metadata: dcterms:identifier ECHO:R04RNX9Y.xml dcterms:creator (GND:118201913) Bélidor, Bernard Forest de dcterms:title (fr) Nouveau cours de mathématique à l' usage de l' artillerie et du génie : où l' on applique les parties les plus utiles de cette science à la théorie et à la pratique des différens sujets qui peuvent avoir rapport à la guerre dcterms:date 1757 dcterms:language fra text (fr) free http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView/ECHOzogiLib?mode=imagepath&url=/mpiwg/online/permanent/library/R04RNX9Y/pageimg log: unknown: replacements:
[0001]
Où l’on applique les parties les plus utiles de cette $cience
à la théorie & à la pratique des différens $ujets qui peuvent
avoir rapport à la guerre. Par M. B QU Cet Ouvrage e$t divi$é en $eize Livres. Dans le pre-
mier, je donne les premiers élémens d’Algebre, après
avoir donné les définitions des propo$itions dont on $e
$ert en Géométrie, & des termes le plus en u$age dans
cette $cience. On y traite d’abord du calcul arithmé-
tique, par rapport à la Multiplication & à la Divi$ion,
en $e $ervant de ce que l’on appelle communément par-
ties aliquotes: c’e$t une des premieres additions qui
m’a paru néce$$aire pour montrer aux Commençans
des manieres abrégées de faire ces opérations, qui de-
viennent fort longues en $uivant les regles générales,
dans les cas où le multiplicande & le multiplicateur
Dans le $econd Livre, je traite des rai$ons ou rapports
arithmétiques & géométriques, des progre$$ions &
proportions qui en ré$ultent, dont je démontre les prin-
cipales propriétés. De la comparai$on de la progre$$ion
arithmétique des expo$ans d’une même lettre à la pro-
gre$$ion géométrique des pui$$ances de cette même
lettre, je déduis la nature & les principales propriétés
des logarithmes, dont on e$t obligé de faire u$age
dans un grand nombre de que$tions, & dont les Ingé-
nieurs doivent néce$$airement $e $ervir dans les calculs
trigonométriques, pour déterminer avec préci$ion des
di$tances inacce$$ibles. Cette partie, dont je n’avois point
parlé dans l’ancienne édition, $e trouve démontrée avec
Dans le troi$ieme Livre, je commence à traiter de la
Géométrie, & j’examine d’abord les différentes po$itions
des lignes droites les unes à l’égard des autres; ce qui
me conduit à examiner les propriétés des angles & des
lignes paralleles. J’ai ajouté dans ce Livre quelques pro-
Le quatrieme Livre traite des propriétés des $urfaces
en général, & comme il n’y a point de $urfaces qu’on
ne pui$$e réduire en triangles, je commence par expli-
quer a$$ez au long tout ce qui a rapport aux triangles
& aux parallélogrammes. J’ai au$$i ajouté dans cette
partie plu$ieurs propo$itions $ur les rapports des trian-
gles comparés entr’eux, $oit qu’il s’agi$$e d’une $imple
$imilitude, ou d’une égalité parfaite. Dans le cinquieme Livre, j’examine les propriétés
du cercle, principalement par rapport à la me$ure des
angles, & delà je déduis celles des $écantes intérieures
ou extérieures, & celles des tangentes; j’en fais l’appli-
cation $ur quelques problêmes, dont la $olution dépend
de ces mêmes propriétés. Le $ixieme Livre e$t un Traité de l’in$cription & de
la circon$cription des figures régulieres au cercle. J’exa-
mine en$uite, relativement à cet objet, les propriétés de
la quadratrice, dont je donne la con$truction, & par
le moyen de laquelle je ré$ous d’une maniere ai$ée les
problêmes que l’on peut propo$er $ur la divi$ion des arcs
de cercle, ou des différens $ecteurs en plu$ieurs parties
égales. Dans le $eptieme Livre, on applique la doctrine des
proportions aux figures planes: on y explique les rap-
ports des périmetres des figures $emblables, & celui de
leurs $urfaces. On donne en$uite la maniere de les ajou-
ter, $ou$traire, multiplier, & divi$er, $uivant une rai$on
donnée quelconque; ce que l’on fait par l’invention
des lignes proportionnelles à d’autres lignes données de
grandeur. J’ai ajouté dans cette partie deux théorêmes
Après avoir examiné les principales propriétés des
lignes & des $urfaces, je pa$$e, dans le huitieme Livre, à
la théorie des $olides ou corps, dont je recherche les
propriétés par rapport à leurs $uperficies & à leurs $oli-
dités. J’en$eigne la maniere de toi$er, non $eulement les
pri$mes, les pyramides, les cônes, les $pheres, mais
encore les différentes parties de ces corps. A l’occa$ion
de la pyramide tronquée, je donne une méthode gé-
nérale pour trouver une $urface plane $emblable à deux
autres propo$ées, & moyenne géométrique entre ces
deux, $ans être obligé d’extraire de racines quarrées. Je
donne en$uite la maniere de trouver des $olides qui
aient entr’eux une rai$on donnée, & je fais voir d’où
dépend la $olution des problêmes de ce genre, qui ont
tous rapport à la duplication du cube. La méthode que
j’ai $uivie dans ce Livre e$t entiérement différente de
celle qui $e trouve dans les autres Elémens; elle e$t $i
$imple, qu’en moins de $eize propo$itions, on voit tout
ce qu’Archimede a découvert de plus beau $ur la $phere,
& de ma théorie, je lai$$e entrevoir celle de toi$er toutes
$ortes de voûtes en plein ceintre, qui auroient pour ba$e
des polygones réguliers quelconques. Ces huit premiers Livres font comme une premiere
Comme les $imples élémens renfermés dans les huit
premiers Livres ne $ont pas $uffi$ans pour entendre beau-
coup de cho$es intére$$antes, qui $ont traitées dans les
$uivans, principalement la théorie du jet des bombes,
& le toi$é des voûtes qui demande une connoi$$ance au
moins élémentaire des propriétés des $ections coniques,
je donne dans le neuvieme Livre un petit Traité, où
j’explique les principales propriétés de ces courbes par
rapport à leurs axes & à leurs diametres, dont je recher-
che les tangentes, & $ur le$quelles je donne quelques
problêmes. Le dixieme Livre qui comprend la Trigonométrie &
le nivellement, peut encore être regardé comme un
des plus néce$$aires à un Ingénieur, dont tout l’Art dé-
pend de ces deux parties; la premiere dans la guerre,
& la $econde dans la paix, où il peut être chargé de
l’exécution des projets les plus importans, & qui ont
ab$olument be$oin de la $cience du nivellement. On
en$eigne dans ce Livre l’u$age des Tables des Sinus, Tan-
gentes, Sécantes, & de leurs Logarithmes; la théorie
du calcul des triangles, que l’on applique en$uite à me-
Le onzieme Livre e$t un Traité du calcul ordinaire
des ouvrages de maçonnerie, où j’explique en même
tems le toi$é des bois. Cette partie e$t encore néce$$aire
aux Ingénieurs, qui $ont quelquefois obligés de faire
les devis & détails de tout ce qui doit entrer dans l’exé-
cution des ouvrages néce$$aires dans une fortification.
On l’a traité d’une maniere $i claire & $i facile, que les
Commençans pourront en peu de jours $e rendre fa-
miliers ces $ortes de calculs. Dans le douzieme Livre, on fait une application
générale de la Géométrie à la me$ure des $olides régu-
liers & irréguliers, qui peuvent $e rencontrer dans la
pratique: par exemple, on y en$eigne la maniere de
toi$er la $olidité des voûtes en plein ceintre, ou en tiers
point; celles des voûtes elliptiques $urbai$$ées, ou $ur-
montées $ur des plans circulaires ou rectilignes. J’ai ajouté
au$$i dans cet endroit un Traité du Toi$é des $urfaces
des voûtes à pans en plein ceintre, & des voûtes en lu-
nettes, $ans autre $ecours que les propriétés du cercle.
Je donne au$$i le Toi$é du $olide de ces mêmes voûtes.
En$uite on applique les mêmes principes à t oi$er les
Le treizieme Livre e$t encore une application des
mêmes principes à la Géodé$ie ou divi$ion des champs
en parties qui aient entr’elles des rapports déterminés,
quelle que $oit la figure du terrein que l’on veut partager,
& en commençant la divi$ion par des lignes tirées d’un
point donné. Delà je pa$$e à l’explication d’une ma-
chine connue de tout le monde, $ous le nom de _compas_
_de proportion_, parce que cet in$trument e$t réellement
fondé $ur la nature & les propriétés des proportions. Il
peut être d’un grand u$age pour abréger les opérations
dans un grand nombre de cas, comme pour trouver
des lignes proportionnelles à des lignes données, pour
couper des lignes données en parties égales, pour con-
noître les degrés d’un arc dont on a la corde, ou bien
pour divi$er un angle propo$é en plu$ieurs parties égales,
enfin pour trouver des $urfaces ou des $olides qui aient
des rai$ons données avec d’autres $urfaces ou d’autres
$olides propo$és; ce qui peut avoir une application,
Le quatorzieme Livre e$t entiérement de$tiné à ex-
pliquer les regles du jet des bombes. Comme cette
théorie a un rapport direct avec le mouvement des
corps, j’explique d’abord les plus belles découvertes de
_Galilée_ $ur les corps qui tombent, en vertu de la pe$an-
teur, après avoir expliqué les regles principales du choc
des corps durs, parce que cette partie a au$$i un rap-
port direct au jet des bombes, où il faut e$timer la
force que la bombe acquiert par la vîte$$e que $a chûte
lui communique, afin de connoître les effets qu’elle
peut produire pour proportionner les ouvrages qui doi-
vent être à l’épreuve de la bombe à la force du choc.
Je donne au$$i des $olutions géométriques & algébri-
Dans le quinzieme Livre, j’explique les principales
propriétés des machines, en fai$ant u$age du principe
de M. _Varignon_, & quelquefois au$$i de celui de M. _De$_-
_cartes_, quoique le premier $oit plus géométrique. Après
avoir examiné les machines $imples, qui font l’objet
de la méchanique en général, après avoir donné la
maniere d’en calculer les forces, on fait voir les diffé-
rens u$ages auxquels elles $ont propres, $oit pour les
manœuvres de l’Artillerie, ou pour la pratique des Arts.
Ces mêmes principes généraux $ont en$uite appliqués
à la con$truction des maga$ins à poudre, ou de tout
autre édifice, où l’on examine la différence des pou$-
$ées des voûtes en plein ceintre, avec celle des voûtes
$urbai$$ées, ou des voûtes en tiers point. On détermine
en$uite quel e$t le choc des bombes & des boulets de
canon qui viennent rencontrer des $urfaces horizontales
ou inclinées, & quelle élévation il faut donner à un
mortier, pour qu’une bombe venant à tomber $ur un
maga$in à poudre, choque la voûte avec toute $a pe$an-
teur ab$olue. Enfin le $eizieme & dernier Livre e$t une $uite du
précédent. On y examine l’équilibre des fluides en-
tr’eux, ou avec les $olides qui y $ont plongés. Les
vîte$$es des eaux qui s’écoulent par différentes ouver-
tures; les chocs des mêmes fluides contre des $urfaces
en repos ou en mouvement, $elon les vîte$$es, les den-
$ités, & la $ituation des corps expo$és au courant. J’y
ai ajouté une théorie abrégée du choc d’un fluide contre
Qui traite des rapports, proportions, progre$$ions arithmétiques & géo-
métriques, des logarithmes, de la ré$olution analytique des problêmes
du premier & du $econd degré. 1. LA Géométrie e$t une $cience qui ne con$idere pas tant
la grandeur en elle-même, que le rapport qu’elle peut avoii
avec une grandeur de même nature qu’elle. 2. Tout ce qui peut tomber en que$tion, s’appelle _propo$i_-
3. _Axiome_ e$t une propo$ition $i claire, qu’elle n’a pas
be$oin de démon$tration pour qu’on en voie la vérité. De
ces propo$itions $ont les $uivantes. _Le tout e$t plus grand qu’une_
_de $es parties; deux cho$es égales à une même troi$ieme, $ont égales_
_entr’elles; $i à des quantités égales on ajoute des quantités égales_,
_les quantités qui en ré$ulteront $eront encore égales, &c_. On fait
un grand u$age de ces propo$itions dans la Géométrie, $i $im-
ples qu’elles paroi$$ent. 4. _Théorême_ e$t une propo$ition dont il faut démontrer
la vérité. 5. _Problême_ e$t une propo$ition dans laquelle il s’agit d’exé-
cuter quelqu’opération, $uivant certaines conditions, & de
prouver en$uite que l’on a réellement fait ce qui étoit en
que$tion. 6. _Lemme_ e$t une propo$ition qui en précéde une autre,
pour en faciliter l’intelligence & la démon$tration. 7. _Corollaire_ e$t une propo$ition qui n’e$t qu’une $uite ou
une con$équence de la propo$ition précédente. Comme toutes
ces propo$itions ont pour objet la grandeur; voici l’idée qu’il
faut s’en former. 8. On appelle grandeur tout ce qui e$t $u$ceptible d’aug-
mentation ou de diminution. On con$idére en Géométrie
trois $ortes de grandeurs ou dimen$ions; _longueur_, _largeur_, &
_profondeur_. 9. La longueur con$idérée $ans largeur & $ans profondeur,
$e nomme _ligne_. 10. La longueur & la largeur con$idérées en$emble, $ans
avoir égard à l’épai$$eur ou profondeur, $e nomme _$urface_.
On l’appelle $urface plane, lor$que tous $es points ne $ont pas
plus élevés les uns que les autres, comme cela arrive dans les
$urfaces plates & unies, telles que $ont celles des glaces ou
miroirs. 11. La longueur, la largeur, & la profondeur con$idérées
en$emble, $e nomment _corps_ ou _$olide_. La longueur, la lar-
geur, & la profondeur $ont toutes des grandeurs de même
nature: on ne leur a donné différens noms que relativement
à la maniere dont on les conçoit placées dans les corps. 12. Le _point_ e$t l’extrêmité d’un _corps_ ou d’une _$urface_,
ou bien d’une _ligne_; on le conçoit comme indivi$ible, ou
$ans dimen$ion, c’e$t-à-dire qu’on ne lui attribue ni _longueur_,
ni _largeur_, ni _profondeur_. Ain$i le point ne peut être l’objet
de la Géométrie, qui ne con$idere que l’étendue avec laquelle
il n’a aucun rapport. 13. La _ligne droite_ e$t la plus courte de toutes celles que
l’on peut mener d’un point A à un autre point B, comme
A B. D’où il $uit, 1°. qu’il n’y a qu’un $eul chemin qui $oit
le plus court d’un point à un autre. 2°. Que deux points
$uffi$ent pour déterminer la po$ition d’une ligne droite. 3°.
Que $i une ligne droite a deux points communs avec une
autre ligne, elle $e confond entiérement avec elle. 14. La _ligne courbe_ e$t celle qui n’e$t pas la plus courte
d’un point à un autre, comme C D. Il y a donc une infinité
de lignes courbes qui peuvent pa$$er par deux points, pui$qu’il
y a une infinité de chemins qui ne $ont pas les plus courts. 15. La _ligne mixte_ e$t celle qui e$t en partie courbe, &
en partie droite, comme E F. 16. Une _ligne perpendiculaire_ e$t une _ligne droite_ C D, qui
17. Le _Quarré_ e$t une figure rectiligne, formée par quatre
18. Le _Rectangle_ e$t un _quadrilatere_, dont tous les côtés ne
19. Le _Cube_ e$t un corps qui a la figure d’un dez à jouer,
20. Le _Parallelepipede_ e$t un $olide renfermé par $ix _rectan-_
_gles_, dont les côtés oppo$és $ont égaux, & qui n’a pas $es
trois dimen$ions égales. 21. Il y a une maniere de con$idérer les trois e$peces de
22. L’on concevra de même que le plan e$t compo$é d’une
23. En$in $i l’on a un plan A B qui $e meuve le long de
24. Comme on entend par la génération d’une cho$e les
parties qui l’ont formée, il s’en$uit, $elon ce qui vient d’être
dit, que le point e$t le générateur de la ligne; la ligne e$t la
génératrice de la $urface, & la $urface génératrice du corps;
& par con$équent le point peut être lui-même con$idéré com-
me le principe générateur de toute $orte de grandeur. 25. Si l’on $uppo$e que la ligne A C $oit de huit pieds, &
26. Or comme le $olide e$t compo$é d’autant de plans qu’il
27. Mais comme il s’agit beaucoup moins ici de chercher
la valeur ab$olue des grandeurs, que le rapport qu’elles ont
entr’elles, nous nous $ervirons de lettres de l’alphabet pour
exprimer les grandeurs, afin de rendre générales les démon$-
trations des propo$itions que nous établirons. Pour concevoir
la rai$on de cette généralité, on fera attention que la géné-
ralité d’un $igne dépend de $on indétermination; car dès-lors
qu’une grandeur e$t indéterminée, on peut l’appliquer à telle
e$pece de cho$es que l’on voudra. Ain$i, par exemple, le
nombre 7 étant indéterminé par rapport à l’e$pece de $es
unités, pui$qu’il ne $ignifie pas plus $ept hommes que $ept
chevaux, on peut l’employer pour marquer telle e$pece d’u-
nités que l’on voudra, d’hommes ou de chevaux, &c. ain$i
$on indétermination le rend d’autant plus général, & propre à
dé$igner telle $orte d’unité que l’on jugera à propos. Si donc l’in-
détermination d’un $igne e$t la plus grande po$$ible, $a gé-
néralité $era au$$i la plus grande qu’on pui$$e imaginer. Pour
arriver à ce dernier degré de généralité, on remarquera en-
core qu’une grandeur ne peut être indéterminée qu’en deux
manieres; $çavoir, la premiere par rapport à l’e$pece $eule-
ment, & non pas à l’égard du nombre des unités, & la
$econde par rapport au nombre & à l’e$pece tout en$emble.
De cette premiere cla$$e $ont les $ignes de l’Arithmétique, qui
$ont toujours indéterminés par rapport aux différentes $ortes
d’unités, & jamais à l’égard du nombre de ces unités; &
de la $econde cla$$e $ont les $ignes de l’alphabet ou les lettres,
28. Pour exprimer une ligne, on $e $ervira d’une des let-
tres de l’alphabet, _a, b, c, d, e_, &c; & pour exprimer un
plan, on en mettra deux l’une contre l’autre pour marquer
les deux dimen$ions de ce plan; & pour marquer un $olide,
on en mettra trois de $uite, parce qu’un $olide quelconque
a trois dimen$ions, & de plus, parce que l’on e$t convenu
de repré$enter la multiplication de deux grandeurs, en met-
tant ces grandeurs les unes auprès des autres. Par exemple,
_ab_ repré$ente un plan, dont les deux dimen$ions $ont _a_ & _b_,
& $e multiplient l’une par l’autre; de même _b c d_ repré$ente
un $olide, dont les trois dimen$ions $ont _b, c, d_, dont le
produit a donné ce $olide. 29. Comme dans une même propo$ition on nomme tou-
jours les lignes égales par les mêmes lettres, & les lignes
inégales par des lettres différentes; dès que l’on verra _a b, c d_,
on jugera que ce $ont des rectangles, parce que leurs dimen-
$ions $ont inégales, au lieu que _a a_ $ignifie un quarré, parce
que les deux dimen$ions $ont égales. 30. De même quand on verra _a a a_, l’on jugera que c’e$t
un cube, parce que les trois dimen$ions $ont égales; & quand
on verra _a b c_, on jugera que c’e$t un parallelepipede, pui$-
que $es trois dimen$ions $ont inégales. 31. Les caracteres de l’alphabet $ont bien plus propres à
exprimer les grandeurs que les nombres; car quand je vois le
nombre 8, je ne $çais s’il repré$ente une ligne de huit pieds
courans, ou un plan de huit pieds quarrés, ou un $olide de
huit pieds cubes; car un plan qui auroit quatre pieds de long
$ur deux pieds de large, auroit huit pour $a $uperficie; & un
$olide qui auroit $es dimen$ions exprimées par une ligne
32. Comme on fait avec les lettres de l’alphabet les opéra-
tions que l’on fait avec les nombres, c’e$t-à-dire l’_Addition_,
la _Sou$traction_, la _Multiplication_, la _Divi$ion_, & l’_Extraction_
_des racines_, & que de plus on opére $ur les quantités incon-
nues, de même que $ur les quantités connues (& c’e$t encore
un des grands avantages du calcul algébrique $ur le numéri-
que), on e$t convenu de repré$enter les quantités connues
par les premieres lettres de l’alphabet _a_, _b_, _c_, _d_, _e_, &c. & les
quantités inconnues par les dernieres _u_, _x_, _y_, _z_, afin de les
di$tinguer des premieres. 33. L’on $e $ert en Algebre de quelques $ignes pour indi-
quer les opérations que l’on fait $ur les lettres: par exemple,
ce $igne + $ignifie _plus_, & dé$igne l’addition de la quantité
qui le précéde à celle qui le $uit. Ain$i _a_ + _b_ marque que la
grandeur _b_ e$t ajoutée à la grandeur _a_; on $e $ert même quel-
quefois de ces $ignes dans les calculs numériques, & il y a
des occa$ions où il vaut mieux dire 5 + 3 que 8, quoique l’un
foit égal à l’autre. 34. Ce $igne - $ignifie _moins_, & dé$igne la $ou$traction
de la grandeur qui le $uit de celle qui le précéde. _a_ - _b_,
marque la différence de la grandeur _a_ à la grandeur _b_. 35. Si l’on veut marquer le produit d’une grandeur par
une autre, ou le faire en deux manieres, 1°. en mettant le
multiplicateur à côté du multiplicande, comme nous l’avons
déja dit, n°. 28. Ain$i _a b_ repré$ente le produit de _a_ par _b_, _b c d_
repré$ente le produit des trois grandeurs _b_, _c_, _d_, les unes par
les autres. 2°. On dé$igne encore la multiplication de deux
ou de plu$ieurs grandeurs, en mettant ce $igne x entre deux,
ain$i _a_ x _b_ dé$igne le produit de _a_ par _b_, de même _a_ x _b_ x _c_
dé$igne celui des trois grandeurs _a b c_, 2 x 3 x 4 dé$igne celui
des trois nombres 2, 3, 4 qui vaut 24. Il e$t même quelque-
36. Quand on veut marquer qu’une grandeur e$t divi$ée
par une autre, on met celle que l’on regarde comme divi-
dende au de$$us d’une petite barre horizontale, & celle que
l’on regarde comme divi$eur au de$$ous de la même barre.
Par exemple, {_ab_/_c_} dé$igne que la grandeur _a b_ e$t divi$ée par
la quantité _c_; de même {_bcd_/_gf_} marque le quotient de _b c d_ divi$é
par _gf_. 37. Lor$qu’on verra ce $igne = précédé d’une quantité,
& $uivi d’une autre, cela voudra dire que ces quantités $ont
égales; c’e$t pourquoi on le nomme $igne d’égalité: ain$i _a b_
= _c d_, $ignifie que le produit _a b_ e$t égal au produit _c d_. 38. Les deux quantités algébriques différentes, entre le$-
quelles $e trouve le $igne d’égalité, $ont nommées en$emble
_Equation_; ain$i _a_ = _b_, _ay_ = _bx_, _cd_ + _xx_ = _bb_, _y_ = {_ab_/_c_}
$ont des _équations_. L’on appelle _membres_ de l’équation, les quantités qui $e
trouvent de part & d’autre du $igne d’égalité. Ain$i les quan-
tités _a b c_, _d f x_ $ont les _membres_ de l’équation _a b c_ = _d f x_,
dont _a b c_ e$t le _premier membre_, & _d f x_ le $econd. 39. Si l’on a un produit qui ré$ulte de la multiplication
d’une même lettre plu$ieurs fois par elle-même, comme _a a a_,
_a a a b b b_, on peut abréger cette expre$$ion en écrivant cette
lettre une $eule fois, & mettant un peu au de$$us, vers la
droite, un nombre qui marque combien de fois cette lettre
$e multiplie par elle-même, ou, ce qui revient au même, com-
bien de fois on auroit dû l’écrire: ain$i au lieu de _a a a_ on écrit
_a_<_>3; au lieu de _a a b b_ on écrit _a_<_>2_b_<_>2; au lieu de {_aaabb_/_ccdd_} on écrit
{_a_<_>3_b_<_>2/_c_<_>2_d_<_>2}. Ce nombre e$t appellé _expo$ant_. 40. Si un même produit doit être pris un certain nombre
de fois, on écrit au devant le nombre qui dé$igne combien de
fois il le faut prendre. Ain$i 3_ab_ marque que l’on prend trois
fois le produit _a b_, 5_a_<_>3 _b_<_>2 dé$igne que l’on prend cinq fois la
41. On $e $ert quelquefois des expo$ans pour marquer le
quarré ou le cube d’une ligne dé$ignée dans une figure. A B<_>2
marque le quarré de A B, A B<_>3 marque le cube de la même
ligne. 42. Quand une quantité algébrique a été multipliée une
fois, deux fois, trois ou quatre fois par elle-même, &c, le pro-
duit qui en ré$ulte e$t appellé _pui$$ance_ ou _degré_; ain$i _a_ ou
_a_<_>1 e$t nommé premiere pui$$ance ou premier degré de la gran-
deur _a_; _aa_ ou _a_<_>2 $econde pui$$ance, ou $econd degré, & $ou-
vent le quarré de _a_; de même _aaa_ ou _a_<_>3 e$t le troi$ieme degré,
la troi$ieme pui$$ance, & quelquefois le cube de _a;_ enfin _aaaa_
ou _a_<_>4 le quatrieme degré, la quatrieme pui$$ance de _a_, ou bien
le quarré-quarré de la même grandeur, pui$qu’il ré$ulte de
la multiplication du quarré _a_<_>2 par lui-même. Il en e$t ain$i des
autres. 43. Une pui$$ance peut être regardée comme le produit
d’une certaine pui$$ance par une autre pui$$ance; ain$i _a_<_>5 e$t
le produit de _a_<_>3 par _a_<_>2, ou de la troi$ieme pui$$ance de _a_ par
la $econde. 44. Il peut au$$i y avoir des pui$$ances faites du produit
de deux ou plu$ieurs lettres multipliées l’une par l’autre; car
$i l’on multiplie _a b_ par lui-même une fois, le produit _a a b b_
$era la $econde pui$$ance de la quantité _a b_: de même _a_<_>3_b_<_>3 e$t
le cube de la même grandeur. 45. Le nombre ou la grandeur algébrique de la multipli-
cation, de laquelle ré$ulte une pui$$ance, e$t appellé _racine_,
& il y a autant de racines que de pui$$ances; ain$i _a_ e$t la
racine quarrée de _a_<_>2, la racine cube de _a_<_>3, la racine cin-
quieme de _a_<_>5, &c; de même _ab_<_>2 e$t la racine cube de _a_<_>3_b_<_>6;
_abc_ e$t la racine quatrieme de _a_<_>4_b_<_>4_c_<_>4. 46. Les quantités algébriques $ont appellées _incomplexes_
ou _monomes_, lor$qu’elles ne $ont pas jointes en$emble par les
47. Lor$qu’une quantité algébrique n’e$t précédée d’aucun
$igne, on $uppo$e toujours qu’elle a le $igne +, & alors on
l’appelle quantité po$itive, pour la di$tinguer de celles qui $ont
précédées du $igne -, & _ab_ que l’on appelle quantités néga-
tives: + _a b_ e$t la même cho$e que _a b_, & e$t cen$é po$itif:
- _a c_, - _b c_, $ont des quantités négatives. 48. Lor$qu’une quantité n’a point de coefficient, ni d’expo-
$ant particulier, on lui $uppo$e toujours l’unité pour coeffi-
cient & pour expo$ant. Ain$i _a b_ e$t la même cho$e que 1_a_<_>1_b_<_>1,
_a b c_ e$t le même que 1_a_<_>1_b_<_>1_c_<_>1, & ain$i de toutes les autres. 49. Lor$que des quantités incomplexes ou les termes d’une
quantité complexe contiennent préci$ément les mêmes let-
tres, on les appelle des _quantités $emblables:_ ain$i 3_ab_ &
2_ab_, 5_ac_ & 2_ac_ $ont des quantités $emblables. Il faut bien
remarquer que la $imilitude des quantités algébriques ne dé-
pend ni des $ignes, ni des coefficiens, comme on le voit par
ces exemples, mais $eulement des lettres & du nombre de
fois qu’elles $ont écrites. Pour reconnoître plus ai$ément la
$imilitude de plu$ieurs termes, on ob$ervera dans les produits
de mettre les lettres dans leur ordre naturel ou alphabéti-
que; ain$i l’on écrira _a b c_, & non pas _c a b_, ni _b c a_. 50. Quand on a des quantités algébriques complexes, qui
renferment des termes $emblables, il faut ajouter les coeffi-
51. Quand les quantités $emblables ont des $ignes diffé-
rens, il faut $ou$traire le plus petit coefficient du plus grand,
& donner á la différence le $igne du plus grand. Par exem-
ple, pour réduire _cd_ + 6_ab_ + 4_aa_ - 4_ab_, on écrira _cd_ + 4_aa_
+ 2_ab_ en ôtant 4_ab_ de 6_ab_; de même 2_ab_ + 5_cd_ + 3_ab_ - 7_cd_
$e réduit à 5_ab_ - 2_cd_. 52. Enfin lor$que deux termes $ont égaux, & qu’ils ont
des $ignes différens, ils $e rédui$ent à rien; ain$i _a_<_>2_b_ + 2_cd_
- _a_<_>2_b_ = 2_cd_, pui$que - _a_<_>2_b_ $ou$trait de + _a_<_>2_b_ donne o pour
différence. 53. Pour ajouter en$emble des quantités algébriques, qui
ne $ont précédées d’aucuns $ignes, il faut les écrire de $uite,
& les lier avec le $igne +: ain$i pour ajouter les quantités
_a b_, _a c_, _a d_, on écrira _a b_ + _a c_ + _a d_; de même la $omme
des quantités _e f_, _g h_, _m n_ e$t égale à _e f_ + _g h_ + _m n_. 54. Si les quantités que l’on veut ajouter $ont complexes,
on les écrira de $uite avec leurs $ignes, & après avoir réduit
les termes $emblables, on aura la $omme de ces quantités.
Par exemple, pour ajouter 2_aab_ - 3_acd_ avec _acc_ + 5_acd_
- 6_aab_, on écrira 2_aab_ - 3_acd_ + _acc_ + 5_acd_ - 6_aab_, ce
qui $e réduit à _acc_ + 2_acd_ - 4_aab_. Pour ajouter 6_add_ + 5_aac_
- 4_abb_ avec 2_aac_ - 2_abb_, l’on écrira 6_add_ + 5_aac_ - 4_abb_
+ 2_aac_ - 2_abb_ qui $e réduit à 6_add_ - 6_abb_ + 7_aac_. Enfin
pour ajouter _abc_ - _ddc_ - _dcc_ avec _dcc_ - _abc_ + 3_ddc_, on écrira
_abc_ - _ddc_ - _ddc_ + _dcc_ - _abc_ + 3_ddc_ qui $e réduit à 2_ddc_. En
général dans l’Addition algébrique, $oit des monomes, $oit
des polynomes, on écrit les quantités à la $uite les unes des
autres avec leurs $ignes, & l’on fait aprés la réduction des
quantités $emblables, s’il y en a. 55. Pour $ou$traire une quantité algébrique d’une autre,
il faut l’écrire à la $uite de celle dont on l’a $ou$trait, en chan-
geant les $ignes de cette quantité, c’e$t-à-dire en mettant +
où il y a -, & - où il y a +: il faut en$uite faire la ré-
duction des quantités $emblables, s’il y en a. Par exemple, pour $ou$traire _b b_ de _a a_, je l’écris à la $uite
de _a a_ avec le $igne -, parce qu’il e$t cen$é avoir le $igne +,
& la différence e$t _a a_ - _b b_. De même pour $ou$traire _c_ + _d_
de _a_ + _b_, il faut changer les $ignes de _c_ + _d_, & écrire _a_ + _b_
- _c_ - _d_ qui $era la différence demandée. Pour $ou$traire
_b_ - _d_ de _a_ + _c_, on écrira _a_ + _c_ - _b_ + _d_. Pour $ou$traire
2_bb_ - 3_cc_ de _aa_ + _bb_, on écrira _aa_ + _bb_ - 2_bb_ + 3_cc_, &
rédui$ant, on aura _aa_ - _bb_ + 3_cc_. Enfin pour $ou$traire _ab_
- _dc_ + _bb_ - 3_aa_ de _aa_ - _dc_ + 3_bc_ - _bb_, on écrira _aa_ - _dc_
+ 3_bc_ - _bb_ - _ab_ + _dc_ - _bb_ + 3_aa_, ce qui donne, en rédui-
$ant, 4_aa_ + 3_bc_ - 2_bb_ - _ab_, il en $eroit de même des autres. Il n’e$t pas difficile de concevoir pourquoi on change le
$igne +, exprimé ou $ous-entendu en -, car c’e$t en cela
préci$ément que con$i$te la Sou$traction Mais comme on entendra mieux ceci par les nombres,
$uppo$ons qu’il faille retrancher du nombre 12 la quantité
6 - 2. Selon la regle, il faut écrire 12 - 6 + 2, dont la
différence e$t 8; car comme 6 - 2 e$t égale à 4, l’on voit
qu’on ne peut retrancher que 4 de 12, & que par con$équent
$i au lieu de 4 on en retranche 6, il faut rendre à 12 la quan-
56. Pour multiplier deux quantités quelconques incom-
plexes l’une par l’autre, il faut avoir égard aux $ignes, aux
coefficiens & aux lettres: ain$i la Multiplication renferme
trois parties. 1°. Si le multiplicande & le multiplicateur ont le $igne +,
on donnera le $igne + au produit, & c’e$t ce que l’on expri-
me, en di$ant que + par + donne +. Si le multiplicande a le $igne +, & le multiplicateur le
$igne -, le produit aura le $igne -, & c’e$t ce que l’on ex-
prime, en di$ant + par - donne -. Si le multiplicande a le $igne -, & le multiplicateur le
$igne +, le produit aura le $igne -, ou bien - par +
donne -. Enfin $i le multiplicande & le multiplicateur ont le $igne
-, le produit aura le $igne +, c’e$t-à-dire que - par -
donne +. Regle général, toutes les fois que le multiplicande
& le multiplicateur ont le même $igne, le produit e$t po$itif
ou précédé du $igne +, & il e$t négatif ou précédé du $igne
- toutes les fois que le multiplicande & le multiplicateur
$ont des $ignes différens. 2°. Si le multiplicande & le multiplicateur en$emble, ou
$éparément, ont des coefficiens différens de l’unité, on les
multipliera l’un par l’autre, & le produit $ervira de coefficient
au produit que l’on cherche. 3°. Enfin pour multiplier les lettres les unes par les autres,
on les po$era de $uite les unes auprès des autres pour indi-
quer la multiplication des grandeurs qu’elles dé$ignent; car
on a vu (n°. 35.) que cette maniere de les di$po$er a été choi$ie
pour la marque de la multiplication. Tout ceci deviendra $en-
$ible par des exemples. Soit propo$é de multiplier la quantité 3_ab_ ou + 3_ab_ par
57. Pour multiplier deux ou plu$ieurs quantités qui ont des
expo$ans, & qui $ont compo$ées des mêmes lettres, il faut
ajouter les expo$ans des mêmes lettres, & leur $omme $era
les expo$ans des lettres du produit: ain$i 3_a_<_>2_b_<_>3 x 5_a_<_>3_b_<_>2 = 15_a_<_>5_b_<_>5.
De même _a_<_>2_b_<_>2_c_<_>3, multiplié par _ab_<_>3_c_<_>2, donne _a_<_>3_b_<_>5_c_<_>5; car il e$t
évident que _a_<_>2_b_<_>2_c_<_>3 = _aabbccc_, & _ab_<_>3_c_<_>2 = _abbbcc_; donc le pro-
duit de ces quantités $e trouvera, en plaçant toutes ces lettres
les unes auprès des autres, & $era _aaabbbbbccccc_, ou _a_<_>3_b_<_>5_c_<_>5,
en $ub$tituant les expo$ans qui marquent combien de fois cha-
que lettre doit être écrite. Ceci e$t $uffi$ant pour la Multipli-
cation des quantités incomplexes. 58. La Multiplication des quantités complexes $e réduit à
celle des quantités incomplexes, en ob$ervant de faire au-
tant de multiplications particulieres qu’il y a de termes au
multiplicande & au multiplicateur, en $uivant préci$ément
les mêmes regles pour les $ignes, les coefficiens, & pour les
lettres. Si le multiplicateur n’a qu’un terme, il y aura autant
de multiplications particulieres par ce terme, qu’il y aura de
termes au multiplicande. Lor$qu’on aura trouvé tous les ter-
mes du produit, on ob$ervera d’en faire la réduction, s’il
s’en trouve de $emblables: par exemple, pour multiplier 2_a_
+ _b_ par 3_c_, l’on dira + par + donne +; 2 fois 3 font 6, _a_ par
_c_ donne _ac_, le premier terme du produit $era 6_ac_: de même
on dira + par + donne +, 3 fois 1 c’e$t 3, _b_ par _c_ donne
_bc_, & le $econd terme du produit $era _bc_; les ajoutant en$em-
ble, le produit total $era 6_ac_ + 3_bc_. Pour multiplier _a_ - _b_
par _d_, l’on dira + par + donne +; 1 par 1 donne 1, _a_ par _d_
donne _a d_, & le premier terme $era + 1_ad_, ou $implement
_ad_: pa$$ant au $econd, on dira - par + donne -; 1 par 1
Si le multiplicateur e$t au$$i complexe, ou compo$é de plu-
$ieurs termes, pour établir un certain ordre dans la maniere
de faire la multiplication, on met le multiplicande & le mul-
tiplicateur l’un au de$$ous de l’autre, on multiplie tous les ter-
mes du multiplicande par tous les termes du multiplicateur;
ce qui donne autant de produits particuliers qu’il y a de ter-
mes au multiplicateur, & dont chacun contient autant de
termes qu’il y en a au multiplicande. Ain$i pour multiplier
_a_ + _c_ par _a_ + _c_, je mets une de ces quantités $ous l’autre,
& commençant à multiplier par la gauche, je dis _a_ par _a_ donne
_aa_, _a_ par + _c_ donne + _ac_; multipliant en$uite par le $econd
terme _c_ du multiplicateur, je dis + _c_ par _a_ donne + _ac_, &
+ _c_ par + _c_ donne + _cc;_ additionnant le tout, le produit e$t
_aa_ + _ac_ + _ac_ + _cc_; & pour abréger, au lieu d’écrire deux
fois la même quantité _ac_, je marque $eulement 2_ac_ 59. Pour multiplier _a_ - _b_ par _a_ - _b_, je po$e encore une
de ces quantités $ous l’autre, & je dis _a_ par _a_ donne _aa_, &
puis _a_ par - _b_ donne - _ab_ (car on $ous-entend toujours que
_a_ a le $igne +). Multipliant en$uite par la $econde lettre
du multiplicateur, je dis - _b_ par _a_ donne - _ab_, & - _b_ par
- _b_ donne + _bb_; après avoir fait l’addition je trouve au pro-
duit _aa_ - 2_ab_ + _bb_. Tout ceci e$t évident par le premier ar-
ticle du n°. 56; ce $eroit toujours la même cho$e pour des
opérations plus compliquées, comme on peut le voir dans les
exemples qui $uivent. Car il e$t vi$ible que tous les termes intermédiaires $e détrui-
$ent par la réduction, pui$qu’ils ont des $ignes différens, &
qu’ils $ont $emblables avec les mêmes coefficiens. Il n’e$t pas difficile de concevoir pourquoi + multiplié par
+ donne +; mais on n’apperçoit pas avec la même facilité
pourquoi + multiplié par -, ou - par + donne -, & l’on
conçoit encore moins comment - multiplié par - donne +;
c’e$t pourquoi nous nous arrêterons principalement à expli-
quer ces derniers cas. La rai$on du premier cas e$t, que multipliant par exemple
_a_ - _b_ par _d_, l’on ne peut multiplier _a_ par _d_ $ans que le pro-
duit _a d_ ne $oit plus grand qu’il n’étoit, parce que _a_ e$t
plus grand que _a_ - _b_, & par con$équent pour ôter ce qu’il y
a de trop dans le produit _a d_, il faut multiplier _b_ par _d_, &
ôter le produit _b d_ de _a d_ pour avoir _a d_ - _b d_; ce qui fait
voir que + par - doit donner -. Et pour le faire voir en nombres, multiplions 15 - 5 par
6: or comme 15 - 5 e$t égal à 10, c’e$t proprement 10 qu’il
faut multiplier par 6, & non pas 15 entiers, à moins que $elon
la regle on ne multiplie au$$i 5 par 6 pour en ôter le produit
A l’égard du dernier cas, il paroît bien étrange que -
par - donne +; mais ce qui fait qu’on met +, c’e$t que
les deux termes, qui $ont précédés du $igne -, donnant deux
multiplications négatives, par le$quelles on ôte plus qu’il ne
faut, l’on e$t obligé de mettre + au produit des deux termes
qui ont le $igne -, pour remplacer ce que l’on avoit ôté de
trop. Par exemple, pour multiplier _a_ - _b_ par _a_ - _b_, je vois,
aprés avoir fait la regle, que du produit _aa_ il faut retrancher
- 2_ab_, & que retranchant plus qu’il ne faut de la quantité
_bb_, il faut rendre cette même quantité en la mettant avec
le $igne +; ce qui remet toutes cho$es dans l’état où elles
doivent être. Comme cette regle e$t ab$olument indi$pen$able pour la
pratique des opérations algébriques, on ne $çauroit trop $e
convaincre de $a vérité & de la certitude des principes $ur le$-
quels elle e$t appuyée. Pour cela, il $uffit de faire attention
à la nature de la multiplication. En général, multiplier un
nombre par un autre, c’e$t prendre le premier autant de fois
qu’il e$t marqué par l’autre, & de la même maniere qu’il e$t
marqué par l’autre. On $çait que l’on appelle multiplicande
celui que l’on doit prendre plu$ieurs fois, & multiplicateur
celui qui marque combien de fois on doit prendre le premier. Les unités du multiplicateur marquent combien de fois il
faut répéter le multiplicande, & le $igne du même multi-
plicateur dé$igne de quelle maniere il faut prendre le même
multiplicande. Si donc le multiplicateur a le $igne +, la
multiplication $e fait par addition, & $i au contraire il a le
$igne -, elle $e fait par $ou$traction, & le produit ré$ulte
d’une $ou$traction répétée plu$ieurs fois. Il faut encore con-
cevoir comment la multiplication $e fait par $ou$traction:
pour cela on fera attention que les quantités négatives ne
$ont pas moins réelles que les quantités po$itives; mais elles
leurs $ont $eulement oppo$ées: on peut donc les multiplier
comme les autres. Ain$i $i l’on regarde le bien que l’on po$$ede
comme quelque cho$e de po$itif, les dettes que l’on fait, $eront
des grandeurs négatives, & l’on $çait a$$ez par expérience
qu’elles peuvent $e multiplier, ain$i que les biens, quoique
bien plus facilement. Un homme qui accumule $es dettes,
Les deux dernieres parties de la regle n’ont pas be$oin de
démon$tration; car il e$t évident que pui$que les coefficiens
$ont des nombres, ils doivent $e multiplier comme des nom-
bres, & la maniere dont on indique la multiplication des let-
tres e$t de pure convention: ain$i elle ne peut être conte$tée. Pour donner une idée de la facilité que l’on a de démon-
trer les propo$itions de Géométrie par le moyen du calcul
algébrique, j’ai cru qu’il étoit à propos, avant d’aller plus
loin, de faire une application de la multiplication à la dé-
mon$tration des propo$itions $uivantes. 60. Le quarré d’une grandeur quelconque, exprimée par deux
lettres po$itives, e$t égale au quarré de chacune de ces lettres, plus
à deux rectangles compris $ous les mêmes lettres. Car $i l’on multiplie _a_ + _b_ par _a_ + _b_, l’on aura au produit
61. Le cube d’une grandeur quelconque exprimée par deux let-
tres, e$t égal au cube de la premiere, plus au cube de la $econde,
plus à trois parallelepipedes du quarré de la premiere par la $e-
conde, plus enfin à trois autres parallelepipedes du quarré de la
$econde par la premiere. Car le quarré de _a_ + _b_ étant (n°. 60.) _aa_ + 2_ab_ + _bb_,
$i on le multiplie encore par _a_ + _b_, l’on aura le cube _a_<_>3 + 3_a_<_>2_b_
+ 3_ab_<_>2 + _b_<_>3, qui renferme _a_<_>3 & _b_<_>3, cubes des deux lettres _a_
& _b_, plus trois parallelepipedes 3_a_<_>2_b_ du quarré _aa_ par _b_; plus
enfin trois autres parallelepipedes du quarré _bb_ par _a_, 3_abb_. Nous nous $ervirons de ceci dans la $uite pour démontrer
les opérations de la racine quarrée & cubique. _62_. Si l’on a une ligne _A B_ divi$ée en deux également au
_A C_
<_>2 ou _C B_
<_>2.
Nous nommerons A C ou C B _a_, C D _x_, ain$i D B $era _a_ - _x_, & A D _a_ + _x_.
Si l’on ajoute à A D x D B (_aa_ - _xx_) le quarré de C D
63. Il $uit de cette propo$ition, que $i une ligne e$t coupée en deux également en C, & en deux inégalement en D, le quarré A C<_>2 de la moitié de la ligne, moins le quarré C D<_>2 de la moyenne partie C D, e$t égal au rectangle A D x D B, compris $ous les parties inégales A D, D B; ce qui e$t évident, pui$que A C<_>2 - C D<_>2 (_aa_ - _xx_) = A D x D B (_aa_ - _xx_).
_64_. Si l’on a une ligne droite _A B_ divi$ée en deux également
Nous nommerons A C ou C B _a_, C E _x_, ain$i B E $era _x_ - _a_, & A E _x_ + _a_.
Il e$t évident que $i l’on ajoute au rectangle de A E x B E (_xx_ - _aa_) le quarré de C B (_aa_), l’on pourra former cette équation A E x B E +
65. Il $uit de cette propo$ition, que $i à une ligne divi$ée en deux également l’on en ajoute une autre, le quarré de la ligne C E, compo$é de la moitié de la ligne & de l’ajoutée, moins le quarré de la moyenne C B, $era égal au rectangle compris $ous toute la ligne A E, & la partie ajoutée B E; ce qui e$t évident, pui$que C E<_>2 - C B<_>2 = A E x B E (_xx_ - _aa_).
66. Si l’on a deux lignes, dont la premiere $oit double de la $econde, je dis que le quarré de la premiere $era quadruple du quarré de la $econde.
Si de ces deux lignes la $econde $e nomme _a_, la premiere $era 2_a_: or multipliant 2_a_ par 2_a_, l’on aura 4_aa_ pour le quarré de la premiere; & $i l’on multiplie _a_ par lui-même, l’on aura _aa_ pour le quarré de la $econde, & par con$équent le quarré de la premiere e$t quadruple du quarré de la $econde.
67. Pour divi$er une quantité algébrique par une autre, on met celle que l’on doit divi$er au de$$us d’une barre ho- rizontale, & celle par laquelle on divi$e au de$$ous de la même barre (n°. 38.), en ob$ervant d’effacer les lettres communes au dividende & au divi$eur, s’il y en a quelques-unes, & ce qui re$te marque le quotient. Ain$i pour divi$er _a_ par _b_, j’écris {_a_/_b_}, ce qui $igni$ie _a_ divi$é par _b_; pour divi$er _a b c_ par _fg_, j’é- cris {_abc_/_fg_}; pour divi$er _ab_<_>2_c_<_>3 par _abc_<_>2, ou _abbccc_ par _abcc_, j’écris {_aabbccc_/_abcc_}, ce qui $e réduit à _abc_, en effaçant les lettres com- munes au dividende & au divi$eur. Si l’on multiplie le quo- tient _abc_ par le divi$eur _abcc_, l’on aura _a_<_>2_b_<_>2_c_<_>3; ce qui prouve que la Divi$ion e$t bien faite, pui$que le produit du divi$eur par le quotient e$t égal au dividende.
68. Si le dividende & le divi$eur $ont chacun précédés de
coefficiens, il faudra les divi$er l’un par l’autre, $elon les regles
de la divi$ion des nombres, & le quotient $era le coefficient
du quotient. Ain$i 21_ab_<_>2 divi$é par 7_ab_ = 3_b_; {28_abc_<_>3/4_a_<_>2_bc_} = {7_c_<_>2/_a_};
{36_a_<_>2_b_<_>4/9_a_<_>3_bc_<_>2} = {4_b_<_>3/_ac_<_>2}. L’on peut remarquer que lor$que le dividende
& le divi$eur ont chacun des lettres $emblables avec des ex-
po$ans, la divi$ion de ces lettres $e fait par la $ou$traction des
expo$ans: ain$i {_a_<_>3/_a_<_>2} = _a_ = _a_<_>3-2{_a_<_>5_b_<_>4/_a_<_>2_b_<_>3} = _a_<_>3_b_ = _a_<_>5 - 2 _b_<_>4 - 3,
69. A l’égard des $ignes, $i le dividende & le divi$eur ont chacun le même $igne + ou -, il faut que le quotient ait le $igne +: la rai$on en e$t, qu’une quantité négative e$t con- tenue dans une quantité négative, de la même maniere qu’une quantité po$itive e$t contenue dans une quantité po$itive. Mais s’ils avoient différens $ignes, le quotient auroit le $igne -, parce que les quantités po$itives & négatives étant des quan- tités oppo$ées les unes aux autres, $e contiennent négative- ment, & par con$équent le quotient doit avoir le $igne -. Par exemple, + _a_<_>2 _b_ divi$é par + _a_ = + _ab_; de même - _ab_ divi$é par - _b_ donne + _a_; ce qui $e peut encore dé- montrer par la preuve de la Divi$ion, par laquelle le pro- duit du divi$eur par le quotient doit redonner le dividende. Multipliant donc le quotient + _a_ par le divi$eur - _b_, on aura - _ab_, pui$que - par + donne - (n°. 57). Si l’on divi$e + _ab_ par - _a_, le quotient $era - _b_; car multipliant le quo- tient - _b_ par le divi$eur - _a_, on aura + _ab_, pui$que - par - donne + (n°. 57). Enfin $i l’on divi$e - _ab_ par + _a_, le quotient $era - _b_; car multipliant le quotient - _b_ par le divi- $eur + _a_, on aura - _ab_, pui$que - par + donne -.
70. Si le dividende e$t complexe, & le divi$eur toujours incomplexe, on fera $ur chaque terme les mêmes opérations que nous venons d’expliquer, & la $omme des quotiens par- ticuliers $era le quotient total. Ain$i pour divi$er _ab_ + _ad_ par _a_, je dis _ab_ divi$é par _a_ donne _b_, que j’écris au quotient. Je dis en$uite _ab_ divi$é par _a_ donne _d_ au quotient, qui étant ajouté au premier _b_, donne pour le quotient total _b_ + _d_; ce qui e$t encore évident, pui$qu’en multipliant le quotient _b_ + _d_ par le divi$eur _a_, on aura _ab_ + _ad_ égal au dividende.
71. Quand le dividende & le divi$eur $ont chacun des
quantités algébriques complexes, on $uit à peu près le même
procédé que dans la divi$ion des nombres. Par exemple, pour
divi$er _aa_ + 2_ab_ + _bb_ par _a_ + _b_, je po$e les premiers termes
du divi$eur $ous les premiers termes du dividende, & je com-
mence par chercher combien de fois le premier terme _a_ du
divi$eur e$t contenu dans le premier terme _a_<_>2 du dividende,
en di$ant, en _a_<_>2 combien de fois _a_, ou _a_<_>2 divi$é par _a_ donne _a_
au quotient: je multiplie le divi$eur entier _a_ + _b_ par _a_, &
72. Pour divi$er _a_<_>2 - 2_ab_ + _bb_ par _a_ - _b_, je dis comme ci-de$$us, _a_<_>2 divi$é par _a_ donne _a_ au quotient: je multiplie le diyi$eur entier _a_ - _b_ par le quotient _a_, dont le produit e$t _aa_ - _ab_, que je retranche du dividende, en le mettant après avec des $ignes contraires pour avoir le re$te _aa_ - 2_ab_ + _bb_ - _aa_ + _ab_, ce qui $e réduit à - _ab_ + _bb_. Je fais $ur le re$te la même opération, & je dis - _ab_ divi$é par _a_, donne - _b_, que j’écris à la $uite du premier terme du quotient: je mul- tiplie le divi$eur _a_ - _b_ par - _b_, & j’ôte le produit - _ab_ + _bb_ du re$te qui m’a $ervi de dividende pour avoir - _ab_ + _bb_ + _ab_ - _bb_, qui $e réduit à zero par la réduction des quan- tités $emblables, d’où je conclus encore que _a_ - _b_ e$t le quo- tient.
73. Pour divi$er _aa_ - _bb_ par _a_ + _b_, je dis _aa_ divi$é par _a_ donne _a_, qui étant multiplié par le divi$eur, donne pour pro- duit _aa_ + _ab;_ le retranchant du dividende, il re$te _aa_ - _bb_ - _aa_ - _ab;_ qui étant réduit, donne - _bb_ - _ab_, ou - _ab_ - _bb_, que je divi$e encore par _a_ + _b_, en di$ant - _ab_ divi$é par + _a_ donne - _b_. Multipliant le divi$eur par - _b_, il vient - _ab_ - _bb_, qui étant retranché du dividende partiel, donne - _ab_ - _bb_ + _ab_ + _bb_ ou zero, en effaçant ce qui $e dé- truit; d’où il $uit quele quotient e$t _a_ - _b_, ce qui e$t évident, pui$qu’en multipliant ce quotient par le divi$eur, on retrouve le dividende.
1<_>er {Dividende _aa_ + 2_ab_ + _bb_/Divi$eur _a_ + _b_} {Quotient total _a_ + _b_.
Produit _aa_ + _ab_ (_a_, premier quotient.
Sou$traction _aa_ + 2_ab_ + _bb_ - _aa_ - _ab_.
{Réduction ou nou- \\ veau dividende { _ab_ + _bb_/Divi$eur _a_ + _b_} (_b_, $econd quotient.
Produit _ab_ + _bb_
Sou$traction _ab_ + _bb_ - _ab_ - _bb_ = o.
2<_>e Dividende _aa_ - 2_ab_ + _bb_ (_a_ - _b_, quotient total.
Divi$eur _a_ - _b_
Produit _aa_ - _ab_
Sou$traction _aa_ - 2_ab_ + _bb_ - _aa_ + _ab_ (_a_, I<_>er quot.
{Réduction ou nou- \\ veau dividende { - _ab_ + _bb_/Divi$eur _a_ - _b_} (- _b_, $econd quotient.
Produit - _ab_ - _bb_
Sou$traction - _ab_ + _bb_ + _ab_ + _bb_ = o.
3<_>e {Dividende _aa_ - _bb_ (quotient total (_a_ - _b_)/Divi$eur _a_ + _b_ (_a_, premier quotient.}
Produit _aa_ + _bb_
Sou$traction _aa_ - _bb_ - _aa_ - _ab_
Réduction ou nouveau dividende. {- _ab_ - _bb_
Divi$eur _a_ + _b_ (- _b_, $econd quotient.
Produit - _ab_ - _bb_
Sou$traction - _ab_ - _bb_ + _ab_ + _bb_ = o.
4<_>e {Dividende _a_<_>4 x x x - _b_<_>4 (quot. total _a_<_>3 + _a_<_>2_b_ + _ab_<_>2 + _b_<_>3/Divi$eur _a_ - _b_ (premier quotient _a_<_>3}
Produit _a_<_>4 - _a_<_>3_b_
Sou$traction _a_<_>4 - _a_<_>4 + _a_<_>3_b_ x x - _b_<_>4
{Réduction ou di- \\ vidende partiel { _a_<_>3_b_ x x - _b_<_>4/Divi$eur _a_ - _b_ ($econd quotient _a_<_>2_b_}
Produit _a_<_>3_b_ - _a_<_>2_b_<_>2
Sou$traction _a_<_>3_b_ - _a_<_>3_b_ + _a_<_>2_b_<_>2 - _b_<_>4
{Réduction ou nou- \\ veau dividende { _a_<_>2_b_<_>2 - _b_<_>4/Divi$eur _a_ - _b_ (troi$ieme quotient _ab_<_>2}
Produit _a_<_>2_b_<_>2 - _ab_<_>3
Sou$traction _a_<_>2_b_<_>2 - _a_<_>2_b_<_>2 + _ab_<_>3 - _b_<_>4
{Réduction ou nou- \\ veau dividende {_ab_<_>3 - _b_<_>4/Divi$eur _a_ - _b_} (quatrieme quotient + _b_<_>3
Produit _ab_<_>3 - _b_<_>4
Sou$traction _ab_<_>3 - _b_<_>4 - _ab_<_>3 + _b_<_>4 = o.
Quoique le quotient ait plus de termes que le dividende, il ne faut pas croire pour cela que le dividende $oit plus petit que le quotient; car tant que le divi$eur _a_ - _b_ $era quelque cho$e de po$itif, le produit du quotient po$itif _a_<_>3 + _a_<_>2_b_ + _ab_<_>2 + _b_ par la quantité po$itive _a_ - _b_, donnera certainement au produit quelque cho$e de plus grand que ce même quotient: donc _a_<_>4 - _b_<_>4, qui e$t le produit, e$t plus grand que _a_<_>3 + _a_<_>2_b_ + _ab_<_>2 + _b_<_>3. D’ailleurs en Algebre une quantité qui a plus de dimen$ion qu’une autre, e$t toujours regardée comme la plus grande.
Si l’on avoit des quantités plus compo$ées que les précé- dentes, on $uivroit le même procédé dans l’opération, comme $i l’on propo$oit de divi$er la quantité 6_a_<_>2 + 10_ab_ + 17_ac_ + 15_bc_ + 12_c_<_>2 par 2_a_ + 3_c_, on écriroit le dividende au de$$us du divi$eur, & le re$te $e feroit comme on le voit ci-de$$ous.
{Dividende 6_a_<_>2 + 10_ab_ + 17_ac_ + 15_bc_ + 12_c_<_>2 { 3_a_ + 5_b_ + 4_c_, quot. total./Divi$eur 2_a_ + 3_c_ (3_a_, premier quotient.}
Produit 6_a_<_>2 + 9_ac_
Sou$traction 6_a_<_>2 + 10_ab_ + 17_ac_ - 6_a_<_>2 - 9_ac_ + 15_bc_ + 12_c_<_>2
{Réduction ou nou- \\ veau dividende { 10_ab_ + 8_ac_ + 15_bc_ + 12_cc_/Divi$eur 2_a_ + 3_c_ (5_b_, $econd quotient.}
Produit 10_ab_ + 15_bc_
Sou$traction 10_ab_ + 8_ac_ + 15_bc_ + 12_cc_ - 10_ab_ - 15_bc_.
{Réduction ou nou- \\ veau dividende {8_ac_ + 12_cc_/Divi$eur 2_a_ + 3_c_} (4_c_, troi$ieme quotient.
Produit 8_ac_ + 12_cc_
Sou$traction 8_ac_ + 12_cc_ - 8_ac_ - 12_cc_ = o.
Si le dividende & le divi$eur contenoient plu$ieurs pui$- $ances d’une même lettre, il faudroit di$po$er les termes du dividende par rapport aux différentes pui$$ances d’une même lettre, en regardant comme premier terme celui dans lequel cette pui$$ance $eroit la plus élevée, comme $econd celui où elle $e trouveroit d’un degré moins élevée, & ain$i des autres. Ayant fait la même opération $ur le divi$eur, il faudroit faire la Divi$ion $elon les regles précédentes; c’e$t ce que l’on ap- pelle ordonner une quantité par rapport à une lettre. Par exemple, $i l’on propo$e de divi$er 22_a_<_>4_b_ + 9_ab_<_>4 + 12_a_<_>2_b_<_>3 19_a_<_>3_b_<_>2 + 8_a_<_>5, par 4_a_<_>3 + 2_ab_<_>2 + 3_b_<_>3 + 5_a_<_>2_b_, on commencera par ordonner le dividende par rapport à la lettre _a_, en regar- dant le terme 8_a_<_>5 comme le premier, parce qu’il contient la plus haute pui$$ance de la lettre _a_; & en $uivant le même principe, on aura le dividende ordonné, 8_a_<_>5 + 22_a_<_>4_b_ + 19_a_<_>3_b_<_>2 + 12_a_<_>2_b_<_>3 + 9_ab_<_>4, on fera de même pour le divi$eur, & l’on aura le divi$eur ordonné, 4_a_<_>3 + 5_a_<_>2_b_ + 2_ab_<_>2 + 3_b_<_>3. Le re$te de la Divi$ion $e fera préci$ément comme les précédentes.
{Dividende 8_a_<_>5 + 22_a_<_>4_b_ + 19_a_<_>3_b_<_>2 + 12_a_<_>2_b_<_>3 + 9_ab_<_>4/Divi$eur 4_a_<_>3 + 5_a_<_>2_b_ + 2_ab_<_>2 + 3_b_<_>3 (2_a_<_>2 + 3_ab_, quot. total.}
Produit 8_a_<_>5 + 10_a_<_>4_b_ + 4_a_<_>3_b_<_>2 + 6_a_<_>2_b_<_>3 (1<_>er quotient 2_a_<_>2.
Sou$traction 8_a_<_>5 + 22_a_<_>4_b_ + 19_a_<_>3_b_<_>2 + 12_ab_<_>3 + 9_ab_<_>4 - 8_a_<_>5 - 10_a_<_>4_b_ - 4_a_<_>3_b_<_>2 - 6_a_<_>2_b_<_>3.
{Réduction ou nou- \\ veau dividende { 12_a_<_>4_b_ + 15_a_<_>3_b_<_>2 + 6_a_<_>2_b_<_>3 + 9_ab_<_>4/Divi$eur 4_a_<_>3 + 5_a_<_>2_b_ + 2_ab_<_>2 + 3_b_<_>3 (2<_>e quotient 3_ab_.}
Produit. 12_a_<_>4 + 15_a_<_>3_b_<_>2 + 6_a_<_>2_b_<_>3 + 9_ab_<_>4
Sou$traction 12_a_<_>4_b_ + 15_a_<_>3_b_<_>2 + 6_a_<_>2_b_<_>3 + 9_ab_<_>4 - 12_a_<_>4_b_<_>2 - 15_a_<_>3_b_<_>2 - 6_a_<_>2_b_<_>3 - 9_ab_<_>4 = o.
Nous n’avons point parlé des quatre Regles ordinaires d’A-
rithmétique, parce que nous avons $uppo$é que ceux qui étu-
dieront ce Traité, $çauront au moins l’Addition, la Sou$trac-
tion, la Multiplication & la Divi$ion; mais comme plu$ieurs
pourroient n’avoir aucune connoi$$ance des parties plus rele-
vées, & même ignorer la maniere dont on doit pratiquer la
Multiplication dans certain cas, lor$que le multiplicateur &
74. On dit qu’une grandeur e$t _partie aliquote_ d’un tout ou d’une autre grandeur, lor$qu’elle e$t contenue un nombre de fois ju$te dans cette autre. Ain$i le pied e$t partie aliquote de la toi$e, parce qu’il y e$t contenu $ix fois ju$te; le $ol e$t une partie aliquote de la livre, parce que la livre vaut vingt $ols: de même ces autres nombres, 2, 4, 5, 10 $ols $ont des parties aliquotes de la livre, parce que chacun d’eux e$t con- tenue exactement un certain nombre de fois dans la livre.
Lor$qu’une grandeur n’e$t pas contenue exactement dans une autre, & $ans re$te, elle e$t appellée partie aliquante de cette grandeur: ain$i 9 $ols e$t une _partie aliquante_ de la livre, parce que cette grandeur e$t contenue deux fois dans la livre, avec un re$te 2; de même 17 $ols, 15 $ols $ont des par- ties aliquantes de la livre pour la même rai$on: 5 pouces, 7 pouces, 8 pouces $ont des parties aliquantes du pied, parce que chacune de ces grandeurs $ont contenues dans le pied, avec des re$tes.
75. Quoique, $elon les définitions précédentes, une partie aliquante ne pui$$e pas être partie aliquote d’un même tout, néanmoins on peut décompo$er cette quantité en d’autres, qui $oient parties aliquotes du tout, & dont la $omme $oit égale à la partie aliquante propo$ée; ain$i ce nombre 17 $ols e$t égal à 10 + 5 + 2, qui $ont chacun des parties aliquotes de la livre, dont il n’e$t qu’une partie aliquante. Tout l’art des opérations que nous allons faire con$i$te à décompo$er les parties aliquantes en parties aliquotes, en fai$ant en$orte, au- tant qu’il e$t po$$ible, que ces parties $oient non $eulement par- ties aliquotes de ce tout ou de l’unité principale, mais encore les unes des autres.
76. On appelle multiplication complexe celle dans laquelle
On demande le prix de 45 toi$es 3 pieds de maçonnerie, à 9 liv. la toi$e.
Pour avoir le prix que l’on cher- che, il faudra multiplier 45 toi$es 3 pieds par 9 liv. ou, pour mieux dire, il faudra prendre 45 fois 9l. & la moitié de 9 livres, parce que 3 pieds $ont la moitié d’une toi$e, dont le prix doit au$$i être moitié du prix de la toi$e: car en général il e$t ridicule de dire que l’on multiplie des livres, des $ols & des deniers par des toi$es, des pieds, des pouces, &c. D’ailleurs, $uivant un tel énoncé, il e$t impo$$ible de déterminer la nature des unités du pro- duit: mais il faut regarder un des nombres comme un nom- bre ab$trait, c’e$t-à-dire dont les unités ne marquent que des nombres de fois, & dont les parties marquent des parties cor- re$pondantes d’une fois. Ain$i dans notre exemple, comme on cherche le prix de 45 toi$es 3 pieds, à 9 liv. la toi$e, pui$que pour une toi$e il faut prendre une fois 9 liv. pour 45 toi$es, il faudra prendre 45 fois 9 livres, & pour 3 pieds, moitié d’une toi$e, il faudra prendre une moitié de fois 9 liv. ou la moitié de 9 liv. Le produit de 9 liv. par 45 liv. e$t 405 livres, la moitié de 9 liv. e$t 4 liv. 10 $ols; ain$i la $omme 409 liv. 10 $ols e$t le prix demandé.
On demande le prix de 3 toi$es 2 pieds 6 pouces, à 5 liv. 4 $. 6 den. la toi$e courante.
Pour avoir le prix de-
mandé, il faudra multi-
plier 5 liv. 4 $. 6 den. par
3 toi$es 2 pieds 6 pouces,
ou, pour mieux dire, il fau-
dra chercher le prix de 3 <_>t.
à 5 liv. 4 $ols 6 den. le prix
On demande le prix de 43 aunes deux tiers d’étoffe, à 12 l. 10$. 8 den. l’aune.
Comme dans cet exemple la premiere partie 43 du multi- plicateur e$t compo$ée de deux chiffres, & que l’on ne verroit pas tout d’un coup la valeur de 43 fois 8 deniers, on commen- cera la Multiplication par les plus hautes e$peces. On cher- chera donc d’abord le prix de 43 aunes à 12 livres, le prix de 43 aunes à 10 $ols, & le prix de 43 aunes à 8 deniers.
On trouvera le prix de 43 aunes, à 12 liv. l’aune, en multi-
On demande le prix de 5 marcs 6 onces 2 gros de cuivre, à 4 liv. 7 $ols 8 den. le marc.
Tout le monde $çait que la livre vaut deux marcs, le marc 8 onces, l’once 8 gros, le gros 3 deniers, le denier 24 grains, ce qui donne 9216 grains pour la livre. Cela po$é,
Ayant di$po$é ces deux
On demande le prix de 325 marcs 7 onces 5 gros 2 deniers 16 grains d’un certain métal, à 54 liv. 18 $ols 9 den. le marc.
Comme le premier terme du multiplicande, & celui du mul-
tiplicateur $ont nombres compo$és de plu$ieurs chiffres, on
cherchera d’abord le prix de 325 marcs, à 54 liv. le marc, ce
qui $e fera en multipliant 325 par 54; on cherchera en$uite le
prix de 325 marcs, à 18 $ols le marc, ce qui $e fera en divi-
$ant 18 $ols en $es parties, 10 + 4 + 4, qui $ont chacune des
parties aliquotes de la livre, & prenant pour 10 $ols la moitié
de 325, en di$ant, la moitié de 3 e$t 1 pour 2, re$te 1, qui joint
avec le 2 $uivant fait 12, dont la moitié e$t 6; la moitié de
5 e$t 2 pour 4, re$te une livre ou 20 $ols, dont la moitié e$t
10 $ols, que je po$e au rang des $ols. Pour 4 $ols on cherchera
le cinquieme de 325, parce que 4 $ols fait la cinquieme partie
On pa$$era en$uite aux deniers 9, que l’on divi$era en deux
parties, 6, 3, dont la premiere 6 e$t la huitieme partie de 4 $ols,
& la $econde 3 e$t moitié de la premiere 6; on prendra donc
la huitieme partie du prix que l’on vient de trouver pour 4 $.
en di$ant la huitieme partie de 65 e$t 8 pour 64, po$e 8 au rang
des livres, re$te 1 liv. ou 20 $ols, dont la huitieme partie e$t 2 $.
pour 16, re$te 4 $ols ou 48 deniers, dont la huitieme partie e$t
6 deniers; pour 3 den. on prendra la moitié de ce que l’on vient
de trouver pour 6, & l’on aura évidemment 4 liv. 1 $ol 3 den.
Toutes ces opérations achevées, on aura le prix de 225 marcs,
à 54 liv. 18 $. 9 den. le marc; & comme cette partie devient
déja un peu compliquée, on pourra d’abord prendre la $omme
de ces produits particuliers, pour être moins expo$é à $e tromper
dans l’addition totale. On pa$$era en$uite aux onces, & l’on
divi$era lenombre 7, qui marque combien il y en a en 4, 2, 1,
qui $ont chacune partie aliquote du marc, & partie aliquote
l’une de l’autre; pour 4 onces on prendra la moitié de 54 liv.
18 $ols 9 den. en di$ant, la moitié de 54 livres e$t 27 livres, la
moitié de 18 $ols e$t 9 $ols, la moitié de 9 den. e$t 4 den. {1/2};
pour 2 onces on prendra la moitié de ce que l’on vient de trou-
ver, en di$ant, la moitié de 27 e$t 13 pour 26, je po$e 13 au
rang des livres, re$te 1 liv. ou 20 $ols, qui joint avec les 9 qui
$ont après, donne 29 $ols, dont la moitié e$t; 14 pour 28,
re$te un $ol ou 12 deniers, qui joints avec le 4 $uivant, font
16 deniers, dont la moitié e$t 8 (on négligera ici toutes les
fractions, parce qu’elles ne pourroient monter qu’à 3 ou 4 d.
& que d’ailleurs, pour en avoir exactement la $omme, cela $up-
po$eroit le calcul de ces nombres, que nous n’avons pas encore
donné). Pour une once on prendra encore la moitié de ce
que l’on vient de trouver, en di$ant, la moitié de 13 e$t 6
pour 12, re$te 1 liv. ou 20 $ols, qui joints avec les 14 $uivans,
font 34, dont la moitié e$t 17; la moitié de 8 deniers e$t 4
On pa$$era des onces au gros, & l’on divi$era 5 en deux par-
ties, 4 & 1, pour 4 gros on prendra la moitié du prix d’une
once, parce que l’once vaut 8 gros, & l’on aura 3 liv. 8 $. 8 d.
Pour un gros on prendra le quart du prix de 4 gros, en di$ant,
On pa$$era pareillement aux deniers, & pour 2 den. on pren- dra deux fois le tiers de 17 $ols 2 den. que l’on vient de trouver pour le prix du gros, qui vaut 3 deniers, & l’on aura 5 $. 8 den. que l’on écrira deux fois. Enfin pour avoir le prix de 16 grains, on prendra encore deux fois le tiers de 5 $ols 8 den. que l’on vient de trouver pour le prix d’un denier, qui vaut 24 grains, dont 16 grains $ont les deux tiers, & l’on aura un $ol 10 den. que l’on écrira deux fois; ajoutant tous ces prix particuliers, on aura le prix total de 325 marcs 7 onces 5 gros 2 den. 16 gr. que l’on trouvera, par l’addition, de 17907 liv. 15 $ols 11 den.
On pourroit, $ans $çavoir le calcul des fractions, opérer $ur les plus petites parties des deniers, en imaginant le denier divi$é en douze parties, & chaque partie divi$ée encore en douze au- tres parties, ain$i pour {1/2} on prendroit 6, pour {1/3} on prendroit 4, & ain$i de $uite, & dans l’addition de ces parties, on retiendroit autant de deniers que l’on auroit trouvé de fois douze. Nous allons appliquer cette méthode à l’exemple $uivant.
On demande le prix de 247 toi$es 5 pieds 9 pouces de maçon- nerie, à 25 liv. 19 $ols 11 den. la toi$e.
Après avoir di$po$é le mul-
76. SI l’on divi$e une unité quelconque, que nous appelle- rons unité principale, comme une toi$e, un pied, une livre, &c. en un certain nombre de parties égales, chacune de ces parties $era appellée _unité fractionnaire_, pour la di$tinguer de l’unité principale que l’on divi$e, & le nombre qui marquera com- bien on prend de ces parties égales, $era appellé une fraction, que l’on exprime ain$i, {2/3}, {5/6}, & que l’on prononce deux tiers, cinq $ixiemes. On a déja vu qu’une barre placée entre deux grandeurs, indique la divi$ion de la grandeur $upérieure, & c’e$t encore ce qui arrive ici.
77. Le nombre que l’on met au de$$ous de la barre s’appelle _dénominateur_, parce qu’il fait voir en combien de parties égales on a partagé ou divi$é l’unité principale. Dans les fractions pré- cédentes, les nombres 3 & 6 $ont les dénominateurs de ces fractions, parce qu’ils dé$ignent que les unités principales ont été divi$ées en trois ou en $ix parties égales.
78. Le nombre que l’on met au de$$us de la barre horizon- tale s’appelle _numérateur_, parce qu’il compte effectivement combien on prend de parties égales: ain$i 2 & 5 $ont les nu- mérateurs des fractions {2/3} & {5/6}. Les fractions algébriques $e marquent préci$ément de la même maniere; ain$i {a/b}, {c/d}, {f/g} $ont des fractions algébriques, dont les numérateurs $ont _a, c, f_, & les dénominateurs _b, d, g_.
79. Si le numérateur e$t égal, plus petit ou plus grand que
le dénominateur, la fraction $era au$$i égale à l’unité, ou plus
petite ou plus grande que l’unité; car un tout e$t égal à toutes
$es parties pri$es en$emble, & plus grand qu’une de $es parties,
80. La grandeur d’une fraction dépend de la grandeur du numérateur de cette fraction; en$orte que de deux fractions qui ont même dénominateur, la plus grande e$t celle qui a le plus grand numérateur, & la plus petite, celle qui a le plus petit numérateur; car il e$t évident que la fraction {5/6} e$t plus grande que la fraction {3/6}, par la même rai$on que 5 e$t plus grand que 3, quelle que $oit la nature des unités du 6 & du 3, pourvu qu’elle $oit la même pour l’un & pour l’autre.
81. Plus le nombre dans lequel on divi$e un même tout e$t grand, plus chaque partie e$t petite, & par con$équent plus le dénominateur d’une fraction e$t grand, le numérateur re$tant le même, plus au$$i la fraction e$t petite; c’e$t ce que les Géo- metres expriment, en di$ant que deux fractions qui ont un même numérateur $ont entr’elles réciproquement comme leurs dénominateurs; car il e$t évident que la fraction {2/3} e$t plus grande que la fraction {2/5}, pourvu qu’elles $oient chacune frac- tion d’une même unité principale, d’une toi$e par exemple, d’un pied, &c.
82. Les fractions étant des parties de certaines grandeurs ou unités principales, $ont de même nature qu’elles, & par con- $équent $ont $u$ceptibles comme elles d’augmentation ou de diminution. Donc on peut faire $ur les fractions les mêmes opérations que l’on fait $ur les entiers, c’e$t-à-dire qu’on peut les ajouter, les $ou$traire, les multiplier, ou les divi$er les unes par les autres.
Outre les quatre opérations qui leur $ont communes avec les nombres entiers, il y en a trois autres qui leur $ont parti- culieres, & dont les premieres dépendent. La premiere de ces trois e$t d’évaluer une fraction, ou de déterminer $a valeur en quantités connues; la $econde e$t de réduire les fractions à leurs moindres termes, & la troi$ieme e$t de les réduire au même dénominateur. Nous allons commencer par expliquer ces opérations, par le $ecours de$quelles on pourra faire ai$é- ment toutes les autres.
_83_. Evaluer une fraction, ou, ce qui e$t la même cho$e, trouver en valeurs connues, moindre que l’unité principale, une quantité égale à une fraction propo$ée.
On divi$era l’unité principale en autant de parties égales qu’il y a d’unités au dénominateur; on multipliera en$uite le quotient par le numérateur, & le produit $era la valeur de la fraction propo$ée. Comme $i l’on propo$oit d’évaluer cette fraction {2/5} de liv. je divi$e la livre, qui e$t ici l’unité principale, & qui vaut 20 $ols, en cinq parties égales, dont chacune e$t 4 $ols, le$quels multipliés par le numérateur 2, font connoître que la fraction {2/5} de liv. vaut 5 $ols. De même $i l’on propo$e d’évaluer cette fraction {5/6} de pied, je divi$e le pied ou 12 pouces en $ix parties égales, le$quelles $ont chacune de deux pouces, je multiplie ce quotient 2 par le numérateur 5; le produit 10 me marque que la fraction {5/6} de pied vaut 10 pouces. Cette premiere opération n’a pas lieu dans les fractions algébriques, {_a_/_b_} e$t {_a_/_b_}, & l’on ne pourroit l’évaluer qu’après avoir $ub$titué à la place de _a_ & de _b_ les grandeurs qu’elles expriment.
84. On dit qu’une fraction e$t _réduite à $es moindres termes_, ou _à $a plus $imple expre$$ion_, lor$que le numérateur & le dé- nominateur de cette fraction n’ont pas d’autres divi$eurs com- muns que l’unité: ain$i ces fractions {2/3}, {7/5}, {8/9} $ont des fractions réduites à leurs moindres termes. Il n’en e$t pas de même des fractions {3/9}, {4/16}, qui $ont telles, qu’on en peut trouver d’autres qui leur $oient égales, & dont les termes $oient plus petit, comme {1/3} pour la premiere, & {2/8} ou {1/4} pour la $econde, que l’on trouve en divi$ant les deux termes de la premiere par 3, & les deux termes de la $econde par 2 ou par 4.
85. Si le nombre par lequel on divi$e les deux termes d’une fraction e$t le plus grand divi$eur po$$ible, commun au nu- mérateur & au dénominateur, la fraction qui ré$ultera des deux quotiens, divi$és l’un par l’autre, $era au$$i la plus $imple fraction po$$ible, & égale à la premiere.
86. En Algebre une fraction e$t réduite à $es moindres ter-
mes, lor$qu’elle n’a point de lettre commune au numérateur
_87_. Trouver le plus grand commun divi$eur de deux nombres, _360 & 792_, ou, ce qui e$t la même cho$e, réduire la fraction {_360_/_792_} à $es moindres termes.
On divi$era le plus grand nombre 792 par le plus petit 360, & négligeant le quotient 2, on divi$era de nouveau le plus petit 360 par le re$te 72; & comme la divi$ion de ces deux nombres $e fait exactement, on en conclura que 72 e$t le plus grand divi$eur po$$ible, commun aux deux nombres 792 & 360. De même $oit propo$é de trouver le plus grand commun di- vi$eur des deux nombres 91 & 294, ou, ce qui e$t la même cho$e, de réduire la fraction {91/294} à $es moindres termes; je divi$e le plus grand nombre 294 par le plus petit 91, il vient 3 au quotient, que je néglige, avec un re$te 21; je divi$e le plus petit nombre 91 par le re$te 21, il vient encore 3 au quo- tient, que je néglige pareillement, avec un re$te 7: je divi$e le premier re$te 21 par le $econd 7, & comme la divi$ion $e fait exactement & $ans re$te, je conclus que le nombre 7 e$t le plus grand commun divi$eur aux deux nombres 294 & 91. En général le re$te qui divi$e exactement le re$te précédent, e$t toujours le plus grand commun divi$eur que l’on cherche; di- vi$ant donc le numérateur & le dénominateur de la 1<_>re fraction {360/792} par le plus grand divi$eur commun 72, on aura la frac- tion {5/11}, qui e$t irréductible, & égale à la propo$ée. Divi$ant de même le numérateur & le dénominateur de la $econde fraction {91/294} par le plus grand commun divi$eur 7, on aura la nouvelle fraction {13/42} égale à la précédente, & réduite à $a plus $imple expre$$ion.
Pour concevoir la rai$on de ces opérations, on fera atten-
tion, 1°. qu’un nombre qui divi$e exactement une grandeur,
e$t au$$i divi$eur exact de $es multiples, ou des nombres qui
ré$ultent du produit de cette grandeur par une autre quelcon-
que. Par exemple, $i 3 e$t divi$eur de 6, il $era au$$i divi-
2°. Qu’un nombre qui divi$e les deux parties d’un tout, $era au$$i divi$eur du tout, parce qu’un nombre e$t égal à toutes $es parties pri$es en$emble; ain$i le nombre 3 étant di- vi$eur des nombres 9 & 6, e$t au$$i divi$eur de leur $omme 15.
3°. Que $i un nombre e$t divi$eur d’un tout & d’une de $es parties, il $era au$$i divi$eur de l’autre partie; car s’il ne la di- vi$oit pas, il ne $eroit pas divi$eur du tout, ce qui e$t contre l’hypothe$e: ain$i le nombre 3 étant divi$eur du tout 15, & d’une de $es parties 9, e$t au$$i divi$eur de l’autre 6.
Cela po$é, que _a_ & _b_ repré$entent les deux nombres, dont on demande le plus grand commun divi$eur, que _a_ divi$é par _b_ donne un quotient _f_ avec le re$te _d_, on aura _a_ = _bf_ + _d_; car un dividende quelconque e$t égal au produit du divi$eur par le quotient joint au re$te de la divi$ion. Que _b_, divi$é par le premier re$te _d_, donne un quotient _g_ avec le re$te _c_, on aura par la même rai$on _b_ = _dg_ + _c_: enfin que le dernier re$te _c_ divi$e exactement le premier _d_, en donnant _h_ au quotient, on aura encore _d_ = _ch_; & ra$$emblant toutes ces égalités, on aura _a_ = _bf_ + _d_, _b_ = _dg_ + _c_, & _d_ = _ch_. Or il e$t évident que _c_ e$t divi$eur des quantités _a_ & _b_, car pui$que _c_ e$t di- vi$eur de _d_, il e$t au$$i divi$eur de $on multiple _dg_; d’ailleurs il e$t divi$eur de lui-même; donc il divi$e _dg_ + _c_; donc il e$t divi$eur de _b_, à cau$e de l’équation _b_ = _dg_ + _c_. Pui$que _c_ e$t divi$eur de _d_ & de _b_, il e$t au$$i divi$eur des multiples de _b_; donc il divi$e _bf_ + _d_; donc il e$t divi$eur de _a_, à cau$e de l’égalité _a_ = _bf_ + _d_.
Si l’on met dans l’équation _b_ = _dg_ + _c_ la quantité _ch_ à la
place de _d_ qui lui e$t égale, on aura _b_ = _cgh_ + _c_; $ub$tituant
pareillement cette valeur de _b_ dans celle de _a_, ain$i que celle
de _d_, on aura _a_ = _cfgh_ + _cf_ + _ch;_ donc au lieu de la frac-
tion {_a_/_b_} on auroit, $uivant les $uppo$itions que nous avons faites,
{_cfgh_ + _cf_ + _ch_/_cgh_ + _c_}, dans laquelle fraction il e$t ai$é de voir qu’il n’y
a que la quantité _c_ qui $oit un divi$eur commun au numéra-
teur & au dénominateur, & que cette lettre e$t en même tems
le plus grand commun divi$eur. Comme le procédé numé-
rique e$t préci$ément le même, il faut au$$i qu’il fa$$e trouver
le commun divi$eur que l’on cherche; ain$i l’on pourra tou-
_88_. Réduire deux ou plu$ieurs fractions à un même dénomina- teur, de maniere qu’elles $oient toujours égales aux fractions pro- po$ées.
S’il n’y a que deux fractions, on multipliera le numérateur & le dénominateur de chacune par le dénominateur de l’autre; & s’il y en a plu$ieurs, on multipliera le numérateur & le dé- nominateur de chacune par le produit des dénominateurs des autres fractions.
Dans l’un & dans l’autre cas les fractions auront même dé- nominateur; car le produit de tant de nombres que l’on vou- dra, multipliés les uns par les autres, $era toujours le même. De plus, chacune $era égale à la premiere fraction propo$ée, pui$que le numérateur augmente par la multiplication dans la même proportion que les parties du dénominateur dimi- nuent. La regle e$t précì$ément la même pour les fractions algébriques, & $e démontre de la même maniere, comme on le va voir dans les exemples $uivans.
Soient propo$ées les fractions {2/3} & {4/5}, pour être réduites au même dénominateur, on multipliera les deux termes 2 & 3 de la premiere par le dénominateur 5 de la $econde, & réci- proquement les deux termes 4 & 5 de la $econde par le déno- minateur 3 de la premiere, & l’on aura les deux nouvelles frac- tions {10/15} & {12/15} égales aux précédentes, & réduites en même dé- nomination. De même pour réduire les fractions algébriques {_a_/_b_} & {_c_/_d_} à la même dénomination, je multiplie _a_ & _b_ par _d_, & les termes _c_ & _d_ de la $econde par _b_, pour avoir les fractions {_ad_/_bd_}, {_cb_/_bd_} qui $ont égales aux précédentes, & ont même déno- minateur _bd_.
Si l’on a plu$ieurs fractions, comme {2/3}, {3/4}, {5/6} à réduire, on
multipliera les termes 2 & 3 de la fraction {2/3} par 24, produit
des deux autres dénominateurs 6 & 4; de même les termes 3
& 4 de la fraction {3/4} par le nombre 18, produit des dénomina-
teurs 3 & 6 des deux autres; & enfin les termes 5 & 6 de la frac-
tion {5/6} par 12, produit des dénominateurs 3 & 4 des deux
En agi$$ant de même, on verra que les fractions {_a_/_b_}, {_c_/_d_}, {_f_/_g_} deviendront celles-ci {_adg_/_bdg_}, {_cbg_/_bdg_}, {_bdf_/_bdg_}, qui ont évidemment même dénominateur.
89. Après avoir réduit les fractions propo$ées en même dé- nomination, il e$t à propos de voir $i le dénominateur n’a pas quelque divi$eur par lequel on pui$$e divi$er tous les numéra- teurs, afin de $implifier les nouvelles fractions, ain$i que dans l’exemple précédent, où l’on peut divi$er tous les numéra- teurs & le dénominateur commun par 6, ce qui réduit les frac- tions à celles-ci {8/12}, {9/12}, {10/12} égales aux premieres, ayant même dénomination, & les plus $imples que l’on pui$$e trouver, qui rempli$$ent ces conditions.
90. S’il y a plu$ieurs dénominateurs parmi les fractions à réduire, qui ayent entr’eux un divi$eur commun, deux par exemple, on pourra divi$er une fois par ce divi$eur chaque ter- me des nouvelles fractions réduites; s’il y en a trois qui ayent un divi$eur commun, on pourra divi$er toutes les nouvelles fractions deux fois de $uite par le même divi$eur, ou bien, $i l’on veut, une fois par le quarré de ce divi$eur commun. Dans l’exemple propo$é ci-de$$us; on a divi$é toutes les nouvelles fractions par 6, parce que deux d’entr’elles avoient un même divi$eur 3, $çavoir, la fraction {2/3} & fraction {5/6}, & deux autres des mêmes fractions avoient à leurs dénominateurs un divi- $eur commun 2, $çavoir, la fraction {3/4} & la fraction {5/6}, c’e$t pourquoi l’on divi$e par 2 x 3 ou par 6. On trouvera ai$ément la rai$on de ces opérations, $i l’on décompo$e les dénomina- teurs de ces fractions dans leurs facteurs.
91 Si les fractions que l’on veut ajouter en$emble n’ont pas
un même dénominateur, on commencera par les y réduire:
ain$i $i l’on propo$e d’ajouter en$emble les fractions {2/3}, {4/5}, {5/6}, on
les réduira au même dénominateur, $uivant l’art. 88, & l’on
aura à la place de ces fractions {60/90}, {72/90}, {75/90}, ou plus $implement
(article 89.) {20/30}, {24/30}, {25/30}, qui $ont égales aux précédentes. On
Si les fractions ont déja même dénomination, on n’aura pas la peine de les y réduire, le re$te de l’opération s’achevera comme dans le cas précédent. La rai$on de cette opération e$t évidente, car pui$que les fractions comptent des unités de même e$pece, étant réduites au même dénominateur, la $omme de ces fractions ne differe pas de celle des numérateurs, par la même rai$on que la $omme de ces différens nombres, 10 écus, 20 écus, 15 écus e$t égale à la $omme des nombres 10 + 20 + 15 = 45 écus.
92. Si les fractions ont un même dénominateur, on fera une nouvelle fraction, dont le numérateur $oit égal à la dif- férence des numérateurs des fractions propo$ées, & qui retien- dra le même dénominateur. Par exemple, $i l’on veut ôter {4/6} de {5/6}, on ôtera le numérateur 4 du numérateur 5, & l’on écrira le re$te 1 au de$$us de la barre de divi$ion, en mettant au de$$ous le dénominateur pour avoir la fraction {1/6} égale à la différence des fractions propo$ées. De même {5/9} - {3/9} = {2/9}, & en Algebre {_a_/_b_} - {_c_/_b_} = {_a_ - _c_/_b_}, {_d_/_f_} - {_g_/_f_} = {_d_ - _g_/_f_}.
Si les fractions n’ont pas un même dénominateur, on com-
mencera par les y réduire (n°. 88), & le re$te $e fera comme
dans le premier cas, $oit $ur les fractions numériques, $oit $ur
les fractions algébriques. Par exemple, $i l’on propo$e d’ôter
la fraction {3/7} de la fraction {2/3}, on les réduira d’abord en celles-ci
qui leur $ont égales, {14/21} & {9/21}, dont la différence e$t {5/21} égale à
celle des fractions primitives {3/7} & {2/3}; de même {5/8} - {4/9} = {45/72} - {32/72}
= {13/72}. De même pour ôter de la fraction {_a_/_b_} celle-ci {_c_/_d_}, on les
réduira d’abord au même dénominateur, & prenant la diffé-
rence des numérateurs des nouvelles fractions, on aura pour
93. Si l’on avoit plu$ieurs fractions à ôter de plu$ieurs au- tres fractions, on commenceroit par réduire celles que l’on doit ôter en même dénomination ($elon l’art. 88.) pour avoir une $eule fraction égale à leur $omme; on feroit la même cho$e pour les fractions dont on doit $ou$traire les premieres: enfin on prendra la différence de ces nouvelles fractions, & l’on aura celle des fractions propo$ées. Par exemple, $i l’on veut ôter les fractions {1/2}, {2/9}, {4/5} des fractions {2/3}, {3/4}, {5/6}, je réduis les premieres en même dénomination, pour avoir à leur place les fractions {45/90}, {20/90}, {72/90}, dont la $omme e$t {137/90}. Je réduis pareille- ment les fractions {2/3}, {3/4}, {5/6} en même dénomination pour avoir à leur place les fractions {48/72}, {54/72}, {60/72}, ou plus $implement {8/12}, {9/12}, {10/12}, dont la $omme e$t {27/12}; rédui$ant donc les deux fractions {137/90} & {27/12} en même dénomination, la premiere deviendra {1644/1080}, & la $econde {2430/1080}; prenant la différence de ces fractions, on aura celle des fractions propo$ées de {786/1080}. On voit par cet exemple comment on peut déterminer laquelle de deux fractions e$t la plus grande, & de combien l’une $urpa$$e l’autre, ce qui dans certains cas ne s’apperçoit pas tout d’un coup comme dans ces deux-ci, {48/55} & {27/32}, à moins que l’on n’ait beaucoup d’habitude au calcul.
94. Si l’on vouloit $ou$traire un entier & une fraction d’un
autre entier, & d’une autre fraction, il faudroit d’abord
réduire l’entier en fraction, ce qui $e feroit en le multipliant
par le dénominateur de la fraction qui lui e$t jointe: ain$i pour
que _a_ - {_cx_/_d_} $oit tout en fraction, il faut multiplier _a_ par _d_, &
écrire {_ad_ - _cx_/_d_}; de même pour ne faire qu’une $eule fraction
de l’entier 2_y_ + {_bb_/_f_}, l’on multipliera 2_y_ par _f_ pour avoir la frac-
tion {2_fy_ + _bb_/_f_}; en$uite pour $ou$traire ces deux fractions l’une
de l’autre, par exemple, {_ad_-_cx_/_d_} de {2_fy_ + _bb_/_f_}, je les réduis au
même dénominateur, & j’ai pour la $econde {2_dfy_ + _bbd_/_df_}, & pour
la premiere {_adf_ - _cfx_/_df_}, dont la différence e$t {2_dfy_ + _bbd_ - _adf_ + _cfx_/_df_}.
95. Une fraction n’e$t plus que la moitié, le tiers ou le quart de ce qu’elle étoit, $i on multiplie $on dénominateur par 2, par 3 ou par 4, pui$que le nombre des parties dans le$quelles on divi$e l’unitéprincipale devenant double, triple ou qua- druple, chaque partie diminue dans la même proportion, & que d’ailleurs on n’en prend que le même nombre, pui$que le numérateur ne change pas.
96. On peut multiplier une fraction par un entier ou par
une autre fraction. Si le multiplicateur e$t un entier, on mul-
tipliera le numérateur de la fraction par l’entier donné, le pro-
duit $era le numérateur d’une nouvelle fraction, qui con$er-
vera le même dénominateur que la fraction multiplicande, &
cette nouvelle fraction $era le produit cherché. Par exemple,
$i l’on veut multiplier la fraction {2/3} par l’entier 4, je multiplie
le numérateur 2 par l’entier 4, & le produit 8 $era le numéra-
teur de la fraction {8/3} égale au produit cherché. De même la
fraction {4/5} x 6 = {24/5} la fraction {27/32} x 3 = {81/32}; il en e$t de même
pour les fractions algébriques. Le produit de {_a_/_b_} x _c_ = {_ac_/_b_}, {_a_/_g_} x
97. Si le multiplicateur e$t au$$i une fraction, on multi- pliera les deux numérateurs l’un par l’autre, & les deux déno- minateurs de même, le produit des numérateurs $era le nu- mérateur d’une nouvelle fraction, dont le produit des déno- minateurs $era le dénominateur, laquelle fraction $era le pro- duit cherché: ain$i {2/3} x {4/5} = {8/15}, {3/5} x {8/9} = {24/45} ou {8/15}, en les rédui- $ant à leur plus $imple expre$$ion: il en $eroit de même $i les fractions étoient algébriques, {_a_/_b_} x {_c_/_d_} = {_ac_/_bd_}, {_fg_/_a_} x {_bd_/_gh_} = {_bdfg_/_agh_} = {_bfd_/_ah_}; de même {_a_ + _b_/_c_}x{_a_ - _b_/_g_} = {_aa_ - _bb_/_cg_}, {_a_-_b_/_f_}x{_c_-_d_/_g_} = {_ac_-_bc_-_ad_+_bd_/_fg_}.
Pour entendre la rai$on de ces opérations, on fera atten- tion qu’une fraction devient d’autant plus grande, que $on nu- mérateur augmente, le dénominateur re$tant le même; donc pour avoir une fraction deux ou trois fois plus grande, il $uffit de multiplier le numérateur par 2 ou par 3: donc pour le pre- mier cas, pour multiplier une fraction par un entier, il $uffit de multiplier le numérateur de la fraction par l’entier.
