Nunc primùm editi.
In Alma Vrbe Linguar. Orient. Profe$$or Latinos reddidit.
In Pi$ana Academia Mathe$eos Profe$$or curam in Geometricis ver$ioni contulit, & notas vberiores in vniuer$um opus adiecit.
H A V D puto, Sereni$sime Princeps,
timorem cœle$tis ir{ae}, $ed Amorem
potius, & beneficentiam primùm
in orbe Deos feci$se; nec alios ab
initio habitos cum Prodico cen$eo,
quàm res humano generi $ummo-
pere vtiles, & $alutares. Et $a-
nè con$entaneum e$t in primorum hominum men-
tibus, quibus reuelationis lumen non afful$it, excita-
tam fui$$e notitiam cuiu$dam naturæ, quæ e$$et mun-
di veluti Princeps, & Parens, quotie$cumque non
perfunctoriè attenderet animum præcipuè ad boni-
tatis affluentiam, mirabiliumque, & in$ignium vti-
litatum comprehen$ionem, qua Solaris $plendidi$-
$ima machina lumine $uo ordinati$simè circumacto
cuncta viuificat, fouet, ac nutrit; mirarenturque li-
beralitatem Telluris, cùm tot opes, ac copias plan-
tarum, fructuum, animalium è $inu $uo veluti mater
benigna mortalibus præbet. Hæc & fimilia dum
pri$ci homines contemplarentur, fieri non potuit,
quin tantorum munerum largitores grato affectu
pro$equerentur. Neque alia ratione cúm viri heroi-
ca virtute præditi artes, & inuenta præclara valdè
vtilia ingeniosè iuxta, ac liberaliter mortalibus con-
Sed quia felices admirabilium rerum inuentores
vel fortunæ, vel temporum iniuria plerumque neque-
unt $ua $tudia, licet illu$tria, & $alutaria po$teritati
Atqui inter i$tos Heroas digni$simum $ibi meritò
locum vindicarunt Maiores tui, Princeps Sereni$sime,
quibus gratitudinis perpetuam deberi memoriam eru-
diti omnes fatentur. Quippe po$tquam Barbarorum
incur$ionibus Europa vniuer$a, & Italia Princeps eius
prouincia pri$co nitore ami$$o, omni ornatu litterarũ,
artium, bibliothecarum, lyc{ae}orum, imo humani-
tatis, & politiæ $poliata diù iacui$$et, Diuino fauore
primus omnium $urrexit Magnus ille Co$mus Medi-
ceus, qui viros doctrina eximios cum vniuer$a $upel-
lectile Gr{ae}cæ $apientiæ Con$tantinopolitani Imperij
calamitatem fugientes eo affectu complexus e$t, vt
omnium Mu$arum parens appellari deberet, qui ob
liberalitatem plu$quam regiam, & beneficentiam vbi-
que terrarum effu$am, atque ob alia heroica ge$ta
Pater Patri{ae} prius $alutatus fuerat. In eius locum $uc-
ce$sit Laurentius nepos, qui non ferro, & c{ae}de, $ed
ciuili prudentia, & alto con$ilio Patriam, & pene
Europam moderatus e$t: nec modo Poéticis lepori-
bus ornatus, $ed profundi$simæ Philo$ophiæ Plato-
nicæ innutritus, eamdem doctrinam opera, & $tudio
poti$simum Mar$ilij Ficini è Gr{ae}co translatam illu-
$tratamque po$teris tran$tulit. Bibliothecam in$uper
Laurentianam à maioribus inchoatam comparatis
Si igitur hominum genus natura dictante primum
Deo Op. Max., & beneficenti$simo gratias iu$tis ho-
noribus, & memori mente per$oluendas e$$e decreuit;
atq; ne memoria beneficiorum deleretur templa, fa-
na, fe$tos dies, & ludos in$tituit. Secundo loco eo$-
dem ferè honores Heroibus, ac Principibus $tatuit, nõ
his qui armis, & c{ae}de potentiam violenter $ibi vindi-
carunt, $ed qui præ$tantibus virtutibus ornati magna
beneficia in homines contulerunt, $ique eos non hu-
manis, $ed diuinis laudibus celebrari iu$sit, potiori iure
tibi, Princeps Glorio$i$simè, pr{ae}clari$simorũ heroum,
ac virtutum h{ae}redi plau$us debitus, honores, laudes,
& grati animi monumenta ab eruditis Europæ viris
offeruntur. Quandoquidem magna, & certa illos $pes
tenet ampli$simum patrimonium heroicarum virtutũ,
quod Co$mus Pater Patriæ, Laurentius magnificen-
tiæ exemplar, Leo $ui ${ae}culi felicitas, in$equente$que
genero$i$simi Principes, atq; Heroes de genere huma-
no, & bonis litteris optimè meriti tibi reliquerunt non
ad $a$tum, $ed ad imitationem, & $timulum gloriæ,
nec externè, $ed in animo, & cordis $acrario piè a te,
ac reuerenter curandum, $eruandum, amplificandum
ea pr{ae}cipuè qua polles pr{ae}clara indole, ingenijq; acu-
-- grates per$oluere dignas
-- Non opis e$t no$træ, Numina tibi
-- pr{ae}mia digna ferant, qu{ae} te tam l{ae}ta tulerunt
-- ${ae}cula. qui tanti talem genuere parentes.
ABalphatus A$phahanen$is Apollonij Paraphra- $tes religione Maumedanus fuit; quapropter aliquot locis more $u{ae} Gentis non modo Regi $uo Abicaligiar Car$cia$eph nimium adulatur, verùm etiam impiè loquitur. Nihil tamen omi$sum e$t, vt antiquus Codex integrè, fideliterq; exhiberetur. H{ae}c eadem de Archimedis interprete dicta $unto. De his te præmonitum volui, ne inter legendum piæ aures tuæ vel minimùm offenderentur.
MATHEMATICA quamuis pra-
ctica $it $cientia, ac di$ciplina, cu-
ius legibus, & præceptionibus di$-
ponitur, atq; dirigitur intellectiua
potentia ad ab$olutam, perfectam-
que imaginum cognitionem, præ-
$cindendo à materijs, qui e$t pri-
mus gradus a$cen$ionis à $en$ibilibus ad intelligi-
qilia; nihilominus $uarum claritate demon$tratio-
num, non $olùm ab alijs differt $cientijs verùm
Ne vacaret pagina ip$iusmet Apollon{ij} Pergæi ex Epi$tola ad Eude- mum Argumenta in quatuor Conicorum libros po$teriores, qui Græcà linguà iniuria temporum perierunt, hìc apponuntur, quorum tres ex Arabicis M.SS. nunc exhibentur.
Reliqui autem quatuor libri ad abundatiorem $cientiam pertinent. Quintus de Minimis, & Ma- ximis magna ex parte agit. Sextus de Æqualibus, & Similibus coni $ectionibus. Septimus continet Theoremata quæ determinandi vim habent. Octauus Problemata conica determinata.
Hæc eadem Pappus Alexandrinus lib. 7. Mathemat. Collect., atq; Eutocius in Commentar. ad Apollonium.
APOLLONIVS Pergæus vetu$ti$$imus,
ac magni nominis Græcus auctor otto de
Sectionibus Conicis con$crip$it libros.
Horum priores quatuor hactenus omnium
teruntur manibus; po$teriores verò, ne-
$cio quo fato, & rerum vici$$itudine $unt
ami$$i, ac non $ine magno literatorum
animi mcerore iamdudum deplorati, &
nu$quam perdiligenter non quæ$iti ab ijs præ$ertim, qui Geo-
metriæ, & Mathe$eos operam nauant $tudijs, $ed fu$tra diu.
Tandem deprehen$um e$t, hos, quemadmodum, & reliquam
penè Grecæ $apientiæ $upellectilem ad Arabum migra$$e $cho-
las, ibique Arabicè conuer$os, & Arabicis indutos ornamen-
tis, in illius gentis tamquam extorres, & inquilinos latita$$e
Bibliothecis. Quamobrem eorum mi$erti vicem Sereni$$imi Ma-
Altera difficultas, quæ $e nobis obtulerat, maioris quidem
erat ponderis, & momenti; ver$abatur quippè circa di$ciplinæ
vocabulorum intelligentiam, & notionem, quorum ignari era-
mus, & penitùs ieiuni. At hanc quoque difficultatem facili ne-
gotio $uperauimus ope, & opera Clari$$imi, atque Docti$$imi
Viri D. Ioannis Alphon$i Borelli Mathe$eos in Pi$ana Acade-
mia profe$$oris celeberrimi, qui, & ver$ionem ip$am promo-
uerat apud Sereni$$imos Principes, & Codicem comportauerat
idem Romam, ac perpetuus mihi aderat Dux, & Magi$ter.
Et ita $anè ea omnia, quæ ad Di$ciplinæ, eiu$que vocabulo-
rum notionem pertinebant, clarè, dilucidè, & explicatè ordi-
ne in$inuauit, vt breui meis auditoribus Mathe$eos profe$$or vi-
derer. Porrò quod hac in re magis mirandum e$t, nec $ilentio
prætereundum, ea erat Viro illi Docti$$imo $ingularis ingenij
per$picacitas, vt $æpe in ab$tru$is quibusdam locis, non ex in-
Apollonium $ub Achaz Filio Ioatham regis Iuda po$t Tha- letem Mile$ium Florui$$e, Arabes perhibent Scriptores. Sic enim lib. 3. Chronicorum in Achaz $criptum reliquit Gregorius Barhebræus: _Po$t Thaletem celebris fuit in Geometric<007>s præcipuè di$ci-_ _plinis Apollonius <053>aggiar_. (ide$t faber lignarius) _Is cornpo$uit Tra-_ _ctatum de $cientia Conicor. nempè de lineis, quæ neque rectæ $unt, ne-_ _que arcuatæ, $eu curuæ, $ed inclinatæ_. Notandum hìc e$t vocem _<057>aggiar_, quæ Apollonio tribuitur, vt cognomen, & nos _fa-_ _brum lignarium_ vertimus, poni (vt opinor) pro _Geometra_, & id fortè exindè, quòd in$trumenta, quibus vtebantur Geometræ ex lignis olim conficiebantur. Quod, & indè conijcio, quia hoc idem vocabulum Euclidi quoque tribuitur apud eundem Gregorium $ic de illo $cribentem. _At Euclides <057>aggiar ex Vrbe_ _Tyro erat_.
De ver$ione autem librorum Apollonij in Arabicam linguam
ita $tatim $ubdit mox laudatus Gregorius: _Ex his autem ver$i_
_$unt in Arabicam linguam tempore Almamuni $eptem libri, eius tamen_
_præfatio indicat, octo fui$$e libros; qui quidem Tractatus cum alio Tra-_
_ctatu eiu$d\~e Apollon{ij} cau$am dedere Euclidi $uorum componendorum li-_
_brorũ longum po$t tempus_. In his longè videtur di$crepare Grego-
rius à communi Chronologorum $ententia, & opinione, qui
Apollonium Florui$$e $cribunt anno periodi Iulian{ae} 4474. ide$t
annis ante Chri$tum Dominum 240. adeoque multò iunior e$t,
quàm facit illum Gregorius. Di$crepat prætereà ab ij$dem Chro-
nologis in ætate Euclidis, quem Apollonio iuniorem agno$cit,
Almamun autem $ub quo facta e$t librorum Apollonij ver$io in Arabicam linguam ex laudato Gregorio Chalipha $ecundò $alutatus e$t An. Heg. 203. ex omnium $criptorum $ententia, qui annus ex Tabula Aerarum I$maelis Sciahin$ciah, quàm re- fert in hi$toria Gentium, re$pondet Anno Chri$ti Domini $ola- ri 826. plùs minu$ue. Nam Hegiram accidi$$e anno Chri$ti 631. habet I$maèlis Tabula contra omnium Chronologorum Orientalium opinionem, qui eam reponunt in ann. Chri$ti 622. & vndecim Heraclij, vno excepto Eutychio Alexandrino, qui eam reponit in $ua hi$t. Eccles. in an. Chri$ti 614. $cribit enim ibi: _A Chri$to Domino no$tro v$que ad Hegiram $unt anni_ 614. In quo octennio integro di$crepat ab alijs Chronologicis. Sed hæc leuiter tetigi$$e, $atis e$t; non e$t enim animus hic temporum apices data opera excutere, nec id $anè vacat, nec huius lo- ci e$t.
_Principem autem Almamunum, eam procura$$e ver$ionem_
_librorum Apollonij, non $olùm facilè, $ed procerto credendum_
_e$t. Nam is omnium $cientiarum $tudijs vehementi$$imè arde-_
_bat, proindeque congerendorum vndique librorum nunquàm_
_finem faciebat, eratque in eorum interpretes prolixi$$imus._
_Mira $anè, quæ de illius, ac proaui Abugiahphar Alman$ur_
_animi propen$ione in literas, & literatos viros refert Sahadus_
_Filius Ahmedi Andalu$ij in Hi$t. Arabum._ Is, _inquit ibi_, erat
$tatus Arabum in gentilitate. Po$tquàm verò fauoribus pro$equutus e$t
Deus Alti$simus Hac$emitas, deuoluitque ad eos imperium, conuer$æ
mentes $unt, <010> intellectus à $tupore, in quo iacebant, <010> ex$u$citata
ingeniorum acumina po$tquàm extincta erant. Horum autem primus,
qui promouendis $cient{ij}s operam nauauit, erat Abugiahphar Alman$ur
$ecundus Chalipha. Qui tamet$i luri$prudentiæ dediti$simus e$$et, <010>
periti$simus; nih<007>lominus, <010> Philo$ophtæ vacabat $tudio, $ed arden-
tius A$tronomiæ. Cùm verò Imper{ij} $u$cepi$$et $ceptra Chalipha $epti-
mus Abdalla Alman$un filius Aaronis Ra$cidi, ab$oluit ea, quæ ince-
perat Auus ip$ius Alman$ur, operamque dedit $cient{ij}s vbique inquiren-
dis. Hinc Græcorum $crip$it Imperatoribus rogans $ibi mitti quotquot
No$tram autem ver$ionem hanc Arabicam quod attinet, alia prorsùs e$t ab ea, quæ $ub Almamuno confecta e$t. Hoc planè patet ex ipfius Auctoris Abalphathi in præfatione verbis. Dicit quippè ibi, $e eam adorna$$e ver$ionem pro regis Abicaligiar Bibliotheca. Abicaligiar autem rex $alutatus e$t, te$te Sciahin- $ciah, Gregorio, & alijs, Hegiræ anno 372. nempè annis 169. po$t Almamuni inaugurationem ijsdem, quos mox lauda- uimus, auctoribus.
Ver$ionem tamen illam, quæ $ub Almamuno facta e$t, ne-
quaquàm vidit no$træ huius ver$ionis auctor Abalphath, quemad-
modùm ex verbis eius, quæ ad $eptimi libri adiecit calcem,
patet luculenter. Ibi enim, _puto_ inquit, _me in hoc_, nempè in
hac ver$ione concinnanda, _quo$cunque alios anteuerti$$e_. Itaque
exi$timat is no$ter Auctor, $e omnium primum Apollonij ver-
$ionem Reipublicæ literariæ dedi$$e. Quod, & in ip$a quoque
Cæterũ admonitum volumus benignum lectorem, nos in hac ver$ione adornanda $atis pre$sè Arabicam $ecutos e$$e phra$im, nec omninò elegantiam, & venu$tatem linguæ expre$$i$$e, ar- bitrantes id maximè pertinere ad fidelis interpretis partes, & officium.
Ea autem quæ occurrunt circa ip$am phra$im, & vocabula nonnulla ob$eruanda, Arabicæ Editioni re$eruauimus, rati ea commodius, & magis ad rem ibi exponenda e$$e, & $uis ex- primenda characteribus. Interim benè vale, & hoc qualicunque fruere $tudio, & labore.
_A_CCIPE tandem, $tudio$e Lector, in $olemni hac pompa nuptiarum Sereni$simi Principis Etruriæ Regio $plendore à Sereni$simo Magno Duce parata tamdiu deploratos, & expetitos libros po$tremos Conicorum Apollon{ij} Per- gæi, vtque $ine mora mens tua epulis hi$ce lauti$simis $aturari po$sit, non te demorari diutine patiar in limine, recen$endo $ci- licet nomen Apollon{ij}, patriam, ætatem, & opera ab eo con$cripta, ne- que in$uper doctrinæ conicæ ortum, & progre$$um à primis incunabulis ad virilem v$que, & vegetam ætatem, ad quàm Apollonius eam euexit, propter quod facimus magnus Geometra cognominatus e$t; hæc enim trita iam $unt, & vulgaria: breu<007>ter tantummodo percurram, quæ ad notitiam horum librorum facere videntur.
Illius pretio$i$simæ bibliothecæ orientalis, quàm Sereni$simo Ferdinan-
do Primo gratitud<007>nis ergo reliquerat lgnat<007>us Neama Patriarcha Anti-
ochen$is libellum nitidi$simè Arabicè $criptum mihi o$tenderat Sereni$-
$imus Princeps Leopoldus Mu$arum decus, & gloria, no$trique $æculi
lumen erud<007>tum. Codici in$crip$erat Ra<007>mundus, $iue quis al<007>us: _Otto libri_
_de Conici d'Apollonio del Patriarca._ Summa læt<007>tia l<007>bellum exo$cu-
latus, licet Arabici idiomatis $im pror$us ignarus, non potui me conti-
nere, quin $altem contrectarem, atque reuoluerem paginas illas; cumque
præter figuras mih<007> $atis notas quatuor priorum Apollon{ij} librorum vidi$-
$em alias conicas figuras, in quibus ab vno puncto in eis collocato edu-
ctæ erant plurimæ rectæ lineæ ad coni$ectionem, illico in mentem venere
illa Eutoc{ij} verba in expo$itione epi$tolæ Apollon{ij} ad Eudemum: _Quin-_
_tus,_ inquit, _liber de Minimis, & Maximis magna ex parte agit;_
_quemadmodum enim in elementis didicimus, $i ab aliquo pun-_
_cto in circulum lineæ ducantur, earum quidem, quæ ad conca-_
_uam ip$ius circumferentiam pertinent, maximam e$$e, quæ per_
_centrum tran$it, earum vero, quæ ad conuexam, minimam e$$e,_
_quæ inter dictum punctum, & diametrum interijcitur, ita & de_
Igitur Sereni$simus Ferdinandus Secundus Magnus Dux munificen-
tia verè regia, qua bonas artes promouere $tudet, annuente, <010> $ummo-
pere coadiuuante Sereni$simo Princ<007>pe Leopoldo fratre Mathe$eos, atque
omnigenæ Sapientiæ perito cultore, atq; egreg<007>o vindice, præcepit, vt vo-
lumen Arabicum Romæ latinè redderetur ab Abrahamo Ecchellen$e lingua-
rum Orientalium docti$simo, <010> periti$simo profe$$ore. Is qu<007>dem $umma
alacritate negotio $u$cepto primùm bono me e$$e animo iu$s<007>t; monuit enim
nouum non e{$s}e apud Arabes l<007>bros nomine auctoris in fronte carere, o$ten-
ditque in proemio eiu$dem codicis aperti$simè declarari e$$e l<007>bros Conico-
rum Apollon{ij} paraphra$t<007>cè expo$itos: deinde ex translatione priorum qua-
tuor l<007>brorum patuit demon$trationes propo$itionum penè non differre quoad
doctrinam à textu Græco Eutoc{ij}, licet verbum verbo non re$ponderet:
nec mirar<007> pauc<007>tatem figurarum, quandoquidem vna, eademq; figura
quatuor, aut quinque propo$itionibus in$eruiret. Incomparabili igitur gau-
dio perfu$us Apollonium penè è manibus $ublatum iterum amplex<007>bus $trin-
xi, <010> exo$culatus $um. Sed mole$tum $ummopere fuit octauum librum
dee$$e: collegi tamen lo: Bapti$tam Raimundum opu$culum ar<007>thmeticum
(quod in hoc codice Arabico $ub$equitur libro Septimo Apollon{ij}) pro octauo
Modo operæ pretium erit ante oculos ponere formam, <010> di$po$itionem huius paraphra$is ab interprete Abalphatho editæ. Et primo $ciendum e$t eum collegi$$e $imul $eptem integros libros Conicorum Apollon{ij} ex fragmen- tis, quæ hactenus apud Arabes $par$im circumferebantur, di$po$ui$$eque propo$itiones eorumdem librorum alio ordine, ac diuer$o ab Apolloniano, relictis tamen numeris antiquis, nam in primo libro po$t primam, <010> $ecundam propo$itiones $ub$equuntur vndecima, tertia, quarta, $eptima, <010> $ic vlterius $emper ordine perturbato procedendo. Hac nempe ratione $imul collectis in eadem figura pluribus propo$ition<007>bus, quas in locis d<007>$si- tis collocauerat Apollonius, putauit Abalphathus breu<007>ùs $e eas demon$tra- turum retenta $emper Apollon{ij} $ententia, $cilicet {ij}$dem med{ij}s, <010> eodem progre$$u, quo v$us e$t Apollonius, demon$trat Paraphra$tes ea$dem pro- po$itiones. An vero variare noluerit reuerentia retentus, vel potius ne- quiuerit virium defectu, ( quippe ingenio non admodum felici, et inue- niendi $agaci à natura donatus ) non au$im affirmare. Superaddit quoq; numero$am farraginem aliarum definitionum, quibus compendio$iùs, <010> clariùs demon$irat<007>ones ab$olui po$$e profitetur, quod quidem non rarò ip$e a{$s}equitur; aliquaudo verò ob affectatam nimiam breuitatem ob$curior effi- citur : accidit quoque, vt aliquæ definitiones inutiles, <010> otio$æ $int, vel repetitio declarationis earumdem prolixitatem creet maiorem.
Animaduer$ione d<007>gnum e$t, quod Manu$criptum l<007>cet non di$tin-
guatur capitibus, aut paragraphis, $ed continuo, perpetuoquè $ermone proce-
dat more Arabum, in eo tamen numerorum tria genera pa$sim occurrunt,
qui omnes ferè <007>nterlineares, pauci quidem in margine po$iti, aliqui ru-
bris characteribus depicti, al{ij} vero po$iti $uper alios numeros in eadem
l<007>nea, veluti fractiones numerorum de$cr<007>bi $olent, hac ratione {9/49.} 50.
vel {16/68}. 69. 70. 71., <010> licet rarò $ynceri, <010> ver<007>dici $int, conie-
ci tamen $upremos numeros indicare partes, $eu $ectiones, in quas Abal-
phathus l<007>brum di$tribuit, atq; part<007>tur: infimi verò numeri docent quot-
nam propo$itiones in vnaquaque $ectione contineantur: itaque h<007> nume-
ri {16/68}. 69. 70. 71. $ignificant in lib. 5. Sect. 16. contineri Apollon{ij}
Propo$itiones 68. 69. 70. 71. reliqui numeri <007>nterlineares $ic di$po$iti 24.
ex 5., vel 37. ex 6. citationes $unt, indicantque Prop. 24. l<007>b. 5. Conic.
Sed quid ego minutias numerorum con$ector, cum in textu ip$o in$u- perabiles ferè, <010> maioris momenti difficultates $uper$int? nulla propo$i- tio fuit, in qua $ententiæ, verba, aut numeri, aut litteræ non fuerint multifariam permutatæ, mutilatæ, aliæ pro al{ij}s repo$itæ, atque in propo- $itionibus pleri$que tituli ip$i, <010> expo$itiones $ummopere deprauatæ, vt pror$us ignoraretur quid nam demon$trandum propo$uerit Apollonius. Ita- que verba, l<007>tteræ, numeri, citationes, imò $ententiæ deficientes, aut per- mutatæ vna cum affectata Paraphra$tis Arabici breuitate, <010> multipli- ci, & noua nomenclatura cimmerias tenebras effundebant. Ha$ce in an- gu$tias redactus, quod potui, feci, vt germanum $en$um Apollon{ij}, <010> correct<007>$simum exhiberem textum.
Hanc tamen cautionem adhibui, vt in notis $emper bona fide appo-
nerem ip$i$sima verba textus, quæ tran$tulerat ex cod<007>ce Arabico me præ-
$ente Excellenti$simus Ecchellen$is, ibidemque rationes appo$ui mutatio-
nis, <010> correct<007>on<007>s factæ. Itaque per$æpe vbi $entent<007>a videbatur ob$cu-
ra, neque di$t<007>nctè explanata, tunc quidem meis verbisdeclaraui. Et quia
multot<007>es ob nimiam paraphra$tis breuitatem, vell<007>brariorum vit<007>o propo$i-
tiones nõ $olide demon$trantur, vel nequeunt ex præcedentibus deduc<007>, addidi
ex meo penu lemmata nonnulla, quibus euidenter confirmantur, quæ in
Tandem potui$$em quidem abundantioris doctrinæ gratia non pauca meo marte hi$ce l<007>bris $uperaddere non omnino for$an contemnenda, $ed parcus adeo fui, vt tantummodo quæ ad illu$trationem, <010> ornatum operis facere videbantur, adiecerim $untq; nonnullæ propo$itiones additæ, quæ nouæ, <010> for$an inelegantes non erunt.
Con$iderandæ modo $unt difficultates à præ$tanti$simo, et doctis$imo Clau-
dio Midorgio propo$itæ contra Manu$criptum Arabicum Apollon{ij}, quod Cla-
ri$simus, <010> de bonis litteris optimè meritus Golius ex oriente detulit,
eædemq; difficultates eodem iure no$trum Manu$criptum, quod Golianum,
petunt. Verba Mer$enn<007> in præfatione Conicorum Apollon{ij} $uæ $ynop$is Ma-
thematicæ hæc $unt. _Su$picatur autem Claudius Midorgius hos tres_
libros, ($cilicet 5. 6. <010> 7. Conicorum Apollon{ij}) _e$$e cuiu$dam Ara-_
_bis $ub Apollonio latentis, quòd in quinto $uo libro primam_
_propo$itionem $exti Apollonij $uperius allatam non $olum in_
_cono recto, $ed in quouis etiam $caleno, & illorum portioni-_
_bus quibu$cumque datis po$$ibilia quæque demon$trat._ Hæc qui-
dem ratio quanti ponderis $it æqui rerum æ$timatores iud<007>cent, <010> $i qui-
dem omnes, qui in Geometr<007>cis mediocriter ver$ati $unt optimè norunt
$ucce$siuè aliquid vlteriùs inueniri præter ea, quæ diuini Præceptores
Euclides, Archimedes, Apollonius, <010> Ptolemæus ediderunt, facile enim
e$$e inuentis addere quis ignorat? Nulli vnquam venit in mentem l<007>brum
Sp<007>ralium non ab Archimede, $ed ab aliquo al<007>o $criptum fui$$e, propterea
quod vniuer$aliùs quarumcumque $piralium pa$siones Neoterici demon-
$trarunt; Nec quia admirab<007>lis Maurolicus in $uo quinto Conicorum libro,
<010> al{ij} recentiores, $icuti præclarus Phylo$ophus, <010> Mathematicus Vin-
centius Viuianus Patritius Florentinus in $uo erudito libro de Maximis,
<010> Minimis alia longè diuer$a ab Apollon{ij} $peculationibus excogitarunt,
hos libros adulterinos e{$s}e au$i $unt affirmare. Et $icuti ip$emet Midor-
gius non repudiauit l<007>brum primum Conicorum ab Eutocio editum, licet
ip$e in $uo l<007>bro tertio melius $e demon$tra$$e propo$itiones 52. 53. 54.
Fruere modo, mi lector, præclaro, <010> admirando beneficio Serenis$i- mi Principis Etruriæ, qui regali magnificentia, et liberalitate pretio$is$imum hunc the$aurum humanis$imè largitur. Vale.
Propo$itionum Lib. V. VI. VII. Conic. iuxta $eriem numerorum ab Apoll, $eruatam, cum Lemmatibus, & Propo$ition, additis,
Vbi indicantur $ectiones, & pagin{ae}, in quibus propo$itiones reperiri debent.
SI à puncto aliquo in axe $ectionis conicæ $umpto egrediantur aliqu{ae} rectæ lineæ ad $ectionem, vocabo punctum illud, ORIGINEM.
Et lineas, RAMOS.
Segmentum autem axis intèr illud, & verticem $ectionis ei pro- ximiorem, MENSVRAM.
Sed $i fuerit men$ura æqualis $emi$$i erecti, vocabo illam, COMPARATAM.
Et perpendiculares cadentes ab extremitatibus ramorum $uper axim vocabo, POTENTES illorum ramorum.
Ab$ci$$a verò illarum potentium, ABSCISSA ramorum.
Et inuer$a illarum potentium, INVERSA ramorum.
Atque rectangulum contentum $ub inclinato, & aggregato in- clinati, & erecti, vel differentia tran$uer$i, & erecti vocabo, FI- GVRAM COMPARATAM.
