1900.\; ℞\; 19.$ quantita trouarai vn termine medio proportionale, onde procedendo $econdo la regola data nel- le proportioni, trouarai quello e$$er ℞ ℞ 1900. que$ta linea mediale $ara la piu lõga delle due ricer- cate, & per trouar mo la piu corta a que$to ℞ ℞ 1900. trouarai vn con$equente in tal proportione, LIBRO come che è da 10. a ℞ 19. & que$to facilmente trouarai con la regola del 3. dicendo, $e 10 mida ℞ 19. che mi dara ℞ ℞ 1900. opera, che te ne venira ℞ ℞ 68 {59/100}, & co$i que$t’altra $ara la piu corta delle dette due linee mediale ricercate, che $e ne farai la proua praticale, trouarai che haueranno le $prima\; linea\; mediale\; ℞\; ℞\; 1900$ due adimandate conditioni, cioe che il dutto di vna in l’altra fara preci$amente 19. che è quantita rationale. Et oltra di que$to trouarai anchora, che la piu longa, cioe ℞ ℞ 1900 è piu potente della $\$econda\; linea\; mediale\; ℞\; ℞\; 68\; \{59/100\}.$ piu corta, cioe di ℞ ℞ 68 {59/100} nel quadrato di vna linea a $e communicante in longhezza, & quan tunque que$to $ia chiaro per la decima$e$ta del decimo di Euclide, nellaquale $peculatiuamente di- mo$tra, che $e la prima di quattro quantita proportionali, puo piu della $econda nel quadrato di vna linea a $e commen$urabile in longhezza, anchora la terza è nece$$ario poter il mede$imo piu della quarta, & è conuer$o, cioe $e la prima potra piu della $econda nel quadrato di vna linea a $e incommen$urabile in longhezza, il mede$imo potra la terza piu della quarta, e pero $e 10 puo piu di ℞ 19. il quadrato di vna linea a e$$o 10. commen$urabile in longhezza, $imilmente ℞ ℞ 1900 potra il mede$imo piu di ℞ ℞ 68 {59/100}, nondimeno per quelli, che non hanno vi$to, ouer inte$a la dimo$tratione di tal decima$e$ta propo$itione, & volendo veder praticalmente $e le dette due li- nee hanno tal conditione, bi$ogna quadrar la menore, cioe ℞ ℞ 68 {59/100}, il cui quadrato $ara ℞ 68 {59/100}, & dapoi quadrar anchora la maggior, cioe ℞ ℞ 1900. & fara ℞ 1900. poi bi$ogna $ottrar ℞ 68 {59/100} di ℞ 1900. il che fac\~edo $i trouara re$tar ℞ 1246 {59/100}, & que$to $ara il quadrato di quel- la linea, che la piu longa linea puo piu della piu corta, onde $e la propria linea venira a e$$er ℞ ℞ 1246 {59/100}, & que$ta dico e$$er commen$urabile in longhezza con la detta linea piu longa, cioe con ℞ ℞ 1900. & per veder $e que$to $ia il vero, gia piu volte ti ho detto, che per voler cono$cere praticalmente, $e due radici $orde ($iano di che genere, ouer $pecie $i voglia) $e $ono $ra loro com- municanti in longhezza, oueramente non, $i debbe partire l’una di quelle per l’altra, & $e di tal par timento ne venira quantita, che $i po$$a denominar per numero, tai due $orti di radice $aranno fra loro communicanti in longhezza, & $e per $orte di tal partimento ne venira quantita, che non $i po$$a denominar per numero, tai due radici $aranno incommen$orabili in longhezza, & perche $e partirai ℞ ℞ 1900 per ℞ ℞ 1246 {59/100} trouarai, che te ne venira prima que$to rotto ℞ ℞ {190000/124659}, & que$to tal rotto doueria e$$er cen$o di cen$o, ma $perimentandolo in tal forma $i trouara, ne il numeratore, ne il denominator e$$er cen$o di cen$o, cioe quadrato di quadrato, tal che la no$tra conclu$ione pareria e$$er fal$a, & que$to procede per non e$$er $chi$$ato tal rotto alla vltima $chi$- $atione, e pero nelle $imili bi$ogna aricordar$i d’inue$tigar il ma$$imo $chi$$atore per la regola $ua. Il che facendo trouarai quello e$$er 19. e pero $chi$$ando ℞ ℞ {190000/124659} per 19. trouarai, che te ne venira {10000/6561}, e per tanto diremo il detto no$tro auenimento e$$er ℞ ℞ {10000/6561}, & co$i troua- rai tal rotto, o vuoi dir tal $ano, & rotto e$$er cen$o di cen$o, & la $ua ℞ ℞ $aria {10/9}, cioe 1 {1/9}, e pe- ro $eguita il propo$ito, cioe che la piu longa delle dette due linee mediale puo piu della piu corta, il quadrato di vna linea a $e commen$urabile in longhezza.

Que$ta proua praticale te la ho voluta di$tendere minutamente, & con rotti per aricordarti le co$e pa$$ate, ma nelle altre, che $eguitaranno $aro alquanto piu breue.

ANchora Euclide nella trente$ima propo$itione $peculatiuamente in$egna, & geome- 24 tricamente dimo$tra la regola da $aper trouar due linee mediale $olamente in potentia communicanti, lequai contenghino pur $uperficie rationale, dellequai la piu longa $ia piu potente della piu breue nel quadrato di vna linea incommen$urabile in longhezza alla mede$ima linea piu longa.