Pour le $econd cas, lor$que le multiplicateur e$t au$$i une fraction, on remarquera que lor$que je multiplie une fraction {2/3}, par exemple par {4/5}, & que je multiplie d’abord le numéra- teur 2 de la premiere par le numérateur 4 de la $econde, je multiplie par un nombre cinq fois trop grand, pui$que je ne me propo$e pas de multiplier cette fraction par l’entier 4, mais $eulement par la cinquieme partie de 4; & c’e$t ce que je fais effectivement en multipliant le dénominateur 3 par le déno- minateur 5 (art. 95); car après cette multiplication, les par- ties ne $ont plus que la cinquieme partie de ce qu’elles étoient avant.
98. Si l’on avoit un entier & une fraction à multiplier par un entier & une fraction, on donneroit à chaque entier le même dénominateur que la fraction qui l’accompagne, en le multipliant par le dénominateur, & le divi$ant par le même; on multiplieroit les deux nouvelles fractions qui en ré$ulte- roient l’une par l’autre, & le produit $eroit le produit que l’on demande. Par exemple, (3 + {5/6}) x (4 + {8/9}) = ({18 + 5/6}) x ({36+8/9}) = {23/6} x {44/9} = {1012/54}; de même pour multiplier {_bx_/_a_} - _y_ par {_bx_/_a_} +_y_ je réduis les entiers en fractions, en le multipliant par le dé- nominateur de la fraction, à laquelle ils $ont liés par les $ignes + ou -, & il vient {_bx_ - _ay_/_a_} & {_bx_ + _ay_/_a_}, & multipliant les deux numérateurs l’un par l’autre, c’e$t-à-dire _bx_ - _ay_ par _bx_ + _ay_, il vient _bbxx_ - _abxy_ + _abxy_ - _aayy_ ou _bbxx_ - _aayy_, à qui il faut donner pour dénominateur le produit des dénomina- teurs des deux fractions, qui $era _aa_, & l’on écrira {_bbxx_ - _aayy_/_aa_} pour le produit de la multiplication, ou bien {_bbxx_/_aa_} - _yy_.
99. Si dans le premier cas le multiplicateur étoit égal au dénominateur de la fraction propo$ée, le produit $eroit égal au numérateur, & alors la multiplication $e fait, en ôtant le dénominateur, ain$i {2/3} x 3 = 2, {_a_/_b_} x _b_ = _b_.
Si dans le même cas le dénominateur étoit divi$ible par l’entier propo$é, il faudroit faire la divi$ion, & du quotient faire le dénominateur d’une nouvelle fraction qui auroit même numérateur, & $eroit le produit demandé. Ain$i pour multi- plier {5/12} par 3, on divi$era le dénominateur 12 par 3, & le quo- tient 4 $era le dénominateur d’une nouvelle fraction {5/4}, qui con$ervera le même numérateur, & $era égale au produit cher- ché. En opérant de cette maniere, la fraction qui viendra $era tout d’un coup réduite à $a plus $imple expre$$ion, & l’on n’a pas deux opérations à faire. Il e$t de plus évident que la frac- tion {5/4} e$t le produit de la fraction {5/12} par 3, pui$que les par- ties dans le$quelles on divi$e l’unité principale $ont devenues trois fois plus grandes qu’elles n’étoient, & que l’on en prend toujours le même nombre.
100. Dans le $econd cas, c’e$t-à-dire lor$que le multiplica- teur e$t au$$i une fraction, $i le numérateur de la fraction mul- tiplicande e$t divi$ible par le dénominateur de la fraction multiplicateur, & réciproquement le dénominateur de la pre- miere divi$ible par le numérateur de la $econde, on fera les divi$ions, le premier quotient $era le numérateur d’une frac- tion, & le $econd le dénominateur de la même fraction, la- quelle $era le produit que l’on cherche. Par exemple, $i l’on propo$e de multiplier la fraction {8/9} par la fraction {3/4}, dans le$- quelles le numérateur 8 de la premiere e$t divi$ible par le dé- nominateur 4 de la $econde, & réciproquement le dénomina- teur 9 de la premiere divi$ible par le numérateur 3 de la $e- conde. Je divi$e donc 8 par 4, & 9 par 3; des quotiens 2 & 3, je fais la fraction {2/3}, qui e$t le produit demandé: en opérant de cette maniere, la fraction qui vient au produit e$t tout d’un coup réduite à $a plus $imple expre$$ion, au lieu qu’il auroit fallu réduire la fraction {24/36} que l’on eût trouvée, en $uivant le procédé ordinaire. On doit faire attention à cette remarque, lor$que les fractions que l’on veut multiplier les unes par les autres $ont des nombres un peu con$idérables.
101. Il arrive quelquefois dans ce $econd cas, que le pro- duit e$t plus petit que le multiplicande, ce qui paroît d’abord $urprenant; mais on ne $era pas long-temps embarra$$é par cette difficulté apparente, $i l’on fait attention à la nature de la Multiplication, qui e$t une opération, par laquelle on cher- che un nombre qui $oit au multiplicande, comme le multi- plicateur e$t à l’unité. Si donc le multiplicateur e$t plus petit que l’unité, il faut que le produit $oit au$$i plus petit que le multiplicande; ce qui arrivera néce$$airement toutes les fois que la fraction propo$ée pour multiplicateur ne vaudra pas un entier. D’ailleurs, quand je multiplie une fraction {8/9} par une autre {3/4}, c’e$t-à-dire que j’en prends les trois quarts, qui $eront certainement plus petits que cette fraction.
102. La Multiplication des fractions $ert à faire connoître ce que c’e$t qu’une fraction de fraction, qui paroît d’abord quelque cho$e de bien compliqué. Si l’on demande, par exem- ple, ce que vaut la moitié des trois quarts des quatre cin- quiemes d’un écu, on multipliera, les unes par les autres, les fractions {1/2}, {3/4}, {4/5}; ce qui donnera au produit {12/40} ou {3/10}: je divi$e l’écu en dix parties pour en avoir le dixieme, il me vient 6 $ols: donc {3/10} valent 18 $ols; & par con$équent 18 $ols $ont la moitié des trois quarts des quatre cinquiemes d’un écu. Enfin on re- marquera encore que l’on peut énoncer une même fraction de plu$ieurs manieres. On peut dire que la fraction {3/10} d’écu vaut les trois dixiemes d’un écu, ou la dixieme partie de trois écus. Toutes ces expre$$ions reviennent ab$olument au même; car $i trois écus $ont triples d’un écu, en prenant la dixieme partie de trois écus, on ne prend qu’un dixieme; & prenant les trois dixiemes d’un écu, on en prend trois fois plus, ce qui fait une compen$ation parfaite.
103. On peut divi$er une fraction par un entier, ou par
une autre fraction. Si le divi$eur e$t un entier, on multipliera
le dénominateur de la fraction dividende par cet entier, & le
produit $era le dénominateur d’une nouvelle fraction, qui
ayant même numérateur, $era le quotient demandé. Pour
divi$er la fraction {3/4} par 5, on multipliera le dénominateur 4
par l’entier 5, & la fraction {3/20} e$t le quotient cherché: de même
104. Si le numérateur de la fraction dividende étoit divi- $ible par l’entier donné, on feroit la divi$ion, afin de n’être point obligé de réduire la fraction qui viendroit au quotient, & qui $eroit néce$$airement réductible $i l’on multiplioit le dé- nominateur par l’entier propo$é pour divi$eur: ain$i la frac- tion {8/9} divi$ée par 4 = {2/9}, {35/48} divi$é par 7 = {5/48}, en général {_ab_/_c_} divi$é par _b_ = {_a_/_c_}, {_fgh_/_cd_} divi$é par _gh_ = {_f_/_cd_}. La rai$on de toutes ces opérations $e tire toujours du même principe; car divi$er une fraction par un entier, comme 2, 3 ou 4, c’e$t en cher- cher une qui ne $oit que la moitié, le tiers ou le quart de la fraction propo$ée, & c’e$t ce que l’on exécute effectivement, en $uivant l’une ou l’autre méthode. Dans la premiere, lor$- qu’on multiplie le dénominateur, les parties dans le$quelles on divi$e l’unité principale, ne $ont plus que la moitié, le tiers ou le quart de ce qu’elles étoient, pui$que leur nombre devient double ou triple, ou quadruple: donc la fraction n’e$t plus au$$i que la moitié, le tiers ou le quart de ce qu’elle étoit, pui$que l’on ne touche pas au numérateur. Dans la $econde pratique, les parties re$tent bien les mêmes, pui$que l’on ne touche pas au dénominateur; mais la fraction diminue par la divi$ion du numérateur, qui n’e$t plus que la moitié, le tiers ou le quart de ce qu’il étoit, $uivant qu’il a été divi$é par 2 ou par 3, ou par 4. Seulement il e$t à remarquer que l’une de ces deux méthodes peut toujours avoir lieu, pui$qu’il e$t toujours po$$ible de multiplier un nombre par un autre, & que la $e- conde n’e$t d’u$age que lor$que le numérateur e$t divi$ible par l’entier donné; auquel cas on doit préférer cette méthode à la plus générale, pour que la fraction $oit réduite à $es moindres termes dès la premiere opération.
105. Si le divi$eur e$t au$$i une fraction, on multipliera le
La rai$on de cette opération e$t toujours déduite des mê- mes principes que les précédentes. Quand je multiplie le dé- nominateur 3 de la fraction {2/3} par le numérateur 4 de la frac- tion {4/5}, je rends la fraction propo$ée cinq fois plus petite (art. 103.) que je ne me propo$e de le faire, pui$que je ne veux pas la divi$er par quatre entier, mais $eulement par la cinquieme partie de 4, pui$que la fraction {4/5} ne vaut que cela (art. 102); donc il faut la rendre cinq fois plus grande pour la remettre dans l’état où elle doit être; c’e$t ce que je fais en multipliant en- $uite le numérateur de la fraction dividende par le dénomina- teur 5 de la fraction divi$eur. La démon$tration $ub$i$te tou- jours dans toute $a force pour les fractions algébriques, cepen- dant on peut la prouver directement comme il $uit.
Pour prouver que la fraction {_a_/_b_}, divi$ée par la fraction {_c_/_d_}
donne au quotient {_ad_/_bc_}, nous $uppo$erons que {_a_/_b_} = _f_, & que
{_c_/_d_} = _g_, & nous ferons voir que {_ad_/_bc_} = {_f_/_g_}: pour cela, faites at-
tention que pui$que l’on a par hypothe$e {_a_/_b_} = _f_, & {_c_/_d_} = _g_, on
106. Si le numérateur de la fraction dividende e$t divi$ible par le numérateur du divi$eur, & le dénominateur de la même fraction divi$ible par celui du divi$eur, il faudra faire les di- vi$ions, & les quotiens mis en fraction, $eront le quotient de- mandé, qui $e trouvera de cette maniere réduit à $a plus $imple expre$$ion. Par exemple, pour divi$er la fraction {8/9} par la frac- tion {2/3}, je divi$e le numérateur 8 par le numérateur 2, & le dénominateur 9 par le dénominateur 3, avec les quotiens 4 & 3, je fais la fraction {4/3}, qui e$t le quotient que l’on demande. En $uivant la regle générale, on auroit multiplié 8 par 3, & 9 par 2, ce qui auroit donné la fraction {24/18}, qui ne vaut en effet que {4/3}, en divi$ant $es deux termes par 6, qui leur e$t com- mun. Il $era toujours po$$ible de faire la divi$ion, en $uivant la regle générale, mais il faut préférer cette derniere à la pre- miere, lor$que la divi$ion peut $e faire.
107. Si l’on avoit un entier & une fraction à divi$er par un entier & une fraction, on réduiroit chaque entier en fraction, qui auroit même dénominateur que la fraction à laquelle il e$t uni par les $ignes + & -, & l’on feroit la divi$ion de ces fractions, $uivant l’une des regles précédentes. Ain$i pour di- vi$er 6 + {3/4} par 2 + {5/6}, je change la premiere en {27/4}, & la $e- conde en {17/6}, je multiplie ces deux fractions en croix, & j’ai pour le quotient {162/68} ou {81/34}, qui e$t irréductible.
108. Il y a encore une autre maniere de divi$er une fraction
par une autre fraction, en opérant $ur le numérateur ou $ur
le dénominateur $eulement. On opére $ur le numérateur $eu-
lement, lor$que le numérateur du dividende e$t divi$ible par
celui du divi$eur; & voici ce qu’on fait en ce cas: on divi$e
le numérateur du dividende par celui du divi$eur, & en$uite
on multiplie le quotient par le dénominateur du même divi-
$eur, le produit étant divi$é par le dénominateur du dividende,
donne le quotient des deux fractions. Par exemple, $i l’on
propo$e de divi$er la fraction {18/49} par la fraction {3/5}, je divi$e le
numérateur 18 du dividende par le numérateur 3 du divi$eur,
On opére $ur le dénominateur $eulement, lor$que le déno- minateur du dividende e$t divi$ible par le dénominateur du divi$eur, & voici ce que l’on fait: On divi$e le dénomina- teur du dividende par celui du divi$eur, & on multiplie le quotient par le numérateur du divi$eur; ce nouveau produit $ert de dénominateur à une fraction qui retient toujours le même numérateur que la fraction dividende, & cette fraction e$t le quotient cherché. Par exemple, pour divi$er la fraction {18/49} par la fraction {5/7}, je divi$e le dénominateur 49 par 7; je multiplie le quotient 7 par le numérateur 5 du divi$eur, le pro- duit e$t 35, que je fais $ervir de dénominateur à une nouvelle fraction, dont le numérateur e$t toujours 18, & j’ai {18/35} pour le quotient demandé. La rai$on de cette méthode e$t encore ai$ée à déduire des principes que l’on a donnés. Quand je divi$e le dénominateur du dividende par le dénominateur 7 du di- vi$eur, j’ai une fraction $ept fois plus grande que la précé- dente, maisje veux qu’elle $oit $eulement {5/7} de fois plus grande que la propo$ée; donc il faut multiplier le nouveau quotient, afin que par la multiplication du dénominateur il y ait une com- pen$ation de ce que l’on avoit fait de trop. En général on doit encore préférer ces méthodes à la méthode générale, lor$- qu’elles peuvent avoir lieu; car en opérant ain$i, les quotiens $eront irréductibles $i le dividende avoit été réduit à $a plus $imple expre$$ion avant de commencer la Divi$ion: dans les exemples précédens, $i l’on eût $uivi la regle générale, on eût trouvé pour le premier {90/147}, pour le $econd {126/245}, au lieu des frac- tions {30/49} & {18/35}.
109. OUtre les fractions dont nous venons de parler, il y en a encore d’autres qui $ont d’un grand u$age en Mathématique, & dont la connoi$$ance e$t ab$olument néce$$aire pour avoir dans certaines occa$ions les grandeurs dont on a be$oin avec toute la préci$ion po$$ible.
110. Si on divi$e un tout ou unité principale par l’unité, $uivie d’un ou de plu$ieurs zero, par les nombres 10, 100, 1000, 10000, &c, qui $ont les pui$$ances $ucce$$ives de 10, & que l’on prenne plu$ieurs de ces parties égales, la fraction qui marque combien on prend de ces parties égales, e$t ap- pellée _fraction décimale_, & $e marque ain$i: {3/10}, {7/100}, {48/1000}, & ain$i des autres.
On a trouvé le $ecret d’opérer $ur ces $ortes de fractions, préci$ément de la même maniere que l’on opére $ur les nom- bres naturels; & de plus, de réduire toute fraction donnée à une fraction décimale qui lui $oit égale, ou qui n’en différe que d’une quantité infiniment petite, & c’e$t ce qui a rendu leur u$age $i fréquent dans les Mathématiques.
111. Pui$que les fractions décimales $ont des fractions, on
peut les exprimer comme les autres fractions; ain$i pour mar-
quer 3 dixiemes, 58 centiemes on peut écrire {3/10}, {58/100}: mais il
y a une autre maniere de les marquer, c’e$t d’écrire le numé-
rateur $eulement, en $ous-entendant le dénominateur. Par
exemple, au lieu d’écrire {3/10}, {58/100}, on écrit. 3. 58, en mettant
un point $ur la gauche du numérateur, de maniere qu’il y ait
après ce point autant de chiffres qu’il y auroit de zero au dé-
nominateur après l’unité; de même s’il y avoit des entiers
joints aux fractions, comme 15 {25/100}, 38 {245/1000}, on pourroit écrire
15. 25 & 38. 245. De cette maniere, quoique le dénomina-
teur ne $oit pas exprimé, on peut cependant toujours le con-
112. Il $uit delà que $i l’on a des expre$$ions, comme 253. 27, cela $ignifie 253 {27/100}, de même que 483. 547 $ignifie 483 entiers {547/1000}. Il $uit encore delà que $i l’on veut mettre $ous cette forme la quantité 28 {3/100}, il faudra l’écrire ain$i, 28. 03, en mettant un zero devant le 3, afin qu’il y ait deux chiffres après le point, pour que l’on connoi$$e que le dénominateur e$t l’unité $uivie de deux zero ou 100. De même pour mettre $ous cette forme 53 {48/10000}, on écrira 53. 0048, en mettant deux zero avant les chiffres 48, pour marquer que le déno- minateur a quatre zero après l’unité, & compte des dix mil- liemes.
113. S’il n’y avoit point d’entiers avec la fraction, mais $eu- lement {325/1000}, on écriroit ain$i: 0.325, en fai$ant voir par le zero mis avant le point, qu’il n’y a pas d’entier. Si l’on fait bien attention, on verra que cette expre$$ion 0.325 e$t égale à {3/10} + {2/100} + {5/1000}; car {3/10} e$t égale à {30/100}, à {300/1000}, & {2/100} = {20/1000}, pui$qu’une fraction ne change pas de valeur lor$qu’on multiplie $on numérateur & $on dénominateur par un même nombre: donc au lieu d’exprimer la fraction 0.325 en di$ant 325 cen- tiemes, on auroit pu l’énoncer ain$i: 3 dixiemes, 2 centiemes, 5 milliemes; ce qui fait voir que les chiffres de cette quantité 0.325 vont en augmentant en proportion décuple, en allant de droite à gauche, & diminuent dans la même proportion, en allant de gauche à droite: car il e$t évident qu’un centieme e$t dix fois plus grand qu’un millieme, & qu’un dixieme e$t dix fois plus grand qu’un centieme. En con$idérant les frac- tions décimales $ous ce point de vue, on peut les définir en di$ant que ce $ont des nombres moindres que les entiers qui $uivent la proportion des différens ordres de la numération.
En effet, après avoir fixé le terme des unités ou nombres en-
tiers, rien n’empêche d’imaginer d’autres nombres, dont les
unités $uivent toujours la même progre$$ion, ain$i que dans ce
nombre 6325.489, dans lequel les unités du premier chiffre 2,
qui e$t à la gauche du 5, où $e terminent les entiers, $ont dix fois
plus grandes que les unités du même 5, & les unités du 4 qui
e$t immédiatement à la droite du même 5, $ont dix fois plus
petites que les unités du 5, ou les unités du 3 qui occupe le
114. Plu$ieurs fractions décimales, comme 0 3, 0.54, 0.008, ou leurs égales, {3/10}, {54/100}, {8/100}, étant $ous leur premiere forme, pourront ai$ément $e réduire à la même dénomination; car {3/10}, comme on l’a déja dit, e$t égal à {30/100}, à {300/1000}, & {54/100} e$t égal à {540/1000}: donc les fractions propo$ées pourront au$$i s’écrire $ous cette forme, 0.300, 0.540, 0.008. Il e$t évident que ces chan- gemens ne font point changer la valeur des fractions, pui$que l’on ne fait par cette opération que multiplier les numérateurs & dénominateurs par les mêmes nombres. Ces principes une fois bien compris, il e$t ai$é de voir que l’on peut opérer $ur les fractions comme $ur les nombres entiers; & comme l’on peut réduire toute fraction en fraction décimale qui lui $oit égale, ou qui n’en différe pas $en$iblement, il $uit au$$i que l’on peut rappeller toutes les opérations des fractions à celles des nombres entiers: c’e$t pourquoi nous n’entrerons pas dans un grand détail d’exemples. Nous allons commencer par ex- pliquer l’art de faire $ur ces quantités les quatre Regles prin- cipales de l’Arithmétique; nous donnerons en$uite la maniere de réduire une fraction quelconque en décimales, & les diffé- rentes applications que l’on peut faire de ces opérations aux calculs qui $ont le plus en u$age.
115. Si les fractions propo$ées ne $ont pas réduites à la même
dénomination, on commencera par les y réduire (art. 113):
116. S’il y avoit des entiers joints aux
On peut même $e di$pen$er de réduire les frac-
117. Si les fractions n’ont pas même dénomination, pour
plus grande facilité, on commencera par les réduire à celle du
plus grand dénominateur, $uivant la méthode de l’art. 113;
en$uite on les di$po$era de maniere que les dixiemes $oient au
de$$ous des dixiemes, les centiemes $ous les centiemes, &
ain$i des autres nombres: cela fait, on fera la Sou$traction
Si l’on avoit des entiers & des fractions à $ou$traire d’un entier & d’une fraction, la méthode $eroit toujours la même:
ain$i pour ôter 47.9453 de 68.05489, on écrira, fans même $e donner la peine de réduire le pre- mier à la domination du $econd, & le re$te $era
La démon$tration de ces deux opérations e$t la même que celle des mêmes opérations $ur les nombres entiers; car pui$- que l’on prend la _$omme_ ou la _différence_ des dixiemes, des cen- tiemes, des milliemes, on a au$$i la _$omme_ ou la _différence_ de ces fractions, pui$qu’elles ne contiennent que des dixiemes, des centiemes, & des milliemes, &c. La preuve de ces deux opérations $e fait au$$i comme dans les autres par l’opération contraire; ain$i il n’e$t pas néce$$aire d’in$i$ter davantage.
118. Pour multiplier deux nombres l’un par l’autre, donc un $eul, ou tous les deux en$emble, renferment des parties décimales, on fera la Multiplication comme $i ces nombres étoient tous nombres entiers; & lor$qu’on aura trouvé le pro- duit, on $éparera vers la droite autant de chiffres qu’il y a de décimales, tant au multiplicande qu’au multiplicateur. Les chiffres qui $eront à la gauche du point marqueront les en- tiers, & ceux qui $eront à la droite marqueront les décimales. Par exemple, pour multiplier 24.35 par 2.3, on écrira
Ayant fait la Multiplication comme s’il n’y avoit point de décimales, & trouvé le produit 56005, on écrira 56.005, fai- $ant en$orte qu’il $e trouve trois chiffres à la droite du point, parce qu’il y avoit trois rangs de décimales, tant au multipli- cande qu’au multiplicateur, $çavoir, 2 à l’un, & 1 à l’autre. De même pour multiplier 4.35 par 6.7, j’écris
Fai$ant la Multiplication comme s’il n’y avoit point de décimales, je trouve le produit 29145, & j’écris 29.145, fai$ant en$orte qu’il y ait trois rangs de décimales aprés le point, parce qu’il y en a deux au multiplicande, & un au multiplicateur.
119. Il pourroit arriver que le nombre des rangs de déci- males du multiplicande & du multiplicateur fût plus grand que le nombre des chiffres du produit; ce qui arrive lor$qu’il n’y a point d’entiers joints aux fractions décimales, & qu’elles $ont d’un certain ordre; en ce cas on mettroit vers la gauche autant de zero qu’il $eroit néce$$aire, pour qu’il y ait après le point autant de rangs de chiffres qu’il y en a au multiplicande & au multiplicateur. Par exemple, $i l’on propo$e de multi- plier ces deux nombres, qui ne contiennent
que des décimales, 0.0054 par 0.012, les ayant di$po$és comme on voit ici, fait la multiplication comme à l’ordinaire, & trouvé le produit 648 des chiffres $ignificatifs, multi- pliés les uns par les autres, on écrira 0.0000648, en fai$ant en$orte, par l’addition de quatre zero, qu’il y ait après le point autant de rangs qu’il y en a, tant au multiplicande qu’au multiplicateur.
De même 0.0048, multiplié par 0.027,
donne au produit, en multipliant les chiffres $ignificatifs les uns par les autres, 1296, & j’ajoute à ce produit, vers la gauche, trois zero, afin qu’il y ait autant de rangs de décimales après le point qu’il y en a, tant au multipli- cande qu’au multiplicateur.
Pour entendre plus ai$ément la rai$on par laquelle on dé-
montre l’opération précédente, nous l’appliquerons au pre-
mier exemple, dans lequel il s’agi$$oit de multiplier 24.35 par
2.3. Lor$que je multiplie ces nombres l’un par l’autre, com-
me s’ils n’avoient point de décimales, je rends le multiplicande
cent fois plus grand qu’il n’e$t, pui$que les unités du 4 qui $e
120. Pour divi$er un nombre décimal par un autre, $oit qu’ils ne contiennent l’un & l’autre que des décimales, $oit que le dividende & le divi$eur ayent encore, outre ces déci- males, des nombres entiers, ou $eulement l’un des deux, regle générale, on regardera ces nombres comme s’ils étoient tous nombres entiers: on les divi$era l’un par l’autre, $uivant la méthode de la Divi$ion des nombres entiers; & lor$qu’on aura trouvé le quotient, on fera en$orte qu’il y ait après le point un nombre de décimales égal à celui du dividende, moins celui du divi$eur.
Soit, par exemple, propo$é de divi$er 88.392 par 254.
Je divi$e ces deux nombres comme s’ils
étoient 88392 & 254, ayant trouvé le quo- tient 348, j’écris 34.8, de maniere qu’il y ait après le point un rang de décimales, parce qu’il y en a trois au dividende, & deux au di- vi$eur, dont la différence e$t 1.
Soit propo$é de divi$er 158.0802 par 32.46.
Je divi$e ces deux nombres comme
121. Il $uit de cette Regle générale, que s’il y a autant de décimales au divi$eur qu’au dividende, le quotient $era des entiers; car pui$que (_hyp_.) le divi$eur a autant de rangs de décimales que le dividende, la différence $era 0, & par con- $équent il n’y aura point de décimales au’quotient. Il $uit en- core delà, que s’il n’y a point de décimales au divi$eur, il y en aura autant au quotient qu’au dividende. Si le dividende n’a- voit point de parties décimales, ou en avoit moins que le di- vi$eur, on lui ajouteroit autant de zero qu’il $eroit néce$$aire, pour que le nombre de $es décimales fût égal à celui des déci- males du divi$eur, & dans ce cas le quotient aura toujours des entiers, à moins que le nombre des entiers du divi$eur ne fût plus grand que celui des entiers du dividende. Par exem- ple, $i l’on propo$e de divi$er 883.92 par 2.54, le quotient $era 348, parce que la différence des décimales du dividende à celles du divi$eur e$t zero.
De même $i l’on veut divi$er 5952 par
Pour entendre plus ai$ément la démon$tration de cette Regle générale, nous allons établir plu$ieurs principes.
122. Une fraction décimale qui contient des entiers & des
123. Les unités du quotient doivent toujours être de même nature que celles du dividende, lor$que le divi$eur e$t un nom- bre entier qui marque des nombres de fois: ain$i $i le divi- dende a pour unités des milliemes, & que le divi$eur $oit un nombre entier ab$trait, comme 3 ou 4, le quotient vaudra le tiers ou le quart des milliemes du dividende, & aura par con- $équent des unités de même nature.
124. Plus un divi$eur e$t grand, le dividende re$tant le même, plus le quotient e$t petie; & réciproquement plus le divi$eur e$t petit, le dividende étant toujours $uppo$é le mê- me, plus le quotient e$t grand: car il e$t vi$ible que plus un nombre e$t petit, plus il e$t contenu de fois dans un autre.
Pour rendre cette démon$tration plus intelligible, nous al-
lons appliquer les rai$onnemens au premier exemple. Quand
je divi$e ce nombre 88.392 par celui-ci, 2.54, comme s’ils
étoient des nombres entiers, le quotient 348 que je trouve, ne
doit avoir que des nombres entiers par le $econd principe:
mais pui$que le dividende e$t 88.392, & non pas 88392, c’e$t-
à-dire 88 milles 392 milliemes, les unités du quotient, par le
$econd principe, doivent être des milliemes: doncle quotient
348 e$t mille fois plus grand qu’il ne doit être, en $uppo$ant
le divi$eur toujours entier, & que les unités du dividende $ont
des milliemes: il faudroit donc en ce cas l’écrire ain$i, 0.348.
Pré$entement $i l’on $uppo$e que le divi$eur devienne ce qu’il
e$t réellement, c’e$t-à-dire 2.54, ou deux cens cinquante-quatre
centiemes, pui$que les centiemes $ont cent fois plus petits que
les unités, le nombre 2.54 $era au$$i cent fois plus petit que
Pour entendre la rai$on des opérations énoncées dans l’ar- ticle 120, on fera attention que le quotient d’une divi$ion ne change pas, lor$qu’on multiplie le divi$eur & le dividende par un même nombre. Ain$i 12 divi$é par 4, donne 3 au quo- tient: que je multiplie 12 & 4 par 5, le quotient des produits 60 & 20, divi$és l’un par l’autre, $era toujours 3. Cela po$é, lor$que je divi$e deux nombres, qui ont chacun même nom- bre de décimales, comme s’ils n’en avoient point, je ne fais que multiplier le dividende & le divi$eur par un même nom- bre; ce qui ne doit point changer le quotient: ain$i quand je divi$e 88 3.92 par 2.54, comme s’ils étoient 88392 & 254, je multiplie le dividende & le divi$eur par 100; le quotient ne doit donc pas changer: mais le quotient de 88392 divi$é par 254, e$t 348: donc ce même nombre e$t au$$i le quotient de 883.92 divi$é par 2.54. Cette rai$on peut donner la démon$- tration de tous les cas imaginables, c’e$t pourquoi on fera très-bien de l’étudier avec attention.
125. _Premier u$age_. Approcher $i près que l’on voudra du quotient d’une divi$ion qui ne peut pas $e faire $ans re$te.
On cherchera d’abord le quotient du dividende, divi$é par le divi$eur, & l’on mettra à la $uite du re$te autant de zero que l’on voudra avoir de décimales au quotient: $i l’on veut avoir le quotient à un millieme ou un dix millieme près, on ajoutera trois ou quatre zero à la $uite du re$te, & l’on conti- nuera la divi$ion comme à l’ordinaire, en mettant les chiffres à la $uite du quotient comme ils viendront, après les avoir $éparés des entiers du quotient par un point, comme on va voir dans l’exemple $uivant.
Soit propo$é de divi$er 353 par 15, & de trouver un quo- tient qui ne differe pas du vrai quotient de la dix millieme partie de l’unité.
Après avoir divi$é 353 par 15, & trouvé
126. _Second u$age_. Trouver une fraction décimale égale à une fraction donnée moindre que l’unité, ou bien, ce qui revient au même, faire la divi$ion d’un nombre par un nom- bre plus grand que lui.
Soit propo$é de réduire la frac-
127. Il y a des fractions qui peuvent $e réduire en fractions décimales, & d’autres qui ne peuvent jamais s’y réduire, com- me la fraction {5/7} & la fraction {6/7}, pour laquelle on trouveroit 0.857142, 857142, &c. en $uivant le même procédé que nous avons $uivi pour la premiere. Il n’en e$t pas de même des frac- tions {4/5}, {5/16}, pour le$quelles on trouve des fractions décimales complettes & $ans re$te, 0.8, 0.3125, en $uivant toujours le même procédé.
128. _Troi$ieme u$age_. Réduire en fraction décimale les par-
ties connues d’une certaine me$ure, comme de la toi$e, du
pied, & de la livre, &c. On fera d’abord une fraction qui
aura pour numérateur le nombre des parties que l’on veut ré-
duire en décimales, & pour dénominateur, le nombre qui
marque combien de fois cette partie e$t contenue dans la me-
$ure dont il s’agit. On réduira cette fraction en décimales par
l’article précédent, & l’on aura la fraction décimalc deman-
dée. Par exemple, $i je veux avoir une fraction décimale de
la toi$e, qui vale 5 pieds, ou bien réduire 5 pieds en parties
décimales de la toi$e, je prends cette fraction {5/6}, dont le nu-
mérateur 5 exprime le nombre de pieds, dont je veux avoir la
valeur en décimales, & le dénominateur 6 marque combien
de fois le pied e$t contenu dans la toi$e: jeréduis cette fraction
en décimale, $uivant l’art. 125, & j’ai pour la valeur de 3 pieds
en décimale, 0.8333, qui n’en differe pas de la dixmillieme
partie de la toi$e. De même $i je veux réduire 9 pouces en dé-
cimales de la toi$e, ou, ce qui revient même, avoir une partie
décimale de la toi$e égale à 9 pouces, je prends la fraction {9/72},
dont le numérateur $oit 9, & le dénominateur le nombre 72, qui
me marque combien de fois le pouce e$t contenu dans la toi$e,
& divi$ant 9 par 72, $elon la méthode de l’art. 125, je trouve
129. Si l’on vouloit réduire en parties décimales de la livre, des nombres de $ols & de deniers, on s’y prendroit de la même maniere. Par exemple, $i l’on me demande une partie déci- male de la livre égale à 7 $ols 8 den. je cherche d’abord une partie décimale de la livre, égale à 7 $ols; ce que je fais en di- vi$ant 7 par 20, ou en cherchant une fraction décimale égale à la fraction {7/20}, que l’on trouvera de 0.35={35/100}. Je cherche en$uite une fraction décimale de même valeur que la fraction {8/240}, qui vaut 8 deniers, pui$que le denier e$t la 240<_>e partie de la livre, que je trouve de 0.0333, & prenant la $omme de ces deux fractions, j’ai pour la valeur de 7 $ols 8 den. en fractions décimales de la livre, 0.3833.
130. _Quatrieme u$age des fractions décimales_. Faire la multi- plication des nombres complexes par le moyen des décimales.
Soit propo$é de trouver le prix de 27 toi$es 5 pieds 9 pouces, à 4 liv. 7 $ols 8 den. la toi$e.
Je réduis les 5 pieds 9 pouces en parties
131. Réduire une fraction décimale en parties connues, ou, ce qui e$t la même cho$e, évaluer une fraction décimale.
On multipliera la fraction décimale par le nombre qui mar-
que combien de fois la quantité à laquelle on veut réduire, e$t
La rai$on de cette pratique e$t ai$é à déduire de la nature des décimales; car lor$que je multiplie la fraction 0.35 de liv. par 20, le produit 7.00 e$t bien vingt fois plus grand, mais il n’exprime plus que des parties décimales de $ols, au lieu qu’au- paravant il exprimoit des parties décimales de livres, qui $ont vingt fois plus grandes.
En $uivant ce procédé, on trouvera que la fraction de livre 0.54961639, vaut 10 $ols 11 den. + {907840/1000000}; & $i l’on eût cherché le même prix, $uivant les regles des parties aliquotes, on auroit trouvé 122 liv. 11 $ols o d.; ce qui montre la préci- $ion de chacune de ces méthodes. Cependant il faut avouer que celle des parties aliquotes a quelque cho$e de plus expé- ditif dans la pratique, quoique les principes $ur le$quels cha- que méthode e$t fondée $oient fort $imples, & à la portée de tout le monde.
132. Lor$que les fractions décimales contiennent beaucoup
de chiffres, on retranche ordinairement les deux derniers, vu
133. NO
Comme ce calcul e$t fondé $ur ces deux $uppo$itions, 1°. que deux lettres ou plu$ieurs, mi$es à côté l’une de l’autre, dé$i- gneront toujours le produit des grandeurs qu’elles expriment; 2°. Que pour divi$er deux grandeurs algébriques l’une par l’autre, il faut les po$er en fraction, & effacer les lettres com- munes au divi$eur & au dividende, ou communes au numéra- teur & au dénominateur, il faut $e rendre attentif à tout ce qui e$t renfermé dans ces deux hypothe$es, & l’on en déduira aifément tout ce que nous allons voir.
134. Pour multiplier deux grandeurs qui ont les mêmes lettres avec différens expo$ans l’une par l’autre, il faut écrire ces lettres les unes à côté des autres, & leur donner la $omme des expo$ans des deux facteurs: ain$i _a_<_>3 x _a_<_>2 = _a_<_>3 + 2 = _a_<_>5; _a_<_>2_b_<_>3 x _a_<_>4_b_<_>2 = _a_<_>2 + 4_b_<_>3 + 2 = _a_<_>6_b_<_>5; car _a_<_>3 = _aaa_, & _a_<_>2 = _aa_: donc _a_<_>3 x _a_<_>2 = _aaa_ x _aa_ = _a_<_>5; de même _a_<_>2_b_<_>3 = _aabbb_, & _a_<_>4_b_<_>2 = _aaaabb_ : donc _a_<_>2_b_<_>3 x _a_<_>4_b_<_>2 = _aabbb_ x _aaaabb_ = _aaaaaabbbbb_.
135. Comme la Divi$ion fait toujours le contraire de la
Multiplication, elle doit au$$i $e faire par une voie oppo$ée:
donc pui$que la multiplication des quantités qui ont les mêmes
lettres, avec différens expo$ans, $e fait par l’Addition de ces
mêmes expo$ans, la Divi$ion doit $e faire par la Sou$traction
des expo$ans des lettres communes au dividende & au divi$eur:
ain$i {_a_<_>3/_a_<_>2} = _a_<_>3 - 2 = _a_, & c’e$t ce que l’on fait, lor$qu’après les
avoir mis en fraction, on efface les lettres communes au nu-
mérateur & au dénominateur; car{_a_<_>3/_a_<_>2} = {_aaa/aa_} effaçant _aa_ au nu-
mérateur & au dénominateur, il vient _a_ au quotient, de même
que par la Sou$traction des expo$ans. Tout de même {_a_<_>4_b_<_>2_c_<_>5/_a_<_>3_bc_<_>2} =
{_aaaabbccccc_/_aaabcc_} = _abccc_ = _abc_<_>3, ce que l’on eût au$$i trouvé par la
Sou$traction des expo$ans, en fai$ant {_a_<_>4_b_<_>2_c_<_>5/_a_<_>3_bc_<_>2} = _a_<_>4 - 3_b_<_>2 - 1_c_<_>5 - 2
= _abc_<_>3. De même {_d_<_>2_f_<_>3_g_<_>4/_dfg_<_>2} = _d_<_>2 - 1_f_<_>3 - 1_g_<_>4 - 2 = _df_<_>2_g_<_>2; demê-
me encore {_a_<_>2_b_<_>5/_a_<_>3_b_<_>2} = {_b_<_>3/_a_} en effaçant les lettres communes au nu-
mérateur & au dénominateur, ou bien en fai$ant la $ou$trac-
tion des expo$ans _a_<_>2 - 3_b_<_>5 - 2 = _a_<_>-1_b_<_>3. On voit à pré$ent ce
que c’e$t qu’un expo$ant négatif; car il e$t évident que le né-
gatif vient de la $ou$traction d’un nombre plus grand, ôté d’un
plus petit que lui: donc une quantité qui a un expo$ant né-
gatif e$t le quotient d’une certaine pui$$ance d’une lettre di-
vi$ée par une plus haute pui$$ance de la même lettre; ain$i
_a_<_>-2 peut venir de {_a_<_>3/_a_<_>5}, ou bien de {_a_<_>5/_a_<_>7} ou de {_a_/_a_<_>3}, &c, car {_a_<_>3/_a_<_>5} =
{_a_<_>3 x 1/_a_<_>3 x _a_<_>2}; donc en divi$ant le numérateur & le dénominateur de
la fraction par une même grandeur _a_<_>3, il vient au quotient
{1/_a_<_>2}: mais on trouve au$$i le quotient de {_a_<_>3/_a_<_>5} en ôtant l’expo$ant
5 du divi$eur de l’expo$ant 3 du dividende, & le quotient e$t
136. Si l’expo$ant du divi$eur e$t égal à l’expo$ant du divi- dende, la différence de l’expo$ant $era zero: donc _a_° = {_a_<_>2/_a_<_>2} = {_a_<_>3/_a_<_>3} = _a_<_>2 - 2 = _a_<_>3 - 3, &c. Donc en général _a_° = 1; car une grandeur, divi$ée par elle-même, donne toujours 1 au quo- tient, pui$qu’elle $e contient une fois.
137. On appelle pui$$ance en général, tout produit qui ré- $ulte de la multiplication d’une quantité multipliée plu$ieurs fois par elle-même. _a_, _a_<_>2, _a_<_>5 $ont des pui$$ances de _a_, parce que ces produits ré$ultent de _a_, multiplié plu$ieurs fois par lui-même: dans ces exemples il a été multiplié trois fois, deux fois, cinq fois, parce que les expo$ans $ont 3, 2 & 5.
138. Comme la multiplication d’une même lettre, qui a dif-
férens expo$ans, $e fait par l’addition des expo$ans (art. 133),
les pui$$ances d’une quantité algébrique, qui a déja un ex-
po$ant, ou les produits de cette quantité, multipliée plu$ieurs
fois par elle-même, $e trouveront par l’addition de cet expo-
$ant, répétés autant de fois qu’il y a d’unité dans la pui$$ance
à laquelle on veut élever cette quantité; mais l’addition ré-
pétée d’un même nombre $e fait par la multiplication: donc
la formation des pui$$ances d’une quantité exponentielle $e
fera en multipliant $on expo$ant par le nombre qui marque
la pui$$ance à laquelle on veut l’élever: ain$i pour élever _a_<_>2 à
la 3<_>e, 4<_>e ou 5<_>e pui$$ance, il faudra ajouter l’expo$ant 2 à lui-
même trois fois, quatre fois, ou cinq fois, ou, ce qui e$t la
même cho$e, le multiplier par 3, par 4, ou par 5, & l’on aura
pour la 3<_>e, 4<_>e, ou 5<_>e pui$$ance de _a_<_>2; _a_<_>6, _a_<_>8, _a_<_>10. De même pour
élever _a_<_>2 _b_<_>3 _c_<_>4 à la cinquieme pui$$ance, il faudra multiplier
les expo$ans des lettres _a_, _b_, _c_, qui $ont 2, 3, 4 par 5, & les
produits, mis à côtés des mêmes lettres, donneront la pui$-
139. Si l’on avoit une fraction que l’on voulût élever à une pui$$ance, & dont le numérateur & le dénominateur fu$$ent chacuns des quantités exponentielles, on l’éleveroit à cette pui$$ance en multipliant les expo$ans du numérateur & du dé- nominateur par l’expo$ant de la pui$$ance; car une fraction multipliée par une fraction e$t égale au produit des numéra- teurs, divi$é par celui des dénominateurs. Ain$i pour élever la fraction {_a_<_>2_b_<_>3/_c_<_>4} à la $econde pui$$ance, on écrira {_a_<_>2 x <_>2_b_<_>3 x <_>2/_c_<_>4 x <_>2} = {_a_<_>4_b_<_>6/_c_<_>8}; de même la 3<_>e pui$$ance de la fraction {_a_<_>3_f_<_>2_c_<_>4/_b_<_>2_g_<_>2} = {_a_<_>9_f_<_>6_c_<_>12/_b_<_>6_g_<_>6}, & ain$i des autres.
140. L’extraction des racines fait préci$ément le contraire
de la formation des pui$$ances. Extraire la racine d’une quan-
tité algébrique, c’e$t chercher la quantité qui, multipliée par
elle-même, a donné la quantité dont on cherche la racine.
Comme il y a différentes pui$$ances, il y a au$$i différentes
racines: la racine quarrée d’une quantité algébrique e$t la
lettre ou quantité, qui multipliée une fois par elle-même, a
donné le quarré propo$é; la racine cube e$t celle qui, multi-
pliée deux fois par elle-même, a donné le cube propo$é, ou
bien dont l’expo$ant, multiplié par 3, a donné ce même cube.
Si l’on veut indiquer cette racine, on $e $ert du $igne
141. Comme l’extraction des racines e$t une opération di-
rectement oppo$ée à la formation des pui$$ances, que celle-ci
Si l’on me demande la racine cinquieme de _a_<_>6_b_<_>8, comme
les expo$ans 6 & 8 ne $ont pas divi$ibles par 5, expo$ant de la
racine, je puis indiquer cette racine en deux manieres, ou
bien en mettant le $igne
142. Il $uit delà, que lor$qu’on trouvera une quantité avec
un expo$ant fractionnaire, on en pourra conclure que l’on
143. Il $uit encore des mêmes principes, que _a_<_>-{3/2}={1/_a_<_>{3/2}}=
{1/
144. Lor$qu’on aura une des expre$$ions précédentes, com-
me _a_<_>-3, _a_<_>-{3/2}, _a_<_>{4/5}, _a_<_>0, & autres $emblables, on pourra pren-
dre en leurs places leurs égales, {1/_a_<_>3}, {1/_a_<_>{3/2}} ou {1/
Si l’on avoit des fractions algébriques, dont on voulût extraire les racines, on extrairoit celle du numérateur & celle du dénominateur, $uivant les regles précédentes, en $uppo- $ant que les deux termes $ont des quantités incomplexes: car pui$que l’on éleve les fractions à des pui$$ances propo$ées, en y élevant le numérateur & le dénominateur (art. 139), il faut, par la rai$on contraire, extraire les racines, en prenant celle du numérateur & celle du dénominateur. Ain$i la racine $econde de {_a_<_>6_b_<_>8/_c_<_>4}={_a_<_>{6/2}_b_<_>{8/2}/_c_<_>{4/2}}={_a_<_>3_b_<_>4/_c_<_>2}, la racine 3<_>e ou cubique de {_a_<_>9_f_<_>6_c_<_>12/_b_<_>6_g_<_>6}={_a_<_>{9/3}_f_<_>{6/3}_c_<_>{12/3}/_b_<_>{6/3}_g_<_>{6/3}}={_a_<_>3_f_<_>2_c_<_>4/_b_<_>2_g_<_>2}, & ain$i des autres.
145. On trouve les pui$$ances des quantités algébriques complexes de la même maniere que celles des quantités al- gébriques incomplexes, c’e$t-à-dire en multipliant ces quan- tités par elles-mêmes autant de fois moins une qu’il y a d’unités dans l’expo$ant de la pui$$ance à laquelle on veut élever cette quantité. Pour avoir le quarré de _a_ + _b_, je multiplie _a_ + _b_ par _a_ + _b_, & j’ai (art. 60.) _a_<_>2 + 2_ab_ + _bb_. Demême le quarré ou la $econde pui$$ance de _a_ - _b_ e$t _a_<_>2 - 2_ab_ + _bb_: d’où il $uit que généralement le quarré d’un binome contient tou- jours les quarrés des deux termes, plus ou moins deux rectan- gles du premier par le $econd; plus, lor$que les deux termes $ont po$itifs ou négatifs, & moins lor$que l’un ou l’autre e$t négatif: car il e$t clair que -
Si la quantité que l’on veut élever au quarré avoit plus de deux termes, 4 ou 5, par exemple, comme _a_ + _b_ + _c_ + _d_, on trouveroit toujours le quarré de cette quantité, en la mul- tipliant une fois par elle-même: mais on peut le trouver d’une maniere beaucoup plus expéditive. Je prends d’abord les quar- rés de tous les termes qui compo$ent cette quantité, $oit que tous ces termes $oient po$itifs, $oit que tous $oient négatifs, ou qu’il y en ait de po$itifs & de négatifs. Je prends en$uite le double du premier terme, que je multiplie par tous les $ui- vans, en donnant au produit le $igne du premier terme, $i chacun des $uivans a le même $igne que ce premier terme, & un $igne différent $i celui du terme par lequel je multiplie le double du premier e$t différent de celui du même premier. Je prends pareillement le double du $econd, que je combine avec les $uivans par multiplication, en $uivant la même regle; je prends de même le double du troi$ieme, que je combine en- core de même avec les autres, ju$qu’à ce que je $ois arrivé à l’avant dernier, que je combine avec le dernier de la même maniere, & l’opération e$t achevée.
Ain$i pour élever _a_ + _b_ - _c_ + _d_ - _f_ + _g_ à la $econde pui$$ance,
146. Pour extraire la racine quarrée d’une quantité algé-
brique complexe, par exemple, celle de la quantité _a_<_>2 + 2_ab_
+ _bb_, il faut dire, la racine de _aa_ e$t _a_, qu’il faut po$er à la
racine: ayant multipliée cette racine par elle-même, il faut
ôter le produit _aa_ de la quantité propo$ée pour avoir le re$te
Pour voir $i l’on a bien fait l’opération, on multipliera la racine _a_ + _b_ par elle-même, & comme le produit e$t _a_<_>2 + 2_ab_ + _bb_ égal à la quantité propo$ée, on $era $ûr que l’on a bien opéré.
147. Pour extraire la racine quarrée de _a_<_>2 - 2_ab_ + _bb_, il faut dire, la racine quarrée de _a_<_>2 e$t _a_, qu’il faut mettre à la racine; en$uite ôter le quarré _aa_ de cette racine de la quantité propo$ée pour avoir le re$te, - 2_ab_ + _bb_, qu’il faut pareille- ment divi$er par + 2_a_, le quotient e$t - _b_, que je po$e à la racine, & à côté du divi$eur. Je multiplie 2_a_ - _b_ par - _b_, le produit e$t 2_ab_ + _bb_; ôtant ce produit de - 2_ab_ + _bb_, comme il ne re$te rien, je conclus que _a_ - _b_ e$t la racine.
_a_<_>2 + 2_ab_ + _b_<_>2 Re$te 2_ab_ + _b_<_>2 Sou$tract. 2_ab_ - _bb_ 0 0
{_a_ + _b_, racine. 2_a_ divi$eur. 2_a_ + _b_ _b_ 2_ab_ + _bb_
_a_<_>2 - 2_ab_ + _b_<_>2 Re$te - 2_ab_ + _bb_ Sou$traction + 2_ab_ - _bb_ 0 0
{_a_ - _b_, racine. 2_a_ divi$eur. 2_a_ - _b_ - _b_ - 2_ab_ + _bb_
148. De même pour avoir la racine quarrée de la quantité
9_a_<_>2 - 12_ab_ + 4_b_<_>2 + 24_ac_ - 16_bc_ + 16_c_<_>2 + 24_ac_ - 16_bc_,
je dis, la racine quarrée de 9_a_<_>2 e$t 3_a_, que je po$e à la racine,
& j’ôte le quarré de cette racine de la quantité propo$ée: pour
avoir le re$te - 12_ab_ + 4_b_<_>2 + 24_ac_ - 16_bc_ + 16_c_<_>2, je double
cette racine 3_a_, & j’ai 6_a_ pour divi$eur. Je divi$e - 12_ab_ par
9_a_<_>2 - 12_ab_ + 4_b_<_>2 + 24_ac_ - 16_bc_ -9_a_<_>2 {+ 16_cc_ 1<_>er re$te - 12_ab_ + 4_b_<_>2 + 24_ac_ - 16_bc_ + 16_cc_ + 12_ab_ - 4_bb_ Second re$te 24_ac_ - 16_bc_ + 16_c_<_>2 - 24_ac_ + 16_bc_ - 16_c_<_>2 0 0 0}
{3_a_ - 2_b_ + 4_c_, racine. 6_a_ premier divi$eur. 6_a_ - 2_b_ - 2_b_ - 12_ab_ + 4_bb_ 6_a_ - 4_b_, 2<_>e divi$. 6_a_ - 4_b_ + 4_c_ + 4_c_ 24_ac_ - 16_bc_ + 16_cc_
Il e$t évident que la méthode dont on $e $ert pour extraire
la racine doit la faire trouver néce$$airement, $i la quantité
propo$ée en a une: car nous avons déja vu plu$ieurs fois que
le quarré d’une quantité complexe contient le quarré du pre-
mier terme, le double du premier par le $econd, & le quarré
du $econd. Lor$que l’on a pris la racine quarrée du premier
terme, on a celui de la racine: ain$i pour avoir le $econd de la
même racine, il n’y a qu’à doubler ce premier, & divi$er par
ce double un terme qui renferme deux lettres; & $i l’on a un
quotient, ce $era le $econd terme de la racine, pourvu que le
quarré de ce $econd terme $oit encore contenu dans la quan-
tité propo$ée. Or par notre méthode on prend le quarré de
149. Si la quantité propo$ée pour en extraire la racine n’e$t
pas un quarré parfait, on $e contentera d’indiquer que l’on
en prend la racine, en la mettant $ous le $igne √, que l’on
appelle _radical_, comme nous avons déja vu: ain$i la racine de
_aa_-_bb_ e$t
150. Le quarré d’un nombre quelconque $e trouve en mul-
tipliant ce nombre par lui-même: ain$i le quarré de 3247 $e
trouveroit en multipliant ce nombre une fois par lui-même,
$uivant les regles de la Multiplication. Mais pour déterminer
avec plus de préci$ion les différentes parties qui compo$ent ce
quarré, & faire entendre plus ai$ément ce que nous avons à
dire $ur l’extraction des racines, nous rapporterons la forma-
tion du quarré de ce nombre à celle du quarré d’une quantité
algébrique complexe, en le regardant lui-même comme une
quantité de cette nature, & le décompo$ant en $es parties
3000 + 200 + 40 + 7, & fai$ant 3000 = _a_, 200 = _b_, 40 = _c_,
7 = _d_: donc le quarré 3247, ou de 3000 + 200 + 40 + 7
$era repré$enté par celui de la quantité algébrique _a_ + _b_ + _c_ + _d_,
qui e$t _a<_>2_ + 2_ab_ + _b<_>2_ + 2_ac_ + 2_bc_ + _c_<_>2 + 2_ad_ + 2_bd_ + 2_cd_
+ _dd_, ou _a_<_>2 + 2_ab_ + _b_<_>2 +
En fai$ant toutes les Multiplications néce$$aires, on trouvera
Sur quoi l’on remarquera qu’en partageant ces produits par- tiels en tranches de deux chiffres chacunes, excepté la der- niere à gauche, qui peut n’en contenir qu’un,
1°. Le quarré du chiffre $ignificatif 3 du premier terme 3000, aura après lui autant de tranches de deux chiffres chacunes, qu’il a de chiffres après lui dans le nombre 3247, & qu’ain$i ce quarré doit $e trouver au produit total dans la premiere tranche à gauche 10.
2°. Que le produit 1200000 fait du double 6000 du pre- mier terme 3000, multiplié par le $econd 200, $era renfermé dans le premier chiffre de la $econde tranche, joint au re$te que l’on aura eu, en ôtant le quarré de 9000000 de la premiere.
3°. Que le quarré du même $econd terme 40000 $era en- core contenu dans le dernier chiffre de la $econde tranche, ayant après lui autant de tranches qu’il y a de chiffres dans le nombre 3247; d’où il $uit, en ré$umant ces trois articles, que les deux premieres tranches contiennent le quarré 9000000 du premier terme 3000, le double du produit du premier terme 3000, par le $econd 200, & enfin le quarré du $econd.
4°. Que le produit du double des deux premiers termes par
le $econd 40, repré$enté par
5°. Enfin l’on verra que le double du produit des trois pre- miers termes 3000 + 200 + 40, multipliés par le $econd, e$t renfermé dans le premier chiffre de la derniere tranche, & que le quarré de ce dernier terme 7 e$t renfermé dans le der- nier chiffre de la derniere tranche; & qu’ain$i le quarré de la grandeur complexe 3000 + 200 + 40 + 7, ou du nombre 3247, e$t renfermé dans le nombre 10443009, pui$que ce nombre renferme tous les produits dont il peut être compo$é.
Tout cela po$é, il $era facile d’entendre ce que nous allons dire $ur l’extraction des racines.
151. Extraire la racine quarrée d’un nombre, c’e$t cher- cher un nombre qui, multiplié par lui-même, donne au pro- duit un nombre égal au nombre propo$é: extraire la racine de 25, c’e$t chercher le nombre 5, qui multiplié par lui-même une fois, donne 25 au produit. Toutes les fois qu’un nombre propo$é, pour en extraire la racine, ne contiendra que deux chiffres, ou $era moindre que 100, on pourra, $ans aucune opération, trouver $a racine vraie ou la plus proche, par le moyen de la Table $uivante.
Mais lor$que les nombres $eront plus con$idérables, l’opé- ration devient plus compliquée, & c’e$t ce que nous allons détailler, après que nous aurons donné les réflexions $ui- vantes, qui $ont néce$$aires pour une exacte démon$tration de la regle générale de l’extraction des racines quarrées.
152. Le plus grand nombre po$$ible de deux chiffres 99 ne peut avoir plus d’un chiffre à $a racine: car $uppo$ons qu’il pui$$e en avoir deux, & que ce nombre de deux chiffres $oit le plus petit po$$ible, qui e$t 10, ou élevant 10 au quarré, on verra que ce quarré 100 e$t plus grand que 99: donc un nom- bre de deux chiffres quelconque ne peut en avoir plus d’un à $a racine; ce qui e$t vi$ible au$$i par la Table précédente. Ain$i toutes les racines d’un chiffre $ont compri$es, depuis 1 ju$qu’à 99 inclu$ivement.
153. Le plus grand nombre po$$ible de quatre chiffres ne peut en avoir plus de deux à $a racine. Prenons le plus grand nombre po$$ible de quatre chiffres, qui e$t 9999, pui$que $i on lui ajoute l’unité, il devient 10000, qui en a 5; & $uppo$ons que ce nombre pui$$e avoir à $a racine le plus petit nombre compo$é detrois chiffres, qui e$t 100, j’éleve 100 à $on quarré, & il me vient 10000, qui e$t plus grand que le nombre 9999: donc il ne peut pas avoir à $a racine aucun nombre de trois chiffres. D’où il $uit que toutes les racines de deux chiffres $ont renfermées, depuis 100 ju$qu’à 9999 inclu$ivement.
154. Le plus grand nombre de $ix chiffres ne peut en avoir plus de trois à $a racine. Prenons le plus grand nombre de $ix chiffres, qui e$t 999999, & $uppo$ons qu’il pui$$e avoir pour racine le plus petit nombre de quatre chiffres, qui e$t 1000, j’éléve 1000 à $on quarré, & j’ai 1000000, qui a $ept chiffres, & e$t plus grand que le nombre 999999, & par con$équent ce nombre ne peut donner que trois chiffres à la racine. D’où il $uit que les racines de trois chiffres $ont renfermées, depuis 10000 ju$qu’à 999999 inclu$ivement.
155. En continuant le même rai$onnement, on verra que toutes les racines de quatre chiffres $ont compri$es, depuis 1000000 ju$qu’à 99999999; que les nombres ou racines de 5 chiffres $ont contenues depuis 100000000 ju$qu’à 9999999999 inclu$ivement, &c.
156. Il $uit de tout ce que nous venons de dire, qu’en gé- néral un nombre aura toujours à $a racine autant de chiffres qu’on aura de tranches de deux chiffres, en le partageant de deux en deux de droite à gauche, excepté la derniere tranche, qui peut n’en contenir qu’un.
Ain$i 99 ne peut avoir qu’un chiffre, parce qu’il n’a qu’une
tranche de deux chiffres. 100 & 9999 auront deux chiffres à
leurs racines, parce qu’en les divi$ant en tranches de cette
maniere: 1,00; 99,99, chacun en contient deux. De même
10000 & 999999 auront au$$i trois chiffres à leurs racines,
ain$i que tous les nombres qui leur $ont intermédiaires, parce
qu’en partageant chacun en tranches, on a 1,00,00 & 99,99,99;
ils contiennent chacun trois tranches. De plus, le quarré du
premier chiffre $e trouvera dans la premiere tranche, le quarré
157. Un nombre étant donné pour en extraire la racine, on partagera ce nombre en tranches de deux chiffres chacunes, excepté la premiere à gauche, qui peut n’en contenir qu’un $eul; on cherchera quel e$t le plus grand quarré contenu dans la premiere tranche, on en prendra la racine, que l’on po$era à la racine, à côté d’un nombre propo$é, après l’avoir $éparé par une petite barre verticale; on élevera cette racine à $on quarré pour l’ôter de la premiere tranche, & l’on écrira le re$te au de$$ous, & l’opération $era faite $ur la premiere tranche. A côté de ce re$te, on abai$$era la $econde tranche, en met- tant un point au de$$ous du premier chiffre de cette $econde tranche; on doublera ce que l’on a trouvé à la racine, & par ce nombre on divi$era les chiffres qui $ont terminés au premier chiffre de la $econde tranche; on mettra le quotient à la $uite du divi$eur, & on multipliera le divi$eur ain$i augmenté par ce même quotient. Si le produit peut être ôté des chiffres du re$te & de la $econde tranche, le quotient $era le $econd chiffre de la racine, & on le po$era à côté du premier chiffre. Si ce produit étoit plus grand, on diminueroit le quotient d’une unité, & l’on feroit l’opération de même, ju$qu’à ce qu’on eût un nombre que l’on pût retrancher des chiffres $ur le$- quels on opére; & l’ayant trouvé, on cherchera le re$te qui doit venir par la $ou$traction de ce produit.
On abai$$era la troi$ieme tranche à côté de ce re$te, en met-
tant un point $ous le premier chiffre de la troi$ieme tranche,
& l’on divi$eroit les chiffres terminés au premier de la troi-
$ieme, par le double de ce qu’on auroit trouvé à la racine: on
po$era de même ce quotient à côté du divi$eur; & $i le pro-
duit du divifeur ain$i augmenté, multiplié par le quotient,
donne un produit moindre que le $econd re$te, joint à la troi-
fieme tranche, ce quotient $era le troi$ieme chiffre de la racine;
S’il n’y a que trois tranches, & qu’après avoir retranché ce produit il ne re$te rien, on aura la racine demandée; s’il y en davantage, on abai$$era la tranche $uivante à côté du re$te, & l’on fera toujours la même opération, en prenant toujours pour divi$eur le double des chiffres que l’on a trouvés à la ra- cine, & prenant pour les termes de la racine ceux qui auront les conditions expliquées ci-devant; $çavoir, que le produit de ce nombre par lui-même, plus le produit du même nom- bre par le divi$eur $oit plus petit, ou au moins égal aux chiffres $upérieurs.
158. Soit propo$é d’extraire la racine quarrée du nombre 1936, je partage ce nombre en tranches de deux chiffres cha- cune, en l’écrivant ain$i, 19,36; & je dis, en 19 quel e$t le plus grand quarré qui y $oit contenu, ce quarré e$t 16, dont la racine e$t 4, je po$e 4 à la racine, après avoir $éparé le nombre 1936 de $a racine par une petite barre verticale. Je dis en$uite, quatre fois 4 font 16 de 19, re$te 3: j’abai$$e la $econde tranche 36 à côté du re$te 3, en mettant un point $ous le premier chiffre 3 de cette tranche: je double le chiffre 4 que j’ai trouvé à la racine pour avoir le divi$eur 8, par lequel je divi$e les deux premiers chiffres 33 du re$te, & de la $econde tranche; & je dis en 33 combien de fois 8, quatre fois: je po$e 4 à côté du divi$eur 8; ce qui me donne 84, que je mul- tiplie par le même quotient 4, en di$ant, quatre fois 4 font 16, po$e 6 & retiens 1: quatre fois 8 font 32, & 1 que j’ai retenu font 33: le produit e$t 336, qui ôté de 336, re$te o; d’où je conclus que 44 e$t la racine du quarré propo$é. Pour voir $i je ne me $uis pas trompé, j’éleve 44 à $on quarré, il me vient 1936, qui e$t le nombre propo$é.
159. Soit propo$é d’extraire la racine du nombre 10543009, après l’avoir partagé en tranches de deux chiffres chacune, & placé comme on voit ci-après à la gauche d’une barre verti- cale, à côté de laquelle je dois mettre la racine: je dis, en 10 quel e$t le plus grand quarré qui y $oit contenu, ce quarré e$t 9, dont la racine e$t 3, que je po$e à la racine: j’éleve 3 à $on quarré, il me vient 9, que je retranche de 10, re$te 1. J’abai$$e la $econde tranche 54 à côté du re$te 1, en ob$ervant de mettre un point $ous le premier chiffre 5; & doublant ce que j’ai trouvé à la racine, il me vient 6 pour divi$eur: je dis en 15 combien de fois 6, deux fois; j’écris 6 au de$$ous du divi$eur, & je mets à côté le quotient 2, & je multiplie 62 par 2, le produit e$t 124, lequel retranché de 154, donne 30 pour $e- cond re$te: j’abai$$e la $econde tranche, qui e$t 30, à côté du re$te 30, en mettant un point $ous le premier chiffre 3 de cette $econde tranche; je double ce que j’ai à la racine pour avoir le $econd divi$eur 64, par lequel je divi$e les chiffres 303, & je dis en 30 combien de $ois 6, cinq $ois, je po$e le 5 à la $uite de 64, en écrivant 645. Je multiplie ce nombre par 5, & comme le produit 3225 ne peut pas être ôté du 3030, j’e$$aie le 4; j’écris donc 644, & multipliant ce nombre par 4, le pro- duit e$t 2576, qui pouvant être ôté de 3030, m’indique que ce 4 e$t bon, & je le po$e à la racine. J’ôte le nombre 2576 de 3030, le re$te e$t 454, à côté duquel j’abai$$e la quatrieme tranche, en mettant un point $ous le premier chiffre 0 de cette tranche 09 pour divi$er les chiffres 4540 par le double de ce qui e$t à la racine, qui e$t. 648. Je dis donc en 45 combien de fois 6, $ept fois, je po$e le 7 à côté du divi$eur 648, en écri- vant 6487, & je multiplie ce nombre par 7, le produit e$t 45409, lequel étant préci$ément égal au nombre 45409, in- dique que le 7 e$t bon: je le po$e à la racine qui $e trouve de 3247, comme on le $çait d’ailleurs par l’article 150.
10,54,30,09 1 54 1 24 3030 2576 45409 45409 00000
{ 3247 6, I<_>er _divi$eur_. 62 2 124, _produit_. 64, 2<_>e _divi$eur_. 645 5 _prod. d’épreuve_ 644 4 2576, _produit_. 648, 3<_>e _divi$eur_. 6487 7 45409, _produit_.
_Preuve de l’opération_. 3247 3247 22729 12988 6494 9741 10543009
160. Soit propo$é d’extraire la racine du nombre 867972,
je divi$e ce nombre en tranches de deux chiffres chacune, en
l’écrivant ain$i: 86,79,72; puis je dis, en 86 quel e$t le plus
grand quarré qui y $oit contenu, ce quarré e$t 81, dont la ra-
cine e$t 9, que je po$e à la racine; j’éléve 9 à $on quarré, &
j’ôte ce quarré 81 de 86, re$te 5: j’abai$$e à côté du 5 la $e-
conde tranche 79, en mettant un point $ous le premier chiffre
7, ce qui me donne 57 à divi$er par 18, double de 9, qui e$t
à la racine. Je fais la divi$ion, & je dis, en 5 combien de fois
1, il y e$t cinq fois; mais comme je vois ai$ément qu’il n’e$t
pas bon, parce qu’il me donneroit un produit trop fort, j’e$-
$aie tout d’un coup le 4, en le mettant à la $uite du divi$eur
84: je multiplie 184 par 4, le produit e$t 736, qui étant plus
grand que 579, me marque que le 4 n’e$t pas encore bon, ain$i
je ne le mets point à la racine. J’éprouve le 3, en mettant 183,
& multipliant ce nombre par 3, le produit e$t 549; comme
ce produit e$t moindre que 579, je mets le 3 à la racine. J’ôte
en$uite 549 de 579, le re$te e$t 30; j’abai$$e à côté de ce re$te
la troi$ieme tranche 72, en mettant le point $ous le premier
Sil’on veut faire la preuve de cette opération, il faudra élever la racine 931 que l’on a trouvée à $on quarré, lui ajouter le re$te 1211, & l’on doit trouver un nombre égal au nombre propo$é.
86,79,72 579 549 30772 1861 _Re$te_ 1211
{ 931 18, I<_>_er_ _divi$eur_. 184 4 _produit d’épreuve_. 183 3 549, _bon produit_. 186, _$econd divi$eur_. 1862 2 _produit d’épreuve_. 1861 1 1861
_Preuve de l’opération_. 931 931 931 2793 8379 866761 1211 867972
Maniere d’approcher le plus près qu’il e$t po$$ible de la racine quarrée d’un nombre, dont on ne peut avoir la racine $ans re$te, par le moyen des décimales.
161. Comme le principal u$age de la racine quarrée dans la
Géométrie, & $urtout dans la Géométrie pratique, e$t de
trouver en nombre le côté d’un quarré égal à une quantité de
toi$es, ou de pieds quarrés, il e$t néce$$aire, pour agir avec
plus de préci$ion, d’approcher le plus près qu’il e$t po$$ible de
162. On ajoutera au nombre propo$é, pour en extraire la racine, autant de tranches de deux zero chacune, que l’on vou- dra avoir de décimales à la racine; & aprés avoir $éparé les entiers de la racine d’avec les décimales qui doivent $uivre, on continuera le procédé de l’extraction des racines, préci$é- ment de la même maniere qu’il $e pratique $ur les nombres entiers, comme on le verra dans l’exemple $uivant.
8,69,00,00,00, 469 441 2800 2336 46400 41209 519100 471584 _Re$te_ 47516
{ 29,478 4, _premier divi$eur_. 49 9 441 58, _$econd divi$eur_. 585 5 _produit d’épreuve_. 584 4 2336, _bon produit_. 588, _troi$ieme divi$eur_. 5888 8 _produit d’épreuve_. 5887 7 41209, _bon produit_. 5894, 4<_>me _divi$eur_. 58948 8 471584
163. Soit propo$é d’extraire la racine de 869, ju$qu’à ce que
la racine ne différe pas d’un millieme de la vraie valeur. On
ajoutera au nombre propo$é $ix zero, parce que l’on veut avoir
des milliemes, en écrivant au lieu de 869, 8,69.00,00,00, &
après les avoir partagé en tranches de deux en deux, on dira
en 8 quel e$t le plus grand quarré qui y $oit contenu; ce quarré
e$t 4, dont la racine e$t 2, que je po$e à la racine. J’ôte ce
quarré 4 du premier chiffre 8, il me re$te 4, à côté duquel
j’abai$$e la $econde tranche 69, en mettant un point $ous le 6,
afin de faire voir que c’e$t 46 que je divi$e par le divi$eur 4,
double de la racine. Je dis donc, en 46 combien de fois 4,
neuf fois, je po$e 9 à côté du divi$eur 4, & au de$$ous, & je
multiplie 49 par 9, le produit e$t 441, moindre que 469; ce
qui me montre que le 9 e$t un des chiffres de la racine. J’ôte
441 de 469, le re$te e$t 28. J’abai$$e à côté de ce re$te la pre-
miere tranche de décimales, en mettant un point $ous le pre-
mier zero, pour marquer que c’e$t 280 que je veux divi$er par
le nombre 58, double de ce qui e$t à la racine. Je fais la Divi-
$ion, & je dis, en 28 combien de fois 5, il y e$t cinq fois: je
po$e le 5 à côté du divi$eur 58, & au de$$ous, & je multiplie
585 par 5, le produit e$t 2925, qui étant plus grand que 28,00,
me marque que l’on ne peut pas mettre 5 à la racine: je prends
le 4, & j’écris 584, queje multiplie par 4, le produit e$t 2336,
lequel étant moindre que 2800, me marque que le 4 e$t bon,
& je le po$e à la racine, après avoir $éparé les entiers 29 des
décimales par un point. J’ôte ce produit 2336 de 2800, le re$te
e$t 464, à côté duquel j’abai$$e la $econde tranche de déci-
males, en mettant un point $ous le premier zero. Je divi$e
4640 par 588, double de ce qui e$t à la racine; & je dis, en 46
combien de fois 5, il y e$t 8, je po$e le 8 à côté du divi$eur
588; & au de$$ous de ce même divi$eur, je multiplie 5888 par
8, le produit e$t 47104, qui étant plus grand que 46400, fait
voir que je ne puis pas mettre 8 à la racine; je prends le 7, que
je mets à côté du divi$eur 588, & au de$$ous, puis multipliant
5887 par 7, le produit e$t 41209; & comme ce produit e$t
moindre que 46400, je po$e le 7 à la racine. Je retranche le
produit 41209 de 46400, le re$te e$t 5191, à côté duquel j’a-
bai$$e la troi$ieme tranche, en mettant un point $ous le pre-
mier zero, pour divi$er le nombre 51910 par 5894, double de
ce que j’ai trouvé à la racine. Je fais la Divi$ion, en di$ant,
164. Si l’on $uppo$e que le nombre 869 $oit un nombre de toi$es quarrées, ce que l’on trouve à la racine au rang des entiers, marque des toi$es linéaires, & le nombre que l’on trouve au rang des décimales, marque des parties de toi$es linéaires, comme des pieds, des pouces, & des lignes. Pour $çavoir ce que vaut de pieds la partie décimale {478/1000} ou 0.478, on multipliera, $uivant la regle (art. 131.) le nombre 478 par 6, qui marque combien la toi$e contient de pieds; & le re$te par 12, qui marque combien le pied vaut de pouces, & le re$te encore par 12, qui marque combien le pouce vaut de lignes. En $uivant ce procédé, tous les nombres qui $e trouveront hors les décimales, marqueront les parties de la toi$e que l’on demande, qui $ont 2 pieds 10 pouces 4 lignes 11 points, ou $i l’on veut, à cau$e du re$te que l’on a encore négligé dans les décimales, 2 pieds 10 pouces 5 lignes. La racine du nom- bre 869 toi$es e$t donc 29 toi$es 2 pieds 10 pouces 5 lignes.
165. Si l’on a un nombre compo$é de toi$es, pieds & pouces propo$é pour en extraire la racine, comme $i l’on demandoit celle du nombre 24 toi$es 3 pieds 9 pouces, il faudroit réduire les fractions {1/2} & {9/72} de toi$es, qui $ont la même cho$e que 3 pieds 9 pouces, en fractions décimales de la toi$e, $uivantla méthode de l’art. 128; de la $omme de ces deux fractions dé- cimales, & du nombre propo$é faire un $eul nombre, que l’on trouvera de 24.625000, dont on extraira la racine, $uivant les méthodes données ci - devant; cette racine $e trouvera de 4,962, c’e$t-à-dire de 4 toi$es, plus {962/1000} de toi$es que l’on éva- luera, $uivant la méthode de l’art. 131, & que l’on trouvera de 5 pieds 9 pouces 3 lignes 2 points.
166. Pour démontrer les opérations précédentes, nous ex- trairons encore la racine quarrée du nombre 676, & nous fe- rons voir la rai$on de chaque opération.
On voit par les articles 152, 153, 154 & 155 pour quelle rai$on on divi$e le nombre donné en tranches de deux chiffres chacune, & comment chaque tranche doit donner un chiffre à la racine. Cela po$é, pour extraire la racine de 676, après avoir partagé le nombre en tranches de deux chiffres chacune, excepté la premiere qui n’en contient qu’un, je dis, la racine quarrée de 6 e$t 2, que je po$e à la racine, & qui vaut 20, pui$- qu’il doit y avoir deux chiffres à la racine, dont il e$t le pre- mier. Lors donc que j’éleve 2 au quarré, & que je retranche 4 de 6, c’e$t comme $i j’élevois 40 au quarré, & que je retrancha$$e 400 de 600, pui$que le 6 vaut réellement 600. Selon la regle, j’abi$$e la $econde tranche à côté du re$te 2, & j’ai 276: je mets un point $ous le 7, parce que nous avons fait voir que le double du premier terme, multiplié par le $econd, doit $e trouver compris dans les deux premiers chiffres 27 (n°. 150); mais j’ai le double du premier, & ce nombre 27 contient le double du premier, multiplié par le $econd: donc en divi$ant 27 par le double du premier, je dois trouver le $econd: je fais la Divi$ion, & je dis, en 27 combien de fois 4, il y e$t $ix fois: je mets le 6 à côté du divi$eur & au de$$ous, $elon la regle; ce qui me donne néce$$airement par la Multiplication le quarré de 6, lequel doit être contenu dans les deux derniers chiffres: je dis donc $ix fois 6 font 36, je po$e 6 & retiens 3; $ix fois> 4 font 24, & 3 de retenus, font 27, le produit e$t 276: donc le 6 e$t le $econd chiffre de la racine: donc 26 e$t la racine du nombre propo$é, pui$que ce nombre contient le quarré du premier 2 ou 20, qui e$t 400, le double du premier 40, mul- tiplié par 6 ou 240, & enfin le quarré 36 du $econd.
Le rai$onnement que nous fai$ons pour une racine de deux
chiffres $e peut appliquer à tout autre; car on pourra toujours
partager un nombre quelconque de chiffres en deux parties,
dont la premiere contiendra tous les chiffres, excepté le der-
nier à droite, & la $econde contiendra le dernier chiffre. De
cette maniere, on verra que lor$qu’on aura trouvé la racine
des premiers chiffres, le re$te qui viendra, joint avec la der-
niere tranche, doit contenir le double des premiers chiffres
trouvés, multiplié par le dernier avec le quarré du dernier.
D’ailleurs ce double produit $era toujours placé de maniere,
que les chiffres $ignificatifs de ce même produit $eront tou-
jours terminés au premier chiffre de la derniere tranche: donc
167. Nous avons déja vu, n°. 61, que le cube d’une quan- tité, compo$ée de deux termes, contient le cube du premier terme, le cube du $econd, plus deux parallelepipedes, dont le premier a pour ba$e le triple du quarré du premier, & le $e- cond pour hauteur, & l’autre a pour ba$e le triple du quarré du $econd, & pour hauteur le premier; ce que nous avons démontré généralement, en élevant _a_ + _b_ à $on cube, que nous avons trouvé _a_<_>3 + 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3.
168. Le cube d’une quantité, compo$é de trois termes, ou de
quatre termes, $e trouvera de même, en multipliant cette
quantité deux fois de $uite par elle-même; mais on peut la
trouver plus ai$ément, en rapportant la quantité à l’expre$$ion
générale _a_ + _b_, qui peut repré$enter une quantité complexe
quelconque, en fai$ant, par exemple dans celle-ci, _c_ + _d_ + _f_
+ _g_, _c_ + _d_ = _a_, & _f_ + _g_ =_b_. Voici de quelle maniere on
s’y prendroit pour élever tout d’un coup _c_ + _d_ + _f_ + _g_ au cube.
On prendroit d’abord le cube de _c_ + _d_, qui e$t _c_<_>3 + 3_c_<_>2_d_ +
3_cd_<_>2 + _d_<_>3, & de même le cube de _f_ + _g_, qui e$t _f_<_>3 + 3_f_<_>2_g_
+ 3_fg_<_>2 + _g_<_>3; on prendroit en$uite le triple du quarré de _c_ + _d_
que l’on trouvera de 3_c_<_>2 + 6_cd_ + 3_d_<_>2, que l’on multipliera
par _f_ + _g_, ce qui donnera 3_c_<_>2_f_ + 6_cdf_ + 3_d_<_>2_f_ + 3_c_<_>2_g_ + 6_cdg_
+ 3_d_<_>2_g_. De même on prendra le triple du quarré de _f_ + _g_,
qui $era 3_ff_ + 6_fg_ + 3_g_<_>2, que l’on multipliera par _c_ + _d_, &
l’on aura 3_cff_ + 6_cfg_ + 3_cg_<_>2 + 3_dff_ + 6_dfg_ + 3_dg_<_>2; ajou-
tant tous ces produits en$emble, on aura pour le cube total de
169. Quand cette méthode n’auroit pas l’avantage d’être plus expéditive, & moins $ujette à jetter dans l’erreur, elle devient ici néce$$aire, pour faire connoître comment on peut ramener la formation du cube d’une quantité complexe de tant de termes que l’on voudra, à la formation du cube, du binome _a_ + _b_; & pour montrer pareillement comment l’extraction des racines cubes des mêmes polinomes $e rappelle à l’extraction de la racine cube de _a_ + _b_.
De même $i l’on vouloit élever au cube la quantité complexe 3_c_ + 2_d_ + 5_f_, on feroit 3_c_ + 2_d_ = _a_, & 5_f_ = _b_. Cela po$é, on chercheroit d’abord _a_<_>3, que l’on trouveroit en élevant le binome 3_c_ + 2_d_ au cube, $uivant la regle du binome _a_ + _b_, & qui e$t 27_c_<_>3 + 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3. On chercheroit en$uite le triple du quarré du premier terme, multiplié par le $econd, ou 3_a_<_>2_b_ qui e$t 135_cf_<_>2 + 180_cdf_ + 60_d_<_>2_f_. On prendroit de même le triple du quarré du $econd, multiplié par le premier, ou 3_ab_<_>2 qui $e trouveroit être 225_cf_<_>2 + 150_df_<_>2: enfin on auroit pour _b_<_>3 ou le cube du $econd terme, 125_f_<_>3. En a$$emblant toutes ces quantités, on auroit pour le cube du trinome 3_c_ + 2_d_ + 5_f_, 27_c_<_>3 + 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3 + 135_c_<_>2_f_ + 180_cdf_ + 60_d_<_>2_f_ + 225_cf_<_>2 + 150_df_<_>2 + 125_f_<_>3.
170. Pour extraire la racine cube d’une quantité algébri-
que, il faudra prendre d’abord la racine cube d’un des termes
de cette quantité, qui $era un cube parfait, & l’écrire à la
racine: pour avoir le $econd terme de la racine, il faudra
prendre le triple du quarré du premier terme que l’on vient de
mettre à la racine, & par cette quantité divi$er un terme du
polinome propo$é qui pui$$e donner un quotient exact; il fau-
dra ajouter à côté du divi$eur le triple du premier terme, mul-
tiplié par ce quotient, le quarré du même quotient, & multi-
plier le tout par le même quotient; & $i le polinome propo$é
e$t un cube parfait, & n’a que quatre termes, il faut que le
produit qui viendra, $oit égal à ce qui re$te de la même quan-
171. Soit propo$é d’extraire la racine cube du polinome _a_<_>3 + 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3. Ayant di$po$é cette quantité à la gau- che d’une barre verticale, comme on le voit ci-après, je dis, la racine cube de _a_<_>3 e$t _a_, que je po$e à la racine: j’éleve cette racine à $on cube, & ôtant _a_<_>3 de la quantité propo$ée, il me vient pour re$te 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3. Pour avoir le $econd terme de la racine, j’éleve la grandeur _a_ à $on quarré, dont le triple 3_a_<_>2 me $ert de divi$eur, que je place au de$$ous de la racine. Je cherche dans le re$te un terme divi$ible par 3_a_<_>2, & je vois que le premier de ce re$te 3_a_<_>2_b_ e$t effectivement divi$ible par 3_a_<_>2, & me donne au quotient _b_. J’écris au de$$ous du divi$eur 3_a_<_>2 la quantité $uivante, 3_a_<_>2 + 3_ab_ + _b_<_>2, qui contient le triple du quarré du premier terme, le triple du premier par le $econd, & le quarré du $econd ou du quotient _b_: je multiplie cette quantité par le même quotient _b_, & j’ai 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3, qui e$t égal au re$te, & me fait voir que _b_ e$t le $econd terme de la racine. Je le mets donc à la $uite de _a_, ce qui me donne _a_ + _b_ pour la racine cube demandée.
_a_<_>3 + 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3 - _a_<_>3 Re$te 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3 Sou$tract. - 3_a_<_>2_b_ - 3_ab_<_>2 - _b_<_>3 0 0 0
{_a_ + _b_, racine. 3_a_<_>2, divi$eur. 3_a_<_>2 + 3_ab_ + _b_<_>2 _b_ 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3, produit.
172. Soit encore propo$é d’extraire la racine cube de la quan-
tité 27_c_<_>3 + 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3. Ayant écrit cette quantité
à la gauche d’une ligne verticale, de l’autre côté de laquelle je
dois mettre la racine, je dis, la racine cube de 27_c_<_>3 e$t 3_c_,
pui$qu’en élevant 3_c_ au cube, j’ai 27_c_<_>3: j’ôte ce cube de la
quantité propo$ée, le re$te e$t 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_. Je triple
le quarré de ce qui e$t à la racine, & j’ai pour divi$eur 27_c_<_>2.
Je cherche dans le re$te un terme qui $oit divi$ible par 27_c_<_>2, ce
terme e$t 54_c_<_>2_d_, qui me donne au quotient 2_d_: j’écris au
27_c_<_>3 + 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3 - 27_c_<_>3 Re$te 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3 - 54_c_<_>2_d_ - 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3 0 0 0
{ 3_c_ + 2_d_, racine. 27_c_<_>2, divi$eur. 27_c_<_>2 + 18_cd_ + 4_dd_ 2_d_ 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3, produit.
173. Si la quantité devoit avoir plus de deux termes à la racine, on $uivroit toujours le même procédé, c’e$t-à-dire que l’on prendroit pour divi$eur le triple du quarré de ce que l’on auroit trouvé pour divi$er le re$te par cette quantité, & le quotient qui viendroit $e détermineroit de la même maniere que l’on a déterminé le $econd terme de la racine. Par exem- ple, $i l’on me propo$e d’extraire la racine cube de la quantité 27_c_<_>3 + 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3 + 135_c_<_>2 _f_ + 180_dcf_ + 60_d_<_>2_f_ + 225_cf_<_>2 + 150_df_<_>2 + 125_f_<_>3. Après avoir trouvé les deux premiers termes de la racine 3_c_ + 2_d_, avec le re$te 135_c_<_>2_f_, &c. comme il e$t marqué ci-après, pour avoir le troi$ieme terme de la racine, il faudra prendre pour divi$eur le triple du quarré de ce qui e$t à la racine, que l’on trouvera être 27_c_<_>2 + 46_cd_ + 12_dd_: on cherchera donc un terme qui $oit divi$ible par 27_c_<_>2: ce terme e$t le premier du dernier re$te 135_c_<_>2_f_, lequel divi$é par 27_c_<_>2, donne 5_f_ au quotient: j’écris au de$$ous du divi$eur ce même divi$eur, avec les quantités $uivantes, 45_cf_ + 30_df_ + 25_ff_, dont les deux premiers termes $ont le triple de ce qui e$t à la racine, multiplié par le quotient 5_f_; le troi- $ieme, le quarré du même quotient 5_f_: je multiplie toute cette quantité par 5_f_, & comme le produit qui en ré$ulte détruit tous les termes du dernier re$te, étant pris en moins, je con- clus que 5_f_ e$t le troi$ieme terme de la racine, & je le po$e à la $uite des autres.
Re$te { 135_c_<_>2_f_ + 180_dcf_ + 60_d_<_>2_f_ + 225_cf_<_>2 + 150_df_<_>2 + 125_f_<_>3 - 135_c_<_>2_f_ - 180_dcf_ - 60_d_<_>2_f_ - 225_cf_<_>2 - 150_df_ - 125_f_<_>3 _Produit_ _négatif_. 0 0 0 0 0 0
{ 3_c_ + 2_d_ + 5_f_, racine. 27_c_<_>2 + 36_c_<_>2_d_ + 12_dd_, div. 27_c_<_>2 + 36_cd_ + 12_dd_<_>2 + 45_cf_ + 30_df_ + 25_ff_ x 5_f_
Cette pratique porte $a démon$tration avec elle; car il e$t évident qu’en la $uivant, on doit reconnoître $i la quantité propo$ée e$t un cube, pui$que l’on ôte de cette quantité toutes les parties qui forment le cube d’une quantité complexe. Quand on a un peu d’habitude au calcul, on voit tout d’un coup $i une quantité propo$ée e$t un cube parfait; car $i elle ne contient que deux termes, trois termes, ou cinq, $ix, $ept, huit, neuf, & non pas dix termes, on $era $ûre qu’elle n’e$t point un cube parfait; car elle ne peut être cube parfait que d’un binome ou d’un trinome, ou d’une quantité plus com- pliquée, & le binome ne donne que quatre termes à $on cube, & le trinome en donne dix: donc les intermédiaires ne $ont pas des cubes.
174. Pour élever un nombre comme celui-ci, 47 à $on cube,
on peut le faire en deux manieres, ou en multipliant 47 par
lui-même pour avoir $on quarré 2209, & multipliant encore
ce quarré par 47, ce qui donnera 103823, ou bien en $e $ervant
de la formule _a_<_>3 + 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3: pour cela, je regarde
le nombre 47 comme une quantité complexe, que je repré-
$ente par _a_ + _b_; $çavoir 40 par _a_, & 7 par _b_, ce qui me donne
40 + 7 = _a_ + _b_. Je cherche d’abord _a_<_>3 en élevant 40 au cube,
& j’ai _a_<_>3 = 64000: je prends en$uite le triple du quarré de
40, que je multiplie par 7, pour avoir 3_a_<_>2_b_, ce qui me donne
3_a_<_>2_b_ = 33600. Je cherche pareillement 3_ab_<_>2, ou le triple du
premier, multiplié par le quarré du $econd, ce qui donne
3_ab_<_>2 = 5880: enfin pour _b_<_>3, j’ai _b_<_>3 = 343. Ra$$emblant toutes
2°. Que le produit repré$enté par 3_a_<_>2_b_ e$t placé de maniere que le triple du quarré de 4 ou 16, qui e$t 48, multiplié par 7 ou 336, a deux zero après lui: donc il aura au$$i deux chif- fres après lui dans le cube total, & $era contenu dans les chif- fres qui $e terminent au premier 8 de la $econde tranche.
3°. Que le produit repré$enté par 3_ab_<_>2, ou le triple 12 du premier chiffre 4, multiplié par 49, quarré du $econd, a un rang de chiffres après lui, pui$qu’il e$t 5580; & qu’enfin le cube du $econd chiffre 7 e$t ren$ermé tout entier dans la $econde tranche.
Ceci $uppo$é, il $era facile d’entendre la méthode de l’ex- traction de la racíne cube que nous allons donner, après quel- ques remarques, qui $ont ab$olument néce$$aires, pour qu’il n’y ait rien à dé$irer $ur cette partie.
Pour extraire la racine cube d’une quantité quelconque, il faut d’abord connoître les cubes des neuf premiers chiffres; ce que l’on connoîtra par le moyen de la Table $uivante, qui $uffit, lor$que les nombres propo$és n’ont que trois chiffres.
175. On remarquera d’abord que le plus grand nombre de
trois chiffres ne peut avoir qu’un chiffre à $a racine cube, car
le plus grand nombre de trois chiffres e$t 999, & le plus petit
de deux chiffres e$t 10, dont le cube 1000 e$t de quatre chif-
176. Le plus grand nombre de $ix chiffres ne peut en avoir que deux à $a racine; le plus grand nombre de $ix chiffres e$t 999999, & le plus petit de trois chiffres e$t 100, dont le cube e$t 1000000, qui a $ept chiffres, & e$t plus grand que 999999. Ain$i toutes les racines cubes de deux chiffres $ont compri$es depuis 1000 ju$qu’à 999,999 inclu$ivement.
177. Le plus grand nombre de neuf chiffres ne peut en avoir que trois à $a racine; car le plus grand nombre de neuf chif- fres e$t 999999999, & le plus petit nombre de quatre chiffres e$t 1000, dont le cube e$t 1000000000 qui contient dix chif- fres, & e$t néce$$airement plus grand que 999999999; d’où il $uit que les racines cubes de trois chiffres $ont compri$es, de- puis 1000000 ju$qu’à 999,999,999 inclu$ivement.
178. En continuant toujours le même rai$onnement, on verra qu’en général un nombre propo$é doit avoir autant de chiffres à $a racine cube qu’il aura de tranches de trois chiffres chacune, excepté la premiere à gauche, qui peut n’en con- tenir que deux ou même un, mais que l’on regarde toujours comme une tranche; car 999 ne donne qu’un chiffre à la ra- cine, comme on l’a démontré, art. 175, & ce nombre ne contient qu’une tranche de trois chiffres. 1000 donne deux chiffres à la racine cube, parce que, outre la tranche des trois zero, il contient encore une tranche d’un chiffre. De même 999999 ne peut donner que deux chiffres à la racine, ain$i que tous les intermédiaires entre lui & 1000, parce qu’ils ne contiennent que deux tranches, & ain$i des autres.
Tout cela po$é, nous allons donner la regle générale, & l’appliquer à quelques exemples.
179. 1°. On commencera par partager le nombre donné en tranches de trois chiffres chacune, en comptant pour une tranche la premiere à gauche, qui peut ne contenir que deux chiffres, ou même un $eul.
2°. On cherchera le plus grand cube contenu dans la pre-
miere tranche à gauche, on en prendra la racine, que l’on
3°. A côté du re$te que l’on aura trouvé, en ôtant le cube du premier chiffre de la racine de la premiere tranche, on abai$$era la $econde tranche, en ob$ervant de mettre un point $ous le premier chiffre de cette $econde tranche: pour avoir le $econd chiffre de la racine, on élevera le premier au quarré, dont on prendra le triple, qui $era le divi$eur dont il faudra $e $ervir pour trouver le $econd chiffre de la racine.
4°. On divi$era les chiffres terminés à celui $ous lequel on a mis un point, par le divi$eur trouvé, & l’on aura un quotient, que l’on éprouvera comme il $uit, avant que de le po$er à la racine. Il faudra ajouter en$emble les produits repré$entés par 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3, c’e$t-à-dire le produit du divi$eur par le chiffre que l’on éprouve, le triple du premier terme de la ra- cine par le quarré du même chiffre, & enfin le cube de ce même chiffre, en ob$ervant de les placer avant l’addition, de maniere qu’ils $e pa$$ent tous d’un chiffre en avant. Il faudra ôter la $omme de la $econde tranche, jointe au re$te que l’on a trouvé, & $i la $ou$traction $e peut faire, on mettra le chiffre à la racine, $inon il faudra diminuer d’une unité, ju$qu’à @e que la $omme de ces produits $oit moindre, ou tout au moins égale aux chiffres $ur le$quels on opere. Si le nombre propo$é n’a que deux tranches, l’extraction $era faite, & la racine $era la racine exacte que l’on cherche, $i la $ou$traction n’a pas donné de re$te. Si le nombre avoit encore d’autres tranches, on les abai$$eroit l’une aprés l’autre à côté du dernier re$te, en déterminant les divi$eurs, & les chiffres que l’on doit mettre à la racine, comme on a fait pour le $econd chiffre de la même racine.
180. Soit propo$é d’extraire la racine cube du nombre
103823. Aprés avoir partagé ce nombre en tranches de trois
chiffres chacune, je dis, en 103 quel e$t le plus grand cube
qui y $oit contenu? Ce cube e$t 64 (comme on le peut voir
ai$ément par la Table des cubes), dont la racine cube e$t 4,
Je po$e 4 à la racine, à la droite du nombre propo$é, après
103,823 64 39823 39823 00000
{47, racine. 48 = 3_a_<_>2, divi$eur. 384 = 3_a_<_>2_b_ 768 = 3_ab_<_>2 512 = _b_<_>3 46592 = 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3 336 = 3_a_<_>2_b_ 588 = 3_ab_<_>2 343 = _b_<_>3 39823 = 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3
}_Epreuve du_ 8. }_Epreuve du_ 7.
181. Soit propo$é d’extraire la racine cube du nombre
99865243. Aprés avoir partagé ce nombre en tranches de
trois chiffres en trois chiffres, à commencer par la droite, je
cherche d’abord la racine cube de 99,865, préci$ément de la
même maniere que dans l’exemple précédent, en fai$ant ab$-
traction pour un moment de la troi$ieme tranche 243. Je dis
donc en 99 quel e$t le plus grand cube qui y $oit contenu? Ce
cube e$t 64, dont la racine e$t 4, que je po$e à la racine, à la
droite du nombre propo$é: je cube 4, & j’ôte le produit 64 de
99, le re$te e$t 35, & toute l’opération e$t faite pour la pre-
miere tranche. J’abai$$e la $econde tranche 865, en mettant
un point $ous le premier chiffre de cette tranche, pour mar-
quer que le nombre 358 contient le triple du quarré du pre-
mier terme, multiplié par le $econd. Je triple le quarré de ce
qui e$t à la racine, & j’ai le divi$eur 48, par lequel il faut di-
vi$er 358 pour avoir le $econd chiffre de la racine. Je divi$e
donc 358 par 48, & je dis, en 35 combien de fois 4, il y e$t
huit fois; mais ni le 8 ni le 7 ne peuvent être mis à la racine,
car en fai$ant l’épreuve du 7, comme dans l’exemple précé-
dent, on verra que les produits dé$ignés par 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3,
qu’il faut retrancher du re$te, joint à la $econde tranche, don-
nent un nombre trop grand 39823. Ain$i j’éprouve le 6; pour
cela je multiplie le divi$eur 48 par 6 pour avoir le produit 288,
dé$igné par 3_a_<_>2_b_. Je multiplie en$uite le triple de ce qui e$t à
99865243 64 35865 33336 2529243 1916847 612396
{463 48 = 3_a_<_>2, I<_>er divi$eur. 288 = 3_a_<_>2_b_ 432 = 3_ab_<_>2 216 = _b_<_>3 33336 = 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3 6348 = 3_a_<_>2, $econd divi$. 19044 = 3_a_<_>2_b_ 1242 = 3_ab_<_>2 27 = _b_<_>3 1916847 = 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_ + _b_<_>3
} _Epreuve du_ 6. } _Epreuve du_ 3.
