metadata: dcterms:identifier ECHO:R04RNX9Y.xml dcterms:creator (GND:118201913) Bélidor, Bernard Forest de dcterms:title (fr) Nouveau cours de mathématique à l' usage de l' artillerie et du génie : où l' on applique les parties les plus utiles de cette science à la théorie et à la pratique des différens sujets qui peuvent avoir rapport à la guerre dcterms:date 1757 dcterms:language fra text (fr) free http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView/ECHOzogiLib?mode=imagepath&url=/mpiwg/online/permanent/library/R04RNX9Y/pageimg log: unknown: replacements: [0001] [0002] [0003] [0004] [0005] [0006] [0007] NOUVEAU COURS DE _MATHEMATIQUE_, A L’USAGE _DE L’ARTILLERIE ET DU GENIE_,

Où l’on applique les parties les plus utiles de cette $cience à la théorie & à la pratique des différens $ujets qui peuvent avoir rapport à la guerre.

_NOUVELLE EDITION_, Corrigée & con$idérablement augmentée.

Par M. BELIDOR, Colonel d’Infanterie, Chevalier de l’Ordre Royal & Militaire de Saint Louis, Membre des Académies Royales des Sciences de France, d’Angleterre & de Pru$$e.

A PARIS, Chez NYON, Quai des Augu$tins, près le Pont S. Michel, à l’Occa$ion. M. DCC. LVII. AVEC APPROBATION ET PRIVILEGE DU ROI. [0008] [0009] PRÉFACE.

QUOIQUE le titre de cet Ouvrage me paroi$$e an- noncer $uffi$amment ce que l’on s’y e$t propo$é, & qu’il $oit connu par plu$ieurs éditions, je ne me crois pas pour cela di$pen$é de rendre compte ici du Livre en gé- néral d’une maniere plus détaillée, & des additions con- $idérables que j’y ai faites. Per$uadé & convaincu, par une longue expérience, que les Officiers & les Ingé- nieurs militaires ne doivent pas étudier les Mathéma- tiques de la même maniere qu’une per$onne qui vou- droit s’y livrer entiérement, & en faire $on étude prin- cipale, j’ai tâché de réunir dans un $eul volume tout ce qui leur e$t ab$olument néce$$aire, en joignant, autant qu’il m’a été po$$ible, les applications des principes que je donne, à des exemples $en$ibles, & qui ont un rap- port direct aux opérations qu’ils $ont obligés de faire dans les places qu’ils ont à remplir. C’e$t $ans doute à cela que je puis attribuer le $uccès qu’il a eu, & c’e$t pour le rendre encore plus intére$$ant que j’ai toujours travaillé $ur le même plan. Pre$que toutes les additions que j’ai faites ont pour objet des que$tions ou des mé- thodes utiles dans la pratique, dont la préci$ion doit être le but de toutes les études d’un Ingénieur. Si le goût des Mathématiques n’avoit pas fait des progrès au$$i $urprenans depuis une quarantaine d’année, j’aurois pu me contenter dans cette nouvelle édition de corri- [0010]_PREÉFACE_. ger les fautes qui s’étoient gli$$ées dans la premiere, & de donner des démon$trations plus rigoureu$es & plus élégantes de certaines propo$itions, $ans rien ajouter de nouveau; mais eu égard aux connoi$$ances que l’on exige actuellement des Ingénieurs, j’ai fait toutes les additions qui m’ont paru ab$olument néce$$aires pour rendre cet Ouvrage complet dans $on genre. Une théorie abrégée, mais rigoureu$ement démontrée d’un petit nombre de principes & des premiers élémens de chaque partie des Mathématiques, analogue à l’art de la guerre, & à tout ce qui en dépend; c’e$t à quoi doi- vent $e borner les études d’un habile Militaire. S’il veut après cela donner dans toutes les autres $ciences étran- geres à $a profe$$ion, quoique dépendantes des Mathé- matiques, il ne fait que décorer $on e$prit, $ans $e ren- dre plus utile à l’état, qui ne peut tirer aucun $ecours de ces vérités $ublimes, de$tinées plutôt à faire briller le génie dans une a$$emblée de Sçavans, qu’à rendre des $ervices importans au Prince dans des occa$ions dange- reu$es.

Cet Ouvrage e$t divi$é en $eize Livres. Dans le pre- mier, je donne les premiers élémens d’Algebre, après avoir donné les définitions des propo$itions dont on $e $ert en Géométrie, & des termes le plus en u$age dans cette $cience. On y traite d’abord du calcul arithmé- tique, par rapport à la Multiplication & à la Divi$ion, en $e $ervant de ce que l’on appelle communément par- ties aliquotes: c’e$t une des premieres additions qui m’a paru néce$$aire pour montrer aux Commençans des manieres abrégées de faire ces opérations, qui de- viennent fort longues en $uivant les regles générales, dans les cas où le multiplicande & le multiplicateur [0011]_PRÉFACE_. $ont tous deux des nombres complexes. Delà je pa$$e au calcul des fractions numériques & algébriques, aux- quelles j’ai ajouté la théorie & la pratique des fractions décimales, que je démontre par le principe de la nu- mération: cette partie m’a paru indi$pen$ablement né- ce$$aire pour mettre un Ingénieur au fait des Livres dont il e$t obligé de faire u$age. Tout le monde $çait que les Tables des $inus, dont on $e $ert $i fréquem- ment dans la Trigonométrie, $ont con$truites par le moyen des décimales. On opere toujours avec plus de $ûreté quand on connoît la nature des nombres $ur le$quels on opere. On voit encore dans le même Livre un u$age important des décimales dans l’approxima- tion des racines quarrées & cubiques qu’il faut déter- miner avec tout le $oin po$$ible dans certaines occa- $ions. J’ai encore ajouté un Traité complet du calcul des Expo$ans, que j’ai mis devant le chapitre de la for- mation des pui$$ances auxquelles ce calcul a un rapport direct.

Dans le $econd Livre, je traite des rai$ons ou rapports arithmétiques & géométriques, des progre$$ions & proportions qui en ré$ultent, dont je démontre les prin- cipales propriétés. De la comparai$on de la progre$$ion arithmétique des expo$ans d’une même lettre à la pro- gre$$ion géométrique des pui$$ances de cette même lettre, je déduis la nature & les principales propriétés des logarithmes, dont on e$t obligé de faire u$age dans un grand nombre de que$tions, & dont les Ingé- nieurs doivent néce$$airement $e $ervir dans les calculs trigonométriques, pour déterminer avec préci$ion des di$tances inacce$$ibles. Cette partie, dont je n’avois point parlé dans l’ancienne édition, $e trouve démontrée avec [0012]_PRÉFACE_. toute la briéveté po$$ible; j’e$pere qu’elle n’en $era pas plus difficile à concevoir. Je pa$$e delà aux regles gé- nérales de la méthode analytique dans la recherche de la vérité. Je montre l’u$age & l’application de tout ce qui précede, $oit en Arithmétique, $oit en Algebre dans cette partie, qui e$t la plus importante des Mathéma- tiques, & quie$t e$$entiellement attachée à cette $cience. Je donne en$uite un grand nombre d’exemples $ur des problêmes, donton peut avoir be$oin dans les différentes opérations militaires, qui $ont du détail d’un Ingénieur. J’ai au$$i ajouté quelques $olutions générales pour ac- coutumer les Commençans à ces expre$$ions indéter- minées & aux idées ab$traites, afin de leur faire mieux $entir l’avantage que l’on peut retirer de l’étude de l’ Al- gebre. Enfin je termine ce Livre par un Traité complet des Equations du $econd degré, dont je n’avois dit que deux mots dans la premiere édition. Dans cette partie je di$cute la nature des racines po$itives & négatives; je fais voir la différence des unes aux autres; les cas où ce $ont les racines négatives qui ré$olvent le problême dans le $ens qu’on s’étoit propo$é: d’où il $uit qu’on ne doit point confondre les racines négatives avec celles qui ne ré$olvent pas le problême comme on le de- mande. Comme dans la $olution des équations du $e- cond degré on arrive quelquefois à des radicaux a$$ez compliqués, j’ai encore ajouté un petit Traité du calcul des Incommen$urables.

Dans le troi$ieme Livre, je commence à traiter de la Géométrie, & j’examine d’abord les différentes po$itions des lignes droites les unes à l’égard des autres; ce qui me conduit à examiner les propriétés des angles & des lignes paralleles. J’ai ajouté dans ce Livre quelques pro- [0013]_PRÉFACE_. blêmes qui m’ont paru néce$$aires pour faire mieux en- tendre ce que j’ai à dire dans les Livres $uivans.

Le quatrieme Livre traite des propriétés des $urfaces en général, & comme il n’y a point de $urfaces qu’on ne pui$$e réduire en triangles, je commence par expli- quer a$$ez au long tout ce qui a rapport aux triangles & aux parallélogrammes. J’ai au$$i ajouté dans cette partie plu$ieurs propo$itions $ur les rapports des trian- gles comparés entr’eux, $oit qu’il s’agi$$e d’une $imple $imilitude, ou d’une égalité parfaite.

Dans le cinquieme Livre, j’examine les propriétés du cercle, principalement par rapport à la me$ure des angles, & delà je déduis celles des $écantes intérieures ou extérieures, & celles des tangentes; j’en fais l’appli- cation $ur quelques problêmes, dont la $olution dépend de ces mêmes propriétés.

Le $ixieme Livre e$t un Traité de l’in$cription & de la circon$cription des figures régulieres au cercle. J’exa- mine en$uite, relativement à cet objet, les propriétés de la quadratrice, dont je donne la con$truction, & par le moyen de laquelle je ré$ous d’une maniere ai$ée les problêmes que l’on peut propo$er $ur la divi$ion des arcs de cercle, ou des différens $ecteurs en plu$ieurs parties égales.

Dans le $eptieme Livre, on applique la doctrine des proportions aux figures planes: on y explique les rap- ports des périmetres des figures $emblables, & celui de leurs $urfaces. On donne en$uite la maniere de les ajou- ter, $ou$traire, multiplier, & divi$er, $uivant une rai$on donnée quelconque; ce que l’on fait par l’invention des lignes proportionnelles à d’autres lignes données de grandeur. J’ai ajouté dans cette partie deux théorêmes [0014]_PRÉFACE_. extrêmement curieux, l’un $ur le rapport de deux trian- gles qui ont un angle égal, compris entre côtés iné- gaux, qui e$t d’un grand u$age dans la Géodé$ie, & l’autre $ur la maniere de trouver l’aire d’un triangle, dont on connoît les trois côtés. La démon$tration que j’en donne e$t une des plus $imples que l’on pui$$e trouver: le lecteur en jugera par la comparai$on avec celles de la même propo$ition qui $e trouvent dans les autres Livres.

Après avoir examiné les principales propriétés des lignes & des $urfaces, je pa$$e, dans le huitieme Livre, à la théorie des $olides ou corps, dont je recherche les propriétés par rapport à leurs $uperficies & à leurs $oli- dités. J’en$eigne la maniere de toi$er, non $eulement les pri$mes, les pyramides, les cônes, les $pheres, mais encore les différentes parties de ces corps. A l’occa$ion de la pyramide tronquée, je donne une méthode gé- nérale pour trouver une $urface plane $emblable à deux autres propo$ées, & moyenne géométrique entre ces deux, $ans être obligé d’extraire de racines quarrées. Je donne en$uite la maniere de trouver des $olides qui aient entr’eux une rai$on donnée, & je fais voir d’où dépend la $olution des problêmes de ce genre, qui ont tous rapport à la duplication du cube. La méthode que j’ai $uivie dans ce Livre e$t entiérement différente de celle qui $e trouve dans les autres Elémens; elle e$t $i $imple, qu’en moins de $eize propo$itions, on voit tout ce qu’Archimede a découvert de plus beau $ur la $phere, & de ma théorie, je lai$$e entrevoir celle de toi$er toutes $ortes de voûtes en plein ceintre, qui auroient pour ba$e des polygones réguliers quelconques.

Ces huit premiers Livres font comme une premiere [0015]_PRÉFACE_. partie du Cours de Mathématique. Afin d’en faire voir l’utilité, on a mis après chaque propo$ition des corol- laires qui en montrent la fécondité & l’on voit avec admiration l’étendue de la Géométrie dont il $uffit de $çavoir les premiers élémens pour découvrir les mêmes vérités qui $emblent $e pré$enter d’elles-mêmes à notre e$prit, pour établir davantage l’utilité & l’importance des premieres, & qui $emblent par-là s’empre$$er de nous dédommager des premiers $oins que nous avons pris pour arriver à la connoi$$ance de ces premieres vé- rités.

Comme les $imples élémens renfermés dans les huit premiers Livres ne $ont pas $uffi$ans pour entendre beau- coup de cho$es intére$$antes, qui $ont traitées dans les $uivans, principalement la théorie du jet des bombes, & le toi$é des voûtes qui demande une connoi$$ance au moins élémentaire des propriétés des $ections coniques, je donne dans le neuvieme Livre un petit Traité, où j’explique les principales propriétés de ces courbes par rapport à leurs axes & à leurs diametres, dont je recher- che les tangentes, & $ur le$quelles je donne quelques problêmes.

Le dixieme Livre qui comprend la Trigonométrie & le nivellement, peut encore être regardé comme un des plus néce$$aires à un Ingénieur, dont tout l’Art dé- pend de ces deux parties; la premiere dans la guerre, & la $econde dans la paix, où il peut être chargé de l’exécution des projets les plus importans, & qui ont ab$olument be$oin de la $cience du nivellement. On en$eigne dans ce Livre l’u$age des Tables des Sinus, Tan- gentes, Sécantes, & de leurs Logarithmes; la théorie du calcul des triangles, que l’on applique en$uite à me- [0016]_PRÉFACE_. $urer les hauteurs & les di$tances inacce$$ibles ou acce$- $ibles; à la maniere de calculer les parties d’une forti- fication, pour la tracer en$uite $ur le terrein. Comme la me$ure des di$tances inacce$$ibles e$t de la derniere importance dans les travaux militaires, je donne des pro- blêmes nouveaux $ur la maniere de les déterminer, par le moyen de certaines lignes connues qui $e trouvent déja déterminées. Ces problêmes, dont la $olution dé- pend des principes précédens, méritent l’attention de ceux que j’ai eu en vue: ain$i ils ne peuvent mieux faire que de les étudier avec $oin.

Le onzieme Livre e$t un Traité du calcul ordinaire des ouvrages de maçonnerie, où j’explique en même tems le toi$é des bois. Cette partie e$t encore néce$$aire aux Ingénieurs, qui $ont quelquefois obligés de faire les devis & détails de tout ce qui doit entrer dans l’exé- cution des ouvrages néce$$aires dans une fortification. On l’a traité d’une maniere $i claire & $i facile, que les Commençans pourront en peu de jours $e rendre fa- miliers ces $ortes de calculs.

Dans le douzieme Livre, on fait une application générale de la Géométrie à la me$ure des $olides régu- liers & irréguliers, qui peuvent $e rencontrer dans la pratique: par exemple, on y en$eigne la maniere de toi$er la $olidité des voûtes en plein ceintre, ou en tiers point; celles des voûtes elliptiques $urbai$$ées, ou $ur- montées $ur des plans circulaires ou rectilignes. J’ai ajouté au$$i dans cet endroit un Traité du Toi$é des $urfaces des voûtes à pans en plein ceintre, & des voûtes en lu- nettes, $ans autre $ecours que les propriétés du cercle. Je donne au$$i le Toi$é du $olide de ces mêmes voûtes. En$uite on applique les mêmes principes à t oi$er les [0017]_PRÉFACE_. revêtemens d’une fortification, par exemple, les oril- lons & les flancs concaves, les arrondi$$emens des con- tre-forts, les pyramides tronquées qui $e trouvent aux angles des mêmes ouvrages, & l’onglet d’un batardeau. Enfin je termine cette partie par l’expo$ition d’un prin- cipe général pour trouver les $urfaces & les $olides en- gendrés par les mouvemens d’une ligne droite ou courbe, & une $urface rectiligne ou curviligne autour d’un axe de révolution, par le moyen du centre de gravité de ces lignes ou $urfaces génératrices. Cette découverte peut être regardée comme une des plus importantes que l’on ait faite en Géométrie. Tout le monde convient que l’on en e$t redevable au P. _Guildin_: en$orte que l’on ap- pelle ce principe communément _la Regle du P. Guildin_.

Le treizieme Livre e$t encore une application des mêmes principes à la Géodé$ie ou divi$ion des champs en parties qui aient entr’elles des rapports déterminés, quelle que $oit la figure du terrein que l’on veut partager, & en commençant la divi$ion par des lignes tirées d’un point donné. Delà je pa$$e à l’explication d’une ma- chine connue de tout le monde, $ous le nom de _compas_ _de proportion_, parce que cet in$trument e$t réellement fondé $ur la nature & les propriétés des proportions. Il peut être d’un grand u$age pour abréger les opérations dans un grand nombre de cas, comme pour trouver des lignes proportionnelles à des lignes données, pour couper des lignes données en parties égales, pour con- noître les degrés d’un arc dont on a la corde, ou bien pour divi$er un angle propo$é en plu$ieurs parties égales, enfin pour trouver des $urfaces ou des $olides qui aient des rai$ons données avec d’autres $urfaces ou d’autres $olides propo$és; ce qui peut avoir une application, [0018]_PRÉFACE_. lor$qu’il faut déterminer le calibre des boulets par leurs pe$anteurs & réciproquement. Je donne en$uite un pro- blême fort curieux $ur la maniere de faire l’analy$e de la fonte de chaque e$pece de métal, dont le canon e$t compo$é: j’ai fait voir par-là comment on pouvoit ap- pliquer à l’Artillerie des que$tions qui lui paroi$$ent étrangeres, comme le problême d’_Hieron_, qui ne differe que de nom de celui-ci. Enfin je termine ce Livre par une di$$ertation, où je recherche la longueur que doivent avoir les boulets relativement à leur calibre, pour que la force du boulet $oit la plus grande qu’il e$t po$$ible; & je rapporte un précis des expériences que j’ai faites depuis par ordre du Roi, pour reconnoître $i cette théorie étoit bien fondée; j’ai au$$i ajouté une for- mule fort curieu$e à ce que j’avois dit dans l’ancienne édition $ur la maniere de nombrer les boulets en pile dans les Arcenaux: $ur quoi l’on pourra remarquer une propriété des nombres triangulaires qui m’a paru mé- riter attention pour la $ommation des nombres quarrés.

Le quatorzieme Livre e$t entiérement de$tiné à ex- pliquer les regles du jet des bombes. Comme cette théorie a un rapport direct avec le mouvement des corps, j’explique d’abord les plus belles découvertes de _Galilée_ $ur les corps qui tombent, en vertu de la pe$an- teur, après avoir expliqué les regles principales du choc des corps durs, parce que cette partie a au$$i un rap- port direct au jet des bombes, où il faut e$timer la force que la bombe acquiert par la vîte$$e que $a chûte lui communique, afin de connoître les effets qu’elle peut produire pour proportionner les ouvrages qui doi- vent être à l’épreuve de la bombe à la force du choc. Je donne au$$i des $olutions géométriques & algébri- [0019]_PRÉFACE_. ques des différens problêmes qui ont rapport au jet des bombes, pour faire voir l’accord de l’analy$e avec la con$truction géométrique, & pour initier les Com- mençans à l’application de l’Algebre à la Géométrie.

Dans le quinzieme Livre, j’explique les principales propriétés des machines, en fai$ant u$age du principe de M. _Varignon_, & quelquefois au$$i de celui de M. _De$_- _cartes_, quoique le premier $oit plus géométrique. Après avoir examiné les machines $imples, qui font l’objet de la méchanique en général, après avoir donné la maniere d’en calculer les forces, on fait voir les diffé- rens u$ages auxquels elles $ont propres, $oit pour les manœuvres de l’Artillerie, ou pour la pratique des Arts. Ces mêmes principes généraux $ont en$uite appliqués à la con$truction des maga$ins à poudre, ou de tout autre édifice, où l’on examine la différence des pou$- $ées des voûtes en plein ceintre, avec celle des voûtes $urbai$$ées, ou des voûtes en tiers point. On détermine en$uite quel e$t le choc des bombes & des boulets de canon qui viennent rencontrer des $urfaces horizontales ou inclinées, & quelle élévation il faut donner à un mortier, pour qu’une bombe venant à tomber $ur un maga$in à poudre, choque la voûte avec toute $a pe$an- teur ab$olue.

Enfin le $eizieme & dernier Livre e$t une $uite du précédent. On y examine l’équilibre des fluides en- tr’eux, ou avec les $olides qui y $ont plongés. Les vîte$$es des eaux qui s’écoulent par différentes ouver- tures; les chocs des mêmes fluides contre des $urfaces en repos ou en mouvement, $elon les vîte$$es, les den- $ités, & la $ituation des corps expo$és au courant. J’y ai ajouté une théorie abrégée du choc d’un fluide contre [0020]_PRÉFACE_. une $urface quelconque, & di$po$ée comme on voudra, en $uppo$ant que les tranches horizontales de ce fluide ont des vîte$$es qui $uivent la rai$on des racines quarrées des hauteurs. Enfin je termine ce Livre par un di$cours $ur la nature & les propriétés de l’air, où l’on fait voir comment la pe$anteur de ce fluide produit tous les ef- fets qu’on attribuoit autrefois à l’horreur du vuide. On peut après cela voir dans notre Architecture Hydrau- lique ce qui a rapport au re$$ort de l’air, & à la force prodigieu$e de $a dilatation, confirmé par plu$ieurs expériences qui $e trouvent détaillées dans le même Ouvrage.