In quolibet rectangulo applicato ad $egmentum axis, $i illud $egmentum ad latitudinem illius rectanguli eandem proportio- nem habuerit, quam axis ad latitudinem figur{ae} comparatæ vocabo illud, EXEMPLAR.
Si ex puncto $uper axim educatur perpendicularis ad vtra$que partes $ectionis, & ex puncto aliquo illius perpendicularis educan- tur lineæ terminatæ ad $ectionem ex vtraque parte, vocabo pun- ctum illud in perpendiculari $umptum, CONCVRSVM.
Et lineas etiam, RAMOS.
Et qui $ecant men$uram, & terminantur ad $ectionem ex altera parte concur$us, RAMOS SECANTES.
At qui non $ecat illam, & tran$it per concur$um, & terminatur ad axim, & $ectionem $imul, RAMVM TERMINATVM.
Sed cuiu$cumque rami $ecantis, cuius portio inter$ectionem, & axim intercepta e$t linea breui$$ima, vocabo illum, BREVISE- CANTEM.
Et vocabo $egmentum axis inter perpendicularem, & verticem $ectionis proximior em interceptum, MENSVRAM, quoque.
Et portionem $ectionis conicæ di$$ectam ab ordinatione axis tran$euntis per originem, $iuè per coneur$um propè verticem pro- ximiorem $ectionis, vocabo, SEGMENTVM illius puncti.
_H_AE definitiones non $unt Apollonij, $ed Interpretis Arabici, qui in proe-
mio huius operis apertè ait, addidi$$e plurimas definitiones in libris Apol-
lonij, quibus theoremata breui$simè propo-
_I._ Sit quælibet coni $ectio A B C, cuius axis B D, & in eo $umatur quodlibet pun- ctum D intrà $ectionem, à quo educantur rectæ lineæ D A, D E, D F, D C v$que ad $ectionem. Tùnc vocatnr punctum D, Origo.
_II._ Et lineæ D A, D E, & cæteræ vo- cantur, Rami.
_III._ Portio verò axis B D intèr origi- nem D, & verticem B interpo$ita vocatur Men$ura. Sed in ellip$i A B C G, $i axis port<007>ones D B, & D G inæquales fuerint, tantummodò minor portio B D vocatur M\~e- $ura, non autem maior D G.
_IV._ Sit po$teà recta B I $emi$sis lateris recti B H iam $i men$ura D B æqualis fue- rit $emierecto B I, vocatur D B, Menfura comparata.
_V._ At $i à terminis ramorum A, E, F C educantur ad axim perpendiculares A K, E L, F M, C N, ip$um $ecantes in K, L, M, N vocantur illærectæ lineæ Potentes illo- rum ramorum.
_VI._ Recta verò K B vocatur Ab$ci$$a rami D A, & L B Ab$ci$$a rami D E, & $ic reliquæ omnes.
_VII._ Sit po$teà O centrum $ectionis, iam axis portio ex centro O v$què ad potentia- lem A K educta, $cilicet O K vocatur In- uer$a rami D A, pariterque O M e$t Inuer- $a rami D F.
_VIII._ Si ponatur recta linea B P ad axim perpendicularis, quæ in hyperbola fiat æqualis aggregato, in ellip$i verò fiat æqualis differentiæ laterum recti B H, & tran$uer$i G B, tunc rectangulum contentum $ub G B, & B P vocatur, Figura comparata.
_IX._ Po$teà $i, vt G B ad B P ità $iat $eg-
_X._ Et $i C D perpendicularis fuerit ad axim B D, & producatur vltrà axim in E, atquè à puncto E extendantur v$què ad $ectionem rectæ lineæ E B, E F, E G, vo- cabitur E punctum Concur$us.
_XI._ Et lineæ rectæ E B, E F, E G vo- cantur etiam Rami.
_VII._ Atquè linea recta E F $ecans axim in H vocatur Ramus $ecans.
_XIII._ Et recta linea E B conueniens cum axi in vertice $ectionis vocatur Ra- mus terminatus.
_XIV._ Si verò rami $ecantis E F por- tio cius H F inter $ectionem, & axim in- tercepta fuerit breui$sima omnium linea- rum, quæ ex puncto H ad $ectionem duci po$$unt, tunc ramus E F vocabitur Breui- $ecans. In textu Arabico $ecans ramus vo- cabatur, mendosè, vt arbitror, non enim hæc definitio di$tingueretur à duodecima, definit<007>one.
_XV._ Similitèr $egmentum axis D B $e- ctum à perpendiculari ad axim ex origine E ducta, vocatur quoquè Men$ura.
_XVI._ Tandem $i per punctum originis D, vel concur$us E ducatur ordinata A C, tunc figura contenta ab ordinata A C, & $ectione conica A B C, vocatur Segmentum <007>llius puncti.
Si ex centro D $ectionis A B (habentis centrum) egrediatur linea recta D F H bifariam diuidens A E erectum illius axis, quod $it perpendiculare $uper axim C A G, $ecans axis ordina- tionem B G I; vtiquè dimidium illius ordinationis, videlicet B G, poterit duplum plani, quod producit illa linea cum axi in- ter erectum, & illam ordinationem, nempè duplum A G H F.
QVia B G pote$t comparatum applicatum ad ab$ci$$am A G, & pla-
PAritèr quoquè o$tendetur, $i potens tran$ierit per centrum ellip$is, quod B G poterit duplum trianguli A F G.
SI verò in ellip$i cadat B G infrà cen- trum, poterit duplum differenti{ae} duo- rum triangulorum D A F, & D G H, nem- pè duplum plani G L. Et hoc erat pro- po$itum.
_V_Ocat in primo libro interpres $ectiones habentes centrum hyperbolem, <010> ellip$im, <010> vocat erectum latus rectum $ectionis, vocat etiam ordina- tionem axis eam, quam nos ordinatim ad axim applicatam appellamus.
_Quia BG pote$t comparatum applicatum ad ab$ci$$am AG, &c._ Vocat
_Et planum G F dimidium e$t illius comparati, &c._ Non erit inutile
_S_Ecunda propo$itio facilè ex prima deducitur; nam, quando ordinata B G H I tran$it per cen- trum D ellip$is; tunc tria puncta G, D, H conue- niunt, <010> triangulum D G H euane$cit, <010> ideò differentia trianguli D A F, & trianguli D G H nullum $patium habentis, erit triangulum ip$um D A F.
_I_N tertia propo$itione $imilitèr, quandò ordinata B H G I cadit infrà centrum D ellip$is, tunc ducta C L parallela ip$i A E, erunt duo triangula D A F, <010> D C L æqualia inter $e, cum $int $imi- lia, <010> latera homologa D A, D C $int æqualia, quia $unt $emiaxes; proptereà differentia triangu- lorum D G H, & D A F, $eù D C L er<007>t trapezium C G H L, quod $ubduplum e$t quadrati ordinatæ B G.
COmparata e$t minima ramorum egredientium ex $ua origine
(4) in parabola (5) & hyperbola (6) pariterque in ellip$i ($i
comparata fuerit portio maioris duorum axium, & tunc maxi-
mus e$t re$iduum tran$uer$i axis.) Reliquorum verò propinquior
SIt $ectio A B C, & axis eius C E, & inclinatus, $iue tran$uer$a D C
centrum G, atque erectum C F, & ex C E $ecetur C I æqualis C H
AT verò in hyperbola, & ellip$i producantur ex Q, O, H lineæ pa-
rallelæ ip$i M C, & quia I C ex hypothe$i æqualis e$t H C, erit I
Deindè ponamus in ellip$i Y F æqualem differentiæ, & in hyperbola
_QVoniam in parabola L M pote$t_
_ERit I M æqualis M O, &c._ Propter parallelas M O, C H, & $imilitudi-
_Ergo quadratum_
_Deindè ponamus in ellip$i_
_Propter $imilitudinem triangulorum, &c._ Sunt enim duæ rectæ lineæ C G,
_Erit H V æqualis V O, &c._ Eo quòd M I o$ten$a e$t æqualis M O, e$tque
_Igitur V O ad V Q e$t, vt D C ad C F, & conuer$a proportione dein-_
Vt Y F ad Y C, & in ellip$i, vt F C ad C F, & Y F in ellip$i æqualis
Exemplar $imile plano rectanguli C D in Y F in hyperbola, & Y C in ellip$i, &c. _Hæc po$trema verba expungenda duxi, tanquam $uperuacanea._
Pote$t etiam ad imitationem Euclidis reperiri multitudo ramorum inter $e-
æqualium, qui ex origine duci po$$unt in eadem coni$ectione. Itaque quoties
Rur$us quadratum rami I A remotioris a comparata $uperat quadratum ra-
Et primò in parabola, quia quadratum I A æquale e$t quadrato I C cum qua-
Secundò in hyperbola, &
ellip$i fiat exemplar N T ap-
plicatum ab ab$ci$$am C E.
Et quia quadratum I A æ-
quale e$t quadrato eiu$dem
E X varia di$po$itione terminorum proportionalitatis $cilicet duo- rum antecedentium, & duorum con$equentium con$urgunt plures modi argumentandi, quorum aliqui in elementis ex- po$iti non $unt, aliqui verò $ignificanti$simis vocibus, & breuiùs indicantur in textu Arabico, igitur, ne $epius repetatur prolixa- expo$itio modorum argumentandi in proportionalibus, & non proportiona- libus, qui cumulatè in$eruntur in demon$irationibus Apollon{ij} opere pre- tium erit eos $emel hìc exponere.
Si quatuor quantitates eandem proportionem habuerint, antecedentes, vel coń$equentes ad terminorum $ummas, vel differentias in eadem ra- tione erunt; & è contra.
HAbeat A B ad B C eandem proportionem, quàm D E ad E H: $equitur pri- mò, quod A C ad C B $it, vt D H ad H E; & huiu$modi argumentatio vocatur in elementis compo$itio terminorum proportionis: itaque $ummæ antece- dentium, & con$equentium ad ea$dem con$equentes $unt etiam proportionales: $i vero ex eadem hypotbe$i concludaiur, quod A C ad A B, $it vt D H ad D E, vt nimirum $ummæ terminorum proportionis ad antecedentes $int proportiona- les: quod quidem manife$tum e$t, nam po$ita fuit A B ad B C, vt D E ad E H; erit inuertendo C B ad B A, vt H E ad E D, & componendo C A ad A B erit vt H D ad D E: modo huiu$modi argumentandi forma innominata e$t; pote$t autem breuitatis gratia appellari, Per comparationem $ummæ terminorum ad antecedentes.
Secundò concludi pote$t, quod A B ad A
C $it vt D E ad D H; quia, vt in prima
Tertiò concludi pote$t: quod B C ad C A, $it vt E H ad H D; nam componen- do A C ad C B, erat vt D H ad H E, quare inuertendo B C ad C A erit vt E H ad H D, & hæc argumentatio fieri dicetur comparando con$equentes ad ter- minorum $ummas.
Deindè $int eædem quatuor proportiona-
les in $ecunda figura, nimirum totum A B
At $i concludatur ex eadem hypotbe$i quod A B ad A C $it vt D E ad D H; hæc argumentatio in elementis fieri dicitur per conuer$ionem rationis e$tque comparatio antecedentium ad differentias terminorum.
Po$tea ex eadem hypotbe$i $equitur quod A C ad A B $it vt D H ad D E: quia per conuer$ionem rationis, $eu referendo antecedentes ad differentias terminorum e$t A B ad A C, vt D E ad D H; ergo inuertendo A C ad A B erit vt D H ad D E, & hæc argumentatio innominata fiet comparando differentias terminorum ad antecedentes.
Tandem ex eadem hypothe$i $equitur, quod C B ad C A $it vt E H ad H D: nam diuidenda e$t vt A C ad C B, ita D H ad H E; ergo inuertendo B C ad C A erit vt E H ad H D: & hæc argumentatio innominata fieri dicetur comparan- do con$equentes ad derenifftias terminorum.
Si prima A B ad $ecundam B C maiorem proportionem habuerit quàm tertia D E ad quartam E H: comparando antecedentes ad terminorum. $ummas habebit AB ad AC maiorem proportionem quàm D E ad D H.
FIat A B ad B F, vt D E ad E H; erit B F maior quàm B C, atque A F ma-
Secundò {ij}$dem po$itis, dico com-
Tertiò, dico quod comparando con- $equentes adterminorum $ummas B C ad C A minorem proportionem habe- bit quàm E H ad H D; quia (ex hy- pothc$i) A B ad B C maiorem proportionem habet quàm D E ad E H componen- do A C ad C B maiorem proportionem habebit quàm D H ad H E, & inuerten- do B C ad C A minorem proportionem habebit, quàm E H ad H D.
Quartò, {ij} $dem po$itis in quarta figura, dico quod comparando differentias terminorum ad con$equentes A C ad C B maiorem proportionem habebit quàm D H ad H E: quia ex con$tructione A B ad B F e$t, vt D E ad E H, diuiden- do A F ad F B erit vt D H ad H E; $ed A C maior e$t quàm A F, & C B mi- nor, quàm F B; igitur A C ad C B maiorem proportionem habebit quàm A F ad F B; & propterea A C ad C B maiorem proportionem habebit, quàm D H ad H E.
Quintò, dico quod è contra, comparando con$equentes ad differentias termi- norum C B ad C A minorem proportionem habebit quàm E H ad H D. Quia (ex præcedenti ca$u) A C ad C B maiorem proportionem habebat quàm D H ad H E; ergo inuertendo C B ad C A minorem proportionem habebit quàm E H ad H D.
Sextò, dico quod comparando antecedentes ad differentias terminorum B A ad
A C minorem proportionem habebit quàm E D ad D H. Quia ex con$tructione
Septimò, dico è contra, quod comparando differentias terminorum ad ante- cedentes C A ad A B maiorem proportionem habebit quàm H D ad D E. Quo- niam, ex præcedenti ca$u, B A ad A C minorem proportionem habebat quàm E D ad D H; igitur inuertendo C A ad A B maiorem proportionem habebit quàm H D ad D E.
Si quatuor quantitates eandem rationem habuerint homologorum $um- mæ, vel differentiæ in eadem ratione erunt.
OSten$um enim fuit in elemen-
Si prima A B ad $ecundam D E maiorem proportionem habuerit, quàm tertia B C ad qnartam E H: dico, quod comparando homologorum $ummas A B ad D E maiorem proportionem habebit, quàm prima cum tertia, ide$t A C ad $ecundam cum quarta, ide$t D H.
FIat B F ad E H, vt A B ad D E: ergo A B ad D E e$t, vt A F ad D H; $ed
Secundò {ij}$dem po$itis, dico, quod tertia B C ad quartam E H minorem pro- portionem habet quàm A C ad D H.
Fiat vt B C ad E H, ita I B ad D E, ergo C B ad E H e$t, vt C I ad H D;
Tertiò {ij}$dem po$itis in $exta fi-
gura, dico quod comparando homolo-
Fiat B F ad E H, vt A B ad D
E, ergo A F ad D H e$t vt A B ad
Quartò, dico, quod tertia C B ad quartam H E minorem proportionem habet
SI men$ura fuerit maior comparata, dummodo in ellip$i minor $it medietate axis tran$uer$i, tunc minimus ramorum in $e- ctionibus e$t, cuius potentialis ab$cindit à men$ura ver$us origi- nem in parabola (8) lineam æqualem comparatæ, in hyperbo- la verò (9) & in ellip$i (10.) lineam, cuius inuer$æ proportio ad illam e$t, vt proportio figuræ & reliqui rami, quo accedunt ad minimum $unt minores remotioribus; & quadratum minimæ minus e$t quadrato cuiuslibet rami a$$ignati in parabola quidem (8) quadrato exce$$us $uarum ab$ci$$arum, & in hyperbola (9) & ellip$i (10.) exemplari applicato ad exce$$um $uarum inuer- $arum.
SIt itaque $ectio A B C, & men$ura I C, inclinatus, $iue tran$uer$a E C,
A I excedere quadratum I N quadrato D H; e$tque D H maior, quàm R H, igitur I A maior e$t, quàm I O, & I O quàm I N. Et hoc propofitum fuerat.
AT in hyper-
S I men$ura fuerit maior comparata, dummodò in ellip$i $it portio tran-
Et educta ex H perpendiculari H N, &c. _Ide$t ex H educta H N per-_
Quadratum H N in parabola æquale e$t H I nempè C G in H C bis
_Hoc autem e$t æquale duobus_ _quadratis I H, H Q, & I H in H_ _Q bis, &c._ Po$t hæc verba $ubiun- go claritatis gratia, atque C H in H I bis æquale e$t duplo C Q in H I vna cum duplo Q H in H I.
_Ergo quadratum B I æquale e$t_
_Et quia quadratum OR æqua-_
AT in hyper-
Quadratum igitur I H e$t æquale triangulo I H S, &c. _Qaia nimirum._
Et $imiliter quadratum I Q æquale e$t duplo trianguli I Q X, &c. _Sci-_
Et hoc quidem propter $imilitudinem triangulorum, at componendo
Vt proportio inclinati, $iue tran$uer$æ ad latitudinem figuræ compara- tæ; igitur planum _m n_ e$t exemplar, &c. _Subiungo: nam, vt dictum e$t in_ _quinta, & $exta huius, pote$t hìc demon$trari, quod figura m n $imilis e$t ei,_ _quæ continetur latere tran$uer$o E C, & $umma in hyperbola, & differentia in_ _ellip$i laterum tran$uer$i, & rect<007> iuxta definitiones octauam, & nonam._
Quadratum R I æquale e$t duplo trianguli R V I, & quadratum O R in
Quod e$t {ae}quale triangulo F C G cum
Quod e$t æquale exemplari applicato ad R H, &c. _Hoc enim con$tat ex_
E$tque D H maior in hyperbola, quàm R H, itaque A I maior, quàm
S<007>militer, vt in præcedenti $ectione factum e$t, reperietur multitudo ramo-
rum inter $e æqualium, qui ex origine ad $ectionem duci po$$unt. Exi$tente
men$ura I C maiore, quàm comparata, $i differentia ab$ci{$s}arum rami maioris,
Et primò ramorum I O, &
Secundò H D differentia ab$ci$$arum rami I A, & breni$simi I N $upponatur maior, quàm H C quæ e$t ab$ci$$a breui$simi rami I N; & producta $imiliter ordinata D A vltra axim ad $ectionem in a, & coniuncta I a; Dico, quod duo rami tantummodo I A, & I a inter $e æquales $unt: Quia H D maior e$t, quàm H C, erit quadratum ex H D maius quadrato H C; pariterque exemplar appli- catum ad H D maius erit exemplari ei $imili applicato ad H C, & ideo tam. quadratum I A, quàm I a maius erit quadrato I C, cum quodlibet illorum ma- iori exce$$u $uperet quadratum breui$simi rami I N quam quadratqm I C, qua- re tam ramus I A, quàm I a (qui æquales $unt) maiores erunt, quàm I C, & ideo maiores quàm intercepti inter I C, & I N, pariterque maiores, quàm in- terpo$iti inter I N, & I A, & minores omnibus al{ij}s, qui infra ip$os cadunt. Quapropter duo tantùm rami I A, I a ab origine ad $ectionem duci po$$unt in- ter $e æquales.
Tertiò $int duæ ab$ci$$arum differentiæ H P, & H I æquales inter $e, & quæ- libet earum minor H C ab$ci$$a rami breui$simi, & producantur perpendicula- res ad axim L P, B I, donec conueniant ex altera parte cum $ectione in l, & b, coniunganturque rami ad l, b. Dico, quatuor ramos I B, I L, I l, I b æquales inter $e tantummodo duci po$$e; quia, vt dictum e$t, quilibet eorum $uperat ra- mum breui$simum I N potentia eodem exce$$u, erunt rad{ij} ip$i I B, I L, I l, I b æquales inter $e, reliqui verò $upra, & infra ip$os maiores, aut minores erunt, & ideo non po$$unt duci plures, quàm quatuor rami iam dicti æquales. Quod erat o$tendendum.
Et in$uper quadratum rami
Quoniam in parabola quadratum I L $uperat quadratum I M eodem exce$$u,
quo quadratum H P $uperat quadratum H Q (cum quadratum H P, atque qua-
Pari modo in hyperbola,
& ellip$i quadratum I L $u-
perat quadratum I M eod\~e
exce$$u, quo exemplar ap-
SIfuerit men$ura A
QVia A E e$t line a breui$$ima, igi-
_SI fuerit men$ura A D minor comparata A E, &c._ Sen$us propo$itionis
_Quia A E e$t linea breui$$ima, igitur, &c._ Vt con$tructio compleatur $u-
_Ergo hic e$t multò maior, quàm A F E, &c._ Sen$us clarior reddetur hac
_Igitur ip$e multò maior e$t, &c._ Superaddo rationem illationis dicendo;
Manife$tum e$t in prima figura propo$itionis 7. quando A D e$t portio axis minor comparata, quod tunc ex origine D duo tantummodo rami inter $e æqua- les ad vtra$que partes axis duci po$$unt ad $ectionem, & erunt illi, qui ad ter- minos eiu$dem ordinatim ad axim applicatæ iunguntur ab origine D, vt con$tat ex $uperiùs dictis.
At in $ecunda figura propo$itionis 12. po$$unt quidem ab origine D ad $ectio- nem duci hinc indè à breui$sima D A, aliquando duo tantùm rami inter $e æquales, aliquando tres, atque etiam quatuor inter $e æquales, quæcognitio pen- det ex propo$itione 72. huius libri.
LInearum egredientium ex D centro ellip$is A B C, breui$$i-
ma e$t $emiaxis minor rectus
illius, qui $it B D, maxima verò e$t
EDucamus itaque E A æqualem A D, & ab$cindamus ex illa A F {ae}qua-
_ET debet e$$e linea breui$$ima perpendicularis ad men$uram, nempe B_
Educamus itaque E A, &c. _Lego: Educamus itaq; E A perpendicularem, &_
_Et perducamus ex G, H perpendiculares, &c._ Et perducamus ex G, H
_Eo quod I D e$t æqualis I M, &c._ Quoniam $icuti in triangulo D A E
Nempe M I ad I Q, & è contra, &c. _Lego: Nempe M I ad I Q, & per_
_Cumque B D $it dimidium axis recti erit perpendicularis ad A D men-_
Manife$tum e$t ex centro ellip$is ad $ectionem duci non po$$e plures, quàm quatuor ramos inter $e æquales, neque pauciores duobus; tres autem nequaquam; nam duæ medietates cuiuslibet axis æquales $unt inter $e, & quatuor rami ad extremitates duarum applicatarum ad axim æqualiter è centro di$tantium ducti æquales $unt inter $e.
OStendamus modò cõ-
uer$um harum pro-
SIt centrum D, & dimidium erecti A C. Quia B F e$t linea breui$$ima,
erit A F maior quàm A C, eo quòd $i e$$et æqualis (4. 6. ex quinto)
_ET eius potentialis $ecet men$uram_
_in parabola, &c._ Ide$t, & eius po-
_Et ducatur ex G perpendicularis ad $ectio-_
ANgulorum ab axi $ectionis A H, & à lineis breui$$imis F B, H G contentorum proximiores vertici $ectionis mi- nores $unt remotioribus, nempe angulus AFB minor e$t AHG.
SIt itaque centrum D, & $emi inclinatus axis A D, $iue $emitran$uer-
$us, & dimidium erecti A C: educamus itaque duas perpendiculares
Hinc patet, lineas breui$$imas $ibi occurrere ad partes axis $ectionis.
QVia angulus AFB minor e$t, quàm angulus AHG; quare $ibi oc-
_EDucamus itaque duas perpendiculares, &c._ Educamus itaque ex pun-
Si verò $ectio fuerit hyperbole, aut ellip$is, &c. _Addo: Manife$tum e$t_
Erit ID ad LD, nempe B I ad M L, &c. _Addo (propter parallelas B I,_
Quia angulus A F B minor e$t, quàm angulus A H G, &c. _Addo: Et_
Pro intelligentia $equentium propo$itionum hæc præmitti debent.
Habeat A ad B maiorem proportionem, quàm C ad D. Dico, re- ctangulum $ub extremis A, D contentum maius e$$e eo, quod $ub me- dijs B, C continetur, & è conuer$o.
_F_lat vt C ad D, ita E ad B; patet ex elementis, A excedere ip$am E; qua-
re rectangulum A D maius erit rectangulo E D: e$t verò rectangulum B,
_S_Irectæ linea A B $ecetur bifariam in C, & non bifariam in D: Dico, quod $emi$sis C B ad alterum $egmentorum inæqualium D B habet maior\~e proportion\~e, quàm reliquum inæqualiũ AD ad alter ã medietat\~e AC.
Quoniam quadratum $emi$$is C B, $eu re-
_I_Nter rectam lineam A C maiorem , & B C minorem duas medias proportionales reperire.
Conueniant illæ ad angulos rectos in A , & compleatur Parallelogrammum
SI men$ura non excedit comparatam, nullus ramorum $ecantiũ
ex concur$u egredientium erit Breui$ecans: & lineæ breui$$imæ
ab extremitatibus ramorum ductæ in $ectione ab$cindunt ex axi li-
neam maiorem, quàm ab$cindunt rami (51. & 52.) Si verò men$ura
EXE concur$u $uper perpendicularem ED educamus E B $e-
cantem men$uram A D in F, & $ectionem A B in B, &
EDucamus iam B I perpendicularem ad axim, & $upponamus prius A
D non maiorem quàm A H , & $it $ectio parabole ; igitur D I mi-
DEindè $it D A maior quàm A C , $itque prius $ectio pa-
rabole , & $ecetur ex D A ip$a D F æqualis A C, & A
G fiat pars tertia ip$ius A F, educaturque B G perpendicularis
ad axim, & vt D F ad F G, ita fiat B G ad lineam H (& hæc
e$t Trutina) coniungaturque B E ; & $iquidem D E fuerit ma-
Quoniam D E maior e$t, quàm H habebit D E ad B G, nempe D I
Pariter demon$trabitur, quemadmodum iam o$ten$um e$t, quod $i E D
fuerit æqualis H, tunc GI æqualis erit D F, quæ e$t æqualis ip$i A C; &
Tertio loco $it E D minor quàm H, & o$tendetur quod E D in D F
minus e$t, quàm B G in G F; po$tea ponamus T G in G F æquale illi, &
Et $imiliter patebit, quod L S $it breui$$ima.
Et cum B I intercipiatur inter illas patet etiam, quod B G in G F ma-
Deindè ex concur$u E ad $ectionem parobolicam A B Z educamus E X,
Deindè $it $ectio hyperbole, aut ellip$is A B, & axis illius C A D, centrum C, & D A men$ura, quæ $it maior dimidio ere- cti, & perpendicularis E D. Dico, quod rami egredientes ex E habent $uperiùs expo$itas proprietates.
ITaque per C producamus C I parallelam perpendiculari E D, & pona-
Po$teà educamus ex E lineam occurrentem $ectioni in V, & produca-
mus eam, quou$que occurrat C I ad X, & ducamus per B lineam tan-
Simili modo con$tat, quod breui$$ima egrediens ex _l_ eiu$dem $it rationis.
DEindè $it E D æqualis Q, inde demon$trabitur, (quemadmodum $u-
pra factum e$t) quod B H tantùm $it linea breui$$ima, & quod mi-
Tandem pona-
ITaque o$ten$um e$t, vti memorauimus, quod ex concur$u
duarum breui$$imarum ad coni$ectionem non egrediatur alia
In ellip$i ramorum, $ecantium vtrumque axim, à concur$u vl-
tra centrum po$ito egredientium, vnius tantum portio, inter
axim maiorem, & $ectionem intercepta, erit linea breui$sima,
SIt $ectio ellip$is A C B, & axis maior tran$uer$us A B perpendicularis
E F, centrum D, & ponamus D G ad G F, vt proportio figuræ, & $i-
Et dico, quod non reperiatur vllus alius ramus, à quo ab-
NAm $i producantur E H, E G ad vtra$que partes ip$ius E C $ecan-
SI verò men$ura excedit comparatam educatur linea, ad quam com-
Ex E concur$u $uper perpendicularem, &c. _Ide$t. Ex E concur$u per-_
Tunc B F non e$t ex minimis, &c. _Dico quod B F non erit recta linea_
Et ponatur G I æqualis A H, &c. _Et ponatur G I æqualis A H, iungatur-_
_Ergo C A ad A H non habet maiorem proportionem, quàm ad A D;_
_DIco quod nul-_
_Quoniam D E_
_Igitur G F æqua-_ _lis e$t GO, ergo G_ _O ad O M, &c._ Igi- tur G F æqualis e$t G O, & quia F O $ecatur bifariam in G, & non bifariam in M (ex lemmate $exto huius libri) habebit $emis$is G O ad vnum $egmentorum inæqualium M O maiorem pro- portionem, quàm reliquum $egmentum M F ad alteram medietatem F G, $ed pro- pter parallelas P M, B G, & $imilitudinem triangulorum B G O, P M O e$t G O ad O M, vt B G ad P M, ergo B G ad P M maiorem proportionem habet, quàm M F ad F G: habet verò B G ad minorem M K maiorem proportionem, quàm ad M P (cum punctum P tangentis cadat extra $ectionem); ergo B G ad K M adhuc maiorem pro- portionem habet, quàm M F ad F G.