182. On ajoutera au nombre propo$é, pour en extraire la racine, autant de tranches de trois zero chacune que l’on vou- dra avoir de décimales à la racine: on extraira d’abord la ra- cine du nombre propo$é, comme on a fait ci-devant, & aprés avoir trouvé le re$te, pui$que la racine n’e$t pas complette, on abai$$era auprés de ce re$te la premiere tranche, & l’on opérera $ur cette partie comme $ur des nombres entiers; on fera l’épreuve des chiffres qu’il faudra mettre à la racine, préci$ément de la même maniere, comme on verra $u$affimment dans l’exemple $uivant, dans lequel on $e contentera d’indiquer les opérations $ans s’arrêter à les détailler.
183. Si l’on $uppo$e que 694 $oit un nombre de toi$es, dont on demande la racine en toi$es, pieds, pouces, il faudra ré- duire les décimales 853 en valeur connue, $uivant la méthode de l’article 131, en multipliant ce nombre 0.853 par 6, pre- nant les entiers pour les pieds, & multipliant encore le re$te par 12 pour avoir les pouces, & ain$i de $uite pour les lignes & les points. En opérant de cette maniere, on verra que la racine cube de 694 toi$es cubes e$t 8 toi$. 5 pieds 1 pouce 5 lig.
184. Si au contraire on propo$oit un nombre qui contînt
des toi$es, des pieds, des pouces pour en extraire la racine,
694,000,000,000 512 182000 169 472 12 528000 11 682125 845875000 705142479
{8.853 192 = 3_a_<_>2, premier divi$eur. 1536 = 3_a_<_>2_b_ 1536 = 3_ab_<_>2 512 = _b_<_>3 169472 = 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3 23232 = 3_a_<_>2, $econd divi$eur. 116160 = 3_a_<_>2_b_ 6600 = 3_ab_<_>2 125 = _b_<_>3 116821 25 = 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3 2349675 = 3_a_<_>2, troi$ieme divi$eur. 7049025 = 3_a_<_>2_b_ 23895 = 3_ab_<_>2 27= _b_<_>3 705141477= 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3.
185. Le cube d’un nombre quelconque peut être regardé
comme celui d’un binome, dont le premier terme repré$ente
cous les chiffres, excepté le premier à droite, & le $econd
repré$ente ce dernier. Or le cube d’un binome contient le
cube du premier terme, le triple du quarré du premier par le
$econd, le triple du premier par le quarré du $econd, & le
cube du $econd: ain$i il n’y a qu’à faire voir que par la mé-
thode propo$ée on détermine toutes ces parties, dont le cube
e$t compo$é; c’e$t ce qu’il e$t ai$é de reconnoître: car dans le
premier exemple, lor$que je po$e 4 à la racine cube, comme
On appliquera le même rai$onnement à une racine de tant de chiffres que l’on voudra, pui$que l’on peut regarder les chif- fres trouvés comme le premier terme de la racine, & celui qui re$te à trouver comme le $econd, en regardant le nombre propo$é comme s’il ne contenoit que deux tranches.
La preuve de l’extraction des racines quarrées & cubiques $e fait en élevant les racines trouvées au quarré ou au cube: $i le nombre propo$é étoit un quarré ou un cube parfait, on doit trouver en multipliant la racine une ou deux fois par elle- même un nombre égal au premier; $i les nombres ne $ont pas des quarrés ou des cubes parfaits, en ajoutant le re$te avec la même pui$$ance de la racine, on doit retrouver le nombre propo$é.
186. Pour extraire la racine quarrée d’une fraction numé-
rique, il faut extraire la racine du numérateur & du dénomi-
187. Quand le dénominateur de la fraction n’e$t pas un quarré, on multiplie le numérateur & le dénominateur par ce même dénominateur: de cette maniere la fraction n’a pas changé de valeur, & de plus le dénominateur e$t un quarré parfait, ce qui contribue beaucoup à déterminer exactement la valeur de la racine fractionnaire. Ain$i pour extraire la ra- cine quarrée de {3/8}, je multiplie 3, & 8 par 8 pour avoir la frac- tion {24/64}, dont la racine e$t à peu près {5/8}, pui$qu’en l’élevant au quarré il vient {25/64}, qui ne differe de la fraction {3/8} que de {1/64}. De même la racine de {3/5} ou de {15/25} e$t {4/5}, ou à peu près: quand on veut les avoir encore plus exactement, il faut chercher une fraction décimale égale à la fraction propo$ée, & en extraire la racine, $uivant les regles ordinaires.
188. De même pour extraire la racine cube d’une fraction numérique, il faudra chercher celle du numérateur & celle du dénominateur: par exemple, la racine de {216/64} e$t {6/4} ou {3/2}; de même celle de {512/729} e$t {8/9}. Si le dénominateur n’étoit pas un cube parfait, on multiplieroit les deux termes de la fraction par le quarré du même dénominateur pour avoir la racine cube que l’on demande avec plus de préci$ion; tout ceci e$t évident par la formation des pui$$ances des fractions.
Où l’on traite des rai$ons ou rapports, proportions & pro- gre$$ions géométriques & arithmétiques, des Logarithmes, de la ré$olution analytique des Problêmes du premier & $econd degré, & de leurs opérations.
189. ON appelle _homogenes_ les grandeurs de même nature, comme deux _lignes_, deux _$urfaces_ ou deux _$olides_, deux _e$paces_ ou deux _tems_, &c.
190. Les grandeurs qui ne $ont pas de même nature, $ont appellées _grandeurs hétérogenes:_ ain$i une toi$e & une livre de monnoie $ont des grandeurs hétérogenes: ain$i qu’une ligne & une $urface, ou bien un $olide & un tems, parce ces gran- deurs ne peuvent pas $e contenir l’une l’autre, n’étant pas de même nature.
191. On appelle _rai$on_ ou _rapport_ de deux ou de plu$ieurs grandeurs, la comparai$on que l’on peut faire de ces grandeurs entr’elles. Ain$i pour déterminer combien il peut y avoir de $ortes de rai$ons ou de rapports, il faut examiner en combien de manieres on peut comparer une grandeur à une autre.
192. 1°. On peut comparer une grandeur à une autre, en
examinant combien cette grandeur $urpe$$e celle à laquelle on
la compare, ou de combien elle en e$t $urpa$$ée, & cette com-
parai$on e$t appellée _rai$on_ ou _rapport arithmétique_. Ain$i $i je
193. 2°. On peut comparer une grandeur à une autre, en examinant combien l’une contient l’autre, ou y e$t contenue, & cette comparai$on e$t appellée _rapport géométrique_. Ain$i dans la comparai$on que je fais de 12 à 4, je puis examiner combien de fois 12 contient 4; & dans celle de _a_ à _b_, je puis examiner combien de fois _a_ contient _b_, & comme on ne le peut $çavoir que par la Divi$ion, ce rapport $e marque ain$i, {12/4}, {_a_/_b_}; car on peut prendre une divi$ion indiquée pour la divi$ion même, ou pour le quotient qui ré$ulte de leur divi$ion. Ain$i lor$qu’il e$t be$oin, on peut $e $ervir de ces termes, _divi$iòn_ _indiquée, quotient, fraction, rai$on_ ou _rapport géométrique_, pui$- que tous $ignifient la même cho$e ou le même nombre. Le quotient de 12 divi$é par 4 e$t 3; la fraction {12/4} e$t 3, le rap- port géométrique de 12 à 4 e$t encore 3. Il faut remarquer encore que comme l’on $e $ert plus communément dans les Mathématiques de rapport géométrique, on dit tout $imple- ment rapport, pour exprimer le rapport géométrique de deux grandeurs.
194. Les grandeurs qui ont entr’elles un rapport de nom- bre à nombre, $ont appellées _commen$urables_, parce qu’elles ont au moins l’unité pour commune me$ure: par exemple, une ligne de quatre pieds e$t dite commen$urable avec une ligne de neuf pieds, parce que le rapport de ces deux lignes e$t celui des deux nombres 4 & 9.
195. Les grandeurs qui n’ont point un rapport de nombre
à nombre, ou qui ne peuvent avoir de me$ures communes, $i
petites qu’elles $oient, $ont nommées _incommen$urables_. Par
exemple, $i l’on a un quarré de 16 pieds, & un autre de 32
pieds, la racine du premier quarré $era incommen$urable avec
celle du $econd: car comme 32 n’e$t point un quarré parfait,
$i près que l’on pui$$e approcher de ce nombre, il y aura tou-
196. Dans un rapport quelconque arithmétique ou géomé- trique, il y a toujours deux termes, le premier e$t appellé _anté-_ _cédent_, & le $econd _con$équent_; dans le rapport de 12 à 4, 12 e$t l’antécédent, & 4 e$t le con$équent; dans celui de _a_ à _b_, _a_ e$t antécédent, & _b_ con$équent.
197. Une rai$on e$t égale à une autre, quand l’antécédent de l’une contient autant de fois $on con$équent que l’antécé- dent de l’autre contient le $ien. Par exemple, la rai$on de 12 à 4 e$t égale à celle de 15 à 5, parce que 12 contient 4 autant de fois que 15 contient 5, $çavoir trois fois. Cette égalité de rai$on $e marque quelquefois ain$i, {12/4} = {15/5}; & $i _a_ a même rapport avec _b_ que _c_ avec _d_, l’on peut encore exprimer cette égalité de rapport, en mettant {_a_/_b_} = {_c_/_d_}, qui fait voir que les quatre grandeurs _a b_ & _c d_ forment deux rapports géométri- ques égaux.
198. Comme cette expre$$ion {12/4} ou {_a_/_b_} repré$entent égale- ment des rapports géométriques des divi$ions & des fractions: on remarquera que lor$qu’il s’agira de rapport, on appellera le terme qui e$t au de$$us de la ligne, _antécédent_, & le terme qui e$t au de$$ous, _con$équent_; & que quand il s’agira de divi$ion, le premier $era appellé _dividende_, & le $econd _divi$eur_; & qu’enfin lor$qu’il s’agira de fraction, le premier $era appellé _numérateur_, & le $econd _dénominateur_.
199. On appelle _rai$on d’égalité_ celle où l’antécédent e$t égal au con$équent, & _rai$on d’inégalité_, lor$que les deux termes $ont inégaux; ce qui peut arriver de deux manieres: la premiere, quand l’antécédent e$t plus grand que le con$é- quent, & pour lors on nomme cette rai$on, _rai$on de plus_ _grande inégalité_; & lor$que l’antécédent e$t plus petit que le con$équent, on l’appelle _rai$on de moindre inégalité_.
200. Deux rapports égaux forment ce que l’on appelle une
_proportion_; $i les deux rapports égaux $ont arithmétiques, la
proportion e$t arithmétique; $i les deux rapports égaux $ont
géométriques, la proportion e$t géométrique. Ain$i dans
toute proportion il y a quatre termes, pui$que chacun des
deux rapports en a deux. Il y a proportion arithmétique entre
201. Une proportion arithmétique ou géométrique e$t ap-
pellée _di$crete_, lor$que les quatre termes $ont quatre gran-
deurs différentes; & lor$que dans l’une ou l’autre le même
nombre e$t con$équent d’un rapport, & antécédent de l’autre,
la proportion e$t appellée _continue_; ain$i ces trois grandeurs
3, 5, 7 $ont en proportion arithmétique continue, parce que
l’on a 3. 5 : 5. 7, & cette proportion $e marque ain$i · 3.5.7
que l’on exprime, en di$ant, 3 e$t à 5, comme 5 e$t à 7 arith-
métiquement, afin de la di$tinguer de la proportion di$crete
arithmétique, comme celle-ci, 2.4:8.10, & autres $embla-
bles. De même ces trois grandeurs 18, 6, 2 forment une pro-
portion géométrique continue, parce que 18. 6 :: 6. 2, où
l’on voit que 6 e$t con$équent dans le premier rapport, & an-
récédent dans le $econd. Pour di$tinguer cette e$pece de pro-
201. Les quantités qui forment une proportion arithméti- que ou géométrique $ont appellées _proportionnelles_. Le premier & le dernier terme d’une proportion quelconque $ont appellés _extrêmes_, & le $econd & le troi$ieme $ont appellés _moyens_. Dans les proportions continues arithmétiques ou géométri- ques, le terme qui $ert de con$équent & d’antécédent e$t ap- pellé _moyen arithmétique_ ou _géométrique_.
Je crois devoir avertir ici ceux qui commencent la Géo- métrie, qu’il e$t de la derniere importance de bien $çavoir les propo$itions de ce $econd Livre, particuliérement la premiere & $es corollaires, pui$que c’e$t pre$que par elle $eule que $ont démontrées toutes les propo$itions où il s’agit de rapport & de proportion. Pour leur en faciliter l’intelligence, nous leur donnerons plu$ieurs démon$trations de cette propo$ition, & nous nous arrêterons principalement à celles qui $ont démon- trées par des rai$ons métaphy$iques.
Si quatre grandeurs $ont en proportion géométrique, le produit des extrêmes $era égal à celui des moyens, c’e$t-à-dire que $i l’on a a. b :: c. d, on aura ad = bc.
202. Pui$qu’une proportion n’e$t autre cho$e que l’égalité de deux rapports, au lieu de l’exprimer ain$i, _a. b_ :: _c. d_, on peut la marquer de cette maniere, {_a_/_b_} = {_c_/_d_}. Si je multiplie les deux termes de cette égalité par une même grandeur _bd_, je ne troublerai point l’égalité; ain$i j’aurai {_abd_/_b_} = {_cbd_/_d@_}: mais {_abd_/_b_} = _ad_, en effaçant la lettre _b_, commune au numérateur & au dé- nominateur; & de même {_cbd_/_d_}=6_c_: donc on aura _ad_ = _bc_. Ce qui prouve que le produit des extrêmes e$t égal au produit des moyens. C. Q. F. D.
203. Pui$que l’on a _a. b_ :: _c. d_, à cau$e de l’égalité des rap- ports {_a_/_b_}, {_c_/_d_}; $i l’on $uppo$e que {_a_/_b_} = _f_, on aura au$$i {_c_/_d_}=_f_. Mul- tipliant chaque membre de la premiere égalité par _b_, on aura {_ab_/_b_} = _bf_, ou _a_ = _bf_; multipliant chaque membre de la $e- conde égalité par _d_, on aura {_cd_/_d_} = _df_, ou _c_ = _df_: donc en mettant dans la proportion _a. b_ :: _c. d_ à la place de _a_ & de _c_ $ur valeurs _bf_ & _df_, on aura _bf_ : _b_ :: _df_ : _d_, ou le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens, pui$que l’un & l’autre donne également _bdf_.
204. Suppo$ons qu’au lieu de la proportion _a. b_ :: _c. d_ on me donne celle-ci 12. 6 :: 4. 2; il faut démontrer pour quelle rai$on le produit des moyens 6 x 4 e$t égal au produit des ex- trêmes 12 x 2. Pour cela je fais attention que 12 étant double de 6; $i je viens à multiplier 12 & 6 par le même nombre 4, le produit de 12 par 4 $era double du produit de 6 par le même nombre 4; mais $i au lieu de multiplier 2 par 4, je multiplie ce nombre par un autre, qui ne $oit que la moitié de 4, il e$t néce$$aire que le produit devienne la moitié de celui de 12 par 4: donc il $era égal à celui de 6 par 4, pui$qu’il perd autant du côté du multiplicateur 2, que le nombre 6 gagne par $on multiplicateur 4. En un mot, 6 n’e$t que la moitié de 12; mais par la nature de la proportion, il a un multiplicateur double de celui de 12, ce qui fait une compen$ation parfaite. On peut appliquer ce rai$onnement à tel autre rapport que ce $oit, $oit numérique, $oit algébrique. Ain$i notre démon$tration e$t générale, parce qu’elle ne dépend pas de l’exemple auquel elle e$t appliquée, mais de l’univer$alité des principes $ur le$quels elle e$t fondée.
205. Il $uit de cette propo$ition, que dans une proportion géométrique continue, le produit des extrêmes e$t égalau quarré du terme moyen: car $i l’on a {../..} _a. b. c_, ou bien _a. b_ :: _b: c_, on aura _ac_ = _bb_.
206. Il $uit encore que connoi$$ant les trois termes _a, b, c_ d’une proportion, on pourra connoître le quatrieme; car $i l’on nomme _x_ ce quatrieme, l’on aura _a. b_ :: _c. x_; par con- $équent _ax_ = _bc_, ou bien en divi$ant chaque membre de l’é- galité par _a_, {_ax_/_a_}, ou _x_ = {_bc_/_a_}, qui fait voir que pour trouver ce quatrieme terme, il faut multiplier le $econd par le $econd par le troi$ieme, & divi$er le produit par le premier.
207. Il $uit encore qu’on peut prendre le produit du $econd & du troi$ieme terme d’une proportion divi$é par le premier, pour le quatrieme terme de la même proportion: car comme _x_ e$t égal à {_bc_/_a_}, on pourra avec les trois termes _a_, _b_, _c_ écrire _a. b_ :: _c_, {_bc_/_a_}, & c’e$t $ur cette proportion qu’e$t fondée la regle, appellée _Regle de Trois_, qui fait trouver le quatrieme terme d’une proportion, dont les trois autres $ont connus. Si dans une proportion quelconque on connoît trois termes, on pourra toujours connoître le quatrieme, de quelque maniere qu’ils $oient di$po$és.
208. De même dans la proportion continue, connoi$$ant les deux premiers termes, on pourra connoître le troi$ieme, en divi$ant le quarré du moyen par le premier. Ain$i ayant les deux premiers termes _a,b_ de la proportion continue, on aura _x_ = {_bb_/_a_}, pui$que _a. b_ :: _b_. {_bb_/_a_}.
209. Mais $i l’on avoit le premier terme _a_ & le troi$ieme _c_,
& qu’on voulût avoir le terme moyen, que nous appellerons _x_,
on multipliera le premier & le troi$ieme l’un par l’autre, &
l’on prendra la racine du produit; cette racine $era la moyenne
proportionnelle demandée: car ayant _a_ : _x_ :: _x_ : _c_, on aura
_xx_ = _ac_, & par con$équent _x_ =
210. Si quatre grandeurs $ont di$po$ées de telle $orte que le pro- duit des extrêmes $oit égal au produit des moyens, ces quatre gran- deurs $eront proportionnelles.
Si quatre grandeurs _a, b, c, d_ donnent _ad_ = _bc_, je dis que l’on aura _a. b_ :: _c. d_, ou bien que {_a_/_b_} = {_c_/_d_}. Pour le prouver il n’y a qu’à divi$er les deux membres de l’équation _ad_=_bc_, par une même grandeur _bd_, on aura {_ad_/_bd_}={_bc_/_bd_}, ou en effaçant les lettres communes pour faire la divi$ion {_a_/_b_}={_c_/_d_}. Or comme on a divi$é des grandeurs égales par d’autres grandeurs égales, on aura des quotients égaux {_a_/_b_} & {_c_/_d_} qui donnent _a. b_ :: _c. d_. C.Q.F.D.
211. Ce théorême, qui e$t l’inver$e du précédent, $ert à faire voir que quatre grandeurs $ont proportionnelles, en fai- $ant voir que le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens: c’e$t pourquoi il e$t à propos d’être bien prévenu de ce prin- cipe, qui $era le fondement de toutes les démon$trations al- gébriques que nous allons donner.
212. Il $uit de cette propo$ition, qu’une équation peut tou- jours être regardée comme ayant un de $es membres formé du produit des extrêmes, & l’autre de celui des moyens d’une proportion; & que l’on peut même faire une proportion avec les racines des produits qui forment chaque membre de l’é- quation, comme on le verra ailleurs.
213. Il $uit encore du théorême précédent, que $i quatre grandeurs $ont en proportion géométrique, elles le $eront encore dans les quatre changemens $uivans, que l’on dé$igne par ces mots _invertendo, alternando, componendo, dividendo_, & que d’autres appellent en _rai$on inver$e_, en _rai$on alterne_, _compo$ition & divi$ion_.
214. Pour changer une proportion donnée en rai$on in-
215. Pour changer une proportion en _rai$on alterne_ ou _al_- _ternando_, on met les moyens à la place les uns des autres $ans changer les extrêmes, c’e$t-à-dire que $i l’on a _a. b_ :: _c. d_, on aura au$$i _a. c_ :: _b. d_; ce qui e$t bien évident, pui$qu’on a tou- jours _a d_ pour le produit des extrêmes, & _b c_ pour le produit des moyens; & que ces produits $ont égaux, à cau$e de la pre- miere proportion _a. b_ :: _c. d_ qui donne _a d_ = _b c_.
216. Pour changer une proportion en _compo$ant_ ou _com_- _ponendo_, on ajoute le con$équent à l’antécédent, & l’on com- pare la $omme au con$équent ou à l’antécédent: on fait la même opération pour chaque rapport, c’e$t-à-dire que $i l’on a _a. b_ :: _c. d_, on aura au$$i _a_ + _b. b_ :: _c_ + _d. d_; ce qui $era évident, $i l’on fait voir que ces quatre termes don- nent un produit des extrêmes égal au produit des moyens. Le produit des extrêmes e$t _a d_ + _b d_, & celui des moyens e$t _b c_ + _b d_, évidemment égal au premier, pui$que la proportion primitive donne _a d_ = _b c_, & que _b d_ e$t égal dans l’un & dans l’autre.
217. Le changement appellé _dividendo_, que l’on pourroit nommer avec plus de rai$on _detrahendo_ ou de _$ou$traction_, $e fait en ôtant le con$équent de l’antécédent, dans chaque rap- port, & en comparant chaque différence à l’antécédent, ou au con$équent: par exemple, $i l’on a _a. b_ :: _c. d_, on aura au$$i _a_ - _b. b_ :: _c_ - _d. d_, ou _a. a_ - _b_ :: _c. c_ - _d_: car dans l’un & dans l’autre, le produit des moyens e$t égal au produit des extrêmes. Dans le premier cas, le produit des moyens e$t _b c_ - _b d_, & celui des extrêmes e$t _a d_ - _b d_ égal au premier: dans le $econd, le produit des moyens e$t _a c_ - _b c_, & celui des extrêmes _a c_ - _a d_ évidemment égal à l’autre, pui$que les termes de l’un $ont égaux aux termes de l’autre; car _a c_ = _a c_, & _a d_ = _b c_ par la proportion _a. b_ :: _c. d_.
218. Il y a encore beaucoup d’autres changemens différens
Nous allons donner un e$pece de tableau de ces change- mens, en nombres & en lettres, pour que l’on pui$$e plus ai$é- ment $e les graver dans la mémoire.
Si l’on a _a. b_ :: _c. d_, on aura
Si 3. 4 :: 6. 8, on aura
Dans les deux premiers changemens, le produit des extrê- mes & des moyens $ont les mêmes que ceux que donnent la proportion; & dans les autres, les produits des extrêmes & des moyens $ont $implement égaux, $ans être les mêmes que ceux de la proportion primitive.
219. Lor$que deux rai$ons ont un même rapport à une troi$ieme, ces deux rai$ons $ont égales entr’elles, c’e$t-à-dire que $i l’on a a. b :: e. f, & c. d :: e. f, on aura a. b :: c. d.
Si l’on divi$e l’antécédent _a_ par $on con$équent, & que le
quotient $oit _g_; en divi$ant de même _c_ par _d_, & _e_ par _f_, les
quotients $eront au$$i _g_ & _g_; ce qui donnera _a_ = _bg_, _c_ = _dg_,
& _e_ = _fg_: pour faire voir que _a. b_ :: _c_ : _d_, il n’y a qu’à mettre
220. Lor$que plu$ieurs grandeurs $ont en proportion géomé- trique, ou qu’elles forment des rapports égaux, la $omme des an- técédens e$t à la $omme des con$équens, comme un $eul antécédent e$t à $on con$équent; c’e$t-à-dire que $i des grandeurs, comme a, b, c, d forment les rapports égaux {_a_/_b_}={_c_/_d_}={_e_/_f_}, l’on aura _a_ + _c_ + _e. b_ + _d_ + _f_ :: _a. b_, ou comme _c. d_.
Pour le prouver, nous ferons voir que le produit des moyens e$t égal au produit des extrêmes, ou, ce qui e$t la même cho$e, que _a b_ + _b c_ + _b e_ = _a b_ + _a d_ + _a f_; ce qui e$t bien évident: car 1°. _a b_=_a b_, 2°. Pui$que {_a_/_b_}={_c_/_d_}, ou que _a. b_ :: _c. d_, on @ _ad_ = _bc_. 3° Pui$que {_a_/_b_}={_e_/_f_}, ou que _a. b_ :: _e. f_, on aura _a f_ = _b e_. Donc toutes les parties qui compo$ent le produit des extrêmes $ont égales à celles qui forment le produit des moyens, & partant il y a proportion. C. Q. F. D.
221. Deux grandeurs demeurent en même rai$on, quoi que l’on leur ajoute, pourvu que ce que l’on ajoute à la premiere, $oit à ce que l’on ajoute à la $econde, comme la premiere e$t à la $econde.
Si aux deux grandeurs _a_ & _b_ l’on ajoute les deux grandeurs _c_ & _d_, & que _a_ $oit à _b_, comme _c_ & à _d_, je dis que _a_ + _c_. _b_+_d_ :: _a. b_: car pui$que _a. b_ :: _c. d_: donc _alternando_ (n°.215.) _a. c_ :: _b. d_: donc _componendo_ (n°. 216.) _a_ + _c. a_ :: _b_ + _d. b_, & _alternando_. _a_ + _c. b_ + _d_ :: _a. d_. C. Q. F. D.
222. Deux grandeurs demeurent toujours en même rapport, quoique l’on retranche de l’une ou de l’autre, pourvu que ce que l’on retranche de la premiere, $oit à ce que l’on retranche de la $e- conde, comme la premiere e$t à la $econde.
Si l’on a deux grandeurs _a_ & _b_, & deux autres _c_ & _d_, telles que _a_ $oit à _b_, comme _c_ à _d_, je dis que _a_ - _c_. _b_ - _d_ :: _a. b_ : car pui$que _a. b_ :: _c. d_: donc _alternando_ (art. 215.) _a. c_ :: _b. d_, & _dividendo_ (art. 217.) _a_ - _c. a_ :: _b_ - _d. d_, & @ncore _alternando_, _a_ - _c. b_ - _d_ :: _a. b_. C. Q. F. D.
223. Si l’on multiplie les deux termes d’une rai$on par une même quantité, les produits $eront dans la même rai$on que ces termes avant d’être multipliés.
Pour prouver que $i l’on multiplie deux grandeurs, comme _a_ & _b_ par une autre grandeur _c_, l’on a _ac. bc_ :: _a. b_, con$idérés que le produit des extrêmes & celui des moyens donnent _abc_ = _abc_. C. Q. F. D.
224. Si l’on divi$e les deux termes d’une rai$on par une même quantité, les quotients $eront dans la même rai$on que les grandeurs que l’on a divi$ées.
Pour démontrer que $i l’on divi$e deux grandeurs _a_ & _b_
par une même grandeur _c_, les quotients $eront dans la même
rai$on que les grandeurs, nous $uppo$erons que {_a_/_c_} = _d_, & que
{_b_/_c_} = _f_. Cela po$é, on aura _a_ = _c d_, & _b_ = _c f_, ain$i pour
225. Si l’on multiplie deux proportions, termes par termes, les produits qui en ré$ulteront $eront encore en proportion.
Soient les deux proportions _a.b_::_c.d_, & l’autre _f. g_:: _m. n_, il faut prouver que _af.bg_::_cm.dn_, ou que _bgcm_ = _afdn_, c’e$t - à - dire que le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens. Pour cela, con$idérez que _bgcm_ = _bcgm_ = _bc_ x _gm_, & que _afdn_ = _adfn_ = _ad_ x _fn_: mais _ad_ = _bc_, pui$que _a.b_::_c.d_, & _gm_ = _fn_, pui$que _f.g_::_m.n_. Donc _bgcm_ = _afdn_, c’e$t-à- dire qu’il y a proportion, pui$que le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens.
226. Il $uit de cette propo$ition, que $i quatre grandeurs $ont en proportion géométrique, leurs quarrés, leurs cubes, ou en général les mêmes pui$$ances de ces grandeurs y $eront au$$i, c’e$t - à - dire que $i l’on a _a.b_::_c.d_, on aura _a_<_>2._b_<_>2::_c_<_>2._d_<_>2, ou _a_<_>3._b_<_>3::_c_<_>3._d_<_>3: car en multipliant la proportion _a.b_::_c.d_ par elle - même une ou plu$ieurs fois, on retombe dans le cas de la propo$ition pré$ente. D’ailleurs il e$t ai$é de voir que dans tous ces cas le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens.
227. Dans une proportion continue, le quarré du premier terme e$t au quarré du $econd, comme le premier au troi$ieme; c’e$t-à- dire que $i l’on a la proportion continue {../..} a.b.c, ou a.b::b.c, on aura au$$i a<_>2.b<_>2::a.c.
Pui$que _a.b_::_b.c_, on aura _bb_ = _ac_, & multipliant chaque
membre de cette égalité par _a_, on aura _abb_ = _a_<_>2_c_; d’où l’on
228. Nous avons déja dit qu’une proportion arithmétique e$t l’égalité de deux rapports arithmétiques, & qu’elle ré$ulte de quatre nombres, tels que le premier $urpa$$e le $econd, d’autant que le troi$ieme $urpa$$e le quatrieme, comme dans les nombres $uivans, 2.5:6.9′, qui $ont en proportion arith - métique.
229. Lor$que quatre grandeurs $ont en proportion arithmétique, la $omme des extrêmes e$t égale à celle des moyens; c’e$t-à-dire que $i l’on a a.b:c.d, on aura a + d = b + c.
Pui$qu’il y a proportion entre les quatre grandeurs _a_,_b_,_c_,_d_, & qu’une proportion n’e$t que l’égalité de rapports, l’excès de _b_ $ur _a_ $era égal à celui de _d_ $ur _c_: $uppo$ant que cet excès $oit une quantité _f_, on aura _b_ = _a_ + _f_; & de même _d_ = _c_ + _f_. Donc au lieu de la proportion _a_. _b_: _c_. _d_, on aura celle - ci, _a_._a_ + _f_:_c_._c_ + _f_: prenant la $omme des extrêmes & des moyens de cette nouvelle proportion, égale à la premiere, on aura _a_ + _c_ + _f_ = _a_ + _f_ + _c;_ ce qui e$t bien évident, pui$que tout e$t égal de part & d’autre. C. Q. F. D.
230. Il $uit delà, que $i l’on connoît trois termes quelcon -
ques d’une proportion arithmétique, on connoîtra au$$i le qua -
trieme: par exemple, $i l’on donne ces trois nombres 2, 5, 7
pour les trois premiers termes d’une proportion arithmétique,
dont on demande le quatrieme, $oit _x_ ce quatrieme terme,
on aura 2.5:7._x_: donc 2 + _x_ = 5 + 7; & ôtant de chaque
membre le même nombre 2, on aura 2 + _x_ - 2, ou _x_ = 5
+ 7 - 2 = 10; ce qui e$t bien évident, pui$que l’excés de
231. Si la proportion e$t continue, c’e$t - à - dire $i un terme e$t à la fois antécédent du $econd rapport, & con$équent du premier, on aura la $omme des extrêmes égale au double du terme moyen. Ain$i $i l’on a cette proportion continue arith - métique _a_. _b_: _b_. _c_, on aura _a_ + _c_ = _b_ + _b_ = 2_b_: car pui$ - que ces trois grandeurs $ont en proportion arithmétique, la premiere $urpa$$e la $econde, autant que la même $econde $ur - pa$$e la troi$ieme, & appellant _d_ l’excès de la premiere $ur la $econde, on aura _a_ = _b_ + _d_, & _b_ = _a_ - _d_: donc pui$que l’excès de _b_ $ur _c_ e$t encore le même, on aura _b_ = _c_ + _d_, ou _b_ - _d_ = _c_; mais nous avons _b_ = _a_ - _d_: donc _b_ - _d_ = _a_ - _d_ - _d_ = _a_ - 2_d_ = _c_. Ain$i au lieu de la proportion continue _a_. _b_: _b_. _c_, on aura celle - ci _a_. _a_ - _d_: _a_ - _d_. _a_ - 2_d_, dans laquelle il e$t évident que la $omme des extrêmes _a_ + _a_ - 2_d_ e$t égale à celle des moyens _a_ + _a_ - _d_ - _d_, ou au double du moyen _a_ - _d;_ ce qui e$t encore une autre démon$tration de la même propriété.
232. Connoi$$ant les deux extrêmes d’une proportion con - tinue arithmétique, il $era facile de trouver le moyen terme, en prenant la moitié de la $omme des deux termes donnés: ain$i $i l’on demande un terme moyen arithmétique entre 3 & 5, on prendra la moitié de la $omme de ces deux nombres 8, qui e$t 4, & ce nombre $era le moyen que l’on cherche: car il e$t évident que l’on a 3. 4: 4. 5. En Algebre c’e$t la même cho$e, pour trouver un moyen arithmétique entre les deux grandeurs _a_ & _b_, j’ajoute ces deux nombres en$emble pour avoir _a_ + _b_, dont la moitié {_a_ + _b_/2} e$t le moyen demandé; en effet _a_. {_a_ + _b_/2}:{_a_ + _b_/2}. _b_, pui$que la différence du premier terme au $econd e$t égale à celle du méme $econd au troi$ieme.
233. Si quatre grandeurs $ont telles que la $omme des extrêmes, $oit égale à celle des moyens, ces quatre grandeurs $ont en pro - portion arithmétique; c’e$t - à - dire que $i les quatre grandeurs a, b, c, d $ont telles que a + d, $omme des extrêmes, $oit égale à c + d, $omme des moyens, on aura a. b: c. d.
Tout $e réduit à prouver que l’excès de _a_ $ur _b_ e$t égal à celui de _c_ par _d_, ou réciproquement que l’excès de _b_ $ur _a_ e$t égal à celui de _d_ $ur _c_; pui$que _a_ + _d_ = _b_ + _c_, en ajoutant de part & d’autre de cette égalité la même quantité, on ne changera pas l’égalité. Ajoutons dans chaque membre la quantité négative - _b_ - _d_, on aura _a_ + _d_ - _b_ - _d_ = _c_ + _d_ - _b_ - _d_, ou _a_ - _b_ = _c_ - _d_, pui$que + _d_ - _d_ $e détrui$ent dans le premier membre; & que - _b_ + _b_ $e détrui$ent dans le $econd: donc l’excès de _a_ $ur _b_ e$t égal à celui de _c_ $ur _d_, on prouveroit avec la même facilité que l’excès de _b_ $ur _a_ e$t égal à celui de _d_ $ur _c_: donc $i quatre grandeurs $ont telles, que la $omme des extrêmes $oit égale à celle des moyens, ces quatre grandeurs $ont en proportion arithmétique. C. Q. F. D.
234. Il $uit delà, que l’on aura toujours prouvé que quatre grandeurs $ont en proportion arithmétique, dès qu’on aura démontré que la $omme des extrêmcs e$t égale à celle des moyens. Il $uit encore de cette propo$ition, que l’on peut faire $ur cette proportion les changemens appellés _alternando_ & _in_ - _vertendo_ $ans la détruire: car il e$t évident que $i l’on a 3. 5: 7. 9, on aura au$$i 3. 7: 5. 9, & 5. 3: 9. 7.
235. Si plu$ieurs grandeurs $ont telles, que toutes $e $ur - pa$$ent également les unes les autres, on appelle _progre$$ion_ _arithmétique_, la $uite de rapports égaux qui en ré$ulte. La progre$$ion arithmétique $e marque de la même maniere que la proportion continue: ain$i {./.} _a_. _b_. _c_. _d_. _f_ marque que les grandeurs _a_, _b_, _c_, _d_ $ont en progre$$ion arithmétique.
236. On di$tingue deux principales $ortes de progre$$ions arithmétiques; progre$$ion arithmétique _croi$$ante_, & progre$ - $ion arithmétique _décroi$$ante_. La premiere e$t celle où les ter - mes vont en augmentant, & dans laquelle chaque terme e$t moindre que celui qui le $uit; la $econde e$t celle où les ter - mes vont en diminuant, ou, ce qui revient au même, dans laquelle chacun e$t plus grand que celui qui le $uit, comme dans les deux progre$$ions $uivantes, dont la premiere e$t croi$$ante, & la $econde décroi$$ante. {./.} 2. 5. 7. 9. 11. 13, & {./.} 15. 12. 9. 6. 3. 1. Chacune de ces deux $ortes de pro - gre$$ions, en contiennent une infinité de différentes, $elon les différens rapports qui régnent dans chaque progre$$ion en particulier.
237. Dans une progre$$ion arithmétique quelconque, la $omme de deux termes également éloignés des extrêmes, e$t égale à celle des mêmes extrêmes.
Soit {./.} _a_._b_._e_._d_._f_._g_._h_ une progre$$ion arithmétique croi$$ante, je dis que _e_ + _f_, $omme de deux termes également éloignée des extrêmes, e$t égale à la $omme des mêmes extrêmes _a_ + _h_. Pui$qu’une progre$$ion n’e$t qu’une $uite de rapports égaux, $uppo$ons que le rapport arithmétique de _a_ à _b_ $oit _c_, c’e$t - à - dire que _b_ $urpa$$e _a_ de la quantité _c_, on aura _b_ = _a_ + _c_, par la même rai$on _b_ $era $urpa$$é par _e_ de la même grandeur _c_: donc _e_ = _b_ + _c_, ou _a_ + _c_ + _c_ = _a_ + 2_c_. En continuant le même rai$onnement, on verra que _d_ = _a_ + 3_c_, que _f_ = _a_ + 4_c_, que _g_ = _a_ + 5_c_, & _h_ = _a_ + 6_c_: donc au lieu de la premiere, on aura celle - ci {./.} _a_. _a_ + _c_. _a_ + 2_c_. _a_ + 3_c_. _a_ + 4_c_. _a_ + 5_c_. _a_ + 6_c_, dans laquelle il e$t évident que la $omme de deux termes quelconques, également éloignés des extrêmes, e$t égale à celle des extrêmes. Ain$i la $omme du troi$ieme & du cinquieme terme e$t 2_a_ + 6_c_, & la $omme des extrêmes e$t au$$i 2_a_ + 6_c_, c’e$t - à - dire que _e_ + _f_ = _a_ + _h_. C. Q. F. D.
238. Si le nombre des termes de la progre$$ion arithmétique
239. Si l’on prend deux termes quelconques, & deux autres termes également éloignés du terme moyen, $i le nombre des termes e$t impair, ou des moyens $i le nombre des termes e$t pair, ces quatre termes $eront en proportion arithmétique: par exemple, dans la progre$$ion {./.} _a_. _a_ + _c. a_ + 2_c_. _a_ + 3_c_. _a_ + 4_c_. _a_ + 5_c_. _a_ + 6_c_; les deux premiers termes _a_ & _a_ + _c_, & les deux derniers _a_ + 5_c_ & _a_ + 6_c_ forment une proportion arithmétique _a. a_ + _c_: _a_ + 5_c_. _a_ + 6_c_: car il e$t évident que le $econd $urpa$$e le premier, d’autant que le quatrieme $ur- pa$$e le troi$ieme.
240. Il $uit encore de cette propo$ition, & de l’expre$$ion générale, qu’un terme quelconque d’une progre$$ion arithmé- tique croi$$ante e$t égal au premier terme, plus au produit de la différence du $econd au premier, multipliée par le nombre des termes qui le précéde: ain$i le cinquieme terme _a_ + 4_c_ de la progre$$ion, citée dans ces corollaires, e$t égal au pre- mier terme _a_, plus quatre fois l’excès _c_ du $econd $ur le pre- mier, parce qu’il a quatre termes avant lui. Ain$i l’on voit ce qu’il faut faire pour trouver un terme quelconque, lor$que l’on connoît le premier & la différence du $econd au premier. Par exemple, $i l’on me demande le $ixieme terme d’une pro- gre$$ion arithmétique croi$$ante, dont le premier terme e$t 2, & la différence du $econd au premier e$t 3; je multiplie cette différence 3 par 5, parce qu’il y a cinq termes devant le 6<_>e, & j’ajoute au produit 15 le premier terme 2, ce qui me donne 17 pour le $ixieme terme.
241. Réciproquement étant donnés le premier & le $ixieme
242. On voit encore comment il faudroit s’y prendre pour trouver tous les termes d’une progre$$ion arithmétique, dont on connoîtroit le premier & le $econd: car pui$que trois ter- mes de $uite forment une proportion continue arithmétique, il n’y a qu’à ôter le premier du double du $econd pour avoir le troi$ieme terme.
243. On tire encore de cette propo$ition la méthode d’in- $érer tant de moyens proportionnels arithmétiques que l’on veut entre deux nombres donnés. Pour cela, il faut ôter le plus petit nombre du plus grand, & divi$er le re$te par le nombre qui exprime combien on veut avoir de moyens arith- métiques, augmenté de l’unité. Par exemple, $i l’on me de- mande quatre moyens arithmétiques entre 2 & 17, j’ôte 2 de 17, le re$te e$t 15, que je divi$e par 5, plus grand d’une unité que le nombre des moyens arithmétiques que je demande. Le quotient 3 e$t la différence du $econd terme au premier: ain$i en ajoutant cette différence au premier terme, le $econd e$t 5, & la progre$$ion e$t {./.} 2. 5. 8. 11. 14. 17, qui e$t telle qu’en- tre 2 & 17 il y a quatre moyens arithmétiques.
244. Tout ce que nous venons de dire $ur les progre$$ions
arithmétiques croi$$antes $e démontrera avec la même facilité,
& à peu près de la même maniere $ur les progre$$ions décroi$-
$antes. Il faut encore remarquer qu’une progre$$ion arithmé-
tique peut commencer par zero, & qu’en ce cas la différence
e$t égale au $econd terme; c’e$t ce qui arrive dans la progre$-
$ion des nombres naturels {./.} 0. 1. 2. 3. 4, &c. Il faut encore
245. Si l’on a plu$ieurs termes de $uite, tels que chacun, ex- cepté le premier, $oit antécédent & con$équent d’une $uite de rapports géométriques égaux, toutes ces quantités formeront une _progre$$ion géométrique_. Par exemple, les nombres $uivans 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 forment une progre$$ion géométrique: car 64. 32@: 32. 16, & 32. 16 :: 16. 8; ce qui montre évidemment que chaque terme peut être con$équent & antécédent des rapports égaux. On marque ordinairement que des quantités $ont en progre$$ion géométrique, en mettant au devant vers la gauche une petite barre entre quatre points de cette maniere: {:/:} 64. 32. 16. 8. 4. 2, &c.
On peut encore définir une progre$$ion géométrique, en di$ant, que c’e$t une $uite de nombres, tels que chacun, divi$é par celui qui le $uit, donne toujours le même quotient. On di$tingue deux principales $ortes de progre$$ions géométriques: l’une que l’on appelle _croi$$ante_, c’e$t celle dans laquelle cha- que terme e$t moindre que celui qui le $uit, & l’autre _décroi$_- _$ante_, c’e$t celle dans laquelle chaque terme e$t toujours plus grand que celui qui le $uit.
_246_. Toute progre$$ion géométrique croi$$ante peut être repré$enté par celle-ci {:/:} a. aq. aq<_>2. aq<_>3. aq<_>4. aq<_>5, &c. Et toute progre$$ion géométrique décroi$$ante par celle-ci, qui e$t l’inver$e de la précé- dente {:/:} aq<_>6. aq<_>5. aq<_>4. aq<_>3. aq<_>2. aq<_>1 a.
Pour faire voir que ces quantités $ont en progre$$ion géo-
métrique, il n’y a qu’à divi$er un terme quelconque par le $ui-
vant, & ce même terme par celui qui le $uit immédiatement,
& voir $i le quotient e$t le même. Dans la premiere progre$-
$ion, je divi$e _aq_<_>3 par _aq_<_>2, le quotient e$t _q_. Je divi$e en$uite
_aq_<_>2 par _aq_, & le quotient e$t encore _q_: donc il y a progre$-
$ion, pui$que _aq. aq@: aq_<_>2. _aq_<_>3. De même pour la $econde,
je divi$e _aq_<_>6 par _aq_<_>5, le quotient e$t _q_. Je divi$e le même _aq_<_>5
247. Il $uit delà, que dans une progre$$ion géométrique croi$$ante, le quarré du premier terme e$t au quarré du $econd, comme le premier terme au troi$ieme; car dans la $uite {:/:} _a_. _aq. aq_<_>2. _aq_<_>3, &c. on a _a_<_>2. _a_<_>2_q_<_>2:: _a. aq_<_>2: pui$que le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens, _a_<_>3_q_<_>2 = _a_<_>3_q_<_>2. Il $uit encore de la même formation des progre$$ions, que le cube du premier terme e$t au cube du $econd, comme le premier au quatrieme: car _a_<_>3. _a_<_>3_q_<_>3:: _a_. _aq_<_>3, pui$que _a_<_>4_q_<_>3, produit des ex- trêmes e$t égal à _a_<_>4_q_<_>3, produit des moyens. En général $i l’on appelle _a_ le premier terme d’une progre$$ion, & _b_ le $econd; _m_ la pui$$ance quelconque à laquelle on éleve les deux pre- miers termes, on aura _a<_>m. b<_>m_:: _a_ e$t au terme, dont le rang $eroit dé$igné par le nombre _m_ + 1.
248. Suppo$ant toujours que la progre$$ion va en croi$$ant,
un terme quelconque e$t égal au produit du premier terme,
multiplié par le quotient du $econd, divi$é par le premier, le-
quel quotient e$t élevé à la pui$$ance, marquée par le nombre
des termes qui précédent. Ain$i le quatrieme terme e$t égal
au premier _a_, multiplié par _q_, quotient du $econd _aq_, divi$é
par le premier, élevé à la troi$ieme pui$$ance, parce qu’il y a
trois termes qui précédent le quatrieme; ce terme e$t _aq_<_>3:
ain$i connoi$$ant les deux premiers termes d’une progre$$ion
géométrique, on connoîtra ai$ément un terme quelconque.
Pour cela, il n’y aura qu’à divi$er le $econd par le premier,
multiplier le premier terme par ce quotient, élevé à une pui$-
$ance, marqué par le nombre des termes qui précédent celui
qu’on cherche. Par exemple, $i l’on me demande le $ixieme
terme d’une progre$$ion géométrique croi$$ante, dont le pre-
mier e$t _a_, & le $econd _aq_, je divi$e le $econd par le premier _a_,
le quotient e$t _q_: je multiplie _a_ par ce quotient _q_, élevé à la
cinquieme pui$$ance, & le $ixieme terme e$t _aq_<_>5. Il en $eroit
de même en nombres. Si le premier terme e$t _a_, & le $econd _b_;
je divi$e _b_ par _a_, le quotient e$t {_b/a_}, & qu’on me demande le cin-
249. Si l’on $uppo$e _a_ égal à l’unité la $uite ou progre$$ion {:/:} _a_. _aq_. _aq_<_>2, &c. deviendra {:/:} _q_<_>1. _q_<_>2. _q_<_>3. _q_<_>4. _q_<_>5. _q_<_>6, &c. D’où il $uit que toutes les pui$$ances d’un nombre forment une pro- gre$$ion géométrique; ce qui e$t d’ailleurs évident par l’idée que l’on doit avoir des pui$$ances $ucce$$ives d’un nombre.
_250._ Dans une progre$$ion quelconque, la $omme des antécé- dens e$t à la $omme des con$équens, comme un $eul antécédent e$t à $on con$équent; c’e$t-à-dire que $i les grandeurs a, b, c, d, f, font une progre$$ion géométrique, on aura cette proportion, a + b + c + d + f. b + c + d + f:: a. b.
Il faut démontrer que le produit des extrêmes _ab_ + _bb_ + _bc_ + _bd_ e$t égal au produit des moyens. _ab_ + _ac_ + _ad_ + _af_. 1°. _ab_ = _ab_. 2°. Pui$que par la nature de la progre$$ion _a_. _b_:: _b_. _c_, _bb_ = _ac_. 3°. Par la même rai$on, pui$que _a_. _b_:: _b_. _c_, & que _b_. _c_ :: _c_. _d_, on aura _a_. _b_:: _c_. _d_; donc _ad_ = _bc_. 4°. Pui$que _a_. _b_ :: _c_. _d_:: _d_. _f_, on aura _a_. _b_ :: _d_. _f_; donc _af_ = _bd_. Ain$i toutes les parties du produit des extrêmes $ont égales à toutes les parties du produit des moyens; d’où il $uit que la pro- portion a lieu.
251. Si la progre$$ion e$t décroi$$ante, & décroît ju$qu’à
l’infini, le dernier terme pourra être regardé comme zero:
ain$i la $omme des antécédens, qui e$t tous les termes, excepté
_252_. Dans une progre$$ion géométrique, telle que {:/:} a.b.c.d.f.g. le produit de deux termes, également éloignés des extrêmes, e$t égal au produit des mêmes extrémes.
Prenons les termes _c, d,_ qui $ont également éloignés des extrêmes; il faut prouver que _c d_ e$t égal au produit des ex- trêmes _ag_. Pour cela, faites attention que la nature de la progre$$ion donne les proportions $uivantes.
a. b :: b. c, b. c :: c. d, c. d :: d. f
b. c :: c. d, c. d :: d. f, d. f :: f. g.
Multipliant deux à deux termes par termes, on aura
ab. bc :: bc. cd, bc. cd :: cd. df, cd. df :: df. fg.
D’où l’on déduit celle-ci, en divi$ant chaque terme des rap- ports par les lettres communes à l’antécédent & au con$équent.
a. c :: b. d, b . d :: c. f, c. f :: d. g.
Et pui$que toutes ces rai$ons $ont égales entr’elles, on aura cette proportion _a. c :: d. g:_ donc _ag_ = _dc_, c’e$t-à-dire que le produit des extrêmes de la progre$$ion e$t égal à celui de deux termes quel conques, également éloignés des mêmes ex- trêmes. C. Q. F. D.
253. Il $uit de cette propo$ition, que les deux extrêmes &
deux termes quelconques qui en $eront également éloignés,
formeront une proportion, dont les deux premiers $eront les
254. Tout ce que nous avons dit $ur les progre$$ions arith- métiques croi$$antes $e doit au$$i entendre des progre$$ions décroi$$antes, en fai$ant les changemens néce$$aires. Au re$te toute progre$$ion décroi$$ante $e peut rappeller à une progre$- $ion croi$$ante, en allant de droite à gauche. On remarquera de plus, que les deux derniers théorêmes auroient pu $e dé- montrer bien facilement par la progre$$ion générale {:/:} _a. aq._ _aq_<_>2, &c: mais c’e$t préci$ément à cau$e de cette facilité que j’ai cru qu’il falloit les démontrer un peu autrement; car cette expre$$ion ne vous lai$$e aucun rai$onnement à faire, en vous donnant tout d’un coup ce que vous demandez, & l’on court $ouvent ri$que de dérai$onner, ou au moins d’ignorer l’art de rai$onner, lor$que l’on ne rai$onne que par formule, $ans $e mettre en peine de le faire par $oi-même.
_255_. In$érer plu$ieurs moyens proportionnels entre deux nom- bres donnés.
Il faudra divi$er le plus grand par le plus petit; & pour avoir la rai$on de la progre$$ion, il faudra extraire la racine du quotient, marquée par le nombre des moyens proportion- nels, augmenté de l’unité. Par exemple, $i l’on me demande trois moyens proportionnels géométriques entre 4 & 64, je divi$e 64 par 4, le quotient e$t 16, dont j’extrais la racine quatrieme, qui e$t 2, parce que l’on demande trois moyens proportionnels, & cette racine e$t la rai$on de la progre$$ion, c’e$t-à-dire que chaque terme e$t double de celui qui le $uit: ain$i le $econd terme $era 8, & le troi$ieme 16, le quatrieme 32, & la progre$$ion e$t {:/:} 4.8. 16. 32. 64, où l’on voit qu’il $e trouve trois moyens entre 4 & 64. Si l’on en avoit demandé quatre, il auroit fallu extraire la racine cinquieme du quotient du plus grand nombre, divi$é par le plus petit.
La rai$on de cette opération $e déduit immédiatement de la formule ou expre$$ion générale des progre$$ions {:/:} _a. aq._ _aq_<_>2._aq_<_>3. _aq_<_>4, &c. Je $uppo$e que l’on me demande trois moyens géométriques entre _a_ & _aq_<_>4, je divi$e _aq_ par _a_, le quotient e$t _q_<_>4, dont la racine quatrieme _q_ e$t la rai$on de la progre$$ion: ain$i _aq_ $era le $econd terme, _aq_ x _q_ $era le troi$ieme, _aq_<_>2 x _q_ ou _aq_<_>3 $era le quatrieme.
Il faut encore remarquer qu’une progre$$ion géométrique quelconque ne peut jamais avoir zero pour un de $es termes, à moins qu’il ne $erve d’expo$ant: car une progre$$ion quel- conque peut commencer par l’unité, ou par une grandeur éle- vée à la pui$$ance zero, comme _a_°, _q_°, qui ne différe pas de l’unité (art. 136).
Des Logarithmes, de leur nature, & de leurs u$ages.
256. Les _logarithmes_ $ont des nombres en progre$$ion arith- métique, corre$pondans à d’autres nombres en progre$$ion géométrique. Par exemple, $i l’on di$po$e l’une au de$$ous de l’autre, ces deux $uites 2, 4, 8, 16, 32; & 35, 7, 9, 11, dont la premiere e$t une progre$$ion géométrique, & la $econde une progre$$ion arithmétique, comme on le voit ici:
3, 5, 7, 9, 11
2, 4, 8, 16, 32.
Chaque terme inférieur de la progre$$ion arithmétique e$t appellé _logarithme_ du terme inférieur corre$pondant: ain$i 3 e$t le logarithme de 2, 5 celui de 4, & ain$i des autres.
257. De même $i l’on prend ces deux autres $uites,
dont l’une e$t une progre$$ion arithmétique, dont la différence e$t l’unité, & l’autre e$t la progre$$ion géométrique ré$ultante des différentes pui$$ances de 10: chaque terme de la progre$- $ion arithmétique $era le logarithme du terme de la progre$$ion géométrique auquel il répond: ain$i 1 e$t le logarithme de 10, 3 e$t celui de 1000, & ain$i des autres.
258. Comme on peut prendre une infinité de progre$$ions arithmétiques, dont les termes $oient po$és au de$$us de ceux d’une progre$$ion géométrique, il $uit delà que chaque terme de cette progre$$ion pourroit avoir une infinité de logarithmes: mais on e$t convenu de donner à la progre$$ion décuple les logarithmes de la progre$$ion arithmétique des nombres na- turels, en donnant zero pour logarithme à l’unité.
Comme les propriétés des logarithmes dépendent des pro- portions, progre$$ions géométriques & arithmétiques, & de plus de celles des expo$ans, comme on le verra ci-après, il e$t de la derniere importance d’avoir pré$ent à l’e$prit tout ce que nous avons vu $ur ces différentes parties: c’e$t pourquoi nous allons reprendre la formule des progre$$ions géométriques, & l’examiner par rapport aux logarithmes.
_259_. Dans la $uite des pui$$ances d’une quantité quelconque, dont les termes forment une progre$$ion géométrique, les expo$ans $ont en progre$$ion arithmétique.
Que cette $uite $oit repré$entée par celle des pui$$ances $uc- ce$$ives de _q_, qui e$t {:/:} _q_<_>0. _q_<_>1. _q_<_>2. _q_<_>3. _q_<_>4. _q_<_>5. _q_<_>6. _q_<_>7. _q_<_>8. _q_<_>9. _q_<_>10, &c, il e$t évident que ces quantités forment une progre$$ion géo- métrique, comme nous l’avons déja dit, pui$que chaque ter- me, divi$é par le précédent, donne toujours le même quotient _q_. De plus il e$t encore évident que les expo$ans $ont en pro- gre$$ion arithmétique, qui e$t celle des nombres naturels. C. Q. F. D.
60. Donc ces expo$ans peuvent être regardés comme les
logarithmes des termes auxquels ils répondent, $uivant la dé-
finition des logarithmes: ain$i le logarithme d’un nombre n’e$t
autre cho$e que l’expo$ant d’une pui$$ance; & ce que nous di$ons
261. Donc $i l’on prend quatre termes quelconques en pro- portion géométrique, leurs expo$ans ou leurs logarithmes for- meront une proportion arithmétique. Par exemple, $i l’on prend ces quatre termes _q_<_>0, _q_<_>1, _q_<_>4 & _q_<_>5 qui $ont en proportion géométrique, pui$que l’on a _q_<_>0. _q_<_>1: _q_<_>4. _q_<_>5, & que d’ailleurs le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens, il e$t vi$ible que leurs expo$ans ou leurs logarithmes $ont en proportion arithmétique, pui$que 0. 1 : 4. 5.
262. Pour trouver le produit d’un terme de cette $uite par un autre, il faut chercher un terme, dont l’expo$ant $oit égal à la $omme des expo$ans des deux termes: car on a vu dans le calcul des expo$ans (art: 134), que le produit des quantités exponentielles $e trouve par l’addition des expo$ans. Ain$i pour multiplier _q_<_>2 par _q_<_>3, je cherche le terme dont l’expo$ant $oit 5, égal à la $omme des expo$ans 2 + 3, & le terme _q_<_>5 e$t le produit demandé. Donc pour avoir le produit de deux nombres par le moyen des logarithmes, il faut ajouter les lo- garithmes de ces deux nombres, & la $omme $era le logarithme du produit, pourvu que la progre$$ion arithmétique que l’on a choi$ie, $oit telle que zero $oit le logarithme de l’unité.
263. Pour divi$er un terme quelconque de cette $uite par
264. Pour faire une Regle de Trois par le moyen des loga-
rithmes, il faudra ajouter en$emble les logarithmes des deux
moyens, & de la $omme retrancher le logarithme du premier
extrême, le re$te $era le logarithme du dernier extrême: car
une regle de Trois $e fait en multipliant ces deux moyens l’un
par l’autre, & divi$ant par le premier extrême. Mais par le
corollaire 3<_>e, la multiplication de deux termes de notre pro-
gre$$ion $e fait par l’addition des logarithmes ou expo$ans des
deux moyens, & le terme qui a pour expo$ant la $omme de ces
expo$ans, e$t le produit de ces deux termes. Et par le corol-
laire 4<_>e, la divi$ion de ce produit par le premier terme $e fait
par la $ou$traction des expo$ans: donc en ôtant l’expo$ant du
premier terme de la $omme des expo$ans des deux moyens, on
a l’expo$ant ou le logarithme du quatrieme terme. Ain$i pour
trouver un terme quatrieme proportionnel géométrique aux
trois termes q<_>2, q<_>3, 9<_>5, je prends la $omme 8 des expo$ans 5.3
des termes moyens q<_>3, q<_>5; de cette $omme j’ôte 2, expo$ant
du premier, & le re$te 6 e$t le logarithme du quatrieme terme
que je cherche, qui e$t q<_>6: & en effet, q<_>2. q<_>3: q<_>5. q<_>6, pui$-
que le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens. D’ail-
leurs, comme ces quatre termes $ont en proportion géomé-
trique, leurs expo$ans ou logarithmes, par le corollaire 2, $ont
en proportion arithmétique: ain$i le logarithme que l’on cher-
che e$t le quatrieme terme d’une proportion arithmétique, qui
$e détermine en ôtant le premier terme de la $omme des deux
moyens (art. 230). Ain$i en général pour faire une Regle de
265. Comme toute Multiplication renferme cette propor- tion, _l’unité e$t au multiplicateur, comme le multiplicande e$t au_ _produit_; il $uit que faire une Multiplication ou une Regle de Trois c’e$t la même cho$e: donc il faut ajouter le logarithme du multiplicateur à celui du multiplicande, & de la $omme ôter le logarithme de l’unité. C’e$t pour cela que dans les pro- gre$$ions arithmétiques que l’on a choi$ies, pour déterminer les logarithmes des nombres naturels, on a donné zero pour loga- rithme à l’unité, afin que toute multiplication $e réduisît à l’addition de deux nombres.
266. Comme toute Divi$ion renferme cette proportion, l_’unité e$t au divi$eur, comme le quotient e$t au dividende:_ il $uit qu’on ne peut faire une divi$ion qu’on ne fa$$e réellement une regle de Trois; & comme dans cette regle de proportion, le terme que l’on cherche e$t le troi$ieme, il faut ajouter en$em- ble les logarithmes ou expo$ans des extrêmes, qui $ont l’unité & le dividende, & de la $omme ôter l’expo$ant du divi$eur, pour avoir le logarithme ou l’expo$ant du quotient: donc $i le logarithme de l’unité e$t zero, toute divi$ion $ur les loga- rithmes $e réduira à la $ou$traction de deux nombres; c’e$t encore pour cette rai$on que l’on a donné zero pour logarithme à l’unité.
267. Pour élever un terme quelconque à une pui$$ance pro- po$ée, il $uffit de multiplier $on expo$ant par celui de la pui$- $ance à la quelle on veut l’élever, & faire du produit l’expo$ant de la même lettre, qui $era la pui$$ance demandée, comme on l’a démontré dans la formation des pui$$ances des quantités exponentielles. Par exemple, pour élever q<_>2 au cube, je mul- tiplie $on expo$ant 2 par 3, expo$ant de la pui$$ance deman- dée; le produit 6 mis en expo$ant au devant de la même quan- tité, me donne q<_>6, qui e$t le cube de q<_>2: donc en général pour trouver la pui$$ance d’un nombre, par le moyen des logarith- mes, il faut multiplier le logarithme de ce nombre par l’ex- po$ant de la pui$$ance, & le produit $era le logarithme de la pui$$ance que l’on demande, que l’on trouvera à côté de ce même logarithme.
268. Pour extraire la racine d’un terme quelconque de cette $uite, il faut divi$er l’expo$ant ou le logarithme de ce terme par l’expo$ant de la racine, par 2 $i c’e$t la racine quar- rée que l’on demande, par 3 $i c’e$t la racine cubique, & ain$i des autres: car on a vu dans le Traité du calcul des expo- $ans, que la racine des quantités exponentielles $e fait en di- vi$ant leur expo$ant par l’expo$ant de la racine. Ain$i pour extraire la racine cubique de q<_>9, je divi$e le logarithme ou ex- po$ant 9 par 3, le quotient e$t 3: ain$i q<_>3 e$t la racine cubique de cette quantité. Donc en général, par le moyen des loga- rithmes, l’extraction d’une racine quarrée ou cubique $e ré- duit à divi$er un nombre par 2 ou par 3; & c’e$t principale- ment dans cette opération que l’on voit tout d’un coup l’im- portance de cette découverte, dont on e$t redevable au Baron de _Neper_, Eco$$ois, dont le nom $era toujours re$pecté des plus grands Calculateurs.
269. Comme tout ceci e$t de la derniere importance, nous allons en faire l’application $ur un $y$tême de logarithme quel- conque, différent de celui des Tables ordinaires, après quoi nous expo$erons en peu de mots la maniere dont on a trouvé les logarithmes des nombres naturels. Nous ne pouvons trop recommander aux Commençans de s’appliquer à générali$er les idées, en examinant particuliérement la po$$ibilité d’une infinité de $y$têmes de logarithmes, & en tâchant de décou- vrir les rai$ons qui ont déterminé les premiers qui en ont cal- culé des Tables, à $e $ervir de la progre$$ion décuple. On verra que cette rai$on e$t pri$e de la nature des logarithmes con$i- dérés comme expo$ans des pui$$ances de 10.
1°. Pour multiplier un terme quelconque de cette $uite, 8,
par exemple par 16, j’ajoute en$emble leurs logarithmes 3 & 4,
la $omme e$t 7; & le nombre 128 qui $e trouve au de$$ous e$t
le produit de 16 par 8. De même pour multiplier le nombre 8
de la progre$$ion géométrique par 32, j’ajoute en$emble leurs
2°. Pour divi$er un nombre quelconque de la progre$$ion géométrique par un autre terme de la même progre$$ion, 128 par 4, j’ôte le logarithme de 4 du logarithme de 128; ces deux logarithmes $ont 2 & 7, dont la différence 5 e$t le logarithme du quotient 32. De même pour divi$er 512 par 64, j’ôte 6, logarithme ou expo$ant du divi$eur, de 9 expo$ant du divi- dende, la différence 3 e$t le logarithme du quotient 8. En effet 512, divi$é par 64, donne 8.
3°. Pour trouver un quatrieme terme proportionnel aux trois nombres 4, 32, 64, je prends la $omme des logarithmes des deux moyens, qui e$t 11, j’en ôte le logarithme 2 du premier extrême 4, le re$te e$t 9, logarithme de 512 qui e$t le terme que l’on demande.
4°. Pour élever 8 au cube, je multiplie $on expo$ant ou $on logarithme, qui e$t 3 par 3, expo$ant de la pui$$ance, & j’ai 9 au produit, qui e$t le logarithme du cube de 8, qui e$t 512, comme on l’a déja vu par la Table des Cubes.
5°. Pour extraire la racine quarrée de 256, je divi$e $on lo- garithme 8 par 2, expo$ant de la racine quarré le quotient 4 e$t le logarithme de la racine 16: élevant 16 au quarré, on aura effectivement 256, comme il e$t ai$é de le voir.
270. On voit par-là que toute Multiplication $e réduit à
l’Addition de deux nombres; que toute Divi$ion $e fait par la
Sou$traction de deux nombres; & que toute Regle de Trois $e
fait par l’Addition de deux nombres, & par la Sou$traction
d’un troi$ieme de la $omme des deux premiers; enfin que la
formation des pui$$ances $e fait en doublant ou triplant le lo-
garithme du nombre, dont on veut avoir le quarré ou le cube,
& que l’extrction des racines $e réduit à prendre la moitié,
le tiers, ou le quart du logarithme d’un nombre propo$é, pour
avoir la racine $econde, troi$ieme, ou quatrieme. Mais pour
cela, il faut que les nombres propo$és $oient préci$ément quel-
ques-uns des termes de la progre$$ion, pour avoir leurs loga-
rithmes. Ain$i afin de rendre un $i grand avantage pratica-
ble $ur tous les nombres po$$ibles, il a fallu trouver leurs lo-
271. On a imaginé que tous les nombres naturels étoient
renfermés dans une $eule progre$$ion géométrique, dont cha-
queterme étoit des pui$$ances différentes du nombre 10; toutes
pui$$ances fractionnaires, excepté les termes de la progre$$ion
décuple, {../..}10. 100. 1000. 10000, &c, qui $ont des pui$$ances
complettes de 10. Pour cela, on a in$éré entre 1 & 10 9999999
moyens géométriques, & entre chaque expo$ant 0 & 1 de ces
nombres, autant de moyens arithmétiques corre$pondans aux
premiers; & pour avoir plus commodément ces moyens arith-
métiques, on a ajouté $ept décimales à la $uite de chaque ex-
po$ant; ce qui ne change pas la progre$$ion arithmétique. Ain$i
au lieu de la premiere $uite {../..} 10<_>0. 10<_>1. 10<_>2. 10<_>3. 10<_>4. 10<_>5, on
a celle-ci, {../..}10<_>0.0000000. 10<_>1.0000000. 10<_>3.0000000, &c. tou-
jours telle que les expo$ans $ont en progre$$ion arithmétique,
& que chaque terme e$t une pui$$ance complette du nombre
10. En $uppo$ant donc qu’entre les expo$ans 0.0000000, il y
ait 999,9999 moyens arithmétiques, on trouvera que le pre-
mier e$t 0.0000001, & que le terme de la progre$$ion géomé-
trique qui lui répond, ou, ce qui e$t la même cho$e que la
pui$$ance de 10 corre$pondante à ce logarithme, e$t 10<_>0.0000001:
car, $elon l’article 243, pour in$érer un nombre de moyens
arithmétiques entre deux nombres quelconques, il faut ôter
le plus petit du plus grand, & divi$er le re$te par le nombre
des moyens que l’on demande, augmenté de l’unité. Suivant
cette regle, j’ôte le plus petit terme 0.0000000 de 1.0000000,
ou, ce qui e$t la même cho$e, 0 de 1, le re$te e$t 1, que je
divi$e par le nombre 9999999 des moyens arithmétiques pro-
portionnels, augmenté de l’unité, qui e$t 10000000. Ce pre-
mier moyen arithmétique e$t donc {1/10000000}, ou en rédui$ant
cette fraction en décimales 0.00000001; le $econd moyen
arithmétique $era 0.00000002, & le terme de la progre$$ion
géométrique corre$pondant à ce logarithme $era 10<_>0.00000002,
en continuant le même rai$onnement, on a con$truit des Ta-
bles des Logarithmes de tous les nombres naturels, & l’on a
trouvé que le nombre 2 e$t à peu près égal à 10, élevé à la
pui$$ance 0.3010300, ou 10<_>0.3010300. On a trouvé de même que
272. On a in$éré le même nombre de moyens arithméti- ques entre les expo$ans 1.0000000, & 2.0000000, ou entre les nombres 1 & 2, & l’on a trouvé que 12, par exemple, étoit égal à 10, élevé à la pui$$ance 1.0791812, ou que 12 = 10<_>1.0791812. Quand on a eu une fois trouvé les logarithmes des nombres, appellés premiers, c’e$t-à-dire qui n’ont point de divi$eur autre que l’unité, la plus grande partie du travail s’e$t trouvée achevée, pui$que pour avoir les logarithmes des nombres multiples ou $ous-multiples de ceux-ci, il n’a fallu qu’ajouter à leurs logarithmes celui du multiplicateur, ou bien en $ou$traire celui du divi$eur. Par exemple, lor$qu’on a trouvé que le logarithme de 2 e$t 0.3010300, on a découvert ai$é- ment & $ans calcul celui de 5, en ôtant 0.3010300 de 1.0000000, logarithme de 10, & ce logarithme e$t 6989700.
273. Il faut bien prendre garde que lor$que nous di$ons que l’on a renfermé dans une $eule progre$$ion géométrique tous les nombres naturels, on ne veut pas dire pour cela que les nombres naturels $ont en progre$$ion géométrique, mais $eu- lement que chacun d’eux en particulier e$t un terme de cette progre$$ion, dont le numéro ou le rang qu’il occupe e$t mar- qué par $on logarithme. Au$$i les logarithmes de quatre nom- bres, pris de $uite dans les Tables des Logarithmes, ne $ont- ils pas en progre$$ion arithmétique, ce qui devroit arriver, $i les nombres auxquels ils répondent formoient une progre$$ion géométrique.
274. On appelle _caracteri$tique_ d’un logarithme le nombre de ce logarithme qui e$t au rang des entiers: ain$i pour peu que l’on y fa$$e attention, on verra que le caracteri$tique des nombres moindres que 10, e$t 0; que celui des nombres moindres que 100, e$t 1; que celui des nombres moindres que 1000, e$t 2, & qu’en général le caractéri$tique du logarithme d’un nombre renferme autant d’unités que la plus proche pui$- $ance de 10, à laquelle un nombre e$t $upérieur, contient de zero. Ain$i le logarithme de 99 ne peut avoir pour caracté- ri$tique que l’unité, parce que la plus proche pui$$ance de 10, à laquelle il e$t $upérieur, qui e$t 10, n’a qu’un zero.
275. Les nombres fractionnaires, moindres que l’unité,
Si l’on veut avoir un plus grand détail des logarithmes, & particuliérement $ur la con$truction de leurs Tables, on peut con$ulter le Livre de Trigonométrie de M. _Rivard_. Cette étude ne peut qu’être utile, & d’ailleurs comme on e$t obligé de $e $ervir de ces nombres artificiels dans la pratique du calcul des triangles, on agit toujours avec plus de $ûreté dans $es opérations, lor$que l’on connoît bien les propriétés des nombres dont on $e $ert.
276. _Une rai$on compo$ée_ e$t le produit de deux rapports multipliés les uns par les autres: par exemple, la rai$on de _a b_ à _c d_ e$t compo$ée de la rai$on de _a_ à _b_, & de _c_ à _d_. Ain$i une rai$on compo$ée peut être regardée comme le produit de deux fractions, pui$que chaque rai$on peut être regardée comme une fraction. Il en e$t de même dans les nombres: la rai$on de 10 à 21 e$t compo$ée de celle de 2 à 3, & de celle de 5 à 7. Les rai$ons de la Multiplication, de$quelles ré$ulte la rai$on compo$ée, $ont appellées _rai$ons compo$antes_.
277. Si les rai$ons compo$antes $ont égales, la rai$on com-
po$ée qui en ré$ulte e$t appellée _rai$on doublée_, s’il y a deux rai-
$ons égales, rai$on triplée, $i l’on a multipliée trois rai$ons
égales l’une par l’autre. Par exemple, $i l’on a la proportion
_a. b_:: _c. d_, ou, ce qui e$t la même cho$e, {_a_/_b_} = {_c_/_d_}, la rai$on
de _a c_ à _b d_ e$t doublée de celle de _a_ à _b_, ou de celle de _c_ à _d_,
pui$que la proportion $uppo$e qu’il y a égalité entre ces deux
rai$ons. Si l’on a _a. b_:: _c. d_:: _f. g_, ou {_a_/_b_} = {_c_/_d_} = {_f_/_g_}, la rai$on
278. Quand on dit que deux produits $ont entr’eux en rai- $on doublée de deux autres grandeurs, c’e$t comme $i l’on di- $oit que le premier produit e$t au $econd, comme le quarré d’une grandeur e$t au quarré de l’autre: ain$i $uppo$ant tou- jours que _a. b_:: _c. d_, lor$que je dis que la rai$on de _a c_ à _b d_ e$t doublée de celle de _a_ à _b_, c’e$t comme $i je fai$ois cette proportion, _ac. bd_:: _aa. bb_. Pour démontrer cette propor- tion, il n’y a qu’à faire voir que le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens, ou que _a a b d_ = _a c b b_; ce qui e$t évi- dent, $i l’on divi$e chaque membre par _a b_, pui$que _a d_ = _b c_.
279. De même lor$qu’on dit que la rai$on d’un produit de trois dimen$ions à un autre produit de trois dimen$ions, e$t triplée de celle d’une grandeur linéaire à une autre, c’e$t comme $i l’on di$oit que le premier produit e$t au $econd, comme le cube de la premiere grandeur e$t au cube de la $econde. Par exemple, $i l’on a _a. b_:: _c. d_:: _f. g_, quand on dit que la rai$on de _a c f_ à _b d g_ e$t triplée de celle de _a_ à _b_, c’e$t comme $i l’on fai$oit cette proportion, _a c f. b d g_:: _a_<_>3. _b_<_>3. Pour prou- ver cette proportion, il n’y a qu’à faire voir que le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens, ou que _a c f b_<_>3 = _a_<_>3_b d g_; ce qui e$t ai$é à faire, car _a b_ = _a b_: donc en divi$ant chaque membre par cette même quantité, on aura _c f b_<_>2 = _a_<_>2 _dg_; mais pui$que _a. b_:: _c. d, b c_ = _a d_: donc divi$ant encore le premier membre par _b c_, & le $econd par _a d_, on aura _b f_ = _a g_; ce qui e$t encore vrai, pui$que _a. b_:: _f. g_.
280. L’expo$ant des deux termes d’une rai$on doublée e$t égal au quarré de celui qui e$t entre les deux termes de la rai$on $imple, & l’expo$ant des deux termes d’une rai$on triplée e$t égal au cube de celui des deux termes de la rai$on $imple.
On entend ici par l’expo$ant d’une rai$on, le quotient qui
ré$ulte de la divi$ion des deux termes l’un par l’autre. Cela
po$é, $i l’on imagine que le quotient de _a_, divi$é par _b_, $oit _f_,
& que celui de _c_, divi$é par _d_, $oit au$$i _f_, ce qui donnera
281. La rai$on qui e$t entre les quarrés de deux nombres e$t doublée de celle qui e$t entre les racines; la rai$on qui e$t entre les cubes de deux nombres e$t triplée de celle qui e$t en- tre les racines, & ain$i des autres.
Il faut bien prendre garde de confondre la rai$on double avec la rai$on doublée, & de même la rai$on triple avec la rai- $on triplée. Une rai$on double ou triple n’e$t qu’une rai$on $imple, dans laquelle l’antécédent e$t double ou triple du con- $équent; mais une rai$on doublée e$t une rai$on compo$ée de deux rai$ons égales, & une rai$on triplée e$t une rai$on com- po$ée du produit de trois rai$ons égales.
Regles générales pour la ré$olution des Problêmes ou application du calcul analytique à la méthode de dégager les inconnues.
282. Lor$qu’une quantité e$t po$itive, & qu’elle ne $e trouve qu’une $eule fois dans un $eul membre d’une équation, on l’appelle _quantité dégagée_: par exemple, dans l’équation _a_ + _b_ = _x_, la quantité _x_ e$t une quantité dégagée.
283. Si à des grandeurs égales on ajoute des grandeurs éga- les, les tous $eront égaux.
284. Si de grandeurs égales on ôte des grandeurs égales, les re$tes $eront égaux.
285. Si on multiplie des grandeurs égales par une même grandeur, les produits $eront égaux.
286. Si l’on divi$e des grandeurs égales par une même grandeur, les quotiens $eront égaux.
287. Si l’on extrait la racine de quantités égales, les racines $eront égales.
Où l’on fait voir l’u$age de l’ Addition & de la Sou$tr action pour le dégagement des inconnues.
288. Pour dégager une quantité, il faut faire pa$$er les grandeurs qui l’accompagnent dans l’autre membre avec des $ignes contraires, & les effacer dans le membre où elles $ont. Par exemple, $i l’on a cette équation _a_ + _c_ = _x_ - _d_, pour dégager _x_, il faut faire pa$$er - _d_ du $econd membre dans le premier avec le $igne +, & l’on aura _a_ + _c_ + _d_ = _x_, où la quantité _x_ e$t dégagée, pui$que $a valeur e$t _a_ + _c_ + _d_: car comme on n’a fait qu’ajouter _d_ à chaque membre de l’équa- tion, il s’en$uit par l’axiome premier, que l’on n’a point changé l’égalité.
De même pour dégager _y_ dans l’équation _y_ + _a_ = _b_ + _c_, l’on fera pa$$er _a_ du premier membre dans le $econd avec le $igne -, pour avoir _y_ = _b_ + _c_ - _a_, qui donne la valeur de _y_, pui$que par le $econd axiome on n’a fait que retrancher la même grandeur de deux grandeurs égales.
289. Il $uit de la regle précédente, premiérement, que l’on
peut rendre tous les termes d’une équation po$itifs, en tran$-
po$ant ceux qui ont le $igne - d’un membre de l’équation dans
l’autre, & leur donnant le $igne +. Par exemple, pour ren-
dre po$itifs tous les termes de l’équation _a b_ - _c c_ + _c d_ - _d d_
= _a a_ + _b b_, il n’y a qu’à faire pa$$er les termes _c c_ & _d d_, qui
ont le $igne - du premier membre dans le $econd, en leur
donnant le $igne +; & après les avoir effacés du premier
290. L’on peut encore par la même regle faire pa$$er tous les termes d’un des membres d’une équation dans l’autre, en rédui$ant l’égalité à zero: car pour faire pa$$er, par exemple, les termes du $econd membre de cette équation _aa_ + _bb_ = _cd_ + _bc_ - _dd_; dans le premier, l’on n’a qu’à tran$po$er les ter- mes, en leur donnant des $ignes contraires, & l’on aura _aa_ + _bb_ - _cd_ + _bb_ + _dd_ = o.
Où l’on fait voir l’u$age de la Multiplication pour dégager les inconnues, & pour délivrer les équations des fractions qu’elles contiennent.
291. Pour dégager une quantité qui $e trouve divi$ée par quelque nombre, ou par quelque lettre, il faut multiplier les autres termes de l’équation par le divi$eur de cette quantité, $ans toucher à cette quantité, que pour en effacer le divi$eur: ain$i pour dégager {_xx_/_c_} dans l’équation _a_ + _b_ = {_xx_/_c_}, il faut mul- tiplier le membre _a_ + _b_ par le divi$eur _c_, & l’on aura _ac_ + _bc_ = _xx_, ou _xx_ e$t dégagée. De même $i l’on avoit _c_ + _b_ = _z_, il faut pour dégager _z_, multiplier les termes _c_ + _b_ par le divi- $eur 2, & l’on aura 2_c_ + 2_b_ = _z_; ce qui e$t évident par le 3<_>e axiome, pui$qu’ayant multiplié les deux membres de cette équation par une même quantité, on n’a rien changé à l’é- galité.
292. Comme la divi$ion indiquée, ou autrement {_a_/_b_} n’e$t
qu’une fraction; il $uit de la regle précédente, que l’on peut
non $eulement dégager les quantités inconnues qui $ont divi-
$ées, mais que l’on peut encore délivrer de fractions les ter-
mes d’une équation, en multipliant tous les autres termes de
l’équation par les dénominateurs des fractions: par exemple,
293. Mais au lieu de multiplier l’un après l’autre chaque numérateur par tous les dénominateurs des autres fractions, on peut tout d’un coup ôter les fractions d’une équation, en multipliant chaque terme par le produit de tous les dénomina- nateurs, & en effaçant dans les numérateurs & dénomina- teurs de chaque nouvelle fraction les lettres $emblables.
294. Lor$qu’une quantité inconnue, que l’on veut dégager,
e$t multipliée par une grandeur connue, on dégagera l’incon-
nue, en divi$ant chaque membre de l’équation par cette gran-
deur connue. Ain$i pour dégager l’inconnue dans l’équation
_ax_ = _bb_ - _cc_, l’on divi$era chaque membre par _a_, & l’on
aura _x_ = {_bb_ - _cc_/_a_}. De même $i l’on a _cz_ = _dd_ + _az_, on dé-
gagera l’inconnue _z_, en fai$ant pa$$er _az_ du $econd membre
dans le premier, avec un $igne contraire, pour avoir _cz_ - _az_
= _dd_, & divi$ant chaque membre par _c-a_, l’on aura _z_ = {_dd_/_c_-_a_};
295. Il $uit de cette regle, que lor$que tous les termes d’une équation $ont multipliés par une même lettre, ou par une même grandeur, on peut rendre l’équation plus $imple, en divi$ant tous les termes par cette grandeur. Par exemple, $i l’on a _aa_ + _ab_ = _ac_ - _ad_, où tous les termes $ont multipliés par _a_, l’on n’a qu’à divi$er les deux membres de cette équa- tion par la même lettre _a_, il viendra l’équation _a_ + _b_ = _c_ - _d_, qui e$t plus $imple que la précédente: mais s’il $e trouvoit quel- que terme qui ne pût pas être divi$é comme les autres, ne con- tenant pas de lettres $emblables au divi$eur; cela n’empêche pas que la divi$ion ne $e fa$$e toujours, parce que quand on ne peut pas la faire effectivement $ur quelque terme, on la fait par indiction. Par exemple, pour divi$er cette équation _abb_ - _cbb_ = _cdx_ + _bbc_ par _bb_, dans laquelle le terme _cdx_ n’a point de lettres $emblables au divi$eur, l’on efface _bb_ des au- tres termes, & l’on marque pour celui-ci {_cdx_/_bb_}: ain$i l’on a _a_ - _c_ = {_cdx_/_bb_} + _c_.
En$in lor$que les deux membres d’une équation ont un divi$eur commun, on pourra les réduire à une équation plus $imple, en divi$ant chaque membre par le divi$eur qui e$t commun. Par exemple, $i l’on a une équation comme _bbx_ - _bxx_ = _abb_ - _abx_, dont les membres ont pour divi- $eur commun _bb_ - _bx_, on fera la divi$ion qui donnera cette autre équation, qui donnera _x_ = _a_.
296. Quand on a une équation, où l’un des membres ne
contient que des grandeurs connues, & que l’autre où e$t l’in-
connue e$t un quarré ou un cube parfait, il faut extraire la
racine de ces deux membres pour avoir une nouvelle équation,
dans laquelle on pourra dégager l’inconnue. Par exemple, $i
l’on a _xx_ + 2_ax_ + _aa_ = _bc_ + _dd_, où le premier membre de
De même pour dégager _x_ dans l’équation _xx_ - 2_ax_ + _aa_ = _bb_, j’extrais la racine de chaque membre, & j’ai _x_ - _a_ = _b_; d’où l’on déduit en tran$po$ant _x_ = _b_ + _a_.
297. Comme le premier membre de cette équation e$t un
cube parfait, _x_<_>3 + 3_ax_<_>2 + 3_a_<_>2_x_ + _a_<_>3 = _aab_, en tirant la ra-
cine cube de chaque membre, on aura l’équation plus $imple
_x_ + _a_ = <_>3
298. Quand on connoît la valeur de quelques lettres que l’on veut faire évanouir dans une équation, on $ub$titue à leur place les quantités qui leur $ont égales avec le même $igne. Par exemple, $i l’on a l’équation _a_ + _z_ = _y_ + _b_ - _c_, où l’on veut faire évanouir _z_, & que l’on $uppo$e _z_ = _d_ + _e_, on effa- cera _z_ dans l’équation, & l’on mettra à $a place $a valeur _d_ + _e_; ce qui donnera _a_ + _d_ + _e_ = _y_ + _b_ - _c_, où _z_ ne $e trouve plus. Si l’on a cette équation _b_ + _d_ - _x_ = _c_ + _z_, dans laquelle on veut faire évanouir _x_, $uppo$ant que _x_ = _a_ - _e_, l’on effacera _x_, & l’on mettra à $a place - _a_ + _e_, à cau$e que _x_ a le $igne -, & l’on aura _b_ + _d_ - _a_ + _e_ = _c_ + _z_, où _x_ ne $e trouve plus.
299. Si la lettre qu’on veut faire évanouir e$t multipliée ou divi$ée dans l’équation par quelqu’autre grandeur, il faut mul- tiplier ou divi$er $a valeur par cette même grandeur, & l’écrire dans l’équation avec le même $igne. Par exemple, $i de l’é- quation _bb_ + _ax_ - _cc_ = _ad_ + _aa_ - _yy_, on veut faire éva- nouir _x_, $uppo$ant que _x_ = _e_ + _f_, comme _x_ e$t multipliée par _a_ dans l’équation, il faut multiplier $a valeur _e_ + _f_, par la même lettre _a_, pour avoir _ax_ = _ac_ + _af_, & mettant _ac_ + _af_ à la place de _ax_, l’on aura _bb_ + _ac_ + _af_ - _cc_ = _ad_ + _aa_ - _yy_, où _x_ ne $e trouve plus.
300. Pour faire évanouir de l’équation _cc_ + _yy_ - 2_bd_ = _aa_ - _bz_ la lettre _z_, $uppo$ant que _z_ = _d_ - _e_ + _g_, il faut mul- tiplier la valeur de _z_ par _b_, pour avoir _bz_ = _bd_ - _be_ + _bg_; & comme _bz_ a le $igne - dans l’équation, il faut changer les $ignes de _bd_ - _be_ + _bg_, & mettre dans l’équation - _bd_ + _be_ - _bg_; ce qui donnera _cc_ + _yy_ = _aa_ - _bd_ + _be_ - _bg_, où _z_ ne $e trouve plus.
301. Pour faire évanouir _y_ de l’équation 2_ab_ + _ez_ = _be_ + {_ddy_/_a_ - _f_}, $uppo$ant que l’on a _y_ = _e_ - _g_, il faut multiplier _e_ - _g_ par _dd_, pour avoir _ddy_ = _dde_ - _ddg_; mais comme _ddy_ e$t divi$é par _a_ - _f_ dans l’équation, il faut pour y $ub$tituer _dde_ - _ddg_ le divi$er au$$i par _a_ - _f_, & alors on aura 2_ab_ + _ez_ = {_dde_ - _ddg_/_a_ - _f_}, où _y_ ne $e trouve plus.
302. Pour faire évanouir _u_ de l’équation _aa_ + _dd_ = _au_ + _bd_, $uppo$ant que l’on a _u_ = {_aa_ - _cc_ + _fg_/_b_ + _d_}, il faut, à cau$e que _u_ e$t égal à une fraction, multiplier le numérateur de cette fraction par _a_, pour avoir a _u_ = {_a_<_>3 - _acc_ + _afg_/_b_ + _d_}, & puis mettre à la place de _au_ dans la premiere équation, la fraction qui lui e$t égale, & l’on aura _aa_ + _dd_ = {_a_<_>3 + _afg_ - _acc_/_b_ + _d_} + _bd_, dans laquelle _u_ ne $e trouve plus. Si l’on veut ôter la fraction de cette équation, l’on n’aura qu’à multiplier les autres termes par le dénomina- teur _b_ + _d_ (art. 283), & l’équation $era transformée en celle- ci, _aab_ + _aad_ + _d_<_>3 = _a_<_>3 + _acc_ + _afg_ + _bbd_, après avoir effacé les termes _b d d_, qui $e trouvent dans chaque membre avec le même $igne.
303. Si la lettre qu’on veut faire évanouir e$t le côté d’un
quarré ou d’un cube, il faut quarrer ou cuber $a valeur, &
Comme l’on ne fait par la $ub$titution que mettre une gran- deur égale à la place d’une autre dans une équation, il s’en$uit que les deux membres de cette équation demeurent toujours égaux.
304. Pour ré$oudre un problême par Algebre, il faut com- mencer par con$idérer attentivement l’état de la que$tion, & toutes les conditions qu’elle renferme; en$uite marquer ce que l’on connoît avec les premieres lettres de l’alphabet, & ce que l’on ne connoît pas avec les dernieres: con$idérant après cela le problême comme ré$olu, on tâchera de trouver autant d’é- quations que l’on a employé de lettres inconnues, que nous appellerons _premieres équations_.
On choi$ira la plus $imple de toutes ces équations, pour dé- gager une des inconnues qu’elle renferme; & ayant trouvé la valeur de cette inconnue, on la $ub$tituera dans les autres équations aux endroits où cette inconnue $e trouvera.
On recommencera de nouveau à choi$ir la plus $imple des autres équations pour y dégager une $econde inconnue, dont on $ub$tituera, comme auparavant, la valeur dans les autres équations, & l’on réïtérera la même cho$e pour faire évanouir l’une après l’autre toutes les lettres inconnues; & de cette maniere on trouvera la valeur connue de toutes les inconnues; ce qui donnera la $olution du problême.
Pour rendre ceci plus $en$ible, nous allons faire évanouir toutes les inconnues des trois équations _x_ + _y_ = _z_ + _a_, _y_ + _z_ = _b_ + _x_, & _x_ + _z_ = _c_ + _y_. Pour cela, je commence par chercher la valeur de _z_ dans la premiere équation, en la dé- gageant de _a_, que je fais pa$$er dans l’autre membre avec le $igne contraire, afin d’avoir _x_ + _y_ - _a_ = _z_, qui me donne la valeur de _z_; en$uite je mets cette valeur à la place de _z_ dans les autres équations (art. 298.) qui $e trouvent changées en celles-ci, 2_y_ + _x_ - _a_ = _b_ + _x_, & 2_x_ + _y_ - _a_ = _c_ + _y_, & comme _x_ $e trouve dans le premier & le $econd membre de la premiere équation avec le $igne +, de même _y_ dans la $econde; je les efface, & en dégageant les inconnues qui re$tent, il vient 2_y_ = _b_ + _a_, & 2_x_ = _c_ + _a_, ou bien _y_ = {_b_ + _a_/2}, & _x_ = {_c_ + _a_/2}, où les valeurs de _x_ & de _y_ $e trouvent tout d’un coup, $ans avoir été obligé de faire une $econde $ub$titution. Si pré$entement on met dans la premiere équa- tion, où l’inconnue a été dégagée, la valeur de _x_ & de _y_, on aura {_b_ + _a_ + _c_ + _a_/2} - _a_ = _z_, ou {_b_ + _c_/2} = _z_. Par con$équent on a trouvé la valeur des inconnues _x_, _y_ & _z_ en lettres connues.
On s’e$t contenté de donner $eulement un petit exemple de cette regle, parce qu’on en va voir l’application, au$$i-bien que des précédentes, dans tout ce qui $uit, où l’on va ré$oudre plu$ieurs problêmes curieux, que l’on a rapportés exprès pour familiari$er les Commençans avec le calcul algébrique, & pour rendre intére$$ant ce que l’on a vu ju$qu’ici, qu’il e$t à propos d’entendre parfaitement, pour avoir le plai$ir de com- prendre $ans peine tout ce qui compo$e la $uite de cet ouvrage.
Trois per$onnes ont gagné en$emble au jeu 875 livres, la $econde per$onne a gagné deux fois autant que la premiere, & 10 liv. de plus, la troi$ieme a gagné autant que la premiere & la $econde, & 15 liv. de plus. On demande combien chaque per$onne a gagné.
Pour ré$oudre cette que$tion, j’appelle _x_ le gain de la pre- miere per$onne; par con$équent celui de la $econde $era 2_x_, parce qu’elle a gagné le double de la premiere; & comme elle a encore gagné 10 livres de plus, $on gain $era 2_x_ + 20. Or comme la troi$ieme per$onne a gagné autant que la premiere & la $econde, & même 15 liv. de plus, j’ajoute en$emble le gain des deux premieres per$onnes, c’e$t-à-dire _x_ & 2_x_ + 10, à quoi ajoutant 15, le gain de la troi$ieme per$onne $era 3_x_ + 25; & comme le gain des trois per$onnes e$t égal à 875, je forme cette équation _x_ + 2_x_ + 10 + 3_x_ + 25 = 875; d’où je dégage la quantité inconnue, en fai$ant pa$$er la $omme des nombres que je connois du premier membre dans le $econd (art. 288.) avec le $igne -, & rédui$ant le tout en un $eul terme; ce qui donne cette nouvelle équation 6_x_ = 875 - 25, ou 6_x_ = 840, que je divi$e par 6 (art. 294.) pour avoir _x_ = 140, qui me fait voir que la premiere per$onne a gagné 140 livres. Pour avoir le gain de la $econde per$onne, je dou- ble 140, & j’ajoute 10 au produit, qui donne 2_x_ + 10 = 290: enfin $i j’ajoute cette équation à la précédente, & 15 à la $om- me, j’aurai le gain de la troi$ieme per$onne, c’e$t - à - dire 3_x_ + 25 = 445; par con$équent la premiere per$onne a ga- gné 140 livres, la $econde 290 livres, & la troi$ieme 445; ce qui e$t bien évident, pui$que ces trois $ommes font en$emble 875 livres, & qu’elles rempli$$ent toutes les conditions du problême.
Quatre Sappeurs ont fait chacun une quantité de toi$es de $appe, & ils ont gagné en$emble 140 livres; le $econd Sappeur a gagné trois fois plus que le premier, moins 8 livres; le troi- $ieme a gagné la moitié de ce qu’ont gagné en$emble le pre- mier & le $econd, moins 12 livres; & le quatrieme a gagné autant que le premier & le troi$ieme: l’on demande combien ils ont gagné chacun.
Pour ré$oudre cette que$tion, j’appelle _x_ le gain du pre-
mier Sappeur; ain$i 3_x_ - 8 $era le gain du $econd Sappeur;
2_x_ - 16 le gain du troi$ieme; & 3_x_ - 16 le gain du qua-
trieme: & comme toutes ces quantités, pri$es en$emble, $ont
égales à 240 livres, je forme cette équation _x_ + 3_x_ - 8 + 2_x_
- 16 + 3_x_ - 16 = 140, que je réduis à $a plus $imple expre$-
Cinq Canonniers ont tiré dans une après midi 96 coups de canon; le $econd a tiré le double du premier, & deux coups de plus; le troi$ieme a tiré autant que le premier & le $econd, moins $ix coups; le quatrieme autant que le $econd & le troi- $ieme, plus dix coups; le cinquieme a tiré autant que le pre- mier & le quatrieme, moins vingt coups: on demande com- bien de coups de canon ils ont tiré chacun.
