NOn au$us fui$$em Sereni$$imo Nomini
Tuo _Hydrodynamicam_ hanc in-
$cribere, ni$i illa Academiæ Scien-
tiarum, $ub umbone Tuo Petropoli
florentis, con$ilio & $ub$idiis a me
con$cripta fui$$et. Novimus quan-
tum Tibi, Sereni$$ime Princeps,
Magnanime Academiæ Protector, po$t Augu$tam illam
orbis borealis Palladem, debeamus, idque cum toto orbe
literato, qui præclara $ibi porro ab Academia, amœnis
benevolentiæ Tuæ radiis collu$trata, pollicetur, pia &
immortali recolemus memoria. Florebit in æternitatis
$acrario apud Ru$$icam gentem Tuorum in illam merito-
Cel$itudinis Tu@
Scrib. Ba$ileæ
10. _Mart_. 1738.
Humillimus & Ob$equio$i$$imus _Servus_ DANIEL BERNOULLI.
_P_Rodit tandem in publicum Hydrodynamica no$tra, $uperatis omnibus, quæ impre{$s}ionem ejus ab octo fere annis morata $unt, ob$taculis; lucem forta{$s}is haud a$pectura, $iad me $olum omnis i$te labor pertinui$$et. Præci- puas enim huius operis partes au$piciis, con$iliis, $ub$idiisque Academiæ Scientiarum Petropolitanæ deberi lubens profiteor. An$am libro dedit ip$um ejus in$titutum, quo primi, qui ad @am formandam convenerunt, Profe$$ores, de argumento quodam utili &, quantum fieri po$$et, novo Diatribam con- $cribere tenebantur, certe admonebantur. Theoriam de vi- ribus & motibus fluidorum, ni$i invita Minerva fuerit $u$cepta, argumentum e$$e nec inutile nec tritum, quisque facile largietur. Vt autem Lectoris tædium di$cuterem, rerum va- rietati inprimis operam dedi, præ$ertim in quinque po$teriorbus $ectionibus, atque $pecimina in$erui analytica, phy$ica, me- chanica, cum theoretica tum practica, nonnulla geome- trica, nautica, a$tronomica & alia, quorum tamen ex- po$itionem operis $u$cepti ratio non tam ferre quam po$tu- lare vi$a fuit. Quæ fe$tinanti exciderunt $phalmata, æquus harumque rerum intelligens Lector facile corriget. Vnicus hujus $cripti finis e$t, ut Academiæ in$ervirem, cujus omnes labores eo collimant, ut bonarum literarum incre- menta & publica commoda promoveat.
DUplex cum $it Theoria Fluidorum, quarum altera Hydro$tati-
ca, liquorum $tagnantium pre$$iones & æquilibria varia, altera
Hydraulica, fluidorum motum $pectans, $eor$um pertractari a
$criptoribus con$ueverunt, utramque vero tam arcto nexu in-
ter $e cohærere perciperem, ut altera alterius ope plurimum
egeat, haud dubitavi eas confundere, quantum id ordo rerum
po$tulare videbatur, amba$que nomine communi & generaliori Hydrodynami@
cæ complecti. Quamvis autem ab antiqui$$imis temporibus fuerit continuo
exculta Theoria fluidorum, incrementa tamen non admodum notabilia ce-
pit; veterum quidem Mathematicorum cognitio eo terminabatur, quod æ-
§. 2. Motui fluidorum determinando in$ervit præcipue effluxus aquæ
ex va$e per foramen valde parvum: tamet$i vero non omnino fugeret Fron-
tinum alio$que, uti aliqui credunt, velocitatem aquarum ex va$e vel ca$tello
effluentium cre$cere ab aucta altitudine aquæ $upra effluxus locum, negari
tamen non pote$t, quin idem Frontinus in computandis aquarum modulis,
$eu erogandis aquis turpes & inju$tos commi$erit errores. Benedictus Ca$tel-
lius primus de nexu velocitates inter & altitudines cogitare, fal$am autem
legem $u$picatus e$t, putans, ambas eandem rationem $equi. Po$t hunc de-
@um Torricellius ob$ervavit, velocitates cre$cere in $ubduplicatâ ratione alti-
tudinum, quem $ecuti $unt omnes; nec dum vero conveniebant de ab$oluta
velocitatis men$ura, experimenta tamen in$tituerunt, qua i$tam men$uram
definiri exi$timarunt, inter quæ poti$$imum allegari $olet illud, quod a Gulielmino
$umtum, octie$que repetitum fuit, quamvis id ab aliis experimentis ex illo tempore
factis admodum recedat: $olent autem omnia inter $e differre, quæ $ub diver-
$is fiunt circum$tantiis, nec $emper tutum e$t, uti $uo loco dicemus plu-
ribus, ex quantitate aquæ, definito tempore per definitum lumen effluentis, ju-
dicium ferre de eju$dem velocitate. Sic cum ad calculum revocamus expe-
rimentum Gulielminianum, cujus modo mentionem fecimus, concludendum
e$$et ex quantitate aquæ, quæ per lumen datum tempore dato effluxit, ve-
locitatem ejus non majorem fui$$e illa, quæ debetur quartæ parti altitudinis
$uperficiei aqueæ $upra foramen. Et alia $unt eodem Auctore experimenta,
quæ recen$entur _Lib._ 2. _prop._ 1. _men$. aquarum fluent_: vi quorum aqua ef-
fluens velocitate $ua a$cendere po$$it ad duas tertias i$tius altitudinis; Apud
Mariottum alio$que extant, quæ pro dimidia altitudine faciunt; qua non ob-
$tante velocitatum ita æ$timatarum diver$itate, mihi per$uadeo, vix a $e in-
§. 3. Hæc cum ita $int, facile qui$que $ecum judicabit, quam parum $pei $uper$it, aliquando Leges motuum pro fluidis ad regulas Geometriæ pu- ræ reductum iri, $ine ulla hypothe$i phy$ica, cum vel in ip$o limine effuge- rint per$picaciam Viri ingenio præpotentis & incomparabilis: neque ego cre- do po$$e ea, quæ in hoc opere expo$iturus $um, omnem rigorem mathema- ticum $ubire: Principia Theoriæ phy$ica $unt & non $ine largitione acceptan- da ut proxime vera; admi$$is autem principiis, omnia erunt Geometrica, & nullis obnoxia re$trictionibus, nece$$ario nexu inter $e cohærebunt. Non po$$um tamen, quam bene $entire de phy$icis i$tis po$itionibus, in quas forte incidi, quandoquidem me manuduxerunt ad plurimas novas proprietates, cum de æquilibrio tum de motu fluidorum detegendas, quæ, ni$i me amor $u$cepti laboris fallit, aliquando Hydrodynamicam in$igniter promovebunt, @@ magis excolantur, quam mihi licuit; ubi monui$$e conveniet, quando mul- tis, quicquid novum e$t, $u$pectum e$$e $olet, totam me Theoriam animo concepi$$e, tractatum con$crip$i$$e, pleraque cum amicis privatim commu- nica$$e, quædam etiam coram Societate no$tra prælegi$$e, priu$quam ullum experimentum in$tituerim, ne ex præconceptis men$uris opinione fal$a, pro- xime tamen illis $atisfaciente, me falli paterer, quandoque etiam Viros per- $picaci$$imos intellectis theorematis aperte fa$$os e$$e, $e $ibi talia per$uadere non po$$e, nec experimentis confirmatum iri exi$timare; hisque omnibus ge- $tis, facta demum fui$$e experimenta coram Amicis, hæcque ita conveni$$e cum Theoria, quantum ip$e vix $perare poteram. Nunc vero redeamus il- luc, unde divertimus.
§. 4. Po$tquam certi fuerunt Authores de diver$itate velocitatum a mu-
tatis altitudinibus, va$a con$iderare cœperunt magis compo$ita, fi$tuiis nempe
varie inclinatis atque inæqualiter amplis in$tructa. Harum autem indolem
jam $uo tempore quodammodo cognovit Frontinus, non ignarus, modulum
augeri a declivitate vel humilitate calicis, id e$t, fi$tulæ $ignatæ, quæ ca$tel-
lo, aut aliquando etiam rivo induebatur: unde etiam calices ad lineam, uti
loquitur, ordinari & in eadem altitudine poni ju$$it. Et hoc quidem re$pe-
ctu inju$te po$tulatur Fronti@@@s a quibusdam, velocitatis nullam habui$$e ra-
tionem; ubi vero calculum ponit om@@is aquæ acceptæ, illamque comparat
@um eroganda, non video, quomodo excu@@@ po$$it. Experientia quoque
@@@ctus fuerat, quod notari meretur, plus debito aq@@@ erogari per calicem
§. 5. Quod autem veteres ob$cure & $ine veris men$uris viderunt, id demum Cl. Gulielminus in _Tract. de aquarum fluentium men$ura_ propo$itione ac- curatiori & generaliori complexus e$t tali, _eandem velocitatem_, inquiens, _e$$e_ _aquæ fluentis per canalem inclinatum, ac $i fluxerit e va$e per lumen $imile, & æquale $e-_ _ctioni, tantundem a $uperficie aquæ remotum, quantum $ectio ab Horizontali per initium_ _alvei_, quam propo$itionem impugnavit Diony$ius Papinus, ip$e multum a ve- ritate aberrans. Quoniam autem in eo $umus, ut commenta, tum Hydro$tatica, tum Hydraulica præcipua recen$eamus, hoc loco etiam numerandum e$t il- lud, de pre$$ione fluidorum ex impetu cogno$cenda, nempe _vim fluidi, in pla-_ _num ad angulum rectum irruentis data velocitate, æqualem e$$e ponderi cylindrici fluidi_ _$uper illo plano extructi, cujus altitudo talis $it, ex qua mobile libere cadendo a quiete_ _fluidi velocitatem acquirat_. Problematis hujus utili$$imi ope æ$timare licet vim fluidorum machinas agitantium, aut, quale e$t ventus, naves propellentium, motus corporum in mediis re$i$tentibus plurimaque alia. De Hydro$tatica au- tem, quæ tubulis tenui$$imis $eu capillaribus particularis e$t, nihil dico, quia hactenus ad Leges generales omnibus fluidis communes reduci non potuit: Incertus præterea e$t Author, qui primus horum tubulorum indolem ob$er- vaverit; con$tat tamen recentem e$$e ob$ervationem, quia de illa in libris an- te hos 70. vel 80. annos editis nihil videre e$t.
§. 6. Authores præter citatos a Galilæi temporibus, in rebus aquariis celebriores $unt Torricellius, Borellus, Vivianus, Pa$calius, Boilius, recen- tioris ætatis $unt Varignonius, Newtonus, Polen@@@, Hermannus, Jacobus & Johannes Bernoulli, quorum inventa extant in _Comment. Acad. Reg. Sc._ _Pari$. Princ. Math. phil. @@@. @ractatu de Ca$tellis noti$que ad Frontinum, Pho-_ _ronomia, Actis Lip$._, aliisque operibus variis. Quæ vero circa curvatura@ ex pre$$ione fluidi genitas aliaque hujusmodi inventa a Geometris exhibita fue- runt, quia facile ad Geometriam puram reducuntur, utut de reliquo omni laude digna $ilentio prætereo.
Expo$itis his, quæ ad alios pertinent, æquum e$$e $entio, ut meorum quo-
que ratione $ubducta, dicam $incere, an aliqua & quanta Hydrodynamicæ in-
§. 7. Exhibentur primo loco Theoremata præcipua, quæ ad æquili- brium fluidorum $tagnantium pertinent: vi$a mihi fuit in$tituti ratio id po$tu- lare, quamvis libenter fatear, nullas a me novas adjectas fui$$e propo$itiones: Demon$trandi quidem modus, quantum $cio, mihi proprius e$t, $ed cum facile $it, innumeras $ibi fingere demon$trationes, parum e$t, hac quoque in parte, quod mihi arrogo. Phænomena præterea aliqua tubulorum capillarium obi- ter recen$entur, & denique occa$ione pre$$ionis, quam fluida in latera va$is exercent, Theoremata varia & nonnulla nova adduntur, circa figuram ve$ica- rum liquore impletarum, circa earundem potentias ad onera elevanda, circa con$tructionem & firmitatem aquæductuum, aliaque affinia.
§. 8. Agitur po$tea de motu fluidorum ex va$e effluentium, & cum om-
nes, qui hactenus de hacre egerunt, ca$um unicum maxime obvium, quo
foramen ratione amplitudinis va$is internæ infinite parvum cen$etur, in Theo-
ria $ua con$ideraverint, no$tra non parum commendatur $ua latitudine; ex-
tendit enim $e ad po$itionem foraminis cuju$cunque magnitudinis, imo &
va$is cujuscunque figuræ. Quamvis enim figuræ va$is internæ con$ideratio mi-
nime requiritur, cum foramen ut infinite parvum con$iderari pote$t, attamen
$ine illa motus aquæ definiri nequit, cum e$t notabilis magnitudinis. Ex Theo-
ria generali corollaria deducuntur, quæ motum aquarum variabilem ejusdem-
que affectiones egregie illu$trant, confirmantque, quicquid aut experientia do-
cuit, aut rei attributiones per $e manife$te indicant. Docet quidem Theoria,
quando amplitudines internæ vel mediocriter $uperant amplitudinem luminis,
errorem e$$e in$en@@@@em, qui ex con$ideratione foraminis ut infinite parvi
na$citur, atque $ic no$træ additiones nonnullis forta$$e videbuntur $atis inutiles.
Hos vero, $i modo qui futuri $int, @@@@m cogitare velim, præter quod non $o-
lum aquariis $cribo, $ed & Geometris, qui veritatibus nudis etiam delectan-
tur, u$um no$trarum meditationum aliis in rebus maximum e$$e, quod magis
intelligent, cum perpenderint, motum incipere a quiete, & per infinitos tran-
$ire gradus, priu$quam certam celeritatem obtineat, maximas mutationes $æ-
pe quidem tam brevi fieri temporis momento, ut $en$ibus nullo plane modo
percipi po$$int, determinandas tamen e$$e ad $ingula puncta, tum ut motus
animo recte percipiatur, tum quia exinde varia deduci po$$unt Theoremata.
§. 9. Porro Theoria extenditur ad examen motuum ex va$is con$tanter
plenis, quibus nempe tantum aquæ continue affunditur, quantum ex illis ef-
fluit: horum indoles in eo poti$$imum con$i$tit, ut fluida emanantia magis
magisque accedant ad illum velocitatis gradum, qui toti altitudini $uperficiei
fluidi $upra foramen debetur, eum vero nunquam omnino attingant, ni$i po$t
tempus infinitum: vergere tamen demon$trantur aquæ tam cito ad velocitatem
i$tam, ut po$t tempusculum in$en$ibile tantum non totam acquirant, ni$i
§. 10. In $equentibus fluida con$iderantur, quæ intra va$a moventur, @bi præ$ertim motus fluidorum reciproci $eu o$cillatorii ad men$uras revocan- tur, earumque affectiones indicantur. Dedit autem Newtonus Theorema $imile pro o$cillationibus fluidi, in tubo uniformis amplitudinis (cujus crura duo ex- trema verticalia, intermedia pars horizontalis) o$cillantis, quod Theorema Pater meus in _Comm. Acad. Imp. Sc. Petrop. tom_. 2. _p._ 201. generalius reddidit po$ita inclinatione qualicunque crurum extremorum ver$us horizontem. No- ftra Theoria totam rem $ine ulla re$trictione complectitur, tubos con$iderans in $ingulis locis directione $eu po$itione atque amplitudine pro lubitu variabi- les: o$tenditur dein, quibus in ca$ibus fiat, ut o$cillationes diver$æ excur$ionis $int I$ochronæ, quibus $tantibus longitudo penduli $implicis I$ochroni gene- rali$$ime determinatur. Sed & præter hoc o$cillationum genus in $ub$equente $ectione quædam aliæ examini $ubjiciuntur, veluti illæ, quæ fiunt in tubis a- quæ infinitæ vel etiam terminatæ immer$is, in quibus $ingulari circum$pectio- ne opus e$t, qua adhibita omnia phænomena calculo ad amu$$im re$pondent, eadem vero neglecta tantus fit inter ea di$$en$us, quantus e$t inter leges mo- tus, quæ pro corporibus perfecte ela$ticis, iisque quæ pro mollibus valent.
§. 11. Po$t hæc ad alia magis compo$ita progredior, motum nempe flui-
dorum con$iderans $ive homogeneorum $ive heterogeneorum, quæ per unum
aut plura foramina transfluere coguntur, priu$quam ejiciantur in aërem, ubi
regula illa communiter recepta de $altu aquæ ad $upremam aquæ libellam ve-
liementer fallit, ce$$antibus etiam legibus pre$$ionis ordinariis. Horum autem
omnium apud Authores ne ve$tigium quidem reperitur, ni$i quod Mariottus
habet, loco $upra citato _part. IV. p. m_. 442. _de motu aquar_. ubi quidem fluxum
aquarum retardari, fui$$e $e experientia edoctum, te$tatur, $imul autem ma-
nife$tat, quam procul abfuerit a vera horum motuum Theoria, & videtur $ane
hæc Theoria omnium fere principiorum, adhuc in rebus $imilibus adhiberi $o-
litorum, vim eludere, ita ut nihil $it, quod no$trorum præ$tantiam magis con-
§. 12. Sequuntur commentationes de machinis hydraulicis, quibus potis- $imum mon$tratur, certum quendam perfectionis terminum e$$e, ultra quem ire non liceat; defectus autem ab ultimo hoc perfectionis gradu in multis ma- chinis maxime receptis calculo numerico $ubjiciuntur, additis regulis $eu præceptis, ad quæ in con$truendis novis machinamentis animus $it adverten- dus: exempli loco affertur noti$$ima per totum orbem machina Marlyen$is, de qua mon$tratur, $i modo de$criptionibus fidendum $it, quod non ultra quinquage$imam $extam prope partem $uppeditet ejus aquæ quantitatis, quam cæteris paribus machina perfecti$$ima theoretice $ubmini$trare queat. Specia- le etiam examen in$tituitur de machina ab antiqui$$imis temporibus ad no- $tram u$que ætatem u$itati$$ima, Cochlea nimirum Archimedis, attentione Geometrarum non indigna, tam ratione eorum, quæ ad Geometriam puram, quam quæ ad Hydraulicam pertinent.
§. 13. Succedunt $pecimina quædam de motu fluidorum ela$ticorum, veluti aëris & pulveris pyrii accen$i, præmis$is iis, quæ ad naturam horum fluidorum pertinent; quæ vero ip$e non aliter, quam ut hypothe$es phy$icas con$idero, de quibus nihil confidenter affirmabo. Propo$itiones & Problema- ta hujus $ectionis nova $unt, & eo $electa animo, ut multis quæ$tionibus phy- $icis illu$trandis, aut etiam $olvendis occa$ionem præbere pos$int. Adjiciun- tur quædam de æ$timatione virium vivarum fluidis ela$ticis in$itarum, quæ aliquando forta$$e in praxi mechanica nonnullius u$us erunt: mon$tratur enim, unius v. gr. libræ pulveris pyrii accen$i effectum in elevandis ponderibus ma- jorem e$$e po$$e, quam vel centum homines robu$tis$imi labore continuo in- tra unius diei $patium efficere pos$int.
§. 14. Agitur porro de fluidorum motu circulari, ut & de fluidis, quæ in va$is motis $tagnant; variaque alia intermi$centur. Quæ autem de motu circulari proferuntur, in$ervire quodammodo po$$unt ad phænomena gravi- tatis per vortices explicanda; cætera valeant, quantum poterunt.
§. 15. Præmi$$a Theoria motuum, rur$us ad æquilibria fluidorum de$cen-
ditur, $ed fluidorum motorum, quorum leges exhibitæ nondum fuerunt.
Mirum e$t, cum alias motus ex pres$ione definiatur, hic inver$a methodo pre$-
§. 16. Denique progredior ad alios quosdam modos, quibus aqua ni- $um facere pote$t, explicandos: ita nempe aqua, dum per foramen effluit, in contrarium premit vas non aliter, atque globus retropellit tormentum, ex quo exploditur: i$tius retropul$ionis plures proprietates deteguntur novæ, quæ pres$ionum naturam egregie illu$trant, earumque leges, quas affectant, ge- nerales in mechanicis rem i$tam $erio meditantibus indicabunt. Has di$qui- $itiones feci, quia mihi vi$um e$t, po$$e ea novæ aliquando navigationi $ine remorum, aut venti adminiculo excogitandæ occa$ionem præbere; qua de re $uo loco pauca quædam afferam, et$i non ignoro, omnium hujusmodi re- rum primordia per $e pleri$que videri ridicula. Tandem etiam de vi aqua- rum ex impul$u hincque nato renixu, quam corpora in fluidis mota offen- dunt, Theoremata quædam adjiciuntur.
§. 17. Et hæc quidem $unt, quæ mihi ex admis$is principiis geometri- cam deductionem pati vi$a $unt. Quoniam vero nihil e$t in Theoria tam rigoro$e demon$tratum, quod non in applicatione ad corpora re$trictionem aliquam po$tulet, ideo facile apparet, nec ullam Theoriam de fluidis expectan- dam e$$e, quæ omnibus men$uris experientia cognitis plenis$ime $atisfaciat; cujus rei memores e$$e velim, qui Theoremata no$tra experimentis confirmare voluerint. Ubique invenient quidem aliquem con$en$um, $ed non perfectum, eumque modo $trictiorem, modo laxiorem, pro rerum circum$tantiis. Quo- ties autem ip$e aliquod experimentum effeci, ante omnia mecum perpendi, quousque principia Theoriæ cum ca$u propo$ito congruerent; atque $ic me nunquam aut raris$ime eventus fefellit. Non $olum enim prævidere $olebam, in quam partem futura e$$et differentia, $i quæ notabilis e$$e debebat, $ed & quanta; quod ip$um, $i recte judico, $atis manife$tat, fluida affectare quidem leges, quas ip$is præ$criptas e$$e ponimus, ob$tacula autem ubique offendere nunc majora, nunc minora. Cæterum experimenta in$titui non pauca, quo- rum $ingula in fine $ectionis, ad quam pertinent, locavi: præ$ertim vero $ol- licitus fui, in propo$itionibus antea incognitis & plerisque $at paradoxis con- firmandis. De experimentorum fide non e$t, quod quis dubitet, cum præ- cipua coram Amicis eaque po$t publicatam Theoriam fecerim; magnam ta- men experimentorum, quæ animo concepi, partem, quando per $ingula ire non licet, aliis relinquens in$tituendam. Perlectis no$tris propo$itionibus quisque $ibi finget innumera, neque proin opus e$$e judicavi, omnia, qualia $unt a me de$iderata, exponere; expo$ui tamen aliqua.
§. 18. Jam vero tandem principiorum, quorum toties mentionem fe- cimus, ratio reddenda e$t. Præcipuum e$t _con$ervatio virium vivarum_, $eu, ut ego loquor, _æqualitas inter de$cen$um actualem a$cen$umque potentialem_: Utar hac po$teriore voce, quia idem quod altera $ignificat, $ortem autem apud non- nullos Philo$ophos, qui vel ad $olum _vis vivæ_ nomen moventur, magis be- nignam forta$$e experietur. Puto, hic e re no$tra fore, hac de re paulo co- pio$ius dicere.
§. 19. Po$tquam Galilæus docui$$et, corpus, $ive verticaliter, $ive $uper
plano utcunque incurvato, de$cendens eandem velocitatem acquirere, modo
altitudo lap$us $it eadem, quod ex natura pre$$ionum demon$trari pote$t,
Hugenius eadem hac propo$itione, $ed generaliori pro hypothe$i feliciter u$us
§@ 20. De cætero quamvis principium prædictum univer$ale $it, non
tamen e$t $ine circum$pectione adhibendum, quia $æpe contingit, ut motus
tran$eat in materiam alienam. Ita verbi gratia po$itio illius valet pro regu-
lis motuum ex percu$$ione eruendis, $i modo corpora $int perfecte ela$tica;
§. 21. Sic igitur non incautus principio no$tro u$us $um, hocque mo- do non $olum de motu aquarum, $ed & de earum pre$$ione, quod mirum videri pote$t, multa antea incognita $e offerunt, quæ nondum in$tituta Ana- ly$i nemo facile præviderit nec expectarit. Quum vero fit, ut _a$cen${us} poten-_ _tial{is}_ nec omnis con$ervari po$$it ex rei natura, nec prævideri, quanta pars ab$orbeatur, non $atis accurate motus fluidorum determinari pote$t, nec pu- to, ulla alia methodo po$$e. Igitur Lectorem cautum e$$e velim in corolla- riis ex Theoria no$tra deducendis, quæ $æpe propter mutatas circum$tantias non accurate cum experimentis convenire poterunt.
§ 22. Ex præmemoratis jam $atis liquet, ex no$tra methodo requiri, ut $ingularum particularum fluidi definiatur velocitas ex a$$umta velocitate, quæ e$t aliquo in loco, veluti in loco effluxus. Nece$$e proin fuit, aliam $uperaddere hypothe$in, quæ hæc e$t: po$tquam $cilicet mente concepimus divi$um fluidum in $trata, ad directionem motus perpendicularia, ponemus fluidi particulas ejusdem $trati eadem velocitate moveri, ita, ut ubique velo- citas fluidi reciproce proportionalis $it amplitudini va$is re$pondenti. U$ita- ta e$t hæc hypothe$is, quamvis cæterum notum $it, fluidum ad latera va$is paullo tardius, in medio autem velocius moveri, quod ab attritu fit, alias- que etiam exceptiones $ubinde e$$e faciendas; error tamen notabilis ab hujus- modi defectibus rari$$ime pote$t oriri.
§. 23. Finiam hæcce de hypothe$ibus no$tris præmonita recen$ione
phænomenorum, quæ con$ervationem _virium vivarum_ in motu fluidorum ali-
§. 24. Hæc $unt, quæ de hypothe$ibus no$tris, earumque tum præ$tan-
tia tum defectu volui in antece$$um monere. Supere$t ut quædam dicam de
indole fluidorum, quippe circa quæ lucubrationes no$træ ver$abuntur, non
quod eam me aliis magis per$pectam habere putem, $ed quod nefas exi$ti-
mem, a more hoc $criptoribus omnibus $olenni recedere. Et primo quidem
hoc omnes convenire $olent, motum fluidis quibusvis ine$$e inte$tinum, $ine
quo nemo profecto tantam fluiditatem, efferve$centias diver$orum fluidorum,
di$$olutiones $olidorum fluidis $ubmer$orum, evaporationes, aliaque phæno-
mena infinita recte a$$equetur; hinc pleræque res $olidi$$imæ a $ufficiente ca-
lore, qui omnia in motum rapit, lique$cunt: facit autem motus i$te inte$ti-
nus, ut particulæ $ibi non $int contiguæ, $ed qua$i volitent, quo fit, ut $ine
frictione a minimo impul$u loco cedant, quod minime $uccederet, po$itis
iisdem particulis inter $e, $icut in acervo arenæ, contiguis. Ita facile intel-
§. 25. Denique hic monui$$e conveniet, tractatum hunc ut Phy$icum potius quam Mathematicum mihi con$iderari, nec proin con$ultum me duxif- $e, methodum Geometricam in hypothe$ibus, definitionibus cæterisque ap- paratibus præmittendis nimium affectare, & ubique ordinem $ermonemque Geometrarum $equi, qui $olent ab ovo ordiri, propo$itionibus complecti, & eo ordine omnia pertractare, ut ex primis præmi$$is $ingula rite deducantur, nihilque indemon$tratum po$t $e relinquant, quamvis id a tot aliis jam de- mon$tratum fuerit. Non mihi hæc cura fuit ratione eorum, quæ ab aliis tradita $unt, $ive definitiones fuerint & axiomata, $ive etiam theoremata, non omi$i tamen demon$trationes eorum, quæ nova $unt, imo etiam in prima $ectione apponuntur demon$trationes Theorematum, ab aliis pa$$im demon- $tratorum; & cum quidam occurrant termini, ab aliis non explicati nec u$i- tati, horum definitiones in ip$o textu exhibebo. Cætera modo $ub forma Propo$itionum, Theorematum, Problematum, Corollariorum, Scholiorum- que pro more Geometrarum proponam, modo etiam $ermone continuo ex- plicata dabo.
Unum $upere$t, de quo Lectorem præmonitum poti$$imum volo: non potui$$e me huic operi eam adhibere $ive diligentiam $ive attentionem, quam debui$$em, & quam ip$e de$ideravi. Nullus adeoque dubito, quin nonnul- li irrep$erint errores, dum calculos ponerem, quos, $pero, nemo $ini$tre explicabit: aliquos, qui in oculos incurrerunt, dum tractatum leviter relege- rem, ip$e correxi; alios tamen etiamnum $upere$$e mihi per$uadeo.
SUperficies fluidi $tagnantis horizonti e$t parallela.
Contineat vas A B C D (Fig. 1.) fluidum E B C F, cu-
§. 2. Hinc intelligitur veritas propo$itionis generalis, quod nempe $uperficies fluidi, cujus partes viribus quibuscunque $ollicitantur, $e ita $emper componat, ut quælibet guttula, in $uperficie po$ita, trahatur $ub directione, ad $uperficiem perpendiculari.
§. 3. Fluidum homogeneum, duobus tubis @ communicantibus utcunque formatis inclu$um, ad æquilibrium e$t compo$itum, quando ambæ $uperficies ad libellam po$itæ $unt, id e$t, æqualem à puncto va$is infimo di$tantiam verticalem $ervant.
Sit fluidum va$i ABC, (Fig. 2.) ex duobus cruribus $eu tubis
Cæterum idem quoque liquet ex Theoremate primo, quandoquidem in aqua $tagnante tubus utcunque formatus fingi pote$t, in quo utique aqua $itum $ervabit, quem antea habuit, cum perinde $it, $ive aqua tubo inclu$a, coërceatur lateribus tubi, $ive circum$tagnante aqua.
§. 4. Si in demon$tratione prima præcedentis paragraphi tota ma$$a D B E $itum $uum commuta$$e concipiatur cum $itu _d_ B _e_, facile de- mon$tratur centrum gravitatis totius ma$$æ in $itum altiorem a$cendi$$e, quod non minus ab$urdum e$t: Quoniam autem in no$tra demon$tratio- ne nulla e$t particula in E _e_, quæ non a$cenderit po$t mutatum $itum, exi- $timavi $trictiorem & clariorem fore demon$trationem, $i centri gravitatis nulla con$ideratio habeatur.
§. 5. De tubis capillaribus phænomena habemus $ingularia;
§. 6. Sit tubus cylindricus A B D C (Fig. 3.) utcunque ver$us
Cum forma tubi $it cylindrica, & fundum in$uper ad late- ra tubi perpendiculare, quilibet videt, quod actio fluidi in fundum ea- dem $it, quam haberet cylindrus $olidus ejusdem ponderis $uper plano in- clinato, con$tat autem ex mechanicis, pre$$ionem cylindri $olidi in fundum eam e$$e, quæ in propo$itione definitur, ergo & talis erit actio fluidi, $i modo non re$piciatur adhæ$io fluidi in lateribus tubi, ejusdemque indoles ratione tubulorum capillarium, à quibus animum ab$trahimus. Q. E. D.
§. 7. Sit jam generaliter vas utcunque formatum A H M B (Fig. 4.)
Primo concipiatur in G tubulus cylindricus CG perpendicula-
riter va$i in$i$tens, productaque ED, intelligatur hic tubus $imili liquore
_II_. Si vero loco puncti G $umatur aliud H tale, ut linea, quæ eo in loco va$i perpendiculariter in$i$tit, cadat intra vas; tunc pote$t vas integrum concipi R H S O N, priori unitum in H, & aqua repletum usque in P O. Sic enim apparet, $i particula H, quæ utrique va$i communis e$t, perforetur, fluida $ic fore in æquilibrio (§. 3.) adeoque utriusque pre$$ionem in H e$$e æqualem. Pre$$io autem fluidi in R S N ea e$t, quæ indicatur in propo$i- tione (per partem primam hujus demon$trationis) ergo & pre$$io fluidi, quod e$t in va$e A M B. Q. E. D.
§. 8. Ex his propo$itionibus facile deducuntur æquilibria flui- dorum $tagnantium in ca$ibus magis compo$itis. Nolo autem omnia pro$equi, neque enim in$tituti no$tri ratio id po$tulat, contentus demon- $trationibus, quas modo dedi, propo$itionum _fundamentalium_ in hydro$tatica. Quod vero attinet ad pre$$iones fluidorum non $tagnantium, funt certe hæ altioris indaginis. Nec dum à quoquam recte determinata fuit pre$$io fluido- rum, par canales $eu tubos dato velocitatis gradu fluentium, quamvis id ar- gumenti genus tam in rebus aquariis, quam multis aliis $it utili$$imum. De his vero prius agere non licet, quam de motu fluidorum commentati $imus.
§. 9. Patet ex præcedentibus ratio potentiarum ve$icularium, qui- bus ingentia pondera $uperari po$$unt: Inde etiam no$citur vis, quam $u- $tinent latera tubi, in quo aquæ $tagnant; quod argumentum, quoniam pertractari $olet ab hydro$taticæ $criptoribus, nunc percurremus, præ$er- tim cum multa alia eo innitantur, de quibus nobis dicendum erit.
Sit Primo ve$ica_onmp_, (Fig. 5.) pavimento & ponderi B interpo$ita, in
§. 10. Fuerit vè$ica DC (Fig. 6.) eidemque appen$um pondus P, $i-
§. 11. Si ve$ica compo$ita fuerit ex fibris longitudinalibus D_p_C,
D_m_C &c. in$tar meridianorum in punctis D & C, ceu Polis concurren-
tibus æqualibus, perfecte flexibilibus & uniformibus, quarum $ingu-
læ inter $e proximæ minimis connectantur fibrillis transver$alibus, hisque ita
laxis, ut minima vel qua$i nulla vi $ufficientem exten$ionem admittant. Sic
quælibet fibra D_p_C incurvabitur in figuram ela$ticæ, totaque ve$ica formam
a$$umet $olidi, quod generatur ex revolutione i$tius curvæ circa axem DC.
Si porro altitudo AD e$t infinita, fit ela$tica D_p_C rectangula & tunc e$t
gra$$ities maxima ve$icæ ad longitudinem axis DC ut 25 ad 11 præter pro-
§. 12. Si po$itis cæteris, ut antea, minima filamenta trans- ver$alia _n o_, _m p_, &c. quæ $unt perpendiculares ad fibras longitudinales, ex- ten$ioni re$i$tant, apparet non po$$e figuram fibræ D_op_C determinari, quin duo potentiarum genera unicuique puncto applicata con$iderentur, quo- rum alterum curvæ perpendiculariter in$i$tit, & filum extror$um premit, alterum ad axem curvæ DC, e$t perpendiculare & intror$um trahit: faci- le etiam intelligitur infinitas po$$e harum pre$$ionum excogitari leges, ut ad curvam quamvis datam fibra D_op_C $e componat, atque adeo etiam v. gr. ad circularem, quæ figura à plerisque Phy$iologis tribuitur fibrillis, quæ pertinent ad machinulas mu$culares: Sed e$t alius etiam modus, quo fibra longitudinalis D_op_C acquirere pote$t figuram arcus circularis, nempe cum omnino ab$unt fibrillæ transver$ales _np_, _mp_, &c. Sic enim dum inflatur ve- $ica, hiatus fit inter duas fibras longitudinales proximas D_op_C & D_nm_C, per quem fluidum erumpit, $imul autem, cum non $atis cito effluere po$- $it, fibras extendit, easque ad figuram circularem componit: atque hoc in ca$u maxima ve$icæ decurtatio, quæ in priori ca$u fuit {3/5} totius longitudi- nis ve$icæ non inflatæ, nunc tantum e$t proxime {4/11}.
§. 13. Sequitur ex hi$ce, difficile e$$e, ut figura ve$icæ inflatæ, cui pon- dus appen$um e$t, recte determinetur, quandoquidem nemo $it, qui indo- lem minimarum fibrillarum perfecte cogno$cere po$$it: tran$cribam tamen huc exempla quædam, quæ maxime videntur probabilia, ex $chedis meis $ine demon$tratione, quam $i quis de$ideret, reperiet in _tom_. 3. _Comm_. _Acad. Sc. Petrop_. Ante omnia autem æquationem dabo ad curvam, quæ ex duobus potentiarum generibus, ut dixi in præcedente paragrapho, iisque quamcunque legem ob$ervantibus formatur.
§. 14. Sit igitur filum AEG (Fig. 7.) duobus punctis A & G affixum;
§. 15. Intelligitur ex præcedente æquatione, quod cum potentiæ, quæ $unt ad curvam perpendiculares, $olæ agunt, fiat AR = con$tanti quan- titati, quia nempe $ic fit C = _o_: tunc igitur radius o$culi ubique $equitur ra- tionem inver$am potentiæ re$pondentis. At $i potentiæ ad axem perpendi- culares $olæ ad$unt, tunc evane$cente littera A fit - {RC_dx_/_ds_} = _$_C_dy_. Po- te$t autem hæc æquatio integrari & ad hanc reduci formam RCdx<_>2 = con- $tanti quantitati; ex qua apparet potentiam ductam in radium o$culi ubique e$$e in ratione reciproca quadrati $inus, quem applicata facit cum curva. Similiter æquatio canonica integrationem admittit, cum potentiæ, quæ ad axem perpendiculares $unt, omnes inter $e $unt æquales $eu proportionales elemento curvæ _d s_. Ita enim po$ito _d_ C = _o_, obtinetur - A_d_R - RDA = 2_ndyds_ + _ndxd_R, intelligendo per _n_ con$tantem quantitatem, qua æqua- tione recte tractata fit _nydy_ + _mmdy_ - _nsds_ = _ds$_A_dx_, ubi _m_ con$tans e$t ab integratione proveniens.
Si præterea potentiæ ad curvam normales ponantur applicatis _y_ pro-
portionales, poterit ulterius reduci po$trema æquatio ad hanc
- _dx_ = (2_ff_ - {_gyy_/_h_}) _dy_:
§. 16. Nolui his nimis in$i$tere, quod non proxime pertinent ad Hy- drodynamicam: Nihil etiam addo de fluidis ela$ticis, quia horum theoriam $eor$im tradere con$titui; attamen quod ad pre$$iones fluidorum ela$tico- rum attinet, poterunt illæ ex natura fluidorum $impliciter gravium $upra ex- po$ita facile deduci & demon$trari, fingendo fluidum ela$ticitate e$$e de$ti- tutum, cylindrumque fluidi $imilis altitudinis infinitæ vel qua$i infinitæ $u- perimcumbere; hæc autem quomodo intelligenda $int $uo loco dicemus: Nunc quidem pergo ad id, quod in rebus aquariis poti$$imum quæri $olet, quanta nempe debeat e$$e firmitas canalium, ut pre$$ioni aquæ re$i$tere po$- $int, ubi præ$ertim con$iderantur canales, qui aquas ad fontes vehunt, de quibus ego quoque pauca monebo.
§. 17. Probe di$tinguendæ $unt pre$$iones aquarum in canalibus $tag-
§. 18. Con$tat autem ex Mechanicis latera tubi M O _m o_ (cujus diame-
trum incomparabiliter cen$ebimus minorem altitudine N G) non aliter ten-
di, quam $i explicata e$$ent in figuram rectangularem M O _m o_ (Fig. 10.)
D_E tubulis capillaribus_: Experimenta innumera de horum tubulorum indole à variis $umta fuerunt, quos inter eminet Georgius Bernhar- dus Bulffingerus, qui non $olum præcipua collegit, $ed & pluri- ma de $uis addidit, vid. _Comm. Acad. $c. Petrop. tom. 2. pag. 233. & $eqq._
I. Ut oculis recte appareret, quam contrariæ $int Indolis hâ in par-
te mercurius & reliqua fluida, confici curavi vas vitreum A B C (Fig. 11.)
II. O$ten$urus mercurium non aliam ob rationem à natura aliorum fluidorum recedere, quam ob fortiorem particularum $uarum mutuam at- tractionem cogitavi de his experimentis: tubulum nempe gracilem mercu- rio $uctione implevi eumque horizontaliter po$itum $en$im erexi; Sic effluxit mercurius, nunquam tamen omnis & altitudo verticalis mercurii in tubulo re$idui in omni $itu $ibi con$tabat. Quod $i autem, cum mercu- rius in tubulo $ic $u$penditur, extremitas tubi mercurio in va$e $tagnanti ad- movetur, protinus omnis effluit. Priora Phœnomena, ni fallor, indicant mercurio & aliis fluidis idem contingere, cum vi attractrici nullus e$t lo- cus; mercurium autem forti$$ime $e attrahere docet phœnomenon ultimum.
III. Sumatur tubus cylindricus vitreus diametri 3 aut 4 linearum,
fundo in$tructus ex Charta $ubtili, aut tenui$$ima lamina ferrea parato &
in medio minimo foraminulo perforato, ut o$tendit (Figura 12.) Inclinetur
Ad §. 18. _De firmitate tuborum._ Filum æneum rotundum, cujus dia-
meter erat {2/11} lin. Paris. cui $ucce$$ive pondera continue majora appende-
bantur, prius non di$ruptum fuit, quam ad 18. lib. Norimb. pondus ex-
crevi$$et. Dein tenui$$imam lamellam plumbeam, cui rectangularis figura
erat, {5/4} lin. latam, {1/131} lin. cra$$am rumpi ob$ervavi cum eidem appen$um
e$$et pondus trium unciarum cum dimidia. Ex hi$ce ob$ervationibus dua-
bus $equitur cæteris paribus filum ex ære plus quam 28. vicibus fortius e$$e,
quam filum ex plumbo. Ex priori experimento quoque deducitur, $i tubus
æreus diametrum habuerit unius pedis, & cra$$ities laterum fuerit {2/11} lin. po$$e
eum aquam $u$tinere ad altitudinem 518. pedum priusquam rumpatur. In
hoc calculo dedi pedi cubico aquæ pondus 70. librarum. Si vero idem
Ex ob$ervata fili ænei firmitate colligitur etiam firmitas tormentorum bellicorum: fuerit v. gr. tormentum bellicum cujus animæ diameter habeat tres poll. $olent autem haud procul à lumine accen$orio, ubi maxima e$t vis pulveris, cra$$ities laterum e$$e præterpropter æquales diametro ani- mæ, ita ut diameter tota $it tripla diametri animæ. Quia igitur cra$$ities hæc non e$t negligenda præ diametro animæ, cen$ebimus materiam omnem concentratam in medio atque $ic ab axe animæ di$tantem tribus pollicibus. Hoc po$ito erit altitudo maxima aquæ quam tormentum haud procul à lu- mine accen$orio ferre pote$t = {11/2} x 12 x 3 x 2 x 518 = 205128, quæ vis fere $epties millies $uperat ela$ticitatem aëris naturalis. O$tendam autem in $equentibus, pulverem pyrium accen$um vim exercere po$$@ ad rum- pendum tormentum aliquantum quidem majorem, quam quæ dicta fuit, $ed non multum tamen excedentem. Reliquum autem firmitatis, quod re- quirunt tormenta, habent à cingulis $eu fa$ciis, quæ dicuntur _plattes ban-_ _des & moulures_, præter id quod in primo ortu tormenti (_à l’endroit de_ _la cula$$e_) cra$$ities major $it quam quæ à nobis a$$umta fuit. Interim non pauca tormenta di$rumpi, $ic non mirabimur.
PRiusquam motum aquarum à gravitate propria ortum definire tentemus, ruminabimur quod in Sectione prima §. _§_. 18. 19. 20. 21. & 22. à nobis allatum fuit de principiis ad hoc adhi- bendis.
Recordabimur nempe _a$cen$um potentialem_ Sy$tematis, cujus $ingulæ partes velocitate qualicunque moventur, $ignificare altitudinem verticalem, ad quam centrum gravitatis illius Sy$tematis pervenit, $i $ingulæ particulæ motu $ur$u@ conver$o $ua velocitate, quantum po$$unt, a$cendere intelli- gantur, & _de$cen$um actualem_ denotare altitudinem verticalem, per quam centrum gravitatis de$cendit, po$tquam $ingulæ particulæ in quiete fuerant. Tum etiam memores erimus nece$$ario _a$cen$um potentialem_ æqualem e$$e _de$cen$ui actuali_, quando omnis motus in materia $ub$trata hæret, nihilque de eo in materiam in$en$ibilem aut aliam ad $y$tema non pertinentem tran- $it, & denique motum fluidorum talem proxime e$$e, ut ubique veloci- tas reciproce $it proportionalis amplitudini va$is re$pondenti, quâ de re $uo loco alia quædam interjiciemus. Nunc convenit examinare $equentem pro- po$itionem.
§. 2. Si aqua per canalem utcunque formatum fluat, ejusque ve- locitas cognita $it aliquo in loco, invenire _a$cen$um potentialem_ omnis aquæ in canali contentæ.
Sit canalis utcunque formatus _S T_ (Fig. 13. & 14.) per quem aqua fluit
_b c f g_; a$$umitur, $i in axe _a e_ accipiatur punctum quodcunque _n_, per
§. 3. Fuerit v. gr. canalis conicus, in quo $uperficies anterior _g f_ & po$terior _b c_ diametros habeant ut _m_ ad _n_, erit _a$cen$us potentialis_ aquæ = {3_m_3/_n_(_mm_ + _mn_ + _nn_)} X _qs._
§. 4. Datis variationibus infinite parvis tam ratione $itus quam ve- locitatis, quæ $uperficiei aquæ anteriori re$pondent, invenire variationes ad _a$cen$us potentiales_ totius aquæ pertinentes.
Sit $patium A E G B = M, $patium A E Z U = N, _qs_ = _v_, erit _a$cen$us potent_. = {N_v_/M}: quia vero quantitas aquæ in canali con$tanter eadem ponitur, erit $patium A E G B invariabile, adeoque _d_ M = _o_ ita ut diffe- rentiale _a$cen$us potent_. $it $impliciter = {N_dv_ + _vd_N/M}, habetur autem _d_ N ex variatione $itus aquæ. Patet igitur propo$itum. Q. E. I.
§. 5. Poterunt hæ propo$itiones in$ervire pro motu |fluidi intra va$a moti, id e$t, non effluentis definiendo, uti $uo loco o$tendam: at ve- ro cum fluidum per foramen effluit, aptius in$tituetur aliter calculus, nempe ut $equitur.
§. 6. Invenire differentiam _a$cen$us potentialis_ po$tquam guttula per foramen effluxit.
Fingamus aquam effluere ex va$e _aimb_ (Fig. 15.) utcunque for-
mato, fundum $it _im_ perforatum foramine _pl_: quantitas aquæ, po$tquam
Fiat, ut antea, curva C G I (Fig. 16.) ceu $cala amplitudinum, ubi
Jam igitur apparet _a$cen$um potent_. aquæ ante effluxum guttulæ e$$e = quartæ proportionali ad $patium D C I P L, $patium D T U L & altitudi- nem _qs_, eundemque po$t effluxum guttulæ e$$e = quartæ proportionali ad $pat. FEIPNOL, $pat. FWUXYOL & altit. _qz_: $unt autem in utra- que analogia termini primi (nempe $pat. DCIPL & $pat. FEIPNOL) in- ter $e æquales, igitur $i quodvis horum $patiorum indicetur per M, $pa- tium D T U L per N, $pat FWUXYOL per N + _d_N, altitudo _qs_ per _v_&_qz_ per _v_ + _dv_, erit incrementum _a$cen$us potentialis_ durante guttulæ efflu- xu = {N_dv_ + _vd_N/M}. Quod $i nunc ponatur L D = _x_, F D = - _dx_, D C = _y_, H G = _m_, P L = _n_, erit D T = {_mm_/_y_}, L X = {_mm_/_n_}, L O = {-_ydx_/_n_} (quia $patium D F E C = $patio L O N P), hincque _d_N = L O Y X - D F W T = - {_mmydx_/_nn_} + {_mmdx_/_y_}, unde nunc incrementum quæ$itum _a$cen$us petentialis_ e$t = (N_dv_ - {_mmvydx_/_nn_} + {_mmvdx_/_y_}): M. Q.E.I.
§. 7. Retentis iisdem po$itionibus inven@re _de$cen$um actualem_ infi- nitè parvum aquæ, dum guttula effluit.
Cum in Figura decima quinta aqua $itum _cdmi_ mutat cum $itu _efml_
_onpi_, patet in utroque $itu centrum gravitatis partis aquæ _efmi_ in eodem
loco e$$e, po$$eque proin concipi $olam particulam _cdfe_, (quæ e$t = - _ydx_
dum tota aquæ ma$$a e$t = M) de$cendi$$e in _lonp_. Sit jam altitudo par-
§. 8. Determinare motum fluidi homogenei ex va$e dato per fo- ramen datum effluentis.
Quoniam per hypothe$in no$tram _a$cen$us potentialis_ $ingulis mo- mentis æqualis e$t _De$cen$ui actuali_, erit incrementum prioris dum guttula effluit æquale incremento po$terioris, quod $imili tempu$culo oritur. Igi- tur $i rurfus $uperficies aquæ, po$tquam data ejus quantitas effluxit, pona- tur = _y_, amplitudo va$is quocunque in loco ad libitum a$$umta = _m_, am- plitudo foraminis = _n_, altitudo aquæ $upra foramen = _x_; $i præterea quantitas N ea lege con$truatur, quæ §. 6. indicata fuit, atque per _v_ in- telligatur altitudo debita velocitati aquæ in loco a$$umto, ubi nempe am- plitudo va$is e$t = _m_, erit per §. 6. incrementum _a$cen$us potentialis_ = (N_dv_ - {_mmvydx_/_nn_} + {_mmvdx_/_y_}): M, minimusque _de$cen$us actualis_ = {- _yxdx_/M} (per præced.§.); unde habetur (N_dv_ - {_mmvydx_/_nn_} + {_mmvdx_/_y_}): M = - _yxdx_: M$euN_dv_ - {_mmvydx_/_nn_} + {_mmvdx_/_y_} = - _yxdx_, quæ æquatio ge- neraliter integrari pote$t, quandoquidem litteræ N & _y_ $unt functiones datæ ip$ius _x_ & litera _v_ unius tantum dimen$ionis e$t.
§. 9. Quum velocitates $int in ratione reciproca amplitudinum,
§. 10. Si foramen $it valde parvum, ratione amplitudinum va$is, fit _n_ = _o_, totaque æquatio abit in hanc - _mmzydx_ = - _mmyxdx_ vel _z_ = _x_; tunc igitur aqua ea con$tanter effluit velocitate, qua ad altitudinem $upremæ $uperficiei usque a$cendere po$$it, quem $olum ca$um Geometræ hactenus fuerunt recte a$$ecuti: valetque hæc propo$itio pro omnibus va$is utcunque formatis: at cum foramen non ut infinite parvum con$ideratur, nequaquam negligenda e$t va$is figura. Notari tamen pote$t, quod ni$i fo- ramen $it ampli$$imum, $ine notabili admodum errore idem ut infinitè par- vum con$iderari po$$it.
§. 11. Cum fluidum non e$t ubique idem, $imili modo in$tituen- dus e$t calculus, inquirendo nimirum tum in incrementum _a$cen$us poten-_ _tialis_ fluidi compo$iti, tum in _De$cen$um actualem_, eaque inter $e æquando. Quod $i autem foramen $it valde parvum, per $e patet, quod etiam calcu- lus o$tendit, fore ut fluidum velocitate exiliat altitudini debita tali, ut $i vas ad eandem altitudinem liquore eodem, qui exilit, repletum $it, eandem pre$$ionem latera foraminis $u$tineant.
§. 12. Priusquam Corollaria $pecialiora ex theoria no$tra dedu- camus circa motum fluidorum ex va$is cylindricis, conveniet hic examina- re, quousque hypothe$es a$$umtæ cum rei natura con$pirent & quænam aliæ intervenire po$$int cau$æ, quarum in computo nullam rationem habuimus, motum fluidum diminuentes.
Quod primo attinet ad Principium _con$ervationis virium vivarum_ $eu
_perpetuæ æqualitatis inter a$cen$um potentialem de$cen$umque actualem_ nihil hîc vi-
deo, quod ei notabili impedimento e$$e po$$it, $i modo à frictionibus, te-
nacitate, aëris re$i$tentia hujuscemodique aliis ob$taculis mentem ab$tra-
GEometræ, quibus de aquis ex va$e erumpentibus $ermo fuit, con- $iderare poti$$imum $olent cylindros verticaliter po$itos: Igitur haud abs re erit ex theoria no$tra generali con$ectaria illa, quæ huc per- tinent, deducere. Sit amplitudo cylindri ad amplitudinem foraminis ut _m_ ad _n_; altitudo aquæ $upra foramen, cum fluxus incipit = _a_; altitudo aquæ re$iduæ = _x_, altitudo velocitati aquæ internæ debita = _v_; erit in æquatio- ne canonica paragraphi octavi _y_ = _m_, N = _mx_ (per §. 6.) quæ adeoque abit in hanc æquationem. _mxdv_ - {_m_<_>3/_nn_}_vdx_ + _mvdx_ = - _mxdx_, vel (1 - {_mm_/_nn_})_vdx_ + _xdv_ = - _xdx_ multiplicetur hæc po$terior æquatio per _x_<_>{- _mm_/_nn_}, ut habeatur (1 - {_mm_/_nn_})_x_<_>- {_mm_/_nn_} _vdx_ + _x_<_>1 - {_mm_/_nn_}_dv_ = - _x_<_>1 - {_mm_/_nn_}_dx_.
Pote$t jam hæc æquatio integrari: ob$ervanda autem e$t in Integratio- ne con$tantis additio, talis nempe, ut a fluxus initio, id e$t, cum _x_ = _a_, $it velocitas fluidi nulla, ip$aque proin _v_ pariter = _o_: ita vero oritur: _x_<_>1 - {_mm_/_nn_} _v_ = {_nn_/2_nn_ - _mm_}(_a_<_>2 - {_mm_/_nn_} - _x_<_>2 - {_mm_/_nn_}) vel _v_ = {_nna_/2_nn_ - _mm_}(({_a_/_x_})<_>1 - {_mm_/_nn_} - {_x_/_a_})
§. 14. Ex hâc igitur æquatione cogno$citur altitudo generans velocita-
tem aquæ internæ; ubi notari meretur, $i vas $it ampli$$imum, mox po$$e
cen$eri _v_ = {_nn_/_mm_}_x_, po$tquam $cilicet vel tantillum de$cendit aqua, id e$t,
§. 15. Cum _n_ e$t = _m_, id e$t, cum nullum e$t fundum, apparet ex ip$a rei natura, aquam in$tar corporum gravium libere cadere atque ac- celerari, id ip$um autem indicat etiam æquatio; fit enim in hâc po$itione _z_ = _a_ - _x_. Si vero foramen e$t veluti infinite parvum ratione amplitudinis va$is, quem ca$um jam $upra con$ideravimus, ponendum e$t _n_ = _o_, & tunc fit _z_ = _x_, quod indicat, aquam ea con$tantur effluere velocitate, qua ad totam aquæ altitudinem a$cendere po$$it. Denique cum _mm_ = 2_nn_, pro- dit _z_ = {_mm_/_o_} (_x_ - _x_), ex quo valore cum nihil cogno$ci po$$it, de$cenden- dum e$t ad æquationem differentialem §. 13. quæ nunc hæc e$t: - _vdx_ + _xdv_ = - _xdx_, vel {_xdv_ - _vdx_/_xx_} = {- _dx_/_x_}, quæ integrata cum debitæ con$tantis additione dat {_v_/_x_} = log. {_a_/_x_}, vel _v_ = _x_log.{_a_/_x_}, aut _z_ = 2_v_ = 2_x_log.{_a_/_x_}.
§. 16. Velocitas aquæ effluentis ab initio cre$cit po$teaque decre$cit,
e$tque alicubi maxima, nempe eo in loco, quo aqua de$cendit ad altitudinem
_a_:({_mm_ - _nn_/_nn_})<_>_nn_:(_mm_ - 2_nn_); id quoque experientia edoctus indicavit Ma-
riottus in _tract. de motu aquarum part._ 3. _di$c. 3. exp._ 5, ip$aque velocitas ma-
xima talis e$t, quæ debetur altitudini
Intelligitur ex i$tis formulis tempus, quo velocitas à nihilo in maxi- mam vertitur, plane imperceptibile e$$e, quando foramen vel mediocriter parvum tubusque non admodum longus e$t: notabile autem fieri, cum res $ecus $e habet, quod videmus in fontibus $alientibus, ad quos aquæ per longos tractus vehuntur; hæc vero quæ ad tempora pertinent, magis in $equenti $ectione explicabuntur, atque $imul o$tendetur, quam parum aquæ ex va$is ampli$$imis ejiciatur, priusquam maxima velocitate effluant.
Natura velocitatum melius intelligitur ex appo$ita Figura decima $epti-
§. 17. Jam vero exemplo quodam illu$trabimus, quod $upra _§._ 10.
indicatum fuit, nempe ni$i foramen $it ampli$$imum, po$$e id $ine valde
$en$ibili errore in calculo con$iderari ut infinitè parvum, atque adeo a$$umi
_z_ = _x_, ut §. §. 10. & 15. dictum fuit. Videtur id tantum apud nonnullos
Auctores valui$$e, ut cen$uerint, nullam magnitudinis in foramine rationem
unquam e$$e habendam, quantumvis magnum ponatur foramen, quæ res
certe ridicula e$t: faltem nemo hactenus quod $ciam magnitudinem forami-
nis pro hoc negotio recte con$ideravit. Ponamus igitur cylindrum, cujus
diameter quadrupla tantum $it diametri foraminis, cujusmodi magna fora-
§. 18. Hactenus con$ideravimus motum aquæ à propria $ua gravitate
ortum; ponamus nunc vi aliena aquam ejectam fui$$e præter vim gravitatis,
talemque aquæ effluenti communicatam fui$$e velocitatem, qua ad altitudi-
nem multo majorem a$cendere po$$it, quam $i $ola aquæ gravitas motum
produxi$$et; dein $ubito vim illam alienam evane$cere, & aquam $ibi relin-
qui; Id autem $i fiat, experientia docet citi$$ime aquæ velocitatem decre$ce-
re & mox talem e$$e, ut notabililer non $uperet velocitatem eam, quæ ex
$ola aquæ gravitate oritura fui$$et. Ita videmus fieri aliquando in fontibus
$alientibus (de cujus rei cau$a vera atque men$ura alibi dicam) ut aquæ ad
triplam vel quadruplam majoremve altitudinem a$$iliat, quam e$t ordinaria;
quod cum ita contingit, $altus i$te protinus ce$$at $olitamque altitudinem,
quantum id $en$ibus percipi pote$t, non excedit: loquor autem de tubis
foraminibus non valde magnis perforatis; nam cum foramen e$t ali-
quanto majus, non ita cito decre$cit aquæ $altus. Jam itaque examinabi-
mus, quousque theoria cum i$tis phænomenis conveniat, accuratasque
men$uras eorum, quales inde $equuntur, $ubjungemus. Ut vero rem ge-
neraliter pro$equamur, ponemus rur$us amplitudinem cylindri ad amplitu-
dinem foraminis ut _m_ ad _n_: aquam ea explodi velocitate qua a$$urgere po$$it
ad altitudinem _a_, eoque ip$o temporis puncto altitudinem aquæ $upra foramen
§. 19. Po$tquam $ic ex Theoria no$tra generali deduximus, quæ mo- tum fluidorum ex cylindris verticaliter po$itis $pectant, jam etiam con$i- derabimus tubos oblique po$itos, qui prælongi e$$e $olent in fontibus $ali- entibus. In his enim id $ingulare e$t, quod acceleratio motus non ita repen- te fiat, veluti cum Cylindri $unt verticales atque $ic liceat $en$ibus percipe- re con$en$um Theoriæ, cum motu aquarum reali.
§. 20. Fingamus canalem utcunque incurvum, $ed tamen Cylindri-
cum, cujus amplitudo habeatrur$us ad amplitudinem foraminis rationem _m_ ad _n_-
Incipiat motus à quiete, $itque altitudo verticalis aquæ $upra foramen ab initio
motus = _a_; Effluxerit certa aquæ quantitas, ponaturque altitudo verticalis aquæ
re$iduæ $upra foramen = _x_, longitudo canalis, quæ eo ip$o momento plena e$t
= ξ, habeatque tunc aqua interna (cujus $ingulas particulas motu axi canalis pa-
rallelo feri hîc a$$umo) velocitatem, quæ re$pondeat altitudini _v_; His ita po$itis,
$i $imili ratiocinio utamur quo $upra, quærendo nimirum incrementum _a$cen$us_
_potentialis_ dum guttula effluit, uti paragrapho 6. fecimus, idemque ponen-
do = _de$cen$ui actuali_, obtinetur nunc talis æquatio
ξ_dv_ - {_mm_/_nn_} _vdξ_ + _vd_ξ = - _xd_ξ, $ive
COn$tat experientia, inter duos Cylindros omnino æquales $imiliterque po$itos, quorum alterius foramini tubus $trictior re$pondeat, hunc citius depleri, qui tubum appen$um habet, & quidem eo citius, quo magis tubus à loco in$ertionis ver$us extremitatem amplitudine cre$cit, quæ pluribus expo$uit D. s’Grave$ande in _Phy$. Elem. Math_. lib. 2. cap. 8. Totam rem $equenti Problemate comprehendemus.
§. 22. Fuerit vas cylindricum A E H B (Fig. 18.) verticaliter po$i-
Sit altitudo aquæ $upra M N initialis, nempe N G + H B = _a_, altitu-
do $uperficiei aqueæ in $itu C D $upra M N, id e$t, N G + H D = _x_; lon-
gitudo tubi annexi $eu N G = _b_; amplitudo orificii M N = _n_; amplitudo
orificii F G = _g_, amplitudo Cylindri $uperioris = _m_; $it velocitas $uperficiei
aqueæ in C D talis quæ debeatur altitudini _v_, erit in æquatione generali §. 8.
_y_ = _m_ & N = _m_ (_x_ - _b_) + {_bmm_/√_gn_}, quæ $ub$titutiones in$tituto calculo con-
formes e$$e patebunt cum §. 6. reliquæ autem po$itiones eædem $unt quæ an-
te. Abit igitur æquatio paragraphi 8 in hanc
_m_(_x_ - _b_)_dv_ + {_bmm_/√_gn_}_dv_ - {_m<_>3vdx_/_nn_} + _mvdx_ = - _mxdx_
quæ porro divi$a per _m_ factoque _x_ - _b_ + {_mb_/√_gn_} = _z_, dat
§. 23. Quod $i proinde ponamus _m_ = ∞, $imulque utamur pri-
mâ æquatione differentiali proximi paragraphi, atque in hâc ponatur
_v_ = {_nn_/_mm_}_s_, ut $ic inveniatur ex valore litteræ _s_ altitudo ad quam aqua per ori-
ficium M N effluens $uâ velocitate a$cendere po$$it, erit primo
{_nn_/_m_} (_x_ - _b_)_ds_ + {_bnn_/√_gn_}_ds_ - _msdx_ + {_nn_/_m_}_sdx_ = - _mxdx_
& quia _m_ = ∞ atque facile prævidetur rationem $ore finitam inter _s_ & _x_, at-
que inter _ds_ & _dx_, hæc eadem æquatio mutabitur rejectis terminis rejiciendis
rur$us in hanc - _msdx_ = - _mxdx_ vel _s_ = _x_, quod pariter paragr. 10.
§, 24. Eodem modo computus e$$et in$tituendus, $i va$i, quod $em-
per nunc amplitudinis infinitæ ponimus, implantatus e$$et tubulus non verti-
calis $ed horizontalis, veluti in fig. 19. aut $ub alia directione qualicunque, $em-
§. 25. Ex præmi$$is liquet velocitatem, qua $uperficies aquæ C D in
utroque, de quo diximus, ca$u de$cendit cæteris paribus pendere ab am-
plitudine orificiorum M N; Hæc autem ea innituntur hypothe$i, quod aqua
lateribus tubulorum G N ubique adhæreat & pleno orificio M N effluat, quæ
Cæterum duæ $unt poti$$imum cau$æ, altera aliena altera naturæ rei propria, quæ motum aquæ valde retardare po$$unt in fig. 18. & 19. Prior e$t adhæ$io aquæ ad latera tubi, & altera, quod cum tubus amplitudine cre$cit velocitas aquæ, nullibi $ibi con$tans in quovis tubi loco mutetur, quæ mutatio $i oriri cen$eatur ab impul$ibus infinite parvis aquæ velocius motæ in aquam minus velociter motam, apparet $ingulis momentis ab impul$ibus his corpo- rum mollium aliquid de _a$cen$u potentiali_ perdi, unde nece$$ario aquarum ef- fluxus notabiliter diminuitur.
§. 26 Loco ultimo nunc dicam quædam de va$is recurvis, ex quibus aquæ non omnes effluunt: brevitatis autem gratiâ canalem con$iderabimus cylindricum, & cujus quidem pars, quam $uperficies aquea non tran$greditur, $it recta.
Sit nempe canalis cylindricus C E D B (Fig. 20.) cujus pars C E quan-
ta $ufficit e$t recta, reliqua E D B utcunque incurvata; fuerit canalis totus aqua
Ducantur verticalis B H & horizontales C H, F G, A B, $itque $inus
anguli H C E ad $inum totum ut 1 ad _g_: Jam vero $i rem recte perpendamus,
videbimus contineri problema præ$ens in altero generaliori, quod $uprà pa-
ragrapho 20. tractavimus, ubi habuimus hanc æquationem:
_v_ = ξ<_>{_mm_/_nn_ - 1} _$_ - _x_ξ<_>{- _mm_/_nn_} _d_ξ
Indicetur longitudo totius canalis B D E C per β, & erit _$_ - ({ξ - α/_g_} ξ<_>{- _mm_/_nn_} _d_ξ = {_nnα_/_g_(_nn_ - _mm_)} (ξ<_>{_nn_ - _mm_/_nn_} - β<_>{_nn_ - _mm_/_nn_}}) {- _nn_/_g_(2_nn_ - _mm_)} (ξ<_>{2_nn_ - _mm_/_nn_} - β<_>{2_nn_ - _mm_/_nn_}) atque proinde _v_ = {_nnα_/_g_(_nn_ - _mm_)}(1 - ({β/ξ})<_>{_nn_ - _mm_/_nn_}) - {_nn_ξ/_g_(2_nn_ - _mm_)}(1 - ({β/ξ})<_>{2_nn_ - _mm_/_nn_}). Q. E. I.
§. 27. Quoniam hæ æquationes $unt paullo prolixiores @non immora- bimur generali earundem contemplationi, con$ideraturi potius ca$us i$tos particulares, qui calculum abbreviant, nec ultima i$ta æquatione definiri po$$unt.
Si operculum in B omne abe$$e ponamus, fit _m_ = _n_ & (quod $eor$im pro hoc pariter atque @altero ca$u mox dicendo erui debet) _v_ = {_b_ - ξ + α_log._ξ - α_log._β/_g_} tuncque velocitas maxima e$t in A, nominatimquæ talis, quæ re$pondet al- titudini {β - α + α_log._α - α_log._β./_g_}
Denique punctum E maximo re$pondens de$cen$ui obtinetur ope hu- jus æquationis, ξ - α_log._ξ = β - α_log._β
Alter ca$us $eor$im $ubducendus calculo e$t, cum _mm_ = 2_nn_, ubi oritur _v_ = {αξ - αβ - ξβ_log._ξ + ξβ_log._β/_g_β} atque $i capiatur, po$ito _c_ pro numero, cujus logarithmus e$t unitas, ξ = _c_<_>{α - β/β}β determinabitur $ic locus maximæ velocitatis, cujus altitudo generatrix e$t = _c_<_>{α - β/β}β - α, dum maximus de$cen$us, qui proportiona- lis e$t toti aquæ effluenti, definitur faciendo αξ - αβ - ξβ_log._ξ + ξβ_log._β = _o_
Non dubito, quin hæc ad amu$$im experientiæ e$$ent re$pon$ura, $i modo adhæ$io aquæ ad latera tubi motum non retardaret; puto tamen, even- tum experimentorum talem e$$e po$$e, ut intelligenti, qui horum impedi- mentorum rationem habeat, $atis @$tendant propo$itionum veritatem.
§. 28. Ultimo loco communicabo veram $olutionem phænomeni ali-
cujus, quod primo a$pectu valde videtur paradoxon. Po$tquam enim ex
omnibus hactenus dictis luculenter apparet fieri non po$$e, ut aquæ multo
majori velocitate effluant quam qualis altitudini aquæ $upra foramen debetur,
(po$$unt tamen aliquanto majori, præ$ertim $i foramina $unt magna, _con-_
_fer ea quæ dixi de velocitatibus maximis_ §. 16.) multis mirum forta$$e videbitur,
_contingere aliquando in fontibus $alientibus, ut aqua ad temporis momen-_
_ium jactum faciat longe altiorem, quam $ecundum regulas no$tras fieri po$$e_
_videtur._ Verum tantum abe$t, ut hæ inde aliquid roboris perdant, quin
potius egregie confirmentur. Solutio autem paradoxi in eo con$i$tit, quod
nos hactenus aquas con$ideraverimus continuas, & nullo vacuo aëreo $epara-
tas: Recteque ob$ervavit D<_>us. De la Hire non fieri hujusmodi $altus irrregu-
lares, ni$i aër una cum aqua tubum prope $caturiginem fuerit ingre$$us,
quod $æpe fieri indicavi §. 25. I$te vero aër $imul cum aqua fertur usque ad
orificium effluxus, per quod mox erumpit: id dum fit, ma$$a aquea impe-
Recte itaque animadvertit Dn. De la Hire aëri $altum deberi, dubium- que nullum e$t quin veram rationem, quâ aër id producere po$$it, fui$$et eruturus, $i phænomenon, quod obiter attigit, attentius con$idera$$et, fa- cile utique per$per$pecturus, aërem inter medias aquas nullam $u$tinere pre$$io- nem, ni$i $uper incumbentis aquæ (imo ne hanc quidem in aquis fluentibus, uti inferius in $ect. XII. demon$trabo) nec adeoque aërem compre$$um for- tius expellere po$$e aquam $ibi præcedentem, quam $i $ui loco aqua e$$et. Ego quidem prævidi (quod facillimo experimento $æpe po$tea $um expertus) non e$$e aquam ante aërem po$itam $olito altius a$$urgentem, $ed illam, quæ aërem $equitur, quod nunc clarius faciam.
Sit igitur in Figura vige$ima aquæ ductus C A D B cylindricus, ut e$$e
$olet, isque totus aquâ plenus, præter particulam _m n_ B aëre plenam. Du-
cantur lineæ horrizontalis & verticalis C H & H B: ponamus brevitatis ergo
aëris gravitatem præ gravitate aquæ nullam cen$eri po$$e, ita ut tran$itus aëris
per orificium B nihil re$i$tat fluxui aquæ, quamvis de cætero facile foret in-
ertiæ aëris rationem habere, ni$i calculi prolixitatem evitare vellemus in re,
ubi nullam quærimus præci$ionem. Sit longitudo canalis C A D _f_ vel C A D _m_
(ponimus enim differentiolam _mf_ aëre repletam valde parvam) = β _mf_ vel
_ng_ = δ: H B = _a_; amplitudo tubi = _m_, amplitudo orificii B = _n_; Denique
demus aquæ, cum $uperficies e$t in _mn_, nullum e$$e motum, quæ$ituri al-
Interim veram hanc e$$e $olutionem phænomeni nullum pote$t e$$e dubium, i$tique $olutioni experimenta quæ feci in omni exten$ione $atisfa- ciunt. Dein hâc theoria etiam recte $olvitur alterum phænomeni momen- tum, quod nempe jactus i$te $it qua$i momentaneus, po$tque brevi$$imum tempusculum ad $en$us non major $olito: ita in præ$enti, quem modo finximus, ca$u $i per regulam §. 18, paullo mutatam (ibi enim de va$is verticaliter po$itis tantum dicitur) exploremus, quantum aquæ effluere de- beat ut jactus non amplius mille$imâ parte (quæ utique ob$ervari in hujus- modi experimentis minimè pote$t) $uperet jactum $olitum, cum ab initio fuerit eodem octies major, invenimus tam parvam e$$e illam quantitatem, ut tempus, quo tota ejicitur, nullo modo percipi po$$it.