Volendo praticalmente mandar a e$$ecutione que$to tal problema, trouaral prima due linee rationa- li $olamente in potentia communicanti, dellequali la piu longa po$$i piu della piu breue nel qua- drato di vna linea non communicante con $e in longhezza, il modo ditrouarle fu dato nella terza $℞\; 24.\; ℞\; ℞\; 360.\; ℞\; 15.$ di que$to capo, hor poniamo che $iano ℞ 24. & ℞ 15. & con que$te due procederai, come fu fatto nella precedente, cioe fra ℞ 24. & ℞ 15. trouarai vna media in continua proportionalita, onde pro $prima\; linea\; mediale\; ℞\; ℞\; 360.\; \$ecõda\; linea\; medial\; ℞\; ℞\; 140\; \{5/8\}$ cedendo $econdo le regole date nel trattato delle proportioni, & trouarai quella e$$er ℞ ℞ 360. & que$ta $ara l’una delle due linee mediale ricercate, & $e vuoi, che $ia la piu longa, per voler poi tro- uar la piu corta, bi$ogna trouarla con la regola del tre in tal proportione alla piu longa, $i come che è ℞ 15 a ℞ 24. e per tanto diremo, $e ℞ 24 mi da ℞ 15. che mi dara ℞ ℞ 360. opera che trouarai, che ti dara ℞ ℞ 140 {5/8}, & tanto $ara la piu corta delle due ricercate linee mediale, che $e ne farai la proua naturale trouarai, che haueranno le adimandate conditioni. Ma auerti$$e nelle tue operatio- ni di ridur le quantita di diuer$e $pecie a vna mede$ima, come fu detto $opra il multiplicar, & partir di radici di diuer$e nature, ouer $pecie, perche $e non errarai nelle tue attioni, trouarai le dette due linee mediale e$$er communicanti $olamente in potentia, perche partendo il quadrato di ℞ ℞ 360. 8>VNDECIMO. qual $ara ℞ 360. per il quadrato di ℞ ℞ 140 {5/8}, che $ara ℞ 140 {5/8}, trouarai che te ne venira ℞ {576/225}, che $ara {24/15}, cioe 1 {3/5} per numero, & trouarai anchora, che il dutto di vna in l’altra fara preci$amen $al\; \$econdo\; modo\; prima\; linea\; mediale\; ℞\; ℞\; 921\; \{3/5\}\; \$ecõda\; linea\; mediale\; ℞\; ℞\; 360.$ te 15. che è $uperficie rationale, & la piu longa, cioe ℞ ℞ 360 puo piu della piu corta, cioe della ℞ ℞ 140 {5/8} nel quadrato di vna linea a $e incommen$urabile in longhezza, & tutto que$to per la 16 del decimo del detto Euclide liquidamente appare, ma tu con la i$perienza te ne potrai chiarire.

Tu poteui anchora far che la detta ℞ ℞ 360 fu$$e la piu corta, & per trouar poi la piu longa dire $e ℞ 15 mi da ℞ 24. che mi dara ℞ ℞ 360. onde operando trouare$ti, che ti daria ℞ ℞ 921 {3/5}, & tanto $aria la piu longa.

ANchora Euclide nella trente$imaprima propo$itione del $uo decimo libro geometri- 25 camente n’in$egna, & dimo$tra la regola da $aper trouar due linee mediali $olamente in potentia communicanti, che contenghino $uperficie mediale, dellequai la piu longa po$$a tanto piu della piu breue, quanto è il quadrato di alcuna linea incommen$urabile in longhezza a detta linea piu longa.

Que$ta propo$itione non è differente della precedente, $aluo in que$to, che le due mediali della pre- cedente vuol, che contenghino $uperficie rationale, & in que$ta vuol che contenghino $uperfi- cie mediale, laqual co$a ne rende alquanto piu artificio$a la operatione della precedente, perche per ritrouar tai due linee mediali, bi$ogna prima trouar tre linee rationali $olamente in potentia communicanti ($econdo la regola data in fine della terza di que$to capo) dellequai l’una di quelle prima # $econda # terza ℞ 6. # ℞ 3. # ℞ 2. po$$a piu di qual $i voglia delle altre due nel quadrato di vna linea a $e incommen$urabile in lon- ghezza, et quantunque infinite $e ne potria trouar poneremo per al pre$ente, che $iano que$te, cioe la prima ℞ 6. la $econda ℞ 3. la terza ℞ 2. & trouate que$te 3. linee, ouer quantita, fra la prima, & la $econda, cioe fra ℞ 6. & ℞ 3. trouaremo vna media proportionale, laqual trouaremo e$$er ℞ ℞ $prima\; linea\; mediale\; ℞\; ℞\; 18.\; \$econda\; linea\; mediale\; ℞\; ℞\; 2.$ 18. & que$ta $ara la prima delle no$tre due ricercate linee mediali, hor per trouar l’altra darai vn con$equente a ℞ ℞ 18. in tal proportione, come dalla prima alla terza, cioe come da ℞ 6 a ℞ 2. di- cendo $e ℞ 6 mi da ℞ 2. che mi dara ℞ ℞ 18. opera (riducendo le quantita a vna mede$ima natura, cioe a ℞ ℞) trouarai che te ne venira ℞ ℞ 2. & tanto $ara la $econda delle due ricercate linee media- li, dellequai $e ne farai la proua praticale trouarai (non errando tu con la penna) che haueranno tut te le ricercate conditioni.

Et $el ti pare$$e di voler anchora trouare due linee mediali $olamente in potentia communicanti, che contenghino $uperficie mediali, dellequai la piu longa po$$a piu della piu corta nel quadrato di vna linea a $e commen$urabile in longhezza.

Pigliaremo pur tre linee rationali $olamente in potentia communicanti, dellequai l’una di quelle $ia piu potente di vna, & dell’altra delle altre due nel quadrato di vna linea a $e commen$urabile in longhezza, il modo, & regola di $aperle trouare fu dato in fine della $econda di que$to. Et trouate que$te tre linee procederai, come di $opra, cioe fra la prima, & la $econda trouarai la media propor tionale, & quella $ara l’una delle due ricercate linee mediali. La $econda poi $i trouara con la regola del tre, $econdo che fu fatto nella precedente, dellaqual co$a per e$$er di facile appren$ione a te la- $cio il cargo di trouarle attualmente parendoti.

VOlendo e$$equire con numeri, & radici var{ij}, & diuer$i problemi, non $olamente di 1 quelli dati da Euclide nel $uo decimo libro, ma infiniti altri, che nella general pratica di numeri, & mi$ure naturalm\~ete occorre. A me è nece$$ario a diffinirti prima alcune $pe- cie di radici, che nella conclu$ione molte volte occorre, lequai $ono dette radici vniuer $ali, & que$te tali $i formano quando che in qualche no$tra operatione ne accade a pigliare, ouero a rappre$entar la radice di vna qualche quantita di duoi, ouer di tre, ouer di piu nomi compo$ta, & ma$$ime quando che l’arte fin hora non habbia trouato regola da $aper cauar realmente la ra- dice di vna tal quantita. E$$empi gratia pongo, che ne occorra pigliar, ouer a rappre$entare la gene ral radice di que$to trinomio 10 piu ℞ 7. piu ℞ 5. anchor che l’arte non habbia fin hora trouato regola generale di $aper cauar realmente la radice di vna tal quantita, & infinite altre $imili, nondi- meno ha trouato modo di $aperla rappre$entare in $critto di tal $orte, che l’intelletto no$tro la in- tende, & la potiamo maneggiare $econdo le no$tre occorrentie per fin alla vltima no$tra conclu- $ione, laqual rappre$entatione nel $opradetto trinomio $i faria in que$ta forma ℞ v. 10 piu ℞ 7. piu ℞ 5. tal che quella ℞ v. ne dinota la radice vniuer$ale di tutto quel trinomio, cioe la radice della LIBRO $umma di quelli tre nomi, cioe di quelle tre quantita, & accio meglio m’intendi te la voglio e$$em pli$icar con trinom{ij}, ouer binom{ij} finti, cioe di quantita rationale. E$$empi gratia la ℞ v. 11. ⓟ ℞ 9. ⓟ ℞ 4. que$ta tal quantita non vuol dir altro, che è 4. perche tu $ai, che la radice di 9 è 3. & la ra- dice di 4 è 2. tal che le dette tre quantita vengono a e$$er que$te 11. & 3. & 2. lequai gionte in$ieme fanno in tutto 16. & la radice di detta $umma, cioe del detto 16. veniria ad e$$er 4. (come è detto) $i che la ℞ v. di 11. piu ℞ 9 piu ℞ 4. veniria a e$$er 4.