_Itaque K M in M F minus e$t, quàm B G in G F, &c._ Quoniam prima B G
_Et componendo patet, quod D F, &c._ Quoniam D R ad R M maiorem ratio-
_Et $imili modo con$tat, quod breui$$ima egrediens ex puncto L cadit_
_Pariter demon$trabitur, quemadmodum iam o$ten$ume$t, &c._ Pars $ecun-
E$to E D æqualis trutinæ H: Dico ex concur$u E vnicum tantùm breui- $ecantem ramum duci po$$e.
In eadem $igura, quia ex con$tructione H ad B G e$t, vt G F ad F D, ponitur verò E D æqualis H; ergo E D ad B G, $eu D I ad I G (propter $imilitudinem triangulo- rum E D I, B G I) e$t, vt G F ad F D, & componendo D G ad G I e$t, vt eadem G D ad D F; ideoque I G æqualis e$t D F, $eu A C $emierecto; igitur B I e$t breui$sima.
Po$te a ducto quolibet ramo E K $upra breui$ecantem E B (in prima figura, & in-
fra in $ecunda) occurrente axi in R, & ducta K M perpend<007>culari ad ax<007>m, quæ eum
$ecet in M, & tangentem O B in P. Quoniam (vt dictum e$t) O F $ecatur bifariam
_Tertio loco $it E D minor, quàm H, & o$tendetur, &c._ Quia H ad B G e$t,
_Et componendo, patet, quod D F e$t æqualis R M, &c._ Nam D Rad R M
_Et $imiliter patebit, quod L S $it breui$$ima, &c._ Secundus ca$us ab$que vllo
_Et cum B I intercipiatur inter illas patebit etiam, &c._ Et cum B I intercipia-
_Deinde ex con-_
_Simili modo demon$trabitur, &c._ Ab$quenoua demon$tratione propo$itum
_DIco, quod rami egredientes ex E habent $uperiùs expo$itas proprieta-_
_Et ponamus quamlibet duarum proportionum C F ad F D, & I S ad S C,_
_Et interponamus_
_Et ponamus proportionem lineæ alicuius, vt e$t Q compo$itam, &c._ Vo-
_Producatur priùs E B $ecans axim in H, &c._ Producatur priùs E B $ecans
_Ergo E D ad B O, quæ componitur ex E D ad D K, &c._ Nam po$ita inter-
_Sed E D ad D K e$t, vt CD ad DF, quia quælibet earum vt proportio_
Et ponamus re-
_Et propterea E_
Et aufer\~edo ho-
Po$tea educamus ex E lineam occurrentem $ectioni in V, &c. _Educamus_
Et per _f_ producamus _f g h_ parallelam axi A D, &c. _Et per_ f _ducamus_ f g _pa-_
_Et ponamus rectangulum F_ f _communiter, &c._ Et communiter addamus in
Igitur C a e$t li-
Et propterea _fi_ ad _i h_ maiorem proportionem habet, quàm ad _f g_, &c.
_Quia F O, $eu_ g f _o$ten$a fuit æqualis_ fh _erit_ g h _$ecta bifariam in_ f, _& non bifa-_
_riam in_ i _propterea (ex lemmate $exto huius lib.) habebit_ fh _ad_ ih, _$cilicet B_ f _ad_
di _(propter $im<007>litudinem triangulorum B_ fh, dih) _maiorem proportionem, quàm_
ig _ad_ gf, _$ed B_ f _ad V_ i _portionem ip$ius_ d i _habet maiorem proportionem, quàm ad_
Et ponamus rectangulum _g e_ commune, &c. _Et addamus in hyperbola, &_
Et propterea E K ad _e_ V, nempe K ad Y _e_, &c. _Sunt enim triangula E K Y,_
Et con$tat quemadmodum antea demon$trauimus, &c. _Quoniam_ e _Y mi-_
Simili modo cõ-
$tat, quod breui$-
Deinde $it E D æqualis Q, inde demon$trabitur (quemadmodum $u-
Sit E D æqualis Trutinæ Q habebunt E D, atque Q eandem proportionem
ad B O, componitur verò proportio E D ad B O ex rationibus E D ad D K, &
D K ad B O, $eu O G ad B O; componebatur autem proportio Trutinæ Q ad B O
ex rationibus C D ad D F, & F O ad O C; ergo ablata communiter proportione
E D ad D K, vel C D ad D F, relinquetur proportio G O ad O B eadem propor-
tioni F O ad O C; ergo rectangulum G O C $ub extremis contentum æquale erit
rectangulo B O F $ub intermed{ij}s compræben$o, addatur in hyperbola, & aufe-
ratur in ellip$i communiter rectangulum F G, erit rectangulum F S æquale re-
ctangulo B G M; Et quia I S ad S C, vel E K ad K D, velad F M erat, vt C
F ad F D, vel vt S M ad M K; ergo rectangulum E M æquale e$t rectangulo
F S; & propterea rectangulum E M æquale erit rectangulo B G M; quapropter
vt E K ad B G, $eu K R ad R G, ita erit G M ad M K, & componendo, eadem
Deinde educatur quilibet ramus E V $upra, velinfr a breui$ecantem E B, qui
productus $ecet rectam I C in X, & C A in Z, atque S M in γ, & educatur ex
V recta V e perpendicularis ad axim, $ecans D F in c, & S M in e, atque
contingentem $ectionem in puncto B, $cilicet ip$am B a $ecet in d. Et quia (vt
modo o$ten$um e$t) rectangulum F S æquale e$t rectangulo B G M, $untque pa-
riter o$ten$æ O C, A C, C a proportionales; ergo C a e$t quinta proportionalis po$t
quatuor præcedentes F C, N C, O C, A C continuè proportionales; & ideo F C ad
C O e$t, vt C O ad C a; ergo comparando homologorum differentias tam in hyper-
Et demon$trabitur, quemadmodum dictum e$t, quod G O ad B O mi-
Et producamus ex V, l duas perpendiculares V e, l P, quæ, &c. _Et_
Et ponamus re-
Tandem pro$e-
Demon$tratio ab Apollonio breuitatis gratia neglecta $ic perficietur.
Quoniam rectã-
gulum E M æquale
e$t rectangulo V e
M, igitur vt E K ad
V e, $eu K γ ad γ e
(propter $imilitudinem triangulorum E K γ, & V e γ) ita erit e M ad M K,
& componendo, eadem e K habebit ad e γ, atque ad M K eandem proportionem,
ideoque e γ æqualis e$t M K; quare E I ad K M, $eu I C ad C S eandem pro-
portionem habebit, quàm E I ad e γ, $eu quàm I X ad e V (propter $imilitudi-
nem triangulorum I E X, & e γ V) quare comparando homologorum differentias
in hyperbola, & eorundem $ummas in ellip$i C X ad c V, vel C Z ad Z c (propter
Ii$dem pror$us verbis o$ten$um erit, quod recta linea l m $it breui$sima om- nium cadentium ex puncto l ad axim, $i nimirum apponãtur caracteres prioris ca$us, vt patet in $ecunda, & quarta figura.
Ii$dem po$itis o$tendendum e$t, ramum B E, interceptum inter duos breui$e- cantes E V, non e$$e breui$ecantem, atque lineam breui$simam ex B ad axim A D exten$am cadere $upra ramum B E ver$us verticem A.
Quoniam rectangulum B G M maius e$t rectangulo O G M, atque o$ten$um $uit
rectangulum E M æquale rectangulo O G M; ergo rectangulum B G M maius e$t
rectangulo E M, & propterea E K ad B G, $eu K R ad R G (propter $imilitudi-
Rur$us {ij}$dem po$itis, o$tendendum e$t, ramum E _p_ cadentem $upra ramum
E V ver$us verticem, velinfra infimum breui$ecantem E V non e{$s}e breui$ecan-
tem, & ab$cindere ex axi minorem lineam, quàm ab$cindit breui$sima ex pun-
cto _p_ ad axim ducta. Ducatur ex _p_ recta linea _p x_ perpendicularis ad axim,
eum $ecans in _x_, & $ecans S M in _r_, & hyperbolen V _o_ in _t_, pariterque ramus
E _p_ $ecet S M in _z_, & A F in _q_, atque I C in _f_. Quoniam hyperbole V _o_ $e-
cat coni$ectionem A B in V, & _p_ ponitur $upra V ad partes A; ergo _t_ cadit
extra $ectionem A B, & propterea _t r_ maior erit, quàm _p r_; vnde rectangulum
_p r_ M minus erit rectangulo _t r_ M; $ed propter a$ymptotos S M, M F e$t rectan-
ITaque o$ten$um e$t, vti memorauimus, quod ex concur$u duarum,
Sen$um germanum huius con$ectar{ij}, in quo duæ propo$itiones Apollon{ij} con- tinentur, non e$t facile diuinare in tanta Apollo{ij} breuitate, & textus Arabici in$igni corruptione; videtur enim recen$ere, & recolligere conclu$ionem quam- dam præcedentium propo$itionum: at hoc fieri nullo modo debebat in duabus pro- po$itionibus _44._ & _45._ Rur$us $i theoremata $unt, demon$trari non poterant ante propo$itiones _51. 52. 53;_ $ed for $an numeri Arabici non _44._ & _45_; $ed _54._ & _55_. e$$e debent, quod mirum non e$t, cum numeri pa$sim in hoc codice Arabico deformati reperiantur. Itaque in hac ambiguitate $u$picor, textum $ic re$titui po$$e.
Si in coni$ectione duæ breui$ecantes ductæ fuerint ab eorum concur$u,
Sit coni$ectio A B C, cuius axis A D, & in hyperbola, & ellip$i centrum
E; & $umantur quælibet duo puncta B, & C, quæ in ellip$i $int in eodem eius
quadrante, & ducantur B F, C H perpendiculares ad axim, & in parabola,
fiant F G, & H I æquales $emi$si lateris recti; at in hyperbola, & ellip$i fiat
E F ad F G, nec non E H ad H I, vt latus tran$uer$um ad rectum, coniun-
ganturq; rectæ B G, & C I. Manife$tum e$t B G, & C I e$$e lineas breui$simas,
quæ $i producantur vltra axim (ex _28._ propo$itione huius libri) conuenient
Secundo {ij}$dem po$itis, dico, quod rami ducti inter K B, & K C cadunt infra
lineas breui$simas ab eorom terminis ad axim ductas, & quod rami producti ex
K $upra breui$ccantem K B ver$us A verticem $ectionis, vel infra ramum bre-
ui$ecantem K C ab$cindunt axis $egmenta ex vertice minora, quàm ab$cindant
lineæ breui$simæ ab eorum terminis ad axim ductæ. Reperiatur denuo Trutina
L, o$tendetur, vt prius perpendicularis K D minor, quàm L, & duæ tantummo-
do breui$ecantes K B, & K C; quare quilibet ramus ex K ad $ectionis punctum,
R Eperitur quidem in ramis aggregati $ecantis bifariam inclinatum,
Sen$um huius propo$itionis nec Apollonius quidem $i reuiui$ceret in$igni bar- barie corruptum perciperet, cen$eo tamen, $ic re$titui debere.
In ellip$i ramorum $ecantium vtrumque axim à concur $u vltra centrum po- $ito egredientium, vnius tantùm portio inter axim maiorem, & $ectionem inter- cepta erit linea breui$sima; $iue men$ura ip$am comparatam, nec non perpendi- cularis ip$am Trutinam $uperet, æquet, vel ab ea deficiat.
_Sit $ectio ellip$is_
_Et ducamus per_
_Ergo E H prima in proportione in IH $ub$equentem, nempe G F $ub-_
_Et producamus per E C lineam, &c._ Et producamus per E C rectam li-
_Erit G F æqualis O N, quare F O, &c._ Quia duæ rectæ lineæ A O, L K
$ecantur à parallelis I L, F E, C N, K O proportionaliter, & $unt K C, L E
æquales, ergo O N, F G inter $e æquales erunt, & addita communiter N F erit
Quia in $equenti propo$itione 57; & in al{ij}s adhibetur propo$itio non adhuc
demon$trata; nimirum po$ita C P linea breui$sima, pariter que _I_ D $emi$si axis
recti minoris etiam breui$sima (ex II. huius) quæ occurrant vltra axim in,
M deducuntur ea omnia, quæ in propo$itionibus _51._ & _52._ ex hypothe$i omni-
Animaduertendum e$t hoc theorema demon$tratum fui$$e ab Apollonio Propo$. _35._ huius libri, quod tamen paraphra$tes ne$cio an iure in fine huius voluminis tran$po$uit; Sed quia predicta propo$itio _35._ omnino hic e$t nece$$aria, & pendet ex al{ij}s præcedentibus, libuit potius aliam independentem demon$trationem af- ferre quam ordinem propo$itionum $atis alter atum denuo perturbare.
_I_N ellip$i ABC linea breui$sima F G, & $emiaxis minor rectus B D conueniant in E, erunt E F, & E B duæ breui$ecantes, duca- tur quilibet ramus E H inter eos: Dico E H non e$$e breui$ecantem, & cadere infra lineam breui$simam ductam ex puncto H ad axim.
Ducantur ex F, & H rectæ F K, H L perpendiculares aa axim rectum B
D eum $ecantes in K, & L, pariterque ducantur F M, H N perpendiculares ad
axim tran$uer$um A D eum $ecantes in M, N. Et quia F G e$t breui$sima, ergo
D M ad M G eandem proportionem habet, quàm latus tran$uer$um C A ad eius
Secundo ducatur ramus E O $ecans maiorem axim in P inter verticem A, & breui$ecantem E F; Dico E O non e$$e breui$ecantem, & breui$simam ex puncto O ad axim A D ductam cadere infra ramum O P E; Ducantur O Q, O R per- pendiculares ad axes, $ecantes eos in Q, R. Manife$tum e$t Q D minorem e$$e, quàm K D, & propterea E D ad D Q maiorem proportionem habebit, quàm ad D K, & componendo E Q ad Q D maiorem proportionem habebit, quàm E K ad K D: o$ten$a autem fuit E K ad K D, vt latus tran$uer$um C A ad eius la- tus rectum; igitur E Q ad Q D maiorem proportionem habebit, quàm latus tran$uer$um ad rectum; $ed (propter parallelas P D, O Q) vt E Q ad Q D ita e$t E O ad O P, & propter parallelas E D, R O, vt E O ad O P, ita e$t D R ad R P; ergo D R ad R P e$t, vt E Q ad Q D, & propterea D R ad R P ma- iorem proportionem habebit, quàm latus tranuer $um C A ad eius latus rectum; igitur E O non erit breui$ecans, & breui$sima ex puncto O ad axim ducta cadit infra ramum E O ver$us D, quod erat o$tendendum.
_ET dico, quod non repe-_
_Nam $i producantur E H, E G, &c._ Ducantur quilibet rami E H, E G ad
_Et quia iam productæ $unt ex concur$u M duæ breui$ecantes, &c._
_Sed E H, & E G efficiunt ab$ci$sas oppo$ito modo, &c._ Quia ab eodem
I Am ex puncto dato C extra, vel intra $ectionem A B (quod
Sit $ectio parabole, & producamus perpendicularem C E $u-
per I E A, & ponamus E F æqualem dimidio erecti, & du-
camus G F parallelam ip$i C E, & per C ducamus hyperbolen
Producatur perpendicularis B K. Quoniam C I æqualis e$t B G (sexta
D Einde fit $ectio hyperbole, aut ellip$is, cuius centrum D, & lineis,
D Einde perpendicularis egrediens ex
S It po$tea punctum C, &
I Am po$$umus producere ex puncto a$$ignato C extra datam $ectionem
_Et per C ducamus $ectionem H C B circa duas continentes illam G F,_
_Producatur perpendicularis B K. Quon<007>am C I, &c._ Ex puncto B ad
_E T lineis, atque $ignis eodem $tatu manentibus, &c._ Ide$t punctum
_Eo quod O M parallela axi D A inclinato $ubtendit, &c._ Quoniam
_Et quia B O æqualis e$t ip$i C G, &c._ Cum lineæ rectæ O M, O G $e $e-
Si autem componamus proportionem in hyperbola deinde ab$cinda-
_DEinde $it perpendicularis ex C, &c._ Siex puncto C extra hyperbolen po-
_Et quia C E ad E D, nempe C B ad B G,_
_SIt po$tea punctum C, & perpendicularis C F, &c._ Si à puncto C extra
_C E ad E F, nempe K D e$t, vt D G ad G F, &c._ Quoniam ex con$tru-
SI ex axe recto ellip$is $umatur men$ura ab origine, quæ ad
Sit A D dimidium axis recti, & minoris $ectionis ellipticæ
Ponatur ramus E F, & ducamus ex F ad vtrum-
SI autem fuerit ratio E A ad A D minor,
_P_Vto, numeros 53. & 54. Propo$itionum huius $e-
_Si ex axe recto ellip$is $umatur men$ura, &c._
_Sit A D dimidium axis recti $ectionis ellipticæ A B C, &c._ Sit A D di-
_Ponatur ramus E F, & producamus ex F, &c._ Ducatur quilibet ramus
_SI autem fuerit ratio E A ad A D minor, quàm proportio figuræ, &c._
_Et quoniam iam eductæ $unt ex E duæ breui$ecantes, &c._ Textus Ara-
SI occurrant duæ tangentes alicui $ectioni A B C, vt $unt A
Iuncta enim A E,
P O$tea in ellip$i iungamus E H, A H, & C
P Atet ex hoc, quod $i producantur ex duo-
_S I occurrant duæ tangentes alicui fectioni A B C, aut circulo, vt $unt,_
_Et ducamus A D in parabola, & hyperbola, &c._ Et ducamus A D in
_Et angulus E G H, &c._ Zuia F H e$t diameter $ecans bifariam E A in
_Patet ex hoc, quod $i producantur ex duo-_
Q Vælibet linea recta A E D tangens fectionem aliquam A F B in A extremitate lineæ breui$$imæ A C e$t perpeudi- cularis $uper illam, n\~epe D A C e$t angulus rectus. Et $i fuerit perpendicularis $uper illam vtique tanget $ectio- nem.
Alioquin producatur perpendicu-
Si verò fuerit D A C rectus, erit
_A Lioquin producatur perpendicularis C E, &c._ Exi$tente C A lineæ
_Si vero fuerit D A C rectus, &c._ Quia C A $upponitur breui$sima,
S I ramorum $ecantium D C, D B, D A eductorum ex con- cur$u D ad fectionem C A non fuerint duo breui$ecantes, vtique minimus eorum e$t, ramus terminatus D A, qui ambit cum axe A E angulum acutum; nempe D A E, & reliquorum propinquior illi minor e$t remotiore, $cilicet D B maior, e$t quàm D A, & D C quàm D B.
Si vero inter illos fuerint duo breui$ecantes tunc vicinior vertici $ectionis e$t maximus ramorum, & maiori proximior, e$t maior, & minori propinquior e$t minor.
Producamus perpendicularem D E $uper axim E A, & reperiatur Tru-
Po$tea dico, quod D C maior e$t, quàm D B; quia demon$trauimus,
IN $ectione elliptica A B C,
Quia $i caderet inter C, D du-
P O$tea repetamus figuras, paraboles, & hyperboles, &
Quia educitur ex D vnus tantum
Patet etiam, quod D B minor $it, quàm D C, alioquin e$$et vel illi
SI eductæ fuerint ex D duæ
Sit F Trutina, & quia iam ducti $unt ex D duo breui$ecantes, ideo
E A excedit dimidium erecti, & D E minor e$t, quàm F (51. 52. ex 5.)
his po$itis, vtique lineæ breui$$imæ egredientes ab extremitatibus ramo-
rum qui $unt in $ectione B C ab$cindunt ab axi EA minores lineas, quàm
ab$cindunt rami (51. 52. ex 5.) & qui ducuntur ab extremitatibus egre-
dientium ad reliquas $ectiones ab$cindunt lineas maiores. Educamus ita-
que ramos D H, D I ad $ectionem B C, & ducamus B L, L H M, & I
M tangentes $ectionem in punctis B, H, I; quia B K e$t breui$sima erit
Ponamus po$tea N extra $ectionem B C, & iungamus D N, itaque,
linea breui$$ima egrediens ex N ab$cindit ab axi E A maiorem lineam,
_A_Ntequam huius Decimætertiæ Sectionis explicationes, atque emendationes aggrediamur, vt Notæ breuiores, clariore$que reddentatur, & te$tus Arabici menda facilius corrigi po$$ent, operæ pretium duximus (amice lector) Lemmata $equentia præmittere.
Si ad coni$ectionem, atque ad vnum quadrantem ellip$is A B C à concur$u D nullus ramus duci po$sit, qui $it breui$ecans; Dico, quod quilibet $ecans ramus D B cum tangente H B G per eius terminum B ducta efficit angulum D B H ad partes verticis A acutum, & D B G, qui deinceps e$t, obtu$um.
Quoniam nullus ramus ex concur$u
Ii$dem po$itis, $i à concur$u D vnicus tantum ramus D B breui$e- cans ad $ectionem A B duci pote$t; Dico, quod quilibet alius ramus $ecans D 1 $upra, vel infra breui$ecantem D B po$itus efficit cum recta L I H tangente $ectionem in I angulum D I L, verticem re$picien- tem, acutum, & D I H, qui deinceps e$t, obtu$um.
Nam ex conuer$a propo$itione 51. & 52. huius perpendicularis D E æqualis
crit Trutinæ F, & ideo quilibet ramus D I po$itus $upra, velin$ra breui$ecant\~e
Ii$dem po$itis, $i à concur$u D duo breui$ecantes D C, D B ad $e- ctionem A B duci po$$unt; Dico, quod quilibet ramus $ecans D I po$i- tus $upra breui$ecantem D B vertici proximiorem, vel infra infimum breui$ecantem D C, efficit cum recta L I H tangente $ectionem in I an- gulum D I L, re$picientem verticem A, acutum, & con$equentem D I H obtu$um, & quilibet ramus D O inter breui$ecantes po$itus efficit cum recta G O N $ectionem tangente in O angulum D O G verticem re$picientem obtu$um, con$equentem vero D O N acutum.
Quia (ex conuer$a propo$itione 51. & 52. huius) perpendicularis D E mi-
_A_Ntea Apollonius docuit qui nam rami ab origine ad coni$ectionem ducti e$$ent minimi, & quo ordine reliqui rami $e $e excederent, modo agit de ramis axim $ecant<007>bus à concur$u ductis, & quærit qui minimus, & qu<007> maximus $it, & quo ordine di$ponantur.
_Producamus perpendicularem D E $uper axim, &c._ Si nullus ramus
_Quoniam ex D non educitur ad $ectionem A C vllus breui$ecans, & c._
_Quare $i centro D interuallo D B, &c._ Circulus enim B I L H A ra-
_Ig tur c<007>rculus $ecat coni$ectionem, &c._ Quia B I cadit extra coni$e-
_Patet, vt dictum e$t, quod D L G $it acutus, &c._ Hoc enim $equitur ex
_Deinde patebit, quemadmodum demon$trauimus, &c._ Quia D M fa-
_Po$tea dico, quod D C maior e$t, quàm D B, &c._ Demon$tratio $e-
_QVia $i caderet inter C, D ducipo$-_
_Deinde patet, quemadmodum demon-_ _$trauimus in vtraque hyperbola, &c._ Permuto particulam [vtraque] vt manife$tè erroneam, legi enim debet in parabola, & hyperbola. Quod vero ra- mus terminatus E A minimus $it omnium ramorum $ecantium manife$tum e$t ex demon$tratione propo$itionis 64. 65., quæ compræhendit etiam ellip$im, quando men$ura F A minor e$t $emiaxi A D, vt ex propo$itione 52. patet. Et $i- mil<007>ter ramorũ $ecantium ex concur$u E ad $ectionem A B ductorum propinquio- res vertici A minores $unt remotioribus ex eadem demon$tratione 64. 65. huius.
_S_I in aliqua peripheria cuiuslibet coni$ectio-
Ex eo enim, quod ïn propo$itionibus 64. &
65., omnes rami D A, D L, D B, D Q, D
C, & reliqui omnes, qui duci po$$unt ex con-
cur$u D ad $ectionem A B C efficiunt cum
tangentibus $ection\~e à terminis A, L, B, Q, C
angulos, verticem A re$picientes, acutos, vt
_PO$tea repetamus figuram vtrã-_
_Et illi propinquiores $int maio-_
_Quia educitur ex D vnus tantum breui$ecans, &c._ Legi debet. Quia
_Inde con$tat D G maiorem e$$e, quàm D A, &c._ Quia ex concur$u D
_Ergo D M nempe D I, &c._ Quia D M, vt remotior à vertice A, e$t ma-
_Ergo D N minor e$t, quàm D C, &c._ Dubitare quis po$$et, an ramus
_Et centro D, interuallo D O_
_circulus de$criptus $ecabit $ectio-_
_nem exempli gratia in Q (56. ex_
_A_ Ngulorum à ramis $ecantibus, qui à cõ-
Ex eo enim, quod in propo$itione 67. om- nes rami D A, D L, D C, & reliqui om- nes, qui duci po$$unt ex concur$u D ad $ectio- nem A B C, cum tangentibus $ectionem à ter- minis A, L, C compræhenderunt angulos ver- ticem re$picientes D A V, D L G, D C P acutos, & tantummodo vnus D B I rectus fuit o$ten$us e$t ramus D A minor, quàm D L, & D L vertici A propinquior, mi- nor, quàm D B, atq; D B minor quolibet remotiore D C.
_ET minimus eorum D C, &c._
_Atque $ic patet, quod D H maior $it, quàm D I, &c._ Ex vndecimo
_Et iam demon$tratũ e$t, &c._ Scilicet: quia omnesrami ex D ad peripheriã
_Po$tea o$tendetur, quemadmodum hìc dictum e$t, &c._ Textus e$t val-
Quod autem infimus ramus breui$ecans D C non $it nece$$ario minimus om- nium ramorum cadentium ad peripheriam $ectionis A B, modò o$tendetur.
In coni$ectione duos ramos hreui$ecantes, ducere, quorum infimus
In coni$ectione A B C, cuius ver-
E contra fieri pote$t, vt infimus breui$ecans ramus L C æqualis, aut minor $it ramo aliquo $upra breui$e- cantem reliquum B L po$ito. Nam L C minor e$t, quàm B L, & maior effici pote$t ramo non vltra $ectionis verticem A collocato ex prima parte huius pro- po$itionis, $ed rami à concur$u L educti cadentes inter puncta A, & B $ucce$- $iuè augentur quo magis à vertice A recedunt; Ergo ramus L C æqualis, aut minor erit aliquo ramo ab eodem concur$u L educto inter puncta A, & B cadente; igitur manife$tum e$t ramum breui$ecantem C L infimum duorum breui$ecantium, non e$$e $emper minimum omnium ramorum cadentium ex concur$is L ad peripheriam $ectionis A B C, $ed tan- tummodo minorem e$$e eorum, qui inter duo breui$ecantes B L, C L cadunt, & reliquorum infra ramum C L cadentium, atque aliquorum in pe- pheria A N exi$tentium propè maximum L B; quapropter exi$timandum e$t, in- curia alicuius verba illa non $ine Apollon{ij} iniuria textui irrep$i$$e.
SI ex concur$u E non exi$tente $uper rectum minorem elli-
Erigamus itaque $uper D perpendicularem D B occurrentem E G in,
Educamus ex E ad $ectionem A G, E A, E O, o$tendetur quod
DEinde $int E H, E G duo breui$ecantes, & E G $ecet rectum B D. Dico, quod E G e$t maximus ramorum, egredientium ex E ad $ectioncm A B C, & E C e$t minimus.
Producatur perpendicularis E F, quæ non cadet $uper centrum; $i e-
nim per centrum duceretur, duci po$$et ex E, aut vnicus breui$ecans
PO$tea educamus ex E tres breui$ecantes E G, E H, E I,
Quoniam I K, H M $unt duæ breui$$imæ con$tat, quod E I maximus
SI ex concur$u E in recto E B
Si vero ex illo educatur alius bre-
Quia breui$$imæ egredientes ab ex- tremitatibus reliquorum ramorum ab- $cindunt cum C, vel A lineas maiores, quàm $ecent rami (illi 44. ex 5.) de- mon$trabitur ductis tangentibus, per extremitates illorum (quemadmodum, antea o$ten$um e$t) quod E B $it maximus ramorum egredientium ad duos quadrantes C B, B A, & hoc erat o$tendendum.