PLurima quidem $unt in hâc Sectione eaque fere præcipua, quæ vix ad experimenta revocari _immediate_ po$$unt; Etenim cum Auctores ha- ctenus motum in fluidis effluentibus alium non con$ideraverint, quam qui fiunt per foramina valde parva, cumque proin nova $it theoria quam dedimus pro amplitudinibus foraminum qualibuscunque, hæc ip$a e$t, cujus confirmatio maxime juvaret. At non video, quomodo in Cy- lindris verticalibus, de quibus poti$$imum egimus, velocitas aquæ effluen- tis ob$ervari po$$it, præ$ertim cum foramen e$t valde amplum ($ecus enim ex tempore depletionis aliquod de velocitatibus judicium ferri pote$t.) Hæc ita perpendens cogitavi demum $copo no$tro in$ervire po$$e paragraphos 16. & 20. in quorum priore determinata fuit velocitas maxima aquæ effluentis ex cylindris verticaliter po$itis, in altero autem demon$tratum e$t, eundem e$$e motum ex cylindris oblique po$itis & verticalibus, $i utrobique altitudi- nes verticales $imiles a$$umantur: Commode igitur utemur cylindris oblique po$itis, ut ex maxima amplitudine jactus aquei po$$it velocitas maxima aquæ $eu altitudo eidem debita experimento haberi: & hâc quidem ratione accu- rate velocitas illa maxima, qualis revera e$t, explorari pote$t, etiam$i $o- ramina $int quantumlibet magna, quæ proin $i convenire ob$ervetur cum re- gulis no$tris, de integra theoria dubium $upere$$e nullum poterit.
Priusquam vero rem ip$am aggrediar, præmittendum erit theorema mechanicum, quod $equitur.
Sit A B (Fig. 21.) linea verticalis, B D horizontalis; linea autem A D
Jam vero quæ mihi ob$ervata fuerint exponam.
TUbum Cylindricum F A (Fig. 22.) longitudinis quatuor pollicum
His ita præparatis, tubum aquâ replevi, digito interim obturato ori- ficio A, eoque confe$tim remoto aquæ brevi$$imo tempu$culo effluxere om- nes: ob$ervare tamen potui, primas & ultimas propius ad verticalem AB, quam medias cecidi$$e; guttas autem longi$$ime projectas incidi$$e in locum C invenique po$t $æpius repetitum experimentum BC particularum, qui- bus antea u$us fueram, 235.
Jam vero $i per præmi$$um lemma quæratur altitudo E G, ad quam guttæ maxima velocitate ejectæ a$cendere po$$int, reperitur E G = 56. part. de- beret autem vi §. §. 16. & 20. e$$e. = 62. ni$i attritus aquæ ejusquæ adhæ- $io ad latera tubi impedimentum motui afferret: majorem con$en$um non expectavi.
II. Po$itis quæ prius, diminuto tantum ad dimidium foramine A, ita ut amplitudo tubi e$$et quadrupla amplitudinis ad lumen pertinentis, ob- $ervavi B C = 252; Hinc deducitur E G = 68 per experimentum; per theoriam autem debui$$et e$$e = 70; numeri hi minus differunt quam præcedentes, quia hîc multo minus fuit attritus impedimentum ob diminu- tam velocitatem internæ aquæ. Utrumque autem experimentum egregie profecto theoriam confirmat.
IN i$to paragrapho dicimus, $i vas $it ampli$$imum, aquam mox, po$t- quam $uperficies interna aliquantulum de$cendit, erumpere velocitate, quæ con$tanter re$pondeat altitudini aquæ $upra foramen. Sinas autem $ub quâcunque directione (neque enim in va$is ampli$$imis directio venæ quicquam velocitatem mutare pote$t) aquam effluere, & ob$erves quocun- que temporis puncto, in quanta di$tantia ab verticali vena in horizontem impingat, & exinde per præmi$$am regulam quære altitudinem velocitati aquæ effluentis eo temporis puncto re$pondentem, $ic $emper i$tam altitu- dinem invenies æqualem altitudini aquæ $upra centrum foraminis, $i modo excipias primas guttulas, quæ vi §. 16. minori velocitate effluere debent & actu effluunt: Neque impedimenta, quorum $æpius mentionem injecimus, ullam notabilem moram fluxui injicient, $i modo diameter foraminis duas aut tres lineas minimum exæquet, & diameter ip$ius va$is non $it infra ali- quot pollices, & denique altitudo aquæ nimia non $it, veluti plurium pedum.
Hæc omnia $æpe expertus $um, experimenti autem genus nimis e$t tri- viale, quam ut prolixe de$cribi mereatur.
DE his experimenta $um$it Cel. s’Grave$ande _in Phy$. Elem. Math_. quæ repetii; ea vero quæ ad rem præ$entem faciunt huc poti$$imum re- deunt.
In Figuris nempe 23. 24. 25. 26. $unt $ingulæ aperturæ littera A notatæ,
I. Superficiem aquæ à principio non citius de$cendere in Fig. 23. quam Fig. 24. po$tquam vero utrobique aliquid aquæ effluxit, multo celeriorem
fieri motum in va$e compo$ito quam in $implici; utrumque præmonui in fine §. 23. Res autem melius & accuratius intelligitur ex æquationibus differen- tialibus, quas §. §. 22. & 23. dedimus, quibus $i utamur ad prima motuum in- crementa invenienda, tam in cylindro $implici Fig. 23. quam in compo$ito Fig. 24. atque hunc in finem ponamus amplitudines cylindri & tubi e$$e ut _m_ ad _n_, erit incrementum, quod vocavimus _d v_ in va$e $implici ad incre- mentum in va$e compo$ito, ut 1 + {3_m_/_n_} ad 4, adeoque longe majus in i$to ca$u quam in hoc. Si proin primum motum recte percipere liceret, cele- riorem $tatim illum ob$ervaturi e$$emus, qui fit in Cylindro $implici; Cum vero in §. 15. & 23. porro demon$tratum fuerit, $uperficiem aquæ, po$t- quam paululum de$cendit in utroque va$e proxime tales e$$e, quæ re$pon- deant altitudinibus {_nn_/_mm_} _x_, intelligendo per _x_ altitudines aquæ $upra orificia, per quæ effluit, $equitur mox multo majori velocitate aquam de$cendere in Fig. 24. quam Fig. 26. Sic igitur Theoria plane convenit cum ob$ervatis.
II. Superficiem aqueam non parum velocius de$cendere in Figura 26. quam 24. ita ut velocitas in ca$u Fig. 24. $it qua$i media inter ca$us Figuræ 23. & 26. Hic vero rur$us patet, primas quidem accelerationes multo tar- dius fieri in cylindro Fig. 24. quam 26. Hoc igitur re$pectu ip$a theoria in- dicat, quod ob$ervatum fuit; at certe differentia multum abe$t, ut tanta inde oriri po$$it, quantam expertus fui, neque amplius $en$ibilis e$$e debe- ret, po$tquam utrobique $uperficies paullulum de$cendit, per §. 23. debet autem reliquum impedimento tribui, quod ab attritu aquæ in Fig. 24. oritur: aqua enim per tubum A A magna velocitate fertur, $icque tam ob velocitatem auctam, quam ob amplitudinem va$is diminutam impedimentum motui aquæ validi$$imum offertur.
III. Denique veloci$$ime, $i prima temporis puncta excipias, aqueam $uperficiem de$cendere in Cylindro Fig. 25. & notanter velocius quam in Fig. 26.
Id vero conforme e$t cum his quæ §. 23. demon$trata $unt; deberent autem mox po$t commune motus initium, po$itis nempe altitudinibus aquæ $upra orificia effluxus fere æqualibus, velocitates in Figuris 25. & 26. pro- xime e$$e ut amplitudines orificiorum B & A, id e$t, ut 25. ad 16. & quod minor ob$ervetur velocitatum differentia, rur$us impedimento frictionis e$t tribuendum præter aliam cau$am in fine §. 25. indicatam.
CUm aquæ ex va$e valde amplo veluti C D G (Fig. 19.) per tubum ho- rizontalem G M ampliorem in extremitate N M quam ortu G F fluunt, majori velocitate illas ferri per orificium G F ($i rur$us excipias pri- mas guttas) quam $i vel tubus abe$t, vel Cylindricus e$$et. Id etiam Frontinus experientiâ procul dubio edoctus affirmavit, alii vero moderni negarunt.
Igitur operæ pretium duxi rem experimento explorare. Erat autem altitudo va$is, quo u$us $um, $upra axem tubi = 5 {1/3} _poll. Angl_. longitudo tu- bi G N = 2 _poll_. 5 _lin_. diameter orificii G F erat = 3, 36. _lin_. diameter aperturæ M N = 5, 48. _lin_. erant proin amplitudines orificiorum ut 3. ad 8 proxime, amplitudo va$is $at magna erat, ut infinita cen$eri po$$et præ amplitudine tubi. Volui omnes men$uras allegare, ut quivis experimentum repetere po$$it. Hoc autem va$e aqua repleto ob$ervavi amplitudinem jactus, & ex hâc po$tquam omnes men$uras cognovi$$em requi$itas calculum po$ui de altitudine, quæ velocitati aquæ transfluentis tum in G F, tum in N M deberetur: hanc inveni proxime undecim linearum, atque proin alteram = _poll. 6. lin_. cum duabus nonis lineæ partibus, quas easdem altitudines alio etiam experimenti genere inveni. Quoniam autem major e$t altitudo _6. poll_. cum 6 {2/9} _lin_. quam 5 {1/3} _poll_. confirmatur theoria no$tra de acceleratione aquæ internæ ab amplificatione tubi ver$us extrema, quamvis multum ab$it, ut duabus poti$$imum rationibus §. 25. allegatis inductus præmonui, quin tan- tum revera acceleretur quantum vi §. 24. remotis ob$taculis, quorum in cal- culo nulla ratio habita fuit, deberet.
Ad §. 25. Hoc paragrapho in tran$itu monui, multis modis fieri po$-
$e, ut aër aquæ per tubos fluenti mi$ceatur. Inde autem futurum, ut aquæ
minori copia effluant quidem, $ed non minori velocitate, quod utrumque
ut experirer primo in tubis A A & A B (Fig. 24. & 25.) non procul ab eorun-
dem Origine parvulum utrobique feci foramen; factum e$t, ut aquæ per
tubos, cum aliquo $trepitu ferrentut & turbidæ effluerent, $uperficies au-
tem $olito multo lentius de$cenderet; Deinde tubum Figuræ 19. pariter ali-
Dabitur autem forta$$e alibi locus demon$trandi aquas $ufficienti aëris quantitate permi$tas, ea proxime effluere copia, qua effluerent re$ci$$o tu- bo eo in loco ubi e$t perforatus, cui rei ip$am quoque experentiam re$pon- dere animadverti.
DUcta in pariete horizontali M N (Fig. 27.) tubum cylindricum C D B
Dein remoto digito ob$ervavi, altitudinem maximam B P, ad quam
aquæ effluentes a$cendebant, aliisque vicibus attendi ad locum E, ad quem
de$cendit aquæ $uperficies; feci autem fub duabus diver$is circum$tantiis ex-
perimentum; primo enim loco nullum in B po$ueram operculum; dein-
de operculum adhibui tali lumine perforatum, quod amplitudinem haberet
ratione amplitudinis tubi ut 1. ad √ 2. Interim men$uræ tales fuere: C A
= 345; A D B = 530; B P = 33; & A E = 88. particulis, quarum 375
longitudinem Pedis Lond. exæquabant. Hæc ita fuere in ca$u priori, in al-
tero autem manentibus reliquis vidi B P = 64 & A E = 54. Notabo hîcin tran-
$itu, quod alio explorare cupiens modo maximum de$cen$um A E, po$t fini-
tum experimentum inclinaverim tubum, donec aqua jam jam effluxui per B pro-
His ita ob$ervatis, magnitudines B P & A E calculo quæ$ivi ad normam §. 27. ponendo _m_ primo = _n_ deinde _mm_ = 2_nn_, inveni autem in ca$u prio- re B P = 79. quæ in experimento non $uperavit 33. maximumque de$cen- $um AE proxime reperi = 250. quem experimentum dedit 88. dein pro ca$u _mm_ = 2 _nn_ oritur B P præter propter dupla illius, quæ ob$ervata fuit & A E = 186. quæ 54. particularum ob$ervata fuit.
Enormes has differentias maxima ex parte adhæ$ioni aquæ ad latera tu- bi tribuo, quæ certe adhæ$io in hujusmodi ca$ibus incredibilem exercere po- te$t effectum, u$us enim $um tubo vix ultra duas lineas in diametro haben- tem, majorem utique con$en$um experturus cum tubo ampliore. Interim veri$imile e$t, curvaturam tubi in parte inferiore, aliquid etiam motui derogare.
Ad §. 28. Eodem tubo recurvo, quem modo de$crip$i, u$us $um: oper- culum autem po$ui in B minimo foramine pertu$um: feci ut totus aquâ e$$et plenus præter particulam F G B, in quo $itu aquam detinui ope digiti orificio C appo$iti. Remoto digito de$cendit aqua, & cum perveni$$et in $itum H D B, guttulæ aliquot tanto impetu per foraminulum in B fuerunt veluti explo$æ, ut ad altitudinem plusquam decem pedum a$cenderint, quam- vis altitudo H A altitudinem dimidii pedis vix $uperaret. Interim ob exigui- tatem foraminuli tantam re$i$tentiam offendit aqua dum tran$iret orificium, ut fracto impetu aqua non $olum non ad altitudinem A H a$cenderit ($upra quam tamen remotis omnibus impedimentis a$$ilire paullulum continue debui$$et) $ed vix guttula una aut altera notabili temporis mora fuerit expre$$a, ita ut mihi per$uadeam, $i absque impetu $ola aquæ pre$$ione naturali tantus jactus pro- ducendus fui$$et, id fieri non potui$$e ni$i altitudine minimum centum pedum.
Dein etiam ob$ervavi jactum aquæ diminui eo magis quo minus ante
experimentum relinquitur $patium G B; quæ omnia theoriæ $unt conformia.
Men$uras $uperfluum fui$$et $umere, quia ob nimia impedimenta tantus e$$e
utique nequit jactus aquæ, quantus illis remotis futurus fui$$et. Attamen ut
& has convenire cum formulis experimento confirmarem, tubum C D B
$um$i ampliorem, ut impedimenta adhæ$ionis maxima parte auferrem, pars
Similem aquæ explo$ionem _momentaneam_ eamque à $imili cau$a oriun- dam facillime obtinebis cum fontibus, qui aquas per fi$tulam pleno orificio eji- ciunt. Si enim digitum orificio fi$tulæ $ubito ita apponas, ut pars orificii aper- ta maneat, protinus aquas magno impetu expelli videbis, moxque tenue aquæ filum intra pri$tinos velocitatis limites reduci. Ob$ervabis etiam aquas eò ma- jori impetu atque longius projici quo minus digito relinquas foramen, atque pro eodem relicto foramine, jactum in$olitum eò magis protrahi (utut $emper brevi$$imum) fierique oculis $en$ibiliorem, quo longior e$t fi$tula, ita ut in fontibus $alientibus, ad quos aquæ ex ca$tello per longi$$imos canales ferun- tur, $i canales non e$$ent admodum ampli & aquæ pleno effluerent orificio, non dubito quin $ic per notabile temporis $patium vehemens aquæ jactus pro- trahi po$$et, gradatim ad $olitam velocitatem rediturus: Hæc omnia confor- mia $unt cum iis, quæ §. §. 28. & 18. monita fuerunt.
Experimentum hoc me aliquando & prima quidem vice feci$$e memi- ni coram V. V. Cel. D. D. De Maupertuis & Clairaut, cum quibus antea in $er- monem de rebus i$tis aquariis forte delap$us eram. Quamvis autem hic nullus $it aër, qui accu$ari po$$it, revera tamen phænomenon i$tud ab eo, quod D. de la Hire ob$ervatum fuit, non differt, & utrumque ab eo provenit, quod motus aquæ in canali contentæ, vel $altem motus i$tius pars perire non po$$it, fine ullo inde proveniente effectu, quem ip$e enormis aquarum jactus con- $tituit.
REs videbitur multis omnino Geometrica, quæ $cilicet nulla con$ide-
ratione phy$ica opus habeat, ut, cum aquæ ex dato va$e per lumen co-
gnitum velocitatibus in omni$itu determinatis effluunt, tempus de-
finiatur, quo data effluat aquæ quantitas. Attamen experientia contra-
rium docet; nam multo minori quantitate aquæ effluunt perforamina, quæ $unt
in lamina tenui, quam ex $implici velocitatum con$ideratione $equeretur, idque
plerumque (nec enim res $ibi con$tat in diver$is circum$tantiis) in ratione ut
1 ad √ 2; movit hoc Newtonum, ut affirmaret in prima _Princ. math_. editio-
ne aquam ex va$e ea effluere velocitate, quæ generetur altitudine dimidia aquæ
$upra foramen, cui opinioni omnia experimenta de velocitatibus immediate
$umta, contradicunt. Explorans po$tmodum ip$e magnus Vir hujus contra-
dictionis originem, eam po$itam e$$e ob$ervavit in contractione venæ aqueæ,
quæ contractio mox præ foramine fieri $olet. Alia quoque mihi ob$ervata fuit
venæ mutatio priori nunc $imilis nunc contraria. Nempe cum aquæ non per
fimplex foramen, verum per tubulum effluunt, rur$us contrahitur vena, $i
tubus exteriora ver$us convergit, $ed dilatatur $i idem divergit. De contra-
ctione venæ aqueæ per tubos convergentes effluentis accurati$$ima $um$it ex-
perimenta Joh. Polenus in libro de _ca$tellis_ p. 15. & $eqq. contractio venæ eo
major à Viro Celeberrimo ob$ervata fuit, quo amplius erat orificium tubi co-
nici internum manentibus orificio externo atque longitudine tubi, quæ ratio e$t,
quod $imilis aquæ quantitas ceteris paribus eò tardius effluxerit, quò amplius
fuerit orificium internum, quamvis impedimenta ab adhæ$ione aquæ ad late-
§. 2. A$$umamus v. gr. cylindrum verticalem, qui in medio fundi horizontaliter po$iti, habeat foramen, aqua autem interna divi$a concipiatur in $trata horizontalia: His ita po$itis, cen$uimus motum cujusvis $trati eun- dem e$$e & talem quidem, ut $itus horizontalis in illis con$ervetur, ubi tamen monui, non po$$e hanc hypothe$in extendi ad $trata foramini proxima, quo- niam vero inde nullus error $en$ibilis oriri po$$it ratione velocitatis aquarum effluentium, operæ pretium non e$$e, ut ejus rei ratio habeatur. Nunc vero, quando alia phænomena à motu aquæ internæ obliquo, qualis præ$ertim in prædictis $tratis foramini proximis e$t, pendent, hunc paucis lu$trabimus.
§ 3. Mihi autem videtur motum@ aquæ internæ talem e$$e conci-
piendum, qualis foret $i aqua ferretur per tubulos infinitos juxta $e po$itos,
quorum intermedii proxime rectà à $uperficie ver$us foramen de$cendunt, re-
liquis $en$im $e incurvantibus prope foramen, uti Fig. 28. _a_ o$tendit, ex quâ
(I.) Eou$que vena aquæ con$ideranda e$t, donec particularum velo- citates amplius non mutentur, quod quamvis nunquam fiat omni rigore, at- tamen non procul à foramine fieri cen$endum e$t, veluti in _d e_. Hoc autem $i ita fuerit & aquæ ex va$e A B C D per foramen _a c_ effluere ponantur, erit loco va$is $implicis A B C D concipiendum aliud com- po$itum A B _a d e c_ C D.
Quicquid igitur in præcedente $ectione præmi$$um fuit, pro determi- nandis ubique velocitatibus, id omnino locum habebit, $i loco va$is $ubjecti concipiatur vas, quod dixi tubulo contracto in$tructum. Nec tamen hæc cor- rectio, ratione præmi$$æ no$træ methodi velocitatum aquæ effluentis determi- nandarum, $en$ibilem mutationem producere pote$t ob brevitatem tubuli _a d c e_, pote$t autem valde notabilem ratione quantitatis, quia aquæ non tam per ori- ficium _a c_, quam per _d e_ effluere cen$endæ $unt.
(II.) Sic erunt velocitates in diver$is locis ip$ius venæ reciproce ut
amplitudines $ectionum re$pondentium & cum in va$is ampli$$imis velocitas
in _d e_ talis $it quæ toti altitudini aquæ conveniat, $imulque experimentis con-
$tet, amplitudines _a c_ & _d e_ proxime e$$e ut √ 2 ad 1, putavit Newtonus $ic
confirmari po$$e theoriam $uam, qua $tatuit aquam ex foramine vero veloci-
tate effluere quæ debeatur dimidiæ altitudini aquæ $upra foramen, quamvis in
progre$$u velocitas aquæ cre$cat: quâ in re mihi videtur nimium adhæ$i$$e præ-
conceptæ opinioni: neque enim ratio orificii _a c_ ad _d e_ $emper eadem e$t, ne-
que $ic explicari pote$t motus aquarum ex va$e, cui tubulus adhæret: verbo!
attenuatio venæ pror$us accidentalis e$t, pote$t enim tota impediri, apponen-
do foramini parvulum tubulum cylindricum vel augendo tantum cra$$itiem la-
minæ, cui foramen ine$t, & tunc $ine ulla correctione locum habent tam ra-
(III.) Patet autem ex ip$a explicatione $upra data de _contractione venæ_, non po$$e non illam à diver$is circum$tantiis mutari; ita experimenta docent, diminui eandem ab auctâ laterum foraminis cra$$itie: an altitudo aquæ $upra foramen aliquid conferat non $atis $cio: crediderim fere cre$cere aliquantulum contractionem ab aucta altitudine aquæ internæ, quamvis facile parum id fore prævideam: veri$imile quoque e$t, eo minorem cæteris paribus fore contra- ctionem venæ, præ$ertim verticalis, quo majorem rationem habuerit amplitudo foraminis ad amplitudinem cylindri, quia motus aquæ internæ fundo proximæ eo minus fit obliquus, ita ut $i foramen totam amplitudinem cylindri occupet, nulla utique attenuatio venæ aqueæ oriri po$$it. Ad hoc animum advertant ve- lim, qui hujus contractionis in ip$a velocitatum determinatione rationem ha- bendam e$$e forta$$e cogitabunt. Cum enim foramen non multo minus e$t amplitudine va$is, nulla oriri pote$t contractio notabilis & cum foramen e$t parvum, nulla rur$us oritur fere differentia circa velocitates $ive foramen ali- quantum augeatur $ive diminuatur.
§. 4. Eadem propemodum ratio e$t aquarum horizontaliter, ut de aliis directionibus taceam, effluentium: nam $imili modo ab omni parte af- fluet aqua ad foramen; imo etiam ex inferiori parte a$cendet u$que ad foramen ut effluere po$$it, quod ip$e $æpe fieri ob$ervavi. Simili igitur cau$a $imilis fiet in vena effluente attenuatio, quam eo facilius e$t oculis per$picere, quod hîc locum non habeat altera atteuuatio ab acceleratione aquæ jam egre$$æ oriunda. Et ob hanc rationem, $i quis ob$ervationes circa contractionem venæ facere in$tituat, is meo judicio melius faciet, utendo venis horizontali- ter, quam $ub aliâ directione effluentibus.
§. 5. Quanta autem $it contractio, id e$t, quænam ratio intercedat
inter amplitudinem orificii $ectionemque venæ horizontaliter effluentis mini-
mam experiri licet vel $umendo actu men$uras diametrorum i$tis amplitudini-
bus re$pondentium, vel etiam mediante quantitate aquæ dato tempore, da-
tisque velocitatibus effluentis, ubi tamen velocitates non tam ex altitudine
aquæ $upra foramen, quam ex amplitudine jactus deducenda erunt, quando-
§. 6. Ex præmi$$is nunc $atis patere puto perfectum con$en$um fore inter quantitatem aquæ effluentis eju$que velocitatem, $i modo foramini, quod e$t in va$e, $ub$tituatur aliud foramen eo u$que diminutum, donec $ectionem venæ maxime contractæ non $uperet: atque perinde erit, in quonam venæ loco, aut in quânam profunditate à $uperficie aquæ foramen hoc e$$e con$ti- tuatur, $ive in _a c_ $ive in _d e_, quandoquidem velocitates $emper proxime re- $pondebunt toti altitudini aquæ $upra eum locum, quo foramen fingitur: am- plitudinem hujus foraminis mente concipiendi vocabo deinceps _Sectionem ve-_ _næ aqueæ contractæ_.
_§_. 7. Quod $i jam _Sectio_ i$ta, de quâ modo diximus, con$tantem haberet rationem ad orificium, in eadem ratione diminuendum cogitatione foret foramen effluxus, po$tmodumque calculus de quantitate aquæ dato tem- pore effluentis in$tituendus. Ita nempe po$ita i$ta ratione = {1/α} nominatâque amplitudine orificii _n_, cen$enda e$$et _Sectio venæ $olidæ_ = {_n_/α}.
At variabilis cum $it $ub diver$is circum$tantiis, regulas in hanc'rem _à_ _priori_ dare non licet: mutatur autem maxime à cra$$itie laminæ, in quâ fora- men e$t, aucta vel diminuta: aliquid etiam, quamvis id parum, conferre po- te$t magnitudo foraminis, amplitudines va$is, hæque tam ab$olutæ, quam rela- tivæ, ut & forta$$e altitudo aquæ $upra foramen. Interim a$$umtis lamina te- nui, va$e ampli$$imo, foramine ad 4. vel 6. lineas in diametro a$$urgente; $olet ratio inter foramen & _Sectionem venæ contractæ_ non multum recedere ab illâ, quam Newtonus $tatuit, nempe ut √ 2 ad 1. Sæpe autem ab aliis major ob- $ervata fuit, atque ab aliis etiam minor.
_§_. 8. Quæcunque vero $it, in quolibet ca$u illam indicabimus, ut an- te, per {α/1.} Huicque po$itioni nunc calculum pro temporibus $uperin$truemus; brevitatis autem gratia con$iderabimus tantum va$a cylindrica, atque in his duo poti$$imum examinabimus temporum genera; primum quod punctum maximæ velocitatis definit, alterum, quod depletioni re$pondet. In utroque vero ca$u motum à quiete incipere ponemus.
§. 9. Fuerit igitur vas cylindricum verticaliter po$itum aqua ple- num, $itque altitudo aquæ ab initio fluxus = _a_, amplitudo cylindri = _m_, am- plitudo foraminis = _n, Sectio venæ $olidæ_ = {_n_/α} effluxerit jam aqua per tempus _t_; $itque tunc altitudo aquæ re$idua $upra foramen = _x_, eodemque temporis puncto habeat $uperficies aquæ internæ velocitatem, quæ re$pondeat altitudini _v_: erit velocitas ip$a = √ _v_, e$t autem elementum temporis _d t_ proportio- nale elemento $patii - _d x_ divi$o per velocitatem √_v_, unde _dt_ = {- _dx_/√_v_}.
Determinatus @equidem fuit valor ip$ius _v_ in _$ect_. 3. ubi iisdem denomi- nationibus u$i $umus, quibus nunc utimur. At quoniam pro recta aquarum erogatarum men$ura requiritur, ut foramini _n_ $ub$tituatur _$ectio venæ con-_ _tractæ_ {_n_/α}, $equitur, ut in valore ip$ius _v_ eadem fiat $ub$titutio atque $ic $ta- tuatur _v_ = {_nna_/2_nn_ - _mm_αα}(({_a_/_x_})<_>{1 - _mm_αα/_nn_} - {_x_/_a_})
Hic vero valor $i $ub$tituatur in æquatione _dt_ = {- _dx_/√_v_}, oritur _dt_ = - _dx_: √[{_nna_/2_nn_ - _mm_αα} (({_a_/_x_})<_>{1 - _mmαα_/_nn_} - {_x_/_a_})] ope cujus æquationis omnia tempora de$iderata definiri po$$unt per approxi- mationes, $eu $eries, $i modo in $ingulis punctis valor ip$ius α innote$cat: A$$umemus autem e$$e illum con$tantis valoris, quandoquidem in præ$enti ca$u nihil $it, à quo mutari po$$it præter diver$as altitudines & velocitates fluidi, quæ parum vel nihil quantum $en$ibus percipi pote$t ad id negotii conferunt.
_§_. 10. Jam ut æquatio de$iderata per $eries exhiberi po$$it, con$iderabi- mus quantitatem.
1:√[{_nna_/2_nn_ - _mm_αα} (({_a_/_x_})<_>{1 - _mm_αα/_nn_} - {_x_/_a_})] fub hâc forma
({_nnx_/_mm_αα - 2_nn_})<_>- {1/2} X (1 - ({_x_/_a_})<_>{_mm_αα/_nn_} - 2) - <_>{1/2} factoremque
§. 11. Fuerit primo {_m_/_n_} numerus infinitus, erit altitudo aquæ puncto maximæ velocitatis re$pondens $eu
_a_: ({_mm_αα - _nn_/_nn_})<_>{_nn:_ (_mm_αα - 2_nn_)} = _a_: ({_mm_αα/_nn_})<_>_nn_: _mm_αα quoniam autem {_mm_αα/_nn_} e$t numerus infinitus, poterit cen$eri: ({_mm_αα/_nn_})<_>_nn:mm_αα = 1 + (_log._{_mm_αα/_nn_}): {_mm_αα/_nn_}; cujus rei demon$tratio talis e$t: propo$ita $it quantitas infinita A habeaturq; ut in no$tro exemplo A<_>1: A, facile quisque videt e$$e hanc quantitatem paullo majo- rem, quam e$t unitas, & quidem exce$$u infinite parvo, quem vocabimus _z_; habetur itaque A<_>1 : A = 1 + _z_, $umantur utrobique logarithmi & erit {_log. A_/_A_} = _log_. (1 + _z_) = (ob infinitè parvum valorem ip$ius _z_) _z_; Igitur e$t A<_>1: A = 1 + {_log. A_/_A_}: proindeque $imiliter e$t, ut diximus, ({_mm_αα/_nn_})<_>_nn:mm_αα = 1 + (_log_.{_mm_αα/_nn_}):{_mm_αα/_nn_}
Porro quia quantitas hæc unitati addita e$t infinitè parva, erit _a:_({_mm_αα/_nn_})<_>_nn:mm_αα $eu _a_:[1 + (_log._{_mm_αα/_nn_}):{_mm_αα/_nn_}) = _a_ - _a_ (_log_. {_mm_αα/_nn_}):{_mm_αα/_nn_}: e$t igitur $patium per quod $uperficies aquæ de$cendit, dum à quiete maxi- ma oritur velocitas = _a_ (_log._ {_mm_αα/_nn_}): {_mm_αα/_nn_}, $eu = {2_nna_/_mm_αα} _log._ {_m_α/_n_}.
Indicat hæc æquatio de$cen$um aquæ in va$e infinite amplo infinite par- vum e$$e, cum aqua jam maximum velocitatis gradum attigerit: Potui$$et au- tem hoc non ob$tante dubitari, an non interea quantitas aquæ finita effluat, quandoquidem cylindrus $uper ba$i infinita erectus, utut altitudinis infinite parvæ magnitudinem po$$it habere infinitam: at $equitur ex no$tra æquatio- ne, hanc quoque quantitatem infinite parvam e$$e, & nominatim æqualem {_@nna_/_m_αα}_log._{_m_α/_n_}.
Atque convenit hoc egregie profecto cum phænomenis, quæ in ef-
fluxu aquarum ex ca$tellis per $implex foramen toto die experimur. Cum
§. 12. Prouti in proximo paragrapho determinavimus quantitates ut-
ut infinite parvas, de$cen$us aquæ internæ uti & effluentis aquæ dum maxi-
ximum velocitatis gradum aqua attingit, ita nunc idem præ$tabimus ratione
tempusculi. Dico eutem $ufficere in æquatione §. 10. tempus exprimente,
ut in utraque $erie unicus accipiatur terminus primus, quod apparebit cum
quis calculum ad duos extenderit terminos: e$t igitur tempu$culum quæ$i-
tum $ive
_t_ = (2 - 2√{_x_/_a_}) X {
E$t autem hoc tempusculum infinite parvum, quia, ut notum e$t, lo- garithmus quantitatis infinitæ infinities minor e$t ipsâ quantitate. At vero cum $ic $tatim ab initio fluxus, aqua maxima $ua velocitate expellitur, mi- rum prima fronte videbitur forta$$e aliquibus, motum in in$tanti generari finitum: nemo tamen ab$urdum putabit, ma$$am infinitam, cujusmodi e$t quantitas aquæ in va$e infinito contentæ, po$$e tempu$culo infinitè parvo motum producere finitum, idque $olâ gravitatis actione.
§. 13. Si præterea in i$ta va$is infinite ampli po$itione tempus deple-
tionis, quod utique infinitum erit, exprimere velimus, erit, ut $upra indi-
Tum denique tempus, quod impenditur in de$cen$um $uperficiei per altitudinem _a_ - _c_ exprimetur in $imili hypothe$i hac æquatione _t_ = {2_ma_/_n_} (√_a_ - √_c_).}
§. 14. Præmi$$æ æquationes non accurate quidem, proxime tamen
$atisfacient, cum vas non infinitæ, permagnæ tamen amplitudinis e$t: imo
non multum admodum defieient, cum numerus _m_ vel mediocriter $uperat
numerum _n_. Liceat quædam hic verba adjicere circa experimentum quod in
fine paragraphi undecimi indicavi, deturque hæc venia in$tituto no$tro,
quod in phænomenis motuum experientia cognitis poti$$imum ver$atur il-
lu$trandis examinandisque. Dixi autem in citato paragrapho cum aqua ho-
rizontaliter effluit, primam guttulam totam $tatim obtinere amplitudinem
jactus; atque idem hoc quidem indicat theoria pro va$is ampli$$imis; at ve-
ro in va$is mediocriter amplis, quædam guttulæ minori impetu effluere de-
berent, priusquam punctum maximæ velocitatis ad$it, hæque guttulæ in-
cidere deberent in locum aliquem medium inter maximum jactum & pun-
ctum, quod foramini verticaliter re$pondet; atque hoc etiam ita fieri ob-
$ervavi, ex va$is amplitudinis veluti decies foramine majoris. Verum cum
experimentum aliquando $umerem de va$e pedem dimidium alto, quod am-
plitudinem præter propter centuplam haberet foraminis, ne minima quidem
particula aquæ, quantum videre potui, notabiliter à jactu aquæ pleno de-
fecit. Videamus itaque quænam aquæ quantitas in hoc ca$u effluere deberet
ante punctum maximæ velocitatis; erit autem tanta, quantam continet cy-
lindrus ejusdem amplitudinis in altitudine
_a_ - _a_: ({_mm_αα - _nn_/_nn_})<_>_nn_:(_mm_αα - 2_nn_)
(_vid_. §. 10. _$ub. fin_.); nec differt fere hæc minima altitudo ab hac multo com-
pendio$iori, nempe {2_nna_/_mm_αα} _log._ {_m_α/_n_} (_vid._ §. 11.) ubi nunc per {_n_/_m_} intelligi-
Forta$$e aliquid contribuit, quod non po$$it digitus $at celeriter à fo- ramine removeri. Præ$ertim vero huc pertinet, quod maxima pars illius aquæ, quæ ante præ$entem maximam velocitatem erumpit, ita ad maximam jactum accedat, ut nulla differentia ob$ervari po$$it & $ic vix unica guttula notabili d<007>$crimine ab illo defectura fui$$et, $i $e libere ab aqua $ub$equente $eparare potui$$et.
§. 15. Hactenus de aquis per foramina effluentibus: progrediamur
nunc ad effluxum aquarum ex va$is per conos $eu convergentes $eu diver-
gentes. Quod $i autem aquæ effluant per tubum convergentem, dictat ea-
dem ratio à motu particularum convergente petita §. 3. pro foraminibus $im-
plicibus expo$ita, fore ut aquæ vena præ foramine contrahatur etiam-
num ejusque particulæ accelerentur & $ic quantitas aquæ dato tem-
pore effluentis minor $it quam men$uræ orificii effluxus & velocitatum,
nulla habita ratione ad contractionem venæ, indicant. Parva autem $olet
Probe e$t itaque attendendum ad has $ive contractiones $ive dilatatio- nes in æ$timandis quantitatibus aquæ dato tempore effluentis, quam quæ- $tionem obiter tractabimus in fine $ectionis.
Nunc autem libet examini $ubjicere mutationes quæ in effluxus aquarum $uccedunt ab initio motus. In his vero compendii cau$a non attendemus ad mutationes venæ; neque enim res ita e$t comparata ut po$$it experimentis $atis accurate confirmari neque magni momenti hic $unt præfatæ mutationes; res autem ip$a digna e$t, quæ $ollicite perquiratur ut ejus natura animo recte in- telligi po$$it.
De va$is, quæ tubos hahent annexos, jamjam egimus in $uperiori $e- ctiones §. 31. §. 32. _§_. 33. & quidem paragrapho 31. æquationes dedimus ge- neraliores, quæcunque fuerit ratio inter amplitudines va$is & tubi: $ed ni- mis $unt perplexæ calculumque po$tulant admodum opero$um: In paragra- pho, qui hunc $equitur, hypothe$in pertractavi, quæ vas ubique amplitudi- nis infinitæ ratione tubi facit, in qua hypothe$i dixi, aquam effluere velocita- te, qua ad integram altitudinem aquæ $upra orificium effluxus a$cendere po$- $it; $ed tamen in fine paragraphi expre$$e monui, _ab initio motus aquam_ _tardius de$cendere, quam $ic definitum fuit, nec regulam i$tam prius locum_ _habere, quam $uperficies per $patiolum aliquod de$cenderit_, quæ res per $e $a- tis patet, quandoquidem non po$$it in in$tanti velocitas maxima produci à $tatu quietis in tubo, quamvis fiat in va$e foramine $implici perforato.
Hæc ita perpendens animo concepi mutationes initiales explorare, eas-
que ad certas men$uras reducere. Ad hoc autem minime $ufficit præmemorata
regula, quâ i$tarum mutationum initialium nulla ratio habetur, quamvis cæ-
terum exacte vera in va$e infinite amplo; omnes enim mutationes quæ $ta-
tum maximæ velocitatis præcedunt, fiunt dum $uperficies per $patiolum infi-
nite parvum de$cendunt; attamen de$cen$us i$te, $i modo vas fuerit $en$u
§. 16. Fuerit igitur ut in paragrapho 22. _$ect_. 3. cylindrus A E H B (Fig. 18.) is que cen$eatur infinite amplus & aqua plenus, habeatque tubum annexum F M N G finitæ amplitudinis formæ coni truncati, $ive cre$centis amplitudine $ive decre$centis ver$us orificium M N, per quod aquæ effluunt: $it ut ibi altitudo initialis aquæ $upra foramen M N, nempe N G + H B = _a_; altitudo $uperficiei aqueæ in $itu C D $upra M N, id e$t, N G + H D = _x_; longitudo tubi annexi $eu N G = _b_, amplitudo orificii M N = _n_, amplitudo orificii F G = _g_, amplitudo cylindri, quæ e$t infinita, = _m_; $itque tandem velocitas $uperficiei aquæ in $itu C D talis quæ conveniat altitudini _v_, quæ altitudo utique infinite parva erit. His po$itis vidimus loco citato obtinere generaliter hanc æquationem: _m_(_x_ - _b_)_dv_ + {_bmm_/√_gn_}_dv_ - {_m_<_>3/_nn_}_vdx_ + _mvdx_ = - _mxdx_ in quâ patet, po$$e nunc negligi terminum primum _m_(_x_ - _b_)_dv_ præ $e- cundo {_bmm_/√_gn_}_dv_, ut & quartum _mvdx_ præ tertio - {_m_<_>3/_nn_}_vdx_, atque $ic a$$umi {_bmm_/√_gn_}_dv_ - {_m_<_>3_v_/_nn_}_dx_ = - _mxdx_. in qua æquatione $i rur$us negligatur primus terminus, quod fieri pote$t, ni$i mutationes etiam de$iderentur, quæ durante primo de$cen$u, et$i infi- nite parvo fiunt, orietur regula vulgaris _a$cen$us potentialis_ aquæ effluentis ad altitudinem integram aquæ: nunc vero pro no$tro negotio, quo mutatio- nes illas primas de$ideramus, terminus i$te retinendus erit, atque $ic æqua- tio ultima in tota $ua exten$ione pertractanda.
Ponatur autem pro $eparandis ab invicem indeterminatis {_mm_/_nn_}_v_ - _x_ = _s_, $ive _v_ = {_nn_/_mm_}(_s_ + _x_), atque _dv_ = {_nn_/_mm_} (_ds_ + _dx_) $icque fiet _dx_ = {- _nnbds_/_nnb_ - _ms_√_gn_}, quæ ita e$t integranda, ut facta _x_ = _a_, prodeat _v_ = _o_, hincque _s_ = - _a_, ita vero fit _x_ - _a_ = {_nnb_/_m_√_gn_}_log_.{_nnb_ - _ms_√_gn_/_nnb_ + _ma_√_gn_} & po$ito pro _s_ valore ejus a$$umto {_mm_/_nn_}_v_ - _x_, prodit _x_ - _a_ = {_nnb_/_m_√_gn_}_log_.{_n_<_>4_b_ - _m_<_>3_v_√_gn_ + _mnnx_√_gn_/_n_<_>4_b_ + _mnna_√_gn_}
Hic rur$us in quantitate $igno logarithmicali involuta pote$t ex nume- ratore eliminari terminus _n_<_>4_b_, infinities nempe minor termino _mnnx_√_gn_ nec non ex denominatore terminus _n_<_>4_b_ infinities pariter minor altero _mnna_√_gn_. Et $ic fit _x_ - _a_ = {_nnb_/_m_√_gn_}_log_.{_nnx_ - _mma_/_nna_}
Inde habetur, po$ito _c_ pro numero cujus logarithmus e$t unitas: _v_ = {_nnx_/_mm_} - {_nna_/_mm_} X _c_ {_m._(_x_ - _a_)√_gn_/_nnb_} aut po$ita _a_ - _x_ = _z_, $ic ut _z_ denotet $patium, per quod $uperficies aquæ jam de$cendit, poterit æquationi hæc conciliari forma: _v_ = {_nn_.(_a_ - _z_)/_mm_} - {_nna_/_mm_}:_c_<_>{_mz_/_nb_}√{_g_/_n_} de qua iterum liquet quod cum _z_ vel minimam habuerit rationem ad _b_, fiat denominator alterius termini infinitus & _v_ = {_nn_.(_a_ - _z_)/_mm_} = {_nnx_/_mm_}: at vero ali- ter $e res habet, quamdiu de$cen$us _z_ infinite parvus e$t, quem ca$um nunc con$ideramus.
§. 17. Hi$ce præmi$$is facile nunc e$t definire per quantulum $patium
de$cendat fluidum, dum maximam velocitatem acquirit, faciendo nempe
Hæc autem altitudo multiplicata per altitudinem cylindri _m_ dat quan- titatem aquæ interea effluentis, nempe _nb_√{_n_/_g_} X _log_.({_ma_/_nb_}√{_g_/_n_},) quæ quan- titas, ut $upra §. 15. præmonui, e$t infinita, quamvis tantum logarithmica- liter, cujusmodi infinitum minus e$t, quam radix cujuscunque dimen$ionis datæ ex eodem infinito; e$t $cilicet _log_. ∞ minor quam ∞ {_1_/_n_}, quantuscunque fuerit numerus _n_ a$$ignabilis. Atque hoc ideo moneo, ut $ic intelliga- tur, qui fiat, ut, $i à vero infinito ratiocinamur ad quantitates valde ma- gnas, quantitas i$ta aquæ $at parva evadat. Cæterum corollaria formulæ hæc $unt.
(I) Si tubus annexus e$t cylindricus, fit _z_ = {_nb_/_m_}_log_.{_ma_/_nb_}: Igitur cæteris paribus hæc quantitas $e habet, ut longitudo tubi annexi, quod generaliter etiam verum e$t: nam à mutato valore ip$ius _b_ cen$enda e$t non mutari quantitas _log_.{_ma_/_nb_}√{_g_/_n_} ob valorem infinitum numeri {_m_/_n_}.
(II) Pro eodem orificio _g_ cæterisque etiam paribus, $equitur quantitas _z_ $esquiplicatam rationem orificii extremi: atque $i idem tubus modo orifi- cio $trictiori modo ampliori va$i applicetur, erit quantitas aquæ in ca$u prio- ri ad $imilem quantitatem in po$teriori, ut quadratum orificii amplioris, ad quadratum orificii minoris.
(III) Denique ob$ervandum e$t valere totum ratiocinium pro omnibus directionibus tubi, quod quivis per$piciet qui §. 22. _$ect_. 3. recte examinabit. Poterit igitur tubus adhiberi etiam horizontalis aut $ub quâcunque alia di- rectione & utcunque incurvus, ad quod præ$ertim in in$tituendis experimen- tis animus erit advertendus. Semper autem intelligetur per _b_ longitudo tu- bi, per _a_ vero altitudo aquæ verticalis $upra orificium extremum.
§. 18. Venio nunc ad tempus, quo i$tæ mutationes à quiete ad ma-
§. 19. Quia altitudo velocitatis, ut vidimus in proximo paragrapho, pote$t $tatim cen$eri = {_nn_/_mm_}_a_, id e$t, æqualis maximæ, cum $uperficies per minimam partem a$$ignabilem de$cen$us infinite parvi, po$t quem velocitas maxima plena ade$t, de$cendit, $equitur mutationes plerasque à quiete usque ad $ta- tum maximæ velocitatis e$$e in$en$ibiles, id e$t, infinite parvas, imo non $olum plerasque, $ed & omnes præter particulam infinite parvam: res $ci- licet $ic $e habet: velocitas à primo initio plane nulla e$t, & po$tquam aqua per $patiolum infinite parvum de$cendit, jam e$t tantum non maxima; dein dum per aliud $patiolum rur$us quidem infinite parvum priori tamen infinite majus, de$cendit, pergit velocitate $ua moveri, incrementa $umens infinitè parva, & tunc demum vere maximam velocitatem attingit: Cum vero po- $teriores illæ mutationes ceu infinite parvæ non po$$int $en$ibus percipi, aliter pertractabimus ea quæ à §. 17. dedimus theoremata, con$iderando loco mu- tationum à quiete usque ad punctum maximæ velocitatis, easdem mutatio- nes usque ad datum gradum velocitatis.
§. 20. Indagabimus itaque, per quantum $patiolum _z_ $uperficies aquæ
à $tatu quietis de$cendere, quantaque aqua effluere, ac denique quantum
tempus præterire debeat, ut aqua interna velocitate moveatur, quæ gene-
retur lap$u libero per datam altitudinem, quam vocabimus {_nn_/_mm_}_e_, ita ut ip-
fa _e_ denotet $imilem altitudinem pro velocitate aquæ effluentis. Ad hoc re-
Hæc vero æquatio jam indicat $patiolum, quod e$t infinite parvum, & per quod de$cendit $uperficies aquæ, dum à quiete velocitas aquæ effluen- tis tanta $it, quæ debeatur altitudini _e_; $eque habet hoc $patiolum ad illud pa- ragrapho decimo $eptimo indicatum, quo nempe velocitas maxima oritur, ut _log_. {_a_/_a_ - _e_} ad _log_. ({_ma_/_nb_}√{_g_/_n_}) ita ut primum $it infinities minus altero, et$i pariter infinite parvo.
Si porro definita quantitas _z_ multiplicetur per _m_, obtinetur quantitas aquæ effluentis dum illa velocitas altitudini _e_ debita producitur, quæ proin quantitas e$t æqualis _nb_√{_n_/_g_} X _log_.{_a@_/_a_ - _e_} atque $ic finitæ magnitudinis, & quidem eo majoris, quo longior $umitur tu- bus, & quo major jactus expectatur.
Denique tempus, quo idem fit, $i recte $eligantur termini rejiciendi, reperitur æquale 2√({_nbb_/_ag_} _log_.{_a_/_a_ - _e_}) atque $ic finitum $ed admodum parvum & in nullo exemplo ultra minutum $e- cundum facile extendendum.
§. 21. Hæc omnia accurate examinare ac pro$equi volui, tum quod
multorum phænomenorum, quæ in effluxu aquarum ob$ervari $olent, $olu-
tio inde pendeat, tum etiam ut illas mutationes, quæ $en$ibus plane $unt im-
perceptibiles, animo recte a$$equeremur. Multi fuerunt, qui tran$itus ab infini-
§. 22. Tandem quod pertinet ad tempus depletionis, patet cum am- plitudo va$is vel mediocriter $uperat amplitudinem tubi annexi, po$$e $ine $en$ibili errore cen$eri illud = {_mα_/_n_} _θ_ intelligendo per _θ_ tempus, quo corpus à quiete libere cadendo ab$olvit altitudinem, quam aqua ab initio fluxus habuit $upra orificium tubi extremum, atque $umendo pro {_mα_/_n_} rationem quæ e$t inter amplitudinem va$is & _$ectionem venæ_, $ive _contractam_ $ive _dilatatam_. Impe- dimenta vero, quæ in his ca$ibus fortuito $uperveniunt, tempus i$tud admo- dum augent. Si vero tempus de$ideretur, quo $uperficies aquæ per datam de- $cendat altitudinem erit illud $umendum = {_mα_/_n_} (_θ_ - Τ) $umto pro Τ tem- pore quod corpus in$umit libere cadendo per altitudinem, quam aqua in fine fluxus $upra foramen habet.
QUum magna pars hujus $ectionis po$ita $it in contractione venæ aqueæ per foramen in lamina tenui factum fluentis, animo concepi de i$ta contractione experimenta in$tituere accurata, non quidem men$uras accipiendo diametrorum, quam methodum non $u$$icienti accuratione fieri po$$e expertus $um, $ed ob$ervando velocitates _actuales_ ex amplitudine jactus, & quantitates datis temporibus effluentes; In experimentis automato u$us $um, quod tempore unius minuti primi 144. vicibus pul$abat, atque $ic $e- quentia $um$i.
Tubum cylindricum adhibui, cujus diameter erat 4. _poll_. 3. _lin. men$_. Angl. è lamina tenui factum quique foramen habebat in latere, id e$t, in $uper- ficie cylindrica: erat diameter foraminis = 4 {_52_/_125_} lin. aquæ effluebant hori- zontaliter ex cylindro verticaliter po$ito, & fuit ab initio fluxus altitudo aquæ $upra centrum foraminis = 4. _poll_. 8. _lin_. $imili$que altitudo in fine fluxus = 3. _poll_. duravit autem omnis fluxus intervallo undecim automati pul$uum, quæ proxime efficiunt tempus 4. minutorum $ecundorum cum dimidio.
Porro repetito $æpius experimento ob$ervati$que tum altitudine fora- minis $upra tabulam horizontaliter po$itam, tum amplitudine jactus, hacque tam in principio quam in fine fluxus, vidi ex _Lemm. in principio Experimento-_ _rum præcedentis Sect. indicato_ velocitatem aquæ effluentis in loco venæ maxime contractæ con$tanter talem fui$$e, quantum quidem $en$ibus dijudicari potuit, quæ deberetur altitudini aquæ $upra eundem locum, qui in eadem altitudine e$t quâ foramen.
Igitur $i contractionem venæ aqueæ ubique eandem fui$$e ponamus & huic ca$ui applicemus æquationem ultimam paragraphi decimi tertii, nempe _t_ = {2_mα_/_n_}(√_a_ - √_c_) erit ponendum _t_ = 4 {1/2} _min. $ec_. {_m_/_n_} = 133; 2√_a_(= tem- pori quod corpus in$umit libere cadendo per altitudinem aquæ initialem) = _o_, 1483 & 2 √_c_ (= tempori $imili pro altitudine aquæ ultima) = _o_, 1246: fit 4 {1/2} = 3, 15 α unde α = 1, 43. Exinde con$equens e$t, amplitudinem fora- minis fui$$e ad $ectionem venæ contractæ ut 143. ad 100; hæc ratio tantillo major e$t quam quæ intercedit inter √ 2 & 1 nempe inter 141 & 100; $ed $i accurati$$ime velocitates ob$ervari potui$$ent, dubium non e$t, quin illæ paul- lo minores futuræ fui$$ent, quam quæ toti altitudini aquæ debeantur; & cum hujus rei ratio habetur, deprehenditur valorem ip$ius α $ic pauxillum dimi- nuendum e$$e; pote$t igitur ex toto experimento colligl tuti$$ime rationem præmemoratam fui$$e ut √ 2 ad 1.
Deinde experimento explorare volui, an in omnibus jactibus $ub qua- cunque directione contractio eadem $it, & hunc in finem exi$timavi rem $ic e$$e aggrediendam, ut præter directionis i$tius mutationem circum$tantiæ cæ- ræ omnes e$$ent pror$us $imiles. Id vero $ic obtinui.
Eodem $cilicet, quo antea cylindro u$us $um, eum autem arcæ pris- maticæ verticaliter po$itæ implantavi, ita, ut axis cylindri e$$et horizontalis, $icque implantatum circumverti, ut centrum foraminis, aqua@um effluxui de- $tinati, modo locum $ummum, modo medium, modo imum occuparet: in primo ca$u aquæ verticaliter $ur$um effluebant, in $ecundo horizontaliter, in tertio verticaliter deor$um ejiciebantur; in $ingulis vero feci ut altitudines aquæ in arca $upra centrum foraminis e$$ent perfecte æquales: $ucce$$us hic fuit.
Ob$ervavi æqualibus temporibus $uperficiem aquæ in $ingulis ca$ibus per $patia æqualia in arca de$cendere. Igitur in venis $ur$um projectis aqua uperior non re$i$tit $en$ibiliter aquæ inferiori $ub$equenti, quod idem alio intellexi modo, quod $cilicet, $i ad parvam à foramine di$tantiam veluti 3. linearum nummo aliquo venam aqueam cuju$cunque directionis excipiebam, ita ut vena in num- mum perpendiculariter incideret, effluxus aquarum non fuerit retardatus. Porro nec aqua in venis verticaliter de$cendentibus anterior po$teriorem po$t $e trahit; ip$aque venæ contractio $imilis ubique e$t, non con$iderata retarda- tione accelerationeque aquarum $ur$um vel deor$um ejectarum, quæ faciunt ut vena in aliqua à foramine di$tantia vel intume$cat, vel gracile$cat. Hic enim $ermo e$t de illa modo contractione, quæ oritur à motu particularum obliquo in regione foraminis.
Eadem machina prædicto modo præparata u$us $um ad explorandum,
num contractio venæ cæteris paribus mutaretur ab aucta altitudine aquæ $upra
foramen. Hunc in finem duas acus infixi lateribus internis arcæ ad perpen-
diculum $ibi re$pondentes, prior eminebat $upra centrum foraminis 13 _poll_.
cum 10. _lineis_, altera 12. _poll_. 1 {3/5} _lin. men$. Angl_. amplitudo arcæ erat ad am-
plitudinem foraminis ut 404. ad 1. vidi autem $uperficiem aquæ à $uperiore
Quod $i vero tempus idem quæratur ad Hypothe$in, venam $e nihil contraxi$$e, $imulque aquas omni velocitate, quam vi theoriæ nullo præ$en- te impedimento alieno habere debui$$ent, effluxi$$e, reperitur illud = 6 {7/8} _min. $ec_.
Sic igitur concludi pote$t, fui$$e amplitudinem foraminis ad _$ectionem_ _venæ contractæ_ ut 10. ad 6 {7/8}, id e$t, α = 1, 45, cum in primo experimento fue- rit pro eodem foramine perpen$is omnibus circum$tantiis α = 1, 41.
Po$tquam hæc ita expertus fui$$em, re$iduum erat explorare, an aquæ omni velocitate ad $en$us effluxerint, qua de re eo magis dubitavi, quod cre$centibus velocitatibus aquæ, cre$cant $imul impedimenta, hæcque proin notabilia e$$e po$$int in majoribus aquæ altitudinibus, qualia in minoribus non $unt.
Feci itaque omni adhibita cura (quod poti$$imum ad præci$ionem ex- perimenti requiritur) ut aquæ $ub directione perfecte horizontali effluerent, & acceptis men$uris tum amplitudinis jactus, tum altitudinis foraminis $upra tabulam horizontalem, vidi $ubducto calculo, quod cum altitudo aquæ erat = 13. _poll_. cum 10. _lin_. $eu 166. _lin_. aquæ effluxerint, $eu potius per _$ectionem_ _venæ contractam_ transfluxerint, velocitate, quæ convenit altitudini 158 {1/2} _lin_. igitur velocitas in calculo diminuenda e$t in ratione $ubduplicata harum altitu- dinum atque in eadem ratione proxime decre$cit valor inventus litteræ α, qui ita fit paullo minor quam 1, 42 $eu rur$us 1, 41 & $ic colligere licet, $olam al- titudinem aquæ mutatam ad $en$us non mutare contractionem venæ.
Tubum habui cylindricum altitudinis 4 _poll_. cujus $ectio per axem re-
pre$entatur per (Fig. 28. _b_.) C A B D, amplitudo cylindri erat ad amplitudinem
foraminis _a c_ ut 110 ad 1. Cylindrus i$te aqua plenus omnis evacuatus fuit tem-
Indicat hoc experimentum minorem hic aquæ fui$$e contractionem quam pro ratione √2 ad 1; Expectaveram tempus evacuationis fore admodum 23. _min. $ec_. $ed eventus paullo alius fuit ut dixi, cujus rei rationem e$$e po$t- modum animadverti, quod labia foraminis elongata tubulum fere quamvis brevi$$imum formarent, ut Figura o$tendit, qui venæ aqueæ contractionem impediebat: interim latitudo i$torum labiorum duas tertias lineæ non attin- gebat.
Feci ut aquæ ex va$e ampli$$imo per tubulum effluerent horizontali- ter: erat autem tubus brevi$$imus, longitudinem nempe 3. _lin_. non excedens, habebatque in diametro fere 5. _lin_.
Effluxit data aquæ quantitas tempore 11 {1/4} _min. $ec_. quæ effluere debui$- $et tempore 10 {2/3} _min. $ec_. $i neque contractam fui$$e venam, neque ulla adfui$$e impedimenta $tatuatur.
Velocitates reales aquæ non cen$ui opus e$$e ut experirer, nullus du- bitans tales fui$$e, quales e$$e debeant, ut ob$ervato tempore per ob$ervatum orificium data quantitas aquæ, nulla facta ad contractionem venæ attentione, efflueret.
Alios in$uper alîus diametri longitudinisque adhibui tubulos & vidi quantitates aquæ dato tempore datisque velocitatibus effluentis recte re$ponde- re orficiis effluxus: velocitates autem eo magis defeci$$e à velocitate integræ altitudini aquæ debita, quo $trictior & quo longior erat tubus, ut & quo altior erat aqua.
Va$a, quorum $ectiones per axem repre$entant Fig. 24. & 25. cylin-
drica, altitudinem habebant 4. _poll. Angl_. tubosque annexos longitudinis unius
pedis, amplitudines cylindrorum erant ad amplitudines orificiorum A, ut 110
In his ca$ibus va$a $atis ampla $uere ratione tuborum annexorum, ut veluti infinita cen$eri po$$ent; debui$$etque proin per Regulas pa$$im à no- bis indicatas aqua effluere per orificia extrema velocitatibus re$pondentibus toti altltudini aquæ, $i modo excipias prima fluxus momenta, quæ ip$a tam brevia hic $unt, ut ob$ervari non po$$int. Et cum præterea, ut pa$$im mo- nui, quantitas aquæ dato tempore per tubos effluentis $impliciter æ$timan- da $it ex celeritatibus & magnitudine orificiorum inveni per regnlam §. 22. exhibitam, tempus evacuationis in primo ca$u 4 {1/3} min$ec. in po$teriori = fere 3. _m. $ec_.
Quod in experimento majora paullo fuerint ob$ervata in Fig. 24. ma- ximam partem adhæ$ioni aquæ ad latera tubi, in Fig. autem 25. alii in $uper rationi in paragrapho 34. _$ect_. 3. indicatæ e$t tribuendum.
Phænomena alia in his va$is $unt notanda: nempe cum va$a $unt tan- tum non evacuata, percipitur $onus quidem ab aëre, qui tunc aquæ in ori- ficio $uperiori $e mi$cet. hunc vero $onum pro ultimo fluxus momento acce- pi: facile fit porro, ut aquæ effluxus concedatur priusquam ad perfectam quietem fuerit reducta (nam ab impletione agitantur & in turbinem mo- ventur aquæ); tunc autem effluxus admodum retardatur & cataractæ $pecies interne formatur, continueque aër aquæ effluenti $e permi$cet. Ita pote$t pro lubitu retardari effluxus, $i in vorticem aquæ agantur antequam effluant.
Va$e u$us $um Prismatico, cui tubulus infixus erat horizontaliter ut in Fig. 19. Habebat orificium G F in Diametro præci$e quinque lineas; alterum N M 6 {1/2} _lin_. Erant proin ip$æ amplitudines orificiorum G F & N M ut 100. ad 169. amplitudo vero va$is continebat amplitudinem orificii N M ducentis & una vicibus. Longitudo tubuli G N erat 4. _poll_.
Denide vas aquâ implevi usque in C D, cujus altitudo $upra axem tu-
bi erat 13. _poll_. 10, _lin_. Aperto orificio N M effluxerunt aquæ de$cenditque
Subducto calculo ad normam paragraphi 22. ubi neque ad impedimen- ta, neque ad mutationem venæ attenditur, videmus prædictum tempus de- $cen$us e$$e debui$$e proxime = 5 _min. $ec_. cum fere dimidio. Igitur $tatu- endum e$t hoc modo, velocitatem mediam totalem $e habui$$e ad velocita- tem integram, quam theoria indicat, ut 5 {1/2} ad 8 {1/3} $eu proxime ut 2 ad 3; hincque concludi pote$t, aquam per orificium M N effluxi$$e velocitate, quæ conveniat ({2/3})<_>2, $eu quatuor nonis partibus altitudinis aquæ $upra foramen M N, per alterum vero orificium G F transfluxi$$e velocitate quinque præter propter quartis ejusdem altitudinis partibus debita.
Apparet itaque rur$us effluxum aquarum promoveri ab auctâ amplitu- dine orificii tubi ver$us exteriora, quamvis nec orificium quo tubus in vas e$t implantatus, nec $itus tubi $it mutatus.
Porro in tabula horizontaliter po$ita P Q ob$ervavi amplitudinem jactus P Q pro altitudine _o_ P, quæ erat 4. _poll_. 8. _lin_. Inveni autem P Q = 9. _poll_. 6. _lin_.
Sequitur ex i$ta ob$ervatione, quod $i dilatationis venæ con$ideratione $epo$ita aquæ in N M velocitatem debuerint habere, qualis debetur altitudi- ni 4. _poll_. 10. _lin_. cum tamen vi præmi$$i experimenti certe habuerit velocita- tem debitam altitudini fere 6. _poll_. 2. _lin_. Confirmat hæc ob$ervatio id quod §. 15. dixi, nempe in tubis divergentibus venam aqueam dilatari veluti in _m_, ip$iusque motum retardari. In præ$enti vero ca$u, ut ambæ ob$ervatio- nes concilientur, dicendum erit venam ita dilatatam fui$$e, ut amplitudi- nem haberet ratione orificii N M reciproce ut prædictæ velocitates $eu reci- proce ut radices altitudinum i$tis velocitatibus debitarum, nempe ut √ 74. ad √ 58. proindeque diametros venæ dilatatæ & orificii fui$$e ut ∜74 ad ∜ 58. $eu ut 100 ad 941.
Aliud feci experimentum quod, quamvis huc nondum pertineat, ni-
hilominus recen$ebo: nempe in ortu prope orificium G F tubum perforavi
foramine _e_ duarum fere linearum, rur$usque de$cen$um $uperficiei ex C D in
Duo hæc vidi, quæ prima fronte $ibi contradicere fere videntur; de- $cen$us ex C D in E H tardior factus e$t quam in præcedenti experimento fuerat, & nunc duravit 10. _min. $ec_. & tamen amplior fuit jactus P Q pro ea- dem altitudine _o_ P; jam enim erat P Q = 10. _poll_. 10. _lin_.
Ambo Phænomena ita explico: ob foramen _e_, quod fuit factum prope G F quodque aëri liberum tran$itum concedit, $olvitur nexus, quem alias inter $e habent aquæ in tubo, nec proin aliter transfluunt aquæ ubi e$t fo- raminulum _e_, quam $i eo ip$o in loco e$$et re$ci$$us tubus; fluerent autem tardius, quod pa$$im demon$travi, $i tubus G N M F ceu divergens brevior fieret. Quod porro aquæ quamvis minori quantitate, tamen majori impetu per orificium N M non mutatum fluere po$$int $ine implicita contradictione, ra- tio e$t permixtio aëris cum aqua; nam aër perpetuo irruit in tubum per fo- raminulum _e_ & una cum aqua effluit per N M. Denique phænomenon illud, quod aquæ actu celerius fluant per M N aperto, quam clau$o foramine _e_, aliter explicari non po$$e mihi videtur, quam quod impedimenta extrin$eca minus agant in aquam aëre rarefactam quam naturalem.
Quum aquæ per foramen in lamina tenui factum ex va$e ampli$$imo effluunt, prima $tatim guttula omni velocitate, quæ altitudini aquæ $upra fo- ramen debetur, erumpit.
Conforme hoc e$t cum theoria §. 11. indicata, $i vas $it revera
infinitum, & quamvis etiam non fuerit $en$u Geometrico infinitum,
dummodo $it valde amplum, nulla pariter guttula ab initio fluxus ob-
$ervari pote$t, quæ non maxima velocitate effluxerit: Phænomenon hoc
explicui §. 14. cum nempe vi theoriæ in ca$u particulari aliquo ibidem re-
cen$ito vix una aut duæ guttulæ $en$ibiliter à jactu maximo deficere debuif-
Quum vero aquæ ex va$e ampli$$imo per tubum va$i horizontaliter in- $ertum effluebant, ob$ervavi priusquam vena effluens jactum formaret, ma- ximum _o m_ Q (vid. Fig. 19,) $at notabilem aquæ quantitatem in tabulam ho- rizontalem $ubjectam delabi mediam inter P. & Q. eo majorem e$$e hanc quan- titatem quo longior e$t tubus G N & quo magis ver$us N divergit, ac deni- que inæqualiter aquam illam di$tribui, multo copio$ius $cilicet decidere in locum, qui e$t remotior à puncto P, quam qui eidem e$t propior; Ratio- ne autem temporis, quo omnes i$tæ mutationes fiunt, vidi illud brevi$$imum e$$e, & tale ut ejus men$ura percipi non po$$et.
Omnia i$ta phænomena ex a$$e $atisfaciunt propo$itionibus, quas dedi- mus à paragrapho undecimo usque ad finem $ectionis. Men$uræ autem ibi- dem exhibitæ experimentis recte confirmari non po$$unt, præ$ertim illæ, quæ _§_, _§_. 15. 16. & 17. indicatæ $unt, ubi $cilicet formulæ communicantur, quæ exprimant quantitatem aquæ effluentis, dum à quiete maximus fit ja- ctus: ratio e$t primò, quod primæ guttulæ quæ prope punctum P in tabu- lam decidere deberent ab aqua $ub$equente non libere $e $eparent; $ecundo, quod aquæ quantitas venæ O Q proxima (quæ quidem maximam vi ip$ius theoriæ partem con$tituit) intercipi non queat, & denique, quod motus aquarum per tubos admodum tetardari $olet, ab impedimentis extrin$ecis, imprimis $i tubi divergant, atque $ic motus realis $it admodum diver$us à motu quem aquæ habituræ e$$ent, remotis omnibus impedimentis. Reli- quæ men$uræ à nobis indicatæ paucioribus iisque minoris momenti difficnl- tatibus $unt $ubjectæ; continentur autem §. 20. & exprimunt poti$$imum aquæ quantitatem, quæ à primo motus puncto effluit, dum aqua datum velocita- tis gradum attingit.
Quamvis ob rationes modo dictas, præ$ertim in ca$u tuborum diver-
gentium perfectus con$en$us theoriæ cum experimentis minime expectari
po$$it, talem tamen expertus fui $ucce$$um, ut facile intellexerim integrum
futurum fui$$e con$en$um $i impedimenta omnia una cum aquearum parti-
In Figuræ 19. tubus formâ coni truncati horizontaliter va$i erat in $er- tus, vas ip$um aqua implevi usque in C D, ita, ut altitudo ejus $upra axem tubi e$$et æqualis 433. particulis æqualibus, quibus in toto experimento u$us $um. Pro illa altitudine experimento inqui$ivi in punctum Q maximo jactui re$pondens, & fuit P Q = 287. _part_. dum altitudo _o_ P erat = 146. _part_. Sic vidi motum aquæ tum propter aquæ adhæ$ionem, tum propter Fi- guram tubi fui$$e valde retardatum, quod in his ca$ibus fieri debere aliquo- ties monui. Debui$$et autem, $i nihil ob$titi$$et motui, e$$e P Q = 503. _part_.
Deinde Patinam po$ui in tabulam horizontalem, cujus ora erant in S & R: Patinam autem prius madefeci, omnemque aquam ex illa depluere rur- $us $ivi: $umtaque men$ura P R, illam inveni 206 _part_.
Denique diameter G F erat = 13. _part_ & M N = 17 _part_. longitudo tubi autem erat = 125 _part_.
His omnibus ita præparatis, dum orificium M N dignito obturarem, remoto confe$tim digito aquæ ejiciebantur, earumque pars aliqua in patinam decidebat: hanc $ollicite in tubum vitreum collegi cylindricum, cujus diame- ter erat = 8 {1/2} _part_. tubus i$te impletus fuit ad altitudinem 210 _part_. fuit igitur quantitas aquæ in patinam delap$æ = 11922 _particulis cubicis_.
Jam vero deberet i$ta quantitas per _§_. 20. e$$e = _nb_√{_n_/_g_} X _log_. {_a_/_a_ - _e_}, ubi per _n_ intelligitur amplitudo orificii N M $eu 227. _part. quadratæ_ per _g_ am- plitudo orificii G F = 133. _part. quadr_. denotat porro _b_ longitudinem tubi, quæ fuit = 125 _part_. per _a_ proprie intelligitur altitudo $uperficiei C D, $upra axem tubi, hic vero intelligenda potius e$t altitudo conveniens velocitati aquæ in punctum Q incidentis, $eu 141. _part_. $imiliterque pro _e_ $umenda e$t altitudo conveniens velocitati particulæ in punctum R incidentis, nempe 73 _part_. Denique vox abbreviata _log_. $ignificat logarithmum Hyperbolicum. Factis i$tis $ub$titutionibus numericis, fit _nb_√{_n_/_g_} X _log_. {_a_/_a_ - _e_} = 227 X 125 X {17/13} X _log_. {141/68} = 26830.
Fuit igitur quantitas aquæ experimento inventa ad quantitatem, quam theoria $epo$ita impedimentorum con$ideratione indicat, ut 11922 ad 26830; qui numeri, quamvis non parum differant, tamen egregie theoriam confir- mant, quod ip$um nunc clare ob oculos ponam.