Dico anchora, che la ℞ v. ℞ 49. piu ℞ 36. men ℞ 16. non vuol dir altro, che 3. perche tu $ai, che ℞ 49 è $primo\; e\$\$empio.\; la\; radice\; v.\; 11.\; piu\; ℞\; 9.\; piu\; ℞\; 4.\; \$aria\; preci\$amente\; 4.\; \$econdo\; e\$\$empio.\; la\; ℞\; v.\; ℞\; 49.\; piu\; ℞\; 36.\; men\; ℞\; 16.\; \$aria\; preci\$amente\; 3.$ 7. & la ℞ 36 è 6. lequai gionte in$ieme fanno 13. delqual 13 trattone quella ℞ 16 (per e$$er men) laqual ℞ 16 è 4. re$tara 9. et co$i la radice di 9. qual è 3. $ara la radice vniuer$ale di ℞ 49. piu ℞ 36. men ℞ 16.

Anchora dico che ℞ v. ℞ 64. piu ℞ 49. piu ℞ 36. men 5. non vuol dir altro che 4. perche la ℞ 64 è 8. & la ℞ 49 è 7. & la ℞ 36 è 6. & que$te tre radici gionte in$ieme fanno 21. & di que$to 21 cauandone quel 5. per e$$er men re$taria 16. & co$i la radice del detto 16 $aria 4. come di $opra è $tato detto.

NOta che que$te radici vniuer$ali non $olamente 2 $terzo\; e\$\$empio..\; la\; ℞\; v.\; ℞\; 64.\; ⓟ\; ℞\; 49.\; ⓟ\; ℞\; 36.\; \backslash ~m\; 5.\; \$aria\; preci\$amente\; 4.$ põno ca$car $opra di binom{ij}, & trinom{ij}, ouer $quarto\; e\$\$empio\; la\; ℞\; v.\; ℞\; cu.\; 216.\; ⓟ\; ℞\; cu.\; 27\; \$aria\; preci\$amente\; 3.$ piu nomi quadri, ma anchora $opra li cubi, & cen$i di cen$i, & co$i in tutte le altre $pecie, che longo $arei a volerti di$tendere particolar e$$empio in cia$cuna $pecie, pur a tua maggior $atisfat- tione te ne voglio por vno e$$empio di vn binomio cubo finto, & di vn re$iduo finto. E$$empi gratia ℞ v. ℞ cu. 216. piu ℞ cu. 27. dico che que$ta tal radice vniuer$ale non vuol dir altro, che 3 per che la ℞ cu. 216 è 6. & la ℞ cu. 27 è 3. lequai due radici cube gionte in$ieme fanno 9. & co$i la radi- ce quadra di 9. $aria 3. come di $opra fu detto.

Et co$i la ℞ v. ℞ cu. 216. men ℞ cu. 27. veniria a e$$er ℞ 3. perche la cu. 216 vien a e$$er 6. & la ℞ cu. $quinto\; e\$\$emplo\; la\; ℞\; v.\; ℞\; cu.\; 216.\; \backslash ~m\; ℞\; cu.\; 27\; \$aria\; ℞\; 3.$ 27. vien a e$$er 3. il qual 3. tratto di quel 6 (per e$$er m\~e) re$tara 3. & co$i la ℞ 3 veniria a e$$er la ra- dice vniuer$ale ℞ cu. 216. men ℞ cu. 27. & co$i con tal modo $i debbe intendere in ogni altra $pe- cie di binomio, ouer re$iduo.

ANchora nota, che la detta radice vniuer$ale puo e$$er cuba, ouer cen. cen. ouer prima 3 relata, & altre, ca$cante anchor $opra qual $i voglia $pecie di binom{ij}, trinom{ij}, ouero $\$e\$to\; e\$\$empio\; la\; ℞\; v.\; cu.\; ℞\; 25\; piu\; ℞\; 9\; \$aria\; 2.$ multinom{ij}. E$$empi gratia la radice v. cu ℞ 25. piu ℞ 9. $aria 2. perche la ℞ 25 $aria 5. & la ℞ 9 $aria 3. che gionta con quel 5 fara 8. & co$i la radice cuba di 8 $aria 2. come di $opra fu detto, & tanto $ara la radice v. cu. ℞ 25. piu ℞ 9.

Anchora la radice v. cu. ℞ 25. men ℞ 9. $aria ℞ cu. 2. perche $ottrata quella ℞ 9. che è 2. da quella ℞ 25. $\$ettimo\; e\$\$empio\; la\; ℞\; v.\; cu.\; ℞\; 25\; m\backslash ~e\; ℞\; 9\; \$aria\; ℞\; cu.\; 2.$ che è 5. re$tara 2. & co$i la radice cu. 2. $aria la detta radice vniuer$al cuba di ℞ 25. men ℞ 3. come di $opra fu detto.

La radice v. cu. radice cu. 64. piu radice cu. 27. veniria a e$$er radice cu. 7. perche la radice cu. 64. qual è 4. gionta con la radice cu. 27. qual è 3. fara 7. & co$i la radice cuba di 7 veniria a e$$er la ℞ v. cu. ra- $ottauo\; e\$\$empio\; la\; ℞\; v.\; cu.\; ℞\; cu.\; 64.\; ⓟ\; ℞\; cu.\; 27\; \$aria\; ℞\; cu.\; 7.$ dice cu. 64. piu ℞ cu. 7. come di $opra fu detto, & con tal ordine bi$ogna intendere con lo inteletto quelle, che $ono irrationali, perche que$te $opra notate radici vniuer$ali di tai binom{ij}, ouer trino- m{ij} rationalmente finti $ono $tate da me po$te, non perche co$i rationalmente interuenghino, ma tal cautela ho v$ata accioche tu intenda quelle, che ti occorrera $opra li veri binom{ij}, & multino- m{ij}, ouer re$idui, i quali $empre $ono irrationali.