PO$tea educatur alius breui$e-
Quia B D, F H $unt duæ breui$$imæ,
P_R O clariori intelligentia propo$itionum huius $ectionis hæc præmitto._
Si in ellip$i A B C à concur$u E ductus fuerit ramus E G $ecans
vtrumque axim in H, & 1, cuius portio G 1, inter axim maiorem
A C, & $ectionem intercepta, $it linea breui$sima; dico, quod quili-
bet alius ramus E K inter breui$ecantem G E, & axim minorem in-
terceptus, efficit cum $ectionem tangente K P angulum E K P acutum,
Ducatur E F perpendicularis ad axim maiorem, eum $ecans inter verticem
c, & centrum D in F, & ex concur$u axis minoris B H, & breui$simæ G E,
scilicet ex H ducantur rectæ H K, & H L; pariterque ex punctis, K, & L
ducantur ad axim maiorem A C lineæ breui$simæ K N, L O, ei occurrentes in
N, & O. Luoniam (ex præmi$$o Lemmate 8.) à concur$u H ducitur ramus
H K inter breui$ecantes H B, H G interceptus; ergo H K cadit infra breui$-
$imam K N ad partes verticis C; e$t vero angulus N K P rectus à tangente,
Similiter (ex eodem Lemmate 8.) quia ramus H L ducitur inter breui$ecan-
tem H G, & verticem A à concur$u E remotiorem, cadet ip$e $upra breui$simã
Si à concur$u E non exi$tente $uper recto ellip$is A C, producatur vni-
_Erigamus itaque $uper D perpendicularem, &c._ Scilicet ex centro $ectio-
_Quoniam non egreditur ex E ni$i vnus breui$ecans, ergo lineæ breui$si-_
Producamus itaque M B, M K tangentes; ergo M B E e$t obtu$us, &
Et educamus ex E ad $ectionem A G, E A, E O, & patebit, quod E
Ex concur$u E ad $ectionem A G ducantur rami E A, & quilibet alius E O;
o$tendendum e$t, E G maiorem e$$e, quàm E O, & E O maiorem, quàm E A: du-
cantur A P, Q O tangentes $ectionem in A, & O conuenientes in P, & tangenti
At adhuc non con$tat, ramum E C minimum e$$e prædictorum ramorum om- nium, ni$i priùs o$tendatur, E C minorem e$$e quolibet ramo ad peripheriam A G educto: & hoc etiam ob $ui facilitatem neglectum fuit ab Apollonio. Ab$ol- uetur tamen hac ratione.
Quoniam perpendicularis E F cadit inter C, & D, igitur A F maior e$t, quàm C F, & F E e$t communis circa angulos rectos in triangulis C F E, A F E, igi- tur C E minor e$t, quàm E A: e$tque E A minor quolibet alio E O inter A, & G cadente, igitur E C minor e$t omnium ramorum cadentium ad peripheriam A G, $ed priùs minor o$ten$us fuit reliquis omnibus cadentibus ad peripheriam C B G; igitur ramus E C minimus e$t omnium $ecantium, quod erat o$tendendum.
ERgo E F per centrum non tran$it, cadat $uper C D, & quia produ-
Quoniam à concur$u E vnicus tantum breui$ecans E H ad quadrantem C B
PO$tea ducamus ex E tres breui$ecantes E G, E I, E H, & $ecent E I men$uram, & E G $ecet rectum in L, &c. _Ide$t: Po$tea $i ex concur-_ _$u E ducti fuerint tres breui$ecantes E G, E I, E H; quorum duo E I, E H $e-_ _cent men$uram in K, & M: E G vero $ecet axim rectum in L, & axim ma-_ _iorem A C in N. Dico, &c._
Quoniam I K, N M $unt duæ breui$$imæ con$tat, quod E I maximus $it
_Nec non, quia H M, G N $unt duæ breui$$imæ, con$tat, vt dictũ e$t, quod_
_Dico etiam, quod E G maior $it, quàm E I, &c._ Ide$t: O$tendetur etiam,
quod ramus E G maximus etiam $it omnium ramorũ cadentium ad peripheriam
C H, propterea quod E G o$tendetur maior E I maximo eorum, qui ad periphe-
riam C H duci po$$unt. Ducatur ex puncto I recta I O parallela axi matori A
C, quæ $ecabit axim minorem, & $ectionem, cum punctum I cadat inter ver-
tices C, & B duorum axium; $ecet igitur $ectionem in O, coniungaturque E O,
atque ex punctis I, O, G, E ducantur perpendiculares ad axim I P, O Q, G
R, E F S, quæ $ecent axim in P, Q, R, F, & I O in S, & quia G N, &
I K $unt breui$simæ; ergo D R ad R N, atque D P ad P K eandem proportio-
SI autem non educatur ex concur$u E ad rectum E B ellip$is A B C
_Si vero eductus fuerit ex illo alius_
Si vero ex illo educatur alius breui$e- cans, erit æqualis vni breui$ecanti ex altera parte recti po$ito, & omnium re- liquorum erit maximus: Si enim hæc extrema verba non opponerentur, propo- $itio non e$$et vera, vt o$tendetur.
_Quia breui$$imæ egredientes ab extremitatibus reliquorum ramorum_
_PO$tea educatur E F, qui e$t maxi-_
_Quia B D, F H $unt duæ breui$$imæ;_
_ergo rami egredientes ad $ectionem B F_
_ab$cindunt cum A lineas maiores, quàm_
_$ecent breui$$imæ egredientes ab eorum extremitatibus, & rami egredien-_
_tes ad duas peripherias C B, F A ab$cindunt cum A, vel C lineas mino-_
_res (52. ex 5.) &c._ Quia in ellip$i $emiaxis minor B D, & breui$sima F H
concurrunt in E; ergo quilibet ramus ex E ad peripheriam F B ductus cadit
_Con$tat itaque, vt dictum e$t de lineis tangentibus, quod E F $it ma-_
_ximus ramorum $ecantium egredientium ex E ad A B C, quod erat o$ten-_
Sicuti in prioribus propo$itionibus factum e$t, reperientur, quotnam rami in- ter $e æquales à puncto concur$us ad coni$ectionem duci po$$unt, qua occa$ione afferam propo$itiones aliquas non iniucundas, quarum prima erit.
Si ad coni$ectionem B A à concur$u D vnicus tantum breui$ecans D
Secentur primo in parabola abci$sæ B H, & B N æquales trienti exce$$us inæ- qualium men$urarum $upra $emierectum (vt præcipitur in propo$itione _51._ hu- ius) manife$tum e$t, ab$ci$$am B N minorem e$$e ip$a B H, quando B F minor e$t, quàm B E, & maior, quando B F $uperat ip$am B E; eo quod eorum tri- plæ, vna cum $emierecto, ide$t men$ura B F minor fuerat in primo ca$u, & maior in $ecundo, quàm men$ura B E.
In hyperbola vero, & ellip$i fiat proportio rectæ H L ad $emiaxim tran$uer-
Quoniam in primo ca$u maius $egmentum G L ad eandem L B habet maio-
rem proportionem, quàm minus $egmentum ex L F di$$ectum; igitur earum;
$ubtriplicatæ proportiones inæquales erunt, videlicet H L ad L B maiorem pro-
portionem habebit, quàm N L ad ip$am L B, & propterea H L maior erit,
quàm N L, & ablata communi L B, erit H B ab$ci$$a maioris men$uræ ma-
ior, quàm N B ab$ci{$s}a men$uræ minoris. Similiter o$tendetur in $ecundo ca-
$u, quod ab$ci$$a N B maioris men$uræ maior e$t, quàm B H. O$tendedum
modo e$t, perpendicularem C F in vtroque ca$u minorem e$$e trutina K; Si
Ii$dem po$itis, $i in productione breui$simæ A I $umatur quodlibet
Quoniam quælibet recta C F parallela perpendiculari D E interpo$ita inter
productionem breui$simæ A I, & axim minor e$t Trutina K nouæ men$uræ B
F (ex præcedenti propo$.) propterea ramus principalis C O cadit $upra ip$um
C A, quando B F minor e$t, quàm B E, & tunc quidem duci pote$t hyperbola
ex puncto A circa a$ymptotos (vt in propo$itione _51._ & _52._ factum e$t) quæ pro-
ducta occurret $ectioni B A inter B, & O, vt in P, & coniuncto radio C P,
Sit con<007>$ectio, vel ell<007>p$is portio quadrantis B A G, cuius axis B
Quoniam perpendicularis D E ponitur ma-
I$dem po$itis, $it perpendicularis D E æqualis Trutinæ L, <010> $it D
Ducatur quilibet ramus D F $upra breui$e-
_H_Inc con$tat, $upremam circuli peripheriam A Z cadere in locum à tan- gente X A, & coni$ectionem B A contentum, infimam vero circuferen- tiam A γ cadere ne dum infra tangentem, $ed etiam infra coni$ectionem A G; eoquod recta A X cadit extra circuli peripheriam A Z, quàm contingit in A, & eadem circumferentia A Z cadit extra $ectionem A B, quàm $ecat in A, vt dictum e$t.
Mirabile quidem hoc videri poterit aliquibus, qui contingentiæ angulos, quos vocant, verè angulos e$$e cen$ent; nam hic duæ circum$erentiæ curuæ, conica nimirum B A G, & circularis Z A γ $e mutuo $ecant in A, & tamen ambo tanguntur ab ead\~e recta linea A X in eodem puncto A, in quo illæ $e mutuò $ecant. Vnde colligent etiam, quod anguli contingentiæ facti à coni$ectione B A G, & recta l<007>nea X A non $unt æquales inter $e, quando punctum A in vertice axis non exi$tit; nam duo anguli contingentiæ circum$erentiæ circularis, & rectæ tangentis X A æquales $unt inter $e: at angulus contingentiæ $ectionis conicæ $u- premus re$piciens verticem B maior e$t angulo contingentiæ circularis, vt dictũ e$t: infimus vero angulus contingentiæ à $ectione conica, & eadem tangente contentus minor e$t eodem angulo contingentiæ circularis, & propterea $upremus angnlus contingentiæ $ectionis conicæ maior erit inferiori.
Sit perpendicularis D E
Ducantur quilibet rami D F, D G $upra, & infra breui$ecantem D A, $e-
cantes circulum Z A γ in Z, & γ; pariterque ducantur quilibet rami D G
Po$tea quia ramus D C infimus breui$ecantium e$t minimus omnium ramo-
rum cadentium ex D ad peripheriam A C N, ergo ramus D C minor e$t, quàm
Si ad coni$ect<007>onem,
Sumatur enim quodlibet punctum G in productione breui$simæ A I $upra,
vel infra punctum D: manife$tum e$t (ex _8._ præcedentium propo$it.) à puncto
G duci po$$e duos breui$ecantes ramos, quorum A G erit infimus, $i punctum G
cadit $upra punctum D, & tunc circulus radio G A de$criptus continget coni$e-
Circulorum omnium intrin$ecus tangentium coni$ectionem non in axis
Repetatur figura, &
Ii$dem po$itis: dico circulorum omnium extrin$ecus tangentium coni-
Sumpto in eadem $i-
Ex dictis colligitur, quod ex concur$u ad quamlibet coni$ectionem po{$s}unt du- ci tres, vel quatuor rami$ecantes inter $e æquales: in ellip$i vero, & in reliquis $ectionibus $i rami $ecantes non fuerint, duci pote$t vnus, vel duo rami inter $e æquales.
Nam circulus radio alicuius breui$ecantis de$criptus tangit, vel $ecat coni- $ectionem, & $iquidem eam extrin$ecus tangit, nece$$ario eandem bis $ecat, $i fuerit parabole, aut hyperbole, quæ infinitè aug\~etur, & dilatãtur; & propterea rad{ij} circuli ad occur$us, & contactum ducti æquales $unt inter$e; & ideo tres rami tantum erunt æquales: $i vero de$cribatur circulus, cuius centrum e$t con- cur$us, radius vero minor e$t maximo, & maior minimo duorum breui$ecan- tium: tunc quidem nece$$ario circulus quatuor in punctis $ectioni conicæ occur- ret: & propterea quatuor rad{ij} ad occur$us ducti erunt inter $e æquales.
At in ellip$i $i concur$us $iat circuli centrum, radius vero breui$ecans maxi-
mus trium, qui in ea duci pu$$unt, circulus prædicto radio de$criptus continget
quidem exterius ellip$im, neque deinceps vnquam ei occurret: & propterea ra-
mus ille maximus erit vnicus, cum nullus al<007>us ei æqualis duci po$sit in eadem
ellip$i: $i verò à concur$u in productione axis ellip$is po$ito de$cribatur circulus,
cuius radius minor $it maximo ramo, $ed maior vtroque terminato; tunc qui-
dem circulus duobus in locis ellip$i occurret; & propterea duo tantum rami inter
$e æquales erunt; pari modo, quando à concur$u tres breui$ecantes ad ellip$in,
IN hyperhola angulus contentus à linea breui$$ima, & à men-
Sit hyberbole A B, eius axis D
IN parabola lineæ breui$$imæ productæ occurrunt $ectioni ex
Quoniam breui$$ima e$t linea recta $ecans diametrum paraboles intra
$ectionem; & propterea $ectioni occurret ex vtraque parte (28. ex pr.)
SI inclinatus axis hyperboles erectum non excedit, nulla li-
Sit priùs D A non maior, quàm A G: & quia D A ad A G eand\~e pro- portionem habet, quàm quadratum D A ad quadratum A E, erit D A non maior quàm A E; & propterea angulus D E A non crit maior an- gulo E D A: $ed maior fuerat angulo B C H (41. ex 5.) ergo angulus E D A, nempe A D F maior e$t, quàm B C D, & propterea B C, D F non conueniunt ad partes C, F; igitur B C non occurrit $ectioni ad par- tes K, A; eo quod $i illam $ecaret, etiam ip$i D F occurreret (8. ex 2.) quare non occurrit $ectioni in duobus punctis.
Deinde $it D A maior, quàm A
ANgulus contentus à breui$$ima linea, & men$ura minor e$t angulo
contento à di$tante cum continente in $ectione, &c. _Ad{ij}cio par-_
_Sit $ectio, D C diameter illius, &c._ Legendum puto; Sit hyperbole A B
QVia e$t linea recta $ecans diametrum paraboles; &c. _Addo illam par-_
_INclinatum $i non excedit erectum, nulla linearum, &c._ Addo, quæeui-
_Et quia D A ad A G e$t vt quadratum D A ad quadratum A E, &c._
_Quia $i occurreret illi occurreret D F (7. ex 2.) $ecaretque $ectionem_
_Lineæ vero breui$$imæ, quæ ca-_
SI men$ura comparata $umpta fuerit in axe recto minore elli-
Sit D C rectus a-
_COmparata $i fuerit ex recto duorum axium ellip$is crit maximus ra-_
_Con$tat, quemadmodum demon$trauimus in propo$itione 6. &c._ Quo-
_Et con$tat, vt dictum e$t, quod $it exemplar applicatum ad O C, &c._
_Igitur I C maior e$t, quàm I H, & I H, quàm I K, &c._ Eo quod ab$ci$-
_Ergo quadratum I C æquale e$t duplo trianguli N F M cum duplo_
SI men$ura E C $umatur in axe minori ellip$is A B C, $itque
Coniungamus rectas A G, G B, B F,
Et quoniam H C maior e$t, quàm H F, (16. 17. 18. ex 5.) erit angulus H C F minor, quàm H F C; & ideo multo minor erit, quàm E F C, quare E C maior e$t, quàm E F: & $ic con$tat, quod E F maior $it, quàm E B, & E B, quàm E G, & E G, quàm A E; quod erat o$tendendum.
SI in ellip$i A B C men$ura I C in axe minori C D $umpta
Quoniam proportio E G ad G I facta e$t, vt E C ad C F, nempè E
EContra, $i maximi rami origo
Sit $ectio elliptica A B C centrum D, & E origo, quæ $it in axi mino-
SI in ellip$i ramus
Educamus B G, B H, H I, I A, E G, E H, E I; & quia E B maior
_SI vero fuerit men$ura E C ex recto duorum axium ellip$is A B C,_
_Nam $i coniungamus A G, B G, B F,_
SI vero fuerit men$ura I C minor comparata, quæ $it C F, nempe $e-
Cæterum animaduertendum e$t in bi$ce propo$itionibus, $icuti in 8. 9. & 10. buius libri $upponi vt res manife$ta intra $ectionem duci po$$e à puncto originis ramum maximum, vel breui$simum, ide$t nece$$ario reperiri debere ramum, cuius potentialis ab$cindit à men$ura ver$us originem rectam lineam, ad quàm inuer$a eandem proportionem babeant quàm axis tran$uer$us ad $uum erectum: boc autem $ine demon$tratione admittere nefas e$t. Ergo quod in textu de$idera- tur $uppleri pote$t bac ratione. Quia C I maior e$t, quàm C E, $ed minor, quàm C F; ergo eadem E C ad minorem C I maiorem proportion\~e babet, quàm ad C F; & comparando antecedentes ad differentias terminorum C E ad E I maiorem proportionem babebit, quàm E C ad differentiam ip$ius C F à C E; quare aliqua magnitudo minor quàm prima $cil<007>cet G E ad E I eandem propor- tionem habebit, quàm C E ad differentiam ip$arum C F, & C E: & iterum comparando antecedentes ad $ummas terminorum E G ad G I eandem proportio- nem babebit, quàm E C ad C F; quare punctum G cadet intra $ectionem, pa- riterq; G B ad axim perpendicularis occurrens $ectioni in B cadet intra eandem $ectionem: & ideo duci poterit ramus I B, qui o$tendetur maximus reliquorum omnium.
_Quoniam proportio G E ad E I facta e$t, vt E C ad C F, &c._ Nam
EContra linea maxima, $i non egredia-
_Sit $ectio A B C elliptica, & E origo, & E F linea maxima, &c._ Ad-
_Et ideo D C ad dimidium erecti e$t linea minor, quàm D C, & $it D_
_Et $i maxima fuerit extra centrum, vt D B erit perpendicularis, &c._
SI producatur vna linearum maximarum, vt E B ad latus illius originis
_Erit angulus BHE ma-_
IN ellip$i A B C rami cuiuslibet
Producatur rectus axis minor A D vl-
tra centrum D ad I, G, & ex I, G ad $e-
ctionem ducantur duo rami maximi G H,
I K, qui $ecent tran$uer$um B D in N,
M, & $it B E dimidium erecti axis B D,
& A F dimidium erecti axis A G; & edu-
cantur perpendiculares ad axes H O, H
P, K Q, K R. Dico, N H breui$simum
e$$e ramorum egredientium ex H. Quia
G H e$t linea maxima, erit D A ad A F,
nempe B E ad B D, vt D O ad O G (22.
EContra o$tendetur, quod duæ breui$$imæ, $i producantur
Quia D Q ad Q I e$t, vt D O ad O G, quia quælibet earum e$t, vt
Et con$tat, quod occur$us duarum breui$simarum ($i producantur ver- $us $uam originem) erit intra angulum contentum à duabus medietati- bus axium ellip$is B D, D C $upra vnum eorum, nempe punctum L ca- dit intra angulum B D C. Quoniam breui$simæ N H, M K $e mutuò $e- cant, $i producantur ad partes $uæ originis (28. ex 5.) occurrent vtique extra B D, & intra A G (33. ex 5.) & hoc erat o$tendendum.
SI per centrũ ellipfis tran$ierit vna
In ellip$i A B C $it punctum E occur-
$us duarum breui$$imarum B D, C I, &
centrum $ectionis D: & ex E educamus E F, quæ $ecet tran$uer$um a-
xim in H. Dico, quod H F nõ e$t breui$$ima, & quod breui$$ima egre-
diens ex F ab$cindit ex $agitta A C cum A lineam maiorem, quàm A
H. Quoniam G I e$t breui$$ima; igitur F H, $i e$$et quoque breui$$ima,
IN $ectione elliptica quatuor lineæ
Alioquin $it occur$us in E, & prius $it
B D perpendicularis $uper A C, tran$i-
ens per D centrum $ectionis; & quia E
e$t occur$us duarum breui$$imarum B D,
IN coni$ectione A B, cuius centrum D duci non po$$unt-duæ lineæ maximæ in ellip$i, neque duæbreui$$imæ in omnibus $ectionibus, vt A E, A F ad vnum punctum A circumferentiæ $ectionis terminatæ.
Educamus A G perpendicularem ad axim B E. Si itaque $ectio fue- rit parabole, fiet E G æqualis F G, quia quælibet earum e$t æqualis di- midio erecti (13. ex 5.) $i vero fuerit hyperbole, aut ellip$is, fiet D G ad G E, vt D G ad G F; quia quælibet earum e$t, vt proportio figuræ (14. 15. ex 5.) igitur G F æqualis e$t G E, quod e$t ab$urdum. Simi- liter $i B G fuerit minor duarum axium ellip$is, & fuerint A E, A F rami maximi o$tendetur, quod G F æqualis $it G E (23. ex 5.) Patet igitur, vt dictum e$t, quod ex vno puncto $ectionis educi non po$$unt ad axim illius duæ lineæ maximæ, neque breui$$imæ, & hoc erat o$ten- dendum.
SI linea maxima, aut breui$$ima,
Educatur B G, tangens $ectionem in
IN $ectione A B elliptica quælibet
Alioquin $ecet illam, & in eius produ-
ctione D G $umatur punctum G intra $e-
E Contra $i fuerit F D tangens, erit perpendicularis $uper maximam D C.
Alioquin educamus aliam E D perpendicularem $uper illam; ergo E D tangit $ectionem in puncto D (39. ex 5.) $ed F D $uppo$ita fuit tan- gens; igitur duæ D F, & D E tangunt $ectionem in vno puncto, quod e$t ab$urdum (36. ex I.)
Q Vælibet linea D E ex puncto
Alioquin educamus D F breui$$imam,
T Res lineæ maximæ E F, G H,
Alioquin cõueniant in O, & quia $unt lineæ maximæ erunt M K, H N, L F, li- neæ breui$$imæ (32. ex 5.) & conueniunt in puncto O; quod e$t ab$urdũ (54. ex 5.) o$ten$um ergo e$t, quod fuerat propo$itũ.
L Inea maxima $ecat tran$uer$am in pũ-
_Quia G H e$t linea maxima, erit D A_
E Contra o$tendetur, quod duæ breui$$imæ, $i educantur ex parte $uæ
_Quia D Q ad Q I e$t, vt D O ad O_
_SI tran$eat per centrum ellip$is vna duarum breui$$imarum; vtique ra-_
Sed duo hic notanda $unt. Primo, quod hæc prop. 35. non poterat po$tponi, nã v$um habet in 57. huius vbi malè citatur prop. 52. loco hu- ius 35., vt ibidem in$inuatum e$t. Secundo, quod hæc demon$tratio non videtur omnino per$ecta nam pendet ex prop. 34., & ex eius conuer$a, quæ demon$trata non reperitur qua- re $uperuacanea non fuit noua demon$tratio in Lemmat. 8. appo$ita.
_SI verò nulla earum tran$it per centrũ,_
_NAm $i educamus B G tangentem erit_
_ALioquin $ecet illam, & $ecemus ex,_
_ALioquin occurtant in O, quia i$tæ_
SEctiones ÆQVALES $unt, quæ ad inuicem $u- perpo$itæ $ibi mutuò congruunt.
SIMILES verò $unt, in quibus omnes po- tentiales ad axium ab$ci$$as vtrobique $unt in ij$dem rationibus, tum ab$ci$$æ ad ab$ci$$as.
Et linea, quæ $ubtendit $egmentum circumferentiæ circuli, aut $ectionis coni vocatur BASIS illius $egmenti.
Et linea, quæ bifariam diuidit ordinationes æquidi$tantes ba$i illius, vocatur DIAMETER illius $egmenti.
Et eius terminus, qui e$t ad $ectionem, VERTEX $egmenti.
Et SEGMENTA ÆQVALIA $unt, quæ $uperpo$ita $ibi mu- tuò congruunt.
Et SIMILIA $unt, quorum ba$es cum diametris æquales an- gulos continent, & in eorum $ingulis ductæ lineæ ba$i parallelæ numero æquales ad ab$ci$$as diametrorum $unt in ij$dem ratio- nibus tum ab$ci$sæ ad ab$ci$sas.
CONI SIMILES $unt, quorum axes æquè ad ba$es inclinati, ad diametros ba$ium proportionales $unt.
Et dicitur conus continere $ectionem, & $ectio in cono po- $ita e$se, $i $ectio tota fuerit in $uper$icie coni, aut cadat in illa, $i producatur ex parte ba$is.
_D_E$initiones huius $e$ti libri ferè omnes $unt Appollon{ij}, in paucis quidem alteratæ ab interprete Arabico: quod quidem con$tat te$timonio Eutoc{ij} A$calonitæ, qui in tertiam propo$itionem $ecundi æquiponder antium Archime- dis affert definitionem $imilium portionum conicarum $ectionum, traditam ab Apollonio in eius $e$to libro: & $anè ordo doctrinæ exigebat, vt prius $ectio- nes æquales, & $imiles definirentur, vt po$tea earum symptomata demon$trari po$$ent: $ed animaduertendum e$t, hactenus nomen $ectionis conicæ $ignifica$$e quamlibet indeterminatam portionem curuæ lineæ in coni $uper $icie ortam ex $e- ctione alicuius plani non per verticem coni ducti, non con$iderando termiuos eius neque men$uram. Segmentum verò $ignificat portionem aliquam $ectionis conicæ determinatæ men$uræ, & certis finibus terminatam; at multoties $ignificat $u- perficiem à coni$ectione, & recta linea eam $ubtendente contenta. Igitur ad confu$ionem vitandam vocabo huiu$modi $uperficiem planam, Mixtam $uperfici\~e $ectionis conicæ. Modò in relatis definitionibus prius quænam coni$ectiones vo- cari debeant inter $e æquales exponit Apollonius.
_I._ Et primo; Si fuerint duæ quælibet coni-
_II._ Codex Arabicus habet. _Similes verò $unt, quarum proportio po-_
_tentium in vna earum ad $ua ab$ci$$a e$t eadem proportioni aliarum po-_
_tentium ad $ua ab$ci$$a, & proportio ab$ci$$arum in vna earum ad $ua op-_
_po$ita ab$ci$$a eadem e$t._ Putabit forte qui$piam, me nimis licentiosè tran-
sforma$$e potius, quàm emenda$$e textum in
Ego contra puto, hanc expo$itionem neq. Apollonio, neq. veritati conciliari po{$s}e, vt ad propo$. 12. o$tendetur attamen exi$timo, defin<007>tionem hac ratione formari po{$s}e.
Similes coni$ectiones $unt, in quibus quælibet axium ab$ci{$s}æ erectis pro- portionales etiam ad conterminas potentiales eand\~e rationem habent: quæ omni- no conformis e$t præcedenti definitioni, præterquam in po$trema particula, vbi enim ait. _Sunt in ij$dem rationibus tum ab$ci$$æ ad ab$ci$$as._ Legendum e$$et: _$unt in ij$dem rationibus tum ab$ci$$æ ad erecta._ Sed an hæc parti- cula corrigi debeat, vel non, al{ij} videant.
_III._ Si verò fuerit portio $ectionis conicæ B A C, vel circunferentiæ circuli, atq. recta linea B C eam $ubtendat, & $ecet <007>n duobus punctis B, & C, voca- tur B C, Ba$is prædicti $egmenti B A C.
_IV._ Et $i in eodem $egmento ducantur or-
_V._ Et terminus eiu$dem diametri A ad $ectionem po$itus, vocatur Vertex $egmenti.
Tres prædictæ definitiones $uperadditæ ab interprete Arabico fuerunt, vt ego puto, quandoquidem omnino nece$$ariæ non $unt.
_VI._ Sicuti in prima definitione $ectiones $ibi mutuò congruentes æquales vo- cabantur, $ic pariter, $i $egmentum B A C $uperpo$itum $egmento E D F $ibi mutuò congruant, $unt duæ illæ lineæ curuæ æquales inter $e.