[0021] _TABLE_ DES MATIERES _Contenues dans cet Ouvrage_. LIVRE PREMIER. Introduction à la Géométrie. # Page 1 Définitions des termes dont on fait u$age. # _ibid_. Réduction des quantités algébriques à leurs moindres termes. # 11 Additions des quantités algébriques complexes & incomplexes. # 12 Sou$traction des quantités algébriques incomplexes & complexes. # 13 Multiplication des quantités incomplexes. # 14 Multiplication des quantités complexes. # 15 _PROP. I. THEOR._ Le quarré d’une grandeur quelconque, exprimée par deux # lettres po$itiyes, e$t égal au quarré de chacune de ces lettres, plus à deux # rectangles compris $ous les mêmes lettres. # 19 _PROP. II. THEOR._ Le cube d’une grandeur quelconque, exprimée par deux # lettres, e$t égal au cube de la premiere, plus au cube de la $econde, plus à # trois parallélepipedes du quarré de la premiere par la $econde, plus enfin # à trois autres parallélepipedes du quarré de la $econde par la premiere. # 20 _PROP. III. THEOR._ Si on a une ligne droite divi$ée en deux également dans # un point, & en deux parties inégales dans un autre point, le rectangle des # parties inégales, plus le quarré de la partie moyenne e$t égal au quarré de # la moitié de la ligne. # _ibid._ _PROPOSIT. IV. THEOR._ Si l’on a une ligne droite, divi$ée en deux égale- # ment, & qu’on lui ajoute une autre ligne quelconque; le rectangle de la # $omme de ces deux lignes par la ligne ajoutée, avec le quarré de la demi- # propo$ée, e$t égal au quarré de la ligne égale à la moitié de la propo$ée, # plus la ligne ajoutée. # 21 _PROP. V. THEOR._ Si l’on a deux lignes, dont l’une $oit double de l’autre, le # quarré de la premiere $era quadruple du quarré de la $econde. # 22 De la divi$ion des quantités algébriques incomplexes & complexes. # _ibid._ Définitions des parties aliquotes. # 28 Multiplication des quantités complexes, par le moyen des parties aliquotes. # _ibid. & $uiv._ Traité des fractions numériques & algébriques. # 37 Définitions des fractions, & des parties dont elles $ont compo$ées. # _ibid._ _PROBL. I._ Evaluer une fraction. # 39 _PROBL. II._ Trouver le plus grand commun divi$eur de deux nombres. # 40 _PROBL. III._ Réduire plu$ieurs fractions données au même dénominateur. # 42 De l’addition, $ou$traction, multiplication, & divi$ion des fractions. # 43 & $uiv. [0022]TABLE Des fractions décimales, & des quatre opérations de l’Arithmétique $ur ces # $ortes de fractions. # _Pages 54 & $uiv._ U$ages des fractions décimales. # _63 & $uiv._ Du calcul des expo$ans, de la formation des pui$$ances, & de l’extraction # des racines. # _68 & $uiv._ De la formation des pui$$ances des quantités exponentielles, & de l’extrac- # tion de leurs racines. # 70 De la formation des pui$$ances des polynomes, & de l’extraction de leurs # racines. # 74 De l’extraction de la racine quarrée des quantités algébriques complexes. # 75 De la formation du quarré du nombre quelconque, & de l’extraction de $es # racines. # 78 De la formation du cube d’une quantité complexe, & de l’extraction de la # racine cube des quantités algébriques & numériques. # 91 De la formation algébrique du cube d’un nombre quelconque, & de l’extrac- # tion de $a racine cube. # 95 Reglé génér ale de l’extraction des racines cubiques des quantités numériques. # 97 Maniere d’approcher le plus près qu’il e$t po$$ible de la racine cube d’un # nombre donnè par le moyen des décimales. # 100 LIVRE II,

Qui traite des rapports, proportions, progre$$ions arithmétiques & géo- métriques, des logarithmes, de la ré$olution analytique des problêmes du premier & du $econd degré.

