metadata: dcterms:identifier ECHO:FBVYV7EH.xml dcterms:creator (GND:118880632) Clavius, Christoph dcterms:title (la) Geometria practica dcterms:date 1606 dcterms:language lat text (la) free http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView/ECHOzogiLib?mode=imagepath&url=/mpiwg/online/permanent/library/FBVYV7EH/pageimg log: parameters: despecs = 1.1.2 unknown: <002> = ꝑ (occurs 10 time(s)) <003> = ꝗ (occurs 1 time(s)) <004> = ꝗ̃ (occurs 9 time(s)) <006> = ℞ (prescription take) (occurs 11 time(s)) <007> = i or ı (dotless i) (occurs 880 time(s)) <030> = ꝓ (occurs 1 time(s)) <041> = ♋ (zodiac: cancer) (occurs 3 time(s)) <043> = ♑ (zodiac: capricorn) (occurs 3 time(s)) replacements: ɔ = ↄ [001] [002] [003] [004] [005] CHRISTOPHORI CLAVII BAMBER- GENSISE SOCIETATE IESV. GEOMETRIA PRACTICA. Cum gratia & Priuilegio Sac. Cæ$. Maie$tat. Superiorum Permi$u. MOGVNTIA, Ex Typographeo lOANNIS ALBINI. _ANNO M. DC. VI_. [006] [007] PERILLVSTRI AC GENEROSO D. GEORGIO FVGGERO SENIORI BARONI IN KIRCHBERG, ET VVEISSENHORN Chri$tophorus Clauius è Societate IESV S.P.D.

VT VENIET IN MANVS TVAS liber hic meus, Genero$e Domine, ve- niet & in ment\~e, vt opinor, Theocrit{ae}- um illud, βάρ{δι}{στα}ς μακάρων ὧ{ρα}ι φίλ{αι}: cum lenti$$imo gradu, quo mira celeritate aduolare debuerat, vix aliquando peruenerit. Serius omnino merito tuo, & vo- to meo partus hic no$ter properat ad Patronum $uum: verum $i editum illum iam grauibus annis re- putaueris, facile apudte con$titues, à tarda $ene- ctute non. ni$i fœtum tardum expectari potui$$e. Nunquam alias tam frequentibus, mole$ti$que mor- bis conflictatus, nunquã tanto ar$i de$iderio, vt quod iam diu conceperam, aliquando in lucem exponer\~e, [008] experientia, & Pindarica voce doctus, ἀ{προ}{σί}κτων ἐρώτων ὀζυ{τέ}{ρα}ς {εἶ}ν{αι} μ{αν}ί{ας}. Obuer$abaris enim noctes, die$que oculis meis, vir ampli$$imè: & iure tuo, vt iam affe- cta perfecta tibi traderem, flagitare videbaris. Non exiguam vim pecuniæ gentilitia liberalitate ad men- $as depo$ueras, paratam in v$us, expen$a$q; cudendi li- bri: res monebat, vt diligentia mea minus prompta non e$$et munificentia tua. Accedebat quod onus Ætna grauius impo$uerat ob$eruantia tua $ingularis in me: quo aliqua ex parte qua ratione leuari po$$em alia, non videbam. Vir enim in Mathematicis non vulgari cum laude exercitati$$imus, tanto in honore habui$ti $emper labores, & libros meos, vt ijs, quite probe, meque norunt penè miraculo po$$is e$$e. Sie- nim Clauij libros in manibus haberes eo con$ilio: vt amici tui $cripta, quod potes, redderes meliora: doctri nam tuam omnes agno$cerent, laudar\~et beneuolen- tiã; Sed à te tanto viro in Mathematicis partus tenues, nec operæ multæ a$$idua ver$ari manu, hoc illud e$t, quod jure mirari quis po$$it: hoc non ob$curum indi- cium, à te mea, qua$i egregium, eximiumque aliquid $int, exi$timari. A qua præ$tantia quantum ab$im, quia video: ideo intelligo maximum e$$e $tudium in me tuum: à quo $i præter meritum hone$tor, pro me- rito certe ita ob$tringor, vt quæ maxima e$t viribus meis grati animi te$tificatio, minima $it pro benefi- cio tuo. Hanc tamen qualemcunque gratæ mentis in te $ignification\~e extare quam primumvolebam, cum præ$ertim ad has rationes acce$$io fieret aliarum, quæ apud optimum quemq; plurimum $emper valere cõ- [009] $ueuerunt. Ego enim has viuendi rationes, & in$titu- ta $ecutus, ad cuius alterius patrocinium meos libros adlegarem, ni$i ad illum, quem vniuer$us no$træ So- cietatis ordo acerrimũ $ui propugnatorem, & aman- ti$$imum patronum $emper expertus e$t? Familiaris igitur tibi cum $it tutela no$trum, mea hæc ab inui- dorum, ignarorumq; mor$ibus vindicabis, non au- ctoritate modo vrgens aduer$arios, $ed etiam doctri- na. Qua cogitatione $um permotus, vt tibi præcipuè Geometriam Practicam de$tinarem. Iis etenim, qui no$tris in $tudiis non admodum de$udarunt, $i quid offeras tale, magna cura explicanda prius e$t, & com- mendanda per epi$tolam libri doctrina, ne $e contem- ptos humilitate muneris arbitrentur. Tu, vt hoc dun- taxat vnum legis, Geometria Practica; quantum vtili- tatis, voluptati$que lateat in toto libro, optimè perui- des. His igitur a$$iduis cogitationibus, qua$i tot faci- bus inflammatus, ætatem, valetudinemq; aduer$am, Deo propitio, tandem vici; & per hæc locorum in- terualla opus ad te tuũ venire iubeo. Tuum, inquam: & quia virtus, liberalita$que tua illud a$$eruere tibi: & quia ab eo $criptum e$t, qui tuus e$t. Quod $i gra- tum fui$$e tibi intelligam, laborum meorum fructum cumulatum feram, cum amanti$$imum mei re non ingrata donauerim. Vale.

ROMÆ PRIDIE IDVS SEPTEMB. cIɔ. cI. CIIII. [010] CLAVDIVS AQVAVIVA SOCIETATIS IESV Præpo$itus Generalis.

CVM opus hoc Geometriæ Practicæ, à P.Chri$to- phoro Clauio Societatis no$træ Theologo com- po$itum, & in octo libros di$tributum, tres eiu$dem Societatis Theologi, quibus id commi$imus, recog- nouerint, ac in lucem edi po$$e probauerint; faculta- tem concedimus, vt typis mandetur, $i ita Reueren- di$$imo D. Vice$gerenti, ac Reuerendi$s. P.M. $acri Palatij videbitur. In quorum fidem has litteras manu no$tra $ub$criptas, & $igillo no$tro munitas dedimus. Romæ 23. Maij 1604.

Claudius Aquauiua Societatis IESV Præp.Gen.

Imprimatur $i placet R.P.M.S. Palatii.

B. Gyp$ius Vice$gerens.

EGO Theodo$ius Rubeus Priuernas S. Theol. & I.V.D. ex com- mi$$ione Reuerendi$s. P.M. Ioannis Mariæ Bra$ichellen$. Sac. Palat. Apo$t. Mag. $edula, qua potui diligentia, euolui Geometriæ Practicæ li- bros octo, graui$$imi, & docti$$imi viri Chri$tophori Clauii Bamber- gen$is Societatis IESV, in qua talis inuentionum vbertas, & $ubtili$$i- ma inuentorum demon$tratio elucet, vttanto viro, tantoque ingenio digna cen$eatur. Ex quo facilè deprehen di pote$t, in eanihil Catholicæ Religioni, boni$que moribus di$$onum inueniri, eamque in lucem non edere, e$$et patrisfamilias creditum talentum in terra defodere. Et ita ego cen$eo, $aluo $emper $aniori iudicio. Dat. ex meo $tudio hac die 16. Iulii 1604.

Ego Theodo$ius Rubeus, qui $upra, manu propria.

Imprimatur.

Fr. Paulus de Francis de Neap. $ocius Reuerend<007>$s. P.Magi$tri $acri Palatii Apo$t.

[011] INDEX CAPITVM, PROBLE- MATVM, AC PROPOSITIONVM HORVM VIII. LIBRORVM. PRIMI LIBRI CAPITA. _I. INSTRVMENTI_ partium con$tructio, atque v$us multiplex. # 4. v${\’que} ad 14 _II._ Con$tructio Qu@adrant{is}, in quo Minuta quoque ac Secunda deprehendantur, etiam$i gradus in ea $ecti non $int. Et quo pacto eadens Min. & Sec. obtineri po$$int <007>n Quadrante in 90. gradus di$tributo. Ac deni{que} qua rat<007>one ex data recta in pauc<007>$$imas part{es} æqual{es} diui$a ab$cindi po$$int part{es} m@lle$imæ, & c. # 14. v${que} ad 44 _III._ Problemata varia triangulorum rectilineorum. # 44. v$que ad 50 SECVNDI LIBRI PROBLEMATA. _I. DISTANTIAM_ in plano, $iue acce$$ibil{is} ea $it, $iue inacce$$ibil{is}, per du{as} $ta- tion{es} in eodem plano factas, per quadrantem metiri, quando in e<007>{us} extremo erecta est alitudo aliqua perpendicular{is}, etiam$i infimum @i{us} extre@um non cernatur. Atque h<007>nc altitudinem quoque ip$am elicere. # 51 _LEMMA. Datis duabus rectis ad inuicem inclinatis, punctum, in quo con-_ _ueniant, inuenire_. # 55 _II._ Altitudinem inacce$$ibilem, quando d<007>$tantia à loco men$or{is} ad ba$em altitu- din{is} ignota e$t, per du{as} $tation{es} in plano fact{as}, per quadrantem d<007>metiri. Atque hinc di$tantiam quoque ip$am eruere, {et}iam$i extrem{us} ei{us} termin{us} non cernatur. # 57 _III_. Ex vertice mont{is}, aut turr{is}, in cui{us} $ummitate duæ $tation{es} fieri po$$int, èquib{us} $ignum aliquod in Horizonte æppareat, altitudinem ip$i{us} mont{is} turri$ue di- m{et}iri. Atque hinc ip$am quoque di$tantiam à turris ba$i, vel perpend<007>culo mont{is} ad $ignum illud inue$tigare. # 59 _IV_. Ex vertice mont{is}, vel turr{is}, per du{as} $tation{es} in aliqua ha$taerecta, velin duab{us} fene$tr{is} turr{is}, quarum vna $upra aliam exi$tat, fact{as}, è quib{us} $ignum ali- quod in Horizonte videri po$$it, altitud<007>nem ip$i{us} mont{is}, aut turr{is} per quadrantem. m{et}@ri. At{\’que} hinc di$tantiam quoque a perpend<007>culo mont{is}, velturr{is}, v$que ad $ignum vi$um cogno$cere. # 62 _V_. Ex vertice mont{is}, aut turr{is}, altitudinem ip$i{us}, $i in plano, cui in$i$tit, $patium. al<007>quodè directo men$or{is} notum $it, per quadr antem deprehendere. # 64 _VI_. D<007>$tantiam ab oculo, vel pede men$or{is} ad quodu{is} punctum in aliqua altitu- dine notatum, per du{as} $tation{es} in plano fact{as}, per quadrantem metiri. # 65 _VII_. Interuallum inter duo puncta in quol<007>bet plano eleuato, $iue illud ad Horizon- tem rectum $it, $iue <007>nclinatum, per quadrantem met<007>ri. # 67 [012]INDEX. _VIII_. Longitudinem lineæ rectæ, quando men$or in vno ei{us} extremo, vel in ali- qua altitudine nota, quæ perpendicular{<007>s} $it in eo extremo ad planum in quo linea iacet, exi$tens alterum extremum videre potest, per Quadrantem comprehendere. # 68 _IX_. Longitudinem, ad cuius extrema accedere non liceat, dummodo ea appareant, & ip$a longitudo producta ad ped{es} men$or{is} pertingat, ex altitudine aliqua nota per qua- drantem dimetiri. # 68 _X_. Longitudinem tran$uer$am in Horizonte, cui{us} vtrumque extremum in$pici potest, notam efficere per quadr antem: # 69 _XI_. Longitudinem in Horizonte inter turrim aliquam, & al<007>ud quodpiam $i- gnum, exturri per du{as} $tation{es} in fa$tigio fact{as}, velin duab{us} fene$tr{is}, quarum vna $it $ub altera ad perpendiculum, quando $patium inter ill{as} fene$tr{as} notum e$t, etiam$i toti{us} turr{is} altitudo ignota $it, per quadrantem dimetiri. Atque hinc obiter altitudi- nem turr{is} patefacere. # 70 _XII_. Longitudinem rectæ è directo men$or{is} po$itæ, cui{us} extremum vtrum{\’que}, vel alterum non appareat, ni$i ad dexteram, vel $ini$tram recedat men$or, per quadrantem. comprehendere. # 71 _XIII_. Di$tantiam alicui{us} $igni in Horizonte po$iti à $ummitate turr{is}, vel muri alicui{us}, licet ad ip$um $ignum acce$${us} non pateat, per quadrantem colligere. # 72 _XIIII_. Altitudinem inacce$$ibilem, cu<007>{us} ba$is non videatur, & ad quam per nullum $patium $ecundum lineam rectam accedere po$$im{us}, aut recedere, vt duæ $ta- tion{es} fieri po$$int, $ed $olum ad dexteram, $ini$lramue ad locum, è quo ei{us} ba$is appareat, per quadrantem explorare. # 72 _XV_. Altitudinem inacce$$ibilem, quando neque di$tantia à loco men$or{is} ad ei{us} ba$em nota e$t, neque è directo ip$i{us} duæ $tation{es} in plano fieri po$$unt, neque denique ba$is appareat, per quadrantem notam reddere. Atque hinc obiter ip$am quoque di$tan- tiam elicere. # 73 _XVI_. Altitudinem maiorem ex minori cognita per du{as} $tation{es} in $ummitate, vel in duab{us} fene$tr{is} fact{as}, {et}iam$i $olum maior{is} altitudin{is} vertex cernatur, per qua- drantem ad<007>nuenire. Atque hinc di$tantiam quoque inter altitudin{es} colligere. # 74 _XVII_. Altitudinem maiorem ex minori incognita, dummodo ba$is maior{is} cerni po$$it, per quadrantem per$crutari. # 75 _XVIII_. Altitudinem minorem ex maiori cognita, licet ba$is minor{is} non cerni po$$it, ope quadrant{is} perue$tigare. Atque hinc d<007>$tant<007>am quoque inter du{as} altitu di- n{es} eruere. # 75 _XIX_. Altitudinem minorem ex maiori incognita, dummodo ba$is minor{is} vide- ri po$$it per quadrantem explorare. Atque hinc d<007>$tantiam quoque inter du{as} altitudi- n{es} coniicere. # 76 _XX_. Portionem altitudin{is} maior{is} ex minore altitudine, & minor{is} portionem ex maiore, per quadrantem cogno$cere. # 76 _XXI_. Altitudinem, cui{us} ba$is impo$ita $it alteri altitudini, & vtr aque illi{us} ex- tremitas cerni po$$it, {et}iam$i infimum punctum al<007>eri{us}, cui imponitur, lateat, & eiu$- dem puncti <007>nfimi di$tantia à loco men$or{is} cognita non$it, per quadrantem ex valle, aut ex plano Horizont{is} explorare. # 77 _XXII_. Di$tantiam accliuem mont{is} à loco men$or{is} v$que ad ba$em altitudin{is} monti impo$itæ, {et}iam non vi$am, vna cum ip$a altitudine, quando men$or in a$cen$u mont{is} con$i$tit, prope verum beneficio quadrant{is} efficere cognitam. # 79 _XXIII_. Profunditatem putei, vel ædificii cuiu$cunque ad perpendiculum erecti, [013]INDEX. $i modo angul{us} fundi, vel $ignum aliquod in fundo po$itum con$piciatur, per quadran- tem reperire. # 80 _XXIV_. Profunditatem vall{is}, eiu$demque de$cen$um obliquum, $i non $it valdè inæqual{is}, eiu$que termin{us}, vel aliquod in ea $ignum con$pici po$$it, per quadrantem. $crutari. # 82 TERTII LIBRI PROBLEMATA. Quadrat<007> Geometrici con$tructio. # 84 _I_. Altitudinem Sol{is}, vel $tellæ cuiu$u{is} per quadratum Geometricum ob$er- uare. # 87 Tabula Gnomonica. # 91 _II_. Di$tantiam interte, & $ignum quodcunque in plano Horizont{is} po$itum, per quadratum perue$tigare. # 96 _Eandem beneficio baculi, vel arundinis cogno$cere_. # 100 _III_. Di$tantiam in plano per du{as} $tation{es} in eodem plano fact{as}, per quadr atum m{et}iri, quando in ei{us} extremo erecta e$t altitudo aliqua perpendicular{is}, {et}iam $i infi- mum ei{us} extremum non cernatur. # 100 _IIII_. Di$tantiam eandem per du{as} $tation{es} in aliqua altitudine erecta fact{as}, ope quadrati per$crutari. # 103 _V_. Altitudinem cuiusl<007>bet rei erectæ per ei{us} di$tantiam ab oculo men$or{is}, benefi- cio quadrati coniicere. # 106 _VI_. Altitudinem eandem, {et}iam$i ei{us} di$tantia ab oculo men$or{is} neque data $it, neque inuenta, per du{as} $tat<007>on{es} in plano fact{as}, auxilio quadrati patefa- cere. # 107 _VII_. Altitudinem eandem, quando di$tantia ab oculo men$or{is} neque data est, neque inuenta, neque è directo altitudin{is} duæ $tation{es} fieri po$$unt, per du{as} $t ation{es} in ha$t a aliqua erecta fact{as}, per quadratum indagare. # 111 _SCHOLIVM. Eandem altitudinem, eiu$que di$tantiam ab oculo men$o-_ _ris, vna cum hypotenu$a ab oculo ad fa$tigium altitudinis exten$a, ope qua-_ _drati $tabilis per vnicam $tationem venari, etiam$i $olum fa$tigium rei erectæ_ _cernatur adeò vt $cholium hoc omnia præ$tet, quæ in problem. 3. 4. 5. 6. & 7. per_ _plures $tationes inue$tigauimus_. # 112 _VIII_. Altitudinem turr{is}, aut mont{is}, ex ei{us} $ummitate per quadratum dim{et}i- ri quando in plano $umm<007>tat{is} Hor<007>zonti æquidi$tante duæ $tation{es} fieri po$$unt, & $ignum aliquodin Horizonte cernitur. # 114 _IX_. Altitudinem turr{is}, vel mont{is}, ex ei{us} $ummitate per du{as} $tation{es} in ha- $ta aliquaerecta fact{as} per quadratum inue$tigare, quando $ignum aliquodin Horizon- te po$itum videri potest. # 116 _SCHOLIVM. Eandem altitudinem ex eius vertice per vnicam $tationem,_ _vna cum di$tantia à turre vel perpendiculo montis ad $ignum in Horizonte po-_ _$itum, per quadratum $tabile metiri_. # 117 _X_. Ex $ummitate turr{is}, vel aliqua ei{us} fene$tra, di$tantiam à ba$e turr{is} ad $i- gnum propo$itum in Horizonte per quadratum cogno$cere. # 119 _XI_ Ex altitudin{is} alicui{us} fa$t<007>gio, {et}iam$i altitudo $it men$or{is} $tatura, di$tan- [014]INDEX. tiam inter duo $igna in plano, cui altitudo in$i$tit, $i ea di$tantia è directo men$or{is} iaceat, & vtrumque e<007>{us} extremum cerni po$$it, per quadratum compreben- dere. # 121 _XII_. Longitudinem in Horizonte exten$am, per quadratum metiri, quando men- $or in vno ei{us} extremo exi$tens alterum extremum videre non potest, propter tumo- rem aliquem <007>nteriectum, neque altitudo in promptu est, $ed $olum ad dextram, vel $i- ni$tram per l<007>neam perpend<007>cularem recedere potest adlocum, è quo alterum extremum appare{at}. # 121 _XIII_. Longitudinem in Horizonte è directo men$or{is} iacentem, per quadratum. cogno$cere, ad cui{us} extrema neque accedere l<007>ceat, neque è loco men$or{is} eam d@meti- r<007>, neque vlla ad$it alt<007>tudo, dummodo ad dextram, vel $ini$tram per l<007>neam perpen- dicularem ad locum al<007>quem ire po$$it men$or, ex quo vtrumque extremum appa- reat. # 122 _XIV_. Altitudinem mont{is}, vel turr{is}, ex ei{us}fa$tigio, quando è directo men$or{is} in- teruallum aliquod inter duo $igna, vel {et}iam inter $ignum quodpi@m, ac turrim cogni- tum est, per quadratum coni<007>cere. # 122 _XV_. D<007>$tantiam ab oculo, vel pede men$or{is}, (vbicunque exi$tat,) ad quodu{is} punctum in aliqua altitudine notatum, per quadratum exquirere. # 123 _XVI_. Interuallum inter duo $igna, vel punctain quolib{et} plano, $iue recto ad Hori- Zontem, $iue incl<007>nato, per quadratum metiri. # 126 _XVII_. Interuallum tran$uer$um <007>n Horizonte, cui{us} vtrumque extremum videri potest, per quadratum metiri. # 127 _XVIII_. Di$tantiam alicui{us} $igni in Horizonte po$iti à $ummitate turr{is}, vel muri alicui{us}, licet ad ip$um $ignum acce$${us} non pateat, per quadr atum eruere, vbicunque men$or exi$tat. # 128 _XIX_. Altitudinem inacce$$ibilem, cui{us} ba$is non videatur, & ad quam per nul- lum $patium $ecundum rectam lineam accedere po{$s}it men$or aut recedere, vt duæ $ta- tion{es} fieri po{$s}int, $ed $olum ad dextr am, $ini$tramue ad locum, è quo ei{us} ba$is cernatur, per quadratum explorare. # 128 _XX_. Altitudinem maiorem ex minori cognita, etiam$i $olum maior{is} altitudin{is} vertex cernatur, per quadratum efficere notam. # 129 _XXI_. Altitudinem maiorem ex minori incognita, $i tamen ba$is maior{is} cerni po$- $it, per quadratum venari. # 130 _XXII_. Altitudinem minorem ex maiori cognita, licet ba$is minor{is} cerni non po$- $it, per quadratum $crutari. # 130 _XXIII_. Altitudinem minorem ex maiori incognita, dummodo ba$is minor{is} ap- pareat, per quadratum el<007>cere. # 130 _XXIV_. Portionem altitudin{is} maior{is} ex minore altitudine, & minor{is} portionem ex maiore, per quadratum percipere. # 131 _XXV_. Altitudinem, cui{us} ba$is impo$ita $it monti, vel alteri cuipiam altitudini, & vtraque ill{us} extremit{as} cerni po{$s}it, etiam$i infimum punctum alter<007>{us}, cuiimponi- tur, lateat, & eiu$dem puncti infimi d<007>$tantia à loco men$or{is} cognita non $it, per quadra- tum ex valle, aut ex plano Hor<007>zont{is} explorare. # 131 _XXVI_. Di$tantiam accliuem mont{is} à loco men$or{is} v${que} ad ba$em altitudin{is} mon- ti impo$itæ, etiam non vi$am, vnà cum ip$a altitudine, quando men$or in a$cen$u mon- t{is} con$i$tit, propè verum, beneficio quadrati efficere cognitam. # 132 [015]INDEX. _XXVII_. Profunditatem putei, vel ædificii cuiu$u{is} ad perpendiculum erecti, {$s} modo angul{us} fundi, vel $ignum aliquod in fundo po$itum con$piciatur, per quadratum. efficere notam. # 134 _XXVIII_. Profunditatem vall{is}, eiu$demque de$cen$um obliquum, $i non $it valdè inæqual{is}, & ei{us} termin{us}, vel aliquod in ea $ignum con$pici po$$it, per quadratum. cogno$cere. # 135 _XXIX_. Di$tantiam <007>nter ped{es} men$or{is}, & $ignum aliquod in plano Hori- Zont{is}, beneficio bacul<007> m{et}iri, quando extrem{us} termin{us} di$tantiæ videri po- test, # 137 _XXX_. Altitudinem turr{is}, aut alteri{us} rei, per baculum indagare. # 137 _XXXI_. Di$tantiam in plano Horizont{is} inter men$orem, & $ignum quodu{is}, be- neficio Normæ adinuenire. # 138 _XXXII_. Altitudinem turr{is}, aut alteri{us} rei, per Normam inue$tigare. # 139 _XXXIII_. Di$tantiam in plano Hor<007>zont{is}, quæ non $it valdè magna, alio modo facill@mo dimetiri # 139 _XXXIV_. Altitudinem cu<007>u$que rei erectæ ex ei{us} vmbra, quam, Sole lucente, proiicit, $i nota fuerit, per quadratum deprehendere. # 140 _XXXV_. Longitudinem vmbræ ab altitudine, Sole lucente, proiectæ, quando alti- tudo est cognita ope quadrati apertam, & manife$tam facere. # 141 _XXXVI_. Di$tantiam in Hor<007>zonte inter men$orem, & $ignum aliquod vi$um. beneficio $implici$$imi cuiu$dam in$trumenti comperire. # 141 _XXXVII_. Di$tantiam inter duo montium, autturrium cacumina, ope præd<007>cti in- $trumenti coniicere. # 142 _XXXVIII_. Longitudinem a$cen${us} alicui{us} mont{is}, $i ei{us} cacumen ab oculo in radice con$tituto videatur, eiu$dem in$trumenti beneficio cogno$cere. # 143 _XXXIX_. Altitudinem, ad cui{us} ba$em pateat acce$${us}, beneficio $peculi plani, vna cum d@$tantia $peculi a cacumine altitud<007>n{is} deprehendere. # 144 _XL_. Altitudinem inacce{$s}ibilem beneficio $peculi plani, vnà cum $peculi d<007>$tantia tam a ba$e, etiam non vi$a, quam a cacumine ali@tud<007>n{is}, cogno$cere. # 145 _XLI_. Altitudinem monti impo$itam, $i modo altitudin{is} ba$is po{$s}it con$pici; vel por- tionem $uperiorem alicui{us} turr{is}, beneficio $peculi plani efficere notam. # 147 _XLII_. Situm cuiu$l<007>bet campi, aut atru, vel templi, vel {et}iam vrb{is}, aut region{is} cu- iu$u{is} in plano de$cribere, $i è duob{us} loc{is} intra ip$um $itum a$$umpt{is} baculi ex omnib{us} campi angul{is} erecti, vel certè ip$i anguli in ædificio, aut vrbe, vel loc@region{is} videri po$- $int: $imulque latitudin{es} laterum campi, vel ædificii, nec non di$tanti{as} inter angu- los, & vtrumu{is} locorum a$$umptorum, in data men$ura cogno$cere. Quod $i ta- lia duo loca intra $itum eligi nequeant, idem efficere, dummodo $itum po$$im{us} cir- cumire. # 147 _XLIII_. Longitudinem trab{is} ad Horizontem inclinatæ, cui{us} portio $uperior tan- tum con$piciatur, vna cum angulo inclination{is}, di$tantia ba$is à men$ore, & altitudine fa$tigii $upra Horizontem, per quadratum metiri. # 151 _XLIV_. V<007>$is duarum turr<007>um $ummitatib{us}, {et}iam$i ba${es} propter æd<007>ficia interie- cta occultentur, d@$tantiam tam inter earum ba${es}, quam inter earundem fa$tigia, vnà cum ip$arum altitud<007>nib{us}, ac di$t anti{is} à men$or@ coniicere. # 151 _SCHOLIVM. Vnica regula ad omnes rectas dimetiendas quando earum_ _extrema videntur_. # 152 [016]INDEX. _XLV_. Spatium terræ inæquale pro ducend{is} aqu{is} librare: aut {et}iam, $ilubet, Ho- rizonti æquidi$tans efficere. # 153 QVARTI LIBRI CAPITA. I. _De area Rectangulorum_. # _157_ II. _De area Triangulorum_. # _158_ III. _De area Quadrilaterorum non rectangulorum_. # _169_ IIII. _De area multilaterarum figurarum irregularium_. # _171_ V. _De area multilaterarum figurarum regularium_. # _175_ VI. _De dimen$ione circuli ex Archimede_. # _181_ PROPOSITIO I. Area cuiuslibet circuli æqualis e$t triangulo, cuius vnum quidemla@us circa angulum rectum $emidiametrum circuli, alterum verò pe- ripheriæ eiu$dem circuli æquale e$t. # 182 IOSEPHI Scaligeri error hoc in loco. # 184 PROPOSITIO II. Cuiuslibet circuli peripheria tripla e$t diametri, & ad- huc $uperat parte, quæ quidem minor e$t decem $eptuage$imis, hoc e$t, $eptima parte diametri, maior verò decem $eptuage$imis primis. # 185 COROLLARIVM. Diameter per 3 {1/7}. multiplicata gignit numerum maio- rem circumferentia: multiplicata verò per 3 {10/71}. facit numerum circumferen- tia minorem. E contrario circumferentia diui$a per 3 {1/7}. procreat numerum mi- norem diametro: diui$a verò per 3 {10/71}. producit numerum diametro maio- rem. # 191 PROPOSITIO III. Circulus quilibet ad quadratum diametri proportio- nem habet, quam 11. ad 14. proximè. # 191 VII. _De area circuli, in@entioneque circumferentiæ ex diam{et}ro & diam{et}ri ex_ _circumferentia_. # _192_ PROPOSITIO I. Circulorum diametri inter $e $unt, vt circumferentiæ. # 194 PROPOSITIO II. Proportio quadrati ex diametro cuiuslibet circuli de$cri- pti ad circuli aream maior e$t, quam 14. ad 11. minor autem, quam 284. ad 223. # 195 PROPOSITIO III. Proportio quadrati à circumferentia circuli cuiu$uis de$cripti ad circuli aream maior e$t, quam 892. ad 71. minor autem, quam 88. ad 7. # 196 VIII. _De area $egmentorum circuli_. # _199_ I. Data circuliarea, circumferentiam, ac diametrum cogno$cere. # 201 II. Dato arcu cuiu$uis circuli, diametrũ circuli in numeris inue$tigare. # 201 III. Datis diametris duorum circulorum, vel circumferentiis: Aut duobus lateribus homologis duarum figurarum $imilium, $imiliter que po$itarum; quam proportionem circuli, vel figuræ inter $e habeant, cogno$cere. # 201 IIII. Datis pluribus circulis, quorum diametri, vel circumferentiæ cognitæ $int: Item pluribus figuris $imilibus, $imiliter que po$itis, quarum latera homo- loga $int nota; inuenire diametrum, vel circumferentiam, cuius circulus omni- bus circulis propo$itis æqualis $it: Item latus reperire, cuius figura $imilis, $imi- literque po$ita, æqualis $it omnibus propo$itis figuris. # 202 [017]INDEX. V. _Aream propo$itæ Ellip$is indagare_. # _202_ VI. _Aream propo$itæ Parabolæ inue$tigare_. # _203_ QVINTI LIBRI CAPITA. I. _De area Parallelepipedorum, Pri$matum, & Cylindrorum_. # _204_ II. _De area Pyramidum, & Conorum_. # _206_ III. _De Area fru$ti Pyramid{is}, & Coni_. # _207_ SCHOLIVM. De area variorum $olidorum. # 209 IV. _De Area quinque corporum Regularium_. # _210_ V. _De Area $phæræ, inuentioneque $uperficiei conuexæ eiu$dem $phæræ_. # _218_ PROPOSITIO I. Quam proportionem habent duæ quælibet partes ali- quotæ magnitudinis cuiu$cunque, eandem habent duæ $imiles partes alterius cuiu$uis magnitudinis. # 218 PROPOSITIO II. Rectangulum $ub diametro, & circumferentia maxi- mi circuli in $phæra comprehen$um, quadruplum e$t circuli maximi, & $uper- ficiei conuexæ eiu$dem $phæræ æquale. # 219 PROPOSITIO III. Eadem e$t proportio quadrati circumferentiæ circu- limaximi in $phæra ad $uperficiem $phæræ, quæ circumferentiæ maximi circuli ad diametrum. Item eadem e$t proportio quadrati diametri maximi circuli in $phæra ad $uperficiem $phæræ, quæ diametri ad circumferentiam eiu$dem circu- li maximi. # 220 PROPOSITIO IV. Quadratum circumferentiæ circuli maximi in $phæra ad $uperficiem $phæræ conuexam, maiorem proportionem habet, quam 223. ad 71. minorem vero, quam 22. ad 7. # 221 PROPOSITIO V. Quadratum diametri circuli in $phæra maximi ad $u- perficiem $phæræ conuexam, maiorem proportionem habet, quam 7. ad 22. minorem vero, quam 71. ad 223. # 221 PROPOSITIO VI. Proportio cubi ex circumferentia maximi in $phæra circuli de$cripti ad $phæram, maior e$t, quam 298374. ad 5041. minor autem, quam 2904. ad 49. # 221 PROPOSITIO VII. Cubus diametri $phæræ ad $phæram, maiorem pro- portionem habet, quam 21. ad 11. minorem verò, quam 426. ad 223. # 222 VI. _De Area $egmentorum $phæræ_. # _229_ VII. _De Area $phæroid{is}, eiu$demque portionum_. # _232_ VIII. _De Area Conoid{is} Parabolici_. # _232_ IX. _De Area Conoid{is} Hyperbolici_. # _233_ X. _De Area Dol<007>orum_. # _233_ XI. _De Area corporum omnino regularium_. # _234_ XII. _De $uperficie conuexa coni, & cylindri recti_. # _235_ [018]INDEX. SEXTI LIBRI PROPOSITIONES. _I_. Si magnitudo in quotu{is} part{es} $ec{et}ur vtcunque, & alia quæpiam magnitudo in totidem part{es} or dine ill{is} proportional{es}; habebunt quotl<007>b{et} part{es} prior{is} magnitudi- n{is} $imul ad rel<007>qu{as} omn{es} part{es} $imul, eandem proportionens, quam tot<007>dem part{es} po- $terior{is} magnitud<007>n{is} $imul, ad rel<007>qu{as} omn{es} part{es} $imul. Et $i quælib{et} pars prio- r{is} magnitudin{is} $ec{et}ur in du{as} part{es} vtounque, $ecetur autem & pars po$terior{is} ma- gnitud<007>n{is} illi parti re$pondens <007>n al<007>{as} du{as} part{es} duab{us} ill{is} proportional{es}; erunt quo- que ibidem totæ magnitudin{es} $ectæ proportionaliter. # 237 _II_. Dato rectilineo, $uper datam rectam inter ali{as} du{as} interceptam, con$tituere quadrilaterum æquale, cui{us} lat{us} oppo$itum inter du{as} ea$dem rect{as} interceptum, datæ rectæ $it parallelum. Et dat{is} duob{us} rect<007>line{is} inæqual<007>b{us} quibu$cunque, ex ma- iore per lineam vni lateri parallelam detrahere rect<007>l<007>neum m<007>nori æquale, quando id fieri pote$t. quod ex ip$a problemat{is} $olut<007>one cogno$cetur. # 239 _III_. D<007>u<007>$o rectilineo quolib{et} in triangula ex vno aliquo puncto; rect{as} l<007>ne{as} ip$is triangul{is} ordine proportional{es} inuenire. # 246 _IV_. Datum rect<007>lineum per rectam à quou{is} angulo, vel puncto in aliquo latere du- ctam in proportionem datam diuidere: ita vt antecedens proportion{is} in quam maluer{is} partem verg{at}. # 248 _SCHOLIVM. Datum rectilineum ex dato angulo, vel puncto in latere,_ _in quotuis partes æquales $ecare_. # _252_ _V_. Datum rect<007>lineum per rectam lineam datæ rectæ parallelam, in datam propor- tionem diuidere: ita vt antecedens proportion{is} in quam eleger{is} partem verg{at}. # 253 _SCHOLIVM. Datum rectilineum in quotuis partes æquales per lineas_ _cuilibet rectæ parallelas di$tribuere._ # _260_ _VI_. Si duo triangula æquælia habeant vnum lat{us} commune, & in diuer${as} part{es} vergant: Recta oppo$itos angulos connectens a latere illo commun<007> bifariam $ecatur. # 260 _VII_. Si in triangulo ba$i parallela ducatur, & extrema parallelarum rect{is} iun- gantur $e$einter$ecantib{us}: Habeb<007>t vtriu$u{is} harum rectarum $egmentum ab angu- lo incipiens ad reliquum in latere terminatum, eandem proportionem, quam lat{us} ab <007>l- la recta diui$um ad partem ei{us} $uperiorem. Recta autem ex tertio angulo per inter$e- ctionem d<007>ctarum rectarum exten$a $ecabit vtramque parallelam b<007>far<007>am. # 261 _VIII_. Si in tr<007>angulo à duob{us} angul{is} duærectæ ducantur ad media puncta oppo$i- torum laterum: Recta ex angulo rel<007>quo per inter$ect<007>onem earum deducta $ecat quo- que reliquum lat{us} b<007>far<007>am. Cui{us}l<007>b{et} autem <007>llarum trium linearum $egmentum prope angulum ad rel<007>quum $egmentum duplam hab{et} proport<007>onem. Triangulum de- nique per rect{as} ab inter$ectione ad angulos duct{as} in tr<007>a tr<007>angula æqualia diuid<007>tur. # 261 _IX_. Si in triangulo ducatur recta vtcunque duo latera $ecans: Erit totum trian- gulum ad ab$c<007>$$um triangulum, vt rectangulum $ub duob{us} laterib{us} $ect{is} toti{us} trian- guli comprehen$um, ad rectangulum $ub duob{us} laterib{us} triangul<007> ab$c<007>$$i, quæ prio- rum $egmenta $unt, comprehen$um. # 262 [019]INDEX. _X_. Datum triangulum ex dato puncto in ei{us} latere in quotlib{et} part{es} æqual{es} di- uidere. # 262 _XI_. Datum triangulum per line{as} vni lateri parallel{as} in quotlib{et} æqual{es} part{es} diuidere. # 263 _XII_. Datum triangulum per rectam ex puncto extra triangulum dato ductam in du{as} part{es} æqual{es} diuidere. # 264 _XIII_. Datum par allelogrammum in quotcunque part{es} æqual{es} per line{as} duob{us} laterib{us} oppo$it{is} æquidi$tant{es} diuidere. # 265 _XIV_. Datum parallelogrammum per rectam ex puncto $iue extra, $iue intra ip$um, $iue in aliquo latere dato ductam bifariam diuidere. # 265 _XV_. Inter du{as} rect{as}, du{as} medi{as} proportional{es}, prope verum, inuenire: ex He- rone & Apollonio Pergæo: ex Philone By$antio, ac Philopono: ex Diocle: ac po$tre- mo ex N<007>comede per lineam conchoideos. # 266. v$que ad 272. _XVI_. Datam figuram planam, vel circulum augere, vel minuere in data propor- tione. # 272 _XVII_. Datam figuram $olidam qualemcunque ex ijs, de quib{us} Eucl. in libr{is} Ste- reometriæ ag<007>t, augere, vel minuere in proportione data. # 273 _XVIII_. Inter duos numeros datos tum vnum, tum duos medios proportional{es} reperire. # 274 _LEMMA. Si $int quatuor lineæ continuè proportionales: parallelepipe-_ _dum $ub quadrato alterutrius extremarum, & altera extrema comprehen$um,_ _æquale e$t cubo mediæ proportionalis, quæ priori extremæ propinquior e$t._ # _275_ _XIX_. Radicem cui{us} lib{et} gener{is} extrobere. # 276 _EXTRACTIO radicis quadratæ. # 279_ _EXTRACTIO radicis cubicæ. # 280_ _EXTRACTIO radicis $urde$olidæ. # 281_ _REGVLA propria extra ctionis radicis cubicæ. # 283_ _XX_. In numer{is} non quadrat{is}, non cub{is}, non zen$izen$is, non $urde$olid{is}, & c. radicem veræ propinquam inuenire. # 284 _XXI_. Radicem cuiu$que gener{is} ex data minutia extrahere. # 286 _XXII_. Radicem quadratam, & cubicam in numer{is} non quadrat{is}, & non cubi- c{is} per l<007>ne{as} Geometricè inuen<007>re. # 289 SEP TIMI LIBRI Propo$itiones. _I_. Area cui{us} lib{et} trianguli æqual{is} est rectangulo comprehen$o $ub perpendicula- ria vertice ad ba$em protracta, & dim<007>diaparte ba$is. Item rectangulo comprehen$o $ub $em<007>$$e perpend<007>cular{is}, & tota ba$e. Veldenique $emi$$irectanguli $ub tota perpen- d<007>culari, & tota ba$e comprehen$i. # 292 [020]INDEX. _II_. Area cul{us}l<007>b{et} figuræ regular{is} æqual{is} est rectangulo contento $ub perpendicu- lari à centro figuræ ad vnum lat{us} ducta, & $ub dimidiato ambitu eiu$dem figuræ. # 293 _III_. Area cui{us}l<007>bet figuræ regular{is} æqual{is} e$t triangulo rectangulo, cui{us} vnum lat{us} circa angulum rectum æquale e$t perpend<007>culari à centro figuræ ad vnum lat{us} ductæ, alterum verò æquale ambitui eiu$dem f<007>guræ. # 294 _IV_. Area cui{us}libet circuli æqual{is} e$t rectangulo comprehen$o $ub $emidiametro, & dimidiata circumferentia circuli. # 294 _V_. In omni triangulo rectangulo, $i ab vno acutorum angulorum vtcumque adlat{us} oppo$itum linearecta ducatur, erit maior proportio hui{us} later{is} adei{us} $egmentum, quod prope angulum rectum exi$tit, quam anguli acuti præd<007>cti ad ei{us} partem dicto $egmen- to later{is} oppo$itam. # 295 _VI_. I$operimetrarum figurarum regularium maior e$t illa, quæ plur{es} continet an- gulos, plurave latera. # 296 _VII_. Propo$ito triangulo, cui{us} duo latera $int inæqualia, $upra reliquum lat{us} tri- angulum priori I$operimetrum, ac duo habens latera æqualia, de$cribere. # 297 _VIII_. Duorum triangulorum I$operimetrorum eandem habentium ba$em, quorum vni{us} duo latera $int æqualia, alter<007>{us} verò inæqualia; mai{us} erit illud, cui{us} duo latera æqualia $unt. # 297 _IX_. In $imilib{us} triangul{is} rectangul{is} quadratum à laterib{us}, quæ angul{is} rect{is} $ub- tenduntur, tanquam ab vna linea, de$criptum, æquale e$t quadrat{is} duob{us} $imul, quæ à reliqu{is} homolog{is} laterib{us}, tanquam ex duab{us} line{is}, ita vt quælibet duo latera ho- mologa conficiant vnam l<007>neam rectam, de$cribuntur. # 298 _X_. Dat{is} duob{us} triangul{is} I$o$cel<007>b{us}, quorum ba${es} inæqual{es} exi$tant, duoque late- ra vni{us} æqual<007>a $int duob{us} laterib{us} alteri{us}; $uper ei$dem ba$ib{us} duo alia triangula I$o$celia inter $e quidem $imilia, priorib{us} verò $imul $umpt{is} I$operimetra $imul $um- pta, con$tituere. # 299 _XI_. Duo triangula I$o$celia $imilia $uper inæqualib{us} ba$ib{us} con$tit{us} con$tituta, vtraque $i- mul maiora $unt duob{us} triangul{is} I$o$celib{us}, vtri$que $imul, quæ habeant ea$dem ba- ${es} cum priorib{us}, $intque di$$imilia quidem inter $e, at I$operimetra priorib{us} duob{us}, necnon quatuor latera inter $e habeant æqualia. # 300 _XII_. I$operimetrarum figurarum latera numero æqualia habentium maxima & æ- quilatera e$t, & æquiangula. # 303 _XIII_. Circul{us} omnib{us} figur{is} rectiline{is} regularib{us} $ibi I$operimetr{is} maior e$t. # 306 _COROLLARIVM. Circulus ablolute omnium figurarum rectilinearum $i-_ _bi I$operimetrarum maximus e$t. # 306_ _XIV_. Area cui{us}l<007>bet pyramid{is} æqual{is} est $olido rectangulo contento $ubperpen- diculari à vertice ad ba$em protracta & tertia parte ba$is. # 307 _XV_. Area cui{us}lib{et} corpor{is} plan{is} $uperficieb{us} contenti, & circa $phæram aliquã circum$criptibil{is}, hoc e$t, à cui{us} puncto aliquo medio omn{es} perpendicular{es} ad ei{us} ba- ${es} produc@æ $unt æqual{es}, æqual{is} est $ol<007>do rectangulo contento $ub vna perpendiculariũ, & tertia parte amb<007>t{us} corpor{is}. # 307 _XVI_. Area cu<007>{us}lib{et} $phæræ æqual{is} e$t $olido rectangulo comprehen$o $ub $emi- diametro $phæræ, & tertia parte ambit{us} $phæræ. # 308 _XVII_. Sphæra omn<007>b{us} corporib{us} $ibi I$operimetr{is}, quæ plan{is} $uperficieb{us} conti- neantur, circaque ali{as} $phær{as} circum$criptibilia $int, hoc e$t, quorum omn{es} perpendi- [021]INDEX. _cular{es} ad ba${es} productæ ab aliquo puncto medio $int æqual{es}, maior e$t._ # _310_ XVIII. _Sphæra omnib{us} corporib{us} $ibi I$operimetr{is}, & circa ali{as} $phær{as} cir-_ _cum$criptibilib{us}, quæ $uperficieb{us} conic{is} contineantur, ita vt latera omnia conica $int_ _æqual<007>a, maior e$t._ # _311_ XIX. _Sphæra quolibet cono, & cylindro $ibi I$operimetro maior e$t._ # _313_ XX. _Dato $emicirculo, vel quadranti, veloctauæ parti circuli, aut decimæ $extæ,_ _&c. rectangulum con$tituere I$operimetrum, & æquale, $i linea recta peripheriæ detur_ _æqual{is}._ # _313_ XXI. _Dato triangulo cuicunque parallelogrammum æquale, atque I$operime-_ _trum con$tituere._ # _314_ XXII. _Dato rectilineo parallelogrammum rectangulum æquale, & I$operime-_ _trum con$tituere. Oportet autem lat{us} quadratirectilineo æqual{is} mai{us} non e$$e $emi$@_ _$e dimidiati ambit{us} dati rectilinei._ # _316_ APPENDIX De circulo per lineas quadrando. # 317 QVADRATVRA Arabum, quam Io$ephus Scaliger in $uis cyclometricis approbat, Alberti Dureri, & quæ Campano perperam a$cribitur, fal$a e$t. # 318 QVADRATVRA Hipocratis Chijper lunulas, acuta quid\~e, $ed fal$a quo- que e$t. # 318 I. QVADRATRICEM lineam de$cribere. # 320 COROLLARIVM. Si ex centro Quadratricis recta ducatur $ecans quadrantem, & quadratricem: ita $e habebit arcus quadrantis ad eius arcum ab$ci$$um, vt$emidiameter ad perpendicularem ex puncto quadratricis demi$- $am. # 323 II. Siquadrantis, & quadratricisidem centrum $it: erunt arcus quadran- tis, $emidiameter, & ba$is quadratricis continuè proportionales. # 324 COROLLARIVM I. Rectam reperire arcui quadrãtis, ac proinde & $emicircumferentiæ, immo & toti circumferentiæ æqualem. # 325 COROLLARIVM II. Si ba$is Quadratricis $tatuatur $emidiameter alicuius circuli: erit eius latus quartæ parti circumferentiæ illius circuli æquale, &c. # 326 COROLLARIVM III. Siduæ lineæ eandem proportionem habeant, quam latus Quadratricis, eiu$que ba$is, minor autem fiat $emidiameter alicu- ius circuli: erit maior quartæ parti circumferentiæ illius circuli æqualis, &c. # 326 III. Dato circulo quadratum æquale con$tituere. # 327 FACILIS inuentio rectæ lineæ, quæ quartæ parti circumferentiæ dati cir- culi $it æqualis. # 327 FACILIS inuentio quadrati dato circulo æqualis. # 328 IV. Dato quadrato circulum æqualem de$cribere. # 329 COROLLARIVM. Circulum cuicunque figuræ rectilineæ æqualem: Et contra, cuicunque circulo figuram rectilineam qualemcunq; æqualem con- $tituere. # 329 V. Datæ rectæ lineæ circumferentiam circulireperire æqualem. # 329 [022]INDEX. ## OCTAVI LIBRI ## Propo$itiones. I. _Figura regular{is} circulo circum$cripta maiorem ambitum habet, quam_ _circul{us}._ # _330_ LEMMA I. Si fuerint quatuor quantitates, & minor $it exce$- $us inter primam & $ecundam, quam inter tertiam & quartam, $it- que prima non minor, quam tert<007>a, maior verò, quam $ecunda, it\~e tertia maior, quam quarta: Erit minor proportio primæ quantita- tis ad $ecundam, quam tertiæ ad quartam. # 331 LEMMA II. Si circuli arcum duæ rectæ tangant, in vno pun- cto coeuntes, & in eodem arcu aptentur quotlibet rectæ æquales di- uidentes ip$um in partes totidem æquales: Erunt duæ illæ tangen- tes omnibus hi$ce chordis $imul maiores. # 332 LEMMA III. Si circuli arcum tres rectæ tangant, in duobus punctis coeuntes, ita vt contactus punctum medium diuidat arcum bifariam, in eodem autem arcu accommodentur quotlibet rectæ numero pares, & inter $e æquales; Erunt tres illæ tangentes omni- bus his $imul $umptis maiores. # 332 CARDANI demon$tratio figuræ regularis circulo circum- $criptæ ambitum maiorem e$$e, quam circuliam bitum. # 333 II. _Circulorum diametri inter $e $unt, vt circumferentiæ Ex Pappo._ # _334_ III. _Arc{us} cuiu$u{is} circuli ad arcum $imilem alteri{us} circuli eandem ha-_ _bet proportionem, quam chorda adchordam. Et contra, arc{us} eandem habentes_ _proportionem, quam chordæ, $imiles $unt._ # _335_ IV. _Dato quadrilatero æquale parallelogrammum in dato angulo, facili{us},_ _quam per propo$._ 45. _lib_. 1. _Eucl. con$tituere._ # _336_ V. _Dato Rectangulo $upra datam rectam æquale rectangulum, facil<007>{us},_ _quam per propo$._ 45. _lib_. 1. _Euclid. con$tituere._ # _339_ VI. _Dato rectilineo æquale rectangulum, facili{us}, quam per propo$._ 45. _lib_. 1. _Euclid. con$tituere._ # _339_ VII. _Si ex duob{us} punct{is} ad vnum punctum cuiu$u{is} lineæ rectæ quæ com-_ _mun{is} $ectio $it plani per duo illa puncta ducti cum alio quopiam plano, duæ re-_ _ctæ ducantur facientes cum illa duos angulos æquales: Erunt duæ hæ rectæ bre-_ _uiores quibu$cunque al{ij}s duab{us} rect{is}, quæ ex{ij}$dem duob{us} punct{is} ad aliud_ _punctum ciu$dem lineæ rectæ ducuntur._ # _340_ [023]INDEX. _SCHOLIVM. Angulus incidenti{ae} apud Per$pectiuos angulo re-_ _flexionis æ qualis e$t._ # _340_ _VIII._ Si qu{is} numerum mente conceperit, quot ei vnitates post tres ope- rationes imperat{as} reliquæ $int, con{ij}cere. # 341 _IX._ Datum numerum quadratum in quotu{is} quadratos numeros par- tiri. # 342 _X._ Propo$it{is} duab{us} minut{ij}s inæqualib{us}: minutia cuius numerator ex illorum numeratorib{us}, denominator autem ex denominatorib{us} con$la- tur, maior quidem est minore, minor vero maiore. # 343 _XI._ Si duo numeri inter $e primi non $int ambo quadrati, aut cubi: Ne- que eorum æquè multiplices vlli, quadrati erunt, aut cubi. Et $i eorum æque multiplices aliqui $int ambo quadrati, aut cubi: etiam ip$i erunt quadrati, aut cubi. # 343 _XII._ In omni quadrilatera figura rectilinea, tria latera, vt libet, a$$um- pta, maiora $unt reliquo latere. # 344 _XIII._ Dat{is} trib{us} punct{is}, per quæ circul{us} de$cribend{us} $it, inuenire alia puncta, per quæ idem circul{us} tran$ire debeat. # 344 _XIV._ Dato exce$$u diametri Quadrati $upra lat{us}: Item dato exce$- $u diametri Rhombi $upra lat{us}, vel later{is} $upra diametrum, vnà cum v. no Rhombi angulo: Dato præterea exce$$u diametri Rectanguli $upra vtrum- libet laterum inæqualium, vnà cum angulo, quem diameter cum eo latere fa- cit, vel vnà cum proportione eorundem inæqualium laterum: Dato denique exce$$u diametri Rhomboid{is} $upra vtrumu{is} laterum inæqualium, vel vtri u$u{is} inæqualium laterum $upra diametrum, vnà cum angulo Rhomboid{is}, & in$uper cum angulo, quem diameter cum eo latere facit, vel in$uper cum proportione duorum laterum inæqualium: Quadratum ip$um, Rhombum, Rectangulum, & Rhomboides con$tituere. # 345 _XV._ In rectangulo parallelogrammo $umpt{is} exce$$ib{us}, quib{us} dia- meter duo latera $uperat: Rectangulum $ub differentia exce$$uum, & mi- nore exce$$u b{is} $umptum, vnà cum quadrato minor{is} exce$${us} b{is} $umpto, æquale est quadrato rectæ, qua min{us} lat{us} minorem exce$$um $uperat. # 348. & 349 _XVI._ Dat{is} exce$$ib{us}, quib{us} diameter Rectanguli vtrumque lat{us} $u- perat: vtrumque lat{us}, & diametrum inuenire. # 349 _XVII._ Dato exce$$u diametri Rectanguli $upra mai{us} lat{us}, & exce$$u maior{is} later{is} $upra min{us}: vtrumque lat{us}, ac diametrum inuenire. # 351 [024]INDEX. _XVIII._ Secta linea recta vtcunque, adiungere ei ver${us} vtramu{is} partem lineam rectam, ita vt quadratum toti{us} rectæ compo$itæ æquale $it quadrato re- ctæ adiunctæ, vnà cum quadrato rectæ, quæ ex adiuncta, & proximo $egmen- to prior{is} lineæ conflatur. # 351 _XIX._ Dat{is} duab{us} rect{is} inæqualib{us}, quarum maior diametrum qua- drati ex minore de$criptinon $uperat: Maiorem ita $ecare in du{as} partes in- æquales, vt earum quadrata $imul $umpta quadrato minor{is} lineæ $int æqualia. # 352 _XX._ Data chorda alicui{us} arc{us}, vnà cum perpendiculari, quæ ex medio puncto chordæ ad arcum v$que educitur: Quot grad{us}, vel palmos tam arc{us}, quam $emidiameter circuli complectitur, inuenire. # 353 _XXI._ In omni triangulo quadratum maximi later{is} min{us} e$t, quam du- plum $ummæ quadratorum ex reliqu{is} duob{us} laterib{us} de$criptorum. # _353_ _XXII._ Dat{is} trib{us} rect{is} vtcunque in plano non parallel{is}, ni$i quando extremæ à media æqualiter di$tant, rectam lineam ducere, & quidem per datum punctum in media, $i omnes tres in vno puncto conueniant, ita vt ei{us} $egmen- ta inter mediam, & extrem{as} $int inter $e æqualia, vel datam habeant propor- tionem. # 354 _XXIII._ Cui{us}libet lineæ, quamu{is} minimæ, exhibere multiplicem quam- cunque, etiam$i circino non accipiatur. # 355 _XXIV._ Ex qualibet lineola quamu{is} minima, auferre partem, vel partes imperat{as}. # 355 _XXV._ Angulum datum rectilineum in tres æquales partes partiri. # 356 _XXVI._ Si per idem punctum diametri in rectangulo duæ lineæ ducantur laterib{us} parallelæ: Erit rectangulum $ub $egment{is} diametri comprehen$um æquale duob{us} rectangul{is} $ub $egment{is} duorum laterum comprehen$is. # 357 _COROLLARIVM. In quadrato rectangulum $ub $egmentis_ _diametri comprehen$um, æquale e$t duobus complementis._ # _357_ _XXVII._ Dato centro Ellip$is in linea ax{is} in infinitum producta vnà cum duob{us} punct{is} ad ea$dem partes ax{is}, vel centri, per quæ tran$ire dicatur Ellip$is: Vtrumque ax{is} vtriu$que extremum inuenire. # 357 _XXVIII._ Si in circuli diametro producta punctum $umatur, ab eoque re- cta circulum tangens ducatur, à puncto autem contact{us} chorda ducatur ad dia- metrum perpendicular{is}: Recta ex eodem contact{us} puncto ad vtrumlibet ex- tremum diametri ducta diuidet angulum à tangente, & prædicta perpendicu- lari comprehen$um bifariam. Item $i ab eodem puncto in diametro producta a$$umpto recta ducatur circulum $ecans, & ab alterutro $ection{is} puncto ad in- ter$ectionem diametri cum prædicta chorda perpendiculari recta iungatur: Re- cta ex eoaem $ection{is} puncto ad vtrumlibet diametri extremum ducta $ecabit [025]INDEX. quoque angulum à linea $ecante, & illa alia, quæ per inter$ectionem diametri cum prædicta chorda perpendiculari ducitur, bifariam. # 258 _XXIX._ De$criptionem pentagoni æquilateri, & æquianguli $upra datam rectam ab Alberto Durero traditam, & quam omnes ferè architecti, atque arti- fices approbant, fal$am e$$e, demon$trare. # 360 _SCHOLIVM. De$criptionem eiu$dem pentagoniab aliis nonnul-_ _lis traditam, fal$am quoque e$$e, demon$trare._ # _362_ _XXX._ Inuentionem lateris heptagoni in dato circulo non rectè à quibu$- dam tradi, demon$trare. # 362 _XXXI._ Octogonum æquilaterum, & æquiangulum circulo in$criptum, me- dio loco proportionale e$t inter quadratum eidem circulo circum$criptum, & quadratum in$criptum. # 364 _XXXII._ Si ex diametro quadrati detrahatur ip$i{us} lat{us}_:_ Reliqua linea erit lat{us} alteri{us} quadrati, cui{us} diameter e$t linea, quæ relinquitur $i lat{us} in- uentum bis ex diametro prior{is} quadrati auferatur: vel $i idem lat{us} inuentum ex prior{is} quadrati latere tollatur. # 365 _XXXIII._ Octogonum æquilaterum, & æquiangulum ad datam altitudi- nem, latitudinemue con$tituere. # 365 _XXXIV._ Ambitumterræ ex edito aliquo monte metiri. # 366 _XXXV._ Pri$mati cuicunque cylindrum æqualem, & Pyramidi conum æ- qualem: Ac vici$$im cylindro Pri$ma æquale, & cono æqualem Pyramidem con$tituere. # 367 _XXXVI._ Dato cylindro, aut Pri$mati æqualem conum, vel Pyramidem $ub eadem altitudine: Et vici$$im dato cono, vel pyramidi æqualem cylindrum, aut Pri$ma eiu$dem altitudin{is} con$tituere. # 368 _COROLLARIVM I. Tam Cylindrum, quam Pri$ma, mu-_ _tare in Pyramidem, aut conum; Et Pyramidem tam in cylindrum, quam_ _in pri$ma æquale conuertere._ # 368 _COROLLARIVM II. Cylindrum, Pri$ma, Conum, ac Pyrami-_ _dem commutare in parallelepipedum rectangulum æquale, cuius ba$is_ _$it quadrata._ # _369_ _XXXVII._ Datum cylindrum, vel Pri$ma: Similiter datum conum, vel pyramidem cuiu$cunque altitudinis, in æqualem $ub data qualibet alia altitudine, & $upra ba$em quotcunque angulorum reuocare. # 369 _XXXVIII._ Dato parallelepipedo rectangulo cubum æqualem de$cri- bere. # 369 [026]INDEX. COROLLARIVM. Cylindro, pri$mati, cono, ac pyramidi cu- bum æqualem exhibere. # 369 XXXIX. _Dato cubo æquale parallelepipedum rectangulum $ub data alti-_ _tudine, vel $upra datam ba$em con$tr@ere. # 370_ COROLLARIVM. Cylindrum, pri$ma, conum, ac pyramidem in parallelepipedum rectangulum æquale datæ altitudinis, vel ba$is commutare. # 370 XL. _Sphæræ datæ cubum æqualem; Et dato cubo æqualem $phæram con-_ _$tituere. # 370_ COROLLARIVM I. Sphæræ datæ $olidum rectangulum $upra ba$em quotlibet angulorum æquale, & pyramidem cuiu$cunque ba$is æqualem, vel etiam conum æqualem con$truere. Et vici$sim cuilibet pri$mati $phæram æqualem exhibere. # 371 COROLLARIVM II. Sphæram cuilibet corpori regulari con- $tituere æqualem. # 371 XLI. _Duob{us}, aut plurib{us} cub{is} vnum cubum æqualem efficere._ # 372 SCHOLIVM. Quotlibet figuris $olidis non cubis cubum æqua- lem con$truere. # 372 XLII. _Dato cubo corp{us} regulare, quod ex quinque eleger{is}, æqualem con-_ _$truere. # 372_ XLIII. _Ex maiori cubo detrahere minorem, re$iduoque cubum æquale_ _exhibere. # 373_ SCHOLIVM. Ex quauis figura $olida maiori minorem quamcun- que auferre, re$iduoque cubum æqualem con$tituere. # 373 XLIV. _Datis duab{us}, aut plurib{us} $phæris $phæram vnam æqualem con-_ _$tituere. # 373_ XLV. _Ex maiori $phæra minorem $phæram detrahere, re$iduoque $phæram_ _æqualem exhibere. # 373_ XLVI. _Datum cubum, aut par allelepipedum, $ecundum datam proportio-_ _nem $ecare. # 373_ SCHOLIVM. Pri$ma, vel cylindrum, $ecundum datam propor- tionem diuidere. # 373 XLVI. _Figuram Ellip$i $imilem, quam ouatam dicunt, circino de$@ri-_ _bere: Eiu$que aream, $i beneficio trianguli æquilateri de$cripta est, explo-_ _rare. # 374_ [027]INDEX. SCHOLIVM. Tabula quadratorum, & cuborum v$que ad radi- cem 1000. # 378 Differentiæ quadratorum, & cuborum. # 387 Dato cubo, eiu$que radice, qui numeri impares illum componant, inqu<007>rere. # 390 V$us tabulæ quadratorum, & cuborum in extrahendis radicibus quadratis, atque cubis. # 391 FINIS. [028] [029] PRÆFATIO.

QVANDOQVIDEM Mathematica- rum di$ciplinarum $tadium $cribendo ingre$$i, nonnullam eius partem, fauente Deo, percurri- mus: Geometriæ practicæ tractatio omittenda non fuit, vt ni$i metam tangere licuerit, ab illa cer- tè quam minimè di$temus. Ætatem $enectute grauem allicit operis iucunditas, laborem leuat varietas, amicorum preces tantum non cogunt, quò mea ferebar $ponte, $umma cumfe$tinatione properare. Et verò, cum perpetua multorum annorum experientia compererim, admodum paucos e$- $e, qui non in Mathematicis exerceantur eo con$ilio, vt quæ didicerint, ad aliquem v$um trahant: in hoc quicquid e$t laboris veniebam ala- cer, vt qui fructus è Mathematicis percipi po$$int ad humanæ vitæ commoda, non inani venditatione, $ed re ip$a con$taret. Etenim dum certa ratio traditur, qua camporum longitudines, altitudines mon- tium, vallium depre$$iones, locorum omnium inæqualitates inter $e, & interualla deprehendere metiendo debeamus: cuilibet liquet, vt arbitror, quantum commodi, vtilitati$que $ub$tructioni ædificiorum, cultui agrorum, armorum tractationi, contemplationi $iderum, alii$- que artibus, & di$ciplinis ex horum cognitione manare po$$it. Hæc e- nim vna Mathematicarum rerum $cientiæ pars, $icut ab artificibus ob $ui nece$$itatem auidè $emper e$t arrepta: ita ob in$ignes vtilitates, quas in retota militari $uppeditat, in maximorum Principum, Regum- que aulis omni tempe$tate ver$ata e$t. Quamobrem & multos, & eru- ditos viros habuit, qui partes illius omnes accurata, & diligenti $cri- ptione per$ecuti $unt: Inter quos, vt Leonhardus Pi$anus, Frater Lucas Pacciolus, Nicolaus Tartalea, Orontius, Cardanus, aliique præcipuas obtinuerunt: ita eximia in cæteris laude floruerunt. Primas tam\~e adiu- dicarim 10. Antonio Magino præ$tanti Mathematico; qui tam et$i tantũ lin earum dimen$iones docuit, ea tamen copia, doctrina, per$picacita- te cuncta tradidit, vt locum non modo iis, qui ante $crip$erunt, $ed $pem po$teris æqualis gloriæ, ne dum maioris, ademi$$e videatur. Ve- [030] rum quoniam & hic de vnica tantum parte fuit $ollicitus: & alii, quamuis aggre$$i omnia, multa tamen inter $criben dum præterierunt: decreui, $i qua po$$em, perficere: vt, quicquid vtiliter in Geometria practica ab aliis traditum, à me etiam inuentum e$t, vnius operis gyro clauderetur. Quod opus, cum $pecies tres quantitatis continuæ $int, in tria membra, parte${\’que} præcipuas $ecuimus: In prima rectas lineas, in altera $uperficies, corpora metientes in po$trema: cui annectuntur alia, quæ non tam ad quantitatis dimen$ionem, quam ad alias Geo- met@iæ praxes, ac demon$trationes pertinent, à no$tro in$tituto non aliena.

VNIVERSAM autem tractationem in octo libros partiti $um{us}.

PRIMVS propo$itiones tres omnino nece$$ari{as}, & perquam vtiles ad omnium magnitudinum dimen$ionem accuratè perficiendam continet.

IN Secundo dimen$io linearum rectarum per Quadrantem A$tronomi- cum tam pendulum, quàm $tabilem ab$oluitur.

TERTIVS de earundem rectarum linearum dimen$ione per Quadra- tum Geometricum tum pendulum, tum $tabile, etiam per vnicam $tationem, agit. Vbietiam, qua ratione $ine huiu$modi in$trumento earundem recta- rum linearum Dimen$iones nonnullæ fieri po$$int, traditur.

QVARTVS $uperficierum are{as} inquirit:

QVINTVS $olid{as} magnitudines metitur.

ATQVE hi$ce quinque libr{is} omnes tres partes Geometriæ practicæ à nob{is} propo$itæ explicantur.

IN Sexto deinde libro de Geodæ$ia, ide$t, de $uperficierum rectilinearum cuiu$que gener{is} Diui$ione tam per rect{as} ex certo aliquo puncto duct{as}, quam per line{as} parallel{as}, di$$eritur. Vbinonnulla etiam alia problemata ad idem argumentum $pectantia $oluuntur. Item qua ratione figuræ tam pla- næ, quam $olidæ, vnà cum circulo ac $phæra in data proportione augendæ $int, minuendæúe. In cui{us} rei gratiam modi aliquot proponuntur inuenienda- rum duarum mediarum proportionalium inter du{as} rect{as} dat{as}. Denique ars facil{is}, & expedita pro extrabend{is} radicib{us} cuiu$que gener{is} præ$cri- bitur.

SEPTIMVS de figur{is} I$opemetr{is} di$putat.

IN Octauo deniq{ue} varia problemata, ac theoremata Geometrica per- tractantur.

[031] [032] [033] GEOMETRIÆ PRACTICÆ. LIBER PRIMVS. Tria capita ad dimen$ionem linearum $um- me nece$$aria complectens.

_V_T magnitudinum dimen$io omnib{us} $u{is} numer{is} ab- $oluta, perfectaque reddatur, tria primo hoc libro dili- genter explicanda pri{us} erunt. Primum con$truenda est norma quædam variarum partium, quam non in- congruè In$trumentum partium vocare po$$um{us}; quòdineo variæ partes & ad line{as} rect{as}, & ad circu- los diuidendas, tum etiam ad ali{as} operationes $iue Geometric{as}, $iue A$tronomic{as} ritè perficiend{as} con- tineantur. Hui{us} enim v${us} credi vix potest, quàm latè pateat tum in di- metiend{is} magnitudinib{us} $ine numerorum multiplicatione, tum verò ma- ximè in horologi{is} Solarib{us} ea ratione, quam per line{as} Tangentes in noua horologiorum de$criptione tradidimus, de$cribend{is}, & in ali{is} reb{us} tam Geometric{is}, quam A$tronomic{is}, vt ex i{is}, quæ capite primo hui{us} libri, & alibitradituri$um{us}, per$picuum fiet. Secundo loco conficiendus e$t quadrans, in quo præter grad{us}, Minuta quoque ac Secunda (quamu{is} in eo de$ignata non $int) cogno$ci, ac di$cerni queant; docendumque, qua ratione idem præ- $taripo$$it in quolibet quadrante in 90. grad{us} exqui$itè di$tributo_:_ parte$- que cente$imæ, atque mille$imæ in recta quau{is} linea in pauci$$im{as} partes æ- quales diui$a digno$cendæ $int. Tertio atque po$tremo loco proponenda erunt, ac$oluenda varia problemata triangulorum recti lineorum, vt & latera eo- rum, atque anguli ex quibu$dam dat{is}, & cognit{is} facilè po$$unt cogno$ci. Quamu{is} enim eadem hæc problemata ad finem Lemmat{is} 53. l<007>b. 1. no$tri A$trolabii expo$ita $int, tamen ne $tudio${us} Lector adillud Lemma$æpi{us}, & non $ine mole$tia recurrere cogatur, l<007>bet ea hic repetere totidem penè ver b{is}, quot in prædicto Lemmate præ$cripta $unt. Sedecce tria hæc, quæ præmittenda e$$e dixim{us}, trib{us} capitib{us} explicata $equuntur.

[034]GEOMETR. PRACT. INSTRVMENTI PARTIVM Con$tructio, atque v$us. CAPVT I.

FIANT ex orichalco, vel alia materia $olida duæ regulæ ABD, _In$trumentũ_ _partium quo_ _pacto cõ$trua-_ _tur_. AEC, æquales omnino, quæ in A, ita coniungantur clauo aliquo tereti, vt circa A, vniformiter po$sint moueri, quem- admodum in Norma vulgari, quæ, prout opus e$t, con$trin- gi pote$t, & dilatari, fieri$olet. Deinde ex A, in planis dicta- rum regularum duæ rectæ ducantur AF, AG, eæquein 100. particulasæ- quales di$tribuantur, velin 1000. $i longiores $int. Ita enim ex qualibet recta quotuis partes cente$imæ, aut mille$imæ ab$cindi poterunt. Immo $i $umatur linea KL, continens 11. particulas ex ill<007>s 100. vel 1000. diuidaturq; in 10. partesæquales, $i quidem $ecta $it vtraque regulain 100. partes æquales, po- terunt beneficio rectæ KL, continentis 11. particulas eiu$modi, & in 10. par- tes æquales diui$æ, ex data recta qualibet accipi quotuis mille$imæ partes, perinde ac $i partes $ingulæ cente$imæ in vtraque regula $ectæ e$$ent in de- nas particulas æquales: $i vero vtraqueregula in 1000. particulas di$tributa $it, & linea KL, talium 11. partium in 10. particulas di$$ecta, poterunt ex qua- uis linea recta propo$ita partes, quot quis voluerit, mille$imarum decimæ auferri, non $ecus ac $i $ingulæ partes mille$imæ in regula di$tributæ e$$ent in 10. particulas æquales, vt in v$u in$trumenti dicemus.

RVRSVS $iregula contineat 100. partes, & recta quæpiam MN, con- $tans ex 101. eiu$modi particulis di$tribuatur in 100. partes, poterimus ex quauis data recta accipere partes decimas mille$imarum. At $i inregula no- tatæ $int 1000. partes, & linea quæpiam continens eiu$mo dipartes 101. $ece- tur in 100. partes, deprehendipoterunt in qualibet recta quotcunque par- tes cente$imæ mille$imarum, ac $i partes $ingulæ mille$imæ in regula comple- cterentur partes 100. Si denique linea earum partium 1001. diuidatur in 1000. partes, capiemus in quauis recta partes mille$imas mille$imarum, per- inde ac $i partes mille$im{ae} $ingulæ in regula partes 1000. comprehende- rent, vt ex v$u in$trumenticon$tabit. Atque hæc e$t con$tructio in$trumenti in vna facie pro partibus linearum rectarum inquirendis.

IN altera vero in$trumenti facie de$ignantur chordæ omnium arcuum quadrantis hoc modo. Ductis ex centro A, rectis AF, AG, vt in priori fa- cie, $umendus e$t quadrans circuli chordam habens æqualem rectæ, AF, & in rectas AF, AG, transferenda chorda gradus 1. illius quadrantis, deinde chorda grad. 2. 3. 4. 5. & $ic deinceps v$que ad chordam 89. graduum: ita enim ex quolibet quadrante ab$cindere licebit arcum quotcunque gra- duum, vt Num. 16. dicetur: quamuis nos beneficio particularum æ qualium in priori facie po$itarũ capiemus ex quadrante propo$ito non $olum gradus integros, $ed etiam minuta, quod Num. 14. docebimus. Atq; ita ab$oluta e$t con$tru ctio in$trumenti in altera facie. Huius in$trumenti v$us ampli$simus e$t, vt diximus, & non ob$curè exiis, quæ $equuntur, intelligipote$t.

[035]LIBER PRIMVS.

1. QVANDO enim linea recta propo$ita rectæ AF, vel AG, in priorifa- _Cente$imæ,_ _vel mille$imæ_ _part{es} in recta_ _linea quo mo-_ _do accipian-_ _tur_. cie in$trumenti æqualis e$t, nullo negotio ex ea ab$cind\~etur quotcunq; par- tes cente$imæ, aut mille$i- mæ, prout in$trumentum in 100. aut 1000. partes fuerit diui$um; $i nimirum partes, quæ de$iderantur, exin$tru- mento in datam rectam transferantur.

2. QVAND doero pro- po$ita linea non e$t æqualis rectæ AF, vel AG, in in$tru- mento, dilatandum in$tru- mentum e$t, vel con$trin- gendum, donec interual- lum inter F, G, dat{ae} line{ae} $it æquale. Nam circinus inter partes rectarum AF, AG, qu{ae} de$iderantur, exten$us dabit in recta propo$ita partes qu{ae}$itas. Vt $i data recta æqualis $itip$i FG, & de$ider\~etur 50 partes cen- te$imæ, continebit interual- lum inter partes 50. & 50. in lineis AF, AG, partes 50. ex 100. in quas recta FG, cogitatur e$$e diui$a. quod $ic demon$tratur. Rectæ 2. _$ext_. FG, & 50. 50. ($i concipia- tur ducta recta à parte 50. ad partem 50.) parallelæ $unt; propterea quod latera AF, AG, proportionali- ter $ecta $untin 50. & 50. Sunt enim tam AF, AG, quam A 50, A 50, æquales. Igitur erit vt A 50. ad rectam 50. 50. ita AF, ad FG. Et permutando vt A 50. _4. $exti_. ad AF, ita recta 50. 50. ad FG. Cum ergo A 50. contineat partes 50. ex 100. totius AF, continebit quoque recta 50. 50. partes 50. ex 100. in quas diui$a e$$e concipitur FG. Eademque ratio e$t de cæteris. Nam verbi gratia inter- uallum quo que interpuncta 80. & 80. partes 80. comple ctetur ex 100. totius FG, &c. quæ demon$tratio locum etiam habet, $i in AF, contineantur 1000. partes, vt con$tat.

NON aliter, propo$itis duabus rectis, quarum altera in quotlibet partes _Diui$a recta_ _in quotu{is} par_ _tes æqual{es},_ _quot eiu$mo-_ _di part{es} in_ _quau{is} al ia_ _contineantur_. æquales cogitetur e$$e diui$a, cogno$cemus, quotnam ex illis partibus alte- ra recta contineat; hac $cilicet ratione. Aperto in$trumento, $tatuatur inter- uallum rectæ diui$æ inter partes, in quas diui$a intelligitur. Nam $i altera per circinum tran sferatur inter duas alias partes ea$dem, vel inter duo puncta ab ei$dem duabus partibus æqualiter di$tantia, continebit illa recta tot partes, [036]GEOMETR. PRACT. quot inregula A F, includuntur inter centrum A, & circinipedem: propte- 4. _$exti_. rea quod eandem proportionem habet $egmentum regulæ A F, v$que ad in- teruallum rectæ diui$æ, ad $egmentum eju$dem regulæ v$que adinteruallum alterius line{ae}, quam interuallum rect{ae} diui$æ ad interuallum alterius line{ae} ha- bet, &c. Quod $i linea hæc altera e$$et nimis longa, auferendũ ex ea primum e$$et interuallum inter 100. & 100. quoties fieri pote$t. Deinde reliquum $e- gmentum transferendum in in$trumentum, vt dictum e$t. Verbi gratia $i alte- rarectarum diui$a $it in 50. partes æquales, $umemus ei æquale interuallum inter 50. & 50. Si ergo altera habuerit interuallum æquale rect{ae} F G, inter 100. & 100. continebit ea 100. partes {ae}quales. Et $i in ea $upere$$et $egmen- tum {ae}quale interuallo 30.30. contineret eadem recta partes 130. Quod $i in- teruallum inter 100. & 100. terin data recta contineretur. & in$uper $egm\~e- _Tangent{es}_ _quo modo ac-_ _cipiantur re-_ _$pectu $in{us}_ _toti{us} 100_. tum {ae}quale interuallo 40.40. complecteretur ea recta particulas 340. &c.

3. ITAQVE $i in Tangentibus nou{ae} de$criptionis horologiorum (vt hu- ius in$trumenti vtilitatem quo que in de$cribendis horologijs aperiamus) $i- nus totus $tatuatur 100. quantu$cunque ille $it, eique interuallum F G, po- natur {ae}quale, capie@@s commodi$sime quamcumque Tangentem tabul{ae} in noua de$criptione p@$it{ae}, $i ea, abiecta prima tantum figura ad dexteram, minor fuerit quam 100. Vt $i qu{ae}ratur Tangens Grad. 39. min. 57. quoniam ea in tabula e$t 838. $i abijciatur prima figura 8. ad dexteram, erit Tangens 83. re$pectu $inus totius 100. vel potius 84. propterea quod figura 8. abiecta maior e$t, quam 5. ac proinde pro ea vnitas adijcienda e$t, cum con$tituat {8/10} hoc e$t, plu$quam @. Itaque $i accipiantur in in$trumento partes 84. pau- lo minus, vt dictum e$t, habebitur Tangens qu{ae}$ita: $i vero Tangens in ta- bula, abjecta prima figura ad dexteram, maior fuerit quam 100. accipienda e$t Tangens per denas, at que vnitates expre$$a, relictis centenis, & illi Tan- genti po$tea $inus totus adij ciendus e$t toties, quoties vnitas in centenis re- peritur. Vt $i quis velit Tangentem Grad. 68. min. 50. quoniam ea in tabula e$t 2583. & abiecta prima figura, 258. fumenda e$t Tangens 58. eiq; $inus to- tus F G, bis adij ciendus, & $ic de reliquis.

4. QVOD $i rectam K L, partium 11. in 10. {ae}quales partes diui$am adhi- _Mille$imæ_ _part{es} quo mo_ _do capiantur,_ _etiam$i in in-_ _$trumento cõ-_ _tineantur tã-_ _tum part{es}_ _100_. bere velimus accipere poterimus ex data recta partes mille$imas. Quoniam enim ita $e habet linea K L, ad vnam eius partem, vt portio A 10. rect{ae} A F, decem partium ad vnam, cum vtrobique proportio $it decupla; erit permu- tando quo que K L, ad A 10. vt vna particulaip$ius K L, ad vnam particulam ip$ius A 10. Cum ergo K L, contineat ip$am A 10. $emel, & in$uper partem ip$ius decimam, ($umpta e$t enim K L, partiũ 11. qualium 10. e$t A 10.) con- tinebit quo que vna particula ip$ius K L, vnam particulam ip$ius A 10. $emel, & decimam in$uper eius partem: Atque adeo du{ae} illius includent duas hu- ius cum {2/10}. & tres continebunt tres cum {3/10}. & $ic deinceps. Quare $i verbi gratia de$iderentur {87/1000}. accipiend{ae} erunt octo partes ex 100. totius A F, & in$uper {7/10}. $equentis partis non{ae}, cum decima pars vnius cente$im{ae} $it {1/1000}. quodita fiet. Circino aliquo $umantur 7. partes ex KL, e{ae}que in A F, transfe- rantur ex quavis parte. Nam pes circinimobilis auferet {7/10}. ex octaua parte po$t pedem circini immobilem, qu{ae} particula in nonam partem e$t transfe- renda. Ita enim, cum octo partes complectantur {80/10}. vnius cente$im{ae}, (quod [037]LIBER PRIMVS. quælibet pars contineat {10/10}@ vnius cente$imæ.) hoc e$t, {80/1000}. & {7/10}. vnius cen- te$imæ contineant {7/1000}. comprehendet tota linea ab$ci$$a {87/1000}. Item $i quis cupiat {17/1000}. accipienda erit vna párs ip$ius A F, & {7/10}. $equentis partis $e- cundæ, vt paulo ante dictum e$t. Vel $ic agemus. Sumptis 7. partibus ex K L, transferemus easin A F. vbicunque libuerit. Nam ab$ci$$æ partes erunt 7 {7/17}. Vna ergo pars cum {7/10}. continebit {17/1000}. Denique $i optentur {457/1000}. $u- mendæ erunt exrecta A F, partes 45. cum hæ æquiualeant {450/1000}. Deinde {7/10}. ex $equenti parte quadrage$ima $exta, beneficio $eptem particularum rectæ K L, &c.

5. SI ergo $inus totus ponatur 1000. habebuntur Tangentes, vt in ta- bula nouæ de$criptionis horologiorum po$itæ $unt, nulla figura abiecta. Sed _Tangentes_ _quo modo in-_ _inueniantur,_ _po$ito $inu toto_ _100_. quando Tangens maior e$t quam 1000. relictis millenis, accipendæ $untre- liquæ partes mille$imæ pro Tangente, eiq; toties $inus totus addendus, quo- ties vnitas in millenis relictis reperitur. Vt $i quis velit Tangentem Grad. 40. min. 30. quæ in tabula e$t 854. accipiendæ $unt in regula A F, partes 85. & {4/10}. vnius. Ita enim Tangens continebit partes 854. ex 1000. At $i quæratur Tangens Grad. 80. min. 0. quæ in tabula e$t 5671. relictis millenis accipien- dæ $unt partes 67. & {1/10}. vnius partis, & Tangenti 671. addendus $inus to- tus quinquies.

6. PARI ratione $i adhibeatur recta M N, partium 101. diui$a in 100. de- _Decimæ par-_ _tes mille$ima-_ _rum quo mo-_ _do $umantur,_ _etiam $i in$tru_ _mentumdiui-_ _$um $it in 100._ _part{es} dunta-_ _x{at}_. promemus ex recta A F, partes decimas mille$imarum; cum quælibet parti- cula rectæ M N, contineat vnam particulam ip$ius A F, $emel, & in$uper {1/100}. Ita vt quælibet particula rectæ A F, diui$a e$$e cogitetur in 100. particu- las; ac proinde tota A F, $it 10000. particularum, quod eod\~e modo demon- $trabitur. E$t enim eadem proportio M N, ad vnam particulam $uam cente- $imam, quæ rectæ A F, ad vnam $uam cente$imam, &c.

7. A@QVE hac ratione haberi poterunt Tangentes, po$ito $inu toto 10000. abiectis nimirum tribus figuris primis ex Tangentibus tabulæ in no- $tro Theodo$io de$criptæ. Vt$i velimus Tangentem Grad. 78. Min. 30. quæ in tabula (abiectis tribus figuris) e$t 49151. relictis denis millenarum, acci- _Tangent{es} p@-_ _$ito $inu toto_ _10000 quo pa-_ _cto $umãtur_. piemus partes 9151. nimirum partes 91. ex 100. regulæ A F, & {51/100}. vnius. quod fiet, $i partes 51. rectæ M N, transferantur in A F. Circinus enim vltra partes 51. ab$cindet {51/100}. Nam quia $ingulæ particulæ rectæ A F, concipiun- tur $ectæ in 100. particulas, continebuntur in 91. partibus particulæ 9100. quibus $i addantur 51. habebitur Tangens 9151. Huic tandem apponendus e$t $inus totus quater, propter quatuor denas millenarum relictas, Facile au- tem ad 91. partes adijcies particulam continentem {51/160}. vnius cente$imæ, $i eam, (quæ nimirum vltra partes 51. regulæ A F, exi$tit) cum vna parte regu- læ A F, transferas, vt pes circini inter partes 91. & 92. cadat, hoc e$t, $i eam cum vna parte transferas ex parte 90. vel cum duabus partibus, ex parte 89. &c.

8. INVENTA porro Tangente in vtraqueregula A F, A G, dabit inter- _Qua ratione_ _ex inuenta_ _parte mille$i-_ _ma, vel deci-_ _{es} mill@-_ uallum inter Tangentem regulæ A F, & Tangentem regulæ A G, eandem Tangentem re$pectu $inus totius F G.

9. QVANDO autem Tangens tam exigua e$t, vt eius interuallum prope punctum A, accipinequeat, vtemur hoc artificio. Sit verbi gratia $umenda [038]GEOMETR. PRACT. Tangens 7. partium re$pectu $inus totius FG. Sumptis duabus Tangentibus _$ima in AF,_ _eadem reperi-_ _atur re$pectu_ _dati $in{us} to-_ _ti{us}_. majoribus, quarum maior minorem $eptem vnitatibus $uperet, nimirum 30. & 37. vel 80. & 87. &c. dabit earum differentia ($i nimirũ vtraquein aliquam rectam lineam transferatur) Tangentem 7. quæ quæritur: Atque ita $emper $umendæ erunt duæ Tang\~etes maiores prope medium in$trumenti quarum differentia æqualis $it Tangenti exiguæ propo$itæ.

10. SI vtraque regula AF, AG, contineat 1000. particulas, & $inus to- tupropo$itus con$tituatur 1000. eique interuallũ F G, æquale $umatur, com- modi$sime accipientur omnes Tangentes, vtin Tabula nouæ de$criptionis horologiorum po$itæ $unt. Nam verbi gratia Tangens 2430. Grad. 67. min. 38. habebitur, $i relictis millenis, $umaturinteruallũ inter partes 430. vtriu$q; regulæ A F, A G, eique $inus totus F G, bis adijciatur.

11. ET $i adhibeas lineam K L, partium 11. diui$am in 10. accipere poteris Tangentes re$pectu $inus totius 10000. Item $i rectam partium 101. in 100. particulas di$tributam adhibeas, habebis Tangentes re$pectu $inus totius 100000. Si denique rectam partium 1001. partiaris in 1000. particulas, obti- nebis Tangentes, po$ito $inu toto 1000000. vt ex dictis patet.

12. QVOD dictum e$t de Tangentibus, intelligendum e$t etiam de $inu- bus, & $ecantibus. Nam $i interuallum F G, æquale $it $inuialicuitoti, $iueis partium $it 100. $iue 1000. $iue plurium, dabunt interualla inter $inus, vel $e- cantes in vtraqueregula A F, A G, acceptas, per ea, quæ Num. 4. docuimus, $inus & $ecantes re$pectu $inus totius F G, accepti; propterea quod per Lem- ma 5. lib. 1. no$tri A$trolabij, eandem proportionem habet $inus totus A F, ad $inum totum F G, quam $inus verbi gratia A 50. ad $inum arcus circuli, cuius $emidiameter F G, quiarcus arcui$inus A 50. $imilis e$t. Cum ergo $it, vt A F, 4. _$exti_. ad F G, ita A 50. ad rectam 50. 50. erit recta 50. 50. $inus arcus, quiarcui$inus A 50. $imilis e$t. Eademqueratio e$t de $ecantibus.

_Quo pacto co-_ _gno$catur,_ _quot decimæ_ _in particula_ _cuiu$u{is} cen-_ _te$imæ part{is}_ _contineantur_.

13. VICISSIM cogno$cemus, quot particulas ex 1000. quælibet parti- cula vnius partis rectæ A F, complectatur: hoc $cilicet modo. Circino $uma- tur data particula, vna cum vna parte cente$ima, vel duabus, vel tribus, qua- tuorue; circinu$que decies repetatur in recta A F, diligenterque notetur $e- gmentum rectæ A F, quod circinus percucurrit. Nam $i ex partibus cente$imis in eo $egmento contentis abijciantur to ties 10. quot partes vna cum particu- la data $umpt{ae} fuerũt, reliquus numerusindicabit partes decimas vnius cen- te$imæ, hoc e$t, mille$imas in data particula comprehen$as. Et $i cumreliqua particula eius $egmenti ($i qua forte $uper$it) $imiliter agemus, reperiemus partes decimas vnius mille$imæ, hoc e$t, partes {1/10000}. Et $i iterum operatio- nemrepetemus, inueniemus partes {1/10000}. quod quidem ad finem libelli de fabrica, & v$u in$trumenti horologiorum demo$trauimus, eademq; demon- $trationem breuiter capite in $equenti Num. 14. repetemus. Exempli cau$a. Si particula data cum tribus cente$imis deciesrepetita percurrat partes 37. abie- ctis 30. continebunturin data particula {7/10}. vnius cente$imæ. Quare $i ea par- ticula data fuerit V. g. po$t vige$imam partem cente$imam, continebit illud $egmentum rectæ A F, {207/1000}. Nam {7/10} vniuscente$imæ faciunt {7/1000}. & 20. cen- te$imæ, $i $ingulæ in decem particulas congitentur e$$e $ectæ, efficiunt {200/1000}. quippe cum omnes centum partes æqui valeant 1000. particulis. Quod $i [039]LIBER PRIMVS. idem fiat cum reliqua particula ($i qua forte $uperfuerit po$t 37. partes per- cur$as) vna cum tribus cente$imis, & inciderimus verbi gratia in particulam 34. abiectis 30. continebit ea particula {4/10}. vnius mille$imæ, hoc e$t, {4/10000}. Et quia {207/1000} æquiualent {2070/10000}. $i addantur {4/10000}. vltimo loco deprehen$æ, ha- bebimus {2074/10000}. Si denique cumreliqua particula ($i qua forte reman$erit) vna cum tribus cente$imis idem fiat, percur$æque verbi gratia $int 39. partes, ab- iectis 30. $upererunt {9/10}. vnius partis {1/10000}. hoc e$t {9/100000}. Cum ergo {2074/10000} ef- ficiant {20740/100000} $i addantur {9/100000}. habebimus {20749/100000}. Atque adeo $i recta A F, $tatuatur $inus totus partium 100000. erit $egmentum 20. partium cum par- ticula data, $inus partium 20749. Si particula data commode per cir cinum po$sit comprehendi, & decies repetatur, dabunt cente$imæ partes percur$æ partes decimas vnius cente$imæ. &c. Si quo que nonnunquam nulla $uper- $it particula, ita vt verbi gratia inuentæ $int præcisè {207/2000} multiplicandus erit tam numerator, quam denominator per 100. vt habeatur $inus 20700. re$pe- ctu $inus totius 100000. quemadmodũ & 40. cente$imæ con$tituunt $inum 40000. re$pectu $inus totius 100000. Sinamque vterque numerus minutiæ {40/100} ducatur in 1000. fiet minutia {40000/100000}.

14. HOC eodem in$trumento, & in eadem facie partium æqualium, ex _Ex circulo_ _qua ratione_ _ab$cindatur_ _arc{us} datorũ_ _grad. ac min_. data qualibet circumferentia auferemus arcum quotuis graduum & minuto- rum, hac arte. Sit ex quadrante, cuius $emidiameter interuallo F G, æqualis fit, ab$cind\~edus verbigratia arcus grad. 53. hoc e$t, chorda huius arcusinue- nienda. Sumatur ex tabula $inuum $inus $emi$sis propo$iti arcus, graduum videlicet 16. min. 45. qui$inus, abiectis quatuor figuris ad dexteram, e$t 450. re$pectu $inus totius 1000. Siergo $inus hicre$pectu $inus totius A F, accipia- turinrecta A F, v$que ad 45. perea, quæ$upra Num. 4. & 12. tradita $unt, da- bit interuallum inter 45. & 45. $inum quoque eundemre$pectu $inus totius F G, quodinteruallum duplicatum dabit chordamdupli arcus grad. 26. min. 45. id e$t, chordam arcus grad. 53. min. 30. qui quæritur. Si $inus totus $tatua- tur 10000. erit $inus grad. 26. min. 45. in tabula $inuũ 4501. abiectis nimirum tribus figuris ad dexteram: quiin A F, capietur, vt Num. 6. & 12. dictum e$t.

QVOD $i vtraque regula A F, A G, contineat 1000. partes, $tatui poterit $i- nustotus 100000. & etiam plurium partium, $i nimirum adhibeatur recta M N, partium 101. diui$a in 100. particulas, vel alia recta partium 1001. in 1000. particulas $ecta.

15. ECONTRARIO facile etiam cogno$cemus, quot gradus, & minu- _Quot grad{us},_ _ac minuta in_ _dato arcu cõ-_ _tineãtur, quo_ _pacto cogno-_ _$catur_. tain propo$ito arcu cuiu$uis quadrantis contineantur. Sit enim in quadran- te, cuius $emidiameter F G, cuiæqualis $itrecta R S, datus aliquis arcus, cuius chordæ$emi$sis $ir R T. Huic R T, æqualis inueniatur recta 40. 40. inter rectas A F, A G, ita vt puncta 40. 40. vel ab$cindant æquales partes, vtin dato exem- plo, vel æqualiter di$tent à duabus partibus æqualibus. Deinde per ea, quæ Num. 13. $crip$imus, inquiratur, quot partes ex 1000, vel 10000. vel 100000. in $egmento ab A, v$que ad punctum inu\~etum 40. comprehendantur. In da- to exemplo reperiuntur partes 400. vel 4000. vel 40000. prout $inus totus con$tituitur 1000. vel 10000. vel 100000. atque tantus e$t $inus 40. 40. re- $pectu $inus totius F G, cuire$pondent Grad. 23. min. 35. Duplus ergo arcus gr. 47. min. 10. quichordæip$ius R T, duplæ debetur, eritis, qui quæritur.

[040]GEOMETR. PRACT.

16. IN altera facie in$trumenti, in quam chord{ae} arcuum quadrantis _Quo pacto a-_ _liter ex circu-_ _lo ab$cindan-_ _tur arc{us} da-_ _torum gr. &_ _min_. $unt translat{ae}, facilius arcum quotcunque graduum accipiemus, hoc mo- do. Chordæ quadrantis propo$iti $umatur {ae}quale interuallum F G: Vel etiam $emidiametro Quadrantis, chord{ae} nimirum grad. 60. capiatur inter- uallum 60. 60. {ae}quale. Siigitur verbigratia de$ideret quis arcum Grad. 56. $umendum erit per circinum interuallum inter puncta 56. & 56. Huic enim {ae}qualis e$t chorda grad. 56, Si præter gradus accipienda $int etiam minuta, oportebit per {ae}$timationem in $equentiparticula accipere talem partem ip$i- us, qualem minuta propo$ita partem vnius gradus con$tituunt, Vt $i cupiat quis min. 30. $umenda e$t $emi$sis, $i 20. tertia pars, &c. Interuallum enim inter partem regul{ae} A F, & partemregul{ae} A G, acceptum dabit chordam _Quo pacto a-_ _liter cogno-_ _$catur, quot_ _grad. & min._ _in dato arcu_ _comprehen-_ _dantur_. qu{ae}$iti arcus.

VICISSIM $i cogno$cere velimus, quot gradus, ac minuta in dato arcu exi$tant, inue$tiganda erit eius chorda inter rectas A F, A G, ita vt puncta eius cadant vel in duas partes ea$dem, vel {ae}qualiter à duabus ei$d\~e di$tent. Nam tot gradus continebuntur in dato arcu, quotgradus cõtinentur in recta A F, à centro A, v$que ad punctum, è quo chorda datiarcus in rectam A G, trãs- lata e$t: ita vt $i dati arcus chorda extiterit inter grad. 70. & 70. propo$itus ar- cus complectatur gr. 70. &c.

_Quaratione_ _ex datarecta_ _pars imperata_ _ab$cindatur_.

17. IAM vero nemo ne$cit, $i ex linea aliqua ab$cindenda $it {1/2}. vel {1/3}. vel {1/17}. vel denique qu{ae}cunq; pars, cuius denominator maior non $it quam 100. quo pactoid fieri debeat. Sinamque interuallum F G, in priori facie in$tru- menti {ae}quale fuerit dat{ae} rect{ae}, dabit interuallum inter 50. & 50. partem {1/2}. Interuallum autem inter 25. & 25. partem. {1/4}. Interuallum vero inter 20. & 20. partem {1/5}. Item $i interuallum inter 90. & 90. vel inter 60. & 60. vel in- ter 30. & 30. fiat dat{ae} rect{ae} {ae}quale, dabitinteruallum inter 30. & 30. vel in- ter 20. & 20. vel inter 10. & 0. partem {1/3}. Rur$us $i interuallum inter 17. & 17. vel inter 34. & 34. datæ rect{ae} $umatur {ae}quale, dabit interuallum inter 1. & 1. vel inter 2. & 2. partem {1/1@}. Atinteruallum inter 5. & 5. velinter 10. & 10. da- bit {5/17}. &c. Ex hi$ceporro exemplis adductis facileintelliges, quo modo te in aliis partibus imperatis gerere debeas.

_Quaratione_ _ex dato circu-_ _lo lat{us} poly-_ _goni propo$iti_ _<007>nueniatur_.

18. NON aliter in po$teriori facie in$trumenti Iatera polygonorũ in quo- uis circulo reperiemus. Nam gradus 120. (quifacile accipientur, $i quadran- ti graduum 90. adij ciantur gradus 30.) dabuntlatus trianguli {ae}quilateri. Gra- dus 90. latus quadrati. Gradus 72. latus pentagoni. Gradus 51 {3/7}. hoc e$t, gradus 51. min. 26. paulo minus, latus heptagoni. &c. qui quidem gradus habebuntur, $i gradus 360. totius circuli per numerum laterum polygoni propo$iti diuidantur.

19. QVANDO in dato quadrante cogno$cere lubet, (quod non raro v- _Quopacto co-_ _gno$catur, in_ _quodpunctũ_ _$emidiametri_ _cadat perpen-_ _dicular{is} ex_ _quolibet gra-_ _du quadran-_ _tisdemi$$a_. $u venit) in quodnam punctum $emidiametriperpendicularis ex quouis gra- du ab altera $emidiametro numerato demi$$a cadat, ita agendum erit. Sit verbi gratia $emidiameter alicuius quadrantis F G, quærendumq; $it punctũ, in quod cadat perpendicularis ex grad. 26. min. 45. demi$$a. Sinus grad. 26. min. 45. e$t 45. po$ito $inutoto 100. Ergo & recta interpartes 45. & 45. erit $inus grad. 26. min. 45. re$pectu $inus totius F G, vt Num. 12. o$ten$um e$t. Quocirca recta 45. 45. in $emidiametrum dati quadrantis ex centro translata indicabit punctum quæ$itum.

[041]LIBER PRIMVS.

20. NON aliter reperiemus in diametro A$trolabij (quod notatu di- _Quo pacto in_ _d<007>ametro A-_ _$trolabij pun-_ _ctum cuiu$u{is}_ _declination{is}_ _reperiatur._ gnum e$t) punctum cuiu$cunque declinationis. Po$ito enim $inu toto $emi- diametro Aequatoris, $i declinatio e$t Borealis, tranferenda e$t in diametrum ex centro Tangens $emi$sis complementi declinationis: $i vero au$tralis e$t, Tangens $emi$sis arcus ex quadrante, & declinatione compo$iti. Vt Tan- gens grad. 33. min. 15. qui $emi$$em complementi declinationis <041>. con$titu- unt, dabit punctumextremum $emidiametri paralleli <041>, quod videlicet ab Aequatore in Boream grad. 23. min. 30. declinat. Tangens vero grad. 56. min. 45. qui $emi$$em con$tituunt arcus ex quadrante, & declinatione <043>, cõ- flati, dabit extremum punctum $emidiametri paralleli <043>, quod ab Aequatore in Au$trum grad. 23. min. 30. recedit. Ratio huiu$cerei e$t, quod recta in A- $trolabio ab extremitate diametri rectum Horizontem refer\~etis v$que ad in- ter$ectionem paralleli borealis cum altera diametro Meridianum repræ$en- tãte ducta con$tituit cũ altera diametro angulũ $emi$sis complementi decli- nationis borealis; ad inter$ectionem vero paralleli au$tralis cum eadem po- $teriore diametro educta effi cit angulum $emi$sis arcus ex quadrante, & de- clinatione au$trali conflati: atque vtriuslibet anguli Tangens $emidiameter e$t paralleli, vt ex A$trolabio liquet.

EODEMQVE modo, $i con$titerit, quem angulum in extremitate $emi- diametri Aequatoris in A$trolabio recta ad quodcunque punctum diametri, quæ ad illam $emidiametrum perpendicularis e$t, ducta con$tituat, reperie- mus punctum illud per Tangentem illius anguli, $icut in parallelis <041>, & <043>. factum e$t.

21. SI etiam quæcunque linea ex centro in$trumenti huius egrediens _Præceptum_ _generale ad_ _diuidendam_ _lineam datã_, _vt alia quæ-_ _cunque diui-_ _$aest_. $ecetur quomo do cunque, vt verbi gratia extrema, & media ratione, vel (quod operæ pretium e$$et, vt expeditius horologia de$cribantur) $icutæ- quinoctialis linea in horologio horizontali diui$a e$t: $ecabitur quæuis alia $i- militer, $i nimirum ei æquale interuallum F G, $umatur, vt ex dictis liquido con$tat. Satis tamen e$t, $i horæ ex vna parte line{ae} meridianæ, nimirum vel horæ antemeridianæ, vel pomeridianæ duntaxat in in$trumentum transfe- rantur.

22. PRÆTEREA aperto in$trumento quomodocunque, cogno$cemus _Qua ratione_ _quant<007>tas an-_ _guli quem la-_ _tera in$tru-_ _ment<007> conti-_ _nent cogno-_ _$catur_. quantitatem anguli F A G, in centro A, con$tituti, hoc modo. Circino $uma- tur interualluminter gradus 60. & 60. in po$teriore in$trumenti facie, tran$- feraturque ex centro in alterutram lineam chordarum. Nam quot gradus in co interuallo includuntur, tot gradus continebit angulus F A G. Ratio e$t, quòd arcus ex centro A, per gradus 60. & 60. de$criptus portio e$t quadran- tis, cuius chorda e$t tota linea A F: propterea quod corda 60. graduum $e- midiameter e$t quadrantis dicti, cuius chorda e$t A F, vt ex in$trumenti con- $tructione manife$tum e$t. Igitur interuallum inter gr. 60. & 60. e$t chorda anguli F A G, propo$iti, &c.

23. SED neque hoc omittendum e$t, (quando quidem de Tangentibus, _Quando$inus_ _tot{us} tam par-_ _u@@ e$t, vt in_ _in$trumen-_ _tum tran$-_ $inubus, & $ecantibus in hoc in$trumento re$pectu dati$inus totius accipi- endis verba fecimus) $inum totum interdum e$$e tam exiguum, vt ex F, in G, transferri nequeat, etiam$i in$trum\~etum pror$us claudatur. Vt ergo re$pectu illius $inus totius Tangens, $inus, ac $ecantes accipere po$simus ex in$trum\~e [042]GEOMETR. PRACT. to, $umendus e$tille $inus totusin aliqua recta bis, ter, aut quater, &c. atque _ferrinequeat_, _quid agen-_ _dum_. ita ex F, in G, transferendus. Nam $i Tangentium quæ$<007>tarum, vel $inuũ, aut $ecantium re$pectu $inus totius 100. capiantur $emi$$es, vel tertiæ partes, aut quartæ, &c. prout videlicet $inus totus bis, ter, quateruè, &c. acceptus fuit, habebũtur Tang\~etes quæ$itæ, vel $inus, aut $ecãtes. Vt $i $inus totus duplice- tur, & po$ito $inu toto 100. Tangens verbigratia $it 378. $umenda e$t Tang\~es 189. &c. Sed commodi$sime res hæc peragetur, $i $inus totus, quiperpu$il- lus e$t, decupletur. Ita enim po$ito $inu toto 100. $i ex Tangente verbi gra- tia propo$ita (relicta prima figura ad dexteram) abijciatur vna figura ad de- xteram, quæ e$t $ecunda in tota Tangente, habebitur decima eius pars. Ha- benda tamen $emper e$t ratio figuræ abiectæ, vt $cilicet pro ea $umatur 1. $i maior e$t quam 5. &c. Hacratione Tangente 2414. grad 67. min 30. propo- $ita (relictis {4/1000}.) transferenda erit Tangens 24 paulo amplius, nimirum pars decima Tangentis 241. re$pectu $inus totius 100.

24. SIC etiam, quando Tangens aliqua $inum totum $uperat, ne coga- mur primum $inum totum aliquoties transferre, deinde vero reliquas partes, _Quando Tã-_ _gens $uper{at}_ _$inum totum_, _quid agendũ_, _vt per vn<007>cã_ _tran$lationem_ _punctũ quæ$i-_ _tum inuenia-_ _tur_. vel contra; $ed vt $tatim punctum, quod quæritur, per vnam translationem po$simus inuenire, diuidenda e$t tota Tangens tabulæ ad finem nouæ de$cri- ptionis Horologiorum po$itæ per 2. vel 3. vel per talem denique numerum, vt producatur in Quotiente Tangens trium figurarum. Tunc enim abiecta prima figura ad dexteram, reliqua Tangens transferenda e$t re$pectu $inus totius 100. multiplicatiper eundem numerum, per quem Tang\~es diui$a fuit. Vt Tangens hor. 4. & 8. re$pectu $inus totius 1000. e$t 1732. quæ diui$a per 2. facit 866. Ergo transferenda e$t Tangens 86. {1/2}. paulo amplius re$pectu $i- nus totius 100. duplicati. Item Tangens hor. 5. & 7. e$t 3732. quæ diui$a per quatuor $acit 933. Ergo Tangens 93 {3/10}. transferenda e$t re$pectu $inus totius 100. quadruplicati. Atqueita de cæteris.

25. IN hoc eodem denique in$trumento facile duabus rectis tertiam pro- portionalem, & tribus quartam adiungemus. Nam $i, duabus propo$itis, pri- _Quo pacto_ _tertia, &_ _quarta pro-_ _portional{is}_ _reperiatur_. mæinrecta A F, regulæ A B, æqualis capiatur: & $ecunda à fine huius, aperto in$trumento, per circinum transferatur in regulam A C, ad numerum $imilem illi, qui in extremo primæ in regula AB, appo$itus e$t (ita vt pedes circini $ta- tuantur vel in $imilibus partibus vtriu$que regulæ, vel in duobus punctis æ- qualiter di$tantibus à $imilibus partibus) eidemque $ecundæ in regula A B, æ- qualis $umatur, dabitinterualluminter finem huius $ecundæ, & numerumin regula A C, $imilemilli, qui prope finem $ecundæ $criptus e$t, tertiam propor- tionalem; vt ex demon$tratis Num. 2. con$tare pote$t.

EADEM ratione, $i, tribus rectis propo$itis, prima & $ecunda in in$tru- mentum transferantur, vt dictum e$t, tertiæ autem in regula A B, æqualis quo- que capiatur, dabit interuallum inter finem tertiæ, & numerum regulæ A C, $i- milem illi, qui ad extremum tertiæ in regula A B, notatus e$t, quartam propor- tionalem.

QVOD $i lineæ propo$itæ tam magnæ $int, velaliqua illarum, vt in in$tru- mentum tran$portari nequeant, $umendæ erunt omnium $emi$$es, vel tertiæ partes, vel quartæ &c. at que cum illis procedendum, vt dictum e$t. Inuenta enim duplicata, vel trip licata, vel quadruplicata, &c. offeret tertiã aut quar- tam proportionalem quæ$itam.

[043]LIBER PRIMVS.

26. LOCO pr{ae}dicti in$trumenti con$trui pote$t in lamina aliqua, vel _Con$tructio_ _alteri{us} in$tr{is}_ _menti pro eo-_ _dem v$u_. plano quolibet, figura eundem v$um habens, facillima hac ratione. Fiatan- gulus B A C, cuiu$cunque magnitudinis; quo autem maior fuerit, eo maio- res $inus toti in figura a$$umi poterunt: ita vt non malè feceris $i rectum con$tituas. Ita namque quadrantem quoque recto angulo oppo$itum ob- tinebis: Recta autem A B, in 100. particulas æquales $ecta, (po$$et etiam $e- cari in 1000. $i commodè fieri po$$et, vt de $uperiore in$trumento diximus) de$cribantur ex centro A, per $ingulas partes 100. arcus circulorum, qui rectam quo que A C, in 100. particulas {ae}quales di$tinguent: parataque erit figura.

NAM $i in infimo arcu B C, $umatur interuallũ B D, dato $inui toti æqua- le ducaturque recta occulta A D, (hæc in {ae}nea tabella ducenda erit atramen- mento non admodum nigro, vel alio colore, vt po$tea deleri po$$it) fun- gentur rect{ae} A B, A D, officio regularum A F. A G, $uperioris in$trumenti ad propo$itam magnitudinem B D, aperti, & dilatati. Quamobrem inuenien- tur in hac figura omnes Tangentes re$pectu $inus totius B D, vt$upra. Vt Tangens verbi gratia partium 40. erit mteruallum E F, cum ducta recta _2. $exti._ E F, parallela $it rect{ae} duct{ae} B D, propterea quodlatera A B, A D, $ecta $unt in E, F, proportionaliter. Alij v$us $upra explicati facile quo que ad hanc figuram aptabuntur: pr{ae}$ertim $i in alteram faciem laminæ transferantur chordæ omnium arcuum quadrantis alicuius, vt ex dato circulo quotcun- que gradus po$sint ab$cindi, &c. Habet figura hæc id commodi, quod pe- riculum non e$t, ne clauus in centro atteratur, $icut in $uperiore in$trumento. Deinde in eadem hac figura po$$unt accipi particul{ae} etiam minim{ae}, prope centrum, & in extremo quadrante $inus totus quamuis perpu$illus, quod in $uperiore in$trumento non licebat.

QVAMVIS autem ad magnitudinum dimen$iones non omnes huius in- $trumenti partium v$us nece$$arij $int, $ed $olum ille, quem Num. 1. & 2. ex- plicauimus, poti$simum requiratur; placuit tamen tam varios eius v$us in vnum hunclocum congerere, tum vtin$trumenti pr{ae}$tantia magis eluceat, tum vt$tudio$us lector habeat, vbi alios v$us, quos de$iderat, inquirere de- beat. Non $um etiam ne$cius, quam plurimos alios pr{ae}clari huius in$tru- menti v$us po$$e excogitari, quos proprio Marte, atque indu$tria qui- uis facile, quando idres po$tulauerit, cogitando inueniet: nos præcipuos $olum indicare voluimus hoc loco.

[044]GEOMETR. PRACT.

Con$tructio Quadrantis, in quo minuta quoque, ac$ecunda deprehendantur, etiam$i gradus in ea$ecti non $int. Et quo pacto eadem minuta, & $ec. obtineri po$$int in quadrante in 90. gradus di$tributo. Ac denique qua ratione ex data recta in pauc<007>$$imas partes æquales diui$a ab$cindi po$$int partes mille$i- mæ, &c.

CAPVT II.

HOc e$t $ecundum, quod præmittendum e$$e diximus, qua vi- delicet via cogno$cere po$simus, quotminuta, & $ecunda in propo$ita particula cuiu$uis gradus contineantur: Et quot partes mille$imas qu{ae}libet particula dat{ae}rect{ae} comprehendat, licet in pauci$simas ea partes $it di$tributa. Quod vt a$$equa- mur, con$truendus e$t quadrans, quem anno 1586. in Fabrica, & v$u in$tru- [045]LIBER PRIMV menti Horologiorũ confecimus, hoc modo. De$criptis ex A, centro qua- drantis B C, intra eundem quadrantem aliis 36. quadrantibus æqualiter, $i pla- cet, inter $e di$tantibus, vt venu$tior appareat figura: ita vt in vniuer$um $int _Quadrant{is}_ _con$tructio_ _ad m. & $ec._ _cogno$cenda._ 40. quadrantes, quorum extimus in 90. gradus more $olito $ecetur: proxi- mus deinde in 128. partes æquales, primum videlicet in duas, & vtra que pars rur$us in duas, & qu{ae}libet harum quatuor partium iterum in duas, & ita deinceps, donec 7. diui$iones ab$olutæ $int, atque adeò totus quadrans in 128. partes {ae}quales di$tributus. Po$t hæc producantur alij quadrantes vltra $emidiametrum A B: ille quidem, qui tertius e$t ab extremo B C, v$que ad gradum 91. extremi quadrantis CB, producti, hoc e$t, v$que ad lineam ex A, ad gradum 91. ductam @ $equens deinde v$que ad gradum 92. & in$equens ad gradum 93. atque ita deinceps v$que ad alios gradus, ita vt quadrage$i- mus quadrans v$que ad gradum 128. producatur. Hiarcus ita producti diui- dantur $inguliin 128. partes {ae}quales, $icuti quadrans extimo quadranti pro- ximus: qua diui$ione peracta, partes $upra $emidiametrum A B, re$ecentur, tanquam $uperuacaneæ.

2. QVOD $i quadrantes vltra $emidiametrum A B, produci commodè non po$sint, ob $pacij angu$tias, in$tituenda erit diui$io hoc modo. In qua- drante extremo B C, $umatur $emi$$is numeri graduum, quem quilibet arcus productus continere deberet, & ex A, ad illam $emi$$em linea occulta duca- tur. H{ae}c enim $ecabit quadrantem propo$itum in puncto, vbi arcus produ- ctus prima diui$ione bifariam $ecaretur. Quare $i arcus inter hoc punctum & $emidiametrum A C, comprehendens 04. partes ex illis 128. totius arcus producendi, $ecetur bifariam continuè $ex d<007>ui$ionibus, parte$que illius in a@@um interidem punctum, & $emidiametrum A B, transferantur, qu{ae} tran$- $@rri po$$unt, habebuntur in dato quadrante omnes partes, quæ ex illis 128. in quas totus arcus pro ductus diuideretur, in quadrantem cadunt. Vt $i di- u<007>dendus $it quadrans M N, v$que ad grad. 104. producendus, ducemus ad grad. 52. nimirum ad $emi$$em grad. 104. rectam, qu{ae} $ecet Quadrantem M N, in O. Nam $i arcus O N, continens partes 64. ex illis 128. totius arcus produ- cti, $ecetur continuè bifariam $ex diui$io nibus, parte$que eius in arcum O M, transferantur, habebuntur omnes partes in quadrantem M N, cadentes, non $ecus, ac $i totus arcus productus in 128. partes di$tributus e$$et. Sic etiam, $i quadrans ad gradum 125. producendus, diuidendus $it, ducenda erit linea occulta ad gradum 62 {1/2} nimirum ad $emi$$em graduum 125. Item $i qua- drans D E, 120. producendus, diuidendus $it, ducenda erit linea occulta ad gradum 60. &c.

3. HISCE quadrantibus ita diui$is duplices numeri a$$cribendi $unt, pro- _Quinumeri_ _quædrantib{us}_ _a$$cribend@_ _$int_. pe $emidiametrum quidem A C, numeri quadrantum, vt 1. prope extre- mum; 2. iuxta $equentem; & 3. iuxta tertium, &c. Ita vides quadranti, qui v$que ad gradum 96. productus e$t, appo$itum e$$e numerum 8. cum is octa- uus $it. Primus enim e$t quadrans B C; $ecundus, qui $equitur, 90. graduũ Tertius graduum 91. quartus graduum 92. quintus graduum 93. Sextus graduum 94. Septimus graduum 95. & Octauus graduum 96. Sic etiam qua- dranti v$que ad grad. 100. preducto cernis a$$criptum e$$e numerum 12. &c. At verò iuxta $emidiametrum A B, numeriillorum graduum $cribendi $unt, ad quos v$que quilibet quadrans extenditur, vt in figura vides. Ita enim caden- [046] [047]LIBER PRIMVS. filo perpendiculi in partem aliquam integram alicuius quadrantis, illico iuxta $emidiametrum A B, apparebit, ad quem gradum v$q; quadransille productus fuit. Qui quidem graduum numerus in regula trium tertium occupatlocum, vt minuta, atque $ecunda inquirantur, vt paulo po$t Num. 7. dicemus.

4. IVXTA $emidiametrum A B, affigenda $unt duo pinnacidia ad angulos _Pinnacidia_ _quo pacto af-_ _figenda._ rectos, ita vt foramina, per qu{ae} radius $olis, vel vi$ualis tran$ire debet, ad per- pendiculum rect{ae} AB, exi$tant; alio quin non paruus error in dimen$ione linea- rum committeretur.

5. QVANDO porro per radium vi$ualem altitudo $t ell{ae} inue$tiganda e$t, _Pinnacidia_ _pro radio vi-_ _$uali quo pa-_ _cto con$tru\~e-_ _da._ vel punctum aliquod lineæ dimetiendæ in$piciendum, con$trui debent duo pin- nacidia hoc modo. In tabella ænea quadrata IK, fiat foramen rotundum medio- cris magnitudinis, in cuius medio relinquatur foramen L, quod $u$tineatur à diametro quadam tenui; Et circa I, circumuertatur alia tabella ænea quadrata $ubtilis, priori {ae}qualis, in cuius medio $it etiam perexiguum foramen M, re$p on- dens foramini L, quando h{ae}c tabella priori $up erimponitur. Huiu$modi duo pinnacidia $i fiant, dici vix pote$t, quàm expeditè quamcunque $tellam, aut a- liam quamlibet rem contueri liceat. Nam pinnacidium, quod ab oculo propius abe$t, claudendum e$t tabella illa quadrata circumducta circa punctum I, aliud autem aperiendum. Sic enim fiet, vt radius vi$ualis per foramen M, prope ocu- lumimmi$$us, illico con$piciat per maius foramen L, in pinnacidio remotiore $tellam, vel aliam rem propo$itam: quia foramen illud maius apertum facilè remip$am intueri, & $ine vllo negotio foramen exiguum L, in eodem pinnaci- dio remotiore in ip$am rem vi$um dirigere nos$init.

6. POSTREMO ex centro A, egrediatur filum $ub tili$simum cum appen$o _Con$tructio_ _regulæ, loco_ _fili._ perpendiculo. Aut certè loco fili con$truatur regula ænea admodum tenuis cum linea fiduci{ae}, in cuius extremitate promineat laminula, ex qua $u$pendatur perpendiculum hac conditione, vt regula liberè pendente, filum aliquod cum perpendiculo demi$$um, ad vnguem line{ae} fiduci{ae} re$pondeat. Atq; in hoc $u\~ma diligentia adhibenda e$t, alioquin gradus non rectè à linea fiduci{ae} indicarentur.

ATQVE hoc modo Quadrans in $uo v$u erit pendulus, $iueres in $ublimi _Quadrans_ _pendul{us}._ exi$tens ex B, per A, $iueres in plano po$ita ex A, per B, in$piciatur.

QVOD $i circa centrum A, regula affigatur cum linea fiduci{ae} AB, & duobus pinnacidijs c, b quorum foramina line{ae} fiducl{ae} re$pondeant, ip$a queregula ita _Quadrans_ _$tabil{is}._ firmetur, vt cir ca centrum circumducta ad quemcunque gradum immota per- maneat, erit Quadrans in $uo v$u $tabilis eundem $emper $itum habens, $iueres in $ublimi exi$tens in$piciatur ex A, per b, po$ito nimirum latere A C, Horizonti parallelo, in plano Horizontali, $iue rem in plano po$itam quis intueatur ex A, per b, latere A C, ad Horizontem exi$tente perpendiculari, & latere A B, eidem Horizonti parallelo, $uperioremq; locũ occupante. Verum h{ae}c planius intel- ligentur, cum de vtro que v$u lib. 2. agemus.

7. VSVS quadrantis hoc modo con$tructi in minutis, ac $ecundis exquiren- _V${us} quadrã-_ _t{is} proximè_ _con$truct in_ _minut{is} ex-_ _quirend{is}._ dis, pr{ae}clarus e$t. Nam cadente filo perpendiculi, aut linea fiduci{ae} AB, in par- tem aliquamintegram alicuius Quadrantis (quod ferè $emper accidet propter diuer$itatem partium in tanta quadrantum multitudine) $i fiat vt 128. nimirum vt numerus partium, in quas quilibet arcus productus diuiditur, ad partes à filo ab$ci$$as, ita numerus graduum in toto arcu pro ducto comprehen$orum, in cuius partem aliquam integram filum incidit, ad aliud, reperietur numerus gra- [048]GEOMETR. PRACT. duumin arcu ab$ci$$o contentorum. Et $i quid in diui$ione fueritre$idui, illud per 60. multiplicatum, atq; in eundem diui$orem, hoc e$t, in 128. diui$um, dabit minuta graduum. Et $i adhuc quippiam reman$erit in hac diui$ione, illud eodem modo per 60. multiplicatum, & in eundem diui$orem 128, diui$um, exhibebit $ecunda. Atq; hoc modo progrediendo, reperientur Tertia, Quarta, &c. do- nec nihil in diui$ione $uper$it. Tunc enim vlterius progrediendum non e$t; Sed fatis e$t, ad $ecunda v$q; progredi. Exempligratia. Ponatur ex Quadrante P Q, v$q; ad gradum 100. producto, qualis e$t duo decimus, filum perpendiculi ab- $cidi$$e partes 20. ex illis 128. in quas totus arcus productus di$tributus e$t. Fiat ergo, vt 128. ad 20. ita 100. ad aliud; inuenienturq; gradus 15. $upereruntq; in di- ui$ione 80. qu{ae} ducta in 60. faciunt 4800. qu{ae} diui$a per 128. dant minuta 37, & $uper$unt adhuc 64. quæ $i ducãtur in 60. & productus numerus 3840. diuida- tur per 128. prodibunt Sec. 30. nihilq; in diui$ione $upere$t. Arcus ergo Q 20, vel arcus Quadrantis BC, inter C, & filum perpendiculi includit gr. 15. Min. 37. Sec. 30. Rur$us ponamus ex octauo quadrante RS, v$q; ad gradum 96. produ- cto filum perp\~ediculi ab $cidi$$e partes 96. ex illis 128. quæ in toto arcu producto continentur. Fiat ergo, vt 128. ad 96. ita 96. ad aliud: reperientur que gradus 72. pr{ae}cisè arcui ab$ci$$o conuenire. Item ceciderit filum in partem 64. Quadrantis $extidecimi MN, v$que ad gradum 104. producti. Si ergo fiat, vt 128. ad 64. ita 104. ad aliud, producentur quo que grad. 52. præcisè. atque ita de cæteris; dum- modo $is memor, vt $i quid in diui$i onibus $uperfuerit, re$idua diui$ionum mul- tiplicentur per 60. & producti numeri per 128. diuidantur, vt dictum e$t.

DEMONSTRATIO huius operationis per$picua e$t. Quoniam enim e$t, (in vltimo exemplo) vt arcus N M, v$que ad grad. 104. productus, quatenus in 128. partes $ectus e$t, ad arcum N O, earundem partium 64. vt idem arcus N M, totus productus, quatenus grad. 104. complectitur, ad eundem arcum N O, re- $pectu eorundem graduum; efficitur, vt $i fiat quemadmodum partes 128, totius arcus N M, v$que ad grad. 104. producti ad partes 64. in arcu N O, contentas ita idem arcus N M, productus graduum 104. ad aliud, reperiantur gradus in eo dem arcu N O, contenti, &c.

8. IN gratiam autem $tudio $orum placet hic tabellam in$erere, in qua ex re- _Con$tructio_ _& v${us} tabel-_ _la pro minut{is}_ _& $ecund{is}._ $iduo primæ operationis regulæ aureæ, qua gradus eliciuntur, mox apparet, quot minuta, & $ecunda illi re$i duo re$pondeant: Ita vt opus $it $emel tantum regulam auream adhibere. Con$truitur autem tabella, $i $ingula re$idua, quæ plura, quam 127, e$$e nequeunt, per 60. multiplicentur, productique numeri per 128. diuidantur. Atque vt $tructura, & v$us huiu$ce tabellæ facilius intelliga- tur, apponemus vnum exemplum. Cadat verbi gratia filum perpendicul<007> in partem 29. Quadrantis 32. ad gradum v$que 120. producti. Fiat igitur vt 128. ad 29. ita 120. ad aliud; producenturque grad. 27. Quia verò in diui$ione $u- per$unt 24. $ub quo numero in tabella ponuntur duo hi numeri 11. 15. Prior ergo dat minuta, & po$terior $ecunda; Ita vt arcus à filo ab$ci$$us complecta- tur grad. 27: Min. 11. $ec. 15. Atque hæc minuta, & Secunda producuntur, $i re$i- duum diui$ionis, nimirum 24. ducatur in 60. & productus numerus per 128. di- uidatur, &c. Eadem ratio e$t dereliquis tabell{ae} numeris. Nam $emper $uperior numerus e$t ille, qui in diui$ione reman$it: Inferiorum autem numerorum prior ad minuta, & po$terior ad $ecunda $pectat.

SEQVITVR TABELLA. [049]LIBER PRIMVS.

TABELLA INDICANS, QVOT MI- nuta, ac Secunda re$iduo primæ operationis regu- læ aureæ, qua gradus in $upra nominatæ tabulæ con$tructione eruuntur, re$pondeant.

## 1 ## 2 ## 3 ## 4 ## 5 ## 6 ## 7 ## 8 ## 9 ## 10 ## 11 ## 12 M # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. 0. # 28 # 0. # 56 # 1. # 24 # 1. # 52 # 2. # 21 # 2. # 49 # 3. # 17 # 3. # 45 # 4. # 13 # 4. # 41 # 5. # 9 # 5. # 37 ## 13 ## 14 ## 15 ## 16 ## 17 ## 18 ## 19 ## 20 ## 21 ## 22 ## 23 ## 24 M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. 6. # 6 # 6. # 34 # 7. # 2 # 7. # 30 # 7. # 58 # 8. # 26 # 8. # 54 # 9. # 22 # 9. # 51 # 10. # 19 # 10. # 47 # 11. # 15 ## 25 ## 26 ## 27 ## 28 ## 29 ## 30 ## 31 ## 32 ## 33 ## 34 ## 35 ## 36 M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. 11. # 43 # 12. # 11 # 12. # 39 # 13. # 7 # 13. # 36 # 14. # 4 # 14. # 32 # 15. # 0 # 15. # 28 # 15. # 56 # 16. # 24 # 16. # 52 ## 37 ## 38 ## 39 ## 40 ## 41 ## 42 ## 43 ## 44 ## 45 ## 46 ## 47 ## 48 M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. 17. # 21 # 17. # 49 # 18. # 17 # 18. # 45 # 9. # 13 # 19. # 41 # 20. # 9 # 20. # 37 # 21. # 6 # 21. # 34 # 22. # 2 # 22. # 30 ## 49 ## 50 ## 51 ## 52 ## 53 ## 54 ## 55 ## 56 ## 57 ## 58 ## 59 ## 60 M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. 22. # 58 # 23. # 26 # 23. # 54 # 24 # 22 # 24. # 51 # 25. # 19 # 25. # 47 # 26. # 15 # 26. # 43 # 27. # 11 # 27. # 39 # 28. # 7 ## 61 ## 62 ## 63 ## 64 ## 65 ## 66 ## 67 ## 68 ## 69 ## 70 ## 71 ## 72 M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. 28. # 36 # 29. # 4 # 29. # 32 # 30. # 0 # 30. # 28 # 30. # 56 # 31. # 24 # 31 # 52 # 32. # 21 # 32. # 49 # 33. # 17 # 33. # 45 ## 73 ## 74 ## 75 ## 76 ## 77 ## 78 ## 79 ## 80 ## 81 ## 82 ## 83 ## 84 M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. 34. # 13 # 34. # 41 # 35. # 9 # 35. # 37 # 36. # 6 # 36. # 34 # 37. # 2 # 37. # 30 # 37. # 58 # 38. # 26 # 38. # 54 # 39. # 22 ## 85 ## 86 ## 87 ## 88 ## 89 ## 90 ## 91 ## 92 ## 93 ## 94 ## 95 ## 96 M. # S # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. 39. # 51 # 40. # 19 # 40. # 47 # 41. # 15 # 41. # 43 # 42. # 11 # 42. # 39 # 43. # 7 # 43. # 36 # 44. # 4 # 44. # 32 # 45. # 0 ## 97 ## 98 ## 99 ## 100 ## 101 ## 102 ## 103 ## 104 ## 105 ## 106 ## 107 ## 108 M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S # M. # S # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S # M. # S. # M. # S. 45. # 28 # 45 # 56 # 46. # 24 # 46. # 52 # 47. # 21 # 47. # 49 # 48. # 17 # 48. # 45 # 49. # 13 # 49 # 41 # 50 # 9 # 50. # 37 ## 109 ## 110 ## 111 ## 112 ## 113 ## 114 ## 115 ## 116 ## 117 ## 118 ## 119 ## 120 M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. 51. # 6 # 51. # 34 # 52. # 2 # 52. # 30 # 52. # 58 # 53. # 26 # 53. # 54 # 54. # 22 # 54. # 5 # 55. # 19 # 55. # 47 # 56. # 15 ## 121 ## 122 ## 123 ## 124 ## 125 ## 126 ## 127 ## 128 M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. # M. # S. 56. # 43 # 57 # 1 # 5@. # 39 # 58. # 7 # 8. # 36 # 59. # 4 # 59. # 32 # 60. # 0 [050]GEOMETR. PRACT.

9. PORRO vt $tudio$os omni labore $upputandi leuaremus, compo$ita _Con$tructio_ _& v${us} tabulæ_ _$equent{is}._ à nobis e$t $equens tabula, in qua confe$tim apparet, quot gradus, minuta, ac $ecunda cuilibet parti cuiu$uis Quadrantis re$pondeant. Nam $i in latere tabu- læ$ini$tro $umatur numerus illius quadrantis, in cuius partem aliquam integram filum perpendiculi cecidit, numerus, inquam, iuxta $emidiametrum A C, illi quadranti appo$itus, in vertice verò eiu$dem tabulæ acc@piatur numerus par- tium à filo ab$ci$$arum, reperientur in angulo communigrad. Min. & Sec. ar- cus ab$ci$si. Exemplum. Ceciderit filum in partem 30. Quadrantis 16. qui v$- que ad grad. 104. productus fuit. Si ergo in vertice tabulæ $umatur numerus 30. partium, & in $ini$tro latere numerus quadrantis 16. deprehendentur in com- muni angulo grad. 24. Min. 3. Sec. 30. Item cadente filo in partem 111. Qua- drantis 15. qui v$que ad grad. 103. fuit productus; $i in vertice tabul{ae} accipia- tur numerus 111. partium, & in latere $ini$tro numerus Quadrantis 15. reperien- tur in angulo communi gradus 89. min. 19. $ec. 13. Atq; ita de cæteris. Con$tru- ctio tabul{ae} ex dictis ob$cura non e$t. Nam $i fiat, vt 128, ad 1. ad 2. ad 3. ad 4. & ita deinceps, v$que ad 128. ita numerus graduum cuiuslibet arcus to tius pro- ducti ad aliud, reperientur gradus. Minuta & Sec. pro partibus cuiu$que Qua- drantis. Continentur autem in tabula tantummodo 40. Quadrantes, quod hi $atis e$$e videantur: Si quis tamen plures de$cribere velit facilè tabulam exten- dere poterit $ecundum do ctrinam traditam hoc loco ad quotuis Quadrantes. In eadem tabula quando in tertia operatione regulæ aureæ, qua $ecunda inqui- runtur, numerus reliquus fuit maior quam 64. maior nimirum dimidio Diui$o- ris 128. a$$ump$imus vnum $ecundum integrum.

IAM verò $i quis tabulam extendere velit ad plures Quadrantes, facere _Quo pacto ta-_ _bula 40 Qua_ _drantum ex-_ _tendatur ad_ _plur{es} Qua-_ _drant{es} $ine_ _ope aureæ re-_ _gulæ._ id poterit $ine vlla operatione regulæ aureæ, hoc modo. Gradibus, Minutis ac $ecundis quadrage$imi Quadrantis, quiv$que ad grad. 128. productus fuit, adiiciantur differentiæ inter gradus, minuta, ac $ecunda quadrage$imi Qua- drantis, & gradus, Minuta, ac $ecunda aliorum quadrantum infra Quadrage- $imum. Ita namque conficientur gradus, minuta, ac $ecunda qua drantum $u- pra quadrage$imum. Nam gradus, minuta, ac $ecunda trium quorumlibet quadrantum, quorum vnus $it quadrage$imus, alij verò duo æqualiter ab eo di$tent, ob$eruant proportionem Arithmeticam continuam, vt hic apparet, Par \\ tes ### 1 ### 2 ### 3 ### 4 ### 5 ### 6 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 38 # 0 # 59 # 4 # 1 # 58 # 7 # 2 # 57 # 11 # 3 # 56 # 15 # 4 # 55 # 19 # 5 # 54 # 22 39 # 0 # 59 # 32 # 1 # 59 # 4 # 2 # 58 # 36 # 3 # 58 # 7 # 4 # 57 # 39 # 5 # 57 # 11 40 # 1 # 0 # 0 # 2 # 0 # 0 # 3 # 0 # 0 # 4 # 0 # 0 # 5 # 0 # 0 # 6 # 0 # 0 41 # 1 # 0 # 28 # 2 # 0 # 56 # 3 # 1 # 24 # 4 # 1 # 53 # 5 # 2 # 21 # 6 # 2 # 49 42 # 1 # 0 # 56 # 2 # 1 # 53 # 3 # 2 # 49 # 4 # 3 # 45 # 5 # 4 # 41 # 6 # 5 # 38 Numeri enim Quadrantum 39. 40. 41. in prima columna $uperant $e conti- nuè $ecundis 28. In $ecunda verò columna $ecundis 56. & in tertia Minuto 1. Secundis 24. &c. Ita quoq; Numeri Quadrantum 38. 40. 42. in prima columna [051]LIBER PRIMVS. $uperant $e continue $ecundis 56. In $ecunda vero Minuto 1. $ecundis 53. & in tertia Minutis 2. $ecundis 49. & c. Quare$i differentiæ inter gradus, minuta, ac $ecunda Quadrantis 39. & Quadrantis 40. adijciantur ordine ad gradus, minu- ta, ac $ecunda Quandrantis 40. componentur gradus, Minuta ac $ecunda Qua- drantis 41. Differentiæ autem inter gradus, Minuta ac Secun. Quadrantis 38. & Quadrantis 40. additæ ordinatim gradibus, Minutis, ac $ecundis Quadrãtis 40. conficient gradus minuta, ac Secunda Quadrantis 42. Sic quo que differentiæ inter gradus, Minuta, ac Secunda Quadrantis 30. & Quadrantis 40. appo$itæ gradibus, Minutis, & $ecundis Quadrantis 40. component gradus, minuta, & $ecunda Quadrantis 50. & c.

SEQVITVR TABVLA QVADRANTIS PAVLO AN- te con$tructi, vbi $inguli arcus producti di$tribuuntur in 128. partes æquales: in qua $tatim apparet, quot Gradus, Minuta, ac Secunda $ingulis particulis cuiu$uis quadrantis re$pondeant: cuius quidem v$um $upra expo$uimus.