_VII._ Declarat Apollonius in hac definitio-
Immutaui po$tea verba $ub$equentia; nam ordinationes, $eu ordinatim ap- plicatæ ducuntur ad diametros, non ad ba$es, & debent e$$e ba$ibus æquidi$tan- tes. Deinde breuitas affectata po$tremæ partis huius definitionis non Apollonio, $ed Arabico Interpreti tribui debet, nam eadem expre$$e, & exten$e declaratur in textu Eutoc{ij} his verbis. _In quarum $ingulis ductis lineis ba$i parallelis_ _numero æqualibus, $int ip$æ parallelæ, & ba$es ad ab$ci$$as diametrorum_ _partes $umptas à verticibus in ij$dem rationibus, tum ab$ci$$e ip$æ ad ab-_ _$ci$$as._ In textu verò Arabico hæc non habentur expre$sè, $icut in $ecunda de- finitione, quàm citat hi$ce verbis. _Et educantur ex quolibet eorum ordina-_ _tiones ba$ibus parallelæ numero æquales, quarum proportio cum diame-_ _tris e$t, vti diximus in $ectionibus $imilibus._
_A_MOR veritatis, & muneris $u$cepti ratio exigere vide-
tur, vt definitiones $ectionum conicarum $imilium, quæ cir-
cunferuntur, accuratius examinentur, ne (vt Mydorg{ij}
verbis vtar) à magnis nominibus (Eutocium dico, Com-
mandinum, & Mydorgium) præiudicium diutius fiat veritati, hoc au-
tem ad propo$. 11. 12. huius lib. præ$tabo. Interim monendus es Le-
ctor, in definitione ab Eutocio relata aliqua verba deficere (nimirum
quod ab$ci$$æ in axibus, aut diametris æquè ad ordinatas inclinatis
$umantur) in definitiombus Commandini aliquod de$iderari, & eas me-
_VIII._ In hac de$initione manife$tè aliquid de$ideratur: inquit enim _(Coni_ _fimiles $unt quorum axium proportio ad diametros $uarum ba$ium eadem_ _e$t._) Quod quidem verificatur tantummodo in conis rectis: at in $calenis de- bent nece$$ario axes conorum efficere æquales inclinationes $uper ba$es: Quod quidem in $equentibus propo$itionibus manife$tè ab Apollonio declaratur. Ita- que textum hac ratione re$titui debere puto. Coni $imiles $unt, quorum axes æ- que ad ba$es inclinati ad diametros ba$ium proportionales $unt.
_IX._ Sectio genita in $uper$icie coni à plano eum $ecante, non per verticem eius ducto dicitur in dicto cono po$ita, & contenta; & conus ille continere di- citur eandem $ectionem: & licet coni$ectio exhibeatur extra conum; dicetur ni- hilominus contineri ab illo cono, in quo $ectio illa accomodari pote$t, $eu in quo ab aliquo plano $ecante effici pote$t in coni $uperficie eadem illa coni$ectio.
QVælibet duæ $ectiones parabolicæ A B, C D, $i habue-
Quoniam $uperpo$ita axi C H $uper axim A G, cadet $ectio C D $u-
Præterea $upponamus duas illas $e-
SI duæ $ectiones hyperbolicæ, aut duæ ellip$es A B C, D E
F habuerint axium figuras G I, H K $imiles, & æquales;
duæ illæ $ectiones æquales erunt. Si verò duæ $ectiones æquales
Quoniam facta conuenienti $uperpo$itione axis A M $uper axim D
O, cadet quoque $ectio A B $uper $ectionem D E: $i enim non cadit $u-
per illam, $umatur ($i fieri pote$t) eius punctum B, extra $ectionem.
D E cadens; & producatur ad axim perpendicularis B L v$que ad P: &
perficiatur planum A P applicatum comparatum; & $ecetur D N æqua-
lis A L, & erigatur per N ad axim perpendicularis N E, & producatur
v$que ad R, perficiendo planum D R applicatum comparatum; Et quia
A I æqualis e$t D K, & A L æqualis D N: erit planum I L, æquale pla-
no K N; cumque G I, H K $int duæ figuræ $imiles, & æquales, pariter-
Deinde ponamus duas $e-
SImili modo demõ$trabitur, quod
Eo quod axis inclinatus e$t communis',
& erecti $unt æquales (16. ex 1.) & prot
PAriter con$tat, quod $i poten-
Et hoc erat propo$itum.
QVælibet duæ $ectiones parabolicæ,
Quia $i ponamus $agittam C H $uper $a-
_Præterea ponamus duas $ectiones æqua-_
_Ergo $ectio A B cadit $uper $ectionem._
SI fuerint figuræ duarum $ectionem hyperbolicarum, aut duarum elli-
_Cumque G I, H K $int duæ figuræ $imiles, & æquales, pariterque
_Quia, $i non cadit $uper illum, e$$ent $ectioni hyperbolicæ duo axes,_
_Ideoque B L æqualis e$t N_
_I Am ergo demon$tratum e$t, quod duo_
_SImiliter con$tat, quod $i potentes contineant cum $uis ab$ci$$is angu-_
_los equales obliquos, iudicium e$t, quod memorauimus in $ectioni-_
Demon$trationes non apponuntur ab Apollonio, quia {ij}$dem verbis omnino in
ei$dem figuris ab $olui po{$s}unt. Sint enim primo duæ parabolæ A B, & C D, at-
que earum diametri A G, & C H efficiant æquales angulos F, & E, cum ordi-
natim ductis D F, & B E, $intque latera recta A I, C N æqualia. Dico,
Altera verò pars propo$itionis breuius de-
E conuer$o, $i $ectiones B A, & C D æquales $upponantur, $ibi mutuò con-
COni$ectio non e$t æqualis $ectioni quæ eiu$dem generis cũ illa non $it.
Etenim elli-
QVælibet duæ $ectiones A B C, & D H F, quarum portio
Alioquin congruat portio B C portio-
DVæ ordinationes axis in qualibet coni$ectione ab$cindunt
Sit coni$ectio A B C, & eius axis B D, & $u-
M Anife$tum e$t ex demo$tratis, quod portiones $ectionum
O$ten$um enim e$t $ibi non congruere, quarum di$tantiæ à verticibus
non $unt æquales, quia portio H A, $i caderet $uper portionem C K, &
earum di$tantiæ à B non e$$ent æquales, con$equitur, quod in hyperbola
$int duo axes, & in ellip$i tres axes: quod e$t ab$urdum (51. 52. 53.
Si autem in ellip$i cadit axis A E tran$uer-
Con$tat etiam, quod in $ectionibus inæ- qualibus, vt A B C, D E F portio vnius ea- rum non congruit portioni alterius.
Alioqui congruet B A ip$i D E, & congrue-
ret etiam E F ip$i B C (6. ex 6.) e$$etque $e-
ctio C B A æqualis $ectioni F E D: at $uppo-
$uimus, non e$$e æquales, quod e$t ab$urdum:
ETenim ellip$is non e$t æqualis alicui hyperbolæ, &c. _Suppleri debet in_
_textu verbum_ (parabolæ) _dicendo. Etenim ellip$is non e$t æqualis alicui_
QVælibet duæ $ectiones A B C, D E
ORdinationes axis in qualibet hyper-
_Quoniam axis B D bifariam diuidit G H, A C,_ &c. Ex eo
MAnife$tum e$t ex demon$tratis, quod portiones $ectionum æqua-
_I_N duabus æqualibus coni$ectionibus A B C, & D E F, quarum axes A G, D H de$cribere duos circulos æquales contingentes coni- cas $ectiones, quorum is, qui propinquior e$t vertici extrin$ecùs, reli- quus verò intrin$ecùs $ectionem tangat.
In $estione A B C ducatur ramus breui$e-
Hoc demon$trat o o$tendetur, quod in duabus coni$ectionibus A B C,
Si enim po$$ibile e$t B C, & E F $ibi mutuò congruant, & $umatur interme-
dium punctum commune, vel duo puncta coincidentia L, & P, & quia portio-
nes B C, E F inæqualiter di$tant à verticibus, ergo puncta coincidentia L, P
non erunt æquè à verticibus remota; $it ergo P propinquius vertici D, quàm e$t
L vertici A, & per L, & P ducantur rectæ
_Si autem cadit in ellip$i axis A C tran$uer$us $uper axim rectum illius;_
SI per centrum E ellip$is A B, C D tran$eat linea recta A C v$que ad $ectionem; vtique bifariam diuidit $uper$iciem $ectionis, & circumferentiam illius, $cilicet erit $uper$icies A B C æqualis $uperficiei A D C.
Nam $i A C fuerit axis $ectio-
Iam linea G H tran$iens per centrum ellip$is non $it axis. Ducamus ex G, H $uper axim C A duas perpendiculares G I, H K, quæ pertin- gant ad L, M. Et quia $i ponatur A D C $uper A B C, congruit G I $uper L I (7. ex 6.) & cadet G $uper L, quia G I æqualis e$t I L, & cadit circumferentia C G $uper circumferentiam C L; ergo $uper$icies C I G æqualis e$t $uperficiei C I L: & quia B C D congruit B A D, & $u- perficies $uperficiei, cadet C I $uper A K, & L I $uper K H, & circum- ferentia C L $uper circumferentiam A H (quia E I æqualis e$t E K) & $uperficies C I L congruit $uperficiei A K H; & propterea $uperficies A K H æqualis e$t G I C, & triangulum E G I æquale e$t triangulo E K H; igitur $uperficies A E H æqualis e$t $uperficiei G E C, & circumferentia A H æqualis e$t circumferentiæ G C, eritque circumferentia C D H, & $uperficies eius æqualis A B G, & $uperficiei illius. Quare G H tran$iens per centrum $ectionis A B C D bifariam eam diuidit. Et hoc erat o$ten- dendum.
SImiliter con$tat, quod $i ex quolibet quadrante ellip$is $e- centur circumferentiæ, per quarum extremitates rectæ li- neæ coniunctæ $int ad eundem axim ordinatim applicatæ, & æquè à centro remotæ; vtique $unt congruentes, & æquales, nec alicui portioni eiu$dem $ectionis vna illarum æqualis e$t.
Nam demon$trauimus, quod duæ $uperficies
ATque B C D congruit B A D, & $uperficies $uperficiei, &c. _Quo-_
NAm demon$trauimus, &c. _Expo$itio huius_
Et in$uper dico, quod quodlibet horum $eg-
QVælibet $ectio parabolica, vt A B, cuius axis B C, & ere- ctum B D $imilis e$t cuilibet $ectioni parabolicæ, vt E F, cuius axis F H, & erectum F I.
Ponamus itaque C B ad B D, vt H F ad F I, & diuidantur tam B C,
quàm F H in punctis K, L, M, N in ei$dem rationibus, & educamus $u-
per eas ordinationes O P, Q R, A S, T V, X Y , E Z. Quia B C ad
B D e$t vt H F ad F I, & A C e$t media proportionalis inter C B, B D
SI duarum hyperbolarum, aut ellip$ium duæ axium figuræ fuerint $imiles, vtique $ectiones $imiles erunt: Si verò fue- rint $ectiones $imiles, figuræ etiam $imiles erunt.
Sint $ectiones A B, E F, earum axes inclinati, vel tran$uer$i B _a_, F _b_,
& erecti earum B D, F I, & maneant $igna, ordinationes, & proportio-
E contra o$tendetur, quod
$i duæ $ectiones fuerint $imi-
PArabola non e$t $imilis hyperbolæ, neque ellip$i.
Hyperbolæ, $eu ellip$is A B $it axis B C, & inclinatus, $eu tran$uer$us
B _a_, & E F $it $ectio parabolæ, cuius axis F H. Dico, quod $ectio E F
non e$t $imilis $ectioni A B hyperbolicæ, aut ellipticæ, alioquin $it $imi-
ET $ic o$tendetur, quod hyperbolæ non e$t $imilis ellip$i.
Alioquin $equitur, quod quadratum
IN principio huius libri monuimus, definitionem $imilium conicarum $ectionum, quæ circunfertur, vitio$am e$$e; quod hic o$tendendum $u$cepimus: $ed prius hæc demon$tranda $unt.
IN duabus coni$ectionibus A B, E F eiu$dem nominis $int axium figuræ G B D, K F I $imiles inter $e, ide$t tran$uer$a latera G B, K F proportionalia $int lateribus rectis B D, F I : duci debent in $ingu- lis $ectionibus $eries applicatarum ad axes, ita vt axium ab$ci$$æ (quæ proportionales $unt inter $e) ad conterminas potentiales non $int in {ij}$dem rationibus.
Sumantur duæ ab$ci$$æ B C, F H, quarum C B ad B D habeat maiorem pro-
portionem, quàm habet H F ad F I, & C B, H F $ecentur proportionaliter in
R, V., & per ea puncta ducantur ad axes ordinatim applicatæ A C, E H, Q
R, T V. Quoniam quadratum A C ad rectangulum G C B eandem proportio-
HInc con$tat in duabus $imilibus coni$ectionibus duci po$$e duas $eries appli- catarum ad axes, itaut ab$ci$$æ axium, quæ inter $e proportionales $unt, ad $uas potentiales non$int in {ij}$dem rationibus. Quandoquid\~e ex prima parte propo$itionis 12. quotie$cunque axium figuræ $imiles $unt etiam $ectiones ip$æ $unt $imiles.
IN {ij}$dem figuris habeat G B ad B D maiorem proportionem, quàm K F ad F I duci debent duæ ordinatim ad axes applicatæ, quæ ad conterminas ab$ci$$as eandem proportionem habeant.
Ducatur quælibet ordinata E H, producanturq; vt $ecet coniunctam K I in
L, & vt D B ad B G ita fiat L H ad H N, atq; fiat G C ad B C, vt N H ad
H F, ducaturque ordinata A C; quæ producta $ecet coniunctam G D in P. Di-
co A C, & E H e{$s}e quæ$itas. Quoniam quadratum A C ad rectangulum G C
SI G B ad B D maiorem proportionem habuerit, quàm K F ad F I: Dico in $ingulis $ectionibus reperiri non po$$e binas axium ab- $ci$$as inter $e proportionales, quæ ad conterminas potentiales $int in ei$- dem rationibus.
Si enim fieri pote$t, $it A C ad
HInc con$tat in duabus $ectionibus eiu$dem nominis $i axium figuræ G B D, & K F I non $uerint $imiles, neque $ectiones A B, & E F, $imiles e$$e. Nam e$t impo$$ibile, vt omnes, ide$t infinitæ axium ab$ci$$æ inter $e proportio- nales ad conterminas potentiales $int in ei$dem rationibus, cum neque bine in $ingulis reperiri po$$int ex hac propo$itione.
_I_N ei$dem figuris rur$us G B ad B D maiorem proportionem habeat, qnàm K F ad F 1 : Dico quod minimè reperiri po$$unt axium ab- $ci{$s}æ erectis proportionales, quæ habeant eandem rationem ad contermi- nas potentiales.
Secentur quælibet ab$ci$$æ, B C, F H ita vt C B ad B D $it vt H F ad F I,
& ducantur ordinatim ad axes applicatæ A C, E H, quæ productæ $ecent, con-
iunctas G D, K I in P, L, atque fiat γ B ad B D vt K F ad F I, iungatur-
que γ D $ecans A P in M. Manife$tum e$t rectam C M inæqualem e$$e C P,
(propterea quod γ B minor e$t, quàm G B, cum ad eandem B D minorem pro-
portionem habeat, quàm G B, ideoque punctum Y, & recta γ D cadent intra,
triangulum G B D, & punctum M intra ip$um cadet, aut extra G D pro-
ductam). Quoniam D B ad B γ e$t vt I F ad F K, & erat C B ad B D vt
H F ad F I ; ergo ex æquali C B ad B γ erit vt H F ad F K, & comparando
terminorum $ummas in hyperbola, & differentias in ellip$i ad antecedentes, γ C
ad C B erit vt K H ad H F; e$t verò M C ad C R vt L H ad H K (eoquod
triãgula M C R, & L H K $imilia $unt triangulis $imilibus B D Y, I F K,) ergo
ex æquali M C ad C B erit vt L H ad H F, & rectangulum M C B ad quadra-
tum C B eandem proportionem habebit, quàrn rectangulum L H F ad quadra-
tũ H F; $ed rectangulũ M C B æquale nõ e$t rectangulo P C B (cum M C o$ten$a
$it inæqualis P C); ergo rectangulum P C B, $eu quadratum A C ad quadratum
_M_Anife$tum e$t in coni$ectionibus non $imilibus duci po$$e duas $eries appli- catarum ad axes, itaut ab$ci$$æ $imiles, $eu proportionales inter $e adcõ- terminas potentiales non $int in {ij}$dem rationibus.
_C_olligitur pariter conuertendo, quod in duabus $ectionibus eiu$dem nominis $i duæ $eries ab$ci$$arum $imilium in axibus po$itæ fuer<007>nt, & in vna $e- rie ab$ci$$æ ad conterminas potentiales maiorem proportionem habeant, quàm in altera $erie, fieri pote$t vt $iguræ axium non $int inter $e $imiles: Quod verifi- catur $altem in ca$u præcedentis propo$itionis.
His præmi$$is, quoniam pa$$o in definitione po$ita e$$entialiter conuenit defini-
to e$t impo$$ibile, vt eidem $ubiecto definito competant duæ pa$$iones diuer$æ, &
inter $e oppo$itæ, exempli gratia, fieri non pote$t, vt in triangulis $imilibus ali-
Vt autem hoc clarius pateat ex-
Secundo loco $upponantur duæ $ectiones A B, & E F $imiles inter $e, & pro-
po$itum, $it demon$trare quod axium figuræ, $eu rectangula G B D, & K F I
Huiu$modi verba $ubtiliori trutina expendenda $unt. In præparatione, $eu
con$tructione a$$umit ab$ci{$s}as B C, & F H ab$que vlla lege, aut determinatione;
ergo $umi po$$unt cuiu$cunq; longitudinis: quare fieri pote$t vt C B ad latus re-
ctum B D non habeat eandem proportionem quàm habet F H ad F I, & tunc
Quod vero de$initio à me reformata tribui po$$it Apollonio con{ij}citur præcipuè
ex demon$tratione $ecundæ partis propor. 12. ibi enim ex hac $uppo$itione, quod
Rur$us in propo$. II. & I. parte 12. quando conclu$io demon$trationis e$t quod $ectiones A B, E F $imi- les $int: tunc quidem quia tenetur o$tendere Apollonius definitionem traditam, conuenire $ectionibus A B, E F, non a{$s}umit incautè ab$ci$$as homologas C B, H F, $ed ait in II. propo$itionc _ponamus C B ad B D vt H F ad F I, &_ in 12. inquit, _nam pofuimus H F ad F_ b _vt C B ad B_ a _&c._ Po$tea in pro- po$itione 16. litera a: _ergo M A ad A P,_ ide$t ab$ci$$a ad erectum _e$t vt O_ _C ad C Q,_ $eu vt homologa ab$ci{$s}a ad latus rectum, _& angulus O æqualis_ _e$t M: patet igitur, vt diximus in II. ex 6. quod $i, &c._ Ex quibus locis $atis apertè colligitur ( ni fallor ) id quod $upra rationibus non leuibus in$i- nuaui, quod ab$ci$$æ proportionales e$$e debent erectis in $ectionibus $imilibus.
Sed hic animaduertendum e$t, eandem definitionem non po$$e æquè aptari $e-
ctionibus conicis, atque $egmentis conicis $imilibus, vt perperam cen$uit Mydor-
gius: nam in $egmentis conicis $imilibus A B C, & D E F diametrorum æquè
ad ba$es inclinatarum ab$ci$$æ homologæ ex $ui natura determinatæ $unt, quan-
doquidem non po{$s}unt e{$s}e maiores, neque minores quàm G B, & H E, quæ inter
ba$es A C, & D F $egmentorum conicorum, & vertices B, E intercipiuntur;
at $i in conicis $ectionibus A B S, & K F G $int axes tran$uer$is _a_ B, & b _F_
_CVmque B C ad B L po$ita $it vt H F ad F N,_ &c. Quia inuertendo
_SVpponamus itaque $ectiones A B, E F, earum inclinati, vel tran-_
_Quoniam figura $ectionis A B $imilis e$t figuræ $ectionis E F erit qua-_
_Atque quadratum H F ad H F in H_ b _e$t vt quadratum C B ad B C in_
SInt axes earum B C, & inclinatus, $eu tran$uer$us B _a_, &c. _Addidi_
_Alioquin $it ($i po$$i-_
_ALioquin $equitur, quod quadratum R L ad quadratum K P, &c._ In
SI in triangulis A B C, D E F in duobus circulorum $eg-
Quia C H in H A; nempe T H in H B ad quadratum H B, quod e$t,
vt H T ad H B eandem proportionem habet, quàm D I in I F, nempe
In figura autem tertia educamus duas perpendiculares E P Q, K R S
DEinde $int duo anguli B, E quale$cunque; $ed angulus
Quia proportio C H in H A ad quadratum H B $uppo$ita e$t, vt F I in I D ad quadratum I E, & H C, vel H A ad H B e$t, vt F I, vel D I ad I E; erit etiam H A ad H B, vt I D ad I E, & duo anguli H, I $unt æquales; igitur triangulum H B A, aut H B C $imile e$t triangulo E D I, aut E F I, quare duo triangula A B C, D E F $imilia $unt; Et hoc erat o$tendendum.
_A_Fferuntur in hac $ectione aliquæ propo$itiones $imul coaceruatæ, quæ lem- maticæ $unt, & v$um habent in $equentibus propo$itionibus; $anè conij- citur ex hoc titulo PRAEMISS AE rubeis characteribus in$cripto, huiu$modi l\~e- mata T extui Apollonij ab Arabico Interprete, vel ab aliquo alio $uperaddita fui$$e; licet Pappus Alexandrinus libro 7. afferat eadem ferè lemmata, tanquã propria, & conferentia ad Apollonij $exti libri intelligentiam.
Pote$t tamen propo$itio vniuer$alis breuius exponi hac ratione. Si à vertici-
bus duorum triangulorum à duobus circulis compræhen$orum rectæ lineæ ductæ
efficiant cum ba$ibus angulos æquales; atque eorundem $egmentorum inter ba$im,
& peripheriam interceptorum quadrata ad rectangula $ub factis $egmentis ba-
_Dico iam, quod triangulum A B C $imile e$t triangulo D E F, $i enim_
_Quare K L F $imile quoq; erit B H C, &c._ Luoniã angulus F D K æqualis
_Et hoc e$t ab$urdum in prima figura, &c._ Luoniam $unt rectæ lineæ in
_In $ecunda verò $ecentur bifariam E G, K M in N O, &c._ Sunt enim
_In figura autem tertia ducamus duas perpendiculares,_ &c. In quarto
_Et propterea $egmentum E F Q maius $imile erit $egmento K F S mi-_
_DEinde $int duo anguli B, E quale$cumque; $ed angulus A B H, vel_
Simili modo $i $upponantur anguli C B H, & F E I æquales, cum anguli H, & I æquales $int, erunt triangula B C H, & E F I $imilia inter $e, & vt prius, o$tendentur quoque triangula ablata B A H, E D I æquiangula, & $imilia in- ter $e (propterea quod circa angulos æquales H, & I babent latera proportiona- lia); & ideo re$idua triangula C A B, & F D E erunt quoque $imilia, vt propo$itum fuerat.
DVarum hyperbolarum, aut ellip$ium, $i figuræ diametro- rum, quæ axes non $int, fuerint $imiles, atque potentes contineant cum diametris angulos æquales: vtique $ectiones $unt $imiles.
Sint $ectiones A B, C D hyperbolicæ, vel ellipticæ earum diametri,
quæ non $int axes I A K, L C M, & earum centra G, H, & duo axes
$int E B, F D: & educamus duas tangentes A R, C S ad duos axes,
quæ continebunt cum duabus diametris A K, C M duos angulos æqua-
les, eo quod parallelæ $unt potentialibus ad diametros eductis; & edu-
camus à B, D ad duabus diametros A K, C M tangentes B N, D O, &
circumducamus $uper triangula B N G, H D O duos circulos, & ex A,
C educamus ad axes duas potentiales A P, C Q, & per B, D ducamus
I B T, L D V parallelas ip$is A R, C S, quæ $ecent duos circulos in B,
T, D, V: eritque G I in I N, $cilicet ei æquale T I in I B ad quadra-
SI $ectiones A B, C D $imiles inter $e, quæ $int prius para-
bolæ, tangant lineæ A E, C F terminatæ ad earum axes
E B, F D, & contineant cum illis angulos æquales E, F, &
in qualibet earum educantur ordinationes G H, I K ad diame-
tros L A M, N C O tran$euntes per puncta contactus axibus
Educamus enim duas B L, D N $uper duos axes B E, F D perpendi-
culares, quæ tangent $ectiones in B, D: & ponamus A P ad duplam A
Deinde ij$dem $ignis in ei$dem figuris man\~etibus, vt prius de- $ignatis $upponatur, $egmentum H A G $imile ip$i K C I. Dico, quod angulus E æqualis erit F, & M A ad A E erit, vt O C ad C F.
Quoniam duo $egmenta $unt $imilia erit angulus O æqualis M, & duo
DEinde $ectiones $int hyperbolicæ, aut ellipticæ, & reliqua
Educamus C _c_ perpendicular\~e $uper axim D F, & A _a_ perpendicula-
rem $uper axim B E; atque V, Y $int duo centra. Ergo (propter $imi-
litudinem duarum $ectionum) erit V _a_ in _a_ E ad quadratum A _a_ potentis,
Po$tea o$tendetur, quod $i duo $egmenta fuerint $imilia, erit angulus F æqualis E, & A M ad A E, vt O C ad C F.
Quia propter $imilitudinem duorum $egmentorum continebunt poten-
SI figuræ diametrorum hyperbolarum, aut ellip$ium fuerint $imiles di$-
_Et G I in I N æquale ip$i T I in I B ad quadratum I B potentis e$t, vt_
_Et proportio vniu$cu-_
_in$que eorum, nempe G_
_P, P R ad P A e$t, vt_
_proportio H Q, Q S ad_
_C O; &c._ In triangulis enim $imilibus G P A, & H Q C circa angulos rectos
P, & Qerit G P ad P A, vt H Q ad Q C: pariter in duobus triangulis $i-
milibus R P A, & S Q C habebit R P ad P A eandem porportionem quàm, S
Q ad Q C; proportio verò rectanguli G P R ad quadratum P A componitur ex
{ij}$dem rationibus laterum circa angulum rectum P: pariterque proportio rectan-
guli H Q S ad quadratum Q C ex rationibus laterum circa angulum rectum
Q componitur, $untque o$ten$æ prædictæ componentes proportiones eædem inter
$e; igitur rectangulum G P R ad quadratum P A eandem proportionem habe-
bit, quàm rectangulum H Q S ad quadratum Q C; $ed habet rectangulum G
P R ad quadratum P A eandem proportionem, quàm axis tran$uer$us E B ad
_Sed oportet in ellip$i, vt duo axes $int $imul, aut tran$uer$i, aut recti-_ _$imul, &c._ Addidi verba, quæ videntur in textu deficere. Sed oportet in elli- p$i, vt duæ diametri, ideòque duo axes $int $imul, aut tran$uer$i, aut $imul re- cti. Licet enim multoties diametri coniugatæ ellip$ium æquales e{$s}e po$$int, ni- hilominus eæ $umi debent, quæ ad ea$dem partes re$piciunt axes tran$uer$os, alias con$tructio, atque demon$tratio non $equeretur, vt manife$tum e$t.
_P_Ro intelligentia propo$. 16. <010> 17. præmitti debent tria hæc lem- mata.
_S_I in duobus parabolicis $egmentis A B C, <010> D E F ba$es A C, <010> D F cum diametris G B, <010> H E æquales angulos G, <010> H non rectos contineant, atque efficiant ab$ci$$as G B, <010> H E dia- metrorum ad latera recta B I, <010> E K proportionalia; erunt $egmenta $imilia inter $e.
Secentur diametrorum ab$ci$$æ G B, & H E in {ij}$dem rationibus in L, M,
N, O, & ab {ij}$dem punctis educantur ba$ibus æqui$tantes, $eu ad diametros or-
dinatim applicatæ P Q, R S, T V, X Y. Quoniam ex hypothe$i G B ad B I
e$t, vt H E ad E K; e$tque A G media proportionalis inter G B, & B I; pari-
_S_ I in duobus $egmentis A B C, <010> D E F hyperbolicis, aut ellipti- cis, ba$es A C, <010> D F cum diametris G B, <010> H E, æquales angulos G, <010> H obliquos continentes, efficiant ab$ci$$as G B, <010> H E proportionales lateribus rectis B I, <010> E K, atque tran$uer$is B Z, <010> E a, erunt $egmenta $imilia inter $e.