ANchora per e$$er meglio inte$o nel maneggiare delle $opradette radici vniuer$ali, ti vo 4 glio narrare, come $i quadrano, multiplicano, & parte. Nota che a quadrar ogni radi- ce vniuer$ale quadra, ba$ta a leuarui via quella radice vniuer$ale, & il re$tãte $ara il qua- drato di quella. E$$empi gratia volendo quadrare ℞ v. 10. piu ℞ 7. piu ℞ 5. dico, che tu debbi leuar via quella radice vniuer$ale, il che facendo venira poi a re$tar 10. piu ℞ 7. piu ℞ 5. & tanto $ara il quadrato di detta radice vniuer$ale, & quantunque tal co$a $ia naturale, cioe che qua- drandola, la debba ritornar nel pre$tino $tato, ch’era auãti ne fu$$e $ignata la $ua radice vniuer$ale, nondimeno per $atisfar alli principianti di$tendero $otto breuita li conuer$i delle $opra po$te radici VNDECIMO. vniuer$ali finte rationali, accio meglio con l’intelletto $i apprendino. Il mede$imo faro delle cube, cioe che il cubo delle ℞ v. cu. fa il mede$imo, come di $otto puoi vedere.

Il quadrato di ℞ v. 11. piu ℞ 9. piu ℞ 4. $ara preci$amente 11. piu ℞ 9. piu ℞ 4.

Il quadrato di ℞ v. ℞ 49. piu ℞ 36. men ℞ 16. $ara ℞ 49. piu ℞ 36. men ℞ 16.

Il quadrato di ℞ v. ℞ 64. piu ℞ 49. piu ℞ 36 men 5. $ara ℞ 64. piu ℞ 49. piu ℞ 36 men 5.

Il quadrato di ℞ v. ℞ cu. 216. piu ℞ cu. 27. $ara preci$amente ℞ cu. 216. piu ℞ cu. 27.

Il quadrato di ℞ v. ℞ 216 men ℞ cu. 27. $ara preci$amente ℞ cu. 216. men ℞ cu. 27.

Similmente il cubo della ℞ v. cu. ℞ 25. piu ℞ 9. $ara ℞ 25. piu ℞ 9.

Il cubo di ℞ v. cu. ℞ 25 men ℞ 9. $ara ℞ 25 men ℞ 9.

Il cubo di ℞ v. cu. ℞ cu. 64. piu ℞ cu. 27. $ara ℞ cu. 64. piu ℞ cu. 27. & co$i di$correndo in tutte le al- tre $pecie di radici vniuer$ali, cioe nelle cen. cen. nelle relate, & altre.

VOlendo multiplicar vna radice vniuer$ale (cioe quadra) per vn numero, quadra quel- 5 la tal radice vniuer$ale, & quadra anchora il numero, dapoi multiplica quelli duoi qua drati l’uno fia l’altro, & la radice vniuer$ale di quel produtto$ara il produtto di tal mul $E\$\$empio\; a\; multiplicar\; ℞\; v.\; 7.\; ⓟ\; ℞\; 3\; per\; 2.\; fara\; ℞\; v.\; 28\; ⓟ\; ℞\; 48$ tiplicatione. E$$empi gratia volendo multiplicar poniamo ℞ v. 7. piu ℞ 3/ per 2. qua- dra ℞ v. 7. piu ℞ 3. & fara 7 piu ℞ 3. quadra anchora quel 2. fara 4. hor multiplica 4 fia 7 piu ℞ 3 ($ecõdo le regole date nel algorithmo di binom{ij}, & re$idui) fara 28 piu ℞ 48. & co$i la ℞ v. 28 piu ℞ 48. $ara il produtto di tal multiplicatione, & co$i procederai multiplicando per qual $i voglia al- tro numero, la proua di tal atto $i fara di $otto con il $uo conuer$o, cioe con il partire.

MA volendo multiplicar la medefima ℞ v. 7. piu ℞ 3. per ℞ 2. quadra pur la detta radice 6 $E\$\$empio\; a\; multiplicar\; ℞\; v.\; 7.\; ⓟ\; ℞\; 3\; per\; ℞\; 2.\; fara\; ℞\; v.\; 14\; piu\; ℞\; 12$ v. 7. piu ℞ 3. & fara 7. piu ℞ 3. quadra anchora quella ℞ 2. & fara 2. hor multiplica 2 fia 7. piu ℞ 3. & trouarai, che fara 14. piu ℞ 12. & la radice vniuer$ale di 14. piu ℞ 12. fara la detta multiplicatione, & con tal ordine procederai nelle altre $pecie di radice vniuer- $ale hauendo $empre ri$petto alla $pecie, che molto ci andaria da $criuere a volerti in cia$cuna $pe- cie dar particolar e$$empio. Et $imilmente occorrendoti a multiplicar vna radice vniuer$ale per vn binomio, ouer re$iduo, ouero altra $trana quantita, o$$eruarai la mede$ima regola, cioe quadrarai la radice vniuer$ale, & anchora quell’altra quantita, & multiplicarai li detti duoi quadrati, & la ra- dice vniuer$ale di tal multiplicatione $ara il detto produtto, la proua $i fara di $otto con il partire.

IL partire per e$$er il conuer$o del multiplicar, e pero volendo partir vna radice vniuer 7 $ale per numero, quadrarai pur la radice vniuer$al, & $imilmente il numero (cioe il par $E\$\$empio\; a\; partir\; ℞\; v.\; 28\; piu\; ℞\; 48\; per\; 2.\; ne\; vien\; ℞\; v.\; 7\; piu\; ℞\; 3$ titore) & dapoi partirai il quadrato della radice vniuer$ale per il quadrato del partito- re, & la radice, vniuer$ale di tal auenimento $ara lo ricercato auenim\~eto, & per far duoi effetti in vn colpo, poneremo per e$$empio il conuer$o della quinta, che venira a e$$er la proua di quella, & di que$ta. E per tanto volendo partire ℞ v. 28. piu ℞ 48. per 2. quadra ℞ v. 28. piu ℞ 48. fara 28. piu ℞ 48. quadra anchora il partitore, cioe quel 2. fa 4. hor parti mo 28. piu ℞ 48. per quel 4. onde procedendo $econdo le regole date nel quinto libro trouarai, che te ne venira 7 piu ℞ 3. & co$i la ℞ v. 7. piu ℞ 3. $ara il no$tro ricercato auenimento, & con tal modo, & regola procede- rai nelle altre $imili.