[052]GEOMETR. PRACT. Par \\ es. ### 1 ### 2 ### 3 ### 4 ### 5 ### 6 ### 7 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 1 # 0 # 0 # 2 # 0 # 0 # 3 # 0 # 0 # 4 # 0 # 0 # 5 # 0 # 0 # 6 # 0 # 0 # 7 # 0 # 0 2 # 0 # 42 # 11 # 1 # 24 # 22 # 2 # 6 # 34 # 2 # 48 # 45 # 3 # 30 # 56 # 4 # 13 # 7 # 4 # 55 # 19 3 # 0 # 42 # 39 # 1 # 25 # 19 # 2 # 7 # 58 # 2 # 50 # 37 # 3 # 33 # 17 # 4 # 15 # 56 # 4 # 58 # 36 4 # 0 # 43 # 7 # 1 # 26 # 15 # 2 # 9 # 22 # 2 # 52 # 30 # 3 # 35 # 37 # 4 # 18 # 45 # 5 # 1 # 52 5 # 0 # 43 # 36 # 1 # 27 # 11 # 2 # 10 # 47 # 2 # 54 # 22 # 3 # 37 # 58 # 4 # 21 # 34 # 5 # 5 # 9 6 # 0 # 44 # 4 # 1 # 28 # 7 # 2 # 12 # 11 # 2 # 56 # 15 # 3 # 40 # 19 # 4 # 24 # 22 # 5 # 8 # 26 7 # 0 # 44 # 32 # 1 # 29 # 4 # 2 # 13 # 36 # 2 # 58 # 7 # 3 # 42 # 39 # 4 # 27 # 11 # 5 # 11 # 43 8 # 0 # 45 # 0 # 1 # 30 # 0 # 2 # 15 # 0 # 3 # 0 # 0 # 3 # 45 # 0 # 4 # 30 # 0 # 5 # 15 # 0 9 # 0 # 45 # 28 # 1 # 30 # 56 # 2 # 16 # 24 # 3 # 1 # 53 # 3 # 47 # 21 # 4 # 32 # 49 # 5 # 18 # 17 10 # 0 # 45 # 56 # 1 # 31 # 52 # 2 # 17 # 49 # 3 # 3 # 45 # 3 # 49 # 41 # 4 # 35 # 37 # 5 # 21 # 34 11 # 0 # 46 # 24 # 1 # 32 # 49 # 2 # 19 # 13 # 3 # 5 # 37 # 3 # 52 # 2 # 4 # 38 # 26 # 5 # 24 # 51 12 # 0 # 46 # 52 # 1 # 33 # 45 # 2 # 20 # 37 # 3 # 7 # 30 # 3 # 54 # 22 # 4 # 41 # 15 # 5 # 28 # 7 13 # 0 # 47 # 21 # 1 # 34 # 41 # 2 # 22 # 2 # 3 # 9 # 22 # 3 # 56 # 43 # 4 # 44 # 4 # 5 # 31 # 24 14 # 0 # 47 # 49 # 1 # 35 # 37 # 2 # 23 # 26 # 3 # 11 # 15 # 3 # 59 # 4 # 4 # 46 # 52 # 5 # 34 # 41 15 # 0 # 48 # 17 # 1 # 36 # 34 # 2 # 24 # 51 # 3 # 13 # 7 # 4 # 1 # 24 # 4 # 49 # 41 # 5 # 37 # 58 16 # 0 # 48 # 45 # 1 # 37 # 30 # 2 # 26 # 15 # 3 # 15 # 0 # 4 # 3 # 45 # 4 # 52 # 30 # 5 # 41 # 15 17 # 0 # 49 # 13 # 1 # 38 # 26 # 2 # 27 # 39 # 3 # 16 # 52 # 4 # 6 # 6 # 4 # 55 # 19 # 5 # 44 # 32 18 # 0 # 49 # 41 # 1 # 39 # 22 # 2 # 29 # 4 # 3 # 18 # 45 # 4 # 8 # 26 # 4 # 58 # 7 # 5 # 47 # 49 19 # 0 # 50 # 9 # 1 # 40 # 19 # 2 # 30 # 28 # 3 # 20 # 37 # 4 # 10 # 47 # 5 # 0 # 56 # 5 # 51 # 6 20 # 0 # 50 # 37 # 1 # 41 # 15 # 2 # 31 # 52 # 3 # 22 # 30 # 4 # 13 # 7 # 5 # 3 # 45 # 5 # 54 # 22 21 # 0 # 51 # 6 # 1 # 42 # 11 # 2 # 33 # 17 # 3 # 24 # 22 # 4 # 15 # 28 # 5 # 6 # 34 # 5 # 57 # 39 22 # 0 # 51 # 34 # 1 # 43 # 7 # 2 # 34 # 41 # 3 # 26 # 15 # 4 # 17 # 49 # 5 # 9 # 22 # 6 # 0 # 56 23 # 0 # 52 # 2 # 1 # 44 # 4 # 2 # 36 # 6 # 3 # 28 # 7 # 4 # 20 # 9 # 5 # 11 # 11 # 6 # 4 # 13 24 # 0 # 52 # 30 # 1 # 45 # 0 # 2 # 37 # 30 # 3 # 30 # 0 # 4 # 22 # 30 # 5 # 15 # 0 # 6 # 7 # 30 25 # 0 # 52 # 58 # 1 # 45 # 56 # 2 # 38 # 54 # 3 # 31 # 52 # 4 # 24 # 51 # 5 # 17 # 49 # 6 # 10 # 47 26 # 0 # 53 # 26 # 1 # 46 # 52 # 2 # 40 # 19 # 3 # 33 # 45 # 4 # 27 # 11 # 5 # 20 # 37 # 6 # 14 # 4 27 # 0 # 53 # 54 # 1 # 47 # 49 # 2 # 41 # 43 # 3 # 35 # 37 # 4 # 29 # 32 # 5 # 23 # 26 # 6 # 17 # 21 28 # 0 # 54 # 22 # 1 # 48 # 45 # 2 # 43 # 7 # 3 # 37 # 30 # 4 # 31 # 52 # 5 # 26 # 15 # 6 # 20 # 37 29 # 0 # 54 # 51 # 1 # 49 # 41 # 2 # 44 # 32 # 3 # 39 # 22 # 4 # 34 # 13 # 5 # 29 # 4 # 6 # 23 # 54 30 # 0 # 55 # 19 # 1 # 50 # 37 # 2 # 45 # 56 # 3 # 41 # 15 # 4 # 36 # 34 # 5 # 31 # 52 # 6 # 27 # 11 31 # 0 # 55 # 47 # 1 # 51 # 34 # 2 # 47 # 21 # 3 # 43 # 7 # 4 # 38 # 54 # 5 # 34 # 41 # 6 # 30 # 28 32 # 0 # 56 # 15 # 1 # 52 # 30 # 2 # 48 # 45 # 3 # 45 # 0 # 4 # 41 # 15 # 5 # 37 # 30 # 6 # 33 # 45 33 # 0 # 56 # 43 # 1 # 53 # 26 # 2 # 50 # 9 # 3 # 46 # 52 # 4 # 43 # 36 # 5 # 40 # 19 # 6 # 37 # 2 34 # 0 # 57 # 11 # 1 # 54 # 22 # 2 # 51 # 34 # 3 # 48 # 45 # 4 # 45 # 56 # 5 # 43 # 7 # 6 # 40 # 19 35 # 0 # 57 # 39 # 1 # 55 # 19 # 2 # 52 # 58 # 3 # 50 # 37 # 4 # 48 # 17 # 5 # 45 # 56 # 6 # 43 # 36 36 # 0 # 58 # 7 # 1 # 56 # 15 # 2 # 54 # 22 # 3 # 52 # 30 # 4 # 50 # 37 # 5 # 48 # 45 # 6 # 46 # 52 37 # 0 # 58 # 36 # 1 # 57 # 11 # 2 # 55 # 47 # 3 # 54 # 22 # 4 # 52 # 58 # 5 # 51 # 34 # 6 # 50 # 9 38 # 0 # 59 # 4 # 1 # 58 # 7 # 2 # 57 # 11 # 3 # 56 # 15 # 4 # 55 # 19 # 5 # 54 # 22 # 6 # 53 # 26 39 # 0 # 59 # 32 # 1 # 59 # 4 # 2 # 58 # 36 # 3 # 58 # 7 # 4 # 57 # 39 # 5 # 57 # 11 # 6 # 56 # 43 40 # 1 # 0 # 0 # 2 # 0 # 0 # 3 # 0 # 0 # 4 # 0 # 0 # 5 # 0 # 0 # 6 # 0 # 0 # 7 # 0 # 0 [053]LIBER PRIMVS. Par \\ tes. ### 8 ### 9 ### 10 ### 11 ### 12 ### 13 ### 14 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 8 # 0 # 0 # 9 # 0 # 0 # 10 # 0 # 0 # 11 # 0 # 0 # 12 # 0 # 0 # 13 # 0 # 0 # 14 # 0 # 0 2 # 5 # 37 # 30 # 6 # 19 # 41 # 7 # 1 # 52 # 7 # 44 # 4 # 8 # 26 # 15 # 9 # 8 # 26 # 9 # 50 # 37 3 # 5 # 41 # 15 # 6 # 23 # 54 # 7 # 6 # 34 # 7 # 49 # 13 # 8 # 31 # 52 # 9 # 14 # 32 # 9 # 57 # 11 4 # 5 # 45 # 0 # 6 # 28 # 7 # 7 # 11 # 15 # 7 # 54 # 22 # 8 # 37 # 30 # 9 # 20 # 37 # 10 # 3 # 45 5 # 5 # 48 # 45 # 6 # 32 # 21 # 7 # 15 # 56 # 7 # 59 # 32 # 8 # 43 # 7 # 9 # 26 # 43 # 10 # 10 # 19 6 # 5 # 52 # 30 # 6 # 36 # 34 # 7 # 20 # 37 # 8 # 4 # 41 # 8 # 48 # 45 # 9 # 32 # 49 # 10 # 16 # 52 7 # 5 # 56 # 15 # 6 # 40 # 47 # 7 # 25 # 19 # 8 # 9 # 51 # 8 # 54 # 22 # 9 # 38 # 54 # 10 # 23 # 26 8 # 6 # 0 # 0 # 6 # 45 # 0 # 7 # 30 # 0 # 8 # 15 # 0 # 9 # 0 # 0 # 9 # 45 # 0 # 10 # 30 # 0 9 # 6 # 3 # 45 # 6 # 49 # 13 # 7 # 34 # 41 # 8 # 20 # 9 # 9 # 5 # 37 # 9 # 51 # 6 # 10 # 36 # 34 10 # 6 # 7 # 30 # 6 # 53 # 26 # 7 # 39 # 22 # 8 # 25 # 19 # 9 # 11 # 15 # 9 # 57 # 11 # 10 # 43 # 7 11 # 6 # 11 # 15 # 6 # 57 # 39 # 7 # 44 # 4 # 8 # 30 # 28 # 9 # 16 # 52 # 10 # 3 # 17 # 10 # 49 # 41 12 # 6 # 15 # 0 # 7 # 1 # 52 # 7 # 48 # 45 # 8 # 35 # 37 # 9 # 22 # 30 # 10 # 9 # 22 # 10 # 56 # 15 13 # 6 # 18 # 45 # 7 # 6 # 6 # 7 # 53 # 26 # 8 # 40 # 47 # 9 # 28 # 7 # 10 # 15 # 28 # 11 # 2 # 49 14 # 6 # 22 # 30 # 7 # 10 # 19 # 7 # 58 # 7 # 8 # 45 # 57 # 9 # 33 # 45 # 10 # 21 # 34 # 11 # 9 # 22 15 # 6 # 26 # 15 # 7 # 14 # 32 # 8 # 2 # 49 # 8 # 51 # 6 # 9 # 39 # 22 # 10 # 27 # 39 # 11 # 15 # 56 16 # 6 # 30 # 0 # 7 # 18 # 45 # 8 # 7 # 30 # 8 # 56 # 15 # 9 # 45 # 0 # 10 # 33 # 45 # 11 # 22 # 30 17 # 6 # 33 # 45 # 7 # 22 # 58 # 8 # 12 # 11 # 9 # 1 # 24 # 9 # 50 # 37 # 10 # 39 # 51 # 11 # 29 # 4 18 # 6 # 37 # 30 # 7 # 27 # 11 # 8 # 16 # 52 # 9 # 6 # 34 # 9 # 56 # 15 # 10 # 45 # 56 # 11 # 35 # 37 19 # 6 # 41 # 15 # 7 # 31 # 24 # 8 # 21 # 34 # 9 # 11 # 43 # 10 # 1 # 52 # 10 # 52 # 2 # 11 # 42 # 11 20 # 6 # 45 # 0 # 7 # 35 # 37 # 8 # 26 # 15 # 9 # 16 # 52 # 10 # 7 # 30 # 10 # 58 # 7 # 11 # 48 # 45 21 # 6 # 48 # 45 # 7 # 39 # 51 # 8 # 30 # 56 # 9 # 22 # 2 # 10 # 13 # 7 # 11 # 4 # 13 # 11 # 55 # 19 22 # 6 # 52 # 30 # 7 # 44 # 4 # 8 # 35 # 37 # 9 # 27 # 11 # 10 # 18 # 45 # 11 # 10 # 19 # 12 # 1 # 52 23 # 6 # 56 # 15 # 7 # 48 # 17 # 8 # 40 # 19 # 9 # 32 # 21 # 10 # 24 # 22 # 11 # 16 # 24 # 12 # 8 # 26 24 # 7 # 0 # 0 # 7 # 52 # 30 # 8 # 45 # 0 # 9 # 37 # 30 # 10 # 30 # 0 # 11 # 22 # 30 # 12 # 15 # 0 25 # 7 # 3 # 45 # 7 # 56 # 43 # 8 # 49 # 41 # 9 # 42 # 39 # 10 # 35 # 37 # 11 # 28 # 36 # 12 # 21 # 34 26 # 7 # 7 # 30 # 8 # 0 # 56 # 8 # 54 # 22 # 9 # 47 # 49 # 10 # 41 # 15 # 11 # 34 # 41 # 12 # 28 # 7 27 # 7 # 11 # 15 # 8 # 5 # 9 # 8 # 59 # 4 # 9 # 52 # 58 # 10 # 46 # 52 # 11 # 40 # 47 # 12 # 34 # 41 28 # 7 # 15 # 0 # 8 # 9 # 22 # 9 # 3 # 45 # 9 # 58 # 7 # 10 # 52 # 30 # 11 # 46 # 52 # 12 # 41 # 15 29 # 7 # 18 # 45 # 8 # 13 # 36 # 9 # 8 # 26 # 10 # 3 # 17 # 10 # 58 # 7 # 11 # 52 # 58 # 12 # 47 # 49 30 # 7 # 22 # 30 # 8 # 17 # 49 # 9 # 13 # 7 # 10 # 8 # 26 # 11 # 3 # 45 # 11 # 59 # 4 # 12 # 54 # 22 31 # 7 # 26 # 15 # 8 # 22 # 2 # 9 # 17 # 49 # 10 # 13 # 36 # 11 # 9 # 22 # 12 # 5 # 9 # 13 # 0 # 56 32 # 7 # 30 # 0 # 8 # 26 # 15 # 9 # 22 # 30 # 10 # 18 # 45 # 11 # 15 # 0 # 12 # 11 # 15 # 13 # 7 # 30 33 # 7 # 33 # 45 # 8 # 30 # 28 # 9 # 27 # 11 # 10 # 23 # 54 # 11 # 20 # 37 # 12 # 17 # 21 # 13 # 14 # 4 34 # 7 # 37 # 30 # 8 # 34 # 41 # 9 # 31 # 52 # 10 # 29 # 4 # 11 # 26 # 15 # 12 # 23 # 26 # 13 # 20 # 37 35 # 7 # 41 # 15 # 8 # 38 # 54 # 9 # 36 # 34 # 10 # 34 # 13 # 11 # 31 # 52 # 12 # 29 # 32 # 13 # 27 # 11 36 # 7 # 45 # 0 # 8 # 43 # 7 # 9 # 41 # 15 # 10 # 39 # 22 # 11 # 37 # 30 # 12 # 35 # 37 # 13 # 33 # 45 37 # 7 # 48 # 45 # 8 # 47 # 21 # 9 # 45 # 56 # 10 # 44 # 32 # 11 # 43 # 7 # 12 # 41 # 43 # 13 # 40 # 19 38 # 7 # 52 # 30 # 8 # 51 # 34 # 9 # 50 # 37 # 10 # 49 # 41 # 11 # 48 # 45 # 12 # 47 # 49 # 13 # 46 # 52 39 # 7 # 56 # 15 # 8 # 55 # 47 # 9 # 55 # 19 # 10 # 54 # 51 # 11 # 54 # 22 # 12 # 53 # 59 # 13 # 53 # 26 40 # 8 # 0 # 0 # 9 # 0 # 0 # 10 # 0 # 0 # 11 # 0 # 0 # 12 # 0 # 0 # 13 # 0 # 0 # 14 # 0 # 0 [054]GEOMETR. PRACT. Par \\ es. ### 15 ### 16 ### 17 ### 18 ### 19 ### 20 ### 21 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 15 # 0 # 0 # 16 # 0 # 0 # 17 # 0 # 0 # 18 # 0 # 0 # 19 # 0 # 0 # 20 # 0 # 0 # 21 # 0 # 0 2 # 10 # 32 # 49 # 11 # 15 # 0 # 11 # 57 # 11 # 12 # 39 # 22 # 13 # 21 # 34 # 14 # 3 # 45 # 14 # 45 # 56 3 # 10 # 39 # 51 # 11 # 22 # 30 # 12 # 5 # 9 # 12 # 47 # 49 # 13 # 30 # 28 # 14 # 13 # 7 # 14 # 55 # 47 4 # 10 # 46 # 52 # 11 # 30 # 0 # 12 # 13 # 7 # 12 # 56 # 15 # 13 # 39 # 22 # 14 # 22 # 30 # 15 # 5 # 37 5 # 10 # 53 # 54 # 11 # 37 # 30 # 12 # 21 # 6 # 13 # 4 # 41 # 13 # 48 # 17 # 14 # 31 # 52 # 15 # 15 # 28 6 # 11 # 0 # 56 # 11 # 45 # 0 # 12 # 29 # 4 # 13 # 13 # 7 # 13 # 57 # 11 # 14 # 41 # 15 # 15 # 25 # 19 7 # 11 # 7 # 58 # 11 # 52 # 30 # 12 # 37 # 2 # 13 # 21 # 34 # 14 # 6 # 6 # 14 # 50 # 37 # 15 # 35 # 9 8 # 11 # 15 # 0 # 12 # 0 # 0 # 12 # 45 # 0 # 13 # 30 # 0 # 14 # 15 # 0 # 15 # 0 # 0 # 15 # 45 # 0 9 # 11 # 22 # 2 # 12 # 7 # 30 # 12 # 52 # 58 # 13 # 38 # 26 # 14 # 23 # 54 # 15 # 9 # 22 # 15 # 54 # 51 10 # 11 # 29 # 4 # 12 # 15 # 0 # 13 # 0 # 56 # 13 # 46 # 52 # 14 # 32 # 49 # 15 # 18 # 45 # 16 # 4 # 41 11 # 11 # 36 # 6 # 12 # 22 # 30 # 13 # 8 # 54 # 13 # 55 # 19 # 14 # 41 # 43 # 15 # 28 # 7 # 16 # 14 # 32 12 # 11 # 43 # 7 # 12 # 30 # 0 # 13 # 16 # 52 # 14 # 3 # 45 # 14 # 50 # 37 # 15 # 37 # 30 # 16 # 24 # 22 13 # 11 # 50 # 9 # 12 # 37 # 30 # 13 # 24 # 51 # 14 # 12 # 11 # 14 # 59 # 32 # 15 # 46 # 52 # 16 # 34 # 13 14 # 11 # 57 # 11 # 12 # 45 # 0 # 13 # 32 # 49 # 14 # 20 # 37 # 15 # 8 # 27 # 15 # 56 # 15 # 16 # 44 # 4 15 # 12 # 4 # 13 # 12 # 52 # 30 # 13 # 40 # 47 # 14 # 29 # 4 # 15 # 17 # 21 # 16 # 5 # 37 # 16 # 53 # 54 16 # 12 # 11 # 15 # 13 # 0 # 0 # 13 # 48 # 45 # 14 # 37 # 30 # 15 # 26 # 15 # 16 # 15 # 0 # 17 # 3 # 45 17 # 12 # 18 # 17 # 13 # 7 # 30 # 13 # 56 # 43 # 14 # 45 # 56 # 15 # 35 # 9 # 16 # 24 # 22 # 17 # 13 # 36 18 # 12 # 25 # 19 # 13 # 15 # 0 # 14 # 4 # 41 # 14 # 54 # 22 # 15 # 44 # 4 # 16 # 33 # 45 # 17 # 23 # 26 19 # 12 # 32 # 21 # 13 # 22 # 30 # 14 # 12 # 39 # 15 # 2 # 49 # 15 # 52 # 58 # 16 # 43 # 7 # 17 # 33 # 17 20 # 12 # 39 # 22 # 13 # 30 # 0 # 14 # 20 # 37 # 15 # 11 # 15 # 16 # 1 # 52 # 16 # 52 # 30 # 17 # 43 # 7 21 # 12 # 46 # 24 # 13 # 37 # 30 # 14 # 28 # 36 # 15 # 19 # 41 # 16 # 10 # 47 # 17 # 1 # 52 # 17 # 52 # 58 22 # 12 # 53 # 26 # 13 # 45 # 0 # 14 # 36 # 34 # 15 # 28 # 7 # 16 # 19 # 41 # 17 # 11 # 15 # 18 # 2 # 49 23 # 13 # 0 # 28 # 13 # 52 # 30 # 14 # 44 # 33 # 15 # 36 # 34 # 16 # 28 # 36 # 17 # 20 # 37 # 18 # 12 # 39 24 # 13 # 7 # 30 # 14 # 0 # 0 # 14 # 52 # 30 # 15 # 45 # 0 # 16 # 37 # 30 # 17 # 30 # 0 # 18 # 22 # 30 25 # 13 # 14 # 32 # 14 # 7 # 30 # 15 # 0 # 28 # 15 # 53 # 26 # 16 # 46 # 24 # 17 # 39 # 22 # 18 # 32 # 21 26 # 13 # 21 # 34 # 14 # 15 # 0 # 15 # 8 # 26 # 16 # 1 # 52 # 16 # 55 # 19 # 17 # 48 # 45 # 18 # 42 # 11 27 # 13 # 28 # 36 # 14 # 22 # 30 # 15 # 16 # 24 # 16 # 10 # 19 # 17 # 4 # 13 # 17 # 58 # 7 # 18 # 52 # 2 28 # 13 # 35 # 37 # 14 # 30 # 0 # 15 # 24 # 22 # 16 # 18 # 45 # 17 # 13 # 7 # 18 # 7 # 30 # 19 # 1 # 52 29 # 13 # 42 # 39 # 14 # 37 # 30 # 15 # 32 # 21 # 16 # 27 # 11 # 17 # 22 # 2 # 18 # 16 # 52 # 19 # 11 # 43 30 # 13 # 49 # 41 # 14 # 45 # 0 # 15 # 40 # 19 # 16 # 35 # 37 # 17 # 30 # 56 # 18 # 26 # 15 # 19 # 21 # 34 31 # 13 # 56 # 43 # 14 # 52 # 30 # 15 # 48 # 17 # 16 # 44 # 4 # 17 # 39 # 51 # 18 # 35 # 37 # 19 # 31 # 24 32 # 14 # 3 # 45 # 15 # 0 # 0 # 15 # 56 # 15 # 16 # 52 # 30 # 17 # 48 # 45 # 18 # 45 # 0 # 19 # 41 # 15 33 # 14 # 10 # 47 # 15 # 7 # 30 # 16 # 4 # 13 # 17 # 0 # 56 # 17 # 57 # 39 # 18 # 54 # 22 # 19 # 51 # 6 34 # 14 # 17 # 49 # 15 # 15 # 0 # 16 # 12 # 11 # 17 # 9 # 22 # 18 # 6 # 34 # 19 # 3 # 45 # 20 # 0 # 56 35 # 14 # 24 # 51 # 15 # 22 # 30 # 19 # 20 # 9 # 17 # 17 # 49 # 18 # 15 # 28 # 19 # 13 # 7 # 20 # 10 # 47 36 # 14 # 31 # 52 # 15 # 30 # 0 # 16 # 28 # 7 # 17 # 26 # 15 # 18 # 24 # 22 # 19 # 22 # 30 # 20 # 20 # 37 37 # 14 # 38 # 54 # 15 # 37 # 30 # 16 # 36 # 6 # 17 # 34 # 41 # 18 # 33 # 17 # 19 # 31 # 52 # 20 # 30 # 28 38 # 14 # 45 # 56 # 15 # 45 # 0 # 16 # 44 # 0 # 17 # 43 # 7 # 18 # 42 # 11 # 19 # 41 # 15 # 20 # 40 # 19 39 # 14 # 52 # 58 # 15 # 52 # 32 # 16 # 52 # 2 # 17 # 51 # 34 # 18 # 51 # 6 # 19 # 50 # 37 # 20 # 50 # 9 40 # 15 # 0 # 0 # 16 # 0 # 0 # 17 # 0 # 0 # 18 # 0 # 0 # 19 # 0 # 0 # 20 # 0 # 0 # 21 # 0 # 0 [055]LIBER PRIMVS. Par \\ tes. ### 22 ### 23 ### 24 ### 25 ### 26 ### 27 ### 28 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 22 # 0 # 0 # 23 # 0 # 0 # 24 # 0 # 0 # 25 # 0 # 0 # 26 # 0 # 0 # 27 # 0 # 0 # 28 # 0 # 0 2 # 15 # 28 # 7 # 16 # 10 # 19 # 16 # 52 # 30 # 17 # 34 # 41 # 18 # 16 # 52 # 18 # 59 # 4 # 19 # 41 # 15 3 # 15 # 38 # 26 # 16 # 21 # 6 # 17 # 3 # 45 # 17 # 46 # 24 # 18 # 29 # 4 # 19 # 11 # 43 # 19 # 54 # 22 4 # 15 # 48 # 45 # 16 # 31 # 52 # 17 # 15 # 0 # 17 # 58 # 7 # 18 # 41 # 15 # 19 # 24 # 22 # 20 # 7 # 30 5 # 15 # 59 # 4 # 16 # 42 # 39 # 17 # 26 # 15 # 18 # 9 # 51 # 18 # 53 # 26 # 19 # 37 # 2 # 20 # 20 # 37 6 # 16 # 9 # 22 # 16 # 53 # 26 # 17 # 37 # 30 # 18 # 21 # 34 # 19 # 5 # 37 # 19 # 49 # 41 # 20 # 33 # 45 7 # 16 # 19 # 41 # 17 # 4 # 13 # 17 # 48 # 45 # 18 # 33 # 17 # 19 # 17 # 49 # 20 # 2 # 21 # 20 # 46 # 52 8 # 16 # 30 # 0 # 17 # 15 # 0 # 18 # 0 # 0 # 18 # 45 # 0 # 19 # 30 # 0 # 20 # 15 # 0 # 21 # 0 # 0 9 # 16 # 40 # 19 # 17 # 25 # 47 # 18 # 11 # 15 # 18 # 56 # 43 # 19 # 42 # 11 # 20 # 27 # 39 # 21 # 13 # 7 10 # 16 # 50 # 37 # 17 # 36 # 34 # 18 # 22 # 30 # 19 # 8 # 26 # 19 # 54 # 22 # 20 # 40 # 19 # 21 # 26 # 15 11 # 17 # 0 # 56 # 17 # 47 # 21 # 18 # 33 # 45 # 19 # 20 # 9 # 20 # 6 # 34 # 20 # 52 # 58 # 21 # 39 # 22 12 # 17 # 11 # 15 # 17 # 58 # 7 # 18 # 45 # 0 # 19 # 31 # 52 # 20 # 18 # 45 # 21 # 5 # 37 # 21 # 52 # 30 13 # 17 # 21 # 34 # 18 # 8 # 54 # 18 # 56 # 15 # 19 # 43 # 36 # 20 # 30 # 56 # 21 # 18 # 17 # 22 # 5 # 37 14 # 17 # 31 # 52 # 18 # 19 # 41 # 19 # 7 # 30 # 19 # 55 # 19 # 20 # 43 # 7 # 21 # 30 # 56 # 22 # 18 # 45 15 # 17 # 42 # 11 # 18 # 30 # 28 # 19 # 18 # 45 # 20 # 7 # 2 # 20 # 55 # 19 # 21 # 43 # 36 # 22 # 31 # 52 16 # 17 # 52 # 30 # 18 # 41 # 15 # 19 # 30 # 0 # 20 # 18 # 45 # 21 # 7 # 30 # 21 # 56 # 15 # 22 # 45 # 0 17 # 18 # 2 # 49 # 18 # 52 # 2 # 19 # 41 # 15 # 20 # 30 # 28 # 21 # 19 # 41 # 22 # 8 # 54 # 22 # 58 # 7 18 # 18 # 13 # 7 # 19 # 2 # 49 # 19 # 52 # 30 # 20 # 42 # 11 # 21 # 31 # 52 # 22 # 21 # 34 # 23 # 11 # 15 19 # 18 # 23 # 26 # 19 # 13 # 36 # 20 # 3 # 45 # 20 # 53 # 54 # 21 # 44 # 4 # 22 # 34 # 13 # 23 # 24 # 22 20 # 18 # 33 # 45 # 19 # 24 # 22 # 20 # 15 # 0 # 21 # 5 # 37 # 21 # 56 # 15 # 22 # 46 # 52 # 23 # 37 # 30 21 # 18 # 44 # 4 # 19 # 35 # 9 # 20 # 26 # 15 # 21 # 17 # 21 # 22 # 8 # 26 # 22 # 59 # 32 # 23 # 50 # 37 22 # 18 # 54 # 22 # 19 # 45 # 56 # 20 # 37 # 30 # 21 # 29 # 4 # 22 # 20 # 37 # 23 # 12 # 11 # 24 # 3 # 45 23 # 19 # 4 # 41 # 19 # 56 # 43 # 20 # 48 # 45 # 21 # 40 # 47 # 22 # 32 # 49 # 23 # 24 # 51 # 24 # 16 # 52 24 # 19 # 15 # 0 # 20 # 7 # 30 # 21 # 0 # 0 # 21 # 52 # 30 # 22 # 45 # 0 # 23 # 37 # 30 # 24 # 30 # 0 25 # 19 # 25 # 19 # 20 # 18 # 17 # 21 # 11 # 15 # 22 # 4 # 13 # 22 # 57 # 11 # 23 # 50 # 9 # 24 # 43 # 7 26 # 19 # 35 # 37 # 20 # 29 # 4 # 21 # 22 # 30 # 22 # 15 # 56 # 23 # 9 # 22 # 24 # 2 # 49 # 24 # 56 # 15 27 # 19 # 45 # 56 # 20 # 39 # 51 # 21 # 33 # 45 # 22 # 27 # 39 # 23 # 21 # 34 # 24 # 15 # 28 # 25 # 9 # 22 28 # 19 # 56 # 15 # 20 # 50 # 37 # 21 # 45 # 0 # 22 # 39 # 22 # 23 # 33 # 45 # 24 # 28 # 7 # 25 # 22 # 30 29 # 20 # 6 # 34 # 21 # 1 # 24 # 21 # 56 # 15 # 22 # 51 # 6 # 23 # 45 # 56 # 24 # 40 # 47 # 25 # 35 # 37 30 # 20 # 16 # 52 # 21 # 12 # 11 # 22 # 7 # 30 # 23 # 2 # 49 # 23 # 58 # 7 # 24 # 53 # 26 # 25 # 48 # 45 31 # 20 # 27 # 11 # 21 # 22 # 58 # 22 # 18 # 45 # 23 # 14 # 32 # 24 # 10 # 19 # 25 # 6 # 6 # 26 # 1 # 52 32 # 20 # 37 # 30 # 21 # 33 # 45 # 22 # 30 # 0 # 23 # 26 # 15 # 24 # 22 # 30 # 25 # 18 # 45 # 26 # 15 # 0 33 # 20 # 47 # 49 # 21 # 44 # 32 # 22 # 41 # 15 # 23 # 37 # 58 # 24 # 34 # 41 # 25 # 31 # 24 # 26 # 28 # 7 34 # 20 # 58 # 7 # 21 # 55 # 19 # 22 # 52 # 30 # 23 # 49 # 41 # 24 # 46 # 52 # 25 # 44 # 4 # 26 # 41 # 15 35 # 21 # 8 # 26 # 22 # 6 # 6 # 23 # 3 # 45 # 24 # 1 # 24 # 24 # 59 # 4 # 25 # 56 # 43 # 26 # 54 # 22 36 # 21 # 18 # 45 # 22 # 16 # 52 # 23 # 15 # 0 # 24 # 13 # 7 # 25 # 11 # 15 # 26 # 9 # 22 # 27 # 7 # 30 37 # 21 # 29 # 4 # 22 # 27 # 39 # 23 # 26 # 15 # 24 # 24 # 51 # 25 # 23 # 26 # 26 # 22 # 2 # 27 # 20 # 37 38 # 21 # 39 # 22 # 22 # 38 # 26 # 23 # 37 # 30 # 24 # 36 # 34 # 25 # 35 # 37 # 26 # 34 # 41 # 27 # 33 # 45 39 # 21 # 49 # 41 # 22 # 49 # 13 # 23 # 48 # 45 # 24 # 48 # 17 # 25 # 47 # 49 # 26 # 47 # 21 # 27 # 46 # 52 40 # 22 # 0 # 0 # 23 # 0 # 0 # 24 # 0 # 0 # 25 # 0 # 0 # 26 # 0 # 0 # 27 # 0 # 0 # 28 # 0 # 0 [056]GEOMETR. PRACT. Par \\ tes. ### 29 ### 30 ### 31 ### 32 ### 33 ### 34 ### 35 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 29 # 0 # 0 # 30 # 0 # 0 # 31 # 0 # 0 # 32 # 0 # 0 # 33 # 0 # 0 # 34 # 0 # 0 # 35 # 0 # 0 2 # 20 # 23 # 26 # 21 # 5 # 37 # 21 # 47 # 49 # 22 # 30 # 0 # 23 # 12 # 11 # 23 # 54 # 22 # 24 # 36 # 34 3 # 20 # 37 # 2 # 21 # 19 # 41 # 22 # 2 # 21 # 22 # 45 # 0 # 23 # 27 # 39 # 24 # 10 # 19 # 24 # 52 # 58 4 # 20 # 50 # 37 # 21 # 33 # 45 # 22 # 16 # 52 # 23 # 0 # 0 # 23 # 43 # 7 # 24 # 26 # 15 # 25 # 9 # 22 5 # 21 # 4 # 13 # 21 # 47 # 49 # 22 # 31 # 24 # 23 # 15 # 0 # 23 # 58 # 36 # 24 # 42 # 11 # 25 # 25 # 47 6 # 21 # 17 # 49 # 22 # 1 # 52 # 22 # 45 # 56 # 23 # 30 # 0 # 24 # 14 # 4 # 24 # 58 # 7 # 25 # 42 # 11 7 # 21 # 31 # 24 # 22 # 15 # 56 # 23 # 0 # 28 # 23 # 45 # 0 # 24 # 29 # 32 # 25 # 14 # 4 # 25 # 58 # 36 8 # 21 # 45 # 0 # 22 # 30 # 0 # 23 # 15 # 0 # 24 # 0 # 0 # 24 # 45 # 0 # 25 # 30 # 0 # 26 # 15 # 0 9 # 21 # 58 # 36 # 22 # 44 # 4 # 23 # 29 # 32 # 24 # 15 # 0 # 25 # 0 # 28 # 25 # 45 # 56 # 26 # 31 # 24 10 # 22 # 12 # 11 # 22 # 58 # 7 # 23 # 44 # 4 # 24 # 30 # 0 # 25 # 15 # 56 # 26 # 1 # 52 # 26 # 47 # 49 11 # 22 # 25 # 47 # 23 # 12 # 11 # 23 # 58 # 36 # 24 # 45 # 0 # 25 # 31 # 24 # 26 # 17 # 49 # 27 # 4 # 13 12 # 22 # 33 # 22 # 23 # 26 # 15 # 24 # 13 # 7 # 25 # 0 # 0 # 25 # 46 # 52 # 26 # 33 # 45 # 27 # 20 # 37 13 # 22 # 52 # 58 # 23 # 40 # 19 # 24 # 27 # 39 # 25 # 15 # 0 # 26 # 2 # 21 # 26 # 49 # 41 # 27 # 37 # 2 14 # 23 # 6 # 34 # 23 # 54 # 22 # 24 # 42 # 11 # 25 # 30 # 0 # 26 # 17 # 49 # 27 # 5 # 37 # 27 # 53 # 26 15 # 23 # 20 # 9 # 24 # 8 # 26 # 24 # 56 # 43 # 25 # 45 # 0 # 26 # 33 # 17 # 27 # 21 # 34 # 28 # 9 # 51 16 # 23 # 33 # 45 # 24 # 32 # 30 # 25 # 11 # 50 # 26 # 0 # 0 # 26 # 48 # 45 # 37 # 37 # 30 # 28 # 26 # 15 17 # 23 # 47 # 21 # 24 # 36 # 34 # 25 # 25 # 47 # 26 # 15 # 0 # 27 # 4 # 13 # 27 # 53 # 26 # 28 # 42 # 39 18 # 24 # 0 # 56 # 24 # 50 # 37 # 25 # 40 # 19 # 26 # 30 # 0 # 27 # 19 # 41 # 28 # 9 # 22 # 28 # 59 # 4 19 # 24 # 14 # 32 # 25 # 4 # 41 # 25 # 54 # 51 # 26 # 45 # 0 # 27 # 35 # 9 # 28 # 25 # 19 # 29 # 16 # 24 20 # 24 # 28 # 7 # 25 # 18 # 45 # 26 # 9 # 22 # 27 # 0 # 0 # 27 # 50 # 37 # 28 # 41 # 15 # 29 # 31 # 52 21 # 24 # 41 # 43 # 25 # 32 # 49 # 26 # 23 # 54 # 27 # 15 # 0 # 28 # 6 # 6 # 28 # 57 # 11 # 29 # 48 # 17 22 # 24 # 55 # 19 # 25 # 46 # 52 # 26 # 38 # 26 # 27 # 30 # 0 # 28 # 21 # 34 # 29 # 13 # 7 # 29 # 4 # 41 23 # 25 # 8 # 54 # 26 # 0 # 50 # 26 # 52 # 58 # 27 # 45 # 0 # 28 # 37 # 2 # 29 # 29 # 4 # 30 # 21 # 6 24 # 25 # 22 # 30 # 26 # 15 # 0 # 27 # 7 # 30 # 28 # 0 # 0 # 28 # 52 # 30 # 29 # 45 # 0 # 30 # 37 # 30 25 # 25 # 36 # 6 # 26 # 29 # 4 # 27 # 22 # 2 # 28 # 15 # 0 # 29 # 7 # 58 # 30 # 0 # 56 # 30 # 53 # 54 26 # 25 # 49 # 41 # 26 # 43 # 7 # 27 # 36 # 34 # 28 # 30 # 0 # 29 # 23 # 26 # 30 # 16 # 52 # 30 # 10 # 19 27 # 26 # 3 # 17 # 26 # 57 # 21 # 27 # 51 # 6 # 28 # 45 # 0 # 29 # 38 # 54 # 30 # 32 # 49 # 31 # 26 # 43 28 # 26 # 16 # 52 # 27 # 11 # 15 # 28 # 5 # 37 # 29 # 0 # 0 # 29 # 54 # 22 # 30 # 48 # 45 # 31 # 43 # 7 29 # 26 # 30 # 28 # 27 # 25 # 19 # 28 # 20 # 9 # 29 # 15 # 0 # 30 # 9 # 51 # 31 # 4 # 41 # 31 # 59 # 32 30 # 26 # 44 # 4 # 27 # 39 # 22 # 28 # 34 # 41 # 29 # 30 # 0 # 30 # 25 # 19 # 31 # 20 # 37 # 32 # 15 # 56 31 # 26 # 57 # 39 # 27 # 53 # 26 # 28 # 49 # 13 # 29 # 45 # 0 # 30 # 40 # 47 # 31 # 36 # 34 # 32 # 32 # 21 32 # 27 # 11 # 15 # 28 # 7 # 30 # 29 # 3 # 45 # 30 # 0 # 0 # 30 # 56 # 15 # 31 # 52 # 30 # 32 # 48 # 45 33 # 27 # 24 # 51 # 28 # 21 # 34 # 29 # 18 # 17 # 30 # 15 # 0 # 31 # 11 # 43 # 32 # 8 # 26 # 32 # 5 # 9 34 # 27 # 38 # 26 # 28 # 35 # 37 # 29 # 32 # 49 # 30 # 30 # 0 # 31 # 27 # 11 # 32 # 24 # 22 # 33 # 21 # 34 35 # 27 # 52 # 2 # 28 # 49 # 41 # 29 # 47 # 21 # 30 # 45 # 6 # 31 # 42 # 39 # 32 # 40 # 16 # 33 # 37 # 58 36 # 28 # 5 # 37 # 29 # 3 # 45 # 30 # 1 # 52 # 31 # 0 # 0 # 31 # 58 # 7 # 32 # 56 # 15 # 33 # 54 # 22 37 # 28 # 19 # 13 # 29 # 17 # 49 # 30 # 16 # 24 # 31 # 15 # 0 # 32 # 13 # 36 # 33 # 12 # 11 # 34 # 10 # 47 38 # 28 # 32 # 49 # 29 # 31 # 52 # 30 # 30 # 56 # 31 # 30 # 0 # 32 # 29 # 4 # 33 # 28 # 7 # 34 # 27 # 11 39 # 28 # 46 # 24 # 29 # 45 # 56 # 30 # 45 # 28 # 31 # 45 # 0 # 32 # 44 # 32 # 33 # 44 # 4 # 34 # 43 # 36 40 # 29 # 0 # 0 # 30 # 0 # 0 # 31 # 0 # 0 # 32 # 0 # 0 # 33 # 0 # 0 # 34 # 0 # 0 # 35 # 0 # 0 [057]LIBER PRIMVS. Par \\ tes. ### 36 ### 37 ### 38 ### 39 ### 40 ### 41 ### 42 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 36 # 0 # 0 # 37 # 0 # 0 # 38 # 0 # 0 # 39 # 0 # 0 # 40 # 0 # 0 # 41 # 0 # 0 # 42 # 0 # 0 2 # 25 # 18 # 45 # 26 # 0 # 56 # 26 # 43 # 7 # 27 # 25 # 19 # 28 # 7 # 30 # 28 # 49 # 41 # 29 # 31 # 52 3 # 25 # 35 # 37 # 26 # 18 # 17 # 27 # 0 # 56 # 27 # 43 # 36 # 28 # 26 # 15 # 29 # 8 # 54 # 29 # 51 # 34 4 # 25 # 52 # 30 # 26 # 35 # 37 # 27 # 18 # 45 # 28 # 1 # 52 # 28 # 45 # 0 # 29 # 28 # 7 # 30 # 11 # 15 5 # 26 # 9 # 22 # 26 # 52 # 58 # 27 # 36 # 34 # 28 # 20 # 9 # 29 # 3 # 45 # 29 # 47 # 21 # 30 # 30 # 56 6 # 26 # 26 # 15 # 27 # 10 # 19 # 27 # 54 # 22 # 28 # 38 # 26 # 29 # 22 # 30 # 30 # 6 # 34 # 30 # 50 # 37 7 # 26 # 43 # 7 # 27 # 27 # 39 # 28 # 12 # 11 # 28 # 56 # 43 # 29 # 41 # 15 # 30 # 25 # 47 # 31 # 10 # 19 8 # 27 # 0 # 0 # 27 # 45 # 0 # 28 # 30 # 0 # 29 # 15 # 0 # 30 # 0 # 0 # 30 # 45 # 0 # 31 # 30 # 0 9 # 27 # 16 # 52 # 28 # 2 # 21 # 28 # 47 # 49 # 29 # 33 # 17 # 30 # 18 # 45 # 31 # 4 # 13 # 31 # 49 # 41 10 # 27 # 33 # 45 # 28 # 19 # 41 # 29 # 5 # 37 # 29 # 51 # 34 # 30 # 37 # 30 # 31 # 23 # 26 # 32 # 9 # 22 11 # 27 # 50 # 37 # 28 # 37 # 2 # 29 # 23 # 26 # 30 # 9 # 51 # 30 # 56 # 15 # 31 # 42 # 39 # 32 # 29 # 4 12 # 28 # 7 # 30 # 28 # 54 # 22 # 29 # 41 # 15 # 30 # 28 # 7 # 31 # 15 # 0 # 32 # 1 # 52 # 32 # 48 # 45 13 # 28 # 24 # 22 # 29 # 11 # 43 # 29 # 54 # 4 # 30 # 46 # 24 # 31 # 33 # 45 # 32 # 21 # 6 # 33 # 8 # 26 14 # 28 # 41 # 15 # 29 # 29 # 4 # 30 # 16 # 52 # 31 # 4 # 41 # 31 # 52 # 30 # 32 # 40 # 19 # 33 # 28 # 7 15 # 28 # 58 # 7 # 29 # 46 # 24 # 30 # 34 # 41 # 31 # 22 # 58 # 32 # 11 # 15 # 32 # 59 # 32 # 33 # 47 # 49 16 # 29 # 15 # 0 # 30 # 3 # 45 # 30 # 32 # 30 # 31 # 41 # 15 # 32 # 30 # 0 # 33 # 18 # 45 # 34 # 7 # 30 17 # 29 # 31 # 52 # 30 # 21 # 9 # 31 # 10 # 19 # 31 # 59 # 32 # 32 # 48 # 45 # 33 # 37 # 58 # 34 # 27 # 11 18 # 29 # 48 # 45 # 30 # 38 # 26 # 31 # 28 # 7 # 32 # 17 # 49 # 33 # 7 # 30 # 33 # 57 # 11 # 34 # 46 # 52 19 # 30 # 5 # 37 # 30 # 55 # 47 # 31 # 45 # 56 # 32 # 36 # 6 # 33 # 26 # 15 # 34 # 16 # 24 # 35 # 6 # 34 20 # 30 # 22 # 30 # 31 # 13 # 7 # 32 # 3 # 45 # 32 # 54 # 22 # 33 # 45 # 0 # 34 # 35 # 37 # 35 # 26 # 15 21 # 30 # 39 # 22 # 31 # 30 # 28 # 32 # 21 # 34 # 33 # 12 # 39 # 34 # 3 # 45 # 34 # 54 # 51 # 35 # 45 # 56 22 # 30 # 56 # 15 # 31 # 47 # 49 # 32 # 39 # 22 # 33 # 30 # 56 # 34 # 22 # 30 # 35 # 14 # 4 # 36 # 5 # 37 23 # 31 # 13 # 7 # 32 # 5 # 9 # 32 # 57 # 11 # 33 # 49 # 13 # 34 # 41 # 15 # 35 # 33 # 17 # 36 # 25 # 19 24 # 31 # 30 # 0 # 32 # 22 # 30 # 33 # 15 # 0 # 34 # 7 # 30 # 35 # 0 # 0 # 35 # 52 # 30 # 36 # 45 # 0 25 # 31 # 46 # 52 # 32 # 39 # 51 # 33 # 32 # 49 # 34 # 25 # 47 # 35 # 18 # 45 # 36 # 11 # 43 # 37 # 4 # 41 26 # 32 # 3 # 45 # 32 # 57 # 11 # 33 # 50 # 37 # 34 # 44 # 4 # 35 # 37 # 30 # 36 # 30 # 56 # 37 # 24 # 22 27 # 32 # 20 # 37 # 33 # 14 # 32 # 34 # 8 # 26 # 35 # 2 # 21 # 35 # 56 # 15 # 36 # 50 # 9 # 37 # 44 # 4 28 # 32 # 37 # 30 # 33 # 31 # 52 # 34 # 26 # 15 # 35 # 20 # 37 # 36 # 15 # 0 # 37 # 9 # 22 # 38 # 3 # 45 29 # 32 # 54 # 22 # 33 # 49 # 13 # 34 # 44 # 4 # 35 # 38 # 54 # 36 # 33 # 45 # 37 # 28 # 36 # 38 # 23 # 26 30 # 33 # 11 # 15 # 34 # 6 # 34 # 35 # 1 # 52 # 35 # 57 # 11 # 36 # 52 # 30 # 37 # 47 # 49 # 38 # 43 # 7 31 # 33 # 28 # 7 # 34 # 23 # 54 # 35 # 19 # 41 # 36 # 15 # 28 # 37 # 11 # 15 # 38 # 7 # 2 # 39 # 2 # 49 32 # 33 # 45 # 0 # 34 # 41 # 15 # 35 # 37 # 30 # 36 # 33 # 45 # 37 # 30 # 0 # 38 # 26 # 15 # 39 # 22 # 30 33 # 34 # 1 # 52 # 34 # 58 # 36 # 35 # 55 # 19 # 36 # 52 # 2 # 37 # 48 # 45 # 38 # 45 # 28 # 39 # 42 # 11 34 # 34 # 18 # 45 # 35 # 15 # 56 # 36 # 13 # 7 # 37 # 10 # 19 # 38 # 7 # 30 # 39 # 4 # 41 # 40 # 1 # 52 35 # 34 # 35 # 37 # 35 # 33 # 17 # 36 # 30 # 56 # 37 # 28 # 36 # 38 # 26 # 15 # 39 # 23 # 54 # 40 # 21 # 34 36 # 34 # 52 # 30 # 35 # 50 # 37 # 36 # 48 # 45 # 37 # 46 # 52 # 38 # 45 # 0 # 39 # 43 # 7 # 40 # 41 # 15 37 # 35 # 9 # 22 # 35 # 7 # 38 # 37 # 6 # 34 # 38 # 5 # 9 # 39 # 3 # 45 # 40 # 2 # 21 # 41 # 0 # 56 38 # 35 # 26 # 15 # 36 # 25 # 19 # 37 # 24 # 22 # 38 # 23 # 26 # 39 # 22 # 30 # 40 # 21 # 34 # 41 # 20 # 37 39 # 35 # 43 # 7 # 36 # 42 # 39 # 37 # 32 # 11 # 38 # 41 # 43 # 39 # 41 # 15 # 40 # 40 # 47 # 41 # 40 # 19 40 # 36 # 0 # 0 # 37 # 0 # 0 # 38 # 0 # 0 # 39 # 0 # 0 # 40 # 0 # 0 # 41 # 0 # 0 # 42 # 0 # 0 [058]GEOMETR. PRACT. Par \\ tes. ### 43 ### 44 ### 45 ### 46 ### 47 ### 48 ### 49 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 43 # 0 # 0 # 44 # 0 # 0 # 45 # 0 # 0 # 46 # 0 # 0 # 47 # 0 # 0 # 48 # 0 # 0 # 49 # 0 # 0 2 # 30 # 14 # 4 # 30 # 56 # 15 # 31 # 38 # 26 # 33 # 20 # 37 # 33 # 2 # 49 # 33 # 45 # 0 # 34 # 27 # 11 3 # 30 # 34 # 13 # 31 # 16 # 52 # 31 # 59 # 32 # 32 # 42 # 11 # 33 # 24 # 51 # 34 # 7 # 30 # 34 # 50 # 9 4 # 30 # 54 # 22 # 31 # 37 # 30 # 32 # 20 # 37 # 33 # 3 # 45 # 33 # 46 # 52 # 34 # 30 # 0 # 35 # 13 # 7 5 # 31 # 14 # 32 # 31 # 58 # 7 # 32 # 41 # 43 # 33 # 25 # 19 # 34 # 8 # 54 # 34 # 52 # 30 # 35 # 36 # 6 6 # 31 # 34 # 41 # 32 # 18 # 45 # 33 # 2 # 49 # 33 # 46 # 52 # 54 # 30 # 56 # 35 # 15 # 0 # 35 # 59 # 4 7 # 31 # 54 # 51 # 32 # 39 # 22 # 33 # 23 # 54 # 34 # 8 # 26 # 34 # 52 # 58 # 33 # 37 # 30 # 36 # 22 # 2 8 # 32 # 15 # 0 # 33 # 0 # 0 # 33 # 45 # 0 # 34 # 30 # 0 # 35 # 15 # 0 # 36 # 0 # 0 # 36 # 45 # 0 9 # 32 # 35 # 9 # 33 # 20 # 37 # 34 # 6 # 6 # 34 # 51 # 34 # 35 # 37 # 2 # 36 # 22 # 30 # 37 # 7 # 58 10 # 32 # 55 # 19 # 33 # 41 # 15 # 34 # 27 # 11 # 35 # 13 # 7 # 35 # 59 # 4 # 36 # 45 # 0 # 37 # 30 # 56 11 # 33 # 15 # 28 # 34 # 1 # 52 # 34 # 48 # 17 # 35 # 34 # 41 # 36 # 21 # 6 # 37 # 7 # 30 # 37 # 53 # 54 12 # 33 # 35 # 37 # 34 # 22 # 30 # 35 # 9 # 22 # 35 # 56 # 15 # 36 # 43 # 7 # 37 # 30 # 0 # 38 # 16 # 52 13 # 33 # 55 # 57 # 34 # 43 # 7 # 35 # 30 # 28 # 36 # 17 # 49 # 37 # 5 # 9 # 37 # 52 # 30 # 38 # 39 # 51 14 # 34 # 15 # 56 # 35 # 3 # 45 # 35 # 51 # 34 # 36 # 39 # 22 # 37 # 27 # 11 # 38 # 15 # 0 # 39 # 2 # 49 15 # 34 # 36 # 6 # 35 # 24 # 22 # 36 # 12 # 39 # 37 # 0 # 56 # 37 # 49 # 13 # 38 # 37 # 30 # 39 # 25 # 47 16 # 34 # 56 # 15 # 35 # 45 # 0 # 36 # 33 # 45 # 37 # 22 # 30 # 38 # 11 # 15 # 39 # 0 # 0 # 39 # 48 # 45 17 # 35 # 16 # 24 # 36 # 5 # 37 # 36 # 54 # 51 # 37 # 44 # 4 # 38 # 33 # 17 # 39 # 22 # 30 # 40 # 11 # 43 18 # 35 # 36 # 34 # 36 # 26 # 15 # 37 # 15 # 56 # 38 # 5 # 37 # 38 # 55 # 19 # 39 # 45 # 0 # 40 # 34 # 41 19 # 35 # 56 # 43 # 36 # 46 # 52 # 37 # 37 # 2 # 38 # 27 # 11 # 39 # 17 # 21 # 40 # 7 # 30 # 40 # 57 # 39 20 # 36 # 16 # 52 # 37 # 7 # 30 # 37 # 58 # 7 # 38 # 48 # 45 # 39 # 39 # 22 # 40 # 30 # 0 # 41 # 20 # 37 21 # 36 # 37 # 2 # 37 # 28 # 7 # 38 # 19 # 13 # 39 # 10 # 19 # 40 # 1 # 24 # 40 # 52 # 30 # 41 # 43 # 36 22 # 36 # 57 # 11 # 37 # 48 # 45 # 38 # 40 # 19 # 39 # 31 # 52 # 40 # 23 # 26 # 41 # 15 # 0 # 42 # 6 # 34 23 # 37 # 17 # 21 # 38 # 9 # 22 # 39 # 1 # 24 # 39 # 53 # 26 # 40 # 45 # 28 # 41 # 37 # 30 # 42 # 29 # 32 24 # 37 # 37 # 30 # 38 # 30 # 0 # 39 # 22 # 30 # 40 # 15 # 0 # 41 # 7 # 30 # 42 # 0 # 0 # 42 # 52 # 30 25 # 37 # 57 # 39 # 38 # 50 # 37 # 39 # 43 # 36 # 40 # 36 # 34 # 41 # 29 # 32 # 42 # 22 # 30 # 43 # 15 # 28 26 # 38 # 17 # 49 # 39 # 11 # 15 # 40 # 4 # 41 # 40 # 58 # 7 # 41 # 51 # 34 # 42 # 45 # 0 # 43 # 38 # 26 27 # 38 # 37 # 58 # 39 # 31 # 52 # 40 # 25 # 47 # 41 # 19 # 41 # 42 # 13 # 36 # 43 # 7 # 30 # 44 # 1 # 24 28 # 38 # 58 # 7 # 39 # 52 # 30 # 40 # 46 # 52 # 41 # 41 # 15 # 42 # 35 # 37 # 43 # 30 # 0 # 44 # 24 # 22 29 # 39 # 18 # 17 # 40 # 13 # 7 # 41 # 7 # 58 # 42 # 2 # 49 # 42 # 57 # 39 # 43 # 52 # 30 # 44 # 47 # 21 30 # 39 # 38 # 26 # 40 # 33 # 45 # 41 # 29 # 4 # 42 # 24 # 22 # 43 # 19 # 41 # 44 # 15 # 0 # 45 # 10 # 19 31 # 39 # 58 # 36 # 40 # 54 # 22 # 41 # 50 # 9 # 42 # 45 # 56 # 43 # 41 # 43 # 44 # 37 # 30 # 45 # 33 # 17 32 # 40 # 18 # 45 # 41 # 15 # 0 # 42 # 11 # 15 # 43 # 7 # 30 # 44 # 3 # 45 # 45 # 0 # 0 # 45 # 56 # 15 33 # 40 # 38 # 54 # 41 # 35 # 37 # 42 # 32 # 21 # 43 # 29 # 4 # 44 # 25 # 47 # 45 # 22 # 30 # 46 # 19 # 13 34 # 40 # 59 # 4 # 41 # 56 # 15 # 42 # 53 # 26 # 43 # 50 # 37 # 44 # 47 # 49 # 45 # 45 # 0 # 46 # 42 # 11 35 # 41 # 19 # 13 # 42 # 16 # 52 # 43 # 14 # 32 # 44 # 12 # 11 # 45 # 9 # 51 # 46 # 7 # 30 # 47 # 5 # 9 36 # 41 # 39 # 22 # 42 # 37 # 30 # 43 # 35 # 37 # 44 # 33 # 45 # 45 # 31 # 52 # 46 # 30 # 0 # 47 # 28 # 7 37 # 41 # 59 # 32 # 42 # 58 # 7 # 43 # 56 # 43 # 44 # 55 # 19 # 45 # 53 # 54 # 46 # 52 # 30 # 47 # 51 # 6 38 # 42 # 19 # 41 # 43 # 18 # 45 # 44 # 17 # 49 # 45 # 16 # 52 # 46 # 15 # 56 # 47 # 15 # 0 # 48 # 14 # 4 39 # 42 # 39 # 51 # 43 # 39 # 22 # 44 # 38 # 54 # 45 # 38 # 26 # 46 # 37 # 58 # 47 # 37 # 30 # 48 # 37 # 2 40 # 43 # 0 # 0 # 44 # 0 # 0 # 45 # 0 # 0 # 46 # 0 # 0 # 47 # 0 # 0 # 48 # 0 # 0 # 49 # 0 # 0 [059]LIBER PRIMVS. Par \\ tes. ### 50 ### 51 ### 52 ### 53 ### 54 ### 55 ### 56 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 50 # 0 # 0 # 51 # 0 # 0 # 52 # 0 # 0 # 53 # 0 # 0 # 54 # 0 # 0 # 55 # 0 # 0 # 56 # 0 # 0 2 # 35 # 9 # 22 # 35 # 51 # 34 # 36 # 33 # 45 # 37 # 15 # 56 # 37 # 58 # 7 # 38 # 40 # 19 # 39 # 22 # 30 3 # 35 # 32 # 49 # 36 # 15 # 28 # 36 # 58 # 7 # 37 # 40 # 47 # 38 # 23 # 26 # 39 # 6 # 6 # 39 # 48 # 45 4 # 35 # 56 # 15 # 36 # 39 # 22 # 37 # 22 # 30 # 38 # 5 # 37 # 38 # 48 # 45 # 39 # 31 # 52 # 40 # 15 # 0 5 # 36 # 19 # 41 # 37 # 3 # 17 # 37 # 46 # 52 # 38 # 30 # 28 # 39 # 14 # 4 # 39 # 57 # 39 # 40 # 41 # 15 6 # 36 # 43 # 7 # 37 # 27 # 11 # 38 # 11 # 15 # 38 # 55 # 19 # 39 # 39 # 22 # 40 # 23 # 26 # 41 # 7 # 30 7 # 37 # 6 # 34 # 37 # 51 # 6 # 38 # 35 # 37 # 39 # 20 # 9 # 40 # 4 # 41 # 40 # 49 # 13 # 41 # 33 # 45 8 # 37 # 30 # 0 # 38 # 15 # 0 # 39 # 0 # 0 # 39 # 45 # 0 # 40 # 30 # 0 # 41 # 15 # 0 # 42 # 0 # 0 9 # 37 # 53 # 26 # 38 # 38 # 54 # 39 # 24 # 22 # 40 # 9 # 51 # 10 # 55 # 19 # 41 # 40 # 47 # 42 # 26 # 15 10 # 38 # 16 # 52 # 39 # 2 # 49 # 39 # 48 # 45 # 40 # 34 # 41 # 41 # 20 # 37 # 42 # 6 # 34 # 42 # 52 # 30 11 # 38 # 40 # 19 # 39 # 26 # 43 # 40 # 13 # 7 # 40 # 59 # 32 # 41 # 45 # 56 # 42 # 32 # 21 # 43 # 18 # 45 12 # 39 # 3 # 45 # 39 # 50 # 37 # 40 # 37 # 30 # 41 # 42 # 22 # 42 # 11 # 15 # 42 # 58 # 7 # 43 # 45 # 0 13 # 39 # 27 # 11 # 40 # 14 # 32 # 41 # 1 # 52 # 41 # 49 # 13 # 42 # 36 # 34 # 43 # 23 # 54 # 44 # 11 # 15 14 # 39 # 50 # 37 # 40 # 38 # 26 # 41 # 26 # 15 # 42 # 14 # 4 # 43 # 1 # 52 # 43 # 49 # 41 # 44 # 37 # 30 15 # 40 # 14 # 4 # 41 # 2 # 21 # 41 # 50 # 37 # 42 # 38 # 54 # 43 # 27 # 11 # 44 # 15 # 28 # 45 # 3 # 45 16 # 40 # 37 # 30 # 41 # 26 # 15 # 42 # 15 # 0 # 43 # 3 # 45 # 43 # 52 # 30 # 44 # 41 # 15 # 45 # 30 # 0 17 # 41 # 0 # 56 # 41 # 50 # 9 # 42 # 39 # 22 # 43 # 28 # 36 # 44 # 17 # 49 # 45 # 7 # 2 # 45 # 56 # 15 18 # 41 # 24 # 22 # 42 # 14 # 4 # 43 # 3 # 45 # 43 # 53 # 26 # 44 # 43 # 7 # 45 # 32 # 49 # 46 # 22 # 30 19 # 41 # 47 # 49 # 42 # 37 # 58 # 43 # 28 # 7 # 44 # 18 # 17 # 45 # 8 # 26 # 45 # 58 # 36 # 46 # 48 # 45 20 # 42 # 11 # 15 # 43 # 1 # 52 # 43 # 52 # 30 # 44 # 43 # 7 # 45 # 33 # 45 # 46 # 24 # 22 # 47 # 15 # 0 21 # 42 # 34 # 41 # 43 # 25 # 47 # 44 # 16 # 52 # 45 # 7 # 58 # 45 # 59 # 4 # 46 # 50 # 9 # 47 # 41 # 15 22 # 42 # 58 # 7 # 43 # 49 # 41 # 44 # 41 # 15 # 45 # 32 # 49 # 46 # 24 # 22 # 47 # 15 # 56 # 48 # 7 # 30 23 # 43 # 21 # 34 # 44 # 13 # 36 # 45 # 5 # 37 # 45 # 57 # 39 # 46 # 49 # 41 # 47 # 41 # 43 # 48 # 33 # 45 24 # 43 # 45 # 0 # 44 # 37 # 30 # 45 # 30 # 0 # 46 # 22 # 30 # 47 # 15 # 0 # 48 # 7 # 30 # 49 # 0 # 0 25 # 44 # 8 # 26 # 45 # 1 # 24 # 45 # 54 # 22 # 46 # 47 # 21 # 47 # 40 # 19 # 48 # 33 # 17 # 49 # 26 # 15 26 # 44 # 31 # 52 # 45 # 25 # 19 # 46 # 18 # 45 # 47 # 12 # 11 # 48 # 5 # 37 # 48 # 59 # 4 # 49 # 52 # 30 27 # 44 # 55 # 19 # 45 # 49 # 13 # 46 # 43 # 7 # 47 # 37 # 2 # 48 # 30 # 56 # 49 # 24 # 51 # 50 # 18 # 45 28 # 45 # 18 # 45 # 46 # 13 # 7 # 47 # 7 # 30 # 48 # 1 # 52 # 48 # 56 # 15 # 49 # 50 # 37 # 50 # 45 # 0 29 # 45 # 42 # 11 # 46 # 37 # 2 # 47 # 31 # 52 # 48 # 26 # 43 # 49 # 21 # 34 # 50 # 16 # 24 # 51 # 11 # 15 30 # 46 # 5 # 37 # 47 # 0 # 56 # 47 # 56 # 15 # 48 # 51 # 34 # 49 # 46 # 52 # 50 # 42 # 11 # 51 # 37 # 30 31 # 46 # 29 # 4 # 47 # 24 # 51 # 48 # 20 # 37 # 49 # 16 # 24 # 50 # 12 # 11 # 51 # 7 # 58 # 52 # 3 # 45 32 # 46 # 52 # 30 # 47 # 48 # 45 # 48 # 45 # 0 # 49 # 41 # 15 # 50 # 37 # 30 # 51 # 33 # 45 # 52 # 30 # 0 33 # 47 # 15 # 56 # 48 # 12 # 39 # 49 # 9 # 22 # 50 # 6 # 6 # 51 # 2 # 49 # 51 # 59 # 32 # 52 # 56 # 15 34 # 47 # 39 # 22 # 48 # 36 # 34 # 49 # 33 # 45 # 50 # 30 # 56 # 51 # 28 # 7 # 52 # 25 # 19 # 53 # 22 # 30 35 # 48 # 2 # 49 # 49 # 0 # 28 # 49 # 58 # 7 # 50 # 55 # 47 # 51 # 53 # 26 # 52 # 51 # 6 # 53 # 48 # 45 36 # 48 # 26 # 15 # 49 # 24 # 22 # 50 # 22 # 30 # 51 # 20 # 37 # 52 # 18 # 45 # 53 # 16 # 52 # 54 # 15 # 0 37 # 48 # 49 # 41 # 49 # 48 # 17 # 50 # 46 # 52 # 51 # 45 # 28 # 52 # 44 # 4 # 53 # 42 # 39 # 54 # 41 # 15 38 # 49 # 13 # 7 # 50 # 12 # 11 # 51 # 11 # 15 # 52 # 10 # 19 # 53 # 9 # 22 # 54 # 8 # 26 # 55 # 7 # 30 39 # 49 # 36 # 34 # 50 # 36 # 6 # 51 # 35 # 37 # 52 # 35 # 9 # 53 # 34 # 41 # 54 # 34 # 13 # 55 # 33 # 45 40 # 50 # 0 # 0 # 51 # 0 # 0 # 52 # 0 # 0 # 53 # 0 # 0 # 54 # 0 # 0 # 55 # 0 # 0 # 56 # 0 # 0 [060]GEOMETR. PRACT. Par \\ tes. ### 57 ### 58 ### 59 ### 60 ### 61 ### 62 ### 63 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 57 # 0 # 0 # 58 # 0 # 0 # 59 # 0 # 0 # 60 # 0 # 0 # 61 # 0 # 0 # 62 # 0 # 0 # 63 # 0 # 0 2 # 40 # 4 # 41 # 40 # 46 # 52 # 41 # 29 # 4 # 42 # 11 # 15 # 42 # 53 # 26 # 43 # 35 # 37 # 44 # 17 # 49 3 # 40 # 31 # 24 # 41 # 14 # 4 # 41 # 56 # 43 # 42 # 39 # 22 # 43 # 22 # 2 # 44 # 4 # 41 # 44 # 47 # 21 4 # 40 # 58 # 7 # 41 # 41 # 15 # 42 # 24 # 22 # 43 # 7 # 30 # 43 # 50 # 37 # 44 # 33 # 45 # 45 # 16 # 52 5 # 41 # 24 # 51 # 42 # 8 # 26 # 42 # 52 # 2 # 43 # 35 # 37 # 44 # 19 # 13 # 45 # 2 # 49 # 45 # 46 # 24 6 # 41 # 11 # 34 # 42 # 35 # 37 # 42 # 19 # 41 # 44 # 3 # 45 # 44 # 47 # 49 # 45 # 31 # 52 # 46 # 15 # 56 7 # 42 # 18 # 17 # 43 # 2 # 49 # 43 # 47 # 21 # 44 # 31 # 52 # 45 # 16 # 24 # 46 # 0 # 56 # 46 # 45 # 28 8 # 42 # 45 # 0 # 43 # 30 # 0 # 44 # 15 # 0 # 45 # 0 # 0 # 45 # 45 # 0 # 46 # 30 # 0 # 47 # 15 # 0 9 # 43 # 11 # 43 # 43 # 57 # 11 # 44 # 42 # 39 # 45 # 28 # 7 # 46 # 13 # 36 # 46 # 59 # 4 # 47 # 44 # 32 10 # 43 # 38 # 26 # 44 # 24 # 22 # 45 # 10 # 19 # 45 # 56 # 15 # 46 # 42 # 11 # 47 # 28 # 7 # 48 # 14 # 4 11 # 44 # 5 # 9 # 44 # 51 # 34 # 45 # 37 # 58 # 46 # 24 # 22 # 47 # 10 # 47 # 47 # 57 # 11 # 48 # 43 # 36 12 # 44 # 31 # 52 # 45 # 18 # 45 # 46 # 5 # 37 # 46 # 52 # 30 # 47 # 32 # 22 # 48 # 26 # 15 # 49 # 13 # 7 13 # 44 # 58 # 36 # 45 # 45 # 56 # 46 # 33 # 17 # 47 # 20 # 37 # 48 # 7 # 58 # 48 # 55 # 19 # 59 # 42 # 39 14 # 45 # 25 # 19 # 46 # 13 # 7 # 47 # 0 # 56 # 47 # 48 # 45 # 48 # 36 # 34 # 49 # 24 # 22 # 50 # 12 # 11 15 # 45 # 52 # 2 # 46 # 40 # 19 # 47 # 28 # 36 # 48 # 16 # 52 # 49 # 5 # 9 # 49 # 53 # 26 # 50 # 41 # 43 16 # 46 # 18 # 45 # 47 # 7 # 30 # 47 # 56 # 15 # 48 # 45 # 0 # 49 # 33 # 45 # 50 # 22 # 30 # 51 # 11 # 15 17 # 46 # 45 # 28 # 47 # 34 # 41 # 48 # 23 # 54 # 49 # 13 # 7 # 50 # 2 # 21 # 50 # 51 # 34 # 51 # 40 # 47 18 # 47 # 12 # 11 # 48 # 1 # 52 # 48 # 51 # 34 # 49 # 41 # 15 # 50 # 30 # 56 # 51 # 20 # 37 # 52 # 10 # 19 19 # 47 # 38 # 54 # 48 # 29 # 4 # 49 # 19 # 13 # 50 # 9 # 22 # 50 # 59 # 32 # 51 # 49 # 41 # 52 # 39 # 51 20 # 48 # 5 # 37 # 48 # 56 # 15 # 49 # 46 # 52 # 50 # 37 # 30 # 51 # 28 # 7 # 52 # 18 # 45 # 53 # 9 # 22 21 # 48 # 32 # 21 # 49 # 23 # 26 # 50 # 14 # 32 # 51 # 5 # 37 # 51 # 56 # 43 # 52 # 47 # 49 # 53 # 38 # 54 22 # 48 # 59 # 4 # 49 # 50 # 37 # 50 # 42 # 11 # 51 # 33 # 45 # 52 # 25 # 19 # 53 # 16 # 52 # 54 # 8 # 26 23 # 49 # 25 # 47 # 50 # 17 # 49 # 51 # 9 # 51 # 52 # 1 # 52 # 52 # 53 # 54 # 53 # 45 # 56 # 54 # 37 # 58 24 # 49 # 52 # 30 # 50 # 45 # 0 # 51 # 37 # 30 # 52 # 30 # 0 # 53 # 22 # 30 # 54 # 15 # 0 # 55 # 7 # 30 25 # 50 # 19 # 13 # 51 # 12 # 11 # 52 # 5 # 9 # 52 # 58 # 7 # 53 # 51 # 6 # 54 # 44 # 4 # 55 # 37 # 2 26 # 50 # 45 # 56 # 51 # 33 # 22 # 52 # 32 # 49 # 53 # 26 # 15 # 54 # 19 # 41 # 55 # 13 # 7 # 56 # 6 # 34 27 # 51 # 12 # 39 # 52 # 6 # 34 # 53 # 0 # 28 # 53 # 54 # 22 # 54 # 48 # 17 # 55 # 42 # 11 # 56 # 36 # 6 28 # 51 # 39 # 22 # 52 # 33 # 45 # 53 # 28 # 7 # 54 # 22 # 30 # 55 # 16 # 52 # 56 # 11 # 15 # 57 # 5 # 37 29 # 52 # 6 # 6 # 53 # 0 # 56 # 53 # 55 # 47 # 54 # 50 # 37 # 55 # 45 # 28 # 56 # 40 # 19 # 57 # 35 # 9 30 # 52 # 32 # 49 # 53 # 28 # 7 # 54 # 23 # 26 # 55 # 18 # 45 # 56 # 14 # 4 # 57 # 9 # 22 # 58 # 4 # 41 31 # 52 # 59 # 32 # 53 # 55 # 19 # 54 # 51 # 6 # 55 # 46 # 52 # 56 # 42 # 39 # 57 # 38 # 26 # 58 # 34 # 13 32 # 53 # 56 # 15 # 54 # 22 # 30 # 55 # 18 # 45 # 56 # 15 # 0 # 57 # 11 # 15 # 58 # 7 # 30 # 59 # 3 # 45 33 # 53 # 52 # 58 # 54 # 49 # 41 # 55 # 46 # 24 # 56 # 43 # 7 # 57 # 39 # 51 # 58 # 36 # 34 # 59 # 33 # 17 34 # 54 # 19 # 41 # 55 # 16 # 52 # 56 # 14 # 4 # 57 # 11 # 15 # 58 # 8 # 26 # 59 # 5 # 37 # 60 # 2 # 49 35 # 54 # 46 # 24 # 55 # 44 # 4 # 56 # 41 # 43 # 57 # 39 # 22 # 58 # 37 # 2 # 59 # 34 # 41 # 60 # 32 # 21 36 # 55 # 13 # 7 # 56 # 11 # 15 # 57 # 9 # 22 # 58 # 7 # 30 # 59 # 5 # 37 # 60 # 3 # 45 # 61 # 1 # 52 37 # 55 # 39 # 51 # 56 # 38 # 26 # 57 # 37 # 2 # 58 # 35 # 37 # 59 # 34 # 13 # 60 # 32 # 49 # 61 # 31 # 24 38 # 56 # 9 # 34 # 57 # 5 # 37 # 58 # 4 # 41 # 59 # 3 # 45 # 60 # 2 # 49 # 61 # 1 # 52 # 62 # 0 # 56 39 # 56 # 33 # 17 # 57 # 32 # 49 # 58 # 32 # 21 # 59 # 31 # 52 # 60 # 31 # 24 # 61 # 30 # 56 # 62 # 30 # 28 40 # 57 # 0 # 0 # 58 # 0 # 0 # 59 # 0 # 0 # 60 # 0 # 0 # 61 # 0 # 0 # 62 # 0 # 0 # 63 # 0 # 0 [061]LIBER PRIMVS. Par \\ tes ### 64 ### 65 ### 66 ### 67 ### 68 ### 69 ### 70 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 64 # 0 # 0 # 65 # 0 # 0 # 66 # 0 # 0 # 67 # 0 # 0 # 68 # 0 # 0 # 69 # 0 # 0 # 70 # 0 # 0 2 # 45 # 0 # 0 # 45 # 42 # 11 # 46 # 24 # 22 # 47 # 6 # 34 # 47 # 48 # 45 # 48 # 30 # 56 # 49 # 13 # 7 3 # 45 # 30 # 0 # 46 # 12 # 39 # 46 # 55 # 19 # 47 # 37 # 58 # 48 # 20 # 37 # 49 # 3 # 17 # 49 # 45 # 56 4 # 46 # 0 # 0 # 46 # 43 # 7 # 47 # 26 # 15 # 48 # 9 # 22 # 48 # 52 # 30 # 49 # 35 # 37 # 50 # 18 # 45 5 # 46 # 30 # 0 # 47 # 13 # 36 # 47 # 57 # 11 # 48 # 40 # 47 # 49 # 24 # 22 # 50 # 7 # 58 # 50 # 51 # 34 6 # 47 # 0 # 0 # 47 # 44 # 4 # 48 # 28 # 7 # 49 # 12 # 11 # 49 # 56 # 15 # 50 # 40 # 19 # 51 # 24 # 22 7 # 47 # 30 # 0 # 48 # 14 # 32 # 48 # 59 # 4 # 49 # 43 # 36 # 50 # 28 # 7 # 51 # 12 # 39 # 51 # 57 # 11 8 # 48 # 0 # 0 # 48 # 45 # 0 # 49 # 30 # 0 # 50 # 15 # 0 # 51 # 0 # 0 # 51 # 45 # 0 # 52 # 30 # 0 9 # 48 # 30 # 0 # 49 # 15 # 28 # 50 # 0 # 56 # 50 # 46 # 24 # 51 # 31 # 52 # 52 # 17 # 21 # 53 # 2 # 49 10 # 49 # 0 # 0 # 49 # 45 # 56 # 50 # 31 # 52 # 51 # 17 # 49 # 52 # 3 # 45 # 52 # 49 # 41 # 53 # 35 # 37 11 # 49 # 30 # 0 # 50 # 16 # 24 # 51 # 2 # 49 # 51 # 49 # 13 # 52 # 35 # 37 # 53 # 22 # 2 # 54 # 8 # 26 12 # 50 # 0 # 0 # 50 # 46 # 52 # 51 # 33 # 45 # 52 # 20 # 37 # 53 # 7 # 30 # 53 # 54 # 22 # 54 # 41 # 15 13 # 50 # 30 # 0 # 51 # 17 # 21 # 52 # 4 # 41 # 52 # 52 # 2 # 53 # 39 # 22 # 54 # 26 # 43 # 55 # 14 # 4 14 # 51 # 0 # 0 # 51 # 47 # 49 # 52 # 35 # 37 # 53 # 23 # 26 # 54 # 11 # 15 # 55 # 59 # 4 # 55 # 46 # 52 15 # 51 # 30 # 0 # 52 # 18 # 17 # 53 # 6 # 34 # 53 # 54 # 51 # 54 # 43 # 7 # 55 # 31 # 24 # 56 # 19 # 41 16 # 52 # 0 # 0 # 52 # 48 # 45 # 53 # 37 # 30 # 54 # 26 # 15 # 55 # 15 # 0 # 56 # 3 # 45 # 56 # 52 # 30 17 # 52 # 30 # 0 # 53 # 19 # 13 # 54 # 8 # 26 # 54 # 57 # 39 # 55 # 46 # 52 # 56 # 36 # 6 # 57 # 25 # 19 18 # 53 # 0 # 0 # 53 # 49 # 41 # 54 # 39 # 22 # 55 # 29 # 4 # 56 # 18 # 45 # 57 # 8 # 26 # 57 # 58 # 7 19 # 53 # 30 # 0 # 54 # 20 # 9 # 55 # 10 # 19 # 56 # 0 # 28 # 56 # 50 # 37 # 57 # 40 # 47 # 58 # 30 # 56 20 # 54 # 0 # 0 # 54 # 50 # 37 # 55 # 41 # 15 # 56 # 31 # 52 # 57 # 22 # 30 # 58 # 13 # 7 # 59 # 3 # 45 21 # 54 # 30 # 0 # 55 # 21 # 4 # 56 # 12 # 11 # 56 # 3 # 17 # 57 # 54 # 22 # 58 # 45 # 28 # 59 # 36 # 34 22 # 55 # 0 # 0 # 55 # 51 # 34 # 56 # 43 # 7 # 57 # 34 # 41 # 58 # 26 # 15 # 59 # 17 # 49 # 60 # 9 # 22 23 # 55 # 30 # 0 # 56 # 22 # 2 # 57 # 14 # 4 # 58 # 6 # 6 # 58 # 58 # 7 # 59 # 50 # 9 # 60 # 42 # 11 24 # 56 # 0 # 0 # 56 # 52 # 30 # 57 # 45 # 0 # 58 # 37 # 30 # 59 # 30 # 0 # 60 # 22 # 30 # 61 # 15 # 0 25 # 56 # 30 # 0 # 57 # 22 # 58 # 58 # 15 # 56 # 59 # 8 # 54 # 60 # 1 # 52 # 60 # 54 # 51 # 61 # 47 # 49 26 # 57 # 0 # 0 # 57 # 53 # 26 # 58 # 46 # 52 # 59 # 40 # 19 # 60 # 33 # 45 # 61 # 27 # 11 # 62 # 20 # 37 27 # 57 # 30 # 0 # 58 # 23 # 54 # 59 # 17 # 49 # 60 # 11 # 43 # 61 # 5 # 37 # 61 # 59 # 32 # 62 # 13 # 26 28 # 58 # 0 # 0 # 58 # 54 # 22 # 59 # 48 # 45 # 60 # 43 # 7 # 61 # 37 # 30 # 62 # 31 # 52 # 63 # 26 # 15 29 # 58 # 30 # 0 # 59 # 24 # 51 # 60 # 19 # 41 # 61 # 14 # 32 # 62 # 9 # 22 # 63 # 4 # 13 # 63 # 59 # 4 30 # 59 # 0 # 0 # 59 # 55 # 19 # 60 # 50 # 37 # 61 # 45 # 56 # 62 # 41 # 15 # 63 # 36 # 34 # 64 # 31 # 52 31 # 59 # 30 # 0 # 60 # 25 # 47 # 61 # 21 # 34 # 62 # 17 # 21 # 63 # 13 # 7 # 64 # 8 # 54 # 65 # 4 # 41 32 # 60 # 0 # 0 # 60 # 56 # 15 # 61 # 52 # 30 # 62 # 48 # 45 # 63 # 45 # 0 # 64 # 41 # 15 # 65 # 37 # 30 33 # 60 # 30 # 0 # 61 # 26 # 43 # 62 # 23 # 26 # 63 # 20 # 9 # 64 # 16 # 52 # 65 # 13 # 36 # 66 # 10 # 19 34 # 61 # 0 # 0 # 61 # 57 # 11 # 62 # 54 # 22 # 63 # 51 # 34 # 64 # 48 # 45 # 65 # 45 # 56 # 66 # 43 # 7 35 # 61 # 30 # 0 # 62 # 27 # 39 # 63 # 25 # 19 # 64 # 22 # 58 # 65 # 20 # 37 # 66 # 18 # 17 # 67 # 15 # 56 36 # 62 # 0 # 0 # 62 # 58 # 7 # 63 # 56 # 15 # 64 # 54 # 22 # 65 # 52 # 30 # 66 # 50 # 37 # 67 # 48 # 45 37 # 62 # 30 # 0 # 63 # 28 # 36 # 64 # 27 # 11 # 65 # 25 # 47 # 66 # 24 # 22 # 67 # 22 # 58 # 68 # 21 # 34 38 # 63 # 0 # 0 # 63 # 59 # 4 # 64 # 58 # 7 # 65 # 57 # 11 # 66 # 56 # 15 # 67 # 55 # 19 # 68 # 54 # 22 39 # 63 # 30 # 0 # 64 # 29 # 32 # 65 # 29 # 4 # 66 # 28 # 36 # 67 # 28 # 7 # 68 # 27 # 39 # 69 # 27 # 11 40 # 64 # 0 # 0 # 65 # 0 # 0 # 66 # 0 # 0 # 67 # 0 # 0 # 68 # 0 # 0 # 69 # 0 # 0 # 70 # 0 # 0 [062]GEOMETR. PRACT. Par \\ tes ### 71 ### 72 ### 73 ### 74 ### 75 ### 76 ### 77 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 71 # 0 # 0 # 72 # 0 # 0 # 73 # 0 # 0 # 74 # 0 # 0 # 75 # 0 # 0 # 76 # 0 # 0 # 77 # 0 # 0 2 # 49 # 45 # 19 # 50 # 37 # 30 # 51 # 19 # 41 # 52 # 1 # 52 # 52 # 44 # 4 # 53 # 26 # 15 # 54 # 8 # 26 3 # 50 # 28 # 36 # 51 # 11 # 15 # 51 # 53 # 54 # 52 # 36 # 34 # 53 # 19 # 13 # 54 # 1 # 52 # 54 # 44 # 32 4 # 51 # 1 # 52 # 51 # 45 # 0 # 52 # 28 # 7 # 53 # 11 # 15 # 53 # 54 # 22 # 54 # 37 # 30 # 55 # 20 # 37 5 # 51 # 35 # 9 # 52 # 18 # 45 # 53 # 2 # 21 # 53 # 45 # 56 # 54 # 29 # 32 # 55 # 13 # 7 # 55 # 56 # 43 6 # 52 # 8 # 26 # 52 # 52 # 30 # 53 # 36 # 34 # 54 # 20 # 37 # 55 # 4 # 41 # 55 # 48 # 45 # 56 # 32 # 49 7 # 52 # 41 # 43 # 53 # 26 # 11 # 54 # 10 # 47 # 54 # 55 # 19 # 55 # 39 # 51 # 56 # 24 # 22 # 57 # 8 # 54 8 # 53 # 15 # 0 # 54 # 0 # 0 # 54 # 45 # 0 # 55 # 30 # 0 # 56 # 15 # 0 # 57 # 0 # 0 # 57 # 45 # 0 9 # 53 # 48 # 17 # 54 # 33 # 45 # 55 # 19 # 13 # 56 # 4 # 41 # 56 # 50 # 9 # 57 # 35 # 37 # 58 # 21 # 6 10 # 54 # 21 # 34 # 55 # 7 # 30 # 55 # 53 # 26 # 56 # 39 # 22 # 57 # 25 # 19 # 58 # 11 # 15 # 58 # 57 # 11 11 # 54 # 54 # 51 # 55 # 41 # 15 # 56 # 27 # 39 # 57 # 14 # 4 # 58 # 0 # 28 # 58 # 46 # 52 # 59 # 33 # 17 12 # 55 # 28 # 7 # 56 # 15 # 0 # 57 # 1 # 52 # 57 # 48 # 45 # 58 # 35 # 37 # 59 # 22 # 30 # 60 # 9 # 22 13 # 56 # 1 # 24 # 56 # 48 # 45 # 57 # 36 # 6 # 58 # 23 # 26 # 59 # 10 # 47 # 59 # 58 # 7 # 60 # 45 # 28 14 # 56 # 34 # 41 # 57 # 22 # 30 # 58 # 10 # 19 # 58 # 58 # 7 # 59 # 45 # 56 # 60 # 33 # 45 # 61 # 21 # 34 15 # 57 # 7 # 58 # 57 # 56 # 15 # 58 # 44 # 32 # 59 # 32 # 49 # 60 # 21 # 6 # 61 # 9 # 22 # 61 # 57 # 39 16 # 57 # 41 # 15 # 58 # 30 # 0 # 59 # 18 # 45 # 60 # 7 # 30 # 60 # 56 # 15 # 61 # 45 # 0 # 62 # 33 # 45 17 # 58 # 14 # 32 # 59 # 3 # 45 # 59 # 52 # 58 # 60 # 42 # 11 # 61 # 31 # 24 # 62 # 20 # 37 # 63 # 9 # 51 18 # 58 # 47 # 49 # 59 # 37 # 30 # 60 # 27 # 11 # 61 # 16 # 52 # 62 # 6 # 34 # 62 # 56 # 15 # 63 # 45 # 56 19 # 59 # 21 # 6 # 60 # 11 # 15 # 61 # 1 # 24 # 61 # 51 # 34 # 62 # 41 # 43 # 63 # 31 # 52 # 64 # 22 # 2 20 # 59 # 54 # 22 # 60 # 45 # 0 # 61 # 35 # 37 # 62 # 26 # 15 # 63 # 16 # 52 # 64 # 7 # 30 # 64 # 58 # 7 21 # 60 # 27 # 39 # 61 # 18 # 45 # 62 # 9 # 51 # 63 # 0 # 56 # 63 # 52 # 2 # 64 # 43 # 7 # 65 # 34 # 13 22 # 61 # 0 # 56 # 61 # 52 # 30 # 62 # 44 # 4 # 63 # 35 # 37 # 64 # 27 # 11 # 65 # 18 # 45 # 66 # 10 # 19 23 # 61 # 34 # 13 # 62 # 26 # 15 # 63 # 18 # 17 # 64 # 10 # 19 # 65 # 2 # 21 # 65 # 54 # 22 # 66 # 46 # 24 24 # 62 # 7 # 30 # 63 # 0 # 0 # 63 # 52 # 30 # 64 # 45 # 0 # 65 # 37 # 30 # 66 # 30 # 0 # 67 # 22 # 30 25 # 62 # 40 # 47 # 63 # 33 # 45 # 64 # 26 # 43 # 65 # 19 # 41 # 66 # 12 # 39 # 67 # 5 # 37 # 67 # 58 # 36 26 # 63 # 14 # 4 # 64 # 7 # 30 # 65 # 0 # 56 # 65 # 54 # 22 # 66 # 47 # 49 # 67 # 41 # 15 # 68 # 34 # 41 27 # 63 # 47 # 21 # 64 # 41 # 15 # 65 # 35 # 9 # 66 # 29 # 4 # 67 # 22 # 58 # 68 # 16 # 52 # 69 # 10 # 47 28 # 64 # 20 # 37 # 65 # 15 # 0 # 66 # 9 # 22 # 67 # 3 # 45 # 67 # 58 # 7 # 68 # 52 # 30 # 69 # 46 # 52 29 # 64 # 53 # 54 # 65 # 48 # 45 # 66 # 43 # 36 # 67 # 38 # 26 # 68 # 33 # 17 # 69 # 28 # 7 # 70 # 22 # 58 30 # 65 # 27 # 11 # 66 # 22 # 30 # 67 # 17 # 49 # 68 # 13 # 7 # 69 # 8 # 26 # 70 # 3 # 45 # 70 # 59 # 4 31 # 66 # 0 # 28 # 66 # 56 # 15 # 67 # 52 # 2 # 68 # 47 # 49 # 69 # 43 # 36 # 70 # 39 # 22 # 71 # 35 # 9 32 # 66 # 33 # 45 # 67 # 30 # 0 # 68 # 26 # 15 # 69 # 22 # 30 # 70 # 18 # 45 # 71 # 15 # 0 # 72 # 11 # 15 33 # 67 # 7 # 2 # 68 # 3 # 45 # 69 # 0 # 28 # 69 # 57 # 11 # 70 # 53 # 54 # 71 # 50 # 37 # 72 # 47 # 21 34 # 67 # 40 # 19 # 68 # 37 # 30 # 69 # 34 # 41 # 70 # 31 # 52 # 71 # 29 # 4 # 72 # 26 # 15 # 73 # 23 # 26 35 # 68 # 13 # 36 # 69 # 11 # 15 # 70 # 8 # 54 # 71 # 6 # 34 # 72 # 4 # 13 # 73 # 1 # 52 # 73 # 59 # 32 36 # 68 # 46 # 52 # 69 # 45 # 0 # 70 # 43 # 7 # 71 # 41 # 15 # 72 # 39 # 22 # 73 # 37 # 30 # 74 # 35 # 37 37 # 69 # 20 # 9 # 70 # 18 # 45 # 71 # 17 # 21 # 72 # 15 # 56 # 73 # 14 # 32 # 74 # 13 # 7 # 75 # 11 # 43 38 # 69 # 53 # 26 # 70 # 52 # 30 # 71 # 51 # 34 # 72 # 50 # 37 # 73 # 49 # 41 # 74 # 48 # 45 # 75 # 47 # 49 39 # 70 # 26 # 43 # 71 # 26 # 15 # 72 # 25 # 47 # 73 # 25 # 19 # 74 # 24 # 51 # 75 # 24 # 22 # 76 # 23 # 54 40 # 71 # 0 # 0 # 72 # 0 # 0 # 73 # 0 # 0 # 74 # 0 # 0 # 75 # 0 # 0 # 76 # 0 # 0 # 77 # 0 # 0 [063]LIBER PRIMVS. Par \\ tes ### 78 ### 79 ### 80 ### 81 ### 82 ### 83 ### 84 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 70 # 0 # 0 # 79 # 0 # 0 # 80 # 0 # 0 # 81 # 0 # 0 # 82 # 0 # 0 # 83 # 0 # 0 # 84 # 0 # 0 2 # 54 # 50 # 37 # 55 # 32 # 49 # 56 # 15 # 0 # 56 # 57 # 11 # 56 # 39 # 22 # 58 # 21 # 34 # 59 # 3 # 45 3 # 55 # 27 # 11 # 56 # 9 # 51 # 56 # 52 # 30 # 57 # 35 # 9 # 58 # 17 # 49 # 59 # 0 # 28 # 59 # 43 # 7 4 # 56 # 3 # 45 # 56 # 46 # 52 # 57 # 30 # 0 # 58 # 13 # 7 # 58 # 56 # 15 # 59 # 39 # 22 # 60 # 22 # 30 5 # 56 # 40 # 19 # 57 # 23 # 54 # 58 # 7 # 30 # 58 # 51 # 6 # 59 # 34 # 41 # 60 # 18 # 17 # 61 # 1 # 52 6 # 57 # 16 # 52 # 58 # 0 # 56 # 58 # 45 # 0 # 59 # 29 # 4 # 60 # 13 # 7 # 60 # 57 # 11 # 61 # 41 # 15 7 # 57 # 53 # 26 # 58 # 37 # 58 # 59 # 22 # 30 # 60 # 7 # 2 # 60 # 51 # 34 # 61 # 36 # 6 # 62 # 20 # 37 8 # 58 # 30 # 0 # 59 # 15 # 0 # 60 # 0 # 0 # 60 # 45 # 0 # 61 # 30 # 0 # 62 # 15 # 0 # 63 # 0 # 0 9 # 59 # 6 # 34 # 59 # 52 # 2 # 60 # 37 # 30 # 61 # 22 # 58 # 62 # 8 # 26 # 62 # 53 # 54 # 63 # 39 # 22 10 # 59 # 43 # 7 # 60 # 29 # 4 # 61 # 15 # 0 # 62 # 0 # 56 # 62 # 46 # 52 # 63 # 32 # 49 # 64 # 18 # 45 11 # 60 # 19 # 41 # 61 # 6 # 6 # 61 # 52 # 30 # 62 # 38 # 54 # 63 # 25 # 19 # 64 # 11 # 43 # 64 # 58 # 7 12 # 60 # 56 # 15 # 61 # 43 # 7 # 62 # 30 # 0 # 63 # 16 # 52 # 64 # 3 # 45 # 64 # 50 # 37 # 65 # 37 # 30 13 # 61 # 32 # 49 # 62 # 20 # 9 # 63 # 7 # 30 # 63 # 54 # 51 # 64 # 42 # 11 # 65 # 29 # 32 # 66 # 16 # 52 14 # 62 # 9 # 22 # 62 # 57 # 11 # 63 # 45 # 0 # 64 # 32 # 49 # 65 # 20 # 37 # 66 # 8 # 27 # 66 # 56 # 15 15 # 62 # 45 # 56 # 63 # 34 # 13 # 64 # 22 # 30 # 65 # 10 # 47 # 65 # 59 # 4 # 66 # 47 # 21 # 67 # 35 # 37 16 # 63 # 22 # 30 # 64 # 11 # 15 # 65 # 0 # 0 # 65 # 48 # 45 # 66 # 37 # 30 # 67 # 26 # 15 # 68 # 15 # 0 17 # 63 # 59 # 4 # 64 # 48 # 17 # 65 # 37 # 30 # 66 # 26 # 43 # 67 # 15 # 56 # 68 # 5 # 9 # 68 # 54 # 22 18 # 64 # 35 # 37 # 65 # 25 # 19 # 66 # 15 # 0 # 67 # 4 # 41 # 67 # 54 # 22 # 68 # 44 # 4 # 69 # 33 # 45 19 # 65 # 12 # 11 # 66 # 2 # 21 # 66 # 52 # 30 # 67 # 42 # 39 # 68 # 32 # 49 # 69 # 23 # 58 # 70 # 13 # 7 20 # 65 # 48 # 45 # 66 # 39 # 22 # 67 # 30 # 0 # 68 # 20 # 37 # 69 # 11 # 15 # 70 # 1 # 52 # 70 # 52 # 30 21 # 66 # 25 # 19 # 67 # 16 # 24 # 68 # 7 # 30 # 68 # 58 # 36 # 69 # 49 # 41 # 70 # 40 # 47 # 71 # 31 # 52 22 # 67 # 1 # 52 # 67 # 53 # 26 # 68 # 45 # 0 # 69 # 36 # 34 # 70 # 28 # 7 # 71 # 19 # 41 # 72 # 11 # 15 23 # 67 # 38 # 26 # 68 # 30 # 28 # 69 # 22 # 30 # 70 # 14 # 32 # 71 # 6 # 34 # 71 # 58 # 36 # 72 # 50 # 37 24 # 68 # 15 # 0 # 69 # 7 # 30 # 70 # 0 # 0 # 70 # 52 # 30 # 71 # 45 # 0 # 72 # 37 # 30 # 73 # 30 # 0 25 # 68 # 51 # 34 # 69 # 44 # 32 # 70 # 37 # 30 # 71 # 30 # 28 # 72 # 23 # 26 # 73 # 16 # 24 # 74 # 9 # 22 26 # 69 # 28 # 7 # 70 # 21 # 34 # 71 # 15 # 0 # 72 # 8 # 26 # 73 # 1 # 52 # 73 # 55 # 19 # 74 # 48 # 45 27 # 70 # 4 # 41 # 70 # 58 # 36 # 71 # 52 # 30 # 72 # 46 # 24 # 73 # 40 # 19 # 74 # 34 # 13 # 75 # 28 # 7 28 # 70 # 41 # 15 # 71 # 35 # 37 # 72 # 30 # 0 # 73 # 24 # 22 # 74 # 18 # 45 # 75 # 13 # 7 # 76 # 7 # 30 29 # 71 # 17 # 49 # 72 # 12 # 39 # 73 # 7 # 30 # 74 # 2 # 21 # 74 # 57 # 11 # 75 # 52 # 2 # 76 # 46 # 52 30 # 71 # 54 # 22 # 72 # 49 # 41 # 73 # 45 # 0 # 74 # 40 # 19 # 75 # 35 # 37 # 76 # 30 # 56 # 77 # 26 # 15 31 # 72 # 30 # 56 # 73 # 26 # 43 # 74 # 22 # 30 # 75 # 18 # 17 # 76 # 14 # 4 # 77 # 9 # 51 # 78 # 5 # 37 32 # 73 # 7 # 30 # 74 # 3 # 45 # 75 # 0 # 0 # 75 # 56 # 15 # 76 # 52 # 30 # 77 # 48 # 45 # 78 # 45 # 0 33 # 73 # 44 # 4 # 74 # 40 # 47 # 75 # 37 # 30 # 76 # 34 # 13 # 77 # 30 # 56 # 78 # 27 # 39 # 79 # 24 # 22 34 # 74 # 20 # 37 # 75 # 17 # 49 # 76 # 15 # 0 # 77 # 12 # 11 # 78 # 9 # 22 # 79 # 6 # 34 # 80 # 3 # 45 35 # 74 # 57 # 11 # 75 # 54 # 51 # 76 # 52 # 30 # 77 # 50 # 9 # 78 # 47 # 49 # 79 # 45 # 28 # 80 # 43 # 7 36 # 75 # 33 # 45 # 76 # 31 # 52 # 77 # 30 # 0 # 78 # 28 # 7 # 79 # 26 # 15 # 80 # 24 # 22 # 81 # 22 # 30 37 # 76 # 10 # 19 # 77 # 8 # 54 # 78 # 7 # 30 # 79 # 6 # 6 # 80 # 4 # 41 # 81 # 3 # 17 # 82 # 1 # 52 38 # 76 # 46 # 52 # 77 # 45 # 56 # 78 # 45 # 0 # 79 # 44 # 4 # 80 # 43 # 7 # 81 # 42 # 11 # 82 # 41 # 15 39 # 77 # 23 # 26 # 78 # 22 # 58 # 79 # 22 # 30 # 80 # 22 # 2 # 81 # 21 # 34 # 82 # 21 # 6 # 83 # 20 # 37 40 # 78 # 0 # 0 # 79 # 0 # 0 # 80 # 0 # 0 # 81 # 0 # 0 # 82 # 0 # 0 # 83 # 0 # 0 # 84 # 0 # 0 [064]GEOMETR. PRACT. Par \\ tes ### 85 ### 86 ### 87 ### 88 ### 89 ### 90 ### 91 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 85 # 0 # 0 # 86 # 0 # 0 # 87 # 0 # 0 # 88 # 0 # 0 # 89 # 0 # 0 # 90 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 2 # 59 # 45 # 50 # 60 # 28 # 7 # 61 # 10 # 19 # 61 # 52 # 30 # 62 # 34 # 41 # 63 # 16 # 52 # 63 # 59 # 4 3 # 60 # 25 # 47 # 61 # 8 # 26 # 61 # 51 # 6 # 62 # 33 # 45 # 63 # 16 # 24 # 63 # 59 # 4 # 64 # 41 # 43 4 # 61 # 5 # 37 # 61 # 48 # 45 # 62 # 31 # 52 # 63 # 15 # 0 # 63 # 58 # 7 # 64 # 41 # 15 # 65 # 24 # 22 5 # 61 # 45 # 28 # 62 # 29 # 4 # 63 # 12 # 39 # 63 # 56 # 15 # 64 # 30 # 51 # 65 # 23 # 26 # 66 # 7 # 2 6 # 62 # 25 # 19 # 63 # 9 # 22 # 63 # 53 # 26 # 64 # 37 # 30 # 65 # 21 # 34 # 66 # 5 # 37 # 66 # 49 # 41 7 # 63 # 5 # 9 # 63 # 49 # 41 # 64 # 34 # 13 # 65 # 18 # 45 # 66 # 3 # 17 # 66 # 47 # 49 # 67 # 32 # 21 8 # 63 # 45 # 0 # 64 # 30 # 0 # 65 # 15 # 0 # 66 # 0 # 0 # 66 # 45 # 0 # 67 # 30 # 0 # 68 # 15 # 0 9 # 64 # 24 # 51 # 65 # 10 # 19 # 65 # 55 # 47 # 66 # 41 # 15 # 67 # 26 # 43 # 68 # 12 # 11 # 68 # 57 # 39 10 # 65 # 4 # 41 # 65 # 50 # 37 # 66 # 36 # 34 # 67 # 22 # 30 # 68 # 8 # 26 # 68 # 54 # 22 # 69 # 40 # 19 11 # 65 # 44 # 32 # 66 # 30 # 56 # 67 # 17 # 21 # 68 # 3 # 45 # 68 # 50 # 9 # 69 # 36 # 34 # 70 # 22 # 58 12 # 66 # 24 # 22 # 67 # 11 # 15 # 67 # 58 # 7 # 68 # 45 # 0 # 69 # 31 # 52 # 70 # 18 # 45 # 71 # 5 # 37 13 # 67 # 4 # 13 # 67 # 51 # 34 # 68 # 38 # 54 # 69 # 26 # 15 # 70 # 13 # 36 # 71 # 0 # 56 # 71 # 48 # 17 14 # 67 # 44 # 4 # 68 # 31 # 52 # 69 # 19 # 41 # 70 # 7 # 30 # 70 # 55 # 19 # 71 # 43 # 7 # 72 # 30 # 56 15 # 68 # 23 # 54 # 69 # 12 # 11 # 70 # 0 # 28 # 70 # 48 # 45 # 71 # 37 # 2 # 72 # 25 # 19 # 73 # 13 # 36 16 # 69 # 3 # 45 # 69 # 52 # 30 # 70 # 41 # 15 # 71 # 30 # 0 # 72 # 18 # 45 # 73 # 7 # 30 # 73 # 56 # 15 17 # 69 # 43 # 36 # 70 # 32 # 49 # 71 # 22 # 2 # 72 # 11 # 15 # 73 # 0 # 28 # 73 # 49 # 41 # 74 # 38 # 54 18 # 70 # 23 # 26 # 71 # 13 # 7 # 72 # 2 # 49 # 72 # 52 # 30 # 73 # 42 # 11 # 74 # 31 # 52 # 75 # 21 # 34 19 # 71 # 3 # 17 # 71 # 53 # 26 # 72 # 43 # 36 # 73 # 33 # 45 # 74 # 23 # 54 # 75 # 14 # 4 # 76 # 4 # 13 20 # 71 # 43 # 7 # 72 # 33 # 45 # 73 # 24 # 22 # 74 # 15 # 0 # 75 # 5 # 37 # 75 # 56 # 15 # 76 # 46 # 52 21 # 72 # 22 # 58 # 73 # 14 # 4 # 74 # 5 # 9 # 74 # 56 # 15 # 75 # 47 # 21 # 76 # 38 # 26 # 77 # 29 # 4 22 # 73 # 2 # 49 # 73 # 54 # 22 # 74 # 45 # 56 # 75 # 37 # 30 # 76 # 29 # 4 # 77 # 20 # 37 # 78 # 12 # 11 23 # 73 # 42 # 39 # 74 # 34 # 41 # 75 # 26 # 43 # 76 # 18 # 45 # 77 # 10 # 47 # 78 # 2 # 49 # 78 # 54 # 51 24 # 74 # 22 # 30 # 75 # 15 # 0 # 76 # 7 # 30 # 77 # 0 # 0 # 77 # 52 # 30 # 78 # 45 # 0 # 79 # 37 # 39 25 # 75 # 2 # 21 # 75 # 55 # 19 # 76 # 48 # 17 # 77 # 41 # 15 # 78 # 34 # 13 # 79 # 27 # 11 # 80 # 20 # 0 26 # 75 # 42 # 11 # 76 # 35 # 37 # 77 # 29 # 4 # 78 # 22 # 30 # 79 # 15 # 56 # 80 # 9 # 22 # 81 # 2 # 49 27 # 76 # 22 # 2 # 77 # 15 # 56 # 78 # 9 # 51 # 79 # 3 # 45 # 79 # 57 # 39 # 80 # 51 # 34 # 81 # 45 # 28 28 # 77 # 1 # 52 # 77 # 56 # 15 # 78 # 50 # 37 # 79 # 45 # 0 # 80 # 39 # 22 # 81 # 33 # 45 # 82 # 28 # 7 29 # 77 # 41 # 43 # 78 # 36 # 3 # 79 # 31 # 24 # 80 # 26 # 15 # 81 # 21 # 6 # 82 # 15 # 56 # 83 # 10 # 47 30 # 78 # 21 # 34 # 79 # 16 # 52 # 80 # 12 # 11 # 81 # 7 # 30 # 82 # 2 # 49 # 82 # 58 # 7 # 83 # 53 # 27 31 # 79 # 1 # 24 # 79 # 57 # 11 # 80 # 52 # 58 # 81 # 48 # 45 # 82 # 44 # 32 # 83 # 40 # 19 # 84 # 36 # 6 32 # 79 # 41 # 15 # 80 # 37 # 30 # 81 # 33 # 45 # 82 # 30 # 0 # 83 # 26 # 15 # 84 # 22 # 30 # 85 # 18 # 45 33 # 80 # 21 # 6 # 81 # 17 # 49 # 82 # 14 # 32 # 83 # 11 # 15 # 84 # 7 # 58 # 85 # 4 # 41 # 86 # 1 # 24 34 # 81 # 0 # 56 # 81 # 58 # 7 # 82 # 55 # 19 # 83 # 52 # 30 # 84 # 49 # 41 # 85 # 46 # 52 # 86 # 44 # 4 35 # 81 # 40 # 47 # 82 # 38 # 26 # 83 # 36 # 6 # 84 # 33 # 45 # 85 # 31 # 24 # 86 # 29 # 4 # 87 # 26 # 43 36 # 82 # 20 # 37 # 83 # 18 # 45 # 84 # 16 # 52 # 85 # 15 # 0 # 86 # 13 # 7 # 86 # 11 # 15 # 88 # 9 # 22 37 # 83 # 0 # 28 # 83 # 59 # 4 # 84 # 57 # 39 # 85 # 56 # 15 # 86 # 54 # 51 # 87 # 53 # 26 # 88 # 52 # 2 38 # 83 # 40 # 19 # 84 # 39 # 22 # 85 # 38 # 26 # 86 # 37 # 30 # 87 # 36 # 34 # 88 # 35 # 37 # 89 # 34 # 41 39 # 84 # 20 # 9 # 85 # 19 # 41 # 86 # 19 # 13 # 87 # 18 # 45 # 88 # 18 # 17 # 89 # 17 # 49 # 0 # 0 # 0 40 # 85 # 0 # 0 # 86 # 0 # 0 # 87 # 0 # 0 # 88 # 0 # 0 # 89 # 0 # 0 # 90 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 [065]LIBER PRIMVS. Par \\ tes. ### 92 ### 93 ### 94 ### 95 ### 96 ### 97 ### 98 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 2 # 64 # 41 # 15 # 65 # 23 # 26 # 66 # 5 # 37 # 66 # 47 # 49 # 67 # 30 # 0 # 68 # 12 # 11 # 68 # 54 # 22 3 # 65 # 24 # 22 # 66 # 7 # 2 # 66 # 49 # 41 # 67 # 32 # 21 # 68 # 15 # 0 # 68 # 57 # 39 # 69 # 40 # 19 4 # 66 # 7 # 30 # 66 # 50 # 37 # 67 # 33 # 45 # 68 # 16 # 52 # 69 # 0 # 0 # 69 # 43 # 7 # 70 # 26 # 15 5 # 66 # 50 # 37 # 67 # 34 # 13 # 68 # 17 # 49 # 69 # 1 # 24 # 69 # 45 # 0 # 70 # 28 # 36 # 71 # 12 # 11 6 # 67 # 33 # 45 # 68 # 17 # 49 # 69 # 1 # 52 # 69 # 45 # 56 # 70 # 30 # 0 # 71 # 14 # 4 # 71 # 58 # 7 7 # 68 # 16 # 52 # 69 # 1 # 24 # 69 # 45 # 56 # 70 # 30 # 28 # 71 # 15 # 0 # 71 # 59 # 32 # 72 # 44 # 4 8 # 69 # 0 # 0 # 69 # 45 # 0 # 70 # 30 # 0 # 71 # 15 # 0 # 72 # 0 # 0 # 72 # 45 # 0 # 73 # 30 # 0 9 # 69 # 43 # 7 # 70 # 28 # 36 # 71 # 14 # 4 # 71 # 59 # 32 # 72 # 45 # 0 # 73 # 30 # 28 # 74 # 15 # 56 10 # 70 # 26 # 15 # 71 # 12 # 11 # 71 # 58 # 7 # 72 # 44 # 4 # 73 # 30 # 0 # 74 # 15 # 56 # 75 # 1 # 52 11 # 71 # 9 # 22 # 71 # 55 # 47 # 72 # 42 # 11 # 73 # 28 # 36 # 74 # 15 # 0 # 75 # 1 # 24 # 75 # 47 # 49 12 # 71 # 52 # 30 # 72 # 39 # 22 # 73 # 26 # 15 # 74 # 13 # 7 # 75 # 0 # 0 # 75 # 46 # 52 # 76 # 33 # 45 13 # 72 # 35 # 37 # 73 # 22 # 58 # 74 # 10 # 19 # 74 # 57 # 39 # 75 # 45 # 0 # 76 # 32 # 21 # 77 # 19 # 41 14 # 73 # 18 # 35 # 74 # 6 # 34 # 74 # 54 # 22 # 75 # 42 # 11 # 76 # 30 # 0 # 77 # 17 # 49 # 78 # 5 # 37 15 # 74 # 1 # 52 # 74 # 50 # 9 # 75 # 38 # 26 # 76 # 26 # 43 # 77 # 15 # 0 # 78 # 3 # 17 # 78 # 51 # 34 16 # 74 # 45 # 0 # 75 # 33 # 45 # 76 # 22 # 30 # 77 # 11 # 15 # 78 # 0 # 0 # 78 # 48 # 45 # 79 # 37 # 30 17 # 75 # 28 # 7 # 76 # 17 # 21 # 77 # 6 # 34 # 77 # 55 # 47 # 78 # 45 # 0 # 79 # 34 # 13 # 80 # 23 # 26 18 # 76 # 11 # 15 # 77 # 0 # 56 # 77 # 50 # 37 # 78 # 40 # 19 # 79 # 30 # 0 # 80 # 19 # 41 # 81 # 9 # 22 19 # 76 # 54 # 22 # 77 # 44 # 32 # 78 # 34 # 41 # 79 # 24 # 51 # 80 # 15 # 0 # 81 # 5 # 9 # 81 # 55 # 19 20 # 77 # 37 # 30 # 78 # 28 # 7 # 79 # 18 # 45 # 80 # 9 # 22 # 81 # 0 # 0 # 81 # 50 # 37 # 82 # 41 # 15 21 # 78 # 20 # 37 # 79 # 11 # 43 # 80 # 2 # 49 # 80 # 53 # 54 # 81 # 45 # 0 # 82 # 36 # 6 # 83 # 27 # 11 22 # 79 # 3 # 45 # 79 # 55 # 19 # 80 # 46 # 50 # 81 # 38 # 26 # 82 # 30 # 0 # 83 # 21 # 34 # 84 # 13 # 7 23 # 79 # 46 # 52 # 80 # 38 # 54 # 81 # 30 # 56 # 82 # 22 # 58 # 83 # 15 # 0 # 84 # 7 # 2 # 84 # 59 # 4 24 # 80 # 30 # 0 # 81 # 22 # 30 # 82 # 15 # 0 # 83 # 7 # 30 # 84 # 0 # 0 # 84 # 52 # 30 # 85 # 45 # 0 25 # 81 # 13 # 7 # 82 # 6 # 6 # 82 # 59 # 4 # 83 # 52 # 2 # 84 # 45 # 0 # 85 # 37 # 58 # 86 # 30 # 56 26 # 81 # 56 # 15 # 82 # 49 # 41 # 83 # 43 # 7 # 84 # 36 # 34 # 85 # 30 # 0 # 86 # 23 # 26 # 87 # 16 # 52 27 # 82 # 39 # 22 # 83 # 33 # 17 # 84 # 27 # 11 # 85 # 21 # 6 # 86 # 15 # 0 # 87 # 8 # 54 # 88 # 2 # 49 28 # 83 # 22 # 30 # 84 # 16 # 52 # 85 # 11 # 15 # 86 # 5 # 37 # 87 # 0 # 0 # 87 # 54 # 22 # 88 # 48 # 45 29 # 84 # 5 # 37 # 85 # 0 # 28 # 85 # 55 # 19 # 86 # 50 # 9 # 87 # 45 # 0 # 88 # 39 # 51 # 89 # 34 # 4@ 30 # 84 # 48 # 45 # 85 # 44 # 4 # 86 # 39 # 22 # 87 # 34 # 41 # 88 # 30 # 0 # 89 # 25 # 19 # 0 # 0 # 0 31 # 85 # 31 # 52 # 86 # 27 # 39 # 87 # 23 # 26 # 88 # 19 # 13 # 89 # 15 # 0 # 0 # 0 # 0 32 # 86 # 15 # 0 # 87 # 11 # 15 # 88 # 7 # 30 # 89 # 3 # 45 # 90 # 0 # 0 # 0 # 0 # 8 33 # 86 # 58 # 7 # 87 # 54 # 51 # 88 # 51 # 34 # 89 # 48 # 17 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 34 # 87 # 41 # 15 # 88 # 38 # 26 # 89 # 35 # 37 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 35 # 88 # 24 # 22 # 89 # 22 # 2 # 0 # 0 # 0 36 # 89 # 7 # 30 # 0 # 0 # 0 37 # 89 # 50 # 37 # 0 # 0 # 0 38 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 [066]GEOMETR. PRACT. Par \\ tes ### 99 ### 100 ### 101 ### 102 ### 103 ### 104 ### 105 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 2 # 69 # 36 # 34 # 70 # 18 # 45 # 71 # 0 # 56 # 71 # 43 # 7 # 72 # 25 # 19 # 73 # 7 # 30 # 73 # 49 # 41 3 # 70 # 22 # 58 # 71 # 5 # 37 # 71 # 48 # 17 # 72 # 30 # 56 # 73 # 13 # 36 # 73 # 56 # 15 # 74 # 37 # 58 4 # 71 # 9 # 22 # 71 # 52 # 30 # 72 # 35 # 37 # 73 # 18 # 45 # 74 # 1 # 52 # 74 # 45 # 0 # 75 # 28 # 7 5 # 71 # 55 # 47 # 72 # 39 # 22 # 73 # 22 # 58 # 74 # 6 # 34 # 74 # 50 # 9 # 75 # 33 # 45 # 76 # 17 # 21 6 # 72 # 42 # 11 # 73 # 26 # 15 # 74 # 10 # 19 # 74 # 54 # 22 # 75 # 38 # 26 # 76 # 22 # 30 # 77 # 6 # 34 7 # 73 # 28 # 36 # 74 # 13 # 7 # 74 # 57 # 39 # 75 # 42 # 11 # 76 # 26 # 43 # 77 # 11 # 15 # 77 # 55 # 47 8 # 74 # 15 # 0 # 75 # 0 # 0 # 75 # 45 # 0 # 76 # 30 # 0 # 77 # 15 # 0 # 78 # 0 # 0 # 78 # 45 # 0 9 # 75 # 1 # 24 # 75 # 46 # 52 # 76 # 32 # 21 # 77 # 17 # 49 # 78 # 3 # 17 # 78 # 48 # 45 # 79 # 34 # 13 10 # 75 # 47 # 49 # 76 # 33 # 45 # 77 # 19 # 41 # 78 # 5 # 37 # 78 # 51 # 34 # 79 # 37 # 30 # 80 # 23 # 26 11 # 76 # 34 # 13 # 77 # 20 # 37 # 78 # 9 # 2 # 78 # 53 # 26 # 79 # 39 # 51 # 80 # 26 # 15 # 81 # 12 # 39 12 # 77 # 20 # 37 # 78 # 7 # 30 # 78 # 54 # 22 # 79 # 41 # 15 # 80 # 28 # 7 # 81 # 15 # 0 # 82 # 1 # 52 13 # 78 # 7 # 2 # 78 # 54 # 22 # 79 # 41 # 43 # 80 # 29 # 4 # 81 # 16 # 24 # 82 # 3 # 45 # 82 # 51 # 6 14 # 78 # 53 # 26 # 79 # 41 # 15 # 80 # 29 # 4 # 81 # 16 # 52 # 82 # 4 # 41 # 82 # 52 # 30 # 83 # 40 # 19 15 # 79 # 39 # 51 # 80 # 28 # 7 # 81 # 16 # 24 # 82 # 4 # 41 # 82 # 52 # 58 # 83 # 41 # 15 # 84 # 20 # 32 16 # 80 # 26 # 15 # 81 # 15 # 0 # 82 # 3 # 45 # 82 # 52 # 30 # 83 # 41 # 15 # 84 # 30 # 0 # 85 # 18 # 45 17 # 81 # 12 # 39 # 82 # 1 # 52 # 82 # 51 # 6 # 83 # 40 # 19 # 84 # 29 # 32 # 85 # 18 # 45 # 86 # 7 # 58 18 # 81 # 59 # 4 # 82 # 48 # 45 # 83 # 37 # 30 # 84 # 28 # 7 # 85 # 17 # 49 # 86 # 7 # 30 # 86 # 57 # 11 19 # 82 # 45 # 28 # 83 # 35 # 37 # 84 # 25 # 47 # 85 # 15 # 56 # 86 # 6 # 6 # 86 # 56 # 15 # 87 # 46 # 24 20 # 83 # 31 # 52 # 84 # 22 # 30 # 85 # 13 # 7 # 86 # 3 # 45 # 86 # 54 # 22 # 87 # 45 # 0 # 88 # 35 # 37 21 # 84 # 18 # 17 # 85 # 9 # 22 # 86 # 0 # 82 # 86 # 51 # 34 # 87 # 42 # 39 # 88 # 33 # 45 # 80 # 24 # 51 22 # 85 # 4 # 41 # 85 # 56 # 15 # 86 # 47 # 49 # 87 # 39 # 22 # 88 # 30 # 56 # 89 # 22 # 30 # 0 # 0 # 0 23 # 85 # 51 # 6 # 86 # 43 # 7 # 87 # 35 # 9 # 88 # 27 # 11 # 89 # 19 # 13 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 24 # 86 # 37 # 30 # 87 # 30 # 0 # 88 # 22 # 30 # 89 # 15 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 25 # 87 # 23 # 54 # 88 # 16 # 52 # 89 # 9 # 51 # 0 # 0 # 0 26 # 88 # 10 # 19 # 89 # 3 # 45 # 89 # 57 # 11 # 0 # 0 # 0 27 # 88 # 56 # 43 # 89 # 50 # 37 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 28 # 89 # 43 # 7 # 0 # 0 # 0 29 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 30 # 0 # 0 # 0 [067]LIBER PRIMVS. Par \\ tes. ### 106 ### 107 ### 108 ### 109 ### 110 ### 111 ### 112 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 2 # 74 # 31 # 52 # 75 # 14 # 4 # 75 # 56 # 15 # 75 # 38 # 26 # 77 # 20 # 37 # 78 # 2 # 49 # 78 # 45 # 0 3 # 75 # 21 # 34 # 76 # 4 # 13 # 76 # 46 # 52 # 77 # 29 # 32 # 78 # 12 # 11 # 78 # 54 # 51 # 79 # 52 # 30 4 # 76 # 11 # 15 # 76 # 54 # 22 # 77 # 37 # 30 # 78 # 20 # 37 # 79 # 3 # 45 # 79 # 46 # 52 # 80 # 30 # 0 5 # 77 # 0 # 56 # 77 # 44 # 32 # 78 # 28 # 7 # 79 # 11 # 43 # 79 # 55 # 19 # 80 # 38 # 54 # 81 # 22 # 30 6 # 77 # 50 # 37 # 78 # 34 # 41 # 79 # 18 # 45 # 80 # 2 # 49 # 80 # 46 # 52 # 81 # 30 # 56 # 82 # 15 # 0 7 # 78 # 40 # 19 # 79 # 24 # 51 # 80 # 9 # 22 # 80 # 53 # 54 # 81 # 38 # 26 # 82 # 22 # 58 # 83 # 7 # 30 8 # 79 # 30 # 0 # 80 # 15 # 0 # 81 # 0 # 0 # 81 # 45 # 0 # 82 # 30 # 0 # 83 # 15 # 0 # 84 # 0 # 0 9 # 80 # 10 # 41 # 81 # 5 # 9 # 81 # 50 # 37 # 82 # 36 # 6 # 83 # 21 # 34 # 84 # 7 # 2 # 84 # 52 # 30 10 # 81 # 9 # 22 # 81 # 55 # 19 # 82 # 41 # 15 # 83 # 27 # 11 # 84 # 13 # 7 # 84 # 59 # 4 # 85 # 45 # 0 11 # 81 # 59 # 4 # 82 # 45 # 28 # 83 # 31 # 52 # 84 # 18 # 17 # 85 # 4 # 41 # 85 # 51 # 6 # 86 # 37 # 30 12 # 82 # 48 # 45 # 83 # 35 # 37 # 84 # 22 # 30 # 85 # 9 # 22 # 85 # 56 # 15 # 86 # 43 # 7 # 87 # 30 # 0 13 # 83 # 38 # 26 # 84 # 25 # 47 # 85 # 13 # 7 # 86 # 0 # 28 # 86 # 47 # 49 # 87 # 35 # 9 # 88 # 22 # 30 14 # 84 # 28 # 7 # 85 # 15 # 56 # 86 # 3 # 45 # 86 # 51 # 34 # 87 # 39 # 22 # 88 # 27 # 11 # 89 # 15 # 0 15 # 85 # 17 # 49 # 86 # 6 # 6 # 86 # 54 # 22 # 87 # 42 # 39 # 88 # 30 # 56 # 89 # 19 # 13 # 0 # 0 # 0 16 # 86 # 7 # 30 # 86 # 56 # 15 # 87 # 45 # 0 # 88 # 33 # 45 # 89 # 22 # 30 # 0 # 0 # 0 17 # 86 # 57 # 11 # 87 # 46 # 24 # 88 # 35 # 37 # 89 # 24 # 51 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 18 # 87 # 46 # 52 # 88 # 36 # 34 # 89 # 26 # 15 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 19 # 88 # 36 # 34 # 89 # 26 # 43 # 0 # 0 # 0 20 # 89 # 26 # 15 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 21 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 [068]GEOMETR. PRACT. Par \\ tes. ### 113 ### 114 ### 115 ### 116 ### 117 ### 118 ### 119 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 2 # 79 # 27 # 11 # 80 # 9 # 22 # 80 # 51 # 34 # 81 # 33 # 45 # 82 # 15 # 56 # 82 # 58 # 7 # 83 # 40 # 19 3 # 80 # 20 # 9 # 81 # 2 # 49 # 81 # 45 # 28 # 82 # 28 # 7 # 83 # 10 # 47 # 83 # 53 # 26 # 84 # 36 # 6 4 # 81 # 13 # 7 # 81 # 56 # 15 # 82 # 39 # 22 # 83 # 22 # 30 # 84 # 5 # 37 # 84 # 48 # 45 # 85 # 31 # 52 5 # 83 # 6 # 6 # 82 # 49 # 41 # 83 # 33 # 17 # 84 # 16 # 52 # 85 # 0 # 28 # 85 # 44 # 4 # 86 # 27 # 39 6 # 82 # 59 # 4 # 83 # 43 # 7 # 84 # 27 # 11 # 85 # 11 # 15 # 85 # 55 # 19 # 86 # 39 # 22 # 87 # 23 # 26 7 # 83 # 52 # 2 # 84 # 36 # 34 # 85 # 21 # 6 # 86 # 5 # 37 # 86 # 50 # 9 # 87 # 34 # 41 # 88 # 19 # 13 8 # 84 # 45 # 0 # 85 # 30 # 0 # 86 # 15 # 0 # 87 # 0 # 0 # 87 # 45 # 0 # 88 # 30 # 0 # 89 # 15 # 0 9 # 85 # 37 # 58 # 86 # 23 # 26 # 87 # 8 # 54 # 87 # 54 # 22 # 88 # 39 # 51 # 89 # 25 # 19 # 0 # 0 # 0 10 # 86 # 30 # 56 # 87 # 16 # 52 # 88 # 2 # 49 # 88 # 48 # 45 # 89 # 34 # 41 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 11 # 87 # 23 # 54 # 88 # 10 # 19 # 88 # 56 # 43 # 89 # 43 # 7 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 12 # 88 # 16 # 52 # 89 # 3 # 45 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 13 # 89 # 9 # 51 # 89 # 57 # 11 # 0 # 0 # 0 14 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 15 # 0 # 0 # 0 Par \\ tes. ### 120 ### 121 ### 122 ### 123 ### 124 ### 125 ### 126 # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S # G # M # S 1 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 2 # 84 # 22 # 30 # 85 # 4 # 41 # 85 # 46 # 52 # 86 # 29 # 4 # 87 # 11 # 15 # 87 # 53 # 27 # 88 # 35 # 37 3 # 85 # 18 # 45 # 86 # 1 # 24 # 86 # 44 # 4 # 87 # 26 # 43 # 88 # 9 # 22 # 88 # 52 # 2 # 89 # 34 # 41 4 # 86 # 15 # 0 # 86 # 58 # 7 # 87 # 41 # 15 # 88 # 24 # 22 # 89 # 7 # 30 # 89 # 50 # 37 # 0 # 0 # 0 5 # 87 # 11 # 15 # 87 # 54 # 51 # 88 # 38 # 26 # 89 # 22 # 2 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 8 6 # 88 # 7 # 30 # 88 # 51 # 34 # 89 # 35 # 37 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 7 # 89 # 3 # 45 # 89 # 48 # 17 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 8 # 90 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 9 # 0 # 0 # 0 Par \\ tes. ### 127 ### 128 # G # M # S # G # M # S 1 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 2 # 89 # 17 # 49 # 90 # 0 # 0 3 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 # 0 [069]LIBER PRIMVS.

10. QVANDO intra Quadrantem non de$cripti $unt plures quadrantes, _Quo pact@_ _per circinum_ _deprehendan-_ _tur Minuta,_ _ac $ecunda in_ _quau{is} propo-_ _$ita grad{us}_ _part<007>cula._ $ed vnicus tantum ade$t in 90. gradus exqui$itè di$tributus, cogno$cemus $o- lo circinibene$icio, quot Minuta, ac $ecunda in quauis gradus particula conti- neantur: id quod etiam in libello de v$u, & fabrica in$trumenti horologiorũ, & in A$trolabio fecimus, hoc $cilicet modo. Sit data verbigratia particulatu, in gradu 20. $uperioris Quadrantis BC. Sumatur ea diligenti$simè bene$icio circini, & à principio Quadrantis, id e$t, à puncto C, incipiendo, eadem aper- tura circini accipiantur 60. æquales particulæ v$que ad punctum X, ita vt arcus CX, $exagecuplus $it arcus t u: Quot. n. gradus integri in hoc arcu $exagecu- plo comprehenduntur, tot minuta complectetur particula data tu. Et $i vl- tra gradus integros in arcu CX, $uper$it aliqua particula, accipiatur ea $exagies quoque, initio facto à puncto C. Nam quot gradus integri in hoc arcu $exa- gecuplo continentur, tot $ecunda vltra Minuta inuenta continebuntur in da- ta particula t u. Quod $i adhuc aliquid $uper$it, reperientur eodem modo Ter- tia, &c. Ita que cumin arcu CX, qui$exagecuplus e$t particulæ t u, continean- tur 40. gradus integri, comprehendet particula t u, quadraginta Minuta, & in- $uper tot $ecunda, quot gradus continenturin arcu, qui $exagecuplus $it par- ticulæ vltra 40. gradus in arcu CX, contentæ, &c.

HOC autem ita demon$tro. Quã proportionem habet arcus 60. graduum ad 1. gradum, eam habetarcus CX. ad particulam tu, cum vtrobique propor- tio $it $exagecupla. Igitur permutando erit, vt arcus 60. graduum ad arcum CX, ita 1. gradus ad particulam t u: Ac proinde quot partes $exage$imæ arcus 60. graduum, hoc e$t, quot gradus in arcu C X, continentur, tot $exage$imæ partes vnius gradus, id e$t, tot minuta in particula tu, exi$tent. Item quam proportionem haber arcus 60. Minutorum ad<007>. Minutum eam habet arcus $e- xagecuplus particulæ, quæ vltra gradus integros v$que ad X, $upere$t ad hanc ip$am particulam. Permutando igitur erit, vt arcus 60. Minutorum ad arcum $exagecuplum dictæ particulæ reliquæ, ita 1. Minutum ad dictam particulam re- liquam. Quare quot partes $exage$imæ arcus 60. Minutorum, hoc e$t, quot minuta in arcu dictæ particulæ $exagecuplo ($umendo nunc gradus Quadran- tis BC, pro Minutis) continentur, tot partes $exage$imæ vnius Minuti, id e$t, tot Secunda, in reliqua illa particula includentur, & $ic deinceps, $i opus $it, de Tertijs, Quartis, &c. intelligatur. Sed $atis e$t, meo iudicio, $i minuta diligen- ter inquirantur. Et$i quidem particula remanens maior fuerit $emi$$e gradus, pro illa Minutum a$$umatur, Minuti$que inuentis adij ciatur, quod tunc in illa particula contineantur plura Secunda quam 30. Si verò eadem particula $e- mi$$e gradus fuerit minor, nihil Minutis inu\~etis adijciatur, quod tuncin illa par- ticula pauciora Secũ da includantur, <004> 30. Si deniq; dicta particula $emi$si grad. fuerit æqualis, liberũ $it addere Minutis inu\~etis vnum Minutũ, vel non addere.

11. QVIA verò fa cilè error committi pote$t, $i circino particulam dictam gradus, vel minuti $exagies ordine $umere velimus, rectius feceris, quando particula data $emi$$e gradus minor e$t, $i eam vna cum præcedente graduacce- ptam primo loco quintuples, deinde hunc arcum quintuplũ duples, tertio hũc arcum duplum triples, ac tandem quarto hunc arcum triplum iterum duples. Vltimus enim hic arcus erit datæ particulæ vna cum gradu accepto $exagecu- plus. Quare$i ex eo demãtur 60. gradus, in dicabuntreliqui gradus numerũ mi- nutorumin data particula contentorum. Qnod $i per æ$timation\~e cognoueris, [070]GEOMETR. PRACT. particulam $emi$$e gradus minorem non $uperare min. 24. (Nam $i $uperaret 24. minuta, non po$$emus ratione iam explicanda in ouirere minuta; propterea quod circumducendo circinum, to tum Quadrantem excederemus, vt patebit.) commodius minuta datæ particulæ cogno$cemus hoc modo. Datam particu- lam cum gradu præcedenti primo loco quadruplicabimus: deinde huncarcum quadruplum duplabimus, vt hab eamus octuplum arcus ex particula, & vno gradu compo$iti; tertio arcum hunc octuplum iterum duplabimus, vt fiat ar- c<_>9 $edecupl<_>9 arcus ex data particula, & vno gradu cõpo$iti; quarto hunc arcũ rur$us duplabimus; & quinto tandem hunc duplum iterum duplabimus; vt habeatur arcus continens arcum ex particula pro po$ita, & vno gradu $exagies & quater, cuius extremum punctũm diligenter notetur. Nam $i ex toto arcu ab eo puncto incipiendo, auferatur arcus quadruplus particulæ datæ vnâ cum vno gradu, $upererit arcus $exagecuplus eiu$dem particulæ vnâ cum vno gra- du; ex quo denique$i demantur 60. gradus, reliqui gradus numerum minu- torum indicabunt. Quòd $i data particula $emi$$e gradus fuerit maior, explo- tabimus eodem modo minuta inreliqua particula minore comprehen$a. Hæc namque minuta ex 60. detracta relinquent minutain particula illa maiore com- prehen$a. Benè autem vides, quando data particula minor parum à $emi$$e gradus differt, tutius e$$e quintuplare illam vnâ cum vno gradu; deinde hunc arcum duplare, tertio hunc arcum triplare, & po$tremò hunc iterum duplare. Hac enim ratione ex vltimo arcu duplato auferenditantum $unt 60. gradus, & nunquam totus quadrans exhauritur, vt patet.

12. NEQVE verò $emper opus e$t, vt particula illa gradus, vel particula mi- nor vnâ cum vno gradu $exagies repetatur, $ed $atis e$t, vt ea aliquoties repeti- ta incidat præci$è in aliquem gradum; quod non raro accidere $olet. Nam tunc con$tituetur fractio, cuius numerator e$t numerus graduum percur$orũ: Denominator autem numerus tot vnitatum, quoties particula circino repetita fuerit. Verbi gratia, $i aliqua grad<_>9 particula vicies repetita incidat in 6. gradũ, cõ plectetur particula illa {6/20}. vnius gradus. Quare $i numerator 6. per 60. multi- plicetur, & pro ductus numerus 360. per denominatorem 20. diuidatur, in dica- bit Quotiens 18. particulam illam continere 18. minuta. Sic $i alia particula $e- pties repetita incidat in tertium gradum, comprehendet ea {3/7}. vnius gradus. Si igitur numerator 3. per 60. multiplicetur, & numerus productus 180. per de- nominatorem 7. diuidatur, reperientur 25. min. Et quia in diui$ione $uper$unt 5. $i ea rur$um multiplicentur per 60. productu$que numerus 300. per eundem denominatorem 7. diuidatur, dabit quotiens adhuc 42 {6/7}. $ecunda.

DEMONSTRATIO huius praxis hæc e$t. Quoniam in priori exemplo, ita $e habent 20. gradus ad 1. gradum, vt particula vicies repetita ad vnam parti- culam; erit permutando arcus 20. graduum ad arcum continentem particulam vicies, hoc e$t, ad arcum 6. graduum, vt 1. gradus ad vnam particulam: & con- uertendo 6. grad. ad 20. grad. vt 1 particula ad 1. grad. Cum ergo 6. grad. $int {6/20}. graduum 20. continebit quo que vna particula {6/20}. vnius gradus, quod e$t propo$itum. In po$teriori verò exemplo, quia ita $e habent 7. grad. ad 1. gra- dum, vt particula $epties repetita, hoc e$t, vt 3. gradus ad 1. particuiam; erit per- mutando arcus 7. graduum ad 3 grad. vt 1. grad. ad 1. particulam: & conuerten- do 3. gradus ad 7. grad. vt vna particula ad 1. grad. Cum ergo 3. gradus $int {3/7}. $eptem graduum, complectetur quoque 1. particula {5/7}. vnius gradus; quod e$t propo$itum. eadem que in c{ae}teris ratio e$t.

[071]LIBER PRIMVS.

QVANDO particula minor cum vno gradu repetita incidit in gradum ali- quem præcisè, auferendi erunt ex gradibus percur$is tot gradus, quoties parti- cula illa cum vno gradurepetita fuit. Reliquus enim numerus erit Numerator fractionis: Denominator autem erit, qui prius. Vt$i particula illa minor cum 1. gradu repetita $epties inciditin 10. gradum; demendi erunt 7. gradus repetiti. Atq; ita habebuntur iterum {3/7}. vnius gradus in data particula.

13. SI vici$sim ex quouis gradu auferre velimus particulam quotlibet mi- _Quo pacto ex_ _quou{is} gradu_ _particula quot_ _libet Minuto-_ _rum ab$cin-_ _datur_. nutorum, ita agendum erit. In quadrante $uperiore B C, accipiatur circino arcus tot graduum, quot minuta de$iderantur; atq; (vt confu$ionem vitemus) in ar- cuminteruallo $emidiametri quadrantis B C, de$criptum transferatur. Si enim hic arcus in 60. partes æquales $ecetur, (primum, videlicet in duas: deinde vna harũ iterum in duas: Tertio vna harũ in tres; ac po$tremo vna harũ in quinq;) cõtinebit vna particula $exage$ima numerum minutorum propo$itũ. Verbigra- tia, $i particula quæratur continens 50. min. accipiemus in arcu F G, adinterual- lum $emidiametri A C, de$cripto arcum F G, arcui C Z, graduum 50. æqualem, eumque in 60. partes æquales $ecabimus, primum in duas in puncto K: Deinde arcum F K, iterum in duas in puncto L; tertio arcum F L, in tres in punctis T, V. ac tandem arcum F V, in quinque. Vna namque harum 5. particularum compre- hendet 50. min. ac proinde $i transferatur circino in quemlibet gradum Quadrã- tis B C, ab$ci$$a erunt 50. Min. ex eo gradu. Hoc ita demon$tro. Quoniam e$t, vt arcus 60. graduum ad 1. gradum, ita arcus C Z, vel F G, graduum 50. ad $exa- ge$imam partem eiu$dem arcus F G; erit permutando, vt arcus 60. graduum ad arcum F G, graduum 50; ita 1. gradus ad $exage$imam particulam arcus F G: & conuertendo, vt arcus F G, graduum 50. ad arcum graduum 60. ita particula $e- xage$ima arcus F G, ad 1. gradum. Cum ergo arcus F G, contineat {50/60}, arcus 60. graduum, continebit quoq; particula $exage$ima arcus F G, {50/60}. vnius gradus, hoc e$t, 50. Min. Quod e$t propo$itum.

SED hæcres incommodi$sima e$t in paruis Quadrantibus, præ$ertim $i pau- ca Minuta, vtpote 1. 2. vel 3. ab$cindenda $int. Quis enimin Quadrante exiguo arcum 1. gradus, vel 2. vel 3. in 60. particulas di$tribuat? Quamobrem commo- diusid, quod proponitur, efficiemus hacratione. Ex eo dem quadrante$upe- riore B C, arcus grad. 61. transferatur in arcum X Y, ad interuallum $emidiame- tri A C. de$criptum, ab X, v$que ad Y. Atque hic arcus X Y, in 6<_>0. partes æquales $ecetur; Primum $cilicet in 2. deinde vtraq; $emi$sis in 3. Deinde prima pars in 10. particulas æquales diuidatur, ita vt quælibet harum particularũ $it {1/60}. arcus XY. Et quoniam vna harum particularum e$t ad arcum XY, vt 1. gradus Qua- drantis B C, ad arcum 60. graduum; cum vtrobique proportio $it $ub$exagecu- pla; erit permutando vna illarum particularum ad 1. grad. vt arcus XY, ad arcum 60. graduum. Quocirca quemadmodum arcus X Y, arcum grad. 60. continet $emel, & in$uper vnam eius partem $exage$imam, id e$t, 1. ad grad. ex con$tru- ctione; Ita quoq; vna illarum particularum comprehendet 1. gradum $emel, & in$uper vnam partem $exage$imam vnius gradus, hoc e$t, 1. Minutum. Ex quo fit, vt duæ particulæ complectantur 2. grad. & in$uper 2. Minuta. Atvero 3. par- ticulæ contineant 3. grad. & 3. Min. & $ic deinceps.

ITAQVE $i in Quadrantem BC, transferatur vna particula $exage$ima arcus XY, à puncto C, vel à quouis gradu, habebitur 1. Min. in 2. gradu, vel quouis a- lio. Et $i duæ particulæ transferantur, habebuntur in tertio gradu duo Minuta: [072]GEOMETR. PRACT. tria autem Min. in 4. gradu, $i tres particulæ transferantur, & $ic decæteris.

PARI ratione, $i quis de$ideret quotlibet gradus, ac Minuta, inquirenda prius erit particula Minutorum, quæ de$iderantur, eaque ad gradus propo$itos adijcienda. Quod $i particula minutorum inuentorum tam exigua fuerit, vt circino vix accipi po$sit, accipienda ea erit vnà cum 1. gradu: & hic arcus ex 1. gradu & particula conflatus adijciendus ad numerum graduum propo$itum minus vno. Vt $i velit quis grad. 89. Min. 59. Inuenienda prius erunt 59. Mi- nuta. quod fiet, $i 59. particulæ arcus X Y, in Quadrantem B C, transferantur. Nam particula in 60. gradu complectetur 59. Min. vt dictum e$t. Siigitur arcus ex illa particula, & 1. grad. conflatus adijciatur ad arcum 88. grad. conficietur arcus grad. 89. Min. 59. Eademque ratio e$t de cæteris. Accipientur autem in ar- cu XY, particulæ 59. $i vnus pes circini in puncto 50. $tatuatur, & alter in nona particula primæ partis $extæ totius arcus XY, ver$us X. Ita accipientur quoque particulæ 49. 48. 39. 34. &c. vt per$picuum e$t.

IAM vero $i Minutanonin Quadrante BC, $ed in maiori, minoriue accipien- da $int, inquirenda ea erunt in Quadrante B C, beneficio arcus X Y, vt docui- mus; Deinde arcuiinter C, & finem particulæ inuentæ auferendus ex Quadrã- te propo$ito arcus $imilis. quod fiet, $i ille Quadrans ex centro A, de$cribatur, rectaque ex A, per finem particulæ in B C, inuentæ educatur, &c.

14. QVÆ Num. 13. præcedenti diximus, perbelle etiam quadrant in lineas _Quo pactore-_ _per<007>atur fra-_ _ctio cuiu$que_ _particulæ in_ _parte qualibet_ _l<007>neæ rectæ in_ _part{es} æqual{es}_ _d<007>ui$æ_. rectas. Nam eadem ratione cogno$cemus, $i linea recta in quotuis partes æqua- les $ecetur, quantam fractionem quælibet particula vnius partis contineat: Et vici$sim quo pacto ex vna parte ab$cindenda $it quæcun que fractio propo$ita. Quæ res incredibile e$t, quantam vtilitatem cum alijs rebus Geometricis, tum ver ò maxime Dimen$ionibus, quæ per $calam altimetram fieri $olent, afferat, vt lib. 3. cum de Quadrato Geometrico, vbi$calæ altimetræ v$us apparebit, per$pi- cuum erit. Sit enim recta linea A B, vt ad pedem Quadrantis $uperioris vides, $ecta in 10. partes æquales. (In totenim partes libet tam vmb<007>am rectam, quam ver$am $calæ altimetræ di$tribuere: quamuis ab alijs vtraque in 12. diuidatur: quod per illam diui$ionem facilius Dimen$iones perficiantur, vt $uo loco pate- bit. Magis tamen probarem, $i vtrumque vmbræ latus in 100. partes $ecare- tur, $i id magnitudo in$trumenti commode permittit) propo$itumque $it, quot partes decimas contineat particula D C, partis quintæ. Beneficio circini $um- pta pa<007>ticula D C, decupletur ab A, v$que ad E. Et quoniamin A E, continen- tur $ex partes totius lineæ A B, continebit propterea particula D C. {6/10}. vnius partis decimæ, hoce$t, {6/100}. totius lineæ. Ita vt $irecta A B, diui$a cogitetur in 100. partes, tribuendo $ingulis decimis partibus denas particulas, $egmentum A C, comprehendat {46/100}. Quia vero vltra {6/10}. $upere$t adhuc particula F E, vnius decimæ, $i ea rur$um decupletur ab A, v$que ad G, reperientur in A G, octo partes totius lineæ A B. Continet ergo particula F E, {8/10}. vnius decimæ, hoc e$t, propo$ita particula D C, vltra {6/10}. vnius partis rectæ A B, continet in $uper {8/10}, vnius decimæ, (vnius inquam decimæ ex illis {6/10}. quas in particula D C, diximus comprehendi) nimirum {8/100}. vnius partis. $i $ingulæ partes deci- mærectæ A B, diui$æ e$$ent in 100. particulas; atque adeo, $i recta A B, $ecta intelligatur in 1000. partes, tribuendo $ingulis decimis partibus centenas par- ticulas $egmentum A C, complectetur {468/1000}. quippe cum in A D, continean- [073]LIBER PRIMVS. @ur {400/1000}. Et in D C, {68/100}. vnius partis rectæ AB, $iue {63/1000}. totius lineæ AB; cum quælibet cente$ima particula vnius partis decimæ $it {1/1000}. Atque in hunc mo- dum progredilicebit ad decimas vnius decimæ ex illis {6/10}. quæin particula DC, continentur. nimirum ad fractionem à 10000. denominatam, &c. $ed $atis mi- hi videtur ad partes mille$imas peruenire.

DEMONSTRATIO hic eadem e$t, quæin gradibus, ac Minutis. Eandem enim proportionem habet recta 10. partium ad 1. partem, quamrecta A E, ad particulam D C, cum vtrobique proportio $it decupla, ideoque permutando erit vt recta 10. partium ad rectam A E, ita 1. pars ad particulam D C. Quamo- brem $icut in A E, continentur {6/10}. rectæ A B, decem partium, & in$uper par- ticula F E, re$pectu vnius partis lineæ A B, decem partium, ita quoque in par- ticula data D C, continebuntur {6/10}. vnius partis, & in$uper talis particula re- $pectu vnius decimæ qualis e$t F E, re$pectu vnius partis lineæ A B, decem par- tium, &c.

ITAQVE, vt vides, duabus operationibus ad mille$imas partes perueni- _Denominatio_ _facil{is} fractio-_ _num mille$i_. _marum_. tur, ac $i latus totum A B, in 1000. partes $ectum e$$et, quod con$ideratione dignum e$t. Et duo quidem numeratores decimarum eo crdine po$iti, quo inuenti $unt, dant Numeratorem cente$imarum: cui $i præponatur ad $ini$tram numerus integrarum partium ante datam particulam exi$tentium, conflabitur Numerator mille$imarum. Vt in $uperiori exemplo, quia ante datam parti- culam D C, reperiuntur 4. partes, inuentæque $unt {6/10}. & {8/10}. erit tota fra ctio {468/1000}. Sic $i inuentæ e$$ent pro aliqua particula in octaua parte, {7/10}. {0/10}. con$ti- tueretur fractio {870/1000}. Item $i in tertia parte inuentæ e$$ent {0/10}. {7/10}. fieret fractio {307/1000}. & $ic de cæteris. Quod $irecta A B, id e$t, latus vtriu$que vmbræ diui- deretur in 100. partes, reperientur partes mille$imæ vnica operatione; $i nimi- rum particula data in vna cente$ima decuplaretur: quia tunc intelligerentur $in- gulæ cente$im{ae} in denas particulas $ub diui$æ. Sed quia particula data in cen- te$ima aliqua parte perparua e$t, vt vix circino capi po$sit, accipiemus eam cũ vna cente$ima, vel duabus, & ex decuplo abijciemus 10. vel 20. cente$imas, vt reliqu{ae} cente$imæ exhibeant decimas vnius cente$im{ae}. Eadem ratione, quan- do data particula in linea 10. partium e$t perpu$<007>lla accipienda erit reliqua parti- cula maior decies. Nam reliqua pars rect{ae} AB, à B, v$que ad finem illius par- ticul{ae} decupl{ae} dabit numerum decimarum in propo$ita minore particula, &c. Hac ratione, $i particulam CH, decuples, in cides in punctum K Ergo $egm\~e- tum B K, dabit {6/10}. & in$uper particulam DK, vt $upra; cum DK, particul{ae} FE, $it {ae}qualis. Ratio huius reie$t, quod amb{ae} particul{ae} DC, CH, decuplat{ae} con- ficere debeanttotam A B, vt con$tat.

AD Maiorem quo que commo ditatem pro inue$tigandis partibus decimis, hoc e$t, pro decuplanda particula propo$ita, con$trui poterit circinus dupli- cis apertur{ae}, in quo $cilicet crura producta $e mutuo inter$ecent, at que vna a- pertura alterius $it $emper decupla, in$tar circini, quo linea duas in partes {ae}qua- les diuidi $olet. Ita enim fiet, vt accepta per minorem aperturam particula ab- $ci$$a, particula maior exhibeat eam particulam decies $umptam, vt non opus $it toties circinum circumducere: qua quidem in re facile error committi pote$t, quiillo circino, $i recte fabricatus $it, facilius vitatur. Sed $ine hoc circino, idem fieri pote$t per in$trumentum partium, quod capite pr{ae}ceden- ti con$truximus. Nam $i particula data circino capiatur, & $umma d<007>ligentia ei [074]GEOMETR. PRACT. $umatur in in$trumento interuallum inter 10. & 10. æquale, erit interuallum in- ter 100. & 100. datæ particulæ decuplum.

15. IAM vero $i vici$sim ex qualibet parte rectæ A B, auferendæ $int quot- _Quo modo ex_ _data linea au-_ _ferendæ $int_ _quotcunque_ _part{es} decim æ_ _velaliæ part{es}_. cunque decimæ partes vnius, diuidendum erit $egmentum continens numerum partium decimarum in 10. pattes æquales. Nam vna pars decima huius $egmen- ti continebit decimas partes quæ$itas. Vt $i cupiat quis {7/10}, diuidendum erit $egmentum rectæ A B, includens 7. partes, in 10. particulas. Quælibet namq; harum comprehendet {7/10}. vnius partis rectæ A B. Eademq; ratio e$t de cæteris. Sed commodius hunc v$um nobis præ$tabit in$trumentum partium $upra con- $tructum. Eius enim beneficio ex quauis recta ab$cindemus non $olum quot- cunque decimas, $ed etiam cente$imas, decimas nonas, nonage$imas octauas, & $ic deinceps, v$que ad dimidiatam partem. Nam $i velimus {3/100}. alicuius lineæ, capiemus ei lineæ interuallum inter 100. & 100. æquale. Circinus nam- que exten$us inter 3. & 3. dabit {3/100}. quæ$itas. Ita quo que circini pedes inter 50. & 50. dabunt {50/100}. id e$t, {1/2}. Rur$us pedes circini inter 20, & 20. dabunt {20/100}. hoc e$t, {1/5}. & $ic de cæteris, vt fu$ius in v$u prædicti in$trumenti partium cap. 1. expo$uimus.

PROBLEMATA VARIA TRIANGV- lorum rectilineorum. CAPVT III.

TERTIO loco præmi$$uros nos polliciti $umus varia problema- ta triangulorum rectilineorum, vt & latera eorum atque anguli ex quibu$dam datis, & cognitis promptè, atque expeditè, cum id res po$tulauerit, po$sint erui: quod hoc tertio capite exequemur. Prioriautem loco de triangulis rectangulis: po$teriori vero de ob- liquangulis agemus. In margine porrò ad$crip$imus propo$itiones no$tri tractatus triangulorum rectilineorum, in Theodo$io no$tro editi, in quibus problemata hæc demon$trantur, vt $tudio$i intelligant, vnde eorum demon- $trationes, quando libuerit, petere debeant.

TRIANGVLORVM RECTILINEORVM RECTAN- gulorum problemata. I. PROPORTIONES LATERVM

Ex datis omnibus angulis cuiu$uis trianguli patefacere.

1. Triang. re- ctil.

Singul{is} laterib{us} ad$cribantur $in{us} angulorum oppo$itorum. Latera enim ea$- dem proportion{es} habent, quæ inter $in{us} angulorum laterib{us} oppo$itorum reperiuntur.

[075]LIBER PRIMVS. II. LATVS.

Ex ba$e, & alterutro angulorum acutorum, ac proinde & altero, notum efficere.

Vt $in{us} \\ tot{us} # ad ba$em # Ita $in{us} anguli lateriquæ- \\ $ito oppo$iti # ad lat{us} quæ$itum in par- \\ tib{us} ba$is. 2. Triang. rectil. III. LATVS.

Ex ba$e, & altero latere cogno$cere.

Vt ba$is # ad $inum totum # ita datum lat{us}. # ad $inum anguli dato late- \\ ri oppo$iti. 3. Triang. rectil.

Deinde, $umpto complemento anguli inuenti pro reliquo angulo.

Vt $in{us} \\ tot{us} # ad ba$em # Ita $in{us} anguli, qui la- \\ teri quæ$ito opponi- \\ tur, # Adlat{us} quæ$itum in par- \\ tib{us} ba$is, & alteri{us} \\ later{is}. IIII. LATVS.

Ex altero latere, & alterutro angulo acuto, ac proinde & altero, eruere.

Vt $in{us} \\ tot{us} # ad lat{us} \\ datum. # Ita tangens anguli quæ$ito \\ lateri oppo$iti # Ad lat{us} quæ$itum in par- \\ tib{us} dati later{is}. 2. Triang. rectil. #### _Vel_ ## Vt $in{us} anguli dato \\ lateri oppo$iti. # ad lat{us} \\ datum. # Ita $in{us} alteri{us} \\ anguli # ad lat{us} quæ$itum in par. \\ tib{us} dati later{is}. 2. Triang. rectil. V. BASEM.

Ex vno latere, & vno angulo acuto, ac proinde & altero, inue$tigare.

Vt $in{us} \\ tot{us} # ad lat{us} \\ datum: # Ita $ecans angulo dato late- \\ ri adiacent{is}. # Ad ba$em in partib{us} la- \\ r{is} dati. 2. Triang. rectil. #### Vel ## Vt $in{us} anguli dato la- \\ teri oppo$iti # ad $inum to- \\ tum # Ita lat{us} da- \\ tum # ad ba$em in partib{us} \\ later{is} dati. 2. Triang. rectil. VI. BASEM.

Ex vtro que latere per$crutari, vna cum angulis acutis.

Vilat{us} alterutrum \\ datum # ad $inum \\ totum: # Ita alterum \\ lat{us} datum # ad tangentem anguli huic \\ alteri lateri oppo$iti. 3. Triang. rectil.

Deinde, $umpto complemento anguli inuenti pro reliquo angulo.

Vt $in{us} \\ tot{us} # ad lat{us} alteru- \\ trum datum: # ita $ecans anguli acce- \\ pto lateri adiacent{is} # ad ba$em in partib{us} \\ later{is} dati. [076]GEOMETR. PRACT. VII. ANGVLVM.

Ex ba$e, & vno latere inquirere.

Vt ba$is # ad $inum to- \\ tum # ita lat{us} da- \\ tum # ad $inum anguli dato lateri oppo- \\ $iti 3. Triang. rectil.

Complementum anguli inuenti dabit alterum angulum.

VIII. ANGVLVM.

Ex vtro que latere reddere cognitum.

Vt lat{us} alte- \\ rutrum # ad $inum \\ totum: # ita alterum la- \\ t{us} datum # ad tangentem anguli huic al- \\ teri laterioppo$iti. 3. Triang. rectil.

Complementum anguli inuenti dabit alterum angulum.

TRIANGVLORVM RECTILINEO- rum obliquangulorum Problemata. IX. SEGMENTA LATERIS A Perpendiculari facta.

Ex datis tribus lateribus cogno$cere.

Vt lat{us}, in quod \\ cadit perpen- \\ dicular{is} # ad $ummam alio- \\ rum duorum la- \\ terum # ita different<007>a \\ eorund\~e duo- \\ rum laterum # ad quartum quen- \\ dam numerum. 9. Triang. rectil.

Et $i quidem quartus numerus inuentus minor fuerit latere, in quod cadit perpendicularis, auferendus is erit exillo latere. Semi$sis enim reliqui numeri dabit minus $egmentum, quod ex toto latere $ubductum relinquet $egmentum maius.

Si verò quartus numerus inuentus maior fuerit latere, in quod cadit perpen- dicularis, auferendum erit hoc latus ex illo numero. Semi$sis enim reliqui nu- meri dabit $egmentum minus, exterius videlicet inter perpendicularem, & an- gulum obtu$um: quod additum eidem lateri conflabit aliud $egmentum maius inter perpendicularem, & angulum acutum.

X. LATERA DVO.

Ex tertio latere, & duobus quibu$uis angulis, ac proinde omnibus tribus, cumtertius $it aliorum complementum ad $emicirculum, hoc e$t, ad grad. 180. inuenire.

1. Vt $in{us} an- \\ guli dato la- \\ teri oppo$iti # ad lat{us} da- \\ tuns: # ita $in{us} alteru- \\ tri{us} reliquorũ \\ angulorum # ad lat{us} huic langulo \\ oppo$itum. 10. Triang. rectil. Rur$us Vt $in{us} anguli dato \\ laterioppo$iti # ad lat{us} da- \\ tum: # ita $in{us} tertii \\ anguli # ad lat{us} huic tertio an- \\ gulo oppo$itum. 1. Triang. rectil.

2. IN I$o$cele vnius tantum lateris inuentione opus e$t, cum vnum datum [077]LIBER PRIMVS. $it cum angulis. In æquilatero vero triangulo, $i vnumlatus datum $it, erunt & reliquailli æqualia, data.

XI. LATVS.

Ex duobus reliquis lateribus, & duobus quibu$uis angulis, ac proinde o- mnibus tribus, cum tertius $it aliorum complementum ad $emicirculum, id e$t, ad grad. 180. addi$cere.

Vt $in{us} angul<007> alteru- \\ tr<007> lateri dato oppo- \\ $iti # ad lat{us} oppo- \\ $itum da@um: # ita $in{us} anguli \\ quæ$ito lateri \\ oppo$iti # ad lat{us} quæ$i- \\ tum. 10. Triang. rectil. XII. LATVS.

Ex duobus lateribus, & angulo ab ip$is comprehen$o colligere.

1. Vt $in{us} \\ tot{us} # ad $ecantem complementi ar- \\ c{us}, qui $emi$$i aggregati da- \\ torum laterum ad $in{us} re- \\ uocatorum, vt $inui, debe- \\ tur: # Ita differentia in- \\ ter eam $emi$- \\ $em, & alteru- \\ trum datorum \\ laterum ad $in{us} \\ reuocatorum. # ad quar- \\ tũ quen \\ dam nu- \\ merum. Problema 17. triang. $phæric.

Latera data ad $inus reuo cabuntur, $i vtrumq; multiplicetur per 10. vel 100. vel 1000. &c. ita vt maioris lateris numerus habeat tot figuras, quot continen- tur in maioribus $inubus tabulæ $inuum, nimirum 5. $i $inus totus $tatuatur 100000. vel 7. $i $inus totus ponatur 10000000.

Deinde. Vt $in{us} \\ tot{us} # ad tangentem $emi$$is arc{us}, \\ qui d{et}racto dato angulo ex \\ $emicirculo relinquitur: # ita quart{us} \\ numer{us} \\ inuent{us} # ad tangentem diffe- \\ rent<007>æ inter $em {$s}\~e \\ eiu$dem arc{us}, & \\ alterutrum angulo- \\ rum non datorum. Hæc autem tangens hoc etiam modo inuenietur, qui priori præferendus videtur. 2. Vt $emi$- \\ $is aggre- \\ gat<007> duo- \\ rum late- \\ rum da- \\ torum. # ad tangentem $e- \\ m<007>$$is arc{us}, qui \\ detracto dato an \\ gulo ex $emic<007>r- \\ culo rel<007>nquitur. # ita differentia in- \\ ter $emi$$em ag- \\ gregati duorum \\ datorum laterũ, \\ & vtruml<007>b{et} \\ laterum # ad tangentem diffe- \\ rentiæ inter $emi$@ \\ $em arc{us} prædi- \\ cti, & alterutrum \\ argulorum non \\ datorum. Alio modo qui priori præferendus videtur.

Arcus huius tangentis inuentæ additus ad $emi$$em eiu$dem arcus (e$t au- tem hic arcus $umma duorum angulorum non datorum, nimirum dati anguli complementum ad $emicir culum, hoc e$t, ad grad. 180.) dabit ma@orem angu- lum non datum, qui videlicet maiorilateri dato opponitur: ex eadem verò $e- mi$$e detractus reliquum faciet minorem angulum non datum, quinimirum lateri minori dato opponitur.

Po$t hæc. [078]GEOMETR. PRACT. Vt $in{us} vtriu$l@bet \\ anguli inuenti # ad lat{us} oppo- \\ $itum: # ita angul{us} \\ dat{us} # ad lat{us} oppo$itum quod \\ quæritur. 1. Triang. rectil.

Itaque antequam tertium latus inueniatur, di$quirendi prius $unt reliqui duo anguli: qui commodius videntur po$teriori via Num. 2. exp o$ita indagari, quam priori illa ratione Num. 1 explicata.

3. Siduo latera $int æqualia; erunt reliqui duo anguli æquales. Semi$sis @5. _primi._ ergo arcus, qui detracto angulo dato ex $emicirculo relinquitur, dabit vtrum- que, &c.

XIII. LATVS.

Ex duobus lareribus, & angulo vni eorum oppo$ito ($i modo con$tet $pe- cies anguli alteri lateri dato oppo$iti, quando datus angulus acutus e$t) ex- quirere.

1. Vt lat{us} datum \\ dato angulo oppo- \\ $itum # ad $inum angu- \\ l<007> dati: # ita alterum lat{us} \\ datum, # ad $inum anguli \\ huic alteri late- \\ rioppo$iti. 13. triang. rectil.

Hic $inus inuentus dabit angulum alteri dato lateri oppo$itum, $i acutus fuerit: (erit autem $emper acutus, quando datus angulus e$t obtu$us) $i verò fuerit obtu$us, arcus $inus inuenti ex $emicirculo demptus, reliquum faciet eum angulum: Propterea quando datus angulus e$t acutus, oportet dari huius al- terius $peciem, vt $ciamus, num acutus $it, vel obtu$us. Summa autem horum angulorum ex $emicirculo $ubtracta relinquet tertium angulum quæ$ito lateri oppo$itum. Ergo.

Vt $in{us} dati \\ anguli # ad datum lat{us} \\ ei oppo$itum; # ita $in{us} tertii anguli inuenti \\ quæ$ito lateri oppo$iti. # ad lat{us} quæ- \\ $itum. 1. triang. rectil.

2. Si duo latera data $int æqualia: erit angulus alteri dato lateri oppo$itus, @5. _rimi._ dato angulo æqual<007>s.

XIIII. ANGVLOS DVOS.

Ex duobus lateribus, & angulo ab ip$is comprehen$o, reperire.

Inuenientur ex i{is}, quæ data $unt, duo anguli, vt in priori parte problem at{is} 12. di- ctum e$t: $i nimirum inquiratur tangens d<007>fferentiæ inter $emi$$em arc{us}, qui detracto angulo dato ex $emicirculo relinquitur, & alterutrum angulorum, qui quæruntur, &c. quæ quidem tangens duob{us} mod{is} inuenta est in priori parte problemat{is} 12. in quo la- t{us} proponitur <007>nue$tigandum ex duob{us} laterib{us}, & angulo ab ip$is comprehen$o. Quod vt fier{et}, inuenti pri{us} fuerunt alii duo anguli, qui in hoc problemate 14. quæ- runtur.

XV. ANGVLOS DVOS.

Ex duobus lateribus, & angulo vni eorum oppo$ito ($i modo con$tet $pe- cies anguli alteri lateri dato oppo$iti, quando datus angulus acutus e$t) ex- pi$cari.

Hic {et}iam adhibenda e$t prior operatio problemat{is} 13. in quo lat{us} opponitur inqui- rendum ex ii$dem dat{is}: quod vt fier{et}, inuenti pri{us} fuererel<007>qui duo anguli, qui in hoc problemate 15. indagandi proponuntur.

[079]LIBER PRIMVS. XVI. ANGVLOS OMNES TRES. Ex tribus omnibus lateribus perue$tigare.

1. Ducta ad maximum lat{us} perpendiculari ex angulo oppo$ito (vt ni@irum per- 11. triang. rectil. pendicular{is} $emper intratriangulum cadat) inueniantur per problema 9. $egmenta duo @aximi later{is} facta à perpendiculari. Deinde.

Vt minimum \\ lat{us} # ad $inum \\ totum: # ita min{us} $egmen- \\ tum maximi late- \\ r{is} # ad $inum complementi \\ anguli medi@ lateri \\ oppo$iti. Rur$us. 1. triang. rectil. Vt me- \\ dium \\ lat{us} # ad $inum \\ totum: # ita mai{us} $egmen- \\ tum maximi la- \\ ter{is} # ad $inum complementi angu- \\ li med<007>o lateri oppo$iti. 1. triang. rectil.

Inuentis duobus angulis ad maximum latus, qui medio lateri, & minimo opponuntur; $i eorum $umma ex $emicirculo dematur, reliquus fiet tertius an- gulus lateri maximo oppo$itus.

2. In I$o$cele, ducta perpendiculari ad ba$em , quam bifariam $ecabit,

Schol. 26. lib. 1. Eucl. Vt alterum \\ laterum æ- \\ qual<007>um # ad $inum \\ totum: # ita $emi$$is \\ ba$is # ad $inum complementi vni{us} \\ angulorum æqualium ad ba- \\ $em.

Summa duorum angulorum æqualium inuentorum ex $emicirculo detra- cta, reliquum faciet tertium angulum.

3. IN æquilatero triangulo dabuntur anguli, etiam$i latera non dentur, eum quilibet gradus 60. tertiam videlicet partem duorum rectorum, vel duas tertias partes vnius recti, complectatur.

XVII. PERPENDICVLAREM IN LATVS quodcunque ex angulo oppo$ito cadentem. Ex tribus omnibus lateribus efficere notam.

Per problema 9. inquirantur $egmenta later{is} facta à perpend<007>culari. Deinde diffe- rentia inter vtrumu{is} $egmentum, & lat{us} adiacens ducatur in $ummam eiu$dem $eg- menti, & later{is} adiacent{is}. Radix namque quadrata numeriproducti perpendicula- rem quæ$itam indicabit.

In triangulo enim A B C, $it A B, 10. A C, 17. & B C, 21. inue$tiganda{\’que} $it perpen- dicular{is} A D. Per problema 9. reperi{et}ur $egmen- tum B D, 6. & C D, 15. D<007>fferentia inter B D, & A B, e$t 4. quæducta in 16. $ummam rectarum B D & A B, faci{et} 64. cui{us} rad<007>x quadrata 8. d{at} perpend<007>cularem A D. Quod quia in no$tro tra- ctat{is} triangulorum rectil<007>neorum demon$tratum non est, demon$tro hoc propo$ito Theoremate.

[080]GEOMETR. PRACT. LIB. I.

IN triangulo rectangulo rectangulum $ub dif- _Theorema._ ferentia ba$is, & alterutrius lateris circa rectum angulum, & $ub $umma ba$is, & eiu$dem lateris, æquale e$t quadrato alterius lateris circa angulum rectum.

Nam in triangulo rectangulo A B D, cui{us} angul{us} D, rect{us}, $iex B, per D, $em<007>circul{us} de$cr<007>batur E F D, erit A E, differentia inter ba$em A B, & lat{us} B D: At A F, $umma erit ba$is A B, & eiu$dem lateris B D, cum B D, B E, B F, rectæ $int æqual{es}. Dico igitur rectang ulum $ub A E, A F, æquale e$$e quadrato later{is} A D. Recta enim A D, cum perpend<007>cu- lar{is} $it ad $emidiam{et}rum B D, $emicirculum tang{et} in D. lgitur rectan- Coroll. 16. ter. gulum $ub A E, A F, quadrato tangent{is} A D, æquale erit, quod erat demon$trandum.

36. ter. FINIS LIBRI PRIMI. [081] GEOMETRIÆ PRACTICÆ LIBER SECVNDVS.

Linearum rectarum per Quadrantem A$trono- micum Dimen$ionem explicans.

_N_OMINE linearum rectarum intelligim{us} di$tanti{as} loc@- rum, $eu interualla, longitudine$ue_:_ altitudines turrium, ædificiorum, arborum, & montium_:_ ac po$tremo profun- ditates puteorum, vallium, atque fo$$arum. Ad harum Di- men$iones varii varia adhibent in$trumenta; quibu$dam enim placet $cala altimetra in dor$o A$trolabii, $eu plani- $phærii de$cripta. Ali{is} radi{us} A$tronomic{us} Gemmæ Fri$ii, vel radi{us} dict{us} Latin{us}, qu@d à Domino Latino Vr$ino nobili Romano excogitat{us} $it_;_ vel bacul{us} Iacob: Ali{is} annul{us} A$tronomic{us}, vel Holometrum_;_ Ali{is} deniq{ue} alia in$trumenta arrident. Mihi vero præ cæter{is} probatur Quadrans A$tro- nomic{us} in 90. grad{us} di$tribut{us}_:_ & Quadratum Geometricum tum $tabile, tum pendulum, cui{us} duo latera in cert{as} qua$dam partes æquales $int diui$a. Hoc autem 2. lib. qua ratione per Quadrantem A$tronomicum Dimen$io linearum rectarum perficiatur, docebim{us}. Quæ ratio vt intelligatur, in promptu, & ad manum e$$e debent tabulæ $inuum, Tangentium, atque $ecan- tium in no$tro Theodo$io, & in aliorum auctorum libr{is} de$cripræ, vnde peten- dæ erunt. Superuacaneum enim e$$e duxim{us}, ea$dem hic repetere, ne op{us} in maiorem formam excre$cat.

DISTANTIAM in plano, $iue acce$$ibilis ea $it, $iue inacce$$ibilis per duas $tationes in eodem plano factas per Quadrantem metiri, quando in eius extremo erecta e$t altitudo aliqua perpendicularis, etiam$i infimum eius extremum non cernatur. Atque hinc altitudi- nem quoque ip$am el<007>cere.

[082]GEOMETR. PRACT. PROBLEMA I.

SIT di$tantia $iue longitu- do inue$tiganda A B, in plano C B, erectaque $it in extremo B, altitudo quæ- piam perpendicularis B G, licet extremum B, non ap- pareat. Statura men$oris $it D A, ab oculo ad pedes v$que. Neautem hæc $ta- tura mutetur, $ed eadem $emper maneat, recte fe- ceris, $i pro ea $tatura ba- culum eidem æqualem ac- cipias, ad cuius extremum oculum applices. Ducta autem cogitatione per D, ip$i C B, parallela E F, fiat prima $tatio in D, Secunda verò in E, puncto remotiore: $itquerecta D E, quæ _Differentia_ _$tationum_. differentia $tationum dicitur, nota $ecundum aliquam men$uram vulgarem. Deinde dirigatur latus quadrantis H K, in quo $unt pinnacidia, ver$us fa$ti- gium G, ita vt oculus in D, po$itus per vtriu$que pinnacidij foramina, fafti- gium G videat, libere pendente perpendiculo H I: diligenterque per ea, quæ cap. 2. libr. 1. Num. 7. & 10. tradita $unt, notetur in gradibus, ac minu- tis angulus G D F, quem arcus I L, in Quadrante manife$tabit, complemen- tum videlicet arcus I K, Cum enim filum perpendiculi H I, $it ad D F, rectum, erit angulus G D F, complementum anguli D H I, {ae}qualis nimirum angulo I H L, qui eiu$dem anguli D H I, complementum etiam e$t. Atque hunc an- gulum G D F, angulum ob$eruationis dicemus. Eodem modo ob$eruetur in _Angul{us} ob-_ _$eruation{is}_. $ecunda $tatione angulus G E F, per radium vi$ualem ab oculo, & per pinna- cidia Quadrantis ad fa$tigium G, directum. Sumptis autem E M, D N, æquali- bus, erigantur perpendiculares M N, N O, (in figura conincidit M H, cum fi- lo perpendiculi; quod nihil refert.) Si igitur E M, D N, $tatuantur $inus to- ti, erunt M H, N O, Tangentes angulorum ob$eruationum E, & D. Ducta quoque D Q, ip$i E G, parallela $ecante N O, in P, erit angulus N D P, an- 29. _primi_. gulo E, æqualis. Cum ergo duo anguli N. D, trianguli N D P, duobus angu- lis M, E, trianguli M E H, $int æquales, (e$t enim & rectus N, recto M, æqua- lis) lateraque D N, E M, quibus adiacent, æqualia; erunt latera N P, M H; 26. _primi_. æqualia: ac proinde O P, differentia erit inter Tangentes angulorum ob$er- uationum. Quia verò e$t, vt O P, ad P N, ita G Q, ad Q F: Et vt G Q, _Schol._ 4. _lib._ 6. ad Q F, ita E D, ad D F; erit quo que vt O P, differentia Tangentium angulis ob$eruationum re$pondentium ad P N, $iue ad H M, Tangentem remotioris 2. _$ext_. $tationis, ita E D, differentia $tationum ad D F, di$tantiam quæ$itam. Quo- cir ca $i fiat,

Vt O P, differentia \\ inter Tangent{es} an- \\ gulorum ob$eruatio- \\ num. # ad P N, vel \\ H M, Tan- \\ gentem mi- \\ norem: # Ita E D, differentia \\ $tationum nota in \\ men$ura aliqua vul- \\ gari # ad aliud; \\ hoc e$t ad \\ D F, Di$tantiæ in- uentio per tangentes. [083]LIBER SECVNDVS.

prodibit di$tantia D F, quæ$ita, $iue A B, in eadem men$ura differentiæ $tatio- num: cui $i adij ciatur differentia $tationum E D, cognita etiam fiet di$tantia E F; vel C B, à remotiori $tatione.

ALITER

2. POSITO $inu toto G F, erit D F, Tangens anguli D G F, complementi anguli ob$eruationis G D F. quem angulum D G F, in dicat arcus Quadrantis IK, 29. _primi_. à perpendiculo ver$us oculum, cum angulus D H I, æqualis $it angulo D G F, externus interno. Eodem modo E F, Tangens erit anguli E G F, complementi alterius anguli ob$eruationis GEF. At ED, differentia inter eas Tangentes exi- $tet. Si igitur fiat,

vt E D, differentia \\ inter Tangent{es} \\ angulorũ, qui cõ- \\ plem\~eta $unt angu- \\ lorũ ob$eruationũ, # ad D F, Tangentem com- \\ plementi anguli ob$erua- \\ tion{is} G D F, in propin- \\ quiore $tatione, hoc e$t, ad \\ Tangentem minorem: # Ita E D, diffe- \\ rentia $tatio- \\ num nota in \\ aliqua men- \\ $ura vulgari. # ad aliud \\ hoc e$t, \\ ad DF, Di$tantiæ in- uentio alia per tangen- tes.

procreabitur di$tantia minor quæ$ita DF, vel A B, in eadem men$ura differentiæ $tationum: cui $i addatur differentia $tationum E D, nota quo que fiet di$tantia maior E F.

#### _3. Rur$us $i fiat,_ 4. _$exti_. Vt D N, $i- \\ n{us} tot{us} # ad N O, Tangentem anguli \\ G D F, in propinquiore $tatione: # Ita D F, di$tantia \\ inuenta minor # ad aliud, hoc \\ e$t, ad F G;

@ Inuenietur altitudo F G, in men$ura di$tantiæ inuentæ D F; minoris, cui $i ad- _Altitudin{is} in_ _uentio per tã-_ _gent{es}_. datur men$@ris $tatura F B, cognita erit tota altitudo B G. Item $i fiat,

Vt E M, $i- \\ n{us} tot{us} # ad M H, tangentem anguli G E F, \\ in remotiore $tatione: # ita E F, di$tantia \\ inuenta maior # ad aliud, hoc \\ est, ad FG, 4. _$exti_.

reperietur eadem altitudo F G, in men$ura di$tantiæ inuentæ E F, maioris, cui $i _Altitudin{is}_ _inuentio alia_ _per tangent{es}_. addatur $tatura men$oris FB, nota fiet tota altitudo B G.

ALITER

4. Si per $olos $inus idem expedire lubeat, erit operatio aliquando longior. Primum enim inuenienda e$t vtra que hypotenu$a E G, D G, in aliqua men$ura nota, hoc modo. Quoniam angulus G D F, æqualis e$t duobus angulis E, 32. _primi_. EGD: $i angulus E, in remotiore $tatione ob$eruatus dematur ex angulo GDF, in propinquiore $tatione deprehen$o, reliquus fiet angulus EGD, differentia ni- miruminter duosangulos ob$eruationum. Quod $i fiat,

10. _Triang_. _rectil_. Vt $in{us} anguli E G D, \\ differentiæ inter an- \\ gulos duos ob$eruatio- \\ num # ad E D dif- \\ ferentiam \\ $tationum \\ notam: # Ita $in{us} anguli D E G, \\ vel. Ita $in{us} anguli \\ E D G, cõplementian- \\ guli G D F, ad duos rectos, # ad D G, \\ vel \\ ad E G,

pro ducetur tam D G, quam E G, nota in partibus differentiæ $tationum. Igi- _Inuentio Hy-_ _potenu$arum_. tur $i fiat,

Vt $in{us} to- \\ t{us} anguli \\ recti F, # ad hypoten@- \\ $am D G, \\ proxime inuentam # Ita $in{us} anguli D G F, complementi anguli ob- \\ $eruation{is} in propinquiore $tatione # ad D F, 10. _triang re-_ _ctil_. [084]GEOMETR. PRACT.

nota fiet di$tantia D F, cui $i a dij ciatur differentia $tationum E D, cognita etiam _Di$tantiæ in-_ _@entio per $o-_ _los $in{us}_. erit longior di$tantia EF. quaminuenies quo que, $i fiat,

Vt $in{us} to- \\ t{us} anguli \\ rect<007> F, # ad hypotenu$am \\ E G, nuper inuen- \\ tam # Ita $in{us} anguli E G F, complemen- \\ ti anguli ob$eruation{is} in rem@- \\ tiore $tatione # ad E F. 10. _triang. re-_ _ctil_.

Altitudo autem F G, per $olos $inus inuenietur, $i fiat,

10. _triang_. _rectil_. _Altitudin{is} in_ _uentio per $o-_ _los $in{us}_. Vt $in{us} to- \\ t{us} anguli \\ recti F, # ad hypotenu$am EG, \\ vel ad hypotenu$am \\ D G: # Ita $in{us} anguli ε, ob$eruati \\ minor{is}, vel ita $in{us} anguli \\ G D F, ob$eruati maior{is} # ad F G, \\ ad F G.

5. PER Quadrantem $tabilem eo dem modo dimen$io fit: $olum anguli ob- $eruationum in duabus $tationibus hac ra- tione inue$tigantur. Collocato Quadran- te $upra ba$em aliquam planam Horizonti æquidi$tãtem, ita vtrectus $it ad Horizon- tem; quod beneficio alicuius perpendiculi efficies. Collocato, inquam, hoc modo Quadrante eleua dioptram, donec per fo- ramina pinnacidiorum fa$tigiũ G, videas. Ita enim in propinquiore $tatione D, angulus ob$eruationis erit GDF; In remo- tiore vero GEF. Vtrumque autem metietur arcus Quadrantis inter rectam EF, & dioptræ lineam fiduciæ. Reliqua omnia fient, $icut in Quadrante pendulo, vt figura demon$trat. Solum ad altitudinem F G, inuentam adij cienda erit alti- tudo ba$is; cuiimpo$itus e$t Quadrans, non autem $tatura men$oris, ni$i altitu- dini ba$is $it æqualis.

6. IAM vero $ine numeris, id e$t, $ine multiplicatione ac diui$ione numero- _Problema hoc_ _1. quo pacto $i-_ _ne numer{is} ab_ _$olu@@ur_. rum omnia hæc explorari poterunt, (quod ijs, qui parum in numeris, & v$u $i- nuum, Tangentium, ac $ecantium exercitati $unt, pergratum fore non dubi- to.) hoc modo. In charta aliqua, vel plano con$truatur figura illi omnino $i- milis, quam ab oculo v$que ad altitudinem $upra concepimus e$$e con$tructã; quod ita fiet. Ex in$trumento partium cap. 1. $uperioris libri fabricato, vel ($i in$trumentum non ad$it) ex aliqua recta in particulas plurimas æquales diui$a capiantur circino tot particulæ æquales, quot palmi, vel pedes inter duas $tati- ones comprehenduntur; transferaturque interuallum illud circini in rectam quamcunque ex E, in D: atque in D, & E, omni adhibita diligentia, anguli ob- $eruatio<007> um GDF, GEF, primæ, & $ecundæ $tationis fiant: Punctumque G, in quo rectæ D G, E G, conueniunt, diligenter notetur, (Ne in hoc puncto erretur, propter obliquam $ectionem, docebimus in $equenti lemmate, quo pacto ex- qui$iti$sime deprehen di po$sit. Ni$i enim hoc fiat, m\~e$uræ nõ inueni\~etur accurate) ex quo perp \~edicu- laris demittatur G F Figura ita con$tructa, $i rectæ D F, EF, F G, D G, E G, per circinum tran$porten- tur in latus 100. partium prædicti in$trumenti, vel in dictam rectam in plurimas partes æquales diui$am, illico apparebit, quot parriculæ inter pedes circini [085]LIBER SECVNDVS. includantur. Atque tot palmos, aut pedes quælibet illarum rectarum comple- ctetur, quot particulæ in earum interuallis deprehen$æ fuerint.

ALITER

7. IDEM a$$equentur via quadam generali, quæ in omnes dimen$iones quadrat, videlicet. Fiat angulus quicunque B A C. Deinde $umpta verbigra- tia, in exemplum regula trium Num. 1. huius propo$itionis, accipiatur primæ quantitati O P, (hoc e$t, differentiæ Tangentium angulorum ob$eruatorum) æqualis; vel $i nimis parua e$t, multiplex A D. _Problema hoc_ _1. qua ratione_ _aliter $ine nu-_ _mer{is} ab$olua_ _tur_ (Nos duplam accepimus) Item $ecũ dæ P N, (hoc e$t, Tangenti minoris anguli) æqualis, vel {ae}que multiplex cum A D, nimirum D B. Po$t hæc ex in$trumento partium capiantur tot particul{ae} A E, quot palmi, aut pedes in ED, differentia $tationum continentur. Ducta autemrecta D E, agatur ei pa- rallela BC. Nam quot partes in$trumenti partium includetinteruallum EC, tot palmos, aut pedes di$tantia DF, complectetur; cum quatuor quantitates AD, 4. _Sexti_. DB, AE, EC, proportionales $int.

EODEM modo procedes in alijs exemplis, hoc ob$eruato, vt quando $inus alicuius anguli in regula trium reperitur, accipias ex tabula $inuum $inum, abie- ctis quinque figuris, vt$inus totus $it 100. Verbi gratia. In vltimo exemplo Num. 4. recta AD, $umenda e$$et æqualis 100. particulis in$trumenti partium, ni- mirum $inui tori. At D B, æqualis hypotenu${ae} E G, vel D G, in figura Num. 6. Et A E, $i angulus E, e$t grad. 30. Min. 15. æqualis 50 {4/10}. ferme particulis: quia tantus e$t $inus grad. 30. Min. 15. Vel $i angulus G D F, e$t grad. 53. Min. 20. ac- cipienda e$$et AE, æqualis particulis 80 {3/10}. fere. Ita enim interuallum E C, dabit tot palmos, aut pedes rect{ae} F G, quot particul{ae} in eo comprehenduntur, Et $ic de c{ae}teris.

QVANDO autem tota regula 100. partium e$t nimis longa, $umi pote$t pro $inu toto quoduis interuallum inter 100, & 100. dummodo re$pectu huius $i- nus totius accipiantur po$tea $inus, vt cap. 1. lib. 1. Num. 12. declarauimus.

POTERIS autem nonnunquam ordinemimmutare, ponendo nimirum $e- cundamquantitatem DB, in recta AC; & tertiam AE, in recta DB, prout videli- cetid expedire cognoueris ad parallelas DE, BC, ducendas.

LEMMA.

DATIS duabus rectis ad inuicem inclinatis, punctum, <007>n quo con- ueniant, inuenire.

QVOD hic proponitur, demon$tratum à nob{is} fuit l\~emate 13. l<007>b. 1. no$tri A$trolabij plu- rib{us} vi{is}. Sed quia ei{us} in$ign{is} e$t vtilit{as} in puncto concur${us} duarum rectarum exquiren- do demon$trabim{us} illud ip$um hoc loco paulo aliter. S<007>nt ergo duærectæ A B, C D, oblique $e in concur$u B, $ecant{es}. Ex quotl<007>- lib{et} punct{is} E, F, G, vtcunque in alte- [086]GEOMETR. PRACT. ra earum a$$umpt{is} de$cr<007>bantur ver${us} alteram ad quodcunque idem interuallum ar- c{us} H I, K L, M N, ex quib{us} arc{us} quadrante minor{es} ab$cindantur in 1, L N, punct{is}, per quæex centr{is} rectæ egrediantur @ $ecant{es} C D, in O, P, Q. Sumpt{is} deinde in E I, pro- ducta ip$i E O, tot partib{us} æqualib{us} v$que ad R, quot $at{is} e$$e videbuntur, vt recta ex R, ver${us} concur$um ducta non valde obl<007>que ip${as} rect{as} $ec{et}, accipiantur in F L, G N, product{is} totidem part{es} ip$is F P, P Q, æqual{es} v$que ad S, T. Dico tam rectam R S, quam RT, & quam ST, in punctum B, concur${us} cadere, ita vt puncta R, S, T, B, in vna recta linea iaceant. Quoniam enim anguli E, F, G, æqual{es} $unt, eruntrectæ E R, F S, 27. Tertij. GT, parallelæ. Cum ergo ER, FS, GT, ea$dem proportion{es} habeant, qu{as} EO, FEP, G Q, 28. Primi hoc e$te EB, FB, GB, habent, cadentrectæ RS, RT, ST, in punctum B, quod e$t propo- 15. Quinti $itum.

4. Sexti & permutãdo.

HOC ergo lemma $i adhibeatur, $at{is} exqui$itè in $uperiore figura Num. 6. punctum concur${us} G, deprehendetur, proindeque men$ura rectarum, qu{as} $ine numer{is} inuenire $chol. 4. $ex ti. docuim{us}, non multum à vero aberunt.

8. VERVM commode obliquam illam $ectionem in concur$u G, vitabim{us}, $i figu- Quo pacto infig. Num. 6. obliqua $e- ctio in pun- cto concur- $us G, vite- tur. ram hoc alio modo con$truem{us}, Fiat in figura Num. 6, angul{us} rect{us} EFG, & in quoli- b{et} puncto G, vbi concur$um e$$e volum{us}, con$tituantur anguli F G D, F G E, aqual{es} complement{is} angulorum ob$eruationum. Ita enim DE, re$pondebit differentiæ $tatio- num, & c. Quocirca $i cogitetur DE, $ectain tot part{es} æqual{es}, quod palmi, vel ped{es} in differentia $tationum fuerunt a$$umpti, cogno$cem{us} per ea, quæ ad finem Num. 1. cap. 1. lib. 1. docuim{us}, quot ex ijs partib{us} in di$tantijs DF, EF, & in altitud<007>ne F G, at que hy- potenu$is GD, GE, comprehendantur. Atque hoc modo punctum concur${us} G, dubium aut incertum e$$e non pote$t, cum illud ante omnia elegerim{us}.

SCHOLIVM.

Vt etiam pro tyronibus $emel explicemus, quid per no$trum loquendimo- dum intelligamus, cum dicimus verbi gratia, Num. 1. huius problematis, Fiat.

Vt O P, d<007>fferentia inter \\ tangent{es} angulorum \\ ob$eruationum # ad P N, vel H M, \\ Tangentem mino- \\ rem. # It a E D, diffe- \\ rentia $tatio- \\ num # ad D F:

Sciendum e$t, nos hoc modo redigere opus ad termino s regulæ trium. Qua propter $i iuxta tenorem regulæ numerus in tertio loco po$itus ducatur in eum, qui $ecundum locum occupat, hoce$t, differentia $tationum in propo$ito e- xemplo multip licetur per Tangentem minorem, productu$que numerus per eum, qui in primo loco collocatur, id e$t, per differentiam Tangentium, diui- datur: (ni$i quando primus numerus e$t $inus totus Tunc enim diui$io non fit, _Altitudin{is}_ _inuentio per_ _vnicam $tatio_ _nem, quando_ _di$tantia nota_ _e$t._ $ed ex producto quinque figuræ abijciuntur, vel $eptem, prout $inus totus $ta- tuitur 100.000. vel 10,000.000.) pro creabitur in quotiente quartus numerus, qui quæritur, nimirum di$tantia D F. Eademque e$t ratio de cæteris.

COROLLARIVM I.

ITAQVE quando di$tantia à loco men$oris v$que ad altitudinem ignotam cognita e$t, inuenietur altitudo per vnicam $tationem. Sifiat.

Vt $in{us} \\ tot{us} # ad Tangentem anguli \\ ob$eruation{is}: # Ita di$tantia \\ nota # ad altitudinem. 4. _Triang._ _rectil._

Hoc enim demon$tratum e$t Num. 3. huius problematis 1. tam per angulum ob- [087]LIBER SECVNDVS. $eruationis GDF, & di$tantiam DF, quam per angulum ob$eruationis GEF, & di$tantiam EF. Vtroque enim modo inuenta e$t altitudo GF.

COROLLARIVM II.

PERSPICVVM etiam e$t, $i G, $it cacumen alicuius montis, nos per hoc _Altitudo mõ-_ _t{is} quo pacto_ _inue$tigetur._ problema 1. eius altitudinem po$$e metiri per duas $tationes D, E, in plano fa- ctas: $i nimirum prius inue$tigetur recta D F, vel E F, ab oculo men$oris v$que ad perpendicularem GF, quæ à cacumine G, in planum Horizontis cadit, etiã$i eius extremum F, non videamus.

ALTITVDINEM inacce$$ibilem, quando di$tantia à loco m\~e- $oris ad ba$em altitudinis ignota e$t, per duas $tationes in plano factas, per quadrantem dimetiri. Atque hinc di$tantiam quoque ip$am erue- re, etiam $i extremus eius terminus non cernatur.

PROBLEMA II.

1. SIT inquirenda altitudo AB, $iue ea turris $it, $iue mons, $iue aliquid ali- ud, licetnon cernatur eius perpendiculi infimus terminus B, vt in omni monte contingit: planum autem, cui perpendicularis e$t altitudo, $it CB. Statura m\~e- $oris D E. Ducta autem cogitatione per E, ip$i CB, parallela GF, fiat prima $ta- tio in D, propinquior, $ecunda vero in G, remotior, vt differentia $tationum $it GE. Deinde per radios vi$uales EA, GA, ad verticem A, directos diligenter ob- $eruentur anguli AEF, AGF, $iue per quadrantem pendulum, vt Num. 1. pro- blematis præcedentis do cuimus, $iue per $tabilem, vt Num. 5. eiu$dem proble- matis præcepimus. Eodem enim $emper modo dicti anguli ob$eruantur, quan- do è loco inferiori altitu dinis fa$tigium in$picitur. Cogitetur quo que ducta HI, ip$i G F, parallela, vt demi$$æ perpendiculares H L, I K, in _34. prim._ parallelogrammo LI, $int æquales, pro $inubus totis: quo- rum tangentes $unt EK, GL, angulis, I, H, qui complemen- ta $unt angulorum ob$eruationum E, G, debitæ. Et quo- niam angulus G A F, maior e$t angulo E A F, e$t que priori _29. primi._ angulus G H L, & po$teriori angulus E I K, æqualis: erit quo que GHL, maior quam EIK, ideo que tãgens G L, ma- ior Tangente EK, quòd $inus toti H L, I K, æquales $int. Ab- $cindatur LM, ip$i EK, æqualis, vt GM, $it differ\~etia Tang\~e- tium G L, E K, Et quia e$t vt G L, ad L H, ita G F, ad F A, erit permutando, vt _4. $exti._ GL, ad GF, ita LH, vel IK, ad FA; Vtautem IK, ad F A, ita quoque e$t EK, ad _4. $exti &_ _permutando_ EF. Igitur erit, vttota GL, ad totam GF, ita EK, vel LM, ex GL, ablata, ad EF, ex GF, ablatam: ac proinde erit etiam vt GM, ex GL, reliqua ad G E, ex G F, _19. quinti_ reliquam, ita tota G L, ad totam G F, hoc e$t, ita L H, $inus totus, a d F A. _4 $exti &_ _permutando._ Quamobrem $i fiat.

Vt G M, differentia Tangentium \\ G L, E K, complementorum an- \\ gulorum ob$eruat<007>onum # ad G E, diffe- \\ rent<007>am $t a- \\ tionum. # ita L H, \\ $in{us} <007>o- \\ t{us}. # ad FA, [088]GEOMETR. PRACT.

inuenta erit altitudo F A, in partibus differentiæ $tationum, cui$i adij ciatur F B, _Altitudin{is}_ _inuentio per_ _Tangent{es}._ $tatura men$oris, tota altitudo AB, nota euadet.

2. ITEM $i fiat. Vt G M, differentia Tangen- \\ tium complementorum an- \\ gulorum ob$eruationum. # ad G E, diffe- \\ rentiam $ta- \\ tionum: # ita G L, Tangens \\ complement<007> angu- \\ li ob$eruation{is} in \\ remotiori $tat<007>one # ad \\ G F,

effi cietur nota G F, di$tantia maior, quando quidem paulo ante demon$tratum Di$tantiæ in- uentio. e$t, e$$e GM, ad GE, vt GL, ad GF. Quod $i ex GF, inuenta detrahatur GE, dif- ferentia $tationum, nota relinquetur EF, di$tantia minor.

ALITER.

3. SI per $olos $inus dimen$io in$tituatur, inue$tiganda primum erit alteru- _32. primi._ tra hypotenu$arum GA, EA, vel vtraque. hoc $cilicet modo. Quoniam an- gulus A E F, duobus G, G A E, æqualis e$t, $i angulus G, in remotiore $tatione tollatur ex angulo AEF, in $tatione propinquiore, reliquus fiet angulus GAE, differentia inter duos angulos G, AEF ob$eruationum.

Ergo $i fiat, 10. triang. rectil. Vt $in{us} anguli G A E, \\ d<007>fferent<007>æ inter duos \\ angulos ob$eruationum # ad G E, dif- \\ ferentiam \\ $tationum: # ita $in{us} anguli A G E, \\ vel \\ it a $in{us}(anguli G E A, \\ complementi)anguli \\ A E F, ad duosrectos. # ad AE, \\ ad G A, _Hypotenu$a-_ _rum inuentio._

nota fiet tam A E, quam A G, in partibus differentiæ $tationum.

Si igitur fiat. 10. triang. rectil. Vt $in{us} to- \\ t{us} anguli \\ rect<007> F, # ad rectam \\ E A: \\ vel \\ ad rectam \\ G A, proxi- \\ mè inuentam # ita $in{us} anguli AEF, in pro- \\ pinquiore $tatione, \\ vel \\ ita $in{us} anguli A G F, in re- \\ motiore $tat<007>one # ad A F, \\ ad A F, _Altitudin{is}_ _inuentio per_ _$olos $in{us}._

gignetur altitudo A F, & $i adiungetur F B, $tatura men$oris, tota altitudo AB, efficietur nota.

DISTANTIA autem vtraque E F, G F, per $olos etiam $inus inuenietur, $i 10. triang. rectil. fiat.

Vt $in{us} \\ tot{us} an- \\ guli recti \\ F. # ad hypotenu- \\ $am E A. \\ vel \\ ad hypotenu- \\ $am G A: # ita $in{us} anguli E A F, complementi \\ anguli in propinquiore $tatione, \\ vel \\ ita $in{us} anguli G A F, complementi \\ anguli in remotiore $tatione. # ad E F. Di$tantiæ in- u\~etis per $o- los $inus.

4. SINE numerorum multiplicatione ac diui- _Problemaque_ _pacti $i $ine_ _@ <007>mer{is} $ol@_ _uatur._ $ione eadem inue$tigabuntur, $i illi figuræ, quam ab oculo men$oris ad altitu dinem v$que concepimus e$$e con$truendam, $imilem omni diligentia con$ti- tuamus, vt Num. 6. & 8. præcedentis problematis 1. [089]LIBER SSECVNDVS. diximus, vt manife$tum e$t, $i in ea figura Num. 6. altitudo intelligatur F G, & di$tantiæ FD, FE, & c. Idemque efficies per ea, quæ Num. 7. eiu$dem proble- matis 1. tradita $unt.

COROLLARIVM I.

ITAQVE $i altitudo fuerit nota, inuenietur di$tantia per vnicam $tationem, _Di$tantiæ in-_ _uentio per v-_ _uicam $tatio-_ _nem, quand@_ _altitudo notæ_ _est._ $i fiat.

Vt $in{us} \\ tot{us} A F, # ad Tangentem F E, complementi \\ anguli in propinquiore $tatione: \\ vel \\ ad Tangentem F G, complementi \\ angul<007> <007>n remotiore $tatione: # ita altitu- \\ do nota \\ A F, # ad di$tan- \\ tiam F E, \\ vel \\ ad di$tan- \\ tiam F G. 4. triang. rectil.

ITEM $i di$tantia nota fuerit, reperietur altitudo per vnicam quoq; $tatio- nem, $i fiat,

Vt $in{us} to- \\ t{us} G F, # ad A F, Tangentem anguli G, \\ ob$eruati in remotiori $tatione: # ita G F, di$tan- \\ tia nota # ad AF, al- \\ titud<007>nem #### Vel Vt $in{us} to- \\ t{us} E F, # ad AF, Tangentem anguli E, \\ ob$eruati in $tatione propin- \\ quiore: # ita E F, di$tan- \\ tia nota, # ad A F, alti- \\ tudinem. COROLLARIVM II.

MANIFESTVM etiam e$t, $i punctum A, $it cacumen alicuius montis eo- dem pacto inue$tigari po$$e lineam perpendicularem A F, quæ ex cacumine in Horizontis planum demittitur: $i nimirum duæ $tationes fiant in E, G.

EX VERTICE montis, aut turris, in cuius $ummitate duæ $tationes fieri po$$int, è quibus $ignum aliquod in Horizonte appareat, altitu- din em ip$ius montis, turri$ue dimetiri. Atque hinc ip$am quoque di- $tantiam à turris ba$i, vel perpendiculo montis ad $ignum illud inue- $tigare.

PROBLEMA III.

1. SIT mons, aut turris G H N M, cuius altitudo perpendiculum E F, vel etiam latus turris G M, vel HN. Eligantur duæ $tationes in G, H; & ab oculo men$oris tamin I, quam in K, po$ito cerni po$sit $ignum L, in Horizonte, vel plano, cui turris, aut mons in$i$tit. Dirigatur latus Quadrantis penduli, in quo pinnacidia, ver$us L, diligenterq; angulus K, notetur, quem arcus Quadrantis inter latus pinnacidiorum, & filum perpendiculi libere pendentis determinat. Eodemque pacto angulus I, ob$eruetur. Per Quadrantem $tabilem vterque ob$eruabitur, $i vnum eius latus ad Horizontem $itrectũ, (quod tum demũ fiet, [090]GEOMETR. PRACT. quando filum perpendiculi ex centro pendentis illi lateri adhærebit) & dio- ptra attollatur, donec per pinnacidio- rum foramina $ignum L, cerni po$sit. Nam arcus inter dictum latus, & lineam fiduciæ in dioptra angulum ob$eruatio- nis meti@tur. Intelligatur quoque filum perpendiculi in vtro que $itu Quadrantis penduli, vel latus quandrantis $tabilis ad Horizontem rectum productum v$que ad ba$em montis, aut turris ad M, N. Sũ- ptis deinde rectis æqualibus K O, I P, pro $inubus totis, ducantur P Q, O R, ad IN, _28. primi._ KM, perpendiculares, quæ parallelæ e- runt plano Horizontis, hoc e$t, rect{ae} NL; & Tangentes angulorũ ob$eruationum I, K Ip$æ autem HN, GM, altitudini EF, _34. primi._ æquales erunt. Et quoniam in triangulis I N L, K M L, anguli recti N, M, $unt æ- quales, & ILN, minor quam KLM, pars toto; eritreliquus N I L, reliquo MKL, maior, ideo que & Tangens P Q, Tan- _4. $exti._ gente O R, maior. Ab$ci$$a ergo P T, ip$i O R, æquali; quia e$t vt IP, $inus totus ad P Q, Tangentem maioris anguli ob$eruationis, ita IN, ad NL: erit per- mutando, vt IP, ad IN, ita P Q, ad NL. Eademque ratione erit, vt K O, ad KM, hoc e$t, vt IP, ad IN, (cum K O, KM, ip$is IP, IN, $int æquales) ita OR, hoc e$t, _34. primi._ ita PT, ad ML; at que ideo erit, vt PQ, ad NL, ita PT, ad ML. Quia ergo e$t, vt tota P Q, ad totam N L, ita P T, ablata ad M L, ablatam, erit quo que reliqua _19. quinti._ T Q, differentia Tangentium, adreliquam NM, differentiam $tationum, (quod _34. primi._ NM, HG, æquales $int.) vttota P Q, ad totam NL, hoc e$t, vt IP, ad IN. Quã- _4. $exti._ obrem $i fiat.

Vt T Q, d<007>fferentia \\ inter Tangentes an- \\ gulorum ob$eruationum # ad N M, vel H G, d<007>ffe- \\ rentiam $tationum: # ita $in{us} to- \\ t{us} I P, # ad IN,

reperietur recta I N, ex qua $i dematur I H, $tatura men$oris, nota relinquetur _Altitudin{is}_ _inuentio._ HN, vel EF, altitudo quæ$ita. Et $i rur$us fiat,

Vt T Q, differen- \\ tia Tangentium # ad N M, vel G H, differen- \\ tiam $tationum: # ita P Q, Tan- \\ gens maior # ad NL, di- $tantiam.

nota fiet di$tantia NL; à qua $i $ubtrahatur NF, vel HE, quam metiri licebit, co- Di$tantiæ in- uentio. gnita relinquetur FL, di$tantia à perpendiculo montis. Vel $i dematur NM, dif- ferentia $tationum, nota relinquetur di$tantia ML, à turri v$que ad L. Item $i fiat.

_4. $exti_. Vt IP, $in{us} \\ tot{us} # ad P Q. Tangen- \\ tem maiorem: # ita IN, paulo ante \\ inuenta # ad NL, di$tantiam,

inuenietur rur$us di$tantia NL, & c.

2. VERVM ita e$$e T Q. differentiam Tangentium ad NM, vel H G, diffe- [091]LIBER SECVNDVS. rentiam $tationum, vt e$t P Q, Tangens maior ad di$tantiam N L, vt paulo an- te o$ten$um e$t, facilius demon$trabimus, $i ducatur recta I T, quæ producta $ecet N L, in S. Nam in triangulis IP T, K O R, duo latera IP, P T, duobus la- teribus KO, OR, æqualia $unt, angulo $que continent æquales, vtp ote rectos. Ig<007>tur anguli T, R, {ae}quales $unt; ideo que KL, IS, parallelæ. Et quia ducta _4. primi._ I K, æqualis e$t & ip$i SL, & differentiæ $tationum HG, vel NM, liquido con- _28. primi._ $tat, ita e$$e T Q, differentiam Tangentium ad S L, quæ differenti{ae} $tationum _34. primi._ I K, vel H G, æqualis e$t, vt e$t P Q, Tangens maior ad di$tantiam NL,

_$chol. 4._ _$ext._ ALITER.

3. PER $olos $inus ita Problema efficiemus. Primum inquiremus hypote- _32. primi._ nu$as I L, K L, hoc modo. Quoniam angulus L K V, duobus angulis L I K, I L K, æqualis e$t; $i L I K, angulus complementi maioris anguli ob$eruationis L I N, auferatur ex L K V, angulo complementi minoris anguli ob$eruationis L K M, reliquus fiet angulus I K L. Si ergo fiat.

10. triang. rectil. Vt $in{us} anguli I K L, dif- \\ ferentiæ inter duos an- \\ gulos complementorum \\ angulorum ob$eruatio- \\ num # ad I K, \\ differ\~e- \\ tiam \\ $tatio- \\ num: # Ita $in{us} anguli I K L, conflati ex \\ recto, & angulo ob$eruation{is} \\ minore, vel # ad I L, # # Ita $in{us} anguli LIK, complemen- \\ ti maior{is} anguli ob$eruation{is}. # ad K L, Hypotenu- $arum inu\~e- tio.

euadet nota tam I L, quam K L, in men$ura differentiæ $tationum. Igitur $i fiat,

10. triang. rectil. Vt $in{us} tot{us} \\ angulire- \\ cti N, # ad Hypotenu$am \\ proxime inuen- \\ tam I L, # Ita $in{us} anguli I L N, complementi \\ maior{is} anguli ob$eruation{is} # ad I N, #### _Vel_ Vt $in{us} tot{us} an- \\ gul<007> recti M, # ad hypotenu$am K L, \\ nuper inuentam: # Ita $in{us} anguli K L M, complemen- \\ ti minor{is} anguli ob$eruation{is} # ad \\ K M, Altitudinis inuentio per $olos $inus.

cognita fiet altitudò I N, vel KM, ex qua $i dematur $tatura men$oris, altitudo quæ$ita relinquetur H N, vel G M, hoc e$t, E F.

DISTANTIA autem vtraque N L, M L, reperietur, $i fiat.

10. triang. rectil. Vt $in{us} tot{us} \\ angul<007> recti \\ N, vel M, # ad Hypotenu$am \\ inuentam I L, \\ vel K L, # Ita $in{us} anguli maior{is} ob- \\ $eruati NIL, vel \\ ad N L, di$tan- \\ tiam Di$tantiæ in- uentio per $olos $inus. # # Ita $in{us} anguli minor{is} ob- \\ $eruati M K L, # ad M L, di$tan- \\ tiam

SINE numeris eædem rectæ IN, N L, IL, K L, &c. reperientur, vt in $upe- _Quo pacto_ _problema_ _conficiatur $i-_ _ne numer{is}._ rioribus: $i nimirum (vtemur figura huius problematis, ne nouam con$truere cogamur) $umptarecta IK, tot partium, quot palmi, pede$uein differentia $ta- tionum exi$tunt, fiant anguli VKL, VIL, complementorum angulorum MKL, NIL, ob$eruationum, & concur$us L, notetur, ex quo ducatur LN, ip$i IK, pa- rallela, & ad hanc perpendicularis in I, excitetur IN, &c. Vel $i angulus rectus con$tituatur INL, & in a$$umpto puncto L, vbi concur$um e$$e volumus, fiat [092]GEOMETR. PRACT. tam angulus N L I complementi maioris anguli ob$eruationis, quam angulus NLK, complementi minoris anguli ob$eruationis, &c. Reliqua autem fiant, vt in problemate 1. Num. 6. & 8. dictum e$t. Idemque efficies per ea, quæ Num. 7. in eodem problemate 1. $crip$imus.

EX vertice montis, vel turris per duas $tationes in aliqua ha$ta erecta, vel in duabus fene$tris turris, quarum vna $upra aliam exi$tat, factas, è quibus $ignum aliquod in Horizonte videri po$$it, altitudinem ip$ius montis, aut turris metiri. Atque hinc di$tantiam quoque à perpendiculo montis, vel turris v$que ad $ignum vi$um cogno- $cere.

PROBLEMA IV.

@. NON po$$unt aliquando commodè duæ $tationes in $ummitate montis, vel turris fieri. Quare tunc ita agendum erit. Sit altitu- do A B, $upra planum BC, men$uranda ex $ummitate A. Erigatur ha$ta aliqua quotlibet palmorum, aut pe- dum. Et primum in$piciatur $ignum C, in plano per an- gulum B D C; Deinde idem in$piciatur ex loco $upe- riore ha$tæ per angulum BEC. Vterque autem angulus ob $eruabitur vel per quadrantem pendulum, vt in prio- ri angulo vides, vel per $tabilem cum dio ptra, vt in po- $teriori. Sumptis quo que æqualibus DF, EG, pro $inu- bus totis, ducantur ad EB, perpendiculares F H, G I, pro Tangentibus angulorum ob$eruationum. Ducta autem DL ip$i E C, parallela $ecante F H, in K: quo- _29. primi._ niam anguli BDL, & E, æquales $unt, & F, G, recti, nec non & latera adia centia DF, EG, æqualia: erunt late- _26. primi._ ra F K, GI, æqualia: atque adeo K H, differentia Tangentium. Quia vero ex $chol. propo$itionis 4. lib. 6. Euclid. e$t, vt KH, ad FK, ita LC, ad BL: Vt autem _2. $exti._ LC, ad BL, ita e$t, ED, ad BD; erit quo que vt KH, ad FK, ita ED, ad DB. Siigi- tur fiat,

Vt KH, differentia \\ inter Tangent{es} \\ angulorum ob- \\ $eruationum # ad FK, vel ad \\ G I, Tan- \\ gentem mi- \\ norem: # Ita E D, $patium inter angulos ob$er- \\ uationum, quod notum e$$e potest \\ per aliquam men$uram, # ad D B,

inuenietur D B, ex qua $i dematur portio ha$tæ A D, inter altitudinis fa$ti- _Altitudin{is}_ _inuentio._ gium A, & inferiorem angulum ob$eruationis D, nota relinquetur altitudo pro- po$ita A B.

EODEMQVE modo in turri eadem altitudo deprehendetur, $i pro ha$ta A E, duæ fene$træ eligantur, è quibus $ignum C, $ub ii$dem angulis videatur, vt patet. Sed tunc altitudini D B, inuentæ ($i fene$træ $int D E,) adiicienda e$t por- tio turris inter punctum D, fene$træ inferioris, & turris fa$tigium E, vt tota alti- tudo turris habeatur E B. Et $i fiat,

_4. $exti._ [093]LIBER SECVNDVS. Vt D F, $in{us} \\ tot{us} # ad F H, Tangentem \\ maiorem: # Ita D B, altitudo inuen- \\ ta # ad B C, _Di$tantiæ in-_ _uentio._

inuenta erit di$tantia B C.

ALITER.

2. POSITO $inu toto C B, erit B E, Tangens anguli B C E, complementi minoris anguli ob$eruationis E, & BD, Tangens anguli B C D, complementi maioris anguli ob$eruationis D; ideo que D E, differentia illarum Tangentium. Quamobrem $i fiat,

Vt D E, differentia Tangen- \\ tium complementorum an- \\ gulorũ ob$er uationum # ad D B, tangen- \\ tem minorem: # Ita D E, differentia $ta- \\ tionum oculorum # ad D B,

prodibit altitudo D B, cognita ab oculo in prima $tatione v$que ad ba$em alti- _Altitudin{is}_ _inuentio aliæ._ tudinis, &c.

ALITER.

3. VT per $olos $inus in$tituatur operatio, inue$tiganda prius e$t vtraque hypotenu$a C D, C E, vel alterutra earum, hoc modo. Quoniam angulus _29. primi._ BDC, duobus E, & DCE, æqualis e$t, $i minor angulus ob$eruationis E, ex ma- iori angulo ob$eruationis BDC, $ubtrahatur, notus relinquetur angulus DCE. Itaque $i fiat,

10. triang. rectil. Vt $in{us} anguli D C E differen- \\ tiæ angulorum ob$eruatio- \\ num # ad D E, differen- \\ tiam $tat<007>onum \\ oculorum: # Ita $in{us} minor{is} \\ anguli ob$eruatio- \\ n{is} E, # ad C D- # # Vel # # Ita $in{us} anguli \\ E D C, complemen- \\ ti maior{is} anguli \\ ob$eruation{is} ad \\ duos rectos, # ad C E, Hypotenu- $arum inu\~e- tio.

reperietur tam hypotenu$a C D, quam C E, in partibus differentiæ $tationum D E. Quapropter $i iam fiat,

10. triang. rectil. Vt $in{us} to- \\ t{us} anguli \\ vecti B, # ad hypotenu- \\ $am C D, # Ita $in{us} anguli B C D, complementi ma- \\ ior{is} anguli ob$eruation{is} B D C, # ad D B, # Vel # Vel # ad hypotenu$am \\ C E, proximè \\ inuentam: # Ita $in{us} anguli B C E, comple- \\ menti minor{is} anguli ob$erua- \\ tion{is} E; # ad E B,

cognita erit vtraque altitudo D B, E B, &c. Siautem fiat,

_Altitudin{is}_ _inuentio per_ _$olos $in{us}._ Vt $in{us} tot{us} an- \\ guli recti B, # ad Hypotenu$am \\ C D, # Ita $in{us} anguli D, maio- \\ r{is} ob$eruati, # ad B C, # Vel # Vel # ad hypotenu$am C E, \\ nuper inuentam # Ita $in{us} anguli E, mino- \\ r{is} ob$eruati. # ad B C,

cogno$cetur quo que di$tantia B C, per $olos $inus,

4. A@s- [094]GEOMETR. PRACT.

4. ABSQVE numeris problema efficiemus, vtin pr{ae}cedentibus, $i nimi- _Di$tantiæ in-_ _uentio per $o-_ _los $in{us}._ rum in recta EB, $umatur portio ED, tot partium æqualium, quot palmi pede$- uein E D, differentia $tationum oculorum exi$tunt, & tam angulus E, minor ob$eruationis, quam BDC, maior con$tituatur, concur$u$que C, notetur, à quo ad EB, perpendi cularis ducatur CB, &c. vel $i angulus rectus efficiatur B, & in quouis puncto C, vbi optamus e$$e concur$um, cõ$tituatur tam angulus BCD, _Problemat{is}_ _$oluti@ $ine_ _numer{is}._ complemento maioris anguli ob$eruationis, quam angulus BCE, complemen- to minoris anguli ob$eruationis æqualis, &c. Reliqua autem ab$oluantur, vt in Problemate 1. Num. 6. & 8. dictum e$t. Idem que efficies per ea, quæ ibid. Num. 7. explicata $unt.

COROLLARIVM.

IGITVR $i di$tantia $igni ex turre vi$i v$que ad turrim nota fuerit, nimirum recta CB, rep erietur altitudo turris per vnicam $tationem in fa$tigio A factam: $i videlicet fiat,

4. Triang. rectil. Vt $in{us} to- \\ t{us} C B, # ad B D, Tangentem anguli BCD, qui comple- \\ mentum e$t anguli ob$eruation{is} ‘D, # Ita di$t antia \\ nota C B, # ad B D,

Et $i ex inuenta B D, auferatur men$oris $tatura A D, nota relin quetur altitudo turris B A.

_Altitudin{is}_ _inuentio per_ _vnicam $ta-_ _tionem quan-_ _do di$tantia_ _@ota est._ VEL PER SOLOS SINVS. Vt $in{us} anguli ob- \\ $eruation{is} D, # ad d<007>$tantiam \\ C B, notam # Ita $in{us} anguli B C D, complemen- \\ ti anguli ob$eruation{is} D. # ad B D

QVOD $i oculus D, $tatuatur in aliqua fene$tra turris, adiicienda erit portio turris inter oculum, & fa$tigium ad altitudinem DB, inuentam. Ita namq; con- ficietur tota altitudo turris E B, $i fa$tigium $it E, vt per$picuum e$t.

EX VERTICE MONTIS, AVT TVRRIS ALTITVDI- nem ip$ius, $i in plano, cui in$i$tit, $patium aliquod è directo men$oris notum $it, deprehendere.

PROBLEMA V.

1. QVANDO $patium aliquod D E, è directo men$oris à monte vel turri remotum fuerit notum, metiemur ip$am altitudinem F G, è fa$tigio G, hac ratione. In$piciantur termini D, E, per angulos FGD, FGE, $iue per Quadrantem, pendulum, $iue $iue per $tabilem. Et quoniam, po$ito $inu toto GF, Tangentes angulorum ob$eruationum $unt D F, E F, ip$arumque differentia per $patium propo$itum: Si fiat,

Vt D E, differentia Tangentium angu- \\ gul{is} ob$eruationum deb<007>tarum # ad $inum to- \\ tum G F: # Ita D E, $patium \\ notum # ad G F,

manife$ta erit altitudo G F, quæ$ita in partibus $patij noti D E,

[095]LIBER SECVNDVS. ALITER.

2. Per $olos $inus eandem altitudinem G F, adipi$cemur, $i prius hypote- nu$am G D, venabimur, hoc modo. Fiat,

10. triang. rectil. Vt $in{us} anguli D G E, diffe- \\ rentiæ angulorum ob$er- \\ uationum # ad D E, $pa- \\ tium cogni- \\ tum # Ita $in{us} anguli E, com- \\ plementi maior{is} an- \\ guli ob$eruation{is} # ad hypotenu- \\ $am G D,

Numerus enim productus dabit hypotenu$am GD, in partibus $patii DE, no- tam. Si ergo rur$us fiat,

10. triang. rectil. Vt $in{us} tot{us} an- \\ guli recti F, # ad hypotenu$am \\ G D, proximè \\ inuentam: # Ita $in{us} anguli D, comple- \\ menti minor{is} anguli ob- \\ $eruation{is} # ad G F, altitu- \\ dinem,

producetur altitudo GF, in partibus hypotenu$æ GD, $iue $patij DE, nota.

_Solutio pro-_ _blemat{is} $ine_ _numer{is}._

3. SINE numeris agendum erit, vt in problemate 1. declaratum e$t.

DISTANTIAM ab oculo, vel pede men$oris ad quoduis punctum in aliqua altitudine notatum, per duas $tationes in plano factas me- tiri.

PROBLEMA VI.

1 SIT inqui@enda di$tantia puncti A, in muro G H, $iue perpendiculari ad Horizontem, $iue inclinato, vel etiam in tecto quo piam; ab oculo B, vel pe- de C, po$ita $tatura men$oris B C. Concipiatur ducta B D, ip$i plano C E, pa- $allela, $itque primo punctum A, altius, quam oculus B. In$pecto puncto A, no- tetur angulus ABD, quem latus pinnaci- diorum in quadrante pendulo, vel linea fiduciæ in dioptra Quadrantis $tabilis cum recta BD, facit. Deinde accede ver- $rus punctum A, quotlibet palmis aut pe- dibus v$que ad D, vt BD, differentia $ta- tionum nota $it. Rur$umque ex D, pun- ctum A, in$piciatur, notato diligenter angulo ADF: exi$tentque rectæ AB, AD, B D, B C, D E, in eodem plano, in eo videlicet, quod per $taturas men$oris B C, D E, & per punctum A, ducitur, Et quia angulus A D F, duobus B, & B A D, _32. primi._ e$t æqualis: $i angulus B, in remotiore $tatione auferatur ex angulo D, in pro- pinquiore, notus fiet reliquus angulus A. Siigitur fiat,

10. triang. rectil. Vt $in{us} anguli \\ A, quo angu- \\ l{us} minor B, à \\ maiori differt, # ad B D, d<007>ffe- \\ rentiam $ta- \\ t<007>onum: # Ita $in{us} anguli A D B, qui comple- \\ mentum e$t maior{is} anguli D, ad \\ duos rectos, # ad A B, di- \\ $tantiã quæ- \\ $itam,

reperta erit quæ$ita di$tantia A B, in partibus differentiæ $tationum.

QVOD $i oculus exi$tat in D, & recedatur à puncto D, v$que ad B, inue- nietur eadem arte di$tantia D A, $i loco anguli A D B, $umatur angulus B, in 10. triang, rectil. remotiore $tatione, vt liquet. E$t enim vt $inus anguli A, quo angulus mi- [096]GEOMETR. PRACT. nor B, à maiori ADF, differt, ad BD, differentiam $tationum: ita $inus anguli B, in remotiori $tatione. ad D A.

2. DISTANTIA verò à puncto A, ad pedem men$oris C, hoc e$t, recta AC, cogno$cetur per Problema 12. triang. rectil. cap. 3. lib. 1. cum in triangulo obli- quangulo ABC, duo latera AB, BC, nota $int, nimirum di$tantia inuenta, & $ta- tura men$oris, comprehendantque angulum ABC, notum, vtpote conflatum ex recto CBD, & angulo ob$eruationis ABD.

3. SIT deinde punctum A, vt in muro HI, infra oculum B. In$pecto pun- cto A, ob$eruetur angulus CBA. quem latus pinnacidiorum cum perpendiculi filo, vel dio ptræ linea fiduciæ cum BC, facit: Deinde accede ver$us A. v$que ad D, & iterum con$idera angulum EDA: exi$tentque rectæ AB, AD BD, BC, DE, in vno eodemque plano, in eo videlicet, quod per $ta- turas men$oris BC, DE, & per punctum A, ducitur. Et quoniam angulus FDA, complementi anguli ob- 32. _primi._ $eruationis in propinquiore $tatione æqualis e$t duo- bus DBA, DAB; $i DBA, angulus complementi an- guli remotioris $tationis dematur ex angulo A D F, complementi anguli $tationis propinquioris, reliquus fiet notus BAD. Si ergo fiat,

10. Triang. rectil. Vt $inus angul<007> BAD, dif- \\ ferentiæ inter angulos com \\ plementorum angulorum \\ ob$eruationum # ad B D, diffe- \\ rentiam $ta- \\ tionum: # Ita $inus anguli ADB, con- \\ flati ex recto B D E, & \\ ex angulo ob$eruationis \\ A D E, <007>n propinquiore \\ $tatione # ad AB di- \\ $tantiam \\ quæ$itã.

cognita erit di$tantia A B, quam quærimus, in partibus differentiæ $tatio- num B D.

QVOD $i oculus ponatur in D, & recedatur à puncto D, v$que ad B, repe- rietur eodem modo di$tantia DA, $i pro angulo BDA, a$$umes angulum DBA, complementianguli ABC, ob$eruationis in remotiore $tatione, vt manife$tum e$t. Nam e$t, vt $inus anguli BAD, differentiæ inter angulos complemento- 10. Triang. rectil. rum angulorum ob$eruationum, ad BD, differentiam $tationum: ita $inus angu- li DBA, complementi anguli ABC, in remotiore $tatione, ad DA.

4. VT autem di$tantia CA, à pede ad punctum A, inueniatur, ita progredie- mur. Quoniam in triangulo rectangulo ABG, ($i ex puncto A, concipiatur ducta ad BC, $taturam men$oris perpendicularis AG,) ba$is AB, nota e$t per in- uentionem, & angulus BAG, notus, quippe cum $it complementum anguli ob$eruationis ABG; Si fiat,

2. Triang. rectil. Vt $inus \\ totus # ad ba$em A B, proximè \\ inuentam: # Ita $inus anguli B A G, complemen- \\ ti angul<007> ob$eruationis, # ad B G,

cogno$cetur BG, in partibus ba$is AB, hoc e$t, in partibus differentiæ $tationum BD, in quibus AB, inuenta fuit. Ablata autem BG, ex men$oris $tatura BC, no- ta fiet reliqua CG. Item $i fiat,

2. Triang. rectil. Vt $inus to- \\ tus # ad ba$em A B, nu- \\ per inuentam: # Ita $inus anguli ob$eruatio- \\ nis A B G, # ad A G,

nota etiam fiet A G, in partibus eiu$dem ba$is A B, vel differentiæ $tationum [097]LIBER SECVNDVS. BD. Quia ergo in triangulo rectangulo ACG, duo latera AG, GC, per inuen- tionem nota fa cta $unt; cogno$cetur quoq; ba$is AC, quod e$t propo$itum.

3. triang. rectil.

5. MANIFESTVM autem e$t, eodem pacto vtramque di$tantiam AB, AC, reperiri, etiam$i punctum A, in plano $it, in quo men$or con$i$tit, nimirum in Horizonte, qui ponatur tran$ire per rectam AG, ita vt $tatura men$oris $it B G, Immo tunc per vnicam $tationem vtraque di$tantia AB, AG, rep erietur. Nam po$ito $inu toto B G, $tatura men$oris; A B, $ecans e$t anguli ob$eruationis ABG, & AG, Tangens. Quo circa $i fiat,

Vt BG, $inus \\ totus # ad B A, $ecantem anguli ob$er- \\ @ationis A B G, # Ita BG, $tatura \\ men$oris # ad B A, #### Vel # ad GA, Tangentem anguli ob- \\ $eruationis A B G: # # ad G A,

vtraque di$tantia & BA, ab oculo B, & G A, à G, pede men$oris cognita fiet.

6. IAM verò $ine numeris operabimur, vt in præcedentibus, vt manife$tum _Quo pacto {pro}-_ _blema $ine nu-_ _meris $it $ol-_ _uendum._ e$t, $i rectè figura con$truatur, quemadmodum Num. 6. & 8. problematis 1. di- ctum e$t.

INTER VALLVM inter duo puncta in quolibet plano eleuato, $iuc illud ad Horizontem rectum $it, $iue inclinatum, metiri.

PROBLEMA VII.

1. IN plano quolibet eleuato AB. prop o$itum $it interuallum CD, quod ex plano EB, inue$tigandum $it. Po$ito oculo in G, vt $tatura men$oris $it, GE, inue$tiget ur per præcedens problema 6. vtraque di$tantia G C, G D, in parti- bus $taturæ men$oris G E, $iue differentiæ duarum $tationum, è quibus ip$æ di$tan- tiæ inue$tigantur. Deinde applicato Qua- drante $tabili ad oculum G, ita vt eius pla- num per puncta CD, tran$eat, & vna eius $emidiameter ad punctum D, vergat, (quod fiet, $i po$ita linea fiduciæ dioptræ $upra illam $emidiametrum, punctum D, per foramina pinnacidiorum con$picia- tur) vertatur dioptra, donec per eam punctum C, appareat, arcu$que in- ter dictam $emidiametrum, & lineam fiduciæ interceptus notetur. hic enim angulum G, metietur. Quod $i altera $emidiameter Quadrantis vltra re- ctam G C, exi$tat, erit angulus acutus C G D: Si verò altera illa $emidia- meter citra rectam G C, extiterit, dictus angulus erit obtu$us, qui cogno- $cetur, $i ad rectum adiiciatur reliquus angulus inter alteram illam $emidia- metrum, & rectam G C; quem quidem reliquum inue$tigabimus per Quadrantem, vt de acuto C G D, diximus, $i videlicet in recta C D, mente notemus punctum, in quod altera illa $emidiameter incurre- ret producta. Si namque tunc $emidiameter illa rectæ G C, congruat, [098]GEOMETR. PRACT. & dioptra ad illud punctum mente notatum dirigatur, indicabunt gradus in- ter illam $emidiametrum, & dioptram prædictum angulum reliquum. Si deni- que altera illa $emidiameter præcisè in C, tendat, angulus C G D, rectus erit. Quia ergo in triangulo G C D, obliquangulo latera nota G C, G D, continent angulum notum G; cogno$cetur latus C D, per problema 12. triang. rectil. cap. 3. lib. 1.

2. ABSQVE numeris facile problema $oluetur, $i fiat angulus G, æqualis ei, qui per Quadrantem ob$eruatus fuit, & in rectis G C, GD, ex in$trumento _Problematis_ _$olutio $ine_ _numeris._ partium tot particulæ $umantur, quot palmi, aut pedes in di$tantiis G C, GD, inuenti $unt, & c.

LONGITVDINEM lineæ rect{ae}, quando men$or in vno eius extre- mo, vel in aliqua altitudine nota, qu{ae} perpendicularis $it in eo extre- mo ad planum, in quo linea iacet, exi$tens alterum extremum videre pote$t, per Quadrantem comprehendere.

PROBLEMA VIII.

1. SIT exquirenda longitudo A B, hoc e$t, di$tan- tia inter A, & B, etiam$i puncta intermedia $iue propter tumores interiectos, $iue propter valles, cerninequeant, dummodo in extremo A, exi$tens men$or, vel in aliqua altitudine cognita ad planum, in quo linea A B, perpen- diculari, ita vt A C, $it vel $tatura men$oris, vel ha$ta ali- qua erecta, vel turris. In$pecto extremo B, ob$eruetur angulus C. Et quia po- $ito $inu toto AC, di$tantia AB, e$t Tangens anguli ob$eruati C: $i fiat,

Vt $inus totus \\ AC, # ad AB, tangentem anguli \\ ob$eruati C. # Ita AC, $tatura men$oris, \\ vel altitudo nota, # Ad AB, longi- \\ tudinem.

procreabitur longitudo A B, in partibus altitudinis notæ A C. Quæ per $olos 4. Triang. rectil. $inus etiam producetur, $i fiat,

Vt $inus anguli B, com- \\ plenti anguli C, ob- \\ $eruati # Ad AC, $taturam men$o- \\ ris, vel altitudinem no- \\ tam # Ita $inus angu- \\ li C, ob$erua- \\ uationis # ad AB, longi- \\ tudinem

2. SINE numeris eadem longitudo AB, cogno$cetur, vt in præcedentibus _Solutio pro-_ _blematis $ine_ _numeris._ dictum e$t: $i videlicet ex in$trumento partium accipiatur A C, tot particula- rum, quot palmi, pede$ue in altitudine AC, exi$tunt, con$tituatur que angulus ob$eruationis C, ac tandem ad AC, perpendicularis excitetur AB, & c.

LONGITVDINEM, ad cuius extrema accedere non liceat, dum- modo ea appareant, & ip$a longitudo producta ad pedes men$oris pertingat, ex altitudine aliqua nota dim@tiri:

[099]LIBER SECVNDVS. PROBLEMA IX.

2. SIT longitudo AB, è directo men$oris in C, exi$tentis, ita vt recta B A, pro ducta tran$eat per C. Sit quo que CD, vel $ta- tura men$oris, vel altitudo quæpiam nota. Siigi- tur per præcedens problema 8. inquiratur vtra que longitudo CB, CA, & CA, ex CB, detrahatur, reli- qua fiet AB, ac proinde cognita.

ALITER

2. POSITO $inu toto CD, $i termini A, B, per angulos CDA, CDB, $pect\~e- tur, erit C A, Tangens minoris anguli, & C B, maioris, at A B, differentia earum Tangentium. Quare $i fiat,

Vt $inus to- \\ tus CD, # Ad AB, differentiam Tangentium \\ angulorum ob$eruationum # Ita C D, alti- \\ tudo nota # Ad AB, lon- \\ gitudinem.

efficietur longitudo AB, nota in partibus altitudinis notæ C D.

ALITER

3. PER $olos $inus eandem longitudinem A B, cogno$cemus: $ed prius in- uenienda e$t AD, hac ratione fiat,

_5. triang. re-_ _ctil._ Vt $inus anguli CAD, comple- \\ menti minoris anguli ob$erua- \\ tionis # ad C D, altitudi- \\ nem notam: # Ita $inus totus \\ anguli recti C, # ad A D,

Productus enim numerus dabit A D, notam in partibus altitudinis notæ CD, _10. triang re-_ _ctil._ Siergo rur$us fiat,

Vt $inus anguli CBD, com- \\ plementi maioris anguli \\ ob$eruationis # Ad A D, pro- \\ xime inuen- \\ tam # Ita $inus anguli A D B, \\ differentia inter duos an- \\ gulos ob$eruatos # ad AB, \\ longi- \\ tudin\~e,

prodibit nota longitudo AB, in partibus rect{ae} AD, hoc e$t, altitudinis notæ CD, in quibus recta AD, fuit inuenta.

4. SINE numeris rem perficies, quemadmodum in præcedentibus, vt li- quet.

LONGITVDINEM tran$uer$am in Horizonte, cuius vtrum{\’que} ex- tremum in$pici pote$t, notam efficere.

PROBLEMA X.

1. SIT planum Horizontis AB, in quo jaceat longitudo CD, in tran$uer$um, pes autem men$oris $it in E, ita vt recta DC, per pedes men$oris in E, non tran$e- at. Quando namque longitudo D C, è directo men$oris $ita e$t, inue$tigabitur ea per problema 9. præcedens. Vt ergo tranuser$a longitudo CD, nota effi- ciatur, inue$tiganda primum erit vtriu$que puncti extremi C, D, di$tantia à pede men$oris E, & qu@dem per vnicam $tationem in E, factã, vt problemate 6. Num. [100]GEOMETR. PRACT. 5. dictum e$t. Deinde per Quadrantem cum dioptra angulus C E D, exquiren- dus in plano Horizontis. quod fiet, $i Quadrantis planum erectum tran$eat $emel per puncta E, C, & iterum per puncta E, D, vt de$ignari po$sint partes rectarum E C, E D. Quadrantis enim vno latere in- cumbente rectæ E C, dioptra vero rectæ E D, $i an- gulus e$t acutus, indicabit arcus inter illud latus, ac dioptram, angulum C E D. Quod $i alterum Qua- drantis latus rectæ ED, congruet erit angulus CED rectus: Si vero recta ED. vl- tra alterum latus Quadrantis extiterit, dictus angulus obtu$us erit, qui cogni- tus erit, $i recto angulo ad datur reliquus inter alterum latus, & rectam ED: Qui quidem reliquus angulus per Quadrantem explorabitur vt de acuto diximus in problemate 7. Atq; ita habebimus triangulum ECD, cuius duo latera nota $unt EC, E D, angulumq; notum comprehendunt C E D. Igitur, & tertiumlatus _12. triang._ _rectil._ C D, cognitum erit.

2. QVO pacto autem $ine ope numerorum problema per$iciendum $it, tra- ditum e$t in problemate 7. Num. 2.

LONGITVDINEM in Horizonte inter turrim aliquam, & aliud quodpiam $ignum, ex turri per duas $tationes in fa$tigio factas: vel in duabus fene$tris, quarum vna $it $ub altera ad perpendiculum, quan- do $patium inter illas fene$tras notum e$t, etiam$i totius turris altitu- do ignota $it, demetiri. Atque hinc obiter altitudinem turris patefa- cere.

PROBLEMA XI.

1. QVAMVIS problema hoc $olutum iam $it in problemate 3. & 4. occa$ione altitu dinis inquirendæ, libet tamen idem hic per $e, & paulo aliter expedire. Sit ergo turris A B CD, & longitudo propo$ita C E: $tatura autem men$oris B G, vel AF. In$pecto extre- mo E, in prima $tatione per angulum C G E, & in $e- cũda per angulum DFE, ducatur FH, ip$i G E, paral- lela. Et quia in triangulis F D H, G C E, anguli D, C, _29. primi._ recti $unt, & H, E, æquales latu$que FD, lateri GC. _34. primi._ æquale: erunt quo que & anguli G, DFH, æquales, _26. primi._ & latera D H, C E. Po$ito autem $inu toto F D, erit DE, Tangens maioris anguli ob$eruationis D F E, & D H, Tangens anguli D F H, hoc e$t, anguli æqualis G, in prima $tatione ob$eruati: ac proinde H E, differentia erit earum Tangen- tium, quæ quidem æqualis e$t differentiæ $tationum F G, vel AB, vel DC. Si _34. primi._ igitur fiat,

Vt H E, differentia Tan- \\ gentium angulorumob- \\ $eruationum # Ad CE, Tangentem \\ min@ris anguli ob- \\ $eruationis CGE. # Ita HE, vel FG, \\ differentia $tatio- \\ num # ad G E, \\ longitu- \\ dinem, \\ gigne- [101]LIBER SECVNDVS.

gignetur longitudo optata C E, in partibus differentiæ $tationum H E, vel F G, & c. Quod $i rur$us fiat,

Vt H E, differentia Tangentium \\ angulorum ob$eruationum # Ad FD, $i- \\ num totum # Ita H E, vel F G, differen- \\ tia $tationum # ad F D,

inuenietur recta F D, à qua $i tollatur $tatura men$oris A F, reliqua fiet altitudo turris A D.

2. Sediam ex duabus fene$tris F, G, in$piciatur extremum E, per angulos CFE, CGE, ducaturq; FH, ip$i GE, parallela. Quoniã igitur angulus C F H, _29. primi_. angulo CGE, æqualis e$t: $i ponatur $inus totus C E, erit C G, Tangens anguli CEG, complementi minoris anguli ob$eruationis G, & CF, Tangens anguli CEF, complementi maioris anguli ob$eruationis C F E: at F G, differentia $ta- tionum, hoc e$t, interuallum inter fene$tras, differentia erit dictarum Tangen- tium. # Quamobrem $i fiat,

VFG, differentia \\ Tangentium cõ- \\ plem\~etorum an- \\ gulorum ob$er- \\ uat<007>onum, # Ad CE, \\ $inum to- \\ tum # Ita F G, diffe- \\ rentia $tatio- \\ num interfe- \\ ne$tr{as}, # ad C E, \\ longitudi- \\ nem pro- \\ po$itam,

cognita erit longitudo CE, de$iderata. Et $irur$um fiat,

Vt F G, differentia \\ Tangentium com- \\ plementorũ angu- \\ lorũ ob$eruationũ # ad G C, Tangen- \\ tem complemen- \\ ti minor{is} angu- \\ li ob$eruati # Ita F G, ad GC, \\ differentia $ta- \\ tionum inter \\ fene$tr{as}

inuenta erit altitudo G C, à $up eriori fene$tra ad ba$em, in partibus differentiæ $tationum, cui $i addatur portio GB, à $uperiori fene$tra ad fa$tigium v$que, to- ta turris altitudo BC, non ignorabitur.

3. SINE auxilio numerorum procedendum e$t, vtin $uperioribus.

LONGITVDINEM rectæè directo men$oris po$itæ, cuius extre- mum vtrumque, vel alterum non appareat, ni$i ad dextram, vel fini- $tram accedat men$or, per quadrantem comprehendere.

PROBLEMA XII.

1. SIT longitudo A B, & men$or in extremo A, con$titutus videre non po$- fit alterum extremum, ni$i ad dextram $ini$tramue recedat v$q; adD, punctũ, è quo vtrumq; extremũ cerni po$sit. Eritigitur longitudo AB, men$ori in D, exi$tenti po$ita in tran$uer$um. Quare ea per problema 10. inue$tigabitur.

2. Eod\~e modo, $i m\~e$or exi$tat in C, è directo lõgi- tudinis, $ed vel neutrũ extremũ, vel alterũ dũtaxat [102]GEOMETR. PRACT. intueri po$sit, longitu dinem A B, venabimur. Sinamque ex C, ad $ini$tram, vel dextram procedemus, donec in D, vtrumq; extremũ videamus, inuenietur tran$uer$a longitu do AB, per problema 10. vt prius. Neque vero refert, $iue per angulum rectum BCD, recedatur in latus, $iue per angulum acutum BAD, & c.

3. OPERATIO $ine numeris in$tituenda e$t, vt in $uperioribus.

4. QVANDO men$or in A, exi$tens videre pote$t extremum B, inue$tigabi- tur longitudo AB, per problema 8.

SI autem è directo longitudinis exi$tat in C, & vtrumque etremum cernat, explorabitur per problema 9. eadem longitudo A B.

DISTANTIAM alicuius $igni in Horizonte po$iti, à $ummitate tur- ris, vel muri alicuius, licet ad ip$um $ignum acce$$us non pateat, per quadrantem colligere.

PROBLEMA XIII.

1. IN Horizontis plano punctum A, di$tet à $ummi- tate D, alicuius altitudinis CD, per rectam AD, quam me- tiri iubemur, Vbicunq; oculus men$oris exi$tat, nimirum in B, vt $it $tatura men$oris BG, inue$tigentur per proble- ma 6. di$tantiæ punctorum A, D, ab oculo men$oris B.

Deinde angulus exploretur A B D, quem nobis præ- bebit Quadrãs cum dioptra, $i ad oculum ita applicetur, vt eius planum per tria puncta B, A, D, tran$eat, po$ito centro in B; atque vnum eius latus rectæ B A, incumbat, dioptra vero ad punctum D, dirigatur, & c. Itaq; cum in triangulo B A D, duo latera nota B A, B D, angulum notum contineant B; cogno$cetur quo que latus AD.

_10. triang._ _rectil._

2. QVA ratione eadem di$tantia AD, exquirenda $it ab$que numeris, do- cuimus Num. 5. problematis 7.

ALTITVDINEM inacce$$ibilem, cuius ba$is non videatur, & ad quam per nullum $patium $ecundum lineam rectam accedere po$$i- mus, aut recedere, vt duæ $tationes fieri po$$int, $ed $olũ ad dextram, $ini$tramue ad locum, è quo eius ba$is appareat, per Quadrantem ex- plorare.

PROBLEMA XIV.

1. Sit altitudo A B, ad quam ex C, loco men$oris non liceat accedere, aut ab earecedere $ecundum li- neam rectam, $ed $olum in latus, verbigratia v$que ad D, vnde ba$em videre po$simus. Inquiratur per pro- blema 10. longitudo tran$uer$a A C, ex loco D: in$pi- ciatur que vertex B, ex C, per angulum ACB. Et quia, po$ito $inu toto A C, altitudo A B, Tangens e$t an- guli ob$eruationis ACB, $i fiat.

_4. Triang._ _rectil._ [103]LIBER SECVNDVS. Vt $in{us} t@- \\ t{us} AC, # ad AB, Tangentem an- \\ guli ob$eruati ACB: # Ita longitudo A C, per \\ problema 10. inuenta # Ad AB, alt@- \\ tudinem,

prodibit nota altitudo AB, in partibus, in quibus AC, inuenta fuit.

2. NON erit autem difficile problema hoc $ine numerorum auxilio exequi, $i $uperiora præcepta con$ulantur.

ALTITVDINEM inacce$$ibilem, quando neque di$tantia à loco men$oris ad eius ba$em nota e$t, neque è directo ip$ius duæ $tationes in plano fieri po$$unt, neque denique ba$is appareat, per Quadran- tem notam reddere. Atque hinc obiter ip$am quoque di$tantiam e- licere.

PROBLEMA XV.

1. SIT altitudo A B, locus men$oris C, di$tantia CB, incognita: ba$is B, non appareat, & à loco C, non liceat accedere ad A B, nequerecedere, vt duæ $ta- tiones fiantin plano. Erigatur ha$ta C E, $i non præ$tò $it turris aliqua C O, & $tatura men$oris $it CD. Sumpta deinde portione ha$tæ D E, notarum partium, concipiantur ductæ DM, EN, ip$i CB, pa- rallelæ, ob$eruenturq; per Quadrantem anguli ADM, AEN. Sumptis quoq; rectis æqualibus EF, DG, pro $inubus totis, eri- gantur perpendiculares FH, GI, pro Tã- gentibus angulorum ob$eruationũ. Sum pta item A L, æqualiip$i D E, ducaturre- cta D L, quæ parallela erit ip$i E A, $eca- _33. primi._ bitq; GI, in K. Quoniam vero angulus _29. primi._ DKG, angulo DLB, & hic angulo EAB, & hic angulo EHF, æqualis e$t; erit angu- lus DKG, angulo EHF, æqualis: E$t au- tem & rectus G, recto F, æqualis, & latus DG, lateri EF, æquale; erunt quoq; late- _26. primi._ ra GK, FH, æqualia, & anguli D, E, æqua- les: ideoq; IK, differentia erit inter Tan- gentes GI, GK, angulorum GDI, GDK, $iue F E H. Et quia e$t, vt I K, ad K G. ita A L, ad L M; erit per contrariam compo$itionem à nobis in $cholio propo$. 18. _$chol. 4. $e-_ _xti._ lib. 5. demon$tratam, ita quo que IK, ad IG, vt AL, hoc e$t, vt ED, differentia $ta- tionum, ad altitudinem AM. # Igitur $i fiat,

Vt I K, differen- \\ tia Tangentium # ad I G, Tangen- \\ te maiorem: # Ita AL, vel ED, differen- \\ tia $tationum # Ad A M, alti- \\ tudinem,

gignetur altitudo AM, cui $i apponatur$tatura men$oris MB, tota altitudo AB, nota efficietur. Iam $i fiat,

_4. $exti._ Vt G I, $i- \\ n{us} tot{us} # ad G D, Tangentem complementi ma- \\ ior{is} anguli ob$eruation{is}: # Ita altitudo in- \\ uenta A M, # ad M D, di- \\ $tantiam,

inuenta erit di$tantia D M, vel C B.

2. PER $olos $inus idem problema conficiemus, $i prius inue$tigetur hy- _10. Triang._ _rectil._ potenu$a AD, hoc modo. Fiat,

[104]GEOMETR. PRACT. Vt $in{us} anguli A D L, \\ differentiæ inter an- \\ gulos ob$eruationum \\ ADM, LDM, # ad A L, hoc \\ e$t, ad D E, \\ d<007>fferentiam \\ $tationum: # Ita $in{us} anguli ALD, qui \\ relinquitur, $i DLM, comple- \\ mentum minor{is} anguli \\ L D M, ob$eruati ex duob{us} \\ rect{is} $ubtrahatur, # ad AD.

Nam productus numerus offeret hypotenu$am AD. Si ergo rur$us fiat,

_10. triang._ _rectil._ Vt $in{us} tot{us} an- \\ guli recti M, # ad hypotenu$am \\ AD, inuentam: # Ita $in{us} maior{is} anguli \\ ob$er uation{is} ADM, # ad AM, _10. triang._ _rectil._

procreabitur altitudo A M, & c. Siautem fiat,

Vt $in{us} to- \\ t{us} anguli \\ recti M, # ad hypotenu$am AD, \\ proxime inuentam, # Ita $in{us} anguli D A M, \\ complementi maior{is} an- \\ gul<007> ob$eruation{is}, # ad DM,

effi cietur di$tantia D M, cognita.

3. SI $ine numeris problema $oluen dum e$t, recurrendum erit ad $uperiora, præ$ertim ad Num. 6. 8. & 7. problematis 1.

ALTITVDINEM maiorem ex minori cognita, per duas $tationes in $ummitate, vel in duabus fene$tris factas, etiam$i $olum maioris alti- tudinis vertex cernatur, per Quadrantem adinuenire. Atque hinc di$tantiam quoque inter altitudines colligere.

PROBLEMA XVI.

1. MAIOR altitudo $it AN, minor tur- ris C O, cognita, ex qua $olum cacumen A, non autem ba$is N, appareat. Fiantin $ummitate duæ $tationes in C, D, men$o- ris que $tatura $it C G, vel D E, & ad A N, intelligatur ducta perpendicularis G E F. Atque in$pecto cacumine A, ob$eruentur anguli A E F, AGF. Reliqua fiant, vt in 2. problemate. Si ergo fiat, $icut in eo pro- blemate demon$trauimus,

Vt GM, differentia Tangentium GL, EK, angu- \\ lorum H, I, qui complementa $unt angulorũ ob- \\ $eruationum, po$it{is} $inub{us} tot{is} HL, IK, # ad GE, diffe- \\ rentiam $ta- \\ tionum: # Ita LH, $i- \\ n{us} tot{us} # ad FA.

Inuenietur altitudo A F, cui$i adijciatur F N, conflata ex altitudine turris C O, & $tatura men$oris, tota maior altitudo AN, nota euadet. Item $i fiat,

Vt GM, differentiæ Tan- \\ gentium earundem. # ad GE, differenti- \\ am $tationum: # Ita GL, Tangens complementi \\ minoris anguli ob$eruation{is} # ad GF,

pro creabitur di$tantia GF, à qua $i dematur latitudo turris C O, reliqua erit di- $tantia inter duas turres.

HÆC omnia in 2. problemate demon$trauimus: & ob hanc cau$am ei$dem pror$us literis hic v$i $umus, quas ibiv$urpauimus, vt demon$tratio ex illo loco in hunc transferri po$sit.

[105]LIBER SECVNDVS.

2. QVANDO in $ummitate turris minoris fieri duæ $tationes nequeunt, eli- gantur duæ fene$træ, in quibus duæ $tationes fiant. Vt in figura præcedentis pro- blematis 15. in minoriturri CE, deligantur duæ fene$træ D, E, & reliqua fiant, vt in ha$ta C E. Solum pro $tatura men$oris ad altitu dinem inuentam AM, adijci- enda e$t portio turris inter inferiorem fene$tram D, & ba$em C, vttota maior al- titudo AB, nota effi ciatur.

3. SINE numeris nihil noui \~pcipimus, $ed ad $uperiora lectorem amandamus.

4. QVO \~et pacto {pro}blema hoc <002> $olos $inus po$sit effici, docuim’ {pro}bl. 2. & 15.

ALTITVDINEM maiorem ex minori incognita, dummodo ba$is maioris cerni po$$it per Quadrantem per$crutari.

PROBLEMA XVII.

1. SIT maior altitudo A B, & minor C D, incognita, po$sitq; ba$is maioris B, videri ex minori altitudine. Pri- mum per duas $tationes in $ummitate turris minoris, vel in duabus fene$tris, inquiratur tam altitudo turris mino - ris C D, quam di$tantia D B, vt problemate 11. vel etiam 3. & 4. traditum e$t. Namtunc ex minori altitudine nota C D, maior A B, explorabitur perea, quæ in antecedent@ problemate 16. $crip$imus.

2. AT ex altitudine CD, & di$tantia D B, cognitis di- $cemus altitudinem maiorem A B, per $olos $inus, hoc modo. Ex aliqua fene$tra C, minoris altitudinisin $pici- antur extrema A, B, maioris altitudinis per ãgulos ACE, BCD, (ducta prius CE, ip$i DB, parallela, vel ad vtramq; altitu dinem perpendiculari.) Deinde fiat,

_10. Triang._ _rectil._ Vt $in{us} anguli C B D, complemen- \\ ti illi{us}, quo ba$is in$picitur # ad inuentam altitu- \\ altitudinem CD: # Ita $in{us} tot{us} \\ anguli recti D, # ad B C, #### _Vel_ Vt $in{us} anguli B C D, quo \\ ba$is in$pic<007>tur, # ad inuentam d<007>$tan- \\ $tantiam B D: # Ita $in{us} tot{us} an- \\ gul<007>recti D, # ad BC,

Vtro que enim modo cognita erit hypotenu$a BC. Siergo rur$us fiat,

_10. Triang._ _rectil._ Vt $in{us} anguli A, com- \\ plementi illi{us} quo ca- \\ cumen in$picitur, # ad inuentam \\ hypotenu$am \\ BC: # Ita $in{us} anguli ACB, conflati ex com- \\ plemento anguli, quo ba$em intue- \\ mur, & ex angulo, quo fa$tigium \\ cernitur, # ad \\ AB,

manife$tabitur altitudo maior AB.

3. DE $olutione problematis $ine numeris nihil noui hic præcipimus, $ed ea ex $uperioribus petenda e$t.

ALTITVDINEM minorem ex maiori cognita, licet ba$is minoris non cerni po$$it, ope Quadrantis perue$tigare. Atque hinc di$tantiam quoque inter altitudines duas eruere.

[106]GEOMETR. PRACT. PROBLEMA XVIII.

1. MINOR altitudo A B, ex maiore C D, co- gnita proponatur addi$cenda, etiam$i ba$is B, non cernatur. Concipiatur ducta recta AE, ip$i BD, pa- rallela, vt E D, minorialtitudini AB, $it æqualis. Si igitur ex duabus $tationibus in $ummitate maioris altitu dinis C D, factis, per problema 3. vel ex dua- bus fene$tris, per problema 4. inue$tigetur tam alti- tudo C E, quam di$tantia A E, in$pecto@cacumine A, ac $i e$$et $ignum aliquod in Horizonte A E, vi- $um, & CE, ex tota altitu dine C D, auferatur, reli- qua ED, hoc e$t, minor altitudo fiet nota. Di$tan- tia autem AE, inuenta quæ$itæ BD, e$t æqualis: ac proinde DB, cognita erit.

ALTITVDINEM minorem ex maiori incognita, dummodo ba$is minoris videri po$$it, per Quadrantem explorare. Atque hinc di$tan- tiam quoque inter duas altitudines coniicere.

PROBLEMA XIX.

1. REPETATVR figura præcedentis problematis. Et quia ba$is B, minoris altitudinis ex maiore apparet; $i punctum B, ex duabus $tationibus in $ummitate maioris altitudinis C D, factis in$piciatur, reperietur per problema 3. tã altitudo maior CD. quam di$tantia BD. Quod etiam efficies per problema 4. $i punctum B, ex duabus fene$tris maioris altitudinis C D, in$piciatur. Cognita ergo altitu- dine maiori CD, inuenietur minor altitudo AB, vtin præced\~eti problemate tra- ditũ e$t. Cũ igitur & di$tãtia BD, $it explorata, patet $olutio {pro}blematis {pro}po$iti.

PORTIONEM altitudinis maioris ex minore altitudine, & m@noris portionem ex maiori cogno$cere per Quadrantem.

PROBLEMA XX.

1. SIT portio A C, maioris altitudinis A B, exquirenda ex minore altitudine DE: Item portio FG, minoris altitudi- nis FB, ex altitudine maiore DE. SiDE, altitudo minor e$t portione C B, inue$tigetur tam altitudo maior A B, quam CB, ex minore altitudine DE, per problema 16. vel 17. pro- ut videlicet D E, cognita fuerit, aut incognita. Nam C B, ablata ex A B, notam relinquet portionem A C, quæ- $itam.

2. SI vero D E, maior e$t portione F B, explorandaq; $it portio AF; in quir\~eda quidem erit maior altitudo A B, ex minore D E, per problema 16. vel 17. At vero altitudo mi- [107]LIBER SECVNDVS. nor FB, ex maiore DE, per problema 18. vel 19. exploranda erit. Nam rur$us FB, detracta ex AB, notam relinquet portionem AF.

3. NON $ecus per problema 18. vel 19. indaganda erit vtraque altitudo mi- nor F B, GB, ex maiore D E, vtillarum differentia F G, quæ quæritur, colliga- tur nota.

ALTITVDINEM, cuius ba$is impo$ita $it alteri altitudini, & vtra- que illius extremitas cerni po$$it, etiam$i infimum punctum alterius, cui imponitur, lateat, & eiu$dem puncti infimi di$tantia à loco men- $oris cognita non $it, per Quadrantem ex valle, aut ex plano Horizon- tis explorare.

PROBLEMA XXI.