In formula _nb_√{_n_/_g_} X _log_. {_a_/_a_ - _e_}, po$uimus pro _a_ altitudinem velo- citati maximæ aquæ effluentis debitam, qualis revera fuit in experimento, non qualis remotis ob$taculis futura fui$$et; fecimus nempe _a_ = 141: in theo- ria vero e$t _a_ = 433. Quod $i autem valor i$te po$terior a$$umatur, retinen- do valorem altitudinis _e_ = 73, fit _nb_√{_n_/_g_} _log_. {_a_/_a_ - _e_} proxime = 6700, qui numerus nunc multo minor e$t numero per experimentum eruto, cum antea fuerit admodum major. Talis autem fit cum altitudo _e_ $ervare valorem ponitur: Verum prouti altitudo _a_ aucta fuit ab 141 u$que ad 433, ita certe etiam altitu- do _e_ e$t augenda, foretque utraque altitudo in eadem ratione augenda, $i im- pedimenta primis guttulis æqualiter re$i$terent & $equentibus: $ed minorem re$i$tentiam offendunt cæteris paribus particulæ, quo tardius moventur, atque proin etiam guttulæ quæ cadunt cis terminum R minus retardantur, quam quæ terminum i$tum tran$grediuntur: Facile e$t exinde colligere in minori ratione augendam e$$e altitudinem _e_ quam alteram _a_, ip$am vero rationem dicere non po$$umus, ni$i à po$teriori, faciendo $cilicet, ut theoria conveniat cum ex- perimento; ita reperitur ponendum e$$e _e_ = 120, qui numerus animo ad om- nes circum$tantias bene attento plane $atisfacit.
Sic igitur manife$tum mihi videtur, experimenti $ucce$$um talem fui$$e, ut plane cum theoria conveniat. Hujusmodi autem exempla omni- no demon$trant, veras motuum leges in fluidis nos tradidi$$e, eaque inter infinita alia $elegi, quod nullam habent nexum neque affinitatem cum regu- la communi, quæ fluida ubique velocitate effluere $tatuit, toti altitudini aquæ $upra foramen debita, neque po$$int principiis con$uetis $olvi. Cæte- rum quoniam in hoc experimento motus aquæ retardatus fuit, aliud in$titue- re volui, quo omnia impedimenta admodum diminuerentur, ut $ic appare- ret eo magis ad $e invicem accedere numeros experimenti & regulæ, quo minora e$$ent impedimenta.
Jam itaque u$us fui tubo cylindrico per quem facilior fit transfluxus eo- que ob eandem rationem ampliore: erat præterea arca cui tubus in$ertus fuit multo amplior, & denique altitudo aquæ in arca contentæ $upra axem tubi multo minor fuit, ut minori velocitate aquæ transfluerent, $icque ob$tacu- la minoris momenti offenderent: Cætera fuerunt, ut ante.
Fuit igitur altitudo aquæ $upra axem tubi = 130. _part. o_ P = 553. _part_. P Q = 453. _part_. P R = 297. diameter G F vel M N = 19. _part_. tubique longi- tudo 130. _part_.
Vidi aquam in patinam delap$am cylindrum explevi$$e, qui 8 {1/2} _part_. in diametro continebat ad altitudinem 281. _part_. & cujus proinde capacitas erat 15950. _part. cub_. In hoc ca$u ponendum e$t _a_ = {453. 453/4. 553} = 93. _part_. _e_ = 40. _part. n_ = _g_ = 284. _particulis quadratis_ & _b_ = 130. His vero factis $ub$titutionibus fit _nb_√{_n_/_g_} X _log_. {_a_/_a_ - _e_} = 284. 130. _log_. {93/53} = 20760, cui numerus in experimento re$pondet, ut vidimus, 15950. Hic vero nu- merus fere quatuor quintas alterius explet, $icque eidem proxime accedit, cum in præcedenti exemplo ob rationes allatas $imilis numerus à $imili plus quam dimidio defecerit,
Jam igitur abunde patet, $olis ob$taculis extrin$ecis attribuendum e$$e, quod experimenta non ad amu$$im re$pondeant formulis; interim tamen ta- lia e$$e, ut non po$$int melius harum formularum robur demon$trare.
VA$a plena $ervantur, cum continue totidem affunduntur aquæ, quot effluunt; affu$io autem e$$e pote$t vel in eadem cum mo- tus $uperficiei aqueæ directione eademque $ingulis momentis velocitate, qua$i $cilicet nova continue crearetur $uperficies, cui velocitas aquæ proximæ jam in$it, vel lateralis & $ine im- petu, veluti $i $uperficies, quæ continue nova creari fingitur, nullo motu prædita $it & demum ab aqua inferiore ad motum cienda. Reliquos affun- dendi novas aquas, qui infiniti $unt, modos præteribo.
Regula interim circa hunc motum, præ$ertim po$teriorem, recepta e$t, aquam effluere velocitate conveniente altitudini $uperficiei $upra lumen: fa- cile tamen e$t prævidere illam valere non po$$e, ni$i pro va$e ubique infini- te amplo, in reliquis autem fore, ut motus à quiete incipiens $en$im $en$im- que per aliqua temporis intervalla augeatur, & po$t infinitum demum tem- pus omnem velocitatem acquirat. Attamen, $i dicendum, quod res e$t, fiunt i$tæ accelerationes plerunque tam celeriter, ut minimo tempusculo tan- tum non tota velocitas ad$it: Verum res $ecus $e habet in prælongis aquæ ductibus, in quibus velocitatum augmenta oculos non effugiunt & cum di$tinctis men$uris ob$ervari po$$unt.
Quicquid autem ejus rei $it, cum nullibi di$plicere po$$it accuratio mathematica, con$titui motum aquarum à principio ad quemvis datum ter- minum con$iderare & pro$equi.
§. 2. Omnes hujus motus proprietates ad tres præcipue æquationes $e reduci patiuntur 10. inter quantitatem aquæ ejectæ re$pondentisque velocitatis; 20. inter tempus & velocitatem & 30. inter quantitatem aquæ & tempus. Harum æquationum $i una habeatur reliquæ inde $ua $ponte fluunt.
Primam igitur $olam accuratius $crutabimur: Hic vero memores $imus eorum, quæ in præcedente $ectione monita fuerunt circa contractionem venæ per $implicia orificia, aut tubos convergentes effluentis, & dilatationem eju$- dem, cum per tubos divergentes ejicitur. Indicavimus autem §. 3. _Art_. 1. _Sect_. IV. eò u$que venam con$iderandam e$$e, donec particularum velocitates (ab- $trahendo animum à mutationibus quas gravitas in particulis extra vas producit) amplius non mutentur, & omnem illam venæ partem ceü intra vas motam æ$timandam e$$e, qua$i $cilicet $uperficies venæ eou$que indure$cat. Igitur dein- ceps cum de va$e per quod aquæ effluunt $ermo erit, $ubintelligendum erit vas illud ideale, cujus orificium effluxus $it $ectio venæ nulli deinceps muta- tioni $ubjectæ, ni$i quæ de$cen$ui vel a$cen$ui venæ debetur.
§. 3. Invenire velocitatem aquæ effluentis ex va$e con$tanter pleno, po$tquam jam data aquæ quantitas effluxit.
Duo $unt modi affundendæ aquæ præcipue con$ideratu digni, quorum quivis aliam po$tulat problematis $olutionem: vel enim aqua verticaliter in vas depluere ponitur & ita quidem, ut eâdem præci$e affluat velocitate, quam habet aquæ $uperficies, vel lateraliter affluit aqua, $icque caret impetu, quo $ua $ponte aquæ $uperficiem in$equi po$$it & in motum demum e$t cienda.
Ut pro primo ca$u æquationem inveniamus inter quantitatem aquæ ejectæ, velocitatemque re$pondentem, ii$dem unica mutata circum$tantia ve- $tigiis in$i$tendum erit, quæ in primis paragraphis $ectionis tertiæ $ecuti $umus.
Sit igitur ut in §. 6. _Sect_. 3. vas propo$itum _aimb_ (Fig. 15. & 16.) quod affu$ione aquarum con$tanter plenum $ervatur u$que in _c d_; effluant au- tem aquæ per foramen _pl_; ponaturque eam aquæ quantitatem jam effluxi$$e, quæ contineri po$$it in cylindro $uper foramine _p l_ erecto altitudinis _x_, ulti- mam autem guttulam effluxi$$e velocitate, qua a$cendere po$$it ad altitudinem _q s_ $eu _v_; $ic jam exhibenda erit æquatio inter _x_ & _v_.
Sit curva C G I $cala amplitudinum, talis nempe, ut, denotante H L
Dicatur $patium D C I L = M, $patium D _t u_ L = N, & erit _a$cen-_ _$us potentialis_ aquæ in va$e contentæ, po$tquam prædicta quantitas jam efflu- xit (per §. 2. _$ect_. 3.) = {_N_/_M_}_v_. Effluere porro intelligatur particula _p l o n_, $u- perficiesque _c d_ de$cendere in _e f_, erit jam velocitatis altitudo pro particula _p l o n_ = _v_ + _d v_; atque $i nunc con$truatur parallelogrammum L _x y_ O, cujus latus L O $it = _l o_ & alterum L _x_ = P L, erit _a$cen$us potentialis_ ejusdem aquæ in $itu _e f m l o n p i e_ æqualis tertiæ proportionali ad $patium E F L O N P I E, (quod rur$us e$t = M, quia P L O N exprimit magnitudinem guttulæ _p l o n_, dum C D F E exprimit quantitatem minimam _c d f e_ i$ti guttulæ æqualem) $patium _w u x y_ O L F (quod e$t = $patio N - D _t w_ F + L _x y_O, unde $i P L $eu L _x_ ponatur = _n_, C D = _m_, L O = _lo_ = _dx_, erit D _t_ = {_nn_/_m_}, D F = {_n_/_m_} _dx_, hinc $patiolum D _tw_ F = {_n<_>3_/_mm_} _dx_ & $patium L _xy_ O = _ndx_ & denique $patium _w uxy_ O L F = N - {_n<_>3_/_mm_} _dx_ + _ndx_) & altitudi- nem _v_ + _dv_. E$t igitur _a$cen$us potentialis_ modo dictus = (N - {_n<_>3_/_mm_} _dx_ + _ndx_) X (_v_ + _dv_): M = rejectis differentialibus $ecundi ordinis {_N_/_M_} _v_ + {_N_/_M_} _dv_ - {_n<_>3_/_mmM_} _vdx_ + {_n_/_M_}_vdx_, $ic ut incrementum _a$cen$us potentialis_, quod aquæ acce$$it dum guttula _plon_ effluxit, $it = {_N_/_M_}_dv_ - {_n<_>3_/_mmM_}_vdx_ + {_n_/_M_}_vdx_, ubi $patia N & M $unt con$tantis magnitudinis ob aquæ continuam affu$ionem. Non con$ideramus in hoc ca$u primo _a$cen$um potentialem_ guttulæ _cdfe_, quæ af- funditur dum altera æqualis _plon_ effluit, quia i$te a$cen$us non generatur vi interna, neque enim aqua inferior po$t $e trahere ponitur particulam _cdfe_, quin potius hanc vi quadam extrin$eca continue affundi con$ideramus, idque nec majori nec minore velocitate quam quæ e$t $uperficiei _ef_. Ergo omne incrementum hic con$iderandum, e$t ut diximus {_N_/_M_}_dv_ - {_n<_>3_/_mmM_}_vdx_ + {_n_/_M_} _vdx_.
Debet vero i$tud incrementum æquari _de$cen$ui actuali_ centri gravitatis; Atqui i$te de$cen$us, po$ita D L = _a_, e$t per paragraphum $eptimum _$ect_. 3. = {_nadx_/_M_}; habetur igitur talis æquatio {_N_/_M_}_dv_ - {_n<_>3_/_mmM_}_vdx_ + {_n_/_M_}_vdx_ = {_nadx_/_M_}, $eu _dx_ = N_dv_: (_na_ - _nv_ + {_n<_>3_/_mm_} _v_);
Hæc vero $i ita integretur, ut _v_ & _x_ $imul evane$cant, dat _x_ = {_mmN_/_n<_>3_ - _nmm_} _log_. {_mma_ - _mmv_ + _nnv_/_mma_} quæ æquatio, po$ito _c_ pro numero cujus logarithmus e$t unitas, æquivalet huic @alteri _v_ = {_mma_/_mm_ - _nn_} X (1 - _c_{_n<_>3_ - _nmm_/_mmN_} _x_)
Hæc vero $olutio quadrat pro ca$u primo, ubi aqua $uperne motu af- $unditur communi cum de$cen$u $uperficiei proximæ.
Quod $i jam particula _c d f e_ lateraliter continue affundi ponatur, tunc
propter inertiam $uam motui aquæ inferioris re$i$tit atque proinde _a$cen$us_
_potentialis_ ip$ius aliter in computum venit. Tunc autem prius con$ideran-
dus e$t _a$cen$us potentialis_ ma$$æ aqueæ _c d m l p i c_ auctæ guttula mox affunden-
da; deinde indagandus _a$cen$us potent_. ejusdem aquæ in $itu _c d m l o n p i c_,
po$tquam nempe guttula jam effluxit, eorumque differentia e$t æquanda cum
_de$cen$u actuali_. {_nadx_/_M_}. Verum _a$cen$us potentialis_ omnis prædictæ aquæ ante
affu$ionem particulæ ejusdemque po$t affu$ionem ita invenitur: nempe _a$cen-_
_$us potentialis_ aquæ _c d m l p i c_ e$t = {_Nv_/_M_}, & _a$cen$us potent_. particulæ affundi
paratæ nullus e$t, quia lateraliter affu$a motum communem nondum habet
cum ma$$a inferiore; Igitur _a$cen$us potentialis_ utriusque aquæ (qui $cilicet
habetur multiplicando ma$$am re$pective per $uum _a$cen$um potentialem_, di-
videndoque productorum aggregatum per aggregatum ma$$arum) e$t =
_§_. 4. Sunt hæ æquationes inter $e admodum diver$æ; diver$itas au- tem eo major quo minoris e$t amplitudinis vas; & $i quidem amplitudo va- $is $uprema in _cd_ qua$i infinita $it præ amplitudine foraminis, evane$cit _n_ præ _m_ fitque in priori ca$u $icut in po$teriori. _v_ = _a_ X (1 - _c_<_>{-_n_/_N_}_x_) E$t igitur hâc in hypothe$i motus utrobique idem quod haud difficulter quisque prævidere potuerit. Celerior autem $emper e$t cæteris paribus mo- tus in priori affu$ione, quam in altera.
Conveniet hic rem etiam phy$ice explicare, ut eam di$tinctius in omni- bus phænomenis percipere po$$imus.
Sit loco va$is cuju$cunque & quamcunque directionem habentis bre-
vioris delineationis gratia cylindrus verticalis cum foramine in fundo, nempe
G H N D (Fig. 29.) $itque dein vas E F P Q perforatum in R S; fingantur orifi-
Incipiant aquæ ex utroque va$e effluere, ex $uperiori autem con$tanter ea effluere velocitate ponantur, quam habet $uperficies aquæ in cylindro $uppo$ito.
Ita patet $atisfieri primæ affu$ionis conditioni. Jam vero hujus motus phænomena inve$tigabimus, vi$uri num cum præcedentibus conveniant.
Con$ideremus igitur vas $uperius e$$e veluti infinitum, ut aquæ per R S effluentes $ingulis momentis habeant velocitatem quæ conveniat altitud<007>ni P B $eu F A: $ic fingendum erit e$$e hanc altitudinem P B ab initio infinite parvam, quia tunc aquæ velocitate infinite parva effluere debent, deinde vero $en$im cre$cere, idque continue magis magisque, donec po$t tempus infinitum mo- tus uniformis maneat, quæritur autem an altitudo aquæ P B tandem infinita futura $it an vero certum terminum non tran$gre$$ura. Id $ic cogno$cetur.
Sit altitudo G H vel R H (neque enim illas inter $e differre cen$endum
e$t) = _a_, A F = _x_, amplitudo orificii L M = _n_, amplitudo orificii R S = _m_;
quia vero, ut manife$tum e$t, utrumque vas cohærere & unum efficere puta-
ri pote$t, erit po$t tempus infinitum (per §. 23. Sect. III.) velocitas
aquæ in L M =
§. 5. Quæ$tio hic nunc alia occurrit notatu digna; nempe quis e$$e po$$it modus affu$ionis mechanicus, ut vas $uperius ad debitam durante toto fluxu altitudinem plenum $ervetur. Difficile foret i$tud Problema ob incon- $tantiam altitudinis quæ$itæ, ni$i peculiare hic artificium occurreret, quod nunc tradam.
Nititur autem $uper eo, quod aqua in $patio minimo RSDG nullam patiatur compre$$ionem neque affirmativam neque negativam, quia ex hypo- the$i communi velocitate movetur cum aqua proxime $ub$trata, atque $ic nul- la particula nullam nec propellere nec retinere tentet.
Fiat igitur vas quod dixi utrumque, $itque tubus cum va$e $uperiore
firmatus (neque enim aliter quam demon$trationis gratia illa po$uimus antea
$eparata) habeat autem tubus in $ummitate _a_ (Fig. 30.) foraminulum, cui re-
Quod $i autem $uperficiem in tubulo $upra _e_ elevatam animadvertis, in- hibe paullo affu$ionem, quod faciendum e$$e alibi demon$trabo, $i $ecus fuerit, largius aquas affunde.
Nihil habet difficultatis i$tud experimenti genus cuju$modi $æpe feci,
$ed ne error in experimentum irrepat, examinandus e$t tubi vitrei effectus ca-
pillaris; hunc effectum invenies, $i obturato orificio L M, priusque madefa-
cto tubo, cylindrus aqua impleatur u$que ad $ummitatem, atque $ic invenies
$uperficiem aquæ in tubo pertingere u$que in _f_, locum nempe altiorem quam _e_,
Hoc igitur modo recte efficietur affu$io ad normam hypothe$eos no- $træ & $ic deinceps de hoc motu experimenta $umi poterunt. Po$t quam vero $ic prolixe $atis rem explicuimus, non opus puto monere vas $uperius non aliter pertinere ad vas cylindricum inferius, quod $olum con$ideramus, quam ut cylindrus eo, quo fieri debet, modo plenus $ervetur atque $ic per _m_ non intelligendam e$$e amplitudinem va$is $uperioris $ed amplitudinem orificii R S, quæ proprie nobis e$t $uperficies aquæ, cum aquæ $upra R S tantum de- bitæ affu$ioni in cylindrum inferiorem in$erviant.
§. 6. Non debeo hic præterire, quod $ic ca$us habeatur qui pertinet ad _hydraulico-$taticam_, de qua $cientia quædam monui in Sect. I. §. 8. cogno$ci- mus nempe nunc quanta velocitate aqua in _a_ præterfluere debeat ut pre$$io ejus in latera tubi præci$e nulla $it. Hæc vero dum $criberem, jam detexeram leges _hydraulico-$taticæ_ generales, & non $ine voluptate vidi, quod i$te ca$us ceu corollarium ex theoria plane alia deductus $imilem acquirat $olutionem ex theoria generali. Sic omnia ubique mutuo cohærent nexu, legitimamque principiorum applicationem demon$trant.
§. 7. Sequuntur nunc quædam de alio aquæ affundendo modo. Ponatur
cylindrus R H N G pro va$e quocunque, $itque is con$tanter plenus con$ervan-
dus affu$ione laterali: poterit id fieri injiciendo $ufficientem aquæ quantitatem
per tubulum _m a_; quamvis autem id non fiat $ine motu, attamen, quia hic
horizontalis e$t, moxl omnis tollitur, & per $e neque promovet fluxum per
cylindrum neque eundem retardat; $ed e$t alius in$uper modus, quem $ub-
ducto recte calculo eodem recidere intelligimus: nempe $i vas E F P Q infini-
te amplum cen$emus, & ejus fundum aqua continue obtectum intelligimus,
$ed ita, ut aquæ altitudo in va$e $uperiori $it pro infinite parva habenda; $ubmi-
ni$trabit vas $uperius aquam tubo $ibi annexo, neque alius inde motus orietur,
quam ab affu$ione laterali, $i modo orificium R S $emper obtectum maneat;
facile autem fit ut ibi cataracta quædam formetur, $i orificium L M amplum,
tubusque R S N H longus $it. Quod hic alter modus eundem cum priori effe-
Po$tquam in his $choliis motus utriu$que indolem, quantum $implexrei con$ideratio phy$ica permittit, eorumque differentiam o$tendimus, $imulque modum illos producendi ad legem hypothe$eos mechanicum tradidimus, $u- pere$t, ut reliqua phænomena notabiliora etiam indicentur, quod nunc faciam.
§. 8. Si in va$e R S N H omnè fundum ab$it, erit orificium L M = orificio R S; pote$t etiam hoc ab illo $uperari, $i nempe va$is divergant late- ra. In his autem ca$ibus nullum habet terminum altitudo _v_ in æquatione _v_ = {_mma_/_mm_ - _nn_} X (1 - _c_{_n_<_>3 - _nmm_/_mmN_} _x_) & fit infinita, $i quantitas aquæ ejectæ indicata per _n x_ e$t infinita.
Id quidem per $e patet ex æquatione, cum _n_ e$t major quam _m_; at cum amplitudines orificiorum $unt æquales, recurrendum e$t ad æquationem differentialem paragraphi tertii, ex qua i$ta æquatio proxima deducta fuit, nempe {_N_/_M_}_dv_ - {_n_<_>3/_mmM_}_vdx_ + {_n_/_M_}_vdx_ = {_n_/_M_}_adx_, quæ po$ito _n_ = _m_ dat N _d v_ = _n a d x_, id e$t, _v_ = {_nax_/_N_}, ubi _v_ fit manife$te in- finita $i _x_ e$t infinita.
§. 9. Sin autem va$i propo$ito fundum $it, atque in eo foramen, cujus
§. 10. In ca$u affu$ionis, quam vocamus, lateralis, fit ultima altitu- do _v_ = _a_, quæcunque inter utrumque va$is orificium ratio interce$$erit.
§. 11. Si vas e$t cylindricum ejusque longitudo ponatur = _b_, fit (_vid_. §. 3.) N = {_nnb_/_m_}: notetur autem non confundendos e$$e valores litterarum _a_ & _b_, primus enim exprimit altitudinem $upremi orificii $upra inferius, alter longitudinem canalis; Sic itaque conveniunt inter $e valores in hoc $altem ca$u, cum axis va$is linea e$t recta & verticalis; at $i axis tortuo$us e$t, vel $altem non verticalis, differunt à $e invicem: Hæc ideo expre$$e monere volui, ne quis $ibi a figuris va$orum, quorum axes ubique rectos & verti- cales feci, imponi patiatur.
Quod $i igitur pro va$is cylindricis ponatur N = {_nn_/_m_}_b_ fit pro affu$io- ne verticali _v_ = {_mma_/_mm_ - _nn_} X (1 - _c_<_>{_nn_ - _mm_/_mnb_} _x_) & pro altera laterali fit _v_ = _a_ (1 - _c_<_>{- _mx_/_nb_}).
§. 12. Invenire velocitatem aquæ, ex va$e con$tanter pleno effluentis, po$tquam fluxus per datum tempus duravit.
Retentis hypothe$ibus & denominationibus omnibus, quas in §. 3. adhi- buimus, po$itoque in$uper tempore à fluxus initio præterito = _t_, mutan- das habebimus æquationes in dicto paragrapho datas in alias, quæ relatio- nem exprimant inter _t_ & _v_, eliminatis quantitatibus _x_ & _d x_. E$t vero elemen- tum tempu$culi _d t_ proportionale min<007>mo $patiolo _d x_, quod percurritur, di- vi$o per velocitatem √_v_: ponemus igitur _d t_ = {γ_dx_/√_v_}, & $ic mutabitur æquatio _dx_ = N_dv_: (_na_ - _nv_ + {_n_<_>3/_mm_} _v_) quæ data fuit pro affu$ione verticali debita velocitate in$tituenda in hanc (I) _dt_ = N γ_dv_:(_na_√_v_ - _nv_√_v_ + {_n_<_>3/_mm_} _v_√_v_) altera vero affu$ioni in$erviens laterali, nempe _dx_ = N_dv_: (_na_ - _nv_) abit in hanc po$t eandem $ub$titutionem (II) _dt_ = N γ_dv_:(_na_√_v_ - _nv_√_v_) Hæ vero æquationes debito modo integratæ dant pro prima (α) _t_ = {_mN_γ/_n_√(_mma_ - _nna_)} X _log_. {_m_√_a_ + √(_mmv_ - _nnv_)/_m_√_a_ - √(_mmv_ - _nnv_)} & pro altera, quæ ex priori deducitur, po$ito _m_ = ∞ (β) _t_ = {_Nγ_/_n_√_a_} X _log_. {√_a_ + √_v_/√_a_ - √_v_}. Q. E. I.
§. 13. Si vas de quo $ermo e$t $it cylindricum utcunque intortum & inclinatum, cujus longitudo ponatur = _b_, manente altitudine $uperficiei aqueæ $upra foramen = _a_, erit rur$us, ut §. 11. N = {_nn_/_m_}_b_.
Quoniam autem, ut con$tat, 2γ√A exprimit tempus, quod corpus
in$umit cadendo libere & à quiete per altitudinem A, patet quantitatem
{_2mNγ_/_nn_√_a_} (= 2γ√{_bb_/_a_}) exprimere tempus quo corpus moveri incipiens à
quiete liberè de$cendit per altitudinem {_bb_/_a_}: accipiemus i$tud tempus pro
(I) Quæritur tempus quo fluidum ex cylindro con$tanter pleno verticali, $edecim pedes anglicos longo & cujus diameter quintupla $it diametri fo- raminis, velocitatem acquirit quæ debeatur altitudini {99/100}_a_, idque in hypo- the$i, ad quam æquatio $ecunda pertinet; $ic e$t {_n_/_m_} = {1/25}, _v_ = {99/100}_a_, _b_ = _a_, unde tempus quod corpus in$umit cadendo libere per $patium {_bb_/_a_}, $eu θ = uni minuto $ecundo; hinc fit _t_ = {1/50} _log_. 399. id e$t, proxime no- næ parti unius minuti $ecundi, quod tempusculum utique imperceptibile e$t; Cum vero tempus notabile a$$umitur, fiunt mutationes altitudinum _v_, in$en$ibiles. Si tempus $imile (quo nempe velocitas pariter nonaginta no- vem cente$imis partibus altitudinis, quanta po$t tempus infinitum fit, debi- ta generetur) in prima hypothe$i quæratur, nempe tempus quo obtinetur _v_ = {99/100} X ({_mma_/_mm_ - _nn_}) reperitur illud præcedente paullulum majus, $ed exce$$u in$en$ibili: unde patet in hujusmodi va$is non po$$e fere aquas $at celeriter affundi in vas $uperius, ut hypothe$i $atisfiat, nec adeoque ratio- ne ejusdem hypothe$eos experimenta alia $umi po$$e, quam ut exploretur, num revera tanta $it altitudo B P in figura trige$ima, quanta vi paragraphi quinti e$$e debet, ut punctum _e_ aut _f_, durante fluxu $itum $ervet, quem ante fluxum obturato orificio L M, nullaque exi$tente aqua in va$e $uperiore habuit.
(II) Quæritur nunc idem tempus pro $ecunda rur$us hypothe$i, $i tubus ejusdem fuerit amplitudinis eodemque foramine in$tructus, $ed oblique $itus longitudinemque _b_ habuerit 184 _perticarum_ $eu 1104 _pedum Pari$_. dum al- titudo $uperficiei aqueæ $upra orificium effluxus $it 16. _ped. Pari$_. Ita fiet _b_ = 1104, & {_bb_/_a_} = 76176. atque præterpropter _θ_ = 72 _$ec. min._ unde tempus quæ$itum medium e$t inter octo novemque minuta $ecunda, quod certe $atis notabile e$t. Si vero tempus de$ideretur, quo altitudo _v_ exæquet tantum quar- tam partem altitudinis _a_, reperietur illud æquale {72/50} _log_. 3 = proxime uni mi- nuto $ecundo cum dimidio.
Ne$cio an hæc conveniant cum iis, quæ Mariottus à $e ob$ervata refert in _tract. de mot. aquar. part_. 5. _di$c_. 1. ubi mentionem facit alicujus fontis $a- lientis, qui e$t à _Chantilly_, ad quem aquæ devehuntur per canalem 184. _pertic{as}_ longum, $i modo recte ex antecedentibus conjeci, eratque $umma $uperficiei aqueæ altitudo $upra orificium effluxus indicata per _a_ $edecim _pedum_: diame- ter aquæductus erat 5. _poll_. orificium autem habebat diametrum unius pollicis. Videtur mihi Mariottus ita loqui ac $i accelerationes multo fui$$ent tardiores, quam ab formula no$tra indicantur, quod ne$cio an tribuendum $it huic quod forta$$e alium, præter orificium de quo hic $ermo e$t, exitum habuerint aquæ, an, quod aquæ ductus dum fluxus inciperet non fuerit aqua plenus, quod po$terius multa faciunt, ut credam; $i neutrum fuerit, confido phænomena qualia à Mariotto ob$ervata fuerunt & quotidie de novo ob$ervari poterunt pla- ne conveni$$e cum calculo no$tro. Cæterum verba Mariotti hæc $unt: _Illud in$uper_, ait, _$ingulari eidem jactui accidit, quod obturato manu orifici@_ _per decem aut duodecim $crupulorum $ecundorum tempor{is} $patium eodem{\’que}; po-_ _$tea re$erato, aqua non protin{us} erumpat, $ed paullatim a$$urgens jact{us} a$cen-_ _dat ad 3. poll. po$tea ad pedis altitudinem & deni{que} ad du@s pedes $ucce$sive no-_ _tabilibus intervall{is}....... Sedtandem tamen toto impetu $uo aquæ exiliebant._
§. 14. Invenire quantitatem aquæ per datum vas, con$tanter plenum con$ervandum, dato tempore transfluentem.
Adhibitis rur$us po$itionibus & denominationibus paragraphi tertii & duodecimi, invenienda nunc erit æquatio inter _x_ & _t_: quia vero, ut vidi- mus _§_. 12. e$t _d t_ = {γ_dx_/√_v_}, erit √ _v_ = {γ_dx_/_dt_}, hicque valor $ub$tituendus erit in æquationibus, quas dedimus §. 3. integratis; prior harum æquationum hæc fuit: _v_ = {_mma_/_mm_ - _nn_} X (1 - _c_{_n<_>3_ - _nmm_/_mmN_} _x_) quæ pro præ$ecuti in$tituto mutatur in hanc (I) {γγ_dx<_>2_/_dt<_>2_} = {_mma_/_mm_ - _nn_} X (1 - _c_{_n<_>3_ - _nmm_/_mmN_} _x_) altera ex §. 3. allegatarum æquationum talis fuit _v_ = _a_ X (1 - _c_<_>{- _n_/_N_} _x_) quæ adeoque $ubmini$trat in præ$enti ca$u $equentem (II) {γγ_dx<_>2_/_dt<_>2_} = _a_ X (1 - _c_<_>{- _n_/_N_} _x_)
Erunt nunc æquationes (I) & (II) integrandæ, quod quidem facile e$t & quia prior alteram continet (utraque enim eadem e$t $i _m_ = ∞) hanc $olam pertractabimus, eamque nunc $ub hâc forma con$iderabimus. _dt_ = {γ√(_mm_ - _nn_)/_m_√_a_}_dx_:√(1 - _c_{_n_<_>3 - _nmm_/_mmN_}_x_)
Ponatur autem ut integrationis modus eo magis pate$cat
_c_{_n_<_>3 - _nmm_/_mmN_}_x_ = _z_, atque proin _dx_ = {_mmNdz_/(_n<_>3_ - _nmm_)_z_},
dein brevitatis ergo indicetur quantitas con$tans
{γ√(_mm_ - _nn_)/_m_√a} X {_mmN_/_n_<_>3 - _nmm_}, $eu {- γ_mN_/_n_
Nec opus e$t con$tante, quandoquidem ex natura rei _t_ & _x_, $imul
evane$cere debent, po$ito autem _x_ = _o_, fit _z_ = 1, & _q_ = _o_, igitur pa-
riter _t_ & _q_ $imul à nihilo incipere debent, cui conditioni $atisfacit æquatio
inventa _t_ = α _log_. {1 - _q_/1 + _q_}: Supere$t ut retrogrado ordine valores pri$tinos
rea$$umamus, ita vero fit
_t_ = α _log_. {1 - √(1 - _z_)/1 + √(1 - _z_)} vel
_t_ = {γ_mN_/_n_
_§_. 15. Si ponatur _x_ = ∞, ut appareat natura rei, cum infinita jam
transfluxit aquæ quantitas a$$umaturque _m_ major quam _n_, prouti plerumque
e$$e $olet, evane$cere cen$enda e$t, in utroque logarithmo affirmative $um-
to, quantitas exponentialis & habebitur utrobique _log_. 2. At vero in logarith-
mo negative $umto $tatuenda e$t
√(1 - _c_{_n<_>3_ - _nmm_/_mmN_} _x_) = 1 - {1/2} _c_{_n<_>3_ - _nmm_/_mmN_} _x_ & proinde,
Hæ $ub$titutiones $i recte fiant, erit pro primo quem finximus affu$io-
nis modo
(I) _t_ = {γ_mN_/_n_
Sequitur ex i$tis formulis, minori quidem quantitate transfluere aquas, ac $i $tatim ab initio omni velocitate, quam in utroque ca$u po$t tempus infinitum acquirunt, effluerent: differentiam tamen nunquam certum trans- gredi terminum & po$t tempus infinitum finitis comprehendi terminis.
§. 16. Quum convertimus æquationes inventas, obtinemus
(I) _x_ = {2_mmN_/_mmn_ - _n<_>3_} - [_log_. (1 + _c_<_>{-_t_/α}) - _log_. 2 + {_t_/_2α_}], &
(II) _x_ = {_2N_/_n_} X [_log_. (1 + _c_<_>{-_t_/β}) - _log_. 2 + {_t_/_2β_}]
ubi α, ut $upra, = {-γ_mN_/_n_
Si præterea, ut in proximo Corollario, ponatur _t_ = ∞, evane$cit unitas præ quantitatibus, exponentialibus, quæ $upra omnem ordinem infinitæ $unt, & fit _log_. (1 + _c_<_>{-_t_/α}) = -{_t_/α} atque _log_. (1 + _c_<_>{-_t_/β}) = -{_t_/β}: unde tunc erit re$umtis valoribus litterarum α & β. (I) _x_ = {_mt_√_a_/γ√(_mm_ - _nn_)} - {2_mmN_/_mmn_ - _n<_>3_} _log_. 2. & (II) _x_ = {_t_√_a_/γ} - {2_N_/_n_} _log_. 2.
Igitur $i $tatim à fluxus initio utrobique aquæ omni, quam acquirere
§. 17. Ad theoriam hactenus expo$itam pertinet etiam motus aquarum per $iphones. Indicat autem theoria, po$$e $iphonis axem utcunque inflecti, ne- que inde motum aquarum deturbatum iri, modo altitudo $uperficiei aqueæ $u- pra orificium effluxus eadem maneat; cum præterea aquæductus, $iphones aut diabetæ huju$cemodique va$a alia $oleant e$$e cylindrica erit ut monui §. 13. quoties id contingit, ponendum N = {_nn_/_m_} _b_, intelligendo per _b_ longitu- dinem canalis aut $iphonis: in formulis quoque paragraphorum 14, 15, & 16, erunt quantitates $ic interpretandæ, ubi de temporibus quæ$tio e$t, ut 2 γ √ A repræ$entet tempus quod corpus impendit in de$cen$um per altitudinem ver- ticalem A à quiete cœptum.
Cæterum, ut dixi pa$$im, nihil indicat $ingulare theoria hujus $ectionis, quod $ub $en$us cadat, ni$i in aquæ ductibus admodum longis, ad horizonta- lem valde obliquis & orificium non admodum $trictum habentibus; hæctria enim concurrunt ad retardandas $icque notabiles efficiendas accelerationes, quarum men$uræ poti$$imum theoriam commendant.
E$t tamen & in his circum$tantiis medium aliquod ob$ervandum, ne impedimenta ab adhæ$ione aquæ oriunda nimia $int
Quod attinet ad affu$ionem aquarum, mihi vi$us $um animadvertere, $i
_§_. 18. Denique huc quodammodo pertinent experimenta ab Clar. Joanne Poleno in$tituta, ut refert in libro primo de _motu aquæ mixto_, p. 21. & $eqq. quæ ideo hic alleganda e$$e cen$ui, quod egregie demon$trant, ubique celeritatem ultimam in va$is con$tanter plenis eam e$$e, quæ integræ aquæ al- titudini conveniat, $i va$a non $int $ubmer$a, aut differentiæ altitudinum aquæ internæ & externæ in va$is $ubmer$is, quamvis de cætero nihil in illis $it, quod nunc novum adhuc $it, quia nullæ illic con$iderantur accelerationes.
Finge cylindrum, cujus axis habeat $itum verticalem, amplitudinis ve- luti infinitæ; fundum integrum $it: in pariete autem fi$$ura $it axi parallela, fo- ramen habens parallelogrammi rectanguli, quæ à fundo ad cylindri u$que $um- mitatem extendatur. Puta porro aquam in cylindrum affundi æquabiliter, ita, ut æqualibus temporibus quantitates injiciantur æquales, effluent aquæ ex cy- lindro per fi$$uram: nec tamen ab initio eadem effluent quantitate, qua $uper- ne affunduntur, $ed minori: igitur a$$urget $uperficies aquæ in cylindro ad certam u$que altitudinem a$$ymptoton; $i vero is jam intelligatur ade$$e ter- minus, immutata manebit altitudo aquæ & eadem quantitate effluent con$tan- ter aquæ, qua affunduntur: Apparet quoque, altitudinem aquæ in cylindro eo majorem fore, quo largius affundantur: Quæritur itaque auctis quantitati- bus aquarum dato tempore affundendis, in quanam ratione cre$cere debeant altitudines, ad quas aquæ in cylindro a$$urgent.
Solutio hæc e$t. Sit altitudo aquæ, cum e$t in $tatu permanente = α:
& ab$cindatur à $uperficie pars quæ $it = _x_, una cum differentiali _d x_: $it lati-
tudo rimæ = _n_, habebimus veluti foramen amplitudinis = _n d x_, per quod
aquæ effluunt velocitate √ _x_: igitur quantitas aquæ dato tempore ibi effluen-
tis e$t ut _n d x_ √ _x_, cujus integralis e$t {2/3} _n x_ √ _x_; quæ exprimit quantitatem
aquæ dato tempore per rimæ longitudinem ab$ci$$am _x_ effluentem: & $ic quan-
titas aquæ eodem tempore per rimam integram effluens exprimetur per {2/3} n α
√ α: tantum autem effluit, quantum affunditur; hinc $i quantitas aquæ dato
illo tempore affu$æ dicatur _q_, erit {2/3} _n_ α √ α = _q_. Id indicat quantitates aqua-
§. 19. Soluto hoc problemate venio ad alterum Cl. Poleno con$ide- ratum.
Sit idem cylindrus, $ed aquis in fo$$a veluti va$e infinito $tagnantibus, $ubmer$us; dicaturque altitudo $ubmer$ionis = _a_, quæritur nunc ii$dem po- $itis, ut antea, rur$us æquatio inter altitudinem α $uperficiei aqueæ internæ $u- pra externam, & quantitatem _q_ dato tempore affundendam.
Quod ad illam rimæ partem α, quæ aquas ejicit & $upra aquam exter- nam eminet, illam jam vidimus dato tempore erogare quantitatem {2/3} _n_ α √ α: re$idua autem rimæ pars $ubmer$a aquas ubique communi velocitate tran$imit- tit, ut ex infra dicendis patebit, & quidem velocitate √ α, ita, ut multiplica- ta hâc velocitate per magnitudinem rimæ $ubmer$æ _n a_, habeatur quantitas, quam dato tempore ejicit = _n_ _a_ √ α. Si utraque quantitas in $ummam conji- ciatur, habebitur ({2/3} α + _a_)_n_√α = _q_.
Ope hujus æquationis cogno$citur _q_ ex datis altitudinibus _a_ & α: aut vici$$im altitudo α ex cognitis quantitatibus _a_ & _q_.
Convenire autem hanc æquationem admodum accurate cum experi- mentis, ip$e o$tendit celeberrimus eorum auctor, cujus $olutio ab hâc no- $tra non differt. Sequitur ex i$ta æquatione, elevationes α eo majores e$$e pro ii$dem aquarum affu$ionibus, quo minor e$t altitudo $ubmer$ionis _a_.
VA$e u$us $um §. 5. de$cripto cum tubulo vitreo (Fig. 30.) Primo autem
obturavi orificium L M, tubumque R N aqua implevi, donec $uper-
ficies ejus raderet foraminulum in _a_: aquam tunc tubo ingre$$am ob-
fervavi extremitate attigi$$e punctum _f_: po$tea re$erato orificio L M, & aquis ef-
fluentibus novas affundebam in vas $uperius E F P Q adhibita diligentia, ut
extremitas aquæ in _f_ interea nec a$cenderet nec de$cenderet. Hæc dum fie-
Id vero $olum e$t, quod ip$emet in$titui experimentum, quamvis mul- tæ $int propo$itiones in hâc $ectione contentæ, quæ mereantur attentionem eæque $atis inexpectatæ, non potui tamen de illis experimenta $umere; $unt enim ita comparatæ in va$is brevioribus, ut quod $ingulare habent, id $en$us effugiat, rem autem experiri in longis aquæductibus commode non potui: cum aliis hæc dabitur occa$io, theoriam hanc examinaturis, animum adver- tent ad $equentia:
I<_>0. In fontibus $alientibus ob$ervetur altitudo jactus integra; po$tmo- dum obturato prius orificio eodemque mox re$erato videatur aquæ quanti- tas, quæ effluat, dum aqua ad dimidiam altitudinem jactus integri, aut aliam partem quamcunque perveniat, quod quidem brevi$$imo eveniet tem- pore, illius quantitatis men$ura $it longitudo cylindri $uper foramine, per quod aquæ exiliunt, ex$tructi, quam longitudinem vocavimus _x_, alti- tudinem vero jactus integram nominavimus _a_, altitudinemque jactus qui nondum totam attigerit altitudinem, ob$ervatam de$ignavimus per _v_. Tum denique in$tituto calculo exploreter, num hæ quantitates recte re$pondeant æquationibus pro utroque affundendi modo exhibitis in paragrapho tertio.
II<_>0. Fiant omnia, ut ante, hoc $altem di$crimine, quod loco quanti- tatis effluentis tempus effluxus notetur, ut $ic examinari po$$int formulæ paragraphi decimi tertii, & denique comparetur quantitas cum tempore fluxus, ut appareat num recte re$pondeat formulæ §. 14.
III<_>0. Tum præcipue fiat id experimenti genus, quod indicavi para-
grapho decimo $exto, ob$ervando $cilicet, quantitates aquarum dimidiis
temporibus re$pondentes; dixi autem, quantumvis magnum $umatur tem-
pus, differentiam harum quantitatum nunquam exæquare {2_mmN_/_mmn_ - _n_<_>3} _log_. 2.
in priori, quem finximus, affundendi modo; aut {2_N_/_n_} _log_. 2. in po$teriori.
Quæ reliqua funt in hâc $ectione Corollaria & Scholia quisque facile videbit, quo modo ad experimenta vocari po$$int: Velim autem, prius- quam judicium ferat, attentus $it ad omnes circum$tantias ratione impedi- mentorum, contractionis venæ, aliorumque, quas nolo ubique repetere. Ad §.§. 17. & 18. Experimenta pro confirmatione problematis §. 17. ad va$a non $ubmer$a pertinentis, vide p. 26. _lib. cit_. Jll. Poleni.
Cum vero in va$e $ubmer$o e$$et altitudo _a_ = 55. _lin. Paris_. (quæ altitu- do ei dicitur mortua) quinque in$tituit experimenta, in quibus altitudo, quam dicit, viva $eu α erat $ucce$$ive linearum 8 {3/4}; 25; 42; 58 & 73 {1/2}: his $ub$titutis valoribus in æquatione §. 18. exhibita $equitur, quantitates aquarum dato tempore affu$arum fui$$e ut 100; 199; 299; 396 & 495: actu affu$æ fuerunt in ratione ut 100, 200, 300, 400, & 500: differen- tia tantilla e$t, ut dubitari po$$it, an non perfectus con$en$us futurus fui$$et, $i omnes men$uræ recti$$ime haberi potui$$ent.
Reliqua etiam experimenta à viro Cl. in$tituta cum theoria perfecte con$entiunt: calculum eorum videre e$t apud ip$um Auctorem. E re au- tem duxi eadem hic apponere, quia ad argumentum hujusce $ectionis per- tinent, quamvis cæterum libenter fatear, me magis de$iderare illa experi- menta, quæ à calculo mutationem _momentanearum_, nemini quod $ciam ad- huc con$ideratarum, pendent, quam quæ $tatum _permanentem_ $upponunt.
HActenus con$ideravimus aquas effluentes; nunc vero contem- plabimur motus aquarum, quæ va$orum limites non præterfluunt. Omnes hos motus ad duo reducam genera, ambo $eor$im per- tractanda:
1<_>0. Cum fluidum in tubo infinite longo continue movetur ver$us eandem plagam.
2<_>0. Cum motibus reciprocis $eu o$cillatoriis agitatur.
§. 2. Sit primo canalis horizontaliter po$itus, $ed amplitudinibus data
quacunque varians lege: ponatur fluidum in illo ita po$itum, quod fieri
$olet in tubis $trictioribus, ut ambæ $uperficies extremæ $itum obtineant
ad axem canalis perpendicularem & $ic datâ quadam velocitate moveri in-
cipere. Hæc $i ita $int, nullaque plane motus impedimenta ade$$e fingan-
tur, per$picuum e$t, motui aquarum nullum finem fore, quemadmodum
globus $uper tabula horizontali liberrime progrediens motum $ine fine con-
continuat. Attamen in$ignis inter utrumque motum intercedit differentia:
globi nempe partes omnes uniformi continue progrediuntur velocitate, in
aqua perpetuo motum mutant: Neque difficile erit motum i$tum definire,
cum con$iderabimus, motum talem e$$e debere, ut _a$cen$us potentialis_ totius
aquæ idem con$ervetur, qui ab initio motus fuit: Determinavimus autem
_a$cen$um potent_, aquæ certâ velocitate in canali quocunque motæ in $ectionis ter-
Si v. gr. canalis B _g f_ C (Fig. 31.) qui figuram habeat coni-truncati; in
telligatur pars ejus B G F C fluido plena moto ver$us _g f_; habeantque parti-
culæ fluidi in G F velocitatem debitam altitudini _v_; ac denique pervenerit
fluidum in $itum _b g f c_: His po$itis quæritur velocitas fluidi in _g f_. Voca-
bo autem altitudinem velocitati aquæ in _g f_ debitam = V; Sit vertex coni
in H; diameter in B C = _n_; diameter in G F = _m_: longitudo B G = _a_;
G_g_ = _b_, erit diameter _g f_ = {_m a_ - _m b_ + _n b_/_a_}. Deinde quia $olidum B G F C
e$t æquale $olido _b g f c_ erit B C<_>2 X B H - G F<_>2 X G H = _b c_<_>2 X _b_ H
- _g f_<_>2 X _g_ H: unde _b c_<_>2 X _b_ H = B C<_>2 X B H - G F<_>2 X G H
+ _g f_<_>2 X _g_ H: e$t vero _b_ H = {_BH_/_BC_} X _b c_: igitur _b c_<_>3 = B C<_>3-.
{_GF_<_>2 X _GH_ X _BC_/_BH_} + {_gf_<_>2 X _gH_ X _BC_/_BH_} = B C<_>3 - G F<_>3 + _g f_<_>3, $eu
_b c_ =
E$t vero per §. 3. _$ect._ 3. _a$cen$us potent_. aquæ in $itu B G F C = {3 _m_<_>3 _v_/_n_(_mm_ + _mn_ + _nn_)}; pariterque _a$cen$us potent_. ejusdem aquæ in $itu _b g f c_ reperitur = {3 α<_>3 _v;_/β(αα + αβ + ββ)}, po$ito brevitatis ergo α & β pro inventis valo- ribus diametrorum _g f_ & _b c_. Erit igitur V = {_m_<_>3 X (αα + αβ + ββ) X β X _v_/α<_>3 X (_mm_ + _mn_ + _nn_) _n_}.
Ex hâc formula facile colligitur, majori continue velocitate moveri particulas anteriores, minori po$teriores, & $ic, ut $i foraminulum _g f_ cen- $eatur infinite parvum, fiat velocitas aquæ in _g f_ infinita & in _b c_ infinite parva.
Fuerit canalis compo$itus ex duobus tubis cylindricis B N & O P
Sint diametri G F & _g f_ ut _n_ & _m_: longitudo B G vocetur = _a_; _b_ M = _b_, erit O _g_ = {_nn_/_mm_} X (_a_ - _b_); _a$cen$us potent_. aquæ B G F C = _v_; _a$cen$us potent_. aquæ _b g f c_ = {_n_<_>4 _a_ - _n_<_>4_b_ + _m_<_>4_b_/_n_<_>4_a_} X V; ergo V = {_n_<_>4_a_/_n_<_>4_a_ - _n_<_>4_b_ + _m_<_>4_b_} _v_.
Ex his intelligitur velocitatem primæ guttulæ in tubum $trictiorem ir- rumpentis re$pondere altitudini {_n_<_>4/_m_<_>4} _v_, hanc vero velocitatem citi$$ime decre- $cere, ita ut po$tquam parvula fluidi pars transfluxit, jam po$$it cen$eri V = {_a_/_a_ - _b_} _v_, & cum omne fluidum transfluxerit, pri$tinam a$$umat velocitatem. Fuerit v. gr. diameter tubi amplioris decupla@ alterius, & effluet prima guttula ex tubo ampliore in $trictiorem velocitate debita altitudini 10000 _v_: $i vero de- cimam fluidi partem jam transfluxi$$e ponas, invenies altitudinem, quæ con- veniat velocitati fluidi in tubo $trictiori progredientis, proxime æqualem {10/9} _v_.
Sitempus quæras, quo fiat transfluxus fluidi O _f_, invenies illud æquale
{2(_n_<_>4_a_ - _n_<_>4_b_ + _m_<_>4_b_){3/2} - 2_m_<_>6_a_√_a_/3_mm_(_n_<_>4 - _m_<_>4)
§. 3. Quod $i nunc canalis fuerit non horizontaliter $ed oblique ad horizontem po$itus, apparet omnia $imiliter $e habere, ni$i quod _a$cen$us potent_. aquæ in omni $itu æquandus $it _a$cen$ui potent_. initiali aucto _de$cen$u actuali_, id e$t, de$cen$ui verticali centri gravitatis. Atque $i nullo impul$u aqua $ua $ponte $e movere incipiat, erit $impliciter _de$cen$us actualis_ æqualis _a$cen$ui potent_.
Igitur aqua continue progredi perget, quamdiu centrum gravitatis lo- co humiliori po$itum e$t, ac fuit ab initio motus. At vero cum tubus ita fuerit formatus & inflexus eaque fluidi quantitate repletus, ut centrum gravi- tatis pri$tinam altitudinem rea$$umere po$$it, tunc fluidum motum obtinebit retrogradum & $ine fine o$cillabitur. De i$to motu præcipuam hujus $ectionis partem faciente mox dicemus. Interea ob$ervare licet, fieri po$$e, ut aqua omnis ex loco humiliore per altiorem $ua $ponte $ine prævia $uctione præter- fluat, $i modo omnia debito modo $e habeant.
§. 4. Dedit Pater meus in _Comm. Acad. Scient. Petrop_. tom. 2. theore- mata quædam, quæ in$ignem manife$tant u$um quem theoria virium vivarum habet in rebus mechanicis. Illud vero quod tertio loco po$itum e$t ita $e habet.
Sit tubus cylindricus A B C H (Fig. 33.) utrobi{\’que} apertus at{\’que} infle-
Huic theoremati eodem auctore $ubnectitur tale corollarium.
Si anguli A B C & H C B $unt recti, qui unicus ca$us est; à Newta- no $olutus, erit longitudo penduli $implic{is}, quod o$cillanti aquæ i$ochronum e$t, = {1/2} L, ut invenit Newtonus.
§. 5. Hæc $unt quæ adhuc cum publico communicata fuerunt circa o$cillationes fluidorum, & quidem primo à Newtono, ut undarum naturam, à Patre meo, ut fertilitatem principii _virium vivarum_ o$tenderet. Quia vero no$trum in$titutum e$t pleniorem dare de motibus aquarum theoriam, è re erit i$tud argumenti genus in tota $ua exten$ione pro$equi: Igitur di$quiram, quibus modis o$cillationes fluidi inæquales fiant i$ochronæ, & quibus non item? Dein pro prioribus dabo longitudinem penduli $implicis tautochroni, pro alteris tempus durationis indicabo: tubos autem utcunque inflexos & inæ qualiter amplos con$iderabo.
§. 6. Sit _c_ A _d_ (Fig. 34.) uter $eu canalis aqua plenus formæ cuju$cun-
Fuerit centrum gravitatis aquæ in va$e _c_ A _d_ contentæ in C, ductaque in- telligatur per i$tud punctum C verticalis A B, deinde ducantur horizontales _a m, c g, f n_, & _d h_ una cum verticalibus _c b_ & _d e_. Ponatur _a c_ = _a_: _f d_ = α: _b c_ = _b_; _e d_ = β: amplitudo tubi _a c_ = _g_; amplitudo tubi _f d_ = γ: $it porro ma$$a aquea $eu capacitas canalis _c_ A _d_ = M, linea A _g_ = _f_; A _h_ = φ: A C =_m_: Dividantur lineæ _m g_ & _n h_ bifariam punctis D & E & $ic erunt centra gravitatis aquarum in tubis cylindricis contentarum in altitudinibus punctorum D & E.
His po$itis fit A D = _f_ + {1/2}@_b_; A E = φ + {1/2}β: ma$$a aquæ in _a c_ =
_g a_: in _f d_ = γ α: Igitur $i centrum gravitatis quæ$itum pro omni aqua _a c_ A _d f_
intelligatur in altitudine F po$itum, habebitur, ut con$tat in mechanicis, A F
multiplicando ma$$am aquæ in _a c_ per D A, ma$$am aquæ _f d_ per E A & ma$$am
§. 7. Determinare ubique velocitates aquæ o$cillantis, po$ito o$cilla- tiones ultra terminos tuborum cylindricorum non divagari.
Sit aqua o$cillationem inchoans in $itu _a c_ A _d f_ perveneritque po$tmo- dum in $itum _o c_ A _d p_, retenti$que denominationibus |in præcedente paragra- pho factis, ponatur _a o_ = _x_; erit _f p_ = {_gx_/γ}: unde ($i nempe centrum gravita- tis omnis aquæ de$cendi$$e putetur ex F in O) erit vi præcedentis paragraphi A O = {_g_ X (_a_ - _x_) X (_f_ + {1/2}<_>b - {_bx_/2_a_}) + γ X (_a_ + {_gx_/γ}) X (φ + {1/2}<_>β + {β_gx_/2αγ}) + _Mm_/_ga_ + γα + _M_}
Inde deducitur de$cen$us centri gravitatis $eu _de$cen$us actualis_ F O = {(_b_ - β + f - φ)_gx_ - ({_bg_/2_a_} + {_bgg_/2αγ}) _xx_/_ga_ + γα + _M_}
Sit nunc velocitas aquæ in tubo _a c_ (cum nempe $uperficies e$t in _o_) ta- lis quæ re$pondeat altitudini _v_, & erit tunc _a$cen$us potent_. aquæ in altero tubo = {_gg_/γγ} _v_: pariterque _a$cen$us potent_. aquæ _c_ A _d_, erit proportionalis altitudini _v_, eamque proinde ponemus = N _v_ (ubi N pendet à figura utris _c_ A _d_ & deter- minari pote$t per §. 2. Sect. 3.) Jam vero $i multiplicatis ubique _a$cen$ibus po-_ _tentialibus_ per $uas ma$$as producta dividantur per $ummam ma$$arum, habebi- tur _a$cen${us} potent_. omnis aquæ _o c_ A _d p_ = {(_ga_ - _gx_ + {α_gg_/γ} + {_g_<_>3_x_/γγ} + MN)_v_/_ga_ + γα + _M_}
Et quia hic _a$cen$us potentialis_ e$t æqualis _de$cen$ui actuali_ F O paullo ante
invento, erit
§. 8. Quia linea _mn_ = _mg_ - _nh_ + _gh_ = _h_ - β + _f_ - _m_, ponemus _mn_ = _c_, $imulque multiplicabimus denominatorem & numeratorem per 2γγαα: Ita vero habebimus _v_ = {2_g_γγ_a_α_cx_ - (_g_γγα_b_ + _gg_γa{$s})_xx_/2_g_γγ_aa_α - 2_g_γγ_a_α_x_ + 2_g_gγ_a_αα + 2_g_<_>3_a_α_x_ + 2γγ_a_α_MN_}
§. 9. Si fiat _v_ =_o_, patet tunc valorem _x_ denotare totam fluidi $uper- ficiei excur$ionem in tubo _ac_, quæ $ic invenitur æqualis {2γ_a_α_c_/γα_b_ + _g_αβ}, in altero vero tubo fit = {2_ga_α_c_/γα_b_ + _g_αβ}.
Igitur poterit aqua in tubo $trictiori ad quamcunque elevari altitudi- nem, $i modo ratio amplitudinum _g_ & γ $at magna $umatur.
§. 10. Pars illa va$is _c_ A _d_, quam neutra $uperficierum unquam attin- gi ponimus, nihil pertinet ad i$tas fluidi excur$iones $ive augendas $ive dimi- nuendas: facere tamen pote$t, ut inferius o$tendetur, ad accelerandas retar- danda$que o$cillationes.
§. 11. Ponatur uterque tubus communis amplitudinis, erit, po$ito nempe _g_ = γ, _v_ = 2_ga_α_cx_ - (_g_α_b_ + _ga_β)_xx_/2_gaa_α + 2_ga_αα + 2_a_α_MN_}.
In hoc ca$u maxima $uperficiei utriu$que velocitas e$t, cum in medio totius excur$ionis po$itæ $unt, $ecus ac fit, cum tubi $unt inæqualis amplitu- dinis.
Notandum quoque e$t, $imiles e$$e inter $e retardationes & accelera- tiones in di$tantiis $imilibus $uperficierum à punctis mediarum excur$ionum, id e$t, à locis maximarum velocitatum.
§. 12. Cum amplitudines tuborum cylindricorum prædicto modo $unt æquales, erunt o$cillationes tam majores quam minores inter $e I$ochro- næ, modo $uperficies nunquam de$cendant infra orificia eorundem tuborum.
Ex mechanicis con$tat, quod $i mobile o$cillans $patium perfecerit
= _x_, habeatque in $ingulis locis elementum temporis _dt_ = {_mdx_/
Quia vero in no$tro ca$u e$t _v_ = {2_ga_α_cx_ - (_g_α_b_ + _ga_β)_xx_/2_gaa_α + 2_ga_αα + 2_a_α_MN_}, & quia velocitas ip$a e$t æqualis √ _v_, erit _dt_ = _dx_√({2_gaa_α + 2_ga_αα + 2_a_α_MN_/_g_α_b_ + _ga_β}):√({2_a_α_cx_/_g_α_b_ + _ga_β} - _xx_), ubi pariter omnes litteræ con$tantem habent valorem præter _x_, quæ $patium percur$um denotat; patet has quoque fluidi o$cillationes i$ochronas fore Q. E. D.
§. 13. Invenire longitudinem penduli $implicis, quod $it tautochro- num cum o$cillationibus fluidi præfatis.
In mechanicis demon$tratur, quod, cum _dt_ = {_mdx_/
§. 14. Si ponatur canalis _c_ A _d_ eju$dem amplitudinis cum tubis con- junctis, eju$que longitudo vocetur _l_, erit ma$$a aquæ in eo contentæ, quam vocavimus M = _gl_; & _a$cen$uspotent_. aquæ in illo contentæ, quem po$uimus = N _v_, erit = _v_, ita ut habeatur N = 1. Sub$titutis autem, i$tis valoribus pro litteris M & N, prodit longitudo penduli tautochroni pro i$to ca$u particulari = {_aa_α + _a_αα + _a_α_l_/α_b_ + _a_β} = {_a_α/α_b_ + _a_β} X (_a_ + α + _l_) = {_a_ + α + _l_/{_b_/_a_} + {β/α}
Quia vero _a_ + α + _l_ e$t longitudo totius tractus aqua pleni & {_b_/_a_} $igni- ficat rationem $inus anguli _bac_ ad $inum totum pariter atque {β/α} denotat ra- tionem $inus anguli _efd_ ad $inum totum, videmus non differre no$tram $o- lutionem ab illa, quam Pater meus pro i$to ca$u dedit, quamque $upra recen$ui §. 4.
§. 15. Si ponatur canalis _c_ A _d_ infinitæ ubique amplitudinis, erit MN = _o_ (per §. 2. _$ect_. 3.) & longitudo penduli tantochroni = {_a_ + α/{_b_/_a_} + {β/α}}, qua- $i nempe totus canalis intermedius _c_ A _d_ abe$$et, tubique cylindrici inter $e immediate e$$ent conjuncti.
E$t tamen hîc $peciale aliquid con$iderandum, quod infra monebo.
§. 16. Complectitur hoc theorema omnes ca$us, qui o$cillationes tan- tochronas faciunt, ubi tubi _a c_ & _p d_ $unt recti: cum vero hi tubi, in qui- bus fluidi $uperficies excurrunt, incurvati $unt, dantur alii in$uper tanto- chronismi ca$us, quos facile foret determinare, $i hi$ce diutius immorari vellemus. Cæterum cum tubi hi inæqualis amplitudinis $unt, fiunt quoque tempora o$cillationbus diver$arum magnitudinum re$pondentia inæqualia, & quomodo tempus tale definiri debeat unicuique apparet ex §. 8. ubi velo- citatem fiuidi in quolibet puncto dedimus.
Hæc autem de o$cillationibus finitis. Si nunc o$cillationes minimas e$$e cen$eamus, videbimus illas fieri omnes inter $e tantochronas, manen- te eadem fluidi quantitate, eodemque canali, quæcunque interea $int cana- lis figura & amplitudines. Id exponam in $equenti paragrapho.
§. 17. O$cillationes minimæ fluidi in quocunque canali o$cillantis, quamvis inæquales inter $e, $unt omnes I$ochronæ.
Cum o$cillationes $unt minimæ, po$$unt illæ canalis particulæ, in qui- bus $uperficies fluidi agitantur, pro cylindricis haberi, igitur manentibus denominationibus iisdem, manebit valor, quem a$$ignavimus litteræ _v_ in §. 8. & ex eadem ratione $equitur, litteras _a, b_, α, β & _x_ ceu infinite parvi valoris negligi po$$e præ {_M_/_g_}, $ic ut in præ$enti ca$u cen$eri debeat _v_ = {2_g_γ_a_α_cx_ - (_g_γα_b_ + _ggab_)_xx_/2γ_a_α_MN_}
Sunt igitur vi paragraphi duodecimi o$cillationes omnes, quoad mi- nimæ $unt, inter $e I$ochronæ. Q.E.D.
_§_. 18. Determinare longitudinem penduli $implicis tautochroni cum o$cillationibus minimuis fluidi in canali quocunque agitati.
Quia in omni motu e$t elementum temporis _dt_ = {_dx_/√_v_}, erit nunc _dt_ = _dx_√(2γ_a_α_MN_/_g_γα_b_ + _ggab_}):√({2γ_a_α_cx_/γα_b_ + _ga_β} - _xx_) Igitur vi Paragraphi decimi tertii erit longitudo quæ$ita penduli cum præ- dictis o$cillationibus tautochroni = {γ_a_α_MN_/_g_γα_b_ + _gga_β}. Q. E. I.
§. 19. Quamvis jam pa$$im monuerim, quid intelligendum $it per
Fuerit canalis qualiscunque A B C D E, (Fig. 35. _a_ & _b_) aqua plenus us-
Concipiatur nunc longitudo canalis B C D fluido plena in rectam ex- ten$a _bcd_, $uper qua ceu axe fiat curva F G H, quæ $it $cala amplitudinum in locis homologis, ita, ut po$ita _bc_ = B C $it _c_ G ad _b_ F, ut amplitudo in C ad amplitudinem in B. Igitur $i _b_ F repræ$entet amplitudinem in B, tunc $patium _bd_ H F repræ$entabit magnitudinem M. Deinde $uper eodem axe _bd_ con$truatur alia curva L M N, cujus applicata _c_ M $it ubique {_bF_<_>2/_cG_} & erit (per §. 2. _$ect_. 3.) N = $patio _b d_ N L divi$o per $patium _bd_ H F, ita ut $it M X N = $patio _b d_ N L, quod multiplicatum per {γ/_mg_γ + _ngg_} dabit longitu- dinem penduli tautochroni.
_§_. 20. Si tubus B C D $it ubique ejusdem amplitudinis, ejusque lon- gitudo dicatur _l_, erit F H linea recta ip$i _bd_ parallela, pariter atque L N: hinc $patium _bd_ N L = _gl_ & longitudo penduli tautochroni = {_l_/_m_ + _n_}.
_§_. 21. Sit B C D canalis conicus longitudinis _l_; erit _c_ G (po$ita _bc_ = _x_)
= ({_x_/_l_}[√γ - √_g_] + √_g_)<_>2; unde _c_M = _gg_:({_x_/_l_}[√γ - √_g_] + √_g_)<_>2;
ergo $patium _bc_ML = {_ggl_/
Hinc intelligitur cæteris paribus o$cillari aquam tardi$$ime cum ampli-
Porro comparatis inter $e tubis cylindricis & conicis, po$itisque an- gulis B D C & D B C æqualibus, per$picuum e$t, citius o$cillari aquam cæ- teris paribus in conicis quam cylindricis, quia nempe {_l_√_g_γ/γ + _g_} $emper mi- nor e$t quam {1/2}_l_, quæcunque ratio inæqualis intercedatinter _g_ & γ. Si porro prædicti anguli inæquales ponantur, fieri pote$t tam ut tardius quam ut ci- tius o$cilletur aqua in uno tuborum genere re$pectu alterius, quod ut exem- plo confirmem, ponam angulum D B C rectum, id e$t, _m_ = 1, & $inum alterius anguli B D C $eu _n_ = {1/4}, ita erit longitudo penduli pro tubis cylin- dricis = {4/5}_l_: Si vero $ub iisdem reliquis circum$tantiis tubo cylindrico $ub- $tituas conicum, qui amplitudinem in B habeat quadruplo majorem, quam e$t amplitudo in D, habebis, po$ito γ = {1/4}_g_, longitudinem penduli = _l_: longius e$t itaque cæteris paribus pendulum tautochronum pro tubo conico quam pro cy- lindrico, & tardius fiunt o$cillationes in illo, quam in hoc: $ed $i nunc, manentibus rur$us reliquis, tubum conicum $trictiorem ponamus in B quam in D, contrarium erit: fuerit v. gr. γ = 4_g_, erit longitudo penduli = {8/17}_l_, & proinde minor, quam $i tubus cylindricus foret; rur$usque minor erit, $i amplitudinem in B admodum majorem ponas, quam e$t in D: ita $i fuerit γ = {1/64}_g_, erit longitudo penduli = {8/17}_l_, ut ante. Notabile e$t, ut in præ- cedente etiam vidimus exemplo, quod, manentibus amplitudine in B, $itu canalis B C D ejusdemque longitudine, duæ $emper diver$æ definiri po$$int amplitudines in D pro eadem penduli tautochroni longitudine, ni$i cum an- guli D B C & B D C $unt æquales. Hujus rei exemplum e$t particulare, quod, $ive amplitudo in D æqualis $it amplitudini in B, $ive rationem ad eandem ha- @eat quadratam $inus ang. B D C & $in. ang. D B C, eodem tempore o$cilla- tiones fluidi ab$olvantur in tubo utroque.
§. 22. Experimenta de o$cillantibus fluidis ita $ump$i, ut crebra tenta-
tione longitudinem penduli $implicis I$ochroni invenirem, hancque longitu-
dinem in diver$is ca$ibus talem præter propter e$$e ob$ervare potui, quam
Id tamen ratione experimentorum à me in$titutorum $uperaddam, quod amplitudines tuborum ante experimentum in diver$is eorum locis accu- rate exploraverim ope columellæ mercurii, quæ dum gradatim totam longi- tudinem tubi percurreret, longitudinibus $uis diver$is, quarum men$uras a$- $iduè accipiebam, amplitudinum variationes ubique manife$tabat: Et hæ quidem amplitudines ita in tubo erunt explorandæ, po$tquam jam fuerit in- curvatus, nam ab incurvatione amplitudines admodum decre$cunt. Hæc ratio fuit, quod in primo hanc in rem à me $umto experimento, $ucce$$us expectationem meam fefellerit: Tubum nempe vitreum, cujusmodi pro barometris conficiendis adhibere $olent, $atis amplum eundemque fere per- fecte cylindricum, incurvare feci, ut o$tendit propemodum Figura vige$i- ma $eptima, eoque deinde mercurio maximam partem repleto, o$cillatio- nes ejus longe tardius fieri vidi, quam expectaveram, quia non attendi, tubum ab incurvatione in D in$igniter fui$$e con$trictum, præ$ertim ubi an- guli formantur. Hujus igitur rei, ut rationem haberem, tubis deinceps lente incurvatis u$us fui, quales o$tendit Fig. 35. _a_. in iisque amplitudines po$t incurvationem diligenter exploravi.
FInge cylindrum aquâ plenum, cujus fundum perforatum $it, illudque ad certam altitudinem aquæ $tagnanti veluti infinitæ $ubmer$um, & facile intelliges $uperficiem aquæ in cylindro contentæ de$cen$uram, & quidem infra $uperficiem aquæ exterioris, dein rur$us a$cen$uram & $ic porro. Hæ vero o$cillationes admodum differunt ab o$cillationibus in præ- cedente $ectione con$ideratis, in quibus nempe motus reciproci $emper $unt inver$o ordine iidem cum motibus, qui præce$$erunt. Quis autem hic præ$umat refluxum aquarum $eu a$cen$um eundem fore, qui fuerat de$cen$us. Talia $i quis $tatueret, is certe vehementer falleretur, etiam$i vel nihil motus di- minuatur ab adhæ$ione aquarum ad latera va$is hujuscemodique aliis impe- dimentis, non $ecus atque regulæ motuum à percu$$ione pro corporibus ela$ticis valde diver$æ $unt ab iis, quæ pro corporibus mollibus valent, utut in utroque ca$u corpora liberrime moveri cen$eantur. Utor hoc $imili, quod argumentum no$trum egregie illu$trat: Prouti enim regulæ motuum in cor- poribus mollibus recte determinatur, $i po$t colli$ionem ea _vis vivæ_ pars deperdita cen$eatur quæ in compre$$ionem corporum impen$a fuit (neque enim hæc ut in corporibus ela$ticis re$tituitur motui progre$$ivo) ita a$cen$us fluidi non minus recte definietur, $i accurate examinetur, quantum _vis_ _vivæ_ $ingulis momentis motui particularum aquearum inte$tino communi- cetur, nunquam rediturum ad motum progre$$ivum, de quo $ermo e$t.