_S_Imilmente volendo partire ℞ v. 14. piu ℞ 12. per ℞ 2. quadra ℞ v. 14. piu ℞ 12. & fara 14. piu 8 ℞ 12. quadra anchora il partitore, cioe quella ℞ 2. & fara 2. hor parti 14. piu ℞ 12. per 2. & tro- uarai, che te ne venira 7. piu ℞ 3. & co$i vedi, che il partire approua il multiplicare, & per il contra- rio il multiplicare approua il partire.

MOlte volte interuiene nella general pratica di numeri, & mi$ure a multiplicar vna ra- 9 $E\$\$empio\; a\; multiplicar\; ℞\; v.\; 4\; ⓟ\; ℞\; 10\; per\; ℞\; v.\; 4\; men\; ℞\; 10\; fa\; ℞\; 6.$ dice vniuer$ale fia vn’altra da lei diuer$a, e pero quando che que$to ti accada, quadra vna, & l’altra di quelle, & dapoi multiplica il quadrato di vna fia il quadrato dell’altra, & la ℞ di quel produtto fara la detta multiplicatione. E$$empi gratia volendo multipli- care ℞ v. 4. piu ℞ 10. fia ℞ v. 4 men ℞ 10. quadra l’una, & l’altra di quelle, & trouarai il quadrato di vna e$$er 4 piu ℞ 10. & l’altro $ara 4 men ℞ 10. hor multiplica mo 4 piu ℞ 10. fia 4 men ℞ 10. LIBRO trouarai, che fara 6. & co$i la radice di 6. diremo, che fara la multiplicatione di ℞ v. 4. piu ℞ 10. fia ℞ v. 4 men ℞ 10. & con tal ordine procederai nelle altre $pecie di radice vniuer$ale, cioe nelle cube, nelle cen. cen. nelle relate, & altre, cioe nelle cube multiplicarai il cubo di vna fia il cubo dell’altra, & la radice cuba di tal produtto $ara il ricercato produtto, & co$i delle altre.

MOlte volte anchora interuiene (nella general pratica di numeri, & mi$ure) a partir vna 10 radice vniuer$ale per vn’altra da lei diuer$a, dico da lei diuer$a, perche a partire vna ra- dice vniuer$ale per vn’altra a lei eguale, eglie co$a chiara, che di tal partimento ne ve- nira $empre vno, cioe 1. E$$empi gratia volendo partir poniamo ℞ v. 20. piu ℞ 12 per ℞ v. 20 piu ℞ 12. dico che eglie manife$to, che di tal partimento ne venira 1. perche ogni $pecie di quantita, numera, ouer mi$ura vna volta $ola vn’altra a lei eguale, ma per tornar al no$tro primo propo$ito. Volendo partire vna radice vniuer$ale per vn’altra da lei diuer$a, quadrarai vna, & l’al- tra di quelle, & dapoi partirai il quadrato di quella, che $i ha da partire per il quadrato di quell’al- tra, & la radice di tal auenimento $ara lo ricercato auenimento. E$$empi gratia volendo partir po- niamo ℞ v. 24 piu ℞ 12. per ℞ v. 6 piu ℞ 8. quadra l’una, & l’altra di quelle, & trouarai l’un qua- drato e$$er 24 piu ℞ 12. & l’altro e$$er 6 piu ℞ 8. hor parti 24 piu ℞ 12. per 6 piu ℞ 8. & per far tal partimento bi$ogna aricordar$i delle regole date nel decimo libro, cioe multiplica il partitore (cioe 6 piu ℞ 8) per il $uo reci$o, cioe per 6 men ℞ 8. & te ne venira 28 per il tuo rational partitore. Fat- to que$to multiplica anchora la co$a, che $i ha da partire (cioe quel binomio di 24 piu ℞ 12) per il mede$imo re$iduo, cioe per 6 men ℞ 8. & trouarai, che fara 144 piu ℞ 432. men ℞ 4608. men ra- dice 96. & que$to partirai per quel 28 tuo rational partitore, il che facendo trouarai, che te ne ve- nira 5 {1/7} piu ℞ {432/784} men ℞ 6 {688/784} men ℞ {96/784}, & tanto venira a partir radice v. 24 piu ℞ 12. per radice v. 6 piu ℞ 8. io non ti ho $chi$$ati li rotti, accioche vedi il primo auenimento, & co$i con tal ordine procederai proportionalmente nelle altre $pecie di radice vniuer$ale, cioe cube, cen$e di cen$e, prime relate, & altre, cioe nelle cube, partirai il cubo di vna per il cubo dell’altra, & la radice vniuer$al cuba di tal auenimento, & co$i procederai nelle altre $pecie.

MOlte volte volte occorre nella general pratica di numeri, & mi$ure, di $ummar vna ra- 11 dice vniuer$ale con vn numero, ouer con vn’altra radice vniuer$ale, laqual co$a $i fa con il termine del piu. E$$empi gratia volendo $ummar poniamo 12. con ℞ v. 20. piu ℞ 6. diremo, che fara 12 piu ℞ v. (20 piu ℞ 6) ouero diremo, che fara ℞ v (20 piu ℞ 6) piu 12. Et con tal ordine procederemo volendo $ummar ℞ 18 con ℞ v. (30 piu 5) diremo, che fara ℞ 18 piu ℞ v (℞ 30 piu 5) $imilmente volendo $ummar ℞ v. (℞ 28 men ℞ 10) con ℞ v. (℞ 24. piu ℞ 12) diremo che tal $umma fara ℞ v. (℞ 28 men ℞ 10) piu ℞ v. (℞ 24 piu ℞ 12) ouer diremo, che fara ℞ v. (℞ 24 piu ℞ 12) piu ℞ v. (℞ 28 men ℞ 10) & quantunque tanto $ignifichi al primo modo, quanto che al $econdo, nondimeno per diuer$i ri$petti $empre $i debbe metter prima quel- la co$a, che è di maggior quantita.