Secentur ab$ci{$s}æ G B, & H E in {ij}$dem rationibus, ducanturque ordinatim
applicatæ vt in precedenti factum e$t. Quoniam G B ad B I e$t, vt H E ad E
K, & inuertendo Z B ad B G e$t, vt _a_ E ad E H, ergo ex æquali ordinata Z
B latus tran$uer$um ad B I latus rectum erit, vt _a_ E latus tran$uer$um alte-
rius $ection<007>s ad E K eius latus rectum: e$t verò rectangulum Z G B ad qua-
dratum ordinatim applicatæ G A, vt latus tran$uer$um Z B ad rectum B I;
pariterque rectangulum _a_ H E ad quadratum ordinatim applicatæ D H, vt
tran$uer$um _a_ E ad latus rectum E K, $untque prædicta latera figurarum o$t\~e-
$a proportionalia; igitur rectangulum Z G B ad quadratum A G eandem pro-
portionem habet, quàm rectangulum _a_ H E ad quadratum D H; $ed quadratum
B G ad rectangulum Z G B eandem proportionem habet, quàm G B ad G Z
(propterea quod G B e$t illorum altitudo communis) pariterque quadratum E
H ad rectangulum _a_ H E e$t, vt H E ad H _a_, $eu vt G B ad G Z; igitur qua-
dratum G B ad rectangulum Z G B eandem proportionem habebit, quàm qua-
dratum E H ad rectangulum _a_ H E; quare ex æquali quadratum G B ad qua-
dratum G A eandem proportionem habebit, quàm quadratum E H ad quadratũ
H D; ideoque inuertendo A G ad G B erit vt D H ad H E. Rur$us, quia in-
uertendo L B ad B G e$t vt N E ad E H; $ed G B, atque H E ad latera trã-
$uer$a proportionalia $unt; igitur L B ad B Z erit vt N E ad E _a_; & propte-
rea, vt prius quadratum L B ad rectangulum Z L B erit, vt quadratum E N
ad rectangulum _a_ N E; e$tque rectangulum Z L B ad quadratum ordinat<007>m
_S_I duo hyperbolica, aut ellipt<007>ca $egmenta A B C, D E F fuerint $imilia, quorum ba$es A C, D F efficiant cum diametrorum ab- $ci$sis B M, E O angulos æquales M, <010> O; $intque eorum tran$- uer$a latera T B, Z E, recta vero B L, E Q. Dico figuras eorum; $iue rectangula T B L, <010> Z E Q $imilia e{$s}e.
Secentur $egmentorum ab$ci$$æ M B, O E proportionaliter in N, P, & per
ea puncta ducantur ordinatim ad diametros applicatæ G N, I P æquidi$tantes
ba$ibus, efficientes ab$ci$$as B N, E P, coniunganturq; duæ rectæ lineæ T L, Z
Q $ecantes rectas lineas N H, M V, P K, O S æquidi$tantes lateribus rectis B
L, E Q in punctis H, V,
_ERgo M A ad A P e$t vt O C ad C Q, & angulus O æqualis e$t M,_
_Et quia G M pote$t A P in A M, & $imiliter I O pote$t C Q in C_
_DEinde $int $ectiones hyperbolicæ, aut ellipticæ, & reliqua in $uo_
_Ergo Y_ c _C $imile e$t V_ a _A, &c._ Quoniam duæ ordinatim ad axes ap-
_Et propterea figuræ earundem diametrorum $unt $imiles, &c._ Quia
_Quia propter $imilitudinem duorum $egmentorum continebunt poten-
_Ponamus iam P A ad duplam A E, vt Q C ad duplam C F: ergo ex_
CViuslibet $ectionis A B C duo $egmenta C F, A E ca-
dentia inter duas ordinationes A C, E F ad vtra$que par-
tes axis B V $unt inter $e $imilia, & $imiliter po$ita, nec $unt
$imilia alteri $egmento (ni$i
Quoniam vnumquodque eo-
_QVuoniam vnumquodque corum alteri congruit, nec non congruunt_
_duo $egmenta G I, K H in ellip$i (7. 8. ex 6.) at non $unt $imilia_
_Erit angulus N æqualis O, vti demõ-_
SI in quibuslibet $imilibus coni$ectionibus A B C, & D E F
Sintque primò $ectiones parabolæ; & educamus N A ad B L in O, &
Deinde ponamus aliud $egmentum P _d_. Dico non e$$e $imile alicui
SInt po$tea duæ illæ $ectiones hyperbolicæ, & ellipticæ $i- miles, & earum centra T, X (remanentibus lineis, & $i- gnis, vt prius) & ducantur duæ contingentes V _e_, & Y _f_.
Quoniam B G ad B I $uppo$ita e$t, vt H E ad E K, & pariter G B ad
SEctionum non $imilium A B C, D E F vnum $egmentum vnius non e$t $imile alicui $egmento alterius.
Si enim hoc verum non e$t, $it $egmentum G C $ectionis A B C ($i
fieri pote$t) $imile ip$i H F alterius $ectionis D E F, & iungamus G C,
H F, ea$d\~eq; bifariam $ecemus in I, K; iungamu$que L I, M K; quæ $int
SI autem $ectio A B C fuerit parabola, & $ectio D E F hy-
perbola, aut ellip$is: manife$tum e$t, $ectiones non e$$e in-
Si enim $imilia e$$ent haberent conditiones $imilitudinis, quod e$t im-
CViuslibet coni$ectionis A C D portio B A C D non erit arcus circuli.
Si enim hoc verum non e$t educamus in illa chordas A B, C D, A C,
quarum nulla alteri $it parallela: & educamus E F parallelam A B, & E
G parallelam A C, atque G H parallelam C D, & per $ingularum dua-
rum æquidi$tantium $emipartitiones iungamus K I, L M, N O, quæ qui-
QVodlibet duorum $egmentorum, vt A B C, D E F in duobus $eg-
Educamus itaque N A ad O ex B L, & P D ad Q ex M E, quia B G
_Et B L ad L N e$t vt E M ad M P (propter $imilitudinem duorum_
_$egmentorum) ergo ex æqualitate O L ad L N, &c._ Sequitur quidem hoc
_Et quia N O ad O A e$t vt P Q ad Q D inuertamus proportionem,_
_Et occurrere faciamus par pari remanet O R ad R_ b, _vt Q S ad S_ c, _&c._
_Sed tangens in V perueniens ad L O, &c._ Si enim ex punctis γ, V du-
_Et pariter duo $egmenta A B C, D E F, atque duo $egmenta N B, P_
_Deinde ponamus $egmentũ P_ d; _quia non ab$cindunt illa duæ ordina-_
_QVoniam G B ad B I, $uppo$ita e$t vt H E ad E K, &c._ Quia L B
_Et propter $imilitudinem duarum $ectionum N L ad A I, nempe L O_
_Et ex æqualitate L O ad_
_Ergo propter $imilitudinem duarum $ectionum T Z in Z_ e _ad quadra-_
_Sed B T ad B I erat vt X E ad E K propter $imilitudinem duarum $e-_
_Et quadratum V Z ad quadratum Z_ e _e$t, vt quadratum_ a _Y ad qua-_
_In$uper dico non e$$e $imilia alicui alteri $egmento, &c._ Sicutì in præ-
_ET propterea duo $ectiones A B C, D E F $imiles erunt, &c._ Quo-
_Itaque propter $imilitudinem duorum $egm\~etorum $imlia erunt B N L,_
_SI enim $imilia e$$ent haberent conditiones $imilitudinis, quod e$t im-_
Quando verò $ectio A C e$t byperbole, ac $ectio D F e$t ellip$is, $imiliter, vt in 14. propo$itione huius, o$tendetur; quo ab$ci$$æ in hyperbola, & ellip$i $int proportionales; & propterea omnes habebunt rationes maioris inæqualitatis, aut omnes habebunt, proportiones inæqualitatis minoris, quod tamen in prædicta 14. propo$itione impo$$ibile e$$e o$tenditur.
_SI enim hoc verum non e$t, &c._ Quod quælibet portio B A D $ectionis
SI duo plana æquidi$tantia conum aliquem $ecuerint, atque
Efficiant duo plana parallela D
SI ab$cindant conum aliquem duo plana parallela prouenient duæ $e-
_Sint ab$ci$$iones duorum planorum æquidi$tantium cum ba$i I G, F D,_
Sed non alienum erit à no$tro in$tituto hic paucis con$iderare pa$$iones, & de- $criptiones $e{ct}ionum conicarum $imilium, vel æqualium, quæ æquidi$tantes, $eu asymptoticæ vocantur. Et licet hæ ab al{ij}s inuentæ, & traditæ $int, non nul- la tamen noua in medium afferam: non enim rerum nouitas ex $ubie{ct}i nouita- te tantummodò arguitur, imo de $ubie{ct}o antiquo po$$unt nouæ $peculationes af- ferri, atque corrigi, & cõpleri ea, quæ apicem perfe{ct}ionis non attingunt, & hæc quidem omnia noua dici poterunt, & po$$unt, & debent zelo veritatis e- uulgari, nec propterea prædece{$s}orum nominibus, ant inuentionibus iniuria in- fertur.
Primus itaque omnium ( quod $ciam ) Pappus Alexandrinus libro $eptimo col-
le{ct}ionum Mathematic arum propo$itione 208. lemmate $exto in quintum librum
Apollon{ij}, con$iderauit concentricas hyperbolas inter $e $imiles, eund\~e axim habentes,
ad ea$dem partes cauas inter $e $e non concurrere, $ed $emper ad $e ip$as vi-
cinius accedere. Po$tea Gregorius à Santo Vincentio o$tendit, quod duæ parabo-
In qualibet hyperbola I E, cuius asymptoti C A B, duarum re{ct}arum linea-
Non $ecus $i ab eadem asymptoto A C educantur quatuor rectæ lineæ inter $e æquidi$tantes F I, G K, H L, C E, quarum duæ priores F I, G K, centro pro- pinquiores $int, quando omnes infra centrum A collocantur; vel magis à centro recedant, quando omnes in productione A Z exi$tunt; aut certe duæ F I, G K $upra centrum, & H L, C E infra centrum exi$tant: Tunc $imiliter in quoli- bet ca$u dicentur rectæ lineæ F I, G K vlterius tendere ad partes centri, & asympoti A B, quàm duæ aliæ H L, C E.
Si in vna a$ymptoto A C, hyperboles D E $umantur duo $egmenta æqualia F G, H C, <010> à punctis diui$ionum ducantur quatuor rectæ lineæ F I, G K, H L, C E parallelæ inter $e, v$que ad hyperbolen: Dico quod differentia duarum æquidi$tantium F I, G K ad partes cen- tri, <010> alterius a$ymptoti A B vlterius tendentium, maior erit differen- tia reliquarum H L, C E.
Ducantnr à punctis E, K rectæ
Ex con$tructione, & demon$tratione huius propo$itionis colligitur, quod $i à
Si fuerint duæ hyperbolæ A B, <010> D E æquales, <010> $imiles ad ea$-
Si autem parallelæ $int alicui rectæ lineæ L f diuidenti angulum K L
Si vero B E, <010> C F parallelæ
$int alicui rectæ lineæ H g diuidenti
angulum L H G à recta linea L H
centra coniungente, <010> eadem a$ym-
ptoto H G contentum: Dico B E vl-
terius tendent\~e ad partes reliquæ a$ym-
ptoti H I minorem e$$e, quàm C F.
Et primo duæ rectæ B E, C F paralle- læ $int rectæ lineæ H L centra coniungen- ti. Quoniam hyperbolæ A B, D E æqua- les $unt, & congruentes; atque æquidi$tan- tes asymptoti H N, L P æque inclinan- tur ad æquales $emiaxes tran$uer$os H A, & L D; & $egmenta asymptotorum H N, L P æqualia $unt in paralle- logrammo H P, nec non duo anguli H N B, & L P E æquales $unt inter $e, pro- pter parallelas asymptotos: igitur duæ figuræ A H N B A, & D L P E D æquales erunt, & congruentes: quapropter interpo$itæ rectæ lineæ N B & P E congru\~e- tes, & æquales erunt; & addita vel ablata communi B P, erit N P æqualis B E: e$t verò N P æqualis H L, eo quod H P parallelogrammum e$t; igitur intercepta B E æqualis e$t rectæ lineæ H L centra coniungenti. Eadem ratione quælibet alia intercepta C F parallela ip$i H L eidem æqualis o$tendetur: qua- propter duæ interceptæ æquidi$tantes B E, & C F inter $e æquales erunt.
Secundo B E, C F parallelæ $int alicui rectæ lineæ L f diuidenti angulum K
L H; ideoque P L _f_ N, & Q L _f_ O parallelogramma erunt: $ecetur L T æqua-
Tertio {ij}$dem po$itis N E, O F $int parallelæ alicui rectæ lineæ H _g_ diuid\~eti
angulum L H G, & propterea extensæ productionem asymptoti M L $ecabunt,
Sint duæ æquales parabolæ A B, D E ad ea$dem partes cauæ, qua-
Sit F G latus rectum diametri G I in,
Deinde quando diametri G I, H K $ibi mutuo congruunt $it _b_ minor qualibet
data recta linea, & à vertice H ducatur H _d_ cu<007>us quadratũ æquale $it rectangulo
H G F, & fiat vt _b_ ad H _d_, ita H _d_ ad aliam rectam lineam æqualem C E; atq;
vt H _d_ ad $emi$$em sũmæ C E, & _b_ potentia, ita fiat longitudine H G ad G K,
ducaturque B K C ordinatim applicata ad d<007>ametrum G I. Quoniam quadra-
Tertio quando B E, L M parallelæ $unt alicui rectæ G _a_ diuidenti angulum H G I, erit K _a_, $eu ei æqualis G Z minor, quàm H K, $eu quàm G I, atq; vt prius rectangula B T C, & O V P æqualia erunt, & eorum latera reciprocè proportionalia, e$tque S M æqualis minori O V, ergo S M minor erit quàm B T; & additis æqualibus L S, & T E, erit L M minor quàm B E.
Tandem $int interceptæ B E, L M parallelæ G V, H C portionibus interce-
ptarum diametrorum non congruentium, & à terminis B, E, L, M, ducan-
tur ad diametros ordinatim applicatæ, eas $ecantes in Z, K, I, N, O, S, &
$ectiones in P, & R; & cadat B E inter duas diametros. Quoniam punctum
Idem omnino verificari in ellip$ibus demon$trari facile po$$et, quod breuitati
Si fuerint duæ quælibet coni$ectiones A B C, D E F æquales, <010> $i-
Si enim hoc verum non e$t,
Si duæ parabolæ B A C,
F D E æquales ad ea$dem
Ex vertice D axis G D ducatur D H perpendicularis ad axim A K, eum $e-
cans in H, & de$cribatur alia parabolæ I H L æqualis prioribus B A, vel E
D, cuius axis $it K H, & ver-
His demon$iratis manife$tè percipitur, quod ex $ucce$$iua diminutione rectarũ æquidi$tantium, inter coni$ectiones interceptarum, deduci non pote$t, coni$e- ctiones magis ad $e ip$as propius accedere; propterea quod in {ij} $dem $ectionibus a$ymptoticis duci po{$s}unt interceptæ rectæ lineæ inter $e æquidi$tantes, quæ $int omnes æquales inter $e, nimirum illæ, quæ parallelæ $unt alicui communi dia- metro, vel rectæ lineæ vertices earum coniungenti, vt in propo$itione 5. additarũ o$ten$um e$t. Similiter aliæ interceptæ rectæ lineæ, inter $e æquidi$tantes $ucce$$iuè augentur aliæ verò $ucce$$iuè diminuuntur ver$us ca$dem partes, vt in propo$it<007>one _3_. & _4_. addit. o$ten$um e$t. Et hoc nedũ verificatur in $ectionibus non congruen- tibus, & asymptoticis, $ed etiã in duabus æqualibus, & <007>nter $e $imilibus $ectioni- bus $e mutuo $ecantibus, dummodo earum axes paralleli $int, in {ij}s enim inter- ceptæ rectæ lineæ inter $e æquidi$tantes, tendentes ad ea$dem partes, et<007>am illæ, quæ proprius ad punctum occur$us $cctionum conicarum accedunt, po{$s}unt dimi- nui, pariterque inter $e æquales e{$s}e, & quod mirum e$t po{$s}unt $emper magis augeri. Si igitur æquidi$tantes interceptæ $unt men$uræ di$tantiarũ duarum $e- ctionum, eædem coni$ectiones cen$eri debent modo parallelæ, & æqualibus inter- uallis inter $e di$tantes, modo ad ea$dem partes $tringi, & coangu$tari, & $i- mul d<007>latari magis, ac magis, quod omnino videtur ab$urdum. Non igitur ex eo qnod omnes interceptæ rectæ lineæ inter $e æquidi$tantes $unt æquales inter $e; propterea $ectiones ip$æ crunt parallelæ, & asymptoticæ, & $emper æquali in- teruallo ad inuicem $eparatæ; neque ex eo quod prædictæ parallelæ magis aug\~e- tur, vel diminuuntur interualla augeri, vel $tringi cen$endum e$t.
Et præcipuè præ$tanti$$imus Gregorius à Sancto Vincentio ne$cio an iure de-
mon$trationem propo$itionis _14_. libri _2_. ip$iu$met Apollon{ij} in$ufficientem repu-
tauerit, propterea quod Apollonius deduxit rectas lineas hyperbolen compræbend\~e-
tes, quæ a$ymptoti vocantur $emper magis, ac magis $ectioni viciniores fieri ex eo
quod rectæ lineæ inter $e æquidi$tãtes, interceptæ inter rectas asymptotos vocatas,
& hyperbolen contentam $ucce$$iuè $emper magis, ac magis diminuantur; & è
contra a{$s}eruit cum Cardano, & quodam Rabino Mo$e di$tantiam hyperbolæ à re-
ctis asymptot<007>s $umi debere, non à quibu $cunque rectis lineis interceptis inter
$e parallelis, $ed tantummodo à rectis lineis perpendicularibus ad a$ymptotos,
quæ $olummodo, inquiunt ip$i, di$tantias determinant; at reuera hæc animad-
ner$io non videtur nece{$s}aria: perinde enim e$t con$iderare rectas lineas ab hy-
perbole ad vnam rectam lineam continentium ductas, quæ efficiat cum <007>lla an-
gulos æquales, ac $i perpendiculares e{$s}ent ad eandem: at quando rectæ lineæ in-
terceptæ $unt inter $e æquidi$tantes, tunc omnes efficiunt $uper rectam lineam
continentem hyperbolen angulos æquales ad ea$dem partes; & propterca (ex inæ-
qualitate prædictarum æquidi$t antium) optimè concluditur cum Apollonio inæ-
qualitas perpendicularium, $eu di$tantiarum. Quando verò con$iderantur duæ
lineæ curuæ veluti $unt duæ parabolæ, vel duæ hyperbolæ, vel ellip$es, tunc qui-
In parabola, vel hyperbola A B C ad eius axim E A I ducere ra-
Fiat angulus A E D æqualis an-
Facile deducitur, quod $i angulus A E F fuerit rectus in parabola, <010>
Nam angulus A I G ab axi, & ramo breui$$imo contentus e$t acutus, $ed an-
gulus F E A in parabola e$t re-
S<007>nt duæ parabolæ, vel duæ hyperbo-
Sint centra E, & K, asymptoti P E O,
Q K R, & à vertice H, & à quibuslibet
punctis interiores $ectionis B D eleuentur
Secundò quia duæ interceptæ B F, N G parallelæ inter $e productæ occurrunt
axi intra $ectiones ad partes A C, & in parabola, quàm $ecabunt in binis pun-
In parabolis autem, quia duci pote$t aliqua recta linea, vt N G parallela
cuilibet interceptæ B F; itaut $it N G minor quacunque recta linea data (quan-
Duarum parabolarum, vel hyperbolarum A B, D E æqualium, &
Cadat concur$us $ectionum Z
Secundò angulus Y D A $it acutus in parabolis, at in hyperbolis minor $e-
mirecto, & M I H ab asymptoto I H, & recta linea centra coniungente con-
tentus $it acutus: Manife$tum e$t duci po$$e ramum breui$$imum, vt O B ad $e-
Ii$dem manentibus: dico po$tea, quod vltra di$tantiam maximam E B ad partes R P, di$tant<007>æ, l<007>cet $emper diminuantur non eff<007>ciuntur minores inter- uallo diametrorum æquidi$tantium D Y, A O in parabolis, vel interuallo asym- ptotorum collateral<007>um I H, M L in hyperbolis, vt facile deducitur ex 3. & 4. additarum. At ad partes asymptotorum congruentium hyperbolæ ad $e $e ip$as propius accedunt, interuallo minori quolibet dato: Nam in locum ab hyperbole B A C, & asymptoto M N contentum extenditur altera hyperbole E D F; $ed di$tantia hyperbolæ B A C ab asymptoto M N efficitur minor qualibet data: igi- tur di$tantia hyperbolæ D G F compræhen$æ ab hyperbole intercipiente minor erit qualibet data di$tantia.
Tandem {ij}$dem po$itis ducantur ex altera parte concur$us Z rami breui$$imi
O C, Q T, qui e$$iciant di$tantias F C, T V. Dico F C propinquiorem con-
cur$ui Z minorem e{$s}e, quàm T V. Quoniam angulus Y D A, vel Y I M $up-
In duabus hyperbolis C A D,
De$cribatur hyperbole M G N
Si in duobus conis ducta fuerint duo triangula per axes A B C, D E
Primò in parabolis, quia triangula A B C, D E F $unt $imilia, erit B C
ad C A vt E F ad F D, & G O, L K $unt parallelæ homologis A B, D E;
ergo O C ad C G, & B O ad G A eandem proportionem habebunt, quàm B C
ad C A, $eu eandem, quàm habet E F ad F D; e$tque E K ad L D vt E F
ad F D; ergo B O ad G A e$t vt E K ad L D; $untque B O, E K æquales;
In hyperbolis verò, quoniam P G parallela e$t axi A Y, & A V parallela,
e$t ba$i B C, & latera P B, & A C $unt communia; igitur P V ad V A e$t vt
A Y ad Y B, & G V ad V A e$t vt Y A ad Y C: habet verò eadem A Y ad
æquales Y B, Y C eandem rationem ergò P V, & G V ad eandem V A habent
eandem proportionem, & ideo P V æqualis e$t V G, atq; punctum V erit cen-
trum $ectionis, & quadratum A Y æquale erit quadrato V O (propter paral-
lelogrammum V Y), & quadratum V O æquale e$t rectangulo P O G cum qua-
drato V G; pariterque quadratum C Y æquale e$t rectangulo C O B cum qua
drato O Y, & habet quadratum A Y ad quadratum C Y eandem proportionem,
quàm latus tran$uer $um P G ad latus rectum G R, $eu eandem, quàm habet
S I in duobus conis A B C, D E F, ba$es $int in eodem plano, & duo triangula per axes A B C, D E F fuerint $imilia, & $imi- liter po$ita, & in eodem plano exi$tentia, erunt coni $imiles inter $e.
Ducantur à verticibus A, & D duæ rectæ A G, & D H perpendiculares ad
ba$es conorũ, & à terminis axium A Y, & D Z coniungantur rectæ lineæ Y G,
& Z H. Quoniã planum, in quo exi$tunt duo triangula A B C, D E F $ecat
planum, in quo ba$es conorum iacent in vna recta linea, quæ ba$is e$t vtriu$que
trianguli per axes conorum ducti; ideoque B C, & E F in directum con$titutæ
erunt, & circa angulos æquales B, & E latera A B ad B C, atque D E ad E
F $unt proportionalia ( propter triangulorum A B C, & D E F $imilitudinem)
erunt quoque ad con$equ\~etium $emi$$es proportionales, $cilicet A B ad B Y erit,
vt D E ad E Z circa angulos æquales, & propterea triangula A B Y, & D E
Z $imilia erunt: & ideò duo anguli B Y A, & E Z D, externus interno, æqua-
les erunt inter $e; igitur Y A, & Z D in eodem plano exi$tentes, parallelæ
erunt inter $e; $unt quoque A G, D H inter $e parallelæ ( cum $int perpendicu-
lares ad idem planum ba$ium ) ergo duo anguli Y A G, & Z D H æquales $unt
inter $e; atquè anguli G, & H æquales $unt, nempe recti; igitur in triangu-
lis A Y G, & D Z H, duo po$tremi anguli A Y G, & D Z H æquales $unt
Data parabola Z duos conos $imiles exhibere, vt idem planum ef-
In quolibet plano fiat angulus I H C æqualis angulo inclinationis diametri,
& ba$is parabolæ Z , & per H C exten$o alio quolibet plano ducatur in eo B H
G perpendicularis ad X H C; & fiat quodlibet triangulum H G K, & vt qua-
dratum H G ad rectangulum H K G, ita fiat latus rectum parabolæ Z ad pro-
Data hyperbola Z duos conos $imiles exhibere, vt idem planum in,
In quolibet plano fiat angulus H I M æqualis angulo inclinationis diametri,
& ba$is datæ hyperboles Z, & per M I exten$o quolibet alio plano ducatur in
eo B I C perpendicularis ad M I K; & $umpto quolibet puncto O in recta linea
I H producta, ducatur à puncto O in plano per O I B exten$o recta linea O A
parallela ip$i B I, & $ecetur O A æqualis $emi$$i potentis figuram $ectionis Z,
cuius rectum latus ad tran$uer$um eandem proportionem habeat quàm quadra-
tum A O ad quadratum O H; atque à puncto A àucatur recta linea A D G
parallela ip$i H I, & coniungatur A H, quæ $ecent rectam lineam G I in pun-
ctis G, & C, & $ectur recta linea G B æqualis G C iungaturq; A B, & à
quolibet puncto D in recta A G $umpto ducãtur in eodem plano A B C duæ re-
ctæ lineæ D E, & D F @ parallelæ lateribus A B, & A C; eruntque triangula
Data hyperbola X duos conos $imiles exhibere vt idem planum in eis
In quolibet @l@no fiat angulus A d O æqualis angulo inclinationis diametri,
& ba$is hyperb l@ X; & per o _d_ exten$o quolibet alio planol, ducatur in eo re-
cta linea B _d_ C perpendicularis ad O _d_ G, & $umpto quolibet alio puncto _b_ in
recta linea G O in plano per B G C O ducto, centris _d_, & _b_ de$cribantur duo
Data hyperbola eadem X præcedentis propo$itionis de$cribere duos $i-
In quolibet plano fiat angulus A _d_ G æqualis angulo inclinationis diametri,
& ba$is hyperbolæ datæ X, & per G _d_ exten$o quolibet alio plano, ducatur in
eo recta linea B _d_ C perpendicularis ad G _d_ O, & $umpto quolibet alio puncto
_b_ in recta linea B C in plano per B G O exten$o, centris _d_, & _b_, de$cribãtur
duo circuli inter $e æquales G C O B, & S Q P L $e $e $ecantes in duobus punctis
R, _a_: atq; vt latus rectum ad tran$uer$um $ectionis datæ X, ita fiat quadratũ
G _d_ ad quadratũ _d_ A, & ducatur recta linea A N M parallela <007>p$i B C, quæ $ecet
_b_ N æquidi$tant\~e _d_ A in N, & coniungantur rectæ lineæ A B, A C, N L, N Q,
& fiant A, & N vertices duorũ conorũ A B C, N L Q, & in eorũ $uper ficiebus
planum M _c_ T æquidi$tans planis A G O, & N S P efficiat $ectiones H I K,
& T V _c_, quarum diametri D V I genitæ à triangulis A B C, & N L Q per
axes in eodem plano exi$bentibus $unt æquidi$tantes axibus conorum A _d_, N _b_,
propter planorum æquidi$tantiam: Dico, eas e$$e hyperbolas quæ$itas. Qnoniam
(propter æquidi$tantiam oppo$itarum linearum) e$t $patium A _b_ parallelogram-
mum; igitur conorum axes A _d_, N _b_ æquales $unt inter $e, & æquè inclinan-
tur ad communem rectam lineam B C Q (propter æquidi$tantiam earundem
A _d_, N _b_); $untque æqualium circulorum rad{ij} _d_ B, _d_ C, _b_ L, _b_ Q æqua-
les inter $e; igitur triangula A B C, N L Q $imilia $unt inter $e, & $imili-
IN cono recto, cuius triangulum per axim $it A B C reperi- re $ectionem datæ parabolæ D E æqualem, cuius axis E F, & erectum E G.
Vt quadratum A C ad C B in BA,
Et dico, quod in cono A B C reperiri non pote$t $ectio alia parabo-
SIt deinde hyperbole A B, cuius axis C D, inclinatus B
Sit prius proportio eadem, & producamus I F ad K; & ducamus K
L $ubtendentem angulum H F K, quæ parallela $it ip$i F G, & æqualis
exi$tat ip$i D B; & per K L planum extendatur eleuatum ad angulos re-
ctos $uper planum trianguli H F I, quod efficiet in $uper$icie conica $e-
ctionem hyperbolicam, cuius axis erit L M, & inclinatus K L. Et quia
F G parallela e$t K L, erit quadratum F G ad G I in G H, vt K L in-
Po$tea habeat quadratum F G ad quadratum G H minorem propor-
tionem quàm babet D B ad B E; & circum$cribamus circa triangulum.