_PROP. I. THEOR._ Si quatre grandeurs $ont en proportion géométrique, le pro- # duit des extrêmes e$t égal à celui des moyens. # 110 _PROP. II. THEOR._ Si quatre grandeurs $ont tellement di$po$ées que le pro- # duit des extrémes $oit égal au produit des moyens, ces quatre grandeurs # $eront en proportion géométrique. # 113 _PROP. III. THEOR._ Si deux rai$ons ont un même rapport à une troi$ieme, # elles $ont égales entr’elles. # 115 _PROP. IV. THEOR._ Lor$que plu$ieurs grandeurs $ont en proportion géométri- # que, la $omme des antécédens e$t à celle des con$équens, comme un $eul # antécédent à $on con$équent. # 116 _PROP. V. THEOR._ Deux grandeurs demeurent toujours dans le même rapport, # quoique l’on leur ajoute, pourvu que les ajoutées $oient proportionnelles. # _ibid._ _PROP. VI. THEOR._ Deux grandeurs gardent toujours le même rapport, quoi- # que l’on en retranche, pourvu que les parties retranchées $oient proportion- # nelles. # 117 _PROP. VII. THEOR._ Si on multiplie les deux termes d’une rai$on par une # même quantité, les produits $ont dans la même rai$on des quantités non # multipliées. # _ibid._ _PROP. VIII. THEOR._ Si on divi$e les deux termes d’un rapport par une même # grandeur, il re$te toujours le même. # _ibid._ _PROP. IX. THEOR._ Si l’on multiplie deux proportions termes par termes, [0023]DES MATIERES. # les produits $eront encore en proportion. # 118 _PROP. X. THEOR._ Dans une proportion continue, le quarré du premier terme # e$t à celui du $econd, comme le premier au troi$ieme. # _ibid._ _PROP. XI. THEOR._ Lor$que quatre grandeurs $ont en proportion arithméti- # que, la $omme des extrêmes e$t égale à celle des moyens. # 119 _PROP. XII. THEOR._ Lor$que quatre grandeurs $ont tellement di$po$ées que # la $omme des extrêmes e$t égale à celle des moyens, elles $ont en propor- # tion arithmétique. # 121 _PROP. XIII. THEOR._ Dans une progre$$ion arithmétique, la $omme de deux # termes également éloignés des extrêmes e$t égale à celle des mêmes ex- # trêmes. # 122 _PROP. XIV. THEOR._ Toute progre$$ion géométrique croi$$ante ou décroi$$ante # peut être repré$entée par la $uite, _a : aq : aq<_>2_, &c. ou _aq<_>3: aq<_>2: aq: a_, &c. # 125 _PROP. XV. THEOR._ Dans une progre$$ion géométrique quelconque, la $omme # des antécédens e$t à celle des con$équens, comme un antécédent à $on con- # $équent. # 127 _PROP. XVI. THEOR._ Dans une progre$$ion géométrique, le produit de deux # termes également éloignés des extrêmes e$t égal à celui des extrêmes. # 128 _PROBL._ In$érer plu$ieurs moyens proportionnels entre deux nombres donnés. # 129 Des logarithmes, de leur nature, & de leurs u$ages. # 130 _PROP. XVII. THEOR._ Dans la $uite des pui$$ances d’une quantité quelconque, # dont les termes forment une progre$$ion géométrique, les expo$ans $ont en # progre$$ion arithmétique. # 131 _PROP. XVIII. THEOR._ L’expo$ant des termes d’une rai$on doublée ou triplée # e$t égal au quarré ou au cube de celui des rai$ons $imples dont elle e$t dou- # blée ou triplée. # 140 Regles générales pour la ré$olution des problêmes, ou application du calcul # algébrique à la maniere de dégager les inconnues. # 141 U$ages de l’Addition & de la Sou$traction, Multiplication & Divi$ion, & # extraction des racines pour dégager les inconnues. # 142 Maniere de $ub$tituer dans une équation la valeur des inconnues. # 146 Maniere de réduire toutes les inconnues à une $eule, lor$qu’on a autant d’é- # quations que d’inconnues. # 148 Application des Regles précédentes à plu$ieurs problêmes curieux & utiles. # 149 & $uiv. De la ré$olution des équations du $econd degré. # 158 Remarque générale & importante $ur la nature des équations du $econd degré. # 161 LIVRE III, Où l’on con$idere les différentes po$itions des lignes droites les unes à l’égard des autres. _PROP. I. PROBL._ D’un point donné hors d’une ligne, mener une perpendicu- # laire à cette ligne. # 180 _PROP. II. PROBL._ D’un point donné $ur une ligne, élever une perpendiculaire # à cette ligne. # _ibid_. [0024]TABLE _PROP. III. PROBL._ Divi$er une ligne donnée en parties égales. # 181 _PROP. IV. THEOR._ D’un même point $ur une ligne donnée, on ne peut élever # qu’une perpendiculaire. # _ibid_. _PROP. V. THEOR._ D’un point donné hors d’une ligne, on ne peut abai$$er à # cette ligne qu’une perpendiculaire. # 182 _PROP. VI. THEOR._ Une perpendiculaire e$t la plus courte de toutes les lignes # que l’on peut mener d’un point à une ligne. # _ibid_. _PROP. VII. THEOR._ Lor$que deux lignes $e coupent, elles forment des angles # oppo$és au $ommet qui $ont égaux. # 183 _PROP. VIII. THEOR._ Si deux lignes paralleles en rencontrent une troi$ieme, # elles font des angles égaux du même côté. # 184 _PROP. IX. THEOR._ Si deux lignes paralleles $ont coupées par une troi$ieme, # les angles alternes internes $ont égaux, les angles internes ou externes # d’un même côté, pris en$emble, valent deux droits. # 185 _PROP. X. THEOR._ Suppo$ant qu’une ligne coupe deux autres lignes, ces der- # nieres $eront paralleles, 1°. $i les angles alternes internes, ou alternes ex- # ternes $ont égaux, 2°. $i les angles internes ou externes d’un même côté, # pris en$emble, valent deux droits. # _ibid_. _PROP. XI. PROBL._ Une ligne quelconque, & un point étant donné $ur le même # plan, mener par ce point une parallele à la propo$ée. # 186 _PROP. XII. PROBL._ Trouver le rayon d’un cercle qui pa$$e par trois points # donnés. # 187 LIVRE IV, Qui traite des propriétés des triangles & des Parallélogrammes. _PROP. I. THEOR._ L’angle extérieur d’un triangle e$t égal aux deux intérieurs # oppo$és, & les trois en$emble valent deux droits. # 189 _PROP. II. THEOR._ Deux triangles $ont parfaitement égaux, lor$que les trois # côtés de l’un $ont égaux aux trois côtés de l’autre. # 191 _PROP. III. THEOR._ Deux triangles $ont égaux en tout, lor$qu’ils ont un angle # égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun. # 192 _PROP. IV. THEOR._ Deux triangles $ont parfaitement égaux, lor$qu’ils ont # deux angles égaux $ur un côté égal. # 193 _PROP. V. THEOR._ Deux parallélogrammes $ont égaux, lor$qu’ayant même # ba$e ils $ont compris entre paralleles. # _ibid_. _PROP. VI. THEOR._ Deux triangles $ont égaux, lor$qu’ayant même ba$e ils # $ont compris entre paralleles. # 194 _PROP. VII. THEOR._ Les complémens des parallélogrammes $ont égaux. # 195 _PROP. VIII. THEOR._ Les parallélogrammes qui ont même ba$e $ont comme leurs # hauteurs. # _ibid_. _PROP. IX. THEOR._ Si l’on coupe les deux côtés d’un triangle par une ligne # parallele à la ba$e, ils $eront coupés en parties proportionnelles. # 197 _PROP. X. THEOR._ Deux triangles $ont $emblables, lor$qu’ils ont tous leurs # côtés proportionnels. # 199 _PROP. XI. THEOR._ Deux triangles $ont $emblables, lor$qu’ils ont un angle # égal compris entre côtés proportionnels. # 200 _PROP. XII. THEOR._ Deux triangles $ont $emblables, lor$qu’ils ont deux angles [0025]DES MATIERES. # égaux chacun à chacun. # _ibid_. _PROP. XIII. THEOR._ Si de l’angle droit d’un triangle rectangle on abai$$e une # perpendiculaire $ur l’hypoténu$e, elle divi$era ce triangle en deux autres # $emblables entr’eux & au propo$é. # 202 _PROP. XIV. THEOR._ Le quarré de l’hypoténu$e e$t égal au quarré des deux # autres côtés. # _ibid_. _PROP. XV. THEOR._ Dans tout triangle obtu$angle, le quarré du côté oppo$é à # l’angle obtus e$t égal au quarré des deux autres côtés, plus à deux rectangles # compris $ous un des côtés, & la partie de ce même côté, compri$e entre $on # prolongement, & la rencontre d’une perpendiculaire abai$$ée de l’angle oppo$é # à ce côté $ur ce même côté. # 205 _PROP. XVI. THEOR._ Dans tout triangle, le quarré d’un côté oppo$é à un angle # aigu, e$t égal à la $omme des quarrés des deux autres côtés, moins deux # rectangles compris $ous le plus grand côté, & la partie de ce grand côté, # compri$e entre l’angle, auquel le premier e$t oppo$é, & la rencontre de ce # grand côté par la perpendiculaire abai$$ée du plus grand angle $ur ce côté. # 207 LIVRE V, Où l’on traite des propriétés du cercle. _PROP. I. THEOR._ Une perpendiculaire abai$$ée du centre d’un cercle $ur une # corde, divi$e cette corde & $on arc en deux parties egales. # 210 _PROP. II. THEOR._ Si une droite pa$$e par le centre, & divi$e une corde en deux # parties égales, elle lui $era perpendiculaire. # 211 _PROP. III. THEOR._ Si une droite e$t perpendiculaire $ur le milieu d’une corde, # elle pa$$e néce$$airement par le centre. # _ibid_. _PROP. IV. THEOR._ Une droite menée du centre au point de contingence e$t per- # pendiculaire à la tangente. # 212 _PROP. V. THEOR._ Un angle à la circonférence a pour me$ure la moitié de l’arc # compris entre $es côtés. # 213 _PROP. VI. THEOR._ Un angle formé par une tangente & par une corde, a pour # me$ure la moitié de l’arc compris entre $es côtés. # 214 _PROP. VII. THEOR._ Un angle qui a $on $ommet au dedans du cercle entre le # centre & la circonférence, a pour me$ure la moitié de l’arc $ur lequel il e$t # appuyé, plus la moitié de l’arc compris entre $es côtés prolongés. # _ibid_. _PROP. VIII. THEOR._ Un angle, dont le $ommet e$t hors de la circonférence, a # pour me$ure la moitié de l’arc concave, moins la moitié de l’arc convexe, # compris entre $es côtés. # 215 _PROP. IX. THEOR._ Si deux droites $e coupent au dedans d’un cercle, les rec- # tangles des $egmens $ont égaux. # 216 _PROP. X. THEOR._ Si d’un point, hors d’un cercle, on mene deux $écantes # terminées à la partie concave de la circonférence, le produit des $écantes # par leurs parties extérieures $ont égaux. # _ibid_. _PROP. XI. THEOR._ Le quarré d’une ordonnée e$t égal au produit de $es ab$- # ci$$es. # 217 _PROP. XII. PROBL._ D’un point donnè, mener une tangente à un cercle $ur le # même plan. # 218 [0026]TABLE _PROP. XIII. THEOR._ Le quarré d’une tangente e$t égal au rectangle d’une $é- # cante entiere par $a partie extérieure. # _219_ _PROP. XIV. THEOR._ Si l’on a une tangente perpendiculaire à l’extrêmité # d’un diametre, & que de l’autre extrêmité du même diametre on mene tant # de lignes que l’on voudra, le quarré du diametre e$t toujours égal au quarre # de chaque ligne par la partie intérieure. # _220_ _PROP. XV. PROBL._ Divi$er une ligne donnée en moyenne & extrême rai$on. # _ibid_. LIVRE VI, Qui traite des Polygones réguliers, in$crits & circon$crits au cercle. _PROP. I. PROBL._ In$crire un héxagone dans un cercle. # _223_ _PROP. II. PROBL._ Décrire un dodécagone dans un cercle. # _224_ _PROP. III. PROBL._ In$crire un décagone dans un cercle. # _225_ _PROP. IV. THEOR._ Une ligne égale à la $omme des côtés d’un héxagone & d’un # décagone in$crits au même cercle, e$t divi$ée en moyenne & extrême rai$on # au point de jonction. # _226_ _PROP. V. THEOR._ Le quarré du côté d’un pentagone régulier in$crit au cercle, # e$t égal à la $omme des quarrés des côtés de l’exagone & du décagone # in$crits au même cercle. # _ibid_. _PROP. VI. PROBL._ In$crire un pentagone dans un cercle. # _227_ _PROP. VII. PROBL._ In$crire un quarré dans un cercle. # _228_ _PROP. VIII. PROBL._ In$crire un octogone dans un cercle. # _ibid_. _PROP. IX. PROBL._ Divi$er un angle quelconque en trois parties égales par le # moyen de la quadratrice. # _231_ _PROP. X. PROBL._ Décrire un ennéagone régulier dans un cercle. # _232_ _PROP. XI. PROBL._ Décrire un eptagone régulier dans un cercle. # _ibid_. _PROP. XII. PROBL._ Décrire un décagone dans un cercle. # _ibid_. _PROP. XIII. PROBL._ Circon$crire un polygone quelconque autour d’un cercle. # _233_ LIVRE VII, Où l’on con$idere les rapports qu’ont entr’eux les circuits des figures $em- blables, & les proportions de leurs $uperficies. _PROP. I. THEOR._ Les circuits des polygones $emblables $ont comme les rayons # des cercles auxquels ils $ont in$crits. # _234_ _PROP. II. THEOR._ La $urface d’un poligone régulier quelconque e$t égale à # celle d’un triangle qui auroit une ba$e égale au contour du poligone, & pour # hauteur une ligne égale à la perpendiculaire abai$$ée du centre de ce poligone # $ur un de $es côtés. # _235_ _PROP. III. THEOR._ La $urface d’un cercle e$t égale à celle d’un triangle qui # auroit pour ba$e la circonférence du cercle, & pour hauteur le rayon du # même cercle. # _236_ _PROP. IV. THEOR._ Les $urfaces des deux polygones $emblables $ont entr’elles # comme les quarré des rayons ou lignes homologues. # _240_ _PROP. V. THEOR._ Les $urfaces des cercles $ont les quarrés de leurs rayons. # _241_ [0027]DES MATIERES _PROP. VI. THEOR._ Deux triangles $emblables $ont entr’eux comme les quarrés # des côtés homologues. # _242_ _PROP. VII. THEOR._ Les parallélogrammes $ont comme les produits des ba$es # par leurs hauteurs. # _243_ _PROP. VIII. THEOR._ Si trois lignes $ont en proportion continue, le quarré de # la premiere e$t au quarré de la $econde, comme la premiere à la troi- # $ieme. # _244_ _PROP. IX. THEOR._ Le rectangle de deux lignes quelconques e$t moyen pro- # portionnel entre les quarrés des mêmes lignes. # _ibid_. _PROP. X. PROBL._ Trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes # données. # _245_ _PROP. XI. PROBL._ Trouver une troi$ieme proportionnelle à deux lignes don- # nées. # _246_ _PROP. XII. PROBL._ Trouver une quatrieme proportionnelle à trois lignes don- # nées. # _248_ _PROP. XIII. PROBL._ Faire un quarré égal à un rectangle. # _ibid_. _PROP. XIV. PROBL._ Trouver un quarré qui $oit à un autre dans une rai$on # donnée. # _249_ _PROP. XV. PROBL._ Trouver le rapport des figures $emblables. # _250_ _PROP. XVI. PROBL._ Sur une ligne donnée, faire un rectangle égal à un # autre. # _ibid_. _PROP. XVII. THEOR._ Deux triangles qui ont un angle égal, $ont entr’eux # comme les produits des côtés qui contiennent l’angle égal. # _252_ _PROP. XVIII. THEOR._ La $urface d’un triangle e$t égale à la racine quarrée # d’un produit de quatre dimen$ions, fait de la demi-$omme des trois côtés, # multipliée par la différence de chacun de ces côtés à la même demi-$omme. # _253_ LIVRE VIII, Qui traite des propriétés des corps, de leurs $urfaces, & de leurs $olidités. _PROP. I. THEOR._ La $urface d’un pri$me droit, $ans y comprendre les ba$es, # e$t égale à celle d’un rectangle qui auroit même hauteur, & pour ba$e une # ligne égale au contour du polygone. # _261_ _PROP. II. THEOR._ La $urface d’une pyramide droite e$t égale à celle d’un # triangle qui auroit pour ba$e une ligne égale à la $omme des côtés, & pour # hauteur la moitié de la perpendiculaire abai$$ée du $ommet de la pyramide # $ur l’un des côtés de la ba$e. # _262_ _PROP. III. THEOR._ Les parallélepipedes & les pri$mes droits $ont comme les # produits de leurs trois dimen$ions. # _263_ _PROP. IV. THEOR._ Toute pyramide e$t le tiers d’un pri$me de même ba$e & # même hauteur. # _264_ _PROP. V. THEOR._ Deux pyramides de même hauteur $ont entr’elles comme # leurs ba$es. # _267_ _PROP. VI. THEOR._ Deux pri$mes $ont égaux, lor$qu’ils ont des ba$es réci- # proques à leurs hauteurs. # _ibid_. _PROP. VII. THEOR._ Une pyramide tronquée quelconque e$t égale à une autre # pyramide de même hauteur, qui auroit une ba$e égale à la $omme des ba$es, [0028]TABLE # inférieure & $upérieure, plus une ba$e moyenne géométrique entre ces deux # ba$es. # _268_ _PROP. VIII. THEOR._ Une demi-$phere e$t les deux tiers du cylindre circon$crit # de même ba$e & de même hauteur. # _271_ _PROP. IX. THEOR._ Les $olidités des $pheres $ont comme les cubes de leurs dia- # metres. # _273_ _PROP. X. THEOR._ La $urface de $a demi-$phere e$t égale à la $urface convexe # du cylindre auquel elle e$t in$crite. # _275_ _PROP. XI. THEOR._ La $olidité d’une zone e$t égale aux deux tiers du cylindre # du grand cercle, plus au tiers du cylindre du plus petit cercle. # _277_ _PROP. XII. THEOR._ Si l’on coupe une demi-$phere in$crite dans un cylindre # par un plan parallele à la ba$e, la $urface de la zone e$t égale à celle du cy- # lindre corre$pondant. # _279_ _PROP. XIII. THEOR._ Si trois lignes $ont en proportion continue, le $olide fait # $ur ces trois lignes, e$t égal au cube de la moyenne. # _280_ _PROP. XIV. THEOR._ Lor$que quatre lignes $ont en progre$$ion geométrique, # le cube fait $ur la premiere, e$t au cube $ur la $econde, comme la premiere # à la quatrieme. # _ibid_. _PROP. XV. PROBL._ Entre deux lignes données, trouver deux moyennes pro- # portionnelles. # _281_ _PROP. XVI. PROBL._ Entre deux nombres donnés, trouver deux moyens pro- # portionnels. # _282_ _PROP. XVII. PROBL._ Faire un cube qui $oit à un autre dans une rai$on don- # née. # _283_ _PROP. XVIII. PROBL._ Faire un cube égal à un parallélepipede propo$é. # _284_ LIVRE IX, Qui traite des Sections coniques. _CHAPITRE PREMIER._ Des propriétés de la Parabole. _PROP. I. THEOR._ Dans la parabole, le quarré d’une ordonnée quelconque e$t # égal au produit de $on ab$ci$$e par le parametre. # _288_ _PROP. II. THEOR._ Les quarrés des ordonnées à l’axe $ont comme leurs ab$- # ci$$es. # _289_ _PROP. III. PROBL._ Par un point donné, mener une tangente à la parabole. # _290_ _PROP. IV. THEOR._ La $ounormale e$t toujours égale à la moitié du para- # metre. # _292_ _PROP. V. THEOR._ La $outangente e$t double de l’ab$ci$$e. # _ibid_. _PROP. VI. THEOR._ Une parallele à une tangente e$t coupée en deux également # par le diametre qui pa$$e par le point touchant. # _293_ _PROP. VII. THEOR._ Le quarré d’une ordonnée à un diametre e$t égal au pro- # duit de $on ab$ci$$e par le parametre de ce diametre. # _295_ _PROP. VIII. THEOR._ Si l’on coupe un cône par un plan parallele à un de $es # côtés, la $ection $era une parabole. # _297_ _PROP. IX. PROBL._ Décrire une parabole, le parametre étant donné. # _298_ [0029]DES MATIERES. _PROP. X. PROBL._ Trouver l’axe d’une parabole donnée. # _ibid_. _PROP. XI. PROBL._ Trouver le parametre d’un diametre quelconque. # _299_ _PROP. XII. PROBL._ Trouver le foyer d’une parabole. # _ibid_. _CHAPITRE II_, Qui traite de l’Ellip$e. _PROP. I. THEOR._ Dans l’ellip$e, le quarré d’une ordonnée à l’axe e$t au rec- # tangle de $es ab$ci$$es, comme le quarré du petit axe au quarré du grand # axe. # _301_ _PROP. II. THEOR._ Si des extrêmités de deux diametres conjugués on mene à # un même axe deux ordonnées, le quarré d’une des ab$ci$$es corre$pondantes, # à partir du centre, e$t égal au rectangle des parties du même axe, faites # par l’autre ordonnée. # _304_ _PROP. III. THEOR._ Le quarré d’une ordonnée à un diametre quelconque e$t # au produit de $es ab$ci$$es, comme le quarré du diametre parallele aux # ordonnées, e$t à celui du diametre des ab$ci$$es. # _305_ _PROP. IV. THEOR._ La $omme des quarrés de deux diametres conjugués e$t # égale à celle des quarrés des deux axes. # _308_ _PROP. V. THEOR._ Si par l’extrêmité de l’axe on mene une tangente qui aille # rencontrer deux diametres conjugués, prolongés autant qu’il $era néce$- # $aire, le rectangle des parties de cette tangente e$t égal au quarré de la # moitié de l’axe qui lui e$t parallele. # _310_ _PROP. VI. THEOR._ Si l’on coupe un cône par un plan oblique à la ba$e, de # maniere que les deux côtés du cône $oient coupés entre le $ommet & la ba$e, # la $ection e$t une ellip$e. # _311_ _PROP. VII. THEOR._ Si l’on coupe un cylindre par un plan oblique à la ba$e, # la $ection $era une ellip$e. # _312_ _PROP. VIII. THEOR._ La $omme des di$tances d’un point de l’ellip$e aux foyers # e$t égale au grand axe de cette courbe. # _ibid_. _PROP. IX. PROBL._ Les deux axes d’une ellip$e étant donnés, la décrire par # un mouvement continu. # _314_ _PROP. X. PROBL._ Trouver le centre & les axes d’une ellip$e donnée. # _315_ _CHAPITRE III_, Qui traite de l’Hyperbole. _PROP. I. THEOR._ Dans l’hyperbole, le quarré d’une ordonnée à l’axe e$t au # rectangle de $es ab$ci$$es, comme le quarré de l’axe parallele aux ordonnées # e$t au quarré de l’axe $ur lequel on prend les ab$ci$$es. # _316_ _PROP. II. THEOR._ Si une droite parallele au $econd axe coupe l’hyperbole en # deux points, le quarré du $econd axe e$t égal au rectangle des parties de # cette ligne, terminée aux a$ymptotes. # _318_ _PROP. III. THEOR._ Si l’on a deux lignes paralleles & terminées aux a$ymp- # totes, les rectangles de leurs parties $ont égaux. # _319_ _PROP. IV. THEOR._ Si par deux points quelconques d’une hyperbole ou de deux # hyperboles oppo$ées, on mene quatre lignes paralleles entr’elles deux à # deux terminées aux a$ymptotes, les rectangles des parties de ces lignes [0030]TABLE # $eront re$pectivement égaux. # _ibid_. _PROP. V. PROBL._ Par un point donné, mener une tangente à une hyper- # bole. # _320_ _PROP. VI. THEOR._ Le quarré d’une ordonnée à un diametre quelconque e$t au # produit de $es ab$ci$$es, comme le quarré du diametre parallele à cette # ordonnée, e$t au quarré du diametre $ur lequel on prend les ab$ci$$es. # _321_ _PROP. VII. THEOR._ Si l’on coupe un cône par un plan parallele à l’axe, la # courbe $era une hyperbole. # _322_ LIVRE X, _Qui traite de la Trigonométrie rectiligne & du Nivellement._ Du calcul des triangles rectangles. _PROP. I. PROBL._ Connoi$$ant dans un triangle rectangle un côté & un angle, # trouver le côté oppo$é à l’angle aigu. # _332_ _PROP. II. PROBL._ Connoi$$ant dans un triangle un angle & un côté, trouver # l’hypoténu$e. # _333_ _PROP. III. PROBL._ Dans un triangle rectangle, dont on connoît un angle & le # côté oppo$é, trouver le côté oppo$é à l’autre angle. # _ibid_. _PROP. IV. PROBL._ Connoi$$ant les deux côtés qui contiennent l’angle droit # dans un triangle rectangle, trouver un des angles de la ba$e. # _334_ _PROP. V. PROBL._ Connoi$$ant dans un triangle rectangle les deux côtés qui # contiennent un angle aigu, trouver la valeur de cet angle. # _ibid_. De la ré$olution des triangles obtu$angles ou acutangles. _PROP. VI. THEOR._ Dans tous triangles, les $inus des angles $ont comme les # côtés oppo$és. # _335_ _PROP. VII. THEOR._ Dans un triangle obtu$angle, le $inus de l’angle obtus e$t # le même que celui de $on $upplément. # _ibid_. _PROP. VIII. PROBL._ Connoi$$ant deux angles & un côté dans un triangle, on # demande les autres côtés. # _336_ _PROP. IX. PROBL._ Connoi$$ant dans un triangle deux côtés & un angle oppo$é # à l’un de ces côtés, trouver les deux autres angles. # _337_ _PROP. X. THEOR._ Dans un triangle quelconque, dont on connoît deux côtés & # l’angle compris entre ces côtés, la $omme des deux côtés connus e$t à leur # différence, comme la tangente de la moitié de la $omme des deux angles in- # connus e$t à la tangente de la moitié de leur différence. # _ibid_. _PROP. XI. PROBL._ Connoi$$ant dans un triangle deux côtés & l’angle compris, # trouver les deux autres angles. # _338_ _PROP. XII. THEOR._ Dans tout triangle, dont on connoît les trois côtés, le # plus grand côté e$t à la $omme des deux autres, comme la différence des # deux mêmes côtés e$t à la différence des $egmens de la ba$e. # _340_ _PROP. XIII. PROBL._ Connoi$$ant les trois côtés d’un triangle, trouver les # $egmens de la ba$e. # _ibid_. _PROP. XIV. PROBL._ Trouver une di$tance inacce$$ible. # _343_ _PROP. XV. PROBL._ Trouver la di$tance de deux objets inacce$$ibles. # _345_ [0031]DES MATIERES. _PROP. XVI. PROBL._ Tirer une ligne parallele à une ligne inacce$$ible. # 347 _PROP. XVII. PROBL._ Me$urer une hauteur acce$$ible ou inacce$$ible. # 348 Problêmes de Trigonométrie applicables à la fortification. _PROBL. I._ Connoi$$ant la longueur d’une ligne, dont on ne peut approcher, # & les angles de deux $tations, dont la di$tance e$t inconnue, trouver les # angles & les lignes de cette figure. # 359 _PROBL. II._ Connoi$$ant une ligne & $es parties avec les angles ob$ervés d’un $eul # point, trouver les di$tances de ce point aux extrêmités de la même ligne. # 360 Théorie & pratique du Nivellement. CHAP. I. Où l’on donne l’u$age du niveau d’eau. # 364 CHAP. II. Où l’on donne la maniere de faire un nivellement compo$é. # 367 CHAP. III. Où l’on donne la maniere de niveler entre deux termes, où # $e trouvent des hauteurs & des fonds. # 369 CHAP. IV. Où l’on donne la maniere de calculer la différence du niveau # vrai au niveau apparent pour une ligne quelconque. # 372 CHAP. V. Où l’on donne la de$cription du niveau de M. Huyghens. # 374 CHAP. VI. Où l’on donne la maniere de $e $ervir du niveau de M. _Huy-_ # _ghens_. # 377 CHAP. VII. Où l’on donne la maniere de $e $ervir du niveau de M. _Huy-_ # _ghens_ dans le nivellement compo$é. # 379 LIVRE XI. Du Toi$é en général, où l’on donne la maniere de faire le toi$é des plans, # des $olides, & de la charpente. CHAP. I. Maniere de multiplier deux dimen$ions, dont l’une contient des # toi$es & des parties de toi$e, & la $econde des toi$es $eulement. # 387 CHAP. II. Maniere de multiplier deux dimen$ions qui contiennent cha- # cune des toi$es, des pieds, des pouces, &c. # 392 CHAP. III. Maniere de multiplier trois dimen$ions exprimées en toi$es, # pieds, pouces, &c. # 397 CHAP. IV. Maniere de toi$er les bois de charpente. # 402 LIVRE XII, Où l’on applique la Géométrie à la me$ure des $uperficies & des $olides. _PROP. I. PROBL._ Me$urer les figures triangulaires. # 409 _PROP. II. PROBL._ Me$urer les quadrilateres quelconques. # 410 _PROP. III. PRO._ Me$urer la $urface des polygones réguliers & irréguliers. # 411 _PROP. IV. PROBL._ Me$urer la $uperficie des cercles & de leurs parties. # 412 _PROP. V. PROBL._ Trouver la $urface d’une ellip$e. # 413 _PROP. VI. PROBL._ Trouver l’aire d’une parabole. # 414 _PROP. VII. PROBL._ Me$urer les $urfaces des pri$mes & des cylindres. # 415 _PROP. VIII. PROBL._ Trouver les $urfaces des pyramides & des cônes. # _ibid._ [0032]TABLE _PROP. IX. PROBL._ Trouver les $urfaces des $pheres, de leurs $egmens, & de # leurs zones. # 416 _PROP. X. PROBL._ Trouver la $olidité des cubes, des parallélepipedes, des # pri$mes, & des cylindres. # 417 _PROP. XI. PROBL._ Cuber les pyramides & les cônes. # 418 _PROP. XII. PROBL._ Trouver la $olidité des pyramides & des cônes tron- # qués. # 419 _PROP. XIII. PROBL._ Trouver la $olidité des $ecteurs de cylindre & de cône # tronqué. # 420 _PROP. XIV. PROBL._ Trouver la $olidité d’une $phere. # 422 _PROP. XV. PROBL._ Cuber un paraboloïde. # 424 _PROP. XVI. PROBL._ Cuber un $phéroïde elliptique. # 425 _PROP. XVII. PROBL._ Cuber un hyperboloïde. # 426 _PROP. XVIII. PROBL._ Trouver la $olidité de la maçonnerie de toutes $ortes # de voûtes. # 427 _PROP. XIX. THEOR_. La $urface d’un pande voûte en plein ceintre e$t double # du triangle corre$pondant de la ba$e. # 432 Application de la Géométrie au toi$é des parties d’une fortification. # 436 _PROP. XX. PROBL_. Maniere de cuber l’onglet d’un bâtardeau. # 442 _PROP. XXI. PROBL_. Connoi$$ant le centre de gravité d’une ligne droite, trou- # ver la valeur de la $urface qu’elle décrira dans $a révolution autour d’un # axe. # 446 _PROP. XXII. PROBL_. Trouver la $urface d’une demi-$phere, connoi$$ant le # centre de gravité de la demi-circonférence du cercle générateur. # 447 _PROP. XXIII. PROBL_. Connoi$$ant le centre de gravité d’un rectangle qui # tourne autour d’un axe, trouver le $olide qu’il décrit dans ce mouve- # ment. # 448 _PROP. XXIV. PROBL_. Connoi$$ant le centre de gravitè d’un triangle i$o$cele # qui tourne autour de $on axe, trouver le $olide du corps qu’il décrira. # 449 _PROP. XXV. PROBL_. Connoi$$ant le centre de gravité d’un cercle, trouver la # $olidité de la $phere engendrée par la révolution de ce cercle, autour de $on # diametre. # 451 LIVRE XIII, Où l’on applique la Géométrie à la divi$ion des champs, & à l’u$age du # compas de proportion. _PROP. I. PROBL_. Divi$er un triangle en autant de parties égales qu’on voudra # par des lignes tirées de l’angle oppo$é à la ba$e. # 454 _PROP. II. PROBL_. Divi$er un triangle en deux parties égales par une ligne tirée # d’un point donné $ur un des côtés du triangle. # _ibid._ _PROP. III. PROBL_. Divi$er un triangle en trois parties égales par des lignes # tirées d’un point pris $ur un de $es côtés. # 455 _PROP. IV. PROBL_. Divi$er un triangle en trois parties égales par des lignes # qui partent des trois angles. # _ibid._ _PROP. V. PROBL_. Divi$er un triangle en deux parties égales par des lignes # tirées d’un point donné à volonté dans la $urface du triangle. # 456 [0033]DES MATIERES. _PROP. VI. PROBL_. Divi$er un triangle en deux parties égales par une ligne # parallele à la ba$e. # _ibid._ _PROP. VII. PROBL_. Divi$er un trapézoïde en deux parties égales par une ligne # parallele à la ba$e. # 457 _PROP. VIII. PROBL_. Divi$er un trapeze en deux parties égales par une ligne # parallele à l’un des côtés. # 458 _PROP. IX. PROBL_. Divi$er un trapézoïde en trois parties égales. # 459 _PROP. X. PROBL_. Divi$er un trapeze en deux parties égales. # _ibid._ _PROP. XI. PROBL_. Divi$er un trapeze en deux parties égales par une ligne # tirée d’un de $es angles. # _ibid._ _PROP. XII. PROBL_. Divi$er un trapézoïde en deux parties égales par une ligne # tirée d’un point pris $ur l’un de $es côtés. # 460 _PROP. XIII. PROBL_. Divi$er un pentagone en trois parties égales par des # lignes tirées d’un de $es angles. # _ibid._ U$ages du compas de proportion. _PROP. XIV. PROBL_. Divi$er une ligne droite en autant de parties égales que # l’on voudra, par le moyen du compas de proportion. # 461 _PROP. XV. PROBL_. Trouver une troi$ieme proportionnelle à deux lignes don- # nées. # 462 _PROP. XVI. PROBL_. Trouver une quatrieme proportionnelle à trois lignes # données. # 463 _PROP. XVII. PROBL_. In$crire un polygone quelconque dans un cercle. # _ibid._ _PROP. XVIII. PROBL_. Décrire un polygone régulier quelconque $ur une ligne # donnée. # 464 _PROP. XIX. PROBL_. Faire un angle de tant de degrés que l’on voudra. # _ibid._ _PROP. XX. PROBL_. Un angle étant donné $ur le papier, en trouver la valeur # par la ligne des cordes. # 465 _PROP. XXI. PROBL_. Connoi$$ant le nombre des degrés d’un arc de cercle, # trouver $on rayon. # _ibid._ _PROP. XXII. PROBL_. Ouvrir le compas de proportion de maniere que les # lignes des cordes fa$$ent tel angle que l’on voudra. # _ibid._ _PROP. XXIII. PROBL_. Le compas de proportion étant ouvert d’une grandeur # quelconque, connoître la valeur de l’angle, formé par la ligne des cor- # des. # 466 _PROP. XXIV. PROBL_. Faire un quarré qui $oit à un autre dans une rai$on # donnée. # _ibid._ _PROP. XXV. PROBL_. Trouver le rapport d’un quarré à un autre. # 467 _PROP. XXVI. PROBL_. Ouvrir le compas de proportion de maniere que les # lignes des plans fa$$ent un angle droit. # _ibid._ _PROP. XXVII. PROBL_. Faire un quarré égal à deux autres donnés. # 468 _PROP. XXVIII. PROBL_. Faire un cube qui $oit à un autre dans une rai$on # donnée. # _ibid._ _PROP. XXIX. PROBL_. Trouver le rapport qui e$t entre deux cubes. # _ibid._ _PROP. XXX. PROBL_. Faire l’analy$e du métal dont on fait les pieces de # canon. # 469 _PROP. XXXI. PRO_. Trouver le calibre des boulets, & des pieces de canon. # 472 [0034]TABLE _PROP. XXXII. PROBL_. Trouver le diametre des cylindres qui $ervent à me- # $urer la poudre. # 473 _PROP. XXXIII. PROBL_. Trouver la longueur des pieces de canon relative- # ment à leur calibre. # 475 _PROP. XXXIV. PROBL_. Trouver le nombre des boulets qui $ont en piles. # 485 LIVRE XIV. Du mouvement des corps, & du jet des bombes. CHAP. I. Du choc des corps. # 493 _PROP. I. THEOR_. Si deux corps égaux en ma$$e $ont mus avec des vîte$$es # inégales, les forces de leur choc $ont comme leurs vîte$$es. # 497 _PROP. II. THEOR_. Si deux corps inégaux & de même matiere $ont pou$$és # avec des vîte$$es égales, les forces de leurs chocs $ont comme leurs ma$$es. # _ibid._ _PROP. III. THEOR_. Si les ma$$es & les vîte$$es de deux corps $ont réciproques, # leurs forces $ont égales. # 499 _PROP. IV. THEOR_. Si deux corps, $ans re$$ort, $e meuvent dans la même di- # rection avec des vîte$$es inégales, & vers un même point, la quantité de # mouvement, après le choc, $era égale à celle qu’ils avoient avant le # choc. # 500 _PROP. V. THEOR_. Si deux corps $e meuvent avec des vîte$$es inégales dans des # $ens directement oppo$és, la quantité de mouvement, après le choc, e$t # égale à la différence des quantités de mouvement avant le choc. # 501 CHAP. II. Du mouvement des corps jettés. # 502 _PROP. I. THEOR_. Si rien ne s’oppo$oit au mouvement des corps, ils $eroient # toujours en mouvement avec la même vîte$$e, & $uivant la même direc- # tion. # 504 _PROP. II. THEOR_. Un corps qui tombe reçoit à chaque in$tant des degrés # égaux de vîte$$e. # 505 _PROP. III. THEOR_. Si deux corps égaux $e meuvent pendant le même tems, l’un # avec une vîte$$e uniformément accélérée, l’autre avec une vîte$$e uniforme, # égale au dernier degré de vîte$$e acqui$e par le premier, l’e$pace parcouru # par le $econd $era double de l’e$pace parcouru par le premier. # 506 _PROP. IV. PROBL_. Un corps e$t tombé perpendiculairement pendant quatre $e- # condes, on demande l’e$pace que la pe$anteur lui a fait parcourir. # 512 _PROP. V. PROBL_. Un corps a parcouru en tombant, par la force de la pe- # $anteur, un certain e$pace; on demande le tems qu’il lui a fallu pour le # parcourir. # 513 _PROP. VI. THEOR_. Si un corps e$t pou$$é à la fois par deux forces motrices, # capables de lui faire parcourir chacune une ligne donnée de grandeur & # de po$ition, par l’effort compo$é de ces deux forces, il parcourra la dia- # gonale du parallélogramme formé $ur les directions de ces forces dans le # même tems qu’il eût décrit l’un des côtés de ce même parallélogramme, # par l’action d’une $eule force. # 514 CHAP. III. Théorie & pratique du jet des bombes; con$truction & u$age # de l’in$trument univer$el. # 518 _PROP. VII. THEOR_. Si un corps e$t pou$$é par une force motrice $uivant une [0035]DES MATIERES. # ligne parallele ou oblique à l’horizon, en vertu de cette force & de celle # de la pe$anteur, il décrit une parabole. # 519 _PROP. VIII. PROBL_. Connoi$$ant la ligne de projection $uppo$ée horizontale, # & la ligne de chûte d’une parabole décrite par un mobile quelconque, trou- # ver de quel hauteur ce mobile doit tomber pour avoir à la fin de $a chûte # une vîte$$e avec laquelle il pui$$e parcourir la même ligne de projection d’un # mouvement uniforme, dans le même tems que la pe$anteur lui fait parcourir # la ligne de chûte. # 521 _PROP. IX. PROBL_. Le parametre d’une parabole décrite par un mobile e$t qua- # druple de la ligne de hauteur. # 523 _PROP. X. PROBL_. Connoi$$ant la ligne de but, l’angle formé par la verti- # cale & la direction du mortier, l’angle formé par la même direction & la # ligne de but, trouver le parametre, la ligne de projection, & la ligne de # chûte. # 525 _PROP. XI. PROBL_. Trouver quelle élévation il faut donner à un mortier pour # jetter une bombe à tel endroit que l’on voudra, pourvu que cet endroit $oit # de niveau avec la batterie. # 526 _PROP. XII. PROBL_. Trouver quelle élévation il faut donner à un mortier # pour cha$$er une bombe à une di$tance donnée, en $uppo$ant que la batterie # n’e$t pas de niveau avec l’endroit où l’on veut jetter la bombe. # 528 _PROP. XIII. PROBL_. La ligne de but, l’angle qu’elle fait avec la verticale, # & la charge du mortier étant donnée, trouver l’angle d’élévation, $ous # lequel il faut pointer le mortier pour qu’elle tombe à un point donné. # 530 _PROP. XIV. PROBL_. Con$truire un in$trument univer$el pour jetter des bom- # bes $ur toutes $ortes de plans. # 532 _PROP. XV. PROBL_. Trouver par l’in$trument univer$el, quelle hauteur il # faut donner à un mortier pour jetter une bombe à une di$tance donnée de # niveau avec la batterie. # 533 _PROP. XVI. PROBL_. Trouver par l’in$trument univer$el quelle élévation il # faut donner à un mortier pour jetter une bombe à une di$tance donnée $ur # un objet qui n’e$t pas de niveau avec la batterie. # 535 _PROP. XVII. THEOR_. Si l’on tire deux bombes avec une même charge $ous # différens angles d’élévation, la portée de la premiere e$t à celle de la $e- # conde, comme le $inus d’un angle double de l’angle d’élévation du mortier # pour la premiere bombe, e$t au $inus d’un angle double de l’élévation pour # la $econde. # 536 _PROP. XVIII. THEOR_. Si l’on tire deux bombes à différens degrés d’éléva- # tion avec une même charge, il y aura même rai$on du $inus de l’angle # double de la premiere élévation au $inus double de la $econde, que de la # portée de la premiere élévation à la portée de la $econde. # 538 _PROP. XIX. PROBL_. Connoi$$ant l’amplitude d’une parabole décrite par une # bombe, connoître la hauteur à laquelle elle s’e$t élevée au de$$us de l’ho- # ri$on. # 539 _PROP. XX. PROBL_. Connoi$$ant où une bombe s’e$t élevée, trouver la force # qu’elle a acqui$e en tombant de cette hauteur d’un mouvement accéléré. # _ibid_. [0036]TABLE LIVRE XV, Qui traite de la méchanique $tatique. CHAP. I. Introduction à la méchanique. # _543_ _PROP. THEOR._ Si un corps e$t pou$$é à la fois par deux pui$$ances repré- # $entées par les côtés d’un quarré, & dirigées $uivant ces mêmes côtés, il # décrira la diagonale du quarré dans le même tems qu’il eût décrit le côté, # s’il n’avoit été pou$$é que par une $eule force. # _546_ CHAP. II. Où l’on fait voir le rapport des pui$$ances qui $outiennent des # poids avec des cordes. # _553_ _PROP. THEOR._ Si deux pui$$ances $outiennent un poids, tendant à $uivre # une direction verticale, ces pui$$ances $ont en équilibre, $i elles $ont en # rai$on réciproque des perpendiculaires abai$$ées d’un point de cette verti- # cale $ur leur direction. # _554_ CHAP. III. Du plan incliné. # _557_ _PROP. THEOR._ Si une pui$$ance $outient un poids, 1°. par une ligne de di- # rection parallele au plan incliné, la pui$$ance e$t au poids, comme $a hau- # teur e$t à $a longueur, 2°. $i la direction de la pui$$ance e$t parallele à la # ba$e du plan incliné, la pui$$ance e$t au poids, comme la hauteur du plan # e$t à la ba$e. # _ibid_. CHAP. IV. _THEOR_. Du levier. # _560_ _PROP. THEOR._ Deux pui$$ances $ont en équilibre $ur un levier, $i elles $ont # en rai$on réciproque des perpendiculaires tirées du point d’appui $ur leurs # directions. # _ibid_. CHAP. V. De la roue dans $on ai$$ieu. # _566_ _PROP. THEOR._ Siune pui$$ance $outient un poids à l’aide d’une roue, & que # la direction de la pui$$ance $oit tangente à la roue, la pui$$ance e$t au poids # comme le rayon du treuil à celui de la roue. # _ibid_. CHAP. VI. De la poulie. # _567_ _PROP. THEOR._ Si une pui$$ance $outient un poids à l’aide d’une poulie, dont # la chape $oit mobile, la pui$$ance e$t égale au poids. 2°. Si la chape e$t # mobile, & $i le poids y e$t attaché de maniere qu’il $oit enlevé par la pui$- # $ance, $uivant des directions paralleles, la pui$$ance $era moitié du # poids. # _568_ CHAP. VII. Du coin. # _570_ _PROP. THEOR._ La force qui cha$$e le coin e$t à la ré$i$tance, comme la moitié # de la tête du coin e$t à la longueur d’un de $es côtés. # _572_ CHAP. VIII. De la vis. # _573_ _PROP. THEOR._ Si une pui$$ance enleve un poids à l’aide d’une vis, la pui$- # $ance $era au poids, comme la hauteur d’un des pas de la vis e$t à la cir- # conférence du cercle que décrira la pui$$ance appliquée au levier, par le # moyen duquel on meut la vis. # _574_ CHAP. IX. Des machines compo$ées. # _575_ Analogie des poulies moufiées. Si une pui$$ance $outient un poids à l’aide de # plu$ieurs poulies mouflées, la pui$$ance e$t au poids comme l’unité au dou- # ble du nombre des poulies mobiles. # _576_ [0037]DES MATIERES. Analogie des roues dentées. La pui$$ance e$t au poids comme le produit des # rayons des pignons e$t au produit des rayons des roues. # _579_ LIVRE XVI, Qui traite de l’Hydro$tatique & de l’Hydraulique. CHAP. I. De l’équilique, & du mouvement des liqueurs. # _602_ _PROP. I. THEOR._ Si on met une liqueur dans un va$e, $a $urface $era de ni- # veau, & toutes $es parties en équilibre. # _605_ _PROP. II. THEOR._ Si on ver$e une liqueur dans un $iphon, elle $e mettra de # niveau dans les deux branches. # _609_ _PROP. III. THEOR._ Si l’on met dans les deux branches du $iphon des liqueurs # de pe$anteurs différentes, les hauteurs de ces liqueurs $eront dans la rai$on # réciproque des pe$anteurs $pécifiques, $i les diametres $ont égaux. # _610_ _PROP. IV. THEOR._ Si un corps e$t d’une den$ité égale, plus petite ou plus # grande, que celle du fluide dans lequel il e$t plongé, 1°. il demeurera en équi- # libre dans tel endroit qu’il $oit plongé; 2°. il $urnagera; 3°. il de$cendra # au fond avec une vîte$$e égale à celle qu’il reçoit des differences des pe- # $anteurs $pécifiques. # _611_ _PROP. V. THEOR._ Si l’on a un va$e plus gros par en bas que par en haut, # rempli d’une liqueur quelconque, cette liqueur aura autant de force pour # $ortir par une ouverture égale à $a ba$e, que $i cette ouverture étoit égale # à celle d’en haut. # _616_ CHAP. II. De la vîte$$e des fluides qui $ortent par des ouvertures faites # aux va$es qui les contiennent. _PROP. I. THEOR._ Si l’on a un tuy au vertical, & rempli d’une liqueur quel- # conque, la vîte$$e de cette liqueur, à l’ouverture de la ba$e, e$t expri- # mée par la racine quarrée de la hauteur. # _619_ _PROP. II. THEOR._ Si le trou n’e$t pas égal à la ba$e, la vîte$$e e$t encore # exprimée par la racine quarrée de la hauteur. # _ibid_. _PROP. III. THEOR._ Trouver la dépen$e d’un jet d’eau pendant une minute par # un ajutage de quatre lignes de diametre, & une hauteur de 40 pieds. # _625_ _PROP. IV. THEOR._ Si un va$e $e dé$emplit par une ouverture plus petite que # la ba$e, les quantités d’eau qui s’écouleront dans des tems égaux, $eront # comme les nombres impairs, pris dans un ordre renver$é. CHAP. III. Du cours des rivieres, & du choc des fluides contre les $ur- # faces des corps qu’elles rencontrent. _PROP. I. THEOR._ Toute riviere ou fleuve qui n’e$t point arrêté dans $on mou- # vement, e$t mu d’une vîte$$e accélérée. # _629_ _PROP. II. THEOR._ Si un fluide choque avec différentes vîte$$es des $ur- # faces égales, expo$ées perpendiculairement à $on courant, les forces du # choc $eront comme les quarrés des vîte$$es. # _633_ _PROP. III. THEOR._ Si deux $urfaces égales $ont expo$ées au même fluide, # l’une perpendiculairement, l’autre obliquement, les forces du choc $eront # comme le quarré du $inus total au quarré de celui de l’angle d’incli- # nai$on. # _635_ _PROP. IV. THEOR._ Si deux $urfaces égales $ont expo$ées, l’une perpendicu- [0038]TABLE # lairement, l’autre obliquement à un fluide, dont toutes les tranches on # des vîte$$es qui croi$$ent comme les racines quarrées des hauteurs, les chocs # $ont comme les cubes du $inus total & du $inus d’inclinai$on. # _538_ _PROP. V. PROBL._ Connoi$$ant la vîte$$e de l’eau, trouver le choc de cette eau # contre une $urface donnée. # _641_ _PROP. VI. THEOR._ Si l’on a un vai$$eau rempli d’eau, toujours entretenu # à la même hauteur, les chocs à la $ortie de deux ajutages égaux $eront dans # la rai$on des hauteurs d’eau au de$$us des ajutages. # _642_ Di$cours $ur la nature & les propriétés de l’air. # _643_ Fin de la Table. [0039] NOUVEAU COURS DE MATHÉMATIQUE, _A L’USAGE_ DES INGÉNIEURS ET OFFICIERS D’ARTILLERIE. LIVRE PREMIER, _Où l’on donne l’Introduction à la Géométrie_. DÉFINITIONS. I.