ANchora molte volte accade di $ottrar vn numero, ouer vna radice da vna radice vni- 12 uer$ale, & al contrario, & $imilmente vna radice vniuer$ale da vn’altra di lei maggiore (che co$i $i debbe $empre intendere, perche naturalmente la maggior quantita non $i puo cauar dalla menore) laqual co$a $i fa con il termine del meno, cioe al contrario del $ummar, & per e$$er da $e facile non $taro a porti altro e$$empio.

VOlendoti mo$trare anchora il modo da $aper ri$oluere praticalmente con numeri, & mi$ure molti problemi del decimo di Euclide, & altri, a me è nece$$ario anchora, che prima ti mo$tri la regola da $aper diuidere praticalmente con numeri, & radici, vna quantita in due tal parti, che fra quelle vi ca$chi vn’altra data quantita in continua pro- portionalita, ouer che il dutto di vna di quelle parti in l’altra faccia vna data quantita (che in $o- VNDECIMO. $tantia è quel mede$imo) Eglie ben vero, che que$ta particolarita $i mo$tra geometricamente $o- pra la decima$ettima del decimo di Euclide, & anchora que$ta mede$ima fu da me mo$trata an- chora praticalmente con numeri nella $e$ta del quinto capo del ottauo libro, nondimeno l’intento no$tro è di mo$trarla in que$to luogo in generale, cioe non $olamente in numeri, ma anchora nel- le radici irrationali, per cau$a delle co$e, che $i ha da dire.

VOlendo adunque diuidere vna data quantita in due tal patti, che fra quelle due ve ne 1 ca$chi vn’altra $econda quantita in cõtinua proportionalita, diuiderai quella data quan tita in due parti eguali, & quadrarai l’una di quelle mita, & di tal quadrato ne cauarai il quadrato di quella $econda quantita, & la radice del rimanente gionto a vna di quel- le due mita, ti fara la parte maggiore, & tratto dell’altra ti re$tara la parte menore, & co$i fra que- $te due parti ca$cara quella $econda quantita in continua proportionalita, cioe che il dutto della parte menore nella parte maggiore $ara eguale al quadrato di quella $econda quantita, come $i ri- cerca a tre quantita continue proportionali. E$$empi gratia volendo far di 10. due tal parti, che fra quelle due tal parti vi ca$chi, poniamo ℞ 21. in continua proportionalita (que$to non vuol dir al- prima # $econda # terza 3. # ℞ 21. # 7. tro, che vn voler far di 10 due tal parti, che multiplicata l’una fia l’altra faccia 21. cioe il quadra- to di ℞ 21) hor per far que$to diuide il detto 10. in due parti eguali, che cia$cuna $ara 5. quadrala fara 25. & di que$to quadrato cauane il quadrato di ℞ 21. che $ara 21. & ti re$tara 4. & la ℞ 4. qual $ara 2. aggiongila a 5. & fara 7. per la parte maggior del detto 10. & tralla anchora di 5 (cioe dal- l’altra mita di 10) & ti re$tara 3. per la parte menore del detto 10. & co$i fra le dette due parti del detto 10. che $ono 3. & 7. vi ca$cara quella ℞ 21. in continua proportionalita, cioe che quella ℞ 21 $ara media propotionale fra 3. & 7. & che $ia il vero il dutto della prima, che è 3. fia la terza, che è 7. fara 21. & perche il quadrato di ℞ 21 fa pur 21. $eguita il propo$ito.

Nota che del detto 10 $aria impo$$ibile a farne due tal parti, che fra quelle vi ca$ca$$e vna quantita maggiore della mita del detto 10.

MA perche que$ta $opradetta operatione occorre in molte que$tioni, ma $otto altra for- 2 ma di dire, & la ri$$olutione $pe$$e volte interuiene in binomio, & re$iduo, & tal hora in radici vniuer$ali, e pero accioche del tutto $e ne habbia notitia, ne andaremo prepo- nendo $otto a diuer$i modi di parlare, & le poneremo in forma di que$iti, ouero in- ## 8. a multiplicar # 4 ⓟ ℞ 6 per # 4 \~m ℞ 6 fara # 10. terrogationi, come con$equentemente intenderai.

FAmmi di otto due tal parti, che multiplicata l’una fia l’altra faccia 10.

Piglia la mita di 8. che è 4. quadralo fa 16. cauane quel 10. che vuoi che faccia, re$ta- ra 6. & co$i la ℞ 6. gionta, & tratta della mita di 8. che è 4. ti dara le dette parti, & per- che a voler proferir la $umma di 4 con ℞ 6. bi$ogna proferirla per binomio dicendo, che fara 4 piu ℞ 6. & tanto $ara la parte maggiore del detto 8. & perche a $ottrare la detta ℞ 6 da a $ummar # 4 ⓟ ℞ 6 con # 4 \~m ℞ 6 fara # 8 4. tal re$to non $i puo proferire $aluo, che per re$iduo, dicendo che re$ta 4 men ℞ 6. & tanto $ara la parte menore del detto 8. & que$te due parti (cioe 4 men ℞ 6. & 4 piu ℞ 6) $e le multiplicarai l’una fia l’altra ($econdo che nel algorithmo di binom{ij}, & re$idui ti mo$trai) trouarai, che faranno pre- ci$amente 10. come $i propone. Et $ummando anchora le dette due parti (cioe 4 men ℞ 6. & 4 piu ℞ 6) trouarai, che faranno preci$amente 8. come vuol il douere.

Nota che la mede$ima conclu$ione $eguiria, che dice$$e fammi di 8 due tal parti, che fra l’una, & l’al- tra vi ca$chi la ℞ 10. media proportionale.

Anchora nota, che tu non potre$ti fare del detto 8 due tal parti, che multiplicate l’una fia l’altra face$- $e piu del quadrato della mita di 8 (cioe piu di 16) eglie ben vero, che tu le potre$ti far che face$$e- ro 16. perche quadrando la mita del detto 8 (cioe 4) fara 16. delquale trattone quel 16. che vuoi che’l faccia re$tara nulla, & la radice di nulla è nulla, quala gionta, & tratta dalla mita di 8 (cioe di 4) fara 4. & re$tara anchora 4. & co$i 4. & 4. $aranno le due parti di 8. che multiplicate l’una fia l’al- tra faccia 16. ma volendo mo, che le dette due parti del detto 8. face$$ero piu di 16. come $a- ria a dir 17. ouer 16 {1/2}, ouer altra quantita maggiore di 16. $aria impo$$ibile, e pero bi$ogna auerti- a multiplicar # ℞ 8 ⓟ 2 per # ℞ 8 \~m 2 fara # 4 a $ummar # ℞ 8 ⓟ 2 con # ℞ 8 \~m 2 fa # ℞ 32 re nelle $imili propo$te.