Ayant nommé _x_ le nombre de coups que le premier a tiré, je trouverai pour le $econd 2_x_+2; pour le troi$ieme 3_x_ + 2 - 6, ou, ce qui e$t la même cho$e, 3_x_ - 4; pour le quatrieme 5_x_ + 2 - 4 + 10, ou bien 5_x_ + 8; enfin pour le cinquieme 6_x_ + 8 - 20, ou bien 6_x_ - 12. Or comme toutes ces quan- tités pri$es en$emble doivent être égales à 96, je forme cette équation _x_ + 2_x_ + 2 + 3_x_ - 4 + 5_x_ + 8 + 6_x_ - 12 = 96, que je réduis à $a plus $imple expre$$ion, en ajoutant dans une $omme les quantités connues, qui ont le $igne + ou -, & il vient 17_x_ - 6 = 96, ou bien 17_x_ = 102, en fai$ant pa$$er - 6 du premier membre dans le $econd: pour avoir pré$ente- ment la valeur de _x_, je divi$e cette équation par 17, & je trouve _x_ = 6; ce qui fait voir que le premier Canonnier a tiré $ix coups; ain$i le $econd, qui e$t 2_x_ + 2, en a tiré 14; le troi- $ieme, qui e$t 3_x_ - 4, en a au$$i tiré 14; le quatrieme, qui e$t 5_x_ + 8, en aura tiré 38; & le cinquieme, qui e$t 6_x_ - 12, en aura tiré 24; ce qui e$t évident, pui$que tous ces nombres, pris en$emble, font 96.
Un Officier de Mineurs a fait faire en trois mois mille toi$es courantes de galeries de mines; il a fait dans le $econd mois le double de l’ouvrage du premier, & 50 toi$es de plus, parce qu’il a reçu un renfort de Mineurs; le troi$ieme mois il a fait 200 toi$es d’ouvrage de moins que le $econd, parce qu’une partie de $on monde e$t tombée malade: on demande combien il a fait de toi$es de galeries dans le premier mois, dans le $econd, & dans le troi$ieme?
Pour ré$oudre cette que$tion, je nomme _x_ la quantité de toi$es de galeries de mines qui s’e$t faite le premier mois, 2_x_+50 pour ce qui s’e$t fait le $econd mois, & 2_x_+50-200, ou bien 2_x_ - 150 pour la quantité qui s’e$t faite le troi$ieme mois; & comme la $omme de ces quantités doit être égale à 1000 toi$es, je forme cette équation _x_ + 2_x_ + 50 + 2_x_ - 150 = 1000, qui étant réduite à $a plus $imple expre$$ion (art. 50.) donne 5_x_ - 100 = 1000, ou bien _x_ = 1100, & divi$ant chaque membre de cette équation par 5, l’on aura _x_ = 220; ce qui fait voir que dans le premier mois on a fait 220 toi$es courantes de galeries de mines: par con$équent on en a fait 400 le $econd mois, & 290 le troi$ieme; ce qui e$t évident, pui$que ces quantités font en$emble 1000 toi$es.
On a fait un détachement de Grenadiers pour attaquer un po$te, parmi le$quels il s’en trouve deux qui rai$onnant en- $emble $ur les grenades qu’ils ont dans leurs gibernes, le pre- mier dit au $econd: Si tu m’avois donné une de tes grenades, j’en aurois autant que toi, & le $econd lui répond: $i tu m’en avois donné une des tiennes, j’en aurois le double de celles que tu as: on demande combien ils avoient de grenades chacun?
Comme cette que$tion renferme deux inconnues, je nomme
_y_ le nombre des grenades qu’a le premier Grenadier, & _z_ le
nombre de celles qu’a le $econd; & je fais autant d’équations
qu’il y a d’inconnues, $elon l’article 304. Pour former la pre-
miere équation, je dis, $i _y_ avoit une grenade de plus, & _z_ une
grenade de moins, ces deux quantités $eroient égales, ce qui
Trois Bombardiers ont jetté une certaine quantité de bom- bes dans une Ville a$$iégée: le premier & le $econd en ont jetté en$emble 20 plus que le troi$ieme; le $econd & le troi- $ieme 32 plus que le premier; & le premier & le troi$ieme 28 plus que le $econd: on demande combien chaque Bombardier a jetté de bombes?
Comme les quantités connues dans cette que$tion $ont ex-
primées par des nombres, nous $ub$tituerons à leurs places les
premieres lettres de l’alphabet: ain$i au lieu des nombres 20,
32, 28, nous prendrons _a, b, c_, $uppo$ant que 20 = _a_, 32
= _b_, 28 = _c_, pour rendre la ré$olution de ce problême plus
générale, & nous nommerons _x_ la quantité de bombes que le
premier Bombardier a jetté, _y_ la quantité du $econd, & _z_ la
quantité du troi$ieme. Cela po$é, je dis $i de _x_ + _y_, qui ex-
prime la quantité de bombes qu’ont jetté le premier & le $e-
cond Bombardier, je $ou$trais _a_, qui e$t le nombre de bom-
bes que le premier & le $econd ont tiré plus que le troi$ieme,
j’aurai _x_ + _y_ - _a_ = _z_ pour la premiere équation; _y_ + _z_ - _b_
= _x_ pour la $econde, & _x_ + _z_ - _c_ = _y_ pour la troi$ieme.
Con$idérant que j’ai trois équations, qui renferment chacune
Pré$entement que je $çais que _x_ = {_a_+_c_/2}, que _y_ = {_a_+_b_/2}, & que _z_ = {_b_ + _c_/2}, je prends à la place de {_a_ + _c_/2} la moitié des nombres repré$entés par _a_ & _b_, c’e$t-à-dire la moitié de 20 + 28, qui e$t 24, qui $era la valeur de _x_; à la place de {_a_+_b_/2}, je prends la moitié de 20 + 32 pour avoir 26, qui e$t la valeur de _y_; & enfin à la place de {_b_ + _c_/2}, je prends la moitié des nombres 28 & 32 pour avoir 30, qui $era la valeur de _z_; d’où je conclus que le premier Bombardier a jetté 24 bombes, le $econd 26, & le troi$ieme 30, pui$que ces trois nombres $a- tisfont pleinement aux conditions du problême.
L’on a$$iege une Place, dont la garni$on étoit compo$ée
de Troupes Allemandes, Angloi$es, Hollandoi$es & E$pa-
gnoles. La Place pri$e, on a trouvé qu’il y avoit eu en$emble
autant d’Allemands, d’ Anglois & de Hollandois de tués que
d’E$pagnols, moins 620 hommes; autant d’Allemands, d’An-
glois & d’E$pagnols en$emble que de Hollandois, moins 460
hommes; autant d’Allemands, de Hollandois & d’E$pagnols
Ayant nommé _u_ le nombre d’Allemands, _x_ celui des An- glois, _y_ celui des Hollandois, & _z_ celui des E$pagnols, nous $uppo$erons que 620 = _a_, que 460 = _b_, que 380 = _c_, & que 500 = _d_, afin de rendre la $olution du problême plus géné- rale. Cela po$é, comme les conditions du problême me donnent quatre équations, j’ai pour la premiere _u_ + _x_ + _y_ = _z_ + _a_, pour la $econde _u_ + _x_ + _z_ = _y_ + _b_, pour la troi$ieme _u_ + _y_ + _z_ = _x_ + _c_; & enfin pour la quatrieme _x_ + _y_ + _z_ = _u_ + _d_. Après cela, je dégage une inconnue dans la premiere équa- tion qui $era, par exemple _z_, pour avoir _u_ + _x_ + _y_ - _a_ = _z_, qui me donne la valeur de _z_, que je $ub$titue dans les trois autres équations; ce qui les change en celles-ci, _u_ + _x_ + _u_ + _x_ + _y_ - _a_ = _y_ + _b_, _u_ + _y_ + _u_ + _x_ + _y_ - _a_ = _x_ + _c_, & _x_ + _y_ + _u_ + _x_ + _y_ - _a_ = _u_ + _d_, qui deviennent, en les rédui$ant à leur plus $imple expre$$ion, 2_u_ = _a_ + _b_ - 2_x_, 2_y_ = _a_ + _c_ - 2_u_, & 2_x_ = _a_ + _d_ - 2_y_, en dégageant 2_u_, 2_x_, & 2_y_. Après cela je $ub$titue la valeur de 2_u_ dans l’équa- tion 2_y_ = _a_ + _c_ - 2_u_, il vient 2_y_ = _a_ + _c_ - _a_ - _b_ + 2_x_, dans laquelle _u_ ne $e trouve plus; & $i à la place de 2_y_ je mets $a valeur pri$e dans l’égalité 2_x_ = _a_ + _d_ - 2_y_, il viendra cette derniere équation, 2_x_ = _a_ + _d_ - _a_ - _c_ + _a_ + _b_ - 2_x_, ou bien _x_ = {_a_ + _b_ + _d_ - _c_/4}, où il n’y a plus d’in- connue. Si à la place de 2_x_ dans l’équation 2_u_ = _a_ + _b_ - 2_x_, l’on met la moitié de la valeur de 4_x_, qui e$t {1/2}_a_ + {1/2}_b_ + {1/2}_d_ -{1/2}_c_, l’on aura 2_u_ = _a_ + _b_ - {1/2}_a_ - {1/2}_b_ - {1/2}_d_ + {1/2}_c_, ou 2_u_ = {_a_ + _b_ + _c_ - _d_/2}, ou bien _u_ = {_a_ + _b_ + _c_ - _d_/4}, qui donne la valeur de _u_; & $i l’on met dans l’équation 2_y_ = _a_ + _c_ - 2_u_ la moitié de la valeur de 4_u_, qui e$t {1/1}_a_ + {1/2}_b_ + {1/2}_c_ - {1/2}_d_, l’on aura 2_y_ = _a_ + _c_ - {1/2}_a_ - {1/2}_b_ - {1/2}_c_ + {1/2}_d_, ou _y_ = {_a_ + _c_ + _d_ - _b_/4}, qui donne la valeur de _y_; enfin $i l’on met dans l’équation _u_ + _x_ + _y_ - _a_ = _z_ les valeurs de _u_, de _x_ & de _y_, l’on aura, après les réductions néce$$aires, _z_ = {_b_ + _c_ + _d_ - _a_/4}
Comme l’on vient de trouver _u_ = {_a_+_b_+_c_-_d_/4}, _x_= {_a_+_b_+_d_-_c_/4}, _y_ = {_a_ + _e_ + _d_ -_b_/4}, & _z_ = {_b_ + _c_ + _d_ - _a_/4}, il s’en$uit que le problême e$t ré$olu, pui$que $i l’on divi$e 1460 - 500 par 4, qui e$t égal à {_a_ + _c_ + _b_ - _d_/4}, l’on trouvera 240 pour la valeur de _u_, fai$ant de même pour les autres, l’on trouvera 300 pour la valeur de _x_, 260 pour celle de _y_, & 180 pour celle de _z_. Ain$i il y a eu 240 Allemands de tués, 300 Anglois, 260 Hollandois, & 180 E$pagnols; ce qui e$t bien évident, pui$- que ces nombres répondent aux conditions du problême.
Un Sergent de Sapeurs s’e$t trouvé à 32 $ieges, & à plu- $ieurs batailles, où il a reçu plu$ieurs ble$$ures: le Roi lui pro- met de lui accorder la gratification qu’il lui demandera pour $es $ervices. Le Sergent demande au Roi de lui donner en ar- gent la $omme des gratifications qu’il auroit eu, en $uppo$ant qu’on lui eût donné une livre pour la premiere ble$$ure, 2 liv. pour la $econde, 4 livres pour la troi$ieme, & ain$i de $uite en doublant toujours. Le Roi lui accorde $a demande, & il re- çoit 65535 livres: on demande combien il a reçu de ble$$ures.
Pour ré$oudre cette que$tion, je la dépouille de tout ce qui
lui e$t étranger, & je la réduis à ce qu’elle a de plus $imple;
je vois que le nombre 65535 e$t la $omme des termes d’une
progre$$ion géométrique, dont le premier terme e$t 1, le $e-
cond 2, & dont la rai$on e$t au$$i 2, ou, ce qui e$t la même
cho$e, que ce même nombre e$t la $omme de plu$ieurs pui$-
$ances $ucce$$ives de 2, dont la derniere, augmentée de l’u-
nité, marque le nombre des termes de la progre$$ion. Je fais
attention en$uite, que $i j’avois le dernier terme de cette pro-
gre$$ion, il me $eroit ai$é d’en connoître le nombre, pui$que ce
dernier terme e$t égal au premier, multiplié par la pui$$ance de
2, exprimée par le nombre des termes qui précédent (art. 248).
J’appelle _x_ ce dernier terme, & je fais encore attention que la
$omme des antécédens e$t celle de tous les termes, excepté ce
dernier, & que la $omme des con$équens e$t la même $omme
de tous les termes, excepté le premier, qui e$t 1. Or (art. 250)
la $omme des antécédens e$t à la $omme des con$équens,
La même proportion, qui nous a $ervi à ré$oudre cette que$tion, peut au$$i $ervir à la $olution de toutes les que$tions que l’on propo$e $ur les progre$$ions géométriques, & parti- culiérement dans la $ommation des mêmes $uites: pour en faire $entir encore mieux l’utilité, nous allons l’appliquer à la $olution du problême $uivant.
305. Trouver la $omme des termes d’une progre$$ion géomé- trique décroi$$ante à l’infini, dont le premier terme e$t a, & le $econd b.
Pui$que le nombre des termes e$t infini, & que d’ailleurs
la progre$$ion e$t $uppo$ée décroi$$ante, le dernier terme pourra
enfin être regardé comme zero: ain$i la $omme des antécé-
dens $era la $omme de tous les termes, moins zero; la $omme
des con$équens $era la $omme de tous les termes, moins le
premier: donc appellant _s_ cette $omme, on aura (art. 250.)
la $omme des antécédens e$t à la $omme des con$équens,
comme le premier terme au $econd, ou analitiquement _s_ - 0.
_s_ - _a_ : : _a_. _b_, d’où l’on tire _as_ - _a_<_>2 = _bs_, ou _as_ - _bs_ = _a_<_>2,
& dégageant _s_, il vient _s_ = {_a_<_>2/_a_-_b_}; ce qui $ignifie qu’en
général la $omme des termes d’une progre$$ion géométrique
306. Les équations que nous venons de ré$oudre, $ont ap- pellées _équations du premier degré_, ain$i que les problêmes, dont elles expriment les conditions, parce que les inconnues n’y $ont point multipliées par elles-mêmes, ni les unes par les autres: mais $i cela arrivoit, l’équation qui $eroit dans ce cas, $eroit plus compliquée que les précédentes, & $eroit appellée du $econd, troi$ieme, quatrieme degré, $elon que l’inconnue y $eroit élevée à la $econde, à la troi$ieme ou quatrieme pui$- $ance. Par exemple, _xx_ - 2_ax_ = 30, e$t une équation du $econd degré, _x_<_>3 - 5_x_<_>2 + 7_x_ + 12 = 15, e$t une équation du troi$ieme degré. Nous ne parlerons ici que des équations du $econd degré, & après les avoir ré$olues $ur quel ques exem- ples dans des cas particuliers, nous les ré$olverons en général dans les formules qui comprennent tous les cas po$$ibles de ces $ortes d’équations.
307. Les regles que l’on doit $uivre pour mettre un pro- blême du $econd degré en équation, $ont préci$ément les mêmes que celles que nous avons donné pour les autres pro- blêmes: le tout con$i$te à bien exprimer analitiquement les conditions énoncées ou renfermées dans la que$tion; ce qui dépend plutôt de la $agacité de celui qui ré$out le problême, que d’aucune regle générale que l’on pui$$e établir.
308. On remarquera encore avant toutes cho$es, que le quarré d’une grandeur quelconque peut avoir le $igne + ou - à $a racine, c’e$t-à-dire que ce quarré _aa_, peut ré$ulter de + _a_ multiplié par + _a_, ou de - _a_ x - _a_, pui$que l’un & l’autre donne également _a_<_>2 au produit: d’où il $uit qu’en général une équation du $econd degré doit avoir deux racines, l’une que l’on appelle _négative_, parce qu’elle e$t précédée du $igne -, & l’autre qu’on appelle _po$itive_, parce qu’elle e$t précédée du $igne +. L’état de la que$tion détermine ordinairement celle que l’on doit prendre; mais on ne doit point, $urtout dans les commencemens, rejetter les valeurs négatives, $ans avoir auparavant examiné ce qu’elles peuvent $ignifier, parce qu’elles ne ré$olvent pas moins le problême, que celles que l’on appelle _po$itives_, quoiqu’elles ne le ré$olvent pas dans le $ens qu’on s’étoit propo$é d’abord; & parce que d’ailleurs ces $olutions nous découvrent toujours des vérités auxquelles on n’auroit peut-être jamais pen$é, $i l’on n’y eût été conduit par l’analy$e. On verra dans la $uite des exemples $en$ibles de ce que nous di$ons, dans les problêmes que nous allons ré$oudre.
309. Un Soldat va rejoindre $on Régiment, dont il e$t éloigné de 64 lieues, il fait une lieue le premier jour, trois le $econd, cinq le troi$ieme, & ain$i de $uite en augmentant toujours de deux lieues: on demande combien il $era de jours à rejoindre $on Régiment?
Pour ré$oudre cette que$tion, je la dépouille encore de tout
ce qui lui e$t étranger (car c’e$t ain$i que l’on accoutume $on
e$prit aux idées générales; & d’ailleurs cette regle e$t de la
derniere importance pour trouver les équations des problêmes
avec facilité). Je remarque que la que$tion $e réduit à trouver
le nombre des termes d’une progre$$ion arithmétique, dont le
premier e$t 1, le $econd 3, & la $omme e$t 64. Et pour géné-
rali$er encore davantage le problême, je $uppo$e que le pre-
mier terme de la progre$$ion e$t _a_, le $econd _b_, & la $omme _s_.
J’appelle _x_ le nombre des termes, & _d_ l’excès de _b_ $ur _a_. Je
$çais que la $omme des termes d’une progre$$ion arithmétique
e$t égale au produit de la $omme des extrêmes, multipliée par
la moitié du nombre des termes (art. 238). Je connois le pre-
Pour ré$oudre cette équation, je commence par dégager de
tout coefficient le terme qui contient la plus haute pui$$ance
de l’inconnue, qui e$t _xx_, en divi$ant chaque terme de l’équa-
tion par _d_; ce qui me donne _xx_ + {2_ax_/_d_} - {_dx_/_d_} = {2_s_/_d_}, ou _xx_ +
{2_ax_/_d_} - _x_ = {2_s_/_d_}, ou _xx_+_x_ X
310. La $omme de deux nombres e$t 6, la $omme de leurs quarrés e$t 20: on demande chacun de ces deux nombres?
Soit _x_ l’un de ces nombres, l’autre $era 6 - _x_, pui$que leur
$omme e$t 6. Les quarrés de ces nombres $ont _xx_ & 36 - 12_x_
+ _xx_, dont la $omme doit être égale à 20, par la $econde
condition du problême, ce qui donne 2_xx_ - 12_x_ + 36 = 20.
Je fais pa$$er d’abord 36 de l’autre côté, ce qui me donne 2_xx_
- 12_x_ = 20 - 36, ou en divi$ant chaque membre de l’équa-
tion par 2; _xx_ - 6_x_ = 10 - 18 = - 8. Selon la regle
générale, pour rendre le premier membre de cette équa-
311. On propo$e de trouver un nombre qui $oit tel qu’en lui ajoutant la racine quarrée de $on produit par 10, la $omme $oit 20.
Soit _x_ le nombre cherché, & $uppo$ons 10 = _a_, & 20 = 2_a_,
on aura par les conditions du problême _x_ +
Il e$t évident que le nombre 10 e$t tel que la racine quarréc> de $on produit par 10, qui e$t 100, & dont la racine e$t 10, fait effectivement 20: mais on ne voit pas de même comment la racine quarrée de 40 multiplié par 10, $atisfait au$$i aux con- ditions du problême. Pour cela, je remarque que 400 peut avoir à $a racine - 20 ou + 20, pui$que - 20 X - 20 = 400, & que + 20 X + 20 = 400: donc en ajoutant cette racine de 400, qui e$t - 20 au nombre 40, j’ai 40 - 20 = 20.
312. On demande les trois termes d’une progre$$ion géomé-
Soit _x_ le $econd terme, le troi$ieme $era _x_ + 3 par une des conditions du problême, & par l’autre on aura 4. _x_ : : _x_. _x_+3, d’où l’on tire _xx_ = 4_x_ + 12, ou _xx_ - 4_x_ = 12; j’ajoute à chaque membre le quarré de la moitié du coefficient, qui e$t 4, & j’ai _xx_ - 4_x_ + 4 = 16, d’où l’on déduit en prenant les racines de chaque membre, _x_ - 2 = ± 4, c’e$t-à-dire que l’une des valeurs de _x_ e$t 6, & l’autre e$t 2 - 4 ou - 2, & ces valeurs $ont telles, qu’il n’y en a réellement qu’une qui ré- $olve le problême dans le $ens qu’on s’étoit propo$é, en don- nant cette progre$$ion 4. 6 : : 6. 9; mais on peut dire au$$i que l’autre ne ré$out pas moins le problême que la premiere, en donnant cette autre progre$$ion géométrique, 4. - 2 :: - 2. 1; car il e$t évident que ces trois grandeurs $ont en progre$$ion géométrique, pui$que le produit des extrêmes e$t égal au quarré du moyen, & que $elon la $econde condition, la diffé- rence du $econd terme au 3<_>e e$t 3: car il e$t évident que la diffé- rence de - 2 à 1 e$t 3, comme on peut voir en ôtant - 2 de 1.
313. Deux Commerçans ont placé dans le commerce unc $omme de 1300 liv. $ur laquelle ils gagnent 900; le premier, tant pour $a mi$e que pour l’intérêt de $on argent, qui a été trois mois dans le commerce, a retiré 870<_>1.; & le $econd pa- reillement, tant pour $a mi$e que pour l’intérêt de $on argent, qui a été $ix mois dans le commerce, reçoit 1330 livres: on demande la mi$e de chacun en particulier.
Soit _x_ la mi$e du premier, celle du $econd $era 1300 - _x_, pui$qu’ils ont mis à eux deux 1300 dans le commerce. Le gain du premier $era 870 - _x_, & celui du $econd $era 1330 - 1300 + _x_, ou en rédui$ant 30 + _x_: car il e$t clair que pour avoir le gain que fait l’un & l’autre, il faut ôter $a mi$e du nombre qui contient par hypothe$e la mi$e & le gain de cha- cun. Or par les conditions du problême, la mi$e & le gain du premier $ont renfermés dans $a part 870, & de même la mi$e & le gain du $econd $ont contenus dans $a part, qui e$t 1330.
On $çait de plus que les gains $ont dans la rai$on compo$ée
des mi$es & des tems, c’e$t - à - dire comme les produits des
mi$es par les tems: car il e$t évident que $i un homme a placé
dans le commerce trois fois plus qu’un autre dans le même
tems, il doit gagner trois fois davantage, & s’il a mis $on ar-
gent pendant un tems quadruple, il doit encore par-là gagner
quatre fois plus que l’autre, c’e$t-à-dire que $on gain $era 4 fois
3 fois plus grand que celui du $econd, ou qu’il $era à celui du
$econd, comme 12 à 1, qui $ont les produits des mi$es par
les tems; multipliant donc la mi$e du premier, qui e$t _x_, par
$on tems 3, & celle du $econd par $on tems 6; puis fai$ant une
proportion avec les produits & les gains particuliers, on aura
3_x_.
314. On remarquera 1<_>0. que la valeur de l’inconnue qui
$atisfait aux conditions du problême, e$t celle qui e$t déter-
minée par la racine négative du quarré, qui étoit $ous le $igne
On voit par-là que quoique les valeurs algébriques paroi$- $ent quelquefois ne rien $ignifier, parce qu’elles $ont extrê- mement éloignées de ce que nous aurions imaginé, elles n’en $ont pas pour cela moins vraies ni moins bien rai$onnées; & quoique l’on ne doive pas s’appliquer dans tous les cas à les re- connoître, parce que cela deviendroit inutile, il e$t au$$i ridi- cule de ne les pas rechercher dans quelques-uns, pour s’accoutu- mer aux expre$$ions algébriques, & pour être en état d’inter- prêter au be$oin les oracles que nous donne l’analy$e.
315. Ces exemples $uffi$ent pour connoître l’u$age que l’on doit faire des racines négatives. Nous allons pré$entement ré- $oudre en peu de mots les équations du $econd degré dans leurs formules générales, parce que la méthode e$t toujours la même. Si l’on a une équation du $econd degré, comme celle-ci, _xx_ - 4_x_ = 12, on fait pa$$er ordinairement le terme 12 de l’au- tre côté du $igne d’égalité, & alors on dit que l’équation e$t égale à zero, & elle $e marque ain$i : _x x_ - 4_x_ + 12 = 0. Cela po$é, toute équation du $econd degré peut $e rappeller à l’une des $ix formules $uivantes.
316. Ces équations $e ré$olvent comme les précédentes. Le terme _q_ repré$ente toutes les quantités connues: la lettre _p_ dé- $igne tous les coefficients qui multiplient l’inconnue au $econd terme. On tran$porte après cela le terme _q_ dans l’autre membre, & l’on ajoute à chacun, le quarré de la moitié du coefficient _p_, & l’on prend la racine du premier membre, qui devient un quarré parfait, & l’on met les quantités qui $ont dans l’autre membre $ous le $igne radical, pour marquer que l’on en prend la racine; ce qui donne les $ix formules $uivantes corre$pondantes aux équations précédentes.
Premiere _x_ = - {1/2}_p_ ±
Seconde _x_ = {1/2}_p_ ±
Troi$ieme _x_ = {1/2}_p_ ±
Quatrieme _x_ = - {1/2}_p_ ±
Cinquieme _x_ = ±
Sixieme _x_ = ±
Voici ce que l’on peut remarquer $ur ces formules. Dans la
premiere & la troi$ieme, le problême $era toujours po$$ible,
tant que {1/4}_pp_ $era plus grand que _q_, ou au moins égal; mais
s’il étoit moindre, le problême $eroit impo$$ible, pui$que dans
ce cas
Enfin la cinquieme formule aura toujours deux valeurs
égales, l’une po$itive, qui e$t +
317. Il y a certaines équations du quatrieme degré qui $e ré$olvent de même que celles du $econd, comme on va voit dans l’exemple $uivant.
On demande deux nombres, dont le produit $oit 12, & la différence des quarrés 7.
Soient _x_ & _y_ ces deux nombres, la premiere condition du
problême donne _xy_ = 12, d’où l’on tire _y_ = {12/_x_}, & la $e-
conde donne _xx_ - _yy_ = 7; & $ub$tituant à la place de _yy_ $a
valeur {144/_xx_}, on aura _xx_ - {144/_xx_} = 7, multipliant par _xx_ pour
faire évanouir la fraction {144/_xx_}, il vient _x_<_>4 - 144 = 7_xx_, ou
Du calcul des radicaux, des opérations qui leur $ont particu- # lieres, & de la maniere de les réduire, de les ajouter, $ou$traire, # multiplier ou divi$er.
318. On appelle _radicale_ une quantité, dont on ne peut pas
extraire la racine exactement. Pour peu que l’on veuille ré-
$oudre quelques problêmes du $econd degré, on trouve né-
ce$$airement de ces $ortes d’expre$$ions, que l’on appelle _radicales_
ou _incommen$urables_; mais quoiqu’elles ne pui$$ent pas avoir
de racines exactes, il y a cependant bien des cas où on peut
$implifier leurs expre$$ions, d’autres dans le$quels on e$t obligé
d’opérer $ur ces grandeurs par Addition, Multiplication ou
Divi$ion, ce qui arrive principalement dans les équations du
quatrieme degré réductibles au $econd; c’e$t pourquoi il e$t à
propos d’en$eigner de quelle maniere on doit pratiquer toutes
ces opérations, & c’e$t en cela que con$i$te le calcul des radi-
caux ou incommen$urables que nous allons expliquer en peu
de mots. Il y a autant de radicaux qu’il y a de pui$$ances diffé-
rentes; mais pour ne point entrer dans un trop grand détail,
nous ne parlerons que des radicaux du $econd degré, auxquels
on ajoutera quelques exemples de radicaux du troi$ieme. Les
319. On examinera $i la quantité $oumi$e au radical n’a pas parmi $es facteurs quelque pui$$ance de même nom que le ra- dical, $oit que cette pui$$ance $oit une quantité complexe, $oit qu’elle ne $oit qu’un monome: pour reconnoître $es facteurs, il faut $çavoir décompo$er une quantité, c’e$t-à-dire trouver les autres quantités, de la multiplication de$quelles ré$ulte la grandeur donnée. Cela po$é, lor$qu’on aura trouvé un ou plu$ieurs facteurs de même pui$$ance que la racine, on en ex- traira la racine, & l’on mettra le re$te $ous le radical.
Par exemple,
320. Il e$t quelquefois à propos de compliquer un radical,
pour faciliter certaines opérations, & de faire préci$ément l’in-
ver$e de ce que nous venons d’en$eigner, c’e$t-à-dire de faire
pa$$er $ous le radical une quantité qui e$t hors du même $igne:
voici comme cela $e pratique. On éleve la quantité qui e$t hors
du $igne, à la pui$$ance marquée par l’expo$ant du radical, &
on multiplie cette pui$$ance par les quantités $oumi$es au mê-
me $igne. Il e$t ai$é de voir que cette nouvelle expre$$ion n’e$t
différente de la premiere qu’en apparence, & non en valeur;
car la quantité élevée à la pui$$ance du radical & $oumi$e au
même radical, ne vaut que la racine de cette même quantité:
ain$i _a_
321. On peut multiplier ou divi$er l’expo$ant d’un radical
$ans en changer la valeur: pour cela, il faut élever la quantité
qui e$t $ous ce $igne à la pui$$ance marquée par le nombre qui
multiplie l’expo$ant du radical, ou tirer de la quantité qui e$t
$oumi$e au même radical, la racine marquée par le divi$eur;
ce qui $e peut faire en deux manieres, ou bien en indiquant
cette racine par de nouveaux $ignes radicaux, ou bien en di-
vi$ant les expo$ans des quantités qui $ont $ous le $igne, par le
nombre qui doit divi$er l’expo$ant du radical: car on a vu
qu’en divi$ant ain$i les expo$ans par des nombres, c’e$t prendre
la racine marquée par ce même nombre (art. 142). D’ailleurs
$i l’on multiplie ou $i l’on divi$e, il e$t évident que la quan-
tité propo$ée reçoit autant par l’élévation de la quantité $ou-
mi$e au radical, à la pui$$ance marquée par le multiplicateur
de l’expo$ant du radical; que la racine que l’on prend en$uite
diminue par la multiplication du même expo$ant, & récipro-
quement lor$que l’on divi$e les expo$ans des quantités qui $ont
$ous le $igne radical, on diminue ces grandeurs de la quan-
tité dont elles ont été augmentées par la divi$ion de l’expo$ant
du radical. Des exemples éclairciront tout ceci. Si l’on a
322. On tire delà la méthode de réduire plu$ieurs radicaux
à la même dénomination $ans changer leurs valeurs, c’e$t-à-dire
de donner à deux radicaux différens un même $igne. Par exem-
ple, $i l’on me donne ces deux incommen$urables
323. On ajoutera les radicaux, en les joignant avec leurs
$ignes tels qu’ils $ont, & ob$ervant de les réduire avant de
faire l’addition. De plus, $i les radicaux $ont les mêmes de part
& d’autre, il $uffira d’ajouter les quantités qui précédent le
$igne radical, & d’en multiplier la $omme par le même radical:
$uivant cette regle, la $omme de _a_
324. La Sou$traction des radicaux $e fait de même que celle
des autres quantités algébriques, en changeant le $igne + en
-, & le $igne - en + de la quantité que l’on veut $ou$traire,
ob$ervant de $implifier auparavant les radicaux propo$és, &
de multiplier la différence par le même radical, en cas qu’il
$oit commun aux deux radicaux. Par exemple, la différence
de _a_
325. On peut multiplier un radical par un entier, par une fraction, ou par un autre radical; ce qui fait trois cas parti- culiers, qui n’ont aucune difficulté.
326. Pour multiplier un radical par un entier, s’il a déja
quelque grandeur qui le précéde, on multipliera cette quan-
tité qui e$t hors du radical par l’entier propo$é. Par exemple,
le produit de _a_
327. Pour multiplier un radical par une $raction, on mul-
tipliera la quantité qui e$t hors du $igne par la fraction pro-
po$ée, & la multiplication $era faite. Si le radical n’avoit
d’autre coefficient que l’unité, & qu’on jugeât à propos de ne
point lui en donner, il faudroit élever la fraction à la pui$-
$ance marquée par l’expo$ant du radical, & multiplier le nu-
mérateur de la nouvelle fraction par la quantité $oumi$e au
radical. Ain$i pour multiplier le radical _f_
328. Si le multiplicateur e$t au$$i un radical de même ex-
po$ant que celui du multiplicande, on multipliera les quan-
tités $oumi$es au même radical les unes par les autres, $uivant
les regles ordinaires, & on donnera au produit le $igne du
multiplicande ou du multiplicateur, ob$ervant de multiplier
les quantités qui précédent les radicaux les unes par les autres,
& de tirer hors du nouveau radical les pui$$ances de même
nom, que la multiplication auroit pu produire. Par exemple,
_a_
329. Si le radical n’a pas le même expo$ant, on commen-
cera par les y réduire (art. 321), & l’on fera la multiplication
comme dans le cas précédent. Par exemple, pour multiplier
_a_
Si l’on avoit des radicaux complexes à multiplier par des radicaux monomes ou complexes, la multiplication s’en fe- roit, en $uivant les mêmes regles, & celles de la multiplication des polynomes.
330. On peut divi$er un radical par un entier ou par une fraction, ou par un autre radical: toutes ces opérations $ont les inver$es des précédentes; c’e$t pourquoi nous ne nous y arrêterons pas long-tems.
331. Pour divi$er un radical par un entier, on divi$era le
coefficient par l’entier propo$é: ain$i pour divi$er _a_
332. Pour divi$er un radical par une fraction, on multipliera
le coefficient du radical par la fraction inver$e, à moins que
l’on ne voulût faire pa$$er le divi$eur $ous le $igne radical;
auquel cas il faudroit multiplier ce qui e$t $ous le radical par
le quarré de la fraction inver$e. Suivant ces regles, le quo-
tient de _a_
Pour divi$er un radical par un autre, on divi$era les coeffi-
cients & les radicaux l’un par l’autre, en ob$ervant d’effacer
le radical, lor$qu’il e$t commun au divi$eur & au dividende.
Ain$i _a_
333. Pour élever un radical à une pui$$ance propo$ée, il
faut élever à cette pui$$ance les quantités qui précédent le ra-
dical, & celles qui lui $ont $oumi$es, ou bien divi$er l’expo-
$ant du radical par l’expo$ant de la pui$$ance à laquelle on veut
élever ce radical: ain$i le cube de _a_
334. Pour tirer la racine d’un radical, il n’y aura qu’à tirer
la racine de ce qui précéde ce radical, & multiplier l’expo$ant
du $igne radical par l’expo$ant de la racine propo$ée; car pui$-
que nous venons de voir que la formation des pui$$ances de
ces quantités $e fait par la divi$ion des expo$ans, par celui de
la pui$$ance; dans l’extraction des racines, il faut faire le con-
traire: ain$i la racine cubique de _a<_>3_
335. Il faut bien remarquer que toutes les opérations que l’on fait $ur les radicaux peuvent $e faire d’une autre maniere, en cherchant la quantité exponentielle égale au radical pro- po$é: car nous avons démontré (art. 141 & $uivans) qu’il n’y a point de radical qu’on ne pui$$e convertir en quantité expo- nentielle & réciproquement.
Les Commençans confondent quelquefois les racines ima-
ginaires avecles grandeurs incommen$urables; il y a une diffé-
rence totale entre les unes & les autres. On peut déterminer
par la Géométrie la grandeur ab$olue des quantités incom-
men$urables, quoiqu’on ne pui$$e pas déterminer en nombres
leurs rapports avec l’unité, au lieu que l’on ne peut connoître
ce que $ignifient les imaginaires; car on ne connoît point de
racine qui pui$$e donner un quarré négatif: c’e$t ce qui a fait
regarder ces quantités comme ab$olument impo$$ibles, & com-
me ab$urdes les équations ou problêmes qui ne donnent que
de pareilles $olutions. Mais on a reconnu que l’on ne doit
Soit propo$é de ré$oudre cette équation du $econd degré,
_xx_ - 4_x_ + 12 = 0. On trouvera, en $uivant les regles ordinaires,
_x_ = 2 ±
Il faut encore remarquer que dans une équation quelconque, délivrée de tout $igne radical, les racines imaginaires ne peu- vent être qu’en nombre pair. Ain$i dans une équation du $e- cond degré, les racines $ont toujours toutes les deux vraies, ou toutes deux imaginaires.
Je me borne à ces exemples $ur la maniere de ré$oudre les équations du $econd degré, afin d’en faciliter l’u$age qui e$t fort fréquent dans les que$tions Mathématiques. L’on trouvera vers la fin de ce volume ce qui appartient à celles du troi$ieme & du quatrieme degré, quoiqu’elle ne $oient pas au$$i ab$olu- ment néce$$aires que celles-ci.
336. L
337. L’_angle_ e$t l’inclinai$on d’une ligne $ur une autre: on
l’appelle _angle rectiligne_, lor$que les deux lignes qui le forment
$ont droites, comme l’angle A B C; il e$t appellé _curviligne;_
338. Les lignes droites ou courbes, dont l’inclinai$on re$-
pective fait un angle quelconque, $ont appellées _côtés de l’an-_
_gle_. Le point où ces deux lignes $e rencontrent mutuellement,
339. L’_angle droit_ e$t celui qui e$t formé par la rencontre de
deux lignes perpendiculaires l’une à l’autre, comme les an-
gles A B C ou A B D.
340. L’_angle oblique_ e$t celui qui $e fait par la rencontre de
deux lignes qui ne $ont pas perpendiculaires l’une à l’autre, &
que l’on appelle pour cette rai$on des lignes _obliques_, comme
$ont les lignes I H & L K. Il y a deux $ortes d’angles obliques,
341. L’_angle aigu_ e$t celui qui e$t plus petit, ou moins ou-
vert qu’un droit, comme l’angle H I K; & l’angle obtus e$t
342. Le _cercle_ e$t une $urface plane, terminée par une $eule
343. Le _diametre d’un cercle_ e$t une ligne droite qui pa$$e
344. On appelle _arc de cercle_ une partie de la circonférence plus petite ou plus grande que la demi-circonférence.
345. Les Mathématiciens ont divi$é la circonférence du cercle en 360 parties égales, qu’ils ont appellées _degrés_, & cha- que degré en 60 autres parties égales, qu’ils ont appellées _mi_- _nutes_, dont chacune a été encore divi$ée en 60 autres parties égales, nommées _$econdes_. Ces divi$ions ont été imaginées par- ticuliérement pour me$urer les angles, & déterminer plus exac- tement les rapports qu’ils ont entr’eux. Il ne faut pas s’ima- giner que degré $oit une grandeur fixe & ab$olue, mais au contraire c’e$t une quantité variable, $elon les différens cer- cles, quoique con$tamment la même, par rapport à chacun en particulier, dont chaque degré e$t la 360<_>e partie: d’où il e$t ai$é de conclure qu’un grand cercle a des degrés plus grands que ceux d’un petit: il en e$t de même des minutes, des $e- condes & des tierces, &c.
346. La _me$ure d’un angle_ e$t un arc de cercle décrit à vo-
lonté de $a pointe, & terminé par $es côtés: ain$i l’on con-
noît que la me$ure de l’angle A B C e$t l’arc A C; de $orte
_347._ D’un point _A_ donné hors d’une ligne _B C_ $ur le même
Pour tirer du point donné A une perpendiculaire $ur la ligne B C, décrivez du point A, comme centre, un arc de cercle qui vienne couper la ligne donnée dans les points B & C; en$uite de ces points & d’une même ouverture de compas, moindre que A B, décrivez deux arcs de cercle qui $e coupe- ront en un point E, par lequel & par le point A, fai$ant pa$$er une droite A E D, cette ligne $era la perpendiculaire demandée. Pour le prouver, con$idérez que par la con$truction, les li- gnes A B & A C $ont égales, étant rayons d’un même cercle, & que les lignes E B & E C le $ont au$$i, par la même rai$on; ce qui fait voir que la ligne A D e$t perpendiculaire $ur la ligne B C, pui$qu’elle n’e$t pas plus inclinée d’un côté que de l’autre.
_348._ D’un point _A_ donné $ur une ligne _B C_, élever une droite
Pour élever une perpendiculaire $ur la ligne B C au point
donné A, prenez deux points B & C également éloignés de A;
_349._ Divi$er une ligne donnée en deux parties égales.
Pour divi$er une ligne, telle que A B, en deux parties égales, décrivez des extrêmités A & B comme centres, avec une même ouverture de compas, deux arcs de cercle qui $e cou- pent aux points C & D; tirez par ces deux points la ligne C D, qui la coupera en deux également au point E.
Pui$que la ligne C D a deux points C, D, également éloi- gnés des extrêmités de la ligne A B, tous $es points $eront éga- lement éloignés des mêmes extrêmités A & B: donc le point E, qui e$t un des points de la ligne C D & de la ligne A B, e$t au$$i à égale di$tance de A & de B: donc il e$t le milieu de cette ligne. C. Q. F. T.
_350._ D’un même point $ur une ligne donnée, on ne peut élever
Si du point C de la ligne A B, on a élevé la ligne C E per-
pendiculaire à cette ligne, il e$t vi$ible que $i on vouloit en
élever une autre, telle que C D, qui pa$$ât par le même point
C, on ne le pourroit faire, $ans que cette ligne ne $oit plus in-
clinée d’un côté que d’un autre, comme ici plus vers A que
vers B; & comme ce $eroit agir contre la définition des lignes
perpendiculaires, il s’en$uit qu’on n’en peut élever qu’une d’un
même point $ur une même ligne. D’ailleurs $i cette ligne, outre
_351._ D’un point _A_ donné hors d’une ligne _D E_, on ne peut
Si du point A l’on a mené à la ligne D E la perpendicu- laire A B, & que les points D, E $oient également éloignés du point A, il e$t certain que le point B, où la perpendiculaire A B rencontre la ligne D E, $era au$$i également éloigné des ex- trêmités D, E de la même droite. Mais comme on ne peut tirer du point A à la ligne D E aucune ligne, telle que A C, diffé- rente de A B, $ans que le point C ne $oit à droite ou à gauche du milieu B, il s’en$uit que les points D, E ne $eront pas éga- lement éloignés du point C; & par con$équent que la ligne A C ne $era point perpendiculaire $ur D E. C. Q. F. D.
_352._ Une ligne perpendiculaire e$t la plus courte de toutes les
Si l’on a mené du point D la ligne D C perpendiculaire à la ligne A B, je dis que cette ligne e$t la plus courte de toutes celles que l’on peut mener du point D à la même ligne A B, comme la ligne D F.
Pour le prouver, $oit prolongée la perpendiculaire D C ju$-
qu’en E, au delà de la ligne A B, par rapport au point D, en-
$orte que C E = C D, & $oit tirée la ligne E F, la ligne D E
$era certainement plus courte que la ligne D F E: car, $elon la
définition de la ligne droite, elle e$t la plus courte de toutes
celles que l’on peut mener du point D au point E. D’ailleurs,
On pourroit pré$entement regarder ce théorême comme une définition de la ligne perpendiculaire à une autre, pui$- que cette propriété e$t une des plus importantes, & de laquelle on peut déduire les autres.
_353_. Lor$que deux lignes droites $e coupent, elles forment les
Soient deux lignes droites quelconques A B, C D, qui $e coupent dans un point E, & forment par leur rencontre ou inter$ection mutuelle, les angles B E D, A E C, que l’on ap- pelle _oppo$és au $ommet_, parce qu’ils ont effectivement leur $ommet au même point E, l’un d’un côté, l’autre de l’autre, je dis que ces angles $ont égaux. Pour le prouver, du point E comme centre, avec un rayon quelconque E B, je décris une portion de circonférence qui coupe les lignes A B, C D aux points A, C, D, B. Cela po$é, pui$que le centre du cercle e$t au point d’inter$ection des deux lignes, il e$t dans l’une & dans l’autre: donc chaque ligne A B, C D e$t à un diametre du cercle, & les arcs A D B, D A C $eront chacuns égaux à la demi-circonférence; ce qui donne A D B = D A C, & ôtant de part & d’autre l’arc A D commun, on aura l’arc D B = A C; mais ces arcs $ont la me$ure des angles A F C, D E B: donc au$$i les angles oppo$és au $ommet, formés par les droites A B, C D, $ont égaux. C. Q. F. D.
_354_. Lor$que deux lignes droites _A B, C D_, paralleles en-
Pour démontrer que les deux paralleles A B, C D qui vien- nent tomber $ur la ligne E F, forment $ur cette ligne d’un même côté les angles égaux A B F, C D F, con$idérez que l’angle n’étant autre cho$e que l’inclinai$on d’une ligne $ur une autre (art. 337), l’égalité de ces inclinai$ons fera l’égalité des angles, & que les lignes AB, CD ne peuvent être paralleles comme on le $uppo$e, qu’elles ne $oient également inclinées $ur la ligne E F; autrement elles concourroient en quelque point: donc l’angle A B F e$t égal à l’angle C D E, pui$que la ligne A B e$t autant inclinée $ur E F que la ligne C D. C. Q. F. D.
_355_. Lor$qu’une droite E F coupe deux paralleles A B, C D,
_356_. Les angles, tels que B G H, D H G, A G H, C H G, $ont appellés angles _internes_ ou _intérieurs du même côté_.
_357_. Les angles B G E, D H F, ou A G E, C H F $ont ap- pellés angles _externes_ ou _extérieurs du même côté_.
_358_. Les angles, tels que A G E, D H F, pris, l’un à droite, & l’autre à gauche, au dehors des paralleles A B, C D, $ont nommés _alternes externes_, de même que les angles E G B, C H F.
_359_. Les angles intérieurs, comme A G H, D H G, pris, l’un à droite & l’autre à gauche, de la $écante E F, $ont appellés angles _alternes internes_, ain$i que les angles B G H, C H G.
_360_. Si deux lignes droites _A B, C D_ paralleles entr’elles, $ont
1<_>0. Il faut démontrer que l’angle externe E G B e$t égal à $on alterne C H F. Pui$que les droites A B, C D $ont paral- leles, elles $ont également inclinées d’un même côté $ur la $é- cante E F (art. 354); ain$i l’on aura l’angle E G B égal à l’an- gle G H D, mais G H D e$t égal à l’angle C H F, qui lui e$t oppo$é au $ommet (art. 353): donc E G B = C H F. On dé- montrera de même que l’angle A G E e$t égal à $on alterne D H F; que l’angle interne A G H e$t égal à $on alterne G H D, & que l’angle interne B G H e$t égal à $on alterne C H E. C. Q. F. 1<_>0. D.
2<_>0. Les angles internes B G H, D H G pris d’un même côté de la $écante E F, ou les externes B G E, D H F pris d’un mê- me côté, $ont en$emble égaux à deux droits. Pui$que les droites A B, C D $ont paralleles, les angles B G E, D H G qu’elles for- ment d’un même côté avec la $écante E F $ont égaux entr’eux, ain$i que les angles B G H, D H F; mais (art. 341.) B G E + B G H e$t égal à deux droits: donc au$$i D H G + B G H e$t égal à deux droits.
On démontrera de même que les angles externes B G E + D H F pris en$emble valent deux droits, ou que les angles in- ternes A G H + C H G, & les externes du même côté A G E, C H F $ont en$emble égaux à deux droits. C. Q. F. 2<_>0. D.
_361_. Suppo$ant toujours une droite _E F_ qui coupe deux autres lignes droites _A B, C D_, je dis que ces lignes $eront paralleles, $i les angles alternes internes, ou alternes externes $ont égaux, ou bien, $i les angles internes ou externes d’un même côté valent en- $emble deux droits.
1<_>0. Par _hypothe$e_, l’angle interne D H G e$t égal à $on al- terne A G H, & (art. 353.) A G H = B G E qui lui e$t op- po$é au $ommet: donc on aura l’angle D H G égal à l’angle B G E; ain$i les droites A B, C D $ont parelleles, pui$qu’elles forment des angles égaux d’un même côté avec la $écante E F.
On démontrera de même que ces droites $ont paralleles, en $e $ervant des angles alternes internes égaux B G H, C H G, ou des angles alternes externes égaux E G B, C H F; A G E, D H F. C. Q. F. 1<_>0. D.
2<_>0. Par _hypothe$e_, les angles internes D H G, B G H pris du même côté de la $écante E F valent en$emble deux droits, & (art. 341.) les angles B G H & B G E de $uite, pris en$em- ble, valent au$$i deux droits: donc on aura D H G + B G H = B G H + B G E, & ôtant de chaque membre B G H, on aura D H G = B G E; ce qui montre que les lignes A B, C D font des angles égaux d’un même côté $ur la $écante E F: donc ces mêmes lignes $ont paralleles. C. Q. F. 2<_>0. D.
_362_. Une ligne _A B_ & un point _H_ $ur le même plan étant donnés, on propo$e de mener par ce point _H_ une ligne parallele à la ligne _A B_.
Par le point Hon menera une droite quelconque H G, qui coupe> la droite A B donnée dans un point G; on prendra la me$ure de l’angle K G H, en décrivant une portion de cercle du rayon G H; en$uite du point H comme centre avec le mê- me rayon, on décrira un arc de cercle indéfini, $ur lequel on prendra l’arc G M égal à l’arc H K, & la ligne H M $era la parallele demandée; car pui$que les arcs de cercles $ont égaux, les angles, dont ils $ont la me$ure, $ont au$$i égaux, l’angle A G H $era donc égal à $on alterne G H M: donc par la pro- po$ition précédente les lignes A B, M H $ont paralleles. C. Q. F. T. & D.
Il faut remarquer que l’on pourra toujours de la même ma- niere faire avec une ligne donnée, un angle égal à un autre angle donné.
_363_. Trois points _A, D, B_ étant donnés $ur le même plan,
On menera par ces points les droites A B, D B, $ur le mi- lieu de la droite A B, on élevera la perpendiculaire indéfinie E C; $ur le milieu de B D, on élevera pareillement la droite F C perpendiculaire à B D, qui coupera la premiere au point C; je dis que ce point $era le centre du cercle qui pa$$e par les points A, B, D.
Le point C, en tant qu’il appartient à la ligne E C perpendi- culaire à A B, e$t également éloigné des extrêmités A & B, pui$- que cette ligne divi$e A B en deux également, par con$truction; de même en tant qu’il appartient à la droite E F perpendiculaire à B D, <007>l e$t au$$i également éloigné des extrêmités B, D de la droite B D, par la même rai$on: donc il e$t également éloi- gné des trois points A, B, D: donc il e$t le centre du cercle qui pa$$e par les mêmes points. C. Q. F. T. & D.
364. Si les points A, B, D étoient di$po$és de maniere que les perpendiculaires F C, E C $e trouva$$ent paralleles, le rayon du cercle $eroit in$ini; ain$i l’on peut conclure delà qu’un cer- cle ne peut pas avoir trois points $ur une ligne droite, à moins que la ligne droite $ur laquelle $e trouvent les trois points ne $oit infiniment petite par rapport au rayon, comme il arrive ici, auquel cas cette ligne devient un des côtés du cercle, que l’on peut regarder comme un polygone d’une infinité de côtés. Je dis, que dans notre $uppo$ition les trois points $ont $ur une même ligne’droite; car il e$t vi$ible que les perpendiculaires E C, F C ne peuvent être paralleles qu’autant que les droites A B, B D formeront une même ligne droite.
365. _F
366. On con$idere le triangle par rapport à $es côtés, ou par rapport à $es angles. Si le triangle a $es trois côtés égaux, on l’appelle _équilatéral_, s’il n’a que deux côtés égaux, il e$t appellé _i$o$cele_, & _$calene_, s’il a les trois côtés inégaux; ce qui fait trois $ortes de triangles.
Le triangle con$idéré par rapport à $es angles, e$t encore de trois $ortes: on l’appelle _rectangle_ s’il a un angle droit, _obtus-_ _angle_, ou _amblygone_ s’il a un angle obtus, _acutangle_ ou _oxygone_ s’il a $es trois angles aigus ou moindres qu’un droit; d’où il $uit qu’il y a $ix $ortes de triangles en tout.
367. La _ba$e_ d’un triangle e$t le côté de ce triangle, $ur
lequel on a abai$$é une perpendiculaire de l’angle oppo$é. On
appelle cette perpendiculaire la _hauteur_ du triangle: ain$i l’on
voit ai$ément, $uivant ces définitions, que la ba$e du trian-
gle A C B e$t la ligne A B, & que $a hauteur e$t E D. Si les
368. On appelle _trapeze_ un quadrilatere qui n’a aucun de $es côtés paralleles, comme G.
369. _Trapezoïde_ e$t un quadrilatere qui a deux de $es côtés oppo$és paralleles, comme H.
370. _Parallelogramme_ e$t une figure quadrilatere, dont les côtés oppo$és $ont égaux & paralleles, comme E F.
371. _Diagonale_ e$t une ligne droite, comme C D, tirée dans un parallelogramme ou un rectangle d’un angle quel- conque C à celui D qui lui e$t oppo$é.
372. Si par un point quelconque A de la diagonale C D, on mene une ligne B A G parallele à E D, & une autre H I parallele à D F, l’on aura deux parallelogrammes A E, A F, que l’on appellera complémens du parallelogramme E F.
373. L’angle extérieur _B D C_ d’un triangle _A B D_ e$t égal aux
Pour prouver que l’angle extérieur B D C e$t égal aux deux
2<_>0. Je dis que les trois angles du triangle A B D, pris en$em- ble, valent deux droits: car la ligne B D tombant obliquement $ur la droite A C, forme deux angles de $uite B D A, B D C, qui pris en$emble, valent deux droits. Mais nous venons de voir que l’angle extérieur B D C e$t égal à la $omme des inté- rieurs B A D + A B D; on aura donc en leur ajoutant l’angle B D A, B A D + A B D + B D A = B D C + B D A = deux droits. C. Q. F. 2<_>0. D.
374. Il $uit delà que la $omme des angles d’un polygone
quelconque vaut toujours autant de fois deux angles droits
moins quatre, que le polygone a de côtés. Soit le quadrilatere
375. Donc la $omme des angles extérieurs d’un polygone
quelconque ne vaut que quatre droits: car tous les angles ex-
térieurs $ont $upplémens des angles intérieurs; ain$i la $omme
des uns & des autres vaut deux fois autant deux angles droits
que le polygone a de côtés, & les mêmes angles intérieurs avec
les angles autour du point G font la même $omme: donc les
angles extérieurs $ont égaux à la $omme des angles autour du
376. Il $uit de cette propo$ition, que connoi$$ant deux an-
gles dans un triangle, on pourra connoître le troi$ieme, en
$ou$trayant la $omme des deux angles connus de la valeur de
deux angles droits, & la différence $era la valeur de l’angle
inconnu. Ain$i connoi$$ant dans le triangle E D F l’angle E
377. Il $uit encore delà, que $i deux triangles ont deux an- gles égaux chacun à chacun, le troi$ieme du premier triangle $era égal au troi$ieme du $econd: car $i l’angle A e$t égal à l’angle D, l’angle C à l’angle F, il e$t certain qu’il manquera autant de degrés à la $omme des deux angles A & C pour va- loir deux droits, qu’à la $omme des deux angles D & F pour valoir au$$i deux droits, & ces différences égales ne $ont autre cho$e chacune, que la valeur du troi$ieme angle; d’où il $uit que l’angle B $era égal à l’angle E.
378. Deux triangles $ont dits être _parfaitement égaux_, Ior$- qu’ils ont les trois angles & les trois côtés égaux chacun à chacun; & _$implement égaux_, lor$qu’ils ont une égale $uper- ficie compri$e $ous des côtés in égaux.
379. Deux triangles $ont parfaitement égaux, lor$que les trois côtés du premier $ont égaux aux trois côtés du $econd.
Pour démontrer que le triangle G, dont on $uppo$e les côtés
380. On verra par la $uite que les trois angles d’un triangle peuvent être égaux chacun à chacun aux trois angles d’un au- tre triangle, $ans qu’il y ait aucune égalité entre ces deux triangles: ain$i de ce que l’égalité des côtés emporte avec elle l’égalité des angles, il ne faut pas conclure que l’égalité des angles emporte celle des côtés. De plus, il e$t bon d’avertir que le triangle e$t le $eul de toutes les figures qui ait cette pro- priété. Par exemple, deux quadrilateres peuvent avoir les côtés égaux chacun à chacun, $ans avoir leurs angles égaux ou leurs $uperficies; & par con$équent $ans être parfaitement égaux.
381. Deux triangles _G, H_ $ont égaux en tout, lor$qu’ils ont
Pour démontrer que le triangle G e$t égal au triangle H, $i le côté B A e$t égal au côté D E, le côté B C égal au côté E F, & l’angle B égal à l’angle E, imaginons que le côté D E e$t appliqué $ur le côté A B: comme ces deux côtés $ont égaux, par hypothe$e, en mettant le point E $ur le point B, le point D tombera $ur le point A; & parce que l’angle E e$t égal à l’angle B, le côté E F tombera $ur le côté B C, & le point F $ur le point C, pui$que B C = E F: doncle côté D F tombera $ur le côté A C; ce qui montre que les deux triangles con- viennent parfaitement: donc ils $ont parfaitement égaux. C. Q. F. D.
382. _Deux triangles_ A B C, D E F _$ont parfaitement égaux_, _lor$qu’ils ont un côté_ A C _égal au côté_ D F, _avec les angles en_ A _& en_ C _égaux aux angles en_ D _& en_ F _chacun à chacun_.
Si le côté A C du triangle G e$t égal au côté D F du trian-
_383._ Deux parallelogrammes _A B D C, E B D F_ $ont égaux,
Il e$t ai$é de voir que les triangles A B E, C D F $ont égaux
384. Il $uit de la propo$ition précédente, que les parallelo-
grammes qui ont des ba$es égales, & qui $ont renfermés entre
les mêmes paralleles, $ont égaux: car pour prouver que le pa-
rallelogramme A D e$t égal au parallelogramme G F; $i les
385. _Deux triangles_ B C D, B F D _$ont égaux, lor$qu’ayant_
Par le point D, $oit menée la ligne D A parallele au côté
C B, & la ligne D E parallele au côté B F, on aura deux pa-
rallelogrammes A B, B E, qui $eront égaux entr’eux, pui$-
qu’ils ont même ba$e, & qu’ils $ont compris entre paralleles;
d’ailleurs ces parallelogrammes $ont doubles des triangles
386. Il $uit de cette propo$ition, que $i un parallelogramme
387. Comme le triangle B A C e$t égal au triangle A E C, il e$t con$tant qu’ayant la même ba$e, ils doivent avoir la même hauteur; & comme la hauteur du premier e$t la per- pendiculaire B A, la hauteur du $econd $era au$$i la même per- pendiculaire B A, ou $a parallele E F, abai$$ée de l’angle E $ur la ba$e A C prolongée; ce qui fait voir que la hauteur d’un triangle incliné e$t la perpendiculaire abai$$ée de $on $ommet $ur le prolongement de $a ba$e. Ce $era la même cho$e pour les parallelogrammes inclinés.
388. Un triangle A B C étant la moitié d’un parallelo-
389. Si l’on con$idere qu’un triangle A B C e$t compo$é
d’une infinité de lignes paralleles, qui en $ont les élémens,
& que toutes ces lignes étant également éloignées $e $urpa$-
$ent de la même quantité, on verra qu’elles compo$ent une
Il faut s’attacher à bien comprendre ce corollaire, parce que nous en $ervirons utilement dans la $uite.
_390._ Les complémens _A E, A F_ d’un parallelogramme _E F_ $ont
Pour prouver que les complémens A E & A F du parallelo- gramme E F $ont égaux, con$idérez que le parallelogramme E F e$t divi$é en deux triangles égaux D E C, D F C, de même que les parallelogrammes B I, G H, formés $ur les par- ties A D, A C de la diagonale C D: donc $i l’on retranche du triangle D E C les triangles A D H, A B C, & de $on égal D C F les triangles égaux corre$pondans A D G, A I C, il re$tera d’une part le complément A E égal au complément A F. C. Q. F. D.
_391._ Les parallelogrammes, qui ont même hauteur, $ont en- tr’eux comme leurs ba$es.
Je dis que $i les parallelogrammes E F ont même hauteur,
392. Il $uit de cette propo$ition, que $i deux triangles A B C,
393. _Si l’on coupe les deux côtés_ A B, A C _d’un triangle_ B A C
Pour démontrer cette propo$ition, $oient tirées les lignes B E, D C. Cela po$é, il e$t évident que les triangles D B E, D C E $ont égaux, pui$qu’ils ont même ba$e D E, & qu’ils $ont compris entre paralleles. Mais les triangles A D E & D E B ayant même $ommet, $ont entr’eux comme leurs ba$es (art. 392); ain$i que le même triangle A D E, & le triangle C D E qui ont au$$i même $ommet en D.
On aura donc A D : D B :: A D E : D E B; & parce que D E B = D C E . . . A D E : D E B :: A D E : D C E :: A E : E C; & comme la $uite des rapports égaux n’e$t pas interrompue, on en concluera que A D : D B :: A E : E C, c’e$t-à-dire que les côtés A B, A C $ont coupés proportionnellement. C. Q. F. D.
394. Pui$que A D : D B :: A E : E C, on aura _componendo_ A D : A D + D B :: A E : A E + E C, ou en rédui$ant A D: A B :: A E : A C, c’e$t-à-dire que les côtés A B, A C $ont pro- portionnels à leurs parties A D, A E.
395. Il $uit delà que deux triangles $ont égaux, lor$qu’ils ont un angle égal compris entre côtés réciproques, c’e$t-à- dire que les côtés de l’un $ont les extrêmes d’une proportion, dont les côtés de l’autre $ont les moyens : car $i aux triangles égaux D B E, D C E, on ajoute le même triangle A D E, on aura deux nouveaux triangles égaux en $uperficie A D C, A E B, qui ont un angle en A commun, & par con$équent égal; d’ailleurs, par le corollaire précédent, on a A D : A B :: A E : A C, où l’on voit que les côtés A D, A C du triangle A D C $ont les extrêmes, tandis que les côtés A B, A E du triangle B A E $ont les moyens. Comme les parallelogrammes $ont doubles des triangles, il $uit encore des deux articles précédens, que deux parallelogrammes $ont égaux, lor$qu’ils ont un angle égal compris entre côtés réciproques.
396. Si par le point E on mene la ligne E F parallele au côté A B, les côtés A C, C B $eront au$$i coupés en parties propor- tionnelles, & l’on aura A C : C E :: B C : C F, & A E : A C :: B F : B C; mais à cau$e des paralleles B D, E F; B F e$t égale à D E : on aura donc A E : A C :: D E : B C, c’e$t-à-dire que les parties A C, A E $ont proportionnelles au côté B C, & à la $écante D E.
397. Deux triangles, ou en général deux figures quelcon-
ques, $ont dites être _$emblables_, lor$que tous les angles de l’une
$ont égaux aux angles de l’autre, & que les côtés oppo$és aux
angles égaux $ont proportionnels. Par exemple, les deux trian-
M N $eront $emblables, $i l’on a l’angle A égal à l’angle D,
398. Il faut bien remarquer que le triangle e$t le $eul de
toutes les figures qui pui$$e être $emblable à un autre, ayant
$es trois angles égaux chacun à chacun, ou $es côtés propor-
tionnels; en$orte que l’une de ces conditions emporte l’autre,
au lieu que dans une figure, tous les côtés peuvent être pro-
399. Deux triangles _A B C, D E F_ $ont $emblables, lor$que les trois côtés _A B, B C, A C_ du premier $ont proportionnels aux trois côtés _D E, E F, D F_ du $econd.
Pour démontrer cette propo$ition, il n’y a qu’à faire voir que les angles A, B, C du premier triangles $ont égaux aux an- gles D, E, F du $econd, oppo$és aux côtés proportionnels à ceux du triangle A B C : pour cela, $ur le côté A B propor- tionnel au côté D E du triangle D E F, $oit pri$e la ligne B G égale à D E, & $oit menée par ce point la parallele G K au côté A C, on aura (art. 393.) A B: B G :: B C : B K = {BG x BC/AB}= {D E x B C/A B}, pui$que par con$truction D E = B G: mais par hy- pothe$e, pui$que les trois côtés du premier triangle $ont pro- portionnels aux trois côtés du $econd, A B : D E :: B C : E F = {D E x B C/A B}; d’où il $uit que le triangle B G K a le côté B K égal au côté E F du triangle D E F: on démontrera de même, que ce même triangle B G K a au$$i le côté G K égal au côté D F du triangle D E F: donc ces triangles $ont parfaitement égaux, pui$qu’ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun (art. 378) : donc les angles en D & en F $ont égaux aux an- gles en G & en K, ou aux angles en A & en C, à cau$e des paralleles : donc le triangle D E F e$t $emblable au triangle A B C. C. Q. F. D.
400. Réciproquement $i deux triangles $ont $emblables, ils auront les côtés proportionnels; car s’ils étoient $emblables $ans avoir les côtés proportionnels, la propo$ition que nous venons de démontrer $eroit fau$$e; ce qui ne peut arriver.
_401._ Deux triangles _A B C, D E F_ $ont $emblables, lor$qu’ils ont un angle égal compris entre côtés proportionnels.
Suppo$ons que l’angle E du triangle D E F e$t égal à l’angle B du triangle A B C, & que l’on a A B : B C :: D E : E F, il faut démontrer que les angles en A & en C $eront égaux aux angles en D & en F, & que l’on aura A B : A C :: D E : D F. Soit pris $ur le côté A B la ligne B G égale à D E, & la ligne B K égale à E F, à cau$e de l’angle en B, $uppo$é égal à l’angle en E, le triangle B G K $era parfaitement égal au triangle E D F (art. 381): donc G K e$t égal à D F, & l’angle D e$t égal à l’angle G, de même que l’angle K à l’angle F. De plus les côtés B A, B C $ont coupés proportionnellement par la ligne G K : donc la ligne G K e$t parallele à la ba$e A C, & le triangle B G K e$t $emblable au triangle B A C : donc on aura A B : B G :: A C : G K, ou A B : D E :: A C : D F, ou _alternando_ A B : A C :: D E : D F. D’où il $uit que les angles du triangle D E F $ont égaux aux angles du triangle A B C; d’ailleurs les côtés oppo$és à ces angles $ont proportionnels à ceux qui $ont oppo$és aux mêmes angles dans le triangle A B C: doncle triangle D E F e$t $emblable au triangle A B C. C. Q. F. D.
_402._ Deux triangles _A B C, D E F_ $ont $emblables, lor$que deux angles de l’un $ont égaux aux deux angles de l’autre.
Suppo$ons que l’angle A e$t égal à l’angle D, & que l’angle
403. Il $uit de tout ce que nous venons de voir, que lor$-
qu’on aura des triangles $emblables, on pourra toujours faire
une proportion par la comparai$on des côtés du premier aux
côtés du $econd. Par exemple, $i les triangles, M, N $ont
404. Il $uit encore que $i l’on a deux triangles $emblables, dont on connoît deux côtés dans l’un, & un côté dans l’autre, qu’on pourra trouver ce $econd côté : car $uppo$ant, par exem- ple, que dans les triangles M, N les côtés _a, b_ $oient de 12 pieds, & 8 pieds, & le côté _c_ de 9 pieds, & que l’on veuille connoître le côté _d_, il n’y aura qu’à faire une Regle de Trois, & dire 12 : 8 :: 9 : _x_ = {9 x 8/12} = 6, qui $era la valeur du côté _d_, & ain$i des autres.
405. On appelle dans des triangles $emblables, & dans toutes les autres figures, côtés _homologues_ ou _corre$pondans_, ceux qui $ont oppo$és à des angles égaux dans l’un & dans l’autre trian- gles; & l’on ne peut former de proportion qu’avec des côtés homologues, $oit dans les triangles, $oit dans les autres figures.
Les propo$itions précédentes $ont les plus importantes de la Géométrie, dont elles font la ba$e & le fondement; c’e$t pour- quoi il faut s’appliquer à les bien comprendre, $i l’on veut en- tendre les $uivantes, & faire quelque progrès dans toutes les parties des Mathématiques qui ne peuvent $e pa$$er de ces pro- po$itions.
_406._ Si de l’angle droit _B_ d’un triangle rectangle _A B C_, on
Pour démontrer que la perpendiculaire B D divi$e le triangle A B C en deux autres $emblables A B D, B D C; con$idérez que chacun de ces triangles a un angle communavec le grand trian- gle & un angle droit. L’angle A pour le triangle A B D & le triangle A B C, l’angle C au triangle B D C & au triangle A B C : donc ils $ont chacun $emblables au grand triang le, & $emblables entr’eux. C. Q. F. D.
_407._ Dans un triangle rectangle _A B C_, le quarré de l’hypo-
Soit abai$$ée de l’angle droit la perpendiculaire B D $ur la ba$e A C, $oit nommé A C, _a_, B A, _b_, B B, _c_, A D, _x;_ D C $era _a_ - _x_. Cela po$é, nous ferons voir ai$ément que A C<_>2 (_aa_) = A B<_>2 + B C<_>2 (_bb_ + _cc_).
Comme la perpendiculaire B D divi$e le triangle rectangle
en deux autres qui lui $ont $emblables, A D B, B D C, les
côtés homologues de ces triangles $eront proportionnels à
ceux du grand triangle A B C, & donneront A C (_a_) : A B (_b_) ::
A B (_b_) : A D (_x_), & A C (_a_) : C B (_c_) :: C B (_c_) : D C (_a_-_x_);
Si a$$uré que l’on $oit d’une propo$ition, l’e$prit, ou plutôt la rai$on qui veut toujours être éclairée, a encore quelque cho$e à dé$irer, lor$qu’elle ne joint pas la derniere évidence à la certitude entiere, & cette évidence e$t d’autant plus à dé$irer, que les propo$itions $ont plus importantes.
Comme celle-ci e$t une des plus belles propo$itions qu’il y ait, tous les grands Géometres $e $ont appliqués à en donner des démon$trations palpables, parmi le$quelles je regarde la $uivante comme une des plus belles & des plus claires que l’on pui$$e donner, attendu qu’elle ne $uppo$e pas d’autre principe que celui-ci, que deux triangles $ont égaux en tout, lor$qu’ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun.
Soit prolongé le côté A B en K, en$orte que l’on ait B K = B C; $oit de même prolongé le côté B C, en$orte que B L = A B. Soient achevés les quarrés $ur les côtés B C, A B, dont les côtés I K, H L, prolongés autant qu’il le faut, $e rencon- trent en G: enfin $oit menée la droite G B, & la perpendicu- laire à la ba$e B D, & con$truit le quarré A C E F $ur l’hypo- ténu$e A C.
Il e$t ai$é de voir que la droite B G e$t parallele à la droite
C E: car le triangle G B K e$t égal au triangle A B C, pui$que
G K = B L = A B, que B K = B C, & quel’angle en K e$t droit:
donc on aura G B = A C = C E: donc l’angle G B K e$t égal
à l’angle B C A, ou à l’angle A B D du triangle A B D $em-
blable au grand triangle, c’e$t-à-dire que l’angle G B K e$t
égal à $on oppo$é ou $ommet: donc les lignes G B, B D ne
font qu’une $eule ligne droite, & cette ligne G B D e$t pa-
rallele à C E, pui$que chacune e$t perpendiculaire $ur le côté
A C. G B C E $era donc un parallélogramme, ain$i que A B G F,
pui$que les lignes B C, G I $ont paralleles au$$i-bien que les li-
gnes B K, G F, & les droites A F, G D, C E. De plus ces pa-
rallélogrammes ont même ba$e que les quarrés B I, B H, &
$ont compris entre les mêmes paralleles: donc ils leur $ont
Soit prolongée la perpendiculaire BD, ju$qu’à ce qu’elle ren- contre en O le côté N M du quarré fait $ur l’hypoténu$e, qu’elle divi$era en deux rectangles D M, D N; du point B, $ommet de l’angle droit, $oient menées aux points M, N les droites B M, B N, & par les points A, C aux points I, H les lignes A I, C H, on aura quatre triangles A C I, BCM; C A H, B A N, qui $eront parfaitement égaux deux à deux: car l’an- gle A C I du premier e$t égal à l’angle B C M du $econd, pui$- que chacun e$t la $omme d’un angle droit & de l’angle com- mun B C D. De plus, le côté C I du premier e$t égal au côté B C du $econd, pui$que ce $ont les côtés d’un même quarré, & le côté A C du triangle A C I e$t, par la même rai$on, égal au côté C M: donc ces triangles $ont parfaitement égaux, pui$- qu’ils ont un angle égal, compris entre côtés égaux chacun à chacun (art. 381): donc les rectangles A D N O, D C M O, dont ces triangles $ont les moitiés, $eront au$$i égaux. Or il e$t vi$ible que le triangle A C I e$t moitié du quarré fait $ur B C, pui$qu’ils ont même ba$e C I, & qu’ils $ont compris en- tre paralleles A K, C I. Il e$t encore évident que le triangle B C M e$t moitié du rectangle D M, pui$qu’ils ont même ba$e B M, & $ont compris entre les mêmes paralleles B M, B D O: donc le quarré fait $ur B C e$t égal au rectangle D M. On dé- montrera préci$ément de la même maniere que le quarré fait $ur A B e$t égal au rectangle D N; mais la $omme des rectan- gles D M, D N e$t égal au quarré con$truit $ur l’hypoténu$e: donc la $omme des quarrés faits $ur les deux côtés A B, B C e$t égale au quarré de l’hypoténu$e A C. C. Q. F. D.
408. Cette propo$ition e$t la fameu$e 47<_>e du premier Livre
409. Il $uit de cette propo$ition, que la perpendiculaire tirée de l’angle droit d’un triangle rectangle $ur l’hypoténu$e, e$t moyenne proportionnelle entre les parties de l’hypothenu$e: car comme cette perpendiculaire divi$e le triangle A B C en deux autres triangles $emblables A D B, B D C, en les compa- rant en$emble, on aura A D : D B :: D B : D C. Ain$i connoi$- $ant la ba$e d’un triangle rectangle A B C, & les deux $egmens A D, D C de cette ba$e, on pourra connoître les autres côtés de ce triangle; il n’y aura qu’à chercher une moyenne propor- tionnelle entre les $egmens donnés, ajouter le quarré de cette ligne au quarré de chaque $egment, & extraire les racines des deux $ommes qui $eront les deux côtés demandés.
_410_. Dans un triangle obtus-angle _A B C_, le quarré du côté
Soit fait A C = _a_, A B = _c_, B C = _b_, B D = _x_, A D = _d_;
il faut démontrer que _aa_ = _cc_+_bb_ + 2_bx_, ou que A C<_>2 = A B<_>2
+ B C<_>2 +
411. Si l’on avoit un triangle A B C, dont on connût les
trois côtés, on pourroit par cette propo$ition trouver la per-
pendiculaire A D, qui détermine la hauteur du triangle: car
comme on a _aa_ = _cc_ + _bb_ + 2_bx_, $i l’on fait pa$$er _cc_ + _bb_
du $econd membre dans le premier, il viendra _aa_ - _cc_ - _bb_
= 2_bx_, qui étant divi$é par 2_b_, donne la valeur de _x_, ou
{_aa_ - _cc_ - _bb_/2_b_} = _x_, qui fait voir qu’on trouvera la valeur de la
ligne D B, en $ou$trayant du quarré du côté A C oppo$é à l’an-
gle obtus; les quarrés des côtés A B & B C, & en divi$ant le
re$te par le double du côté B C. Mais dans le triangle rectan-
gle A D B, on connoît le côté A B par l’hypothe$e, on connoît
le côté B D par le pré$ent corollaire: donc on pourra con-
noître l’autre côté A D, ou la perpendiculaire qui me$ure la
hauteur du triangle, & l’on aura A D =
_412_. Dans tout triangle _A B C_, le quarré d’un côté _A B_ oppo$é
Soit fait A B = _a_, B C = _b_, A C = _c_, B D = _d_, D C = _x_,
A D $era _c_ - _x_. Cela po$é, le triangle rectangle B A D donne
A B<_>2 = B D<_>2 + A D<_>2, ou analytiquement _aa_ = _dd_ + _cc_ - 2_cx_
+ _xx_; & par la même rai$on, le triangle rectangle B D C
donne B C<_>2 = B D<_>2 + D C<_>2, ou en termes analytiques,
_bb_ = _dd_ + _xx_. Si l’on retranche les termes de cette derniere
égalité des termes de la précédente, on aura _aa_ - _bb_ = _dd_
+ _cc_ - 2_cx_ + _xx_ - _dd_ - _xx_ = _cc_ - 2_cx_; en effaçant ce
qui $e détruit, & fai$ant pa$$er dans l’autre membre le terme
- _bb_, on aura _aa_ = _bb_ + _cc_ - 2_cx_, ou A B<_>2 = A C<_>2 + B C<_>2
-
On démontreroit de la même maniere que l’on auroit
B C<_>2 = A B<_>2 + A C<_>2 -
413. Pui$que l’on a _aa_ = _bb_ + _cc_ - 2_cx_, on aura, en
fai$ant pa$$er - 2_cx_ dans le premier membre, & _aa_ dans le
$econd, 2_cx_ = _bb_ + _cc_ - _aa_, d’où l’on tire _x_ = {_bb_ + _cc_ - _aa_/2_c_}.
Ce qui fait voir que pour avoir la valeur du $egment D C, il
faut de la $omme des quarrés des côtés A C, B C, ôter le quarré
du côté A B oppo$é à l’angle C, & divi$er le re$te par 2_c_, ou
deux fois le côté $ur lequel on a abai$$é la perpendiculaire B D.
D’où il $uit que par la connoi$$ance des trois côtés d’un trian-
gle quelconque, on peut toujours trouver la $urface; car la
414. L’O
415. Les _cercles excentriques_, $ont ceux qui ayant été décrits
416. L’on nomme _couronne_, l’e$pace renfermé entre les
417. Le _$egment de cercle_ e$t la partie de la $urface d’un cer-
418. Le _$ecteur de cercle_ e$t une partie de $a $urface, termi-
419. L’_arc de cercle_ e$t une partie de la circonférence, plus grande ou plus petite que la demi-circonférence.
420. On nomme _cordes_ toutes les lignes droites, comme
421. Quand une ligne touche la circonférence d’un cercle
422. Si une ligne rencontre la circonférence d’un cercle, de maniere qu’elle pa$$e au dedans, cette ligne e$t appellée $é- cante, comme e$t, par exemple, la ligne B E.
423. Si du centre d’un cercle on abai$$e une perpendiculaire
Soient menés aux extrêmités A, C de la corde A C les rayons
A B, B C; il e$t ai$é de voir que les triangles rectangles A B D,
C B D $ont égaux en tout; car ils ont, outre l’angle droit, deux
côtés A B, B C égaux, pui$que ce $ont les rayons d’un même
cercle; & de plus, le côté B D e$t commun à l’un & à l’autre :
donc la ligne A D e$t égale à la ligne D C. On peut encore
démontrer cette propo$ition par la propriété des triangles rec-
2<_>0. Pui$que les triangles A B D, C B D $ont égaux en tout, l’angle A B D $era égal à l’angle C B D; & prolongeant le côté B D ju$qu à la circonférence du cercle en E, les arcs A E, E C qui me$urent les angles A B E, C B E $ont égaux; & par con- $équent l’arc A C e$t au$$i divi$é en deux parties égales au point E.
_424_. Si une droite _B D_ pa$$e par le centre, & divi$e la corde ou $on arc _A C_ en deux parties égales; elle $era perpendiculaire à cette corde.
Soient tirés les rayons A B, B C aux extrêmités de la corde A C. Cela po$é, pui$que la droite B D divi$e la corde A C en deux parties égales, le point D de cette droite $era également éloigné des extrêmités A, C de la droite A C; & parce que, _par hypothe$e_, la même droite B D pa$$e par le centre B, $on point B $era encore également éloigné des mêmes extrêmités A, C : donc elle $era perpendiculaire à cette corde.
Si l’on $uppo$e que l’arc A C e$t coupé en deux également par la droite B D, prolongée en E, il e$t vi$ible que les an- gles A B E, C B E, me$urés par ces arcs, $eront égaux; & parce que le point B e$t le centre du cercle, les rayons B C, A B $eront au$$i égaux: donc les triangles A B D, C B D auront un angle égal compris entre côtés égaux; ain$i ils $eront parfai- tement égaux (art. 381). Donc l’angle B D C e$t égal à l’an- gle B D A: donc la ligne B D ne penche pas plus d’un côté que de l’autre $ur la ligne A C, & par con$équent lui e$t per- pendiculaire. C. Q. F. D.
_425_. Si une ligne droite _E D B_ perpendiculaire à une corde _A C_, divi$e cette corde ou $on arc en deux parties égales, je dis que cette ligne pa$$e néce$$airement par le centre.
Pui$que la ligne E B e$t perpendiculaire $ur le milieu de la corde A C, elle pa$$e néce$$airement par tous les points égale- ment éloignés de A & de C; mais le centre B e$t également éloigné des points A & C, qui $ont à la circonférence, par la définition du cercle & de $on centre : donc la ligne E D B pa$$e néce$$airement par le centre B. C. Q. F. D.
426. Il $uit des trois propo$itions précédentes, que de ces trois conditions, _pa$$er par le centre, être perpendiculaire à la_ _corde, & la couper en deux parties égales_, deux, comme l’on voudra, étant po$ées, la troi$ieme s’en$uit néce$$airement.
_427_. Si du centre _D_ d’un cercle on mene une ligne _DC_ au point
Pui$que la ligne A B e$t $uppo$ée tangente en C, tout autre point de cette ligne, comme F, $era au dehors du cercle, & partant la ligne DF, menée du centre D à ce point, $era plus grande que le rayon D C: donc le rayon D C e$t la plus courte de toutes les lignes qu’on pui$$e mener du point D à la tan- gente A B: donc ce rayon D C e$t perpendiculaire à la même tangente. C. Q. F. D.
428. Réciproquement $i une ligne C B e$t perpendiculaire à l’extrêmité d’un rayon D C, elle $era tangente en C; car toute autre ligne, comme D F, étant plus longue que le rayon D C, aura $on extrêmité F $ur la ligne A B hors du cercle; & par con$équent la ligne A B perpendiculaire à l’extrêmité du rayon, $era tangente au cercle en ce point. C. Q. F. D.
_429_. L’angle _A B C_, qui a $on $ommet à la circonférence d’un
Par le $ommet B de l’angle A B C, & le centre D, $oit me- née la ligne B D E, & les rayons D A, D C; il e$t évident que l’angle total A B C e$t égal à la $omme des angles A B E, C B E, & que l’angle au centre A D C e$t égal à la $omme des angles A D E, C D E. Cela po$é, l’angle C D E extérieur au triangle i$o$cele C D B e$t égal aux deux angles intérieurs en B & en C, ou double de l’angle en B; & de même l’angle A D E étant extérieur au triangle i$o$cele A D B, e$t égal à la $omme des intérieurs oppo$és en B & en A, ou double de l’angle A B D: donc l’angle total A D C e$t double de l’angle total A B C: donc l’angle à la circonférence n’e$t que la moitié de l’angle au centre. C.Q.F.D.
430. On déduit de cette propo$ition plu$ieurs con$équences,
qui $ont d’un très-grand u$age. 1<_>0. Qu’un angle, tel que A B C,
431. 2<_>0, Qu’un angle, comme D E F, qui e$t renfermé dans
432. 3<_>0. Qu’un angle, comme G H I, qui e$t renfermé dans
433. 4<_>0. Que les angles, comme A B C & A D C, qui $ont
434. Que deux angles qui $ont appuyés $ur une même corde
_435_. Si l’on a un angle _B A D_, formé par une tangente & par
Tirez du centre E le rayon E A au point d’attouchement A, qui $era perpendiculaire $ur la tangente A B (art. 427), & tirez du centre E la droite E G F perpendiculaire $ur A D, qui la divi$era en deux également, au$$i-bien que l’arc A F D (art. 423). Cela po$é, à cau$e du triangle rectangle A G E, l’angle G A E, joint à l’angle A E G vaut un droit, & le même angle G A E, joint à G A B vaut au$$i un droit: donc l’angle G A B e$t égal à l’angle A E G; mais l’angle A E G étant au centre du cercle, a pour me$ure l’arc A F compris entre $es côtés, & moitié de l’arc A F D $outenu par la corde A D: donc l’angle B A D formé par une tangente & par une corde, a pour me$ure la moitié de l’arc compris entre la corde & cette tan- gente. C.Q.F.D.
_436_. Un angle _A E C_ qui a $on $ommet placé au dedans du
Soit tirée la droite B C du point B au point C. L’angle A E C
étant extérieur au triangle B E C, e$t égal à la $omme des an-
gles intérieurs B C E, C B E: mais ces mêmes angles ayant leur
$ommet à la circonférence, ont pour me$ure la moitié de l’arc
compris entre leurs côtés; $çavoir, l’angle C B E ou C B A, la
moitié de l’arc A C, & l’angle B C E ou B C D $on égal, la
moitié de l’arc B D: donc l’angle A E C, qui e$t égal à leur
_437_. L’angle _B A C_, dont le $ommet e$t au dehors de la cir-
Soient menées les lignes B E, C D, qui donneront les trian- gles B A E, D A C. L’angle B D C étant extérieur au triangle D A C e$t égal à l’angle D A C, plus à l’angle A C D: donc l’angle D A C, ou $on égal B A C, e$t égal à l’angle B D C, moins l’angle D C E: mais chacun de ces angles étant à la circonférence, a pour me$ure la moitié de l’arc compris entre $es côtés; $çavoir l’angle B D C, la moitié de l’arc B C, & l’angle A C D, la moitié de l’arc D E: donc l’angle B A C a pour me$ure la moitié de la différence des mêmes arcs, c’e$t- à-dire la moitié de l’arc concave B C $ur lequel il e$t appuyé, moins la moitié de l’arc convexe D E. C.Q.F.D.
438. Il $uit de tout ce que nous venons de dire, que, $i l’on
a un angle à la circonférence, tel que A D C, formé par une
_439_. Si l’on a deux droites quelconques _A B, C D_, qui $e cou-
Soient menées les cordes A C & D B; con$idérez que les triangles A C E & D B E $ont $emblables, ayant les angles égaux en E, pui$qu’ils $ont oppo$és au $ommet, & que de plus l’angle en C e$t égal à l’angle en B, pui$que chacun d’eux e$t appuyé $ur le même arc: donc les côtés oppo$és aux angles égaux $eront proportionnels, & donneront A E: E D:: E C: EB (art. 402): donc en prenant le produit des extrêmes & des moyens, on aura A E x E B = E D x E C. C.Q.F.D.
_440_. Si du point _A_, pris au dehors d’un cercle $ur le même
Si l’on tire les lignes B E & C D, on aura deux triangles $emblables A B E & A C D: car l’angle A leur e$t commun, & les angles B & C ont chacun pour me$ure la moitié de l’arc D E (art. 429): donc les côtés oppo$és aux angles égaux $eront proportionnels (art. 403), & donneront A B: A C:: A E: A D: par con$équent en prenant le produit des extrêmes & des moyens, on aura A B x A D = A C x A E. C.Q.F.D.
_441_. Si d’un point _B_ quelconque de la circonférence _A B C_, on
Soient tirées les droites A B, B C du point B aux extrê- mités du diametre A C, le triangle A B C $era rectangle en B, pui$que l’angle A B C e$t appuyé $ur la demi-circonférence (art. 430), & $era partagé en deux autres triangles A B D, B D C au$$i rectangles, & qui lui $eront $emblables (art. 406). Comparant ces deux triangles $emblables, & prenant les côtés homologues, on aura A D: B D:: B D: D C: donc en pre- nant le produit des extrêmes & celui des moyens, A D x D C = B D<_>2. C.Q.F.D.
442. Il $uit de cette propo$ition, qu’à quelque point du dia- metre qu’on éleve une perpendiculaire, elle e$t toujours moyenne proportionnelle entre les deux parties du même dia- metre; & c’e$t ce que nous appellerons dans la$uite, la pro- priété principale du cercle, de laquelle on déduit $on équation.
443. Il $uit au$$i de la démon$tration précédente, qu’une corde quelconque A B e$t moyenne proportionnelle entre le diametre entier A C, & la partie compri$e entre l’origine de cette corde & la perpendiculaire B D, abai$$ée de $on extrê- mité: car le triangle rectangle B D A e$t $emblable au grand triangle C B A, pui$qu’ils ont un angle commun en A, outre l’angle droit: donc en comparant les côtés homologues, on aura A C: A B:: A B: A D: donc A D x A C = A B<_>2. On démontreroit de même que B C e$t moyenne proportionnelle entre A C & C D.
444. On auroit pu déduire cette derniere propo$ition de la
445. La perpendiculaire BD, menée d’un point B de la circon- férence du cercle $ur le diametre AC, e$t appellée _ordonnée_ à ce diametre, & les parties du diametre déterminées ou _coupées_ du en D, comme A D, D C $ont appellées _ab$ci$$es_ ou _coupées_ du même diametre. On exprime généralement le théorême pré- cédent, en di$ant _que dans un cercle, les quarrés des ordonnées_ _$ont égaux aux produits de leurs ab$ci$$es._
_446_. Un cercle _B E_ étant donné avec un point _D_ $ur le même
Par le centre C & le point donné D, menez une ligne C D; $ur cette ligne, comme diametre, décrivez un demi-cercle C B D qui coupe le cercle donné dans un point B; menez la ligne B D, qui $era la tangenre demandée, & qui ne rencontre le cercle qu’au $eul point B.
Pour concevoir la rai$on de cette opération, tirez encore au centre C du point B la ligne BC. Il e$t vi$ible que l’angle C B D e$t droit (art. 430), étant appuyé $ur le diametre; d’ailleurs, la ligne B D e$t perpendiculaire à l’extrêmité du rayon C B, & pa$$e par le point D: donc elle e$t la tangente demandée. C. Q. F. T. & D.
_447_. Si d’un point _B_ hors d’un cercle, on mene une tangente _BA_,
Soient menées les cordes A C & A D du point de contin- gence A, aux points C, D, où la $écante BC rencontre le cer- cle. Les triangles C A B, A D B $eront $emblables, car ils ont un angle commun en B; & de plus, l’angle A C B, formé par la corde A C & la $écante C B, e$t égal à l’angle B A D, formé par la tangente A B & la corde A D, pui$qu’ils ont chacun pour me$ure la moitié de l’arc A D, compris entre leurs côtés (art. 429 & 435): donc ces triangles $ont $emblables (art. 402); & par con$équent les côtés homologues $ont proportionnels, & donnent B C : A B :: A B : B D : donc A B<_>2 = B C x B D. C. Q. F. D.
448. Il $uit delà, que $i deux tangentes A B, B F $e rencon- trent dans un point A, les parties A B, B F de ces tangentes, pri$es depuis le point de rencontre ju$qu’aux points de con- tact, $ont égales entr’elles: car on démontrera de même que pour la tangente A B, que l’on auroit B F<_>2 = B D x B C: donc pui$que A B<_>2 = B C x B D, on aura A B<_>2 = B F<_>2, & par con$équent A B = B F.
Il e$t à remarquer, que l’on auroit pu déduire cette propo-
$ition, immédiatement de la dixieme: car $i l’on imagine
que la $écante A B tourne au tour du point A comme d’une char-
_449_. Si l’on a une tangente _C D_ perpendiculaire à l’extrêmité
Soit menée la droite B E de l’extrêmité inférieure du dia- metre au point E, où la droite A C coupe le cercle: on aura deux triangles rectangles $emblables A B C, A E B: car le pre- mier A B C e$t rectangle en B, à cau$e de la tangente A D, qui e$t perpendiculaire au diametre A B, le $econd A E B e$t rec- tangle en E, pui$que cet angle e$t appuyé $ur le diametre; de plus, ces triangles ont un angle commun en A: donc ils $ont $emblables (art. 402), & les côtés homologues nous donnent A C : A B :: A B : A E; donc A B<_>2 = A C x A E. C. Q. F. D.
450. L’on dit qu’une ligne e$t divi$ée en moyenne & ex- trême rai$on, lor$que la ligne entiere e$t à la plus grande par- tie; comme la même plus grande partie e$t à la plus petite: & la plus grande partie e$t appellée _médiane_.
_451_. Divi$er une ligne donnée _A B_ en moyenne & extrême rai-
A l’extrêmité B de la ligne donnée A B, $oit élevée la per- pendiculaire B D, égale à la moitié de la même ligne A B: du point D, & de l’intervale ou rayon B D, $oit décrit un cercle E B C, en$uite par le point A & le centre D, $oit menée la $é- cante A C: enfin $oit pri$e A F égale à la partie extérieure A E de la $écante A C; je dis que le point F divi$e la ligne A B en moyenne & extrême rai$on, ou, ce qui revient au même, que l’on a A B : A F :: A F : F B.
Soit nommé A F ou A E _x_, A B _a_, C E $era au$$i _a_, A C
$era _a_ + _x_, & F B $era _a_ - _x_. Cela po$é, par la propo$i-
tion 13, on a A C : A B :: A B : A E, ou A F; & en termes
analytiques, _a_ + _x_ : _a_ :: _a_: _x_, & fai$ant le produit des extrê-
mes & des moyens, il vient _aa_ = _ax_ + _xx_, fai$ant pa$$er en-
$uite _ax_ du $econd membre dans le premier, il vient _aa_ - _ax_
= _xx_, ou
452. ON dit qu’un polygone régulier ou irrégulier e$t _in$crit_ au cercle, lor$que tous les $ommets de $es angles $ont à la cir- conférence du cercle.
453. On dit qu’une figure rectiligne, réguliere ou irréguliere e$t _circon$crite_ au cercle, quand chacun de $es côtés touche la circonférence du cercle, ou autrement, quand chaque côté e$t une tangente au cercle.
454. On appelle _polygone régulier_, une figure dont tous les angles & les côtés $ont égaux entr’eux, & _polygones $ymétriques_, ceux dont les côtés oppo$és $ont égaux, & paralleles deux à deux.
455. Un polygone régulier $e nomme _pentagone_, lor$qu’il a
cinq côtés; _exagone_, quand il a $ix côtés, _eptagone_, quand il
456. Comme tout polygone régulier peut être in$crit dans un cercle, on di$tingue dans tout polygone régulier deux $ortes d’angles, les angles du _centre_, & les angles du _polygone_ ou de la _circonférence_.
457. L’angle au centre e$t un angle, comme B A C, formé
458. L’angle du polygone, e$t un angle comme B C D, formé par la rencontre des deux côtés B C & C D du même polygone.
459. Comme l’angle du centre du polygone a pour me$ure l’arc, dont un des côtés du polygone e$t la corde, l’on trou- vera toujours la valeur de cet angle, en divi$ant 360, ou les degrés de la circonférence entiere, par le nombre des côtés du polygone. Ain$i pour trouver l’angle au centre d’un exa- gone, je divi$e 360 par 6, & le quotient 60, e$t la me$ure de l’angle que je cherche. Or comme l’angle B C D du polygone e$t double de l’angle A B C, & que par con$équent il e$t égal aux deux angles de la ba$e du triangle i$o$cele A B C, il s’en$uit qu’il e$t égal à la différence de l’angle du centre à deux droits: ain$i on trouvera la valeur de l’angle du polygone, en retran- chant l’angle du centre de 180 degrés.
460. In$crire un exagone dans un cercle.
Pour in$crire un exagone dans un cercle, il faut prendre le
Con$idérez que le côté B C de l’exagone e$t égal au rayon A B; car comme l’angle du centre B A C de l’exagone e$t de 60 degrés, la $omme des deux angles de la ba$e du triangle i$o$cele B A C $era de 120 degrés, double de l’angle au centre; chacun d’eux $era donc de 60 degrés: donc le triangle B A C e$t équilatéral, & le côté B C e$t égal au rayon A C. C. Q. F. D.