1. HVIVSCEMODI altitudo e$t tur- ris $upra montem po$ita, & portio ali- cuius ædificij inter duas fene$tras, vel duo $igna, quorum alterum altero $uperius e$t. Sit igitur $upra montem altitudo turris A B, propo$ita. Ex aliquoloco E, in pla- nitie, aut valle, vnde vtrumque extremum A, B, videatur, ob$eruentur per Quadran- tem anguli A D C, B D C, quos radij D A, DB, cũ recta D C, quæ ex D, ad AB, pro- ductam intra mont\~e e$t perpendicularis: ita vt $tatura men$oris $it D E. Deinde per problema 6. inue$tigetur longitudo vtriu$que radij D A, D B. Nam $i fiat in 10. Triang. rectil. triangulo A B D,

Vt $in{us} anguli B A D, \\ qui complèmentum e$t \\ maior{is} anguli ADC, \\ ob$eruati, # adradium DB, \\ proximè inu\~e- \\ tum: # Ita $in{us} anguli A D B, \\ qui differentia est an- \\ gulorum ob$eruationũ \\ ADC, BDC, # ad A B, alti- \\ tudinem,

inuenta erit altitudo AB, quæ$ita, in partibus, in quibus cognitus e$t radius DB. Sic etiam, $i fiat,

10. Triang. rectil. Vt $in{us} anguli A B D, vel (quod \\ idem e$t) anguli D B C, qui \\ complementum est minor{is} \\ anguli ob$eruati B D C, # ad radium \\ D A, proxi- \\ mè <007>nuen- \\ tum # Ita $in{us} anguli A B D, \\ differentiæ angulorum \\ ob$eruatorum A D C, \\ B D C, # ad A B, \\ altitu- \\ dinem

pro dibit rur$us altitudo quæ$ita A B, in partibus radij inuenti D A.

ALITER.

2, PER problema 2. vel 15. inue$tigetur tam altitudo inacce$sibilis A C, [108]GEOMETR. PRACT. quam BC, $eclu$a men$oris $tatura CF. Altitudo namq; BC, exaltitudine A C, detracta notam relinquet altitudinem AB, quæ quæritur.

ALITER.

3. INVENTA di$tantia DC, per ea, quæ in problemate 1. & 2. tradidimus, $i fiat,

4. Triang. rectil. Vt $in{us} to- \\ t{us} DC, # ad di$tantiam cogni- \\ tam DC, # Ita A C, Tangens maior{is} anguli \\ ob$eruati ADC, # ad AC,

reper<007>etur|altitudo maior A C, in partibus di$tantiæ inuentæ D C. Et $irur- 4. Triang. rectil. $us fiat,

Vt $in{us} to- \\ t{us} DC, # ad di$tantiam in- \\ uentam DC: # Ita BC, Tangens minor{is} anguli ob- \\ $eruati BDC, # ad B C,

cognita fiet altitudo minor BC, in partibus eiu$dem di$tantiæ inuentæ DC, quæ dempta ex maiore altitudine A C, notam relinquet altitudinem turris B A, quæ$itam.

ATQVE hæc ratio commodi$sima e$t, quando in turri aliqua, vel ædificio, cuius di$tantia à men$ore cognita $it, metiendum e$t interuallum perpendicu- lare inter duas fene$tras.

ALITER.

4. INVENTA rur$um di$tantia DC, per ea, quæin problemate 1. & 2. $crip$i- mus; detrahatur Tangens B C, (po$ito $inu toto D C,) minoris anguli ob$er- uati A D C, vt nota remaneat AB, differen@a dictarum Tangentium. Nam $i fiat,

Vt $in{us} to- \\ t{us} DC, # ad di$tantiam in- \\ uentam DC, # ita A B, d<007>fferentia Tangen- \\ tium AC, BC, # ad A B, altitu- \\ dinem,

procreabitur altitudo quæ$ita AB, in partibus di$tantiæ inuentæ D C.

ALITER.

5. INVENTA per problema 2. vel 15. altitudine montis B C, ob$eruen- tur anguli B D C, A D C, per radios D B, D A. Po$ito namque $inu toto D C, $i fiat,

Vt B C, Tangens \\ minor{is} anguli \\ ob$eruati B D C, # ad B C, altitu- \\ dinem inuen- \\ tam: # Ita A B, differentia Tangen- \\ tium AC, CB, angulorum \\ ob$eruatorum ADC, B DC. # ad A B

prodibitrur$us altitudo nota AB, quam quærimus.

SCHOLIVM.

ITAQVE $i AB, portio $uperior totius alicuius altitudinis AC, de$ideretur, in- ue$tiganda erit per Problema 2. vel 15. tam tota altitudo AC, quam eius inferior portio BC. Earum enim differentia notam dabit $uperiorem portionem AB.

SI autem media aliqua portio IB, cogno$cenda e$t, coniicienda rur$us erit vtraque altitudo IC, BC, vt earum differentia IB, nota red datur.

SI deniqueinferior pars B C, proponitur inquirenda, fiet id per Problema 2. vel 15.

[109]LIBER SECVNDVS.

DISTANTIAM accliuem montis à loco men$oris v$que ad ba$em altitudinis monti impo$itæ, etiam non vi$am, vna cumip$a altitudine, quando men$or in a$cen$u montis con$i$tit, prope verum efficere cognitam, beneficio Quadrantis.

PROBLEMA XXII.

1. SIT turris AB, monti impo$ita, in cuius a$cen$u $eu latere men$or con- $i$tat in C, ex quo loco ba$em turris _In figura duc_ _rectam F A_. videre non po$sit. Erigatur ha$ta aliqua C G, ad Horizontem, non autem ad la- tus montis perpendicularis, $itque men- $oris $tatura CE. Cogitetur ducta E K, ad altitudinem perpendicularis: Et in- $pecto cacumine A, per angulum A EK, fiat alia $tatio $uperior in F, ductaque FI, ad altitu dinem perpendiculari, in$pi- ciatur idem cacumen A, per angulum _32. primi_. A F I, Et quia angulus A F G, duobus angulis FEA, FAE, e$t æqualis: $i dema- tur A EF, complementum maioris anguli A EK, in prima $tatione ob$eruati, reli- 10. triang. rectil. quus fiet angulus EAF, Igitur $i fiat,

Vt $in{us} anguli \\ EAF, d<007>fferen- \\ tiæ complemen- \\ torũ angulorũ \\ ob$eruationum # ad EF, diffe- \\ rentiam $ta- \\ tionum: # Ita $in{us} anguli AFE, confta- \\ ti ex recto E F I, & minore \\ angulo AFI, in $eounda $ta- \\ tione ob$eruati, # ad A E \\ hypote- \\ nu$am.

efficietur nota hypotenu$a AE. Po$t hæc erigatur alius baculus DH, ad Hori- zontem rectus, $umptaque men$oris $tatura DH, ip$i CE, æquali, & ducta recta HL, ad altitudinem perpendiculari, in$piciatur punctum E, per angulum EHL, & perradium HEM, quiip$i BCD, lateri montis parallelus erit. Concipienda _33: primi_. enim $unt tria puncta B, C, D, in vna recta iacere, ac $i DC, producta ad ba$em turris perueniret. Quia verò angulus EHL, angulo MEK, æqualis e$t:$i hic ex _29. primi_. maiori angulo ob$eruato AEN, inprima $tatione dematur, reliquus fiet angulus AEM. E$t autem & angulus EAN, cognitus, quippe cum $it complementum maioris anguli ob$eruati AEN. Igitur & AME, reliquus duorum rectorum cog- nitus erit: qui quidem etiam relinquitur, $i complementum anguli M HL, in $tatione D, ob$eruati ex duobusrectis detrahatur. Igitur $i fiat,

10. triang. rectil. Vt$in{us} anguli A M E, qui \\ velinquitur, $icomplemen- \\ tum po$tremi anguli ob$er- \\ uati MHL, ex duob{us} re- \\ ctis dematur # ad hypotenu- \\ $am A E, \\ nuper inu\~e- \\ tam: # Ita $in{us} anguli, \\ E A N, comple- \\ m\~eti maior{is} an- \\ guli ob$eruati AEN # ad M E, [110]GEOMETR. PRACT.

inuenta erit recta E M, hoc e$t, di$tantia quæ$ita CB. Et rur$um $i fiat.

10. Triang. rectil. Vt$in{us} eiu$- \\ dem anguli \\ A M E. # adeanďem hy- \\ petenu$am \\ A E, nuper \\ inuentam: # Ita $in{us} anguli AEM, quirelin- \\ quitur, $i angulus po$tremo loco \\ ob$eruat{us} MHL, vel MEK, ex \\ ængulo maiori ob$eruato A E K, \\ detrahatur. # ad AM

producetur AM, cui$i addatur men$oris $tatura MB, tota altitudo AB, cogni- ta erit.

DANDA autem erit opera diligenter, vt tria puncta B, C, D, invna recta ia- ceant, hoc e$t, vtrecta ab vltima $tatione D, per primam C, ducta per ba$em B, tran$eat, quod plus minusiudicio $en$uum a$$equemur. Nam per ea, quæ dicta $unt hoc loco, $olum reperitur di$tantia à loco C, v$que ad punctum altitudi- nis, in quod recta DC, protracta incidit, & altitudo ab A, v$que ad idem pun- ctum, quod non multum à puncto B, di$tabit, $i diligentia adhibeatur in $tatio- nibus C, D, captandis. Propter hanc cau$am in propo$itione diximus (prope verum efficere cognitam) quia neque di$tantia C B, neque altitudo AB, præ- cisè cogno$citur, ni$i quando tria puncta B, C, D, in recta linea iacent.

2. VT $ine numerorum auxilio problema effi cias, recurrendum erit ad $u- periora.

PROFVNDITATEM putei, vel ædificii cuiu$cunque ad perpen- diculum erecti, $i modo angulus fundi, vel $ignum aliquod in fundo po$itum con$piciatur, per Quadrantem reperire.

PROBLEMA XXIII.

1. HOC nihil e$t aliud, ni$i turrim ex eius vertice, quan- do in Hor<007>zonte $ignum aliquod apparet, per duas $ta- tiones in ha$ta aliqua factas metiri, vt problemate 4. fa- ctum e$t. Operationem ergo eius problematis hic repe- temus. Sit puteus, $eu ædificium erectum ABCM, cuius angulus C, in fundo, vel $ignum C, in fundo po$itum con$picipo$sit. Erecta ha$ta A E, in orificio putei, vel $ummitate ædificij, fiant duæ $tationes oculi men$oris in D, E, in$piciatur que punctum C, perradios DC, EC, fa- cientes angulos BDC, BEC: Sumptis deinde D F, E G, æqualibus pro $inubustotis, ducantur ad EB, perpendicu- lares FH, GI, pro Tangentibus angulorũ B D C, B E C, ob$eruatorum. Ducta quoque D L, ip$i E C, parallela $ecãte FH, in K, vt KH, differentia $it Tangentium, quem- admodum problemate 4. demon$trauimus. Si igitur, vt ibi, fiat hic. Vt K H, differentia in- \\ ter Tangentes an- \\ gulorum ob$eruato- \\ rum # ad F K, velad \\ G I, Tangent\~e \\ minorem: # ita D E, differentia $tatio- \\ num, hoc e$t, $patium \\ inter oculos, velangulos \\ ob$eruationum. # ad D B, [111]LIBER SECVNDVS. prodibitrecta DB, nota, vtproblemate 4. o$tendimus: ex qua $i $ubtrahatur $egmentum ha$tæ AD. inter orificium, & oculum in prima $tatione, reliqua fiet profunditas, $iue altitudo putei, velædificij AB.

ALITER.

2. POSITO $inu toto BC, fiat.

Vt DE, differentia Tangentium BD, \\ BE, quæ complement{is} angulorum \\ ob$eruationum debentur, # ad DB, Tan- \\ gentem mi- \\ norem # ita DE, diffe- \\ rentia $tatio- \\ nũ oculorum # ad DE,

Nam numerus procreatus notam exhibebit eandem rectam DB, &c.

ALITER.

3. SI per $olos $inus operarilubeat, ita agendum erit. Quoniam angulus _32. primi_. maior ob$eruatus BDC, duobus angulis E, DCE, æqualis e$t; $i angulus E, minor ob$eruatus tollatur ex maiore BDC, notus remanebit angulus DCE, dif- ferentia angulorum ob$eruatorum. Igitur $i fiat, 10. triang. rectil. Vt $in{us} anguli D C E, \\ differentiæ angulo- \\ rum ob$eruatorum. # ad D E, differen- \\ rentiam $tationũ \\ oculorum: # ita $in{us} anguli \\ E, minor{is} ob- \\ $eruati # ad D C, pro$iliet nota hypotenu$a D C. Quapropter $i rur$um fiat, 10. triang. rectil. Vt $in{us} tot{us} \\ anguli re- \\ cti B, # ad hypotenu$am \\ DC, proximè in- \\ uentam: # ita $in{us} anguli BCD, com- \\ plementi maior{is} anguli ob- \\ $eruati # ad D B, euadet iterum cognita recta DB, &c.

4. IAM verò $i latitudo ori$icij AM, vel fundi BC, cognita fuerit, (Non erit autem diffi cile eam aliqua men$ura nota metiri) facilius in cognitionem altitu- dinis, profunditati$ue AB, veniemus, pervnicam videlicet $tationem in D, fa- ctam, hoc modo. Fiat, Vt $in{us} \\ tot{us} \\ CB, # ad BD, Tangentem anguli BCD, \\ complementi anguli ob$eruatio- \\ n{is}: # ita latitudo co- \\ gnita CB, # ad DB. Numerus enim procreatus offeret DB, notam, vt $upra, &c.

VEL per $olos $inus, $i fiat, 10. triang. rectil. Vt $in{us} anguli \\ B D C, ob$er- \\ uation{is} # ad latitudinem co- \\ gnitam BC: # ita $in{us} anguli BCD, \\ complemeti anguli ob- \\ $eruation{is}. # ad DB, inuenietur rur$us DB, &c.

[112]GEOMETR. PRACT.

5. VT idem a$$equaris $ine auxilio numerorum, con$ule ea, qu{ae} problema- te 4. num. 4. $crip$imus.

PROFVNDITATEM vallis, eiu$demque de$cen$um obliquum, $i non $it valdè inæqualis, eiu$que terminus, vel aliquod in ea $ignum con$pici po$$it, per Quadrantem $crutari.

PROBLEMA XXIV.

1. HOC etiam nihil aliud e$t, ni$i altitudinem quampiam ex eius $um- mo fa$tigio per duas $tationes dimetiri, vt problemate 4. o$ten$um e$t. Sit enim vallis inter duosmontes AB, FG, po$ita, & terminus ip$ius C, ex monte AB, po$sit con$pici. Ere cta ha$ta aliqua AE, fiantin D, & E, duæ $tationes, ob$er- uenturque anguli D, & E, in$pecto termino C, per radios DC, EC. Intelliga- tur autem recta EA, v$que ad ba$em montis exten$a in B: & recta excurrens AF, ip$i BG, parallela, vel ad EB, perpendicularis: & denique CH ip$i AB, pa- rallela, quæ altitudini AB, {ae}qualis erit, ita vt AB, vel HC, $it profunditas val- _34. primi_. lis ab A, v$que ad ba$em montis, & IC, eius de$cen$us obliquus. Liquidò au- tem eon$tat, profunditatem AB, vel CH, exquiri po$$e, vt problemate 4. alti- tudo turris AB, ex duabus $tationibus in ha$ta AE, factis, vel in duabus fe- ne$tris, vel certè, vtin præcedenti problemate profunditas putei AB, inuen- tafuit.

DESCENSVS autem obliquus IC, ita notus euadet. Quoniam, vt in ante- cedente problemate mon$tratum e$t, angulus DCE, differentia e$t angulorum BDC, BEC, ob$eruatorum: $i fiat, 10. Triang. rectil. Vt $in{us} anguli D C E, \\ differentiæ inter angu- \\ losob$eruatos # ad D E, differen- \\ tiam $tationum \\ oculorum: # ita $in{us} anguli \\ E, minor{is} ob- \\ $eruati # ad DC, cognita fiet recta DC, ex qua $i detrahatur DI, (quam facilè ab oculo v$que ad [113]LIBER SECVNDVS. rectam AI, men$urare poteris, cum $it exigua) notus remanebit de$cen$us ob- liquus IC.

2. QVOD $i terminus C, in fundo cerni nequeat, in$piciendum erit ex D, & E, aliquod aliud $ignum K, in valle, & ob$eruandi anguli BDK, BEK, per ra- dios DK, EK. Ex his enim rur$us profunditas AB, vel KL, deprehendetur, vt in problemate 4. docuimus.

QVIN etiam, $i in plano vallis commodè duæ $tationes fieri po$sint: cog- no$ci ex illis poterit altitudo montis AB, vel IM, perea, qu{ae} in problem. 2. $cri- p$imus: de$cen$us vero obliquus IC, hoce$t, interualluminter I, & C, ex iis, quæ in problemate 7. tradita $unt.

3. EANDEM denique profunditatem CH, per$crutari licebit ex altiore monte N G, dummodo infimus terminus C, minoris montis ex cacumine N, appareat, vel aliquod aliud $ignum in valle; non aliter, quam in problemate 18. vel 19. altitudinem minorem ex maiori incognita indagare docuimus. Nam hic maior altitudo e$t NG, & minor CH, cuius terminum C, ex N, cerni po$$e $tatuimus.

4. ABSQVE numerorum multiplicatione, ac diui$ioneres peragetur, vt in antecedentibus dictum e$t.

FINIS LIBRI SECVNDI. [114] GEOMETRIÆ PRACTICÆ LIBER TERTIVS.

Earundem linearum rectarum dimen$ionem per Quadratum Geometricum exequens.

QVONIAM dimen$io rectarum linearum per Qua- drantem A$tronomicum $uperiori lib. expo$ita requirit tabul{as} Sinuum, Tangentium, & $ecantium, non $em- per autem eiu$modi tabul{as} ad manum habere po$$u- m{us}, immo neque omnes in ill{is} ver$ati $unt, atque exer- citati: propo$itum nob{is} tertio hoc libro e$t, line{as} rect{as}, longitudines videlicet, latitudines, altitudines, & pro- funditates dimeriri per Quadratum Geometricum, vbi prædict{is} tabul{is} non indigem{us}, $ed omnia per vmbram rectam, & ver$am; vt vocant, expediuntur. Qua tamen in re non nihil ab ali{is} $criptorib{us} di$$idebim{us}, quippe cum aliter tam vmbram rectam, quam ver$am in partes diui$uri $im{us}, quam ab ill{is} fieri $olet: vt nimirum per no$tram partitionem expediti{us} dimen$iones perfician- tur; quod prudens Lector facilè iudicabit, $i no$trã hanc diui$ion{is} rationem cum aliorum partitione contulerit. Sed principio Quadr atum Geometricum con- $truendum est, explicandumque quo pacto tam in Quadrato $tabili, quam in pendulo vtraque vmbra, recta videlicet, ac ver$a con$iderari debeat. Neque enim $emper eundem $itum prædictæ vmbræ in in$trumento $eruant, $ed pro va- rietate v$uum non raro eum permutare $olent, vt exi{is}, quæ$equuntur, liquido con$tabit.

QVADRATI GEOMETRICI CONSTRVCTIO.

1. EX quauis materia $olida & dura conficiatur quadratum A B C D, $iue _Compo$itio_ _Quadrati_ _Geometrici_. $olidum totum, $iue excauatum: vel potius ex quatuor regulis æqualibus AB, BC, CD, DA, ita compactum, vt omnes in vno eo demqueplano exi$tant. De- [115]LIBER TERTIVS. indein duab. regulis BC, CD, ducantur tres parallelæ extremitatibus quadrati, _Vmbra recta,_ _& ver$a in_ _quadrato quæ,_ _& in quot par_ _tes à Geome-_ _tr{is} vtraque_ _$ecetur_. pro partibus & numeris vtriu$que vmbræ de$ignandis, vt in figura apparet. La- tus BC, vmbræ rectæ, & CD, vmbræ ver$æ de$tinatur à Geometris: Vtrumque autem in 12. partes æquales partiri $olent omnes, qui de v$u Quadrati Geome- _In quot part{es}_ _vtraque vm-_ _brain no$tro_ _quadrato di-_ _uidatur._ _Scala altime-_ _tra quid_. trici$crip $erunt: Et $i capacitas in$trumenti permittit, $ingulas partes in 60. $ub- diuidunt, vt tota vmbra partes 720. complectatur, vel in 100. vt partes 1200. in vtraque vmbra exi$tant. Ego vtramque vmbram in 10. partes duntaxat æqua- les diuido, ni$i in$trumentum $it tantæ magnitudinis, vt commode vtra que re- cta BC, CD, in 100, aut 1000. partes $ecari po$sit, $ub diui$is videlicet $ingulis decimis partibus in 10. vel 100. particulas. Figura porro ex vtraque vmbra cõ- $tans dici $olet à Geometris Scala altimetra.

2. ANTEPONO autem diui$ioni con$uetæ in 12. vel 720. vel 1200. partes _Quare no$tr<_>a_ _diui$io vmbr<_>æ_ _præferatur a-_ _liorum diui-_ _$ioni_. diui$ionem no$tram in partes 10. vel 100. vel 1000. æquales, propterea quòd, $i in$trumentum propter paruitatem $ectum $it tantummodo in 10. partes, facili admodum negotio cogno$cere po$$umus, quot cente$imæ, vel etiam mille$i- mæ partes in qualibet particula cuiu$cunque partis decimæ rectarum B C, CD, a$signata comprehendantur: non $ecus ac $i vtra que recta in 100. vel 1000. partes $ecta foret, vt Num. 14. cap. 2. lib. 1. copio$è expo$uimus. Huc accedit, quod in dimetiendis lineis per Quadratum Geometricum fieri $emper debeat multiplicatio, aut diui$io per omnes partes lateris BC, vel CD: Manife$tum au- tem e$t, faciliorem e$$e multiplication\~e, diui$ionemue per 10. aut 100. vel 1000. quàm per 12. aut 720. vel 1200. cum illa fiat per $olam appo$itionem, vel detractionem 0. vel 00. vel 000. vtin no$tra Arithmetica practica declaraui- mus.

INVENIO quidem latus quadrati à do cti$simo 10. Antonio Magino diui- $um quo que e$$e, & quidem optimo con$ilio, in 100. partes æquales; quamuis ab eo regula non tradatur, qua cogno$cendũ $it, quot partes mill e$imæ in qua- uis particula vnius cente$imæ comprehendantur, quod tamen omnino nece$- $arium e$t, vt dimen$iones, ac $tellarum altitudines exqui$itè ob$eruentur: præ- $ertim $i propter in$trumenti paruitatem latus in 10. partes duntaxat commode po$sit diuidi. Id quod per no$tram do ctrinam, vt diximus, $ine magno laborè effici pote$t.

[116]GEOMETR. PRACT.

3. POST hæc è centro A, procedat filum cum perpendiculo, aut certere- _Quadratum_ _pendulum, ac_ _$tabile_. gula tenuis, cum linea fiduciæ, quæ pendens libere moueatur, vt lib. 1. capit. 2. Num 6. tradidimus: & in latere A B, duo pinnacidia affigantur, de quibus lib. 1. cap. 2. Num. 5. dictum e$t, $i quadratum in $uo v$u debeat e$$e pendulum. Nam $<007> illud $tabile e$$e velis, affigenda e$t circa centrum A, dioptra, hoc e$t, regula cum linea fiduciæ, ac duobus pinnacidijs, eodem artificio con$tructis, vt libere po$sit circumduci, & in omni $itu firmari, vt loco $upra citato in Quadrante $ta- bili faciendum e$$e præcepimus.

POSTREMO iuxta latus A D, in plano quadrati (Nam $i hoc fieret extra, prope cra$sitiem in$trumenti, non po$$et quadratum in plano Horizontis lo- carierectum $upra latus A D. quod tamen vt fiat, non raro v$us quadratipo$tu- lat:) apponàtur duæ tabellæ perforatæ cumfilo, & perpendiculo, vt eius bene- ficio digno$cere po$sis, numin$trumentum rectum $it ad Horizontem, necne. quod omnino nece$$arium e$t.

4. SED deceamus, quem $itum vtraq; vmbra in v$u quadrati habeat. Res _Vmbrarecta,_ _& ver$a, quo_ _pacto in vtro-_ _que quadrato_ _cogno$cenda_ _$it_. enim hæc non parui momenti e$t, vt in dimen$ionibus nulla confu$io inter vm- bras oriatur. In quadrato ergo pendulo vmbra ver$a opponitur $emper lateri pinna cidiorum: recta autem cum eodem latere concurrit in puncto à centro A, remotiori, vt in figura latus vmbræ rectæ e$t B C, ver$æ autem C D. At in qua- drato $tabili, $i metienda $it altitudo, & centrum A, inferiorem obtineatlo cum, in eoque oculus ponatur, latus vmbræ rectæ $upremam occupabit $edem; la- tus vero vmbræ ver$æ vergere debebit ver$usip $am altitudinem: ita vt tunc ba- $is in$trumenti $it A D. quo pacto iterum vmbra recta e$t B C, & ver$a C D. Si autem centrum A, $uperiorem locum po$sideat, & oculus in extremitate dio- ptræ exi$tat, (quod etiam fieri pote$t) latus vmbræ rectæ erit ba$is C D, & latus vmbræ ver$æ B C, prope oculum, & ab altitudine metienda remotius. Siau- tem longitudo metienda proponatur, centrumque A, in $uperiori loco $itum $it, & in eo oculus collocetur, erit quoque ba$is C D, latus vmbræ rectæ: latus autem B C, vmbræ ver$æ deputabitur, quod quidem ver$us longitudinem me- tiendam vergere debebit, & longius ab oculo abe$$e. At vero $i centrum A, ponaturinloco inferiori, ita vt ba$is $it A D, oculus autem in extremitate dio- ptræ con$i$tat, (quod etiam fieri pote$t, præ$ertim $i quadratum in $ublimi fue- rit po$itum, vt in monte, vel turri aliqua) latus vmbræ rectæ erit B C, ba$i A D, oppo$itum, vmbrævero ver$æ latus erit C D, quod $cilicet longius à longitudi- ne metienda recedit. In vtro que porro quadrato centrum A, per diametrum opponitur puncto, in quo vmbra recta cum ver$a concurrit: & in $tabili vm- brarecta perpetuo vel $upremum locum occupat, quando videlicet centrum A, infimam $edem tenet; (vel infimum locum, quando $cilicet centrum A, in $uperioriloco exi$tit, vt ex dictis liquet. Hæcnon negligenter con$ideranda $unt, ne in vario in$trumentiv$u vmbram rectam pro ver$a accipias, aut contra; quando quidem pro diuer$o $itu quadrati $tabilis tamlatus BC, quam CD, mo- do vmbrærectæ, modo ver$æ munus obire pote$t, vt diximus.

5. QVAMVIS autem vel $ola vmbrarecta, vel ver$a $atis $it ad altitudines, longitudines, profunditate$que perue$tigandas, vt ex $equentibus fiet mani- fe$tum: vtraque tamen a$$umitur à Geometris, eo quod interdum vmbrarecta excedit latus B C, nimirum quando filum perpendiculi, aut linea fiduciæ $ecat [117]LIBER TERTIVS. latus CD: Tunc enim nece$$ario latus BC, produci debet, vt $ecaripo$sit. Item $æpe numero vmbra ver$a $uperat latus C D, quando videlicet filum perpendi- culi, aut linea fiduciæ inter$ecat latus B C: Tunc enim nece$$ario latus D C, productum ver$us C, $ecabitur, vt per$picuum e$t. Ne ergo cogamur vel la- tus B C, vel C D, producere, a$$umenda e$t vmbra quidem ver$a, quando recta latus BC, excedit: recta autem, quando ver$a $uo latere C D, maior e$t.

6. EST autem perpetuo latus qua- _Gnomon me-_ _dio loco pro-_ _portional{is} e$t_ _inter vmbrã_ _rectam, &_ _ver$am_. drati, quod Gnomonem appellant, me- dio loco proportionale inter vmbrã re- ctam ac ver$am. Secet namque in qua- drato pendulo filum perpendiculi, vel in $tabili linea fiduciæ, latus vmbræ BC, in E, & latus vmbræ DC, productũ in F. Erunt igitur triangula ABE, ADF, æquiangula, _29. primi_. cum anguli B, D. recti $int, & tam alterni _4. $exti_. BAE, DFA, quam BEA, DAF, æquales. Quamobrem erit vt B E, vmbra ab$ci$$a ad gnomonem B A, ita gnomon A D, ad vmbram ab$ci$$am D F: hoc e$t gno- mon B A, vel A D, medio loco e$t proportionalis inter duas vmbras B E, D F, quarum vna recta e$t, & altera ver$a. _Redactio vm-_ _bræ rectæ ad_ _ver$am, &_ _contra_.

7. HINC facilis e$t reductio vnius vmbræ ad aliam, quod non raro v$u ve- nit. Nam $i gnomon complectens partes 1000. (in tot namq; partes latus qua- drati diui$um concipere lubet) in $e mu@tiplicetur, & productus numerus qua- dratus 1000000. lateris AB, per alterutram vmbram diuidatur, indicabit Quo- tiens partes alterius vmbræ: hoc e$t, $i fiat,

Vt alterutra vmbra # ad gnomonem # itagnomon # ad alteram vmbram:

hoc e$t, $i quadratus numerus lateris quadrati, vel gnomonis, videlicet 1000000. per alterutram vmbram diuidatur. Verbi gratia $i ponatur B E, vm- bra recta partium 700. diuidatur que numerus quadratus 1000000. lateris A B, per 700. producetur vmbra ver$a DF, partium 1428 {2/3}. Sic etiam, $i BE, $tatua- tur vmbra ver$a partium 700. reperietur vmbra recta DF, partium 1428 {2/3}. Quod $i vna vmbra $it 400. erit altera 2500. & $ic de cæteris. Sediam ad v$um vtri- u$que quadrati accedamus.

ALTITVDINEM Solis, vel $tell{ae} cuiu$uis per quadratum Geome- tricum ob$eruare.

PROBLEMA I.

1. PRÆPARETVR ba$is plana Horizontiæ quidi$tans, vt $upra illam Qua- _Altitudo So-_ _l{is}, vel$tellæ,_ _quo pacto per_ _quadratum_ _cogno$catur_. dratum $tabile erectum, $it ad Horizontem perpendiculare. Eleuetur deinde pendulum qua dratum, centro A, ad Solem, vel $tellam ver$o, ita vt eius pla- num per centrum Solis, aut $tellæ tran$eat, donec radius Solis per duo fo- ramina pinnacidiorum tran$ire deprehendatur: vel radius vi$ualis per eadem [118]GEOMETR. PRACT. foramina pinnacidiorum $tellam videat. Idemque fiat cum quadrato $tabili, collocando nimirum eius latus AD, vel CD, $upra ba$em præparatam, ip $umq; circumducendo, ita vt eius planum per centrum Solis aut$tellæ incedat; ac de- nique eleuando dioptram, donecradius Solis per foramina pinnacidiorũ tran- _Quando an-_ _gul{us}, quem_ _fil{is}m cum_ _pr@ximo qua-_ _drati latere_ _facit, offerat_ _altitudinem_ _$ol{is}; & quan-_ _do complem\~e-_ _tum altitudi-_ _n{is}_. $eat, vel radius vi$ualis per eadem foramina $tellam con$piciat. Quo peracto, con$ideretur $umma diligentia angulus, quem filum perpendiculi, vel linea fi- duciæ in dioptra cum proximo latere quadrati con$tituit, inue$tigando magna cum cura, & diligentia perea, quæ lib. 1. cap. 2. Num. 14. tradidimus, quot par- tes mille$imæ ex vmbra $iue recta, $ine ver$a ab$ci$$æ $int à filo perpendiculi, vel linea fiduciæ. Ille enim angulus, $i quidem vmbra recta inter$ecetur, (quæin quadrato $tabili vel $upremum locum, vel infimum occupat: Inpendulo vero cumlatere pinnacidiorum coniungitur, vt $upra diximus) dabit, vt Num. 2. de- mon$trabimus, complementum altitudinis Solis aut$tellæ: Si vero vmbram ver$am filum, aut dioptra inter$ecet, ip$emet angulus altitu- dinem exhibebit. Quantitatem porro huius anguli ita cogno- $cemus. Sit quadratum $iue pendulum $iue $tabile (eadem e- nim e$t in vtroque ratio) A B C D, ab$ci$$aque $it vmbra recta B E, quæ in partibus mille$imis lateris B C, reperietur, vt cap. 2. Num. 14. lib. 1. docuimus, etiam$i latusip$um $it $olumin 10. vel 100. partes diui$um: quæ quidem vmbra B E, $tatuatur verbi gratia, e$$e partium 850. Quia ergo duo latera AB, BE, triangulirectanguli _8. trìang. re-_ _ctil_. ABE, nota $unt, cum AB, $it 1000. & BE, 850. $i fiat,

Vt lat{us} quadra- \\ ti A B, 1000. # ad $inum to- \\ tum 100000. # Ita lat{us}, vel vmbra \\ BE, 850. # ad Tangentem \\ anguli BAE, \\ 85000

(quod quidem factum erit, $i ad latus B E, hoc e$t, ad 850. duæ cifræ apponan- tur) reperietur Tangens anguli B A E, 85000. quæ in tabula Tangentium non reperitur; $ed proxime minor e$t 84956. cuire$pondent gradus 40. min. 21. Et quia differentia inter Tangentem inuentam 85000. & 84956. in tabula $um- ptam, e$t 44. Differentia aut\~e inter duas Tangentes proximas 84956. & 85006. e$t 50. cui debetur 1. minutum, $iue Sec. 60. propterea quòd po$teriori Tãgen- ti 85006. re$pondet vnum minutum amplius, quàm Tangenti priori 84956. re- periemus perregulam trium, quot $ecunda differentiæ 44. congruant; $i dica- mus. Si differentia 50. po$cit, $ec. 60. quot $ecunda po$cit differentia 44? inue- niemu$que $ec. 52 {4/5}. hoc e$t, $ec. 53. fere. Angulus ergo BAE, continent grad. 40. Min. 21. $ec. 53. paulo minus. Complementum igitur, nimirum grad. 49. Min. 38. $ec. 7. fere, o$tendet altitudinem Solis, vel $tellæ. Et $i vmbra D F, e$t ver$a partium quo que 850. eritip $emet angulus DAF, inuentus grad. 40. Min. 21. $ec. 53. altitudo Solis, vel $tellæ. Atque hoc modo $i diligenter partes vm- br{ae} explorabimus re$pectu lateris BC, vel CD, 1000. quemadmodum lib. 1. cap. 2. Numer. 14. traditum e$t, inuenietur $emper altitudo Solis, aut$tellæ in grad. Min. & $ec. Sed quia mole$tũ e$t, ac laborio$um, per differentias Tangentium Secunda inquirere, $atis erit Tangentem anguli inuentam in tabula quærere, & $i quidem reperta fuerit, accipere gradus, & minuta re$pondentia; $i vero non fuerit inuenta, $umere Tangentem, vel minorem, vel maiorem quæ nimirum mi- nus ab inuenta differat, &c. Hac ratione $umenda erit in no$tro exemplo Tan- gens 86006. cui re$p ondent grad. 40. Min. 22. complementum autem erit grad. [119]LIBER TERTIVS. 49. Min 38. veluti prius. $olum de$unt $ec. 7. quæ nullius $unt momenti. Vt au- tem $tudio$os mole$tia hac $upputandi liberem, con$truxi $equentem tabulam pro $ingulis partibus mille$imis vtriu$que vmbræ: In qua $i centenæ in vertice, & reliquæ vnitates in latere $umantur, illico in angulo communi reperientur gradus, ac Min. pro angulo quæ$ito: qui videlicet altitudinem Solis aut $tellæ _V$us tabule_ _gnomonicæ_ _$equent{is}_. indicabit, $i partes mille$imæ ad vmbram ver$am $pectent: $i autem partes ad vmbram rectam pertinent Complementum eius anguli altitu dinem Solis $tel- læue o$tendet, vt paulo infra demon$trabimus. Componetur aut\~e tabula h{ae}c, $i $ingulis partibus mille$imis vmbræ apponantur ad dextram quinque cifræ, & _Compo$iti@_ _tabulæ gno-_ _monicæfacil-_ _lima_. ex toto illo numero abijciantur tres cifræ: quod idem e$t, ac $i apponantur tã- tum duæ cifræ, vt Tangentes angulorum habeantur, Ita factum e$$e vides $upra: Nam ad partes vmbræ 850. adiectæ $unt duæ cifræ, vt Tangens fieret 85000. Hac enim ratione fit multip licatio vmbræ ab$ci$$æ per $inum totum 100000. & diui$io per 1000. vtin _A_rithmetica no$tra practica $crip$imus. Quod $i quatuor cifræ partibus mille$imis apponantur, habentur eadem ratione Tang\~etes, po$i- to $inu toto 10000000.

2. VERVM demon$tremus prius, angulum, quem filum perpendiculi, vel linea fiduciæ $ecans vmbramrectam cum pro ximo latere facit, in vtro que Qua- drato e$$e complementum altitudinis Solis, $eu $tellæ; illum vero, quem filum aut fiduciæ linea vmbram ver$am $ecans efficit, exhibere ip$am altitudinem. Sit ergo primum quadratum pendulum ABCD, & Quadrans circuli Verticalis per $tellam ducti AEF, ita vt AE, Horizonti æquidi$ter: $intq; tres altitudines $tel- læ, EG, grad. 45. EH, maior, & EK, minor. Quando ergo latus pinnacidiorum AB, cum radio GA, coincidit, erit angulus altitudinis $emirectus GAE, quiæ- _27. tertij_. qualis e$t $uo complemento FAG, propter æquales arcus EG, FG, hoc e$t, an- _15. primi_. _Filum per-_ _pend<007>culi $e-_ _cansvmbra@_ _rectam facit_ _angulum cõ-_ _plementi alti-_ _tudin{is}; $ecans_ _vero vmbram_ _ver$am angu-_ _lum con$t<007>tuit_ _ip$i{us} alt<007>tu-_ _din{is}_. _$chol 34._ _primi_. gulo quem filum cumlatere AB, facit. Cum ergo diameter quadrati $ecet an- gulos eius rectos bifariam, in $emirectos nimirum, tran$ibit filum per angulum C: Ac proinde tam CAB, quam CAD, æqualis tunc erit angulo altitudinis E- AG. Quando autem pinnacidiorum latus cum radio HA, coincidit, erit angu- lus altitudinis EAH, $emirecto maior, & angulus complementi FAH, $emirecto minor, cui æqualis e$t angulus IAB: Acpropterea filum vmbram rectam in- _15. primi_. [120]GEOMETR. PRACT. ter$ecabit, facietque angulum complementi altitudinis IAB, $emirecto minor\~e. Quando denique latus AB, idem efficitur cum radio KA, erit angulus altitudinis EAK, $emirecto minor, & angulus complementi FAK, $emirecto maior, cui æ- _15. primi_. qualis e$t angulus IAB: acproinde filum vmbram ver$am abrumpet, con$ti- tuetque angulum altitudinis I A D, $emirecto minorem. Idem pror$its cernitur in quadrato $tabili ABCD, in quo vmbrærectæ latus e$t infimum CD, cum cen- trum A, $upremum occupet locum, vt $uprâ in con$tructione Quadrati Num. 4. dictum e$t. Vbi rur$us per$picitur, quando altitudo EG, e$t grad. 45. radium G A, cadere in angulum oppo$itum C, ac proinde tam angulum C A B, quam CAD, æqualem e$$e angulo altitudinis, nimirum $emirectum. Quando autem altitudo E H, maior e$t, quam grad. 45. angulum I A D, quem linea fiduciæ AI, _15. primi_. vmbram rectam auferens DI, cum latere AD, facit, æqualem e$$e angulo FAH, qui complementum e$t anguli altitudinis EAH. Quando denique altitudo EK, minor e$t, quam grad. 45. angulum IAB, quemlinea fiduciæ AI, vmbram ver$am BI, a$cindens cumlatere AB, con$tituit, æqualem e$$e angulo ip$i altitudinis E- _15. primi_. AK: quæ omnia demon$tranda erant. Sed ecce tibitabulam, de qua dixi. cõ- tinentem gradus, ac minuta angulorum, quos filum perpendiculi, vel linea fi- duciæ in omnibus partibus mille$imis vtriu$q; vmbræ cum proximo latere qua- drati efficit. In qua vides, angulum $ub parte 800. in vertice $umpta, & ère- gione partis 50. continere gradus 40. Min. 22. fere, vt $upra diximus: ac tantus erit angulus altitudinis, $i partes 850. $pectent ad vmbram ver$am: eius verò complementum grad 49. Min. 38. fere altitudinem exhibebit, $i dictæ partes ex _Tabula Gno-_ _monica cur_ _$ic dicatur_. vmbra recta ab$ci$$æ fuerint. Tabula porro hæc dici pote$t Gnomoni- ca, quodin quadrato $tabilidicti anguli in tabula com- prehen$i efficiantur à gnomone AD, vel AB, cum linea fiduciæ, vt patet.

SEQVITVR TABVLA Gnomonica. [121]LIBER TERTIVS. Tabula Gnomonica. # ## 0 ## 100 ## 200 ## 300 ## 400 ## 500 ## 600 ## 700 # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M 0 # 0 # 0 # 5 # 43 # 11 # 19 # 16 # 42 # 21 # 48 # 26 # 34 # 30 # 58 # 35 # 0 1 # 0 # 3 # 5 # 46 # 11 # 22 # 16 # 45 # 21 # 51 # 26 # 37 # 31 # 0 # 35 # 2 2 # 0 # 7 # 5 # 49 # 11 # 25 # 16 # 48 # 21 # 54 # 26 # 39 # 31 # 3 # 35 # 4 3 # 0 # 10 # 5 # 53 # 11 # 29 # 16 # 51 # 21 # 57 # 26 # 42 # 31 # 5 # 35 # 6 4 # 0 # 14 # 5 # 56 # 11 # 32 # 16 # 55 # 22 # 0 # 26 # 45 # 31 # 8 # 35 # 9 5 # 0 # 17 # 6 # 0 # 11 # 35 # 16 # 58 # 22 # 3 # 26 # 48 # 31 # 10 # 35 # 11 6 # 0 # 21 # 6 # 3 # 11 # 38 # 17 # 1 # 22 # 6 # 26 # 50 # 31 # 13 # 35 # 13 7 # 0 # 24 # 6 # 6 # 11 # 42 # 17 # 4 # 22 # 9 # 26 # 53 # 31 # 15 # 35 # 16 8 # 0 # 28 # 6 # 10 # 11 # 45 # 17 # 7 # 22 # 12 # 26 # 56 # 31 # 18 # 35 # 18 9 # 0 # 31 # 6 # 13 # 11 # 48 # 17 # 10 # 22 # 15 # 26 # 59 # 31 # 20 # 35 # 20 10 # 0 # 34 # 6 # 17 # 11 # 52 # 17 # 13 # 22 # 18 # 27 # 1 # 31 # 23 # 35 # 22 11 # 0 # 38 # 6 # 20 # 11 # 55 # 17 # 17 # 22 # 21 # 27 # 4 # 31 # 26 # 53 # 25 12 # 0 # 41 # 6 # 23 # 11 # 58 # 17 # 20 # 22 # 24 # 27 # 7 # 31 # 29 # 35 # 27 13 # 0 # 45 # 6 # 27 # 12 # 1 # 17 # 23 # 22 # 26 # 27 # 9 # 31 # 31 # 35 # 29 14 # 0 # 48 # 6 # 30 # 12 # 5 # 17 # 26 # 22 # 29 # 27 # 12 # 31 # 34 # 35 # 32 15 # 0 # 52 # 6 # 34 # 12 # 8 # 17 # 29 # 22 # 32 # 27 # 15 # 31 # 36 # 35 # 34 16 # 0 # 55 # 6 # 37 # 12 # 11 # 17 # 32 # 22 # 35 # 27 # 18 # 31 # 38 # 35 # 36 17 # 0 # 58 # 6 # 40 # 12 # 15 # 17 # 35 # 22 # 38 # 27 # 20 # 31 # 40 # 35 # 38 18 # 1 # 2 # 6 # 44 # 12 # 18 # 17 # 38 # 22 # 41 # 27 # 23 # 31 # 43 # 35 # 41 19 # 1 # 5 # 6 # 47 # 12 # 21 # 17 # 42 # 22 # 44 # 27 # 26 # 31 # 45 # 35 # 43 20 # 1 # 9 # 6 # 51 # 12 # 24 # 17 # 45 # 22 # 47 # 27 # 28 # 31 # 48 # 35 # 45 21 # 1 # 12 # 6 # 54 # 12 # 28 # 17 # 48 # 22 # 50 # 27 # 31 # 31 # 50 # 35 # 48 22 # 1 # 16 # 6 # 57 # 12 # 31 # 17 # 51 # 22 # 53 # 27 # 34 # 31 # 53 # 35 # 50 23 # 1 # 19 # 7 # 1 # 12 # 34 # 17 # 54 # 22 # 56 # 27 # 37 # 31 # 55 # 35 # 52 24 # 1 # 22 # 7 # 4 # 12 # 38 # 17 # 57 # 22 # 59 # 27 # 39 # 31 # 58 # 35 # 54 25 # 1 # 26 # 7 # 8 # 12 # 41 # 18 # 0 # 23 # 2 # 27 # 42 # 32 # 0 # 35 # 57 26 # 1 # 29 # 7 # 11 # 12 # 44 # 18 # 3 # 23 # 4 # 27 # 45 # 32 # 3 # 35 # 59 27 # 1 # 33 # 7 # 14 # 12 # 47 # 18 # 6 # 23 # 7 # 27 # 47 # 32 # 5 # 36 # 1 28 # 1 # 36 # 7 # 18 # 12 # 51 # 18 # 10 # 23 # 10 # 27 # 50 # 32 # 8 # 36 # 3 29 # 1 # 40 # 7 # 21 # 12 # 54 # 18 # 13 # 23 # 13 # 27 # 53 # 32 # 10 # 36 # 6 30 # 1 # 43 # 7 # 24 # 12 # 57 # 18 # 16 # 23 # 16 # 27 # 55 # 32 # 13 # 36 # 8 31 # 1 # 47 # 7 # 28 # 13 # 0 # 18 # 19 # 23 # 19 # 27 # 58 # 32 # 15 # 36 # 10 32 # 1 # 50 # 7 # 31 # 13 # 4 # 18 # 22 # 23 # 22 # 28 # 1 # 32 # 18 # 36 # 12 33 # 1 # 53 # 7 # 35 # 13 # 7 # 18 # 25 # 23 # 25 # 28 # 3 # 32 # 20 # 36 # 14 [122]GEOMETR. PRACT. Tabula Gnomonica. # ## 0 ## 100 ## 200 ## 300 ## 400 ## 500 ## 600 ## 700 # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M 34 # 1 # 57 # 7 # 38 # 13 # 10 # 18 # 28 # 23 # 28 # 28 # 6 # 32 # 22 # 36 # 17 35 # 2 # 0 # 7 # 41 # 13 # 13 # 18 # 31 # 23 # 31 # 28 # 9 # 32 # 25 # 36 # 19 36 # 2 # 4 # 7 # 45 # 13 # 17 # 18 # 34 # 23 # 33 # 28 # 11 # 32 # 27 # 36 # 21 37 # 2 # 7 # 7 # 48 # 13 # 20 # 18 # 37 # 23 # 36 # 28 # 14 # 32 # 30 # 36 # 23 38 # 2 # 11 # 7 # 51 # 13 # 23 # 18 # 41 # 23 # 39 # 28 # 17 # 32 # 32 # 36 # 26 39 # 2 # 14 # 7 # 55 # 13 # 27 # 18 # 44 # 23 # 42 # 28 # 19 # 32 # 35 # 36 # 28 40 # 2 # 17 # 7 # 58 # 13 # 30 # 18 # 47 # 23 # 45 # 28 # 22 # 32 # 37 # 36 # 30 41 # 2 # 21 # 8 # 2 # 13 # 33 # 18 # 50 # 23 # 48 # 28 # 25 # 32 # 40 # 36 # 32 42 # 2 # 24 # 8 # 5 # 13 # 36 # 18 # 53 # 23 # 51 # 28 # 27 # 32 # 42 # 36 # 35 43 # 2 # 28 # 8 # 8 # 13 # 40 # 18 # 56 # 23 # 54 # 28 # 30 # 32 # 44 # 36 # 37 44 # 2 # 31 # 8 # 12 # 13 # 43 # 18 # 59 # 23 # 56 # 28 # 33 # 32 # 47 # 36 # 39 45 # 2 # 35 # 8 # 15 # 13 # 46 # 19 # 2 # 23 # 59 # 28 # 35 # 32 # 49 # 36 # 41 46 # 2 # 38 # 8 # 18 # 13 # 49 # 19 # 5 # 24 # 2 # 28 # 38 # 32 # 52 # 36 # 43 47 # 2 # 41 # 8 # 22 # 13 # 52 # 19 # 8 # 24 # 5 # 28 # 41 # 32 # 54 # 36 # 46 48 # 2 # 45 # 8 # 25 # 13 # 56 # 19 # 11 # 24 # 8 # 28 # 43 # 32 # 57 # 36 # 48 49 # 2 # 48 # 8 # 28 # 13 # 59 # 19 # 14 # 24 # 11 # 28 # 46 # 32 # 59 # 36 # 50 50 # 2 # 52 # 8 # 32 # 14 # 2 # 19 # 17 # 24 # 14 # 28 # 49 # 33 # 1 # 36 # 52 51 # 2 # 55 # 8 # 35 # 14 # 5 # 19 # 20 # 24 # 17 # 28 # 51 # 33 # 4 # 36 # 54 52 # 2 # 59 # 8 # 39 # 14 # 9 # 19 # 24 # 24 # 19 # 28 # 54 # 33 # 6 # 36 # 57 53 # 3 # 2 # 8 # 42 # 14 # 12 # 19 # 27 # 24 # 22 # 28 # 57 # 33 # 9 # 36 # 59 54 # 3 # 5 # 8 # 45 # 14 # 15 # 19 # 30 # 24 # 25 # 28 # 59 # 33 # 11 # 37 # 1 55 # 3 # 9 # 8 # 49 # 14 # 18 # 19 # 33 # 24 # 28 # 29 # 2 # 33 # 13 # 37 # 3 56 # 3 # 12 # 8 # 52 # 14 # 22 # 19 # 36 # 24 # 31 # 29 # 4 # 33 # 16 # 37 # 5 57 # 3 # 16 # 8 # 55 # 14 # 25 # 19 # 39 # 24 # 34 # 29 # 7 # 33 # 18 # 37 # 8 58 # 3 # 19 # 8 # 59 # 14 # 28 # 19 # 42 # 24 # 36 # 29 # 10 # 33 # 21 # 37 # 10 59 # 3 # 23 # 9 # 2 # 14 # 31 # 19 # 45 # 24 # 39 # 29 # 12 # 33 # 23 # 37 # 12 60 # 3 # 26 # 9 # 5 # 14 # 34 # 19 # 48 # 24 # 42 # 29 # 15 # 33 # 25 # 37 # 14 61 # 3 # 29 # 9 # 9 # 14 # 38 # 19 # 51 # 24 # 45 # 29 # 18 # 33 # 28 # 37 # 16 62 # 3 # 33 # 9 # 12 # 14 # 41 # 19 # 54 # 24 # 48 # 29 # 20 # 33 # 30 # 37 # 18 63 # 3 # 36 # 9 # 15 # 14 # 44 # 19 # 57 # 24 # 51 # 29 # 23 # 33 # 33 # 37 # 21 64 # 3 # 40 # 9 # 19 # 14 # 47 # 20 # 0 # 24 # 53 # 29 # 25 # 33 # 35 # 37 # 23 65 # 3 # 43 # 9 # 22 # 14 # 51 # 20 # 3 # 24 # 56 # 29 # 28 # 33 # 37 # 37 # 25 66 # 3 # 47 # 9 # 26 # 14 # 54 # 20 # 6 # 24 # 59 # 29 # 31 # 33 # 40 # 37 # 27 67 # 3 # 50 # 9 # 29 # 14 # 57 # 20 # 9 # 25 # 2 # 29 # 33 # 33 # 42 # 37 # 29 [123]LIBER TERTIVS. Tabula Gnomonica. # ## 0 ## 100 ## 200 ## 300 ## 400 ## 500 ## 600 ## 700 # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M # G # M 68 # 3 # 53 # 9 # 32 # 15 # 0 # 20 # 12 # 25 # 5 # 29 # 36 # 33 # 45 # 37 # 31 69 # 3 # 57 # 9 # 36 # 15 # 3 # 20 # 15 # 25 # 8 # 29 # 38 # 33 # 47 # 37 # 34 70 # 4 # 0 # 9 # 39 # 15 # 7 # 20 # 18 # 25 # 10 # 29 # 41 # 33 # 49 # 37 # 36 71 # 4 # 4 # 9 # 42 # 15 # 10 # 20 # 21 # 25 # 13 # 29 # 44 # 33 # 52 # 37 # 38 72 # 4 # 7 # 9 # 46 # 15 # 13 # 20 # 24 # 25 # 16 # 29 # 46 # 33 # 54 # 37 # 40 73 # 4 # 11 # 9 # 49 # 15 # 16 # 20 # 27 # 25 # 19 # 29 # 49 # 33 # 56 # 37 # 42 74 # 4 # 14 # 9 # 52 # 15 # 19 # 20 # 30 # 25 # 22 # 29 # 51 # 33 # 59 # 37 # 44 75 # 4 # 17 # 9 # 56 # 15 # 23 # 20 # 33 # 25 # 24 # 29 # 54 # 34 # 1 # 37 # 47 76 # 4 # 21 # 9 # 59 # 15 # 26 # 20 # 36 # 25 # 27 # 29 # 57 # 34 # 4 # 37 # 49 77 # 4 # 24 # 10 # 2 # 15 # 29 # 20 # 39 # 25 # 30 # 29 # 59 # 34 # 6 # 37 # 51 78 # 4 # 28 # 10 # 6 # 15 # 32 # 20 # 42 # 25 # 33 # 30 # 2 # 34 # 8 # 37 # 53 79 # 4 # 31 # 10 # 9 # 15 # 35 # 20 # 45 # 25 # 36 # 30 # 4 # 34 # 11 # 37 # 55 80 # 4 # 34 # 10 # 12 # 15 # 39 # 20 # 48 # 25 # 38 # 30 # 7 # 34 # 13 # 37 # 57 81 # 4 # 38 # 10 # 16 # 15 # 42 # 20 # 51 # 25 # 41 # 30 # 9 # 34 # 15 # 37 # 59 82 # 4 # 41 # 10 # 19 # 15 # 45 # 20 # 54 # 25 # 44 # 30 # 12 # 34 # 18 # 38 # 2 83 # 4 # 45 # 10 # 22 # 15 # 48 # 20 # 57 # 25 # 47 # 30 # 15 # 34 # 20 # 38 # 4 84 # 4 # 48 # 10 # 26 # 15 # 51 # 21 # 0 # 25 # 50 # 30 # 17 # 34 # 22 # 38 # 6 85 # 4 # 52 # 10 # 29 # 15 # 54 # 21 # 3 # 25 # 52 # 30 # 20 # 34 # 25 # 38 # 8 86 # 4 # 55 # 10 # 32 # 15 # 58 # 21@ # 25 # 55 # 30 # 22 # 34 # 27 # 38 # 10 87 # 4 # 58 # 10 # 36 # 16 # 1 # 21 # 9 # 25 # 58 # 30 # 25 # 34 # 29 # 38 # 12 88 # 5 # 2 # 10 # 39 # 16 # 4 # 21 # 12 # 26 # 1 # 30 # 27 # 34 # 32 # 38 # 14 89 # 5 # 5 # 10 # 42 # 16 # 7 # 21 # 15 # 26 # 4 # 30 # 30 # 34 # 34 # 38 # 16 90 # 5 # 9 # 10 # 45 # 16 # 10 # 21 # 18 # 26 # 6 # 30 # 32 # 34 # 36 # 38 # 19 91 # 5 # 12 # 10 # 49 # 16 # 14 # 21 # 21 # 26 # 9 # 30 # 35 # 34 # 39 # 38 # 21 92 # 5 # 15 # 10 # 52 # 16 # 17 # 21 # 24 # 26 # 12 # 30 # 38 # 34 # 41 # 38 # 23 93 # 5 # 19 # 10 # 55 # 16 # 20 # 21 # 27 # 26 # 15 # 30 # 40 # 34 # 43 # 38 # 25 94 # 5 # 22 # 10 # 59 # 16 # 23 # 21 # 30 # 26 # 17 # 30 # 43 # 34 # 46 # 38 # 27 95 # 5 # 26 # 11 # 2 # 16 # 26 # 21 # 33 # 26 # 20 # 30 # 45 # 34 # 48 # 38 # 29 96 # 5 # 29 # 11 # 5 # 16 # 29 # 21 # 36 # 26 # 23 # 30 # 48 # 34 # 50 # 38 # 31 97 # 5 # 32 # 11 # 9 # 16 # 32 # 21 # 39 # 26 # 26 # 30 # 50 # 34 # 53 # 38 # 33 98 # 5 # 36 # 11 # 12 # 16 # 36 # 21 # 42 # 26 # 28 # 30 # 53 # 34 # 55 # 38 # 35 99 # 5 # 39 # 11 # 15 # 16 # 39 # 21 # 45 # 26 # 31 # 30 # 55 # 34 # 57 # 38 # 37 100 # 5 # 43 # 11 # 19 # 16 # 42 # 21 # 48 # 26 # 34 # 30 # 58 # 34 # 0 # 38 # 40 [124]GEOMETR. PRACT. Tabula Gnomonica. # ## 800 ## 900 ## 800 ## 900 ## 800 ## 900 # G # M # G # M # # G # M # G # M # # G # M # G # M 0 # 38 # 40 # 41 # 59 # 34 # 39 # 50 # 43 # 3 # 68 # 40 # 57 # 44 # 4 1 # 38 # 42 # 42 # 1 # 35 # 39 # 52 # 43 # 5 # 69 # 40 # 59 # 44 # 6 2 # 38 # 44 # 42 # 3 # 36 # 39 # 54 # 43 # 6 # 70 # 41 # 1 # 44 # 8 3 # 38 # 46 # 42 # 5 # 37 # 39 # 56 # 43 # 8 # 71 # 41 # 3 # 44 # 9 4 # 38 # 48 # 42 # 7 # 38 # 39 # 58 # 43 # 10 # 72 # 41 # 5 # 44 # 11 5 # 38 # 50 # 42 # 9 # 39 # 40 # 0 # 43 # 12 # 73 # 41 # 7 # 44 # 13 6 # 38 # 52 # 42 # 11 # 40 # 40 # 2 # 43 # 14 # 74 # 41 # 9 # 44 # 15 7 # 38 # 54 # 42 # 12 # 41 # 40 # 4 # 43 # 16 # 75 # 41 # 11 # 44 # 16 8 # 38 # 56 # 42 # 14 # 42 # 40 # 6 # 43 # 17 # 76 # 41 # 13 # 44 # 18 9 # 38 # 58 # 42 # 16 # 43 # 40 # 8 # 43 # 19 # 77 # 41 # 15 # 44 # 20 10 # 39 # 0 # 42 # 18 # 44 # 40 # 10 # 43 # 21 # 78 # 41 # 17 # 44 # 22 11 # 39 # 3 # 42 # 20 # 45 # 40 # 12 # 43 # 23 # 79 # 41 # 19 # 44 # 24 12 # 39 # 5 # 42 # 22 # 46 # 40 # 14 # 43 # 25 # 80 # 41 # 21 # 44 # 25 13 # 39 # 7 # 42 # 24 # 47 # 40 # 16 # 43 # 26 # 81 # 41 # 23 # 44 # 27 14 # 39 # 9 # 42 # 26 # 48 # 40 # 18 # 43 # 28 # 82 # 41 # 25 # 44 # 29 15 # 39 # 11 # 42 # 28 # 49 # 40 # 20 # 43 # 30 # 83 # 41 # 27 # 44 # 31 16 # 39 # 13 # 42 # 29 # 50 # 40 # 22 # 43 # 32 # 84 # 41 # 29 # 44 # 32 17 # 39 # 15 # 42 # 31 # 51 # 40 # 24 # 43 # 34 # 85 # 41 # 31 # 44 # 34 18 # 39 # 17 # 42 # 33 # 52 # 40 # 26 # 43 # 35 # 86 # 41 # 32 # 44 # 36 19 # 39 # 19 # 42 # 35 # 53 # 40 # 28 # 43 # 37 # 87 # 41 # 34 # 44 # 37 20 # 39 # 21 # 42 # 37 # 54 # 40 # 30 # 43 # 39 # 88 # 41 # 36 # 44 # 39 21 # 39 # 23 # 42 # 39 # 55 # 40 # 32 # 43 # 41 # 89 # 41 # 38 # 44 # 41 22 # 39 # 25 # 42 # 41 # 56 # 40 # 34 # 43 # 43 # 90 # 41 # 40 # 44 # 43 23 # 39 # 27 # 42 # 42 # 57 # 40 # 36 # 43 # 44 # 91 # 41 # 42 # 44 # 44 24 # 39 # 29 # 42 # 44 # 58 # 40 # 38 # 43 # 46 # 92 # 41 # 44 # 44 # 46 25 # 39 # 31 # 42 # 46 # 59 # 40 # 40 # 43 # 48 # 93 # 41 # 46 # 44 # 48 26 # 39 # 33 # 42 # 48 # 60 # 40 # 42 # 43 # 50 # 94 # 41 # 48 # 44 # 50 27 # 39 # 35 # 42 # 50 # 61 # 40 # 44 # 43 # 52 # 95 # 41 # 50 # 44 # 51 28 # 39 # 37 # 42 # 52 # 62 # 40 # 46 # 43 # 53 # 96 # 41 # 52 # 44 # 53 29 # 39 # 40 # 42 # 54 # 63 # 40 # 48 # 43 # 55 # 97 # 41 # 54 # 44 # 55 30 # 39 # 42 # 42 # 55 # 64 # 40 # 50 # 43 # 57 # 98 # 41 # 55 # 44 # 57 31 # 39 # 44 # 42 # 57 # 65 # 40 # 52 # 43 # 59 # 99 # 41 # 57 # 44 # 58 32 # 39 # 46 # 42 # 59 # 66 # 40 # 54 # 44 # 1 # 100 # 41 # 59 # 45 # 0 33 # 39 # 48 # 43 # 1 # 67 # 40 # 56 # 44 # 2 [125]LIBER TERTIVS.

3. SIMILEM tabulam gnomonicam compo$uit quoque Georgius Purba- chius in $uo quadrato Geometrico, po$ito latere partium 1200. eamque ad $e- cunda extendit: quod etiam fecit 10. Antonius Maginus, con$tituto quadrati latere partium 1000. quod quidem $erius animaduerti. Incidi enim ca$u quo- dam in eam, cum hanc penè meam ab$olueram. alio quin in hoc $upputandi la- bore $uper$edi$$em, tabulamque Magini huc tran$tuli$$em. Itaque $i quis in alti- tudinibus a$trorũ de$ideret etiam $ecunda, petere ea debebit ex Maginitabula: quæ $anè fideliter, & accuratè ab eo $upputata e$t, vel certè per calculum eadem elicere, vt $upra Num. 1. docuimus in hoc probl. Sed meo iudicio contenti e$- _Tabulã gno-_ _monicam non_ _e$$e ab$olutè_ _nece$$ariam._ $e po$$umus hac no$tra, quæ ad Minuta $olum vltra gradus progreditur. In qua, $i eam cumilla Maginiconferre quis volet, deprehendet, in no$tra Minu- tis graduum additum e$$e $emper vnum minutum, quando in ea reperiuntur plura $ecunda, quam 30. Sed vt verum fatear, neque no$tra, nequeilla Magini _Quo pacto_ _part{es} mille$i-_ _mæ later{is}_ omnino nece$$aria e$t, cumip$æmet partes mille$im{ae} lateris quadrati, $i appo- nantur duæ cifræ, $int tangentes altitudinum re$pectu $inus totius 100.000. & eædem, $i addantur quatuor cifræ, Tang\~etes ea$d\~e, po$ito $inutoto 10.000.000 _Quadrati of-_ _ferant tang\~e-_ _t{es} po$ito $inu_ _toto_ 10000. _vel_ 100′00000. exhibeant: ac proinde ex tabula Tangentium altitudines excerpi po$sint cui- cunque partimille$imæ congruentes, $i prius ei adiungantur duæ, aut quatuor cifræ, vt $upra ad finem Num. 1. o$tendimus. Quia tamen mole$tia non caret, per Tangentes hac ratione formatas ex tabula Tangentium angulos altitudi- num eruere, quod rarò admodum Tangentes ill{ae} in tabula præcisè reperian- tur, ac propterea pro illis accipiendæ $int vel proximè minores, vel maiores, il- _Non magn{us}_ _error in alti-_ _tudinib{us} cõ-_ _mittitur, etiã$i_ _per integr{as}_ _mille$im{as} ta-_ _bula progre-_ _diatur, & quo_ _pacto error_ _hic corrigen-_ _d{us} $it._ læ videlicet, quæ paucioribus vnitatibus ab inuentis differunt: non abs re fue- rit, vel tabulam hanc no$tram Gnomonicam, vel illam Magini, $i $ecunda etiam de$iderentur, ad$ci$cere.

4. QVAIS autem tabula Gnonomica per$olas partes mille$imas inte- gras progrediatur; tamen $i quando ex do ctrina cap. 2. Num. 14. lib. 1. tradita vltra mille$imas integras $uper$it adhuc aliqua particula, non magnus error in altitudinibus a$trorum ob$eruandis committi pote$t. Cum enim anguli in ta- bula cre$cant ordine per tria duntaxat minuta, vel duo, vel vnum, non fiet er- ror ni$i vnius autalterius minuri, etiam$i fractio illa mille$imæ partis negligatur. Quod $i errorem hunc, licet minimum, vitare cupis, con$idera fra ctionem mil- le$imæ, an $it tertia pars, an $emi$sis, an verò duæ terti{ae} partes. quo diudicio $en- $us facilè cogno$ces ex particula illa, quæ vltra partes decimas circino percur- $as $upere$t. Nam vbi anguli in tabula per tria Minuta augentur, addendum erit vnum minutum, vel duo, prout particula illa reliqua fuerit {1/3}. vel {2/3}. Idem faciendum erit $i dicta particula fuerit maior, quam {1/3}. minortamen, quam $e- mi$sis. Tunc enim addendum erit etiam vnum Minutum. Item quando parti- cula illa maior fuerit, quam $emi$sis, addipo$$unt duo minuta. At quando an- guli tabulæ augentur per duo Minuta, addendum erit vnum minutum pro $e- mi$$e vnius partis mille$imæ.

DISTANTIAM interte, & $ignum quodcunque in plano Horizon- tis po$itum, per Quadratum Geometricum inue$tigare.

[126]GEOMETR. PRACT. PROBLEMA II.

1. SIT di$tantia metienda FG. Hocper quadratum pendulum $ic fiet. Eri- gatur ex F, altitudo quæpiam nota F A, Horizonti ad angulos rectos, $iue ea $it $tatura men$oris ab oculo ad planum, $iue maior quædam altitudo. In$piciatur extremũ G, per radium AG, ab oculo A, per foramina pinna @ diorum inceden- tem, filo perpendiculari liberè pendente, & in$trumentum radente, punctum- que E, notetur, vbi filum latus quadrati inter$ecat, quod fiet vel in latere B C, vmbræ rectæ, vel in angulo C, vel in latere DC, vmbræ ver$æ. Cadente namque filo in vmbram rectam, vel in punctum C, vt in 1. & 2. figura, fiet triangulum ABE, triangulo _A_FG, æquiangulum, cum anguli B, F, $int recti, & angulus _A_, communis. Si igitur fiat,

_4. $exti_. Vt lat{us} A B, par- \\ tium 1000. # ad vmbramrectam \\ ab$ci$$am B E, # Ita altitudo no- \\ ta A F, # ad F G, di$tan- \\ tiam,

euadet nota di$tantia quæ$ita F G, in partibus altitudinis _A_F. Cadente autem puncto E, in vmbram ver$am, vt in 3. figura, ab$cindetur rur$us triangulum _A_DE, triangulo _A_F G, æquiangulum, cum anguli D, F, recti$int, & alterni _A_ED, _29. primi_. F_A_G, æquales. Ergo $i fiat.

_4. $exti_. Vt vmbra ver$a \\ ab$ci$$a D E, # ad lat{us} D A, partium \\ 1000. # Ita altitudo \\ nota AF. # ad FG, di$tantiam ′ _Quando al-_ _t<007>tudo maior_ _e$t, quam di-_ _$tantia, &_ _quando æqua-_ _l{is}, & quando_ _minor_.

nota quoque effi cietur di$tantia quæ$ita F G, in partibus altitudinis _A_ F. Ex quo illud intelligere poteris, quando punctum E, inter$ectionis fili cum latere quadrati cadit in vmbram rectam, altitudinem _A_F, maiorem e$$e di$tantia F G: quando in punctum C, æqualem; quando denique in vmbram ver$am, mi- norem.

2. QVADRATO $tabili ita eandem di$tantiam explorabimus. Erigatur in extremo di$tantiæ E, altitudo quædam perpendicularis notarum partium, & quadratum ita accommodetur, vt centrum _A_, $uperiorem locum occupet, & vmbra recta DC, Horizonti æquidi$tet. Directa igitur dioptra ad $ignum pro- po$itum, notetur diligenter vmbra ab$ci$$a: quæ $i recta fuerit, nimirum D I, erit altitudo _A_E, maior, quam di$tantia EG, triangulumque _A_ D I, triangulo _coroll. 4._ _$exti_. _A_EG, $imile erit. Si gitur fiat.

_4. $exti_. Vt lat{us} quadrati \\ AD, 1000. # ad part{es} vmbræ \\ rectæ D I: # Ita altitudo A E, \\ cognita # ad E G, di$tan- \\ tiam

reperietur di$tantia quæ$ita EG, in partibus altitudinis a$$umptæ _A_E.

[127]LIBER TERTIVS.

SI autem dioptra per C, tran$ierit, erit altitudo A E, di$tantiæ qu{ae}$itæ E H, æqua- lis: cum $it vt AD, ad DC, æqualem, ita _4. $exti_. A E, ad EH.

SI denique vmbra ab$ci$$a fuerit ver- $a, vt BK, erit altitudo AE, minor, quam di$tantia E F, quod plerunq; in di$tantiis wetiendis accidere $olet; eritq; triangu- lum ABK, triangulo AEF, æquiangulum, cum anguli B, E, recti $int, & alterni _29. primi_. BAK, AFE, æquales. Quare $i fiat,

_4. $exti_. Vt part{es} vmbræ \\ ver$æ BK, # ad lat{us} quadrati \\ AB, 1000. # Ita altitudo no- \\ ta AE, # ad E F, d<007>$tan- \\ tiam,

producetur quæ$ita di$tantia EF, in partibus altitudinis erectæ AE.

3. QVANDO di$tantia non valdè magna e$t, vel extremum eius punctum facilè videri pote$t $atis erit, $i qua dratum $upra planum Horizontis con- $tituatur, ita vt vmbr{ae} ver${ae} latus B C, ad punctum illud recta vergat. Vt $i di- $tantia horizontalis D M, metienda $it, eique imponatur Quadratum erectum, mouenda e$t dioptra, donec linea fiduciæ in extremum M, dirigatur. Quara- tione $emper vmbra ver$a BC, ab$cindetur. Nam $i linea fiduci{ae} per C, tran$i- ret, aut vmbramrectam C D, inter$ecaret, e$$et di$tantia vel æqualis lateri C D, vel minor: ac proinde dimen$ione nonindigeret. Quoniam igitur rur$us trian- gulum NBA, triangulo A D M, {ae}quiangulum e$t, propter rectos angulos B, D, & alternos æquales BAN, AMD; Si fiat,

_29. primi_. _4. $exti_. Vt part{es} vmbræ \\ ver$æ BN, # ad lat{us} quadrati \\ AB, 1000. # Ita lat{us} quadrati \\ AD, 1000. # ad DM, di$tan- \\ tiam,

cognita erit di$tantia DM, in partibus mille$imis Iateris quadrati AD.

4. SOLENT nonnulli Scriptores non inquirere di$tantiam propo$itam in partibus altitudinis a$$umpt{ae} AE, vel in partibus mille$imis lateris quadrati AD; $ed $olum inue$tigant, quoties altitudo electa AE, vellatus quadrati AD, in di- $tantia propo$ita contineatur: quod idem e$t, ac $i altitudo, autlatus vmbræ $tatuatur 1. Atq; ita diuidunt vel partes vmbr{ae} rect{ae} ab$ci$$as per totum latus partium 1000. vel totum latus vmbræ ver$æ per partes vmbr{ae} ver${ae} ab$ci$las. Nam Quotiens numerus indicat, quoties altitudo A C, vel latus Quadrati in propo$ita di$tantia comprehendatur: cum $it,

Vt totum lat{us} A D, \\ partium 1000. # ad part{es} vmbræ \\ rectæ D I, # ita altitudo A E, vel la- \\ t{us} A D, vt 1. # ad di$tantiam \\ E G, vel D I. #### Item. Vt part{es} vmbræ ver- \\ $æ B N, # ad totum lat{us} AB, \\ 1000. # Ita altitudo A E, vel \\ lat{us} AD, vt 1. # ad di$tantiam \\ EF, vel DM,

Hinc enim fit, vt cum $ecundum pr{ae}ceptum regul{ae} trium tertius numerus in $e- cundum $it ducendus, productu$q; numerus per primum diuidendus, $atis $it, $i $ecundus per primum diuidatur: quando quidem vnitas in tertio loco po$ita, $i multiplicet $ecundum numerum, eundem $ecundum numerum procreat, &c.

HAC ratione, $i duæ paites mille$im{ae} ab$cindantur ex vmbra ver$a, conti- [128]GEOMETR. PRACT. nebitur altitudo A E, vel latus AD, in di$tantia $ecundum hunc numerum 500. quòd 1000. diui$a per 2. dent Quotientem 500. At vmbra ver$a trium mille- $imarum dabunt Quotientem 333 {1/3}. quià priori differt hoc numero, 166 {2/3}. Ex quo intelligi licet, quando vmbra ver$a ab$ci$$a valde parua e$t, magnum po$- $e errorem committi in di$tantia inue$tiganda. Cum enim partes mille$imæ $int perexiguæ, facilè decipi po$$umus, vt nimirum putemus, ab $ci$$as e$$e tres mil- le$imas, cum forta$sis $olum duæ ab$ci$$æ $int: ac proinde err or committi po- terit 166 {2/3}. altitudinem AE, vellaterum A D, qui error contemnendus non e$t. At quando partes vmbræ ver$æ plures mille$imas continent, non tantus error committitur, etiam$i vnam mille$imam pro altera accipiamus. Nam $i verbi gratia putemus, ab $ci$$as e$$e partes {30/1000}. ex vmbra ver$a, cum verè ab$ci$$æ $int {31/1000}. error fieri poterit $olum in 1. altitudine A E, vellatere A D, & {7/93}. cum {30/1000}. dent Quotientem 33 {1/3}. at {31/1000}. Quotientem offerant 32 {8/31}. Itaque magis probo, vt Quadratum in altiori loco $tatuatur, quam in plano Horizontis, quia ibi plures partes vmbræ ver${ae} ab$cinduntur, quam hic, vt con- $tat in di$tantiis æqualibus E F, D M. Vides ergo magnam e$$e adhibendam diligentiam, vt accuratè partes mille$imæ rep eriantur per ea, quæ lib. 1. cap. 2. Num. 14. $crip$imus.

IAM verò, $i quadratum con$tructum $it ad certam aliquam men$uram, hoc e$t, vt latus contineat vel 1. pa$$um, vel 1. cubitũ, vel 2. pedes, aut palmos, aut 3. aut 4. &c. res erit expediti$sima, $i $emel tantum latus particularum 1000. du- catur in men$uras, quibus latus æquiualet. Ita enim in longitudinibus ex- quirendis, $i quadratum $upra planum, in quo e$t longitudo, $tatuatur, (vt fit in omnibus hypotenu$is, $iue di$tantiis à loco men$oris v$que ad aliquod pun- ctum men$ore $ublimus, depre$siu$ue, quemadmo dum patuitin proxima figu- ra, quando longitudo D M, inqui$ita e$t, patebitque in $cholio problematis 7. & in $cholio problem. 9. Item in problem. 15. Num. 5. & in problem. 26. Num. 3. & in problem. 27. Num. 3. nec non in problem. 37. & 38. Num. 3. & denique in problem. 43. & 44. & in aliis locis) diuidendus $olum e$t numerus productus per partes vmbræ ver$æ (quæ $emper ab$cinditur) notatas. Quo- tiens enim dabit longitudinem quæ$itám in data men$ura. Verbigratia, $i in vno latere comprehendantur 3. pedes, multiplicabimus latus 1000. per 3. efficie- mu$que 3000. Ita que $i in inue$tiganda longitudine quapiam ab$ci$$æ $int par- tes 200. ex vmbra ver$a, partiemur 3000. per 200. Nam Quotiens 15. dabit 15. pedes pro quæ$ita longitudine. Nam cum in proxima figura $it, vt vmbra _4. $exti_. ver$a NB, 200. ad latus BA, 1000. Italatus AD, 3. pedum ad DM, multiplican- dum e$t latus 1000. per 3. pedes, & productus numerus 3000. per 200. diuiden- dus. Eademque decæteris ratio e$t. Sic $i latus contineret {1/2} cubiti, diuidendu@ e$$et numerus 500. ex {1/2}. in 1000. procreatus per vmbram ver$am. Pari ratio- ne $i latus complecteretur 10. palmos, diuidendus e$$et numerus 1000. genitu@ ex 10. in 1000. per vmbram ver$am: vt in Quotiente prodeant palmi in longi- @udine contenti, &c. quod non indiligenter notandum e$t.

ALITER

5. QVANDO di$tantia metienda magna e$t, & ade$t bona planities campi, vti poterimus Quadrato $tabili commodi$simè hoc modo. Sit di$tantia obla- [129]LIBER TERTIVS. ta A E. Erigatur quadratum ad Horizontem ad rectos angulos, circumduca- turque, donec per eius planum oculus in A, con$titutus $ignum E, per$piciat, atque linea notetur AG. Demi$$o deinde Qua- dratov$quead Horizontis planum, ita vt latus A B, recta tendat ad $ignum E, hoc e$t, à recta notata A G, non recedat, protendatur linea re- cta per latus A D, in qua accipiantur quotcun- que partes lateri A D, æquales: vel quotcun- quealiæ men$uræ æquales, vt pa$$us, vel cubiti, v$que ad punctum a, in quo rur$us erigatur qua- dratum, (In hoc $ecundo quadrato a$$crip$i- mus Iiteras minu$culas, ne literæ vnius quadra- ti cum literis alterius confundantur, quod in $equentibus etiam ob$eruabimus.) vertatur- que, donec per eius planum idem $ignum E, ap- pareat per rectam a H. Po$t hæc quadratum Horizonti incumbat, latu$que a d, rectæ A a congruat, & dioptra circumducatur, donec eius linea fiduciæ rectæ a H, præcisè $it $uppo$ita, notenturque partes mille$i- mæin portione vmbræ ver$æ b F, quam diligenti$simè. Ab$cindetur autem $em- per vmbra ver$a, propterea quod di$tantia AE, proponitur magna, $altem ma- ior, quam A a: alio quin men$urari po$$et $ine quadrato, quemadmodum & A a. Quibus peractis, erunt triangula a b F, a A E, æquiangula, cum angulos _29. primi_. habeant rectos b, A, & alternos æquales b a F, A E a. Si ergo fiat,

_4. $exti_. Vt vmbra b F, # ad lat{us} b a, 1000, # Ita a A, nota # ad A E, di$tantiam,

inuenietur di$tantia A E, in partibus rectæ A a. Vel $i diuidatur latus b a, 1000. per partes mille$imas vmbræ B F, procreabitur numerus, $ecundum quem re- cta A a, in di$tantia eadem A E, continetur: po$ita nimirum recta A a, vt 1. vt Num. 4. o$tendimus.

6. QVOD $i ad manum non habeamus Quadratum, obtinebimus eandem di$tantiam beneficio baculi, vel arundinis hoc artificio. Figatur baculus, vel arundo in G, ad rectos angulos plano Horizontis, quod per filum aliquod cum perpendiculo facile fiet. Deinderecede per quotlibet pa$lus v$que ad A, ita vt vi$us per baculum incedens feratur in $ignũ E. Po$t hæc ducatur linea A a, ad AE, perp\~edicularis, in qua numera quotlibet etiam pa$$us v$q; ad a. Ducta tan- dem GI, ad A E, quoque perpendiculari, & ip$i A a, æquali, figatur rur$um ba- culus ad angulos rectos in tali puncto rectæ GI, nimirumin H, vt oculus iterum ex a, per baculum in cedens feratur in $ignum E: inquiranturque exqui$iti$si- me pa$$us vna cum fragmentis vnius pa$$us in H I, contenti. His enim pera- ctis, quo niam rur$us triangula H I a, a A E, æquiangula $unt, ob angulos re- ctos I, A, & alternos æquales I a H, A E a, $i fiat,

_4. $exti_. Vt H I, nota # ad I a, notam # Ita a A, nota # ad A E, di$tantiam ′

effi cietur nota di$tantia A E, in partibus rectarum G A, A a, a I. Vel $i diuidatur a I, nota per IH, notam, reperiemus, quoties Aa, in di$tantia AE, contineatur, $i nimirum recta A a, ponatur vt 1.

[130]GEOMETR. PRACT.

7. IAM verò ab$q; numer orum auxilio problema ab$oluemus, $i attentè ea con$iderentur, quælib. 2. problem. 1. Num. 7. $crip$imus. Nam $i fiat angulus quicunque B A C, & pro primo exemplo Num. 1. huius problem. $umatur A D, æqualis lateri quadrati AB, vel $i e$$et nimis magnum, æqualis $emi$si, vel tertiæ parti, aut quartæ, & c. eiu$dem lateris. Deinde D B, æ- qualis vmbræ ab$ci$${ae} B E, (quæ $umma cura per circi- numin quadrato accipienda e$t) vel eius $emi$si, vel ter- tiæ parti, aut quartæ & c. vt nimirum A D, D B, $intæquè $ub-multiplices lateris AB, & vmbræ BE, $i eisæquales non $unt. Po$t h{ae}c exin- $trumento partium $umatur AE, tot particularum, quotpalmi, aut pedes in al- titudine AF, continentur. Si enim iunctæ rect{ae} DE, parallela agatur BC, conti- nebit di$tantia F G, tot palmos, aut pedes, quotparticul{ae} in$trumenti partium in interuallo EC, comprehenduntur. Vt $i altitudo AF, $it pedum 5. erit di$tan- tia F G, pedum 3. & $ic de c{ae}teris. Atque hoc modo procedendum erit in aliis exemplis omnibus, con$iderando videlicet attentè primas tres magnitudines Regulætrium, & c. quod $emel monui$$e $atis e$t.

DISTANTIAM in plano per duas $tationes in eodem plano factas per Quadratum Geometricum metiri, quando in eius extremo erecta e$t altitudo aliqua perpendicularis, etiam$i infimum eius extremum non cernatur.

PROBLEMA III.

1. DISTANTIA inue$tiganda $it A F. Intelligatur planum Horizontis KL; erecta altitudo G L: $tatura men$oris AK, vel alia quædam men$ura cog- nita. Supra aliquam ba$em Horizonti æquidi$tantem collocetur quadratum $tabile, ita vt eius latus AD, cogitatione productum occurrat altitudini erectæ in F, ad angulos rectos. In$piciatur $ummitas G, per dioptram, $ecetque eius li- nea fiduciæ vmbram ver$am CD, in E, quod $emper con- tinget, quando di$tantia A F, maior e$t altitudine F G. quod tunc angulus A, mi- _18. primi_. nor fiat angulo G, ac proin- de $emirecto minor, quem cum AD, in A, faceret radius per G, emi$$us. Deindeacce- de magis, vel recede per lon- gitud<007>nem notam Aa, & col- locato quadrato $upra ean- dem ba$em, $ecetiterum dio- ptra ad punctum G, directa vmbram ver$am c d, in H: eritq; vmbra ver$a d H, in propinquiori$tatione ma- ior, quam vmbra ver$a D E, in$tatione remotiore, quod angulus a, maior $it _16. $exti_. angulo A. Auferatur dI, ip$i D E, æqualis, vt HI, differentia $it vmbrarum ver- [131]LIBER TERTIVS. $arum. Et quia e$t, vt AD, ad DE, ita AF, ad FG: eritrectangulo $ub A D, FG, _4. $exti_. æquale rectangulum $ub D E, AF. Eadem ratione erit rectangulo $ub a d, F G. _16. $exti_. rectangulum $ub dH, aF, æquale: propterea quod etiam e$t vta d, ad dH, ita _4. $exti_. aF, ad F G. Cum ergo rectangulum $ub AD, FG, æquale $it rectangulo $ub a d, F G, quod rectæ A D, a d, æquales $int: erit quo que rectangulum $ub dH, aF, rectangulo $ub DE, AF, hoc e$t, $ub dI, AF, æquale; ideo que erit, vt dH, prima _16. $exti_. ad d I, $ecundam, ita AF, tertia ad AF, quartam: Et permutando, vt tota dH, ad totam AF, ita ablata dI, ad ablatam aF. Igitur erit quoque reliqua H I, ad reli- _19. quinti_. quam Aa, vt tota d H, ad totam A F. Quocirca $it fiat,

Vt H I, differentia \\ vmbrarum ver$a- \\ rum # ad Aa, differentiam \\ $tationum: # Ita dH, vmbra ver$a \\ propinquior{is} $tatio- \\ n{is}, $iue maior, # ad A F, \\ di$tantiã

producetur A F, di$tantia nota in partibus differentiæ $tationum Aa, notæ.

2. EADEM pror$us ratio e$t in quadrato pendulo. Nam filum perpendiculi ab$cindit quo que triangula ADE, ad H, triangulis AFG, aFG, æquiangula: pro- _29. primi_. pterea, quod tam anguli D, F, recti$unt, & angulus F, hoc e$t, alternus B A E, angulo AGF, externus interno æqualis; quam anguli d, F, recti, & angulus H, id e$t, alternus ba H, angulo a G F, externus interno æqualis. Reliqua demon$tra- buntur, vt prius. $unt enim vmbræ ver$æ in pendulo quadrato vmbris in $tabili æquales. Nam cum duo anguli D, E, in triangulo ADE, quadrati penduli æqua- les $int duobus angulis D, E, in triangulo ADE, quadrati $tabilis, quod ea trian- _26. primi_. gula $int, vt o$tendimus, æquiangula: $int autem & latera AD, AD æqualia; e- runt & rectæ D E, D E, hoc e$t, vmbræ ver$æ, æquales. Eademque ratione ver$æ vmbræ d H, d H, æquales erunt, &c.

3. SI in vtraq; $tatione vmbra recta ab$cindatur à linea fiduciæ, vel à filo per- pendiculi, vtin E, & H, quod quidem $emper continget, quando di$tantia A F, minor e$t altitudine FG, quod tunc angulus A, maior fiat angulo G, ac proin- _18. primi_. de $emirecto maior, quem cum AD, con$titueret radius per C, emi$$us. Eritque vmbra recta BE, in remotiore $tatione ma- ior, quã vmbra recta b H, in $tatione pro- pinquiore, quòd angulus FaG, maior $it _16. primi_. angulo F A G; ac proinde baH, minor an- gulo BAE. Auferatur BI, ip$i bH, æqualis, vt I E, differentia $it vmbrarum rectarum. Et quia triangula ABE, AFG, æquiangula $unt, propter angulos rectos B, F, & al- _29. primi_. ternos æquales B A E, A G F: erit vt A B, _4. $exti_. ad B E, ita F G, ad A F, & permutando, vt AB, ad F G, ita BE, ad A F. Eademratione, quia triãgula a b H, a F G, æquiãgula $unt, _29. primi_. propter rectos angulos b, F, & alternos æquales b a H, a G F, erit vt ab, ad b H, _4. $exti_. ita F G, ad a F: Et permutando vt a b, ad FG, ita b H, ad A F. Cum ergo $it, vt AB, ad F G, ita a b, ad FG, propter rectas æquales AB, a b. erit quo que vt BE, tota ad A F, _11. quinti_. [132]GEOMETR. PRACT. totam ita BI, ablata ip$i b H, æqualis, ad ablatum a F. Igitur erit & reliqua I E, _19. quinti_. ad reliquam A a, vt tota B E, ad totam AF. Quapropter $i fiat.

Vt I E, differen- \\ tia vmbrarum \\ rectarum # ad A a, differen- \\ tiam $tationum: # Ita B E, vmbra recta re- \\ motior{is} $tation{is}, $iue \\ maior # ad AF, di- \\ $tantiam,

procreabitur AF, di$tantia nota in partibus differentiæ $tationum A a, notæ.

4. EADEM omnino in quadrato pendulo e$t ratio. Nam filum perpendi- culi ab $cindit quo que triangula ABE, ab H, triangulis A F G, aFG, æquiangula; _29. primi_. quod tam anguli B, F, recti $int, & angulus BAE angulo AGF, externus inter- no æqualis, quam anguli b, F, recti, & angulus b a H, angulo a GF, æqualis, ex- ternus interno. Reliqua demon$trabuntur, vt in $tabili quadrato. Sunt enim vmbræ rectæ in quadrato pendulo vmbris rectis in $tabili æquales. Nam cum duo anguli B, E, in triangulo A B E, quadrati penduli, æquales $int duobus an- gulis B, E, in triangulo A B E, quadrati $tabilis; quod hæc triangula $int, vt o- $ten$um e$t, æquiangula, vt pote æquiangula triangulo A G F; erunt & rectæ _26. primi_. B E, B E, hoc e$t, vmbræ rectæ æquales. Eademque ratione vmbrærectæ b H, b H, æ- quales erunt &c.

5. SI denique in ren<007>otiore $tatione $ece- _Ad dexterum_ _angulum $u-_ _perioremprio-_ _r{is} quadrati_ _pone C. ad de-_ _xterum infe-_ _riorem po$te-_ _rior{is} d_. turvmbra ver$a C D, in E, & recta b c, in H, in $tatione propinquiore, reducenda erit alteru- tra earum ad alteram, vt habeantur $imiles vm- bræ, per ea, quæ in quadrati con$tructione Nu. 7. ad initium huius libritradidimus, diuidendo nimirum quadratum lateris A B, per vmbram, quæreduci debet, &c. Nam $i fiat vt I N, differentia vmbrarum $iue rectarum, $iue ver$arum, ad A a, differentiam $tationum: Ita B N, maior vmbra recta vel d N, vmbra ver$a maior ad aliud, gignetur di$tantia A F, vt demon$tratum e$t Numero 3. & 1.

6. QVOD $i quando in vna $tatione linea fiduciæ tran$ierit per C, a$$umi poterit vel latus vmbrærectæ BC, vel ver$æ C D, prout in altera $tatione ab$ci$$a erit vmbra recta, vel ver$a; vt nimirum vmbræ $int $imiles.

COROLLARIVM I.

COLLIGITVR ex demon$tratis, eundem e$$e operandi modum in vtroq; _Eundem e$$e_ _modum ope-_ _randi in vtro-_ _quequadrato._ quadrato: quando quidem eædem vmbræ in quadrato pendulo, quæ in $tabili, ab$cinduntur, vt o$tendimus: Ita que præcepta, quæ in vno præ$cribuntur, in altero quo que ob$eruanda $unt.

COROLLARIVM II.

PATET etiam ex dictis, operationem non variari, $iue per vmbras ver$as, _Eundem e$$e_ _operandi mo-_ _dum per vm-_ _br{as} ver${as}, &_ _per rect{as}._ $iue per rectas in$tituatur: quando quidem $emper e$t, vt differentia vmbrarum ad differentiam $tationum, ita vmbra maior, ad di$tantiam, quæ inue$tiganda proponitur, vt demon$tratum e$t.

[133]LIBER TERTIVS.

CÆTERVM in $cholio problematis 7. præ$cribemus ration\~e, qua eandem di$tantiam A F, metiri licebit per vnicam $tationem.

DISTANTIAM eandem per duas $tationes in aliqua altitudine ere- cta factas, ope quadrati per$crutari.

PROBLEMA IV.

1. QVANDO in plano commode fieri nequeunt duæ $tationes, erigatu@ ha$ta aliqua K b, in qua fiant duæ $tationes oculi men$oris in A, a: Vel in dua- bus fene$tris alicuius turris, quarum vna $uper$tet alteri ad perpendiculum: ab- $cindatur que primum latus vmbræ ver$æ in vtraque $tatione in E, H, Erit que in- ferioris $tationis vmbra ver$a D E, maior, quam vmbra ver$a d H, $tationis $u- perioris, quod angulus A, maior $it angulus A, maior $it angulo a; quip pe cũ A G F, minor $it, quama G M; & angu- li F, M, recti. Sumatur D I, ip$i d H, _4. $exti_. æqualis; Et quoniam e$t, vt A D, ad D E, ita A F, ad F G: erit permutando, vt A D, ad A F, ita D E, ad F G. Eadem- que ratione erit, vt ad@ ad a M, ita d H, ad M G. Cum ergo eadem $it proportio A D, ad A F, qu{ae} a d, ad a M, propter {ae}- qualitatem linearum AD, a d, & AF, a M; _11. quinti_. Erit vt D E, tota ad totam FG, ita dH, _19. quinti_. hoce$t DI, ablata ad ablatam MG. Igi- turerit quoque reliqua I E, ad reliquam F M, hoc e$t, ad reliquam A a, vt tota D E, ad totam F G, hoc e$t, vt A D, ad A F; cum o$ten$um $it e$$e A D, ad A F, vt DE, ad FG. Quocirca $i fiat,

Vt IE, differentia vm- \\ brarum ver$arum # ad A a, differen- \\ tiam $tationum, # Ita AD, lat{us} \\ quadrati # ad A F, @d<007>$tan- \\ tiam,

manife$ta colligetur di$tantia AF, in partibus diffe- renti{ae} $tationum Aa.

2. SI in vtraque $tatione latus vmbr{ae} rect{ae} in- ter$ecetur in E, H, reducenda e$t vtraque vmbra re- cta B@ E, b H, ad ver$am, per ea, qu{ae} tradita $unt ad initium huius libri in con$tructi@ne quadrati Numero 7. diuidendo videlicet quadratum nu- merum lateris quadrati per vtramque vmbram rectam ab$ci$$am $igillatim. Nam $i produ- cantur latera D C, d c, vmbr{ae} ver${ae} v$que ad radios A G, a G, ad puncta I, K, erit iterum, vt demon$trauimus Numero 1. vt I N, differentia vmbrarum ver$arum ad A a, differentiam $tationũ [134]GEOMETR. PRACT. ita AD, latus quadrati ad A F, di$tantiam. Ergo vt Num. 1. o$ten$um e$t, inue- nietur di$tantia AF, in partibus differentiæ $tationum Aa.

ALITER

SINE reductione vmbrarum rectarum ad ver$as hoc alio modo eandem di- $tantiam AF, eliciemus. Ex OH, differentia vmbrarum rectarum in latus a b, fiat P: & ex b H, vmbra recta maiore in minorem B E, fiat Q. Et quia e$t, vt I D, ad _4. $exti_. DA, ita AB, ad BE; erit rectangulum $ub ID, B E, æquale quadrato ex A D, vel _17. $exti_. AB. Eodemque modo rectangulum $ub K d, b H, quadrato ex a d, vel a b, hoc e$t, eidem quadrato ex AD, vel AB, æquale erit: ac proinde rectangula $ub ID, _16. $exti_. B E: & $ub K d, b H, æqualia inter $e erunt. Igitur erit, vt I D, ad K d, ita b H, ad BE, & permutando vt I D, ad b H, ita K d, ad B E, hoc e$t, vt I D, tota ad totam _19. quinti_. b H, ita K d, hoc e$t, ita D N, ablata ad B E, hoc e$t, ad b O, ablatam: Ideoque erit & reliqua I N, ad reliquam O H, vt tota I D, ad totam b H; & permutando I N, ad ID, vt O H, ad b H. Quia vero proportio I N, ad D A, (po$ita media ID,) componitur ex proportionibus I N, ad ID, & I D, ad D A: E$t autem, vt pro- xime mon$tratum e$t, vt I N, ad I D, ita O H, ad b H; & vt I D, ad D A, ita A B, _4. $exti_. ad B E: componetur quoque proportio IN, ad DA, ex proportionibus O H, ad b H, & A B, ad B E. Sed proportio etiam producti P, ad productum Q@ com- _23. $exti_. ponitur ex ei$dem proportionibus, nimirum ex lateribus. Igitur eadem e$t pro- portio P, ad Q, \~q IN, ad D A. Cum ergo, vtin 1. modo huius Num. 2. o$tendi- mus, $it I N, ad A a, vt AD, ad A F, hoc e$t, permutando vt I N, ad D A, ita A a, ad A F: Erit quoque P, ad Q, vt A a, ad A F. Quapropter $i fiat,

Vt P, numer{us}, qui fit ex O H, \\ differentia vmbrarum recta- \\ rum in a b, lat{us} quadrati, # ad Q, numerum, qui \\ fit ex vmbra recta \\ b H, maiore in mino- \\ rem B E, # Ita A a, dif- \\ ferentia$ta- \\ tionum # ad A F, \\ di$tan- \\ tiam,

producetur eadem di$tantia quæ$ita A F, in partibus differentiæ $tationum A a.

ALITER.

QVONIAM e$t, vt b H, ad a b, ita a M, ad M G: $i fiat,

_4. $exti_. Vt b H, vmbra \\ recta, # ad d b, lat{us} qua- \\ drati 1000. # Ita a M, qua- \\ ten{us} 1. # ad M G,

hoc e$t, (quia 1. multiplicans latus quadrati 1000. producit idem latus 1000.) $i quadrati latus 1000. ab, diuidatur per vmbram rectam b H, exibit Quotiens M G, indicans, quoties a M, quatenus 1. in M G, comprehendatur. Eodem pa- cto, $i fiat,

Vt B E, vmbrarecta # ad A B, lat{us} qua- \\ drati 1000. # Ita A F, quaten{us} 1. # ad F G,

hoc e$t, $i quadrati latus 1000. A B, diuidatur per vmbram rectam B E, fiet Quo- tiens F G, $ignificans, quoties A F, quatenus. 1. contineatur in F G. Si igitur ex po$teriore hoc Quotiente F G, priorille Quotiens M G, detrahatur, reliqua fiet F M, vel A a, differentia $tationum cognita in partibus, quarum A F, e$t 1. Quo- circa $i fiat,

[135]LIBER TERTIVS. Vt A a, differentia Quotientum \\ qui fiunt, $ilat{us} quadrati \\ per vtramque vmbram rectam \\ diuidatur, # ad A a, differentiam \\ $tationum notam in \\ men$ura aliqua: # ita A F, \\ vt 1. # ad AF, \\ di$tan- \\ tiam,@

hoc e$t, $i differentia $tationum diuidatur per dif- ferentiam Quotientum, efficietur nota di$tantia AF, in partibus differentiæ $tationum A a, &c.

3. SI denique in $tatione inferiori latus vm- brærectæ $ecetur in E, & in $uperiori $tatione latus vmbræ ver$æ in H, reducenda quo que erit vmbra recta ad ver$am, vt diximus, & producendum la- tus D C, vmbræ ver$æ v$que ad punctum N, $u- mendaque D I, ip$i d H, æqualis. Nam vt Num. 1. o$tendimus, $i fiat,

Vt N I, differentia vm- \\ brarum ver$arum # ad Aa, differentiam \\ $tationum: # Ita A D, lat{us} \\ quadrati # ad A F, di- \\ $tantiam,

cognita rur$us erit di$tantia A F, in partibus differentiæ $tationum A a.

ALITER.

SINE reductione vmbræ rectæ ad ver$am ita quoque agemus. Numerus qui fit ex recta vmbra B E, in vmbram ver$am d H, auferatur ex 1000000. qua- drato lateris 1000. re$iduumque $it, O. Item ex vmbra recta B E, in latus qua- drati 1000. fiat P. Et quoniam, vt initio huius libro in con$tructione quadrati Numer. 6. o$tendimus, latus quadrati medio loco proportionale e$t inter vm- bras B E, D N: Erit rectangulum $ub B E, D N, quadrato lateris æquale. Cũ _16. $exti_. _1. $ecundum_. ergo rectangulum $ub B E, D N, æquale $itrectangulis $ub D E, D I, & $ub B E, N I: $i rectangulum $ub B E, D I, auferatur ex rectangulo $ub B E, DN, id e$t, ex 1000000. quadrato lateris A D, reliquum fiet rectangulum $ub B E, N I; ac proinde cum D I, ip$i d H, $i æqualis, fiet rectangulum $ub B E, D I, ex vmbra B E, in vmbram d H; atque idcirco reliquum rectangulum $ub B E, N I, (quod videlicet relin quitur, $i rectangulum $ub B E, D I, ex quadrato late- ris detrahatur, vt dictum e$t,) numero O, æquale erit. E$t autem ex con$tru- ctione rectangulum quo que $ub B E, vmbrarecta, & latere A D, numero P, æ- quale. Igitur cum numerus B E, multiplicans N I, A D, producat O, P, _17. $ept_. erit O, ad P, vt N I, ad AD. Sed vt Numero 1. huius problematis demon$tra- uimus, vt NI, differentia vmbrarum ver$arum ad A a, differentiam $tationum, ita e$t AD, latus quadrati ad AF, & permutando vt NI, ad AD, ita A a, ad AF. Igi- tur erit quoque O, ad P, vt A a, ad A F. Quamobrem $i fiat,

_Vt O, numer{us}, quirelinquitur \\ $inumer{us} genit{us} ex vmbra \\ recta in ver$am ex quadrato \\ later{is} de@rahatur, # ad numerum P, \\ qui ex vmbra re- \\ cta B E, in lat{us} AD, \\ producitur: # Ita A a, diffe- \\ @entia$tatio- \\ tionum # Ad AF, \\ di$tan- \\ tiam_ [136]GEOMETR. PRACT.

procreabitur di$tantia quæ$ita AF, in partibus differentiæ $tationum Aa,

4. HIC etiam $i forte in vna $tatione linea fiduciæ, aut filum perpendiculi, tran$ierit per punctum, C, a$$umendum erit vellatus vmbræ rectæ, vel ver$æ, vt Num. 6. præcedentis problematis dictum e$t.

ALTITVDINEM cuiuslibet rei erectæ per eius di$tantiam ab ocu- lo men$oris, beneficio quadrati coniicere.

PROBLEMA V.

1. SIT altitudo conijcienda GL, vel ML, vel IL, ad Horizontem perpen- dicularis. Statura men$oris, vel aliqua alia men$ura nota $it F L, vel A K, pare- turque planum Horizonti parallelum A F, in quo quadratum erigatur, cuius la- tus A D, intelligatur productum occurrens altitudini in F. In$pecto cacumine I, $ecet primum dioptra vel filum perpendiculi latus C D, vmbræ ver$æ in E. quod accidet, quando di$tantia A F, maior e$t, altitudine F I, vt problemate @. Num. 1. o$tendimus. Quoniam igitur triangulum ADE, triangulo AFI, æqui- angulum e$t, vtibidem mon$tratum e$t; erit vt AD, ad DE, ita AF, ad FI. Quã- _4. $exti_. obrem $i fiat,

Vt lat{us} qua- \\ drati 1000. # Ad vmbram \\ ver$am DE: # Ita di$tantia A F, vel data, vel \\ inuenta per probl. 3. aut 4. # AD F I

patefacta erit altitudo F I, in partibus di$tantiæ _A_ F, quæ $i data non e$t, exqui- renda erit vel per problema 3. vel 4. Et $i ad F I, adijcietur men$ura, vel $tatura men$oris F L, tota altitudo propo$ita IL, nota fiet,

2. DEINDE linea fiduciæ tran$eat per punctum C. quod fiet, quando di- _$chol. 34._ _primi_. $tantia AF, altitudini FM, æqualis e$t; quod tunc angulus CAD, $emirectus $it, ac proinde & reliquus M, in triangulo F A M. Ideoque latera AF, FM, æqua- _6. primi_. lia $int. Quanta ergo e$t di$tantia AF, quæ vel data e$t, velinuenienda per pro- blema 3. vel 4. tanta erit altitudo F M, cui addita F L, nota patefaciet totam al- titudinem M L.

3. POSTREMO inter$eceturvmbræ rectæ latus in H. quod eueniet, quan- [137]LIBER TERTIVS. do di$tantia A F, minor e$t altitudine F G: eritque triangulum A B H, triangu- lo AFG, æquiangulum, vt problemate 3. Num. 3. demon$trauimus. Igitur erit, vt BH, ad AB, ita AF, ad F G: ac proinde, $i fiat,

Vt vmbra \\ recta B H, # ad AB, lat{us} qua- \\ drati 1000. # Ita di$tantia AF, veldata, vel \\ inuenta per probl. 3. aut 4. # ad F G,

nota euadet FG, cui$i addetur men$ura vel $tatura men$oris F L, efficietur nota tota altitudo G L, propo$ita.

ALTITVDINEM eandem, etiam$i eius di$tantia ab oculo men$o- ris neque data $it, neq; inuenta, per duas $tationes in plano factas pa- tefacere auxilio quadrati.

PROBLEMA VI.

1. PROPOSITA $it altitudo metienda FG, $eclu$a men$oris $tatura FL. Fi- ant duæ $tationes, vt in problemate 3. cuius figura 1. hicrepetatur, $eceturque primum vmbra ver$a in vtraque $tatione in punctis E, H. Et quia propter $imili- tudinem triangulorum ADE, AFG, e$t vt DE, ad A D, ita F G, ad A F: $i fiat,

Vt D E, vmbra ver- \\ $a ab$ci$$a # ad AD, lat{us} qua- \\ drati 1000. # Ita FG, quaten{us} 1. # ad A F.

hoc e$t, (cum 1. multiplicans latus quadrati 1000. producat idem latus 1000.) $i quadrati latus 1000. diuidatur per vmbram ver$am D E, prodibit Quotiens AF, indicans, quoties FG, in AF, contineatur. Eodem pacto $i fiat,

Vt vmbra ver$a d H, # ad a d, lat{us} quadra, \\ ti 1000. # Ita F G, quaten{us} \\ 1. # ad a F,

hoc e$t, $<007> quadrati latus 1000. diuidatur per vmbram ver$am d H, gignetur Quotiens a F, mon$trans, quoties FG, in a F, contineatur. Siigitur po$terior hic Quotiens a F, ex priori Quotiente a F, detrahatur, relinquetur differentia A a, cognita in partibus, quarum F G, e$t 1. Siergo fiat,

[138]GEOMETR. PRACT. Vt A a, differentia Quotientum. diui$o \\ latere Quadrati per vtramque vm- \\ bram ver$am, # ad A a, dif- \\ ferentiam \\ $tationum. # Ita F G, vt 1. # ad FG,

producetur altitudo F G, inpartibus differentiæ $tationum A a, nota, & adiecta men$oris $tatura F L, tota altitudo GL, nota fiet.

ALITER.

EX differentia H I, vmbrarum ver$arum in latus quadrati gignatur nume- rus N: & ex vmbra ver$a D E, in ver$am d H, fiat O. Productis autem lateribus BC, bc, v$que ad R, P, in radijs, ab$cindatur B Q, ip$i b P, æqualis. Et quia, vt pro- blemate 3. Num. 3. demon$tratum e$t, ita e$t OR, differentia vmbrarumrectarum _4. $exti_. ad A a, differentiam $tationum, vt vmbra recta maior BR, ad AF, di$tantiam: Vt autem B R, ad B A, ita e$t A F, ad F G: & permutando, vt B R, ad A F, ita B A, ad F G; erit quoque QR, ad A a, vt B A, ad F G, & permutando Q R, ad B A, vt A a, _4. $exti_. ad F G. Dico iam, vt e$t QR, ad AB, ita e$$e numerum N, ad numerum O. Cum _16. $exti_. enim $it, vt DE, ad DA, ita AB, ad BR; erit rectangulum $ub DE, BR, rectangulo $ub D A, A B, hoc e$t quadrato lateris æquale. Eademque ratione erit rectangu- lum $ub d H, b P, eidem quadrato laterisæquale; ideo que rectangulum $ub DE, BR, rectangulo $ub d H, b P, æquale erit. Igitur erit, vt D E, ad D H, ita b P, ad _16. $exti_. B R: & conuertendo, vt d H, ad D E, ita B R, ad b P, vel ad B Q: & permutando _19. quinti_. vttota d H, ad totam BR, ita DE, vel d I, ablata ad b P, vel ad BQ@ ablatam. Igi- tur & reliqua HI, ad reliquam QR, erit, vt tota dH, adtotam BR, vel vtablata dI, ad ablatam BQ; & permutando, vt H I, ad d I, ita QR, ad B Q, vel ad b P. Pro- _23. $exti_. portio autem numeri N, ad numerum O, componitur ex proportionibus HI, ad d I, vel ad DE, & lateris a d, ad d H: propterea quod N, factus e$t ex HI, differen- tia vmbrarum ver$arum in latus quadratia d; Atvero O, ex vmbra ver$a D E, in ver$am d H, ex con$tructione. Cum ergo $it, vt paulo ante o$tendimus, quem- _4. $exti_. admodum HI, ad d I, ita QR. ad b P, It\~e vtlatus a d, ad DH, ita b P, ad b a, com- ponetur quoque proportio N, ad O, ex proportionibus QR, ad b P, & b P, ad b a. Sed ex his ei$dem componitur proportio QR, ad ba. Igitur eadem e$t pro- portio N, ad O, quæ QR, ad b a, vel BA. quod o$tendere volebamus e$t autem vt QR, ad BA, ita A a, differentia$tationum ad altitudinem F G, vt $upra o$tendi- mus prope initium huius demon$trationis. Igitur $i fiat,

Vt N, numer{us}, qui fit ex HI, \\ differentia vmbrarum ver$a- \\ rum in lat{us} quadrati 1000. # ad numerum O, fa- \\ ctum ex vmbra ver- \\ $a D E, in ver$am dH. # Ita A a, dif- \\ ferentia$ta- \\ tionum # ad F G, \\ altitudi- \\ dinem,

deprehen$a erit altitudo FG, in partibus differentiæ $tationum A a, &c.

ALITER

REDVCATVR vtraque vmbra ver$a ad rectam, vt adinitium huius libri in quadrati con$tructione Num. 7. docuimus. Nam per has vmbras rectas altitudi- nem FG, nanci$cemur, vti Num. 2. in $equenti tradetur.

2. SECETVR deinde vtraque vmbra recta in E, H, vt in 2. figura problema- tis 3. quæ hic repetatur. Et quoniam ob $imilem triangulorum A B E, A F G, [139]LIBER TERTIVS. e$t, vt BE, ad AB, ita AF, ad GF; erit permutando, vt BE, ad AF, ita AB, ad a _4. $exti_. FG. Eademque ratione erit vt b H, ad a F, ita a b, ad FG; ac proinde erit, vt tota BE, ad totam AF, ita ablata b H, vel B I, ad ablatam a F, cum vtraque propor- tio $it, quæ AB, vel a b, ad FG.

Igitur erit quo que reliqua IE, ad reliquam A a, vt tota BE, ad totam AF, hoc e$t, vt AB, ad FG, cum duæ h{ae} proportiones eædem inter $e $int, vt paulò ant@ demon$trauimus. Quo circa $i fiat,

Vt IE, differentia vmbra- \\ rum rectarum # Ad Aa, differentiam $ta- \\ tionum: # Ita A B, quadrati \\ lat{us} 1000. # ad F G,

pro$iliet nota altitudo FG, & adiuncta men$oris $tatura FL, tota altitudo G L, qu{ae}$ita nota efficietur.

ALITER.

DIVIDE quadrati lat{us} 1000. per vtramque vmbram rectam, & minorem Quo- tientem duc in differ entiam $tationum, numerumque productum partire per differen- tiam Quotientum. Si namque hic vltim{us} Quotiens ducatur in Quotientem maiorem ex prior<007>b{us} duob{us} Quotientib{us}, produc{et}ur altitudo quæ$i@a in partib{us} differentiæ $tationum. Quod ita per$picuum fi{et}.

SIT vmbra recta minor b H. 50. verbi gratia, & maior B E, 125. at differentia $tationum Aa, $it 16. pa$$uum. Et quia e$t, vt b H, ad a b, ita a F, quatenus 1. ad _4. $exti_. F G; $i a b, 1000. diuidatur per b H, 50. indicabit Quotiens 20. rectam a F, in F G, contineri vicies.

SIC etiam, quia e$t, vt BE, ad A B, ita AF, quatenus 1, ad FG; $i A B, 1000. _4. $exti_. diuidatur per BE, 125. mon$trabit Quotiens 8. rectam AF, in FG, contineri o- cties. Quia itaque A a, 16. pa$$uum vna cum a F, continetur in FG, octies, fit vt Aa, 16. pa$$uum octies $umpta, vna cum a F, octies quoque $umpta, faciat 128. pa$$us, & a F, octies $umptam, nimirum numerum ip$i F G, æqualem. E$t autem [140]GEOMETR. PRACT. vicies $umpta eidem FG, æqualis. Igitur 128. pa$$us, vna cum a F, octies $umpta æquiualent ip$i a F, vicies $umptæ. Si ergo vtrobique auferatur a F, octies $um- pta, reliqui erunt 128. pa$$us æquales ip$i a F, duodecies $umptæ. Quare $i 128. diuiduntur per 12. prodibunt 10 {2/3}. pa$$us pro recta, a F, cum hic Quotiens in 12. ductus producat 128. Cumigitur a F, contineatur vicies in F G: $i a F, 10 {2/3}. pa$$uum ducatur in 20. pro creabitur altitudo F G, 213 {1/3}. pa$$uum. Vides ergo minorem Quotientem 8. in differentiam $tationum pa$$uum 16. ductam e$$e, vt gignerentur 128. & hunc numerum diui$um e$$e per 12. differentiam Quotien- tum, vt pro dirent pa$$us 10 {2/3}. pro recta a F: ac tandem hunc Quotientem 10 {2/3}. ductum e$$e in 20. Quotientem maiorem, vt produceretur altitudo F G, pa$- $uum 213 {1/3}. vt in regula pr{ae}cepimus. Quam altitudinem etiam reperies per præ- cedentem viam, $i nimirum fiat, vt 75. differentia vmbrarum rectarum, ad diffe- rentiam $tationum, nimirum ad 16. pa$$us. ita quadrati latus 1000. ad aliud. Nam 16. ducta in 1000. & productus numerus 16000. diui$us per 75. facit Quo- tientem 213 {1/3}. veluti prius.

3. DENIQVE in remotiore $tatione inter- $ecetur vmbra ver$a in E, & in propinquiore vmbra recta in H, vt in 3. figura problem. 3. Re- ducta vmbra ver$a adrectam, vt in Quadrati con$tructione Num. 7. principio huius lib. $cri- p$imus: $i fiat, vt IN, differentia vmbrarum re- ctarum ad A a, differentiam $tationum, ita A B, latus Quadrati 1000. ad aliud, procreabitur al- titudo F G, quemadmodum Num. 2. o$ten- dimus.

4. SI fortè in vna $tatione tran$iret linea fiduciæ, aut filum perpendiculi per punctum C, a$$umendum e$$et in primo ca$u latus C D, vmbr{ae} ver${ae} in duo- bus autem aliis ca$ibus latus BC, vmbr{ae} rectæ.

ALITER.

Sine reduct<007>one vmbr{ae} ver${ae} ad rectam ita agendum erit. Numerus, qui fit ex vmbra ver$a D E, in vmbram rectam b H, auferatur ex 1000000. quadrato lateris 1000@ re$i duumque $it P. Item ex vmbra ver$a DE, in latus 1000. fiat Q. Et quoniam ob triangulorum $imilitudinem e$t, vt BN, ad BA, ita AF, ad F G: _4. $exti_. Etpermutando, vt BN, ad AF, ita BA, ad FG. Sed vt BN, vmbra recta maior ad A F, di$tantiam, ita e$t I N, differentia vmbrarum rectarum ad A a, differentiam $tationum, vt Num. 5. in problem. 3. dictum e$t. Igitur erit quoque IN, ad Aa, $icuti AB, ad FG: Et permutando IN, ad AB, vt Aa, ad FG. Dico iam ita e$$e P, ad Q, vt IN, ad AB. Quoniam enim e$t, vt DE, ad AD, ita AB, vel AD, ad _4. $exti_. BN: erit rectangulum $ub DE, BN, {ae}quale quadrato numero 1000000. lateris _17. $exti_. AB, 1000. E$t autemrectangulum $ub DE, BN, æquale rectangulis $ub DE, _1. $ecundi_. BI, & $ub DE, IN. Igitur $i productum ex vmbra ver$a DE, in B I, hoc e$t, in vmbram rectamb H, dematur ex rectangulo $ub DE, BN, hoc e$t, ex quadrato 1000000. remanebit rectangulum $ub DE, IN. Ac propterea P, fiet ex DE, in IN. Fit autem Q, ex eadem vmbra ver$a DE, in latus AB, 1000. Igitur cum DE, multiplicans IN, & AB; producat P, Q, erit P, ad Q, $icut IN, ad AB; hoc _17. $exti_.@ e$t, $icut Aa, ad FG. Quocirca $i fiat.

[141]LIBER TERTIVS. Vt P, numer{us}, qui relinquitur, $i \\ product{us} ex vmbra ver$a D E, \\ in vmbrã rectam b H, ex qua- \\ drato 1,000,000. d{et}rahatur. # ad Q, numerum, \\ qu<007> fit ex vmbra \\ ver$a D E, in la- \\ t{us} A B, 1000. # Ita Aa, diffe- \\ rentia $tatio- \\ num # ad F G, al- \\ titudinem,

producetur altitudo F G, nota in partibus differenti{ae} $tationum A a: cui $i ad- iicietur $tatura men$oris F L, tota altitudo GL, nota efficietur.

IN $cholio porro $equentis problematis idem hoc problema per vnicam $tationem ab$oluemus.

ALTITVDINEM eandem, quando d<007>$tantia ab oculo men$oris ne- que data e$t, neque inuenta, neque è directo altitudinis duæ $tationes fieri po$$unt, per duas $tationes in aliqua ha$ta erecta factas, indagare per Quadratum.

PROBLEMA VII.

1. CVM in plano duæ $tationes fieri commodè nequeunt erigatur ha$ta ali- qua K b, ad Horizontem recta, ni$i fortè ad $it aliquod ædificium erectum, <007>bi- que fiant duæ $tationes in A, & a, vt in problemate 4. Cadat autem primum dioptra, vel filum perpendiculi in vtra- que $tatione in vmbram ver$am, vt in 1. figura problematis 4. qu{ae} hic repetita e$t. Et quoniã propter triangulorũ $imili- _4. $exti._ tudin\~e e$t, vt A D, ad D E, ita AF, ad F G; erit permutando vt AD, ad AF, ita DE, ad FG. Eademque ratione erit vt, a d, ad a M, ita d H, ad M G. Cumergo eadem $it proportio A D, ad A F, quæ a d, ad a M, propter {ae}qualitatem rectarum AD, ad, & AF, a M; erit vt tota D E, ad totam _11. quinti._ F G, ita d H, hoc e$t, ita D I, ablata ad ablatam MG. Igitur erit quo que reliqua _19. quinti._ I E, ad reliquam F M, hoc e$t, ad D d, vt tota D E, ad totam F G. Quocirca $i fiat,

Vt IE, differentia vm- \\ brarum ver$arum # ad Dd, differentiam \\ $tationum: # Ita D E, mæior vm- \\ bra ver$a # ad F G, altitu- \\ d<007>nem

euadet cognita altitudo F G, in partibus differentiæ $tationum D d. Appo$ita autem $tatura men$oris FL, tota altitudo G L, quæ$ita cognita erit.

2. ABSCINDAT deinde dioptra in vtraque $tatione vmbram rectam, vt in 2. figura problematis 4. quæ po$ita e$t in pagina 103. Et quia propter trian- _4. $exti._ gulorum $imilitudinem e$t vt b H, ad ab, ita a M, ad M G: erit rectangu- _16. $exti._ lum $ub b H, M G, æquale rectangulo $ub a b, a M. Eadem ratione erit rectan- gulum $ub B E, F G, æquale rectangulo $ub A B, A F, quod eadem quo que _4. $exti._ fit proportio B E, ad A B, quæ A F, ad F G. Cum ergo rectangulum $ub a b, a M, rectangulo $ub A B, AF, æquale $it, ob æqualitatem rectarum a b, A B, & a M, AF, erit etiam rectangulum $ub b H, M G; rectangulo $ub BE, FG, æquale, [142]GEOMETR. PRACT. Quare erit vt tota BH, ad totam FG, ita BE, vel b O, ablata ad ablatam MG; _17. $exti._ Ac propterea erit quo que reliqua O H, ad reliquam F M, $iue ad A a, vt tota _19. $exti._ b H, ad totam FG. Quamobrem $i fiat,

Vt O H, differentia vmbra- \\ rum rectarum # ad A a, differentiam \\ $tationum: # Ita b H, maior \\ vmbrarecta # ad F G, alti- \\ tudinem,

altitudo F G, prodibit cognita, qu{ae} cum $tatura men$oris F L, totam altitudi- nem LG, efficiet notam. Vbi vides eundem pror$us e$$e operand<007> modum in vmbris rectis, & in ver$is.

3. POSTREMO in $tatione inferiori re$ecetur vmbra recta BE, & ver$a d H, in $uperiori $tatione, vt in 3. figura problematis 4. quæ po$ita e$t in pagina 105. Reducta ergo vmbra recta ad ver$am, vt ad initium huius libri in con$tructione Quadrati Num. 7. declarauimus: $i fiat, vt IN, differentia vmbrarum ver$arum ad A a, differentiã $tationum, ita DN, vmbra ver$a maior ad aliud, pro creabitur F G, altitudo in partibus differentiæ $tationum A a, quemadmodum Num. 1. demon$trauimus. Quod $i malueris reducere vmbram ver$am ad rectam, ean- dem altitudinem reperies per duas vmbras rectas, ceu Num. 2. mon$trauimus.

4. QVANDO forta$$e in altera $tationum linea fiduciæ tran$iret per pun- ctum C, in arbitrio tuo erit, vel totum latus vmbræ ver$æ, vel rectæ a$$umere.

SCHOLIVM.

1. EANDEM altitudinem, eiu$que di$tantiam ab oculo men$oris, vna cum hypotenu$a ab oculo ad fa$tigium altitudinis exten$a, venari licebit ope qua- drati $tabilis per vnicam $tationem, etiam$i $olum fa$tigium rei erectæ cerna- tur: adeò vt $cholium hoc omnia præ$tet, quæ in problemate 3. 4. 5. 6. & 7. per plures $tationes inue$tigauimus, ac proinde diligenter perdi$cendum.

SIT enim altitudo metienda IF; $tatura men$oris I G, vel H A. Paretur pla- _Quo pacto_ _præcedentia_ _5. problemata,_ _@pe quadrati_ _$tabil{is} per v-_ _nicam $tatio-_ _nem ab$ol-_ _uantur._ num Horizonti æquidi$tans per A, tran$i- ens, in quo Quadratum firmari po$sit, aut collo cari. Primum ergo inue$tiganda e$t hypotenu$a A F, hoc modo. Inclinetur quadratum, ita vt centrum dioptræ oc- cupet $uperiorem locum lateris a A, cuius inferius punctum $tatuatur in A, oculo men$oris. Et totum quadratum tamdiu eleuetur, aut deprimatur, doneclatus A e, recta in cacumen F, vergat. Manen- te $ic Quadrato, men$or oculum transferat ad a, & per dioptram in$piciat ca- cumen F, notenturque partes vmbræ ver$æ ab$ci$$æ b c. Deinde fiat,

Vt c b, vmbra \\ ver$a # ad lat{us} a b, \\ 1000. # Ita lat{us} a A, notum in data men- \\ $ura, quod nunc ponam{us} conti- \\ nere 3. ped{es}, # ad A F,

Nam inuentus numerus dabit hypotenu$am A F, cognitam in partibus lateris a A. Verbi gratia, $i c b, contineat 50. partes vmbræ ver${ae}, & a A, tribus pedi- bus $it æqualis: $i fiat vt 50. ad 1000. <007>ta 3. ad aliud, reperietur A F, complecti [143]LIBER TERTIVS. 60. pedes. Si verò a A, ponatur 1000. comperietur eadem AF, particularum 200000. qualium 1000. in a A, comprehenduntur.

2. POST hæc deprimatur Quadratum, ita vt latus AD, Horizonti æquidi- $tet, centrum que dioptr{ae} $it in A. quo po$ito, videbitur cacumen F, per inuen- tam hypotenu$am AF, quæ primum $ecet vmbram ver$am C D, in E, vt in pri- mo quadrato, inquiratur que portio dioptr{ae} AE, in partibus laterum A D, D E, _6. Triang._ _rectil._ quod fiet vel ex vtro que latere A D, D E, cognito: Vel ex cognito per pro- blema 1. ex vmbra D E, angulo D A E, ex latere DE, noto: Vel denique $i ex _5. Triang._ _rectil._ $umma quadratorum ex AD, DE, de$criptorum radix quadrata extrahatur. In- uenta portione A E, in partibus mille$imis lateris A D, ductaque EM, ip$i A G, _47. primi._ parallela, $i fiat,

_2. $exti &_ _componendo._ Vt AE, inuenta in partib{us} \\ mille$im{is} AD, # ad AF, in ii$dem par- \\ tib{us} inuentam # Ita G M, in ii$dem par- \\ tib{us} cognita, cum æ- \\ qual{is} $it ip$i D E, # ad GF,

nota effi cietur GF, in partibus mille$imis lateris AD. Quod $i rur$us fiat,

Vt lat{us} AD, \\ 1000. # ad 3. ped{es}, quos \\ ponim{us} in AD, \\ contineri: # Ita G F, in mille$im{is} parti- \\ b{us} later{is} AD, inuenta, # ad GF,

reperietur eadem GF, in men$ura pedum. Et $i adiiciatur, $tatura men$oris GI, nota in eadem men$ura, cognita fiet tota altitudo I F, in men$ura pedum.

Vbi vides, nos eadem opera inueni$$e quo que di$tantiam AF, ab oculo A, ad cacumen v$que F.

3. SECET deinde hypotenu$a a F, inuenta (inuenietur autem vt Num. 7. dictum e$t) vtrumque latus vmbræ in C, vt in 2. quadrato. Si igitur fiat,

_2. $exti. &_ _componendo._ Vt portio dioptræ a c, inuenta in par- \\ tib{us} a d, later{is}, 1000. vt Num. 2. \\ dixim{us}. # ad a F, hypotenu$am \\ in ii$dem partib{us} \\ inuentam: # Ita GK, \\ 1000. # ad GF,

prodibit GF, nota in partibus mille$imis lateris d c: Et $i rur$us fiat,

Vt lat{us} d c, \\ 1000. # ad 3. ped{es}, quib{us} æquale \\ ponim{us} lat{us} d c, # Ita GK, 1000. cum æqua- \\ le $it ip$i d c, # ad GF,

inuenta erit eadem GF, in men$ura pedum. Et $i addatur $tatura men$oris G I, nota in eadem men$ura, cogno$cetur tota altitudo IF, in men$ura pedum.

4. TERTIO $ecet hypotenu$a inuenta AF, (qu{ae} inuenietur vt Num. 7. do- cuimus) vmbram rectam <007>n E, vt in tertio quadrato. Siergo fiat,

_2. $exti. &_ _componendo._ Vt portio dioptræ A E, inuenta, \\ vt Num. 2. docuim{us}. # ad AF, hypotenu$am \\ inuentam # Ita G K, \\ 1000. # ad G F,

exibit GF, nota in partibus mille$imis lateris DC. Et $i iterum fiat,

Vt lat{us} D C, \\ 1000. # ad 3. ped{es} in D C, \\ contentos # Ita GK, 1000. cum $it æqua- \\ l{is} ip$i D C, # ad G F,

cognita erit eadem GF, in men$ura pedum, & c.

ATQVE hac eadem ratione omnes aliæ lineæ inuent{ae} in partibus mille$imis lateris Quadratireuo cabuntur ad quamcunque aliam men$uram, vt ad pedes, vel cubitos, &c.

[144]GEOMETR. PRACT.

5. DISTANTIA autem A G, vel HI, cognita euadet, $i fiat,

_2. $exti. &_ _componendo._ Vt portio dioptræ A E, <007>n pri- \\ mo Quadrato, vel a c, in 2. \\ Quadrato, # ad hypotenu$am \\ AF, vela F, # Ita lat{us} A D, \\ in 1. Quadrato \\ vel a d, in 2. \\ Quadrato # ad A G, in \\ 1. quadrato \\ vel ad a G, \\ in $ecundo. VEL

Ducta EL, lateri AB, parallela in tertio quadrato,

Vt A E, portio dio- \\ ptræ, # ad hypotenu$am \\ A F, # Ita vmbrarecta B E, ip$i \\ AL, æqual{is}, # ad AG.

VIDES igitur, in hac ratione dimetiend{ae} altitudinis, ac di$tanti{ae}, etiam inac- ce$sibilis, opus non e$$e duabus $tationibus $iue in plano, $iue in ha$ta aliqua erecta faciendis; Quod non parum mole$tiæ plerunque afferre $olet: $ed $o- lum inue$t<007>gandam e$$e prius hypotenu$am per quadratum $tabile inclinatum: Deinde portionem dioptræ inter eius centrum, & latus Quadrati, quod inter- $ecat: quæinuentio diffi cilis non e$t, vt patuit, cum men$or nunquam locum mutare cogatur.

ALTITVDINEM turris aut montis, ex eius $ummitate per Quadra- tum dimetiri, quando in plano $ummitatis Horizonti æquidi$tan- te duæ $tationes fieri po$$unt, & $ignum aliquod in Horizonte cer- nitur.

PROBLEMA VIII.

1. SIT altitudo D F M d, in cuius $ummitate, nimirum in plano D d, du{ae} $tationes fieri po$sint, ex quibus $ignum aliquod in Horizonte, videli- cet G, videri po$sit. (Nos ne nouam cogeremur de$cribere figuram, repetiuimus primam proble- matis 4. inuer$o tamen ordine po$itam, ita vt lite- ræ rectum $itum non habeant; Et quamuis $ignum G, non cernatur ex A, propter planum Dd, eadem tamen erit ratio, $i aliud $ignum longius di$tans eligatur, quod ex A, in$pici po$sit.) Collocetur in$trumentum in vtra que $tatione, vt latus vmbr{ae} rectæ D C, vergat deor$um. Et primum vtraque vmbra recta $ecetur in E, H, (In hac enim inuer- $ione latus D C, vmbræ rect{ae}, & BC, ver${ae} deputa- tur, vt in con$tructione Quadrati Num. 4. initio huius libri declaratum e$t,) at- que vmbræ d H, in propinquiore $tatione, quæ $emper minor e$t, æqualis ab- $cindatur DI. Itaque $i fiat,

Vt I E, differentia vm- \\ brarum rectarum # ad Aa, differentiam \\ $tationum # Ita A D, lat{us} qua- \\ drati 1000. # ad A F,

cognita erit recta A F, ex qua $i dematur Iatus quadrati A D, notum in partibus [145]LIBER TERTIVS. differentiæ $tationum, nota relinquetur altitudo D F, vel d M, quæ$ita. Inueniri autem hac ratione rectam AF, demon$tratum e$t in problemate 4. Num. 1.

2. QVOD $i in vtraque $tatione latus vmbræ ver$æ $ecetur in F, H, vt in 2. figura problematis 4. hic repetita, inuer$a tamen, habebimus tres vias inue$ti- gandi altitudinem A F, ex qua $i tollatur latus quadrati A D, manife$ta relin- quetur qu{ae}$ita altitudo DF, vel d M. Nam reducta vtraque vmbra ver$a ad re- ctam, $i fiat,

Vt I N, differentia vmbra- \\ rum rectarum, # ad A a, differentiam \\ $tationum: # Ita A D, lat{us} qua- \\ drati 1000. # ad AF. # _Vel $ine reductione._ Vt P, numer{us}, qui fit ex \\ O H, differentia vmbra- \\ rum ver$arum in a b, la- \\ t{us} quadrati, # ad numerum, qui fit ex vm- \\ bra ver$a b H, maiore in \\ minorem B E, # Ita A a, diffe- \\ rentia $tatio- \\ num # ad A F, #### _Vel_ Vt A a, differentia Quotientum, qui \\ fiunt, $i lat{us} quadrati per vtram{que} \\ vmbram ver$am diuidatur, # ad A a, differentiam $ta- \\ tionum notam in men$u- \\ ra aliqua # Ita A F, \\ vt 1. # ad A F,

procreabitur $emper altitudo AF, ab oculo in$pectoris A, numerata: quemad- modumin problemate 4. Num. 2. demon$tratum e$t.

3. SI denique in vna $tatione $ecetur latus vmbræ ver${ae} in E, & in altera la- tus vmbr{ae} rectæ in H, vt in 3. figura problematis 4. hic inuer$o ordine repetita: $i vtin eodem problemate 4. Num. 3. demon$trauimus, reducatur vmbra ver- $a ad rectam, & fiat,

[146]GEOMETR. PRACT. Vt NI, differentia vm- \\ brarumrectarum # ad Aa, differentiam \\ $tationum: # Ita AD, latus qua- \\ drati # ad A F, #### _Vel $ine reductione._ Vt Onumerus, qui relinquitur, \\ $i numerus genitus ex vmbra \\ ver$a in rectam ex quadrato \\ lateris dematur, # ad numerum P, qui \\ ex vmbra ver$a BE, \\ in latus AD, produ- \\ citur: # Ita Aa, \\ differ\~e- \\ tia $ta- \\ tionum # ad AF,

producetur AF, altitudo in partibus differentiæ $tationum Aa, & c.

4. IAM verò $i di$tantia FG, à turri ad $ignum G, in Horizonte vi$um nota fuerit, facilius per vnicam $tationem in A, factam altitudinem coniiciemus. Nam $i vmbra recta DC, $ecetur in E, vt in 1. figura: Fiat autem.

_4. $exti_. Vt vmbra recta D E, # ad latus A D: # Ita di$tantia cognita FG, # ad A F, _4. $exti_.

Vel quando vmbra ver$a BC, $ecetur in E, vt in 2. figura; $i fiat.

Vt lat{us} A B, # ad vmbram ver- \\ $am B E, # Ita di$tantia cognita \\ F G, # ad A F.

effi cietnr nota recta AF, in partibus di$tantiæ F G, à qua $i dematur latus quadra- ti AD, notum in ei$dem partibus di$tantiæ F G, nota relin quetur altitudo DF.

QVOD $i dio ptra per C, tran$eat, erit di$tantia F G, altitudini AF, æqualis. _6. primi_. Dempto ergo latere quadrati AD, altitudo turris DF, cognita fiet.

Hoc idem problema in $cholio $equentis problematis ab$oluemus per vni- cam $tationem.

ALTITVDINEM turris vel montis ex eius $ummitate per duas $ta- tiones in ha$ta aliqua erecta factas, inue$tigare per quadratum, quan- do $ignum aliquod in Horizonte videri pote$t.

PROBLEMA IX.

1. QVANDO in $ummitate non e$t pla- nities tanta, vt in ea duæ $tationes po$sint fieri, erigatur ha$ta aliqua in qua duæ $ta- tiones fiant. Vt $i altitudo inue$tiganda $it d F, erigatur ha$ta d A, & centro dio- ptræ applicato ad ha$tam primum in a, deinde in A, in$piciatur $ignum aliquod G, in Horizonte per radios a G, A G, $e- ceturque primum vtraque vmbra recta in H E, vt in prima figura problematis 3. quam hic inuer$o ordine repetiuimus. Nam vt in præcedenti problemate dixi- mus, in hac inuer$ione D C, fit latus vm- bræ rectæ, & B C, ver$æ. Si ergo, vt in problemate 1. demon$trauimus Num. 1. fiat,

[147]LIBER TERTIVS. Vt H I, differentia vm- \\ brarum rectarum # ad A a, differentiam \\ $tationum; # Ita d H, vmbra \\ recta maior # ad AF,

nota fiet tota recta AF, ex qua$i dematur portio ha$tæ A d, quod duo quadra- ta occupant, cognita fiet reliqua altitudo d F.

2. SI vero in vtraque $tatione vmbra ver$a à radijs inter$ecetur, vt in 2. figu- ra problematis 3. hic repetita ordine inuer$o, & fiat,

vt I E, differentia vm- \\ brarum ver$arum, # ad Aa, differentiam \\ $tationum: # Ita B E, vmbra ver- \\ $a maior # ad AF,

pro dibit recta A F, ex qua $i detrahatur portio ha$tæ A d, à principio primi quadrati ad finem $ecundi, re- _Ad $ini$trum_ _angulum in-_ _feriorem, in-_ _ferior{is} qua-_ _drati, poned_ liqua d F, altitudo fiet quo que nota: veluti in pro- blemate 3. Num. 3. o$tendimus.

3. At $iin vna $tatione $ecetur latus vmbræ rectæ, & in altera latus vmbræ ver$æ, vtin 3. figura proble- matis 3. quæ inuer$a huc translata e$t, reducenda erit vel recta vmbra ad ver$am, vel ver$a ad rectam. Nam vt in problemate 3. Num. 5. o$tendimus, $i fiat,

Vt I N, differentia vm- \\ brarum $iue ver$arum, \\ $iue rectarum, # ad Aa, differen- \\ tiam $tationum: # Ita B N, maior vmbra \\ ver$a, veld N, maior \\ vmbrarecta, # ad AF,

effi cietur nota recta A F, ex qua $i dematur portio ha$tæ A d, nota relinquetur altitudo d F.

4. QVOD $i turris e$$et A F, & ex duabus fene$tris d, D, ob$eruatio fieret, deprehenderetur eo dem modo altitudo turris A F, vt patet.

SCHOLIVM.

1. QVOD præcedentia duo problemata per duas $tationes $iue in plano $ummitatis turris, vel montis, $iue in ha$ta aliqua erecta factas docuerunt, po$$u- [148]GEOMETR. PRACT. mus per vnicam $tationem quo que efficere, & $imul di$tantiam à perpendiculo montis, vel à turre v$que ad $ignum in Horizonte propo$itum inuenire.

SIT enim montis alicuius, aut turris _Altitudinem_ _montis, vel_ _turris ex eius_ _vertice per v-_ _nicam $tatio-_ _nem, vna cũ_ _d $tãtia à tur-_ _re, vel perpen-_ _diculo mo@tis_ _ad $ignum in_ _Horizonte_ _propo$itum_ _metiri_. altitudo D E, & $ignum in Horizonte vi- $um F. Erigatur ex D, ha$ta aliqua D A, & $umpta D A, æquali lateri quadrati $tabi- lis, accommodetur quadratum a b c d, in A, ita vt centrum dio ptræ a, $it $uperius, & latus inferius recta ad $ignum F, vergat. Po$ito deinde oculo in a, dirigatur dio- ptra ver$us F, notentur que partes in vm- bra ver$a b e. Nam $i fiat,

Vt be, vmbra ver$a # ad latus b a, 1000. # Ita latus a d, 1000. # ad A F,

reperietur hypotenu$a A F, in partibus lateris a d. Accommo detur rur$us qua- dratum A B C D, vt centrum dioptræ A, $it $uperius, & latus C D, Horizontiæ- quidi$tet, hoc e$t, latus AD, ha$tæ ere ctæ congruat. Quo po$ito, videbitur $ignũ F, per inuentam hypotenu$am A F, quæ primum $ecet latus vmbræ ver$æ B C, in G; in quiratur que portio dio ptræ A G, vt in $chol. problem. 7. Num. 2. docui- mus. Nam $i fiat,

_4. $exti. &_ _componendo_. Vt portio dioptræ \\ A G, inuenta # adinuentam hy- \\ potenu$am A F, # Ita A L, vmbræ ver$æ B G, æ- \\ qualis (ducta G L, paralle- \\ la ip$i E F,) # ad A E,

comperta erit AE, in partibus hypotenu$æ AF. Et $i dematur latus quadrati A D, in ij$dem partibus notum, reliqua fiet D E, altitudo montis, aut turris. Quòd $i rur$us fiat,

Vt portio dioptræ \\ AG, inuenta # ad inuentam hy- \\ potenu$am AF, # Ita E M, (producta BC, v$- \\ que ad M,) later<007> CD, æqua- \\ lis, # ad EF,

exibit nota di$tantia EF, in ij$dem partibus hypotenu$æ A F.

VBI vides eadem opera inueniri di$tantiam ab oculo A, v$que ad $ignum F, in Horizonte.

NON erit autem difficile ip$am DE, vel EF, $i inuenta fuerit in partibus mil- le$imis lateris AD, vel CD, in alia men$ura, vt in pedibus, efficere notam; $i fiat,

Vt AD, la- \\ tus 1000. # ad AD, notam in pedibus, ver- \\ bigratia in 3. vel in $e mi$$e \\ vnius cubiti: # Ita D E, vel E F, in- \\ uenta in mille$imis \\ partibus, # ad aliud

Atque hac eadem ratione omnes aliæ lineæ inuentæ in mille$imis partibus late- ris quadrati, reducentur ad aliam men$uram vel pedum, vel cubitorum, & c. Quod etiam in $cholio problem. 7. monuimus.

2. SECET deinde hypotenu$a AI, (quæ reperietur vt AF, inuenta e$t) qua- [149]LIBER TERTIVS. dratum in C: inue$tigetur que portio dioptræ A C, vt in $chol. problem. 7. Num. 2. tradidimus. Deinde fiat,

_2. $exti. &_ _componendo_. Vt p@rtio dioptræ AC, \\ inuenta # ad inuentam hypotenu- \\ $am A I, # Ita A D, latus \\ 1000. # ad AE,

Nam numerus productus dabit A E, in partibus hypotenu$æ AI. Atque totidem partes complectetur di$tantia E I; quod A E, EI, æquales $int, ob angulos $e- _6. primi._ mirectos EAI, EIA, æquales.

3. POSTREMO hypotenu$a A K, inuenta eo modo, quo A F, cognita e$t, $ecet latus CD, vmbræ rectæ in H, reperiatur que portio dioptræ AH, vt in $chol. problem. 7. Num. 2. do cuimus. Nam $i fiat.

_2. $exti. &_ _componendo_. Vt portio dioptræ \\ A H, inuenta # ad inuentam hypotenu- \\ $am A K: # Ita A D, lat{us} qua- \\ drati # ad A E,

cogno$cetur A E, in partibus hypotenu$æ A K, & c. Et $i rur$us fiat, ducta prius H N, ip$i A E, parallela,

Vt portio dioptræ \\ A H, inuenta # Ad inuentam hy- \\ potenu$am A K, # Ita E N, vmbræ rectæ \\ D H, æqualis # ad E K,

nota quo que red detur di$tantia E K, in ij$dem partibus hypotenu$æ A K, & c. Quod $i ex vertice D, appareret radix montis, inueniretur eo dem modo di$tan- tia à radice v$que ad E, quæ ablata ex di$tantia F E, inuenta notam quo que re- lin quet di$tantiam ab F, v$que ad radicem montis, quæ nonnunquam po$$et de$iderari.

EX $ummitate turris, vel aliqua eius fene$tra, di$tantiam à ba$e turris ad $ignum propo$itum in Horizonte per quadratum cogno$cere.

PROBLEMA X.

1. SIT turris aliqua A F, & di$tantia metienda F G. Si igitur altitudo turris cognita e$t, aut eius portio inter fene$tram A, & ba$em F; in$piciatur $ignum G, per pinnacidia quadrati penduli. Et $i quidem filum perpendiculi inter$ecet latus vmbræ rectæ in E, vel per punctum C, tran$eat, Fiat autem

Vt latus AB, par- \\ @ium 1000. # ad vmbram re- \\ ctam BE, # Ita A F, altitudo turris \\ nota # ad FG, [150]GEOMETR. PRACT.

cognita erit di$tantia F G, quæ$ita in partibus turris notæ.

SI autem vmbra ver$a $ecetur in E, & fiat,

Vt vmbra ver$a \\ D E, # ad latus D A, par- \\ tium 1000. # Ita A F, altitudo turris co- \\ gnita # ad F G,

efficietur quo que nota eadem di$tantia F G, in partibus turris cognitæ.

2. PER quadratum $tabile eandem quo que di$tantiam adipi$ceris. Site- nim rur$us turris quæpiam D E, & di$tantia metienda E G, vel E H, vel E F. Si igitur dio ptra $ecet latus vmbræ rectæ in I. Et fiat,

Vt latus quadrati \\ AD, 1000. # ad vmbram \\ rectam D I: # Ita altitudo A E, ex turre & la- \\ tere quadrati A D, conflata. # ad E G,

prodibit di$tantia quæ$ita E G.

SI autem dioptra per C. tran$eat, erit di$tantia E H, altitudini A E, notæ æqua- lis.

SI denique vmbra ver$a inter$ecetur in K; fiat autem,

Vt vmbra ver$a \\ B K, # ad latus quadrati \\ 1000. # Ita altitudo nota A E, # ad E F,

inuenietur di$tantia EF, in partibus altitudinis A E,

HÆC enim omnia in 2. problem. Num. 1. & 2. demon$trata $unt.

3. QVOD $i altitudo turris cognita non $it, inue$tiganda ea primum erit per problema 8. vel 9. vel potius per $cholium problem. 9. aut certe, $i commode fieri po$sit, per chordam aliquam cum appen$o perpendiculo demi$$am explo- randa. Deinde procedendum erit, vt Num 1. & 2. dictum e$t.

VERVM $ine cognitione turris idem a$$equemur ea ratione, quain problem. 6. vel 7. altitudinem propo$itam indagauimus, etiam$i di$tantia v$que ad alti- tudinem $it ignota. Nam $i in 6. problemate turris $it d f, di$tantia autem me- tien da FG, effi ciemus illud, $i in ha$ta aliqua erecta d A, fiant duæ $tationes o- culi, in a A. Solum quod ibi dictum e$t de vmbra ver$a, hic de recta intelligatur, & contra.

PARI ratione, $i in 7. problemate turris $it d F, & di$tantia metienda F G, inueniemus eam, $i in plano $ummitatis turris fiant duæ $tationes oculi in A, a. Solum quod ibi dicitur de vmbra ver$a, hic etiam de recta intelligatur. Nam $i figuræ problem. 6. & 7. hoc e$t, figuræ problem. 3. & 4. inuertantur, vt altitu- dines fiant A F, A F, latus quadrati D C, ad vmbram rectam, & B C, ad ver$am pertinebit, vt initio huius libri in con$tru ctione quadrati Num. 4. explicauimus.

SED hanc di$tantiam longè facilius in $cholio præcedentis problematis in- uenimus per vnicam $tationem, vt patuit in di$tantia EF, & c.

[151]LIBER TERTIVS.

EX ALTITVDINIS alicuius fa$tigio, etiam$i altitudo $it men$oris $tatura, di$tantiam inter duo $igna in plano, cui altitudo in$i$tit, $iea di$tantia è directo men$oris iaceat, & vtrumque eius extremum cerni po$$it, per quadratum comprehendere.

PROBLEMA XI.

1. SIT di$tantia metienda AB, è directo altitu- dinis C D, in qua oculus men$oris exi$tat in D, fa- $tigio. Per problema antecedens inue$tigetur ex vertice D, tam di$tantia C B, quam C A. Minore- nim hæc ex illa maiore detracta notam relinquet di$tantiam A B, inter $igna A, & B, in partibus al- titudinis C D, in quibus videlicet di$tantiæ etiam C B, C A, inuentæ$unt.

2. SI altitudo C D, $it $tatura men$oris, reperietur eodem modo di$tantia, A B, $i oculus men$oris in D, vtrum que extremum A, B, cernere po$sit, vt liquet.

LONGITVDINEM in Horizonte exten$am metiri per Quadratũ, quando men$or in vno eius extremo exi$tens alterum extremum vi- dere non pote$t, propter tumorem aliquem interiectum, neque alti- tudo in promptu e$t, $ed $olum ad dextram, vel $ini$tram per lineam perpendicularem recedere pote$t ad locum, è quo alterum extremũ appareat.

PROBLEMA XII.

1. SIT longitudo metienda A E, cuius extre- mum E, ex A, men$orvidere non po$sit, neq; ad- $it altitudo, $ed tamen $i ad dextram, vel $ini$trã recedat per lineam perpendicularem A a, v$que ad a, illud videre po$sit. Quadratum $tabile ita erigatur, vt eius planum longitudini A E, con- gruat. Debet namque con$tare, quænam recta ad extrema A, E, pertineat, hoc e$t, rectam con- $tituat, cum data longitudine. Deinde colloca- to quadrato in Horizontis plano, ita vt latus A B, a longitudine non recedat, extendaturrecta per latus A D, v$q; ad a, vnde extremum, E, ap- pareat, $itque $patium A a, per aliquam men$u- ram notum. Erectum autem in a, quadratum circumducatur, donec per eius planum extre- mum E, cernatur. Po$t hæcidem quadratum in Horizonte collocetur, latu$que a d, perpendiculari A a, congruat: Et dioptra [152]GEOMETR. PRACT. circumuoluatur, donec eius linea fiduciæ rectæ a H, per quam extremum E, in- $pectum fuit, re$pondeat, notetur que vmbra ver$a b F, ab$ci$$a. Eruntque tri- angula a b F, a A E, æquiangula, propter rectos angulos b, A, & alternos b a F, 4. _$exts_. A E a, æquales. Quamobrem $i fiat, Vt vmbra ver$a b F, # ad quadrati lat{us} a b, \\ _1000_. # ita $patium A a, \\ notum # ad A e, cognita erit longitudo A E, in partibus $patij A a.

SI forte dioptra latus d c, vmbræ rectæ inter$ecet, (quod raro continget, cũ 4. _$exti_. plerunque AE, maior, $it, quam A a,) erit tunc. Vt lat{us} a d, _1000_. # ad vmbram rectam \\ ab$ci$$am: # Ita $patium A a, # ad longitu- \\ dinem. vt per$picuum e$t, $i ducatur ex a, recta $ecans latus d c, &c.

6. _primi_.

SI denique dioptra forta$sis per c, tran$iret, e$$et $patium A a, longitudini quæ$itæ æquale; propterea quod tunc fieret angulus $emirectus d a c, ideoque & recta a c, $i duceretur, faceret cum AE, angulum $emirectum, atque adeo an- gulo d a c, æqualem.

2. EADEM di$tantia longitudone A E, cogno$cetur, $i tamin G, quam in H, baculus, $eu arundo adangulos rectos figatur, ita vt ex A, a, radij per arundinem incedentes ad E, ferantur, $patiumque A a, cognitum $it: vt in 2. probl. Num. 6. traditum e$t.

LONGITVDINEM in Horizonte è directo men$oris iacentem co- gno$cere, ad cuius extrema neque accedere liceat, neque è loco men- $oris eam dimetiri, neque vlla ad$it altitudo, dummodo ad dextram vel $ini$tram per lineam perpendicularem ad locum aliquem ire po$- $it men$or, ex quo vtrumque extremum appareat.

PROBLEMA XIII.

1. LONGITVDO metienda $it E D, è directo men$oris in F, exi$tentis, ita vt neque ad eam acce- dere liceat, neque eam è loco F, metiri, neque vlla ad$it altitudo: Sed $olum per lineam perpendicu- larem F G, ad locum G, vnde vtrumque extremum D, E, videatur, po$sit accedere. Per problema præ- cedens in quiratur ex G, tam longitudo F E, quam F D. Hæc enim ex illa detracta notam relinquet propo$itam longitudinem D E,

ALTITVDINEM montis, vel turris ex eius fa$tigio, quando è di- recto men$oris interuallum aliquod inter duo $igna, vel etiam inter fignum quodpiam ac turrim cognitum e$t, per quadratum coniicere.

[153]LIBER TERTIVS. PROBLEMA XIV.

1. SIT mons, aut turris D E, $itque pri- mum è directo men$oris in fa$tigio D, exi- $tentis interuallum F G, notum. Accom- modetur quadratum $tabile in $ummitate D, ita vt latus A D, perpendiculare $it ad Horizontem, & C D, Horizonti paralle- lum. In$pecto igitur per dioptram vtroq; _$chol_. 4. _$e-_ _xti._ termino F, G, $ecetur vmbra recta in H, I. Quoniam igitur e$t, vt I H, ad H D, ita G F, 4. _$exti_. ad F E: Item ob triangulorum $imilitu- dinem, vt H D, ad D A, ita FE, ad EA; erit ex æquo, vt I H, ad D A, ita G F, ad E A. Igitur $i fiat, Vt I H, d@fferentia vm- \\ brarum rectarum # ad D A, lat{us} qua- \\ drati # Ita interuallum G F, \\ cognitum # ad E A exibit nota recta E A. Et $i dematur Iatus quadrati D A, (quod fieri debet notum in partibus interualli G F,) reliqua fiet nota altitudo D E, in partibus interualli G F.

2. SIT tota deinde di$tantia E G, nota. In$piciendum ergo $olum e$t extre- mum G. Nam $i fiat, 4. _$exti_. Vt I D, vmbrarecta # ad D A, lat{us} quadrati # Ita di$tantia no- \\ ta G E, # ad E A, efficietur rur$us nota recta E A, &c.

3. QVANDO vmbra ver$a B C, inter$ecatur, vt $i $patium notum $it L N, re- ducenda e$t vtra que vmbra ver$a ad rectas D K, D M. Nam rur$us erit, vt K M, differentia vmbrarum rectarum ad latus D A, ita $patium notum L N, ad E A.

SIC etiam quando vnus radius vmbram rectam, & alter ver$am inter$ecat, vt in $patio L G, contingit, reuo canda erit vmbra ver$a ad rectam DK, vtiterum $it K I, differentia vmbrarum rectarum ad D A, latus, vt $patium notum L G, ad E A.

4. SI denique radius per C, tran$iret, $umendum e$$et totumlatus CD, pro vmbra recta, at vmbra ver$a, $i qua e$$et, ad rectam reducenda.

DISTANTIAM ab oculo, vel pede men$oris (vbicunque exi$tat) ad quoduis punctum in aliqua altitudine notatum per quadratum ex- quirere.

PROBLEMA XV.

1. EXPLORANDA $it di$tantia puncti F, in muro aliquo $iue perpendicu- lariad Horizontem, $iue in clinato, vel etiam in tecto quo piam ab oculo A, vel à pede E, po$ita $tatura men$oris A E. Et $it primum altius punctum F, quam ocu- lus A. Concipiatur ex F, demi$$a perpendicularis F G, & ad hanc ducta ab ocu- lo A, alia perpendicularis A H. Collocato ergo ita quadrato, vt latus A D, Ho- rizonti æquidi$tet, in$piciatur punctum F, radiu$que A F, vel dioptra auferat [154]GEOMETR. PRACT. vmbram ver$am D I. Per problema 3. vel 4. vel potius per $cholium problem. 7. inue$tigetur di$tantia A H, etiam$i pun- ctum H, non appareat: diligenter que in- quiratur, quot partes mille$imæ lateris A D, in $egmento dioptræ A I, comprehen- dantur. quod multis modis, vt in $chol. probl. 7. Num. 2. docuimus, exequemur hoc modo. Primum quoniam duo latera A D, D I, in rectangulo triangulo ADI, da- ta $unt, ignorarinon poterit ba$is in par- 6. _triang. re-_ _ctil_. tibus laterum. Deinde quia per probl. 1. ex vmbra D I, notus fit angulus D A I, cogno$cetur rur$us ba$is A I. Tertio quia quadrata AD, DI, quadrato AI, æ- 5. _triang. re-_ _ct<007>l_. qualia $unt; $i ex aggregato eorũ radix quadrata eruatur, exhibebit earadix ba- $em A I, notam. His peractis, $i fiat, 47. _primi_. 4. _$exti_. Vt lat{us} \\ A D, _1000_ # ad portionem dioptræ \\ A I, nuper inuentam: # ita di$tantia A H, \\ nuper etiam inuenta # ad A F, cognita erit di$tantia A F, quæ$ita in partibus inuentæ di$tantiæ A H.

DISTANTIA autem E F, à pede ad datũ punctum F, ita reperiemus. Quo- niam in triangulo AEF, duo latera AF, AE, cognita $unt, cum illud proxime $it inuentum, & hoc $taturæ men$oris æquale $it; comprehenduntq; angulum no- tum EAF, vt pote conflatum ex recto EAH, & DAI, qui per problema 1. inuen- tus e$t ex vmbra ver$a D I: notum efficietur latus quo que E F, quod quæri- 12. _trian. re-_ _ctil_. tur.

2. QVOD $i vmbra recta $ecetur in L, vt in altero quadrato, vbiiterum m\~e- $oris $tatura e$t A K: Inuenta portione dio ptræ A L, in partibus mille$imis late- ris quadrati ex angulo BAL, &c. necnon di$tantia AH, ex problem. 3. vel 4. vel ex $cholio probl. 7. Sifiat, 4. _$exti_. Vt B L, vm- \\ brarecta # ad L A, portionem \\ dioptræ inuentam: # Ita di$tantia A H, \\ inuenta # ad A F, pro dibit rur$us nota di$tantia A F, in partibus di$tantiæ inuentæ A H.

NON aliter procedes $i dioptra per C, tran$eat: Cum tunc etiam $it, vt 4. _$exti_. A D, latus ad partem dioptræ A C, inuentam, vt prius, ita di$tantia inuenta A H, ad di$tantiam quæ$itam A F.

DISTANTIA autem K F, à pede K, v$que ad F, inuenietur, vt prius, ex 12. _trian. re-_ _ctil_. duobus lateribus notis A F, A K, & angulo ab ip$is comprehen$o F A K; qui ni- mirum conflatur exrecto A, & D A L, complemento anguli B A L, quem per problema 1. cognitum efficit vmbra recta B L.

3. SED $it iam punctum F, oculo A, depre$sius, & $tatura men$oris $it A E. Concipiatur ex F, duci F K, Horizonti parallela, vel ad A E, perpendicularis. Item per F, recta G H, ip$i AE, parallela. Accommodato autem quadrato, vt la- tus AD, rectum $it ad Horizontem, & D C, Horizonti æquidi$tans, cogitetur DC, latus productum v$que ad H, punctum perpendicularis G H. Primum ita- que reperiatur altitudo A K, per problema 8. vel 9. duabus $tationibus factis in recta D H, vel in ha$ta D A, protracta, vel certe per$cholium problem. 9. Quamuis enim $tatura men$oris AE, cognita $it, ignoratur tam\~e, quanta $it eius [155]LIBER TERTIVS. pars AK, quam parallela FK, per imaginationem ducta ab$cindit: ita vt omni- no nece$$arium $it altitudinem A K, inquirere. quod per 8. problema facilè exequemur, $i in vtra que $tatione vmbra ver$a $ecetur in I, N, (quod plerunque hic continget (& vtraque ab$ci$$a B I, b N, ad rectas D M, d O, reuocetur: Nam $i fiat, Vt L M, differentia vm- \\ brarum rectarum # ad D d, differentiam \\ $tationum: # ita A D, \\ lat{us} # ad A K, inuenta erit altitudo A K, oculo po$ito in eius $ummitate A; vt in dicto pro- blem. 8. Num. 2. diximus, &c. Quætamen altitudo A K, facilius per $cholium problem. 9. reperiri pote$t.

ITAQVE quia vmbra B I, per 1. problema patefacit angulum B A I, hoc e$t, alternum A F K, $ibi æqualem, nec non & eius complementum F A K; erunt in triangulo rectangulo AKF, duo anguliacuti cogniti, vna cumlatere AK, proxi- 5. Triang. rectil. mè inuento; Ita que $i fiat, Vt $in{us} to- \\ t{us} # ad lat{us} A K, in- \\ uentum: # ita A F, $ecans anguli \\ FAK, # ad A F, cognita fiet A F, in partibus lateris inuenti A K. Vel inuenta parte dioptræ A I, in partibus mille$imis lateris quadrati, vt $upra dictum e$t prope initium huius 4. _$exti_. problematis, $i fiat, Vt B I, vmbra \\ ver$a # ad I A, partem dioptræ \\ inuentæ: # ita K A, altitudo \\ <007>nuenta # ad A F, nota rur$us efficietur di$tantia A F, in partibus rectæ AK, inuentæ.

PORRO di$tantiam E F, à pede men$oris ad pun ctum F, inueniemus, vt $upra: propterea quo din triangulo AEF, duo latera AE, AF, nota $unt, cum il- 12. triang. rectil. lud $it $tatura men$oris, hoc autem $it proximè inuentum, angulumque conti- nent notum FAK, vt paulò ante diximus

4. NON aliter vtra que di$tantia cogno$cetur, $i punctum F, in Horizonte $it po$itum, qui Horizon per FK, intelligatur tran$ire, ita vt $tatura men$oris, vel aliqua alia altitudo nota, $it AK. Nam cognita portione dioptr{ae} A I, vt $upra 4. _$exti_. traditum e$t; Si fiat, Vt B I, vmbra \\ ab$ci$$a # ad I A, portionem dio- \\ ptra inuentans: # ita A K, altitudo, \\ vel $tatura men- \\$or{is} # ad A F, [156]GEOMETR. PRACT. nota euadet di$tantia A F, in partibus $taturæ men$oris, vel altitudinis no- tæ A K.

Rur$us $i fiat. 4. _$exti._ Vt B I, vmbra \\ ab$ci$$a # ad A B, lat{us} qua- \\ drati 1000. # ita A K, altitudo, vel $ta- \\ tura men$or{is} # ad K F, cognita etiam fiet di$tantia K F, à pede men$oris v$que ad punctum F, in par- tibus eiu$dem $taturæ men$oris, vel altitudinis notæ A K. Vbi vides, vtramque di$tantiam cogno$ci per vnicam $tationem, quando punctum datum e$t in Ho- rizonte.

5. SED vbicunque punctum F, exi$tat $iue in Horizonte, $iue in $ublimi, vel infra oculum, inueniemus nihil ominus vtramque di$tantiam per vnicam $tatio- nem, hoc modo. Quando punctum F, e$t in $ublimi, vt in prima figura, accom- detur quadratum ita, vt dioptræ centrum a, $it $uperius, & latus d c, ver$us punctum F, dirigatur. In$pecto enim per dioptram puncto F, notetur vmbra ver$a eb, Et fiat, 4. _$exti._ Vt vmbra ver- \\ $a e b, # ad lat{us} \\ b a; # ita lat{us} \\ a d, # ad A F, Nam numerus productus notam faciet di$tantiam A F, in partibus lateris qua- drati. Non aliter di$tantiam K F, à pede men$oris elicies, $i eodem pacto qua- dratum ad punctum K, applicabis, vt con$tat.

QVANDO autem punctum F, depre$sius e$t oculo, vt in 2. figura, erigen- dus e$t baculus a d, minor, quam $tatura men$oris, & in a, applicandum qua- dratum, vt rur$us centrum dioptræ A, $it $uperius, & latus a c, ad punctum F, vergat. Nam vi$o puncto F, ex A, per dioptram, notataque vmbra ver$a e B, $i fiat, Vt vmbra ver$a \\ e B, # ad lat{us} \\ B A: # Ita lat{us} \\ A a, # ad a F, exibit di$tantia a F, nota in partibus lateris A a. Di$tantia porrò E F, à pede men$oris coniicietur, $i quadratum in E, applicetur, vt in prima figura dictum e$t. Quando denique punctum F, e$t in Horizonte, inuenietur vtraque di$tantia, vt Num. 4. tradidimus.

INTERVALLVM inter duo $igna, vel puncta in quolibet plano$iue recto ad Horizontem, $iue inclinato, per quadratum metiri.

PROBLEMA XVI.

1. IN quolibet plano eleuato AB, inquirendum $it interuallum CD, ex pla- no EF. Po$ito oculo in G, vt $tatura men$oris $it G E, inue$tigetur per præce- dens problema, vtra que di$tantia G C, G D, in partibus $taturæ men$oris G E. Deinde applicato quadrato $tabili ad oculum G, ita vt eius planum per puncta C, D, tran$eat, atque vnum eius latus ad punctum D, recta vergat, (quod fiet, $i po$ita linea fiduciæ dioptræ $upra illud latus, punctum D, per foramina pin- [157]LIBER TERTIVS. nacidiorum con$piciatur) vertatur dioptra, donec per eam punctum quo que C, appareat, & vmbra ab$ci$$a notetur, per quam ex problem. 1. anguli C G D, magnitudo addi$catur. Quod $i alterum latus quadrati vltra rectam G C, exi- $tat, erit angulus CGD, acutus: $i verò citra rectam GC, extiterit, dictus angu- lus erit obtu$us: quem cogno$cemus, $i ad rectum adiiciemus reliquum angu- lum, inter alterum illud latus, & rectam GC; quem quidem inue$tigabimus, vt de acuto C G D, diximus, $i nimirum in recta CD, mente notemus punctum, in quod alterum illud latus productum incideret. Nam $i tunc latus illud rectæ G C, congruat, & dioptra ad punctum notatum vergat, indicabit vmbra inter latus illud, & lineam fiduciæ angulum prædictum reliquum, vt in problemate 1. dictum e$t. Si denique alterum illud latus præcisè rectæ GC, congruat, angulus CGD, rectus erit. His peractis, quia in triangulo CGD, latera GC, GD, nota continent angulum G, etiam cognitum; cogno$cetur quoque tertium latus 12. triang. rectil. CD, quod quæritur.

2. VERVM inuentis di$tantiis GC, G D, in aliqua men$ura, vna cum an- gulo G, fa cilius, licet non tam certò, interuallum CD, cogno$cemus hoc pacto. De$cripto angulo G, $eor$um $umatur in GC, portio quotlibet partium late- ris quadrati, verbi gratia 500. id e$t, $emi$sis lateris. Et fiat, vt d<007>$tantia inuen- ta G C, ad di$tantiam inuentam G D, ita partes acceptæ 500. ad aliud. Nam Quotiens dabit numerum quartum proportionalem earundem partium la- teris quadrati; quibus $i capiatur in G D, portio æqualis, erit interuallum 2. _$exti._ inter extrema puncta dictarum portionum, æquidi$tans interuallo CD; vt con- $tat, $i illæ portiones in rectas GC, GD, in figura transferrentur; propterea {quis} in illis extremis punctis rectæ GC, GD, $ectæ e$$ent proportionaliter. Quare $i il- lud interuallum circino men$uretur in ei$dem partibus lateris quadrati, con- tinebit interuallum C D, totidem particulas rectæ G C, in 500. partes æqua- les diui$æ, quot in illo interuallo comprehen duntur ex particulis lateris qua- drati: cum $it vt portio particularum 500. ad interuallum illud, ita G C, di- ui$a in partes æquales 500. ad CD. Quæ particulæ reducentur ad men$uram, in qua inuentæ $unt GC, GD: $i fiat, vt GC, quatenus 500. ad men$uras in G C, inuentas, ita C D, inuenta in particulis rectæ GC, in 500. partes diui$æ, ad aliud.

QVIA verò vix per circinum accurate reperiri pote$t interuallum illud inter extremitates proportionalium, magis ex qui$itè, licet laborio$ius, interuallum propo$itum cogno$cetur per 12. triang. rectilineorum.

INTERVALLVM tran$uer$um in Horizonte, cuius vtrumque ex- tremum videri pote$t, per quadratum metiri.

[158]GEOMETR. PRACT. PROBLEMA XVII.

1. IN Plano Horizontis AB, iaceat interuallum C D, in tran$uer$um, pesau- tem men$oris in E, ita vt longitudo C D, in vtramque partem producta per E, non tran$eat. Nam quando recta C D, è directo men$oris iacet, inue$tigabitur ea, per problema 11. Itaque vt tran$uer$um interuallum C D, cogno$catur, in- quirenda erit primum vtriu$que extremi puncti C, D, di$tantia à pede men$oris E, vt Num. 4. proble- matis 15. traditum e$t, per vnicam $tationem. Dein- de angulus C E D, explorandus, quod fiet, $i vnum latus quadrati rectæ E C, congruat, & dioptra rectæ E D. Nam vmbra ab$ci$$a inter latus illud, ac dio- ptram o$tendet quantitatem anguli CED, vt in pro- blemate 1. dictũ e$t: qui quidem acutus erit, $i alterũ latus vltra rectam E D, exi- $tet: rectus verò $i præcisè rect{ae} E D, congruet: obtu$us denique, $i citra re- ctam E D, cadet; quem cogno$cemus, $i recto angulo adiiciemus reliquum acutum, qui deprehendetur, vt in pr{ae}cedenti problemate docuimus. Quoniam ergo triangulum habemus C E D, cuius duo latera E C, E D, cognita $unt, vna cum angulo comprehen$o E: cognitum quo que erit tertium latus C D, in 12. triang. rectil. partibus rectarum E C, ED.

EADEM recta C D, cognita erit, $i in rectis E C, E D, $eor$um de$criptis cum angulo E, inuento $umantur partes ip$is EC, ED, proportionales, &c. vt Num. 2. pr{ae}cedentis problematis factum e$t.

DISTANTIAM alicuius $igni in Horizonte po$iti à $ummitate turris, vel muri alicuius, licet ad ip$um $ignum acce$$us non pateat, per qua- dratum eruere, vbicunque men$or exi$tat.

PROBLEMA XVIII.

1. IN Horizontis plano punctum A, di$tet à $ummitate D, alicuius altitudi- nis per rectam A D, quam $ic venabimur. Vbicunque oculus men$oris exi$tat, nimirum in B, indagentur per problema 15. di$tanti{ae} punctorum A, D, ab oculo men$oris B. Deinde angu- lus exploretur A B D, vt in problemate 16. do cuimus. Nam $ic habebimus triangulum A B D, cuius duo la- tera nota $unt BA, BD, vna cum angulo B. Igitur ter- 12. triang. rectil, tium quo que latus AD, cognitum erit.

QVOD etiam inuenietur, vt Num. 2. problem. 16. docuimus, $i in rectis B A, B D, cum angulo B, $eor$um ductis $umentur partes ip$is B A, B D, proportio- nales, &c.

ALTITVDINEM inacce$$ibilem, cuius ba$is non videatur; & ad quam per nullum $patium $ecundum rectam lineam accedere po$$it men$or, autrecedere, vt duæ$tationes fieri po$$int, $ed $olum ad dex- [159]LIBER TERTIVS. tram, $ini$tramue ad locum, è quo eius ba$is cernatur, per quadratum explorare.

PROBLEMA XIX.

1. ALTITVDO metienda $it AB, inacce$sibilis, ad quam ex C, loco men$oris non liceat accedere, aut ab ea recedere $ecundum lineam rectam, $ed $olum in tran$uer$um v$que ad D, vnde ba$em A, videre po$simus. Per problema 17. inue$tigetur ex D, in- teruallum tran$uer$um A C. Nam per 5. problema, quando iam di$tantia C A, manife$ta e$t, altitudo AB, reddetur nota, quam quærimus, in partibus di$tantiæ inuentæ C A.

CÆTERVM ex $cholio problem. 7. facilius per vnicam $tationem in C, fa- ctam inue$tigabitur & altitudo AB, & di$tantia A C, vna cum hypotenu$a BC.

ALTIT VDINEM maiorem ex minori cognita, etiam$i $olum ma- ioris altitudinis vertex cernatur, per quadratum efficere notam.

PROBLEMA XX.

1. MAIOR altitudo A N, metienda proponatur ex minori aliqua turri C O, cognita, ex qua $olum cacumen A, non autem ba$is N, appareat. Fiant in $um- mitate duæ $tationes in C, & D, $i planum $ummitatis id permittat, $taturaque men$oris $it C G, vel D E, & ad A N, intel- ligatur ducta perpendicularis GEF. Per 6. problema reperietur altitudo A F, ad quam $i adiicietur altitudo minor D O, vna cum men$oris $tatura C G, hoc e$t, recta F N, cognita fiet tota altitudo ma- ior A N.

2. QVOD $i in $ummitate tanta pla- nities non $it, vt duæ $tationes fieri po$- $int, erigenda e$t ha$ta aliqua ad Hori- zontem recta, ni$i forte ad$it ædificium quo dpiam erectum, ibiq; faciendæ duæ $tationes. Nam tunc per problema 7. in- uenietur altitudo inter cacumen maioris altitudinis, & rectam, quæ ab inferiori $tatione Horizonti ducitur parallela. Cui$i apponitur altitudo minor ab inferiore $tatione v$que ad eius ba$em, con- flabitur tota altitudo maior. Vt in figuris problematis 4. $i maior altitudo $it G L, & minor A K, fiantq; duæ $tationes in A, a, inferior vna, & altera $u- perior, reperietur per 7. problema altitudo G F, cui $i addetur minor altitu- do A K, ab inferiori $tationev$que ad ba$em, componetur tota altitudo ma- or G L.

[160]GEOMETR. PRACT.

PORRO facilius ex $cholio problem. 7. altitu dinem A F, eruemus, $i in G, bis quadratum accommodetur, vt in eo $cholio diximus. Vt $i in figura eius $cholij maior altitudo foret I F, & minor cognita A H, inueniretur G F, vt ibi o$ten$um e$t, &c.

ALTITVDINEM maiorem ex minori incognita, $i tamen ba$is ma- ioris cerni po$$it, per quadratum venari.

PROBLEMA XXI.

1. IN figura problematis 17. lib. 2. addi$catur altitu- do A E, vel per problema 6. vel 7. aut potius per $cho- lium problem. 7. $i C, $it $ummitas minoris altitudinis C D. Deinde quia ba$is B, maioris altitudinis ponitur po$$e videri ex C, inquiratur etiam altitudo minor C D, per problema 8. aut 9, vel potius per $choliũ probl. 9. $i C, fuerit $ummitas minoris altitudinis C D. Hæc enim adiecta ad inuentam altitudinem A E, conficiet totam maiorem altitudinem A B, notam, quæ de$idera- tur.

ALTITVDINEM minorem ex maiori cognita, licet ba$is minoris cerninon po$$it@, per quadratum $crutari.

PROBLEMA XXII.

1. MINOR altitudo AB, ex maiore C D, cog- nita proponatur dimetienda. Intelligatur ducta recta A E, Horizonti B D, æquidi$tans, vt E D, fiat minori altitudini AB, æqualis. Si igitur ex $ummi- tate C, per problema 8. vel 9. aut potius per $cho- lium problem. 9. exploretur altitudo C E, in$pe- cto nimirum cacumine A, ac $i e$$et $ignum ali- quod in Horizonte A E, ex C, vi$um: atque hæc altitudo inuenta C E, ex maiore altitudine C D, qu{ae} cognita ponitur, detrahatur, reliqua fiet minor al- titudo AB, quam in quirimus.

ALTITVDINEM minorem ex maiori incognita, dummodo ba$is minoris appareat, per quadratum elicere.

[161]LIBER TERTIVS. PROBLEMA XXIII.

1. FIGVRA præcedentis problematis repetatur. Et quia ba$is B, minoris altitudinis, tanquam $ignum quodpiam in Horizonte po$itum, videri pote$t, ex hypothe$i, nota efficietur per problema 8. aut 9. vel potius per $cholium problem. 9. maior altitudo C D. Quare, vtin præcedenti problemate dictum e$t, minor altitudo AB, ex maiore CD, proximè inuenta cogno$cetur; quod e$t propo$itum.

PORTIONEM altitudinis maioris ex minore altitudine, & minoris portionem ex maiore, per quadratum percipere.

PROBLEMA XXIV.

1. SIT portio A G, maioris altitudinis A B, exquirenda ex minore altitudi- ne D E; Item portio GF, altitudinis minoris FB, ex ma- iori altitudine D E. Si altitudo D E, minor e$t reliqua portione C B, maioris altitudinis, inue$tiganda erit per problema 20. vel 21. vtraque altitudo maior A B, C B, ex minori D E, prout videlicet D E, cognita fuerit, aut incognita. Nam C B, ablata ex A B, notam reliquet porpo$itam portionem A C. Si verò D E, maior e$t re- liqua portione F B, $i nimirum maioris altitudinis por- tio A F, metienda proponatur: inue$tiganda quidem erit maior altitudo A B, ex minore D E, perproblema 20. vel 21. At vero minor altitudo F B, ex maiore D E, per problema 22. vel 23. exploranda erit, prout videli- cet D E, nota fuerit, autignota. Nam rur$us FB, detracta ex AB, notam relinquet portionem propo$itam A F.

2. NON $ecus per problema 22. vel 23. indaganda erit vtraque altitudo mi- nor FB, GB, ex maiore DE, $i fortè illarum differentia F G, inuenienda $it.

ALTITVDINEM, cuius ba$is impo$ita $it monti, vel alteri cui- piam altitudini, & vtraque illius extremitas cerni po$$it, etiam$i infi- mum punctum alterius, cui imponitur, lateat, & eiu$dem puncti in- fimi di$tantia à loco men$oris cognita non $it, per quadratum ex val- le, aut ex plano Horizontis explorare.

PROBLEMA XXV.

1. HVIVSCEMODI altitudo e$t turris $upra montem po$ita, & portio ali- cuius ædificij inter duas fene$tras, vel duo $igna, quorum alterum altero $upe- rius e$t. Sit igitur $upra montem B F, altitudo turris A B, propo$ita. Ex ali- quo loco E, in planitie, aut valle, vnde vtrumque turris extremum con$picia- [162]GEOMETR. PRACT. tur, inue$tigetur perproblema 6. vel 7. tam altitudo AF, quam B F, prout$cili- cet duæ $tationes fiunt aut in plano, aut in aliqua ha$ta erecta. Vtraque tamen altitudo A F, BF, facilius inuenietur per $cholium problem. 7. $i in E, bis qua- dratum accommodetur, vtin eo $cholio factum e$t. Vtraque altitudine inuen- ta, altitudo montis BF, dempta ex tota altitudine AF, notam relinquet opta- tam altitudinem A B.

SCHOLIVM.

ITAQVE $i AB, portio $uperior totius alicuius altitudinis AF, de$ideretur, _Suprema me-_ _dia atque in-_ _fima pars alti-_ _tudin{is} quo_ _pacto metien-_ _da $it._ indaganda erit per problem. 6. vel 7. aut potius per $cholium probl. 7. tam tota altitudo AF, quàm eius portio BF. Earum enim differentia notam dabit$upe- riorem portionem A B, de$ideratam.

SI autem media aliqua portio IB, cogno$cenda $it, coniicienda rur$um erit per problema 6. vel 7. aut potius per $cholium problem. 7. vtraque altitudo IF, BF, vt earum differentia IB, nota reddatur.

SI denique infima pars B F, proponatur inquirenda, exploranda ea erit per problema quoque 6. vel 7. aut potius per $cholium problem. 7.

DISTANTIAM accliuem montis à loco men$oris v$que ad ba$em altitudinis monti impo$itæ, etiam non vi$am, vna cum ip$a altitudine quando men$or in a$cen$u montis con$i$tit, propè verum, beneficio quadrati efficere cognitam.

PROBLEMA XXVI.

1. SIT turris AB, monti impo$ita, in cuius a$cen$u, $eu latere men$or con$i- $tat in C, ex quo loco ba$em turris videre nõ po$sit. Erigatur ha$ta aliqua C G, ad Horizontem, non autem ad latus montis, perpendicularis, $itque men- $oris $tatura C E. Cogitetur ducta EK, ad altitudinem perpendicularis, aut [163]LIBER TERTIVS. Horizonti æquidi$tans. Applicato autem quadrato $tabili ad ha$tam in puncto E, ($i pendulum adhibeatur, cõ$tituendus etiam erit oculus in E.) dirigatur dio- ptra ver$us cacumen A; & per vmbram ab$ci$$aminueniatur angulus AEK, vt in problemate 1. tradidimus. Deinde fiat alia $tatio $uperior in F, in ha$ta, ductaq; per cogitation\~e recta F I, ad altitudinem _In figura duc_ _lineam ex F._ _ad A._ perpendiculari, dirigatur rur$us dioptra ver$us A, atque eo dem modo angulus e- ruatur AFI, Et quia angulus AFG, duo- bus angulis FEA, FAE, æqualis e$t, $i au- _32. primi._ feratur AEF, complementum prioris an- guli AEK, in $tatione inferiori E, inuenti, ex A F G, complemento po$terioris an- guli in $uperiori $tatione F, deprehen$i, reliquus fiet angulus E A F, cognitus. Quoniam igitur in trangulo A E F, duo anguli A, E, cogniti $unt, vna cum latere E F, hoc e$t, cum differentia $tationum, nota fientreliqua latera AE, AF.

_10. triang._ _rectil._

2. POST hæc erigatur alius baculus D H, ad Horizontem rectus, $umptaq; men$oris $tatura ip$i C E, æquali, & ducta recta HL, ad altitu dinem perpendicu- lari, applicetur ad H, quadratum, ac dioptra in punctum E, dirigatur, rur$umque per problema 1. ex vmbra ab$ci$$a angulus eliciatur EHL, acradius vi$ualis HE, altitudini occurrere concipiatur in M, qui ip$i B C D, lateri montis parallelus erit. Concipienda etenim $unt tria puncta B, C, D, in vna recta linea iacere, ac $i _33. primi._ D C, producta ad ba$em turris pertineret. Quia vero angulus E H L, angulo _29. primi._ M E K, internus externo æqualis e$t, $i E H L, cognitus hoc e$t M E K, ex angulo A E N, in priori $tatione E, ob$eruato, detrahatur, notus relin- quetur angulus AEM: E$t autem & angulus EAM, cum complementum $it an- guli AEN, in priori $tatione E, ob$eruati, cognitus. Igitur & AME, reliquus duo- rum rectorum cognitus erit: quiquidem etiam relinquitur, $i N M H, comple- mentum anguli M H L, in $tatione po$trema H, inuenti ex duobus rectis detra- hatur. Quapropter cumin triangulo AEM, omnes anguli noti $int, vna cumla- tere A E, quod paulo ante inuenimus, cogno$centur quoque reliqua duo la- _10. triang._ _rectil._ tera ME, AM: ac propterea di$tantia E M, vel C B, inuenta erit. Et $i rectæ A M, inuentæ addatur men$oris $tatura MB, tota turris altitudo A B, cognita erit.

CVRANDVM autem e$t magnopere, vt tria puncta B, C, D, in vna linea re- ctaiaceant, id quod in problemate 22. lib 2. faciendum e$$e monuimus.

3. QVOD $i ba$is altitudinis ex latere montis videri po$sit, nullo ferme la- bore problema per vnicam $tationem efficiemus. Nam $i in D, $tatuatur qua- dratum, ita vt centrum dioptræ $it $uperius, & latus infimum recta in B, feratur, _4. $exti._ dirigenda erit dioptra ver$us idem punctum B. Nam $i fiat, Vt vmbra ver$a \\ ab$ci$$a # Ad lat{us} quadra- \\ ti: # Ita lat{us} qua- \\ drati # adaliud, inuenietur di$tantia DB, in partibus lateris quadrati, vt liquido cõ$tat ex ijs, quæ in problem. 15. Num. 5. $crip$imus, patetque in 1. figura eiu$dem problematis; $i [164]GEOMETR. PRACT. in ea cogitetur a$cen$us montis AF, in $ecundo quadrato, & F, ba$is altitudinis monti impo$itæ.

DEINDE $i idem quadratum in D, ita $tatuatur, vt rur$us centrum dioptræ $it in $ublimi, & latus infimum ad fa$tigium altitu dinis A, recta tendat, idemque punctum A, per dioptramin$piciatur, reperietur eodem pacto di$tantia à D, v$- que ad A; $i fiat, Vt vmbra ver$a ab$ci$$a # ad lat{us} quadrati: # Ita lat{us} quadrati # ad alind.

POSTREMO, accommodato quadrato, ita vt vnum latus rectæ D B, con- gruat, & dioptra in A, dirigatur, inuenietur angulus, quem rectæ DB, DA, effi- ciunt, vt in problem 16. Num. 1. docuimus. Si ergo hic angulus $eor$um de$cri- batur, & in rectis D B, D A, capiantur duæ portiones proportionales, vt in eo- dem problem. 16. Num. 2. tradidimus, reperietur altitudo A B, per interuallum inter duas illas portiones, vt ibi interuallum C D, indagauimus.

PROFVNDITATEM putei, vel ædificii cuiu$uis ad perpendicu- lum erecti, $i modo angulus fundi, vel $ignum aliquod in fundo po$i- tum con$piciatur, per quadratum efficere cognitam.

PROBLEMA XXVII.

1. HOC nihil e$t aliud, ni$i turrim ex eius vertice, quando in Horizonte $i- gnum aliquod apparet, per duas $tationes in ha$ta aliqua factas metiri, vt in problem. 9. factum e$t. Quare eius pro- blematis praxim hic breuiter repetemus. Sit puteus, $eu ædificium erectum ABCM, cuius angulus C, in fundo, vel $ignum quodpiam C, in fundo po$itum con$pici po$sit. Erecta ha$ta A E, in orificio putei, vel $ummitate ædificij, fiant duæ$tationes oculi men$oris in D, E, & applicato la- tere quadrati ad ha$tam bis, vt modo centrum dioptræ in D, & modo in E, $tatuatur, dirigatur dioptra ver$us C. Si igitur in vtraque $tatione dioptra vmbram rectam inter$e- cet, quod plerumque in puteorum dimen$i onefieri $olet: Fiat autem, Vt differentia vmbra- \\ rum rectarum # Ad D E, differen- \\ tia $tationum # Ita vmbra re- \\ cta maior # ad E B, exibit recta E B, nota in partibus differentiæ $tationum D E. Si ergo auferatur recta E A, compo$ita ex differentia $tationum D E, & portione ha$tæ D A, quæ plerunque $taturæ men$oris e$$e $olet æqualis, vel certe facile me$urari pote$t, nota relinquetur altitudo AB, quæ$ita.

2. SI vero in vtra que $tatione vmbra ver$a inter$ecetur, & fiat, [165]LIBER TERTIVS. Vt differentia vmbrarum \\ ver$arum # ad D E, differen- \\ tiam $tationum # Ita vmbra ver$a \\ maior # ad EB, fietrur$us nota recta E B, &c.

3. SI denique in vna $tatione latus vmbræ rectæ $ecetur, & in altera latus vmbræ ver$æ, reducenda erit vel vmbra recta ad ver$am, vel ver$a ad rectam. Nam $i rur$us fiat. Vt differentia vmbrarum \\ $iue ver$arum, $iue rectarum, # ad D E, differen- \\ tiam $tationum: # Ita vmbr a ver$a \\ velrecta maior # ad E B. iterum producetur recta E B, in partibus differentiæ $tationum D E, &c.

PER vnicam quoque $tationem a$$e quemur altitudinem putei, quemad- modum in $cholio probl. 9. ex montis vertice eius altitudinem men$i $umus: $i videlicet in A, quadratum ita $tatuatur, vt centruma, dioptræ $uperius $it, & latus infimum A C, ex A, ad punctum C, ver- gat, ad inueniendam di$tantiam, vel hypotenu$am A C, &c. vtin eo $cholio factum e$t, atque hæc figura appo$ita decla- rat. Secundo enim quadratumita locandum e$t, vt A, cen- trum dioptræ$it in A, & latus A D, lateri pueri A B, adhæreat; Adeo vt per dioptram puncto C, in$pecto, radius vi$ualis ab hypotenu$a A C, non differat. Itaque $i fiat. Vt eb, vmbra ver$a # ad lat{us} ba, # ita lat{us}a A, # ad aliud, inuenietur hypotenu$a A C. Inuenta deinde portione dioptræ A E, in $ecundo quadrato, vt in $cholio problem. 7. docuimus: Si rur$us fiat, _2. $exti. &_ _componendo._ Vt portio dioptræ A E, \\ iuuenta # ad hypotenu$am inuen- \\ tam A C: # {it}a lat{us} \\ A D, # ad aliud, prodibit altitudo, $iue profunditas A B.

4. QVOD $i latitudo orificij A M, vel fundi B C, cognita fuerit, quæ facile per aliquam men$uram cogno$ci poterit facilius per vnam duntaxat $tationem in D, factam, & per vnicam applicationem quadrati, profunditatem A B, conij- ciemus. Nam $i fiat, Vt vmbra recta, $i ea ab$ci$$a \\ fuerit, # ad lat{us} quadrati: # Ita latitudo cogni- \\ ta B C, # ad AB, #### _Vel_ Vt lat{us} qua- \\ drati # ad vmbram ver$am, $iea \\ fuerit ab$ci$$a: # Ita latitudo cogni- \\ ta B C, # ad AB, pro ducetur AB, profunditas nota in partibus latitudinis.

Et $i forte dioptra per punctum C, in quadrato tran$eat, erit latitudo BC, re- ctæ A B, æqualis.

HÆ porro praxes demon$tratæ $unt omnes in prædicto problemate 9. hac vltima Num. 4. excepta, quamin problemate 8. Num. 4. demon$trauimus.

PROFVNDITATEM vallis, eiu$demque de$cen$um obliquum, $i non $it valde inæqualis, & eius terminus, vel aliquod in ea $ignum con$pici po$$it, per quadratum cogno$cere.

[166]GEOMETR. PRACT. PROBLEMA XXVIII.

1. Hoc etiam aliud nihil e$t, ni$i altitu dinem quampiam ex eius $ummo fa- $tigio per duas $tationes in ha$ta aliqua erecta dimetiri, vt in problem. 9. factum e$t, & in præcedenti problemate repetitum. Sit enim vallis inter duos montes AB, NG, po$ita, & terminus ip$ius C, ex monte A B, con$pici po$sit, Erecta ha- $ta A E, in qua duæ $tationes oculimen$oris fieri po$sint in D, E, $i reliqua con- $truantur, vt in problemate 24. lib. 2. cuius hic figuram iterauimus; inue$tigabi- tur recta EB, vtin 1. figura præcedentis probl. recta EB, fuit inuenta. Et$i dema- tur portio ha$tæ A E, altitudo montis A B, vel profunditas vallis H C, reliqua fiet nota.

2. DESCENSVS autem obliquus IC, ita colligetur. Per vmbram à dioptra ad C, directa ab$ci$$am eliciatur angulus BDC, ex 1. problemate, hoc e$t, angu- lus CIM, qui ei æqualis e$t, externus interno; eritque proinde reliquus angu- _29. primi_. lus I C M, notus, vtpote illius complementum. Quocirca cum in triangulo C I M, anguli acuti cogniti $int, vna cum latere I M, nuper inuento; ba$is I C, _5. triang. re-_ _ctil_. ignorari non poterit.

SED hæc omnia facilius per vnicam $tationem inue$tigabuntur, $i in D, pun- cto ha$tæ quadratum bis applicetur, vt in præcedenti problemate Num. 2. & in $cholio problem. 9. factum e$t in puncto A, &c.

3. QVOD $i terminus C, non cernatur, eligatur aliquod $ignum K, in valle, quod ex $tationibus D, & E, appareat. Ita enim per problema 9. vel potius per eius $cholium, eadem altitudo I M, vel H C, inuenietur.

IMMO $i in plano vallis duæ $tationes commode fieri po$sint, percipietur ex illis eadem altitudo I M, per problema 6. vel per $cholium problem. 7. De- $cen$us verò obliquus IC, tanquam interuallũ inter duo $igna I, & C, per pro- blema 16. indagandus erit.

4. EANDEM denique profunditatem C H, venarilicebit ex altiore monte N G, $i modo terminus C, minoris montis, vel aliquod $ignum in valle appare- at ex cacumine N: non aliter, quam in problemate 22. vel 23. minorem alti- [167]LIBER TERTIVS. tudinem ex maiore deprehendimus. Nam hic minor altitudo inquirenda e$t CH, & maior NG, ex cuius vertice N, terminum C, videri po$$e $tatuimus.

DISTANTIAM inter pedes men$oris, & $ignum aliquod in plano Horizontis beneficio baculi metiri, quando extremus terminus di- $tantiæ videri pote$t.

PROBLEMA XXIX.

1. ABSOLVTIS dimen$ionibus, quæ per quadrantem, & quadratum $ieri $olent, libet nonnullas alias rationes dimetiendi a diungere, vt illis, quando ne- que quadrans, neque quadratum ade$t, vti po$simus. Ex pluribus autem me- dis illis $olum $eligemus, quo faciliorem v$um habent.

SIT ergo di$tantia metienda D B. In D, erigatur baculus DE, minor altitudine AC, ab oculo men$oris ad pedes, rectus ad Horizontem. quod fiet, $i filum cum perpendiculo baculo adhærebit, vella- pillus ex E, demi$$us in punctum D, ca- det. Deinde retro cedat men$or v$que ad A, donec radius vi$ualis ex C, prodiens, & per extremum E, baculitran$iens oc- currat puncto B; intelligaturque duci recta E F, ip$i A B, parallela. Quoniam igitur triangula C F E, E D B, æquiangula $unt; quodanguli F, D, $intrecti, & _29. primi_. ECF, BED, æquales, internus, & externus, &c. Siigitur fiat. _4. $exti_. Vt CF, differentia inter ba- \\ culum D E, & men$or{is} $ta- \\ tur am AC. # ad FE, $patium inter \\ men$erem & baculum: # Ita E D, lon- \\ gitudo bacu- \\ linoti. # ad D B, nota prodibit di$tantia quæ$ita D B, in partibus baculi D E, vel $taturæ men$oris AC. Debent enim baculus, & $tatura men$oris per vnam eandemque men$u- ram e$$e cognita.

ALTITVDINEM turris, aut alterius rei per baculum indagare.

PROBLEMA XXX.

1. SIT in figura præcedentis problematis metienda altitudo A C. Figatur in terra baculus G H, rectus ad Horizontem, & aliquãtulum maior $tatura m\~e- $oris ab oculo ad pedes quæ $it IK. Deinderetro cedat men$or v$que ad I, ita vt eius oculus in K, con$titutus fa$tigium C, in$piciat: intelligatur que ducta recta _coroll. 4._ _$exti._ KL, Horizonti AB, parallela, $ecans baculumin M. Quoniam igitur triangu- la KMH, KLC, $imilia $unt, propter parallelas M H, L C: $i fiat, [168]GEOMETR. PRACT. Vt K M, $patium inter men- \\ $orem, & baculum, # ad M H, differentiam \\ inter baculum & $ta- \\ tur am men$or{is}: # Ita di$tantia K L, \\ quæ nota fiat per \\ al<007>quam men$u- \\ ram, # ad L C, producetur recta L C, cui$i adijcietur $tatura men$oris A L, tota altitudo pro- po$ita A C, cognita erit in partibus $taturæ men$oris, vel di$tantiæ K L.

2. QVOD $i acce$$us non pateat ad altitudinem A C, vt di$tantiam IA, me- tiri po$simus, figatur idem baculus, vel alius illi æqualis N O, accedendo vide- licet propius ad altitudinem. Deinde men$or retrocedat ad P, vt eius oculus in Q@exi$tens per $ummitatem baculi O, iterum $a$tigium C, videat: $eceturque _4. $exti_. baculus NO, à recta KL in R. Et quia e$t, vt KM, ad MH, ita KL, ad L C: Item _8. quinti_. vt QR, ad RO, ita QL, ad LC: E$t autem maior proportio KL, ad L C, quam QL, ad eandem LC; erit quo que maior proportio K M, ad M H, quam Q R, ad RO, ip$i MH, æqualem. (Cum enim & totæ G H, N O, & ablatæ G M, N R, æ- _10. quinti_. quales $int, erunt quo que reliquæ M H, R O, æquales) Igitur K M, maior erit, quàm QR. Ab$ci$$a ergo K T, æquali ip$i QR, quoniam e$t, vt K M, ad M H, _4. $exti_. ita KL, ad LC; erit permutando, vt KM, tota ad totam K L, ita M H, ad L C. Ea- demratione erit QR, hoc e$t, KT, ablata ex K M, ad QL, ablatã ex KL, vt RO, ad L C, hoc e$t, vt M H, ad L C. Igitur & reliqua T M, ad reliquam K Q erit vt tota KM, ad totam KL: Vt autem K M, ad K L, ita paulo ante o$tendimus e$$e MH, ad LC. Quapropter $i fiat. Vt T M, differentia inter $patia \\ K M, & Q R, vel K T, à \\ men$ore v$que ad baculos, # ad K Q, diffe- \\ rent<007>am $ta- \\ tionum. # Ita MH, differentia \\ inter baculum & \\ men$or{is} $tatur am, # ad L C, efficietur nota LC, cui$i addetur $tatura men$oris AL, nota quoq; euadet pro- po$ita altitudo AC.