1. LA Géométrie e$t une $cience qui ne con$idere pas tant la grandeur en elle-même, que le rapport qu’elle peut avoii avec une grandeur de même nature qu’elle.

II.

2. Tout ce qui peut tomber en que$tion, s’appelle _propo$i_- [0040]NOUVEAU COURS _tion_. Il y en a de différentes $ortes, & elles changent de nom $uivant leur objet. Par exemple,

III.

3. _Axiome_ e$t une propo$ition $i claire, qu’elle n’a pas be$oin de démon$tration pour qu’on en voie la vérité. De ces propo$itions $ont les $uivantes. _Le tout e$t plus grand qu’une_ _de $es parties; deux cho$es égales à une même troi$ieme, $ont égales_ _entr’elles; $i à des quantités égales on ajoute des quantités égales_, _les quantités qui en ré$ulteront $eront encore égales, &c_. On fait un grand u$age de ces propo$itions dans la Géométrie, $i $im- ples qu’elles paroi$$ent.

IV.

4. _Théorême_ e$t une propo$ition dont il faut démontrer la vérité.

V.

5. _Problême_ e$t une propo$ition dans laquelle il s’agit d’exé- cuter quelqu’opération, $uivant certaines conditions, & de prouver en$uite que l’on a réellement fait ce qui étoit en que$tion.

VI.

6. _Lemme_ e$t une propo$ition qui en précéde une autre, pour en faciliter l’intelligence & la démon$tration.

VII.

7. _Corollaire_ e$t une propo$ition qui n’e$t qu’une $uite ou une con$équence de la propo$ition précédente. Comme toutes ces propo$itions ont pour objet la grandeur; voici l’idée qu’il faut s’en former.

VIII.

8. On appelle grandeur tout ce qui e$t $u$ceptible d’aug- mentation ou de diminution. On con$idére en Géométrie trois $ortes de grandeurs ou dimen$ions; _longueur_, _largeur_, & _profondeur_.

IX.

9. La longueur con$idérée $ans largeur & $ans profondeur, $e nomme _ligne_.

[0041]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. X.

10. La longueur & la largeur con$idérées en$emble, $ans avoir égard à l’épai$$eur ou profondeur, $e nomme _$urface_. On l’appelle $urface plane, lor$que tous $es points ne $ont pas plus élevés les uns que les autres, comme cela arrive dans les $urfaces plates & unies, telles que $ont celles des glaces ou miroirs.

XI.

11. La longueur, la largeur, & la profondeur con$idérées en$emble, $e nomment _corps_ ou _$olide_. La longueur, la lar- geur, & la profondeur $ont toutes des grandeurs de même nature: on ne leur a donné différens noms que relativement à la maniere dont on les conçoit placées dans les corps.

XII.

12. Le _point_ e$t l’extrêmité d’un _corps_ ou d’une _$urface_, ou bien d’une _ligne_; on le conçoit comme indivi$ible, ou $ans dimen$ion, c’e$t-à-dire qu’on ne lui attribue ni _longueur_, ni _largeur_, ni _profondeur_. Ain$i le point ne peut être l’objet de la Géométrie, qui ne con$idere que l’étendue avec laquelle il n’a aucun rapport.

XIII.

13. La _ligne droite_ e$t la plus courte de toutes celles que l’on peut mener d’un point A à un autre point B, comme A B. D’où il $uit, 1°. qu’il n’y a qu’un $eul chemin qui $oit le plus court d’un point à un autre. 2°. Que deux points $uffi$ent pour déterminer la po$ition d’une ligne droite. 3°. Que $i une ligne droite a deux points communs avec une autre ligne, elle $e confond entiérement avec elle.

XIV.

14. La _ligne courbe_ e$t celle qui n’e$t pas la plus courte d’un point à un autre, comme C D. Il y a donc une infinité de lignes courbes qui peuvent pa$$er par deux points, pui$qu’il y a une infinité de chemins qui ne $ont pas les plus courts.

XV.

15. La _ligne mixte_ e$t celle qui e$t en partie courbe, & en partie droite, comme E F.

[0042]NOUVEAU COURS XVI.

16. Une _ligne perpendiculaire_ e$t une _ligne droite_ C D, qui _Figure 4._ abouti$$ant $ur une autre A B, ne penche pas plus d’un côté que de l’autre.

XVII.

17. Le _Quarré_ e$t une figure rectiligne, formée par quatre _Figure 1_. côtés égaux, qui abouti$$ent perpendiculairement les uns $ur les autres.

XVIII.

18. Le _Rectangle_ e$t un _quadrilatere_, dont tous les côtés ne _Figure 2_. $ont pas égaux entr’eux, mais $eulement deux à deux, & qui abouti$$ent perpendiculairement les uns aux autres.

XIX.

19. Le _Cube_ e$t un corps qui a la figure d’un dez à jouer, _Figure 3_. renfermé par $ix quarrés égaux, & dont toutes les dimen$ions $ont égales entr’elles; cette figure étant la plus $imple de toutes, on y ramene tous les $olides: c’e$t pourquoi lor$qu’on propo$e de trouver la $olidité d’un corps on $e $ert du mot _cuber_, qui $ignifie la même cho$e.

XX.

20. Le _Parallelepipede_ e$t un $olide renfermé par $ix _rectan-_ _gles_, dont les côtés oppo$és $ont égaux, & qui n’a pas $es trois dimen$ions égales.

21. Il y a une maniere de con$idérer les trois e$peces de _Figure 5._ l’étendue, c’e$t-à-dire la _ligne_, la _$urface_, & le _$olide_ ou _corps_, qui e$t très-propre à expliquer beaucoup de cho$es en Géo- métrie; c’e$t d’imaginer la ligne compo$ée d’une infinité de points, la $urface compo$ée d’une infinité de lignes, & le corps compo$é d’une infinité de plans. Pour faire entendre ceci, con$idérez deux points, comme A B éloignés l’un de l’autre d’une di$tance quelconque; $i l’on $uppo$e que le point A $e meut pour aller vers le point B, $ans s’écarter ni à droite ni à gauche, & qu’il lai$$e $ur $on chemin une trace d’autres points, la $omme de tous ces points formera une ligne droite A B, pui$qu’il n’y aura point d’e$pace dans la longueur A B, $i petit qu’il $oit, que le point A n’ait par- [0043]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._ couru. Ain$i toute ligne droite peut être con$iderée, comme formée par une multitude de points, dont la quantité e$t ex- primée par la longueur de la même ligne.

22. L’on concevra de même que le plan e$t compo$é d’une _Figure 2_. infinité de lignes; car $uppo$ant que la ligne A C $e meut le long de la ligne C D, en demeurant toujours également inclinée, il e$t vi$ible que $i elle lai$$e après elle autant de lignes qu’il y a de points dans C D, que lor$qu’elle $era par- venue au point D, toutes les lignes compo$eront en$emble la $urface B C.

23. En$in $i l’on a un plan A B qui $e meuve le long de _Figure 5 & 6_. la ligne B C, & qu’il lai$$e autant de plans après lui qu’il y a de points dans cette ligne, l’on voit que lor$qu’il $era ar- rivé à l’extrêmité C, il aura formé un corps tel que D B qui $era compo$é d’une infinité de plans, dont la $omme $era ex- primée par la ligne B C, pourvu que cette ligne $oit perpen- diculaire au plan générateur.

24. Comme on entend par la génération d’une cho$e les parties qui l’ont formée, il s’en$uit, $elon ce qui vient d’être dit, que le point e$t le générateur de la ligne; la ligne e$t la génératrice de la $urface, & la $urface génératrice du corps; & par con$équent le point peut être lui-même con$idéré com- me le principe générateur de toute $orte de grandeur.

25. Si l’on $uppo$e que la ligne A C $oit de huit pieds, & _Figure 2_. la ligne C D de $ix, & que l’on con$idere ces nombres com- me exprimant la quantité de points qui $e trouve dans ces lignes, l’on verra qu’en multipliant 8 par 6, le produit 48 $era la $urface A D; car cette $urface étant compo$ée d’une infinité de lignes, & chacune de ces lignes étant compo$ée d’une infinité de points, il s’en$uit que la $urface e$t com- po$ée d’une infinité de points, dont la quantité e$t repré- $entée par le produit de tous les points de la ligne C D, par rous les points de la ligne A C, c’e$t-à-dire de $a longueur A C, par $a largeur C D, qui donne 48 pieds, qu’il faut bien $e garder de confondre avec le pied courant; car le pied cou- tant n’e$t qu’une longueur $ans largeur, au lieu que ceux qui $ont formés par le produit de deux dimen$ions, $ont autant de $urfaces quarrées, qui $ervent à me$urer toutes les $u- perficies.

26. Or comme le $olide e$t compo$é d’autant de plans qu’il _Figure 5_. [0044]NOUVEAU COURS y a de points dans la ligne C B, il faut donc multiplier le plan A B par la ligne C B pour avoir le contenu de ce $olide; ain$i $uppo$ant que le plan A B vaut 48 pieds quarrés, & que le nombre des points de la ligne B C $oit exprimé par 4 pieds courans, multipliant 48 par 4, on aura 192 pieds pour la valeur du $olide A C. Il faut encore faire attention que ces pieds $ont différens du pied courant, & du pied quarré, car ce $ont autant de $olides qui ont un pied de long, un de large, & un de haut, qui $ont par con$équent des cubes, pui$qu’ils ont les trois dimen$ions égales: ain$i il faut remar- quer que les lignes me$urent les lignes, les $urfaces me$urent les $urfaces, & les $olides me$urent les $olides; car la rai$on $eule nous démontre que la me$ure doit être de même na- ture que la cho$e, ou la grandeur me$urée.

27. Mais comme il s’agit beaucoup moins ici de chercher la valeur ab$olue des grandeurs, que le rapport qu’elles ont entr’elles, nous nous $ervirons de lettres de l’alphabet pour exprimer les grandeurs, afin de rendre générales les démon$- trations des propo$itions que nous établirons. Pour concevoir la rai$on de cette généralité, on fera attention que la géné- ralité d’un $igne dépend de $on indétermination; car dès-lors qu’une grandeur e$t indéterminée, on peut l’appliquer à telle e$pece de cho$es que l’on voudra. Ain$i, par exemple, le nombre 7 étant indéterminé par rapport à l’e$pece de $es unités, pui$qu’il ne $ignifie pas plus $ept hommes que $ept chevaux, on peut l’employer pour marquer telle e$pece d’u- nités que l’on voudra, d’hommes ou de chevaux, &c. ain$i $on indétermination le rend d’autant plus général, & propre à dé$igner telle $orte d’unité que l’on jugera à propos. Si donc l’in- détermination d’un $igne e$t la plus grande po$$ible, $a gé- néralité $era au$$i la plus grande qu’on pui$$e imaginer. Pour arriver à ce dernier degré de généralité, on remarquera en- core qu’une grandeur ne peut être indéterminée qu’en deux manieres; $çavoir, la premiere par rapport à l’e$pece $eule- ment, & non pas à l’égard du nombre des unités, & la $econde par rapport au nombre & à l’e$pece tout en$emble. De cette premiere cla$$e $ont les $ignes de l’Arithmétique, qui $ont toujours indéterminés par rapport aux différentes $ortes d’unités, & jamais à l’égard du nombre de ces unités; & de la $econde cla$$e $ont les $ignes de l’alphabet ou les lettres, [0045]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. qui ne dé$ignant aucune e$pece en particulier, peuvent être employées pour les dé$igner toutes, & n’étant point fixées pour aucun nombre, peuvent au$$i être employées à les re- pré$enter en général tous. Donc pui$que l’indétermination des lettres e$t la plus grande po$$ible, leur généralité e$t au$$i la plus grande, & par con$équent tout ce qu’on démontre par leur $ecours, e$t démontré généralement. On remar- quera encore que l’on auroit pu prendre tout autre caractere que ceux de l’alphabet, mais ces caracteres étant déja con- nus, il étoit naturel de s’en $ervir, & c’e$t ce qui les a fait préférer à tout autre.