FAmmi di ℞ 32 due tal parti, che multiplicata l’una fia l’altra faccia 4.

Piglia pur la mita di ℞ 32. laqual mita $ara ℞ 8 (perche $e ben ti aricordi a partir vna radice per 2. bi$ogna quadrar il 2.) & dapoi procedi $econdo l’ordine della preceden- te, cioe quadra ℞ 8 fara 8. cauane quel 4. che vuoi che faccia, & re$ta 4. & la radice di 4. che $ara 2. gionta alla radice di 8 dara la parte maggiore. Et tratta della mede$ima ℞ 8 re$tara la parte menore, & perche la $umma di ℞ 8 con 2 fara ℞ 8 piu 2. diremo che tanto $ara la parte mag- gior di ℞ 32. & $imilmente, perche a $ottrar 2 di ℞ 8 re$tara ℞ 8 men 2. & tanto diremo e$$er la LIBRO parte menor della detta ℞ 32. Et $e ne vuoi far proua multiplica ℞ 8 m\~e 2 fia ℞ 8 ⓟ 2. & trouarai, che fara a ponto 4. come fu propo$to, & anchor ℞ 8 men 2. gionta con ℞ 8 piu 2 fa ℞ 32. come vuol il douere. Nota che tu non potre$ti fare di ℞ 32 due tal parti, che multiplicate l’una fia l’altra face$$e piu di 8. cioe piu del quadrato della mita di ℞ 32. come nelle due precedenti è $tato detto.

ANchora fammi di ℞ 88 due tal parti, che il dutto di vna in l’altra faccia radice 6.

Per ri$oluere que$ta que$tione piglia pur ($econdo il $olito) la mita di ℞ 88. che $ara ℞ 22. quadrala, & fara 22. dalqual 22. cauane quella ℞ 6. che vuoi che faccia, & troua- rai, che re$tara 22 men ℞ 6. & la ℞ di que$to re$to gionta, & tratta da ℞ 22. ne dara le dette adimandate parti, ma perche fin hora non ti ho dato regola da $aper cauar la radice di vn bi nomio, ouer reci$o, dellaqual co$a alquanto piu auanti ne parleremo, eglie nece$$ario adunque a ri- $ponder per radici vniuer$ali dicendo, che la maggior parte $ara ℞ 22 piu ℞ v. 22 men ℞ 6. & la menore $ara ℞ 22 men ℞ v. 22. men ℞ 6.

Volendo far la proua praticale, cioe che que$te due parti multiplicate l’una fia l’altra facciano prece- $a\; multiplicar\; ℞\; 22.\; piu\; ℞\; v.\; 22.\; men\; ℞\; 6\; fia\; ℞\; 22.\; men\; ℞\; v.\; 22.\; men\; ℞\; 6\; fa\; a\; ponto\; ℞\; 6.\; come\; di\; \$otto\; intenderai$ ci$amente ℞ 6. come $i propone, bi$ogna hauer ben in memoria quello, che ti ho dichiarato nel precedente capo, circa al quadrar, multiplicar, & partir di radici vniuer$ali, & oltra di que$to bi$ogna hauer anchora ben in mente il $ummar, $ottrar, multiplicar, & partir del piu, & del men. Anchora bi$ogna notar, che l’u- na, & l’altra di dette due parti s’intende $otto di duoi termini, alla $imilitudine delli binom{ij}, & re- $idui. Il primo termine della parte maggiore è quella ℞ 22. & il $econdo s’intende tutta quella radi- ce vniuer$ale, cioe quel piu ℞ v. 22. men ℞ 6. laqual radice vniuer$ale, anchor che abbrazzi tutto quel re$iduo di 22 m\~e ℞ 6. Ia $i piglia per vn termine $olo, cioe per il termine menore di tutta quel- la parte maggiore (cioe di ℞ 22. piu ℞ v. 22. men ℞ 6) alla $imilitudine di vn binomio, & quel piu s’intende generalmente $opra tutta tal radice vniuer$ale. Il mede$imo dico della parte menore (cioe di ℞ 22. men ℞ v. 22. men ℞ 6) cioe che la s’intende $otto di duoi termini (alla $imilitudine delli re$i- dui) il primo termine di detta parte menore è pur quella ℞ 22. & il $econdo s’intende tutta quella radice vniuer$ale, che ca$ca $opra a quel re$iduo, ma notata con il termine del men, cioe men tutta quella ℞ v. 22 men ℞ 6. laqual radice vniuer$ale, anchor che abbrazzi tutto quello re$iduo, la $i pi- glia per vn termine $olo, cioe per il termine menore di tutta la detta parte menore, cioe di tutta quella ℞ 22. men ℞ v. 22. men ℞ 6 alla $imilitudine di vn re$iduo, cioe quel men, chi $eguita quel- la ℞ 22. s’intende generalmente di tutta la detta radice vniuer$ale.