3. IAM $i prima $tatio fiatin Q. & $ecunda in K, recedendo magis ab altitu- dine, non variabitur praxis & demon$tratio, vt liquet.

DISTANTIAM in plano Horizontis inter men$orem, & $ignum quoduis beneficio normæ adinuenire.

PROBLEMA XXXI.

1. PROPOSITA $it di$tantia AB. In A, loco men$oris figatur ad angulos re- ctosbaculus A C, paulò minor $tatura men$oris, & per men$urã, per quam m\~e- foris $tatura cognita e$t, notus. Angulus deinde rectus normæ C, $ummitati ba- [169]LIBER TERTIVS. culi applicetur, & eius latus CE, circa C, paulatim at- tollatur, deprimaturue, donec radius vi$ualis per la- tus interius normæ C E, incedens $eratur in punctum extremum B, diligenter que notetur punctum F, in quod radius vi$ualis per alterum latus interius C D, tran$iens incidit. Et quoniam A C, media e$t pro- _coroll_. @. _$exti_. portio nalis inter A F, quæ in partibus baculi nota effi- ciatur, & di$tantiam AB: $i fiat, Vt A F, inter baculum, & pun- \\ ctum F, cognita # ad baculum \\ A C: # Ita bacul{us} A C, # ad A B, Hoc e$t, $i quadratus numerus baculi per A F, diuidatur, prodibitin Quotiente di$tantia A B, nota in partibus baculi.

2. NON absre $oret, $i duo clauiculi in vtroque latere normæ interioriaffi- gerentur, vt radius vi$ualis per illos incedens rectius in B, & F, feratur.

ALTITVDINEM turris, aut alterius rei per normam inue$tigare.

PROBLEMA XXXII.

1. IN $igura præcedentis problematis $it metienda altitudo G H. Figatur rur$us in A, loco men$oris baculus AC, cuius $ummitati C, angulus rectus nor- mæ applicetur, eiu$q; latus CE, paulatim eleuetur, deprimaturue, donec per la- tus interius CE, vertex altitudinis H, con$piciatur punctumq; F, in quo alterum latus CD, incurrit, notetur. Et quoniam ducta recta CI, Horizonti parallela, tri- angula ACF, HCI, æquiãgula $unt; {quis} anguli A, I, recti $int, & ACF, HCI, reliqui ex rectis ACI, HCD, ($i nimirum communis au$eratur DCI,) æquales: $i fiat. _4. $exti_. Vt bacul{us} \\ A C, # ad A F, inter bacu- \\ lum, & punctum \\ F, cognitam # Ita di$tantia CI, vel A G, quæ \\ nota $iat per aliquam men$u- \\ ram. # ad IH, procreabitur IH, nota, ad quam $i adij cietur longitudo baculi AC, vel GI, pro- po$ita altitudo GH, cognita erit.

DISTANTIAM in plano Horizontis, quæ non $it valde magna, alio modo facillimo dimet<007>ri.

PROBLEMA XXXIII.

1. QVANDO planum aliquod exiguam habet longitudinem, $ed tamen men$urari non pote$t, ob aliquod impedimentum, cuiu$modi $unt latitu dines fluminum, & $tagnorum quorum latitudines, quas nunc pro longitu dinibus accipimus, men$urarine- queunt, ob interiectã aquam, vtemur inter alia hoc etiam artificio. Properipam fluminis, aut $tagni, vel alterius cuiu$cunque reimetiendæ, figatur baculus A B, ad Horizontem rectus cui in puncto B, accõ- [170]GEOMETR. PRACT. modetur virgula C D, ita vt circa B, deprimi aut eleuari po$sit, donec radius vi- $ualis per CD, tran$iens occurrat extremo E, di$tantiæ A E, metiendæ. Deinde virgula C D, manente immobili, ne angulus D B A, mutetur, vertatur baculus AC, ad rectos $emper angulos Horizonti in$i$tens, donec radius vi$ualis per e- andem virgulam CD, incedens occurrat plano alicui prope flumen, aut $tagnũ, in quo nimirum men$or exi$tit, & quod men$uraripo$sit, in puncto F. Quoniam ergo duo anguli A, B, trianguli ABE, duobus angulis A, B, trianguli ABF, æqua- les $unt, & latus AB, commune: erunt latera AE, AF, æqualia: atque idcirco, _26. primi_. $i AF, in plano per aliquam men$uram efficiatur nota; di$tantia quo que AE, co- gnita erit.

2. ALII hoc ip$um efficiunt $ine baculo, hac ratione. Erigunt $e ad angu- losrectos cum Horizonte: Deinde deprimunt pileum, qui $it aliquantulũ la- tus, donecradius vi$ualis per extremitatem pilei excurrens in cidat in terminum E, di$tantiæ AE, metiendæ: Pileo vero immobili manente, vertunt $e ver$us pla- num aliquod men$urabile, notantque in eo punctum F, in quo radius vi$ualis ip$i plano occurrit. Nam rur$us longitudo AF, quæ per men$uram aliquam co- gno$cenda e$t, di$tantiæ A E, propo$itæ æqualis e$t: propterea quod $tatura men$oris fungitur tunc munere baculi AB, & pileus depre$$us vices gerit virgu- læ C D, vt con$tat.

ALTITVDINEM cuiu$que rei erectæ ex eius vmbra, quam Sole lu- cente proiicit, $i nota fuerit, per quadratum deprehendere.

PROBLEMA XXXIV.

1. Hoc problema à quinto non differt, ni$i quòd hic vtimur radio Solis pro radio vi$uali, & longitudine vmbræ, quam altitudo, Sole lucente, proiicit, pro di$tantia à men$ore ad altitu dinem v$que. Sit ergo altitudo FG, vel FI, vel FM, eiu$que vmbra proiecta FA. Dirigatur qua dratum ver$us Solem (licet hoc non fiat è directo altitudinis) & tran$eunte radio Solis per foramina pinnaci- diorum, notetur quanta vmbra $iue recta, $iue ver$a à dioptra, vel filo perpen- diculi in quadrato ab$cindatur. Nam ita $e$e ha- bebit vmbra recta H B, in quadrato ad latus A B, vt vmbra proiecta AF, ad altitudinem F G. Item ea e$t proportio lateris A D, ad vmbram ver$am DE, in quadrato, quæ vmbræ proiectæ AF, ad alti- tudinem FI. Denique dio ptra, vel filo perpendi- culi per punctum C, incedente, tanta erit vmbra proiecta A F, quanta e$t altitudo F M. quæ omnia in problemate 5. demon$trata $unt. Igitur $i fiat. [171]LIBER TERTIVS. Vt vmbrarecta H B, in \\ quadrato ab$ci$$a # ad lat{us} A B, # Ita longitudo vmbræ pro- \\ iectæ A F, # ad F G, #### _Vel_ Vt lat{us} A D, # ad vmbram ver$am D E, ab- \\ $ci$$am in quadrato # Ita longitudo vmbræ \\ proiectæ A F, # ad F I, altitudo propo$ita F G, vel F I, proueniet nota &c.

LONGITVDINEM vmbræ ab altitudine, Sole lucente, quando altitudo e$t cognita, ope quadrati apertam, & manife$tam facere.

PROBLEMA XXXV.

1. Hoc etiam problema à $ecundo diuer$um non e$t: $olum hic pro di$tan- tia accipimus longitudinem vmbræ, quam altitudo nota, Sole lucente, proii- cit. Sit ergo altitudo A F, eiu$que vmbra proiecta F G. Dirigatur quadratum ver$us Solem, vbicunque men$or extra vmbram con$titerit, & tran$eunte ra- dio Solari per pinna cidiorum foramina, ob$eruetur vmbra $iue recta, $iue ver- $a, quam filum perpendiculi, vel dioptra ab$cindit. Ita namque $e habebit latus quadrati A B, ad vmbram eius rectam B E, ab$ci$$am, vt altitudo A F, ad vmbram proiectam F G. Item $ic erit vmbra ver$a D E, in quadrato ad latus A D, vt al- titudo A F, ad vmbram proiectam F G. Dioptra denique, vel filo perpendicu- li per punctum C, tran$eunte, altitudo A F, longitu dini vmbræ proiectæ F G, æqualis e$t. quæ omnia in problemate 2. demon$trauimus. Quamobrem $i fiat, Vt lat{us} A B, # ad vmbram rectam ab$ci$- \\ $am B E, # Ita altitudo nota \\ A F, # ad F G: #### _Vel_ Vt vmbra ver$a D E, ab$ci$$a \\ in quadrato # ad lat{us} A D, # Ita altitudo nota \\ A F, # ad F G, exibit nota longitudo vmbræ proiectæ F G, &c.

DISTANTIAM in Horizonte inter men$orem, & $ignum aliquod vi$um, beneficio $implici$$imi cuiu$dam in$trumenti comperire.

[172]GEOMETR. PRACT. PROBLEMA XXXVI.

1. CONSTRVATVR in$trumentum hoc modo. Accipiatur baculus rectus A B, paulò minor, quàm men$oris $tatura, diuidaturque in 5. partes, vel etiam plures, pauciore$ue æquales, & in prima eius parte C, velin alia quacunque, in- figatur alius baculus C D, ad rectos angulos, in quo $umantur ordine quotcun que palmi, aut pe- des. In extremitate quo que baculi A B, infigatur alius baculus B E, ad angulos rectos: con$tru- ctumque erit in$trumentum, quo varias magnitu- dines licebit metiri, vt patebit: Sit enim primum metienda di$tantia B F, cuius terminum F, men$or in altero termino B, exi$tens videre po$sit ex A, etiam$i in medio $int valles, & alia impedimenta. Con$tituatur in$trumentum in tali $itu, vt A B, $it ad Hori- zontem perpendicularis, & B E, eidem æquidi$tans. In$pecto extremo F, ex A, notetur $umma cura ac diligentia punctum D, in baculo C D, per quod radius vi$ualis tran$it. Nam cum triangula A C D, A B F, $int $im<007>lia; $i fiat, _coroll._ 4. _$exti._ Vt A C, # Ad A B, # Ita C D, # ad B F, 4. _$exti._ inuenta erit di$tantia B F, in partibus C D. Itaque $i A C, e$t quinta pars, verbi gratia, baculi A B, erit quoque C D, quinta pars di$tantiæ B F. Et quia in no$tro exemplo C D, continet 2. pedes, $i eos multiplicemus per 5. producentur 10. pedes pro di$tantia B F.

2. CVRANDVM autem erit diligenter, vt quando radius vi$ualis non tran- $it per aliquem pedem integrum baculi C D, inue$tigetur, quot decimæ, vel cente$imæ vnius pedis in particula ab$ci$$a contineantur, per ea, quæ lib. 1. cap. 2. Num. 14. $crip$imus, quod fiet, $i in regula C D, decem pedes comprehen- dantur. Idemque de quacunque alia men$ura intelligendum e$t, $i ea in C D, loco pedum $ignietur.

3. VERVM hoc eadem facilitate præ$titimus ope quadrati, tum penduli, tum $tabilis.

DISTANTIAM inter duo montium aut turrium cacumina, ope prædicti in$trumenti coniicere.

PROBLEMA XXXVII.

1. SINT duo cacumina montium F, G. Po- $ito puncto B, prædicti in$trumenti in cacumi- ne F, minoris montis, deprimatur baculus A B, donec baculus B E, recta in cacumen G, ten- dat, quod per duos clauiculos in B, E, infixos, facile fiet, vt Num. 2. problem. 31. diximus. Ma- nente in hoc $itu in$trumento, in$piciatur ca- cumen G, ex A, ob$eruetur que punctum D, inter$ectionis radij A G, cum bacu- _coroll._ 4. _$exti._ lo C D. Nam cumæquiangula $int triangula A C D, A B G, $i hat, [173]LIBER TERTIVS. Vt A C, nota in parti- \\ b{us} A B, # ad A B, notarum \\ partium: # Ita C D, nota in data \\ men$ura # ad B G, cogno$cetur di$tantia B G, in partibus C D. Vt $i A C, e$t quinta pars ip$ius A B, & C D, contineat 1. pedem, & in$uper {2/3}. $i 1 {2/3}. quinquies $umatur, efficietur di- $tantia B G, pedum 8 {1/3}.

2. NON aliter di$tantia b F, ex maioris montis cacumine G, mue$tigabitur, vt figura indicat.

EODEM modo procedes, $i puncta F, G, $int fa$tigia duarum turrium, aut $i vnum $it fa$tigium turris, & alterum, cacumen montis, vt con$tat.

3. IDEM hoc per quadratum fiet hoc modo. Sit quadratum a b f g, $tatua- turque angulus b, in cacumine G, & latus b f, deprimatur, ita vtrecta in cacu- men F, tendat, $i productum intelligatur, ob$eruetur que vmbra ver$a ab$ci$- $a g h, à radio vi$uali a B. Nam quia triangula a g h, B b a, æquiangula $unt, $i fiat. 4. _$exti._ Vt g h, vmbra \\ ver$a # ad g a, lat{us} \\ quadrati # ita lat{us} quadrati \\ a b, # ad B b, hoc e$t, $i quadratus numerus lateris, nimirum 1000000. diuidatur per vmbram ver$am, gignetur in Quotiente di$tantia B b.

IDEMQVE fieret, $i angulus quadrati in B, collocaretur, infimum que latus recta à B, in cacumen G, tenderet, &c.

LONGITVDINEM a$cen$us alicuius montis, $i eius cacumen ab oculo in radice con$tituto videatur, eiu$dem in$trumenti beneficio cogno$cere.

PROBLEMA XXXVIII.

1. ACCOMMODETVR præd<007>ctum in$trumen- tum, vt punctum B, in radice montis $tatuatur, & baculus B E, beneficio duorum clauiculorum infixorum, vt Num. 2. problem. 31. dictum e$t, re- cta in cacumen F, vergat; notetur que inter$e- ctio D, radij vi$ualis cum baculo C D, in$pecto cacumine F, ex A. Nam iterum triangula A C D, _coroll._ 4. _$exti._ A B F. Similia erunt. Quare $i fiat, 4. _$exti._ Vt A C, nota in parti- \\ b{us} A B, # ad A B, notarum \\ partium: # Ita C D, nota in data \\ men$ura # ad B F, cogno$cetur a$cen$us obliquus montis B, F, in partibus C D.

2. PARI ratione, $i F, $it fa$tigium alicuius turris, inue$tigabis di$tantiam à puncto B, in terra, vel alibi po$ito, v$que ad F, hoc e$t, hypotenu$am B F, vt per- $picuum e$t. Atque hoc eodem in$trumento complures aliæ dimen$iones ab- $olui poterunt, quod prudens Lector facilè per$piciet.

3. IDEM a$$equemur quadrato A B G H, $i eius angulus B, in radice $ta- @uatur, & latus B G, eleuetur ita, vtrecta tendat in cacumen F. Ob$eruara enim [174]GEOMETR. PRACT. vmbra ver$a H I, quam dioptra in cacumen F, directa ab$cindit, fiunt trlangula A H I, F B A, æquiangula. Quamobrem $i fiat, 4. _$exti_. Vt H I, vmbra ver- \\ $a # ad A H, lat{us} qua- \\ drati # Ita lat{us} quadrati \\ A B, # ad B F, id e$t, $i quadratus numerus 1000000. lateris diuidatur per vmbram ver$am, da- bit Quotiens numerus longitudinem a$cen$us obliqui B F.

ALTITVDINEM, ad cuius ba$em pateat acce$$us, beneficio $pe- culi plani, vna cum di$tantia $peculi à cacumine altitudinis depre- hendere.

PROBLEMA XXXIX.

1. SIT altitudo A B, à cuius ba$e B, recedatur per quotuis pa$$us, aut pedes, v$que ad C, punctum, in quo $peculi plani centrum collocetur, & $ecundum rectam B C, retrocedatur, donec men$oris oculus in E, con$titutus cacumen A, intueri po$sit per ra- dium reflexum E C A, ita vt D E, $it $tatura men$o- ris ab oculo v$que ad planum. Et quoniam an- gulus incidentiæ D C E, æqualis e$t angulo refle- xionis A C B, vt Per$pectiui docent, & anguli D, B, recti $unt; erunt triangula D C E, B C A, æquian- gula; ideoque erit, vt C D, ad D E, ita C B, ad B A. Quocirca $i fiat, 4. _$exti._ Vt C D, di$tantia men- \\ $or{is} à $peculo C, # ad D E, $taturam \\ men$or{is}: # Ita C B, di$tantia $pecu- \\ li ab altitudine. # ad B A, producetur altitudo B A, quam quærimus, nota in partibus $taturæ men$o- ris D E.

ALITER.

2. MENSVRETVR per quadrantem angulus D C E, vel B C A, (Hoc fiet, $i angulus rectus con$truatur F G H, & recta F G, tot particulas æquales con- tineat, quot pa$$us, vel pedes in C D, di$tantia continentur: Item recta G H, tot particulas ea$dem, quot pa$$us aut pedes $tatura men$oris D E, complecti- tur. Iuncta namque recta F H, erit angulus F, angulo C, æqualis. quem an- 4. _primi_. gulum F, nullo negotio per quadrantem aliquem in gradus diui$um cogno$ce- mus.) Nam $i po$ito $inu toto C B, fiat. Vt $in{us} tot{us} \\ C B, # ad B A, tangentem anguli reflexio- \\ n{is} B C A, vel incidentiæ D C E, \\ quem proximè inuenim{us} # Ita C B, di$tan- \\ tia cogn<007>ta # ad B A, prodibit altitudo B A, nota in partibus d<007>$tantiæ C B. Et $i rur$um fiat, Vt $in{us} tot{us} C B, # ad C A, $ecantem eiu$dem \\ anguli B C A, # Ita C B, di$tan- \\ tia cognita # ad C A, cognita etiam erit C A, di$tantia à $peculo C, v$que ad cacumen A, in partibus di$tantiæ C B.

[175]LIBER TERTIVS. ALITER.

3. PER $olos $inus ita progrediemur, $i libet, Fiat, Vt $in{us} anguli A, complemen- \\ ti anguli C, reflexion{is}, velinci- \\ cidentiæ, # ad C B, di$tantiam \\ cognitam # Ita $in{us} anguli C, \\ incidentiæ, velre- \\ flexion{is}, # ad B A. 10. triang. rectil. Nam productus numerus dabit altitudinem B A, notam in partibus di$tantiæ 10. triang. rectil. C B. Rur$us fiat, Vt $in{us} anguli A, complemen- \\ ti angul<007> eiu$dem C, # ad C B, di$t antiam \\ cognitam: # Ita $in{us} tot{us} recti \\ anguli B, # ad C A. Numerus enim proueniens dabit hypotenu$am C A, in partibus di$tantiæ C B, cognitam.

ALTITVDINEM in acce$$ibilem beneficio $peculi plani, vnà cum $peculi di$tantia tam à ba$e, etiam non vi$a, quàm à cacumine altitudi- nis cogno$cere.

PROBLEMA XL.

1. SIT rur$us in præcedenti figura altitudo A B, $upra planum B D, erecta. Collocato $peculo plano in C, recedatur ab altitudine ad D, donec cacumen A, per radium refl exum E C A, cerni po$sit, ob$eruetur que per quadrantem an- gulus E C D, ideo que & angulus A C B, vt in problemate præcedenti Num. 2. di- ctum e$t. Deinde collocato $peculo in K, puncto, quotuis pa$sibus à C, ver$us altitudinem di$tante, recedatur iterum ad I, donec cacumen A, in$piciatur rur- $nm per radium reflexum L K A; inquiratur que magnitudo anguli I K L, ideo- que & anguli A K B, Et quoniam po$ito $inu toto A B, rectæ B K, B C, tangen- tes $unt angulorum B A K, B A C, qui complementa $unt angulorum K, C, refle- xionum per quadrantem cognitorum, cognita erit K C, earum tangentium differentia. Si ergo fiat. Vt K C, differentia tangentium \\ quæ complem\~etis angulorum in- \\ cidentiæ debentur, # ad A B, $i- \\ num to- \\ tum # Ita K C, differentia po- \\ $itionum $peculi # ad A B, pro creabitur numerus, qui altitudinem A B, notam exhibebit in partibus diffe- rentiæ po$itionum $peculi K C. # _RVRSVS $i fiat,_ # # Vt K C, differentia complemen- \\ torum angulorum incidentiæ in \\ $peculo, # ad C B, tangentom \\ maiorem: # Ita K C, differen- \\ tia po$itionum \\ $peculi # ad C B, [176]GEOMETR. PRACT. reperietur CB, maior di$tantia $peculi C, ab altitudine. Ex qua $i auferatur K C, differentia po$itionum $peculi, nota remanebit KB, minor di$tantia $peculiK, ab eadem altitudine. Quæ etiam inuenietur, $i fiat, vt KC, differentia prædicto- rum angulorum, qui complementa $unt angulorum incidentiæ in $peculo, ad KB, tangentem minorem: Ita KC, differentia po$itionum $peculi ad aliud, vt per$picuum e$t.

DEINDE quia angulus AKB, in propinquiore $peculi po$itione duobus 22. _primi_. angulis ACK, CAK, æqualis e$t, $i angulus ACK, remotioris po$itionis detra- hatur ex angulo AKB, po$itionis propinquioris: remanebit angulus CAK, no- tus. Si igitur fiat, 10. triang. rectil. Vt $in{us} anguli C A K, \\ differentiæ angulorum \\ incidentiæ # ad K C, differen- \\ tiam po$itionum \\ $peculi: # Ita $in{us} anguli AKC, com- \\ plementi anguli AKB, ad \\ duos rectos <007>n propinquio- \\ re po$itione $peculi # ad C A, gignetur hypotenu$a CA, remotioris po$itionis $peculi, in partibus differentiæ po$itionum $peculi KC. Et $i rur$us fiat, 10. triang. rectil. Vt $in{us} anguli C A K, \\ differentiæ angulorum \\ incidentiæ # ad K C, differentiam \\ po$itionum $peculi: # Ita $in{us} anguli re- \\ flexion{is} ACK, in \\ remotiori po$itione \\ $peculi # ad K A, procreabitur quoquehypotenu$a KA, propinquioris po$itionis $peculi, in ei$- dem partibus differentiæ po$itionum $peculi KC.

ALITER.

2. PER $olos $inus idem a$$equemur hocmodo. Inuenta hypotenu$a CA, vt proximè diximus, per $inus. fiat, 10. triang. rectil. Vt $in{us} tot{us} angu- \\ lirecti B, # ad hypotenu$am \\ inuentam C A, # Ita $in{us} anguli A C B, \\ remotior{is} po$ition{is} \\ $peculi # ad A B, Prodibit enim in Quotiente altitudo AB, nota in partibus hypotenu$æ inuen- tæ CA. Quod $irur$us fiat, 10. triang. rectil. Vt $in{us} tot{us} an- \\ gulirecti B, # ad hypotenu$am in- \\ uentam C A, # Ita $in{us} angul<007> B A C, comple- \\ menti anguli in remotiore po$i- \\ t<007>one $peculi # ad C B, producetur CB, maior $peculi di$tantia ab altitudine. Ex qua $i $ubtrahatur KC, differentia po$itionum $peculi, cognita etiam relinquetur di$tantia minor KB. Quæetiam, $i inue$tigetur hypotenu$a KB, vt $upra traditum e$t, reperietur: $i fiat, vt $inus totus angulirecti B, ad hypotenu$am inuentam KB, ita $inus anguli BAK, complementi anguli in propinquiore po$itione $peculi, ad aliud, vt ma- nife$tum e$t.

[177]LIBER TERTIVS.

ALTITVDINEM monti impo$itam, $i modo altitudinis ba$is po$$it con$pici, vel portionem $uperiorem alicuius turris, beneficio $peculi plani efficere notam.

PROBLEMA XLI.

1. QVANDO ad turrim patet acce$$us, vt eius à men$ore di$tantia cogno- $cipo$sit; $i per probl. 39. inue$tigetur tam altitudo à $ummitate portionis pro- po$itæ, v$que ad ba$em turris, quam altitudo ab infima parte eiu$dem portio- nis, v$que ad eandem turris ba$em: & minor hæc altitudo ab illa maiore de- matur, reliqua fiet portio, quæ inquiritur.

2. AT verò, quando altitudo monti e$t impo$ita, & ba$is altitudinis appa- ret, aut ad turrim nonpatet acce$$us: exquirenda erit per præcedens problema vtraquealtitudo prædicta. Namrur$us minor detracta exmaiore, reliquam fa- ciet altitudinem, vel portionem, quæ de$ideratur.

SITVM cuiuslibet campi, aut atrii, vel templi, vel etiam vrbis, aut re- g@onis cuiu$uis in plano de$cribere, $i è duobus locis intra ip$um $i- tum a$$umptis baculi ex omnibus campi angulis erecti, vel certè ip$i anguli in ædificio, aut vrbe, vel loca regionis videri po$$int: $i- mulque longitudines laterum campi, vel ædificii, nec non di$tan- tias inter angulos, & vtrumuis locorum a$$umptorum in data men- $ura cogno$cere. Quod $i talia duo loca intra $itum eliginequeant, idem efficere, dummodo $itum po$$imus circumire.

PROBLEMA XLII.

1. ETSI problema hocvel Geographicum e$t, vel Architectonicum; ta- _Sit{us} camp@_ _cuiu$u{is}, quo_ _pacto ex duo-_ _b{us} loc{is} in-_ _tra ip$um a$-_ _$umpt{is} deli-_ _neetur._ men quia $ine dimen$ione linearum ab$olui non pote$t, lubet illud hocloco paucis explicare. Sit ergo campus quinque lateribus AB, BC, CD, DE, EA, cinctus. Figantur in quinque angulis A, B, C, D, E, quinque baculi ad angu- losrectos cum Horizonte, paretur que circa medium areæ planum aliquantu- lum altum Horizonti æquidi$tans, in quo duo puncta F, G, quantumlibetin- ter $e di$tantia, verbigratia 100. pedibus, è quibus omnes quinque baculi cerni po$sint. Per F, G, ducatur recta F G, ad vtra$que partes; continebitque $e- gmentum F G, 100. pedes ex hypothe$i. Affixa deinde dioptra volubili cum pinna cidiis in vtroq; puncto F, & G, de$cripti$que circulis duobus ex F, & G, vt per eorum circumferentias angulorum magnitudines, qui in F, G, con$titu\~etur, cogno$cipo $sint, in$piciantur ex F, & G, perforamina pinnacidiorum (circum- ducta dioptra) baculi ex angulis A, B, C, D, E, erecti, & anguli, quos linea fiduci{ae} cũ recta HI, facit, aut quos rectæ à linea fiduciæ de$ignat{ae} inter $efaciunt, tran$- ferantur ordine ad puncta K, L, quomodocunq; inter $e di$tantia in recta, KL, [178]GEOMETR. PRACT. quæ $eor$um in charta aliqua $it de$cripta, productis lineis, quæ illos angulos in K, & L, efficiunt vt in 2. figura apparet. Si namque puncta, vbi dictæ lineæ ex K, & L, prodeuntes concurrunt, lineis rectis coniungantur, de$cripta erit figu- ra O P Q R S, $imilis omnino figuræ campi A B C D E, Quod $ic demon$tro. Triangula AGF, OLK, $imilia $unt, quòd anguli AGF, AFG, angulis OLK, OKL, æquales $int, ex con$tructione. Igitur erit AG, ad GF, vt OL, ad LK. 4. _$exti_. Eademque ratione, ob $imilitudinem triangulorum FGE, KLS, erit GF, ad GE, vt LK, ad LS: ac proinde exæquo erit AG, ad GE, vt OI, ad LS. Cum ergo & anguli AGE, OLS, circa quos latera illa $unt proportionalia, æquales $int, quippe cum angulo AGE, factus $it æ- qualis ex con$tructione angulus O L S: $imilia erunt triangula AGE, OLS, hoc 6. _$exti_. e$t, æquiangula. Pari ratione ob $imili- tudinem triangulorum FGD, KLR, erit 4. _$exti_. GD, ad GF, vt LR, ad LK. Item ob $imi- litudinem triangulorum FGE, KLS, erit FG, ad GE, vt KL, ad LS. Igitur erit ex æquo GD, ad GE, vt LR, ad LS: Ac proinde cum anguli DGE, RLS, ex con- $tructione $int æquales; æquiangula quoque erunt triangula D G E, R L S. 4. _$exti_. Non aliter o$tendemus, triangula CGD, BGC, AGB, triangulis, QLR, PLQ, OLP, e$$e æquiangula. Immo ei$dem argumentis concludemus, quamuis non $itnece$$arium, triangula, quæ in F, $upra latera campi con$tructa $unt, æqui- angula e$$e triangulis in K, $upra latera figuræ O P Q R S, con$titutis. Ex his $equitur, figuram A B C D E, figuræ O P Q R S, æquiangulam e$$e: quippe cum earum anguli coagmentati $int ex angulis æqualibus, nimirum angulus AED, ex angulis AEG, GED, ip$um componentibus, qui angulis OSL, LSR, an- gulum OSR, componentibus æquales $unt; & $ic de cæteris. Sequitur et- iam latera earundem figurarum circa æquales angulos e$$e proportionalia. Nam propter triangulorum $imilitudinem, e$t AE, ad EG, vt OS, ad SL: 4. _$exti_. [179]LIBER TERTIVS. & EG, ad ED, vt SL, ad SR. Ideoque exæquo AE, ad ED, vt OS, ad SR: Atque ita de alijs. Similis ergo $unt figuræ ABCDE, OPQRS.

2. IAM vero vt longitudines laterum AB, BC, CD, DE, EA, & rectarum ex F, vel G, ad angulos in prima figura ductarum inueniamus, diuidendum erit in fi- gura inuenta, id e$t, in $ecunda, interuallum KL, in quotcunq; partes æquales. Deinde inquirendum, quotnam exillis partibus in $ingulis lateribus, & rectis eiu$dem figuræ $ecundæ ex K, vel L, prodeuntibus contineantur. quod vel per cir cinum fieri pote$t, repetendo $æpius vnam particulam in dictis lateribus re- ctis: vel (quod magis probo) hoc modo. Repetatur tota KL, in quolibetlate- re, velrecta, quoties fieri pote$t, & in reliquo $egmento v@a etiam particula in- terualli KL, circino iteretur, quoties fieri pote$t. Nam quoties repetita fuerit KL: toties numerus particularum ip$ius KL, in latere continebitur, cum tot in- $uper particulis, quot per circinum in reliquo regmento fuerint deprehen$æ. Aut certe per ea, quæ lib 1. cap. 1. ad finem N@m. 2. $crip$imus, inue$tigetur in in- $trumento partium, quot particulæ inter@alli KL, in dictis lateribus, & rectis cõ- prehendantur. Deinde fiat, vtnumerus particularum interualli K L, a$$umptus in 2. figura, ad numerum pedum inter puncta F, & G, in prima figura a$$umptum, ita numerus particularum in quolibet latere, vel recta in $ecunda figura inuen- tarum, ad aliud. Quotiens enim numerus indicabit, quot pedes in a$$umpto latere, vel recta contineantur. Ratio e$t, quia cum eandem proportionem ha- beat KL, in 2. figura ad quodlibet latus, vel rectam eiu$dem figuræ, quam habet FG, in prima figura ad re$pondens latus, vel rectam, propter $imilitudin\~e figu- rarũ, erit <002>mutando KL, ad interuallũ FG, vt latus adlatus, &c. Verbi gratia, In 2. figura interuallum KL, $ectum e$t in 5. particulas, qualium 17. in latere OP, in- uentæ $unt: Et quia $patium FG, in 1. figura po$itum e$t 100. pedum: $i fiat, Vt KL, quinque parti- \\ cularum # ad FG. 100. pedum: # Ita OP, 17. particu- \\ larum # ad AB, hoc e$t, $i, vt regula aurea præcipit, 100. ducantur in 17. $ecundus numerus in tertium, & productus numerus 1700. diuidatur per 5. id e$t, per primum nume- rum, reperientur in Quotiente 340. pedes pro latere AB, & $ic de cæteris.

3. EVNDEM $itum campi propo$iti A B C D E, delineabimus etiam ex vno _Sit{us} campi_ _cui$u{is} qua_ _ratione ex v-_ _no loco intra_ _ip$um a$$um-_ _pto de$criba-_ _tur._ tantumloco F, intra ip$um a$$umpto, hacratione. Dioptra ad $ingulos bacu- los ex angulis erectos, dirigatur, notatis angulis, quos lineæ, per dioptram de- $ignatæ inter $e faciunt; di$tantiæ que ab F, ad $ingulos angulos inquirantur in aliqua men$ura, vel per catenulã aliquã ferream, quæ nec intendi po$sit, nec re- mitti, vel per chordam ex F, ad $ingulos angulos exten$am vel certe, $i di$tantiæ illæ magnæ $int, per problema 2. vel 36. beneficio quadrati, alteriu$ue in$trum\~e- ti. Nam $i in charta aliqua ad quo dlibet punctum K, ijdem anguli con$tituan- tur, & in rectis illos angulos effi cientibus accipiantur tot particulæ inter $e æ- quales cuiu$uis magnitudinis, quot men$uræ inuentæ $unt in rectis re$ponden- tibus, quæ ex F, exeunt: extrema autem puncta vltimarum particularum rectis lineis coniungantur, de$cripta erit figura OPQRS, $imilis omnino campo AB- CDE: propterea quod triangula ad punctum F, collecta $imilia $unt triangulis 6. _$exti_. ad punctum K, collectis, ob æqualitatem angulorum in F, & K, con$titutorum, & latera circa illos angulos proportionalia, ex con$tructione.

4. LATERVM autem longitudines in campo ABCDE, cogno$centur, $i [180]GEOMETR. PRACT. per circinum inquiratur, quot particulæ in lateribus figuræ OPQRS, continean- tur ex illis, quæ in quauis recta ex K, emi$$a $umptæ fuere. Totidem namq; men- $uræ in lateribus campi comprehendentur, vt per$picuum e$t ex figurarum $imi- litudine.

_Vrb{is} cuiu$-_ _u{is}, ac regio-_ _n{is} $it{us} quo_ _pacto de$cri-_ _batur._

5. EADEM pror$us ratio tenenda e$t in $itu alicuius atrij vel templi, vel vr- bis, autregionis explorando. Solum in vrbe de$cribenda pro punctis F, & G, eligendæ $unt duæ turres altæ, è quibus omnes vrbis anguli con$pici po$sint, & quarum di$tantia vnius ab altera vel cognita $it, vel per præcedentia problema- ta inue$tigata. In regione autem delineanda pro ij$dem punctis F, & G, duo op- pida deligenda $unt, & in quolibet ex alti$sima turre circumia centia oppida in- $picienda, vt anguli habeantur, quos rectæ ab oculo men$oris ad $ingula oppi- da eductæ con$tituunt. Hiautem facilius ob$eruabuntur, $i loco dioptr{ae}, quia nimis alta e$t, $tatuatur planumerectum in punctis F, & G, ita vt cir cumductum tran$eat per oppida circumiacentia, $i intelligatur e$$e productum. Ita namque planum ip$um rectas de$ignabit, quæ angulos prædictos con$tituant. Atq; hoc etiam in $itu vrbium perue$tigando faciendum erit. Itaq; $i anguli vrbis cuiu$- piam, aut oppida alicuius regionis $int A, B, C, D, E, & duæ turres in F, & G, o- mnia perficienda erunt, vt $upra de campi $itu dictum e$t. Nam $itum vrbis, vel regionis exhibebit figura OPQRS, di$tantiæ que locorum A, B, C, D, E, vnius ab altero cogno$centur, vt de lateribus campi dictum e$t.

6. QVOD $i intra $itum propo$itum duoloca, vel vnus $altem non exi$tat, vnde omnes anguli con$pici po$sint, vt in omnibus ædificijs contingit, oporte- bit $itum circumire, & inue$tigare angulos per rectas, quæ in campo à baculo ad baculum ducendæ $unt per catenulam ferream, vel chordam, aut certe erigen- dum planum, quod per binos baculos tran$ire con$piciatur. Ip$um enim planum dictas rectas exhibebit. In ædificijs au- tem, ac templisip$i muriexteriores dictos angulos con$titu- unt, quorum amplitudo inue$tigari $olet ab artificibus in$tru- mento quodam ex duabus regulis compacto, quarum vna $ub alteram ingre$$a moueatur, (quod Italis Squadrazoppa dicitur) vt hæc figura indicat. Aperto namque in$trumento, $i crura duobus muris angulum effi cientibus congruent, da- buntinteriora crurium latera in cõcur$u angulum quæ$itum. Et $i idem in$trumentum interioribus angulis ædificiorum applicetur, dabunt eadem latera interiora crurium angulos, qui à muris effi ciuntur. Inuentis angu- lis, ac notatis, men$uranda erunt interualla inter baculos in campo erectos, vel inter angulos ædificiorum, per catenulam ferream, vel chordã, aut certe in cam- pis, $i ea interualla longa $int, per problema 2. vel 36. exploranda in aliqua men- $ura nota, vtin cubitis. Nam $i in charta ducatur linea OP, tot particulas æqua- les continens, quot cubiti, verbi gratia, in interuallo AB, deprehen$i $unt, & an- gulus POS, angulo BAE, inuento fiat æqualis: & in recta O S, accipiantur tot particulæ prioribus æquales v$q; ad S, quot cubiti in interuallo AE, reperti$unt: acrur$um angulus OSR, angulo AED, æqualis fiat, & $ic deinceps, repræ$enta- bitur $itus campi per figuram O P Q R S. Idemque de $itu ædificiorum tam exteriori, quam interiori intelligendum e$t, $i diligenter anguli, ac di$tanti{ae} ob$eruentur.

[181]LIBER TERTIVS.

LONGITVDINEM trabis ad Horizontem in clinatæ, cuius portio $uperior tantum con$piciatur, vna cum angulo inclinationis, di$tan- tia ba$is à men$ore, & altitudine fa$tigii $upra Horizontem, per Qua- dratum metiri.

PROBLEMA XLIII.

1. Trabs inclinata $upra murum CD, $it AB, & men$or in E, con$titutus è di- recto ip$ius trabis, ita, vt ip$e & trabs in eodem $int plano, metiri debeat lon- gitudin\~e A B, angulum in clinationis ABE, di$tantiam B E, & altitudinem A F, etiam$i tantum portionem $upremam A G, videat, ba$em ocultante muro C D Si quadratum ad E, bis applicetur, $emel videlicet in clinatum, vt vnum latus re- cta tendat ad punctum A, & iterum demi$$um ad Horizontem, ita vt centrum dioptræ $it in E, & latus E L, Horizontiincumbat. Nam in$pecto puncto A, ex a, $i $iat, vt vmbra ver$a e b, ad latus b a, ita latus a 4. _$exti_. E, ad aliud, gignetur di$tãtia, $iue hypotenu$a E A. Deinde explorata portione dioptræ E I, vt in $cho- lio Probl. 7. Num. 2. docui; Si fiat, vt E I, portio 2. _$exti. &_ _componendo_. dio ptræ inuenta ad repertam hypotenu$am EA, ita fI, lateri quadrati æqualis ad aliud, producetur al- titudo AF, quæ$ita. quod e$t quartum.

2. ET $i rur$us fiat, vt EI, portio dioptræ ad hypotenu$am EA, ita Ef, ip$i cI, 2. _$exti. &_ _componendo_. æqualis ad aliud, nota fiet di$tantia EF. Non aliter, $i aliud punctum G, in$pi- ciatur, cognita fiet hypotenu$a E G, & altitudo G H, vna cum di$tantia E H, $i nimirum quadratum primo ita applicetur ad E, vt vnum latus tendat recta ad G, &c. quemadmo dum in $cholio probl. 7. o$tendimus.

3. IAM $i E F, inuenta ex cognita E H, $ubducatur, nota relinquetur F H, id e$t, GI, quæ in $ublimi duci cogitetur parallela Horizonti Eodem modo $i G H, cognita, vel illi æqualis FI, ex inuenta AF, dematur, reliqua AI, nota fiet. Cum igitur in triangulo rectangulo AGI, in $ublimi con$tituto duo latera AI, IG, co- 6. _triang. re-_ _ctil_. gnita $int, cogno$cetur & ba$is A G, & angulus AGI, quiæ qualis e$t angu- lo in clinationis ABE, qui quæritur. quod e$t $ecundum.

29. _primi_.

4. ITAQVE cum in triangulo rectangulo ABF, latus A F, notũ $it factum, 4. _triang. re-_ _ctil_. vna cum angulo B, ac proinde & cum eius complemento BAF, cognitum fiet alterum quo que latus B F, cui $i adij cietur di$tantia E F, inuenta, tota di$tantia quæ$ita E B, manife$ta erit. quod e$t tertium.

5. DENIQVE in eodem triangulo ABF, rectangulo, ex latere A F, & angu- lo B, ac proinde & eius complemento BAF, cognitis, cogno$cetur etiam ba$is 4. _triang re-_ _ct<007>l_. AB, longitudo videlicet trabis. quod e$t primum. Hæc autem nota etiam effi- cietur, $i fiat, vt AI, differentia altitudinum cognitarum AF, GH, ad AF, maio- 2. _$exti. &_ _componendo_. rem altitudinem, ita AG, paulo ante nota effecta, ad A B.

VISIS duarum turrium $ummitatibus, etiam$i ba$es propter ædificia interiecta occultentur, di$tantiam tam inter earum ba$es, quam inter earundem fa$tigia, vna cum ip$arum altitudinibus, ac di$tãtiis à men- $ore coniicere.

[182]GEOMETR. PRACT. PROBLEMA XLIV.

1. SINT duæ turres A F, GH, quarum $ola fa$tigia A, G, cernantur exloco Horizontis B. Oportet inue$tigare & di$tantiam F H, & interuallum A G, & v- triu$q; turris altitudinem. Sit primum minor turris A F, inter maiorem, & men- $orem, ita vt men$or in eodem cum turribus $it plano, & minor non occultet fa- $tigium G, maioris. Per $chol. probl. 7. inuenietur & vtraque di$tantia B F, BH, & vtra que altitudo A F, G H: $i nimirum in B, Quadratum ita locetur, vt vnum eius latus cum hypotenu$is BA, BG, coincidat, &c. quod e$t quartum, ac terti- um. Et quia tria puncta B, F, H, ponuntur in eadem recta, erit di$tantiarum diffe- rentia F H, cognita, hoc e$t, di$tantia inter turrium ba$es, quod e$t primum. Rur- $us differentia altitudinum GC, nota erit, ac propterea in triangulo rectangu- 6. _triang. re-_ _ctil_. lo ACG, ex duobus lateribus. A C, C G, cognitis, ba$is quo que A G, efficietur nota. quod e$t $ecundum.

2. DEINDE con$i$tat men$or in D, ita vtip$e, ac ba$es F, H, non iaceant in vna linea recta. Per $cholium problem. 7. iterum tam altitu dines AF, GH, quam di- $tantiæ D F, D H, congitæ fient, $i videlicet quadrati vnum latus hypotenu$is D A, D G, congruet, &c. quod e$t tertium, ac quartum. Inue$tigatis autem hypotenu$is DA, DG, vt in eodem $cholio traditũ e$t, cogno$cetur per problema 16. præ$ertim per ea, quæ Num. 2. eiu$dem problematis $crip$imus, interuallum A G, $i nimirum in hypotenu$is accipentur portiones D I, D E, ip$is hypotenu$is proportionales, vt in illo Num. 2. diximus, &c. quod e$t $ecundum. Et quoniam altitudines AF, GH, notæ factæ $unt, erit etiam earum differentia G C, nota. Quam obrem ex ba$e A G, & latere G C, in triangulo re- ctangulo ACG, cognitis, latus quoq; AC, hoc e$t, di$tantia F H, inter ba$es no- ta erit: quod e$t primum.

SI turres e$$ent AF, CH, æquales, e$$et di$tantia A C, inter fa$tigia di$tantiæ FH, inter ba$es æqualis.

SCHOLIVM.

1. Ex omnibus, quæ demon$trata $untin hoc 3. libro, colligi pote$t regula _Vnica regula_ _adomnes re-_ _ct{as} dimetien-_ _d{as}, quando_ _earum extre-_ _ma videntur_. generalis ad dimetiendas omnes longitudines, $iue eæ $int di$tanti{ae} in Horizon- te, $iue altitudines, profunditate$ue, $iue hypotenu${ae}, id e$t, di$tãti{ae} ab oculo ad quo dlibet punctum $iue interualla inter duo puncta, vbicunq; exi$tant: dum- modo vtrumq; extremum longitudinis dimetiendæ videri po$sit à men$ore, v- bicun que etiam ip$e exi$tat. Nam $i per problema 15. præ$ertim per ea, quæ Nu. 5. eius problematis $crip$imus, di$tantiæ à men$ore v$que ad duo extrema lon- gitu dinis explorentur, inue$tigato prius angulo, quem duæ illæ di$tantiæ, $iue hypotenu$æ effi ciunt, vt in $cholio probl. 7. Num. 2. docuimus; &c. factum e- rit, quod proponitur. Itaque $i diligenter ea, quæ in problem. 15. ac 16. $crip$i- [183]LIBER TERTIVS. mus, percepta fuerint, eadem $emper ratio metien darum rectarum tenenda erit, $i vtra que extremitas rectæ propo$itæ cerni pote$t, vt diximus.

2. SED neque hoc omittendum puto, quando inuentæ $unt duæ di$tantiæ à men$oris loco v$que ad duas extremitates rectæ metiendæ, vna cum angulo ab ip$is comprehen$o, certius (quam quam laborio$ius) interuallum inter duo illa extrema, hoc e$t, rectam propo$itam inueniri po$$e ex duabus illis di$tantijs, & angulo comprehen$o, per 12. triang. rectil. quam per duas dictas portiones illis di$tantijs proportionales: propterea quod interuallum inter extrema illa- rum portionum vix accurate per circinum reperiri po$sit. Id quod etiam in pro- blem. 16. ad finem Num. 2. monuimus.

SPATIVM terræ inæquale pro ducendis aquis librare: aut etiam $i lu- bet, Horizonti æquidi$tans efficere.

PROBLEMA XLV.

1. QVANDO oblatum $patium non e$t valde magnum, excogitauit Ioan- _In$trumenti_ _con$tructio_ _pro librationi-_ _b{us}_ nes Ferrerius Hi$panus nobilis Architectus, & Mathematicus, in$trumentum percommodum pro librationibus, hoc modo. Compingantur duæ regulæ AB, AC, ex ligno aliquo $olido, ac duro, æqualium crurum, quæ longitudinem ha- beant $atis longam, ita vt di$tantiæ inter extrema B, C, contineat 10. palmos pr{ae}- ci$e, aut etiam plures. Deinde ducta recta AG, ad BC, perpendiculari, de$criba- tur ex A, $emicirculus quantu$cunque I D K, cuius $emidiameter A D, in totæ- quales partes $ecetur, quot palmi in di$tantia B C, comprehenduntur. De$cri- pto quoq; circa A D, $emicirculo occulto A E D, transferantur ex D, in eius pe- rip heriam omnia interualla inter D, & puncta rectæ A D: ac tandem ex A, per $ingula puncta $emicirculi AED, rectæ occultæ emittantur, notenturq; inter$e- ctiones earum cum peripheria D I, at que in alteram peripheriam D K, tran$por- [184]GEOMETR. PRACT. tentur. Si nam que ex A; filum cum perpendiculo egrediatur, & omnes partes excindantur, relictis $olum cruribus in$trumenti AB, AC, vna cum perip heria $e- micirculi IDK, cõ$tru ctum erit in$trumentum ad liberationes per opportunum.

2. NAM in campo aliquo, vel horto, po$itis punctis B, C, in terra, $i filum _Spatium in æ-_ _quale quo pa-_ _cto libretur_. perpendiculi tran$it per D, erunt puncta B, C, in terra eiu$dem altitu dinis, ita vt $i $patium in teriectum B C, complanetur, $patium illud horti, vel campi $it libratũ, hoc e$t, Horizonti parallelum.

SIVERO filum perpendiculi AH, ab$cindet ex quadrante DI, aliquot partes, nimirum 3. erit punctum C, tribus palmis altius puncto B, atque ita fo diendum ibi erit ad altitudinem trium palmorum, vt complanatum $patium inter B & in- fimum punctum eff o$$um Horizonti $it parallelum. Quod $i filum perpendi- culi ab$cin deret ex alio quadrante DK, quotcunq; partes nimirum 5. e$let pun- ctum C, depre$sius quinque palmis puncto B. Quare tunc $uperimp onenda, foret puncto C, terra ad altitudinem 5. palmorum, vt $patium inter B, & $upre- mum punctum terræ $uperimp o$itæ complanatum Horizonti æquidi$ter. Com- planato $patio inter B, & aliud punctum prope C, $iue effo $$um, $iue eleuatum, iteranda erit eadem operatio, po$ito crure A B, in puncto inuento, &c. Atque ita deinceps procedendum e$t v$que ad vltimum $ignum in horto, vel campo propo$itum. Hoc ita demon$tratur. Concipiatur ducta recta BC, & recta CF, filo perpendiculi AH, duci parallela, quæ ad Horizontem erit perpendicularis, ac proinde ducta BF, ad CF, perpendicularis Horizonti æquidi$tabit. Et quo- niam in triangulis A G H, B F C, recti anguli E, F, æquales $unt, nec non & al- 29. _primi_. terni C, H, æquiangula erunt triangula; E$t autem A G H, triangulo A D E, 32. _primi_. æquiangulum, quod & recti G, E, æquales $int, & A, communis. Igitur tri- angula quoque A D E, B C F, æquiangula erunt. Ideo que erit vt A D, 10. 4. _$exti_. partium ad D E, 3. partium, ita B C, 10. palmorum, ad C E, ac proinde C F, 3. palmos continebit, tot nimirum, quot partes filum perpen diculi ab$cindit ex $emicirculo I D K. Quod $i quadratum C F, nimirum in dato exemplo 9. pal- mi (cum latus C F, $it 3. palmorum) dematur ex 100. id e$t, ex quadrato BC. 10. palmorum, reliquum fiet quadratum 91. lineæ horizontalis BF, cuius quadrata radix 9 {10/19}. dabit horizontalem di$tantiam B F, à puncto B, v$que ad perpendi- cularem CF.

HÆC eadem di$tantia horizontalis B F, cogno $cetur quo que $ine nume- rorum $upputatione, hoc modo. Ex A, de$cribatur alius $emicirculus, & in $e- micir culum AED, transferantur omnia interualla inter A, & punctarectæ AD, ac tandem ex A, rectis occultis emi$sis per puncta in $emicirculo notata, ob$eru\~e- tur earum inter$ectiones cum $emicir culo ex A, de$cripto, transferantur que in alterum quadrantem ver$us K. Nam quot partes filum perpen diculi AH, ex vl- timo hoc $emicirculo ex A, de$cripto ab$cindet, tot palmos continebit hori- zontalis longitudo BF: propterea quod eadem e$t pro portio DA, ad AE, qu{ae} 4. _$exti_. CB, ad BF, quippe cum triangula D A E, CBF, o$ten$a $int $imilia. Cum ergo ex con$tructione, recta AE, complectatur tot partes rect{ae} A D, quot ex A, in $emi- circulum AED, v$que ad filum perpendiculi$unt translatæ, (vt in no$tro exem- plo partes propemodum 9 {1/2}.) comprehendentur totidem palmirectæ CB, in re- cta BF. E$t autem con$ideratione dignum, partes po$terioris $emicirculi contra- rio ordine $imiles e$$e partibus prioris $emicir culi IDK. Nam $i verbi gratia rectæ D E, quæ æqualis e$t tribus partibus rectæ D A, initium $umentibus à D, accipia- [185]LIBER TERTIVS. tur æqualis AL, trium quo que partium rectæ AD, initium $umentium à puncto A, ducaturq; recta AL, fiet angulus IAL, æqualis angulo DAE. Quia enim arcus DE, AL, æquales $unt, erunt quoq; reliqui AE, DL, æquales. Igitur anguli A- 27. _tertij_. DE, DAL, æquales erunt: ideoq; & reliqui D A E, I A L, æquales inter $e erunt: propterea quod tam duo A D E, D A E, propter rectum E, in $emicirculo, quam duo DAL, IAL, vni recto $unt æquales. Ex quo fit, rectas AI, AL, ex po$teriori $emicirculo ex A, de$cripto auferre arcum $imilem arcui in priori $emicirculo IDK, inter rectas AD, AE, inter cepto: Eademque ratio e$t de alijs.

QVANDO in$trumentum $æpius repetitum fuit, quæritur autem, quanto al- tius, vel depre$sius $it primum punctum, quam vltimum, $cietur hoc per alti- tudines, depre$sione$ue intermedias. Vt $i primus locus fuerit altior quam $e- cundus, quinque palmis; & hic altior quam tertius, duobus palmis; hic au- tem depre$sior, quam quartus locus, tribus palmis; & hic denique altior quam vltimus locus, vno palmo, colligemus primum locum altiorem e$$e vltimo lo- co quin que palmis. Nam primus locus erit altior tertio $eptem palmis, cum pri- mus $ecundum quin que palmis $uperet, & $ecundus tertium, duobus. Et quia tertius $uperarur à quarto, tribus palmis, $uperabit primus quartum quatuor palmis. Cum ergo hic altior $it, quam vltimus, vno palmo, erit primus altior, quam vltimus, quin que palmis, & $ic de cæteris.

3. CÆTERVM quando duo loca multum inter$e di$tant, explorabimus per _Libration{es}_ _pro conducen_ _d{is} aqu{is}, quo_ _modo fiant_. quadratum $tabile, quanto alter altero $it altior, vel humilior, hac ratione. Sit primus locus A, $ecundus B, in prima figura. Erecto baculo A D, $taturæ men- soris æquali, concipiatur ex B, ad perpendiculum loci A, altioris perpendicula- ris B C, (per quadratum autem facilè cogno$ces, vter locorum $it altior. Nam quando per latus $upremum Horizonti æquidi$tans, ex A, locus B, cernitur, ea- dem e$t altitudo vtriu$que loci Sivero deprimendum e$t illud, vt B, videri po$- $it, erit locus A, altior: Si denique idem latus attollendum e$t, erit locus B, alti- or.) Nam $i per do ctrinam $cholij probl. 9. inue$tigetur altitudo D C, & aufe- ratur men$oris $tatura A D, reliqua erit altitudo A C: Ac tanto erit altior locus A, loco B. Et $i è contrario in loco humiliori B, erigatur baculus BF, $taturæ m\~e- $oris æqualis, & per do cttinam $cholij probl. 7. inquiratur altitudo A E, v$que ad perpendicularem FE, per cogitationem ad AC, ductam, & apponatur $tatu- ra men$oris B F, nota euadet tota altitudo A C; Ac tantò depre$sior erit locus B, quam locus A. Atque ita ex loco A, ad locum B, conduci pote$t aqua, non autem contra.

4. QVOD $i inter primum locum A, & $ecundum B, interp o$itus $it mons C, ita vt ex A, locus B, videri nequeat, vt in 2. figura, ita procedemus. Ex A, per $cholium problem. 7. indagabimus altitudinem CD. Deinde ex C, per $choli- um problem. 9. explorabimus altitudinem C E, ductis nimirum ad CE, perpen- dicularibus AD, BE. Nam hac ratione concludes locum A, altiorem e$$e loco B, quantitate D E. Quamobrem $i perfodiatur mons C, vel aquæductus circa ip$um extruatur, conduci poterit a qua ex A, ad B, & non contra.

5. POSTREMO $i in monte aliquo, vel in eius latere $it aqua vel in puteo aliquo profundo, vel in fo$$a aliqua profunda C D; & $cire de$ideres, an ex D, ad B, conduci po$sit aqua per aquæductum, ita erit agendũ. Primũ $i CD, puteus e$t, inue$tiga eius profunditatem CD, per probl. 27. $i vero fo$$a, aut vorago ali- [186]GEOMETR. PRACT. qua, perproblema 28. Deinde concipiatur ex B, ad perpendiculum C D, duci perpendicularis BE; atq; per $cholium probl. 7. ex B, inue$tigetur altitudo CE. Sinamq; h{ae}c deprehen$a fuerit {ae}qualis profunditati inuent{ae} CD, habebit fun- dus aqu{ae} D, eandem altitudinem cumloco B, ac proinde aqua ad B, ex D, de- fluere non poterit per a qu{ae}ductum: Sivero altitudo C E, reperta fuerit maior quam profunditas CD, conduci poterit a qua ex D, in locum B: Si denique alti- tudo CE, inuenta fuerit minor profunditate CD, erit locus B, altior quam a qua iuxta D, at que idcirco defluere non poterit ad B.

Ex his non ob$curè intelliges, vbiaqu{ae}ductus vtiliter $int extruendi, & vbi non.

FINIS LIBRI TERTII. [187] GEOMETRIÆ PRACTICÆ LIBER QVARTVS. AREAS

Superficierum planarum inue$tigans.

_Q_VEMADMODVM linea recta rect{as} line{as} meti- _Pen{es} quid_ _men$uræ li-_ _nearum re-_ _ctarum, pla-_ _narum $uper-_ _ficierum &_ _$olidorum $u-_ _mantur._ tur, ita Geometræ $uperficies plan{as} per $uperficiem qua- dratam, & corpora, $iue $olida, per corp{us} cubicum me- tiri $olent. Nam $icut linea recta dicitur 100. palmorum in qua linea vni{us} palmi centies continetur, ita $uperfi- cies plana dicitur 100. palmorum, quæ centies quadra- tum continet, cui{us} lat{us} palmo æquale est: & $olidum 100. palmorum illud dicitur, quod complectitur 100. cubos, quorum quilibet la- t{us} habet vni{us} palmi: quod de ali{is} etiam men$ur{is}, vt de pede, cubito, pa$$u, milliario, &c. intelligendum est. Quia vero quælibet $uperficies tot quadrata cuiu$que men$uræ comprehendere dicitur, quot in parallelogrammo rectangulo, quod illi æquale est, continentur, explicandum primo loco erit, quaratione area cuiu$libet rectanguli cogno$catur. Deinde de area triangulorum, quadrilatero- rum non rectangulorum, cæterarumque figurarum plurium laterum @gem{us}: ac denique circulum, eiu$que partes metiemur.

DE AREA RECTANGVLORVM CAPVT I. _Area qua-_ _drati, & alte-_ _ra parte lon-_ _gior{is} quo pa-_ _cto cogno$ca-_ _tur._

QVONIAM Euclides defin. 1. lib. 2. docet, omne parallelogram- mum rectangulum contineri $ub rectis duabus lineis, quæ rectum comprehendunt angulum; manife$tum e$t, aream cuiu$que re- ctanguli produci ex multip licatione duorum laterum circa rectum [188]GEOMETR. PRACT. angulum, vnius in alterum; adeo vt in quadrato $atis $it ducere vnum latus in $e, vt eius area cogno$catur: quippe cum duo latera circa vnum angulum re- ctum æqualia $int. Vtin quadrato A B C D, cuius $ingula latera quinos palmos con- tinent, $i latus A B, quinque palmorum in $e ducatur, producentur 25. quadrata, quorum quodlibet habet latus vnius pal- mi; atque tot palmos quadratos conti- nere dicetur area quadrati A B C D. At area rectanguli altera parte longioris EFGH, cuius vnum latus circa rectum an- gulum continet 5. pedes, & alterum 3. dicetur continere 15. palmos quadra- tos, propterea quod ex mutua laterum 5. & 3. multiplicatione numerus 15. procreatur.

_Vt camp{us}_ _rectangul{us}_ _men$uretur,_ _quid agen-_ _dum._

2. ITAQVE $i campum aliquem rectangulum, vel parallelo grammum re- ctangulum metiri iubeamur, men$uranda erunt per aliquam men$uram notam, vt per palmum, vel pedem, &c. duo latera circa angulum rectum. Nam vno in alterum ducto, area propo$iti campi, vel parallelogrammi rectanguli produ- cetur, vt dictum e$t.

DE AREA TRIANGVLORVM CAPVT II.

1. QVANDO trianguli omnia tria latera cognita $unt, duabus viis eius area cogno$ci pote$t. Prima, quæ accurati$sima e$t, ita $e habet. _Coll<007>gantur omnia_ _latera in vnam $ummam: Ex hui{us} $ummæ $em<007>$$e $ubtr ahantur $ingula latera, vt ha-_ _beantur tr{es} d<007>fferentiæ inter illam $emi$$em, & latera $ingula: Po$tremo tr{es} hæ diffe-_ _rentiæ, & dicta $emi$$is inter $e mutuo multipl<007>centur. Product<007> en<007>m numeriradix_ _quadrata erit area trianguli quæ$ita_.

Verbigratia, $i latera $int 10. 17. 21. erit $umma ex illis collecta 48. & $emi$sis 24. Differentiæ autem inter hanc $emi$$em, & latera erunt 147. 3. Hæ inter $e multip licatæ) ducendo primum 14. in 7. deinde productum in 3.) faciunt 294. quæ ducta in 24. $emi$$em prædictam, producunt 7056. cuius numeriradix quadrata 84. erit area dicti trianguli, cuius latera $unt 10. 17. 21. Rur$us $i in alio quopiam triangulo latera $int 13. 14. 15. inueniemus eandem a@eam. Nam $@\~ma laterum e$t 42. $emi$sis 21. Differ\~eti{ae} inter hanc $emi$$em, & tria latera $unt 8. 7. 6. quæ inter $e multip licatæ faciunt 336. quæ ducta in 21. $emi$$em prædictam effi- ciunt 7056. cuius numeri quadrata radix 84. dabit aream trianguli, quod lateri- bus 13. 14. 15. continetur. Denique $i detur triangulum A B C, in quo latus A B, 7. B C, 10. & A C, 11. $umma omnium e$t 28. & $emi$sis 14. quæ latera $uperat hi$- ce numeris 7. 4. 3. qui inter $emultip licati faciunt 84. qu{ae} ducta in 14. $emi$$em $ummæ gignunt numerum 1176. cuius radix quadrata 34 {20/69}. ferè dabit aream triangul<007> A B C. Ex quo colliges, non omnis trianguli aream e$$e numerum ra- tionalem: propterea quod numerus vltimo loco productus non e$t $emper quadratus, vt in po$tremo hoc exemplo @ontigit.

[189]LIBER QVARTVS.

HANC praxim, $iueregulam, quæ exqui$iti$sima e$t, vt dixi, ita in triangu- lo A B C, demon$trabimus. Diui$is angulis A B C, A C B, bifariam per rectas BD, CD, coeuntes in D, ducantur ex D, ad $ingula latera perpendiculares D E, DF, DG, iungatur que recta AD. Quoniamigitur duo anguli E, D B E, in trian- gulo DEB, æquales $unt duobus angulis G, D B G, in triangulo DGB, & latus DB; commune; erunt tam latera DE, DG, quam BE, BG, æqualia. Eodemq; _26. primi_. modo tamlatera DF, DG, æqualia eruntin triangulis DFC, DGC: acproinde DE, DF, (cum vtraque ip$i D G, $it o$ten$a æqualis) inter $e æquales erunt: ideo- que omnes tres perpendiculares DE, DF, DG, æquales inter $e erunt.

DEINDE quia quadrato ex AD, æqualia $unt tam quadrata ex A E, E D, _47. primi_. quam quadrata ex A F, F D; æqualia erunt quadrata ex A E, E D, quadratis ex AF, FD, Ac proinde ablatis æqualibus quadratis rectarum ED, FD, æqualium, reliqua quadrata rectarum A E, A F, æqualia erunt: proptereaque & rectæ ip$æ A E, A F, æquales erunt. Igitur cum latera A E, @A D, trianguli A D E, lateribus A F, A D, trianguli A D F, æqualia $int, & ba$is E D, ba$i F D; erit an- _8. primi_. gulus D A E, angulo D A F, æqualis.

QVIA verò A E, ip$i A F, & E B, ip$i B G, {ae}qua- lis e$t o$ten$a, erit tota A B, duabus A F, B G, {ae}qua- lis: additi$que æqualibus C G, C F, du{ae} A B, C G, duabus A C, B G, æquales erunt. Tam ergo du{ae} A B, C G, quam duæ A C, B G, $emi$$em trium laterum A B, B C, A C, con$tituent. Quocirca C G, vel C F, diifferentia erit inter $emi$$em laterum, & latus A B. Item B G, vel BE, differen- tia inter eandem $emi$$em, & latus A C. Denique cum A B, C G, $emi$$em late- rum efficiant, $itque B G, ip$i B E, æqualis, vt o$tendimus, con$tituent quo que B C, A E, $emi$$em eorundem laterum: ideo que A E, differentia erit inter late- rum $emi$$em, & latus B C. Tres ergo rect{ae} A E, E B, C G, & $emi$$em late- rum con$tituunt, & tres differentias inter $emi$$em laterum, & tria latera trian- guli.

PRODVCTIS iam A B, A C, $it B H, ip$i C G, & C I, ip$i B G, æqualis; ita vt tam A H, $emi$si laterum, rectis videlicet A B, C G, quam A I, eidem $emi$si late- rum, rectis nimirum A C, B G, $it {ae}qu, con$tet que ex tribus differentiis an- te dictis. Ducta quo que H K, ad A H, perpendiculari, qu{ae} cum A D, producta conueniat in K; connectantur rect{ae} K I, K B, K C. Et quia duo latera A H, A K, trianguli AHK, duobus lateribus AI, AK, trianguli AIK, {ae}qualia $unt, angulo$- que ad A, continent {ae}quales, vt $upra o$tendimus, æquales quo que erunt & _4. primi_. ba$es HK, IK, & anguli H, I. Cum ergo H, per con$tructionem $it rectus, rectus etiam erit I.

ABSCINDATVR pr{ae}terea BL, ip$i C G, vel B H, æqualis, vt proinde reli- qua C L@ reliqu{ae} B G, vel ip$i C I, æqualis $it, iungaturq; recta KL. Producta au- tem B H, $umatur H M, ip$i C I, æqualis, connectatur querecta L M. Et quia duo latera KH, HM, trianguli HMK, duobus later bus KI, IC, trianguli CIK, æqua- lia $unt, angulo $que H, I, continent {ae}quales, vt pote rectos: erunt quo que ba- _8. primi_. $es K M, K C, {ae}quales: at que adeò cum duo latera BM, BK, trianguli BMK, duo- bus lateribus B C, B K, trianguli B C K, {ae}qualia $int, (e$t nam que B M, ip$i B C, æqualis, quod partes B H, H M, part<007>bus B L, L C, $int æquales) $it que ba$is [190]GGOMETR. PRACT. K M, ba$i K C, o$ten$a æqualis; erunt quo que anguli K B M, KBC, æquales. _8. primi._ Itaque quoniam duo latera B H, B K, trianguli B H K, duo bus lateribus B L, B K, trianguli B L K, æqualia $unt, æquale$q; continent angulos ad B, vt o$tendimus, erunt & ba$es HK, KL, & anguli H, L, æquales. Cum ergo H, ex con$tructio- _4. primi._ ne rectus $it, erit quo que L, rectus. Quare cum latera KH, KB, trianguli KBH, lateribus KL, KB, trianguli KBL, æqualia $int, & ba$is BH, ba$i BL, erunt etiam _8. primi._ anguli BKH, BKL, æquales.

QVONIAM autem ex iis, quæ ad prop. 32. lib. 1. Euclidis demon$trauimus, quatuor anguli quadrilateri BHKL, quatuor rectis $unt æquales: erunt demptis duobus rectis H, L, duo HBL, HKL, duobus rectis æquales; ideo que duobus angulis HBL, EBL, æquales, quod hi quo que duobus $int rectis æ- _13. primi._ quales, ablato que communi HBL, reliquus HKL, reliquo EBL, æqualis erit: ac propterea & HKB, ip$i E B D, dimidius dimidio, æqualis erit. Cum ergo & rectus H, recto E, $it {ae}qualis, erit quo que reliquus H B K, in triangulo H B K, _32. primi_. reliquo EDB, in triangulo EDB, æqualis; ac proinde triangula BHK, DEB, æ- quiangula erunt. Quapropter erit vt DE, ad EB, ita BH, ad HK; at que idcir- _4. $exti_. co $i lineæ h{ae} ad numeros contrahantur, erit numerus, qui fit ex D E, in H K, _19. $eptim_. æqualis numero, qui fit ex EB, in BH. Eandem ergo proportionem habebit _7. quinti_. quadratus ex DE, ad productum ex DE, in HK, & ad productum ex EB, in BH. Sedita e$t quadratus ex D E, ad productum ex DE, in HK, vt DE, ad HK: _17. $eptim._ proptera quod DE, multiplicans DE, & HK, fecit & quadratum ex DE, & pro- ductum ex D E, in H K. Eritigitur quadratus quo que ex D E, ad productum ex EB, in BH, vt DE, ad HK. Vtautem DE, ad HK, ita e$t AE, ad AH. Nam cum _28. primi._ parallelæ $int DE, HK, æquiangula erunt triangula AED, AHK, ex coroll. prop. 4. lib. 6. Euclid. Igitur erit vt AE, ad ED, ita AH, ad HK, & permutando, vt _4. $exti._ AE, ad AH, ita ED, ad HK. Igitur erit quadratus quo que ex D E, ad produ- ctum ex EB, in BH, vt AE, ad AH. Qui ergo fit ex quadrato ip$ius DE, in _19. $ept._ AH, æqualis erit ei, qui fit AE, in productum ex EB, in BH. Igitur & numerus, qui ex producto ex quadrato ip$ius D E, in A H, multiplicato in A H, gignitur, æqualis erit numero, qui ex producto ex AE, in productum ex EB, in BH, mul- tiplicato in eundem A H, procreatur. (Nam quia {ae}quales numeri, nimirum productus ex quadrato ip$ius DE, in AH, & productus ex AE, in productum ex EB, in BH, eundem numerum AH, multiplicant > habebunt producti, nimirum _18. $ept._ numerus, qui ex producto ex quadrato ip$ius DE, in AH, multiplicato in AH, gignitur, & numerus, qui ex producto ex AE, in productum ex EB, in BH, mul- tiplicato in eundem A H, procreatur, eandem proportionem, quam multipli- cantes. Cum ergo hiæquales $int, erunt & illi producti æquales) hoc e$t, nu- merus productus ex AH, in AH, id e$t, quadratus ip$ius AH, ductus in quadra- tum ip$ius DE, (Per $cholium enim propo$. 19. lib. 8. Euclid. quomodocun- que tres numeri inter $e multiplicentur, idem $emper numerus procreatur) æqualis erit numero, qui ex producto ex A E, in productum ex E B, in B H, nempe ex producto trium differentiarum A E, E B, B H, inter $e multipli- catarum, ducto in A H, id e$t, in $emi$$em laterum gignitur. At ex quadra- to ip$ius D E, in quadratum ip$ius A H, producitur quadratus numerus areæ trianguli A B C, vt mox o$tendemus. Igitur & ex producto trium exce$- $uum A E, EB, B H, inter $e multiplicatorum, ducto in A H, $emi$$em late- rum A B, B C, A C, producitur idem quadratus numerus areæ @@ianguli A B C: [191]LIBER QVARTVS. ac proinde radix quadratihuius numeri erit dicti trianguli area: quod erat de- mon$trandum.

QVOD autem ex quadrato ip$ius D E, in quadratum ip$ius A H, produca- tur quadratusnumerus areætrianguli ABC, in hunc modum demon$tro. Quo- niam vt Num. 2. o$tendemus, ex D E, in $emi$$em lateris A B, producitur area trianguli ADB; Et ex eadem D E, hoc e$t, ex DG, in $emi$$emlateris BC, effi- citur area trianguli B D C; Item ex eadem D E, id e$t, ex D F, in $emi$$em late- ris A C, gignitur area trianguli A D C: Quod autem fit ex D E, in $emi$$es late- rum AB, BC, AC, æquale e$t ei, quod fit ex DE, in AH, ex illis $emi$sibus con- 1. _$ecundi_. $latam. fiet propterea area trianguli A B C, ex DE, in AH, ac propterea (con- tractis hi$celine<007>s ad numeros) quadratus numerus areæ eiu$dem trianguli pro- creabitur ex quadrato ip$ius DE, in quadratumip$ius A H. Quando enim duo numeri $e mutuo multiplicantes fecerint aliquem, producent eorum quadrati $e mutuo multiplicantes quadratum illius producti, quod ita per$picuum fiet. Duo numeri A, & B, $emultiplicantes faciant D; & ambo $eip$os multiplicantes faciant C, & E: Denique hi quadrati C, & E, $emultiplicantes faciant F. Dico F, e$$e quadratum ip$ius D. Cum enim A, multiplicans $eip$um, & B, faciat C, & D: erit vt A, ad B, ita C, ad D: Eadem- _17. $ept_. queratione, cum B, multiplicans A, & $eip$um, faciat D, & E, erit vt A, ad B, ita D, ad E: ideoque C, D, E, continuè propor- tionales erunt. Quare qui fit ex C, in E, numerus videlicet F, æqualis erit ei, 20. _$ept_. qui fit ex D, in $e: ac proinde F, quadratus erit ip$ius D. Quæ cumita $int, cum ex DE, in AH, producatur area trianguli A B C, vt o$tendimus, fiet ex quadrato ip$ius DE, in quadratum ip$ius AH, quadratus numerus areæ eiu$dem triangu- li ABC. Quod erat demon$trandum.

2. ALTERA via, qua ex datis lateribus area trianguli colligitur, _Area trian-_ _guli quo pacto_ _aliter ex dat{is}_ _laterib{us} colli-_ _gatur_. hæc e$t.

Ex quou{is} angulo ad lat{us} oppo$itum, etiam protractum, $iop{us} e$t, perpendicular{is} ducatur. Hæc en<007>m ($i ei{us} quantit{as} cognita fuerit) multiplicata in $emi$$em ba$is, $eu dicti later{is}, vel ei{us} $emi$$is in totam ba$em producet aream trianguli, Vel$imau{is}, tota perpendicular{is} ducta in totam ba$em, numerum procreabit, cui{us} $emi$$is aream trian- gul<007> offeret:

NAM vtlib. 7. propo$. 1. demon$trauimus, e$t area trianguli æqualis rectan- gulo comprehen$o $ub perpendiculari, & $emi$$e ba$is, vel $ub $emi$$e perpen- dicularis, actotaba$e; Item $emi$si rectanguli $ub perpendiculari, ac tota ba$e comprehen$i. Cum ergo per cap. 1. huius lib. area rectanguli illius producatur ex multiplicatione vnius lateris circa angulum rectum in alterum: hoc e$t, ex perpendiculari ( quæ vnilateriæqualis e$t) in $emi$$em ba$is trianguli, vel ex _34. primi_. $emi$$e perpendicularis ( quæ $emi$si lateris e$t æqualis) in totam ba$em: vel _34. primi_. deniquerectangulum trianguli duplum ex perpendiculariin totam ba$em trian- guli: con$tat propo$itum.

MAGNITVDO autem dict{ae} perpendicularis, $icuti & ba$is, in metiendis campis inue$tiganda e$t per catenulam ferream, quodh{ae}c nequeintendatur, neque remittatur, aut certè, $i omnialatera nota $int, Geometrice hoc modo. Sit triangulum ABC, cuius latus AB, $it 10. & B C, 21. & A C, 17. Primuminue- [192]GEOMETR. PRACT. $tiganda $unt $egmenta BD, CD, inter perpendicularem, perea, quæ lib. 1. cap. _Segmenta ba-_ _$is, quæ à per-_ _pendiculari_ _ab$cinduntur_, _quo pacto cog-_ _no$catur_. 3. Nũ. 9. $crip $imus, hac ratione. Fiat vt latus BC, in quod cadit perpendicularis AD, (Semper autem e$$et demittenda perpendi- cularis in maximumlatus, vtintra triangulum ca- deret) ad $ummam aliorum duorum laterum A B, AC, nimirum vt 21. ad 27. ita differentia eorundem laterum, videlicet 7. ad aliud. Producetur enim numerus 9. (qui quoniam minor e$t latere BC, ar- gumento e$t, perpendicularem intra triangulum cadere. Si enim maior e$$et, caderet extra, vt prop o$. 9. no$trorum triangulo- rumrectil. o$tendimus) qui ablatus ex latere BC, id e$t, ex 21. relinquit 12. cuius $emi$sis 6. dabit minus $egmentum B D, prope minus latus AB, qu{ae} eadem $e- mi$sis ex latere BC, $ubtracta reliquum faciet maius $egmentum C D, nimirum 15. iuxta maius latus AC.

SIT rur$us triangulum ABD, cuius latus AB, 12. AD, 11. & B D, 20. demit- tenda autem $it perpendicularis ex D, ad AB. Fiat, vtlatus AB, 12. ad $ummam aliorum duorum 31. ita differentia eorundem, ni- mirum 9. ad aliud. Producetur enim numerus 23 {1/4}. (qui quo niam maior e$t latere AB, argumen- to e$t, perpendicularem cadere extra triangulum, angulumque A, e$$e obtu$um,) ex quo latus A B, 12. $ubtractum, relinquit, 11 {1/4}. Huius autem nu- meri $emi$sis 5 {5/8}. dabit $egmentum exterius A C, inter perpendicularem, & angulum obtu$um: eademque $emi$sis addita lateri AB, efficiet aliud $egmentum BC, inter perpendicularem, & angulum acutum 17 {5/8}. Atque hæc ratio expediti$sima e$t.

ALITER. Sit ducenda perpendicularis ad maximum latus B C, in priori triangulo ABC, quæ nece$$ario cadet intra triangulum; propterea, quod an- _18. primi_. gulus A, maior e$t vtrolibet BC; ac proindevterque horum acutus e$t. Quo- _13. $ecundi_. niam autem quadratum rect{ae} A B, minus e$t quadratis rectarum A C, BC, re- ctangulo bis comprehen$o $ub BC, & $egmento CD, inter C, & perpendicula- rem: $i quadratum rect{ae} AB, 100. detrahatur ex $umma quadratorum rectarum A C, B C, id e$t ex 730. reliquum fiet rectangulum 630. bis comprehen$um $ub B C, & $egmento CD, inter C, & perpendicularem. Quare eius $emi$- $is 315. æqualis erit rectangulo illi $emel $umpto: ac proinde hoc rectangu- lo 315. diui$o per latus B C, 21. dabit Quotiens 15. $egmentum C D, prope angulum acutum C, cui opponitur latus A B, cuius quadratum ex $umma reliquorum quadratorum detractum fuit. Ablato autem $egmento C D, 15. ex latere B C, 21. remanebit alterum $egmentum B D, 6. Eodem pacto, quia _13. $ecundi_. quadratum rect{ae} A C, minus e$t quadratis rectarum A B, B C, rectangulo bis comprehen$o $ub CB, & $egmento B D, inter B, & perpendicularem: $i quadratum rect{ae} A C, 289. $ubducatur ex $umma 541. quadratorum recta- rum A B, B C, reliquum fiet rectangulum 252. comprehen$um bis $ub C B, & $egmento B D, inter B, & perpendicularem. Quare eius $emi$sis 126. æ- qualis erit illi rectangulo $emel $umpto: ac proinde hoc rectangulo 126. di- ui$o per latus CB, 21. dabit Quotiens 6. $egmentum BD, iuxta acutum angu- lum B, cui latus A C, quadrati ex duobus aliis quadratis detracti opponitur. [193]LIBER QVARTVS. Quo $egmento 6. dempto ex latere B C, 21. remanebit alterum $egmentum C D, 15.

DEINDE in po$teriori triangulo ABD, ducenda $it perpendicularis ad latus _18. primi_. A B, non maximum. Et quia latus DB, latere AD, maius e$t; erit angulus A, _17. primi_. maior angulo B. Cum ambo ergo $imul $int duobus rectis minores, erit $altem _13. primi_. minor B, acutus: ac proinde quadratum rectæ AD, minus erit quadratis recta- rum A B, B D, rectangulo bis comprehen$o $ub latere AB, & $egmento inter B, & perpendicularem. Siergo quadratum rect{ae} AD, 121. $ubtrahatur ex $umma quadratorum rectarum AB, B D, id e$t, ex 544. reliquum fiet rectangulum bis comprehen$um $ub A B, & $egmento, inter B, & perpendicularem, nimirum 423. ideoque eius $emi$sis 211 {1/2}. æqualis erit illi rectangulo $emel $umpto. Qua- re $i rectangulum hoc 211 {1/2}. diuidatur per latus AB, 12. dabit Quotiens 17 {5/8}. $e- gmentum inter B, & perpendicularem. quod quia maius e$t latere A B, argu- mento e$t, perpendicularem DC, cadere extra triangulum: ac proinde angu- lum A, obtu$um e$$e. Quod $i ex hoc $egmento 17 {5/8}. dematur latus AB, 12. re- manebit exterius $egmentum 5 {5/8}.

QVANDO con$tat, angulum A, e$$e obtu$um, ideoque perpendicularem DC, extra triangulum cadere, reperiemus eadem $egmenta BC, CA, hoc etiam _12. $ecundi_. modo. Quoniam quadratum lateris BD, $uperat quadrata laterum A B, AD, rectangulo bis comprehen$o $ub latere A B, & $egmento exteriore AC; $i $um- mam quadratorum rectarum AB, AD, 265. detrahatur ex quadrato lateris BD, 400. reliquum erit rectangulum 135. bis comprehen$um $ub AB, AC: & eius $e- mi$sis 67 {1/2}. illi rectangulo $emel $umpto æqualis erit; ac proinde hocrectan- gulo 67 {1/2}. diui$o per latus A B, 12. indicabit Quotiens 5 {5/8}. $egmentum exterius _Quæ ratio te-_ _nenda in $e-_ _gment{is} ex-_ _quirend{is}_. _Perpendicu-_ _lar{is} in trian-_ _gulo quo pa-_ _cto reperia-_ _tur_. CD; cui $i addatur latus A B, 12. conflabitur $egmentum BC, 17 {5/8}. Sed prior ratio, quæ exlibr. 2. Euclid. non pendet, expeditior e$t, ac proinde tenenda: quamuis auctores alij po$teriorem hanc viam plerunque $equantur.

INVENTIS $egmentis à perpendiculari factis, ita magnitudinem perpendi- cularis cogno$cemus.

DIFFERENTIA inter vtrumu{is} $egmentum, & lat{us} adiacens ducatur in $ummam ex eodem $egmento & later@ conflatam. Radix enim quadrata nume- ri producti perpendicularem exhibebit notam, vt lib. 1. cap. 3. Num. 17. demon$tra- uim{us}.

VERBI gratia. In priori triangulo ABC, $i differentia 4. inter $egmentum B D, & latus AB, hoc e$t, inter 6. & 10. multip licetur per 16. nempe per $ummam eiu$- dem $egmenti BD, & lateris AB; gignetur numerus 64. cuius radix quadrata 8. dabit perpendicularem AD. Pari ratione $i di$$erentia 2. inter $egmentum CD, & latus AC, hoc e$t, 15. & 17. ducaturin 32. id e$t, in $ummam eiu$dem $eg- menti CD, & lateris AC: procreabitur numerus 64. cuius radix quadrata 8. præbebit perpendicularem AD, vt prius.

IN po$teriori autem triangulo ABD, $i differentia 5 {3/8}. inter $egmentum AC, & latus AD, nimirũ inter 5 {5/8}. & 11. ducatur in 16 {5/8}. hoc e$t, in $u\~mam eiu$dem $egmenti AC, & latus AD: producetur numerus {5719/64}. $iue 89 {23/64}. cuius radix quadrata in numeris exhiberi non pote$t, $ed paulo maior e$t, quãap- po$ita fractio cuius numerator e$t 75 {94/151}. denominator aũt 8. [194]GEOMETR. PRACT. quæad huncnumerum 9 {547/1208}. reducetur, $i numerator per denominatorem diuidatur: atque tanta e$t fermè perpendicularis DC, nimirum 9 {547/1208}. Sic et- iam $i differentia 2 {3/8}. inter $egmentum B C, 17 {5/8}. & latus B D, 20. multiplice- tur per 37 {5/8}. $ummam eiu$dem $egmenti B C, & latus B D: gignetur idem numerus, qui prius, {5719/64}. hoc e$t, 89 {23/64}. cuius radix quadrata paulo ma- ior e$t, quam 9 {547/1208}. velutiprius. Atque h{ae}cratio $atis expedita e$t.

ALTER. Quoniam quadratum rect{ae} A B, in priori triangulo A B C, _47. primi_. æquale e$t duobus quadratis rectarum A D, B D: $i quadratum 36. $egmen- ti B D, tollatur ex 100. quadrato lateris adiacentis A B, relinquetur quadra- tum 64. perpendicularis A D. Radix ergo eius quadrata 8. erit magnitudo per- pendicula@is A D, vt $upra. Similiter $i quadratum 225. $egmenti C D, dema- tur ex 289. quadrato lateris adiacentis A C, reliquum fiet qudratum 64. per- pendicularis A D, cuius radix 8. magnitudo erit perpendicularis A D, vt prius.

IN triangulo verò po$teriori A B D, $i quadratum 31 {45/64}. $egmenti AC, 5 {5/8}. $ubtrahatur ex 121. quadrato lateris adiacentis A D, 11. remanebit quadratum 89 {23/64}. perpendicularis DC, cuius radix e$t paulò maior quam 9 {547/1208}. vt $upra. _Quæ via in-_ _ue$tigandæ_ _perpendicu-_ _lar{is} $it expe-_ _d<007>tior_. Sic etiam $i quadratum 310 {41/64}. $egmenti B C, 17 {5/8}. $ubtrahatur à quadrato 400. lateris adiacentis B D, 20. remanebitrur$us quadratum 89 {23/64}. perpendicularis DC, cuiusradix paulo maior e$t quam 9 {547/1208}. vt $upra. Verum priorratio ma- gis expedita videtur, quanquam alij po$teri@rem hanc viam tradant.

IN triangulo porro æquilatero perpendicularis hoc alio modo inuenie- tur. Quoniam quadratum lateris $e$quitertium e$t quadrati perpendicula- _12. quarti_ _decimi_. ris: $i fiat vt 4. ad 3. ita quadratum lateris ad aliud, proueniet quadratum per- pendicularis. Radix ergo huius quadrati notam exhibebit perpendicularem. Vt$i latus e$t 10. & fiat vt 4. ad 3. ita 100. quadratum lateris ad aliud gignetur quadratum perpendicularis 75. cuius radix 8 {11/17}. proximè erit perpendicula- ris quæ$ita.

DENIQVE inuentis $egmentis ba$is à perpendiculari factis, perpendicu- laris ip$a per $inusita fiet cognita in priori triangulo. Fiat vt 10. latus A B, re- cto angulo oppo$itum ad $inum totum rectianguli D; ita 6. $egmentum B D, ad aliud; produceturque $inus anguli oppo$iti B A D, 60000. Ergo angulus B A D, erit grad. 36. Min. 52. ac proinde angulus B, eius complementum erit grad. 53. Min. 8. Siergo rur$us fiat, vt $inustotus ad 10. latus A B: ita 80003. $inus anguli B A D, ad aliud, procreabitur latus A D, hoc e$t, perpendicula- ris 8 {30/100000}. fermè, quæ paulo maior e$t, quam 8. $upra inuenta. quod di- $crimen oritur exeo, quod$inus non$unt omnino tales, qualesin tabula de$cri- buntur: quodcamen in men$uratione camporumnon inducit $en$ibilem ad- modumerrorem.

ITAQVE $i in priori triangulo A B C, perpendicularis A D, 8. ducatur in _Area prior{is}_ _trianguli_ _ABC_. 10 {1/2}. $emi$em ba$is BC, vel 4. $emi$sis perpendicularis AD, in 21. totam ba$em, procreabitur area trianguli ABC, 84. Qu{ae} etiam producetur, $i tota perpendi- culari@ 8. in totam ba$em 21. multiplicetur, & producti numeri 168. $emi$sis ac- cipi@tur 84.

ITEM in po$teriori triangulo ABD, $i perpendicularis DC, 9 {547/1208}. ducatur _Area po$te-_ _rior{is} trian-_ _guli ABD_. i@ 6. $emi$$em ba$is AB, vel $emi$sis perpendicularis, nimirum {11419/2416}. vel [195]LIBER QVARTVS. 4 {1755/2416}. in totam ba$em 12. conficietur area trianguli ABD, 56 {866/1208}. vel 56 {433/604}. Quæ etiam producetur, $i tota perpendicularis in totam ba$em ducatur, & producti capiatur $emi$sis.

VT autem fractiones, quoad eius fieri pote$t, vitentur, curabis, vt quando _Vt fractiones_ _vitentur quid_ _agendum_. perpendicularis e$t numerus par, & ba$is numerus impar, accipias $emi$$em per- pendicularis, eamquein totam ba$em ducas: quando vero perpendicularis e$t numerus impar, & ba$is numerus par, $umas $emi$$em ba$is, eamque ducas in totam perpendicularem. Quod $i tam perpendicularis, quam ba$is fuerit nu- merus par, velimpar, nihil intere$t, vtrius $emi$$em capias.

QVANDO etiam perpendicularis e$t radix $urda, quæ videlicet numero ex- _Quid agen-_ _dum, quando_ _perpendicula-_ _r{is} e$t nume-_ _r{us} $urd{us}_. primi nequeat, qualis fuit DC, in po$teriori triangulo ABD, rectè feceris, $i eius quadratum (non extracta radiceilla $urda) multiplices per quadratum $emi$sis ba$is. Numerus enim productus erit quadratus numerus areæ trianguli: adeo vt radix eius $it ip$a trianguli area. Hac enimratione minus à vero aberrabimus. Vtin dicto po$teriori triangulo ABD, $i quadratum perpendicularis DC, {5719/64}. ducamus in 36. quadratum $emi$sis ba$is, producemus {@@@884/64}. quadratuma- reæ, cuius radix e$t 56 {2605/3628}. area videlicet trianguli ABD, paulo maior, quam priusinuenta. Pariratione, $i in aliquo triangulo quadratum perpendicularis foret 72. & $emi$sis ba$is 6. $i radicem numeri 72. nimirum 8 {8/17}. hoc e$t, ip$am perpendicularem, ducamus in 6. producemus aream 50 {14/17}. At $i ip$ũmet qua- dratum 72. multiplicemus per 36. quadratum videlicet $emi$sis ba$is, procrea- bimus 2592. quadratum areæ, cuius radix paulo maior e$t, quam 50 {92/101}. quinu- merus aliquanto maior e$t, quam area prius inuenta 50 {14/17}. Ratio huius no$træ regulæ e$t, quòd, vt paulò ante ad finem Num. 1. demon$trauimus, duo nume- ri$e$e multiplicantes producantradicem numeri ex eorum quadratis producti.

3. EXPOSITIS duabusregulis generalibus, per quas trianguli cuiuslibet area ex cognitis lateribus inue$tigatur, proponemus nunc particularia quædam _Area triangu_ _li rectangul<007>_: præcepta pro particularibus triangulis nonnullis, quæ nõnuquam magno v$ui erunt, cumper ea $æpenumero expeditius in aliquibus triangulis areæ reperi- antur, quam perillas generales regulas. Area ergo triangulirectanguli produ- cetur, $i duo latera circa rectum angulum inter $e multiplicentur, & numeri pro- ducti$emi$sis capiatur. Nam ex multiplicatione illa gignitur parallelogrãmum rectangulum $ub duobus lateribus circa angulum rectum comprehen$um, vt c. 1. dictum e$t, cuius rectanguli triangulum $emi$sis e$t, Quod perinde e$t, ac $i _41. primi_. $emi$sis vtriu$uis lateris in totum alterum, tamquam in ba$em, multiplicetur. Vt in præcedentitriangulo ABC, diui$o in duo triangula rectangula ADB, ADC; $i AD, 8. ducaturin BD, 6. producetur numerus 48. cuius $emi$sis 24. erit area tri- anguli ADB. Sic $i AD, 8, ducatur in DC, 15. fiet numerus 120. cuus $emi$sis 60. eritarea trianguli ADC: vbi vides, duo triangula 24. & 60. componere totum triangulum ABC, 84. vt$uprainuenimus.

4. AREA trianguli I$o$celis, vel etiam æquilate- _Areatrian-_ _guli I$o$cel{is}_. ri, procreabitur, $i quadratum $emi$sis ba$is ex qua- drato lateris auferatur, & reliquus numerusinidem quadratum $emi$sis ba$is ducatur, ac denique huius {pro}ducti radix quadrata eruatur. Vtin I$o$cele ABC, cuius æqualia latera AB, AC, $int 32. 32. & ba$is BC, 24. $i qua dratum 144. $emi$sis ba$is dematur ex 1024. quadrato lateris AC, vel [196]GEOMETR. PRACT. AB, & reliquus numerus 880. ducatur in 144. quadratũ $emi$sis ba$is, erit pro- du @ti 126720. radix quadrata 355 {695/711}. (quæ paulo minor e$t vera radice) area trianguli ABC. Nam $i quadratum $emi$sis ba$is DC, auferatur ex quadrato la- _47. primi_. teris AC, reliquum fit quadratum perpendicularis AD, quod ex $cholio pro- po$. 26. lib. 1. Euclid. perpendicularis AD, ba$em BC, $ecet bifariam in D. Quare vt circa finem Num 2. o$tendimus, quadratum perpendicularis AD, ductum in quadratum D C, $emi$sis ba$is producet quadratum areæ trianguli A B C. Ea- demq; ratio e$t in triãgulo æquilatero, cum hoc habeat etiã duo latera æqualia. _Area trian-_ _guliæ quilate-_ _ri_.

5. PRO area tamen trianguliæ quilateri hæc etiam regula ab auctoribus tra- ditur, quamuis à nemine (quod $ciam) demon$trata $it. Quadratum lateris du- catur in 13. productu$que numerus per 30. diuidatur. Quotiens enim erit area trianguli æquilateri. Vt $i vnum latus æquilateri trianguli $it 10. ducatur qua- dratum lateris 10. nimirum 100, in 13. productu$que numerus 1300. per 30. diui- datur. Quotiens enim 43 {1/3}. erit area trianguli. Hanc regulam ita demon$tro. Area trianguli æquilateri, cuius $ingula latera $unt 1. e$t radix quadrata huius numeri {3/16}. (Nam perregulam præcedentem Nume. 4. explicatam, $i {1/4}. qua- dratum $emi$sis lateris dematur ex 1. quadrato lateris, & reliquus numerus {3/4}. ducatur in idem quadratum {1/4}. $emi$sis lateris, producetur quadratum areæ trianguli {3/16}.) nimirum {13/30}. proximè. Cum ergo quadratum lateris 1. ad qua- dratum lateris 10. hoc e$t, 1. ad 100. eandem proportionem habeat, quam area {13/30}. trianguli, cuius vnumlatus e$t 1. ad aream trianguli, cuius vnum latus e$t 10. quod vtraque proportio proportionis lateris 1. ad latus 10. $it duplicata: $i $i- _20. & 19._ _$exti_. at vt 1. (quadratum lateris 1.) ad 100. (quadratum lateris 10.) ita area {13/30}. ad a- liud, pro ducetur area trianguli, cuius vnum latus e$t 10. Hocautem fit, ducen- do $ecundum numerum 100. in tertium {13/30}. hoc e$t, (vt con$tat ex regula mul- tiplicationis fra ctorum, ducendo 100. in numeratorem 13. & productum per denominatorem 30. diuidendo. Neque vero opus e$t pro ductum hunc nume- rum 43 {1/3}. per primum 1. partiri, cum vnitas diuidens, aut multiplicans quem- cunq; numerũ producat numerum eundem. Sic etiam $i latus vnum trianguli æquilateri $it 6. ducemus eius quadratum 36. in {13/30}. hoc e$t in 13. numeratorem, productumq; 468. per 30. partiemur. Quotiens namq; 15 {3/5}. erit trianguli pro- po$iti area.

QVOD autem {13/30}. $itradix quadrata numeri {3/16}, patet ex regula qua cuiu$- _Radix qua-_ _drata numeri_ _fracti quo pa-_ _cto eruatur_. uis fracti numeri radix extrahitur: quæ talis e$t. Numerator in denominatorem ducatur, & productiradix propinqua inueniatur. Sienim per hanc radicem diuidemus numeratorem: velip$am radicem per denominatorem partiemur; exibit radix fractionis propo$itæ: priori quidem modo maior quam vera, po- $terioriautem minor, $i radix illa propinqua producti ex numeratore in deno- minatorem fuerit minor, quam vera: quia in priori illo modo fit diui$io per nu- merum vero minorem, in po$teriori aut\~e numerus vero minor diuiditur. Quod $i radixilla propinqua foret maior, quam vera, produceretur priori modo radix fractionis minor, quam vera, po$terioriautem maior, vtliquet. Verbi gratia. In- uenienda $itradix quadrata fra ctionis {3/16}. quam diximus e$$e quadratum areæ trianguli æquilateri, cuius vnum latus e$t. 1. Ex 3. in 16. fit numerus 48. cu- ius radix propinqua 6 {12/13}. minor quam vera, per quam $i diuidatur numerator 3. prodibit radix {13/30}. fractionis {3/16}. maior, quam vera: at $i radicem eandem pro- pinquam 6 {12/13}. partiamur per denominatorem 16. reperietur radix {45/104}. eiu$dem [197]LIBER QVARTVS. fractionis {3/16}. minor, quam vera. Ratio huius extractionis hæc e$t. Quando numerator 3. denominatorem 16. multiplicat, erit producti 48. radix quadra- _20. $ept_. ta medio loco proportionalis inter 3. & 16. quod radix hæc in $e ducta produ- cat numerum 48. æqualemei, qui ab extremis 3. & 16. inter $e multiplicatis gi- gnitur: ac proinde proportio 3. ad 16. erit duplicata tam proportionis 3. ad il- lam radicem, quam illius radicis ad 16. Cum ergo proportio 3. ad 16. $it quo- _11. octaus_. que duplicata proportionis, quam radix numeri 3. ad radicem numeri 16. habet: erit vt 3. ad radicem producti 48. Vel vtradix huius producti ad 16. ita radix numeri 3. ad radicem numeri 16. Quapropter cum fractio, cuius numerator e$t radix numeri 3. denominator autem radix numeri 16. $it radix fractionis {3/16}. erit quo quetam fractio, cuius numerator 3. & denominator radix producti 48. quã fractio cuius numeratorradix producti 48. denominator autem 16. hoc e$t, tam Quotiens, qui fit ex diui$ione 3. per radicem producti 48. quam quotiens, qui fit ex diui$ione radicis producti 48. per 16. radix propinqua fractionis {3/16}. Ea- demque de cæteris ratio e$t.

ALII hanc tra dunt regulam ad aream trianguli æ quilateri inueniendam. Ex quadrato lateris $umatur tam pars decima, quàm tertia. Harum enim parti- um $umma erit area trianguli. Quod $ic o$tendo. Hæfractiones {1/10}. & {1/3}. in vnam collectæ $ummam effi ciunt {13/30}. ac proin deidem e$t ex quadrato lateris auferre {1/10}. & {1/3}. atque {13/30}. Sed quando auferentur {13/30}. multiplicatur qua- dratum lateris per {13/30}. vt in 6. quæ$tiuncula fractorum docui. Igitur cum, vt Num. 5. explicatum e$t, ex multiplicatione quadratilateris in {13/30}. producatur area trianguli æquilateri, liquido con$tat, partem decimam, & partem tertiam qua drati lateris conficere eandem aream. Itaque $i latus $it 30. erit eius quadra- tum 900. cuius {1/10}. e$t 90. & {1/3}. e$t 300. quæ partes $imul conficiuntnumerum 390. pro area illius trianguli æquilateri.

6. HACTENVS expo$uimus regulas, quæ nosin cognitionem areæ cuiu$- _Area trian-_ _guli rectan-_ _guli ex later@_ _quod recto_ _angulo oppo-_ _nitur, & vno_ _angulo acuto_ _cogn<007>to, quo_ _pacto inue$ti-_ _getur_. cunquetrianguli ducunt, $i $ingula latera cognita $int. Nunc triangulorum areas per doctrinam $inuum, Tangentium, $ecantium que inue$tig abimus, licet non omnia latera $int cognita, $ed vnum duntaxat, vel duo, vna cum duobus angulis, vel vno. In triangulis ergo rectangulis ita procedemus.

QVANDO in triangulo rectangulo latus recto angulo oppo$itum cogni- tum e$t, cum vno angulo acuto, cogno$cemus aream hoc modo. Detracto angulo acuto dato exrecto, id e$t, ex grad. 90. relin quetur alter acutus angu- lus etiam notus. Vtintriangulo DCB, habente an- gulum rectum C, & latus BD, notum, vna cum an- gulo acuto B. Et quoniam duo B, & B D C, vni _32. primi_. recto, id e$t, gradibus 90. $unt æquales, $i angulus B, ex grad. 90. detrahatur, reliquus fiet angulus B- D C. Si ergo fiat, vt $inus totus angulirecti C, ad oppo$itum latus BD, in qualibet men$ura cogni- tum; itatam $inus anguli B, quàm anguli BDC, ad aliud; nota fient latera D C, _2. triang re-_ _ctil_. & CB, in partibus lateris BD: atque ita omnia tria latera cognita erunt. Ergo & area cogno$cetur vel ex Num. 1. huius cap. vel ex Num. 3.

ITAQVE $i campus men$urandus triangularis e$t hab\~es vnum angulum re- ctum, $atis erit, $i $umma diligentia latus recto angulo oppo$itum men$uretur, & in$uper vnus angulus acutus, beneficio alicuius quadrantis in gradus diui$i, [198]GEOMETR. PRACT. qualis e$t à nobis con$tructus cap. 2. lib. 1. Nam ex his cognitis, vt proxime di- ximus, tota area trianguli cogno$cetur, etiam$i ad alia duo latera accedere non po$simus.

QVANDO in eodem triangulo rectangulo B D C, alterutrum latus datur circa angulum rectum vna cumlatere, quod recto angulo opponitur, nimirum $i DC, & DB, cognita $int; cogno$cetur quoque alterum latus B C, $i fiat, vt _3. triang. re-_ _ctil_. latus DB, angulo recto oppo$itum ad $inum to tum angulirecti C, ita Iatus datũ DC, ad aliud. Productus enim numerus erit $inus anguli B, quo cognito ex ta- _Area trian-_ _guli rectan-_ _guli ex vno_ _latere circa_ _angulum re-_ _ctum, & late-_ _re quodrecto_ _angulo oppo-_ _nitur_. bula $inuum, cognitũ etiam erit eius complementum BDC. Siergo rur$us fi- at, vt $inus totus angulirecti C, ad latus oppo$itum datum DB, ita $inus anguli BDC, inuentiad aliud, exibit latus oppo$itum B C. Ex duobus igitur lateribus DC, CB, cognitis, area triangulinota fiet ex ijs, quæ Num. 3. paulo ante $crip$i- mus.

ATQVE ita in campo, $i detur portio triangularis, habens angulum rectum; $atis e$t, $i diligenter men$uretur vnum latus circa angulum rectum, vna cum la- tere, quodrecto angulo opponitur, etiam$i ad tertium latus non pateat acce$- $us. Exillis enim duobus area cogno$cetur, vt dictum e$t.

QVOD $i in eodem triangulo rectangulo B D C, notum fuerit vnum latus circa rectum angulum, videlicet DC, vna cum alterutro angulo acuto, vt pote cum C, notum effi cietur alterum latus B C: $i fiat, vt $inus totus ad datum la- _4. triang._ _rectil_. tus DC: Ita Tangens anguli BDC, quæ$ito lateri CB, oppo$iti, (cogno$cetur autem alter hic angulus BDC, $i angulus C, ex gradibus 90. dematur) ad aliud. _Areatrian-_ _gulirectangu-_ _liex vno late-_ _re circa angu-_ _lum rectum_ _& vno angu-_ _lo acuto_. Nam inuentus numerus dabit latus CB, quæ$itum. Vel $i fiat, vt $inus anguli C, dato lateri DC, oppo$iti ad latus datum D C: Ita $inus alterius anguli B D C, ad aliud. Nam rur$us producetur latus quæ$itum B C. Ex duobus ergo lateribus D C, C B, aream cogno$cemus, vt Num. 3. traditur.

IN Campo ergo aliquo, $i proponatur portio triangularis angulum hab\~es rectum, $atis erit vnum latus circa rectum angulum, & vnum angulum acutum metiri, vt eius trianguli area reperiatur, etiam$i ad alia duo latera acce$$us dene- getur. Atque hæc de rectangulis triangulis: veniamusiam ab obliquangula.

7. SI ergo in triangulo non rectangulo A B D, notum $it vnum latus, cum duobus angulis quibu$cunque, perueniemus in cognitionem areæ hoc modo. Ex duobus angulis cognitus erit quoque tertius, cum $it complementum alio- _10. triang._ _rectil_. rum duorum ad gr. 180. Igitur alia duo latera cognolcentur: ac proinde ex tri- bus lateribus cognitis area fiet nota exijs, quæ Num. 1. & 2. tradita $unt. _Area trian-_ _guli obl<007>quã-_ _guli ex vno_ _latere ac duo-_ _bus angul{is}_.

VT ergo campus triangularis nullum habens angulũ rectum cognitus fiat, $atis erit, $i vnum latus cum duobus angulis accuratè men$uretur. Exijs enim duo reliqua latera nota efficientur, &c. vt dictum e$t.

RVRSVS $i in eodem triangulo ABD, nonrectangulo nota $int duo late- ra, vna cum angulo abip$is comprehen$o; inuenietur tertium latus: ac pro- _12. triang._ _rectil_. inde, vt prius, ex omnibus tribus lateribus area trianguli efficietur cognita.

ITAQVE $atis erit, $i in campo quouis triangulari duo latera, vna eum an- _Area trian-_ _guliobliquan-_ _guli ex duo-_ _b{us} laterib{us}_ _& angulo ab_ _ip$is compre-_ _hen$o_. gulo abip$is comprehen$o men$urentur: vt areaip$ius nota reddatur.

8. NEQVE vero hoc omittendum videtur: $i videlicet vnum latus trian- guli, vel cuiu$uis figuræ rectilineæ in partes quotlibet æquales $ecetur, reliqua latera in ei$dem partibus fieri po$$e cognita, beneficio in$trumenti partium, vt ad finem Num. 1. cap. 1. lib. 1. declarauimus. Ve@um vt magis exqui$ite reperiantur, [199]LIBER QVARTVS. inquirendum erit fragmentum vltimæ particulæ ($i quod $uperfuerit) in parti- _Diui$ovno la-_ _tere figuræ in_ _quotu{is} part{es}_ _æquales, quo_ _pacto alia la-_ _ter ain ei$dem_ _partib{us} fiant_ _nota_. bus mille$imis, per ea, quæ Num. 14. cap. 2. lib. 1. docuimus. Ita enim in dimen- $ionibus figurarum minus à vero aberrabimus.

9. NEMINEM aut\~e moueat, aut perturbet, quod rectas dixerimus metien- das e$$e nonnunquam mechanice per catenulam aliquam $erreã, aut per in$tru- mentum partium. Nam in hoc dimetiendi negotio, præ$ertimin campis, & agris admittenda omnino e$t huiu$mo dimechanica linearum dimen$io, tum quia a- pud omues agrimen$ores hic mos e$t: tum quia non $emper via Geometrica id præ$tare pote$t; tum vero maximè, quia in dimen$i onibus agrorum, $iue figu- _In negotio di-_ _men$ionum_ _admittendam_ _e$$e in nonnul-_ _l{is} line{is} &_ _angul{is} me-_ _chanicam_ _men$uratio-_ _nem_. rarum $atis e$t rem prope verum attingere, dum modo notabilis error non cõ- mitatur. Quod $i hæc dimen$io quarundem linearum alicuinõ probetur, is pro- fecto è medio tollat, nece$$e e$t, omnem agrorum, figurarumue dimen$ionem. Vnde enim con$tat, agrum propo$itum, vel figuram habere latera cognita, ni$i hæcip$a per men$uram aliquam materialem $int explorata? Siigitur laterum di- men$io mechanica, tanquam à vero parum aberrans, ab omnibus v$urpatur, cur eamin lineisintra figuras metiendis reij ciendam cen$eamus, nõ video. Non nego tamen, viam Geometricam, quando fieri pote$t, adhiben dam e$$e. In fi- guris quoque, vbilatera non $unt nimis magna, vtendũ cen$eo doctrina, quam in in$trumento partium lib. 1. cap. 1. ad finem Num. 2. tradidimus, non neglectis etiamijs, quæ in eodem lib. 1. cap. 2. Nume 14. de quauis particula lineæ cogno- $cenda, in partibus $altem mille$imis, $crip$imus, quod hac ratione vix à vero quis aberrare po$sit.

IDEM de mechanica angulorum dimen$ione per quadrantem intelligen- dum e$t: præ$ertim $i præter gradus inue$tigentur quo que minuta, vt lib. 1. cap. 2. docuimus.

DE AREA QVADRILATERORVM non rectangulorum. CAPVT III.

1. TRIA $unt genera quadril aterarum figurarum, quæ vel nullum angu- _Rhombi &_ _Rhomboid{is}_ _area_ lum rectum habent, vel certe non omnes rectos: Rhombus, Rhom- boides, & Trapezium. Primæ duæ figuræ nullum habent angulum re- ctum: po$terior autem pote$t habere vel vnum rectum, vel duos, veletiam nullum: Item duo latera oppo$ita parallela, vel non parallela. Rhom- bi & Rhomboidis, quorum latera nota $int, area pro- ducitur ex ductu perpendicularis in latus, in quod per- pendicularis cadit. Ita vt magnitudo perpendicularis accu- rate $it prius exploranda vel per in$trumentum partium initio huius operis con$tructi, vt paulo ante cap. 2. Num. 8. monui- mus, vel alio modo, vt mox dicam. Verbi gratia, in Rhombo & Rhomboide A B C D, producetur area ex multiplicatione perpendicularis AE, in latus B C, Nam rectangulum A F, _35. primi_. $ub A E, & A D, comprehen$um æquale e$t parallelogram- mo B D, quòd hæc duo parallelogramma $int inter paralle- [200]GEOMETR. PRACT. las AD, BC, & $uper eand\~e ba$em AD. Itaq; fru$tra alij \~pcipiunt, vt diameter du catur AC, & beneficio perpendicularis AE, area trianguli ABC, inquiratur, quod hæc duplicata aream exhibeat totius parallelogrammi, quippe cum triangu- _34. primi_. lum ABC, $emi$sis $it parallelogrammi. Fru$tra, inquam hoc præcipiunt, cum expeditius area inueniatur $i perpendicularis in totum latus BC, ducatur, quam $i in $emi$$em multiplicetur, ac productus deinde numerus dupletur.

SI per quadrantem cap. 2. lib. 1. con$tructum inue$tigetur quantitas anguli _Perpendicu-_ _lar{is} inuentio_. B, reperietur perpendicularis AE, per$inus, hacratione. Fiat vt $inus totus an- gulirecti E, ad latus oppo$itum AB, ita $inus anguli B, ad aliud. Productus e- _2. triang. re-_ _ctil_. nim numerus erit perpendicularis AE, cognita in partibus lateris dati AB.

2. TRAPEZII, in quo duo latera oppo$ita $int parallela AB, BC, & omnia latera nota, area producitur ex perpendiculari A E, inter duo latera parallela multiplicata in $emi$$em $ummæ ex lateribus parallelis conflatæ. Nam ducta _Areatrapezii_ _habent{is} duo_ _lateraparalle-_ _la_. diametro AC, area trianguli ABC, producitur ex perpendiculari A E, in $emi$- $em ba$is BC, vt cap. 2. Num. 2. dictum e$t: Item area trian- guli ACD, ex eadem perpendiculari A E, in $emi$$em ba$is AD: Acproinde hæ duæ areæ $imul aream totius Trapezij A- BCD, conficient. Cum igitur idem fiat ex AE, in $ummam ex _1. $ecundi_. $emi$$e rectæ B C, & ex $emi$$e rectæ A D, conflatam, id e$t, in $emi$$em rectarum BC, AD, $imul: quod ex A E, in $emi$$em lateris B C, & ex A E, in $emi$$em lateris A D; liquidò con$tat, aream Trapezij gigni ex perpendiculari AE, in $emi$$em $um- mæ laterum AD, BC. Atque hæc ratio locum etiam habetin Trapezio habente vnum angulum rectum, vel duos rectos.

PERPENDICVLARIS vero AE, inuenietur, vt in Rhombo, & Rhomboi- de diximus, duobus modis, $i per quadrantem angulus B, inue$tigetur, &c.

IN Trapezio autem FGHI, in quo nulla $unt latera parallela, omnia tamen _Areatrapezii_ _nulla haben-_ _tis latera pa-_ _rallela_. latera $unt nota, men$uranda primum e$t diameter. IG, per in$trumentum par- tium. Deinde vtriu$que trianguli FGI, GHI, area inuenienda, vt cap. 2. Nume. 1. & 2. tradidimus. Ambæ enim areæ $imul conficient aream totius Trapezij.

QVOD $i malueri angulum F, vel H, per quadrantem inuenire, cogno$ce- mus diametri GI, magnitudinem, per doctrinam $inuum, ac Tangentium, vt lib. 1. capit. 3. docuimus, ex duobus lateribus F G, F I, & angulo F, ab _12. trian. re-_ _ctil. Num. 2_. ip$is comprehen$o, vel ex duobus lateribus HG, HI, & angulo H, quem con- tinent.

3. NON aliter aream con$equemur cuiu$cun que quadrilateri irregularis, et- _Area figuræ_ _quadrilateræ_ _irregular{is}_. iam$i non habeat omnes angulos intror$um, $icut Trapezium. Vt $i in Trape- zio FGHI, ducantur ex G, & I, duæ rectæ GK, IK, con$tituetur quadrilaterum GHIK, irregulare, cum $olum habeat tres angulos GHI, HIK, HGK. Nam ad K, non fit angulus GKI, intror$um ver$us H, cum illud $patium $it duo- bus rectis maius, $ed ver$us F, extror$um. Huius ergo figuræ qua- drilateræirregularis aream colligemus, ducta diametro K H, ex duabus areis triangulorum IKH, GKH, vt de Trapezio FGHI, dictum e$t.

[201]LIBER QVARTVS. DE AREA MVLTIL ATERARVM figurarum irregularium. CAPVT IV.

1. FIGVRAS multilateras irregulares, quæ videlicet plura latera habent _Area multi_ _lateræ figuræ_. inæqualia, quam quatuor, etiam$i valdè irregulares $int, metiemur, vt trapezia irregularia, re$oluendo nimirum illasin triangula, & $ingulorũ triangulorum areas inue$tigando. Nam omnes hæ areæ in vnam $ummam col- lectæ æquales $unt areæ totius figuræ propo$itæ. Vt $i figura $eptem laterum A- BCDEFG, re$oluatur in quin que triangula ABG, GBD, DBC, DEF, FDG, ita _Quando figu-_ _ra in triangu-_ _la re$olui po-_ _te$t, quo m@-_ _do ei{us} area_ _colligatur_. vteorum latera $e mutuo non inter$ecent, in quirendæ $unt areæ $ingulorũ hoc modo. Quando omnia latera triangulorum nota effici po$$unt per aliquam men$uram, $iue figura agrum aliquem repræ$entet, $iue in charta $olum $it de- $cripta, demittantur ex angulis ad latera oppo$ita perpendiculares AH, DI, CK, DM, FL, $ingulæ in $ingulis triangulis. Deinde in triangulo ABG, inquirantur _9. triang. re-_ _ctil_. ex tribus lateribus notis $egmenta B H, H G; & ex his perpendicularis A H, vt cap. 2. huius lib. Num. 2. declarauimus. Nam AH, in $emi$$em ba$is B G, ducta producet aream trianguli A B G. Eadem que ratione aliorum triangulorum areæ perue$tigentur: atque omnes areæ in vnam redigantur $ummam, vt area toti- us figuræ habeatur. Quod $i malueris, poteris omnium triangulorum areas in- dagare ex tribus lateribus cognitis, per ea, quæ capit. 2. Numer. 1. $crip$imus, etiam$i neque perpendiculares ductæ $int, neque $egmenta B H, G H, in- uenta.

2. QVANDO latera triangulorum interiora men$urarinequeunt, immo ne- _Quando figu-_ _ra in triangu-_ _la re$olui non_ _pote$t quo mo_ _do ei{us} area_ _deprehenda-_ _tur_. que duci, vt non raro accidit in campis, aut agris, qui vel propter arbores, vel paludes interiectas, rectis itineribus pertran$irinon po$$unt; alia ratione $co- pum attingemus, hac videlicet. Cognitis lateribus figuram ambientibus per aliquam men$uram, inue$tigentur quoque anguli ab ip$is comprehen$i beneficio quadrantis alicuius in gradus diui$i. In propo$ita figura angulus C D E, indagandus non e$t, quod $it extra figuram. Re$oluta deinde figura mente. aut cogitatione in triangula, ac $i latera interiora ducta e$$ent, vt p@us: [202]GEOMETR. PRACT. explorentur in triangulo ABG, duo anguli B, G, ex duobus lateribus AB, A G, _12. triang._ _rectil_. angulo que ab ip$is comprehen$o; atque in$uper latus B G. Hinc enim in tri- angulo rectangulo ABH, vel AGH, demi$la perpendicularis ex A, cogno$ce- _2. triang. re-_ _ctil_. tur ex ba$e AB, & angulo B, vel ex ba$e A G, & angulo G: ac proinde area trian- guli reperietur, vt antea, exijs, quæ c. 2. huius lib. Nume. 1. & 2. tradita $unt. Non aliter area trianguli B C D, nota fiet ex duobus lateribus CB, CD, notis an- _12. triang._ _rectil. Nu 2_. gulum C, notum ambientibus, $i nimirum inue$tigentur prius anguli B, D, vna cum latere B D, & ex his demi$la perpendicularis C K. Po$t hæc in triangulo _2. triang. re-_ _ctil_. BD G, $i anguli AB G, CB D, iam cogniti detrahantur ex toto angulo ABC, no- to, remanebit angulus D B G, notus. Cum ergo latera B D, B G, ip$um inclu- _12 triang._ _rectil. Nu 2_. dentia facta $int etiam nota; cogno$centur eodem modo & anguli D, G, & latus D G; atque in $uper perpendicularis ex B, in D G, demi$$a, &c. Similiter _2. triang. re-_ _ctil_. in triangulo GDF, $i ex angulo noto A G F, tollantur anguli A G B, B G D, iam noti effecti, relinquetur angulus D G F, notus. Cumigitur & latus G D, notum _12. triang._ _rectil_. factum $it: cogno$cemus & duos angulos GDF, GFD, & in$uper latus D F, vna cum perpendiculari ex G, in D F, demi$$a, &c. In triangulo denique DEF, _2. triang._ _rectil_. cum omnia latera $int nota; efficientur quoq; noti omnes tres anguli: ac pro- inde demi$$a perpendicularis D M, ex D, demi$$a, vel ex quocunque alio angu- _16. triang._ _rectil_. lo, nota fiet, &c. Ex his facile intelliges, quomodo in alijs figuris irregulari- buste gerere debeas. _2. triang. re-_ _ctil_.

POTES etiam, $i vis, de$cribere in charta aliqua figuram agro $imilem: $i ni- mirum $umas rectam A B, tot particularum æqualium, quot men$uræ in latere _Quomodo fi-_ _gura agro pro_ _po$ito $imil{is}_ _de$eribi po$$it_. agrire$p ondente includuntur, angulum que con$tituas ABC, æqual\~e ei, quem in ambitu agriinueni$ti. Dein de in B C, tot particulas accipias, quot in latere agrire$pondente continentur, iterumque angulum B C D, æqualem illi con$ti- tuas, quem in figura deprehendi$ti. Denique $i idem facias de angulo CD E, & reliquis, necnon de rectis CD, DE, & alijs, de$cripta erit figura $imilis agro: qu{ae} $i re$oluetur in triangula, quorum latera intra figura per in$trumentum partium men$urentur, reperietur eius area, $icuti prius, quãdo agerre$oluip oterat in tri- angula.

QVANDO campi planities non e$t impedita, magis exqui$itè figura ei$imi- lis de$cribetur per ea, quæ lib. 3. Problem. 42. Num. 3. $crip$imus: $i videlicet intra campum eligatur punctum quodpiam, ex quo ad omnes angulos rectæ ducantur, notatis angulis, quos efficiunt. Nam $i illæ rectæ men$urentur, an- gulique ad aliquod punctum in charta transferantur, & in rectis angulorum ca- piantur tot particulæ æquales, quot men$uræ in rectis angulorum circa punctũ in campo electum con$i$tentium deprehen$æ $unt, continebunt rectæ extrema puncta connectentes figuram $imilem campo, vt in loco citato demon$traui- mus. Quod $i duo puncta eligantur in campo, è quibusrectæ ad angulos du- cantur, notatis punctis, vbibinæ rectæ, conueniunt, de$cribetur etiam figura cã- po $imilis, quamuis rectæillæ non men$urentur: quemadmodum ibidem Num. 1. declarauimus.

MANIFESTVM autem e$t, eodem pacto men$urari po$$e campum, in quo _Quaratione_ _camp{us} intra_ _quem lac{us}_ _vel$ylua ex-_ _@$t at men$ure-_ _tur_. lacus, vel $ylua comprehendatur, licet in triangula re$oluinon po$sit, dummo- do eius latera exteriora cum angulis cogno$cipo$sint. Quod $i in circuitu agri fuerit aliqua portio curua, & nonrecta, $ecanda ea erit in tot partes, donec à re- ctis lineis parum differant, eæque pro lateribus rectis a$$umendæ.

[203]LIBER QVARTVS.

3. AGRIMENSORES ne cogantur totum cam- _Ratio com-_ _mun{is} men-_ _$orum in area_ _cuiu$u{is} figu-_ _ræinue$tigan-_ _da_. pum $æpius perambulare, vt perpendiculares in trian- gulis ducant, angulo$que metiantur, hanc ineunt ra- tionem. In agro, $eu figura con$tituunt, quam po$- $unt, maximum rectangulum, atque ad eius latera ex angulis figuræ perpendiculares concipiunt demitti, quod faciunt, applicando vnum latus normæ ad latus rectanguli, & aliud ad angulum figuræ oppo$itum di- rigendo. Ita namque tota figura re$oluta erit in rectan- gulum illud con$titutum, & in trapezia duorum late- rum parallelorum, at que in triangula rectangula. Dein- de vel ip$imet metiuntur latera rectanguli, & perpen- diculares, vel vt ab aliis men$urentut, præcipiunt, quod quidem per catenulam ferream exequuntur. Po$tre- mo triangula quidem rectangula metiuntur, vt cap. 2. Num. 3. tradidimus, trapezia verò duorum laterum parallelorum, vt cap. 3. Num. 2. docuimus. Rectangulum denique per ea, quæ cap. 1. $crip$imus, men- $urant. Horum enim areæ in vnam $ummam collectæ conficiunt aream totius agri, $eu figuræ. In propo$ito octãgulo ABCDEFGH, continetur rectangulum IKLM, trapezia HSTG, GTQF, OLRE; & triangula rectangula ANK, ANI, ISH, FQM, MOE, DPR, CDP, BCV, BKV.

ALII non con$tituunt rectangulum intra campum, vel figuram, $ed lineam, quam po$$unt, longi$simam ducunt, nimirum à puncto A, adlatus E F, quam fundamentalem appellant. Ad hanc ex angulis demittunt perpendiculares: atque ita totam rur$us figuramin trapezia duorum laterum parallelorum, & in triangula rectangula di$pertiunt, &c. Sed prior ratio commodior videtur: quip- pein qua perpendiculares ex angulis deductæ breuiores $int, ac propterea fa- cilius men$urentur, ac certius.

QVANDO intra agrum dictæ operationes fierinequeunt, $olent etiam men- $ores circa agrum includentem $yluas, lacus, & ædificia, vel alia impedimenta, formare rectangulum. Nam $i ad eius latera ducantur perpendiculares ab an- gulis exterioribus agri con$tituentur iterum trapezia rectangula duorum la- terum parallelorum, vel parallelogramma, & triangula rectangula extra agrum: quorum areæ $i ex area totius rectanguli $ub ducantur, reliqua fiet area propo$i- ti agri.

4. SED neque a$pernanda mihi videtur ea ratio, quam olimmeis auditori- _Pulchra ratio_ _areæ inueni-_ _endæ cuiu$cũ-_ _que figuræ_. bus explicare $olebam. Vt nimirum toti figuræ (reducto prius agro ad $imilem figuram, vt paulo ante Num. 2. præcepi) con$tituatur quadratum æquale, vel certè latus eius quadrati inueniatur. Nam $i vnum huius quadrati latus men- $uretur, atque in $eip$um ducatur, pro dibit area figur{ae} propo$it{ae}. Men$uran- dum porro e$t latus in particulis laterum figuræ, qu{ae} men$uris laterum agrire- $pondent, quod facilè fiet per in$trumentum partium.

QVO pacto autem cuilibet figuræ quadratum {ae}quale $ine magno labore _Quadratum_ _datæ figuræ_ _æquale qua_ _ratione con-_ _$truatur_. con$truipo$sit, do cui in $cholio propo$. 14. lib. 2. Euclid. quod hocloco, pau- cis in melius mutatis, repetendum cen$eo. Sit ergo heptagonum irregulare ABCDEFG, quo re$oluto in 5. triãgula ABG, BCG, CDG, DEG, EFG, ducan- tur ad B G, ba$em communem duorũ triangulorum ab angulis oppo$itis A, C, [204]GEOMETR. PRACT. perpendiculares AL, CH, quarũ po$terior in GB, protractam cadit in no$tra fi- gura. Deinde in recta quacunque OP, $umantur OQ, QR, ip$is AL, CH, æqua- les. Item RP, ip$i BI, $emi$si ba$is BG, æqualis; at circa OP, exmedio puncto S, $emicirculus de$cribatur O T P: ac denique ex R, termino rect{ae} OR, qu{ae} dua- bus perpendicularibus AL, CH, æqualis e$t, ad O P, perpendicularis excitetur R T, $emicirculum $ecans in T. Dico quadratum rect{ae} R T, duobus triangulis $imul ABG, BCG, e$$e æquale. Quia enim rectangulum $ub BI, $emi$$e ba$is, & perpendiculari AL, æquale e$t triangulo ABG, ex propo$. 1. lib. 7. huius; & re- ctangulum $ub eadem B I, & perpendiculari G H, æquale e$t triangulo B C G: Quod autem $ub B I, & aggregato ex AL, CH, hoc e$t, $ub R P, O R, (quod _1. $ecundi_. RP, ip$i BI, $umpta $it æqualis, & OR, ip$is AL, CH, $imul) æquale e$t eis, qu{ae} $ub BI, & AL, CH, comprehenduntur, rectangulis; erit rectangulum $ub _17. $exti_. OR, RP, duobus triangulis ABG, BCG, æquale. Cum ergo quadratum ex R T, rectangulo $ub OR, RP, $it æquale, (quod ex $chol. propo$. 13. lib. 6. Eu- clid R T, media proportionalis $it inter O R, RP,) erit quo que quadratum ex R T, duobus triangulis ABG, BCG, æquale, quod e$t propo$itum. Immo qua- dratum ex R T, rectangulo $ub O R, R P, æquale e$$e, demon$trabitur hoc et- iam modo $ine ope lib. 6. Euclid. Rectangulum $ub O R, R P, vna cum _5. $ecundi_. quadrato ex S R, æquale e$t quadrato ex S P, hoc e$t, (ducta S T,) quadrato ex S T, hoc e$t, quadratis ex S R, R T. Ablato ergo communi quadrato _47. primi_. rect{ae} S R, reliquum rectangulum $ub O R, R P, reliquo quadrato ex R T, erit æquale.

EODEM modo reperiemus quadratum duobus triangulis C D G, DEG, æ- quale, $i ad ba$em communem D G, ducantur perpendiculares C D, E M, qua- rum prior in no$tra figura cum latere C D, coincidit, &c. Atque ita deinceps $i plura fuerint triangula, reperiemus $emper binis triangulis $ingula quadrata æqualia. Sed quia in no$tra figura $upere$t vnum tantum triangulum EF G, in- [205]LIBER QVARTVS. ueniemus ei quadratum æquale, $i, ducta perpendiculari F N, circa rectam ex F N, & $emi$$e ba$is E Z, conflatam $emicirculus de$cribatur, &c. Sint ergo a, b, c, latera quadratorum trapeziis, ABCG, CDEG, & triangulo EFG, æqualium; quibus omnibus quadratis vnum {ae}quale exhibebimus hac arte. Fiat angulus rectus def, & lateribus a, b, æquales $umantur rect{ae} ed, eg, eritque quadra- _47. primi_. tum duct{ae} rect{ae} d g, quadratis rectarum ed, eg, hoc e$t, laterum a, b, æquale. Capiatur rur$us e k, lateric, & recta e h, rect{ae} d g, {ae}qualis; eritque rur$us qua- _47. primi_. dratum ex kh, {ae}quale quadratis ex k e, e h, id e$t ex c, eh, nimirum tribus ex a, b, c. Siigitur latus ex k h, men$uretur, & in $e ducatur, ginetur area figur{ae} pro- po$itæ A B C D E F G.

EODEM artificio, $i plura $int latera, inueniemus quadratum omnibus qua- dratis {ae}quale. Vt $i foret alterum latus q, acciperemus ei æqualem rectam e p. Item rectam ef, rect{ae} k h, æqualem. Nam quadratum ex p f, quadratis ex e p, hoc e$t, ex q, & ex ef, id e$t, ex a, b, c, erit {ae}quale, & $ic de pluribus. _Facil{is} ratio_ _men$urandi_ _trapezii irre-_ _gular{is}_.

EX his colligitur facilis ratio metiendi trapezij irregularis, cuiu$mo di e$t in proxima figura trapezium A B C G. Nam ducta diametro B G, $i ad eam du{ae} perpendiculares demi$${ae} A L, CH, men$urentur, earumque aggregatum in me- dietatem diametri B G, multiplicetur, procreabitur area trapezij, vt demon$tra- tum e$t.

IN octauo porrò lib. propo$. 6. docebimus quo que, qua ratione dat{ae} figu- r{ae} rectiline{ae} rectangulum æquale con$truatur. quod $i fiat hoc loco, effi cietur illi rectangulo quadratum {ae}quale, per vltimam propo$. lib. 2. Euclidis, $ine vl- lo negotio, aut mole$tia.

DE AREA MVLTILATERA- rum figurarum regularium. CAPVT V.

1. QVANQVAM regulares figur{ae}, qu{ae} $cilicet $unt & æquilater{ae} & & æquiangul{ae}, men$urari po$@int, vt irregulares pr{ae}cedentis capi- tis, re$oluendo eas in triangula, &c. $olet tamen dari propria ac pe- culiaris regula, qua cuiu$que figur{ae} regularis area inuenitur: qu{ae} ita $e habet.

SEMISSIS ambit{us} figuræ multiplicetur in perpendicularem è centro figuræ ad vnum lat{us} cadentem. Numer{us} enim product{us} area erit figuræ.

NAM vt lib. 7. de I$operimetris propo$. 2. demon$trabimus, area cuiuslibet _Area figura_ _regular{is}_. figur{ae} regularis {ae}qualis e$t rectangulo contento $ub perpendiculari à centro fi- gur{ae} ad vnum latus ducta, & $ub dimidiato ambitu eiu$dem figur{ae}.

2. PERPENDICVLARIS porrò è centro figur{ae} in vnum latus cadens, _Perpendicu-_ _lar{is} & $emi-_ _diameter fi-_ _guræ regula-_ _r{is} quo pacto_ _inueniatur_. vna cum $emidiametro circuli figuram ambientis $ic reperietur. Numerus late- rum, $iue angulorum duplicetur, & à duplo auferantur 4. Nam reliquus nu- merus indicabit, quot rectis angulis omnes anguli figur{ae} {ae}quiualeant, per ea, qu{ae} in $cholio propo$. 32. lib. 1. Euclid. demon$trata $unt. Hic idem nume- @us reliquus, videlicet, numerus angulorum rectorum, per numerum angulo- rum diuidatur, vt Quotiens vnius anguli figur{ae} magnitudinem exhibeat, qui [206]GEOMETR. PRACT. in hexagono continet rectum cum parte tertia, hoc e$t, grad. 120. Et quoniam $emidiameter $ecat angulum figuræ bifariam, vt con$tat ex demon$tratione propo$. 12. lib. 4. Euclid. fit vt $i $emi$sis lateris, in quod perpendicularis cadit, ponatur $inus totus, perpendicularis $it Tangens $emi$sis anguli figuræ, & $emi- diameter, Secans. Si fiat ergo, Vt lat{us} 100000, $in{us} \\ tot{us}. # ad $emi$$em \\ later{is}: # ita Tangens $emi$$is an- \\ guli, vel $ecans. # ad aliud, prodibit tam perpendicularis, quàm $emidiameter in partibus lateris figuræ. Verbi gratia, in Hexagono regulari, cuius vnum latus $it 12. $i fiat, vt 100000. $i- nus totus ad 6. $emi$$em lateris: ita 173205. tangens $emi$sis anguli Hexagoni ad aliud, reperietur perpendicularis 10 {39230/100000}. vel 10 {3923/10000}. Item $i fiat, vt 100000. $inus totus ad 6. $emi$$em lateris; ita 200000. Secans $emi$sis anguli liexagoni ad aliud, exibit $emidiameter figuræ 12.

ITAQVE $i perpendicularis 10 {3923/10000}. ducatur in 36. $emi$$em ambitus He- xagoni ex tribus lateribus conflatam, producetur area Hexagoni 374 {1228/10000}. vel 374 {307/2500}. Eodemque modo procedendum e$t in aliis figuris regularibus, in quibus angulorum $emi$$es in tabula Tangentium, ac $ecantium accipi po$- $unt.

3. QVONIAM vero circa quamlibet figuram regularem circulus de$cribi pote$t, vt ex lib. 4. Eucl. con$tet, proponemus hic plurimarum figurarum regu- larium latera in partibus diametri circuli ambientis 20000000. vel $emidiame- tri, $iue $inus totius 10000000. ex probatis auctoribus, vt earum areæ magis ex- _Quare ex la-_ _tere figuræ re-_ _gular{is} dato_ _non $emper_ _po$$it inueniri_ _area, ni$i figu-_ _raip$a de$cri-_ _pta $it._ qui$itè inueniri po$sint per regulam Num. 1. propo$itam. Nam $i ex $olo vno latere in aliqua men$ura cognito aream inue$tigare velimus, quemadmodum in Hexagono factum e$t, occurr\~et multæ difficultates acmagn{ae}, propterea quod $emidiametri, perpendiculare$que ex $inubus, Tangentibus, ac $ecantibus erui non po$$unt, ni$i quando $emi$sis anguli figuræ comprehendit pr{ae}cisè gradus, vel gradus cum minutis, vel gradus cumminutis & $ecundis: (quamuis $i $e- cunda ad$int, nece$$e $it partem proportionalem adhibere) $icut in Hexago- no paulo ante factum e$t, cuius anguli $emi$sis continet grad. 60. quod in quam plurimis figuris non contingit. Nam, verbi gratia, in Heptagono omnes 7. anguli ex $cholio propo$. 32. lib. 1. Euclid. æquiualent 10. rectis, ideo que v- nus angulus complectitur vnum rectum cum {3/7}. hoc e$t, gradus 128. Min. 34. Sec. 17. Ter. 8. Quar. 34. &c. atque eius $emi$sis grad. 64. min. 17. Secun. 8. Ter. 34. Quar. 17. &c. ex qua $emi$$e nequit Tangens pro perpendiculari, ne- que $ecans pro $emidiametro per tabulas Tangentium, atque $ecantium excer- pi pote$t. Idemque in aliis figuris innumeris accidere comperies. Quod $i $cientia inuenta e$$et con$truendi omnes figuras regulares, $uperari aliquo mo- do po$$et hæc diffi cultas: propterea quod cognito latere vno in quanti$cun- que partibus, cogno$ci quoque po$$et tam perpendicularis, quam $emidiame- ter in ii$dem part<007>bus, beneficio in$trumenti partium, vt lib. 1. cap. 1. ad finem Num. 1. tradidimus. Sed quia pauci$simas figuras æquilateras de$cribere no- uimus intra circulum, areas plurimarum ignorari ncce$$e e$t. Hanc ob cau- $am nonnulli Geometræ, inter quos $trenuam operam nauauit Ludolphus, à Collen, ingenti labore latera figurarum, $iue de$criptæ eæ $int, $iue non, ex- plorarunt: quamuis earum anguli præter gradus, ac minuta comprehendant

[207]LIBER QVARTVS.

TABVLA CONTINENS LATERA FI- gurarum regularium à triangulo v$que ad figuram 80. laterum, po$ita diametro 20000000. vel $inu toto 10000000.

Num. lat. vel angulor. # Latera figurarum \\ regularium, po- \\ $ita diametro \\ 20000000. \\ vel $inu toto \\ 10000000. 3 # 17320508 4 # 14142135 5 # 11755705 6 # 10000000 7 # 8677674 8 # 7653668 9 # 6840402 10 # 6180339 11 # 5634651 12 # 5176380 13 # 4786313 14 # 4450418 15 # 4158233 16 # 3901806 17 # 3674990 18 # 3472963 19 # 3291891 20 # 3128689 21 # 2980845 22 # 2846296 23 # 2723332 24 # 2610523 25 # 2506664 26 # 2410733 27 # 2321858 28 # 2239289 Num. lat. vel angulor. # Latera figurarum \\ regularium, po- \\ $ita diametro \\ 20000000. \\ vel $inu toto \\ 10000000. 29 # 2162380 30 # 2090569 31 # 2023366 32 # 1960341 33 # 1901120 34 # 1845367 35 # 1792786 36 # 1743114 37 # 1696118 38 # 1651586 39 # 1609331 40 # 1569181 41 # 1530985 42 # 1494601 43 # 1459906 44 # 1426783 45 # 1395129 46 # 1364848 47 # 1335852 48 # 1308062 49 # 1281404 50 # 1255810 51 # 1231218 52 # 1207569 53 # 1184812 54 # 1162896 Num. lat. vel angulor. # Latera figurarum \\ regularium, po- \\ $ita diametro \\ 20000000. \\ vel $inu toto \\ 10000000. 55 # 1141776 56 # 1121408 57 # 1101755 58 # 1082778 59 # 1064443 60 # 1046719 61 # 1029575 62 # 1012983 63 # 996917 64 # 981353 65 # 966275 66 # 951638 67 # 937445 68 # 923669 69 # 910291 70 # 897296 71 # 884666 72 # 872387 73 # 860444 74 # 848824 75 # 837513 76 # 826499 77 # 815771 78 # 805318 79 # 795130 80 # 785196 [208]GEOMETR. PRACT.

in$uper Secunda, Tertia, Quarta, &c. vt earum areas con$equi po$simus. Nam ex latere cuiu$cunque figur{ae} regularis cognito in partibus diametri circuli cir- cum$cripti, vel $inus totius, veniemus per ea, quæ cap. 2. Num. 2. $crip$imus, in cognitionem lineæ perpendicularis ex centro in vnum latus deduct{ae}, ac proin- de totam aream nanci$cemur, vt paulo ante Num. 1. docuimus. Latera igitur in quam plurimis figuris in tabula pr{ae}cedenti expo$ita habes, quæ omnia veris la- teribus $unt paulò minora; & $i adieceris vnitatem, fient paulò maiora veris; ita vt verum latus trianguli æquilateri inter hos duos numeros 17320508. 17320509. con$i$tat.

_Ex cognita $e-_ _midiametro_ _circuli inue-_ _nire lat{us} fi-_ _guræregula-_ _r{is} in eo circu-_ _lo de$criptæ_.

4. IAM verò cognita $emidiametro alicuius circuli in partibus cuiu$cunque men$uræ, reperiemus in ii$dem partibus latus figur{ae} regularis, cuius laterum nu- merus maior non e$t, quam 80. beneficio præcedentis tabul{ae}: $i nimirum fiat, vt $inus totus 10000000. ad latus figur{ae} propo$itæ in præcedenti tabula, ita $e- midiamer circuli propo$iti data ad aliud. Sit verbi gratia, $emidiameter alicuius circuli 12. & inueniendum $it latus decagoni re$pectu dictæ $emidiametri: Fiat vt 10000000. $inus totus ad 6180339. latus Decagoni; ita 12. $emidiameter da- ta ad aliud; exibitque latus quæ$itum 8 {164068/10000000}. vel in minoribus numeris 8 {41017/2500000}.

_Fractionem_ _magnam ad_ _minorem ferè_ _æquiualentem_ _reducere_.

ET $i mole$tum videatur operari cum fractione tam magna, reduces eam ad minorem qua$i æquiualentem hoc modo. Elige pro Numeratore quemuis nu- merum, vt 10. Et fiat vt Numerator 164068. ad $uum Denominator\~e 10000000. ita Numerator electus 10. ad aliud, reperie$que Denominatorem 609 {82588/164068}. Ita vt relicta hac fractione, Denominator 609. $it minor quam verus; & 610. maior, hoc e$t, fractio {10/609}. $it maior fractione {164068/10000000}. fractio autem _Inter du{as}_ _fractiones in-_ _uenire mediã_. {10/610}. minor Inter has aut\~e duas fractiones {10/609}. {10/610}. produces mediã {20/1219}. cuius Numerator ex Numeratoribus, & Denominator ex Denominatoribus confla- tus e$t. Erit que fractio inuenta ferè maiori illi æqualis.

FRACTIONEM porrò, cuius Numerator ex duobus Numeratoribus, & De- nominator ex Denominatoribus duarum minutiarum componitur, e$$e maio- rem minore, & minorem maiore, demon$trabimus lib. 8. propo$. 10.

_Ex cognito_ _latere figuræ_ _regular{is}, in-_ _uenire $emi-_ _diam{et}rum_ _circuli cir-_ _cum$cripti_.

VICISSIM ex dato latere cuiuslibet figuræ regularis cogno$cemus $emi- diametrum circuli circum$cribentis: $i fiat, vt latus propo$itæ figuræ in tabula antecedente ad 10000000. ita latus datum ad aliud. Vt $i latus Pentagoni de- tur 12. & fiat, vt 11755705. ad 10000000. ita 12. ad aliud, reperietur $emidiame- ter circuli circum$cripti 10 {2442950/11755705}. Et $i fiat, vt Numerator huius fractionis ad $uum Denominatorem: Ita Numerator electus quicunque, nimirum 1. ad a- liud, inuenietur Denominator $equens 4 {1983905/2442950}. ita vt fractio {1/4}. $it maior, quã {2442950/11755705}. at {1/5}. m<007>nor Ex additione numeratorũ 1. 1. inter $e, & Denomina- rum 4. 5. inter $e, efficies fractionem {2/9}. mediam, quæ adhuc maior e$t, quam {2442950/11755705}. Media autem inter {1/5}. & {2/9}. e$t {3/14}. quæ parum ab illa differt: ita vt $emidiameter quæ$ita dici po$sit e$$e 10 {3/14}. Atque in hunc modum per mino- res numeros operationes fieri po$$unt, quamuis non omnino ex qui$itè, quod fractiones a$$umpt{ae} non $int omnino veræ; $ed hic error in dimen$ionibus cam- porum tolerabilis e$t.

5. ANTEQVAM rectilinearum figurarum dimen$ionem concludam, lubet regulam attexere, qua ex cognita area cuiu$cunque figuræ latus habentis no- [209]LIBER QVARTVS. tum venire po$simus in cognitionem alterius figur{ae} $imilis illi, $imiliterque po- $it{ae} latus homologum etiam notum habentis: quæ $ic $e habet.

Quadrat{us} numer{us} denominator{is} proportion{is}, quam lat{us} figuræ ignotæ ad lat{us} _Quaratione_ _ex area cu-_ _iusl@bet figuræ_ _eruatur areæ_ _alteriu figuræ_ _$imil{is}_. figuræ cognitæ hab{et}, _(_qui denominator habebitur, $i lat{us} figuræ ignotæ per lat{us} figuræ cognitæ diuidatur_)_ $i ducatur in aream cognitam, produc{et}ur area alteri{us} figuræ quæ$i- tæ. Debent autem figuræ e$$e $im<007>l{es}, $imil<007>ter que po$itæ, & earum latera homologa $umi vt dictum est.

Nam denominator proportionis lateris figur{ae} quæ$it{ae} ad latus figuræ dat{ae} in $e multiplicatus gignit denominatorem proportionis duplicat{ae} eorum late- _18. vel 20_. _$exti_. rum, vt ad defin. 10. lib. 5. Euclid. $crip$imus. Cum ergo figur{ae} $imiles $imili- terque po$it{ae} habeant etiam proportionem duplicatam laterum homologo- rum; fit vt denominator proportionis duplicat{ae} laterum prædictorum multi- plicans aream cognitam producat aream qu{ae}$itam, hoc e$t, numerum, qui ad aream cognitam proportionem habeat duplicatam proportionis datorum la- terum, denominatam $cilicet à denominatore, qui ex denominatore proportio- nis eorum laterum in $e multip licato producitur. Verbi gratia, Trianguli ABC, cuius latus A B, 10. AC, 17. & B C, 21. area e$t 84. Si ergo $it aliud triangulum huic $imile habens latus ip$i A B, homologum 70. ip$i verò A C, homologum 119. & ip$i B C, homologum 147. diuidaturque latus 70. per 10. vt denomi- nator 7. proportionis lateris 70. ad latus 10. procreetur, & quadratus nume- rus huius denominatoris; nimirum 49. ducatur in 84. areã trianguli A B C, pro- ducetur area 4116. po$terioris trianguli. Rur$us quia area trianguli æquila- teri, cuius $ingula latera $int, 1. area e$t {13/30}. fermè, vt $upra patuit, $i de- tur aliud triangulumæquilaterum, cuius $ingula latera $int 70. inueniemus eius aream hoc modo. Denominator proportionis laterum e$t ip$ummet latus 70. quod 70. diui$a per 1. faciant 70. Ducemus ergo 4900. quadratum lateris 70. in {13/30}. aream cognitam. Productus enim numerus 2123 {1/3}. erit area po$t erioris trianguli.

6. HÆC regula ita quoque proponi poterit. _Fiat vt quadrat{us} nu-_ _mer{us} later{is} figuræ cognitæ ad quadratum numerum later{is} figuræ quæ$itæ, ita a_ _Regula $upra-_ _dicta aliter_ _propo$ita_. _rea figuræ cogn<007>tæ ad aliud. Product{us} enim numer{us} erit area figuræ quæ$itæ_. Propterea quod eadem e$t proportio quadrati lateris cognitæ figuræ ad qua- dratum lateris figuræ quæ$it{ae}, quæ figur{ae} notæ ad figuram quæ$itam: quip- _19. vel 20_. _$exti_. pe cum vtraque proportio $it duplicata proportionis laterum homologo- rum. Et quoniam quadratum lateris 1. e$t 1. fit, vt quotie$cunque latus figu- ræ aream cognitam habentis fuerit 1. $atis $it, quadratum numerum lateris fi- guræ quæ$itæ multiplicare in datam aream, vt qu{ae}$ita area producatur: Adeo vt operæ pretium $it areas inue$tigare plurimarum figurarum regularium, qua- rum latera $int 1. Ex his enim $ine magno labore areæ aliarum figurarum [210]GEOMETR. PRACT. $imilium elicientur, quarum latera cognita $int. Areas decem figurarum regu- _Facilit{as} præ_ _dictæ regulæ_, _quando lat{us}_ _figuræ notæ e$t_ _vnit{as}_. larium, quarum latera $unt 1. hic $ubiecimus, vt per eas $imilium figurarum, qua- rum latera vnitatem $uperant, inue$tigari po$sint ex regula Num. 5. vel 6. præ- $cripta; quamuis in quadrato id nece$$arium non $it, cum latus datum in $e du- ctum producat $uum quadratum.

Quarum latera $unt 1. # Figuræ regulares. # Areæ prædicta- \\ rum figurarum $unt \\ ferè hæ. # Trigonum # {1875000/4330127} Vel {13/30} # Tetragonum # 1 # Pentagonum # 1 {8469719/11775706} # Hexagonum # 2 {2990381/5000000} # Heptagonum # 3 {5507221/8677674} # Octogonum # 4 {1585127/1913417} # Enneagonum # 6 {1243755/6840402} # Decagonum # 7 {858089/1236068} # Vndecagonum # 9 {517050/1408663} # Duodecagonum # 11 {84614/431365}

POSSVNT autem h{ae} fractiones ad minores ferè æquiualentes, $i placet, re- _Qua ratione_ _beneficio late-_ _rum $uperio-_ _r{is} tabulæ a-_ _reæ figurarum_ _regularium_ _inueniantur_. uo cari, vt $upra Num. 4. docuimus.

7. AREÆ porro hæ procreat{ae} $unt per regulam Num. 1. præ$criptam, inuen- tis prius perpendicularibus ex centris in latera cadentibus, licet in nonnullis figuris anguli contineant $ecunda, ac tertia, pr{ae}ter gradus, & minuta; hoc mo- do. Pro heptagono, verbi gratia, ex $up eriori tabula $umpta e$t $emi$sis lateris heptagoni 4338837. (quando numerus lateris e$t impar, addenda e$t 1. vt fiat par, ac proinde $emi$$em habeat, quandoquidem minus e$t vero latere, vt dixi- mus. Deinde, quia, vtin tractatione $inuum dictum e$t, $emi$sis h{ae}c $inus e$t an- guli oppo$iti in centro, qu{ae}$itus e$t is angulus ex tabula $inuum (adhibita parte proportionali, quemadmodum ad finem Lemmatis 53. no$tri A$trolabij docui- mus, vtangulus reperiretur in gradibus, minutis, ac $ecundis.) inuentu$que e$t grad. 25. min. 42. $ec. 51.

[211]LIBER QVARTVS.

POST hæc, quia e$t, vt $inus huius anguliinuenti, nimirum $emi$sis ip$a _4. triang re-_ _ctil._ 4338837. lateris ex $uperiori tabula excerpti, ad {1/2}. $emi$$em lateris, id e$t, ita $i- nus complementi eiu$dem anguliinuenti, hoc e$t, ita $inus grad. 64. min. 17. $ec. 9. (adhibita quoque parte proportionali, propter $ecunda.) nimirum 9011398. ad perpendicularem huic complemento inuenti anguli oppo$itam in triangulo rectangulo: Inuenta e$t hæc perpendicularis {9011398/8677678} quæ tandem ducta in {7/2}. $emi$$em ambitus heptagoni produxit aream heptagoni 3 {11014442/17355348}. velin mino- ribus numeris 3 {5507221/3677674} At que hac eadem ratione aream cuiu$cunque figurære- gularis latus habentis 1. dummodo numerus laterum maior non $it, quam 80. reperies: Ex qua deinde aream $imilis figuræ latus habentis maius, quam 1. per regulam Num. 5. vel 6. traditam elicies.

EODEM tamen artificio hoc Num. 7. expo$ito aream cuiu$uis figuræ regu- laris, etiam$i latus habeat maius, quam 1. ($i placet) colligere licebit, quamuis non reperiatur prius area figuræ $imilis, cuius latus $it 1. $i nimirum loco {1/2}. $emi$- $is lateris 1. accipiatur $emi$sis lateris dati, quod maius $it quam 1. vt per$picuum e$t.

8. Cognita area figuræ regularis, cuius numerus laterum maior non $it, quã _Ex area co-_ _gnita quo pa-_ _cto lat{us} erua-_ _tur._ 12. cogno$cetur eius latus hoc modo. Fiat vt area figuræ $imilis latus habentis 1. ex præce dentitabula de$umpta ad aream figuræ propo$itæ: Ita 1. quadratum lateris 1. ad aliud. Productus enim numerus erit quadratus lateris quæ$iti. Ra- dix ergo eius qua drata dabit latus quæ$itum. Nam ita e$t area ad aream, vt qua- dratum lateris ad quadratum lateris; quod vtraque proportio $it proportio- _10. vel 20._ _$exti._ nis laterum duplicata.

QVOD $i area cognita $it figuræ regularis plura latera habentis, quam 12. nõ plura tamen, quam 80. inuenienda primum erit area figuræ $imilis latus habentis 1. beneficio $uperioris tabulæ laterum, vt Num. 7. docuimus. Deinde latus ex- quirendum, vt hoc Num. 8. declaratum e$t. Et $i tabula $uperior laterum exten- $a e$$et ad plura latera, inueniretur eodem modo latus figuræ plurium laterum, quam 80. ex eius area. Exempli gratia. Sit area alicuius trianguliæ quilateri 15 {3/5}. Et quia area æquilateritrianguli, cuiuslatus e$t 1. inuenta e$t $upra {13/30}. $i fiat vt {13/30}. ad aream propo$itam. 15 {3/5}. ita 1. quadratum lateris 1. ad aliud, reperietur qua- dratum lateris quæ$iti 36. cuius radix quadrata 6. dabit latus, quod quæritur.

De dimen$ione circuli ex Archimede. CAPVT VI.

1. VT circulum quemlibet propo$itum, eiu$q; partes metiri po$simus, ne- ce$$e e$t probè no$$e, quæ Archimedes de circuli dimen$ione tradidit. Non absre ergo erit, $i eius l<007>bellum de circuli dimen$ione acuti$simũ $ane, & $ubtili$simum hic inter$eram, tum quia breui$simus e$t, quippe quitri- bus duntaxat propo$itionibus con$tet: tum ne $tudio $us, vt rem tam vtilem, atque apud omnes artifices peruulgatam intelligat, Archimedem ip$um adire cogatur: tum vero maximè, quod cum Archimedis $cripta ob affectatam bre- uitatem, $int paulo ob$curiora, illis nos lucem aliquam allaturos $peramus. Nec [212]GEOMETR. PRACT. dubitamus etiam, quin res hæc $tudio$o lectorigrata, ac iucunda $it futura.

PROPOSITIO I.

AREA cuiuslibet circuli æqualis e$t triangulo rectangulo, cuius vnum quidem latus circa angulum rectum $emidiametro circuli, alterũ ve- rò peripheriæ eiu$dem circuli æquale e$t.

SIT circulus ABCD, cuius centrum E, $emidiameter EA: $itque triangulum rectangulum FGH, angulum habens rectum G, latus verò F G, $emidiametro circuli EA, & latus GH, peripheriæ eiu$dem circuli æquale. Dico circulum AB- CD, triangulo FGH, æqualem e$$e. Si enim dicatur non e$$e æqualis, $it primũ, $i fieri pote$t, circulus maior quam triangulum, magnitu dinez: adeo vt circulus æqualis $it triangulo, & magnitudiniz. $imul; propterea que maior, quam z. Si igitur ex circulo auferatur plus, quàm dimidium, & à re$iduo plus etiam, quam dimidium, & ita deinceps: relinquetur tandem magnitudo minor, quam z. _1. decimi._

Hæc autem detractio continua fiet, $i primo loco auferatur ex circulo quadr atum in- $criptum A B C D. Hoc enim cum dimidium $it quadrati I K L M, circulo circum$cri- pti, vt in $chol. propo$. 9. lib. 4. Eucl. o$tendim{us}: circul{us} autem ip$i{us} quadrati I K L M, pars $it: erit quadratum in$criptum A B C D mai{us} quam dim<007>dium circuli. Deinde $i auferantur à re$idu{is} quatuor $egment{is} quatuor triangula I$o$celia AOB, BPC, CQD, DNA, duct{is} rect{is} ad media puncta arcuum. Hæc enim $imul maiora $unt, quam di- midium quatuor $egmentorum $imul, cum vnum quod{que} mai{us} $it, quam dimidium $egmenti, in quo exi$tit. Com- pleto enim rectangulo A R, erit ei{us} dimidium trianga- _41. primi._ lum A N D: ac proinde idem triangulum mai{us} erit quam dimidium $egmenti A N D. Eademque rat<007>o est de al<007>{is}. Pari ratione, $i à re$idu{is} octo $egment{is} aufe- rantur octo alia triangula I$o$celia in ill{is} con$tituta, &c. atque ita deinceps.

Ponantur ergo iam octo $egmenta A O, O B, B P, P C, C Q, Q D, D N, N A, relicta e$$e minora magnitudine z. & quoniam circulus æqualis conceditur tri- angulo F G H, & magnitudiniz, $imul: $i demantur inæqualia@, nimirum i$ta $e- gmenta ex circulo, & magnitudo z, ex aggregato trianguli cum z, reliqua erit figura in$cripta, Octo gona videlicet, maior triangulo F G H, quod e$t ab$u@ dũ, quippe cum multo minor $it. Sinamque ex centro E, ad latus B O, ducatur perpendicularis E T, & in triangulo $umatur G K, ip$i E T, & recta G i, ambitui [213]LIBER QVARTVS. Octogoniæqualis, cadet punctumk, citra F, & i, citra H, quod E T, minor $it $emidiametro circuli, & ambitus Octogoni minor peripheria eiu$dem circuli. I- gitur ducta recta ki, erit triangulum G k i, minus triangulo F G H, pars toto. E$t autem triangulum k Gi, Octogono æquale: quippe cum ex $cholio propo$. 41. lib. 1, Euclid. æquale $it rectangulo $ub G k, & $emi$$e ip$ius Gi, comprehen$o, quod per propo$itionem 2. lib. 7. de I$operimetris Octogono æquale e$t. O- ctogonum ergo minus e$t triangulo F G H. Non ergo maius e$t: ac proinde cir- culus triangulo maius e$$e nequit.

SIT deinde, $i fieri pote$t, circulus ABCD, minor quam triangulum FGH, magnitudinez. Circum$cribatur circulo quadratum IKL M, cuius latera cir- culum tangantin punctis A, B, C, D. quod maius erit triangulo FGH. Cum enim eius ambitus (vt lib. 8. propo$. 1. probabimus) maior $it peripheria circuli, hoc e$t, recta G H, & perpendicularis E A, ip$i F G, æqualis, erit triangulum re- ctangulum latus vnum habens æqualeip$i F G, & alterum maius latere GH, (æ- quale nimirum ambitui quadrati I K L M.) maius triangulo FGH. Cum ergo triangulum illud, per $cholium propo$. 45. lib. 1. Euclid. $it æquale rectangulo $ub FG, & $emi$$e ambitus quadrati IKLM, comprehen$o: hoc autem rectan- gulum per propo$. 2. lib. 7. de I$operimetris, qua drato IKLM, æquale; erit quo- que quadratum IKLM, maius triangulo F G H. Et quia triangulum F G H, po- nitur æquale circulo, & magnitudini z. $imul, ac proinde maius quã z, erit quo- que quadratum IKLM, (quod maius e$$e o$tendimus triangulo FGH,) maius, quam z. Siigitur ex quadrato IKLM, auferatur plus, quam dimidium, & à re$i- dio plus etiam quam dimidium, at queita deinceps, relin quetur tandem ma- _1. decimi._ gnitudo minor, quam z.

Hæc autem detractio continua fiet, $i primo loco auferatur circul{us} A B C D: Hic enim maior e$t $emi$$e quadrati I K L M, propterea quod quadratum <007>n$criptum (quod min{us} e$t circulo, pars toto) $emi$$is e$t quadrati circum$cripti, ex$cholio propo$. 9. lib. 4. Eucl<007>d. Quod $i ducta recta E K, $ecante circulum in O, ducatur per O, ad E K, perpendicular{is} V X, quæ cir- _16. tertij._ culum tanget in O: idemque fiat, duct{is} rect{is} EL, EM, EI, &c. de$criptum erit Octogonum a quilaterum, & æ- quiangulũ VXY a b c d e V, vt con$tat ex con$tructione, demon$tratione{que} propo$. 12. lib. 4. Eucl. quippe cum ad E A, E O, & adreliqu{as} $emidiametros Octogoni in$cripti ductæ $int perpendiculares ve, V X, &c. Quoniã vero v A, v O, per 2. coroll propo$. 36. l<007>b. 3. Eucl. æqual{es} $unt; & e$t K V, maior quam v O: erit quoque K V, maior quam v A, ideoque _19. primi._ & triangulum K v O, triangulo v A O, mai{us} erit; cum $it triangulum ad triangulum, _1. $exti._ vt ba$is ad ba$em. Igitur triangulum K V O, mai{us} erit, quam dimidium trianguli [214]GEOMETR. PRACT. KAO; ac proinde multo mai{us}, quam dimidium trianguli mixti KAO, cui{us} vnum la- t{us} e$t arc{us} A O. Eadem ratione erit K O X, mai{us}, quam dimidium trianguli mixti KOB, cui{us} vnum lat{us} e$t arc{us} O B. Auferendo ergo triangulum KVX, ex figura mi- $tilinea K A B, in qua vnum lat{us} e$t arc{us} A O B, ablatum erit pl{us} quam dimidium. Subtract{is} igitur quatuor eiu$modi triangul{is} K V X, L Y a, M b c, I d e, ablatum erit plus, quam dimidium ex quatuor re$idu{is} extra circulum, & $ic deinceps. _Ponantur_ _igituriam octo triãgula mixta re$idua, quorũ ba$es $unt arcus AO, OB, BP, &c._ _minora magnitudine z. Cum ergo circulus cum z, æqualis po$itus $it triangulo_ _F G H, erit circulus cum illis octo re$iduis, hoc e$t, figura Octogona V X Y,_ _a b c d e V, minor eodem triangulo F G H. quod e$t ab $urdum, cum maius fit:_ _quippe cum perp\~edicularis EO, æqualis $it lateri F G, & ambitus Octogini ma-_ _ior circumferentia circuli, hoc e$t, recta GH. Hinc enim fit, triangulum rectan-_ _gulum, cuius latus F G, æquale perpendiculari EO, & alterum latus æquale am-_ _bitui Octogoni, maius videlicet, quam GH, maius e$$e triangulo FGH. Cum er-_ _go illud triangulum $it, ex $cholio propo$. 41. lib. 1. Eucl. æquale rectangulo $ub_ _FG, & $emi$$e ambitus Octogoni comprehen$o; hoc autem rectangulum O-_ _ctogono æquale, ex propo$. 2. lib. 7. de I$operimetris: erit quoq; Octogonum_ _maius triangulo FGH. Nõ ergo minus e$$e pote$t, ac proinde circulus ABCD,_ _minor non e$t triangulo FGH: Sed neque maior e$t, vt demon$trauimus. Igi-_ _tur æqualis e$t, quod erat demon$trandum._

SCHOLIVM.

IOSEPHVS Scaliger, vel quia vim huius demon$trationis non perpendit, vel quia $uæ circuli quadrandi rationi vidit e$$e contrariam, non e$t veritus Ar- chimedem hoc loco fal$itatis arguere: conaturque o$tendere, non rectè ab eo demon$tratum, circulum æqualem e$$e triangulo rectangulo, cuius vnum latus $emidiametro, & alterum circumferentiæ circuli e$t æquale. Nam, ait, $i de- mon$tratio Archimedis bona e$t, demon$trabitur eodem modo, circulũ æqua- lem e$$e triangulo rectangulo, cuius vnum latus circa angulum rectum $emidi- ametro æquale e$t, & alterum peripheria circuli maius. Sit enim in triangulo lmn, latus quidem lm, trianguli $emidiametro circuli E A, æquale, at mn, peri- pheria maius. Concedit ergo Scaliger, circulum non e$$e maiorem triangulo FGH, rectè e$$e ab Archimede demon$tratum, hoc e$t, triangulum F G H, cuius latus GH, peripheriæ e$t æquale, non e$$e minus circulo, ac proinde neque tri- angulum lmn, cuius latus m n, maius e$t peripheria, circulo minus e$$e. Con- cedititem, rectè probatum e$$e, circulũ non e$$e minorem triangulo FGH, $i la- tus GH, peripheriæ $it {ae}quale, hoc e$t, triangulum FGH, non e$$e maius circu- lo. Sed negat, ex hoc $equi, triangulum FGH, e$$e æquale circulo. Cur? quia, inquit, eodem modo, $i ba$is m n, maior e$t peripheria, $ed minor circum$cripti polygoni ambitu, (hoc enim contingere, ait, nihil prohibet) polygonum erit quidem maius triangulo l m n, quod ambitus polygoni maior $it recta m n, & $emidiameter EA, rectæ l m, æqualis. Sed re$ectis portionibus, $equeretur, id\~e polygonum e$$e triangulo l m n, minus, quod e$t ineptum. Ita ne verò mi Sca- liger? Non aduertis, te cum hypothe$i pugnare? Nam po$ito latere m n, ma- iore, quam peripheria; quando eo peruentum erit, polygonum e$$e minus tri- angulo l m n, ($i nimirumrelictæ portiones minores fuerint magnitudine z,) $e- [215]LIBER QVARTVS. quitur nece$$ariò, ambitum polygoni minorem e$$elatere m n. Cum enim tri- angulum rectangulum, cuius altitudo $emidiametro polygoni, & ba$is ambi- tui æqualis e$t, æquale $it, ex $cholio propo$. 41. lib. 1. Eucl. rectangulo $ub ea- dem $emidiametro, & $emi$$e ambitus polygoni comprehen$a; hoc autem, per propo$. 2. lib. 7. huius de I$o perimetris, polygono æquale: erit quoque trian- gulum illud minus triangulo l m n. Quare cum hæc triangula habeant æquales altitudines; erit vtillud triangulum ad l m n, ita ba$is illius ad ba$em m n: ac _1. $exti._ proinde illa ba$is, hoc e$t, ambitus polygoni, ba$e m n, minor erit. Non ergo ponere potes ba$em trianguli l m n, $i maior e$t, quam peripheria circuli, mino- rem ambitu polygoni: In demon$tratione autem Archimedis con$tat, ambitũ polygonimaiorem e$$e ba$e trianguli F G H, $i G H, æqualis e$t peripheriæ cir- culi, cum maior $it, quam perip heria: ac propterea rectè conclu$it Archimedes, polygonum e$$e maius triangulo FGH, cum tamen ex hypothe$i aduer$arij o- $ten$um $it e$$e minus. Itaque potui$$et Archimedes ita quo que propo$itum colligere. Polygonum minus e$t triangulo F G H, propter relictas $ectiones minores magnitudine z. Ergo eius ambitus minor e$t ba$e G H, (quemadmo- dum proximè demon$trauimus.) hoc e$t, peripheria circuli. quod e$t ab$urdũ, cum ambitus polygoni maior $it, quam peripheria. Quod ab$urdum, docti$si- mè Scaliger, colligere non potes in tuo triangulo l m n, cum $tatuas ba$em mn, perip heria circuli maiorem. Et $ane miror te, Mathematicus cũ $is, negare quã- titat\~e aliquam illi e$$e æqualem, qua neque maior e$t, neque minor. Si enim æ- qualis non e$t, erit inæqualis. Igitur vel maior vel minor, contra hypothe$im, cum dicatur neque maior e$$e, neque minor. An non vides, non $olum Archi- medem, $ed etiam Euclidem lib. 12. hunc argumentandi modum frequenti$simè v$urpare?

PROPOSITIO II.

CVIVSLIBET circuli peripheria tripla e$t diametri, & adhuc $upe- rat parte, quæ quidem minor e$t decem $eptuage$imis, hoc e$t, $epti- ma parte diametri, maior verò decem $eptuage$imis primis.

HÆC e$t Archimedis propo$itio 3. quam nos $ecundam facimus, vt do ctri- næ ordo $eruetur, quando quidem $equens propo$itio 3. quamip$e 2. facit, hãc no$tram propo$itionem 2. in demon$trationem adhibet.

Sit igitur circulus ABCD, cuius centrum E, diameter AB, quam ad rectos an- gulos $ecet $emidiameter E c, & e c F, ad E c, perpendicularis ducatur, quæ cir- _16. tertij._ culum tangetin c. Ducatur latus hexagoni AD, quod $emidiametro æquale e- _15. quar._ rit, & arcus AD, grad. 60. Ideoq; D c. grad. 30. Ducta ergo recta E D e, erit angu- lus e E c, tertia pars recti, cum rectus angulus contineat grad. 90. Fiat quo que angulus c E F, angulo c E e, æqualis: eruntq; angulie, F, inter $e æquales, quod vterque complementum $it tertiæ partis angulirecti, ac proinde vter que duas tertias partes vnius recti comprehendet. Cum ergo omnes tres anguliin trian- _32. primi._ gulo e E F, contineant {6/3}. vnius recti, continebit quo que e E F, {2/3}. vnius recti ip$umq; triangulum æquiangulum erit, hoc e$t, per coroll. propo$. 6. lib. 1. Euc. æquilaterũ; proptereaq; perpendicularis E c, ba$em e F, bifariã $ecabit, ex $cho- lio propo$. 26. lib. 1. Euclid. atq; ideo E@e, ip$ius e c, dupla erit. Po$ita igitur c e, [216]GEOMETR. PRACT. 153. erit E e, 306. Et $i quadratum ip $ius c e, 23409. dematur ex 93636. quadra- to ip$ius E e, reliquum fiet quadratum ip$ius E c, 70227. cuius radix e$t pau- _47. primi_. lo maior, quam 265. ac proinde E c, ad c e, maiorem habebit proportionem, _8. quinti_. quam 265. ad 153.

SECTO iam angulo e E c, bifariam per rectã E d; erite E, ad E c, vt ed, ad _3. $exti_. d c. Et componendo e E, Ec $imul ad E c, vt e c, ad d c. Et permutando e E, E c, fimul ad e c, vt E c, ad c d. Quia verò e E, E c, $imul maiores $unt, quam 571. (quippe cum E e, $it 306. & E c, paulo maior, quam 265.) & e c, po$ita e$t 153. habebunt e E, E c, $imul ad e c, maiorem proportionem, quam 571. ad _8. quinti_. 153. ideo que & proportio E c, ad c d, maior erit, quam 571. ad 153. ac proin- de $i c d, ponatur 153. erit E c, paulo maior quam 571. Igitur quadrantum ip $i- _10. quinti_. us E c, paulo maius erit, quam 326041. atque idcirco, cum quadratum ip$ius c d, $it 23409. erit qua dratum ip$ius E d, quod quadratis rectarum E c, c d, e$t _47. primi_. æquale, paulo maius, quam 349450. eiu$queradix maior, quam 591 {1/8}. quippe cum huius radicis quadratum $it tantum 349428 {49/64}. Habebit igitur E d, ad _8. quinti_. d c, maiorem proportionem quam 591 {1/8}. ad 153.

SECTO rur$us angulo d E c, bifariam per rectam E b; erit rur$us vt d E, E c, _3. $exti. &_ _componendo_ _permutando-_ _que_. $imul ad d c, ita E c, ad c b. Quia verò d E, E c, $imul maiores $unt, quam 1162 {1/8}. (quip pe cum E d, maior $it, quam 591 {1/8}. & E c, maior, quam 571.) & d c, po- $ita e$t 153. habebunt d E, E c, ad d c, maiorem proportionem, quam 1162 {1/8}. _8. quinti_. ad 153. ideo que & E c, ad c b, proportionem habebit maiorem, quam 1162 {1/8}. ad 153. ac proinde $i ponatur c b, 153. erit E c, maior, quam 1162 {1/8}. Igitur _10. quinti_. quadratum ip$ius E c, maius erit quam 1350534 {3/6} {3/4}. cui $i ad datur quadratum 23409. ip$ius c b, erit quadratum ip$ius E b, quod quadratis rectarum E c, _47. primi_. c b, æquale e$t, maius, quam 1373943 {3/6} {3/4}. eiu$que radix propterea, id e$t, re- [217]LIBER QVARTVS. cta Eb, paulo maior quam 1172 {1/8}. quip pè cum huius radicis quadratum $it tan- tum 1373877 {1/64}. Habebit ergo E b, ad b c, maiorem proportionem, quam 1172 _8. quinti_. {1/8}. ad 153.

SECTO item angulo b E c, bifariam per rectam E a; erunt b E, E c, $imul ad _3. $exti. &_ _componendo,_ _permutando-_ _que._ b c, vt E c, ad c a. Quia verò b E, maior e$t, quam 1172 {1/8}. & E c, maior, quã 1162 {1/8}. erunt b E, E c, $imul maiores, quam 2334 {2/8}. vel 2334 {1/4}. Cum ergo c b, po$ita $it 153. habebunt b E, E c, $imul ad c b, maiorem proportionem, quam 2334 {1/4}. ad 153. ideoque & E c, ad c a, proportionem habebit maiorem, _8. quinti_. quam 2334 {1/4}. ad 153. ac proinde, $i c a, ponatur 153. erit E c, maior, quam _10. quinti_. 2334 {1/4}. Igitur quadratum ip$ius E c, maius erit, quam 5448723 {1/16}. cui $i ad _47. primi_. datur quadratum 23409. ip$ius c a, erit quadratum ip$ius E a, quod quadra- tis rectarum E c, ca, æquale e$t, maius quam 5472132 {1/16}. eiu$queradix maior, _8. quinti_. quam 2339 {1/4}. cum huius radicis quadratum $it tantum 5472090 {9/16}. Ergo E a, ad a c, maiorem proportionem habebit, quam 2339 {1/4}. ad 153. _3. $exti. &_ _componendo,_ _permutando-_ _que_.

SECTO denique angulo quoque a E c, bifariam per rectam E o, erunt a E, E c, $imul ad a c, vt E c, ad c o. Quia verò a E, maior e$t, quam 2339 {1/4}. a & E c, maior quam 2334 {1/4}. erunta E, E c, $imul maiores, quam 4673 {1/2}. Cum er- go c a, po$ita $it 153. habebunt a E, E c, $imul ad c a, hoc e$t, E c, ad c o, ma- _8. quinti_. iorem proportionem, quam 4673 {1/2}. ad 153. ac propterea $i ponatur c o, 153. _10. quinti_. erit E c, maior quam 4673 {1/2}.

QVONIAM igitur angulus e E c, tertia pars e$t recti, erit eius $emi$sis d E c, $exta pars recti, & huius $emi$sis b E c, {1/@}. recti, & huius $emi$sis a E c, {1/24}. recti, & deni- _33 $exti_. que huius $emi$sis o E c, {1/48}. recti. Qualium ergo partium 48. e$t quadrans A c, talium 1. erit arcus c o: & id circo erit c o, {1/192}. to tius circumferentiæ. Fiat angulus _33. $exti_. cEi, angulo cEo, æqualis; eritq; totus angulus oEi, {1/96}. quatuor rectorũ: ideoq; arc<_>9 o i, {1/98}. totius circũferentiæ. Per do ctrinã ergo {pro}po$. 12. lib. 4. Eucl. recta o i, [218]GEOMETR. PRACT. latus erit polygoni circulo circum$cripti, quod lateribus æqualibus 96. conti- netur. Et quia o$ten$um e$t, E c, ad c o, maiorem habere proportionem, quam 4673 {1/2}. ad 153. habebit quo que diameter AB, ip$ius E c, dupla ad o i, ip$ius c o, _15. quinti_. duplam maiorem proportionem, quam 4673 {1/2}. ad 153. Si ergo o i, latus polygo- ni ponatur 153. erit diameter AB, maior, quam 4673 {1/2}. Multiplicentur 153. per _10. quinti_. 96. vt totus ambitus polygoni producatur 14688. habebitque ambitus poly- _8. quinti_. goni ad diametrum AB, minorem proportionem, quam 14688. ad 4673 {1/2}. E$t _8. quinti_. autem proportio 14688. ad 4673 {1/2}. minor, quam tripla $e$qui$eptima; quod 14688. ad 4673. {5/11}. (quinumerus paulo minor e$t quam 4673 {1/2}.) habeant pro- portionem triplam $e$qui$eptimam. Igitur & ambitus polygoni ad diametrũ _$chol. 13._ _quinti_. AB, proportionem habet minorem tripla $e$qui$eptima: atque adeo circum- ferentia, quæ (vt lib. 8. propo$. 1. probabimus) minor e$t ambitu polygoni, mul- _8 quinti_. to minorem proportionem tripla $e$qui$eptima ad diametrum habebit; ideoq; circumferentia tripla e$t diametri, & ad huc $uperat parte, quæ minor e$t {30/70}. hoc e$t, {1/7}. diametri. Nam $i contineret ter, & {1/7}. haberet cir cumferentia ad diame- trum proportionem triplam $e$qui$eptimam: $i vero contineret ter, & plu$quã {1/7}. haberet maiorem proportionem, quam triplam $e$qui$ep timam, cum tamen minorem habeat, vt demon$tratum e$t.

IAM vero in eodem circulo $it latus hexagoni B G, $emidiametro æquale, per coroll. propo$. 15. lib. 4. Eucl. iunganturque rectæ A G, E G. Et quia trian- gulum E B G, e$t æquilaterum con$tans ex tribus $emidiametris; erit angulus _coroll. 3 pro-_ _po$. 32. lib. 1_. B E G, {2/3}. vnius recti, ac proinde eius $emi$sis B A G, erit {1/3}. vnius recti. Et quia diameter AB, dupla e$t $emidiametri BG, $i BG, ponatur 780. erit AB, 1560. Cũ _20. tertij_. ergo quadratumip$ius A B, æquale $it quadratis rectarum B G, G A; quod an- _47. primi_. gulus AGB, in $emicirculo rectus $it: $i quadratum 608400. ip$ius B G, dema- _31. tertij_. tur ex 2433600. quadrato ip$ius A B, reliquum fiet quadratum 1825200. ip$ius AG, cuius radix paulo minor e$t, quam 1351. cum huius quadratum 1825201. maius $it, quam 1825200. Igitur AG, ad GB, minorem habebit proportionem, _8. quinti_. quam 1351. ad 780. ac proinde $i B G, ponatur 780. erit A G, minor, quam 1351.

_10. quinti_.

SECTO iam angulo BAG, bifariam per rectam AH, $ecantem BG, in M, du- ctaque HB, erunt triangula BHM, AHB, æquiangula: propterea quod angu- _21. tertij_. lus HBM, æqualis e$t angulo HAG, ob eandem ba$em GH; ideoque per con- $tru ctionem angulo HAB; & angulus rectus H, in $emicirculo communis. I- _4. $exti_. gitur erit AH, ad HB, vt HB, ad HM. Item AB, ad BH, vt BM, ad MH: & per- mutando AB, ad BM, vt BH, ad HM: ideoque erunt tres hæ proportiones AH, ad HB; HB, ad HM: & AB, ad BM, æquales. Sed vt AB, ad BM, ita e$t vtraq; $imul BA, AG, ad BG. _Nam vt AG, ad AB, ita e$t GM, ad MB; & componendo vt _3. $exti_. AG, AB, $imul ad AB, ita GM, MB, $imul id e$t, tota G B, ad M B: Et permut ando vt A G, A B, $imulad G B, ita A B, ad M B. Igitur erit quoque, vt vtraque AG, AB, $i- mul ad GB, ita AH, ad HB. E$t autem AG, o$ten$a minor, quam 1351. & AB, po- $ita e$t 1560. & GB, 780. Igitur vtraque AG, AB, $imul (cum minus effi ciant, quã 2911.) minorem habebit proportionem ad GB, quam 2911. ad 780. Quare et- _8. quinti_. iam proportio AH, ad HB, minor erit, quam 2911. ad 780. ac proinde $i HB, po- natur 780. erit AH, minor, quam 2911. ideoque eius quadratum minus, quam _10. quinti_. 8473921. cui $i addatur quadratum 608400. ip$ius B H, fiet quadratum ip$ius AB, (quod quadratis rectarum AH, HB, æquale e$t) minus, quam 9082321. id- _47. primi_. co que eius radix, vel recta A B, minor, quam 3013 {3/4}. cum huius quadratum [219]LIBER QVARTVS. 9082689 {1/16}. maius $it, quam 9082321. Igitur AB, ad BH, minorem proportio- nem habebit, quam 3013 {3/4}. ad 780. ac proinde $i BH, ponatur 780. erit AB, mi- _10. quinti_. nor quam 3013 {3/4}.

SECTO rur$us angulo HAB, bifariam per rectam AI, $ecantem HB, in N; erunt vt prius, triangula BIN, AIB, æquiangula. Ergo, vt $upra, demon$trabi- mus, vtramque BA, AH, $imul ad HB, habere eandem proportionem quam AI, ad IB. E$t autem BA, o$ten$a minor, quam 3013 {3/4}. & AH, minor, quam 2911. & ob id earum $umma minor, quam 5924 {3/4}. ip$a autem HB, po$ita e$t 780. Igi- _8. quinti_. tur vtraque BA, AH, $imul ad HB, hoc e$t, AI, ad IB, minorem habebit propor- _10. quinti_. tionem, quam 5924 {3/4}. ad 780. Siergo IB, ponatur 780. erit AI, minor, quam 5924 {3/4}. Et quoniam e$t, vt 5924 {3/4}. ad 780. ita 1823. ad 240, quod idem nu- merus fiat ex primo in quartum, qui ex $ecundo in tertium, quæ quidem pro- portio denominatur à 7 {143/240}. habebit quoque AI, ad IB, minorem proportio- nem, quam 1823. ad 240. ideoque po$ita I B, 240. erit A I, minor, _10. quinti_. quam 1823. atque ob id quadratum ip$ius A I, minus, quam 3323329. cui $i addatur quadratum 57600. ip$ius IB, fiet quadratum ip$ius AB, (quod qua- _47. primi_. dratis rectarum A I, IB, æquale e$t) minus quam 3380929. eiu$que radix pro- pterea, vel recta AB, minor quam 1838. {9/11}. cum huius quadratum 3381252 {37/121}. maius $it, quam 3380929. Igitur AB, ad BI, minorem proportionem habebit, _8. quinti_. quam 1838 {9/11}. ad 240. ac proinde po$ita BI, 240. erit A B, minor, quam _10. quinti_. 1838 {9/11}.

SECTO item angulo IAB, bifariam per rectam AK, o$tendemus eodem mo- do, vtramque BA, AI, $imul ad IB, habere eandem pro portionem, quam AK, ad KB. Sunt autem BA, AI, ambæ $imul minores, quam 3661 {9/11}. (quod B A, o$- ten$a $it minor, quam 1838 {9/11}. & AI, minor, quam 1823.) & IB, po$ita e$t 240. Vtraq; ergo BA, AI, $imulad IB, hoc e$t, AK, ad KB, minorem habebit propor- _8. quinti_. [220]GEOMETR. PRACT. tionem, quam 3661 {9/11}. ad 240. Vt autem 3661 {9/11}. ad 240. ita e$t 1007. ad 66. quod idem gignatur numerus ex primo in quartum, qui ex $ecundo in ter- tium, qu{ae} quidem proportio denominatur à 15 {17/66}. Igitur AK, ad KB, minorem quo queprop ortionem habebit, quam 1007. ad 66. ideoque po$ita K B, 66. erit A K, minor, quam 1007. ac propterea eius quadratum minus, quam _10. quinti_. 1014049. cu<007>$i ad datur quadratum 4356. ip$ius KB; fiet qua dratum ip$ius A B, (quod illis duobus æquale e$t) minus quam 1018405. eiu$que radix propter- _47. primi_. ea, id e$t, recta AB, minor, quam 1009 {1/4}. cum huius quadratum 1018417 {13/36}. $it maius, quam 1018405. Quocirca AB, ad BK, minorem proportionem habe- _8. quinti_. bit, quam 1009 {1/6}. ad 66. atqueidcirco po$ita BK, 66. erit AB, minor, quam _10. quinti_. 1009 {1/6}.

SECTO denique angulo KAB, bifariam, perrectam AL, demon$trabimus eadem ratione, vtramque BA, AK, $imul ad CK, e$$e, vt AL, ad LB. Sunt autem amb{ae} B A, A K, $imul minores, quam 2016 {1/6}. (quod BA, $it o$ten$a minor, quam 1009 {1/6}. & AK, minor, quam 1007.) & BK, po$ita e$t 66. Igitur vtra- _8. quinti_. que BA, AK, $imul ad CK, hoc e$t, AL, ad LB, habebit proportionem minorem, quam 2016 {1/6}. ad 66. atque idcirco $i LB, ponatur 66. erit AL, minor, quam _10. quinti_. 2016 {1/6}. ideo que quadratum eius minus quam 4064928 {1/36}. cui $i ad datur qua- dratum 4356. ip$ius LB; fiet quadratum ip$ius A B, quod duobus illis e$t æ- _47. primi_. quale) minus, quam numerus 4069284 {1/36}. ideoq; eius radix, id e$t, recta AB, minor, quam 2017 {1/4}. cum huius quadratum 4069297 {9/36}. $uperet 4069284 {1/36}. Quamobrem AB, ad BL, minorem proportionem habebit, quam 2017 {1/4}. ad _8. quinti_. 66. ideoque $i BL, ponatur 66. erit AB, minor, quam 2017 {1/4}.

_10. quinti_.

QVONIAM igitur angulus G A H, angulo H A B, æqualis e$t; erit arcus _26. tertij_. GH, arcui HB, æqualis: eademqueratione arcus HI, arcui IB, & IK, ip$i KB, & KL, ip$i LB, æqualis erit. Cum ergo GB, $it {1/6}. totius circum$erentiæ, erit HB. [221]LIBER QVARTVS. @ {1/2}. & IB, {1/24}. & KB, {1/48}. & LB, {1/96}. ac proinde recta BL, latus erit Polygoni cir- culo in$cripti, quod 96. lateribus æqualibus continetur. Quoniam vero BL, po$ita e$t 66. $i 66. ducantur in 96. fiet ambitus Polygoni 6336. Quapropter _8. quinti_. ambitus Polygoniad diametrum AB, maiorem proportionem habebit, quam 6336. ad 2017 {1/4}. cum diameter A B, o$ten$a $it minor, quam 2017 {1/4}. E$t autem _8. quinti_. proportio 6336. ad 2017 {1/4}. maior, quam tripla $uperdecupartiens $eptuage$i- mas primas, quod proportio 6336. ad 2017 {65/223}. (qui numerus maior e$t, quam 2107 {1/4}) $it tripla $uperdecupartiens $eptuage$imas primas. Ergo ambi- tus Polygoni maiorem habet proportionem ad diametrum, quam 3 {10/71}. Cumigitur circumferentia circuli$it maior ambitu Polygoni, habebit circum- _8. quinti_. ferentia ad diametrum multo maiorem proportionem, quam 3 {10/71}. Ac proin- de circumferentia diametrum continebit ter, & in$uper partem maiorem, quam {10/75}. Nam $i contineret {10/71}. haberet circumferentia ad diametrum propor- tionem 3 {10/71}. Si autem contineret maiorem partem, quam {10/71}. haberet propor- tionemminorem, quam 3 {10/71}. cumtamen maiorem habere demon$tratum $it. Et quoniam {1/8}. minor e$t, quam {10/71}. l<007>quet ex hac $ecunda parte propo$itionis, circumferentiam continere diametrum ter, & plus, quam {1/8}. diametri. Cum ergo ex prima parte con$tet, circumferentiam continere diametrum ter, & minus, quam {1/7}. diametri: per$picuum e$t, veram proportionem circumfe- rentiæ ad diametrum con$i$tere inter triplam $e$qui$eptimam, & triplam $e$qui- octauam.

COROLLARIVM.

ITAQVE $i diameter per 3 {1/7}. multiplicetur, gignetur numerus maior, quam circumferentia: $i verò multiplicetur per 3 {10/71}. pro creabitur minor numerus, quam circumferentia. Econtrario, $i circumferentia diuidatur per 3 {1/7}. produ- cetur numerus minor, quam diameter: $i vero diuidatur per 3 {10/71}. prodibit nume- rus maior, quam diameter.

PROPOSITIO III.

CIRCVLVS quilibet ad quadratum diametri proportionem habet, quam ad 11. ad 14. proximé.

SIT circulus A B C D, & quadratum diametri B D, circulo circum$cri- ptum E G H I. Dico circulum ad quadra- tum e$$e, vt 11. ad 14. proximè. Pro- ducto enim latere E G, $umatur E K, ip- $ius E G, tripla, & K F, $eptima pars dia- metri B D, vel lateris E G; iunganturque [222]GEOMETR. PRACT. rect{ae} B G, BF. Quoniamigitur E F. ad diametrum E G, proportionem habet triplam $e$qui$eptimam, ex con$tructione; erit per pr{ae}cedentem E F, circum- ferentiæ circuli fermè æqualis. Cum ergo BE, {ae}qualis $it $emidiametro: erit per 1. propo$. triangulum BEF, circulo æquale proximè: Triangulum autem B E G, quarta pars erit quadrati E H. Quia verò po$ito latere E G, 7. recta E F, e$t 22. erit triangulum BEF, hoc e$t, circulus ABCD, ad triangulum BEG, vt 22. ad 7. _1. $exti_. Sed po$ito triangulo B E G, 7. quadratum EGHI, ip$ius quadruplum, e$t 28. Igitur circulus ad quadratum, e$t fermè, vt 22. ad 28. hoc e$t, vt 11. ad 14. quod erat demon$trandum.

DE AREA CIRCVLI, INVENTIONE- que circumferentiæ ex diametro, & diametri ex circumfetentia. CAPVT VII.

1. QVONIAM triangulum rectangulum, cuius vnum latus circa angu- lumrectum $emidiametro circuli, & alterum peripheriæ eiu$dem æ- quale e$t, areæ circuli adæquatur: huius autem trianguli area ex _1. de Dim\~e$_. _circuli_. ductu perpendicularis in $emi$lem ba$is producitur, vt cap. 2. Num. 2. huius li- bri $crip$imus: _Fit vt area circuli producatur ex multiplicatione $emidiam{et}ri in_ _Area circuli_ _trib. vi{is}, ex_ _cognita dia-_ _metro, & cir-_ _cumferentia_. _$emi$$em peripheriæ: ($i nimirum bæ$is illi{us} trianguli_ _$tatuatur lat{us}, quod peripheriæ æquale e$t) Vel ex du-_ _ctutoti{us} peripheriæ in $emi$$em $emidiam{et}ri, hoc est_, _in quartam partem diam{et}ri: $umendo videlicet in eo-_ _dem triangulo pro ba$e lat{us}, quod $emidiam{et}ro est æ_. _quale_.) _Vel denique ex ductu toti{us} diam{et}ri in quartam peripheriæ partem_, quod ita per$picuum faciemus.

REPETATVR figura pr{ae}cedentis propo$itionis, diuidaturque EF, qu{ae} pe- ripheriæ circuli e$t æqualis, bifariam in L, ita vt EL, $emiperipheri{ae} $it æqualis: Item EL, bifariam $ecetur in M, vt EM, æqualis $it quart{ae} parti peripheri{ae}. Et tandem BE, bifariam quo que $ecetur in N, vt EN, $emi$sis $it $emidiametri BE, hoc e$t, quarta pars totius diametri. Et quia triangulum BEF, æquale e$t cir- _1. de Dim\~e$_. _circuli._ culo ABCD; erit quo que rectangulũ $ub $emidiametro BE, & $emiperip heria EL, comprehen$um (quod per propo$itionem 1. lib. 7. huius, triangulo {ae}quale e$t.) eidem circulo {ae}quale; quod e$t primum.

NON aliter rectangulum comprehen$um $ub tota peripheria EF, & EN, quarta parte d@ametri (quod per propo$. 1 lib. 7. huius, eidem triangulo æquale e$t) eidem circulo erit æquale, quod e$t $ecundum.

[223]LIBER QVARTVS.

DENIQVE quia quatuor lineæ EI, EB, EL, EM, proportionales $unt, quod _16. $exti_. tam priores du{ae}, quam po$teriores du{ae} habeant proportionem duplam; erit rectangulum $ub EI, diametro, & EM, quarta parte perip heriæ comprehen- $um, rectangulo $ub EB, $emidiametro, & EL, $emiperipheria comprehen$o æquale. Cum ergo hoc in prima parte o$ten$um $it æquale circulo, erit quo que illud eidem circulo æquale. quod e$t tertium.

VT fra ctiones interdum vitentur, ducenda erit tota diameter in totam cir- _Area $emi-_ _circuli, Qua-_ _drant{is}, octa-_ _uæpart{is}, & c._ cumferentiam. Quarta enim pars numeri producti area erit circuli: propterea quod numerus productus quadruplus e$t numeri producti ex $emidiametro in $emicircumferentiam, vt liquet.

SEQVITVR ex prima parte, aream $emicirculi produci ex $emidiametro in quartam partem circumferenti{ae}: quia nimirum producitur $emi$sis eius, quod fit ex $emidiametro in $emi$$em peripheriæ. item aream Quadrantis procreari ex $emidiametro in octauam partem circumferenti{ae}: Et aream octau{ae} partis ex $emidiametro in $extamdecimam partem circumferenti{ae}: Et aream $ext{ae} de- cim{ae} partis ex $emidiametro in {1/32}. circumferenti{ae}, & $ic deinceps: quia $em- per producitur $emi$sis pr{ae}cedentis producti; quemadmodum & partes cir- culi $emi$$es $unt pr{ae}cedentium partium: nimirum Quadrans $emi$sis e$t $e- micirculi; & octaua pars $emi$sis Quadrantis; & $extadecima pars $emi$sis o- ctau{ae} partis, & c.

1. IGITVR vt area circuli reperiatur, nece$$e e$t tam eius diametrum, quam circumferentiam e$$e cognitam. Quare trademus hic regulas nonnullas, per quas ex data diametro circumferentia tum maior, tum minor, quam vera, ex propo$. 2. de Dimen$ione circuli inueniatur. Deinde alias regulas pr{ae}$cri- bam, per quas area circulitum maior, tum minor, quam vera, vel ex $ola diame- tro, vel ex $ola circumferentia cognita eruatur.

I.

Ex data diametro circuli circumferentiam vera maiorem reperire.

_FIAT vt 7 ad 22 ita data diameter, verbigratia, 28. ad aliud, procreabitur que cir-_ _cumferentia 88. maior quam vera._ Quoniam enim proportio circumferentiæ ad _2. de Dime$._ _circuli_: diametrum minor e$t, quam tripla $e$qui$eptima; proportio autem 88. ad 28. e$t tripla $e$qui$eptima, eadem videlicet, quæ 22. ad 7. erit numerus 88. ma- _10. quinti_. ior, quam circumferentia circuli, cuius diameter e$t 28.

II.

EX data diametro circuli circumferentiam vera minorem elicere.

_FIAT vt 71. ad 223. ita data diameter 28. ad aliud, produc{et}urque circumferentia_ 87 {67/71}. _minor quam vera._ Quoniam enim proportio circumferenti{ae} ad diame- _2. de Dime$._ _circuli_. trum maior e$t, quam tripla $uperdecupartiens $eptuage$imas primas; propor- tio autem 87 {67/71}. ad 28. e$t tripla $uperdecupartiens $eptuage$imas primas, ni- mirum eadem, quæ 223. ad 28. erit circumferentia circuli, cuius diameter 28. _10. quinti_. maior, quam 87 {@/71}.

[224]GEOMETR. PRACT. III.

Ex data circuli circumferentia, diametrum vera maiorem indagare.

Fiat vt 223. ad 71. ita data circumferentia, verbigratia 88. ad aliud. Product{us} _2. de Di-_ _men$. circu-_ _li._ enim numer{us} 28 {4/223}. dabit diametrum vera maiorem. Cum enim circumferentiæ ad diam{et}rum habeat maiorem proportionem, quam tr<007>plam $uperdecupartientem $e- ptuage$im{as} prim{as}, hoc e$t, maiorem quam 223. ad 71. habebit quoque data circumfe- rent<007>a 88. ad $uam diam{et}rum proportionem maiorem, quam ad 28 {4/223}. ac proinde diam{et}er circumferentiæ 88. minor erit, quam _28 {4/223}_:

_10. quinti_. IIII.

Ex data circuli circumferentia diametrum inue$tigare vera minorem.