28. Pour exprimer une ligne, on $e $ervira d’une des let- tres de l’alphabet, _a, b, c, d, e_, &c; & pour exprimer un plan, on en mettra deux l’une contre l’autre pour marquer les deux dimen$ions de ce plan; & pour marquer un $olide, on en mettra trois de $uite, parce qu’un $olide quelconque a trois dimen$ions, & de plus, parce que l’on e$t convenu de repré$enter la multiplication de deux grandeurs, en met- tant ces grandeurs les unes auprès des autres. Par exemple, _ab_ repré$ente un plan, dont les deux dimen$ions $ont _a_ & _b_, & $e multiplient l’une par l’autre; de même _b c d_ repré$ente un $olide, dont les trois dimen$ions $ont _b, c, d_, dont le produit a donné ce $olide.

29. Comme dans une même propo$ition on nomme tou- jours les lignes égales par les mêmes lettres, & les lignes inégales par des lettres différentes; dès que l’on verra _a b, c d_, on jugera que ce $ont des rectangles, parce que leurs dimen- $ions $ont inégales, au lieu que _a a_ $ignifie un quarré, parce que les deux dimen$ions $ont égales.

30. De même quand on verra _a a a_, l’on jugera que c’e$t un cube, parce que les trois dimen$ions $ont égales; & quand on verra _a b c_, on jugera que c’e$t un parallelepipede, pui$- que $es trois dimen$ions $ont inégales.

31. Les caracteres de l’alphabet $ont bien plus propres à exprimer les grandeurs que les nombres; car quand je vois le nombre 8, je ne $çais s’il repré$ente une ligne de huit pieds courans, ou un plan de huit pieds quarrés, ou un $olide de huit pieds cubes; car un plan qui auroit quatre pieds de long $ur deux pieds de large, auroit huit pour $a $uperficie; & un $olide qui auroit $es dimen$ions exprimées par une ligne [0046]NOUVEAU COURS de deux pieds, auroit au$$i huit pieds cubes pour $a $olidité Ain$i dans les opérations que l’on fait avec les chiffres, il faut que la mémoire $oit a$$ujettie à retenir ce qu’ils $ignifient, au lieu que celles qui $e font avec les lettres, ne la fatiguent aucunement, pui$que la nature des grandeurs e$t repré$entée par les lettres mêmes; car dés que je vois _a a, b c d_, j’ap- perçois au$$itôt que _a a_ e$t un quarré, & que _b c d_ e$t un $o- lide; au lieu que $i ces grandeurs étoient repré$entées par des nombres, je ne $çaurois ce qu’elles $ignifient.

32. Comme on fait avec les lettres de l’alphabet les opéra- tions que l’on fait avec les nombres, c’e$t-à-dire l’_Addition_, la _Sou$traction_, la _Multiplication_, la _Divi$ion_, & l’_Extraction_ _des racines_, & que de plus on opére $ur les quantités incon- nues, de même que $ur les quantités connues (& c’e$t encore un des grands avantages du calcul algébrique $ur le numéri- que), on e$t convenu de repré$enter les quantités connues par les premieres lettres de l’alphabet _a_, _b_, _c_, _d_, _e_, &c. & les quantités inconnues par les dernieres _u_, _x_, _y_, _z_, afin de les di$tinguer des premieres.

33. L’on $e $ert en Algebre de quelques $ignes pour indi- quer les opérations que l’on fait $ur les lettres: par exemple, ce $igne + $ignifie _plus_, & dé$igne l’addition de la quantité qui le précéde à celle qui le $uit. Ain$i _a_ + _b_ marque que la grandeur _b_ e$t ajoutée à la grandeur _a_; on $e $ert même quel- quefois de ces $ignes dans les calculs numériques, & il y a des occa$ions où il vaut mieux dire 5 + 3 que 8, quoique l’un foit égal à l’autre.

34. Ce $igne - $ignifie _moins_, & dé$igne la $ou$traction de la grandeur qui le $uit de celle qui le précéde. _a_ - _b_, marque la différence de la grandeur _a_ à la grandeur _b_.

35. Si l’on veut marquer le produit d’une grandeur par une autre, ou le faire en deux manieres, 1°. en mettant le multiplicateur à côté du multiplicande, comme nous l’avons déja dit, n°. 28. Ain$i _a b_ repré$ente le produit de _a_ par _b_, _b c d_ repré$ente le produit des trois grandeurs _b_, _c_, _d_, les unes par les autres. 2°. On dé$igne encore la multiplication de deux ou de plu$ieurs grandeurs, en mettant ce $igne x entre deux, ain$i _a_ x _b_ dé$igne le produit de _a_ par _b_, de même _a_ x _b_ x _c_ dé$igne celui des trois grandeurs _a b c_, 2 x 3 x 4 dé$igne celui des trois nombres 2, 3, 4 qui vaut 24. Il e$t même quelque- [0047]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. fois à propos en Arithmétique de $e contenter d’indiquer la multiplication pour reconnoître plus ai$ément les facteurs du produit. On appelle _facteurs_ les nombres ou quantités algébri- ques, de la multiplication de$quels ré$ulte le produit dont il s’agit.

36. Quand on veut marquer qu’une grandeur e$t divi$ée par une autre, on met celle que l’on regarde comme divi- dende au de$$us d’une petite barre horizontale, & celle que l’on regarde comme divi$eur au de$$ous de la même barre. Par exemple, {_ab_/_c_} dé$igne que la grandeur _a b_ e$t divi$ée par la quantité _c_; de même {_bcd_/_gf_} marque le quotient de _b c d_ divi$é par _gf_.

37. Lor$qu’on verra ce $igne = précédé d’une quantité, & $uivi d’une autre, cela voudra dire que ces quantités $ont égales; c’e$t pourquoi on le nomme $igne d’égalité: ain$i _a b_ = _c d_, $ignifie que le produit _a b_ e$t égal au produit _c d_.

38. Les deux quantités algébriques différentes, entre le$- quelles $e trouve le $igne d’égalité, $ont nommées en$emble _Equation_; ain$i _a_ = _b_, _ay_ = _bx_, _cd_ + _xx_ = _bb_, _y_ = {_ab_/_c_} $ont des _équations_.

L’on appelle _membres_ de l’équation, les quantités qui $e trouvent de part & d’autre du $igne d’égalité. Ain$i les quan- tités _a b c_, _d f x_ $ont les _membres_ de l’équation _a b c_ = _d f x_, dont _a b c_ e$t le _premier membre_, & _d f x_ le $econd.

39. Si l’on a un produit qui ré$ulte de la multiplication d’une même lettre plu$ieurs fois par elle-même, comme _a a a_, _a a a b b b_, on peut abréger cette expre$$ion en écrivant cette lettre une $eule fois, & mettant un peu au de$$us, vers la droite, un nombre qui marque combien de fois cette lettre $e multiplie par elle-même, ou, ce qui revient au même, com- bien de fois on auroit dû l’écrire: ain$i au lieu de _a a a_ on écrit _a_<_>3; au lieu de _a a b b_ on écrit _a_<_>2_b_<_>2; au lieu de {_aaabb_/_ccdd_} on écrit {_a_<_>3_b_<_>2/_c_<_>2_d_<_>2}. Ce nombre e$t appellé _expo$ant_.

40. Si un même produit doit être pris un certain nombre de fois, on écrit au devant le nombre qui dé$igne combien de fois il le faut prendre. Ain$i 3_ab_ marque que l’on prend trois fois le produit _a b_, 5_a_<_>3 _b_<_>2 dé$igne que l’on prend cinq fois la [0048]NOUVEAU COURS grandeur _a_<_>3_b_<_>2. Ce nombre e$t appellé _coefficient_; il faut bien $e garder de le confondre avec celui que nous appellons _expo_- _$ant_. _b_<_>3 e$t totalement différent de 3_b_, & ne peut jamais lui être égal. Un exemple en nombre $uffit pour en voir la diffé- rence. Suppo$ons que _b_ = 5, on aura 3_b_ = 3 x 5 = 15, & _b_<_>3 = 5 x 5 x 5 = 125.

41. On $e $ert quelquefois des expo$ans pour marquer le quarré ou le cube d’une ligne dé$ignée dans une figure. A B<_>2 marque le quarré de A B, A B<_>3 marque le cube de la même ligne.

42. Quand une quantité algébrique a été multipliée une fois, deux fois, trois ou quatre fois par elle-même, &c, le pro- duit qui en ré$ulte e$t appellé _pui$$ance_ ou _degré_; ain$i _a_ ou _a_<_>1 e$t nommé premiere pui$$ance ou premier degré de la gran- deur _a_; _aa_ ou _a_<_>2 $econde pui$$ance, ou $econd degré, & $ou- vent le quarré de _a_; de même _aaa_ ou _a_<_>3 e$t le troi$ieme degré, la troi$ieme pui$$ance, & quelquefois le cube de _a;_ enfin _aaaa_ ou _a_<_>4 le quatrieme degré, la quatrieme pui$$ance de _a_, ou bien le quarré-quarré de la même grandeur, pui$qu’il ré$ulte de la multiplication du quarré _a_<_>2 par lui-même. Il en e$t ain$i des autres.

43. Une pui$$ance peut être regardée comme le produit d’une certaine pui$$ance par une autre pui$$ance; ain$i _a_<_>5 e$t le produit de _a_<_>3 par _a_<_>2, ou de la troi$ieme pui$$ance de _a_ par la $econde.

44. Il peut au$$i y avoir des pui$$ances faites du produit de deux ou plu$ieurs lettres multipliées l’une par l’autre; car $i l’on multiplie _a b_ par lui-même une fois, le produit _a a b b_ $era la $econde pui$$ance de la quantité _a b_: de même _a_<_>3_b_<_>3 e$t le cube de la même grandeur.

45. Le nombre ou la grandeur algébrique de la multipli- cation, de laquelle ré$ulte une pui$$ance, e$t appellé _racine_, & il y a autant de racines que de pui$$ances; ain$i _a_ e$t la racine quarrée de _a_<_>2, la racine cube de _a_<_>3, la racine cin- quieme de _a_<_>5, &c; de même _ab_<_>2 e$t la racine cube de _a_<_>3_b_<_>6; _abc_ e$t la racine quatrieme de _a_<_>4_b_<_>4_c_<_>4.

46. Les quantités algébriques $ont appellées _incomplexes_ ou _monomes_, lor$qu’elles ne $ont pas jointes en$emble par les [0049]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. $ignes + & -; ain$i _ab_, _cd_, {_bb_/_a_}, {_ff_/_g_} $ont des quantités _in_- _complexes_ ou _monomes_. Monome $ignifie qui n’e$t compo$é que d’un $eul terme; au contraire lor$qu’elles $ont liées en- $emble par les $ignes + & -, on les appelle _complexes_ ou _polynomes_, c’e$t-à-dire qui ont plu$ieurs termes. Ain$i _b c_ + _a d_, _e f_ + _g h_, _a a b_ - _b c d_, {_aa_ + _cc_/_a_}, _a b_ + _c d_ - _a c_ $ont des quantités _complexes_ ou _polynomes_. Si les quantités algébri- ques n’ont que deux termes, on les appelle quelquefois _bi_- _nomes_, & _trinomes_ lor$qu’elles en ont trois; mais au delà elles retiennent le nom général de _polynomes_; dans le dernier exem- ple, _a b_, _c d_, _a c_ $ont les termes de la quantité complexe _a b_ + _c d_ - _a c_.

47. Lor$qu’une quantité algébrique n’e$t précédée d’aucun $igne, on $uppo$e toujours qu’elle a le $igne +, & alors on l’appelle quantité po$itive, pour la di$tinguer de celles qui $ont précédées du $igne -, & _ab_ que l’on appelle quantités néga- tives: + _a b_ e$t la même cho$e que _a b_, & e$t cen$é po$itif: - _a c_, - _b c_, $ont des quantités négatives.

48. Lor$qu’une quantité n’a point de coefficient, ni d’expo- $ant particulier, on lui $uppo$e toujours l’unité pour coeffi- cient & pour expo$ant. Ain$i _a b_ e$t la même cho$e que 1_a_<_>1_b_<_>1, _a b c_ e$t le même que 1_a_<_>1_b_<_>1_c_<_>1, & ain$i de toutes les autres.

49. Lor$que des quantités incomplexes ou les termes d’une quantité complexe contiennent préci$ément les mêmes let- tres, on les appelle des _quantités $emblables:_ ain$i 3_ab_ & 2_ab_, 5_ac_ & 2_ac_ $ont des quantités $emblables. Il faut bien remarquer que la $imilitude des quantités algébriques ne dé- pend ni des $ignes, ni des coefficiens, comme on le voit par ces exemples, mais $eulement des lettres & du nombre de fois qu’elles $ont écrites. Pour reconnoître plus ai$ément la $imilitude de plu$ieurs termes, on ob$ervera dans les produits de mettre les lettres dans leur ordre naturel ou alphabéti- que; ain$i l’on écrira _a b c_, & non pas _c a b_, ni _b c a_.

PREMIERE REGLE Pour réduire les Quantités algébriques à leurs moindres termes.

50. Quand on a des quantités algébriques complexes, qui renferment des termes $emblables, il faut ajouter les coeffi- [0050]NOUVEAU COURS ciens de ceux qui ont le même $igne, & donner le même $igne à leur $omme, afin de réduire la quantité propo$ée; ain$i 4_ab_ - 2_ac_ + 2_ab_ - 3_ac_ $e réduit à 6_ab_ - 5_ac_, 28_abd_ + 15_acf_ + 8_abd_ + 7_acf_ = 36_abd_ + 22_acf_.

51. Quand les quantités $emblables ont des $ignes diffé- rens, il faut $ou$traire le plus petit coefficient du plus grand, & donner á la différence le $igne du plus grand. Par exem- ple, pour réduire _cd_ + 6_ab_ + 4_aa_ - 4_ab_, on écrira _cd_ + 4_aa_ + 2_ab_ en ôtant 4_ab_ de 6_ab_; de même 2_ab_ + 5_cd_ + 3_ab_ - 7_cd_ $e réduit à 5_ab_ - 2_cd_.

52. Enfin lor$que deux termes $ont égaux, & qu’ils ont des $ignes différens, ils $e rédui$ent à rien; ain$i _a_<_>2_b_ + 2_cd_ - _a_<_>2_b_ = 2_cd_, pui$que - _a_<_>2_b_ $ou$trait de + _a_<_>2_b_ donne o pour différence.

SECONDE REGLE. ADDITION des Quantités algébriques incomplexes & complexes.

53. Pour ajouter en$emble des quantités algébriques, qui ne $ont précédées d’aucuns $ignes, il faut les écrire de $uite, & les lier avec le $igne +: ain$i pour ajouter les quantités _a b_, _a c_, _a d_, on écrira _a b_ + _a c_ + _a d_; de même la $omme des quantités _e f_, _g h_, _m n_ e$t égale à _e f_ + _g h_ + _m n_.

54. Si les quantités que l’on veut ajouter $ont complexes, on les écrira de $uite avec leurs $ignes, & après avoir réduit les termes $emblables, on aura la $omme de ces quantités. Par exemple, pour ajouter 2_aab_ - 3_acd_ avec _acc_ + 5_acd_ - 6_aab_, on écrira 2_aab_ - 3_acd_ + _acc_ + 5_acd_ - 6_aab_, ce qui $e réduit à _acc_ + 2_acd_ - 4_aab_. Pour ajouter 6_add_ + 5_aac_ - 4_abb_ avec 2_aac_ - 2_abb_, l’on écrira 6_add_ + 5_aac_ - 4_abb_ + 2_aac_ - 2_abb_ qui $e réduit à 6_add_ - 6_abb_ + 7_aac_. Enfin pour ajouter _abc_ - _ddc_ - _dcc_ avec _dcc_ - _abc_ + 3_ddc_, on écrira _abc_ - _ddc_ - _ddc_ + _dcc_ - _abc_ + 3_ddc_ qui $e réduit à 2_ddc_. En général dans l’Addition algébrique, $oit des monomes, $oit des polynomes, on écrit les quantités à la $uite les unes des autres avec leurs $ignes, & l’on fait aprés la réduction des quantités $emblables, s’il y en a.

[0051]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. SOUSTRACTION des Quantités algébriques incomplexes & complexes.

55. Pour $ou$traire une quantité algébrique d’une autre, il faut l’écrire à la $uite de celle dont on l’a $ou$trait, en chan- geant les $ignes de cette quantité, c’e$t-à-dire en mettant + où il y a -, & - où il y a +: il faut en$uite faire la ré- duction des quantités $emblables, s’il y en a.

Par exemple, pour $ou$traire _b b_ de _a a_, je l’écris à la $uite de _a a_ avec le $igne -, parce qu’il e$t cen$é avoir le $igne +, & la différence e$t _a a_ - _b b_. De même pour $ou$traire _c_ + _d_ de _a_ + _b_, il faut changer les $ignes de _c_ + _d_, & écrire _a_ + _b_ - _c_ - _d_ qui $era la différence demandée. Pour $ou$traire _b_ - _d_ de _a_ + _c_, on écrira _a_ + _c_ - _b_ + _d_. Pour $ou$traire 2_bb_ - 3_cc_ de _aa_ + _bb_, on écrira _aa_ + _bb_ - 2_bb_ + 3_cc_, & rédui$ant, on aura _aa_ - _bb_ + 3_cc_. Enfin pour $ou$traire _ab_ - _dc_ + _bb_ - 3_aa_ de _aa_ - _dc_ + 3_bc_ - _bb_, on écrira _aa_ - _dc_ + 3_bc_ - _bb_ - _ab_ + _dc_ - _bb_ + 3_aa_, ce qui donne, en rédui- $ant, 4_aa_ + 3_bc_ - 2_bb_ - _ab_, il en $eroit de même des autres.

Eclairci$$ement $ur la Sou$traction littérale.

Il n’e$t pas difficile de concevoir pourquoi on change le $igne +, exprimé ou $ous-entendu en -, car c’e$t en cela préci$ément que con$i$te la Sou$traction ; mais pre$que _Art_. 34. tous les Commençans $ont $urpris de voir qu’il faut changer les $ignes de - en +, cependant cela e$t facile à compren- dre, $i l’on fait attention que pour ôter _b_ - _d_ d’une quan- tité quelconque _a_ + _c_, il ne faut pas ôter _b_ tout $eul, pui$- que ce $eroit trop ôter de toute la quantité _d_, _b_ étant plus grand que _b_ - _d_ de la même quantité _d_; donc pui$que l’on auroit réellement ôté _d_, en écrivant - _b_, il faut le remettre en écrivant + _d_.

Mais comme on entendra mieux ceci par les nombres, $uppo$ons qu’il faille retrancher du nombre 12 la quantité 6 - 2. Selon la regle, il faut écrire 12 - 6 + 2, dont la différence e$t 8; car comme 6 - 2 e$t égale à 4, l’on voit qu’on ne peut retrancher que 4 de 12, & que par con$équent $i au lieu de 4 on en retranche 6, il faut rendre à 12 la quan- [0052]NOUVEAU COURS tité 2 que l’on avoit ôté de trop. Enfin pour expliquer ceci d’une autre façon, $uppo$ons deux per$onnes, dont l’une a cent écus & ne doit rien, & l’autre au contraire n’a rien & doit cent écus, il e$t certain que la premiere e$t plus riche que la $econde de deux cens écus; par con$équent $i l’on retranche - de +, la différence $era +.

MULTIPLICATION des Quantités incomplexes.

56. Pour multiplier deux quantités quelconques incom- plexes l’une par l’autre, il faut avoir égard aux $ignes, aux coefficiens & aux lettres: ain$i la Multiplication renferme trois parties.

1°. Si le multiplicande & le multiplicateur ont le $igne +, on donnera le $igne + au produit, & c’e$t ce que l’on expri- me, en di$ant que + par + donne +.

Si le multiplicande a le $igne +, & le multiplicateur le $igne -, le produit aura le $igne -, & c’e$t ce que l’on ex- prime, en di$ant + par - donne -.

Si le multiplicande a le $igne -, & le multiplicateur le $igne +, le produit aura le $igne -, ou bien - par + donne -.

Enfin $i le multiplicande & le multiplicateur ont le $igne -, le produit aura le $igne +, c’e$t-à-dire que - par - donne +. Regle général, toutes les fois que le multiplicande & le multiplicateur ont le même $igne, le produit e$t po$itif ou précédé du $igne +, & il e$t négatif ou précédé du $igne - toutes les fois que le multiplicande & le multiplicateur $ont des $ignes différens.

2°. Si le multiplicande & le multiplicateur en$emble, ou $éparément, ont des coefficiens différens de l’unité, on les multipliera l’un par l’autre, & le produit $ervira de coefficient au produit que l’on cherche.

3°. Enfin pour multiplier les lettres les unes par les autres, on les po$era de $uite les unes auprès des autres pour indi- quer la multiplication des grandeurs qu’elles dé$ignent; car on a vu (n°. 35.) que cette maniere de les di$po$er a été choi$ie pour la marque de la multiplication. Tout ceci deviendra $en- $ible par des exemples.

Soit propo$é de multiplier la quantité 3_ab_ ou + 3_ab_ par [0053]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. 2_ac_ ou + 2_ac_; je dis par le premier article de la Regle, + par + donne +: pa$$ant en$uite aux coefficiens, je dis, 3 fois 2, font 6; & enfin aux lettres, _ab_ par _ac_ donne _a_<_>2_bc_: on aura donc au produit 6_a_<_>2_bc_ ou + 6_a_<_>2_bc_. De même 4_ac_, multiplié par - 5_ab_<_>2 donne - 20_a_<_>2_b_<_>2_c_; en di$ant + par - donne -, 5 fois 4, font 20, _ac_ par _ab_<_>2 donne _a_<_>2_b_<_>2_c_. De même - 6_a_<_>3_b_<_>2, multiplié par 4_a_<_>2_bc_<_>2, donne - 24_a_<_>5_b_<_>3_c_<_>2: enfin - 8_abc_ par - 5_bcd_, donne + 40_ab_<_>2_c_<_>2_d_.