H F I circulum ; & producamus F G quou$que occurrat circuli circum-
ferenti{ae} in O; ergo quadratum F G ad quadratum G H, nempe ad F G
in G O habet minorem proportionem, quàm D B ad B E: & ponamus
F G ad G P, vt D B ad B E ; & per P ducamus P Q parallellam H I ;
& coniungamus F R, F Q; quæ occurrant H I in S, N: quare D B ad
B E e$t, vt F G ad G P, quæ e$t, vt F N ad N Q; nempe vt quadra-
tum F N ad F N in N Q æquale ip$i I N in N H, atque vt quadra-
tum F S ad F S in S R, nempe vt quadratum F S ad I S in S H; & edu-
camus T V, K L, quæ $ubtendant duos angulos H F K, I F T, & $int
Nec reperitur $ectio præter iam dictas, cuius vertex $it $uper aliquam
Ponamus iam quadratum F G ad G H in G I maiorem proportionem habere, quàm D B ad B E. Dico in cono H F I exhiberi non po$$e $e- ctionem æqualem hyperbolæ A B. Si enim exhiberi po$$et illius axi ali- qua parallela reperiretur vt F N: & quadratum F N ad I N in N H ma- iorem proportionem habens, quàm quadratum F G ad quadratum G H, erit vt D B ad B E; quæ minor e$t proportione quadrati F G ad qua- dratum G H: quod e$t ab$urdum. Non ergo reperitur in cono H F I $e- ctio æqualis hyperbolæ A B. Et hoc erat o$tendendum.
SIt iam $ectio elliptica A B, cuius axis tran$uer$us B D, &
erectus illius B E, & circa coni triangulum H F I de$cri-
Quia D B tran$uer$us ad eius erectum B E eandem proportionem habe-
bat, quàm F K ad K L, nempe quàm quadratum F K habet ad F K in-
K L, quod e$t æquale ip$i I K in K H; e$tque vt M N parallela ip$i F K
_ERgo potentes egredientes ex $e-_
_Et dico, quod non reperiatur in._
_$ectione A B C alia $ectio parabolica;_
Ducatur C P contingens circulum ba$is in C, & in parabola D E ducatur
diameter E F, & contingens verticalis, quæ contineat angulum F E G æqua-
Multoties in eodem cono duæ parabolæ æquales $nbcontrariæ duci po{$s}unt, vt Mydorgius demon$trauit.
_DEinde $it hyperbole, vt A B, & axis illius C D, & inclinatus B_
Et non reperitur in cono H F I alia $ectio hyperbolica $uper F H, &
_Et educamus T V, K L, quæ $ubtendant duos angulos L F K, I F_
_Igitur duo plana tran$euntia per K L, T V eleuata $uper triangulum._
_Nec reperitur tertia, cuius vertex $it $uper aliqua duarum linearum_
Deinde ponamus quadratum F G ad GH maius, quàm D B ad B E.
Sicutì in præcedenti propo$itione factum e$t, nedum in cono recto, $ed etiam in quolibet cono $caleno, quomodolibet per axim $ectio à triangulo H F I deter- minari po{$s}et, quando, & quomodo in eo de$ignari po$$et $ectio æqualis datæ hy- perbole A B. Quod ab al{ij}s factum e$t.
DEinde $it $ectio elliptica, vt A B, & axis eius tran$uer$us B D, &
Sen$us propo$itionis hic erit. In cono recto, cuius triangulum per axim H F I reperire $ectionem æqualem datæ ellip$i A B, cuius axis tran$uer$us D B, & latus rectum B E. In con$tructione po$tea duci debet recta linea F L K extra circulum, & triangulum ad vtra$que partes, alias con$tructio non e$$et perfecta.
Lemma verò, quod repo$ui$$e, dicit Arabicus interpres in _I._ libro, ab hoc $equenti for $am diuer$um non erit.
_S_Ecetur latus F I in S, vt $it F I
Quoniam in triangulo F I K ducitur recta
linea S L æquidi$tans ba$i I K, erit F I ad
Et educamus in triangulo chordam M N parallelam K F, & æqualem
Itaque planum, tran$iens per M N, producit in cono H F I $ectionem
Ergo duæ illæ $ectiones $unt æquales, &c. _Concipi debet $ectio N O M
Et dico, quod non reperiatur in cono H F I $ectio elliptica, habens
Et diuidendo F R maior ad minorem R Q e$t vt F L minor ad maio-
DAto cono recto A B C, conum exhibere ei $imilem, qui datam $ectionem D E F contineat, cuius axis E G, & erectus E H; $itque prius $ectio parabole.
Super E G educatur planum ad $ectionem D
E F ad angulos rectos eleuatum, in quo duca-
tur E I K, quæ contineat cum E G angulum
æqualem ip$i angulo C: & ponamus E H ad E
SI $ectio hyperbolica D E F, cuius axis E G inclinatus E H, & erectus
Dico rur$us, quod nullus alius conus $imilis cono A B C, cuius ver-
tex $it in ea parte, in qua e$t L, præter iam dictum, continebit hanc
eandem $ectionem. Si enim hoc verum non e$t, contineat illam alius
Supponamus iam, quadratum B Q ad quadratum Q A maiorem pro-
portionem habere, quàm H E ad E I. Dico, exhiberi non po$$e conum
SIt tandem $ectio elliptica A B C, eiu$que tran$uer$us axis A C, &
_Ergo L K, quæ e$t latus trianguli tran$euntis per axim E G para llelũ_
_Et propterea planum, in quo e$t $ectio D E_
_Igitur H E ad E L, quæ e$t æqualis ip$i L K eamdem proportionem,_
_Et dico, quod $ectio D E F non reperitur in alio cono $imili cono A_
_Ergo E M e$t indirectum ip$i E L, &c._ Quia D G ba$is $ectionis conicæ
_ITa vt non $it proportio quadrati axis coni, B Q ad quadratum $emi-_
_Et producamus L H ad E I occurret in K perpendiculari rectæ ad pun-_
_Quapropter K L E $imile e$t A B C, quia æquicrus etiam e$t: $i au-_
_Alias eontineat illam alius conus $imilis cono A B C, $itque vertex_
_Atque T S æqualis e$t ip$i E, & T S ad S E e$t, vt T R ad R H, quæ_
_Patet quadratum L P nempe N E, $eu O N in N L ad quadratum E P,_
_O$tendetur, quemadmodum dictum e$t, quod E T R, & A B C $unt_
_Inde demon$trabitur quod E H ad E I nece$$e e$t, vt habeat eandem_
_Et demon$trabitur quod O V ad V R $it vt H E ad E I, &c._ Repeta-
DEinde $it $ectio elliptica A B C, & tran$uer$a illius A C, & erectus
_Quia H I in I K, quod e$t æquale ip$i C I in I A, ad quadratum I A_
_Et quia angulus H K C nempe A O K æqualis e$t H A C, & angulus_
_Alioquin contineat illum conus alius, cuius vertex $it Q, & triangu-_
_Ergo diuidendo H K maior ad minorem K I erit vt minor H Q ad ma-_
Ad propo$itionem 77. libri quinti egi de
Per rectam lineam coniungentem ver-
Circulus A M C $it communis ba$is duorum
conorum, quorum vertices B, & E, & co-
niuncta recta linea B E extra peripheriam
circuli A M C cadat: duci debent duo plana
tangentia vtro$que conos per eandem rectam
lineam B E exten$a. Et primo recta linea
E B plano circuli A M C æquidi$tet, & ducto
quolibet plano per E B circulum $ecante in
recta linea N O erit ip$a N O pirallela E B;
tunc ducatur diameter A M perpendicularis
ad N O, & per A, & M ducantur A D, M
V tangentes c<007>rculum, $iue perpendiculares ad
In qualibet coni$ectione H A I
Sicut in con$tructione prop. 11. & 12.
addit. factum e$t, de$cribatur conus B A
C comprehendens $ectionem H A I, cu
ius vertex B ba$is circulus A M C per
$ectionis verticem A ductus, & tr<007>an-
gulum per axim B A C efficiat diame-
trum A L: & in duobus circulis æqui-
di$tantibus A C M, & in eo, qui per
$ectionis ba$im H I ducitur id\~e planum
$ectionis conicæ de$ignet duas parallelas
A D, H I, & planum trianguli per axim
efficiat circulorũ diamctros C A, & eum,
qui per L ducitur æquidi$tantes inter $e:
ergo $icuti ba$is H I perpendicularis e$t
ad circuli diametrum per L ductam, $eu
ad ba$im trianguli per axim, <007>ta D A
Si fuerint quotcunque coni
Sit conus A D C $ingularis, &
A B C $it multiplex, habentes cir-
culum A C ba$eos communem, &
latus A B D productum commu-
ne $umptum $it in triangulis per
axes conorum perpendicularibus ad
circulum ba$is B C, atque à ter-
mino A ducatur planũ $ecans cir-
culi A C planum in recta linea,
quæ perpendicularis $it ad diame-
trum C A, quod efficiat in cono
quidem A B C $ectionem A N,
cuius latus rectum $it X, & latus
tran$uer$um A F: in cono verò
A D C efficiat $ectionem A M, cu-
ius latus rectum Z, & diameter
communis A E; $itque $ectio A N
hyperbole, circulus, aut ellip$is
circa axim maiorem, aut mino-
rem; Sectio verò $ingularis A M in cono D A C $it parabole, & ducatur B H
parallela diametro $ectionis A E $ecans circuli diametrum A C in H: & du-
catur C O parallela D A $ecans A E in O. Dico latus rectum Z paraboles A M
æquale e$$e lateri recto X cuiu$libet alterius $ectionis A N; & $upponantur tres
parabolæ A M inter $e æquales earumq; latera recta Z æqualia, quæ in tribus fi-
guris appon\~etur, vt confu$io euitetur. Quoniam vt latus rectum X ad tran-
$uer$um A F $ectionis A N, ita e$t rectangulum A H C ad quadratum B H:
Admiratione dignum præcipuè
e$t in hac propo$itione, quod $i $e-
ctio A N fuerit circulus, vnicus
tantummodò erit; nam circuli la-
tus rectum X æquale erit eius dia-
metro, $eu axi tran$uer$o A F; e$t-
que $emper latus rectum eiu$dem
men$uræ, vt a$ten$um e$t; igitur
circuli diameter F A idem $emper erit; & propterea circulus, qui à tali plano
generari pote$t $ingularis erit, nimirum ille, qui in vnico cono A B C efficit
triangula per axim $imilia, & $ubcontraria B A C, & B F A. Manife$tum
quoq; e$t parabolem A M $ingularem e{$s}e, nam $upponitur idem circulus ba$is A
C, & in plano per axim coni cõmune latus A D B $emper eo$d\~e angulos D A E,
& D A C efficere conceditur; igitur vt $ectio A M $it parabole nece{$s}ariò recta à
puncto C duci debet parallela diametro par aboles A E; cum ergo in triangulo per
axim D A C detur ba$is A C inuariabilis quia circulus vnicus $upponitur eiu$-
Si in qualibet coni$ectione B A C
Quia A L minor e$t, quàm A D
$umi poterit recta A O maior quidem quàm A L, & minor quàm A D, &
Ii$dem po$itis $i $ectionis T A V, cuius axis A D $emi$$is eius e-
Quoniam A R maior ponitur quã
A D $umi poterit recta A X minor
quidem, quàm A R, $ed maior quã
A D, & centro X interuallo X A
de$cribatur circulus I A S. Patet
Si in eodem plano circulus F A G $ecuerit coni$ectionem H A I in
De$cribantur (vt in 16. additarum huius libri factum e$t) duo coni A B C,
Scalenus comprehendens $ectionem H A I, & conus rectus E A C comprehen-
dens circularem $ubcontrariam $ectionem F A G, quorum ba$is communis $it
Si in qualibet coni$ectione B A C
De$cribatur centro D interuallo D
A circulus T A S con$tat (ex prop. 10. additarum libri quinti) circulum T
A S $ecare coni$ectionem B A C in A, cumque circa eundem axim D A po-
nantur circulus T A S, atque coni$ectio I A K, cuius lateris recti $emi$$is æ-
qualis e$t D A radio circuli T A S, ergo coni$ectio I A K ab$cindit coni$ectio-
Sectionum conicarum circa axim communem po$itarum datam coni$e-
Quoniam circa communem axim D
Hinc colligitur dari non po$$e coni$e- ctionem minimam extrin$ecus tangen- tium, neque maximam intrin$ecus tã- gentium eandem coni$ectionem in pun- cto A extra verticem axis po$ito.
Nam quælibet coni$ectio, cuius $emie-
rectum axis minus e$t breui$ecante $ingulari D A intrin$ecus tangit $ectionem
Con$tat etiam quod parabolarum vnica tantummodò, & circulorum vnicus etiam ab$cindit coni$ectionem B A C in A, & contingit eandem contingentem A G in A.
At hyperbolarum, atque ellip$ium ab$cindentium eandem $ectionem B A C in A, quas omnes eadem recta linea A G tangit in A non pote$t affignari maxi- ma, neque minima.
Nam vt dictum e$t ad 17. Additarum huius libri infinitæ hyperbolæ $e $e contingentes in vertice axis de$inunt in parabolam vnicam, & po$t parabolam interius $e $e $ucce$$iuè contingunt infinitæ ellip$es ad axim maiorem adiacen- tes, quæ de$inunt in circulum vnicum, ac po$t circulum interius eum contin- gunt in$initæ ellip$es ad axim minorem adiacentes, quarum omnium $emiere- cta latera axium æqualia $unt breui$ecanti $ingulari D A datæ $ectionis B A C. Quare patet propo$itum.
SI diuidatur inclinatum $ecundum proportionem figuræ, aut addatur vni axium ellip$is linea, earumque differentia, aut aggregatum ad ean- dem lineam habeat eandem proportionem fi- guræ: vocabo homologam inclinati PRÆSE- CTAM.
Et homologam erecti INTERCEPTAM.
Atque punctum, quod e$t extremum ip$ius interceptæ, & dia- metri: vocabo TERMINVM COMMVNEM.
Reliquum verò TERMINVM DIVIDENTEM.
Et differentiam, vel $ummam lateris, & interceptæ: vocabo IN- TERCEPTAM COMPARATAM.
Differentiam verò, aut $ummam lateris, & præ$ect{ae}: vocabo
PRÆSECTAM COMPARATAM: hoc autem latus refer-
tur ad diametrum, quæ bifariam diuidit lineam coniungen-
tem verticem $ectionis, & terminum potentis huius lateris:
In$uper vocabo duas diametros coniugatas, & æquales in elli- p$i, ÆQVALES.
Et $i quidem ad vtra$que partes axis $ectionis duæ diame- tri educantur, quæ ad $ua erecta eandem proportionem ha- beant, vtique vocabo cas ÆQVALES.
Diametros verò æquales ad vtra$que partes duarum axium elli- p$is cadentes, voco Homologas illius axis: $untque homo- logæ diametri in ellip$i tran$uer$a ad tran$uer$am, & recta ad rectam.
_I. P_ Rima definitio breui$$imè exponi pote$t hac ratione. Si axis tran$uer$us interius in hyperbola diuidatur, aut exterius in ellip$i, $ecundum pro- portionem figuræ, $egmentum homologum axis tran$uer$i vocabo Præ$ectum, vt $i fuerit hyperbole, vel ellip$is A B, cuius axis tran$uer$us A C, centrum D, latus rectũ A F, & in hyperbola $ecetur C A inter vertices A, & C; in ellip$i verò $ecetur exter<007>us in puncto G, ita vt $umma, vel differentia ip$arum G A, & axis C A, ide$t C G ad G A habeat proportionem figuræ $cilicet eandem, quàm habet latus tran$uer$um C A ad latus rectum A F; tunc quidem vocatur recta linea C G Præ$ecta.
_II._ Atque G A vocatur Intercepta.
_III._ Punctum verò A extremum
_IV._ Punctum verò G, in quo axis A C interius, vel exterius diuiditur $ecundum proportionem figuræ voca- tur terminus diuidens; Si verò $ece- tur C H æqualis A G vocabitur etiã C H intercepta, & A H præ$ecta, atque C terminus communis, & H terminus diuidens.
_V._ Si d<007>ameter I L $ecuerit bi$a-
riam $ubten$am A B à $ectionis ver
tice A eductam, atque à termino B
_VI._ Et lateris C E, & præ$ectæ G C differentia in tribus prioribus figuris, & $umma in figura quarta, ide$t G E, vocatur Præ$ecta comparata.
_VII._ Ducantur in ellip$i A B C duæ diametri coniugatæ I L, & N O, quæ inter $e $int æquales. Vel tran$uer$a I L ad eius latus rectum eandem propor- tionem habeat, quàm eius coniugata N O ad $uum latus rectum; tunc quidem vocat pariter diametros coniugatas I L, N O AEquales.
SI in parabola A B à termino
Fiat A F æqualis erecto A E. Quia
IN parabola A B C cuiu$cumque diametri B F erectus B H ex-
cedit axis A D erectum A E quadruplo abci$$æ A D potentis
à termino illius diametri ad axim ductæ 23. & diametri C G, re-
Educamus A L, B K tangentes in A, B, & B N perpendicularem ad
B K, erit K D in D N æquale quadrato D B, quod e$t æquale ip$i A E
QVia quadratum A B e$t æquale quadrato D A, &c. Quoniam re-
_ET diametri G C remotioris ab axe erectus C I maior e$t erecto B H_
_Quare A E cum duplo K D, nempe cum quadruplo A D e$t æqualis_
_Et A O maior e$t, quàm A D; ergo erectus diametri C G remotioris_
SI in $ectione A B à termino cõmuni A vtriuslibet interceptæ
Sit itaque A F erectus A C, & ponamus A E in E H æquale quadra-
to B E; igitur A E in E H ad A E in E C, nempe H E ad E C e$t vt
SI hyperbolen, aut ellip$in A B tangat recta linea I M in I,
Educantur A Q, M R perpendiculares ad axim v$que ad I L, ponatur-
que linea P, quæ ad I M eandem proportionem habeat, quàm K I ad
Q I, $eu eandem, quàm habet M I ad I R; Ergo P e$t $emi$$is erecti
SI in hyperbole, aut ellip$i addantur axi tran$uer$o, vel au-
Educamus I M tangentem, & I S perpendicularem. Et quia A D e$t
_SI in $ectione A B à termino communi A interceptæ, &c._ Addidi par-
ticulam _vtriuslibet_ interceptæ vt propo$itio efficiatur vniuer$alis compræhen-
_Et componendo in hyperbola, & diuidendo in ellip$i prima deindè_
_SI hyperbolen, aut ellip$im A B tangat recta linea I M, & occurrat_
SI addatur duabus extremitatibus tran$uer$æ, aut in$i$tant ad duas ex-
Educamus I M tangentem, & I S perpendicularem. Et quia A D e$t
VIII. IN hyperbola, vel ellip$i quadratum axis inclinati, $iue tran$uer$i ad quadratum $ummæ duarum diametrorum coniugatarum eiu$dem $ectionis habebit eandem proportionem, quàm productum præ$ectæ axis in $uam interceptam compara- tam ad quadratum $ummæ $uæ interceptæ, & potentis compa- ratarum.
IX. Vel ad quadratum differ\~etiæ coniugatarum eã- dem proportionem habet, quàm productum præ$ectæ in $uam interceptam compara- tam ad quadratum differen- tiæ interceptæ, & potentis comparatarum.
X. Vel ad rectangulum $ub duabus coniugatis con- tentum eandem proportionem habet, quàm præ$ecta axis ad $uam potentem comparatam.
XI. Ad $ummam verò duorum quadratorum ex coniugatis eandem proportionem habet, quàm præ$ecta ad $ummam præ- $ectæ, & interceptæ comparatarum.
XV. Sed ad quadratum erecti vnius coniugatæ eandem pro- portionem habet, quàm præ$ecta axis in $uam interceptam com- paratam ad quadratum $uæ præ$ectæ comparatæ.
XIX. Sed ad quadratum differentiæ vnius coniugatarum, & eius erecti eandem proportionem habet, quàm productum præ- $ect{ae} axis illi diametro homolog{ae} in $uam interceptam compa- ratam ad quadratum exce$$us præ$ectæ, & interceptæ compara- tarum.
XVI. Ad quadratum verò $ummæ inclinatæ diametri, & eius erecti eandem proportionem habet, qnàm præ$ecta axis in $uam interceptam comparatam ad quadratum $ummæ interceptæ, & præ$ectæ comparatarum.
XVIII. Sed ad figuram inclinatæ vnius coniugatarum ean- dem proportionem habet, quàm axis præ$ecta ad præ$ectam comparatam.
XVII. Et ad $ummam duorum quadratorum inclinatæ, & erecti vnius coniugatarum eandem proportionem habet, quàm præ$ecta in interceptam comparatam ad duo quadrata præ$ectæ, & interceptæ comparatarum.
XX. Et tandem ad exce$$um duorum quadratorum laterum figuræ inclinatæ duarum coniugatarum eandem proportionem habet, quàm productum præ$ectæ in interceptam comparatã ad exce$$um quadratorum præ$ectæ, & interceptæ comparatarum.
Ii$dem figuris manentibus $it H V potens comparata, & I P $it erectũ
II$dem figuris manentibus $it H V potens comparata, &c. _Præter defi-_
Ergo S D in D M ad quadratum D I, nempe E C in C A ad qua-
SIue ad quadratum differentiæ eius, quæ e$t inter I L, N O e$t vt C
_SIue ad I L in N O erit vt C G ad H V, &c._ Quia I L ad N O habe-
SIue ad duorum quadratorum I L, N O $ummam erit vt C G ad $um-
_SIue ad quadratum I P erit vt C G in E H ad quadratum E G, &c._
_SIue ad quadratum differentiæ L I, & I P erit vt C G in E H ad qua-
_SIue ad quadratum ex recta linea æquali $ummæ duarum I L, & I P
_SIue ad I L in I P erit, vt C G in G E, &c._ Quia I L ad I P e$t vt H
_SIue ad duo quadrata ex I L, & I P erit, vt C G in E H ad duo qua-
_SIue ad differentiam duorum quadratorum I L, I P erit, vt C G in H
XII. XIII. DIfferentia quadratorum duorum axium hy- XXV. perboles æqualis e$t differentiæ quadra- torum quarumlibet duarum diametrorum coniugatarum.
XXVIIII. Nempe differ\~etiæ inter quadrata à figuris earumd\~e diametrorum æquales $unt.
XXVII. Et differentia duorum axium maior e$t differentia quarumlibet duarum diametrorum coniugatarum.
XXII. Et $umma quadratorũ duorum axium ellip$is æqualis e$t $ummæ quadratorum quarumlibet duarum diametrorum con- iugatarum.
XXX. Nempe $ummæ quadratorum, & figurarum earundem diametrorum homologarum $unt æquales.
XIIII. Axis verò tran$uer$i quadratũ ad differentiam quadra- torum duarum diametrorum coniugatarum eandem proportio- nem habet, quàm præ$ecta ad duplam inuer$æ.
In ei$dem figuris, quia quadratum A C ad quadratum $ui coniugati
_IN ei$dem figuris, quia quadratum A C ad quadratum $ui coniugati in_
_Et quia iam demon$tratum e$t, quod quadratum C A ad quadratum_
_Q_Voniam in ellip$i quadratum I L ad quadratum N O eandem proportio-
_Q_Voniam in hyperbola differentia quadratorum ex axi A C, & ex axi Q
_Q_Voniam in ellip$i quadratorum ex A C, & ex Q R $umma æqualis e$t
_Q_Voniam nedum in hyperbola, $ed etiam in ellip$i quadratum A C ad $um-
mam quadratorum ex I L, & ex N O eandem proportionem habet, quã
A H ad $ummam ip$arum H E, & E G, atque quadratorum ex I
L, & ex N O $umma ad eorundem quadratorum differentiam eandem propor-
tionem habet, quàm ip$arum H E, & E G $umma ad earundem differentiam;
_ET o$ten$um iam e$t, quod I L in hyperbola maior e$t, quàm A C;_
Si po$tea præter I L ponatur alia diameter ab axe remotior cum $ua coniu-
gata erit $imiliter differentia quadratorum ex diametris coniugatis remotiori-
bus ab axi æqualis differentiæ quadratorum axium A C, & Q R, & ideo
AXes hyperboles $i fuerint æquales, tunc quælibet diame-
tri coniugatæ in illa $ectione æquales $unt 21. $i verò fue-
rit 28. vnus duorum axium in hyperbola, aut ellip$i maior,
SIt itaque $ectio A B P, & duo axes coniugati eius A C, Q R, centrum D; $intque I L, N O duæ aliæ diametri con- iugatæ; pariterque S T, V X, & educamus ad axim C A M perpendiculares B E, P M. Dico quod $i fuerit A C æqualis Q R; erit quoque I L æqualis ip$i N O, & S T ip$i V X. Si verò fuerit eorum aliquis reliquo major, vtique eius homologa diameter maior quoque erit $ua coniugata, & $imiliter in reli- quis propo$itionibus.
Sit prius alter axis A C maior in prima figura, $ed Q R in $ecunda;
$intque A G, C H duæ interceptæ diametri A C. Et quia quadratum
A C ad quadratum Q R, nempe A C ad eius erectum e$t vt A H ad H
C, $eu ad A G; & habet H A ad A G maiorem proportionem in prima
XXI. Deinde $it A C æqualis QR in hyperbola fiet A C æqualis ere-
cto, & conuenient duo puncta H, & G in puncto D, eritque A C ad
A
Quia C G ad C H, nempe
quadratum A C ad $uam fi-
guram maiorem proportionem
habet in primis figuris, & mi-
norem in $ecunda ellip$i, quàm
C G ad G E, nempe quàm
quadratum A C ad figuram
ip$ius I L _( 18. ex 7. )_ & C
G ad G E in primis figurisma-
iorem proportionem habet, &
I
XXXXIII. Et planum ab eis contentũ minus e$t plano à dua- bus coniugatis contento, & planum à proximioribus axi coniugatis contentum minus e$t plano à remotioribus con- tento.
Ii$dem figuris manentibus, quia in hyperbole A C minor e$t quàm I
L, & I L, quàm S T; & $iquidem
D Einde in ellip$i quadratum $ummæ A C, Q R minus e$t quadrato
$ummæ I L, N O; & $umma duorum quadratorum A C, Q R
Sed in hyperbola, quia quilibet axium minor e$t homologa diame- tro coniugatarum; igitur planum rectangulum ab axibus contentum mi- nus e$t eo quod à duabus coniugatis continetur hoc igitur in hyperbo- le manife$tum e$t.
In ellip$i autem, quia A C ad Q R maiorem proportionem habet;
E
Et quia erectum ip$ius
A C minus e$t in prima
ellip$i, & maius in $ecun-
da, quàm erectum ip$ius
I L, & A C maior e$t in
prima, & minor in $ecun-
da figura quàm I L, igi-
tur differentia A C, eiu$q;
erecti, quæ $unt duo la-
tera figuræ A C, in quo-
I
In hyperbole A B P $it axis C
A, & I L, S T $it duæ aliæ dia-
metri, & centrum D; atque ere-
ctus ip$ius A C $it A F, & ip$ius
I L $it I K, atque ip$ius S T $it S
Z: & educamus C B, C P, pa-
rallelas duabus homologis diame-
tris I L, S T, & duas ad axim
perpendiculares B E, P M, $ece-
mu$que duas interceptas C H, A
G, & $it inclinatus A C in prima
figura maior, quàm A F, in $ecũ-
da verò minor. Et quoniam A C
ad A F $upponitur vt H A ad A G
_S_ It in primis figuris axis A C maior, quàm axis Q R. Quia quadratum
_I_ N ellip$i cuius axes in{ae}quales $unt, duas diametros coniugatas inter $e {ae}quales reperire.
In eadem figura coniungatur recta linèa A Q terminos axium coniungens,
& per centrum huic parallela $it e d, perq; idem centrum, & $em<007>partitionem
Reperiantur in ell<007>p$i du{ae} diametri coniugat{ae} inter $e {ae}quales _a b, e d_, &
inter _a_, & A ponantur diametri I L, S T, quarum coniugat{ae} N O, & V X,
Si verò fuerit vnus duorum axium in hyperbola aut ellip$i maior, tunc
_ET conuenient duo puncta H, & G in puncto D ; eritque A C ad Q_
_Quia C G ad A G, nempe quadratum A C ad $uam figuram in ma-
Quoniam ex demon$tratis in nota
propo$it. _27._ in hyperbola, atquè ex
propo$itione _11._ l<007>bri quinti in ellip$i
erit axis minor, & rectus Q R minor
diametro recta N O, & N O minor
remotiore V X, ideoquè quadratum Q
R minus erit quadrato N O, & qua-
dratum N O minus quàm quadratum
V X : e$t verò figura, $eu rectangulum
C A F $ub extremis contentum {ae}quale
quadrato Q R ex med<007>a proportionali
E Rit igitur aggregatum A C, Q R minus quàm aggregatum I L, N
_At in ellip$i, quia A C ad Q R maiorem proportionem habet, quàm_
_I L ad N O, erit quadratum aggregati A C, Q R ad $ummam duorum_
Non $ecus o$tendetur, quod quadratum $umme I L, & N O ad quadrati ex
I L, & quadrati ex N O $ummam habet minorem proportionem, quàm qua-
dratum $umme S T, & V X ad quadratorum ex S T, atquè ex V X $um-
_R Emanet A C in Q R minus quàm I L in N O, & pariter I L in N_
_Q Via A C ad Q R maiorem pro-_
Po$tea quandò C A e$t maior axis, tunc I L ad N O maiorem proportionem
E contra quandò C A e$t axis minor idem concludetur, vti paulo ante fa- ctum e$t.