_Fiat vt 22. ad 7. ita circumferentia data 88. ad aliud. Numer{us} enim procreat{us}_ 28. _offeret diam{et}rum vera maiorem._ Cum enim circumferentia ad diametrum _2. de Dim\~e$._ _circuli_. habeat minorem proportionem, quam triplam $e$qui$eptimam, hoc e$t, quam 22. ad 7. habebit quo que circumferentia data 88. ad $uam diametrum propor- tionem minorem, quam ad 28. atque idcirco diameter circumferenti{ae} 88. ma- _10. quinti_. ior erit, quam 28.

3. IAM verò vt do ceamus, qua ratione area circuli vel ex $ola diametro cog- nita, vel ex $ola circumferentia cogno$catur, ita vt nece$$e non $it ex diametro circumferentiam, vel ex circumferentia diametrum inue$tigare, demon$trandæ prius erunt $equentes tres propo$itiones, quarum primam deinde lib. 8. propo$. 2. ex Pappo Alexandrino aliter quo que demon$trabimus.

PROPOSITIO I.

Circulorum diametri inter $e $unt, vt circumferentiæ.

SINT diametri duorum circulorum AB, DE, & rectæ circumferentiis æqua- les BC, EF, qu{ae} cum diametr<007>s angulos rectos efficiant B, E, compleantur que triangula ABC, DEF. Dico ita e$$e diametrum AB, ad diametrum DE, vt e$t cir- cumferentia BC, ad circumferentiam EF. Diametris enim AB, DE, inueniatur tertia proportionalis G: Et tribus rectis BC, EF, DE, quarta proportionalis H. Et quia continuè proportionales $unt AB, DE, G; erit quadratum ex AB, _20. coroll._ _$exti_. ad quadratum ex DE, vt AB, ad G. Sed vt quadratum ex AB, ad quadratum _2. duodec_. [225]LIBER QVARTVS. ex DE, ita e$t circulus diametri AB, ad circulum diametri DE. Et vt circulus _15. quinti_. ad circulum, ita e$t triangulum ABC, ad triangulum DEF, quòd h{ae}c triangula circulorum $int dupla. (Nam diui$a diametro AB, bifariam in I, ducta que recta IC, b erit triangulũ IBC, circulo æquale: ac proinde cum triangula AIC, IBC, _1. de Dim\~e$._ _circuli_. æqualia $int; erit triangulum ABC, duplum trianguli IBC, hoc e$t, circuli, cu- ius diameter AB. Eademque ratione triangulum DEF, duplum erit circuli, cu- _38. primi_. ius diameter DE.) Igitur erit quo que triangulum A B C, ad triangulum D E F, vt AB, ad G. At vt triangulum ABC, ad triangulum DEF, ita e$t A B, ad H. quod vtraque proportio compo$ita $it ex ii$dem proportionibus. ( Nam _$chol. 23._ _$exti_. proportio trianguli A B C, ad triangulum DEF, compo$ita e$t ex proportione ba$is AB, ad ba$em D E, & ex proportione altitudinis BC, ad altitudinem EF, hoc e$t, ex proportione DE, ad H, quæ ex con$tru ctione eadem e$t, quæ BC, ad EF. Proportio autem AB, ad H, componitur quo que ex proportionibus A B, ad DE, & DE, ad H, ex defin.) Igitur erit, vt AB, ad G, ita AB, ad H. ideo que _9. quinti_. G, & H, æquales erunt: ac proinde erit DE, ad G, vt DE, ad H. E$t autem per _7. quinti_. con$tru ctionem AB, diameter ad diametrum DE, vt DE, ad G, hoc e$t, vt DE, ad H. Et vt DE, ad H, ita per con$tructionem, circumferentia BC, ad circumfe- rentiam EF. Igitur erit quo que diameter AB, ad diametrum DE, vt circumfe- rentia BC, ad circumferentiam EF. quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO II.

PROPORTIO quadrati ex diametro cuiuslibet circuli de$cripti ad circuli aream maior e$t, quam 14. ad 11. minor autem, quam 284. ad 223.

QVONIAM enim quadratum diametri cuiu$uis circuli ad quadratum _2. duodec_. diametri alterius circuli e$t, vt circulus ad circulum: erit permutando quadra- tum diametri ad circulum eiu$dem diametri, vt qua dratum alterius diametriad circulum eiu$dem diametri. Po$ita autem diametro alicuius circuli 1. propor- tio quadrati ip$ius ad circulum maior e$t, quam 14. ad 11. minorautem, quam 284. ad 223. Igitur proportio quadrati diametri cuiu$uis alterius circuli ad ip$um circulum, maior quo que erit quam 14. ad 11. minor autem, quam 284. ad 223.

QVOD autem proportio quadrati diametri 1. ad $uum circulum maior $it, quam 14. ad 11. minor verò, quàm 284. ad 223. ita per$picuum fiet. Sifiat vt 7. ad 22. ita diameter 1. ad aliud, prodibit ex regula prima Num. 2. circumferentia 3 {1/7}. vel {22/7}. maior, quam vera Igitur ex eius $emi$$e {11/7}. in {1/2}. $emidiametrum procrea- bitur, vt Num. 1. dictum e$t, area circuli {11/14}. maior tamen, quam vera: Ac proin- _8. quinti_. de quadratum diametri 1. quod e$t 1. ad veram aream circuli, quæ minor e$t, quam {11/14}. maiorem proportionem habebit, quam ad {11/14}. Cum ergo $it 1. ad {11/14}. vt 14. ad 11. (Quoniamenim ex propo$itione 2. Minutiarum ad finem lib. 9. Eucl, eadem proportio e$t numeratoris 11. ad denominatorem 14. quæ minutæ {11/14}. ad $uum integrũ 1. erit conuertendo, vt 14. ad 11. ita 1. ad {11/14}.) habebit quoq; quadra- tum diametri 1. ad aream circuli veram, minorem proportionem, quam 14. ad 11. quod e$t propo$itum. Con$tat ergo prima propo$itionis pars.

[226]GEOMETR. PRACT.

RVRSVS $i fiat, vt 71. ad 223. ita diameter 1. ad aliud, reperietur perregulam 2. Num. 2. circum$erentia circuli 3 {10/71}. vel {223/71}. minor, quam vera. Igitur, vt Num. 1. dictum e$t ex eius $emi$$e {223/142}. in {1/2}. $emidiametrum producetur area circuli {223/284}. maior tamen, quam vera: Ac proinde quadratum diametri 1. _8. quinti_. quod e$t 1. ad veram circuli aream, qu{ae} maior e$t, quam {223/284}. minorem habebit proportionem, quam ad {223/284}. Cum ergo $it 1. ad {223/284}. vt 284. ad 223. (Nam quia ex propo$. 2. Minutiarum, eadem e$t proportio Numeratoris 223. ad denomi- natorem 284. qu{ae} minuti{ae} {223/284}. ad $uum integrum 1. erit conuertendo, vt 284. ad 223. ita 1. ad {223/284}.) habebit quoque quadratum diametri 1. ad aream veram circuli minorem proportionem, quam 284. ad 223. quod e$t propo$itum. Con- $tat ergo $ecunda etiam pars propo$itionis.

PROPOSITIO III.

PROPORTIO quadrati à circumferentia circuli cuiu$uis de$cripti ad circuli aream maior e$t, quam 892. ad 71. minor autem, quam 88. ad 7.

QVONIAM enim circumferentia cuiu$uis circuli ad circumferentiam al- _1. hui{us}_ _Num. 3_. terius circuli e$t, vt diameter ad diametrum: erit quoque quadratum circum- ferentiæ ad quadratum circumferenti{ae}, vt quadratum diametri, ad quadratum _22. $exti_. diametri. Sed vt quadratrum diametri ad quadratum diametri, ita e$t circulus _2. duodec_. ad circulum. Igitur erit quadratum quo que circumferenti{ae} ad quadratum cir- cumferenti{ae}; vt circulus ad circulum: Et permutando quadratum circumfe- renti{ae}, ad $uum circulũ, vt quadratum alterius circumferenti{ae} ad $uum circu- lum. Po$ita autem circumferentia alicuius circuli 1. proportio quadrati circum- ferenti{ae} illius circuli ad circulum maior e$t, quam 892. ad 71. minor verò, quàm 88. ad 7. Igitur & proportio quadrati circumferenti{ae} cuiuslibet alterius circuli ad ip$um circulum maior erit, quam 892. ad 71. minor autem, quam 88. ad 7.

QVOD autem proportio quadrati ex circumferentia 1. de$cripti, ad $uum circulum maior $it, quam 892. ad 71. minor verò, quam 88. ad 7. $ic demon$tra- bimus. Quoniã $i fiat, vt 223. ad 71. ita data circumferentia 1. ad aliud, diameter procreatur {71/223}. maior, quam vera, vt ex 3. regula Num. 2. con$tat. fit vt {1/2}. $e- mi$sis circumferenti{ae} ducta in {71/446}. $emi$$em diametri inuent{ae} producat aream circuli {71/892}. vera maiorem, vt Num. 1. dictum e$t. Igitur quadratum circumfe- _8. quinti_. renti{ae} 1. quod e$t 1. ad veram aream circuli, qu{ae} minor e$t, quam {71/892}. maiorem proportionem habebit, quam ad {71/892}. Vt autem 1. ad {71/892}. ita e$t, ex propo$. 2. minutiarum, & conuertendo, 892. ad 71. Igitur & quadratum circumferentiæ 1. ad veram circuli aream maiorem proportionem habebit, quam 892. ad 71 quod e$t propo$itum. Vera ergo e$t prior propo$itio nis pars.

RVRSVS, quia $i fiat, vt 22. ad 7. ita data circumferentia 1. ad aliud, diame- ter producitur {7/22}. minor quam vera: fit vt {1/2}. $emi$sis circumferenti{ae} ducta in {7/44}. $emi$$em diametri inuentæ producat aream circuli {7/88}. vera minorem, vt ex iis, con$tat, quæ Num. 1. diximus. Igitur quadratum circumferenti{ae} 1. quod e$t _8. quinti_. 1. ad aream veram circuli, quæ maior e$t, quam {7/88}. minorem habebit proportio- nem, quam ad {7/88}. Vtautem 1. ad {7/88}. ita e$t, ex propo$itione 2. Minutiarum, [227]LIBER QVARTVS. & conuertendo, 88. ad 7. Ergo etiam quadratum circumferentiæ 1. ad aream cir- culi minorem proportionem habebit, quam 88. ad 7. quod e$t propo$itum. Ve- ra igitur etiam e$t po$terior pars propo$itio nis.

4. HIS ita demon$tratis, $equunturiam quatuor regulæ, per quas aream cir- culi propo$iti $iue maiorem, $iue minorem vera, vel ex $ola diametro, vel ex $o- la circumferentia cognita conijcere licebit.

I. EX diametro aream circuli vera maiorem inue$tigare.

_Fiat vt 14. ad 11. ita quadratum datæ diametri ad aliud. Product{us} enim numer{us}_ _dabit aream circuli veramaiorem_. Cum enim maior $it proportio quadrati dia- _2. Num. 3_. metri ad aream circuli, quam 14. ad 11. Sit autem quadratum diametri datæ ad a- ream inuentam, vt 14. ad 11. erit quo que maior proportio quadrati diametri da- _10. quinti_. tæ ad veram aream circuli, quam ad aream inuentam. Ac proinde vera circuli area erit minor, quaminuenta: hoc e$t, area inuenta maior erit, quam vera.

II. EX diametro aream circuli vera minorem inue$tigare.

_Fiat vt 284. ad 223. ita quadratum datæ diametri ad aliud.’ Numer{us} enim procrea-_ _t{us} aream circuli vera minorem offeret_. Cum enim minor $it proportio quadrati _2. Num. 3_. diametri datæ ad aream circuli, quam 284. ad 223. $it autem quadratum diametri datæ ad aream inuentam, vt 284. ad 223. erit quo que minor proportio quadrati _10. quinti_. diametri datæ ad veram aream circuli, quam ad areã inuentam: Atque idcirco vera area circuli maior erit, quaminuenta, hoc e$t, inuenta area erit minor, quam vera.

III. EX circumferentia aream circuli vera maiorem colligere.

_Fiat vt 892. ad 71. ita quadratum datæ circumferentiæ ad aliud. Procreat{us} nam-_ _que numer{us} aream circuli vera maiorem indicab<007>t_. Cum enim maior $it propor- _3. Num. 3_. tio quadrati circumferentiæ ad aream circuli, quam 892. ad 71. Sit autem quadra- tnm datæ circumferenti{ae} ad aream inuentam vt 892. ad 71. erit quoq; maior pro- portio quadrati datæ circumferentiæ ad veram aream circuli, quam ad aream in- uentam: ideo que vera circuli area minor erit, quam inuenta; hoc e$t, inuenta _10. quinti_. area maior erit, quam vera.

IV. EX circumferentia aream circuli vera minorem concludere.

_Fiat vt 88. ad 7. ita quadratum circumferentiæ datæ ad aliud. Numer{us} namque,_ [228]GEOMETR. PRACT. _qui gignitur, erit area circuli minor, quam vera_. Cum enim minor $it proportio _3. Num. 3_. quadrati circumferentiæ datæ ad aream circuli, quam 88. ad 7. $it autem quadra- tum circumferentiæ datæ ad aream inuentam, vt 88. ad 7. erit quoq; minor pro- portio quadrati datæ circumferentiæ ad veram aream circuli, quam ad areamin- uentam: Ac proinde area circulivera erit maior, quam inuenta: hoc e$t, area _10. quinti_. inuenta minor erit, quam vera.

5. OMNES hæviæ, quibus area circuliin quiritur, pendent ex proportione circum$erentiæ circuliad diametrum, quam Archimedes inuenit e$$e quid\~e mi- norem tripla $e$qui$eptima, maiorem verò tripla $uperdecupartiente $eptuage- $imas primas: ac proinde cum hæproportiones accuratæ non $int, nece$$e e$t, aream inuentam vel veram magnitudinem circuli $uperare, vel ab ea deficere, vt ex $uperioribus regulis liquet. Et quamuis differentia inter veram aream, at- queinuentam in paruis circulis, perexigna $it, in magnis tamen circulis neglig\~e- _Accuratior_ _proportio dia-_ _metri ad c<007>r-_ _cumferentiã_. da non videtur. Quamobrem quimagis accuratam circuli aream de$iderat, a$- $umat proportionem diametri ad circumferentiam verò propinquiorem, quàm po$teriores Geometræ, \~p$ertim Ludolphus à Collen, & Chri$tophorus Gru\~e- bergerus inuenerunt, vt $equitur.

Diameter # Circum$erentia maior quam vera 100000000000000000000. # 314159265358979323847. Diameter # Circumferentia minor quam vera 100000000000000000000. # 314159265358979323846.

Ita vt proportio circumferentiæ ad diametrum 3 {14159265358979323847/100000000000000000000}. maior, quam vera, denominetur ab hoc primo numero, quæ minor e$t, quam tripla $e$qui$e- ptima. Proportio verò minor, quam vera, de- 3 {14259265358979323846/100000000000000000000}. nominetur ab hoc $ecundo numero quæ ma- ior e$t, quam tripla $uperdecupartiens $eptua- ge$imas primas: qui denominatores habentur, $i vtraque circumferentia per diametrum diuidatur.

ITAQVE $i fiat, vt diameter prædicta ad circum$erentiam vera maiorem, ita _Accur atior_ _inuentio cir-_ _cumferentiæ_ _ex data dia-_ _metro: & dia-_ _metri ex data_ _circumferen-_ _tia_. diameter alicuius circuli data ad aliud, reperietur circumferentia maior, quam vera, minus tamen differens à vera, quam illa Archimedis, quæ Num. 2. exregu- la 1. inuenta fuit. Siautem fiat, vt eadem diameter prædicta ad circumferentiã vera minorem, ita data diameter alicuius circuli ad aliud, reperietur circumfer\~e- tia minor, quam vera, magis tamen ad veram accedens, quam illa Archimedis, quæ Nu. 2. exreg. 2. inuenitur. Econtrario verò, $i fiat vt prædicta circumferen- tia minor, quam vera, ad diametrum, ita circũferentia alicuius circuli data ad ali- ud, prodibit diameter maior quam vera: Si autem fiat, vt circumferentia prædi- cta maior, quam vera, ad diametrum, ita circumferentia alicuius circuli data ad aliud, proueniet dameter minor, quam vera. Vtraq; tamen diameter inu\~eta ma- gis ad veram accedet, quã illa Archimedis, quæ Nu. 2. per reg. 3. & 4. inu\~eta fuit.

[229]LIBER QVARTVS.

INVENTA circumferentia ex diametro, vel diametro ex circumferentia, re- perietur area circuli, vt Num. 1. tra ditum e$t: $i nimirum $emidiameter in $emicir- cumferentiam ducatur: vel tota circumferentia in $emi$$em $emidiametri: vel deniq; tota diameter in quartam partem circumferentiæ. quæ quidem area mi- nus à vera di$tabit, quam illa, quæ ex proportione Archimedis inuenitur. Sed quia diffi cilius e$t per magnos numeros calculum in$tituere, quam per minores, v$us artificum obtinuit, vt proportio Archimedis ad calculum ad hibeatur. Quã- do tam\~e de$ideratur accuratior calculus, vtendum erit po$teriori hac propor- tione Ludolphi, præ$ertimin maioribus circulis.

DE AREA SEGMENTORVM CIRCVLI. CAPVT VIII.

1. SIT primum propo$itus $ector circuli ABCD, comprehen$us duabus $e- midiametris AB, AD, &arcu BCD. Huius aream ita explorabimus. Si tam $emidiameter AB, nota $it, nimirum palmorum 7. quam arcus B C D, palmorum videlicet 3 {2/3}. ducatur $emidiameter 7. in {11/6}. id e$t, in $emi$$em arcus, Produ- ctus enim numerus 12 {5/6}. palm. erit area $ectoris ABCD, vt demon$trabimus. Si autem neque $emidiameter AB, ne que perip heria BCD, data $it, men$uranda erit $emidiameter aliqua men$ura nota, & $ecundum eandem men$uram inuenienda circum$er\~etia cir- culi per regulas antecedentis capit. necnonrecta BD. Deinde $iat, vt AB, nota in a$$umpta men$u- ra ad $inum totum 100000. ita BD, nota in eadem men$ura a$$umpta ad aliud. Numerus enim pro- creatus dabit rectam B D, cognitam in partibus $i- nus totius. Huius autem medietas $inus erit $emi$sis arcus B D: ac proinde ex tabula $inuũ $emi$sis BC, in gradib. nota erit, ideoq; totus arcus BD, nõ ignora- bitur. Et quiatota circuli circumferentia nota facta e$t in a$$umpta men$ura: $i fiat vt grad. 360. ad totam circumferentia in a$$umpta men$ura cognitam, ita ar- cus BD, in gradibus cognitus ad aliud, cogno$cetur idem arcus B D, in men$ura a$$umpta. Quare, vt prius, area $ectoris A B C D, reperietur. Po$lent quoque gradus in arcu BD, contenti inue$tigari beneficio quadrantis alicuius in gradus diui$i, adhibita doctrina cap. 2. lib. 1. Nume. 10. tradita, vt minuta etiam cogno- $cantur, quando in arcu BD, vltra gradus aliqua particula $upere$t.

AREAM porro $ectoris produci ex $emidiametro in $emi$$em arcus $ectoris, $ic demon$tro. Sit quadrans B E, & $emicirculus BEF. Et quoniam e$t, vt ar- _33. $exti_. cus B D, ad quadrantem BE, ita $ector ABCD, ad $ectorem ABDE: erit quo que ex $cholio propo$. 22. lib. 5. Eucli. vt arcus BD, ad quadruplum quadrantis BE, hoc e$t, ad totam circumferentiam, ita $ector A B C D, ad quadruplum $ectoris A B D E, hoc e$t, ad totum circulum. Vt autem arcus BD, ad totam circum- _15. quinti_. ferentiam, ita e$t BC, $emi$sis arcus BD, ad BEF, $emi$$em totius circumferentiæ. Igitur erit quo que vt B C, ad B E F, ita $ector A B C D, ad totum circulum. _1. $exti_. Sed vt B C, ad B E F, ita e$t rectangulum $ub A B, B C, ad rectangulum $ub AB, BEF. Ergo erit quoq; $ector ABCD, ad totũ circulum, vtrectangulum $ub AB, BC, ad rectangulum $ub AB, BEF. Cum ergo vt cap. 7. Num. 1. tradidimus, [230]GEOMETR. PRACT. circulus æqualis $itrectangulo $ub AB, BEF, erit quo que $ector A B C D, re- _14. quinti_. ctangulo $ub AB, BC, æqualis. quod erat demon$trandum.

EADEM ratione procreabitur $ector A B F D A, ex $emidiametro A B, in $e- mi$$em arcus BFD.

2. SIT deinde $egmentum BCD. Inuento centro A, arcus B C D, & co- _25. tertij_. gnitis per aliquam men$uram lateribus trianguli A B D, & arcu B C D, in eadem men$ura, vt Num. 1. diximus, inue$tigetur tam area $ectoris ABCD, quam trian- guli ABD. Hæc enim detracta ex illa relinquet aream $egmenti propo$iti BCD.

3. SIT præterea figura lenticularis duobus arcubus G H I, GKI. contenta. Ducta recta GI, inquiratur, vt Nu. 2. docuimus, vtriu$que $egmenti GHI, GKI, area. Summa enim ex duabus hi$ce areis conflata, erit area propo$itæ figuræ GHIK. Quod $i $egmenta GHI, GKI, $int æqualia, $atis erit vnius areaminue- $tigare. Hæc namque duplicata dabit propo$itæ figuræ GHIK, aream.

4. NON aliter metiemur figuras ex varijs circulorum $egmentis coagmen- tatas, $iue omnes circumferentiæ extror$us vergant, $iue intror$um, $iue partim intror$um, & partium extror$um. Vtin tribus his figuris, $i arcubus $ubten- dantur chordæ, metiemur in prima quadrilaterum ABCD, vt cap. 1. vel 3. do cui- mus: & $egmenta AEB, BFC, CGD, DHA, vthoccap. Num. 2. traditũ e$t. Sie- nim hæc $egmenta quadrilatero adijciantur, quod omnia extror$um tendant, con$labitur area figuræ A E B F C G D H, ex quatuor arcubus compo$itæ.

IN $ecunda autem metiemur pentagonum ABCDE, per ea, quæ cap. 4. $cri- pta $unt: Ex quo $i dememus quinque $egmenta intror$um vergentia, quæ qui- dem ex ijs, quæ Num. 2. huius cap. $crip$imus, cogno$centur, reliqua fiet area $i- guræ A F B G C H D I E K, ex quinque arcubus conflatæ.

IN tertia denique pentagono A B C D E, adij ciemus tria $egmenta, A F B, A G E, C H D, extror$um vergentia, & ex compo$ito numero duo $egmenta B I C, D K E, intror$um vergentia tollemus, vt area relinquatur figuræ AFBIC- HDKEG, ex quinque arcubus compo$itæ. Atque hoc modo agrum quantum- uis irregularem metirilicebit.

5. SIT denique in prima figura huius cap. $egmentum circuli LMON, com- prehen$um duabus rectis L M, N O, & duobus arcubus LN, MO. Exploretur vt Num. 2. declaratum e$t, area vtriu$que $egmenti P L M, P N O. Minor enim area P N O, detracta ex maiori PLM, reliquam $aciet aream propo$iti $egmenti L M O N.

6. VT quartus hic liber concludatur, lubet hic app\~edicis loco regulas qua$- dam alias à no$tro in$tituto non alienas $ubiungere.

[231]LIBER QVARTVS. I.

DATA circuli area, circumferentiam, ac diametrum cogno$cere.

FIAT vt 7. ad 88. ita data area ad aliud. Productus enim numerus erit qua- dratum circumferentiæ vero maius, vt ex 4. reg. Num. 4. cap. 7. liquet. Radix ergo quadrata numeri producti dabit circumferentiam vera maiorem. Quod $i fiat, vt 71. ad 892. ita data area ad aliud, gignetur quadratum circumferentiæ ve- to minus, vt con$tat ex 3. reg. Num. 4. capit. 7. Ac proinde eius radix quadrata circumferentiam vera minorem indicabit.

FIAT rur$us, vt 223. ad 284. ita area propo$ita ad aliud. Procreatus nam- que numerus erit quadratum diametri verò maius, vt ex 2. reg. Num. 4. cap. 7. per$picuum e$t. Radix ergo quadrata numeri producti diametrum exhibebit vera maiorem. Quod $i fiat, vt 11. ad 14. ita area data ad aliud, reperietur qua- dratum diametri verò minus, vt ex reg. 1. Num 4. cap. 7. colligitur. Ac proinde tadix eius quadrata diametrum offeret vera minorem.

II.

DATO arcu cuiu$uis circuli, diametrum circuli in numeris inue$ti- gare.

SIT datus arcus A B C. Ducta chorda A C, $ectaque bifariam in F, ducatur _coroll. 1._ _tertij_. per F, perpendicularis FB, quæ per centrum circuli tran$ibit, ideo querectan- gulum $ub C F, A F, hoc e$t, quadratum ex A F, æquale eritre- ctangulo $ub B F, & reliqua portione diametri. Si igitur A F, 35. _tertij_. FB, per aliquam men$uram fiant notæ, & quadratus numerus rectæ A F, diuidatur per F B, prodibit reliqua portio diametri F D, quæ addita perpendiculari FB, conficiet totam diametrum BD, notam in eadem men$ura, in qua A F, FB, cognitæ $unt.

GEOMETRICE eadem portio FD, reperietur, $i duabus F B, A F, inueniatur tertia proportionalis F D: propterea quod ex $cholio pro- po$. 13. lib. 6. Eucl. AF, media proportionalis e$t inter diametri $egmenta.

III.

DATIS diametris duorum circulorum, vel circumferentiis: Aut duo- bus lateribus homologis duarum figurarum $imilium, $imilium, $imiliterq; po- $itarum: quam proportionem proportionem circuli, vel figuræ inter $e habeant, co- gno$cere.

QVONIAM circuli, & figuræ $imiles $imiliterque po$itæ, habent duplica- tam proportionem diametrorum, vel circumferentiarum, & laterum homolo- gorum: $i maior diameter, vel circumferentia per minorem, & maius latus ho- mologum per minus diuidatur, prodibit denominator proportionis, quam ma- ior diameter, circumferentiaue ad minorem, vel maius latus homologum ad mi- nus habet. Siigitur hic denominator in $e ducatur, producetur denominator [232]GEOMETR. PRACT. duplicatæ proportionis, quam videlicet circulus, vel figura ad minorem habet Vt $i diameter vnius circuli $it 56. & circum$erentia 176. Alterius autem circuli diameter 14.| & | circumferentia 44. Diui$is 56. per 14. vel 176. per 44. fit Quo- tiens 4. qui ductus in $e producit 16. denominatorem proportionis maioris cir- culi ad minorem. Eandemque proportionem habebitfigura ad minorem $imi- lem, $imiliter que po$itam, $i latera homologa $int 56. & 14. vel 176. & 44.

IV.

DATIS pluribus circulis, quorum diametri, vel circumferent<007>æ co- gnitæ $int: Item pluribus figuris $imilibus $imiliterque po$itis, quarũ latera homologa $int nota: Inuenire diametrum, vel circumferenti- am, cuius circulus omnibus circulis propo$itis æqualis $it. Item latus reperire, cuius figura $imilis, $imiliterque po$ita æqualis $it omnibus propo$itis figuris.

MVLTIPLICENTVR diametri, vel circumferentiæ, aut latera homologa in $e, & numeri producti in vnam $ummam colligantur. Radix enim quadrata huius $ummæ erit diameter, circumferentiaue, aut latus homologum quæ$itum. Verbigratia, $i $int quatuor diametri, circumferentiæue circulorum, autlatera homologa $imilium figurarum, $imiliter que po$itarum, 84. 3. 4. 12. atq; in $e mul- tiplicentur, gignentur numeri 7056. 9. 16. 144. quorum $umma 7225. Radix er- go quadrata huius $ummæ 85. erit diameter, circumferentiaue circuli, aut latus homologum, quod quæritur: ita vt circulus, cuius diameter, vel circumferen- tia e$t 85. autfigura $upra rectam 85. $imilis, $imiliterq; po$ita figuris datis, æqua- lis $it quatuor circulis, aut figuris propo$itis. Nam cum quadratum 7225. radicis _2. duodec_. 85. æquale $it quatuor quadratis 7056. 9. 16. 144. radicũ 84. 3. 4. 12. Circuli au- tem eandem habeant proportionem, quam quadrata diametrorum: ac proin- de quam quadrata circumfer\~etiarum; quod circumferentiæ diametris $int pro- portionales. Item figuræ $imiles, $imiliter que po$itæ inter $e $int, vt quadrata laterum homologorum, propterea quod tam quadrata, quam figuræ habent _20. $exti_. duplicatam proportionem laterum: erit quo que tam circulus, cuius diameter, circumferentiau\~e 85. æqualis quatuor circulis, quorum diametri circumferen- tiæue 84. 3. 4. 12. quam figura $upra latus 85. $imilis $imiliter que po$ita, quatuor figuris, quarum lateta 84. 3. 4. 12. æqualis, quod e$t propo$itum.

V.

AREAM propo$itæ Elip$is indagare.

LVBET denique librum hunc quartum duobus problematibus terminare, quæ ab Archimede Syracu$ano accuti$simè inuenta $unt, ac demon$trata. Vnũ e$t de area Ellip$is; alterum de area Parabolæ. Sit ergo Ellip$is A B C D, cuius maior diameter BD, & minor AC, $ecans maiorem in E, bifariam. Inueniatur _13. $exti_. HI, media proportionalis inter BD, & AC: & circuli circa diametrum HI, de$cri- pti area in quiratur, per ea, quæ c. 7. huius lib. $crip$imus. Dico hanc aream areæ [233]LIBER QVARTVS. Ellip$is ABCD, e$$eæqualem. Quoniam enim e$t, vt BD, ad AC, ita quadratum _coroll. 20._ _$exti_. ex BD, ad quadratũ ex ex HI. Vt aut\~e qua- dratum ex B D, ad quadratum ex HI, ita e$t _2. duodec_. circulus diametri B D, ad circulum diametri HI. Igitur erit quoq;, vt BD, ad AC, ita circu lus diametri B D, ad circulum diametri HI. Cũ ergo per propo$itionem 5. Archimedis de Conoidibus, & $phæroidib. $it quoq;, vt maior diameter BD, ad minorem AC, ita cir- culus diametri BD, ad Ellip$im ABCD; _c_ha- _11. quinti_. bebit circulus diametri BD, eandem propor- tionem ad circulum diametri HI, & ad Ellip$im ABCD. Ideoque area circuli _9. quinti_. diametri HI, areæ Ellip$is ABCD, æqualis erit. quod erat demon$trandum.

VI.

AREAM propo$itæ parabolæ inue$tigare.

SIT data parabola ABC, cuius ba$is AC, & axis B D, diuidens ba$em bifari- amin D, & vertex B. In$cribatur parabolæ triangulum A B C, eandem habens ba$em, ac verticem cum parabola. Producta autem ba$e A C, $umatur CE, ter- tia pars ip$ius A C: ita vt AE, ip$ius A C, $it $e$quitertia. Iungatur que recta E B. Inquiratur denique per cap. 2. huius libr. area triãguli ABE. quam dico e$$e æqua- lem areæ parabolæ A B C. Quoniã enim e$t, vt A E, ad A C, ita triangulum ABE, ad _1. $exti_. triangulum A B C: E$t autem A E, ip$ius A C, $e$quitertia, ex con$tructione; erit quo que triangulum ABE, trianguli ABC, $e$quitertium. Cum ergo, vt Archimedes in lib. de Quadratura paraboles demõ$tra uit, parabola quo que ABC, trianguli A- _11. quinti_. BC, $it $e$quitertia: habebunt triangulum A B E, & parabola ABC, ad trian- _11. quinti_. gulum A B C, eandem proportionem. Ideoque area trianguli A B E, areæ paraboles ABC, æqualis erit. quod erat o$tendendum.

FINIS LIBRI QVARTI. [234] GEOMETRIÆ PRACTICÆ LIBER QVINTVS. AREAS Solidorum, corporumue per$crutans.

SVPEREST tertia magnitudin{is} $pecies, quæ corpora $olidaue cõ- plectitur. Et quia initio lib. _4._ dixim{us}, corpora metienda e$$e per corpu$cula cubica: ita vt quando dicitur corp{us} aliquod continere _1000._ plam@s, intelligendum $it, _1000._ cubos æquales, quorum $inguli latera habent vni palmo æqualia, aream illi{us} corpor{is} explere: docendum iam erit hoc lib. qua ratione cuiu$cunque corpor{is} areainue$tigetur, hoc e$t, numer{us} corpu$culorum cubicorum in eo contentorum. Præcipua autem corpora, de qui- b{us} acturi $um{us}, $unt Parallelepipeda, Pri$mata, cubi, Pyramides, Fru$tapyra- midum, Cylindri, Coni, Fru$ta Conorum, $phæræ, $phærarum portiones, quin{que} corpora regularia, videlicet Tetraedrum, Hexaedrum $iue cub{us}, Octaedrum, I- co$aedrum, Dodecaedrum, quæ omnia lib 11. ab Euclid. definita $unt. H{is} ad- iungem{us} nonnulla corpora vacua, & alia quædam irregularia.

DE AREA PARALLELEPIP EDO- rum, Pri$matum, & Cylindrorum. CAPVT I.

PARALLELEPIPEDVM e$t figura $olida $ex figuris quadrilateris, qua- _30. defin. vn-_ _dec_. rum, quæ ex aduer$o, parallelæ $unt, contenta. Huiu$modi figuram $oli- dam exprimit columna aliqua quadrilatera vniformis cra$sitiei. Vt figura $olida A B C D E F G H, in qua tam duo plana oppo$ita ABCD, EFGH, quam [235]LIBER QVINTVS. duo A D E H, B C F G, & duo ABGH, DCFE, parallelogramma $unt inter $e parallela, & æqualia, dicitur parallelepipedum, Huius area ita inue$tigabitur. _Area paralle-_ _lepipedirectã-_ _guli_. Sit primò propo$itum parallelepipedum rectangulum habens omnia $ex pa- rallelo gramma rectangula, ac proinde omnes eius angulos $olidos rectos: $it- que longitudo ba$is AB, palm. 3. latitudo AD, palm. 2. & altitudo AH, palm. 4. Ducatur ergo latitudo 2. in longitudinem 3. vt producatur ba$is palmorum 6. quadratorum, vt lib. 4. cap. 1. traditum e$t. Deinde ba$is hæc 6. palmorum ducatur in altitudinem 4. Numerus enim productus 24. indicabit in parallele- pipedo contineri 24 cubos, quorũ $ingula latera $ingulos palmos complectun- tur, quod ita planum faciemus. Exponatur $eor$um rectangulum I K L M, æ- quale ba$i ABCD, intelligaturque altitudo per- pendicularis L N, 4. palm. Si igitur ducatur la- tus I M, palm. 2. in IK, plam. 3. producetur area ba$is palmorum quadratorum 6. $upra quæ $i concipiantur extructi 6. cubiæquales, imple- bunt ij parallelepipedum v$q; ad primum pal- mum L Q, altitudinis. Si deinde alij 6. cubi æ- quales prioribus $uperimp onantur, implebit@r parallelepipedum v$q; ad $ecun- dum palmum altitudinis QP. Et alij 6. @ubi æquales parallelepipedum v$q; tertium palmum P O, altitudinis implebunt. Denique alij 6. cubi appo$iti to- tum parallelepipedum explebunt v$que ad quartũ altitudinis palmum O N. Con$tat ergo in toto parallelepipedo exi$tere toties 6. cubospalmares, quoties palmus in altitudine continetur, hoc e$t cubos 24.

2. INTELLIGATVR deinde parallelepipedum ABCE, cuius ba$es ABCD, _Area paralle-_ _lepipedi nõre-_ _ctanguli_. EFGH, $int Rhombi, vel Rhomboides, ac latera AH, DE, DE, BG, CF, ad ba- $em A B C D, recta, ita vt altitudo $it A H. Primum ergo inquiratur area ba$is ABCD, vt lib. 4. cap. 3. Num. 1. docuimus. Hæc deinde in altitudinem AH, du- catur. Productus namq; numerus erit parallelepipedi area. Nam $i fiat rectan- gulum IL, ba$i AC, æquale, & $upra illud concipiatur parallelepipedũ rectan- gulũ, cuius altitudo LN, altitudini AH, $it æqualis erit hoc parallelepipedum _31. duodec_. parallelepipedo ACE, æquale. Cum ergo parallelepipedum, cuius ba$is rectan- gulum IL, & altitudo LN, producatur ex altitudine LN, in ba$em IL, vt o$ten- $em e$t, producetur quoque parallelepipedum ACE, ex altitudine AH, in ba- $em AC, ba$i IL, æqualem.

SI nullum latus parallelepipedi rectum e$t ad ba$em, demittenda erit ex ali- quo angulo $upremi parallogrammi ad planum, in quo ba$is, linea perpendi- cularis, pro altitudine parallelepipedi, eaque diligenter metienda. Sinamq; area ba$is inue$tigetur vel per cap. 1. lib. 4. quando e$t rectangula, vel per cap. 3. eiu$dem lib. quando non e$trectangula, eaque in altitudinem inuentam duca- tur, producetur area propo$iti parallelepipedi. Nam $i $upra ba$em intelligatur parallelepipedum rectum eiu$dem altitudinis cum propo$ito parallelepipedo, _29. vel 30._ _vndec_. erunt duo hæc parallelepipeda inter $eæqualia. Con$tat aut\~e ex Num. 1. & 2. parallelepipedum rectum gigni ex ductu bafis in altitudinem.

3. CVBVS, qui etiam parallelepipedum quoddam e$t rectangulum, eo dem _Area c ubi_. modo producitur, nimirum ex latere in $e, & iterum in productum. Vt $i latus cubi $it 10. erit eius area 1000. quod decies decem decies procreent 1000.

_13. defin._ _vndec_.

4. PRISMA e$t figura $olida, quæplanis continetur, quorum aduer$a duo [236]GEOMETR. PRACT. $unt & æqualia, & $imilia, & parallela; alia verò parallelogramma. Vt e$t $o- lidum ADF, cuius ba$es $unt pentagona ABCDE, FGHIK, parallela, & æqua- lia. Hanc figuram $olidam repræ$entat columna aliqua laterata æqualis cra$si- tudinis, cuiu, ba$es oppo$itæ $unt æquales, $imiles, ac parallel{ae}, $iue hæ triangu- la $int, $iue quadrangula, $iue pentagona, &c. Ex quo fit, vt pri$ma quodcun- que ambiant tot parallelo gramma, quot latera, vel anguli in vnoquo que op- po$itorum planorum reperiuntur. Vt propo$itum pri$ma ambiunt quinque parallelogramma ABGF, BCHG, CDIH, DEKI, EAFK. Area porro cuiusli- _Area pri$ma-_ _t{is}, tam recti,_ _quam obliqui._ bet pri$matis inuenietur, $i area ba$is inquiratur, atque in altitudinem ducatur. Nam $i concipiatur parallelepipedum eiu$dem altitudinis cum pri$mate, habens ba$em, rectan- gulũ ba$i pri$matis æquale; erit hoc parallele- _2. coroll. 7._ _duodec._ pipedum pri$mati {ae}quale. Cũ ergo parallelepi- pedũ producatur ex $ua ba$e in altitudinem, procreabitur quoque pri$ma ex multiplicatio- ne $u{ae} ba$is in altitudinem. Area porro ba$is cogno$cetur ex iis, quæ lib. 4. $crip $imus, & altitudo pri$matis, $i eius latera re- cta non $int ad ba$em, exploranda erit, vt cap. præcedente Num. 2. altitudinem parallelepidi inue$tigandam e$$e præ@pimus.

5. CYLINDRVS e$t figura $olida æqualis cra$sitiei, quæ duobus circulis æqualibus, & æquidi$tantibus, & rotunda $uperficie inter ip$os interiecta con- tinetur, in$tar column{ae} cuiu$piam rotundæ. Vt e$t $olidum A C H, cuius ba$es $unt duo circuli ABCD, EFGH, paralleli, & æquales. Huius quo que area pro- creabitur ex multiplicatione ba$is, ex cap. 7. lib. 4. inuent{ae} in altitudinem. quod in Cylindro recto explicabitur, vt Num. 1. in parallelepipedo recto fa- ctum e$t. Nam $i verbi gratia ba$is Cylindri circularis ABCD, continet 10. pal- mos quadratos, explebunt 10. cubi palmares $upra illos 10. palmos quadratos extructi, Cylindrum v$que ad primum palmum altitudinis; at 20. cubi eundem explebunt v$que ad $ecundum palmum, &c. Quod $i Cylindrus obliquus $it, exquirenda erit eius altitudo per lineam perpendicularem ex $uperiore ba$e de- mi$$am ad planum, in quo inferior ba$is exi$tit, atque in hanc altitudinem area ba$is ex cap. 7. lib. 4. inuenta multiplicanda. Productus enim numerus dabit aream Cylindri propo$iti, cum æqualis $it Cylindro recto eandem cum illo _coroll. 11._ _duodec._ ba$em, & altitudinem habenti.

DE AREA PYRAMIDVM & Conorum. CAPVT II.

1. PYRAMIS e$t figura $olida, qu{ae} planis continetur ab vno plano ad v- _defin. 12._ _vndec._ num punctum con$tituta. Vt figura $olida A B C D E F, ad punctum F, con$tituta $upra ba$em pentagonam A B C D E, & quam ambiunt [237]LIBER QVINTVS. quinque triangula ABF, BCF, CDF, DEF, AEF, tot nimirum, quot in ba$e $unt latera, dicitur pyramis.

CONVS autem e$t figura $olida rotunda ad vnum punctum con$tituta, $u- _Area pyra-_ _mid{is}, & co-_ _ni._ pra ba$em circularem, in$tar pyramidis rotundæ, qualis e$t figura ABCDE.

TAM autem pyramidis, quam Coni area pro- ducitur ex multiplicatione ba$is in tertiã partem altitudinis. Cũ enim, vt in præcedenti cap. o$ten- dimus, ex ba$e in totam altitudinem gignatur pri$ma vel Cylindrus eandem habens cum pyra- mide, & cono altitudinem; producetur ex eadem ba$e in tertiam partem al- _$chol. 14._ _duodec._ titudinis tertia pars illius pri$matis, vel Cylindri. , Cum ergo pyramis$it tertia pars illius pri$matis, & Conus tertia pars Cylindri, liquet tam pyramid\~e, quam _corol. 7._ _duodec._ Conum produci ex ba$e in tertiam partem altitudinis. Ex quo fit, $i ba$is duca- tur in totam altitudinem, tertiam partem numeri producti, e$$e quoque aream _10. duodec._ _Areapyrami-_ _d{is}, & coni_ _aliter._ pyramidis, vel Coni. Item eandem produci ex tota altitudine in tertiam par- tem ba$is: quod hac ratione tertia pars pri$matis, vel Conigignatur.

2. BASIS porro pyramidis, $i triangularis e$t, cogno$cetur, vt lib. 4. 2. tra- ditum e$t: $i multilatera, reperietur, per ea, quæ eodem lib. cap. 3. 4. & 5. $crip$i- _1. $chol. 7._ _duodec. & 11._ _duodec._ mus. Ba$is autem Coni inue$tigabitur ex cap. 7. eiu$dem lib. At verò altitudo tam pyramidis, quam Coni, obtinebitur, $i in vertice $tatuatur planum ba$i æ- quidi$tans, ab eoque ad planum, in quo ba$is, perpendicularis demittatur, ea- _Altitudo py-_ _ramid{is}_, & _coni_. que exqui$itè men$uretur. Quamuis enim eadem hæc altitudo indagari po$sit Geo metrice, $i inclinatio vnius lateris ad ba$em, & magnitudo quoque eiu$dem lateris cogno$catur: quia tamen h{ae}c ip$a exploranda $unt materialiter per ali- quodin$trumentum, præ$tatip$am quoque altitudinem $tatim per in$trumen- tum exquirere, pr{ae}$ertim per in$trumentum partium, quod lib. 1. cap. 1. de$cri p$imus: cum inuentio illa Geometrica difficilior $it, procedatq; ex inclinatio- ne, ac latere per in$trumentum cognitis.

3. ATQVE hæc, qu{ae} diximus, intelligivolumus tam de pyramidibus, C@- ni$que rectis, quam de obliquis, & Scalenis.

DL AREA FRVSTI PYRA- midis, & Coni. CAPVT III.

1. FRVSTVM pyramidis, & Coni appello id, quod alij pyramidem decur- tatam, & Conum decurtatum dicunt. Sit ergo fru$tum pyramidis ABCDEF, cuius ba$es ABC, DEF, $int parallelæ, & $imiles, & cuius area inue$tiganda $it. Quod duobus modis fieri pote$t. Primũ cogitetur integra pyramis ABCH, cuius altitudin\~e HG, perpendicularem ad ba$em (licet pyramis actu nõ $it integrata) ita inueniem<_>9. Quoniã e$t, vt ab AB, ad AH, ita DE, ad DH, _4. $exti._ & permutando, vt AB, ad DE, ita AH, ad DH; erit quoq; diuid\~edo ($umpta AS, [238]GEOMETR. PRACT. æquali ip$i DE) vt SB, ad DE, ita AD, ad DH. Quia vero plana parallela ABC, _17. vnde_. DEF, $ecant rectas AH, GH, proportionaliter in I, G; erit quoque vt SB, ad DE, ita GI, ad IH. Siigitur fiat, vt SB, differentia inter latera homologa AB, DE, ba$ium ad DE, ita GI, altitudo Fru$ti pyramidis (quæ cogno$cetur per li- neam perpendicularem demi$$am ad ba$em ex aliquo puncto plani DEF, et- iam producti, $i opus e$t,) ad aliud, prodibit recta IH, altitudo nimirum pyra- mid<007>s DEFH: qua addita ad GI, tota altitudo GH, cognita erit. Quocirca $i per _Area fru$ti_ _pyramid{is}._ caput præcedens inueniatur area tam integræ pyramidis ABCH, quam ab$ci$- $æ pyramidis D E F H, & h{ae}c ab illa dematur, reliquum fiet Fru$tum A B C D E F.

2. NON aliter fru$tum Coni ABCD, inue$tigabitur, vt patet, $i integer Co- _Areafru$ti_ _coni._ nus intelligatur ABH, &c.

3. ALIO modo idem fru$tum tam Pyramidis, quam Coni cogno$cemus, etiam$i neque pyramis, neque conus integretur. Fiant quadrata K L M N, NOPQ, ba$ibus ABC, DEF, notis æqualia, inueniaturque inter quadrata KM, _14. $ecundi._ NP, $uperficies media proportionalis, qua- lis e$t rectangula figura OK, producto la- tere O P, ad R. Quoniam enim e$t, vt _1. $exti._ MN, ad NO, ita KM, ad NR. Item vt KN, ad NQ, ita NR, ad NP. e$tque M N, ad _7. quinti._ NO, vt KN, ad N Q: erit quadratum K M, ad rectangulum NR, vt rectangulum N R, ad quadratum N P: ideoque N R, medio loco proportionale e$t inter quadrata KM, NP. Quamobrem, $i radix quadrata ba$is ABC, notæ, id e$t, latus KN, quadrati KM, ducatur in radicem quadratam ba$is DEF, not{ae}, hoc e$t, in latus NO, quadrati N P, producetur area rectangu- li N R.

IAM vero ducatur GI, altitudo fru$ti in $ummam ex quadrato KM, hoc e$t, ex ba$e ABC, & quadrato NP, $iue ba$e DEF, & $uperficie NR, media propor- tionali inter ba$es, vel dicta quadrata collectam. Productus enim numerus triplus erit fru$ti pyramidis A B C D E F; ideoque tertia producti pars area erit prædicti fru$ti. Quoniam enim pri$ma, quod fit ex GH, altitudine pyramidis _7. duodec._ in ba$em ABC, $iue quadratum KM, triplum e$t pyramidis ABCDEFH: erit quoque parallelepipedum factum ex GI, in quadratum KM, vna cum paralle- lepipedo facto ex IH, in idem quadratum KM, triplum pyramidis eiu$dem. E$t _7. duodec._ aũt & ablatum parallelepipedum factum ex IH, in ba$em DEF, hoc e$t, in qua- dratum NP, triplum ablatæ pyramidis DEFH, Igitur & reliquum, quod fit ex _5. quinti._ GI, in quadratum KM, vna cum iis, quæfiunt ex IH, in KP, & in RM, triplum erit fru$ti reliqui ABCDEF.

4. QVIA verò æquales $uperficies A B C, K M, ad $uperficies æquales _7. quinti._ DEF, NR, eandem habent proportionem, erit permutando ABC, ad DEF, vt KM, ad NP. ideoque latus AB, ad latus DE, erit, vt latus KN, ad latus NQ, & _22. $exti._ diuidendo ($ubtracta recta AS, æquali ip$i DE, ex AB,) SB, ad DE, vt KQ, ad QN. E$t autem, vt Num. 1. demon$trauimus, vt SB, ad DE, ita GI, ad IH. Igi- tur erit etiam vt KQ, ad QN, ideoque vt MO, ad ON, ita GI, ad IH. Sed vt KQ, ad QN, ita e$t KP, ad PN: Et vt MO, ad ON, ita MR, ad RN. Igitur erit _1. $exti._ [239]LIBER QVINTVS. quoque, vt GI, ad IH, ita tam KP, ad PN, quam MR, ad RN. Contractisergo hi$ce magnitudinibus ad numeros, erit numerus factus ex GI, primò in PN, _19. $ept._ quartum, æqualis ei, quifit ex IH, $ecundò in KP, tertium. Item numerus fa- ctus ex GI, primò in RN, quartum æqualis ei, qui fit ex IH, $ecundò in MR, ter- tium: Ac propterea duo, qui fiunt ex GI, in PN, & ex GI, in RN, æquales _2. pronunc._ erunt duobus, qui fiunt ex IH, in KP, & IH, in MR. Adiecto ergo communi, qui fit ex GI, in KM, erunt tres, qui fiunt ex GI, in KM, & in PN, & in RN, æquales tribus, qui fiunt ex GI, in KM, & ex IH, in KP, & in MR. Sed hi po$teriores tres tripli $unt fru$ti pyramidis ABCDEF, vt ad fin. Num. 3. demon$trauimus. Ergo & priores tres, qui nimirum fiunt ex GI, altitudine fru$ti in KM, & in PN, & in RN, hoc e$t, in $ummam ex KM, ba$i ABC, æquali, & ex PN, ba$i DEF, æqua- li, & ex RN, media proportionali inter ba$es collectam, tripli erunt eiu$dem fru- $ti: ideoque tertia eorum pars æqualis erit areæ fru$ti. quod erat demon- $trandum.

5. EADEM ratione fru$tũ Coni ABDC, producetur ex altitudine GI, in $um- mam ex ba$e AB, & ba$e CD, & $uperficie media proportionali inter ba$es colle- ctam: vt con$tat, $i concipiantur quadrata KM, NP, ba$ibus æqualia, & proinde $u- perficies RN, media proportionalis inter ba$es, &c.

SCHOLIVM.

1. SI ea, quæ hactenus dicta $unt, rebus materialibus accommodentur, licebit _Solidit{as} mu-_ _ri._ nobis per cap. 1. metiri murum quemcunque vniformis cra$$itiei, tanquam pa- rallelepipedum quoddam, cuius longitudo eadem $it, quæ longitudo muri: lati- tudo verò eadem quæ muri latitudo: altitudo denique, $iue profunditas eadem, quæ altitudo muri.

EADEMQVE ratione metiemur fru$tum alicuius marmoris, vel alterius $axi, tanquam pri$ma quodpiam, $i vniformem habeat cra$$itiem, lateraque ad ba$es $int recta.

NON aliter $accum tritici, tanquam Cylindrum quendam, dimetiemur, plus _Solidit{as} ali-_ _cui{us} fru$ti_ _marmor{is}._ minus. Nam cum $accus non $it accuratus Cylindrus, vera eius men$ura haberi non pote$t.

2. RVRSVS per caput 2. aceruum tritici, tanquam conum aliquem, eodem modo, plus minus, metiri licebit. Itaque $i cogno$cemus, quot grana, vel libræ tritici in cubo, verbi gratia, vnius palmi contineantur, multiplicenturque grana, _Capacit{as} $ac-_ _citritici._ vel libræ vnius cubiti in numerum cuborum, qui in toto $acco, vel aceruo reperti $unt, producetur numerus granorum, vellibrarum in eodem $acco, vel aceruo exi- _Capacit{as} a-_ _ceruitritici._ $tentium.

SIC etiam, $i detur vas aliquod excauatum in modum parallelepipedi, aut Cy- lindri, $ciemus eius capacitatem, $i eius parallelepipedum interius aut Cylindrum, non $ecus, ac $i $olida figura e$$et, metiemur: ita vt $i cognitum fuerit, quot men- $uræ aquæ alteriusue liquoris in cubo, verbi gratia, vnius palmi contineantur, ignorari non po$sit, quot men$ur{ae} in cubis in toto va$e contentis comprehen- _Capacit{as} va-_ _$is excauati._ dantur, $i nimirum men$uræ vnius cubi ducantur in numerum cuborum, quos in va$e comprehendi inuenimus.

4. DENIQVE $i de$ideretur $oliditas alicuius va$is, quod tam interius, quam exterius formam habeat parallelepipedi, $eu pri$matis, Cylindriue, me- [240]GEOMETR. PRACT. tienda erit vtraque figura tuminterior, tum exterior. Si namque illa ex hac de- _Solidit{as} va$is_ _excauati._ trahetur, reliqua fiet $oliditas va$is excauati.

DE AREA QVINQVE COR- porum regularium. CAPVT IV.

1. QVINQVE tantum $unt corpora regularia, Tetraedrum, Hexaedrum, Octaedrum, Dodecaedrum, & Ico $aedrum, vt in $cholio propo$. 18. libr. 13. Euclid. demon$trauimus: quæ $ic ab Euclide libr. 11. defi- niuntur.

TETRAEDRVM e$t figura $olida $ub quatuor triangulis æqualibus, & æ- quilateris contenta. qualem figuram exprimit pyram<007>s triangularis æquila- tera.

HEXAEDRVM e$t figura $olida $ub $ex quadratis æqualibus contenta. qua- lem refert cubus, $eu parallelepipedum ba$ium quadratarum, in quo omnes tres dimen$iones $unt æquales.

OCTAEDRVM e$t figura $olida $ub octo triangulis æqualibus, & æquilate- ris contenta.

DODECAEDRVM e$t figura $olida $ub duodecim pentagonis æqualibus, & æquilateris, & æquiangulis contenta.

ICOSAEDRVM e$t figura $olida $ub 20. triangulis æqualibus, & æquilate- ris contenta.

2. CVBI $iue Hexaedri aream gigni ex multiplicatione lateris in $e, & _Area cubi_, & _Tetraedri._ iterum in productum, cap. 1. Num. 3. docuimus. Item pyramidem, $eu Tetrae- drum produci ex eius altitudine (quæ mechanicè cogno$cetur, vt c. 2. Num. 2. traditum e$t) in tertiam ba$is partem: vel ex eius ba$e in tertiam partem altitu- dinis, declara uimus cap. 2. Num. 1. Quod $i Geometricè inuenire lubeat altitu- _Altitudo Te-_ _traedri_. dinem Tetraedri, ita faciemus. Quoniam quadratum diametri $phæræ Tetrae- drum ambientis e$t, vt 2. ad 3. quod diameter $it potentia $e$quialtera lateris _13 tertiide-_ _cimi_. pyramidis: Sifiat, vt 2. ad 3. ita quadratũ lateris Tetraedri ad aliud, pro dibit qua- dratum diametri $phær{ae}, eiu$que quadrati quadrata radix diametrum ip$am ex- _2. coroll. 13._ _tertiidec._ hibebit, cuius duæ tertiæ partes altitudinem Tetraedri offerent.

3. QVONIAM verò Octaedrum diuiditur in duas pyramides $imiles, & _2. coroll. 14._ _tertiidec._ æquales, quarum ba$is communis e$t quadratum à latere de$criptum: $i vtriu$- que pyramidis inue$tigetur area, ignorari non poterit area Octaedri, cum ex _Area Octae-_ _dr<007>_. areis illarum pyramidum conflata $it. Producetur autem area illarum duarum pyramidum, $i quadratum lateris Octaedri ducatur in diametrum Octaedri, & producti numeri tertia pars capiatur. quia pro ductus ille numerus ex quadrato lateris Octaedri in eiu$dem diametrum, e$t parallelepipedum duarum illarum pyramidum triplum: propterea quod $emi$sis illius parallelepipedi eandem _coroll. 7._ _duodec._ habens ba$em, & altitudinem, cum vtralibet pyramidum, tripla e$t vnius pyra- midis. Diameter porro Octaedri, qu{ae} à diametro $phær{ae}, vel quadrati lateris. O- _Diameter_ _Octaedri._ ctaedri non differt, inuenietur, $i ex duplo quadrati lateris radix quadrata erua- [241]LIBER QVINTVS. tur; quod tam quadratum ex diametro quadrati de$criptum duplum $it qua- _$chol. 47_. _primi_. drati lateris, quam quadratum diametri $phæræ quadratilateris Octaedri. Se- mi$sis verò huius diametri, altitudo erit vtriu$uis Pyramidis. Quare $i h{ae}calti- _14. tertii-_ _dec_. tudo ducatur in tertiam partem quadrati lateris, producetur area vnius pyrami- dis, id e$t, $emi$sis Octaedri: ac proinde duplum huius pyramidis aream totius Octaedri indicabit.

4. DEINDE quia ductis ex centro Dodecaedri ad omnes eius angulos re- _Area Dode-_ _caedri._ ctis lineis, Dodecaedrum in 12. pyramides pentagonas æquales diuiditur; $i area vnius pyramidis per cap. 2. inuenta multip licetur per 12. procreabitur area to- tius Dodecaedri. Vtautem vnius pyramidis area habeatur, nece$$e e$t, & aream ba$is pentagonæ inue$tigare ex latere dato, per ea, qu{ae} lib. 4. cap. 5. $crip $imus, & pyramidis altitu dinem, vtiam docebo. Ex $uperiori plano producto demit- tatur ad planum ba$is oppo$itæ linea perpendicularis: Huius enim $emi$sis di- ligenter inqui$ita in partibus lateris Dodecaedri, per in$trumentum partium lib. 1. cap. 1. con$tructum, dabit pyramidis altitudinem qu{ae}$itam, quemadmodum & tota perpendicularis altitudinem Dodecaedri exhibet. Quamtamen Geo- metricè ita quoq; deprehendemus. Quia cubus in Dodecaedro de$criptus ea- _8. quinti_ _dec_. dem $ph{ae}ra, qua Dodecaedrum, comprehenditur, eiu$quelatus vnum angulum Pentagoni Dodecaedri $ubtendit; ideoq; eadem diameter e$t $phær{ae}, Dodecae- dri, & cubi: Sirecta $ubtendens angulum pentagoni inue$tigetur, habebitur _12. triang._ _rectil_. latus cubi: Et quia diameter $phær{ae} potentia e$t tripla lateris cubi, $i quadra- tumlateris cubi inuenti triplicetur, habebitur quadratum diametri $phær{ae}, vel _15. tertiidec_. cubi, cuius radix quadrata ip$am diametrum dabit. Cum ergo diameter Dode- caedri, & altitudo eiu$dem centra ba$ium oppo$itarum coniungens $e in centro $ecentbifariam, venabimur $emi$$em huius altitudinis, nimirum altitudinem py- ramidis qu{ae}$itam, hacratione. Concip<007>atur triangulum rectangulum, cuius ba- _Perpendicu-_ _lar{is} è centro_ _$phæræ ad ba-_ _$em Dodecae-_ _dri_. $is e$t $emidiameter Dodecaedri nota, cum tota diameter proximè cognita $it, latera verò circa angulum rectum, altitudo pyramidis, & $emidiameter circuli ba$em Dodecaedri circum$cribentis. Cum ergo $emidiameter hæc cogno$ci po$sit, ex iis, qu{ae} lib. 4. cap. 5. docuimus, cogno$cetur quoque reliquum la- tus, altitudo videlicet pyramidis, quam quærimus. Porrò $emidiameter prædi- _3. triang._ _rectil_. cti circuli pentagonum Dodecaed@i circum$cribentis ita quo quered detur no- ta. Quoniam latus pentagoni $ubtenditin eo circulo grad. 72. & latus Decago- _Semidiame-_ _ter circuls_ _pentagonum_ _Dodesaedri_ _circum$cri-_ _bent{is}_. nigrad. 36. cognita erunt hæc latera in partibus $inus totius. Si ergo fiat, vt latus pentagoni in partibus $inus totius cognitum ad idem latus notum ex hypothe- $i, ita latus Decagoni in ii$dem partibus $inus totius cogniti ad aliud, prodibit Decagoni latus <007>n men$ura lateris pentagoni cognitum. Et quia latus penta- goni pote$t latera decagoni, & Hexagoni eiu$dem circuli, $i quadratum lateris decagoni proximè cogniti detrahatur ex quadrato lateris pentagoni, reliquum _10. tertiidec_. fiet quadratum lateris Hexagoni, id e$t, $emid<007>ametri, ideo que eius rad<007>x qua- drata $emidiametrum exhibebit notam.

5. POSTREMO quia ductis ex centro Ico$aedri ad omnes eius angulos _Area Ico$ae-_ _dri_. rectis lineis, Ico$aedrum in 20. pyramides triangulares {ae}quales diuiditur; $i area vnius pyramidis per cap. 2. inuenta mult<007>plicetur per 20. gignetur to- tius Ico$aedri area ex illis 20. pyramidibus conflata. Vtautem vnius pyramidis area obtineatur, inue$tiganda primum erit area ba$is triangularis, ex <007>is, qu{ae} lib. 4. cap. 2. Num. 4. & 5. $crip$imus, Deinde altitudo pyramidis mechan<007>c{ae}, [242]GEOMETR. PRACT. hoc pacto. Ex $uperiori plano producto, hoc e$t, ex inferiori $uperficie alicu- ius plani, quod corporis $upremæ ba$i imponeretur, ad planum ba$is oppo$itæ perpendicularis demittatur. Hæc enim accuratè dimen$a altitudinem Ico$aedri dabit, eiu$que $emi$sis altitudinem pyramidis, quæ qu{ae}ritur. Quam Geome- tricè ita etiam explorabimus. Fiat pentagonum ex 5. lateribus Ico$aedri, inue- $tigetur que eius $emidiameter, & latus Decagoniin circulo illud pentagonum circum$cribente, in partibus, in quibus latus Ico$aedri datum e$t, hac $cilicet ra- tione. Concipiatur triangulum rectangulum, cuius ba$is $emidiameter dicti cir- culi, latera verò $emi$sis lateris pentagoni, hoc e$t, Ico$aedri, & perpendicularis è centro ad punctum medium dictilateris demi$$a. Ita namque cogno$cetur $e- midiameter, ex iis, quæ lib. 4. cap. 5. Num. 2. tradita $unt. Latus verò Decagoni in eodem circulo de$cripti reperietur, vt paulo ante circa finem Num. 4. di- ctum e$t. Et quia diameter $phær{ae}, $iue Ico $aedri potentia e$t quintuplainuen- _1. corol. 16._ _tertiidec_. tæ $emidiametri; $i quadratum $emidiametri inuent{ae} quintupletur, procreabi- tur quadratum diametri Ico$aedri, cuius radix quadrata diametrum offeret, ideoque & $emidiameter Ico$aedri nota erit. Vel aliter. Quoniam diameter _2. corol. 16._ _tertiidec_. $phær{ae}, id e$t, Ico$aedri, componitur ex latere Hexagoni, & duobus lateribus decagoni in circulo pentagonum ex quinque lateribus Ico$aedri compo$itum circum$cribente: erit $umma collecta ex $emidiametro illius circuli, & duobus lateribus decagoni, diametro Ico$aedriæqualis: ideo que rur$us $emidiameter Ico$aedrinota erit.

HINC patet, Orontium cum illis, qui ip$um $equuntur, decipi, qui putat, _Error Oron-_ _tii_. ex $emi$$e $emidiametri illius circuli, & ex latere decagoni componi $emiaxem Ico$aedri, hoce$t, axem, vel altitudinem pyramidis, cuius ba$is triangulum Ico- $aedri, & vertex centrum $p hæræ. Nam vt ex iis con$tat, qu{ae} proximè $crip$i- mus, eo modo componitur $emidiameter $phær{ae}, vel Ico$aedri, quæ maior e$t pr{ae}dicto axe. Semidiameter porro circuli prædictum pentagonum circum- $cribentis reperiri quo que poterit, vt ad finem Num. 4. d<007>ximus, $i nimirum quadratum lateris decagoni ex quadrato lateris dicti pentagoni, quod à late- re Ico$aedrinon differt, tollatur, & reliqui numeri radix quadrata extrahatur: propterea quodlatus pentagoni pote$t latera decagoni, & hexagoni eiu$dem _10. tertiidec_. circuli.

IAM verò cognita $emidiametro Ico$aedri, inueniemus altitudinem pyra- _Perpendicu-_ _lar{is} è centro_ _$phæræ ad ba-_ _$em Ico$aedri_. midis, cuius ba$is e$t triangulum Ico$aedri, & vertex eiu$dem centrum, hoc mo- do. Quoniam diameter Ico$aedri, eiu$demque altitudo $e$ein centro $ecant bi- fariam, concipiatur triangulum rectangulum, cuius ba$is e$t diameter Ico$aedri proximè cognita, latera verò circa angulum rectum, altitudo pyramidis, & $e- midiameter circuli ba$em Ico$aedri c<007>rcum$cribentis. Cum ergo h{ae}c $emidia- meter cogno$ci po$sit ex iis, quæ lib. 4. cap. 5. docuimus, cogno$cetur quoque 3. _triang. re-_ _ct<007>l_. latus reliquum pyramidis, videlicet altitudo, quæ inquiritur. Semidiameter porro circuli ba$em triangularem Ico$aedri circum$cribentis effi cietur hoc et- iam pacto cognita. Quoniam trianguli æquilaterilatus potentia triplum e$t _12. tertiidec._ _Semidiame-_ _ter circuli tri-_ _angulum Ico-_ _$aedricircum_ _$cribent{is}_. $emidiametri illius circuli; $i quadratum lateris Ico$aedri diuidatur per 3. erit Quotientis radix quadrata $emidiameter quæ$ita.

6. EADEM hacarte, quæ in Dodecaedro, & Ico$aedro expo$ita e$t, areas Tetraedri, cubi, & Octaedriinue$tigare licebit, $i, lineis ex eorum centris ad o- mnes angulos ductis, in pyramides æquales di$tribuantur. Tetraedrum nimi- [243]LIBER QVINTVS. rum in 4. pyramides triangulares; cubus in 6. quadrangulares; & Octaedrum in _Area Tetra-_ _edri, cub<007> &_ _Octaedri ali-_ _ter inuentæ_. 8. triangulares. Inuenta namque per cap. 2. in quolibet area vnius pyramidis, $i ea in numerum ba$iũ corporis regularis ducatur, in$urget totius corporis area. Vt autem area vnius pyramidis habeatur, inquirenda prius erit altitudo ip$ius, vt ducta in tertiam ba$is partem pyramidis aream producat. Altitudo ergo hæc in Tetraedro $ic reperietur. Quoniam diameter $phæræ Tetraedrum ambien- _13. tertij-_ _dec_. tis potentia e$t $e$quialtera lateris Tetraedri: $i Fiat, vt 2. ad 3. ita quadratum lateris Tetraedri dati ad aliud, prodibit quadratum diametri $phæræ, cuius radix _2. corol. 13._ _tertiidec._ _Perpendicu-_ _lar{is} è centro_ _$phæræ @d ba-_ _$em Tetrae-_ _dri, cubi, &_ _Octaedri_. quadrata ip$am diametrum o$tendet. Huius autem diametri $exta pars, alti- tudo erit pyramidis quæ$ita, recta videlicet perpendicularis è centro $phæræ in ba$em Tetraedri demi$$a.

IN cubo verò dicta altitudo $emi$si lateris cubiæqualis e$t, quod perpendi- cularis è centro $phæræ in ba$em cubi demi$$a æqualis $it $emi$si lateris cubi, vt liquet.

IN Octaedro denique eadem altitudo $ic deprehendetur. Quoniam dia- meter $phæræ e$t potentia dupla lateris Octaedri: $i fiat, vt 1. ad 2. ita quadratum lateris Octaedri dati ad aliud, procreabitur quadratum diametri $phæræ, vel O- _14. tertii-_ _dec_. ctaedri. Huius ergo radix quadrata dabit diametrum, ideoq; $emidiameter non ignorabitur. Hinc altitudo pyramidis quæ$ita, hoc e$t perpendicularis è centro $phæræ in ba$em Octaedri demi$$a, elicietur ea ratione, quã in Ico$aedro ad $i- nem Num. 5. explicauimus.

7. NON videtur autem omittenda alia ratio dimetiendi omnia quinq; cor- pora regularia, quæ quidem in lib. 14. Euclid. demon$trata e$t, & e$t eiu$modi. _In quot trian-_ _gula diuidan-_ _tur omn{es} ba-_ _${es} cuiu$u{is}_ _corpor{is} regu-_ _lar{is} ex earũ_ _centr{is}_. Primum quæratur $uperficies conuexa cuiu$que corporis, ex eius latere cogni- to, etiam$i nullius ba$is area inue$tigetur: hoc videlicet pacto. Quoniam quæ- libet ba$is cuiu$uis corporis diuiditur per rectas ex centro ba$is ad omnes angu- los ductas in tottriangula æqualia, quot anguli, vellatera in ba$e continentur: $i ducatur hic numerus triangulorum in numerum ba$ium corpus regulare, quod propo$itum e$t, ambientium, habebitur numerus omnium huiu$mo di triangu- @orũ in tota $uperficie conuexa contentorũ. Vt quia ba$is quadrata cubi ABCD, diui$a e$t in quatuor triangula ex centro E, continebuntur 24. eiu$modi trian- gulain 6. ba$ibus. Item quia ba$is triangularis Tetraedri, Octaedri, & Ico$ae- dri ABC, ex centro D, di$tributa e$t in 3. triangula, exi$tent in 4. ba$ibus Tetrae- dri 12. eiu$mo ditriangula, & 24. in 8. ba$ibus Octaedri, & 60. in 20. ba$ibus Ico- $cedri. Denique quia ba$is pentagona Dodecaedri ABCDE, re$oluta e$t ex c\~e- tro F, in 5. triangula, cõplectentur 12. ba$es Dodecaedri 60. eiu$moditriãgula.

DEINDE quia rectangulum contentum $ub perpendiculari è centro ba$is in latus demi$$a, & $ub vno latere, æquale e$t duobus eiu$modi triangulis, _41. primi_. propterea quod vnius duplum e$t: erit in cubo rectangulum illud duodecies $umptum toti $up erficiei cubi æquale. In Tetraedro verò $exies $umptum to- [244]GEOMETR. PRACT. tam Tetraedri $uperficiem conficiet: In Octaedro deinde duodecies acceptum _Superficies re_ _gularium cor_ _porum & per-_ _pendicular{es}_ _ba$ium_. toti $uperficiei Octaedri adæquabitur: Atin Dodecaedro, & Ico$aedro tricies $umptum $uperficiei totitam Dodecaedri, quam Ico$aedri æquale erit. Dicta au- tem perpendicularis EF, in ba$e cubi æqualis e$t $emi$silateris cubi AB, Quo- niam enim perpendicularis EF, $ecat latus AB, bifariam, e$t que ip$i AF, æqua- lis, quod anguli FAE, FEA, $emirecti $int; con$tat EF, $emi$si lateris cubi e$$e {ae}- _$chol. 26._ _primi_. qualem. Perpendicularis autem DE, in ba$e Tetraedri; Octaedri, & Ico$aedri, $emi$sis e$t $emidiametri C D. Cum ergo latus A C, $it potentia triplum $e- _6. primi_. midiametri CD: Si fiat, vt 3. ad 1. ita quadratum lateris dati AC, ad aliud, prodi- _2. coroll. 12._ _tertijdec_. bit quadratum $emidiametri C D, cuius radix quadrata ip$am C D, indicabit, e- iu$que $emi$sis perpendicularem DE, exhibebit. Perpendicularis denique FG, _12. tertijdec_. in ba$e Dodecaedrie $emi$sis e$t $ummæ ex $emidiametro AF, & latere decago- _1. quartidec_. ni circuli ABD, collectæ, quodlatus decagoni cogno$cetur, vt ad finem Nume. 4. traditum e$t.

QVIA verò $olidum, quod fit ex perpendiculari è centro cuius cumque _$chol. 20. ter-_ _tijdec_. corporis regularis ad aliquam eius ba$em ducta in tertiam partem $uperficiei i- p$ius corporis, ip$i corpori æquale e$t; $i inue$tigetur $uperficies conuexa dati _Areæ corpo-_ _rumregulari-_ _um aliter in-_ _uentæ._ corporis regularis, vt proximè docuimus, atque in tertiam eius partem ducatur altitudo vnius pyramidum, in quas corpus ip$um per rectas è centro ip$ius du- ctas diuiditur, (quæ altitudo reperietur, vt $upra tradidimus) hoc e$t, perpendi- cularis è centro corporis in eius ba$em demi$$a, procreabitur area, $iue $oliditas ip$ius corporis. Quæ etiam obtinebitur, $i dicta altitudo ducatur in totam $u- perficiem conuexam, & producti tertia pars capiatur.

8. ITAQVE vt vides, tota difficultas in corporibus regularibus dimetien- dis con$i$tit fermè totain altitudine pyramidis ba$em habentis eandem cũ cor- pore, verticem autem in centro $phæræ, exquirenda: cuius quideminuentio Ge- ometrica pernumeros mole$ti$sima e$t, propter radices $urdas, & numeros fra- ctos, quorum numeratores, denominatore$q; nimis magni$unt, adeo vt ope- ræ pretium videatur e$$e eandem mechanicè explorare, vt adinitium Num. 2. 4. & 5. diximus, præ$ertim $i ex qui$ita diligentia in ea per in$trumentum partium dimetienda adhibeatur. Sed quia non $emper in promptu habemus corpora re- gularia, vt mechanicè eam altitudinem con$equi po$simus, libetrationem quã- dam nouam, eamque facillimam hic præ$cribere, qua $ine mole$tia illa numero- rum, eadem illa altitudo per lineas inueniatur, etiam$i corpus regulare non [245]LIBER QVINTVS. ad$it, $ed $olum eius latus datum $itac cognitum. Sit ergo primo datum latus Tetraedri A B, quotcunque palmorum, con$truaturque triangulum æquilaterum A B C, pro ba$e Tetraedri: Diui$o autem latere A B, bifariam in D, iungatur recta _$chol. 26._ _primi_. C D, quæ ad AB, perpendicularis erit. Con$tructo quo que I$o$cele ABE, cuius vtrumque latus rectæ CD, æquale$it, de- mittatur ad AE, perpendicularis BF, cuius quarta pars $it F G. Dico FG, altitudinem _Altitudo py-_ _ramid{is} Te-_ _traedri_. e$$e vnius pyramidis, hoc e$t, æqualem e$- $e perpendiculari ex centro $phæræ Tetra- edro circum$criptæ ad vnam ba$em deductæ. Quoniam enim, vt ad finem Eucli- dis ex Hyp$icle demon$trauimus, E, angulus e$t inclinationis vnius ba$is Tetra- edriad alteram, e$t que EB, perpendiculari CD, æqualis: $i triangulum B E F, concipiatur circa EF, moueri, donec rectum $it ad ba$em Tetraedri, cadet pun- ctum B, in verticem Tetraedri; ac proinde perpendicularis BF, altitudo erit Te- traedri. Et quia altitudo Tetraedri duas partes tertias diamet@i $phæræ conti- _2. corol. 13_. _tertijdec_. net: $i $emidiameter ponatur 6. erit altitudo B F, 4. & $emidiameter 3. Cum ergo altitudo vnius pyramidis $it tertia pars $emidiametri, erit BG, $emidiame- _2. corol. 13._ _tertijdec_. ter, & G F, altitudo vnius pyramidis. Quam etiam inueniemus, licet I$o$celes AEB, non extruatur, hoc modo. Sumpta dH, tertia parte perpendicularis CD, exciteturad CD, perpendicularis HK, quæ ex D, adinteruallum CD, $ecetur in K. Dico HI, quartam partem ip$ius HK, e$$e altitudinem vnius pyramidis Ere- cto enim triangulo DHK, $upra ba$em Tetraedri ABC, cadet punctũ K, in ver- ticem Tetraedri, quod D K, ducta æqualis $it perpendiculari ex medio latere ad angulum ba$is oppo$itum ductæ. Ergo vt prius, HK, altitudo erit Tetraedri, & _2. corol. 13._ _tertijdec_. HI, perpendicularis ex centro $phæræ in H, centrum ba$is cadens. Nam D H, tertia pars perpendicularis CD, in centrum trianguli cadit.

SIT deinde datum latus Octaedri L M, $upra quod con$truatur triangulum æquilaterum L M N, pro ba$e Octaedri. Diui$o autem latere L M, bifariam in O, iungaturrecta N O, quæ ad L M, erit perpendicularis. Con$tructio iam _$chol. 26._ _primi_. I$o$cele QRS, $upra ba$em QR, æqualem diametro $phæræ, vel quadrati ex la- tere Octaedri de$cripti, (quæ habebitur, $i educatur perpendicularis MP, lateri L M, æqualis. Iuncta enim recta L P, diameter erit illius quadrati, vel $phæræ.) vtrum que laterum QS, RS, æquale habens perpendiculari N O; ducatur ex R, ad QS, perpendicularis RT, quæbifariam $ecetur in V. Dico T V, e$$e altitudi- _Altitudo py-_ _ramid{is} Octa-_ _edri_. nem pyramidis quæ$itam, hoc e$t, æqualem e$$e perpendiculari ex centro $ph{ae}- ræ ad vnam ba$em Octaedri cadenti. Quoniam enim, vt ad finem Euclidis ex Hyp$icle demon$trauimus, augulus QSR, in clinationem vnius ba$is ad alteram indicat, e$t que obtu$us, erit perpendicularis R T, cadens ad partes anguli acuti R S T, æqualis altitudini Octaed@i, id e$t, perpendiculariba$ium Octaedri oppo- $itarum centra connectenti, vt ex Octaedro materiali per$picuum e$t: Ac pro- pterea eius $emi$sis T V, altitudo erit pyramidis \~q$ita, quod altitudo Octaedri bifariam $ecetur in centro.

SI deturlatus cubi, $iue hexaedri, erit eius $emi$sis altitudo pyramidis quæ- _Altitudo py-_ _ramid{is} cubi_. fita: propterea quod cubialtitudo eiu$dem lateri$it æqualis.

[246]GEOMETR. PRACT.

DATVM iam $it AB, latus Dodecaedri, $upra quod extruatur pentagonum æquilaterum, & æquiangulum ABCDE, pro ba$e Dodecaedri. Iuncta autem re- cta CE, quæ latus erit cubi in Dodecaedro, & in eadem cumip $o $phæra de$cri- _2. coroll. 17._ _@rtijdec_. pti, atque lateri AB, parallela: $ecetur AB, bifariam in S, connectatur que recta S D. quæ angulum CDE, bifariam $ecabit: d ac proinde & rectam CE, bifariã, _coroll. 8._ _quintidec_. & ad angulos rectos diuidet: ideo que & anguli ad S, recti erunt. Fiat $upra CE, I$o$celes CGE, cuius vtrum que laterum CG, EG, perpendiculari SF, $itæ- _$chol. 12._ _quarti_. _4. primi_. quale. Sumptis quo que FH, FI, $emi$si lateris AB, æqualibus, erigantur ad EC, perpendiculares HK, IL, quæ ex C, E, ad interuallum FD, $ecentur in K, L, iun- ganturq; rectæ EL, CK. His paratis, fiat angulo CGE, æqualis angulus MNO, ponatur que N O, ip$i SD, æqualis: Item angulo ELK, fiat æqualis angulus N- OP, ponaturque OP, lateri AB, æqualis: ac tandem demittatur ex P, ad MN, perpendicularis PQ, quæ bifariam $ecetur in R. Dico RQ, altitudinem e$$e py- ramidis vnius in Dodecaedro. Nam quia, vt ad finem Euclidis ex Hyp$icle de- mon$trauimus, angulus C G E, in clinationem vnius ba$is ad alteram metitur, $i MN, concipiatur e$$e perpendicularis, quæ in ba$e infima ex angulo pentagoni ad medium punctum lateris oppo$iti ducitur, re$pondebit NO, perpendiculari, quæin pentagono ad illam ba$em inclinato ex eodem medio puncto ad oppo- $itum angulum ducitur: propterea quod angulum M N O, angulo inclinatio- nis CGE, & rectam NO, perpendiculari S D, æqualem po$uimus. Recta autem OP, refert latus Dodecaedri inter angulum dicti pentagoni inclinati, & angu- lũ $upremæ ba$is po$itũ: {pro}pterea {quis} recta OP, po$ita e$t æqualis lateri Dodeca- edri, & angulus NOP, angulo ELK, qui quidem æqualis e$t illi, quem dictum la- tus efficit cum perpendiculari ex angulo $upradicti pentagoni inclinatiad ba- $emin medium punctum lateris oppo$iti ductæ, vt con$tat, $i vna ba$is cubi Do- decaedro in$cripti intelligatur dicto lateri Dodecaedri $ub$trata, ita vt duo late- ra ba$is cubi $ubtendant duos angulos duorum pentagonorũ, quorum vnum ad ba$em Dodecaedri inclinatum e$t, alterum vero ò $upremum in Dodecaedro. Erit enim tuncrecta CE, æqualis rectæ duo puncta media duorum laterum di- ctorum ba$is cubi connectenti. Rectæ autem EL, CK, re$pondebunt rectis ex ei$dem punctis medijs laterum illorum ba$is cubi, ad angulos prædictorũ pen- tagonorum ductis: Ac proinde angulus ELK, æqualis erit ei, quem perpendi- [247]LIBER QVINTVS. cularis in pentagono inclinato cum prædicto latere Dodecaedri efficit. Ex quo fit punctum P, in plano $upremæ ba$is exi$tere, atque idcirco perpendicularem P Q, ad planum ba$is per M N, ductum demi$$am, æqualem e$$e altitudini Do- decaedri; eiu$que $emi$$em R Q, altitudini vnius pyramidis pentagonæ e$$e æ- qualem. Quæ omnia facil@ intelligentur, $i Dodecaedrum aliquod materiale ad- hibeatur.

DENIQVE datum $it Ico $aedri latus a b, $upra quod extruatur pentagonum æquilaterum, & æquiangulum a b c d e, pro ba$e pyramidis ex quin que ba$ibus Ico$aedri conflatæ. Iuncta autem recta c e, $eceturlatus a b, in $, bifariam, & re- cta ducatur$d, quæ vt in Dodecaedro o$tendimus proximè, perpendicularis e- rit ad vtramque a b, c e. Fiat $upra latus Ico$aedri c d, triangulum æquilaterum c d h, proba$e vna Ico$aedri; & diui$o latere c d, bifariam in k, iungatur recta h- k, quæ ad c d, erit perpendicularis. Præterea $upra c e, fiat I$o$celes c g e, cu- _$chol. 26._ _Primi_. ius vtrum que laterum c g, e g, perpendicularihk, $it æquale. Po$t hæc $upra $ d, con$tituatur triangulum $dl, cuius latus $l, perpendiculari h k, & latus dl, lateri Ico$aedri a b, fit æquale. Denique angulo c g e, fiat æqualis angulus m n o, & recta n o, perpendiculari h k, æqualis: Item angulus n o p, angulo d l s, rectaque o p, lateri Ico$aedri a b, æqualis. Dico perpendicularem p q, ad m n, demi$$am, e$$e altitudinem Ico$aedri, eiu$que $emi$$em r q, altitudinem vnius pyramidis in _Altitudo py-_ _ramid{is} Ico-_ _$aedri_. Ico$aedro. Quia enim, vt ex Hyp$icle ad finem Euclidis demon$trauimus, an- gulus c g e, metitur in clinationem vnius ba$is ad alteram, $i m n, concipiatur e$- $e perpendicularis, quæ in ba$e infima Ico$aedri ex angulo trianguli ad medium punctum lateris oppo$iti ducitur, re$pondebit n o, per pendiculari, quæ in trian- gulo ad illam ba$em inclinato ex eodem medio pũcto ad angulum oppo$itum ducitur: propterea quod angulum m n o, angulo inclinationis c g e, & rectam n o, perpendiculari h k, æqualem fecimus: Recta verò o p, referet latus Ico$ae- dri inter angulum dicti trianguli inclinati, & angulum $upremæ ba$is po$itum; propterea quod recta o p, po$ita e$t æqualis lateri Ico$aedri, & angulus n o p, angulo d l s: qui quidem æqualis e$t illi, qu\~e dictum latus efficit cum perpen- _8. primi_. diculari ex angulo $upradicti trianguli inclinati ad ba$em, in medium punctum lateris oppo$iti ducitur. E$t enim recta d s, æqualis perpendiculari ex angulo pentagoni ad latus oppo$itum ductæ, & latera sl, dl, æqualia perpendiculari [248]GEOMETR. PRACT. in triangulo inclinato, & lateri @co$aedri inter angulum $upremum pentagoni prædicti, & angulum trianguli inclinati. Ex quo fit, punctump, in plano $upre@ mæ ba$is exi$tere: ac {pro}inde perpendicularem p q, ad planũ ba$is per m n, du- ctũ demi$$am, æqual\~e e$$e altitudini Ico$aedri, e<007>u$q; $emi$$em r q, altitudini v- nius pyramidis trigoni e$$e æqualem. Quæ omnia facilè percipientur, $i adhibe- atur materiale aliquod Ico$aedrum. Inuenta porrò hocmodo altitudine pyra- midis, cogno$cenda eadem $umma diligentia e@it, beneficio in$trumentiparti- um, in partibus lateris corporis regularis propo$iti.

DE AREA SPHÆRÆ, INVENTIONE- que $uperficiei conuexæ eiu$dem $phæræ.

CAPVT V.

1. VT $phæræ aream, $oliditatemue pluribus po$simus vijs a$$equi, demõ- $tranda prius erunt nonnulla ad eamrem valdè nece$$aria, atq; vtilia. quod$equentibus 7. propo$itionibus effi ciemus.

PROPOSITIO I.

QVAM proportionem habent duæ quælibet partes aliquotæ magni- tudinis cuiu$cunque, eandem habent duæ $imiles partes alterius cu- iu$uis magnitudinis.

SIT enim A, eadem pars magnitudinis B, quæ C, magnitudinis D: Item E, ead\~e pars magnitudinis B, quæ F, ma- g@itudinis D. Dico e$$e, vt A, ad E, ita C, ad F, Quoniam enim e$t, vt A, ad B, ita C, ad D, quod vtrobiq@ eadem pro- portio $ubmultiplex po$ita $it. Item [249]LIBER QVINTVS. vt B, ad E, ita D, ad F; quod vtrobique po$ita $it eadem proportio multiplex: e- rit ex æquo, vt A ad E, ita C, ad F. quod e$t propo$itum.

IDEM $equitur $i A, & C, $intip$arum B, D, eædem partes plures non facien- tes vnam: Item, $i E, & F, earundem B, D, $int eædem partes plures non facien- tes vnam, vt {2/3}. vel {3/5}. &c. Nam $i verbi gratia A, C, $int {3/4}. ip$arum B, D, erit {1/4}. ip$ius B, ad B, vt {1/4}. ip$ius D, ad D. Igitur erunt quoq;, vt {3/4}. ip$ius B, hoc _$chol. 22._ _quinti_. e$t, ip$a A, ad B, ita {3/4}. ip$ius D, hoc e$t, ip$a C, ad D. Rur$us $i verbi gratia E, F, $int {2/3}. ip$arum B, D, erit, vt B, ad {1/3}. eiu$dem B, ita D, ad {1/3}. eiu$dem D. Acpro- _$chol. 22._ _quinti_. inde vt B, ad {2/3}. id e$t, ad E, ita D, ad {2/3}. id e$t, ad F. Quare, vt prius, erit ex æquo, vt A, ad E, ita C. ad F.

COROLLARIVM.

SEQVITVR hinc, ita e$$e {1/4}. cuiu$uis magnitudinis ad {1/3}. eiu$dem, vt e$t {1/2}. cuiu$uis alteri<_>9 magnitudinis ad {2/3}. eiu$d\~e. Quoniã. n. vt o$tendim<_>9, ita e$t {1/4}. prio- ris magnitudinis ad {1/3}. eiu$dem, vt {1/4}. po$terioris ad {1/3}. eiu$dem. Vtautem {1/4}. _1. quiuti_. po$terioris ad {1/3}. ita $unt {2/4}. ad {2/3}. hoc e$t, {1/2}. ad {2/3}. Igitur erit vt {1/4}. prioris magnitudinis ad {1/3}. eiu$dem, ita {1/2}. po$terioris magnitudinis ad {2/3}. eiu$dem.

PROPOSITIO II.

RECTANGVLVM $ub diametro, & circumferentia maximi circuli in $phæra comprehen$um, quadruplum e$t circuli maximi, & $uper- ficiei conuexæ eiu$dem $ph{ae}ræ {ae}quale.

SIT rectangulum AB, comprehen$um $ub diametro AC, & circumferentia CB, maximi in $phæra circuli. Dico rectangulum AB, quadruplum e$$e circuli maximi in $phæra, & $uperficiei conuexæ eiu$dem $phæræ {ae}quale. Sectis enim omnibus lateribus bifariam in E, F, G, H, iuncti$querectis EG, FH, $ecantibus $e$e in I, diui$um erit totum rectangulum in quatuor æqualia A I, C I, B I, D I, quodrectæ E G, F H, _33. primi_. rectis A D, A C, parallelæ $int. Ac proinderectangulum A B, rectanguli C I, quadruplum erit. E$t autem rectangulum C I, contentum $ub C E, $emidia- metro, & $emicircumferentia C F, circulo maximo, cuius nimirum diameter A C, {ae}quale, vt lib. 4. capit. 7. Nume. 1. demon$tratum e$t. lgitur rectangu- lum A B, circulimaximi quadruplum e$t. Et quia eiu$dem circuli maximi qua- drupla e$t $uperficies conuexa $phær{ae}, per propo$. 31. lib. 1. Archimedis de $ph{ae}- ra, & Cylindro: {ae}quale erit rectangulum A B, conuexæ $uperficiei, quod e- _9. quinti_. rat demon$trandum.

COROLLARIVM.

EX demon$tratione liquet, rectangulum $ub diametro cuiu$uis circuli, (et- iam$i non $it maximus in $ph{ae}ra,) & circumferentia eiu$dem, quadruplum e$$e ip$ius circuli. Eadem enim $emper demon$tratio adhibebitur.

[250]GEOMETR. PRACT. PROPOSITIO III.

EADEM e$t proportio quadrati circumferentiæ circuli maximi in $ph{ae}ra ad $uperficiem $ph{ae}ræ, qu{ae} circumferenti{ae} circuli maximi ad diametrum. Item eadem e$t proportio quadrati diametri maximi cir- culi in $ph{ae}ra ad $uperficiem $ph{ae}r{ae}, qu{ae} diametri ad circumferenti- am eiu$dem circul<007> maximi.

SIT circulus $phæræ maximus ABCD, eiu$que diameter AC. Dico ita e$$e quadratum ex circumferentia ABCD, de$criptum ad $uperficiem $ph{ae}ræ, cuius diameter A C, vt e$t circumferentia ABCD, ad diametrum AC. Itemita e$$e qua dratum diametri AC, circulimaximi in $phæra, ad $uperficiem $ph{ae}r{ae}, vt e$t di- ameter A C, ad circumferentiam A B C D. Sit enim E F, diametro A C, & recta FG, circumferenti{ae} ABCD, æqualis, & $uper FG, con$truatur quadratum GH, capiaturque F I, ip$i E F, {ae}qualis, eritque E I, quadratum diametri E F, vel A C. Perfecta autem figura, vt vides, erit tam rectangulum G I, $ub $emidiametro FI, maximi circuli, & circumfentia FG, quam rectangulum EH, $ub diametro EF, eiu$dem circuli maximi, & circumferentia FH, {ae}quale, per pr{ae}cedentem, $uper- ficiei conuex{ae} $ph{ae}r{ae}. Cum ergo $it, vt GH, quadratum ex circumferentia FG, _1. $exti_. de$criptum adrectangulum EH, $uperficiei conuex{ae} $ph{ae}r{ae} {ae}quale, ita GF, cir- cumferentia ad EF, diametrum circulimaximi, con$tat primum.

ITEM cum $it, vt E I, quadratum diametri EF, maximi circuli, ad I G, re- _1. $exti_. ctangulum $uperficiei conuexæ $phær{ae} {ae}quale, ita E F, diameter maximi circuli ad FG, circumferentiam, patetid, quod $ecundo loco proponitur.

COROLLARIVM.

HINC manife$tum e$t (id quod lib. 4. capit. 7. Nume. 1. etiam demon$tra- _Area circuli_. uimus) circuli aream gignitam ex {1/4}. diametri in totam circumferentiam, quam ex {1/4}. circumferenti{ae} in totam diametrum. Cum enim circulus A B C D, $it quarta pars rectanguli GI, quòd hoc illius quadruplum $it o$ten$um propo$. 2. [251]LIBER QVINTVS. Contineatur autem quarta pars rectanguli G I, tam $ub {1/4}. diametri F I, & cir- _1. $exti._ cumferentia F G, quam $ub {1/4}. circumferentiæ F G, & diametro F I; liquido con- $tat, quod proponitur.

PROPOSITIO IV.

QVADRATVM circumferentiæ circuli maximi in $phæra ad $uper- ficiem $phæræ conuexam, maiorem proportionem habet, quam 223. ad 71. minorem verò, quam 22. ad 7.

CVM enim per præcedentem $it, vt quadratum circumferentiæ maximi cir- culi ad $uperficiem conuexam $phær{ae}, ita circumferentia eiu$dem circuli ad diametrum: $it autem maior proportio circumferenti{ae} ad diametrum, quam _2. de Dim\~e$@_ _circuli lib. 4._ 3 {10/71}. ad 1. hoc e$t, quam 223. ad 71. minor verò, quam 3 {1/7}. ad 1. hoc e$t, quam 22. ad 7. liquetid, quod propo$itum e$t.

PROPOSITIO V.

QVADRATVM diametri circuli in $phæra maximi ad $uperficiem $phæræ conuexam, maiorem proportionem habet, quam 7. ad 22. minorem verò, quam 71. ad 223.

CVM enim per propo$. 3. $it, vt quadratum diametri ad $uperficiem $phær{ae}, ita diameter ad circumferentiam: Sit autem maior proportio diametri ad cir- _26. quinti._ cumferentiam, quam 7. ad 22. ( quod minor $it proportio circumferenti{ae} ad _2. de Dim\~e$_. _circuli lib. 4._ diametrum, quam 22. ad 7.) minor verò, quam 71. ad 223. ( quod maior $it proportio circumferenti{ae} ad diametrum, quam 223. ad 71.) patet verum e$$e, quod proponitur.

PROPOSITIO VI.

PROPORTIO cubi ex circumferentia maximi in $phæra circuli de- $cripti, ad $phæram maior e$t, quam 298374. ad 5041. minor autem, quam 2904. ad 49.

CVM enim $it per propo$. 1. cap. 7. lib. 4. vt circumferentia maximi circuli in quauis $phæra, ad circumferentiam maximi circuli in quauis alia $ph{ae}ra, ita dia- meter ad diametrum: habeat autem cubus circumferenti{ae} prioris $phær{ae} ad cubum circumferenti{ae} $phær{ae} po$terioris, proportionem triplicatam circum- _33. vndec._ ferenti{ae} ad circumferentiam; Item $phæra prior ad po$teriorem $ph{ae}ram, proportionem triplicatam diametri ad diametrum: erit vt cubus ex circumfe- _18. duodec._ rentia prioris $phær{ae} de$criptus ad cubum ex po$terioris $phær{ae} circumferen- tia de$criptum, ita $phæra prior ad po$teriorem $ph{ae}ram; Et permutando, vt cu- bus circumferenti{ae} $phær{ae} prioris ad priorem $ph{ae}ram, ita cubus circumferen- tiæ po$terioris $ph{ae}r{ae} ad $ph{ae}ram po$teriorem.

[252]GEOMETR. PRACT.

IAM verè $i circumferentia circuli maximi alicuius $phær{ae} $it 1. diuidatur que per 3 {10/71}. producetur diameter {71/223}. maior quam vera, ex coroll. propo$. 2. de dimen$ione circuli. Si igitur eius $emi$sis {71/446}. in {1/2}. $emi$$em circumferentiæ ducatur, procreabitur area circuli maximi {71/892}. maior, qu\~e vera: quæ rur$us du- cta in {2/3}. diametri inuent{ae}, (quæ etiam maior e$t, quam vera) nimirum in {142/669}. gignet, vtin$ra in regula 2. o$tendam, $oliditatem $phæræ {10082/596748}. hoc e$t {5041/298374}. maiorem tamen, quam veram. Maior ergo erit proportio cubi ex _8. quinti._ circumferentia 1. de$cripti, qui cubus e$t 1. ad $ph{ae}ram, quam ad {5041/298374}. Cum ergo $it 1. ad {5041/298374}. vt 298374. ad 5041. (Quoniam enim ex propo$itione 2. Minutiarum ad finem libr. 9. Euclid. eadem e$t proportio Numeratoris 5041. ad denominatorem 298374. quæ minuti{ae} {5041/298374}. ad $uum integrum 1. erit conuertendo, vt 298374. ad 5041. ita 1. ad {5042/298374}.) maior erit proportio cubi ex circumferentia 1. de$cripti, qui cubus e$t 1. ad $phæram, qaam 298374. ad 5041. Cum igitur ita $e habeat cubus ex circumferentia maximi circuli in $phæra ad $phæram qualibet de$criptus, vt cubus circumferentiæ 1. ad $uam $phæram, vtinitio huius propo$. o$tendimus; Con$tatid, quod primo loco proponitur.

RVRSVS $i circumferentia 1. diuidatur per 3 {1/7}. producetur diameter {7/22}. minor quam vera, ex coroll. propo$. 2. de dimen$ione circuli. Si igitur eius $e- mi$sis {7/44}. ducatur in {1/2}. $emi$$em circumferentiæ, procreabitur area circuli ma- ximi {7/88}: minor, quam vera: qu{ae} rur$us ducta in {2/3}. diametri inuent{ae} (quæ etiam minor e$t, quam vera) nimirum in {14/66}. hoc e$t in {7/33}. producet, vt infra in regula 2. docebo, $oliditatem $phær{ae} {49/2904}. minoremtamen, quam veram. Minor er- _@. quinti._ go erit proportio cubi ex circumferentia 1. de$cripti, qui cubus e$t 1. ad $phæ- ram, quam ad {49/2904}. Cum ergo $it 1. ad {49/2904}. vt 2904. ad 49. (Quoniam enim ex propo$. 2. Minutiarum ad finem libr. 9. Eucl. eadem proportio e$t Numerato- ris 49. ad denominatorem 2904. quæ minuti{ae} {49/2904}. ad $uum integrum 1. erit conuertendo, vt 2904. ad 49. ita 1. ad {49/2904}.) minor erit proportio cubi de$cripti ex circumferentia 1. qui cubus e$t 1. ad $phæram, quam 2904. ad 49. Cum igi- tur ita $e habeat cubus ex circumferentia maximi circuli $phær{ae} cuiuslibet de- $criptus, ad $phæram, vt cubus circumferentiæ 1. ad $uam $ph{ae}ram, vtinitio hu- ius propo$itionis demon$trauimus, patet etiam id, quod $ecundo loco propo- $itum erat.

PROPOSITIO VII.

CVBVS diametri $phæræ ad $phæram, maiorem proportionem habet, quam 21. ad 11. minorem verò, quam 426. ad 223.

CVM enim $it, vt cubus diametri cuiuslibet $phær{ae} ad cubum diametri al- terius $phær{ae}, ita $phæra ad $ph{ae}ram ; quod vtra que proportio $it trip licata _33. vndec. &_ _18. duodec._ proportionis diametrorum: erit permutando, vt cubus diametri cuiuslibet $phær{ae} ad ip$am $ph{ae}ram, ita cubus diametri alterius $phær{ae} ad ip$am $ph{ae}ram.

QVOD $i diameter alicuius $phær{ae} ponatur 1. multipliceturq; per 3 {1/7}. pro- _corol 2. de_ _Dimen$. cir-_ _culi_. ueniet circuli maximi circumferentia {@@/7}. maior quam vera. Eius ergo $emi$@is {11/7}. in {1/2}. $emi$$em diametri ducta efficiet {11/@@}. aream ip$ius maximi circuli vera ma- [253]LIBER QVINTVS. iorem: ac proinde $i h{ae}c area maior, quam vera, ducatur in {2/3}. diametri, gigne- tur, vt infra in regula 2. dicetur, $oliditas $phær{ae} {22/42}. hoc e$t {11/21}. maior quam ve- _8. quinti_. ra. Igitur cubus diametri 1. qui e$t 1. ad $phæram, proportionem habebit maio- rem, quam ad {11/2@}. Cum ergo $it 1. ad {11/21}. vt 21. ad 11. (Quia enim ex propo$. 2. Mi- nutiarum ad finem lib. 9. Eucl. eadem e$t proportio Numeratoris 11. ad Deno- minatorem 21. quæ Minutiæ {11/21}. ad $uum integrum 1. erit conuertendo vt 21. ad 11. ita 1. ad {11/21}.) maior erit proportio cubi 1. ex diametro 1. de$cripti ad $phæram, quam 21. ad 11. Et quia, vt initio huius propo$itionis o$tendimus, ita e$t cubus diametri cuiu$uis alterius $phæræ ad ip$am $phærã, vt cubus diametri 1. ad $uam $phæram, verum e$t, quod primo loco e$t propo$itum.

ITEM $i diameter 1. ducatur in 3 {10/71}. producetur circumferentia maximi _corol. 2. d@_ _Dimen$. cir-_ _culi_. circuli {223/71}. minor quam vera. Eius ergo $emi$sis {223/142}. ducta in {1/2}. $emi$$em diame- tri@. faciet {223/284}. aream circuli maximi vera minorem; ideo que $i ea ducatur in {2/3}. diametri 1. pro creabitur, vt infra in regula 2. dicetur, $oliditas $phæræ {449/852}. hoc e$t, {223/476}. minor, quam vera. Igitur cubus 1 diametri 1. ad $phæram habebit pro- portionem minorem, quam ad {223/426}. Cum ergo $it 1. ad {223/426}. vt 426. ad 223. _8. quinti._ (Quia enim ex propo$. 2. Minutiarum ad $inem lib. 9. Euclid. eadem proportio e$t Numeratoris 223. ad denominatorem 426. quæ Minutiæ {223/426}. ad $uum integrum 1. erit conuertendo, vt 426. ad 223. ita 1. ad {223/4@6}.) minor erit pro- portio cubi diametri 1. ad $uam $phæram, quam 426. ad 223. Quoniam ve- rò, vt ad initium huius propo$itionis o$tendimus, ita e$t cubus diametri cuiusli- bet $phæræ alterius ad ip$am $phæram, vt cubus diametr 1. ad $uam $phæram, li- quet etiam id, quod $ecundo loco propo$itum e$t.

2. HIS præmi$sis, $equuntur regul{ae} ad inue$tigandam tam $uperficiem conuexam cuiuslibet $phæræ, quam eiu$dem $oliditatem.

I.

SVPERFICIEM conuexam propo$itæ $phæræ adinuenire.

AREA maximi circuli datæ $phær{ae} quadruplicetur. Productus enim nu- _Superfici@s_ _conuexa $pa-_ _ræ._ merus conuexam $phær{ae} $uperficiem exhibebit: propterea quod per propo$. 31. lib. 1. Archimedis de $phæra, & Cylindro, $uperficies $phær{ae} quadrupla e$t circuli maximi.

EADEM $uperficies procreabitur, $i diameter $ph{ae}r{ae} in circumferentiam circuli maximi ducatur: propterea quod per propo$. 2. Num. 2. huius cap. re- ctangulum $ub d<007>ametro, & circumferentia maximi circuli comprehen$um $u- perficiei conuex{ae} $ph{ae}r{ae} e$t {ae}quale.

II.

SOLIDITATEM propo$itæ $phæræ exquirere.

1. SPH AER AE $ol<007>d<007>t{as} producitur ex ei{us} $emidiametro in tertiam partem _Solidit{as}_ _$phæræ_. $uperficiei conuex@. Velex {@/4} tot<007>{us} diametri in {2/3}. couuexæ $uperficiei.

2. ITEM ex duab{us} tert<007>{is} par@ib{us} diametri in aream c<007>rcul<007> maximi.

[254]GEOMETR. PRACT.

3. VEL ex duab{us} terti{is} partib{us} ar@æ circuli maximi in totam diametrum.

4. VEL ex $emidiametro in quatuor terti{as} part{es} areæ circuli maximi.

5. VEL ex $emi$$e areæ circuli maximi in quatuor terti{as} partes diametri.

6. VEL ex dupla diametro in tertiam partem areæ circuli maximi.

7. VEL ex d<007>ametro in 6. partem $uperficiei $phæræ.

8. VEL denique ex tertia parte diametriin $emi$$em $uperficiei conuexæ $phæræ.

PRIMVM demon$tatum à nobis e$t in commentariis in $ph{ae}ram, quam de- _Demon$tra-_ _tio primæ par-_ _t{is}_. mon$trationem repetemus lib. 7. de I$operimetris. Idem tamen aliter hac ratio- ne demon$trabimus. Concipiatur conus, cuius ba$is maximus circulus $ph{ae}- r{ae}, & altitudo $emidiameter eiu$dem. Item alius conus, cuius ba$is quadrupla $it maximi circuli, & altitudo $emidiameter eadem. Et quia prioris coni tam $ph{ae}ra, per propo$. 32. lib. 1. Archimedis de $ph{ae}ra, & cylindro, quadrupla e$t, quam po$terior conus: erunt po$terior conus, & $ph{ae}ra inter $e æ- _11. duodec_. quales.

_9. quinti_.

RVRSVS quia circulus, cuius $emidiameter {ae}qualis e$t toti diametro $p{ae}- r{ae}, quadruplus e$t circuli maximi. (cum enim $it circulus ad circulum, vt qua- _2. duodec._ dratum diametri ad quadratum diametri: quadratum autem prioris diametri quadruplum $it quadrati diametri po$terioris, ex $cholio propo$. 4. lib. 2. Eucl. quòd illa diameter $it huius dupla; quando quidem $emi$sis prioris diametri $umpta e$t po$teriori diametro {ae}qualis; erit quoque circulus circuli quadru- plus.) eritidem circulus, cuius $emidiameter diametro $ph{ae}r{ae} {ae}qualis e$t, {ae}qua- lis ba$i po$terioris coni, cum huius ba$is quadrupla etiam po$ita $it maximi circu- li. Quia verò etiam $uperficies $phæræ quadrupla e$t circuli maximi, ex propo$. 31. lib. 1. Archimedis de $phæra, & cylindro: Erunt $uperficies $phæræ, ba$is po- _9. quinti._ $terioris coni, & circulus $emidiametrum habens æqualem diametro $phæræ, inter $e æquales.

POSTREMO concipiatur cylindrus, cuius ba$is $it prædictus circulus $emidia- metrum diametro $phæræ habens æqualem, altitudo verò $emidiameter $phæræ. Erit hic cylindrus triplus po$terioris coni prædicti: ac proinde & $phæræ, quæ _10. duodec._ ei cono e$t o$ten$a æqualis. Idem autem cylindrus triplus quoque e$t cylindri, _11. duodec._ qui eandem habeat altitudinem, & ba$em terriæ parti illius cylindri, hoc e$t, tertiæ parti $uperficiei $phæræ, æqualem. Ergo po$terior cylindrus, (ba- _9. quinti._ $em habenstertiæ parti $uperficiei $phæræ æqualem, altitudinem verò $emidia- metro eiu$dem $phæræ æqualem,) & $phæra æquales $unt. Cum ergo cylindrus hic po$terior contineatur $ub $emidiametro $phæræ, & tertia parte $uperficiei $phæricæ: liquidò con$tat, $phæræ $oliditatem gigni ex $emidiametro in partem tertiam $uperficiei $phæræ. Velex @. totius diametri in {2/@}. $uperficiei $phæræ: cum hic numerus illi $it æqualis. quod e$t primum.

CONCIPIATVR rur$um cylindrus, cuius ba$is maximus circulus $phæræ, & _Demon$tra-_ _tio $ecundæ_ _part{is}._ altitudo diameter $phæræ. Erit hic cylindrus $e$quialter $phæræ, ex coroll. pro- po$. 32. libr. 1. Archimedis de $phæra, & cylindro. Quod $i ex parte $uperiori per tettiam partem diametri $phæræ, vel axis cylindri, ducatur ba$ibus cylindri pla- num parallelum_:_ erit totus cylindrus ad cylindrum ab$ci$$um, cums axis duæ _13. duodec._ tertiæ partes $unt totius axis, $e$quialter; Ac proinde po$terior hic cylindrus _9. quinti._ ab$ci$$us, qui quidem continetur $ub maximo circulo, nempe $ub $ua ba$i, & dua- bustertiis partibus diametri$phæræ, $phæræ æqual<007>s erit. Pater igitur etiam $e- cundum.

[255]LIBER QVINTVS. ALITER.

SIT parallelepipedum A B C, comprehen$um $ub A C, duabus tertiis parti- bus diametri $phær{ae}, & $ub ba$i AB, qu{ae} circulo maximo eiu$dem $phær{ae} $it æ- qualis. Dico parallelepipedum A B C, $phær{ae} æquale e$$e. Sit enim aliud pa- rallelepip edum D E F, contentum $ub DF, $emidiametro $phær{ae}, & $ub ba$e DE, qu{ae} terti{ae} parti $uperficiei $phær{ae} $it æqualis. quod vt in prima parte huius 2. regul{ae} demon$trauimus, æquale erit $phær{ae} propo$itæ. Quia ergo ba$is A B, circulo maximo $pær{ae} æqualis, e$t {1/4}. $uperficiei $phær{ae}; erit ex coroll. propo$@ 1. huius cap. vt AB, hoce$t, vt {1/4}. $uperficiei $phær{ae} ad DE, id e$t, ad {1/3}. eiu$dem $uperficiei, ita DF, hoc e$t, ita {1/2}. diametri $phær{ae}, ad A C, id e$t, ad {2/3}. eiu$dem diametri. Ac proinde cum ba$es A B, D E, cumaltitudinibus D F, A C, reciprocentur, parallelepipeda _34. vndec._ ABC, DEF, æqualia inter $e erunt. Cum ergo DEF, $phær{ae} æquale $it, vt dictum e$t, erit quoque ABC, eidem $phær{ae} æ- quale. quod e$t propo$itum.

ALITER.

QVONIAM ex coroll. propo$. 1. huius cap. e$t, vt {1/4}. $u- perficiei $phær{ae} ad {1/@}. eiu$dem $uperficiei, ita {1/2}. diametriad {2/3}. eiu$dem diametri: idem numerus efficietur ex primo nu- _19. $ept._ mero, nimirum ex {1/4}. $uperficiei, id e$t, ex circulo maximo $phær{ae}, in quartum, nimirum in {2/3}. diametri, quiex $ecundo, id e$t, ex {1/3}. $uperficiei, in tertium, hoc e$t, in {1/2}. diametri. Sed ex {1/3}. $uperficiei in {1/2}. diametri $oliditas $phær{ae} procrea- tur, vt in primaparte huius 2. regulæo$ten$um e$t. Igitur eadem $oliditas ex cir- culo maximo in {2/3}. diametri gignetur. quod e$t propo$itum.

RVRSVS quia cylindrus, cuius ba$is circulus maximus $phær{ae}, & altitudo _Demon$tratio_ _tertiæ partis_. diameter eiu$dem, $e$quialter e$tip$ius $phær{ae}, ex coroll. propo$. 32. lib. 1. Ar- chimedis de $phæra, & cylindro: Idemque cylindrus $e$quialter etiam cylin- _11. duodec_. dri, cuius ba$is æqualis $it duabus tertiis partibus circulimaximi, & altitudo ea- _9. quinti_. dem diameter; erunt po$terior hic cylindrus, & $phæra æquales: hoc e$t, $phæra producetur ex {2/3}. areæ maximi circuli in diametrum $phær{ae}. quod e$t tertium.

CONCIPIANTVR quoque duo parallelepipeda, quorum vnius ba$is $it {2/3}. _Demon$tratio_ _quartæ part{is}_. areæ maximi circuli in $phæra æqualis, & altitudo toti diametro: alterius verò ba$is æqualis $it {4/3}. are{ae} circuli maximi, & altitudo $emidiametro. Et quia horum parallelepipedorum ba$es cum altitudinibus reciprocantur: quod tam prioris ba$is $ubdupla $it ba$is po$terioris, quam altitudo po$terioris altitudinis prio- ris: erunt ip$a parallelepipeda æqualia. Sed prius, per tertiam partem huius _34. vndec._ 2. regul{ae}, {ae}quale e$t $oliditati $ph{ae}r{ae}. Igitur & po$terius. Ideoque $ph{ae}ra producetur ex $emidiametro in {4/@}. are{ae} circuli maximi. quod quarto loco pro- ponitur.

PRÆTEREA concipiantur duo parallelepipeda, quorum vnius ba$is {ae}qua- _Demon$tratio_ _quintæ part{is}._ lis $it are{ae} circuli in $ph{ae}ra maximi, & altitudo {ae}qualis {2/3}. diametri: alterius ve- rò ba$is {ae}qualis $it @ are{ae} circuli maximi, & altitudo {4/3}. diametri. Et quia horum parallelepipedorum ba$es reciprocantur cum altitudinibus; quod tam ba$is in priori dupla $it ba$is in po$teriori, quam altitudo in po$teriori altitudinis in [256]GEOMETR. PRACT. priori: æqualia erunt ip$a parallelepipeda: Sed prius e$t, per 2. partem huius _34. vndec._ 2. regulæ, æquale $phær{ae}. Igitur & po$terius: atque idcirco $phæra gignetur ex {1/2}. areæ circuli maximi in {4/5}. diametri. quod e$t quintum.

ITEM intelligantur duo parallelepipeda, quorum vnius ba$is æqualis $it {2/3}. _Demon$tratio_ _$extæpart{is}._ areæ circuli maximi in $phæra, & altitudo diametro: alterius verò ba$is æqualis $it {1/3}. areæ maximi circuli, & altitudo duplæ diametro. Et quia horum paralle- lepipedorum ba$es cum altitudinibus reciprocantur: quod tam ba$is in priori $it dupla ba$is in po$teriori, quam altitudo in po$teriori altitudinis in priori: eruntip$a parallelepipeda æqualia: Sed prius per 3. partem huius 2. regul{ae}, æ- _34. vndec._ quale e$t ip$i $phær{ae}. Igitur & po$terius: Ac proinde $phæra ex dupla dia- metro in {1/3}. areæ circuli maximi procreabitur. quod $exto loco e$t propo- $itum.

INTELLIGANTVR quoque duo parallelepipeda, quorum vnius ba$is con- _Demon$tratio_ _$eptimæ part{is}._ tineat {1/3}. $uperficiei $phær{ae}, & altitudo {1/3}. diametri: alterius verò ba$is compre- hendat {1/6}. $uperficiei, & altitudo æqualis $it diametro. Et quoniam ba$es cum altitudinibus $unt reciproc{ae}, quod ita $it {1/3}. $uperficiei ba$is videlicet prioris parallelepipedi, ad {1/6}. $uperficiei, id e$t, ad ba$em po$terioris, vt altitudo po$te- rioris, nempe diameter, ad prioris altitudinem, nimirum ad {1/2}. diametri, cum v- traque proportio $it dupla: ip$a parallelepipeda æqualia erunt: Sed prius ip$i _34. vndec._ $phær{ae}, per 1. partem huius 2. regulæ æquale e$t. Igitur, & po$terius: hoc e$t, $phær{ae} $oliditas producetur ex diametro in $extam partem $uperficiei, quod e$t $eptimum.

DENIQVE concipiantur duo parallelepipeda, quorum vnius ba$is $it {1/3}. _Demon$tratio_ _octauæ part{is}._ $uperficiei $phæræ, & altitudo $emidiameter: alterius autem ba$is $it {1/2}. $uperfi- ciei, & altitudo {1/3}. diametri. Quia verò ba$es, & altitudines recipro cantur, quod ita $it {1/3}. $uperficiei ad {1/2}. $uperficiei, nimirũ ba$is prioris parallelepipedi ad ba- $em po$terioris, vt {1/3}. diametriad {1/2}. diametri, altitudo videlicet po$terioris pa- rallelepipedi ad altitudinem prioris; æqualia eruntip$a parallelepipeda. Cum _34. vndec._ ergo, per 1. partem huius 2. regulæ, prius $it $phæræ æquale, eidem quo que po- $terius æquale erit: Ac propterea $phæræ $oliditas pro ducetur ex tertia part@ diametri in $emi$$em conuexæ $uperficiei. quod e$t o ctauum.

3. IAM vero ex propo$. 4. & 5. huius cap. Num. 1. colliguntur quatuor $e- quentes regulæ, per quas $uperficies $phæræ conuexa inuenitur tum maior quam vera, tum minor, tam ex circumferentia, quam ex diametro circuli ma- ximi.

I.

EX circumferentia circuli in $phæra maximi $uperficiem conuexam $ph{ae}r{ae} procreare vera maiorem.

FIAT vt 223. ad 71. ita quadratum ex circumferentia maximi circuli data de- _Superfici{es}_ _$phæræmaior,_ _quam vera._ $criptum ad aliud, pro dibitque $phæræ $uperficies maior quam vera. Cum e- nim per propo$. 4. huius cap. Num. 1. maior $it proportio qua drati circumfe- rentiæ circuli maximi ad $uperficiem $phæræ, quam 223. ad 71. $it autem qua- dratum datæ circumferentiæ ad numerum procreatum, vt 223. ad 71. habebit quo que quadratum circumferentiæ datæ ad $uperficiem $phæræ ver@m, maio- [257]LIBER QVINTVS. @em proportionem, quàm idem quadratum ad numerum productum: ideo- que productus numerus maior erit $uperficie vera.

_10. quinti._ II.

EX circumferentia circuli in $phæra maximi $uperficiem $phæræ con- uexam vera minorem eruere.

FIAT vt 22. ad 7. ita quadratum ex circumferentia maximi circuli data de- _Superficies_ _$phæræ minor._ _quam vera._ $criptum ad aliud. Numerus enim genitus minor erit vera $uperficie $phæræ. Cum enim per pro po$. 4. huius cap. Num. 1. minor $it proportio quadrati circum- ferentiæ circuli maximi ad $uperficiem $phæræ, quam 22. ad 7. Sit autem qua- dratum datæ circumferentiæ ad numerum genitum, vt 22. ad 7. habebit quo que quadratum datæ circumferentiæ ad $uperficiem veram $phæræ, minorem pro- portionem, quam idem quadratum ad numerum productum. Quam obrem _10. quinti._ numerus productus vera $uperficie $phæræ min or erit.

III.

EX diametro circuli in $ph{ae}ra maximi $uperficiem $phær{ae} vera maio- rem elicere.

FIAT vt 7. ad 22. ita quadratum diametri datæ circuli maximi ad aliud, gi- _Superfici{es}_ _$phæræ minor,_ _quam vera._ gnetur que $uperficies $phæræ maior, quam vera. Nam cum, per propo$. 5. huius cap. Num. 1. maior $it proportio quadrati diametri circuli maximi ad $uperfi- ciem $phæræ veram, quam 7. ad 22. Sit autem quadratum diametri datæ ad pro- ductum numerum, vt 7. ad 22. habebit quo que quadratum datæ diametri ad $u- perficiem veram $phær{ae}, maiorem proportionem, quamidem quadratum ad productum numerum. Quo circa procreatus numerus maior er@t, quam ve- _10. quint._ ra $uperficies $phær{ae}.

IIII.

EX diametro circuli in $phæra maximi $uperficiem $phær{ae} vera mino- rem colligere.

FIAT vt 71. ad 223. ita quadratum datæ diametri circuli maximi ad aliud. _Superfici{es}_ _$phæræ mi or,_ _quam vera._ Numerus namque genitus $uperficiem $phæræ vera minorem exhibebit. Quo niam enim per propo$. 5. huius cap. Num. 1. minor e$t proportio quad ati dia- metri ad $uperfi ciem $phær{ae}, quam 71. ad 223. E$t aut\~e quadratum datæ diametri ad pro ductum numerum, vt 71. ad 223. Erit quoq; min or proportio quadrati da- tæ diametriad veram $uperficiem $phær{ae} quam eiu$dem quadrati ad numerum productum. Quapropter minor erit productus numerus, quam vera $uper- _10. quinti._ ficies $phær{ae}.

4. PARI ratione ex propo$. 6. & 7. huius cap. Nũ. 1. eliciuntur quatuor aliæ $equentes regul{ae}, per quas tam ex circũferentia, quam ex diametro maximi cir- cul in$p ra, e@uitur $oliditas $phær{ae} tummai@r, quam vera, t@m minor.

[258]GEOMETR. PRACT. I.

EX circumferentia circuli maximi in $phæra $oliditatem $phæræ produ- cere vera maiorem.

FIAT vt 298374. ad 5041. ita cubus ex data circumferentia maximi circuli _Solidit{as} $phæ-_ _ræmaior, quã_ _vera._ de$criptus ad aliud. Numerus enim genitus dabit $phær{ae} $oliditatem vera ma- iorem. Nam cum, per propo$. 6. huius cap. Num. 1. maior $it proportio cubi datæ circumferentiæ ad $phæram, quam 298374. ad 5041. Sit autem cubus dat{ae} circumferenti{ae} ad numerum procreatum, vt 298374. ad 5041. habebit quo que cubus dat{ae} circumferenti{ae} ad $phær{ae} $oliditatem veram, maiorem proportio- nem, quam idem cubus ad productum numerum: Ideoque productus nume- _10. quinti._ rus maior erit, quam vera $oliditas $phær{ae}.

II.

EX circumferentia circuli maximi in $phæra $oliditatem $phær{ae} vera minorem procreare.

FIAT, vt 2904. ad 49. ita cubus dat{ae} circumferentiæ ad aliud. Nam pro- _Solidit{as} $phæ-_ _ræminor, quã_ _vera._ ductus numerus offeret $phær{ae} $oliditatem vera minorem. Cum enim per pro- po$. 6. huius cap. Num. 1. minor $it pro portio cubi circumferentiæ dat{ae} ad $ph{ae}- ram, quam 2904. ad 49. $it autem cubus dat{ae} circumferenti{ae} ad numerum pro- creatum, vt 2904. ad 49. habebit quoque cubus dat{ae} circumferentiæ ad veram $oliditatem $phæræ, minorem proportionem, quàm idem cubus ad numerum productum. Ideo que numerus productus minor erit vera $oliditate $phæræ.

_10. quinti._ III.

EX diametro maximi circuli in $ph{ae}ra $oliditatem $phær{ae} colligere ve- ra maiorem.

FIAT vt 21. ad 11. ita cubus d<007>ametri datæ ad aliud. Procreatus namque nu- _Solidit{as} $phæ-_ _ræ maior, quã_ _vera._ merus $oliditatem $phæræ dabit vera maiorem. Cum enim per propo$. 7. huius cap. Num. 1. maior $it proportio cubi diametri$phæræ ad $phæram, quàm 21. ad 11. Sit autem cubus datæ diametri ad numerum productum, vt 21. ad 11. habe- bit quo que maiorem proportionem cubus datæ diametri ad veram $oliditatem $phæræ, quamidem cubus ad numerum genitum. Quapropter numerus pro- _10. quinti._ creatus maior erit vera $oliditate $phæræ.

IIII.

EX diametro maximi circuli in $phæra $oliditatem $phæræ concludere vera minorem.

_Solidit{as} $phæ-_ _ræminor, quã_ _vera._

FIAT vt 426. ad 223. ita cubus dat{ae} diametri ad aliud. Numerus enim pro- ueniens minor erit, quàm vera $oliditas $phær{ae}. Nam cum per propo$. 7. huius [259]LIBER QVINTVS. cap Num. 1. minor $it proportio cubi datæ diametri ad $phæram, quàm 426. ad 223. Sit autem cubus diametri datæ ad procreatum numerum, vt 426. ad 223. habebit quo que cubus datæ diametri ad $phæram, proportionem minorem, _10. quinti._ quàm idem cubus ad numerum genitum. Quare minor erit numerus produ- ctus, quàm vera $oliditas $ph{ae}ræ.

DE AREA SEGMENTO- rum $phæræ. CAPVT VI.

_I. H_EMISPHER II $uperfici{es} conuexa, exclu$a ba$e, gignitur ex area ma- _Superfici{es} cõ-_ _uexa Hemi-_ _$phærii._ ximi circuli per 2. multiplicata. Vel ex $emidiametro in circumferentiã ma- ximi circuli. Vel denique ex tota diametro in $emi$$em circumferentiæ ma- ximi circuli. _Quæ omnia per$picua $unt ex 1. regula Num. 2. capitis 5. propterea_ _quod hi numeri producti $unt $emi$$es illorum, qui $uperficiem conuexam to-_ _tius $ph{ae}ræ in earegula exhibuerunt._

_2. SVPERFICIES conuexa cuiu$l<007>bet portion{is} $phæræ hemi$phærio minor{is},_ _Superfici{es} cõ-_ _uexæ portio-_ _n{is} $phæræ._ _velmaior{is}, dempta ba$e, æqual{is} e$t circulo, cui{us} $emidiameter æqual{is} e$t rectæ lineæ,_ _quæ à vertice portion{is} ad circumferentiam ba$is ducitur. ex propo$. 40. l<007>b. 1. Archime-_ _d{is} de $phæra, & cylindro._ Sit enim maximus in $ph{ae}ra circulus ABCD, cuius dia- meter AC, quàm in E, ad angulos rectos $ecet B D, recta, per quam intelligatur duciplanum diametro ad angulos rectos, $ecans $phæram in duas portiones, quarum ba$is communis circulus diametri B D, & A, vertex minoris portionis, maioris autem vertex C. Iunctis autem rectis AB, CB; erit circulus $emidiametri A B, $uperficiei conuexæ minoris portionis, & circulus $emidiametri C B, con- uex{ae} $uperficiei maioris portionis {ae}qualis, ex dicta propo$. Ar- chimedis. Quare $i vtraque AB, CB, in partibus diametri A C, fiat nota, præ$ertim ope in$trumenti partium cap. 1. lib. 1. con- $tructi, & are{ae} circulorum ad interualla $emidiametrorum AB, CB, de$ciptorum inue$tigentur, per ea, qu{ae} lib. 4. capit. 7. $cri- p$imus; notæ erunt $uperficies conuexæ dictarum portionum $ph{ae}ræ.

EADEM $uperficies conuexa portionis $phær{ae} hemi$ph{ae}rio minoris, vel ma- ioris, ita quoque cogno$cetur. Ex demon$tratis ab Archimede propo$. 3. lib. 2. de $ph{ae}ra, & cylindro, eandem proportionem habet EC, ad EA, quam $uperfi- cies conuexa portionis $ph{ae}ræ ba$em habentis circulum diametri BD, & vertic\~e C, ad $uperficiem conuexam portionis ba$em habentis eundem circulum dia- metri BD, & verticem A. Igitur componendo quoq; erit, vt tota diameter A C, ad AE, ita $uperficies conuexa totius $ph{ae}ræ ad $uperficiem cõuexam portionis B A D. Eademq; ratione erit, vt tota diameter A C, ad E C, ita conuexa $uperfici- es totius $ph{ae}ræ ad $uperficiem conuexam portionis BCD. Quo circainue$ti- gata proportione diametri A C, ad $egmenta AE, EC, per in$trumentum partium cap. 1. lib. 1. con$tructum; $i fiat, vt diameter AC, ad AE, ita $uperficies conuexa totius $ph{ae}ræ, (quæ ex regula 1. Nume. 2. cap. 5. huius lib. cognita fiet) ad alind, [260]GEOMETR. PRACT. proueniet conuexa $uperficies portionis minoris BAD. Similiq; modò $uperfi- cies conuexa maioris portionis B C D, cogno$cetur; $i fiat, vt diameter A C, ad EC, ita $uperficies conuexa totius $phæræ ad aliud.

ET quia, vt ex Archimede o$tendimus, ita e$t diameter A C, ad A E, vel ad EC, vt tota $uperficies $phæræ ad $uperfici\~e portionis BAD, vel BCD: erit quo- que ita AF, $emi$sis diametri ad AE, vel EC, vt hemi$ph{ae}rij $uperficies GAH, ad $uperficiem portionis B A D, vel B C D, quod o$tendetur eodem modo, quo $cholium propo$. 22. lib. 5. Euclid. e$t demon$tratum: Si fiat, vt $emidiameter $phæræ A F, ad A E, vel E C, altitudinem portionis, ita hemi$ph{ae}rij G A H, $u- perficies ad aliud; producetur rur$us conuexa $uperficies portionis minoris B- AD, vel maioris BCD.

IMMO cum $it vt AF, $emidiameter ad AE, ita hemi$ph{ae}rij GAH, $uperfici- _corol_. 19. _quinti_. es ad $uperficiem portionis BAD, erit per conuer$ionem rationis, vt AF, $emi- diameter ad EF, ita $uperficies hemi$ph{ae}rij GAH, ad $uperficiem fru$ti GBDH, demptis ba$ibus. Ergo EF, eadem pars erit, vel partes diametri AC, vel $emidia- metri AF, quæ pars e$t, vel partes $uperficies fru$tri GBDH, demptis ba$ibus, $u- perficiei totius $ph{ae}ræ, vel hemi$phærij GAH. Quam obrem cognito, quæ pars $it EF, vel partes $emidiametri AF, $i ex $uperficie hemi$phærij G A H, ead\~e pars auferatur, vel partes, reliqua fiet $uperficies conuexa minoris portionis B A D. Et $i ad hemi$phærij GCH, $uperficiem adij ciatur eadem pars, vel partes, con- flabitur conuexa $uperficies portionis maioris BCD. Verbi gratia, $i E F, conti- neat {3/5}. $emidiametri AF, & ex $uperficie hemi$phærij G A H, tollantur {3/5}. reli- qua fiet $uperficies conuexa portionis minoris BAD: Et $i {3/5}. $uperficiei hemi- $phærij adij ciantur ad $uperfici\~e hemi$pherij GCH, cõficietur $uperficies cõue- xa maioris portionis BCD. Sic $i EF, e$$et $emi$sis $emidiametri, auferenda e$@et ex hemi$phærij $uperficie $emi$sis ip$ius, vel adijcenda: Et $ic de cæteris.

3. HEMISPHÆRII $oliditas producitur ex $emidiametro in tertiam par- _Solidit{as} he-_ _mi$phærij._ tem $uperficiei hemi$phærij: Vel in $extam partem $uperficiei totius $phæræ. Vel ex {1/4}. totius diametri in {2/3}. $uperficiei hemi$phærij.

ITEM ex duabus tertijs partibus diametri in $emi$$em areæ circuli maximi.

VEL ex duabus tertijs partibus areæ circuli maximi in $emidiametrum: Aut ex tertia parte areæ circuli maximi in totam diametrum.

VEL ex {1/4}. totius diametri in {4/5}. areæ circuli maximi.

VEL ex $emi$$e areæ circuli maximi in {2/3}. diametri.

VEL ex dupla diametro in {1/6}. areæ circuli maximi.

VEL ex $emidiametro in $extam partem $uperficiei $ph{ae}ræ.

VEL denique ex {1/6}. diametri in $uperficiem hemi$phærij conuexam. quæ omnia ex 2. regula Num. 2. cap. 5. colliguntur: cum omnes hi numeri producti $int $emi$$es illorum, qui $oliditatem totius $phæræ in ea regula indicant.

4. SOLIDITAS $ectoris $ph{ae}ræ (quinimirum componitur ex minore por- _Sol<007>dit{as} $e-_ _ctor{is} $phæræ_. tione $ph{ae}ræ, & cono ba$em habente eandem cum portione, & altitudinem æ- qualem perpendiculari ex centro in ba$em portionis deductæ; Vel quirelin qui- tur, $i idem conus ex portione maiore $ubtrahitur. Vt in proxima figura, $olidũ compo$itum ex portione $ph{ae}ræ B A D, ba$em habente circulum diametri B D, & ex cono habente eandem ba$em, & verticemin centro F: Item $olidũ, quod relinquitur, $i conus idem ex portione maiore B C D, dematur, appellamus $e- [261]LIBER QVINTVS. ctorem $phæræ.) hac ratione inue$tigabitur. Quoniam per propo$. 42. lib. 1. Ar- chimedis de $ph{ae}ra & cylindro, $ectori$ph{ae}ræ {ae}qualis e$t conus ba$em habens circulum {ae}qualem $uperficiei conuexæ portionis $ph{ae}ræ, altitudinem verò $e- midiametro $ph{ae}ræ {ae}qualem: Conus autem pro ducitur, vt c. 2. huius lib. Nu. 1. declarauimus, vel ex ba$e in {1/3}. altitudinis: Vel ex tota altitudine in {1/3}. ba$is; fit vt $ector $ph{ae}ræ gignatur vel ex $uperficie conuexa portionis $ph{ae}ræ in {1/3}. $e- midiametri, hoc e$t, in {1/6}. totius diametri: Vel ex $emidiametro in {1/3}. $uperfi- ciei conuexæ portionis $phæræ.

_Soliditas cæ-_ _iuslibet portio_ _n{is} $phæræ._

5. SOLIDITAS verò cuiu$cunque portionis $ph{ae}ræ hoc modo procrea- bitur. Inue$tigetur $oliditas $ectoris $phæræ, vt proximè tra ditum e$t. Nam $i, quando portio propo$ita minor e$t hemi$phærio, ex hoc $ectore dematur co- nus eandem habens cum portione ba$em, altitudinem verò perpendicularem ex centro $ph{ae}ræ in ba$em portionis cadentem, reliqua fiet $oliditas portionis minoris: At verò $i, quando portio propofita hemi$ph{ae}rio maior e$t, idem co- nus ad $ectorem adijciatur, conflabitur $oliditas portionis maioris. Id quod per$picuum e$t in $uperiorifigura, cum conus BFD, ablatus ex $ectore ABFDA, reliquam faciat portionem minorem BAD: Idem vero conus BFD, ad ditus $e- ctori CBFDC, con$tituat maiorem portionem BCD. Conus porrò prædictus B F D, cognitus fiet ex ba$e, nimirum ex circulo diametri B D, & altitudine E F, cognitis, vt cap. 2. huius lib. Num. 1. docuimus.

ALITER.

SIT in $phæra circulus maximus ABCD, & portiones $ph{ae}ræ, quarum ba- $is communis circulus diametri B D, & vertices A, C, quarum $oliditates ex- quirendæ $unt. Ex centro H, ducatur ad B D, perpendicularis H E, quæ rectã _3. tertij_. B D, $ecabit bifariam, ac proinde & vtrum que ar- _$chol. 27._ _tertij._ cum BAD, B C D, bifariam, hoc e$t, per vertices A, _12. $exti._ C, tran$ibit. Fiat, vt C E, ad $ummam rectarum C H, C E, ita A E, ad E F: Item, vt A E, ad $ummam rectarum A H, A E, ita EC, ad E G. Intelligantur que duo coni, quorum ba$is communis circulus diametri BD, & vertices F, G. Erit per propo$. 2. lib. 2. Archimedis de $phæra, & cylindro, conus B F D, portioni minori B A D, & conus BGD, portioni maiori BCD, æqualis. Quocirca, in- uentis horum conorum $oliditatibus, vt cap. 2. huius lib. Numer. 1. traditum e$t inuent{ae} quoque erunt $oliditates portionum B A D, B C D. quod e$t propo$i- tum.

_Soliditas c@-_ _iuslibet fru-_ _$ti $phæræ_.

6. SOLIDITAS denique cuiu$cunque fru$ti $ph{ae}r{ae}, $iue ba$es $int paralle- I{ae}, cuiu$modi e$t in 1. figura huius cap. fru$tum BDHG, inter circulos diametro- rum BD, GH, inclu$um, $iue non parallel{ae}, quale e$t fru$tum B D L K, hoc pa- cto inuenietur. Inue$tigetur, vt Num. 5. diximus, vtriu$que portionis ABD, A- GH, $oliditas. Minori enim detra cta ex maiore, reliqua erit $oliditas fru$ti BD- HG. Sic etiam, inuento I, vertice portionis KIL, $i inueniatur $oliditas v- triu$que portio nis BCD, KLI, minorque ex maiore tol- latur, remanebit $oliditas fru$ti B D L K, nota.

[262]GEOMETR. PRACT. DE AREA SPHÆROIDIS, EIVSDEM- que portionum. CAPVT VII.

1. SIT Ellip$is ABCD, cuius maior axis AC, minor B D, priorem ad angulos rectos $ecans. Soliditatem ergo Sphæroidis, id e$t, $olidi ex circumuolu- tione Ellip$is circa axem effecti, ita nanci$cemur. Quoniam planum per BD, ductum, & rectum ad axem AC, circulum facit, vt à Federico Commandi- no ad propo$. 12. lib. Archimedis de Conoidibus, & Sphæroidib. demon$tratur. cuius diameter BD, & centrum E; erit per propo$. 29. lib. Archimedis de Cono- id. & Sphæroid. $emi$sis Sphæroidis A B D, dupla coni ean dem ba$em cum illa $emi$$e, circulum videlicet diametri B D, habentis, & altitudinem eandem E A. Igitur $i huius coni $oliditas per capit. 2. huius lib. inue$tigetur, & duplicetur, _Soliditas Sphæ_ _roidis_. exurget $oliditas $emi$sis Sphæroidis: quæ duplicata $oliditatem totius Sph{ae}- roidis exhibebit.

2. DVCATVR minori axi B D, parallela F G, $ecans maiorem axemin H, ad rectos angulos. Si igitur per F G, ducatur planum rectum ad axem, fiet cir- culus in Sphæroide diametrum habens F G, & centrum H, vt Federicus Com- mandinus ad propo$. 12. lib. Archim. de Conoid. & Sphæroid. demon$trauit; ab- $cindentur que portiones Sphæroidis F A G, minor & FCG, maior. Vtriu$q; $oliditas ita fiet cognita. Quo- niam per propo$. 31. libri Archimedis de Conoid. & _Solidit{as} por-_ _tionum Sphæ-_ _roid{is}._ Sph{ae}roid. Conus, cuius ba$is circulus diametri F G, & axis H A, ad minorem portionem $ph{ae}roidis F A G, proportion\~e habet, quam maioris portionis axis HC, ad $ummam rectarum EC, HC: Si fiat, vt HC, maioris portionis axis ad $ummam rectarum E C, H C, ita co- nus prædictus ad aliud, (qui quidem conus ex cap. 2. huius libri cognitus erit.) prodibit $oliditas minoris portionis $ph{ae}roidis F A G.

RVRSVS quia per propo$. 33. libri Archim. de Conoid. & Sphæroid. conus, cuius ba$is circulus diametri F G, & axis H C, ad maiorem portionem Sph{ae}ro- idis FCG, proportionem habet, quam minoris portionis axis HA, ad $ummam rectarum E A, H A: $i fiat, vt H A, minoris portionis axis ad $ummam rectarum EA, HA, ita prædictus conus (quem per cap. 2. huius lib. metieris) ad aliud, pro- creabitur $oliditas maioris portionis $ph{ae}roidis FCG.

DE AREA CONOIDIS parabolici. CAPVT VIII.

1. SIT Parabola A B C, cuius axis B D, ad ba$em A C, rectus. Solidita- _Soliditas Co-_ _noidis Para-_ _bolic<007>_. tem igitur Conoidis parabolici, quod parabola circa axem circumducta effi cit, ita metiemur. Quo niam per ea, quæ ad prop o$. 12. libri Archim. [263]LIBER QVINTVS. de Conoid. & Sphæroid. Federicus Commandinus demon$trauit, planum per AC, ductum, & rectum ad axem BD, circulum facit, cuius diameter A _C_, & centrum D: erit per propo$. 23. libri Archim. de _C_onoid. & Sphæroid. Parabolicum _C_onoides A- B_C_, $e$quialterum coni, cuius ba$is circulus diame- tri A_C_, & axis BD. Igitur $i fiat, vt 2. ad 3. ita prædi- ctus conus (quem ex cap. 2. huius libri metiemur) ad aliud; pro$iliet $oliditas _C_onoidis Parabolici A- BC.

DE AREA CONOIDIS Hyperbolici. CAPVT IX.

CONCIPIATVR $uperior figura e$$e Hyperbola, & recta E, æqualis $e- _Soliditas Co-_ _noid{is} Hyper-_ _bolici_. mi$si diametri tran$uer$æ inter duas hyperbolas oppo$itas, hoc e$t, rectæ ex centro hyperbolarum ad verticem B, ductæ. Fietque rur$us circu- lus, cuius diameter A _C_, à plano per A_C_, ducto, & ad axem recto, vt Federicus Commandinus ad propo$. 12. libri Archim. de Conoid. & Sphæroid. demon- $trauit. Soliditatem igitur Conoidis Hyperbolici, quod ab hyperbola ABC, circa axem BD, circumuoluta effi citur, ita venabimur. Quoniam per pro- po$. 27. lib. Archimedis de Conoid. & Sphæroid. Conoides Hyperbolicum A- BC, ad conum, cuius ba$is eadem cum ba$e Conoidis, circulus videlicet diame- tri A C, & axis idem B D, proportionem habet eandem, quam linea conflata ex axe B D, & tripla ip$ius E, ad lineam conflatam ex axe BD, & dupla ip$ius E. Si fiat, vt linea conflata ex axe B D, & duplaip$ius E, ad lineam conflatam ex axe BD, & tripla ip$ius E, ita prædictus conus (quem ex cap. 2. huius libri dime- tiemur) ad aliud; gignetur $oliditas Conoidis Hyperbolici ABC.

DE AREA DOLIORVM. CAPVT X.

QVONIAM dolia non eandem formam vbiq; $eruant, vix præ$cribi po- te$t ratio, qua dolij propo$iti capacitas accurate inueniatur. Argumen- _Capacit{as} do-_ _lii_. to e$t, quod $criptores variè de eius Dimen$ione $crip$erunt. Dicam er- go etiam ego id, quod mihi veri$imile videtur. Sit dolium ABCDEF, in extre- mitatibus habens circulos AF, CD, orificium B, per quod cogitetur planum du- ctum rectum ad lineam KL, centra circulorum AF, CD, con<007>ungentem, $ecans dolium bifariam. Si igitur a$$eres dolij in B, & E, curuentur, & deinde $ecun- dum lineas qua$i rectas extendantur, cuiu$mo di dolia non pauca Romæ vidi: [264]GEOMETR. PRACT. referent $emi$$es dolij ABEF, CDEB, conos decuratos: quos $i per ea, quæ c- 3. huius libri $cripta $unt, metieris, dabit eorum $umma dolij propo$iti capa cita- tem. Memortamen e$to, profund<007>tatem dolij B E, & diametrum circuli A F, men$urandam e$$e intra a$$eres, ita, vt eorum cra$sities excludantur; vt habea- tur decurtatus conus, cuius ba$es $int circuli BE, AF, & c.

2. SI vero a$$eres dolij verè $int ali- quo modo circulares, quod nonuulli a$- $erunt, concipiendum erit dolium, tan- quam fru$tum quoddam Sphæroidis. Nã curuitas a$$erum $en$ibiliter à curuitate Sphæroidis, cuius axes $unt rectæ KL, BE, non different. Sed quia $olum axis minor nimirum profunditas dolij, data e$t, re- periemus ex puncto A, in Ellip$i dato, maiorem axem KL, hoc modo. Interual- lo $emi$sis minoris axis B G, de$cribatur ex A, arcus $ecans in H, rectam G H, ad angulos rectos ip$i minori axi per eius punctum medium G, ductam: & ex A, per H, recta emittatur $ecans minorem axem in I. Recta enim A I, dabit $emi$$es G K, G L, maioris axis, vt lib. 1. no$tri A$trolabij in $cholio Lemmatis 50. demon$trauimus. Itaq; $i tam $emi$sis $ph{ae}- _Capacitas do-_ _lij alio modo_. roidis BKE, quam portio minor AKF, men$uretur, vt cap. 7. traditum e$t, & $o- liditas portionis AKF, ex $oliditate $emi$sis BKE, detrahatur, remanebit capaci- tas $emi$sis dolij ABEF, quæ duplicata totius dolij capa citatem exhibebit. V- tram que hanc rationem dolij dimetiendi à vera dolij capacitate non longè ab- e$$e arbitror. Paratus tamen interim $um, $i quis accuratiorem inuenerit, eam li- benti animo, & grato acceptare.

DE AREA CORPORVM. omnino irregularium. CAPVT XI.

1. TRADVNT $criptores nonnulli regulam quandã mechanicam ad cor- pora dimetienda, quæ omnino $unt irregularia, ita vt $ub regulas Geo- metricas, quæ hactenus explicatæ $unt, cadere non po$sint: cuiu$- modi $unt $tatuæ, vrnæ, amphoræ, fru$ta $axorum, quæ neque vniformis $unt cra$sitiei, neque latera habent pror$us recta, aut ad ba$es perpendicularia, & c. Hæc ergo regula, quæ nullo modo videtur a$pernanda, ita $e habet.

PARETVR arca lignea ex a$$eribus leuigatis, in$tar parallelepipedi cuiu$dã, _Soliditas cu-_ _i{us}libet cor-_ _por{is} irregu-_ _lar{is}_. quæ pice ita oblinatur, vt aquam continere po$sit. Arca hæc tantæ debet e$$e longitudinis, latitudinis, atq; altitu dinis, vt corpus metiendum intra ip$am po- $itum, a qua totum po $sit operiri. Po$ita autem hac arca Horizonti æquidi$tan- te, beneficio libellæ, aut perpendiculi, infun datur in eam tantũ aquæ, quantum $atis e$t, vt corpus imp o$itum omnino tegat, notentur que diligenter $uprema [265]LIBER QVINTVS. latera aquæ in a$$eribus arcæ, vt habeatur altitudo aquæ v$que ad arcæ fundũ: Extracto deinde corpore, ita tamen, vt nihil aquæ extra arcam cadat, notentur rur$um latera aquæ, po$tquam quieuerit. Quod $i per cap. 1. huius lib. metia- mur duo parallelepipeda, quorũ ba$is communis e$t arcæ fundus, $iue ba$is, al- titudines vero rectæ à lateribus aquæ notatis v$que ad ba$em, & minus à maio- re $ubtrahamus, relinquetur parallelepipedũ $oliditati corporis propo$iti o- mnino æquale. quod parallelepipedũ etiam con$equeris, $i altitu dinem inter latera aquæ bis notata duces in ba$em arcæ. Sunt, qui infu$a a qua in arcam,@la- tera eius in a$$eribus primo loco notent. Deinde impo$ito corpore, eiu$dem a- quæ latera $ignent. Si enim altitudo inter po$teriora latera, ac priora ducatur in ba$em arcæ, pro ducetur $oliditas corporis impo$iti.

2. PRO vrnis, at que amphoris, $iue eæ lapideæ $int, $iue cretaceæ, ita fa cie- mus. Impleatur vas arena, & eius orificiumita obturetur, vt a qua ingredi nul- lo modo po$sit. Impo$ito deinde va$e in aqua intra arcam contenta, ac $i e$$et corpus quod piam irregulare, inue$tigetur eius $oliditas, vt Num. 1. diximus. De- inde extra cta arena, notentur latera aquæ, antequam vas vacuum impo natur. Impo$ito denique va$e vacuo, $ignentur iterum latera a quæ. Si namque altitu- do inter po$teriora, ac priora latera multiplicetur per ba$em arcæ: pro creabitur $oliditas $olius va$is: quæ detracta ex priori $oliditate, notamrelin quet va$is @apacitatem.

DE SVPERFICIE CONVEXA coni & cylindri recti. CAPVT XII.

1. QVONIAM ex Archimede demon$trauimus, qua ratione $uperficies _Superficies co-_ _nica, dempta_ _ba$e, cui c<007>r-_ _culo $it æqua-_ _lis_. conuexa, $phæræ eiu$que portionum inue$tiganda $it: non deerit for- ta$$e, qui idem de$i deret in cono, ac cylindro recto. quod ex ijs, quæ ab eo dem Archimede in lib. 1. de $ph{ae}ra, & cylindro demon$trata $unt, obtine- bit hoc modo. Propo$ito cono recto quo cunque, erit eius $uperficies conue- xa conica, $eclu$a ba$e, æqualis circulo, cuius $emidiameter e$t linea media pro- portionalis inter latus coni, & $emidiametrum ba$is eiu$dem coni, ex propo$. _Superficies_ _fru$ti coni,_ _dempt{is} ba$i-_ _bus, cu<007> circu-_ _lo æqual{is} $it_. 14. lib. 1. Archimedis de $ph{ae}ra, & cylindro.

2. QVOD $i conus rectus $ecetur plano, quod ba$i æquidi$tet, erit $uperfi- cies conuexa fru$ti coni, demptis ba$ibus, æqualis circulo, cuius $emidiameter e$t linea media proportionalis inter latus conicum fru$ti, & rectam ex $emidia- metris duarũ ba$um cõflatã, ex {pro}po$. 16. lib. 1. Archime. de $ph{ae}ra, & cylindro. _Propo t<007>o co-_ _nicæ $uperfi-_ _cie<007> ad $uam_ _ba$em_.

ITEM $uperficies conica coni recti ad $uam ba$em, proportion\~e habet ean- dem, quam latus coni ad $emidiametrum ba$is coni eiu$dem, ex propo$. 15. lib. 1. Archimedis de $phæra, & cylindro.

4. DENIQVE $uperficies conuexa cylindrirecti, demptis ba$ibus, æqualis _Superficies cy_ _l<007>ndrica dem_ _pt{is} ba$ibus,_ _cui c<007>rculo $it_ _æqualis_. e$t circulo, cu<007>us $emidia meter e$t linea media proportio nalis inter latus cylin- dri, & diametrũ ba$is cylin dri eiu$dem, ex propo$. 13. lib. 1. Archimedis de $ph{ae}- ra & cylindro.

FINIS LIBRI QVINTI. [266] GEOMETRIÆ PRACTICÆ LIBER SEXTVS.

In quo de Geodæ$ia, & de figuris augendis, minuen- di$que in data proportione: Item de duarum me- diarum proportionalium inter duas datas rectas inuentione: Ac denique deradicum extractione agitur.

EXPEDITIS iis, quæ de magnitudinum dimen$io- nibus initio propo$uimus, re$tat vt de rectilinearũ $u- perficierum etiam diui$ione agamus: quæ Geometri{ae} practicæ pars proprio nomine Geodæ$ia vocatur. Nã δ{αί}ω idem $ignificat, quod partior, vel diuido. Scio plero$que partem etiam illam, quæ magnitudines, & terram metitur, appellare Geodæ$iam; Sed hi, auctore Pedia$imo de men$uratione & partitione terræ, longè à veritate aberrant. _Nam, in-_ _quit, terræ men$uratio du{as} in partes diuiditur, Geometriam $cilicet, & Geo-_ _dea$iam. Areænamq{ue} $ecundum artem men$uratio, & terræ men$uratio_ Geometria & Geod{ae}$ia quid. _e$t, & merito Geometria vocatur. vni{us} vero, & eiu$dem areæ, $eu loci diui$io_ _inter diuer${as} per$on{as}, partitio quædam e$t terræ, & iure optimo Geodae$ia ap-_ _pellatur_. HæcPedia$imus.

EDIDIT quidem Federicus Commandimus anno 1570. libellũ de$uperficierum diui$ionibus Machometo cuidam Bagdedino Arabi ad$criptum: ip$eque eadem de re alium breuiorem, & magis vniuer$a- lem con$crip$it: e$tque $anèl<007>bellus vterque acuti$$imus, & eruditio- [267]LIBER SEXTVS. nereferti$$imus. Idem verò po$tea argumentum alia via aggre$$us e$t, & meo certè iudicio, faciliori & magis generali, Simon Steuinius Brugen$is: $ed in qua aliquid de$iderari videatur, vt omnibus $uper- ficiebus rectilineis (quodip$e velle videtur) conuenire po$$it. quod facilè iudicabunt, qui illius problemata Geometrica attentè perlege- rint. Res enim propo$ita nulla ratione confici pote$t, ni$i prius duæ propo$itiones demon$trentur, quarum priorem ip$e $ine demon$tra- tione a$$umit pro principio, po$terioris verò ne meminit quidem, cum tamen admodum $it nece$$aria, & quam Machometus Bagdedi- nus demon$trauit paulò aliter, quam nos. Has ergo duas propo$itiones ad initium huius lib. demon$trabimus, & po$teriorem quidem longè generalius, quam à Machometo factum e$t. quod beneuolo Lecto- ri iudicandum relinquo. Deindè $uperficierum rectilinearum diui- $ionem aggrediemur, in$i$tentes eiu$dem Steuinii ve$tigiis, ni$i quan- do generalius rem oportebit demon$trare. Nihil autem deratione Ma- chometi, & Federici Commandini dicemus: tum quia libellus ip$o- rum in manibus omnium e$t, ac propterea eum, quicunque vo- let, legere poterit: tum quia propo$ita aliqua figura multorum an- gulorum, non $ine difficultate, ac labore eam $tudio$us diuidet, ni- $i diui$ionis omnium præcedentium figurarum memor $it, quod in no$tra ratione non acc<007>dit: tum denique quia illorum ratio $olum fi- guris ordinariis conuenit, quæ videlicet omnes angulos habent intror- $um, tot nimirũ, quotlatera figura ip$a continet, no$tra autem via figuras etiamillas complectitur, quæ angulos habent partim intror$um, & par- tim extror$um vergentes.

THOREMA 1. PROPOSITIO 1.

SI magnitudo in quotuis partes $ecetur vtcunque, & alia quæpiam ma- gnitudo in totidem partes ordine illis proportionales: habebunt quotlibet partes prioris magnitudinis $imul ad reliquas omnes par- tes $imul eandem proportionem, quam totidem partes po$terioris magnitudinis $imul ad reliquas omnes partes $imul. Et $i quælibet pars prioris magnitudinis $ecetur in duas partes vtcunque, $ecetur autem & pars po$terioris magnitudinis illi parti re$pondens in alias duas partes duabus illis proportionales: erunt quoque ibidem to- tæ magnitudines $ectæ proportionaliter.

SIT magnitudo A B, $ecta in quotuis partes vtcunque A C, C D, D E, EF, F B: & alia magnitudo quali$cunque G H, etiam$i diuer$i $it generis, $ecta in [268]GEOMETR. PRACT. totidem partes GI, IK, KL, LM, MH, illis ordine proportionales. Dico ita e$- $e, verbi gratia, duas partes AC, CD, $imul ad reliquastres DE, EF, FB, $imul, vt $unt duæ GI, IK, $imulad reliquas tres KL, LM, MH, $imul, &c. Quoniam enim e$t, vt AC, ad CD, ita GI, ad IK, erit componendo etiam, vt AD, ad CD, ita GK, ad IK: Vtautem CD, ad DE, ita e$t IK, ad KL. Igitur ex æqualitate erit, vt AD, ad DE, ita GK, ad KL.

RVRSVS quia conuertendo e$t, vt BF, ad F E, ita HM, ad ML; erit quo- que componendo, vt BE, ad FE, ita HL, ad ML: Vtautem FE, ad ED, ita e$t ML; ad LK. Igitur ex æqualitate erit, vt B E, ad ED, ita HL, ad L K; & com- ponendo, vt B D, ad E D, ita H K, ad L K; & conuertendo, vt D E, ad D B, ita KL, ad KH. Itaque cumo$ten$um $it, e$$e vt AD, ad DE, ita vt GK, ad KL, & vt D E, ad D B, ita K L, ad K H; erit ex æqualitate, vt A D, ad D B, ita G K, ad K H.

NON aliter o$tendemus e$$e, vt AC, ad CB, ita GI, ad IH. Nam rur$us con- uertendo, componendo, & ex æqualitate erit vt B C, ad D C, ita HI, ad K I; & conuertendo, vt CD, ad CB, ita IK, ad IH. Cum ergo $it, vt AC, ad CD, ita GI, ad IK, & vt CD, ad CB, ita IK, ad I H; erit ex æqualitate, vt AC, ad CB, ita GI, ad I H.

PARI ratione erit, vt AF, ad FB, ita GM, ad MH. Erit namquerur$us com- ponendo, & ex æqualitate, vt AF, ad EF, ita GM, ad LM. Cum ergo $it quo- que, vt EF, ad FB, ita LM, ad MH: erit ex æqualitate, vt AF, ad FB, ita GM, ad MH; & $ic de cæteris. Con$tatigitur primum.

DEINDE pars v. g. tertia DE, $ecta $it vtcunque in partes duas D N, N E; & tertia quo que pars KL, in duas KO, OL, illis proportionales. Dico e$$e quo- que vt AN, ad NB, ita GO, ad OH. Erit enim conuertendo, vt EN, ad N D, ita L O, ad O K: & componendo, vt ED, ad DN, ita LK, ad K O. Quare cum $it, vt CD, ad DE, ita IK, ad KL, & vt DE, ad DN, ita KL, ad KO: erit ex æqualita- te, vt CD, ad DN, ita IK, ad KO, atque ita partes AC, CD, DN, partibus GI, IK, KO, proportionales $unt.

RVRSVS quia e$t conuertendo, vt FE, ad E D, ita ML, ad LK; & compo- nendo, vt DE, ad NE, ita KL, ad OL; erit exæqualitate, vt FE, ad E N, ita ML, ad LO; & conuertendo, vt NE, ad EF, ita OL, ad LM; ac proinde omnes par- tes AC, CD, DN, NE, EF, FB, omnibus partibus GI, IK, KO, OL, LM, M H, proportionales $unt. Igitur vt in prima parte demon$tra- tume$t, erit vt AN, ad NB, ita GO, ad OH. Con$tat ergo etiam $ecundum.

[269]LIBER SEXTVS. PROBLEMA 1. PROPOSITIO 2.

DATO rectilineo $uper datam rectam inter alias duas rectas interce- ptam, con$tituere quadrilaterum æquale, cuius latus oppo$itum in- ter duas ea$dem rectas, interceptum datæ rectæ $it parallelum. Et datis duobus rectilineis inæqualibus quibu$cunque, ex maiore per lineam vni lateri parallelam detrahere rectilineum minori æquale, quando id fieri pote$t, quod ex ip$a problematis $olutione cogno- $cetur.

SIT rectilineum datum A, & recta data B C, inter duas rectas B D, C E, intercepta: oporteatque primum con$titue- rerectilineo A, æquale quadrilaterum $uper da- tam rectam B C, cuius latus oppo$itum inter ea$dem rectas BD, C E, interceptum datærectæ BC, $it parallelum. Et $i quidem duæ rectæ BD, C E, $int parallelæ (quodtum demum eueniet, cum duo anguli B, C, æquales $unt, duobus rectis) efficietur problema, $i $uper rectam B C, con$tituetur parallelo- _45. primi_. grammum B E, $iue in angulo B C E, $iue in angulo C B D, rectilineo A, æ- quale.

2. QVANDO anguli B, C, recti$unt, facilius problema effi ciemus hac ra- tione. Rectilineo dato A, con$tituatur per ea, quæ in $cholio propo$. 14. lib. 2. Euclid. vel potius per ea, quæ Num. 4. cap. 4. lib. 4. huius Geometriæ pra- cticæ $crip$imus, quadratum F G H, æquale: re$oluendo videlicet rectili- n@um in triangula, vel trapezia, & cuilibet triangulo, vel trapezio æquale qua- dratum con$tituendo, ac tandem omnia illa quadrata ad vnum redigendo, vt locis citatis fusè explicauimus. Deinde duabus rectis B C, F G, inueniatur [270]GEOMETR. PRACT. tertia proportionalis B D, acper D, ip$i B C, parallela agatur D E. Rectan- gulumenim B E, rectilineo dato A, æquale erit; cum quadrato F G H, æ- _17. $exti_. quale $it; propterea quod tres rectæ B C, F G, B D, continuè proportiona- les $unt.

IMMO eodem hoc artificio vti poterimus, quando parallelæ BI, CK, non faciunt angulosrectos ad B, & C. Nam con$tituto rectangulo CD, æquali qua- drato FH, id e$t, rectilineo A, vt dictum e$t: $i producaturlatus DE, donec $ecet rectas B I, C K, in I, K, erit parallelogrammum BK, rectangulo CD, æquale, _35. primi_. hoce$t, rectilineo A.

3. SI verò duæ rectæ BD, CE, non $int parallelæ, conueniant ad partes D, E, in F, (quod tumfiet, cum duo anguli DBC, ECB, minores $unt duobus re- ctis) $itque primum propo$itum $uper B C, ver$us F, con$tituere trapezium rectilineo A, æquale, habenslatus rectæ B C, oppo$itum eidem B C, paralle- lum. quodvtfieri po$sit, nece$$e e$t, rectilineum A, minus e$$e triangulo BCF, vt patet.

RECTILINEO ergo A, con$truatur perea, quæ in $cholio propo$. 14. lib. 2. Euclid. vel potius perea, quæ Num. 4. cap. 4. lib. 4. huius, vtproximè dixi- _14. $ecundi_. mus, æquale quadratum G, cuius latus H I. Item triangulo B C F, æquale quadratum K, cuius latus L M. Deinde duabus rectis L M, H I: reperiatur tertia proportionalis L N. Inuenta autem recta O, media proportionali in- ter L M, & M N; fiat vt L M, ad O, ita B F, ad F D; actandem per D, ip$i B C, parallela agatur D E. Dico Trapezium B E, rectilineo A, æquale e$$e [271]LIBER SEXTVS. Quoniam enim triangulum B C F, ad triangulum D E F, duplicatam pro- _19. $exti._ portionem habet lateris B F, ad latus D F, hoc e$t, rectæ L M, ad rectam O: Habet autem & L M, ad M N, duplicatam proportionem eius, quam habet L M, ad O, quod L M, O, M N, $int continuè proportionales. Igitur erit vt triangulum B C F, ad triangulum D E F, ita L M, ad M N; Et per conuer$io- nem rationis, vt triangulum B C F, ad Trapezium B E, ita L M, ad L N. Cum ergo $it, vt LM, ad LN, ita quadratum K, ad quadratum G, quod LM, _coroll. 2@._ _$exti._ H I, L N, continuè $int proportionales, erit quo que vt triangulum B C F, ad trapezium B E, ita quadratum K, ad quadratum G, hoc e$t, ita triangulum BCF, quod ip$i K, æquale e$t, ad rectilineum A, ip$i G, æquale. Quo circa cum triangulum B C F, ad trapezium B E, & ad rectilineum A, eandem habeat pro- portionem; æqualia erunt trapezium BE, & rectilineum A, quod e$t propo- _9. quinti._ $itum.

4. SIT deinde $uper B C, ver$us R, S, vbianguli R B C, SCB, duobus re- ctis $unt maiores, non autem ver$us punctum concur$us F, con$truendum trape- zium rectilineo A, cuiu$cunque magnitudinis $it, æquale, habens latus oppo- $itum rectæ B C, parallelum. Fiat rur$us triangulo B C F, æquale quadra- _14. $ecundi._ tum K, cuius latus L M; & rectilineo A, aliud quadratum G, æquale, cuius latus HI, per ea, quæ ad propo$itionem 14. lib. 2. Euclìd. vel potius per ea, quæ Num. 4. cap. 4. lib. 4. huius docuimus. Dein de lateribus L M, HI, inueniatur tertia proportionalis MP, quæ ip$i LM, in continuum & directum $it po$i- ta: at que inter totam L P, & L M, reperta $it media proportionalis Q: ac po$tremo, vt Q, ad L P, ita fiat FB, ad F R: ip$ique BC, parallela agatur R S. Dico trapezium B S, rectilineo A, e$$e æquale. Quoniam enim triangulum _19. $exti._ BCF, ad triangulum R S F, proportionem habet duplicatam lateris F B, ad latus F R, hoc e$t, proportionis Q, ad L P; E$t autem & proportio L M, ad L P, duplicata proportionis L M, ad Q, vel Q, ad L P, quod tres rectæ L M, Q, L P, $int continuè proportionales. Igitur erit vt triangulum B C F, ad triangulum R S F, ita L M, ad L P; ideo que etiam per diui$ionem rationis con- trariam in $cholio propo$. 17. libr. 5. Euclid. à nobis demon$tratam, vt trian- gulum BCF, ad trapezium BS, ita L M, ad M P. Vtautem L M, ad M P, ita _coroll. 2@._ _$ext<007>._ e$t quadratum K, ad quadratum G, quod tres L M, H I, M P, $int continuè proportionales. Igitur erit quoque, vt triangulum B C F, ad trapezium B S, ita quadratum K, ad quadratum G. Cum ergo triangulo B C F, con$tructum $it æquale quadratum K: erit quoque trapezium B S, quadrato G, æquale, _14. quinti._ hoc e$t, rectilineo A, cui quadratum G, con$tructum e$t æquale. quod e$t pro- po$itum.

QVOD $i quando duæ rectæ B F, C F, in tam remoto puncto concurrant, vt vix haberi po$sit, (quod quidem tunc accidet, cum ip$æ rectæ ferè pa- rallelæ $unt) ab$oluemus problema, etiam$i punctum concur$us F, non habea- mus, huncin modum. Sumpto vtcunque puncto T, in altera earum, nimirum in C F, agatur T V, alteri BF, parallela; & duabus B C, C V, inueniatur tertia proportionalis X. Con$tructo deinde ex $cholio propo$. 14. lib. 2. Euclid. vel potius, vt Num. 4. cap. 4. libr. 4. huius docuimus, quadrato G, æquali rectili- neo A, inueniatur tribus BC, X, H I, quarta proportionalis IY, agatur que Y Z, lateribus qua drati parallela. Et quoniam e$t, vt triangulum B C F, ($i per- _coroll. 19._ _$exti._ ficeretur) ad triangulum V C T, ita recta B C, ad rectam X, hoc e$t, ita H I, [272]GEOMETR. PRACT. ad I Y, hoc e$t, ita quadratum G, ad rectangulum I Z: E$t autem triangulum _1. $exti._ B C F, maius quadrato G, $iue rectilineo A: (quando enim ad partes angulo- rum, qui duo bus rectis minores $unt, con$truendum e$t trapezium dato recti- lineo æquale, debet e$$e triangulum maius rectilineo) erit quo que triang@- _14. quinti._ lum V C T, maius rectangulo I Z. Igitur vt Num. 3. traditum e$t, con$truatur trapezium V b, rectangulo I Z, æquale: & tribus rectis C V, V a, C B, inuen- ta quarta proportionali B D, (tran$ibit autem recta ducta C a, per D, $i _$@hol. 4._ _$exti._ quarta B D, ritè e$t inuenta, ita vt vici$sim recta C a, $i ex qui$itè ducatur, ex- hibeat quartam proportionalem quæ$itam B D,) demittatur D E, ip$i B C, pa- _4. $exti._ rallela. Dico trapezium B E, dato rectilineo A, æquale e$$e. Quoniam enim trapezium B E, trapezio V b, $imile e$t, per ea, quæ ad propo$. 18. libr. 6. Eu- clid. demon$trauimus; erit trapezium B E, ad trapezium V b, vt recta B C, ad _coroll. 20._ _$exti._ rectam X, hoc e$t, vt recta HI, ad IY, hoc e$t, vt quadratum G, ad rectangu- lum I Z. Cum ergo trapezium V b, rectangulo I Z, æquale $it; erit quo- _1. $exti._ que trapezium BE, quadrato G, hoc e$t, rectilineo A, æquale. quod e$t propo- _14. quinti._ $itum.

6. NON aliter ex alia parte angulorum R B C, S C B, qui duo bus rectis $unt maiores, etiam$i punctum concur$us F, non habeatur, trapezium con$tituemus rectilineo T, æquale, cuiu$cunque magnitudinis illud ponatur. Neque enim in hoc ca$u nece$$e e$t, ip$um e$$e minus triangulo B C F, $i perficeretur. Ducta namque ex quolibet puncto T, rectæ C F, ip$i BF, parallella T V, eaque pro- ducta, inueniatur duabus rectis B C, C V, tertia proportionalis X. Con$tructo [273]LIBER SEXTVS. deinde quadrato G, quod rectilineo A, $it æquale, reperiatur tribus rectis BC, X, & HI, quarta proportionalis IY, agaturque Y Z, lateribus quadrati parallela, ita vt rur$us $it triangulum BCF, ad triangulum V C T, $icut quadratum G, ad re- ctangulum I Z. Po$t hæc, vt Num. 4. præcepimus, rectangulo IZ, con$truatur trapezium æquale V e, & tribus rectis C V, V d, CB, inuenta quarta proportionali B R, (tran$ibit autem recta C d, ducta per R: $i quarta BR, rectè inuenta e$t: _$chol. 4._ _$exti._ ita vt vici$sim recta C d, $i accuratè ducatur, ab$cindat quartam proportiona- lem quæ$itam BR,) demittatur R S, ip$i BC, parallela. Dico trapezium B S, recti- _4. $exti._ lineo A, æquale e$$e. Quoniam enim trapezium B S, trapezio V e, $imile e$t, per ea, quæ in $cholio propo$. 18. lib. 6. Euclid. mon$trata $unt à nobis; erit trape- _coroll. 20._ _$exti._ zium B S, ad trapezium V e, vt recta BC, ad rectam X, hoc e$t, vt recta H I, ad rectam IY, hoc e$t, vt quadratum G, ad rectangulum IZ. Cum ergo trapezium _1. $exti._ V e, rectangulo I Z, æquale$it; erit quo que trapezium B S, quadrato G, hoc _14. quinti._ e$t, rectilineo A, æquale. quod e$t propo$itum.

7. IAM verò datis duobus rectilineis quibu$cunque A, & BCDEFGHI, $it ex po$teriore: quod maius ponatur, auferendum rectilineum habens latus la- teri BI, parallelum, æquale priori A, quod minus $tatuatur, $i fieri quidem id po- terit. Fieri autem poterit $emper in figuris omnes angulos habentibus intror- $um, in aliis verò non $emper. Per ea, quæ in $cholio propo$. 14 lib. 2. Euclid. vel potius per ea, quæ Num. 4. cap. 4. lib. 4. huius tradidimus, con$truatur quadra- tum K M, rectilineo minori A, æquale. Deinde ex angulo C, quilateri BI, pro- ximus e$t, ducta lateri B I, parallela C O, con$tituatur rectilineo B O, ea- dem ratione quadratum æquale P Q R; & duabus rectis K N, PQ, inuenta ter- tia proportionali K S, ducatur S T, ip$i K L, parallela: Erit que rectangulum _17. $exti._ K T, contentum $ub prima linea KL, & tertia K S, quadrato mediæ PQ, hoc e$t, rectilineo B O, æquale. Et quoniam KS, inuenta e$t in hoc exemplo minor late- re KN: ideo que & rectangulum K T, minus quadrato K M, hoc e$t, rectilineo A; erit etiam rectilineum B O, minus rectilineo A. Ex propinquiore ergo an- gulo H, ducta rur$um ip$i CO, vel BI, parallela H V, fiat iterum rectilineo C H, æquale quadratum, cuius latus X: Et duabus rectis K N, & X, inuenta tertia proportionali S N, quæ in hoc exemplo terminatur in extremo lateris K N; erit rur$um rectangulum SM, $ub prima linea ST, & tertia SN, comprehen$um _17. $exti._ æquale quadrato mediæ X, hoc e$t, rectilineo C H. Cum ergo & K T, ip$i B O, $it o$ten$um æquale: erit totum quadratum K M, hoc e$t, rectilineum A, toti rectilineo BCVHOI, æquale; ac proinde ex maiori rectilineo per rectam HV, lateri B I, parallelam rectilineum detraximus minori rectilineo A, æquale. quod faciendum erat.

8. QVOD $i duabus rectis K N, & X, inuenta tertia proportionalis fui$- $et minor, quam SN, nimirum æqualis ip$i S Y, ita vt rectangulum S Z, quadra- to rectæ X, vel rectilineo C H, foret æquale: ducenda e$$et ex proximo an- gulo D, alia parallela D a, & rectilineo D H, con$tituendum quadratum æ- quale; at que rectæ K N, & lateri po$tremi huius quadrati inuenti adiungen- da tertia proportionalis, & ei ab$cindenda æqualis Y b. Et $i Y B, foret m<007>nor, quam Y N, ducenda adhuc e$$et ex proximo angulo G, parallela lateri B I, & rectilineo inter hanc parallelam, & D a, comprehen$o effi ciendum quadratum æquale: ac rectæ K N, & lateri huius quadrati adiungenda tertia proportiona- lis, &c. Atque ita progrediendum deinceps, donec inuenta $it tertia propor- [274]GEOMETR. PRACT. tionalis S N, quæ terminetur in N, (qualis fuit tertia proportionalis S N, dua- bus K N, & X, inuenta) vel cuius terminus vltra N, cadat. Quando enim ter- minatur in N, erit rectilineum inter B I, & vltimam parallelam comprehen$um æquale quadrato K M, hoc e$t, rectilineo A, vt o$ten$um fuit de rectilineo BH, paulo ante hunc Num. 8. Quando autem terminus tertiæ proportionalis ca- dit vltra N, videlicet in b. ita vt rectangulum Y d, $it æquale vltimo quadrato inuento, hoc e$t, rectilineo D H; ac proinde totum rectilineuminter BI, & vlti- mam parallelam, hoc e$t, rectangulum K d, maius quadrato K M, vel rectilineo A; erit vltimum rectilineum D H, maius rectangulo N d, propterea quod K Z, ip$i BH, æquale e$t, & Y d, ip$i D H. Quare $i $uper rectam D a, inter rectas D V, a H, con$tituatur trapezium D f, per parallelam e f, rectangulo N d, æquale, vt $upra Num. 3. traditum e$t: erit rectilineum inter B I, & e f, parallelas conten- tum æquale quadrato K M, hoc e$t, rectilineo A.

CÆTERVM non e$t nece$$e, vt $emper à proximo angulo parallela duca- tur in figura B F. Quando namque $en$us iudicaret plus minus, parallelam ex aliquo angulo non proximo ductam auferre rectilineum minus quadrato K M, vel non multò maius, ducenda e$$et parallela ex eo angulo, & recti- lineo ab$ci$$o con$truendum æquale quadratum, & reliqua perficienda, vt prius.

DENIQVE $i aliquando deprehenderetur, rectilineum ab$ci$$um non e$$e multo minus quadrato, con$tituendum e$$et, vt Num. 3. docuimus, $uper paral- lelam illam trapezium æquale rectangulo, quo quadratum KM, rectilineum ab- $ci$$um $uperat.

[275]LIBER SEXTVS.

9. Ex his puto $atis $tudio $um Lectorem intelligere, quo pacto in alijs e- xemplis $e gerere debeat. Nam $i verbi gratia ex hoc propo$ito rectilineo irre- gulari$simo per lineam lateri AM, parallelam ab$cindenda $it portio æqualis al- teri cuipiam rectilineo minori, producemus MA, v$- que ad N. Et $i quidem deprehen$um fuerit trian- gulum A B N, e$$e æquale dato rectilineo minori, (quod $cietur, $i quadratum triangulo æquale con- $tructum, fuerit æquale quadrato, quod dato recti- lineo minori con$truitur æquale) recta AN, proble- ma efficiet. Siverò maius, con$truemus $uper AN, ver$us B, trapezium per parallelam ip$i A N, æquale exce$$ui: At $i minus, du- cemus L O, parallelam. Nam $i fuerit deprehen$um rectilineum NL, æquale defectui, problema efficiet parallela L O: Si verò maius, con$tituemus $uper L O, ver$us MN, per parallelam ip$i MN, trapezium exce$$ui æquale. Ea enim parallela problema $oluet: At $i minus, producemus OL, ad P: Et$i quidem triangulum KLP, fuerit æquale defectui, tota parallela O P, quæ$tioni $atisfa- ciet: Si verò maius, con$tituemus in angulo K, triangulum $imile triangulo _25. $exti._ KLP, & exce$$uiæquale; ita vt hoc triangulum vna cum rectilineo per paralle- lam L O, ab$ci$$o $it dato rectilineo minori æquale. Ex quo colliges, proble- ma in hoc ca$u $olui non po$$e, cum duæ parallelæ, nimirum L O, & illa, quæ triangulum ip$i KLP, $imile aufert, re$ecent ex toto rectilineo BG, partem dato rectilineo minori æqualem. At $i triangulum KLP, fuerit minus defectu præ- dicto, ita vt hoc triangulum vna cum rectilineo per parallelam L O, ab$ci$$o $it minus dato rectilineo minore, ducemus per D, parallelam Q R. Et $i quidem rectilineum P R, æquale fuerit defectui, quo figura KPLMABNO, à dato re- ctilineo minore deficit, factum erit per parallelam QR, quod iubetur: Siverò maius, parallela, quæ cum QR, ver$us OP, auferet rectilineum huic exce$$uiæ- quale, $atisfaciet problemati: At $i rectilineum PR, fuerit minus prædicto de- fectu, & triangulum C D R, inuentũ fuerit vltimo huic defectui, quo rectiline- um PR, à prædicto defectu deficit, æquale, parallela DQ@ quæ$tionem di$$oluet: Si autem triangulum CDR, fuerit maius hoc vltimo defectu, $i ad C, con$tiru- _25. $exti._ atur triangulum exce$$ui æquale, & $imile triangulo CDR, $atisfacient quæ$tio- ni duæ parallelæ, videlicet D Q. & ba$is prædictitrianguli con$tituti; atque in hoc ca$u per vnicam parallelam $atisfieri problemati nequit: Si denique trian- gulum CDR, minus extiterit eo dem illo vltimo defectu, ducemus parallelam IS. Et $i quid\~e rectilineum DI, æquale fuerit illi, quo triangulum CDR, minus e$t vltimo illo defectu, erit totum rectilineum ISDCBAMLKI, dato minori re- ctilineo æquale: Si autem rectilineum DI, inæquale fuerit, progrediemur vlte- rius, vt iam $æpius dictum e$t, donec rectilineum inueniamus dato minori recti- lineo æquale; Inuenietur autem omnino vnum æquale, cum totũ rectilineum BG, maius ponatur. Vides igitur, facilè conijci po$$e, quando problema per v- nicam parallelam $olui po$sit, & quando non, $ed per duas: Quotie$cunque enimincidemus in eiu$mo ditriangulum in ip$a con$tructione, qualia fu- erunt K L P, & C D R, ex quo auferendum $it triangulum $imile, & æquale exce$$ui alicui, $olui problema nequit, ni$i per duas parallelas.

[276]GEOMETR. PRACT. PROBL. 2. PROPOS. 3.

DIVISO rectilineo quolibet in triangula ex vno aliquo puncto, rectas lineas ip$is triangulis ordine proportionales inuenire.

SIT rectilineum quo dlibet A B C D E F, diui$um in triangula A B C, A C D, ADE, AEF, per rectas ex angulo A, (vel aliquo puncto a$signato in vno latere) ad omnes angulos oppo$itos ductas: atque hi$ce triangulis inueniendæ $int or- dine totidem rectæ proportionales. Ex omnibus angulis dempto angulo A, ad rectas ex A, egredientes ducantur perpendiculares B I, CL, DK, DN, EM, FO, pro altitudinibus triangulorũ. _(_Nihil autem refert, $i interdum perpendiculares cadant in rectas extra triangula productas, cuiu$modi hic $unt DK, DN,) ita vt $ingula triangula binas habeant altitudi- nes, præter duo extrema, quæ $ingulas duntaxat habent. Deinde in recta quacunque GH, accipiatur GP, æ qualis altitudini BI, primi trianguli ABC; & P Q, æqualis altitu- dini DK, $ecundi trianguli A C D, re$pectu eiu$dem ba$is AC. Po$t hæc$iat, vt CL altitudo $ecunditriangulire- _12. $exti_. $pectu ba$is AD, ad EM, altitudin\~e tertij trianguli ADE, re$pectu eiu$dem ba$is AD, ita PQ. ad QR; Et vt DN, altitudo tertij trianguli ADE, re$pectu ba$is AE, ad FO, altitudinem quartitrianguli AEF, re$pectu eiu$dem ba$is AE, ita QR, ad RH, atque ita deinceps, $i plura fuerint triangula, $umendo $emper duas alti- tudines ad communem ba$em demi$$as, &c. Dico quatuor rectas G P, PQ, QR, R H, e$$e quatuor triangulis ordine proportionales. Nam vt in $cholio propo$. 1. lib. 6. Euclid demon$tratum e$t, à nobis, ita e$t triangulum A B C, ad triangulum ACD, vt altitudo BI, ad altitudinem D K, propter ba$em commu- nem AC, hoc e$t, vt GP, ad PQ, cum hæ $umptæ $int illis altitudinibus æquales. Eadem de cau$a ita e$t triangulum ACD, ad triangulum ADE, vt altitudo CL, ad altitudinem EM, hoc e$t, vt PQ. ad QR, cum ex con$tructione $it, vt CL, ad EM, ita PQ. ad QR. Pari denique ratione ita e$t triangulum ADE, ad triangu- lum AEF, vt altitudo DN, ad altitudinem, FO, hoc e$t, vt QR, ad R H, cum $it per con$tructionem, vt DM, ad FO, ita QR, ad RH. Con$tat ergo id, quod pro- po$itum fuit.

ALITER.

SIT rur$us rectilineum ABCDEF, diui$um in triangula ABC, ACD, ADE, AEF, ex puncto A. Quoniam bina proxima triangula con$tituunt qua drila- terum, cuius diameter e$t latus vtrique triangulo commune, cuiu$modi e$t A- BCD, ducemus diametro AC, ex D, parallelam D O, quæ $ecet latus BC, pro- ductum in O. Sic in quadrilatero ACDE, diametro AD, parallelam ducemus EP, quæ $ecet latus CD, protractum in P. Itemque in quadrilatero ADEF, dia- metro AE, parallelam ducemus FQ. quæ latus DE, productum $ecet in Q. De- inde in recta quauis GN, $umantur G H, HK, ip$is BC, CO, æquales, Et tribus [277]LIBER SEXTVS. CD, DP, HK, reperiatur quarta proportionalis KL. Ac tandem tribus DE, EQ, KL, quarta proportionalis inueniatur L N. Dico inuentas e$$e quatuor rectas GH, HK, KL, LN, quatuor triangulis proportionales. Ductis enim ex A, ad O, P, Q, puncta concur$uum rectis AO, AP, AQ, erit triangulum ACD, trian- _37. primi._ gulo ACO; & triangulum ADE, triangulo ADP; & triangulum AEF, trian- gulo AEQ, æquale. Cum ergo $it, vt B C, ad C O, hoc e$t, vt G H, ad H K, ita _1. $exti._ triangulum ABC, ad triangulum ACO, hoc e$t, ad triangulum A C D: Item vt CD, ad DP, hoc e$t, vt HK, ad KL, ita triangulum A C D, ad triangulum A D P, hoc e$t, ad triangulum ADE: Et vt DE, ad EQ, hoc e$t, vt KL, ad LN, ita tri- angulum ADE, ad triangulum AEQ, hoc e$t, ad triangulum AEF: per$picuum e$t id, quod proponitur.

ALITER.

RATIONES duæ expo$itæ, quæ expediti$simè $unt, propria e$t triangulo- rum, in quæ diuiditur figura per rectas ab vno aliquo puncto in quouis latere dato, vel ab aliquo angulo emi$$as: pote$t tamen idem hoc problema ab$olui alio modo, qui in quaslibet figuras conuenit, licet non $it tam expeditus. Ita er- go agemus: Sit eadem figura proxima diui$a in triangula, vel etiam in plurium laterum figuras. Et primo triangulo ABC, vel primæ figuræ, rectangulum, vel _44. vel 45-_ _primi._ quoduis aliud parallelogrammum non rectangulum æquale con$truatur IS: Et $uper rectam RS, aliud parallelogrammum S T, $ecundo triangulo ACD, vel $e- cund{ae} figuræ æquale, habens angulum SR T, angulo I, æqualem. It\~e $uper rectã TV, aliud VX, tertio triãgulo ADE, vel tertiæ figuræ æquale, angulũ hab\~es VT- X, æqual\~e eidem angulo I: Ac deniq; $uper rectam XY, aliud YM, quarto trian- gulo A E F, vel quartæ figuræ æquale, angulum Y X M, habens æqualem eidem angulo I: atque ita deinceps, $i plura fuerint triangula, vel figuræ. Dico re- ctas IR, RT, TX, XM, triangulis, vel figuris e$$e proportionales. Nam ex qua- [278]GEOMETR. PRACT. tuor rectangulis, vel parallelogrammis con$tituitur vnum totum, vt ex demõ- $tratione propo$ 45. lib. 1. Euclid. manife$tum e$t, propter angulos I, S R T, V- _1. $exti._ TX, YXM, æquales: ac proinde omnia quatuor eandem habent altitudinem. Igitur rectæ IR, RT, TX, XM, proportionales $unt parallelogrammis, ideo que & triangulis, $iue figuris, quod e$t propo$itum.

PROBL. 3. PROPOS. 4.

DATVM rectilineum per rectam à quouis angulo, vel puncto in ali- quo latere ductam in proportionem datam diuidere: ita vt antece- dens proportionis, in quam malueris partem, vergat.

SIT primum triangulum quodcunque ABC, per rectam ex angulo A, diui- dendum in duas partes: ita vt pars ad B, verg\~es ad reliquam part\~e habeat pro- portionem datam D, ad E. Secetur latus B C, dato angulo oppo$itum, per ea, quæin $cholio propo$. 10. lib. 6. Euclid. docuimus, in F, ita vt eadem $it proportio BF, ad FC, quæ D, ad E, du- caturque recta A F. Dico e$$e vt D, ad E, ita tri- _1. $exti_. angulum ABF, ad triangulum AFC. E$t enim triangulum ABF, ad triangulum AFC, vt BF, ad FC, hoc e$T, vt D, ad E.

DEINDE $it idem triangulum ABC, diuidendum in duas partes, per rectam ex puncto F, dato in latere BC, ita vt pars ver$us B, ad reliquam partem habeat proportionem datam D, ad E. Ducta ex dato puncto F, ad angulum oppo- $itum A, recta FA, vt totum triangulum in duo triangula $it $ectum: reperian- _3. hui{us}_. tur duæ rectæ GH, HI, habentes eandem proportionem, quam triangulum A- BF, ad triangulum AFC: tota que GI, $ecetur in H, vt eadem $it proportio GH, ad HI, quæ D, ad E. Et quia punctum H, cadit in extremum primæ lineæ GH; e$tque vt GH, ad HI, hoc e$t, vt D, ad E, ita triangulum ABF, ad triangulum A- FC: diuidet recta F A, ex dato puncto F, ad oppo$itum angulum A, ducta tri- angulum ABC, in duas partes in data proportione D, ad E.

SIT rur$us data proportio K, ad L, diuidendumque $it triangulum ABC, ex puncto F, in duas partes eiu$dem proportionis. Diuidatur tota GI, in M, ita vt eadem $it proportio GM, ad MI, quæ K, ad L. Et quoniam diui$ionis punctum M, cadit in primam partem GH, totius lineæ GI, $ecabimus BA, ba$em primitri- anguli dato puncto F, oppo$itam, in N, vt eadem $it proportio BN, ad NA, qu{ae} GM, ad MH. Dico ductam rectam FN, problema efficere, hoc e$t, ita e$$e tri- angulum BFN, ad trapezium FNAC, vt K, ad L. Quoniam enim rectæ GH, HI, triangulis ABF, AFC, proportionales inuentæ $unt: & tam primam partem GH, in M, quam primum triangulum ABF, per rectam FN, $ecuimus proportionali- _1. $exti_. ter, cum $it triangulum BFN, ad triangulum NFA, vt BN, ad NA, hoc e$t, vt _1. hui{us}_. GM, ad MH, erit vt GM, ad MI, id e$t, vt K, ad L, ita BFN, triangulum ad tra- pezium FNAC. quod e$t propo$itum.

DENIQVE data $it proportio O, ad P, $ecandum que $it triangulum ABC, in duas partes eiu$dem proportionis. Diui$atota G I, in Q, ita vt eadem $it [279]LIBER SEXTVS. proportio GQ.ad QI@quæ O, ad P: quoniam punctum diui$ionis Q. eadit in $e- cundam partem HI, totius line{ae} GI, diuidemus AC, ba$em $ecundi trianguli da- to puncto F; oppo$itam in R, vt eadem $it proportio AR, ad R C, quæ H Q, ad QI. Dico ductam rectam ER, problema efficere, hoc e$t, ita e$$e trapezium AB- FR, ad triangulum RFC, vt O, ad P. Quoniam enim rectæ GH, HI, repertæ $unt triangulis ABF, AFC, proportionales; & tam $ecundam partem HI, in Q. quam $ecundum triangulum AFC, per rectam FR, $ecuimus proportionaliter: cum _1. $exti_. $it triangulum AFR, ad triangulum CFR, vt AR, ad RC, hoc e$t, vt HQ. ad QI: Erit vt GQ, ad QI. hoc e$t, vt O, ad P, ita trapezium ABFR, ad triangulũ RFC. _1. hui{us}_. quod e$t propo$itum.

IAM verò $i antecedens proportionis vergere debeat ver$us C, proportio- que data $it O, ad P; fiet id commodi$simè, $i triangulum ex F, diuidatur $ecũ- dum proportionem P, ad O, ita vt antecedens vergat ver$us B, $icut docuimus. Nam tunc pars ver$us C, ad reliquam habebit proportionem, quam O, ad P, per conuer$am proportionalitatem. Quod etiam in alijs figuris intelligi volo.

SIT deinde multilatera figura quæ cunque ABCDEF, per rectam ex angu- lo A, ductam $ecanda in duas partes, ita vt pars ad B, vergens ad reliquam par- tem proportionem habeat datam M, ad N. Ductis ex dato angulo A, ad omnes _3. hui{us}_. angulos oppo$itos rectis partientibus figuram in quatuortriangula; inueni- anturip$is quatu or rectæ proportionales GH, HI, IK, KL. Tota deinde GL, $e- ceturin O, vt eadem $it proportio G O, ad O L, quæ M, ad N. Et quoniam di- ui$ionis punctum O, cadit in tertiam lineam IK, $ecabimus tertij trianguli ba$em DE, dato angulo A, oppo$itam in P, vt $ecta e$t IK, in O, ducemu$querectam AP. Dico e$$erectilineum ABCDPA, ad rectilineum APEFA, vt GO, ad OL, hoc e$t vt M, ad N. Quoniam enim triangula rectilinei dati proportionalia $unt ordine rectis GH, HI, IK, KL, per con$tructionem, tertiumq; triangulum ADE, & lineam tertiam IK, diui$imus proportionaliter per rectam A P, & in puncto O; cum $it vt DP, ad PE, hoc e$t, vt IO, ad OK, ita triangulum ADP, ad trian- gulum A P E; Erunt totæ quoque magnitudines $ectæ proportionaliter, hoc _1. $exti_. e$t, erit ABCDPA, ad APEFA, vt G O, ad O L, hoc e$t, vt M, ad N. quod e$t _1. hui{us}._ propo$itum.

QVOD $i punctum O, diuidens rectam GL, in duas partes proportionis da- tæ M, ad N, caderet in aliquod punctorum H, I, K, vt in I, terminum $ecundæ li- neæ HI, diuideret recta AD, terminans $ecundum triangulum A C D, totum re- ctilineum in datam proportionem. Nam tunc per primam partem propo$. 1. huius lib. e$$et ABCDA, ad ADEFA, vt M, ad N, vt pe$picuum e$t.

[280]GEOMETR. PRACT.

DATVM præterea $it rectilineum ABCD, ex puncto E, dato in latere AB, di- uidendum in duas partes, quarum prior ad B, vergens ad po$teriorem partem habeat proportionem datam K, ad L. Ductis ex dato puncto E, ad omnes an- gulos oppo$itos rectis diuidentibus rectilineum in tot triangula vno minus, quotlatera figura habet; inueniantur rectæ FH, HI, IG, triangulis EBC, ECD, EDA, proportionales. Secta deindetota FG, in M, $ecundum datam propor- _3. hui{us}_. tionem K, ad L: quoniam diui$ionis punctum M, incidit in primam linea F H, diuidemus primi trianguli E B C, ba$em BC, dato puncto E, oppo$itam in X, vt FH, $ecta e$t in M. Iuncta namq; recta EX, erit triangulum EBX, ad figuram _1. hui{us}._ EXCDAE, vt FM, ad MG, hoc e$t, vt K, ad L: propterea quod triangula E B C, ECD, EDA, rectis FH, HI, IG, proportionalia $unt ex con$tructione; & primæ partes EBC, FH, $ectæ $unt per rectam EX, & in M, proportionaliter; cum $it _1. $exti._ EBX, ad EXC, vt BX, ad XC, hoc e$t, vt FM, ad MH. Con$tat ergo propo$itũ.

SI proportio data $it N, ad O; $ecta FG, in P, $ecundum proportionem N, ad O, cadet diui$ionis punctum P, in $ecundam lineam HI. Igitur $i $ecundi tri- anguli ECD, ba$is CD, dato puncto E, oppo$ita $ecetur in Q, vt $ecta e$t HI, in P, nectatur que recta EQ, erit rur$us figura EBCQE, ad figuram EQDA, vt FP, _1. hui{us}._ ad PG, hoc e$t, vt N, ad O.

SI denique data $it proportio R, ad S; $ecta FG, in V, $ecundum proportio- nem R, ad S, cadet diui$ionis punctum V, in tertiam lineam I G. Quamobrem $i tertij trianguli EDA, ba$is DA, dato puncto E, oppo$ita $ecetur in T, vt $ecta e$t IG, in V, iungaturque recta ET; erit rur$us figura EBCDTE, ad triangulum _hui{us}_. ETA, vt FV, ad VG, hoc e$t, vt R, ad S.

ATQVE hac via procedendum e$t in omnibus alijs figuris, quæ latera toti- dem habeant, quot angulos, id e$t, in quibus omnes anguli intror$um vergant.

IDEM hoc problema efficiemus in rectilineo, cuius anguli partim extror- $um vergant, & partim intror$um, dummodo ab angulo, vel puncto dato in la- tere ducipo$sint lineæ rectæ diuidentes rectilineum in triangula quæ nullũ ip$i- us latus $ecent. Vt in hac figura octo laterum ABCDEFGH, cuius quinque an- guli B, C, D, F, H, intror$um vergunt, & reliquitres BAH, DEF, FGH, extror$um. ductæ $unt rectæ ex angulo A, ad omnes angulos, præter quam ad duos proxi- [281]LIBER SEXTVS. mos B, H, nullum figuræ latus inter$ecantes. Siigitur reperiantur $exrectæ IK, _3. hui{us}._ K L, L M, M N, N O, O P, $ex triangulis ABC, ACD, ADE, AEF, AFG, AGH, proportionales; & tota linea L P, $ece- tur in S, $ecundnm datam proportionem Q, ad R; atque ba$is D E, tertij trianguli (Nam diui$io nis punctum S, in tertiamli- neam LM, incidit) dato puncto A, oppo- $ita diuidatur in T, vt linea L M, in S, di- ui$a e$t, ducaturque recta A T: Erit fi- _1. hui{us}._ gura ABCDTA, ad figurã ATEFGHA, vt IS, ad SP, hoc e$t, vt Q, ad R.