57. Pour multiplier deux ou plu$ieurs quantités qui ont des expo$ans, & qui $ont compo$ées des mêmes lettres, il faut ajouter les expo$ans des mêmes lettres, & leur $omme $era les expo$ans des lettres du produit: ain$i 3_a_<_>2_b_<_>3 x 5_a_<_>3_b_<_>2 = 15_a_<_>5_b_<_>5. De même _a_<_>2_b_<_>2_c_<_>3, multiplié par _ab_<_>3_c_<_>2, donne _a_<_>3_b_<_>5_c_<_>5; car il e$t évident que _a_<_>2_b_<_>2_c_<_>3 = _aabbccc_, & _ab_<_>3_c_<_>2 = _abbbcc_; donc le pro- duit de ces quantités $e trouvera, en plaçant toutes ces lettres les unes auprès des autres, & $era _aaabbbbbccccc_, ou _a_<_>3_b_<_>5_c_<_>5, en $ub$tituant les expo$ans qui marquent combien de fois cha- que lettre doit être écrite. Ceci e$t $uffi$ant pour la Multipli- cation des quantités incomplexes.

MULTIPLICATION des Quantités complexes.

58. La Multiplication des quantités complexes $e réduit à celle des quantités incomplexes, en ob$ervant de faire au- tant de multiplications particulieres qu’il y a de termes au multiplicande & au multiplicateur, en $uivant préci$ément les mêmes regles pour les $ignes, les coefficiens, & pour les lettres. Si le multiplicateur n’a qu’un terme, il y aura autant de multiplications particulieres par ce terme, qu’il y aura de termes au multiplicande. Lor$qu’on aura trouvé tous les ter- mes du produit, on ob$ervera d’en faire la réduction, s’il s’en trouve de $emblables: par exemple, pour multiplier 2_a_ + _b_ par 3_c_, l’on dira + par + donne +; 2 fois 3 font 6, _a_ par _c_ donne _ac_, le premier terme du produit $era 6_ac_: de même on dira + par + donne +, 3 fois 1 c’e$t 3, _b_ par _c_ donne _bc_, & le $econd terme du produit $era _bc_; les ajoutant en$em- ble, le produit total $era 6_ac_ + 3_bc_. Pour multiplier _a_ - _b_ par _d_, l’on dira + par + donne +; 1 par 1 donne 1, _a_ par _d_ donne _a d_, & le premier terme $era + 1_ad_, ou $implement _ad_: pa$$ant au $econd, on dira - par + donne -; 1 par 1 [0054]NOUVEAU COURS donne 1, _b_ par _d_ donne _bd_, & le $econd terme $era - 1_bd_, ou $implement - _bd_; les ajoutant en$emble, on aura _ab_ - _bd_ pour le produit total.

Si le multiplicateur e$t au$$i complexe, ou compo$é de plu- $ieurs termes, pour établir un certain ordre dans la maniere de faire la multiplication, on met le multiplicande & le mul- tiplicateur l’un au de$$ous de l’autre, on multiplie tous les ter- mes du multiplicande par tous les termes du multiplicateur; ce qui donne autant de produits particuliers qu’il y a de ter- mes au multiplicateur, & dont chacun contient autant de termes qu’il y en a au multiplicande. Ain$i pour multiplier _a_ + _c_ par _a_ + _c_, je mets une de ces quantités $ous l’autre, & commençant à multiplier par la gauche, je dis _a_ par _a_ donne _aa_, _a_ par + _c_ donne + _ac_; multipliant en$uite par le $econd terme _c_ du multiplicateur, je dis + _c_ par _a_ donne + _ac_, & + _c_ par + _c_ donne + _cc;_ additionnant le tout, le produit e$t _aa_ + _ac_ + _ac_ + _cc_; & pour abréger, au lieu d’écrire deux fois la même quantité _ac_, je marque $eulement 2_ac_ , ce qui _Art_. 50. donne _aa_ + 2_ac_ + _cc_.

59. Pour multiplier _a_ - _b_ par _a_ - _b_, je po$e encore une de ces quantités $ous l’autre, & je dis _a_ par _a_ donne _aa_, & puis _a_ par - _b_ donne - _ab_ (car on $ous-entend toujours que _a_ a le $igne +). Multipliant en$uite par la $econde lettre du multiplicateur, je dis - _b_ par _a_ donne - _ab_, & - _b_ par - _b_ donne + _bb_; après avoir fait l’addition je trouve au pro- duit _aa_ - 2_ab_ + _bb_. Tout ceci e$t évident par le premier ar- ticle du n°. 56; ce $eroit toujours la même cho$e pour des opérations plus compliquées, comme on peut le voir dans les exemples qui $uivent.

Multiplicande # 2_a_ + _b_ # _a_ - _b_ Multiplicateur # 3_c_ # _d_ Produit # 6_ac_ + 3_bc_ # _ad_ - _bd_ # # _a_ + _c_ # # _a_ - _b_ # # _a_ + _c_ # # _a_ - _b_ Premier produit # _aa_ + _ac_ # 1<_>er produit # _aa_ - _ab_ Second produit # _ac_ + _cc_ # 2<_>e produit # - _ab_ + _bb_ Produit total. # _aa_ + 2_ac_ + _cc_ # Prod. total. # _aa_ - 2_ab_ + _bb_. [0055]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. Multiplicande # _aa_ + _bb_ - _ad_ - _xx_ Multiplicateur # _aa_ + _bc_ Premier produit # _a_<_>4 + _a_<_>2_b_<_>2 - _a_<_>3_d_ - _a_<_>2_x_<_>2 Second produit # + _a_<_>2_bc_ + _b_<_>3_c_ - _abcd_ - _bcxx_ Prod. total # _a_<_>4 + _a_<_>2_b_<_>2 + _a_<_>2_bc_ - _a_<_>3_d_ + _b_<_>3_c_ - _a_<_>2_x_<_>2 - _abcd_ - _bcx_<_>2 Multiplicande # _a_<_>3 + _a_<_>2_b_ + _ab_<_>2 + _b_<_>3 Multiplicateur # _a_ - _b_ Premier produit # _a_<_>4 + _a_<_>3_b_ + _a_<_>2_b_<_>2 + _ab_<_>3 \\ - _a_<_>3_b_ - _a_<_>2_b_<_>2 - _ab_<_>3 - _b_<_>4 Produit total # _a_<_>4 - _b_<_>4.

Car il e$t vi$ible que tous les termes intermédiaires $e détrui- $ent par la réduction, pui$qu’ils ont des $ignes différens, & qu’ils $ont $emblables avec les mêmes coefficiens.

DÉMONSTRATION DES REGLES De la Multiplication des quantités complexes ou incomplexes données au n°. 57.

Il n’e$t pas difficile de concevoir pourquoi + multiplié par + donne +; mais on n’apperçoit pas avec la même facilité pourquoi + multiplié par -, ou - par + donne -, & l’on conçoit encore moins comment - multiplié par - donne +; c’e$t pourquoi nous nous arrêterons principalement à expli- quer ces derniers cas.

La rai$on du premier cas e$t, que multipliant par exemple _a_ - _b_ par _d_, l’on ne peut multiplier _a_ par _d_ $ans que le pro- duit _a d_ ne $oit plus grand qu’il n’étoit, parce que _a_ e$t plus grand que _a_ - _b_, & par con$équent pour ôter ce qu’il y a de trop dans le produit _a d_, il faut multiplier _b_ par _d_, & ôter le produit _b d_ de _a d_ pour avoir _a d_ - _b d_; ce qui fait voir que + par - doit donner -.

Et pour le faire voir en nombres, multiplions 15 - 5 par 6: or comme 15 - 5 e$t égal à 10, c’e$t proprement 10 qu’il faut multiplier par 6, & non pas 15 entiers, à moins que $elon la regle on ne multiplie au$$i 5 par 6 pour en ôter le produit [0056]NOUVEAU COURS 30 de 90, produit de 15 par 6; ce qui donne 60, de même qu’on l’auroit eu en multipliant 10 par 6.

A l’égard du dernier cas, il paroît bien étrange que - par - donne +; mais ce qui fait qu’on met +, c’e$t que les deux termes, qui $ont précédés du $igne -, donnant deux multiplications négatives, par le$quelles on ôte plus qu’il ne faut, l’on e$t obligé de mettre + au produit des deux termes qui ont le $igne -, pour remplacer ce que l’on avoit ôté de trop. Par exemple, pour multiplier _a_ - _b_ par _a_ - _b_, je vois, aprés avoir fait la regle, que du produit _aa_ il faut retrancher - 2_ab_, & que retranchant plus qu’il ne faut de la quantité _bb_, il faut rendre cette même quantité en la mettant avec le $igne +; ce qui remet toutes cho$es dans l’état où elles doivent être.

Comme cette regle e$t ab$olument indi$pen$able pour la pratique des opérations algébriques, on ne $çauroit trop $e convaincre de $a vérité & de la certitude des principes $ur le$- quels elle e$t appuyée. Pour cela, il $uffit de faire attention à la nature de la multiplication. En général, multiplier un nombre par un autre, c’e$t prendre le premier autant de fois qu’il e$t marqué par l’autre, & de la même maniere qu’il e$t marqué par l’autre. On $çait que l’on appelle multiplicande celui que l’on doit prendre plu$ieurs fois, & multiplicateur celui qui marque combien de fois on doit prendre le premier.

Les unités du multiplicateur marquent combien de fois il faut répéter le multiplicande, & le $igne du même multi- plicateur dé$igne de quelle maniere il faut prendre le même multiplicande. Si donc le multiplicateur a le $igne +, la multiplication $e fait par addition, & $i au contraire il a le $igne -, elle $e fait par $ou$traction, & le produit ré$ulte d’une $ou$traction répétée plu$ieurs fois. Il faut encore con- cevoir comment la multiplication $e fait par $ou$traction: pour cela on fera attention que les quantités négatives ne $ont pas moins réelles que les quantités po$itives; mais elles leurs $ont $eulement oppo$ées: on peut donc les multiplier comme les autres. Ain$i $i l’on regarde le bien que l’on po$$ede comme quelque cho$e de po$itif, les dettes que l’on fait, $eront des grandeurs négatives, & l’on $çait a$$ez par expérience qu’elles peuvent $e multiplier, ain$i que les biens, quoique bien plus facilement. Un homme qui accumule $es dettes, [0057]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. multiplie par moins, & c’e$t ain$i qu’il faut entendre toutes ces expre$$ions. Tout cela po$é, + _a_ x - _b_ doit donner - _ab_; car le multiplicande ayant le $igne +, & le multiplicateur le $igne -, indique qu’il faut $ou$traire _a_ autant de fois qu’il e$t marqué par _b_. De même - _a_ x + _b_ doit donner - _ab_; car le multiplicateur _b_ étant po$itif, indique qu’il faut répéter plu$ieurs fois la quantité négative - _a_. Le ré$ultat de toutes ces quantités négatives égales ne pourra jamais donner que du négatif: ain$i - _a_ x + _b_ donne - _ab:_ enfin - _a_ x - _b_ doit donner + _ab_; car le multiplicande ayant le $igne - e$t négatif, & le multiplicateur ayant au$$i le même $igne, fait voir que la multiplication $e fait par $ou$traction, c’e$t-à-dire qu’il faut $ou$traire la quantité négative - _a_ autant de fois qu’il e$t marqué par les unités de _b_, & par con$équent c’e$t mettre _a_ autant de fois po$itif, par la même rai$on que pour $ou$- traire une quantité négative une fois, il faut la mettre une fois po$itive. Enfin cette derniere partie de la regle des $ignes répond parfaitement à ce que l’on dit ordinairement d’un homme qui acquitte $es dettes.

Les deux dernieres parties de la regle n’ont pas be$oin de démon$tration; car il e$t évident que pui$que les coefficiens $ont des nombres, ils doivent $e multiplier comme des nom- bres, & la maniere dont on indique la multiplication des let- tres e$t de pure convention: ain$i elle ne peut être conte$tée.

AVERTISSEMENT.

Pour donner une idée de la facilité que l’on a de démon- trer les propo$itions de Géométrie par le moyen du calcul algébrique, j’ai cru qu’il étoit à propos, avant d’aller plus loin, de faire une application de la multiplication à la dé- mon$tration des propo$itions $uivantes.

PROPOSITION I. THÉOREME.

60. Le quarré d’une grandeur quelconque, exprimée par deux lettres po$itives, e$t égale au quarré de chacune de ces lettres, plus à deux rectangles compris $ous les mêmes lettres.

Car $i l’on multiplie _a_ + _b_ par _a_ + _b_, l’on aura au produit [0058]NOUVEAU COURS _aa_ + 2_ab_ + _bb_, qui e$t compo$é des quarrés _a a_ & _b b_, & de deux rectangles compris $ous les mêmes lettres _a_ & _b_, qui $ont 2_ab_.

PROPOSITION II THÉOREME.

61. Le cube d’une grandeur quelconque exprimée par deux let- tres, e$t égal au cube de la premiere, plus au cube de la $econde, plus à trois parallelepipedes du quarré de la premiere par la $e- conde, plus enfin à trois autres parallelepipedes du quarré de la $econde par la premiere.

Car le quarré de _a_ + _b_ étant (n°. 60.) _aa_ + 2_ab_ + _bb_, $i on le multiplie encore par _a_ + _b_, l’on aura le cube _a_<_>3 + 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3, qui renferme _a_<_>3 & _b_<_>3, cubes des deux lettres _a_ & _b_, plus trois parallelepipedes 3_a_<_>2_b_ du quarré _aa_ par _b_; plus enfin trois autres parallelepipedes du quarré _bb_ par _a_, 3_abb_.

Nous nous $ervirons de ceci dans la $uite pour démontrer les opérations de la racine quarrée & cubique.

Racine # _a_ + _b_ par # _a_ + _b_ # _aa_ + _ab_ # _ab_ + _bb_ Quarré # _aa_ + 2_ab_ + _bb_ Quarré # _aa_ + 2_ab_ + _bb_ par # _a_ + _b_ # _a_<_>3 + 2_a_<_>2_b_ + _ab_<_>2 # + _a_<_>2_b_ + 2_ab_<_>2 + _b_<_>3 Cube # _a_<_>3 + 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3 PROPOSITION II THÉOREME.

_62_. Si l’on a une ligne _A B_ divi$ée en deux également au _Figure 7_. point _C_, & en deux inégalement au point _D_, je dis que le rec- tangle _A D_ x _D B_, compris $ous les parties inégales _A D_ & _D B_, plus le quarré de la moyenne partie _C D_, e$t égal au quarré de la moitié de la ligne, c’e$t-à-dire à

    _A C_
<_>2 ou
    _C B_
<_>2.

Nous nommerons A C ou C B _a_, C D _x_, ain$i D B $era _a_ - _x_, & A D _a_ + _x_.

DÉMONSTRATION.

Si l’on ajoute à A D x D B (_aa_ - _xx_) le quarré de C D [0059]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. (_xx_), l’on pourra former cette équation A D x D B + C D<_>2 (_aa_ - _xx_ + _xx_) = A C<_>2 (_aa_), pui$qu’en effaçant ce qui $e détruit dans le premier membre, on auroit _aa_ = _aa_; ce qu’il falloit démontrer.

COROLLAIRE.

63. Il $uit de cette propo$ition, que $i une ligne e$t coupée en deux également en C, & en deux inégalement en D, le quarré A C<_>2 de la moitié de la ligne, moins le quarré C D<_>2 de la moyenne partie C D, e$t égal au rectangle A D x D B, compris $ous les parties inégales A D, D B; ce qui e$t évident, pui$que A C<_>2 - C D<_>2 (_aa_ - _xx_) = A D x D B (_aa_ - _xx_).

PROPOSITION IV. THÉOREME.

_64_. Si l’on a une ligne droite _A B_ divi$ée en deux également _Figure 7_. en _C_, & qu’on lui ajoute une droite _B E_, je dis que le rectangle de la droite _A E_, $omme de ces deux lignes par la droite _B E_ que l’on a ajoutée, avec le quarré de la moyenne _C B_, $era égal au quarré de la ligne _C E_, compo$ée de la moitié _C B_, & de l’ ajoutée _B E_.

Nous nommerons A C ou C B _a_, C E _x_, ain$i B E $era _x_ - _a_, & A E _x_ + _a_.

DÉMONSTRATION.

Il e$t évident que $i l’on ajoute au rectangle de A E x B E (_xx_ - _aa_) le quarré de C B (_aa_), l’on pourra former cette équation A E x B E +

    C B
<_>2 (_xx_ - _aa_ + _aa_) = C E<_>2 (_xx_), pui$qu’en effaçant tout ce qui $e détruit, il vient _xx_ = _xx_; C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

65. Il $uit de cette propo$ition, que $i à une ligne divi$ée en deux également l’on en ajoute une autre, le quarré de la ligne C E, compo$é de la moitié de la ligne & de l’ajoutée, moins le quarré de la moyenne C B, $era égal au rectangle compris $ous toute la ligne A E, & la partie ajoutée B E; ce qui e$t évident, pui$que C E<_>2 - C B<_>2 = A E x B E (_xx_ - _aa_).

[0060]NOUVEAU COURS PROPOSITION V.

66. Si l’on a deux lignes, dont la premiere $oit double de la $econde, je dis que le quarré de la premiere $era quadruple du quarré de la $econde.

DÉMONSTRATION.

Si de ces deux lignes la $econde $e nomme _a_, la premiere $era 2_a_: or multipliant 2_a_ par 2_a_, l’on aura 4_aa_ pour le quarré de la premiere; & $i l’on multiplie _a_ par lui-même, l’on aura _aa_ pour le quarré de la $econde, & par con$équent le quarré de la premiere e$t quadruple du quarré de la $econde.

De la Divi$ion des Quantités algébriques incomplexes & complexes.

67. Pour divi$er une quantité algébrique par une autre, on met celle que l’on doit divi$er au de$$us d’une barre ho- rizontale, & celle par laquelle on divi$e au de$$ous de la même barre (n°. 38.), en ob$ervant d’effacer les lettres communes au dividende & au divi$eur, s’il y en a quelques-unes, & ce qui re$te marque le quotient. Ain$i pour divi$er _a_ par _b_, j’écris {_a_/_b_}, ce qui $igni$ie _a_ divi$é par _b_; pour divi$er _a b c_ par _fg_, j’é- cris {_abc_/_fg_}; pour divi$er _ab_<_>2_c_<_>3 par _abc_<_>2, ou _abbccc_ par _abcc_, j’écris {_aabbccc_/_abcc_}, ce qui $e réduit à _abc_, en effaçant les lettres com- munes au dividende & au divi$eur. Si l’on multiplie le quo- tient _abc_ par le divi$eur _abcc_, l’on aura _a_<_>2_b_<_>2_c_<_>3; ce qui prouve que la Divi$ion e$t bien faite, pui$que le produit du divi$eur par le quotient e$t égal au dividende.

68. Si le dividende & le divi$eur $ont chacun précédés de coefficiens, il faudra les divi$er l’un par l’autre, $elon les regles de la divi$ion des nombres, & le quotient $era le coefficient du quotient. Ain$i 21_ab_<_>2 divi$é par 7_ab_ = 3_b_; {28_abc_<_>3/4_a_<_>2_bc_} = {7_c_<_>2/_a_}; {36_a_<_>2_b_<_>4/9_a_<_>3_bc_<_>2} = {4_b_<_>3/_ac_<_>2}. L’on peut remarquer que lor$que le dividende & le divi$eur ont chacun des lettres $emblables avec des ex- po$ans, la divi$ion de ces lettres $e fait par la $ou$traction des expo$ans: ain$i {_a_<_>3/_a_<_>2} = _a_ = _a_<_>3-2{_a_<_>5_b_<_>4/_a_<_>2_b_<_>3} = _a_<_>3_b_ = _a_<_>5 - 2 _b_<_>4 - 3, [0061]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._ {36_ac_<_>2_f_<_>3/4_a_<_>3_cf_<_>2} = {9_c_<_>2 - 1_f_<_>3 - 2/_a_<_>3 - 1} = {9_cf_/_a_<_>2}, & ain$i des autres.

69. A l’égard des $ignes, $i le dividende & le divi$eur ont chacun le même $igne + ou -, il faut que le quotient ait le $igne +: la rai$on en e$t, qu’une quantité négative e$t con- tenue dans une quantité négative, de la même maniere qu’une quantité po$itive e$t contenue dans une quantité po$itive. Mais s’ils avoient différens $ignes, le quotient auroit le $igne -, parce que les quantités po$itives & négatives étant des quan- tités oppo$ées les unes aux autres, $e contiennent négative- ment, & par con$équent le quotient doit avoir le $igne -. Par exemple, + _a_<_>2 _b_ divi$é par + _a_ = + _ab_; de même - _ab_ divi$é par - _b_ donne + _a_; ce qui $e peut encore dé- montrer par la preuve de la Divi$ion, par laquelle le pro- duit du divi$eur par le quotient doit redonner le dividende. Multipliant donc le quotient + _a_ par le divi$eur - _b_, on aura - _ab_, pui$que - par + donne - (n°. 57). Si l’on divi$e + _ab_ par - _a_, le quotient $era - _b_; car multipliant le quo- tient - _b_ par le divi$eur - _a_, on aura + _ab_, pui$que - par - donne + (n°. 57). Enfin $i l’on divi$e - _ab_ par + _a_, le quotient $era - _b_; car multipliant le quotient - _b_ par le divi- $eur + _a_, on aura - _ab_, pui$que - par + donne -.

70. Si le dividende e$t complexe, & le divi$eur toujours incomplexe, on fera $ur chaque terme les mêmes opérations que nous venons d’expliquer, & la $omme des quotiens par- ticuliers $era le quotient total. Ain$i pour divi$er _ab_ + _ad_ par _a_, je dis _ab_ divi$é par _a_ donne _b_, que j’écris au quotient. Je dis en$uite _ab_ divi$é par _a_ donne _d_ au quotient, qui étant ajouté au premier _b_, donne pour le quotient total _b_ + _d_; ce qui e$t encore évident, pui$qu’en multipliant le quotient _b_ + _d_ par le divi$eur _a_, on aura _ab_ + _ad_ égal au dividende.