461. Décrire un dodécagone dans un cercle, ou, ce qui e$t la
Pour déctire un dodécagone dans un cercle, il faut porter le rayon A C $ur la circonférence, afin d’avoir l’arc C D de 60 degrés, ou autrement égal à la $ixieme partie de la même cir- conférence, & divi$er en$uite cet arc en deux également en E, la corde D E $era le côté du dodécagone, pui$qu’elle e$t la corde d’un angle de 30 degrés, qui font la douzieme partie de la circonférence. C. Q. F. D.
_462_. Si l’on a un triangle i$o$cele _A B C_, dont chaque angle de
Con$idérez que les triangles A B C & D A C $ont $embla-
bles, pui$qu’ils ont un angle commun en C, & que l’angle
D A C e$t égal à l’angle B, pui$que l’angle B e$t par $uppo$i-
tion moitié de l’angle B A C, dont celui-ci e$t au$$i la moitié.
On aura de plus le triangle B D A, qui $era i$o$cele, pui$que
l’angle D B A e$t égal à l’angle B A D: donc les côtés A D, B D
$eront égaux. Cela po$é, les triangles $emblables A B C, D A C
463. Cette propo$ition donne un moyen de faire un trian- gle i$o$cele, dont les angles de la ba$e $oient chacun doubles de celui du $ommet; car pour faire, par exemple, un triangle comme A B C, l’on n’aura qu’à divi$er le côté B C en moyen ne & extrême rai$on (art. 451), & $ur la plus petite partie D C comme ba$e, faire un triangle i$o$cele par le moyen de deux $ections, avec une ouverture de compas de la grandeur de la médiane B D, & l’on aura le point A, qui $ervira à former le triangle A B C. Comme il n’y a qu’une maniere de divi$er une ligne en moyenne & extrême rai$on, il n’y a au$$i qu’un trian- gle qui ait la propriété que nous venons de voir.
464. Il $uit encore delà que $i du point B, comme centre, l’on décrit un cercle, dont le rayon $oit B A ou B C, la ba$e A C du triangle i$o$cele A B C $era le côté du décagone in$crit dans ce cercle: car pui$que, par con$truction, les deux angles de la ba$e $ont chacun doubles de l’angle au $ommet, les trois an- gles du même triangle, pris en$emble, vaudront cinq fois l’angle du $ommet; & comme la valeur des trois angles d’un triangle quelconque e$t de deux angles droits, on aura la va- leur de l’angle au $ommet, en divi$ant deux droits ou 180 degrés par 5, & ce qui donnera 36 pour le nombre des degrés de l’angle au centre B, lequel nombre e$t préci$ément la dixieme partie de la circonférence, ou de 360 degrés.
465. In$crire un décagone dans un cercle.
Pour in$crire un décagone dans un cercle, il faut divi$er le
rayon de ce cercle en moyenne & extrême rai$on, la médiane
$era le côté du décagone; ain$i l’on n’aura qu’à porter dix fois
cette ligne $ur la circonférence, & l’on aura les points qui $er-
viront à tracer le décagone; ce qui e$t évident, pui$que par le
_466_. Si l’on a une ligne droite _B D_ égale à la $omme des côtés
Soit la ligne B C égale au côté du décagone in$crit au cer- cle, qui a pour rayon B A ou A C. Soit prolongée cette ligne en D, de maniere que l’on ait D C = A C, pui$que le rayon e$t le côté de l’exagone; il faut faire voir que l’on aura B D: D C : : D C : B C. Pour cela, $oit tirée la ligne A D qui nous donnera le triangle i$o$cele D C A, & le nouveau triangle B D A $emblable au triangle B A C, pui$que ces triangles ont l’angle B commun, & que l’angle B D A e$t égal à l’angle C A B; car à cau$e du triangle i$o$cele D C A, l’angle A C B qui lui e$t extérieur, e$t double de l’angle C A D, ou C D A; mais par la nature du côté du décagone, le même angle e$t double de l’angle B A C au centre A: donc l’angle B D A e$t égal à l’angle C A B: donc les triangles B D A, B A C $ont $emblables, & les côtés homologues $eront proportionnels; ain$i l’on aura B D : B A : : B A : B C, ou en mettant D C au lieu de B A qui lui e$t égal, B D : D C : : D C : B C. C. Q. F. D.
467. Le quarré du côté du pentagone in$crit dans un cercle e$t
Si l’on a dans un cercle le côté A B du pentagone, & qu’on
divi$e en deux également au point C l’are A C B, la corde A C
ou C B $era le côté du décagone, & le rayon A D ou B D le
côté de l’exagone. Il faut démontrer que l’on aura A B<_>2 = B D<_>2
468. In$crire un Pentagone dans un cercle.
Pour in$crire un pentagone dans un cercle, tirez le rayon
Pour le prouver, con$idérez que le triangle D F C e$t rec-
tangle, par con$truction, & que le côté C F étant celui de
l’exagone, il $uffira de faire voir que le côté D C e$t celui du
décagone: car pour que la ligne F D $oit le côté du pentagone,
469. In$crire un quarré dans un cercle.
Pour in$crire un quarré dans un cercle, tirez le diametre
470. In$crire un octogone dans un cercle.
Pour in$crire un octogone dans un cercle, il faut d’abord divi$er $a circonférence en quatre parties égales, comme $i l’on vouloit y in$crire un quarré, & divi$er en deux également chaque quart de cercle, tel que C B; la corde C F ou F B $era le côté de l’octogone.
Nous n’avons point parlé de la maniere d’in$crire dans un
cercle l’_eptagone_, l’_ennéagone_, ni l’_ondécagone_, parce que l’on
471. Divi$er une ligne droite en autant de parties égales que
Pour divi$er une ligne A B, par exemple, en neu$ parties égales, tirez la ligne A C, qui fa$$e avec A B un angle à volonté; du point A comme centre, & du rayon A B, décrivez l’arc B C, qui $era la me$ure de l’angle C A B; en- $uite avec la même ouverture de compas, & du point B com- me centre, décrivez l’arc A D égal à B C, & tirez la ligne B D, qui donnera l’angle A B D égal à l’angle C A B. Cela po$é, marquez $ur le côté A C avec une ouverture de compas à volonté, un nombre de parties égales, tel que celui dans le- quel on veut divi$er la ligne A B, c’e$t-à-dire qu’en commen- cant du point A, il faut marquer neuf parties égales $ur la ligne A C; aprés quoi il en faudra faire autant $ur la ligne B D, en commençant du point B: après cela, $i l’on tire les lignes 9 A, 81, 72, &c. elles divi$eront la ligne A B en neuf parties égales; ce qui e$t bien évident: car comme les lignes que l’on a tirées $ont paralleles entr’elles, elles donneront les triangles $emblables A1E, A9B, qui font voir que pui$que A1 e$t la neuvieme partie de A9, A E $era la neuvieme partie de A B, ain$i des autres.
472. Divi$er un arc de cercle en un nombre de parties égales, pairement paires, c’e$t-à-dire qui $oit divi$ible par les nombres deux, & $es pui$$ances 4, 8, 16, 32.
Si l’on veut divi$er, par exemple, le quart de cercle A B C
C’e$t ain$i qu’on pourra divi$er géométriquement un arc de cercle en un nombre infini de parties égales, pourvu que l’on divi$e le tout, & $es parties toujours de deux en deux.
473. Pour décrire cette courbe, il faut divi$er le rayon A B
en un grand nombres de parties égales; de maniere que le
quart de cercle pui$$e être divi$é dans le même nombre de
parties égales. Nous $uppo$erons donc que l’on a divi$é le quart
de cercle en $eize parties égales, ain$i que le rayon A B. Cela
po$é, après avoir tiré du centre B à l’extrêmité de chaque par-
rie égale du quart de cercle, les droites BC, BD, BE, BF, &c.
l’on tirera par les points G,H,I,K des parties égales du rayon,
parallélement au diametre B F, les droites G L, H M, I N, K G;
& les rencontres de ces droites, avec les rayons qui divi$ent le
quart de cercle, donneront les points L, M, N, O, &c. avec
le$quels on tracera la courbe A S, que l’on pourra faire beau-
coup plus ju$te, en divi$ant le quart de cercle & le rayon B A
en un plus grand nombre de parties égales que l’on n’a fait
ici, afin d’avoir les points L, M, N, O beaucoup plus près les
uns des autres, & que le point R, formé par la rencontre du
dernier rayon B P, & la parallele Q R approche le plus près
qu’il e$t po$$ible du demi-diametre B T, pour rendre in$en-
$ible l’erreur que l’on pourroit faire, en continuant méchani-
Il faut bien remarquer que par la génération de cette courbe, $i l’on mene des paralleles H M & K O, qui aillent rencontrer la courbe aux points M & O, & que l’on tire par ces points des rayons B D & B F, qu’il y aura même rai$on de l’arc A D à l’arc D F, que de la ligne A H à la ligne H K; & c’e$t dans cette proportion que con$i$te la nature de cette courbe.
474. Divi$er un angle en trois parties égales.
Suppo$ant que l’on ait tracé $ur un morceau de corne ou de
Pour ré$oudre ce problême, $uppo$ant que la courbe $oit accompagnée de $on quart de cercle A C, je fais l’angle A B E égal à l’angle donné, & au point F, où le rayon B E coupe la courbe A D, j’abai$$e la perpendiculaire F G $ur le demi-dia- metre A B, qui me donne la partie A G, que je divi$e en au- tant de parties égales qu’on veut que l’angle donné $oit divi$é: ain$i je la partage en trois parties égales, aux points H & K, de$quels je mene les paralleles K L & H I, qui me coupent la courbe aux points L & I, par le$quels je mene les rayons B M & B N, qui divi$ent l’arc A E en trois parties égales, aux points M & N; pui$que par la propriété de la courbe, il y a même rai$on de A K à A G, que de A M à A E; & comme A K e$t la troi$ieme partie de A G, l’arc A M $era au$$i la troi$ieme partie de l’arc A E.
Mais $i l’on propo$oit de divi$er un angle obtus, comme
475. Décrire un ennéagone dans un cercle.
Pour décrire un ennéagone dans un cercle, il faut porter le rayon du cercle $ix fois $ur la circonférence, pour avoir les points B, C, D, E, F, G, qui la divi$eront en $ix parties égales; & tirant des lignes du premier point au troi$ieme, du troi- $ieme au cinquieme, & du cinquieme au premier, on aura un triangle équilatéral B D E, qui divi$era la circonférence en trois parties égales; $i on divi$e après cela un de ces arcs, comme B C D, en trois parties égales, par le problême précé- dent, l’on aura la neuvieme partie de la circonférence du cer- cle, dont la corde $era le côté de l’_ennéagone_. C. Q. F. T. & D.
476. Décrire un eptagone dans un cercle.
Pour décrire un eptagone dans un cercle, il faut divi$er le quart de la circonférence du cercle en $ept parties égales: ain$i chacune de ces parties $era la 28<_>e partie de toute la circonfé- rence. Or prenant un arc égal au quatre $eptiemes du quart de cercle, il $era égal à la $eptieme partie de la circonférence du même cercle, & par con$équent la corde qui le $outient $era le côté de l’eptagone demandé. C. Q. F. T. & D.
477. Décrire un ondécagone dans un cercle.
Pour décrire un polygone de onze côtés qui $oit in$crit au cercle, il faut divi$er le quart de cercle en onze parties égales, & $i l’on prend la corde d’un angle, qui $eroit les quatre on- ziemes du quart de cercle, elle $era le côté de l’ondécagone demandé. C. Q. F. T. & D.
L’on a nommé _quadratrice_, la courbe que nous venons d’exa-
_478_. Circon$crire un polygone quelconque autour d’un cercle donné.
Quand on veut circon$crire un polygone autour d’un cer-
cle, il faut commencer par en in$crire un $emblable dans le
même cercle: ain$i voulant, par exemple, circon$crire un
exagone autour du cercle BEC, il faut commencer par en
479. ON dit que deux quadrilateres ont leurs ba$es & leurs hauteurs _réciproques_, lor$que la ba$e du premier e$t à la ba$e du $econd, comme la hauteur du même $econd e$t à celle du premier. En général on dit que deux grandeurs quelconques $ont réciproques à deux autres, lor$que les deux premieres $ont les extrêmes ou les moyens d’une proportion, dont les deux autres $ont les moyens ou les extrêmes. Par exemple, _a_ & _b_ $ont réciproques aux grandeurs _c_ & _d_, $i l’on a _a : c :: d : b_, ou _c : a :: b : d_.
_480_. Si l’on a deux polygones réguliers $emblables, _A_ & _B_,
Nous nommerons C D, _a_, F G, _b_, A C, _c_, & B F, _d_. Cela
Cette propo$ition $e doit entendre de toutes les figures $em- blables, régulieres ou irrégulieres, à commencer par les trian- gles: car quoique des figures irrégulieres ne $oient pas in$crip- tibles au cercle, on peut dire cependant que les contours de ces polygones, $uppo$és $emblables, $ont entr’eux comme les rayons de deux cercles qui pa$$eront par les $ommets de trois angles égaux, pris comme l’on voudra dans l’une & dans l’autre figure, pourvu que ces cercles pa$$ent par les angles de deux triangles $emblables, & $emblablement placés dans l’une & dans l’autre figure.
481. Il $uit de cette propo$ition, que les circonférences des
cercles $ont entr’elles comme les rayons de ces cercles: car $i
l’on con$idere les cercles X & Y, comme étant des polygones
_482_. Si du centre _A_ d’un polygone régulier, on abai$$e une
Si le polygone régulier e$t un exagone, & que l’on tire du
483. Il $uit de cette propo$ition, que pour trouver la $u- perficie d’un polygone régulier, il faut multiplier la moitié de $on circuit par la perpendiculaire abai$$ée du centre de ce po- lygone $ur $on côté, pui$que pour trouver la $urface du trian- gle I K L, qui e$t égal à ce polygone, il faut multiplier la moitié de $a ba$e K L par la perpendiculaire I K.
_484_. La $uperficie d’un cercle e$t égale à un triangle, qui au- roit pour hauteur le rayon du cercle, & pour ba$e la circonférence du même cercle.
Comme un cercle e$t un polygone d’une infinité de côtés, on peut prendre la circonférence du cercle pour la $omme de ces côtés, & ce rayon pour la perpendiculaire du polygone; d’ou il $uit qu’il $era égal à un triangle qui auroit pour hau- teur le rayon M N, & pour ba$e une ligne N O égale à la cir- conférence. C. Q. F. D.
485. Pui$que le triangle M N O e$t égal au cercle, & qu’il e$t au$$i égal à un rectangle qui auroit pour ba$e la moitié de la ba$e N O, & pour hauteur la ligne M N, il s’en$uit qu’un cercle e$t égal à un rectangle qui auroit pour ba$e la moitié de la circonférence, & pour hauteur le rayon; & que pour en trouver la $uperficie, il faut multiplier la moitié du dia- metre, par la moitié de la circonférence.
486. Si l’on con$idere la $urface du cercle, comme étant compo$ée d’une infinité de circonférences concentriques, dont les rayons $e $urpa$$ent également, toutes ces circonférences compo$eront une progre$$ion infinie arithmétique, dont le cen- tre $era le plus petit terme, & la circonférence le plus grand. Or comme le demi-diametre A B exprime le nombre des ter- mes de la progre$$ion, il s’en$uit qu’on en trouvera la $omme en multipliant le plus grand terme, qui e$t la circonférence, par la moitié du rayon A B.
487. Il $emble d’abord que la propo$ition précédente donne la quadrature du cercle, parce qu’elle prouve qu’un cercle e$t égal à un triangle, qui auroit pour ba$e la circonférence du cercle, & pour hauteur le rayon; mais comme on n’a pas en- core trouvé géométriquement une ligne droite, parfaitement égale à la circonférence d’un cercle, l’on n’a pu par con$équent trouver un triangle parfaitement égal au cercle. Quand je dis un triangle, on peut au$$i entendre un quarré égal au cercle, parce que l’on peut faire géométriquement un quarré égal à un triangle, comme on le verra ailleurs. Mais pour qu’il n’y ait point d’équivoque $ur le mot de quadrature du cercle, il e$t bon que les Commençans $çachent que la quadrature du cer- cle con$i$te à trouver une propo$ition qui donne le moyen de faire un quarré égal en $urface à un cercle donné, & qui dé- qu’on le fait réellement.
Quoique les Géometres n’aient pas encore trouvé une ligne droite parfaitement égale à la circonférence d’un cercle, cela n’empêche pas que dans la pratique on ne $uppo$e que cela $e pui$$e faire, en $e $ervant de quelques regles qui $ont des approximations de la quadrature du cercle, comme on le va voir.
488. _Archimede_ a trouvé que le rapport du diametre à la
circonférence, e$t à peu près celui de 7 à 22, c’e$t-à-dire que
$i le diametre contient $ept parties égales, la circonférence
en contiendra à peu près 22, ou, ce qui revient au même, que
la circonférence vaut trois fois le diametre & un $eptieme.
Or comme les diametres des cercles $ont dans la rai$on de
Mais $i l’on avoit un cercle, dont on connût $eulement la circonférence, que nous $uppo$erons de 66 pieds, pour en trouver le diametre, il faudroit encore faire une Regle de Trois, en di$ant: Si la circonférence d’un cercle qui auroit 22 pieds, donne 7 pour $on diametre, combien donnera la cir- conférence d’un autre cercle, qui $eroit de 66 pieds, pour le diametre du même cercle? L’on trouvera 21 pieds pour le dia- metre qu’on cherche. Outre le rapport de 7 à 22, dont on peut toujours $e $ervir, lor$qu’on ne veut pas arriver à la derniere préci$ion, on peut encore faire u$age de celui de 113 à 355, trouvé par _Métius_, & plus exact que le précédent; c’e$t pour- quoi il $era à propos de $e $ervir de ce dernier dans les opéra- tions où il faudra déterminer la circonférence du cercle avec plus de ju$te$$e que dans les opérations ordinaires.
489. Il $uit encore delà, qu’un cercle e$t égal à un rectan- gle N S R Q, qui auroit pour ba$e le quart de la circonférence, & pour hauteur le diametre, pui$que ce rectangle e$t égal au rectangle N T, qui a pour hauteur le rayon, & pour ba$e la moi- tié de la circonférence: par con$équent $i l’on avoit un quarré V X Y Z fait $ur le diametre du cercle, le quarré & le rectangle N R égal à la $urface du cercle, ayant même hauteur, $eront entr’eux comme leurs ba$es V Z & N Q. On peut donc dire que le diametre d’un cercle e$t au quart de la circonférence, comme le quarré de ce même diamette e$t à la $uperficie du même cercle.
490. Si l’on $uppo$e que le diametre d’un cercle $oit divi$é
en $ept parties égales, & que $a circonférence en contienne
exactement vingt-deux (ce qui ne peut faire une erreur $en$i-
ble dans la pratique), en doublant les mêmes nombres, on
aura 14 & 44 pour le diametre & la circonférence, $ur quoi
l’on remarquera que le dernier étant divi$ible par 4, & don-
491. Les Commençans ne $eront peut-être pas fâchés de
connoître la route qu’ _Archimede_ a $uivie pour découvrir le
rapport dont nous venons de parler. La connoi$$ance des pre-
miers axiomes de géométrie $uffit pour nous faire concevoir
clairement que la circonférence d’un cercle e$t plus grande
que le contour d’un polygone quelconque in$crit à ce cercle,
& plus petite que le contour d’un polygone quelconque cir-
con$crit au même cercle. Il faut entendre la même cho$e pour
la $uperficie du cercle & celle des polygones in$crits & cir-
con$crits. Cela po$é, voici ce que fit _Archimede_ pour décou-
vrir le rapport approché du diametre à la circonférence. Il
in$crivit à un cercle un polygone de 96 côtés, & circon$crivit
au même cercle un polygone $emblable d’un pareil nombre de
côtés; il calcula en$uite par les propriétés des lignes ou des
cordes de cercle, la longueur d’un des côtés de chaque poly-
gone, dont il trouva par con$équent le contour, en multipliant
le nombre trouvé par 96. Ayant donc $uppo$é que le diametre
du cercle étoit l’unité, il trouva que le périmetre de polygone
in$crit étoit plus grand que 3 {10/71} du diametre, & que celui du
polygone circon$crit étoit moindre que 3 {10/70}, ou 3 & {1/7}; d’où
il faut conclure que la circonférence, qui e$t néce$$airement
entre ces deux contours, e$t au$$i à plus forte rai$on plus grande
que 3 {10/71}, & moindre que 3 & {10/70}: ain$i le diametre du cercle
étant 7, il faut néce$$airement que la circonférence $oit plus
grande que 21, & moindre que 22, qui vaut trois fois le dia-
metre & {1/7}, de maniere que cette même circonférence e$t beau-
coup plus proche de 22, qu’elle ne l’e$t de 21. Il e$t ai$é de
voir qu’ _Archimede_ partagea d’abord $on cercle en quatre parties
_492_. Si l’on a deux polygones $emblables _A_ & _B_, la $urface
Soit nommé le côté C D du 1<_>er polygone, _a_, la perpendicu- laire A E, _b_, le côté F G de l’autre polygone, _c_, la perpendiculaire B H, _d_: le circuit du premier polygone $era 6_a_, & celui du $e- cond $era 6_c_: multipliant les moitiés de ces circuits par leurs perpendiculaires, les produits donneront les $urfaces des po- lygones, & l’on aura 3_ab_ pour le premier A, & 3_cd_ pour le $econd B: ain$i il faut démontrer que 3_ab_ : 3_cd_ :: _bb_ : _dd_.
Pour prouver que 3_ab_ : 3_cd_ :: _bb_ : _dd_, nous ferons voir que dans cette proportion le produit des extrêmes e$t égal au pro- duit des moyens, & que l’on a 3_abdd_ = 3_cbbd_. Pour cela, con$idérez qu’à cau$e des triangles $emblables, A C D & B F G, _a_ : _c_ :: _b_ : _d_, d’où l’on tire _ad_ = _bc_: ain$i mettant _ad_ dans le $econd membre de la premiere équation à la place de _bc_, auquel il e$t égal, il viendra 3_abdd_ = 3_abdd_, C. Q. F. D.
493. Pui$que les figures A & B $ont $emblables, les trian-
gles dont elles $ont compo$ées le $eront au$$i; ain$i le triangle
A C E $era $emblable au triangle B F H, pui$qu’ils ont deux
angles égaux chacun à chacun: donc on aura AE : BH :: AC : BF,
& A E<_>2 : B H<_>2 :: A C<_>2 : B F<_>2. Mais les polygones $ont entr’eux
comme les quarrés des perpendiculaires A E, B H, par la pré-
494. Cette propo$ition $e doit entendre, non $eulement de tous les polygones réguliers $emblables in$criptibles à un cer- cle, mais encore de tous les autres autres polygones irréguliers $emblables, qui $ont entr’eux comme les quarrés des perpen- diculaires abai$$ées d’un point $emblablement placé dans l’une & dans l’autre figure, $ur des côtés homologues. En un mot, les $uperficies de deux polygones $emblables quelconques, $ont en- tr’elles comme les quarrés des côtés homologues, des lignes tirées dans les figures par des angles égaux, des perpendicu- laires abai$$ées $ur deux côtés corre$pondans, ou en général des lignes $emblablement placées.
_495_. Les $urfaces de deux cercles $ont entr’elles comme les quar- rés des rayons.
Si l’on a deux cercles X & Y, & que l’on nomme _a_ la cir-
Pour prouver que {_ac_/2} : {_bd_/2} :: _cc_ : _dd_, nous ferons voir que le produit des extrêmes de ces quatre quantités, e$t égal au pro- duit des moyens, ou que {_acdd_/2} = {_bdcc_/2}. Pour cela, faites atten- tion que les circonférences des cercles étant entr’elles comme les rayons (art. 481), on aura _a_ : _b_ :: _c_ : _d_, d’où l’on tire _ad_ = _bc_. Si donc on met dans le $econd membre de l’équation précé- dente, _a d_ à la place de _b c_, on aura {_acdd_/2} = {_acdd_/2}. C. Q. F. D.
496. Pui$que les rayons des cercles $ont entr’eux comme les cordes des arcs d’un même nombre de degrés, comme les dia- metres ou les côtésdes polygones $emblables in$crits dans ces mê- mes cercles: donc les $urfaces des cercles, qui $ont comme les quarrés des rayons, $ont au$$i entr’elles comme les quarrés des diametres, des cordes d’un même nombre de degrés, comme les quarrés des côtés de polygones $emblables in$crits ou cir- con$crits à ces cercles.
Cette propo$ition, ain$i que la précédente, $ont d’un grand u$age dans la Géométrie, & l’on ne peut trop s’appliquer à les concevoir dans toute leur étendue. Quoique l’on pui$$e dé- duire la propo$ition $uivante de la précédente, nous allons la démontrer en particulier d’une maniere différente, en averti$- $ant que l’on pourroit au$$i déduire de cette même propo$ition $uivante, toutes les propriétés des figures $emblables, pui$que par la définition des figures $emblables, tous les polygones $emblables $ont compo$és de triangles $emblables.
_497_. Deux triangles $emblables _A B C, D E G_ $ont entr’eux
Soient abai$$ées des angles égaux C, G les perpendiculaires
C H, G F: le triangle A C B e$t égal au produit de $a ba$e
A B par la moitié de la perpendiculaire C H; & de même le
triangle D G E e$t égal au produit de $a ba$e D E par la moi-
tié de la perpendiculaire G F; on aura donc A C B = A B
x {C H/2}, & D G E = D E x {G F/2}, & fai$ant une proportion avec
les termes de ces équations, on aura A C B : D G E :: A B x {CH/2}:
D E x {G F/2}. Mais pui$que les triangles $ont $uppo$és $embla-
bles, les triangles rectangles A C H, D G F le $eront au$$i,
498. On peut encore $e $ervir de cette propo$ition, pour
_499_. Les parallélogrammes $ont dans la rai$on compo$ée des
Ayant les parallélogrammes G & H, $i l’on nomme _a_ la ba$e du premier, & _b_ $a hauteur, _c_ la ba$e du $econd, & _d_ $a hau- teur, le premier G $era égal au produit _ab_, & le $econd H $era égal au produit _c d_ de $a ba$e par $a hauteur: ain$i on aura G: H :: _a b_ : _c d_. C. Q. F. D.
500. Commelestriangles $ont moitiés des parallélogrammes
501. Si les produits _a b_, _c d_ des ba$es par les hauteurs $ont égaux, les parallélogrammes G, H, qui $ont comme ces pro- duits, $eront au$$i égaux; au$$i-bien que les triangles, qui $ont la moitié des mêmes parallélogrammes; d’où l’on déduit cette propo$ition générale: deux parallélogrammes ou deux trian- gles $ont égaux, lor$qu’ils ont des ba$es réciproques à leurs hauteurs; & réciproquement, $i deux triangles ou deux paral- lélogrammes $ont égaux, ils ont des ba$es réciproques à leurs hauteurs; car pui$que _a b_ = _c d_, on aura _a_: _c_ :: _d_: _b_.
502. Il $uit encore de cette propo$ition, que $i deux trian- gles ou deux parallélogrammes $ont $emblables, ils $eront en- tr’eux comme les quarrés de leurs ba$es ou de leurs hauteurs: car pui$que ces triangles $ont $uppo$és $emblables, les ba$es & les hauteurs $eront proportionnelles: ain$i on aura _a_: _c_ :: _b_: _d_, & _a_: _c_ :: _a_: _c_, multipliant ces deux proportions par ordre, il viendra _a a_: _cc_ :: _a b_: _c d_; donc pui$que la rai$on de _a_<_>2 à _c_<_>2 e$t égale à celle de _a b_ à _c d_, on aura G: H :: _a_<_>2: _c_<_>2, c’e$t-à-dire que les parallélogrammes $emblables, ou les triangles qui en $ont les moitiés, $ont entr’eux comme les quarrés de leurs ba$es, ou comme s’expriment les Géometres en rai$on dou- blée de leurs ba$es.
503. Si l’on a trois lignes en proportion continue, je dis que le quarré fait $ur la premiere, e$t au quarré fait $ur la $econde, comme la premiere ligne e$t à la troi$ieme, c’e$t-à-dire, en repré$entant ces lignes par les lettres a, b, c, que $i l’on a, a: b :: b : c, on aura a<_>2: b<_>2 :: a : c.
Pour prouver que _aa_: _bb_ :: _a_: _c_, nous ferons voir que le pro-
duit des extrêmes e$t égal à celui des moyens, ou que _abb_ = _aac_.
Pour cela, faites attention que pui$que _par hypothe$e_ les trois
504. Il $uit de cette propo$ition, que $i l’on a trois lignes proportionnelles, non $eulement le quarré fait $ur la premiere e$t au quarré fait $ur la $econde, comme la premiere e$t à la troi$ieme; mais que tous polygones $emblables, réguliers ou irréguliers, faits $ur ces deux lignes, $eront entr’eux comme la premiere e$t à la troi$ieme: car comme les polygones $em- blables $ont entr’eux comme les quarrés de leurs rayons ou des côtés homologues, & que _par hypothe$e_, nos deux premieres lignes $ont des côtés homologues de ces polygones $emblables, le premier polygone $era au $econd, comme le quarré de la premiere ligne au quarré de la $econde, ou comme la premiere ligne à la troi$ieme. D’où il $uit, qu’ayant les $urfaces de deux polygones $emblables, on peut toujours a$$igner deux lignes qui $oient entr’elles, comme ces $urfaces.
505. Si l’on a deux lignes droites, que nous nommerons a & b, je dis que le rectangle compris $ous ces deux lignes, e$t moyen pro- portionnel entre les quarrés des mêmes lignes, c’e$t-à-dire que l’on aura aa: ab :: ab: bb.
Il e$t certain que la proportion _aa_: _ab_ :: _ab_: _bb_, doit avoir lieu, pui$que le produit des extrêmes & celui des moyens don- nent _a a b b_ = _a a b b_. C. Q. F. D.
_506_. Trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes
Pour trouver une moyenne proportionnelle entre les deux lignes A & B, il faut joindre ces deux lignes, en$orte qu’elles n’en fa$$ent qu’une $eule C D, ob$ervant de marquer le point E où elles $e joignent; il faut en$uite divi$er la ligne entiere en deux également au point F, & de cepoint, comme centre, décrire un demi-cercle. Pré$entement $i au point E, où les deux lignes $e joignent, on éleve une perpendiculaire E H, qui aille $e terminer à la circonférence, elle $era la moyenne que l’on cherche; ce qui e$t bien évident, pui$que par la propriété du cercle (art. 444), toute perpendiculaire, comme H E, e$t moyenne proportionnelle entre les parties C E & E D du dia- metre. Ain$i $uppo$ant que la ligne K $oit égale à H E, l’on aura les trois lignes proportionnelles A, K, B.
507. Si l’on vouloit avoir une moyenne proportionnelle entre deux nombres donnés, comme 4 & 9, il faudroit mul- tiplier ces deux nombres l’un par l’autre, & extraire la racine du produit 36, que l’on regardera comme le quarré de la moyenne, qui e$t 6, pui$que le quarré de cette moyenne e$t égal au produit des extrêmes 4 & 9; ce qui donne 4: 6 :: 6: 9.
Si le produit des deux nombres donnés n’e$t pas un quarré, ce qui arrivera toutes les fois que l’un des nombres, ou tous les deux, ne $eront point des quarrés, on ne pourra avoir la moyenne que l’on demande que par approximation, en $e $er- vant des décimales pour extraire la racine du produit. Il e$t encore à remarquer que la Géométrie nous donne exacte- ment ces lignes, quoiqu’elles $oient ce qu’on appelle _incom-_ _men$urables_, c’e$t-à-dire qu’elles n’aient aucune me$ure com- mune, $i petite qu’elle $oit, avec les lignes propo$ées. Par exemple, quoiqu’il pui$$e arriver que le nombre des parties de la ligne A ne $oit pas un nombre quarré, ain$i que ceux des parties de la ligne B, on trouve cependant la longueur exacte de la moyenne K, que l’on ne pourroit pas déterminer en nombres dans cette $uppo$ition.
_508_. Trouver une troi$ieme proportionnelle à deux lignes don- nées.
Si l’on veut trouver une troi$ieme proportionnelle à deux
Con$idérez que le triangle B G F a $es deux côtés B G, B F coupés proportionnellement par la ligne D E parallele à $a ba$e F G, _par con$truction_, & que par con$équent (art. 397) on a B D : D F :: B E: E G, mais B E étant égal à D F, _par con-_ _$truction_, on aura B D: D F :: D F: E G. Ain$i fai$ant la ligne O égale à E G, on aura les trois lignes continuement propor- tionnelles M, N, O.
509. Si l’on vouloit trouver une troi$ieme proportionnelle à deux nombres, il faut quarrer le $econd, & divi$er ce quarré par le premier; le quotient $era la troi$ieme proportionnelle demandée. Si le $econd nombre n’e$t pas divi$ible par le pre- mier, $on quarré ne $era pas non plus divi$ible par ce même premier nombre: ain$i l’on ne pourra trouver la troi$ieme pro- portionnelle que par approximation, en $e $ervant des fractions décimales. Surquoi l’on remarquera encore la différence de la Géométrie à l’Arithmétique dans la détermination des quan- tités, en ce que la premiere donne exactement la longueur des lignes que l’on cherche, $ans déterminer le nombre de leurs parties, & la $econde donne leur valeur exacte dans cer- tains cas, en fixant le nombre de lcurs parties; & dans d’au- tres, ne peut la donner que par une approximation, que l’on pou$$eroit ju$qu’à l’infini, $ans jamais arriver à la ju$te valeur.
On pourroit encore ré$oudre le dernier problême d’une au-
tre maniere, en $e $ervant du cercle. Qu’il faille, par exemple,
trouver une troi$ieme proportionnelle aux lignes B, K, on pren-
dra la ligne C E égale à la ligne B; $ur cette ligne on élevera
la perpendiculaire E H égale à la ligne K; on menera la ligne
C H, $ur laquelle on élevera la droite H D perpendiculaire,
qui ira rencontrer le prolongement de la ligne C E en D, &
déterminera la ligne E D, qui $era la troi$ieme proportionnelle
_510_. Trouver une quatrieme proportionnelle à trois lignes don-
Pour trouver une quatrieme proportionnelle aux trois lignes P, Q, R, il faut, comme dans la propo$ition précédente, faire un angle à volonté C S X; prendre $ur le côté C S la partie S V égale à la ligne P, & la partie V Z $ur le même côté égale à la ligne Q, & $ur l’autre côté S X, la partie S T égale à la ligne R; après quoi tirer la ligne T V, à laquelle on menera du point Z la parallele Z X, qui donnera la ligne T X égale à la quatrieme proportionnelle que l’on cherche.
Les côtés du triangle Z S X étant coupés par la ligne T V, parallele à la ba$e Z X, l’on aura (art. 393) S V : V Z :: ST : TX. Ain$i fai$ant la ligne Y égale à T X, l’on aura les quatre lignes proportionnelles, P, Q, R, Y. C. Q. F. T. & D.
511. Pour trouver une quatrieme proportionnelle à trois nombres donnés, il n’y a qu’à faire la Regle de Trois ordi- naire, pui$que cette Regle n’e$t autre cho$e que l’art de trouver une grandeur quatrieme proportionnelle à trois autres don- nées. On va voir dans les problêmes $uivans, l’u$age qu’on peut faire des précédens, & les propriétés des lignes propor- tionnelles.
_512_. Faire un quarré égal à un rectangle.
Pour faire un quarré égal à un rectangle A C, il faut cher-
cher une moyenne proportionnelle entre les côtés inégaux A B
& B C du rectangle donné, & le quarré de cette moyenne $era
égal au rectangle donné. Pui$que la ligne D E e$t moyenne
513. Comme nous avons prouvé qu’un cercle e$t égal à un rectangle compris $ous la moitié de la circonférence, & la moitié du diametre (art. 485), il s’en$uit que le quarré d’une ligne qui $eroit moyenne proportionnelle entre le demi-dia- metre & la demi-circonférence, $eroit égal au cercle.
_514_. Trouver un quarré qui $oit à un autre dans une rai$on
Pour trouver un quarré qui $oit au quarré C B dans une rai- $on donnée, par exemple, de 3 à 5, je fais une ligne G H, égale aux trois cinquiemes du côté A B; en$uite entre les li- gnes A B & G H, je cherche une moyenne proportionnelle E F, $ur laquelle je fais le quarré I F, qui $era les trois cin- quiemes du quarré C B: car comme les trois lignes A B, E F, G H $ont en proportion continue, on aura A B<_>2 : E F<_>2 :: A B : G H; mais G H e$t, _par con$truction_, les trois cinquiemes de A B: donc au$$i E F<_>2 $era les trois cinquiemes du quarré A B<_>2.
515. Cette propo$ition doit s’entendre, non $eulement des quarrés, mais encore de toutes les figures. Par exemple, $i l’on vouloit faire un pentagone irrégulier quelconque $emblable à un autre pentagone irrégulier, & qui eût avec lui une rai$on donnée, on chercheroit une moyenne proportionnelle entre un côté quelconque du pentagone propo$é, & une ligne qui au- roit avec ce côté, la rai$on donnée: $ur cette moyenne ain$i déterminée, comme côté homologue, on décriroit le penta- gone demandé, & l’on trouveroit les autres côtés par une $im- ple Regle de Trois, en $e $ervant des triangles $emblables, comme on a vu (art. 510). Cette propo$ition fournit un moyen pour réduire des figures quelconques de grand en petit, ou de petit en grand, dans un rapport quelconque.
_516_. Trouver le rapport de deux figures $emblables.
Pour trouver le rapport de deux figures $emblables A & B,
Pour le prouver, con$idérez que pui$que les polygones A & B $ont $emblables, on a A : B :: C D<_>2: E F<_>2, & que pui$- que les trois lignes C D, E F, G H $ont en proportion conti- nue, on a C D<_>2 : E F<_>2 :: C D : GH, d’où l’on tire A : B :: CD : GH. C. Q. F. T. & D.
_517_. Faire un rectangle égal à un autre qui ait un côté dé-
L’on demande de faire un rectangle égal au rectangle B C, en$orte qu’il ait un de $es côtés égal à la ligne donnée D E.
Pour cela, il faut chercher une ligne qui $oit quatrieme pro- portionnelle à la ligne donnée D E (art. 510), & aux deux côtés A C & A B du rectangle; en$uite $i l’on fait un rectan- gle $ous la ligne donnée D E, & $ous la quatrieme que l’on aura trouvée, ce rectangle $era égal au rectangle B C.
Pour le prouver, con$idérez que $i l’on a fait le rectangle G H, dont le côté F G $oit égal à la proportionnelle trouvée, & le côté F H égal à D E, on aura F G: A B :: A C: F H; donc F G x F H = A B x A C. C. Q. F. D.
518. Il $uit de cette propo$ition, que $i l’on a plu$ieurs rectan- gles, dont les ba$es & les hauteurs $oient inégales, on pourra les réduire tous à la même hauteur; & après cela, $i l’on veut, n’en faire qu’un $eul, égal à tous les autres pris en$em- ble, en lui donnant pour ba$e une ligne égale à la $omme de toutes les ba$es, & pour hauteur, la hauteur commune.
519. Comme on peut réduire toutes les figures rectiligne des triangles, & que de chaque triangle on peut faire un rectan- gle, il $uit encore, que $i l’on donne la même hauteur aux rec- tangles provenus des triangles, on pourra, en les rédui$ant tous dans un $eul, faire un quarré égal à une figure rectiligne, compo$ée d’un grand nombre de côtés, & même à la $omme de plu$ieurs figures rectilignes, pui$qu’on n’aura qu’à chercher une moyenne proportionnelle entre les côtés du rectangle égal à la figure rectiligne propo$ée, ou à la $omme des figures données.
520. Toutes la théorie des rapports des figures $emblables ou non $emblables, e$t fondée $ur les propo$itions que nous venons de démontrer. Mais comme toutes les figures géomé- triques droites ou courbes $ont compo$ées de triangles, pour rendre cette partie encore plus complette, nous allons ajouter deux Théorêmes $ur les propriétés des triangles con$idérés par rapport à leurs $uperficies, & dont la connoi$$ance ne peut être que très-utile dans la Géométrie pratique.
Le premier que j’ai tiré d’un Livre de M. _Scooten_, Com-
mentateur de la Géométrie de M. _De$cartes_, & qu’on ne trouve
dans aucun Livre d’Elément, peut-être mis au rang des pro-
po$itions les plus géérales que l’on pui$$e donner $ur les rap-
ports des triangles. J’aurois même pu commencer par cette
propo$ition le Traité des rai$ons des figures géométriques, &
en déduire toutes les propo$itions que nous venons de voir, $i
cela ne m’eût engagé dans des changemens trop con$idérables,
aimant mieux le faire ici en peu de mots; ce qui ne peut qu’af-
fermir les Commençans dans cette partie, qui e$t ab$olument
néce$$aire pour entendre la $uite. On peut encore faire un
grand u$age de cette propo$ition dans la Géodé$ie ou divi$ion
des champs. Rien de plus curieux que la $implicité avec la-
quelle M. _Scooten_ ré$out plu$ieurs problêmes, qui $ans le $e-
cours de cette propo$ition, paroîtroient très - compliqués. Le
$econd théorême donne la maniere de trouver la $urface d’un
triangle quelconque, dont on connoît les trois côtés. Nous
avons déja vu que cette connoi$$ance $uffit pour en avoir la
_521_. Deux triangles quelconques _B A C, E D F_ qui ont un
Sur le côté A C du triangle B A C, $oit pri$e la partie A H = D F, & $ur A B la ligne A L = D E, & $oient menées les lignes L H, B H. Les triangles L A H, E D F ayant, _par hypo-_ _the$e_, un angle égal compris entre côtés égaux, _par con$truc-_ _tion_, $eront égaux en tout. Cela po$é, à cau$e des triangles A H L, A H B, qui ont même $ommet en H, & des triangles A B H, A B C, qui ont même $ommet en B, & qui $ont en- tr’eux dans la rai$on de leurs ba$es, on aura les proportions $uivantes. A L H : A B H :: A L : A B, & A B H : A B C :: A H : A C; donc en multipliant par ordre A L H x A B H : A B C x A B H :: A L x A H, ou E D x D F: A B x A C, ou en divi$ant les deux premiers termes par la même grandeur A B H, & mettant à la place du triangle A L H $on égal D E F, on aura E D F : A B C :: E D x D F : A B x A C. C. Q. F. D.
Des $ommets B, E de chaque triangle, $oient abai$$ées $ur les ba$es A C, D F les perpendiculaires B K, E M: les $urfaces des triangles étant égales aux produits des hauteurs par les moitiés des ba$es, $eront proportionnelles aux produits des ba$es par les hauteurs, & donneront A B C: D E F :: A C x B K : D F x E M; mais les triangles A B K, D E M $ont $em- blables, ayant, outre l’angle droit, un angle égal de part & d’autre, l’angle A du premier égal à l’angle D du $econd: donc A B : D E :: B K : E M, ou en multipliant les deux anté- cédens par A C, & les deux con$équens par D F, A B x A C : D E x D F :: B K x A C : E M x D F; mais nous venons de voir que A B C : D E F :: B K x A C : E M x D F; donc A B C : D E F :: A B x A C : D E x D F. C. Q. F. D.
522. Il $uit des deux démon$trations précédentes, que la propo$ition e$t encore vraie dans le cas où les angles des deux triangles $eroient $eulement $upplément l’un de l’autre. Pour le prouver, $oit prolongée la ligne F D en G, de maniere que G D = F D, & $oit tirée E D: les triangles G E D, D E F, ayant des ba$es égales, & leur $ommet au même point $eront égaux en $uperficie: donc pui$que A B C: D E F : : A B x A C: D E x D F, on aura au$$i, en mettant à la place du triangle D E F $on égal G D E, & à la place du rectangle D E x D F $on égal D E x D G, A B C: G D E :: A B x A C : G D x D E.
523. Comme les parallélogrammes $ont doubles des trian- gles de même ba$e & de même hauteur, il s’en$uit que deux parallélogrammes quelconques, qui ont un angle égal ou $up- plément l’un de l’autre, $ont entr’eux comme les produits des côtés qui comprennent cet angle.
524. Si les côtés qui comprennent l’angle égal $ont réci- proques, c’e$t-à-dire $i l’on a cette analogie AB : DE :: DF : AC, les rectangles A B x A C, D E x D F $eront égaux: donc les triangles ou les parallélogrammes qui $ont dans la rai$on de ces rectangles $eront au$$i égaux. On voit par-là que les ar- ticles 390 & 395 deviennent des corollaires trés-$imples de cette propo$ition. On peut donc établir généralement, que _deux triangles ou deux parallélogrammes $ont égaux, lor$qu’ils_ _ont un angle égal ou des angles $upplémens l’un de l’autre, compris_ _entre des côtés réciproques_.
525. On pourroit au$$i déduire de cette propo$ition la pro-
priété commune à toutes les figures $emblables, d’être en-
tr’elles comme les quarrés des côtés homologues: car les figures
$emblables étant toutes compo$ées de triangles $emblables,
& les triangles $emblables ayant les côtés homologues propor-
tionnels, ceux qui contiendront des angles égaux, $eront des
côtés homologues: donc pui$que ces triangles $ont entr’eux
526. On peut encore faire u$age de cette propo$ition pour
Pour faciliter l’intelligence de la propo$ition $uivante, qui $eroit un peu compliquée pour des Commençans, nous allons expliquer dans les deux Lemmes $uivans tout ce qu’il e$t né- ce$$aire de $çavoir pour la comprendre ai$ément.
_527_. Un triangle _B A C_ étant donné, lui in$crire un cercle
Il e$t ai$é de voir que tout $e réduit à trouver un point G
au dedans du triangle, qui $oit tel qu’en abai$$ant $ur chaque
côté les perpendiculaires G D, G E, G F, ces trois lignes $oient
égales entr’elles: car pui$que le cercle doit être in$crit au trian-
gle, chaque côté $era une tangente de ce cercle, & par con$é-
quent perpendiculaire à l’extrêmité des rayons G D, G E, G F.
Suppo$ons pour un moment que le point G e$t celui qu’on de-
mande, & qu’on ait menées les perpendiculaires GD, GE, GF
_528_. Suppo$ant toutes cho$es, comme dans le problême précé- dent, $i l’on prolonge le côté _A B_ d’une quantité _B K = F C_, je dis 1<_>0. que la ligne _A K_ $era égale à la demi-$omme des trois côtés: 2<_>0. Quelle $era la $omme des trois différences de la demi-$omme des trois côtés à chacun des mêmes côtés?
1<_>0. Pui$que l’on a AE = AD, BE = BF, DC = CF, la $om me des trois côtés $era 2A E + 2B E + 2C F, ou 2A E + 2B E + 2B K, pui$que B K = C F (_con$truction_) : donc la demi- $omme des trois côtés $era A E + E B + B K = A K. C. Q. F. 1<_>0. D.
2<_>0. Pui$que A K e$t égal à la demi-$omme des trois côtés,
il e$t évident que B K e$t l’excès de la même demi-$omme $ur
le côté A B; de même A E e$t l’excès de la demi-$omme $ur
B E + B K, ou $ur $on égal B F + F C, c’e$t-à-dire $ur le côté
B C; &enfin B E e$t l’excès de la demi-$omme $ur B K + A E,
ou $ur leurs égales D C + A D, c’e$t-à-dire $ur le troi$ieme
côté A C: donc A K e$t la $omme des trois différences de
529. On remarquera encore que le triangle B A C e$t par- tagé par les lignes G B, G C, G A en trois triangles A G C, A G B, B G C, qui ont tous pour hauteur le rayon du même cercle: donc la $urface de ce triangle $era égale à la $omme de celles des trois triangles, c’e$t-à-dire que l’on aura cette égalité B A C = {AB/2} x G E + {AC/2} x G E + {BC/2} x G E = {A B + A C + B C/2} x G E = A K x G E. Cette remarque e$t en- core ab$olument néce$$aire pour l’intelligence du théorême $uivant.
_530_. La $urface d’un triangle quelconque _B A C_ e$t égale à la racine quarrée d’un produit de quatre dimen$ions, fait de la demi- $omme des trois côtés, multipliée par les différences de chacun des côtés à la même demi-$omme.
Sur le côté B C $oit pri$e la ligne B M = F C, qui donnera C M = F B, en ôtant des lignes égales la partie commune F M; $oit prolongé le côté A C d’une quantité C H = B F ou C M: on aura A H = A K, pui$que les parties qui compo$ent ces deux lignes $ont égales. Aux points K, M, H, $oient éle- vées $ur chacune des lignes corre$pondantes B K, B C, C H les perpendiculaires K I, M I, H I qui $e rencontreront toutes en un $eul & même point I, & $eront toutes égales entr’elles; car pui$que B M = B K, en tirant B I, les triangles rectangles B M I, B K I auront, outre l’angle droit, deux côtés égaux cha- cun à chacun B M = B K, & le côté B I qui leur e$t com- mun: donc K I = M I; on feroit voir de même que M I = H I, pui$que les lignes C M & C H $ont égales: on prolongera en- $uite la ligne A G, qui pa$$era au$$i par le point I, comme il e$t ai$é de le voir, à cau$e des quadrilateres A E G D, A K I H, qui $ont évidemment $emblables, pui$que les lignes G D, G E $ont égales entr’elles, & paralleles aux lignes I H, I K au$$i égales entr’elles; & que les lignes A D, A E $ont au$$i égales entr’elles, ain$i que les lignes A H, A K.
Cette con$truction $uppo$ée, il e$t ai$é de voir que les qua-
drilateres E G B F, M B K I $ont $emblables, ayant chacun deux
angles droits, les côtés E G, G F égaux entr’eux, de même
que les côtés B K, B M, l’angle E B F du premier égal à l’angle
en I du $econd, pui$qu’ils $ont chacun $upplément du même
angle M B K, & que dans tout quadrilatere, les quatre angles
valent quatre droits: donc les triangles G E B, B K I, qui $ont
les moitiés de ces quadrilateres, $eront $emblables, & donne-
ront I K: B K : : BE : GE, d’où l’on tire IK x GE = BK x BE;
mais G E<_>2 : IK x GE::GE: I K, & à cau$e des triangles $emblables
A E G, A K I; GE : I K :: AE : AK; donc GE<_>2 : IK x GE
ou B K x B E :: A E : A K; & prenant le produit des extrêmes
& des moyens G E<_>2 x A K = B K x B E x A E : & multipliant
encore chaque membre par A K, G E<_>2 x A K<_>2 = B K x B E
x A E x A K, d’où l’on déduit, en prenant les racines de part
& d’autre, G E x A K, ou (art. 529) la $urface du triangle
B A C =
531. ON appelle _pri$me_, un $olide terminé par deux poly-
gones $emblables & égaux, paralleles entr’eux, & par autant
de parallélogrammes que le polygone qui lui $ert de ba$e a de
côtés: tel e$t le $olide cotté A. On appelle _axe du pri$me_ une
532. On appelle _cylindre_, un $olide engendré par le mou-
vement d’un cercle qui $e meut parallélement à lui même le
long d’une ligne A B. Le cercle inférieur de ce $olide e$t ap-
533. Si d’un point quelconque A, pris au dehors d’un poly-
534. Si le polygone qui $ert de ba$e à la pyramide e$t un
cercle, alors on lui-donne le nom de _cône_. On peut donc ima-
giner qu’un cône e$t formé par la révolution d’une droite C A,
On peut encore imaginer que le cône droit e$t formé par la révolution d’un triangle rectangle A D C, autour d’un des côtés de l’angle droit C D; mais on ne peut pas $uppo$er que le cône oblique $oit formé par la révolution d’un triangle obli- qu’angle, autour de quelqu’un de $es côtés; ain$i la premiere définition étant plus générale, e$t au$$i la meilleure.
535. On appelle _cône tronqué droit_, un $olide formé par la
536. La _$phere_ e$t un $olide terminée par une $eule $urface
537. _Segment $phérique_ ou _portion de $phere_, e$t un $olide
compris $ous une partie de la $urface de la $phere & la $urface
d’un cercle; où l’une des deux parties inégales A B C & A D C
538. On appelle _zone_ une partie A B C D de la $urface d’une
539. Le _$ecteur de $phere_ e$t un $olide terminé en pointe au
centre de la $phere, qui a pour ba$e une partie de la $urface de
la $phere, comme C O H. On peut imaginer que le $ecteur
540. _Orbe_ e$t un corps $phérique, qui e$t terminé par deux
541. Comme on peut concevoir un orbe d’une épai$$eur in- finiment petite, il s’en$uit qu’une $phere peut être con$idérée comme compo$ée d’une infinité d’orbes, dont le plus grand e$t la $urface de la $phere, & le plus petit e$t celui qui va $e terminer à zero, au centre de la $phere.
542. On appelle _angle $olide_ celui qui e$t formé par la ren-
contre de plu$ieurs plans qui $e terminent à un même point,
tel e$t, par exemple, l’angle E qui e$t compo$é des plans
_543_. La $urface de tout pri$me droit, $ans y comprendre les
Si le pri$me droit a pour ba$e un exagone régulier, il $era renfermé par $ix rectangles, tels que D E: donc $i la ligne F G e$t égale à la $omme des côtés du polygone, pris en$emble, elle $era $extuple du côté A D; & comme les rectangles E D, F H ont la même hauteur, le rectangle F H $era $extuple du rectangle E D, & par con$équent égal à la $urface du pri$me. C. Q. F. D.
544. Le cylindre ayant pour ba$e un cercle, que l’on peut regarder comme un polygone d’une infinité de côtés, il s’en- $uit que le rectangle qui aura pour ba$e une ligne droite égale à la circonférence du cercle qui $ert de ba$e au cylindre, & pour hauteur celle du cylindre, que l’on $uppo$e droit, $era égal à la $urface du même cylindre.
On démontreroit de même que la $urface d’un pri$me droit quelconque, dont la ba$e $eroit un polygone irrégulier, comme on voudra, e$t égale à celle d’un rectangle qui auroit même hauteur que le pri$me, & une ba$e égale à la $omme des côtés du polygone.
_545_. La $urface d’une pyramide droite quelconque, comme _ABC_,
Imaginons que la pyramide A B C D E a pour ba$e un exa- gone régulier; comme elle e$t $uppo$ée droite, elle $era renfer- mée par $ix triangles égaux au triangle D B E: donc $i l’on a un triangle G H I, dont la ba$e H I $oit $extuple de la ba$e D E du triangle D B E, & dont la hauteur $oit égale à celle du même triangle, la $urface de ce dernier triangle G H I $era $extuple de celle du triangle D B E: donc elle $era égale à la $urface dela pyramide, $ans y comprendre la ba$e. C.Q.F.D.
546. Si la pyramide n’avoit pas pour ba$e un polygone régu- lier, la perpendiculaire menée du $ommet de la pyramide $ur chaque côté ne $eroit pas la même pour tous les triangles, quoi- que la pyramide fût droite, & cela arriveroit encore dans le cas où la pyramide ayant pour ba$e un polygone régulier, ne $eroit pas droite. Dans ces deux cas, il faut chercher la $urface de chacun des triangles en particulier, & la $omme de ces $ur- faces $era la $urface de la pyramide.
547. Un cône droit pouvant être regardé comme une py- ramide droite d’une infinité de côtés, il s’en$uit que $a $urface $era égale à celle d’un triangle, qui auroit pour ba$e une ligne égale à la circonférence du cercle qui lui $ert de ba$e, & pour hauteur une ligne égale au côté du cône.
_548._ Les parallelepipedes & les pri$mes droits $ont dans la rai- $on compo$ée des rai$ons de leurs trois dimen$ions, ou comme les produits de leurs trois dimen$ions.
Nous avons vu (art. 26), que pour trouver la $olidité des parallelepipedes, il falloit multiplier le produit des deux di- men$ions de leurs ba$es par leurs hauteurs. Si donc on a deux pri$mes, dont l’un $oit A & l’autre B, dont les dimen$ions du premier $oient _a_, _b_, _c_; & les dimen$ions du $econd _d_, _e_, _f_; le $olide du premier pri$me, ou ce pri$me lui-même, $era égal à _abc_, & le $olide du $econd pri$me, ou ce prime lui-même, $era _d e f_: donc on aura A: B:: _a b c_: _d e f_; mais la rai$on de _a b c_ à _d e f_ e$t compo$ée des trois rai$ons de _a_ à _d_, de _b_ à _e_, de _c_ à _f_: donc les pri$mes $ont en rai$on compo$ée de leurs trois dimen$ions, ou comme les produits de leurs dimen$ions. C. Q. F. D.
549. Les pri$mes & les cylindres étant compo$és d’un nom- bre infini de plans égaux, & $emblables à ceux de leurs ba$es, on peut dire que pui$que le nombre de ces plans e$t exprimé par la hauteur de ces $olides, il faudra, pour en trouver la va- leur, multiplier la ba$e par la hauteur: donc pui$que la $olidité des pri$mes & des cylindres dépend du produit de leur trois dimen$ions, il s’en$uit qu’ils $eront entr’eux dans la rai$on compo$ée de celles des mêmes dimen$ions.
550. Il $uit encore delà que l’on trouvera toujours le rap-
_551._ Toute pyramide, comme _A B C D E_, e$t le tiers d’un pri$me
Suppo$ant que la ba$e A C $oit un quarré, nous nommerons A D ou D C _a_, A H ou E F _b_, & la perpendiculaire E G {1/2} _a_, pui$qu’elle e$t moitié de I K ou de A D.
Con$idérez que $i du pri$me A K on retranche la pyramide
A B C D E, il re$tera quatre autres pyramides telles que A H I E B,
qui $ont toutes égales entr’elles, ayant chacune pour ba$e un
des rectangles A H I B de la $urface du pri$me, & pour hauteur
une perpendiculaire égale à E G. Or $i l’on multiplie _a a_, qui
e$t la ba$e A C, de la pyramide A E C par $a hauteur E F, qui
e$t _b_, on aura _a a b_ pour le produit de $es trois dimen$ions; &
multipliant au$$i _a b_, qui e$t la ba$e de la pyramide A H I E B,
par $a hauteur E G, qui e$t {1/2} _a_, on aura {_aab_/2} pour le produit de
$es trois dimen$ions. Ain$i la pyramide A B C D E e$t à la
pyramide A H I E B, comme _a a b_ e$t à {_aab_/2}; donc la premiere
e$t double de la $econde (art. 550), pui$que ces pyramides $ont
entr’elles comme les produits de leurs trois dimen$ions. Mais
552. Pui$que la pyramide A B C D E e$t le tiers du pri$me A K, $i l’on coupe cette pyramide par un plan B E D, qui pa$$e par le $ommet E & les angles oppo$és de la ba$e, ce plan di- vi$era la pyramide totale en deux autres pyramides égales, & le pri$me quarré en deux autres pri$mes, pareillement égaux entr’eux, pui$que chacun a même ba$e & même hauteur: donc pui$que la pyramide totale e$t le tiers du pri$me total, la pyramide triangulaire $era au$$i le tiers du pri$me triangulaire. D’où il $uit qu’une pyramide quelconque e$t toujours le tiers d’un pri$me de même ba$e & de même hauteur, parce que l’on peut concevoir un pri$me pentagonal, par exemple, comme compo$é de cinq pri$mes triangulaires, & une pyramide pen- tagonale, comme au$$i compo$ée de cinq pyramides triangu- laires, & comme chacune $era le tiers du pri$me corre$pon- dant, la pyramide totale $era au$$i le tiers du pri$me total.
553. Il $uit de cette propo$ition, que pour trouver la $olidité d’une pyramide telle que A B C D E, qui a pour ba$e un quarré, il faut multiplier la ba$e, c’e$t-à-dire le quarré A D, par le tiers de la hauteur de la pyramide, qui e$t la perpendiculaire C H, ou bien multiplier la ba$e par toute la hauteur, & prendre le tiers du produit.
554. Si l’on coupe la pyramide droite A C D par un plan F C G,
Il e$t bien important de comprendre ce corollaire, parce que nous nous en $ervirons dans les démon$trations $uivantes.
555. Il $uit encore delà, que pour trouver la $olidité d’une
pyramide droite A B C, qui a pour ba$e un polygone quelcon-
556. Comme le cône A B C e$t compo$é d’une infinité de
_557._ Si l’on a deux pyramides, _A B C_ & _H L K_, dont la hau-
Suppo$ant que la ba$e A C $oit un exagone régulier, & la ba$e H K un quarré, nous nommerons le côté M N, _a_; la perpendiculaire D G, _b_; le côté H I ou I K, _c_; & la hauteur B D ou L O, _d_. Cela po$é, la ba$e A C $era {6_ab_/2} ou 3_ab_, & la ba$e H K $era _c c_, & multipliant les deux ba$es par le tiers de la hauteur commune (art. 553), c’e$t-à-dire par {_d_/3}, l’on aura {3_abd_/3} pour la valeur de la premiere pyramide A B C, & {_ccd_/3} pour la valeur de la pyramide H K L: ain$i il faut démontrer que _abd_: {_ccd_/3}:: 3_ab_: _c c_.
Cette proportion e$t évidente, pui$que le produit des ex- trêmes e$t égal à celui des moyens: car _a b d c c_ = {3_a b d c c_/3} = _a b d c c_. C. Q. F. D.
558. Les cônes étant des pyramides d’une infinité de côtés, il s’en$uit que lor$qu’ils auront la même hauteur, ils $eront dans la rai$on de leurs ba$es. Il en $era de même pour les pri$mes & les cylindres qui $ont triples des pyramides ou des cônes de même ba$e & de même hauteur: car $i les parties $ont entr’elles comme les tous, réciproquement les tous $ont entr’eux comme leurs parties de même nom.
_559._ Si l’on a deux pri$mes _X_ & _Y_, dont les ba$es & les hau-
Pour le prouver, nous $uppo$erons que _a b_ e$t la ba$e du pri$me X, & _c d_ celle du pri$me Y, _e_ la hauteur du pri$me Y, & _f_ celle du prime X; cela étant, _par hypothe$e_, on a _a b_: _c d::e:f_; donc _a b f_=_c d e_: or comme le premier membre de cette équation e$t le produit des trois dimen$ions du pri$me X, & le $econd le produit des trois dimen$ions du pri$me Y, il s’en$uit évidemment que ces pri$mes $ont égaux. C. Q. F. D.
560. Il $uit de cette propo$ition, que les cylindres, les pyra- mides & les cônes qui ont leurs ba$es & leurs hauteurs réci- proques, $ont égaux chacun à chacun. La démon$tration e$t la même que la précédente.
561. Une pyramide tronquée, comme _A B E D_, e$t égale à une
Con$idérant la figure H K L I, comme étant la coupe de la pyramide tronquée, coupée par un plan perpendiculaire à $a ba$e, & qui pa$$eroit par $on $ommet, & le triangle H M I, comme la coupe de la pyramide entiere, nous nommerons le côté A D, _a_; K L ou B C, _b_; l’axe M G, _c_; le petit axe M F de la pyramide K M L, _d_: ain$i l’axe F G de la pyramide tronquée $era _c-d_, & l’on aura _aa+bb+ab_ pour la ba$e de la pyramide égale à la pyramide tronquée; car _a b_ e$t moyen proportionnel entre _a a & b b_ (art. 505). Ain$i il faut prouver que le produit de _aa_ + _bb_ + _ab_ par {_c-d_/3}, qui e$t {_aac+bbc+abc-aad-bbd-abd_/3}, e$t égal au $olide de la pyramide tronquée.
Faites attention que la pyramide tronquée e$t égale à la di$-
férence de la pyramide entiere & de la pyramide emportée;
que la pyramide entiere H M I e$t {_aac_/3}, & que la petite pyra-
Pour prouver cette équation, on fera attention qu’à cau$e des triangles $emblables H M I, K M L, on a HI:KL::MG:MF, ou _a:b::c:d_; ce qui donne _ad_=_bc_: en mettant donc _b c_ à la place de _a d_ dans le quatrieme & $ixieme terme du $econd membre de cette équation, on aura celle-ci {_aac-bbd_/3}= {_aac+bbc+abc-abc-bbd-bbc_/3}, dans laquelle, effaçant ce qui $e détruit, on aura {_aac-bbd_/3}={_aac-bbd_/3}. C. Q. F. D.
562. Il $uit de cette propo$ition, que pour trouver la valeur d’une pyramide quarrée tronquée, il faut multiplier le côté de la ba$e inférieure de cette pyramide par le côté de la ba$e $upé- rieure, pour avoir le plan _a b_, moyen entre les deux, & ajouter ce plan à la $omme des deux ba$es inférieure & $upérieure, puis multiplier le tout par le tiers de la perpendiculaire F G.
563. Si la ba$e de la pyramide n’étoit pas un quarré, pour avoir le plan moyen, il faudroit multiplier les deux plans l’un par l’autre, & en extraire la racine: mais on peut trouver ce plan d’une maniere plus $imple, comme on le va voir.
Suppo$ons que la ba$e de la pyramide e$t un pentagone ré-
gulier, la ba$e $upérieure de la pyramide $era au$$i un penta-
gone régulier, & $emblable à celui de la ba$e inférieure, parce
que l’on $uppo$e la pyramide coupée par un plan parallele à
cette ba$e. Soit 2_a_ le contour du premier polygone, & _b_ la per-
pendiculaire qui me$ure la hauteur d’un triangle: $oit pareil-
lement 2_c_ le contour du polygone, qui e$t la ba$e de la pyra-
mide emportée, & _d_ la perpendiculaire qui me$ure la hauteur
d’un triangle: on aura la $urface du premier polygone, en
multipliant la hauteur d’un triangle par la moitié du contour:
564. Comme un cône tronqué e$t compo$é d’une infinité de cercles, qui $ont tous dans la rai$on des quarrés qui com- po$ent une pyramide tronquée, il s’en$uit que pour en trouver la $olidité, il faut chercher un cercle moyen entre les deux cercles oppo$és, ajouter cette $omme avec les deux qui $ervent de ba$e, & multiplier le tout par le tiers de l’axe compris entre les deux cercles; il faut au$$i entendre la même cho$e de toute autre pyramide tronquée, $oit que $a ba$e $oit réguliere, $oit qu’elle $oit irréguliere.
_565_. Une ligne moyenne proportionnelle entre les parties _E G_
Con$idérez que par la nature du cercle, la ligne G H e$t moyenne proportionnelle entre les parties E G & G F du dia- metre; & à cau$e du triangle rectangle D G H, on a GH<_>2 = DH<_>2-DG<_>2: & commeles cercles $ont en mêmerai$on que les quarrés de leurs rayons, on aura le cercle de G H égal au cer- cle de D H moins le cercle de D G; mais la couronne e$t au$$i égale à la différence des cercles décrits du rayon DH & du rayon D G: donc la couronne e$t égale au cercle du rayon G H, ou d’une ligne moyenne entre les parties du diametre. C. Q. F. D.
_566_. Si l’on a une demi-$phere _A E D_ in$crite dans un cylindre
Prolongez le diametre B C ju$qu’en F, en$orte que B F $oit égale à B A, & tirez la ligne F A, qui donnera letriangle i$o$- cele A B F.
Si l’on $uppo$e que la demi-$phere & le cylindre $ont coupés
par un plan GL parallele à la ba$e A D, cette $ection formera
la couronne G H, & $i l’on abai$$e du point H la perpendi-
culaire H I $ur le diametre A D, elle $era, _par le lemme précé-_
_dent_, le rayon du cercle égal à la couronne G H, pui$qu’elle
e$t moyenne proportionnelle entre les parties A I & I D, ou
G H & H L qui leur $ont égales. Or comme les lignes H I,
G A, G K $ont égales, _par con$truction_, il s’en$uit que la cou-
ronne G H $era égale au cercle, qui auroit pour rayon la ligne
corre$pondante G K, qui e$t un des élémens du triangle A B E;
& comme le triangle e$t compo$é d’autant d’élémens qu’il y a
de couronnes dans l’e$pace qui e$t entre la demi-$phere & le
567. Pui$qu’une demi-$phere e$t les deux tiers du cylindre où elle $eroit in$crite, c’e$t-à-dire de même ba$e & de même hauteur, il s’en$uit que pour en trouver la $olidité, il faut mul- tiplier $on plus grand cercle A D par les deux tiers du rayon M E.
568. Une demi-$phere étant les deux tiers d’un cylindre de même ba$e & de même hauteur, une $phere $era par con$é- quent les deux tiers du cylindre, qui auroit pour ba$e le grand cercle de la $phere, & pour hauteur le diametre: ain$i il faut, pour trouver la $olidité d’une $phere, _multiplier $on grand cercle_ _par les deux tiers du diametre_, ou bien multiplier le grand cer- cle par le diametre, & prendre les deux tiers du produit.
569. Si l’on con$idere qu’un quart de cercle e$t compo$é
d’un nombre infini d’élémens, tels que D E, on verra que $i
_570_. Les $olidités des $pheres $ont dans la même rai$on que les
Si l’on nomme le diametre A B, _a_, $a circonférence, _b_, le diametre C D, _c_, & $a circonférence, _d_, la $uperficie du grand cercle de la premiere $phere $era {_ab_/4}, pui$qu’il faut mul- tiplier la demi-circonférence par le rayon pour avoir la $ur- face d’un cercle; de même la $uperficie du grand cercle de la $econde $phere $era {_cd_/4} multipliant en$uite l’un & l’autre, cha- cun par les deux tiers de $on diametre, l’on aura {2_a_<_>2_b_/12} ou {_a_<_>2_b_/6} pour la $olidité de la premiere $phere (art. 568), & par la même rai$on {_cd_/6} pour la $olidité de la $econde $phere: il faut donc démontrer que {_aab_/6}: {_ccd_/6}:: _a_<_>3: _c_<_>3.
Pour prouver que {_aab_/6}: {_ccd_/6}:: _a_<_>3: _c_<_>3, nous ferons voir que dans ces quatre termes le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens, c’e$t-à-dire que {_aabc_<_>3/6} = {_a_<_>3_dcc_/6}. Pour cela, con- $idérez que les diametres des cercles étant en même rai$on que leurs circonférences (art. 481), on aura _a_: _b_:: _c_: _d_, d’où l’on tire _a d_ = _b c_, & que $i l’on met _a d_ à la place de _b c_ dans le premier membre de l’équation précédente, elle deviendra, en multipliant chaque membre par 6, _aaadcc_ = _aaadcc_. C. Q. F. D.
571. On appelle corps ou $olides _$emblables_ ceux dont
572. Il $uit de la définition précédente & de la derniere propo$ition, que toutes les pyramides, pri$mes, cylindres, ou cônes $emblables, $eront entr’eux comme les cubes des dimen- $ions homologues; de leurs axes, par exemple, de leurs hauteurs, ou, comme s’expriment les Géometres, dans la rai$on triplée de leurs dimen$ions homologues.
Il pourroit arriver, comme nous l’avons déja in$inué, que
deux corps qui ont des ba$es $emblables, fu$$ent entr’eux com-
me les cubes de leurs hauteurs, $ans qu’on en pui$$e conclure
qu’ils $ont $emblables. Imaginons deux pri$mes, qui ont cha-
cun pour ba$e des pentagones $emblables, & des hauteurs
proportionnelles aux côtés homologues de ces pentagones, mais
le premier droit, & le $econd oblique. Soit 2_a_ le contour de la
ba$e du premier; _b_, la perpendiculaire qui me$ure la hauteur
d’un des triangles de la ba$e, & _c_ $a hauteur: $oit de même
2_d_ le contour du polygone qui $ert de ba$e au $econd pri$me, _f_
la hauteur d’un triangle, & _g_ la hauteur de ce pri$me. La $oli-
dité du premier $era _a b c_, & celle du $econd $era _d f g_, pui$-
qu’il faut multiplier la ba$e de chacun par $a hauteur, & l’on
auroit dans ce cas _a b c_: _d f g_:: _a_<_>3: _d_; ce qu’il e$t ai$é de prou-
ver, en fai$ant voir que le produit des extrêmes e$t égal à ce-
lui des moyens, ou que _a b c d_ = _d f g a_<_>3: car pui$que les po-
lygones qui $ervent de ba$es $ont $emblables, leurs contours
ou les moitiés de ces contours $ont proportionnels aux per-
pendiculaires qui me$urent les hauteurs des triangles: donc
On a $uppo$é dans cette remarque & dans ce qui pré- cede, qu’un pri$me oblique e$t égal au produit de $a ba$e par $a hauteur; ou, ce qui revient au même, que deux pri$mes $ont égaux, lor$qu’ils $ont compris entre deux plans paral- leles: $i l’on veut $e convaincre de cette vérité, il n’y a qu’à faire attention qu’un pri$me peut être engendré par le mouve- ment d’un parallélogramme qui $e meut parallélement à lui- même, & comme les parallélogrammes inclinés $ont égaux au rectangle de même ba$e, & compris entre les mêmes pa- ralleles, il s’en$uit que les pri$mes droits & obliques, engen- drés par les mouvemens de ces $urfaces, $eront au$$i égaux, pui$que les $urfaces génératrices $ont égales, & parcourent le même e$pace parallélement à elles-mêmes.
_573_. La $urface d’une demi-$phere _A E D_ e$t égale à celle du
Suppo$ant que le cylindre A C & le cône G H I ont la même
ba$e & la même hauteur, nous nommerons _a_ les lignes égales
F E, F D, K H, K I, & _b_ les circonférences A D & G I. Cela
po$é, on aura {_a b_/2} pour la valeur du cercle A D ou G I, qui
étant multiplié par les deux tiers de F E ({2_a_/3}) donnera {2_aab_/6}
= {_aab_/3} pour la valeur de la demi-$phere (art. 567 & 568), &
Si l’on imagine la demi-$phere, comme étant compo$ée d’une infinité de petits cônes, qui ont leurs ba$es égales, ré- pandues $ur la $urface de la $phere, & dont tous les fommets venant aboutir au centre F, ont pour hauteur commune le rayon, on pourra dire que tous ces petits cônes $ont égaux, pris en$emble, à un $eul qui auroit pour ba$e la $urface de la $phere, & pour hauteur le rayon. Or comme la valeur de ce cône, égal à la demi-$phere, e$t {_aab_/3}, & que celle du cône G H I e$t {_aab_/6}, ces deux cônes ayant la même hauteur, il s’en- $uit qu’ils $eront dans la rai$on des ba$es, c’e$t-à-dire comme le cercle G I e$t à la $urface de la $phere, que l’on trouvera, en di$ant: Comme {_aab_/6}, valeur du cône G H I, e$t à {_aab_/3}, valeur du cône égal à la $phere, ain$i {_ab_/2}, ba$e du cône G H I, e$t à la ba$e du $econd cône, ou autrement à la $urface de la demi- $phere, que l’on trouvera {6_a_<_>3_b_<_>2/6_a_<_>2_b_} = _a b_, qui e$t un rectangle égal à la $urface du cylindre, pui$qu’il e$t compris $ous la hauteur _a_ & la circonférence _b_. C. Q. F. D.
Con$idérez que $i du cylindre A C l’on retranche le cône
B F C, qui en e$t le tiers, le $olide A B F C D qui re$tera, que
574. La $urface du cylindre A C ayant pour ba$e la circon- férence du grand cercle de la $phere, & pour hauteur le rayon, il s’en$uit que la $urface d’une demi-$phere e$t égale au rectan- gle compris $ous une ligne droite égale à la circonférence de $on grand cercle, & $ous le rayon; & que par con$équent la $urface d’une $phere e$t égale au rectangle compris $ous une ligne égale à la circonférence de $on grand cercle & $ous $on axe: ain$i pour trouver la $urface d’une $phere, il faut mul- tiplier le diametre de $on grand cercle par $a circonférence.
575. Le grand cercle d’une demi-$phere étant la moitié du rectangle compris $ous la circonférence & $ous le rayon, il s’en$uit que la $urface d’une demi-$phere e$t double de $on grand cercle; & par con$équent la $urface de la $phere entiere e$t quadruple de celle du même grand cercle.
576. Comme les cercles $ont dans la même rai$on que les quarrés de leurs rayons (art. 495), il s’en$uit qu’un cercle qui aura un rayon double d’un autre, aura une $urface quadruple: par con$équent la $urface d’une $phere e$t égale à celle d’un cercle, qui auroit pour rayon l’axe de la même $phere.
577. Comme les $urfaces de $pheres $ont égales à des cer- cles qui auroient pour rayons les diametres des $pheres, & ces cercles étant comme les quarrés de leurs rayons, qui $ont ici les diametres des $pheres, il s’en$uit que les $urfaces des $pheres $ont entr’elles comme les quarrés de leurs diametres.
_578._ La $olidité d’une zone _A B C D_ e$t égale aux deux tiers
Comme l’on trouve la valeur de toutes les couronnes qui $ont entre la zone & le cylindre A E F D, en multipliant la plus grande couronne E B par le tiers de la ligne E A ou O I (art. 566), il s’en$uit que ce produit e$t égal au tiers de l’e$- pace E G ou F H qui regne entre les deux cylindres A E F D G B C H; & que par con$équent la partie A B G de la zone qui regne autour du cylindre en e$t les deux tiers. Or $i l’on retranche de ce cylindre le cône B I C, qui en e$t le tiers, il re$tera l’entonnoir G B I C H, qui en $era les deux tiers, ain$i la partie A B I C D de la zone vaudra les deux tiers du cylin- dre A E F D; mais comme le cône B I C, qui fait au$$i partie de la zone, e$t le tiers du cylindre G B C H, il faut ajouter ce cône aux deux tiers du cylindre A E F D pour avoir la $o- lidité de la zone: ain$i cette $olidité e$t égale aux deux tiers du cylindre A E F D, plus au tiers du cylindre G B C H. C. Q. F. D.
579. Il $uit de cette propo$ition, que $i l’on coupe une demi-
580. Il $uit encore delà que la $olidité d’un $ecteur $phé-
rique tel que C I B P, e$t égale aux deux tiers du cylindre
581. Il $uit encore de cette propo$ition, que le $egment $phé-
582. Si l’on coupe une demi-$phere in$crite dans un cylindre
L’entonnoir A F C G E étant égal à la partie A B C D E
583. Comme la $urface de la demi-$phere A H E e$t égale
à celle du cylindre A I, & que la $urface de la zone A B D E
e$t égale à celle du cylindre A G, il s’en$uit que la $urface du
$egment B H D de la $phere, e$t égale à celle du cylindre cor-
584. Il $uit encore de cette propo$ition, que $i l’on coupe une demi-$phere in$crite dans un cylindre par un plan parallele à la ba$e, les parties de la $urface de la demi-$phere $eront égales aux zones corre$pondantes du cylindre.
585. Les $urfaces des cylindres F I & A G ayant des ba$es égales, $eront dans la même rai$on que leurs hauteurs H K & K C; & comme le premier cylindre e$t égal à la partie de la $urface B H D de la demi-$phere, & le $econd à la partie A B D E, il s’en$uit que les parties de la $urface de la demi- $phere $ont dans la même rai$on que les parties H K & K C du demi-diametre, la demi-$phere étant coupée par un plan B D parallele à $on grand cercle.
586. L’on peut dire encore que $i l’on coupe une $phere par un plan perpendiculaire à l’axe, les parties de la $urface $phé- rique $eront dans la même rai$on que les parties de l’axe.
587. Lor$que trois lignes a, b, c $ont en proportion continue, le parallelepipede fait $ur ces trois lignes, e$t égal au cube fait $ur la moyenne: ain$i il faut prouver que $i l’on a, a : b :: b : c, on aura a b c = b b b.
Pui$que par hypothe$e _a : b :: b : c_, on aura _a c_ = _b b_: ain$i en mettant dans l’équation _a b c_ = _b b b_, _a c_ à la place de _b b_, on aura _a b c_ = _a b c_. C. Q. F. D.
588. Lor$que quatre lignes $ont en progre$$ion géométrique, le
cube fait $ur la premiere, e$t au cube fait $ur la $econde, comme
Con$idérez que dans la progre$$ion {../..} _a. b. c. d_, les trois pre- miers termes donnent _a c_ = _b b_, pui$que l’on a _a : b :: b : c_, & que l’on aura au$$i _a d_ = _b c_, pui$que _a : b :: c : d_. Ain$i pour prouver que _a : b :: a : d_, il $uffit de faire voir que le produit des extrêmes & celui des moyens donnent _a d_ = _ab_. Pour cela, il n’y a qu’à mettre _a c_ à la place de _b b_ dans le $econd membre de l’équation, & _b c_ à la place de _a d_ dans le premier, & l’on aura _a a b c_ = _a a b c_. C. Q. F. D.
589. Trouver deux moyennes proportionnelles entre deux lignes
Pour trouver deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données A B & C D, il faut faire un rectangle $ous les deux lignes, tel que E F $oit égale à C D, & E G égal à A B; en$uite prolonger indéfiniment les côtés E F, E G, & du centre I du rectangle, décrire un cercle de ma- niere que la circonférence venant couper les lignes prolongées G K & F L, on pui$$e mener du point K au point L une ligne K L, qui ne fa$$e que toucher l’angle H, & l’on aura les lignes G K & F L, qui $eront moyennes proportionnelles entre G E & E F, c’e$t-à-dire entre les données A B & C D.
Con$idérez que $i l’on abai$$e les perpendiculaires I M &
I N, la corde O L $era divi$ée en deux également au point M
(art. 423) au$$i-bien que la ligne E F, & que par con$équent
O E e$t égale à F L, & que K P étant divi$ée en deux égale-
ment au point N, au$$i-bien que G E, G K $era égale à E P.
Cela po$é, comme les triangles O E P, H F L, K G H $ont
$emblables, on aura H F : F L :: E O : E P; mais pui$que O E
e$t égal à F L, on aura H F : F L : : F L : E P; & comme les
deux triangles $emblables E O P, G K H donnent encore
590. Le problême précédent e$t celui qu’on appelle com- munément la _duplication du cube_, parce qu’il $ert à faire un cube double d’un autre, ou qui ait avec lui une rai$on don- née; il $eroit à $ouhaiter qu’on pût le ré$oudre géométrique- ment $ans tâtonner: car on peut ai$ément reconnoître dans la con$truction précédente, qu’il faut décrire plu$ieurs cer- cles avant d’en trouver un, dont la circonférence venant à couper aux points K, L les lignes prolongées, l’on pui$$e tirer la ligne K L, qui ne fa$$e que toucher l’angle H; il e$t vrai qu’on peut encore le ré$oudre d’une autre façon, comme on le verra à la $uite des $ections coniques. Mais quoique la mé- thode que nous donnerons $oit plus géométrique que celle-ci, elle ne lai$$e pas d’avoir $es difficultés; cependant comme on $e $ert plus volontiers des nombres que des lignes dans la pra- tique, l’on va voir dans le problême $uivant la maniere dont on peut trouver en nombres deux grandeurs moyennes géo- métriques entre deux nombres donnés.
591. Trouver entre deux nombres donnés deux moyennes pro- portionnelles.
Pour trouver entre deux nombres deux moyennes propor- tionnelles, il faut cuber le premier nombre, & faire une Regle de Trois, dont les deux premiers termes $oient le premier & le $econd nombre donnés, le troi$ieme le cube du premier nombre donné, & le quatrieme terme étant trouvé, $era le cube de la premiere moyenne proportionnelle: ain$i pour trou- ver cette premiere moyenne, il faudra extraire la racine cube du quatrieme terme. Pour trouver en$uite la $econde moyenne, il faudra chercher une moyenne entre cette premiere trouvée & le dernier nombre donné.
Ain$i pour trouver deux moyennes proportionnelles entre 2 & 16, je cube le premier nombre 2, qui donne 8, & je fais la proportion 2 : 16 : : 8 : {8 x 16/2} = 4 x 16 = 64, dont la racine cube e$t 4, que je regarde comme la premiere de mes deux moyennes proportionnelles; pour avoir la $econde, je cherche un moyen géométrique entre cette premiere 4, & le $econd nombre donné 16, en fai$ant 4 : _x_ : : _x_ : 16, d’où je tire _xx_ = 64, & _x_ = 8 en prenant la racine, mes deux moyennes $eront donc 4 & 8: en effet, l’on a la progre$$ion {../..} 2 : 4 : : 8 : 16.
Si les nombres donnés étoient tels qu’on ne pût pas dans les opérations extraire les racines cubes & quarrées avec exacti- tude, il faudroit en ce cas $e $ervir des décimales, $uivant les méthodes expliquées (art. 158 & 159), afin d’approcher le plus près qu’il e$t po$$ible des racines, & d’avoir le plus exacte- ment qu’on pourra les moyennes demandées. Comme les Commençans pourroient ne pas entendre d’eux-mêmes la rai- $on des opérations que nous venons d’en$eigner pour trouver deux moyennes proportionnelles entre deux nombres donnés, en voici la démon$tration.
L’on a vu (art. 588), que lor$que quatre lignes $ont en progre$$ion géométrique, le cube fait $ur la premiere e$t au cube fait $ur la $econde, comme la premiere ligne à la qua- trieme. On peut donc dire _invertendo_, la premiere e$t à la $e- conde, comme le cube de la premiere e$t au cube de la $econde: ain$i connoi$$ant la premiere ligne & la quatrieme, avec le cube de la premiere, on a les trois premiers termes de cette Regle de Trois: donc on pourra trouver le cube de la $econde, dont la racine cube $era la même $econde. Mais quand on a une fois la $econde, on voit qu’il n’y a plus qu’à chercher une moyenne proportionnelle entre cette $econde & la quatrieme (qui n’e$t autre cho$e que le $econd nombre donné), & l’on aura la troi$ieme des quatre proportionnelles, qui $era en même-tems la $econde des deux inconnues que l’on cherche. C. Q. F. D.
_592._ Faire un cube qui $oit à un autre dans une rai$on donnée.
Pour faire un cube qui $oit au cube C, dans une rai$on
Les quatre lignes A B, F G, H I, D E étant en proportion continue, on aura le cube de la premiere au cube de la $econde, comme la premiere à la quatrieme; mais _par con$truction_, la quatrieme e$t les deux tiers de la premiere: donc le cube de la $econde F G e$t les deux tiers du cube C fait $ur la premiere. C. Q. F. D.
Si le côté du cube étoit exprimé en nombres, il faudroit de même en prendre les deux tiers, & chercher entre le tout & les deux tiers, deux moyennes proportionnelles; le cube fait $ur la premiere $era celui que l’on demande.
593. Comme les $pheres $ont dans la rai$on des cubes de leurs diametres ou de leurs rayons (art. 570), de même que les cylindres, les pri$mes, les pyramides & les cônes $embla- bles; il s’en$uit que pour trouver quelqu’un de ces $olides qui $oit à $on $emblable dans une rai$on donnée, il faut agir à l’égard de leurs dimen$ions homologues, des axes, par exem- ple, comme on vient de faire à l’égard des côtés des cubes; & après avoir trouvé la dimen$ion homologue, qui e$t ici l’axe, l’on n’aura qu’à en faire l’axe d’un $olide $emblable au $olide propo$é, en cherchant les autres dimen$ions qui $oient toutes proportionnelles aux dimen$ions corre$pondantes, & dans la rai$on de l’axe du premier à l’axe du $econd.
_594_. Faire un cube égal à un parallelepipede.
Pour faire un cube qui $oit égal au parallelepipede A E, il
Pour le prouver, nous prendrons G D égal à F G, pour avoir le cube G O, nous nommerons F G ou G H, ou G D, _a_; G K, _b_; & N O, _c_: ain$i le parallelepipede F I $era _a a b_, le cube F M $era _a a a_, le cube de N O $era _c c c_: il faut donc prouver que _a a b_ = _c c c_.
Le cube F M & le parallelepipede F I ayant la même ba$e F H, $eront dans la rai$on de leurs hauteurs G D & G K, d’où l’on tire _a a a_: _a a b_ : : _a_: _b_; & à cau$e des quatre proportion- nelles, on verra que le cube fait $ur la premiere, e$t au cube fait $ur la $econde, comme la premiere à la quatrieme, ce qui donne _a a a_ : _c c c_ : : _a_ : _b_; donc pui$que ces deux proportions ont la même derniere rai$on, on aura _a a a_ : _a a b_ : : _a a a_ : _c c c_; mais _a_<_>3 = _a_<_>3 : donc _a a b_ = _c c c_. C. Q. F. D.
Si les dimen$ions du parallelepipede donné étoient expri- mées en nombres, on n’auroit (pour trouver un cube égal au parallelepipede) qu’à multiplier les trois dimen$ions l’une par l’autre pour avoir le $olide du parallelepipede, & extraire la racine cube du produit, qui $era le côté du cube demandé.
595. L’on voit par cette propo$ition, qu’il n’y a point de $olide qu’on ne pui$$e réduire en cube; car les cônes & les $pheres pouvant $e réduire en cylindres, & les pyramides en pri$mes, $i on change la ba$e des cylindres & des pri$mes en quarrés qui leur $oient égaux, on aura des parallelepipedes, que l’on réduira ai$ément en cube par le problême que nous venons de ré$oudre.
COmme tous les Livres qui traitent des Elémens de Géométrie
ne parlent point des Sections Coniques, la plûpart de ceux qui
étudient ces Elémens s’en tiennent là, $ans s’embarra$$er de les
chercher ailleurs, dans la pen$ée que cette étude e$t plus curieu$e
que néce$$aire, & ne convient qu’aux per$onnes qui veulent $e
donner toutes entieres aux Mathématiques: cependant il e$t $i
utile de les $çavoir, que $i on les ignore, il n’e$t pas po$$ible de
ré$oudre les Problêmes les plus communs de la Géométrie pratique,
particuliérement de cette Géométrie pratique qui convient à l’In-
génieur & à l’Officier d’Artillerie: car $i le premier veut toi$er
des voûtes $urbai$$ées, il faut qu’il $çache comme on trouve la
$uperficie d’une ellip$e, que l’on appelle communément ovale, &
qui e$t une des Sections coniques. Si le $econd veut $çavoir l’art
de jetter les bombes, il ne le peut encore $ans connoître les pro-
priétés de la Parabole, qui e$t au$$i une des Sections coniques.
Et pour être bien convaincu de la néce$$ité de $çavoir au moins les
principales propriétés des Sections coniques, il ne faut que lire
_l’Application de la Géométrie à la pratique_, l’on verra que les
plus belles opérations en dépendent ab$olument. Cependant malgré
cela, les Sect<007>ons coniques $eroient bien peu de cho$e, $i elles n’a-
voient d’autres u$ages que ceux que l’on trouvera ici; elles $ont
$i néce$$aires à un homme, qui $ans vouloir devenir grand Géo-
Je ne parle point de ceci dans cet Ouvrage, parce que je ne donne que les principales propriétés des Sections coniques, ayant eu $eulement pour objet de les faire connoître à ceux qui ont du goût pour la Géométrie, afin de leur in$pirer l’envie d’aller plus loin, & d’ailleurs pour m’en $ervir dans les endroits où je ne pourrois m’en pa$$er. Mais s’il $e trouvoit de ces per$onnes dont je viens de parler, qui ne $e bornent point à voir un Livre de Géométrie, je leur con$eille d’étudier l’excellent Traité des Sec- tions Coniques de M. le Marquis de l’Hôpital, qui e$t ce que nous avons de meilleur dans ce genre. Et comme je me $uis $ervi dans ce que je donne ici d’une façon de démontrer fort approchante de la $ienne, je ne doute pas qu’on n’ait une grande facilité à comprendre cet Auteur, $i l’on entend bien ce qui $uit, qui en e$t en quelque $orte l’introduction.
596. SI l’on a une ligne droite A B perpendiculaire $ur la
597. La ligne A C B e$t nommée l’_axe_ de la parabole.
598. Le point A e$t appellé le point _générateur_, la ligne O P _directrice_, & le point D le _foyer_.
599. Le point C e$t appellé _origine de l’axe_ ou _$ommet de la_ _parabole_, parce que c’e$t de ce point que l’on $uppo$e avoir commencé les lignes paralleles qui forment la parabole.
600. Chaque perpendiculaire, comme K E ou I G, ou M L, e$t appellée _ordonnée_ à l’axe A B.
601. Les parties C K, C I, C L de l’axe, compri$es entre le $ommet & la rencontre d’une ordonnée, $ont appellées _ab$ci$$es_ ou _coupées_ de l’axe C B.
602. Si au $ommet de la courbe on éleve une perpendicu- laire C N à l’axe C B, quadruple de A C, elle $era appellée _parametre de la parabole_.
603. Une ligne droite qui ne rencontre la parabole qu’en un $eul point, & qui étant prolongée à droite ou à gauche, ne peut pas la couper, mais tombe toujours au dehors, e$t ap- pellée _tangente_.
_604._ Dans la parabole, le rectangle compris $ous l’ab$ci$$e _C I_
Ayant nommé les données A C ou C D, _a_; les indétermi- nées ou lignes variables C I, _x_, & G I, _y_; A I ou D G qui lui e$t égal, _par la définition de la courbe_, $era _x_ + _a_; & D I ou C I - C D, $era _x_ - _a_, le parametre C N, par $a définition, $era 4_a_: il faut donc prouver que C I x C N = G I<_>2, ou que 4_ax_ = _yy_.
Con$idérez qu’à cau$e du triangle rectangle G I D, on a G D<_>2 = G I<_>2 + D I<_>2, d’où l’on tire G I<_>2 = G D<_>2 - D I<_>2; mais G D = A I = _x_ + _a_, ain$i G D<_>2 $era _x_<_>2 + 2_ax_ + _aa_, & D I = _x_ - _a_: donc D I<_>2 $era _xx_ - 2_ax_ + _aa_, & GI<_>2 = _yy_: on aura donc cette équation, _yy_ = _xx_ + 2_ax_ + _aa_ - _xx_ + 2_ax_ - _aa_ = 4_ax_, en effaçant ce qui $e détruit. C. Q. F. D.
_605_. Dans la parabole, je dis que les quarrés des ordonnées _E K, G I_ $ont entr’ eux comme leurs ab$ci$$es _C K, C I;_ ou, ce qui e$t la même cho$e, que les quarrés de deux ordonnées quelconques & de leurs ab$ci$$es, donneront cette proportion _EK<_>2 : GI<_>2 :: CK : CI_.
Les quarrés des ordonnées étant égaux aux rectangles com- pris $ous leurs ab$ci$$es & le parametre, ces quarrés $ont en- tr’eux comme les rectangles auxquels ils $ont égaux; mais comme tous ces rectangles ont une hauteur commune, qui e$t le parametre, ils $eront dans la rai$on de leurs ba$es (art. 391): donc on aura E K<_>2 : G I<_>2 :: CK : CI. C. Q. F. D.
606. Si à l’origine de l’axe C B on mene une perpendiculaire C S, & que des points E, G, M de la courbe, on mene les per- pendiculaires $ur la ligne C S, il s’en$uit qu’il y aura même rai- $on du quarré C Q<_>2 au quarré C R<_>2, que de la ligne Q E à la ligne R G, pui$que les lignes C Q & C R $ont égales aux or- données K E & I G, & que les lignes Q E & R G $ont égales aux ab$ci$$es C K & C I.
Nous nous $ervirons de ce corollaire dans la $uite, pour faire voir que les boulets & les bombes décrivent des paraboles dans l’e$pace qu’ils parcourent, depuis le lieu d’où ils $ont pou$$és, ju$qu’à l’endroit où ils vont tomber.
607. Comme les quarrés des ordonnées qui $ont à droite &
à gauche de l’axe $ur une même ligne $ont égaux au rectangle
608. Comme l’on peut prendre des lignes C L $i grandes que l’on voudra, & terminer le point M toujours de la même maniere, en fai$ant D M = C L, il s’en$uit que la courbe peut s’étendre à l’infini, & que $es deux branches s’éloignent con- tinuellement de l’axe.
_609_. Mener une tangente à une parabole par un point donné.
Pour mener une tangente à une parabole par un point donné E, tirez de ce point au foyer C la ligne E C, & du mêmepoint la parallele E D à l’axe, qui $era perpendiculaire à la directrice A H, qu’elle rencontrera dans un point D; joignez la ligne D C, & $i vous menez la ligne E G qui pa$$e par le milieu I de la ligne D C, & par le point E donné; je dis qu’elle $era tangente à la parabole, ou, ce qui revient au même, qu’elle ne la touchera qu’au $eul point E; tirez les lignes F D & F C par deux points quelconques de la ligne E I, & les paralleles F H, F H à l’axe A K, & la ligne E K perpendiculaire au même axe.