_§_. 2. Cum itaque res eo deducta $it, ut exploretur, quantum _v{is} vivæ_ in motibus i$tis reciprocis continue perdatur, di$qui$itionem ab hoc incipie- mus.
_Primò_ autem patet omnem _vim vivam_ quæ particulis effluentibus ine$t tran$ire ad aquam externam nec ullo modo promovere $ub$equentem a$cen$um $eu influxum aquæ externæ in tubum: Nimis hæc e$t clara hypothe$is, quam ut majori explicatione opus habeat: re$picit autem aquarum effluxum & in hoc unica e$t con$ideranda. Venit jam altera, quæ pertinet ad aquarum influxum.
_Secundò_ igitur non minus per$picuum mihi quidem e$t, quod ir- ruente aqua per foramen majori velocitate, quam quæ aquæ internæ a$cen- denti ine$t, exce$$us ille rur$us motum quendam inte$tinum in eadem aqua interna cieat, parum aut nihil ad a$cen$um conferentem. Hoc $i ita $it, pona- turque amplitudo foraminis = 1, amplitudo cylindri = _n, a$cen$us potent_. guttulæ irrumpentis = _n n v_, ejusque velocitas = _n_√_v_, retinebit hæc par- ticula motu $uo, quem cum reliqua aqua interna communem habet, velocitatem √_v_, con$ervabitque proinde _a$cen$um potent. v_; reliquum autem _a$cen$us potent_. nempe _n n v_ - _v_ ad motum particularum inte$tinum transii$$e cen$endum e$t. Hypothe$is i$ta, quamvis Phy$ica $it & proxime tantum vera, tamen mag- nam habet utilitatem ad motus fluidorum $ine notabili errore determinandos, quoties in va$e uniformis continuitas, quæ hactenus a$$umta fuit, prærum- pitur, veluti cum aqua per plura foramina tran$ire cogitur; Imo credide- rim unicam e$$e, cujus ope hujusmodi motus mira phænomena recte expli- cari po$$int. Quapropter velim, ut recte animo perpendatur, antequam ad alia divertatur lector.
§. 3. Jam igitur quæ$tionem ip$am examinabimus, incipiendo ab a-
quarum de$cen$u. Concipiatur cylindrus A I M B, (Fig. 36.) aqua plenus
Solutio eadem erit, quam pro $imili quæ$tione, $ed ea admodum generali, dedimus in $ectione tertia: ob$ervetur tantum, quod $umta par- ticula aquæ infinitè parva C D F E æquali guttulæ P L O N eo ip$o tempore ejectæ, _de$cen$us actualis_ $it nunc æ$timandus ex altitudine D V vel C T, cum in altero ca$u definiendus erat ex tota altitudine D M.
Sit nempe velocitas $uperficiei aqueæ C D ea, quæ debetur
E$t proinde incrementum _a$cen$us potent_. = {- _vdx_ - _xdv_ + _nnvdx_/_x_}. (_conf_. §. 6. _$ect_. 3.) I$tud vero incrementum æquale cen$endum e$t cum _de-_ _$cen$u actuali_ infinitè parvo, qui (per §. 7. _$ect_. 3. & per annotationem modo datam) e$t = {(_x_ - _b_)_dx_/_x_}. Habetur itaque talis æquatio - _vdx_ - _xdv_ + _nnvdx_ = (_x_ - _b_)_dx_, quæ debito modo integrata mutatur in hanc _v_ = {1/_nn_ - 2} X (_x_ - {_x_<_>_nn_ - 1/_a_<_>_nn_ - 2}) - {_b_/_nn_ - 1} X (1 - {_x_<_>_nn_ - 1/_a_<_>_nn_ - 1}).
Ex i$ta vero æquatione talia $equuntur corollaria.
_§_. 4. Fuerit amplitudo cylindri veluti infinita ratione foraminis, & erit cèn$endum _v_ = {_x_ - _b_/_nn_}; ip$aque altitudo pro velocitate aquæ, dum effluit, e$t = _x_ - _b_. Unde con$equens e$t, aquam effluere velocitate, quam grave acquirit cadendo ex altitudine $uperficiei internæ $upra externam, & eo usque effluet, donec ambæ $uperficies $int ad libellam po$itæ, tunc- que omnis motus ce$$abit: adeoque eadem lege aquæ effluunt, qua$i fun- dum $itum I M mutaret cum T V.
Cum vero foramen non pote$t ceu infinite parvum con$iderari, de$cen-
dit $uperficies aquæ internæ infra externam; atque ut innote$catad quamnam
profunditatem _x y_ $it de$cen$ura $uperficies C D, facienda e$t _v_ = _o_, $eu
(_nn_ - 1)(_a_<_>_nn_ - 1_x_ - _x_<_>_nn_ - 1_a_) = (_nn_ - 2) X (_a_<_>_nn_ - 1_b_ - _x_<_>_nn_ - 1_b_),
nunquam autem $uperficies interna tantum de$cendet infra $uperficiem exter-
§. 5. Notabile e$t, quod cum eo profundius de$cendat aqua in cylin- dro, quo magis ab initio de$cen$us fuerit elevata & quo majori lumine perfo- ratum e$tfundum, nunquam tamen omnis aqua ex cylindro effluere po$$it quantumvis fuerit ante de$cen$um elevata & pars cylindri $ubmer$a utlibet parva, ip$umque $imul foramen vel totum fundum exhaurire ponatur.
§. 6. Velocitas $uperficiei aquæ internæ maxima e$t, cum $umitur _x_ = ({_a_<_>_nn_ - 1/_nna_ - _nnb_ - _a_ + 2_b_})<_>1: (_nn_ - 2)
Si proinde _n_ = 1, exi$tente $cilicet orificio cylindri toto aperto, fit _x_ = _b_, & maxima e$t velocitas, cum ambæ $uperficies $unt in eadem altitu- dine po$itæ.
Quia vero multa $unt, quæ ex hi$ce æquationibus digno$ci nequeunt in duobus ca$ibus, nempe _nn_ = 1 & _nn_ = 2, hique multa habent particula- ria, eo$dem $eor$im jam attingam.
§. 7. Sit primo _nn_ = 1, & erit - _xdv_ = (_x_ - _b_) _dx_ (_per §_. 3.) vel - _dv_ = _dx_ - {_bdx_/_x_}, quæ $ic integrata, ut $it $imul _v_ = _o_ & _x_ = _a_, dat - _v_ = _x_ - _a_ + _b log_. {_a_/_x_}, $eu _v_ = _a_ - _x_ - _b log_. {_a_/_x_}: Exinde talia deduci po$$unt.
I<_>0. Ut obtineatur maximus de$cen$us, faciendum e$t _a_ - _x_ - _b log_. {_a_/_x_} = _o_; patet autem ex i$ta æquatione, nunquam negativum valorem obtinere litteram _x_, imo nequidem totam evane$cere $ine contradictione, ni$i pona- tur {_a_/_b_} = ∞, quod indicat fieri non po$$e, ut omnis effluat aqua durante de- $cen$u in i$to ca$u & multo minus in reliquis, quod confirmat paragraphum quintum.
II<_>0. Velocitas maxima talis e$t, quæ debetur altitudini _a_ - _b_ - _b log_. {_a_/_b_},
atque $i differentia inter _a_ & _b_, quam ponam = _c_, $it valde parva, exi$ten-
tibus nimirum excur$ionibus fluidi perexiguis ratione longitudinis, ad quam
Demon$trabo autem in $equentibus, totum motum cæteris paribus eundem manere, cum cylindri cen$entur infinite $ubmer$i, quocunque fora- mine fundum fuerit perforatum, ita ut motus aquæ internæ à diminuto fora- mine non retardetur; quod quamvis prima fronte admodum paradoxum vi- deatur, non poterit tamen vera ejus ratio phy$ica effugere animum lad hæc attentiorem. In eo $cilicet ver$atur, quod _v{is} viva_, quæ in tubo generatur, veluti infinita $it præ vi viva aquæ per foramen tran$euntis nec adeoque hujus foraminis con$ideratio computum diver$um faciat.
Demon$trabimus etiam $imiles e$$e motus reciprocos & o$cillationes tam majores quam minores inter $e e$$e I$ochronas, atque pro hi$ce longitu- dinem penduli $implicis tautochroni determinabimus.
§. 8. Fuerit nunc _nn_ = 2; Ita vero habetur vi §. 3. _v d x_ - _x d v_ = (_x_ - _b_) _dx_, vel {_xdv_ - _vdx_/_xx_} = {(_b_ - _x_)_dx_/_x x_}, quæ recte integrata abit in hanc _v_ = {_bx_/_a_} - _b_ + _x log_. {_a_/_x_}. Si fiat {_bx_/_a_} - _b_ + _x log_. {_a_/_x_} = _o_, dabit _x_ locum maximi de- $cen$us; locus autem maximæ velocitatis habebitur, faciendo _x_ = _c_<_>{_b_ - _a_/_a_}_a_, ubi per _c_ intelligitur numerus, cujus logarithmus e$t unitas.
Po$tquam $ic varios per$trinximus ca$us pro diver$is foraminum ma- gnitudinibus, $upere$t ut etiam con$ideremus, quid in diver$is altitudinum _a_ & _b_ ca$ibus $uccedere po$$it.
§. 9. Et primo quidem $i _b_ nulla $tatuatur præ _a_, quod fit cum cylin-
dri fundum tantum radit $uperficiem aquæ exterioris, tunc prodit
_v_ = {1/_nn_ - 2}(_x_ - {_x_<_>_nn_ - 1/_a_<_>_nn_ - 2})
quæ quidem æquatio non ni$i forma differt ab illa, quæ §. 14. _Sect_. 3. data fuit
pro eo ca$u, quo aquæ ex cylindro in aërem ejici ponuntur. Et $æpe etiam
§. 10. Cum itaque ponitur _a_ - _b_ = _c_, ponendum etiam erit _a_ - _x_ = _z_, tumque utraque quantitas, nempe _c_ & _z_, erunt negligendæ præ quantitatibus _a_ & _b_, $ed $i _a_ - _x_ = _z_, erit _x_ = _a_ - _z_ & _x_<_>_nn_ - 1 = (_a_ - _z_)<_>_nn_ - 1 = _a_<_>_nn_ - 1 - (_nn_ - 1)_a_<_>_nn_ - 2_z_ + ({
Hæc $eries quantum ad in$titutum no$trum $ufficit e$t continuanda; $ufficiet autem ad tres usque terminos. Igitur in æquatione integrata quam dedimus §. 3. ponemus, _x_ = _a_ - _z_ & _x_<_>_nn_ - 1 = _a_<_>_nn_ - 1 - (_nn_ - 1)_a_<_>_nn_ - 2 _z_ + ({
In qua æquatione $i termini $e de$truentes deleantur, atque ponatur _a_ - _c_
pro _b_, rejiciaturque terminus qui affectatur quantitate {_czz_/_aa_}, prodit $impliciter
_v_ = {2_cz_ - _zz_/2_a_}.
ex quâ formula, cum littera _n_ evanuerit, indicium habemus, nihil magni-
In $equentibus autem demon$trabimus, non differre hunc motum à $ub$equente motu refluo, hincque o$cillationes fieri tautochronas. Prius- quam vero ad alia pergam monendum duxi, in i$to calculo quantitates {_c_/_a_} & {_z_/_a_} non $olum præ unitate, $ed & præ {1/_nn_} ceu infinite parvas po$itas fui$- $e, ad quod animus probe e$t advertendus in in$tituendis experimentis; licet utique theoriam infinite parvorum ad experimenta, $ine notabili erro- re revocare diminuendo admodum quantitates, quæ in theoria ceu infinite parvæ con$ideratæ fuerunt, $ed faciendum e$t, ut in experimento omnia huic legi $int $ubjecta. Ita v. gr. $i in cylindro omne fundum ab$it, po$ito _n_ = 1, idque $ubmer$um ponatur ad altitudinem triginta quinque pollicum, $atis accurate $umetur experimentum, cum aqua ante o$cillationes elevata tantum fuerit ad altitudinem unius pollicis $upra $uperficiem aquæ circum- fluæ nec dum error notabilis erit, $i vel orificiium inferius ad dimidium ob$truatur exi$tente tunc {_c_/_a_} ad {1/_nn_} ut 1. 9, quæ ratio in no$tro experimento tuto adhuc negligi pote$t: at $i jam diametrum tubi duplam ponas diame- tri orificii, occlu$is tribus quartis aperturæ integræ partibus, jam fiet _n_ = 4 & {_c_/_a_} ad {1/_nn_} ut 4 ad 9, quæ ratio non $atis parva amplius erit, ut experimentum conditionibus theoriæ cum $ufficienti præci$ione $atisfacere affirmari po$$it.
Hic itaque jam porro inquirere conveniet, quid de his ca$ibus $tatuen- dum $it, quibus {_c_/_a_} & {1/_nn_} notabilem quidem inter $e habent rationem, utra- que vero quantitas fit admodum exigua, quod nimirum fit, cum cylindrus profundi$$ime $ubmergitur, $imul autem fundum parvulo e$t pertu$um fo- ramine.
§. 11. Sed i$te, quem modo finximus, ca$us melius ex æquatione
differentiali paragraphi tertii, quam ex integrali, ut antea factum, deduci-
tur: pote$t autem pro his circum$tantiis rejici terminus - _v d x_ præ _n n v d x_,
atque $ic a$$umi - _x d v_ + _n n v d x_ = (_x_ - _b_) _d x_, in quâ $i rur$us ponitur
_a_ - _b_ = _c_ & _a_ - _x_ = _z_, prodit
_adv_ + _zdv_ + _nnvdz_ = (_c_ - _z_) _dz_
Ponatur hic ($umto α pro numero, cujus logarithmus hyperbolicus e$t unitas) _v_ = {1/_nn_}α<_>{-_nnz_/_a_}_q_; hoc modo mutabitur po$trema æquatio in hanc α{-_nnz_/_a_}_adq_ = _nn_ (_c_ - _z_)_dz_, vel _adq_ = _nn_α<_>{_nnz_/_a_} X (_c_ - _z_)_dz_:
Hæc vero ita e$t integranda, ut _z_ & _v_ vel etiam _z_ & _q_ $imul evane- $cant; habebitur igitur _q_ = (_c_ + {_a_/_nn_} - _z_)α<_>{_nnz_/_a_} - _c_ - {_a_/_nn_}, vel denique _v_ = {1/_nn_} (_c_ + {_a_/_nn_} - _z_) - {1/_nn_} (_c_ + {_a_/_nn_})α<_>{-_nnz_/_a_};
Ex i$ta vero æquatione deducitur:
I. Oriri rur$us, ut paragrapho decimo alia mathodo inventum fuit, _v_ = {2_cz_ - _zz_/2_a_}, $i nempe rur$us ponatur {_nnz_/_a_} numerus valde parvus, Id ve- ro ut pateat, re$olvenda e$t quantitas exponentialis α<_>{-_nnz_/_a_} in $eriem, quæ e$t ip$i æqualis, 1 - {_nnz_/_a_} + {_n_<_>4_zz_/2_aa_} - {_n_<_>6_z_<_>3/2. 3_a_<_>3} + &c. ex quâ pro no$tro $copo tres priores termini $ufficiunt; eo autem $ub$tituto valore rejectoque termino rejiciendo, reperitur ut dixi _v_ = {2_cz_ - _zz_/2_a_}
II. At $i vici$$im {_nn_/1} infinites major ponatur quam {_a_/_z_} aut {_a_/_c_}, quia tunc α{-_nnz_/_a_} = _o_, ut & {_a_/_nn_} = _o_, fieri intelligitur _v_ = _c_ - _z_, $ive _v_ = _x_ - _b_, ut §. 4.
III. Neutram vero præmi$$arum formularum $ine notabili errore lo- cum habere patet, cum {_nnc_/_a_}, numerus e$t mediocris, nempe nec infinitus, nec infinite parvus, & tamen utraque quantitas {_nn_/1} & {_a_/_c_} infinita.
Fuerit v. gr. elevatio indicata per _c_ unius pollicis, immer$io cylindri _b_ 80. _poll_. ip$aque _a_ 81. _poll_. dein ponatur diameter tubi tripla diametri forami- nis, id e$t, _nn_ = 81, erit _v_ = {2 - _z_ - 2α<_>- _z_/_nn_}, atque $i porro ponatur _z_ = _c_ = 1, ut habeatur altitudo velocitatis, cum utraque $uperficies e$t ad libellam po$ita, erit _v_ = {α - 2/_nn_α}, id e$t, proxime _v_ = {1/307} _poll_. cum $ecundum paragraphum decimum debui$$et oriri _v_ = {1/162} _poll_. & $ecundum paragraphum quartum _v_ = _o_. In eodem exemplo fit $patium integrum, quod $uperficies percurrit non omnino octo quintarum partium unius pollicis, locusque maximæ velocitatis e$t præterpropter $exaginta novem cente$imarum partium ejusdem men$uræ infra altitudinem initialem.
_§_. 12. Non difficilius e$$et ad omnes va$orum figuras extendere, quæ hactenus dicta $unt, imo etiam ad $patia finita, quibus aqua externa deter- minetur: fiunt autem formulæ plerumque adeo prolixæ, ut con$ultius du- xerim easdem $ilentio præterire, & $pecimine $altem aliquo particularem o$ten- dere modum, quo theoria ad quoslibet ca$us alios eruendos applicanda $it.
Attentionem particulariorem merentur, quæ de motu aquarum in tu- bis inferius largiter apertis, & profundi$$ime $ubmer$is indicavi, quia in his motus o$cillatorius, ut in pendulis, con$tantis durationis e$t, & undarum in mari fluxus illu$tratur ab illis. Exi$timavi autem prius de refluxu aquarum in cylindris $ubmer$is generaliter tractandum e$$e, atque o$tendendum in i$ta hypothe$i refluxum non differre à præcedente fluxu, quam motus totus o$cillatorius examinetur. Jam igitur de i$to refluxu commentabimur, dein- ceps utrumque motum in diver$is ca$ibus combinaturi, ne aliquid in argu- mento de$iderari po$$it.
_§_. 13. Po$tquam aquæ de$cenderunt in va$e $ubmer$o, quantum id
ip$is natura rei permittit, duo poti$$imum con$ideranda $e offerunt; primo
exce$$us altitudinis $uperficiei externæ $upra internam & $ecundo _vis viva_ $eu
productum ex _a$cen$u potentiali_ in ma$$am illius aquæ, quæ ex cylindro in aquam
Facile igitur e$t $ine in$tituto calculo prævidere $equentes in aquarum, po$tquam ex certa altitudine delap$æ fuerunt, refluxu affectiones.
I. Nullum nempe fore refluxum $en$ibilem, $i foramen $it valde par- vum.
II. Cum pars cylindri $ubmer$a non mutata maneat, nunquam aquas in refluxu certum terminum prætergre$$uras, $i vel in infinitum elevatæ fuerint aquæ in prævio de$cen$u: nunquam enim, ex quâcunque altitudine incipiat de$cen$us, omnes aquæ ex cylindro effluunt, ut vidimus, §. §. 5. & 7.
III. Cum de$cen$us incipere intelligatur ab altitudine X Y, $ub$e- quen$que a$cen$us fieri u$que in CD, fore productum _de$cen$us actualis_ ma$$æ aquæ X Y D C u$que ad T V in ma$$am, men$uram rationis utriu$que combinatæ, quæ, ut §. 2. dictum, a$cen$um à præcedente de$cen$u differre faciunt, & cum ratio $ecundo loco recen$ita evane$cat, $i omne auferatur fundum IM, fore tunc i$tud productum æquale _vi vivæ_ omnis aquæ, durante de$cen$u ejectæ, ita ut $ine alio calculo, præter hactenus jam po$itos, a$cen$us aquarum in cylin- dro toto aperto definiri po$$it.
IV. A$cen$um fore æqualem de$cen$ui, cum cylindrus infinite $ub- mer$us intelligitur evane$centibus tunc præfatis diminutionis cau$is.
V. Hinc igitur o$cillationes $ine fine fore, quia po$tremæ o$cillatio- nes $emper $int veluti infinite parvæ ratione $ubmer$ionis altitudinum: faciunt autem impedimenta aliena, quorum nullam hucu$que rationem habuimus, ut omnis motus cito admodum ce$$et.
§. 14. His generatim præmonitis, problema accuratiori calculo $ub- jiciemus: duplicem autem dabo $olutionem, alteram ad principia modo ex- po$ita accommodatam, alteram $pecie quodammodo diver$am.
Igitur retentis tum figura, tum denominationibus §. 3. con$iderabi- mus aquam ex altitudine X Y de$cendi$$e u$que in _x y_, & ab hoc termino a$- cen$um $uum inchoare; dicatur M _y_ vel I _x_ = α & po$tquam jam a$cendit u$- que ad _c d_ vel _e f_, ponatur M _d_ = ξ, _df_ = _d_ξ: His ita ad calculum præpa- ratis, de$ignataque rur$us per _v_ altitudine debita velocitati aquæ in _c d_ & per _v_ + _d v_ $imili altitudine in $itu proximo _e f_, inquiremus in _incrementum a$cen_. _$us potentialis_ aquæ accedens, dum cylindrum $ubit guttula L O N P, $uperfi- cie$que ex _c d_ a$cendit in _e f_; Per$picuum autem e$t, cum ubique _a$cen$us po-_ _tent_. aquæ internæ multiplicatus per $uam ma$$am exprimatur per _n_ ξ _v_ (nec enim ulla attentio adhibenda e$t ad motum inte$tinum) fore ejusdem produ- cti incrementum _n_ ξ _d v_ + _n v d_ ξ: Si vero præterea con$ideretur _a$cen$us po-_ _tent. n n v_ - _v_, (vid. §. 2.) quem guttula influens _n d_ ξ perdit, quique pariter debetur _de$cen$ui actuali_ particulæ aqueæ _n d_ ξ per altitudinem _b_ - _x_, patet e$$e ponendum _n_ξ_dv_ + _nvd_ξ + (_nnv_ - _v_) _nd_ξ = (_b_ - ξ) _nd_ξ, vel ξ_dv_ + _nnvd_ξ = (_b_ - ξ) _d_ξ.
Idem vero aliter $ic invenitur.
Con$ideretur $cilicet guttulæ L O N P qua$i nullam velocitatem fui$$e, priu$quam influere inciperet, eandem vero $tatim atque influere incipiat, ac- quirere _a$cen$um potentialem_, qui $it = _n n v_, quamvis mox po$t $ui influxum (per annot. $ec. §. 2.) cen$enda $it motum continuare velocitate communi √ _v_. Quo facto $ic erit ratiocinandum. Ante influxum guttulæ, e$t _a$cen$us_ _potent_. aquæ _c d_ M L P I _c_ (cujus ma$$a = _n_ ξ) = _v_. & _a$cen$. potent_. guttulæ L O N P (cujus ma$$a = _n d_ ξ) = _o_; ergo _a$cen$us potentialis_ omnis aquæ _c d_ M L O N P I _c_ = {_n_ξ_v_/_n_ξ = _nd_ξ} = {ξ_v_/ξ + _d_ξ}.
At vero po$tquam guttula L O N P influxit $itumque a$$um$it L _on_ P, e$t ejus _a$cen$. potent_. = _n n v_, reliquæ autem aquæ _e f_ M L _o n_ P I _e_ (cujus quidem ma$$a rur$us = _n_ ξ) _a$cen$us potent_. e$t = _v_ + _d v_; igitur _a$cen$us_ _potent_. omnis aquæ hic con$ideratæ po$t influxum guttulæ e$t = {_nd_ξ x _nnv_ + _n_ξx(_v_ + _dv_)/_n_ξ + _nd_ξ} = {ξ_v_ + ξ_dv_ + _nnvd_ξ/ξ + _d_ξ}, cum ante eundem influ- xum fuerit {ξ_v_/ξ + _d_ξ}: cepit igitur incrementum {ξ_dv_ + _nnvd_ξ/ξ + _d_ξ}, vel $implicius {ξ_dv_ + _nnvd_ξ/ξ}. I$tud vero incrementum æquandum e$t cum _de$cen$u actuali_ quem aqua facit mutando $itum _c d_ M L O N P I _c_ $itu _e f_ M L O N P I _e_, qui de$cen$us æqualis e$t quartæ proportionali ad ma$$am aquæ internæ _n_ ξ, ad guttulam _n d_ ξ & altitudinem V _f_ vel _b_ - ξ, $ic ut præfatus de$cen$us $it = {(_b_ - ξ)_d_ξ/ξ}: unde iterum habetur talis æquatio ξ_dv_ + _nnvd_ξ = (_b_ - ξ)_d_ξ;
Hujus vero integralis po$t debitæ con$tantis additionem talis fit _v_ = {_b_/_nn_} (1 - ({α/ξ})<_>_nn_) - {1/_nn_ + 1} (ξ - ({α/ξ})<_>_nn_ α), quam nunc pro diver$is ejus circum$tantiis perpendemus.
§. 15. Et quidem cum fuerit amplitudo tubi infinities major, quam amplitudo foraminis; patet fieri _v_ = {_b_ - ξ/_nn_}, & irruere proinde aquam velo- citate quæ debeatur altitudini $uperficiei externæ fuper internam, neque tunc ultra $uperficiem aquæ externæ fiet a$cen$us.
Cum vero amplitudo foraminis rationem habet finitam ad amplitudi- nem tubi, a$cen$us fit ultra $uperficiem R S veluti usque in _s t_: minor au- tem $emper erit V_t_ quam V_y_, ni$i cum omne fundum abe$t, tunc enim erit V _t_ = V _y_. Prouti monuimus §. 5. in de$cen$u differentiam inter V Y & V _y_, proportionalem e$$e & originem debere _a$cen$ui potentiali_ aquæ durante de$cen$u ejectæ, ita nunc ob$ervari pote$t in a$cen$u differentiam inter V _y_ & V _t_ originem habere ab illi$ione guttularum L _o n_ P in ma$$am aquæ $u- perjacentis, quæ quidem illi$io non promovet a$cen$um, $ed in inutilem mo- tum inte$tinum impenditur, prouti indicatum fuit §. 2. Ergo cum omne fundum I M abe$t, aqua tubum eadem velocitate ingreditur, qua jam gau- det aqua tubum antea ingre$$a & nulla fit colli$io, quæ cau$a e$t cur in i$to ca$u tantum a$cendat aqua ultra $uperficiem R S, quantum fuerat infra il- lam depre$$a, quod æquatio, uti mox videbimus, indicat.
§. 16. Determinabitur maximus a$cen$us _s t_, faciendo _v_ = _o_. Igitur ut motus omnis recte definiatur, alternatim adhibendæ erunt formulæ §. §. 3. & 14. erutæ, quod nunc hoc unico illu$trabo exemplo, quo _nn_ = 1.
Si proinde _nn_ = 1, fit _v_ = _b_ (1 - {α/ξ} - {1/2} (ξ - {αα/ξ}): eritque _v_ = _o_, cum $umitur ξ = 2_b_ - α, id e$t, cum $umitur V _t_ = V _y_. Igi- tur $i verbi gratia tubus A B M I aqua plenus, omnique fundo de$titutus fue- rit ad medietatem usque immer$us aquæ exteriori, atque tota ip$ius longi- tudo dicatur _a_, aqua $ic agitabitur ut primo infra T V de$cendat, $patio _o_, 297_a_, deinde $imili $patio $uper eandem T V elevetur, rur$usque infra eam deprimatur $patio _o_, 240_a_, eodemque lineam illam iterum tran$cendat, & $ic porro.
§. 17. Patet etiam cum α e$t = _o_, tubo $cilicet ab omni aqua va- cuo, fore generaliter _v_ = {_b_/_nn_} - {ξ/_nn_ + 1}: a$cen$umquè integrum con$equen- ter fore {_nn_ + 1/_nn_}_b_ vel a$cen$um $upra $uperficiem exteriorem aquæ = {_b_/_nn_}.
§. 18. Venio nunc ad tubos infinite $ubmer$os, in quibus de$cen$um
cum $uis affectionibus determinavimus §. 10. Utemur autem eadem plane
methodo ad hunc ca$um definiendum quâ ibi u$i $umus: erit nobis igitur
depre$$io initialis V _y_(= _b_ - α) = _c_, a$cen$us inde factus _y d_ (= ξ - α) = _z_.
_nn_ + 1
_zz_/2αα}. Sub$titu-
tis i$tis valoribus pro _b_, ξ & ({α/ξ})<_>_nn_ mutatur æquatio ultima paragraphi de-
cimi quarti in hanc, _v_ = {α + _c_/_nn_} X ({_nnz_/α} - {_nn_ x _nn_ + 1
_zz_/2αα}) -
{1/_nn_ + 1} X (α + _z_ - α + _nnz_ - {_nn_._nn_ + 1
_zz_/2α}) =
(α + _c_) X ({_z_/α} - {_nn_ + 1
_zz_/2αα}) - (_z_ - {_nnzz_/2α}) =
{_cz_/α} - {_zz_/2α} - {_nn_ + 1
_czz_/2αα}: Pote$t autem negligi i$te ultimus terminus & $ic
fit $impliciter
_v_ = {2_cz_ - _zz_/2α},
quam æquationem _n_ non amplius ingreditur: Neque illa differt ab æquatio-
ne pro de$cen$u §. 10. data, nempe _v_ = {2_cz_ - _zz_/2_a_}, quandoquidem quan-
titas _a_ & α non differunt ni$i quantitate minima 2 _c_.
Cæterum hic omnia etiam $unt $ubintelligenda, quæ eodem §. 10. de tubo non nimis ob$truendo dicta $unt.
§. 19. Sunt igitur de$cen$us & a$cen$us $ibi æquales; nam ex æquatio- nibus no$tris patet, liquorem æqualiter librari ultra $uperficiem aquæ externæ. Deinde vero poti$$imum $equitur ex i$tis formulis, e$$e vel o$cillationes inæqua- les inter $e i$ochronas, modo omnes po$$int infinite parvæ cen$eri ratione $ub- mer$ionis: Pendulum autem $implex tautochronum e$$e eju$dem longitudinis cum parte tubi $ubmer$a.
Differt i$tud theorema ab illo, quod §. 4. _$ect_. 6. de o$cillationibus in
tubo cylindrico ex duobus cruribus verticalibus compo$ito citatum fuit, in eo,
quod ibi o$cillationes omnes non exclu$is o$cillationibus finitæ magnitudinis
$int tautochronæ, cum@in præ$enti ca$u o$cillationes finitæ $int inæqualis dura-
§. 20. Utroque o$cillationum genere illu$tratur natura undarum ven- to agitatarum: neque enim aliter moventur, quam quod aquæ in illis conti- nue a$cendant rur$u$que de$cendant. Ita patet quod dicit Newtonus, tem- pora undulationum e$$e in ratione dimidiata latitudinum undarum, quia ponit undarum formam $ibi con$tanter e$$e $imilem & proinde earum latitudinem proportionalem profunditati, ad quam aquæ agitantur. Veri$imile autem e$t profunditatem eam e$$e, quæ pendulo $implici cum undis tautochrono, nempe _v.gr._ 60 {1/3} _ped. Pari$_. $i $ingulis binis $ecundis fiat undarum a$cen$us de$cen$u$ve.
§. 21. Quamvis noluerim ad prolixitatem calculi evitandam, hoc ar- gumentum in omni $ua exten$ione pro$equi, propterque ea de cylindricis va- $is tantum egerim, attamen quia in ca$u $ubmer$ionis infinitæ, enunciationes & theoremata parum de $ua concinnitate perdunt, $uperaddam theorema ge- nerale pro o$cillationibus aquæ in tubo utcunque inæquali, omi$$a tamen de- mon$tratione, quæ ex alibi dictis unicuique obvia erit, præ$ertim vero ex iis quæ in _Sect._ 6. §. §. 6. 7. & _$eqq_. u$que ad 20. expo$ita fuerunt. Faciendum au- tem e$t, ut cylindricæ $it $tructuræ pars illa va$is $uperior, in quâ excur$iones fiunt.
§. 22. Fuerit igitur _bd_ longitudo va$is $ubmer$i (Fig. 35. _b_) Repræ$entet _b_ F ejus amplitudinem in loco $uperficiei, ponaturque vas ita formatum, ut $it curva FGH $cala amplitudinum: $umatur linea _b c_ fiatque curva L M N, cujus applicata _c_ M $it ubique = {_bF_<_>2/_cG_}, & erit longitudo penduli i$ochro- ni cum o$cillationibus aqueæ $uperficiei = $patio _bd_ NL divi$o per _b_ L.
§. 23. Ex præcedente paragrapho $equitur, $i tubus $ubmer$us coni-
cus fuerit, habeatque amplitudinem in regione aquæ $uperficiei, quæ $it ad
orificium $ubmer$um ut _m_ ad _n_, fore longitudinem penduli I$ochroni cum
vibrante aqua ad longitudinem $ubmer$i tubi, ut √_m_ ad √_n_, id e$t, ut ra-
dices prædictarum amplitudinum, atque $i tubus idem $itu, modo recto mo-
_§_. 24. Quæ in hac $ectione continentur, quia novis hypothe$ibus inni- tuntur pleraque, eo magis operæ pretium erit experimentis tentare. Ego quidem diver$a in$titui, non vacavit autem $ingula quæ mente conceperam exequi: quæ feci inferius recen$ebo; Interim ut tutius judicium ferri po$$it de con$en$u experimentorum cum theoria, di$piciendum prius erit pro re- rum circum$tantiis, an & quantum fere contractio venæ effluentis (cujus naturam expo$ui in _$ect_. 4.) calculum turbare po$$it: quod incommodum maxima parte tolli poterit, $i fiat ut orificii inferioris latera parvulum ali- quem cylindrum efforment, vix dimidiæ lineæ altitudinis, qua de re animo revolvatur experimentum quartum ad $ectionem quartam pertinens. Deinde etiam animus advertendus ad re$i$tentias ab adhæ$ione aquæ oriundas, quæ quidem parum retardant motus, $itempora o$cillationum re$picias, multum autem excur$ionibus detrahunt, præ$ertim $i tubi $trictiores & longiores $u- mantur. Igitur magis fidendum erit experimentis, quæ circa o$cillationum tempora facta fuerint, quia hæc tempora à diminutione excur$ionum non multum admodum alterantur. Ratione primi experimentorum generis, quo excur$iones fluidorum in tubis, tam de$cen$us quam a$cen$us inquirendi ob- $ervandique veniunt, hâc u$us fui circum$pectione, ut filum tubo circumvol- verem eo in loco, ad quem aquas de$cen$uras vel a$cen$uras e$$e expectabam, idemque filum po$t $æpe repetitum experimentum ita tandem locavi, ut $u- perficies fluidi o$cillantis nec ultra nec citra excurreret. Reliqua etiam loca, quæ in tubo ob$ervanda erant, pariter filo circumvoluto notavi. Quod deinde ad tempora o$cillationum pertinet, quia hæ citi$$ime decre$cunt fiuntque im- perceptibiles & plane nullæ, non potui illa aliter inquirere, quam exploran- do po$t $æpi$$ime iteratum experimentum longitudinem penduli $implicis i$o- chroni, quod dum o$cillabat digitum orificio tubi $uperimpo$ui eumque eo præci$e temporis puncto removi, ut & pendulum & fluidum o$cillationem $i- mul inciperent.
TUbum adhibui vitreum cylindricum diametri fere quatuor linearum, inferius totum apertum. Eum aquæ, in va$e pellucido ampli$$imo $tagnanti, $ubmer$i ad altitudinem 44. _lin_. digitumque orificio admo- vi $uperno, ne extrahendo tubi partem de$cenderet in illo aqua: extraxi deinceps tubum ad alt. 22. _lin_. ita ut tam pars tubi $ubmer$a, quam altitudo aquæ internæ@$upra externam e$$et 22. _lin_. moxque remoto digito ob$ervavi de$cen$um $uperficiei in tubo infra $uperficiem aquæ $tagnantis eumque vidi fui$$e 9 {1/2} _lin_,
Debui$$et autem vi §. §. 7. & 17. de$cendere tredecim lineis; Defectus trium linearum cum dimidia unice fere adhæ$ioni aquæ ad latera tubi tribuen- dus videtur.
Ob$ervato de$cen$u totum experimentum repetii, ut a$cen$um quoque proximum experirer: Vi$us autem mihi fuit 8. _lin_. qui vi paragraphi deci- mi $exti, habito re$pectu ad prævium de$cen$um, e$$e debuerat 9 {1/2} _lin_. nempe tantus, quantus fuit præcedens de$cen$us. Hic vero experimentum unica tantum linea cum dimidia defecit, cum in prima experimenti parte ad tres u$que lineas cum dimidia defectus adfuit, quia nimirum major ibi facta fuit excur$io eaque velocitate majori, ita ut impedimenta, quæ una cum velo- citatibus cre$cunt, admodum majora offenderit.
Eodem tubo u$us $um, $ed eo lamina munito, quæ foramine erat per- tu$a amplitudine √ {1/2} ratione amplitudinis tubi, cum $uperficies tubi e$$et octodecim lineis elevata $upra aquam $tagnantem, totidemque lineis fundum $ubmer$um, vidi $uperficiem tubi in de$cen$u quinque fere lineis infra aquam $tagnantem de$cendi$$e.
Paragraphus octavus autem de$cen$um arguit 7 {1/2} _lin_. defectum, qui plusquam 2 {1/2} _lin_. fuit, rur$us adhæ$ioni aquæ ad latera tubi ad$cribo.
Deinde tubum hunc eadem lamina in$tructum admoto $uperius digi- to aquæ immi$i@ad profunditatem 18. _lin_. totum ab aquâ vacuum: remoto digito emer$it $uperficies tubi $upra aquam $tagnantem integris octo lineis, cum §. 17. earum novem indicat pro i$to ca$u.
Quod hic defectus minor admodum fuerit, quam in de$cen$u, ratio- ni ad$crip$i, quam prolixe paragrapho decimo tertio indicavi, cum dicerem motum paullo majorem oriturum, cum foramen amplitudinem re$pectu tu- bi notabilem veluti in ratione √ {1/2} ad 1, aut circiter habuerit, quam qui ex hypothe$i $equitur: atque ut ea de re certus plane fierem, tubum adhibui breviorem & ampliorem, ut omnis fere impedimentis alienis effectus præri- peretur, & experimentum cepi, quod $equitur.
Tubum adhibui cujus diameter erat plus quam $eptem linearum, quem ex ferro confieri curavi, quia vitreus bene cylindricus non fuit ad manus: longitudo ejus fuit quatuor pollicum cum $ex lineis & $emi$$e: amplitudo ejus ratione foraminis indicata per _n_ fuit = 1, 860 & _nn_ = 3, 4 5 8.
Obturato $cilicet orificio $uperiori identidem tentavi, ad quam pro- funditatem $ubmergendus e$$et aquæ in arca ampli$$ima $tagnanti, ut re- moto protinus digito, qui orificium obtegebat, aqua ad limbum ejus- dem orificii præci$e a$cenderet, nihilque præterflueret. I$tam vero pro- funditatem expertus $um 3. _poll_. cum tribus _lineis_; fuit igitur a$cen$us $upra aquam externam unius pollicis & trium linearum cum dimidia, cum vel omnibus remotis impedimentis parum ultra undecim lineas a$cen$us fieri debuerit vi paragraphi 17. Recte igitur præmonitum fuit §. 13. non po$$e non a$cen$us fieri paullo majores in i$tiusmodi ca$ibus, quam hypothe$is po$tulat. Mox eidem tubo aliud applicui fundum; erat jam _n_ = 3, 68, & _nn_ = 13, 54: difficile fuit experimenti $ucce$$um recte digno$cere, quia $uperficies in tubo a$cendens $emper fuit bullata: vi$um tamen fuit, tubum nunc immergendum fui$$e ad altitudinem 4. _poll_. cum duabus tribu$ue lineis, manentibus $ic extra aquam præterpropter quatuor lineis, pror$us ut theo- ria indicat.
Tubum cylindricum vitreum, qui tres præterpropter lineas habebat in diametro immer$i ad altitudinem 20. _poll_. fecique, ut aqua in illo libraretur, elevata prius aquâ ad altitudinem unius fere pollicis. Ultra quatuor vel quinque itus reditusque bene notabiles non fecit, nec adeoque omni rigore longitudinem penduli $implicis i$ochroni examinare potui; mihi tamen illa vi$a fuit 22. aut 23. pollicum; ex quo intuli adhæ$ionem aquæ ad latera tu- bi non $olum diminuere excur$iones, $ed & morari pauli$per tempora o$cillationum: debui$$et enim $ecundum § 19. e$$e præfata longitudo vi- ginti tantummodo pollicum. Idem expertus $um in o$cillationibus, quas in $uperiori $ectione pertractavimus.
Cæterum obturato vel ad dimidium fere orificio inferiori, ob$ervare non potui, excur$iones inde fui$$e diminutas aut o$cillationes retardatas, quod conforme e$t cum iis, quæ §. §. 7. & 18. habentur.
Tubum conicum longitudine 21. _poll_. immer$i aquæ orificio ampliore, ita ut unicus pollex extra aquam emineret: fuit autem alterum orificium al- terius paululum plusquam duplum. Longitudinem penduli i$ochroni cum vibrationibus aquæ in tubo libratæ inveni quindecim _poll_. debui$$et autem $e- cundum §. 23. e$$e eadem longitudo paullo minor quatuordecim pollicibus. Denique $imiliter eodem tubo u$us, $ed $itu inver$o, deprehendi longitudi- nem penduli i$ochroni tantillo plusquam duplam ejus, quæ antea fuerat, prouti citato paragrapho indicatur.
ALiis adhuc principiis præter quam in $ectione proxime præceden-
te u$i non $umus, quam hi$ce duobus _quod velocitates fluidorum_
_$int ubique reciproce proportionales amplitudinibus va$orum_, cujus
ope invenitur _a$cen$us potentialis_ totius aquæ ex dato _a$cen$u_ po-
_tentiali_ cujusvis particulæ; tum quod _a$cen$us pot_. totius aquæ perpetuo æqua-
lis maneat _de$cen$ui actuali_. Quoties ambo hæc principia locum habent, mi-
nime dubitandum e$t, quin methodo à nobis adhibita motus fluidorum
recte definiatur. Non diffitebor tamen, hujusmodi fieri po$$e $tructuræ va-
$a, in quibus fluida moventur, ut neutrum i$torum principiorum recte pro-
cedat. Prius equidem raro aut nunquam notabiliter à vero abducit, quia
ubicunque locum non habet, ibi nullum fere aquæ habere $olent motum,
po$$untque $ine $en$ibili errore ceu $tagnantes con$iderari: Longe vero ali-
ter comparatum e$t alterum principium, quod apparebit exinferioribus ex-
emplis, & cujus rei luculentum e$$e po$$unt te$timonium ea, quæ in $upe-
riori $ectione protulimus circa refluxum aquarum; tantum enim abe$t, ut
aquæ in va$e $ubmer$o ex data altitudine delap$æ, ad hanc altitudinem re-
gredi po$$int, prouti vi i$tius principii deberent, $ublatis impedimentis ex-
trin$ecis, quin potius plerunque vix $en$ibilis $it earum a$cen$us præ de$cen-
$u, quem antea fecerunt: imo nequidem a$cendere $uperficies aquæ pote$t
§. 2. Di$piciendum e$t, a$$umta alicubi in va$e propo$ito velocitate fluidi ceu cognita, quænam reliquis fluidi partibus futura $it velocitas. Ita enim cogno$cetur _a$cen$us potentialis_ totius fluidi ejusque incrementum. Ha- ctenus con$ideravimus fluida in infinita $trata parallela vel potius ad latera va$is ubique perpendicularia divi$a, $tatuimusque velocitates hi$ce $tratis re- ciproce proportionales: Facile quidem e$t va$a effingere, ubi aliter moven- tur fluida; crediderim autem his in locis motum notabilem nunquam ha- bere fluida ita, ut error ex i$ta hypothe$i $en$ibilis na$ci fere non po$$it: poterit tamen majoris accurationis ergo præfata regula adhiberi. Præ$ertim vero huc pertinet contractio venarum, cum fluida per foramina in tenuibus admodum laminis facta transire coguntur, qua in re magna e$t adhibenda circum$pectio: Effectus hujusmodi contractionum haud male, puto, prævi- debuntur, cum recte perpen$a fuerint, quæ in $ectione quarta de illis monui.
§. 3. Singulis momentis di$piciendum e$t, quantum _vis vivæ_, $eu quodnam productum ex _a$cen$u potentiali_ in ma$$am oriatur ad fluxum præ- cipuum, cujus natura quæritur, nihil conferens. Id vero rur$us uniuscu- jusque circum$pectæ æ$timationi relinquendum e$t. Quod $ic oritur, ad- dendum e$t facto ex _a$cen$u potentiali_, quem motus præcipuus involvit, in ma$$am, aggregatumque productorum demum æquale cen$endum e$t facto ex ma$sâ omnis aquæ in ejusdem _de$cen$um actualem_.
Magni profecto e$t momenti hæc regula, & ut puto, fere unica ad mo- tuum men$uras obtinendas, quiin va$is irregularibus, pluribusque cavitatibus inter $e communicantibus divi$is fiunt, quod nunc pluribus illu$trabo exemplis.
§. 4. Propo$itum fuerit vas A C R B (Fig. 37.) infinitæ qua$i ratione
Fuerit altitudo $uperficiei P Q $upra foramen D = _x_, amplitudo fo- raminis D = _n_, alteriusque G = _m_. Per$picuum autem e$t _a$cen$um potentia-_ _lem_ cuju$vis guttæ per G transfluentis nihil promovere effluxum per D, totum- que impendi in motum aliquem excitandum inte$tinum, qui mox ab$orbetur $ine alio effectu: nece$$e igitur e$t ut $ingulis momentis motus generetur no- vus in particulis foramen G tran$euntibus, non minus atque in particulis per D effiuentibus. Sed $i _a$cen$us potentialis_ guttulæ per D effluentis dicatur _v_, id e$t, $i aqua exilire ponatur per D velocitate, cujus altitudo genitrix $it _v_, erit $imilis altitudo ratione guttulæ mole $ua priori æqualis, per G eodem tempo- re transfluentis {_nnv_/_mm_}. Multiplicatis i$tis _a$cen$ibus potentialibus_ per ma$$am, quam æqualem habent, quamque vocabo M, erit aggregatum productorum = M_v_ + {_Mnnv_/_mm_}. Et cum ob infinitam amplitudinem va$is alius motus non generetur, erit præfatum aggregatum (per _reg._ 2.) cen$endum æquale facto ex ma$$a omnis aquæ in ejusdem _de$cen$um actualem_. At vero $i ma$$a omnis aquæ dicatur μ, erit (per § 7. _Sect_. 3.) _de$cen$us actualis_, qui fit dum guttula M ef- fluit = {_Mx_/μ}, ita ut productum commune $it = M _x_. Igitur habetur M_v_ + {_Mnnv_/_mm_} = M_x_, $ive _v_ = {_mmx_/_nn + mm_}. Q. E. F.
§. 5. Apparet ex i$to exemplo, motum $ine calculo differentiali de-
§. 6. Quia in calculo, quem po$uimus, _v{is} viva_ cuju$vis guttulæ per G transfluentis ab aqua cavitatis inferioris ab$orberi debet, per$picuum e$t, propo$itionem non e$$e extendendam ad illos ca$us, qui hypothe$i repugnent, veluti cum diaphragma E F fundo C R proximum e$t $imulque foramina $ibi directe re$pondent: ita enim non arduum e$t providere, motum longe diver- $um fore ab eo, quem præ$ens theoria indicat. At vero, $i di$tantia D G ma- gna $it, $ique $imul foraminum $itus $it obliquus & latera foraminum venis aqueis negent contractionem; dubium nullum e$t, quin theoria accurate om- @@bus phænomenis re$pondeat.
§. 7. Si foramen G e$t admodum amplum præ altero, fit fere _v_ = _x_, $ed hæc altitudo _v_, cui nimirum re$pondet velocitas aquæ per D effluentis, non parum decre$cit, cre$cente foramine D, ita ut $i fuerit _v. gr_. duplum fo- raminis G, $it _v_ = {1/5}_x_ & tantum non tota evane$cat, cum foramen G e$t valde exiguum re$pectu foraminis D.
His ita inventis, jam quivis veram per$piciet rationem motuum illo- rum, quos Mariottus primus ob$ervavit, & quibus ceu valde _admirabilibus_ te- $tatur $e $upra modum fui$$e delectatum, $imulque intelliget, quam longe Auctor i$te in reliquis per$picaci$$imus à viâ aberraverit in hi$ce di$qui$itioni- bus. Non abs re fore puto ob$ervata Mariotti hic apponere.
§. 8. Vas adhibuit, quale repræ$entat Figura trige$ima octava, quæ
His ita præparatis, effluentibusque aquis per D, ob$ervavit Mariottus, mox illas a$cendi$$e u$que in I, deinde $en$im imminuta velocitate u$que in N & tandem, imminente depletione tota cavitatis $uperioris, A B F E u$que in O, tuncque a$$umtis confe$tim novis viribus a$$ilivi$$e fere u$que in F. Animad- vertit etiam, $i bene memini, altitudinem jactus initialis eo minorem e$$e, quo mi- nus $it foramen G, ratione alterius D. Videatur ejus _tract. de motu aquarum part. IV_. _di$c_. 1. Putat autem horum motuum mutationes explicari po$$e fingendo va$i A B F E ampli$$imo tubum $trictiorem adhærere G L M D, per quem aquæ fluant. At vero demon$travimus & experientia quotidie docet, motum aquarum ex va$e A B G L M D admodum diver$um e$$e ab eo, qui modo indicatus fuit. Non minus falleretur $i quis putaret aquam eadem velocitate exilire per fora- men D, qua$i illud in diaphragmate E F po$itum e$$et, nam fieri pote$t, ut altitudo jactus initialis $it major & minor altitudine F B. Nec denique ea effluent aquæ quantitate, uti facile quis $u$picari po$$et, qua eodem tempore effluerent ex va$e $uperiori $implici re$ci$$a parte E F D C quamvis ita proxime $e res ha- beat, cum foramen G admodum minus e$t foramine D.
§. 9. No$tra vero æquatio, nempe _v_ = {_mmx_/_nn_ + _mm_}, recte omnino re$pondet phænomenis: indicat enim aquam mox ab initio fluxus ad certam a$- cendere altitudinem, eamque tanto minorem, quanto minus e$t foramen diaphragmatis p@æ foramine altero; dein i$tum a$cen$um $en$im diminui, do- nec aqua omnis ex cavitate $uperiori effluxerit, quo ip$o momento protinus augmentum capit, totamque aquæ $uperincumbentis altitudinem tantum non attingit, quia tunc ex va$e $implici eoque infinite amplo effluere cen$endæ $unt aquæ: pauli$per tamen etiamnum retardantur aquæ à tran$itu aëris per fora- men G, & $ane notabiliter retardantur, cum foramen $uperius valde parvum e$t, de quo argumento mox quædam dicemus, cum de fluidis heterogeneis $ermo erit. Si figura Mariotti debita proportione re$pondeat argumento in- $tituto, oportet, ut foramen G alterius fecerit paullo plu$qnam dimidium.
§. 10. Indicat porro formula no$tra, quod multis forta$$e nondum per$pectâ hâc theoriâ $atis paradoxum videri potui$$et, $itum diaphragmatis E F $ive altiorem $ive humiliorem nullo modo mutare impetum $ive veloci- tatem aquæ effluentis; ratio autem i$tius phænomeni omnibus nunc, puto, manife$ta e$t.
§. 11. Jam vero examinabimus in$uper motum aquarum, cum plura $unt diaphragmata foraminibus pertu$a, per quæ aquæ tran$ire cogantur, ut effluxus per foramen D fieri po$$it. Poterit id eodem ab$olvi modo, quo u$i $umus in problemate §. 4. Ita autem in$tituto recte calculo retentisque deno- minationibus ibidem adhibitis apparebit e$$e _v_ = _x_: (1 + {_nn_/αα} + {_nn_/ββ} + {_nn_/γγ} + &c.) ubi per α, β, γ &c. intelliguntur amplitudines foraminum, quæ $unt in dia- phragmatibus, dum _n_ exprimit ut antea amplitudinem foraminis D, per quod aquæ effluunt.
§. 12. Si proinde loco unius diaphragmatis $int in $imili va$e, quale
(Fig. 39.) repræ$entat, plura diaphragmata veluti in B, C, R &c. per quæ
_§_. 13. Si vero omnia diaphragmata alti$$ime po$ita $int, jucundus erit
§. 14. Propo$itum nunc $it motum fluidi exilientis indagare, cum per $ingula foramina alia atque alia fluida transfluunt. Fluida autem leviora con- tinue ponenda e$$e apparet, quo $unt altius po$ita, ne motus turbetur, quod fit cum eodem tempore fluidum inferius a$cendit, $uperiore de$cen- dente, per commune foramen. Innote$cet hoc modo quisnam $it motus in aquis ex va$e effluentibus undique clau$o præter foraminulum aliquod $u- perne exi$tens, quod aëri tran$itum concedit. Hypothe$in vero infinitæ va- $is cylindrici amplitudinis ratione foraminum retinebimus, atque porro gravitatem $pecificam fluidi per D exilientis de$ignabimus per A, illiusque quod per G transfluit notabimus littera B, $imiliterque gravitates $pecificas fluidorum per foramina, F, H, &c. fluentium indicabimus re$pective litte- ris C, D, &c. Denique cum etiam con$iderandæ hic $int altitudines diver- $orum fluidorum, quorum quidem, ob figuram va$is cylindricam $olum infimum effluens altitudinem mutat, vocabimus _x_ altitudinem fluidi infimi $upra foramen D, fluidorum reliquorum, eo quo $ibi $uperincumbunt or- dine, altitudines de$ignabimus re$pective per _b, c, d_ &c. reliquas denomi- nationes paragraphi undecimi retinebimus; quibus ita præparatis compu- tus in$tituetur ut §. 4. factum e$t, neque enim quicquam aliud in$uper ob- $ervandum e$t, quam ut ma$$æ guttularum iisdem tempusculis per diver$a foramina transeuntium non $impliciter ex mole, $ed etiam ex gravitate $pe- cificia æ$timentur: _de$cen$us_ autem _actualis_ pro $ingulis fluidis erit $eor$im $u- mendus: Hi$ce ve$tigiis in$i$tendo reperitur talis primo æquatio A _v_ + {_nn_/αα} B _v_ + {_nn_/ββ} C _v_ + {_nn_/γγ} D _v_ + &c. = A _x_ + B _b_ + C _c_ + D _d_, + &c. quæ reducta dat _v_ = (A _x_ + B _b_ + C _c_ + D _d_ + &c.): (A + {_nn_/αα} B + {_nn_/ββ} C + {_nn_/γγ} D + &c.)
§. 15. Si duo $int liquores, erunt duo termini tam in numeratore
quam in denominatore $umendi & tres termini cum tres fuerint liquores, atque
$ic porro: Si proinde liquor effluens $it, v. gr. mercurius, ip$ique $uperin-
cumbat aqua $tatuanturque gravitates $pecificæ horum liquorum ut 14. ad 1. fiet
§. 16. Patet quoque ratiocinium i$tud non excludere eos ca$us, qui- bus fluida $uperiora $unt inferioribus $pecifice graviora, modo fluida infe- riora non a$cendant per eadem foramina, per quæ $uperiora de$cendunt: neque vero id futurum e$$e præ$umo (nec tamen affirmo) cum loco $impli- cis foraminis tubulus $it quamvis exiguæ altitudinis, per quem liquor $upe- rior de$cendat in inferiorem cavitatem, velutiin fig. 40. ubi quidem duo tantum liquores con$iderantur.
Hic autem altitudo C R variabilis e$t, & altitudo A C con$tans; in- terim tamen uniformitatis litterarum gratia vocabimus alt@tudinem A C = _x_, alteram C R = _b_; gravitatem $pecificam fluidi per D erumpentis faciemus rur- $us = A, alteriusque fluidi per G transeuntis = B, & erit altitudo D O $eu _v_ = {_Ax_ + _Bb_/_A_ + {_nn_/αα}_B_} Igitur $i per foramina D & G re$pective fluant aqua & mercurius erit nunc _v_ = {_x_ + 14_b_/1 + {14_nn_/αα}}
_§_. 17. Ut porro innote$cat motus fluidi $implicis ex va$e $uperne parvulo foramine aërem admittente, ob$ervandum e$t, nullam hic altitudi- nem e$$e _b_; quia aër utrique orificio incumbere ad eandem altitudinem cen- $eri pote$t, erit proinde _v_ = {_Ax_/_A_ + {_nn_/αα}B atque $i fuerit {_A_/_B_} = 850, quæ præterpropter $olet e$$e proportio inter gravitates $pecificas aquæ & aëris, erit _v_ = {850_x_/850 + {_nn_/αα}};
§, 18. Omnia hæc principia, quæ hactenus adhibuimus, facile ut jam dixi extenduntur ad va$a, quæ finitam ratione foraminum habent am- plitudinem; Pote$t autem eorum veritas alio etiam modo admodum diver$o evinci, uti o$tendam, cum ad _hydraulico-$taticam_ pervenero, quia altero il- lo demon$trandi modo pre$$iones fluidorum in $ingulis va$is partibus magis fiunt per$picuæ; differunt autem horum fluidorum regulæ $taticæ vehemen- ter à legibus, quæ fluidis $tagnantibus debentur.
Cæterum habent hæc $uam utilitatem ad machinas hydraulicas recte per$piciendas; neque enim $atis ad hæc attenti fui$$e videntur artifices: da- bitur autem occa$io de iis uberius di$$erendi in $equenti $ectione, ubi cal- culum ponemus, quantum vis in propellendis aquis adhibitæ perdatur à tran$itu aquæ per plura foramina, o$ten$uri $imul remedia adhibenda, ut illud virium detrimentum, quantum fieri pote$t, diminuatur. Prius vero alia quæ- dam va$a compo$ita in hâc Sectione con$iderabimus, quam ad hæc de$cen- damus.
§. 19. Fit aliquando, ut va$a juxta $e po$ita aquas unum ex altero re- cipiant effluxuras demum ex ultimo. Ho$ce vero motus jam exemplo illu$tra- bimus.
Propo$itum fuerit vas cuju$cunque formæ A G M B (Fig. 41.) quod
Per$picuum nempe e$t ex eo, quod $uperficies A B, H L, P Q, &c. in eo-
dem loco permanent, aquas iis tran$ire per foramina M, N, R velocitatibus, quæ
debeantur altitudinibus B H, L P, Q R, $i modo tran$itus aquarum per unum fo-
ramen non acceleret earundem fluxum per foramen proximum, quod certe non
fiet, ni$i expre$$e opera detur, ut id aliquantum fiat. Præterea vero con$iderandum
e$t, velocitates aquarum per foramina transfluentium reciproce e$$e forami-
nibus proportionales, quia in $tatu _permanentiæ_ eodem tempore eædem aqua-
rum quantitates per fingula foramina trajiciuntur. Ex i$tis intelligitur, de$ig-
§. 20. I. Cum $ingula foramina $unt inter $e æque ampla, erit B H = L P = Q R &c. & quævis i$tarum altitudinum toties continebitur in altitu- dine D R, quoties va$a replicantur.
II. Si vero aliquod foraminum $it infinite parvum ratione reliquorum, erunt omnes $uperficies, quæ $unt cis foramen po$itæ, in eadem altitudine cum prima $uperficie A B: reliquæ autem fundo G R erunt proximæ.
III. Si canalis fingatur continuus per $ingula foramina M, N, R &c.
tran$iens, intelligitur, aquam per orificium canalis effluere debere velocitate,
quæ debeatur toti altitudini D R. In no$tro vero ca$u ea velocitas re$pondet
tantum altitudini Q R, cujus rei ratio & origo e$t, quod _a$cen$us pot ntial{is}_ $in-
gularum guttularum per foramina, excepto $olo foramine effluxus, transfluen-
IV. Denique per$picuum e$t, quoties $uperficies aquæ H L, P Q &c. $itum $uum mutant $ive plures, $ive una $ola, mox omnes $uperficies loca mutaturas e$fe, donec eo quo dictum fuit modo fuerint ad æquilibrium repo- $itæ. Mutationes autem i$tas generaliter definire nodo$i æque ac prolixi e$t calculi, ni$i va$a ponantur pri$matica & infinitæ qua$i amplitudinis ratione foraminum, ut nempe incrementa _a$cen$uum potentialium_ aquarum M L, N Q &c. quæ locum mutant, negligi po$$int ratione _a$cen$uum potentialium_, qui in guttulis per M, N, R transfluentibus perpetuo generantur. Neque profecto re$trictio hæc afficere nos debet, cum pa$$im jam viderimus in va$is vel me- diocriter admodum amplis po$$e $ine $en$ibili errore incrementa motus ma$$a- rum internarum rejici in calculo. Omittam igitur $olutionem generalem, quæ mihi e$t, ob nimiam ejus prolixitatem, atque ut in hâc $ectione adhuc feci, va$a ceu infinite ampla & quidem ad majorem concinnitatem pri$matica ponam. Incipiam autem à va$e bifido.
§. 21. Repræ$entatur hujusmodi vas bifidum (Fig. 42.) cujus pars A M
Hunc in finem exprimemus amplitudinem orificii M per _m_, orificii N
per _n_ & amplitudinem _h l_ (quæ quidem ubique eadem ponitur) per _g_. Dein-
de ponemus B M = _a_, H M = _b_, B _h_ = _x_, atque proinde _h_ M = _a_ - _x_.
Sic vero patet ex po$itione infinitæ veluti va$orum A M & B N amplitudinis,
_§_. 22. Ut jam innote$cat tempus, quo $uperficies fluidi ex H L venit in
_h l_, vocabimus illud tempus _t_: quia autem e$t _dt_ = {-_dx_/_v_}, erit, po$ito
pro _v_ valore modo invento,
_dt_ = {-_gdx_/_m_√_x_ - _n_
§. 23. Ex paragrapho 19. liquet $uperficiem _h l_ in $itu $uo permanere cum e$t B _h_ (= _x_) = {_nna_/_mm_ + _nn_}. At vero $i in æquatione integrata præce- dentis paragraphi ponitur _x_ = {_nna_/_mm_ + _nn_}, fit denominator in quantitate lo- garithmicali = _o_, ip$aque proinde quantitas infinita: tempus igitur totius motus infinities majus e$t, quam cujuscunque partis.
Sed ut alium in$uper ca$um determinemus, videbimus quanto tempo- re $uperficies aquæ ex infimo $itu M N (po$ito nempe _b_ = _o_) a$cendat quan- titate {1/2} _a_, po$ito _m_:_n_ = 4:3. fit autem _t_ = {8_g_√_a_ - 14_g_√{1/2}_a_/25} + {12_g_√_a_/125} _log_. ({49 + 35√2/49 - 35√2}) - {12_g_√_a_/125} _log_. - 4, $eu _t_ = {8_g_√_a_ - 7_g_√2_a_/25} + {12_g_√_a_/125} _log_. ({49 + 35√2/140√2 - 196}), id e$t, proxime _t_ = {15_g_/100} X 2√_a_, quod indicat, e$$e tempus i$tud ad tem- pus quo grave libere cadit per altitudinem B M proxime ut 15_g_ ad 100: Pariter tempus de$cen$us invenitur, $i ab initio $uperficies _h l_ fuerit ultra $itum æquilibrii po$ita. Fuerit v. gr. utrumque vas aquis totum repletum, orificia autem M & N rationem nunc habeant quæ e$t inter 3 & 4, $itque tempus determinandum, quo $uperficies ex B de$cendat per dimidiam B M: hypothe- $es hæ faciunt _m_ = 3; _n_ = 4; _b_ = _a_, atque _x_ = {1/2}_a_, ita vero fit _t_ = {8_g_√_a_ - 7_g_√2_a_/25} + {12_g_√_a_/125} _log_. ({49 + 35√2/49 - 35√2}) - {12_g_√_a_/125} _log_. - 4. Ex quo apparet in utroque exemplo idem e$$e tempus.
§. 24. Priusquam de$cendamus ad va$a multifida indaga$$e conveniet,
quænam aquæ quantitas per utrumque orificium M & N fluat, dum $uperfi-
cies aquæ ex $itu H L venit in _h l_. Et primo quidem, quod ad orificium M
Eodem modo eruitur quantitas aquæ interea per orificium N effluen-
tis (quæ $cilicet e$t = - ${_ngdx_
Atque inde etiam innote$cit quantitas aquæ, quæ in A B affunditur, ne- que enim differt ab illa, quæ per M transfluit: aqua denique in va$e B N col- lecta exprimitur per _g_ (_a_ - _b_ - _x_,) & cum differentia $umitur aquarum per M & N transfluentium, oritur eadem i$ta quantitas _g_ (_a_ - _b_ - _x_).
_§_. 25. Prouti _§_. 21. velocitatem $uperficiei locum continue mutantis determinavimus pro va$e bifido, ita nunc in va$is multifidis velocitatès $ingu- larum $uperficierum definiemus. Fuerit nempe altitudo $uperficiei $upremæ $u- pra proximam = _x_, altitudo hujus $upra $equentem = _y_, deinde = _z_, rur- $u$que altitudo proxima = _s_, & $ic porro. Amplitudines vero orificiorum de$ignentur per _m_, _n_, _p_, _q_. &c. amplitudines va$is $ecundi, tertii, quarti &c. $int M, N, P. &c. Sic patet fore velocitatem $uperficiei $ecundæ = {_m_√_x_ - _n_√_y_/_M_}; veloc. $uperf. tert. = {_n_√_y_ - _p_√_z_/_N_}; velocit. $uperfic. quartæ = {_p_√_z_ - _q_√_s_/_P_} &c.
Porro cum $patiola ii$dem tempu$culis à $uperficiebus percur$a $int ut
velocitates, apparet fic $ingulis momentis determinari $itus i$tarum $uperfi-
cierum, quamvis æquationes $int intractabiles fere. Id ex $e patet, $i vel uni-
§. 26. Sit porro vas ita formatum, ut o$tendit Fig. 43. divi$um $cilicet
Solutio i$tius problematis ex præcedentibus facile colligetur, $i modo concipiatur foramen M in duas divi$um partes _o_ & _p_, quarum altera _o_ aquas foramini H, altera _p_ foramini N mittat: partes autem _o_ & _p_ (quia per utram- que eadem fluunt velocitate aquæ) eam habebunt rationem, quam inter $e ha- bent quantitates aquarum eodem tempore per H & N effluentium, id e$t, ra- tionem compo$itam ex ratione amplitudinis H ad amplitudinem N & veloci- tatis in H ad velocitatem in N. Quibus præmonitis per$picuum e$t, fi amplitu- dines foraminum M, H & N indicentur per α, β, γ, altitudines autem velo- citatibus in H & N debitæ de$ignentur per _x & y_, ip$æque proinde velocitates per √_x_ & √_y_ fore amplitudinem _o_ = {β√_x_/β√_x_ + γ√_y_} α & amplitudinem _p_ = {γ√_y_/β√_x_ + γ√_y_} α.
Ponatur nunc altitudo $uperficiei A B $upra orificium H = _a_, & habebi- tur@, ut demon$tratum fuit §. 4. $i quadratum foraminis _o_ dividatur per $um- mam quadratorum foraminum _o_ & H & quod oritur multiplicetur per _a_; $ic igitur fit _x_ = {αα_ax_/αα_x_ + (β√_x_ + γ√_y_)<_>2}, ex quo oritur hæc æquatio (A) αα_x_ + (β√_x_ + γ√_y_)<_>2 = αα_a_.
Eodem modo ratione foraminum _p_ & N, po$ita altitudine A B $upra
N = _a_ + _b_, obtinetur hæc altera æquatio:
Subtractâ æquatione (B) ab æquatione (A) prodit_y_ = _x_ + _b_, ex quo
$equitur, $i venæ ambæ verticaliter $ur$um dirigantur, utramque ad eundem lo-
cum a$$ilire. Deinde $i in æquatione (A) $ub$tituatur pro _y_ valor ejus _x_ + _b_,
erit
(C) αα_x_ + (β√_x_ + γ
_§_. 27. Ex præcedentis paragraphi æquationibus $equentes fluunt affe- ctiones.
I. Quia velocitas aquæ per M transfluentis e$t = {β√_x_ + γ√_y_/α}, eritalti- tudo generans hanc velocitatem = ({β√_x_ + γ√_y_/α})<_>2; $ed $i addantur æqua- tiones (A) & (B) fit: ({β√_x_ + γ√_y_/α})<_>2 = {2_a_ + _b_ - _x_ - _y_/2} = ob(_y_ = _x_ + _b_)_a_ - _x_.
II. Si foramen H $it valde ex_i_guum ratione foraminum M & N, id e$t, $i β po$$it cen$eri nulla ratione α & γ, abit æquatio (C) in hanc αα_x_ + γγ_x_ + γγ_b_ = αα_a_, $eu _x_ = {αα_a_ - γγ_b_/αα + γγ};
Id vero egregie convenit cum paragrapho decimo nono, cum manife- $tum $it aquam per foramen valde exiguum ad eandem altitudinem a$$ilire, quam haberet aqua, $i hæc laminam L Q tantum deor$um premat, quantum ab aqua interna $ur$um premitur; I$ta vero præfata altitudo vi paragraphi 19. e$t {αα_a_ - γγ_b_/αα + γγ}; E$t porro in i$ta hypothe$i altitudo velocitatis aquarum in N $eu _x_ + _b_ = {αα_a_ + αα_b_/αα + γγ} & denique altitudo velocitatis aquarum in M, $eu _a_ - _x_ = {γγ_a_ + γγ_b_/αα + γγ}; quæ po$teriores æquationes in i$to ca$u particulari pariter ex _§_. 19. immediate colligi aut prævideri potui$$ent.
III. Si vero nunc alterum foramen N admodum exiguum præ ambo- bus reliquis ponatur, erit facto γ = _o_ _x_ = {αα_a_/αα + ββ}; deinde _x_ + _b_ = {αα_a_ + αα_b_ + ββ_b_/αα + ββ}, & _a_ - _x_ = {ββ_a_/αα + ββ}.
IV. Si γγ_b_ = αα_a_, fit _x_ = _o_. Nullam igitur in hoc ca$u pre$$ionem $u$tinent partes laminæ L Q: imo inferiora ver$us premitur, $i γ $it majus quam {αα_a_/_b_}, & lamina nullibi $it perforata.
I$ta vero omnia $imiliter ex §. 19. facile colliguntur.
V. Ita quoque ope ejusdem paragraphi $ine calculo novo prævideri po- tui$$et, quid fieri debeat, cum po$itis foraminibus H & N in eadem altitudi- ne $umma foraminum eorum, ceu unicum amplitudinis β + γ con$iderari pote$t: Indicant nempe tam §. 19. quam §. 26. e$$e _x_ = {αα_a_/αα + (β + γ)<_>2},
VI. Notari etiam pote$t, cum valor ip$ius _x_ fit imaginarius, id pro- venire ex eo, quod aquæ non $olum non effluant, in aliquibus ca$ibus per H, $ed quod $uperficies L Q etiam de$cendat; unde fieri pote$t, ut infra orificium M de$cendat, quo ip$o ce$$at aqua@um contiguitas contra hypothe- $in propo$itionis. Si autem valor _x_ e$t realis, tum dupliciter exprimitur, $ed alter valor inutilis e$t reputandus; $ic igitur cavendum ne præpo$tera radix ceu utilis a$$umatur.
VII. Denique ut ca$um $peciali$$imum attingamus, ponemus om-
nia foramina inter $e æqualia, & prodibit 5_xx_ + (2_b_ - 6_a_) _x_ = - _aa_ +
2_ab_ - _bb_, $eu _x_ = {3_a_ - _b_ - 2√ (_aa_ + _ab_ - _bb_)/5}; atque $i fuerit præterea
_a_ = 3_b_, erit _x_ = (proxime) {4/15} _b_, deinde altitudo velocitatis in forami-
ne N $eu _x_ + _b_ = {19/15}_b_ atque altitudo velocitati in M debita $eu _a_ - _x_ = {41/15}_b_.