71. Quand le dividende & le divi$eur $ont chacun des quantités algébriques complexes, on $uit à peu près le même procédé que dans la divi$ion des nombres. Par exemple, pour divi$er _aa_ + 2_ab_ + _bb_ par _a_ + _b_, je po$e les premiers termes du divi$eur $ous les premiers termes du dividende, & je com- mence par chercher combien de fois le premier terme _a_ du divi$eur e$t contenu dans le premier terme _a_<_>2 du dividende, en di$ant, en _a_<_>2 combien de fois _a_, ou _a_<_>2 divi$é par _a_ donne _a_ au quotient: je multiplie le divi$eur entier _a_ + _b_ par _a_, & [0062]NOUVEAU COURS je retranche le produit _aa_ + _ab_ du dividende ; ce que je fais _Art. 55_. en l’écrivant à la $uite de cette même quantité avec des $ignes contraires, & j’ai _aa_ + 2_ab_ + _bb_ - _aa_ - _ab;_ ce qui $e réduit à _ab_ + _bb_. Je fais $ur le re$te la même opération, en di$ant _ab_ divi$é par _a_, donne _b_ au quotient, que je mets à côté du premier terme que j’ai déja trouvé: je multiplie pa- reillement le divi$eur entier _a_ + _b_ par _b_, ce qui me donne pour produit _ab_ + _bb_, qu’il faut encore retrancher du re$te _ab_ + _bb_, ce que je fais en le mettant à la $uite de cette quan- tité avec des $ignes contraires: j’ai donc _ab_ + _bb_ - _ab_ - _bb_, ce qui $e réduit à zero par la regle de la réduction des quan- tités $emblables, d’où je conclus que le quotient e$t _a_ + _b_, pui$qu’il ne re$te rien.

72. Pour divi$er _a_<_>2 - 2_ab_ + _bb_ par _a_ - _b_, je dis comme ci-de$$us, _a_<_>2 divi$é par _a_ donne _a_ au quotient: je multiplie le diyi$eur entier _a_ - _b_ par le quotient _a_, dont le produit e$t _aa_ - _ab_, que je retranche du dividende, en le mettant après avec des $ignes contraires pour avoir le re$te _aa_ - 2_ab_ + _bb_ - _aa_ + _ab_, ce qui $e réduit à - _ab_ + _bb_. Je fais $ur le re$te la même opération, & je dis - _ab_ divi$é par _a_, donne - _b_, que j’écris à la $uite du premier terme du quotient: je mul- tiplie le divi$eur _a_ - _b_ par - _b_, & j’ôte le produit - _ab_ + _bb_ du re$te qui m’a $ervi de dividende pour avoir - _ab_ + _bb_ + _ab_ - _bb_, qui $e réduit à zero par la réduction des quan- tités $emblables, d’où je conclus encore que _a_ - _b_ e$t le quo- tient.

73. Pour divi$er _aa_ - _bb_ par _a_ + _b_, je dis _aa_ divi$é par _a_ donne _a_, qui étant multiplié par le divi$eur, donne pour pro- duit _aa_ + _ab;_ le retranchant du dividende, il re$te _aa_ - _bb_ - _aa_ - _ab;_ qui étant réduit, donne - _bb_ - _ab_, ou - _ab_ - _bb_, que je divi$e encore par _a_ + _b_, en di$ant - _ab_ divi$é par + _a_ donne - _b_. Multipliant le divi$eur par - _b_, il vient - _ab_ - _bb_, qui étant retranché du dividende partiel, donne - _ab_ - _bb_ + _ab_ + _bb_ ou zero, en effaçant ce qui $e dé- truit; d’où il $uit quele quotient e$t _a_ - _b_, ce qui e$t évident, pui$qu’en multipliant ce quotient par le divi$eur, on retrouve le dividende.

[0063]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._ EXEMPLES DE DIVISION.

1<_>er {Dividende _aa_ + 2_ab_ + _bb_/Divi$eur _a_ + _b_} {Quotient total _a_ + _b_.

Produit _aa_ + _ab_ (_a_, premier quotient.

Sou$traction _aa_ + 2_ab_ + _bb_ - _aa_ - _ab_.

{Réduction ou nou- \\ veau dividende { _ab_ + _bb_/Divi$eur _a_ + _b_} (_b_, $econd quotient.

Produit _ab_ + _bb_

Sou$traction _ab_ + _bb_ - _ab_ - _bb_ = o.

2<_>e Dividende _aa_ - 2_ab_ + _bb_ (_a_ - _b_, quotient total.

Divi$eur _a_ - _b_

Produit _aa_ - _ab_

Sou$traction _aa_ - 2_ab_ + _bb_ - _aa_ + _ab_ (_a_, I<_>er quot.

{Réduction ou nou- \\ veau dividende { - _ab_ + _bb_/Divi$eur _a_ - _b_} (- _b_, $econd quotient.

Produit - _ab_ - _bb_

Sou$traction - _ab_ + _bb_ + _ab_ + _bb_ = o.

3<_>e {Dividende _aa_ - _bb_ (quotient total (_a_ - _b_)/Divi$eur _a_ + _b_ (_a_, premier quotient.}

Produit _aa_ + _bb_

Sou$traction _aa_ - _bb_ - _aa_ - _ab_

Réduction ou nouveau dividende. {- _ab_ - _bb_

Divi$eur _a_ + _b_ (- _b_, $econd quotient.

Produit - _ab_ - _bb_

Sou$traction - _ab_ - _bb_ + _ab_ + _bb_ = o.

4<_>e {Dividende _a_<_>4 x x x - _b_<_>4 (quot. total _a_<_>3 + _a_<_>2_b_ + _ab_<_>2 + _b_<_>3/Divi$eur _a_ - _b_ (premier quotient _a_<_>3}

Produit _a_<_>4 - _a_<_>3_b_

Sou$traction _a_<_>4 - _a_<_>4 + _a_<_>3_b_ x x - _b_<_>4

{Réduction ou di- \\ vidende partiel { _a_<_>3_b_ x x - _b_<_>4/Divi$eur _a_ - _b_ ($econd quotient _a_<_>2_b_}

Produit _a_<_>3_b_ - _a_<_>2_b_<_>2

Sou$traction _a_<_>3_b_ - _a_<_>3_b_ + _a_<_>2_b_<_>2 - _b_<_>4

[0064]NOUVEAU COURS

{Réduction ou nou- \\ veau dividende { _a_<_>2_b_<_>2 - _b_<_>4/Divi$eur _a_ - _b_ (troi$ieme quotient _ab_<_>2}

Produit _a_<_>2_b_<_>2 - _ab_<_>3

Sou$traction _a_<_>2_b_<_>2 - _a_<_>2_b_<_>2 + _ab_<_>3 - _b_<_>4

{Réduction ou nou- \\ veau dividende {_ab_<_>3 - _b_<_>4/Divi$eur _a_ - _b_} (quatrieme quotient + _b_<_>3

Produit _ab_<_>3 - _b_<_>4

Sou$traction _ab_<_>3 - _b_<_>4 - _ab_<_>3 + _b_<_>4 = o.

REMARQUE.

Quoique le quotient ait plus de termes que le dividende, il ne faut pas croire pour cela que le dividende $oit plus petit que le quotient; car tant que le divi$eur _a_ - _b_ $era quelque cho$e de po$itif, le produit du quotient po$itif _a_<_>3 + _a_<_>2_b_ + _ab_<_>2 + _b_ par la quantité po$itive _a_ - _b_, donnera certainement au produit quelque cho$e de plus grand que ce même quotient: donc _a_<_>4 - _b_<_>4, qui e$t le produit, e$t plus grand que _a_<_>3 + _a_<_>2_b_ + _ab_<_>2 + _b_<_>3. D’ailleurs en Algebre une quantité qui a plus de dimen$ion qu’une autre, e$t toujours regardée comme la plus grande.

Si l’on avoit des quantités plus compo$ées que les précé- dentes, on $uivroit le même procédé dans l’opération, comme $i l’on propo$oit de divi$er la quantité 6_a_<_>2 + 10_ab_ + 17_ac_ + 15_bc_ + 12_c_<_>2 par 2_a_ + 3_c_, on écriroit le dividende au de$$us du divi$eur, & le re$te $e feroit comme on le voit ci-de$$ous.

{Dividende 6_a_<_>2 + 10_ab_ + 17_ac_ + 15_bc_ + 12_c_<_>2 { 3_a_ + 5_b_ + 4_c_, quot. total./Divi$eur 2_a_ + 3_c_ (3_a_, premier quotient.}

Produit 6_a_<_>2 + 9_ac_

Sou$traction 6_a_<_>2 + 10_ab_ + 17_ac_ - 6_a_<_>2 - 9_ac_ + 15_bc_ + 12_c_<_>2

{Réduction ou nou- \\ veau dividende { 10_ab_ + 8_ac_ + 15_bc_ + 12_cc_/Divi$eur 2_a_ + 3_c_ (5_b_, $econd quotient.}

Produit 10_ab_ + 15_bc_

Sou$traction 10_ab_ + 8_ac_ + 15_bc_ + 12_cc_ - 10_ab_ - 15_bc_.

{Réduction ou nou- \\ veau dividende {8_ac_ + 12_cc_/Divi$eur 2_a_ + 3_c_} (4_c_, troi$ieme quotient.

Produit 8_ac_ + 12_cc_

Sou$traction 8_ac_ + 12_cc_ - 8_ac_ - 12_cc_ = o.

[0065]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._

Si le dividende & le divi$eur contenoient plu$ieurs pui$- $ances d’une même lettre, il faudroit di$po$er les termes du dividende par rapport aux différentes pui$$ances d’une même lettre, en regardant comme premier terme celui dans lequel cette pui$$ance $eroit la plus élevée, comme $econd celui où elle $e trouveroit d’un degré moins élevée, & ain$i des autres. Ayant fait la même opération $ur le divi$eur, il faudroit faire la Divi$ion $elon les regles précédentes; c’e$t ce que l’on ap- pelle ordonner une quantité par rapport à une lettre. Par exemple, $i l’on propo$e de divi$er 22_a_<_>4_b_ + 9_ab_<_>4 + 12_a_<_>2_b_<_>3 19_a_<_>3_b_<_>2 + 8_a_<_>5, par 4_a_<_>3 + 2_ab_<_>2 + 3_b_<_>3 + 5_a_<_>2_b_, on commencera par ordonner le dividende par rapport à la lettre _a_, en regar- dant le terme 8_a_<_>5 comme le premier, parce qu’il contient la plus haute pui$$ance de la lettre _a_; & en $uivant le même principe, on aura le dividende ordonné, 8_a_<_>5 + 22_a_<_>4_b_ + 19_a_<_>3_b_<_>2 + 12_a_<_>2_b_<_>3 + 9_ab_<_>4, on fera de même pour le divi$eur, & l’on aura le divi$eur ordonné, 4_a_<_>3 + 5_a_<_>2_b_ + 2_ab_<_>2 + 3_b_<_>3. Le re$te de la Divi$ion $e fera préci$ément comme les précédentes.

{Dividende 8_a_<_>5 + 22_a_<_>4_b_ + 19_a_<_>3_b_<_>2 + 12_a_<_>2_b_<_>3 + 9_ab_<_>4/Divi$eur 4_a_<_>3 + 5_a_<_>2_b_ + 2_ab_<_>2 + 3_b_<_>3 (2_a_<_>2 + 3_ab_, quot. total.}

Produit 8_a_<_>5 + 10_a_<_>4_b_ + 4_a_<_>3_b_<_>2 + 6_a_<_>2_b_<_>3 (1<_>er quotient 2_a_<_>2.

Sou$traction 8_a_<_>5 + 22_a_<_>4_b_ + 19_a_<_>3_b_<_>2 + 12_ab_<_>3 + 9_ab_<_>4 - 8_a_<_>5 - 10_a_<_>4_b_ - 4_a_<_>3_b_<_>2 - 6_a_<_>2_b_<_>3.

{Réduction ou nou- \\ veau dividende { 12_a_<_>4_b_ + 15_a_<_>3_b_<_>2 + 6_a_<_>2_b_<_>3 + 9_ab_<_>4/Divi$eur 4_a_<_>3 + 5_a_<_>2_b_ + 2_ab_<_>2 + 3_b_<_>3 (2<_>e quotient 3_ab_.}

Produit. 12_a_<_>4 + 15_a_<_>3_b_<_>2 + 6_a_<_>2_b_<_>3 + 9_ab_<_>4

Sou$traction 12_a_<_>4_b_ + 15_a_<_>3_b_<_>2 + 6_a_<_>2_b_<_>3 + 9_ab_<_>4 - 12_a_<_>4_b_<_>2 - 15_a_<_>3_b_<_>2 - 6_a_<_>2_b_<_>3 - 9_ab_<_>4 = o.

AVERTISSEMENT.

Nous n’avons point parlé des quatre Regles ordinaires d’A- rithmétique, parce que nous avons $uppo$é que ceux qui étu- dieront ce Traité, $çauront au moins l’Addition, la Sou$trac- tion, la Multiplication & la Divi$ion; mais comme plu$ieurs pourroient n’avoir aucune connoi$$ance des parties plus rele- vées, & même ignorer la maniere dont on doit pratiquer la Multiplication dans certain cas, lor$que le multiplicateur & [0066]NOUVEAU COURS le multiplicande $ont chacun des nombres complexes; nous allons commencer par expliquer la méthode de faire cette opé- ration par le $ecours des parties aliquotes, que nous applique- rons $ur le champ à des exemples. Cette partie e$t d’autant plus néce$$aire, qu’elle $ervira beaucoup pour l’intelligence du toi$é, que nous donnerons dans la $uite.

DÉFINITIONS.

74. On dit qu’une grandeur e$t _partie aliquote_ d’un tout ou d’une autre grandeur, lor$qu’elle e$t contenue un nombre de fois ju$te dans cette autre. Ain$i le pied e$t partie aliquote de la toi$e, parce qu’il y e$t contenu $ix fois ju$te; le $ol e$t une partie aliquote de la livre, parce que la livre vaut vingt $ols: de même ces autres nombres, 2, 4, 5, 10 $ols $ont des parties aliquotes de la livre, parce que chacun d’eux e$t con- tenue exactement un certain nombre de fois dans la livre.

Lor$qu’une grandeur n’e$t pas contenue exactement dans une autre, & $ans re$te, elle e$t appellée partie aliquante de cette grandeur: ain$i 9 $ols e$t une _partie aliquante_ de la livre, parce que cette grandeur e$t contenue deux fois dans la livre, avec un re$te 2; de même 17 $ols, 15 $ols $ont des par- ties aliquantes de la livre pour la même rai$on: 5 pouces, 7 pouces, 8 pouces $ont des parties aliquantes du pied, parce que chacune de ces grandeurs $ont contenues dans le pied, avec des re$tes.

REMARQUE.

75. Quoique, $elon les définitions précédentes, une partie aliquante ne pui$$e pas être partie aliquote d’un même tout, néanmoins on peut décompo$er cette quantité en d’autres, qui $oient parties aliquotes du tout, & dont la $omme $oit égale à la partie aliquante propo$ée; ain$i ce nombre 17 $ols e$t égal à 10 + 5 + 2, qui $ont chacun des parties aliquotes de la livre, dont il n’e$t qu’une partie aliquante. Tout l’art des opérations que nous allons faire con$i$te à décompo$er les parties aliquantes en parties aliquotes, en fai$ant en$orte, au- tant qu’il e$t po$$ible, que ces parties $oient non $eulement par- ties aliquotes de ce tout ou de l’unité principale, mais encore les unes des autres.

76. On appelle multiplication complexe celle dans laquelle [0067]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._ le multiplicateur ou le multiplicande, ou tous les deux en- $emble, contiennent chacun des unités de différentes e$peces, quoique réductibles à la même, ain$i que dans la que$tion $uivante.

EXEMPLE I.

On demande le prix de 45 toi$es 3 pieds de maçonnerie, à 9 liv. la toi$e.

# 45 toi$. # 3 pieds. # 9 liv. # 405 _Pour 3 toi$es_ # 4 # 10 _Total_ # 409 # 10

Pour avoir le prix que l’on cher- che, il faudra multiplier 45 toi$es 3 pieds par 9 liv. ou, pour mieux dire, il faudra prendre 45 fois 9l. & la moitié de 9 livres, parce que 3 pieds $ont la moitié d’une toi$e, dont le prix doit au$$i être moitié du prix de la toi$e: car en général il e$t ridicule de dire que l’on multiplie des livres, des $ols & des deniers par des toi$es, des pieds, des pouces, &c. D’ailleurs, $uivant un tel énoncé, il e$t impo$$ible de déterminer la nature des unités du pro- duit: mais il faut regarder un des nombres comme un nom- bre ab$trait, c’e$t-à-dire dont les unités ne marquent que des nombres de fois, & dont les parties marquent des parties cor- re$pondantes d’une fois. Ain$i dans notre exemple, comme on cherche le prix de 45 toi$es 3 pieds, à 9 liv. la toi$e, pui$que pour une toi$e il faut prendre une fois 9 liv. pour 45 toi$es, il faudra prendre 45 fois 9 livres, & pour 3 pieds, moitié d’une toi$e, il faudra prendre une moitié de fois 9 liv. ou la moitié de 9 liv. Le produit de 9 liv. par 45 liv. e$t 405 livres, la moitié de 9 liv. e$t 4 liv. 10 $ols; ain$i la $omme 409 liv. 10 $ols e$t le prix demandé.

EXEMPLE II.

On demande le prix de 3 toi$es 2 pieds 6 pouces, à 5 liv. 4 $. 6 den. la toi$e courante.

5 liv. # 4 $ols # 6 den. 3 toi$. # 2 pi. # 6 pouces. 15 liv. # 13 $ols # 6 den., _prix de 3 toi$es_. 1 . . # 14 . . # 10, _prix de 2 pieds_. 0 . . # 8 . . # 8 {1/2}, _prix de 6 pouces_. 17 . . # 17 . . # 0 {1/2}, _prix total_.

Pour avoir le prix de- mandé, il faudra multi- plier 5 liv. 4 $. 6 den. par 3 toi$es 2 pieds 6 pouces, ou, pour mieux dire, il fau- dra chercher le prix de 3 <_>t. à 5 liv. 4 $ols 6 den. le prix [0068]NOUVEAU COURS de deux pieds & celui de $ix pouces, en con$idérant ces nom- bres comme des parties de la toi$e, & prenant pour leur prix les mêmes parties du prix de la toi$e. Ayant di$po$é ces nom- bres l’un au de$$us de l’autre, comme on voit ici, on commen- cera la Multiplication par les plus petites e$peces, parce qu’il n’y a qu’un chiffre au rang des livres, & l’on dira: 3 fois 6 font 18, po$e 6 d. & retiens 1 pour 12. On pa$$era delà aux $ols, en di$ant, 3 fois 4 font 12, & 1 que j’ai retenu c’e$t 13, que je po$e au rang des $ols. On pa$$era de même aux livres, & l’on dira, 3 fois 5 font 15 l., que je mets au rang des livres. Pour avoir le prix de deux pieds, on fera attention que deux pieds étant le tiers de la toi$e, il faudra au$$i que le prix de deux pieds $oit le tiers du prix de la toi$e: par con$équent il faudra divi$er le prix de la toi$e par 3, en di$ant, le tiers de 5 l. e$t 1 pour 3, re$te 2 l. ou 40 $ols, qui joints avec les 4 $ols $uivans, font 44, dont le tiers e$t 14 pour 42, re$te 2 $ols ou 24 den., le$quels joints avec les 6 den. $uivans, font 30 den., dont le tiers e$t 10, que l’on po$era au rang des deniers. Enfin pour avoir le prix de 6 pouces, on remarquera que 6 pouces étant le quart de 2 pieds ou 24 pouces, le prix de 6 pouces doit être le quart du prix de deux pieds, & l’on prendra le quart d’une liv. 14 $. 10 den., en di$ant, le quart d’une livre n’e$t point, je po$e zero au rang des livres; je réduis la livre en $ols, ce qui me donne 20 $ols, le$quels ajoutés à 14, font 34, dont le quart e$t 8 pour 32, re$te 2 $. ou 24 den., le$quels ajoutés aux dix $uivans, font 34 den., dont le quart e$t 8 {1/2}, que je po$e au rang des deniers. Fai$ant l’addition de ces dif- férens produits, on aura pour le prix total de 3 toi$es 2 pieds 6 pouces, à 5 liv. 4 $. 4 den. la toi$e, 17 liv. 17 $ols 0 {1/2} den.

EXEMPLE III.

On demande le prix de 43 aunes deux tiers d’étoffe, à 12 l. 10$. 8 den. l’aune.

Comme dans cet exemple la premiere partie 43 du multi- plicateur e$t compo$ée de deux chiffres, & que l’on ne verroit pas tout d’un coup la valeur de 43 fois 8 deniers, on commen- cera la Multiplication par les plus hautes e$peces. On cher- chera donc d’abord le prix de 43 aunes à 12 livres, le prix de 43 aunes à 10 $ols, & le prix de 43 aunes à 8 deniers.

On trouvera le prix de 43 aunes, à 12 liv. l’aune, en multi- [0069]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. pliant 43 par 12. Pour avoir en$uite le prix de 43 aunes, à 10 $ols, on remarquera que le prix de 43 aunes, à une livre, $eroit 43 liv.; donc pui$- que 10 $ols $ont la moitié d’une livre, le prix de 43 aunes, à 10 $ols, $era la moitié de 43 liv. On en prendra donc la moi- tié, en di$ant: la moitié de 4 e$t 2, que l’on po$era au de$$ous des dixaines de livres; la moitié de 3 e$t 1, que l’on po$era $ous les unités des livres, re$te une livre, dont la moitié e$t 10 $ols, que l’on po$era au rang des $ols. Pour avoir le prix de 43 aunes, à 8 d. on remarquera que 8 den. $ont le tiers de 2 $ols: on commen- cera donc par chercher le produit de 43 aunes, à 2 $ols, que l’on barrera, parce qu’il ne doit point entrer dans la $omme. Pour avoir le faux produit, on prendra le cinquieme de celui que l’on vient de trouver pour 10 $ols, en di$ant: le cin- quieme de 21 liv. e$t 4, que je po$e au rang des livres, re$te une livre, laquelle jointe avec 10 $ols, donne 30 $ols, dont le cinquieme e$t 6. Je prends le tiers de ce produit, en di$ant: le tiers de 4 liv. e$t une liv. pour 3, re$te une livre, qui jointe avec les 6 $ols $uivans, donne 26 $ols, dont le tiers e$t 8 pour 24, re$te 2 $ols ou 24 deniers, dont le tiers e$t 8, que je po$e au rang des deniers, & j’ai le prix de 43 aunes, à 8 deniers l’aune. Enfin pour avoir le prix des deux tiers d’aunes, je prends deux fois le tiers du prix d’une aune, en di$ant: le tiers de 12 liv. e$t 4 livres, que je po$e au rang des livres. Le tiers de 10 $ols e$t 3 pour 9, re$te un $ol ou 12 deniers, qui joints aux 8 $uivans, font 20, dont le tiers e$t 6 {2/3}; j’écris deux fois le produit, puis fai$ant l’addition des produits particuliers, je trouve pour le prix total 547 liv. 5 $ols 9 den.