_I Gitur erectum ip$ius A C mi-_
E contra in $ecunda ellip$i rectangulum L I K minus erit rectangulo C A F;
A Xis inclinatus $i non fuerit minor dimidio $ui erecti, vti- que eius erectus minor e$t erecto cæterarum diametrorum inclinatarum eiu$dem $ectionis, & axi proximioris inclinati ere- ctus minor e$t, quàm erectus remotioris.
XXXV. Et $i $uerit axis inclinatus minor dimidio erecti, vti- que ad vtra$que eius partes cadent duæ inclinatæ, quarum quæ- libet æqualis e$t $emi$$i erecti ip$ius, atque eius erectus minor e$t erecto cuiuslibet inclinati ad vtra$que partes eius po$itæ, & erectus proximioris minor e$t erecto remotioris.
In hyperbole A B N $int A C,
D Einde $it A C minor, quàm A F, dummodò minor non $it dimi-
dio eius: & $ecentur duæ præ$ectæ A H, C G, quæ erunt æqua-
les; pariterque A G, C H interceptæ æquales; ponaturque linea _γ_ æqua-
lis $ummæ G E, G A. Et quia A G non e$t maior duplo A H, & _γ_ maior
S It po$tea A C minor dimidio A F; erit A G maior duplo A H, &
ideo H G maior e$t, quàm H A: ponatur iam H M æqualis H G,
ducaturque ad axim perpendicularis N M ; iungaturque N C, & educa-
tur diameter P Q parallela N C. Et quia M H medietas e$t ip$ius M G,
erit P Q dimidium ip$ius P R (6. ex 7.) Inter duas diametros P Q, A C
ducatur diameter I I., & C B ei parallela, & ad axim perpendicularis
B E. Quoniam M H in H E minus e$t quadrato H G; addito communi
_I_N Expo$itione $equentium Propo$itionum difficultas, quæ à nimia prolixitate oritur, ineuitabilis e$t, ni$i Methodus in textu $eruata aliquantisper relin- quatur: propterea non nulla lemmata præmittam, ex quibus $emel demon$tra- tis ca$us omnes $equentium propo$itionum facillime, & breui$$ime deducnntur.
_S_I recta linea H G producatur in A <010> E, ita vt A H, pariter- que E H, non maior $it H G: Dico rectangulum ex A G E $umma inæqualium $egmentorum in E H intermediam $ectionem, mi- nus e$$e quadrato ex $egmento intermedio minore E G.
Fiat H M æqualis H G, & quia A
E æqualis, aut minor e$t, quàm M E;
_I_I$dem po$itis $int A H,
<010> E H non minores
Quia A G maior e$t quàm E G, & G H non maior ip$a H E, ergo A G ad G E maiorem proportionem habet, quàm G H ad H E, & componendo A G E ad E G maiorem proportionem habebit, quàm G E ad E H, & <007>deo rectangu- lum ex A G E in E H maius erit quadrato ex G E.
_I_I$dem po$itis $it A H ma-
<007>or, $ed E H minor ea-
dem M H $emi$$e totius M
Et primo, quia A G ad G E ponitur vt G H ad H E; componendo A G E ad G E, erit vt G E ad E H, & rectangulum $ub extremis contentum, ni- mirum $ub A G E in E H, æquale erit quadrato ex intermedia G E.
Secundo, $i A G ad G E ma<007>orem proportionem habuerit, quàm G H ad H E, componendo A G E ad G E maiorem proportionem habebit, quàm G E ad E H, & ideo Rectangulum $ub A G E in E H maius erit quadrato ex G E. pari ratione $i A G ad G E minorem proportionem habuerit, quàm G H ad H E, o$tendetur Rectangulum ex A G E in E H minus quadrato G E.
_I_N hyperbola, cuius axis C A, <010> erectus A F, præ$ecta H A, in-
tercepta G A, diameter L I, cuius erectus I K, latus C E, <010>
Et primo ponatur rectangulum $ub O G E in E H æquale quadrato E G, er-
go idem rectangulum $ub O G E in E O ad rectangulum $ub E G O in E H,
$eu E O ad E H eandem proportionem habet, quàm ad quadratum G E, &
propterea E O ad E H erit vt rectangulum $ub E G O in E O ad quadratum
Eodem modo quando rectangulum $ub O G E in E H maius e$t quadrato G
E, tunc quidem idem rectangulum, cuius altitudo O G E, ba$is vero O E, ad
rectangulum, cuius altitudo O G E, ba$is verò E H, $eu O E ad E H, mino-
rem proportionem habebit, quàm ad quadratum E G, & componendo, atque
permutando, vt prius factum e$t, habebit rectangulum O H A ad quadratum
O G, $iue quadratum A C ad quadratum P K minorem proportionem, quàm
rectangulum E H A ad quadratum G E, $eu quàm quadratum A C ad qua-
Quando verò rectangulum $ub E G O in E H minus e$t quadrato E G, tunc quidem o$tendetur eodem progre$$u quadratum P K minus e$$e quadrato A F, vel I K, quod erat propo$itum.
_Q_Voniam ex hypote$i C A minor non e$t medietate ip$ius A F, e$tque A H
ad A G, vt C A, ad A F, ergo A H maior, aut æqualis e$t medietati
Simili modo, quia tam M H,
quam E H excedunt ip$am G H,
QVia ex hypote$i axis A C minor e$t $emi A F, erit A H minor medieta-
te ip$ius A G, & ideo A H minor erit H G: fiat igitur M H æqualis
H G, & per M (quæ intra $uction\~e cadet) ad axim ordinatim applicata
Similiter quia tam E H, quàm A H minor e$t eadem H M, ergo rectan-
In hyperbole latus rectum al<007>cuius Diametri reperire, quod æquale
Reperiatur Diameter P Q, quæ $ubdupla $it eius erecti P R, $itque C M la-
Dato latere recto I K diametri hyperboles I L reperire latus rectum
Reperiatur Diameter Q P, quæ $ubdupla $it $ui erecti P R, eiu$que latus
Deducitur ex prima propo$itione additarum quod in aliqua hyperbola reperi-
ri po{$s}unt tria diametrorum latera recta æqualia inter $e; $i nimirum in hyper-
bola, cuius axis C A minor $it medietate eius lateris recti, reperiantur vtrin-
que duæ diametri _b a,_ quarum latera recta _a c_ æqualia $int ip$i A F; tunc
quidem tria illa latera recta æqualia erunt inter $e: reliqua verò latera recta
diametrorum cadentium inter A, & _a_ maiora erunt latere recto A F; & la-
tera recta diametrorum cadentium vltra punctum _a_ ad partes B maiora $unt
Simili modo in eadem hyperbola reperiri po{$s}unt quatuor diametrorum latera recta æqualia inter $e, $i nimirum ex $ecunda propo$itione additarum dato la- tere recto I K diametri I L reperiatur æquale latus rectum S Z alterius diame- tri S T, & ex altera parte axis ducantur duæ aliæ diametri æquè ab axi re- motæ ac illæ, erunt quatuor recta latera earum æqualia inter $e, & maiora quolibet latere recto diametri cadentis inter I, & S ad vtra$que partes axis: minora verò erunt quolibet latere recto diametri cadentis vltra punctum I ad partes verticis A, vel <007>nfra puncta S ad partes _a,_ vt deducitur ex 35. huius.
IN hyperbole axis inclinatus $i non fuerit minortriente erecti ip$ius, erunt duo latera figuræ axis minora, quàm duo late- ra figuræ cuiuslibet inclinatæ coniugatarum, quæ in eadem $e- ctione con$i$tunt, & duo latera figuræ inclinati proximioris axi minora $unt, quàm duo latera figuræ remotioris inclinati.
Si verò fuerit axis minor parte tertia $ui erecti a$$ignari po- terunt ad vtra$que eius partes duo æquales diametri, quarum quælibet pars tertia $it $ui erecti, atque duo latera figuræ eiu$- dem minora $unt duobus lateribus figuræ cuiuslibet alterius dia- metri ad vtra$que eius partes in eadem $ectione cadentis: & duo latera figuræ diametri ei propinquiores minora $unt duobus la- teribus figuræ remotioris.
In eadem figura $upponatur prius hyperboles axis A C non minor $uo erecto, erit P Q maior quàm A C, & S T maior quàm P Q: ideoquè erectus ip$ius A C minor erit erecto ip$ius P Q (33. ex 7.), & erectus ip$ius P Q minor e$t erecto ip$ius S T; igitur duo latera figuræ A C mi- nora $unt, quàm duo latera figuræ P Q, & duo latera figuræ P Q mino- ra, quàm duo latera figuræ S T.
D Einde $it A C minor quàm A F, $ed non $it minor tertia parte
S It A C minor triente ip$ius A F, erit A H minor dimidio
ip$ius H G, & ponatur M H æqualis dimidio H G, & du-
Educamus inter P Q, A C diametrum I L, & educamus C B ei æ-
quidi$tantem, & perpendicularem B E, & $ecemus E _l_ æqualem E A
erit $umma ip$arum G E, & E H æqualis C _l_; e$tque H E minor quam
M H, quæ quarta pars e$t ip$ius C _m_; ergo $umma ip$arum M G, H E
in M H quater $umptum minus e$t quadrato C _m_: auferatur communi-
ter M G, H E in M E quater $umptum remanebit quadruplum $ummæ
M G, H E in H E minus quàm quadratum C _l (_quia M G, H E $imul
$umptæ, nempe M C vna cum A E in M E quater $umptum æquale e$t
quadrato _l m_; quod e$t duplum M E, & aggregatum C E, A E, nem-
pe C _l_ in _l m_ bis $umptum _)_ igitur aggregatum M G, & H E in M E
quater $umptum ad aggregatum M G, H E in H E quater $umptum, n\~e-
pe G E ad H E maiorem proportionem habebit, quàm ad quadratum _l_
C. & componendo M H ad H E, $eu M H in H A ad E H <007>n H A
habebit maiorem proportionem, quàm M G, H E in M E quater $um-
ptum cum quadrato _l_ C _(_quæ æqualia $unt quadrato C _m_) ad quadra-
tum _l_ C: & permutando erit M H in H A ad quadratum C _m_, nempe
ad quadratum $ummæ ip$arum M G, & M H, $eu quadratum A C ad
quadratum $ummæ ip$arum P Q, P R (17. ex 7.) maiorem proportio-
nem habebit, quàm E H in H A ad quadratum _l_ C _(_quod e$t æquale
quadrato $ummæ ip$arum G E, E H _)_ quod erit vt quadratum A C ad
quadratum aggregati ip$arum I L, I K: quapropter A C ad duo latera
figuræ P Q maiorem proportionem habet, quàm ad duo latera figuræ I
L. Et propterea duo latera figuræ P Q minora $unt, quàm duo latera
Educamus po$tea C X extra $egmentum A N; & educamus diametrũ S T ei parallelam, & ad axim perpendicularem X V, erit aggregatum. G V, M H in M H quater $umptum maius quàm quadratum C _m_; & ad- damus communiter aggregatu<007>n M H, G V in M H quater $umptum; o$tendetur vt antea, quod duo latera $iguræ S T maiora $unt, quàm duo latera figuræ P Q.
O$tendetur quoque in reliquis diametris cadentibus ad vtra$que par- tes ip$ius P Q in eadem $ectione, quod duo latera $iguræ diametri ip$i P Q proximioris minora $unt, quàm duo latera figuræ remotioris.
_S_ I recta linea H G bifariam $ecta in D producatur vtcumque ad A, @ E, <007>ta vt D H non maior $it quàm H E, vel H A, @ E D maior $it, quàm D A: dico rectangulum $ub E D A in H A maius e$$e quadrato D A.
Quia E D maior ad minorem
_I_ I$dem po$itis, $i D H
Fiat H M æqualis maiori H D, erit E A differentia minimæ H A, & in- termediæ H E minor, quàm M A, quæ e$t differentia maximæ M H, & mi- nimæ H A, & A D maior e$t quàm A H, ergo E A ad M A minorem pro- portionem habet, quàm D A ad A H, & permutando E A ad A D habebit mi- norem proportionem, quàm M A ad A H, & componendo E D ad D A mino- proportionem habebit, quàm M H, $iue D H ad A H, & iterum componendo E D A ad D A minorem proportionem habebit, quàm eadem D A ad A H, & propterea rectangulum $ub E D A in A H minus erit quadrato D A.
_I_ I$dem po$itis $i D H maior fuerit, quàm A H $ed minor quàm E H, fueritque proportio E A ad A D eadem proportioni M A ad A H, dico rectangulum $ub E D A in A H æquale e$$e quadrato D A: $i verò proportio illa maior fuerit, vel minor rectangulum $imiliter qua- drato ma<007>us, vel minus erit.
Quia E A ad A D po-
Quando verò E A ad A D maiorem proportionem habet, quàm M A ad A H, t@nc bis componendo E D A ad D A maiorem proportionem habebit, quàm D A ad A H, & propterea rectangulum $ub extremis; $cilicet $ub E D A in A H maius erit quadrato intermediæ D A: non $ecus quando E A ad A D minorem peoportionem habet, quàm M A ad A H, o$tendetur rectangulum $ub E D A in A H minus quadrato ex D A.
_I_ N hyperbola, cuius axis A C, erectus A F, præ$ecta H A, in- tercepta G A, centrum D, diameter I L, eiu$que erectus I K, @ C E $it latus eiu$dem, $itque diameter Q P, cuius erectus P R, @ latus L O: dico quod rectangulum $ub O D E <007>n E H ab ip$o qua- drato D E, atque Q P R $umma laterum figuræ D<007>ametri P Q ab L I K $umma laterum figuræ I L, vel ab ip$a C A F $umma laterum figuræ axis, vna deficiunt, vel vna æqualia $unt, aut vna excedunt.
Et primo rectangulum $ub O D E in E H æquale $it quadrato D E, ergo
ad hæc duo $patia æqualia eandem proportionem habebit idem rectangulum $ub
E D O in O E, $ed vt rectangulum $ub E D O in O E ad rectangulum $ub E
D O in E H, ita e$t O E ad E H, (propterea quod æquales altitudines ha-
bent), igitur vt O E ad E H, ita e$t rectangulum $ub E D O in O E ad
quadratum D E, & componendo O H ad E H, $iue rectangulum O H A ad
rectangulum E H A eandem proportion\~e habebit, quàm rectangulum $ub E D
O in O E vna cum quadrato D E, $eu quàm quadratum D O ad quadratum
D E, vel pot<007>us vt quadratum ex dupla D O ad quadratum ex dupla D E,
nempe vt quadratum ex G O H ad quadratum ex G E H, quare permutando
rectangulum O H A ad quadratum ex G O H eandem proportionem habebit,
quàm rectangulum ex E H A ad quadratum ex G E H, $eu vt quadratum ex
Secundo $it rectangulũ $ub E D O in E H maius quadrato D E, tunc quidem idem rectangulum $ub E D O in O E ad rectangulum $ub O D E in E H mi- norem proportion\~e habebit, quàm ad quadratum ex D E, $eu O E ad E H mi- norem proportionem habebit, quàm ad quadratum ex D E; & componendo $umpta eadem altitudine H A, quadruplicando po$trema quadrata, & permu- tando, & ex 16. huius, idem quadratum A C ad quadratum ex Q P R mi- norem proportionem habebit, quàm ad quadratum ex C A F, vel ex L I K, & propterea $umma Q P R maior erit, quàm C A F, $eu quàm L I K.
Tertio $it rectangulum $ub E D O in E H minus quadrato D E, patet quod
idem rectangulum $ub E D O in O E ad rectangulum $ub E D O in E H, $eu
O E ad E H maiorem proportionem habet, quàm ad quadratum D E, & com-
ponendo ductis prioribus terminis in A H, quadruplicando po$trema quadrata,
QVia axis C A minor non e$t triente eius erecti A F, e$tq; H A ad A G vt C A
ad A F, ergo H A æqualis, aut maior e$t parte tertia ip$ius A G; & A H
æqualis, aut maior erit, quàm $emi$$is ip$ius H G differentiæ illa-
rum, e$tque G H $ecta bifariam in D, ergo H A æqualis, aut maior erit,
Similiter quia H M maior e$t, quàm H E, erit quoque H M maior, quàm D H, & propterea ex lemma 6. & 9. $umma Q P R maior erit, quàm $um- ma L I K.
QVia C A minor e$t triente ip$ius A F, e$tque H A ad A G vt C A ad A
F, ergo H A minor e$t tertia parte ip$ius A G, & minor $emi$$e diffe-
Quia H M ad M G eandem proportionem habet quàm P Q ad P R, vel p
Quod verò $umma laterum figuræ Q P R minima $it reliquarum $ummarũ laterum figuræ cuiu$libet diametr<007> $ic o$tendetur.
Quia A H, & E H minora $unt, quàm H M, $iue D H, ergo rectangulum
Pariter quia M H æqualia e$t H D, & H E minor eadem, ergo ambo non
Rur$us quia V H maior, e$t quàm M H, $eu quàm D H, erunt illæ non,
In hyperbola reperire diametrum, cuius figuræ latera æqualia $int lateribus
In eadem hyperbola data diametro I L reperire aliam diametrum, ita v@
Facile colligitur ex 3. additarum, quod in hyperbola cuius axis $ubtripla $it erecti eius a$$ignari po$$unt tres $ummæ laterum figurarum trium Diametrorum quæ æquales $int inter $e. Ex _4._ verò additarum in eadem Hyperbola a$$ignari, po{$s}unt quatuor $ummæ laterum figurarum quatuor diametrorum, quæ æquales $int inter $e.
Deinde $it A C minor, quàm A F, $ed non $it minor eius triplo, er-
go A H non erit minor triplo H C, &c. _Textus mendo$us omnino corrigi_
IN hyperbole $i quadratum axis inclinati minus non fuerit di- midio quadrati ex differentia ip$ius, & $ui erecti, vtique quadratum diametri figuræ eius minus e$t, quàm quadratum diametri figuræ cuiu$cumque alterius inclinati eiu$dem $ectionis.
XXXXVI. Si verò minus fuerit cadent ad vtra$que partes eius duæ inter $e æquales diametri, quarum vniuscuiu$libet qua- dratum æquale e$t quadrato exce$$us $ui erecti, & quadratum diametri figuræ ip$ius minus e$t quàm quadratum diametri figu- ræ cuiu$libet alterius inclinati ad vtra$que eius partes cadentis: & diameter figuræ inclinati proximioris illi minor e$t quàm dia- meter figuræ inclinati remotioris.
Ii$dem figuris manentibus $upponatur prius A C non minor quàm A Demon$t
F; ergo P Q non erit minor quàm P R (28. ex 7.) & duo quadrata A prop. 44.
C, A F nempe diameter figuræ A C minor e$t quàm diameter figuræ P
SIt po$tea quadratum A C minus dimidio quadrati ex differentia ip$a-
rum C A, & A F; erit duplum quadrati A H minus quadrato H G
& ponamus duplum quadrati M H æquale quadrato H G: & educamus
ad axim perpendicularem N M, & iungamus N C; & ducamus diame-
trum P Q parallelã ip$i N C, erit H M ad M G, vt P Q ad P R, & pro-
Deindè ducatur diameter inclinata S T extra $egmentum A P, & C X ei parallela, & ad axim perpendicularis X V: & quia duplum quadrati M H æquale e$t quadrato H G erit duplum V H in H M maius quadrato H G: ponatur communiter duplum G M in M H, fiet duplum aggregati V G, M H, in M H maius quadrato M G cum quadrato M H: quare duplum aggregati V G, & M H in M V ad duplum aggregati V G, & M H in M H, nempe M V ad M H minorem proportionem habebit, quàm duplum aggregati V G, & M H in M V ad quadratum G M cum quadrato M H: & componendo o$tendetur (quemadmodum antea di- ctum e$t) quod quadratum A C ad diametrum figuræ P Q maiorem pro- portionem habeat, quàm ad diametrum figuræ S T. Eadem pror$us cõ- tingent in reliquis omnibus diametris. Quapropter diameter figuræ P Q minor e$t diametro figuræ cuiuslibet diametri ad vtra$que eius partes in eadem $ectione exi$tente. Quod erat o$tendendum.
SI rectæ lineæ G H bifariam $ectæ in D addantur $egmenta H A, <010> H E atque proportio dupli E H ad H G eadem fuerit propor- tioni G H ad H A: dico duplum rectangul<007> ex G A, <010> H E in H A æquale e$$e quadratis ex G A, <010> ex A H: $i verò proportio <007>lla maior fuerit, erit quoque rectangulum maius quadratis: $i verò propor- tio fuerit minor, rectangulum m<007>nus erit quadratis.
Primo quia $i duplum E H ad H G, e$t vt G H ad H A, ergo duplum re-
ctanguli E H A æquale erit quadrato G H, & addatur communiter duplum
Secundo, quia duplum E H ad H G, maiorem proportionem habet, quàm G H ad A H, ergo duplum rectanguli E H A maius e$t quadrato G H, & ad- d<007>to communiter duplo rectanguli G A H, erit duplum rectanguli ex G A, E H in A H maius duobus quadratis ex G A, & ex A H.
Tertio, quia duplum E H ad H G minorem proportionem habet, quàm G H ad A H, ergo duplum rectanguli E H A minus e$t quadrato G H, & add<007>to duplo rectanguli G A H, erit duplum rectanguli ex G A, E H in A H minus quadratis ex G A, & ex A H.
SI recta linea G H $ecetur exterius in A, E, <010> $it eadem G H
differentia nedum $egmentorum G E, <010> E H, $ed etiam duo-
rum $egmentorum G A, <010> A H: dico quod quadrata ex maximo,
<010> ex vno intermediorum $egmentorum, $cilicet ex G E, <010> ex E H
Quia duplum rectanguli G A H cum duplo rectanguli G A E æquatur duplo
rectanguli $ub G A in H E, addito cõmuniter duplo rectanguli H E A erit du-
plum rectanguli G E H æquale duplo rectanguli G A H cum duplo rectanguli ex
$umma G A, H E in E A; & addito commun<007> quadrato G H, erit duplum
rectanguli G E H cum quadrato G H, $cilicet duo quadrata ex G E, & ex E
IN hyperbola, cuius axis A C, erectus A F, præ$ectæ C G, H A, centrum D, atque diameter I L, eiu$que erectus I K, <010> latus C E, par<007>terque altera diameter Q P, cuius erectus P R, <010> latus C O: dico quod duplum rectanguli ex G E cũ O H in H E à duobus quadratis ex G E, <010> ex E H; nec non quadrata Q P, <010> P R late- rum figuræ diametri Q P à quadratis ex L I, <010> ex I K, vel ex C A, <010> ex A F, vna deficiunt, aut vna æqualia $unt, vel vna exce- dunt.
Quia duplum rectanguli ex G E, O H in H E æquale e$t quadratis ex G E
& ex E H, ergo idem rectangulum, cuius altitudo G E, & O H, ba$is verò
O E bis $umptum ad duplum rectanguli, cuius altitudo G E, O H, ba$is verò
H E, $eu O E ad H E eandem proportionem habet, quàm duplum rectanguli
ex G E, & O H in O E ad quadrata ex G E, & ex E H: quare componen-
do O H ad E H, $eu O H A ad E H A eandem proportionem habebit, quàm
Secundo quia duplum rectanguli ex G E, O H in H E minus ponitur quadratis ex G E, & ex E H, igitur idem $patium $cilicet duplum rectanguli ex G E, & O H in O E ad duplum rectanguli ex G E, & O H in H E, $iue O E ad H E maiorem proportionem habet, quàm duplum rectanguli ex G E, O H in O E ad quadrata ex G E, & O H, & vt prius componendo, ex lemmate 11. & permu- tando, ex 17. huius; idem quadratum A C ad quadrata ex Q P, & ex P R maiorem proportionem habebit quàm ad quadrata ex I L, & ex I K, vel ad quadrata, ex C A, & ex A F: quapropter quadrata ex Q P, & ex P R mi- nora erunt quadratis ex I L, & ex I K, vel quadratis ex C A, & ex A F.
Tertio quia duplum rectanguli ex G E, O H in H E maius e$t $umma qua- dratorum ex G E, & ex E H, igitur, eodem progre$$u, habebit quadratum A C ad $ummam quadratorum ex Q P, & ex P R minorem proportionem, quàm ad $ummam quadraterum ex I L, & ex I K, vel ex C A, & ex A F: & propterea $umma priorum quadratorum maior erit $umma po$teriorum, vt fue- rat propo$itum.
QVia C A maior e$t, quàm A F, vel $i minor e$t quadratum ex C A,
minor non e$t dimidio quadrati ex differentia C A, & A F, e$tque H
A ad A G vt A C ad A F, & H A ad G H, vt A C ad d<007>fferen-
tiam ip$arum A C, A F, ergo quadratum H A ad dimidium quadrati G H
erit vt quadratum A C ad dimidium quadrati ex differentia ip$arum A C, &
A F, quare quadratum ex H A minor non erit $emi$$e quadrati H G, ideoq;
QVia quadratum axis C A minus e$t $emi{$s}e quadrati ex differentia ip$a-
rum A C, & A @, e$tque H A ad A G, vt C A ad A F, atque G H
e$t differentia <007>p$arum A H, & A G, igitur quadratum ex A H
Quia vt M H ad G M, ita e$t diameter Q P ad eius erectum P R, ergo
comparando antecedentes ad terminorum differentias, erit M H ad H G, vt
Secundo dico quod $umma quadratorum ex Q P, & ex P R minor e$t qua- libet alia $umma quadratorum laterum figuræ alterius d<007>ametri.
Quia duplum rectanguli M H E minus e$t duplo quadrati M H, $eu $ingu-
lari quadrato ex G H, ergo duplum M H ad H G minorem proportionem ha-
bet, quàm G H ad H E, ergo duplum rectanguli ex G E, & M H in E H
Tertio, quia duplum rectanguli ex E H A minus e$t duplo quadrati M H,
$eu $ingulari quadrato ex G H, ergo duplum E H ad H G minorem proportio-
Quarto quia duplum rectanguli V H M maius e$t duplo quadrati ex M H,
$eu $ingulari quadrato ex G H, ergo duplum V H ad H G maiorem proportio-
nem habet, quàm H G ad H M, & propterea duplum rectanguli ex G M, &
In hyperbola reperire diametrum, cuius figuræ duo quadrata laterum
Quia ex hypothe$i quadratum axis A C minus e$t $emiquadrato ex differen-
tia laterum figuræ A C, A F, vt in nota propo$it. 46. dictum e$t, quadratum
ex A H minus e$t $emiquadrato ex G H: fiat duplum e H ad H G, vt G H
In eadem hyperbola diametrum reperire, cuius figuræ duo quadrata,
Sit C E latus diametri I L, & fiat duplum V H ad H G, vt G H ad H E,
& ponatur S T diameter lateris C V, cuius erectus $it S Z: erit igitur duplũ
Deducitur pariter ex 5. propo$itione additarum in eadem hyperbola tres dia- metros reperiri po$$e, quarum laterum $ummæ quadratorum æquales $int in- ter $e.
Et ex 6. propo$itione additarum deducitur, quod quatuor diametrorum eiu$- dem hyperbolæ laterum $ummæ quadratorum æquales e{$s}e pos$unt inter $e.
_Et educamus inter A P inclinatam I L: quia quadruplum quadrati M
IN ellip$i duo latera figuræ maioris axis tran$uer$i minora $unt
XXXXVII. Si verò duplum quadrati A C maius non fuerit quadrato ex $umma duorum laterum $uæ figuræ; vtique quadra- tum diametri $uæ figuræ minus erit quadrato diametri figuræ cu- iu$libet alterius diametri eiu$dem $ectionis, & quadratum dia- metri figuræ proximioris axi minus erit quadrato diametri figu- ræ remotioris.
XXXXVIII. Si autem duplum quadrati axis tran$uer$i maius
fuerit quadrato ex $umma duorum laterum $uæ figuræ, æquidem
reperientur ad vtra$que eius partes duæ diametri æquales, & cu-
IN ellip$i A B C $it A C axis maior, & _y_ O minor, & $int P Q, & S T duæ aliæ diametri, $itque A F erectus ip$ius A C, & P R erectus ip$ius P Q, & O _f_ ip$ius _y_ O. Dico quod C F minor e$t, quàm Q R, & Q R, quàm T Z, & T Z, quàm _y f_.
Ducantur A N, A X ordinatim applicatæ ad diametros P Q, S T,
& duæ ad axim perpendiculares N M, X V, & interceptæ A G, C H.
Quia quadratum A C ad quadratum _y_ O, nempe A C ad A F eandem,