Sunt itaque velocitates $eu etiam, quia foramina æqualia $unt, quantitates
§. 28. Ex his omnibus patet methodus determinandi motum in fluidis tum etiam, cum quantitas _virium vivarum_ non con$ervatur; & $imili modo $emper ab$olvetur computus, quoties ex natura $ubjectæ quæ$tionis præ$u- mi pote$t (uti in quæ$tionibus hujus $ectionis accurate potuit) quantum _vis_ _vivæ_ $ingulis momentis inutilis ad motum determinandum evane$cat. Neque enim $oli $unt ca$us, quos adhuc examinavimus: lubet itaque alium addere, qui o$cillationes fluidorum $pectat, ut innote$cat quantum inde decremen- tum excur$iones fluidi capiant.
Sint duo tubi amplitudine æquales & cylindrici A L & B H (Fig. 44.)
Ponatur ad hunc finem $uperficiem ex G perveni$$e in M, ponaturque G M = _x_, G C = _b_, C A = _a_: erit B E = _a_ - _b_, E N = _x_; M C = F N = _b_ - _x_; Deinde fiat altitudo debita velocitati $uperficiei in M = _v_, in $itu proximo _m_ = _v_ + _dv_; eritque incrementum _vis vivæ_ aquæ (dum $uperficies percurrunt elementa M _m_, N _n_, $eu _dx_) = 2 _adv_, cui addenda e$t _vis viva_ guttulæ, quæ ab aqua va$is horizontalis ab$umitur, nempe _v d x_, & erit$um@ ma 2_adv_ + _vdx_ æqualis _de$cen$ui actuali_ aquæ multiplicato per ma$$am aquæ, quod productum e$t æquale _de$cen$ui actuali_ guttulæ _dx_, multiplicato per 2_b_ - 2_x_. E$t igitur 2_adv_ + _vdx_ = 2_bdx_ - 2_xdx_.
Hæc vero æquatio recte integrata abit in hanc
unde $i ponatur 4_a_ + 2_b_ - 2_x_ - _c_<_>{- _x_/2_a_} X (2_b_ + 4_a_) = _o_, dabit valor ip$ius _x_ totam excur$ionem, à qua $i auferatur _b_, re$iduum indi- cabit de$cen$um infra punctum æquilibrii C.
_§_. 29. Ut vero exemplo quodam appareat, quantum hâc ratione o$- cillationes diminuantur, ponemus _a_ = _b_, facta $cilicet C A = G C & B E = _o_.
Ita oritur 3_a_ - _x_ = _c_<_>{- _x_/2_a_} X (3_a_) $ive _c_<_>{_x_/2_a_} = {3_a_/3_a_ - _x_} vel _x_ = 2_a log._ 3_a_/3_a_ - _x_}, cui æquationi prope admodum $atisfacit valor _x_ = {7/4} _a_. E$t igitur decremen- tum excur$ionis $eu _a_ - _b_ = quartæ parti elevationis fluidi $upra punctum me- dium: $i majus ob$ervetur experimento, reliquum adhæ$ioni aquæ ad latera tuborum tribuendum erit.
§. 30. Neque i$ta diminutarum excur$ionum ratio plane, ut $u$picor, auferetur, $i vel æqualis fiat amplitudinis tubus horizontalis cum verticalibus, ob mutatam fluidi directionem in punctis A & B.
Cæterum infiniti alii fingi po$$ent ca$us ii$dem principiis $olvendi, velu- ti $i natura o$cillationum indaganda $it in va$e Fig. 44. cum id in parte horizon- tali diaphragmate in duas di$pe$citur partes $olo lumine, quod diaphragma ha- beat, inter $e communicantes & huju$modi alii. Puto autem hæc jam $ufficere, ut qui$que $ibi facile regulas generales pro i$tiu$modi quæ$tionibus $olvendis formare po$$it.
PAragraphum quartum, quo dicitur altitudinem velocitati aquæ per
orificium D effluentis (Fig. 37.) e$$e {_mmx_/_nn_ + _mm_} eo confirmavi modo, ut
Va$e u$us|$um, quale fere adhibuit Mariottus (_vid_. fig. 38.) rur$usque confirmavi æquationem no$tram hunc in modum: feci ut aquæ per orificium D horizontaliter effluerent, tuncque men$uras cepi altitudinis orificii D $u- pra pavimentum & di$tantiam loci, ubi vena in pavimentum incidebat à puncto in eodem pavimento, cui orificium D verticaliter imminebat; Inde cognovi altitudinem velocitati aquæ in D effluentis debitam: eandem autem hanc altitudinem experimento proxime inveneram, quam theoria hujus $e- ctionis indicat §. IV. Similia experimenta apponam in fine experimentorum ad $ectionem duodecimam pertinentium, quæ $imul theoriam no$tram _hy-_ _draulico - $taticam_ confirmabunt.
Denique cum multa $int in §. §. 26. & 27. quæ $ingulari calculo eruta fuerunt, operæ pretium erit de illis quoque experimenta $umere, præ$ertim cum alia $imul eadem opera $umi poterunt experimenta, quæ in _$ect._ XII. recen$ebuntur, $i vas, quale Fig. 43. $i$tit, ad hunc finem fieri curetur.
Cæterum hæc theoria etiam confirmatur experimentis in _Sectione Septima_ recen$itis, quæ de o$cillationibus fluidorum in tubos per foramina influen- tium $um$i.
IN hâc $ectione, qua Machinas examinare hydraulicas, u$umque
earum, quantum fieri pote$t, perficere poti$$imum con$titui,
animum ab$trahemus à variationibus motus, quæ originem du-
cunt à potentia vel inertia fluidi interni, quia ut vidimus mo-
tus aquæ internæ tantum non æquabilis e$t à primo fere fluxus initio, $i ori-
ficium exile $it, uti e$t in Machinis hydraulicis plerisque ratione amplitudi-
num internarum. Res enim foret ridicula in rebus practicis $ollicitos e$$e
de mutationibus, quæ primis fluxus momentis fiunt, quasque jam determi-
navimus in $ectione quarta, quod ibi operæ pretium e$$e poterat ut omnis
theoriæ vis inde eluce$ceret. Igitur durante toto motu, brevitatis gratiâ, po-
nemus aquam con$tanter velocitate expelli, quæ $e habeat ut radix potentiæ
internæ prementis, po$tquam hæc potentia ad pondus cylindri aquei foramini
$uperincumbentis reducta fuerit: nam quæcunque fuerit i$ta potentia, con-
$iderandum erit pondus cylindri verticalis aquei $uperficiei aqueæ internæ $u-
perincumbentis, atque altitudo i$tius cylindri dabit altitudinem velocitati
aquæ exilientis debitam, $i modo nulla ad$int ob$tacula extrin$eca, & aqua
ex@va$e ampli$$imo ejiciatur. Hoc ita intelligendum e$t, ut $i operculum
A B pondere P oneratum (Fig. 45.) aquam per orificium F expellat, pon-
§. 2. Per _potentiam moventem_ deinceps intelligam principium illud agens, quod con$i$tit in pondere, pre$$ione animata aliisve hujuscemodi viribus, uti dicuntur, mortuis.
Productum autem quod oritur à multiplicatione _potentiæ_ i$tius _moventis_ per ejusdem velocitatem æque ac tempus durante quo pre$$ionem $uam exe- rit, de$ignabo per _potentiam ab$olutam_. Vel quia productum ex velocitate & tempore proportionale e$t $impliciter $patio percur$o, licebit etiam _potentiam_ _ab$olutam_ colligere ex _potentia mouente_ multiplicata per $patium, quod eadem percurrit. Id vero productum ideo voco _potentiam ab$olutam_, quia ex illo de- mum æ$timandi $unt labores hominum operariorum in elevandis aquis exant- lati, quod mox demon$tratum dabo in regulis, quæ mihi in hanc rem ob- $ervatæ fuerunt. Interim vi$æ mihi fuerunt machinæ hydraulicæ commode $e reduci pati ad duo genera, quorum alterum aquas cum impetu ejicit, alte- rum de loco in locum placide veluti transportat. Utrumque ordine $uo pertractabo genus & denique $ub finem quædam addam de diver$is poten- tiis moventibus.
§. 3. Labores hominum operariorum, qui machinis hydraulicis pro aquis elevandis apponuntur, æ$timandi $unt ex _potentia ab$oluta_, id e$t, ex _potentia movente_ $eu pre$$ione quam exerunt, ex tempore & ex velocitate puncti, cui _potentia movens_ applicatur.
(_α_) De _potentia movente_ res e$t per$picua: labores enim cæteris omni-
bus paribus $unt utique proportionales numero operariorum $eu _potentiæ mo-_
_venti_. (β) Ratione temporis res e$t non minus manife$ta ex omnium cir-
cum$tantiarum replicatione, quæ ex duplicatione temporis oritur. (γ) De-
nique quod ad velocitatem attinet res ex eo e$t deducenda, quod $ive _poten-_
_tiam moventem_ duplices, $ive ejus velocitatem non diver$us oriatur effectus,
§. 4. Propo$itio præcedens non $en$u phy$iologico $ed morali e$t in- terpretanda: moraliter neque plus neque minus æ$timo laborem hominis, qui eadem celeritate conatum duplum exercet, quam ejus qui eodem conatu ce- leritatem duplicat, quia nempe uterque eundem edit effectum, fieri tamen po- te$t, ut alterius labor, quamvis altero non minus robu$ti, $en$u phy$iologi- co $it admodum major. Si quis conatu 20. librarum $ingulis minutis primis $pa- tium 200. _ped_. faciat, is facile conatum geminabit, difficillime vero velocita- tem. Ex hoc con$equens e$t in omni machinarum genere di$piciendum præ- $ertim e$$e, quomodo debeant e$$e con$titutæ, ut pro eodem tempore minima hominum defatigatione productum ex conatu eorum in velocitatem omnium maximum $it: atque exinde patebit, quænam in ergatis longitudo vectibus $it tribuenda, quantus in rotis $eu tympanis calcatoriis radius $it faciendus, quanta remis longitudo $it concilianda, & $ic de aliis machinis.
Ratione u$us autem tympanorum calcatoriorum, quæ frequenti$$ime adhibentur ut momentum no$træ animadver$ionis eo magis fiat per$picuum, hoc experimentum intelligatur:
Ponamus in Fig. 46. altitudinem verticalem multorum milliarum, ad
Quod $i ita $it, erit tympanum calcatorium ita fabricandum, ut pon- dus de$iderata velocitate $uperetur, cum calcator perpetuo triginta _gradib{us}_ à puncto tympani infimo di$tat.
Ex eodem principio etiam inter machinas diver$i generis $electus e$t faciendus: ita v. gr. $i in ergatis vectiarius potentiam exerat, $eu pre$$ionem horizontalem, quæ efficiat quartam $ui proprii ponderis partem, hocque ni$u $ingulis minutis primis $patium 200. _ped_. ab$olvat, is fere ut puto eodem de- fatigabitur modo, ac $i eadem velocitate tympanum rotatorium ad angulum 30. _grad_. calcet; interim tamen pondus duplum eodem tempore ad eandem al- titudinem hoc modo feret calcator, quia cæteris paribus pre$$ionem duplam exerit.
§. 5. Exi$tente eadem _potentia ab$oluta_ dico omnes machinas, quæ nullas patiuntur frictiones & quæ nullos motus ad propo$itum finem inutiles generant, eundem effectum præ$tare neque adeo unam alteri præferendam e$$e.
Ex mechanicis con$tat machinam utcunque compo$itam reduci po$$e
ad vectem $implicem: igitur omnem machinationem hydraulicam repræ$en-
tare licebit $implici antlia vecte in$tructa Fig. 47. ubi nempe embolus ope ve-
§. 6. Non de$unt qui putent machinam excogitari po$$e, cujus ope minimo labore maxima aquæ quantitas ad quamcunque altitudinem elevari po$$it, animumque excrucient, in anquirendis rotis, vectibus, ponderibus appendendis: $ed operam perdunt, neque audiendi $unt huju$modi promi$$o- res, cum magni quid $ibi videntur inveni$$e: Optima machina e$t, $i $olum ejus effectum re$piciamus, quæ minimas patitur frictiones, nullosque gene- rat motus inutiles, de quo utroque evitando præcepta trademus infrà,
§. 7. In antliis, quales Figuris 45. & 47. repræ$entantur, in quibus $u- perficies aquæ interna A B in eadem propemodum altitudine e$t cum foramine F, $unt _potentiæ ab$olutæ_ pro ii$dem temporibus in triplicata ratione velocita- tum aquarum exilientium.
Sunt enim _potentiæ moventes_ in duplicata ratione velocitatum, quibus aquæ per foramen F erumpunt & velocitates _potentiarum moventium_ $equuntur ip$am rationem velocitatum aquarum exilientium: Sed pro ii$dem temporibus $unt _potentiæ ab$olutæ_ ut potentiæ moventes multiplicatæ per $uas velocitates, ergo patet propo$itio.
§. 8. Sequitur ex i$ta regula, $i animus $it aquam per foramen F ad
altitudinem F G elevare, magnam _potentiæ ab$olutæ_ partem $ine fructu perdi,
cum aquæ majori impetu erumpunt, quam quæ altitudini F G re$pondeat;
fac enim aquas dupla velocitate expelli, requiretur _potentia ab$oluta_ octupla,
neque tamen ratione finis propo$iti effectus plus quam duplus e$t cen$endus,
quia nempe eodem tempore dupla aquarum quantitas elevatur: potui$$etque
i$te effectus obtineri _potentia ab$oluta_ $ubquadrupla exprimendo aquas $implici
velocitate per foramen duplum; Hoc igitur nomine tres quartæ partes i$tius
potentiæ inutiliter impen$æ dicendæ $unt. Originem hujus detrimenti indicavi
§. 5. eaque con$i$tit in motu qui generatur ad propo$itum finem inutili: nem-
_§_. 9. Cum aquæ expelluntur per canalem D F (Fig. 48.) habentque
E$t enim potentia movens P proportionalis præfatæ altitudini & velo- citas i$tius potentiæ e$t ut velocitas aquæ in F.
§. 10. _Pòtentiæ ab$olutæ_ majori ratione cre$cunt quam velocitates aquarum effluentium, id e$t, quam quantitates eodem tempore ejectæ: atta- men differentia rationum fere in$en$ibilis e$t, cum altitudo F G parva admo- dum e$t ratione altitudinis canalis F D: Sit ex. gr. F G æqualis {1/4} F D (negli- gendo altitudinem B D) mox vero ejiciantur aquæ velocitate dupla, ita, ut nunc $it F D = F G; $ic erunt _potentiæ ab$olutæ_ ut 1 X {@/4} ad 2 X 2 $eu ut 5 ad 16 $ic ut ad ejiciendam duplam aquæ quantitatem _potentia ab$oluta_ requiratur plu$- quam tripla: Si vero F G $tatuatur prius = {1/100} F D, & deinde aquæ rur$us dupla velocitate exprimi ponantur, erunt nunc _potentiæ ab$olutæ_ ut 1 X 101 ad 2 X 204 $eu ut 101 ad 208, quæ ratio à $ubdupla parum deficit. Sequitur inde, quo minori velocitate aquæ hauriantur, eo majori cum fructu _potentiam_ _ab$olutam_ impendi, & tunc demum eam propemodum omnem utiliter impen- di, cum fere in$en$ibili velocitate aquæ per orificium F effluunt: poterit au- tem magnitudo orificii compen$are velocitatis exiguitatem, ut dato tempore notabilis aquarum quantitas hauriri po$$it. Di$pendium _potentiæ ab$olutæ_ $ic de- finietur.
§. 11. Con$titutum fuerit ope antliæ A B D F, valvula in fundo in-
$tructæ & aquæ impo$itæ, aquas ex loco humiliori A D in altiorem F trans-
fundere, fueritque velocitas media aquæ in F effluentis debita altitudini F G,
Fingamus augeri admodum orificium F diminuta in eadem ratione ve- locitate aquarum effluentium in F; $ic non mutabitur quantitas aquæ dato tempore effluentis, $i velocitas _potentiæ moventis_ eadem $it, atque proinde idem erit effectus. Sed $i velocitas ita diminuatur, ut altitudo ip$i debita $it in$en$i- bilis, exprimetur _potentia movens_ per altitudinem F $upra A B, cum antea _po-_ _tentia movens_ erat æqualis altitudini G $upra A B; & cum in utroque ca$u ea- dem $it velocitas _potentiæ movent{is}_, erunt _potentiæ ab$olutæ_ pro ii$dem tempori- bus ut altitudo G ad altitudinem F $upra communem A B. Igitur differentia altitudinum G & F exprimet di$pendium, cum integra altitudo G $upra A B repræ$entat totam _potentiam ab$olutam_.
§. 12. Idem ratiocinium valet pro omni machinationum genere: Quo- ties nempe aquæ in locum, ad quem elevandæ $unt, evectæ notabilem habent velocitatem, magnum fit _potentiæ ab$olutæ_ di$pendium: po$ita enim altitudine elevationis = A; altitudine debita velocitati aquarum in loco quo effundun- tur = B, integra potentia ab$oluta = P, perdetur {_B_/_A_ + _B_} X P.
Notari etiam pote$t, cum aquæ trans altitudinem aliquam, cujus cul-
men in F po$itum $it, fundi debent ope antliæ tubo in$tructæ, continuandum
e$$e tubum D F inferiora ver$us quantum id liceat, nec abrumpendum in F,
prouti id apparet ex Fig. 49. Nam $i v. gr. punctum F duplo altius po$itum $it,
§. 13. Cum in antliis quas hucusque con$ideravimus opercula A B
$eu potius emboli non bene lateribus machinarum re$pondent, hiatus relin-
quitur, & ab hoc aliud di$pendii genus in potentiis ab$olutis oritur, quod
in antliis, in quibus altitudo orificii $uprà embolum negligi pote$t,
Nam aquæ per foramen & hiatum æqualiter premuntur, & æqualive- locitate fluunt; perditur autem omnis _potentia ab$oluta_, quæaquas per hiatum cogit, & hæc $e habet ad integram _potentiam ab$olutam_, ut hiatus ad $um- mam foraminis & hiatus.
§. 14. Convenit utique embolis uti bene formatis & politis; nece$$e quoque e$t ut cavitas antliæ $it plane cylindrica, ejusdemque latera pariter perpolita. Vix autem crediderim, ni$i id fiat alio fine, è re e$$e, ut embo- li cavitates@ultima accuratione expleant, quia forta$$e $ic majus oritur virium di$pendium à frictionibus, quam $i circumcirca parvulus relictus fui$$et hia- tus: Si enim hiatus ille cente$imam v. gr. partem foraminis effluxus efficiat, vix amplius locus erit frictionibus & non ni$i cente$ima præterpropter _poten-_ _tiæ ab$olutæ_ pars inde perditur, & forta$$e à frictione emboli cavitatem antliæ exacte occupantis majus di$pendium oritur. Igitur hoc re$pectu non e$t quod nimis $ollicite evitemus tran$itum aquæ per hiatum ab embolo relictum. Non re$picit autem hæc animadver$io illas machinas, in quibus emboli retractio- ne aquæ in antliam attrahendæ $unt. Hic enim ju$ta & plena emboli ma- gnitudo omnino e$t nece$$aria.
§. 15. In machinis quæ plura habent foramina aquas transmittentia ex una cavitate in alteram, aliquid de _potentia ab$oluta_ perditur, cujus rei rationem in præcedente $ectione e$$e diximus, quod $ingularum guttularum ex una cavitate in alteram per foramen commune fluentium _a$cen$us potentialis_ perit.
Quo plura $unt & quo minora hujusmodi foramina, eo majus oritur
_potentiæ ab$olutæ_ di$pendium, quod magni momenti e$$e $olet, idque forta$$e
præter communem opinionem, in machinis, quas Vitruvius ab inventore
Sit amplitudo foraminis ultimi aquas in aërem emittentis = _n_, ampli- tudines autem reliquorum foraminum, per quæ aquæ trajiciuntur intra ma- chinam, de$ignentur litteris α, β, γ, &c. & erit, po$ita utrobique eadem _potentia movente_, altitudo debita velocitati aquæ effluentis ad $imilem altitu- dinem nullis ob$tantibus foraminibus internis, ut 1 ad 1 + {_nn_/αα} + {_nn_/ββ} + {_nn_/γγ} + &c. (per §. 11. _$ect_. 8.) $equitur inde factis i$tis altitudinibus inter $e æqualibus, fore _potentias moventes_ ut 1 + {_nn_/αα} + {_nn_/ββ} + {_nn_/γγ} + &c.ad 1, & quia utrobique velocitates potentiarum moventium eædem $unt, $imilem quoque pro iisdem temporibus rationem habebunt _potentiæ ab$olutæ_. Superflua igitur e$t pars ejus {_nn_/αα} + {_nn_/ββ} + {_nn_/γγ} + &c. unde di$pendium _potentiæ ab$olutæ_ erit ad totam hanc potentiam ut {_nn_/αα} + {_nn_/ββ} + {_nn_/γγ} + &c. ad 1 + {_nn_/αα} + {_nn_/ββ} + {_nn_/γγ} + &c.
§. 16. Quoties idea machinæ foramina po$tulat, per quæ aquæ ex uno modiolo in alium transfluant (quod fit in omni antliarum genere; velu- ti a$pirantium, _a$pirantes_ gallice aut prementium, _foulantes_ &c.) $unt illa foramina quantum id reliquæ circum$tantiæ permittunt, ampli$$ima facienda, ita ut amplitudo orificii effluxus parva admodum $it re$pectu illorum forami- num internorum: Ut vero u$us regulæ clarius pateat, exempla con$idera- bimus machinarum aliarum non minus u$itatarum.
Propo$ita $it machina (quam repræ$entat Figura 50.) in qua emboli C
Ceterum fuit hæc machina excogitata, ut jactus fieret continuus per H. Quia tamen fieri non pote$t, quin aliquod temporis intervallum intercedat inter ultimum emboli elevationis punctum, in$tantisque ejusdem depre$$io- nis initium, non poterit jactus omnino e$$e continuus & æquabilis. Huic vero incommodo optimum remedium attulit auctor machinæ illius, cujus mentionem facit D. Perrault in _Comment. ad Vitruvium pag_. 318. _edit_. 2. _Paris_. quamque in Bibliotheca Regia Paris. a$$ervari dicit; in$erviet nobis hæc ma- china alterius exempli loco: figuram autem de$umam una cùm ejusdem de- $criptione ex ip$o Perraultio.
„ Machina e$t referente præfato Perraultio, in quâ aqua expellitur ex modiolo A (Fig. 51.) mediante embolo B in catinum F G, ex quo aër,Fig. 51. $i modo aliquid aquæ jam ad$it, egredi non valet; quia tubus E F us- que ad fundum fere de$cendit: $ic enim fit, ut aqua propul$a ex modio- lo A per diabeten D, imumque catini occupans claudat orificium tubæ in F, aërique tran$itum neget. Igitur cum embolus novas intrudit aquas in mediolum, partim aëre partim aqua, repletum, hæ aquæ de novo af- fu$æ vim exerunt in utrumque fluidum, & cum aqua non po$$it exilire per tubum F E eadem velocitate qua irruit ex antlia per diabeten D, quia $cilicet ($unt verba Perraultii) tubus F E in extremitate $ua E orificio per- forata e$t multo minori, quam e$t orificium tubi D, aqua in catino ac- cumulata aërem comprimit, ab eodemque reciproce pre$$a, etiam dum embolus elevatur, per tubam F E exilit.”
Perditur in hâc machina magna _potentiæ ab$olutæ_ pars à tran$itu aquæ per dia-
beten D, hocque di$pendium eo majus erit, quo angu$tior e$t i$te tubulus:
(α) Non pote$t jactus aqueus per E e$$e omnino æquabills, durante tota emboli agitatione: Dum enim embolus elevatur, novæ aquæ non acce- dunt, atque $ic diminuitur quantitas aquæ in catino G E contentæ, aërque eidem $uperincumbens dilatatur ac denique elater ip$ius diminuitur: hinc quoque velocitate continue minori aqua erumpit donec rur$us ab embolo intru$o acceleretur.
Verum $i ponatur $patium, quod aër in catino occupat longe ma- jus $patio illo ab aqua, quæ durante una emboli elevatione ejicitur, occu- pato, ce$$at fere tota hæc inæqualitas, po$ito embolum uniformiter agitari & diu ante fui$$e agitatum, quæ po$terior hypoth$is ideo nece$$aria e$t, quod primæ agitatione valde differant à $equentibus. Igitur brevitatis ergo om- nibus hi$ce hypothe$ibus $atitfaciemus, ide$t, ubique _$tatum_, qui dicitur, _permanentiæ_ ponemus.
(β) Cum igitur primis emboli agitationibus $en$im augeatur velocitas aquæ per E effluentis, mox fit ut jactus aqueus velocitatem tantum non in- tegram attingat; quo rei $tatu po$ito, patet tantum aquæ depre$$ione em- boli impelli in catinum, quantum ex eodem tota emboli agitatione ejicitur.
Primis autem agitationibus plus intruditur, quam ejicitur, idque non ideo, ut putavit Dn. Perrault, quod orificium in E altero in G minus $it (idemque enim $uccederet $i vel majus e$$et) $ed quod cau$a efficiens non p of- $it $tatim omnem $uum exerere effectum in ejiciendis aquis.
(γ) Videbitur forta@@e rem non $atis perlu$trantibus fore, ut omni- bus in $tatu permanente jam po$itis, nullisque præ$entibus ob$taculis alienis, aqua per foramen E velocitate exiliat, qua a$cendere po$$it ad altitudinem co- lumnæ aqueæ in æquilibrio po$itam cum pre$$ione emboli: atque ita $ane fo- ret, $i pre$$io emboli $ine interr uptione ade$$et, nullusque in aqua _a$cen$us po-_ _tentialis_ perderetur: quia vero in utroque res aliter $e habet, non pote$t non alia oriri in jactu aqueo velocitatis æ$timatio: Hinc qui$que non ob$cure videt animum advertendum e$$e ad temporum rationem, quibus embolus deprimi- tur, retrahiturque, tum etiam ad rationem amplitudinum in canaliculo D & orificio E.
(δ) Ponamus igitur tempus quo embolus deprimitur = θ tempus unius integræ agitationis = _t_, amplitudinem orificii E = μ, & diabetes D = _m_: deinde comparata potentia embolum detrudente cum $uperincumbente colum- na aquea, faciamus hujus columnæ altitudinem = _a_, altitudinem vero aquæ exilientis velocitati debitam = _x_. His ita ad calculum præparatis licebit duo- bus indagare modis rationem quæ futura $it inter velocitates aquarum in orificio E & diabete D, atque hinc valorem incognitæ _x_; elicere. _Primò_ enim patet tempore θ (quo $cilicet embolus detruditur) tantum aquæ fluere per diabeten D, quantum tempore _t_ (quo embolus deprimitur retrahiturque) ef- fluit per E. E$t igitur velocitas in D ad velocitatem in E ut {1/_m_θ} ad {1/μ_t_}: & quum po$terior hæc velocitas $it = √ _x_, erit altera = {μ_t_/_m_θ} √ _x_. _Secundò_ quia velocitas aquæ effluentis debetur pre$$ioni aëris in catino, $equitur hanc pre$- $ionem æquivalere ponderi columnæ aqueæ altitudinis _x_; $ed $i à pre$$ione emboli auferas pre$$ionem aëris, habebis pre$$ionem, quæ velocitatem aquæ in D generet; hinc quia differentia pre$$ionum exprimitur per _a_ - _x_, repræ- $entabitur velocitas aquæ in D per √ (_a_ - _x_); Igitur nunc e$t velocitas aquæ in D ad velocitatem aquæ in orificio E ut √ (_a_ - _x_) ad √ _x_. Combinatis ratio- nibus utroque modo inventis, fit √ (_a_ - _x_):√_x_ = {1/_m_θ}_:_ {1/μ_t_}, $ive _x_ = {_mm_θθ/_mm_θθ + μμ_tt_} X _a_.
Patet ex i$ta æquatione altitudinem jactus duplici titulo deficere ab alti- tudine columnæ prementis _a_, magis nempe deficit, cum celerius deprimitur, tardiu$ve elevatur embolus tum etiam cum orificium E ratione canaliculi D amplitudine cre$cit. Fuerit v. gr. amplitudo i$tius orificii æqualis amplitudini tubuli D atque pari celeritate embolus deprimatur eleveturque & prodibit _x_ = {1/5} _a_, $ic ut ad quintam partem tantum a$$urgat vena effluens altitudinis _a_.
(ε) Di$pendium _potentiæ ab$olutæ_ jam hoc modo eruetur, po$ito prius nullum laborem in elevandum embolum impendi. Sit velocitas quâ embolus deprimitur = _v_, & erit _potentia ab$oluta_ tempore unius agitationis integræ im- pen$a = _a v_ θ (per paragraphum tertium) quia vero effectus in eo con$i- $tit, ut effluxus fiat per E durante tempore _t_ ip$aque aqua ad altitudinem {_mm_θθ/_mm_θθ + μμ _tt_} X _a_ elevetur, potui$$et id antlia $implex figuræ quadrage$imæ quintæ efficere, $i pro _potentia premente_ in illa $umtus fui$$et cylindrus aqueus altitudinis {_mm_θθ/_mm_θθ + μμ_tt_} X _a_, atque hæc potentia durante tempore _t_ velocitate {θ/_t_} _v_ egi$$et; unde _potentia ab$oluta_ in hâc machina $implici, qua nihil de illa perditur, requi$ita futura fui$$et = {_mm_θθ/_mm_θθ + μμ_tt_} X _a_ X {θ/_t_} _v_ X _t_ = {_mm_θθ/_mm_θθ + μμ_tt_} X _a v_ θ. E$t igitur tota _potentia ab$oluta_ ad partem ejus inutiliter perditam ut _a v θ_ ad _a v θ_ - {_mmθθ_/_mmθθ_ + μμ_tt_} X _a v θ_ $eu ut _mm_ θθ + μμ_tt_ ad μμ_tt_. Igitur $i in- tegra _potentia ab$oluta_ de$ignetur per P, erit ejus di$pendium = {μμ_tt_/_mmθθ_ + μμ_tt_} X P.
Nece$$e igitur e$t in hâc præ aliis antliis, ut diabetes amplitudine ad- modum $uperet orificium E, vel ut multiplex ad$it. Si enim unicus ade$$et, isque amplitudine orificio E æqualis, $imulque uniformi velocitate $ur$um de- or$umque agitari ponatur embolus, di$pendium oriretur quatuor quintarum totius partium: atque $i vel duplo amplior fiat, etiamnum perdetur dimi- dium _potentiæ ab$olutæ_.
(ς) Denique per$picuum e$t minorem pre$$ionem $u$tinere latera catini
G E, quam modioli A A, quippe pre$$iones i$tæ $int ut _x_ ad _a_, id e$t, ut
§. 17. Quando embolus in antliis retrahitur & aqua in modiolum in- fluit, non $olum proprio pondere $olicitata $ed maximam partem ab embo- lo attracta, tunc omnis _potentia ab$oluta_ in hanc attractionem impen$a ca$u $upervenit, quia antlia, $ub aquis, ut fit, po$ita, $ua $ponte impleretur $i $uf- ficiens huic impletioni tempus concederetur; nec adeoque attractio illa ita pertinet ad ejiciendas aquas certa cum velocitate, quin tota vitari po$$it, hoc- que nomine labor in illam impen$us mihi inutilis dicitur.
Quia vero influxus aquarum partim proprio pondere fit, partim etiam elevatione emboli, non pote$t di$pendium _potentiæ ab$olutæ_ ab effectu æ$timari: Quin potius calculus ita e$t ponendus, ut po$itis potentia embo- lum in certo $itu elevante = π, velocitate emboli = _v_, tempu$culoque quantitatibus π & _v_ re$pondente _d t_, dicatur omnis _potentia ab$oluta_ in eleva- tionem emboli impen$a = _$ π v d t_ vel = _$ π d x_, $i per _d x_ intelligatur ele- mentum $patioli tempu$culo _d t_ percur$i. Sequitur inde, $i con$tantis mag- nitudinis $it, uti fere e$t conatus, quo embolus elevatur, fore _potentiam ab$o-_ _lutam_ æqualem _potentiæ moventi_ ductæ in $patium percur$um: $imile autem ra- tiocinium cum valeat etiam pro depre$$ione emboli $imulque tantum eleve- tur embolus quantum deprimitur, apparet _potenti{as} ab$olut{as}_, quæ in attrahen- das expellenda$que alternatim aquas impenduntur, proxime e$$e ut _potentiæ_ utrobique _moventes_; unde di$pendium oritur quod e$t = {π/π + _p_} X P, factis $ci- licet potentia elevante = π, potentia deprimente = _p_ & _potentia ab$oluta_ in elevationem depre$$ionemque emboli impen$a = P.
Pote$t aliter di$pendium _potentiœ ab$olutæ_ proxime æ$timari ex eo, quod
omnis _a$cen${us} potential{is}_ aquæ in antliam influentis inutiliter generatus cen$eri
debeat. Sed $i ii$dem temporibus, $ive eadem velocitate embolus $ur$um de-
or$umque movetur, erit velocitas quâ aquæ admittuntur ad velocitatem quâ
ejiciuntur reciproce ut foramina re$pondentia, ip$ique _a$cen$us potentiales_ utro-
bique erunt in ratione quadrata inver$a foraminum re$pondentium. Si deinde
_§_. 18. Ex utraque æ$timandi ratione $equitur lente embolum e$$e ele- vandum: ita enim parva fit _potentia movens_ ratione primæ methodi aut magnum fit tempus elevationis ratione $ecundæ, atque $ic operarii $ingulis elevationis emboli intervallis à conatu præcedentis depre$$ionis exantlato reficientur. Po- $terior porro methodus indicat foramina, per quæ aquæ attrahuntur amplian- da & multiplicanda e$$e; id vero etiam priori conforme e$t methodo, quia $ic $ufficiens fere aquæ quantitas $ua $ponte influit, minorique adeo _potentia mo-_ _vente_ opus e$t.
§. 19. Denique jactum aqueum verticaliter a$$urgentem nunquam eam attingere altitudinem ob$ervandum e$t, quæ debeatur aquæ velocitati ini- tiali, id e$t, $i vena fluidi verticaliter a$$urgere incipiat ab $ua origine veloci- tate tali, quam grave libere cadendo ex altitudine _a_ acquirat, non poterit flui- dum a$cendere ad totam altitudinem _a_, etiam$i aëris re$i$tentiam removeas, aut quicquid excogitare velis, quod ca$u motum retardare queat. Ip$a enim rei na- tura defectum aliquem exigit nece$$ario, cujus rei ratio phy$ica hæc e$t: Nem- pe quælibet guttula etiam$i a$cen$um incipiens verticalem, non pote$t tamen, quin $en$im ad latera deflectatur & tandem, cum ad $ummum pervenit, motu feratur horizontali, qui notabilis e$$e debet, quia per $upremum limbum vel $ectionem venæ aqueæ omnis aqua tran$it, quæ per foramen effluxit: fac igi- tur unicuique guttulæ eo temporis puncto quo horizontaliter movetur veloci- tatem ine$$e, quam grave lap$u libero per altitudinem _b_ acquirit: ita vides non po$$e venam ultra altitudinem _a_ - _b_ a$$urgere: Atque hoc titulo di$pendium oritur ratione _potentiæ ab$olutæ_ totius ut _b_ ad _a_.
§. 20. Ob$ervatum fuit inter aquas communi velocitate ex tubulis di-
Hâc de re experimenta in$tituit D. Mariotte in _tract. de mot. aquar_.
§. 21. Examinavimus adhuc impedimenta, quæ ca$u $uperveniunt in machinis hydraulicis aquas cum impetu ejicientibus: Præcipua illa e$$e puto, quæ expo$ui; poterunt tamen alia in$uper excogitari, $ed, ut credo, mino- ris admodum momenti. Ubique fere men$uras dedimus omnino geometricas $imulque modum indicavimus, quo ii$dem impedimentis maximâ ex parte obviam iri po$$it. Qui majoribus intendit, putans po$$e minimo labore $eu (quod eodem recidere demon$travi § 3.) minima _potentia ab$oluta_ quemvis ef- fectum in elevandis aquis de$ideratum præ$tari, opinione fallitur, atque oleum & operam perdet. Si enim ab impedimentis i$tis expo$itis alii$ve $imilibus for- ta$$e excogitandis animum ab$trahas, machina in rerum natura perfecti$$ima erit $implex antlia figuræ quadrage$imæ quintæ, atque $i aquæ ejus ope in al- tum projectæ colligantur in G, dico fieri non potui$$e ut minori labore eadem aquarum quantitas ad eandem altitudinem F G elevarentur.
E$t deinde aliud machinarum genus, quod à machinationibus adhuc pertractatis differt in eo, quod hæ aquas cum impetu ejiciant, illæ placide $i- ne motu notabili transferant. Sed & in his ultimus perfectionis qui dari pote$t gradus eodem recidit. Sunt autem pleræque multis ob$taculis ii$que maximi momenti obnoxiæ. De his igitur nunc directe nobis erit agendum.
§. 22. Si pondus aliquod per datam altitudinem verticalem (_a_) _potent<007>a_ _movente_ utcunque variabili $ed directe applicata elevetur nullu$que motus in fummitate altitudinis propo$itæ corpori $uper$it, con$tanter erit eadem _potentia_ _ab$oluta_ in elevationem ponderis impen$a, nempe æqualis producto ex ponde- re corporis elevati & altitudine elevationis _a_.
Nam $i pondus, quod vocabo A, a$cenderit per altitudinem _y_, eoque in loco animari ponatur potentia movente variabili P directe applicata, move- rique velocitate _v_, erit tempu$culum, quo pondus per elementum _d y_ eleva- tur = {_dy_/_v_}, quod ductum in _potentiam moventem_ P, eju$demque velocitatem _v_, dat elementum _potentiæ ab$olutæ_ (per defin. §. 2.) = P _d y_, ergo _$_ P _dy_ dabit totam _potentiam ab$olutam_, $i po$t integrationem fiat _y_ = _a_; in omni vero motu incrementum velocitatis _d v_ e$t æquale potentiæ animanti $eu moventi, quæ hîc e$t {_P_ - _A_/_A_} ductæ in tempu$culum quod nunc e$t {_dy_/_v_}; habemus igitur _d v_ = ({_P_ - _A_/_A_}) X {_dy_/_v_} vel A _v d v_ = P _d y_ - A _dy_, id e$t, {1/2} A _v v_ = _$_ P _d y_ - A _y_, $ive _$_ P _d y_ = {1/2} A _v v_ + A_y_, ubi faciendum e$t _y_ = _a_ & _v_ = _o_ (per hypoth.) ita ut $it _$_ P _d y_ = A _a_.
Quia autem, ut vidimus, _$_ P _d y_ exprimit integram _potentiam ab$olu-_ _tam_ in elevandum pondus impen$am @ erit eadem hæc potentia con$tanter eadem, nominatimque æqualis producto ex pondere A & altitudine _a_, ut habet propo$ito. Q. E. D.
§. 23. Ex demon$tratione no$tra apparet, e$$e quoque _potentiam ab$o-_ _lutam_ eandem, quoties velocitas in $ummitate e$t eadem, id e$t, quoties altitudo ad quam corpus velocitate $ua re$idua a$cendere pote$t, nempe {1/2} _vv_ e$t con$tans: atque $i altitudo i$ta dicatur _b_, erit _potentia ab$oluta_ = A (_a_ + _b_). Igitur patet nunc, quanta pars _potentiæ ab$olutæ_ perdatur, cum animus $it pondus A ad altitudinem _a_ elevare, idemque in $ummitate velocitatem re$i- duam habeat debitam altitudini _b_; erit nempe di$pendium potentiæ ad in- tegram potentiam ut _b_ ad _b_ + _a_.
_§._ 24. Cavendum itaque e$t, ne machinæ ita $int con$tructæ, ut ve- hementi motu aquæ ad locum de$tinatum transportentur. Parvum autem e$$e $olet i$tud di$pendii genus in plerisque machinis.
§. 25. Omnia $imiliter $e habent $i corpus non verticaliter, $ed $u- per plano utcunque inclinato, aut etiam curva qualicunque elevetur, $em- per enim tota _potentia ab$oluta_ erit æqualis A (_a_ + _b_), id e$t, producto ex pondere in altitudinem elevationis auctam altitudine velocitati corporis in $ummitate re$iduæ debita, cujus rei demon$tratione $uper$edeo, quod pa- rum differt à præcedente demon$tratione.
§. 26. Quia omnium machinarum utcunque compo$itarum effectus reduci po$$unt ad naturam plani inclinati, per$picuum e$t omnes machi- nas, $i à frictionibus iisque _potentiarum ab$olutarum_ di$pendiis, quæ hactenus recen$uimus, animum removeamus eodem recidere, quia _potentia ab$oluta_ $im- pliciter pendet ab altitudine ad quam corpus e$t elevandum ejusdemque pon- dere. Habet hoc commune _potentia ab$oluta_ cum _vi viva_ $eu cum _a$cen$u de-_ _$cen$uve actuali_. Isque ultimus e$t perfectionis machinarum gradus, quem transgredi non licet, imo nec attingere quidem, $emper enim remotis om- nibus frictionibus di$pendiisque, potui$$et eadem _potentia ab$oluta_ majus pon- dus ad eandem altitudinem elevari. Ut jam comparatio in$titui po$$it quæ- dam circa machinarum defectum, tam illarum quæ aquas ad de$ideratam altitudinem veluti projiciunt, quam quæ easdem transportant, nunc ha- rum po$teriorum defectus maxime notabiles quoque indicabimus.
(I.) Frictiones tanto ob$taculo $unt in plerisque hujusmodi machinis, ut $olæ maximam _potentiæ_ partem ab$orbeant, præ$ertim autem cum a$$erculi quadrati aut globi ovales, catena in circulum redeunte connexi, per cana- lem, cui $unt accommodati, transeuntis aquas elevant.
(II.) Pleræque machinæ, præ$ertim vero rur$us quas modo indicavi-
mus, ro$ariorum nomine de$ignari $olitæ ita $unt comparatæ, ut aqua dum
elevatur continue pars ejus de$tillet, $ive plane decidat in locum ex quo
hau$ta fuit $ive $altem ex loco $uperiori in inferiorem, uti in ro$ariis; $i in
his globuli aut a$$erculi canali $unt bene adaptati frictio fit fere in$uperabi-
lis, $in minus maxima aquæ quantitas per hiatus relictos de$tillat, ex $upe-
(III.) Solent quoque machinæ ejus e$$e indolis, ut aquam ultra altitu- dinem propo$itam attollant: Perditur autem potentia quæ exce$$ui re$pon- det, atque $i aquæ trans molem $unt evehendæ, difficulter id obtinetur, quod indicavi §. 12.
(IV.) Sunt & machinæ, quæ directam potentiæ moventis applicatio- nem non admittunt, ex quâ obliquitate rur$us di$pendium aliquod oritur.
§. 27. I$taque fere $unt, quæ notabilis momenti mihi vi$a fuerunt, ob-
$tacula; ne$cio autem an illis in tantum obviam iri po$$it, quantum de pri-
mo machinarum genere demon$travimus: frictionum diminuendarum artifi-
cia quædam norunt mechanici: machinas quæ $itulis aquas hauriunt atque
elevant prætulerim ro$ariis: $itulæ autem ita $int fabricatæ, $i modo id fieri
po$$it, ut in $itu infimo $tatim impleantur nihilque emittant priusquam
ad $itum $upremum pervenerint. Cum aqua transfundenda e$t trans locum
altiorem in alium minus altum, opera danda e$t, ut impetus aquæ labentis
promoveat motum tympani $eu rotæ in gyrum agendæ, quamvis multum
ab$it ut $ic _omnis potentia ab$oluta_ utiliter impendatur, prouti fieri antlia figu-
ræ 49. indicavimus (_§_. 12.) Principium actionis con$i$tet, $i recte judicio,
apti$$ime in calcatura: homines enim i$ti labori maxime $unt a$$ueti; perti-
net huc, quod monui §. 4. occa$ione regulæ primæ de angulo acclivitatis,
$ub quo viator dato tempore minima defatigatione certam attingere po$$it
altitudinem verticalem. Crediderim hominem mediocris $taturæ, $anum
& robu$tum $uper via ad 30. gradus acclivi incedentem non dificulter $in-
gulis horis 3600. pedes confecturum, atque proinde ad altitudinem vertica-
lem 1800. pedum pondus corporis $ui, quod ponam 144 librarum $eu
duorum pedum cubicorum aquæ, elevaturum. Talis igitur homo poterit ope
machinæ calcatura circumagendæ & perfecti$$imæ (in qua $cilicet nihil de
_potentia ab$oluta_ perdatur) $ingulis horis duos pedes cubicos aquæ ad altitu-
dinem verticalem 1800. pedum elevare, $eu quod idem e$t, $ingulis minutis
$ecundis unum ped. cub. ad alt. unius pedis: machinas quæ multo minoris
Tractatum edidit Weidlerus de _machinis hydraulicis_ in quo plenam de- $criptionem facit machinæ Marlyen$is, atque refert omnes aquas elevari à motu 14 rotarum, quarum alæ ab impetu $equanæ propellantur: hunc impetum facit pro omnibus rotis æqualem ponderi 1000594 librarum, is- que e$t quem nos de$ignavimus nomine _potentiæ moventis_. Præterea alas mo- tu ferri ex aliquibus circum$tantiis colligere potui, quo conficiant 3 {3/4} pe- des $ingulis minutis $ecundis, atque hæc velocitas habenda e$t pro velocita- te _potentiæ moventis_; deinde addit $ingulis diebus elevari vi illius machinæ 11700000 libras aquæ ad altit. 500 ped. His ita po$itis videamus nunc in machina $implici$$ima fig. 45, qua nihil de _potentia ab$oluta_ perdi intelligatur, quanta ad i$tam effectum potentia P pariter velocitate ut 3 {3/4} mota requira- tur. Erit autem altitudo F G = 500 ped. & quoniam tempore 24 horarum ejici debeant per lumen F 11700000 libræ, id e$t, 162500 ped. cub. ma- gnitudo i$tius luminis ponenda erit = 0, 0108 partium pedis unius qua- drati: Velocitas aquæ in F tanta e$t, ut ab$olvat $ingulis minutis $ecundis 173 ped. Igitur continet velocitatem 3 {3/4}, quam pondus P habere ponitur, 46 vicibus & toties $uperare debet amplitudo antliæ A B amplitudinem lu- minis F: Erit proinde amplitudo A B fingenda 0, 4968, part. ped, quadrat. ex quo con$equens e$t, pondus P æquale futurum ponderi cylindri aquei $uper ba$i A B ad altitudinem 500 ped. con$tructi $eu ponderi 248, 4 pe- dum cub. aquæ, id e$t, ponderi 17885 librarum, quæ tantum quinqua- ge$imam $extam partem efficit _potentiæ moventis_ quam eadem velocitate mo- tam applicari o$tendit Weidlerus. Sic igitur in tota machina di$pendium fit quod {55/56} integræ _potentiæ ab$olutæ_. exæquat.
Po$tquam ita naturam machinarum hydraulicarum, quantum illud in
(I.) Varii $unt auctores, qui modum docuerunt con$truendi hanc co- chleam: $umma huc redit, ut canalis quidam aut plures $uperficiei cylindricæ circumflectantur, & ita quidem ut canalis ubique eandem habeat inclinationem ratione axis cylindri, quam Vitruvius præter nece$$itatem in omnibus cochleis fieri jubet ad angulum $emirectum. Requiritur ergo ante omnia, ut in $uperfi- cie cylindri linea $piralis ducatur ad cujus normam canalis $it ponendus, id quod facillime meo judicio in $uperficie admodum polita fieri poterit (præ$ertim cum helices non parum à $e di$tare debent) circumvolvendo eidem aliquoties funi- culum: hic enim ten$us $ua $ponte de$ideratam lineam faciet, neque enim $pi- ralis $ibi $imilis ubique e$$e pote $t, aut con$tantem habere ad axem cylindri in- clinationem, quin arcus inter duo puncta interceptus $it omnium arcuum eo$- dem terminos habentium minimus, quam indolem funiculo exten$o compe- tere palam e$t: $i vero frictiones impedimento $int, filum ad minora interval- la extendi poterit. Sed non e$t, cur in re per $e pluribus modis facillima $cru- pulo$i $imus.
Lex $piralis primaria e$t, ut ubique æqualiter ad axem cylindri incli- net, cui legi $equens innititur con$tructio, quam in gratiam infra dicendorum apponam:
Finge cylindrum rectum M _a f_ N (Fig. 52. (1)) cujus $uperficiei $it in-
(II.) Propo$itus jam fuerit cylindrus M _a f_ N (Fig. 52. (1)), habens ad ductum $piralis modo de$criptæ circumflexum canalem, cujus diametrum ve- luti infinite parvum cen$ebimus ratione diametri ad cylindrum pertinentis: at- que $ic habebitur cochlea Archimedis, quâ $i uti velimus ad elevandas aquas ex M in N, cylindrus erit horizontem ver$us inclinandus, & ita quidem ut an- gulus _a_ M H (interceptus inter diametrum ba$eos M _a_, quæ e$t in plano verti- cali, & horizontalem M H) $it major quam angulus _s a o_, quem faciunt tan- gentes circuli & $piralis in communi puncto _a_. Deinde conver$o cylindro cir- ca axem $uum in directione _a g h_ M _s_ aquæ influent per inferius canalis circum- ducti orificium effluentque per $uperius.
(III) Ut naturam hujus elevationis recte intelligamus, tria $e nobis of- ferunt puncta in qualibet $piralis helice examinanda, nempe puncta _o, p_ & _q_, quorum primum _o_ maxime di$tat ab horizonte, alterum _p_ eidem proximum e$t, & _q_ in eadem altitudine po$itum e$t cum puncto _o_ in helice proxime inferio- ri $umto: per $ingula puncta _o_ ducta e$t recta _g n_; per puncta _p_ recta _h m_ & per puncta _q_ recta _s t_. Situs vero harum linearum determinabuntur in $equentibus.
(IV) Sit radius, qui pertinet ad ba$in cylindri, = 1 $umatur-
que pro $inu toto; $inus anguli _sao_ = _m_, eju$demque co$inus = M, $inus an-
guli _a_ M H = _n_, eju$demque co$inus = N; arcus _a g_ = X; co$inus illius arcus
= _x_, erit perpendiculum ex _o_ in horizontem demi$$um, nempe _o r_ = {_mNX_/_M_}
+ _n_ (1 + _x_). Quia vero _or_ maxima e$t, fit {_mNdX_/_M_} + _ndx_ = _o_, & cum ex
natura circuli $it _d_X = {_-dx_/
Atque $ic determinavimus tum puncta $uprema _o_, tum ima _p_, patetque arcus M _b_ & _a g_ e$$e inter $e æquales, $imul autem ex quantitate irrationali √ (_nn_ - _mm_) valorem litteræ _x_ afficiente colligitur fieri non po$$e, ut _m_ $it major quam _n_: neque enim in hoc ca$u punctum datur infimum, quod tota $piralis ubique a$cendit continue: Neque etiam in$erviet $ic cochlea ad ele- vandas aquas; unde jam patet ratio ejus, quod monui in articulo hujus di- gre$$ionis $ecundo, de requi$ito exce$$u anguli _a_ M H $upra angulum _sao_.
(V) Ponamus nunc globum alicubi e$$e in cavitate canalis, cochleam- que in $itu $uo firmari: $ic minime quie$cet globus, quin exi$tat in puncto aliquo _p_. Quod $i vero cochlea non retineri ponatur, globus de$cendet, de$cen$uque cochleam circumaget, atque $i præterea fingatur, nullius e$$e ponderis cochleam motumque globi liberrime fieri nihil ob$tantibus $rictio- nibus, de$cendet globus $uper recta _m b_ non alia lege, quam globus libere $uper plano inclinato de$cendens. Apparet itaque potentiam requiri ad im- pediendum globi de$cen$um, firmandamque cochleam. I$tam potentiam applicatam ponemus in puncto _f_ in plano circuli & perpendiculariter ad ra- dium inqui$ituri in rationem, quam habeat ad pondus globi in puncto ali- quo _p_ quie$centis.
Sit pondus globi = _p_: quia vero actio globi e$t verticalis, re$olven-
da erit in duas alias ad perpendiculum $ibi in$i$tentes, quarum una commu-
nem habeat cum axe cochleæ directionem, altera eidem perpendicularis $it,
prior cum nihil ad circumagendam cochleam conferat rejicienda, po$terior-
que $ola con$ideranda erit; e$t vero actio illa re$idua = _n p_ & agit in ve-
ctem, qui e$t = $inui arcus M _b_ $eu arcus _a g_, hicque $inus (_per. art. IV_.) e$t
={_mN_/_Mn_}. E$t igitur momentum actionis = {_mN_/_Mn_} X _np_ = {_mNp_/_M_}; hoc $i di-
vidas per radium ba$eos, qui e$t vectis pertinens ad potentiam applicatam
in _f_ in æquilibrio pofitam cum actione globi, habebis i$tam potentiam quæ-
$itam = {_mNp_/_M_}. Sic igitur directe ex natura vectis deducere licet, quod
(VI) Quæritur quænam maxima $it aquæ quantitas quam cochlea qua- vis revolutione ejicere pote$t.
Con$ideremus helicem integram _a_ 1 _b_, $itque quantitas aquæ quam plena continet = _q_: Notandum autem e$t non po$$e helicem e$$e totam aqua re- pletam, $i enim totus canalis plenus e$$et, effluerent aquæ per orificium inferius, igitur quivis ramus, qualis e$t _a_ 1 _b_, partim aëre partim aqua oc- cupatur, erit autem altera aquæ extremitas in _o_ ceu puncto $upremo, alte- ra in _q_, ceu puncto ad libellam cum priori compo$ito: pars igitur aqua ple- na e$t _o p q_, atque $i hæc pars ponatur ad longitudinem totius helicis _a_ 1 _b_ ut _g_ ad _h_, erit maxima aquæ quantitas una revolutione ejicienda = {_g q_/_h_}. Q.E.I.
(VII) Quoniam, ut diximus, fieri non pote$t ut aqa per totum ca- nalis tractum $it contigua, cavendum e$t, ne $eparatio aquæ impediatur, quod facile fieri pote$t cum totum cylindri fundum aquæ immergitur, quia $ic aëri prohibetur ingre$$us per orificium inferius canalis: Neque faciendum e$t, ut nimia fundi pars extra aquam promineat, quia $ic cochlea non om- nem, quam una revolutione alias po$$et, aquam haurit; imo nihil hauriet, $i immer$io punctum _h_ non attingat: Debita autem fiet immer$io usque ad punctum _g_, quia $ic arcus helicis _o p q_, qui aquam retinere valet, maximus fit. Et$i enim nunquam rei periculum fecerim, & plerique auctores aliter de illa loqui videantur, malim tamen rationi, quam auctoritati illorum, qui ad immer$ionem hanc animum non adverterunt, credere.
_Regula_ igitur _ratione immer$ionis_ hæc ob$ervabitur, fundum nempe $ub- mergetur, donec chorda arcus extra aquam eminentis $it = {2_mN_/_Mn_}, ubi lit- teræ _m_, N, M, & _n_ idem $ignificant, quod in articulo quarto.
(VIII) Apparet quidem po$t levem rei contemplationem eò majorem e$$e rationem inter arcum helicis _o p q_ & integram helicem _a_ 1 _b_, id e$t, inter _g_ & _h_, atque proinde eo majorem ceteris paribus aquæ quantitatem $ingulis revolutionibus ejici, quo minor e$t angulus _s a o_ & quo major angulus _a_ M H, $eu quo minor e$t di$tantia inter duas proximas helices & quo magis cochlea ver$us horizontem inclinat: Veram autem illam rationem algebraice expri- mere non licet: In omni tamen ca$u particulari id facili appropinquatione obtinetur.
_Exemplum præcedentis regulæ_ de$umam à cochlea, qualem Vitruvius ad- hibere & con$truere docet. Facit autem angulum _s a o_ $emirectum & $ic _m_ = M = √{1/2} = _o_, 70710: deinde inter N G & M G rationem $tatuit, quæ e$t ut 3 ad 4; inde deducitur angulus G N M vel _a_ M H = 53<_>0, 8<_>1, ejus- que $inus _n_ = _o_, 80000 atque con$inus N = _o_, 60000: ergo (per _art. III._) e$t $inus arcus _a g_ alti$$imum punctum _o_ definientis = {_m N_/_M n_} = {3/4}, ip$eque arcus _a g_ = 48<_>0, 35<_>1. Debet adeoque vi regulæ _art. VII._ arcus extra aquam eminens in fundo e$$e 97<_>0, 10<_>1; immergeturque arcus 262<_>0, 50<_>1.
Ut jam præterea definiamus rationem inter arcum helicis _o p q_ & helicem
integram _a_ 1 _b_, notandum e$t, eandem e$$e illam rationem, quæ intercedit in-
ter arcum circularem _g h_ M _s_ & circumferentiam circuli, quod ex figura $ocia
manife$tum e$t. Determinatur autem arcus _g h_ M _s_ hunc in modum. E$t nem-
pe arc. _g h_ M _s_ = arc. _a g h_ M _s_ - arc. _a g_. Sed vidimus in articulo tertio, $i ex
quocunque puncto $piralis, veluti _o_ & _q_ perpendicula ad horizontem punctum
M radentem demittantur, qualia $unt _o r_ & _q x_, fore i$tud perpendiculum
= {_mNX_/_M_} + _n_ (1 + _x_) $eu in no$tro ca$u = _o_, 60000 X + _o_, 80000(1 + _x_),
denotante X arcum circularem, puncto in $pirali a$$umto re$ponden-
tem, nempe arcum _a g_ aut arc. _a g h_ M _s_ & _x_ $ignificante ejusdem arcus co-
$inum. E$t vero arc. _a g_ = 48<_>0, 35<_>1 = (quia radius exprimitur unitate)
_o_, 84797, eju$que co$inus = _o_, 66153: Igitur in no$tro ca$u fit _or_ =
_o_, 50878 + 1, 32922 = 1, 83800. Quia porro puncta _o_ & _q_ $unt in eadem
altitudine po$ita, atque lineæ _o r_ & _q x_ inter $e æquales, apparet quæ$tionem
nunc eo e$$e reductam, ut alius arcus _a g h_ M _s_ inveniatur puncto _q_ re$pondens,
Con$equens inde e$t, $ingulis revolutionibus cochlea à Vitruvio de- $cripta proxime ejici {10/29} illius quantitatis, quam helix integra & plena con- tinet, $eu paullulum ultra trientem.
(IX) Notandum tamen e$t, quæcunque $it aquæ quantitas, quæ qua- libet cochleæ revolutione canalem inferius ingreditur, $uperiu$que ex eodem e$$luit, nullum nec detrimentum nec lucrum propterea cadere in _potentiam ab-_ _$olutam_ $i nulla habeatur frictionum ration, quia _potentia movens_ cæteris paribus illi quantitati proportionalis e$t. At vero quia frictiones $emper ob$tant, eædem- que fere $unt ob pondus machinæ proprium, $ive major $ive minor quantitas aquæ hauriatur, opera utique danda e$t, ut i$ta quantitas cæteris paribus fiat maxima: Hâc de re nunc agam paullo di$ertius.
(X) Jam innui $uprà, cre$cere rationem arcus _g h_ M _s_ ad circumferen- tiam circuli decre$centibus angulis _s a o_ & N M G: uterque igitur minimus e$$et con$truendus, ni$i alia ob$tarent incommoda, præ$ertim ratione anguli N M G. Quod ad angulum _s a o_ attinet, pote$t is fere ad lubitum diminui, neque aliud inde incommodum re$ultat, ni$i quod latera canalis circumflectendi nimis ad $e invicem accedere po$$unt: E contrario à diminutione i$tius anguli aliud ob- tinetur compendium, nempe quod tunc eo verticalius po$$it erigi machina ip- $aque aqua eo altius elevari, etenim angulus _a_ M H $emper major e$$e debet angulo _s a o_: à verticaliori autem cochleæ po$itione $imul obtinetur, ut mino- ri incommodo $it machinæ proprium pondus eaque facilius $u$tineatur.
Hæc ita perpendens crediderim fere $ufficere po$$e angulum _5 graduum_,
quem faciat canalis cum ba$e nuclei. Cardanus quoque minorem i$tum fecit
(XI.) Subducemus nunc hujus no$træ quoque ad normam præceden- tis articuli con$tructæ cochleæ calculum, prouti fecimus de cochlea ad Vi- truvii præceptum con$tructa, art. VIII. Quia vero per hypothe$in angulus _s a o_ e$t 5<_>0 & angulus N M G = 60<_>0; reperietur per _art_. IV. arcus _a g_ 8<_>0, 43<_>1, & linea verticalis _o r_ = 1, 00574, cui æqualis erit altera verticalis _q x_, $i dentur arcui _a g h_ M _s_ 284<_>0, 57<_>1, a quo $i $ubtrahatur arcus _a g_, remanet ar- cus _g h_ M _s_ 276<_>0, 14<_>1: qui re$pondet arcui helicis aquam retinere valenti: e$t igitur hæc pars ad totam helicem ut 16574 ad 21600 vel ut 8287 ad 10800, $ic ut $ingulis revolutioniqus ejici po$$int plus quam quatuor quintæ partes integræ helicis capacitatis, duplumque cum triente præterpropter hac ma- china efficiatur, quam obtinetur $imili machinatione ad mentem Vitruvii fa- bricata: altius quoque eodem nucleo elevantur aquæ in ratione ut √3 ad √2. Venio jam ad _potentiam_ tum _moventem_ tum _ab$olutam_, quæ in elevandis aquis impenditur.
(XII.) Dato pondere aquæ in helice quie$centis, invenire potentiam tangentialem in _f_ in æquilibrio cum illo pondere po$itam.
Vidimus quomodo problema hoc geometrice $olvendum $it ratione
globi in puncto infimo _p_ quie$centis. In præ$enti vero ca$u paullo aliter $e
res habet, quod pondus aquæ per magnum helicis arcum e$t di$tributum,
neque in puncto aliquo dato concentratum. Facile quidem e$t in antece$-
$um prævidere, in utroque ca$u easdem fore potentias ex regulis mechani-
Helicem con$iderabimus _a_ 1 _b_ ex figura quinquage$ima $ecunda $eor-
$im de$umtam, ad evitandam linearum confu$ionem, con$ervatis denomi-
nationibus _art_. IV. adhibitis. Sic igitur in Figura 53. erit rur$us angulus
(XIII.) Ut appareat, non differre valorem i$tius potentiæ ab illa, quam pro globo ejusdem ponderis _p_ invenimus articulo V. nempe {_m N p_/_M_}, demon- $tranda e$t æqualitas inter {_n p_ (_g_ - _f_)/_Mc_} & {_m N p_/_M_} $eu inter _n_ (_g_ - _f_) & _m_ N _c_: i$ta vero æqualitas deducenda e$t ex eo, quod extremitates aquæ _l_ & _o_ in eadem ab horizonte altitudine po$itæ $int; inde enim $equitur, ut demon$travi- mus _art_. IV. e$$e aggregatum ex arcu _a c_ multiplicato per {_m N_/_M_} & ex linea M _d_ multiplicata per _n_ = aggregato ex arcu _a c_ M _p_ pariter multiplicato per {_m N_/_M_} & ex linea M _q_ multiplicata per _n_. Adhibitis itaque denominationibus præ- cedentis articuli, fit M _e_ X {_m N_/_M_} + (2 - _f_) X _n_ = (M _e_ + M _c_) X {_m N_/_M_} + (2 - _g_) X _n_, vel _n_ (_g_ - _f_) = _m_ N _c_; quæ æqualitas demon$tranda erat ad demon$trandam æqualitatem potentiarum tum pro globo tum pro aqua in _f_ applicandarum.
(XIV) Quia potentia {_n p_ (_g_ - _f_)/_M c_} non differt ab {_m N p_/_M_} & quantitas {_m N_/_M_} eadem manet, quæcunque aquæ quantitas una revolutione hauriatur aut eji- ciatur, erit potentia i$ta proportionalis eidem quantitati aquæ $ingulis revolu- tionibus ejectæ $eu ponderi _p_. Facile quoque demon$tratu e$t, $i eadem aqua- rum quantitas, eadem _potentia movente_ eademque velocitate ad parem altitudi- nem verticalem elevetur $uper $implici plano, quod ad hunc finem debite ver- $us horizontem inclinatum $it, fore ut tempus elevationis quoque idem $it.
Igitur eadem _potentia ab$oluta_ requiritur in cochlea Archimedis, quam $uper plano inclinato, ad quod omnes machinæ reduci po$$unt, nec ullam habet i$ta cochlea prærogativam præ reliquis machinis in theoria $pectatis. Forta$$e in praxi minus e$t obnoxia incommodis §. 26. indicatis: nequaquam improbo ejus u$um, $ed nec eam præfero præ antliis Cte$ibianis.
§. 28. Intelligitur ex hactenus dictis, quibus titulis una machina alte- ri præferenda $it, quemnam machinæ perfectionis gradum admittant; ad quid poti$$imum attendendum $it in illarum con$tructione & u$u; quanta _potentiæ ab-_ _$olutæ_ pars perdatur, aliaque $imilia: Equidem machinas tantum con$idera- vimus _potentiis_ ut dicuntur _animatis_ motas: facile autem apparet ii$dem legibus $ubjectas e$$e machinas, quæ ab impetu aquarum, venti, aut ab aquarum gra- vitatione hujusmodique aliis principiis $unt movendæ; $emper enim _potentia_ _movens_ ducta in tempus & velocitatem puncti cui potentia e$t applicata, dabit productum ex quantitate aquæ & altitudine ad quam i$ta quantitas a$$umto tempore elevari po$$it ope machinæ propo$itæ, $epo$itis impedimentis alienis. Loquor autem de machinis, quibus nihil de _potentia ab$oluta_ perditur; fieri enim pote$t, ut maxima pars pereat, quod $atis o$tendimus in $uperioribus.
§. 29. Apparet exinde aquam ad certam altitudinem elevatam po$$e rur$us $uo de$cen$u eundem præ$tare effectum: effectus autem erit æ$timandus ex quantitate aquarum elevandarum & ex altitudine elevationis, $ic ut v. gr. de$cen$u 8. pedum cubicorum ex altitudine unius pedis po$$int totidem rur- $us elevari pedes cubici ad $imilem altitudinem aut 4. pedes cubici ad altitudi- nem duorum pedum, aut unus pes cubicus ad altitudinem 8. pedum & $ic ut- cunque libuerit. Specimen machinæ, quæ po$$it aquam ad quamcunque al- titudinem elevare minimo aquarum de$cen$u, videre e$t apud D. Perrault in _Comment. ad Vitruvium lib_. 10. _cap_. 12. quam machinam ut incredibile fere para- doxon affert ejusque inventorem facit D. Franchini Italum, cujus indu$tria & con$iliis in horto Bibliothecæ Regiæ cum $ucce$$u con$tructa fuit. Fundamen- tum machinæ in eo con$i$tit, ut $itulæ concatenatæ, & in circulum redeuntes aquam excipiant eamque in locum tran$portent infimum, ibique effundant, dum alia $itularum $eries aquas hauriunt & ad locum longe altiorem, minori tamen copia ferunt atque effundunt: per$picuum autem e$t, $eriem priorem $i omnes $itulæ de$cendentes graviores $int omnibus $itulis a$cendentibus, alte- ram perpetuo in gyrum acturam e$$e; Machinæ etiam $unt, quæ idem præ- $tant per $implices tubos ope epi$tomiorum $tatis temporibus convertendorum, in quam quidem conver$ionem nulla potentia impenditur. Huju$modi ma- chinationes de$cribit Carolus Fontana.
At $i quis credat po$$e ex impetu aquarum ex certa altitudine delap$a-
rum & in machinæ alas impingentium idem obtineri, is longe aberrabit. Ta-
Non abs re erit i$tud argumentum accuratius pro$equi, & o$tendere quantus effectus ab impetu aquarum aut venti obtineri po$$it & $ub quibus cir- cum$tantiis effectus i$te $it omnium maximus dicendus.
§. 30. Po$tquam aquæ ad certam altitudinem elevatæ ex eâdem rur- $us decidunt, continueque in alas rotæ circumagendæ impingunt, fieri aliter non pote$t, quin _potentia ab$oluta_ ad rotam $ic circumagendam requi$ita multo minor $it illa, quæ in elevationem aquarum impen$a fuit, cujus rei præci- pua ratio e$t, quod aquæ po$t impul$um ad latera de$ilientes velocitatem etiamnum con$ervent, quæ ad rotæ rotationem nihil confert. Igitur magna _potentiæ ab$olutæ_ pars inutilis fieret, $i elevatione aquarum efficiendum e$$et, ut ab impetu earundem machina circumagatur & ab hac denique aquæ rur$us aliæ ad certam altitudinem eleventur; & quidem major minorve pars perit pro diver$is circum$tantiis, nunquam vero, ut mon$trabo, minus quam {23/27} totius perdetur, $i ad normam vulgaris impul$us aquarum æ$timationis com- putus fiat.
§. 31. Statuitur autem communiter $i aquæ ex cylindro valde amplo per $implex foramen tota $ua velocitate, id e$t, quæ toti altitudini aquæ $u- pra foramen debeatur, fluant, atque vena $tatim præ foramine directe impin- gat in planum, fore ut impetus fluidi contra planum in æquilibrio $it cum pon- dere cylindri aquei, $uper foramine ad altitudinem aquæ erecti. Experimento quidem fallaci auctores $educti hanc $tabiliverunt theoriam omnino fal$am. Nolui tamen hîc ab illa recedere, quia veram theoriam nondum expo$ui at- que deinceps facile erit expo$ita no$tra theoria calculum corrigere. Liceat igi- tur, donec $uo loco rem rectius perpenderimus, vulgari $ententiæ, quamvis erroneæ, adhærere. Quo major e$t impetus fluidi, eo majori ratione erit _po-_ _tentia ab$oluta_, quam dabimus, augenda.
§. 32. Finge nunc (Fig. 54.) vas A B C ceu antliam quæ aquas per
His ita po$itis inquiram primo in _potentiam ab$olutam_, quæ aquas per fo- ramen C ad altitudinem C E elevat; deinde quoque in _potentiam ab$olutam_, quæ requiritur in G ad vectem eadem velocitate movendum, quâ movetur ab im- pul$u aquarum D G.
§. 33. Sit amplitudo foraminis C vel D = _n_, amplitudo A B = _m_, ve- locitas aquarum in C vel D = _v_, pondus cylindri $uper foramine C aut D ad altitudinem C E extructi = _p_: tempus fluxus = _t_; erit pondus P = {_m_/_n_} _p_: ve- locitas, qua pondus dum aquæ expelluntur de$cendit = {_n_/_m_} _v_: e$t igitur (per _§_. 3.) _potentia ab$oluta_ in aquas per C ejectas impen$a = {_m_/_n_} _p_ X {_n_/_m_} _v_ X _t_ = _p v t_.