Pui$que le point E e$t à la parabole, la ligne E C menée de
ce point au foyer C e$t égale à la ligne A K, par la définition
de la parabole, ou à la ligne E D qui lui e$t égale, à cau$e du
rectangle E D A K. De plus, _par con$truction_, la ligne E G
divi$e la ligne D C en deux également au point I: donc cette
ligne e$t perpendiculaire $ur D C, pui$qu’elle a deux points
E, I, également éloignés de $es extrêmités; donc cette ligne
pa$$era par tous les points également éloignés des mêmes ex-
trêmités, tels que $ont les points F, F; mais dans les triangles
rectangles D H F, l’hypoténu$e D F = F C, e$t plus grande
610. Il $uit de cette con$truction que l’angle D E C e$t
611. Il $uit du dernier corollaire, que $i l’on place un point lumineux au foyer C, tous les rayons qui partiront de ce point, $e réflechiront à la rencontre de la parabole, $uivant des lignes paralleles à l’axe; car c’e$t un principe dans la catoptrique, que tout rayon réflechi fait avec le plan de réflexion, l’angle de réflexion égal à celui d’incidence. Or il e$t vi$ible que la tangente au point E peut repré$enter le plan de réflexion; & par con$équent le rayon parti du foyer C, $uivant la ligne C E, $e réflechira $uivant la ligne E R. Réciproquement tous les rayons paralleles à l’axe d’une parabole, interceptés par le péri- metre de cette courbe, $e réfléchiront au foyer F. Il faut en- tendre la même cho$e de tout corps à re$$ort différent de la lu- miere. Ain$i une petite bille d’yvoire que l’on pou$$eroit, $ui- vant R E, $e détourneroit à la rencontre de la courbe pour $uivre la ligne E C.
612. Si du point d’attouchement E l’on mene l’ordonnée E K à l’axe de la parabole, la ligne G K $era nommée _$outan-_ _gente_.
613. Si on éleve une perpendiculaire _E M_ au point de contin-
Comme les lignes D C & E M $ont paralleles, étant toutes deux, _par con$truction_, perpendiculaires $ur L G, ain$i que les lignes E K & A D, qui $ont toutes deux perpendiculaires à l’axe, il s’en$uit que les triangles rectangles D A C, E K M $ont égaux en tout: donc A C = K M, ou la moitié du parametre qui e$t 2_a_. C. Q. F. D.
614. Nous $ervant de la même figure, je dis que la $outan-
Le parametre de cette parabole étant 4a (art. 604), K M $era 2a, par la derniere propo$ition; & à cau$e des triangles rectangles $emblables G K E, E K M (art. 406), l’on aura cette proportion K M (2a) : K E (_y_) :: K E (_y_): {K E<_>2/K M} ({_y y_/2_a_})=K G, & $i dans l’équation K G = {_yy_/2a}, on met 4ax à la place de _yy_, auquel il e$t égal (art, 605), on aura K G = {4ax/2a} = 2x. C. Q. F. D.
615. L’on tire de cette propo$ition un moyen fort ai$é de mener une tangente à une parabole: car, par exemple, pour mener la ligne L G qui $oit tangente à la parabole au point E, il n’y a qu’à abai$$er du point E la perpendiculaire E K $ur l’axe B M, & faire la ligne B G égale à l’ab$ci$$e B K; & par les points G, E, mener la ligne G E L.
616. Si du point A, où une droite A B touche la parabole,
617. Si l’on tire une ligne _C D_ parallele à la tangente _N B_,
Du point A menez l’ordonnée A G, & des points C, E, D les lignes H C I, E F, D L paralleles à l’ordonnée A G; pro- longez le diametre O A ju$qu’à la rencontre de la ligne H C. Cela po$é, nous nommerons M F, _m_; I F ou H E, _t_; F L ou E K, _u_: ain$i F I $era _m_ - _t_; & M L _m_ + _u_: nous nommerons de même M G, _x_; A G, _y_; G F $era _m_ - _x_. Ain$i il faut prouver que E C e$t égal à E D, ou que H E (_t_) = E K (_u_); ce qui e$t la même cho$e: car $i H K e$t divi$é en deux égale- ment au point E, la droite C D le $era au$$i au même point.
Les triangles B G A & E H C, E K D $ont $emblables, parce
qu’ils ont les côtés paralleles chacun à chacun, & donnent les
deux proportions $uivantes B G (2_x_) : A G (_y_) :: E K (_u_):
D K ({_uy_/2_x_}), & B G (2_x_) : A G (_y_) :: E H (_t_): C H ({_ty_/2_x_}).
Ayant ain$i déterminé les valeurs des lignes D K, C H, on a
celles des ordonnées C I, D L: car C I = I H - C H, ou
A G - C H = _y_ - {_ty_/2_x_}; & de même D L = K L + D K =
A G + D K = _y_ + {_uy_/2_x_}. Mais par la propriété de la parabole,
les quarrés des ordonnées C I, A G, D L $ont entr’eux comme
leurs ab$ci$$es; ce qui donne les deux proportions $uivantes:
A G<_>2 (_yy_) : C I<_>2 (_yy_ - {_ty_<_>2/_x_} + {_ttyy_/4_xx_}) :: MG (_x_) : MI (_m_-_t_). Et
A G<_>2 (_yy_) : D L<_>2 (_yy_ + {_uy_<_>2/_x_} + {_uuyy_/4_xx_}) :: MG (_x_) : ML (_m_+_u_),
d’où l’on tire les deux équations $uivantes, _myy_ - _tyy_ = _xyy_
- _ty_<_>2 + {_ttyy_/4_x_}, & _myy_ + _uyy_ = _xyy_ + _uy_<_>2 + {_uuyy_/4_x_). Pré$en-
618. Toute ligne, comme E C ou E D, menée paralléle- ment à la tangente A B, e$t nommée _ordonnée_ au diametre A O.
619. Si l’on cherche une troi$ieme proportionnelle à la ligne B M & à la tangente A B, cette ligne $era appellée le _para-_ _metre_ du diametre A O.
620. Il $uit de la définition précédente, que $i l’on tire une ligne du foyer P au point d’attouchement A, une ligne qua- druple A P $era égale au parametre du diametre A O.
Pour le prouver, nous $uppo$erons que le point S e$t le point générateur; ce qui donnera G S = P A (art. 596). Et $i l’on nomme S M ou M P, _a_; M G, _x_; A G, _y_; nous aurons G S ou A P = _x_ + _a_, & par la premiere propo$ition 4_ax_ = _yy_. Cela po$é, $i on nomme _p_ le parametre du diametre A O, on aura par la définition précédente (art. 619) M B (_x_) : AB :: AB : _p_; donc _p x_ = A B<_>2; mais à cau$e du triangle rectangle A B G, A B<_>2 = A G<_>2 + G B<_>2 = 4_ax_ + 4_xx_: donc _px_ = 4_ax_ + 4_xx_, ou en divi$ant tout par _x, p_ = 4_a_ + 4_x_ = 4A P. C. Q. F. D.
621. Le quarré d’une ordonnée quelconque _E C_ à un diametre _A O_ e$t égal au rectangle compris $ous l’ab$ci$$e _A E_, & $ous le parametre du diametre _A O_ (ou, ce qui e$t la même cho$e, $ous une ligne quadruple de _A P_). Les cho$es demeurant les mêmes que dans la propo$ition précédente; les lignes $eront nommées avec les mêmes lettres, excepté la ligne _A E_, que nous nommerons z, qui étant égale à _F G_, $era m - x.
Il faut d’abord ajouter les deux équations que nous avons
trouvées dans le théorême précédent, après avoir mis _t_ à la
place de _u_ qui lui e$t égal; ce qui donnera _myy_ + _tyy_ + _myy_
- _tyy_ = _xyy_ + _tyy_ + {_ttyy_/4_x_} + _xyy_ - _tyy_ + {_ttyy_/4_x_}; d’où l’on
tire, en fai$ant la réduction, 2_myy_ = 2_xyy_ + {_ttyy_/2_x_}, ou en fai-
$ant évanouir la fraction, 4_mxyy_ = 4_xxyy_ + _ttyy_, qui étant
divi$ée par _yy_, donne 4_mx_ = 4_xx_ + _tt_; & fai$ant pa$$er 4_xx_
du $econd membre dans le 1<_>er 4_mx_-4_xx_ ou
622. On voit par ce théorême que la propo$ition premiere
devient générale, pui$que non $eulement le quarré d’une or-
donnée à l’axe e$t égal au rectangle compris $ous le parametre
de l’axe & $ous l’ab$ci$$e, mais que le quarré de toute ordon-
née à un diametre quelconque, e$t au$$i égal au rectangle com-
pris $ous l’ab$ci$$e corre$pondante & le parametre de ce dia-
metre. Mais pour mieux faire entendre ceci, con$idérez que
$i la ligne R T e$t tangente au point M, extrêmité de l’axe,
toutes les ordonnées à l’axe $eront paralleles à cette tangente,
On pourra remarquer que $i le point A approchoit plus du point M, il pourroit arriver que le point C tomberoit au-delà de l’axe M L, & qu’il y tombât encore dans le cas où l’on prendroit une ab$ci$$e A E plus grande $ur le diametre, $uppo$é toujours au même point A; mais cela n’empêcheroit pas que tout ce que nous avons démontré ne $ub$i$tât de même, de quelque façon que la ligne D C pui$$e $e trouver dans la para- bole, pui$qu’elle $era toujours divi$ée en deux également par le diametre, lor$qu’elle $era parallele à la tangente.
623. Il $uit au$$i de ce que nous avons vu, & de la remarque précédente, 1<_>0. que le parametre de l’axe e$t le plus petit de tous les parametres: 2<_>0. Que $i l’on prend $ur l’axe & $ur un diametre quelconque des ab$ci$$es égales, les ordonnées au diametre $eront plus grandes que celles de l’axe, pui$que leurs quarrés $ont égaux aux rectangles d’une même ab$ci$$e par des parametres différens, & que d’ailleurs le parametre d’un diametre quelconque e$t plus grand que celui de l’axe.
624. Pui$que le quarré d’une ordonnée à un diametre quel- conque e$t égal au produit de l’ab$ci$$e par le parametre, qui e$t une grandeur con$tante pour chaque diametre, & variable $uivant les différens diametres, il $uit qu’en dé$ignant par _p_ le parametre d’un diametre quelconque, par _x_, l’ab$ci$$e pri$e $ur le même diametre, à commencer de l’origine du diametre, & par _y_, l’ordonnée corre$pondante à cette ab$ci$$e, on aura toujours _y y_ = _p x_ pour l’équation qui renferme les propriétés de la parabole, $oit par rapport aux diametres, $oit par rap- port à l’axe. Si l’on $uppo$e que l’ab$ci$$e $oit pri$e $ur l’axe, & qu’elle $oit égale au quart du parametre, cette équation deviendra _y y_ = {1/4}_pp_, d’où l’on tire _y_ = {1/2}_p_, & en doublant 2_y_ = _p_; ce qui montre que la double ordonnée qui pa$$e par le foyer e$t égale au parametre; ce qui e$t encore vrai par rap- port à un diametre quelconque, comme on peut ai$ément le reconnoître, $i l’on conçoit bien ce que nous avons expliqué (art. 622).
625. Si l’on coupe un cône par un plan parallele à un de $es
Si l’on a coupé le cône A B C par un plan parallele à un de $es côtés B C, je dis que la $ection qui $era, par exemple D E I, aura formé $ur la $urface du cône une courbe DHEKI qui $era une parabole. Suppo$ons encore que le cône a été coupé par un plan L M parallele à $a ba$e, la $ection $era un cercle, dont les lignes F K & F H $eront des perpendiculaires au diametre LM, & en même-tems des ordonnées de la courbe, parce que l’on $uppo$e que le plan coupant E D I e$t perpen- diculaire au plan du triangle A B C, que l’on appelle le triangle par l’axe. Cela po$é, prenez $ur le côté B C la partie B O égale à F M, & du point O, menez à F M la parallele O N, qui $era le parametre de la parabole; car nous démontrerons que le rectangle compris $ous N O, & l’ab$ci$$e E F, e$t égal au quarré de l’ordonnée F K; après avoir nommé les lignes B O ou F M, _a_; N O, _p_; E F, _x_, & F K, _y_.
Les triangles BNO, EFL ayant les côtés paralleles chacun à chacun, $eront $emblables, & donneront BO (_a_) : ON (_p_) :: EF (_x_) : F L ({_px_/_a_}), d’où l’on tire B O x F L, ou F M x F L = O N x EF, & analytiquement _p x_ = {_apx_/_a_}; mais par la pro- priété du cercle F M x F L = F K: donc on aura _p x_ = _y y_. C. Q. F. D.
626. Si le triangle par l’axe e$t équilatéral, la ligne F M compri$e entre l’axe de la parabole & le côté B C du cône, $era égale au parametre de la parabole; car il e$t évident que l’ab$ci$$e LF $era dans ce cas égale à l’ab$ci$$e E F.
627. Décrire une parabole, le parametre étant donné.
Pour décrire une parabole, dont la ligne A B $oit le pa- rametre, prenez dans une ligne telle que E K, les parties C E & C F, chacune égale au quart du parametre A B; en- $uite tirez $ur la ligne E K un nombre in déterminé de perpen- diculaires telles que G H, & faites les lignes F G, F H chacune égale à la ligne E I, ou, ce qui e$t la même cho$e, du point F comme centre avec le rayon E I, décrivez un arc de cercle qui coupe la ligne G H aux points déterminés H & G. La courbe qui pa$$era par ces points $era une parabole. La démon$tration e$t la même que celle de la premiere propo$ition.
628. Trouver l’axe d’une parabole donnée.
Pour trouver l’axe d’une parabole donnée CLI, on n’a
qu’à tirer par tels points que l’on voudra de la parabole deux
lignes A B & C D paralleles entr’elles, divi$er chacune de ces
lignes en deux également aux points E, F, & tirer par ces
points la ligne G F H qui $era un diametre, pui$qu’elle divi$e
Les lignes A B & C D étant des ordonnées au diametre G H, la ligne C I perpendiculaire à ce diametre, $era au$$i perpen- diculaire à l’axe, pui$que l’axe e$t parallele au diametre, & cette même ligne $era une double ordonnée à l’axe: donc la ligne K L qui pa$$e par $on milieu e$t l’axe demandé, pui$que l’axe divi$e $es doubles ordonnées en deux également.
629. Trouver le parametre d’une parabole donnée.
Pour trouver le parametre d’une parabole donnée, il ne faut que chercher à une ab$ci$$e quelconque L M, & à l’ordonnée corre$pondante M N, une troi$ieme proportionnelle (art. 602) qui $era, par exemple O P, & cette ligne O P $era le para- metre que l’on demande, pui$que le rectangle compris $ous L M & O P $era égal au quarré de l’ordonnée M N. (art. 604).
630. Trouver le foyer d’une parabole dont on connoît le para-
Pour trouver le foyer d’une parabole, il faut prendre dans l’axe L K une partie L Q, égale au quart du parametre O P, & le point Q $era le foyer qu’on demande; ce qui e$t bien évident, pui$que par la génération de la parabole, le parametre e$t quadruple de la di$tance du foyer Q au $ommet L de la para- bole (art. 620).
631. A Yant tiré $ur un plan deux lignes droites & inégales
632. La ligne A B e$t nommée _grand axe_ de l’ellip$e, & la ligne C D, qu’on $uppo$e perpendiculaire $ur le milieu de A B, e$t appellée _petit axe_. On dit au$$i que la ligne C D e$t _l’axe_ _conjugué_ à l’axe A B, & réciproquement que l’axe A B e$t con- jugué à l’axe C D.
633. Les lignes telles que F H, I L perpendiculaires à l’axe A B $ont appellées _ordonnées au même axe_; les lignes I K, F G $ont appellées _ordonnées du cercle_, & en les comparant aux or- données de l’ellip$e, qui en font partie, on les appelle toutes _ordonnées corre$pondantes_. D’où il $uit que _l’ellip$e e$t une courbe_ _dont les ordonnées $ont toujours aux ordonnées d’un cercle décrit_ _$ur $on grand axe dans un rapport con$tant, qui e$t celui du grand_ _axe_ A B _à $on conjugué_ C D; ce qui donne cette analogie pour une ordonnée quelconque F H; A B : C D :: F G : F H.
634. Si l’on cherche une troi$ieme proportionnelle aux axes A B & C D, telle que M N; cette ligne e$t nommée _parametre_ de l’axe qui occupe le premier terme de la proportion con- tinue.
635. Le point E, où les axes $e coupent à angles droits, e$t appellé _centre_ de l’ellip$e.
636. Si dans le grand axe A B d’une ellip$e on prend les
637. Les parties A F, F B d’un axe faites par la rencontre d’une ordonnée F G à cet axe, $ont appellées _ab$ci$$es_ ou _cou-_ _pées_ de cet axe, par rapport à l’ordonnée F G: on appelle au$$i quelquefois ab$ci$$es les parties compri$es entre le centre & la rencontre d’une ordonnée, comme E F; alors on dit que les ab$ci$$es ont leur origine au centre.
_638_. Dans l’ellip$e $i l’on mene une ordonnée _F H_ au premier
Ayant nommé les données A E ou E B, _a_; C E ou E D, _b_; & les indéterminées E F, _x_; F H, _y_; F G, _s_; A F $era _a_ - _x_; & F B _a_ + _x_. Cela po$é, il faut démontrer que l’on aura A F x F B : FH<_>2 :: A B<_>2 : CD<_>2, ou :: AE<_>2 : DE<_>2, ou que _aa_ - _x x_ : _y y_ :: _a_<_>2 : _b_<_>2.
Par la définition de l’ellip$e, chaque ordonnée étant qua- trieme proportionnelle au grand axe A B, au petit axe C D, & à l’ordonnée F G, on a A B : C D :: F G : F H, ou 2_a_ : 2_b_ :: _s_ : _y_ : donc AB<_>2 : CD<_>2 :: FG<_>2:FH<_>2, ou 4_a_<_>2 : 4_b_<_>2 :: _ss_ : _yy_. Mais par la propriété du cercle, le quarré de l’ordonnée F G e$t égal au produit de $es ab$ci$$es, ou A F x F B = F G<_>2, & analytiquements _ss_ = _a a_ - _x x_ : donc en mettant cette expre$- $ion au lieu de _ss_ dans la proportion précédente, on aura 4_a_<_>2 : 4_b_<_>2 :: _aa_ - _xx_ : _yy_, ou bien _invertendo aa_ - _x x_ : _y y_ :: 4_a_<_>2 : 4_b_<_>2 :: _a_<_>2 : _b_<_>2, en divi$ant les termes de la $econde rai$on par 4.
639. Si l’on a deux ordonnées F H & I L, l’on aura par la
640. Il $uit encore delà, que $i du point H l’on mene l’or-
donnée H I au $econd axe C D, le rectangle compris $ous les
Pour le prouver, con$idérez que F H étant égale à E I, on aura E I = _y_, & que F E étant égale à H I, on aura encore H I = _x_; ain$i I D $era _b_ - _y_, & C I $era _b_ + _y_. Cela po$é, pui$que par la propo$ition pré$ente, on a _aa_ - _xx_ : _yy_ :: _aa_ : _bb_, en prenant le produit des extrêmes & des moyens, on aura _a a y y_ = _a a b b_ - _b b x x_. Si l’on fait pa$$er - _bbxx_ du $econd membre dans le premier, & _aayy_ du premier dans le $econd, il viendra _b b x x_ = _a a b b_ - _a a y y_, d’où l’on tire cette pro- portion _b b_ - _y y_ : _x x_ :: _b b_ : _aa_, c’e$t-à-dire que I D x D C: I H<_>2 :: D E<_>2: A E<_>2. Ain$i l’on voit que les propriétés des or- données au petit axe $ont préci$ément les mêmes que celles du grand axe; d’où l’on peut conclure que les ordonnées H I au petit axe de l’ellip$e, $ont troi$iemes proportionnelles au demi petit axe, au demi-grand axe, & à l’ordonnée I N d’un cercle décrit $ur le petit axe; c’e$t ce qu’il e$t ai$é de voir, $i l’on fait attention que dans la proportion I D x D C : I H<_>2 :: A E<_>2 : D E<_>2, on peut mettre au lieu du rectangle I D x D C le quarré de l’or- donnée IN, qui lui e$t égal; d’où l’on déduit, en prenant les racines, & fai$ant un _invertendo_ D E : A E :: I N : I H. On peut donc définir l’ellip$e d’une maniere plus générale, en di- $ant que c’e$t une courbe, dont toutes les ordonnées ont été alongées ou raccourcies proportionnellement; alongées, lor$- que le cercle e$t décrit $ur le petit axe, & raccourcies, lor$- qu’il e$t décrit $ur le grand axe.
641. Si l’on nomme _a_ le premier axe d’une ellip$e, & _b_ le
$econd, _p_ le parametre du premier axe, on aura (art. 634)
_a_ : _b_ :: _b_ : _p_, & (art. 503) _a a_ : _b b_ :: _a_ : _p_. Mais par la propriété
de l’ellip$e, on a _a a_ - _x x_ : _y y_ :: _a a_ : _b b_; donc on aura au$$i
_aa_ - _xx_ : _y y_ :: _a_ : _p_; d’où l’on tire _y y_ = _aa_ - _xx_ x {_p_/_a_}, c’e$t-
642. Il e$t à remarquer que pui$que l’on a A F x F B : F H<_>2 ::
643. On a vu (art. 569) que dans une progre$$ion qui $e- roit compo$ée des élémens infinis tels que F G & I K d’un quart de cercle, la $omme des quarrés de tous ces élémens $eroit égale au produit du quarré du plus grand élément E M, par les deux tiers de la ligne A E, qui en exprime le nombre: or comme les élémens de l’ellip$e ont tous un rapport con$tant avec les élémens corre$pondans du quart de cercle, il s’en$uit qu’ils auront la même propriété que ceux du cercle; & que par con$équent $i l’on a une progre$$ion compo$ée de termes infinis des élémens d’un quart d’ellip$e E A D, la $omme des quarrés de tous les élémens, tels que F H & I L, e$t égale au produit du quarré du plus grand élément E D, par les deux tiers de la grandeur qui en exprime le nombre, c’e$t-à-dire par les deux tiers de la ligne A E.
Comme ces deux remarques nous $ervent beaucoup dans la Géométrie pratique, il faut s’attacher à les bien com- prendre.
644. L’on nomme _diametres_ d’une ellip$e, deux lignes,
645. Ayant mené d’un point quelconque C de l’ellip$e un
646. Toute ligne, comme H I, menée d’un point quelcon- que H, pris dans le diametre C D, parallélement à $on con- jugué E F, e$t appellée _ordonnée_ au diametre C D.
647. Si l’on cherche une troi$ieme proportionnelle aux dia- metres conjugués C D, E F, elle $era nommée _parametre_ du diametre, qui occupe le premier terme de la proportion.
648. Pui$que l’on a fait (art. 645) G K : G A :: G A : G O, il s’en$uit que $i l’on nomme G K, _x_; G A, _a_; K O, _z_, l’on aura G K (_x_) : G A (_a_) :: G A (_a_) : G O (_x_ + _z_), d’où l’on tire _x x_ + _zx_ = _aa_; & en fai$ant pa$$er _xx_ du premier mem- bre dans le $econd, _z x_ = _aa_ - _xx_, ou bien O K x K G = A K x K B. Comme ce corollaire nous $ervira beaucoup dans les propo$itions $uivantes, il e$t à propos de le bien retenir.
_649_. Si des extrêmités _C_ & _E_ de deux diametres conjugués
Ayant fait A G = _a_, G P = _f_, G K = _x_, K O = _z_, G O $era _x_ + _z_. Cela po$é, nous ferons voir que A K x K B (_aa_-_xx_) ou bien _x z_ (art. 648) = _f f_.
Con$idérez que l’on a par la propriété de l’ellip$e (art. 639)
650. Comme on a _xx_ + _xz_ = _aa_ (art. 648), il $uit de cette propo$ition, que $i l’on met _ff_ à la place de _xz_ qui lui e$t égal, on aura _x x_ + _f f_ = _a a_; & fai$ant pa$$er _f f_ du premier mem- bre dans le $econd, on aura G K<_>2 (_xx_) = A P x P B (_aa_-_ff_).
_651_. Le rectangle fait des parties _C H_, _H D_ du diametre _C D_, e$t au quarré d’une ordonnée _H I_, comme le quarré de ce même dia- metre e$t à celui de $on conjugué _E F_.
Après avoir tiré les lignes I N, H L paralleles à C K, & la ligne H M parallele à A B, nous nommerons G K, _x_; C K, _y_; A G, _a_; K O, _z_; M H, ou L N, _c_; G L, _g_; G C, _s_.
Les triangles G K C, G L H $ont évidemment $emblables,
& donnent G K (_x_) : K C (_y_) :: G L (_g_) : L H {_g y_/_x_}; & les trian-
gles C O K, I H M, qui $ont au$$i $emblables, pui$qu’ils ont les
côtés paralleles chacun à chacun, nous donnent O K (_z_) : K C (_y_)
:: H M (_c_) : I M ({_cy_/_z_};) d’où l’on tire IM+HL = IM+MN
ou I N = {_g y_/_x_} + {_c y_/_z_}, dont le quarré e$t {_yygg_/_xx_} + {_2cgy_<_>2/_xz_} + {_ccyy_/_zz_}. De
plus, con$idérez que L N - L G = G N = _c_ - _g_, dont le
652. L’on voit que ce qui a été démontré dans la propo$i-
tion premiere par rapport aux deux axes, s’étend par le moyen
de celle-ci à deux diametres quelconques : car $i l’on fait le
même rai$onnement pour l’ellip$e que pour la parabole (art. 622),
653. Il $uit encore delà, que pour mener par un point F une tangente Q R à l’ellip$e, il faut de ce point abai$$er une perpendiculaire F S à l’axe A B, & faire E Q troi$ieme pro- portionnelle aux droites ES, EA (art. 645) pour avoir le point Q, duquel on n’aura qu’à mener la tangente par le point donné.
654. Il $uit encore de cette propo$ition, que toute ligne comme T P parallele à la tangente R Q e$t divi$ée en deux également par le diametre F G; car le rectangle de F O par O G e$t au quarré de O P, comme le quarré de F G au quarré de N M, & le même rectangle de F O par O G e$t encore au quarré de O T, comme le quarré de F G e$t au quarré de N M, il s’en$uit donc que le quarré de O P e$t égal au quarré de O T, & que par con$équent O T = O P.
655. Il $uit encore delà que les quarrés des ordonnées à un même diametre $ont entr’eux comme les rectangles faits $ur les ab$ci$$es corre$pondantes; d’où l’on voit que $i l’on ap- pelle un diametre quelconque 2_a_, $on conjugué 2_b_, le para- metre du premier _p_, _x_ & _y_ l’ab$ci$$e & l’ordonnée corre$- pondante, on aura comme pour les axes _yy_ : _aa_-_xx_ :: 4_aa_ : 4_bb_ :: 2_a_ : _p_, d’où l’on tire _yy_ = {_aa_ - _xx_ x _p_/2_a_}, c’e$t-à-dire que le quarré d’une ordonnée à un diametre quelconque e$t égal au rectangle des ab$ci$$es, multiplié par le rapport du parame- tre au diametre. Si le diametre e$t plus grand que $on para- metre, le quarré d’une ordonnée quelconque $era plus grand que le rectangle des ab$ci$$es. Si les deux diametres $ont égaux, le parametre $era égal au diametre, & par con$équent le rec- tangle des ab$ci$$es $era égal au quarré de chaque ordonnée, & alors les ordonnées $eroient égales à celle d’un cercle décrit $ur un des diametres, mais obliques à ce diametre, parce que dans cette courbe il n’y a que les ordonnées aux axes qui pui$- $ent être à angles droits, comme il e$t ai$é de le remarquer, $i l’on fait attention que les ordonnées étant toujours paralleles aux tangentes, il faut néce$$airement qu’elles fa$$ent avec leurs diametres les mêmes angles que ces tangentes.
656. La $omme des quarrés de deux diametres conjugués _C D_,
Les cho$es étant toujours les mêmes que ci-devant, nous aurons (art. 649) G P<_>2 = _aa_-_xx_, & (art. 650) G A<_>2-G P<_>2 = ou A P x P B = G K<_>2 = _xx_. Or par la propriété de l’ellip$e, l’on aura G A<_>2 : G R<_>2 :: A P x P B : P E<_>2, ou analytiquement _a_<_>2 : _b_<_>2 :: _xx_ : {_bbxx_/_aa_}=P E<_>2, & d’une autre part G A<_>2 : G R<_>2 :: A K X K B : C K<_>2, & en lettres _a_<_>2 : _b_<_>2 :: _aa_-_xx_ : {_aabb_-_bbxx_/_aa_}. Or lestriangles rectangles G P E, G K C donnent E G<_>2=E P<_>2 + PG<_>2=_aa_ - _xx_+{_bbxx_/_aa_}, ou E G<_>2={_a_<_>4 - _aaxx_ + _bbxx_/_aa_}, & encore CG<_>2=CK<_>2+GK<_>2={_aabb_-_bbxx_/_aa_}+_xx_={_aabb_-_bbxx_+_aaxx_/_aa_}: donc E G<_>2+C G<_>2={_a_<_>4-_a_<_>2_x_<_>2+_b_<_>2_x_<_>2+_a_<_>2_b_<_>2-_bbxx_+_a_<_>2_x_<_>2/_a_<_>2}={_a_<_>4+_a_<_>2_b_<_>2/_a_<_>2}, & divi$ant par _a_<_>2, _aa_+_bb_=E G<_>2+C G<_>2, & en quadruplant les termes de chaque membre A B<_>2+Q R<_>2=C D<_>2+E F<_>2. C. Q. F. D.
657. Il $uit de cette propo$ition, qu’il ne peut y avoir dans une ellip$e que deux diametres conjugués qui $oient égaux: car pui$que la $omme des quarrés de deux demi-diametres conjugués e$t égale à celle des quarrés des deux demi-axes, $i l’on prend l’expre$$ion générale de l’un de ces diametres pour le quarré d’un des deux diametres conjugués égaux, par exem- ple, celle de C G<_>2, on aura cette équation {2_aabb_-2_bbxx_+2_aaxx_/_aa_} = _aa_ + _bb_, & multipliant tout par _aa_, 2_aabb_ - 2_bbxx_+ 2_aaxx_=_a_<_>4+_aabb_, d’où l’on déduit, en effaçant _aabb_ dans chaque membre _aabb_-2_bbxx_+2_aaxx_=_a_<_>4, ou en tran$- po$ant _aabb_-_a_<_>4=2_bbxx_-2_aax_, & divi$ant tout par _bb_-_aa_, il vient _a_<_>2=2_xx_, ou _x_<_>2={_aa_/2}, d’où l’on déduit cette propo$ition {1/2} _a_ : _x_ :: _x_ : _a_, qui fait voir que l’ab$ci$$e qui détermine les deux diametres conjugués égaux, e$t moyenne proportionnelle entre le quart & la moitié du grand axe. Et comme il n’y a qu’une moyenne proportionnelle entre ces deux grandeurs, il s’en$uit qu’il n’y a au$$i dans une ellip$e que deux diametres conjugués égaux entr’eux. C. Q. F. D.
658. Si par l’extrêmité _A_ de l’axe _A B_ l’on mene une tan-
Con$idérez que l’on a A L x L B égal au quarré de E K, qui e$t _xx_ (art. 650), & que par con$équent AE<_>2 (_aa_) : EC<_>2 (_bb_) :: A L x L B (_xx_) : L M<_>2 ({_bbxx_/_aa_}); & comme ce dernier terme e$t un quarré parfait en extrayant laracine, on aura L M = {_bx_/_a_}. Mais comme on a au$$i (art. 649) A K x K B = L E<_>2, on aura encore C E<_>2 : A E<_>2 :: I K<_>2 : A K x K B ou E L<_>2, & analytique- ment _bb_ : _aa_ :: _yy_ : {_aayy_/_bb_} = L E<_>2; & comme cette quantité e$t au$$i un quarré, $i on en extrait la racine, on aura EL={_ay_/_b_}. Cela po$é, à cau$e des triangles $emblables E A F, E L M, on pourra former cette proportion E L : L M :: E A : A F; & mettant les valeurs analytiques trouvées précédemment, {_ay_/_b_} : {_bx_/_a_} :: _a_ : {_abxb_/_aay_} = {_bbx_/_ay_} = A F. Et de même à cau$e des trian- gles $emblables E A N, E K I, on aura E K : E A :: I K : A N, ou _x_ : _a_ :: _y_ : {_ay_/_x_} = AN: donc AN x A F={_bbx_/_ay_}x{_ay_/_x_}=_bb_=CE<_>2. C. Q. F. D.
659. On peut ai$ément, par le moyen de cette propo$ition, déterminer dans l’ellip$e les diametres conjugués égaux: car pour cela, il n’y a qu’à prendre $ur la perpendiculaire A N à l’ori- gine de l’axe, une partie AR égale à CE, moitié du petit axe, & par le centre E & lepoint R mener la ligne E R, dont la partie compri$e entre le centre & la courbe, $era l’un des demi-dia- metres conjugués égaux: car pui$que l’on a toujours A N x A F=C E<_>2, lor$que les diametres conjugués $ont égaux, les parties A N, A F $ont égales; & par con$équent A R doit être égale à C E.
660. Si l’on coupe un cône par un plan oblique à la ba$e, de
Si l’on coupe le cône X par un plan A B, oblique à $a ba$e, & perpendiculaire au plan du triangle N O X qui pa$$e par l’axe de ce cône, la $ection B E A F $era une ellip$e. Nous $up- po$erons que le cône e$t au$$i coupé parallélement à $a ba$e par un plan C M, qui pa$$e par le milieu de la ligne A B, qui e$t l’inter$ection des plans NOX, AEBF, & l’axe de la courbe; & encore par un plan L D, au$$i parallele à la ba$e, & qui pa$$era par un point quelconque I de l’axe A B. Comme ces deux $ections formeront des cercles, nous tirerons les lignes E F & H K, qui couperont les diametres L D, C M à angles droits aux points I, G, & la ligne E F deviendra le petit axe de l’ellip$e, & les lignes I K & I H en $eront des ordonnées. Cela po$é, nous ferons A G ou G B=_a_, E G ou G F=_b_, G M=_c_, C G=_d_, G I = _x_, I K = _y_, ain$i I B $era _a_+_x_, & AI $era _a_-_x_. Nous ferons voir que A I x I B (_aa_-_xx_): I K<_>2 (_yy_) : : A G<_>2 (_aa_) : G F<_>2(_bb_).
Les triangles $emblables B G M, B I D nous donnent B G : B I :: G M : I D, ou en lettres _a_ : _a_+_x_ :: _c_ : {_ac_+_cx_/_a_}; & de même les triangles $emblables A L I, A C G nous donnent A G : A I :: C G : L I, & en lettres _a_ : _a_-_x_ :: _d_ : {_ad_-_dx_/_a_}: donc en multipliant ces deux proportions termes par termes, on aura _aa_ : _aa_-_xx_ :: _cd_ : {_ac_+_cx_/_a_}x{_ad_-_ax_/_a_}, ou A G<_>2 : A I x I B : : C G x G M : L I x I D. Mais à cau$e des cercles G E M, K D H L, on a C G x G M = G E<_>2, ou G F<_>2 = _bb_, & ID x IL = IH<_>2 ou IK<_>2=_yy_; on aura donc AG : AI x IB :: IH<_>2 : EF<_>2, ou _invertendo_ & _alternando_ A I x I B : I H<_>2 :: A G<_>2 : E F<_>2, ou _aa_-_xx_ : _yy_ :: _aa_ : _bb_.
_661_. Si l’on coupe un cylindre par un plan oblique à la ba$e,
Pour être convaincu que la $ection B E A F du cylindre Y e$t une ellip$e, il ne faut que lire la démon$tration du théo- rême précédent, & partout où il y aura le nom de cône $ub- $tituer celui de cylindre, la démon$tration étant la même.
_662_. Si du point quelconque _G_ de l’ellip$e on mene des droites
Il faut $e re$$ouvenir que l’on détermine les foyers E, F en
décrivant du point D, extrêmité du petit axe comme centre,
un arc de cercle avec le rayon D F égal à la moitié du grand
axe, qui coupe cet axe dans les points E, F; d’où il $uit évidem-
ment que le point D e$t tel que E D + D F = A B. Pour
démontrer cette propo$ition par rapport à un point quelconque
G différent du point D, nous ferons A I = _a_, I D = _b_,
E I = _c_, I K = _x_, G K ordonnée à l’axe _y_. Cela po$é, à cau$e
du triangle rectangle E K G, on a E G<_>2 = E K<_>2 + G K<_>2; mais
E K e$t _c_+_x_, dont le quarré e$t _cc_ + 2_cx_ + _xx_, & G K étant
ordonnée à l’axe, on aura G K<_>2 = _bb_ - {_bbxx_/_aa_}: donc E G<_>2 =
_cc_ + 2_cx_ + _xx_ + _bb_ - {_bbxx_/_aa_}, & tirant les racines de chaque
membre E G =
663. Un ré$ultat $emblable au dernier 0 = 0 doit paroître
d’abord bien $ingulier, & les Commençans pourroient être
embarra$$és à concevoir comment $ur cette équation on peut
établir la vérité d’un théorême, ou de toute autre propo$ition.
Pour comprendre ce qu’il $ignifie, il faut faire attention que
toutes les démon$trations étant fondées $ur des axiomes, il
$uffit de faire voir la liai$on d’une propo$ition avec quel qu’un
de ces axiomes, pour en établir la certitude. Pré$entement $i
_664_. Les deux axes conjugués _A B_ & _C E_ d’une ellip$e étant
Il faut du point D comme centre, & d’un intervalle égal à la moitié A I du grand axc décrire un arc de cercle qui coupe ce grand axe dans les points E, F qui $eront les foyers de l’el- lip$e. Il faut en$uite avoir un fil de la longueur du même axe A B, dont on attachera les extrêmités aux points E, F, en $e $ervant d’un $tyle G pour tenir le fil tendu; l’on ira du point A au point D, du point D au point B, & l’on décrira avec le bout du $tyle la demi-ellip$e A D B. Si l’on fait pa$$er le $tyle de l’autre côté de l’axe A B, on décrira de la même maniere avec le $tyle G l’autre moitié de l’ellip$e A C B.
La démon$tration de cette pratique $e tire de ce que l’on a démontré dans la propo$ition précédente, que la $omme des lignes menées d’un des points de l’ellip$e à chaque foyer, e$t égal au grand axe, & l’on auroit pu définir l’ellip$e en partant de cette propriété de laquelle on auroit déduit toutes les autres.
_665_. Trouver le centre & les deux axes conjugués d’une ellip$e
Par deux points quelconques A, C, tirez les lignes A B & C D paralleles, que vous divi$erez chacune en deux également aux points E, F; pour avoir les ordonnées au diametre G H (art. 654), qui pa$$ant par les points E & F, pa$$era au$$i par le centre de l’ellip$e. Ain$i en divi$ant en deux également cette ligne G H au point I, ce point $era le centre de l’ellip$e, duquel décrivant l’arc G L, on aura deux points $ur la courbe également éloignés du centre, qui $erviront à tracer la $ec- tion M, par laquelle & par le point I fai$ant pa$$er une ligne M I, la partie N O de cette ligne renfermée dans la courbe $era le grand axe. Si l’on veut trouver le petit axe, il n’y a qu’à élever au point I une perpendiculaire à la ligne N O. Cette propo$ition e$t $uffi$amment démontrée par tout ce que nous avons vu précédemment.
666. AYant tiré $ur un plan deux lignes droites A B, D E qui
$e coupent à angles droits au point C, on élevera la perpendi-
culaire B S à l’extrêmité B; & après avoir prolongé A B in-
définiment vers O & vers P, on prendra $ur la ligne B O un
nombre de parties égales telles que B G, G L, pour décrire
en$uite du point C comme centre les demi-cercles G Q I,
L R K, &c. qui couperont la perpendiculaire B S aux points
F, N; en$uite on cherchera aux lignes A B, D E, B F une qua-
trieme proportionnelle G H qu’on élevera perpendiculaire au
point G; on cherchera de même une quatrieme proportion-
nelle L M aux droites A B, D E, B N, qu’on élevera perpendi-
culaire au point L, & continuant à trouver de même un nom-
667. Si dans le même tems on décrit deux hyperboles, l’une à l’extrêmité A, l’autre à l’extrêmité B, elles $eront nommées en$emble _hyperboles oppo$ées_.
668. La ligne A B e$t nommée _premier axe_, & la ligne D E _$econd axe_ de chacune des hyperboles oppo$ées.
669. Les deux axes A B & D E $ont appellés en$emble _conjugués_, de $orte que le premier A B e$t dit conjugué au $e- cond D E, & réciproquement le $econd D E conjugué au pre- mier A B.
670. Le point C où $e coupent les deux axes à angles droits, e$t nommé _centre de l’hyperbole_ ou _des hyperboles oppo$ées_.
671. Toutes lignes comme G H ou L M perpendiculaires au prolongement de l’axe A B, $ont appellées _ordonnées_ au premier axe A B; & toute ligne comme TV, menée perpen- diculairement au $econd axe D E, e$t appellée _ordonnée_ au même $econd axe.
672. Les parties A G, B G de l’axe & de $on prolongement $ont appellées _ab$ci$$es_ de l’ordonnée corre$pondante G H, de même A L, B L $ont les ab$ci$$es de l’ordonnée M L.
673. Une ligne troi$ieme proportionnelle aux deux axes, e$t appellée le _parametre_ de celui qui occupe le premier terme de la proportion.
_674_. Dans l’hyperbole, le rectangle des ab$ci$$es _A G, B G_ de l’axe _A B_, e$t au quarré de l’ordonnée _G H_ corre$pondante, comme le quarré du grand axe _A B_ au quarré de $on conjugué _D E_.
Ayant nommé C A ou C B, _a_; C D ou C E, _b_; B F, _c_; les indéterminées C G ou C I, _x_; G H, _y_; A G $era _x_ + _a_, & BG _x_ - _a_.
Par la définition de l’hyperbole, on a A B : D E :: B F : G H,
ou 2_a_ : 2_b_ :: _c_ : _y_ : donc en quarrant les termes de cette pro-
portion, 4_aa_ : 4_bb_ :: _cc_ : _yy_; mais par la nature du cercle,
B F ou _cc_ = I G x B G, ou A G x B G = (_a_ + _x_) x (_x_ - _a_)
= _xx_ - _aa_, & mettant cette expre$$ion à la place de _cc_, on
675. Il $uit de cette propo$ition, que les quarrés des ordon- nées $ont entr’eux comme les rectangles de leurs ab$ci$$es: car pui$que l’on a A G x B G: G H<_>2 :: A B<_>2 : D E<_>2, on aura par la même rai$on, A L x B L : L M<_>2 :: A B<_>2 : D E<_>2 : donc pui$que les deux dernieres rai$ons $ont égales, on aura A G x B G : G H<_>2 :: A L x B L : L M<_>2, ou _alternando_ A G x B G: A L x B L :: G H<_>2: L M<_>2. Donc, &c.
676. Il $uit de cette propo$ition, que $i l’on mene une or- donnée T V au $econd axe D E, le quarré de cette ordonnée e$t au quarré de T C, plus celui de D C, moitié du $econd axe, comme le quarré de $on conjugué A B e$t au quarré du même axe D E. Pour le prouver, con$idérez que T V = G C = _x_, & que T C = V G = _y_. Or comme la propo$ition pré- cédente donne _x x_ - _aa : yy_ :: 4_aa_ : 4_bb_, on peut en tirer cette équation, 4_a_<_>2_y_<_>2 = 4_bbxx_ - 4_aabb_, & fai$ant pa$$er - 4_aabb_ du $econd membre dans le premier, on aura 4_a_<_>2_y_<_>2 + 4_a b_<_>2 = 4_b_<_>2_x_<_>2, d’où l’on tire _xx : yy_ + _bb_ :: 4_aa_:4_bb_, ou T V<_>2 : C T<_>2 + C D<_>2 :: A B<_>2 : D E<_>2.
677. Comme on a trouvé dans le corollaire précédent cette équation, 4_aayy_ = 4_bbxx_ - 4_aabb_, il e$t vi$ible qu’en divi$ant par 4_aa_ chaque membre de l’équation, on aura _yy_ = {_bbxx_/_aa_} - _bb_, qui e$t une équation dont nous aurons be$oin par la $uite.
678. Si par l’extrêmité B de l’axe A B on mene une ligne
_679_. Si l’on mene une droite _H I_ parallele au $econd axe _D E_, en$orte qu’elle coupe une des hyperboles, & qu’elle $oit terminée aux a$ymptotes, je dis que le rectangle de _H K_ par _K I_ $era égal au quarré de _D C_ ou _F B_, moitié du $econd axe _D E_.
Ayant nommé C B, _a_; C D ou B F, _b_; les indéterminées C P, _x_; P K, _y_, il faut prouver que D C<_>2 ou F B<_>2 = K H x K I.
Con$idérez que les triangles $emblables C B F & C P H don-
nent C B : B F :: C P : P H, ou en lettres _a : b :: x_ : {_bx_/_a_} = PH;
ain$i l’on aura H P - P K = {_bx_/_a_} - _y_, & P I + P K = {_bx_/_a_} + _y_:
donc (H P-P K) x (H P+P K) ou K H x K I =
680. Il $uit delà que $i l’on mene des lignes T S & Q R paralleles au $econd axe D E, & terminées aux a$ymptotes, les rectangles T O x O S, H K x K I, & Q L x Q R $ont égaux entr’eux, pui$que chacun e$t égal au quarré de F B; d’où l’on peut tirer ces proportions, O S : H K :: K I : O T, & H K : Q L :: L R : K I.
681. Il $uit encore delà que les parties M R, Q L compri$es entre la courbe & les a$ymptotes $ont égales entr’elles: car on démontreroit de même que M R x M Q = F B<_>2; & comme les ordonnées $ont égales, il faut que les lignes M R, Q L le $oient au$$i.
682. Il $uit encore delà que $i loin que l’on prolonge la courbe & $es a$ymptotes, jamais ces deux lignes ne $e rencon- treront, pui$que l’on aura toujours QL x LR = FB<_>2; ce qui ne pourroit arriver $i ces lignes $e rencontroient, pui$que dans ce cas Q L $eroit égal à zero; & c’e$t par cette rai$on que les lignes C Q, C R ont été nommées _a$ymptotes_, c’e$t-à-dire qui ne peuvent rencontrer (l’hyperbole).
_683_. Si l’on mene par deux points quelconques _K, O_ de deux
Pour démontrer cette propo$ition, tirez par les points O, K les lignes T O S, H K I paralleles entr’elles & au $econd axe D E, pour avoir les triangles $emblables OSX, YHK, OTV, KIZ, qui donnent les proportions $uivantes, OS : KH :: OX : KY, & O T : K I :: O V : KZ : donc en multipliant ces deux pro- portions, termes par termes, on aura O S x O T : K H x K I :: O X x O V : K Y x K Z, & (art. 680) O S x O T = KH x KI: donc O X x O V = K Y x K Z. C. Q. F. D.
_684_. Si l’on mene par deux points quelconques _A & C_ d’une
Soient tirées par les points A, C les lignes G A H, I C K pa-
ralleles entr’elles; & con$idérez que les triangles $emblables
EAG, FCI, BAH, DCK, nous donneront AG : AE :: CI : CE,
685. Il $uit de cette propo$ition, que $i l’on mene par des points quelconques A & C, pris $ur une hyperbole ou les hy- perboles oppo$ées, des lignes A P, C O, A E, C F paralleles aux a$ymptotes, les rectangles A E x A P, C F x C O $eront égaux entr’eux: car les lignes étant paralleles aux a$ymptotes, $ont paralleles entr’elles, & $ont par con$équent dans le cas des lignes A B, C D.
686. Comme le point L, extrêmité de l’axe e$t un des points de l’hyperbole, il s’en$uit qu’en menant les lignes L M & L N paralleles aux a$ymptotes, on aura encore L M x L N = A E x AP, ou L M x L N = C F x C O. Mais comme L M x L N n’e$t autre cho$e que le quarré de M L, l’on voit qu’en nom- mant L M, _a_; A P, _x_; A E, _y_, on aura toujours A P x A E, ou C F x C O (_xy_) = L M<_>2 (_aa_), qui e$t une équation qui exprime parfaitement la propriété de l’hyperbole, & par le moyen de laquelle on peut déterminer tous $es points.
_687_. Par un point donné, mener une tangente à une hyperbole,
Pour mener une tangente à une hyperbole, par un point donné A, il faut de ce point mener la ligne A B parallele à l’a$ymptote oppo$ée E F, faire la partie B D égale à B E, & tirer la ligne D A C, qui $era tangente au $eul point A: car à cau$e des triangles $emblables, D C E, D A B, on voit que A C e$t égal à A D. Et $i on vouloit que l’hyperbole rencon- trât encore cette ligne dans un point H, il faudroit qu’on eût A C = H D, ce qui e$t impo$$ible, à moins que le point H ne tombe $ur le point A: donc cette ligne e$t tangente au $eul point A. C. Q. F. D.
688. Comme il n’y a que la $eule ligne C D, qui étant ter- minée aux a$ymptotes, $oit coupée en deux également au point A, il s’en$uit que $i une ligne droite C D, terminée par les a$ymptotes d’une hyperbole, e$t tangente au point A, où elle $eroit coupée par une ligne I K, elle y $era divi$ée par cette ligne en deux parties égales A C & A D.
689. Si l’on a deux lignes A B, C D qui s’entrecoupent au
690. Si par un point H quelconque de l’hyperbole, on mene une ligne H K I, terminée de part & d’autre à la courbe, & parallele à la tangente F G; cette ligne $era nommée une _double ordonnée_ au diametre E B, dont la ligne H K $era l’or- donnée. Les parties E K, B K du diametre $eront nommées les _ab$ci$$es_ de l’ordonnée H K.
_691_. Le quarré d’une ordonnée quelconque _H K_ parallele à une
Par l’une des extrêmités B du diametre A B, $oient me- nées les lignes B C, B D, & la tangente F G parallele au dia- metre C D; & par con$équent par le corollaire précédent, divi$ée en deux également en B; $oit prolongé la ligne H I ju$qu’aux a$ymptotes; ce qui donnera les parties égales K M, K L, & $oit fait A E ou E B = _a_, C E ou D E = _b_, E K = _x_, K H ou K I = _y_; d’où l’on tire B K = _x_ - _a_, & A K =_x_ + _a_.
Il e$t vi$ible que les triangles E B F, E B D $ont égaux, ain$i
que les triangles E B G, C B E; car ces triangles ont les côtés
692. Il $uit delà que ce que l’on a démontré dans la pre- miere propo$ition à l’égard des deux axes d’une hyperbole, s’étend par celle-ci à deux diametres conjugués quelconques A B & C D, au$$i bien que toutes les autres propriétés que l’on a démontrées d’une hyperbole avec $es a$ymptotes: car pour s’en convaincre, il ne faut que relire les articles précédens, & mettre diametre partout où il y aura le mot d’axe; car tout $ub$i$tera également, $oit que l’angle E B F $oit droit ou non.
_693_. Si l’on coupe un cône droit _A B C_ par un plan parallele à
Ayant prolongé le côté C B du cône ju$qu’en P, en$orte que B P $oit égal à B D, la ligne P D $era le premier axe de l’hyperbole, & la ligne B N tirée du point B perpendiculaire au milieu de la ligne P D, $era la moitié du $econd axe; en- $orte que $i l’on fait N O = B N, O B $era le $econd axe. Ayant nommé les données N P ou N D, _a_; N O ou N B, _b_; les indéterminées N I, _x_; I K ou I H, _y_, D I $era _x_ - _a_, & P I $era _x_ + _a_; & nous allons $aire voir que l’on a _xx_ - _aa_ : _yy_ :: 4_aa_ : 4_bb_, ou P I x I D : IK<_>2 :: P D<_>2 : B O<_>2.
Les triangles $emblables PNB, PIM donnent PN:NB::PI:IM,
Nous ne parlerons point des différentes manieres de tracer l’hyperbole, parce que cette courbe n’a guere lieu dans la Géométrie pratique; c’e$t pourquoi l’on pourra pa$$er légére- ment ce chapitre, pour s’attacher à ce qui va $uivre, qui e$t de la derniere importance dans tout ce qui s’appelle Géométrie pratique, & $urtout dans la Géométrie qui regarde particulié- rement l’Ingénieur.
Quand on e$t né avec le goût des Mathématiques, l’on ne s’en tient guere à la lecture des $imples Elémens; il $uffit qu’ils nous aient montré qu’on peut aller beaucoup plus loin pour de$irer des Livres qui nous apprennent des cho$es nou- velles; car ceux qui ont l’e$prit Géometre, cherchent à $e le nourrir des vérités d’une $cience qu’il e$t difficile de connoître $ans l’aimer. L’on cherche, l’on s’informe quels $ont les bons Livres de Mathématiques qu’on n’a pas vus; mais $ouvent à qui s’en informer? Je ferai donc plai$ir de rapporter ici une li$te des meilleurs Ouvrages de Mathématique qu’ils pour- ront étudier. Je ne prétends parler que des principaux Livres qui ont été imprimés à Paris; s’il falloit citer tous les bons qu’on a faits chez les Etrangers, & particuliérement en An- gleterre, il faudroit un volume entier pour en faire le dé- nombrement.
Indépendamment de ce que j’ai donné d’Algebre dans mes
Elémens de Géométrie pour en $çavoir parfaitement toutes
les opérations, l’on pourra avoir recours au Livre de la _Science_
_du Calcul_ du R. P. Reyneau. Cet Ouvrage $ert d’intro-
duction à un autre du même Auteur, intitulé l’_Analy$e dé-_
_montrée_, qui e$t ce que nous avons de meilleur $ur l’Algebre;
L’on peut voir après cela l’excellent Livre des _Infiniment_ _petits_ de M. le Marquis de l’Hôpital, qui traite uniquement du calcul _différentiel_ appliqué à la Géométrie _des Courbes_. Cet Ouvrage e$t le plus beau morceau que nous ayons en France $ur les Mathématiques; & comme il e$t un peu ab$trait, on pourra recourir au _Commentaire_ qu’en a donné M. de Crou$as, qui $ervira beaucoup à $oulager les Commençans.
Quoique j’aie déja parlé du Traité des _Sections coniques_ de M. de l’Hôpital, je crois devoir recommander encore une fois aux Commençans d’étudier $érieu$cment cet Ouvrage, s’ils ont envie de faire du progrès, & de le lire même immédia- tement après qu’ils auront étudié le premier tome de l’Analy$e démontrée, parce qu’ils s’y fortifieront, & auront l’e$prit plus di$po$é à voir en$uite le $econd tome de l’Analy$e.
Il y a au$$i un Livre de M. Carré $ur le _calcul intégral_, qui e$t une application de ce calcul à la me$ure des $urfaces, des $olides, & à la maniere de trouver leur centre de gravité, &c. qu’il e$t bon au$$i de $çavoir, pour connoître l’u$age de ce calcul.
DE toutes les parties des Mathématiques, il n’y en a point que les Commençans étudient plus volontiers que la Trigonométrie, parce qu’elle pré$ente à l’e$prit des problêmes fort curieux, dont la $olution e$t ai$ée, n’ayant be$oin que du $imple calcul de l’Arith- métique. Cependant il faut $e rendre bien familieres les analogies de ce calcul, afin d’en placer les termes à propos; car la Trigono- métrie e$t d’un $i grand u$age dans le métier de la guerre, qu’un homme qui e$t chargé des moindres cho$es dans le Génie, ou dans l’Artillerie, ne peut ab$olument l’ignorer; pui$que $i l’on veut conduire quelque galerie de mines, jetter des bombes avec regles, calculer les parties d’une fortification réguliere pour la tracer $ur le terrein, lever un Camp, une Carte, le plan d’une tranchée, orien- ter des batteries, il faut néce$$airement avoir recours à la Trigono- métrie.
Et pour dire un mot du Traité que j’en donne ici, l’on $çaura
que je ne parle que des triangles rectilignes, parce que ceux qu’on
nomme _Sphériques,_ à cau$e qu’ils $ont formés par des cercles de
la Sphere, ne $ont d’aucune utilité à un homme de guerre, au-
quel il ne faut apprendre que les cho$es néce$$aires, crainte de le
rebuter, en voulant lui fatiguer la mémoire par celles qui $ont pu-
Comme en me$urant la di$tance d’un lieu à un autre, il arrive
quelquefois qu’on e$t obligé d’en connoître au$$i les différentes hau-
teurs par rapport au centre de la terre, il $emble que le nivelle-
ment e$t une partie des Mathématiques qui doit $uivre immédia-
tement la Trigonométrie: au$$i ai-je ob$ervé cet ordre, pui$qu’a-
près la Trigonométrie l’on trouvera un Traité du Nivellement, où
l’on fait voir l’u$age du niveau d’eau, & celui d’un autre niveau,
pour niveler des grandes di$tances. Ces in$trumens $ont d’un $i
grand u$age dans la pratique, qu’on ne $çauroit trop engager ceux
qui peuvent $e trouver dans le cas de s’en $ervir, de s’appliquer à
ce que l’on verra dans la $uite $ur ce $ujet. Tout le monde $çait que
quand on veut faire un canal de navigation, joindre une riviere
avec une autre, conduire des eaux aux endroits où il en man-
que, les projets de ces $ortes de cho$es ne peuvent avoir lieu, $ans
avoir fait auparavant des nivellemens fort exacts; & c’e$t-là par-
694. La _Trigonométrie_ e$t une partie de la Géométrie, par le moyen de laquelle trois cho$es étant données ou connues dans un triangle, l’on vient à la connoi$$ance du re$te.
695. Comme l’on ne parvient à trouver ce que l’on cher- che dans la Trigonométrie que par le calcul ordinaire de l’A- rithmétique, l’on $e $ert de certaines Tables dre$$ées pour ce $ujet, qu’on appelle _Tables des Sinus, Tangentes, Sécantes_, dont je donnerai l’u$age $eulement, $ans en en$eigner la con- $truction, que l’on trouvera dans plu$ieurs Livres, ne voulant parler que des cho$es qu’il faut ab$olument $çavoir.
696. Nous avons $ix cho$es à con$idérer dans un triangle;
$çavoir, les trois côtés & les trois angles, $ans s’embarra$$er
de la $uperficie: & comme il y a trois de ces $ix termes, qui
peuvent être donnés, pour arriver à la connoi$$ance des au-
tres, il faut toujours que ce $oit deux angles & un côté, ou
un angle & deux côtés, ou bien enfin les trois côtés; car les
697. Nous avons déja dit que la me$ure d’un angle n’étoit autre cho$e que la quantité de degrés, ou de degrés & de mi- nutes, que l’arc terminé par les lignes qui forment cet angle peut contenir. Mais comme cette me$ure e$t relative dans la Trigonométrie à certaines lignes, qui en font le principal objet, voici leurs noms.
698. _Sinus droit_ d’un arc, ou d’un angle dont cet arc e$t la
699. Si l’on prolonge la ligne F H ju$qu’en G, le rayon C B étant perpendiculaire $ur la ligne F G, la divi$era en deux également au point H (art. 423), au$$i-bien que l’arc F B G; & comme la ligne F G e$t la corde de cet arc, & que la ligne F H e$t le $inus de l’arc F B, il s’en$uit que le $inus d’un arc e$t la moitié de la corde d’un arc double.
700. Comme le $inus F H augmentera d’autant plus que l’angle F C B $era grand, il s’en$uit que lor$que le rayon C F $era perpendiculaire $ur A B, comme e$t le côté C I, le $inus F H, & le côté C F $e joindront pour ne faire qu’une $eule ligne C I, & que dans ce cas le $inus de l’angle droit I C H $era le rayon même du cercle; ce qui fait voir que l’angle droit a le plus grand de tous les $inus, que l’on nomme à cau$e de cela, _Sinus total_.
701. Le $inus de l’angle droit n’étant autre cho$e que le rayon du cercle, dont l’angle tire $a me$ure, nous nomme- rons dans la $uite le rayon C B _$inus total_. On voit par ce qui précede, que les $inus des angles moindres qu’un droit, croi$- $ent depuis zero ju$qu’à la grandeur du rayon. Il $uit au$$i de cette définition, que le $inus d’un angle plus grand qu’un droit, e$t égal au $inus de $on $upplément. Ain$i le $inus de 120 degrés e$t le même que celui de 60 degrés, & plus les angles $eront obtus, plus leurs $inus $eront petits, pui$qu’ils auront pour $inus ceux de leurs $upplémens.
702. _Sinus ver$e_ d’un arc ou de l’angle dont cet arc e$t la
703. _Tangente_ d’un arc ou d’un angle dont cet arc e$t la me$ure, e$t une ligne perpendiculaire $ur l’extrêmité d’un des côtés de l’angle, & terminée par l’autre côté prolongé: ain$i la ligne B E perpendiculaire à l’extrêmité B du côté C B, & terminée par la rencontre du côté C F prolongé ju$qu’en E, e$t la tangente de l’angle F C B. On voit au$$i par cette défini- tion, que la tangente d’un angle obtus e$t la même que celle d’un angle aigu, qui e$t $on $upplément: car la ligne A B e$t le côté de l’angle obtus A C F, & cette ligne rencontre le pro- longement de l’autre côté en F; ain$i plus l’angle $era obtus, plus $a tangente $era petite.
704. On appelle _co$inus_ d’un angle ou d’un arc le $inus de $on complément. L F e$t le co$inus de l’angle BCF, ou de l’arc B F. On voit par-là que le co$inus d’un arc ou d’un angle e$t la partie du rayon compri$e entre le centre & la rencontre de $on $inus: car il e$t clair que L F = C H. Une ligne comme I K, tangente de l’arc I F complément de l’arc B F, e$t appellée _cotangente_ ou _tangente_ de complément de l’angle B C F.
705. _Sécante_ d’un arc ou d’un angle, dont cet arc e$t la me$ure, n’e$t autre cho$e que le côté de l’angle prolongé, & terminé à la tangente: ain$i la ligne C E e$t $écante de l’angle F C B. La ligne C K e$t appellée la _co-$écante_ de l’arc B F, parce qu’elle e$t la $écante de $on complément. On peut au$$i remar- quer que la $écante d’un angle obtus e$t égale à la $écante d’un angle aigu, qui e$t $on $upplément. La $écante d’un angle droit e$t infinie: car étant alors parallele à la tangente, qui pa$$e par l’extrêmité de l’autre côté de l’angle droit, elle ne peut la rencontrer qu’à l’infini; ain$i les $écantes croi$$ent depuis zero ju$qu’à l’infini.
706. Quand on a con$truit les Tables des Sinus, l’on a $uppo$é le rayon C B, ou autrement le $inus total divi$é en 10000000 parties, & l’on a cherché combien le $inus de cha- que angle, depuis une minute ju$qu’à 90 degrés, pouvoit contenir de parties du $inus total, afin de connoître les $inus en nombre; & c’e$t ain$i que l’on a trouvé que le $inus d’un angle de 20 degrés, par exemple, contenoit 3420202 de ces parties, que le $inus de 55 degrés 10 minutes en contenoit 8208170, ain$i des autres qui en contiennent plus ou moins, $elon que l’angle approche plus ou moins de la valeur d’un droit; & ce $ont tous ces différens $inus que l’on trouve dans la $econde colonne des Tables $ur chacun des feuillets.
707. Comme une tangente telle que B E augmente ou di- minue, $elon que l’angle E C B approche ou s’éloigne plus ou moins de l’angle droit, l’on a cherché au$$i la valeur des tangentes de tous les angles, depuis celle d’une minute ju$- qu’à celle de 90 degrés, en con$idérant combien elle conte- noit de parties de $inus total, c’e$t-à-dire de 10000000, & l’on en a compo$é la troi$ieme colonne des Tables, qui $uit immédiatement celle des $inus; de $orte que l’on trouve à côté des $inus de chaque angle la valeur de la tangente du même angle. Ain$i l’on verra que la tangente de 20 degrés e$t de 3639702, & que la tangente de 55 degrés 10 minutes e$t 14370267 parties du $inus total, divi$é en 10000000.
708. Enfin l’on a cherché au$$i la valeur de la $écante de
chaque angle, que l’on a trouvée par le moyen du $inus total
& de la tangente; car comme une $écante telle que C E, n’e$t
709. Si donc on veut $çavoir quel e$t le $inus, la tangente, & la $écante d’un angle, il faut con$idérer d’abord combien la me$ure de l’angle contient de degrés, ou de degrés & de minutes, & chercher dans la Table le feuillet, où il y a mar- qué en haut le nombre de degrés de cet angle: par exemple, $i l’angle e$t de 15 degrés, je cherche la page où e$t le nom- bre 15 en haut, & je trouve dans la premiere ligne que le $inus de 15 degrés e$t 2588190, que $a tangente e$t 2679492, & que la $écante e$t 10352762.
710. Mais comme les degrés de chaque page $ont accom- pagnés d’un nombre de minutes, qui $ont en progre$$ion Arith- métique, depuis 1 ju$qu’à 60, qui $e trouvent dans une petite colonne, où il y a au commencement ce mot _minute_, $i l’on vouloit $çavoir le $inus de 15 degrés 24 minutes, je cherche d’abord, comme ci-devant, la page où il y a 15 degrés en haut, & je de$cends ju$qu’à l’endroit de la colonne des mi- nutes, où 24 $e trouve marqué, & je prends le $inus qui lui corre$pond, qui e$t de 2655561.
711. Comme le $inus total, ou autrement le côté C B, de-
vient le côté commun de tous les angles, pui$qu’il n’y a que
l’autre côté C F qui varie pour faire l’angle plus ou moins
ouvert: il e$t à remarquer que le $inus total, la tangente &
la $écante d’un angle peuvent toujours former les côtés d’un
triangle rectangle, dont la grandeur e$t indéterminée, parce
qu’il n’e$t que$tion que de la proportion de ces côtés avec
ceux d’un autre triangle qui lui $eroit $emblable; & pour faire
voir ceci plus clairement, con$idérez le triangle rectangle
C E F, $i du point C l’on décrit l’arc B D, qui $era, par exem-
712. Pour con$truire les tables, l’on a divi$é le $inus total en un grand nombre de parties, afin que dans les divi$ions que les opérations demandent, l’on pui$$e négliger les re$tes, quand ils $ont compo$és de ces petites parties; mais comme dans la pratique ordinaire de la Géométrie l’on peut $e di$- pen$er d’entrer dans une $i grande cxactitude, l’on pourra, au lieu de $uppo$er que le $inus total e$t divi$é en 10000000, le $uppo$er $eulement en 100000; & pour lors il faudra, au lieu de prendre toutes les figures qui $ont dans les colonnes des $inus, des tangentes & $écantes, prendre $eulement les pre- mieres, & négliger les deux dernieres, que l’on voit $éparées à droite par un petit point, c’e$t-à-dire, que pour la tangente de 30 degrés, au lieu de prendre 57735:03, on ne prendra que 57735; & c’e$t de cette façon que $eront faits tous les cal- culs que l’on verra dans la $uite.
713. Dans un triangle rectangle _A D E_, dont on connoît un angle aigu _A_, & le côté _A D_, trouver le côté _D E_ oppo$é à l’angle aigu.
Suppo$ant que l’angle A $oit de 30 degrés, & le côté A D de 20 toi$es, il faut chercher dans la table la tangente de 30 degrés, que l’on trouvera de 57735, & con$idérer que les triangles A B C & A D E étant $emblables, l’on a A B: B C :: A D: D E, qui nous fournit cette regle, $i A B, qui e$t le $inus total de 1000000, donne la tangente B C de 57735, que don- nera le côté A D de 20 toi$es pour le côté D E, que l’on trou- vera de 11 toi$es 3 pieds & quelques pouces.
_714_. Connoi$$ant dans un triangle rectangle _A D E_, un angle
Il faut chercher la $écante de 30 degrés, qui e$t 115470, & con$idérer que le triangle A B C étant $emblable au triangle A D E, A B: A C:: A D: A E. d’où l’on tire cette regle, $i A B, qui e$t le $inus total de 100000, m’a donnné 115470 pour la $écante A C, que me donnera le côté A D de 20 toi$es pour le côté A E, que l’on trouvera de 23 toi$es & quelques pouces.
715. Dans un triangle rectangle _A B C_, dont on connoît un
Si l’angle aigu A e$t de 40 degrés, & le côté C B de 25 toi- $es, il faut chercher la tangente de 40 degrés, qui e$t 83909, & con$idérer que les triangles A E D & A B C étant $embla- bles, l’on a D E: E A:: C B: B A, d’où l’on tire cette regle, comme la tangente D E de 83909 e$t au côté E A, $inus total de 100000; ain$i le côté C B de 25 toi$es e$t au côté B A, que l’on trouvera de 29 toi$es & quelque cho$e.
716. Autrement, comme l’angle A e$t de 40 degrés, $i l’on
_717_. Dans un triangle rectangle _A B C_, dont on connoît les
Suppo$ant que le côté A B $oit de 16 toi$es, & le côté B C de 14, remarquez que les triangles A D E & A B C étant $em- blables, A B: B C:: A D: D E, d’où l’on tire cette regle, $i le côté A B de 16 toi$es, donne le côté B C de 14, que don- nera 100000, qui e$t le côté A D pour le côté D E, qui e$t la tangente de l’angle A, que l’on trouvera de 875000; & cherchant le nombre le plus approchant de celui-là dans la colonne des tangentes, l’on trouvera qu’il corre$pond à 41 degrés & 12 minutes, qui e$t la valeur de l’angle A.
718. Dans un triangle rectangle _A B C_, où l’on connoît deux
Suppo$ant le côté A B de 35 toi$es, & le côté A C de 40, l’on aura, à cau$e des triangles $emblables A D E & A B C, A B:A C:: A D: A E, d’où l’on tire cette regle, $i le côté A B de 35 toi$es, donne 40 toi$es pour le côté A C, que don- nera le $inus total A D de 100000 pour la $écante A E de l’an- gle A, que l’on trouvera de 114285, & ayant recours à la table pour y chercher dans la colonne des $écantes le nombre qui approche le plus de celui-ci, on trouvera qu’il corre$pond à 28 degrés 57 minutes, qui e$t la valeur de l’angle A.
719. Dans tous triangles les $inus des angles $ont dans la même
Je dis que dans un triangle A B C, il y a même rai$on du $inus de l’angle A à $on côté oppo$é B C, que du $inus de l’an- gle B à $on côté oppo$é A C.
Ayant circon$crit un cercle autour de ce triangle, on voit que l’angle A ayant pour me$ure la moitié de l’arc B D C, la ligne B C $era la corde d’un arc double de celui qui me$ure l’angle A: par con$équent la moitié de la ligne B C $era le $inus de l’angle A; & par la même rai$on le $inus de l’angle B $era la moitié de la ligne A C, comme le $inus de l’angle C e$t à la moitié du côté A B; ain$i l’on aura {B C/2}: B C:: {A C/2}: A C, ou bien {A C/2} : A C :: {A B/2} : A B. C. Q. F. D.
720. Dans un triangle obtus-angle, le $inus de l’angle obtus
Ayant abai$$é la perpendiculaire C D $ur la ba$e prolongée B D, & décrit les arcs F E & H G avec une même ouverture de compas A F & B H, l’on abai$$era les perpendiculaires F I & H L. Cela po$é, comme A F e$t égal à B H, l’un & l’autre $era nommé _a_; A C, _b_; C D, _c_; F I, _d_; H L, _e_; C B, _f_; & nous ferons voir que F I (_d_) : C B (_f_):: H L (_e_): A C (_b_).
Les triangles C A D & F A I étant $emblables, l’on aura C D (_c_): C A (_b_):: F I (_d_): A F (_a_). Et comme les triangles C B D & H B L $ont au$$i $emblables, l’on aura encore C D (_c_): H L (_e_):: C B (_f_): H B (_a_), d’où l’on tire ces deux équations _a c_=_b d_, & _a c_=_e f_, dont les premiers membres étant égaux, l’on aura par con$équent _b d_=_e f_, d’où l’on tire F I (_d_): C B (_f_):: H L (_e_): A C (_b_), qui fait voir que le $inus H L du $upplément de l’angle A B C a même rai$on au côté A C, que le $inus F I au côté B C; & que par con$équent le $inus d’un angle obtus e$t toujours celui de $on $upplément. C. Q. F. D.
Ces deux théorêmes nous fourni$$ent le moyen de connoître les angles & les côtés de la plûpart des triangles qui ne $ont pas rectangles, comme on le va voir dans les problêmes $uivans.
721. Dans un triangle _A B C_, dont on connoît deux angles
Le côté B C étant $uppo$é de 15 toi$es, l’angle A de 40 de- grés, & l’angle B de 60, l’on connoîtra le troi$ieme angle, en $ou$trayant de la valeur de deux droits, c’e$t-à-dire de 180 degrés, la $omme des angles A & B, & l’on trouvera 80 degrés pour l’angle C. Cela po$é, pour connoître le côté A C, je cherche dans les Tables le $inus de l’angle A, c’e$t-à-dire le $inus de 40 degrés, qui $era celui de l’angle oppo$é au côté que je connois, & je trouve qu’il e$t 64278; & cherchant au$$i celui de l’angle B oppo$é au côté que je cherche, je trouve qu’il e$t de 86602: pré$entement je dis: Si 64278, qui e$t le $inus de l’angle A, donne 15 toi$es pour le côté B C, que donnera 86602, qui e$t le $inus de l’angle B, pour le côté A C, que l’on trouvera de 20 toi$es & quelque cho$e: pour trouver la valeur du côté A B, il faut chercher le $inus de l’angle C, qui e$t de 98480, & dire encore: Si le $inus de l’angle A, qui e$t 64278, donne 15 toi$es pour le côté B C, que donnera le $inus de l’angle C, qui e$t 98480 pour le côté A B, que l’on trouvera de 23 toi$es & quelque cho$e.
_722_. Si l’on a deux grandeurs x & y, dont la $omme e$t a, & la différence d, la plus grande e$t égale à la moitié de la $omme, plus la moitié de la différence, & la plus petite e$t égale à la moitié de la $omme, moins la moitié de la différence.
Suppo$ant que _x_ $oit la plus grande, & _y_ la plus petite, il faut démontrer que _x_ = {_a_+_d_/2}, & que _y_={_a_-_d_/2}.
Pui$que la $omme des deux grandeurs e$t _a_, on aura _x_+_y_
=_a_, & pui$que leur différence e$t _d_, on aura _x_-_y_=_d_. De
la premiere équation, on tire _y_=_a_-_x_: donc en mettant
cette valeur de _y_ dans la $econde équation, on aura _x_-_a_
+_x_=_d_, ou 2_x_=_a_+_d_: donc _x_={_a_+_d_/2}. Si l’on met cette
723. Dans un triangle _A B C,_ dont on connoît deux côtés _A C_
Pour trouver d’abord l’angle B, $uppo$ant que le côté A C $oit de 26 toi$es, le côté B C de 20, & l’angle A de 50 de- grés, il faut chercher le $inus de cet angle, qui e$t de 76604, & dire: Si le côté B C de 20 toi$es donne 76604 pour $inus de l’angle A, que donnera le côté A C de 26 toi$es pour le $inus de l’angle B, que l’on trouvera de 99585; & cherchant dans la colonne des $inus le nombre qui approche le plus de celui-ci, l’on verra qu’il corre$pond à 84 degrés 45 minutes, qui e$t la valeur de l’angle B.
Comme l’on connoît les angles A & B, l’on n’aura qu’à $ou$traire la $omme de 180, le re$te $era la différence 45 de- grés 15 minutes pour l’angle C.
724. Mais $i l’angle donné étoit plus ouvert qu’un droit,
725. Dans tous triangles, comme A B C, dont on connoît deux
Si du point angulaire B l’on décrit un cercle, dont le rayon $oit le côté B C, & que l’on prolonge le côté A B ju$qu’à la circonférence en D & E, la ligne A D $era la $omme des deux côtés connus, pui$que B D e$t égal à B C, & la ligne A E $era la différence de ces deux côtés, pui$que B A e$t plus petit que B D de toute la ligne A E. Cela po$é, comme l’angle D B C e$t extérieur au triangle A B C, il $era égal aux deux inté- rieurs B A C & B C A: ain$i il vaudra la $omme des deux an- gles inconnus; & $i l’on tire la ligne E C, l’angle D E C, qui e$t à la circonférence, $era moitié de celui du centre D B C: ain$i il vaudra la moitié de la $omme des deux angles incon- nus; & $i l’on tire la ligne D C, qui $e trouve perpendiculaire $ur E C, à cau$e que l’angle E C D e$t renfermé dans un demi- cercle, cette ligne $era la tangente de l’angle D E C, c’e$t-à- dire de la moitié de la $omme des deux angles inconnus. Pré- $entement con$idérez que le triangle E B C e$t i$o$cele, & que les angles B E C & B C E de la ba$e $ont égaux; par con- $équent l’angle B E C $era plus grand que l’angle B C A de tout l’angle F C E; & comme l’angle extérieur B A C du trian- gle B A C e$t plus grand que l’angle B E C de tout l’angle A C E, il s’en$uit donc que l’angle B A C e$t plus grand que B C A de deux fois l’angle A C E; ce qui fait voir que l’angle A C E e$t la moitié de la différence des deux angles inconnus B A C & B C A. Or $i la ligne E F e$t perpendiculaire $ur E C, elle $era la tangente de la moitié de la différence des deux angles in- connus, étant tangente de l’angle F C E; mais les lignes D C & F E $ont paralleles, pui$qu’elles $ont perpendiculaires $ur E C; par con$équent l’angle F E A $era égal à $on alterne E D C. Et comme les angles F A E & D A C $ont au$$i égaux, il s’en$uit que les triangles A F E & A D C $ont $emblables, d’où l’on tire A D: A E : : D C: F E, qui fait voir que la $omme des deux côtés A D e$t à leur différence A E, comme la ligne D C, tangente de la moitié de la $omme des deux angles in- connus, e$t à la ligne F E tangente de la moitié de leur diffé- rence. C. Q. F. D.
726. Dans un triangle _A B C_, dont on connoît deux côtés _A C_
Comme ce Problême e$t une application du théorême pré- cédent, il faut, pour le ré$oudre, ajouter les deux côtés C B & C A en$emble, c’e$t-à-dire 25, & 20 pour avoir la $omme des deux côtés connus, & $ou$traire le plus petit côté du grand pour en avoir la différence, qui $era 5; & comme l’angle C e$t $uppo$é de 40 degrés, l’on cherchera $a différence avec deux droits, que l’on trouvera de 140, dont la moitié 70 $era la moitié de la $omme des deux angles inconnus A & B. Or cherchant la tangente de cet angle, qui e$t 274747, l’on dira: Si 45, $omme des deux côtés connus, donne 5 pour leur dif- férence, que donnera 274747, tangente de la moitié de la $omme des deux angles inconnus pour la tangente de la moitié de la différence des deux angles inconnus, que l’on trouvera 30527.
Pré$entement $i l’on cherche dans la colonne des tangentes le nombre le plus approchant de celui-ci, l’on verra qu’il cor- re$pond à 16 degrés & 59 minutes: & comme cette quantité n’e$t que la moitié de la différence, il faut la doubler pour avoir la différence entiere, qui $era 33 degrés 58 minutes, qu’il faut $ou$traire de la $omme des deux angles inconnus, c’e$t-à-dire de 140 degrés, & l’on trouvera pour la différence 106 degrés 2 minutes, dont on n’a plus qu’à prendre la moitié pour avoir la valeur de l’angle oppo$é au pluspetit côté, c’e$t- à-dire de l’angle B, qui $era de 53 degrés une minute: car par le lemme de l’art. 722, le plus petit angle doit être égal à la moitié de la $omme, moins la moitié de la différence, & c’e$t ce que l’on trouve en ôtant la différence de la $omme, & pre- nant la moitié du re$te.
Pour avoir l’angle A, on n’a qu’à ajouter la différence 33 degrés 58 minutes à la valeur de l’angle B, & l’on trouvera qu’il e$t de 86 degrés 59 minutes.
Si l’on veut connoître le côté A B, il $era facile de le trouver par la $eptieme propo$ition.
727. Dans tous triangles comme _A B C_, dont on connoît les
Si du point B l’on décrit un cercle, dont le rayon $oit le côté B C plus grand que B A, & que l’on prolonge le côté A B ju$qu’à la circonférence, B D étant égal à B C, A D $era la $omme des deux côtés A B & B C, & A F en $era la différence: & comme la ligne E C e$t divi$ée en deux également par la perpendiculaire B G, E A $era la différence des deux $egmens A G & G C. Si l’on tire les lignes D C & E F, l’on aura les deux triangles $emblables A E F & A D C: car ils ont un an- gle oppo$é au $ommet en A, & de plus l’angle en E e$t égal à l’angle en D, pui$qu’ils $ont appuyés $ur le même arc F C. On aura donc cette proportion, A C qui e$t la ba$e, e$t à A D qui e$t la $omme des deux côtés, comme A F, qui e$t la différence de ces deux côtés e$t à A E, qui e$t la différence des $egmens de la ba$e. C. Q. F. D.
Ce théorême nous donne un moyen de connoître les trois angles d’un triangle dont on connoît les trois côtés, comme on le va voir dans le problême $uivant, qui en e$t une appli- cation.
728. Connoi$$ant les trois côtés d’un triangle _A B C_, l’on de-
Suppo$ant que la ba$e A C $oit de 15 toi$es, le côté A B de
8, & le côté B C de 12, il faut dire: Comme la ba$e A C
de 15 e$t à la $omme des deux autres côtés, qui e$t 20: ain$i
la différence de ces deux côtés, qui e$t 4, e$t à la différence
des deux $egmens, que l’on trouvera de 5 toi$es 2 pieds. Pré-
$entement $i l’on ajoute cette quantité à la valeur de la ba$e
A C, l’on aura 20 toi$es 2 pieds, qui $era la valeur d’une ligne
729. On a pu voir dans les Tables qu’il y a trois colonnes
$ur la droite de celles dont nous nous $ommes $ervis, au haut
de$quelles on trouve ces mots, _Logarithmes des $inus, Loga-_
_rithmes des tangentes, Logarithmes des $écantes_. Pour concevoir
comment on peut faire u$age des logarithmes dans le calcul
des triangles, il faut $e rappeller ce que nous avons démontré
$ur les propriétés des logarithmes, par le moyen de$quels toute
multiplication e$t réduite à l’addition des logarithmes du mul-
tiplicande & du multiplicateur, & toute divi$ion à une $ou$-
traction du logarithme du divi$eur de celui du dividende. Il
faut encore $e rappeller que toute Regle de Trois $e réduit à
l’addition des logarithmes des deux moyens, & à la $ou$trac-
tion du logarithme du premier extrême de la $omme de ceux
des moyens. Cela po$é, il e$t évident que $i l’on connoît les
logarithmes des $inus, tangentes & $écantes, comme on a ceux
des nombres naturels qui expriment les côtés des triangles que
l’on veut calculer, les proportions qu’il faut faire $e réduiront
à l’addition de deux logarithmes, & à la $ou$traction du lo-
garithme du premier terme de la $omme des logarithmes des
moyens. Ain$i en cherchant les $inus, il faudra prendre le
logarithme du $inus; en cherchant une tangente, il faudra
prendre le logarithme de cette tangente, & en cherchant la
$écante, il faudra prendre le logarithme de cette $écante au
lieu des $inus des tangentes & des $écantes. En$uite au lieu de
mettre les nombres naturels qui expriment le nombre de toi$es
ou de pieds contenus dans les côtés connus, il faudra prendre
les logarithmes de ces nombres, que l’on cherchera dans les
730. Ayant un triangle rectangle A D E, dont on connoît
Pour le trouver, je cherche dans la Table la page, au $om- met de laquelle il y a 30 degrés; & au lieu de prendre la tan- gente de la troi$ieme colonne, je prends $on logarithme, qui e$t 97614394. Et comme j’ai au$$i be$oin du $inus total, au lieu de prendre celui qui e$t divi$é en 100000 parties, je prends $on logarithme, qui e$t divi$é en 100000000 parties; & comme il faut faire une Regle pour trouver le côté D E, dont le premier terme doit être le $inus total dont je viens de parler, le $econd la tangente que nous venons de trouver, & le troi$ieme la valeur du côté A D. Il faut au$$i, au lieu de mettre $implement 20 toi$es au troi$ieme terme, mettre à $a place le logarithme de ce nombre, que l’on trouvera dans le premier feuillet de la Table des Logarithmes des nombres na- turels à côté du nombre 20, dont le logarithme e$t 13010300. Pré$entement il faut faire cette proportion arithmétique: Si le $inus total 100000000 donne 97614394 pour le logarithme de la tangente de 30 degrés, combien donneront 13010300, logarithme de 20 toi$es, pour le logarithme du nombre que je cherche; & pour le trouver, j’additionne le $econd & le troi- $ieme terme, & de la $omme j’en $ou$trais le premier pour avoir 10624694, qui e$t le logarithme du nombre que je cherche: & pour $çavoir quel e$t ce nombre, j’ai recours à la Table des Logarithmes des nombres naturels pour chercher un logarithme qui approche le plus de celui-ci, & j’en trouve un qui e$t un peu trop petit, qui corre$pond au nombre 11, & un autre qui e$t un peu trop grand, qui corre$pond au nom- bre 12; c’e$t pourquoi j’en cherche un qui $oit à peu près moyen entre ces deux-là, comme e$t, par exemple, 11 {1/2}; ce qui fait voir que le côté D E e$t à peu près de 11 toi$es 3 pieds.
731. Si l’on a un triangle rectangle A B C, dont on con-
732. Ayant un triangle A B C, dont on connoît l’angle A
Je cherche le logarithme du $inus de 40 degrés, qui e$t 98080675, & le logarithme de 60 degrés, qui e$t 99375306; & enfin dans la $econde Table le logarithme du nombre 15, qui e$t 11760913; & fai$ant l’analogie ordinaire, je dis: Si le logarithme du $inus de l’angle A, qui e$t 98080675, donne 11760913 pour le logarithme du côté B C, que donnera le lo- garithme du $inus de l’angle B, qui e$t 99375306 pour le lo- garithme du côté A C, que je trouve de 13055544; & cher- chant dans la $econde Table le logarithme qui approche le plus de celui-ci, je trouve qu’il corre$pond au nombre 20; ce qui fait voir que le côté A C e$t de 20 toi$es.
733. _Trouver une di$tance inacce$$ible._
Un objet quelconque tel que C étant donnée, duquel
734. Il arrive quelquefois que l’on e$t embarra$$é de trouver
une di$tance inacce$$ible, lor$qu’elle e$t extrêmement éloignée,
comme $i elle avoit deux ou trois lieues La difficulté pour lors
e$t d’avoir une ba$e a$$ez grande, qu’il faut dans ce cas-là au
moins de 1000 toi$es. Comme il $eroit fort pénible de me$urer
une $i longue di$tance, jointe à l’inégalité du terrein, & aux
ob$tacles qu’on peut rencontrer, le parti qu’il faut prendre,
c’e$t de $e donner d’abord une petite ba$e, par le moyen de
laquelle vous pouvez en avoir une trois ou quatre fois plus
Les opérations précédentes $ont très-utiles pour lever des Cartes, afin de $e donner des points capitaux pour y rapporter tous les lieux qui y ont rapport; ou bien $i l’on veut lever la campagne qu’occupe une armée, pour y marquer les quartiers, les lignes de circonvallation, les po$tes de con$équence; enfin tout ce qui peut devenir intére$$ant en pareil cas.
Si on a$$iége une Place, & que l’on $oit obligé de faire quelques galeries pour établir des fourneaux $ous les angles du chemin couvert, ou $ous quelque ouvrage avancé, il faut ab- $olument avoir recours à cette opération, afin qu’étant pré- venu de la di$tance de l’entrée de la galerie à l’objet vers lequel on chemine, on $çache donner à cette galerie la longueur néce$$aire pour être po$itivement $ous l’objet qu’on veut faire $auter.
_735_. Trouver la di$tance inacce$$ible d’un lieu à un autre,
Pour faire cette opération, il faut commencer par $e don-
ner une ba$e telle que A B, que je $uppo$e ici de 100 toi$es,
& de l’extrêmité B prendre avec l’in$trument l’ouverture de
l’angle A B C, formé par la ba$e A B, & le rayon vi$uel B C;
on $uppo$e cet angle de 92 degrés: du même endroit B il
faut prendre au$$i l’ouverture de l’angle A B D, qui $era, par
exemple, de 45 degrés; & cette opération étant faite, il faut
venir à l’autre extrêmité A de la ba$e A B, pour y prendre
l’ouverture de l’angle D A B, que je $uppo$e ici de 98 degrés;
& du même endroit prendre encore l’ouverture de l’angle
D A C, qui $era, par exemple, de 50 degrés. Les angles étant
connus, au$$i-bien que la ba$e A B, l’on n’aura aucune diffi-
culté de trouver la di$tance D C, non plus que celle de D en
A, & celle de B en C: car con$idérez qu’il e$t facile de trouver
la valeur des côtés A C & B C du triangle C A B, parce que
l’on connoît le côté A B de 100 toi$es, l’angle B de 92 de-
grés, & l’angle C A B de 48, & par con$équent l’angle A C B
de 40 degrés. Cela po$é, pour trouver la valeur du côté C B,
Comme on ne peut pas connoître la valeur du côté D C $ans celle du côté D A, pour le trouver il faut dire: Si le $inus de l’angle A D B de 37 degrés m’a donné la valeur du côté A B de 100 toi$es, que me donnera le $inus de 45 degrés pour la valeur du côté D A, lequel étant connu, au$$i-bien que le côté A C, & l’angle D A C, nous aurons deux côtés connus, & l’angle compris dans un triangle, qui pourra nous donner les deux angles inconnus; & en $uivant ce qui e$t dit dans la propo$ition 10<_>e, art. 725, il faudra d’abord chercher les angles en D & en C: par cette proportion, la $omme des deux côtés A C, A D (que l’on vient de trouver), e$t à leur différence, comme la tangente de la moitié de la $omme des angles en C & en D e$t à la tangente de la moitié de la différence. A yant l’angle C, que je $uppo$erai le plus grand, pour avoir le côté C D, on fera cette autre proportion: Le $inus de l’angle C e$t au côté A D connu, comme le $inus de l’angle A e$t au côté D C que je cherche; & l’on aura ain$i le côté D C, qui e$t la di$tance que l’on demande.
Comme il arrive pre$que toujours que la campagne n’e$t pas marquée $ur le plan des Villes que l’on a$$iege, & que $i elle y e$t figurée, l’on ne peut pas, $ans faire de grandes erreurs, $e fier à la préci$ion de ceux qui les ont levés ou copiés, l’opération pré- cédente nous donne un excellent moyen pour orienter $ur le plan par rapport à la place, la queue de la tranchée de chaque attaque, afin de pouvoir en$uite projetter les travaux que l’on a envie de faire d’une nuit à l’autre, ou $eulement les y marquer à me$ure qu’on les avance, parce qu’ayant une fois un bout de parallele, l’on peut de dedans la tranchée me$urer les boyaux, & prendre l’ouverture des angles qui font les retours; marquer la po$ition des batteries; enfin lever le plan de la tranchée avec autant d’exac- titude que s’il n’y avoit aucun ob$tacle.
736. Il faut bien remarquer que lor$que l’on cherche un côté, on doit toujours commencer la proportion par un $inus; & $i c’e$t un angle que l’on veut avoir, il faut commencer la proportion par un côté: de cette maniere la grandeur que l’on cherche $era toujours le quatrieme terme d’une proportion géométrique, dont les trois premiers termes $ont connus, en cas que l’on $e $erve des $inus & des nombres naturels, ou ce quatrieme terme $era le logarithme de ce que l’on cherche, en cas que l’on prenne les logarithmes des $inus & ceux des nom- bres naturels.
_737_. Tirer une ligne parallele à une autre inacce$$ible.
On demande de tirer par le point C une parallele à une ligne inacce$$ible A B.
Pour ré$oudre ce problême, il faut commencer par $e donner une ba$e telle que C D, qui doit être, comme nous l’avons dit ailleurs, proportionnée à la di$tance de l’objet, afin que l’opération en $oit plus ju$te, & nous $uppo$ons que 150 toi$es e$t la longueur qui lui convient.
Nous $çavons que deux lignes paralleles étant coupées
par une troi$ieme, forment les angles alternes égaux, & que
par con$équent lor$que les angles alternes $eront égaux, les
lignes $eront paralleles; d’où il $uit que $i l’on connoît l’angle
A B C, formé par la parallele A B, & le rayon vi$uel C B, on
n’aura qu’à faire l’angle B C E égal au précédent, pour que
la ligne C E $oit parallele à la ligne A B: ain$i toute la que$-
tion e$t réduite à trouver la valeur de l’angle A B C. Afin de
la connoître, je commence du point C par prendre l’ouver-
ture de l’angle A C B, que je trouve de 40 degrés: en$uite je
viens au point D pour y prendre l’ouverture de l’angle C D B,
qui e$t de 86 degrés; & je prends au$$i l’ouverture de l’angle
A D B, qui $era, par exemple, de 60 degrés. Ces cho$es étant
connues, je fais en$orte de trouver par leur moyen la valeur
des lignes C A & C B. Pour cela, je cherche dans le triangle
C D B la valeur du côté C B. Pour le trouver, je con$idere
Pour trouver le côté C A, je fais attention que l’angle C D A e$t de 26 degrés, & que l’angle A C D étant de 120 degrés, l’angle C A D doit être de 34 degrés. Cela étant, je dis encore: Si le $inus de l’angle C A D de 34 degrés, m’a donné 150 toi$es pour le côté C D, que me donnera le $inus de l’angle C D A de 26 degrés pour la valeur du côté C A? Or comme nous avons dans le triangle A C B les deux côtés A C & C B de connus avec l’angle compris A C B, il s’en$uit que l’on trou- vera ai$ément par la propo$ition 10<_>e la valeur de l’angle A B C, dont la connoi$$ance e$t la $olution du problême.
L’on e$t $ouvent obligé de mener une parallele à une ligne inac- ce$$ible dans une infinité d’occa$ions, $oit qu’on veuille percer des routes dans un bois avec certaines précautions, ou $oit dans les $iéges, quand on veut dre$$er une batterie qui $oit parallele à la face de l’ouvrage que l’on veut battre, ou quand on en veut faire une autre en écharpe, dont les feux aillent $e diriger $elon un angle donné avec la face.
_738_. Me$urer une hauteur acce$$ible ou inacce$$ible.
Pour me$urer la hauteur A B d’une Tour, il faut $e donner
une ba$e telle que E B, qu’il faut me$urer exactement depuis
le point du milieu B de la Tour ju$qu’à l’endroit E, qui e$t le
lieu où l’on aura planté le graphometre; & $uppo$ant que cette
ba$e $oit de 25 toi$es, l’on prendra l’ouverture de l’angle A C D
formé par deux rayons vi$uels, dont le premier C D doit être
parallele à l’horizon, & le $econd C A doit aboutir au $ommet
de la Tour; & $uppo$ant que l’angle $oit de 35 degrés, l’on
cherchera dans le triangle A C D le côté A D, en di$ant:
Comme le $inus total e$t à la tangente de l’angle C, ain$i le
côté C D de 25 toi$es e$t au côté D A, que l’on trouvera de
17 toi$es 3 pieds; à quoi ajoutant la hauteur D B ou C E du
pied de l’in$trument, qui e$t ordinairement de 4 pieds, on
Mais $i l’on avoit à prendre la hauteur d’une Tour ou d’une
Pour donc trouver le côté A G, je dis: Comme la $écante de l’angle A D G e$t à $a tangente, ain$i le côté D A de 63 toi$es 2 pieds, e$t au côté A G, que l’on trouvera de 48 toi$es 3 pieds: à quoi il ne faut plus qu’ajouter la hauteur du pied de l’in$trument pour avoir la ligne A B.
Maniere de lever une Carte par le moyen de la trigonométrie.