HOr inte$o que$te particolarita volendo mo (per far la detta proua praticale) multipli- 5 car la parte maggiore per la menore, cioe ℞ 22. piu ℞ v. 22. men ℞ 6. per ℞ 22. men ℞ v. 22. men ℞ 6. a$$ettali l’una $otto l’altra, come di $otto appar in figura, & per far tal multiplicatione $i puo procedere per via di $cachiero, & per via di cro$etta, ma come fu detto nel quinto libro, hor multiplicamolo prima per modo di $cachiero, multiplicamo adun- que quella radice vniuer$al di $otto fia quella mede$ima di $opra, cioe quella ℞ v. 22. \~m ℞ 6. di $ot- to fia quella mede$ima ℞ v. 22. men ℞ 6. di $opra fara 22. m\~e ℞ 6. & perche quella di $otto è $igna- ta con il men, & quella di $opra è $ignata con il piu, e pero il lor produtto $ara men, e pero $ignara- lo in que$to modo men (22. men ℞ 6. come di $otto vedi. Fatto que$to multiplica quella mede$i- ma men (℞ v. 22. men ℞ 6. di $otto fia quella ℞ 22 di $opra, onde procedendo $econdo la regola data nella $e$ta del precedente capo trouarai, che fara ℞ v. 484. men ℞ 2904. qual notarai con$e- quentemente ver$o man $ini$tra, come di $otto vedi, & la detta radice vniuer$ale di $otto è men, & quella ℞ 22. di $opra è piu, adunque il detto produtto $ignarai con il men, come di $otto vedi, fatto que$to multiplicarai mo quel ℞ 22. di $otto fia quella piu (℞ v. 22. men ℞ 6. di $opra, & fara mede- $imamente ℞ v. 484. men ℞ 2904. qual notarai $otto a quella mede$ima della prima multiplicatio- ne, & perche la detta radice vniuer$ale di $opra è piu, & $imilmente quella ℞ 22. di $otto è piu, no- tarai il detto lor produtto per piu. Multiplicarai vltimamente quella ℞ 22 di $otto fia quella ℞ 22 di $opra, fara 22. qual notarai con$equentemente dietro all’altra anciana multiplicatione, & perche l’una, & l’altra di quelle ℞ 22 $ono piu, ք non hauer $egno, e pero il detto 22 s’int\~ede e$$er piu, hor per $ummar le dette multiplicationi in$ieme, tu vedi, che quella men (℞ v. 484 men ℞ 2904. di $o- pra con quella piu (℞ v. 484. men ℞ 2904. di $otto fanno nulla (per e$$er l’una piu, & l’altra men) re$tara adunque in e$$er $olamente il primo, & l’ultimo produtto, il primo $ara quel men (22 men ℞ 6. & l’ultimo $ara quel 22. vltimamente notato, & que$te quantita volendole $ummar in$ieme, bi$ogna notar, che quel men, che è auanti di quel re$iduo 22. men ℞ 6. è generale a tutto quel re$i- VNDECIMO. duo, il primo nome di tal re$iduo in quanto a $e mede$imo è piu, cioe eglie 22 men ℞ 6. ma per cau$a di quel men generale, bi$ogna $ottrarlo di quel 22 (vltimo produtto) $e adunque di quel 22 ne cauarai 22 men ℞ 6. trouarai, che ti re$tara $olamente ℞ 6. quala $ara piu, $e ben con$iderarai le regole date $opra li detti termini del piu, & del men, & co$i habbiamo prouato praticalmente il no$tro propo$ito.

EGlie il vero, che piu leggiadramente $i fara tal multiplicatione per via di cro$etta, & è 6 piu magi$trale, & da per$ona piu intelligente, & per farla bi$ogna pur a$$ettare le dette due parti l’una $otto l’altra, come in margine vedi, & dapoi multiplicar quella ℞ v. 22 men ℞ 6. di $otto fia quella mede$ima di $opra, & fara 22 men ℞ 6. qual notarai $otto alla $olita linea, & perche quella di $otto è m\~e, & quel- $multiplicar\; per\; cro\$etta\; a\; multiplicar\; ℞\; 22.\; piu\; (℞\; v.\; 22.\; men\; ℞\; 6\; per\; --\; ℞\; 22.\; men\; (℞\; v.\; 22.\; men\; ℞\; 6\; fa\; --\; --\; 22.\; men\; (22.\; men\; ℞\; 6$ la di $opra piu, tal produtto notarai con il men, fatto que$to bi$ognaria multiplicar in croce, cioe quella ℞ 22 di $opra fia quella men (℞ v. 22 men ℞ 6 di $otto, & dapoi quella mede$ima ℞ 22 di $otto fia quella piu (℞ v. 22 men ℞ 6 di $opra, ma perche que$te due mul tiplicationi fatte in croce nece$$ariam\~ete $arãno egua- li, & l’una $ara piu, & l’altra $ara men, tal che aggionte in$ieme faranno nulla, e pero tal due multi- plicationi $i la$ciano, cioe non $i debbono far altramente, ma venir alla vltima multiplicando quel- la ℞ 22 di $otto fia quella mede$ima ℞ 22 di $opra, & fara 22. qual notato al $uo luogo $otto alla $olita linea, fara in tutto 22 men quel re$iduo di 22 men ℞ 6. onde cauando quel re$iduo di 22 men ℞ 6. da quel 22. procedendo $econdo le regole date $opra li detti duoi termini piu, & meno trouarai, che re$tara piu ℞ 6. come per l’altro modo.

MA perche for$i ti parera $tranio a $ottrare que$to re$iduo 22 men ℞ 6. da quel 22 (an- 7 $a\; \$ottrar\; di\; 22\; \$olamente\; quella\; men\; ℞\; 6.\; re\$tara\; 22\; piu\; ℞\; 6.\; dalqual\; cauatone\; 22\; re\$tara\; o\; piu\; ℞\; 6$ chor che te ne habbia dato vn $imile nel $ottrar del piu, & del meno) ti voglio narrare particolarmente il modo di far tal $ottrare, caua prima quella men ℞ 6 dal detto 22. & perche a cauar men di piu $i aggionge, & tutto fara piu, e pero venira a re$tar 22 piu ℞ 6. & $e da que$to primo re$to ne cauaremo anchor quel 22. cioe cauar 22 da 22 piu ℞ 6. venira a re$tar nulla piu ℞ 6. come in margine vedi, vero è che tal $ottrar $i puo far alla prima $ottratione, ma mi è par$o di farlo iu due $ottrationi per fartelo meglio intendere, & $e ne vorrai far la proua $ummarai quella piu radice 6. che re$ta, con quel 22 men radice 6. che fu $ottrato trouarai, che ti ritornara quel 22. dalqual fu fatta la $ottratione, e pero $arai chiaro tal $ottrar e$$er $tato ben fat- to, ouero $tar bene.

Dalle $opranotate due $orti di multiplicari $i manife$ta, che per multiplicar vua quantita compo$ta di vna radice, ouer numero, piu vna radice vniuer$ale fia vn’altra tal radice, ouer numero, men quel- la mede$ima radice vniuer$ale. Ba$ta a cauar il quadrato della radice vniuer$ale, dal quadrato del primo nome, cioe di quella radice, ouer numero, & il rimanente $ara il produtto di tal multiplica- tione. E$$empi gratia per multiplicar le $opra po$te due quantita, cioe ℞ 22. piu ℞ v. 22. men ℞ 6. fia ℞ 22. men ℞ v. 22. men ℞ 6. Dico che in $imil ca$o ba$ta a cauar il quadrato del $econdo termi- ne (cioe il quadrato di quella ℞ v. 22. men ℞ 6) che $ara 22 men ℞ 6. dal quadrato del primo (cioe dal quadrato di ℞ 22) che $ara 22. & ti re$tara ℞ 6. per il produtto di tal multiplicatione, & que$ta rego’a vien a e$$er $imile a quella data per multiplicar il binomio fia il $uo re$iduo, che $e ben ti ari- cordi, $ai che il ba$ta a cauar il quadrato del menor nome dal quadrato del maggiore, & il re$tan- te$ara il produtto di tal multiplicatione.