Ex angulo B, vel H, non poterit propo$ita figura in quamcunque propor- tionem diuidi: quia lineæ ex eorum vtrolibet ad oppo$itos angulos emi$$æ par- tim $ecant latera, & partim cadunt extra figuram. Quod $i data proportio mi- nor e$$et, quam figuræ BCDEB, ($i nimirum intelligatur ducta recta BE,) ad figu- ram BEFGHAB, tum demum diuidi po$$et ex B, tota figura in datam propor- tionem: propterea quod fierent duo triangula B C D, (ducta videlicet recta B D,) B D E, ad punctum B, quorum ba$es $unt latera figuræ C D, D E; alia vero quatuor ABE, AEF, AFG, AGH, ad punctum A, quorum etiam ba$es $unt figu- rælatera AB, EF, FG, GH, &c.

EODEM modo quamcunque figuram rectilineam, etiam irregulari$simam, partiemur in datam proportionem, non quidem ex quolibet angulo, vel pun- cto dato, (ni$i ex eo duci po$sint rectæ ad omnes angulos oppo$itos, ex- ceptis duobus proximis, quæ nullum figuræ latus inter$ecent: cuiu$mo- di e$$et punctum V, in antecedentifigura) $ed ex aliquo puncto particulari; $i prius figura diuidatur in triangula ex pluribus punctis, ita vt quodlibet triangulum habeat $altem vnum latus, quod etiam $it latus figuræ. Vt $i fi- gura hæc A B C D E F G H I K A, diuidatur in octo triangula, & illis in recta L T, inueniantur totidem lineæ proportionales, totaq; linea L T, $ecetur in Y, _3. hui{us}._ [282]GEOMETR. PRACT. $ecundum datam proportionem V, ad X; & ba$is IK, $exti trianguli (quod pun- ctum Y, cadat in $extam lineam QR,) $ecetur in Z, vt $ecta e$t QR, in Y; ita vt _1. $exti._ ductarecta F Z, triangulum FIK, $ectum $it, vt $ecta e$t ba$is IK, hoc e$t recta QR: _1. hui{us}._ Erit figura ABCDEFZKA, ad figuram FZIHGF, vt LY, ad YT, hoc e$t, vt V, ad X, Et $ic de cæteris.

SCHOLIVM.

HIS ritè intellectis, licebit nobis quamlibet figuram $ecare in quotuis par- _Quo pacto_ _figura data_ _$ecetur ex da-_ _to angulo vel_ _puncto in late_ _re, in quotu{is}_ _partes æqua-_ _l{es}._ tes æquales ex dato angulo, vel pũcto in latere, ex quo duci po$sint ad omnes angulos, exceptis proximis duobus, rectæ lineæ, ita vt nullum figuræ latus $e- cent. Nam $i propo$ita figura $it $ecanda, verbi gratia in 7. partes æquales, di- uidemus eam $ecundum proportionem 1. ad 6. nimirum $ecundum $ub multi- plicem denominatam à denominatore partium, minus vno, in quas figura diui- denda e$t. Ita enim prior pars erit {1/7}. totius figuræ, cum po$terior 6. eiu$modi partes complectatur. Hanc deinde po$teriorem partem $ecabimus $ecundum proportionem 1. ad 5. ita vt prior pars contineat {1/6}: ip$ius, hoc e$t, {1/7}. totius fi- guræ. Po$t hæc po$teriorem huius $ecundæ diui$ionis partem partiemur $ecũ- dum proportionem 1. ad 4. Ac rur$us partem huius tertiæ diui$ionis po$terio- rem diuidemus $ecundum proportionem 1. ad 3. Atq; po$teriorem huius quar- tæ diui$ionis partem $ecabimus $ecundum proportionem 1. ad 2. Ac po$tremo partem po$teriorem huius quintæ diui$ionis partiemur in duas partes æquales, nimirum $ecundum proportionem 1. ad 1.

NON aliter figuram irregularem, in qua à nullo angulo, vel puncto in late- re, duci po$$unt rectæ ad angulos oppo$itos, quin aliqua figuræ latera $ecentur, diuidere licebit in partes quotuis æquales, ex diuer$is angulis, vel punctis. Nam $i verbi gratia vltima figura huius propo$itionis diuidenda $it in 5. partes æqua- les; re$ecabimus ex ea, ab aliquo angulo, vel puncto, quintã partem. Deinde ex maiore parte complectente {4/5}. tot<007>us figuræ, ab aliquo eius angulo, vel pun- cto, detrahemus quartam partem: Item tertiam partem ex maiore parte huius diui$ionis: Ac tandem $emi$$em ex vltima parte po$tremæ huius diui$ionis. Hac enim ratione diui$a erit tota figura in 5. partes: non $ecus atq; in linea recta _A_ B, contingit. Si namque eam partiri iubeamur in 7. partes æquales, efficiemus id, $i primo loco $eptimam partem _A_C, detrahemus; deinde {1/6}. C D, ex reliqua linea CB; & ex reliqua DB, quintam partem DE: & ex reliqua EB, quartam par- tem DE: & ex reliqua FB, tertiam partem F G: _A_c deniq; relin quam lineam GB, bifariam $ecabimus in H, hoc e$t, $emi$$em GH, ex ea ab$cindemus.

FACILIVS idem exequemur, quando ex dato angulo, vel puncto, duci po$$unt rectæ ad omnes angulos, duo bus proximis exceptis, nullum figuræ la- tus $ecantes, hacratione. Lineam ex rectis, qu{ae} triangulis figuræ proportiona- les $unt, cõflatã $ecabim<_>9 in tot partes æquales, in quot figurã partiriiubemur. Si [283]LIBER SEXTVS. enim ba$es triangulorum dato angulo, vel puncto oppo$itas, quæ lineis, in quas puncta diui$ionum cadunt, re$pondent, ita diuidemus, vt $ectæ $unt re- $pondentes lineæ, atque ex dato angulo, vel puncto, ad diui$ionum puncta re- ctas ducemus, factum erit, quod proponitur. Vt $i $ecunda figura huius pro- po$. $ecanda $it in 5. partes æquales, partiemur lineam G I, in 5. æquales partes G H, Hb, b a, a K, KL. Et quoniam primum punctum H, cadit in H, erit trian- gulum ABC, quintæ figuræ pars; cum $it vt GH, ad HL, ita triangulum ABC, _1. hui{us}._ ad reliquam partem figuræ. Deinde $ecabimus ba$em $ecundi trianguli in d, vt $ecunda linea HI, $ecta e$t in b: Et ba$em tertii trianguli in e, vt tertia linea IK, $ecta e$t in a; recta$que ducemus A d, A e. Quia verò quartum punctum K, cadit in K, terminum quartæ lineæ IK, erit figura diui$a in 5. partes æquales ABC, A C d, A d D e, A e E, AEF: propterea quod hæ partes partibus GH, Hb, b a, _1. hui{us}._ a K, K L, proportionales $unt.

NEQVE verò difficile erit hanc eandem rationem figuris irregularibus, qua- lis e$t vltima huius propo$. accommodare. Si enim ea diuidenda $it, verbi gra- tia in tres partes æquales, $ecanda erit linea L T, in tres æquales partes L a, a b, b T. Et quarti trianguli ba$is DE, diuidenda in d, vt quarta linea O P, diui$a e$t in a: Item $exti trianguli ba$is K I, $ecanda in f, vt $exta linea Q R, in b, $ecta e$t. Nam $i ex K, angulo ba$i D E, oppo$ito recta ducatur K d: Item ex angulo F, ba$i KI, oppo$ito recta F f, erunt tres partes figuræ ABCD d KA, K d E F f K, f FGHI f, inter $e æquales: cum $int rectis La, a b, b T, proportionales. Ea- _1. hui{us}_. demque de cæteris ratio e$t.

PROBLEMA 4. PROPOSITIO 5.

DATVM rectilineum per rectam lineam datæ rectæ parallelam in dà- tam proportionem diuidere, ita vt antecedens proportionis in quam elegeris partem vergat.

SIT primo triangulum A B C, diuidendum in duas partes per lineam lateri B C, parallelam, vt pars ver$us A, ad reliquam habeat proportionem datam D, ad E. Alterutro laterũ, cui linea diuidens æquidi$tare non debet, videlicet A C, diui$o in F, vt eadem $it proportio AF, ad FC, quæ D, ad E, initio facto ab angu- lo A, ver$us quem antecedens proportionis vergere debet, reperiatur inter to- tum latus AC, & eius partem AF, quæ terminatur in angulo A, qui lateri oppo- [284]GEOMETR. PRACT. nitur, cuiæ quidi$tans ducenda e$t, media proportionalis A G, agaturque per G, ip$i B C, parallela G H. Dico hanc parallelam problema efficere, id e$t, eandem e$$e proportionem trianguli A G H, ad trapezium B C G H, quæ e$t D, ad E. Quoniam enim triangulum ABC, ad triangulum A G H, e$t vt latus A C, ad re- _coroll. 19._ _$exti._ ctam AF, quod tres rectæ AC, AG, AF, continuè proportionales $int, & triangu- la ABC, AGH, $uper A C, A G, $imilia $imiliter que po$ita; Erit per conuer$io- nem rationis triangulum ABC, ad trapezium BCGH, vt AC, ad FC. Ergo diui- dendo erit triangulum AGH, ad trapezium BCGH, vt AF, ad FC, hoc e$t, vt D, ad E. quod e$t prop o$itum. Quod etiam <007>ta colligemus. Quoniam e$t trian- _coroll. 19._ _$exti._ gulum A B C, ad triangulum A G H, vt recta A C, ad AF; erit diuidendo trape- zium B G, ad triangulum A G H, vt F C, ad AF: Et conuertendo triangulum AGH, ad trapezium BG, vt AF ad FC, hoc e$t, vt D, ad E.

ALITER.

DIVISO latere quo cunque, nimirum B C, in I, $ecundum datam proportio- nem D, ad E, iuncta que recta AI: erit triangulum ABI, ad triangulum AIC, vt _1. $exti._ BI, ad IC, id e$t, vt D, ad E. Siigitur $uper B C, inter rectas BA, CA, con$titua- _2. hui{us}._ tur trapezium BG, per parallelam G H, æquale triangulo AIC, quod e$t con$e- quens; erit reliquum triangulum A G H, reliquo triangulo ABI, æquale. Qua- _7. quinti._ re erit triangulum AGH, ad trapezium BG, vt triangulum ABI, ad triangulum AIC, hoc e$t, vt BI, ad IC, vel vt D, ad E. Sed prior via expeditior e$t: placuit ta- men hanc alteram etiam proponere; quia generalis fermè e$t, & in omnes figu- ras multilateras quadrat, vt infra patebit.

NON $ecus id, quod propo$itum e$t, exequemur, $i antecedens proportio- nis vergere debeat ad latus BC, cui recta ducenda e$t parallela. Diui$o enim rur- $us latere A C, in K, $ecundum datam proportionem D, ad E, ita vt antecedens proportionis incipiat à latere B C; inueniatur inter totam A C, & eius partem A K, quæ e$t con$equens proportionis, media proportionalis A L, agaturque per L, lateri B C, parallela L M. Dico hanc parallelam problema efficere, hoc e$t, eandem e$$e proportionem trapezij BL, ad triangulum A L M, quæ e$t D, ad E. Quia enim e$t, vt triangulum ABC, ad triangulum ALM, ita CA, ad AK: quod _coroll 19._ _$exti._ tres rectæ AC, AL, AK, continuè $int proportionales, & triangula ABC, ALM, $uper A C, AL, $imilia $imiliter que po$ita; Erit diuidendo trapezium BL, ad triangulum ALM, vt CK, ad AK, hoc e$t, vt D, ad E, quod e$t propo$itum. Hoc idem effici etiam pote$t via illa altera generali, quamu<007>s non ita expeditè. Di- [285]LIBER SEXTVS. ui$o enim quo cunque latere, nimirum B C, in I, $ecundum datam proportio- nem D, ad E, iunctaque recta AI, erit triangulum ABI, ad triangulum AIC, vt _1. $exti._ BI, ad IC, id e$t, vt D, ad E. Siigitur $uper B C, inter rectas BA, CA, con$titua- _2. hui{us}._ tur trapezium BL, per parallelam LM, æquale triangulo ABI, quod e$t antece- dens: erit reliquum triangulum ALM, reliquo triangulo AIC, æquale. Qua- _7. quinti._ re erit trapezium BL, ad triangulum A L M, vt triangulum ABI, ad triangulum AIC, hoc e$t, vt BI, ad IC, vel vt D, ad E.

SED diuidendum iam $it triangulum ABC, in datam proportionem D, ad E, per lineam parallelam cuicunque lineæ F: quæ $i æquidi$tet vni laterum, par- tiemur triangulum in datam proportionem, per rectam illi lateri parallelam, vt iam tradidimus, $iue antecedens vergere debeat ad angulum lateri illi oppo- _30. primi._ $itum, $iue ad ip$ummet latus: factumque erit, quod iubetur; cum parallela illa æquidi$tet etiam datæ rectæ lineæ.

SI verò data recta F, nulli laterum æquidi$tet, ducatur illi ex aliquo angulo parallela intra triangulum cadens, qualis e$t B G. Si igitur antecedens propor- tionis $tatuendum $it ad partes A, $ecabimus latus A C, in H, in datam propor- tionem D, ad E. Cadat autem primo punctum H, inter G, & C; inueniatur- que inter GC, & eius partem CH, terminatam in angulo C, parallelæ BG, oppo- $ito media proportionalis C I; & per I, ip$i B G, vel ip$i F, parallela agatur I K; quam dico, problema efficere: hoc e$t, e$$e trapezium A B K I, ad triangulum IKC, vt D, ad E. Quoniam enim e$t (ducta recta B H,) vt triangulum GBC, ad _coroll. 19._ _$ext<007>._ triangulum IKC, ita GC, ad CH; quod tres GC, CI, CH, $int continuè pro- portionales, & triangula $imilia $imiliter que po$ita: Vt autem GC, ad CH, ita _1. $exti._ e$t quo que triangulum G B C, ad triangulum H B C; erunt triangula I K C, _9. quinti._ HBC, æqualia: Ac proinde & reliquum trapezium A B K I, reliquo triangulo ABH, æquale erit. Igitur erit vt trapezium ABKI, ad triangulum ICK, ita trian- _7. quinti._ gulum ABH, ad triangulum HBC: hoc e$t, ita AH, ad HC, velita D, ad E. quod e$t propo$itum.

CADAT deinde punctum L, (Ponimus iam datam proportionem E, ad D, diui$amque e$$e A C, in L, $ecundum datam proportionem) inter A, & G. In- uenta ergo inter G A, & eius partem AL, terminatã in angulo A, parallelæ B G, oppo$ito, media proportionali _A_M, agatur per M, ip$i GB, ideo que & ip$i F, pa- rallela MN: quam dico problema efficere, hoc e$t, e$$e triangulum _A_ M N, ad trapezium M N B C, vt E, ad D. Iuncta namque recta B L, quoniam e$t, vt _coroll. 19._ _$exti._ triangulum _A_ B G, ad triangulum _A_ M N, ita _A_G, ad _A_L: quod tres _A_G, _A_M, _A_L, continuè proportionales $int, & triangula $imilia $imiliter que po$ita: Vt _1. $exti._ [286]GEOMETR. PRACT. autem A G, ad A L, ita e$t id\~e quoq; triangulũ A B G, ad triangulum A B L; @runt _9. quinti_. triangula A M N, A B L, æqualia: ac proinde & reliquum trapezium M N B C, reli- quo triangulo L B C, æquale erit. Quapropter erit triangulum A M N, ad tra- _7. quinti_. pezium M N B C, vt triangulum A B L, ad triangulum L B C, hoc e$t, vt A L, ad _1. $exti_. L C, vel E, ad D. quod e$t propo$itum,

QVOD $i punctum diui$ionis caderetin G, quod contingeret, $i data e$$et proportio O, ad P; Ip$amet parallela B G, problema effi ceret; cum $it triangu- _1. $exti_. lum A B G, ad triangulum G B C, vt A G, G C, hoc e$t, vt O, ad P. Et $i antecedens $tatui debet ver$us C, & data proportio e$$et P, ad O; erit quo que triangulum _1. $ext_. C B G, ad triangulum A B G, vt C G, ad G A, vel vt P, ad O.

ALITER.

DIVISO quouis latere, videlicet in A C, in H, $ecundum datam proportio- nem D, ad E, iuncta que recta B H; quia punctum H, cadit inter G, & C, fiat $uper _2. hui{us}_. B G, inter rectas B C, G C, trapezium B I, per parallelam I K, æquale triangulo B G H: Erit que propterea totum trapezium A B K I, to titriangulo A B H, æquale, at que id circo & reliquum triangulum I K C, reliquo triangulo B C H. Quocir- _7. quinti_. circa erit trapezium A B K I, ad triangulum I K C, vt triangulum A B H, ad triangu- lum B C H, hoc e$t, vt A H, ad H C, vel vt D, ad E.

_1. $exti_.

DIVISO rur$us latere A C, in L, $ecundum datam proportionem E, ad D, iunctaque recta B L, quoniam punctum L, cadit inter A, & G. > fiat $uper B G, in- _2. hui{us}_. ter rectas B A, G A, trapezium B M, per parallelam M N, æquale triangulo B G L: Erit que propterea & totum trapezium M N B C, toti triangulo L B C, & reli- quum triangulum A M N, reliquo triangulo A B L, æquale, Quam obrem erit _7. quinti_. triangulum A M N, ad trapezium M N B C, vt triangulum A B L, ad triangulum L B C, hoc e$t, vt A L, ad L C, vel vt E, ad D. quod erat faciendum.

_1. $exti_.

NON aliter problema ab$oluemus, $i antecedens proportionis vergere de- beat ad partes C. Diui$o namque latere C A, in L, in proportionem datam D, ad E: Quoniam punctum L, caditinter A, & G: inueniemus inter G A, A L, me- diam proportionalem A M, & per M, ip$i B G, parallelam ducemus M N, quam dico problema efficere, id e$t, ita e$$e trapezium M N B C, ad triangulum A M N, vt D, ad E. Iuncta namque recta B L: quoniam triangulum A B G, ad trian- _coroll. 19._ _$exti_. gulum A M N, e$t, vt A G, ad A L, quod tres A G, A M, A L, continuè $int propor- tionales, & triangula $imilia $imiliterque po$ita: Vt autem A G, ad A L, ita _1. $exti_. e$t quo que idem triangulum A B G, ad triangulum A B L; æqualia erunt trian- _9. quinti_. gula A M N, A B L; ac proinde & reliquum trapezium M N B C, reliquo trian- gulo L B C, æquale erit. Igitur erit trapezium M N B C, ad triangulum _A_ M N, _1. $exti_. vt triangulum L B C, ad triangulum _A_ B L, hoc e$t, vt C L, ad L _A_, vel vt D, ad E.

QVOD $i proportio data $it E, ad D; diui$o eodem latere C _A_, in H, in pro- portionem datam E, ad D, ductaquerecta B H; quoniam punctum H, cadit in- ter G, & C, reperiemus inter G C, C H, mediam proportionalem C I, & per I, pa- rallelam ip$i B G, agemus I K: quam dico problema effi cere, hoc e$t, e$$e trian- gulum C I K, ad trapezium I K B _A_, vt C H, ad H _A_, vel vt E, ad D. Iuncta enim re- cta B H; quoniam e$t triangulum C B G, ad triangulum C I K, vt C G, ad C H; _coroll. 19._ _$exti_. quod tres C G, C I, C H, $int continuè proportionales, & triangula $imilia $imi- [287]LIBER SEXTVS. literque po$ita: Vt autem C G, ad C H, ita quoque e$t idem triangulum C B G, _1. $exti_. ad triangulum C B H; æqualia erunt triangula C I K, C B H: ideoque & reli- _9. quinti_. quum trapezium I K B A, reliquo triangulo H B A, æquale erit. Quocirca erit _7. quinti_. triangulum C I K, ad trapezium I K B A, vt triangulum C B H, ad triangulum H B A, hoc e$t, vt C H, ad H A, vel vt E, ad D. quod faciendum erat.

_1. $exti_.

FIET idem quoque aliter, $i cadente puncto diui$ionis L, inter A, & G, con$truatur trapezium G N, per parallelam M N, æquale triangulo B G L; Ca- _2. hui{us}_. dente verò puncto diui$ionis H, inter G, & C, trapezium con$tituatur B I, æqua- le triangulo B G H, per parallelam I K, &c.

PRÆTEREA quadrilaterum A B C D, diuidendum $it per lineam lateri C D, parallelam in duas partes, vt pars ver$us A, ad reliquam habeat datam pro- portionem E, ad F. Per ea, quæ in $cholio propo$. 14. lib. 2. Euclid. vel potius per ea, quæ Num. 4. cap. 4. lib. 4. huius tradidimus, quadrilatero A B C D, con$trua- tur quadratum æquale G H I K; $ecetur que latus G K, in L, in proportionem E, ad F, datam, & per L, ip$i G H, parallela agatur L M. Deinde $uper C D, inter re- ctas C B, D A, fiat rectilineo L I, æquale quadrilaterum D O, habenslatus N O, _2. hui{us}_. lateri C D, parallelum: Et $i quidem punctum O, cadit in latus C B, vel in ip$um punctum B, recta N O, problema efficiet. Cum enim quadratum G I, toti qua- drilatero A C, æquale $it, & rectangulum ablatum L I, quadril atero ablato D O; erit quoque reliquum rectangulum G M, reliquo rectilineo A N O, æquale. _7. quinti_. Quapropter erit A N O, ad D O, vt G M, ad M K; hoc e$t, vt G L, ad L K, vel _1. $exti_. vt E, ad F. quod e$t propo$itum.

SI verò punctum O, cadit in C B, latus productum, (quod hic fiet, $i propor- tio data $it Q, ad R. Diui$o enim latere G K, in S, in datam proportionem Q. ad R; ductaque S T, parallela lateri G H; $i $uper C D, inter rectas D A, C B, >fiatre- _2. hui{us}_. ctangulo K T, æquale quadrilaterum D O, cadet O, vltra B & parallela N O, $e- cabit latus A B, in P.) con$tituemus $uper N P, inter rectas N A, P A, per paralle- _2 hui{us}_. lam V X, trapezium N V, triangulo B O P, æquale, factum erit, quod iubetur. Ad- dito enim communi rectilineo C D N P B; erit totum rectilineum C D X V B, toti rectilineo D O, hoc e$t, rectangulo K T, æquale; ideoque & reliquum triangu- lum A V X, reliquo rectangulo G T, æquale. Quare erit triangulum A V X, ad _7. quinti_. rectilineum C D X V B, vt G T, ad K T, hoc e$t, vt G S, ad S K, vel vt Q, ad R. _1. $exti_. quod erat faciendum.

NON alia ratione problema ab$oluemus, $i antecedens proportionis $tatuen- [288]GEOMETR. PRACT. dum $it ad partes C D. Sit namque data proportio F, ad E, vel R, ad Q. Diui$o ergo latere K G, quadrati G I, quod qua drilatero A C, factum e$t æquale, in L, $e- cundum propottionem datam F, ad E; vel in S, $ecundum datam proportionem R, ad Q, ductaque parallela L M, vel S T: $i $uper C D, inter rectas D A, C B, _2. hui{us}_. con$tituemus rectilineum D O, rectangulo K M, vel rectilineum C D X V B, re- ctangulo K T, æquale per parallelam N O, vel X V, vt paulò ante dictum e$t, $o- lutum erit problema, vt liquet.

VERVM idem quadrilaterum A B C D, diuidendum $it per parallelam cuili- bet alteri lineæ Y, in proportionem E, ad F, ita vt antecedens proportionis ver- gat ad A; Si igitur data recta Y, æquidi$tet vni lateri, partiemur datum quadri- laterum in datam proportionem per lineam illi lateri, proindeque & rectæ Y, parallelam, vt proximè $crip$imus. Si verò nulli lateri recta Y, æquidi$ter, du- cemus ei ex aliquo angulo, vt ex C, parallelam C Z, quæ intra quadrilaterum ca- dat; & ablato triangulo C D Z, vel rectilineo ablato, auferemus ex quadrato G I, quod toti quadrilatero $it æquale, rectangulum æquale K d. (quod fiet, $i triangulo, vel rectilineo C D Z, fiat æquale quadratum, cuius latus a; & duabus K I, & a, tertia proportionalis reperiatur K b. Ducta enim b d, ip$i K I, paralle- la, erit rectangulum K d, quadrato lateris a, hoc e$t, rectilineo C D Z, æqua- _17. $exti_. le.) Et $i quidem parallela b d, cadit inter K I, & L M, con$tituemus $uper C Z, _2. hui{us}_. inter rectas C B, Z A, rectilineum C a e Z, rectangulo b M, æquale, cuius latus a e, lateri C Z, hoc e$t, datæ rectæ Y, aquidi$tet; factum que erit, quod præcipitur. Erit enim totum rectilineum C D e a, toti rectangulo K M; ac propterea & reli- quum A B a e, reliquo G M, æquale. Quapropter erit A B a e, ad e a c D, vt _7. quinti_. G M, ad K M; hoc e$t, vt G L, ad L K, vel vt E, ad F. Si ver ò parallela b d, coin- _1. $exti_. cidit cum recta L M, efficiet problema recta C Z: quia cum K M, rectilineo C D Z, $it æquale, erit reliquum rectangulum G M, reliquo rectilineo A B C Z, æ- quale; atque idcirco erit A B C Z, ad C D Z, vt G M, ad K M, hoc e$t, vt G L, _7. quinti_. ad L K, vel vt E, ad F. Si denique parallela b d, ca dit inter L M, & G H; erit _1. $exti_. rectilineum, vel triangulum ablatum C D Z, maius rectangulo K M. Si igi- _2. hui{us}_. tur $uper C Z, inter rectas C D, Z D, con$truetur rectilineum C m, rectangulo L d, æquale; erit reliquum D l m, reliquo rectangulo G d, æquale: ac pro- [289]LIBER SEXTVS. pterea ad reliquum ml C B A, reliquo rectangulo K M. Igitur erit A B C l m, _7. quinti_. a d l m D, vt G M, ad K M: hoc e$t vt G L, ad L K, vel vt E, ad F. quod e$t pro- po$itum.

EODEM pror$us modo quamlibet aliam figuram, quotquot habeat latera, in datam prop ortionem $ecabimus per lineam, quæ vni lateri vel cuiuis alij re- ctæ lineæ æquidi$tet. Sit enim datum heptagonum qualecunque A B C D E F G, $ecandum per lineam lateri A G, parallelam, in duas partes, vt ea, quæ ad D, ver- git, ad reliquam habeat proportionem eandem, quam M, ad N habet. Con$titu- to quadrato H I K L, æquali ip$i heptagono, per ea, quæin $chol. propo$. 14. lib. 2. Euclid. vel potius per ea, quæ Num. 4. cap. 4. lib. 4. huius $crip$imus; & diui$o latere H I, in O, in proportionem M, ad N, ductaque O P, lateri H L, pa- rellela: fiat $uper rectam A G, inter rectas A B, G F, rectangulo I P, æqua- _2. hui{us}_. le rectilineum A G Q R, habens latus Q R, lateri A G, parallelum. Et quo- niam Q R, cadit vltra F, B, con$tituemus rur- _2. hui{us}_. $um $uper rectam S T, inter rectas S C, T E, per rectam V X, ip$i S T, parallelam, recti- lineum æquale triangulis F Q T, B R S, extra heptagonum exi$tentibus; factumque erit quod proponitur. Cum enim rectilineum A G Q R, ac proinde & rectilineum A B V X- F G, rectangulo I P, $it æquale, erit quo que re- liquum D E X V C, reliquo rectangulo O L, æ- quale. Igitur erit D E X V C, ad A B V X F G, _7. quinti_. vt O L, ad I P, hoc e$t, vt H O, ad O I, vel vt _1. $exti_. M, ad N, quo derat faciendum.

QVOD $i latus rectilinei ex heptagono ab- $ci$si æquidi$tare debeat rectæ Y, \~q nulli lateri heptagoni æ<003>di$ter ($inãq; æquidi$taret, vni lateri, ab$olueretur problema, vt proximè tra- ditũ e$t) ducta ex angulo G, rectæ Y, parallela G Z, quæ intra figurã cadat; cõ$truemus recti- _2. hui{us}_. lineo A G Z, $uper rectã I K, æquale rectangulũ h K; quod fiet, $i rectilineo A G Z, fiat æquale quadratum, cuius latus l, & duabus I K, & l, tertia proportiona- lis reperiatur I h. Ducta enim h i, ip$i I K, parallela, erit rectangulum h K, qua- _17. $exti_. drato lateris l, hoc e$t, rectilineo A G Z, æquale. Deinde $uper rectam G Z, _2. hui{us}_. inter rectas G F, Z B, con$tituemus rectangulo h P, per parallelam b a, æqua- le rect<007>lineum G Z b a. Nam $i triangulis B b e, F a d, $uper rectam d e, in- _2. hui{us}_. ter rectas e C, d E, fiat per parallelam f g, rectilineum d e g f, æquale; fa- ctum erit, quod in problemate proponitur, vt ex dictis per$picuum e$t. Ea- demque omninò ratio e$t in omnibus aliis rectilineis quamuis irregularibus, dummodo in iis ducipo$sit vna linea parallela datærectæ, quæ rectil<007>neum au- ferat dato rectilineo æquale. Non enim $emper hoc fieri po$$e in figuris, cu- ius anguli partim intror$um, & partim extror$um vergant, ad finem propo$. 2. huius lib. declarauimus. Id quod con$tructio ip$a problematis per$picuè nos docebit.

[290]GEOMETR. PRACT. SCHOLIVM.

DIVIDI ergo poterit quælibet figura rectilinea in quotuis partes æquales _Quo pacto fi-_ _gura data $e-_ _c{et}ur per li-_ _ne{as} parallel{as}_ _in quotu{is} par_ _t{es} æqual{es}_. per lineas, quæ datæ cuiuis rectæ lineæ æquidi$tent. Nam $i verbi gratia data fi- gura $ecanda $it in 8. partes æquales per lineas datæ rectæ parallelas, diuidemus eam primum in duas partes inter $e proportionem habentes 1. ad 7. Ita namque prior pars erit {1/8}. totius figuræ. Deinde po$teriorem partem $ecabimus in pro- portionem 1. ad 6. ita vt prior pars huius diui$ionis $it {1/7}. illius partis diui$æ, hoc e$t, {1/7}. totius figuræ, cum pars illa diui$a complectatur {7/8}. totius figuræ. Po$tea partem po$t eriorem proximæ diui$ionis partiemur in proportionem 1. ad 5. Et po$teriorem huius diui$ionis partem in proportionem 1. ad 4. Atqueita dein- ceps, minuendo $emper, don@c ad partem deueniamus, quæ $ecanda $it in pro- portionem 1. ad 1. hoc e$t, in partes æquales.

Hoc idem effici poterit ea ratione, quam ad finem $cholij propo$. 4. expo- $uimus: $i videlicetlatus quadrati H I, quod rectilineo dato con$tructum e$t æquale, in tot æquales partes $ecetur, in quot partes datum rectilineum diuiden- dum e$t, & primo rectilineum diuidatur in proportionem primæ partis ad reli- quas: Deinde po$terior pars rectilinei in proportionem $ecundæ partis lateris H I, ad reliquas: at que ita deinceps, &c.

ATQVE hic finem habet no$tra Geodæ$ia complectens diui$ionem omnium figurarum rectilinearum: $equuntur iam particulares nonnullæ diui$iones qua- rundam figurarum, quæ tum, quia $ubtiles acuta$que demon$trationes conti- nent, tum quia plera$que earum eruditi quo que Geometræ, vt Leonardus Pi- $anus, Frater Lucas Pacciolus, & Nicolaus Tartalea tradiderunt, omittendæ nullo modo vi$æ $unt: Vt autem Geometricè eas demon$tremus, præmittenda $unt Theoremata nonnulla, quorum primum $it hoc.

THEOREMA 2. PROPOS. 6.

SI duo triangula æqualia habeant vnum latus commune, & in diuer$as partes vergant: Recta oppo$itos angulos connectens à latere illo communi bifariam $ecatur.

SINT æqualia duo triangula A B C, A B D, habentia latus A B, commune, & in diuer$as partes vergentia. Dico rectam C D, oppo$itos angulos C, D, iungentem $ecari in E, bifariam à latere co\~muni A B. Quoniã enim e$t tám _1. $exti_. triangulum A C E, ad triangulum A D E, quàm triangulum B C E, ad triangulum B D E, vt C E, ad E D; erit triangulum A C E, ad _11. quinti_. triangulum A D E, vt triangulum B C E, ad triangulum B D E. _12. quinti_. Igitur erunt quo que duo triangula $imul A C E, B C E, hoc e$t, totum triangulum A B C, ad duo triangula $imul A D E, B D E, id e$t, ad totum triangulum A B D, vt A C E, ad A D E, hoc e$t, vt C E, ad E D. Cum ergo triangula A B C, A B D, ponantur æqualia; erunt quo- que rectæ C E, E D, æquales, ac proinde C D, in E, $ecta e$t bifariam. quod erat o$tendendum.

[291]LIBER SEXTVS. THEOR. 3. PROPOS. 7.

SI in triangulo ba$<007> parallela ducatur, & extrema parallelarum rectis iungantur $e $einter$ecantibus: habebit vtriu$uis harum rectarum $e- gmentur ab angulo incipiens ad reliquum in latere terminatum ean- dem proportionem, quam latus ab illa recta diui$um ad partem eius $uperiorem. Recta autem ex tertio angulo per inter$ectionem dicta- rum rectarum exten$a $ecabit vtramque parallelam bifariam.

IN triangulo ABC, ducta $it DE, ba$i BC, parallela, & iunctæ rectæ BE, CD, $einter$ecent in F. Dico e$$e BF, ad FE, vt AC, ad AE: Item CF, ad FD, vt AB, ad AD. Et iunctam rectam AF, $ecare parallelas DE, BC, bi- fariam in G, & H. Quoniam enim triangula B D C, C E B, æ- _37. primi_. qualia $unt; ablato communi BFC, reliqua BDF, CEF, æqua- lia quoque erunt. Quia verò e$t, vt B D, ad D A, ita C E, ad _2. $exti_. EA: Vt autem BD, ad DA, ita e$t triangulum BFD, ad trian- _1. $exti_. gulum AFD: Et vt CE, ad EA, ita triangulum CFE, ad trian- gulum AFE; erit quoque triangulum BFD, ad triangulum AFD, vt triangulum CFE, ad triangulum AFE. Cum ergo triangulum BFD, triangulo CFE, o$ten- $um $it æquale; erit quoque triangulum AFD, triangulo AFE, æquale. Igi- _14. quinti_. tur DE, in G, $ecta e$t bifariam: ac proinde & parallela BC, $ecta erit bifariam _6. hui{us}_. in H. Et quoniam triangulum AFB, ad triangula æqualia AFD, AFE, eandem _$chol. 4. $exti_. habetproportionem; e$t que vt AFB, ad AFD, ita AB, ad AD: Et vt AFB, ad _7. quinti_. AFE, ita BF, ad FE: erit quoque BA, ad AD, ideoque AC, ad AE, vt BF, ad FE: _1. $exti_. Eademque ratione erit A B, ad A D, vel A C, ad A E, vt C F, ad F D. quod _1. $exti_. etiam inde patet; cum $it vt C F, ad F D, ita C F E, ad D E F, hoc e$t, ita B F D, _1. $exti_. ip$i CFE, æquale ad idem DEF, hoc e$t, ita BF, ad FE. quod erat demon$tran- dum.

THEOR. 4. PROPOS. 8.

SI in triangulo à duobus angulis duæ rectæ ducantur ad media puncta oppo$itorum laterum: Recta ex angulo reliquo perinter$ectionem earum deducta $ecat quoque reliquum latus bifariam. Cuiuslibet au- tem illarum trium linearum $egmentum prope angulum adreliquum $egmentum duplam habet proportionem. Triangulum denique per rectas ab inter$ectione ad angulos ductas in tria triangula æqualia di- uiditur.

IN triangulo præcedentis propo$. ABC, duærectæ BE, CD, $ecent latera AC, AB, bifariamin E, D, $e autem mutuo inter$e- cet in F. Dico rectam ductam AF, $ecare quoque latus BC, bi- fariamin H, &c. Iuncta enim recta D E, parallela erit ip$i B C, _2. $exti_. cum $ecet latera A B, A C, proportionaliter, in partes videlicet æquales: Quamobrem A F, vtramque parallelam D E, B C, _7. hui{us}_. bifariam $ecabit. quod e$t primum.

[292]GEOMETR. PRACT.

DEINDE quia e$t, vt AB, ad AD, ita CF, ad FD: E$t autem AB, ip$ius AD, _7. hui{us}_. dupla; erit quo que CF, ip$ius FD, dupla. Eademqueratione & BF, ip$ius FE; & AF, ip$ius FH, dupla erit. quod e$t $ecundum.

POSTREMO quia e$t vt AF, ad FH, ita triangulum A F B, ad triangulum _1. $exti_. BFH: E$t autem AF, ip$ius F H, o$ten$a dupla; erit quoque triangulum A F B, trianguli B F H, duplum. E$t autem & triangulum B F C, eiu$dem trianguli B- _38. primi_. FH, duplum; quod triangula B F H, C F H, æqualia $int. Igitur æqualia erunt triangula AFB, BFC. Eodemq; modo triangulum AFC, eidem triangulo BFC, æquale erit: ac proinde omnia tria AFB, BFC, CFA, æqualia erunt. quod e$t tertium.

COROLLARIVM.

ITAQVE facilè inueniri pote$t punctum intra triangulum, à quo tres rectæ ad tres angulos ductæ ip$um triungulum in tria æqualia triangula partiantur. Huiu$modi enim punctum in propo$ito triangulo e$t F, vbi duæ rectæ ex duo- bus quibu$uis angulis ad media puncta oppo$itorum laterum ductæ $e inter$e- cant, vt in tertia parte huius propo$. o$tendimus.

THEOR. 5. PROPOS. 9.

SI in triangulo ducatur recta vtcunque duo latera $ecans: Erit totum triangulum ad ab$ci$$um triangulum, vt rectangulum $ub duobus la- teribus $ectis totius trianguli comprehen$um, ad rectangulum $ub duobus lateribus trianguli ab$ci$$i, quæ priorum $egmenta $unt, com- prehen$um.

IN triangulo ABC, recta D E, $ecet latera A B, A C, in D, E. Dico e$$e vt re- ctangulum $ub AB, AC, adrectangulum $ub AD, AE, ita tri- angulum ABC, ad triangulum ADE. Quoniam enim triangu- la ABC, ADE, angulum habent communem A; habebunt per propo$. 4. $chol. propo$. 23. lib. 6. Euclid. eandem propor- tionem, quamrectangula $ub lateribus AB, A C, & $ub A D, AE, comprehen$a. quod o$tendendum erat.

PROBL. 5. PROPOS. 10.

DATVM triangulum ex dato puncto in eius latere in quotlibet par- tes æquales diuidere.

PROPOSITIONE quartadecima $cholij propo$ 33. lib. 6. Euclid. tradidi- mus regulam, qua triangulum in duas partes $ecundum datam proportionem diuidendum $it: Etquo pacto ex triangulo pars imperata $it auferenda. Si igi- tur triangulum ex dato puncto in eius latere quou<007>s $ecandum $it in quorlibet [293]LIBER SEXTVS. partes æquales, detrahenda primum erit per lineam rectam ex dato puncto du- ctam pars denominata à numero partium, in quas diuidendum e$t triangulum. Deinde duæ tales partes: po$tea tres, atque ita deinceps, donec tot partes, vna minus, detractæ $int, in quot partes diuidendum proponitur triangulum. Vt $i triangulum ABC, ex puncto D, diuidendum $it in quinque partes æquales, diui- demus latus BC, in quo datum punctum e$t, in quinque partes æquales, in pun- ctis E, F, G, H. Iuncta deinderecta DA, ducemus ei parallelas EI, FK, GL, HM. Sinamque connectantur rectæ D I, D K, D L, D M, diui$um erit triangulum in quinque partes æquales. Nam vt in dicta propo$. 14. $cholij propo$. 33. lib. 6. Euclid. o$ten$um e$t, triangulum DBI, e$t {@/5}. totius trianguli, hoc e$t, ita $e ha- bet DBI, ad ABC, vt BE, ad BC. Triangulum autem DBK, continet {2/3}. totius trianguli, id e$t, ita $e habet D B K, ad A B C, vt B F, ad B C. At vero triangulum DBL, complectitur {3/5}. totius trianguli, id e$t, ita $e habet DBL, ad ABC, vt BG, ad BC. Quadrilaterum denique ABDM, comprehendit {4/5}. totius trianguli, hoc e$t, ita $e habet ABDM, ad ABC, vt B H, ad B C. Ex quo fit, reliquum triangu- lum DMC, e$$e {1/5}. eiu$dem trianguli ABC.

QVANDO punctum datum e$t in vno angulo, manife$tum e$t, $i latus op- po$itum in tot partes $ecetur, in quot triangulum diuidendum e$t, rectas ex _1. $exti_. eo angulo ad puncta diui$ionum eductas $ecare triangulum in propo$itas par- tes æquales.

PROBL. 6. PROPOS. 11.

DATVM triangulum per lineas vni lateri parallelas in quotlibet æ- quales partes diuidere,

SIT triangulum A B C, diuidendum verbi gratia in quatuor partes æquales perlineas lateri BC, æquidi$tantes. Secetur vtrumuis reliquorum laterum ni- mirum A B, in 4. partes æquales, in tot videlicet, in quot triangulũ diuidendum e$t, in punctis D, E, F. Etinter A B, A D, inuenta media proportionali A E; [294]GEOMETR. PRACT. atque inter AB, AE, media proportionali A G; ac deniqueinter AB, AF, media proportionali AH; ducantur EI, GK, HL, lateri BC, parallelæ@ quas dico trian- gulum partiriin 4. partes æquales. Quoniam enim triangulum ABC, triangu- _coroll_. 4. _$ext<007>_. lo AEI, $imile e$t; erit triangulum ABC, ad triangulum AEI, vt A B, ad A D, quod tres A B, A E, A D, $int continuè pro portionales. E$t autem A D, quarta _coroll_. 19. _$exti_. parsip$ius AB. Igitur & triangulum AEI, quarta pars e$t trianguli ABC.

Non aliter o$tendemus, e$$etriangulum A B C, ad triangulum A G K, vt _coroll. 19_. _$exti_. AB, ad AE, quod etiam tres AB, AG, AE, $int continue proportionales. Quare cum AE, contineat {2/4}. rectæ AB, continebit etiam AGK, triangulum {2/4}. trian- guli A B C: Ideoq; cum AEI, $it {1/4}. trianguli A B C, vt o$tendimus, erit EIK G, {1/4}. eiu$dem trianguli A B C. Deniq; eadem ratione erit triangulum A B C, ad trian- gulum AHL, vt AB, ad AF, quod etiam tres AB, _A_H, _A_F, $int continue propor- tionales: ac proinde triangulum _A_HL, complectetur {3/4}. trianguli _A_BC; quem- admodum _A_F, continet {3/4}. ip$ius _A_B: ideoq; BHLC, erit {1/4}. trianguli _A_BC, &c.

PROBL. 7. PROPOS. 12.

DATVM triangulum per rectam ex puncto extra triangulum dato ductam in duas partes æquales diuidere.

Ex puncto D, extra triangulum _A_B C, dato ducenda $it linea diuidens tri- angulum bifariam. Ducta recta D _A_, ad angulum oppo$itum $ecante latus B C, in E: $i quidem B C, in E, diuiditur bifariam, factum erit, quod diubetur: quod tunc triangula _A_BE, _A_CE, $int æqualia. Si vero B C, non bifariam diuiditur in _38. primi_. E, $it $egmentum CE, maius, cui ducatur parallelaDF, occurrens lateri _A_C, pro- ducto in F. Secto latere _A_C, bifariam in G, inueniatur tribus DF. BC, CG, quar- ta proportionalis CH; Eritque rectangulum $ub DF, CH, æquale rectangulo $ub B C, C G; hoc e$t $emi$sirectanguli $ub B C, C _A_: cum rectangulum $ub _16. $exti_. B C, C _A_, duplum $it rectanguli $ub _B_ C, C G. Deinde _1. $exti_. inuenta L, media proportionaliinter F C, C H, vt qua- dratum ex L, æquale $itrectangulo $ub FC, CH, adiũ- _17. $exti_. gaturip$i CH, recta H@, vtrectangulum $ub tota CI, & adiuncta HI, {ae}quale $it quadrato exL, $iue rectangulo $ub F C, C H, quemadmodum ad finem $cholij pro- po$. 36. lib. 3. Euclid. $crip$imus: ducaturque recta DI, $ecans _B_C, in K. Dico rectam DI, $ecare triangulum _ABC_, in duas partes _AB_- KI, IKC, æquales. Quoniam enim per con$tructionem rectangulũ $ub CI, IH, æquale e$t rectangulo $ub CF, CH, erit vt CI, ad CF, ita CH, ad IH; Et cõuer- tendo, vt CF, ad CI, ita IH, ad CH: & cõpon\~edo vt IF, ad CI, ad CH. Vt _16. $exti_. aũt IF, ad CI, ita e$t FD, ad CK. Igitur erit quoq; FD, ad CK, vt CI, ad CH: _A_c _4. $exti_ & _permutando_. {pue}inde rectangulũ $ub FD, CH æquale erit rectangulo $ub CK, CI: Erat aũtre- ctangulũ $ub FD, CH, per con$truction\~e æquale $emi$sirectanguli $ub _B_C, C_A_. _16. $exti_. Igitur & rectangulum $ub _C_ K, _C_ I, æquale erit $emi$si rectanguli $ub B C, C A. Vt autem rectangulum $ub CK, CI, ad rectangulum $ub _BC_, _C_A, ita e$t tri- _9. hui{us}_. angulum _C_KI, ad triangulum _A_B_C_. Igitur triangulum _C_KI, æquale quoque [295]LIBER SEXTVS. erit $emi$si trianguli ABC: ac proinde quadrilaterum ABKI, reliquæ $emi$sitri- anguli ABC, æquale erit. quod e$t propo$itum.

EADEM ratione, $i pro CG, $umamus {1/3}. vel {1/4}. vel quamcumque partem lateris AC, & reliqua fiant, vt $upra, auferemus perrectam ex D, ductam {1/3}. vel {1/4}. vel deniq; tal\~e partem ex triangulo ABC, qualis $umpta e$t C G, ip$ius A C, vt per$picuum e$t.

LEONARDVS Pi$anus, & Nicolaus Tartalea, idem hoc problema $oluũt, quando datum punctum e$t extra triangulum in tali loco, vt vnum latus trian- guli pro ductum, in illud incidat, cuiu$modi e$$et punctum F, datum. Item quando e$t inter duo latera producta: Vt $i triangulum foret AEC, punctũ au- teminter B, & D, exi$teret, ita vt ab eo $olum per angulum E, duci po$$et linea $ecans latus A C: quippe cumrectæ ab eo ad angulos A, C, ductæ nullum latus inter$ecarent. Verum quia h{ae}c curio $a magis, quam vtilia $unt, dedita opera à nobis omittuntur. Quiautem ea de$iderat, auctores prædictos legere pote- rit. Pariratione ab$tinemus ab eo problemate, quando punctum datum e$t in- tra triangulum (quod tamen ijdem auctores $oluere conantur) quia non $em- per per punctum interius duci pote$t linea, quæ triangulũ bifariam $ecet, vt ex- perientia con$tat.

PROBL. 8. PROPOS. 13.

DATVM parallelogrammum in quotcunq; partes æquales perlineas duobus lateribus oppo$itis æquidi$tantes diuidere.

SIT parallelogrammum ABCD, diuidendum verbi gratia in tres partes æ- quales per lineas lateribus AB, DC, æquidi$tantes. Diui$o alterutro reliquorum duorum laterum, nimirum B C, in tres partes æquales, in quot videlicet parallelogrammum proponitur diuidendum, in E, & F, punctis, ducantur EG, FH, ip$is AB, DC, parallelæ: factumque erit, quodiube- tur; quod parallelogramma A E, E H, H C, {ae}qualia $int, _1. $exti vel_ _38. primi_. propter æquales ba$es BE, EF, FC.

COROLLARIVM.

ITAQVE $i ex latere auferatur {1/2}. vel {1/3}. vel {3/4}. vel denique quali$cunque pars, vel partes, & per extremum eius punctum parallela lateri AB, ducatur, ab- lata erit ex toto parallelo grammo eadem pars, vel eædem partes. Ita vides A E, e$$e partem tertiam parallelogrammi A C, quemadmodum & B E, tertia pars e$t lateris B C, &c.

PROBL. 9. PROPOS. 14.

DATVM parallelogrammum per rectam ex puncto $iue extra, $iue intra ip$um, $iue in aliquo latere dato ductam, bifariam diuidere.

[296]GEOMETR. PRACT.

SIT primò parallelo grammum A B C D, per rectam ex puncto E, exteriori ductam $ecundum bifariam. Ducta diametro B D, eaque $ecta bifariam in F, ducatur ex E, per F, recta EH, quam dico parallelogrammum partiri bifariam. Nam vt in $cholio Propo$. 34. lib. 1. Euclid. de- mon$trauimus, recta G H, diuidens diametrum B D, in F, bifa- riam, $ecat parallelo grammum bifariam. Idem fiet, $i recta IK, latera AD, BC, $ecans bifariam, diuidatur bifariam in F, & per F, extendatur recta E F, propterea quod I K, diametrum $ecat bifariam, ac proinde per F, punctum medium diametritran$it. _29. primi_. Cum enim anguli IDF, F I D, angulis alternis KBF, FKB, æquales $int, & latera _26. primi_. I D, KB, quibus adiacent, æqualia; erunt tam latera D F, quam I F, K F, inter $e æqualia.

EODEM modo ex puncto interioriL; Item ex puncto G, in latere BC, recta ducta LF, vel GF, parallelogrammum bifariam diuidet.

PROBL. 10. PROPOS. 15.

INTER datas duas rectas, duas medias proportionales prope verum inuenire.

EXPOSITA Geodæ$ia no$tra prioribus quinq; propo$itionibus huius lib. & nouem alijs propo$itionibus, ijs demon$tratis, quæ addenda e$$e cen$uimus adidem argumentum $pectantia: agendumiam e$$et de augendis minuendi$q; figuris in data proportione, vt in titulo huius lib. 6. propo$uimus. Verum quia $icutid in planis figuris effi ci non pote$t $ine inuentione medi{ae} proportionalis inter duasrectas propo$itas, quam inuentionem Euclid. lib. 6. propo$. 13. nobis tradidit: ita idem ab$olui in figuris $olidis nulla ratione pote$t, ni$i inter duas rectas datas duæ mediæ reperiantur proportionales. Quo circa prius in hac pro- po$. in medium afferemus, quæ antiqui Geometræ nobis hac de re$cripta relin- querunt. Multorum enim ingenia res h{ae}c exercuit, at que tor$it, quamuis ne- mo ad hanc v$que diem, verè, ac Geometricè duas medias proportionales inter duas rectas datas inuenerit. Prætermi@sis autem modis Erato$thenis; Plato- nis; Pappi Alexandrini; Spori; menechmi tum beneficio Hyperbol{ae}, ac para- bol{ae}, tum ope duarum parabolarum; & Architæ Tarentini, quamuis acuti$si- mis $ubtili$simi$que: $olum quatu or ab Herone, Apollonio Pergæo, Philone By$antio, Philoppono, Diocle, & Nicomede traditos explicabimus, quos cõ- modiores, faciliore$que, & errori minus obnoxiosiudicauimus. Qui aliorum rationes de$iderat, legere eas poterit in Commentarijs Euto cij A$calonitæ in li- brum 2. Archimedis de Sph{ae}ra, & Cylindro: Item in libello Ioannis Verneri Norimbergen$is de $ectionibus Conicis. Hinc ita que exor diamur.

MODVS HERONIS IN MECHANICIS introductionibus, & telis fabricandis: qui etiam Apollo- nio Pergæo a$cribitur.

SINT duæ line{ae}rect{ae} AB, BC, inter quas oporteat duas medias proportio- nales in quirere. Con$tituautur ad angulumrectum B, & perficiatur rectangulũ [297]LIBER SEXTVS. ABCD, cum diametris AC, BD, quæ $e mutuo bifariam diuidentin E. Satis e$- _$chol. 34_. _primi_. $et vnam tantum diametrum ducere, eamquein E, $ecare bifariam. Protractis autemlateribus DA, DC, intelligatur circa punctum B, moueriregula hincinde, donecita $ecet D A, D C, productas in F, & G, vtrectæ emi$$æ E F, E G, {ae}quales $int. Vel certè, vt vult Apollonius, ex E, plures circulide$cribantur LI, GF, MN, donec chorda arcus vnius pr{ae}ci$è per punctum B, incedat, qualis e$t GF. Quod $i chorda $upra B, tran$eat, cuiu$modi e$t chorda LI, de$cribendus erit cir- culus j. L; Si verò infra punctũ B, tran$eat, qualis e$t chorda MN, de$crib\~edus erit circul<_>9 s.M. At- que hoc opus toties iterandum, donec aliqua chorda, qualis e$t GF, per B, incedat. Erunt enim hacratione EF, EG, ex centro E, ad circumferen- tiam GF, inter$e {ae}quales. Quibus ita con$tructis. Dico A F, C G, e$$e medio loco proportionales inter AB, BC: hoc e$t, ita e$$e AB, ad AF, vt AF, ad CG, & CG, ad CB. Diui$is enim AD, CD, bi- _$chol. 26_. _primi_. fariam in K, & H; erunt duct{ae} E K, E H, ad A D, C D, perpendiculares. Quoniam verò rectan- 6. _$ecundi_. gulum $ub D F, A F, vna cum quadrato ex A K, quadrato ex K F, {ae}quale e$t; addito communi quadrato ex E K, eritrectangulum $ub D F, A F, vna cum quadratis ex A K, E K, hoc e$t, vna 47. _primi_. cũ quadrato ex EA, {ae}quale quadratis ex KF, EF, hoce$t, quadrato ex EF, hoc 47. _primi_. e$t, quadrato ex EG, qu{ae} ip$i EF, e$t æqualis. Eademratione o$tendemus, re- ctangulum $ub DG, GC, vna cum quadrato ex CE, id e$t, ex EA, {ae}quale e$$e ei- dem quadrato ex E G. Igitur rectangulum $ub D F, A F, vna cum quadrato ex EA, {ae}quale erit rectangulo $ub DG, GC, vna cum quadrato ex EA: dempto- que communi quadrato EA; remanebitrectangulum $ub DG, GC, rectangu- lo $ub DF, AF, {ae}quale. Quo circa erit DG, ad DF, vt AF, ad CG: Vt autem 16. _$exti_. DG, ad DF, ita e$t AB, ad AF. Ergo erit vt AB, ad AF, ita A F, ad C G: hoc e$t, 4. _$exti_. tres AB, AF, CG, continuè proportionales erunt. Sed rur$use$t, vt D G, ad 4. _$exti_. DF, ita CG, ad CB. Igitur erit quoque CG, ad CB, vt AB, ad A F; ideoq; vt AF ad CG. Quare erunt quatuor AB, AF, CG, CB, continuè proportionales. quod erat demon$trandum.

MODVS PHILONIS BYSANTII, qui Philoppono quoque tribuitur.

SINT rur$us in eadem figura inter rectas A B, B C, inueniend{ae} du{ae} medi{ae} proportionales. Con$tituto rectangulo ABCD, vna cum diametro CA, produ- cti$q; lateribus D A, D C, vt $upra; de$cribatur ex E, medio puncto diametricir- culus CBA, ad interuallum E C, vel EA, qui nece$$ario per angulum rectum B, _$chol. 31_. _tertij_. tran$ibit. Deinde circa punctum B, regula hincinde moueatur, $ecans DA, DC, protractas in F, & G, & circumferentiamin O, donec B G, O F, {ae}quales $int. Quod fiet, $i per B, plurim{ae} line{ae} occult{ae} ducantur. Vna enim earum habebit $egmentum inter rectam DG, & circulum æquale $egmento inter DF, & eund\~e [298]GEOMETR. PRACT. circulum. Quibus peractis, dico AF, CG, medias proportionales e$$e inter AB, CB. Quoniam enim {ae}quales $unt GB, FO; addita communi BO, æquales quo- que erunt GO, FB: ideo querectangulum $ub GO, GB, rectangulo $ub FB, FO, æquale erit. Sedillud rectangulo $ub DG, GC, & hocrectangulo $ub DF, AF, _1. coroll. 36_. _tertij_. e$t æquale. Igitur & rectangulum $ub DG, GC, rectangulo $ub DF, AF, æqua- le erit. Quamobrem, vt in præcedentimodo, o$tendemus, AB, AF, CG, CB, e$$e continue proportionales. quod e$t propo$itum.

MODIS DIOCLIS IN LIBRO DE Piriis pulcherrimus.

PRÆMITTIT prius Diocles Lemma tale. De$cribatur circulus A B C D, cuius centrum E, cum diametris A C, B D, $e $e ad angulos rectos $ecantibus in centro E. Sumptis deinde duobus arcubus æqualibus DF, DG, iungaturrecta CG, & per F, ip$i B D, parallela agatur F K, $ecans C G, in H. Hoc facto, erunt FK, K C, mediæ proportionales inter AK, K H. Ducta namque G L, parallela _27. tertij_. ip$i B D, iuncti$querectis EF, EG, quoniam anguli LEG, KEF, in$i$tentes ar- _27. primi_. cubus æqualibus AG, CF, æquales $unt, & anguli L, K, recti, lateraque EG, EF, _26. primi_. æqualia; erunt & GL, FK, & E L, E K, inter $e æquales: ideoque & reliquæ AL, CK; Immo addita communi L K, & totæ A K, C L, æquales inter $e erunt. Quoniam igitur e$t CL, ad LG, vt CK, ad KH: e$t que vt CL, ad LG, ita AK, _4. $exti_. ad K F, quod hæ illis æquales $int: erit quoque AK, ad KF, vt CK, ad KH. Vt _$chol. 13_. _$exti_. autem A K, ad KF, ita e$t KF, ad CK. Igitur erit A K, ad K F, vt K F, ad C K, & CK, ad KH, hoc e$t, KF, CK, mediæ proportionales erunt inter AK, KH. quod e$t propo$itum. Pari ratione, $i, $umptis arcubus {ae}qualibus DM, DN, iunctaq; recta CM, ducatur NP, ip$i BD, parallela $ecans C M, in O; erunt PN, CP, inter A P, P O, mediæ proportionales, &c.

HOC lemmate præmi$$o, $int inter rectas AB, BC, reperiendæ duæ mediæ {pro}- portionales. Con$tituantur in altera figura ad angulum rectum B, & centro B, ad interuallum maioris BA, de$cribatur circulus AFDE, ad cuius circumferen- tiam v$que protendantur AB, BC. Deinde ex A, per C, ducta recta ACG, $uma- tur in quadrante DE, punctum H, in tali $itu, vt ducta H K, ip$i E F, parallela $e- canteip$am AG, in L; recta ex D, per L, emi$$a auferat arcũ EM, arcui EH, æqua- lem. Namhacratione, per lemma præmi$$um, erunt KH, DK, mediæ propor- tionales inter AK, KL. Et quoniam e$t vt AK, ad KL, ita AB, ad BC: $i fiat, vt _4. $exti_. A K, ad K H, ita A B, ad N; & vt K H, ad D K, ita N, ad O; erunt quoque N, O, mediæ proportionales inter A B, B C. Neque enim dubitandum e$t, e$$e & O, ad BC, vt DK, ad K L. Cum enim $it, vt AK, ad KL, ita AB, ad BC: [299]LIBER SEXTVS. habeatautem AK, ad KL, proportionem triplicatã AK, ad HK, hoc e$t, AB, ad N; habebit etiam AB, ad BC, triplicatam proportion\~e AB, ad N. Cum ergo pro- portio AB, ad N, $it æqualis proportioni N, ad O; erit eidem æqualis proportio O, ad B C, vt tres æquales proportiones exi$tant inter A B, & B C. Igitur qua- tuor AB, N, O, BC, continuè proportionales $unt, quemadmodum quatuor AK, KH, DK, KL. quod e$t propo$itum.

VERVM, quia diffi cile vi$um fuit Diocli accipere in po$teriori figura pun- ctum H, in tali $itu, vtrecta DM, $ecans AG, & parallelam HK, in L, auferat ar- cum EM, arcui EH, æqualem: de$crip$it lineam quandam inflexam ad hancrem apti$simam, hac ratione. De$cribatur circulus A B C D, cuius centrum E, cum diametris AC, BD, $e$ead angulosrectos in E, $ecantibus. Deinde in quadrante CD, capiantur quotcunque puncta parum inter$e di$tantia, quæ ex D, & B, or- dine in quadrantes D A, B C, transferantur. Po$t hæc applicata regula ad bina puncta quadrantum DC, BC, æqualiter à B, D, di$tantia, ducantur rectæ occul- tæ, quæ ip$i BD, parallel{ae} erunt. Et ex C, ad $ingula puncta quadrantis D A, rect{ae} occultæ emittantur, notentur que harum inter$ectiones cum prædictis pa- _$chol. 27_. _tertii_. rallelis occultis; nimirum punctum T, vbi recta ex C, ad proximum punctum ip$i D, ducta inter$ecat proximam parallelam ip$i B D, & $ic deinceps. Nam $i omnia hæc inter$ectionum puncta ritè per lineam inflexam coniungantur, qua- lis e$t CK TD, con$tructa erit figura mediis duabus proportionalibus inuenien- dis apti$sima. Sint enim inter duas F, G, duæ mediæ proportinales inuenien- dæ. In diametro AC, etiam producta, $i opus e$t, $umatur AH, maiori F, æqua- lis. Ducta deinde perpendiculari H P, ab$cindatur H I, minori G, {ae}qua- lis. Ducta autem AI, $ecante lineam in flexam in K, agatur per K, ip$i BD, paral- lela LM. Denique $umpta L N, ip$i L C, æquali, ducantur per N, & M, rectæ AN, AM, $ecantes HP, in O, P. Dico HP, HO, e$$e medias proportionales in- ter AH, HI, hoc e$t, inter F, & G. Quoniam enim punctum K, lineæ inflexæ in- uentum e$t per rectam ad punctum quadrantis DA, ductã, quod tanto interual- lo à puncto D, abe$t, quanto punctum M, ab eodem di$tat, vt ex de$criptione lineæ inflexæ liquet; erunt ex lemmate Dioclis quatuor rectæ AL, L M, LC, vel LN, & LK, continuè proportionales.

[300]GEOMETR. PRACT.

Cum ergo hi$ce quatuor rectis proportionales $int quatuor rectæ AH, HP, _4. $exti_. HO, HI; erunt hæ quoque continuè proportionales. quod e$t propo$irum.

MODVS NICOMEDIS IN libro de lineis Conchoidibus.

NICOMEDES con$truit prius in$trumentum quoddam, quo lineaminfle- xam de$cribit, quam Conchilem, vel Conchoideos appellat. Sed nos omi$$o eo in$trumento, eandem, (quod ad no$trum in$titutum $atis e$t) per puncta deli- neabimus, hac ratione. Sit recta linea A B, & ad eam perpendicularis C D, in puncto E. Sumatur deinde infra E, punctum D, pro polo lineæ de$cribendæ, & $upra E, aliud punctum C, vt libet. In v$u lineæ de$criptæ con$tabit, quan- tum tam punctum D, quam punctum C, à puncto E, abe$$e debeat. Si igitur ex D, ducantur plurimæ lineæ occult{ae} parum inter $e di$tantes, & ex $ingulis ab- $cindantur portiones rectæ E C, æquales, initio $emper facto à recta AB; ex- trema autem harum portionum puncta per lineam inflexam coniungantur de- $cripta erit linea conchilis. Exemplum habes in quatuor lineis D H, D G, D F, DN, in quibus $umptæ $unt L H, K G, SF, BN, ip$i EC, æquales, per quarum ex- trema puncta H, G, F, N, inflexa linea incedit. Et quo plures lineæ occult{ae} ex D, educentur, eo crebriora puncta inuenientur, per quæ tran$ire debet linea in- flexa.

SEQVITVR ex de$criptione huius lineæ, eam nunquã po$$e cum recta AB, conuenire, licet vtra que in infinitum producatur: quia puncta, per quæ in cedit, $unt omnia $upra rectam A B, terminantia nimirum $egmenta rectarum ex D, prodeuntium ( quæ quidem omnes rectam AB, inter$ecant) ip$i EC, æqualia.

_pronuncia-_ _tum 11. lib. 1_.

DEMONSTRAT deinde Nicomedes duas proprietates huius lineæ in$ignes. Prima e$t. Quodlibet eius punctum à puncto C, diuer$um minus di$tat à recta AB, quampunctum C: Aliorum autem punctorum, quod remotius e$t à C, minus di$tat ab eadem recta A B, quam quod minus remotum e$t. Ducta enim recta quacunque D G, demittatur perpendicularis GI. Et quia K G, maior _19. primi_. e$t quam GI; erit quoque perpendicularis E C, (ip$i K G, æqualis) maior quam perpendicularis IG, hoc e$t, punctum C, magis di$tabit à recta AB, quam pun- ctum G. Eademq; ratione magis à recta AB, di$tabit punctum C, quam quod- uis aliud. Sumatur deinde aliud punctum H, remotius à C, quam punctum G, demittatur que perpendicularis HA. Dico punctum H, minus di$tare à recta AB, quampunctum G, hoc e$t, perpendicularem HA, minorem e$$e perpendi- [301]LIBER SEXTVS. culari G I. Ducta namque recta D H, erit angulus DKE, maio@ angulo DLE. _16. primi_. hoc e$t angulus GKI, angulo HLA. Cum ergo recti I, A, æquales $int; erit _15. primi_. reliquus G, reliquo AHL, minor. Siigitur ip$i G, fiat æqualis AHM; erunt trian- _32. primi_. gula KGI, MHA, æquiangula; ideoque erit, vt MH, ad HA, ita KG, ad GI. _4. $exti_. Et quia L H, maior e$t, quam M H, (quod angulus HML, maior $it recto A, _19. primi_. & HLM, minor) erit maior proportio LH, ad HA, quam HM, ad HA, hoc _16. primi_. e$t, quam GK, ad GI: ac proinde cum GK, HL, æquales $int, erit quo que ma- _17. primi_. ior proportio HL, ad HA, quam HL, ad GI; ideo que HA, minor erit quam _8. quinti_. GI. quod e$t propo$itum.

_10. quinti_.

ALTERA proprietas e$t. Quamuis Conchilis CF, nunquam conueniat cum recta EB, tamen cum qualibet alia recta, etiam ip$i EB, propinqui$sima conue- nit. Sit enim primum recta NO, ip$i EB, parallela, $ecans EC, in O. Fiatvt EO, ad OD, ita E C, ad P. Et quoniam E O, minor e$t quam E C; erit quoque _14. quinti_. OD, minor quam P. Si igitur ex D, ad interuallum rect{ae} P, de$cribatur arcus cir- culi, $ecabit is rectam ON, in aliquo puncto, vt in N. Dico Conchilem CF, pro- longatam coire cum O N, in N. Ducta enim recta D N, $ecante E B, in B, quæ ip$i P, æqualis erit; quoniam e$t vt EO, ad OD, ita BN, ad ND; hoc e$t, ad $i- _4. $exti_. bi æqualem P. Fuit autem etiam, vt EO, ad OD, ita EC, ad P. Igitur BN, EC, ad P, eandem proportionem habebunt: ac proinde inter $e æquales erunt; _9. quinti_. ideoque Conchilis per N, tran$ibit.

SIT deinde recta Q F, non parallela ip$i E B, $ed eam $ecet in E, vergatque ver$us Conchilem. Quia igitur Conch<007>lis cum recta ON, conuenit, conueniet prius cum ip$a QF, in F, vt per$picuum e$t.

POST hæc Nicomedes di$$oluit huiu$modi problema. Dato quouis angu- lo rectilineo, & puncto extra lineas angulum datum comprehendentes: Ab illo puncto educere rectam $ecantem rectas datum continentes angulum, ita vt e<007>us portio inter illas rectas intercepta æqualis $it datæ rect{ae}. In eadem nam- que figura rectæ EB, EF, angulum contineant BEF, ducendaque $it ex D, linea, ita vt eius portio inter E B, E F, æqualis $it datæ rectæ, R. Ex O, ad inferiorem lineam E B, ducatur perpendicularis DE, $umatur que EC, datæ rectæ R, æqua- lis: & polo D, interuallo verò EG, Conchilis de$cribatur, quæ per $ecun- dam proprietatem rectam E F, $ecabit in F. Ducta ergo recta D F, $ecante E B, in S; erit S F, ip$i EC, hoc e$t, ip$i R, æqualis, vt ex de$criptione Conchi- lis liquet.

HIS præmi$sis, $int duæ rectæ AB BC, ad angulum rectum B, coniunctæ, in- ter quas reperiendæ $int du{ae} lineæ medi{ae} proportionales. Compleatur rectan- gulum AC, cuius duo latera A D, CD, bifariam $ecentur in F, E. Ducta autem ex B, per E, recta $ecante A D, productam in G; erit DG, ip$i CB, hoc e$t, ip$i _26. primi_. D A, æqualis; propterea quod anguli D, E, trianguli D E G, angulis CE, trian- guli CEB, æquales $unt, & latera quoque DE, CE, quibus adiacent, æqualia. Rur$us ductam perpendicularem FH, $ecet AH, ip$i CE, æqualis, quod fiet, $i ex A, ad interuallum C E, arcus delineetur $ecans F H, in H. Deinde iuncta recta GH, ducatur ei parallela AI: atq; producta DA; ex H, per problema præcedens, ducatur recta HK, vtramque AI, AK, ita $ecans, vt inter cepta IK, ip$i AH, vel CE, æqualis $it. quod fiet, $i ex H, plurimæ rectæ ducentur occultæ, donec v- nius portio inter cepta æqualis $it ip$i AH, vel CE. Po$tremò ex K, per B, recta [302]GEOMETR. PRACT. extendatur $ecans DC, productamin L. Dico duas AK, CL, medias propor- tionales e$$e inter AB, BC. Quoniam enim _2. $exti_. e$t LC, ad CD, vt LB, ad BK, hoc e$t, vt DA, ad AK; Et vt CD, ad C E, ita e$t GA, ad DA, quod vtraque CD, GA, $ecta $it bifariam in E, D: erit ex proportione perturbata LC, ad CE, vt GA ad AK, vt in hac formula apparet: hoc e$t, vt HI, ad IK. Cum ergo C E, ip$i I K, $it æqualis per con$tructionem, _14. quinti_. erit quoque LC, ip$i HI, æqualis, & tota LE, toti HK. Deinde quia rectan- _6. $ecundi_. gulum $ub DK, KA, vna cum quadrato ex AF, æquale e$t quadrato FK; addi- to communi quadrato ex FH, eritrectangulum $ub DK, KA, vnà cum quadra- _47. primi_. tis ex AF, FH, hoc e$t, vna cum quadrato ex AH, vel ex CE, æquale quadratis _6. $ecundi_. ex KF, FH, hoc e$t, quadrato ex HK, id e$t, ex LE, ip$i HK, æquali. Sed & rectã- gulum $ub DL, LC, vna cum eodem quadrato ex CE, æquale quoq; e$t eidem quadrato ex LE. Igitur rectangulum $ub D K, A K, vna cum quadrato ex C E, æquale erit rectangulo $ub DL, LC, vna cum eodem quadrato ex CE; Et dem- pto communi quadrato C E, reliquum rectangulum $ub D L, L C, reliquo re- ctangulo $ub DK, A K, æquale erit. Igitur erit D L, ad D K, hoc e$t, AB, ad _16. $exti_. AK, vt AK, ad LC. Vtautem AB, ad A K, ita e$t quo que LC, ad CB. Igitur _4. $exti_. erit AB, ad AK, vt AK, ad LC, & vt LC, ad CB: ac proinde AK, LC, medi{ae} pro- _4. $exti_. portionales erunt inter datas AB, BC, quod e$t propo$itum.

QVOD $i dat{ae} du{ae} rectæ $int nimis long{ae}, accipi poterunt earum $emi$$es, vel terti{ae} partes, &c. atque inter eas du{ae} medi{ae} inquirend{ae}. Nam $i inuent{ae} du- plicentur, veltriplicentur, &c. habebuntur du{ae} medi{ae} inter datas duas. Quod etiam in aliis modis intelligendum e$t.

PROBL. 11. PROPOS. 16.

DATAM figuram planam, vel circulum augere, vel minuere in data proportione.

HOC problema, quod ad figuras planas rectilineas attinet, explicauimus propo$. 15. $cholij propo$. 33. lib. 6. Euclid. Nuncidem ad circulos quoque ex- tendemus. Sit ergo rectilineum, cuius latus A B, vel circulus, cuius diameter AB, oporteatque con$tituere maius rectilineum, vel circulum maiorem in pro- portione, C, ad D, nimirum $ub tripla. Tribus lineis C, D, AB, inueniatur quar- [303]LIBER SEXTVS. ta proportionalis E atque inter AB, & E, reperiatur media proportionalis FG, & $upra FG, figura con$truatur $imilis datæ figuræ AB, $imiliterque po$ita. Item circulus de$cribatur circa diametrnm FG. Dico tam rectilineum A B, e$$e ter- tiam partem rectilinei FG, quam circulum AB, circuli FG, nimirum eandem ha- bere proportionem AB, ad FG, quam habet C, ad D. Quoniam enim tres rect{ae} AB, FG, & E, continuè proportionales $unt, erit figura A B, ad figuram FG, _coroll. 19._ _vel 20. $exti_. vt AB, ad E, hoc e$t, vt C, ad D. Quia verò e$t, vt quadratum ex A B, ad qua- dratum FG, ita circulus AB, ad circulum FG; e$tque quadratum AB, ad quadra- _2. duodec_. tum FG, vt AB, ad E; erit quoque circulus AB, ad circulum FG, vt AB, ad E, vel vt C, ad D.

SIT deinde figura, vel circulus H I, oporteatque con$truere minorem figu- ram, vel circulum in proportione K, ad L, nimirum tripla. Tribus rectis K, L, H I, inueniatur quarta proportionalis M: atque inter HI, & M, media proportio- nalis inueniatur N O, $upra quam con$truatur figura $imilis $imiliter que po$ita figuræ HI: Item circulus de$cribatur circa diametrum NO. Dico tam figuram HI, ad figuram NO, quam circulum HI, ad circulum NO, habereproportionem triplam, eandem videlicet, quam habet K, ad L. Quoniam enim tres rectæ HI, _coroll. 19. vel_ _20. $exti_. NO, & M, continuè $unt proportionales; erit figura HI, ad figuram NO, vt recta HI, ad M, hoc e$t, vt K, ad L. Et quia e$t, vt quadratum HI, ad quadra- _2. duodec_. tum NO, ita circulus HI, ad circulum NO, e$t que quadratum HI, ad quadra- tum NO, vt recta HI, ad M; erit quoque circulus HI, ad circulum NO, vtre- cta HI, ad M, vel vt K, ad L.

Ex his con$tat, qua ratione, dato foramine rotundo, vel etiam quadrato ali- cuius fontis, aliud foramen rotundum, vel quadratum maius, vel minus in qua- cunque proportione con$truendum $it.

PROBL. 12. PROPOS. 17.

DATAM figuram $olidam qualemcunque ex iis, de quibus Eucl. in lib. Stereometriæ agit, augere vel minuere in proportione data.

HVIVSMODI figuræ $olidæ $unt parallelepipedum, Pyra- mis, Pri$ma, $phæra, Conus, Cylindrus, & quinque corporare- gularia.

SIT ergo figura $olida, cuius latus A, vel $phæra, cuius dia- meter A, augenda primum in proportione B, ad C. Tribus re- ctis B, C, A, inueniatur quarta proportionalis D: atque inter A, & D, reperiantur duæ mediæ proportionales E, F. Dico $oli- dum lateris A, ad $olidum $upra latus E, nimirum $upra me- diam proportionalem, quæ propinquior e$t lateri dato A, con$tructum $imile, $imiliter que po$itum $olido $upra latus A, con$tituto, habere proportionem, quam B, habet ad C. Item $phæram datam diametri A, ad $phæram diametri E, e$$e, vt B, ad C. Quoniam enim figura $olida lateris A, ad figuram $oli- dam lateris E, $imilem $imiliter que po$itam habet proportio- nem triplicatam lateris A, ad latus E, vt lib. 11. & 12. Eucl. de- [304]GEOMETR. PRACT. mon$tratum e$t: Similiter Conus & Cylindrus, cuius ba$is diameter A, ad Co- num & Cylindrum $imilem, cuius diameter E: Necnon $phæra diametri A, ad $phæram diametri E; e$t autem, ex defin. 10. lib. 5. Euclid. proportio quoque A, ad D, triplicata proportionis A, ad E: Erit $olidum A, ad $olidum E, vt A, ad D, hoc e$t, vt B, ad C. quod e$t propo$itum.

SIT deinde $olidum lateris, vel diametri D, minuendum in proportione da- ta C, ad B. Tribus C, B, D, inueniatur quarta proportionalis A; atque inter D, & A, reperiantur duæ mediæ proportionales F, E. Dico $olidum lateris, vel dia- metri D, ad $olidum $imile $imiliter que de$criptum $upra F, nimirum $upra me- diam proportionalem, quæ lateri dato D, propinquior e$t, proportio nem habe- re, quam C, ad B. Quoniam enim $olidum D, ad $imile $imiliter que de$criptum $olidum F, proportionem habet triplicatam lateris D, ad latus F: qualem etiam habet ex defin. 10. lib. 5. Eucl. recta D, ad rectam A: erit $olidum D, ad $olidum F, vt D, ad A, id e$t, vt C, ad B. quod e$t propo$itum.

CONSTAT ex his, qua ratione Cubus non $olum duplicandus $it (quod veteres inquirebant) $ed etiam augendus minuendu$ue in quacunque propor- tione: Item quo pacto pylæ bombardarum maiores, aut minores fieri debeant $ecundum proportionem datam.

SCHOLIVM.

FIGVRAS $olidas $imiliterque po$itas habere proportionem triplicatam homologorum laterum, demon$tratum e$t de parallelepipedis quidem lib. 11. Eucl. propo$. 33. Depyramidibus verò lib. 12. propo$. 8. eiu$que coroll. & de Pri$matis, in eiu$dem $cholio. De$phæra autem lib. eodem 12. propo$. 18. De Conis deinde & Cylindris eodem lib. 12. propo$. 12. $i pro lateribus homolo- gis $umantur diametri $phærarum, & diametriba$ium Conorum, & Cylindro- rum. Actandem de quinque corporibus regularibus in coroll. propo$. 17. lib. 12. quippe cum omnia hæc corpora in $phæris de$cribi po$sint.

QVAMVIS autem problema hoc de$upradictis corporibus duntaxat pro- po$uerimus, idem tamen etiam locum habet in aliis cuiu$que generis corpori- bus $imilibus, $imiliter que po$itis, vt per$picuum e$t; propterea quod diuidi po$$unt in pyramides $imiles, æquales numero; quæ quidem proportionem _8. duodec._ _eiu${que} coroll_. habent laterum homologorum triplicatam. Cum ergo $it, vt vna pyramis ad vnam pyramidem, ita omnes ad omnes, id e$t, ita $ol<007>dum ad $olidum; $int- _12. quinti_. que eadem latera homologa $olidorum, quæ pyramidum $imilium, con$tat propo$itum.

PROBL. 13. PROPOS. 18.

INTER duos numeros datos tum vnum, tum duos medios propor- tionales reperire.

NON rarò figura $iue plana, $iue $olida augenda, vel minuenda e$t per nume- ros, quod quidem $ine inuentione vnius medij proportionalis, vel duorum mediorum inter datos duos numeros perfici nonpote$t: idcirco artem præ- [305]LIBER SEXTVS. $cribemus, qua huiu$modi medias inuenire po$simus. Propo$itis igitur primum duobus numeris quibu$cunque 9. & 25. inter quos reperiendus $it vnus medius proportionalis; $i multiplicentur inter $e, & producti numeri 225. radix qua- drata eruatur 15. vt in Arithmetica practica cap. 26. docuimus: erit radix hæc _17. $exti, vel_ _20 $ept_. quadrata medio loco proportionalis inter datos numeros, vt hic 9. 15. 25. quip- pe cum quadratum medij numeri æquale $it rectangulo $ub extremis compre- hen$o. Sic inter 5. & 13. medius proportionalis erit radix quadrata numeri 65. qui ex multiplicatione datorum numerorum gignitur, quæ radix paulò maior e$t, quam 8 {1/17}. & paulò minor, quam 8 {1/16}.

SINT deinde duo numeri 2. & 54. inter quos inueniendi $int duo medij proportionales. Multiplicetur quadratus minoris in maiorem. Producti nam- que numeri 216. radix cubica 6. erit primus medius iuxta minorem collocan- dus. Et $i maioris quadratus ducatur in minorem, erit producti numeri 5832. radix cubica 18. alter medius iuxta maiorem $tatuendus, vt hic 2. 6. 18. 54. Ra- tio huius rei e$t, quod datis quatuor l<007>neis continuè proportionalibus, paralle- lepipedum $ub quadrato alterutrius extremarum, & $ub altera extrema com- prehen$um, æquale e$t cubo mediæ proportionalis, quæ priori extremo a$$um- pto propinquior e$t, vt in $equenti Lemmate demon$trabimus. Quoniam ve- rò, vt in $cholio propo$. 19. lib. 8. Euclid. o$tendimus, propo$itis hi$ce tribus numeris 2. 2. 54. idem procreatur numerus, $iue prius ducantur 2. in 2. deinde productus 4. in 54. $iue prius 2. in 54. deinde productus 108. in 2. Item datis hi$- ce tribus numeris 54. 54. 2. idem numerus gignitur, $iue prius ducantur 54. in 54. deinde productus 2916. in 2. $iue prius 54. in 2. deinde productus 108. in 54. manife$to colligitur, $i minor 2. ducatur in maiorem 54. & productus 108. in minorem 2. produci quoque cubum medij proportionalis iuxta minorem con$tituend<007>: Item $i maior 54. ducatur in minorem 2. & productus 108. in ma- iorem 54. pro creari cubum med<007>j proportionalis iuxta maiorem $cribendi. Sic inter 4 & 100. erunt duo medij proportionales, Radix cubica numeri 1600. & Radix cub<007>ca numeri 40000. Cæterum inuento altero mediorum numero- rum, reperietur alter etiam, $i inuentus per extremum remotiorem multiplice- tur & producti numeri radix quadrata capiatur. Vt in dato exemplo 2. 6. 18. 54. $i medius inuentus 6. ducatur in 54. erit producti numeri 324. radix quadra- ta 18. alter medius: Item inuentus medius 18. $i multiplicetur per 2. erit pro ducti numeri 36. radix quadrata 6. alter medius: propterea quod tam 2. 6. 18. quam 6. 18. 54. $unt tres continuè proportionales.

LEMMA.

SI $int quatuor lineæ continuè proportionales: parallelepipedum $ub quadrato alterutrius extremarum, & altera extrema comprehen$um, æquale e$t cubo mediæ proportionalis, quæ priori extremæ a$$umptæ propinquior e$t.

REPETATVR figura propo$. 17. in qua lineæ quatuor continuè propor- tionales $unt A, E, F, D. Dico parallelepipedum $ub quadrato extremæ A, & [306]GEOMETR. PRACT. altera D, contentum, cubo rectæ E, æquale e$$e. Quoniam enim quadratum _coroll 20._ _$exti_. rectæ A, ad quadratum rectæ E proportionem habet, quam A, ad F, id e$t, quam E, ad D, recipro cabuntur ba$es cum altitudinibus, cum ba$is parallelepipedi $it quadratum rectæ A, & eiu$dem altitudo recta D: cubi autem ba$is quadra- tum rectæ E, & altitudo ip$amet recta E. Igitur æqualia erunt parallelepipe- _34. vnde-_ _c<007>mi_. dum, & cubus. Eadem ratione erit parallelepipedum $ub quadrato extremæ D, & $ub altera extrema A, contentum æquale cubo rectæ F. Nam cum $it, vt _coroll. 20._ _$exti_. quadratum rectæ D, ad quadratum rectæ F, id e$t, vt ba$is dicti parallelepipe- di ad ba$em dicti cubi, ita D, ad E, hoc e$t, ita F, ad A, hoc e$t, ita altitudo cubi, ad altitudinem parallelepipedi; reciprocabuntur quo que ba$es cum altitudi- nibus: ideo que æqualia erunt parallelepipedum, & cubus. quod e$t _34. vnde-_ _c<007>m<007>_. propo$itum.

QVIA verò in no$tra Arithmetica practica $olum radicis quadratæ extra- ctionem explicauimus, operæ me pretium facturum puto, radicis cubicæ extra- ctionem hoc loco, quamuis forta$$e alieno, in$erere: quando quidem ea nece$- $aria omninò e$t, vt problema hoc 13. ad opus po$sit deduci. Hoc autem ef- ficiam, $i præ$cribam artem quandam generalem, qua cuiu$cunque generis ra- dicem extrahere po$simus, ex libro eximij cuiu$dam Arithmetici Germani de- promptam fermè totam: quod quidem $tudio$o Lectorinon iniucundum, aut ingratum fore confido.

PROBL. 14. PROPOS. 19. RADICEM cuiuslibet generis extrahere.

EXTRACTIO radicis e$t inuentio numeri ex propo$ito numero, qui mul- _Extractio ra-_ _dic{is} quid_. tiplicatione aliqua in $e numerum propo$itum producat. Vt extractio qua- dratæ radicis e$t inuentio numeri ex numero quadrato, qui quadratè mul- tiplicatus ip$um producat: Et extractio radicis cubicæ, e$t inuentio nume- ri, qui in $e ductus cubicè producat cubum propo$itum, &c. Quid autem $it multiplicare numerum quadratè, aut cubicè, aut alio modo, mox expli- cabo.

QVEMADMODVM igitur infinitæ $unt $pecies multiplicationum nume- _Infinitæ $pe-_ _ci{es} radicum_. rorumin $e, vt $tatim dicam, ex quibus oriuntur numeri quadrati; & $olidi, vt cubi, Zenficen$i, Surde$olidi, &c. qui à Iunioribus nonnullis in Algebra ex- plicari $olent: $ic etiam infinitæ $unt radicum $pecies iuxta varias numerorum appellationes, qui con$urgunt ex varia radicum multiplicatione. Quæ omnia pulchrè nobis repræ$entat naturalis numerorum progre$sio, in$eruiens progre$sionibus Geometricis ab vnitate incipienti- bus: vt hic.

[307]LIBER SEXTVS. 0. # 1. # 2. # 3. # 4. # 5. # 6. # 7. # 8. # 9. # 10.&c. 1. # 2. # 4. # 8. # 16. # 32. # 64. # 128. # 256. # 512. # 1024. &c. # Radix # Quadratus # Cubus. # Zen$izen$us # Surde$oli- \\ dus. # Zen$icubus # B, $urde$o- \\ lidus. # Zen$izen- \\ zen$us # Cubicubus # Zen$urde- \\ $olidus.

PRIMVM numeri $uperioris progre$sionis $ignificant $pecies multiplicatio- num. Vt 2. $upra quadratum $ignificat, multiplicationem quadratam fieri, dum radix bis ponitur, & $ic multiplicatur, vt 2. 2. facit 4. Sic 3. $ignificat, multipli- cationem cubicam fieri, dum radix ter ponitur, atque ita multiplicatur, vt 2. 2. 2. facit 8. Pari ratione 4. o$tendit multiplicationem Zen$izen$icam: Et 5. $urde- $olidam, &c.

DEINDE ijdem @numeri $ignificant radicum $pecies. Vt 2. $ignificat, radi- cem quadratam producere quadratum per multiplicationem quadratam: Et 3. denotat, radicem Cubicam procreare Cubum per multiplicationem cubicam: Et $ic deinceps.

IN extra ctionibus igitur radicum ob$eruanda e$t $ignatio figurarum per pũ- cta in numero, ex quo radix aliqua extrahenda e$t, hoc modo.

IN extractione radicis quadratæ $ignantur omnes figuræ in Iocis imparibus, incipiendo à dextris: ita vt alternatim $emper vna figura omittatur, quæ non $ignetur.

IN extractione cubica omittuntur $emper Pro quadrata. 68719476736 . . . . . . Pro cubica 68719476736 . . . . Zen$izen$ica. 68719476736 . . . Pro $urde$olida. 68719476736 . . . duæ figuræ. In Zen$izen$ica tres. In $urde$olida _Quo modo fi-_ _guræ per pun-_ _cta $ignentur_. quatuor. Et $ic deinceps in infinitum. Vtin ap- po$itis exemplis vides.

RESPONDENT autem hæ $ignationes me- dijs proportionalibus. Vt quoniam inter duos quadratos cadit vnus medius, ideo in extractio- ne ra dicis quadrat{ae} omittitur $emper vnafigu- ra: Inter duos verò Cubos cadunt duo medij, idcirco omittuntur $emper duæ figuræ, & $ic de cæteris.

PRO qualibet autem $pecie radicis extrah\~e- d{ae} in$eruiunt quidam numeri peculiares: qui per $equentem tabulam inueniuntur, quæ hoc mo- dò con$truitur. Prima columna continet $eriem natural\~e numerorũ. Ex hac colũna na$cit $ecũ- da: tertia ex $ecũda: & quarta ex tertia, hoc mo- do. Relictis duab. cellulis primæ colũnæ, repetit numerus tertiæ cellulæ in $ecunda columna. De- inde ex additione duorum numerorum, id e$t, ex tertio primæ columnæ, & primo $ecundæ columnæ, fit $ecundus numerus $e- cundæ columnæ. Eodem modo ex $ecundo numero $ecundæ columnæ, & ex eius collaterali conficitur tertius $ecundæ columnæ: Atque ex tertio numero $ecundæ column{ae}, & ex eius collaterali fit quartus eiu$dem $ecund{ae} columnæ, [308]GEOMETR. PRACT. 1 _Con$tructio_ _tabulæ miri-_ _ficæ_. 2 3 # 3 4 # 6 5 # 10 # 10 6 # 15 # 20 7 # 21 # 35 # 35 8 # 28 # 56 # 70 9 # 36 # 84 # 126 # 126 10 # 45 # 120 # 210 # 252 11 # 55 # 165 # 330 # 462 # 462 12 # 66 # 220 # 495 # 792 # 924 13 # 78 # 286 # 715 # 1287 # 1716 # 1716 14 # 91 # 364 # 100 # 2002 # 3003 # 3432 15 # 105 # 455 # 1365 # 3003 # 5005 # 6435 # 6435 16 # 120 # 560 # 1820 # 4368 # 8008 # 11440 # 12870 17 # 136 # 680 # 2380 # 6188 # 12376 # 16448 # 24310 # 24310 & $ic deinceps. Continentur autem in $ecunda columna omnes numeri trian- gulares. Non aliter tertia columna ex $ecunda oritur, & quarta ex tertia, &c. Semper enim in qualibet columna relinquũtur duæ primæ cellu@æ, & nu- merus tertiæ cellulæ repetitur pro primo numero $equentis columnæ: atque ex additione eius numeri cum collaterali præcedentis columnæ conflatur $ecun- dus numerus, &c. _Quo pacto_ _ex $uperiori_ _tabula de$u-_ _mantur nu-_ _meripro $in-_ _gul{is} radicum_ _$pec<007>eb{us}_.

HAC extructa tabula, de$umuntur numeri peculiares ex ordinibus trans- uer$alibus hoc ordine. Numeri cuiuslibet ordinis tran$uer$alis ordine $crib un- tur, ijdemque ordineretrogrado repetuntur, vltimo $emper ex cepto, & penul- timo etiam tunc$olum, quando vltimo æqualis e$t. Vt in $ecundo ordine $u- mitur tantum numerus 2. quia cum $it vltimus, non repetitur. In tertio $umun- tur quo que hi duo tantum 3.3. quia penultimus non repetitur, cum ab vltimo non differat. In quarto autem $umendi $unt hi tres. 4. 6. 4. In nono hi octo 9. 36. 84. 126. 126. 84. 36. 9. Et in decimo hinouem 10. 45. 120. 210. 252. 210. 120. 45. 10. &c. Vbivides, $emper tot numeros a$$umi, quot $unt vnitates in primo numero tran$uer$ali, minus vno. Vtin ordine $eptimodecimo a$$umendi erunt hi$exdecim 17. 136. 680. 2380. 6188. 12376. 19448. 24310. 24310. 19448. 12376. 6188. 2380. 680. 136. 17. & $ic de cæteris.

CVILIBET deinde numero præponendæ $unttot cifræ, quot numeriab eo inclu$iue numerantur v$que ad vltimum a$$umptum. Vt numero 2. $ecundi or- dinis præponenda e$t vna cifra, hoc modo, 20. Sed duo tertij ordinis habe- bunt has cifras 300. 30. Sic in nono ordinè, vbia$$umuntur octo numeri, pri- mus habebit octo cifras, $ecundus $eptem, tertius $ex, & $ic $emper minuendo vnam. Cuius autem radicis extra ctioni in$eruiant prædicti nu neri in quolibet ordine tran$uer$ali accepti, pulchrè indicat primus numerus o@dinis tran$uer$a- [309]LIBER SEXTVS. lis. Vt quia in $uperiori progre$sione numerus 2. notat quadratum, & 3. cubũ: & 4. Zen$izen$um, &c. ideo numerus 2. $ecundi ordinis cum $ua cifra, hoc mo- do. 20. in$eruit radici quadratæ: Et duo numeri ex tertio ordine a$$umpti cum $uis cifris, hoc modo 300. 30. radici cubicæ: Et tres quarti ordinis, hocmodo 4000. 600. 40. radici Zen$izen$icæ: & quatuor quinti ordinis, hoc modo, 50000. 10000. 1000. 50. radici $urde$olidæ, &c.

IAM verò vt propius ad extra ctionem radicum accedamus, $ciendum e$t, _Quot figur{as}_ _quælib{et} ra-_ _dix habeat_. radic\~e cuiuslibet numeri habere tot figuras, quot puncta $ub ip$o $ignata $unt, $ecundum do ctrinam $uperiorem. Item ad punctum vltimum ver$us $ini$tram pertinere ip$am figuram $upra punctum po$itam, cum omnibus alijs, quæip$am ver$us $ini$tram præcedunt. Ex quo puncto $i $ubtrahatur numerus, vt mox dicemus, $pectabit ad penultimum punctum figura $upra ip$um punctum cum reliquis ad $ini$tram, & $ic de cæteris.

VT autem ritè incipiat extractio cuiuslibet radicis, con$truenda erit tabella quadratorum, cuborum, $urde$olidorum, B, $urde$olidorum, & aliorum nu- merorum, qui ex nouem figuris Arithmeticis pro ducuntur, cum $uisradicibus. Vthic vides.

Radices. # Quadrati. # Radices. # Cubi. # Radices. # Surde$oli- \\ di. # Radices. # B, Surde$o- \\ lidi. 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 # 1 2 # 4 # 2 # 8 # 2 # 32 # 2 # 128 3 # 9 # 3 # 27 # 3 # 243 # 3 # 2187 4 # 16 # 4 # 64 # 4 # 1024 # 4 # 16384 5 # 25 # 5 # 125 # 5 # 3125 # 5 # 78125 6 # 36 # 6 # 216 # 6 # 7776 # 6 # 279936 7 # 49 # 7 # 343 # 7 # 16807 # 7 # 823543 8 # 64 # 8 # 512 # 8 # 32768 # 8 # 2097152 9 # 81 # 9 # 729 # 9 # 59049 # 9 # 4782969

Cur autem non appo$uerim tabellas Zen$izen$orum. & zen$icuborũ, cau- $a e$t, quod eiu$modi numerorum radices non egent nouis præceptis, vt po$tea dicetur. Sequuntur ergo iam extractionum exempla aliquot.

EXTRACTIO RADICIS Quadratæ. _Quadr atæ_ _radic{is} ex-_ _trastio_.

SIT numerus propo$itus 6765201. ex quo erui debet radix quadrata. . . . .

PRIMVM ab vltimo puncto, id e$t, à figura 6. (Hoc enim punctum vnã tan- tum habet figuram, cum eam nulla alia præcedat) $ubtrahitur maximus quadra- _Radix 2601_. tus, qui$ubtrahipote$t, nimirum 4. & in Quotiente ad marginem ponitur eius radix 2. Inre$iduo autem manent 2. pro $equenti puncto. quod erit 276. atque ita ab$olutum e$t vltimum punctum, quod e$t in operatione primum.

[310]GEOMETR. PRACT.

DEINDE paro diui$orem ex figura 2. inuenta in Quotiente multiplicata per 20. nimirum per numerum radici quadrat{ae} in$eruientem: quem inuenio 40. Per hunc diuido punctum $equens 276. & pro Quotiente reperio 6. Pono er- go primum Quotientem 2. ad $ini$tram, numerum peculiarem 2--20--6. 36. 20. in medio, & nouum Quotientem 6. ad dextrã, $ub quo $cri- bo eius quadratum 36. vt hic vides.

POST h{ae}c multiplico tres numeros 2. 20. 6. inter $e, & producto 240. addo quadratum 36. & $ummam 276. ex puncto 276. detraho, nihil que relinquitur, atque ita ab$olutum e$t $equens punctum: aliudque $equens punctum e$t 52.

PARO iam diui$orem ex toto Quotiente inuento 26, ducto in 20. id e$t, in numerum peculiarem quadratæ radicis, quem inuenio 520. Et quia perhunc diuidi non pote$t punctum 52. pono in Quotienteo. neque opus e$t multipli- care, vtreperiatur numerus $ubtrahendus, quia nihil $ubrahitur, cumo. multi- plicans producato. Et $ic fit in omnibus alijs extractionibus, quando diui$or inuentus in puncto propo$ito ne $emel quidem continetur: atque ita ab$olu- tum e$t punctum 52. punctum quein$equens e$t 5201.

PARO iterũ diui$or\~e ex toto Quoti\~ete inu\~eto 260. ducto in numerũ pecu- liarem 20. quem reperio 5200. qui $emel in puncto 5201. continetur. Pono er- go totum Quotientem prius inuentum 260. ad $ini$tram, & 260--20--1 1 numerum peculiarem 20. in medio, & quotient\~e 1. nunc inuen- tumad dexteram, eiu$que quadratum 1. $ub illo, vt in exemplo patet.

MVLTIPLICATIO trium $uperiorum numerorum facit 5200. addo qua- dratum 1. figuræ inuentæ 1. fit numerus 5201. qui ex puncto 5201. detractus nil relinquit. E$t ergo ab$oluta extractio, radixque inuenta e$t 2601. quæ quadra- tè, id e$t, in $e multiplicata producit propo$itum numerum 6765201.

ATQVE hæc e$t probatio, vel examen cuiu$uis extra ctionis, vt videlicet ra- dix inuenta in $emultip licetur vel quadratè, vel cubice, vel $urde$olide, &c.<030> qualitateradicis. Si enim in extractione nihil fuit relictum, veluti in no$tro ex\~e- plo, nece$$e e$t, numerum productum {ae}qualem e$$e propo$itio numero, ex quo fa cta e$t extractio: Si autem in extractione aliquid fuit relictum, illud additũ producto numero conficiet numerum propo$itum. In$titui quoq; pote$t exa- men per 9. vel 7. vt in Diui$ione. Nam$i ex inuenta radice abijciantur 9. vel 7. quoties fieri pote$t, & re$iduum collocetur tum in $ini$tra parte crucis, tum in dextra, quod Quotiens, vel radix inuenta $it etiam in$tar Diui$oris. Hoc enim re$iduo in $e multiplicato quadrate, vel cubice, &c. & ex producto abiectis 9. vel 7. nece$$e e$t, re$iduum hoc æquale e$$e re$iduo numeri propo$iti, $i abijciã- tur ex eo omnia 9. vel 7. & nihil in extra ctione relictum $it. Nam alio- quin ex re$iduo extractionis, & ex producto radicis inu\~etæin $e mul- tiplicatæ abijcienda erunt omnia 9. vel 7. Hoc enim re$iduum {ae}quale e$$e debetre$i duo numeri propo$iti, $i omnia 9. vel 7. abijciantur. In no$tro exemplo, $i probatio in$tituatur per 9. re$iduum $emper e$to. Siverò fiat per 7. $tabit exemplum examinis vt hic apparet.

EXTRACTIO RADICIS CVBICE.

SIT ex numero 239483190. extrahenda radix cubica.

. . .

[311]LIBER SEXTVS.

PRIMVM expuncto 239. $ubtraho cubum 216. qui e$t maximus in eo con- _Cubicæ radi-_ _c{is} extractio_. _radix 621_. tentus, cuius radicem 6. $cribo in Quotiente ad marginem. Et quia relinquitur numerus 23. erit $equens punctum 23483.

DEINDE paro diui$orem hocmodo. Supra radicem inuen- tam 6. pono eius quadratum 36. Et ad dextram colloco duos nu- 36--300 6-- 30 meros peculiares radicis cubicæ, nimirum 300. & 30. vt hic vides. Multiplico $uperiores duos numeros 36. & 300. inter $e, & pro- ducto 10800. addo productum 180. ex multiplicatione numerorum inferiorũ 6. & 30. inter $e. Nam $umma 10980. erit Diui$or. Satis etiam e$$et productus ex duobus $uperioribus inter $e multiplicatis, nimirum 10800. pro Diui$ore. quodin alijs extractionibus intelligendum quoque e$t. Diuido ergo punctum meum 23483. per diui$oreminuentum 10980. & Quotientem 2. $cribo po$t fi- guram 6. prius inuentam. Pingo po$t hæc figuram huiu$modi. Ad dextram numerorum 36. & 300. colloco inuentam figuram 2. & infra eam eius quadratum 4. & $ub hoc cubum eiu$dem 8. Nam $i 36--300--2. 6-- 30--4. 8. tam $uperiores tres numeri 36. 300. & 2. quam inferiores tres 6. 30. & 4. inter $e multiplicentur, & productis 21600. & 720. addatur cubus 8. fiet numerus 22328. quem $i ex meo puncto 23483. $ubtraham, remanent 1155. atque adeo punctum $equens erit 1155190.

PARO iam alium diui$orem hocpacto. Supra 62. radicem hactenus inuen- tam $cribo eius quadratum 3844. & ad dextram eo$dem nu- meros peculiares 300. & 30. Multiplicatio duorum $uperio- 3844--300. 62-- 30. rum inter $efacit diui$orem 1153200. per quem $i diuidatur pũ- ctum 1155190. fit Quotiens 1. po$t alias duas figuras 62. $cri- bendus. Pingo iam figuram talem. Ad dextram numero- rum 3844. & 300. pono figuram 1. proximè inuentam, & 3844--300--1. 62-- 30--1. 1. infra eam eius quadratum 1. & $ub hoc eiu$dem cubum. 1. Nam $i tam tres $uperiores numeri 3844.300. & 1. quam inferiores tres 62. 30. & 1. inter $e multiplicentur, & pro- ductis 1153200. & 1860. addatur cubus 1. fiet numerus 1155061. quem $i ex meo puncto 1155190. demam, remanent 129. E$t ergo ab$oluta extractio, radixque inuenta e$t 621. quæ in $e cubice multiplicata procreatnumerum 239483061. cui $i adijciatur re$iduum 129. coflabitur numerus propo$itus 239483190.

EXTRACTIO RADICIS Surde$olidæ.

SIT numerus 1039589621. cuius radix $urde$olida quæritur.

. .

_Surde$olidæ_ _ràdic{is} extra-_ _ctio_ _radix 63_.

PRIMVM à puncto 10395. $ubtraho maximum $urde$olidum 7776. in eo in- clu$um, cuius radicem 6. $cribo in margine {pro} Quotiente: & quia numerus relin- quitur 2619. ideo punctum $equens erit 261989621.

DEINDE paro diui$orem hoc modo. Supra radicem inuentam 6. $cribo e- ius quadratum 36. & $upra hunc eiu$dem cubum 216. & $upra hunc eiu$dem Zen$izen$um, vel quadrati quadratum 1296: ita vt con$tituatur progre$sio [312]GEOMETR. PRACT. Geometrica a$cendens à radice 6. denominata totterminorum, quot numeri peculiares requiruntur in extra ctione $urde$olida, Et ad 1296--50000 216--10000 36-- 100 6-- 50 dextram colloco quatuor numeros peculiares requi$i- tos, vt exemplum mon$trat. Multiplico duos $uperio- res numeros (quod $atis e$t) 1296. & 50000. inter $e. Pro- ductus namque numerus 64800000. erit diui$or, per quem $i diuidatur pun- ctum relictum 261989621. po$$et e$$e Quotiens vel 4. vel 3. vel 2. Accipio au- tem 3. quia figura 2. e$t nimis parua, & 4. nimis magna, vt ex $equentibus pate- bit; quem Quotientam 3. in margine $cribo po$t inuentam figuram 6. Pingo er- ergo talem figuram. Ad dextram numerorum 1296. & 50000. pono figuram Quotientis acceptam 3. & infra eam eius quadratum 9. & $ub hoc eiu$dem cu- bum 27. & $ub hoc eiu$dem Zen$izen$um, vel quadrati quadratum 81. & $ub hoc eiu$dem $urde$olidum 243. ita vt ad dextram con$tituatur progre$sio Geo- metrica de$cendens denominata à figura Quotientis 3. inuenta tot terminorum vno amplius, quot numeri peculiares requirun- tur: adeo vt vltimus terminus $it numerus $urde- 1296--50000-- 3. 216--10000-- 9. 36-- 1000-- 27. 6-- 50-- 81. 243 $olidus figuræ inuentæ, quemadmodum in cubi- ca extractione fuit cubus, & in quadrata qua- dratus. Nam $i terni numeritran$uer$ales inter $e multiplicentur, & ad productos 194400000. 19440000. 972000. 24300. adijciatur $urde$oli- dus 243. efficietur numerus 214836543. qui ex puncto 261989621. detractus re- linquit 47153078. E$t ergo radix $urde$olida inuenta 63. qu{ae} in $e $urde$olidè multiplicata, $i nimirum quinquies ponatur hoc modo, 63. 63. 63. 63. 63. pro du- cit numerum 992436543, cui $i addatur re$iduum 47153078. conflabitur propo- fitus numerus 1039589621.

QVOD $i $upere$$et aliud punctum, con$tituenda e$$et progre$sio a$cend\~es denominata à tota radice hactenus inuenta 63. quatuor terminorum, vt hic vides. Nam produ- 15752961--50000 250047--10000 3969-- 1000 63-- 50 ctus 78764805. ex $uperioribus duobus numeris inter $e multiplicatis e$$et nouus diui$or. Deinde ex noua figura inuenta e$$et con$tituen da pro- gre$sio de$cendens v$que ad $urde$olidum illius figuræ, quemadmodum $upra cum figura 3. factum e$t.

ATQVE in hunc modum radicem cuiu$cunque $peciei extrahes, $i diligen- ter inquires numeros propo$itæ radiciin$eruientes, vt $upra docuimus. Quæ $anè ratio mihi $emper præclara e$t vi$a. Nam etiam$i operatio videatur ali- quanto longior e$$e, quam par $it, difficilis tamen non e$t, quippe cum ignorari in ea non po$sit, quid faciendum $it: cum tamen in extractionibus ab alijs Ari- thmeticis traditis (quadrata excepta) tanta $it operationis difficultas, vt infini- ta ferememoria opus $it ad retinendũ ea, qu{ae} ad extrahendas radices adhiben- da $unt, vt in radice cubica extrahenda per aliorum regulam, $i adhibeatur, pa- tebit: cum tamen cubica extractio $it longè facilior extractione $urde$olida, & alijs in$equentibus, qu{ae} ferè inextricabiles $unt.

SOLA vna difficultas tam in no$tra, quam in aliorum extra ctione exi$tit, quod nimirum dubium interdum $it, num figuram nimis paruam in Quotien- te alicuius puncti accep erimus. Vt in $ecundo puncto extractionis $urde$olidæ [313]LIBER SEXTVS. potuit e$$e Quotiens vel 4. vel 3. vel 2. Nos autem accepimus 3. Si ergo certi _Difficult{as} in_ _extractioni-_ _b{us} quo pact@_ _$uperetur_. e$$e velimus, an accipi potui$$et figura 4. quando quidem $uperfuit numerus 47153078. valdè magnus, faciendum periculum erit cum figura 4. con$tituen- do $cilicet progre$sionem de$cendentem Geo- metricam à 4. denominatam. Et quia qua- 1296--50000-- 4 216--10000-- 16 36-- 1000-- 64 6-- 50-- 256 1024 tuor numeri producti tran$uer$ales cum $urde- $olido 1024. faciunt numerum 297141824. qui ex puncto $ecundo 261989621. $ubtrahi ne- quit; argumento e$t, figuram 4. nimis magnam e$$e, ac proinde figuram 2. nimis paruam; quã- do quidem cum figura 3. tales numeri pro creati $unt, qui ex propo$ito puncto potuerunt $ubtrahi. Hoc ergo remedium $i adhibeatur, quamuis longiu$cu- lum, tuti$sima erit no$tra ratio extrahendarum radicum.

_Cur exemplũ_ _non ponatur_ _de radice Zen-_ _$iZen$ica, & c_.

IAM verò cur in $uperiori tabella qua dratorum, cuborum, $urde$olidorum, &c. omi$erim Zen$izen$os, $iue quadrati quadratos, atque adeo radicis Zen- $izen$icæ extractionem præterierim; ratio e$t, quod radices Zen$izen$ica, Zen$i- cubica, Zen$izenzen$ica, cubicubica, Zen$urde$olida, &c. quamuis erui po$- $int, $icut aliæ, habent tamen aliam etiam extractionis regulã, quam vel exip$is nominibus colligere licet. Videlicet.

EXTRACTVRVS radicem Zen$izen$icam, $iue quadrati quadratam, ex- trahe primo radicem quadratam: Deinde ex hac radice erue iterum quadratam radicem. Hæc enim erit radix Zen$izen$ica, quæ quæritur.

EXTRACTVRVS verò radicem Zen$icubicam, id e$t, quadrati cubicam, vel cubi quadratam, extrahe primo radicem quadratam, & ex hac deinderadi- cem cubicam. Vel primo erue radicem cubicam, & ex hac quadratam. Vlti- ma enim radix eruta erit ea, quam quæris. Idem iudicium habeto de alijs ra- dicibus numerorum compo $itorum, vt de radice Zen$izenzen$ica, cubicubi- ca, Zen$urde$olida, &c.

REGVLA PROPRIA EXTRA- ctionis radicis cubicæ.

QVONIAM frequentior v$us e$t radicis quadratæ, & cubicæ apud Mathe- maticos, quam aliarum radicum, lubet in $tudio $orũ gratiam præ$cribere hoc loco regulam propriam ad cubicam radicem extrahendam: quemadmodum idem de quadrata radice fecimus in no$tra Arithmetica practica. Relictis au- tem aliorum regulis, quod minus faciles, minu$que expeditæ $int, excerpam vnam qua$i nouam ex $uperiori extractione radicis cubicæ, quæ $ic $ehabet.

SIT eruendaradix cubica ex numero 1860867.

. . .

EX primo puncto 1. ad $ini$tram $ubtraho cubum 1. maximũ in eo contentũ, _Regula pro_ _pria rad@c{is}_ _cubicæ_. _radix 123_. nihilq; remanet. Erit ergo $equ\~es punctũ 860. & pro radice inuenta e$t figura 1.

PARO diui$orem, multiplicando quadratum figuræ inuentæ, nimirum 1. per 300. qui erit 300. per quem $i diuidam punctum 860 inuenio Quotient\~e 2. pro $ecunda figura radicis. Hanc duco in diui$orem inuentum 300. facio que 600. Deinde duco quadratũ nouæ figuræ 2. inuentæ, nimirũ 4. in productũ ex priori [314]GEOMETR. PRACT. figura 1. multiplicata per 30. hoc e$t, in 30. facio que 120. Po$tremò ad $ummã duorum horum productorum 600. & 120. id e$t, ad 720. adijcio cubum inuen- t{ae} nouæ figuræ 2. nimirum 8. totamque $ummam 728. ex meo puncto 860. $ub- traho. Et quia remanent 132. erit vltimum punctum 132867. Scribo ergo inuen- tam figuram 2. po$t priorem 1.

DEINDE paro eodem modo diui$orem nouum pro vltimo puncto. Nimi- rum quadratum totius radicis 12. hactenus inuentæ, id e$t, 144. duco iterum in 300. Productus enim numerus 43200. erit diui$or, per quem $i diuidam meum punctum 132867. reperio Quotientem 3. $cribendum po$t radicem 12. hacte- nusinuentam. Hanc figuram inuentam 3. $imiliter duco in diui$orem inuentum 43200. facioque 129600. Deinde quadratum eiu$dem nouæ figuræ 3. nimirum 9. duco in productum ex radice 12 prius inuenta, multiplicata per 30. hoc e$t, in 360. efficioque 3240. Po$tremò ad $ummam horum duorum productorum 129600. & 3240. hoc e$t, ad 132840. adijcio cubum 27. ex eadem noua figura genitum, fitque numerus 132867: qui ex puncto 123867. detractus nihil relin- quit. Atque ita inuenta e$t radix 123. numeripropo$iti 1860867.

QVOD $i $upere$$et aliud punctum, ducendus e$$et quadratus totius radi- cis 123. hactenus inuentæ in 300. vt nouus diui$or exurgeret, &c. Vides ergo in hacregula plus memoriæ requiri, quam in $uperiori, quamuis facilior $it, quam aliorum regulæ. Memor tamen e$to, quando dubitas, an nimis paruam figuram in Quotiente acceperis, vt facias periculum de maiori figura, vt $upra dictum e$t.

PROBL. 15. PROPOS. 20.

IN numeris non quadratis, non cubis, non Zen$izen$icis, non $urde- $olidis, &c. radicem, veræ propinquam inuenire.

QVANDO numerus propo$itus non e$t quadratus, aut cubus, aut Zen$iz\~e- $us, aut $urde$olidus, &c. non pote$t habere veramradicem, $ed per regulas $u- periores inueniturradix maximi quadrati, vel cubi, vel Zen$izen$i vel $urde$oli- diin dato numero contenti. Vt igitur $ciamus, quænam fractio ad inuentam ra- dicem addenda $it, vt habeaturradix propinquior veræ, agendum erit hoc mo- do.

NVMERO propo$ito apponantur aliquot binarij cifrarum, $i quadrata ra- _Quot binarij_ _cifrarum vel_ _ternarij vel_ _quaternarij_, &_c. ad propin_ _quam radic\~e_ _eruendam ap-_ _ponendi $int_. dix propinqua inquiritur: vel $i cubica, aliquot cifrarum ternarij; vel aliquot quaternarij, $i radix Zen$izen$ica de$ideratur, vel aliquot quinarij cifrarum, $i de $urde$olida radice agitur, &c. Re$pondet autem in qualibet $pecie radicis numerus cifrarum aliquoties repetendus numero, qui in progre$sione ad initi- um præcedentis problematis po$ita $cribitur $upra numerum, à quo radix no- men $umit. Vt quia $upra quadratum ponitur 2. ideo pro quadrata radice ap- ponuntur bin{ae} cifræ aliquoties, at pro cubica ternæ, quod $upra cubum $cri- ptus $it numerus 3. &c. ita vt pro radice cubicuba propinqua apponendi $inta- liquot nouenarij cifrarũ, quippe cũ $upra cubicubũ numerus 9. reperiat de$cri- ptus. Idem numerus cifrarum aliquoties repetendus re$pondet quoq; $ignatio- nibus punctorum, quæ faciendæ $unt, vtr adix extrahatur. Vt quia in quadrata [315]LIBER SEXTVS. radice extrahenda $ignatur $ecunda quæuis figura, propterea aliquot cifrarum binarij a$cribendi $unt; in cubica verò radice aliquot ternarij cifrarum adiun- gendi $unt, quia in ea extrahenda tertia quæque figura $ignatur, &c.

QVO autem plures binarij, vel ternarij cifrarum, &c. numero propo$ito ap- ponetur, eo propinquiorradix eruetur.

APPOSITIS hoc modo cifris ad numerum, ex quo radix eruenda e$t, ex- _Quæ fractio_ _addenda $it_ _radici, vt pro-_ _pinquior ra-_ _dix gignatur_. trahenda e$t ex toto illo numero radix, vt $upra traditum e$t. Deinde ex ea ra- dice abiectis ad dexteram tot figuris, quot cifrarum binarij, vel ternarij, vel quaternarij, &c. appo$itifuere, reliquæ figuræradicem integram dabunt, cui addenda e$t fractio numeratorem habens figuras abiectas, denominatorem ve- rò vnitatem, cum totidem cifris, quot binarij cifrarum, vel ternarij, &c. addi- ti fuerunt, nimirum vel 10. $i vnus binarius, vel ternarius, &c. additus fuit, vel 100. $i duo binarij: vel ternarij, &c. additi fuerunt: vel 1000. $i tres, & $ic deinceps ita vt fractio illa contineat vel decimas, vel cente$imas, vel mille$i- mas, &c.

EXEMPLI cau$a. Ex numero 29. extrahenda $itradix quadrata. Appo$itis tribus binariis cifrarum, hoc modo 29000000. inuenietur huius numeri qua- drata radix 5385. minor quam vera, quippe cum in extra ctione aliquid reman$e- rit: addita verò vnitate, fietradix 5386. maior, quam vera. Abiectis igitur tribus figuris ad dexteram, propter tres cifrarum binarios additos, erit propinqua ra- dix 5 {385/1000}. minor tamen quam vera: at 5 {386/1000}. maior quam vera. Illius enim quadratus numerus e$t 28 {998225/1000000}. minor quam propo$itus numerus 29. Huius verò numerus quadratus e$t 29 {8996/1000000}. maior eodem numero propo- $<007>to 29.

ITEM ex numero 29160. eruenda $it radix cubica. Apponantur tres terna- rij cifrarum, vt rur$us habeantur in fractione partes denominatæ à 1000. atque ex toto numero 29160000000000. extrahatur radix cubica, quæ reperietur 30779. minor quam vera, quod in extractione fuerit aliquis numerus re$iduus: atque adeò maior quàm vera, erit 30780. Abiectis tribus figuris ad dexteram, propter tres cifrarum ternarios appo$itos, erit propinqua radix cubica 30 {779/1000}. minor quam vera, cum eius cubus $it tantum 29158 {388419@39/1000000000}. maior autem propinqua radix, quam vera, erit 30 {780/1000}. quippe cum eius cubus $it 29161 {230552000/1000000000}.

DEMONSTRATIO huius <007>nuentionis radicis propinquæ hæc e$t. Quando pro radice quadrata apponuntur 00. ad numerum propo$itum, verbi gratia ad 5. multiplicatur propo$itus numerus per 100. hoc e$t, per quadratum radicis 10. Et quia quadrati 500. & 5. (Nam datus numerus, & conflatus ex additio- ne 00. $umendi $unt tanquam quadrati, cum eorum radices quærantur) ha- _11. octaui_. bent proportionem $uarum radicum duplicatam: E$t autem 500. ad 5. vt 100. ad 1. propterea quod 5. multiplicatus per 100. fecit 500. Centupla verò pro- portio decupl{ae} duplicata e$t, vt in hoc appo$ito exemplo 1. # 10. # 100. # 5. # 500. patet; erit proportio radicis numeri 500. ad radicem nu- meri 5. decupla. Cum ergo radix 500. $it 22. minor quam vera, erit eius {1/10}. nimirum 2 {2/10}. radix numeri 5. minor quam vera: ac proinde 2 {3/10}. erit maior quam vera. Rectè ergo præcepimus, quando apponuntur 00. abiiciendam e$$e ex radice 22. vnam figuram, vt relinquatur radix 2 {2/10}.

[316]GEOMETR. PRACT.

QVANDO autem apponuntur 0000. multiplicatur numerus propo$itus, verbi gratia numerus 5. per 10000. id e$t, per quadratum radicis 100. Et quia quadrati 50000. 5. habent duplicatam proportionem $uarum radicum. E$t _11. octaui_. autem 50000. ad 5. vt 10000. ad 1. propterea quod| 5. multiplicatus per 10000. fecit 50000. Proportio autem 10000. ad 1. duplicata e$t proportionis 1000. ad 1. vt in hoc exemplo patet; erit proportio ra- 1. # 100. # 10000. # 5. # 50000. dicis numeri 50000. nimirum 223. ad radicem nu- meri 5. vt 100. ad 1. Quare $i radix 223. diuidatur per 100. procreabitur radix quadrata propinqua 2 {23/100}. minor quam vera, at 2 {24/100}. erit maior quam vera. Rectè ergo præcepimus, cum apponuntur 0000. abiiciendas e$$e ex radi- ce 223. duas figuras, vt reliqua fiatradix 2 {23/100}.

PARI ratione, $i apponantur 000000. procreabitur radix propinqua in mille$imis, at queita deinceps.

RVRSVS quando pro radice cubica ad numerum propo$itum, vt ad 5. ad- duntur 000. multiplicatur datus numerus per 1000. id e$t, per cubum radicis 10. Et quia cubi 5000. 5. habentproportionem $uarum radicum triplicatam: _12. octaui_. E$t autem 5000. ad 5. vt 1000. ad 1. quod 1000. mul- tiplicans 5. fecit 5000. Proportio autem 1000. ad 1. 1. # 10. # 100. # 1000. # # 5. # 5000. triplicata e$t proportionis 10. ad 1. vt in hoc appo$ito exemplo apparet; erit proportio radicis numeri 5000. nimirum 17. ad radicem numeri 5. vt 10. ad 1. Quo- circa $i radix 17. diuidatur per 10. fit radix cubica propinqua 1 {7/10}. minor quam vera, at 1 {8/10}. erit maior quam vera. Rectè ergo præcepimus, quando pro radice cubica apponuntur 000. abiiciendam e$$e ex radice inuenta 17. vnam figuram, vt reliqua fiatradix 1 {7/10}.

SIMILI modo $i apponantur 000000. inuenietur propinqua radix in cen- te$imis: Et $i apponantur 000000000. in mille$imis, &c. Nam ibi multipli- catur numerus per 1000000. id e$t, per cubum radicis 100. hic verò per 1000000000. nimirum per cubum radicis 1000. Cætera eodem modo demon- $trabuntur.

NEQVE verò diuer$a ratio e$t in aliis radicibus. Nam in $urde$olida verbi gratia, quando adduntur 00000. fit multiplicatio per 100000. id e$t, per 1. # 10. # 100. # 1000. # 10000. # 100000. $urde$olidum radicis 10. Et propor- tio 100000. ad 1. e$t quintuplicata proportionis 10. ad 1. vt in appo$ito exem- plo apparet, &c.

PROBL. 16. PROPOS. 21.

RADICEM cuiu$que generis ex data minutia extrahere.

IN minutiis extrahenda e$t radix eiu$dem appellationis cum radice, quæ _Extractio ra-_ _dicum ex mi-_ _nuti{is}_. quæritur, tum ex numeratore, tum ex denominatore. Ita enim fiet fractio, quæ radix e$t propo$itæ minutiæ. Vtradix quadrata minutiæ {4/9}. e$t {2/3}. Et radix cubica minutiæ {8/27}. e$t $imiliter {2/3}. Et radix Zen$izen$ica minutiæ {30/81}. e$t quo que {@/@}. Et radix $urde$olida minutiæ {32/243}. e$t pari ratione {@/@}. & $ic de aliis.

[317]LIBER SEXTVS.

QVOD $i data minutia fuerit fractio, vel minutia alterius minutiæ, reducen- da prius erit ad minutiam $implicem. Vt $i quærenda $it radix quadrata ex hac minutia minutiæ {2/4}. {8/9}, reducenda erit ad hanc $implicem minutiam {16/36}. cuius ra- dix quadrata e$t {4/6}. vel {2/3}. &c.

SIMILITER $i fractio adhæreat integris, erunt integra prius reducenda ad fractionem eiu$dem denominationis. Vt $i quærenda $itradix cubica numeri 2 {10/27}. reducendus erit ad hanc fractionem {64/27}. cuius radix cubica e$t {4/3}. hoc e$t, 1 {1/3}. &c.

SI vel numerator, vel denominator minutiæ, vel vterque numerus careat radice eius appellationis, quæ de$ideratur, non habebitilla minutia radicem, qu{ae} quæritur. Vt neque {4/7}. neque {6/9}. neque {5/12}. habentradicem quadratam præcisè, propterea quod denominator in prima numerator verò in $ecunda, & vterque numerus in tertia quadratam radicem non habet.

COGNOSCES autem, an data fractio habeat radicem quæ$itam, nec ne, $i eam, ad minimos terminos reduces. Si namque ita reducta habuerit radicem, dicetur quoque data minutia eandem radicem habere: Si verò reducta ad mi- nimos terminos radicem non habuerit, neque propo$ita minutia radicem habe- bit. Vt $i proponatur minutia {20/45}. volo $cire, an habeat radicem quadratam: Ea redacta ad minimos terminos e$t {4/9}. quæ radicem quadratam habet {2/3}. Hanc ergo eandem radicem quadratam dicetur habere minutia propo$ita {20/45}. Atverò minutia {6/9}. non habebit radicem quadratam: quia neque {2/3}. in mini- mis terminis, ad quam reducitur, eam habet. Pari ratione minutia {24/81}. habe- bit radicem cubicam {2/3}. eandem nimirum, quam habet minutia {8/27}. in minimis terminis, ad quam illa reducitur. Minutia autem {13/20}. radice cubica carebit, quod minutia {3/5}. ad quam in minimis terminis reuocatur, eadem careat. Et $ic de aliis.

QVANDO ergo minutia ad minimos reuocata terminos radicem quæ$itam non habuerit, ex quirenda erit radix propinqua tam numeratoris, quam deno- minatoris, apponendo videlicet vtrique prius numero aliquot cifrarum bina- rios, vel ternarios, quaternario$ue, &c. prout quadrata radix, aut cubica, aut Zen$izen$ica, &c. inquiritur. Si namque radix propinqua numeratoris per pro- pinquam denominatoris radicem diuidatur, prodibit radix propinqua, quam quærimus. Verbi gratia, $i proponatur minutia {6/7}. cuius radix quadrata inqui- renda $it, appo$itis tribus binariis cifrarum reperietur numeratoris radix propin- qua 2 {449/100@}. denominatoris verò 2 {645/1000}. Si @gitur illa per hanc diuidatur, pro- ueniet radix quæ$ita {2449/264@}. $atis propinqua. Idem iudicium de aliis radicibus habeatur, $i memineris tamen, in cubica tam numeratori, quam denominatori apponendos e$$e aliquot ternarios cifrarum, vt propinquæ eorum radices e- ruantur: In Zen$izen$ica verò aliquot quaternarios, & in $urde$olida aliquot quinarios, &c.

QVIA verò mole$tum e$t inquirere duas radices propinquas, vnam pro numeratore propo$itæ fractionis, & pro denominatore alteram, traduntur à Cardano, & Tartalea pro radice quadrata, & cubica, quæ nimirum magis in v- $u $unt, peculiares quædamregulæ, quas hic explicare lubet: quippe cum in eis tantummodo radicis propinquæ inuentione opus $it.

PRO quadrata igitur radice, duc numeratorem in denominator\~e, & produ- _Alia extr actio_ _radic{is} qua_- cti numeri radic\~e quadratam propinquã diuide per denominator\~e: Vel nume- [318]GEOMETR. PRACT. ratorem per radicem illam propinquam partire. Vtroque enim modo radix pro- _dratæ & cu-_ _bicæ ex data_ _minutia_. pinqua fractionis propo$itæ gignetur. Et $i quidem propinqua illa radix nume- ri producti ex numeratore in denominatorem fuerit minor quam vera, reperie- tur priori modo radix fractionis propinqua minor quo que quam vera; pro- pterea quod numerus verò minor diuiditur: po$teriori verò modo inuenietur radix propinqua fractionis maior quam vera, quod tunc diui$io fiat per nume- rum vero minorem. Contrarium eueniet, $i radix illa propinqua numeri ex nu- meratore in denominatorem producti fuerit maior quam vera. Nam priori mo- do gignetur radix fractionis propinqua maior, quam vera, po$teriori vero mo- do minor, quam vera, vt per$picuum e$t. Hanc regulam propo$ui quo que libr. 4. cap. 2. Num. 5. ibique eandem demon$traui. Exemplum huius etiam regulæ ibidem habes.

PRO radice verò cubica: duc numeratorem in quadratum denominatoris, & producti numeri radicem cubicam propinquam diuide per denominatorem: Vel duc denominatorem in quadratum numeratoris, & per numeri producti radicem cubicam propinquam partire numeratorem. Vtroque enim modo propinqua radix propo$itæ minutiæ proueniet. Et priori quidem modo, $i il- la radix cubica propinqua fuerit minor quam vera, reperietur radix propinqua fractionis minor quo que quam vera, propterea quod diui$io fit numeri ve- ro minoris per denominatorem fractionis: Si autemradix illa propinqua fue- rit maior quam vera, gignetur quoque radix propinqua fractionis maior quam vera, quod tunc numerus vero maior per denominatorem fractionis diuidatur. Po$teriorivero modo, $i radix illa cubica propinquior fuerit minor quam vera, producetur radix propinqua fractionis maior quam vera, quod tunc diui$io fiat per numerum vero minorem: At $i illa radix cubica propinqua fuerit ma- ior quam vera, erit inuenta radix fractionis propinqua minor quam vera, quan- doquidem tunc diuiditur numerator per numerum vero maior\~e. Exemplum in fractione {8/27}. habente verã radicem cubicam {2/3}. Ducto numeratore 8. in 729. quadratum denominatoris 27. fit numerus 5832. cuius radix cubica e$t 18. Hæc diui$a per denominatorem 27. facit {18/27}. id e$t, {2/3}. pro radice cubica fractionis {8/27}. Item ducto denominatore 27. in 64. quadratum numeratoris 8. gignitur nume- rus 1728. cuius radix cubica e$t 12. per quam $i diuidatur numerator 8. fit Quo- tiens {8/12}. hoc e$t, {2/3}. vt prius, pro radice cubica fractionis {8/27}. propo$itæ. Alte- rum exemplum in fractione {5/7}. non habente veram radicem cubicam. Ducto numeratore 5. in 49. quadratum denominatoris 7. fit numerus 245. cuius radix cubica propinqua 6 {25/100}. (inuenta per appo$itionum duorum ternariorum ci- frarum) diui$a per denominator\~e 7. facit Quotientem {625/700}. hoc e$t, {25/28}. . pro ra- dice $ractionis {5/7}. Item ducto denominatore 7. in 25. quadratum numeratoris 5. fit numerus 175. per cuius radicem cubicam 5 {59/100}. propinquam inuentam per ap- po$ition\~e 000000. ad 175. $i partiamur numeratorem 5. inueniemus Quotien- tem {500/559}. pro radice cubica propinqua datæ fractionis {5/7}. atque ita de aliis. Por- ro hoc modo reperitur radix fractionis propinquior, quam per $uperiorem re- gulam: quia hic $olum vnus error irrepit propter radicem cubicam propin- quam, quæ vera non e$t, manente tam denominatore in priori modo, quam nu- meratore in po$teriori, in propria $ua quantitate; at in $uperioriregula duo interueniunt errores, propter duas radices cubicas propinquas, quæ veræ non $unt.

[319]LIBER SEXTVS.

DEMONSTRO vtrumque hunc modum hac ratione. Quando numerator in quadratum denominatoris ducitur, erit producti numeriradix cubica vnus duorum mediorum proportionalium inter numeratorem ac denominatorem collo candus iuxta denominatorem, vt con$tat ex iis, quæ propo$. 18. huius lib. demon$trata $unt. Erit igitur proportio numeratoris ad denominatorem tri- _10. defiu_. _quinti_. plicata proportionis radicis cubicæ inuentæ ad denominatorem: E$t autem eadem proportio numeratoris ad denominatorem, tanquam cubi ad cubum, _12. octaui_. triplicata quoque proportionis radicis cubicæ numeratoris ad radicem cubi- cam denominatoris. Igitur erit radix cubica inuenta ad denominatorem, vt radix cubica numeratoris ad radicem cubicam denominatoris: ac proinde _7. minutia-_ _rum ad finem_ _lib. 9_. minutia, cuius numerator radix cubica inuenta, ac denominator ip$e denomi- nator, æqualis erit minutiæ, cuius numerator radix cubica numeratoris, ac denominator radix cubica denominatoris. Quam ob rem $icut hæc minu- tia e$t radix cubica fractionis propo$itæ, ita quoque illa eritradix cubica eiu$- dem fractionis. Diui$a ergo radice illa cubica inuenta per denominatorem fractionis propo$itæ (quæ diui$io fit, quia illa radix cubica inuenta e$t fractio, ac proinde, vt cogno$catur val or minutiæ, cuius numerator radix illa inuen- ta, ac denominator ip$emet denominator fractionis propo$itæ, diuidendus e$t numerator huius minutiæ per eius denominatorem: alio quin $i illa radix cu- bica inuenta foret numerus integer, diui$io facienda non e$$et) producetur ra- dix cubica fractionis propo$itæ: quemadmodum ex diui$ione radicis cubicæ numeratoris per radicem cubicam denominatoris procreatur radix cubica fra- ctionis propo$itæ: quippe cum minutia nil aliud $it, ni$i numerator per deno- minatorem diui$us.

QVANDO verò denominator in quadratum numeratoris ducitur, erit numeri producti radix cubica vnus duorum mediorum proportionalium in- ter numeratorem, ac denominatorem, collocandus iuxta numeratorem, vt ex demon$tratis propo$. 18. huius lib. manife$tum e$t. Ergo rur$us erit propor- tio numeratoris ad denominatorem triplicata proportionis numeratoris ad il- lam radicem cubicam inuentam, quemadmodum & proportionis radicis cu- bicæ numeratoris ad radicem cubicam denominatoris, eadem illa proportio numeratoris ad denominatorem, tanquam cubi ad cubum, triplicata e$t: Ac propterea, vt $upra, minutia, cuius numerator ip$emet numerator fractio- nis propo$itæ, denominator verò radix illa cubica inuenta, æqualis erit mi- nutiæ, cuius numerator, radix cubica numeratoris fractionis propo$itæ, & de- nominator radix cubica denominatoris eiu$dem fractionis. Quocirca diui$o numeratore per illam inuentam radicem cubicam, prodibit radix cubica fra- ctionis propo$itæ.

PROBL. 17. PROPOS. 22.

RADICEM quadratam & cubicam in numeris non quadratis, & non cubicis per lineas Geometrice inuenire.

SIT datus numerus 10. repræ$entans quadratum 10. palmorum, vel pedum, [320]GEOMETR. PRACT. LIBER SEXT. vel aliarum men$urarum. Capiatur linea A, palmorum, vel pedum 10. &c. & li- nea B, palmi, vel pedis 1. Inuenta C, media proportionali inter A, & B. Dico _13. $exti_. C, e$$e radicem quadratam, $iue latus quadra- tum, numeri A, 10. Quoniam enim quadra- _17. $exti_. tum rectæ C, æquale e$t rectangulo $ub A, & B, comprehen$o: E$t autem hocrectangulum 10. quod vnitas B, numerum A, 10. multipli- cans procreet 10. per$picuum e$t, rectam C, e$$e latus quadratum 10. palmorum, vel pe- dum, &c. quod e$t propo$itum.

RVRSVS inuentis inter A, & B, duabus mediis proportionalibus D, _15. hui{us}_. & E. Dico E, quæ minori B, propinquior e$t, latus e$$e cubicum, $iue radi- cem cubicam, numeri 10. Quoniam enim cubus rectæ E, æqualis e$t parallele- _Lemma 18_. _hui{us}_. pipedo $ub quadrato rectæ B, & $ub A, recta comprehen$o. E$t autem hoc pa- rallelepipedum 10. quod vnitas B, $e multiplicans faciat quadratum 1. & quadratum 1. multiplicans numerum A, 10. gignat 10. liquidò con- $tat, rectam E, e$$e latus cubicum 10. palmorum, vel pedum, &c. quod e$t propo$i- tum.

FINIS LIBRI SEXTI. [321] GEOMETRIÆ PRACTICÆ LIBER SEPTIMVS. De figuris I$operimetris di$putans: cui Appendicis loco annectitur breuis de circulo per lineas quadrando tractatiuncula.

_N_OBILIS ac præ$tans de I$operimetr{is} figuris $emper apud omnes habita est di$putatio@ in qua videlicet inquiritur, vtra duarum $it altera maior, & capacior, & quæ $it omnium maxima, & capaci$$ima. Non pauci enim rerum Geometri- carum ignari hac in re hallucinati $unt, putantes figur {as} I$o- perimetr{as}, quæ nimirum æquales ambit{us} continent, e$$e <007>nter $e æquales, $<007>ue æquè capaces. Immoè contrario, quod mirum est, nonnul- li, qui $e Geometr {as} appellant, adduci vix po$$unt, vt credant, dari po$$e du{as} fi- gur{as} I$operimetr {as} inter $e omnino æquales, quod tamen fieri po$$e, clari$$imè propo$. 20. 21. 22. hui{us} demon$trabim{us}. Quamu{is} autem de @$operimetr{is} fi- gur{is} tractionem benè longam, & copio$am in commentari{is} no$tr{is} in $phæ- ram in$tituerim{us}, exemplum in hoc $ecuti Theon{is} Alexandrini, qui idem ar- gumentum in commentari{is} in Almage$tum Ptolomei per$ecut{us} e$t: tamen quia id in alieno forta$$is loco factum e$$e $u$picari qu{is} po$$et; transferem{us} eam tractationem ex @o$tr{is} commentari{is} in $phæram in hanc no$tram Geometriam practicam, tanquam in mag{is} proprium locum, addit{is} trib{us}, aut quatuor pro- po$itionib{us}, quæ in illa tractatione de$iderantur, & tamen maximè ad hanc materiam $pectare videntur.

DEFINITIONES. _Definition{es}_ _ad tractation\~e_ _I$operim{et}ra-_ _rũ figurarum_ _pertinent{es}._ I.

ISOPERIMETRÆ figuræ $unt, quæ æquales ambitus continent.

[322]GEOMETR. PRACT. II.

REGVLARIS figura dicitur ea, quæ & æquilatera, & æquiangu- la e$t.

III.

CENTRVM figuræ regularis dicitur punctum illud, quod centrum e$t circuli figuræ in$cripti, vel circum$cripti.

IIII.

AREA cuiuslibet figuræ dicitur capacitas, $patium $iue $uperficies in- tra latera ip$ius comprehen$a.

V.

OMNE $olidum rectangulum (cuius nimirum ba$es æquidi$tantes $unt, & æquales, lateraque ad ba$es recta, quale e$t Parallelepipedum) contineri dicitur $ub altera ba$ium, ac perpendiculari ab illa ba$i ad alteram protracta.

QVIA nimirum alterutra ba$ium indicat longitudinem ac latitudinem fi- guræ, perpendicularis verò altitudinem, $iue profunditatem eiu$dem de- mon$trat.

THEOR. 1. PROPOS. 1.

AREA cuiuslibet trianguli æqualis e$t rectangulo comprehen$o $ub _Triangulum_ _quodcunque_ _cuirectangulo_ _aquale $it._ perpendiculari â vertice ad ba$im protracta, & dimidia parte ba$is. Item rectangulo comprehen$o $ub $emi$$e perpendicularis, & tota ba$e. Vel denique $emi$si rectanguli $ub tota perpendiculari, & tota ba$e comprehen$i.

SIT triangulum A B C, ex cuius vertice A, ad ba$im BC, ducatur perpendi- cularis A D, diuidatque primò ba$im BC, bifa- riam, vt in prima figura. Per A, ducatur E A F, in vtramque partem æquidi$tans rectæ B C, compleatur que rectangulum B E F C, quod _41. primi_. erit duplum trianguli A B C; Item duplum _36. primi_. rectanguli ADBE. Quare rectangulum ADBE, quod nimirum continetur $ub perpendiculari AD, & dimidio ba$is BD, æquale e$t triangulo ABC, diuidat $ecundo perpendi- cularis AD, ba$im BC, non bifariam, vel etiã cadat in ba$im CB, protra ctam, vt in 2. & 3. figura; Et per A, ducatur rur$us AF, in vtramq; part\~e æquidi$tãs rect{ae} BC, compleaturq; rectangulũ ADCF. Diui$a deinde ba$e BC, bifariã in G, ducantur [323]LIBER SEPTIMVS. rectæ B E, G H, ip$i A D, æquidi$tantes, eritque G H, {ae}qualis perpendiculari _34. primi_. A D. Quoniamigitur rectangulum BCFE, duplum e$t trianguli ABC; Item _41. primi_. duplum rectanguli BEHG: erit rectangulum BEHG, quod continetur $ub per- _36. primi_. pendiculari GH, vel AD, & dimidio ba$is BG, æquale triangulo ABC.

SECETVR iam perpendicularis AD, vel G H, bifariam in I, agaturque per I, ip$i BC, parallela KL. Dico triangulum idem ABC, æquale quoque e$$e rectã- gulo BCLK, in 1. & 2. figura, Item rectangulo BCLM, in 3. figura, comprehen- $o nimirum $ub ID, vel IG, $emi$$e perpendicularis AD, vel HG. Quoniam _41. primi_. enim triangulum ABC, dimidium e$t rectanguli E C, eiu$demque dimidium et- iam e$t rectangulum BL; quod rectangula BL, LE, $uper æquales ba$es æqua- _36. primi_. lia $int: æqualia inter $e erunt triangulum A B C, & rectangulum B L. Et quia _41. primi_. rectangulum B F, contentum $ub perpendiculari A D, vel B E, & ba$e trianguli BC, duplum e$t trianguli ABC; erit triangulum $emi$siillius rectanguli {ae}quale. Area igitur cuiuslibet trianguli æqualis e$t, &c. quod erat o$tendendum.

PROBL. 2. PROPOS. 2. _Regular{is} fi-_ _gura quæcun-_ _que cuirectã-_ _gulo @qual{is}_ _$it._

AREA cuiuslibet figuræ regularis æqualis e$t rectangulo contento $ub perpendiculari à centro figuræ ad vnum latus ducta, & $ub dimidia- to ambitu eiu$dem figuræ.

SIT figura regularis quæcunque ABCDEF, & centrum eius punctum G, à quo ducatur GH, perpendicularis ad vnum latus, nempe ad AB: Sit quoq; re- ctangulum I K L M, contentum $ub I K, quæ æqualis $it perpendiculari G H, & $ub KL, recta, quæ æqualis ponatur dimidiæ parti ambitus figuræ ABCDEF. Di- co huic rectangulo æqualem e$$e figuram regularem ABCDEF. Ducantur enim ex G, ad $ingulos angulos lineæ rectæ, vt tota figura in triangula re$oluatur, quæ omnia æqualia inter $e erunt, vt in corollario propo$. 8. lib. 1. Eucl. demon$tra- tum e$t à nobis: propterea quòd omnia latera triangulorum à puncto G, ex- euntia $int inter $e æqualia, habeantq; ba$es æquales, nempè latera figuræ regu- laris. Hinc enim effi citur, omnes angulos ad G, æquales e$$e, ac proinde, ex di- _8. primi_. cto corollario, triangula ip$a inter $e quo que e$$e æqualia. Quoniam igitur re- _1. hui{us}_. ctangulum contentum $ub GH, perpendiculari, & medietate ba$is AB, æquale e$t triangulo ABG, $i $umantur tot huiu$modi rectangula, in quot triangula di- ui$a e$t figura regularis, erunt omnia $imul figuræ ABCDEF, {ae}qualia; propterea [324]GEOMETR. PRACT. quod omnia triangula o$ten$a $int æqualia triangulo ABG. Cum igitur eadem _1. $ecundi_. $imul æqualia $int rectangulo IKLM; propterea quòd K L, æqualis ponitur di- midio ambitus ABCDEF, hoc e$t omnibus medietatibus ba$ium $imul; & recta IK, perpendiculari G H; erit figura regularis A B C D E F, æqualis rectangulo IKLM. Area igitur cuiuslibet figuræ regularis æqualis e$t, &c. quod erat de- mon$trandum.

THEOR. 3. PROPOS. 3.

AREA cuiuslibet figuræ regularis æqualis e$t triangulo rectangulo, _Regular{is} fi-_ _gura quæcũ-_ _que cui trian-_ _gulo rectan-_ _gulo æqual{is}_ _$it_. cuius vnum latus circa angulum rectum æquale e$t perpendiculari à centro figuræ ad vnum latus ductæ, alterum verò æquale ambitui e- iu$dem figuræ.

SIT rur$us figura regularis A B C, cuius centrum D, à quo perpendicularis ad latus AB, ducta $it D E; triangulum verò rectangulum DEF, habens angulũ E, rectum, & latus DE, æquale perpendiculari DE, latus autem EF, æquale am- bitui figuræ ABC. Dico triangulum DEF, figuræ ABC, æquale e$$e. Complea- tur enim rectangulum DEFG; & diui$a E F, bifariam in puncto H, ducatur HI, æquidi$tans rectæ D E. Erit igitur rectangulum D E H I, contentum $ub D E, _2. hui{us}_. perpendiculari, & $ub EH, dimidio ambitus figuræ, æquale figuræ ABC: Atre- ctangulo DEHI, æquale e$t triangulum D E F. Nam rectangulum D E H I, e$t _36 primi_. dimidium rectanguli DEFG; propterea quod {ae}qualia $unt rectangula DEHI, _41. primi_. IHFG; Triangulum quoque DEF, dimidium e$t eiu$dem rectanguli DEFG. Igitur & triangulum DEF, æquale erit figuræ A B C. Area ergo cuiuslibet figu- ræ regularis æqualis e$t triangulo rectangulo, &c. quod demon$trandum erat.

THEOR. 4. PROPOS. 4.

AREA cuiuslibet circuli æqualis e$t rectangulo comprehen$o $ub $e- _Circul{us} qui-_ _cunque cui_ _rectangulo æ-_ _qual{is} $it_. midiametro, & dimidiata circumferentia circuli.

ESTO circulus ABC, cuius $emidiameter D B: Rectangulum autem DBEF, comprehen$um $ub D B, $emidiametro circuli, & B E, recta, qu{ae} æqualis $it di- midiatæ circumferentiæ circuli. Dico aream circuli ABC, æqualem e$$e rectan- gulo DBEF. Producatur enim BE, in continuum, ponatur que EG, æqualis i- p$i BE, vt $it BG, recta æqualis toti circumferentiæ circuli. Coniungantur deniq; [325]LIBER SEPTIMVS. puncta D, G, recta D G. Quoniam igitur circulus A B C, æqualis e$t triangulo _1. de Dim\~es._ _circuli Ar-_ _chim_. DBG: E$t autem triangulum DBG, rectangulo D B E F, æquale; quod ba$is _$chol. 41._ _primi_. trianguli dupla $it ba$is rectanguli; (Id quod etiam ex demon$tratione antece- dentis propo$. liquet, vbi o$tendimus, triangulum DEF, æquale e$$e rectangu- lo DEHI:) erit quoque circulus ABC, rectangulo DBEF, æqualis. Area ergo cuiuslibet circuli æqualis e$t rectangulo, &c. quod o$tendendum erat.

THEOR. 5. PROPOS. 5. _Propriet{as}_ _quædam tri-_ _anguli rectan-_ _guli_.

IN omnitriangulo rectangulo, $i ab vno acutorum angulorum vtcun- que ad latus oppo$itum linea recta ducatur, erit maior proportio hu- ius lateris ad eius $egmentum, quod prope angulum rectum ex<007>$tit, quam anguli acuti prædicti, ad eius partem dicto $egmento lateris op- po$itum.

SIT triangulum rectangulum ABC, cuius angulus C, $itrectus; ducaturque ab acuto angulo A, ad latus oppo$itum BC, recta AD, vt- cunque; Dico maiorem e$$e proportionem rectæ B C, ad rectam CD, quam anguli BAC, ad angulum CAD. Quo- _19. primi_. niam enim recta AD, maior quidem e$t, quam A C; minor verò, quam AB; $i centro A, interuallo autem A D, circu- lus de$cribatur, $ecabit is rectam A C, protractam infra punctum C, vtin E, at verò rectam AB, $upra punctum B, vtin F. Et quia maior e$t proportio trianguli BAD, ad $ectorem FAD, quã tri- anguli DAC, ad $ectorem DAE, (propterea quod ibi e$t proportio maioris in- æqualitatis, hic autem minoris inæqualitatis) erit quoque permutando maior _27. quinti_. proportio trianguli BAD, ad triangulum D A C, quam $ectoris FAD, ad $ector\~e D A E. Componendo igitur maior quoque erit proportio trianguli B A C, ad _28. quinti_. triangulum D A C, hoc e$t, rectæ BC, ad rectam CD, (habent enim triangula B- _1. $exti_. AC, DAC, eandem proportionem, quam ba$es BC, CD.) quam $ectoris F A E, ad $ector\~e DAE, hoc e$t, quam anguli BAC, ad angulum CAD; quod eandem _coroll. 33._ _$exti_. habeant proportionem $ectores, quam anguli. Quo circa in omnitriangulo re- ctangulo, &c. quod demon$trandum erat.

HÆC propo$itio vera quoque e$t in triangulo non rectangulo, dummodo angulus C, maior $it angulo A D C, vt patet; quod tunc etiam A D, maior $it, _19. primi_. quam AC, minor vero, quam AB, &c.

[326]GEOMETR. PRACT. THEOR. 6. PROPOS. 6.

ISOPERIMETRARVM figurarum regularium maior e$t illa, quæ _Inter figur{as}_ _I$operimetr{as}_, _quæ plur{es} an-_ _gulos, $eu late-_ _ra continet, il-_ _la maior e$t_. plures continet angulos, pluraue latera.

SINT duæ figuræ regulares i$operimetræ ABC, DEF, habeatque plura late- ra, $iue angulos figura ABC, quam DEF. Dico ABC, maiorem e$$e, quam DEF. De$cribatur enim circa figuras circuli, à quorum centris G, H, ducantur ad BC, EF, perpendiculares GI, HK, quæ diuident rectas BC, EF, bifariam. Quoniam _3. tertij_. igitur figura ABC, plura habet latera, quam DEF, $ibi i$operimetra, efficitur, vt latus BC, $æpius repetitum metiatur ambitum figuræ ABC, quam latus EF, am- bitum figuræ DEF. Quare latus B C, minus erit latere EF, ideo que BI, medietas lateris B C, minor, quàm EK, medietas lateris EF. Ponatur KL, {ae}qualis ip$i BI, & ducantur rectæ LH, HE, HF, GB, GC. Et quia omnes arcus circuli D E F, $unt _28. tertij_. æquales, quòd & rectæ $ubten${ae} æquales ponantur; erit recta E F, ita $ubmul- tiplex ambitus figuræ D E F, vt arcus E F, $ubmultiplex e$t circumferen- tiæ circuli D E F: Eademque ratione ita multiplex ambitus figuræ A B C, rectæ B C, $icut multiplex e$t circumferentia A B C, arcus B C. Vt autem _2. coroll. 33._ _$exti_. arcus EF, ad circumferentiam circuli DEF, ita e$t angulus EHF, ad quatuor re- ctos; Igitur erit quoque vt recta EF, ad ambitum figuræ DEF, hoc e$t, ad ambi- tum figuræ ABC, illi æqualem, ita angulus EHF, ad quatuor rectos: Vt autem ambitus figuræ ABC, ad rectam BC, ita e$t circumferentia circuli ABC, ad arcum BC, hoc e$t, ita quatuor rectiad angulum B G C. Ex æquo igitur, vt recta E F, _2. coroll. 33._ _$exti_. ad rectam BC, hoc e$t, vt recta EK, ad rectam BI, hoc e$t, ad rectam KL, ita an- gulus EHF, ad angulum BGC, hoc e$t, ita angulus EHK, ad angulum B G I. _15. quinti_. E$t autem maior proportio rectæ EK, ad rectam KL, quam anguli EHK, ad an- _15. quinti_. gulum KHL. Quare maior erit proportio quoque anguli EHK, ad angulum _5. hui{us}_. BGI, quam eiu$dem anguli EHK, ad angulum KHL; > ideoq; maior erit angu- _13. quinti_. lus KHL, quam angulus B G I. Cumigitur anguli H K L, G I B, $int {ae}quales, vt >_10. quinti_. pote recti; erit reliquus angulus HLK, minor reliquo angulo GBI. Fiatigitur _32. primi_. angulus K L M, æqualis angulo G B I; cadetque LM, extra L H; conuenietque cum KH, producta vltra H, in puncto M. Quoniam igitur duo anguli B, I, trian- guli GBI, {ae}quales $unt duobus angulis L, K, trianguli MLK, & latera BI, LK, æ- qualia, erunt rectæ GI, MK, {ae}quales. Recta ergo GI, maior e$t, quam recta HK. _26. primi_. [327]LIBER SEPTIMVS. Quamobrem rectangulum $ub GI, & dimidio ambitu figuræ ABC, contentum, maius erit rectangulo contento $ub HK, & dimidio ambitu figuræ DEC, quiæ- qualis ponitur dimidio ambitus figuræ A B C, Quocirca cumillud rectangulũ _2. hui{us}_. o$ten$um $it æquale figuræ ABC, hoc autem figuræ DEF, æquale; maior quoq; erit figura ABC, quàm figura DEF. I$operimetrarum ergo figurarum regularium maior e$t illa &c. quod erat o$tendendum.

_Qua arte_ _triangulum_ _I$o$cel{es} con-_ _$tituatur I$o-_ _perimetrum_ _cuiu{is} trian-_ _gulo non I$o-_ _$celi_. PROBL. 1. PROPOS. 7.

PROPOSITO triangulo, cuius duo latera $int inæqualia, $upra re- liquum latus triangulum priori I$operimetrum, ac duo habens latera æqualia, de$cribere.

SIT triangulum ABC, cuius duo latera AB, BC, $intinæqualia, nempe AB, maius, quam BC; oporteat que $upra AC, con$truere triangulum I$o$celes, atq; I$operimetrum triangulo ABC. Sumatur recta D E, æqualis duobus lateribus AB, BC, $imul, diuidaturque bifariam in F. Et quoniam latera AB, BC, $imul ma- iora $unt latere AC, erunt quoque DF, FE, $imul, maiores quam linea A C. At- _16. primi_. que ob id tres lineæ AC, DF, FE, ita $e$e habebunt, vt qu{ae}libet duæ $intreliqua maiores. Si igitur ex ip$is conficiatur triangulum _22. primi_. AGC, effectum erit, quod proponitur. Erunt enim latera A G, G C, & inter $e {ae}qualia, & $imul $umpta æqualia lateribus AB, BC, $imul $umptis: Addito igi- tur communi A C, erunt triangula ABC, AGC, I$o- perimetra. Propo$ito igitur triangulo, cuius duo la- tera $int inæqualia, $upra reliquum latus triangulum, &c. de$crip$imus. quod faciendum erat.

SCHOLIVM.

CADET autem nece$$ario punctum G, extra triangulum ABC: Sinamque caderet in latus AB, vtad punctum H, e$$et ducta recta HC, minor, quam HB, _20. primi_. BC, $imul, & obid triangulum AHC, non e$$et I$operimetrum triangulo ABC, cuius contrarium ex con$tructione e$t demon$tratum. Multo minus cadet pũ- ctum G, intra triangulum ABC. Quare extra cadet, quod e$t propo$itum.

THEOR. 7. PROPOS. 8. _I$o$cel{es} tri-_ _angulum ma-_ _i{us} e$t trian-_ _gulo $ibi I$o-_ _perimetro non_ _I$o$cele_.

DVORVM triangulorum I$operimetrorum eandem habentium ba- $im, quorum vnius duo latera $int æqualia, alterius verò inæqualia; maius erit illud, cuius duo latera æqualia $unt.

ESTO triangulum ABC, cuius latus AB, maius $it latere BC, con$tituatur- _7. hui{us}_. que $uper ba$im AC, triangulo ABC, triangulum I$operimetrum ADC, habens latera AD, DC, æqualia & inter $e, & lateribus AB, BC, $imul $umptis. Dico tri- [328]GEOMETR. PRACT. angulum ADC, maius e$$e triangulo ABC. Producatur enim AD, ad partes D, $itque D E, æqualis ip$i A D, $iue ip$i D C. Ducantur _20. primi_. quoque rectæ DB, BE. Quoniam igitur AB, BE, ma- iores $unt, quam A E, hoc e$t, quam A D, D C, $imul, hoc e$t, quam A B, B C, $imul; ablata communi A B, erit B E, maior quam B C. Et quia latera E D, D B, tri- anguli EDB, æqualia $unt lateribus CD, DB, trianguli CDB. At verò ba$is BE, ba$e BC, maior, erit angulus _25. primi_. EDB, maior angulo C D B. Quare angulus EDB, maior e$t, quam dimidium anguli EDC: E$t autem an- gulus DAC, dimidium anguli EDC; propterea quod _5. primi_. anguli DAC, DCA, æquales $unt, & his $imul $um- _32. primi_. ptis {ae}qualis quo que externus angulus E D C. Maior igitur erit angulus EDB, angulo DAC. Fiat angulus EDF, {ae}qualis angulo in- _23. primi_. terno DAC; cadetque DF, recta $upra rectam DB, æquidi$tabit que rectæ A C. _28. primi_. Producatur DF, donec cum AB, protracta conueniat in F, ducaturq; recta F _C_. Quoniam igitur triangula ADC, AFC, æqualia $unt, triangulum autem AFC, _37. primi_. maius e$t triangulo ABC; maius quoque erit triangulum ADC, triangulo ABC. Quam ob rem duorum triangulorum I$operimetrorum eandem habentium ba$im, &c. quod demon$trandum erat.

THEOR. 8. PROPOS. 9. _Proprietas_ _duorum tri-_ _angulorum_ _rectangulorũ_ _$imilium_.

IN $imilibus triangulis rectangulis quadratum à lateribus, quæ angulis rectis $ubtenduntur, tanquam ab vna linea, de$criptum, æquale e$t quadratis duobus $imul, quæ à reliquis homologis lateribus tanquam ex duabus lineis, ita vt quælibet duo latera homologa conficiant vnã lineam rectam, de$cribuntur.

SINT triangula rectangula $imilia ABC, DEF, ita vt anguli B, & E, $int recti, anguli verò C, & F, inter $e æquales; itemque anguli A, & D, inter $e æquales; homologaque late- ra AB, DE; Item BC, EF, & AC, DF. Dico quadratũ ex A_C_, DF, tanquam ex linea vna, de$criptum, æqua- le e$$e duobus quadratis, quorumvnum ex AB, DE, tanquam exvna linea, alterum verò ex BC, EF, tan- quam exvna quoque linea, de$cribitur. Producta namque DE, ad partes E, $umatur E G, æqualis rectæ A B, & ducatur G H, recta æquidi$tans rectæ E F, do- nec cum DF, producta conueniat in puncto H; Dein- de per F, ducatur recta F I, æquidi$tans rectæ EG. Erit igitur triangulum FIH, æquiangulum triangulo DEF, hoc e$t, triangulo ABC. Nam angulus FIH, æqua- _29. primi_. lis e$t angulo G, & hic æqualis angulo D E F, hoc _29. primi_. e$t, angulo B; angulus verò H, æqualis e$t angulo [329]LIBER SEPTIMVS. DFE, hoc e$t, angulo C; ac proinde & angulus IFH, angulo A: Sunt autem _32. primi_. & latera AB, FI, æqualia; Nam recta FI, e$t æqualis rectæ E G, hæc autem rectæ _34. primi_. AB, $umpta fuit {ae}qualis. Igitur & latera BC, IH; item AC, FH, æqualia inter $e _26. primi_. erunt. Quare recta DH, compo$ita erit ex AC, & DF, Recta verò DG, ex AB, & DE, Recta denique GH, ex BC, & EF; quod GI, recta æqualis $it rectæ EF. _34. primi_. Et quoniam quadratum rectæ DH, æquale e$t quadratis rectarum DG, GH, _47. primi_. $imul, con$tat verum e$$e, quod proponitur. In $imilibus igitur triangulis re- ctangulis quadratum à lateribus, quæ angulis rectis $ubtenduntur, &c. quod erat demon$trandum.

PROBL. 2. PROPOS. 10. _Qua arte cõ-_ _$tituantur_ _duo triangula_ _I$o$celia $imi-_ _lia quidem_ _inter$e I$ope-_ _rimetra vero_ _ali{is} duob{us}_ _I$o$cel b{us}_.

DATIS duobus triangulis I$o$celibus; quorum ba$es inæquales exi- $tant, duoque latera vnius æqualia $int duobus lateribus alterius; Su- per ei$dem ba$ibus duo alia triangula I$o$celia inter $e quidem $imi- lia, prioribus verò $imul $umptis I$operimetra $imul $umpta, con$ti- tuere.

SINT $uper ba$es inæquales A B, C D, duo triangula I$o$celia A E B, C F D, $intque quatuor line{ae} AE, EB, C F, F D, inter $e æquales; maior autem $it ba$is AB, ba$e C D. quibus po$itis, erit angulus E, maior angulo F, ideoque trian- _25. primi_. gula non $imilia, cum nec æquiangula. Oporteat iam $uper ba$es ea$dem AB, CD, con$tituere alia duo triangula I$o$celia inter $e quidem $imilia, I$operime- tra verò $imul $umpta prioribus triangulis $imul $umptis. Ponatur recta GH, æ- qualis quatu or rectis AE, EB, CF, FD, diuidatur que in puncto K, vt e$$et recta _10. $exti_. compo$ita ex AB, & C D, diui$a in puncto B, hoc e$t, $it ea proportio GK, ad KH, quæ e$t AB, ad CD. Et quia maior e$t recta AB, quam recta CD, maior quo- que erit recta G K, quam recta K H, cum vtrobique $it proportio maioris inæ- qualitatis. Diuidaturvtraque GK, KH, bifariam in punctis L, & M. Itaque cum $it vt GK, ad KH, ita AB, ad CD, erit componendo, vt GH, ad KH, ita AB, CD, $imul ad C D: E$t autem G H, maior, quàm A B, C D, $imul, quod & quatuor _20. primi_. rectæ AE, EB, CF, FD, quæ æquales $unt rectæ GH, maiores $int, quam AB, CD. > Igitur & K H, maior erit quam C D: Eademque ratione maior erit G K, quam >_14. quinti_. A B. Quoniam igitur trium rectarum A B, G L, L K, duæ reliqua $unt maiores omnifariam $umptæ; (Duæ enim G L, L K, maiores $unt quam A B, quod tota G K, maior $it, quam A B, vt modo fuit o$ten$um; Manife$tum autem e$t, A B, G L, maiores e$$e reliqua L K; Itemque A B, L K, re- liqua G L, e$$e maiores, propterea quod G K, diui$a e$t bifariam in puncto L. Idem quoq; dices de tribus rectis C D, K M, M H.) con$tituatur ex tribus _22. primi_. [330]GEOMETR. PRACT. rectis AB, GL, LK, triangulum ANB, quod erit I$o$celes, cadetque punctum N, extra triangulum AEB, cum AE, EB, $imul dimidium con$tituant rectæ G, H; at verò A N, N@B, $imul maius efficiant, quam dimidium rectæ G H. Rur$us ex _22. primi_. tribus rectis CD, KM, MH, con$tituatur quoque triangulum C O D, quod I$o- $celes erit, cadetque punctum O, intra triangulum CFD, eo quod CF, FD, $imul æquales $int dimidio rectæ GH; at CO, OD, $imul minores $int dimidio rectæ GH. Et quoniam quatuor latera AE, EB, CF, FD, $imul; Item AN, NB, C O, O D, $imul æqualia $unt rectæ G H, erunt priora quatuor $imul, po$terioribus quatuor $imul æqualia; additis ergo communibus AB, CD, fient $ex latera AE, EB, BA, CF, FD, DC, $imul {ae}qualia $ex lateribus AN, NB, BA, CO, OD, DC, $i- mul; ideo que triangula ANB, COD, $imul I$operimetra erunt triangulis AEB, CFD, $imul. Dico iam, quod & $imilia inter $e $unt triangula ANB, COD. Nam quoniam e$t, vt AB, ad CD, ita GK, ad KH, hoc e$t, ita GL, ad KM, hoc e$t ita _15. quinti_. A N, ad C O, & N B, ad O D; erit permutando, vt A B, ad AN, ita C D, ad C O; & vt A N, ad N B, ita C O, ad O D. Proportionalia ergo $unt latera triangulorum ANB, COD; ac proinde æquiangula inter $e erunt, & _5. $exti_. idcirco $imilia. Quare datis duobus triangulis I$o$celibus, quorum ba$es inæ- quales exi$tant &c. con$tituimus. quod faciendum erat.

THEOR. 9. PROPOS. 11. _Triangula_ _duo I$o$celia_ _$imilia maio-_ _ra $unt duo-_ _bus I$o$celib{us}_ _non $i milib{us},_ _quæill{is} $int_ _I$operimetr@,_ _ba$e$que ha-_ _beant ea$dem_.

DVO triangula I$o$celia $imilia $uper inæqualibus ba$ibus con$tituta, vtraque $imul maiora $unt duobus triangulis I$o$celibus, vtri$que $i- mul, quæ habeant ea$dem ba$es cum prioribus, $intq; di$$imilia qui- dem inter $e, at I$operimetra prioribus duobus, nec non quatuor la- tera inter $e habeant æqualia.

SVPER ba$ibus inæqualibus A C, C E, $int duo triangula I$o$celia inter $e non$imilia ABC, CDE, ita vt quatuor latera AB, BC, C D, D E, inter $e $int æ- qualia. Atque $uper ei$dem ba$ibus A C, C E, con$tituantur alia duo triangu- _10. hui{us}_. la I$o$celia AFC, CGE, $imilia inter $e, & I$operimetra $imul prioribus triangulis $imul. Dico duo triãgula AFC, CGE, $imul maiora e$$e duobus triangulis ABC, CDE, $imul. Ponantur enim A C, C E, $ecundum lineam rectam vnam; $itque [331]LIBER SEPTIMVS. AC, ba$is maior ba$e CE. Deinde ex F, per B, ducatur recta FBK, $ecans rectam AC, in puncto K; Item ex D, per G, punctum ducaturrecta DGH, $ecansre- ctam CE, in H. Et quia latera AF, FB, trianguli AFB, æqualia $unt lateribus CF, 8. _primi._ FB, triãguli CFB, & ba$is AB, ba$i BC, æqualis, erit angulus AFB, angulo CFB, æqualis. Rur$us quia latera AF, FK, trianguli AFK, æqualia $unt lateribus CF, FK, trianguli CFK, & angulus AFK, angulo CFK, æqualis, vt probatum e$t; _4. primi._ erunt ba$es AK, KC, æquales, & anguli ad K, æquales quoque, hoc e$t, recti. Eadem ratio cinatione concludemus rectam CE, in puncto H, diuidi bifariam, angulo$que ad H, e$$erectos. Producatur recta DH, ad partes H, $umatur que HL, æqualis rectæ DH, & extendatur à puncto L, per punctum C, recta LCN. Quoniam verò latera DH, HC, trianguli DCH, æqualia $unt lateribus LH, HC, trianguli LCH, & anguli ad H, æquales, vtpote recti; erunt ba$es DC, LC, _4. primi._ æquales, & anguli DCH, LCH, æquales etiam: Atqui angulus DCH, maior e$t angulo GCH, & angulus GCH, æqualis e$t angulo FAK, propter $imilitu- dinem triangulorum GCE, & FAC, hoc e$t, angulo FCA, qui angulo FAC, æqualis e$t. Erit igitur angulus DCH, hoc e$t, angulus LCH, qui illi o$ten$us _5. primi._ e$t æqualis, hoc e$t, angulus NCK, qui angulo LCH, ad verticem e$t æqua- _15. primi._ lis, maior etiam angulo FCA: & obid CN, recta extra rectam CF, cadet ne- ce$$ariò; & rectæ LC, CB, propterea comprehendent ad partes K, angulum BCL. Quare $i ducatur recta B L, $ecabit ea lineam C K, in aliquo puncto in- ter puncta C, & K, quod $it M. Quoniam verò rectæ AB, BC, CD, DE, $imul æquales $unt rectis AF, FC, CG, GE, $imul, propter triangula i$operimetra, erunt quoque dimidia earum æqualia inter $e, nimirum rect{ae} BC, CD, hoc e$t, BC, CL, $imul æquales ip$is FC, CG, $imul: Sunt autem rectæ BC, CL, $imul _20. primi._ maiores recta BL. Igitur & FC, CG, $imul maiores erunt eadem recta BL: ideo que quadratum ex F C, C G, tanquam ex vna linea, de$criptum maius erit _9. hui{us}._ quadrato BL. Quod autem ex F C, CG, tanquam ex vna linea, de$cribitur quadratum, æquale e$t quadrato ex F K, G H, tanquam ex vna linea de$cripto, vna cum quadrato, quod ex K C, C H, tanquam ex vna linea de$cribitur. _9. hui{us}._ Quadratum verò ex L B, de$criptum æquale e$t quadrato ex B K, L H, hoc e$t, ex B K, D H, tanquam ex vna linea, de$cripto, vna cum quadrato, quod ex KM, MH, tanquam ex vna linea, de$cribitur; quod triangula rectangula BKM, _15. primi._ LHM, $int $im<007>lia inter $e. Sunt enim anguli M, ad verticemæquales, [332]GEOMETR. PRACT. & anguli K, H, recti, ideoque & reliqui KBM, HLM, æquales. Igitur qua- _32. primi._ dratum ex FK, GH, tanquam ex vna linea, de$criptum, & quadratum ex KC, CH, tanquam ex vna linea de$criptum, hoc e$t, quadratum K H, vtraque $i- mul, maiora $unt quadrato ex BK, D H, tanquam ex vna linea, de$cripto, & quadrato ex K M, M H, tanquam ex vna linea de$cripto, hoc e$t, quadrato KH, vtri$que $imul. Ablato ergo communi quadrato KH, erit quadratum ex FK, GH, tanquam ex vna linea, de$criptum maius quadrato ex BK, DH, tan- quam ex vna linea, de$cripto; ideoque maiores erunt rectæ lineæ FK, GH, $i- mul rectis BK, DH, $imul; Acpropterea, demptis communibus BK, GH, erit FB, reliqua maior, quam reliqua D G. E$t autem & K C, maior quam H _C_, quod tota A C, cuius dimidium e$t K C, maior ponitur quam tota C E, cuius dimidium e$t HC. Quapropter rectangulum $ub FB, KC, contentum, maius erit rectangulo $ub DG, HC, contento. Et quoniam triangulum FBC, dimi- dium e$t rectanguli $ub FB, KC, contenti; (Nam $i $uper F B, con$tituatur re- ctangulum altitudinem habens K C, ita vt triangulum, & rectangulum inter _41. primi._ ea$dem $int parallelas; erit triangulum parallelo grammi dimidium. quod quidem parallelo grammumidem e$t, quod rectangulum $ub FB, KC, conten- tum, vt con$tat.) Triangulum verò DGC, dimidium e$t rectanguli contenti $ub DG, HC; (Sienim $uper D G, con$tituatur rectangulum altitudinem ha- _41. primi._ bens H C, ita vt triangulum, & rectangulum inter ea$dem $int parallelas: erit triangulum parallelogrammi dimidium. quod quidem parallelo grammum idem e$t, quod rectangulum $ub DG, HC, contentum, vt con$tat.) erit quo- que triangulum F B C, maius triangulo D G C; ac propterea duplum trianguli F B C, nimirum rectilineum AFCBA, maius erit duplo trianguli D G C, vtpote rectilineo CDEGC. Quocirca, addito communi compo$ito ex triangulis ABC, CGE; erunt triangula AFC, CGE, vtra que $imul maiora triangulis ABC, C D E, vtri$que $imul. Duo ergo triangula I$o$celia $imilia $uper inæ- qualibus ba$ibus con$tituta, &c. quod o$tenden- dum e$t.

[333]LIBER SEPTIMVS. THEOR. 10. PROPOS. 12. _Inter I$operi-_ _metr{as} figur{as}_ _æqualia nu-_ _mero habent{es}_ _latera maxi-_ _ma, & æqui-_ _latera e$t, &_ _æquiangula._

ISOPERIMETRARVM figurarum latera numero æqualia haben- tium maxima & æquilatera e$t, & æquiangula.

ESTO figura quotcunque laterum A B C D E F, maxima inter omnes toti- dem laterum $ibi I$operimetras, ita vt maior dari non po$sit. Dico eam e$$e æ- quilateram, & æquiangulam. Sit enim $i fieri pote$t, primum non æquilatera, $ed $int latera AB, BC, proximain æqualia. Ducta igitur recta AC, $i con$titua- _7. hui{us}._ tur $uper AC, triangulũ I$o$celes AGC, quod $it i$operimetrum triangulo ABC; erit tota fi- _8. hui{us}._ gura AGCDEF. I$operimetra figur{ae} ABCD- EF. Et quia triangulum AGC, maius e$t tri- angulo ABC; $i addatur commune polygo- num ACDEF, erit $igura AGCDEF, maior quam figura ABCDEF. quod e$t contrarium hypothe$i. Non ergo inæqualia $unt latera AB, BC, $ed æqualia. Eademq; ratione o$ten- demus, latera proxima B_C_, _C_D; Item proxima deinceps æqualia e$$e. Maxima igitur figura inter $ibi i$operimetras æqualia numero late- ra habentes æquilatera e$t, quod e$t primum.

SIT deinde, $i fieri pote$t, figura ABCDEF, æquilatera quidem, vt iam demon$tratum e$t, at non æquiangula, $ed anguli B, D, non pro- ximi inæquales $int, maiorque angulus B, quam angulus D. Quo niamigitur demon$tra- tum e$t, figuram maximam e$$e æquilateram, erunt duo triangula ABC, CDE, I$o$celia, ita vt duo latera AB, BC, æqualia $int duobus la- teribus CD, DE: Ponitur autem angulus B, maior angulo D; erit recta AC, maior quam _24. prim._ recta CE. Si igitur con$tituantur $uper ba$es _10. hui{us}._ AC, CE, alia duo triangula I$o$celia AGC, CHE, $imilia inter $e, & I$operime- tra triangulis ABC, CDE; erunt triangula AGC, CHE, vtra que $imul maiora _11. hui{us}._ triangulis ABC, CDE, vtri$que $imul. Si igitur addatur commune polygonum ACEF: erit figura AGCHEF, maior, quam figura ABCDEF, quod cum hypo- the$i pugnat, quod hæc omnium maxima ponatur. Non ergo inæquales $unt anguli B, D, $ed æquales. Eademque ratione o$tendemus, angulos non pro- ximos C, E, æquales e$$e, & binos alios quo $uis non proximos. Ex quo effici- tur, totam figuram æquiangulam e$$e, nempe proximos etiam angulos inter fe e$$e æquales. Si enim verbi gratia angulus B, non dicatur æqualis e$$e an- gulo C; cum angulus C, æqualis $it non proximo angulo E; erit quo que an- gulus B, angulo E, non æqualis, quod ab$urdum e$t. Bini enim anguli non pro- ximi inter $e æquales $unt, vt o$tendimus. Maxima ergo figura inter $ibi I$ope- [334]GEOMETR. PRACT. rimetras æqualia numero latera habentes non $olum æquilatera, $ed & æ- quiangula e$t. Quocirca I$operimetrarum figurarum latera numero æqua- lia habentium maxima & æquilatera e$t, & æquiangula. quod demon$tran- dum erat.

SCHOLIVM.

CIRCA demon$trationem prioris partis huius propo$. ob$eruandum e$t, _Quæ ob$er-_ _uanda $int in_ _demon$tratio-_ _ne hui{us} pro-_ _po$._ accipienda e$$e duo latera inæqualia proxima inter $e, ita vt angulum con$ti- tuant, nullumque aliud inter ea interponatur, qualia $unt latera accepta AB, BC, angulum B, efficientia. Hac enim ratione, ducta recta AC, factum erit triangulum ABC, cuius duo latera AB, BC, inæqualia $unt, vtin demon$tra- ne a$$umebatur. Neque verò dubitare quis poterit, in figura non æquilatera, qualis ponitur ABCDEF, accipi po$$e duo latera proxima inæqualia. Nam $i quis dicat latera AB, BC, e$$e æqualia, $umemus latera AB, AF, quæ $i dican- tur etiam æqualia e$$e, accipiemus AF, FE: Et $i hæc adhuc æqualia e$$e di- cantur, capiemus EF, ED; & $ic deinceps progrediemur; donec ad duo la- tera proxima inæqualia veniamus, quæ angulum con$tituant. Nece$$ariò au- tem ad duo huiu$mo di latera perueniemus: alias figura e$$et æquilatera, quod non conceditur

QVOD verò ad po$terioris partis demon$trationem attinet, aduertendum e$t, in figuris multilateris accipiendos e$$e duos angulos inæquales non proxi- mos inter $e, ita vt inter ip$os vnus, vel plures anguli interponantur, quales $unt anguli accepti B, D, inter quos ponitur angulus C. Hac enim ratione duæ rect{ae} AC, CE, dictos angulos $ubtendentes $e mutuò non inter$ecabunt, con$tituen- turque duæ figuræ ABCDEF, AGCHEF, ex additione communis figuræ ACEF, ad triangula $upra ba$es AC, CE, con$tructa: quod non contingeret, $i duo anguliinæquales proximi inter $e $umerentur, vt con$tat. Non e$t autem in dubitum vertendũ, an tales duo anguli po$sint accipi. In omni enim figura mul- tilatera non æquiangula nece$$ariò erunt aliqui duo anguli non proximi inter $e inæquales. Nam in propo$ita figura ABCDEF, comparabimus angulum B, cum omnibus non proximis angulis D, E, F, quinece$$ariò duo erunt in penta- gono, in hexagono verò tres, & ita deinceps. Quod $i vni alicui eorum fue- rit inæqualis, habebimus iam duos angulos non proximos inter $e inæquales, nempe angulum B, & illum, cui inæqualis e$t: Si verò omnibus dicatur æqua- lis, erit tunc angulus B, $altem alteri proximorum inæqualis, alias figura e$$et æquiangula. Siergo inæqualis fuerit angulo A, erit angulus A, tam angulo E, quam angulo D; non proximo inæqualis, cum vtriuis horum æqualis ponatur angulus B: Si verò inæqualis fuerit angulo C, erit angulus C, tam angulo E, quam angulo F, non proximo inæqualis, quod vtriuis horum angulus B, pona- tur æqualis.

SED quoniam propo$itio hæc demon$trata tantum e$t in figuris multilate- ris, vtex iis con$tat, quæ proximè de duobus angulis non proximis inæquali- bus diximus: In triangulis enim, & quadrilateris figuris anguli eiu$mo di repe- riri non po$$unt, cum in triangulis æquilateris omnes anguli $int æquales, vt ex coroll. propo$. 5. lib. 1. Eucl<007>d. patet; in quadrilateris autem figuris omnia late- ra habentibus æqualia, (quoniam nece$$ario $unt parallelo gramma, vt in $cho- [335]LIBER SEPTIMVS. lio propo$. 34. lib. 1. Euclid. o$tendimus) $inguli oppo$iti inter $e$int æqua- _34. primi._ les: Idcirco totam hanc propo$itionem in triangulis, & quadrilateris figuris ita demon$trabimus. Sit primum triangulum ABC, inter $ibi I$operimetra triangu- la maximum. Dico illud æquilaterum e$$e & æquiangulum. Si enim non e$t _7. hui{us}._ æquilaterum, $ed latera AB, BC, $untinæqualia, $i $uper ba$em AC, con$titua- tur triangulum I$o$celes ADC, ita vt latera AD, DC, $imul æqualia $int lateri- bus AB, BC, $imul; erunt triangula ABC, ADC, I$operimetra; atque adeo _8. hui{us}._ ADC, maius, quam ABC, quod e$t contra hypothe$im. Non ergo inæqualia $unt latera AB, BC, $ed æqualia. Eademque ratio e$t de cæteris. Æquilaterum ergo e$t triangulum ABC. Igitur, ex coroll. propo$. 5. lib. 1. Euclid. & æquian- gulum e$t. quod e$t propo$itum.

DEINDE $it quadrilaterum ABCD, inter omnia $ibi I$operimetra maxi- mum. Dico illud e$$e, & æquilaterum, & æquiangulum. Si enim non e$t æqui- laterum, $int latera AB, BC, $i fieri pote$t, inæqualia, ducaturq; recta AC. Si _7. hui{us}._ igitur $uper AC, con$tituatur triangulum I$o$celes, AEC, I$operimetrum trian- gulo ABC; erit triangulum AEC, maius triangulo ABC. Addito ergo com- muni triangulo ACD, erit quadrilaterum AECD, maius quadrilatero ABCD. _8. hui{us}._ quod e$t contra hypothe$im, cum ABCD, maximum ponatur. Non ergo inæ- qualia $unt latera AB, BC, $ed æqualia. Eademque ratio e$t de cæteris. Æqui- latera ergo e$t figura ABCD.

SITiam quadrilatera figura ABCD, omnium i$operimetrarum maxima, æ- quilatera, vt o$ten$um e$t, at non æquiangula, $ed anguli BAD, CDA, inæqua- les $int. Quoniam igitur figura ABCD, cum $it æquilatera, parallelogrammum e$t, vt in $cholio propo$. 34. lib. 1. demon$trauimus; neuter que angulorum A, D, rectus e$t; (alias, cum ambo duobus rectis $int æquales, e$$ent ambo recti) _29. primi._ $ed vnus acutus, & obtu$us alter: $i educantur ex A, & D, duæ lineæ perpen- diculares AH, DG, occurrentes lateri BC, in H, & G; erit quo que AHGD, pa- rallelogrammum. Quia verò latera AB, DC, maiora $unt lateribus AH, DG; _19. primi._ producantur hæc, vt fiant rectæ AE, DF, lateribus AB, DC, æquales, iungatur- que recta EF. Quo facto, erit figura AEFD, i$operimetra parallelogrammo ABCD; cum latera AE, DF, lateribus AB, DC, æqualia $int, latus verò AD, commune, & latus EF, lateri B C, æquale, quod vtrumque æquale $it lateri _34. primi._ oppo$ito AD. Cum ergo figura AEFD, maior $it parallelogrammo AHGD; _35. primi._ hoc autem æquale $it parallelogrammo ABCD; erit quoque figura AEFD, maior parallelogrammo ABCD. Quare cum eidem $it i$operimetra, non erit ABCD, figura quadrilatera inter $ibi I$operimetras maxima. quod e$t contra hypothe$im. Non ergo inæquales $unt anguli BAD, CDA, $ed æquales: at- _34. primi._ que adeò cum ABCD, $it parallelogrammum, erunt anguli oppo$iti B, C, angulis D, A, æquales, proptereaque tota figura æquiangula erit, quod e$t propo$itum.

[336]GEOMETR. PRACT. THEOR. 11. PROPOS. 13.

CIRCVLVS omnibus figuris rectilineis regularibus $ibi i$operime- _Circul{us} o-_ _mnium $igu-_ _varum recti-_ _linearum re-_ _gularium $ibi_ _<007>$operimetra-_ _rum maxi-_ _m{us} est._ tris maior e$t.

ESTO circulus ABC, figura autem regularis quotcunque laterum ei i$operi- metra DEF. Dico circulum ABC, e$$e maiorem figura DEF. Sit enim G, cen- trum circuli A B C, & H, centrum figuræ D E F; De$cribaturque circa circulum ABC, figura BIKC, tot laterum, & angulorum æqualium, quot continet figu- ra DEF, per ea, quæ in $cholio propo$. 16. lib. 4. Euclid. docuimus. Deinde ex puncto contactus A, ad centrum G, ducatur recta A G, quæ perpendicularis _18. tertii._ erit ad IK. Ducatur rur$us HD, ad LM, perpendicularis; Diuidentque rectæ _3. tertii._ GA, HD, rectas IK, LM, bifariã, vt con$tat, $i figuris BIKC, DEF, circum$criban- tur circuli. Ducantur quoque rectæ GI, HL, quæ diuident angulos I, & L, bi- fariam, vt manife$tum e$t ex demon$tratione propo$. 12. lib. 4. Euclid. Quo- niam igitur toti anguli I, & L, $unt æquales, propter $imilitudinem figurarum, erunt etiamip $orum dimidia (videlicet anguli AIG, DLH,) æqualia. Cum er- go & anguli I A G, L D H, $intæ quales, vtpote recti; erunt triangula A I H, _32. primi._ DLH, æquiangula. Quia verò ambitus figuræ B I K C, maior e$t (per 1. propo$. libr. 1. Archimedis de $phæra, & cylindro) ambitu circuli A B C; Ambitus au- tem circuli æqualis ponitur ambitui figuræ D E F; erit quo que ambitus figuræ BIKC, maior ambitus figuræ DEF. Cum igitur figuræ $int regulares, & $imiles, erit etiam latus IK, latere LM, maius; & ideò I A, dimidium lateris IK, maius, quam LD, dimidium lateris LM. Rur$us quoniam e$t, vt IA, ad G A, ita L D, _4. $exti._ ad D H; Et e$t I A, maior quam L D; erit quo que A G, maior, quam D H. _14. quinti._ Quamobrem rectangulum contentum $ub A G, & dimidio ambitu circuli ABC, quod circulo ABC, e$t æquale, maius e$t, quam rectangulum conten- _4. hui{us}._ tum $ub DH, & dimidio ambitu figuræ DEF, hoc e$t, quam area figuræ DEF. _2. hui{us}._ Circulus igitur omnibus figuris rectilineis regularibus $ibi i$operimetris maior e$t. quod o$tendendum erat.

COROLLARIVM. _Circul{us} o-_ _mnib{us} figu-_ _r{is} rectil<007>n{eis}_ _$ibi i$operime-_ _tr{is} maior e$t._

EX omnibus iis, quæ demon$trata $unt, per$picuum e$t, circulum ab- $olutè omnium figurarum rectilinearum $ibi i$operimetrarum maxi- mum e$$e.

[337]LIBER SEPTIMVS.

QVONIAM enim ex propo$itione 5. habetur, regularium figurarum i$ope- rimetrarum eam, quæ plura latera continet, e$$e maiorem: Rur$us ex propo$i- tione 12. con$tat, inter omnes figuras i$operimetras æqualia numero latera ha- bentes, eam maximam e$$e, quæ regularis e$t: Ex hac denique 13. propo$itio- ne per$picuum e$t, circulum omnium figurarum i$operimetrarum regularium e$$e maximum: Manife$tè concluditur, circulum ab$olutè ac $impliciter o- mnium figurarum rectilinearum $ibi i$operimetrarum maximum e$$e. quod e$t propo$itum.

THEOR. 12. PROPOS. 14.

AREA cuiuslibet pyramidis æqualis e$t $olido rectangulo contento _Pyram{is} quæ-_ _lib{et} cui pa-_ _rallelepipedo_ _$it æqual{is}._ $ub perpendiculari à vertice ad ba$im protracta, & tertia parte ba$is.

SIT pyramis, cuius ba$is quotcunque laterum ABCDE, & vertex F. Soli- dum autem rectangulum G N, cuius ba$is G H I K, æqualis $it tertiæ parti ba$is A B C D E; altitudo verò $iue perpendicularis GL, æqualis altitudini pyramidis, $iue perpen- dicular<007> à vertice pyramidis ad eius ba$im pro- ductæ. Dico $olidum rectangulum GN, æqua- le e$$e, pyramidi A B C D E F. Ducantur enim ab omnibus angulis ba$is G H I K, ad aliquod punctum ba$is oppo$itæ, nimirum ad L, lineæ rectæ, ita vt con$tituatur pyramis G H I K L, eandem habens ba$im cum $olido G N, ean- demque altitudinem & cum eodem $olido G N, & cum pyramide A B C D E F. Quo- _$chol. 6._ _duodec._ niam igitur pyramis A B C D E F, tripla e$t py- ramidis GHIKL; Et $olidum G N, triplum _coroll. 7._ _duodec._ quo que e$t eiu$dem pyramidis GHIKL: erit _9. quinti._ $olidum G N, pyramidi A B C D E F, æquale. Quapropter area cuiuslibet pyramidis æqua- lis e$t $olido rectangulo, &c. quod erat o$ten- dendum.

THEOR. 13. PROPOS. 15. _Corp{us} quod-_ _l<007>bet, in qua_ _$phæra de$cri-_ _bipotest, cui_ _parallelepipe-_ _do æquale $it._

AREA cuiuslibet corporis planis $uperficiebus contenti, & circa $phæram aliquam circum$criptibilis, hoc e$t, à cuius puncto aliquo medio omnes perpendiculares ad ba$es eius productæ $unt æquales, æqualis e$t $olido rectangulo contento $ub vna perpendicularium, & tertia parte ambitus corporis.

[338]GEOMETR. PRACT.

ESTO corpus planis $uperficiebus contentum A B C D, circa $phæram EFGH, cuius centrum I, de$criptum, in quo ducantur ex I, ad puncta conta- ctuum lineæ rectæ IE, IF, IG, IH, quæ ad ba$es $olidi erunt perpendiculares. Nam $i verbi gratia per rectam IE, ducatur planum faciens in $phæra, per propo$. 1. _3. vndec._ lib. 1. Theod. circulum EFGH, & in ba$i rectam AB; tanget circulus EFGH, rectam A B, in puncto E, propterea quod $phæra ba$im non $ecat, $ed tangit. _18. tertii._ Igitur IE, ad rectam AB, perpendicularis erit. Eadem ratione, $i per I E, duca- tur aliud planum, à priori differens, fiet alius circulus in $phæra, & alia linea recta in eadem ba$i $ecans rectam A B, in E; ad quam et- _4. vndec._ iam I E, perpendicularis erit: Ac propterea IE, ad ba$im $olidi per illas rectas ductam perpendicularis erit. Non aliter o$tendemus, rectas IF, IG, IH, ad alias ba$es e$$e perpendiculares. Sit quo que $olidum re- ctangulum L R, cuius ba$es KLMN, $it æqualis ter- tiæ parti ambitus corporis ABCD; altitudo verò $i- ue perpendicularis L P, æqualis vni perpendicula- rium ex centro I, ad ba$es corporis A B C D, caden- tium; quæ omnes inter $e æquales $unt ex defin. $phæræ. Dico $olidum LR, corpori ABCD, æquale e$$e. Ducantur enim ex centro I, ad omnes angulos corporis ABCD, rectælineæ, vt totum corpus in py- ramides, ex quibus componitur, diuidatur: quarum quidem pyramidum ba$es eædem $unt quæ corpo- _14. hui{us}._ ris, vertex autem communis centrum I. Quoniam igitur quælibet harum pyramidum æqualis e$t $olido rectangulo $ub perpendiculari L P, quæ $ingulis perpendicularibus corporis ABCD, æqualis ponitur, & tertia parte $uæ ba$is contento; Si fiant tot $olida rectangula, quot $unt pyramides, erunt omnia hæc $imul æqualia $olido rectan- gulo LR. (Si enim rectangulum K L M N, diuidatur in tot rectangula, quot ba$es $unt in $olido propo$ito, ita vt primum æquale $it tertiæ parti vnius ba$is, & $ecundum tertiæ parti alterius, & ita deinceps, quando quidem totum rectan- gulum K L M N, æquale ponitur tertiæ parti totius ambitus $olidi; intelligan- tur autem $uper illa rectangula con$titui parallelepipeda; erunt omnia $imul _14. hui{us}._ æqualia parallelepipedo L R.) Cum ergo $ingula parallelepipeda $ingulis pyramidibus $int æqualia; erunt quo que omnes pyramides, nempe corpus A B C D, ex illis compo$itum, æquale $olido rectangulo L R. Quamobrem area cuiuslibet corporis planis $uperficiebus contenti, &c. quod demon$tran- dum erat.

THEOR. 14. PROPOS. 16.

AREA cuiuslibet $phæræ æqualis e$t $olido rectangulo comprehen$o _Sphæræ quæ-_ _l<007>bet cui pa-_ _rallelepipedo_ _$it æqual{is}._ $ub $emidiametro $phæræ, & tertia parte ambitus $phæræ.

ESTO $phæra ABC, cuius centrum D, $emidiameter AD: Solidum autem rectangulum E, contentũ $ub $emidiametro AD, & tertia parte ambitus $phær{ae}, [339]LIBER SEPTIMVS. ABC. Dico corpus E, $phæræ ABC, e$$e æquale. Nam $i non e$t æquale: $it, $i fieri pote$t, primum maius, $itque exce$$us corporis E, $upra $phæram A B C, quantitas F. Intelligatur circa centrum D, de$cripta $phæra GHK, maior quam $phæra ABC, ita tamen, vt exce$$us $phæræ GHK, $upra $ph{ae}ram ABC, non $it maior quantitate F, $ed vel æqualis, vel minor, hoc e$t, vt $phæra GHK, $it vel {ae}- qualis $olido E, quando nimirum ip$a excedit $phærã A B C, præci$è quantitate F; vel minor, $i nimirum ip$a excedit $phæram A B C, minori quãtitate, quam F. Nece$$ario enim aliqua $phæra erit, quæ vel æqualis $it magnitudini E, atq; ad- eo maior quam $phæra ABC; vel maior quidem quam $phæra ABC, minor verò _17. duodec_. quam magnitudo E, quæ maior ponitur, quam $phæra ABC. In$cribatur de- inde intra $phæram GHK, corpus, quod non tangat $phæram A B C, ita vt vna- quæque perpendicularium ex centro D, ad ba$es i$tius corporis eductarum ma- ior $it $emidiametro A D. Siigitur à centro D, ad omnes angulos dicti corporis ducantur lineæ rectæ, vt to tum corpus in pyramides diuidatur, quarum ba$es $unt eædem, quæ corporis G H K, vertex autem communis centrum D; erit _14. hui{us}._ quælibet pyramis æqualis $olido rectangulo contento $ub eius perpendiculari, & tertia parte ba$is; Atq; idcirco $olidum rectangulum contentum $ub $emidiame- tro AD, & tertia parte ba$is cuiuslibet py- ramidis, minus ip$a pyramide erit. Et quo- niam omnia $olida rectangula cõtenta $ub $ingulis perpendicularibus ex centro D, ad ba$es corporis dicti protractis, & $ingulis tertijs partibus ba$ium, $imul æqualia $unt toti corpori; efficiunt autem omnes tertiæ partes ba$ium $imul tertiam partem ambi- tus corporis; erit $olidum rectangulũ con- t\~etum $ub $emidiametro AD, & tertia par- te ambitus præfati corporis in$cripti intra $phæram G H K, minus corpore in$cripto. Quoniam verò ambitus corporis in$cripti maior e$t ambitu $ph{ae}ræ ABC, vt demon- $trat Archimedes lib. 1. de $ph{ae}ra & cylin- dro propo$. 27. atque adeo & tertia pars ambitus dicti corporis maior tertia parte ambitus $ph{ae}r{ae} ABC: erit $olidum re- ctangulum contentum $ub $emidiametro AD, & tertia parte ambitus $ph{ae}r{ae} A- B C, hoc e$t, $olidum E, multo minus corpore in$cripto intra $ph{ae}ram G H K: Po$ita e$t autem $phæra GHK, vel æqualis $olido E, vel minor. Igitur & $ph{ae}- ra G H K, minor erit corpore intra ip$am de$cripto, totum parte quod e$t ab- $urdum. Quo circa $olidum E, maius non erit $ph{ae}ra ABC.