739. L’on doit di$tinguer deux $ortes de cartes: les unes
Pour les cartes générales, l’on ne prend que la po$ition
des lieux les plus con$idérables, & la figure des grands che-
mins, omettant quantité de cho$es qui ne pourroient $e placer
$ur ces $ortes de cartes, parce qu’elles $ont ordinairement
dre$$ées $ur de petites échelles. Telles $ont les Cartes des
Si l’on vouloit, par exemple, lever la carte des lieux mar- qués par les lettres de cette figure, l’on voit que l’objet qu’on $e propo$e n’e$t autre cho$e que de placer $ur le papier les dif- férens endroits qui $ont ici, en$orte que la di$tance qu’il y a d’un lieu à un autre ait le même rapport $ur la carte que $ur le terrein; ce qui e$t proprement faire une réduction de grand en petit. Comme ces réductions ne peuvent $e faire que par les triangles $emblables, il s’en$uit qu’en levant la carte d’un pays par le moyen de la Trigonométrie, il ne s’agit que de trouver la valeur des angles & des côtés qui $ont formés par la di$- tance des lieux. Cela po$é, je commence par établir une ba$e la plus grande qu’il e$t po$$ible, a$in que les lieux qui doivent s’y rapporter $oient plus exactement levés. Pour cela il faut éviter, autant qu’il e$t po$$ible, d’avoir des angles trop obtus & trop aigus. Ayant donc choi$i les points de $tation A & B, je commence par en chercher la di$tance de la maniere que nous l’avons en$eigné dans la $econde propo$ition: l’ayant trouvée, je viens à l’endroit B, pour y prendre l’ouverture des angles formés par la ba$e A B, & les différens endroits que je me propo$e de lever. Pour cela, je prends l’ouverture de l’angle A B C, de l’angle A B D, de l’angle A B E, je pa$$e le point F, parce que l’angle qu’il formeroit avec la ba$e $e- roit trop obtus, & qu’on auroit trop de peine à couper le rayon qui $eroit tiré de B en F: je continue à prendre l’ouver- ture des angles A B G, A B H, A B I, & A B K: je pa$$e au$$i le point L, parce que l’angle formé par la ba$e A B, & le rayon de B en L $eroit trop aigu.
Pré$entement il ne s’agit plus, pour avoir la po$ition des
endroits qu’on voit marqués ci - de$$us, que de couper les
rayons qu’on vient de tirer. Pour cela, je viens au point A,
pour y prendre l’ouverture de l’angle B A E, qui me donnera
Après avoir trouvé la valeur de tous les côtés des triangles qui $ont ici, il faut les rapporter $ur le papier, en donnant à chaque ligne la valeur qu’elle doit avoir; ce qui $e fera $ans difficulté par le moyen d’une échelle: & après que toutes ces po$itions $eront rapportées bien exactement, l’on pourra, en $uivant la même méthode, continuer à lever les lieux qu’on aura pu découvrir dans les premieres opérations; ce qui $era bien ai$é, pui$qu’on aura de toutes parts des ba$es, dont la valeur $era connue. Par exemple, pour lever les objets au- delà des points C & D, on pourra prendre la di$tance C D pour ba$e; d’un autre côté on pourra prendre la ligne I H; enfin $ur la gauche la di$tance L K, $ur la droite toute autre ligne que l’on choi$ira de même.
Des attentions qu’il faut avoir pour lever une Carte particuliere.
740. Quand on veut lever une carte d’une façon à ne rien
omettre de toutes les particularités qui entrent dans le détail
741. Quand on veut tracer une fortification $ur le terrein,
Il faut avant toutes cho$es chercher la valeur de l’angle F A C, en di$ant: Comme le côté A C de 90 toi$es e$t au côté C F de 30, ain$i le $inus total A I e$t à la tangente I D, qui étant trouvée, l’on verra qu’elle corre$pond à un angle de 18 degrés 26 minutes, qui e$t la valeur de l’angle F A C: par con$équent celle de l’angle H D E, à cau$e des paralleles A B & D E qui abouti$$ent $ur A H.
Or comme nous avons be$oin dans le triangle D A I du côté A I, on n’aura qu’à dire (pour le connoître): comme la $écante de l’angle D A I e$t au $inus total, ain$i le côté A D de 50 toi$es e$t au côté A I; que l’on trouvera de 47 toi$es 2 pieds, qu’on n’aura qu’à retrancher de la ligne A C de 90 toi$es pour avoir la ligne I C de 42 toi$es 4 pieds; & comme cette ligne e$t moitié du côté D E, on verra que ce même côté e$t de 85 toi$es 2 pieds.
Comme le triangle H D E e$t i$o$cele, & que l’on connoît l’angle du $ommet avec les deux côtés qui le comprennent, parce que la ligne D H e$t le prolongement de la ligne A D; & que la ligne D E e$t parallele à la ligne A B, _par con$truction_, on aura l’angle en H ou l’angle en E, en retranchant l’an- gle D de 180 degrés, & prenant la moitié pour cet angle. Ain$i l’on dira (pour avoir le flanc H E): Si le $inus de l’an- gle D H E m’a donné le côté D E, que me donnera le $inus de l’angle H D E pour le flanc ou côté H E, que l’on trouvera de 27 toi$es 2 pieds?
Comme les angles de la ba$e dutriangle i$o$cele $ont chacun
de 80 degrés & 47 minutes, pui$que l’angle du $ommet e$t de
18 degrés 26 minutes; il s’en$uit, à cau$e des angles alternes
formés par les lignes paralleles G H & D E, que $i de l’angle
Or comme du triangle G H E l’on connoît les angles & le côté H E, l’on n’aura (pour connoître la courtine) qu’à dire: Comme le $inus de l’angle H G E e$t au côté H E, ain$i le $inus de l’angle G E H e$t au côté G H, que l’on trouvera de 76 toi$es 3 pieds.
Pour connoître I’angle flanqué, con$idérez qu’il e$t plus petit que l’angle de la circonférence de deux fois l’angle D A I, qui e$t de 18 degrés 26 minutes: & comme l’on $uppo$e qu’il s’agit ici d’un exagone, dont l’angle de la circonférence e$t de 120 degrés, l’on n’aura qu’à retrancher 36 degrés 52 mi- nutes de 120 degrés pour avoir l’angle flanqué, qui $era de 83 degrés 8 minutes.
L’on pourra calculer de même tous les autres fronts de for- tification, dont le côté extérieur auroit plus ou moins de 180 toi$es, parce que les proportions $e trouveront toujours. Ain$i quand il s’agira de calculer les lignes & les angles dont un ouvrage à corne, ou un ouvrage à couronne e$t compo$é, il $uffira de connoître le côté extérieur, la perpendiculaire, & la face d’un ba$tion pour connoître le re$te: c’e$t pourquoi cette pratique peut avoir également lieu dans la fortification irréguliere comme dans la réguliere; car $oit que l’on fa$$e les flancs perpendiculaires $ur la ligne de défen$e, ou $ur la cour- tine, $elon les cas où l’on $eroit obligé de $uivre une méthode plutôt qu’une autre, l’on trouvera le calcul également ai$é, pourvu que l’on ait $eulement quelques grandeurs connues, par le moyen de$quelles on pui$$e opérer.
742. De tout ce qui regarde le calcul d’une fortification, je n’ai point trouvé de partie plus difficile à calculer que la valeur de la face de la demi-lune; & l’on peut même regarder ce cas-là comme un petit problême de fortification: c’e$t pour- quoi je crois qu’on $era bien ai$e d’en voir la $olution; car quoiqu’elle paroi$$e peu de cho$e, elle ne lai$$eroit pas que d’embarra$$er un Commençant: ain$i pour bien $çavoir de quoi il e$t que$tion, voici comme on $uppo$e que la demi-lune a été tracée.
Après avoir pris le point E $ur la face d’un ba$tion à 5 toi$es
Comme il $eroit facile de trouver la longueur I F, $i l’on connoi$$oit la valeur des lignes D I & D F, nous allons voir comment on peut y parvenir, en tirant les lignes D H, D K, C F, & en connoi$$ant les parties du corps de la Place que nous venons de trouver. Pour y arriver, je cherche dans le triangle rectangle C L F la valeur de l’angle L C F, par le moyen des deux côtés L C & C F, qui me $ont connus (pui$que l’un vaut la moitié de la courtine, & que l’autre e$t égal à la ligne C E), en di$ant: Comme le côté L C e$t au côté C F; ain$i le $inus total e$t à la $écante, qui donnera 65 degrés pour l’an- gle L C F, duquel ayant retranché l’angle M C D de 18 degrés 26 minutes, re$tera 46 degrés 34 minutes pour l’angle D C F.
Or comme le côté D C e$t de 88 toi$es 2 pieds, & le côté C F de 90 toi$es 2 pieds, & que l’on connoît l’angle qu’ils comprennent, on trouvera par l’analogie ordinaire que le côté D F e$t de 70 toi$es 2 pieds, & que l’angle C D F e$t de 68 de- grés 15 minutes.
Comme nous avons be$oin de connoître l’angle C D K, au$$i- bien que le côté D K, con$idérez que dans le triangle C D K, l’on connoît les deux côtés D C & C K avec l’angle qu’ils com- prennent, & que par con$équent il $era facile de trouver ce que l’on cherche. Au$$i verra-t’on que C D K e$t de 17 degrés 49 minutes, & le côté D K de 88 toi$es.
Or comme il faut dans le triangle H D K connoître, outre
le côté D K, le côté H D avec l’angle qu’ils comprennent pour
parvenir à la $olution du problême, con$idérez que dans le
triangle A H D l’on connoît le côté A D de 47 toi$es, & le
côté A H de 20, & qu’on connoîtra l’angle H A D, quand on
$çaura la valeur de l’angle flanqué, pui$qu’il en e$t la différence
avec deux droits; & comme l’on $uppo$e que c’e$t ici un exa-
Pré$entement $i l’on retranche de 180 degrés la $omme des deux angles C D K & A D H, il re$tera 140 degrés 12 minutes pour la valeur de l’angle H D K.
743. Or comme l’on connoît dans le triangle H D K deux côtés & l’angle compris, on trouvera par con$équent (art. 725) les deux autres angles, particuliérement l’angle D K I, dont nous avons be$oin, qui e$t de 14 degrés 4 minutes; & comme il nous faut au$$i l’angle F D K, on trouvera qu’il e$t de 50 de- grés 26 minutes, $i l’on retranche de l’angle F D C l’angle K D C: mais comme ceci nous donne la valeur de l’angle D I K, qui e$t de 115 degrés 30 minutes, l’on pourra donc dire pour trouver le côté D I: Si le $inus du $upplément de l’angle D I K a donné le côté D K, que donnera le $inus de l’angle D K I pour la valeur du côté D I, que l’on trouvera de 23 toi$es 4 pieds, qu’on n’aura qu’à retrancher de la ligne D F, qui vaut, comme nous l’avons vu, 70 toi$es 2 pieds, l’on trou- vera que la face I F de la demi-lune e$t de 46 toi$es 4 pieds?
744. Pour trouver la demi-gorge I N de la demi-lune, faites attention que dans le triangle O D F, l’on connoît les deux angles F O D & O D F, & que par con$équent on connoîtra l’angle O F D, qui $e trouve de 40 degrés 11 minutes; & comme cet angle $e trouve au$$i dans le triangle I N F, dont on connoît l’angle N I F, pui$qu’il e$t $upplément de l’angle D I K, il s’en- $uit qu’ayant deux angles dans le triangle I F N, l’on connoîtra le troi$ieme I N F; par con$équent l’on pourra dire: Si le $inus de l’angle I N F de 75 degrés 19 minutes a donné le côté I F, que donnera le $inus de l’angle I F N pour le côté I N, que l’on trouvera de ....?
Enfin $i pour tracer la demi - lune l’on avoit be$oin de la di$tance du milieu L de la courtine au point F, il $eroit facile de la trouver, en di$ant: Comme le $inus total e$t à la tangente de l’angle L C F, ain$i le côté C L e$t au côté L F, que l’on trouvera de 82. 0. 9 pouces.
Je ne parle point de la maniere de calculer les lignes, tant
droites que courbes, qui forment la contre$carpe, parce que
745. Après que l’on a fait le calcul des lignes & des angles qui compo$ent la fortification, on commence, pour la tracer $ur le terrein, par planter des piquets à tous les angles qui doi- vent former le polygone; en$uite l’on s’attache à tracer la for- tification de chaque front, ju$qu’à ce que tout $oit achevé.
Si l’on $uppo$e que les points A & B repré$entent deux en- droits auxquels l’on a planté des piquets, qui déterminent la longueur A B d’un des côtés du polygone, qui $era, par exem- ple de 180 toi$es, voici comment il faut s’y prendre pour tracer le front qui corre$pond à $es côtés.
Ayant marqué $ur un plan le projet de la fortification avec
L’on fera la même opération au piquet B, comme on vient
de faire à l’autre; & aprés avoir tracé, ou $eulement planté
des piquets aux points F & E, l’on $e portera au point E pour
voir s’il $e trouve de même alignement que les deux C & A,
afin de remarquer $i la face A C $e termine préci$ément dans
l’angle flanquant; & l’on fera la même cho$e pour être a$$uré
de la ju$te$$e de la face B F; en$uite l’on n’aura plus qu’à tracer
avec un cordeau la courtine D E, au$$i-bien que les faces &
Pour faire $entir encore davantage l’utilité de la Trigono- métrie dans ce qui concerne les fortifications, nous allons ajouter quelques problêmes, dont la $olution dépend des prin- cipes précédens, & qui peuvent être d’un grand u$age dans l’attaque des places, & dans la conduite des ouvrages, pour connoître par une $eule ob$ervation la di$tance où l’on e$t de certains endroits remarquables que l’on a intérêt d’attaquer.
746. Connoi$$ant une ligne _A B_, dont on ne peut approcher,
Pui$que l’on connoît l’angle A C D & l’angle A D C, on
connoît au$$i l’angle en A, en ôtant les deux premiers de 180
degrés; de même dans le triangle B C D on connoît l’angle
C B D, pui$que, _par hypothe$e_, les angles B C D, B D C $ont
connus. Quoique je ne connoi$$e point les côtés A C, A D,
D C, B C, B D de ces triangles, je $çais cependant que ces
côtés $ont entr’eux comme les $inus des angles qui leur $ont
oppo$és; & comme ces angles $ont connus, les rapports des
côtés le $eront au$$i. Cela po$é, dans le triangle C A D, on aura
cette proportion, S. CAD: S. ADC:: DC: AC, & dans le trian-
gle C B D, on aura cette autre, S. BDC: S. CBD:: BC: DC:
donc en multipliant terme par terme ces deux proportions, on
aura S. C A D x S. B D C: S. A D C x S. C B D:: B C x D C:
A C x D C:: B C: A C. D’où il $uit que dans le triangle B C A,
on a le rapport exact des côtés A C, C B qui comprennent
l’angle connu A C B; ain$i on $uppo$era pour un in$tant que
ces côtés $ont effectivement égaux aux produits des $inus des
angles C A D, B D C, A D C, C B D; & pour avoir les angles
en A & en B du triangle A B C, on fera cette proportion: La
$omme des deux côtés A C + B C e$t à leur différence, comme
747. On a dû remarquer que dans le triangle A C B l’on ne connoi$$oit d’abord que le côté A B & l’angle oppo$é C, & rien de plus. L’on pourroit donc être tenté de croire que la connoi$$ance d’un angle & du côté oppo$é $uffit pour con- noître toutes les parties d’un triangle, mais il e$t ai$é d’ap- percevoir la fau$$eté d’une pareille induction; il e$t vrai que l’on ne connoît qu’un angle & le côté oppo$é, mais les ob- $ervations des angles en D $uppléent à ce qui nous manque, en donnant le rapport des côtés A C & C B, par le moyen de$- quels on a calculé les angles en A & en B.
748. Si l’on appelle le $inus de l’angle A D C, _a_; celui de l’angle C A D, _b_; celui de l’angle C B D, _c_; & enfin celui de l’angle B D C, _d_; on aura au lieu de la proportion S. C A D x S. B D C: S. A D C x S. C B D :: B C: A C, celle-ci _bd_: _ac_ :: B C: A C: donc en divi$ant les deux premiers termes par _c_, on auroit {_bd_/_c_}: _a_ :: B C: A C.
Si l’on vouloit $e $ervir des logarithmes pour faire cette
opération, voici comment on pourroit s’y prendre. On cher-
chera d’abord les $inus des angles _a, b, c, d_, que l’on regar-
dera comme des nombres naturels; on cherchera en$uite dans
la Table des Logarithmes des nombres naturels, les logarithmes
de ces $inus con$idérés comme tels; on ajoutera en$emble les
logarithmes des $inus _s, b, d_, & de la $omme on retranchera le
logarithme de _c_: ce qui viendra $era le logarithme de la frac-
tion {_bd_/_c_}; on cherchera ce logarithme dans la Table des Loga-
rithmes pour voir le nombre qui lui répond. Après cela on
prendra la $omme de ce nombre & du $inus _a_, & la diffé-
749. La ligne _A C_ & $es parties _A B, B C_ étant connues avec
Ce problême peut être ré$olu géométriquement, & par le calcul trigonométrique: nous allons donner la $olution qui dé- pend du calcul, & nous donnerons en$uite la $olution géomé- trique.
Imaginons les lignes A F, B F, C F, tirées des extrêmités
750. Pui$que les parties de la ligne A C $ont connues, ain$i que les angles A F B, B F C, je prends une ligne A B qui con- tienne autant de parties égales que la ligne A B, que l’on $up- po$e $ur le terrein, contient de toi$es: je prends de même $ur la ligne A B prolongée une partie B C qui contienne autant de parties égales, que la ligne B C ob$ervée $ur le terrein con- tient de toi$es. Je double l’angle A F B, j’ôte cet angle de 180 degrés, & je divi$e le re$te en deux parties égales. Au point A & au point B, je fais les angles B A D, A B D égaux cha- cun à la moitié de cette différence; ce qui me détermine le point D. Je double de même l’angle ob$ervé B F C, & ôtant ce double de 180 degrés, je fais en B & en C les angles C B E, B C E égaux chacun à la moitié de la différence du double de l’angle ob$ervé; ce qui me donne le point E: je mene la ligne E D; du point B j’abai$$e $ur cette ligne E D la perpendicu- laire B G F, & je prends G F = B G; le point F e$t le point qui me donne tout ce dont j’ai be$oin: ain$i je n’ai qu’à voir combien les lignes BF, CF, AF contiennent de parties égales, & j’aurai les di$tances du point F aux points donnés A, B, C.
751. On pourroit encore ré$oudre le problême géométri- quement d’une autre maniere: il n’y auroit qu’à décrire $ur les lignes A B & B C des $egmens capables des angles donnés A F B, B F C, & le point où ces cercles s’entrecouperoient au dehors de la ligne A C, $eroit celui qui donneroit les di$tances demandées.
752. On pourroit encore ré$oudre le problême par les mé-
thodes que nous venons de propo$er dans le cas où les parties
A B & B C ne $eroient pas en lignes droites, comme dans les
figures 202, 203, pourvu que l’on connût l’angle A B C qu’elles
753. Il $uit delà que $i l’on connoît la po$ition de trois objets placés au dedans d’une Ville a$$iégée par le moyen d’un plan, ou bien parce qu’on l’aura déterminée géométrique- ment; on pourra toujours par une $eule opération déterminer la di$tance de l’endroit où l’on e$t aux mêmes objets que l’on a intérêt d’attaquer; & par con$équent on $era le maître d’y conduire des galeries de mines, ou d’y jetter des bombes, ou enfin de diriger $es batteries de la maniere qui paroîtra la plus avantageu$e. Il faut dans le cas où l’on auroit be$oin d’une grande préci$ion $e $ervir des $olutions numériques préféra- blement aux $olutions géométriques, parce que le calcul donne toujours les di$tances avec la derniere exactitude.
754. Il $uit encore delà que l’on peut, par le moyen des
_Nota_. Le problême propo$é (art. 746) pourroit au$$i $ervir aux mêmes u$ages, & l’on peut en faire l’application à bien d’autres opérations qu’il $eroit inutile de détailler ici. L’occa- $ion fournit des re$$ources & des expédiens lor$que l’on e$t d’abord muni d’une bonne théorie; ain$i chacun pourra s’exer- cer à mettre en œuvre les propo$itions que nous venons de démontrer.
755. L’on dit que deux points $ont de _niveau_, lor$qu’ils
756. De $orte qu’une ligne qui a tous $es points également éloignés du centre de la terre, e$t appellée _ligne du vrai niveau_, qui ne peut être qu’une ligne courbe.
757. L’on peut donc dire que la $uperficie des lacs, des étangs, & de toutes les eaux qui ne $ont guere agitées, ren- ferment une infinité de points de niveau, pui$qu’ils $ont tous également éloignés du centre de la terre.
758. _Ligne de niveau apparent_, e$t une ligne telle que B D,
tangente au cercle de la terre, & par con$équent perpendicu-
laire au demi-diametre A B; cette ligne e$t nommée _ligne de_
_niveau apparent_, parce que $es extrêmités B & D ne $ont pas
Comme le point B e$t de niveau avec le point C, pui$qu’ils $ont également éloignés du centre A de la terre, l’on voit qu’il s’en faut toute la ligne C D, que le point B ne $oit de niveau avec le point D; l’on peut donc dire que la ligne C D e$t _la différence du niveau apparent au de$$us du vrai_.
759 Quand une ligne de niveau apparent n’a pas plus de 100 ou 150 toi$es, il s’en faut $i peu que $es extrêmités ne $oient également éloignées du centre de la terre, qu’on peut la regarder comme étant parfaitement de niveau; mais $i elle $urpa$$e cette longueur, il faut avoir égard à la différence du niveau apparent au de$$us du vrai, comme nous le ferons voir en $on lieu.
Quand on veut niveler deux endroits pour $çavoir de com- bien l’un e$t plus élevé que l’autre, ces deux endroits $ont nommés _termes_, & pour lors l’endroit par où l’on commence le nivellement, e$t nommé _premier terme_, & celui où $e va ter- miner la ligne de niveau apparent, e$t nommé le _$econd terme_.
760. LA principale piece du niveau d’eau e$t un tuyau A B de
Pour $e $ervir de cet in$trument, l’on ver$e de l’eau dans une des bouteilles, qui va au$$i-tôt $e communiquer dans l’au- tre, à cau$e du tuyau qui e$t ouvert par les deux bouts; & quand les bouteilles ont de l’eau environ ju$qu’aux deux tiers, l’eau donne deux $urfaces H & I, qui $ont parfaitement de niveau. Cela po$é, $i l’on veut $çavoir de combien le terme Q e$t plus élevé que le terme P, celui qui fait l’opération en- voie un aide au $econd terme Q, où il po$e une toi$e, ou une double toi$e, le plus perpendiculairement qu’il e$t po$$ible, qu’il doit tenir de la main gauche, parce que dans la droite il doit avoir un carton blanc de la grandeur d’un cul de cha- peau, & dans le milieu duquel on fait un petit rond noir d’un pouce de diametre; & $uppo$ant que cet aide $oit bien in$truit des mouvemens qu’il doit faire, $oit pour aller $ur la droite ou $ur la gauche, ou pour faire monter ou de$cendre le carton le long de la toi$e, aux différens $ignes qu’on lui fera, celui qui fait l’opération vi$e horizontalement aux $urfaces de l’eau, l’endroit de la toi$e qui $e rencontre dans le rayon de mire K L; & ayant fait $igne à l’aide de faire gli$$er le carton le long de la toi$e, pour que le bord $upérieur du rond noir $e rencontre au point L, on lui fera en$uite un autre $igne, pour lui faire entendre qu’il s’e$t rencontré ju$te, & pour lors un autre aide, qui e$t avec celui-ci, me$ure exactement la hau- teur Q L, que je $uppo$e de 2 pieds 9 pouces, & pendant ce tems-là un autre aide, qui ne quitte point celui qui fait l’o- pération, me$ure la hauteur K P, qui $era, par exemple, de 4 pieds 6 pouces: après avoir mis en écrit de part & d’autre les hauteurs que l’on aura trouvées, & les deux aides que l’on a détachés, étant venus joindre celui qui fait l’opération, l’on cherche quelle e$t la différence de la ligne K P à la ligne L Q, en les $ou$trayant l’une de l’autre, & l’on trouve un pied 9 pouces, qui e$t la hauteur du $econd terme au de$$us du pre- mier: ain$i l’on voit que tout l’objet du nivellement e$t de connoître de combien un lieu e$t plus élevé qu’un autre.
761. Comme les coups de niveau, qui $e donnent avec cet in$trument, ne vont guere au-delà de 100 à 120 toi$es, l’on n’a point égard au niveau apparent dans les petites opérations comme celle-ci, parce que le niveau apparent peut être pris pour le vrai.
A cau$e de la petite portée des coups de niveau, on e$t
Par exemple, $uppo$ant que la di$tance de A en B $oit de
Cette maniere de niveler e$t la meilleure de toutes, parce
qu’elle e$t moins $ujette à erreur, $oit de la part du niveau ap-
parent, ou des réfractions; car tant que le point C $era dans
le milieu de deux termes, les points F & G $eront parfaite-
ment de niveau, pui$qu’ils $ont également éloignés du centre
762. QUand les deux termes que l’on veut niveler $ont beau-
Pour niveler deux objets A & B, éloignés l’un de l’autre de 680 toi$es, il faut divi$er ce nombre par 200 ou 220 toi$es, pour voir combien l’on $era obligé de faire de $tations: car dans l’opération précédente on a nivelé par une $eule $tation une di$tance de 220 toi$es: ain$i comme 680, divi$é par 220, donne 3 au quotient, je vois qu’en trois $tations on peut ni- veler les deux termes A & B. Pour cela, je commence par chercher dans la di$tance A B les trois endroits qui $ont les plus commodes pour faire les $tations: je choi$is d’abord le point C à peu près dans le milieu de A B, où je fais planter un piquet, & à une di$tance de 100 ou 110 toi$es du point A j’en fais planter un autre en D, & à la même di$tance du point B j’en fais placer un troi$ieme E, & autant qu’il $e peut, il faut que ces trois piquets $oient d’alignement avec les deux termes A & B. Ayant donc déterminé les trois $tations D, C, E, il faut envoyer deux aides au premier terme A, dont le premier porte une ou deux toi$es, & le $econd $oit chargé d’écrire les hauteurs; on en envoie un troi$ieme à peu près dans le milieu de la di$tance D C, lequel ne doit point bouger de $a place, qu’on n’ait achevé les opérations de la premiere & de la $e- conde $tation, parce que la toi$e qu’il tiendra en main doit $ervir de terme commun pour les deux premieres $tations.
Ayant donc fait porter le niveau au point D, il faut vi$er
de T en S, pour que le rayon de mire T M aille rencontrer
Le nivellement étant achevé, l’on ajoutera en$emble les hauteurs que l’on a écrites $ur les tablettes, c’e$t-à-dire 8 pieds 2 pouces, 3 pieds 6 pouces, & 4 pieds 3 pouces, qui font 15 pieds 11 pouces, d’où il faudra $ou$traire la hauteur B N d’un pied 6 pouces, & la différence $era 14 pieds 5 pouces, qui e$t l’élévation de l’endroit B au de$$us de l’endroit A.
763. QUand on veut niveler deux objets fort éloignés l’un
Pour niveler deux lieux A & B, il faut commencer par po$er
le niveau au point D, éloigné d’environ 100 toi$es des endroits
A & 3, où l’on aura envoyé des Aides avec des toi$es; en$uite
il faut donner les coups de niveau D C & D E, & écrire la
hauteur A C de 9 pieds 4 pouces dans la premiere colonne, &
marquer un trait de crayon à l’endroit E: delà il faut faire
porter le niveau au point 4, qui n’e$t pas dans le milieu de la
ligne F H, à cau$e que la rampe de trois en 5 ne le permet
point, mais cela n’empêche pas que les coups de niveau G F
& G H ne $oient ju$tes, parce qu’ils ne $ont pas d’une grande
portée. Ayant donc déterminé les points F & H, il faut me-
$urer la hauteur F E, qui $era, par exemple, de 9 pieds 6 pouces,
qu’il faut écrire dans la premiere colonne, & ne pas oublier de
marquer un trait de crayon au point H de la toi$e 5: delà il
faut venir à la $tation 6, & donner les coups de niveau K I &
K L; l’on marquera, comme à l’ordinaire, un trait de crayon
au point L, & l’on écrira dans la premiere colonne la hauteur
I H, que je $uppo$e de 7 pieds: delà on viendra à la $tation 8,
de laquelle je $uppo$e qu’on ne peut donner que le coup de
niveau N M, à cau$e que la rampe e$t trop grande pour pouvoir
Pré$entement $i l’on additionne les nombres de la premiere
colonne, l’on trouvera 41 pieds 7 pouces; & fai$ant la même
cho$e pour la $econde, l’on aura 32 pieds un pouce. Or $i l’on
retranche la plus petite $omme de la plus grande, c’e$t-à-dire
Il e$t bon de remarquer que lor$que l’on a un nivellement à faire en montant, & qu’on s’apperçoit que les coups de ni- veau $ont trop courts, de $orte qu’on e$t obligé d’en donner trop $ouvent, il vaut mieux monter au $ommet de la hauteur, & faire le nivellement en de$cendant, ob$ervant d’écrire dans la premiere colonne les hauteurs que l’on trouvera en allant vers un terme, & dans la $econde colonne, celles que l’on trouvera en allant vers l’autre.
Par exemple, $i l’on veut connoître la différence des hau- teurs de deux termes A & B, & qu’on s’apperçoive qu’il fau- dra trop de tems & trop d’opérations pour niveler de A en B par une $uite de coups de niveau, on fera porter le niveau à l’endroit 6, que je $uppo$e être le $ommet de la hauteur, & l’on nivellera de 6 en A, en ob$ervant d’écrire dans la pre- miere colonne les hauteurs que l’on trouvera; après cela l’on viendra à l’endroit 6 pour niveler de 6 en 10, & les hauteurs que l’on trouvera, on les écrira dans la $econde colonne. Enfin on viendra au $ommet 15 de la $econde éminence, pour ni- veler de 15 en 10, mettant toutes les hauteurs que l’on trou- vera dans la premiere colonne; après quoi l’on nivellera de 15 en B, & on écrira les hauteurs de cette derniere opération dans la $econde colonne, & le re$te $era comme dans l’opé- ration précédente.
L’on peut faire beaucoup d’ouvrage en peu de tems par cette maniere de niveler, parce que tandis qu’une per$onne enten- due fait le nivellement de 6 en A, une autre peut faire celui de 6 en 10; & de la même façon celui de 15 en 10, & de 15 en B.
764. L’On n’a pas eu égard à la différence du niveau appa- rent au de$$us du vrai dans les nivellemens que nous venons d’en$eigner, parce que les coups de niveau étoient fortpetits; d’ailleurs les opérations ont été faites d’une maniere à ne pas donner lieu à cette différence: mais comme le niveau d’eau ne peut $ervir que pour des petits nivellemens, & qu’il de- mande une grande exactitude, pour ne point faire d’erreur, quand le nivellement e$t fort compo$é, on a inventé une autre e$pece de niveau, avec lequel, par le moyen d’une lunette, l’on peut donner des coups de niveau extrêmement grands; c’e$t l’u$age de ce niveau que nous allons en$eigner, après avoir donné dans ce chapitre la maniere de calculer la hauteur du niveau apparent au de$$us du vrai, dont la connoi$$ance e$t ab$olument néce$$aire, quand on fait de grands nivel- lemens.
765. Nous avons vu dans la Géométrie que le quarré de
766. L’on peut encore d’une maniere plus géométrique que la précédente, trouver la valeur C D du niveau apparent au de$$us du vrai: car à cau$e du triangle rectangle A B D, les quarrés A B & B D, pris en$emble, valent le quarré de l’hy- poténu$e A D. Ain$i il n’y a qu’à quarrer la valeur du demi- diametre de la terre, & la valeur de B D de la ligne de niveau apparent, & additionner ces deux quarrés, dont la racine $era la ligne A D, de laquelle il faudra retrancher la valeur du demi-diametre A B ou A C de la terre, & la différence $era la valeur de la ligne C D.
767. L’on peut remarquer que les hauteurs de deux points de niveau apparent au de$$us du vrai, $ont dans la même rai$on que les quarrés des lignes des niveaux apparens; car prenant le diametre G C pour la ligne G D, & le diametre H K pour la ligne H I, le quarré de la ligne B I étant au$$i égal au rec- tangle compris $ous H K & K I, les quarrés des lignes B D & B I $eront dans la même rai$on que les rectangles qui leur $ont égaux: mais ces rectangles ayant chacun pour ba$e le dia- metre G C ou H K de la terre, $eront comme leurs hauteurs C D & K I: ain$i les quarrés B D & B I $eront donc dans la rai$on des lignes C D & K I.
768. L’on peut tirer de cette con$équence une regle gé- nérale pour trouver la hauteur du niveau apparent au de$$us du vrai, d’une façon bien plus courte, que par les deux mé- thodes précédentes: car $i on connoît une fois la hauteur du niveau apparent au de$$us du vrai pour une ligne d’une certaine longueur, l’on pourra trouver la même cho$e pour toutes les autres.
Par exemple, étant prévenu que pour une di$tance de 600 toi$es, le niveau apparent e$t élevé au de$$us du vrai de 4 pouces, pour $çavoir combien il e$t élevé pour une di$tance de 1000 toi$es, je fais une Regle de Trois, en di$ant: Si le quarré de 600, qui e$t 360000, donne 4 pouces, combien donnera le quarré de 1000, qui e$t 1000000? La Regle étant faite, on trouvera 11 pouces une ligne 4 points pour la hauteur du ni- veau apparent au de$$us du vrai, d’un coup de niveau de 1000 toi$es.
769. NOus n’avons parlé ju$qu’à pré$ent que du niveau d’eau, parce que c’e$t celui qui e$t le plus en u$age dans les nivelle- mens qui ne $ont pas d’une grande étendue. Cependant comme les niveaux qui ont des lunettes $ont bien plus commodes, parce que l’on peut en deux ou trois coups de niveau, ou quel- quefois même en un $eul, niveler deux objets, dont on ne pourroit connoître la différence des hauteurs avec le niveau d’eau, $ans faire beaucoup plus d’opérations, voici celui qui a été inventé par M. Huyghens, qui peut pa$$er pour le plus commode & le plus ju$te de tous ceux qui ont été faits dans ce goût-là.
Une des principales parties de cet in$trument e$t la virole
D, qui a deux branches plates, C & E qui $ont $emblables,
chacune d’environ un demi-pied de long; de $orte que le tout
fait une e$pece de croix. Cette virole D porte la lunette A B
longue de deux pieds: $i elle n’a que deux verres convexes,
elle repré$entera les objets renver$és, mais avec beaucoup plus
de clarté que $i elle en a quatre, qui les remettroient dans leur
Au bout des branches de la virole D $ont attachés deux filets doubles pa$$és dans des petits anneaux, & $errés entre des pinces à deux dents, dont l’une e$t fixée au bout de $a branche, & l’autre y e$t attachée de telle maniere qu’elle $e pui$$e ouvrir.
Comme la lunette e$t $u$pendue par la virole D au cro- chet F, elle e$t tendue horizontalement par le poids qui e$t enfermé dans la boîte G, dont il ne $ort que $on crochet. La pe$anteur de ce poids ne doit être qu’environ la pe$anteur de la croix, & le vuide qui re$te dans cette boîte e$t rempli d’huile de noix ou de lin, ou de quelqu’autre liqueur qui ne $e glace ni ne $e fige point; & c’e$t par cette liqueur que $ont arrêtés les balancemens du poids & de la lunette. Il doit y avoir au dedans de la lunette un fil de $oie tendu horizontale- ment au foyer du verre objectif; & c’e$t par une vis que l’on tourne au travers du trou H, percé dans le tuyau de la lunette, que l’on abai$$e ou éleve ce fil $elon le be$oin. Il faut mettre au tuyau de la lunette une petite virole, qui doit être fort legere, & ne pas pe$er plus d’une 80<_>e partie de la croix: elle n’e$t point attachée au tuyau de la lunette, parce qu’il faut la pou$$er vers le bout, ou l’en reculer autant qu’il e$t néce$$aire pour trouver l’équilibre de la lunette, & la mettre parallele à l’horizon.
Cette machine e$t $u$pendue au haut d’une e$pece de croix de bois plate, où il y a pour cela le crochet F, qui peut $e hau$$er ou bai$$er par le moyen de la vis qui tient à l’anneau qui $u$pend la machine: cette même croix tient la boîte qui contient le plomb & l’huile; & cette boîte e$t enfermée par les côtés & par le fond.
On couvre le niveau par une autre e$pece de croix, qui e$t creu$e, que l’on applique contre la croix de bois plate, avec plu$ieurs crochets, afin de couvrir le niveau contre les injures du tems; de $orte que le tout fait une boîte.
Pour rectifier ce niveau, on le $u$pendra par l’anneau d’une
de $es branches, $ans attacher de poids par en bas, & l’on
vi$era par la lunette à quelque objet éloigné, remarquant l’en-
droit où le point de l’objet e$t coupé par le fil de la lunette,
Si après cette rectification, le fil qui e$t dans la lunette $e trouve à la même hauteur de l’objet que devant; c’e$t une marque que le fil du foyer de la lunette e$t directement au milieu de ce foyer: mais $i le fil ne vi$e pas au même point, & qu’il coupe l’objet au de$$us ou au de$$ous, on hau$$era ou bai$- $era moyennant la vis qui e$t pour cela, ju$qu’à ce que le fil coupe le point moyen, qui e$t entre les deux points remar- qués, & après cela le niveau $era bien rectifié.
Le pied qui doit porter la machine e$t une e$pece de table de fer ou de cuivre, qui e$t ronde & un peu concave, afin que la machine $oit plus $olidement établie dans la concavité: elle e$t élevée $ur trois pieds, qui y $ont attachés en char- niere, & dont la hauteur e$t de trois ou quatre pieds.
La figure N repré$ente en grand le tuyau qui porte en de- dans de la lunette le fil horizontal, qui e$t attaché à la four- chette K avec de la cire.
Il faut $i peu de cho$e pour faire de grandes erreurs en ni-
velant, que l’on ne $çauroit prendre trop de précautions à $e
bien $ervir des in$trumens: pour cela, il faut les connoître
parfaitement; quand je dis les connoître, j’entends que l’on
doit $i bien les examiner, que l’on pui$$e en $çavoir ju$qu’au
moindre défaut, entre le$quels il n’y en a point de plus con-
$idérable que de bai$$er ou hau$$er la mire. Il e$t vrai que pour
le niveau de M. Huyghens, quand même il n’auroit pas été fait
avec a$$ez de précaution pour avoir cet inconvénient, il ne
faut pas beaucoup s’en embarra$$er; car s’il bai$$e la mire dans
un $ens, il la hau$$era d’autant dans un autre; & prenant
le point milieu des deux objets, l’on aura toujours le vrai
Ayant po$é un in$trument à l’endroit A, pour pointer vers
770. LE niveau ayant été po$é au lieu de$tiné pour l’opéra-
tion, on envoyera, comme à l’ordinaire, un Aide à une di$-
tance convenable, & on regardera exactement par la lunette
l’endroit de la perche où le fil répondra; & l’Aide qui tient la
carte l’ayant hau$$ée & bai$$ée tant que le petit rond noir ré-
ponde au rayon de mire, il a $oin de marquer un trait de crayon
Ayant deux perches C A & B E, éloignées l’une de l’autre,
Pour la trouver, po$ez le niveau à l’endroit A, & pointez avec la lunette l’endroit de la perche B E, où le rayon de mire ira la rencontrer, $uppo$ant que ce $oit au point B, il faut y faire une marque, & vérifier ce coup de niveau, en renver$ant l’in$trument, pour voir $i dans cette $ituation le rayon de mire $e termine au point B. Cela po$é, faites porter l’in$tru- ment à l’endroit E, & di$po$ez-le de maniere que le foyer du verre de la lunette $oit préci$ément à la hauteur B. Après cela donnez un autre coup de niveau B C, qui aille rencontrer la perche A C au point C, qu’il faudra marquer $ur la perche, après l’avoir vérifié comme ci-devant; & $i l’on me$ure exac- tement la di$tance C A, je dis qu’elle $era double de la hauteur du niveau apparent au de$$us du vrai; de $orte que C A doit $e trouver ici de 8 pouces: car en divi$ant C A en deux également au point D, l’on aura la ligne C D de 4 pouces, qui $era la différence du niveau apparent au de$$us du vrai, pour une di$- tance de 600 toi$es, comme on le peut voir par le calcul: ain$i les points B & D $ont de niveau, étant également éloi- gnés du centre de la terre, comme vous l’allez voir.
Si l’on prend le point A pour l’extrêmité d’un des rayons de la terre, le point B $era plus éloigné du centre de la terre que le point A de 4 pouces: mais le point C étant plus éloigné du centre de la terre que le point B au$$i de 4 pouces, le point C $era donc plus éloigné que le point A du centre de la terre de 8 pouces: donc les points D & B étant chacun plus éloignés du centre de la terre que le point A de 4 pouces, il s’en$uit qu’ils $eront de niveau, & que la moitié de la ligne C A $era la hauteur du niveau apparent au de$$us du vrai.
L’on voit que par le nivellement réciproque l’on peut d’une maniere fort $imple déterminer deux points parfaitement de niveau, $ans s’embarra$$er de leur di$tance. Il e$t vrai que l’on peut encore trouver deux points de niveau, $ans même faire de nivellement réciproque, en po$ant l’in$trument dans le milieu de la di$tance de deux objets que l’on a à niveler; ce qui $e fait à peu près de la maniere qu’on a expliqué dans l’u$age du niveau d’eau.
771. NOus avons dit que pour faire un nivellement com-
L’on écrira de même à côté de la $econde colonne, la dif- férence du niveau apparent au de$$us du vrai, pour chaque hauteur que l’on aura trouvée en de$cendant; & l’on fera une $omme de toutes ces différences, qu’il faudra en$uite $ou$traire de celles des hauteurs, tellement qu’il faut regarder comme une regle générale, qu’en montant il faut ajouter la différence du niveau apparent au de$$us du vrai, aux hauteurs que l’on trouvera en de$cendant, & qu’en de$cendant il les faut $ou$- traire; & en voici la rai$on.
Suppo$ons qu’en montant l’on ait donné des coups de ni-
A l’égard des coups de niveau K N & Q R, que l’on a donnés en de$cendant, l’on voit que leur ayant mené les paralleles L O & P S, qui $ont des tangentes à la terre, le point N e$t plus éloigné du centre de la terre que le point K de toute la ligne O P; & que pour trouver un point de niveau avec le point K, il faut ôter de la hauteur N Q la ligne O P, qui e$t la différence du niveau apparent au de$$us du vrai pour la lon- gueur K N. Enfin comme le point R n’e$t pas de niveau avec le point Q, parce que le premier e$t plus éloigné du centre de la terre que le $econd de toute la ligne S T, il faudra donc encore ôter la ligne S T de la hauteur R T, pour mettre le point R de niveau avec le point Q. Il en $era de même des autres.
L’on a $uppo$é que les lignes B A & C D, F E & G H, &c.
Pour appliquer à un exemple ce que nous venons d’en$ei- gner, $oient les lieux A & F, dont on veut connoître la dif- férence de niveau.
Pour cela je me $ers d’un niveau à lunettes, que je po$e
au premier terme A, pour donner le coup de niveau G B, qui
$e termine à un point B de la hauteur, auquel j’envoie un Aide
pour y planter un piquet, & je con$idere que la différence du
niveau apparent e$t de 4 pieds & demi, qui e$t la hauteur G Q
du niveau, que j’écris dans la premiere colonne; en$uite je
fais me$urer la longueur G B, que je $uppo$e de 600 toi$es,
& je cherche quelle e$t la hauteur du niveau apparent au de$$us
du vrai, que je trouve de 4 pouces: j’écris cette hauteur à côté
de la premiere colonne, vis-à-vis de 4 pieds & demi. Après
cela je fais porter le niveau au point B, & j’envoie un Aide
à l’endroit C, qui e$t une di$tance que l’on aura jugé conve-
nable; & après avoir donné le coup de niveau H I, je $uppo$e
que l’on a trouvé I C de 2 pieds, que je $ou$trais de 4 pieds &
Delà je viens au point C, & j’envoie un Aide au point D avec une perche; en$uite je donne le coup de niveau K L, & l’Aide qui e$t en L, marque un trait de crayon à l’endroit de la perche où a répondu le rayon de mire, & on me$ure la hau- teur L D, qui $era, par exemple, de 9 pieds; d’où ayant $ou$- trait la hauteur du niveau, il vient 4 pieds & demi, qui fait voir la différence de niveau apparent des points C & D. Mais comme 4 pieds & demi e$t une hauteur que l’on a trouvée en de$cendant, je l’écris dans la $econde colonne, à côté de laquelle j’écris au$$i 2 pouces 4 lignes, qui e$t la différence du niveau apparent au de$$us du vrai pour la longueur K L. Après cela je fais porter le niveau au point D, & j’envoie un Aide en E, pour marquer le point M $ur la perche, après que j’aurai donné le coup de niveau M N: ayant trouvé 10 pieds & demi pour la hauteur E N, j’en $ou$trais celle du niveau, qui e$t de 4 pieds & demi, & la différence e$t 6 pieds, que j’écris dans la $econde colonne: & $uppo$ant que la di$tance M N $oit de 650 toi$es, je cherche la hauteur du niveau apparent au de$$us du vrai pour une pareille di$tance, & je trouve qu’elle e$t de 4 pouces 8 lignes, que j’écris à côté de la $econde colonne, vis-à-vis le dernier nombre que j’y ai marqué, c’e$t-à-dire vis-à-vis 6 pieds. Enfin je fais porter le niveau en E, pour faire la derniere opération O P, qui donne 8 pieds pour la hauteur P F; d’où ayant retranché celle du niveau, la diffé- rence e$t 3 pieds & demi, que j’écris dans la $econde colonne, à côté de laquelle je mets 5 pouces 4 lignes, qui e$t la diffé- rence du niveau apparent au de$$us du vrai pour la di$tance O P, que nous $uppo$ons de 700 toi$es.
Après que l’on a fait l’opération, il faut faire l’addition des hauteurs de la premiere colonne, & l’on aura 6 pieds, & ajouter au$$i en$emble les hauteurs des niveaux apparens au de$$us du vrai, pour avoir 5 pouces 7 lignes, qu’il faut ajouter avec la premiere colonne, & le tout $era 6 pieds 5 pouces 7 lignes.
En$uite il faut ajouter les hauteurs de la $econde co- lonne, qui font 14 pieds; mettre au$$i dans une $omme les hauteurs du niveau apparent au de$$us du vrai, qui $ont à côté, pour avoir un pied 4 lignes, qu’il faut $ou$traire de la $omme des hauteurs de la $econde colonne, c’e$t-à-dire, de 14 pieds, & la différence $era 12 pieds 11 pouces 8 lignes. Enfin il faut $ou$traire 6 pieds 5 pouces 7 lignes de cette quan- tité, & le re$te $era 6 pieds 6 pouces une ligne, qui fait voir que le lieu A e$t plus élevé que le lieu F de 6 pieds 6 pouces une ligne.
772. Quand le terrein le permet, il vaut beaucoup mieux faire le nivellement entre deux termes, que de $uivre ce qui vient d’être dit, parce que l’on n’a point d’égard à la diffé- rence du niveau apparent au de$$us du vrai, non plus que dans les pratiques que nous avons données au $ujet du ni- veau d’eau: mais pour cela il $eroit à propos que le niveau eût deux lunettes, l’une pour pointer de la droite à la gau- che, & l’autre pour pointer de la gauche à la droite. Les corrections des coups de niveau $e feront toujours de la même façon qu’il a été en$eigné.
Par exemple, voulant connoître la différence des hau-
M’étant apperçu qu’une grande partie de ceux qui $e $er- vent tous les jours du toi$é, n’en ont que la routine, & que les per$onnes qui en ont écrit ne $e $ont attachées qu’à don- ner la pratique de ce calcul, $ans rien dire des rai$ons $ur le$quelles il e$t établi; j’ai cru devoir en donner un petit Traité avant de parler de la me$ure des corps, afin que ceux qui commencent pui$$ent les calculer, & trouvent dans cet Ouvrage tout ce qu’il faut qu’ils $çachent, pour être en état de $e $ervir utilement de ce qui a été en$eigné dans la pre- miere Partie.
773. L’O
Cependant on di$tingue trois $ortes de toi$es; la toi$e _cou-_
_rante_, la toi$e _quarrée_, & la toi$e _cube_. La toi$e courante e$t
celle qui a 6 pieds de longueur, $ans largeur ni profondeur;
la toi$e quarrée e$t celle qui a 6 pieds de longueur $ur 6 pieds
de largeur, $ans hauteur ou profondeur; & la toi$e _cube_ e$t
celle qui a 6 pieds de longueur, 6 pieds de largeur, $ur 6 pieds
de hauteur, & qui a par con$équent les trois dimen$ions égales:
Ain$i ce que nous venons d’expliquer à l’égard de la toi$e, e$t la même cho$e que ce que l’on a dit à l’égard du pied au commencement du premier Livre.
La toi$e quarrée ayant 6 pieds de longueur $ur 6 pieds de largeur, l’on peut dire que $a $uperficie e$t compo$ée de 36 pieds quarrés, pui$que multipliant les deux dimen$ions de cette toi$e l’une par l’autre, c’e$t-à-dire 6 pieds par 6 pieds, l’on aura 36 pieds quarrés: à l’égard de la toi$e cube, comme $es trois dimen$ions $ont chacune compo$ées de 6 pieds, on voit qu’elle doit être compo$ée de 216 pieds cubes; car multi- pliant la toi$e quarrée, qui vaut 36 pieds quarrés par 6 pieds, qui e$t la hauteur de la toi$e cube, l’on aura 216 pieds cubes.
774. Il e$t bon de remarquer ici que dans le toi$é des plans
& des $olides, tel que nous l’allons expliquer, on ne con$idere
point combien il faut de pieds quarrés pour compo$er une toi$e
quarrée, ni combien il faut de pieds cubes pour compo$er une
toi$e cube; parce que pour rendre le calcul plus court, l’on a
pris pour le pied de la toi$e quarrée, la $ixieme partie de la
même toi$e, & pour le pied de la toi$e cube, la $ixieme partie
de cette toi$e; tellement que $i l’on con$idere le quarré A B
L’on pourroit dire la même cho$e des pouces, des lignes,
des points de toi$e quarrée; car un pouce tel que celui-ci e$t
un rectangle, qui a un pouce de ba$e $ur une toi$e de hau-
teur; de même une ligne e$t un rectangle, qui a une ligne de
ba$e $ur une toi$e de hauteur. Enfin un point e$t encore un
rectangle, qui a pour ba$e la douzieme partie d’une ligne, &
pour hauteur une toi$e: ain$i l’on voit que 12 points de toi$e
775. A Yant une longueur A B de 6 toi$es, à laquelle on a ajouté une petite longueur C B de 2 pieds, & une autre C D de 6 pouces, toute la ligne A D vaudra 6 toi$es 2 pieds 6 pouces; laquelle étant multipliée par la ligne A E d’une toi$e, le pro- duit donnera le rectangle E A D H, dont on aura la valeur, en multipliant 6 toi$es 2 pieds 6 pouces par une toi$e, pour en faire le calcul.
Je po$e les deux dimen$ions comme on les
Pour multiplier 10 toi$es 4 pieds 8 pouces
Pour multiplier 60 toi$. 3 pieds 9 pouces
Mais comme il y a encore 9 pouces qui n’ont pas été mul- tipliés, je con$idere quel e$t le rapport de 9 pouces avec 3 pieds, de même que j’ai con$idéré celui de 3 pieds avec la toi$e. Or comme 3 pieds valent 36 pouces, je vois que le rapport de 9 à 36 e$t un quart, & que $i le produit de 84 par 3 pieds a donné 42 toi$es, le produit de 9 pouces par 84 ne doit donner que le quart de 42: je dis donc, le quart de 4 e$t 1, que je po$e $ous le 4, & le quart de 2 e$t 0; mais comme 2 toi$es valent 12 pieds, n’ayant pu prendre le quart de 2 toi$es en nombres entiers, je les réduis en pieds pour en prendre le quart, qui e$t 3; après quoi je fais l’addition de tous ces pro- duits, afin d’avoir le produit total, qui e$t 5092 toi$es & 3 pieds.
Pour rendre ce calcul plus familier aux Commençans, voici encore plu$ieurs exemples des mêmes Regles.
Pour multiplier 18 toi$es 2 pieds 8 pouces
Pour être convaincu que 24 multipliés par 2 pieds, donne 8 toi$es, fai$ons-en la multiplication comme à l’ordinaire, l’on verra que le produit e$t 48 pieds, c’e$t-à-dire 48 petits rec- tangles, dont chacun a un pied pour ba$e, & une toi$e pour hauteur: & comme il en faut 6 pour faire une toi$e quarrée, l’on voit que divi$ant 48 par 6, le quotient $era 8, qui e$t le même nombre que nous avons trouvé de l’autre façon.
Mais il nous re$te encore à multiplier 24 toi$es par 8 pouces;
& comme cela $e peut faire par le moyen du produit de 2 pieds,
je con$idere le rapport que 2 pieds ont avec 8 pouces, parce que
le rapport du produit de 8 pouces avec celui de 2 pieds $era le
même que 8 pouces avec 2 pieds. Or comme 2 pieds valent
24 pouces, & que 8 en e$t le tiers, je prends le tiers du produit
de 2 pieds, c’e$t-à-dire le tiers de 8 toi$es, en di$ant: Le tiers
Pour multiplier 36 toi$es 5 pieds
Pour multiplier les 6 pouces, j’ai recours au produit de 2 pieds, qui paroît le plus commode, parce que 6 pouces e$t le quart de 2 pieds, pui$que 2 pieds valent 24 pouces; ain$i le produit de 6 pouces $era le quart de celui de 2 pieds; & comme ce produit e$t 9 toi$es 2 pieds, je dis: Le quart de 9 e$t 2, il re$te une toi$e, qui vaut 6 pieds, le$quels étant ajoutés avec les 2 pieds qui re$tent, font 8 pieds, dont le quart e$t 2: ain$i le produit de 6 pouces e$t 2 toi$es 2 pieds.
Comme il re$te encore 9 lignes, qui n’ont pas été multi- pliées, je cherche le rapport de 9 lignes avec 6 pouces. Or comme 6 pouces valent 72 lignes, & que 9 lignes en font la huitieme partie, le produit de 9 lignes $era donc la huitieme partie de celui de 6 pouces, je dis donc: La huitieme partie de 2 e$t o; mais ce $ont 2 toi$es qui valent 12 pieds, auxquels ajoutant 2 pieds qui re$tent, on aura 14, dont la huitieme partie e$t un pied, il re$te 6 pieds, que je réduis en pouces pour avoir 72 pouces, dont la huitieme partie e$t 9, que je po$e au rang des pouces; après quoi je fais l’addition, qui donne 1033 toi$es 5 pieds 9 pouces pour produit total.
Pour multiplier 12 toi$es 9 pouces par 18 toi$es, je fais la
Pour multiplier 24 toi$es 2 pieds
Si l’on avoit eu à multiplier 24 toi$es 6 lignespar 52 toi$es, & que dans la premiere dimen$ion il n’y eût eu ni pieds ni pouces, comme on le $uppo$e ici, il auroit fallu pour trouver le produit de 6 lignes, $uppo$er celui d’un pied, en$uite celui d’un pouce pour avoir celui de 6 lignes, qui $era la moitié de celui d’un pouce.
776. NOus avons affecté de ne pas mettre des pieds, pouces, & des lignes dans la $econde dimen$ion des multiplications que l’on a faites dans le chapitre précédent, afin de rendre les opérations plus $imples: mais comme il arrive pre$que toujours que s’il y a des pieds, des pouces dans la premiere dimen$ion, il y en a au$$i dans la $econde, voici la maniere de multiplier les parties de toi$es qui peuvent $e rencontrer dans l’une & dans l’autre.
Pour multiplier 15 toi$es 4 pieds 8 pouces 7 lignes par 6 toi$es
3 pieds 6 pouces, je con$idere que le nombre des toi$es de la
$econde dimen$ion étant exprimé par un chiffre $eulement,
je puis faire la multiplication de toute la premiere dimen$ion
par 6 toi$es, par un calcul de mémoire, comme on l’a fait au
commencement du chapitre précédent: ain$i fai$ant ab$trac-
Pré$entement je con$idere que pui$que chaque toi$e du nom- bre 6 a donné pour $on produit une quantité $emblable à celle de la premiere dimen$ion, $i j’ai à multiplier cette premiere dimen$ion par des parties de la toi$e, il faut que le produit ait le même rapport avec celui de la toi$e par la premiere dimen- $ion, que $es parties avec la toi$e même. Cela po$é, comme la premiere dimen$ion doit être multipliée encore par 3 pieds, je con$idere que 3 pieds étant la moitié de la toi$e, le pro- duit de 3 pieds $era la moitié de la premiere dimen$ion, qui e$t $uppo$ée dans ce cas avoir été multipliée par la toi$e; ain$i je dis: la moitié de 15 e$t 7, il re$te une toi$e qui vaut 6 pieds, qui étant ajoutés avec 4 pieds, font 10 pieds, dont la moitié e$t 5; je dis en$uite: la moitié de 8 e$t 4, & la moitié de 7 lignes e$t 3 lignes 6 points.
Comme il nous re$te encore 6 pouces à multiplier, je con- $idere que 6 pouces étant la $ixieme partie de 3 pieds, le pro- duit de 6 pouces $era la $ixieme partie de celui de 3 pieds; ain$i je prends la $ixieme partie de ce produit, qui donne une toi$e un pied 10 pouces 8 lignes 7 points, qui étant ajoutés avec le re$te, il vient 103 toi$es 5 pieds 6 pouces 6 lignes un point pour le produit total.
Pour multiplier 68 toi$es 3 pieds 4 pouces 9 lignes par 9 toi$es
4 pieds 9 pouces, je commence par multiplier la premiere di-
Pour multiplier 12 toi$es 5 pieds
Pour multiplier 40 toi$. 3 pieds
Ju$qu’ici nous n’avons fait que multiplier la premiere di-
men$ion par les 24 toi$es qui $ont dans la $econde: mais comme
Pour multiplier 36 toi$es 3 pou-
Après cela je vois que j’ai 8 lignes dans la $econde dimen-
$ion, & que n’ayant ni pieds ni pouces dans cette dimen$ion,
il faut néce$$airement $uppo$er des faux produits pour trouver
celui de 8 lignes. Je cherche donc d’abord celui d’un pied, en
prenant la $ixieme partie des quantités qui compo$ent la pre-
miere dimen$ion, & je trouve 6 toi$es 7 lignes & 6 points:
mais comme le rapport de 8 lignes à un pied e$t encore trop
grand, pour ne point fatiguer la mémoire, je prends la dou-
zieme partie de ce produit, qui e$t 3 pieds 7 points & demi pour
le produit d’un pouce; & comme 8 lignes $ont les deux tiers
d’un pouce, je prends pour leur produit les deux tiers de celui
777. LE calcul que l’on a en$eigné dans les deux chapitres précédens, ne convient qu’aux $uperficies, parce que nous n’y avons $uppo$é que deux dimen$ions; il e$t vrai que le calcul de trois dimen$ions ne differe pas beaucoup de celui-ci, pui$- que pour en avoir le produit, il ne faut que multiplier celui des deux premieres dimen$ions par la troi$ieme: mais comme le produit de trois dimen$ions donne non $eulement des toi$es cubes, mais au$$i des pieds, des pouces, & des lignes de toi$e cube, voici l’idée qu’il faut avoir de ces différentes parties.
Nous avons dit que la toi$e cube étoit compo$ée de 216 pieds cubes; mais dans le calcul on ne s’embarra$$e point de ces $ortes de pieds: car on entend par un pied de toi$e cube la $ixieme partie de la même toi$e, qui e$t ($i l’on veut) de 36 pieds cubes, qui font un parallelepipede E A F G H I D, qui a pour ba$e une toi$e quarrée E A H D, & pour hauteur la ligne H G d’un pied: de $orte que ce $olide e$t la $ixieme partie du corps E A B C, qui e$t une toi$e cube. On con$idé- rera de même que le pouce de toi$e cube e$t un parallelepi- pede, qui a une toi$e quarrée pour ba$e $ur un pouce de hau- teur, & qu’une ligne de toi$e cube e$t un parallelepipede, qui a pour ba$e une toi$e quarrée, & une ligne pour hauteur; ain$i des autres parties.
778. Il $uit de cette définition, que 12 lignes de toi$e cube font un pouce de la même toi$e; que 12 pouces font un pied, & que 6 pieds font une toi$e cube; pui$que tous ces $olides ont pour ba$e une toi$e quarrée, & des hauteurs, qui étant jointes en$emble, peuvent donner des toi$es cubes, ou des parties de toi$es cubes, comme on le va voir dans les opéra- tions $uivantes.
Pour multiplier trois dimen$ions, dont la premiere e$t de
8 toi$es 2 pieds 4 pouces, la $econde 6 toi$es 4 pieds 8 pouces,
Ain$i multipliant 56 toi$es 5 pieds 1 pouce 9 lignes 4 points de toi$e quarrée par 5 toi$es courantes, le produit $era 284 toi$es 1 pied 8 pouces 10 lignes 8 points de toi$e cube.
Or comme 56 toi$es 5 pieds 1 pouce 9 lignes 4 points étant
multipliés par une toi$e, donneront des toi$es & des parties de
toi$e cube, qui $eront toujours exprimées par les mêmes
nombres qui $ont ici, c’e$t-à-dire par 56 toi$es 5 pieds, &c. $i
l’on $uppo$e que cette multiplication a été faite, la moitié de
cette quantité $era donc le produit de 3 pieds: ain$i comme il
y a 3 pieds dans la $econde dimen$ion, je prends la moitié de
Enfin comme il y a encore 6 pouces dans la troi$ieme di- men$ion, je con$idere que 6 pouces étant la $ixieme partie de 3 pieds, le produit de 6 pouces $era la $ixieme partie de celui de 3 pieds: ain$i prenant la $ixieme partie de ce produit, l’on aura 4 toi$es 4 pieds 5 pouces une ligne 9 points & un tiers pour le produit de 6 pouces, qui étant ajoutés avec les autres, don- neront le produit total de 317 toi$es 2 pieds 8 pouces 11 lignes 1 point & un tiers.
Pour multiplier trois dimen$ions,
Pour multiplier trois dimen$ions, dont la premiere e$t
4 toi$es 2 pieds 5 pouces, la $econde 3 toi$es 1 pied 6 pouces,
& la troi$ieme 5 pieds 4 pouces, je commence par multiplier
les deux premieres dimen$ions, dont le produit e$t 14 toi$es
1 pied 10 pouces 3 lignes; en$uite je multiplie ce produit par
5 pieds 4 pouces; & comme il n’y a point de toi$es dans la
troi$ieme dimen$ion, je po$e un zero en leur place, & je mul-
tiplie par 5 pieds 4 pouces, commençant par prendre pour
5 pieds la moitié de 14 toi$es 1 pied, &c; en$uite je prends
pour 2 pieds le tiers de la même quantité, & le produit donne
4 toi$es 4 pieds 7 pouces 5 lignes, dont je prends la $ixieme
partie pour le produit de 4 pouces, parce que 4 pouces e$t la
$ixieme partie de 2 pieds: enfin j’additionne ce produit avec
Pour multiplier trois dimen$ions, dont la premiere e$t 5 pieds
9 pouces 6 lignes, la $econde 3 pieds 6 pouces, & la troi$ieme
4 pieds 8 pouces 6 lignes, je range
779. Comme les preuves de toutes les Regles d’Arithmé- tique $e font par des Regles contraires, il $emble que la meil- leure preuve que l’on pui$$e donner du calcul du toi$é, $eroit qu’aprés avoir multiplié deux dimen$ions, l’on divisât le pro- duit par la premiere dimen$ion pour avoir la $econde au quo- tient, ou bien divi$er par la $econde pour avoir la premiere: il y en a qui pratiquent cette preuve, mais ils $ont obligés de réduire tous les termes du produit en leur moindre e$pece, au$$i-bien qu’une des dimen$ions, c’e$t-à-dire que $i l’on a ré- duit le produit en lignes, il faut au$$i réduire une des di- men$ions en lignes: après cela on fait une divi$ion, dont on réduit le quotient en toi$es, en pieds, &c. pour avoir l’autre dimen$ion; mais comme cette preuve demande beaucoup d’o- pération, en voici une beaucoup plus $imple.
Après que l’on a trouvé le produit des deux dimen$ions,
pour voir $i l’opération e$t ju$te, l’on prend la moitié de la
premiere dimen$ion, & l’on double la $econde; en$uite l’on
multiplie les deux dimen$ions ain$i changées l’une par l’autre,
& il vient un $econd produit, qui doit être égal au premier.
Par exemple, pour $çavoir $i le produit de 6 toi$es 5 pieds
780. LE toi$é de la charpente e$t fort différent de celui des autres ouvrages, parce que ce toi$é a une me$ure particuliere, que l’on nomme _$olive_, qui e$t une quantité qui contient 3 pieds cubes de bois; de $orte que $i l’on a une piece de bois D C, dont la longueur A D $oit de 6 pieds, la largeur A B de 12 pouces, & l’épai$$eur B C de 6 pouces, cette piece compo- $era une $olive, pui$qu’elle vaut 3 pieds cubes. Or comme la toi$e cube vaut 216 pieds cubes, & que 216 divi$é par 3 donne 72, il s’en$uit qu’une $olive e$t la $oixante & douzieme partie d’une toi$e cube.
La $olive, ain$i que la toi$e, e$t divi$ée en 6 pieds, que l’on nomme _pieds de $olive_, qui e$t une quantité d’une toi$e de longueur $ur un pied de largeur, & un pouce d’épai$$eur: de $orte que $i la ligne B G e$t la $ixieme partie de la ligne B C, la $olive D A F G B E H $era un pied de $olive, pui$qu’il e$t la $ixieme partie de D C.
Comme un pied de toi$e cube vaut 36 pieds cubes, la $olive en $era donc la douzieme partie: & comme un pied de $olive e$t la $ixieme partie de la $olive, il s’en$uit qu’un pied de $o- live e$t la $oixante & douzieme partie d’un pied de toi$e cube, pui$qu’il faut 6 pieds de $olive pour faire une $olive, & 12 $o- lives pour faire un pied de toi$e cube. Comme le pouce de $olive e$t la douzieme partie du pied de folive, l’on verra de même qu’il e$t la $oixante & douzieme partie d’un pouce de toi$e cube: il en $era ain$i des lignes & des points.
Il $uit de ce qu’on vient de dire, que $i l’on a une piece de
bois qui contienne un certain nombre de toi$es, de pieds &
Par exemple, $i l’on $uppo$e que
Pour me$urer une piece de bois, dont la premiere dimen-
$ion a 4 toi$es 5 pieds 9 pouces, la $econde 1 pied 6 pouces,
& la troi$ieme 1 pied 3 pouces, je
Il y a une maniere de calcuer les bois, qui e$t bien plus
Par exemple, pour calculer la même
Pour entendre ceci, con$idérez que $i l’on a trois quantités _a, b, c_ à multiplier l’une par l’autre, le produit $era _a b c_; & que $i ce produit doit être multiplié par _d_, l’on aura _a b c d_; mais $i au lieu de multiplier le produit _a b c_ par _d_, l’on multi- plioit $eulement une des dimen$ions, comme _a_ par _d_, l’on aura _a d, b c_, dont le produit donne encore _a b c d_; ain$i c’e$t la même cho$e de multiplier le produit de trois dimen$ions par une quantité, ou de multiplier une des dimen$ions par la même quantité, & en$uite ce produit par les autres dimen$ions, pui$qu’à la fin l’on trouvera toujours la même cho$e pour le produit total.
781. Or $i l’on fait attention qu’une toi$e vaut 72 pouces,
Pour $çavoir combien il y a de $o-
L’on peut remarquer que ce n’e$t
Pour calculer la valeur d’une piece
782. S’il arrive que dans les deux dimen$ions de l’équar- ri$$age il $e trouve des pouces & des lignes, il faut pour la dimen$ion qu’on doit changer de valeur, mettre les pouces au rang des toi$es, comme à l’ordinaire, & regarder les lignes de cette dimen$ion comme des pieds: ain$i on les mettra au rang des pieds, avec cette attention, qu’au lieu de mettre au- tant de pieds qu’il y a de lignes, il n’en faut mettre que la moitié, c’e$t-à-dire que $i cette dimen$ion e$t compo$ée de 6 pouces 8 lignes, l’on mettra 6 pouces au rang des toi$es, & la moitié des lignes au rang des pieds, pour avoir 6 toi$es 4 pieds; & $i au lieu de 8 on en avoit 7 ou 9, ou tout autre nombre impair, on en prendra toujours la moitié, & l’on mar- quera 3 pieds 6 pouces, ou bien 4 pieds 6 pouces. L’on va voir ceci dans les deux exemples $uivans.
Pour toi$er une piece de bois qui a 6 toi$es 3 pieds de lon-
gueur $ur 9 pouces 6 lignes à 10 pouces 8 lignes d’équarri$$age,
ilfaut, pour changer une des deux dimen$ions de l’équarri$$age,
Pour trouver la valeur d’une piece de bois, qui a 5 pieds 8 pouces de longueur $ur 8 pouces 7 lignes à 9 pouces 4 lignes d’équarri$$age, je porte 8 pouces à l’endroit des toi$es; & con- $idérant les 7 lignes de cette dimen$ion comme valant des pieds, je marque 3 pieds 6 pouces; en$uite je multiplie cette dimen$ion ain$i changée par 9 pouces 6 lignes, & le produit donne une toi$e 9 pouces 6 lignes 6 points, quiétant multipliés par 5 pieds 8 pouces, il vient une $olive 5 pouces 1 point {2/3} pour la valeur de la piece.
783. Pour rendre rai$on de ce que nous avons dit qu’il fal-
loit regarder les lignes comme des pieds, après en avoir pris
la moitié, con$idérez que nous avons dit qu’il falloit multi-
plier une des dimen$ions par 72, pour que la $uite de la Regle
donnât des $olives: pour cela, $i la dimen$ion e$t 8 pouces
7 lignes, nous $çavons que mettant 8 pouces à l’endroit des
toi$es, la multiplication par 72 $e fait tout d’un coup; mais à
l’égard de ces lignes qui re$tent, remarquez que $i on les met-
toit au rang des pouces, c’e$t comme $i on les multiplioit par
12; & que $i du rang des pouces on les porte au rang des pieds,
Pour trouver la quantité de $olives & de $es parties conte- nues dans un pilot non équarri, dont le diametre $eroit, par exemple, de 14 pouces, pris à la tête ou dans le milieu, $elon qu’on le jugera plus à propos, & dont la longueur $eroit de 27 pieds 6 pouces, il faut quarrer le diametre pour avoir 196; & comme le rapport au quarré du diametre d’un cercle e$t à la $uperficie du même cercle, à peu de cho$e près, comme 14 e$t à 11, l’on dira comme 14 e$t à 11; ain$i 196, quarré du dia- metre du pilot e$t à la $uperficie de $on cercle, qu’on trouvera de 154 pouces quarrés, qu’il faut divi$er par 72, pour avoir des ba$es de $olives; l’on trouvera 2 au quotient qu’il faut po$er au rang des $olives: comme il re$te 10 pouces, qui ne $uffi$ent pas pour faire un pied, on mettra zero au rang des pieds, & & les 10 pouces immédiatement après, pour avoir 2 $olives 0 pieds 10 pouces, qu’il faut en$uite multiplier par la longueur du pilot, c’e$t-à-dire par 4 toi$es 3 pieds 6 pouces, comme au calcul ordinaire du toi$é, & l’on trouvera 9 $olives 4 pieds 9 pouces 10 lignes pour la valeur du pilot.
Si l’on avoit plu$ieurs pilots de même gro$$eur, il faudroit trouver, comme l’on vient de faire, la $uperficie de leurs cer- cles communs, la divi$er de même par 72, afin d’avoir des ba$es de $olives, & multiplier ce qui viendra par la $omme de to utes les longueurs différentes.
_784._ M
Si l’on a un triangle rectangle ABC, dont la ba$e B C $oit
785. Si le triangle n’étoit pas rectangle, comme D E F, il faudroit, en connoi$$ant les trois côtés, chercher la valeur de la perpendiculaire E G (art. 413), & multiplier encore la moitié de la ba$e par toute la perpendiculaire, ou toute la per- pendiculaire par la moitié de la ba$e.
786. Mais comme il peut arriver que la perpendiculaire au
787. Enfin $i l’on avoit $eulement les trois côtés d’un trian- gle, l’on pourra également avoir $a $uperficie, en $uivant ce qui e$t en$eigné dans l’art. 530, c’e$t-à-dire que $uppo$ant le côté D E de 10 pieds, le côté E F de 11, & le côté D F de 13, il faut les ajouter en$emble pour avoir 34 pieds, dont on pren- dra la moitié, qui e$t 17; en$uite la différence des mêmes côtés avec cette moitié, qui font 7, 6 & 4: après quoi l’on multipliera de $uite les quatre termes, 17, 7, 6 & 4 l’un par l’autre, j’entends 17 par 7, qui donneront 119; en$uite ce produit par $ix pour avoir 714, & ce dernier par 4, qui donne 2856, dont il faut extraire la racine qu’on trouvera de 52 pieds 5 pouces & 3 lignes de pied quarré pour la $uperficie du trian- gle D E F.
788. Trouver la $uperficie des figures quadrilateres.
Pour trouver la $uperficie du quarré A C, dont le côté $e- roit, par exemple, de 7 pieds, il faut multiplier 7 par lui- même, c’e$t-à-dire A B par B C, & le produit $era 49 pieds, qui e$t la valeur du quarré A C.
789. Si au lieu d’un quarré l’on a un rectangle D F, dont
790. Mais $i au lieu d’un rectangle D F l’on avoit un pa- rallélogramme G K, dont on voulut avoir la $uperficie, il faudroit prolonger la ba$e G L, & abai$$er la perpendiculaire K I, qui $era la hauteur du parallélogramme (art. 383); & $uppo$ant que cette perpendiculaire $oit de 10 pieds, & la ba$e G L de 4, l’on multipliera 10 par 4, & le produit $era 40 pieds pour la valeur du parallélogramme.
791. Si la figure e$t trapezoïde, comme A B C D, & que
792. Si l’on veut encore d’une autre façon trouver la $uper- ficie du trapezoïde, il n’y a qu’à chercher une moyenne arith- métique (art. 232) G F entre B C & A D, c’e$t-à-dire entre 4 & 10, l’on trouvera qu’elle e$t 7; & $i l’on multiplie cette moyenne par toute la hauteur B A, qui e$t 12, l’on aura 84 pour la $uperficie; ce qui e$t évident, pui$que le rectangle A B H I e$t égal au trapezoïde A B C D, à cau$e que le trian- gle C H F e$t le même que F I D.
793. Me$urer la $uperficie des polygones réguliers & irréguliers.
Si l’on veut $çavoir la $uperficie d’un polygone régulier, il faut du centre E abai$$er une perpendiculaire E B $ur un des côtés C D, & tirer les rayons E C & E D, qui donneront le triangle i$o$cele E C D. Or comme on connoîtra les angles de la ba$e de ce triangle, pui$que le polygone e$t régulier, & que d’ailleurs on connoît le côté C D, on aura le triangle rec- tangle E B D, duquel il $era facile de connoître le côté E B (art. 713): & $uppo$ant qu’on l’a trouvé de 6 pieds, on ajou- tera en$emble tous les côtés du polygone, dont la $omme $era, par exemple, 48, qu’il faudra multiplier par 3, moitié de la perpendiculaire, pour avoir 144 pieds, qui $era la va- leur du polygone.
794. Si le polygone e$t irrégulier, comme A B C D E F,
795. Me$urer la $uperficie des cercles & de leurs parties.
Pour me$urer la $uperficie d’un cercle A B, il faut connoître la valeur de $on diametre & de $a circonférence, comme on l’a dit (art. 484), & multiplier la moitié de la circonférence par la moitié du diametre, & le produit donnera la valeur du cercle. Par exemple, pour trouver la $uperficie d’un cercle, dont le diametre e$t 14, je cherche $a circonférence, qui $era 44; & prenant la moitié de 44, qui e$t 22, & la moitié de 14, qui e$t 7, je multiplie ces deux nombres l’un par l’autre pour avoir 154, qui $era la $uperficie du cercle.
L’on peut au$$i $e $ervir du rapport de 14 à 11, qui exprime celui du quarré du diametre d’un cercle à la $uperficie du même cercle, $elon l’art. 490. Ain$i $uppo$ant que le diametre $oit de 15 pieds, je quarre ce diametre pour avoir 225; en$uite je dis: comme 14 e$t à 11, ain$i 225, quarré du diametre, e$t à la $uperficie du cercle que l’on trouvera de 176 {11/14}.
796. Si l’on veut $çavoir la $uperficie d’un $ecteur de cer-
797. Enfin pour trouver la valeur d’un $egment de cercle,
798. Me$urer la $uperficie d’une Ellip$e.
Nous avons vu (art. 240) que les élémens F H & E I d’un
Les $uperficies des cercles étant dans la rai$on des quarrés de leurs diametres, l’on peut dire que celles des ellip$es $ont dans la rai$on compo$ée de leurs axes, que par con$équent l’on peut prendre à la place de leurs diametres les rectangles compris $ous les mêmes axes; & comme il n’y a point de quarré qui ne pui$$e être produit par les dimen$ions d’un rec- tangle qui lui $eroit égal, l’on peut trouver la $uperficie de l’ellip$e précédente, en multipliant ces deux axes 14 & 8 l’un par l’autre pour avoir 112, qui tiendra lieu du quarré de $on diametre, en$uite dire, comme 14 e$t à 11, ain$i 112 e$t à la $uperficie de l’ellip$e, que l’on trouvera encore de 88 pieds.
_799._ Me$urer l’e$pace renfermé par une parabole.
Si l’on a une parabole A B C, dont l’axe B D $oit de 9 pieds, & la plus grande ordonnée D A de 12, toute la ligne A C $era de 24. Cela étant, je dis que pour trouver l’e$pace renfermé par la parabole A B C, il faut multiplier la ligne A C par les deux tiers de l’axe B D, c’e$t-à-dire 24 par 6, pour avoir 144 au produit, qui $era l’e$pace que l’on demande.
La rai$on de cette opération e$t que l’e$pace A B C e$t les deux tiers du rectangle A E F C; pour le prouver nous fe- rons voir que l’e$pace A E B K e$t le tiers du rectangle A E B D.
Ayant divi$é la ligne E B en un nombre de parties égales, & tiré par tous les points de divi$ion des lignes telles que G H & I K, paralleles à A E, l’on verra (art. 605) que par la pro- priété de la parabole, le quarré B G e$t au quarré B I, comme G H e$t à I K; mais les parties de $uite de la ligne E B étant en progre$$ion arithmétique, les quarrés des lignes B G & B I $eront ceux des termes d’une progre$$ion arithmétique; par con$équent les élémens G H & I K $ont en même rai$on que les quarrés des termes d’une progre$$ion arithmétique: ain$i l’e$pace A E B K contient une quantité infinie d’élémens, qui $ont tous dans la même rai$on que les quarrés des termes in- finis d’une progre$$ion arithmétique: mais comme pour trouver la valeur de tous ces quarrés, il faut (art. 551) multiplier le plus grand quarré par le tiers de la grandeur qui exprime la quantité des termes; il faut donc pour trouver la valeur de tous les élémens qui compo$ent l’e$pace A E B K, multiplier le plus grand élément E A par le tiers de la ligne E B, qui en exprime la quantité: ce qui fait voir que cet e$pace e$t le tiers du rectangle A E B D, & que par con$équent l’e$pace A K B D de la parabole en e$t les deux tiers.
Il e$t ab$olument néce$$aire pour ceux qui veulent s’atta-
cher au Génie, de $çavoir bien me$urer les figures planes,
parce qu’elles $e rencontrent continuellement dans le toi$é des
fortifications & des bâtimens civils: car les couvertures de
_800._ Me$urer les $urfaces des Pri$mes & des Cylindres.
Pour me$urer la $urface d’un pri$me A E, il faut multiplier la $omme des côtés du polygone, qui lui $ert de ba$e par la hauteur du pri$me: ain$i $i le pri$me a pour ba$e un exa- gone, dont chaque côté B C $oit de 4 pieds, & la hauteur B E de 6, la $omme des côtés $era 24, qui étant multiplié par 6, le produit $era 144 pieds pour la valeur de la $urface.
801. Pour me$urer la $urface d’un cylindre, tel que B C,
_802._ Me$urer les $urfaces des Pyramides & des Cônes.
Pour me$urer la $urface d’une pyramide droite, qui a pour ba$e un exagone, dont chaque côté, tel que A B, e$t $uppo$é de 6 pieds, & la perpendiculaire tirée du $ommet $ur un de $es côtés de 10 pieds, il faut multiplier la $omme de la moitié de tous ces côtés par toute la perpendiculaire (art. 545), c’e$t- à-dire 18 par 10: l’on trouvera 180 pour la $urface de la py- ramide.
803. Pour trouver la $urface d’un cône droit, dont le dia-
_804._ Me$urer les $urfaces des Spheres, celles de leurs Seg-
Pour me$urer la $urface d’une $phere, dont le diametre H G e$t $uppo$é de 14 pieds, il faut commencer par chercher la circonférence de ce diametre, que l’on trouvera de 44; & il faut la multiplier par le diametre, c’e$t-à-dire par 14, & le produit donnera la valeur de la $urface de la $phere (art. 575) que l’on trouvera de 616.
805. si au lieu de la $urface de toute une $phere, on vou- loit me$urer $eulement celle d’un $egment, tel que A B C, il faudroit chercher d’abord la circonférence du grand cercle de la $phere d’où le $egment a été tiré; & de plus connoître exactement la perpendiculaire C D élevée $ur le centre du cer- cle A B, & puis multiplier la circonférence du grand cercle par la valeur de cette perpendiculaire (582): ain$i $uppo$ant que la circonférence du cercle $oit 44, & la perpendiculaire C D de 4, multipliant l’un par l’autre, on aura 176 pieds pour la valeur de la $urface du $egment.
806. Enfin pour me$urer la $urface d’une zone, telle que E H F G, il faut connoître au$$i la circonférence du grand cercle de la $phere d’où elle a été tirée, & la valeur de la per- pendiculaire I K, tirée d’un centre à l’autre des deux cercles oppo$és, & multiplier cette perpendiculaire par la circonfé- rence du grand cercle (art. 582), dont nous venons de parler. Ain$i $uppo$ant qu’elle $oit encore de 44 pieds, & la perpen- diculaire I K de 5, multipliant l’un par l’autre, l’on trouvera 220 pieds pour la valeur de la $urface de la zone.
La plûpart de ceux qui étudient la Géométrie $çavent bien
que cette $cience e$t fort utile, & qu’en général toutes les
propo$itions qu’elle renferme ont leur u$age; cependant comme
ils n’en connoi$$ent point l’application, faute de s’être trouvés
dans le cas de s’en $ervir, ils en viennent toujours à demander
_807_ Me$urer la $olidité des Cubes, des Parallelepipedes, des
Pour me$urer la $olidité d’un cube A D, dont le côté A B $eroit, par exemple, de 6 pieds, il faut quarrer 6 pour avoir la $uperficie de la ba$e, qui $era 36; & multipliant cette ba$e par la hauteur du cube, c’e$t-à-dire par 6 pieds, l’on aura 216 pieds pour la valeur du cube.
808. L’on trouvera de même la valeur d’un parallelepipede,
809. Pour me$urer la $olidité d’un pri$me C E, dont la ba$e
810. Pour me$urer la $olidité d’un cylindre C B, dont le
Comme la $olidité des cubes, des parallelepipedes, des pri$- mes & des cylindres, e$t compo$ée d’une infinité de plans $em- blables à celui qui $ert de ba$e à chacun de ces corps, & que leur hauteur exprime la quantité de plans dont ils $ont com- po$és; il s’en$uit que pour trouver la $olidité d’un corps tel que les précédens, il faut multiplier $a ba$e par toute $a hau- teur.
_811._ Me$urer la $olidité des Pyramides & des Cônes.
Pour me$urer la $olidité d’une pyramide qui a pour ba$e un exagone, il faut commencer par connoître la $uperficie de la ba$e. Ain$i $uppo$ant que le côté A B $oit de 6 pieds, & la perpendiculaire C E de 6 {3/4}, l’on trouvera 121 pieds {1/2} quarrés pour la $uperficie de la ba$e, qu’il faut multiplier par le tiers de l’axe D C de la pyramide. Comme cet axe e$t $uppo$é de 10 pieds, il faudra multiplier 121 {1/2} par 3 {1/3}, & le produit $era 405 pieds cubes pour la $olidité de la pyramide.
812. Pour trouver la $olidité d’un cône, l’on agira comme
Si nous avons multiplié la ba$e de la pyramide, au$$i-bien que celle du cône, par le tiers de la hauteur de l’un & de l’autre, c’e$t que nous avons vu (art. 551) que la pyramide étoit le tiers du pri$me de même ba$e & de même hauteur, comme le cône étoit au$$i le tiers du cylindre de même ba$e & de même hauteur.
813. Si les parallelepipedes, les pri$mes, les cylindres, les pyramides, les cônes que l’on veut me$urer étoient inclinés, il faudroit tirer une perpendiculaire de leur $ommet $ur leurs ba$es prolongées; en$uite connoître la valeur de cette per- pendiculaire, & la regarder comme celle de la hauteur du $olide, qui $era incliné; & $i cela arrive à l’égard d’un paralle- lepipede, d’un pri$me, ou d’un cylindre, on multipliera toute la perpendiculaire par la ba$e du $olide auquel elle corre$pond: & $i cela arrive à l’égard des pyramides, des cônes, on mul- tipliera la ba$e de l’un ou l’autre de ces $olides par le tiers de la perpendiculaire.
_814._ Me$urer la $olidité des Pyramides & des cônes tronqués.
Si l’on a une pyramide D B, dont les plans oppo$és D F & A B $oient des quarrés, pour en $çavoir la $olidité, nous $up- po$erons que le côté D E e$t de 9 pieds, le côté A C de 4, & l’axe G H de 12. Cela po$é, il faut chercher la valeur des plans A B & D F, qui $eront de 16 & de 81 pieds, entre le$- quels il faut chercher une moyenne proportionnelle, qui $era 36 pour le plan moyen, qu’il faut ajouter avec les deux autres, pour avoir 133, qui $era la $omme des trois plans, qu’il faut multiplier par le tiers de l’axe, c’e$t-à-dire par 4 pour avoir 532 pieds pour la $olidité de la pyramide tronquée (art. 561).
Si l’on avoit un cône tronqué, l’on en trouveroit de même la valeur, en cherchant un cercle moyen entre les deux op- po$és, & en multipliant la $omme de la valeur des trois cer- cles par le tiers de l’axe, pour avoir un produit, qui $era ce que l’on demande.
815. Voici encore une autre maniere de trouver la valeur
Le rayon D G étant de 3 pieds {1/2}, & le rayon A C de 10 {1/2},
la ligne A H $era la différence de D G à A C: par con$équent
Pré$entement que l’on a trouvé le grand axe, il faut cher- cher la valeur du cône A B F, & celle du petit cône D F E, & retran cher celle-ci de l’autre pour avoir la différence, qui $era la valeur du cône tronqué.
816. Ou bien à cau$e que les cônes D F E & A F B $ont $emblables, l’on pourra cuber les diametres A B & D E, & dire. Comme le cube du diametre A B e$t au cube du diametre D E, ain$i la valeur du cône A F B e$t à celle du cône D F E, qui étant trouvée, $era retranchée de celle du cône A F B pour avoir la différence, qui $era la partie tronquée.
L’on verra dans la $uite la néce$$ité de $çavoir me$urer les pri$mes, les cylindres, les pyramides & les cônes, au$$i-bien que leurs parties tronquées: car on ne peut faire le toi$é de la maçonnerie du revêtement d’une fortification, $ans qu’il ne $e rencontre des parties $emblables à celles-ci; ce qui arrive toujours aux angles rentrans & $aillans: il $e rencontre même bien des cas où la figure bizarre de ce que l’on veut me$urer, demande beaucoup d’u$age de la Géométrie pour en venir à bout: & comme bien des Ingénieurs $e contentent de les toi$er par approximation, voici quelques propo$itions qui donneront beaucoup d’éclairci$$emens pour ré$oudre les dif- ficultés que je ferai appercevoir à ce $ujet.
_817_. Me$urer la $olidité des Secteurs de cylindre & de Cônes
Pour trouver la $olidité d’un $ecteur A B C D E F d’un
cylindre formé par deux plans C A & C E, il faut commencer
par $çavoir la valeur du cylindre entier, & connoître l’angle
B C D du $ecteur. Ain$i $uppo$ant que cet angle $oit de 50
degrés, & que la $olidité du cylindre $oit de 425 pieds, il faut
dire: Si 360 degrés, valeur du cercle qui renferme le cylindre,
818. Pour me$urer un $ecteur G H K L M N d’un cône
819. Mais $i l’on avoit un cône tronqué A B C D, dans le
820. Si au contraire on avoit un cylindre A B C D, dans le
Il faut, pour $e rendre familier ce que l’on vient de voir, donner des dimen$ions aux lignes qui compo$ent ces figures, en faire le calcul, & bien entendre les rai$ons de chaque opé- ration: car, comme je l’ai déja dit, nous $erons obligés d’avoit recours à lui pour donner la $olution de quelques-uns des pro- blêmes les plus difficiles du toi$é de fortification.
_821_. Me$urer la $olidité d’une Sphere.
Pour avoir la $olidité d’une $phere, dont le diametre A B
L’on trouvera encore la $olidité de la $phere d’une autre maniere, en multipliant la $uperficie de $on grand cercle par les deux tiers du diametre (art. 568).
L’on peut encore trouver la $olidité des $pheres par une $eule Regle de Trois, ayant $eulement les cubes de leurs axes, avec la même facilité que l’on trouve la $uperficie des cercles à l’aide du quarré de leur diametre; car il y a même rai$on du cube de l’axe d’une $phere à la $olidité de la même $phere, que de $on diametre à la $ixieme partie de la circonférence du même diametre. Pour en être convaincus, nous nommerons _a_ le diametre où l’axe de cette $phere, & _b_ $a circonférence; la $uperficie de $on grand cercle $era par con$équent {_ab_/4}, qui étant multiplié par les deux tiers du diametre, c’e$t-à-dire par {2_a_/3} donne {2_aab_/12} = {_aab_/6} pour la $olidité de la $phere: ain$i l’on aura _a a a_: {_aab_/6}:: a: {_b_/6}: & $uppo$ant une $phere de 21 pieds de diametre, dont la circonférence e$t de 66 pieds, en prenant la $ixieme partie, qui e$t 11, on n’aura plus qu’à dire, comme 21 e$t à 11: ain$i le cube de 14, qui e$t 2744 e$t à la $olidité de la $phere que l’on trouvera encore de 1437 pieds & {1/7}.
822. Pour me$urer un $ecteur de $phere, tel que A B C D,
823. Si au lieu d’un $ecteur l’on avoit un $egment de $phere
824. Mais $i la partie de la $phere que l’on veut me$urer
825. La génération de la plûpart des $olides ayant été for-
826. Si l’on a une demi-ellip$e H L I qui fa$$e une circon-
827. Enfin $i l’on fait faire à une demi - hyperbole A B C
Comme la plûpart de ces $olides ont lieu dans bien des oc- ca$ions, nous en ferons voir l’application, après que nous aurons donné dans les propo$itions $uivantes la maniere de les me$urer.
_828_. Me$urer la $olidité d’un Paraboloïde.
Pour avoir la $olidité d’un paraboloïde, dont le rayon L K
Pour $çavoir la rai$on de cette opération, con$idérez que
l’axe AB de la parabole e$t compo$é d’une infinité de parties,
comme A E & A G, qui $ont en progre$$ion arithmétique, &
que les quarrés des ordonnées E D & G F étant dans la
même rai$on que les parties A E & E G (art. 605); ces quarrés
$eront au$$i en progre$$ion arithmétique. Or comme les cercles
$ont dans la même rai$on que les quarrés de leurs rayons
(art. 455), il s’en$uit que les cercles qui compo$ent le para-
boloïde H I K $ont en progre$$ion arithmétique, pui$qu’ils $ont
_829_. Me$urer la $olidité d’un Sphéroïde.
Pour $çavoir la $olidité d’un $phéroïde, dont le grand axe B D e$t de 18 pieds, & le petit axe A C de 14, il faut cher- cher la $uperficie du cercle du petit axe, qui $era de 616 pieds, qu’il faut multiplier par les deux tiers du grand axe B D, c’e$t- à-dire par 12, pour avoir le produit 7392, qui $era la $olidité que l’on demande.
L’on connoîtra la rai$on de cette opération, $i l’on con- $idere que les ordonnées O P & R S de l’ellip$e étant dans la même rai$on que celles du cercle O Q & R T, les quarrés des ordonnées de l’ellip$e $eront dans la même rai$on que ceux des ordonnées du cercle (art. 633): & $i à la place des quarrés des ordonnées du cercle, l’on prend les $uperficies des cer- cles, dont ces lignes $eroient les rayons, l’on verra que tous les cercles des ordonnées de l’ellip$e, qui compo$ent ici un $phéroïde, $ont dans la même rai$on que tous les cercles qui compo$ent la $phere. Mais comme l’on trouve la valeur de tous les cercles qui compo$ent la $phere, en multipliant le cer- cle qui auroit pour rayon la plus grande ordonnée M N parles deux tiers de l’axe H I (art. 569), on trouvera donc au$$i la valeur de tous les cercles qui compo$ent le $phéroïde, en mul- tipliant le cercle qui auroit pour rayon la plus grande ordon- née N L de l’ellip$e par les deux tiers de l’axe H I.
830. Mais $i le plan de l’ellip$e, au lieu de faire une cir-
G H
<_>2: K L
<_>2; & $i à la place
des rectangles C G x G D & C K x K D, l’on prend les quarrés
G I<_>2 & K M<_>2, qui leur $ont égaux par la propriété du cercle,
l’on aura G I
<_>2: K M
<_>2:: G H
<_>2: K L
<_>2. Or $i à la place des quar-
rés de toutes les ordonnées du demi-cercle C F D, l’on prend
les cercles dont ces ordonnées $ont les rayons, & qu’on fa$$e
la même cho$e pour la demi-ellip$e C B D, l’on verra que tous
les cercles de la $phere $ont dans la même rai$on que tous les
cercles du $phéroïde, & que la quantité des uns & des autres
étant exprimée par la ligne C D, $i l’on multiplie le cercle E F
par les deux tiers de la ligne C D, pour avoir la valeur de tous
les cercles qui compo$ent la $phere, il faudra multiplier le
cercle de A B par les deux tiers de la ligne C D, pour avoir la
valeur de tous les cercles qui compo$ent le $phéroïde.
831. L’on peut dire au$$i que $i l’on n’avoit que la moitié d’un $phéroïde A C B, il faudroit de même, pour en trouver la $olidité, multiplier le cercle A B par les deux tiers de la ligne C N.
Quoique l’hyperboloïde n’ait guere lieu dans la Géométrie pratique, cela n’empêche pas que je ne di$e un mot $ur la maniere de me$urer ce $olide, pour $atisfaire la curio$ité de ceux qui n’aiment pas qu’on leur $upprime rien.
_832_. Me$urer la $olidité d’un Hyperboloïde.
Pour avoir la $olidité d’un hyperboloïde D E F, il faut ac- compagner la courbe D E F de $es a$ymptotes B A & B C, & de la ligne G H, qui $era égale à un de $es axes. Cela po$é. il faut chercher la $olidité d’un cône tronqué A G H C (art. 815), & en retrancher le cylindre I G H K pour avoir la différence, qui $era la $olidité de l’hyperboloïde.
Pour entendre la rai$on de l’opération que nous indiquons
ici, il faut $e rappeller que nous avons fait voir dans l’hyper-
bole (art. 679), que $i l’on menoit une ligne telle que A C,
parallele à G H, le rectangle compris $ous les parties A D &
Application de la Géométrie au Toi$é des Voûtes.
_833_. Me$urer la $olidité de la Maçonnerie de toutes $ortes de
Il n’y a guere que trois $ortes de voûtes parmi les ouvrages
834. Si l’on a donc à toi$er la maçonnerie d’un $outerrein
835. Si la voûte e$t $urbai$$ée, comme F E G, dont la figure
836. Enfin $i la voûte que l’on veut me$urer e$t en tiers
837. Pour les voûtes au de$$us de$quelles il y a des plates- formes, comme, par exemple, celles qui couvrent les $alles de l’Ob$ervatoire Royal de Paris, le toi$é en e$t un peu plus difficile; & je ne $çache pas même que per$onne ait recherché la maniere de le faire géométriquement: comme ces $ortes d’endroits ont pour ba$e un quarré ou un polygone régulier, le vuide & le plein de la voûte font ordinairement un pri$me, qui e$t facile à me$urer: & comme il n’y a que le vuide qu’il faut déduire, qui peut faire quelque difficulté, nous con$idé- rerons ici les différentes figures qu’il peut avoir, afin de les réduire à des corps réguliers.