_§_. 34. Ut jam _potentia ab$oluta_ in gyrationem vectis G L circa punctum Himpenfa determinetur, notandum e$t illam minime $ibimet con$tare; mutari enim à mutata velocitate, quacum vectis circumagitur. Igitur faciemus ve- locitatem qua extremitas ejus in G movetur = V. Hoc autem modo aquæ impingere cen$endæ $unt in G velocitate _v_ - V, atque $ic pre$$ionem exerce- re, quæ fit = _(_{_v_ - _V_/_v_}_)_<_>2 _p_: ($unt enim pre$$iones in ratione quadrata velo- citatum fluidi impingentis atque pro velocitate _v_ ponitur pre$$io = _p_). I$ta vero pre$$io e$t loco _potentiæ moventis_; po$$umus nempe loco pre$$ionis fluidi ponere pondus vecti $uperincumbens in G, quod $it = _(_{_v_ - _V_/_v_}_)_<_>2 _p_. I$tud vero pondus eadem velocitate movebitur quâ punctum G, nempe velocitate V, agitque durante tempore _t_: E$t _igitur potentia ab$oluta_ ad rotationem vectis du- rante tempore _t_ & velocitate V requi$ita = ({_v_ - _V_/_v_})<_>2 _p_ X V X _t_.
_§_. 35. Quod $i igitur vectis L G non immediate circumagitur, $ed fluidum ad altitudinem C E elevatur, eo animo, ut vena fluidi $uo impul$u in G vectem circumagendo ab altera parte aquam elevet, erit _potentia ab$oluta_ integra ad _potentiam ab$olutam_ utilem, ut _p v t_ ad ({_v_ - _V_/_v_})<_>2 _p_ V _t_, $eu ut _v_<_>3 ad (_v_ - V)<_>2 V: eademque $e habebit ad partem $ui inutilem ut _v_<_>3 ad _v_<_>3 - _vv_ V + 2 _v_ V V - V<_>3.
§. 36. In omnibus fere machinis, quarum principium motus con$i$tit in impul$u fluidi fieri $olet, ut velocitas vectis, ubi fluidi impetum $u$tinet, $eu V $it admodum parva ratione velocitatis fluidi _v_; in his autem maxima pars effectus, qui ab eadem fluidi quantitate pari velocitate moti obtineri po$- $et, perditur.
§. 37. Maximus oritur ab impul$u fluidi effectus, $ive, quod idem e$t, maxima fit _potentia ab$oluta_ §. 34. definita, $i $it V = {1/3} _v_; & tunc e$t i$ta _potentia ab$oluta_ = {4/27} _p v t_, atque etiamnum viginti tribus vige$imis $eptimis partibus deficit, à potentia $imili, quæ in elevandas aquas ex C in E F im- penditur.
Si proinde naturalis habeatur aquarum de$cen$us, atque illo utendum $it ad elevandas aquas aliudve $imile quid præ$tandum, faciendum e$t ut ma- china eo in loco, quo fit impul$us, velocitate moveatur $ubtripla velocitatis flui- di impingentis. Huic vero conditioni $emper $atisfieri pote$t, quod ex alla- to vectis exemplo patet. Si enim majori velocitate moveatur punctum G, di- minue partem H G manentibus reliquis aut eam auge, $i minori moveatur velocitate punctum G. Vel etiam $alva longitudine H G fac, ut aquæ in ex- tremitate L majori minorive quantitate hauriantur.
§. 38. I$ta vero ratione fluidorum ad perpendiculum in alas impin- gentium: alius e$t computus pro fluidis oblique incidentibus in alas moletri- narum vi venti agitandarum aliarumque $imilium machinarum. De his nunc pauca quædam $uperaddam atque iis $ectioni huic finem imponam.
Quum fluidum in $uperficiem totius alæ utcunque po$itæ & in dire-
ctione ad motum fluidi perpendiculari rotaturæ impingit, docent auctores, flui-
dum maximum in alam exercere ni$um ad promovendam rotationem, quando
ala cum directione venti angulum facit, cujus $inus $it ad $inum totum ut √ 2
Prima Regula pertinet ad machinas quæ à vento omnia ambiente cir- cumaguntur: altera ad illas, quæ à vena $olitaria & à certa determinataque flui- di quantitate moventur. Utraque vero hypothe$i innititur, quod motus ala- rum admodum parvus $it re$pectu motus fluidi, $i enim ad motum alarum re- $picias, ambæ regulæ fal$æ $unt; neque profecto i$te motus negligendus e$t, in moletrinis enim $æpe ob$ervavi, extremitates alarum velocitate ferri, ip$am fere venti velocitatem exæquante.
Hæc cum ita $int, calculum nunc ita ponemus, ut utriu$que motus rationem habeamus.
§. 39. Sit igitur fluidum D E B A (Fig. 55.) quod $ub directione E B
Ut jam determinetur inclinatio plani ad fluidum $ub his circum$tantiis
maxime favorabilis ut motus plani in directione B _b_ promoveatur: ponemus
A B = 1, D E $eu A C = _x_, B C =
§. 40. Calculus ratione inclinationis alarum in moletrinis alius e$t, quia velocitates in diver$is alarum locis variæ $unt; $unt enim proportiona- les di$tantiis à centro, facile autem nunc cuivis erit computum pro mole- trinis in$tituere, huic ca$ui non ulterius in$i$tam, $ufficiat id nota$$e, quod non $atis accurate $tatuatur ab auctoribus _x x_ = {2/3}, & quod verus valor ip- $ius _x_ $emper minor $it quam √ {2/3}. Si fuerit v. gr. V = _v_, & omnia alæ puncta $imili velocitate moveri cen$eantur, fiet _x_ = √ {1/2}, quod indicat in- clinandam e$$e alam ad directionem venti $ub angulo $emirecto. Optima alarum con$tructio foret, $i incurvarentur, ita, ut $ub angulo minori ventus in illas impingat $uperius quam inferius, aut $i fiat ut alæ ubique ventum $ub angulo medio quinquaginta præterpropter graduum excipiant.
§. 41. Pergo ad alterum ca$um, quo omne fluidum à plano, utcun-
que id inclinatum $it, excipi ponitur. Hic autem patet; quia numerus
particularum dato tempore impellentium $emper idem e$t, nullam e$$e at-
tentionem faciendam ad linem B N, atque $ic ni$um quem aquæ faciunt ad
movendum planum A B in directione B _b_ $impliciter repræ$entari per _e f_ $eu
_xv_
§. 42. Con$ideremus nunc venam D E B A tanquam immediate ex ori-
§. 43. _Potentia ab$oluta_, quam modo definivimus, ita e$t comparata, ut continue cre$cat cre$cente V, atque $i velocitas V infinita $umatur, fit eadem potentia = {1/4} X _p v t_. Igitur cum in figura 54 vena D G uti volu- mus ad rotandam machinam per impul$um obliquum, nunquam plusquam quarta pars obtineri pote$t illius _potentiæ ab$olutæ_, quæ in elevationem aqua- rum ex C in E F impenditur. Impul$u vero directo, nunquam plus quam {4/27} obtineri vidimus §. 37. Ergo effectus fere duplo major impul$u obliquo $eu motu rotæ horizontali quam impul$u directo, $eu motu rotæ verticali obtineri pote$t.
Si vero impul$us fluidorum aliter æ$timetur quam §. 31. indicatum fuit, erit ubique in eadem ratione mutandus valor litteræ _p_, qua impul$us æ$timatio fuit mutata.
_Experimentum_, de quo §. 27. _$ect_. 9, mentionem feci, hoc e$t. Nem- pe unus operarius ope antliæ intra $eptem minuta prima cum dimidio pe- des cubicos $edecim cum dimidio ad altitudinem quatuordecim pedum evexit.
I$te vero effectus æqualiter di$tributus æquivalet huic actioni, qua di- midius præter propter pes cubicus $ingulis minutis $ecundis elevatur ad alti- tudinem unius pedis: Hic igitur effectus dimidius admodum e$t illius, quem hominem $anum & robu$tum calcatura dare po$$e ex aliis deduxi principiis in paragrapho decimo $eptimo. Non crediderim defectum petendum e$$e omnem à decrementis, quæ in _potentiam ab$olutam_ ex variis cau$is in i$ta $e- ctione expo$itis cadere po$$unt, $ed potius ab eo, quod plus defatigentur homines ab agitatione emboli in antlia, quam à calcatura in rota calcatoria.
Experimentum plane $imile, $ed cum antlia longe perfectiori artifi- cioque $ingulari fabricata, ante aliquot demum men$es Genevæ $um$i præ- $entibus Viris Clari$$imis D. D. De la Rive, Calendrin, Cramer & Jala- bert Acad. Genev. Profe$$. $ucce$$us experimenti talis fuit, ut intellexerim operarium unum $ingulis minutis $ecundis quatuor quintas partes unius pe- dis cubici ad altitudinem unius pedis eleva$$e vel potius effectum æqualem præ$titi$$e. Notabile e$t experimentum, nec puto ulla alia machina effe- ctum obtineri po$$e admodum majorem. Mirabile quoque id e$t, quod $ic omnis generis machinas, quacunque potentia animatas, $i ob$tacula demas effectum haud multo di$$imilem præ$tare appareat. Re bene perpen$a $ta- tuo, hominem machina perfecti$$ima $ingulis minutis $ecundis pedem cu- bicum aquæ ad altitudinem unius pedis elevare po$$e aut effectum $imilem producere.
Huc etiam pertinerent, præ$ertim ratione paragraphi trige$imi primi, experimenta quæ accurati$$ime in$titui ad æ$timandum impetum venæ flui- dæ in planum impingentis, quibus confirmatus fui in theoria nova, quam hac de re $tabiliveram $imulque edoctus, errorem è Mariotti temporibus communem fui$$e commi$$um. Quia vero in fine hujus $ectionis hac de re non di$ertè $ermo fuit, atque in fectione decima tertia expre$$e eam pertra- ctare animus e$t, ideo eo usque di$qui$itiones ha$ce, ex principiis mecha- nicis nondum ob$ervatis, erutas differemus.
FLuida nunc ela$tica con$ideraturis licebit nobis talem iis affinge- re con$titutionem, quæ cum omnibus adhuc cognitis conveniat affectionibus, ut $ic ad reliquas etiam nondum $atis exploratas detur aditus. Fluidorum autem ela$ticorum præcipuæ affectio- nes in eo po$itæ $unt: 1<_>0. ut $int gravia, 2<_>0. ut $e in omnes plagas expli- cent, ni$i contineantur, & 3<_>0. ut $e continue magis magisque comprimi patiantur cre$centibus potentiis compre$$ionis: Ita comparatus e$t aër, ad quem poti$$imum præ$entes no$træ pertinent cogitationes.
§. 2. Finge itaque vas cylindricum verticaliter po$itum A C D B
(Fig. 56.) atque in illo operculum mobile E F, cui pondus P $uper in-
§. 3. Corpu$cula cavitati cylindri inclu$a con$iderabimus tanquam nu-
mero infinita, & cum $patium E C D F occupant, tunc aërem illa dicemus
formare naturalem, ad cujus men$uras omnia $unt referenda: atque $ic pon-
Notetur autem hanc pre$$ionem minime æqualem e$$e ponderi ab$o- luto cylindri verticalis aërei operculo E F in atmo$phæra $uperincumbentis, quod hactenus incon$iderate affirmarunt auctores: $ed e$t pre$$io i$ta æqualis quartæ proportionali ad $uperficiem terræ, magnitudinem operculi E F & pon- deri totius atmo$phæræ in $uperficiem terræ.
§. 4. Quæratur jam pondus π, quod aërem E C D F in $patium _e_ C D _f_ conden$are valeat, po$itis velocitatibus particularum in utroque aëre, naturali $cilicet & conden$ato, iisdem: $it autem E C = 1 & _e_ C = _s_: Cum vero operculum E F transponitur in _e f_, majorem à fluido patitur ni$um duplici modo: _primo_ quod numerus particularum ratione $patii, cui includuntur, major nunc e$t, & _$ecundo_ quod quævis particula $æpius impul$um repetit: ut recte calculum ponamus incrementi, quod à _pr<007>ma_ pendet cau$a, parti- culas con$iderabimus ceu quie$centes, atque numerum earum, quæ opercu- lo in $itu E F $unt contiguæ, faciemus = _n_, & erit numerus $imilis pro $i- tu operculi in _e f_ = _n_: ({_eC_/_EC_})<_>{2/3}, $eu = _n_: _s_<_>{2/3}:
Notetur autem fluidum à nobis con$iderari non magis conden$atum in parte inferiori, quam in $uperiori, quale e$t, cum pondus P veluti infi- nitè majus e$t pondere proprio fluidi: Per$picuum hinc e$t, hoc nomine vim fluidi e$$e, ut $unt numeri _n_ & _n_: _s_<_>{2/3}, id e$t, ut _s_<_>{2/3} ad 1. Quod vero attinet ad alterum incrementum à _$ecunda_ proveniens _cau$a_, invenitur id re- $piciendo motum particularum; atque $ic apparet impul$us eo $æpius fieri, quo propius ad $e invicem $itæ $unt particulæ: Erunt $cilicet impul$uum nu- meri reciproce ut di$tantiæ mediæ inter $uperficies particularum: I$tæque di- $tantiæ mediæ ita determinabuntur.
Particulas ponemus e$$e $phæricas, di$tantiamque mediam inter cen-
tra globulorum pro $itu operculi E F vocabimus D; diametrumque globuli
de$ignabimus per _d_: ita erit di$tantia media inter $uperficies globulorum =
D - _d_: patet vero in $itu operculi _e f_ fore di$tantiam mediam inter centra
globulorum = D ∛ _s_, atque proinde di$tantiam mediam inter $uperficies
globulorum = D ∛ _s_ - _d_. Igitur re$pectu $ecundæ cau$æ erit vis aëris na-
Rationi D ad _d_ aliam $ub$tituere po$$umus magis intelligibilem: nempe $i putemus operculum E F pondere infinito depre$$um de$cendere usque in $itum _mn_, in quo particulæ omnes $e tangunt, atque lineam _m_C vocemus _m_, erit D ad _d_ ut 1 ad ∛ _m_, quâ ratione $ub$tituta, erunt tandem viresaëris naturalis E C D F & compre$$i _e_ C D _f_ut _s_<_>{2/3} X (∛_s_ - ∛_m_) ad 1 - ∛_m_, $eu ut _s_ - ∛_mss_ ad 1 - ∛_m_. E$t igitur π = {1 - ∛_m_/_s_ - ∛_mss_} X P.
§ 5. Ex omnibus phænomenis judicare po$$umus aërem naturalem admodum conden$ari po$$e, & fere in $patiolum infinite parvum comprimi; facta igitur _m_ = _o_, fit π = {_P_/_s_}, ita ut pondera comprimentia $int fere in ratione inver$a $patiorum, quæ aër diver$imode compre$$us occupat; quod multiplex experientia confirmavit. Et pote$t certe hæc regula tuto accipi in aëre rariore quam e$t naturalis; an vero etiam po$$it in aëre ad- modum den$iori, non $atis exploratum habeo: nec dum enim fuerunt ex- perimenta ea accuratione, quæ hic requiritur, in$tituta: unico opus e$t ad definiendum valorem litteræ _m_, $ed eo accurati$$ime in$tituendo & quidem cum aëre vehementer compre$$o; gradus autem caloris in aëre, dum com- primitur, $ollicitè invariatus con$ervetur.
§. 6. Ela$ticitas interim aëris non$olum à conden$atione augetur, $ed & ab aucto calore, & quia con$tat calorem intendi ubique cre$cente motu par- ticularum inte$tino, $equitur, ela$ticitatem aëris $patium non mutantis auctam, inten$iorem arguere motum in particulis aëris, quod cum hypothe$i no$tra re- cte convenit: per$picuum enim e$t, eo majus requiri pondus P ad continen- dum aërem in $itu E C D F, quo majori velocitate particulæ aëreæ agitantur: lmo non difficile e$t videre pondus P $ecuturum rationem duplicatam i$tius ve- locitatis, ideo quod ab aucta velocitate tum numerus impetuum tum inten$itas corundem æqualiter cre$cat, utrumq; vero$eor$im proportionale $it ponderi P.
Igitur $i velocitas particularum aërearum dicatur _v_, erit pondus, quod in $itu operculi E F $u$tinere valet, = _v v_ P & in $itu _ef_ = {1 - ∛_m_ - ∛_mss_} X _vv_P, vel proxime = {_vvP_/_s_}, quia ut vidimus _m_ numerus admodum exiguus e$t ra- tione unitatis & numeri _s_.
_§_. 7. I$tud theorema, quod in præcedente paragrapho appo$ui, quo nempe indicatur, _in omni æëre cuju$cun{que} den$itat{is} $ed eodem caloris gradu_ _prædito ela$ticitates e$$e ut den$itates, at{\’que} proinde etiam incrementa ela$ticita-_ _tum, quæ fiunt à calore æqualiter aucto proportionalia e$$e den$itatibus_, I$tud, inquam, theorema experientia edoctus fuit D. Amontons idemque re- cen$uit _dans les mémoires de l’Acad. R. des Sc. de Paris pour l’année_ 1702. Sen$usi$tius theorematis e$t, $i v. gr. aër naturalis mediocris caloris pondus 100lb. datæ $uperficiei impo$itum $u$tinere valeat, atque deinde calor ip$ius augeatur do- nec 120 lb. eadem $uperficie eodemque volumine ferre po$$it, fore ut idem aër in dimidium $patium conden$atus, & ii$dem caloris gradibus præditus re- $pective ferre po$$it 200 lb. & 240 lb. ita ut incrementa 20 lb. & 40 lb, utrobique ab aucto calore genita $int den$itatibus proportionalia. Affirmat porro aëris, quem vocat temperatum, elaterem e$$e ad elaterem aëris ejusdem cum aqua bulliente caloris, proxime ut 3. ad 4 vel accuratius ut 55 ad 73. At ego in$titu- tis experimentis cognovi aërem calidi$$imum, qualis maxime fervente in hi$ce terris e$t æ$tate, tanti nondum e$$e elateris, quantum D. Amontons aëri tribuit temperato; imo nec $ub ip$o æquatore aërem unquam ejus e$$e caloris mihi per$uadeo. Meis autem magis fidendum e$$e puto experimentis quam Amon- tonianis, ideo quod in his aër non con$ervarit $uum volumen eju$que variatio- nis nulla ab Auctore habita fuerit ratio in calculo. Aëris qui hic Petropoli frigi- di$$imus fuit die 25. Decembr. 1731. s<_>t. vet. elaterem deprehendi e$$e ad elate- rem $imilis aëris, communi cum aqua bulliente calore præditi, ut 523 ad 1000.
Sed anno 1733. d. 21. Jan. multo inten$ius fuit frigus eique re$pondere
ob$ervavi aëris ela$ticitatem infra dimidiam ejus quam habet $imilis aër ad
aquam bullientem calefactus. Sed cum e$$et maximus aëris calor in loco um-
bro$o ann. 1731. ela$ticitatem habuit proxime {4/3} & accuratius {100/76}, ejus quam
habuit aër frigidi$$imus & {2/3} ejus quam habet aër ejusdem cum aqua bulliente
§. 8. Ex cognita ratione inter diver$as ejusdem aëris eodemque $patio inclu$i ela$ticitates, facile e$t deducere men$uram caloris, qui ad aërem perti- neat, $i modo conveniamus in definiendo calore duplo, triplo &c. quæ defi- nitio arbitraria e$t, neque in rerum natura po$ita; mihi quidem videtur non incongrue aëris calorem $i communis $it den$itatis proportionalem $tatui ejus ela$ticitati. Primus autem caloris gradus, à quo reliqui men$uram accipiant, $umetur ab aqua pluviali bulliente, quia huic procul dubio ubique terrarum idem proxime caloris gradus e$t.
His ita acceptis erunt calores aquæ bullientis, aëris tempore æ$tivo cali- di$$imi & aëris tempore hyemali frigidi$$imi in hi$ce terris proxime ut 6, 4 & 3. Dicam nunc quemadmodum ho$ce invenerim numeros, ut de accuratione ex- perimentorum, quorum $ucce$$us ab Amontonianis diver$us admodum e$t, ju- dicium ferri po$$it.
§. 9. Barometro nempe u$us $um ordinario A C B E, (Fig. 57.) id-
Nihil dico de modis hujusmodi thermometra $en$ibiliora reddendi; eo- rum quisque facile excogitabit plures, qui volet. Curetur autem, ut alti- tudo B E non $it infra 4 pedes, imo ut major $it, $i etiam aliorum fluidorum bullientium gradus caloris, qui $æpe major e$t quam in aqua, experiri ani- mus $it. Si minora hujusmodi thermometra de$iderentur, poterunt ea ita fieri, ut tempore $igillationis in _m_ ampulla vitrea A F igni lampadis appona- tur ad rarefaciendum aërem in illa contentum, tuncque protinus $igillatio fiat, & ne $igillationi mora injiciatur, poterit prius ampulla vitrea in tubu- lum capillarem duci, qui vel leviter flammæ admotus illico collique$cat. Hoc modo thermometra obtinui non ultra quatuor aut $ex pollices longa, $ed parvæ virtutis. Cæterum multum refert, ut $patium E D $it ab omni aëre, quantum fieri pote$t, vacuum, neque de i$to vacuo $atis certi erimus cum viderimus in $itu in$trumenti horizontali mercurium extremitatem Eattinge- re, quia fieri pote$t, ut aër, qui antea in $patio E D fuit, $e$e in poros mercurii recipiat, rur$usque pri$tinum $patium occupet de$cendente mercu- rio: tutius erit examen admovendo partem D E flammæ: $i enim à calore flammæ $uperficies D locum non mutet, indicium erit certum vacuum e$$e ab aëre $patium E D.
§. 10. In præcedente paragrapho con$ideravimus $patium A _m_ F ab aëre occupatum veluti infinitum ratione $patii D G aut D E: Quod $i vero fuerit tantum octuplo vel decuplo majus, nondum licebit illud $ine notabi- li errore tanquam infinitum con$iderare: atque hinc conjicio ortum e$$e errorem aliquem in definiendo elatere aëris mediocriter calidi in experimen- tis Amontonianis.
Ut igitur accurati$$ime fiat experimentum, ita procedendum erit: Fue-
rit $uperficies mercurii inferior in A F ducaturque horizontatis in A L: dein-
de pro caloris gradu qualicunque definiendo inclinetur in$trumentum, donec
$uperficies mercurii $it in puncto _g_, (quod idem e$t in quo mercurius $ub$i-
$tebat à gradu caloris aquæ ferventis in $itu thermometri verticali) tuncque
capiatur men$ura altitudinis verticalis _gh_, quæ erit ad altitudinem G B vere
ut elater aëris, cujus calor definiendus e$t, ad elaterem aëris in$tar aquæ fer-
ventis calidi. Sic igitur calores erunt proprie in ratione altitudinem _gh_.
Priusquam hoc argumentum abrumpam, nota$$e conveniet (quandoquidem
aliquibus forta$$e videbitur _primum_, qui à nobis po$itus fuit, _caloris gradum_ ab
aqua bulliente de$umtum non $emper nec ubique $ibi omnino con$tare) quod
_§_. 11. Veniamus nunc ad aëris con$iderandam atmo$phæram, quæ non à $uperincumbente pondere alieno, $ed propria coërcetur mole: _Primè_ autem examinabimus pre$$iones columnarum aërearum verticalium atque æqui- libria earum tum inter $e tum cum columna mercuriali in barometris: _Secundò_ ela$ticitates aëris in variis atmo$phæræ altitudinibus $upra mare atque altitudi- nes re$pondentes barometricas rimabimur: Atque his præmi$$is, plurimis $a- tisfaciemus phænomenis aliis ad mutationes atmo$phæræ pertinentibus.
§. 12. Sint duo tubi æqualis amplitudinis verticales A C & B D
(Fig. 58.) uterque indefinitæ altitudinis: Deinde finge tubulos $trictiores ho-
Intelligis etiam, $i in æqualibus altitudinibus veluti in _g_ & _h_ diaphrag-
mata fingas atque abe$$e putes aërem inferiorem _g_ A & _h_ B, etiamnum i$ta dia-
§. 13. At $i inæquali velocitate in tubis A C & B D particulæ agitentur, res alia erit: tamen quæcunque fingatur velocitatum & calorum in $ingulis lo- cis diver$itas, patet nihilominus utrobique æqualiter pre$$um iri partes tubi in eadem altitudine po$itas, velutiin_g_ & _h_, atque proinde diaphragmata, $i fingantur utrobique in eadem altitudine po$ita, æqualem pre$$ionem $u$tentu- ra e$$e. Si enim dicas minorem e$$e pre$$ionemin_g_ quam in _h_, nihil erit quod fluxum aëris ex B D in A C per tubulum tran$ver$um _hg_ impediat, $icque i$ta po$itio contra $tatum _permanentiæ_, quem $upponimus, pugnabit.
Cum itaque loca in eadem altitudine po$ita æqualiter à $uperincumben- te aëre premantur, erunt (p. §. 6.) den$itates in locis homologis quibu$cun- que, velutiin_g_ & _h_, proxime in reciproca ratione quadrata velocitatum, quibus in illis locis particulæ agitantur.
§. 14. Con$equens e$t ex præcedente paragrapho, ubique locorum eandem e$$e aëris pre$$ionem in æqualibus à $uperficie maris altitudinibus, $i atmo$phæra in $tatu permanente æquilibrii po$rta nulli$que agitata ventis pute- tur, quæcunque fuerit caloris differentia in diver$is atmo$phæræ partibus: Igi- tur ubique terrarum $ub æquatore & $ub polo eadem $it oportet altitudo mer- curii in barometris, quæ in $uperficie maris aut in æqualibus $uper illam alti- tudinibus po$ita $unt, $i atmo$phæra nullis obnoxia $it mutationibus. Pono autem aquas à $uperficie maris terminatas ad commune æquilibrium e$$e po$i- tas, non quod id omnino nece$$e $it, $ed quod nulla adhuc ob$ervata fuerit differentia: imo cur$us (_les courans_) aquarum in multis oceani locis, qui ad eandem perpetuo diriguntur plagam, hanc hypothe$in non omni rigore ac- cipiendam e$$e o$tendunt.
§. 15. Jam notavi den$itatem aëris in quovis tuborum verticalium loco
pendere à calore re$pondente: Et cum diver$i e$$e po$$int caloris gradus ma-
§. 16. Igitur quum in barometro ex loco humiliori veluti A in altiorem
_g_ transportato mercurius de$cendit, non $equitur pondus columnæ mercu-
rialis, quæ in barometro de$cendit æquale e$$e ponderi columnæ aëreæ ejus-
dem diametri & altitudinis A _g_, qnod ab aliquibus ita a$$eritur. Et profe-
cto cæteris paribus columna mercurii de$cendens eadem erit tam tempore
Patet exinde quid cen$endum $it de illa methodo, qua in Anglia ali- quando u$os e$$e recen$et D. _Du Hamel in hi$t. Acad. Sc. Pari$._ ad indagandam ra- tionem inter gravitates $pecificas aëris & mercurii: Ob$ervata nimirum altitu- dine mercurii in loco humiliori, tum etiam in altiori, gravitates $pecificas in aëre & mercurio $tatuerunt, ut erat differentia altitudinum mercurii in baro- metro ad altitudinem inter locos ob$ervationum interceptam: Etiam$i aër eju$dem den$itatis ponatur ab imo ob$ervationis loco ad alterum u$que, non li- cet tamen inde judicare de ejus gravitate $pecifica ratione mercurii. Quicquid ab experimento colligere licet, hoc $olum e$t:
Con$ideremus $cilicet integram cru$tam aëream terram ambientem at- que inter ambo ob$ervationis loca interceptam, & erit pondus i$tius cru$tæ ad $uperficiem terræ, ut pondus columnæ mercurialis, qualis in barometro de$cendit ad ba$in ejus; Manife$ta hæc $unt ex eo quod $umma ba$ium A & B $u$tinent quidem $ummam ponderum, quæ habent columnæ aëreæ A C & B D, neque tamen quævis ba$is premitur $uæ columnæ pondere $eor$im, & quod idem re$ectis columnis A _g_ & B _h_ intelligi debet de columnis _g_ C & _h_ D, dia- phragmatis in _g_ & _h_ po$itis, incumbentibus. Igitur experimentum non tam gravitatem $pecificam aëris, in quo factum e$t, indicat quam omnis aëris terræ proximi gravitatem $pecificam _mediam_ determinat; prior admodum variabilis e$t, altera procul dubio con$tanter eadem fere permanet.
Faciamus computum _gravitatis $pecificæ_ i$tius _mediæ_ aëris omnis, quiter-
ram ambit: Multis vero experimentis, quæ in diver$is locis parum $upra mare
elevatis $umta fuerunt, id con$tat, elevationi 66 pedum proxime de$cen$um
re$pondere unius lineæ in barometro. Sequitur inde, quod aëris gravitas $pe-
cifica media ratione mercurii $it, ut altitudo unius lineæ ad altitudinem 66. ped.
id e$t, ut ut 1 ad 9504; ergo po$ita gravitate $pecifica mercurii = 1, erit
gravitas $pecifica _media_ aëris = 0, 000105. Notabile e$t profecto tantam
e$$e hanc gravitatem mediam aëris: certus enim $um vel maxime $æviente hic
locorum frigore, aëris gravitatem $pecificam vixdum tantam e$$e, quantam
nunc exhibuimus pro $tatu medio omnis aëris terram ambientis: at $ub æqua-
§. 17. Veniamus nunc ad mutationes tum atmo$phæræ tum barometri: Con$iderabimus ergo duo barometra utrobique in imo aëris loco po$ita, alte- rum in A, alterum in B, & in utroque mercurium ad eandem altitudinem $u- $pen$um ponemus: Po$tea in A $ubito aërem admodum calefieri fingamus: Ita videmus fore, ut idem aër rarefiat: neque tamen inde ulla barometri mutatio proditura e$$et, $i nullam aër haberet inertiam ad motum, etiam$i omnis aër ex A C in B D tran$pellatur: po$ita autem i$ta inertia $upervenit quædam pre$- $io in omnes plagas eaque maxime $en$ibilis in regione A. Cre$cet igitur ad tempus altitudo mercurii in utroque barometro, magi$que cre$cet in A quam in B. Contrarium erit, $i extemplo magna quædam aëris ma$$a barometro A vel B vicina à frigore conden$etur.
§. 18. Hæc unica videtur cau$a, quæ aliquam in barometris in A vel B po$itis, efficere po$$it mutationem, quia hâc remotâ funda A & B $emper æqualiter premuntur, nempe unu$qui$que pondere, quod $it dimidium co- lumnarum aërearum A C & B D $imul $umtarum, quæ quidem ponderum $umma con$tans e$t. Si hæc ad atmo$phæram applicare velimus, notandum e$t funda A & B repræ$entare loca ima atmo$phæræ, quæ quidem in $uperficie terræ po$ita forent, $i aër terræ vi$cera penetrare nequiret: quia vero res $ecus $e habet, erunt loca fundis A & B analoga intra $uperficiem terræ cen$enda.
§. 19. Putentur nunc barometra in _g_ & _h_ po$ita; $itque in ambobus
mercurius ad eandem altitudinem $u$pen$us: his po$itis cau$a fingatur $uper-
venire, qua columna A _g_ $ive $ola $ive conjunctim cum $ocia B _h_ calefiat atque
$e$e expandat. His per$picuum e$t, $i vel nulla aëris $it inertia fore, ut pre$-
fiones aëris in _g_ & _h_ cre$cant, quia his locis major nunc aëris quantitas $uper-
eminet quam antea; acce$$it nimirum pondus omnis aëris, qui ex A _g_ & B _h_ à
calore fuit $ur$um propul$us. Atque ut hæc $ymbolis indicemus, faciemus pon-
Igitur a$cendet mercurius ab rarefacto aëre inferiore per altitudinem _x_ - _l_ = {_A_ - _C_ + α - γ/_B_ + β} _l_ = (po$itis omnibus in utroque tubo paribus) {_A_ - _C_/_B_} _l_.
Refrige$cente autem rur$us aëre in A _g_ & B _h_ iterum de$cendet mercu- rius in utroque barometro.
Notandum hic e$t, po$$e hoc modo à parvula caloris mutatione in A _g_ atque B _h_ notabilem oriri in barometro variationem ob in$ignem aëris den$i- tatem in partibus inferioribus, qua fieri pote$t, ut in parte A _g_ multo plus aëris contineatur (imo infinities, $i aër vi infinita pre$$us in infinitè parvum $patium conden$ari ponatur) quam in reliqua _g_ C, etiam$i longitudine infini- ta. Unde $i pondus A admodum majus $it pondere B, $imulque manente cau$a aërem rarefaciente, pondus C datam $ervet rationem ad A, quod ita fere fit, apparet a$cen$um mercurii à minimo caloris gradu $uperveniente in A _g_ po$$e utcunque magnum e$$e.
Equidem $i fingatur, partes A _g_ & B _h_ $trictiores admodum e$$e præ amplitudinibus in _g_ C & _h_ D, intelligitur variationes barometi ab aucto di- minutove caloris gradu in A _g_ & B _h_ ita fieri minus notabiles, quia ponde- ra A & α ip$aque C & γ prioribus proportionalia hocmodo decre$cunt; atta- men variationes barometricæ, quæ ab hac cau$a proveniant, etiamnum ut- cunque magnæ concipi poterunt.
§. 20. Hæc dum ita perpenduntur, veri$imile fit variationes barome-
tricas maxima parte petendas e$$e à celeribus caloris mutationibus in cryp-
tis $ubterraneis. Multas e$$e ea$que permagnas huju$modi cryptas jam diu
notum e$t: in terra etiam $olida pori facere po$$unt quod cryptæ: $i om-
nes cavitates (tum quæ à cavernis, tum quæ à poris aërem continentibus for-
Cæterum loca quæ $unt cryptis propiora, ea magis & ventis & baro- metri mutationibus erunt obnoxia, ob aëris ad motum inertiam, quæ for- ta$$e ratio e$t, quod ver$us æquatorem, ubi omnia fere pontus, minores variationes in barometro ob$erventur quam in locis hi$ce $eptentrionalibus.
§. 21. Ex eodem fonte deducitur, aliquid etiam ad variationes baro- metricas conferre po$$e exhalationes aqueas ex terræ poris: $ed certe parum id erit: $i enim tantum aquæ vapores $uppeditarint, quantum maxima plu- ria decidere pote$t, vix inde unica linea mercurius a$cendet in barometro, præterquam quod hæc cau$a non $it ita celeris, quin illius effectus in totam atmo$phæram $imul fere di$tribuatur, atque $ic pro certo quodam loco to- tus evane$cat. Si enim totam con$ideramus Atmo$phæram, quæ terram am- bit, animadverti certe non poterit e$$e eam vaporibus nunc minus nunc ma- gis oneratam. Equidem rationem §. 20. expo$itam omnibus reliquis prætu- lerim, magnas enim & celeres in terræ vi$ceribus fieri po$$e mutationes indi- cant terræ motus, qui $æpe ad centum usque milliaria eodem tempore $en- tiuntur, & alia hujuscemodi phænomena.
Ad mutationes barometricas explicandas imprimis requiritur cau$a quæ- dam $ubita; jam enim monui lentas in integram di$tribui aëris ma$$am nul- liusque e$$e effectus, idque demon$travi §. 14. Atque hanc ob cau$am parvi faciendas e$$e mutationes, quæ immediate fiant in atmo$phæra $upra terræ $uperficiem.
§. 22. Et hæc videtur pariter cau$a quod luna, quæ tantæ e$t efficaciæ
ad oceani aquas agitandas, nullum, qui ob$ervationibus diligenti$$imis ob-
$ervari potuerit, effectum exerat in barometrum: $ique cau$æ etiam reli-
quæ, quæ mutationem aliquam alicubi in Atmo$phæra producere valent
paullatim agerent, foret procul dubio in omnibus locis à $uperficie maris æque
di$tantibus eadem con$tanter mercurii altitudo ad $en$us. Hæc altitudo _media_
Atque hâc circum$pectione u$us celeberrimus Auctor ex multis ob$erva- tionibus, quæ ad ip$um ex pluribus transmi$$æ fuerunt locis, po$uit altitu- dinem mediam.
§. 23. Diver$itates i$tarum altitudinum _mediarum_ ab inæqualibus loco- rum $upra mare elevationibus provenire notum e$t. Jam enim Pa$calii tempo- re experimenta $umta fuere de de$cen$u mercurii in barometro ex loco profun- diori in altiorem lato. Inde Philo$ophi in mutuam cau$æ & effectus propor- tionem inquirere: Diver$æ in hanc rem variis auctoribus prodiere regulæ: Præcipua, cui etiamnum plurimi adhærent, hæc e$t, quod altitudines loco- rum proportionem $equantur logarithmorum, qui altitudinibus barometri re- $pondent. Fundata e$t hæc regula præcipue $uper eo, quod den$itas aëris ubi- que proportionalis $it ponderi aëris $uperincumbentis: male autem hic appli- catur i$tud principium, quod pro aëre eju$dem caloris tantum valet, neque res certa e$t in omni altitudine aëris, quamvis in eadem columna verticali exi- $tentis; $i vero ita $it, calorem æqualem e$$e, fatendum e$t, $ic $atis recte regu- lam $e habere.
At experimenta regulæ plane $unt contraria; igitur non e$t ubiquè idem caloris gradus per totam columnæ aëreæ verticalis altitudinem, quod ut nunc planum faciam, apponam experimenta quædam accurate, ut mihi per$uadeo, in$tituta, $ed tamen, quod doleo, diver$is temporibus loci$que: magis utique in$tituto no$tro convenirent experimenta eodem tempore in eodemque mon- te, diver$is tantum altitudinibus, $umta; talia autem, ni$i pro mediocribus locorum altitudinibus, nulla adhuc quantum $cio extant cum omnibus quæ $cire oportet circum$tantiis.
(I) In altitudine 1070 _ped. Pari$_. à $uperficie maris barometrum de$cen- dit 16 {1/3} _lin_. cum in $uperficie maris altitudinem teneret 28 _poll_. 4 {2/3} _lin_. (alii po- nunt $impliciter 28 _poll_. in $chedis autem quas D. De Lisle mecum communi- cavit habetur 28 _poll_. 4 {2/3} _lin_.). Igitur po$ita ela$ticitate aëris in $uperficie ma- ris, uti deinceps $emper ponam, = 1; inventa fuit ela$ticitas in loco $uperiori quam de$ignabo per E = 0, 9520.
(II) In altitudine à $uperficie maris 1542 _ped. Pari$_. de$cendit Mercurius in barometro 21 {1/2} _lin_. qui in mari ad altitudinem 28 _poll_. 2 _lin_. $u$pen$us hæ$it: hic igitur fuit E = 0, 9364.
(III) In altitudine montis Pici $uper In$ula Teneriffa 13158 _ped. Pari$_. à $u- perficie maris $tetit mercurius ad altitudinem 17 _poll_. 5. _lin_. dum in $uperficie maris teneret altit. 27 _poll_. 10 _lin_. unde eo in loco fuit E = 0, 6257.
(IV) Si in minoribus altitudinibus accurate de$cen$us Mercurii ob$er- ventur, reperitur de$cen$um unius lineæ re$pondere altitudini 65 aut 66 _ped_. Igitur in altitudine 65 _ped_. e$t E = 0, 9970. Extant pa$$im hæ ob$ervationes: tertiam autem habeo à D<_>no. De Lisle fuitque à R. P. Feuillée in$tituta atque co- ram _Societate Reg. Scient. Pari$_. prælecta: e$tque illa $copulus, ad quem omnes, quæ adhuc lucem a$pexerunt, theoriæ illidunt.
§. 24. Ut jam pateat, quou$que hæc cum po$itione logarithmicæ,
ceu $calæ altitudinum ela$ticitatibus re$pondentium conveniant, ponemus al-
titudinem loci à $uperficie maris certo numero pedum Pari$inorum definien-
dam = _x_: elaterem aëris in $uperficie maris de$ignabimus per 1, & elaterem
aëris in altitudine _x_ ponemus = E. Notetur autem atmo$phæram nunc nobis
con$iderari invariatam aut $altem $ibi con$tanter $imilem, ita ut elateres aëris
in $uperficie maris & in altitudine quacunque _x_ con$tantem $ervent rationem.
Si enim admodum inæqualiter in diver$is atmo$phæræ altitudinibus, nulla $er-
vata proportione elateres incon$tantia temporis mutentur, $ane nulla excogi-
tari poterit regula. His præmi$$is ponamus nunc æquationem α _log_. E = _x_ ubi
coëfficiens α unica determinabitur ob$ervatione: utamur ob$ervatione prima
& erit α _log_. 0, 9520 = 1070, hincque α ($ecundum logarithmos Vlacquia-
nos) = - 50194. Igitur pro hoc negotio, $i logarithmica $atisfacere de-
beat, ponendum e$$et - 50194 _log_. E = _x_, $ive _log_. {1/_E_} = {_x_/50194}: Ad
Si jam porro pro tèrtia ob$ervatione ponatur _x_ = 13158, fit ex hypo- the$i E = 0, 5469, dum experimentum indicavit E = 0, 6257: quæ diffe- rentia nimia e$t, quam ut ullo modo logarithmica $ervari po$$it: valet enim hæc differentia plus quam duos pollices cum duabus lineis.
§. 25. Rejecta logarithmica con$equens e$t ela$ticitates in diver$is at- mo$phæræ altitudinibus nequaquam e$$e den$itatibus proportionales, aut quod eodem recidit, diver$um e$$e in diver$is altitudinibus medium caloris gradum. Aliæ igitur ab aliis, quibus defectus i$te probe fuit notatus, fuerunt excogita- tæ regulæ: earum tamen nulla ad experimentum III. (§. 23.) $atis accommo- data dici pote$t. Veram, quam natura $equatur, legem invenire, rem e$$e pu- to vix $perandam: quis enim aliter quam levibus conjecturis a$$equetur@ ra- tionem velocitatum mediarum in particulis aëreis: Incidi tamen forte in ali- quam hypothe$in, quæ phænomenis non male re$pondet: prius autem pro quacunque velocitatum lege curvam dabo, quam ad $pecialem i$tam hypothe- $in de$cendam.
_§_. 26. Sit linea verticalis A D (Fig. 59,); Q F horizontalis radat $u-
Ip$e quidem monui prædicto loco hanc proportionem non po$$e exa-
cte e$$e veram, quia aër quidem elaterem pote$t habere infinitum $eu vi in-
finita comprimi, non pote$t autem in $patium plane infinite parvum conden-
His ad calculum præparatis ponemus B F = _a_, B M = _b_, B Q = _c_, B C = _x_, C _c_ = _dx_; C G = _v_, C N = _z_, C R = _y_, & erit _y_: _c_ = _vvz_: _aab_ $eu _y_ = {_cvvz_/_aab_}. Quia porro ela$ticitatis men$ura e$t pondus $uperin- cumbentis aëris, erit _q_ R (- _dy_) = ponderi $trati aërei intercepti inter C & _c_, quod proportionale e$t aëris den$itati _z_ & altitudini $trati _dx_: e$t igitur - _dy_ = {_zdx_/_n_} $eu _z_ = {- _ndy_/_dx_}, quo valore $ub$tituto in æquatione (_y_ = {_cvvz_/_aab_}) habetur _y_ = {_cvv_/_aab_} X {- _ndy_/_dx_} vel - {_dy_/_y_} = {_aabdx_/_ncvv_}.
§. 27. Si ponatur velocitas particularum aërearum in omni altitudine eadem, nempe = _a_, fiet {- _dy_/_y_} = {_bdx_/_nc_}, vel, facta debita integratione, _log_.{_c_/_y_} = {_bx_/_nc_}; I$tam vero hypothe$in non $atis experimentis confirmari vi- dimus _§_. 24. Igitur alia tentata, po$ui _v_ = √(_aa_ + _mx_) vel _vv_ = _aa_ + _mx_, quæ lex e$t in motibus corporum libere cadentium: neque id $ine $ucce$$u; ita vero fit {- _dy_/_y_} = {_aabdx_/_naac_ + _mncx_} vel _log_. {_c_/_y_} = {_aab_/_mnc_} _log_. {_aa_ + _mx_/_aa_}.
In hac æquatione paullo generaliori in qua _m_ & _n_ etiamnum arbitra- riæ $unt, porro periculum feci, num non po$$et poni {_aab_/_mnc_} = 1, atque id etiam apte fieri vidi: $ic vero obtinui _log_. {_c_/_y_} = _log_. {_aa_ + _mx_/_aa_} vel {_c_/_y_} = {_aa_ + _mx_/_aa_} aut {_y_/_c_} = {_aa_/_aa_ + _mx_}.
Indicat i$ta hypothe$is e$$e ela$ticitates aeris ubique in ratione reciproca qua- drata velocitatum, quibus particulæ aëreæ agitantur, $ive e$$e C R ad B Q ut B F2 ad C G2, atque cum E F H ex hypothe$i parabola e$t $uper axe A D verticem habens infra punctum B ad di$tantiam {_aa_/_m_}, $equitur e$$e cur- vam P Q S hyperbolam; Dictam vero di$tantiam {_aa_/_m_} $umendam e$$e = 22000 pedum animadverti, ut ob$ervationibus §. 23. proxime $atisfiat. Inde talis jam prodit æquatio $pecifica {_y_/_c_} = {22000/22000 + _x_}.
Pro curva vero LMO invenitur {_z_/_b_} = (per §. 26.) {_aay_/_cvv_}, $eu (quia {_aa_/_vv_} = {22000/22000 + _x_} = {_y_/_c_}) prodit po$t hanc $ub$titutionem {_z_/_b_} = ({22000/22000 + _x_})<_>2.
§. 28. Ut appareat, quousque hypothe$is no$tra conveniat cum expe-
rimentis §. 23. ponemus in æquatione pro ela$ticitatibus $ucce$$ive pro _x_,
1070; 1542; 13158, & 65; ita invenitur _re$pective_ {_y_/_c_} = _o_, 9536;
{_y_/_c_} = _o_, 9345; {_y_/_c_} = _o_, 6257, atque {_y_/_c_} = _o_, 99705: ob$ervatio-
nes autem indicant {_y_/_c_} = _o_, 9520; {_y_/_c_} = _o_, 9364; {_y_/_c_} = _o_, 6257,
atque {_y_/_c_} = _o_, 9970. Ob$ervatio tertia aliis hypothe$ibus inimici$$ima
cum no$tra plane con$pirat, nec reliquæ plusquam _o_, 0019 particulis di$-
$entiunt, quæ in altitudine barometri tres quintas unius lineæ partes valent.
Nemo autem qui expertus fuerit, quam vagæ & parum inter $e con$entien-
tes fuerint ob$ervationes barometricæ, tantillam differentiam admodum cu-
rabit. Ip$e interim hanc rem non aliter quam hypothe$in precariam con$i-
dero, neque aliam ob cau$am calculum _§. §_. 26. & 27. præmi$i, quam ut
rationem darem, quâ fieri po$$it ut altitudines verticales non re$pondeant
logarithmis altitudinum barometricarum, prouti deberet fieri, $i per totam
atmo$phæram uniformis e$$et calor: in$tituto enim calculo factaque compa-
ratione ejus cum experimentis mihi videre vi$us $um, non po$$e rem hanc à
§. 29. Si æqualis e$$et ubique calor, forent utique den$itates ela$ticita- tibus ad $en$us proportionales, re$ponderentque altitudines verticales loga- rithmis altitudinum barometricarum: At vero id experimentis repugnare po- no: neque tamen crediderim in duobus locis parum à $e invicem di$$itis no- tabilem intercedere po$$e caloris differentiam, quia calor in corpore rariore ut e$t aër, mox uni$ormiter di$tribuitur, ni$i perpetua ad$it cau$a, quæ aërem vicinum calefaciat.
Alia autem res e$t in locis remotioribus, nec enim ab$urdum puto aë-
rem vel decies den$iorem $tatuere $ub polis, quam $ub æquatore, $i modo
aër utrobique accipiatur $uperficiei terræ proximus; at in magnis altitudini-
bus minor utique erit differentia inter den$itatem aëris qui polis & ejus qui
æquatori re$pondet cæteris paribus, & propterea inæqualiter admodum
decre$cent à $uperficie terræ den$itates aëris & multo magis decre$cent $ub
polis quam $ub æquatore: hoc igitur modo fieri po$$et, ut $ub polis den$itates
aëris reales in parvis altitudinibus v. gr. decre$cant in ratione ut (22000 + _x_)<_>4
ad 22000<_>4 ob auctum calorem, & $ub æquatore vix $en$ibiliter decre-
$cant, ob diminutum calorem, quæ caloris diminutio prope æquatorem
§. 30. In terris, quæ intra quadrage$imum & $exage$imum latitudi- nis gradum continentur, probabile e$t den$itates in eadem proxime ratione decre$cere qua ela$ticitates; hancque ob rationem volui periculum facere, quænam inde refractionum theoria oriatur, qua de re nunc quædam adjiciam.
(α) Proprietas e$t noti$$ima radiorum ex uno medio in aliud inciden- tium eaque innumeris experimentis confirmata, quod angulus incidentiæ ad angulum refractionis con$tantem $ervat rationem: præterea etiam patet, $i refractio fiat infinite parva, id e$t, $i differentia utriusque $inus rationem habeat infinite parvam ad alterutrum $inum, fore ut $inus anguli, qui inter- cipitur inter radium incidentiæ prolongatum & radium refractum, eandem habeat rationem ad $inum totum, quam habet differentia $inuum angulo- rum incidentiæ & refractionis ad co$inum anguli incidentiæ. Illum vero, quem modo allegavi, angulum interceptum inter radium incidentiæ prolon- gatum & radium refractum, deinceps vocabo _angulum refractionis differentia-_ _lem._ Exinde $equitur, quod $it cæteris paribus $inus _anguli refractionis differen-_ _tialis_ proportionalis $inui anguli incidentiæ divi$o per co$inum ejusdem anguli.
(β) Experimenta porro docent, $i radius ex aëre in aërem diver$æ ab altero den$itatis incidat, e$$e _angulum refractionis differentialem_ cæteris pari- bus differentiæ den$itatum proportionalem.
Experimenta autem hanc in rem, quantum fieri pote$t, $umta fuerunt
à D. Hauksbée, accurati$$ime, tum de aëre admodum conden$ato, tum
Neutonus loco hujus rationis a$$umit in _tract_. $uo _optico_ illam, quæ e$t inter 3201 & 3200, eamque deducit ex refractionum quantitate ab A$trono- mis ob$ervata: $tatuit autem quantitatem refractionis eandem e$$e, $i $trata ra- dium refringentia $int parallela, in quacunque cæterum ratione den$itates medii decre$cant, $i modo in primo & ultimo $trato den$itatum differentia eadem maneat (vid. _Neut. tract. opt. pag_. 321. _edit. gall_.). De reliquo $ub di- ver$is circum$tantiis non pote$t non admodum e$$e variabilis refractio, quod aër, quem vocamus naturalem, multis mutationibus $it obnoxius, tum à calore & frigore, tum à pre$$ione atmo$phæræ, quæ ambo concurrunt ad den$itatem aëris formandam, cui den$itati refractiones radiorum in va- cuum incidentium $unt proportionales cæteris paribus. Eadem etiam mo- nuit D. Hauksbée in recen$ione experimentorum, quæ modo allegavimus, eamque ob rationem $tatum aëris, qui erat, cum experimenta $umeret, pro- be definivit.
(γ) Fuerit nunc A C (Fig. 60.) arcus circuli terre$tris centro B ductus, in
Con$iderentur duo elementa curvæ _ab_, _bo_, & per puncta _a_, _b_, _o_,
ducti inteligantur centro communi B arcus αα, ββ, γγ: $itque den$itas
(δ) Hi$ce ve$tigiis in$i$tendo ponendoque e$$e ubiquel den$itatem
D = {22000/22000 + _x_}G, ubi_x_ exprimit lineam _na_ numero pedum Pari$inorum
& G denotat den$itatem aëris in loco ob$ervationis, inveni quod $equitur.
Sit $inus altitudinis a$tri apparentis = _f_, co$inus = F, radius terræ = _r_
numero pedum Pari$inorum exprimendus: indicetur numerus 22000 per _a_:
ponatur porro $inus totus = 1, _angulus refractionis differentialis_ pro radio ex
aëre naturali in vacuum $ub angulo $emirecto incidentis = _g_: Denique bre-
vitatis ergo fiat 2_r_ - 2_a_ = α; - FF_rr_ + 2_ar_ - _aa_ = β: & erit β aut nu-
merus affirmativus aut negativus; affirmativus erit, $i altitudo apparens $ide-
ris parva fuerit & quidem infra 2<_>0, 44<_>1: $ecus erit negativus: In priori ca-
$u obtinebitur angulus quæ$itus F A H hunc in modum: Fiat nempe $emicir-
culus M L F (Fig. 61.) cujus radius A M = 1: $umatur A C = {α/2_fr_};
(ε) Secundum i$tas hypothe$es ponendo pro radio terræ 19600000.
poterit pro omni altitudine $ideris apparentis ejus determinari refractio a$tro-
nomica, $i bene experimento inventus fuerit valor anguli _g:_ quia vero difficile
admodum e$t hunc valorem cum $ufficiente accuratione definire, con$ultius
Quia vero @refractiones $equuntur rationem litteræ _g_. id e$t, _anguli re-_ _fractionis differentialis_ radii $ub angulo $emirecto ex aëre naturali in vacuum in- cidentis & quia i$te angulus proportionalis e$t den$itati aëris naturalis, $eu aëris, quem ob$ervator re$pirat, patet $i vel aër con$tanter $imiliter vaporibus e$$et oneratus (à quibus animum adhuc ab$traximus) non po$$e tamen fieri, quin refractiones a$tronomicæ $int admodum variabiles. Majores nempe erunt in $uperficie maris quam in montibus, eritque notabilis differentia vel in me- diocribus montium altitudinibus: majores præterea erunt tempore frigido quam calido, hæcque $ola cau$a in hi$ce terris refractiones minimum quarta parte augere pote$t: denique majores etiam erunt refractiones barometro al- to quam humili. Poterunt autem $i vapores nullo $int ob$taculo, refractiones omni tempore recte definiri, $i in$trumentum, quod §. 9. de$criptum fuit quodque Fig. 57. repræ$entat $imul adhibeatur cum barometro; $i enim alti- tudinem mercurii in barometro dividas per altitudinem mercurii in altero in- $trumento, habebis den$itatem aëris, cui cæteris paribus refractio proportio- nalis e$t facienda. Neque dubito, quin refractio $olis minor $it refractionibus reliquorum $iderum, quod calor $olis aërem non mediocriter expandit aëri$- que den$itatem diminuit.
_§_. 31. Ex iis quæ de agitatione particularum aërearum, à quâ utique calor aëris pendet, præ$ertim vero, quæ §. 10. monita fuerunt, apparet gra- dum eundem caloris aëri ine$$e, quoties eadem ratio intercedit inter ejus ela- $ticitatem atque den$itatem; ela$ticitatem indicat barometrum; den$itatem concludimus ex gravitate aëris $pecifica; atque inde ut vidimus §. 10, gradus obtineri poterit caloris fixus, $i aquæ bullientis calor incertus videatur, prouti D°. Fahrenheid ob$ervatus fuit pendere à pondere atmo$phæræ incumbentis. In$trumenta quæ $ingulis momentis den$itatem aëris indicant facile excogitari po$$unt atque à multis de$cripta fuerunt.
Notandum hic e$t rationem illam modo dictam inter aëris ela$ticitatem eju$que den$itatem $imul exhibere altitudinem aëris homogenei, & quia nobis deinceps $ermo erit de i$ta altitudine, convenit illam recte prius definire, quam ad alia pergamus.
§. 32. Si fingamus columnam aëream verticalem uniformis den$itatis & cum mercurio barometri ad æquilibrium compo$itam, erit altitudo illius columnæ _altitudo_ quam voco _aër{is} homogenei_ pro data den$itate.
Et quia aëris mediocriter den$i gravitas $pecifica e$t ad gravitatem $pe- cificam mercurii ut 1 ad 11000 ip$aque altitudo media mercurii in barometro pro locis parum à $uperficie maris elevatis $it 2 {1/3} ped. _Pari$_. erit altitudo aëris homogenei mediocriter den$i 25666 pedum.
Patet ex i$ta definitione altitudines illas, de quibus nunc dicimus, eo minores e$$e, quo den$ior e$t aër, cui altitudo re$pondere debet, & quo mi- nor e$t altitudo mercurii in barometro. Igitur $i idem $it caloris gradus in mon- tibus & in $uperficie maris, eadem quoque erit utrobique altitudo aëris ho- mogenei, quia pro eodem caloris gradu aëris den$itas rationem $equitur aëris ela$ticitatis $eu altitudinis mercurii in barometro. Apparet porro altitudinem aëris homogenei in $uperficie maris admodum decre$cere ab æquatore ver$us polos, quia frigus intenditur den$ita$que aëris augetur manente ela$ticitate & in ii$dem regionibus minorem e$$e tempore hyemali quam æ$tivo.
§. 33. Multa $unt quæ ad motum aëris definiendum pertinent, quo-
rum $olutio pendet ab altitudine aëris homogenei: Inter hæc etiam e$t propa-
gatio $oni eju$que celeritas: Quamvis enim celeritas $oni diver$imode defi-
_§_. 34. Venio jam ad varias quæ fingi po$$unt de motu aëris quæ$tio- nes $olvendas $imiles illis, quas de motu fluidorum non ela$ticorum in præce- dentibus habuimus.
Sit motus definiendus aëris ex va$e per foramen exiguum erumpentis in $patium infinitum ab aëre vacuum.
Apparet ex natura quæ$tionis in$en$ibilem e$$e motum localem aëris
interni quo $e$e expandit, dum certa $ui quantitas per foramen erumpit: Igi-
tur hic $olus _a$cen$us potentialis_, quem particula aërea, dum expellitur, acqui-
rit con$iderandus e$t, atque comparandus cum _de$cen$u actuali_ vel potius cum
diminutione ela$ticitatis, quam aër internus habet. Ut vero totam rem ad
methodum no$tram pro fluidis non ela$ticis adhibitam reducamus, con$idera-
bimus cylindrum verticalem communis cum va$e propo$ito amplitudinis atque
tantæ altitudinis, quanta e$t altitudo aëris homogenei cum aëre interno, is ve-
ro cylindrus, $i $imili aëre plenus cen$eatur, $ed non ela$tico, eadem veloci-
Si tempus exprimere lubeat per certum minutorum $ecundorum nu- merum, quem vocabimus _n_, & intelligatur per _s_ $patium quod mobile ab- $olvit cadendo libere à quiete intra unum minutum $ecundum, erit ponen- dum _t_ = 2_n_√_s_, $icque fiet _log_. {1/_x_} = {2_n_√_As_/_L_}.
§. 35. Quæritur motus aëris den$ioris in aërem externum rariorem infinitum ex va$e per foramen valde parvum erumpentis, po$ito in utroque aëre eodem caloris gradu.
Sit den$itas aëris interni initialis = D; denfitas aëris externi = δ: den$itas aëris interni po$t datum tempus _t_ re$idui = _x_, altitudo aëris homo- genei, ($ive ratione aëris interni $ive externi, nec enim diver$a e$$e pote$t, $i uterque aër eodem calore præditus $it, $icque den$itates & ela$ticitates in pari ratione decre$cant) = A. Quæratur ubique altitudo aëris homogenei, qui habeat eandem pre$$ionem $eu elaterem cum aëre externo & cujus den- $itas eadem $it cum aëre interno: hæc altitudo ab initio erit {δ_A_/_D_}, & po$t tempus _t_ erit {δ_A_/_x_}. Patet autem velocitatem aëris erumpentis talem ubique fore, quæ re$pondeat differentiæ definitarum altitudinum A & {δ_A_/_x_}; e$t itaque po$t tempus _t_ velocitas aëris erumpentis = √(A - {δ_A_/_x_}).
Sunt porro decrementa den$itatum (- _d x_) proportionalia quantitati-
bus aëris erumpentis, quæ rationem habent compo$itam ex velocitate
(√(A - {δ_A_/_x_})) ex den$itate (_x_) & ex tempu$culo (_d t_): $ic igitur e$t - _d x_
= _a_ (√(A - {δ_A_/_x_})) _x d t_, ubi _a_ e$t numerus con$tans qui per metho-
dum præcedentis paragraphi fit = {1/_L_}, retenta $ignificatione hujus litteræ
ibidem adhibita; hocque valore $ub$tituto oritur
- _d x_ = {_dt_/_L_} X √ (A_xx_ - δA_x_) $eu {- _dx_/√ (_xx_ - δ_x_)} = {_dt_√_A_/_L_}:
Factaque debita integratione fit:
_log_.{[√_x_ - √(_x_ - δ)] x [√_D_ + √(_D_ - δ)]/[√_x_ + √(_x_ - δ)] x [√_D_ - √(_D_ - δ)]} = {_t_√_A_/_L_}, aut po$ito rur$us, ut in
præcedente paragragho, _t_ = 2 _n_ √ _s_, erit
§. 36. Omnis effluxus fit tempore finito quâ in re i$ta quæ$tio ab alte- ra præcedente differt: Ce$$at autem aër effluere, cum e$t _x_ = δ, & tunc fit _n_ = {_L_/2√_As_} X _log_. {√_D_ + √(_D_ - δ)/√_D_ - √(_D_ - δ)}.
Sit v. gr. A = 26000 _ped. Paris_. contineat vas propo$itum unum pedem cubicum, foramen autèm habeat amplitudinem unius lineæ quadratæ, erit L = 20736; ponatur in$uper aërem intèrnum ab initio duplo fui$$e den- $iorem externo; e$t autem ut con$tat _s_ = 15 {1/12} _ped. Paris_. Fiet igitur _n_ = {20736√3/√(181.26000)} _log_. {√2 + 1/√2 - 1} = 29, 2, quod $ignificat aërem utrumque ad æquilibrium compo$itum iri tempore paullo majori quam viginti novem minutorum $ecundorum, po$t idque omnem effluxum ce$$aturum. Fieri autèm pote$t à contractione, quam flui- da præ foramine patiuntur (_vid. $ect. IV_.) & ad quam nullam fecimus in com- puto attentionem, ut tempus i$tud augeatur fere in in ratione ut 1 ad √ 2.
§. 37. Si fingatur aërem non immediate per foramen effluere, $ed per longum tubum, non mutabitur propterea velocitas, $i modo totius tubi capacitas $it veluti infinite parva ratione capacitatis, quæ in va$e ip$o e$t; Videtur autem den$itatem aëris, quamdiu in tubo e$t, eandem e$$e cum den$itate aëris va$i inclu$i, nectamen, quod demon$trabo inferius, ela$ticitas aëris in tubo major e$t ela$ticitate aëris externi, qui tubum circumdat. Con$equens inde e$t, ventum aërem e$$e den$iorem aëre quie$cente, $ed non magis ela$ticum: attamen den$itatum differentia parvula quoque erit; ventus enim, qui vel 30. pedes $ingulis minutis $ecundis conficit, aërem vicinum, æque calidum & quietum, vix una mille$ima $eptingenti$$ima parte den$itate $uperabit.
§. 38. Definire influxum aëris per foramen valde parvum in vas aëre rariore plenum, po$ito rur$us utrobique eodem caloris gradu.
Fuerit vas ab initio omnino vacuum, & po$t tempus _t_ ponatur den$itas aëris interni = x; $ic reperietur ii$dem fere ve$tigiis in$i$tendo, quibus in tri- ge$imo quinto paragrapho u$i $umus retentisque iisdem denominationibus {_dx_/√(δ - _x_)} = {_dt_√_AD_/_L_} $ive _t_ = 2_n_√_s_ = {2_L_/√_A_} - {2_L_√(_D_ - _x_)/√_AD_}.
Numerus igitur minutorum $ecundorum, quo totum vas impletur, donec inter utrumque aërem æquilibrium $it exprimitur per {_L_/√_As_}: & e$t tem- pus repletionis duplum illius quo repleretur $i velocitate initiali con$tanter in- flueretaër. In ca$u quo capacitas va$is pedem cubicum continet & foramen lineam quadratam æquat, fit repletio tempore propemodum triginta trium minutorum $ecundorum, ni$i contractione venæ aëreæ influentis repletio retardetur.
§. 39. Expo$uimus varias fluidorum ela$ticorum $ive motorum $ive quie$centium proprietates: Unum $upere$t non omittendum, quo fluida ela- $tica differunt à non - ela$ticis, hoc $cilicet, quod fluido ela$tico vel quie$- centi _vis viva_ in$ita $it, non quod in$tar aliorum corporum motorum $e ad cer- tam altitudinem elevare po$$it, neque enim motum localem in illo hic con$i- deramus, $ed quod elatere $uo talem a$cen$um in aliis corporibus gravibus ge- nerare po$$it. Licebit autem, quod $pero, in $equentibus uti vocabulo _vis vi-_ _væ corpori ela$tico compre$$o in$itæ_, quando nihil aliud eo intelligitur quam _a$cen-_ _$us potentialis_, quem corpus ela$ticum aliis corporibus communicare pote$t priu$quam totam $uam vim ela$ticam perdiderit.
Meretur hic in antece$$um notari, quod $icut de$cen$us corporis dati per datam altitudinem, utcunque fiat, eandem con$tanter vim vivam in cor- pore producit, ita quoque ela$trum $ive fluidum ela$ticum po$tquam à dato ten$ionis $eu conden$ationis gradu ad datum alium gradum fuit reductum ut- cunque, id $emper eandem vim vivam in $e recipiat rur$u$que contraria muta- tione alii corpori communicare po$$it.
De huju$modi viribus vivis fluido ela$tico compre$$o in$itis earundem-
que men$uris paucis nunc agam: dignum attentione argumentum e$t, quod
eo reducantur men$uræ virium prò machinis aëre, aut igne aut aliis huju$mo-
§. 40. Ut incipiamus ab aëre in vacuo, con$iderabimus cylindrum ver-
ticaliter po$itum A B C D (Fig. 62.) cum $u$tentaculo E F, quod omni pon-
Fuerit itaque F C = _a_, F H = _x_; velocitas $u$tentaculi in $itu G H = _v_, erit pre$$io, qua $u$tentaculum G H ad ulteriorem de$cen$um urgetur = P + _p_ - {_a_/_a_ - _x_} _p_, huicque pre$$ioni æqualis cen$enda e$t vis, quæ pondus $u$tenta- culo incumbens animat; igitur $i hanc vim dividas per ma$$am habebis vim accelerantem, quæ multiplicata per tempu$culum $eu per {_dx_/_v_}, dabit incre- mentum velocitatis _dv_, e$t itaque _dv_ = (P + _p_ - {_ap_/_a_ - _x_}) X {_dx_/_v_}: (P + _p_), vel {1/2} (P + _p_) _vv_ = (P + _p_) _x_ - _ap log_. {_a_/_a_ - _x_}.
Sed ex de$cen$u ponderis (P + _p_) per altitudinem _x_ generatur _vis viva_ _potentialis_ (P + _p_) _x_, & cum $u$tentaculum e$t in $itu G H, ine$t corpori (P + _p_) _vis viva actualis_ {1/2} (P + _p_) _vv_, id e$t, (P + _p_) _x_ - _ap log_. {_a_/_a_ - _x_}, quæ à prio- ri deficit quantitate _ap log_. {_a_/_a_ - _x_}, hæcque in compre$$ionem aëris tran$iit.
_Dico itaque_ non po$$e aërem occupantem $patium _a_ conden$ari in $pa- tium _a - x_, quin vis viva impendatur, quæ generatur ex de$cen$u ponderis _p_ per altitudinem _a_ log. {a/a - x} quocunque modo illa compre$sio facta fuerit_;_ po- te$t autem modis fieri infinitis. _I$tam vero regulam uno nunc alterove exem-_ _plo illu$trabo_.
Sit ba$is cylindri unius pedis quadrati, altitudo initialis F C duorum pedum: contineaturque in $patio B F aër qualis in $uperficie terræ medius e$$e $olet, qui ferre po$$it $uperficie E F 2240 libras: ponatur _x_ = 1, ut $ic ha- beatur _vis viva_, qua duo pedes cubici aëris naturalis in $patium unius pedis cubici coërceri po$$unt in vacuo: eritque i$ta _vis viva_ = 2 X 2240 X _log_. 2 = 3105, id e$t, talis quæ generatur lip$u libero corporis 3105 librarum per altitudinem unius pedis. Ergo & vici$$im, $i habeatur pes cubicus aëris naturali duplo den$ioris, poterit illius ope pondus elevari 3105 librarum ad altitudinem unius pedis in vacuo, dum aëris naturalis den$itatèm a$$umit.
Sit porro $ub iisdem reliquis circum$tantiis idem aër in $patium duplum, quam antea fuit, expan$um, occupans nunc in cylindro altitudinem quatuor pedum, i$que rur$us conden$etur in $patium unius pedis cubici, requiretur ad hanc compre$$ionem _vis viva_, quæ exprimitur per 4 X 1120 _log_. 4, quæ priore duplo major e$t. Igitur in vacuo $i habeatur pes cubicus aëris naturali duplo den$ioris, poterit illius ope pondus elevari 6210 librarum ad altitud. unius pedis, dum aëris naturalis dimidiam den$itatem a$$umit, aut pondus 9315 lib. dum aëre naturali fit quadruplo rarior.
Con$equens inde e$t, $i aër in $patium expandere $e po$$it infinitum & ubique ela$ticitatem $ervet den$itati proportionalem, quantitati aëris finitæ vim vivam ine$$e infinitam.
§. 41. Hæc autem pertinent ad æ$timationem vis vivæ, quæ aëri in vacuo po$ito in$ita $it: paullo alius fit computus pro aëre den$iore, qui in at- mo$phæra po$itus e$t: hic enim maximus expan$ionis gradus non ultra æquili- brium cum aëre atmo$phæræ extendi pote$t: facile hinc e$t in antece$$um præ- videre, $i v. gr. habeatur pes cubicus aëris naturali duplo den$ioris, vim vi- vam quæ in atmo$phæra ab hoc aëre compre$$o elici po$$it, minime e$$e in- finitam. Poterunt autem huju$modi vires vivæ hunc in modum determinari.
§. 42. Sit aër E B C F naturalis & in æquilibrio cum aëre externo; in-
telligatur autem per _p_ pre$$io atmo$phæræ, in $u$tentaculum E F, quæ quidem
cum pre$$ione aëris interni nondum conden$ati in æquilibrio e$t. Imponatur
eidem $u$tentaculo pondus P; fuerit jam aër conden$atus in $patium G B C H;
habeatque $u$tentaculum pondere P oneratum in $itu G H velocitatem _v_, erit
retentis reliquis denominationibus
Jam vero de$cen$u ponderis P per altitudinem _x_ genita fuit _vis viva_ P _x_, de qua eidem ponderi ceu velocitate _v_ moto ine$t pars {1/2} P _v v_ $eu P _x_ + _p x_ - _ap log_. {_a_/_a_ - _x_}; pars igitur vis vivæ quæ ad aërem tran$iit, e$t = - _p x_ + _ap log_. {_a_/_a_ - _x_}, quæ minor e$t altera §. 40. definita.
Habeatur v. gr. pes cubicus aëris naturali duplo den$ioris, inveniètur vis viva, quam i$te aër amittit, dum aëris naturalis circumfu$i den$itatem a$$u- mit, ea quæ lap$u libero corporis 865. lib. per altitudinem unius pedis gene- ratur.
Pari $en$u pes cubicus aëris naturali triplo den$ioris vim vivam habere intelligitur talem quæ re$pondeat lap$ui libero corporis 2898 lib. per altitud. unius pedis, qui numerus nempe prodit cum ponitur _p_ = 2240, ut §. 40; _a_ = 3. & _x_ = 2.