SIT DEINDE, $i fieri pote$t, $olidum E, minus, quam $ph{ae}ra ABC, exce- datur que à $ph{ae}ra ABC, quantitate F. Intelligatur circa centrum D, $ph{ae}ra de- $cripta L M N, minor quàm $ph{ae}ra A B _C_, ita tamen vt exce$$us, quo $ph{ae}ra LMN, $uperatur à $ph{ae}ra AB_C_, non $it maior quantitate F, $ed vel æqualis, vel minor, hoc e$t, vt $ph{ae}ra LMN, $it vel æqualis $olido E, $i nimirum ip$a exceda- tur à $ph{ae}ra AB_C_, quantitate F, vel maior $olido E, $i videlicet $ph{ae}ra L M N, à $ph{ae}ra AB_C_, $uperetur minori quantitate, quam F. Nece$$ario enim aliqua $ph{ae}- [340]GEOMETR. PRACT. ra erit, quæ vel {ae}qualis $it $olido E, atque adeo minor quam $ph{ae}ra ABC, vel minor quidem quàm $phæra ABC, maior verò quam magnitudo E, quæ minor ponitur, quam $ph{ae}ra ABC. De$cribatur deinde intra $phæram ABC, corpus, _17. duodec._ quod minimè tangat $phæram L M N; ita vt vnaquæque perpendicularium ex centro D, ad ba$es huius corporis in$cripti cadentium minor $it $emidiametro AD. Siigitur à centro D, ad omnes eius angulos lineæ extendantur, vt totum corpus in pyramides re$oluatur, quarũ ba$es $unt eædem, quæ corporis ABC, vertex autem communis centrum D; erit qu{ae}libet pyramis {ae}qualis $olido re- _14. hui{us}._ ctangulo contento $ub eius perpendiculari, & tertia parte ba$is; Et ideo $oli- dum rectangulum contentum $ub $emidiametro A D, & tertia parte ba$is cu- iu$uis pyramidis, maius erit pyramide ip$a. Et quoniam omnia $olida rectan- gula contenta $unt $ingulis perpendicularibus ex centro D, ad ba$es corporis dicti protractis, & $ingulis tertijs partibus ba$ium, $imul æqualia $unt toti cor- pori; efficiunt autem omnes tertiæ partes ba$ium $imul tertiam partem ambi- tus corporis, erit $olidum rectangulum contentum $ub $emidiametro A D, & tertia parte ambitus dicti corporis $ph{ae}ræ ABC, in$cripti, maius corpore in$cri- pto. Cum igitur ambitus $ph{ae}ræ A B C, maior $it ambitu corporis $ibi in$cri- pti, atque adeo & tertia pars ambitus $ph{ae}ræ maior tertia parte ambitus dicti corporis; erit $olidum rectangulum contentum $ub AD, $emidiametro, & ter- tia parte ambitus $ph{ae}ræ ABC, hoc e$t, $olidum E, multo maius corpore in$cri- pto intra $ph{ae}ram ABC: Ponebatur autem $ph{ae}ra L M N, vel {ae}qualis $olido E, vel maior. Igitur & $ph{ae}ra L M N, maior erit corpore intra $ph{ae}ram A B C, de$cripto, pars toto, quod e$t ab$urdum. Non igitur $olidum E, m@nus erit $ph{ae}- ra ABC. Cum ergo neque maius $it o$ten$um, æquale omnino erit: Ac propte- rea area cuiuslibet $ph{ae}ræ {ae}qualis e$t $olido rectangulo comprehen$o $ub $emi- diametro $ph{ae}ræ, & tertia parte ambitus $ph{ae}ræ. quod demon$trandum erat.

THEOR. 15. PROPOS. 17. _Sphæra ma-_ _ior e$t omni-_ _b{us} corpori-_ _b{us} $ibi I$ope-_ _rimetr{is}, &_ _circa ali{as}_ _$phær{as} cir-_ _cum$criptibi-_ _l<007>b{us}, quæ pla_ _n{is} $uperficie-_ _b{us} continen-_ _tur._

SPHÆRA omnibus corporibus $ibi I$operimetris, quæ planis $uperficiebus contineantur, circaque alias $phæras circum$criptibilia $int, hoc e$t, quorum omnes perpendiculares ad ba$es productæ ab aliquo puncto medio $int æquales, maior e$t.

ESTO $phæra A, cuius centrum A, & $emidiameter AB: Solidum autem cir- ca aliquam $phæram circum$criptibile $ibi I$operimetrum C, cuius vna perpen- dicularium C D. Dico $phæram A, maiorem e$$e $olido C. Intelligatur enim circa $ph{ae}ram A, corpus de$criptum $imile pror$us $olido C, ita vt $ingula quo- que latera contingant $ph{ae}ram A, hoc e$t, eius perpendiculares, quarum vna $it AB, $int quo que æquales, nempe $emidiametri $ph{ae}ræ A, exi$tentes. Ita que quoniam ambitus corporis circa $ph{ae}ram A, maior e$t ambitu $ph{ae}ræ A, (per ea, qu{ae} ab Archimede $unt demon$trata lib 1. de $phæra & cylindro, propo$. 27.) erit quoque eiu$dem corporis ambitus maior ambitu corpori C. Quare per- pendicularis AB, hoc e$t $emidiameter $phær{ae} A, maior erit perpendiculari CD. [341]LIBER SEPTIMVS. Quamobr\~e rectangulũ $olidũ contentũ$ub $emidia- _16. hui{us}._ metro A B, & tetria parte ambitus $ph{ae}ræ A, quod $ph{ae}ræ A, {ae}quale e$t, maius erit, quàm rectangulum $olidum contentum $ub perpendiculari CD, & tertia _15. hui{us}._ parte ambitus corporis C, hoc e$t, quam corpus C. Sph{ae}ra igitur omnibus corporibus $ibi I$operime- tris, qu{ae} planis $uperficiebus contineantur, &c. ma- ior e$t. quod erat demon$trandum.

_Sphæra ma-_ _ior e$t quou{is}_ _corpore regu-_ _lari $ibi I$ope-_ _rimetro._ COROLLARIVM.

CONSTAT hinc, $ph{ae}ram maiorem e$$e quoli- bet corpore regulari$ibi I$operimetro: quip pe cum omnes perpendiculares è centro ad ba$es corporis regularis inter $e {ae}quales $int; propterea quod {ae}qua- _21. quinti-_ _dec_. les $unt $emidiametro $ph{ae}r{ae}, quæintra corpus de- $cribipote$t.

THEOR. 16. PROPOS. 18. _Sphæramaior_ _e$t omnib{us}_ _corporib{us} $i-_ _bi I$operime-_ _tr{is}, & circa_ _ali{as} $phær{as}_ _circum$cripti_ _b<007>lib<_>9, quæ co-_ _n<007>c{is} $uperf<007>-_ _cieb{us} conti-_ _nentur._

SPHÆRA omnibus corporibus $ibi I$operimetris, & circa alias $ph{ae}- ras circum$cript<007>bilibus, quæ $uperficiebus conicis contineantur, ita vt latera omnia conica $int æqualia, maior e$t.

ESTO circulus A B C D, cui circum$cribatur figura regularis E F G- HIKLM, ita vt numerus laterum à quaternario men$uretur, cuiu$modi e$t quadratum, figura 8. 12. 16. 20. 24. vel 28. laterum, angulorumque æqualium, &c. Ducaturque ex angulo E, per centrum ad angulum I, recta EI. Itaq; $i circa manentem rectam EI, immobilem circumagatur planũ, in quo e$t circulus ABCD, & figura EFGHIKLM, de$cribet circul<_>9 $phærã, figura vero [342]GEOMETR. PRACT. corpus circa $ph{ae}ram conicis $uperficiebus contentum, quarum $uperficierum latera æqualia $unt, nemp è eadem, qu{ae} figuræ, vt ab Archimede demon$tra- tur propo$. 22. & 27. lib. 1. de $ph{ae}ra & cylindro. Sit iam $phæra N, I$operi- metra corpori EFGHIKLM, circa $ph{ae}ram A B _C_ D, de$cripto. Dico $ph{ae}ram N, dicto corpore e$$e maiorem. Quoniam enim ambitus $olidi EF GHIKLM, maior e$t (per propo$. 27. lib. 1. Archimedis de$ph{ae}ra & cylindro) ambitu $ph{ae}- r{ae} AB_C_D, erit quoque ambitus $ph{ae}r{ae} N, maior ambitu $ph{ae}r{ae} AB_C_D; ideoq; $emidiameter $ph{ae}r{ae} N, maior erit $emidiametro $ph{ae}r{ae} AB_C_D. Et quia $uper- ficies $ph{ae}ræ quadrupla e$t (per propo$. 31. lib. 1. Archimedis de $ph{ae}ra & cy- lindro) maximi circuli in $ph{ae}ra; $i $umat circul<_>9 O P, quadrupl<_>9 circuli maximi in $ph{ae}ra N; (quod quidem facilè fiet, $i diameter O P, dupla $umatur diametri _2. duodec._ maximi circuli in $ph{ae}ra N. Quoniam enim vt circulus O P, ad circulum ma- ximum in $ph{ae}ra N, ita quadratum diametri O P, ad quadratum diametri circuli _20. $exti._ maximi in $ph{ae}ra N; E$t autem quadrati ad quadratum proportio duplica- ta proportionis laterum homologorum, erit quo que circulus O P, ad circulum maximum in $ph{ae}ra N, in proportione duplicata proportionis diametri O P, ad diametrum circuli maximi in $ph{ae}ra N. _C_um igitur diametri ponantur habere proportionem duplam, habebunt circuli proportionem quadruplam; qua- drupla enim proportio duplicata e$t {pro}portionis duplæ, vt in his numeris appa- ret. 1. 2. 4.) erit circulus OP, {ae}qualis $uperficiei $phæræ N. Accipiatur rur$us cir- culus S T, æqualis circulo O P. Statuatur deinde $upra circulum S T, conus re- ctus S T V, axem V X, æqualem habens $emidiametro $phæræ N: item $upra cir- culum O P, alter conus N P Q, con$truatur habens axem Q R, {ae}qualem $emidia- metro $ph{ae}r{ae} AB_C_D; eritque maior altitudo coni S T V, quam coni O P Q. at _14. duodec._ ba$es {ae}quales erunt. Quare conus S T V, maior erit cono O P Q; propterea quod coni æqualium ba$ium eaminter $e habent proportionem, quam altitudi- nes. Quoniam verò $ph{ae}ra N, quadrupla e$t eius coni, qui ba$em habet {ae}qua- lem maximo in $ph{ae}ra N, circulo, & altitudinem {ae}qualem $emidiametro $ph{ae}r{ae} N, vt demon$trauit Archimedes lib. 1. de $ph{ae}ra & cylindro propo$. 32. Huius autem eiu$dem coni quadruplus e$t conus S T V, eo quod coni eandem hab\~e- _11. duodec_. tes altitu dinem proportionem habent quam ba$es; erit conus S T V, $ph{ae}r{ae} _9. quinti._ [343]LIBER SEPTIMVS. N, æqualis. Eodem pacto, quia ba$is coni O P Q. æqualis e$t ambitui corporis EFGHIKLM; quia & æqualis $uperficiei $phæræ N, quæ corpori illi I$operi- metra e$t: altitudo vero æqualis $emidiametro $ph{ae}ræ ABCD; erit $olido EFG- HIKLM, æqualis conus O P Q, per ea, quæ Archimedes lib 1. de $phæra & cy- lindro propo$. 29. demon$trauit. Quamobrem & $phæra N, maiorerit $olido EFGHIKLM, conicis $uperficiebus contento. Sphæra igitur omnibus cor- poribus $ibi I$operimetris, & circa alias $phæras circum$crip tibilibus, &c. maior e$t. quod demon$trandum erat.

THEOR. 17. PROPOS. 19. _Sphæramaior_ _e$t quolibet_ _cono & cy-_ _lindro $ibi I$o-_ _perimetro._

SPHÆRA quolibet cono, & cylindro $ibi I$operimetro maior e$t.

PROPOSITA enim quacunque $phæra, $i fiat conus ba$em habens æqua- lem $uperficiei $phær{ae}, id e$t, quadruplam maximi in $phæra circuli, altitudinem verò $emidiametro $phæræ æqualem: erit $phæra huic cono æqualis; propte- _9. quinti._ rea quod ad conum, cuius ba$is e$t maximus in $phæra circulus, & altitudo $e- midiameter $phæræ, tam $phæra, ex propo$. 32. libri 1. Archimedis de $phæra & cylindro, quam prior conus ba$em habens quadruplã maximi circuli in $phæ- _11. duodec._ ra, hoc e$t, $uperficiei $phær{ae} æqualem, & altitudinem $emidiametrum $phæræ, proportionem habet quadruplam. Cum ergo ambitus coniba$em habentis $u- perficiei $phæræ æqualem maior $it ambitu $phæræ, quippe cumille hunc exce- dattota $uperficie coni, $eclu$a ba$i, quæ ambitui $phæræ ponitur æqualis, li- quido con$tat, $i fiat conus $phær{ae} I$operimeter, hunc e$$e illo cono, ac proin- de & $ph{ae}ra minorem.

RVRSVS $i fiat cylindrus ba$em habens æqualem $uperficiei $ph{ae}ræ, & al- titudinem $emidiametrum $phær{ae}; erit hic cylindrus triplus illius coni ba$em _10. duodec._ habentis æqualem eidem $uperficiei $ph{ae}ræ, & altitudinem $emidiametrum ean- dem $phær{ae}, quem $ph{ae}ræ æqualem e$$e proximè o$tendimus: ac proinde & tri- plusip$ius $phæræ. Tertia ergo pars illius cylindri (cylindrus videlicet eandem habens ba$em, altitudinem vero tertiam partem altitudinis cylindri illius: cũ _14. duode._ ille cylindrus $it huius triplus) æqualis erit $phæræ. Cum ergo po$terior hic cylindrus habeat ambitum maior\~e ambitu $ph{ae}ræ, quod ille hunc excedat am- bitu totius cylindri, $eclu$a vna ba$e; quis non videt, $i fiat cylindrus $ph{ae}ræ I- $operimeter, hunc e$$e priore illo cylindro, acproinde & $p hæra maior\~e? Sph{ae}- ra ergo quolibet cono, & cylindro $ibi I$operimetro maiore$t. quod demon- $trandum erat.

SCHOLIVM.

HÆC omnia ferè ex Theone Alexandrino in commentarijs in Almage$tũ Ptolemaei, & ex Pappo Alexandrino in Mathematicis collectionibus, licet ple- raque eorum clarius & facilius demon$trauerimus, excerpta $unt: quæ verò $e- quntur, à nobis inuenta $unt, ac demon$trata.

PROBL. 3. PROPOS. 20.

DATO $emicirculo vel quadranti, vel octauæ parti circuli, aut deci- [344]GEOMETR. PRACT. m{ae}$extæ, &c. rectangulum con$tituere I$operimetrum & æquale; $i li- _Semicirculo_ _& ali{is} parti-_ _b{us} $ubdupl{is}_ _circuli æqua-_ _lia rectangu-_ _la & I$operi-_ _metra con$ti-_ _tuere._ nea recta periphæriæ detur æqualis.

SIT $emicirculus A B C: Quadrans A B D, octaua pars circuli A N D, pars $extadecima AOD, &c. con$truatur rectangulum AE, contentum $ub $emidia- metro A D, & $ub recta A F, quæ quartæ parti peripheriæ æqualis $it; Item re- ctangulum A G, $ub $emidiametro AD, & $ub AH, octaua parte peripheriæ. It\~e rectangulum A I, $ub $emidiametro _A_D, & $ub _A_K, parte decima$exta peripheri{ae}. Item rectangulum _A_L, $ub $emidiametro _A_D, & $ub _A_M, parte trige$ima $e- cunda peripheriæ. Erit igitur ex ijs, qu{ae} lib. 4. cap. 7. ad finem Num. 1. o$tendimus, AE, $emicir culo ABC; & _A_G. Quadranti _A_BD; & _A_I, octau{ae} parti _A_ND: & _A_L, parti $extæ decimæ _A_ O D, æquale, &c. Dico hæc eadem rectangula e$$e I$operimetra prædictis cir- culi partibus, $ingula $ingulis. quod quidem per$pi- cuum e$t ex con$tructione. Nam _A_D, EF, æqualia $unt diametro _A_C, & _A_F, DE, $emicircumferentiæ _A_- BC, nimirum duabus quartis partibus circumferentiæ. Item _A_D, GH, æqualia $unt $emidiametris _A_ D, D B, & _A_ H, D G, duabus partibus octauis, hoc e$t, quartæ parti cir cumferentiæ _A_B. Item _A_D, IK, duabus $emidiametris _A_D, DN, & _A_K, DI, duabus $extis decimis, id e$t, octauæ parti circumferentiæ _A_N. Item _A_D, LM, duabus $emidiametris _A_D, DO, & _A_M, DL, duabus partibus trige$i- mis $ecundis, hoc e$t, parti decimæ$extæ _A_O; _A_tque ita deinceps, $i tam peri- pheria _A_O, quam recta _A_M, continue $ubdiuidatur. Dato ergo $emicirculo, vel Quadranti, &c. rectangulum I$operimetrum, & æquale con$tituimus. quod faciendum erat.

HOC problema, quod ad $emicirculum, ac Quadrantem attinet, aduertit etiam nuper R. P. Odo Malcotius Mathematicus ingenio$us, cum problema Mathematicum per $uos auditores exhiberet in Collegio Romano: quamuis illud in$tar Theorematis propo$uerit.

PROBL. 4. PROPOS. 21. _Parallelogrã-_ _mum dato_ _triangulo æ-_ _quale & I$o-_ _perimetrum_ _con$tituere._

DATO triangulo cuicunque parallelogrammum æquale, atque I$o- perimetrum con$tituere.

SIT datum triangulum qualecunque _A_BC. Per _A_, ducatur _A_M, ba$i B C, parallela. Et quia, $i neuter angulorum B, C, rectus e$t, vtrumquelatus _A_B, @ maius e$t perpendiculariex _A_, vel B, C, D, in oppo$itam parallelam demi$- _coroll. 19._ _primi_. $a: $i verò alter angulorumrectus e$t, hoc e$t, alterutrum laterum perpendicu- lare e$t ad dictas parallelas; vtrumque latus _A_B, _A_C, $imulmaius e$t, quam du- plum prædictæ perpendicularis; ideo que $emi$sis aggregati ex vtro que latere maior perpendiculari eadem; id e$t, $i accipiatur GH, lateri _A_B, & HI, lateri _A_C, {ae}qualis, vttota GI, $ummæ laterum _A_B, _A_C, æqualis $it, diuidatur que GI, bifa- riam in K, $emi$sis GK, maior erit perpendiculari DE. Si igitur ex D, medio pun- [345]LIBER SEPTIMVS. cto ba$is B C, adinteruallũ GK, arcus circuli de$cribatur, $ecabitis rectam _A_M, in aliquo puncto, vtin L. Sumpta autem LM, ip$i B D, æquali, ducantur rectæ DL, BM, quæ parallelæ inter $e erunt; ideo que parallelo grammum erit D M, _33. primi._ triangulo _A_BC, æquale. Dico hoc idem triangulo e$$e I$operimetrum, quod _$chol. 41._ _primi._ per$picuum e$t ex con$tructione: quippe cum D L, B M, vtraque æqualis $it ip$i G K, hoc e$t, $emi$si laterum _A_ B, _A_ C, ac proinde ambæ D L, B M, $imul æ- quales ambobus lateribus _A_B, _A_C, $imul; rectæ autem BD, LM, $imul æquales ba$i BC. Con$tructum ergo e$t parallelogrammum D M, non rectangulum æ- quale, & I$operimetrum triangulo _A_BC.

QVOD $i optes rectangulum eidem triangulo _A_BC, æquale, & I$operime- trum, ita agendum erit. Erectis perpendicularibus B F, D F, erit rectangulum _$chol. 41._ _primi._ BE, triangulo æquale, $ed non I$operimetrum; quod BF, DE, minores $intla- teribus _A_B, _A_C, $ed BD, EF, ba$i BC, æquales: ac proinde ambitus rectanguli _coroll. 19._ _primi._ BE, ambitu trianguli _A_BC, minor; ideoque $i pro ducantur BF, DE, ad æqualita- tem $emi$sis laterum _A_B, _A_C, fiet quidem rectangulum triangulo _A_BC, I$ope- rimetrum, $ed triangulo maius, cum $uperet rectangulum BE. Inuenta au- _13. $exti._ tem inter BF, BD, media proportionali N; erit quadratumrectæ N, rectangu- _17. $exti._ lo BE, ideo que & triangulo _A_BC, {ae}quale. Quia vero BF, BD, $imul maio- _$chol. 25._ _quinti._ res $unt, quam duplarectæ N; e$t que BM, maior quam BF, erunt BM, BD, $i- mul multo maiores, quam dupla rectæ N. Sumpta ergo QP, ip$i B D, & P O, _19. primi._ ip$i BM, æquali, vt tota QO, duabus BD, BM, $imul $it æqualis; erit quoque QO, maior quam dupla rectæ N. Secetur ergo QO, in R, ita vt N, $it inter $e- _$chol. 13._ _$exti._ gmenta Q R, RO, media proportionalis, perficiatur que rectangulum QS, $ub $egmentis QR, RO, comprehen$um. quod quadrato rectæ N, hoc e$t, _17 $exti_. rectangulo BE, vel triangulo _A_BC, æquale erit. Dico idem e$$e triangulo _A_BC, I$operimetrum. Quoniam enim QR, RS, $imul, id e$t, recta QO, æquales $unt rectis B D, B M, $imul, ex con$tru ctione; eruntreliquæ S T, T Q. reliquis LM, L D, æquales: ideoque rectangulum QS, parallelogrammo BL, ac proinde & triangulo _A_BC, (cui parallelogrammum BK, I$operimetrum e$t o$ten$um) erit I$operimetrum. Dato igitur triangulo cuicunq; parallelogrammum, &c. con- $tituimus. quod faciendum erat.

[346]GEOMETR. PRACT. SCHOLIVM.

QVOD $i $umatur punctum V, vtcunque inter R, & O, erit rectangulum $ub QV, VO, adhuc I$operimetrum triangulo ABC, $ed minus. Si vero capia- tur punctum X, vtcunque inter R, & Y, (diui$a Q O, bifariam in Y,) erit adhuc rectangulum $ub QX, XO, I$operimetrum triangulo A B C, $ed maius. Qua- dratum denique rectæ QV, I$operimetrum quo que e$t triangulo A B C, & ma- ius, quæ omnia ita demon$trabimus. Prædicta rectangula, & quadratum rectæ QY, I$operimetra e$$e triangulo ABC, hoc e$t, rectangulo QS, patet: cum bi- na latera circa angulumrectum æqualia $emper $intrectæ QO, hoc e$t, binis la- teribus rectanguli QS. Eadem verò e$$e inæ qualia triangulo ABC, $ic o$tendo. Quoniam quadrata QV, VO, maiora $unt quadratis QR, RO, $imul: Sunt _lemma 42._ _decimi_. autem tam illa duo, vna cum rectangulo $ub QV, VO, bis, quam hæc duo, vna _4. $ecundi_. cumrectangulo $ub QR, RO, bis, quadrato QO, æqualia; erit rectangulum $ub QV, VO, bis minus rectangulo $ub QR, R O, bis; ideo que & rectangulum $ub QV, VO, $emel, rectangulo $ub QR, RO, $emel minus erit. Non aliter o$ten- demus, rectangulum $ub QR, R O, minus e$$e rectangulo $ub QX, XO, hoc e$t rectangulum $ub QX, XO, maius e$$e rectangulo $ub QR, R O. Denique quoniam rectangulum $ub QX, XO, vna cum quadrato XY, æquale e$t qua- _6. $ecundi_. drato Y O, vel QY; erit quadratum QY, maius rectangulo $ub QX, XO, ideo- que multo maius rectangulo $ub QR, R O, id e$t, triangulo A B C. quæ omnia demon$tranda erant.

EX quo con$tat, quadratum QY, ex $emi$$æ rectæ QO, de$criptum maxi- mum e$$e omnium rectangulorum $ub quibu$cunque $egmentis rectæ QO, cõ- prehen$orum, quod etiam ex propo$. 12. huius lib. liquet.

PROBL. 5. PROPOS. 22. _Rectangulũ_ _datæfiguræ_ _I$operimetrũ_ _& æquale cõ-_ _$tituere_.

DATO rectilineo parallelogrammum rectangulum æquale, & I$ope- rimetrum con$tituere. Oportet autem latus quadrati rectilineo æ- qualis, maius non e$$e $emi$$e dimidiati ambitus dati rectilinei.

[347]LIBER SEPTIMVS.

SIT hexagonum datum A, æquilaterum quidem, $ed non æquiangulum, ita vt B, ad latus quadrati illi æqualis inuentum maius non $it $emi$$e, dimidiati _14. $ecundi_. ambitus hexagoni. Sumpta ergo recta C D, æquali $emi$si ambitus hexagoni; erit B, recta non maior $emi$$e ip$ius C D, $ed vel æqualis, vel minor. Secta au- _$chol. 13._ _$exti_. tem CD, in E, ita vt B, $it media proportionalis inter $egmenta DE, EC, fiatre- ctangulum E G, contentum $ub $egmentis D E, E C. Dico rectangulum E G, æquale e$$e, & i$operimetrum hexagono A. Quoniam enim tres D E, B, E C, continuè proportionales $unt; erit rectangulum E G, quadrato B, id e$t, he- _17. $exti_. xagono A, æquale. Et quia duo latera DE, EF, æqualia $unt rectæ CD, hoc e$t, $emi$si ambitus hexagoni A, ideo que reliquæ duæ FG, GD, alteri $emi$si: @erit totum rectangulum E G, hexagono A, i$operimetrum. Dato ergo rectilineo parallelogrammum rectangulum {ae}quale, & i$o perimetrum con$tituimus: quod erat faciendum.

SCHOLIVM.

QVOD $i B, latus quadrati foret maius $emi$$e di- midij ambitus rectilinei A, hoc e$t, maius recta CD, non po$$et C D, ita $ecari, vt B, e$$et medio loco pro- portionalis inter $egmenta, vt liquidò con$tat.

IAM verò $i $umatur punctum H, inter C, & E, vtcunque; erit rectangulum $ub D H, H C, adhuc i$operimetrum figuræ A, $ed tamen minus. Si verò ac- cipiatur punctum I, vtcunque inter E, & L, punctum medium rectæ _C_ D; erit adhuc rectangulum $ub D I, I _C_, figuræ A, i$operimetrum, maius tamen. Sic et- iam quadratum $emi$sis D L, erit i$o perimetrum ei- dem figuræ & maius; quæ omnia demon$trabun- tur, vt in $cholio præcedentis problematis dictum e$t.

APPENDIX.

De circulo per lineas quadrando.

1. LOCVS hic me admonet, vt quoniam hoc libro demon$tratum e$t, cir- culum figurarum omnium $ibi i$operimetrarum e$$e maximum, breuiter do- ceam, quaratione dato circulo quadratum con$trui po$sit æquale, & vici$sim dato quadrato circulus æqualis; atqueid per lineas: cum l<007>b. 4. cap 7. copiosè _Quo pacto re-_ _periatur per_ _numeros qua-_ _dratum cir-_ _culo æquale,_ _& contra ex_ _doctrina Ar-_ _chimed{is}._ traditum $it, quo pacto ex inuentis ab Archimede, per numeros circulus qua- drandus $it, hoc e$t, qua ratione area circuli, $iue capacitas tum ex diametro, tum ex circumferentia cognita $it inuenienda: Huius enim areæ radix quadrata, la- tus e$t quadrati, quod circulo æquale e$t. Sic è contrario cap. 8. eiu$dem lib. re- gula 1. Num. 1. docuimus qua via ex data circuli area indaganda $it tam circum- ferentia, quam diameter illius circuli: hoc e$t, propo$ito quadrato, in$tar areæ circuli alicuius, quomodo circulus de$cribendus $it illi quadrato æqualis. In- [348]GEOMETR. PRACT. uenta enim diametro per prædictamregulam 1. Num. 1. cap. 8. lib. 7. circulus il- lius diametri erit is, qui quæritur. Vi$um e$t autem appendicem hanc libro huic $eptimo adiungere, quod tractatio de circuli Tetragoni$mo, $iue quadratura, non parum affinis $it de i$operimetris figuris di$putationi.

QVADRATVRA autem circuli per numeros, quam Arabes tradiderunt, & _Circuli qua-_ _dratura per_ _numeros $e-_ _cundum Ara-_ _b{es} fal$a_. quam Io$ephus Scaliger in $uis Cyclometricis elementis veram e$$e credit, o- mnino reiici\~eda e$t, cum $it extra limites Archimedis, per quos con$tat, propor- tionem circumferentiæ ad diametrum minorem debere e$$e tripla $e$qui$epti- ma, maiorem verò tripla $uperdecuparti\~ete $eptuage$imas primas. quod in nu- meris Arabum non cernitur. Dicunt enim proportion\~e circumferentiæ ad dia- metrum e$$e potentia decuplam: adeò vt $i quadratum circumferentiæ pona- tur 10. quadratum diametrum $it 1. quod fal$um e$t. Nam cum radix quadrata numeri 10. $it maior quam 3 {1/7}. quod huius radicis quadratum $it tantum 9 {43/49}. Radix autem vnitatis $it 1. e$$et maior proportio circumferentiæ ad diametrum, quam tripla $e$qui$eptima: cum tamen $ecundum Archimedem $it minor. Item quia po$ita diametro 7. circumferentia minor e$t, quam 22. ex Archimede; erit quadratum circumferentiæ minus, quam 484. quod ad 49. quadratum dia metri minorem proportionem habet, quam decuplam; quippe cum 490. ad 49. proportionem habeant decuplam. Minor igitur e$t proportio quadrati cir- cumferentiæ ad qua dratum diametri, quam decupla.

SIMILI modo reiicienda e$t ratio quadrandi circuli per numeros Alberti _Quadr atura_ _circuli per nu_ _meros ex Al-_ _berto Durero_ _fal$a_. Dureri, qui exi$timat, d<007>ui$a diametro circuliin octo partes æquales, diametrum quadrati circulo æqualis e$$e 10. adeò vt diameter quadrari circulo æqualis ad diametrum circuli proportionem habeat, quam 10. ad 8. quod etiam fal$um e$t. Nam cum quadratum diametri 10. $it 100. duplumque quadrati, cuius diame- ter e$t 10. & quod circulo diametri 8. dicitur æquale: erit quadratum circulo æ- _$chol. 47,_ _primi_. quale 50. Sed ex diametro 8. reperitur area c<007>rculi maior, quam vera, 50 {2/7}. vt cap. 7. lib. 4. Num. 4. tradidimus. Vera ergo circuli area maior erit, quam 50 {2/7}. atque adeò multò maior, quam 50. E$t <007>gitur quadratum Alberti minus area circuli, non autem æquale.

2. IAM verò, vt ad quadraturam circuli per lineas aggrediamur, pudet me _Fal$a qua-_ _dratura cir-_ _culi per line{as}_ _Campano a-_ _$cripta_. refellere illam, quæ imperitis vera e$$e videtur, & quam $ciolus, ne$cio quis, Campano Mathematico non indo cto affinxit, typi$que mandauit. E$t autem talis. Linea recta circumferentiæ circuli æqualis (quo pacto autem eiu$mo di linea inueniatur, non docet) $ecetur in 4. partes æquales, ex quibus quadratum con$tituatur. quod $ciolus ille circulo dicit e$$e æquale. quæ res omnin ò Geo- metraindigna e$t, & planè ridicula. Si enim quadratum illud circulo e$t I$ope- rimetrum; c<007>rculus autem omnium figurarum rectilinearum $ibi i$o perime- _13. hui{us}_. _Quadratura_ _Hyppocrat{is}_ _Chii_. trarum capaci$simus e$t, quis non videt, quadratum illud circulo minus e$$e?

3. DE Tetragoni$mo etiam Hippo cratis Chij nihil dicerem, ni$i in eius de- mon$trationè acumen ingenij lateret, quamuis metam propo$itam non attin- gat. Ita enim progreditur. Sit quadrandus circulus AFBE, cuius diameter AB, _9. quinti_. ex qua de$cribatur quadratum ABCD, circa quod circulus de$cribatur AB- _31. tertii_. CD, cuius diameter BD, datum circulum AFBE, $ecet in E. Ducta ergo recta AE, _$chol. 26._ _pr<007>mi_. erit angulus AEB, in $emicirculo rectus, ideoque perpendicular<007>s AE, diui- det ba$em B D, trianguli I$o$celis ABD, bifariam: ac proinde E, centrum erit _$chol. 27._ _primi_. circuli ABCD. Et quia quadratum diametri BD, duplum e$t quadrati diame- [349]LIBER SEPTIMVS. tri AB; e$t que vt quadratum BD, ad quadratum AB, ita circulus ABCD, ad _2. duodec_. circulum AFBE: erit quo que circulus circuli duplus; & $emicirculus BAD, $emicirculi AFB; ideo que $emi$sis $emicir culi BAD: id e$t, quadrãs ABE, (e$t enim ABE, quadrans, ob angulum rectum in centro E,) $emicirculo AFB, æqua- lis. Dempto igitur communi $egmento AGB, reliquum triangulum AFB, reli- quæ Lunulæ A F B G A, æquale erit: ac proinde $i triangulo fiat quadratum æ- quale erit idem hoc quadratum Lunulæ AFBGA, æquale. Atque ita quadrata e$t Lunula AFBGA.

DEINDE $itrecta HI, diametri AB, dupla, circa quam $emicirculo de$cripto, aptentur in eo tresrectæ $emidiametro huius circuli, hoc e$t, diametro A B, æ- quales HK, KL, LI, continentes $emi$$em hexagoni: cum latus hexagoni $it _coroll. 15._ _quarti_. $emidiametro æquale. De$criptis autem circa illas tres rectas $emicirculis HMK, KOL, LQI, qui $emicirculo AFB, æquales $unt, propter diametros æquales; quoniam quadratum rectæ HI, quadrati rectæ HK, quadruplum e$t. quod la- _$chol. 4. $e-_ _cundi_. tus lateris $it duplum: erit quo que circulus diametri H I, circuli diametri HK, quadruplus, & $emicirculus HKLI, $emicirculis HMK, KOL, LQI, AFB, æ- _2. duodec_. qualis erit: dempti$que $egmentis communibus HNK, KPL, LRI, reliquum trapezium HKLI, æquale erit tribus Lunulis HNKM, KPLO, LRIQ, vna cum $emicirculo AFB. Si igitur tres illæ Lunulæ quadrentur, vt traditum e$t, & tri- bus illis quadratis auferatur ex trapezio rectilineum æquale, hoc e$t, inqui- _$chol. 45._ _primi_. ratur exce$$us trapezii $uper tria illa quadrata; erit exce$$us hic rectilinea figura $emicirculo AFB, æqualis. Si igitur huic figuræ quadratum fiat æquale, erit _14. $ecundi_. idem hoc quadratum $emicirculo A F B, æquale, & quadratum ex illius qua- drati diametro de$criptum toti circulo AFBE, æquale. quod tam quadratum _$chol. 45._ _primi_. quadrati duplum $it, quam circulus $emicirculi. Quadratus ergo circulus e$t.

HÆC e$t quadratura Hyppocratis, acuta quidem, quod Lunulam AGBF, _Fallacia qua-_ _draturæ Hip-_ _pocrat{is}._ verè quadrauerit, vitio $a autem, quod tres Lunulas HNKM, KPLO, LRIQ, quadratas à $e e$$e arbitratur, quod verum non e$t. Solum enim ex eius demon- $tratione Lunula ea quadratur, cuius inferior peripheria e$t quarta pars peri- pheriæ alicuius circuli, $uperior autem $emicirculus alterius circuli, qualis fuit Lunula AGBF. Nam _A_GB, quarta pars e$t circumferentiæ _A_BCD, & _A_FB, $e- mi$sis peripheriæ _A_FBE. _A_t eiu$modi non $unttres aliæ Lunulæ, quippe cum earum peripheriæ inferiores HNK, KPL, LRI, $int $extæ partes totius circumfe- _Quid de$ide-_ _retur in Hip-_ _pocrat{is} qua-_ _dratura_. rentiæ, quamuis peripheriæ $uperiores $int $emicirculi, vt in illa: quæ nondum $unt quadratæ. Quod $i inuenta e$$et ars quadran di huiu$modi Lunulas, veri$- $imè quo que quadraretur circulus, $ine inuentione lineæ rectæ circuli periphe- riæ æqualis. quæ $anè res foret præclara.

[350]GEOMETR. PRACT.

COLLIGITVR ergo ex hac ratione Hippocratis, quadraturam circuli e$$e po$sibilem, cum $icut Lunula A G B F, quadrata e$t, ita quo que Lunulam HNKM, quadrari po$$e, nihil ob$tet, quamuis adhuc non $it à quo quam qua- drata. Et certè, vt quidam rectè affirmat, quod hic o$tenditur ab Hippocrate de Lunula AGBF, quæ pars e$t circuli AFBE, nihil idem prohibet de circulo to- to $ciri po$$e, etiam non inue$tigata quantitate peripheriæ circuli, cum $olum de$it ars quadrandi Lunulam HNKM. Immo plus aliquando dubitationis in- ferretinuentio quadraturæ Lunulæ AGBF, non cognita, quam circuli.

4. MVLTA quoque hic dicenda e$$ent de fal$is aliorum quadraturis, $ed _Cur defal$is_ _aliorum qua-_ _dratur{is} hic_ _nihil dicatur_. quia hæ vel $e ip$as produnt, cum in progre$$u earum facilè appareat, aliquid dee$$e ad con$tituendum circulo æquale quadratum, cuiu$mo di e$t quadratura Iacobi Falconis Equitis Hi$pani, qui $ine inu\~etione lineæ rectæ, quæ peripheriæ $it æqualis, circulum quadrare conatur: vel ab aliis iam dudum $unt confuta- tæ, nimirum Nicolai Cu$ani Cardinalis quadratura à Ioanne Regiomontano, ac Ioanne Buteone, & Orontij Finaei Tetragoni$mus tum ab eodem Buteone, tum à Petro Nonio Lu$itano in libello de Erratis Orontij: quorum vterque variis viis lineam rectam circumferentiæ æqualem $einueni$$e putauit, nihil o- mniò dicendum mihi e$$e $tatuo, ne fru$tra tempus terere inutiliter videar. Quamobrem $olum hoc loco eam quadraturam $ubiiciam, & plenius aliquan- to exponam, quam ad finem libr. 6. Euclid. con$crip$i, quæ videlicet per li- _Quæ nõ qua-_ _dratura per_ _line{as} hic ex-_ _plicetur_. neam Quadratricem ($ic enim eam appellare lubet, lineam rectam inuenit cir- culari æqualem. Hæc enim via licet ad Geometricè inueniendum punctum quoddam, nonnihil in ea de$ideretur, accuratior tamen e$t omnibus aliis, quas hactenus videre potui; <007>ta vt practicè à $copo aberrare non po$simus. Vt au- tem clarè atque ordinatè procedam, ab$oluam totum negotium paucis quibu$- dam propo$itionibus.

I. QVADRA TRICEM lineam de$cribere.

DINOSTRATVS, & Nicomedes, vt auctor e$t Pappus Alexandrinus in 4. libr. Mathematicarum collectionum, lineam quandam inflexam excogita- runt ad circuli quadraturam, ideo que ab officio {τε}{τρ}α{γο}νίζ{ου}{σα} ab ii$dem e$t ap- pellata; à nobis verò eadem de cau$a quadratrix dicetur. Quanquam autem prædicti auctores conentur huiu$modi lineam de$cribere per duos motus ima- ginarios duarum rectarum $e$e inter$ecantium, qua in re principium (vt philo- $ophilo quuntur) petunt, vt propterea à Pappo reiiciatur, tanquam inutilis, & quæ de$cribi non po$sit: nostamen eam $ineillis motibus Geometricè delinea- bimus per inuentionem quotuis punctorum, per quæ duci debeat; quemadmo- dum in de$criptionibus conicarum $ectionum fieri $olet.

5. SIT ergo in quadrato ABCD, de$criptus Quadrans BD. Si igitur, vt vo- _Quadratric{is}_ _de$criptio_. lunt inuentores lineæ Quadratricis, tam $emidiameter A D, æquabiliter ferri in- telligatur circa centrum A, quam latus quadrati $upremum _C_D, deor$um ver$us æquabiliter quo que: ita vt quo tempore punctum D, circumferentiam DB, vni- formi $emper motu percurrit, eodemrecta D_C_, vniformi etiam motu de$cendens adlatus AB, perueniat, $ic tamen, vt perpetuo $it lateri AB, parallela. & cumlate- [351]LIBER SEPTIMVS. ribus AD, BC, angulos rectos effi ciat, $ecabunt $e mutuò continuè $emidiame- ter in circumferentia D B, circumacta, & recta D C, deor$um lata, in punctis, quæ lineam Quadratricem de$cribent: hoc e$t, per quæ linea Quadratrix tran$ibit, cuiu$modi e$t linea inflexa DE. Sed quia duo i$ti motus vniformes, quorum vnus per circumferentiam D B, fit, & alter per lineas rectas D A, C B, effici non po$$unt, ni$i proportio habeatur cir- cularis lineæ ad rectam, meritò à Pappo de$cri- ptio hæc repræhenditur: quippe cum ignota adhuc $it ea proportio, & quæ per hanc lineam inue$tiganda proponatur. Quare nos Geome- tricè eandem lineam Quadratricem de$cribe- mus hoc modo. Arcus B D, in quotuis partes æquales diuidatur, & latus vtrumque AD, BC, in totidem æquales partes. Facillima diui$io erit, $i & arcus D B, & vtrumque latus AD, BC, $ecetur primum bifariam, deinde vtraque $e- mi$sis iterum bifariam, atq; ita deinceps, quan- tum libuerit. Quo autem plures extiterint diui$iones, eo accuratius Quadratrix linea de$cribetur. Nos ad confu$ionem vitandam $ecuimus tam arcum D B, quam duo latera AD, BC, in octo tantum partes æquales.

DEINDE bina puncta laterum AD, BC, æqualiter di$tantia à latere DC, vel AB, coniungantur lineis rectis occultis, atque ex centro A, aliæ rectæ occultæ ad $ingula diui$ionũ puncta Quadrantis DB, extendantur. Vbi enim hærectæ prio- res rectas inter$ecabunt, prima primam, $ecunda $ecundam, &c. perea puncta Quadratrix linea congruenter ducenda e$t, ita vtnon $it $inuo$a, $ed æquabili- liter $emper progrediatur nullum effi ciens gibbum, autangulum alicubi: qua- lis e$t linea inflexa D E, $ecans $emidiametrum AB, in E.

6. SED quia punctum E, in latere A B, inuenire Geometricè non pote$t, cum ibi omnis $ectio rectarum ce$$et: vt illud $ine notabili errore, qui$cilicet $ub $en$um cadat, reperiamus: vtemur hoc artificio: Infimam partem A F, la- teris AD, $i $atis exigua non $it, $ecabimus bifariam continuè, donec infima par- ticula $it perexigua: Eodemque modo infimam partem B I, arcus D B, bifariam continuè $ecabimus, donectot fiant $ub diui$iones, quot in parte A F, factæ $unt, vt particula B K, talis pars $it totius arcus D B, qualis pars e$t A G, totius lateris AD. Particulæ deinde A G, æquales ab$cindemus BL, BN, AM, ducemu$que rectas occultas GL, MN. Ducta verò ex A, centro recta occulta AK, quæ $ecet GL, in H, puncto, quod accurati$simè notetur (adhibito videlicet Lemmate Probl. 1. lib. 2. vt concur$us H, quam ex qui$iti$simè reperiatur) $umemus ip$i GH, æqualem M P. Si enim Quadratricem v$que ad H, de$criptam continua- bimus æquabili, atque vniformi exten$ione v$q; ad P, $ecabit Quadratrix li- nea latus AB, in E, puncto, quod quæritur. Nam propter paruam rectarum GH, A E, M P, inter $e di$tantiam efficitur, vt fermè $int æquales, licet Geometri- cèloquendo recta A E, $emper maior $it aliquanto, quantumuis parum eæ re- ctæ inter $e di$tent: $ed exce$lus ille circino deprehendi non pote$t: adeò vt arcus circuli ex A, per H, P, de$criptus verum punctum E, quod ad $en$um at- tinet, indicare videatur. Id quod etiam in circumferentia circuli contingit. [352]GEOMETR. PRACT. Rectæ namque GL, AB, MN, $i parum inter $e di$tent, in circulo omnino æqua- les iudicabuntur, quamuis verè AB, aliquanto maior $it. Itaque $i res illæ rectæ GH, AE, MP, perexiguam habeant di$tantiam inter $e, dubitari non pote$t, pun- ctum E, in quo quadratrix linea $emidiametrum AB, $ecat, ab eo, quod verè in Quadratriceibi exi$tit, non differre notabiliter: dummodo puncta H, P, exqui- $itè & $umma adhibita diligentia, inuenta $int.

RECTAM porrò AD, vocamus latus Quadratricis: & rectam AE, eiu$dem _Lat{us} ba$is &_ _@entrũ Qua-_ _dratric{is}._ ba$em: ac denique punctum A, centrum eiu$dem.

7. VERVM puncta Quadratricis prope ba$em certius inueniemus ($ine in- ter$ectionibus linearum, quæ ibi valdè obliquæ $unt) per lineas perpendicula- res: hocmodo. Ducta chorda Quadrantis B Q, $ecetur in D, bifariam. quod fiet, $i ex A, ad C, punctum medium Quadrantis recta ducatur. Hæc enim re- _$chol. 27._ _tertii._ ctam BQ, $ecabit bifariam. Deinde rectæ AD, $umatur æqualis AE; iuncta que recta D E, $ecetur bifariam in F. quod etiam fiet, $i ex A, ad I, punctum medium _$chol. 27._ _tertii._ arcus B C, ducatur AI. Hæc enim chordam B C, ($i duceretur) $ecaret bifariam: ac proinde & _$chol. 4. $e-_ _xti._ rectam DE, quæ chordæ BC, e$t parallela: pro- pterea quod latera A B, A C, in triangulo A B C, _2. $exti._ proportionaliter $ecantur, in D, E: quippe cum tam AB, AC, quam AE, AD, æquales $int. Rur$us rectæ AF, capiatur æqualis AG, iunctaque FG, $e- cetur bifariam in H. quod etiam fiet per rectam AK, ductam ad K, punctum medium arcus BI. At- que hoc modo, $i rectæ A H, æqualis accipiatur, & reliqua fiant, vt prius, inuenietur aliud punctum inter H, & G. Et $ic deinceps quotuis alia puncta reperiemus viciniora ip$i A B, per lineas perpendiculares, non autem per obliquas $ectiones, vt in prio- _3. tertii._ rifigura. E$t enim A D, ad D B, perpendicularis, & A F, ad DE, & DH, ad _$chol. 26._ _primi._ FG, &c.

OMNIA verò hæc puncta inuenta D, F, H, &c. e$$e in Quadratrice, ita o$ten- _2. $exti._ do. Ductis DL, FM, NH, ip$i AB, parallelis $ecantibus BD, in O, P; erit vt BD, ad D Q, ita AL, ad L Q, ideoque & A Q, $ectaerit in L, bifariam. Sectus autem e$t & arcus B Q, in bifariam. Igitur, vt o$ten$um e$t, punctum D, e$t in Qua- _2. $exti._ dratrice. Rur$us quia D E, $ecta e$t bifariam in F, erit quoque DB, $ecta bifa- _2. $exti._ riam in O, ideoque erit vt EF, ad FD, ita BO, ad OD. Sed vt BO, ad OD; ita e$t AM, ad ML, & vt EF, ad FD, ita arcus BI, ad IC. Ergo vt o$ten dimus, $eca- bunt $e$e AI, MO, in puncto Quadratricis. Eademque ratio e$t de al<007>is punctis hac arte inuentis.

8. ESSE porrò lineam hanc inflexam DE, à nobis Geometricè de$criptam, eandem, quam Dino$tratus, & Nicomedes per duos illos motus imaginarios de$cribi concipiebant, per$picuũ e$t. Nam $i $emidiameter A D, in priori figura circa centrum A, per arcum D B, eodem tempore moueatur motu vniformi, quo latus DC, deor$um fertur motu quo que vniformi: fit vt quando $emidia- meter AD, pertran$iuit quamcunque partem arcus DB, tunc latus DC, $imilem partem laterum DA, CB, percurrerit. Alias aut duo illi motus non e$$ent vni- formes, aut non eodem tempore ad latus A _B_, tam $emidiameter AD, quam la- [353]LIBER SEPTIMVS. tus DC perueniret. Cum ergo rectæ ex centro A, per partes arcus DB, emi$$æ, & lineæ parallelæ per partes laterum D A, C B, ductæ ab$cindant $emper ex arcu DB, & ex lateribus DA, CB, partes $imiles, ex con$tructione: liquidò con$tat, puncta lineæ inflexæ DE, à nobis Geometricè inuenta, à punctis, quæ à duobus illis motibus reperirentur non differre.

HÆC igitur e$t de$criptio lineæ Quadratricis Geometrica quo dammodo, quemadmo dum & conicarum $ectionum de$criptiones, quæ per puncta et- iam fiunt, vt ab Apollonio traditur, Geometricæ dicuntur, cum tamen errori magis $int obnoxiæ, quam no$tra de$criptio, propterinuentionem plurimarum linearum mediarum proportionalium, quæ ad earum de$criptiones $unt nece$- $ariæ, quibus in Quadratricis de$criptione opus non e$t. Quare ni$i quis to- tam conicarum $ectionum do ctrinam, quam tanto ingenij acumine Appollo- nius Pergaeus per$ecutus e$t, vt propterea Magnus Geometra appellatus $it, reiicere velit, tan quam inutilem, & non Geometricam, (quod neminem in Geo- metria peritum facturum exi$timo, cum $ectiones conicas ad demon$trationes adhibuerint præ$tanti$simi Geometræ. Nam Menechmus Hyperbola, ac Pa- rabola v$us e$t in duarum linearum mediarum prop ortionalium inter qua$uis duas rectas inuent<007>one; Et Archimedes ip$e multa præclarè de ii$dem $ectioni- bus conicis demon$trauit: ac denique eiu$modi $ectiones in$ignem v$um ha- b\~et in re Gnomonica, vt ex no$tra Gnomonica apparet) admittere omninò co- getur, hanc de$criptionem no$tram Quadratricis lineæ e$$e quodammodo Geo- metricam. Adde quod linea conchilis, qua Nicomedes duas medias lineas proportionales acuti$simè inue$tigat, per puncta etiam de$cribitur, vt lib. 6. pro- po$. 15. diximus.

HABET linea hæc quadratrix multas, & in$ignes vtilitates, quarum nonnul- las ad finem lib. 6. Euclid. demon$trauimus, quas hoc loco repetere $uperuaca- neum e$t. Solum igitur eius v$um in quadrandis circulis hic exponemus. Qua in re indigemus tantummodo vltimo puncto E, in priori figura, etiam$i nullum aliud Quadratricis punctum inuentum e$$et. quod quidem vltimum punctum licet Geometricè, ac præcisè non reperiatur: tamen $i artificium po$terioris fi- guræ adhibeatur, non aberrabimus à vero puncto notabiliter, vt $upra diximus. Quando namque deprehen$um fuerit, vltimam perpendicularem A H, æqua- lem e$$e præcedenti vltimæ lineæ translatæ A G, ita vt nulla differentia inter illas per circinum di$cernatur: $umi poterit citra errorem notabilem vltimum illud punctum G, pro puncto extremo Quadratricis: Sin minus, ducendæ erunt aliæ perpendiculares eo artificio, quo AF, AH, ductæ $unt, donecinter vltimam, & po$tremo loco inuentam rectam in $emidiametro AB, nullum appareat di$cri- men. cuius quidem rei operatio ip$a optimus erit magi$ter.

COROLLARIVM.

9. Ex de$criptione Quadratricis colligitur, $i ex centro A, ducatur recta vt- cunque A Q, $ecans arcum Quadrantis in Q, & Quadratricem in O; ita e$$e arcum BD, ad arcum B Q, vt e$t $emidiameter A D, ad rectam A R, ducta prius O R, <007>p$i A B, parallela: ac proinde & ad rectam, quæ ex O, ad A B, demit- titur perpendicularis. Quia enim eadem pars e$t arcus D Q, totius arcus DB, qu{ae} _34. primi._ [354]GEOMETR. PRACT. pars e$t recta DR, totius $emidiametri DA, quippe cum in de$criptione Quadra- tricis arcus D Q, totius arcus DB, tot particulas complectatur, quot partes re- cta DR, totius DA, continet: quando quidem rectæ A Q, R O, $e$e inter$ecant in O, puncto Quadratricis. Neque hæc $imilitudo impedi- tur, etiam$i tam arcus DQ, toti arcui DB, quã recta D R, totilateri D A, $it incommen$ura- bilis, cum perpetuò Quadratrix eadem vni- formitate progrediatur per omnia $ua puncta. Si enim recta DR, non e$t talis pars, $iue com- men$urabilis, $iue incommen$urabilis totius lateris D A, qualis pars e$t arcus D Q, totius arcus DB; $i cogitetur pars lateris D A, minor quam DR, vel maior, $ecabit parallela ex eius puncto exrremo ducta rectam A Q, vel $upra O, velinfra, in puncto, per quod Quadratrix de$cribenda e$t: ac proinde ea nõ tran$ibit per O, quod e$t ab$urdũ, & contra hypothe$im. Quia inquam ead\~e pars e$t arcus D Q, totius arcus DB, _19. quinti._ quæ pars e$t recta DR, totius lateris DA; erit quoque reliquus arcus QB, ea- dem pars totius arcus D B, quæ pars e$t reliqua recta R A, totius lateris D A, quod eadem $it proportio totius D B, ad D Q, quæ totius D A, ad DR: Et per- mutando eadem totius DB, ad totam D A, quæ ablati arcus D Q, ad ablatam rectam D R. Quocirca erit, vt totus arcus D B, ad arcum Q B, ita totum latus D A, ad rectam R A, hoc e$t, ad rectam perpendicularem ex O, ad AB, demi$- $am, quæ ip$i R A, æqualis e$t.

_34. primi._ II.

SI Quadrantis, & Quadratricis idem centrum $it; erunt arcus Qua- drantis, $emidiameter, & ba$is quadratricis continué proportionales.

HÆC e$t eximia, atque in$ignis proprietas Quadratricis. Sit Quadrans, & Quadratrix ex eo de$cripta, vt $upra. Dico arcum BD, $emidiametrum AD, & Quadratricis ba$em A E, continuè e$$e proportionales, hoc e$t, e$$e B D, ad AD, vt AD, ad AE. Sin minus, $it vt BD, ad AD, ita AD, ad AF, maiorem ip$a AE, minoremue: $itque primum AF, maior, quam AE. De$cripto ex centro A, Quadrante FG, per F, $ecante Quadratricem in H, ducatur per H, $emidiameter [355]LIBER SEPTIMVS. AHK, demittaturque perpendicularis HI. Quoniam igitur ponitur arcus BD, ad rectam AD, vt AD, hoc e$t, vt A B, ad AF; e$t que vt A B, $emidiameter ad $e- midiametrum A F, ita arcus B D, ad arcum F G; (Cum enim $it, vt lib. 4. capit. 7. propo$. 1. demon$trauimus, diameter ad diametrum, vt circumferentia ad circũ- _15. quinti._ ferentiam; erit quo que $emidiameter AB, ad $emidiametrum AF, vt eadem cir- _15. quinti._ cumferentia ad eandem circumferentiam: ac proinde etiam, vt quarta pars circumferentiæ ad quartam partem circumferentiæ, hoc e$t, vt arcus BD, ad ar- _11. quinti._ cum F G.) Erit quoque arcus B D, ad rectam A D, vtidem arcus B D, ad arcum _9. quinti._ F G; ac proptera æquales erunt recta A D, & arcus F G. Quia verò ex præce- denti coroll. e$t, vt arcus B D, ad arcum BK, ita recta AD, ad rectam HI, & vt ar- _$chol. 33._ _$exti._ cus BD, ad arcum BK, ita e$t arcus FG, ad arcum FH, quod arcus B D, B K, ar- cubus FG, FH, $imiles $int; erit quoque recta AD, ad rectam HI, vt arcus F G, _11. quinti._ ad arcum FH. Cum ergo o$ten$a $it recta A D, arcui F G, æqualis: erit quo- _14. quinti._ que recta HI, arcui F H, {ae}qualis quod e$t ab$urdum. E$t enim recta H I, minor _3. tertij._ arcu F H, cum ea $it $emi$sis chordæ $ubten dentis arcum duplum arcus F H: _$chol. 27._ _tertij._ (Nam recta A F, $ecat eam chordam bifariam; ac proinde & arcum) chorda autem $emper $uo arcu minor $it. Non ergo e$t arcus B D, ad $emidiametrum AD, vt AD, ad rectam maiorem ba$e AE, Quadratricis.

SIT deinde, $i fieri pote$t, vt arcus BD, ad AD, ita A D, ad A I, min orem ba$e AE. De$cripto igitur ex centro A, per I, Quadrante IL, erigatur ex I, ad AE, per- pendicularis I H, $ecans Quadratricem in H, puncto, per quod $emidia- meter ducatur AK, $ecans arcum IL, in M. O$tendemus ergo, vt prius, arcum IL, rectæ AD, æqualem e$$e. Item ita e$$e arcum BD, ad arcum BK, hoc e$t, arcum I L, ad arcum I M, vt e$t recta A D; ad rectam H I. Quare cum arcus _14. quinti._ IL, o$ten$us $it æqualis rectæ A D, erit quoq; arcus I M, æqualis rectæ HI. quod _2. coroll. 36._ _tertij._ e$t ab$urdum. E$t enimrecta H I, maior arcu I M. Nam $i ex H, duceretur ver- $us G, alia recta tangens circulum IL, $icut H I, eund\~e tangit in I, e$$ent h{ae} duæ _$chol. 27._ _tertij._ tangentes æquales, arcu$q; inter eas interceptus $ecaretur bifariam in M, pro- pterea quod angulus ab eis comprehen$us bifariam diuideretur à recta AH, ac _4. vel 8._ _primi._ proinde & angulus in centro A, $i ad alterum punctum conta ctus recta adiun- geretur: ideoque arcus, quibus in$i$tunt, æquales forent. Igitur cum, vt lib. _26. tertij._ 8. propo$. 1. probabimus cum Archimede, duæ illætangentes $imul maiores $int arcu ab eis comprehen$o, erit & earum $emi$sis HI, maior $emi$$e IM, illius arcus. Non e$t ergo arcus BD, ad $emidiametrum AD, vt AD, ad rectam minor\~e ba$e AE, Quadratricis; Sed neque vt AD, ad maiorem, $icut o$ten$um e$t. Igitur vt AD, ad ip$am ba$em AE. quod demon$trandum erat.

COROLLARIVM I. _Rectam cir-_ _cunferentiæ_ _circuli æqua-_ _lem reperire._

HINC facilè rectam reperiemus arcui Quadrantis, ex quo Quadratrix de$cripta e$t, ac proinde & $emicircumferentiæ, immo & toti circũ- ferentiæ æqualem.

QVONIAM e$t arcus B D, ad $emidiametrum A D, vt A D, ad ba- $em Quadratricis A E; erit conuertendo quoque A E, ad A D, vt A D, ad _11. quinti._ arcum B D. Si igitur duabus rectis A E, A D, inueniatur tertia proportionalis; erit AD, ad eam tertiam, vt ad arcum BD, cum vtraq; proportio $it eadem, quæ [356]GEOMETR. PRACT. AE. Quare tertia illa proportionalis arcui Quadrantis B D, æqualis erit: Et $i _9. quinti_. duplicetur, fiet recta æqualis $emicircumferentiæ eiu$dem circuli: Si verò qua- druplicetur, fiet recta toti circumferentiæ æqualis.

COROLLARIVM II.

SEQVITVR quoque exhis, $i ba$is Quadratricis AE, $tatuatur $emi- diameter alicuius circuli, eius latus A D, quartæ parti circumferenti{ae} illius circuli e$$e æquale: Et lineam lateris A D, duplam æqualem e$$e $emicircumferentiæ eiu$dem circuli: Et lineam quadruplam lateris toti circumferentiæ e$$e æqualem.

CVM enim, vt lib. 4. cap. 7. propo$. 1. o$tendimus, diametri circulorum cir- cumferentijs $int proportionales, erunt quo que $emidiametri $emicircumfe- _15. quinti_. rentijs, & quadrantibus proportionales. Igitur erit, vt A D, ad A E, hoc e$t, vt $upradicta tertia proportionalis ad AD, ita Quadrans BD, $emidiametri AD, ad Quadrantem $emidiametri A E. Cum ergo tertia illa proportionalis æqualis $it _14. quinti_. o$ten$a Quadranti BD; erit quo que recta A D, quadranti $emidiametri A E, æ- qualis. Dupla ergo linea ip$ius AD, $emicircumferentiæ circuli, cuius $emidia- meter AE; & quadrupla toti circumferentiæ erit {ae}qualis.

COROLLARIVM III.

EX his quoque infertur, $i duæ rect{ae} N, O, in præcedenti figura eandem proportionem habeant, quam AD, AE, minor autem O, $tatuatur $e- midiameter circuli alicuius, maiorem N, æqualem e$$e arcui Quadrã- tis illius circuli.

CVM enim $it AD, ad AE, vt N, ad O; erit permutando AD, ad N, vt AE, ad O. Vt autem AE, ad O, ita e$t Quadrans $emidiametri A E, ad Quadrantem $e- midiametri O, vt lib. 4. cap. 7. propo$. 1. demon$trauimus. Igitur @r<007>t quoque _11. quinti_. AD, ad N, vt Quadrans $emidiametri AE, ad Quadrantem $emidiametri O. Cũ [357]LIBER SEPTIMVS. ergo AD, æqualis $it o$ten$a Quadranti $emidiametri AE; erit quoqe N, æqua- _14. quinti_. lis Quadranti $emidiametri O. quod e$t propo$itum.

III.

DATO circulo quadratum æquale con$tituere.

SIT quadrandus circulus ad interuallum $emidiametri B C, de$criptus. Tri- _Quadratum_ _circulo æqua-_ _le exh<007>bere_. bus rectis A E, ba$i Quadratricis; A D, lateri eiu$dem pr{ae}cedentis figuræ, & rect{ae} BC, inuenta quarta proportionali F; erit ex coroll. 3. antecedenti recta F, quadranti circuli dati æqualis, atq; eius dupla $emicircumferentiæ æqualis erit. In- uenta autem inter $emidiametrum B C, & duplami- p$ius F, media proportionali GH: Dico quadratum ex G H, de$criptum æquale e$$e circulo ad interual- _4. I$operi-_ _metrorum_. lum B C, de$cripto. Quoniam enim rectangulum $ub B C, $emidiametro, & $ub $emicircumfer\~etia cir- culi, id e$t, $ub dupla rectæ F, inuentæ, æquale e$t cir- _17. $exti_. culo: Pr{ae}dicto autem rectangulo æquale e$t qua- dratum lateris G H; erit quoque quadratum lateris G H, circulo $emidiametri B C, æquale.

VERVM vt expedite linea recta inueniatur æqualis quartæ parti circumfe- _Facil{is} inuen-_ _tio rectæ æqu@_ _l{is} circumfe-_ _rentiæ_. rentiæ dati circuli, atque id circo & $emicircumferentiæ, vel toti circumferentiæ, con$truenda erit figura eiu$modi. Fiat angulus rectus D A E, recta que AD, {ae}qua- lis $it $emidiametro Quadrantis, ex quo Quadratrix de$cripta e$t; & AE, ba$i eiu$dem Quadratricis æqualis. Vel certe ex centro A, noua Quadratrix de$cribatur DE, cuius latus AD, & ba$is A E. Ducta namquerecta D E, con$tru- cta erit figura apti$sima ad rectam circumferen- ti{ae} dati circuli æqualem inueniendam. Si enim circuli quadrandi $emidiametro ab$cindatur æ- qualis AF, ducanturque F G, ip$i D E, parallela; erit ex coroll. 3. antecedenti A G, æqualis quartæ parti circumferentiæ dati circuli, cuius $emidiameter nimi- rum e$t AF, (quemadmodum A D, quartæ parti cir- cumferentiæ circuli $emidiametri AE, æqualis e$t, vt ex coroll. 2. præcedenti con$tat) propterea quod _4. $exti_. A F, A G, eandem habent proportionem, quam A E, AD. Eadem ratione, ductis HI, KL, MN, eidem DE, parallelis, erunt AI, AL, AN, æquales quartis parti- bus circumferentiarum circulorum ex $emidiame- tris AH, AK, AM, de$criptorum. Hæautem rectæ duplicat{ae} $emicir cumferentijs æquales erunt, & c. Atque hac arte inuenietur recta {ae}qualis quartæ parti circumferenti{ae} cuiu$uis circuli, $i eius $emidiametro ex recta A E, æqualem lineam ab$cindemus, ab eiu$que extremo rectæ DE, parallelã ducemus, &c.

[358]GEOMETR. PRACT.

VT quoque $ine vllo labore dato cuicunq; circulo quadratum æquale ex- hibeamus, vtendum erit hoc artificio. Inuento $emellatere quadrati alicui cir- _Facil{is} inuen-_ _tio quadrati_ _circulo æqua-_ _l{is}_. culo æqualis, vt paulò ante docuimus, con$truemus figuram ad quadrandos alios circulos quo $cunque accommodati$simam, hoc modo. Detur circulus A B C, diametri A C, $itque A B, media proportionalis inter $emidiametrum, & rectam $emicircumferentiæ æqualem inuentam ex præcedenti figura, ita vt quadratum rectæ AB, circulo diametri A C, $it æquale: accommodetur AB, in _1. quinti_. circulo, quæ certius applicabitur, $i fortè circinus ex A, ad interuallũ datæ AB, de$criptus nimis oblique peripheriam A B C, $ecet in B, hoc modo. Duabus rectis, nimirum diametro AC, & lateri AB, quadrati inuento reperiatur tertia {pro}- portionalis AD. Perpendicularis namque DB, cadet in punctum B, in quod la- _coroll. 8_. _$exti_. tus inuentum duci debet: propterea quod tres rectæ AC, AB, AD, $unt conti- nuè proportionales, quemadmodum recta A C, latus quadrati inuentum, & AD, continuam $eruant proportionem, ex con$tructione. Liquet autem inter AC, AD, vnam tantum po$$e e$$e mediam proportionalem. Hac figura extru- cta, dicto citius quemcunque circulum quadrabimus. Sinamque diametro da- ti circulirectam æqualem ab$cindemus A F, circa quam $emicirculus de$criba- tur, re$ecabit is ex recta AB, latus AE, cuius quadratum circulo dato e$t æqua- le. Quia enim angulus externus AEF, inter- no ABC, æqualis e$t: quod vterque in $emi- _31. tertii_. circulo rectus $it; erunt E F, B C, parallelæ; _28. primi_. ideoque triangula AEF, ABC, æquiangula. _4. $exti_. Igitur erit CA, ad AB, vt FA, ad AE; Et permu- tando CA, ad FA, vt AB, ad AE. Ideoque e- _22. $exti_. rit quoque quadratum ex AC, ad quadratum ex A F: hoc e$t, vt circulus diametri A C, ad 2. _duodec_. circulum diametri A F, vt quadratum ex A B, ad quadratum ex AE. E$t autem circulus dia- metri A C, quadrato ex A B, per con$tru ctio- nem, {ae}quale. Igitur & circulus diametri AF, _14. quinti_. quadrato ex AE, æquale erit. Ita quo que qua- dratum rectæ A G, circulo diametri A H, erit {ae}quale. Et $ic de c{ae}teris.

IAM verò quoniam lib. 4. cap. 6. propo$. _Facil{is} inuen-_ _tio quadrati-_ _circulo æqua-_ _l{is} ex Archi-_ _mede_. 3. ex Archimede demon$trauimus, quadratũ diametri ad circulum habere ferme propor- tionem, quam 14. ad 11. $i quis volet $ecundũ hanc proportionem reperire quadratum cir- culo æquale; diuidenda erit recta A C, in 14. partes æquales, & ex vndecima parte D, (ita vt AD, contineat partes 11. & DC, 3.) ex citanda perpendicularis DB, v$que ad circumferentiam circa A C, de$cri- ptam. Recta enim enim ducta A B, latus erit quadrati circulo diametri A C, æ- >_coroll. 2_. _$exti_. qualis. > Cum enim tres rectæ AC, AB, AD, $int continue proportionales; erit quadratum ex A C, ad quadratum ex A B, vt A C, ad A D, videlicet vt 14. ad 11. _coroll. 20_. _$exti_. Cum ergo etiam $it, vt diximus, quadratum diametriad circulum, vt 14. ad 11. ferme: erit quadratum ex AC, ad quadratum ex AB, vt ad circulum diametri _11. quinti_. AC. Igitur quadratum ex AB, circulo diametri A C, æquale erit. Quod $i $e- _9. quinti_. [359]LIBER SEPTIMVS. cundum varias diametros de$cribantur circuli per A, tran$euntes, ab$cindent quoq; ij circuli ex recta AB, latera quadratorum illis circulis æqualium. Habes ergo viam facilem inueniendi quadratum circulo dato æquale, $iue quadratri- cemn o$tram adhibeas, $iue demon$trata ab Archimede $equaris.

IV.

DATO quadrato circulum æqualem de$cribere.

SIT datum quadratum lateris AE, cui circulus æqualis e$t de$cribendus. In proxima figura ex recta AB, ab$cindatur recta A E, dato lateri quadrati æqualis: Et ex E, ducatur ad AB, perpendicularis E F, $ecans A C, in F. Eritque circulus diametri AF, quadrato lateris AE, æqualis, vt ex proximè demon$tratis liquet.

COROLLARIVM.

EX his, quæ demon$trata $unt, con$truemus circulum cuicunq; figuræ re- ctilineæ æqualem. Et contra cuicunque circulo figuram rectilineam æqualem con$tituemus, quæ alteri datæ figuræ rectilineæ cuicunque $imilis $it. Nam $i da- tæ figuræ rectilineæ de$cribamus quadratum æquale, & huic quadrato circu- _14. $ecundi_. lum æqualem per hanc 4. propo$. con$tituamus; erit idem hic circulus datæ fi- guræ rectilineæ æqualis.

RVRSVS $i per propo$itionem 3. dato circulo quadratum {ae}quale con$tru- amus, huic autem quadrato con$tituamus figuram rectilineam æqualem, & $i- _25. $exti_. milem alteri dat{ae} figuræ rectilineæ; erit eadem hæc figura rectilinea con$tituta, dato circulo æqualis. quod e$t propo$itum.

V.

DATÆ rectæ lineæ circumferentiam circuli reperire æqualem.

IN $ecunda figura propo$. 3. $it rectæ O, exhibenda æqualis circumferentia. Eius quartæ parti capiatur in latere Quadratricis A D, recta æqualis A I, ac per I, ip$i D E, agatur parallela I H. Eritque circumferentia circuli ex diametro A H, de$cripti æqualis dat{ae} rectæ O, propterea quod quarta pars eius circum- ferentiæ æqualis e$t rectæ AI, vt o$ten$um e$t ac proinde tota circũ- ferentia æqualis erit quadruplæ rectæ AI, hoc e$t, æqua- lis rectæ O, cuius quarta pars po$ita e$t recta AI. Datæ ergo rectæ circumfentiã æ- qualem reperim<_>9. Quod faci- endum erat.

FINIS LIBRI SEPTIMI. [360] GEOMETRIÆ PRACTICÆ LIBER OCTAVVS. Varia Theoremata, ac problemata Geometrica demon$trans.

_V_T extremam manum Geometriæ huic no$træ practicæ impona- m{us}, concludem{us} eam vari{is} nonnull{is} Theorematib{us}, at que problematib{us} Geometric{is}, tum collect{is} ex Geometr{is} ali{is}, tum proprio, vt aiunt, Marte excogitat{is}, ac demon$trat{is}. Qua in re exemplum illu$tre habem{us} in Pappo Alexandrino, qui octo totos libros con- $crip$it de Mathematic{is} collectionib{us}. Neque vero hoc præter in$titutum no- $trum exi$timare qu{is} debet: cum per eiu$modi demon$trationes Geometric{as} $tu- dio$o Lectori via multiplex aperiatur ad inue$tigand{as} $imiles $peculationes in reb{us} Geometric{is}: quippe cum in i{is} ad exercendum ingenium ampli$$imum campum habeat. E$t & alia cau$a, quæ me ad hunc librum octauum con$cri- bendum permouit, ne videlicet tot Theoremata, ac problemata non $i{ne} magno labore perue$tigata pereant, cum ad nullam Geometriæ partem mag{is} propriè pertineant, quam ad hanc Geometriam practicam: præ$ertim quod pleraque corum praxes Geometric{as} pertractent. Adde quod non pauci viri docti & gra- @es ad hunc librum per$cribendum auctores mihi, atque $ua$ores fuerunt.

THEOR. 1. PROPOS. 1.

FIGVRA regularis circulo circum$cripta maiorem ambitum habet, quam circulus.

HÆC e$t prima propo$itio Archimedis in lib. 1. de $ph{ae}ra & Cylindro: quã demon$trat, hoc a$$umpto principio.

[361]LIBER OCTAVVS.

_Si duæ lineæ in plano eo$dem habeant terminos, & in ea$dem partes cauæ $int, compre-_ _hendens comprehen$a maior e$t_. quod quidem principium e$$e verum, ex eo euid\~e- ter intelligi pote$t quod ex eo, non $olum Archimedes, verum etiam plurimi a- lij Geometræ tum veteres, tum recentiores, innumera propemodum, atque ad- miranda Theoremata, problemataque demon$trarint, quæ vt veri$sima, ab o- mnibus recepta $unt; neque vnquam ex illo ab$urdi aliquid con$ecutum e$t, aut contra id qui$quam hactenus à du obus ferme millibus annorum, noui quid commentus e$t. Hoc ergo po$ito principio, facilis e$t de- mon$tratio Archimedis. Sit namque figura regularis ABC- DEF, de$cripta circa circulũ, cuius centrũ N, tangens eũ in punctis G, H, I, K, L, M. Quoniã igitur per præmi$lum prin- cipium rectæ A G, A M, maiores $unt arcu G M: Item B G, B H, maiores arcu G H, & $ic de reliquis; erunt omnes rectæ $imul conficientes totum ambitum figuræ, maiores omni- bus arcubus $imul conficientibus totam circuli perip heriam. quod erat demon- $trandum.

SCHOLIVM.

CARDANVS in libro quinto de proportionibus propo$. 201. conatur de- mon$trare, duas rectas circulum contingentes, cuiu$mo di $unt A G, A M, maio- res e$$e arcu intercepto GM, (quod Archimedes ex $uo a$$umpto principio de- duxit (præmi$sis tribus Lemmatibus, & vno principio. quorum primum e$t hoc.

LEMMA I.

SI fuerint quatuor quantitates, & minor $it exce$$us inter primã & $ecũ- dã, quam inter tertiã & quartam; $itq; prima non minor, quam tertia, maior verò quam $ecunda, Item tertia maior quam quarta: Erit mi- nor proportio primæ ad $ecundam, quam tertiæ ad quartam.

SINT quatuor quantitates A, BC, D, EF; $itque GB, exce$$us inter primam A, & $ecundam BC, minor exce$$u H E, inter tertiam D, & quartam E F; Item prima A, non $it minor, quã tertia D: maior verò quam $ecunda B C: Ac deni- que tertia D; maior$it quam quarta E F; Dico mino- rem e$$e proportionem primæ A, ad $ecundam B C, quam tertiæ D, ad quartam E F. Cum enim A, non minor $it, <004> D: at GB, minor, <004> HE, erit maior {pro} por- _8. quinti_. tio A, ad GB, quam ad HE: E$t autem A, ($i e$t æqua- lis ip $i D,) ad H E, vt D, ad H E; vel maior e$t proportio A, ($i maior e$t, quam D,) ad HE. quam D, ad HE. Igitur maior erit proportio A, ad GB, quam D, ad H E. Si igitur fiat vt D, ad HE, ita A, ad G I, habebit quo que A, ad GB, ma- iorem proportionem, quam ad G I; ac proinde erit GI, maior quam G B; id- _10. quinti_. eo que I C, minor, quam B C. Maior ergo erit proportio A, ad I C. quam _8. quinti_. [362]GEOMETR. PRACT. ad B C. Et quoniam G C, ip$i A, æqualis, e$t ad G I, vt H F, ip$i D, æqualis, ad HE; Erit quo que per conuer$ionem rationis GC, hoc e$t, A, ad IC, vt HF, hoc e$t, vt D, ad E F. Cum ergo o$ten$um $it, maiorem e$$e proportionem A, ad IC, quam ad B C; erit quo que maior proportio D, ad E F, quam A, ad B C, hoc e$t, A, ad B C, minorem proportionem habebit, quam D, ad E F. quod e$t pro- po$itum.

LEMMA II.

SI circuli arcum duæ rectæ tangant in vno puncto coeuntes; & in eo- dem arcu aptentur quotlibet rectæ æquales diuidentes ip$um in par- tes totidem æquales. Erunt duæ illæ tangentes omnibus hi$ce chor- dis $imul maiores.

TANGANT arcum AB, duæ rectæ AK, BK, coeuntes in K, aptenturq; quot- libet rectæ in eo æquales AC, CD, DE, EF, FG, GB, diuidentes arcum in totidem partes æquales. Dico rectas AK, BK, $imul maiores e$$e omnibus illis rectis $ub- ten$is $imul. Productis enim rectis AC, BG, donec coeant in H; Item pro- ductis rectis CD, GF, donec concurrantin I, & $ic deinceps, $i plures rectæ fu- erint: Erunt rectæ DI, FI, maiores rectis _21. primi_. DE, FE. Additis ergo æqualibus DC, FG; erunt etiam rectæ C I, G I; maiores rectis _21. primi_. CD, DE, EF, FG, $imul. Sed C H, G H, maiores $unt rectis C I, G I. Igitur multo maiores erunt CH, GH, rectis C D, D E, EF, F G; additi$que æqualibus A C, B G, maiores erunt AH, B H, $imul quam A C, CD, DE, EF, FG, GB, $imul. Sunt autem _21. primi_. & AK, BK, maiores, quam AH, BH. Igi- tur multo maiores erunt A K, B K, $imul quam _A_C, CD, DE, EF, FG, GB, $imul. quod erat demon$trandum.

EEMMA III.

SI circuli arcum tres rectæ tangant in duobus punctis coeuntes, ita vt contactuum punctum medium diuidat arcum bifariam: In eodem autem arcu accommodentur quotlibet rectæ numero pares, & inter $e æquales, Erunt tres illæ tang\~etes omnib. his $imul $umptis maiores.

IN antecedente figura arcum _A_B, tangant tres rectæ _A_C, CD, DB, conueni- entes in duobus punctis C, D, $ecantes ip$um bifariam in E. _A_ccommo den- turque in eo dem arcu quotlibet rectæ æquales, & numero pares _A_F, F E, EG, GB. Dico tres _A_C, CD, DB, $imul $umptas e$$e maiores rectis _A_F, FE, EG, GB, $imul $umptis. Quoniam enim per Lemma præcedens _A_C, C E, maiores $unt, rectis _A_F, FE: Item BD, DE, maiores rectis _B_ G, G E, Erunt quo que _A_ C, C D, D _B_, $imul maiores rectis _A_F, FE, EG, G_B_, $imul. quod o$tendendum erat.

[363]LIBER OCTAVVS.

HÆC ergo $unt tria lemmata, quæ Cardanus præmittit: quibus adiungit _Principium_ _Cardani_. hoc po$tulatum, $ine principium. Cum arcus quilibet maior $it quotcunque rectis in eo $ubten$is $imul $umptis, & quo plures $ubten$æ fuerint, eo minori exce$$u arcus illas $uperet: fieri pote$t, vt tot $ubten$æ duci po$sint, ita vt ex- ce$$us, quo arcus illas $uperet, minor $it quauis recta propo$ita. Hoc princi- pium videtur e$$e manife$tum, cumtam paruus arcus po$sit accipi, vt eius chor- da illi ferè æqualis $it; adeò vt $en$us nullam percipere po$sit inter arcum, & chordam differentiam. A po$teriori tamen illud confirmari pote$t per nume- ros. Po$ita enim proportione circumferentiæ ad diametrum fermè 31415926. ad 10000000. vt lib. 4. cap. 7. Num. 5. ex probatis auctoribus retulimus, depre- hendemus, $i arcus propo$itus continuè $ecetur bifariam per rectas $ubten$as, $emper à præ cedenti exce$$u plus dimidio auferri; ac proinde tandem relin- _1. decimi_. qui exce$$um omni quantitate minorem. Nam arcus verbi gratia graduum 4. erit 698131. & eius chorda ex tabula $inuum eruta 697990. ita vt arcus chor- dam $uperet hoc numero 141. Summa deinde duarum chordarum graduum 2. erit 698096. quæ $uperatur ab eodem arcu grad. 4. numero hoc 35. qui minor e$t $emi$$e præcedentis exce$$us 141. ac proinde plus dimidio ab eo ablatum erit. Rur$us $umma quatuor chordarum gradus 1. erit 698120. quam idem ar- cus 4. graduum $uperat hoc numero 11. qui etiam minor e$t $emi$$e proximi ex- ce$$us 35. Item $umma 8. chordarum, quarum quælibet 30. minutis debetur, erit 698128. exce$$us autem inter eam, & eundem arcum 4. graduum, numerus 3. qui minor quoque e$t, quam $emi$sis proximi exce$$us 11. & $ic deinceps. Scio confirmationem hanc propo$iti principii non e$$e demon$tratiuam, cum prop ortio circumferentiæ ad diametrum colligatur ex eo, quod demon$trare conamur, nimirum figuram circulo circum$criptam habere maiorem ambitum ambitu circuli: eam tamen probabilem e$$e, nemo dubitabit, cum vix credi@- le videatur, ($i illa proportio longè à vero abe$$et) exce$$us illos paulatim ita minui, vt $emper minor numerus $emi$$e præcedentis exce$$us relin quatur; adeò vt tandem nulla ferè differentia inter arcum, & $ummam chordarum $ubten$a- rum rep eriatur.

HIS præmi$sis, tangant duæ rectæ AB, AL, arcum BCL. Dico eas e$$e ma- _Demon$tra-_ _tio Cardani_ iores arcu. Sint enim, $i fieri pote$t, non maiores, ac proinde arcus BCL, $it vel æqualis rectis AB, AL, vel maior. Secto ergo arcu bifariam in C, ducatur DCE, tangens arcum in C. Diui$is quo que ar- cubus CB, CL, bifariam in G, F, iungantur rectæ B G, G C, CF, FL. Et quia AD, AE, maiores $unt quam DE; addi- _20. primi_. tis DL, EB, communibus, quæ æquales $unt; (Namiunctis rectis NA, NB, NL, ex centro N; quoniã tria latera trianguli ABN, tribus lateribus triãguli ALN, æqualia $unt; erunt tã _8. primi_. anguli ad N, quam ad A, æquales; ideoq; arcus CB, CL, _26. tertii_. æquales erunt; ac proinde recta N A, per contactum C, _18. tertii_. tran$ibit, eritque ad DE, perpendicularis. Cum igitur duo anguli DAC, DCA, _26. primi_. duobus angulis E A C, E C A, æquales $int, & latus adiacens A C, commune; erunt latera AD, AE, æqualia: proptereaque & reliquæ DL, EB, æquales erunt, cum tangentes _A_L, AB, æquales $int) erunt A L, A B, maiores tribus L D, DE, EB. Sit ergo exce$$us H. Rur$us quia arcus BL, maior e$t rectis BG, GC, CF, FL, $it exce$$us I, qui minor $it exce$$u H. Si nam que minor non e$t, diuidemus ar- [364]GEOMETR. PRACT. cus LF, FC, CG, GB, bifariam, & hos rur$us bifariã, & c. connectemu$q; rectas, donec fiat exce$$us minor ex ce$$u H, per $uperius principium Cardani. Quo- niam igitur arcus L B, prima quantitas $uperat $ecundam, videlicet rectas L F, FC, CG, GB, $imul exce$$u I; Et tertia quantitas, nimirum $umma rectarum AL, AB, $uperat quartam, id e$t, $ummam rectarum LD, DE, EB, exce$$u H: E$t que exce$$us I, minor exce$$u H; Et prima quantitas, hoc e$t, arcus BL, ponitur non minor, quam tertia ex AB, AL, conflata; item tertia AB, AI, maior, quam quar- ta LD, DE, EB: erit per 1. Lemma, minor proportio arcus BL, primæ quantita- tis ad $ecundam LF, FC, CG, GB q@<007>am tertiæ quantitatis AL, AB, ad quartam L D, D E, E B; Et permutando minor erit proportio arcus L B, ad A L, A B, _$chol._ 27. _quinti_. $imul, quam rectarum LF, FC, CG, GB, $imul ad rectas LD, DE, EB, $imul. Sit ergo vt compo$ita ex LF, FC, CG, GB, ad compo$itam ex LD, DE, EB, ita ar- cus BK, ad rectas AL, AB, $imul: Eritque propterea minor etiam proportio ar- cus B L, ad AL, AB, $imul, quam arcus B L, ad arcum BK; ideo que arcus BK, _10. quinti_. maior erit arcu BL. Cum ergo eadem $it proportio rectarum LF, FC, CG, GB, $imul ad LD, DE, EB, $imul, quæ arcus BK, ad AL, AB, $imul: $intque per 3. Lem- ma, rectæ LF, FC, CG, GB, $imul minores, quam LD, DE, EB, $imul; erit quo- que arcus B K, minor, quam AL, AB, $imul. Multò ergo minor erit arcus BL, duabus AL, AB, $imul. Quare rectæ tangentes AL, AB, $imul maiores $unt ar- cu BL, quod erat o$tendendum.

EST autem hæc demon$tratio Cardani admirabilis, & non ab$imilis illi, qua Eucl, in propo$. 12. lib. 9. vtitur. In vtraque enim infertur conclu$io demon$tra- tione affirmatiua ex eius oppo$ito, vt patet.

ATTVLI hanc demon$trationem Cardani, non quòd verè Geometrica $it, ni$i principium illud $uum admittatur, $ed quod ingenio$a $it & acuta. Sine ta- men hac demon$tratione concedendum erit, ambitum figuræ circum$criptæ e$- $e inaiorem peripheria circuli propter demon$trationem Archimedis, cumnihil vnquam in contrarium à quo quam $it allatum, vt $upra diximus.

THEOR. 2. PROPOS. 2.

CIRCVLORVM diametri inter $e $unt, vt circumferentiæ.

HOC demon$trauimus nos in libr. 4. cap. 7. num. 3. propo$. 1. idem autem hic aliter demon$trabimus ex Pappo, hoc modo. Sint duo circuli A B C D, EFGH, quorum diametri AC, EG. Dico e$$e cir- cumferentiam ad circumferentiam, vt e$t diameter ad diametrum. Quoniam enim e$t circulus ad cir- _2. duodec_. culum, vt quadratum diametri ad quadratum dia- metri. Vt autem circulus A B C D, ad circulum _15. quinti_. E F G H, ita e$t quadruplum circuli ad quadru- plam circuli. Igitur erit quoque quadruplum circuli A B C D, ad quadruplum circuli E F- G H, vt quadratum diametri A C, ad quad atum diametri EG. Sed rectangulum $ub diametro AC, & recta, quæ circumferentiæ ABCD, $it æqualis, comprehen$um, quadruplũ e$t circuli ABCD; & rectangu- lum $ub diametro E G, & circumferentia EFGH, quadruplum circuli E F G H, [365]LIBER OCTAVVS. ex coroll. propo$. 2. cap. 5. Num. 1. lib. 5. Igitur erit rectangulum $ub diametro AC, & circumferentia ABCD, contentum, ad rectangulum $ub diametro E G, & circumferentia EFGH, comprehen$um, vt quadratum ex A C, ad quadra- tum ex E G; Et permutan do erit rectangulum $ub diametro A C, & circumfe- rentia ABCD, ad quadratũ ex AC, vt rectangulum $ub diametro EG, & circum- ferentia EF GH, ad quadratũ ex E G. E$t autem rectangulum $ub A C, & re- _1. $exti_. cta, quæ circumferentiæ ABCD, $it æqualis, ad quadratum ex AC, vt recta cir- cumferentiæ æqualis ad A C: propterea quod rectangulum, & quadratum eandem habent altitu dinem A C. Eodemque modo e$t rectangulum $ub E G, & recta, quæ circum ferentiæ EFGH, $it æqualis, ad quadratum ex EG, vt recta circumferentiæ æqualis ad EG. Igitur erit, vt circumferentia A B C D, ad dia- metrum A C, ita circumferentia EFGH, ad diametrum EG: Et permutando cir- cumferentia ad circumferentiam, vt diameter ad diametrum, quod demon- $trandum erat.

SCHOLIVM.

SVNT qui putent, fru$trà à Pappo hoc theorema demon$trari, cum videatur e$$e per $e notum, ita e$$e circumferentiam cuiu$uis circuli ad $uam diametrum, vt e$t circumferentia alterius circuli ad $uam diametrum. ac proinde permutan- do e$$e circumferentiam ad circumferentiam, vt e$t diameter ad diametrum. Qua in re mirum in modum decipiuntur. Cum enim à Ptolomæo (quod & à nobis propo$. 10. Sinuum factum e$t) demon$tretur, maiorem e$$e proportio- nem maioris arcus ad minorem eiu$dem circuli, quam chordæ ad chordam, (quod etiam de arcubus, & chordis in circulis inæqualibus verum e$t, ni$i ar- cus illi $imiles $int, vt in $equenti Theoremate o$tendemus) quis $ine demon- $tratione concederet, eandem e$$e proportionem circumferentiæ ad circumfe- rentiã, quæ e$t diametri ad diametrum? Quod $i demon$tratum e$$et, ita e$$e ar- cum cuiu$uis circuli ad $imilem arcum alterius circuli, vt e$t corda ad chordam, tum demum con$taret, ita e$$e circumferentiam ad circumferentiam, ac proin- _15. quinti_. de & $emir cumferentiam ad $emicircumferentiam, vt e$t diameter ad diame- trum: propterea quod arcus $emicirculorum $imiles $unt, quorum chordæ $unt diametri. Verum hoc demon$trari non pote$t, ni$i prius demon$tretur, ita e$- $e circumferentiam ad circumferentiam, vt e$t diameter ad diametrum, vt in Theoremate $equenti con$tabit. Meritò ergo, & non $ine cau$a, theorema præcedens à Pappo fuit demon$tratum.

THEOR. 3. PROPOS. 3.

ARCVS cuiu$uis circuli ad arcum $imilem alterius circuli eandem habet proportionem, quam chorda ad chordam. Et contra arcus candem habentes proportionem, quam chordæ, $imiles $unt.

IN figura præ cedentis propo$. ducantur ad diametros perpen diculares P B, QF, ex centris P, Q, diuidentes $emicirculos in binos quadrantes: $intque ar- cus BI, BK, æquales, quibus $imiles capiantur FL, FM; adeò vt toti arcus IK, [366]GEOMETR. PRACT. LM, $imiles $int, quorum chordæ IK, LM, bifariam $ectæ $int à $emidiametris in N, O. Dico eandem e$$e proportionem arcus IBK, ad arcum L F M, quæ e$t chordæ IK, ad chordam LM, &c. Quoniam enim e$t circumferentia ABD, ad _2. hui{us}_. circumferentiam EFH, hoc e$t, quadrans AB, ad quadrantem EF, vt diame- _15. quinti._ ter AC, ad diametrum EG; hoc e$t, vt $emidiame- ter PB, ad $emidiametrum QF. E$t autem, vt qua- _15. quinti._ drans _A_B, ad quadrantem EF, ita arcus IB, ad arcum LF, cum $imiles ponantur. Igitur erit quoque ar- cus IB, ad arcum L F, vt $emidiameter P B, ad $emi- diametrum QF. Cum ergo ex Lemmate propo$. 1. lib. 1. no$træ Gnomonicæ, vel ex Lemmate 5. libr. 1. no$tri A$trolabilij, ita $e habeat P B, $inus totus ad QF, $inum totum, quemadmo dum $inus IN, ad $inum L O. erit quo que arcus IB, ad arcum LF, vt $inus IN, ad $inum LO, id e$t, duplus arcus IK, ad duplum _15. quinti._ arcum LM, vt chorda IK, ip$ius IN, dupla, ad chordam LM, ip$ius LO, duplam. quod e$t propo$itum.

VERVM $it iamarcus IK, ad arcum LM, vt chorda IK, ad chordam LM. Di- co arcus $imiles e$$e. Facta enim eadem con$tructione, e erit quoque arcus I_B_, ad _15. quinti._ arcum LF, $emi$sis ad $emi$$em, vt IN, ad LO, $emi$sis ad $emi$$em. Vt autem _$chol. 33._ _$exti_. I_B_, ad LF, ita e$t quadrans A_B_, ad quadrantem EF; Et vt quadrans ad quadran- tem, ita e$t $emidiameter PB, ad $emidiametrũ. QF. Igitur eri@ quo que $inus IN, _2. hui{us}_. ad $inum LO, vt $inus totus PB, ad $inum totum QF: Atque idcirco ex Lem- mate propo$. 1. lib. 1. no$træ Gnomonicæ, vel ex Lemmate 5. lib. 1. no$tri A$tro- labij, arcus IB, LF, $imiles erunt; ac proinde & eorum dupli I_B_K, LFM, $imiles erunt. quod erat demon$trandum.

COROLLARIVM.

SEQVITVR hinc, $i arcus IBK, LFM, non $int $imiles, eos non habere ean- dem cum chordis proportionem, Sinamque eandem haberent, ip$i $imiles e$- $ent, vt in $ecunda parte huius propo$. fuit o$ten$um, quod e$t ab$urdum, cum ponantur non $imiles.

PROBL. 1. PROPOS. 4.

DATO quadrilatero æquale parallelogrammum in dato angulo faci- lius, quam per propo$. 45. lib. 1. Euclid. con$tituere.

SIT quadrilaterum quodcunque ABCD, & datus angulus K. Ducta dia- metro _B_D, eaque diui$a bifariam in E, ducatur per E, recta FG, faciens in E, angulum FED, dato angulo K, æqualem. Deinde ducta per D, ip$i FG, parallela HI, & per A, C, duabus AH, CI, ip$i _B_D, parallelis $ecanti- bus FG, HI, in F, H, G, I, con$titutum erit parallelo- _29. primi_. grammum FI, in dato angulo G, qui æqualis e$t an- gulo, FED, internus externo, hoc e$t, angulo K. Dico [367]LIBER OCTAVVS. idem parallelogrammum quadrilatero dato ABCD, æquale e$$e. Quia enim _$chol. 41._ _primi_. parallelogrammum FD, triangulo ABD, & parallelogrammum EI, triangulo CBD, æquale e$t; erit totum parallelogrammum FI, toti quadrilatero ABCD, æquale. quod e$t propo$itum.

PROBL. 2. PROPOS. 5.

DATO rectangulo $upra datam rectam æquale rectangulum facilius, quam per propo$. 45. lib. 1. Euclid. con$tituere.

SIT rectangulum A B C D, cui $upra datam rectam con$tituendum e$t re- ctangulum æquale. Producto quolibet latere, ni- mirum A B, capiatur B E, æqualis datærectæ, $iue ea $it maior latere AB, $iue minor: atque ex E, per C, recta ducatur $ecans AD, productam in F, complea- turque rectangulum AH, & rectæ BC, DC. produ- cantur v$que ad G, I. Eritigitur complementum _43. primi_. CH, complemento CA, {ae}quale. Cumigitur latus CI, $it lateri BE, id e$t, datærectæ æquale: factum erit, quod proponitur.

ALITER.

DATÆ rectæ BE, & duobus lateribus AB, BC, dati rectanguli, inueniatur _17. $exti_. quarta proportionalis C G. Nam rectangulum $ub BE, prima, & CG, quarta _16. $exti_. comprehen$um, rectangulum videlicet C H, æquale erit dato rectangulo AC, $ub $ecunda AB, & tertia BC, comprehen$o. quod e$t propo$itum.

PROBL. 3. PROPOS. 6.

DATO rectilineo æquale rectangulum facilius, quam per propo$. 45. lib. 1. Euclid. con$tituere.

HOC per duas præcedentes propo$. facilè expedietur. Nam $i figura recti- linea in triangula re$oluatur, con$tituent quælibet duo commune latus haben- tia trapezium, cuius latus commune e$t diameter. Igitur $i $ingulis trapeziis $ingula rectangula fiant æqualia, atque etiam vltimo triangulo, $i fortè nume- rus triangulorum e$t impar. Deinde, $i, vt in præcedenti propo$. dictum e$t, vni lateri primi rectanguli, & duobus lateribus $ecundi, inueniatur quarta _4. hui{us}_. proportionalis; erit rectangulum $ub a$$umpto latere in primo rectangulo, _12. $exti_. & quarta proportionali, $ecundo rectangulo æquale. Quocirca $i alterum la- _16. $exti_. tus prope a$$umptum in primo rectangulo producatur, & ex producto ab$cin- datur recta æqualis quartæ proportionali, compleatur que totum rectangulum, habebitur rectangulum ex duobus compo$itum æquale duobus primis tra- peziis. Et $i eidem lateri, ac duobus tertij rectanguli reperiatur rur$um quar- ta proportionalis, & huic quartæ $umatur in priori latere producto recta æqua- [368]GEOMETR. PRACT. lis, conficietur eodem pacto rectangulum ex tribus conflatum æquale tribus trapeziis, &c.

VLTIMO porrò triangulo, $i quod fuerit, con$tituetur rectangulum æqua- _$chol. 41._ _primi_. Ie $upra $emi$$em ba$is, in eadem altitudine cum triangulo.

THEOR. 4. PROPOS. 7.

SI ex duobus punctis ad vnum punctum cuiu$uis lineæ rectæ, quæ communis $ectio $it plani per duo puncta ducti cum alio quopiam plano, duæ rectæ ducantur, facientes cum illa duos angulos æquales: erunt duæ hæ rectæ breuiores quibu$cunque aliis duabus rectis, quæ ex ei$dem duobus punctis ad aliud punctum eiu$dem lineæ rectæ ducuntur.

EX duobus punctis A, B, ad C, punctum in recta CD, ita vt planum per CD, du ctum tran$eat reuolutum per A, B, ducantur duæ rectæ AC, BC, facientes an- gulos A C F, B C D, æquales: & ex ei$dem punctis A, B, ducantur primum ad aliud punctum D, ad dextram ip$ius C, aliæ duæ rectæ AD, BD. Dico AC, BC, e$$e breuiores, quam AD, BD. Producta enim AC, ver$us C, fiat CE, ip$i CB, æqualis, iungaturque DE. Et quia angulus ACF, angulo BCD, ponitur æqua- lis, e$tque angulus ACF, angulo ECD, ad verticem æqualis, erit quoque an- _15. primi_. gulus BCD, angulo ECD, æqualis. Cum ergo & duo latera BC, CD, duobus lateribus EC, CD, æqualia $int: erit ba$is _4. primi._ D B, ba$i D E, æqualis; ac proinde A D, D B, $imul ip$is A D, D E. $imul æquales erunt. Sunt autem A D, D E, maiores _@primi_. quam AE, hoc e$t, quam AC, CB; quod CB, CE, po$itæ $int æquale@. Igitur & AD, BD, maiores erunt, quam AC, BC. quod e$t propo$itum.

DVCANTVR deinde ex punctis A, B, ad aliud punctum F, ad $ini$tram ip$ius C, aliæ duæ rectæ AF, BF. Dico rur$us A C, BC, breuiores e$$e, quam AF, BF. Producta enim rur$um AC, $umptaque CE, ip$i CB, æquali, iungatur EF. Et quoniam anguli ACF, BCD, æquales ponun- tur; e$tque ACF, angulo ECD, ad verticem æqualis; erunt qu@que anguli _15. primi._ BCD, ECD, æquales: ac proinde & ex duobus rectis reliqui BCF, ECF, æqua- les erunt. Cum ergo & duo latera BC, CF, duobus lateribus EC, CF, æqualia $int; erit quo que ba$is BF, ba$i EF, æqualis: Ac proinde AF, FE, ip$is AF, BF, _4. primi._ æquales erunt. Sunt autem AF, FE, maiores, quam AE, hoc e$t, quam AC, BC, _20. primi._ quod BC, CE, po$itæ $int æquales. Igitur & AF, BF, maiores erunt, quam A C, CB. quod e$t propo$itum.

SCHOLIVM.

QVIA ergo Natura non impedita agit per lineas breui$simas; fit, vtradius Solis, vel vi$ualis cadens ex A, in planum ter$um D F, ita vt reflectatur ad pun- [369]LIBER OCTAVVS. ctum B, cadat nece$$ariò in punctum C, vbiangulus ACF, (quem Per$pectiui angulum incidentiæ dicunt.) æqualis efficitur angulo BCD, quem reflexionis appellant. Nam $i radius caderet in D, vel F, reflecteretur que ad B, non ageret Natura per lineas breui$simas; cum tam AD, BD, quam AF, BF, longiores $int, quam AC, BC vt demon$trauimus. quod e$t ab$urdum. Atque ita demon$tra- tum e$t, quod Per$pectiui a$$umunt, angulum $cilicet incidentiæ æqualem e$$e angulo reflexionis.

PROBL. 4. PROPOS. 8.

SI quis numerum mente conceperit, quot ei vnitates po$ttres operatio- nes imperatas reliquæ $int, coniicere.

IVBE conceptum numerum per quemcunque numerum, vt per 2. vel 3. vel 4. vel 10. &c. multiplicari, & producto adde tu quemlibet numerum à numero multiplicante numeratum. Deinde iube ex parte aliquota $umm{ae} totius à mul- tiplicante numero denominata auferri $imilem partem aliquotam numeri pro- ducti ex multiplicante in numerum conceptum, hoc e$t, ip$um numerum conceptum. Ita enim reliquus numerus erit $imilis pars aliquota numeri, quem adiunxi$ti. Cum ergo numerus adiunctus tibi notus $it, habeatque partem aliquotam à numero multiplicante denominatam, ac proinde tibi cognitam: dices reliquas vnitates illam partem aliquotam conficere. Exempli gratia. Concipiataliquis numerum 4. iube multiplicari per 6. fiunt 24. iube addi nu- merum 30. à multiplicante 6. numeratum, fiunt 54. Ex $exta parte huius $ummæ denominata à multiplicante numero 6. id e$t, ex 9. fac detrahi partem quoque $extam prioris numeri producti 24. nimirum 4. videlicetip$um numerum con- ceptum. Ita namque remanet $exta pars numeri adiuncti 30. nimirum 5. quod in hunc modum demon$tratur.

SIT conceptus numerus A, quo ducto verbi gratia in 6. gignatur B, & ad- dito F, fiat $umma C. Ex E, parte aliquota $um- mæ C, denominata à 6. detrahatur D, pars ali- A # B # C # F 4 # 24 # 54 # 30 # D # E # G # 4. # 9. # 5. quota prioris producti B, denominata quo- que à 6. hoc e$t, ip$emet numerus conceptus A, reliquu$que fiat numerus G, quem dico par- tem e$$e aliquotam numeri a diuncti F, à nume- ro quoque 6. denominatam. Quoniam enim ita e$t multiplex totus C, totius E, vt ablatus B, ex C, ip$ius D, ex E, ablati, quippe cum po- natur E, talis pars ip$ius C, qualis D, ip$ius B, denominata videlicet à 6. Igitur erit quoquereliquus F, (detracto nimirum _$chol. 7._ _$eptimi_. producto B, ex $umma C,) ita multiplex reliqui G, (dempto $cilicet D, ex E,) vttotus C, totius E. quod erat demon$trandum.

EST autem iucundum, hoc idem coniici po$$e inter plures. Nam $i plures concipiant mente numeros, $inguli videlicet $ingulos, nullo eorum con$cio, quem qui$q; numerum conceperit; & iubeas quemlibet $uum numerum multi- pl@care per quemuis numerum à te electum; deinde addere numerũ à tuo electo [370]GEOMETR. PRACT. numeratum, quicunqueille $it; ac po$tremo ex parte aliquota $ummæ, cuius de- nominator e$t numerus à te electus, auferre $imilem partem ex productis $ingu- lorum, hoc e$t, ip$os conceptos numeros: reliquus numerus cuiu$que erit $i- milis pars numeri adiecti.

QVOD $i malueris diuer$os numeros, dic vt $ecundus $uum re$iduum du- plicet, & tertius triplicet, &c. Ita enim coniicies, primi re$iduum e$$e illam par- tem aliquotam numeriadiecti: $ecundum verò habere duplum illius, & ter- tium triplum, &c. Vbivides eos re$iduum illud per quo$cunque numeros po$- $e multiplicare, dummodo memor $is in coniiciendis numeris, per quos nume- ros factæ $unt multiplicationes.

PROBL. 5. PROPOS. 9.

DATVM numerum quadratum in quotuis quadratos numeros par- tiri.

QVAMVIS problema hoc videatur ferè impo$sibile: (qui enim fieri po- te$t, dicet aliquis, vt quilibet numerus quadratus diuidi po$sit in quotlibet nu- meros, qui omnes $int quadrati?) $olutio tamen eius non e$t difficilis. Sit igitur quadratus numerus datus 36. diuidendus in 5. numeros quadratos. Per ea, quæ ad propo$. 47. lib. 1. Euclid. $crip$imus, reperiantur tres numeri, quorummaio- ris quadratus reliquorum quadratis $it æqualis, nimirum 5. 4. 3. Deinde dic: $i 5. dant 4. quid dabunt 6. quadrata videlicet radix dati quadrati? Item $i 5. dant 3. quid dabunt 6? Inuenie$q; {24/5}. & {18/5}. hoc e$t, 4 {4/5}. & 3 {3/5}. radices duorum qua- dratorum quadrato 36. dato æqualium. Nam cum ita $e habeat radix 6. ad in- uentos duos numeros, vt 5. ad 4. & 3. ex con$tructione: fiet ex lateribus 6. 4 {4/5}. 3 {3/5}. triangulum rectangulum, $imile nimirum triangulo rectangulo ex lateribus 5. 4. 3. con$tructo. Igitur quadrati ex 4 {4/5}. & {3/5}. æquales erunt quadrato radi- _47. primi_. cis 6. dato. Rur$us $i fiat, vt 5. ad 4. & ad 3. ita 3 {3/5}. ad aliud; ($umendo mino- rem radicem inuentam, ne coincidamus cum aliqua præcedente radiceiam in- uenta) inueni\~etur alij duo numeri, quorũ quadrati æquales $int quadrato radi- cis 3 {3/5}. nimirum 2 {22/25}. & 2 {4/25}. Atqueita iam (relicta radice 3 {3/5}.) inuentæ erunt tres radices 4 {4/5}. 2 {22/25}. 2 {4/25}. quarum quadrati æquales erunt quadrato 36. pro- po$ito. Eodemmodo, $i fiat, vt 5. ad 4. & ad 3. ita 2 {4/25}. ad aliud, reperientur duæ aliæ radices 1 {91/125}. & 1 {37/125}. Quare (relicta radice 2 {4/25}. cuius loco duas inue- nimus) inuentæ iam erunt quatuor radices 4 {4/5}. 2 {22/25}. 1 {91/125}. & 1 {37/125}. quarumnu- meri quadrati quadrato 36. æquales erunt. Denique $i rur$us fiat vt 5. ad 4. & ad 3. ita 1 {37/125}. minor radix inuenta ad aliud, reperientur duæ aliæ radices 1 {23/625}. & {486/625}. Quocirca (relicta radice 1 {37/@25}. pro qua duas proximas inuenimus) in- uentæ erunt quinque radices 4 {4/5}. 2 {22/25}. 1 {91/125}. 1 {23/625}. & {486/625}. quarum quadrati nu- meri 23 {1/25}. 8 {184/625}. 2 {1@406/35625}. 1 {29279/190625}. & {236196/39@625}. conficiunt datum quadratum 36. At- que in hunc modum plures quadrati inueniri poterunt æquales numero 36. $i nimirum fiat; vt 5. ad 4. & ad 3. ita vltima radix inuenta {486/625}. quæ minima e$t, ad aliud, &c.

[371]LIBER OCTAVVS. THEOR. 5. PROPOS. 10.

PROPOSITIS duabus minutiis inæqualibus; minutia, cuius nume- rator ex illarum numeratoribus, denominator autem ex denomina- toribus conflatur, maior quidem e$t minore, minor vero maiore.

SINT duæ minutiæ inæquales, maior {3/5}. & minor {4/7}. Iungantur tam nume- tatores, quam denominatores, vt fiat minutia {7/12}. Dico hanc maiorem e$$e, quam {4/7}. & minorem quam {3/5}. Quoniam enim maior e$t minutia {3/5}. quam {4/7}. erit per propo$. 8. Minutiarum lib. 9. Eucl. maior proportio 3. ad 5. quam 4. ad 7. Et permutando, maior 3. ad 4. quam 5. ad 7. Igitur & {3/5}. # {4/7}. # {7/12}. _27 quinti_. componendo, maior 3. 4. $imul, hoc e$t, 7. ad 4. quam 5. 7. _28. quinti_. $imul, id e$t, quam 12. ad 7. Et permutando, maior 7. ad 12. _27. quinti_. quam 4. ad 7. Ac proinde per propo$. 8. Minutiarum libri 9. Euclid. maior erit minutia {7/12}. quam {4/7}. quod e$t primum.

DEINDE quia minor e$t {4/7}. quam {3/5}. erit per propo$. 8. Minutiarum libri 9. Euclid. minor proportio 4. ad 7. quam 3. ad 5. & permutando, minor 4. ad _27. quinti_. 3. quam 7. ad 5. Igitur & componendo minor 4. 3. $imul, id e$t, 7. ad 3. quam _28. quinti_. 7. 5. $imul, hoc e$t. quam 12. ad 5. Et permutando, minor 7. ad 12. quam 3. ad _27. quinti_. 5. Ac proinde per propo$. 8. Minutiarum lib. 9. Eucl. minor erit minutia {7/12}. quã {3/5}. quod e$t $ecundum.

THEOR. 6. PROPOS. 11.

SI duonumeri inter $e primi non $int ambo quadrati aut cubi; neque eorum æquè multiplices vlli, quadrati erunt, aut cubi. Et $i eorum æ- què multiplices al<007>qui $int ambo quadrati, aut cubi, etiam ip$i erunt quadrati aut cubi.

SINT enim A, B, numeri inter $e primi, & non ambo quadrati, vel cubi, quã- uis vnus eorum qua dratus $it, vel cubus. $intque eorum æ- A # B 4. # 11. C # D 12. # 33. què multiplices C, D. Dico neq; hos e$$e ambos quadra- tos, aut cubos. Sint enim, $i fieri pote$t, ambo quadrati, vel cubi. Et quoniam idem numerus multiplicans A, & B, fecit C, & D, quod hi illorum $int æque multiplices: erit _17. $eptimi_. A, ad B, vt C, ad D. Cadit autem inter C, & D, vnus me- _11. & 12._ _octaui_. dius proportionalis, aut duo. Igitur & inter A, B, vnus ca- _8. octaui_. det medius proportionalis, aut duo. Cum ergo extremi A, B, ponantur inter $e primi; erunt omnes tres, vel quatuor _1. octaui_. proportionales, minimi in $ua proportione: Ac proinde _coroll. 2._ _octaui_. A, B, ambo qua drati erunt, vel cubi. quod e$t contra hy- pothe$im. Non ergo C, D, ambo qua drati $unt, aut cubi. quod erat o$tenden- dum.

SED $intiam C, D, ip$orum A, B, inter $e primorum æquè multiplices, & am- bo quadrati, vel cubi. Dico etiam A, B, ambos e$$e quadratos, vel cubos. Si. n. [372]GEOMETR. PRACT. non $unt; neque ip$i C, D, erunt ambo quadrati, vel cubi, vt demon$tratum e$t. quod cum hypothe$i pugnat.

COROLLARIVM.

HINC fit, $i tam Numerator, quam Denominator alicuius minutiæ fuerit quadratus aut cubus: tam Numeratorem quoque, quam Denominatoreme- iu$dem minutiæ ad minimos reduct{ae} terminos, e$$e quadratum, vel cubum; cum minimi termini $int numeri inter $e primi, habeantque eandem proportionem, quam Numerator, ac Denominator prioris minutiæ: quippe cum minutiæ $int æquales. Item $i vterque numerus minutiæ cuiu$piam in minimis terminis non $it quadratus, aut cubus, neque vtrum que numerum alterius minutiæ æquiua- lentis e$$e quadratum, aut cubum.

THEOR. 7. PROPOS. 12.

IN omni quadrilatera figura rectilinea, tria latera, vt libet, a$$umpta, ma- iora $unt reliquo latere.

SIT quadrilaterum ABCD. Dico quælibet tria latera, nimirum DA, AB, BC, $imul $umpta e$$e maiora reliquo latere DC. _20. primi_. Ducta enim diametro BD; eruntrectæ BD, BC, maiores quam DC; Sed eadem ratione AB, AD, maiores $unt quam BD. Maiores erunt ergo tres AD, AB, BC, quam duæ B D, B C; ac proinde multo maiores, quam D C. Idemque demon- $trabitur $imili modo de quibu$cunque alijs tri- bus lateribus, vt con$tat. In omni ergo quadrilatera figura rectilinea, tria latera, vt libet, a$$umpta. maiora $unt reliquo latere. quod erat demon$trandum.

PROBL. 6. PROPOS. 13.

DATIS tribus punctis, per quæ circulis de$cribendus $it, inuenire alia puncta, per quæ idem circulus tran$ire debeat.

SOLENT interdum tria data puncta tam parum inter $e di$tare, aut fere in recta linea iacere, vt non facilè eorum centrum inueniri po$sit, propterea quod rectæ $ecantes lineas illa puncta connectentes bifariam, & ad angulos rectos, nimis obliquè $e in centro inter$ecant. Vtigitur magis ex qui$itè centrum re- periatur, inue$tiganda erunt alia duo puncta, vel plura, per quæ idem circulus incedere debeat, hoc modo. Sint data tria puncta A, B, C. Iunctis rectis A B, A C, BC, con$tituatur $uper ba$em BC, triangulum BCD, t@iangulo ABC, æqui- laterum, ita vt angulus D, vergat in eampartem, ver$us quam circumferentia de$cribenda tran$ire debet, lateraque æqualia non ab eodem puncto exeant, hoce$t, latus C D, lateri B A, & latus B D, lateri C A, $it æquale. Quod quidem fiet, $iex C, arcus delineetur ad interuallum BA, quem alius arcus ex B, ad inter- _8 primi_. uallum CA, delineatus $ecet in D. Erit enim angulus D, angulo A, æqualis: _$chol. 21._ _tertij_. ac proinde circulus per tria puncta A, B, C, de$criptus tran$ibit quoq; per quar- [373]LIBER OCTAVVS. tum punctum D. Eadem ratione, $i $uper ba$em C D, triangulum con$truatur C D E, triangulo B C D, æquilaterum ordine prædicto, ita vt latus D E, lateri C B, & latus CE, lateri BD, æquale $it, inuentum erit aliud punctum E, per quod cir- cumferentia incedat. Atque eadem arte reperietur aliud punctum F, per trian- gulum DEF, triangulo E D C, æquilaterum, &c. Eodem modo ex altera parte reperietur aliud punctum G, per triangulum A B G, triangulo B A C, æquilate- rum, & $ic deinceps. Si igitur eligantur tria puncta, ita vt rectæ ea connecten- tes con$tituant qua$i angulum rectum, qualia $unt tria puncta A, C, D, & ex proximis A, C, ad quo dcunque idem interuallum bini arcus de$cribantur, & ex proximis C, D, binialij; ac per inter$ectiones horum arcuum rectæ lineæ emittantur, $ecabunt $e$e in centro H, &c. Apti$sima quo que e$$ent tria pun- cta G, B, D, quamuis angulus D B G, acutus $it. Item tria puncta G, B, E, & C, E, F, &c.

PROBL. 7. PROPOS. 14.

DATO exce$$u diametri Quadrati $upra latus: Item dato exce$$u dia- metri Rhombi $upra latus, vellateris $upra diametrum (quando illud maius e$t) vna cum vno Rhombi angulo: Dato præterea exce$$u dia- metri rectanguli $upra vtr umlibet laterum inæqualium, vna cum an- gulo, quem diameter cum eo latere facit, vel vna cum proportione eorundem inæqualium laterum: Dato deniq; exce$$u diametri Rhõ- boidis $upra vtrumuis laterum inæqualium, vel vtriu$uis inæqualium laterũ $upra diametrum (quando illud maius e$t) vna cũ vno angulo Rhomboidis, & in$uper cum angulo, quem diameter cum eo latere facit, vel in$uper cum proportione duortum laterum in æqualiũ; Qua- dratum ip$um, Rhombũ, Rectangulũ, & Rhomboides con$tituere.

[374]GEOMETR. PRACT.

HOC problema, quod ad quadratum attinet, alio modo ad finem lib. 2. Eu- clid. ab$oluimus. Sit A, datus exce$$us diametri quadrati cuiu$piam $upra la- tus. Fiat quodcunque quadratum B C D E, cuius diameter B D, excedat latus exce$$u D F; qui $i æqualis fuerit dato exce$$ui A; factum erit, quod iubetur: Si vero inæqualis, fiat vt DF, ad datum exce$$um A, ita diameter BD, ad BG, per- _12. $exti_. ficiatur que quadratum H I; quod dico e$$eid, quod quæritur. Sumpta enim recta GK, ip$i A, æquali, quoniam e$t per con$tructionem, vt tota BD, ad totam BG, ita DF, ablata ad A, hoc e$t, ad GK, ablatam; erit quoq; vt tota BD, adto- _19. quinti_. tam BG, ita reliqua BF, ad reliquam BK. Et permutando, vt BD, ad BF, ita BG, ad BK,. E$t autem vt BD, ad BF, ita BD, ad BC, (quod BF, BC, æquales $int; _7. quinti_. cum DF, ponatur ex ce$$us diametri BD, $upra latus BC.) Et vt BD, ad BC, ita _4. $exti_. BG, ad BH. Igitur erit quo que vt BG, ad BK, ita BG, ad BH; Acproinde BK, _9. quinti_. BH, æquales erunt. Diameter ergo BG, $uperatlatus BH, hoc e$t, BK, recta GK, quæ dato ex ce$$ui A, æqualis e$t. Quod e$t propo$itum.

SIT deinde A, exce$$us diametri in Rhombo aliquo $upra latus, vna cum angulo L, datus. Fiat Rhombus quicunque BCDE, habens angulum C, æqua- lem dato angulo L, vt in primo Rhombo, vel angulum B, vt in $ecundo. Siue ergo diameter opponi debeat dato angulo C, vt in primo Rhombo, $iue datum angulum B, $ecare, vt in $ecundo, ducatur diameter B D, excedens latus B C, recta DF, quæ $i æqualis fuerit dato exce$$ui A, factum erit, quo diubetur: Si ve- ro inæqualis, fiat vt D F, ad exce$$um datum A, ita diameter B D, ad B G, com- _12. $exti_. pleaturque Rhombus HI, quem dico e$$e, eum, qui quæritur. Ab$ci$$a enimre- cta GK, exce$$ui dato A, {ae}quali, adhibenda e$t, eadem omnino demon$tratio, quæ in quadrato facta e$t.

[375]LIBER OCTAVVS.

QVOD $i diameter latere Rhombi minor fuerit, $it datus exce$$us A, lateris inaliquo Rhombo $upra diametrum, vna cum angulo L. Con$truatur Rhom- bus quantu$cunque BDCE, habens angulum D, æqualem dato angulo L, vt in tertio Rhombo. Et quia vt latus $uperet diametrum, ducenda e$t diameter per angulos obtu$os, (quod diameter per acutos angulos ducta $emper maior e$t _19. primi_. Rhombilatere) ducatur diameter BC, quamlatus BD, excedatrecta DF, qu{ae} $i æqualis fuerit exce$$ui dato A, factum erit, quod jubetur: Siver ò inæqualis: fiat vt DF, ad exce$$um A, ita BD, latus ad B G, compleaturque Rhombus G I, circa eandem diametrum, quem dico e$$e quæ$itum. Ab$ci$$a namq; recta GK, æquali exce$$ui A: fiet demon$tratio, vt in quadrato, vt per$picuum e$t, $i loco diametrorum BD, BG, in quadrato, $umantur hic latera BD, BG.

TVNC autem latus Rhombimaius erit diametro (vt hoc etiam obiter mo- neamus) cum $emi$sis anguli obtu$i maior fuerit angulo acuto eiu$d\~e Rhom- bi. Nam $i in tertio Rhombo angulus CBD, qui$emi$sis e$t anguli obtu$i B, vt in $chol. propo$. 34. lib. 1. Euclid. o$tendimus, maior$it angulo acuto D; erit _19. primi_. latus BD, hoc e$t, CD, maius diametro BC, in triangulo BCD. Quando autem $emi$sis anguli obtu$i fuerit minor angulo acuto, vt in Rhombo $ecundo; erit _19. primi_. diameter latere maior in triangulo B C D.

TERTIO $it datus exce$$us A, diametri rectanguli alicuius $upra alterum laterum inæqualium, vna cum angulo L, quem diameter cum eo latere con$ti- tuit, velvna cum proportione M, ad N, quam illud latus ad alterum habet. Si ergo angulus L, e$t $emirecto minor, vel certè proportio M, ad N, maiors in- æqualitatis, vt in priori rectangulo, erit A, exce$$us diametri $upra maius latus: Si verò angulus L, e$t maior $emirecto, vel proportio M, ad N, minoris inæqua- litatis, erit A, exce$$us diametri $upra minus latus. Con$tituatur ergo angulus CBD, angulo L, æqualis, fiatque rectangulum BCDE, circa a$$umptam diame- trum BD. Vel fiat B C, quanta cunque ad CD, perpendicularem, vt M, ad N: completo que rectangulo CE, ducatur diameter B D, excedens latus B G, recta D F, quæ $i fuerit æqualis dato exce$$ui A, con$tructum erit rectangulum C E, quod quæritur: Si verò inæqualis, fiat vt D F, ad exce$$um datum A, ita B D, ad B G, compleaturque rectangulum H I, quod erit quæ$itum. Ab- $ci$$a enim recta G K, æquali exce$$ui A, demon$trabitur propo$itum, vt in quadrato.

QVARTO & vltimo $it in aliquo Rhomboide datus exce$$us A, diametri $upra vtrumuis inæqualium laterum, vna cum angulo Rhomboidis O, & in$u- per cum angulo L, quem diameter cum latere, cuius exce$$us $umptus e$t, effi- [376]GEOMETR. PRACT. cit, velin$uper cum proportione M, ad N, quam latus illud ad alterum latus ha- bet. Con$tituatur angulus BCD, in prima figura, vel CBE, in $ecunda dato an- gulo O, æqualis. Deinde $iue diameter dato angulo C, opponi debeat, vt in pri- ma figura, $iue datum angulũ CBE, $ecare, vt in $ecũda, fiat ad B, angulus CBD, angulo L, dato æqualis, $ecetque CD, rectam BD, in D: vel fiat vt M, ad N, ita BC, ad CD; ac Rhomboides compleatur CE, cuius diameter latus BC, excedat recta DF. quæ $i æqualis fuerit dato exce$$ui A, factum erit, quodiubetur. Sive- rò inæqualis, fiat vt DF, ad exce$$um A, ita BD, ad BG, compleaturque Rhom- boides HI, circa eandem diametrum BD, quod dico e$$e quæ$itum. Nam $i re$e- cetur GK, exce$$ui A, æqualis, adhibenda e$t eadem demon$tratio, quæin præ- cedentibus.

QVOD $i diameter Rhomboidis cuiu$piam minor fuerit latere maiore, vt in tertia figura. Sit datus exce$$us A, lateris maioris in aliquo Rhomboide $upra diametrum, vna cum angulo O, Rhomboidis, & in$uper cum angulo L, quem diameter cum illo latere maiore efficere debet, vel in$uper cum proportione M, ad N, quam maius latus ad minus habet. Con$tituatur angulus BDC, dato an- gulo O, æqualis: Et$i e$t acutus, fiat in B, angulus D B C, angulo L, æqualis, ($i datus angulus Rhomboidis foret obtu$us, nimirum DBE, con$tituendus e$- $et angulus DBC, in ip$o angulo dato) $ecetque recta BC, rectam D C, in _C_; vel fiat vt M, ad N, ita BD, ad DC; ac Rhomboides cõpleatur D E, cuius latus B D, diametrum BC, $uperetrecta DF, quæ $i æqualis fuerit dato exce$$ui, factum e- rit, quodiubetur: Si verò inæqualis, fiat vt DF, ad A, ita BD, ad B G, perficia- turque Rhomboides GI, quod dico e$$e quæ$itum. Nam $i capiatur GK, æqua- lis ip$i A, demon$trabitur propo$itum, vt $upra in quadrato, $i loco diametrorũ BD, BG, quadrati, accipiantur hic latera BD, BG, vt per$picuum e$t.

TVNC autemlatus maius diametrum excedet, quando angulus, quem dia- meter cum minore latere efficit, maior e$t acuto angulo Rhomboidis. Nam $i in tertia figura angulus BCD, maior e$t angulo D; erit recta B D, maior, <004> BC. _19. primi_.

THEOR. 8. PROPOS. 15.

IN rectangulo parallelogrammo, $umptis exce$$ibus, quibus diameter duo latera $uperat; Rectangulum $ub differentia exce$$uum, & mino- [377]LIBER OCTAVVS. re exce$$u bis $umptum, vna cum quadrato minoris exce$$us bis $um- pto, æquale e$t quadrato rectæ, qua minus latus minorem exce$$um $uperat.

SIT rectangulum A C, cuius diametro B D, æqualis $it recta B E, vt exce$$us minor, quo diameter maius latus BC, $uperat, $it CE; Sumpta autem BF, æqua- liminorilateri CD, vt EF, exce$$us $it, quo diameter BD, velilli æqualis BE, mi- nus latus CD, velilli æqualem BF, $uperat: ac proinde CF, $it differentia exce$- $uum EC, EF. Et quia latera BC, CD, maiora $unt latere BD hoc e$t, recta BE, _20. primi_. dempta communi B C, erit reliqua C D, maior, quam reli- qua CE; ideo que & BF, æqualis ip $i CD, maior erit, quam C E. Ab$c@$$a ergo F G, ip$i C E, æquali, erit B G, exce$$us quo minus latus BF, minorem exce$$um FG, $uperat. Di- corectangulum bis $umptum $ub F C, differentia exce$$u- um, vna cum quadrato minoris exce$$us CE, bis $umpto, æquale e$$e quadrato rectæ BG, quaminus latus BF, mino- rem exce$$um F G, $uperat. Quoniam enim quadratum _4. $ecundi_. rectæ B E, æquale e$t quadratis rectarum B C, C E, vna cumrectangulo bis $ub BC, CE, hoc e$t, rectangulo $emel $umpto $ub B C, & recta ip$ius C E, dupla: _1. $ecundi_. E$t autem rectangulum $ub B C, & dupla ip$ius C E, æquale rectangulis $ub B F, & dupla ip$ius C E, æquale rectangulis $ub B F, & duplaip$ius C E, & $ub FC, & dupla ip$ius CE; hoc e$t, rectangulo $ub BF, & CE, bis vna cum rectan- gulo $ub FC, & CE, bis; Erit quadratum rectæ BE, $iue rectæ BD, æquale quo- que quadratis rectarum BC, CE, vna cum rectangulis $ub BF, CE, bis, & $ub FC, CE, bis; Ac proinde & quadrata rectarum BC, CD, quæ quadrato rectæ BD, _47. primi_. æqualia $unt, æqualia erunt quadratis rectarum B C, C E, vna cum rectangulis $ub BF, CE, bis, & $ub FC, CE, bis. Ablato ergo communi quadrato rectæ BC, erit reliquum quadratum rectæ CD, hoc e$t, rectæ BF, æqualereliquis rectangu- lis $ub BF, CE, bis, & $ub FC, CE, bis, vna cum quadrato rectæ C E. Addito igitur communi quadrato rectæ FG, erunt quadrata rectarum B F, F G, æqualia rectangulis $ub BF, CE, bis, & $ub FC, CE, bis, vna cum quadratis rectarum CE, _7 $ecundi_. FG. Sed quadratarectarum BF, FG, æqualia $unt rectangulo $ub BF, FG, bis, vna cum quadrato rectæ BG. Igitur rectangulum quoque $ub BF, FG, hoc e$t, $ub BF, CE, bis, vna cum quadrato rectæ BG, æquale erit rectangulis $ub BF, CE, bis, & $ub FC, CE, bis, vna cum quadratis rectarũ _C_E, FG. Ablato ergo cõmu- ni rectangulo $ub BF, CE, bis $umpto; erit reliquum quadratum BG, æquale re- liquo rectangulo $ub F C, C E, bis, vna cum quadratis rectarum C E, F G: hoc e$t, rectangulum $ub F _C_, di$ferentia exce$$uum, & CE, minore exce$$u bis $um- ptum, vna cum quadrato minoris exce$$us CE, bis $umpto, æquale e$t qua dra- to rectæ B G, qua minus latus B F, minorem exce$$um F G, $uperat, quod erat demon$trandum.

PROBL. 8. PROPOS. 16.

DATIS duobus exce$$ibus, quibus diameter rectanguli vtrumque la- tus $uperat, vtrumque latus, & diametrum inuenire.

[378]GEOMETR. PRACT.

SIT datus exce$$us FE, diametri $upra latus minus, & C E, $upra maius, ita vt differentia exce$$uum $it F C. Ex C, educatur ad FE, perpendicularis CL, ca- piantur que CH, HI, EK, minori exce$$ui CE, æquales, ita vt totæ CI, CK, æqua- les $int, vt pote ip$ius CE, duplæ, perficiaturque parallelogrammum FI. Diui$a deinde FK, bifariam in N, de$cribatur ex N, per F, & K, $emicirculus FLK, $ecans CL; in L. Ducta denique HE, $umatur illi æqualis CM, iungaturque recta LM. Dico L M, differentiam e$$e inter minus latus quæ$itum, & minorem exce$$um datum CE, ita vt CE, addita ad LM, efficiat minus latus; cui $i addatur F C, dif- ferentia datorum exce$$um, fiat maius la- tus. (E$t enim differentia exce$$uum dia- metri $upra vtrumque latus rectanguli æ- qualis exce$$ui maioris lateris $upra mi- nus: vt in figura præcedentis propo$. pa- tet; vbidiameter e$t BD, vel BE; exce$$us maior F E, quo diameter minus latus B F, $uperat; exce$$us minor CE, quo eadem diameter maius latus B C, $uperat: e$t que FC, differentia exce$$uum, exce$$us, quo maius latus B C, $uperat minus B F,) Ac tandem maiori lateriinu\~eto adijciatur minor exce$$us CE, vt diameter habeatur. quæ omnia ita demon$trabuntur. Per præcedentem, rectangulum $ub FC, dif- ferentia exce$$uum, & CE, minori exce$$u bis $umptum, hoc e$t, rectangulum FI, vna cum quadrato rectæ CE, bis etiam $umpto, hoc e$t, vna cum quadrato rectæ HE, vel CM, æquale e$t quadrato rectæ, qua minus latus quæ$itum, mi- norem exce$$um CE, $uperat. Cum ergo quadratum rectæ CL, æquale $it re- ctangulo FI, vt ex demon$tratione vltimæ propo$. lib. 2. Euclid. con$tat; erunt quo que quadrata rectarum CL, CM, æqualia quadrato eiu$dem rectæ, qua mi- nuslatus quæ$itum $uperat minorem exce$$um CE, Ac proinde cum quadra- _47. primi_. tis rectarum CL, CM, $it æquale quadratum rectæ LM: erit quo que quadratum rectæ LM, æquale quadrato rectæ, qua minus latus quæ$itum minorem exce$- $um CE, $uperat. E$t ergo LM, exce$$us minoris lateris quæ$iti $upra minorem exce$$um CE. Ideo que recta ex LM, CE, conflata erit minus latus quæ$itum: cui $i addatur FC, differentia exce$$uum, fiet maius latus quæ$itum: cui $i tan- dem minor exce$$us C E, adijciatur, conflabitur diameter quæ$ita. quæ omnia demon$tranda erant.

COROLLARIVM.

ITAQVE recta LM, cuius quadratum æquale e$t rectangulo FI, $ub FC, dif- ferentia exce$$uum, & dupla minoris exce$$us CE, comprehen$o vna cum du- plo quadrati exce$$us minoris CE, addita minori exce$$ui CE, efficit minus latus quæ$itum, &c.

IMMO quia quadratum rectæ, CL, rectangulo FI, $ub FC, differentia exce$- $uum, & C K, duplo minoris exce$$us C E, comprehen$o æquale e$t, vt in de- mon$tratione dictum e$t; & rectangulum CP, duplum e$t quadrati exce$$us mi- noris CE, hoc e$t, quadrato rectæ CM, æquale: erit quadratũ rectæ LM, toti re- ctãgulo FP, $ub maiori exce$$u FE, & EP, dupla minoris exce$$us CE, contento [379]LIBER OCTAVVS. æquale; ideoque L M, media proportionalis eritinter maiorem exce$$um, ac _17. $exti_. duplum minoris exce$$us. Quo circa$i inter maiorem exce$$um, & duplum mi- noris exce$$us, $umatur media proportionalis LM, habebitur rur$us differentia inter minus latus, & minorem exce$$um, &c,

SCHOLIVM.

HOC problema, vna cum antecedente Theoremate in Gallia, vnde mihi tran$mi$$um e$t, abingenio$o quodam Geometra demon$tratum fuit, cuius no- men, $i mihi e$$et cognitum, hic libenter a$$criberem. Idem tamen problemaad finem lib. 2. Euclid. ex Marino Gheraldo Patritio Ragu$ino aliter quo que de- mon$trauimus non infeliciter.

PROBL. 9. PROPOS. 17.

DATO exce$$u diametri rectanguli $upra maius latus, & exce$$u ma- ioris lateris $upra minus: vtrumque latus, ac diametrum inuenire.

QVONIAM, vt in præcedenti problem. dictum e$t, exce$$us maioris lateris $upra minus, æqualis e$t differentiæ inter exce$$us diametri $upra vtrumque la- tus: fit vt exce$$us diametri $upra maius latus, additus ad exce$$um maioris la- teris $upra minus, conficiat exce$$um diametri $upra minus latus. Quare cum cogniti $int exce$$us diametri $upra vtrumque latus, reliqua cogno$centur, vt in præmi$$o problemate traditum e$t.

PROBL. 10. PROPOS. 18.

SECTA linea recta vtcunque, adiungere ei ver$us vtramuis partem li- neam rectam, ita vt quadratum totius rectæ compo$itæ æquale $it qua- drato rectæ adiunctæ; vna cum quadrato rectæ, quæ ex adiuncta, & proximo $egmento prioris lineæ conflatur.

IN figura propo$. 15. $it recta EF, $ecta in C, vtcunque, oporteatque ei ver$us F, adiungere rectam, ita vt quadratum totius comp o$itæ $it æquale, quadrato adiunctæ, vna cum quadrato rectæ ex $egmento F C, & adiuncta compo$itæ. Statuantur EF, EC, exce$$us, quibus diameter alicuius re- ctanguli vtrumque latus $uperat. Atque ex propo$. 16. in- ueniatur minus latus BF. Dico rectam BF, ip$i EF, adiun- ctam efficere, quod proponitur. Fiat enim rectangulum AC, $ub BC, & CD, ip$i BF, æquali compreh\~e$um. Et quia FC, differentia exce$$uum addita minori lateri inu\~eto BF, facit maius latus, vt propo$. 16. dictũ e$t, erit BE, diametro BD æqualis, quando quidem excedit minus latus BF, vel CD, recta EF, & maius recta EC. Quoniam verò quadratum rectæ BE, hoc e$t, diametri BD, æquale _47. primi_. e$t quadrato rectæ CD, id e$t, adiunctæ BF, vna cum quadrato rectæ B C, com- po$itæ ex adiuncta BF, & proximo $egmento F C, liquidò con$tatid, quod pro- ponitur.

[380]GEOMETR. PRACT. PROBL. 11. PROPOS. 19.

DATIS duabus rectis inæqualibus, quarum maior diametrum qua- drati ex minore de$cripti non $uperet: maiorem ita $ecare in duas partes inæquales, vt earum quadrata $imul $umpta quadrato minoris lineæ $int æqualia,

SINT datæ duæ rectæ AB, maior, & AC, minor, ita vt AB, non $it maior dia- metro quadrati ex AC, de$cripti. Erigatur perpendicularis AD, maiori AB, æ- qualis: Et ducta recta B D, $ecetur bifariam in E, iungatur que recta AE, quæ _$chol. 26._ _primi_. ad B D, perpendicularis erit: diuidetque angulum rectum A, bifariam in duos $emirectos: Suntautem & B, D, $emirecti. Igitur latera E A, E B, æqualia _2. coroll._ _32. primi_. $unt; ac proinde AB, diameter erit quadrati rectæ AE. Et quoniam A B, poni- _6. primi_. tur non maior diametro quadrati minoris A C, non erit A C, minor quam A E, $ed vel maior, vel æqualis. Si namque minor e$$et A C, quam A E, $umpta ip$i æquali AL, ductaque LM, ip$i EB, parallela, e$$et AM, diameter quadratimino- ris A L, ideoque maior AB, $uperaret diametrum quadrati ex minore de$cripti. quod non ponitur. Sit ergo primum A C, maior quam A E, productaque AE, vt A F, ip$i A C, $it æqualis, de$cribatur ex A, per C, F, circulus $ecans BD, in H, N, demittaturque HI, ad AB, perpendicularis. Dico maiorem AB, ita e$$e $ectam in I, vt quadrata rectarum AI, IB, æqua- lia $int quadrato minoris A O. Quoniam enim an- gulus I, rectus e$t, & B, $emirectus: erit quoque H, in triangulo B H I, $emirectus; ideoque late- _6. primi_. ra B I, H I, æqualia erunt. Cum ergo, ducta re- _47. primi_. cta A H, quadrata rectarum A I, I H, quadrato re- ctæ A H, æqualia $int; erunt quoque quadrata $e- gmentorum A I, I B, æqualia quadrato rectæ A H, hoc e$t, quadrato rectæ AC. quod e$t propo$itum.

SIT deinde minor linea data A K, æqualis ip$i AE, ita vt maior AB, diametro quadrati ex minore A E, de$cripti æqualis $it. Demittatur perpendicu- laris EG, quæ & ba$em AB, & angulum rectum E, diuidet bifariam in $emire- _$chol. 26._ _primi_. ctos. Dico AB, ita e$$e $ectam in G, vt quadrata $egmentorum æqualium A G, GB, æqualia $int quadrato minoris AK, vel AE. Erunt enim rur$us latera EG, _6. primi_. GB, æqualia, ob $emirectos angulos æquales B, & E, in triangulo BEG. Cum _47. primi_. ergo quadrata rectarum AG, GE, æqualia $int quadrato rectæ AE, erunt quo- que quadrata $egmentorum AG, GB, æqualia quadrato AE, vel minoris lineæ A K. quod e$t propo$itum.

SI ex altera $ectione N, demittatur perpendicularis NO, erit AB, $ecta in O, vt in I, ita vt etiam quadrata $egmentorum BO, OA, æqualia $int quadrato mi- noris AC, vel AH. Cum enim rectæ BD, BA, $ectæ $int proportionaliter in H, _2. $exti_. I, & N, O, $intque æquales B H, N D; (propterea quod perpendicularis AE, _3. tertii_. $ecat H N, bifariam. Ablatis ergo æqualibus E H, E N, ex æqual<007>bus E B, E D, [381]LIBER OCTAVVS. reliquæ BH, DN, æquales erunt) erunt quo que BI, AO, æquales; necnon BO, AC, &c.

PROBL. 12. PROPOS. 20.

DATA chorda alicuius arcus, vna cum perpendiculari, quæ ex medio puncto chordæ ad arcum v$que educitur: quot gradus, vel palmos tam arcus, quam $emidiameter circuli complectitur, inuenire.

SIT data chorda AB, palmorum 74. & perpendicularis CD, ex medio pun- cto C, educta palmorum 10. Iuncta recta AD; quoniam in triangulo rectan- gulo ACD, latera AC, CD, nota $unt, quod CD, $it 10. & AC, 37. $emi$sis nimi- rum chordæ AB, 74. Si fiat vt CD, 10. ad $inum totum _8. triang._ _rectil_. 100000. ita AC, 37. ad aliud; inuenietur AC, 370000, tang\~es anguli ADC; ac proinde ip$e angulus erit gr. 74. min. 53. fe- re. Et $i concipiatur duci AE, ad centrum E, erit quo que an- gulus DAE, gr. 74. min. 53. fere; quippe cum anguli ADE, _5. primi_. DAE, æquales $int. Quod $i vtriu$que $umma gr. 149. min. 46. fere, detrahatur ex duobusrectis, hoc e$t, ex gr. 180. re- liquus fiet tertius angulus E, in centro gr. 30. min. 14. fere, ac totidem grad. erit arcus AD; ideoque eius duplus ADB, grad. 60. min. 28. fermè.

Quia verò quadratum ex AC, æquale e$t rectangulo $ub CD, & reliqua _35. tertii_. parte diametri: $i AC, 37, palm. ducatur in $e, & productus numerus 1369. diui- datur per CD, palm. 10. prodibit reliqua pars diametri palm. 136 {9/10}. ac proinde addita CD, palm. 10. tota diameter erit palm. 146 {9/10}. & $emidiameter palm. 73. {9/20}. Si igitur fiat vt 7. ad 22. ita 146 {9/10}. palmi ad aliud; reperietur per 1. re- gulam Num. 2. cap. 7. lib. 4. huius, circumferentia circuli palm. 430 {9/35}. Ergo $i rur$us fiat, vt tota circumferentia grad. 360. ad palmos 430 {9/35}. ita arcus ADB, grad. 60. min. 28. ad aliud, inuenietur hic arcus palm. 72 {54513/189000}. hoc e$t, 72 {10/39}. paulò amplius.

THEOR. 9. ROPOS. 21.

IN omni triangulo quadratum maximi lateris minus e$t, quam duplum $ummæ quadratorum ex reliquis duobus lateribus de$criptorum.

IN triangulo ABC, maximum latus $it AC, & angulus oppo$itus B, obtu$us. Si namque re- ctus e$$et, vel acutus; e$$et quadratum rectæ _47. primi_. AC, vel æquale duobus quadratis rectarum AB, BC; vel minus: ac proinde multo _13. $ecund_. minus duplo $ummæ quadratorum AB, BC. Ex maiore latere AC, dematur AD, recta æ- qualis lateri AB. Et quia duo@ latera AB, BC, _20. primi_. [382]GEOMETR. PRACT. maiora $untlatere AC; erit reliqua CD, minor latere BC; ac proinde duo qua- drata AD, DC, minora duobus quadratis AB, BC. E$t autem quadratum AC, minus duplo quadratorum AD, DC: propterea quod æquale e$t duobus _4. $ecundi_. quadratis AD, DC, vna cum rectangulo bis $ub AD, DC; quod quidem rectan- gulum bis, minus e$t duobus quadratis AD, DC, ex Lemmate propo$. 39. lib. 10. Euclid. Multo ergo minus erit quadratum AC, duplo quadratorum AB, BC. quod erat demon$trandum.

PROBL. 13. PROPOS. 22.

DATIS tribus rectis vtcunque in plano non parallelis, ni$i quando ex- tremæ à media æqualiter di$tant, rectam lineam ducere, & quidem per datum punctum in media, $i omnes tres in vno puncto conue- niant; ita vt eius $egmenta inter mediam, & extremas $int inter $e æ- qualia, vel datam habeant proportionem.

SINT tres rectæ AB, CD, EF. Ducatur vt cunque recta BF, $ecans omnes tres. qua $ecta bifariamin G, $i quidem punctum G, cadet in mediam, factum erit, quodiubetur. Si verò G, cadet extra lineam mediam CD, agatur per G, alteri extremarum, nimirum ip$i EF, (dummodo einon æquidi$tet media CD) parallela AG, $ecans mediam in C. Cum enim CD, ponatur non æquidi$tareip$i EF, $ecabit vtique productam EF, & pro- inde eius quoque parallelam AG. Quod $i CD, ip$i EF, æquidi$taret, ducenda e$$et per G, ip$i AB, parallela. Po$tremò ex B, puncto ductæ rectæ BF, $umpto in extre- ma AB, cui non æquidi$tat AG, ducatur per C, vbi parallela AG, mediam CD, $e- cat, recta BC, $ecans EF, in E. Dico re- ctas BC, CE, æquales e$$e. Cum enim in triangulo BEF, recta CG, $it ba$i EF, parallela: erit vt BG, ad GF, ita BC, ad _2. $exti_. ad CE; Sed BG, ip$i GF, per con$tructionem, æqualis e$t. Igitur & BC, ip$i CE, æqualis erit.

QVOD $i per G, agatur ip$i AB, parallela GI, $ecans mediam CD, in I; erit ducta FIK, $ecta quoque bifariam in I: propterea quod in triangulo FBK, recta GI, ba$i BK, æquidi$tat; ideoque $icut BF, in G, diui$a e$t bifariam, ita quo- _2. $exti_. que FK, in I, bifariam $ecabitur.

EX his patet, cur media linea non debeat vtrique extremæ æquidi$tare, $ed vel neutri, vel alteri tantum. Nam $i vtrique æquidi$taret, recta per G, ducta _30. primi_. parallela alterutra extremarum, æquid<007>$taret quoque mediæ, ac proinde eam non $ecaret. Quod $i neutri æquidi$tet, duci poterit per G, parallela vtrilibet extremarum. Si verò vni extremarum æquidi$tet, ducenda erit per G, alteripa- rallela.

IAM verò $i tres datæ rectæ coeant in eodem puncto productæ, vt in H, facilius erit problema, etiam$i in media linea detur punctum C, per quod duci [383]LIBER OCTAVVS. debeat linea. Ducta enim per datum punctum C, in media, alterutri extrema- rum, vt ip$i HF, parallela CA, $ecante alte- ram extremam in A; & ip$i HA, æqualis capiatur AB, $ecabitur ducta BCE, in C, bifariã: quippe cũ $it BG, ad CE, vt recta _2. $exti_. BA, ad rectam AH, &c. Sic etiam $i detur punctum I, in media; ducta per I, alteru- triextremarum, vtip$i HB, parallela LI, $umptaque ip$i HL, æquali LF, $eca- bitur ducta FIK, in I, bifariam; propter- _2. $exti_. ea quod e$t FI, ad IK, vt FL, ad LH. &c.

EADEM ratione ducemus lineam, quæ à media $ecetur in duas partes da- tam habentes proportionem. Si namque ducta BF, vtcunque $ecetur in datam proportion\~e in G, & reliqua fiant, vt $upra; erit rur$us vt FG, ad GB, ita EC, _2. $exti_. ad CB; Vel vt BG, ad GF, ita BC, ad CE, prout videlicet proportio data e$t FG, ad GB, vel BG, ad GF. Sic etiam $i tres rectæ datæ coeantin H; ducta GA, ip$i EF, parallela, fiatque HA, ad AB, vt antecedens datæ proportionis ad con$e- quens: $i ducatur BCE, erit EC, ad CB, vt HA, ad AB. Et $i fiat HA, ad AB, _1. $exti_. vt con$equens datæ proportionis ad antecedens, erit rur$us BC, ad CE, vt BA, antecedens ad con$equens AH.

PROBL. 14. PROPOS. 23.

CVIVSLIBET lineæ, quamuis minimæ, exhibere multiplicem quam- cunque, etiam$i circino ip$a non accipiatur.

SIT $umenda verbigratia lineolæ AB, tripla. Exten$o circino quantumli- bet ex A, ad C, $umantur ip$i _A_C, duæ æ- quales CF, FD, vt tota AD, ip$ius AC, $it tripla. Item ip$i CB, $umantur tres æ qua- les DG, GH, HE. Dico AE, e$$e ip$ius AB, triplam. Quoniam enim tam multiplex e$t AD, totius AC, quam multiplex e$t ablata DE, ablatæ CB, nimirum tripla: erit quoque ita multiplex reliqua EA, reliquæ AB, vt tota totius, videlicet tripla. quod e$t propo$itum.

PROBL. 15. PROPOS. 24.

EX qualibet lineola, quamuis minima, auferre partem, vel partes impe- ratas,

IN figura præcedentis@ propo$. $it ex lineola AB, detrahenda tertia pars. Per præcedentem $umatur ip$ius AB, tripla AE, quæ, $i videbitur nimis exigua, mul- tiplicetur, vt l<007>bet. In exemplo quadruplicata e$t v$que ad D; <007>ta vt AD, $it ip$ius AB, duodecupla: (quod $cietur, $i numerus partium AE, nimirum 3 du- [384]GEOMETR. PRACT. catur in numerũ partium ip$ius AD, ip$i AE, æqualium, nimirum in 4.) ac pro- inde $i AB, diui$a e$$e intelligatur in 3. partes, tota AD, continebit tales partes 36. Quo circa $i in in$trumento partiũ lib. 1. cap. 1. con$tructo interuallum AD, $tatuatur inter partes 36. 36. Deinde interuallũ inter 35. 35. (nimirum tota AD, vna parte minus) tranferatur ex D, ad I, erit AI, tertia pars ip$ius AB, hoc e$t, pars trige$ima $exta totius AD. Cum ergo AB, contineat tres trige$imas $extas partes totius AD, erit AG, ip$ius AB, pars tertia. quod e$t propo$itum.

PROBL. 16. PROPOS. 25.

ANGVLVM datum rectilineum in tres æquales partes partiri.

PROBLEMA hoc veteres Geometras diu, multumque exagitauit, neque ab vllo ad hanc v$que diem Geometrice e$t $olutum. Pappus Alexandrinus inter alios illud $oluere conatus e$t per de$criptionem hyperboles. Nos idem ab$oluemus per lineam Conchoideos, quam lib. 6. propo$. 15. huius ex Nico- mede de$crip$imus, hoc modo. Sit datus angulus acutus ABC: Demi$$a au- tem ex quouis puncto A, ad BC, perpendiculari AD, fumatur ip$ius AB, dupla DC; Et polo B, interuallo autem DC, de$cribatur linea Conchoideos CE, $e- cans rectam AE, ip$i BC, ductam parallelam in E, ducatur que recta BE. Di- co angulum CBE, e$$e tertiam partem dati anguli ABC; hoc e$t, angulum ABE, duplum e$$e anguli CBE, adeò vt diui$o angulo ABE, bifariam, totus angulus ABC, $ectus $it in tres partes æquales. Quoniam enim ex de$oriptione Con- choideos, recta GE, ip$i DC, æqualis e$t; ac proinde ip$ius AB, dupla: $i $ecetur bifariamin F, erit vtra que $emi$sis ip$i AB, æqualis. Quia verò circulus ex F, _$chol. 31._ _tertii_. circa GE, de$criptus tran$it per angulum rectum GAE, erit quoque ducta FA, vtrique $emi$si FE, FG, ideo que & ip$i AB, æqualis. Igitur tam anguli FAE, _5. primi_. FEA, quam AFB, ABF, æquales erunt. E$t autem externus AFB, duobus in- _32. primi_. ternis FAE, FEA. æqualis: ideoque ip$ius FEA, duplus. Igitur & ABF, eiu$- _29. primi_. dem FEA, hoc e$t, alterni CBE, duplus erit.

SI angulus datus rectus e$t, diuidetur in tres æquales angulos, vt in $cholio propo$. 32. lib. 1. Euclid. tradidimus.

SI verò e$t obtu$us, $ecabimus eum bifariam, & $emi$$em alterutram intres partes æquales, vt docuimus hoc loco. Nam duæ partes tertiæ illius $emi$sis ef- ficient propo$iti anguli obtu$i tertiam partem, vt per$picuum e$t.

[385]LIBER OCTAVVS. PROBL. 17. PROPOS. 26.

SI per idem punctum diametri in rectangulo duæ lineæ ducantur late- ribus parallelæ: Erit rectangulum $ub $egmentis diametri compre- hen$um æquale duobus rectangulis $ub $egmentis duorum laterum comprehen$is.

IN rectangulo BD, per E, punctum diametri AC, ductæ $int FG, HI, lateri- bus parallelæ. Dico rectangulum $ub AE, EC, æquale e$$e rectangulis $ub AF, _4. $ecundi_. FB, & $ub BI, IC. Quoniam enim quadratum ex AC, æquale e$t quadratis ex _47. primi_. AE, EC, vna cum rectangulo bis $ub AE, EC. Suntautem quadrata ex AB, BC, quadrato ex AC, æqualia; erunt quoque duo quadrata ex AE, EC, vna cum rectangulo bis $ub AE, EC, æqualia quadratis ex _4. $ecundi_. AB, BC. Sed quadratum ex AB, æquale e$t quadra- tis duobus ex AF, FB, vna cum rectangulo bis $ub AF, FB; Et quadratum ex BC, æquale e$t duobus quadra- tis ex BI, IC, vna cum rectangulo bis $ub BI, IC. Igi- tur duo quadrata ex AE, EC, vna cum rectangulo bis $ub AE, EC, æqualia erunt quatu or quadratis ex AF, FB, BI, IC, vna cum rectangulis bis $ub AF, FB, & $ub BI, IC. Cum ergo qua- _47. primi_. dratum ex AE, quadratis ex AF, FE, hoc e$t, ex AF, BI: & quadratum ex EC, quadratis ex EI, IC, hoc e$t ex FB, IC: æquale $it; Erunt quatuor quadrata ex AF, BI, FB, IC, vna cum rectangulo bis $ub AE, EC, æqualia quatuor qua- dratis ex AF, FB, BI, IC, vna cum rectangulis bis $ub AF, FB, & $ub BI, IC; Ab- lati$que vtrobique prædictis quatuor quadratis communibus, eritreliquum re- ctangulum bis $ub AE, EC, reliquis rectangulis bis $ub AF, FB, & $ub BI, IC, æ- quale. Ideo que rectangulum $emel $ub AE, EC, rectangulis $emel $ub AF. FB, & $ub BI, IC, erit æquale. quod erat demon$trandum.

COROLLARIVM.

ITAQVE in quadrato, vt in po$teriori figura, rectangulum $ub $egmentis diametri AE, EC, comprehen$um æquale e$t duobus complementis DE, BE, quippe cum complementa $ub $egmentis laterum comprehendantur.

PROBL. 18. PROPOS. 27.

DATO centro Ellip$is in linea in infinitum producta, vna cum duo- bus punctis ad ea$dem partes axis, vel centr<007>, per quæ tran$ire dicatur Ellip$is: vtrumque axis vtriu$que extremum inuenire.

HOC problema conicum e$t, & acutum. Sit A, centrum, id e$t, punctum me- dium al<007>cuius Ellip$is in linea axis maioris BC, quantacunq;: Et duo puncta in eadem Ellip$i D, E, ver$us eandem partem, hoc e$t, $iue $upra centrum A, $iue infra; è quibus ad BC, perpendiculares ducantur DF, EG: Eritque DF, minor [386]GEOMETR. PRACT. quam EG, quod perpendicularis remotior à centro minor $emper $it, quam pro- pinquior. Ducta igitur recta ED, $ecabit lineam axis in B. Secta autem A B, bi- fariam in H, de$cribatur ex H, circa AB, $emicirculus AKB. Diui$a quoque F G, inter ductas perpendiculares bifariam in I, ducatur IK, ad AB, perpendicularis $ecans circumferentiam in K, & rectam B E, in L. Ducta quoque recta B K, $e- cante perpendiculares DF, EG, in M, N, iungantur re- ctæ AM, AK, AN. Et quoniam e$t, vt FI, ad IG, æqua- _2. $exti_. lem, ita MK, ad KN, erit quoque MK, ip$i KN, æqua- lis. Igitur duo latera AK, KM, duobus lateribus AK, KN, æqualia erunt. Cum ergo & angulos æquales comprehendant, vtpoterectos, quod angulus AKB, _31. tertii_. in $emicirculo rectus $it; erunt ba$es AM, AN, æqua- _4. primi_. les. Circulus igitur ex A, per N, de$criptus tran$ibit per M, $ecabitque BC, in O, & C. Dico OC, e$$e axem Ellip$is maiorem. Cum enim $it, vt MD, ad DF, ita _$chol 4_. NE, ad EG, tran$ibit nece$$ariò Ellip$is, quæ per O, D, C, de$cribitur, (po$$e autem Ellip$im de$cribi circa O C, tanquam axem maiorem, per punctum D, con- $tat ex iis, quæ ad finem $cholij propo$. 8. lib. 1. Gno- monices, & in $cholio Lemmatis 50. lib. 1. A$trolabij $crip$imus) per punctum E, ex $cholio Lemmatis 51. A$trolabij: Acproinde Ellip$is per data puncta D, E, circa centrum A, de$cripta tran$ibit per O, C, ita vt ab Ellip$i per O, D, C, de$cri- pta non differat. Alioquin Ellip$is Ellip$im in 8. punctis $ecaret, nimirum in D, E, & aliis duobus re$pondentibus ex altera parte axis: deinde in aliis 4. infra centrum re$pondentibus. quod e$t ab$urdum quippe cum Ellip$is Ellip$im in 4. tantum punctis $ecet.

_25. quinti_ _Apollonii_. THEOR. 10. PROPOS. 28.

SI in circuli diametro producta punctum $umatur, ab eoque recta cir- culum tangens ducatur; à puncto autem contactus chorda ducatur ad diametrum perpendicularis: Recta ex eodem contactus puncto ad vtrumlibet extremum diametri ducta diuidet angulum à tangen- te, & prædicta chorda perpendiculari comprehen$um bifariam. Item $i ab eodem puncto in diametro producta a$$umpto recta du- catur circulum $ecans, & ab alterutro $ectionis puncto ad inter$ectio- nem diametri cum prædicta chorda perpendiculari recta iungatur: Recta ex eodem $ectionis puncto ad vtrumlibet diametri extremum ducta $ecabit quoque angulum à linea $ecante, & illa alia, quæ per in- ter$ectionem diametri cum prædicta chorda perpendiculari ducitur, bifariam.

IN circulo ABCD, cuius centrum E, pro ducta $it diameter AC, & ex F, duca- tur primum recta FH, tangens circulum in B, atque ex B, ducatur chorda B D, [387]LIBER OCTAVVS. $ecans diametrum in G, ad rectos angulos, iunganturque ad extrema diametri rectæ BC, BA. Dico tamangulos CBF, CBG, quam (producta F B, ad H,) angulos ABH, ABG, e$$e æquales. Quoniam enim angulus _32. tertij_. C B F, angulo B A C, in alterno $egmento æ- qualis e$t. & angulus C B D, eidem angulo _27. tert{ij}_. B A C, æqualis, ob arcus æquales CB, CD; _8. $exti_. (vel etiam angulus CBG, angulo BAC, æqua- lis e$t; quod BG, in triangulo rectangulo AB- C, ad ba$em AC, perpendicularis $it) erunt an- guli CBF, CBG, inter $e quoque æquales. Producta autem CB, ad I, $i ex rectis angulis ABC, ABI, tollantur æquales CBG, HBI, _15. primi_. (cum enim CBF, æqualis $it angulo H B I, ad verticem: & angulus CBG, angulo CBF, o- $ten$us æqualis; erit quo que angulus C B G, angulo H B I, æqualis.) erunt quo que reliqui anguli ABG, ABH, inter $e æquales. quod e$t primum.

DEINDE ducatur recta FN, $ecans circu- lum in K, L, ducti$que rectis KGO, LGM, per G, iungantur tam rectæ K C, K A, quam L C, L A, ad extrema diametri. Dico rur$us, tam angulos CLF, CLG, quam ALG, ALN: Item tam CKF, CKG, quam AKG, AKL, e$$e æquales. Ductis enim ex centro rectis EB, EK; erit angulus EBF, rectus: Igitur erit FB, media propor- _18. tert{ij}_. tionalis inter EF, FG: Ideoque rectangulum $ub EF, FG, quadrato ex FB, æ- _coroll. 8._ _$exti_. quale erit; E$t autem eidem quadrato æquale quo que rectangulum $ub LF, FK. Igitur rectangulum $ub EF, FG, rectangulo $ub L F, F K, æquale erit: Ac _17. $exti_. pro inde erit vt EF, prima ad FK, $ecundam, ita LF, tertia ad FG, quartam. Qua- _36. tert{ij}_. re cum triangula EFK, LFG, habeant latera circa communem angulum F, pro- >_16. $exti_. portionalia; erunt anguli FEK, FLG, homologis lateribus FK, FG, oppo$iti _6. $exti_. æquales. E$t autem angulus FEK, in centro anguli CIK, ad circumferentiam, _20. tert{ij}_. (cum habeãt eandem ba$em C K,) duplus. Igitur & angulus FLG, eiu$dem an- guli C L K, duplus erit; ac proinde angulus F L G, $ectus erit bifariam à recta LC, hoc e$t, anguli CLF, CLG, æquales erunt. Producta autem CL, ad P, $i ex rectis angulis ALC, ALP, demantur æquales anguli CLG, P L N, (Cum enim CLF, o$ten$us $it æqualis angulo CLG, & CLF, & æqualis $itangulo PLN, _15. primi_. ad verticem, erit quoque CLG, eidem angulo PLN, æqualis.) erunt quoq; re- liquianguli ALG, ALN, æquales. Rur$us quia anguli CLK, CLM, o$ten$i $unt _26. tert{ij}_. æquales; erunt arcus CK, CM, æquales. Igitur anguli CGK, CGM: Ideoq; _$chol. 29._ _tert{ij}_. & anguli A G O, AGL, ad verticem æquales erunt: Ac proinde arcus etiam AO, AL, æquales erunt: ideoque & anguli AKO, AKL, erunt æquales. Pro- _15 primi_ ducta autem AK, ad Q, $i ex rectis angulis CKA, CKQ, auferantur æquales AKG, _$chol. 29._ _tert{ij}_. FKQ, (Cum enim angulus AKG, angulo AKL, o$ten$us $it æqualis: hic autem angulo FKQ, ad verticem $it æqualis; erit quoque angulus AKG, angulo FKQ. _27. tert{ij}_. æqualis.) erunt etiam reliqui anguli CKG, CKF, inter $e æquales. Quæ omnia _15. primi_. demon$tranda erant.

[388]GEOMETR. PRACT. SCHOLIVM.

HOC Theorema valdè vtile e$t ad de$criptionem paralleli cuiu$uis circuli maximi per datum punctum in A$trolabio, vt ex propo$. 18. lib. 2. A$trolabij per- $picuum e$t: cum multa ibi demon$trari po$sint per hoc Theorema, $ine ijs, quæ ex A$trolabij de$criptione pendent.

THEOR. 11. PROPOS. 29.

DESCRIPTIONEM Pentagoni æquilateri, & æquianguli $upra datam rectam ab Alberto Durero traditam, & quam omnes fere Ar- chitecti, atq; artifices approbant, fal$am e$$e, demon$trare.

PRAXIS hæc e$t. Sit data recta A B. Ex centris A, B, & interuallo eodem AB, de$cribantur duo circuli $e $e inter$ecantes in C, D. Ducta autem CD, quã- tacunque, de$cribatur eodem interuallo AB, ex C, per A, B, circulus rectam CD, in E, & priores circulos $ecans in F, G. Item ducantur ex F, G, per E, rectæ $e- cantes priores circulos in H, I. Denique eodem interuallo ex HI, duo arcus de- $cripti $e $e inter$ecent in K@ iunganturque rectæ AI, IK, KH, HB. Putat ergo Du- rerus, pentagonum ABHKI, e$$e æquilaterum, & æquiangulum. quod fal$um e$t. Nam æquilaterum quidem e$t, ex de$criptione, non autem æquiangulum. quod vt manife$tum fiat, demon$tranda $unt prius nonnulla.

1. ARCVS tres FA, AB, BG, $extæ partes circuli$unt, quod rectæ eos $ubt\~e- dentes $emidiametri $int circuli FABG, ex con$tructione. Igitur FABG, $emi- _31. tert{ij}_. circulus e$t, cuius diameter FG; ideoque angulus _$chol. 27._ _tert{ij}_. FEG, in $emicirculo rectus: Et diameter F G, re- ctæ AB, parallela, ob arcus A F, B G, æquales. Et quoniã, vt con$tat ex demon$tratione praxis $cho- lij propo$. @0. & 11. lib. 1. Euclid. recta C D, $ecat re- _29. primi_. ctam AB, bifariam in M, & ad angulos rectos; $e- cabit eadem parallela quoque F G, ad angulosre- _$chol. 27._ _tert{ij}_. ctos in C. Eadem quoq; CD, $ecabit arcum A B, bifariamin E, ac propterea toti arcus EF, EG, {ae}qua _6. quanti_. les erunt, videlicet quadrantes; ideoq; rectæ EF, EG, latera $unt quadrati in circulo F A B G, de$cri- _$chol. 34._ _primi_. pti, eiu$que diameter FG. Igitur anguli F, G, $emi- recti erunt: ac proinde cum anguliad C, recti $int, _32. primi_. erunt quo que O E M, NEM, $emirecti; ideoq; & EOM, ENM, $emirecti. Ac proinde tam latera E M, N O, quam E M, M N, æ- _6. primi_. qualia: atqueidcirco & OM, NM, inter $e æqualia erunt; nec non & totæ OB, NA, æquales erunt. Immo & EO, EN, erunt æquales, quod latera EM, MO, >_4. primi_. laterib. EM, MN, æqualia $int, cõprehendãtq; angulos æquales, vt pote rectos.

2. DEINDE quialatera AN, AI, lateribus BO, BH, æqualia $unt; $untq; an- guli N, O, $emirecti æquales, & vterque reliquorum angulorum I, H, minorre- _19. primi_. cto; quod vterque minor $it $emirecto ad O, & N; propterea quod tam latus AN, minus e$t latere AI, <004> latus B O, latere BH: eruntper ea, quæ ad finem lib. [389]LIBER OCTAVVS. 1. Euclid. demon$trauimus, tam ba$es NI, OH, quam anguli A, B, & I, H, æqua- les. Igitur duo anguli A, B, in pentagono æqualesinter $e $unt.

3. RVRSVS demptis OE, NE, æqualibus ex æqualibus OH, NI, reliquæ re- _5. primi_. ctæ EH, EI, æquales $unt: erunt anguli EIH, EHI, æquales, ac proinde $emire- cti, cum HEI, $it rectus; Suntautem & anguli H, _5. primi_. I, in I$o$cele KIH, æquales. Igitur toti anguli H, I, in pentagono æquales $unt.

4. POSTREMO cũ latera EL, EI, lateribus EL, E H, $intæqualia, contineantque angulos æquales $emirectos; erunt & ba$es LI, LH, æquales, & an- _4. primi_. guli ad L, ideoque recti. Ex quo efficitur, rectas AB, HI, e$$e parallelas: quod etiam con$tat ex eo, _28. primi_. quod alterni anguli INA, NIH, æquales $int, nimi- _27. primi_. rum $emirecti. Hinc etiam $equitur, rectam C D L, productam cadere in angulum K, diuidereque eum bifariam. Si enim dicatur non cadere in K, diuidet perpendicularis ex K, ad HI, demi$$a ba$em I$o$ce- _$chol. 26._ _primi_. lis KIH, bifariam in alio puncto, quam in L, quod e$t ab$urdum. Quia ergo la- tera KI, KL, lateribus KH, KL, æqualia $unt, & ba$is IL, ba$i HL, o$ten$a æqua- lis: erunt anguliad K, æquales.

_8. primi_.

HIS ita præmi$sis, demon$trabimusiam pentagonum ABHKI, non e$$e æ- _$chol. 32._ _primi_. quiangulum, hocmodo. Omnes 5. anguli in pentagono quolibet, $iue $it {ae}- quilaterum, & æquiangulum, $iue non, æquales $unt 6. rectis, hoc e$t, gra. 540. quibus diui$is per 5. efficitur vnus angulus pentagoni æquilateri, & quianguli grad. 108. At vterlibet duorum angulorum A, B, in pentagono Dureri maior e$t, quam grad. 108. & vterlibet duorum H, I, minor, & angulus K, maior quolibet reliquorum quatuor. vt o$tendemus. Igitur pentagonũ Durerinon e$t æquian- gulum. Hoc autem ita fiet per$picuum.

QVONIAM po$ito $inu toto AB, 10000000. eius $emi$sis BM, $inus vide- licet grad. 30. e$t 5000000. cui $i addatur MO, id e$t, ME, $inus ver$us grad. 30. nimirum 1339746. fiet tota BO, 6339746. Quia ergo in triangulo BHO, duo la- tera dantur BH, 10000000. & BO, 6339746. vna cum angulo O, grad. 45. nec _15. triang. re-_ _ctil_. non cum $pecie anguli H, qui $upra o$ten$us fuit recto minor: Si fiat,

Vt lat{us} B H, \\ 10000000. # ad 707 068. $inum an- \\ guli O, g ad. 45. # Italat{us} B O, \\ 6339746. # ad aliud,

inuenietur $inus anguli BHO, 4482877 {1/2}. ferme, qui in tabula $inuum offeret ip$um angulum grad. 26. min. 38. cui $i addatur angulus BOH, grad. 45. fiet $um- ma angulorum H, O, grad. 71. min. 38. quæ $umma dempta ex duobusrectis, id e$t, ex grad. 180. relinquet angulum OBH, grad. 108. min. 22. Igitur vterque an- gulus A, B, in pentagono maior e$t verò angulo pentagoni grad. 108.

DEINDE ducta BP, ad HI, perpendiculari, $i iterum $tatuatur BH, finus to- tus 10000000. erit HP, 3150970. anguli HBP, grad 18. min. 22. quirelin quitur, $i rectus angulus A B P, grad 90. detrahatur ex angulo A B H, inuento grad. 108. min. 22. Si igitur addatur PL. 5000000. cum $it æqualis ip$i BM, $emi$si $inus _34. primi_. totius, fiet tota HL, $inus anguli HKL, 8150970. Ac propterea angulus ip$e erit grad. 54. min. 36. qui duplicatus dabit totum angulum H K I, grad. 109. min. 12. maiore verò angulo pentagoni grad. 108.

[390]GEOMETR. PRACT.

IAM verò $i $umma trium angulorum A, B, K, inuentorum, nimirum grad. Angulus # A # Grad. # 108 # min. # 22 # B # Grad. # 108 # min. # 22 # H # Grad. # 107 # min. # 2 # I # Grad. # 107 # min. # 2 # K # Grad. # 109 # min. # 12 ## Summa # # 540 # min. # 0 325. min. 56. auferatur ex grad. 540. $umma omnium 5. angu- lorum pentagoni, reliqua fiet $umma angulorum H, I, grad. 214. min. 4. Acproinde vterque erit grad. 107. min. 2. minor ve- rò angulo pentagoni grad. 180. Nonergo æquiangulum e$t Du- reri pentagonum, $ed $olum æ- quilaterum. Omnes tamen 5. anguli cõficiunt $ummam grad. 540. $icut in pentagono æquila- tero, atque æquiangulo, vt hæ formula indicat.

SCHOLIVM.

SVNT alij nonnulli, qui ad interuallum cuiu$uis rectæ AB, de$criptis ex c\~e- tris A, B, duobus circulis $e inter$ecantibus in C, D, vt in $uperiori figura, ducunt rectam AD, affirmantque AD, latus e$$e pentagoni in circulo, cuius $emidiame- ter DM, in$cripti. $ed toto cœlo aberrant. E$t enim AD, minus latere pentago- _10. tert{ij}de-_ _cimi_. ni circuli prædicti. Nam quia latus pentagonipote$t & latus hexagoni, & la- tus decagoni circuli eiu$dem: Pote$t autem AD, rectas DM, MA; & DM, la- _47. primi_. tus e$t hexagoni in circulo, cuius $emidiameter DM, e$$et AM, latus decagoni in _coroll. 15._ _quanti_. eodem circulo. quod fal$um e$t. Quoniam enim latus decagoni maius e$t $e- mi$$e lateris pentagoni, quod duo latera decagoni$upra latus Pentagoni con- _20. primi_. $tituant I$o$celes in quo duo latera maiora $unt latere pentagoni: Erit AM, $e- _10. tert{ij}de-_ _cimi_. mi$sis ip$ius AB, vel AD, minor latere decagoni. Igitur AD, minor e$t latere p\~e- tagoni; quando quidem latus pentagoni pote$t & latus hexagoni DM, & latus decagoni, quod maius e$t, quam AM, $emi$sis ip$ius AD, vt diximus.

THEOR. 12. PROPOS. 30.

INVENTIONEM lateris heptagoni in dato circulo non rectè à qui- bu$dam tradi, demon$trare.

CAROLVS Marianus Cremonen$is totum vnum libellũ edidit de inuentione lateris heptagoni in circulo dato, in quo probare conatur, latus heptagoni reperiri hac ratione. Sit circulus ABC, cuius centrum D, diameter CA, in qua pro- ducta capiatur AE, æqualis quartæ parti $emidiametri AD, ita vt AE, quinta pars $it rectæ DE. De$cripto autem ex E, ad in- teruallum $emidiametri AD, circulo $ecante datum circulum in B, iũgatur recta AB, quam dicit e$$e latus heptagoni, quod fal$um e$$e, ita o$tendemus. Si AB, e$$et verum latus hepta- goni, & ducta BE, æquali $emidiametro DB, (quod fiet, $i ex [391]LIBER OCTAVVS. B, ad interuallum $emidiametri recta D E, $ecetur in E,) $ecante ar@um AB, in F, diuideretur arcus AB, in F, vel angulus ADB, bifariam. quod tamen in eius de- $criptione non contingit, vt demon$trabitur. Non ergo eius linea A B, verum latus e$t heptagoni. Ductis enim rectis DB, DF, $i AB, e$t $eptima pars circum- ferentiæ, continebit tam angulus ADB, quam DEB, ( quiæquales $unt) {2/7}. vel _5. primi_. {4/14}. duorum rectorum. Ergo reliqui DAB, DBA, $imul continebunt {5/7}. vel _32. primi_. {10/14}. duorum rectorum. Ac proinde vterqueip$orum continebit {5/14}. duorum rectorum. Cum ergo DAB, æqualis $it duobus E, & ABE, continebunt etiam _32. primi_. hi $imul {5/14}. duorum rectorum. Continet autem E, $olus {4/14}. duorum recto- rum. Igitur ABE, continebit {1/14}. duorum rectorum. Et quia A D F, duplus e$t _20. tert{ij}_. ip$ius ABE, propter eandem ba$em AF, continebit angulus ADF, {2/14}. id e$t, {1/7}. duorum rectorum. Cum ergo totus ADB, complectatur {2/7}. vt dictum e$t, con- tinebit quoq; BDF, {1/7}. duorum rectorum; ideoque æquales erunt ADF, BDF.

SED iam AB, $it inuenta per con$tructionem prædicti auctoris; eritque EB, æqualis ip$i DB. Si ergo AB, e$$et verum latus heptagoni, caderet DI, perpendi- cularis, diuidens nimirum angulum A D B, bifariam, in F, quod verum non e$t. Po$ita enim BE, 4. erit tota CE, 9. & DE, 5. Cum ergo $it, vt BD, ad DE, ita BF, _3. $exti_. ad F E; (quod angulus A D B, $ectus $it bifariam) erit componendo, $umma ex BD, DE, nimirum 9. ad DE, 5. vt BE, ad FE. Si igitur fiat, vt 9. ad 5. ita BE, 4. ad aliud, inuenietur FE, 2 {2/9}. ac propterea rectangulum $ub BE, 4. & EF, 2 {2/9}. erit 8 {8/9}. & rectangulum $ub CE, 9. & EA, 1. erit 9. quod e$t ab$urdum; cum hæcre- _1. coroll. 36_. _tertij_. ctangula $int æqualia. Non ergo recta DI, cadit in punctum F, inter$ectionis re- ctæ BE, cum arcu AB, quando quidem rectangulum $ub BE, EF, æquale non e$t rectangulo $ub CE, EA, $ed minus: Ac proindenonrectè illa ratione latus he- ptagoni inuenitur.

ALBERTVS Durerus ad KL, latus trianguli æquilateri ($umptis videlicet ar- cubus AK, AL, quorum vterque $extam part\~e circumferentiæ contineat) per- pendicularem ducit A H, dicitque K H, $emi$$em illius lateris e$$e latus hepta- goni. quod $imiliter fal$um e$t. Nam KH, omnino æqualis e$t rectæ AB, quam proximè demon$trauimus non e$$elatus heptagoni. Si enim iungeretur recta AK, fieret triangulum æquilaterum AKD. Igitur perpendicularis K H, diuidet _$chol 26_. _primi_. AD, bifariam: Acproinde po$ita DK, vel DA, 4. erit DH, 2. Quocirca $i detrahe- mus 4. quadratum DH, ex 16. quadrato DK, reliquum erit quadratum KH 12. _47 primi_. At tantum etiam deprehendemus e$$e quadratum AB. Quoniam enim quadra- tum BE, e$t 16. hoc e$t, {64/4}. & quadratum EG, {25/4}. (Nam perpendicularis BG, $ecat in I$o$cele EBD, ba$em ED, bifariam. Cum ergo ED, $it 5. erit DG, 2 {1/2}. cuius quadratum e$t {25/4}) erit quadratum BG, {39/4}. Sed quadratum A G, e$t {9/4}. _47. primi_. quodrecta A G, @@t 1 {1/2}. Igitur quadratum AB, erit {48/4}. id e$t, 12. quod e$t pro- _47. primi_. po$itum.

FRANCISCVS Flu$las Candalla vir nobili$simus, ac do cti$simus conatus e$t con$truere triangulum I$o$celes habens vtrumuis angulorum æqualiũ ad ba$em triplum re- liqui anguli, vt beneficio ip$ius in dato circulo heptagonum in$cribatur, vt in $cholio propo$. 15. lib. 4. Euclid. tradidi- mus. Ita ergo $cribit. Sit triangulum æquilaterum DMN, in quo perpendicularis DO, ad ba$em $ecetur bifariam in P. De$cripto deinde ex M, per N, D, circulo, quem $ecet per- [392]GEOMETR. PRACT. pendicularis PQ, in Q, iungantur rectæ QN, MQ. Dicit igitur, in I$o$cele MNQ, vtrumlibet angulorum N, Q, triplum e$$e anguli M. quod fal$um e$$e, hincin- telligi pote$t. Demi$$a perpendiculari QR, pro $inu arcus QN, vel anguli N, po$ito $inu toto MQ, vel MN, 10000000. Quoniam latus DN, potentia $e- _12. quarti-_ _dectmi_. $quitertium e$t perpendicularis D O, $i fiat vt 4. ad 3. ita 100000000000000. quadratum lateris DN, ad aliud reperietur quadratum DO, 75000000000000. _$chol. 4_. _$ecundi_. quod cum $it quadruplum quadrati P O, vel Q R, erit quadratum Q R, 18750000000000. ip$umque latus QR, erit 4330127. verò minus, vel 4330128. vero maius, cui in tabula $inuum (adhibita parte proportionali) re$pondent grad. 25. min. 39. $ec. 32. pro arcu QN, vel angulo MNQ, quo ablato ex duobus rectis, $iue ex grad. 180. reliqua erit $umma angulorum æqualium ad ba$em QN, grad. 154. min. 20. $ec. 28. atque idcirco vterque complectetur grad. 77. min. 10. $ec. 14. qui maior e$t, quam triplus anguli M N Q. grad. 25. min. 39. $ec. 32. cum hic angulus triplicatus efficiat tantummodo grad. 76. min. 58. $ec. 36. Fal$um ergo e$t, quod Candalla nititur probare. Paralogi$mos tum Caroli Mariani, tum Candallæ, quos committunt, non e$t huius loci manife$tare: $atis nobis e$t, indica$$e eos non rectè de$crip$i$$e heptagonũ æquilaterũ, & æquiangulũ.

THEOR. 13. PROPOS. 31.

OCTOGONVM æquilaterum & æquiangulum circulo in$criptum medio loco proportionale e$t inter quadratum eidem circulo circũ- $criptum, & quadratum in$criptum.

HOC Theorema e$t Orontij, quod facilè ita demon$trabitur. Sit circu- lus ABCD, cuius centrum E; duæ diametri AC, BD, $ecantes $e $e in E, ad angu- los rectos. Iunctis ergo rectis AB, B C, C D, D A, erit quadratum circulo in$cri- ptum ABCD, vt ex demon$tratione propo$. 6. lib. 4. Euclid. con$tat. Ducantur quoque per A, B, C, D, perpendiculares ad diame- tros coeuntes in F, G, H, I, eritque quadratum cir- cum$criptum F G H I, vt patet ex demon$tratione propo$. 7. lib. 4. Euclid. Ductis autem diametris FH, GI, $ecabuntur quadrantes AB, BC, CD, DA, _27. tert{ij}_. bifariam; propterea quod anguli in centro $unt o- _$chol. 34._ _primi_. mnes æquales, nimirum $emirecti: ac proinde & latera quadrati in$cripti diui$a erunt bifariam, & ad _$chol. 27_. _tert{ij}_. angulos rectos. Et $i iungantur rectæ, AK, KB, &c. de$criptum erit octogonum intra circulum. Dico ita e$$e quadratum exterius ad octogonum, vt o- ctogonum ad quadratum interius. Quoniam enim triangula AEF, EAL, {ae}quiangula $unt, quod rectos habeant angulos, & $emirectos: Erit E F, ad F A, hoc e$t, ad EK, (e$t namque EK, ip$i EA, hoc e$t, ip$i AF, æqualis) vt EA, hoc e$t, _4. $exti_. vt EK, ad AL, hoc e$t, ad EL, quod AL, EL, $int æquales, propter angulos $e- _6. primi_. mirectos A, E, intriangulo AEL. Sunt ergo tres rect{ae} EF, EK, EL, continue pro- portio les. Igitur & triangula AEF, AEK, AEL, continue erunt proportiona- _1. $exti_. lia: na ba$ibus EF; EK, EL, $int proportionalia; > Ac proinde & eorũ octu- >_15 quinti_@ [393]LIBER OCTAVVS. pla continuerunt proportionalia, quadratum videlicet FGHI, octogonum A- KBCDA, & quadratum ABCD; quippe cum prædicta triangula $int harum fi- gurarum octauæ partes, vtliquet. Octogonum igitur medio loco proportiona- le e$t inter quadrata FGHI, ABCD, quod demon$trandum erat.

THEOR. 14. PROPOS. 32.

SI ex diametro quadrati detrahatur ip$ius latus: Reliqua linea erit latus alterius quadrati, cuius diameter e$t linea, quæ relinquitur, $i latus in- uentum bis ex diametro prioris quadrati auferatur; vel $i idem latus inuentum ex prioris quadrati latere tollatur.

EX diametro BD, quadrati ABCD, ab$cindatur recta BE, lateri AB, æqualis, & ex eadem diametro dematur reliqua DE, bis v$que ad F, ita vt EF, $it ip$i DE, æqualis: vel (quod idem e$t) reliqua DE, $iue EF, illi æqualis ex latere AB, hoc e$t, ex BE, auferatur. Dico DE, vel EF, latus e$$e quadrati, cuius diameter BF. Ductis enim per F, rectis GH, IK, parallelis ip$is AD, AB; erunt G K, H I, circa _coroll. 4_. _$ecundi_. diametrum quadrata. Dico rectam EF, vel DE, æqualem e$- $e lateri B G, quadrati G K, cuius diameter B F, reliqua fuit po$t detractionem D E, bis ex diametro B D. Quoniam e- _$chol. 47_. _primi_. nim quadratum ex D F, duplum e$t quadrati ex I F, $iue ex A G, & quadruplum quadrati ex E F; $i quadratum ex D F, _$chol. 4. $e-_ _cundi_. ponatur 4. erit quadratum ex A G, 2. & quadratum ex EF, 1. Ac proinde quadratum ex AG, duplum erit quadrati ex EF. _$chol. 47_. _primi_. E$t autem & quadratum ex B F, quadrati ex B G, duplum. Igitur erit vt re- cta A G, ad rectam EF, ita recta BF, ad rectam BG; quando quidem quadrata ea- _22. $exti_. rum proportionalia $unt, habentia nimirum proportionem duplam. Capiatur B L, ip$i BF, æqualis ita vt reliqua LA, reliquæ FE, æqualis $it. Erit igitur quoq; AG, ad AL, vt BF, $iue BL, ad BG; Et diuidendo GL, ad LA, vt GL, ad BG. Quo _9. quinti_. circa AL, $iue EF, & BG, æquales $unt. quod erat o$tendendum.

PROBL. 19. PROPOS. 33.

OCTOGONVM æquilaterum, & æquiangulum ad datam altitudi- nem, latitudinemue con$tituere.

SIT ad altitudinem datam AB, con$truendum octogonum æquilaterum, & æquiangulum. De- $cripto ex AB, quadrato ABCD, ducti$que diame- tris AC, BD, $e in E, $ecantibus bifariam, & ad an- gulos rectos; ab$cindantur ad interuallum EA, ex quatuor angulis quadratirectæ æquales A F, A G; DH, DI; BK, BL; CM, CN, iunganturq; rectæ HK, G M, L I, N F. Dico octogonum FHKGMLIN, e$$e æquilaterum, & æquiangulum. Quoniam enim rectæ A H, A K; B G, B M; C L, C I; D F, D N, relinquuntur po$t detractionem [394]GEOMETR. PRACT. rectæ A B, ex lateribus æqualibus quadrati ABCD, ip$æ inter $e æquales erunt; ideoq; & earũ, quadra- ta erunt æqualia. Cũ ergo quadratũ ex KH, {ae}quale _47. primi_. $it quadratis ex AH, AK, ip$um duplũ erit tã qua- drati ex AH, <004> quadrati ex AK. Quia verò A B, dia- meter e$t quadratiex AE, de$cripti, ab$ci$$aq; e$t re- _32. hui{us}_. cta BK, lateri AE, æqualis; erit reliqua AK, lat<_>9 qua- drati, cuius diameter GK, quæ relin quitur po$t de- tractionem ip$ius A K, bis ex diametro A B, vel ex latere A G, $emel. Igitur & quadratum ex G K, duplum erit quadrati ex K A: ac proinde quadrata _$chol. 47._ _primi_. ex K H, K G, æqualia inter $e erunt; ideo que & re- ctæ KH, KG, æquales erunt. Eadem ratione o$ten- demus, eandem GK, æqualem e$$e rectæ G M; & G M, æqualem rectæ M L, & _13 primi_. $ic de cæteris. Æquilaterum ergo e$t octogonum. Quoniam autem bini _4. primi_. anguliad H, K, G, M, L, I, N, F, æquales $unt duobus rectis; $untque angulia- _$chol. 34._ _primi_. cuti ver$us angulos quadrati omnes inter $e æquales: immo $emirecti, quod KH, GM, &c. $int diametri quadratorum exlateribus AH, GB, &c. de$cripto- rum: Erunt reliqui anguli obtu$i in octogono æquales; ideoque octogonum æquiangulum etiam e$t. quod e$t propo$itum.

SCHOLIVM.

HÆC praxis, quam antè aliquot annos à quo dam Architecto $ine demon- $trationetamen accepi, pulcherrima e$t: quippe quæ non requirat diui$ionem circuli in octo partes æquales, & de$cribat octogonum ad datam altitudinem, latitudinemuè, vt patet. Quam praxem vt demon$trarem, oportuit prius de- mon$trare præcedens theorema. Ex eo enim facile problema propo$itum con- ficitur, vt patuit.

PROBL. 20. PROPOS. 34.

AMBITVM terræ ex edito aliquo monte metiri.

CIRCA finem cap. 1. $ph{ae}ræ Ioan. de Sacro bo$co propo$ui rationem, qua Franci$cus Maurolycus ambitum terræ ex edito aliquo monte inue$tigare do- cuit, quæ talis e$t. Sit circulus terræ B C D, in quo eligatur editi$simus aliquis mons, (ip$e in Sicilia montem Ætnam ad hoc negotium cen$uit eligendum) cuius altitudo AB, inquiratur vel per Quadrantem, vt lib. 2. problem. 2. 3. & 4. docuimus, vel per Quadratum Geometricum, vt lib. 3. pro- blem. 6. 7. 8. & 9. vel potius vt in $cholio problem. 7. ac 9. tradidimus. Deinde ex A, vertice montis men$uretur totum illud $pacium pelagi, $eu terr{ae}, (vbi tamen montes non$int) quod inde con$picitur, ita vt radius AC, maris vel terræ $u- perfici\~e contingat in C. Hoc aut\~e fiet per ea, quæ in proble- matib. citatis tradita $unt. Ex his po$tea explorat magnitudi- n\~e lineæ tang\~etis A C, {pro} pterea {quis} ei<_>9 quadrato æqualia $unt _47. primi_. quadrata AB, BC, ($umpto $pacio BC, {pro} linea recta) cuius _36. tert{ij}_. [395]LIBER OCTAVVS. quadratum æquale e$t rectangulo $ub AD, AB, quo diui$o per AB, altitudinem montis, prodibit in Quotiente recta A D; ex qua $i dematur altitudo montis A B, nota relinquetur diameter terræ BD. Ac proinde circumferentia B C D, _coroll. 2. de_ _Dimens. cir-_ _culi lib. 4. hu-_ _i{us}_. cognita fiet.

SED quia in hac ratione metiendi ambitus terre$tris a$$umitur, arcum B C, à linea recta non di$ferre. quod verum non e$t, quando mons tam altus e$t, vt $pacium 200. vel 300. milliariorum cerni po$sit, quod tunc arcus BC, iuxta am- bitum à Ptolomæo po$itum contineat grad. 3. min. 11. vel grad. 4. min. 48. Ac proinde non rectè linea tangens A C, ex lateribus A B, BC, colligitur. Adde quod per ptoblemata lib. 2. & 3. citata inuenitur perpendicularis BE, in plano, ad quod mons e$t ad angulos rectos: Redigemus rationem hanc ad meliorem formam multis viis hoc modo. Deprehen$o angulo A, per Quadrantem, vel Quadratum, quando radius vi$ualis per dioptram circulum terræ tangit. Quod tum denique certi$simè fiet, cum per dioptram con$picitur Sol, aut alia $tella, quando oritur, vel occidit. Deprehen$o, inquam, angulo A, inuenienda erit perpendicularis BE, per problemata paulò ante citata. Etrecta AE, ex duabus _47. primi_. A B, B E. Si enim ad A E, adiicietur BE, hoc e$t, EC, quæ ip$i BE, æqualis e$t, _2. coroll. 36_. _tertii_. nota fiet tota tangens AC, ex qua, vt $upra dictum e$t, & diameter terræ BD, & circumferentia inue$tigabitur. Quin etiam cognito angulo A, ac proinde & eius complemento E, reperietur tam latus B E, quam ba$is A E, $ineproblemati- _4. triang_. _rectil_. bus ex lib. 2. & 3. citatis, &c.

VEL $ic agemus. Cognito per dioptram angulo A, cognitus etiam erit (du- _5. triang. re-_ _ctil_. cta recta F C, quæ ad A C, perpendicularis erit) angulus F, eius complemen- tum in centro. Quia verò ducta recta FE, duo latera EC, CF, duobus lateribus _18. tertii_. E B, BF, æqualia $unt, comprehenduntque angulos æquales, nemperectos: erunt anguli ad F, æquales. Cum ergo totus angulus B F C, cognitus $it, vt _4. primi_. proximè diximus; cognitus etiam erit BFE, tanquam $emi$sis ip$ius: ac proin- de & eius complementum B E F, notum erit. Igitur in triangulo ABE, ex an- gulis A, E, & latere AE, reperietur BE, in partibus altitudinis montis A B, no- _4. rectang._ _rectil_. tæ. Atque eodem modo in triangulo B E F, ex angulis E, F, & latere BE, cog- no$cetur $emidiameter B F, in partibus lateris BE, hoc e$t, in partibus altitudinis montis A B; ideoque & tota diameter B D, nota fiet, & ex hac ambitus terræ. quod e$t propo$itum.

DENIQVE hoc etiam modo idem a$$equemur. Cognito per dioptram an- gulo A, quando radius vi$ualis terram contingit, cognitus etiam erit angulus A F C, eius complementum. Ergo huius anguli $ecans AF, cognita erit in parti- bus$inus totius FC. Ex qua $ecante, $i dematur $inus BF, nota relinquetur alti- tudo montis AB, in partibus $inus totius BF. Si igitur fiat, vt altitudo montis AB, nota in partibus $inus totius ad eandem A B, notam in data men$ura, ita $i- nus totus BF, ad aliud; proueniet $emidiameter BF, nota in partibus altitudinis montis, &c.

PROBL. 21. PROPOS. 35.

PRISMATI cuicunque Cylindrum æqualem, & Pyramidi Conum æqualem: Ac vici$sim Cylindro Pri$ma æquale, & Cono æqualem Pyramidem con$tituere.

[396]GEOMETR. PRACT.

SI ba$i pri$matis, vel pyramidis con$truatur circulus æqualis, per ea, quæ ad finem lib. 7. $crip$imus: Et $uper hunc circulum extruatur cylindrus, vel conus eiu$dem altitu dinis cum pri$mate, vel pyramide; erit cylindrus pri$mati, & co- nus pyramidi æqualis. Cum enim tam ba$es, quam altitudines æquales $int: pro ducatur autem pri$ma, & Cylindrus ex ba$e in altitudinem multiplicata, & pyramis, atque conus ex tertia parte ba$is in altitudinem multiplicata, vt lib. 5. cap. 1. declarauimus; manife$tum e$t, cylindrum pri$mati, & conum pyramidi e$$e æqualem.

SI vici$sim ba$i cylindri, vel coni con$tituatur quadratum, aut alia quæuis rectilinea figura æqualis, per ea, quæ ad finem lib. 7. diximus, & $uper hoc qua- dratum, aut figuram rectilineam fiat pri$ma, vel pyramis eiu$dem altitudinis cum cylindro, vel cono, erit pri$ma cylindro, & pyramis cono æqualis. quod e$t propo$itum.

PROBL. 22. PROPOS. 36.

DATO Cylindro, aut pri$mati æqualem conum, vel pyramidem $ub eadem altitudine. Et vici$sim dato cono, vel pyramidi æqualem cy- lindrum, aut pri$ma eiu$dem altitudinis con$tituere.

SI tam ba$is cylindri, quam pri$matis tripletur, & $uper triplicatam extrua- _16. $exti_. _hui{us}_. tur conus, vel pyramis eiu$dem altitudinis, factum erit, quod in prima pa<007>te proponitur. Cumenim cylindrus ttiplus $it coni eandem cumillo ba$em, & _10. duode-_ _cimi_. altitudinem habentis: Item pri$ma triplum pyramidis eandem cum illo ba- $em, atque altitudinem habentis: Sit autem & conus extructus eiu$dem @l- _coroll. 7_. _duodec_. lius coni triplus; necnon & pyramis con$tructa eiu$dem illius pyramidis tri- pla. Erit tam conus extructus cylindro æqualis, quam pyramis con$tructa _11. & 6. duo-_ _dec_. pri$mati. quod e$t propo$itum.

SI vici$sim ba$es coni, & pyramidis in tripla proportione minuantur, & _9. quinti_. _16. $exti_. _hui{us}_. $uper tertias has partes cylindrus erigatur, & pri$ma: Erit tam cylindrus dato cono, quam pri$ma datæ pyramidi æquale. Quoniam enim tam conus datus, _11. & 10_. _duodec_. quam cylindrus extructus, triplus e$t coni eandem ba$em, altitudinem que ha- bentis cum cylindro extructo. Item tam data pyramis, quam pri$ma extru- _6. & 7. duo-_ _dec_. ctum, triplum e$t pyramidis eandem habentis ba$em, atque altitudinem cum pri$mate extructo. Erit tam cylindrus extructus dato cono æqualis, quam _9. quinti_. pri$ma con$tructum datæ pyramidis æquale. quod e$t propo$itum.