Suppo$ant donc que les lieux dont il s’agit, ayent pour ba$e
Si la ba$e e$t un quarré, les diagonales A B & C D $ervi-
838. Si la voûte étoit $ur des pieds-droits, qui compo$a$$ent
839. Mais $i au lieu de demi-cercles, c’étoit des demi-ellip$es
840. Il e$t encore une autre e$pece de voûte, que l’on nomme _voûte en bourlet_, parce qu’en effet le vuide de cette voûte re$- $emble a$$ez à un bourlet; & pour en donner une idée, con- $idérez les figures 264 & 265, dont la premiere e$t le plan d’une Tour, où l’on voit dans le milieu un pilier A B, $ur le- quel repo$e une voûte, qui répond au$$i aux murs de la Tour; de $orte que de quelque $ens qu’on pui$$e prendre le profil de cette Tour, il $era toujours $emblable à la figure 265. Or comme la voûte regne autour du pilier A B E, il faut pour la toi$er, commencer par me$urer la ma$$e H I C D, tant pleine que vuide, qui e$t un cylindre qui a pour ba$e un cercle, dont C D e$t le diametre, & H C la hauteur.
Pré$entement pour trouver le vuide qu’il faut déduire de ce cylindre, il faut chercher la $uperficie du demi-cercle C M A, & la multiplier par la circonférence du cercle, qui $era moyenne arithmétique entre les circonférences de la Tour & du pilier, c’e$t-à-dire entre les circonférences qui auront pour rayons A F & F C; & retranchant ce produit-ci du précédent, on aura la valeur de la voûte.
Comme le bourlet e$t compo$é d’autant de demi-cercles
que l’e$pace qui e$t entre les deux circonférences C O D Q &
A l’égard du revêtement de la Tour, l’on voit que pour en trouver la $olidité, il faut ôter de la valeur du cône tronqué, dont R S T X $eroit la coupe, le cylindre qui auroit pour dia- metre du cercle de $a ba$e la ligne H I, & pour hauteur la ligne H Z, afin d’avoir la différence, qui $era ce qu’on demande.
841. On peut être $ouvent dans le cas de toi$er la $uper-
ficie des voûtes dont nous venons d’examiner la $olidité: c’e$t
pourquoi il e$t à propos de $çavoir la maniere dont il faudroit
s’y prendre $i l’on avoit de pareilles $urfaces courbes à me-
$urer. La méthode que je vais expliquer ici ne peut s’appli-
quer qu’aux voûtes telles que A B C, dont la ba$e e$t un po-
842. Suppo$ant toujours la voûte en plein ceintre, en arc de cloître, comme celle qui e$t repré$entée par la figure 262, nous appellerons chaque portion de la $urface courbe de la voûte, telle que A B E, _un pan de voûte:_ ain$i dans la même figure, la voûte propo$ée e$t une voûte à quatre _pans_. En gé- néral, une voûte en arc de cloître & en plein ceintre, aura toujours autant de pans que le polygone régulier qui lui $ert de ba$e a de côtés.
_843._ La $uperficie courbe _A B E_ d’un pan de voûte quelconque
Soit repré$enté par 2_a_ le côté du polygone régulier qui $ert de ba$e à notre voûte, & par _b_ la perpendiculaire G F abai$$ée du centre F du polygone $ur $on côté A E, laquelle (art. 841) doit être égale à la hauteur B F de la voûte, pui$qu’on la $up- po$e en plein ceintre; la $urface du triangle A F E qui $ert de ba$e à la portion A B F E de la voûte $era _a b_: & pour avoir le $olide de cette portion de voûte, il faudra, $uivant l’art. 837, multiplier le plus grand élément ou le triangle A F E par les deux tiers de B F; ce qui donnera pour la $olidité du corps A B F E {2_ab_<_>2/3}.
Pré$entement je fais attention que l’on pourroit con$idérer
la $olidité de ce corps d’une autre maniere, en le concevant
comme étant compo$é d’une infinité de petits cônes, tels que
F G, F _g_, F _h_, qui ont tous leur $ommet au point F, & dont
les ba$es $ont répandues uniformément $ur la $urface ou le pan
de voûte A B E. Il e$t ai$é de voir que de tous ces cônes il n’y
a que ceux qui $ont di$po$és $ur le quart de cercle qui pui$$ent
être droits, & que tous les autres $ont néce$$airement obliques
& différemment inclinés, quoiqu’ils aient tous la même hau-
teur F G. Ain$i pour avoir la $olidité de la portion de voûte
A B F E con$idérée de cette maniere, il faudra multiplier la
$omme des ba$es de tous ces petits cônes, qui n’e$t autre cho$e
que la $urface du pan de voûte A B E, par le tiers du rayon F G:
_Nota_. Il faut remarquer que $elon la figure où la ba$e A DC E e$t un quarré, la $urface du triangle e$t _aa_, parce que la per- pendiculaire F G $e trouve, par la propriété du quarré, égale à la moitié A G du côté A E. Comme cela n’e$t qu’accidentel, & que notre démon$tration doit s’entendre d’un polygone quel- conque, il étoit à propos de ne point $uppo$er la perpendicu- laire G F = A G, pour que la propo$ition fût démontrée dans toute $a généralité.
844. Il $uit delà que la $urface d’une voûte en arc de cloître
en plein cintre e$t toujours double de la $urface du polygone
845. Il $uit de cette propo$ition, que la $urface d’une demi-
$phere e$t double du cercle qui lui $ert de ba$e; en$orte que
la propo$ition que nous avons démontré $ur la $uperficie de
la $phere devient un corollaire trés-$imple de celle-ci; car
pui$que notre démon$tration e$t applicable à tous ies poiy-
gones réguliers, elle e$t au$$i applicable au cercle. En effet,
on peut concevoir la $urface de la $phere comme compo$ée
d’une infinité de petits triangles curvilignes qui ont leur $om-
met au pôle de cette demi-$phere, & qui vont $e terminer à
la circonférence, le$quels $ont tous, par la propo$ition pré-
846. On peut faire u$age de la propo$ition précédente pour trouver la $uperficie des voûtes d’arrêtes, telle que celle qui e$t repré$entée par la figure 254 (planche 17). Mais avant que de chercher la $uperficie de ces $ortes de voûtes, il e$t à propos de rechercher de quelle maniere elles peuvent être formées; c’e$t ce que nous allons examiner dans les articles $uivans, après quoi il nous $era facile de déterminer leur $urface, & leur $olidité par la même occa$ion.
847. A E D C F B e$t un demi-cylindre droit, dont la ba$e
848. Cela po$é, une voûte d’arrête telle que celle qui e$t
repré$entée par la figure 254, n’e$t autre cho$e que différens
corps R G E L D, R G F I E, tous égaux entr’eux, & formés de
la même maniere que le corps E K B F C de la figure 255,
le$quels $e touchent tous dans les $urfaces planes qui forment
849. Soit le rayon A K ou E K = _a_; la ligne A B qui me- $ure la longueur du cylindre $oit égale à _b_: pour trouver la $urface de ce corps, je chercherai d’abord celle du cylindre. Je commence par déterminer la demi-circonférence B F C par la proportion $uivante, 7 : 22 :: _a_ : {22/7}_a_; pui$que le rapport du rayon à la demi-circonférence e$t le même que celui du dia- metre à la circonférence. Multipliant cette demi-circonfé- rence par _b_, j’aurai {22/7}_ab_ pour la $urface du demi-cylindre: ôtant de cette $uperficie celles des corps A K E B, D K E C, le$quelles $ont égales en$emble au rectangle A B, on aura pour la $uperficie du corps E K B F C, {22/7}_ab_ - 2_ab_ = {22/7}_ab_ - {14/7}_ab_ = {18/7}_ab_; d’où il $uit que cette $urface e$t égale à _ab_ + {1/7}_ab_, c’e$t-à-dire égale à la ba$e, plus {1/7} de la même ba$e A B C D : donc pour avoir la $urface d’une voûte d’arrête en plein cintre, comme celle de la figure 254, & dont la ba$e e$t un polygone régulier, il faut à cette même ba$e ajouter un $eptieme.
850. Pour la $olidité du même corps, je cherche la $urface
du demi-cercle B F C, en multipliant la demi-circonférence
{22/7} _a_ par la moitié du rayon; ce qui me donne {11/7}_a_<_>2: $i je mul-
tiplie ce produit par _b_, j’aurai la $olidité du demi-cylindre
qui $era {11/7}_a_<_>2_b_. Pré$entement je cherche la $olidité des deux
corps égaux A K E B, E K D C, qui e$t {2/3}_a_<_>2_b_: donc la $olidité
du corps E K B F C $era {11/7}_a_<_>2_b_ - {2/3}_a_<_>2_b_, ou en rédui$ant au
même dénominateur
851. Il faut bien remarquer que quoiqu’on ne pui$$e pas trouver par notre méthode la $uperficie d’une voûte d’arrête $urbai$$ée ou $urmontée, cependant on détermineroit avec la derniere facilité le $olide de ces $ortes de voûtes dans ces deux cas. Je lai$$e aux Commençans le plai$ir d’en trouver eux- mêmes la démon$tration.
Comme ces $ortes de voûtes $ont ordinairement remplies de maçonnerie du côté des toits des Egli$es ou autres endroits où elles $e trouvent; on toi$era la $olidité du pri$me droit qui auroit même ba$e & même hauteur, & du tout on déduira la $olidité des voûtes, $elon la méthode que nous venons d’ex- pliquer.
Il e$t ai$é de voir qu’il ne nous a pas été po$$ible de parler de la $uperficie de ces $ortes de voûtes dans l’article de la me$ure des $urfaces, parce que la connoi$$ance de ces mêmes $urfaces ne peut $e déduire que de la $olidité de ces voûtes, au moins dans la méthode que j’ai $uivie ici.
852. Quand on trace une fortification, il y a une ligne qui regne tout autour des ouvrages, que l’on nomme _magi$trale_, qui $ert à donner les longueurs que doivent avoir les parties de la fortification; & cette ligne e$t celle qui e$t repré$entée par le cordon du revêtement d’un ouvrage: par exemple, $i l’on dit qu’une face de ba$tion a 50 toi$es, cela doit s’entendre de- puis une extrêmité du cordon de cette face ju$qu’à l’autre; ou, ce qui e$t la même cho$e, depuis une extrêmité ju$qu’à l’autre de l’entablement de la muraille de la face.
Pré$entement pour me$urer le revêtement du ba$tion re-
pré$enté dans la figure 266, con$idérez-en le profil, dont les
Pour connoître la valeur de ces pyramides tronquées, je
Quant à ce qui nous re$te à me$urer dans l’angle flanquant I,
853. Ce $eroit peu de cho$e que de toi$er le revêtement
La figure 275 repré$ente le flanc d’un ba$tion à orillon,
L’on fçait que pour tracer l’orillon, $elon la méthode de M. de Vauban, l’on divi$e le flanc F D en trois parties égales, & que la troi$ieme partie G D devient la corde d’une portion de cercle qui forme l’orillon, & que pour décrire cette por- tion de cercle, l’on éleve $ur le milieu de la partie G D une perpendiculaire I H, & une autre D H $ur l’extrêmité D E de la face du ba$tion, & que ces deux perpendiculaires venant $e rencontrer au point H, donnent le centre de l’orillon, ou autrement de l’arc G V D, dont le rayon e$t la perpendicu- laire D H.
Cela po$é, $i avec les rayons H B, H G, H Q l’on décrit
On a vu (art. 741) que l’angle de l’épaule F D E étoit de
117 degrés 39 minutes: par con$équent $i l’on en $ou$trait
l’angle droit H D B, il re$tera 27 degrés 39 minutes pour l’an-
gle I H D du triangle rectangle H L D. Ain$i l’angle L D H
$era de 62 degrés 21 minutes: & comme on a trouvé au$$i
(art. 541) que le flanc F D étoit de 27 toi$es 2 pieds, la ligne
L D en étant la $ixieme partie, $era de 4 toi$es 3 pieds 4 pouces.
Or comme du triangle L H D l’on connoît les trois angles &
le côte L D, il $era facile de connoître le côté D H, que l’on
trouvera de 5 toi$es 9 pouces. Cela étant, on connoîtra toutes
les lignes de la figure; car le demi-diametre H G étant de
5 toi$es 9 pouces, & la ligne G B de 5 pieds, le rayon H B du
Ayant donc me$uré le cône tronqué & le cylindre, on re- tranchera la valeur du cylindre de celle du cône tronqué, pour avoir le fragment qui en fait la différence: & comme le re- vêtement de l’orillon e$t un $ecteur de ce fragment, l’on en cherchera la valeur, en fuivant ce qu’on a vu dans l’art. 820, c’e$t-à-dire, que connoi$$ant l’angle G H D, qui e$t de 124 degrés 42 minutes, l’on dira: Si 360 degrés m’ont donné tant pour la valeur du cône tronqué, après en avoir ôté le cylindre, que me donneront 124 degrés 42 minutes pour le $ecteur, ou autrement pour la valeur du revêtement de l’orillon, qui $e trouvera, en fai$ant le calcul des parties que l’on vient d’in- diquer.
854. Avant que de chercher à toi$er le flanc concave KI, il
Pré$entement la premiere difficulté e$t d’avoir la valeur du
rayon P K, que l’on trouvera pourtant en con$idérant qu’on
connoît l’angle S F G de So degrés 47 minutes par l’art. 741
qui nous a donné au$$i la ligne E F de 82 toi$es, à laquelle
ajoutant la ligne S E, c’e$t-à-dire la face du ba$tion, qui e$t
de 50 toi$es, on aura toute la ligne S E F de 132 toi$es: &
comme la ligne F G e$t les deux tiers du flanc E D, que nous
avons trouvé de 27 toi$es 2 pieds, elle $era donc de 18 toi$es
1 pied 4 pouces. Or comme du triangle S F G on connoît les
côtés F S & F G avec l’angle compris, on trouvera par leur
moyen que l’angle F S G e$t de 8 degrés, & que le côté e$t de
126 toi$es 5 pieds; & $i au côté S F on ajoute la ligne F K de
5 toi$es, & au côté S G la ligne G I au$$i de 5 toi$es, l’on aura
Si l’on con$idere bien le revêtement du flanc concave K I,
855. La maniere de toi$er l’arrondi$$ement d’une contre$-
856. Suppo$ant que l’arc A C B marque le pied de la mu-
857. La rai$on de ceci s’entendra ai$ément, en con$idé-
Comme nous avons be$oin de connoître au$$i la quantité de degrés que contient l’arc A C B, $i on tire les rayons N B & N A du centre, l’on aura le triangle A B N, dont on connoît le côté A B de 20 toi$es, & les côtés N B & N A chacun de 14 toi$es 3 pieds: il $era donc facile de connoître l’angle A N B, que l’on trouvera de 90 degrés 44 minutes.
Pré$entement $i l’on con$idere le profil de la contre$carpe
dans la figure 281, on verra que re$$emblant à celui du flanc
concave, l’arrondi$$ement du fo$$é e$t un $ecteur de cylindre,
duquel on a ôté un cône tronqué, dont l’axe commun $eroit
la ligne O P. Or $i la hauteur F R ou O P e$t de 18 pieds,
& l’épai$$eur F I de 3, le talud C R de 4, le rayon P C étant
de 14 toi$es 3 pieds, le rayon O F $era de 15 toi$es 1 pied, &
le rayon O I $era de 15 toi$es 4 pieds: & comme on connoît
toutes les lignes du cylindre, qui auroient pour plan généra-
teur le rectangle P I, & celles du cône tronqué, qui auroient
Je n’ai rien dit ju$qu’ici $ur la maniere de toi$er les contre- forts, parce qu’ils ne $ont autre cho$e que des parallélepipedes, dont la $olidité $e trouve en multipliant la ba$e par la hauteur.
_858_. Maniere de me$urer la $olidité de l’onglet d’un batardeau.
Quand les fo$$és d’une fortification $ont inondés, on y fait ordinairement aux endroits les plus convenables des batardeaux de maçonnerie, pour retenir les eaux ou pour les lâcher, $elon le be$oin qu’on en a. Pour connoître ce batardeau, con$idérez la figure 277, qui fait voir que cet ouvrage n’e$t autre cho$e qu’un corps de maçonnerie, dont le profil A B C D E marque que le de$$us B C D e$t en dos d’âne pour l’écoulement des eaux de pluie, & pour empêcher qu’un homme ne pui$$e pa$$er de$$us: cependant comme les $oldats pourroient, en de$cen- dant du rempart avec une corde, pa$$er le fo$$é en s’acheva- lant $ur cette chappe, on fait, pour y mettre empêchement, une tourelle dans le milieu, qui s’oppo$e ab$olument au pa$- $age. Pour toi$er ce batardeau, on commence par me$urer la $uperficie du profil A B C D E, qu’on multiplie par toute la largeur du fo$$é en cet endroit; en$uite on cherche la $olidité du cylindre F I K G, au$$i-bien que celle de $a couverture, qui e$t quelquefois un cône I L K, ou une demi-$phere. Ju$ques-là tout e$t facile; mais ce qui embarra$$e pre$que tous les Ingé- nieurs, c’e$t de toi$er les deux fragmens, comme F H G, de la tourelle, qui $ont à droite & à gauche, comme on peut les voir encore mieux en X & Z de la figure 282, qui e$t un profil de la tourelle & du batardeau.
Ce problême me fut propo$é par plu$ieurs Ingénieurs, qui
Comme l’axe du cylindre qui compo$e la tourelle répond
Suppo$ant que cet onglet-ci $oit le même que celui qui e$t
Si on imagine l’onglet coupé par une quantité de plans,
qui pa$$ant par le centre B du demi-cercle, aillent tomber $ur
la circonférence A F D, c’e$t-à-dire perpendiculairement $ur
la $urface de l’onglet, ces plans partageront l’onglet en une
infinité de petites pyramides, qui auront toutes pour hauteur
commune le rayon du demi-cercle, & leurs ba$es dans la $ur-
859. Pré$entement je dis que la $urface de l’onglet X e$t égale à un rectangle, qui auroit pour ba$e le diametre B D ou M N de l’onglet, & pour hauteur, la hauteur même de l’on- glet, c’e$t-à-dire la ligne B A.
Si l’on nomme la ligne B A, _a_; le rayon C B ou C D, _b_; le diametre B D $era 2_b_. Cela po$é, il faut faire voir que B D x B A (2_ba_) e$t égal à la $urface de l’onglet.
Con$idérez que la $uperficie du triangle A B C e$t {_ab_/2}, & que $i on multiplie cette quantité par les deux tiers du diametre B D, c’e$t-à-dire par {_4b_/3}, l’on aura {4_abb_/6} pour la $olidité de l’on- glet: mais comme ce produit peut être regardé comme le pro- duit de la $urface de l’onglet par le tiers du rayon, il s’en$uit que divi$ant {4_abb_/6} par {_b_/3}, le quotient $era néce$$airement la $ur- face de l’onglet. Si l’on fait la divi$ion, on trouvera que ce quotient e$t 2_ab_ = B D x B A; ce qui fait voir que la $urface de l’onglet e$t égale au rectangle que nous avons dit.
Ceci rentre dans la propo$ition que nous avons donnée $ur la $uperficie des voûtes en plein cintre, & $ur leur $olidité; l’onglet que nous venons de me$urer pouvant être regardé comme un double pan de voûte, dont chacun auroit la même hauteur, & pour ba$e le triangle B F I.
860. Rien ne fait mieux connoître la beauté de la Géomé-
trie, que la fécondité de $es principes qui $emblent, à l’envi,
ouvrir de nouveaux chemins pour parvenir à la même cho$e;
témoin les belles découvertes qu’on a faites de notre tems,
parmi le$quelles en voici une qui e$t trop intére$$ante pour la
refu$er à ceux dont le principal objet, en étudiant la Géomé-
trie, e$t de $çavoir me$urer les corps; mais comme $a con-
noi$$ance dépend de certaines cho$es dont nous n’avons point
861. L’on nomme _centre de gravité d’une ligne droite_, un point par lequel cette ligne étant $u$pendue, toutes $es parties $ont en équilibre: car quoiqu’une ligne $oit regardée comme n’ayant aucune pe$anteur, cela n’empêche pas que la diffé- rence de $es parties ne $oit con$idérée comme un ob$tacle à l’équilibre. Ain$i la ligne A B étant divi$ée en deux également au point C, ce point e$t pris pour celui d’équilibre, c’e$t-à-dire pour l’endroit par lequel cette ligne étant $u$pendue, les parties égales C A & C B $eront en équilibre, parce que n’étant pas plus longues l’une que l’autre, il n’y a point de rai$on pour que l’extrêmité A $oit plus $ollicitée à $e mouvoir que l’extrêmité D: & quand cela e$t ain$i à l’égard d’un plan, ce point e$t ap- pellé le _centre de gravité du plan_: car quoique le plan, au$$i- bien que la ligne, $oit con$idéré $ans pe$anteur, cela n’em- pêche pas qu’on ne regarde encore $es parties comme pouvant être un ob$tacle à leur équilibre.
862. Par exemple, $i l’on a un rectangle A B, & qu’on tire
Comme les $urfaces circulaires $ont formées par la circon-
_863_. Connoi$$ant le centre de gravité d’une ligne droite _A B_,
Je dis qu’il faut multiplier la ligne A B par la circonférence du cercle, qui auroit pour rayon D C, & qu’on aura la $urface que l’on demande: car comme cette ligne décrira un cylindre G B, & que pour trouver la $urface de ce cylindre, il faut multiplier le cercle du rayon F B de la ba$e par la hauteur A B du cylindre, il s’en$uit que la ligne D C étant égale à F B, les circonférences de ces lignes $eront au$$i égales, & que par con$équent le produit de la ligne A B par la circonférence du rayon D C, $era égal à la $urface qu’on demande.
864. Mais $i la ligne A B, au lieu d’être parallele à l’axe
Comme cette ligne aura décrit la $urface I H d’un cône
tronqué, & que la ligne D C e$t moyenne arithmétique entre
E G & F H, la circonférence qui auroit pour rayon D C
$era moyenne arithmétique entre les circonférences des
rayons E G & F H: mais comme ces circonférences $ervent
de côtés paralleles au trapézoïde qui auroit pour hauteur la
865. Enfin $i la ligne génératrice venoit rencontrer, comme
Si l’on fait attention que la ligne génératrice aura décrit la $urface du cône L E K, on verra que cette $urface étant égale au rectangle compris $ous le côté E K, & $ous la moitié de la circonférence du cercle L K (art. 547), la ligne D C étant moitié du rayon F K, la circonférence dont elle $era le rayon $era au$$i moitié de L K, & que par con$équent le rectangle compris $ous la ligne génératrice E K, & $ous la circonfé- rence du cercle, qui auroit pour rayon D C, $era égale à la $urface qu’elle aura décrite.
_866_. Si l’on a une demi-circonférence _E B F_, & que le point
Comme il faut connoître le centre de gravité C par rap-
port aux autres parties de la figure, on $çaura que la ligne
C D, qui en détermine la po$ition par rapport au centre du
demi-cercle, doit être quatrieme proportionnelle à la demi-
circonférence E B F, au diametre E F, & au demi-diametre
D F. Ain$i ayant nommé la demi-circonférence _a_; le dia-
metre E F, _b_; le demi-diametre D F $era {_b_/2}; & par con$é-
quent on aura _a_ : _b_ :: {_b_/2} : {_bb_/2_a_}, qui fait voir que {_bb_/2_a_} e$t égal à la
ligne D C: mais comme nous avons be$oin de la circonfé-
rence de la ligne D C, on la trouvera, en di$ant: Comme le
Comme 2_b_ e$t la circonférence du rayon D C, $i on la mul- tiplie par la demi-circonférence E B F (_a_), l’on aura 2_ab_ pour la $urface que la demi-circonférence aura décrite; ce qui e$t évident: car comme cette $urface e$t ici celle d’une $phere, & que la $urface d’une $phere e$t égale au produit du diametre du grand cercle par la circonférence du même cercle (art. 574), toute la circonférence étant ici 2_a_, & le diametre _b_, la $urface $era toujours 2_ab_.
Je viens d’en dire a$$ez pour faire voir que dès qu’on aura le centre de gravité d’une ligne droite ou courbe, on trouvera toujours la $urface dont elle aura été la génératrice, & que rien au monde ne $eroit plus beau que ce principe, $i on avoit autant de facilité à trouver le centre de gravité de ces lignes, qu’on en a à trouver la valeur des $urfaces qu’elles décrivent. Ain$i ayant $atisfait à mon premier de$$ein, je vais remplir le $econd, en montrant comment on peut au$$i, par les centres de gravité des plans générateurs, trouver la $olidité des corps qu’ils auront décrits.
_867_. Si l’on a un rectangle _A F_, qui fa$$e une circonvolution
Comme ce $olide $era un cylindre, nous $uppo$erons que c’e$t le cylindre A G: ain$i nommant l’axe E F, _a_; la ligne A E, _b_; la ligne C D $era {_b_/2}, pui$qu’elle e$t la moitié de A E; & $i l’on nomme la circonférence du rayon E A, _c_; celle du rayon C D $era {_c_/2}.
Cela po$é, A E x E F (_ab_) $era la valeur du plan généra- teur, qui étant multiplié par la circonférence du rayon C D ({_c_/2}), doit être {_abc_/2} pour la valeur du $olide, formé par la cir- convolution du plan A F; ce qui e$t évident: car comme ce $olide, ou autrement le cylindre A G, e$t égal au produit du cercle de $a ba$e par l’axe E F (art. 812), on voit que la $u- perficie de ce cercle étant {_bc_/2}, $i on la multiplie par l’axe E F, on aura encore {_abc_/2}.
_868_. Si l’on a un triangle i$o$cele E B F, dont le centre de
Remarquez que le $olide I K G H qu’aura décrit le triangle E B F, e$t compo$é de deux cônes K G H & K I H, & qu’il s’agit de faire voir que le produit du plan E B F, par la cir- conférence du rayon C D, e$t égal à ces deux cônes: mais pour cela, il faut être prévenu que le centre de gravité du triangle i$o$cele e$t un point tel que C, pris dans la perpendiculaire B D à une di$tance C D de la ba$e, qui e$t le tiers de la per- pendiculaire. Ain$i nommant la ligne E F, _a_; la ligne B D, _b_; & _c_ la circonférence dont elle $eroit le rayon, C D étant le tiers de B D, la circonférence dont elle $eroit le rayon $era{_c_/3}.
Cela po$é, le triangle E B F $era {_ab_/2}, qui étant multiplié
par {_c_/3}, l’on aura {_abc_/6} pour la valeur du $olide K G H I; ce qui
e$t évident: car $i l’on cherche par la voie ordinaire la $olidité
du cône K G H, dont le plan générateur e$t le triangle E B D,
la ligne B D étant le rayon du cercle de la ba$e, $a valeur $era
{_bc_/2}, qui étant multipliée par le tiers de la ligne E D (art. 556),
869. Mais $i le triangle E B F fai$oit une circonvolution autour de l’axe L M, il décrira un $olide d’une autre figure, dont le rapport avec le précédent $era comme la ligne B C e$t à la ligne C D: car pour trouver la valeur de ce $olide, il faudra multiplier le plan E B F par la circonférence du cercle, qui auroit pour rayon B C: & comme l’un & l’autre $olide aura pour ba$e le même plan E B F, ils $eront dans la même rai$on que leurs hauteurs, c’e$t-à-dire dans la rai$on des cir- conférences des rayons B C & C D, qui $ont dans la même rai$on que ces rayons.
L’on peut remarquer encore qu’ayant un triangle rectangle E B D, qui fa$$e une circonvolution autour du côté E D, il décrira un cône dont on trouvera la valeur, en multipliant le triangle B E D par la circonférence du cercle, qui auroit pour rayon la ligne C D égale au tiers de la ba$e B D: car mul- tipliant B D (_b_) par la moitié de E D ({_a_/4}), l’on aura {_ab_/4} pour la $uperficie du triangle, qui étant multiplié par {_c_/_d_}, donnera {_abc_/12}.
Et $i le triangle E B D fai$oit une circonvolution autour de
870. Enfin $i l’on avoit un triangle B A D, dont le point C
Je lai$$e au lecteur le plai$ir d’en chercher la démon$tra- tion; & je me contenterai de dire $eulement que le $olide, formé par la circonvolution du triangle A B D autour de l’axe G F, e$t $emblable à celui dont nous avons parlé dans l’arti- cle 820, c’e$t-à-dire qu’il fait la différence d’un cylindre, duquel on auroit ôté un cône tronqué; & que le $olide, formé par la circonvolution du triangle A B D autour de l’axe H E, e$t au$$i $emblable à celui de l’art. 819, c’e$t-à-dire qu’il fait la différence d’un cône tronqué, duquel on auroit ôté un cylin- dre: & comme la maniere de trouver la valeur de ces $olides de la façon que je viens de dire, e$t plus ai$ée que celle des articles 819, 820, l’on pourra s’en $ervir pour toi$er la ma- çonnerie, compri$e par le talud de l’orillon, du flanc concave, & de l’arrondi$$ement de la contre$carpe.
_871_. Si on a un demi-cercle _E B F,_ dont le centre de gravité
Il faut être prévenu que la ligne I D, qui marque la di$-
tance du centre de gravité I au centre D du demi-cercle,
e$t une quatrieme proportionnelle à la moitié de la circonfé-
rence E B F au rayon D E, & aux deux tiers du même rayon.
Ain$i nommant la demi-circonférence E B F, _a_; le rayon
D E, _b_; la moitié de la circonférence E B F $era {_a_/2}; & les deux
tiers du rayon D E $eront {2_b_/3}: on trouvera la ligne D I, en di-
Mais $i le demi-cercle E B F fai$oit une circonvolution au- tour de la tangente G A, parallele au diametre E F, il décri- roit un $olide, dont on trouvera la valeur, en multipliant le demi-cercle par la circonférence, qui auroit pour rayon la ligne I B, qui e$t la di$tance du centre de gravité I à l’axe G A, & $i le demi-cercle fait encore une circonvolution au- tour de l’axe A H perpendiculaire à E F, il décrira une e$pece de bourlet, dont on trouvera la valeur, en multipliant le demi-cercle par la circonférence du rayon I K, ou du rayon D F, qui e$t la même cho$e; & pour lors le $olide décrit par le demi-cercle autour de l’axe E F, $era au $olide décrit au- tour de l’axe G A, comme le rayon I D e$t au rayon I B, & le $olide formé par la circonvolution du demi-cercle autour de l’axe E F, $era à celui qui aura été formé par une circon- volution du même demi-cercle autour de l’axe A H, comme le rayon I D e$t au rayon I K ou D F.
Je n’ai point donné la maniere de trouver les centres de
_872_. DIvi$er un triangle en autant de parties égales qu’on vou-
Pour divi$er un triangle A B C en trois parties égales par des lignes tirées de l’angle oppo$é à la ba$e, il faut divi$er la ba$e A C en trois parties égales aux points D & E, tirer les lignes B D & B E, & le triangle $era divi$é en trois triangles égaux, pui$que ces triangles ont des ba$es égales, & qu’ils ont la même hauteur.
_873_. Divi$er un triangle en deux parties égales par une ligne
L’on demande qu’on divi$e le triangle A B C en deux par-
ties égales par une ligne tirée du point D, parce que l’on $up-
po$e que ce triangle e$t un champ, $ur le bord duquel e$t un
Pour ré$oudre ce problême, il faut divi$er la ba$e A C en deux parties égales au point E, & tirer de ce point les lignes E B & E D; puis du point B tirer la ligne B F parallele à D E; enfin tirer la ligne E D, qui divi$era le triangle en deux par- ties égales B D F A & D F C.
Pour prouver cette opération, con$idérez que le triangle A B E e$t la moitié de tout le triangle A B C; & qu’à cau$e des paralleles B F & D E, le triangle B F D e$t égal au trian- gle B E F; d’où il s’en$uit que le triangle O F E, que l’on a retranché du triangle B E A, e$t égal au triangle O D B, que l’on a retranché du triangle E B C: ce qui fait voir que le tra- peze B D F A e$t égal au triangle F D C.
_874_. Divi$er un triangle en trois parties égales par des lignes
Pour divi$er le triangle A B C en trois parties égales par des lignes tirées du point D, il faut partager le côté A C en trois parties égales aux points E & F; en$uite tirer la ligne D B, à laquelle il faut mener des points E & F les paralleles E H & F G: & $i l’on tire du point D les lignes D G & D H, on aura le triangle divi$é en trois parties égales A H D, D H B G, & D G C.
Pour le prouver, il ne faut que tirer les lignes B E & B F, qui divi$eront le triangle en trois autres triangles égaux. Or comme le triangle A B E e$t égal au triangle A H D, à cau$e des paralleles H E & B D: on verra par la même rai$on que le triangle D G C e$t égal au triangle B F C, & que par con$é- quent ils $ont chacun le tiers de toute la figure.
_875_. Divi$er un triangle en trois parties égales par des lignes tirées dans les trois angles.
On demande un point dans le triangle A B C, duquel ayant
Pour ré$oudre le problême, il faut faire la ligne A F égale au tiers de la ba$e A C, du point F tirer la ligne F E parallele au côté A B, & divi$er la parallele F E en deux également au point D, ce point $era celui qu’on cherche: car ayant tiré dans les angles du triangle les lignes D B, D A & D C, elles divi$e- ront le triangle en trois parties égales.
Pour le prouver, je tire la ligne B F, qui me donne le triangle B A F, qui e$t le tiers de toute la figure: & comme ce triangle e$t égal au triangle A D B, à cau$e des paralleles, il s’en$uit que ce dernier triangle e$t au$$i le tiers de la figure: & comme les triangles A D C & B D C $ont égaux entr’eux, comme il e$t facile de le voir, il s’en$uit que le problême e$t ré$olu.
_876_. Divi$er un triangle en deux parties égales par des lignes
Pour divi$er en deux également le triangle A B C par des lignes tirées du point donné F, il faut divi$er la ba$e A C en deux également au point D, & tirer la ligne D F, à laquelle il faut mener une parallele B E; après quoi l’on n’aura qu’à tirer les lignes E F & F B pour avoir la figure A B F E égale à la figure B F E C.
Pour le prouver, tirez la ligne B D, & con$idérez qu’à cau$e des paralleles le triangle B F E e$t égal au triangle B D E, & que par con$équent ce qu’on a retranché d’une part e$t égal à ce que l’on a ajouté de l’autre dans les deux triangles A B D & D B C.
_877_. Divi$er un triangle en deux parties égales par une ligne
Pour divi$er le triangle A B C par une ligne D E parallele à
Pour le prouver, faites attention que les lignes B C, B E, B F étant proportionnelles, il y aura même rai$on du quarré fait $ur la ligne B C au quarré fait $ur la ligne B E, que de la premiere ligne B C à la derniere B F (art. 497). Or comme les triangles $ont dans la même rai$on que les quarrés de leurs côtés homologues, le triangle B A C $era double du triangle B D E, pui$que le quarré du côté B C e$t double du quarré du côté B E, à cau$e que la ligne B C e$t double de la ligne B F.
Si l’on vouloit divi$er un triangle en trois parties égales par des lignes tirées paralleles à la ba$e, il faudroit chercher d’a- bord une moyenne proportionnelle entre l’un des côtés du triangle, & les deux tiers du même côté; & ayant déterminé la longueur de cette moyenne $ur le côté qu’on aura divi$é, l’on tirera une parallele de l’extrêmité de cette ligne à la ba$e: on aura un triangle intérieur, qui $era les deux tiers de celui qu’on veut partager en trois: & $i l’on divi$e le rectangle qui contient les deux tiers du grand, en deux également, comme on vient de le faire dans la propo$ition précédente, tout le triangle $e trouvera divi$é en trois parties égales.
_878_. Divi$er un Trapézoïde en deux parties égales par une
Pour divi$er le trapézoïde A B C D par une ligne parallele à la ba$e, il faut prolonger les deux côtés A B & D C pour qu’ils $e rencontrent au point G, puis élever $ur l’extrêmité G la perpendiculaire G H égale à la ligne G B; tirer la ligne H A, & décrire $ur cette ligne un demi-cercle, dont il faudra divi$er la circonférence en deux également au point I; & ayant tiré la ligne I H, on fera G E égal à I H: & $i par le point E l’on mene la parallele E F à la ba$e A D, je dis qu’elle divi$era le trapézoïde en deux parties égales.
Pour le prouver, je con$idere que la ligne H A e$t le côté du quarré, qui vaut la $omme des quarrés B G & G A; & que la ligne I H e$t le côté d’un quarré qui vaut la moitié du quarré H A: par con$équent le quarré I H ou G E e$t moyenne arithmétique entre les quarrés G A & G B. Et comme les triangles $emblables $ont dans la même rai$on que les quarrés de leurs côtés homologues, il s’en$uit que les quarrés des côtés G B, G E, G A étant en progre$$ion arithmétique, les trian- gles G B C, G E F, G A D $ont en proportion arithmétique, par con$équent $e $urpa$$ent également; & comme les gran- deurs dont ils $ont $urpa$$és, ne $ont autre cho$e que le tra- pézoïde E C, & A F, je conclus que ces trapézoïdes $ont égaux, & que par con$équent le problême e$t ré$olu.
_879_. Divi$er un trapeze en deux également par une ligne pa-
Pour divi$er le trapeze A B C D par une ligne parallele au côté A B, il faut prolonger les côtés B C & A D, tant qu’ils $e rencontrent au point G; puis réduire le trapeze en triangle pour avoir le point F: après quoi on divi$era la ba$e A F du triangle A B F en deux également au point H; on cherchera une moyenne proportionnelle entre A G & H G, qui $era, par exemple, I G; & $i du point I l’on mene la ligne I K pa- rallele à A B, elle divi$era le trapeze en deux parties égales A B K I & I K C D.
Pour le prouver, remarquez que les triangles A B G &
I K G $ont $emblables, & qu’étant dans la même rai$on que
les quarrés de leurs côtés homologues, ils $eront comme les
lignes A G & H G (art. 497). Or comme les triangles A B G
& H B G ont la même hauteur, ils $eront dans la même rai-
$on que leurs ba$es, & auront par con$équent même rai$on
que les lignes A G & H G; d’où il s’en$uit que le triangle I K G
e$t égal au triangle H B G. Cela po$é, $i l’on retranche de part
& d’autre la figure H O K G qui e$t commune à ces deux trian-
gles, il re$tera le triangle O I H égal au triangle O B K: mais
comme le triangle B A H e$t égal à la moitié du trapeze, il
s’en$uit que la figure A I K B e$t au$$i égale à la moitié du tra-
_880_. Divi$er un trapézoïde en trois parties égales.
Cette propo$ition e$t peu con$idérable, mais elle e$t mi$e ici pour $ervir d’introduction aux $uivantes. Ain$i con$idérant le trapézoïde A C, qu’on propo$e à divi$er en trois parties égales, on verra qu’il ne faut que divi$er les côtés B C & A D en trois parties égales, & tirer les lignes G E & H F, qui donneront les figures égales A G, E H, F C, pui$qu’elles $ont compo$ées chacune de deux triangles égaux.
_881_. Divi$er un trapeze en deux parties égales.
Pour divi$er le trapeze A B C D en deux parties égales, il faut du point B tirer la ligne B H parallele à A D, & divi$er les lignes B H & A D en deux parties égales aux points G & F; en$uite tirer les lignes G C & G F, qui donneront la figure C B A F G égale à la figure C G F D, qui $ont chacune moitié du trapeze: car par l’opération le trapézoïde A G e$t égal au trapezoïde G D, & le triangle B C G e$t égal au triangle G C H.
Mais pour que les deux parties du trapeze fu$$ent plus régu- lieres, il $eroit à propos que les lignes de divi$ion C G & G F ne fi$$ent qu’une ligne droite. Or $i l’on tire à la ligne F C la parallele G E, on n’aura qu’à tirer de E en F pour avoir le trapeze divi$é en deux parties égales par la $eule ligne E F, comme on le peut voir par les triangles F G C & F E C, qui $ont renfermés entre les mêmes paralleles.
_882_. Divi$er un trapeze en deux parties égales par une ligne
L’on demande qu’on divi$e le trapeze A B C D en deux par- ties égales par une ligne tirée de l’angle B.
Pour ré$oudre ce problême, tirez les diagonales A C & B D, & divi$ez la premiere A C en deux parties égales au point E, & de ce point menez la ligne E F parallele à B D; & $i vous tirez une ligne de l’angle B au point F, elle divi$era le trapeze en deux parties égales.
Pour le démontrer, con$idérez qu’ayant tiré les lignes E B & E D, elles donnent les triangles A E D & E C D égaux en- tr’eux, au$$i-bien que les triangles A B E & E B C. Cela étant, le trapeze $e trouve divi$é en deux parties égales par les lignes E B & E D: & comme les triangles qui $ont renfermés entre les mêmes paralleles nous donnent E B O égal à O F D, il s’en$uit que la $eule ligne B F divi$e le trapeze en deux égale- ment.
_883_. Divi$er un trapézoïde en deux parties égales par une
Pour divi$er en deux également le trapézoïde A B C D par une ligne tirée du point H, il faut commencer par réduire le trapézoïde en triangle, en tirant à la diagonale B D la parallele C F, afin d’avoir le point F pour tirer la ligne F B, qui don- nera le triangle A B F égal au trapézoïde. Cela po$é, il faut divi$er la ba$e A F du triangle en deux également au point E, & tirer la ligne B E, pour avoir le triangle A B E, qui $era la moitié du trapézoïde. Pré$entement il faut tirer la ligne B H, & lui mener du point E la parallele E G; & $i on tire la ligne H G, elle divi$era le trapézoïde en deux également.
Pour le démontrer, faites attention qu’à cau$e des paralleles, les triangles O H E & O B G $ont égaux, & que par con$é- quent la figure A B G H e$t égale à la moitié du trapézoïde, pui$qu’elle e$t égale au triangle A B E.
_884_. Divi$erun pentagone en trois parties égales par des lignes
Pour divi$er en trois parties égales le pentagone A B C D E
par les lignes tirées de l’angle C, il faut commencer par ré-
De tous les in$trumens de Mathématique, il n’y en a point dont l’u$age $oit $i univer$el que celui qu’on nomme _compas de_ _proportion;_ car il facilite la pratique de toute la théorie de la Géométrie: par exemple, la ligne des parties égales $ert à di- vi$er une ligne, $elon une rai$on donnée, & à trouver des troi$iemes & quatriemes proportionnelles: la ligne des cordes tient lieu de rapporteur, pui$que par $on moyen l’on peut connoître la valeur des angles, & en déterminer de quelque quantité de degrés qu’on voudra: la ligne des polygones $ert à divi$er un cercle en une quantité de parties égales, pour y in$crire des polygones: par le moyen de la ligne des plans, l’on trouve les côtés des figures $emblables qu’on veut aug- menter ou diminuer $elon les rai$ons données: enfin la ligne des $olides, qui peut pa$$er pour la plus con$idérable du compas de proportion, $ert à trouver deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, à diminuer & augmenter les $olides $emblables, $elon les rai$ons que l’on voudra. Ce $ont toutes ces propriétés que nous allons en$eigner ici, en commençant par les lignes de parties égales.
_885_. Divi$er une ligne droite en tant de parties égales qu’on
L’on trouvera marqué d’un côté $ur chaque jambe du compas
Pour le démontrer, con$idérez que les triangles A F G & A D E $ont $emblables, & que par con$équent il y aura même rai$on de A F à A D, que de F G à D E. Or comme A F e$t la neuvieme partie de A D, F G $era la neuvieme partie de D E.
_886_. Trouver une troi$ieme proportionnelle à deux lignes données.
Pour trouver une troi$ieme proportionnelle à deux lignes données F & G, il faut prendre la premiere F avec le compas ordinaire, & la porter $ur la ligne des parties égales, comme $i elle occupoit, par exemple, la di$tance depuis A ju$qu’en D; en$uite prendre la $econde G, & la porter depuis A ju$qu’en B. Il faut après cela ouvrir le compas de proportion d’une gran- deur telle que la di$tance D E (des deux nombres égaux qui corre$pondent aux points D & E) $oit égale à la ligne G. Pré$entement $i l’on prend la di$tance B C, c’e$t-à-dire l’in- tervalle du chiffre, qui e$t au point B à celui qui lui corre$pond au point C, l’on aura la troi$ieme proportionnelle que l’on cherche, qui $era, par exemple, H.
Pour le prouver, con$idérez que les triangles A B C & E A D $ont $emblables, & que la ligne A B étant égale à la ligne D E, l’on aura A D : D E : : A B : B C; par con$équent {../..} F. G. H.
_887_. Trouver une quatrieme proportionnelle àtrois lignes données.
Pour trouver une quatrieme proportionnelle aux trois li- gnes données A, B, C, il faut prendre la ligne A, & la porter avec le compas ordinaire $ur la ligne des parties égales, en$orte qu’elle occupe l’intervalle E F; puis porter la $econde B de- puis le point F ju$qu’au point corre$pondant G: enfin il faut prendre la troi$ieme C, en$orte qu’elle occupe l’e$pace E H, & l’intervalle du point H à celui qui lui corre$pond en I, $era la quatrieme proportionnelle, comme e$t, par exemple, la ligne D.
Pour le prouver, remarquez que les triangles E F G & E H I $ont $emblables, & par con$équent l’on aura EF:FG::EH:HI, ou bien A : B :: C : D.
_888_. In$crire un polygone dans un cercle.
Par le moyen de la ligne des polygones, qui e$t tracée $ur le compas de proportion, on peut in$crire des polygones dans un cercle depuis celui de trois côtés ju$qu’à celui de douze, qui $ont ceux qu’on met le plus en u$age. Pour faire voir comment on s’en $ert, nous $uppo$erons qu’on veuille in$crire un octogone dans le cercle H: pour cela il faut prendre avec le compas ordinaire la grandeur du rayon HI de ce cercle, & ouvrir le compas de proportion de maniere que les points du compas ordinaire, ouvert, comme nous venons de dire, pui$$ent être po$és dans les points B & C de 6 en 6, marqués $ur la ligne des polygones. Après cela l’on prendra du point F au point G, où corre$pondent les nombres 8, & cet inter- valle $era le côté de l’octogone, qu’on portera huit fois $ur la circonférence du cercle H, pour avoir les points qui $ervi- ront à décrire l’octogone.
Si au lieu de l’octogone l’on vouloit prendre dans le même
cercle un décagone, il ne faudra que prendre l’intervalle de
_889_. Décrire un polygone régulier $ur une ligne donnée.
Nous $ervant de la même figure, l’on pourra, à l’aide du compas de proportion, décrire tel polygone qu’on voudra. Or $i l’on veut faire $ur la ligne K L un octogone, il faudra pren- dre cette ligne avec le compas ordinaire, & la porter $ur le compas de proportion; de façon que les points du compas ordinaire tombent dans les points 8 & 8. Après cela $i l’on prend l’intervalle de B en C, c’e$t-à-dire de 6 en 6, & que des extrêmités K & L l’on fa$$e une $ection H avec le compas ain$i ouvert, on n’aura qu’à décrire du point H un cercle, dont le rayon $oit H K ou H L, & l’on pourra trouver tous les points qui $erviront à décrire l’octogone, en portant huit fois la ligne K L $ur la circonférence du cercle.
_890_. Prendre $ur la circonférence d’un cercle un angle d’autant
Si l’on vouloit prendre $ur la circonférence du cercle H un arc de 70 degrés, il faudra avec le compas ordinaire, porter $ur la ligne des cordes aux endroits marqués 60 la grandeur ou le rayon H I: ain$i $uppo$ant que l’angle A B C e$t formé par les lignes des cordes du compas de proportion, de maniere que l’on ait ouvert la grandeur D E égale au rayon H I, l’on pren- dra l’intervalle de F en G, que je $uppo$e être de 70 en 70, & la ligne F G $era la corde de 70 degrés, qu’on n’aura qu’à porter $ur la circonférence du cercle, pour avoir l’arc M I qu’on demande.
_891_. Un angle étant donné $ur le papier, en trouver la va- leur par le moyen de la ligne des cordes.
Pour connoître la valeur d’un angle A B C, il faut, du point B, comme centre, décrire l’arc A C d’une ouverture de compas indéterminée; en$uite prendre le rayon B C, & ouvrir le compas de proportion, de maniere que l’intervalle de 60 en 60, marqué $ur la ligne des cordes, $oit égal au rayon. Pré- $entement $i on prend avec le compas la corde A C, & qu’on la porte $ur la ligne des cordes, de façon qu’il convienne dans deux points également éloignés du centre, les nombres qui corre$pondront à ces points, donneront la valeur de l’an- gle: ain$i $uppo$ant que ce $oit de 50 en 50, l’on connoîtra que l’angle A B C e$t de 50 degrés.
_892_. Connoi$$ant la quantité de degrés d’un arc de cercle, trouver
Si l’on a un arc de cercle B A de 50 degrés, & qu’on veuille connoître le rayon du cercle de cet arc, il faudra prendre avec le compas la corde B A, & la porter $ur la ligne des cordes pour ouvrir le compas de proportion de 50 en 50: par exemple, $i les points D & E corre$pondent au nombre 50, il faut faire l’intervalle D E égal à la corde B A; & $i après cela l’on prend l’intervalle F G de 60 en 60, elle $era le rayon que l’on de- mande, c’e$t-à-dire que la ligne F G $era égale au demi-dia- metre C B.
_893_. Ouvrir le compas de proportion de maniere que les lignes
Il faut prendre avec le compas ordinaire l’intervalle qu’il y a du centre B au point F ou G, que je $uppo$e être de 70 degrés; puis porter les pointes du compas ain$i ouvert dans les points de 60 en 60: par exemple, $i les points D & E $ont ceux de 60 en 60, il faut faire la di$tance D E égale à l’inter- valle B F, & les lignes des cordes formeront l’angle A B C de 70 degrés.
_894_. Le compas de proportion étant ouvert d’une grandeur quel-
Si l’on veut $çavoir la valeur de l’angle A B C, formé par les lignes des cordes, l’on n’aura qu’à prendre avec le compas ordinaire l’intervalle de 60 en 60, puis la porter $ur l’une des cordes, en commençant du centre, l’on trouvera la quantité de degrés que contient l’angle: ain$i les points D & E étant $uppo$és ceux de 60, l’on prendra la ligne D E pour la porter $ur B F; & $i l’on voit que le point F corre$pond à un nom- bre, par exemple, de 70, l’on verra par-là que l’angle A B C e$t de 70 degrés.
Comme l’on applique quelquefois des pinnules aux extrê- mités des cordes du compas de proportion, pour prendre des angles $ur le terrein, on peut en former de telle ouverture que l’on voudra, pui$que par ces deux propo$itions l’on peut faire un angle quelconque avec les lignes des cordes, & qu’on peut d’ailleurs connoître la valeur des angles qu’elles peuvent former.
_895_. Faire un quarré qui $oit à un autre $elon une rai$on donnée.
Si l’on veut faire un quarré qui ait même rai$on à un autre
que 5 à 2, il faut prendre le côté A B du quarré donné, &
_896_. Connoître le rapport d’un quarré à un autre.
Se $ervant de la même figure, $i l’on veut $çavoir le rapport du quarré A B au quarré C D, l’on n’aura qu’à prendre le côté A B du plus petit quarré, & ouvrir le compas de proportion, de maniere que le compas ordinaire $e trouve dans deux points également éloignés du centre $ur les lignes des plans, comme e$t, par exemple, H I: en$uite il faut prendre le côté C D de l’autre quarré, & chercher avec le compas un intervalle tel que K L, qui lui convienne $ur la ligne des plans; & le rap- port qu’il y aura entre les deux nombres qui $e trouveront aux points H & K, $era le même que celui du quarré A B au quarré C D.
_897_. Ouvrir le compas de proportion de maniere que les lignes
Pour faire un angle droit tel que B A C avec les deux lignes des plans, il faut avec le compas ordinaire prendre l’intervalle du centre à un nombre quelconque D, qui $era, par exemple, 20, puis ouvrir le compas de proportion, de maniere que l’in- tervalle des points (qui corre$pondront à la moitié de ce nom- bre) $oit égal à la longueur A D: ain$i prenant les nombres 10 & 10, qui $eront moitié de 20, l’on n’aura qu’à faire l’in- tervalle F G égal à la di$tance A D, & les lignes des plans A B & A C formeront un angle droit.
_898_. Faire un quarré égal à deux autres donnés.
Pour faire un quarré qui $oit égal aux deux autres A B & C D, il faut ouvrir le compas de proportion, de maniere que les lignes des plans forment un angle droit, comme e$t l’angle E F G; puis prendre $ur la ligne F E la longueur F I égale au côté A B, & bien retenir le nombre où l’extrêmité I viendra aboutir: en$uite il faut prendre de même la longueur F H égale au côté C D de l’autre quarré & la di$tance de H en I, qui $era, par exemple, celle de 18 en 5, $era le côté du quarré égal aux deux quarrés propo$és.
Comme toutes les figures $emblables $ont dans la même rai$on que les quarrés de leurs côtés homologues, l’on pourra faire les mêmes opérations pour les triangles, les polygones & les cercles que l’on a faits dans les propo$itions précédentes pour les quarrés.
_899_. Faire un cube qui $oit à un autre $elon une rai$on donnée.
Si l’on veut avoir un cube qui $oit au cube A B, comme 3 e$t à 7, il faut commencer par prendre avec le compas or- dinaire le côté A B, & le porter $ur la ligne des $olides, de maniere qu’il corre$ponde aux points 7 & 7: ain$i $uppo$ant que l’intervalle des points K & L $oit celui du nombre 7, l’on n’aura plus qu’à prendre l’intervalle I H de 3 en 3 pour avoir le côté du cube que l’on demande. Ain$i fai$ant C D égal à H I, il y aura même rai$on du cube A B au cube C D, que de 7 à 3.
_900_. Trouver le rapport qui e$t entre deux cubes.
Pour trouver le rapport qui e$t entre deux cubes quelconques
Comme tous les $olides $emblables $ont dans la même rai$on que les cubes de leurs côtés homologues, il s’en$uit que l’on pourra faire à l’égard des cylindres, des cônes, des pyramides, & des $pheres, les mêmes opérations que l’on vient de faire pour les cubes, comme dans les propo$itions précédentes.
_901_. Faire l’analy$e de l’alliage du métail dont on fait les pieces de canon.
Pour connoître l’utilité de ce problême, il faut être prévenu que le métail dont on fait les pieces d’Artillerie de fonte, e$t compo$é de _ro$ette_, que l’on appelle communément _cuivre_ _rouge_, & d’_étain_ fin d’Angleterre; & comme il doit y avoir une proportion entre la ro$ette & l’étain qui compo$ent le métail, les Fondeurs les plus expérimentés $uivent celle de 100 à 12, c’e$t-à-dire que $ur 100 livres de ro$ette ils mettent 12 livres d’étain.
Or comme il arrive tous les jours que dans les Fonderies on fond des pieces qui $ont hors d’état de $ervir pour en faire de nouvelles, & que les Fondeurs $ont embarra$$és pour $çavoir $i le métail e$t conforme à l’alliage qu’ils $uivent, pour qu’il ne $oit ni trop aigre ni trop doux; voici comment on pourra connoître au ju$te la quantité de ro$ette & d’étain qui compo$e le métail des pieces.
C’e$t une cho$e démontrée par l’expérience, & dont la rai-
$on phy$ique e$t facile à appercevoir, que les métaux perdent
Cela po$é, pour connoître la quantité de ro$ette & d’étain qui $e trouve dans une piece de 24 livres de balle, qui pe$e en- viron 5200 livres, il faut avoir un morceau de la piece, qui $era, par exemple, un de $es tronçons, & le pe$er bien exac- tement; & $uppo$ant qu’il pe$e 163 livres, on le pe$era en- $uite dans l’eau, pour voir combien il perd de $a pe$anteur, & nous $uppo$erons qu’il en perd 19 livres.
Pré$entement il faut con$idérer le métail comme étant tout de ro$ette, afin de voir, $elon cette $uppo$ition, combien il perd de $a pe$anteur, & l’on trouvera qu’il perd {164/9}; & con- $idérant au$$i le métail comme étant tout étain, l’on cher- chera combien il perd de $a pe$anteur, & l’on trouvera qu’il perd {163/7}: ain$i $i l’on nomme _a_ la pe$anteur du métail, _b_ $a perte, _c_ la perte du poids du métail, s’il étoit tout de ro$ette, _d_ la perte du même poids, s’il étoit tout étain, l’on aura _a_ = 163, _b_ = 19, _c_ = {163/9}, _d_ = {163/7}; & nommant _x_ la quan- tité de ro$ette qui e$t dans le métail, & _y_ la quantité d’étain, voici comment on trouvera la valeur de ces deux inconnues.
Il faut commencer par faire deux proportions, en di$ant: Comme _a_, poids du métail con$idéré comme ro$ette e$t à _c_, perte de ce poids de ro$ette, ain$i _x_, qui e$t la quantité de ro$ette inconnue, e$t à la perte du poids de la même ro$ette inconnue; ce qui donne _a_:_c_::_x_:{_cx_/_a_}; & fai$ant la même cho$e pour l’étain, l’on dira: Comme _a_, poids du métail con$idéré comme étain e$t à _d_, perte de ce poids d’étain, ain$i _y_, va leur de la quantité inconnue, e$t à la perte de cette quantité d’étain, qui donnera encore cette proportion _a_:_d_::_y_:{_dy_/_a_}.
Mais comme l’on a trouvé {_cx_/_a_} pour la perte du poids de la ro$ette qui e$t dans le métail, & {_dy_/_a_} pour la perte du poids d’é- tain, qui e$t au$$i dans le métail, & que ces deux quantités font en$emble la perte du poids du métail: l’on aura donc cette équation {_cx_/_a_} + {_dy_/_a_} = _b_; & comme _x_ & _y_ repré$entent la ro$ette & l’étain qui compo$ent le métail, l’on pourra en- core former cette équation _x_ + _y_ = _a_; & dégageant une de ces deux inconnues, qui $era, par exemple _x_, l’on aura _x_ = _a_ - _y_; & $ub$tituant la valeur de _x_ dans l’équation {_cx_/_a_} + {_dy_/_a_} = _b_, il viendra {_ac_ - _yc_ + _dy_/_a_} = _b_, ou bien _c_ + {_dy-yc_/_a_} = _b_. Or $i l’on fait pa$$er _c_ du premier membre dans le $econd, & que l’on multiplie les deux membres par _a_, il viendra _dy_ - _yc_ = _ab_ - _ac_, qui étant divi$é par _d_ - _c_, donne _y_ = {_ab_ - _ac_/_d_ - _c_}, où _y_ e$t égal à des quantités connues: par con$équent $i l’on met dans l’équation _x_ = _a_ - _y_ la valeur de _y_, l’on aura _x_ = _a_ - {_ab_ + _ac_/_d_ - _e_} = {_ad_ + _ab_/_d_ - _c_}, qui donne au$$i la valeur de _x_.
Or pour connoître _y_ en nombres, je con$idere qu’il e$t égal à _ab_ - _ac_ divi$é par _d_ - _c_: & comme _b_ - _c_ e$t multiplié par _a_, je $ou$trais de 19 de _b_ {163/9} valeur de _c_, & le re$te e$t {8/9}, que je multiplie par 163, qui e$t la valeur de _a_ pour avoir {1304/9}, que je divi$e par {363/7} - {163/9} valeur de _d_ - _c_, qui e$t {416/63}; la divi$ion étant faite, l’on trouvera 28 pour la valeur de _y_: & cher- chant de même la valeur de _x_, l’on trouvera qu’elle e$t de 135; ce qui fait voir qu’il y a 135 livres de ro$ette, & 28 livres d’étain dans le morceau de métail.
Pour $çavoir pré$entement la quantité d’étain qu’il y a dans la piece de canon, il faut dire: Si dans 163 livres de métail il y a 28 livres d’étain, combien y en aura-t-il dans 5200 livres, poids de la piece? l’on trouvera qu’il y en a environ 894 livres, & par con$équent il y a 4306 livres de ro$ette.
Mais comme la rai$on de 4306 livres à 894 n’e$t pas égale à
celle de 100 à 12, parce que nous avons $uppo$é qu’il y avoit
dans le métail beaucoup plus d’étain qu’il n’en falloit, il $era
facile de $çavoir combien il faut ajouter de ro$ette pour que
l’alliage $oit bien fait, en di$ant: Si pour 12 livres d’étain il
faut 100 livres de ro$ette, combien en faudra-t-il pour 894
Si l’on a plu$ieurs pieces à refondre en même-tems, l’on cherchera par la regle précédente ce qui manque à chacune de ro$ette ou d’étain, afin que l’alliage $oit dans la rai$on de 100 à 12.
_902_. Trouver le calibre des boulets & des pieces de canon.
Pour trouver le calibre des boulets de telle pe$anteur que l’on voudra, il faut $çavoir d’abord le diametre d’un boulet de même métail d’un poids déterminé, comme, par exem- ple, celui d’une livre de fer coulé, qui e$t d’un pouce 10 lignes 8 points, & con$idérer le diametre comme étant divi$é en un grand nombre de petites parties égales, comme en 500 (pour que dans le calcul on pui$$e négliger les re$tes), en$uite cuber la valeur du diametre en petites parties, pour avoir 125000000 pour $on cube, que nous regarderons ici comme le boulet même, parce que les boulets étant des $pheres, ils $ont dans la même rai$on que les cubes de leurs diametres: c’e$t pour- quoi $i l’on veut avoir le diametre d’un boulet de 24, l’on n’aura qu’à multiplier le cube d’un boulet d’une livre, c’e$t-à- dire 125000000 par 24 pour avoir 3000000000, qui $era le cube du diametre du boulet de 24, pui$qu’il e$t 24 fois plus grand que l’autre. Ain$i en extrayant la racine cube de 3000000000, l’on aura 1442 petites parties, que l’on pourra changer en pouces, lignes & points, en di$ant: Si 500 petites parties don- nent un pouce 10 lignes 8 points pour le diametre du boulet d’une livre, combien donneront 1442 petites parties pour le diametre du boulet de 24. On trouvera, après la regle faite, que le diametre e$t de 5 pouces 5 lignes, & un peu plus de 4 points.
Si l’on veut avoir le diametre de tout autre boulet, par exemple, celui de 16, l’on fera comme on a fait pour celui de 24, avec cette différence, qu’au lieu de multiplier 125000000 par 24, il faudra le multiplier par 16, afin d’avoir le cube du diametre du boulet qu’on cherche: & l’on pourra $ur ce prin- cipe calculer une table pour tous les autres boulets.
Mais comme l’on a be$oin de connoître particuliérement les diametres des boulets pour faire les coquilles dans le$quelles on coule le fer qui doit les former, & que la plûpart pour- roient $e trouver embarra$$és, s’ils ne connoi$$oient pas le dia- metre du boulet d’une livre, ou s’ils $oupçonnoient qu’il ne fût pas a$$ez ju$te pour $ervir de ba$e à une regle générale, en ce cas l’on pourra faire couler un boulet de tel diametre que l’on voudra, comme de 3 pouces, $ans s’embarra$$er de $a pe$an- teur qu’après qu’il $era fondu, parce que pour lors on le pe$era bien exactement; & $uppo$ant qu’on a trouvé qu’il pe$e 5 livres & demie, l’on réduira $on diametre en petites parties pour le cuber, & en$uite l’on dira: Si 5 livres & demie donnent tant de petites parties pour le cube du diametre de $on boulet, com- bien une livre donnera-t’elle de petites parties pour le cube de $on diametre: & lor$qu’on aura trouvé ce que l’on cherche, on en extraira la racine cube, qui donnera en petites parties la valeur du diametre du boulet d’une livre, qu’il $era facile de réduire en pouces, lignes, &c. $çachant que le diametre du premier boulet e$t de 3 pouces.
Pour trouver le diametre des pieces, l’on $çaura qu’il ne differe que de peu de cho$e de celui de leurs boulets; & comme cette différence, qui e$t ce qu’on appelle _vent_ du boulet, n’e$t pas la même pour toutes les pieces, il $uffira de $çavoir le dia- metre de la piece d’une livre, pour trouver celui de tous les au- tres: & comme le diametre e$t d’un pouce 11 lignes 6 points, parce que le boulet de cette piece a environ une ligne de vent, on $uppo$era, comme on a fait pour $on boulet, que le diametre de la piece e$t divi$é en 500 parties; & voulant trouver celui de la piece de 24, l’on cubera 500 pour multiplier le produit par 24, dont on extraira la racine cube, qui e$t en- core 1442, dont on pourra connoître la valeur en pouces, lignes, &c. en di$ant: Si 500 donnent un pouce 11 lignes 6 points pour le diametre de $a piece d’une livre, combien donneront 1442 pour le diametre de la piece de 24: on trou- vera que ce diametre e$t de 5 pouces 7 lignes 9 points.
903. Trouver le diametre des cylindres $ervant à me$urer la poudre.
L’on ne $e $ert pre$que jamais de balances dans les maga$ins & dans les Arcenaux pour me$urer la poudre que l’on di$tribue aux troupes, $oit pour des détachemens ou pour tout autre $ujet, parce qu’il faudroit trop de tems pour en faire la di$tri- bution: on $e $ert, au lieu de balances, de certaines me$ures de fer blanc ou de cuivre, de figure cylindrique, qui contiennent plus ou moins de livres de poudre, ou de parties de livres. Or comme $ouvent l’on e$t obligé de faire faire de ces me$ures, & qu’on ne peut, $ans le $ecours de la Géométrie, $çavoir les dimen$ions qu’il faut leur donner pour contenir une quantité de poudre quelconque, voici une regle générale qui pourra $ervir pour trouver le diametre de toutes les me$ures que l’on voudra: mais comme il faut que ces me$ures $oient $embla- bles pour que la regle pui$$e convenir à toutes également, nous $uppo$erons que ces me$ures étant cylindriques, la hauteur du cylindre e$t égale au diametre du cercle qui lui $ert de ba$e.
Cela po$é, étant prévenu qu’une me$ure cylindrique, dont le diametre e$t de 3 pouces, contient 4 livres de poudre, l’on trouvera le diametre d’une me$ure pour autant de livres que l’on voudra: par exemple, pour 10 livres, en di$ant: Si 4 livres de poudre donne 125 pouces pour le cube du diametre de $a me$ure, combien donneront 10 livres de poudre? l’on trou- vera 312 pouces & demi cubes, dont il faudra extraire la ra- cine qui $era de 6 pouces 8 lignes 9 points, qui e$t la grandeur qu’il faut donner au diametre de la me$ure de 10 livres, qui doit avoir au$$i la même hauteur: il en $era de même pour telle autre me$ure que l’on voudra.
Mais $i l’on ignore le diametre d’une me$ure pour une certaine quantité de poudre, & $i l’on n’a aucun terme de la proportion connue, dans ce cas il faut faire faire une me- $ure à laquelle on donnera le diametre que l’on voudra, & on la remplira de poudre, a$in de $çavoir ce qu’elle contient; & $çachant ce qu’elle contient, & la valeur du diametre, l’on $e $ervira de la regle précédente pour trouver le diametre de toutes les autres me$ures, fai$ant attention que ces me$ures ne peuvent avoir lieu que pour la poudre dont les grains $ont approchans de même gro$$eur que $ont ceux de la poudre à canon: car $i les grains étoient plus fins, les me$ures contien- droient moins de poudre en pe$anteur.
L’on voit que cette regle e$t établie $ur ce que les cylindres
Mais $i l’on vouloit avoir des me$ures, dont la hauteur fût plus grande ou plus petite que le diametre de la ba$e (que nous nommerons _me$ure irréguliere_), il faudroit chercher le dia- metre de la me$ure pour la quantité de poudre que l’on veut que cette me$ure contienne, comme $i cette me$ure devoit être réguliere, c’e$t-à-dire que le diametre fût égal à la hau- teur; en$uite cuber le diametre, & divi$er le produit par la hauteur de la me$ure irréguliere, & le quotient $era la va- leur du quarré du diametre de cette me$ure. Après cela, $i l’on extrait la racine quarrée de cette quantité, l’on aura le diametre du cercle qui doit $ervir de ba$e à la me$ure que l’on cherche.
Comme les cercles $ont dans la rai$on des quarrés de leurs
diametres, l’on pourra prendre à la place des cercles les quarrés
de leurs diametres. Or comme les cylindres $ont égaux, lor$-
que leurs hauteurs & leurs ba$es, ou les quarrés des diametres
de leurs ba$es $ont réciproques, nommant _a_ le diametre de la
ba$e du cylindre régulier, _a_ $era au$$i $a hauteur; & nommant
_b_ la hauteur du cylindre irrégulier, & _x_ le diametre de $a ba$e,
il faut, pour que le cylindre régulier $oit égal à l’irrégulier,
que _b_ : _a_ :: _aa_ : _xx_, d’où l’on tire _bxx_ = _aaa_, ou bien _xx_ = {_aaa_/_b_},
ou encore _x_ =
Ce que nous venons de dire à l’égard des me$ures pour la poudre, $e peut appliquer à toutes autres me$ures cylindriques pour telles cho$es que ce $oit.
904. Trouver quelle longueur doivent avoir les pieces de canon par rapport à leurs calibres.
Les extrêmités dans le$quelles on e$t tombé pour régler la
Comme l’on ne peut douter que plus il y a de poudre en-
Mais $i au lieu d’une piece trop courte nous en $uppo$ons une trop longue, comme L O, il n’y a point de doute, quoi- qu’elle $oit de même calibre que la précédente, & chargée avec la même quantité de poudre, qu’elle ne porte pas $i loin que $i elle étoit d’une ju$te longueur: car $uppo$ant que la poudre L M fai$ant $on effet, ait pou$$é le boulet ju$qu’au point N, qui e$t l’endroit où elle auroit achevé de s’enflammer entiérement, il e$t certain que $i le boulet a encore à parcourir l’e$pace N O, il $ortira avec moins de violence de l’endroit O, que s’il étoit parti d’abord de l’endroit N: car dans le tems que le re$te de la poudre acheve de s’enflammer vers N, la flamme de celle qui a commencé vers la cula$$e $e dilate, & l’air raré$ié s’amorti$$ant de ce côté-là, il n’y a plus que celui qui e$t vers N, qui fait impre$$ion $ur le boulet; de $orte que $i la piece étoit a$$ez longue pour que l’impul$ion de la poudre fût entiére- ment amortie à l’in$tant que le boulet e$t prêt à $ortir de la piece, il pourroit arriver que l’air que le boulet auroit cha$$é avec beau- coup de violence, cherchant à rentrer dans la piece, le repou$- $eroit vers la cula$$e; ce qui arriveroit $ans doute, $i à l’in$tant que le feu a pris à la poudre, l’on pouvoit boucher la lumiere avec a$$ez de promptitude, pour empêcher que l’air que le boulet cha$$e ne $oit remplacé par celui qui s’introduiroit par-là.
Pui$que les pieces d’une trop grande longueur font moins
d’effet que les autres, il ne faut donc plus s’étonner $i la cou-
levrine de Nancy (contre l’opinion commune) a moins de
portée que les pieces de même calibre, comme M. Dumez
Ce rai$onnement fait voir que la charge doit dépendre de la longueur de la piece, & la longueur de la piece de la force de la charge: mais comme pour de gro$$es charges il faudroit de longues pieces, dont le $ervice & le tran$port $ouffriroient bien des difficultés, joint à la grande con$ommation de pou- dre que l’on $eroit obligé de faire; comme il $emble que la méthode de charger (comme on le pratique ordinairement) les pieces à la moitié du poids du boulet e$t la meilleure, il faut, en comptant là-de$$us, chercher quelle doit être la longueur d’une piece par rapport à un calibre quelconque, parce qu’après cela l’on peut établir des regles pour connoître la longueur de tous les calibres imaginables. Je crois que le plus $ûr moyen pour parvenir à cette connoi$$ance, e$t de faire un canon fort long, dont le calibre $eroit, par exemple, de 8 livres, & le charger à la moitié du poids de $on boulet, puis le tirer de but en blanc, pour voir $a portée: & comme l’on $uppo$e que la piece e$t plus longue qu’elle ne doit être, on la $ciera pour la diminuer d’un calibre, & on tirera un autre coup pour voir de combien elle aura porté plus loin que le premier; & conti- nuant toujours à raccourcir la piece, en la diminuant de quel- ques pouces, $ur la fin l’on arrivera à un point où la piece, pour être un peu trop courte, portera moins loin qu’aupara- vant; & con$idérant la longueur moyenne entre celle du der- nier coup & le pénultieme, l’on aura au ju$te la longueur de la piece par rapport à $a charge, pour que la poudre $oit ca- pable du plus grand effet qu’il e$t po$$ible avec la même quan- tité de poudre.
Cependant comme ce que je propo$e ici pourroit peut-être n’avoir pas $es parti$ans, quoique le $ujet $oit a$$ez de con$é- quence pour prendre toutes ces me$ures, voici encore ce que l’on pourroit faire.
Comme l’expérience fait voir tous les jours que les petites pieces portent plus loin à proportion que les gro$$es, pui$que, $elon les épreuves qu’en a faites M. Dumez, il a trouvé que nos pieces de France chargées aux deux tiers de la pe$anteur du boulet, & pointées à 45 degrés, portoient,
Ce qui me fait croire que la longueur des petites pieces e$t mieux proportionnée par rapport à leurs calibres, que celle des gro$$es: ain$i $uppo$ant qu’une piece de canon de 4, qui a ordinairement 6 pieds de longueur dans l’ame, $oit bien pro- portionnée, voici comment on pourra trouver la longueur des pieces de tel calibre que l’on voudra.
Con$idérant A C comme étant la longueur de l’ame d’une
L’on pourra trouver de même la longueur de toutes les au- tres pieces, lor$qu’elles auront leurs chambres cylindriques: car $i elles étoient autrement, il faudroit prendre d’autres me$ures.
Les pieces dont on $e $ert ordinairement n’étant point d’une longueur proportionnée à celle de la piece de 4, & comme il n’y a point d’apparence qu’on les fonde toutes exprès pour les y faire convenir, il faut, pui$que la charge d’une piece dépend de $a longueur, comme la longueur dépend de la charge, faire voir comment on peut trouver la charge de toutes les pieces, en connoi$$ant le calibre & la longueur. Comme les ames des pieces qui ne $ont point $emblables, $ont dans la rai$on com- po$ée des quarrés des diametres des pieces & des axes des mêmes pieces, $i l’on multiplie le quarré du diametre de cha- que piece par l’axe, l’on pourra trouver la charge qui convient aux pieces, pui$que ces charges doivent être dans la rai$on des produits des quarrés des diametres des pieces, par les axes des mêmes pieces. Ain$i voulant $çavoir la charge d’une piece de 24 ordinaire, dont l’ame a 9 pieds de longueur; j’ai recours à la piece de 4, pour en prendre le diametre, qui e$t 3 pouces, que je quarre pour en multiplier le quarré par la longueur de l’axe, qui e$t 6 pieds, dont le produit e$t 54; en$uite je quarre le diametre de la piece de 24, qui donne 29 pouces 9 lignes 6 points, que je multiplie par l’axe, qui e$t 9, & le produit e$t 268. Après cela, je fais une Regle de Trois, en di$ant: Si 54, produit du quarré du diametre de la piece de 4 par $on axe, donne deux livres pour $a charge, combien donneront 268, produit du quarré du diametre de la piece de 24 par $on axe, pour la charge de la même piece? l’on trouvera 10 livres moins quelque petite cho$e, qui fait voir que les pieces de 24, dont l’ame à 9 pieds de longueur, doivent être chargées à 10 livres de poudre, quand la piece de 4 $era chargée à la moitié de $on boulet.
De la même façon, $i l’on veut $çavoir quelle doit être la charge de la coulevrine de Nancy, par rapport à la piece de 4, chargée à la moitié de $on boulet, il faut être prévenu que cette piece e$t de 18 livres de balle, que $on diametre e$t de 5 pouces 1 ligne 6 points, & que la longueur de $on axe e$t de 20 pieds: ain$i fai$ant la regle, on trouvera qu’elle doit être chargée à 20 livres de poudre.
Mais comme $on métail ne ré$i$teroit peut-être pas à une
charge au$$i forte que celle-ci, il n’y a qu’à voir la longueur
qui lui convient pour la charge de la moitié de $on boulet,
c’e$t-à-dire pour 9 livres de poudre, en di$ant: Si 2 livres de
905. Depuis 1723 que j’ai écrit ce di$cours, j’ai fait des épreuves pour $çavoir quelle étoit la charge des pieces de dif- férens calibre en u$age en France pour cha$$er le boulet à la plus grande di$tance, ou pour battre en breche avec le plus de violence qu’il e$t po$$ible, afin que, partant de ce point, on pût la diminuer $elon les occa$ions, & jamais l’augmenter. J’ai fait mes premieres épreuves à l’Ecole de la Fere, dans le mois d’Octobre 1739, en pré$ence de Me$$ieurs les Officiers d’Ar- tillerie, en chargeant chaque piece de 8, de 12, de 16, & de 24, avec des charges qui alloient en augmentant par gradation d’une demi-livre de poudre, en commençant par une charge égale à la huitieme partie de la pe$anteur du boulet, & fini$- $oient par celle des deux tiers de la même pe$anteur. L’on tiroit de $uite quatre coups avec la même charge, dont on pre- noit en$uite la portée moyenne. J’entends que le premier coup pour la piece de 16 a été chargée de deux livres de poudre, que la $econde charge a été de deux livres & demie, la troi$ieme de trois livres, la quatrieme de trois livres & demie, ain$i de $uite ju$qu’à dix livres & demie, qui e$t à peu près les deux tiers de 16, pe$anteur du boulet. On en a u$é de même pour les pieces des autres calibres toutes pointées $ous l’angle de 4 degrés formé par la direction de l’ame avec l’horizon.
Ayant me$uré bien exactement toutes les portées de ces
pieces pour chaque charge différente, j’ai reconnu que celle
qui produiroit le plus grand effet, c’e$t-à-dire qui cha$$oit le
boulet à la plus grande di$tance, étoit à peu près égale au tiers
de la pe$anteur du même boulet, & que tout ce que l’on em-
ployoit de poudre au-delà étoit en pure perte, parce qu’elle
ne s’enflammoit qu’après que le boulet étoit $orti de la piece;
il e$t vrai que plus l’on met de poudre dans un canon, plus la
détonnation e$t forte, ce qui arrive également quand l’on tire
$ans boulet: par con$équent ces expériences ont fait voir que
Ces épreuves ayant été conte$tées avec beaucoup de cha- leur de la part de ceux qui ne les avoient point vues, la Cour ordonna qu’elles fu$$ent répétées à Metz, en pré$ence de M. le Maréchal de Belle-I$le, qui étoit chargé de la part du Roi de veiller à leur exactitude, pour être en état d’en rendre compte à Sa Maje$té: elles eurent le même $uccès qu’à la Fere, ayant au$$i reconnu qu’il falloit environ le tiers de la pe$anteur du boulet pour la charge la plus forte; mais on s’en e$t tenu à neuf livres pour celle du plus grand effet des pieces de 24.
Dans le mois d’Août de la même année, l’on a encore ré- pété ces épreuves à Strasbourg, mais avec des circon$tances propres à les rendre plus exactes. L’on s’e$t $ervi d’une piece de 24 bien conditionnée, que l’on a pointée $ous l’angle de 45 degrés & maintenue inébranlable, on ne s’e$t $ervi que de boulets bien calibrés & bien ébarbés. L’on verra dans le Traité du Jet des Bombes, que le canon tiré $ous l’angle de 45 degrés $e trouve dirigé de la maniere la plus convenable pour faire des épreuves de$tinées à juger de l’effet des différentes charges, parce que les portées des boulets qui partent $ous une direction au de$$us ou au de$$ous de 45 degrés, $ont plus courtes avec une même charge que ne $ont celles des boulets qui $uivent la direction de l’ame pointée $ous cet angle; d’où il $uit que les plus grandes portées ne doivent être attribuées qu’à la force de la poudre, & non pas aux accidens qui ne peuvent que lesraccourcir.
L’on a employé un nombre de charges en progre$$ion arith-
métique, tirées de $uite en augmentant d’une livre pour
chacune, en commençant par huit livres, & fini$$ant par
vingt-quatre. L’on a reconnu que la charge de neuf livres de
poudre avoit cha$$é le boulet à 2500 toi$es, & que toutes les
autres charges plus fortes, ju$qu’à celle de vingt-quatre, n’a-
voit jamais cha$$é le boulet plus loin, au grand étonnement
de ceux qui en avoient douté. Le lendemain de cette pre-
miere $éance, l’on a répété les mêmes épreuves avec les mê-
mes charges; mais au lieu de commencer par huit livres de
poudre, & finir par vingt-quatre, l’on a tiré le premier coup
à vingt-quatre livres, & le dernier à huit, en $uivant la même
Comme je n’ai point eu de part à ces dernieres épreuves, elles ne peuvent être $u$pectées, ain$i elles con$tatent de la maniere la plus évidente, que la plus forte charge du canon doit être à peu près le tiers de la pe$anteur du boulet.
L’on trouvera dans l’Hi$toire de l’Académie Royale des Sciences de l’année 1757, un Mémoire que j’y ai lu $ur la charge du plus grand effet du canon, & qui répand un plus grand jour $ur cette matiere que je n’ai fait ju$qu’ici: on pourra y avoir recours, $i on le juge à propos.
906. Il y a encore une difficulté touchant les armes à feu,
qui e$t de $çavoir à quel endroit doit être po$ée la lumiere,
pour que la poudre fa$$e un plus grand effet, & je ne crois pas
que l’on $e $oit déterminé là-de$$us: les uns di$ent qu’il faut
la placer dans le milieu de la longueur de la chambre, parce
que la poudre s’enflamme à la ronde, & en bien plus grande
quantité: les autres $ont d’une opinion contraire, & veulent
qu’elle $oit placée à l’extrêmité de la chambre contre la cu-
la$$e, di$ant pour leur rai$on que la piece n’a pas tant de recul.
Ces deux rai$onnemens $ont également vrais; cependant
comme les re$$orts de la poudre, au$$i-bien que tous les autres
re$$orts, n’agi$$ent avec plus ou moins de violence, qu’autant
que les corps qui leur ré$i$tent cedent plus ou moins vîte, il s’en-
$uit que quand une arme à feu n’a pre$que point de recul,
c’e$t une marque que la poudre a trouvé $i peu de ré$i$tance
pour cha$$er la balle, qu’elle n’a eu be$oin que de $on pre-
mier effort, au lieu que $i elle trouve beaucoup de ré$i$tance
vers la cula$$e & du côté de la balle, tous $es efforts $e déban-
deront en même tems, quoique le recul $oit plus grand, la
balle ira bien plus loin que $i le canon n’avoit point eu de
recul: ain$i la lumiere étant placée dans le milieu de la cham-
bre, les re$$orts agiront en bien plus grande quantité dans le
même tems, que $i elle étoit contre la cula$$e, où ces mêmes
re$$orts ne peuvent agir que $ucce$$ivement, pui$que la poudre
s’enflamme ain$i; & $i le boulet vient à partir dès que la poudre
commence à s’enflammer, il arrivera encore qu’une grande
partie $era cha$$ée hors de la piece $ans faire aucun effet: ain$i
il me $emble que la lumiere placée dans le milieu de la
Je crois qu’il ne $era pas ici mal-à-propos de dé$abu$er ceux qui croient que le boulet, en $ortant de la piece, s’éleve au de$$us de la même piece, & qui pen$ent qu’après avoir décrit une courbe, il reprend une direction horizontale, pour en décrire après cela une autre: la plûpart $ont $i opiniâtres à $outenir cette erreur, qu’on a beau leur dire que la pe$anteur du boulet, bien loin de permettre qu’il pui$$e s’élever au de$$us de l’axe de la piece, l’emporte au de$$ous, dès l’in$tant même qu’il $ort, & lui fait décrire une courbe, qui à la vérité e$t d’abord fort approchante de la ligne droite, mais qui devient $en$ible à me$ure qu’il s’éloigne de la piece; & une preuve à laquelle ils ont tous recours pour $outenir leur opinion, c’e$t, di$ent-ils, que quand on tire après une piece de gibier à la cha$$e, il faut tirer un peu au de$$ous de l’animal, pour gagner la di$tance dont la balle s’e$t élevée au de$$us du canon: mais comme cette rai$on ne vaut ab$olument rien, en voici l’unique cau$e.
Si l’on attache un canon de fu$il $ur une petite planche, & qu’aux deux côtés de cette planche on y mette deux tourillons, en$orte que le canon $oit en équilibre $ur ces tourillons, comme le bras d’une balance, on verra que l’ayant chargé à balle, $i l’on tire au de$$us de l’horizon, la partie de la poudre qui agira contre la cula$$e, & qui cau$e ordinairement le recul, fera bai$$er la cula$$e, & par con$équent lever le bout du canon: & comme cela $e fera avant même que la balle $oit $ortie du canon, il arrivera qu’elle ira au de$$us de l’objet vers lequel on avoit pointé, parce qu’en $ortant elle ira $elon la direction de l’ame, & non pas $elon celle du rayon vi$uel, qui ne $era plus la même à cau$e du dérangement de la cula$$e. Or $i l’on fait attention que le fu$il entre les mains du cha$$eur fait le même effet que je viens de dire, l’on verra que quand on veut pointer ju$te, il faut pointer au de$$ous de l’objet.
Cependant ce qui fait qu’il $emble que le boulet à une cer-
taine di$tance s’éleve au de$$us de la piece, c’e$t que la $urface
extérieure de la piece n’étant point parallele avec l’ame, le
907. Trouver la maniere de connoître le nombre de boulets qui $ont en pile.
Les boulets de canon & les bombes qui $ont dans les Arce-
naux, $ont ordinairement rangés en pile; ces piles $ont de
trois $ortes: il y en a qui ont pour ba$e un quarré, que l’on
nomme _piles quarrées_, comme dans la figure 324, d’autres un
Avant toutes cho$es, il faut con$idérer que les faces de la pile quarrée & de la pile triangulaire $ont toujours des trian- gles, dont les trois côtés $ont égaux, & que ces triangles étant formés par des boulets, ils compo$ent une progre$$ion arith- métique, qui commence par l’unité, c’e$t-à-dire par le boulet qui e$t au $ommet de la pile, & que le plus grand terme de la progre$$ion e$t la ba$e du triangle. Et comme nous $erons obligés de connoître la quantité de boulets contenue dans une face, que nous nommerons dans la $uite _triangle arithmétique_, voici comment on les pourra compter d’une maniere fort ai$ée.
Pour $çavoir combien il y a de boulets dans le triangle
A B C, il faut compter combien il s’en trouve dans le côté
A C, ajouter à ce nombre l’unité, en$uite multiplier cette
La rai$on de ceci e$t que dans une progre$$ion arithmétique, _a. a_ + _e, a_ + _2e, a_ + _3e, a_ + _4e, a_ + _5e_, dont les termes $e $urpa$$ent d’une quantité _e_, la $omme des deux termes _a_ + _e_ & _a_ + _4e_ également éloignés des extrêmes, e$t égale à la $omme des extrêmes _a_ & _a_ + _5e_, ou à celle des deux autres termes quelconques au$$i également éloignés des extrêmes, pui$que la $omme des uns & des autres donne _2a_ + _5e_; mais il y a la moitié autant de fois _2a_ + _5e_ (qui e$t la $omme des extrêmes) qu’il y a de termes dans la progre$$ion: donc pour avoir la valeur de tous les termes d’une progre$$ion arithmé- tique, qui commence par l’unité, ou par tout autre nombre, il faut multiplier le premier & le dernier terme par la moitié du nombre qui exprime la quantité des termes: c’e$t pourquoi nous avons ajouté le premier terme A C avec le dernier B, & nous avons multiplié la $omme par la moitié du côté A B, c’e$t-à-dire par la moitié du nombre des termes de la pro- gre$$ion pour avoir les boulets du triangle.
Prévenu de ceci, il faut encore con$idérer que $i l’on a une
quantité de boulets qui forment par leurs arrangemens un
pri$me triangulaire D E H G F, $outenu par un plan incliné
Enfin l’on pourroit dire au$$i que la pyramide M N O P $era plus grande que le tiers du pri$me, qui auroit pour ba$e le triangle M N O, qui e$t le même que E G H, & pour hau- teur le côté M N, qui e$t le même que E D, des deux tiers du triangle M N O, qui e$t le même que le triangle arithmétique qui $e rencontre dans la coupe E F.
D’où il s’en$uit, 1°. que pour trouver la quantité de boulets contenue dans une pile quarrée A B C Q, il faut d’abord cher- cher le nombre de ceux qui $ont contenus dans le triangle arithmétique A B C, & le multiplier par les deux tiers du côté A B ou A C, & ajouter au produit le tiers du triangle A B C.
908. Ain$i le côté A C étant de 6, je commence par trou- ver le triangle A B C, en ajoutant l’unité au nombre 6 pour avoir 7, que je multiplie par la moitié du côté A B, qui e$t 3, & le produit donne 21, que je multiplie par les deux tiers du côté A B, qui e$t 4, pour avoir 84 au produit, auquel ajoutant le tiers du triangle arithmétique A B C, qui e$t 7, il vient 91 pour le nombre des boulets de la pile.
909. L’on pourra donc dire au$$i que pour trouver le nom- bre de boulets contenus dans la pile triangulaire M N O P, il faut multiplier le triangle M N O par le tiers du côté M N, & ajouter au produit les deux tiers du nombre de boulets contenus dans le triangle M N O: ain$i le côté N O étant en- core de 6, le triangle arithmétique $era de 21, qui étant mul- tiplié par le tiers du côté M N, qui e$t 2, l’on aura 42, aux- quels ajoutant les deux tiers du triangle, qui e$t 14, l’on aura 56 pour le nombre de boulets contenus dans cette pile.
A l’égard de la pile oblongue, il e$t fort facile d’en con-
Ain$i $uppo$ant que le côté X Y ou T X $oit de 9, j’ajoute 1 à 9 pour avoir 10, que je multiplie par la moitié de 9; ou, ce qui e$t la même cho$e, 9 par la moitié de 10, qui e$t 5, le produit $era 45 pour la quantité de boulets du triangle X T Y, que je multiplie par les deux tiers de 9, c’e$t-à-dire par 6, & il vient 270 pour le produit, auquel j’ajoute le tiers du triangle, qui e$t 15, & le tout fait 285 pour la pyramide. Or $uppo$ant au$$i que R T $oit de 15 boulets, je multiplie 15 moins 1, qui e$t 14, par le triangle arithmétique, qui e$t 45, & il vient 630 pour le nombre de boulets du pri$me R S T V, qui étant ajouté avec ceux de la pyramide, l’on trouvera 715 boulets dans la pyramide oblongue.
910. Comme il n’y a rien de plus commode pour l’imagi-
nation que les formules qui nous indiquent par leurs expre$$ions
ce que nous avons à faire dans tous les cas imaginables, nous
allons donner une formule très-$imple, par le moyen de la-
quelle on pourra trouver le nombre des boulets ou des bombes
rangés en piles, $oit que ces piles $oient di$po$ées en forme
pri$matique, comme dans la figure 326, $oit qu’elles $oient
en pyramide quarrée ou en pyramide triangulaire. Notre for-
mule peut s’appliquer à tous ces cas: car il e$t évident que
pour connoître le nombre de boulets compris dans la pile de la
figure 326, il faut, comme nous l’avons dit, décompo$er cette
pile en deux corps, dont l’un e$t le pri$me triangulaire RQXYT,
lequel n’a aucune difficulté, & dont l’autre e$t une pyramide
qui a même nombre de rangs que le pri$me triangulaire, ou
Il n’e$t pas moins vi$ible que cette pile e$t la $omme des quarrés d’autant de nombres depuis l’unité qu’il y a de boulets dans le côté R Q: ain$i $i l’on a 9 boulets, la pyramide $era égale à la $omme des quarrés des neuf premiers nombres, 1, 2, 3, 4, &c. Tout $e réduira donc à trouver la $omme des quarrés de tant de nombres naturels que l’on voudra. Sur quoi je remarque que tous les quarrés des nombres naturels ré$ul- tent de l’addition des termes de deux $uites égales des nom- bres triangulaires, di$po$ées de maniere que la premiere ait un terme de plus que la $econde.
Par exemple, $i l’on di$-
po$e ces deux $uites, com-
me on voit ici, & que
l’on les ajoute terme par
terme, il e$t évident qu’il en ré$ultera la $uite des quarrés des
nombres naturels que l’on voit au de$$ous. Ain$i tout $e réduit à
trouver la $omme des quarrés de tant de termes que l’on voudra
de la $uite des nombres naturels: car de cette maniere on pourra
trouver le nombre des boulets contenus dans une pile trian-
gulaire & dans une pyramide quarrée quelconque. La pyra-
mide triangulaire $e trouvera, en $ommant autant de termes
qu’il y a de boulets dans le côté du triangle M N O, & la py-
ramide quarrée $e trouvera, en $ommant d’abord un nombre
de termes de la $uite des nombres triangulaires égal au nom-
bre de boulets contenus dans le côté B C du triangle B C Q,
911. Suivant ces principes, on peut ai$ément déduire une formule pour $ommer tant de nombres quarrés que l’on vou- dra: pour cela, il n’y a qu’à faire dans la formule _m_ = _m_ - 1, & ajouter ce qui en viendra à la même formule, la $omme $era une formule propre à $ommer tant de nombres quarrés que l’on voudra: cette $ub$titution donne {_m_<_>3 - 3_m_<_>2 + 3_m_ - 1 + 3_m_<_>2 - 6_m_ + 3 + 2_m_ - 2/6} = {_m_<_>3 - _m_/6}, qui étant jointe avec {_m_<_>3 + 3_m_<_>2 + 2_m_/6}, donnera {2_m_<_>3 + 3_m_<_>2 + _m_/6} = {_m_<_>3/3} + {1/2} _m_<_>2 + {1/6} _m_. Il e$t à propos de $e $ervir de cette formule pour trouver les nombres des boulets rangés en pyramide quarrée, pui$- que l’on trouve la $omme demandée par une $eule opération, au lieu que par l’autre formule il faut néce$$airement en faire deux. Par exemple, $i le nombre des rangs de boulets e$t 6, en fai$ant _m_ = 6 dans cette derniere formule, on aura {216/3} + 18 + 1 = 91, comme on l’avoit trouvé ci-devant. Cette formule pour $ommer les nombres quarrés e$t démontrée, en admettant celle que nous avons donnée pour $ommer les nombres trian- gulaires.
LE principal objet que je me $uis propo$é dans le Traité du Mouvement que je donne ici, a été d’en$eigner l’art de jetter les bombes. Il e$t vrai que je ne commence pas d’abord par-là, parce qu’il m’a paru qu’il étoit bon de donner une connoi$$ance du choc des corps, afin d’en tirer quelques principes qui nous $erviront beaucoup dans la méchanique. Je pourrois dire la même cho$e du chapitre du mouvement, parce qu’il me donnera au$$i lieu dans la méchanique d’expliquer plu$ieurs cho$es qui n’auroient pu être en- tendues $ans une connoi$$ance de la chûte des corps: d’ailleurs il e$t ab$olument néce$$aire à ceux qui veulent s’attacher aux Ma- thématiques & à la Phy$ique, pour expliquer quantité de cho$es curieu$es dans l’Artillerie, de $cavoir les principales regles du choc & du mouvement des corps: ain$i ce Traité contient trois chapitres; le premier traite du choc des corps, le $econd des regles du mouvement, & le troi$ieme de la théorie & de la pratique du jet des bombes.
A l’égard du jet des bombes, je ne vois pas que les Bombar- diers $e $oient mis beaucoup en peine de $cavoir s’il y avoit des regles certaines $ur ce $ujet, dans la pen$ée où ils ont toujours été qu’il n’y avoit que la $eule pratique qui pui$$e $ervir au Bombar- dier, pour lui faire jetter des bombes avec $uccès; & cela vient $ans doute de ce que la plûpart n’ayant aucune connoi$$ance des