_§_. 43. Per$picuum e$t ex hoc con$en$u inter con$ervationem virium vi- varum aëri compre$$o & corpori à data altitudine delap$o in$itarum, nullam e$$e ad u$um machinarum perficiendum prærogativam $perandam ex principio aëris comprimendi, & ubique valere regulas in præcedente $ectione exhibi- tas. Quia vero multis modis fit, ut aër non vi $ed natura $it compre$$us aut elaterem naturali majorem acquirat, $pes certe e$t, po$$e huju$modi rebus na- turalibus magna ad machinas movendas compendia excogitari, prouti D. Amontons jamjam docuit modum movendarum machinarum vi ignis. Mihi per$uadeo $i omnis vis viva, quæ in carbonum pede cubico latet, ex eodem- que combu$tione elicitur, utiliter ad machinam movendam impendatur, quod plus inde profici po$$it, quam labore diurno octo aut decem hominum. Etenim carbones dum comburuntur aëris elafticitatem non$olum in$igniter augent, $ed & ingentem aëris novi quantitatem generant.
Ita Hale$ius in _veget. $tatiks_ deprehendit ex $emipollice carbonis 180.
I$ta vero magis percipientur, $i notetur eundem calculum (quem an-
tea fecimus pro effectu, qui ex aëre conden$ato $e$e re$tituente oritur, de-
mon$trando) procedere etiam pro aëre qui naturali circumfu$o non quidem
magis den$us $ed tamen ab aucto calore magis ela$ticus fit: ita v. gr. quoties
pes cubicus aëris ordinarii augmento caloris duplum elaterem acqui$ivit,
Ab auctis autem aëris tum den$itate tum calore pendent omnium re- rum hic expo$itarum effectus.
§. 44. Interim non $olum ab aëre conden$ato calefactove vis viva pro machinis movendis impendenda obtineri pote$t, $ed & ab aëre rariore aut frigidiore. Ubicunque enim æquilibrium $ublatum e$t, _vis viva_ ade$t, quæ impendi pote$t, $i debita machina excogitetur, ad onera elevanda machina- mentaque circumagenda. Methodus autem determinans _vim vivam_, quæ ab aëre datæ den$itatis datique caloris $patium datum occupante elici pote$t, mutatis mutandis eadem e$t cum illa quam §. 42. adhibuimus.
45. Fuerit nempe rur$us cylindrus verticalis A B C D (Fig. 63.) cum dia-
At rur$us de$cen$us ponderis P per altitudinem _x_ producta fuit _vis viva_ P _x_, dum ip$i interim ponderi velocitate _v_ moto ine$t tantum _vis viva_ {1/2} P _v v_ $eu P_x_ - _px_ + _ap log_.{_a_ + _x_/_a_}, Igitur _vis viva_, quæ re$idua e$t, nempe _p x_ - _a p log_.{_a_ + _x_/_a_}, ad aërem tran$iit rur$usque re$titutione æquilibrii inter aërem internum & externum, illa _vis viva_ ad alia corpora pro lubitu transfundi po- terit: Igitur $i habeas $patium G B C H aëre plenum cujus den$itas $it ad den$itatem aëris externi ut C F ad C H, in pote$tate erit _vis viva p x_ - _a p log_.{_a_ + _x_/_a_}.
An vero i$ta vis viva aëri inhæreat proprie externo an interno, logoma@ chia e$t; $ufficit quod à $ublato æquilibrio inter utrumque aërem talis vis viva obtineri pote$t, dum re$titutio permittitur.
Habeatur v. gr. pes cubicus aëris naturali duplo rarioris, cui hypothe$i quadrabunt po$itiones _p_ = 2240 lib. _a_ = {1/2} ped. & _x_ = {1/2} ped. & erit vis viva, de qua $ermo e$t, = 1120 - 1120 _log_. 2 = 344, id e$t, ea quæ generatur lap$u li- bero 344 lib. ab altitudine unius pedis.
Si pes cubicus $it aëre repletus, qui naturali $it quadruplo rarior, erit jam vis viva quæ$ita (po$ito nempe _p_ = 2240, & _a_ = {1/4}, _x_ = {3/4}) = 1680 - 560. _log_. 4 = 904, $eu talis quæ oritur lap$u libero ponderis 904 lib. per altit. unius pedis.
Si denique habeatur pes cubicus ab aëre omnino vacuus, ponendum e$t _p_ = 2240; _a_ = 0, & _x_ = 1: atque $ic erit vis viva quæ$ita = 2240 X (1 - 0 _log_. {1/0}) con$tat autem e$$e 0 _log_. {1/0} infinite parvum præ unitate; e$t igitur numerus i$te = 2240, qui indicat po$$e hac vi viva 2240 libras ad altitudinem unius pedis elevari.
§. 46. Pertinet ad præ$ens argumentum $tupenda vis aëris admodum conden$ati, $ed præ$ertim auræ pulveris pyrii accen$i in u$u $clopetorum pneu- maticorum & tormentorum bellicorum. De his quæ $eor$im commentatus $um huic $ectioni adjiciam.
(I) Sit A G (Fig. 64.) longitudo animæ in tormento $clopetove hori-
His ad calculum præparatis, globum con$iderabimus in $itu _e_, poneu- do A _c_ = _x_, velocitatemque globi in hoc $itu = _v_, $ic erit potentia globum in $itu _e_ propellens = ({_nb_/_x_} - 1) X P, quæ divi$a per ma$$am 1 ductaque in ele- mentum $patii _d x_ dat incrementum dimidium quadrati velocitatis; unde fit _v d v_ = ({_nb_/_x_} - 1) X P _d x_, $ive {1/2} _v v_ = (_b_ - _x_ + _nb log_. {_x_/_b_})P. Ponatur _x_ = _a_, habetur altitudo debita velocitati, quacum globus exploditur; vocetur i$ta altitudo α & erit α = (_b_ - _a_ + _nb log_. {_a_/_b_}) X P.
(II) Sit v. gr. in $clopeto pneumatico longitudo animæ $eu _a_ = 3 _ped_. _Paris_. longitudo A C = 4 _poll_. fueritque aër captus in A D naturali decies den- $ior $eu _n_ = 10, diameter animæ $eu globuli ejiciendi trium linearum ejus- que gravitas $pecifica ratione mercurii ut 10 ad 17. Erit P præterpropter = 286; indeque invenitur α = 2788, indicio globum ejectum iri velocitate qua in vacuo ad altitudinem 2788 _ped_. a$cendere po$$it. Ex præcedente for- mula colligitur jactum globi vehementi$$imum fore pro eadem auræ ela$ticæ quantitate, $i longitudo animæ fiat = _n b_. Si vero animus ad impedimenta alia, quæ globus præter inertiam $uam & re$i$tentiam aëris externi in tran$itu $uo per Sclopeti animam patitur, advertatur, apparet longitudinem animæ ad jactum vehementi$$imum producendum requiri longe minorem. Si longi- tudo _n b_ admodum major $it longitudine _a_, quod ita e$t in jactibus fortiori- bus, erit $ine $en$ibili errore α = _n b_ P _log_. {_a_/_b_}.
Si tormentum $it verticaliter erectum, fit aliquantum diver$us calculus $ed pro vehementioribus jactibus differentia nequit e$$e $en$ibilis. Igitur quia jactus deinceps con$iderabimus tantum vehementi$$imos, brevitatis ergo po- nemus _a_ = _nb_ P X _log_. {_a_/_b_}.
(III) Prouti in præcedentibus altitudinem determinavimus debitam ve-
Exinde poterit vis ela$tica pulveris pyrii $i non accurate definiri, $altem ad terminos reduci, quos certe $uperabit. At quæres, qui altitudo _a_ expe- rimento determinari po$$it; ad quod re$pondeo, po$$e eam $at accurate col- ligi ex tempore, quod globus verticaliter $ur$um ejectus ab explo$ionis pun@ cto in$umit, dum in terram delabitur habita in calculo aëris re$i$tentiæ ratio- ne. Trans$cribam huc experimenta in _comm. Acad. Petrop. tom_. 2. _p. p_. 338 & 339 recen$ita, quorum calculum in$titui factis, ratione aëris re$i$tentiæ hy- pothe$ibus, gravitates $pecificas ferri & aëris e$$e ut 7650 ad 1 & aërem, in quo globus a$cendit, uniformis e$$e denfitatis: gravitatum $pecificarum ratio paullo major a$$umta fui$$e videtur quam debebat, $ed compen$abitur in al- ti$$imis jactibus error à diminutione aëris den$itatum ver$us $uperiora.
„Tormenti $itus omni accuratione ad perpendiculum erat accommo- datus & $ingulis vicibus in hunc $itum reponebatur atque firmabatur: $in- gula experimenta fuerunt repetita: Erat autem longitudo animæ 7, 7. _ped_. _angl_. diameter globi erat 0, 2375 _ped_. diameter animæ men$urata non fuit neque magnitudo luminis accen$orii: qualibet vice ponderabatur quantitas pulveris pyrii adhibiti & pendulo definiebatur tempus à puncto explo$ionis ad punctum, quo globus in terram cecidit: tabula $equens exhibet, tum quæ ob$ervata, tum quæ calculo inde eruta fuerunt.
„Pro eodem tormento eodemque globo, $ed priori diminuto pede uno cum $eptem decimis partibus, $ic ut longitudo animæ re$idua e$$et præci$e 6. _ped. Angl_. in$ervit $equens tabula eadem lege con$tructa.
Multa $unt, quæ $ucce$$um horum experimentorum ita reddunt dubium, ut nullum $it, quod eandem auræ ela$ticitatem arguat. Maximam ego in- æqualitatem ex eo oriri crediderim; quod minima pars pulveris inflammetur $tatim ab explo$ionis initio, quod magna pars tum demum accendatur, cum globus orificio tormenti jam proximus e$t, & quod maxima denique pars non inflammata ejiciatur: facit forta$$e hæc $ola ratio, ut vis ela$tica auræ globum propellentis $it centies major, quam quæ vi experimenti, nulla habita i$tius rei ratione, prodit: id mihi valde probabile fit, ex eo quod adhibito in tor- mento 7, 7 _ped_. longo pulvere ad 4 uncias globus in vacuo jactu $uo a$cen- dere potuerit ad altitudinem 58750 _ped_. cum eadem pulveris quantitate eo- demque tormento $ed 1, 7 pede decurtato jactus re$ponderit altitudini in va- cuo 6604 pedum, quæ altitudo vix ultra nonam partem prioris excurrit: Ex comparatione utriusque experimenti conjicio, maximam pulveris quantita- tem in tormento longiore inflammatam fui$$e dum globus jamjam e$$et ori- ficio proximus neque ab ip$o ultra 1, 7 _ped_. amplius di$taret.
Diminuitur quoque jactus globi à magnitudine luminis accen$orii, ut & ab hiatu qui inter globum & internam animæ $uperficiem relinquitur, per quod utrumque notabilis auræ pars inutilis avolat: tanta autem inde dimi- nutio non oritur, quantam illam nondum po$ito calculo præ$um$eram: ad- jiciam tamen in$equentibus calculum, ut methodus habeatur vi pulveris pyrii longi$$imos $tatuendi limites, quos etiamnum certe transgrediatur.
(IV) Quod maximam o$tendit auræ ela$ticitatem e$t experimentum ter- tium cum tormento nondum decurtato $umtum, quod indicat a$cendere potui$$e globum accepto impetu ad altitudinem α = 58750 _ped. Angl_. Erat autem longitudo animæ A G $eu _a_ = 7, 7: longitudo A C (quantum ex amplitudine animæ & gravitate pulveris pyrii conjicio) erat = 0, 08. De- nique valor ip$ius P ($eu ponderis columnæ mercurialis, cujus ba$is $it cir- culus maximus globi & cujus altitudo $it 30. _poll. Angl_. ratione ponderis glo- bi ferri de$ignati per unitatem) invenitur po$ita gravitate $pecifica inter mer- curium & ferrum ut 17 ad 10 = 26, 8: Et cum per §. _III_. $it proxime _n_ = α: (_b_ P _log_ {_a_/_b_}) erit _n_ = 6004. Unde $equitur, $i aura pulveris pyrii inflamma- ti ela$ticitatem habeat $uæ den$itati proportionalem, e$$e illius maximam ela- $ticitatem minimum $exies millies majorem ela$ticitate aëris ordinarii.
(V) At vero $i jam con$ideremus partem auræ inutilem, quæ avolat per
lumen accen$orium & hiatum à globo relictum, majorem ela$ticitatem inve-
niemus: Calculus qui ad hanc quæ$tionem $olvendam requiritur, cum non
parum prolixus atque intricatus $it, non hæ$itavi hypothe$es adhibere paul-
lo liberiores, quibus admodum facilitatur: quamvis ip$æ hypothe$es non
$int omni rigore veræ, errorem tamen notabilem producere non po$$unt.
_Primo_ ponam utramque aperturam, per quam aura evolare po$$it, e$$e ve-
luti infinite parvam ratione animæ amplitudinis; hoc po$ito poterit $ingulis
momentis velocitas, cum qua aura avolat, æ$timari immediate ex pre$$ione
$ola: hujusmodi autem hypothe$in $ine ullo $en$ibili errore fieri po$$e pro
omni fluido, tunc etiam cum foramina non $unt admodum exigua, pa$$im
ut corollarium ex theoria no$tra deduximus, & multo facilius a$$umi po$$e in
fluido valde ela$tico facile quisque videbit ex eo, quod incrementum _a$cen-_
_$us potentialis_ ratione motus interni longe minus e$t ratione _a$cen$us potentialis_
particulæ per foramen exilientis in fluido, quod à propria ela$ticitate ex-
pellitur, quam quod gravitatis vi ejicitur: in priori enim minor e$t motus
localis internus quam in altero. _Secundo_ auræ pulveris pyrii inflammati vim
ela$ticam tantam e$$e, ut ni$us atmo$phæræ contrarius attendi non mereatur:
_tertio_ velocitatem globi in tormento utut permagnam, tamen minimam cen-
$eri po$$e ratione velocitatis, qua aura per hiatum utrumque avolat, quia
nempe inertia i$tius auræ non pote$t non admodum e$$e exigua ratione in-
(VI) Primo notandum e$t, $i ela$ticitates auræ cen$eantur den$itatibus proportionales, fore ut aura con$tanter eadem velocitate per utramque aperturam avolet, uti vidimus in problemate §. 34. i$taque velocitas no- minatim talis erit, quæ generetur ab altitudine auræ homogeneæ, cu- jus pondus auram captam coërcere po$$it, ne $e expandat. Igitur deter- minabitur dicta velocitas hoc modo: $it gravitas globi = 1, ela$ticitas $eu pondus quod auram pulveris modo inflammati A C D B in illo com- pre$$ionis $tatu coërcere po$$it = P: pondus pulveris adhibiti = _p_; erit pondus auræ pulveris modo inflammati etiam = _p_: $ique lon- gitudo A C ponitur = _b_, patet altitudinem auræ homogeneæ, quæ pondus P habeat, fore = {_P_/_p_} _b_; Igitur velocitas quacum aura recens nata per lumen accen$orium avolat e$t = √({_P_/_p_} _b_), eademque velocitate durante tota ex- plo$ione ejicietur, idque non $olum per lumen accen$orium, $ed & proxime per hiatum inter globum & animam relictum.
(VII) Sit nunc porro amplitudo animæ = F; hiatus interceptus inter globum & animam = _f_: amplitudo luminis accen$orii = Φ: longitudo ani- mæ = _a_, quantitas auræ ab initio explo$ionis = _g_. Intelligatur deinde glo- bus perveni$$e ex E in _e_, dicaturque A C = _x_: quantitas auræ eo temporis puncto in tormento re$idua = _z_: velocitas globi in i$to $itu = _v_, reliquæ de- nominationes fuerunt jam antea explicatæ.
Quoniam ela$ticitas per hypothe$in e$t directe ut quantitas & recipro-
ce ut $patium, erit ela$ticitas auræ in A _c d_ B re$iduæ = {_zb_/_gx_} P: quæ quidem
non tota in propellendum globum impenditur, $ed tantum pars ejus, quæ
$e habeat ad totam ut F - _f_ ad _f_. E$t itaque po$ito _d t_ pro elemento temporis
_dv_ = {_F_ - _f_/_F_} X {_zb_/_gx_} P X _dt_.
Per methodum autem §. 34. exhibitam, ubi quantitas aëris dato tempu$culo
effluens $pecifice definita fuit, invenitur
(VIII) Si jam per experimentum innotuerit valor ip$ius _v_, poterit in- de deduci valor ip$ius P, qui denotat ela$ticitatem auræ pulveris pyrii non- dum expan$æ: Quod ut exemplo illu$tremus, eodem utemur experimento, quod jam articulo IV. expo$uimus, ut appareat inde, quodnam ab avolatione auræ ela$ticitatis augmentum arguat. Sic igitur ponetur calculus.
Quia pondus globi, quod erat trium librarum, indicavimus per uni-
tatem, erunt quatuor unicæ pulveris adhibitæ exprimendæ per {1/12}: igitur
_p_ = {1/12}. Men$uras aperturarum, quas con$ideramus, non accepi: $olet autem
hiatus à globo relictus con$tituere in $imili tormento præterpropter partem
decimam quintam amplitudinis animæ; amplitudinem luminis accen$oriihic
fere negligi po$$e puto; itaque $tatuam F = 15; _f_ = 1; φ = 0: Deinde
habetur rur$us _a_ = 7, 7; _b_ = 0, 08; altitudo ad quam globus in vacuo
a$cendere po$$it $eu {1/2} _vv_ = 58750, $eu_v_ = 343: Igitur æquatio ultima
$uperioris articuli hæc erit
_log_.96 = { - 5251/√_P_} + 17, 5 _log_. {√_P_/√_P_-300},
cui proxime $atisfit cum $umitur √ P = 534 & proinde P = 285156,
quod efficit pondus columnæ mercurialis ejusdem cum anima tormenti am-
(IX) Verum ut ex æquatione no$tra quædam corollaria deduci po$- $int faciliora quam vis proxime tantum vera, mutabimus quantitatem lo- garithmicalem in $eriem. E$t autem - _log_. (1 - {(_f_ + φ)_v_/(_F_ - _f_)√(_bPp_)}) = {(_f_ + φ)_v_/(_F_ - _f_)√(_b P p_)} + {(_f_ + φ)<_>2 _vv_/2(_F_ - _f_)<_>2 X _b P p_} + {(_f_ + φ)<_>3_v_<_>3/3(_F_ - _f_)<_>3 X _b P p_√(_b P p_)} + &c. I$toque valore $ub$tituto in æquatione ultima _art_. (_VII_) fit _log_. {_a_/_b_} = {_Fvv_/2(_F_ - _f_). _b P_} + {_F_.(_f_ + φ)_v_<_>3/3.(_F_ - _f_)<_>2_bP_√(_bPp_)} + &c. Notabimus hic i$tam æquationem perfecte convenire cum æquatione ultima _art_. (_II_) $i aperturæ _f_ & φ ponantur = 0: quod enim hic indicatur per {1/2} _vv_ & _n_ P ibi e$t α & P, convenientibus denominationibus reliquis.
(X) Ut appareat, quantum proxime altitudo jactus ab aperturis dimi- nuatur, $i i$tæ aperturæ $int minimæ, in$erviet hæc æquatio. Intelligatur per α altitudo ad quam globus pervenire po$$it in vacuo, $i nulla auræ quantitas per aperturas avolare ponatur, & erit decrementum i$tius altitudinis ab erup- tione auræ per easdem aperturas oriundum proxime hoc [(2α)<_>{3/2} X (_f_ + φ)]: [3F X √ (_b_P_p_].
Unde in eodem tormento adhibitaque eadem pulveris quantitate & manente globi pondere, erunt decrementa jactuum proportronalia ampli- tudinibus aperturarum.
Decrementa eadem fere $equuntur rationem $ubduplicatam quantita- tum pulveris adhibitarum cæteris paribus; quia enim logarithmi magno- rum numerorum in multo minori cre$cunt ratione ac numeri ip$i & quo- niam in$uper e$t α = _b_ P _log_. {_a_/_b_}, poterit cæteris paribus $tatui α propor- tionale ip$i _b_, quia P non afficitur à _b_. Sed decrementum, de quo $ermo e$t, ceteris paribus rationem $equitur quantitatis (α{3/2}): (√ _bp_) $eu rationem quantitatis {_b_/√_p_}; ip$um vero _p_, quod pondus denotat pulveris adhibiti e$t ut _b_; igitur decrementum prædictum $equitur proxime rationem √ _b_, quæ $ub- duplicata e$t quantitatis pulveris adhibiti. Igitur ratione habita jactuum, de- crementa multo majora $unt in jactibus debilibus, quam vehementioribus, idque etiam experimenta _art_. (_III_) recen$ita confirmare videntur: non video enim aliam rationem, cur in prima tabula experimentorum globi jactus in vacuo, $umtis duabus pulveris unciis, plus quam vige$ies $exies altior e$$e debuerit, quam cum uncia dimidia $umeretur, & cur mox duplicata pul- veris quantitate ad 4. uncias jactus tantum quadruplo altior po$t calculum pro- deat, quam quantitate duarum unciarum.
(XI) Quæ reliquæ in utraque tabula comparent experimentorum in- æqualitates, eas ut $upra dixi, maximam partem derivo ab eo, quod pulvis non omnis inflammatur, nec is qui inflammetur omnis $tatim ab initio ex- plo$ionis flammam concipiat. Neque certe id mirabimur, cum perpendimus totum explo$ionis tempus in _exper_. 4. _tab_. 1. nequidem cente$imam unius minuti $ecundi partem efficere. Igitur cum certum $it maximam pulveris partem non inflammatam ejici, nec exiguam partem reliqui tardius inflammari, quam in calculo po$itum fuit; cumque præterea notabilis pulveris pars fucata $it vapo- ribus materiaque terre$tri, quæ non accenditur, $equitur longe majorem in- ef$e ela$ticitatem partibus accen$is, quam quæ experimenti calculo _art_. (X.) determinata fuit, forta$$e decies aut centies major e$t.
At vero $it tantum talis, quam experimentum o$tendit, ela$ticitate
Quæ$tio interim jamdudum e$t agitata, an aura ela$tica factitia, quæ ex corporibus deducitur, aër $it ordinarius nec ne, quam ego quæ$tionem non decidam.
Si tamen ponatur, pulverem pyrium aërem e$$e naturali millies den- $iorem & decies millies magis ela$ticum, tum ex _§_. 4. $equetur, aërem vi infi- nita compre$$um non po$$e pluribus quam 1331. vicibus conden$ari & $ecun- dum eandem regulam foret aëris naturali quadruplo den$ioris ela$ticitas ad ela- $ticitatem aëris naturalis ut 4 {1/4} ad 1.
An vero experimenta ab aliis in$tituta, quæ harum ela$ticitatum ratio- nem faciunt accurate ut 4 ad 1 $ufficiente accuratione facta fuerint & an calor aëris dum comprimebatur idem perman$erit? ne$cio. Vero$imile autem e$t. eandem auram quæ in poris pulveris pyrii latet, cau$am e$$e ela$ticitatis cor- porum ela$ticorum aut villorum contractilium: dum enim in cavernulis $catet, $i corpora in figuram in$olitam vi quadam redigantur, comprimitur aura ela- $tica, cavernuli$que dum reddit figuram capaci$$imam corpus re$tituit in pri- $tinam figuram & longitudinem.
EX eo tempore quo Keplerus & Carte$ius vortices adhibuere pro variis naturæ phænomenis explicandis, multi operam $uam haud male $e collocaturos rati $ollicite i$tud argumentum ruminati $unt: primus autem, ni fallor, naturam ejus recte penetravit Huge- nius in _tract. $ur la pe$anteur_; $uperaddam quædam, quæ ad in- $titutum meum pertinent, ab aliis forta$$e non $atis examinata.
Poni autem $olent vortices ad $tatum _permanentiæ_ $eu durationis redu- cti, ita ut nulli mutationi $ubjectum lege con$tanter eadem moveatur flui- dum.
§. 2. Sit cylindrus A B C D (Fig. 65. & 66.) verticaliter po$itus, cujus
Ducantur _g a_ & _f n_ infinite propinquæ & horizontales, agaturque _a m_ verticalis: Sit O _g_ = _x_, _gf_ $eu _am_ = _dx_, _ga_ = _y_, _mn_ = _dy_: Patet autem quamlibet guttulam in $uperficie po$itam ni$u $uo, ex vi centri$uga horizontali & vi gravitatis verticali, compo$ito perpendiculariter $uperficiei in$i$tere, quia $i oblique contranitatur nihil $it, quod guttulam in loco $uo con$ervet.
Igitur $i vis centrifuga guttulæ in _a_ po$itæ exprimatur per horizontalem
Demon$travit autem Hugenius vim centrifugam corporis in gyrum acti celeritate, quam lap$u libero per altitudinem dimidii radii acquirere po$$it, æqua- lem e$$e vi $uæ gravitatis: quod $i proinde altitudo re$pondens guttulæ veloci- tati gyratoriæ dicatur V; vis gravitalis _g_: erit vis centrifuga = {2_gV_/_y_}, unde _dx_: _dy_ = {2_gV_/_y_}: _g_, vel _dx_ = {2_Vdy_/_y_}.
§. 3. Si ponatur V = {1/2} _y_, fiet _x_ = _y_ & proinde linea E O erit recta con$tituens cum axe G H angulum $emirectum habebitque cavitas for- mam coni: Si vero $ervata eadem proportione velocitatum, quæ nempe $int ubique radicibus di$tantiarum ab axe proportionales, aquæ celerius tardiu$ve circumagantur, fiet angulus E O G eo acutior, quo celerius moventur, ita ut $i infinita fuerit velocitas, tunc aquæ perpendiculariter fundo in$i$tere debeant in$tar muri, cavitatemque cylindricam interius formare, $i modo operculum $it in A D, quod impediat, quominus aquæ omnes ejiciantur.
§. 4. Si ponatur paullo generalius 2 V = _fy_<_>e, fiet _dx_ = _fy_<_>e - 1 _dy_ vel _x_ = {_f_/_e_}_y<_>e_: Hinc $equitur curvam $emper fore ver$us axem conca- vam, ut in figura 65, $i $it _e_ major unitate atque convexam, ut in fig. 66. $i $it minor. In priori cafu e$t angulus E O G $emper rectus, in altero $emper nul- lus: in $olo ca$u quo _e_ = 1 pote$t angulus i$te e$$e quali$cunque.
§. 5. In$ervire po$$unt hæc ad digno$cendam quodammodo $calam velocitatum in vortice artificio$e producto: $i enim $uperficiem videas conca- vam, recte judicabis velocitates majori cre$cre ratione, quam di$tantiæ ab axe cre$cant, $i convexam contrarium deduces. Si curva non videatur ad parabo- licum genus pertinere, indicium erit velocitates non po$$e comparari cum di- $tantiarum determinata aliqua potentia. Quo major ob$ervata fuerit linea E M terminata ab horizontali O M, eo major putabitur velocitas particularum ab- $oluta $eu littera _f_.
_§_. 6. Exi$timo autem non po$$e vorticem in $tatu $uo per tempus aliquod notabile permanere, $i vires centrifugæ partium æqualium in fluido homoge- neo cre$cant ab axe ver$us peripheriam: hoc enim $i e$$et, cum nihil $it, quod partium axi viciniorum vim centrifugam $ufficienter coërceat, fieret utique, ut partes illæ viciniores perpetuo ab ax@ recederent, remotioresque ad illum propellerent, neque unquam in hoc $tatu æquilibrium aut $tatus durationis obtineri po$$et. Apparet inde quantitatem hanc {2_gV_/_y_} (quæ nempe in fluidis homogeneis vim centrifugam partium æqualium exprimit) aut una cre$cere cum γ aut $altem non decre$cere, atque $ic $i rur$us ad $pecialem hypothe$in antea factam (2V = _fy<_>e_) de$cendamus, non poterit _e_ e$$e minor unitate. Igi- tur in omnibus vorticibus, de quibus hic $ermo e$t, ad $tatum durationis re- ductis, $uperficies nunquam convexa erit, ut in figura 66, $ed $emper aut con- cava, ut in figura 65. aut conica: & quia _e_ vel major e$t unitate vel eidem æqua- lis, aliter fieri non pote$t, quin velocitates aut æquali aut majori ratione cre- $cant cum radicibus di$tantiarum ab axe. Hæc cum ita mecum perpendo, non intelligo quemadmodum Newtonus fingere $ibi potuerit duos vortices fluidi ubique homogenei ad $tatum perpetuæ durationis reductos, in quorum altero _tempora periodica partium $int ut earum di$tantiæ ab axe cylindri, in altero au-_ _tem ut quadrata di$tantiarum à centro $phæræ_: Nam in horum vorticum altero velocitates ubique e$$ent æquales, & in altero plane decre$cerent ab axe ver- $us peripheriam.
Magis vero$imile e$t, in pleri$que vorticibus, qui $tatum perduratio- nis jam attigerint, fluidi $ive homogenei $ive heterogenei partium $ingularum tempora periodica eadem fore, qua$i totus cylindrus $olidus fuerit, partes au- tem quæ $int $pecifice graviores circumferentiæ, viciniores futuras e$$e. In hoc ca$u fit _v_ proportionale ip$i _y_ & V proportionale ejusdem quadrato, curvaque E O F erit parabola Apolloniana, cujus vertex in O & cujus axis $it O G.
Præ$ertim hæc ita proxime fore præ$umo, $i vortex generetur à rota- tione va$is cylindrici circa axem H G, vel etiam ab agitatione uniformi baculi juxta latera va$is, cuju$modi vorticum phænomena expo$uit _D. Saulmon i@_ _Comm. Acad. Reg. $c. Pari$. a._ 1716.
§. 7. Pre$$iones quas diver$æ cylindri A B C D partes à fluido $u$tinent,
§. 8. Videamus nunc quid accidere debeat corporibus vortici inna- tantibus; ut autem quæ$tio eo di$tinctior atque $implicior fiat, corporis loco con$iderabimus globulum parvum ejusdem cum fluido vortico$o gravitatis $pe- cificæ.
Globulus talis fluido commi$$us duabus $tatim potentiis $ollicitatur, altera tangentiali ab impetu fluidi ortum trahente, altera centripeta, quæ à vi fluidi centrifuga na$citur. I$tæ vires con$tantem $ervant inter $e rationem, quadratam nempe velocitatis fluidi _re$pectivæ_; $ive quie$cat corpus $ive motu circulari feratur.
Notari autem meretur ab iis, qui in explicandis gravitatis phænomenis, adhærent principiis Carte$ianis, vim tangentialem e$$e incomparabiliter majo- rem vi centripeta: e$t enim illa ad hanc, ut di$tantia corporis ab axe vorticis ad octo tertias partes diametri globi; demon$trationem videre e$t in _Comment._ _Acad, Petrop. tom. II. p._ 318. & 319.
§. 9. Quamvis $ciam multa à variis allegata fui$$e, ut o$tenderent, ma-
teriam $ubtilem celerrime in vorticem actam corpora quidem ver$us axem de-
trudere po$$e neque tamen inde $equi, ut $imul à vortice deferantur i$ta corpo-
§. 10. Altera accedit difficultas, quominus po$$it corporum gravitas peti ex effectu duorum vorticum contrariorum $uper eodem axe motorum. Ita enim corpora non ver$us punctum commune aut qua$i punctum $ed ver$us axem gravitarent, motuque ad eundem perpendiculari laberentur, quod cum de$cen$u corporum verticali & rotunditate vel qua$i rotunditate terræ corpo- rumque cœle$tium pugnat.
Huic alteri quoque difficultati occurretur, $i fingantur duo axes ad $e invicem perpendiculares aut proxime tales, circa quorum utrumque duo vor- tices contrarii æqualis virtutis circumagantur. Namque vis compo$ita omn<007>um vorticum ita intelligi pote$t comparata, ut corpus detrudat proxime ver$us pun- ctum, quo ambo axes $e invicem inter$ecant; $emper tamen foret terra ali- quantum compre$$a ver$us planum per ambos axes tran$iens. Poterit autem vel huic incommodo, $i modo incommodum $it, obviam iri, multiplicando ad- modum vorticum numerum: nam $i vel infiniti fere $tatuantur vortices, pote- runt omnes eadem facilitate $e trajicere, ac radii luminis, qui $e minime im- pediunt.
Volui i$ta hic adjicere in gratiam eorum, qui vorticibus delectantur, ut videant, an motus i$te facilius concipi po$$it eo, quem Hugenius finxit: utroque enim phænomena naturæ æqualiter explicari po$$unt. Hanc $enten- tiam paullo accuratius expo$ui in di$$ertatione, quam Academia Reg. Sc. Pari$. præmio a. 1734. affectam imprimi curavit.
§. 11. Quia dubitari nequit, quin omnes planetæ ver$us $olem & $atellites ver- $us $uos planetas ad mentem Newtoni _gravitent_, hujusque gravitatis cau$a affinis $it cum illa qua corpora terre$tria ver$us centrum terræ tendunt, erit vorticum hypothe$is ad totum $y$tema mundi extendenda, $i pro gravitate corporum terre$trium explicanda adhibeatur. Ita vero planetæ, materiæ $ubtili innatan- tes, moverentur in medio re$i$tente, paulatimque de motu $uo aliquid per- dentes ad centrum $olis accedere $ub forma $piralis deberent: hoc vero cum ex antiqui$$imis ob$ervationibus non appareat, po$tulat vorticum hypothe$is, ut fluidum vortico$um ponatur $upra modum rarum atque $ubtile idque veloci- tate, quam mens humana vix a$$equi po$$it, motum: quo enim rarius flui- dum, eo celerius motum fingas nece$$e e$t. Forta$$e oportunius motuum perennitas explicabitur à communicatione quadam motus reciproca, ita ut quas modo corpus cœle$te propul$it particulas, ab his alio tempore vi $imili propellatur.
§. 12. Venio jam ad reliquas corporum gravitantium proprietates, quæ ex hypothe$i vorticum $equuntur. Ponamus itaque corpus in fluido vortico- $o quie$cens, quod nullas fluidi particulas per poros $uos tran$mittat: ita ten- det corpus ver$us centrum vorticis, eritque vis ejus centripeta præci$e æqua- lis vi centrifugæ fluidi vortico$i, quod $ub $imili volumine in eadem à centro di$tantia po$itum $it. Ergo corpora quæcunque in $imili vorticis loco con$titu- ta eandem habent vim centripetam $i idem habeant volumen, etiam$i quanti- tates materiæ in uno quoque corpore $int utcunque inæquales, & $i hujusmo- di corpora libere ver$us centrum vorticis moveri po$$int, ferentur velocitati- bus inæqualibus reciproce $cilicet proportionalibus quantitatum materiæ ra- dicibus quadratis, $i $patia emen$a $int æqualia.
§. 13. Quæ in præcedente paragrapho monita $unt, facile applicantur
gravitati corporum, $i modo principium gravitatis $it vis centrifuga alicujus
materiæ $ubtilis celerrime in vorticem actæ. Quia vero experientia docet om-
nia corpora terre$tria in vacuo $imili de$cendere velocitate omniaque corpora
è filo $u$pen$a æquali vibrationes facere tautochronas, inde concludemus, _par-_
_ticulas ultimas graves_, per quas nempe fluidum gravificum penetrare nequeat,
in omnibus corporibus terre$tribus e$$e æqualis den$itatis $pecificæ, id e$t, $ub
æqualibus voluminibus æquales _materiæ $olidæ_ quantitates continere, idque non
minus in _particulis gravibus_, quæ aurum quam quæ plumas componunt. Ne
§. 14. Sunt igitur _particulæ graves_ proprie $ic dictæ illæ, quæ impene- trabiles $unt materiæ $ubtili vortico$æ: huju$modi enim particulæ idem faciunt, quod corpora in vortice po$ita, de quibus §. 12. diximus: quamvis autem impenetrabiles $int materiæ $ubtili modo dictæ, non crediderim tamen illas perfecte $olidas, quales Hugenius præ$um$i$$e videtur _in tract. $uo de gravitate_, id e$t tales quorum $patium totum materia repletum $it $ine poris aut fluido interfluo: exi$timo potius has _particulas graves_ $uos rur$us habere poros, at- que in illis fluidum aliud e$$e longum $ubtilius, quod particulas graves ea- dem libertate trajicit, qua fluidum gravificum fluit per corpora $en$ibilia: re- $iduum vero quod in _particulis gravibus_ $ibi cohæret voco _materiam $olidam_ ad particulas easdem pertinentem.
§. 15. Per$picuum ex his e$t, diver$as corporum gravitates $pecificas minime petendas e$$e ex diver$a den$itate _particularum gravium_, $ed ex eo, quod hæ particulæ po$$int e$$e in diver$is corporibus $ub eodem volumine nu- mero inæquales, aut etiam magnitudine, $ic ut in corporibus compactiori- bus majorisve gravitatis $pecificæ _particulæ graves_, vel minoribus inter$titiis po$itæ vel volumine majores $int.
Et$i vero diver$as den$itates $pecificas habui$$ent _particulæ graves_ in diver- $is corporibus, non propterea diver$as habitura fui$$ent gravitates $pecificas corpora cæteris po$itis paribus: talia autem corpora ex alto delap$a diver$a in- ter $e velocitate fui$$ent de$cen$ura ver$us centrum terræ: Fieri itaque potui$- $et, ut corpora æqualis gravitatis $pecificæ, vel in vacuo communiter ita di- cto inæquali velocitate de$cendi$$ent non minus atque corpora videmus diver- $æ gravitatis $pecificæ æquali velocitate de$cendentia: In huju$modi autem cor- poribus leges motuum longe aliæ forent, atque nunc $unt, ubi maf$æ ex $o- lis ponderibus æ$timantur.
_§_. 16. Cæterum quia omnia, quantum experientia con$tat, corpora
terre$tria habent $uas _particulas graves_ æqualis den$itatis $pecificæ, ut §. 13. mo-
nitum fuit, facile quidem inducar, ut credam idem in omnibus planetis fieri
$eor$im con$ideratis: Planetas vero inter $e comparatos _particulas_ $uas _graves_ di-
_§_. 17. Planetarum vires centrifugæ æquales utique $unt viribus contra- riis quibus ver$us $olem trahuntur: Quia autem, ut dixi in $uperiori paragra- pho, nondum certum e$t, in quanam ratione re$pectu di$tantiarum à $ole vi- res planetarum centrifugæ mutentur, ideo neque de eorum viribus gravitatis ver$us $olem aliquid certi $tatuere licet; Et plurima quidem $unt in vorticum hypothe$i, quæ vires gravitatis in diver$is di$tantiis con$tituunt & determinant.
Cum enim vis gravitatis $it æqualis vi centrifugæ materiæ $ubtilis, quæ particulas corporis graves penetrare nequit, $equitur eo majorem e$$e vim gra- vitatis, quo majori materiæ $ubtilis quantitati tran$itus negatur; quia vero $ci- mus corpus $æpe fluido uni impenetrabile e$$e, quod alii fluido $ubtiliori li- berrimum concedit transfluxum, fieri pote$t, $i modo materiam vortico$am in diver$is à centro vorticis di$tantiis inæqualiter $ubtilem putemus, ut unus idemque planeta in inæqualibus à $ole di$tantiis inæqualiter ad $olem pellatur, quod idem facilius contingere pote$t @in diver$is planetis, quia accedit diver$a quæ e$$e pote$t particularum gravium, $tructura.
Præter hæc $unt etiam diver$a materiæ vortico$æ den$itas, velocitas di- ftantiaque à centro, quæ concurrunt ad vim gravitatis formandam. Si vero eorum ratio habeatur, apparebit po$$e quidem vires gravitatis decre$cere cre$centibus di$tantiis à centro virium, neque tamen propterea vires centrifugas æqualium materiæ vortico$æ voluminum pariter decre$cere, quod po$terius ob rationem §. 6. expo$itam fieri non po$$e exi$timo.
l$ta vero quæ generaliter & obiter di$putavimus de natura vorticum eo-
rumque ad Phænomena gravitatis applicatione, $ufficiant: animus non fuit
Venio jam ad alteram $ectionis partem, qua breviter con$iderabimus $tatum fluidorum, quæ intra va$a mota continentur: Argumentum e$t fertili$- $imum infiniti$que modis variabile: Sed pauca attingemus, ceu exempla, ad quæ multa alia revocari poterunt.
§. 18. Si aqua in va$e perforato contineatur ip$umque vas libere ca- dat, ex $e patet, nihil aquæ durante va$is lap$u e$$e effluxurum, quia nem- pe particulæ $uperiores non gravitant in inferiores: Si vas motu quidem acce- lerato de$cendat $ed tardiore quam quo corpora naturaliter in vacuo accele- rantur, effluet aqua, $ed minori velocitate ac $i vas quiescat: Contrarium erit, $i vas motu accelerato $ur$um trahatur: Denique $i vas horizontaliter accele- rato motu feratur (jam enim ad reliquas non attendemus directiones) fieri po- te$t, ut velocitas aquæ effluentis major $it vel minor velocitate ordinaria pro ratione $itus foraminis: Velocitates autem aquæ $ic determinabuntur.
_§_. 19. Sit v. gr. cylindus A C D B (Fig. 67.) aqua plenus usque in A B,
Igitur $i P = _o_, nulla effluet aqua, cadente va$e motu naturaliter acce- lerato: $i P = _p_, effluet aqua, velocitate ordinaria, quia tunc vas quie$cit; atque $i P = ∞, erit velocitas aquæ effluentis ad velocitatem ordinariam ut √ 2 ad 1.
§. 20. Quæritur nunc quid accidere debeat fluido, quod in va$e con- tinetur, cui motus horizontalis uniformiter acceleratus imprimitur. Id vero facillimum e$t videre ex hoc $olo, quod nunc inertia particularum ceu dire- ctioni, $ub qua vas movetur, contraria $it horizontalis, dum gravitatis ea- rundem e$t verticalis: Utraque vero manet con$tanter eadem.
Igitur po$tquam fluidum ad $tatum durationis $eu _permanentiæ_ perve- nit, $uperficies ejus plana erit, $ed inclinata ver$us plagam motus. Angulus autem inclinationis determinabitur ut $equitur.
Sit vas cylindricum A C D L (Fig. 68.) verticaliter po$itum, quod $u-
Hinc etiam intelligitur fundum C D majorem ab incumbente aqua
pre$$ionem pati in C quam in D, idque in ratione altitudinum A C & B D:
$ique idem fundum perforetur minimo foraminulo, aquam ejectum iri velo-
citate, quæ re$pondeat altitudini columnæ verticalis $uperincumbentis. Ita
vero erit, po$tquam omnia jam ad $tatum _permanentiæ_ pervenerint; $i pon-
dus P veriabile $it, nunquam in eodem $itu permanebit $uperficies A B: à
pondere autem i$to pendet velocitas, qua vas movetur in $ingulis locis. Igi-
tur $i totum pondus auferatur, po$tquam vas jam motum acqui$iverit, per-
§. 21. Quod in præcedente paragrapho monuimus de va$e cylindrico
verticaliter po$ito facile extenditur ad vas cujuscunque figuræ: qualis enim
e$t inclinatio $uperficiei aqueæ A B ad horizontem in va$e cylindrivo, talis
erit in omnibus reliquis va$is: pre$$io autem aquæ in latera va$is ubique de-
finietur, $i columna concipiatur verticalis ab eo puncto, pro quo pre$$io
aquæ definienda e$t, usque ad $uperficiem aquæ, quæ cogitatione producen-
da erit, $i id opus fuerit. Si loco va$is $umatur v. gr. tubus ab utraque par-
te inflexus, veluti A C D L (Fig. 69.) isque moveatur in directione C D,
In figura autem 69. erit linea M A eo major, quo longius e$t crus ho- rizontale C D: $ic ut minimæ accelerationes aut etiam retardationes ob$er- vari po$$int, quod $æpe aliis rebus in$ervire pote$t, veluti digno$cendis ac- celerationibus navium, ni$ibusque quos exercent $ingulis remorum $ub- mer$ionibus remiges; in his tamen ca$ibus, quia non pote$t $tatus $uppo- ni durationis $eu _permanentiæ_, omnis fluidi motus, qui $ingulis vicibus re- plicatur, e$$et inquirendus.
Facit eadem hæc ratio, ut nondum liceat omnino ex præmi$$is deter- minare, quid fieri debeat cum va$a fluidum continentia percutiuntur.
Po$$unt autem regulæ percu$$ionum ex ordinariis legibus pre$$ionum de- duci, quandoquidem percu$$io nihil aliud $it, ni$i ingens pre$$io parum durans.
§. 22. Sit v. gr. tubus cylindricus horizontaliter $itus A B C D (Fig. 71.)
Nunc autem in fundo B A parvulum fingamus foramen _m_, $ed per id tamen aqua liberrime fluere putetur; ita intelligimus, particulam aquæ per foraminulum _m_ ejectum iri durante impul$u; neque tamen quantitas i$tius aquæ determinari poterit; pendet enim à rigiditate materiæ A P impul$um recipientis: $i nempe materia i$ta rigidi$$ima $it, fortior pre$$io $ub$tituenda e$t impetui, $ed minus durans; con$ideretur v. gr. idem impetus in duobus diver$is ca$ibus: $it autem in uno pre$$io quadrupla, in altero duratio pre$- $ionis quadrupla, quod fieri pote$t cum materia rigidior e$t in ca$u priori quam po$teriori: ita effluet in impul$u pre$$ionis minoris magisque durantis dupla circiter quantitas quam in altero. Po$$unt hoc modo rigiditates ma- teriarum explorari: $ed po$$unt etiam ex $ono.
INter eos, qui pre$$ionis fluidorum intra va$a $ub$i$tentium men- $uras dederunt, pauci regulas Hydro$taticæ vulgares, quas in _$ectione $ecunda_ demon$travimus, transgre$$i $unt: multa tamen alia $unt, quæ ad Hydro$taticam proprie $ic dictam pertinent, veluti cum actioni gravitatis vis centrifuga conjuncta e$t, aut vis inertiæ, quod utrumque in præcedente $ectione commentati $umus: po$$entque hu- jusmodi vires mortuæ excogitari & combinari infinitis aliis modis. Non vero hæc $unt, quæ maxime de$ideranda mihi videntur: cum difficile non $it regulas ad id negotium dare generales. De$idero potius fluidorum $tati- cam, quæ intra va$a moventur motu progre$$ivo, veluti aquarum per cana- les ad fontes $alientes fluentium: multiplicis enim u$us e$t, nec ab ullo tra- ctata aut $i qui mentionem de illa feci$$e dici po$$unt, ab his minime rectè fuit explicata: qui enim de pre$$ione aquarum per aquæ ductus fluentium horumque requi$ita firmitate ad pre$$ionem illam $u$tinendam dixerunt, non alias, quam pro fluidis nullo motu latis leges tradiderunt.
§. 2. Singulare e$t in i$ta _hydraulico - $tatica_, quod ni$us aquarum
prius definiri non po$$it, quam motus recte fuerit cognitus, quæ ratio e$t,
quod tam diu latuit hæc doctrina; parum enim $olliciti hactenus fuerunt Au-
ctores in motu aquarum di$quirendo, & velocitates ubique fere ex $ola aquæ
altitudine æ$timarunt: quamvis autem $æpe motus tam cito ad hanc veloci-
tatem tendat, ut accelerationes $en$ibus plane di$tingui nequeant, & in in-
$tanti omnis motus generari videatur, intere$t tamen, ut hæ accelerationes
recte intelligantur, quia aliter pre$$iones aquarum fluentium definiri $æpe
non po$$unt, proptereaque exi$timavi, rem e$$e maximi momenti à motus
principio usque ad datum terminum mutationes illas utcunque _momentaneas_
§. 3. Si ubique motus definiri po$$et, facile foret $taticam in fluidis motis generali$$imam formare: $i enim foramen, $ed id infinite parvum fin- gas, eo ip$o in loco pro quo pre$$io aquarum de$ideratur, quæres primo quanta velocitate aquæ per illud foraminulum $int erupturæ & cui altitudini illa velocitas debeatur: intelligis autem huic ip$i altitudini proportionalem e$$e pre$$ionem, quam quæris.
Ex hoc principio petenda e$t pre$$io quam $u$tinet lamina horizonta- lis L Q in figura quadrage$ima tertia, $i perforata non fuerit: po$tquam enim demon$tratum à nobis fuit in corollario $ecundo paragraphi trige$imi primi Sectionis octavæ, $i foraminulum H infinite parvum fuerit ratione foraminum M & N: ratioque horum foraminum M & N indicetur per α & γ, fore altitu- dinem velocitati aquæ per H erumpentis debitam = {αα X _LB_ - γγ X _NQ_/αα + γγ}, inde judicabimus ni$um aquæ in laminam L Q non perforatam huic ip$i altitudini proportionalem e$$e: quod idem alio modo demon$tratum dedimus in para- grapho decimo nono citatæ Sectionis: Hinc $equitur fieri po$$e, ut lamina L Q nullam pre$$ionem patiatur, quantumvis magna $upra eam fuerit altitudo aquæ, $cilicet quando γ = α √ (L B: N Q), imo pre$$ionem in $uctionem mutari po$$e.
§. 4. Similiter obtinetur pre$$io aquæ in laminam L Q, $i vel hæc per- forata fuerit foramine finitæ ratione amborum reliquorum magnitudinis. Si enim foraminulo infinite parvo lamina præter illud, quod e$t in H, perforata fuerit, non pote$t non velocitate communi aqua per utrumque erumpere: Et cum hæc velocitas cognita $it (per _§_. 30. Sect. 8.) pro foramine H, habetur quoque velocitas, qua aqua per foraminulum, quod nempe concipimus, erumpere debeat, atque $ic pre$$ionem aquæ cogno$cimus. Fuerint v. gr. fora- mina M, H & N inter $e æqualia, altitudo autem B L habuerit ad altitudi- nem L Q rationem ut 10 ad 3, erit pre$$io in laminam L Q $ubdecupla illius, quæ e$t obturatis foraminibus H & N.
Denique $i in alio loco pre$$ionem aquæ de$ideres, addes $altem alti-
tudinem, qua lamina L Q $upra illum locum eminet, altitudini jactus per ori-
Hæc ita, cum velocitates fluidorum determinari po$$unt per methodos jam $uprà à nobis traditas. Singulari autem methodo res pertractanda e$t, cum aquæ per canales fluunt, hancque doctrinam poti$$imum titulo _hydraulico-$tati-_ _cæ_ intelligo: Hic non tam pre$$io ex velocitate quam reciproce velocitas, $i foraminulum in lateribus canalis fiat, ex pre$$ione definiri pote$t. Et de i$ta _hydraulico-statica_, cujus u$us ampli$$imus e$t, in præ$enti $ectione poti$$imum agere con$titui.
§. 5. Fuerit vas ampli$$imum A C E B (Fig. 72.) aqua con$tanter ple-
Sit altitudo $uperficiei aqueæ A B $upra orificium _o_ = _a_; erit velocitas
aquæ in _o_ effluentis, $i prima fluxus momenta excipias, uniformis cen$enda
& = √_a_, quia vas con$tanter plenum con$ervari a$$umimus; po$itaque ratio-
ne amplitudinum tubi ejusque foraminis = {_n_/1}, erit velocitas aquæ in tu-
bo = {√_a_/_n_}_:_ Si vero omne fundum F D abe$$et, foret velocitas ultima aquæ in
eodem tubo = √_a_, quæ major e$t quam _a_; Igitur aqua in tubo tendit ad ma-
jorem motum, ni$us autem ejus ab appo$ito fundo F D impeditur: Ab hoc
ni$u & reni$u comprimitur aqua, quæ ip$a compre$$io coërcetur à lateribus
tubi, hæcque proinde $imilem pre$$ionem $u$tinent. Apparet $ic pre$$ionem
Res igitur jam eo perducta e$t, ut $i durante fluxu aquæ per _o_, tubus E D in temporis puncto abrumpatur in _c d_, quæratur quantam acceleratio- nem guttula _a c b d_ inde $it perceptura: tantam enim pre$$ionem $entiet par- ticula _a c_ in lateribus tubi $umta à præterfluente aqua: Hunc in finem con- $iderandum e$t vas A B E _c d_ C, atque pro eo invenienda acceleratio particu- læ aqueæ effluxui proximæ, $i hæc habuerit velocitatem {√_a_/_n_}: I$tud nego- tium fecimus generali$$ime in _paragrapho tertio $ect. V_. Attamen quia in hoc ca$u particulari brevis e$t calculus, motum in va$e decurtato A B E _c d_ C hic iterum calculo $ubducemus.
Sit velocitas aquæ in tubo E_d_, quæ nunc ut variabilis con$ideranda e$t, = _v_: amplitudo tubi ut antea = _n_, longitudo E _c_ = _c_: indicetur longi- tudo _a c_ particulæ aqueæ infinite parvæ & effluxui proxime per _d x_: Erit guttula æqualis in E tubum ingre$$ura eodem temporis puncto quo altera _a c d b_ ejicitur: dum autem guttula in E, cujus ma$$a = _n d x_, tubum in- greditur acquirit velocitatem _v_, atque _vim vivam n v v d x_, quæ _vis viva_ tota fuit de novo generata; nullum enim, ob amplitudinem va$is A E infinitam, motum guttula in E habuit tubum nondum ingre$$a: huic _vi vivæ n v v d x_ addendum e$t incrementum _vis vivæ_, quod aqua in E_b_ accipit, dum gut- tula _a d_ effluit, nempe 2 _n c v d v_: aggregatum debetur _de$cen$ui actuali_ guttu- læ _n d x_ per altitudinem B E $eu _a_: habetur igitur _nvvdx_ + 2_ncvdv_ = _nadx_ $ive {_vdv_/_dx_} = {_a_ - _vv_/2_c_}.
In omni autem motu e$t incrementum velocitatis _d v_ proportionale pre$$ioni ductæ in tempu$culum quod hic e$t {_d x_/_v_}: igitur in no$tro ca$u e$t pre$$io, quam guttula _ad_ patitur, proportionalis quantitati {_vdv_/_dx_}, id e$t, quan- titati {_a_ - _vv_/2_c_}.
E$t vero in eo temporis puncto, quo tubus abrumpitur, _v_ = {√α/_n_}
vel _vv_ = {_a_/_un_}, hic igitur valor @$ub$tituendus e$t in expre$$ione {_a_ - _vv_/2_c_}, quæ
§. 6. Quia litera _c_ ex calculo abiit, $equitur omnes partes tubi, tam eæ quæ $unt va$i A G propiores, quam quæ remotiores, æqualiter ab aqua præterfluente premi, & quidem minus quam partes fundi C G: differen- tiamque eo majorem e$$e, quo majus $it foramen _o_: nullamque amplius pre$$ionem $u$tinere latera tubi, $i in hoc omnis obex F D ab$it, $ic ut ple- no orificio aquæ effluant.
§. 7. Si alicubi foraminulo minimo, & quidem tali ratione foraminis
_o_, perforetur tubus, exiliet aqua velocitate, qua ad altitudinem {_nna_ - _a_/_nn_} a$cen-
dere po$$it, $i modo impedimenta aliena nihil ob$tent: Erit nempe altitudo
jactus, in figura 73, $eu _ln_ = {_nna_ - _a_/_nn_}. Si vero tubulus ad$it verticalis, aut
etiam utcunque inclinatus _g m_, communicans cum tubo horizontali, $ed ita
tamen, ut extremitas tubuli in$erti non promineat intra cavitatem tubi hori-
zontalis, ne aqua præterfluens illidat in illam extremitatem, erit altitudo aquæ
§. 8. Poterit ergo hæc theoria experimento confirmari facillimo, eo majoris futuro momenti, quod nemo adhuc hujusmodi æquilibria, quorum u$us lati$$ime patet, definiverit: quod eadem methodo ni$us aquarum per ca- nales fluentium generali$$ime obtineri po$$it pro aquæ ductibus utcunque in- clinatis, incurvatis, amplitudinisque variatæ ac velocitate aquarum quali- cunque; tum etiam, quod non$olum hæcce pre$$ionum, $ed tota in$uper motuum theoria, quam $upra dedimus, hujusmodi experimentis confirme- tur, quia arguunt, recte à nobis definitas fui$$e accelerationes aquarum. Cu- randum autem e$t in experimento, ut tubus horizontalis $it interius bene politus, perfecte cylindricus atque horizontalis: $itque $atis amplus, ut ab adhæ$ione aquæ ad latera tubi notabile motus decrementum oriri non po$$it: vas ip$um $it ampli$$imum atque continue plenum con$ervetur. Ob$ervan- dum quoque e$t, quanta $it virtus tubulo vitreo _g m_ aquas $tagnantes elevan- di, quæ virtus omnibus tubis capillaribus aut admodum $trictis ine$t: hæc enim elevatio ab altitudine _g h_ e$t $ubtrahenda: aut potius a$$umendus e$t tu- bus æqualis cra$$itiei & obturato orificio _o_, notandum e$t punctum _m_, tum- que fluxu aquis conce$$o notandum quoque e$t punctum _h_: erit autem $e- cundum theoriam de$cen$us _m h_ = {1/_nn_} X _a_ = {1/_nn_} X E B.
Tandem etiam attendendum e$t ad venam aquæ in _o_ effluentis; hujus enim contractio etiam facit, ut aqua in tubo horizontali minori transfluat velocita- te, quam {√_a_/_n_}. De i$ta contractione eamque præveniendi modo egi in Sect. _IV_. His autem quamvis ita occurri po$$it incommodis, ut error $en$ibilis in ex- perimento $upere$$e nequeat, tamen $i majorem adhibere velimus accuratio- nem, experimento indaganda erit quantitas aquæ dato tempore effluentis, quæ cum amplitudine tubi comparata recti$$ime dabit velocitatem aquæ intra tubum fluentis, quam in calculo po$uimus = {√_a_/_n_}: Si vero experimento mi- nor inventa fuerit, talis nempe, quæ debeatur altitudini _b_, tunc erit proxi- me pre$$io aquæ præterfluentis = _a_ - _b_.
§. 9. Si orificium in _o_ prius digito obturetur, po$teaque fluxus aqui@ concedatur, mutatur à primo fluxus momento pre$$io _a_ in pre$$ionem {_nna_ - _a_/_nn_}: i$ta vero pre$$ionum mutatio non fit in in$tanti; imo $i accurate loquendum e$t, fit demum po$t tempus infinitum, quia, ut vidimus in $ectione quinta, omnis aquarum velocitas, quanta in calculo à nobis po$ita fuit integræ altitu- dini _a_ re$pondens, nunquam accurate ade$t: attamen incredibili acceleratio- ne $tatim po$t primas ejectas guttulas ad hanc velocitatem tendunt, ita ut totam, quantum $en$ibus dijudicari pote$t, $ine mora ulla $en$ibili acqui$ivi$$e videantur, ni$i prælongi $int aquæ ductus, tum enim aquarum acceleratio- nes oculis di$tincte dijudicari po$$unt, cujus rei exemplum dedi in Sect. _V_. §. 13. In his igitur canalibus aquas ex ca$tello longi$$ime $ito ad fontem $a- lientem ducentibus, $i pre$$iones alicubi experimento explorentur eo quo $u- pra dixi modo, invenietur pre$$ionem celeriter quidem, nec tamen in in- $tanti diminui, pre$$ionumque intervalla digno$cere licebit.
Ut vero generaliter ni$us aquarum definiatur, ponenda e$t, pro _v_ ea ve- locitas, quam aqua eo ip$o in loco temporisque puncto, quibus ni$us de$i- deratur, habet, $ique ea velocitas convenire intelligatur altitudini _b_, erit ni$us aquarum = _a_ - _b_. Unde collatis cum præ$entibus his quæ in $ectione quinta tradita fuerunt, definire licebit quanta $ingulis momentis pre$$io futura $it.
Ex his non ob$curum e$t prævidere leges huju$ce _hydraulico-$taticæ_, $i & figura va$is & aquarum per canales transfluentium velocitas pro lubitu fingan- tur quale$cunque. Erit nempe pre$$io aquarum con$tanter = _a_ - _b_, ubi per _a_ intelligitur altitudo debita velocitati, quacum aqua abrupto canali va$eque con$tanter pleno con$ervato po$t tempus infinitum effluxura $it, & per _b_ al- titudo debita velocitati, qua cum aqua actu transfluit. Mirum $ane e$t $im- plici$$imam hanc regulam, quam natura affectat, adhuc latere potui$$e. Ja@@ igitur illam demon$trabo expre$$ius.
§. 10. Invenire pre$$ionem aquæ, per canalem utcunque formatum at- que inclinatum, velocitate quacunque fluentis uniformi.
Sit canalis A C D (Fig. 74.) per cujus foramen _o_ transfluere ponantur
Fuerit nunc aquarum pre$$io definienda in C F (aut _c f_): huncque in finem putabimus rur$us abrumpi canalem in C E (aut _c e_) $ectione ad cana- lem perpendiculari examinaturi, quamnam accelerationem retardationemve guttula C E G F (vel _c e g f_) po$t primum rupturæ momentum receptura $it: quâ de cau$a generaliter motum _momentaneum_ per vas decurtatum N M E C A Q P (vel N M _c e_ A Q P) definiendum habemus. Sitigitur velocitas guttulæ in- finite parvæ CEGF ($eu _c e g f_) ip$o decurtationis puncto = _v_: ma$$a ejus = _dx_: erit _vis viva_ aquæ in va$e decurtato motæ proportionalis quantitati _v v_, eamque proinde faciemus = α _v v_, intelligendo per litteram _a_ quantita- tem quamcunque con$tantem, quæ pendet ab amplitudinibus canalis abrupti; præci$a autem ejus determinatio hic non requiritur. Notetur _vim vivam_ aquæ in va$e ficto N M QP negligi ob infinitam ejus amplitudinem: nulla tamen $i vel infinitæ non e$$et amplitudinis inde in calculo oritura fui$$et variatio. Ha. bemus jam incrementum _vis vivæ_ aquæ in va$e decurtato motæ = 2_avdv_, cui $i addatur _vis viva_ $imul genita in guttula ejecta, oritur 2_avdv_ + _vvdx_, quod e$t incrementum _vis vivæ_ totale, debitum _de$cen$ui actuali_ guttulæ _dx_ per alti- tudinem verticalem aquæ $upra punctum C (vel _c_,) quam de$ignabimus per _a_: hinc igitur i$tud incrementum _vis vivæ_ totale faciendum e$t æquale _adx_, $ic ut $it 2_avdv_ + _vvdx_ = _adx_ vel {_vdv_/_dx_} = {_a_ - _vv_/2_a_}.
Reliqua $i fiant, ut in paragrapho quinto & ponatur velocitas _v_ talis
quæ debeatur altitudini _b_, invenietur pre$$ionem aquæ in C F (aut _cf_) tantam
§. 11. Cùm _b_ major e$t quam _a_, fit quantitas _a_ - _b_ negativa atque $ic pre$$io in $uctionem mutatur, id e$t, latera canalis intror$um premuntur: tunc autem res ita con$ideranda e$t, ac $i loco columnæ aqueæ CT $uperincumben- tis & in æquilibrio po$itæ cum aqua præterfluente, $it columna aquea appen- $a _e t_, cujus ni$us de$cendendi impediatur ab attractione aquæ præterfluentis: veluti $i v. gr. amplitudo canalis _c e_ æqualis $it orificio _o_, tunc erit _b_ = _o_ S, nul- la habita ratione motus impedimentorum _accidentalium_: hinc $i tubulus ex ca- nali de$cendat _c r_, hicque $it aqua plenus à $ua origine _c_ u$que in punctum _t_ cum orificio _o_ ad libellam po$itum, manebit aqua _c t_ $u$pen$a $ine motu: $i verò punctum _t_ infra _o_ po$itum $it, de$cendet aqua per tubulum _cr_, & effluet perpe- tuo in _r_, neque tamen ut facile quis exi$timare potui$$et nondum hâc vi$a theo- ria, velocitas aquæ in _r_ effluentis talis erit, quæ debeatur altitudini N P $u- pra _r_, etiam$i omnia impedimen@a auferantur, re$pondebit potius hæc velo- citas, $i modo tubulus admodum $trictus $it ratione canalis, altitudini _t r_. Si punctum _t_ altius po$itum $it puncto _o_, aqua $ua $ponte a$cendet & cum omnis canalem ingre$$a erit, aër per tubulum attrahetur, moxque vena aquea in _o_ effluens ab admixto aëre turbabitur pelluciditate atque $oliditate orbata. Ap- paret igitur, quando pre$$io futura $it affirmativa & quando negativa: nempe eo major e$t in tubo pre$$io, quo amplior e$t & quo humilius po$itus: Al- titudo _b_ e$t quidem in theoria = {1/_nn_} X _o_S, $i {1/_n_} denotet rationem inter am- plitudinem orificii & ejus tubi $ectionis, pro qua pre$$io e$t definienda. Cum vero ob$tacula notabiliter diminuunt motum, conveniet potius in æ$timandis pre$- $ionibus, ut'velocitas aquæ, qualis actu e$t, experimento cogno$catur & alti- tudo illi velocitati debita pro _b_ $ub$tituatur: $imiliter accuratius æ$timabitur pre$$io, $i pro _a_ non tam ponatur altitudo $uperficiei aqueæ N P $upra effluxus locum, quam altitudo velocitatis, quacum aquæ actu effluant ex canali eodem in loco abrupto: Hæ tamen correctiones non $emper locum habent: I$tam vero theoriam generalem jam exemplis quibu$dam illu$trabo.
§. 12. Sit vas A B F G (Fig. 75.) ex cujus fundi medio de$cendit tubus
Sit autem altitudo $uperficiei aqueæ $upra orificium E = _a_, & $upra D (qui locus e$t pro quo pre$$io aquæ quæritur) = _c_: amplitudo orificii in E = _m_; & amplitudo $eu $ectio horizontalis in D = _n_. Erit pre$$io aquæ in D = _c_ - {_mm_/_nn_} _a_, quæ quantitas vi hypothe$ium e$t negativa, $ic ut latera canalis intror$um premantur à columna aquea altitudinis {_mm_/_nn_} _a_ - _c_.
Igitur $i concipiatur tubus incurvus D L N alteri D E in$ertus, erit aqua præterfluens in D in æquilibrio cum aqua D L N, quando altitudo D $upra N e$t = {_mm_/_nn_} _a_ - _c_. Si altitudo hæc minor e$t, $ua $ponte aqua a$cendet nec a$- cendere de$inet, quamdiu aquis orificium N $ubmer$um e$t, ita ut $ic aquæ ex loco humiliori in $ublimiorem $ine ulla vi externa elevari po$$int, $i in A G aquæ $ufficiente copia affluant. At vero cum altitudo verticalis D $upra N ma- jor e$t quam {_mm_/_nn_} _a_ - _c_, a$cendet aqua in crure L N, donec illi fuerit æqualis.
Cæterum hic in memoriam revocandum e$t, quod pa$$im monui ex- perientiam docere, nempe multum abe$$e quominus aquæ per tubos à va$e, cui implantati $unt, divergentes tota $ua velocitate, quam vi theoriæ obtinere deberent, effluant; cujus rei rationes indicavi _paragrapho_ 26. _Sect_. 3.
Fit inde ut altitudo D $upra N admodum minor $it, quam vi theoriæ expo$ita e$$e deberet: Error corrigetur $i loco {_mm_/_nn_} _a_ ponatur altitudo velo- citatis, quam aqua in D habet; quæ altitudo per experimentum de quantitate aquæ dato tempore effluentis $umtum obtinetur.
§. 13. Si $imili va$i appen$us $it tubus verticalis, qualis repræ$entatur
in Fig. 76. per C E, in quo amplitudines ubique rationem habeant inver$am
Sequitur inde figuram naturalem fili aquei verticalis, quamdiu hoc'con- tiguum e$t, eandem e$$e, quæ tubi C F E, quod & ratio & experientia con- firmat: filum autem eo citius attenuabitur quo minor e$t altitudo $uperficiei aqueæ $upra orificium C, $eu quo tardius effluunt aquæ: apparet filum aqueum ejus e$$e indolis, ut eadem aquæ quantitas per $ingulas $ectiones transfluat, nec velocitas ullibi mutetur, ubicunque filum abrumpatur, quæ eadem proprietas etiam in tubum C F E cadit, adeo ut recti$$ime hæc inter $e conveniant.
§. 14. Devehantur aquæ e ca$tello per canalem, in cujus fundum fo- ramen $it per quod aquæ veluti in fonte $aliente verticaliter exiliant, dico pre$- $ionem aquæ in $ingula canalis puncta ubique æqualem fore, $i amplitudines ejus $int re$pective ut √{_a_/_x_ - _b_}, ubi _a_ exprimit altitudinem aquæ in ca$tello $u- pra orificium effluxus; _x_ altitudinem eju$dem aquæ $upra locum ad libitum in canali $umtum & _b_ altitudinem arbitrariam con$tantem, & tunc fore ubique pre$$ionem aquæ fluentis ad pre$$ionem aquæ $tagnantis ut _b_ ad _a_. Quia vero cæ- teris paribus canales ampliores minus rupturæ re$i$tunt quam $trictiores, & id quidem in ratione radiorum $eu quia conatus aquæ ad canalem rumpendum cæ- teris paribus rationem $equitur $ubduplicatam amplitudinum, patet canalem idem rupturæ periculum in $ingulis locis $ubiturum e$$e, $i amplitudo (_y_) ratio- ne orificii aquas ejicientis (1) ubique $equatur legem hujus æquationis (_x_ - {_a_/_yy_}) √_y_ = _b_ vel _xxy_<_>4 - _bby_<_>3 - 2_axyy_ + _aa_ = _o_.
In canali per totum $uum tractum æquabilis amplitudinis aquarum ni$us ad rumpendum canalem ubique proportionalis erit firmitati canalis, $i cra$$ities laterum canalis rationem $equatur ut _x_ - {_a_/_mm_}, intellecta per _m_ amplitudine ca- nalis ratione orificii (1).
§ 15. Fieri pote$t, ut altitudo $uperficiei aqueæ ratione loci, pro quo pre$$io indaganda e$t, $it negativa, veluti in $iphonibus recurvis aquas ex va$e uno in aliud humilius po$itum ducentibus: Tuncque pre$$io fit duplici titulo negativa, nempe = - _a_ - _b_, denotante _a_ altitudinem loci $upra $uperficiem aquæ & _b_ altitudinem velocitati aquæ in illo loco debitam.
I$ta vero $ufficient, ut puto, ad recte intelligendam fluidorum moto- rum $taticam: Venio jam ad alia quædam phænomena, quorum $olutio ab i$tis, quas dedimus modo, regulis pendet.
§. 16. In Sectione tertia §. 25. mentionem feci cohæ$ionis aquæ per tubos fluentis: veras autem i$tius cohæ$ionis men$uras ubique definire res e$t, quæ $ine i$ta præmi$$a _hydraulico-$tatica_ expediri nequit: neque enim altitudi- nes con$idera$$e verticales $upra orificium effluxus $ufficit, ut vulgo putatur, $ed oportet etiam no$$e velocitates aquis convenientes, hæque cogno$cuntur ex amplitudinibus. Ut vero $tatim appareat lex generalis in definienda vi cohæ- $ionis $eu conatu, quo fluida ad mutuam $eparationem $olicitantur, dico il- lam vim cohæ$ionis æqualem e$$e vi, qua latera canalis intror$um premuntur, quam definivimus §. 10. Propo$itio hæc alia demon$tratione egere mihi non videtur; prouti enim compre$$io aquæ, $eu vis quâ ejus partes ad $e invicem comprimuntur, æqualis e$t $uperincumbenti columnæ aqueæ $tagnanti, ita vici$$im conatus fluida $eparandi æqualis cen$endus e$t appen$æ columnæ ver- ticali aqueæ $tagnanti, quæ cum aquis præterfluentibus in æquilibrio $it. Exem- plorum loco eadem accipiemus, quibus $upra pro indicandis aquarum pre$$io- nibus negativis u$i $umus.