COROLLARIVM I.

QVIA igitur omne pri$ma in cylindrum, & pyramis in conum conuerti- _35. hui{us}_. tur: Et contra cylindrus in pri$ma, & conus in pyramidem: Item cylindrus _36. hui{us}_. in conum, & pri$ma in pyramidem: Et contra conus in cylindrum, & pyramis in pri$ma conuerti pote$t; fit vt indifferenter tam cylindrus, quam pri$ma tran$- mutari po$sit in pyramidem, aut conum, ac pyramis in cyl<007>ndrum, aut pri$ma æquale.

[397]LIBER OCTAVVS. COROLLARIVM II.

Ex his etiam manife$tè colligitur, omnem cylindrum, ac pri$ma; $imiliter & conum, ac pyramidem conuerti po$$e in parallelepipedum rectangulum, cuius ba$is $it quadrata. Nam conuer$o cylindro, aut cono, vel pyramidein pri$ma _35. & 36_. _hui{us}_. qualecunque, $i ba$i pri$matis fiat quadratum æquale, & $upra illud erigatur pa- _2. coroll. 7_. _duodec_. rallelepipedum eiu$dem altitudinis; erit hoc parallelepipedum priori æquale, ac proinde & propo$ito cylindro, vel cono, aut pyramidi.

PROBL. 23. PROPOS. 37.

DATVM cylindrum, vel pri$ma: $imiliter datum conum, vel pyrami- dem cuiu$cunque altitudinis, in æqualem $ub data qualibet alia altitu- dine, & $upra ba$em quotcunque angulorum, reuocare.

IN proportione, quam data altitudo ad altitudinem propo$iti $olidi habet, augeatur vel minuatur ba$is eiu$dem $olidi dati. Nam $olidum $upra hanc ba- _16. $exti_. _hui{us}_. $em auctam, vel diminutam $ecundum datam altitudinem con$tructum, erit id, quod quæritur. Erit enim æquale dato $olido: quippe cum altitudines cum _15. & 9_. _duodec_. ba$ibus reciprocæ $int. Quod $i ba$i con$tructi $olidi fiat æqualis ba$is quot- cunque angulorum & $upra eam con$tituatur $olidum $ub data altitudine; erit hoc etiam $olidum $olido propo$ito æquale.

PROBL. 24. PROPOS. 38.

DATO parallelepipedo rectangulo cubum æqualem de$cribere.

SI parallelepipedum non habet ba$em quadratam, fiat eius ba$i quadra- _14. $ecundi_. tum æquale BCD, $upra quod erigatur parallelepi- pedum rectangulum eiu$dem altitudinis A B, cum parallelepipedo dato, quod æquale erit dato pa- _2. coroll. 7_. _duodec_. rallelepipedo. Huic ergo cubum æqualem con- $truemus hacarte. Inter BC, latus quadrati BD, & A B, altitudinem parallelepipedi, inueniantur duæ med@æ prop@rtionales EF, H: ita vt $it BC, ad EF, quemadmodum EF, ad H, & H, ad A B. Et $uper EF, propinquiorem lateri B C, con$truatur cubus EFG. qui parallelepipedo _Lemma 18_. _$exti hui{us}_. ABCD, æqualis erit.

QVOD $i fortè accidat, tres dimen$iones parallelepipedi dati, cuius ba$is quadrata non $it e$$e continuè proportionales; erit cubus ex media de$criptus _36. vndec_. parallelepipedo æqualis.

COROLLARIVM.

CVM igitur omnis cylindrus, omne pri$ma, conus ac pyramis in rectangu- _2. coroll_. _36. hui{us}_. lum parallelepipedum po$sit commutari, liquidò con$tat, cuilibet $olido eiu$- modi, cubum po$$e con$trui æqualem.

[398]GEOMETR. PRACT. PROBL. 25. PROPOS. 39.

DATO cubo æquale parallelepipedum rectangulum $ub data altitu- dine, vel $upra datam ba$em con$truere.

SIT in præcedenti figura datus cubus E F G, & primum data altitudo A B, _11. $exti_. $ub qua con$truendum $it parallelepipedum rectangulum cubo æquale. Alti- tudini AB, & lateri cubi E F, reperiatur tertia proportionalis BC. Et fiat rectan- gulum BD, comprehen$um $ub tertia proportionali BC, & recta CD, lateri cu- bi E F, æquali; erigatur que $upra B D, parallelepipedum rectangulum $ub data altitudine AB. quod dico cubo e$$e æquale. Quoniam enim parallelepipedum rectangulum A B D, continetur $ub tribus rectis AB, CD, BC, hoc e$t, $ub A B, E F, B C, continuè proportionalibus; erit parallelepipedum æquale cubo ex _36. vndec_. media E F, de$cripto. quod e$t propo$itum.

SIT deinde data ba$is BD, quæ $i non e$t parallelogrammum, r@uocetur ad _45. primi_. parallelogrammum æquale. Et quam proportio- nem habeat ba$is data BD, ad ba$em cubi dati, eam habet latus cubi E F, ad rectam A B. (quod fiet, $i $upra latus cubi E F, fiat rectangulum æquale ba$i B D, & $uper alterum latus huius rectangulialiud rectangulum æquale quadrato lateris cubi E F. _1. $exti_. Namtunc erit, vt primum rectangulum, id e$t, ba- $is BD, ad $ecundum rectangulum, id e$t, ad quadratum, vel ba$em cubi, ita primi rectanguli ba$is, videlicet EF, ad ba$em $ecundirectanguli.) Nam $i $upra ba$em BD, erigatur parallelepipedum in altitu dine inuenta AB, erunt parallelepipe- _34. vndec_. dum, & cubus æqualia: quippe cum ba$es, & altitudines $int reciprocæ, ex con- $tructione. quod e$t propo$itum.

COR OLLARIVM.

QVONIAM igitur cuilibet cylindro, pri$mati, cono, ac pyramidi parallele- _coroll. 38_. _hui{us}_. pipedum rectangulum con$trui pote$t æquale: $i huic parallelepipedo fiat cu- bus æqualis; & huic cubo parallelepipedum rectangulum $ub data altitudi- _38. hui{us}_. ne, vel ba$e data æquale: commutatus erit cylindrus, pri$ma, conus, ac pyramis _39. hui{us}_. in parallelepipedum rectangulum æquale datæ altitudinis, vel ba$is.

PROBL. 26. PROPOS. 40.

SPHÆRÆ datæ cubum æqualem: Et dato cubo æqualem $phæram con$tituere.

QVONIAM per propo$. 32. lib. 1. Archimedis de $phæra, & cylindro, Cylin- drus rectus, cuius ba$is e$t maximus $phæræ circulus, & altitudo diametro eiu$- dem $phæræ æqualis, $e$quialteram habet proportionem ad $phæram: Hab@t _14. vndec_. autem idem cylind@us ad cylindrum eiu$dem ba$is, cuius altitudo contineat {2/3}. diametri $phæræ, proportionem quo que $e$quialteram; erit po$terior hic _9. quinti_. [399]LIBER OCTAVVS. cylindrus $phæræ æqualis. Si igitur huic cylindro fiat cubus æqualis; eritidem _coroll. 38_. _hui{us}_. hic cubus datæ $phæræ æqualis. quod e$t propo$itum.

VEL quia per eand\~e propo$. 32. Archimedis, $phæra quadrupla e$t coni, cu- ius ba$is e$t maximus $phær{ae} circulus, & altitudo $emidiameter $phæræ æqualis: E$t autem eiu$dem coni quadruplus etiam conus eiu$dem altitudinis, ba$em _11. duodec_. habens circuli maximi in $phæra quadruplam, hoc e$t, ba$em habens circulum, cuius $emidiameter æqualis diametro maximi circuli; erit po$terior hic conus _9. quinti_. $phæræ æqualis. Si igitur huic cono fiat cubus æqualis, erit hic idem cubus _coroll. 38_. _hui{us}_. $phæræ datæ æqualis. quod e$t propo$itum.

SIT vici$sim dato cubo fabricanda $phæra æqualis. Fiat cubo, tanquam _35. hui{us}_. Pri$mati, cylindrus æqualis. Deinde $phæra fabricetur, habens diametrum $e$- quialteram aititu dinis cylindri. Hæc enim $phæra cylindro, ac proinde cubo _9. quinti_. dato æqualis erit: propterea quod cylindrus eiu$dem ba$is altitudinem habens æqualem diametro $phæræ, $e$quialter e$t tam prioris cylindr<007>, quam datæ _14. duodec_. _32. lib. 1. de_ _$ph. & cyl_. $phæræ. quod e$t propo$itum.

COROLLARIVM I.

QVIA verò $i ba$i cubi fiat æqualis figura quotcunq; laterum, $iue eare- _25. $exti_. gularis $it, $iue non; & $upra hanc figuram erigatur $olidum rectangulum ad al- _2. eoroll. 7_. _duodec_. titudin\~e cubi $olidum hoc cubo e$t æquale: fit vt $phæræ datæ con$trui po$sit æquale $olidum rectangulum $upra ba$em quotlibet angulorum; $i nimirum _40. hui{us}_. prius con$truatur cubus æqualis: deinde huic cubo $olidum rectangulum æ- quale, vt proximè dictum e$t. Item quia cuicunque pri$mati pyramis con$trui _36 hui{us}_. pote$t æqualis: $i cubo, qui $phær{ae} e$t æqualis, tanquam pri$mati, fiat pyramis æqualis; erit quo que eadem pyramis $p hær{ae} æqualis. Immo quoniam cuili- _36. hui{us}_. bet cylindro conus fieri pote$t æqualis: $i cylindrus extruatur $phær{ae} æqualis, $upra ba$em videlicet maximo circulo in $phæra æqual\~e, & cuius altitudo con- tineat {2/3}. diametri, vt ad initium huius propo$. o$tendimus: Deinde huic cylin- dro conus æqualis; con$titutus erit conus quo que datæ $phær{ae} æqualis.

VICISSIM quia cuilibet pri$mati con$trui pote$t cubus æqualis: Si huic _37. hui{us}_. cubo fiat æqualis $phæra, erit eadem hæc $phæra con$tituta æqualis dato pri$ma- _40. hui{us}_. ti$upra ba$em quotcunque angulorum.

COROLLARIVM II.

QVIN etiam colligitur, po$$e $ph{ae}ram con$trui æqualem cuilibet corporire- gulari. Nam de cubo quidem o$ten$um e$t hac propo$. 40. De Tetraedro ve- ro, $iue Pyramide regulari patet. Nam $i Pyramidi fiat Parallelepipedum æqua- _2. coroll. 36_. _hui{us}_. le: Et huic parallelepipedo cubus æqualis; Ac tandem huic cubo fabrice- tur $ph{ae}ra æqualis; erit eadem hæc $phæra Tetraedro, $iue pyramidi regulariæ- _38. cui{us}_. qualis. De Octaedro autem, Ico$aedro, & Dodecaedro ita res peragetur. Si o- mnibus ba$ibus corporis regularis fiat quadratum æquale, per ea, quæ ad finem lib. 2. Euclid. vel potius per ea, qu{ae} lib. 4. huius Geometri{ae} cap. 4. Num. 4. tra- didimus; & $uper hoc quadratum fiat pyramis habens altitudinem æqualem perpendiculari è centro corporis ad quamlibet ba$em duct{ae}, hoc e$t, altitudini vnius pyramidis ex iis, in quas corpus diuiditur è centro: Erit hæc pyramis _9. quinti_. [400]GEOMETR. PRACT. corpori regulari æqualis; quippe cum ita $e habeat tam pyramis hæc quadrila- _6. duodec_. tera ad vnam pyramidem corporis regularis, quam omnes pyramides corporis regularis ad vnam pyramidem, vt ba$is ill<007>us vel ba$es omnium pyramidum corporis, ad vnam ba$em; propterea quod in Octaedro proportio e$t vtro- bique octupla: In Ico$aedro, vigecupla: Et in Dodecaedro, duo decupla. Qua- re $i totiilli pyramidi cubus con$truatur æqualis, vt paulò ante de Tetraedro di- ctum e$t: atque huic tandem cubo $phæra æqualis fabricetur; erit eadem $phæ- ra illi pyramidi, hoc e$t, corpori regulari æqualis.

PROBL. 27. PROPOS. 41.

DVOBVS aut pluribus cubis vnum cubum æqualem efficere.

SI $upra ba$em $uperiorem primi cubi, con$truatur parallelepipedum re- _39 hui{us}_. ctangulum $ecundo cubo æquale, vt fiat vnum parallelepipedum duo bus cu- bis æquale: Et $upra huius parallelepipedi ba$em $uperiorem aliud parallelepi- pedum æquale tertio cubo, & $ic deinceps, $i plures ad$int cubi, con$tructum erit parallelepipedum propo$itis cubis æquale. Huic ergo $i fiat cubus æqua- _38. hui{us}_. lis, factum er<007>t, quod proponitur.

SCHOLIVM.

EADEM arte quotlibet figuris $olidis non cubis, con$truetur cubus æqualis: $i nimirum reuo centur ad vnum parallelepipedum, &c.

_37. hui{us}_. PROBL. 28. PROPOS. 42.

DATO cubo, corpus regulare, quod ex quinque elegeris, æquale con- $truere.

SIT datus cubus, cuius latus A, cui verbi gratia con$truendum $it æquale Dodecaedrum. Fiat quodcunque Dodecaedrum, _17. tertii-_ _decimi_. cuius latus B: cui per ea, quæ in 2. coroll. præceden- C. # A. # B. # D. tis propo$. dicta $unt, fiat æqualis cubus, cuius latus C. Et tribus lateribus C, A, B, reperiatur quarta proportionalis D. Dico Do- _12. $exti_. decaedrum $upra latus D, con$tructum, æquale e$$e dato cubo lateris A. Quo- niam enim, vt ex demon$tratione propo$. 37. lib. 11. Eucl. patet. ita e$t cubus la- teris C, ad cubum lateris A, vt Dodecaedrum lateris B, ad Dodecaedrum late- ris D: E$t autem per con$tructionem, cubus lateris C, æqualis Dodecaedro lateris B; erit quo que cubus lateris A, Dodecaedro lateris D, æqualis, quod e$t _14. quinti_. propo$itum.

PROBL. 29. PROPOS. 43.

EX maiori cubo detrahere minorem, re$iduoque cubum æqualem ex- hibere.

[401]LIBER OCTAVVS.

SVPRA ba$em maioris cubi con$truatur parallelepipedum cubo minori _39. hui{us}_. æquale. Et ex latere cubi maioris ab $cindatur recta æqualis altitudini con$tructi parallelepipedi. Si enim per punctum ab$ci$sionis ducatur planum ba$ibus cu- bi parallelum, detractum erit parallelepip edum parallelepipedo con$tructo æ- quale, cum habeat eandem ba$em & altitudinem cumillo, hoc e$t, minori cu- bo æquale. Si igitur reliquo parallelepipedo fiat cubus æqualis, factum erit, _38. hui{us}_. quod proponitur.

SCHOLIVM.

IDEM fieri pote$t in aliis figuris $olidis; $i prius reducantur ad parallelepi- _1. & 2. coroll_. _36. hui{us}_. peda rectangula, quando non $unt parallelepipeda. & deinde parallelepi- peda ad cubos, &c.

_38. hui{us}_. PROBL. 30. PROPOS. 44.

DATIS duabus, aut pluribus $phæris, $phæram vnam æqualem con- $tituere.

SPHÆRIS propo$itis con$truantur cubi æquales: His deinde vnus _40. hui{us}_. _41. hui{us}_. cubus æqualis fiat, qui etiam $phæris datis erit æqualis. Si igitur huic cubo _40. hui{us}_. extruatur $phæra æqualis; factum erit, quod iubetur.

PROBL. 31. PROPOS. 45.

EX maiori $phæra minorem $phæram detrahere, re$iduoque $phæram æqualem exhibere.

VTRAQVE $phæra in cubum reuocetur. Detracto deinde minore ex _40. hui{us}_. maiore, $i re$iduo $phæra fiat æqualis; factum erit, quod proponitur. _43. hui{us}_. _40. hui{us}_.

PROBL. 32. PROPOS. 46.

DATVM cubum aut parallelepipedum, $ecundum proportionem da- tam $ecare.

SI namque vnum latus in ba$e cubi, aut parallelepipedi $ecetur $ecundum datam proportionem, & per punctum $ectionis ducatur planum duabus ba$i- $ibus erectis $olidi parallelum, diuidens ip$um $olidum in duo parallelepipeda: habebunt hæc parallelepipeda datam proportionem. Habent enim propor- _32. vndec_. tionem inter $e eandem, quam ba$es. Cum ergo ba$es habeant eandem pro- _@. $exti_. portionem, quam $egmenta lateris $ecundum datam proportionem diui$i; con- $tat id, quod propo$itum e$t.

SCHOLIVM.

NON aliter pri$ma quo dlibet, aut cylindrus $ecundum datam proportio- nem $ecabitur, $i altitudo in datã $ecetur proportionem, & per punctũ $ectionis [402]GEOMETR. PRACT. planum ducatur ba$ibus parallelum. Hoc enim $ecabit tam pri$ma, quam cy- _$chol. 14._ _duodec_. lindrum in datam proportionem. _14. duodec_.

PROBL. 33. PROPOS. 47.

FIGVRAM Ellip$i $imilem, quam ouatam dicunt, circino de$cri- bere.

LIBET mi$cellaneorum hunc librum peruulgato illo problemate conclu- dere, quo artifices ope circini de$cribere $olent $iguram ouatam Ellip$i $imilem, ita vt nulli anguli appareant: cum non rarò eiu$mo di figura à Geometris in $uis delineationibus adhibeatur. Docui quidem in lib. 1 no$træ Gnomonic{ae} in $cho- lio propo$. 8. qua ratione vera Ellip$is, qu{ae} coni- ca $ectio e$t, de$cribenda $it: Sed hic $imilem figu- _15. primi_. ram ex $egmentis circulorum con$tantem de$cri- bendam proponimus. Ita ergo, vt ex variis $cri- ptoribus colligitur, agemus. Con$truantur duo triangula æquilatera, vel I$o$celia $upra ba- $em communem A C, in diuer$as partes A B C, ADC. (Æquilatera venu$tiorem faciunt figuram, vt experientia te docebit) producti$que lateribus, de$cribantur ex A, C, duo arcus EFG, HIK, v$que ad latera producta. Si namque ex B, D, per E, K, G, H, alij arcus de$cribantur, tangent hipriores _$chol. 13._ _tertii_. arcus in punctis E, K, G, H: ac proinde illos non $ecabunt, con$tituta que erit figura ouata.

BENE autem vides, ex ei$dem centris A, C, B, D, de$cribi po$$e varias figuras, prout arcus EFG, HIK, maiores fuerint, autminores, vt in figura apparet.

QVOD $i triangula con$tituta $int I$o$celia, poterunt latera AB, CB, &c. vel maiora fieri ba$e AC, vel minora. In figura no$tra $unt minora.

POTES etiam, $i placet, primo loco ex centris B, D, de$cribere arcus EMK, GLH, ad quodcunque interuallum, pro latitudine figuræ de$cribend{ae}: deinde ex centris A, C, minores arcus delineare EFG, HIK.

QVIN etiam $ine con$tructione triangulorum idem effi ciemus hoc modo. Ductis duabus rectis AC, BD, ad angulos rectos $e $ecantibus in N; $umpti$que æqualibus NA, NC, quanti$cunque pro longitudine figur{ae}, de$cribantur ex A, C, arcus circulorum EFG, HIK, parui, aut magni, prout de$ideras extremitates figur{ae} $ecundum longitudinem habere angu$tiores, latiore$ue. Deinde acce- ptis aliis duabus rectis æqualibus NB, ND, quanti$cunque, (quo autem puncta B, D, remotiora fuerint ab N, eo angu$tior figura euadet: & quo minus remota, eo latior. Sed v$us magi$ter optimus facilè docebit, quantæ debeant e$$e re- ctæ NB, ND,) ducantur ex B, D, per centra A, C, rectæ $ecantes priores arcus in E, K, &c. Nam $i ex B, D, per puncta E, K, &c. alij duo arcus de$cribantur, per- fecta erit figura Ellip$i $imilis.

VT autem videas, venu$tiores figuras de$cribi, $i triangula ABC, ADC, $int [403]LIBER OCTAVVS. æquilatera, quæ fere ratio ab artificibus $eruari $olet, de$crip $imus hic duas fi- guras. In minori e$t latus BA, rectæ AE, duplum, in maiorivero æquale, &c.

IAM verò area figuræ ouatæ, beneficio trianguli æquilateri de$criptæ, quam _Area figura_ _ouatæ hic de_ _$cripta_. artifices non raro expetunt, facilè inuenietur, hoc modo. Sector BEK, e$t $e- xta pars circuli, cuius $emidiameter BE, nota, nimirum latus trianguli {ae}quilate- ri BEK, quod e$t in maiorifigura duplum lateris AB, a$$umpti ad libitum: in mi- nori vero $e$quialterum e$t eiu$dem lateris AB. Inuenta ergo area illius circuli, vt lib. 4. cap. 7. docuimus, $i ex eius $exta parte dematur triangulum æquilate- rum BEK, cuius area reperietur per ea, quæ in eodem lib. 4. cap. 2. Num. 5. tradi- ta $unt: reliquum fiet $egmentum EK, ac proinde & GH, notum. Item $ector AGE, e$t pars duo decima circuli, cuius $emidiameter AG, nota, nimirum vel æ- qualis lateri a$$umpto AB, vel $emi$sis ip$ius. Si igitur ex duo decima parte areæ illius circuli auferatur area I$o$celis AGE, quæ reperietur per ea, quæ lib. 4. cap. 2. Num. 4. $crip $imus: remanebit $egmentum GFE, notum, ideoque & $egmen- tum H I K. Quocirca $i quatuor $egmentis cognitis adij ciatur area rectanguli EGHK, cognita erit area totius figuræ. Cogno$cetur autem area huius rectan- guli ex doctrina cap. 1. lib. 4. cum latus E K, chorda $it $extæ partis circuli, hoc e$t, $emidiametro æquale: at E F, $it $inus grad. 60. id e$t, $emi$sis chordæ grad. 120.

VERVM quia hac ratione de$cribi nequit figura ad datam longitudinem, latitudinem que; (quoniam $i longitudo eligatur FI, ignotum erit, quanta $it fu- tura latitudo: propterea quod arcus ex B, D, de$cripti raro tran$eunt per electa puncta latitudinis: Siverò eligatur latitudo L M, in prima figura, ignorabitur fu- tura longitudo: quip pe cum arcus ex A, C, de$criptiraro etiam per electa pun- cto longitudinis tran$eant: vt per$picuum e$t.) do cebimus cum Ioan. Bapti$ta Benedicto, quo pacto, data tam longitudine, quam latiudine figura Ellip $i $imi- lis de$cribenda $it. Sitergo data longitudo AB, & latitudo CD, quæ $e bifa- [404]GEOMETR. PRACT riam, & ad rectos angulos $ecent in E. Ex latitu dine CD, ab$cindatur recta DF@ quantacunoue vltra E, maior tamen interual- lo inter punctum F, & A, extremum longitu- dinis. Hoc enim ni$i fiat, de$cribi non pote- rit figura ouata. Deinde centro F, & interual- lo FD, de$cribatur circulus DG, quinece$$a- rio vltra punctum A, tran$ibit, quippe cum $e- midiameter F D, maior po$ita $it interuallo F A. Ducta autem FG, longitudini AB, paral- lela $ecante circulum de$criptum in G; duca- tur ex G, per A, recta $ecans eundem circulum in H, puncto, è quo ducatur HIK, latitudini CD, parallela, iungatur que HF, $ecans AB, longitudin emin L; eruntque FG, FH, æqua- _coroll. 4._ _$exti_. les è centro F, ad circumferentiam. Et quia triangula H G F, H A L, $imilia $unt; erit vt _4. $exti_. GF, ad FH, ita AL, ad LH. Cum ergo GF, i- p$i FH. $it æqualis; erit quoque AL, ip$i LH, æqualis. Circulus ergo AH, ex L, _$chol. 13._ _tertij_. per A, de$criptus tran$ibit per H, ibique priorem circulum D, G, tanget. Si igitur capiatur EO, æqualis ip$i EI, & EM, ip$i EL, ducatur que POQ, per O, re- ctæ CD, parallela, atque ex M, centro, interuallo autem LH, vel MP, circulus PBQ, de$cribatur, tanget hic quo que priorem circulum in P. Si denique $um- pta EN, ip$i EF, æquali, de$cribatur ex N, ad interuallum FD, prioris circuli cir- culus KCQ tanget hic circulos HAK, PBQ, in K, Q, perfecta que erit figura ouata.

SED quia, vt dictum e$t, con$tat que ex de$crip tione, ni$i latitudo CD, tanta $it, vt ex ea ab$cindi po$sit recta DF, maior interuallo FA, figura hac ratione de- $cribinequit: adeo vt longitudo, ac latitudo ad libitum a$$umi non po$sint; in- $tituetur operatio alio modo, $umpta quacun que longitudine AB, & latitudi- ne CD. Secent $e in prima figura longitudo, latitudo que FI, LM, datæ mutuo bifariam in N, & ad angulos rectos, & $umantur rectæ FA, IC, æquales, & mi- nores $emi$$e latitudinis LN; de$cribantur que ex A, & C, per F, & I, circelli E- FG, HIK, Sumpta deinde MO, $emidiametro AF, æquali, iungatur OA, ex O, ad centrum A, quam bifariam, & adangulos recto sin P, $ecet recta PB, $ecans LM, etiam pro ductum, $i opus e$t, in B, ducatur que BA, v$que ad circulum G- FE. Et quoniam duo latera OP, PB, duobus lateribus AP, PB, æqualia $unt, an- _4. primi_. gulo$que continent rectos, id e$t, æquales: erunt ba$es OB, AB, æquales; ad- diti$que æqualibus OM, AE, ($umpta nam que fuit MO, æqualis $emidiametro FA, vel IC,) totæ BE, BM, æquales erunt. De$criptus ergo circulus ex B, per M, _$chol. 13._ _tertij_. tran$ibit per E, ibique circellum GFE, tanget. Eodem que modo circellum H- IK, tanget. Siigitur $umpta ND, ip$i NB, æquali, de$cribatur ex D, per L, circulus tangens eo$dem priores circellos in G, H, ab$oluta erit figura.

SCHOLIVM.

QVO autem $emidiameter FA, $umpta fuerit minor, quam MN, co certius centrum B, reperietur vt liquet,

[405]LIBER OCTAVVS.

ROGATV multorum placet Epilogi loco apponere tabulam qua dratorũ, & cuborum, qui ex numeris ab 1. v$que ad 1000. pro ducuntur: propterea quod huiu$ce tabulæ multiplex, & in$ignis e$t v$us cum in alijs rebus Mathematicis, tum verò maxime in radicibus quadratis, & cubicis ex magnis numeris extra- hendis, vt po$t tabulam paucis exponam. Non extendi autem tabulam vltra radicem 1000. contentus radicibus tres figuras non $uperantibus: propterea quod $i extenderetur v$que ad radicem 10000. vt radices haberentur quatuor figurarum, decies maior tabula conficienda e$$$et. Si quis tamen eam extende- re volet, inueniet ad finem tabulæ regulas, quibus id facile po$sit exe- qui. Quamuis quadratorum tabulam Docti$simus Maginus in $ua tabula Tetragonica v$que ad radicem 10000. pro- mouerit.

SEQVITVR TABVLA QVADRATO- rum, & Cuborum, quorum radices maio- res non $unt, quam 1000. [406]GEOMETR. PRACT. Tabula Quadratorum, & Cuborum. Radices # Qua- \\ drati # Cubi 1 # 1 # 1 2 # 4 # 8 3 # 9 # 27 4 # 16 # 64 5 # 25 # 125 6 # 36 # 216 7 # 49 # 343 8 # 64 # 512 9 # 81 # 729 10 # 100 # 1000 11 # 121 # 1331 12 # 144 # 1728 13 # 169 # 2197 14 # 196 # 2744 15 # 225 # 3375 16 # 256 # 4096 17 # 289 # 4913 18 # 324 # 5832 19 # 361 # 6859 20 # 400 # 8000 21 # 441 # 9261 22 # 484 # 10648 23 # 529 # 12167 24 # 576 # 13824 25 # 625 # 15625 26 # 676 # 17576 27 # 729 # 19683 28 # 784 # 21952 29 # 841 # 24389 30 # 900 # 27000 31 # 961 # 29791 32 # 1024 # 32768 33 # 1089 # 35937 34 # 1156 # 39304 35 # 1225 # 42875 36 # 1296 # 46656 37 # 1369 # 50653 # 77 38 # 1444 # 54872 39 # 1521 # 59319 40 # 1600 # 64000 Radices # Qua- \\ drati # Cubi # 41 # 1681 # 68921 # 42 # 1764 # 74088 # 43 # 1849 # 79507 # 44 # 1936 # 85184 # 45 # 2025 # 91125 # 46 # 2116 # 97336 # 47 # 2209 # 103823 # 48 # 2304 # 110592 # 49 # 2401 # 117649 # 50 # 2500 # 125000 # 51 # 2601 # 132651 # 52 # 2704 # 140608 # 53 # 2809 # 148877 # 54 # 2916 # 157464 # 55 # 3025 # 166375 # 56 # 3136 # 175616 # 57 # 3249 # 185193 # 58 # 3364 # 195112 # 59 # 3481 # 205379 # 60 # 3600 # 216000 # 61 # 3721 # 226981 # 62 # 3844 # 238328 # 63 # 3969 # 250047 # 64 # 4096 # 262144 # 65 # 4225 # 274625 # 66 # 4356 # 287496 # 67 # 4489 # 300763 # 68 # 4624 # 314432 # 69 # 4761 # 328509 # 70 # 4900 # 343000 # 71 # 5041 # 357911 # 72 # 5184 # 373248 # 73 # 5329 # 389017 # 74 # 5476 # 405224 # 75 # 5625 # 421875 # 76 # 5776 # 438976 # 77 # 5929 # 456533 # 78 # 6084 # 474552 # 79 # 6241 # 493039 # 80 # 6400 # 512000 Radices # Qua- \\ drati # Cubi 81 # 1656 # 531441 82 # 4672 # 551368 83 # 6889 # 571787 84 # 9705 # 592704 85 # 7225 # 614125 86 # 7396 # 636056 87 # 7569 # 658503 88 # 7744 # 681472 89 # 7921 # 704968 90 # 8100 # 729000 91 # 8281 # 753571 92 # 8464 # 778688 93 # 8649 # 804357 94 # 8836 # 830584 95 # 9025 # 857375 96 # 9216 # 884736 97 # 9409 # 912673 98 # 9604 # 941192 99 # 9801 # 970299 100 # 10000 # 1000000 101 # 10201 # 1030301 102 # 10404 # 1061208 103 # 10609 # 1092727 104 # 10816 # 1124864 105 # 11025 # 1157625 106 # 11236 # 1191016 107 # 11449 # 1225043 108 # 11664 # 1259712 109 # 11881 # 1295029 110 # 12100 # 1331000 111 # 12321 # 1367631 112 # 12544 # 1404928 113 # 12769 # 1442897 114 # 12996 # 1481544 115 # 13225 # 1520875 116 # 13456 # 1560896 117 # 13685 # 1601613 118 # 13924 # 1643032 119 # 14161 # 1685159 120 # 14400 # 1728000 [407]LIBER OCTAVS. Tabula Quadratorum, & Cuborum. Radices # Qua- \\ drati # Cubi 121 # 14641 # 1771561 122 # 14884 # 1815848 123 # 15129 # 1860867 124 # 15376 # 1906624 125 # 15625 # 1953125 126 # 15876 # 2000376 127 # 16129 # 2048383 128 # 16384 # 2097152 129 # 16641 # 2146689 130 # 16900 # 2197000 131 # 17161 # 2248091 132 # 17424 # 2299968 133 # 17689 # 2352637 134 # 17956 # 2406104 135 # 18225 # 2460375 136 # 18496 # 2515456 137 # 18769 # 2571353 138 # 19044 # 2628027 139 # 19321 # 2685619 140 # 19600 # 2744000 141 # 19881 # 2803221 142 # 20164 # 2863288 143 # 20449 # 2924207 144 # 20736 # 2985984 145 # 21025 # 3048625 146 # 21316 # 3112136 147 # 21609 # 3176523 148 # 21904 # 3241792 149 # 22201 # 3307949 150 # 22500 # 3375000 151 # 22801 # 3442951 152 # 23104 # 3511808 153 # 23409 # 3581577 154 # 23716 # 3652264 155 # 24025 # 3723875 156 # 24336 # 3796416 157 # 24649 # 3869893 158 # 24964 # 3944312 159 # 2528@ # 4019679 160 # 25600 # 4096000 Radices # Qua- \\ drati # Cubi 161 # 25921 # 4173281 162 # 26244 # 4251528 163 # 26569 # 4330747 164 # 26896 # 4410944 165 # 27225 # 4492125 166 # 27556 # 4574296 167 # 27889 # 4657463 168 # 28224 # 4741632 169 # 28561 # 4826809 170 # 28900 # 4913000 171 # 29241 # 5000211 172 # 29584 # 5088448 173 # 29929 # 5177717 174 # 30276 # 5268024 175 # 30625 # 5359375 176 # 30976 # 5451776 177 # 31329 # 5545233 178 # 31684 # 5639752 179 # 32041 # 5735339 180 # 32400 # 5832000 181 # 32761 # 5929741 182 # 33124 # 6028568 183 # 33489 # 6128487 184 # 33856 # 6229504 185 # 34225 # 6331625 186 # 34596 # 6434856 187 # 34969 # 6539203 188 # 35344 # 6644672 189 # 35721 # 6751269 190 # 36100 # 6859000 191 # 36481 # 6967871 192 # 36864 # 7077888 193 # 37249 # 7189057 194 # 37636 # 7301384 195 # 38025 # 7414875 196 # 38416 # 7529536 197 # 38809 # 7645373 198 # 39204 # 7762392 199 # 39601 # 7880599 200 # 40000 # 8000000 Radices # Qua- \\ drati # Cubi 201 # 40401 # 8120601 202 # 40804 # 8242408 203 # 41209 # 8365427 204 # 41616 # 8489664 205 # 42025 # 8615125 206 # 42436 # 8741816 207 # 42849 # 8869743 208 # 43264 # 8998912 209 # 43681 # 9129329 210 # 44100 # 9261000 211 # 44521 # 9393931 212 # 44944 # 9528128 213 # 45369 # 9663597 214 # 45796 # 9800344 215 # 46225 # 9938375 216 # 46656 # 10077696 217 # 47089 # 10218313 218 # 47524 # 10360232 219 # 47961 # 10503459 220 # 48400 # 10648080 221 # 48841 # 10793861 222 # 49284 # 10941048 223 # 49729 # 11089567 224 # 50176 # 11239414 225 # 50625 # 11390625 226 # 51076 # 11543176 227 # 51529 # 11697083 228 # 51984 # 11852352 229 # 52441 # 12008989 230 # 52900 # 12167000 231 # 53361 # 12326391 232 # 53824 # 12487168 233 # 54289 # 12649337 234 # 54756 # 12812904 235 # 55225 # 12977875 236 # 55696 # 13144256 237 # 56169 # 13312053 238 # 56644 # 13481272 239 # 57121 # 13651919 240 # 57600 # 13824000 [408]GEOMETR. PRACT. Tabula Quadratorum, & Cuborum. Radices # Qua- \\ drati # Cubi 241 # 58081 # 13997521 242 # 58564 # 14172488 243 # 59049 # 14348907 244 # 59536 # 14526784 245 # 60025 # 14706125 246 # 60516 # 14886936 247 # 61009 # 15069223 248 # 61504 # 15252992 249 # 62001 # 15438249 250 # 62500 # 15625000 251 # 63001 # 15813251 252 # 63504 # 16003008 253 # 64009 # 16194277 254 # 64516 # 16387064 255 # 65025 # 16581375 256 # 65536 # 16777216 257 # 66049 # 16974593 258 # 66564 # 17173512 259 # 67081 # 17373979 260 # 67600 # 17576000 261 # 68121 # 17779581 262 # 68644 # 17984728 263 # 69169 # 18191447 264 # 69696 # 18399744 265 # 70225 # 18609625 266 # 70756 # 18821096 267 # 71289 # 19034163 268 # 71824 # 19248832 269 # 72361 # 19465109 270 # 72900 # 19683000 271 # 73441 # 19902511 272 # 73984 # 20123648 273 # 74529 # 20346417 274 # 75076 # 20570824 275 # 75625 # 20796875 276 # 76176 # 21024576 277 # 76729 # 21253933 278 # 77284 # 21484952 279 # 77841 # 21717639 280 # 78400 # 21952000 Radices # Quadra \\ ti # Cubi 281 # 78961 # 22188041 282 # 79524 # 22425768 283 # 80089 # 22665187 284 # 80656 # 22909304 285 # 81225 # 23149125 286 # 81796 # 23393656 287 # 82369 # 23639903 288 # 82944 # 23887872 289 # 83521 # 24137569 290 # 84100 # 24389000 291 # 84681 # 24642171 292 # 85264 # 24897088 293 # 85849 # 25153757 294 # 86436 # 25412184 295 # 87025 # 25672375 296 # 87616 # 25934336 297 # 88209 # 26198073 298 # 88804 # 26463592 299 # 89401 # 26730899 300 # 90000 # 27000000 301 # 90601 # 27270901 302 # 91204 # 27543608 303 # 91809 # 27818127 304 # 92416 # 28094464 305 # 93025 # 28372625 306 # 93636 # 28652616 307 # 94249 # 28934443 308 # 94864 # 29218112 309 # 95481 # 29503629 310 # 96100 # 29791000 311 # 96721 # 30080231 312 # 97344 # 30371328 313 # 97969 # 30664297 314 # 98596 # 30956144 315 # 99225 # 31255875 316 # 99856 # 31554496 317 # 100489 # 31855013 318 # 101124 # 32157432 319 # 101761 # 32461759 320 # 102400 # 32768000 Radices # Qua- \\ drati # Cubi 321 # 103041 # 33076161 322 # 103684 # 33386248 323 # 104329 # 33698267 324 # 104976 # 34012224 325 # 105625 # 34328125 326 # 106276 # 34645976 327 # 106929 # 34965783 328 # 107584 # 35287552 329 # 108241 # 35611289 330 # 108900 # 35937000 331 # 106561 # 36264691 332 # 110224 # 36594368 333 # 110889 # 36926037 334 # 111556 # 37259704 335 # 112225 # 37595375 336 # 112896 # 37933056 337 # 113569 # 38272753 338 # 114244 # 38614472 339 # 114921 # 38958219 340 # 115600 # 39304000 341 # 116281 # 39651821 342 # 116964 # 40001688 343 # 117649 # 40353607 344 # 118336 # 40707584 345 # 119025 # 41063625 346 # 119716 # 41421736 347 # 120409 # 41781923 348 # 121104 # 42144192 349 # 121801 # 42508549 350 # 122500 # 42875000 351 # 123201 # 43243551 352 # 123904 # 43614208 353 # 124609 # 43986977 354 # 125316 # 44361864 355 # 126025 # 44738875 356 # 126736 # 45118016 357 # 127449 # 45499293 358 # 128164 # 45882712 359 # 128881 # 46268279 360 # 129600 # 46656000 [409]LIBER OCTAVVS. Tabula Quadratorum, & Cuborum. Radices # Quadra \\ ti # Cubi 361 # 130321 # 47045881 362 # 131044 # 47437928 363 # 131769 # 47832147 364 # 132496 # 48238544 365 # 133225 # 48627125 366 # 133956 # 49027896 367 # 134689 # 49430863 368 # 135424 # 49836032 369 # 136161 # 50243409 370 # 136900 # 50653000 371 # 137641 # 51064811 372 # 138384 # 51478848 373 # 139129 # 51895117 374 # 139876 # 52313624 375 # 140625 # 52734375 376 # 141376 # 53157376 377 # 142129 # 53582633 378 # 142884 # 54010152 379 # 143641 # 54439939 380 # 144400 # 54872000 381 # 145161 # 55306341 382 # 145924 # 55742968 383 # 146689 # 56181887 384 # 147456 # 56623104 385 # 148225 # 57066625 386 # 148996 # 57512456 387 # 149769 # 57960603 388 # 150544 # 58411072 389 # 151321 # 58863869 390 # 152100 # 59319000 391 # 152881 # 59776471 392 # 153664 # 60236288 393 # 154449 # 60698457 394 # 155236 # 61162984 395 # 156025 # 61629875 396 # 156816 # 62099136 397 # 157609 # 62570773 398 # 158404 # 63044792 399 # 159201 # 63521199 400 # 160000 # 64000000 Radices # Quadra \\ ti # Cubi 401 # 160801 # 64481201 402 # 161604 # 64964808 403 # 162409 # 65450827 404 # 163216 # 65939264 405 # 164025 # 66430125 406 # 164836 # 66923416 407 # 165649 # 67419143 408 # 166464 # 67917312 409 # 167281 # 68417929 410 # 168100 # 68921000 411 # 168921 # 69426531 412 # 169744 # 69934528 413 # 170569 # 70444997 414 # 171396 # 70957944 415 # 172225 # 71473375 416 # 173056 # 71991296 417 # 173889 # 72511713 418 # 174724 # 73034632 419 # 175561 # 73560059 420 # 176400 # 74088000 421 # 177241 # 74618461 422 # 178084 # 75151448 423 # 178929 # 75686967 424 # 179776 # 76225024 425 # 180625 # 76765625 426 # 181476 # 77308776 427 # 182329 # 77854483 428 # 183184 # 78402752 429 # 184041 # 78953589 430 # 184900 # 79507000 431 # 185761 # 80062991 432 # 186624 # 80621668 433 # 187489 # 81182737 434 # 188356 # 81746504 435 # 189225 # 82312875 436 # 190096 # 82881856 437 # 190969 # 83453453 438 # 191844 # 84027672 439 # 192721 # 84604519 440 # 193600 # 85184000 Radices # Quadra \\ ti # Cubi 441 # 194481 # 85766121 442 # 195364 # 86350888 443 # 196249 # 86938307 444 # 197136 # 87528384 445 # 198025 # 88121125 446 # 198916 # 88716536 447 # 199809 # 89314623 448 # 200704 # 89915392 449 # 201601 # 90518849 450 # 202500 # 91125000 451 # 203401 # 91733851 452 # 204304 # 92345408 453 # 205209 # 92959677 454 # 206116 # 93576664 455 # 207025 # 94196375 456 # 207936 # 94818816 457 # 208849 # 95443993 458 # 209764 # 96071912 459 # 210681 # 96702579 460 # 211600 # 97336000 461 # 212521 # 97972181 462 # 213444 # 98611128 463 # 214369 # 99252847 464 # 215296 # 99897344 465 # 216225 # 100544625 466 # 217156 # 101194696 467 # 218089 # 101847563 468 # 219024 # 102503232 469 # 219961 # 103161709 470 # 220900 # 103823000 471 # 221841 # 104487111 472 # 222784 # 105154048 473 # 223729 # 105823817 474 # 224676 # 106496424 475 # 225625 # 107171875 476 # 226576 # 107850176 477 # 227529 # 108531333 478 # 228484 # 109215352 479 # 229441 # 109902239 480 # 230400 # 110592000 [410]GEOMETR. PRACT. Tabula quadratorum, & Cuborum. Radices # Quadra \\ ti # Cubi 481 # 231361 # 111284641 482 # 232324 # 111980168 483 # 233289 # 112678587 484 # 234256 # 113379904 485 # 235225 # 114084125 486 # 236196 # 114791256 487 # 237169 # 115501303 488 # 238144 # 116214272 489 # 23912@ # 116930169 490 # 240100 # 117649000 491 # 241081 # 118370771 492 # 242064 # 119095488 493 # 243049 # 119823157 494 # 244036 # 120553784 495 # 245025 # 121287375 496 # 246016 # 122023936 497 # 247009 # 122763473 498 # 248004 # 123505992 499 # 249001 # 124251499 500 # 250000 # 125000000 501 # 251001 # 125751501 502 # 252004 # 126506008 503 # 253009 # 127263527 504 # 254016 # 128024064 505 # 255025 # 128787625 506 # 256036 # 129554216 507 # 257049 # 130323843 508 # 258064 # 131096512 509 # 259081 # 131872229 510 # 260100 # 132651000 511 # 261121 # 133432831 512 # 262144 # 134217728 513 # 263169 # 135005697 514 # 264196 # 135796744 515 # 265225 # 136590875 516 # 266256 # 137388096 517 # 267289 # 138188413 518 # 268324 # 138991832 519 # 269361 # 139798359 520 # 270400 # 140608000 Radices # Quadra \\ ti # Cubi 521 # 271441 # 141420761 522 # 272484 # 142236648 523 # 273529 # 143055667 524 # 274576 # 143877824 525 # 275625 # 144703125 526 # 276676 # 145531576 527 # 277729 # 146363183 528 # 278784 # 147197952 529 # 279841 # 148035889 530 # 280900 # 148877000 531 # 281961 # 149721291 532 # 283024 # 150568768 533 # 284089 # 151419437 534 # 285156 # 152273304 535 # 286225 # 153130375 536 # 287296 # 153990656 537 # 288369 # 154854153 538 # 289444 # 155720872 539 # 290521 # 156590819 540 # 291600 # 157464000 541 # 292681 # 158340421 542 # 293764 # 159220088 543 # 294849 # 160103007 544 # 295936 # 160989184 545 # 297025 # 161878625 546 # 298116 # 162771336 547 # 299209 # 163667323 548 # 300304 # 164566592 549 # 301401 # 165469149 550 # 302500 # 166375000 551 # 303601 # 167284151 552 # 304704 # 168196608 553 # 305809 # 169112377 554 # 306916 # 170031464 555 # 308025 # 170953875 556 # 309136 # 171879616 557 # 310249 # 172808693 558 # 311364 # 173741112 559 # 312481 # 174676879 560 # 313600 # 175616000 Radices # Quadra \\ ti # Cubi 561 # 314721 # 176558481 562 # 315844 # 177504328 563 # 316969 # 178453547 564 # 318096 # 179406144 565 # 319225 # 180362125 566 # 320356 # 181321496 567 # 321489 # 182284263 568 # 322624 # 183250432 569 # 323761 # 184220009 570 # 324900 # 185193000 571 # 326041 # 186169411 572 # 327184 # 187149248 573 # 328329 # 188131518 574 # 329476 # 189119224 575 # 330625 # 190109375 576 # 331776 # 191102976 577 # 332929 # 192100033 578 # 334084 # 193100552 579 # 335241 # 194104539 580 # 336400 # 195112000 581 # 337561 # 196122941 582 # 338724 # 197137368 583 # 339889 # 198155287 584 # 341056 # 199176704 585 # 342225 # 200201625 586 # 343396 # 201230056 587 # 344569 # 202262003 588 # 345744 # 203297472 589 # 346921 # 204336469 590 # 348100 # 205379000 591 # 349281 # 206425071 592 # 350464 # 207474688 593 # 351649 # 208527857 594 # 352836 # 209584584 595 # 354025 # 210644875 596 # 355216 # 211708736 597 # 356409 # 212776173 598 # 357604 # 213847192 599 # 358801 # 214921799 600 # 360000 # 216000000 [411]LIBER OCTAVVS. Tabula Quadratorum, & cuborum. Radices # Quadra \\ ti: # Cubi 601 # 361201 # 217081801 602 # 362404 # 218767208 603 # 363609 # 219256227 604 # 364816 # 220348864 605 # 366025 # 221445125 606 # 367236 # 222545016 607 # 368449 # 223648543 608 # 369664 # 224755712 609 # 370881 # 225866529 610 # 372100 # 226981000 611 # 373321 # 228099131 612 # 374544 # 229220928 613 # 375769 # 230346397 614 # 376996 # 231475544 615 # 378225 # 232608375 616 # 379456 # 233744896 617 # 380689 # 234885113 618 # 381924 # 236029032 619 # 383161 # 237176659 620 # 384400 # 238328000 621 # 385641 # 239483061 622 # 386884 # 240641848 623 # 388129 # 241804367 624 # 389376 # 242970624 625 # 390625 # 244140625 626 # 391876 # 245314376 627 # 393129 # 246491883 628 # 394384 # 247673152 629 # 395641 # 248858189 630 # 396900 # 250047000 631 # 398161 # 251239591 632 # 399424 # 252435968 633 # 400689 # 253636137 634 # 401956 # 254840104 635 # 403225 # 256047875 636 # 404496 # 257259456 637 # 405769 # 258474853 638 # 407044 # 259694072 639 # 408321 # 260917119 640 # 409600 # 262144000 Radices # Quadra \\ ti: # Cubi 641 # 410881 # 263374721 642 # 412164 # 264609288 643 # 413449 # 265847707 644 # 414736 # 267089984 645 # 416025 # 268336125 646 # 417316 # 269586136 647 # 418609 # 270840023 648 # 419904 # 272097792 649 # 421201 # 273359449 650 # 422500 # 274625000 651 # 423801 # 275894451 652 # 425104 # 277167808 653 # 426409 # 278445077 654 # 427716 # 279726264 655 # 429025 # 281011375 656 # 430336 # 282300416 657 # 431649 # 283593393 658 # 432964 # 284890312 659 # 434281 # 286191179 660 # 435600 # 287496000 661 # 436921 # 288804781 662 # 438244 # 290117528 663 # 439569 # 291434247 664 # 440896 # 292754944 665 # 442225 # 294079625 666 # 443556 # 295408296 667 # 444889 # 296740963 668 # 446224 # 298077632 669 # 447561 # 299418309 670 # 448900 # 300763000 671 # 450241 # 302111711 672 # 451584 # 303464448 673 # 452929 # 304821217 674 # 454276 # 306182024 675 # 455625 # 307546875 676 # 456976 # 308915776 677 # 458329 # 310288733 678 # 459684 # 311665752 679 # 461041 # 313046839 680 # 462400 # 314432000 Radices # Quadra \\ ti: # Cubi 681 # 463761 # 315821241 682 # 465124 # 317214568 683 # 466489 # 318611987 684 # 467856 # 320013504 685 # 469225 # 321419125 686 # 470596 # 322828856 687 # 471969 # 324242703 688 # 473344 # 325660672 689 # 474721 # 327082769 690 # 476100 # 328509000 691 # 477481 # 329939371 692 # 478864 # 331373888 693 # 480249 # 332812557 694 # 481636 # 334255384 695 # 483025 # 335702375 696 # 484416 # 337153536 697 # 485809 # 338608873 698 # 487204 # 340068392 699 # 488601 # 341532099 700 # 490000 # 343000000 701 # 491401 # 344472101 702 # 492804 # 345948408 703 # 494209 # 347428927 704 # 495616 # 348913664 705 # 497025 # 350402625 706 # 498436 # 351895816 707 # 499849 # 353393243 708 # 501264 # 354894912 709 # 502681 # 356400829 710 # 504100 # 357911000 711 # 505521 # 359425431 712 # 506944 # 360944128 713 # 508369 # 362467097 714 # 508796 # 363994344 715 # 511225 # 365525875 716 # 512656 # 367061696 717 # 514089 # 368601813 718 # 515524 # 370146232 719 # 516961 # 371694959 720 # 518400 # 373248000 [412]GEOMETR. PRACT. Tabula Quadratorum, & Cuborum. Radices # Quadra \\ ti: # Cubi 721 # 519841 # 374805361 722 # 521284 # 376367048 723 # 522729 # 377933067 724 # 524176 # 379503424 725 # 525625 # 381078125 726 # 527076 # 382657176 727 # 528529 # 384240583 728 # 529984 # 385828352 729 # 531441 # 387420489 730 # 532900 # 389017000 731 # 534361 # 390617891 732 # 535824 # 392223168 733 # 537289 # 393832837 734 # 538756 # 395446904 735 # 940225 # 397065375 736 # 541696 # 398688256 737 # 543169 # 400315553 738 # 544644 # 401947272 739 # 546121 # 403583419 740 # 547600 # 405224000 741 # 549081 # 406869021 742 # 550564 # 408518488 743 # 552049 # 410172407 744 # 553536 # 411830784 745 # 555025 # 413493625 746 # 556516 # 415160936 747 # 558009 # 416832723 748 # 559504 # 418508992 749 # 561001 # 420189749 750 # 562500 # 421875000 751 # 564001 # 423564751 752 # 565504 # 425259008 753 # 567009 # 426957777 754 # 568516 # 428661064 755 # 570025 # 430368875 756 # 571536 # 432081216 757 # 573049 # 433798093 758 # 574564 # 435519512 759 # 576081 # 437245479 760 # 577600 # 438976000 Radices # Quadra \\ ti: # Cubi 761 # 579121 # 440711081 762 # 580644 # 442450728 763 # 582169 # 444194947 764 # 583696 # 445943744 765 # 585225 # 447697125 766 # 586756 # 449455096 767 # 588289 # 451217663 768 # 589824 # 452984832 769 # 591361 # 454756609 770 # 592900 # 456533000 771 # 594441 # 458314011 772 # 595984 # 460099648 773 # 597529 # 461889917 774 # 599076 # 463684824 775 # 600625 # 465484375 776 # 602176 # 467288576 777 # 603729 # 469097433 778 # 605284 # 470910952 779 # 606841 # 472729139 780 # 608400 # 474552000 781 # 609961 # 476379541 782 # 611524 # 478211768 783 # 613089 # 480048687 784 # 614656 # 481860304 785 # 616225 # 483736625 786 # 617796 # 485587656 787 # 619369 # 487443403 788 # 620944 # 489303872 789 # 622521 # 491169069 790 # 624100 # 493039000 791 # 625681 # 494913671 792 # 627264 # 496793088 793 # 628849 # 498677257 794 # 630436 # 500566184 795 # 632025 # 502459875 796 # 633616 # 504358336 797 # 635209 # 506261573 798 # 636804 # 508169592 799 # 638401 # 510082399 800 # 640000 # 512000000 Radices # Quadra \\ ti: # Cubi 801 # 641601 # 513922401 802 # 643204 # 515849608 803 # 644809 # 517781627 804 # 646416 # 519718464 805 # 648025 # 521660125 806 # 949636 # 523606616 807 # 651249 # 525557943 808 # 652864 # 527514112 809 # 654481 # 529475129 810 # 656100 # 531441000 811 # 657721 # 533411731 812 # 659344 # 535387328 813 # 660969 # 537367797 814 # 662596 # 539353144 815 # 664225 # 541343375 816 # 665856 # 543338496 817 # 667489 # 545338513 818 # 669124 # 547343432 819 # 670761 # 549353259 820 # 672400 # 551368000 821 # 674041 # 553387661 822 # 675684 # 555412248 823 # 677329 # 557441767 824 # 678976 # 559476224 825 # 680625 # 561515625 826 # 682276 # 563559976 827 # 683929 # 565609283 828 # 685584 # 567663552 829 # 687241 # 569722789 830 # 688900 # 571787000 831 # 690561 # 573856191 832 # 692224 # 575930368 833 # 693889 # 578009537 834 # 695556 # 580093704 835 # 697225 # 582182875 836 # 698896 # 584277056 837 # 700569 # 586376253 838 # 70224@ # 588480472 839 # 703921 # 590589719 840 # 705600 # 592704000 [413]LIBER OCTAVVS. Tabula Quadratorum, & cuborum. Radices # Quadra \\ ti: # Cubi 841 # 707281 # 594823321 842 # 708964 # 596947688 843 # 710649 # 599077107 844 # 712336 # 601211584 845 # 714025 # 603351125 846 # 715716 # 605495736 847 # 717409 # 607645423 848 # 719104 # 609800192 849 # 720801 # 611960049 850 # 722500 # 614125000 851 # 724201 # 616295051 852 # 725904 # 618470208 853 # 727609 # 620650477 854 # 729316 # 622835864 855 # 731025 # 625026375 856 # 732736 # 627222016 857 # 734449 # 629422793 858 # 736164 # 631628712 859 # 737881 # 633839779 860 # 739600 # 636056000 861 # 741321 # 638277381 862 # 743044 # 640503928 863 # 744769 # 642735647 864 # 746496 # 644972544 865 # 748225 # 647214625 866 # 749956 # 649461896 867 # 751689 # 651714363 868 # 753424 # 653972032 869 # 755161 # 656234909 870 # 756900 # 658503000 871 # 758641 # 660776311 872 # 760384 # 663054848 873 # 762129 # 665338617 874 # 763876 # 667627624 875 # 765625 # 669921875 876 # 767376 # 672221376 877 # 769129 # 674526133 878 # 770884 # 676836152 879 # 772641 # 679151439 880 # 774400 # 681472000 Radices # Quadra \\ ti: # Cubi 881 # 776161 # 683797841 882 # 777924 # 686128968 883 # 779689 # 688465387 884 # 781456 # 690807504 885 # 783225 # 693154125 886 # 784996 # 695506456 887 # 786769 # 697864103 888 # 788544 # 700227072 889 # 790321 # 702595369 890 # 792100 # 704969000 891 # 793881 # 707347971 892 # 795664 # 709732288 893 # 797449 # 712121957 894 # 799236 # 714516984 895 # 801025 # 716917375 896 # 802816 # 719323136 897 # 804609 # 721734273 898 # 806404 # 724150792 899 # 808201 # 726572699 900 # 810000 # 729000000 901 # 811801 # 731432701 902 # 813604 # 733870808 903 # 815409 # 736314327 904 # 817216 # 738763264 905 # 819025 # 741217625 906 # 820836 # 743677416 907 # 822649 # 746142643 908 # 824464 # 748613312 909 # 826281 # 751085429 910 # 828100 # 753571000 911 # 829921 # 756058031 912 # 831744 # 758550528 913 # 833569 # 761048497 914 # 835396 # 763551944 915 # 837225 # 766060875 916 # 839056 # 768575296 917 # 840889 # 771095213 918 # 842724 # 773620632 919 # 844561 # 776151559 920 # 846400 # 778688000 Radices # Quadra \\ ti: # Cubi 921 # 848241 # 781229961 922 # 850084 # 783777448 923 # 851929 # 786330467 924 # 853776 # 788889024 925 # 855625 # 791453125 926 # 857476 # 794022776 927 # 859329 # 796597983 928 # 861184 # 799178752 929 # 863041 # 801767089 930 # 864900 # 804357000 931 # 866761 # 806954491 932 # 868624 # 809557568 933 # 870489 # 812166237 934 # 872356 # 814780504 935 # 874225 # 817400375 936 # 876096 # 820025856 937 # 877969 # 822656953 938 # 879844 # 825293672 939 # 881721 # 827936019 940 # 883600 # 830584000 941 # 885481 # 833237621 942 # 887364 # 835896888 943 # 889249 # 838561807 944 # 891136 # 841232384 945 # 893025 # 843908625 946 # 794916 # 846590536 947 # 896809 # 849278123 948 # 898704 # 851971392 949 # 900601 # 854670349 950 # 902500 # 857375000 951 # 904401 # 860085351 952 # 906304 # 862801408 953 # 908209 # 865523177 954 # 910116 # 868250664 955 # 912025 # 870983875 956 # 913936 # 873722816 957 # 915849 # 876467493 958 # 917764 # 879217912 959 # 919681 # 881974079 960 # 921600 # 884736000 [414]GEOMETR. PRACT. Tabula Quadratorum, & Cuborum. Radices # Quadra \\ ti: # Cubi 961 # 923521 # 887503681 962 # 925444 # 890277128 963 # 927369 # 893056347 964 # 929296 # 895841344 965 # 931225 # 898632125 966 # 933156 # 901428696 967 # 935089 # 904231063 968 # 937024 # 907039232 969 # 938961 # 909853209 970 # 940900 # 912673000 971 # 942841 # 915498611 972 # 944784 # 918330048 973 # 946729 # 921167317 974 # 948676 # 924010424 Radices # Quadra \\ ti: # Cubi 975 # 950625 # 926859375 976 # 952576 # 929714176 977 # 954529 # 932574833 978 # 956484 # 935441352 979 # 958441 # 938313739 980 # 960400 # 941192000 981 # 962361 # 944076141 982 # 964324 # 946966168 983 # 966289 # 949862087 984 # 968256 # 952763904 985 # 970225 # 955671625 986 # 972196 # 958585256 987 # 974169 # 961504803 988 # 976144 # 964430272 Radices # Quadra \\ ti: # Cubi 989 # 978121 # 967361669 990 # 980100 # 970299000 991 # 982081 # 973242271 992 # 984064 # 976191488 993 # 986049 # 979146657 994 # 988036 # 982107784 995 # 990025 # 985074875 996 # 992016 # 988047936 997 # 994009 # 991026973 998 # 996004 # 994011992 999 # 998001 # 997002999 1000 # 1000000 # 1000000000 [415]LIBER OCTAVVS. DE DIFFERENTHS QVADRATO- rum & cuborum, & de continuationeta- bulæ eorundem.

QVONIAM quadrati numeri creantur per continuam additionem nume- _Differentiæ_ _quadratorum_ rorum imparium, vt Arithmetici demon$trant: fit vt differentia inter quemlibet quadratum, & proximè in$equen- Numeri \\ impares. # Quadra- \\ ti. # Radices. 1 # 1 # 1 3 # 4 # 2 5 # 9 # 3 7 # 16 # 4 9 # 25 # 5 11 # 36 # 6 13 # 49 # 7 15 # 64 # 8 17 # 81 # 9 19 # 100 # 10 21 # 121 # 11 23 # 144 # 12 tem $it duplaradicis minoris, addi- ta in$uper vnitate. Itaque duobus modis tabula quadratorum com- poni pote$t, & continuari. Vno _Compo$itio ta-_ _bulæ quadra-_ _torum_. modo, $i omnes numeri impares ordine ponantur, initio $umpto ab 1. Nam 1. dat primum quadratum 1. Et ex 1. & 3. fit $ecundus 4. cui $i addatur $equens impar 5. fit tertius 9. & $i addatur impar $equens 7. fit quartus quadratus 16. at que ita de- inceps. Habet autem quilibet qua- dratusra dicem tot vnitatum, quot numeri impares ip$um conficiunt. Vt quia $olus impar 1. dat primum quadratum 1. propterea eius radix e$t 1. Deinde quia duo impares 1. & 3. conficiunt $ecundum quadra- tum 4. erit eius radix 2. Sic quia duo decim numeri impares 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. compo- nunt quadratum 144. erit eius ra- dix 12. & $ic de cæteris. Atq; in hũc modum $i $emper $equens nume- us impar adiiciatur ad quadratum præcedentem, conflatur $equens numerus quadratus, continuabiturque tabula in infinitum: $itamen prius $eries nume- rorum imparium continuetur. Radices $erie numerorum naturali progre- diuntur.

ALIO modo condi poterit tabula quadratorum, & in infinitum continua- ri, $ine numerorum imparium $erie, $i omnes radices ponantur ordine, vt in tabu- la vides. Cum enim primus quadratus $it 1. cuius radix 1. $i hæc radix dupli- cata, addita in$uper 1. addatur primo quadrato 1. fit $ecundus 4. cuius ra- dix 2. Hæc duplicata, & in$uper addita 1. $i adiiciatur $ecundo quadra- to 4. fit tertius 9. cuius radix 3. quæ duplicata, & in$uper addita 1. facit 7. Si igitur addantur 7. ad quadratum 9. fit quartus quadratus 16. & $ic in infi- nitum.

NVMERI autem cubi gignuntur quoque ex additione numerorum impa- rium, hoc modo. De$cripta $erie imparium numerorum ab 1. incipientium, pri- [416]GEOMETR. PRACT. mus 1. dat primum cubum 1. cuius radix 1. Duo deinde $equentes 3. 5. coacer- _Generatio cu-_ _borum_. uati præbent $ecundum cubum Numeri \\ impares. # Cubi # Radices. 1 # 1 # 1 3 5 # 8 # 2 7 9 11 # 27 # 3 13 15 17 19 # 64 # 4 21 23 25 27 29 # 125 # 5 8. cuius radix 2. Tres in$equentes 7. 9. 11. exhibent tertium cubum 27. cuius radix 3. Atque eundem in modũ $equentes quatuor im- pares confici\~et quartum cubum, & in$equentes quinq; quintum, & $ic deinceps in infinitum. Qui- libet autem cubus radicem habet tot vnitatum quot impares nu- meri coaceruati ip$um compo- nunt.

PRODVCITVR quoq; cu- bus cuiu$cunque radicis, $i ea ra- dix in $uum quadratum ducatur. Vt cubus radicis 16. e$t 4096. ge- nitus ex radice 16. multiplicata in 256. quadratum eiu$dem radicis.

VERVM quia permole$tum e$t, tam $eriem numerorum impa- rium in tot terminis continuare, vt ex eorum additione omnes cubi generentur, vt dictum e$t, quã radices omnes per $uos qua- dratos multiplicare, ob$eruauit Ioan. Bapti$ta Villalpandus no- $træ Societatis $acerdos Theolo- gus, ac Mathematicus egregius, cuius eru ditionis in rebus Mathe- maticis $pecim\~e præclarum extat in apparatu Vrbis, ac Templi Hiero $olymitani, præ$ertim verò in multiplici _Differentiæ_ _cuborum quo_ _modo repe-_ _riantur_. duarum mediarum proportionalium inter duas rectas inuentione, ob$eruauit inquam pulcherrimam proprietatem cuborum numer orum, per quam differen- tiæ cub orum ordine $ine magna difficultate reperiuntur, quæ po$tea ordine ad cubos præcedentes additæ conficiunt cubos in$equentes. Res autem $ic $e ha- _Con$tructio_ _tabulæ cubo-_ _rum_. bet. In columna $ini$tra $cribatur progre$sio Arithmetica, quæ à 6. incipiat, & per 6. progrediatur. In $ecunda columna reponantur numeri, qui ex nume- ris primæ columnæ componuntur hac arte. Iuxta 6. ponatur 1. Deinde 7. qui numerus ex 1. & 6. conflatur. Po$t hæc numerus 19. ex 7. & 12. coaceruatus. Atque ita deinceps quilibet bini numeri primæ, ac $ecundæ columnæ $imul ad- diti conficient numerum inferiorem in $ecunda columna. In tertia deinde co- lumna collo centur omnes cubi, qui per continuam additionem numerorum $e- cundæ columnæ, quæ quidem differentias cuborum continet, colliguntur hac ratione. Primus cubus e$t @ cui $i addas $equentem differentiam 7. facies $ecun- dum cubum 8. & addendo differentiam $equentem 19. conflabis tertium cu- bum 27. & ita deinceps. Semper enim in tabella appo$ita iuxta quemlibet cu- [417]LIBER OCTAVVS. bum ponitur differentia, qua à præcedenti cubo differt. In quarta denique co- lumna $cribantur ordine cuborum radices.

Progre$$io \\ $enarij. # Differ\~etiæ \\ cuborum. # Cubi. # Radices. 6 # 1 # 1 # 1 12 # 7 # 8 # 2 18 # 19 # 27 # 3 24 # 37 # 64 # 4 30 # 61 # 125 # 5 36 # 91 # 216 # 6 42 # 127 # 343 # 7 48 # 169 # 512 # 8 54 # 217 # 729 # 9 60 # 271 # 1000 # 10 66 # 331 # 1331 # 11 72 # 397 # 1728 # 12 78 # 469 # 2197 # 13 84 # 547 # 2744 # 14 90 # 631 # 3375 # 15 96 # 721 # 4096 # 16

EÆDEM differentiæ cuborum in $ecunda columna de$criptæ inuenientur quo que hoc modo. Radicis propo$itæ quadratum triplicetur, addaturq; radix triplicata, atque in$uper 1. Conflatus enim numerus erit differentia, qua cubus propo$itæ radicis ab in$equenti cubo differt. Vt $i de$ideretur differentia inter cubum 216. radicis 6. & cubum proximè maiorem. Quadratum radicis 6. e$t 36. triplum eius e$t 108. cui $i addatur triplum radicis, videlicet 18. & in$uper vnitas, conflabitur differentia 127. quæ$ita. Atque hoc modo, $i continuentur differen- tiæ cuborum ope progre$sionis $enarij, extendetur tabula cuborum, quantum libuerit. Suntautem, vt vides, numeri progre$sionis $enarij $extupli radicum cu- borum, $inguli $ingularum. Vt 60. $extuplus e$t radicis 10.

QVIA verò diximus, cubos gigni ex ad ditione numerorum imparium, nimi- rum primum e$$e 1. $ecundum ex duobus $equentibus 3. 5. confici, & tertium ex tribus $equentibus 7. 9. 11. &c. ita vt quilibet ex tot imparibus coaceruetur, quotvnitates in eius radice continentur; $i curio$us qui$piam no$$e de$ideret, [418]GEOMETR. PRACT. (quod $cire non iniucundum e$t) quotnam $int illi numeri impares propo$i- _Qui numeri_ _impar{es} da-_ _tum cubum_ _@omponant_. tum cubum componentes, hoc e$t, à quonam impari illi impares incipiant, & in quo de$inant, con$equetur id hoc artificio. Radix propo$iti cubi, $i impar e$t, multiplicetur per $emi$$em numeri proximè minoris, & duplo producti ad- datur 1. Numerus enim conflatus erit primus imparium quæ$itorum. Quod $i radix fuerit par, ducatur eius $emi$sis in numerum proximè minorem radice, & duplo producti adiiciatur 1. Rur$us enim primus imparium, qui quæruntur, conficietur. Exempli gratia. Propo$itus $it cubus 125. cuius radix 5. ac proin- de ex quin que numeris imparibus coaceruatus. Duco radicem 5. quia e$t im- par in 2. $emi$$em numeri 4. proximè minoris, efficio que 10. duplico. fiunt 20. & addita 1. fit primus imparium 21. Ergo quinque impares quæ$iti $unt. 21. 23. 25. 27. 29. quiin vnam $ummam collecti con$tituunt cubum 125. Rur$us datus $it cubus 1728. cuiusradix 12. ideo que ex 12. imparibus numeris coagmenta- tus, Semi$$em radicis, quia par e$t, nimirum 6. duco in 11. numerum proximè minorem radice numerumq; productum 66. duplico, addoq; 1. Numerus enim compo$itus 133. erit primus 12. imparium, quos quærimus. Ergo omnes 12. erunt hi. 133. 135. 137. 139. 141. 143. 145. 147. 149. 151. 153. 155. conficientes cubum 1728.

REGVLA hæc $ic demon$tratur. Quando radix impar per $emi$$em numeri proximè minoris multiplicatur, vel $emi$sis radicis paris per numerum proximè minorem radice, producitur $umma terminorum $eriei naturalis numerorum ab 1. v$que ad numerum proximè minorem radice, vt in progre$sione Arithmetica diximus, hoc e$t, numerus terminorum imparium, qui primum imparem quæ- $itum præcedunt in $erie numerorum imparium; cum primus $it vnus, deinde $equantur duo, po$tea tres, &c. Igitur ea $umma indicat, quotum locum oc- cupet impar numerus imparem quæ$itum antecedens: quia verò is locus du- plicatus, dempta 1. ex duplo, exhibet vltimum illum imparem, $i ad eundem du- plicatum addatur 1. effi cietur primus imparium quæ$itorum. Verbi gratia, $i quæratur primus $eptem imparium, qui conficiunt cubum 343. cuius radix 7. quærimus prius $ummam 6. terminorum $eriei naturalis, quæ e$t 21. quod fit, $i ad 6. addo 1. & $ummam 7. id e$t, radicem imparem, ducam in 3. $emi$$em 6. terminorum. Igitur impar numerus præcedens primum quæ$itum ponitur in 21. loco. Duplico, addoq; 1. fit primus impar quæ$itus 43. Sunt ergo $eptem quæ- $iti 43. 45. 47. 49. 51. 53. 55. qui con$tituunt cubum 343.

SED vt certi $imus, quando radix e$t magna, num primus imparium rectè $it inuentus, ne cogamur omnes impares cõtinuare, quod laborio $um e$t, inue$ti- gabimus vltimum ex primo, deinde $ummam omnium, hoc modo. Differen- tiam progre$sionis numerorum imparium, nimirum 2. ducemus in numerum ter- minorum, minus vno, pro ductumq; primo inuento addemus. Conflatus enim numerus erit po$tremus imparium quæ$itorum. Si igitur ad hunc apponamus primum, & $ummæ $emi$$em in numerum terminorum, id e$t, in radicem cubi propo$iti ducamus, producetur propo$itus cubus, $i primus imparium rectè in- uentuse$t. Vt in proximo cubo 343. cuius ra dix 7. $i ad 43. primum imparem in- uentum addamus 12. numerum $cilicet pro ductum ex 2. in radic\~e 7. minus vno, fit $eptimus numerus impar quæ$itus 55. ad quem $i apponatur primus 43. fiunt 98. Et $i huius numeri $emi$sis 49. ducatur in radic\~e 7. producetur cub<_>9 343. &c.

ALIA etiamratione perfacili eo$dem numero simpares datum cubum com- [419]LIBER OCTAVVS. ponentes reperiemus hoc modo. Sit datus cubus 117649. cuius radix 49. ac proinde reperiendi 49. numeri impares, quorum $umma $it 117649. Ponamus primum imparem e$$e 1. <006>. id e$t, 1. Radicem (vtin Algebra fieri $olet) Et quia differentia numerorum imparium e$t 2. erit $ecundus impar 1. <006>. † 2. hoc e$t, 1. <006>. plus 2. tertius 1. <006>. † 4. Et ne cogamur continuare omnes 49. terminos, du- cemus differentiam 2. in 48. numerum terminorum, minusvno, & ad produ- ctum 96. addemus primum, quem po$uimus e$$e 1. <006>. Ita enim fiet vltimus ter- minus qu{ae}$itus 1. <006>. † 96. cui $i addamus primum, videlicet 1. <006>.. fit $umma 2. <006>. † 96. cuius $emi$sis 1. <006>. † 48. ducta in 49. numerum terminorum, facit nu- merum 49. <006>. † 2352. quiæquatur cubo propo$ito 117649. Ablatis ergo vtrin- que 2352. remanebunt 49. <006>. æquales numero 115297. quo diui$o per 49. fit Quotiens 2353. pro primo impari quæ$ito. quod vt probemus, ducemus diffe- rentiam imparium, nimirum 2. in 48. numerum terminorum, minus vno, pro- ductum que 96. primo 2353. addemus, vt conficiamus vltimũ terminum 2449. Deinde primum huic adij ciemus, & $ummæ 4802. $emi$$em 2401. in 49. nume- rum terminorum ducemus, procreabitur que numerus 117649. qui dato cubo æqualis e$t. Recte ergo primus impar inuentus e$t.

VSVS PRÆCEDENTIS TABVLÆ quadratorum, & cuborum in radicibus extrahendis.

INTER alias vtilitates habet $uperior tabula quadratorum, & cuborume- gregium v$um in radicibus quadratis, & cubicis extrahendis; quippe cum per eam $tatim expediantur tria prima puncta ad $ini$tram, $imul que tres figuræ ra- dicis inueniantur: quod vno, aut altero exemplo planum fiet.

SIT primum extrahenda radix quadrata ex appo$ito numero. Primum 1 1 7 6 8 9 0 1 4 5 (3 4 3 0 5. . . . . . quæro inter quadratos numerum 117689. trium punctorum, quem quia non in- uenio, capio proximè minorem quadratum 117649. eiu$que radicem 343. in Quotiente pono. Inuento autem quadrato $ubtracto ex numero 117689. trium punctorum, remanent 40. Ergo $equens punctum erit 4001. quo (relicta figu- ra 1.) diui$o per 686. duplumradicis inuentæ, reperitur Quotiens 0. erit que vlti- mum punctum 400145. quo (relicta etiam figura 5.) diui$o per 6860. duplum radicis inuentæ, inuenitur Quotiens 5. E$t ergo tota radix 34305 {57120/68611}.

SIT deinde ex appo$ito numero extrahenda radix cubica. Primum inter 4 2 5 0 9 5 4 9 6 1 3 0 7 (1 6 1 9 9 . . . . . cubos quæro numerum 4250954. trium primorũ punctorum, quem quia non reperio, accipio cubum proxime minorem 4173281. cum $ua radice 161. qui cu- bus ex tribus punctis $ubtractus relin quit 77673. ita vt $equens punctum $it 77673961.

PARO ergo diui$orem, vt lib. 6. ad finem propo$. 19. docuimus, multipli- [420]GEOME. PRACT. LIB. OCTAVVS. cando radicis inuentæ quadratum ex eadem tabula excerptum, nimirum 25921. per 300. qui erit 7776300. per quem $i meum punctum d<007>uido, reperio Quoti\~e- tem 9. & facta operatione remanent 7295302. adeo vt vltimum punctum $it 7295302307

DENIQVE paro nouum diui$orem, multiplicando radicis 1619. inuentæ quadratum 2621161. per 300. qui erit 786348300. per quem $i vltimum meum punctum diuido, inuenio Quotientem 9. Facta autem operatione, remanent 214232708. ab$olutaque e$t extractio.

NEQVE vero negligendum videtur non inutile compendium in extractio- ne cubica. quod e$t eiu$modi. Quando nouus diui$or parandus e$t, ne coga- mur totius radicis inuentæ quadratum $upputare, diuidemus radicem inuentam in duas partes, ita vt vna pars $it vltima figura Quotientis inuenta, nimirum in- uenta quarta figura 9. in dato exemplo, partiemur radicem inuentam 1619. in 1610. & 9. quas partes bis $cribemus, vt in appo$ita formula vides. Si igitur $ingulas partes in $ingulas partes ducemus, 1610. # 9. 1610. # 9. producetur quadratus quæ$itus radicis 1619. vt ad propo$. 1. lib. 2. Euclid. demon$trauimus. Verbi gratia quia præcedens quadratum numeri 161. fuit 25921. appo$itis duabus cifris, habebimus produ- ctum 2592100. ex 1610 in 1610. cui $i addemus 14490. bis numerum videlicet productum ex 1610. in 9. vel ex 9. in 1610. & in$uper 81. productum ex 9. in 9. conficiemus 2621161. quadratum radicis inuentæ 1619. Eadem ratione $i huius numeri 16199. quadratum de$ideremus, diuidemus eum in 16190. 9. bis, vt in hac formula vides. Deinde quia iam quadratum habuimus 2621161. numeri 1619. appo$itis duabus cifris, habebimus 26- 16190. # 9. 16190. # 9. 2116100. quadratum numeri 16190. cui $i addemus 145710. bis, productum videlicet ex 16190. in 9. vel ex 9. in 16190. & in$uper 81 productum ex 9. in 9. efficiemus 262407601. quadratum numeri 161- 99. & $ic de cæteris. Hoc ergo compendium reddet faciliorem cubicæ radicis extractionem, cum $emper præcedentis radicis inuentæ quadratum habeamus, & appo$itis duabus cifris, quadratum conficiamus eiu$dem radicis, appo$ita ei vna cifra, &c.

BENE autem vides, $i tabula $uperior extenderetur, vt haberentur quadra- @i, & cubiradicum 4. aut 5. figurarum, multo faciliorem effi ci extra ctionem ra- dicum. Sed quia tabula excre$ceret hac ratione in immen$um, conten- ti fuimus tabula, in quaradices habent 3. figuras ad $um- mum, cum eã quilibet ex ijs, quæ diximus, extendere po$sit, & continuare.

FINIS LIBRI OCTAVI. [421]INDEX. ALPHABETICVS RERVM. AC VERBORVM. ## _A._ _ACCLIVEM_ di$tantiã mõ- # t{is} à loco men$or{is} v$que ad # ba$em altitudin{is} monti im- # po$itæ, etiam non vi$am, vnà # cum ip$a altitudine, quando # men$or in a$cen$u mont{is} con$i$t<007>t, pro- # pè verum, beneficio quadrati efficere # cognitam. # 132 Accliuem mont{is} a$cen$um à loco men$o- # r{is} v${que} ad ba$em altitudin{is} monti im- # po$itæ, {et}iam non vi$am, vna cum ip$a # altitudine, quando men$or in a$cen$u # mont{is} con$i$tit, prope verum, beneficio # quadrant{is} notum efficere. # 79 Aceru{us} tritici, quo pacto men$uretur. # 209 Æd<007>ficij cuiu$cum{que} ad perpend<007>culum # erecti, vel putei profund<007>tatem, $i modo # angul{us} fundi, vel $ignum al<007>quod in # fu{<007>s}do po$itum con$piciatur, per qua- # drantem reperire. # 80 Ædificij cuiu$u{is} ad perpendiculum ere- # cti, vel putei profunditatem $i modo an- # gul{us} fundi, vel $ignum aliquod infun- # ao po$itum con$p<007>ciatur, per quadratũ # efficere cognitam. # 134 Æquilateri trianguli area. # 166 Agri, campiue, aut vrb{is}, vel region{is} $itũ # in plano de$cribere. # 148 Agro propo$ito figur am $imilem <007>n charta # de$cr<007>bere. # 172 Alberti Dureri quadratura circuli per # numeros fal$a e$t. # 318 Aliquotæ part{es} $imiles plurium magnitu- # dinũ eandem habent proportionem. # 218 Altera parte longior{is} area. # 158 Altim{et}ra $cala quid. # 85 Altitudinem, ad cui{us} ba$em pateat acce$- # ${us} beneficio $pecul<007> plani, vnà cum di- # $tantia $peculi à cacumine alt<007>tudin{is} # deprehendere. # 144 Altitudinem, cui{us} ba$is impo$ita $it mon- # @i, vel altericuipiã altitudini, & vtra- # que<007>lli{us} extremit{as} cerni po$$it, {et}iam- # $i infimum punctum alteri{us}, cui impe- # nitur, lateat, & eiu$dem puncti infimi # d<007>$t antia à loco men$or{is} cogn<007>ta nõ $it, # per quadratum ex valle, aut ex plano # Hor<007>zont{is} explorare. # 131 Altitudinem cui{us}lib{et} rei erectæ, per e- # i{us} di$tantiam ab oculo men$or{is}, bene- # ficio quadrati conijcere. # 106 Altitudin\~e cui{us} libet rei erectæ, \~et $i ei<_>9 di- # $tantia ab oculo men$or{is} ne{que} data $it, # ne{que} inuenta, per du{as} $tation{es} in plano # fact{as}, aux<007>lio quadratipatefacere. # 107 Altitudinem cui{us} ba$is impo$ita $it alteri # altitudini, & vtraque illi{us} extremit{as} # cer ni po$$it, {et}iam$i infimum punctum # alteri{us}, cui imponitur, lateat, & eiu$d\~e # punct<007> infimi di$t antia à loco men$or{is} # cognita non $it, per quadrant\~e ex valle, # aut ex plano Hor<007>zont{is} explorare. # 77 Altitudin\~e cuiu${que} rei erectæ, ex ei{us} vm- # bra, quam Sole lucente proijcit, $i nota # fuer<007>t, per quadratũ deprehendere. # 140 Altitudinem <007>nacce$$ibilem beneficio $pe- # cul<007> plani, vna cum $peculi di$tantia # tam à ba$e {et}iam non v<007>$a, quam a ca- # cumine altitudin{is}, cogno$cere. # 145 Altitud<007>nem in acce$$ib<007>lem, quando ne{que} # d<007>$t antia à loco men$or{is} ad ei{us} ba$em # nota e$t, ne{\’que} è directo ip$i{us} duæ $tat<007>o- # n@@ in plano fieri po$$unt, neque denique # ba$is appar{et}, per quadrantem notam # reddere. Atque hinc obiter ip$am quo- # que d<007>$tantiam elicere. # 72 Altitudinem <007>nacce$$ibilem, cui{us} ba$is nõ # videatur, & ad quam per nullum $pa- # tium $ecundum lineam rectam acce- # dere po$$im{us}, aut recedere, vt duæ $ta- # tion{es} fieri po$$int, $ed $olũ ad dextram, # $ini$tramuc ad locum, è quo ei{us} ba$is # appareat, per quadrant\~e explorare. # 72 Altitudinem <007>nacce$$ibilem, cui{us} ba$is # non videatur, & ad quã per nullũ $pa- # tiũ $ecundũ rectã lineã accedere po$$it [422]INDEX # men$or, aut recedere, vt duæ $tation{es} # fieri po$$int, $ed $olum ad dextram, $ini- # $tramue ad locum, è quo ei{us} ba$is cer- # natur, per quadratum explorare. # 129 Altitudinem inacce$$ibilem, quando di- # $tantia à loco men$or{is} ad ba$em altitu- # din{is} ignota e$t, per du{as} $tation{es} in pla- # no fact{as} per quadrantem dim{et}iri. At- # que hinc di$tantiam quo{que} ip$am erue- # re, {et}iam$i extrem{us} ei{us} termin{us} non # cernatur. # 57 Altitudinem maiorem ex minori incogni- # ta, $i tamen ba$is maioris cern<007> po$$it, per # quadratum ven ari. # 130 Altitudinem maiorem ex minori cognita, # {et}iam$i $olum maior{is} vertex cernatur, # per quadratum efficere notam. # 129 Altitudinem maiorem ex minori cognita, # per du{as} $t ation{es} in $ummitate, vel in # duab{us} fene$tr{is} fact{as}, {et}iam$i $olum # maior{is} altitudin{is} vertex cernatur, # per quadrantem adinuenire. At{que} hinc # d<007>$tantiam quo{que} inter altitudin{es} colli- # gere. # 74 Altitudinem maiorem ex minori incogni- # ta, dummodo ba$is maior{is} cerni po$$it, # per quadrantem per$crutari. # 75 Altitudinem minorem ex maiori cognita, # l<007>c{et} ba$is minor{is} cerni non po$$it, per # quadratum $crutari. # 130 Altitudinem minorem ex maiori incogni@ # ta, dummodo ba$is minor{is} appare{at}, # per quadratum elicere. # 130 Altitudinem minorem ex maiori cogni- # ta, licet ba$is minor{is} non cerni po$$it, # ope quadrant{is} perue$tigare. At{que} hinc # d<007>$tantiam quo{que} inter altitudin{es} du{as} # eruere. # 76 Altitudinem minorem ex maiori incogni- # ta, dummodo ba$is minor{is} videri po$$it, # per quadrantem explorare. Atque hinc # di$t antiam quoque inter du{as} altitudi- # nes conijcere. # 76 Altitudinem mont{is}, vel turr{is} ex ei{us} fa- # $tigio, quando è directo men$or{is} inter- # uallum aliquod inter duo $igna vel {et}- # iam inter $ignũ quodpiam ac turrim co # gnitum est per quadratũ conijcere # 123 Altitudin\~e mont{is}, aut turr{is} ex ei{us} ver- # tice per du{as} $tation{es} in eiu$dem $um- # mitate fact{as}, è quib{us} $ignum aliquod # in Hor<007>z@nte appareat, per quadrant\~e # dimetiri. At{que} hinc ip$am qu@{que} di$tan- # tiam à turr{is} ba$e, vel perpendiculo # mont{is} ad $ignum illud inue$tigare. # 59 Altitudinem monti impo$itam, $i modo al- # titudin{is} ba$is po$$it con$pic<007>: vel portio- # nem $uperiorem alicui{us} turr{is}, benefi- # cio $peculi plani efficere notam. # 146 Altitudinem mont{is} m{et}iri per quadran- # tem. # 57. & 59 Altitudinem mont{is}, aut turr{is} ex ei{us} ver # tice per du{as} $t ation{es} in ha$ta aliqua e- # recta, vel in duab{us} fene$tr{is} turr{is}, qua # rum vna $upra aliam exi$tat, fact{as}, è # quib{us} $ignũ aliquod in Hor<007>zonte vi- # deri po$$it, per quadrantem m{et}iri. At{que} # hinc d<007>$tãtiã quo{que} à <002>p\~ediculo mõt{is}vel # turr{is}, v${que} ad $ignũ visũ cogno$cere. # 62 Altitud<007>n\~e mont{is}, aut turr{is} ex ei{us} ver- # tice per quadrantem metiri, $i in plano, # cui in $i$tit, $patiũ aliquod è directo m\~e- # $or{is} notum $it, deprehendere. # 64 Altitudin\~e per vnicã $tation\~e m{et}iri <002> qua # drant\~e, quando d<007>$tantia nota est. # 56 Altitudo pyramidum, in qu{as} corporare- # gularia è centr{is} re$oluuntur. # 214 Altitud<007>nem propo$itã $ingulari quodam # modo <007>nue$tigare. # 108. & 109 Altitudinem propo$itam, eiu${que} di$tant<007>am # ab oculo men$or{is}, vnà cum hypotenu$a # ab oculo ad fa$tigium altitud<007>n{is} ext\~e- # $a, venariope quadrati $t abil{is} per vni- # cam $tat<007>onem, etiam$i $olum fa$t<007>giũ # rei erectæ cernatur. # 112 Altitud<007>nem propo$itam, quando di$tan- # tia ab oculo men$or{is} ne{que} data e$t, ne{que} # inuenta, neque è dir ecto altitud<007>n{is} duæ # $tation{es} in aliqua ha$ta erecta fact{as}, # per quadratum indagare. # 111 Altitudo quãdo maior $it, quã di$tãtia, & # quando æqual{is}, & quando m<007>nor. # 140 Altitudinem Sol{is}, vel $tellæ cuiu$u{is} per # quadratum ob$eruare. # 87 [423]INDEX. Altitudinem turr{is}, aut alteri{us} rei per # baculum indagare. # 137 Altitud@nem turr{is} vel mõt{is} ex e<007>{us} $um- # mitate per vnicam $tat<007>onem, ope qua # d@ati $tabil{is} m{et}iri, vna cum di$tantia # $igni in Horizonte vi$i v${que} ad turrem, # vel mont{is} perpendiculum. # 118 Altitudinem turr{is} ex ei{us} vertice per v- # nicam $tationem per quadrantem me- # tiri, $i di$t antia $igni in Horizonte vi$i # v${que} ad ba$em turr{is} nota $it. # 64 Altitudin\~e turr{is}, aut mont{is}, ex ei{us} $um- # mitate per quadratum dim{et}iri, quan- # do in plano $ummitat{is} Horizonti æqui- # di$tante duæ $tation{es} fieri po$$unt, & $i- # gnũ aliquod in Horizonte cernitur. # 114 Alt<007>tudin\~e turr{is}, vel mont{is} ex ei{us} $um- # mitate per du{as} $tation{es} in ha$ta ali@ # qua erecta fact{as}, inue$tigare per qua- # dratum, quando $ignum al<007>quod in # Horizonte videri pote$t. # 116 Altitudinem turr{is}, aut alteri{us} rei, per # Normam inue$tigare. # 138 Altitudin{is} portionem ex minore altitudi- # ne, & m<007>nor{is} portionem ex maiore, per # quadratum percipere. # 131 Altitudin{is} maior{is} portionem ex minori # altitudine, & minor{is} portionem ex ma # iori per quadrantem cogno$cere. # 76 Altitudin{is} minor{is} portionem ex minore # altitudine, & maior{is} portionem ex mi- # nore, per quadratum elicere. # 131 Ambitum terræ ex edito aliquo monte me- # tiri. # 366 Anguli quantit{as}, quem latera in$trum\~e- # ti partium cont<007>nent, quo pacto cogno- # $catur. # 11 Angulorum, & linearum quarundam # mechanicam men$ur ationem admit- # tendam e$$e. # 169 Angulos duos trianguli obliquanguli ex # duob{us} laterib{us}, & angulo ab <007>p$is cõ- # prehen$o, reperire. # 48 Angulos duos trianguli obliq@ anguli ex # duob{us} laterib{us}, & angulo vni eorum # oppo$ito, ($i modo con$t{et} $pec<007>{es} anguli # alteri lateri oppo$iti, quando dat{us} an- # gul{us} acut{us} e$t) exp<007>$car<007>. # 48 Angulos omn{es} tr{es} trianguli obliquanguli # ex omnib{us} trib{us} laterib{us} perue$tiga- # re. # 49 Angulum acutum trianguli rectanguli # ex ba$e, & vno latere inquirere. # 46 Angulum acutum trianguli rectanguli # ex vtro{\’que} latere reddere cognitum. # 46 Angulum rectilineum datum in tr{es} æquæ # l{es} angulos diuide e. # 356 Angul{us} incidentiæ cur angulo r@flexion{is} # $it æqual{is}. # 341 Angul{us} ob$eruation{is} qu{is}. # 52 Angul{us}, quem filum cum proximo qua- # drati latere facit, quando offerat alt@tu- # dinem Sol{is}, vel $tellæ, & quando com- # plementum altitudin{is}. # 88 Arabum quadratura circuli per numeros # fal$a e$t. # 318 Arc{us} circuli ad arcum $imil\~e alteri{us} cir # culi e$t, vt chorda ad chordã & cõtra # 397 Arcus datorum grad. ac Min. quo pacto # ex circulo quou{is} ope in$trumenti par- # tium ab$cindantur. # 9. & 10 Area alter a parte longior{is}. # 158 Area campi, intra quem lac{us}, vel $ylua # exi$tat. # 172 Area campi, quando <007>n triangula re$olui # non pote$t, # 171 Area circuli accuratior. # 198 Area circuli cui triangulo rectangulo $it # æqual{is}, $ecundum Archimedem. # 182 Area circuli æqual{is} e$t rectangulo compre # hen$o $ub $emid ametro, & $emi$$e cir- # cumferentiæ c<007>rculi. # 294 Area circulitrib{us} vi{is}, ex cognita diame- # tro, & circumferentia. # 192 Area Conoid{is} Hyperbolici. # 233 Area Conoid{is} parabolici. # 233 Area corpor{is} plan{is} $uperficieb{us} conten- # ti, & circa $phæram circum $cript<007>bil{is}, # cu<007> $olido rectangulo $it æqual{is}. # 307 Area corporum omnino irregularium, # quæ. # 234 Area cui{us} libet portion{is} $phæræ. # 231 Areæ cuiu$u{is} figuræ pulchra inuentio. # 173 [424]INDEX. Area cui{us}lib{et} trianguli cui rectangulo # $it æqual{is}. # 292 Areæ datæ Ellip$is. # 203 Area datæ parabolæ. # 203 Area doliorum. # 233 Area figuræ lenticular{is}. # 200 Area figuræ quadrilateræ omnino irregu- # lar{is}. # 170 Area figuræ ex vari{is} circulorum $egmen- # t{is} cogmentatæ. # 200 Area figuræ regular{is}, cui{us} lat{us} e$t vni- # t{as}, quo pacto <007>nueniatur. # 180 Area figuræregular{is}, cui rectãgulo æqua- # l{is} $it. # 293 Area figuræ regular{is}, quo pacto ex area # alteri{us} figuræ $imil{is} cognita eruatur. # 179 Area figuræ regular{is}, cuitriangulo re- # ctangulo $it æqual{is}. # 294 Areæ figurarũ regulariũ à triãgulo v${que} ad # Dodecagonũ, quãdo lat{us} e$t vnit{as}. # 180 Area fru$ti pyramid{is}, & coni. # 208 Area fru$ti $phæræ. # 231 Aream circul<007> vera maiorem ex diame- # tro inue$tigare. # 197 Aream c<007>rculi ver a minorem, ex circum- # ferentia concludere. # 197 Aream circuli vera maiorem, ex diame- # tro colligere. # 197 Aream circuli vera maiorem, ex circum- # ferentia inferre. # 197 Areã figuræ Ell<007>p$i $imil{is}, quæ circino de- # $cr<007>bitur, inquirere. # 375 Area multilateræ figuræ irregular{is} \~q. # 171 Area par allelogrammorum. # 170 Area par allelepipedorum, Pri$matum, & # cylindrorum. # 204 Area portionum $phæroid{is}. # 232 Area pyramid{is} cui $olido rectangulo $it æ- # qual{is}. # 307 Area pyramidum, & conorum. # 206 Area quadrati. # 158 Area quadrilaterorum non rectangulo- # rum. # 169 Area quinque corporum regularium quæ. # 210. & 214 Area rectangulorum. # 158 Area regularium figurarum. # 175 Area Rhombi, & Rhomboid{is}. # 169 Area $ector{is} circuli. # 199 Area $emicirculi, quadrant{is}, octauæ par- # t{is}, & c. # 193 Area $egmentorum circuli. # 199 Area $egmentorum $phæræ. # 229 Area $phæræ vera minor, ex diametro cir- # culi maximi. # 228 Area $phæræ vera maior, ex circumferen- # tia maxim<007> circul<007>. # 228 Area $phæræ vera minor, ex circumferen- # tia circuli maximi. # 228 Area $phæræ vera maior, ex diametro cir- # cul<007> maximi. # 228 Area $phæræ æqual{is} e$t $olido rectangulo # comprehen$o $ub $emid<007>am{et}ro, & ter- # tia parte $uperficiei conuexæ. # 229 Area $phæræ & $uperfici{es} eiu$dem conue- # xa. # 218. & 223 Area, vel $olidit{as} $ector{is} $phæræ. # 230 Area, vel $olid<007>t{as} hem<007>$phærij. # 230 Area $phæroid{is}. # 232 Area trapezij nulla habent{is} latera paral- # lela. # 170 Area trapezij habent{is} duo latera paralle- # la. # 170 Area triangulorum. # 158. & 161 Area trianguli rectanguli. # 165 Area triangul<007> rectanguli, ex vno latere # circa angulum rectum, & vno angulo # acuto. # 168 Area trianguli rectanguli, ex vno latere # circa angulum rectum, & latere quod # recto angulo opponitur. # 168 Area trianguli rectanguli, ex latere, quod # recto angulo opponitur, & vno angulo # acuto. # 167 Area trianguli I$o$eel{is}. # 165 Area triangul<007> æquilateri. # 166 Area trianguli obl<007>quanguli, ex duob{us} # later<007>b{us}, & angulo ab <007>p$is comprehen- # $o. # 168 Area trianguli obliquanguli, ex vno late- # re, ac duob{us} angul{is}. # 168 Area va$is excauati. # 209 Arundin{is}, vel bacul<007> beneficio di$tantiã [425]INDEX. # propo$itam m{et}iri. # 99 A$cen$um accliuem mont{is} à loco men$o- # r{is} v${que} ad ba$em alt<007>tud<007>n{is} monti im- # po$itæ, {et}iam non vi$am, vna cum ip$a # altitud@ne, quando men$or in a$cen$u # mont{is} con$i$t<007>t, prope verum, beneficio # quadrant{is} efficere cognitum. # 79 _B_ _B_Aculi beneficio di$tantiam interped{es} # men$or{is}, & $ignum aliquod in plano # Horizont{is} m{et}@ri, quando extrem{us} # termin{us} di$tantiæ v<007>deri petest. # 137 Bacul<007> beneficio turrim, aut alteri{us} rei # altitudinem m{et}iri. # 137 Baculi, aut arundin{is} beneficio di$tanti- # am propo$itam metiri. # 99 Ba$em triangul<007> rectanguli ex vno latere, # & vno angulo acuto <007>nue$tigare. # 45 Ba$em tr<007>anguli rectanguli ex vtroquela- # tere per$crutari. # 45 Ba$is quadratric{is}, $emidiameter quadrã- # t{is}, & quadrans $unt continue propor- # t<007>onal{es}. # 324 _C_ _C_Ampano a$$cripta circuli quadratura # per l<007>ne{as} fal$a e$t. # 318 Campi, agriu@, autvrb{is}, vel region{is} $itum # in plano de$cr<007>bere. # 148 Campi area, quando in triangula re$olui # non pote$t. # 172 Campi, intra quem lac{us}, vel $ylua exi- # $tat, area. # 172 Campo propo$ito figuram in charta $imil\~e # de$cr<007>bere. # 172 Cente$imæ, vel mille$imæ part{es} in quau{is} # recta linea quo p@cto capiantur, ope in- # $trumenti partium. # 6 Chorda al<007>cui{us} arc{us} data, vna cum per- # pend<007>culari ex med<007>o ei{us} puncto ad # arcum educta; quotgrad{us}, vel palmos # tam arc{us}, quam $emidiameter com- # plectitur, inue@ire. # 253 Circuli pulcherrim apropriet{as}. # 358 Circuli quadraturam e$$e po$$ibilem. # 320 C<007>rculi quadratura per Hyppoc atem # Ch@um fal$a est. # 319 Circul<007> quadratura per line{as} Campano # a$$cripta fal$a est. # 318 Circuli quadratura per numeros $ecundũ # Arab{es} fal$a e$t. # 318 Circuli quadratura per numeros ex Al- # berto Durero fal$a est. # 318 Circul<007> quadratura per l<007>ne{as}. # 317 Circul<007> area trib{us} vi{is}, ex cognita dia- # metro, & circumferentia. # 192 Circuli area accuratior. # 198 Circuli aream vera maiorem, ex diame- # tro inue$tigare. # 197 Circuli aream vera minorem, ex diame- # tro colligere. # 197 Circuli aream vera minorem, ex circum- # ferentia inferre. # 197 Circuli aream vera maiorem, ex circum- # ferentia concludere. # 197 C<007>rculi area cui triangulo rectangulo $it # æqual{is}, $ecundum Archimed{is} doctri- # nam. # 182 Circuli area æqual{is} e$t rectangulo com- # prehen$o $ub $emidiametro, & $emi$$e # circum ferentiæ circuli. # 294 Circuli dimen$io ex Archimede. # 181 Circul<007> diameter quam proportionem ha- # beat ad peripheriam, $ecundum Archi- # medem. # 185 Circuli diameter in numer{is} ex dato ar- # cu. # 201 C<007>rcul<007> diameter ex data periphæria, & # per<007>phæria ex data diametro accura- # tior. # 198 Circuli diametrum vera maiorem ex da- # ta circumferentia indagare. # 194 C<007>rculi diametrum vera minorem ex da- # ta periphæria inue$tigare. # 194 Circuli diameter ducta <007>n 3 {1/7}. gignit nu- # merum maiorem circumferentia. # 191 Circul<007> peripheria, ac diameter, ex ei{us} # area. # 201 C<007>rcul<007> peripheria ex data diametro, & # diameter ex data peripheria accurati- # or. # 198 C<007>rculi periphæria quam proportion\~e ha- # beat ad d<007>ametrum, $ecundum Archi- # medem. # 185 Circuli periphæria d<007>ui$a per 3 {1/7}. facit nu- [426]INDEX. # merum minorem diametro. # 191 Circuli peripheriam veramaiorem, ex da # ta diametro reperire. # 193 Circuli peripheriam vera minorem, ex da # ta diam{et}ro elicere. # 193 C<007>rculi parti octauæ, decimæ$extæ & c. re- # ctangulum con$tituere I$operimetrum, # & æquale. # 214 Circuli $ector{is} area. # 199 Circulo figuram rectilineam æqualem, & # alteri $imilem con$tituere. # 329 Circulo dato quadratum æquale con$titu- # ere. # 327 Circulo quadratũ æquale quo pacto facile # exh<007>beatur ex propriafigura. # 327 Circulorum peripheriæ inter $e $unt, vt # d<007>ametr<007>. # 195. & 336 Circulorũ duorũ, vel figurarum $imilium # {pro}portio, ex dat{is} diametr{is} circũferen- # ti{is}ue, vel duob. laterib homolog{is}. # 201 Circulorum diam{et}ri inter $e $unt, vt cir- # cumferentiæ. # 194. & 336 Circulũ quadrato æqual\~e de$cribere. # 329 Circulum, vel$iguram planam rect<007>l<007>ne- # am, in data proportione augere velmi- # nuere. # 272 Circulum cuilib{et} figuræ rectilineæ æqua- # lem de$cribere. # 329 Circulum per tria puncta de$cribere, inu\~e- # t{is} nimirum ali{is} punct{is}, per quæ tran- # $ire deb{et}. # 344 Circulum plurib{us} circul{is}, quorum dia- # m{et}ri, vel circumferentiæ datæ $int, æ- # qualem: Et figuram $im<007>lem plurib{us} # figur{is} $imilib{us}, quarum latera homo- # loga data $int, æqualem de$cribere. # 202 Circul{us} ad quadratum diametri propor- # tionem hab{et} quam 11. ad 14 proxime, # $ecundum Archimedem. # 191 Circul{us} ad quadratum circumferentiæ # maior\~e proportion\~e habet, quam 7. ad # 88. minor\~e vero, quam 71. ad 892. # 196 Circul{us} omnib{us} figur{is} rect<007>line{is} regu- # larib{us} $ib<007> I$operimetr{is} maior e$t. # 306 Circul{us} omnium figurarum rect<007>linea- # rũ $ibi I$operimetrarũ maxim<_>9 e$t. # 306 Circul{us} ad quadratum diametri maior\~e # proportionem hab{et}, quam 223. ad 284 # minor\~e vero, quam 11. ad 14 # 196 Circumferentiæ circul<007> ad diametrũ pro- # portio accuratior, quæ. # 198 Compendium pulchrum in longitud<007>ni- # b{us} metiend{is} <002> quadratum $tabile. # 98 Conchoideos lineæ de$criptio, eiu$que duæ # propri{et}at{es} in$ign{es}. # 270 Coni, & cylindri $uperfici{es} conuexa. # 235 Conicæ $uperficiei proportio ad $uam ba- # $em. # 235 Conoid{is} Hyperbolici$olidit{as}. # 233 Cono, cylindro pri$mati, ac pyramidi cubũ # æqualem efficere. # 369 Cono, vel pyramid<007> æqualem cylindrum, # aut pri$ma $ub eadem altitudine: ct # contra cylindro, vel pri$mat<007> æqualem # conum, aut pyram<007>dem $ub eadem al- # titudine con$tituere. # 368 Conoid{is} parabolici $olidit{as}. # 232 Conorum, ac pyramidum area. # 206 Con$truct<007>o tabulæ Gnomonicæ facillima, # eiu$que v${us}. # 89 Con$tructio & v${us} tabellæ pro minut{is}, & # $ecund{is}. # 18 Con$truct<007>o & v${us} tabulæ {pro} minut{is}, & # $ec. cogno$cend{is} ex quadrante. # 20 Con$tructio quadrant{is} ad min. & $ec. co- # gno$cenda. # 15 Con$tructio quadrati Geometrici. # 84 Con$tructio pinnacidiorum pro radio vi- # $uali. # 17 Con$tructio regulæ loco filij cum perpendi- # culo. # 17 Con$tructio in$trumenti partium. # 4. & 13 Conum, ac pyramidem in cylindrum, & # pri$ma: Item pri$ma, & cyl<007>ndrum in # conũ, ac pyramidem tran$mutare. # 368 Conum, cyl<007>ndrũ, pri$ma, ac pyramidem # inæqual\~e $ub data altitudine, & $upra # ba$em quotu{is} angulorũ reuocare. # 369 Conum, cylindrum, pri$ma, acpyramidem # in parallelepipedum æquale datæ altitu- # din{is} vel ba$is commutare. # 368 Conũ datæ $phæræ cõ$tituere æqualem. # 371 Conũ pyramidi, & cylindrum pri$mati æ- # qualem: Ac vic<007>$$im pyramidem cono [427]INDEX. # æqualem, & pri$mæ cylindro æquale # con$tituere. # 368 Conum, pyramidem, pri$ma, & cylindrum # in parallelepipedum $upra ba$em qua- # dratam conuertere. # 369 Corpori regulari $phæram æqualem exhi- # bere. # 371 Corporum quinque regularium $uperfici{es} # conuexæ. # 214 Corporum quinque regularium area quæ. # 210. & 214 Corporum omnino irregularium area. # 234 Corp{us} regulare quodu{is} dato cubo æquale # con$tituere. # 372 Corp{us} plan{is} $uperficieb{us} contentum, & # circa $phæram circum$criptibile, cui $o- # lido rectangulo $it æquale. # 307 Cubicam, & quadratam radicem in nu- # mer{is} non quadrat{is}, & non cub{is} per # line{as} Geom{et}ricè inuenir@. # 290 Cubicæ radic{is} extractio. # 281 Cubicæ & quadratæ radic{is} extractio ex # data minutia. # 287 Cubo dato corp{us} regulare quodcunque æ- # quale con$truere. # 372 Cubo dato parallelepipedum rectangulum # $ub data altitudine, vel $upra datam ba- # $em, æquale con$tituere. # 270 Cuborum d<007>fferentiæ quo pacto reperian- # tur. # 388 Cuborum, & quadratorum tabula v$que # ad radicem 1000. # 378 Cuborum generatio. # 388 Cubum cylindro pri$mati, cono, ac pyrami- # di æqualem con$truere. # 370 Cubum datæ $phæræ æqualem: Et $phæram # dato cubo æqualem efficere. # 370 Cubum datum aut parallelepipedum in # datam proportionem $ecare. # 373 Cubum duob{us}, aut plurib{us} cub{is} æqua. # lem con$truere. # 372 Cubum minorem ex maiori d{et}rahere re- # $iduum{\’que} in cubum conuertere. # 373 Cubum parallelepipedo rectangulo æqua- # lem con$truere. # 369 Cubum $olid{is} quotlib{et} æqualem con$ti- # tuere. # 372 Cub{us} alterutri{us} mediarum proportiona- # lium inter du{as} rect{as}, æqual{is} e$t paral- # lelepipedo $ub quadrato extremæ prope # mediam a$$umptam & altera extrema # comprehen$o. # 275 Cub{us} d<007>am{et}ri $phæræ ad $phæram, maio- # rem proportionem habet, quam 21. ad # 11. minorem vero, quã 426. ad 223. # 222 Cub{us} circumferentiæ maximi circuli in # $phæra ad $phæram, maiorem proportio- # nem habet, quam 298374. ad 5041. mi- # rem autem, quam 2904. ad 49. # 221 Cylindri, & coni $uperfici{es} conuexa. # 235 Cylindrica $uperfici{es}, dempt{is} ba$ib{us} # 235 Cylindrorum, pri$matum, ac parallelepipe- # dorum area. # 205 Cylindro, aut pri$mati æqualem conum, vel # pyramidem $ub eadem altitudine; Et # vici$$im cono, vel pyramidi æqualem # cylindrum, aut pr<007>$ma eiu$dem altitu- # din{is} con$tituere. # 368 Cylindro pri$mati, cono, ac pyramidi cubũ # æqualem con$tituere. # 369 Cylindrum datæ $phæræ con$tituere æqua- # lem. # 370 Cylindrum, ac pri$ma in pyramidem, & co- # num: Item conum, ac pyramidem in cy- # lindrum, vel pri$ma æquale tran$muta- # re. # 368 Cylindrum, aut pri$ma datum in propor- # tionem datam diuidere. # 373 Cylindrum, conum, pri$ma, ac pyramidem # in parallelepipedũ rectangulum æquale # datæ altitudin{is}, vel ba$is cõmutare. # 370 Cylindrum, pri$ma, conum, ac pyramidem # cuiu$cunque altitudin{is}, in æqualem # $ub data qualib{et} alia altitudine, & $u- # pra ba$em quotcunque angulorum con- # uertere. # 368 Cylindrum pri$mati, & conum pyramidi # æqualem: Et vici$$im pri$ma cylindro # æquale, & pyramidem cono æqualem # con$lruere. # 368 Cylindrum pri$ma, conum, & pyramidem # in parallelepipedum $upra ba$em qua- # dratam conuertere. # 369 [428]INDEX. _D_. _D_Ecimæ part{es} mille$imarum, quo pacto # $umantur, {et}iam$i in$trumentum par- # tium diui$um $it in 100. part{es} duntaxat. # 8 Decimæ, vel cente$imæ part{es} quotcunque, # quo pacto ex quau{is} parte rectæ in par- # t{es} æqual{es} diui$æ per circinum auferan- # tur. # 44 Declinationem cuiuslibet paralleli in dia- # metro A$trolabii, per <007>n$trumentum # partium inuenire. # 11 D<007>ameter circuli, ac peripher<007>æ, ex ei{us} # area. # 201 Diameter circuli in numer{is}, ex dato ar- # cu. # 201 Diam{et}ri circuli ad circumferentiam pro- # portio accuratior, quæ. # 198 Diameter circul<007> ducta in 3 {1/7}. facit nume- # rum maiorem circumferentia. # 191 Diametrum circuli vera maiorem, ex da- # ta circumferentia indagare. # 194 Diametrum c<007>rculi vera minorem, ex data # circumferentia inue$tigare. # 194 D<007>ameter circuli quam proportionem ha- # beat ad peripheriam, $ecundum Archi- # medem. # 185 Diameter circuli ex data peripheria, & pe- # r<007>pheriã ex data diametro accuratior. # 198 Diametri circulorum inter $e $unt, vt cir- # cumferentiæ. # 194. & 336 Differ\~etiæ cuborũ quo pacto reperiãtur # 388 Differentiæ quadratorum. # 387 D<007>fferentia $t ationum quid. # 52 D<007>fficult{as} in extractionib{us} radicum quæ # $it, & quo pacto $uperetur. # 283 Dimen$ion{es} quo modo $ine numerorum # $upputat<007>one fiant. # 55. 58. 61. 64 Dimen$io altitudin{is} quo pacto fiat, $inere- # ductione vmbræ ver$æ ad rectam, quan@ # do in vna $tatione vmbra recta, & ver$a # in altera $ecatur. # 110 Dimen$ion{es} di$tantiarum eod\~e modo fiunt # in quadrato $tabil<007>, ac pendulo. # 102 Dimen$io di$tãtiæ quo modo fiat $ine redu- # ctione vmbrarum rectarum ad ver${as}, # quando in vtraque $tatione lat{us} vm- # bræ rectæ $ecatur. # 104 Dimen$io di$tantiæ quo modo fiat $ine re- # ductione vmbræ rectæ ad ver$am, quan- # do in vna $tatione vmbra recta & in al- # tera ver$a $ecatur. # 105 Dimen$io circul<007> ex Archimede. # 181 Dioptræ portio intra quadratum $tabile # quo pacto reperiatur. # 113 D<007>$tantiam ab oculo vel pede men$or{is} ad # quodu{is} punctum in Horizonte nota- # tum, per vnicam $tationem, per qua- # drantem metiri. # 67 D<007>$tantiam accl<007>uem mont{is} à loco men- # $or{is} v$que ad ba$em altitudin{is} monti # impo$itæ, {et}<007>am non vi$am, vna cum ip$a # altitudine, quando men$or in a$cen$u # mont{is} con$i$tit, prope verum efficere # cognitam, benefic<007>o quadrant{is}. # 78 D<007>$tantiam accl<007>uem mont{is} à loco men- # $or{is} v$que ad ba$em altitudin{is} monti # impo$itæ, {et}iam non vi$am, vna cum ip$a # alt<007>tudine, quando men$or in a$cen${is} # mont{is} con$i$t<007>t, prope verum, beneficio # quadrati efficere cogn<007>tam. # 132 D<007>$tantiam a $ummitate turr{is}, vel muri # v$que ad $ignum al<007>quod in Hor<007>zonte # po$itum, l<007>cet ad illud acce$${us} non pa- # teat, per quadratum eruere, vbicunque # men$or exi$tat. # 128 Di$tantiam hor<007>zontal\~e inter turrim ali- # quam, & al@ud quodpiã $ignum, ex tur- # r<007> per du{as} $tation{es} in fa$t<007>gio fact{as}, vel # in duab{us} fene$tr{is}, quarum vna ad per- # pendiculum $it $ub alia, quando $pa@<007>um # <007>nter ill{as} fene$tr{as} notum est, etiam$i # toti{us} turr{is} altitudo ignota $it. per qua- # drantem dimetiri. Atque hinc obiter # altitud<007>nem turr{is} patefacere. # 70 D<007>$tantiã ab oculo, vel pede men$or{is} (vbi- # cun{que} ex<007>$tat) ad quodu{is} punctum <007>n # al<007>qua alt<007>tud<007>ne, vel etiam in Hor<007>zon- # te notatum per quadratum exqu<007>rere, # per vnicam etiam $tationem. # 123. & 126 D<007>$ta tiam inter duo puncta in quol<007>bet # plano eleuato, $iue illud ad Hor<007>zontem # $it rectum, $iue incl<007>natum per quadran- # tem metir<007>. # 67 Di$tantiam in plano, $iue acce$$ibil{is} ea $it, [429]INDEX. # $iue inacce$$ibil{is}, per du{as} $tation{es} in # eodem plano fact{as} per quadrantem tam # pendulum, quam $tabilem m{et}iri, quan- # do in ei{us} extremo erecta est altitudo # al<007>qua perpendicular{is}, {et}iam$i infi- # mum ei{us} extremum non cernatur. At- # que hinc altitudinem quoque ip$am eli- # cere. # 52, & 55 D<007>$tantiam à ba$e turr{is} ad $ignum propo- # $itum in Horizonte, ex $ummitate tur- # r{is}, vel ex aliqua ei{us} fene$tra, per qua- # dratum cogno$cere. # 119 D<007>$tantiam ab oculo, vel pede men$or{is} ad # quodu{is} punctum in aliqua al@itudine # notatum, per du{as} $tation{es} in plano fa- # ct{as}, per quadrantem m{et}iri. # 65 D<007>$tantiam inter $ignum quodpiam in Ho- # rizonte po$itum, & $ummitatem turr{is}, # vel muri al<007>cui{us} lic{et} ad ip$um $ignum # acce$${us} non pateat, per quadrantem # coll<007>gere. # 72 Di$tantiam inter te, & $ignum quodcun{que} # in plano Hor<007>zont{is} po$itum, per qua- # dratum perue@tigare. # 96 & 97 Di$tant<007>am in Hor<007>zonte inter men$orem, # & $ignum aliquod vi$um, per $impl<007>c<007>{$s}i- # mũ quoddã in$trumentũ indagare. # 142 Di$tantiam in plano per du{as} $tation@ in # eodem plano fact{as}, per quadratum me # tiri, quando in ei{us} extr@@o erecta est # altitudo aliqua perpend<007>cular{is}, etiam- # $i infimum ei{us} extremum non cerna- # tur. # 100 Di$tantiam inter duo montium, aut tur- # rium cacum<007>na, per $implici$$imum # quoddam <007>n$trumentum reper<007>re. # 142 Di$tantiam in plano Hor<007>zõt{is} inter men- # $orem, & $ignum quodu{is}, beneficio # Normæ ad<007>nuenire. # 138 Di$tantiam inter duo $igna in plano, cui al- # titudo in$i$t<007>t, $i ea di$tantia è directo # men$or{is} iaceat, & vtrum{que} ei{us} extre- # mum cerni po$$it, ex altitudin{is} fa$tigio, # {et}iam$i altitudo $it men$or{is} $t atura, per # quadratum comprehendere. # 121 Di$tantiam in plano Horizont{is}, quæ non # $it valdè magna, fac<007>ll<007>mo quodam mo- # do dim{et}iri. # 139 Di$tantiam inter ped{es} men$or{is}, & $ignum # aliquod in plano Horizont{is}, beneficio # baculi m{et}iri, quando extrem{us} termi- # n{us} di$tantiæ v<007>deri potest. # 140 Di$tantiam inter duo $igna, vel punctain # quolib{et} plano $iue recto ad Horizont\~e, # $iue incl<007>nato, per quadratũ m{et}iri. # 126 Di$tantiam per vnicam $tationem m{et}iri # per quadrantem, quando altitudo nota # est. # 59 Di$tantiam, quando men$or in vno ei{us} ex- # tremo, vel <007>n aliqua altitudine nota ad # planum, in quo e$t d<007>$tantia, perpendi- # culari exi$tens alterum extremum vi- # dere potest, per quadrantem metiri. # 68 Doliorum capacit{as}. # 233 _E_. _E_Llip$is centro dato in linea ax{is}, vna # cum duob{us} punct{is} Ellip$is, vtrum{que} # ax{is} vtr<007>u${que} extremum reperire. # 357 Ellip$is datæ area. # 203 Ell<007>p$i $imilem figuram, quam ouatam di- # cunt, circino de$cribere. # 374 Examen extract<007>on{is} radicum. # 280 Extrahere radicem cuiu$u{is} gener{is} ex da- # to numero. # 276 _F_. _F_Acil{is} inuentio lineæ rectæ cuiu{is} cir- # cũferentiæ æqual{is}, ex {pro}pria figura. # 327 Facil{is} inuentio quadrat<007> circulo æqual{is}. # 328 F<007>gura regular{is} circulo circum$cripta ma- # iorem ambitum hab{et}, quam circul{us}. # 330. & 335 F<007>guræ numeri, ex quo radix extr ahitur, # quo modo per puncta $ignentur. # 277 Figuræ rectilineæ cuil<007>bet circulum æqua- # lem de$cribere. # 329 F<007>guræ regular{is} area, cui triãgulo rectan- # gulo $it æqual{is}. # 294 F<007>guræ regular{is} area, cui rectangulo æqua- # l{is} $it. # 293 Figuram Ellip$i $imilem, quam ouatam di- # cunt, circino de$cribere. # 374 Figuram rectilineam circulo æqualem, & # alteri $imilem con$tituere. # 329 Figuram rectilineã in quotu{is} partes æqua- [430]INDEX. # l{es} per rectam datæ rectæ parallelam di- # $tribuere. # 260 Figuram $olidam quamcun{\’que} ex i{is}, de qui- # b{us} Eucidi. in Stereom{et}ria agit augere # vel minuere in data proportione. # 273 Figuram rectilineam ex dato angulo, vel # puncto in latere, in quotu{is} part{es} æqua- # l{es} partiri. # 252 Figuram planam rectilineam, vel circu- # lum, in data proportione augere, vel mi- # nuere. # 272 Figuram $imilem plurib{us} figur{is} $imili- # b{us}, quarum latera homologa data $int, # æqualem. Et circulum plurib{us} circul{is}, # quorum diam{et}ri, c<007>rcumfer\~etiæue da- # tæ $int, æqualem de$cribere. # 202 Figurarum duarum $imilium, aut circulo- # rum proportio, ex dat{is} duob{us} laterib{us} # homolog{is}, vel diam{et}r{is}, circumferen- # tii$ue. # 201 Figurarum i$operim{et}rarum latera nu- # mero æqualia habentium, maxima & # æquilatera e$t, & æquiangula. # 303 Figurarum regularium I$operim{et}rarum # maior e$t illa, quæ plur{es} contin{et} angu- # los pluraue latera. # 296 Figur{is} rectilin{eis} regularib{us} circul{us}, cui # i$operim{et}ræ $unt, maior e$t. # 306 F<007>lum perpendiculi $ecãs vmbram rectam # facit angulum complementi altitudin{is}: # $ecans verò vmbram ver$am, angulum # con$tituit ip$i{us} altitudin{is}. # 89 Fractionem magnam ad minorem ferè æ- # quiualentem reducere. # 178 Fraction{is} inter du{as} mediæ facil{is} inuen- # tio. # 178 Fru$ti marmor{is} regular{is} $@lidit{as}. # 209 Fru$ti pyramid{is}, & coni area. # 208 Fru$t<007> $phæræ $olidit{as}. # 231 _G_. _G_Ener aradicum innumera. # 276 # Generatio cuborum. # 388 Generatio quadratorum. # 387 Geodæ$ia, ac Geom{et}ria quid. # 236 Geom{et}rici quadrati con$tructio. # 85 Gnomonica tabula. # 91 Gnomonicæ tabulæ facillima con$tructio, # eiu${\’que} v${us}. # 89 Gnomon, $eu lat{us} quadrati medio loco # proportionale e$t <007>nter vmbram rectam, # ac ver$am. # 87 Grad{us} ac M<007>n. in dato arcu quot conti- # neantur, per in$trumentum partium # cogno$cere. # 10 Grad{us}, ac Min. quotl<007>b{et}, quo pacto ex # circulo quou{is}, ope in$trum\~eti partium, # ab$cindantur. # 9. & 10 _H_. _H_Emi$pherii conuexa $uperfici{es}. # 229 # Hemi$phærii $olidit{as}. # 230 Heptagoni lat{us} non rectè à Carolo Maria- # no, Alberto Durero, & Franci$co Flu$- # $ate inueniri. # 362 Hyperbolici Conoid{is} $olidit{as}. # 233 Hypotenu$æ inuentio per quadrantem. # 53. # 58. 61. 63 _I_. _I_Mpar{es} numeros quemlib{et} cubũ com- # ponent{es} inuenire. # 390 Imperata pars quo pacto ex data recta ab- # $cindatur, per in$trumentũ partium. # 10 Inacce{$s}<007>bilem altitudinem, cui{us} ba$is non # videatur, & ad quam per nullũ $patium # $ecundum rectam lineam accedere po{$s}it # men$or, aut recedere, vt duæ $tation{es} fie- # ri po$$int, $ed $olum ad dextram, $ini- # $tramue ad locum, è quo ei{us} ba$is cer- # natur, per quadratum explorare. # 128 Inacce$$ibilem altitudinem, cui{us} ba$is non # videatur, & ad quam per nullũ $pat<007>um # $ecundum lineam rectam accedere po$- # $im{us}, aut recedere, vt duæ $tation{es} fieri # po$$int, $ed $olum ad dextram, $ini$tram- # ue ad locum, è quo ei{us} ba$is appare{at}, # per quadrantem explorare, # 72 Inacce$$ibilem altitudinem, quando di$tan- # tia a loco men$or{is} ad ba$em altitudin{is} # ignota e$t, per du{as} $tation{es} in plano fa- # ct{as}, per quadrant\~e d<007>m{et}iri. At{que} hinc # d<007>$tantiam quo{que} ip$am eruere, {et}iam$i # extrem{us} ei{us} term<007>n{us} nõ cernatur. # 57 Inacce$$ib<007>lem altitudinem, quando neque d<007>$tantia à loco men$or{is} ad e<007>{us} ba$em [431]INDEX # nota e$t, ne{\’que} è directo ip$i{us} duæ $tatio- # n{es} in plano fieri po$$unt, neque denique # ba$is appar{et}, per quadrantem notam # reddere. Atque hinc obiter ip$am quo{que} # di$tantiam elicere. # 73 Inacce$$ibilem altitudinem beneficio $pecu- # li plani, vnà cum $peculi di$tantia tam # à ba$e, {et}iam non vi$a, quam à cacumi- # ne altitudin{is} cogno$cere. # 145 Inacce$$ibilem di$tantiã per quadrantem # tam pendulum, quam $tabilem m{et}iri, # quando in ei{us} extremo erecta e$t alti- # tudo perp\~edicular{is}, etiam$i infimũ ei{us} # extremum non cernatur. At{que} hinc alti- # tudinem quo{que} ip$am elicere. # 52. & 55 Incidentiæ angul{us} cur angulo reflexion{is} # $it æqual{is}. # 341 In$trumenta men$urandi varia. # 51 In$trumenti, quod Ital{is} Squadra zoppa # dicitur, con$tructio, & v${us}. # 150 In$trumentum partium quid, & quo pacto # con$truatur. # 3. & 4 In$trumentum partium quo pacto aliter # con$truatur. # 13 In$trumentum pro l<007>brationib{us} apti$$i- # mum. # 153 Interuallum, ad cui{us} extrema accedere # non liceat, dummodo ea appareant & # ip$um interuallum productum ad ped{es} # men$or{is} pertingat, ex altitudine aliqua # nota, per quadrantem m{et}iri. # 68 Interuallum è directo men$or{is} po$itum cu- # i{us} vtrumque extremum, vel alterum # non appareat, ni$i men$or ad dextram, # vel $in<007>$tram accedat, per quadrantem # comprehendere. # 71 Interuallũ in Horizonte inter turrim ali- # quam, & aliud quodpiam $ignum, ex # turri per du{as} $tation{es} in fa$tigio fa- # ct{as}, vel in duab{us} fene$tr{is}, quarũ vna # $it ad perpendiculum $ub alia, quando # $patium inter ill{as} fene$tr{as} notum est, # {et}iam$i toti{us} turr{is} altitudo ignota $it, # per quadrantem d<007>m{et}iri. Atque hinc # obiter altitudinem turr{is} patefacere. # 70 Interuallũ in Hor<007>zonte, inter men$orem, # & $ignũ aliquod vi$um, per $implici$$<007>- # mũ quoddam in$trumentũ indagare. # 142 Interuallũ in plano Horizont{is} inter men- # $orem, & $ignum quodu{is} beneficio # Normæ adinuenire. # 138 Interuallum inter duo puncta in quol<007>b{et} # plano eleuato, $iue illud ad Horizontem # $it rectum, $iue inclinatũ, per quadran- # tem metiri. # 67 Interuallum inter duo $igna, vel puncta in # quolibet plano $iue recto ad Horizont\~e, # $iue inclinato, per quadratũ metiri. # 126 Interuallum, quãdo men$or in vno ei{us} ex- # tremo, vel in aliqua altitudine nota ad # planum, in quo interuallũ e$t, perpendi- # culari exi$tens alterum extremum vi- # dere pote$t, per quadrantem metiri. # 68 Interuallum tran$uer$um in Horizonte, # cui{us} vtrum{\’que} extremum videripote$t, # per quadratum metiri. # 128 Interuallum inter pedes men$or{is}, & $ignũ # aliquod in plano Horizont{is}, beneficio # baculi metiri, quando extrem{us} termi- # n{us} interuall<007> videri potest. # 137 Interuallum tran$uer$um in Horizonte, # cui{us} vtrum{que} extremum in$picipote$t, # per quadrantem efficere notum. # 69 Io$eph{us} Scaliger perperam Archimedem # de Dimen$ione circuli reprehendit. # 184 Irregularium omnino corporum area. # 334 I$operimetra figuræ quæ, & tractatio de {eis} # in$tituta. # 291 I$operimetrarum figurarum regularium # maior e$t illa, quæ plur{es} continet angu- # los, pluraue latera. # 296 I$operimetrarum figurarum latera nume- # ro habentium æqualia, maxima & æ- # quilatera e$t, & æquiangula. # 303 I$operimetrorum triangulorum eandem # habentium ba$em, mai{us} e$t illud, quod # duo latera habet æqualia. # 297 I$o$cel{is} trianguli area. # 165 I$o$cel<007>a duo triangula $imilia ba$ium inæ- # qualium, $imulmaiora $unt duob{us} I$o- # $celib{us} $imul $uper ea$dem ba${es}, quæ # quidem inter $e $int di$$imil<007>a, pr<007>or<007>b{us} # verò I$operimetra, habeant{que} quatuor # latera inter $e æqualia. # 360 [432]INDEX I$o$celib{us} duob{us} triangul{is} dat{is}, quorum # ba${es} inæqual{es} $int, & duo latera vni{us} # duob{us} alteri{us} æqualia: $uper ei$dem # ba$ib{us} triangula I$o$celia $imilia, & # priorib{us} $imul $umpt{is} I$operim{et}ra # con$tituere. # 299 _L_. _L_Atera duo trianguli obliquanguli, ex # tertio latere, & duob{us} quibu$u{is} an- # gul{is}, inuenire. # 46 Latera tria in quadrilatero maiora $unt # quarto latere. # 344 Later{is} trianguli obliquanguli $egmenta # à perpendicularifacta, ex dat{is} trib{us} # laterib{us} cogno$cere. # 46 Laterum proportion{es} ex dat{is} angul{is} cu- # iu$u{is} trianguli patefacere. # 44 Lat{us} figuræ regular{is}, quo pacto ex e<007>{us} # area deprehendatur. # 181 Lat{us} figuræ regular{is} quo pacto ex $emi- # diam{et}ro circuli circum$cripti cogno- # $catur. # 178 Lat{us} polygoni propo$iti quo pacto in dato # circulo per <007>n$trumentum partium in- # ueniatur. # 11 Lat{us} quadratric{is} æquale e$t quadranti # circuli, cui{us} $emidiameter est ba$is # quadratric{is}. # 326 Lat{us} trianguli rectanguli, ex ba$e, & al- # terutro angulorum acutorum, notum # efficere. # 45 Lat{us} trianguli rectanguli, ex ba$e, & alte- # ro cogno$cere. # 45 Lat{us} trianguli rectanguli ex altero latere # & alterutro angulo acuto eruere. # 45 Lat{us} trianguli obliquanguli ex duob{us} # laterib{us}, & angulo ab <007>p$is comprehen- # $o colligere. # 47 Lat{us} trianguli obliquanguli ex duob{us} # reliqu{is} laterib{us}, & duob{us} quibu$u{is} # angul{is}, addi$cere. # 47 Lat{us} trianguli obliquanguli ex duob{us} # laterib{us}, & angulo vni eorum oppo$ito, # ($i modo con$tet $peci{es} anguli alteri la- # teri dato oppo$it<007>, quando dat{us} angul{us} # acut{us} est) exquirere. # 48 Lenticular{is} figuræ area. # 200 Librare $patium terræ inæquale, pro ducen- # d{is} aqu{is}: aut {et}iam, $i lubet, Hor<007>zonti # æquidi$tans efficere. # 153 Linea recta diui$a in quotu{is} part{es} æqua- # l{es}, quot eiu$modi part{es} in quau{is} alia # recta contineantur, ope in$trumenti par- # tium cogno$cere. # 6 Linea recta in quotu{is} part{es} æqual{es} diui- # $a, quot dec<007>mæ, vel cente$imæ, & c. in # quau{is} particula vni{us} part{is} contineã- # tur, per c<007>rcinum deprehendere. # 42 Lineæ $uperfici{es}, ac $olida, pen{es} qu<007>d men- # $urentur. # 157 Lineæ rectæ $ub dimen$ionem cadent{es} quæ # $int. # 51 Lineæ duæ, vna recta, & altera inflexa, # nunquam concurrent{es}, lic{et} in infini- # tum producantur, & $emper mag{is} vna # ad alteram acced{at}. # 270 Lineam quadratricem de$cribere. # 320 Lineam rectam, ad cui{us} extrema accede- # re non l<007>ceat, dummodo ea appareant, # & ip$a linea recta producta ad ped{es} # men$or{is} pert<007>ngat, ex alt<007>tud<007>ne aliquæ # nota, per quadrantem metiri. # 68 Lineam rectam in Horizonte inter turrim # aliquam, & aliud quodpiam $ignum, ex # turri per du{as} $tation{es} in fa$t<007>gio fact{as}, # vel in duab{us} fene$tr{is}, quarum vna ad # perpendiculum $it $ub alia, quando $pæ- # tium inter ill{as} fene$tr{as} notum e$t, et- # iam $i toti{us} turr{is} altitudo $it ignota, per # quadrantem dimetiri. Atque h<007>nc obi- # ter altitudinem turr{is} patefacere. # 70 Lineam rectam datam per in$trumentum # partiũ diuidere, vt alia recta d<007>ui$a e$t. # 12 L<007>neam rectam è directo men$or{is} po$itam # cui{us} vtrum{que} extremum, vel alterum, # non appareat, ni$i ad dextram vel $ini- # $tram men$or accedat, per quadrantem # comprehendere. # 71 Lineam rectam in Horizonte per quadra- # tum metiri, quando men$or in vno ei{us} # extremo ex<007>$tens alterum extremum # videre non potest, neque altitudo in # promptu est, $ed $olum ad dextram, vel # $ini$tram per lineam perpendicularem [433]INDEX # dere pote$t ad locum, è quo alterum ex- # tremum appare{at}. # 121 Lineam rectam arcui quadrant{is} æqua- # lem reperire. # 325 Lineam rectã in Horizonte è directo men- # $or{is} iacentem, per quadratum cogno$ce- # re, ad cui{us} extrema neque accedere li- # ceat, neque è loco men$or{is} eam dim{et}i- # ri: dummodo ad dextram, vel $ini$tram # per lineam perpendicularem ad locum # aliqu\~eire po$$it men$or, ex quo vtrum{que} # extremum appare{at}. # 121 Lineam rectã, quando men$or in vno ei{us} # extremo, vel in aliqua altitudine nota # ad planum, in quo e$t linea, perpendicu- # lar<007> exi$tens alterum extremum videre # potest, per quadrantem m{et}iri. # 68 Lineam rectam tran$uer$am in Horizon- # te, cui{us} vtrum{\’que} extremum videri po- # test, per quadrantem metiri. # 127 Lineam rectam tran$uer$am in Horizon- # te, cui{us} vtrum{que} extremum in$p<007>c<007> po- # test, per quadrantem notam efficere. # 69 Linearum quarundã, & angulorũ mecha- # nicã men$uration\~e admittendã e$$e. # 169 Longitudinem tran$uer$am <007>n Hor<007>zonte, # cui{us} vtrum{que} extremum in$pici pote$t, # per quadrantem notam efficere. # 69 Long<007>tudinem trab{is} ad Horizontem in- # cl<007>natæ, cui{us} portio $uperior tantum # con$piciatur, vnà cum angulo inclina- # tion{is}, di$tantia ba$is à men$ore, & alti- # tudine fa$tigii $upra Hor<007>zontem, per # quadratum metiri. # 151 Longitud<007>nem rectæ è diam{et}ro men$or{is} # po$itæ, cui{us} vtrum{\’que} extremum vel al- # terum non appareat, ni$i ad dextram, # vel $in<007>$tram accedat men$or, per qua- # drantem comprehendere. # 71 Longitud<007>nem vmbræ ab alt<007>tudine, Sole # lucente, quando pro<007>ectæ alt<007>tudo e$t co- # gnita, ope quadrati ad<007>pi$ci. # 141 Longitud<007>nem l<007>neæ rectæ, quando men$or # in vno ei{us} extremo, vel <007>n altitudine # aliqua nota, quæ perpend<007>cular{is} $it in # eo extremo ad planum, <007>n quo l<007>nea ia- # c{et}, ex<007>$tens alterum extemũ v<007>dere po- # te$t, per quadrantem comprehendere. # 68 Longitudinem in Horizonte inter turrim # aliquam, & aliud quodpiam $ignum, ex # turri per du{as} $tation{es} in fa$tigio fact{as}, # vel in duab{us} fene$tr{is} quarum vna $it # $ub alia ad perpendiculum, quando $pa- # tium inter <007>ll{as} fene$tr{as} notum e$t, {et}- # iam$itoti{us} turr{is} altitudo ignota $it, per # quadrantem d<007>metiri. At{que} hinc obiter # altitudinem turr{is} patefacere. # 70 Longitudinem in Hor<007>zonte exten$am per # quadratum m{et}iri, quando men$or in # vno ei{us} extremo ex<007>$tens alterũ videre # non pote$t, propter tumorem aliquem in- # teriectũ, ne{que} altitudo in promptu e$t, $ed # $olum ad dextrã, vel $in<007>$tram per lineã # perpendicular\~e recedere pote$t ad locũ, è # quo alterum extremum appare{at}. # 121 Longitudinem in Hor<007>zonte è directo men- # $or{is} iacentem, per quadratũ cogno$ce- # re, ad cui{us} extrema neque accedere li- # ceat, ne{que} è loco men$or{is} eam dimetiri, # ne{que} vlla ad$it altitudo: dũmodo ad dex- # trã, vel $ini$trã per lineam perpendicula- # rem ad locũ al<007>quem<007>re po$$it men$or, ex # quo vtrum{que} extremum appare{at}. # 122 Longitndinem, ad cui{us} extrema accedere # non liceat, dummodo ea appareant, & # ip$a longitudo producta ad ped{es} men$o- # r{is} pertingat, ex altitudine aliqua nota, # per quadrantem metiri. # 68 Longitudinem a$cen${us} alicui{us} mont{is}, $i # ei{us} cacumen ab oculo in radice con$ti- # tuto videatur, per in$trumentum $im- # plic<007>{$s}<007>mum cogno$cere. # 143 _M_. _M_Agnitudinum quatuor propriet{as} # quædam. # 331 Magnitudinib{us} in part{es} proportional{es} # $ect{is}, $i in $ingul{is} vna pars <007>treum $ece- # tur proport<007>onaliter, erunt ibidem totæ # etiam $ectæ proport<007>onal<007>ter. # 237 Marmor{is} regular{is} $olidit{as}. # 209 Mechan<007>ca men$urat<007>o <007>n nonnull{is} lin{eis}, # & angul{is} adm<007>ttenda est. # 169 [434]INDEX Medi{as} du{as} proportional{es} inter du{as} da- # d{as}, ex Nicomede, prope verum, adin- # uenire. # 270 Medi{as} du{as} {pro}portional{es} inter du{as} datas, # ex Diocle, prope verum, inquirere. # 268 Medi{as} du{as} proportional{es} inter dat{as} # du{as}, ex Herone, & Apollonio Pergæo, # prope verum, inuenire. # 266. & 267 Medi{as} du{as} proportional{es} inter du{as} da- # t{as}, ex Philone By$antio, & Philopono, # prope verum inquirere. # 268 Medium numerum proportionalem, vel # duos medios inter duos datos numeros # comperire. # 274 Men$orum ratio commun{is} in area cuiu$- # u{is} figuræ, vel agri inue$tiganda. # 173 Men$urandi varia in$trumenta. # 51 Men$uræ l<007>nearum, $uperficierum, ac $oli- # dorum pen{es} quid $umantur. # 157 Mille$imarum decimæ part{es} quo modo $u- # mantur, {et}iam $i in$trumentũ partium # diui$um $it in 100. part{es} duntaxat. # 8 Mille$imæ part{es} quomodo capiantur, {et}- # iam$i in in$trumento partium conti- # neantur tantum 100. part{es}. # 7 Mille$imæ, vel cente$imæ part{es} in quau{is} # recta linea quo pacto capiantur, ope in- # $trumenti partium. # 6 Minuta quotlib{et} quo pacto ex gradu quo- # u{is} ab$cindantur per circinum. # 41 Minuta ac $ecũda quo pacto per circinum # in quau{is} particula grad{us} deprehen- # dantur. # 39 Minuta, & $ecũda quo pacto ex quadran- # te con$tructo reperiantur. # 18 Minutia, cui{us} Numerator ex duarum # minutiarũ Numeratorib{us}, & Deno- # minator ex denominatorib{us} conflatur, # maior e$t minore, & maiore minor. # 178 Minutiæ inter du{as} mediæ facil{is} inuentio. # 778 Minutiam magnam ad minorem ferè æ- # quiualentemreducere. # 178 Mont{is} altitudinem m{et}iri per quadran- # tem. # 57. & 59 Mont{is} vel turr{is} altitudinem ex ei{us} $um- # mitate per vnicam $tationem, ope qua- # drati $tabil{is} m{et}iri, vna cum di$tantia # $igni in Horizonte vi$i v${que} ad perpendi- # culum mont{is}, aut turr{is}. # 117 Mont{is}, aut turr{is} altitudinem ex ei{us} ver- # tice per quadrantem m{et}iri, $i in plano, # cui in$i$tit, $patium aliquod è directo # men$or{is} notum $it, deprehendere. # 64 Mont{is}, aut turr{is} altitudin\~e ex ei{us} $um- # mitate per quadratum dim{et}iri, quãdo # in plano $ummitat{is} Horizonti æquidi- # $tante duæ $tation{es} fieri po$$unt, & $ignũ # aliquod in Horizonte cern<007>tur. # 114 Mont{is} aut turr{is} altitudinem ex ei{us} ver- # tice per du{as} $tation{es} in ha$ta aliqua e- # recta, vel in duab{us} fene$tr{is} turr{is}, qua- # rum vna $it $upra aliam fact{as}, è quib{us} # $ignũ aliquod in Horizõte videri po{$s}it, # per quadrant\~e m{et}iri. At{que} hinc d<007>$tan- # tiã quo{que} à perp\~ediculo mõt{is}, velturr{is}, # v${que} ad $ignum vi$um cogno$cere. # 62 Mont{is}, aut turr{is} altitudinem ex ei{us}ver- # tice per du{as} $tation{es} in eiu$dem $ummi- # tate fact{as}, è quib{us} $ignum aliquod in # Horizonte appareat, per quadrantem # dim{et}<007>ri. At{que} hinc ip$am quo{que} di$tan- # tiam à mont{is} perpendiculo, vel turr{is} # ba$e ad $ignum illud inue$t<007>gare. # 59 Mont{is} vel turr{is} altitudinem ex ei{us} fa$ti- # gio, quando è directo men$or{is} interual- # lum aliquod inter duo $igna vel {et}iam # inter $ignum quodpiam ac turr<007>m cog- # nitum e$t, per quadratum coniicere. # 122 Mont{is}, vel turr{is} altitudin\~e ex ei{us} $um- # mitate per du{as} $t ation{es} in ha$ta al<007>qua # erecta fact{as}, inue$t<007>gare per quadra- # tum, quando $ignum aliquod in Hori- # zonte videri potest. # 116 Mult<007>lateræ figuræ irregular{is} area quæ. # 171 Muri cuiu$que $olidit{as}. # 209 _N_. _N_Ormæ beneficio altitudinem turr{is}, # aut alteri{us} rei inue$tigare. # 139 Normæ beneficio di$tantiam in plano Ho- # rizont{is} inter men$orem, & $ignũ quod- # u{is} percipere. # 139 Numeri particular{es} pro $ingul{is} radicum # $pecieb{us}, quo modo reper<007>antur. # 278 [435]INDEX Numeros impar{es} datum cubum compo- # nent{es} reperire. # 390 Numerum aliquo concipiente, quot ei v- # nitat{es} remaneant po$t tr{es} operation{es} # imper at{as}, con<007>jcere. # 341 _O_ _O_Bliquanguli trianguli area, exvno la- # tere, ac duob{us} angul{is}. # 168 Obl<007>quanguli trianguli area, ex duob{us} # laterib{us}, & angulo ab ip$is cõpreh\~e$o. # 168 Obl<007>quangulorũ quadrilaterorũ area. # 169 Obliquangulorum triangulorum rectili- # neorum problemata. # 46 Ob$eruat<007>on{is} angul{us} qu{is}. # 52 Ouatam figuram Ellip$i $imilem circino # de$cribere. # 374 Octogonum regulare ad datam altitudin\~e # latitudinemue con$tituere. # 365 Octogonum regulare circulo in$criptum # medio proportionale e$t inter quadra- # tum circulo circum$criptum, & qua- # dratum eidem in$criptum. # 364 _P_ _P_Arabolici Conoid{is} $ol<007>dit{as}. # 232 # Parabolæ datæ area. # 203 Parallelepipedũ $ub quadrato alterutri{us} # extremarum, ($i $int quatuor l<007>neæ cõ- # tinue proportional{es}) & altera extrema # comprehen$um, æquale est cubo mediæ # proportional{is}, quæ priori extremæ a$- # $umptæ e$t propinquior. # 275 Parallelepipedorum, Pri$matum, & cylin- # drorum area. # 204. & 205 Parallelepipedo rectangulo cubum æqua- # lem exhibere. # 369 Parallelepipedum, aut cubum in datam # proportionem d<007>uidere. # 373 Parallelepipedum rectangulum $ub data # altitud<007>ne, vel $upra datam ba$em dato # cubo æquale con$tituere. # 370 Parallelogrammum datum in quotcun{que} # part{es} æquales diuidere per rect{as} duo- # b{us} later<007>b{us} oppo$it{is} parallel{as}. # 206 Parallelogrammum datum per rectam ex # puncto $iue extra, $iue intra ip$um, $iue # in aliquo latere dato ductam bifariã $e- # care. # 266 Parallelogrammum in dato angulo æqua- # le dato quadrilatero con$tituere. # 338 Pars imperata quo pacto ex data recta ab- # $cindatur, per in$trumentum partiũ. # 10 Part{es} aliquotæ $imil{es} plurium magnitu- # dinum eandem habent proportione. # 218 Part{es} decimæ mille$imarum quo pacto $u- # mantur, {et}iam$i in$trumentũ partium # diui$um $it in 100. part{es} duntax{at}. # 8 Part{es} cente$imæ, vel mille $imæ in quau{is} # recta linea, quo pacto ope in$trumenti # partium capiantur. # 6 Part{es} quotcun{que} decimæ, vel c\~ete$imæ, & c. # quo pacto ex quau{is} parte rectæ in par- # t{es} æqual{es} diui$æ<002>circinũ auferãtur. # 45 Part{es} mille$imæ, quo modo capiantur, {et}- # iam$i in in$trumento part<007>um contine- # antur tantum 100. part{es}. # 7 Particula quælib{et} vni{us} part{is} centen$i- # mæ in$trumenti partium, quot part{es} # decim{as} vni{us} cente$imæ, vel quot mil- # le$im{as} toti{us} later{is} in$trumenti cõple- # ctatur, quo pacto cogno$catur. # 9 Partium in$trumentum quid, & quo pa- # cto con$truatur. # 3. & 4 Partium in$trumentum, quo pacto aliter # con$truatur. # 13 Pendul{us} quadrans quid. # 18 Pentagonum regulare non rectè con$trui # ab Alberto Durero, & ali{is}. # 360 Peripheriæ circuli ex data diametro; & di- # am{et}er ex data peripheria, accuratior. # 198 Peripheria circuli, ac diam{et}er, ex ei{us} a- # rea. # 201 Peripheria circuli quã proportion\~e habeat # ad diametrũ, $ecundũ Archimed\~e. # 185 Peripheria circuli diui$a per 3 {1/7}. gignit nu- # merum maiorem diam{et}ro. # 191 Peripheriæ circuli ad diametrum propor- # tio accuratior, quæ. # 198 Peripheriæ circulorum inter $e $unt, vt di- # ametri. # 194. & 336 Peripheriam circuli vera maiorem, ex da- # ta diam{et}ro reperire. # 193 Peripher<007>ã datærectæ æqual\~e reperire. # 329 Peripheriam circuli vera minorem. ex da- # ta diam{et}ro elicere. # 193 [436]INDEX. Perpendicularem in lat{us} quodcun{que} tri- # anguli ex angulo oppo$ito cadent\~e, ex o- # mnib. trib{us} laterib{us} efficere notã. # 49 Perpendicular{is}quæ $egmenta faciat in la- # tere trianguli obl<007>quanguli. # 46 Perpendicular{is} ex quolibet gradu qua- # drant{is} demi$$a, in quodnam punctum # $emidiam{et}ri cadat, per in$trumentum # partium cogno$cere. # 11 Perpendicular{is} in triangulo quando est # numer{us} $urd{us}, quid agendum. # 165 Perpendicular{is} in triangulo æquilatero # quo pacto cogno$catur. # 175 Perpendicular{is} è centro figuræ regular{is}, # quo pacto cogno$catur. # 175 Perpendiculi filum $ecans vmbrãrectam # facit angulum complementi altitudi- # n{is}: $ecans vero vmbram ver$am, an- # gulum con$tituit ip$i{us} altitudin{is}. # 89 Pinnacid<007>a pro radio vi$uali quo pacto cõ- # $truenda $int. # 17 Pinnacidia quo pacto in quadrante $int # affigenda. # 17 Polygoni propo$iti lat{us} quo pacto in dato # circulo per in$trumentum partium in- # ueniatur. # 11 Portionem altitudin{is} maior{is} ex minori # altitudine, & minor{is} portion\~e, ex ma- # iori per quadrantem cogno$cere. # 76 Portionem altitudin{is} maior{is} ex minore # altitudine, & minor{is} portion\~e ex ma- # iore, per quadratum percipere. # 131 Portion{is} $phæræ $uperfici{es} conuexa. # 229 Port<007>on{is} $phæræ $olidit{as}. # 231 Portionum $phæroid{is} $olidit{as}. # 232 Primi inter $e numeri $i ambo nõ $int qua@ # drati, aut cubi; neque vll<007> eorum æque # multipl<007>c{es} quadrati erunt aut cubi. Et # $i duorum numerorum æque multipli- # c{es} $int ambo quadrati, aut cubi, etiam # ip$i quadrati erunt, aut cubi. # 343 Pri$ma, ac cyl@ndrum in conum, & pyra- # midem: Item, conum, ac pyramidem in # cyl<007>ndrum, vel pr<007>$ma æquale tran$mu- # tare. # 369 Pri$ma conum, cyl<007>ndrũ ac pyram<007>d\~e in æ- # quale $ub data alt<007>tud<007>ne, & $upra bas\~e # quotu{is} angulorum conuertere. # 369 Pri$ma, cylindrum, conum, ac pyramidem # <007>n parallelepipedum $upra ba$em qua- # dratam conuertere. # 369 Pri$mati, cono, cyl@ndro, ac pyramidi cubũ # æqualem con$truere. # 370 Pri$mati cuicun{que} cyl<007>ndrum æqualem, & # pyramidi conum æqualem: Ac vici$$im # cylindro pri$ma æquale, & cono æqua- # lem pyram<007>dem con$truere. # 368 Pri$mati dato $phæram æqualem con$tru- # ere. # 371 Pry$ma pyramidem, cylindrum, & conum # in parallelepipedum rect angulũ aquale # datæ altitud<007>n{is}, vel ba$is comutare. # 370 Pri$ma, vel cyl<007>ndrum datum in datam # proportionem diuidere. # 373 Pri$mati, aut cylindro æqualem pyramid\~e # vel conum $ub eadem altitud<007>ne: Et # cõtra pyramidi, vel conoæquale pr<007>$ma, # vel cyl<007>ndrum con$tituere eiu$dem al- # titudin{is}. # 368 Pri$matum, parallelepipedorum, & cyl<007>n- # drorum area. # 204. & 205 Probatio extraction{is} radicum. # 280 Problemata 3. 4. 5. 6. & 7. libri 3. quo pa- # cto per vnicam $t ationem, ope quadrati # $tabil{is} ab$oluantur. # 112 Problemeta triangulorum rectilineorum # rectangulorum. # 44 Profund<007>tatem putei, vel adificij cuiu$u{is} # ad perpendiculum erecti, $i modo angu- # l{us} fund<007>, vel $ignum aliquod in fundo # po$itum con$piciatur, per quadratum # efficere cognitam # 134 Profunditatem putei, vel a dificij cuiu$cũ- # que ad perpendiculum erecti, $i modo # angul{us} fundi, vel $ignum aliquod <007>n- # fundo po$itum con$p<007>ciatur, per qua- # drantem reperire. # 80 Profund<007>tatem vall{is}, eiu$demque de$cen- # $um obl<007>quum, $i non $it valde in qua- # l{is}, etu${que} termin{us}, vel aliquod in valle # $ignum con$p<007>ci po$$it, per quadr antem # $crutari. # 82 Profund<007>t atem vall{is}, eiu$dem que de$cen- # $um obl<007>quum, $i non $it valde inæ qua- # l{is}, & e<007>{us} term<007>n{us}, vel al<007>quod <007>n ea [437]INDEX. # $ignum con$pici po$$it, per quadratum # cogno$cere. # 136 Propinquam radicem veræ, in numer{is} nõ # quadrat{is} non cub{is}, nõ Zen$izen$is, non # $urde$olid{is}, & c. inuenire. # 284 Proportionalem numerum medium, vel # duos medios, <007>nter datos duos numeros # reperire. # 274 Proportional{es} du{as} medi{as} inter du{as} da- # t{as}, ex Diocle; {pro}pe verũ inue$tigare. # 268 Proportional{es} du{as} medi{as} inter du{as} da- # t{as}, ex N<007>comede, prope verum, adinue- # nire. # 270 Proportional{es} du{as} medi{as} inter du{as} da- # t{as}, ex Philone By$antio, & Philopono, # prope verum, inquirere. # 267 Proportional{es} du{as} medi{as} inter dat{as} # du{as} rect{as}, prope verum, ex Herone, & # Apollonio Pergæo inuenire. # 267 Proportion{es} laterum ex dat{is} angul{is} cu- # iu$u{is} trianguli patefacere. # 44 Proportional{is} tertia, & quarta quo pacto # <002> in$trumentum partium reperiatur. # 13 Propriet{as} pulchra quadrati. # 365 Propriet{as} c<007>rculi pulcherrima. # 358 Propriet{as} quædam quatuor magnitudi- # num. # 331 Propriet{as} pulchra Quadratric{is}. # 323 Punctum, in quo duæ rectæ ad in uicem in- # clinatæ concurrant, inuenire. # 55 Punctum declination{is} cui{us} libet paralle- # li in diametro A$trolabij per in$trum\~e- # tum partium inuenire. # 11 Putei, vel æd@fic<007>j cuiu$cunque ad perpen- # diculum erect<007> profund<007>tatem, $i modo # angul{us} fundi, vel $ignum aliquod in # fundo po$itum con$p@ciatur, per qua- # drantem reperire. # 80 Putei, vel ædificij cuiu$u{is} ad perpendicu- # lum erecti profunditatem, $i modo an- # gul{us} fundi, vel $ignum aliquod in # fundo po$itum con$piciatur, per qua- # dratum efficere cognitam. # 134 Pyramid\~e, conũ, cylindrũ, ac pri$ma in æ- # qual\~e $ub data altitudine, & $upra ba- # $em quotu{is} angulorum reuocare. # 369 Pyramidem, pri$ma, conum, & cylindrũ in # parallepipedum rectangulũ æquale da- # tæ altitudin{is}, vel ba$is commutare # 370 Pyramidem datæ $phæræ æqualem extrue- # re. # 371 Pyramidem, pri$ma, cylindrum, & conum # in parallelepipedum $upra ba$em qua- # dratam conuertere. # 369 Pyramidi, cono, cylindro, ac pri$mati cubũ # æqualem efficere. # 369 Pyramidi conum æqualem, & pri$m ati cy- # lindrum æqualem: Et contra cono py- # ramidem æqualem, & cylindro pri$ma # æquale con$truere. # 368 Pyramidi, vel cono æquale pri$ma, vel cy- # lindrum eiu$dem altitud<007>n{is}: Et vici$- # $im cylindro, vel pri$mati æqualem co- # num, vel pyramidem $ub eadem altit{is}- # dine con$tituere. # 367 Pyramidum, & conorum area. # 206 Pyram{is} cui $oliào rectangulo æqual{is} $it. # 307 _Q_ _Q_Vadrans pendul{us} quid. # 18 Quadrans $tabil{is} quid # 18 Quadrans, $emidiameter, & ba$is Qua- # dratric{is}, continue $unt proportional{es}. # 324. Quadrant{is} lib. 1. cap. 2. con$tructi v${us} in # minut{is}, & $ecund{is} ex quirend{is}. # 18 Quadranti circuli rectangulum con$titu- # ere I$operimetrum & æquale. # 214 Quadrant{is} con$tructio ad Min. & Sec. # cogno$cenda. # 15 Quadr ati area. # 158 Quadratæ radic{is} extractio. # 279 Quadratæ, & cubicæ radic{is} extractio ex # data minutia. # 288 Quadratam & cubicam radicem in nu- # mer{is} non quadrat{is}, & non cub{is} per # line{as} Geometricè inuenire. # 289 Quadrati Geometrici con$tructio. # 84 Quadrati pulchra propriet{as}. # 365 Quadratorum differentiæ. # 387 Quadratorum, & cuborum tabula v$que # adradicem 1000. # 378 Quadratorum generatio. # 387 Quadratum, altera parte longi{us}, Rhom- # bum ac Rhomboid{es}, ex exce$$u diame- # tri $upra lat{us}, & c. de$cr<007>bere. # 345 [438]INDEX. Quadratum numerum in quotlibet qua- # dratos de$tribuere. # 342 Quadrilateri tria latera maiora $unt # quarto latere. # 344 Quadrato c<007>rculũ æqual\~e de$cribere. # 329 Quadratric{is} lat{us} æquale e$t quadr anti # circuli, cui{us} $emidiameter e$t ba$isqua # dratric{is}. # 326 Quadratric{is} ba$is, $emidiam{et}er qua- # drant{is}, & quadrans $unt continue {pro}- # portional{es}. # 324 Quadratric{is} pulchra propri{et}{as}. # 363 Quadratricem lineam de$cribere. # 324 Quadratum pendulum, ac $t abile, quo- # modo v$urpetur. # 86 Quadratum circumferentiæ circuli ma- # ximi in $phæra ita e$t ad $uperficiem # $phæræ, vt circumferentia circuli ma- # ximi ad diametrum. # 219 Quadratum circulo æquale, quo pacto fa- # cile exhibeatur ex propria figura. # 328 Quadratum dato circulo æquale con$ti- # tuere. # 327 Quadratum diam{et}ri circuli maximi in # $phæra ad $uperfici\~e $phæræ, maior\~e pro- # portionem habet quam 7. ad 22. m<007>nor\~e # vero, quam 71. ad 223. # 220 Quadratum datæ figuræ æquale, quo pa- # cto facile con$truatur. # 173 Quadratum diametri circuli ad circulũ # proportionem habet, quam 14. ad 11. {pro}- # ximè, $ecundum Archimedem. # 191 Quadratũ diametri circuli ad circulum # habet maior\~e proportion\~e, quã 14. ad 11. # minorem vero, quam 284. ad 223. # 195 Quadratũ circũferentiæ circuli ad circu- # lũ habet maior\~e {pro}portion\~e, <004> 892. ad 71 # minor\~e vero, quam 88. ad 7. # 196 Qua dratũ circũferentiæ circuli maximi # in $phæra ad $uperfici\~e conuexã $phæræ, # maior\~e proportion\~e habet, <004> 223. ad 71. # minorem vero, quam 22. ad 7. # 221 Quadratũ maxim<007> later{is} triãguli min{us} # e$t, <004> duplũ $ummæ quadratorũ ex reli- # qu{is} duob{us} laterib{us} de$criptorum. # 353 Quadratura circuli per numeros $ecundũ # Arab{es} fal$a est. # 318 Quadratura circuli per line{as} Campano # a$$cripta fal$a est. # 318 Quadratura circuli per numeros ex Al- # berto Durero fal$a e$t. # 318 Quadratura circul<007> per line{as}. # 317 Quadratura circuli per Hyppocratem # Chium fal$a e$t. # 318. & 319 Quadraturam circuli e$$e po$$ib<007>lem. # 320 Quadrilateri omnino irregular{is} area. # 171 Quadrilatero æquale par allelogr ammum # facile con$truere in dato angulo. # 338 Quadrilaterorũ nõ rectangulorũ area. # 169 Quantit{as} anguli, qu\~e latera in $trumenti # partiũ cõtin\~et, quo pacto cogno$catur. # 12 Quarta & tertia proport<007>onal{is}, quo pacto # <002> in$trumentum partium reperiatur. # 13 _R_ _R_Adic{is} cubicæ extrahendæregula pro- # pria. # 283 Radic{is} cubicæ extractio. # 281 Radic{is} quadratæ, & cubicæ extractio ex # data minutia. # 288 Rad<007>c{is} quadratæ extractio. # 279 Radic{is} $urde$olidæ extractio. # 281 Radicem cui{us}lib{et} gener{is} extrahere ex # dato numero. # 276 Radicem cuiu$que gener{is} ex data minu- # tia extrahere. # 287 Radicem quadratam, & cubicam in nu- # mer{is} non quadrat{is}, & non cub{is} per # line{as} Geometricè <007>nuenire. # 290 Radicem veræ propinquam in numer{is} nõ # quadrat{is}, non cub{is}, non Zen$izen$is, # non $urde$olid{is}, & c. inuen<007>re. # 244 Radicum infinitæ $peci{es}. # 276 Rædix quadrata numeri fracti quo pacto # eruatur. # 166 Radix quælib{et} extrahenda quot figur{as} # habere po$$it. # 279 Recta linea in quotu{is} part{es} æqual{es} d<007>ui- # $a quot decimæ, vel cente$imæ, & c. in # quau{is} particula vni{us} part{is} contine- # antur, per circinum deprehe@dere. # 42 Recta ducta ex angulo acuto trianguli re- # ctãgul<007> in oppo$itũ lat<_>9, maior e$t {pro}portio # hu<007>{us} later{is} ad ei{us} $egmentũ prope re- # ctum angulum, quam illi{us} anguli a- [439]INDEX. # cuti ad ei{us} partem dicto $egmento la- # ter{is} oppo$itam. # 295 Recta linea diui$a in quotu{is} part{es} æqua- # l{es}, quot eiu$modi part{es} in quau{is} alia # recta contineantur, ope in$trum\~eti par- # tium, cogno$cere. # 6 Recta data, quamu{is} minima, partem, vel # part{es} imperat{as} ex ea auferre. # 355 Recta connectens duos angulos oppo$itos in # duob{us} triangul{is} æqualib{us} lat{us} com- # mune habentib{us}, & in diuer ${as} part{es} # vergentib{us}, à communi latere bifari- # am diuiditur. # 260 Recta cuiu{is} circũferentiæ æqual{is}, quo pa- # cto facile reperiatur ex {pro}pria figura. # 327 Rectæ duæ tangent{es} circulum, & in vno # puncto coeunt{es}, maior{es} $unt omnib{us} # chord{is} interceptum arcum diuidenti- # b{us} in quotcunque part{es} æqual{es}. # 332 Rectæ lineæ adiungere rectam, ita vt qua- # dratum toti{us} compo$itæ æquale $it qua- # dato rectæ adiunctæ, vna cum quadra- # torectæ, quæ ex adiuncta, & proxi@o $e- # gmento prior{is} lineæ conflatur. # 351 Rectæ tr{es} circulum tangent{es}, & in duo- # b{us} punct{is} coeunt{es}, maior{es} $untomni- # b{us} chord{is} arc{us} duos interceptos in # part{es} æqual{es} $ecantib{us}. # 332 Rectæ lineæ circumferentiam æqualem re- # per<007>re. # 329 Rectæ quamu{is} minimæ exhibere multi- # plicem quamcunque, etiam$i circino i- # p$a non accipiatur. # 355 Rectæ lineæ $ub dimen$ionem cadent{es} quæ # $int. # 51 Rectam lineã tran$uer$am in Horizonte, # cui{us} vtrum{que} extremũ in$pici pote$t, # per quadrantem notam efficere. # 69 Rectam linem tran$uer$am in Horizon- # te, cui{us} vtrum{que} extremum vider<007> po- # te$t, per quadratum metiri. # 127 Rectam lineam ad cui{us} extrema accede- # re non liceat, dummodo ea appareant, # & ip$arecta linea producta ad ped{es} m\~e- # $or{is} pert<007>ng at, ex alt<007>tud<007>ne aliqua no- # ta, per quadratem metiri. # 69 Rectam l<007>neam in Horizonte per quadra- # tum m{et}iri, quando men$or in vno ei{us} # extremo exi$tens alterum extremũ vi@ # dere non pote$t neque altitudo in prom- # ptu e$t, $ed $olum ad dextram, vel $i- # n<007>$tram per lineam perpendicularem # recedere pote$t ad locum, è quo alterum # extremum appareat. # 121 Rectam lineam, quando men$or in vno e- # i{us}extremo, vel in aliquo altitudine no- # ta ad planum, in quo e$t recta, perpen- # diculari exi$tens alterum extremũ vi- # dere pote$t, per quadrantem met<007>ri. # 68 Rectam lineam è directo men$or{is} po$itam, # cui{us} vtrum{que} extremum, vel alterum # non appareat, n<007>$i ad dextram, vel $ini- # $tram men$or accedat, per quadrantem # comprehendere. # 71 Rectam lineam in Horizonte è directo m\~e- # $or{is} iacentem, per quadratum cogno- # $cere, ad cui{us} extremane{que} accedere li- # ceat, neque è loco men$or{is} eam d<007>m{et}i- # ri: dummodo ad dextram, vel $in@$trã # per lineam perpendicularem ad locum # aliquemire po$$it men$or, ex quo vtrũ- # que extremum appareat. # 122 Rectam lineam in Hor<007>zonte inter turrim # aliquam, & al<007>ud quodpiam $ignum, # ex turri per du{as} $tat<007>on{es}in fa$tigio fa- # ct{as}, vel in duab{us} fene$tr{is}, quarum # vna $it ad perpend<007>culũ $ub al<007>a, quan- # do $patium inter ill{as} fene$tr{as} notum # e$t, etiam$i toti{us} turr{is} altitudo $it igno # ta, per quadr antem dimetiri. Atque # hinc obiter altitudinem turr{is} patefa- # cere. # 70 Rectã arcui quadrãt{is}æ qual\~ereperire. # 325 Rectam lineam datã per in$trum entũ par- # tium diuidere, vt alia recta diui$a e$t. # 11 Rectanguli trianguli area, ex latere, quod # recto angulo opponitur, & vno angulo # acuto. # 167 Rectanguli trianguli area, ex vno latere # circa angulum rectum, & vno angulo # acuto. # 168 Rectangulorum duorum triangulorum $i- # m@lium propriet{as} qu@dam. # 398 Rectangul<007> trianguli area, ex vno latere [440]INDEX. # @irca angulum rectum & latere, quod # recto angulo opponitur. # 168 Rectangul<007> trianguli area. # 165 Rectangulo dato $upra datã rectã æquale # rectangulum facile con$truere. # 162 Rectangulum, cui{us} duo exce$${us} dantur, # quib{us} diameter vtrumque lat{us} $upe- # rat, con$tituere. # 350 Rectangulum dato rectilineo æquale faci- # lè con$truere. # 339 Rectangulum, <007>n quo exce$${us} diametri$u- # pra mai{us} lat{us}, & maior{is} later{is} $u- # pramin{us} datur, con$tituere. # 351 Rectangulum $ub d<007>fferentia exce$$uum, # quib{us} diameter alicui{us} rectanguli v- # trumque lat{us} $uper at, & minore exce$- # $u b{is} $umptum, vnà cum quadrato mi- # nor{is} exce$${us}b{is} $urnpto æquale e$t qua # drato rectæ, qua min{us} lat{us} minorem # exce$$um $uperat. # 349 Rectangulum $ub $egment{is} diametri al<007>- # cui{us} rectanguli (duct{is} per idem pun- # ctum diametri parallel{is}) comprehen- # $um, æquale e$t duob{us} rectangul{is} $ub # $egment{is} duorum laterum inæquali- # um comprehen$is. # 357 Rectangulum $ub diametro, & circumfe- # rentia maximi circuli in $phæra, qua- # druplum e$t circuli maximi, & $uperfi- # ciei conuexæ eiu$d\~e$phæræ æquale. # 219 Rectangulorum area. # 157 Rectangulorum triangulorum rectilineo- # rum problemata. # 44 Rectarum duarum proportionem haben- # tiũ, quãlat{us} quadratric{is} ad bas\~e, ma- # ior æqual{is} e$t quadranti circuli, cui{us} # $emidiameter e$t minor recta. # 326 Rectilineã figurã planã, vel circulũ in da- # ta proportione augere, vel minuere. # 272 Rectilineum angulum in tr{es} æqual{es} an- # gulos diuidere. # 356 Rect{is} trib{us} dat{is} in vno plano non par al- # lel{is}, rectam ducere, {et}iam per datum # interdum punctum in med<007>a, ita vt ei{us} # $egmenta inter mediã, & extrem{as} $int # æqual{es}, vel datã habeãt {pro}portion\~e. # 354 Re@tiline{is} duob{us} inæqual<007>b{us} dat{is}, ex # maiore <002> lineam vni lateri parallelam # detrahere rect<007>lineũ minori æquale. # 243 Rectilineo cuil<007>bet æquale rectangulum fa # cilè con$truere. # 339 Rectilineo dato æquale quadrilaterũ inter # du{as} rect{as} $uper datam rectam per li- # neam parallelam con$tituere. # 239 Rectilineo in triangulo re$oluto ex vno ali- # quo puncto, rect{as} ip$is triangul{is} or di- # ne proportional{es} inuenire. # 246 Rectilineo dato parallelogrãmũ rectangu- # lũ æquale, & I$operimetrũ cõ$tituere. # 216 Rect<007>l<007>neum datum per rectam à quou{is} # angulo, vel puncto later{is}, in datam {pro}- # port<007>onem $ecare. # 248 Rectilineum datum ex angulo, vel puncto # dato in latere, in quotu{is} part{es} æqual{es} # d<007>$tribuere. # 252 Rectilineũ datum in quotu{is} part{es} æqua- # l{es} d<007>$tr<007>buere. # 260 Rect<007>l<007>neũ datũ rectã datæ rectæ paralle- # lã in datam proportionem diu dere. # 253 Rectilineorum triangulorum obliquan- # gulorum problemata. # 47 Rectilineorum triangulorum rectangulo- # rum problemata. # 44 Region{is}, aut vrb{is}, vel campi $itum in pla- # no de$cr<007>bere. # 147 Rect{is} duab{us} dat{is}, quarum maior dia- # metrum quadrati minor{is} non $uperet: # maiorem it a $ecare, vt partium quadræ # ta $imul $umpta quadrato minor{is} li- # neæ $int æqualia. # 352 Reflexion{is} angul{us} cur angulo incidentiæ # $it æqual{is}. # 341 Regula commun{is} men$orum in area cu- # iu$u{is} figuræ, vel agri inue$tiganda. # 173 Regula propria extraction{is} radic{is} cubi- # cæ. # 283 Regula vnica adomn{es} rect{as} dimeti\~ed{as}, # quando rerum extrema videntur. # 152 Regulæ con$tructio loco fili cum perpendi- # culo. # 17 Regulare corp{us} quodlibet dato cubo æ- # quale con$t<007>tuere. # 37@ Regulari corpori $phæram æqualem exhi- # ber@. # 37@ [441]INDEX. Regular{is} figuræ ærea, cui rectangulo æ- # qual{is} $it. # 293 Regular{is} figuræ area, cui triangulo rectã- # gulo $it æqual{is}. # 294 Regular{is} figura circulo circum$cripta # maiorem ambitum habet, quam circu- # l{us}. # 330. & 331 Regulærib{us} figur{is} rectiline{is} circul{us}, cui # I$operimetræ $unt@ maior e$t. # 306 Regularium figurarum I$operimetrarum # maior e$t illa, quæplur{es} continet angu- # los, pluraue latera. # 296 Regularium figurarum areæ à tr<007>angulo # v$que ad Dodecagon{is}m, quando lat{us} # e$t vnit{as}. # 180 Regularium figurarum area. # 175 Regularium quinque corporum area quæ. # 210. & 214. Regularium quinque corporum $uperfici{es} # conuexa # 214 Rhomboid{is}, ac Rhombi area. # 170 Rhombi, ac Rhomboid{is} area. # 170 Rhombum, ac Rhombo<007>d{es}, ex exce$$u dia- # metri $upra lat{us}, &c. de$cribere. # 346 _S_ _S_Acc{us} tritici, quo pacto men$uretur. # 209 Saxiregular{is} $ol<007>dit{as}. # 209 Scala al<007>imetra quid. # 85 Secant{es} ac $in{us} quo pacto in in$trumento # partium capiantur. # 8 Sector{is} circuli area. # 199 Sector{is} $phæræ $ol<007>dit{as}. # 230 Segmenta later{is} trianguli obliquanguli à # perpend<007>culari facta, ex dat{is} trib{us} la- # terib{us} cogno$cere. # 46 Semic<007>rculo, quadranti, octauæ parti cir- # cul<007>, &c. rectangulum con$tituere I$o- # perimetrum, & æquale. # 214 Semidiametri circuli inuentio ex latere fi- # guræ regular{is} in$criptæ. # 178 S<007>m<007>lem figuram plurib{us} figur{is} $imil<007>b<_>9, # quarum latera homologa data $int, æ- # qualem: ct circulum plurib{us} circu- # l{is}, quorum diametri, circumferentiæ- # ue datæ $int, æqualem de$cribere. # 202 Sim<007>l<007>um duorum triangulorum rec@an- # gulorum propriet {as} quædam. # 298 Similium duarũ figurarũ, aut circulorũ # {pro}portio, ex dat{is} duob. laterib. homolo- # g{is}, vel diametr{is}, circũferenti{is}ue. # 201 Simil{es} pa{es} aliquotæ pluriũ magnitudi- # num eandem habent proportionem. # 218 Sin{us} tot{us} quando tam paru{us} e$t, vt in # in$trumentum partium transferri ne- # queat, quid agendum. # 12 Sinu toto po$ito 10000. quo pacto in in$tru- # mento partium Tangent{es} $umantur. # 8 Sinu toto po$ito 100. quo pacto Tangent{es} <002> # in$trumentum partium capiantur. # 6 Sin{us} ac $ecant{es} quo pacto in in$trument@ # partium capiantur. # 7 Solidã figurã quamcun{que} ex i{is}, de quib{us} # Eucl. in Stereometria agit $ecundũ pro- # portion\~e datã augere, vel minuere. # 273 Solida, vel corpora præcipua, quorum areæ # inue$tigantur, quæ. # 204 Solida, $uperfici{es}, ac lineæ pen{es} quid men- # $urentur. # 157 Solidit{as} cuiu$u{is} portion{is} $phæræ. # 231 Sol<007>d<007>t{as} $phæræ. # 223 Solidit{as} $phæræ vera minor, ex circumfe- # rentia maximi circul<007>. # 228 Sol<007>d<007>t{as} $phæræ vera maior, ex diametro # circuli maximi. # 228 Solidit{as} $phæræ vera minor, ex diametro # max<007>mi circuli. # 228 Sol<007>dit{as} $phæræ vera maior, ex circumfe- # rentia circuli maximi. # 228 Solidit{as} $phæroid{is}. # 232 Solidit{as}, vel area hemi$phærij. # 230 Solidit{as} port<007>onum $phæroid{is}. # 232 Sol<007>dit{as} $ector{is} $phæræ. # 230 Solidit{as} muri cuiu$que. # 209 Solidit{as} fru$tiregular{is} marmor{is}. # 209 Solidit{as} fru$ti $phæræ. # 231 Sol<007>dit{as} Conoid{is} Hyperbolici. # 233 Solidit{as} Conoid{is} parabolici. # 232 Solidit{as} va$is excauati. # 209 Solidum plan{is} $uperficieb{us} contentum, # & circa $phæram circum$criptib<007>le, cui # $ol<007>do rectangulo $it æquale. # 307 Solidorum quinque regularium area quæ. # 210. & 214. Solidorum quinque regularium $uper [442]INDEX. # fici{es} conuexa. # 214 Sol<007>dorum omnino irregulariũ area. # 334 Solidum min{us} ex maiori detrahere, re$i- # duum{que} in cubum transformare. # 373 Solidum rectangulum $upra ba$em quot- # cunque angulorum, datæ $phæræ æqua- # lem con$truere. # 371 Sol{is}, vel$tellæ cuiu$u{is} altitudinem per # quadratum ob$eruare. # 88 Spatium terræinæquale pro duc\~ed{is} aqu{is} # librare: aut etiam, $i lub{et}, Horizonti # æquidi$tans efficere. # 153 Spatiũ inter duo pũcta in quol<007>b{et} plano e- # leuato, fiue illud ad Horizõ. $it rectũ, $i- # ue inclinatũ per quadrant\~e m{et}iri. # 67 Speci{es} rad<007>cum infinitæ. # 276 Speculi plani beneficio altitudinem monti # impo$itam, $i modo altitudin{is} ba$is po$- # $it con$pici: Velportionem $uperiorem # alicui{us} turr{is}, metiri. # 147 Speculi plani beneficio altitudinem, ad cu- # i{us} ba$em pateat acce$${us}, vnà cum di- # $tantia $peculi à cacumine altitudin{is}, # deprehendere. # 144 Speculi plani beneficio altitudinem in ac- # ce$$ibilem, vna cum $peculi d<007>$t antia tã # à ba$e, {et}iam nonvi$a, quam a cacumi- # altitudin{is}, cogno$cere. # 145 Sphæra ad cubum circumferentiæ maxi- # mi circuli, maiorem proportionem ha- # bet, quam 49. ad 2904. minorem vero, # quam 5041. ad 298374. # 221 Sphæra quolib{et} cono, & cylindro $ibi I$o- # perimetro maior est. # 313 Sphæraæqual{is} e$t $olido rectangulo com- # prehen$o $ub $emidiametro, & terti@ # parte $uperfictei conuexæ. # 309 Sphæra maior e$t quou{is} corpore regulari # $ibi I$operimetro. # 311 Sphæra omnib{us} corporib{us} $ibi I$operime- # tr{is}, quæ plan{is} $uperficieb{us} contineæn- # tur, circa{que} ali{as} $phær{as} circum$cripti@ # bilia $int, maior e$t. # 311 Sphæra omnib{us} corporib{us} $ibi I$operime- # tr{is}, & circa ali{as} $phær{as} circum$cri- # ptibilib{us}, quæ $uperficieb{us} conic{is} cõ- # tineantur, maior est. # 311 Sphæræ area, vel $olidit{as}, ex diametro mæ # ximi circuli. # 228 Sphæræ datæ conum efficere æqualem. # 371 Sphæræ datæ cylindrũ æqual\~e exh<007>bere. # 371 Sphæræ datæ cubum æqualem: ct dato cu- # bo æqualem $phæram efficere. # 370 Sphæræ datæ piramidem con$tituere æqua- # lem. # 371 Sphæræ datæ $olidum rectangulum æquale # $upra ba$em quotcunque angulorum # con$tituere. # 371 Sphæræ $uperfici{es} vera minor, ex circum- # ferentia maximi circul<007>. # 227 Sphæræ $uperfici{es} vera minor, ex diame- # tro circuli maximi. # 227 Sphæræ $uperfici{es} vera maior, ex diame- # tro circuli maximi. # 227 Sphæræ area, $eu $olidit{as} vera minor, ex # circumferentia circuli maximi. # 228 Sphæræ area, $eu $olidit{as} maior, quã vera, # ex circumferentia maximi circuli. # 228 Sphæræ area, $iue $olidit{as}, ex diametro # max<007>mi circuli. # 228 Sphæræ $olidit{as}. # 223 Sphæra ad cubum diametri $phæræ maio- # rem proportionem habet, quam 223. ad # 426. m<007>nor\~e verò, quàm 11. ad 21. # 222 Sphæræ $uperfici{es} conuexa cui rectangulo # $it æqual{is}. # 219 Sphæræ $uperfici{es} conuexa ad quadratum # circumferentiæ circuli maximi, maio- # rem proportionem habet, quam 7. ad 22 # minorem verò, quàm 71. ad 223. # 221 Sphæræ $egmentorum area. # 229 Sphæræ $uperfici{es} ad quadratũ circũfer\~e- # t<007>e circuli maximi e$t, vt diameter ad # circumferentiam circuli maximi. # 219 Sphæræ $uperfici{es} vera maior, ex circum- # ferentia circuli maximi. # 226 Sphæræ portion{is} $uperfici{es} conuexa. # 229 Sphæræ portion{is} $olidit{as}. # 231 Sphæræ area, eiu$demque $uperfici{es} con- # uexa. # 218. & 223 Sphæræ $uperfici{es} ad quadratum diame- # tri $phæræ, vel circuli maximi, maior\~e # proportionem habet quam 223. ad 71. # minorem vero quam 22. ad 7. # 221 [443]INDEX. Sphæram duab{us}, aut plurib{us} $phær{is} æ- # qualem de$cribere. # 373 Sphæram dato corpori regulari æqualem # con$tituere. # 371 Sphærã dato pri$mati æqual\~e con$truere. # 371 Sphæram minor\~e ex maiori detrahere, re$i- # duo{que} æqualem $phæram exhibere. # 373 Spheroid{is} portionum $olidit{as}. # 232 Sphæroid{is} area, vel $olidit{as}. # 232 Sphæram, vel figuram $olidam in data pro- # portione augere, vel minuere. # 273 Squadra Zoppa apud Italos quid, eiu$que # v${us}. # 150 Stabil{is} quadrans quid. # 17 Stationum differentia quid. # 52 Stellæ cuiu$u{is}, vel Sol{is} altitudinem per # quadratum ob$eruare. # 87 Superfici{es} conuexa quinque corporum re- # gularium. # 214 Superficiei conicæ {pro}portio ad $uã ba$em. # 235 Superfici{es} conuexa $phæræ, eiu$demque # area. # 218. & 223 Superfici{es} conuexa hemi$phærii. # 229 Superfici{es} conuexa $phæræ ad quadratum # circumferentiæ circuli maximi, maior\~e # proportionem habet, quam 7. ad 22. mi- # norem verò, quam 71. ad 223. # 221 Superfici{es}, lineæ, ac $olida, pen{es} quid men- # $urentur. # 157 Superfici{es} conuexa $phæræ cui rectangulo # $it æqual{is}. # 219 Superfici{es} $phæræ vera maior, ex c<007>rcum- # ferentia circuli maximi. # 226 Superfici{es} $phæræ vera maior, ex diam{et}ro # maximi circuli. # 227 Superfici{es} $phæræ vera minor, ex circum- # ferentia circuli maximi. # 227 Superfici{es} $phæræ ad quadratũ circumfe- # rentiæ circuli maximi e$t, vt diam{et}er # ad circumferentiã circuli maximi. # 219 Superfici{es} conuexa portion{is} $phæræ. # 229 Superfici{es} $phæræ ad quadratum diam{et}ri # circul<007> maximi, maiorem proportionem # hab{et}, quam 223. ad 71. minorem verò # quam 22. ad 7. # 221 Superfici{es} co@uexa coni, & cylindri recti. # 235 Superfici{es} cylindrica, dempt{is} ba$ib{us}. # 235 Superfici{es} fru$ti coni, dempt{is} ba$ib{us}. # 235 Surde$olidæ rædic{is} extractio. # 281 _T_. _T_Abula continens latera figurarum re- # gularium à triangulo v$que ad figu- # rã 80. laterũ, po$ita diam{et}ro 20000000. # vel $inu toto 10000000. # 177 Tabula mirifica ad depromendos numeros # pro $ingul{is} radicum $pecieb{us}. # 277 Tabulæ con$tructio & v${us} pro minut{is}, & # $ec. ex quadr ante cogno$cend{is}. # 20 Tabula gnomonica. # 91 Tabulæ gnomonicæ facillima con$tructio, # eiu${\’que} v${us}. # 89 Tabulæ pro minut{is} ad plur{es} quadrant{es} # exten$io $ine regula aurea. # 20 Tabula pro minut{is}, & $ecund{is} ex qua- # drante inue$tigand{is}. # 22 Tabula quadratorum, & cuborum v$que # ad radicem 1000. # 378 Tabella pro min. & $ec. cogno$cend{is} ex # quadrante con$tructo. # 19 Tangens quando $uperat $inum totũ, quid # agendum, vt per vnicam tran$lationem # per in$trumentum partium punctum # quæ$itum reperiatur. # 12 Tangent{es}, po$ito $inu toto 10000. quo pacto # <007>n in$trumento partium $umantur. # 8 Tangent{es} quo modo inueniantur ope in- # $trumenti partiũ, po$ito $inu toto 1000. # 7 Tangent{es} tr{es} in duob{us} punct{is} coeunt{es}, # maior{es} $unt omnib<_>9 chord{is} duos arcus # interceptos in part{es} æqual{es} $ecantib. # 332 Tang\~et{es} duæ in vnopuncto coeũt{es}, maio- # r{es} $unt omnib{us} chord{is} arcũ interceptũ # in quotcũ{que} part{es} æqual{es} d<007>uid\~etib. # 332 Tangent{es} quo modo accipiãtur re$pectu $i- # n{us} toti{us} 100. ope in$trumenti partium. # 6 Tangent{es} quo pacto $umantur, quando in- # $trumentũ partium cõtin{et} 1000. part{es}. # 6 Tangente aliqua inuenta in latere in$tru- # menti partium, quo pacto eadem repe- # riatur re$pectu dati $in{us} toti{us}. # 8 Tangent{es} perexiguæ quo pacto in in$tru- # mento partium $umantur. # 8 Terræ ambitũ ex edito aliquo mõte metiri. # 366 [444]INDEX. Tertia & quarta proportional{is}, quo pacto # per in$trumentum partium reperiatur. # 12 Trab{is} longitudinem ad Horizont\~e incli- # natæ, cui{us} portio $uperior tantum con- # $piciatur, vnà cum angulo inclinatio- # n{is}, di$t antia ba$is à men$ore, & altitu- # dine fa$tigii $upra Horizontem, per qua- # dratum m{et}iri. # 151 Trapezii habent{is} duo latera parallela, # area. # 170 Trapezii irregular{is} facil{is} dimen$io. # 175 Triang{is}la duo I$o$celia $imilia ba$ium in- # æqualium, $imul maiora $unt duob{us} # I$o$celib{us} $imul $uper ea$dem ba${es}, quæ # quidem inter $e $int di$$imilia, priorib{us} # verò I$operimetra. habeant{que} quatuor # latera inter $e æqualia. # 300 Tr<007>anguli I$o$cel{is} area. # 165 Trianguli obliquanguli area. # 168 Trianguli rectanguli area, ex vno latere # circa angulum rectum, & latere, quod # recto angulo opponitur. # 167 Trianguli pulchra propriet{as}, $i in eo du- # catur vni lateri parallela, &c. # 261 Triangul{is} duob{us} I$o$cel<007>b{us} dat{is}, quo- # rum ba${es} $int inæqual{es}, & duo latera # vni{us} duob{us} alteri{us} æqualia: $uper ei$- # dem ba$ib{us} duo triangula I$o$celia $i- # milia, & priorib{us} $imul $umpt{is} I$ope- # rimetra con$tituere. # 299 Trianguli æquilateri area. # 166 Trianguli cui{us}l<007>bet area cui rectangulo # $it æqual{is}. # 292 Trianguli rectanguli area. # 165 Trianguli rectãguli area, ex vno latere cir- # ca angulũ rectũ, & vno angulo acuto. # 169 Trianguli rectãguli area, ex latere, {quis} recto # angulo opponitur, & vno angulo acuto. # 167 Trianguli in$ign{is} propriet{as}, $i in eo à duo- # b{us} angul{is} ad media puncta oppo$itorum # laterum rectæ ducantur, &c. # 252 Triangulo duorum laterum inæqualium # $upra tertium lat{us} triangulum con$ti- # tuere priori I$operimetrum duorum æ- # qualium laterum. # 297 Triangulo parallelogr ammum æquale, & # I$operimetrum con$tituere. # 214 Triangulorum rectilineorum rectangulo- # rum problemata. # 44 Triangulorum duorum rectangulorum $i- # milium propriet{as} quædam. # 298 Triangulorum I$operimetrorum eandem # habentium ba$em, mai{us} erit illud, quod # duo latera habet æqualia. # 297 Triangulorum rectilineorum obliquangu- # lorum problemata. # 46 Triangulum datũ ex dato puncto in latere # in quotlibet part{es} æqual{es} diuidere. # 262 Triangulum datum per l<007>ne{as} vni lateri # parallel{as} in quotlibet part{es} æqual{es} di- # $tribuere. # 263 Triangulum datum per rectum ex puncto # extra triangulum dato in du{as} part{es} æ- # qual{es} partiri. # 264 Triangulum totum ad triangulum ab$ci$- # $um per rectam, e$t, vt rectangulum $ub # duob{us} laterib{us} $ect{is} ad rectangulum # $ub duob{us} laterib{us} trianguli ab$ci{$s}i # comprehen$um. # 262 Tritici aceru{us}, quo pacto men$uretur. # 209 Tritici $acc{us}, quo pacto men$uretur. # 209 Turr{is}, aut mont{is} altitudin\~e, ex ei{us} $um- # mitate per quadratũ dimetiri, quando in # plano $ummitat{is} Horizonti æquidi$t ante # duæ $tation{es} fieri po$$unt, & $ignum ali- # quod in Horizonte cernitur. # 114 Turr{is}, aut alteri{us} rei altitudinem per ba- # culum indagare. # 137 Turr{is} aut alteri{us} rei altitudinem, per # Normam inue$tigare. # 139 Turr{is}, vel mont{is} altitudin\~e ex ei{us} $um- # mitate per du{as} $tation{es} in ha$ta aliqua # erecta fact{as} inue$tigare per quadratũ, # quando $ignum al<007>quod in Horizonte # videri pote$t. # 116 Turr{is} altitudinem ex ei{us} vertice per vn@- # cam $t ationem per quadrantem metiri, # $i di$tantia $igni in Horizonte vi$i v$que # ad ba$em turr{is} nota $it. # 64 Turr{is}, vel mont{is} altitudin\~e, ex ei{us} $um- # mitate per vnicam $tationem, ope qua- # drati $tabil{<007>s} m{et}iri, vnà cum d<007>$tantia, # $igni vi$i in Horizonte v${que} ad turrem # vel @@ont{is} perpendiculum. # 119 [445]INDEX. Turr{is}, aut mont{is} altitudinem ex ei{us} ver- # tice per quadrantem m{et}iri, $i in plano, # cui in$i$tit, $patiũ aliquod è directo men- # $or{is} po$itum notum $it. # 64 Turr{is}, vel mõt{is} altitud<007>n\~e ex ei{us} fa$tigio, # quando è directo men$or{is} interuallum # aliquod inter duo $igna, vel {et}iam inter # m quodpiam, acturrim cognitum # er quadratum coniicere. # 123 # ut mont{is} altitudinem ex ei{us} ver- # er du{as} $tation{es} in eiu$d\~e $ummi- # act{as}, è quib{us} $ignum aliquod in # Zonte appareat, per quadrantem # a<007>m@t<007>ri. At{que} hinc ip$am quo{que} di$tan- # tiam à turr{is} ba$e, vel perp\~ed<007>culo mon- # t{is} ad $ignum illud inue$tigare. # 79 Turr{is}, aut mont{is} altitudine ex ei{us} verti- # ce per du{as} $tation{es} in ha$ta aliqua ere- # cta, vel<007>n duab{us} fene$tr{is} turr{is}, quarũ # vna $it $upra al<007>ã, fact{as}, è quib{us} $ignũ # aliquod in Horizonte videri po$$it, per # quadrant\~e m{et}iri. At{que} hinc d<007>$tantiam # quo{\’que} à perpendiculo turr{is}, vel mont{is}, # v${que} ad $ignum vi$um cogno$cere. # 62 Turr<007>um duarũ $ummitatib{us} vi$is, etiã$i # ba${es} propter æd<007>ficia interiecta occul- # tentur, di$tant<007>ã tam inter earum ba${es}, # quàm inter earundem fa$tigia, vnà cum # ip$arum al@itudinib{us}, ac di$tanti{is} à # men$ore, per quadratum coniicere. # 152 _V_. Vall{is} profunditatem, eiu$demque de- # $cen$um obliquum, $i non $it valdè # inæqual{is}, eiu${que} termin{us}, vel aliquod # in valle $ignum con$pici po$$it, per qua- # drantem $crutari. # 82 Vall{is} profunditat\~e, eiu$dem{que} de$cen$um # obliquũ, $i nõ $it valdè inæqual{is}, & ei{us} # termin{us}, vel aliquod in ea $ignũ con$pi- # ci po$$it, per quadratum cogno$cere. # 136 Varia <007>n$trumenta men$urandi. # 51 Va$is excauati $olidit{as}. # 209 Va$is excauati capaeit{as}. # 209 Vmbrarecta, ac ver$a quo pacto in qua- # drato Geom{et}rico cogno$cenda $it. # 86 Vmbræ longitudinem ab altitud<007>ne, Sole # lucente, proiectæ, quando altitudo est # cognita, ope quadrat<007> adipi$ci. # 141 Vmbra recta ac ver$a <007>n quadrato quæ & # in quot part{es} à Geometr{is} vtraque $e- # cetur. # 85 Vmbrarecta ac ver$a in quet partes in hoc # opere d<007>u<007>datur. # 85 Vmbræ rectæ ad ver$am reductio, & con- # tra. # 87 Vrb{is}, vel campi, aut region{is} $itum in pla- # no de$cribere. # 147 V${us} & con$tructio tabulæ pro minut{is} & # $ec. cogno$cend{is} ex quadrante. # 19 V${us} quadrant{is} con$tructi in minut{is}, & # $ecund{is} exquirend{is}. # 17 V${us} tabulæ quadr atorum & cuborum in # extrahend{is} radicib{us} quadrat{is} & cu- # b<007>c{is}. # 391 ERRATA.

In tabula quadratorum & cuborum. pag. 378. in quadrato Radicis 117. loco quinto à dextera- pro 5. re$titue 9. Pag. 381. in cubo Rad. 364. loc. quarto pro 3. r. 2. P. 381. in cubo Rad. 432. loco $exto pro 6. r. 5. P. 382. in cubo Rad. 573. loco vlt. pro 8.r.7. P 383. in quadrato Rad 714. loco tertio pro 8. r. 9. P 384. in quadrato Rad 735. loco primo pro 9 r. 5. P. 385. in cubo Rad. 884. loco antepen. pro 5.r.1. In cubo Rad.929. loco $exto pro 7. r. 5. In cubo Rad. 864. loco pen. pro 5. r. 4. In quadr. Rad. 946. pro 8. In cubo Rad. 909. pro 5. r. 9. P. 272@ in propo$itione 16. d@$ideratur hic $ubiecta figura.

[446] [447] [448] [449] [450]