(I) In Figura $eptuage$ima quinta §. 12. explicata, $i in tubulo D L N
altitudo D $upra N talis $it, ut aqua in eo $tagnans cum aquis in D præterflu-
entibus in æquilibrio $it, tanta debet e$$e vis cohæ$ionis in D, ne aqua ibi-
dem di$cerpatur, quantam habet pondus columnæ aqueæ $imilis ba$is & alti-
tudinis verticalis D N. Inde intelligitur quod dixi §. 25. Sect. 3. _po$$e longi-_
_tudinem tubi ita augeri, ut tandem aquæ de$inant e$$e continuæ in tubo, quin_
_poti{us} in column{as} dividantur, idque fieri in tub{is} cylindric{is} cum infra tri-_
(II.) Ex eadem ratione patet, $i tubi inferiora ver$us convergant, tunc illos majorem quam 32. _ped_. admittere de$cen$um: imo $ine fine tubum con- tinuari po$$e in ca$u Figuræ 76. _§_. 13. explicatæ, ut & infinitis aliis modis.
(III) Si vero altitudo $uperficiei aqueæ in ca$tello ratione loci propo- $iti negativa fuerit, veluti fit, cum aquæ trans montem vehendæ $unt, nun- quam poterit quomodocunque res in$tituatur, altitudo excedere triginta duos pedes, quod patet ex _§_ 15. Si enim aquæ vel plane infinitè parva transfluant velocitate, vis cohæ$ionis jam requiritur, quæ $it æqualis toti columnæ aqueæ, atque major vis requiritur, $i notabili velocitate transfluxerint. Hinc remedia ab aliquibus Scriptoribus allata vana puto: $cio quidem $ine alio artificio aquas $æpe $u$pen$as hærere ultra altitudinem 32. pedum, & Mercurium ultra 30. pollices; $ed is effectus incertus e$t nec $ibi con$tans. Quidam etiam affirmant fluxum aquarum per $iphones recurvos fieri in vacuo: an vero vacuum tale fuerit, ut ne $exage$ima quidem aëris pars in recipiente reman$erit, & num al- titudo tubi plus quam dimidio pede $uperficiem aquæ hauriendæ exce$$erit ignoro. Sic igitur, quæ de $ub$ecutura aquarum $olutione dixi, non aliter quam hypothetice dicta velim con$iderentur. Sufficiet quod accurate determi- naverim quanta vi aquæ ad $eparationem mutuam urgeantur.
§. 17. Sunt porro alia naturæ phænomena, quorum vera explicatio ab i$ta theoria _hydraulico-$tatica_ pendet: veluti quod fumus per caminum a$- cendens aërem per foramen in camino factum magno po$t $e trahat impe u: quod ventus ex loco angu$tiori in apertiorem flans aliquid de $ua ela$ticitate perdat, prouti id colligitur ex eo, quod fene$træ apertæ ab aëre, è camera egre$$um ob majorem $uam ela$ticitatem, tentante claudantur; & hujusmodi alia, quæ examinare $ingula non licet.
Po$$unt fluidorum motorum pre$$iones quidem infinitis variari modis;
puto tamen omnia ad principia no$tra reduci po$$e: duas i$tius theoriæ exami-
§. 18. Putemus in va$e, quod figura 72. $i$tit, tubum horizontalem non$olum in extremitate, $ed & in $ua in$ertione E G laminam habere in pla- no verticali in medio perforatam, manentibus cæteris po$itionibus _§_ 5. in- dicatis: aliam patientur pre$$ionem latera tubi E D à transfluente aquâ, quam nulla appo$ita lamina E G & quidem minorem, quamvis minori velocitate transfluant. Ut pre$$io hæc accurate definiatur, via calcanda e$t eadem, quæ in citato paragrapho quinto: nempe ante omnia quærenda e$t velocitas, quâ aquæ in tubo E D transfluunt, po$tquam hæc jam uniformis facta e$t. Deinde etiam inquirendum e$t in valorem {_vdv_/_dx_}, $i tubus alicubi abrumpi ponatur.
Quomodo autem hoc inveniri po$$it, res e$t quæ poti$$imum pertinet ad $ectionem octavam, adhibitis $imul cautelis §. 14. _$ectionis $eptimæ_: In $e- ctione octava generaliter o$tenditur motus fluidorum per plura foramina transfluentium & in §. 14. _$ect_. 7. in $pecie mon$tratur, quomodo æ$timan- dus $it _a$cen$us potentialis_, qui in guttulis generatur, quando hæ per foramen, non in aquam veluti $tagnantem, $ed in aquam motu, qui negligi nequit, latam influit.
Si recte indicatis hi$ce in$i$tas ve$tigiis, reperies velocitatem, quacum aqua uniformiter per tubum E D transfluit, convenire huic altitudini {_mmppa_/_mmnn_ + _nnpp_ - _mmpp_}, ubi per _m, p_, & _n_ indicantur _re$pective_ amplitudines foraminum in laminis E G & F D factorum ut & tubi E D: per _a_ autem intelligitur altitudo aquæ $upra tubum E D horizontaliter po$itum.
Si porro tubum abrumpi ponas in _cd_, guttulamque _ad_ velocitate mo-
veri _v_ $eu altitudinem huic velocitati debitam = _vv_, $imulque lo gitudi-
nem E _c_ indices per _c_, longitudinem minimam _ac_ per _dx_: æquationem in-
venies hanc
_§_. 19. Si amplitudo tubi _n_ e$t veluti infinita ratione amplitudinum in laminarum foraminibus, fit pre$$io = {_mma_/_mm_ + _pp_}: & tanta etiam e$t altitudo, ad quam aqua in _o_ effluens velocitate $ua a$cendere pote$t: id igitur con- forme cum _paragrapho quarto $ectionis octavæ_, quia figura va$is ceu ubique in- finitæ amplitudinis non differre facit velocitatem aquæ exilientis.
Cum nulla e$t lamina in F, fit _p_ = _n_, totaque pre$$io evane$cit. No- tari id meretur, quia rationem o$tendit, cur in tubis divergentibus $uctio tanta non $it, quanta vi hypothe$eos, qua omnis _vis viva_ con$ervari ponitur, e$$e deberet: In præ$enti enim ca$u rationem habuimus illius _vis vivæ_, quæ continue ab$umitur. Ita quoque nullam pre$$ionem patiuntur latera tubi, cum lamina quæ e$t in E G foramen veluti infinite minus, illo, quod e$t in F D, habet. Denique notari id quoque meretur, quod quamvis fluida per canales nullis laminis in$tructos mota generaliter affectent pre$$ionem, quæ re$pondeat differentiæ altitudinum illis velocitatibus debitarum, qua flui- dum effluat po$t tempus infinitum per canalem abruptum & qua actu transfluit per canalem non abruptum, hanc legem tamen in præ$enti ca$u minime valere, ad quod animum attendere velim hos, qui vi$a theoria no$tra _hydraulico-$tatica_, propo$itionem generalem §. 10. $ynthetice demon$trare volent. Erunt enim for- ta$$e, quibus res hæcita per $e obvia videbitur, ut vix demon$tranda $it: hos autem, $i qui futuri $int, ex fal$a quadam veri$imilitudine $ibimet imponere, o$ten- dunt hujus modi leges particulares, quæ in _hydraulico-$tatica_ occurrunt.
§. 20. E re erit de his quoque, quæ §. 18. dicta $unt, experimenta $umere, tum pro velocitate aquarum in _o_ effluentium, tum pro pre$$ione; inde enim præter pre$$ionum leges confirmabitur etiam illa accelerationum theoria, quæ obtinet, cum continue pars quædam _vis vivæ_ inutiliter ab$umitur, quod ar- gumentum in $ectione octava præ$ertim pertractavimus; In experimento au- tem $umendo evitentur, quantum fieri pote$t, impedimenta, quorum jam $æpe mentionem fecimus.
§. 21. Adjiciam hic quæ$tionem quæ quidem non ad $taticam fluidorum pertinet, $ed ad hydraulicam $eu motum fluidorum, quæ vero $ine i$tis præmi$$is regulis _hydraulico-$taticis_ $olvi nequit. Quæritur in figura $eptuage- $ima $ecunda (nullam hic-amplius in E G laminam con$idero) $i tubus fora- mine in _ac_ perforetur finitam rationem habente tum ad amplitudinem tubi tum ad amplitudinem foraminis _o_, motusque aquarum jam uniformis factus fuerit, quæritur, inquam, quanta velocitate aquæ per utramque aperturam erupturæ $int.
Sit jam rur$us altitudo B E = _a_, amplitudo tubi = _n_ amplitudo ori-
ficii in _o_ = _p_: amplitudo foraminis _ac_ = _m_: velocitas aquæ per _o_ effluen-
tis = _v_: Erit velocitas aquæ quæ foramen _ac_ præterfluit = {_p_/_n_} _v_. Igitur
ibidem in latera tubi exercet pre$$ionem, quæ e$t = _a_ - {_ppvv_/_nn_} (per§. 5.)&
propterea $uppono proxime fore tantam quoque altitudinem, quæ generare
po$$it velocitatem, qua aqua per foramen _ac_ exilit: ip$am vero hanc velocitatem
e$$e = √(_a_ - {_ppvv_/_nn_}). Hoc po$ito erunt velocitates in foraminibus _o_ & _ac_
ut _v_ ad √(_a_ - {_ppvv_/_nn_}): $icque quælibet guttula tubum in G E ingre-
diens, cum pervenit ad regionem primi foraminis, in duas di$pe$citur par-
tes, quarum altera per _ac_, altera per _o_ effluit: $untque hæ partes re$pective,
ut velocitates, quibus fit effluxus utrobique ductæ in amplitudines forami-
num. Igitur $i ma$$a guttulæ integræ G E dicatur _g_, erit pars ejus per _ac_
effluens æqualis
_gm_ √(_a_ - {_ppvv_/_nn_}):[_pv_ + _m_√(_a_ - {_ppvv_/_nn_})]
& pars altera per _o_ effluens =
Si hæ partes multiplicentur _re$pective_ per quadrata $uarum velocitatum, habebuntur earundem _vires vivæ_, quarum aggregatum æquandum e$t cum _g_ X _a_, id e$t, cum _de$cen$u actuali_ guttulæ _g_ per altitudinem _a_. Sic ob- tinetur talis æquatio, $i reducatur _n_<_>3_vv_ - _n_<_>3_a_ = _mpv_√(_nna_ - _ppvv_) $ive _vv_ = {2_n_<_>6 + _mmnnpp_ + _nnmp_√4_n_<_>4 + _mmpp_ - 4_nnpp_)/2_n_<_>6 + 2_mmp_<_>4.}_a_, hæcque quantitas exprimit altitudinem pro velocitate aquæ in _o_ effluentis, qua cognita habetur quoque altitudo $imilis pro altero foramine _ac_, quæ nempe e$t = _a_ - {_ppvv_/_nn_}.
§. 22. Si _p_ = _n_, fit _vv_ = _a_; ergo tunc aquæ tota velocitate exiliunt $olita per foramen _o_, & per alterum foramen _a c_ nihil effluit. In utroque porro foramine velocitas re$pondet integræ altitudini _a_, $i _p_ e$t veluti infini- te parva: Si vero _m_ e$t infinite parva, fit quidem _v v_ = _a_, $ed altitudo ve- locitatis pro foraminulo _ac_ e$t = _a_ - {_pp_/_nn_}_a_, ut §. 7. jam indicatum fuit: Si _m_ = _p_, fit _vv_ = {_n_<_>4_a_/_n_<_>4 - _nnpp_ + _p_<_>4}; & _a_ - {_ppvv_/_nn_} = {(_nn_ - _pp_)<_>2_a_/_n_<_>4 - _nnpp_ + _p_<_>4}.
Denique ob$ervari pote$t, aquas per foramen _o_ $emper majori velo- citate ejici, quam quæ altitudini _a_ re$pondet, quod utique fit, quia aquæ in E _d_ veluti impetum faciunt in aquas _d_ F.
Interim quamvis omnia hæc Corollaria egregie cum indole argumenti con$entiunt, non pote$t tamen $olutio i$tius problematis aliter quam proxi- me vera cen$eri.
PRe$$iones, quæ dictis expo$itæ fuerunt paragraphis, facili experimen- to confirmari poterunt, $i vas, quale figura quadrage$ima tertia $i- $tit, quodque §. 30. _$ect_. 8. de$cribitur, confici curetur, ejusdemque laminæ L Q tubus vitreus verticaliter implantetur, cujus orificium utrum- que apertum $it: ob$ervabitur $ic obturatis foraminibus H & N totoque $y- $temate aquis repleto, aquam in tubo vitreo ad libellam A B a$cendere, aut illam propter naturam tubulorum capillarium tran$cendere. Dein autem $i digitus ab orificio N removeatur, ob$ervabitur, aquam in tubo vitreo de$cendere & captis men$uris, invenietur, ni fallor, altitudinem aquæ in tubo vitreo re- $iduam (detracta altitudine virtuti tuborum capillarium debita) e$$e = {αα x _LB_ - γγ x _NQ_/αα + γγ}, uti dictum e$t §. 3. ubi denominationes harum litte- rarum explicantur.
Si porro ab utroque orificio H & N digitus removeatur, tunc erit ea- dem altitudo aquæ in tubo vitreo re$idua talis, quæ §. 4. indicatur. Simi- liter pote$t tubus vitreus laminæ Q N in$eri, isque deinde inflecti, ut cogno$- ci po$$it, an pre$$iones quoque in lamina Q N recte definitæ fuerint.
Experimenta vero quæ ad pre$$iones aquarum per tubos latarum per- tinent ip$emet coram Societate no$tra in$titui & de$cripta $unt in tom. IV. Commentariorum _pag_. 194. Illa igitur, ut ibi de$cripta $unt, hic allegabo.
„U$us $um arca lignea, cujus latitudo erat unius pedis, longitudo trium
pedum, altitudo 14. pollicum. Hanc aqua implevi eju$que parti infimæ
fi$tulam accurate cylindricam ex ferro fabricatam infixi horizontaliter. Ita
autem factus erat tubus i$te ferreus: longitudinem nempe habuit A B
(Fig. 77.) 4. poll. 2. lin. Angl. diametrum B C 7. lin. in medio tubus
„Hi$ce omnibus conjunctis eum in modum, quem o$tendit figura 79, factoque, ne aqua per alias rimas, quam per aperturam in B C efflueret, ob- turavi orificium in B C, tumque ob$ervavi in tubo vitreo verticaciter po$i- to punctum _n_, ad quod aquæ a$cendebant, idque filo $ericeo circumvolu- to notavi: prius autem exploraveram virtutem capillarem i$tius tubi vitrei, hancque inveneram quinque linearum, ita ut tubo aquæ verticaliter immi$- $o differentia inter utramque aquæ $uperficiem e$$et quinque linearum: propterea punctum _n_ $upra $uperficiem E F elevatum fuit totidem lineis, hincque in calculo quævis altitudo D _n_, D _g_, quinque lineis diminuta cen- $enda e$t.
„In $ingulis experimentis arca aquis ita plena con$ervata fuit, ut alti- tudo A F e$$et 9. _poll_. 7. _lin_. altitudo autem D _n_ 10. _poll_. His omnibus ita ad experimentum præparatis, tunc aperto orificio in B C aquis effluxus concedebatur & protinus de$cendit aqua in tubo vitreo, veluti ex _n_ in _g_, quem locum _g_ rur$us alio filo $ericeo antea tubo circumvoluto notavi. Et $ic de- nique talia cepimus experimenta quæ re$pondent §. 5. & $eqq.
„Cum diameter foraminis in operculo B C e$$et 2 {1/5} _lin_. fuit de$cen$us _n g_ tantillo major una linea, ita ut nulla differentia inter theoriam & $ucce$- $um experimenti ob$ervari potuerit.
„A$$umto alio operculo, in quo diameter foraminis erat 3 {2/5} _lin_. aut poul- lulum major, de$cen$us _n g_ ob$ervatus fuit $ex linearum cum duabus ter- tiis, plane rur$us, ut theoria indicat.
„Adhibito tertio operculo, in quo diameter foraminis erat 5. _lin_. aut aliquantulum minor, de$cen$um _n g_ ob$ervavimus 28. _lin_. Vi theoriæ de- bebat e$$e circiter 29. _lin_. nec enim foramen omnino quinque lineas in dia- metro habere vi$um fuit. Differentia parvula tribuenda e$t impedimentis, quæ aqua in transfluxu per fi$tulam patitur, majoribus quam in præceden- tibus experimentis, ob auctum motum intra fi$tulam.
„Denique nullo appo$ito operculo aquas pleno orificio effluere $ivi- mus, tuncque omnis fere aqua è tubo vitreo egre$$a fuit: pars tamen ali- qua reman$it, quam deprehendimus octo lineas altam: Earum autem quin- que tribuendæ $unt virtuti tubi capillaris, tres reliquæ debentur impedimen- tis, quæ aqua in transfluxu à D u$que ad B offendit.
„Sic igitur experimenta ad amu$$im cum theoria conveniunt: Inde autem non difficile e$t prævidere, fieri po$$e, ut latera fi$tulæ non $olum non premantur ver$us exteriora, $ed & ut ver$us axem fi$tulæ intror$um comprimantur (confer. _§_. 11.). Id autem edoctus $um hoc alio experi- mento.
„Loco tubi cylindrici A B adhibui conicum, cujus orificium exter-
num erat majus orificio interno, $imulque u$us $um tubo vitreo incurvato,
qualem o$tendit Figura 80. Et cum ante fluxum aqua hæ$it in tubo vitreo
„In Figura 81. repræ$entat A C F B cylindrum, in cujus fundo im-
„Appo$ito digito orificio G H impletoque va$e $tillabat aqua per tu- bum vitreum _l m n_ in vas M: remoto autem digito & effluentibus jam aquis per G H, motu reciproco aqua $ponte ex va$culo M a$cendit per tubum _n m l_, & una cum reliquis effluxit per G H, donec totum va$culum M eva- cuatum e$$et. Affundebantur autem $uperius continue aquæ, ut vas plenum con$ervaretur. Si digito pars orificii G H obtegebatur, facile erat efficere ut pro lubitu aquæ in tubo vitreo _l m n_ $ur$um deor$umve moverentur.
Si quis etiam experimentis explorare voluerit, num theoria cum pro- blemate §. 18. conveniat, non male operam $uam collocaverit, quandoqui- dem non $olum $ic novam hanc no$tram _hydraulico-$taticam_, $ed & theoriam _Sect_. 8. novam pariter & à nemine tractatam egregio exemplo eoque facil- limo illu$traverit.
Hi$ce jam in chartam conjectis ip$e experimenta $um$i, quorum mo- do mentionem feci: Machina ad id u$us $um eadem, quam modo de$crip- $i, quæque Figura 79. repræ$entatur: $ed in$uper, ut natura rei po$tulat, in A tubo aliud operculum impo$ui: eratque altitudo aquæ A F 8. _poll. Lond_. diameter tubi ferrei A C rur$us 7. _lin_. Operculis quoque ii$dem u$us $um, qui- bus ante: In quovis autem experimento de$cen$um ob$ervavi, quem $uper- ficies _n_ fecit, cum digitus ab operculo B C removeretur: $imul autem men- $ura capta altitudinis verticalis orificii C $upra pavimentum ob$ervavi di$tan- tiam i$tius lineæ verticalis à loco, in quem vena aquea incidebat. Hanc di$tan- tiam vocabo _amplitudinem jactus_: altitudo autem hæc verticalis erat in $ingulis experimentis 19. _poll_. His ita præparatis experimenta feci talia.
Cum diameter orificii interioris operculi e$$et 2 {1/5}. _lin_. & diameter orifi- cii exterioris orificii 3 {2/5}. _lin_. fuit de$cen$us _n g_ paullo minor, quam 7. _poll. ampli-_ _tudo jactus_ 9. _poll_. In theoria autem _§_. 18. expo$ita, indicatur de$cen$us _ng_ 6. _poll_. 10. _lin_. & _amplitudo jactus_ 9 {1/2}. _poll_.
Deinde fuit diameter orificii interni 5. _lin_. & diameter alterius orifi- cii 3 {2/5}. _lin_. fuit de$cen$us _n g_ fere 17. _lin_. & _amplitudo jactus_ 24. _poll_. In theoria e$t _ng_ 17 {3/4}. _lin_. & _amplitudo jactus_ 23. _poll_.
Porro cum e$$et diameter orificii interni 3 {2/5}. _lin_. & diameter orificii ex- terioris 5. _lin_. fuit de$cen$us _n g_ fere idem, qui in experimento 7. nempe circi- ter 7. _poll_. Verum _amplitudo jactus_ fuit major, $cilicet 11. _poll_. In theoria e$t _n g_ 6. _poll_. 11. _lin_. & _amplitudo jactus_ fere 11. _poll_.
Denique exi$tente diametro orificii interioris 3 {2/5}. _lin_. & diametro ’ori- ficii exterioris 2 {1/5}. _lin_. fuit de$cen$us _n g_ circiter unius pollicis atque _amplitudo_ _jactus_ 23. _poll_. In theoria e$t _ng_ = 14. _lin_. & _amplitudo jactus_ = 22 {1/2}. _poll_.
Omnia profecto hæc experimenta egregiè cum theoria conveniunt; forta$$e major con$en$us futurus fui$$et, $i majori accuratione foraminum men- furas accipere licui$$et; nemo tamen, ut puto, minimis i$tis numerorum dif- ferentiis offendetur. Oriuntur autem maximè à compre$$ione aquæ in A C, quæ producitur, dum guttulæ per orificium interius canalem ingredientes partem motus amittunt, hinc amplitudo jactus tantillo major & de$cen$us _n g_ minor funt in theoria quam in experimentis, nolui hujus rei men$uram adjicere, quamvis id in pote$tate fui$$et, ne calculus fierit intricatior.
AQuæ dum ex va$e ejiciuntur $imili agunt modo in vas, ex quo effluunt, quo globus in tormentum bellicum aut $clopetum, ex quo explodi- tur: vas nempe retropellunt: & id quidem jam annotavit Newtonus in _princ. Math. phil. nat. edit. prim. p_. 332. recteque inde deducit a$- cen$um pilarum, quæ pulvere pyrio, carbone temperato implentur; materia enim inflammata, dum per foramen paullatim expirat, pilas in altum projicit.
Sed nec $atis generaliter pro rei momento argumentum pertractavit ci- tatus auctor (cum id ex ip$ius in$tituto non erat) nec veram rei men$uram de- dit. Imo in duabus editionibus po$terioribus id pror$us $ilentio præteriit: pu- tavit autem _vim illam repul$ionis e$$e æqualem ponderi cylindri aquei, cujusba$is_ _$it orificium aquas tran$mittens & cujus altitudo $it æqualis altitudini $uperfi-_ _ciei aqueæ $upra foramen_. Recte quidem hæc men$ura deducitur ex opinio- ne, quam tunc temporis fovebat Newtonus, circa velocitatem aquæ ex va$e effluentis, dum $tatueret aquam ad dimidiam $uperficiei altitudinem $ua velo- citate a$cendere po$$e.
Prouti autem hujus propo$itionis fal$itas nemini amplius nunc ignota e$t, ita & alterius defectum inde quivis facile colliget, quamvis prima fronte $atis veri$imilis.
§. 2. Con$iderabimus primo rem in ca$u $implici$$imo, quo nempe
aquas ex va$e infinitæ amplitudinis horizontaliter effluere ponemus. Habeo
autem demon$tratum repul$ionis vim non $tatim à fluxus initio totam ade$$e,
ni$i quatenus & ip$a velocitas in aquis effluentibus tota ad$it, ita ut $i vas non
§. 3. Ut hanc propo$itionem demon$tremus, con$iderandum hic erit principium aliquod Mechanicum cujus u$um in aliis etiam quæ$tionibus $ol- vendis $æpe expertus $um: principium hoc e$t:
_Si corpus à quiete velocitatem eandem per pre{$s}iones motrices directas_ _utcunque variabiles acqui$iverit, at que $ingulæ pre{$s}iones in tempu$cula $ua mul-_ _tiplicentur, erit $umma omnium productorum $emper eadem, id e$t, $i pre{$s}io_ _fit_ = p, _tempu$culum_ = dt, _erit_ $ p d t _con$tans_. Hanc rem clarius expo$ui in Comment. Acad. Imp. Petrop. tom. 1. pag. 132.
§. 4. Ponamus jam cylindrum infinitæ veluti amplitudinis, ex quo
aquæ horizontaliter effluant velocitate uniformi, ab$trahendo ab actione, quam
gravitas exerit in particulas, po$tquam jam effluxerunt, ita ut $ingulæ hori-
zontaliter & uniformiter moveri pergant; particulæ autem accelerantur pre$-
$ionemque patiuntur, quamdiu maximus velocitatis gradus nondum ade$t,
huncque obtinent cum ad locum venæ maxime contractæ pervenerunt; hæc
e$t ratio, quod $ectionem venæ ibidem conceptam ceu orificium effluxus con-
§. 5. Eadem e$t demon$tratio $i aquæ non per orificium $ed per tubum horizontalem cylindricum velocitate uniformi effluant, aut etiam per tubum utcunque inæqualiter amplum: po$terius id directe demon$trari etiam pote$t, $i bene exprimatur pre$$io requi$ita in $ingulis guttis, ut hæ debita velocita- tum incrementa aut decrementa $u$cipiant.
§. 6. Altitudo, quam vocavimus A, parum quidem differt in experi- mentis ab altitudine aquæ $upra orificium effluxus, præ$ertim $i aquæ ex va$e valde amplo per orificium $implex, idque non admodum parvum effluant: differt autem $æpius notabiliter orificium effluxus à $ectione minima venæ, quam nos ceu orificium aquas tran$mittens con$ideramus; id quantitas aquæ dato tempore effluentis cum velocitate $ua comparata in experimentis indicat.
Hinc fit ut propo$itio no$tra _§_. 3. ad experientiam vocata ordinario non multum di$crepet ab propo$itione Newtoni §. 1. expo$ita; $i vero omnia $ollicite evitentur, quæ contractionem venæ producere & quæ velocitatem diminuere po$$unt, vis repellens $ecundum theoriam no$tram fiet tantum non duplo major, quam quæ à Newtono fuit definita & tunc talis etiam experi- mentis confirmatur.
At ut rem plane in apricum ponamus, eam generalius nunc pro$e- quemur, idque tentabimus, ut vim repellentem à fluxus initio, dum veloci- tates continue mutantur, determinemus: neque enim primum no$trum theo- rema aliter quam cum velocitas invariata manet locum habet. Ut in quæ$tio- ne hâc paullo intricatiore pertractanda eo intelligibiliores $imus, hîc quædam generaliora præmonui$$e juvabit.
_§_. 7. _Quantit{as} mot{us}_ e$t factum ex velocitate in ma$$am: $i velocitates $int inæquales, habebitur _quantitas mot{us} ab$oluta_, $i $ingulæ particulæ per $uam re$pective velocitatem multiplicentur productorumque fumma accipiatur. _Quantitas mot{us}_ generatur à pre$$ionibus motricibus dato tempore urgentibus & effectus cau$æ e$t æqualis cen$endus: Igitur $umma pre$$ionum motricium per $ua tempu$cula multiplicatorum æ$timanda e$t ex genita quantitate motus. Et quia quælibet pre$$io motrix reagit in vas, ex quo aquæ effluunt, erit tota vis re- pellens pro quovis momento æqualis novæ quantitati motus divi$æ per tempu$- culum, quo generatur. His præmonitis ad quæ$tionem ip$am progredior.
§. 8. Sit igitur vas infinitæ amplitudinis A C D B (Fig. 82.) eique ho-
Jam vero fingamus dato tempu$culo infinite parvo exilire per orificium
H I columellam H L M I, cujus longitudinem H L vel I M ponemus = _a_:
erit ma$$a hujus columellæ = _a_, habebitque quantitatem motus = _a_√2_v_:
fed eodem tempore ma$$a aquæ in fi$tula contentæ acqui$ivit quantitatem mo-
tus {_mdv_/√2_v_} (habuit enim _m_√2_v_); e$t igitur quantitas motus ab$oluta dato tem-
pu$culo genita = _a_√2_v_ + {_mdv_/√2_v_}; hæc vero $i dividatur per idem tempu$-
culum (quod exprimendum e$t per {_a_/√2_v_}) habebitur, ut vidimus §. 7. pre$$io
quæ$ita vas repellens, quæ proinde $i vocetur _p_, erit
(α) Apparet inde ultimam definitionem quæ$tionis pendere à ratione quæ intercedit inter _d v_ & α; hanc vero in Sectione tertia generaliter defini- vimus, nulla tamen impedimentorum, quæ debentur ca$ui, facta attentione. Igitur & figura fi$tulæ hic aliquid confert.
(β) Sequitur porro, $i fluxus uniformis factus ponatur, e$$e _p_ con- $tanter = 2_v_, quia tunc _dv_ = _o_: Id vero conforme e$t cum eo, quod demon$travimus §. 5. Donec vero fluxus incrementa accipit (quod qui- dem facit notabiliter, idque diu $atis, $i canalis E I longior fuerit) vas aliam atque aliam patitur vim repellentem.
(γ) Habet _dv_ ad α $emper rationem realem: ergo vis repellens nun- quam e$t nulla, $ic ut à primo fluxus tempore vas repellatur, etiam$i tunc aquæ fere nullæ effluant ob exiguam earundem velocitatem. Verum, ut u$us regulæ no$træ generalis unicuique pateat, eam nunc ad ca$um $pecia- lem applicabimus, tribuendo fi$tulæ EHID figuram cylindricam amplitu- dinis 1.
_§_. 9. Si igitur fi$tula ponatur cylindrica tota aperta in H I retentis cæteris po$itionibus & denominationibus, erit _vis viva_ aquæ in fi$tula con- tentæ = _mv_; hujus incrementum = _mdv_, cui addenda _vis viva_ columel- læ H L M I $eu _a v_, eorumque $umma æqualis facienda facto ex altitudine, quam habet $uperficies aquæ A B $upra orificium H I, quamque vocabimus _a_, & ex ma$$ula α. E$t igitur _mdv_ + α_v_ = α_a_, unde hic fit {_dv_/α} = {_a - v_/_m_}. l$to autem valore $ub$tituto in æquatione $uperioris paragrahi fit _p_ = _a_ + _v_. unde talia deduco con$ectaria.
(α) Longitudo fi$tulæ nihil ad vim repellentem, quam vas $u$tinet,
tribuit, $i velocitas eadem ponatur, quia littera _m_ è calculo evanuit, facit
autem hæc longitudo ($icuti in $uperioribus $atis $uperque demon$travimus)
ut velocitates citiora aut lentiora incrementa capiant; quo longior enim fue-
(β) Fieri igitur pote$t non mutata aquarum altitudine, ut di$pendio aquarum quantumvis parvo, vis repellens notabilis $it, eaque pro lubitu duret; & id quidem duplici obtineri pote$t modo, tum prolongando fi$tu- lam, tum etiam obturando $æpius orificium, antequam aquæ notabilem ve- locitatis gradum attigerint; prior tamen modus liberum aquarum fluxum per fi$tulam ponit: retardato enim ab impedimentis extrin$ecis, in prælon- gis fi$tulis nunquam vitabilibus, aquarum fluxu, diminuitur quoque vis repellens.
(γ) Liceat hic paucis attingere verbis propo$itionem aliquam ex _princ._
_math. phil. nat. edit._ 2. _Newtoni_: Auctor hic po$tquam $ententiam $uam de ve-
locitate aquarum ex va$e effluentium in prima citati operis editione exhibi-
tam muta$$et, easque, $i verticaliter $ur$um ejiciantur, ad integram $uper-
ficiei aquæ altitudinem a$cendere agnovi$$et in editione $ecunda, talia $ubje-
cit verba in _libro $ecundo propos. 36. coroll. 2. Vis qua totus aquæ exilientis_
_motus generari pote$t, æqualis e$t ponderi cylindricæ columellæ aquæ, cujus_
_ba$is e$t for amen E F_ (_vid. fig. Nevvt_.) _& cujus altitudo e$t 2 G I vel 2 C K_.
I$ta $ententia à me olim & ab aliis fuit impugnata, ab aliis rur$us confirma-
ta. Nunc autem po$tquam hanc aquarum motarum theoriam medita-
tus $um, lis ita dirimenda mihi videtur, ut cum aquæ ad motum unifor-
mem pervenerint, quæ quidem hypothe$is e$t Newtoni, tunc recte altitu-
dine 2 G I vis illa definiatur, $ed ab initio fluxus, ubi velocitas adhuc nulla
e$t, vis $implici altitudini G I re$pondeat, moxque cre$cente velocitate $i-
mul vis aquam ad effluxum animans cre$cat, & tandem ad eam magnitudi-
nem ex$urgat, quam Newtonus a$$ignavit. Hæc nunc $unt unicuique ob-
via, quia vis motum aquæ generans, de qua Newtonus loquitur, non po-
te$t non e$$e æqualis vi repellenti, quam vidimus e$$e æqualem _a_ + _v_. Re-
cte etiam Jll. Riccatus, cum quo mihi de hoc argumento res erat interro-
gatus, _unde vis illa duplæ aquarum altitudini conveniens oriri po{$si}t, cum_
§. 10. Si fi$tula va$i implantata non $it cylindrica, calculus ita erit po- nendus.
Sit amplitudo canalis in F G vel _fg_ = _y_; di$tantia $trati F G _gf_ ab ori- ficio E D = _x_, retineanturque cæteræ denominationes: erit _vis viva_ aquæ in fi$tula contentæ = _v$_ {_dx/y_}, ejusque incrementum = _dv$_ {_dx/y_}, cui ut in §. præcedente factum e$t, addatur _vis viva_ columellæ H L M I $eu _a v_, eritque _d v$_ {_dx/y_} + α_v_ = α_a_; unde $ic oritur {_d v_/α} = (_a_ - _v_): _$_ {_dx/y_}, quo valore $ub$tituto in æquatione §. 8. fit _p_ = 2_v_ + _m_ (_a_ - _v_): _$_{_dx/y_}.
Igitur cum in fluxu aquarum uniformi $it _v_ = _a_, erit tunc rur$us _p_ = 2_a_. Cæterum quamdiu aquarum fluxus acceleratur, motus aquæ in va$e A C D B orificio D E proximæ, à quo in toto hoc opere animum ab- $traximus, hic non e$t negligendus: determinari autem recte motus i$te non pote$t, nec igitur accurate quadrat expre$$io quam dedi pro vi repellente $i aquæ nondum uniformiter fluere ceperint, $ed cum æquabiliter fluunt aquæ valet expre$$io accurati$$ime.
§. 11. Po$tquam $ic demon$travimus pro effluxu aquarum uniformi, vim repellentem $emper e$$e æqualem ponderi cylindri aquei foramini $uper- in$tructi & ad duplam aquæ altitudinem ex$urgentis, lubet id etiam indire- cte demon$trare per _deductionem ad ab$urdum_, ut & regularum mechanicarum ignari propo$itionis hujus $atis paradoxæ veritatem per$piciant.
Hunc in finem con$iderabimus aquas verticaliter defluentes ex cylindro,
ab$trahendo animum ab impedimentis velocitati aquarum aliquid deroganti-
bus & ab illa contractione venæ, quæ vitari pote$t. Foramini re$pondeat tu-
bus verticalis, qualis con$picitur Fig. 76. habeant $e omnia, ut in Sect. XII.
§. 13. dictum fuit: aquæ habeant fluxum æquabilem: latera va$is & canalis
Jam vero indagabimus vim $imilem cum aquæ per E tota $ua velocitate (quâ nempe ad altitudinem _a_ + _b_ a$cendere po$$unt) effluunt: hæc autem ha- bebitur, $i à priori vi $ubtrahatur vis repellens: Si proinde hæc vis repellens ponatur, ut nos $tatuimus, = 2_a_ + 2_b_, erit vis aquas, durante fluxu $u$pen- dens = M_a_ - 2√(_aa_ + _ab_).
At vero finge abe$$e tubum C E, & erit per ea$dem no$tras regulas vis $u-
$pen$oria, dumaquæ per orificium C erumpunt, rur$us = M_a_ - 2√(_aa_ + _ab_).
ideo, quia pondus aquæ A B C e$t M_a_ & quia amplitudo foraminis C e$t {√_a_ + _b_/√_a_},
quæ multiplicata per duplam altitudinem _a_ dat 2√(_aa_ + _ab_). Mon$trat igi-
tur no$tra virium repellentium æ$timatio, vim $u$pen$oriam durante aquarum
effluxu eandem e$$e, $ive nulla $it fi$tula, $ive ad$it & quamcunque habeat lon-
gitudinem, modo fi$tula figuram habeat §. 13. Sect. XII. de$criptam: atque hujus
con$en$us & identitatis nece$$itas apparet quoque $ine calculo ex ip$a rei natu-
ra, quando fi$tula ita formata nullam in aquis transfluentibus facit mutationem,
cum vena aquæ $ua $ponte eandem figuram induit, quam habet fi$tula, quam-
diu aquæ cohærent. Sed $i aliter vim repellentem æ$timemus, nunquam con-
$en$um illum inter vires $u$pen$orias generaliter obtinebimus: Ita v. gr. $i $e-
cundum $ententiam communem dicamus vim repellentem e$$e æqualem pon-
deri $implicis cylindri $æpe nominati, erit vis repellens, dum aquæ per cana-
lem C E ex va$e A C B effluere finguntur = _a_ + _b_; & hæc vis $i $ubtrahatur à
pondere totius aquæ A B C E $eu M_a_ + 2_a_ + 2_b_ - 2√(_aa_ + _ab_), relinqui-
tur M_a_ + _a_ + _b_ - 2√(_aa_ + _ab_) quæ e$t vis requi$ita ad $u$pendendum $y-
$tema A B C E, dum aquæ fluunt: Vidimus autem hanc vim eandem e$$e debe-
At po$$em infinitis aliis modis & exemplis particularibus $ententiam no$tram confirmare, $i hi$ce diutius in$i$tere vellem. Ita v. gr. in Fig. 29. Sect. V. §. 4. de$cripta, $i $it altitudo N S = 1, orificium L M = 1, & orificium R S = 2, erit P B = {1/3}, vis repellens, quæ oritur ab effluxu aquæ per R S = 2 X {2/3} = {4/3}, & demon$trare po$$um vim repellentem, quæ prodit ab ef- fluxu aquæ ex $implici cylindro R N per L M e$$e etiam = {4/3}, & $ic vim re- pellentem totalem e$$e = {8/3}, quæ præci$e facit duplum cylindrum aqueum fo- ramini L M ad altitudinem N S + P B in$i$tentem. Talis autem con$en$us ex aliis theoriis fal$o receptis minime prodit, ita ut de no$tra amplius non po$- $int dubitare, ni$i harum rerum penitus ignari: Id vero, quod dixi, vim re- pellentem aquæ ex $implici cylindro R N per L M effluentis e$$e = {4/3}, $i de- mon$trare velim, po$tulat ut vis repellens definiatur, cum aquæ ex va$e non infinito data velocitate quacunque non variata fluunt: Ne vero prolixior $im in hâc re, id aliis efficiendum relinquo; neque id nunc amplius magnam fa- ce$$et operam; Pergo ad alia.
§. 12. Demon$trationes quas adhuc dedimus non valent ni$i pro fi$tu-
§. 13. Concipiamus itaque va$i infinito fi$tulam implantatam e$$e uni-
formis quidem amplitudinis, $ed incurvatam $ecundum curvaturam qualem-
cunque A S (Fig. 83.) ita ut A locus $it in$ertionis, S locus effluxus: Du-
Demon$trationis gratia ducantur infinite propinquæ _nq, ep_ ad S B per- pendiculares; _n m_ parallela eidem S B; $it S _q_ = _x, qp_ = _dx_; _qn_ = _y_; _e m_ = _dy_: erit radius o$culi in _e n_ = {- _dsdy_/_ddx_}, $umtis elementis _en_ quæ vocabo _ds_ pro con$tantibus; habet autem columella aquæ intercepta inter _e_ & _n_ vim centrifugam, $ic determinandam: gravitas columellæ e$t = _ds_ (quia ba$is ejus = 1 & altitudo = _ds_) atque $i radius o$culi foret = 2 A, ha- beretur per theorema Hugenianum vis centrifuga particulæ æqualis ejusdem gravitati, & $unt vires centrifugæ cæteris paribus in reciproca ratione radio- rum: e$t igitur vis centrifuga columellæ = {- 2 _Addx_/_dy_}: exprimatur hæc vis centrifuga per _ec_ ad curvam perpendicularem, ducaturque _co_ ipfi B S paral- lela: re$olvatur vis _e c_ in _oc_ & _eo_; erit (ob $imilitudinem triangulorum _eoc_ & _nme_) vis _oc_ = {- 2 _Addx_/_ds_}, vis _eo_ = {- 2 _Adxddx_/_dyds_} = (ob _d s_ con$tans) {2 _Addy_/_ds_}.
Sed vis elementaris _oc_ agit $ola in directione S B, dum altera _e o_ pro
hac directione e$t negligenda: $umatur integrale vis elementaris _oc_ cum con-
$tanti tali, ut integrale una cum ab$ci$$a evane$cat: integrale hoc e$t = 2A
Ut porro demon$tremus $ub nulla alia directione vas repelli, recurre- mus ad vim elementarem _eo_, quam vidimus = {2_Addy_/_ds_}, cujus integrale = {2_A x AB_/_AR_}, quæ præci$e annihilatur à vi 2A vas repellente $ecundum directio- nem R A, po$tquam hæc debite re$oluta fuit. Q. E. D.
§. 14. Hæc theorematis generali$$imi $implicitas, quâ nempe vis re- pellens in directione aquis uniformiter effluentibus contraria indicatur con- $tanter = 2A, _argumentum_ e$$e pote$t, quod dicitur _ad hominem_ pro ejus- dem bonitate, iis qui ratiocinium no$trum aut non a$$equentur aut exami- nare non cupient $ufficienti attentione. Si vero vim repellentem aquæ ex va$e infinito in fi$tulam influentis $ub directione A R $tatuas = A, vides $y- $tema repelli in directione S B vi quæ $it = 2A - {_A x RB_/_RA_}, quod ab$urdum e$$e vel ip$a mihi indicare videtur formula. Neque in hâc opinione nulla e$- $et vis in directione ad priorem perpendiculari: Nam vas deberet reprimi $e- cundum directionem B A vi {_A x AB_/_AR_}, quod iterum mihi e$t ab$urdum & cu- jus fal$itatem experimento cognovi, in ca$u quo angulus A R S erat rectus & A B = A R.
Multa alia theoremata pro hoc argumento in tota $ua, quam habere pote$t, exten$ione, $umto erui & demon$trari poterunt, pro fluxu aquarum nondum uniformi eoque per fi$tulam utcunque inæqualem, modo $imul at- tendatur ad ea, quæ §. 8. monita fuerunt. Quia vero per $ingula ire non va- cat, ad aliam progredior vim examinandam priori $ub directione contraria æqualem, illam nempe quam vena effluens in planum exerit, dum in illud perpendiculariter impingit.
§. 15. De impetu venæ aqueæ in planum impingentis multi commen-
tati $unt, plurimaque $um$ere experimenta. Ego quoque hâc de re quæ-
dam dedi in _Comm. Acad. Sc. Petrop. tom._ 2. Experimenta extant apud Mariot-
tum in _tract. de mot aquarum_, in _hi$t. Acad. Sc. con$cripta a D. du Hamel. p_. 48.
& alibi. Equidem non admodum conveniunt, plurima tamen indicare prima
fronte videntur ni$um venæ aqueæ uniformiter fluentis æqualem e$$e ponderi
cylindri aquei, cujus ba$is $it foramen, per quod aquæ effluunt & cujus al-
titudo $it æqualis altitudini aquæ $upra foramen: Huic $ententiæ plerique imo
omnes, adhæ$erunt & adhuc adhærent, quia cum aliis quoque experimentis,
præ$ertim quæ de globis in medio re$i$tente motis $umi $olent, mire conve-
nit: Eandem igitur ip$emet $ecutus $um, quamvis plura animum $u$pende-
bant, in _cit. Comm. Petrop._ nec hæ$itavi in ip$o hoc opere, quod $ub mani-
bus habeo, Sectione nempe IX. §. _§_. 31. 32. illa in$tar exempli uti. Ve-
rum enim vero re attentius perpen$a, novisque adhibitis principiis, $imulque
aliis novi generis experimentis in$titutis, clare tandem vidi communem i$tam
opinionem de impetu venæ aqueæ eodem modo mutandam e$$e, $icuti New-
toni de vi repellente, $cilicet ut loco orificii con$ideretur $ectio venæ contra-
ctæ & loco altitudinis aquæ adhibeatur dupla altitudo velocitati aquarum reali
re$pondens: Demon$tratum enim habeo, vim repul$ionis §. 2., expo$itam
omnino æqualem e$$e impetui venæ, $i hæc tota in planum perpendiculariter
incidat: $equitur inde impetum venæ majorem e$$e, quo minor fuerit venæ
contractio, hâcque plane evanescente, & aquis $imul tota $ua velocitate, quam
in theoria habere po$$unt, erumpentibus, tum impetum duplo majorem e$$e,
quam vulgo $tatuitur: quia vero $emper & velocitati aliquid decedit & vena non
raro ad dimidium fere contrahitur, factum e$t ut experimenta pleraque $implam
in Cylindro altitudinem arguere vi$a fuerint in impetu illo æ$timando. Velim
autem probe notetur, de venis $olitariis tantum mihi hic $ermonem e$$e, quas
§. 16. Ratione venæ aqueæ $ic cen$eo: aquas velocitate uniformi ex
cylindro infinite amplo verticali A B M (Fig. 84.) per foramen laterale C M
§. 17. Non dubito multos fore, quibus propo$itio hæc plane nova
$u$pecta videatur atque experimentis contraria: Hos vero perpendere velim,
experimenta hactenus $umta nequaquam regulæ communi accurate re$ponde-
re, & in pleri$que ca$ibus no$tram Regulam parum differre à communi, quam-
vis in theoria maxime $int diver$æ: tum etiam eos in antece$$um monitos cu-
pio, alia me in$titui$$e experimenta, quæ $ingula meam $ententiam exacti$$ime
confirmant, veteremque plane refellunt! experimenta a me $umpta in fine Se-
ctionis recen$ebo. Demon$trandi modus quo u$us fui, forta$$e etiam parum
Si cerpus movetur velocitate uniformi, directiones autem $uas con- tinue mutat à cau$is quibu$cunque & utcunque agentibus, donec directionem acqui$iverit perpendicularem ad primam directionem, $ique $ingulæ pre{$s}iones corpus deflectentes re$olvantur in duas cla$$es, alteram parallelam primæ dire- ctioni, alteram perpendicularem; Denique $i pre{$s}iones $ingulæ parallelæ multi- plicantur per $uatempora; dico fore $ummam productorum con$tanter eandem, & quidem æqualem ei, quæ totum motum à quiete generare aut generatum totum ab$orbere valet.
Hâc affectione Dynamica, cum utimur in præ$enti no$tro negotio, con- $ideranda e$t lamina E F, quæ $ua in aquas reactione, earundem directionem mutat, u$que dum perpendicularis ad primam facta fuerit: Ergo propo$itio præcedentis paragraphi ope hujus affectionis eodem modo demon$trabitur, quo u$i $umus §. 4. ad determinandam vim repellentem ope principii §. 3. ex- po$iti. Hæc igitur vera idea videtur, quam de impetu aquarum mente conci- pere debemus: ponit autem guttas aquæ $ingulas $ecundum directionem lami- næ ad latera re$ilire, à quâ indole aquas non recedere $emper ob$ervavi: vidi tamen etiam guttulas aliquas $ed paucas retror$um re$ilire; hæ autem majorem pre$$ionem producunt, quam quæ ad latera deflectuntur: Et eo ip$o inducor, ut firmiter credam, $i vena aquea magno impetu oblique contra planum impin- gat, v. gr. $ub angulo triginta graduum, pre$$ionem inde orituram plu$quam dimidiam ejus, quæ à vena eadem directe impingente oritur, cum $ecundum regulas ordinarias exactè dimidiam vim exerere deberet: ratio ejus rei e$t, quod in impul$u obliquo plures particulæ re$ilire po$$int, quam in directo, imo fe- re omnes, $i magna fuerit velocitas.
Si autem omnes ita re$ilire ponantur, ut angulus incidentiæ angulo reflexionis æqualis $it, tunc uterque impul$us idem cen$endus erit. Optimus hic aquarum pre$$iones æ$timandi modus e$t, qui ratiocinio à _po$teriori_ inni- titur.
§. 18. Sequitur porro ex præfata affectione probe intellecta, eundem
oriri à pre$$ionibus effectum $ive lamina aquas ad latera deflectat, $ive cau$a
fingatur motum omnem, quem particulæ aqueæ cylindrum egre$$æ acqui$ive-
runt, ab$orbens: Inde intelligitur quid futurum $it, $i orificium C M (Fig. 85.)
§. 19. Dixi de pre$$ione venæ, quam lamina totam etiam$i expan$am excipit: Venio ad alteram $peciem impetus aquarum, quem $cilicet $u$tinent laminæ fluido undique $ubmer$æ: puto autem hanc non po$$e _ab$olute_ defini- ri, quia $ingulæ particulæ in laminam impingentes aliter deflectuntur. Si vero cujuslibet particulæ deviatio cognita ponatur, non difficilis erit amplius quæ- $tionis $olutio, mutato paullum theoremate, quo §. 17. u$i $umus eoque ge- neraliori reddito, nempe tali: _$i angulus mutatæ in corpore moto directionis non_ _fuerit rectus, $ed recto minor, tunc quoque minor erit $umma productorum (de_ _quâ antea $ermo fuit) in ratione ut $inus ver$us mutatæ directionis ad $inum_ _totum._
Igitur pro quâvis guttula indagandum e$$et, quantum directionem mo- tus ab obice, $eu lamina cur$ui oppo$ita mutare cogatur. At in theoria hu- ju$modi definitiones exhiberi accurate vix po$$unt; nec experientia probattheo- remata hanc in rem exhiberi $olita; veluti quod conatus fluminis directe con- tra circulum impingentis duplo $it major conatu eju$dem fluminis contra $phæ- ram eju$dem diametri, & quæ $unt $imilia: quod autem quantitas pre$$ionis pro $phæra, qualis dari $olet ab auctoribus, cum experimentis à Newtono alii$que in$titutis & in _princ. math. phil. nat._ recen$itis, $atis accurate conveniat, id omnibus bene perpen$is ca$ui fortuito tribuendum e$$e cen$eo.
Theoremata quæ ad motum in mediis re$i$tentibus theoretice con$ideratum
faciunt, tum etiam varias ob$ervationes phy$icas dedi in _tom. II. Comm. Acad. Sc._
_Petrop. & $eqq._ Neque proinde ea hic repetam, quamvis ad in$titutum no-
$trum pertineant; diutius meditationibus hi$ce hydrodynamicis immorari non
§. 20. Mentem aliquando $ubiit, po$$e ea quæ de vi repellente flui- dorum, dum ejiciuntur, meditatus fueram, quæque hic maximam partem expo$ui, utiliter applicari ad novum in$tituendum navigationis modum: ne- que enim video, quid ob$tet, quo minus maximæ naves $ine velis remi$que eo modo promoveri po$$int, ut aquæ continue in altum eleventur effluxuræ per foramina in ima navis parte, faciendo ut directio aquarum effluentium ver$us puppim $pectet. Ne quis vero opinionem hanc in ip$o limine rideat, ceu ni- mis in$ul$am, è re erit no$tra argumentum i$tud accuratius excutere & ad cal- culum revocare: utile enim e$$e pote$t multisque di$qui$itionibus geometri- cis e$t fertili$$imum.
Incipiam ab eo, ex quo deinde apparebit, $ub quibus circum$tantiis maximus $ucce$$us à nova i$ta navigatione expectari debeat.
§. 21. Notandum igitur e$t, navem ab hau$tis aquis continue retarda- ri ob inertiam earundem, quando illis eadem velocitas communicatur qua- cum navis fertur & dum communicatur, navis à reactione aquarum retror$um urgetur, $imul ac ab earundem effluxu antror$um premitur. I$te actionum con- trariarum concur$us limites ponit vi naves propellenti à data potentia ab$oluta obtinendæ: ni$i enim actio prior ade$$et (de qua ut verum fatear diu non co- gitavi) po$$et _labore hominum quantumv{is} parvo v{is} naves propellens utcun{\’que}_ _magna obtineri_, quod $ic demon$tro.
In $ectione nona (vide præ$ertim §. 26.) o$tendi, laborem hominum
in elevandis aquis impen$um, quem voce _potentiæ ab$olutæ_ de$igno, æ$timan-
dum e$$e ex producto quantitatis aquarum in altitudinem elevationis, ita ut
verbi gratia labore $ecundum omnes men$uras eodem po$$int & quatuor pedes
cubici ad altitudinem $edecim pedum & $edecim pedes cubici ad alitudinem
quatuor pedum elevari: Dico nunc porro pre$$ionem uniformem, naves
antror$um propellentem ade$$e, quamdiu fluida velocitate æquali effluunt,
quæ pre$$io æ$timanda $it ex quantitate aquarum effluentium & ex radice al-
§. 22. Per$picuum e$t ex præcedente paragrapho, altitudinem ad quam aquæ $unt elevandæ e$$e ex earum cla$$e, quæ alicubi maximæ $unt. Ut ve- ro altitudo maxime ad propo$itum proficua determinetur, aliæ nobis $e of- ferunt quæ$tiones prius examinandæ.
Ponatur navis uniformi progredi velocitate, quæ generatur lap$u li- bero per altitudinem B, fingaturque aquas continue affluere in navem, ve- luti $ub forma pluviarum, & quidem tanta quantitate, quantam remotis om- nibus impedimentis alienis $uppeditaret cylindrus con$tanter plenus ad alti- tudinem A per orificium magnitudinis M. Quæritur quantam re$i$tentiam navis ab i$to perpetuo & uniformi aquarum affluxu earundemque inertia pa- tiatur.
A$$umatur tempus quodcunque _t_, quod $i æ$timetur ex $patio, quod
fluidum affluens $ua velocitate percurrit, divi$o per eandem velocitatem, tunc
E$t igitur re$i$tentia quæ$ita æqualis ponderi cylindri aquei, cujus ba- $is e$$et æqualis orificio M & cujus longitudo æqualis duplæ mediæ propor- tionali inter altitudines A & B.
§. 23. Sit in navi cylindrus altitudinis $upra $uperficiem maris A, per cujus orificium in eadem $uperficie po$itum amplitudinis M aquæ ver$us pup- pim effluant $ine ullo impedimento, con$erveturque cylindrus aqua con$tan- ter plenus, determinare potentiam navem continue propellentem.
Potentia navem propellens e$t æqualis reactioni aquarum dum effluunt,
$eu vi repellenti diminutæ potentia in præcedente paragrapho definita ab in-
ertia aquarum, quæ continue hauriuntur, oriunda. Vis repellens e$t æqua-
lis, per paragraphum hujus $ectionis quartum, 2 M A & hæc navem pro-
movet: vis altera quæ navem retardat e$t per præcedentem paragraphum
= 2 M √ A B. E$t igitur potentia ab$oluta navem promovens = 2 M -
2 M
§. 24. Si navis nullam habeat velocitatem, erit vis navem urgens =
2 M A; atque $i navis eadem velocitate movetur qua aquæ in plagam contra-
riam effluunt, fit B = A & tunc navis nulla vi propellitur. Si proinde na-
§. 25. Data potentia operariorum, qui aquas elevant, & data altitudi- ne ad quam aquæ elevantur, invenire amplitudinem foraminis effluxus & vim repellentem.
Sit potentia talis, qua $ingulis minutis $ecundis numerus pedum cu- bicorum aquæ N po$$it ad altitudinem unius pedis elevari, quam potentiam vi experimenti $ecundi $ectioni nonæ$ubjuncti exerere pote$t operariorum nu- merus de$ignandus per {5/4} N. Sit altitudo ad quam aquæ continue elevantur = A in pedilus expre$$a: amplitudo orificii in pedibus quadratis = M; erit numerus pedum cubicorum aquæ, quem operarii data potentia ad altitudi- nem A $ingulis minutis $ecundis elevare po$$unt, = {_N_/_A_} (per §. 22. _$ect_. 9.) erit igitur orificium ejus amplitudinis con$truendum, ut $ingulis minutis $ecundis numerus i$te pedum cubicorum aquæ per id effluere po$$it, $i liber- rime effluant. Sumamus autem loco minutorum $ecundorum tempus, quod corpus in$umit, dum libere cadit per altitudinem A: tempus id e$t hic expri- mendum {1/4} √ A, (po$ito concinnioris calculi gratia corpus à quiete libere cadens intra minutum $ec. ab$olvere 16. _ped_.) & hoc tempore debet effluere numerus pedum cubicorum aquæ de$ignandus per {_N_/_A_} X {1/4} √ A $eu {_N_/4 √ _A_}: effluit autem revera 2 M A, nempe cylindrus aqueus cujus ba$is e$t M & cu- jus longitudo facit duplicem altitudinem A: e$t igitur {_N_/4 √ _A_} = 2MA; unde amplitudo orificii $eu
M = {_N_/8_A_ √ _A_}.
Vis autem repellens fit æqualis 2 M A $eu = {_N_/4 √ _A_}.
§. 26. In quavis nave aquæ ad aliam atque aliam altitudinem $unt ele- vandæ, ut eadem potentia, quæ in hauriendis aquis in$umitur, vis navem promovens maxima obtineatur & duo requiruntur ad altitudinem illam uti- li$$imam definiendam pro certo operariorum numero. _Primo_ ut cognitum $it quamnam velocitatem propo$ita navis à data potentia acquirat: ratione hujus po$tulati, ponemus navem à pre$$ione, quæ $it æqualis ponderi unius pedis cubici aquæ $eu circiter 72 librarum acquirere velocitatem, quæ gene- retur lap$u libero per altitudinem C, & quia deinceps $emper in pedibus men$uras omnes exprimemus, erit pondus unius pedis cubici aquæ expri- mendum per unitatem. _Secundo_ pro cognita a$$umenda e$t relatio inter ce- leritates navis & potentias navem propellents: $tatuitur hic vulgo velocita- tes habere rationem $ubduplicatam virium propellentium, experimenta qui- dem hanc hypothe$in non exactè confirmant in motibus lentis; interim ta- men eam reliquis omnibus præferendam cen$emus. Si quis velit rem $ub alia hypothe$i explorare, is poterit eodem modo, quo nunc utemur, calculum in$tituere.
§. 27. Invenire altitudinem, ad quam aquæ continue elevandæ $unt, in$tituto utili$$imam, nempe talem, ut eadem potentia in elevandis aquis adhibenda vis navem promovens maxima oriatur.
Serventur denominationes omnes in hoc argumento adhibitæ: erit an- te omnia inquirenda velocitas navis $eu altitudo huic velocitati debita quam vocavimus B. Quia vero velocitates navis ponuntur proportionales radici- bus potentiarum navem urgentium, erunt altitudines velocitatum ip$is po- tentiis proportionales. Erit igitur talis analogia in$tituenda.
Sicuti pondus unius pedis cubici ad altitudinem C (conf. §. 26.) ita
pre$$io navem urgens $eu 2MA - 2M
B = 2 MC X (A -
Exinde fit pre$$io navem urgens = {_B/C_}, atque adeo’ proportionalis
altitudini B, quia C e$t quantitas con$tans: ergo & pre$$io navem promo-
vens & altitudo navis velocitati re$pondens $imul fiunt maximæ: Igitur $i pro
præ$enti in$tituto differentietur quantitas 2MA - 2M
E$t igitur vis navem promovens maxima cum altitudo, ad quam aquæ elevantur, e$t quadrupla altitudinis velocitati navis debitæ.
Ponatur in æquatione B = 2 M C X (A - √AB) $uperius inventa A = 4B & reperietur M = {1/4_C_}, & quia (per §. 25.) e$t M = {_N_/8_A_√_A_}, fit tunc A = ({1/2} NC)<_>{2/3}, atque B = {1/4}({1/2} NC)<_>{2/3}.
§. 28. Si ad præceptum præcedentis paragraphi orificio, per quod
aquæ inferius ex canali ver$us puppim effluunt, concilietur amplitudo {1/4_C_},
id e$t, talis, quæ $e habeat ad amplitudinem unius pedis quadrati, $icuti men-
$ura unius pedis, ad altitudinem quadruplam velocitati navis, vi 72. libra-
rum animatæ, debitam, fiet tunc ut navis dimidia velocitate feratur ejus qua
aquæ effluunt & erit vis repellens aquarum effluentium
2MA = {1/2_C_} X ({1/2} NC)<_>{2/3},
§. 29. Po$tquam $ic demon$travimus, quomodo utili$$ime maximo- que cum $ucce$$u i$te navigandi modus $it in$tituendus, nunc porro rem i$tam exemplo illu$trandam e$$e puto tali, quod cum ip$a rei natura non male con- venire crediderim ut $imul appareat, qualis præterpropter eventus futurus $it.
Con$ideremus triremem, vulgo _galeram_, cum 260 remigibus: pona- mus hanc galeram pondere unius pedis cubici aquæ $eu 72. librarum tractam perficere $ingulis minutis $ecundis $patium duorum pedum, cujus velocita- tis altitudo genitrix indicata per C e$t = {1/16}, po$ito corpus grave libere à quie- te decidens primo minuto $ecundo perficere 16. _ped_. Quia porro 260. ope- rarii adhibentur, quorum quivis vi experimenti $ecundi ad _Sect_. 9. pertinentis pote$t $ingulis minutis $ecundis quatuor quintas partes pedis cubici ad altitu- dinem unius pedis elevare, erit N = {4/5} X 260 = 208. Fiat igitur orificium, per quod aquæ effluant, amplitudinis 4 pedum quadratorum: poteruntque operarii aquam in canali $upra orificium elevatam con$ervare ad altitudinem proxime 3 {1/2} _ped_. quæ indicatur litera A, & $i $umas hujus altitudinis quar- tam partem habebis B = {7/8} _ped_. adeo ut navis tali velocitate $it i$ta navigatione progre$$ura, quam grave acquirit lap$u libero per altitudinem {7/8} _ped_. $ic ergo navis $ingulis minutis $ecundis $patium 7 {1/2} _ped_. perficiet & $ingulis horis 27000 _ped_. id e$t, plus duobus milliaribus gallicis: tanta navis velocitas remigatio- ne vix ac ne vix quidem obtineri pote$t.
Jam vero calculum alia hypothe$i $uper$truam, quam rei nauticæ intel-
ligentes non admodum improbaturos e$$e, confido: quadrat enim cum mul-
tis, quos ip$e $uper mari feci, ob$ervationibus: $upponam vela triremis perpen-
diculariter ad carinam expan$a $uperficiem habere 1600 pedum quadratorum,
hæcque ventum excipere directe impingentem, qui $ingulis minutis $ecundis
$patium percurrat 18. _ped_. navem vero in eadem directione $ic $ingulis minu-
tis $ecundis $patium perficere 6 pedum. Ita ventus in vela incurret velocita-
Hæc $i ita $int, $equitur navem ab elevatione aquarum 260. operario- rum po$$e ea velocitate propelli, qua $ingulis minutis $ecundis $patium per- currat 6 {1/2}. pedum.
Æ$timatio non admodum diver$a $equitur ex iis, quæ D. Chazelles
habet in _Comm. Acad. Reg. Sc. Pari$. ad ann._ 1702. _p_. 98. _edit Pari$_. Ut vero recte
ad in$titutum no$trum applicari po$$int, notandum erit in remigatione, vim
triremem propellentem non e$$e æ$timandam ex pre$$ione remigum in remos,
$ed ex pre$$ione, quam remorum extremitates aquis $ubmer$æ contra aquas
exerunt. Ut hanc proxime definiamus, hæc prius erunt ob$ervanda. Remiges
fuere adhibiti 260. totis viribus remigantes: $ingulis minutis primis remorum
impul$us (gallicè _palades_) facti $unt 24: integra remorum agitatio tribus ab$ol-
vitur motibus, quos eju$dem durationis ponam, eorumque unus $olus
triremem promovet: hoc modo triremis velocitate fuit provecta, qua
$ingulis minutis $ecundis $patium 7 {1/5}. _ped_. ab$olvebat, pars remi intra navem
fuit 6. pedum & extra navem 12. pedum: $uperficies autem (gallicè _les pales_)
omnium remorum, quæ contra aquas impelluntur, in unam collectæ D.
Chazelles facit 130. pedum quadratorum: notavit porro extremitatem inter-
nam remi $ingulis agitationibus $patium de$cribere $ex pedum: & quia quævis
agitatio tempore {60/24}. unius minuti $ecundi ab$olvitur $imulque ex tribus con-
$tat motibus, quos pono tautochronos, apparet quamvis remi retractionem
fieri tempore {20/24}. $eu {5/6}. unius minuti $ecundi & hoc tempore extremitas remi
interna ab$olvit $patium 6. pedum. Porro ob longitudinem $uperficiei remo-
rum, quæ contra aquas impellitur, non tota e$t ad di$tantiam 12. pedum
cen$enda: illam igitur di$tare ponam 10. pedibus, qua$i nempe pars remi ex-
tra navem promineret 10. pedes longa: hujus partis extremitas de$cribet 10.
pedes tempore {5/6} unius minuti $ecundi: quia vero ip$a triremis velocitatem
habet, qua eodem tempore $ex pedes ab$olvit, cen$endum e$t, remorum ex-
tremitates contra aquam impelli velocitate re$pectiva, qua tempore {5/6}. min.
$ec. 4. pedes de$cribat: igitur vis triremem propellens e$t æqualis vi, quam
aqua contra $uperficiem 130. pedum quadratorum exereret, $i velocitate in illam
incurreret, qua tempore {5/6} _min. $ec._ 4. _ped_. ab$olvat: hanc vim $ecundum vul-
Exinde $equitur, $i velocitates navis rationem $equi $ubduplicatam vi- rium propellentium ponantur, quod eadem hæc triremis pondere unius pedis cubici aquæ impul$a velocitatem habitura fui$$et, qua po$$it $ingulis minutis $ecundis perficere proxime duos pedes; quæ hypothe$is eadem e$t, cum illa quam primo loco adhibuimus, ita ut rur$us exinde $equatur triremem velo- citatem ab i$ta navigatione acqui$ituram e$$e, qua po$$it perficere $ingulis mi- nutis $ecundis 7 {1/2} pedes, quæ velocitas tantillo major e$t illa, quæ triremi re- migatione forti$$ima 260. remigum data fuit.
Rebus bene perpen$is hæ$ito, utrum navigationis genus $it præferen- dum, an remigatio, an aquarum elevatio, $ucce$$um fere æqualem credide- rim utriu$que, & pro certo affirmare audeo, $i minus promoveatur navis ab aquarum elevatione, defectum parvum fore: forta$$e autem promovebitur magis. Interim non dubito, quin nova i$ta navigationis idea harum rerum ignaris vana & ridicula appareat. Ego vero aliter $entio velimque ut animus porro ad $equentia advertatur.
_Primo_. Quod aquæ in omni navium genere, ubi remi plane adhiberi nequeunt, commode elevari po$$unt, ita ut nova i$ta navigatione naves etiam bellicæ prægraves, quibus in pugnis navalibus utuntur, deficiente omni vento, quo lubet agi po$$int.
_Secundo_. Quod $ic in theoria exemplum habetur, dari vires motrices $ive propellentes, quæ dici po$$unt intrin$ecæ: Excitabuntur i$to exemplo ingenia ad excogitanda huju$modi alia motus principia eaque magis perficien- da & ad navigationis u$um adhibenda.
_Tertio_. Quod multis modis $ublevari pote$t labor hominum in elevan-
dis aquis $ecus atque fieri pote$t in remorum u$u: $unt nempe res naturales
in$igni & fere incredibili virtute præditæ eæque mediocri pretio comparandæ,
quibus idem quod labore hominum effici pote$t: harum u$us præ$ertim bre-
_Quarto_. Quod nonnulla alia compendia purè mechanica adhiberi po$- $int $imilia illi quod _§_. 27. datum fuit, quorum nempe ope ab eodem labo- re effectus in promovendis navibus non parum cre$cit: Verum non licet jam $ecundum veram rei indolem omnia pertractare.
UT vim repelle@tem experimento recte cogno$cere liceat, adhiberi pote- rit vas quod habeat formam parallelopipedi eju$que pondus $umi tam vacui quam aqua pleni, po$teaque indagari ratio inter amplitudinem va$is & amplitudinem foraminis, quod in latere va$is e$$e debet, $icut & ratio in- ter altitudines aquæ $upra foramen & $upra ba$in: Inde deducere licebit ratio- nem inter pondus va$is aqua pleni & cylindri aquei foramini verticaliter $uper- incumbentis. Porro ex ob$ervata amplitudine jactus habebitur velocitas aquæ: ex hac, $i $imul jungas quantitatem aquæ dato tempore effluentem pariter ob$ervandam, colliges amplitudinem venæ contractæ, quam comparare pote- ris cum amplitudine orificii.
His omnibus exploratis $u$pendatur vas ex filo prælongo adhibita $i- mul cura, ut alium motum habere non po$$it, quam qui $it directioni aqua- rum effluentium contrarius. Tum demum aquis effluxus concedatur & ob- $ervabitur filum $itum verticalem de$erere & ex angulo declinationis cogno$- cetur vis repellens eaque cum men$uris, quas indicavimus, comparari poterit.
Feci ip$e aliquando omnia, ut nunc monui, vi$umque fuit regulam no$tram §. 2. recte confirmari: non potui tamen tum temporis fufficiente accuratione experimentum in$tituere, nec illud po$tea repetii.
Alio tempore rem aliter tentavi: vas nempe de quo omnes men$uras requi$itas $um$eram aqua plenum naviculæ impo$ui in puppi: navicula aquis in alveo innatabat: Deinde aquis ex va$e effluentibus (ita tamen ut in navicu- lam non illiderent) navicula in plagam contrariam progre$$a e$t: velocitatem naviculæ ex $patio dato tempore percur$o recti$$ime exploravi. Deinde in- qui$ivi quantum pondu$culum naviculæ e$$et appendendum, ut illo pondere $ollicitata eandem velocitatem acquireret. In$tituta deinde comparatione i$tius ponderis cum pondere cylindri aquei datæ diametri, inde recti$$ime theoriam no$tram confirmari vidi.
Effluentibus aquis ex va$e naviculæ $uperimpo$ito in naviculam, hæc omnino immota perman$it: Id indicat impetum venæ aqueæ æqualem e$$e vi repellenti, ut demon$travi §. §. 16. & 17. Tum etiam $i vena aquea directe impingebat in planum naviculæ affixum, hæc fimiliter immota $tetit, quod rur$us æqualitatem impetus & vis repellentis probat: at $i vena oblique in pla- num incidebat, navicula quidem motum obtinuit $ed lentiorem.
Denique $i aquæ effluentes à navicula excipiebantur, ita ut orificium
aquis in navicula $tagnantibus e$$et $ubmer$um, $imiliter ab$que motu per$te-
tit navicula, documento, quod eadem pre$$io à vena oriatur, $ive fiat ut om-
nis ejus motus cohibeatur, $ive ut ad angulum rectum declinetur, prouti de-
mon$tratum fuit §. 18. æqualitatem inter vim repellentem & vim venæ aqueæ
perpendiculariter in planum incidentis plurimis aliis modis exacti$$ime confir-
mavi. Hanc autem vim theoriæ no$træ conformem opinionique omnibus adhuc
Ut etiam o$tenderem fal$itatem regulæ receptæ tum de vi repellente
tum de impetu aquarum, adhibui vas quale o$tendit Figura 86. in$tructum ca-