# 12 liv. # 10 $ols # 8 den. # 43 {2/3} _Prix de 43 aunes._ # 36 _à 12 liv._ # 48 _à 10 $ols_ . . # 21 liv. # 10 $ols # 0 den. _Faux prod. de 2 $_. _à 8 den_. . . # liv. # 1 # 8 # 8 _Prix d’un tiers_. # 4 # 3 # 6 {2/3} # 4 # 3 # 6 {2/3} TOTAL # 547 # 5 # 8 {1/3} EXEMPLE IV.

On demande le prix de 5 marcs 6 onces 2 gros de cuivre, à 4 liv. 7 $ols 8 den. le marc.

[0070]NOUVEAU COURS

Tout le monde $çait que la livre vaut deux marcs, le marc 8 onces, l’once 8 gros, le gros 3 deniers, le denier 24 grains, ce qui donne 9216 grains pour la livre. Cela po$é,

Ayant di$po$é ces deux # 4 liv. # 7 $ols # 8 den. # 5 m. # 6 on. # 2 gros _Prix de 5 marcs._ # 21 liv. # 18 $ols # 4 den. _de 4 onc._ # 2 # 3 # 10 _de 2 onc._ # 1 # 1 # 11 _de 2 gros_ # 0 # 2 # 8 {7/8} TOTAL # 25 # 6 # 9 {7/8} nombres, comme on voit ici, en regardant 4 liv. 7 $. 8 den. comme le multipli- cande, & 5 marcs 6 onces 2 gros comme le multipli- cateur: comme la partie de ce même multiplicateur, qui contient les marcs, n’e$t compo$ée que d’un $eul chiffre, on cherchera d’abord le prix de 5 marcs, à 4 liv. 7 $ols 8 den. le marc, que l’on trouvera en multipliant 4 liv. 5 $ols 8 den. par 5, à commencer par les deniers, en di$ant, cinq fois 8 font 40 deniers, je po$e 4, & retiens 3 pour 36; pa$$ant en$uite aux $ols, 7 fois 5 font 35, & 3 que j’ai retenue font 38, po$e 18, & retiens une livre; pa$$ant de même aux livres, 5 fois 4 font 20, & une que j’ai retenue font 21. Pour avoir après cela le prix de 6 onces, qui e$t une partie aliquante du marc, on les divi$era en ces deux parties, 4 & 2, qui $ont chacune partie aliquote du marc, & partie aliquote l’une de l’autre; & comme 4 onces $ont la moitié du marc, on prendra la moitié du prix d’un marc, en di$ant, la moitié de 4 liv. e$t 2, la moitié de 7 $ols e$t 3 pour 6, re$te un $ol ou 12 deniers, qui joints avec les 8 $uivans, font 20, dont la moitié e$t 10; on prendra de même la moitié de ce dernier produit pour avoir le prix de deux onces, que l’on trouvera d’une livre 1 $ol 11 den. Enfin pour avoir le prix de deux gros, on remarquera que le gros étant la 8<_>e partie de l’once, deux gros $eront la 8<_>e partie de deux onces, & par con$équent le prix de deux gros $era au$$i la huitieme partie de celui de deux onces, que l’on vient d’écrire. On dira donc, la huitieme partie d’une livre n’e$t point, je po$e o au rang des livres; la huitieme partie de 21 $ols e$t 2 pour 16, re$te 5 $ols, qui valent 6 deniers, le$quels joints avec les 11 d. $uivans, donnent 71, dont la huitieme partie e$t 8 pour 64, avec un re$te 7; ce qui donne en tout pour le prix de deux gros, o liv. 2 $ols 8 den, {7/8}. Ajoutant ces différens produits, on aura le prix total de 25 liv. 6 $ols 9 den. {7/8}.

[0071]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. EXEMPLE V.

On demande le prix de 325 marcs 7 onces 5 gros 2 deniers 16 grains d’un certain métal, à 54 liv. 18 $ols 9 den. le marc.

# 325 <_>marcs \\ 54 <_>liv. # 7 <_>onces \\ 18 <_>$ols # 5<_>gros \\ 9<_>den. # 2 <_>den. # 16 <_>grains. _Pour 325 <_>marcs_ # 1300 _à 54 <_>liv._ # 1625 # 0 # 0 _à 10 $ols_ # 162 # 10 # 0 _à 4 $ols_ # 65 # 0 # 0 _à 4 $ols_ # 65 # 0 # 0 _à 6 den._ # 8 # 2 # 6 _à 3 den._ # 4 # 1 # 3 _Prix de 325 <_>marcs à \\ 54 liv. 18 $. 9 den._ # 17854 <_>liv. # 13 <_>$ols # 9 <_>den. _Prix de_ # { # _4 onces_ # 27 # 9 # 4 # # _2 onces_ # 13 # 14 # 8 # # _1 once_ # 6 # 17 # 4 # # _4 gros_ # 3 # 8 # 8 # # _1 gros_ # 0 # 17 # 2 # # _1 denier_ # 0 # 5 # 8 # # _1 denier_ # 0 # 5 # 8 # # _8 grains_ # 0 # 1 # 10 # # _8 grains_ # 0 # 1 # 10 # # # 17907 # 15 # 11

Comme le premier terme du multiplicande, & celui du mul- tiplicateur $ont nombres compo$és de plu$ieurs chiffres, on cherchera d’abord le prix de 325 marcs, à 54 liv. le marc, ce qui $e fera en multipliant 325 par 54; on cherchera en$uite le prix de 325 marcs, à 18 $ols le marc, ce qui $e fera en divi- $ant 18 $ols en $es parties, 10 + 4 + 4, qui $ont chacune des parties aliquotes de la livre, & prenant pour 10 $ols la moitié de 325, en di$ant, la moitié de 3 e$t 1 pour 2, re$te 1, qui joint avec le 2 $uivant fait 12, dont la moitié e$t 6; la moitié de 5 e$t 2 pour 4, re$te une livre ou 20 $ols, dont la moitié e$t 10 $ols, que je po$e au rang des $ols. Pour 4 $ols on cherchera le cinquieme de 325, parce que 4 $ols fait la cinquieme partie [0072]NOUVEAU COURS de la livre, & l’on dira la cinquieme partie de 32 e$t 6 pour 30, re$te 2, qui joints avec le 5 $uivant, font 25, dont la cin- quieme partie e$t 5, ain$i l’on écrira deux fois 65, qui e$t le cinquieme de 325, & l’on aura le prix de 325 marcs à 18 $ols.

On pa$$era en$uite aux deniers 9, que l’on divi$era en deux parties, 6, 3, dont la premiere 6 e$t la huitieme partie de 4 $ols, & la $econde 3 e$t moitié de la premiere 6; on prendra donc la huitieme partie du prix que l’on vient de trouver pour 4 $. en di$ant la huitieme partie de 65 e$t 8 pour 64, po$e 8 au rang des livres, re$te 1 liv. ou 20 $ols, dont la huitieme partie e$t 2 $. pour 16, re$te 4 $ols ou 48 deniers, dont la huitieme partie e$t 6 deniers; pour 3 den. on prendra la moitié de ce que l’on vient de trouver pour 6, & l’on aura évidemment 4 liv. 1 $ol 3 den. Toutes ces opérations achevées, on aura le prix de 225 marcs, à 54 liv. 18 $. 9 den. le marc; & comme cette partie devient déja un peu compliquée, on pourra d’abord prendre la $omme de ces produits particuliers, pour être moins expo$é à $e tromper dans l’addition totale. On pa$$era en$uite aux onces, & l’on divi$era lenombre 7, qui marque combien il y en a en 4, 2, 1, qui $ont chacune partie aliquote du marc, & partie aliquote l’une de l’autre; pour 4 onces on prendra la moitié de 54 liv. 18 $ols 9 den. en di$ant, la moitié de 54 livres e$t 27 livres, la moitié de 18 $ols e$t 9 $ols, la moitié de 9 den. e$t 4 den. {1/2}; pour 2 onces on prendra la moitié de ce que l’on vient de trou- ver, en di$ant, la moitié de 27 e$t 13 pour 26, je po$e 13 au rang des livres, re$te 1 liv. ou 20 $ols, qui joint avec les 9 qui $ont après, donne 29 $ols, dont la moitié e$t; 14 pour 28, re$te un $ol ou 12 deniers, qui joints avec le 4 $uivant, font 16 deniers, dont la moitié e$t 8 (on négligera ici toutes les fractions, parce qu’elles ne pourroient monter qu’à 3 ou 4 d. & que d’ailleurs, pour en avoir exactement la $omme, cela $up- po$eroit le calcul de ces nombres, que nous n’avons pas encore donné). Pour une once on prendra encore la moitié de ce que l’on vient de trouver, en di$ant, la moitié de 13 e$t 6 pour 12, re$te 1 liv. ou 20 $ols, qui joints avec les 14 $uivans, font 34, dont la moitié e$t 17; la moitié de 8 deniers e$t 4 On pa$$era des onces au gros, & l’on divi$era 5 en deux par- ties, 4 & 1, pour 4 gros on prendra la moitié du prix d’une once, parce que l’once vaut 8 gros, & l’on aura 3 liv. 8 $. 8 d. Pour un gros on prendra le quart du prix de 4 gros, en di$ant, [0073]DE MATHEMATIQUE. _Liv. I_. le quart de 3 liv. n’e$t point, je po$e zero au rang des livres, le quart de 68 e$t 17, le quart de 8 e$t 2.

On pa$$era pareillement aux deniers, & pour 2 den. on pren- dra deux fois le tiers de 17 $ols 2 den. que l’on vient de trouver pour le prix du gros, qui vaut 3 deniers, & l’on aura 5 $. 8 den. que l’on écrira deux fois. Enfin pour avoir le prix de 16 grains, on prendra encore deux fois le tiers de 5 $ols 8 den. que l’on vient de trouver pour le prix d’un denier, qui vaut 24 grains, dont 16 grains $ont les deux tiers, & l’on aura un $ol 10 den. que l’on écrira deux fois; ajoutant tous ces prix particuliers, on aura le prix total de 325 marcs 7 onces 5 gros 2 den. 16 gr. que l’on trouvera, par l’addition, de 17907 liv. 15 $ols 11 den.

REMARQUE.

On pourroit, $ans $çavoir le calcul des fractions, opérer $ur les plus petites parties des deniers, en imaginant le denier divi$é en douze parties, & chaque partie divi$ée encore en douze au- tres parties, ain$i pour {1/2} on prendroit 6, pour {1/3} on prendroit 4, & ain$i de $uite, & dans l’addition de ces parties, on retiendroit autant de deniers que l’on auroit trouvé de fois douze. Nous allons appliquer cette méthode à l’exemple $uivant.

EXEMPLE VI.

On demande le prix de 247 toi$es 5 pieds 9 pouces de maçon- nerie, à 25 liv. 19 $ols 11 den. la toi$e.

Après avoir di$po$é le mul- _Prix de_ # 247 <_>toi$. # 5 <_>pi. # 9 <_>pou. _247 <_>toi$._ # 25 <_>liv. # 19 <_>$. # 11 <_>den. _à 25 liv._ # {1235 \\ 494 _à 10 $ols_ # 123 # 10 # 0 _à 5 $ols_ # 61 # 15 # 0 _à 4 $ols_ # 49 # 8 # 0 _à 6 den_. # 6 # 3 # 6 _à 3 den_. # 3 # 1 # 9 _à 2 den_. # 2 # 1 # 2 _Prix de 3<_>pi._ # 12 # 19 # 11 # 6 _de 2 pieds_ # 8 # 13 # 3 # 8 _de 6 pouces_ # 2 # 3 # 3 # 11 _de 3 pouces_ # 1 # 1 # 7 # 11 _Prix total_ # 6445 # 17 \\ E ij # 8 # 0 tiplicande & le multiplica- teur, comme on le voit ici, on multipliera d’abord 247 par 25 pour avoir le prix de 247 toi$es, à 25 liv. la toi$e. On cherchera en$uite le prix de 247 toi$es, à 19 $. en pre- nant d’abord pour 10 $ols la moitié du nombre 247, regar- dé comme 247 livres, & l’on dira, la moitié de 2 e$t 1, la moitié de 4 e$t 2, la moitié de 7 e$t 3 pour 6, re$te une livre ou 20 $ols, dont la moitié e$t 10. On cherchera pareille- [0074]NOUVEAU COURS ment le prix de 247 toi$es à 5 $ols, & l’on prendra la moitié du prix que l’on vient de trouver pour 10, en di$ant, la moitié de 12 e$t 6, la moitié de 3 e$t 1, re$te 1 liv. qui joint avec les 10 $. $uivant fait 30 $ols, dont la moitié e$t 15. On prendra encore le prix de 247 toi$es, à 4 $. en prenant le cinquieme de 247, & l’on dira le cinquieme de 24 e$t 4 pour 20, le cinquieme de 47 e$t 9 pour 45, re$te 2 liv. ou 40 $ols, dont le cinquieme e$t 8, que l’on po$era au rang des $ols. Ces opérations faites, on aura le prix de 247 toi$es, à 19 $ols: caril e$t évident que 10 + 5 + 4 e$t égal à 19: on cherchera en$uite le prix de 247 toi$. à 11 den. & pour ce, l’on partagera les 11 den. en parties aliquotes de 4 $ols, 6 + 3 + 2, & comme 6 e$t le 8<_>e de 4 $ols ou de 48 den. on prendra le huitieme du prix que l’on vient de trouver pour 4 $ols, en di$ant, la huitieme partie de 49 e$t 6 pour 48, re$te une livre ou 20 $ols, qui joints avec les 8 $uivans, fait 28 $ols, dont le huitieme e$t 3 pour 24, re$te 4 $. ou 48 deniers, dont le huitieme e$t 6. Pour 3 den. on prendra la moitié du der- nier prix que l’on trouvera de 3 liv. 1 $ol 9 den. Enfin pour 2 den. on prendra le tiers de ce même nombre, que l’on trou- vera de 2 liv. 1 $ol 2 deniers: on cherchera en$uite le prix de 5 pieds, que l’on divi$era en deux parties 3. 2, pour 3 pieds, on prendra la moitié du prix de la toi$e, en di$ant, la moitié de 25 e$t 12 pour 24, re$te 1 ou 20, qui joints à 19, font 39; la moitié de 39 $ols e$t 19 pour 38, re$te 1 $ol ou 12 den. qui joints aux 11 $uivans, font 23, dont la moitié e$t 11 den. & $uivant la remarque précédente, la moitié de 12 e$t 6. Pour 2 pieds on prendra le tiers du même prix, en di$ant: le tiers de 25 e$t 8 pour 24, re$te 1 liv. ou 20 $ols, le$quels joints avec les 19 $uivans, font 39, dont le tiers e$t 13; le tiers de 11 e$t 3, re$te 2 ou 24, dont le tiers e$t 8. Enfin pour avoir le prix de 9 pouces, je les regarde comme 6 + 3: pour 6 pouces, je prends le quart du prix de deux pieds, en di$ant, le quart de 8 e$t 2, le quart de 13 e$t 3 pour 12, re$te 1 $ol ou 12 den. qui joints avec les 3 $uivans, font 15, dont le quart e$t 3, re$te 3 ou 36, qui joints aux 8 $uivans, font 44, dont le quart e$t 11. Enfin pour 3 pouces je prends la moitié de 2 liv. 3 $. 3 den. {11/12} que je trouve d’une livre 1 $ol 7 den. {11/12}. A joutant tous ces pro- duits particuliers, on aura pour le prix total de 247 toi$es 5 pieds 9 pouces, à 25 liv. 19 $ols 11 den. la toi$e; 6445 liv. @7 $ols 8 deniers.

[0075]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. TRAITÉ DES FRACTIONS NUMÉRIQUES ET ALGÉBRIQUES. DÉFINITION I.

76. SI l’on divi$e une unité quelconque, que nous appelle- rons unité principale, comme une toi$e, un pied, une livre, &c. en un certain nombre de parties égales, chacune de ces parties $era appellée _unité fractionnaire_, pour la di$tinguer de l’unité principale que l’on divi$e, & le nombre qui marquera com- bien on prend de ces parties égales, $era appellé une fraction, que l’on exprime ain$i, {2/3}, {5/6}, & que l’on prononce deux tiers, cinq $ixiemes. On a déja vu qu’une barre placée entre deux grandeurs, indique la divi$ion de la grandeur $upérieure, & c’e$t encore ce qui arrive ici.

II.

77. Le nombre que l’on met au de$$ous de la barre s’appelle _dénominateur_, parce qu’il fait voir en combien de parties égales on a partagé ou divi$é l’unité principale. Dans les fractions pré- cédentes, les nombres 3 & 6 $ont les dénominateurs de ces fractions, parce qu’ils dé$ignent que les unités principales ont été divi$ées en trois ou en $ix parties égales.

III.

78. Le nombre que l’on met au de$$us de la barre horizon- tale s’appelle _numérateur_, parce qu’il compte effectivement combien on prend de parties égales: ain$i 2 & 5 $ont les nu- mérateurs des fractions {2/3} & {5/6}. Les fractions algébriques $e marquent préci$ément de la même maniere; ain$i {a/b}, {c/d}, {f/g} $ont des fractions algébriques, dont les numérateurs $ont _a, c, f_, & les dénominateurs _b, d, g_.

COROLLAIRE I.

79. Si le numérateur e$t égal, plus petit ou plus grand que le dénominateur, la fraction $era au$$i égale à l’unité, ou plus petite ou plus grande que l’unité; car un tout e$t égal à toutes $es parties pri$es en$emble, & plus grand qu’une de $es parties, [0076]NOUVEAU COURS & plus petit que toutes $es parties pri$es en$emble, ajoutées à quelqu’une de $es parties.

COROLLAIRE II.

80. La grandeur d’une fraction dépend de la grandeur du numérateur de cette fraction; en$orte que de deux fractions qui ont même dénominateur, la plus grande e$t celle qui a le plus grand numérateur, & la plus petite, celle qui a le plus petit numérateur; car il e$t évident que la fraction {5/6} e$t plus grande que la fraction {3/6}, par la même rai$on que 5 e$t plus grand que 3, quelle que $oit la nature des unités du 6 & du 3, pourvu qu’elle $oit la même pour l’un & pour l’autre.

COROLLAIRE III.

81. Plus le nombre dans lequel on divi$e un même tout e$t grand, plus chaque partie e$t petite, & par con$équent plus le dénominateur d’une fraction e$t grand, le numérateur re$tant le même, plus au$$i la fraction e$t petite; c’e$t ce que les Géo- metres expriment, en di$ant que deux fractions qui ont un même numérateur $ont entr’elles réciproquement comme leurs dénominateurs; car il e$t évident que la fraction {2/3} e$t plus grande que la fraction {2/5}, pourvu qu’elles $oient chacune frac- tion d’une même unité principale, d’une toi$e par exemple, d’un pied, &c.

COROLLAIRE IV.

82. Les fractions étant des parties de certaines grandeurs ou unités principales, $ont de même nature qu’elles, & par con- $équent $ont $u$ceptibles comme elles d’augmentation ou de diminution. Donc on peut faire $ur les fractions les mêmes opérations que l’on fait $ur les entiers, c’e$t-à-dire qu’on peut les ajouter, les $ou$traire, les multiplier, ou les divi$er les unes par les autres.

Outre les quatre opérations qui leur $ont communes avec les nombres entiers, il y en a trois autres qui leur $ont parti- culieres, & dont les premieres dépendent. La premiere de ces trois e$t d’évaluer une fraction, ou de déterminer $a valeur en quantités connues; la $econde e$t de réduire les fractions à leurs moindres termes, & la troi$ieme e$t de les réduire au même dénominateur. Nous allons commencer par expliquer ces opérations, par le $ecours de$quelles on pourra faire ai$é- ment toutes les autres.

[0077]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._ PROBLEME I.

_83_. Evaluer une fraction, ou, ce qui e$t la même cho$e, trouver en valeurs connues, moindre que l’unité principale, une quantité égale à une fraction propo$ée.

On divi$era l’unité principale en autant de parties égales qu’il y a d’unités au dénominateur; on multipliera en$uite le quotient par le numérateur, & le produit $era la valeur de la fraction propo$ée. Comme $i l’on propo$oit d’évaluer cette fraction {2/5} de liv. je divi$e la livre, qui e$t ici l’unité principale, & qui vaut 20 $ols, en cinq parties égales, dont chacune e$t 4 $ols, le$quels multipliés par le numérateur 2, font connoître que la fraction {2/5} de liv. vaut 5 $ols. De même $i l’on propo$e d’évaluer cette fraction {5/6} de pied, je divi$e le pied ou 12 pouces en $ix parties égales, le$quelles $ont chacune de deux pouces, je multiplie ce quotient 2 par le numérateur 5; le produit 10 me marque que la fraction {5/6} de pied vaut 10 pouces. Cette premiere opération n’a pas lieu dans les fractions algébriques, {_a_/_b_} e$t {_a_/_b_}, & l’on ne pourroit l’évaluer qu’après avoir $ub$titué à la place de _a_ & de _b_ les grandeurs qu’elles expriment.

DÉFINITION.

84. On dit qu’une fraction e$t _réduite à $es moindres termes_, ou _à $a plus $imple expre$$ion_, lor$que le numérateur & le dé- nominateur de cette fraction n’ont pas d’autres divi$eurs com- muns que l’unité: ain$i ces fractions {2/3}, {7/5}, {8/9} $ont des fractions réduites à leurs moindres termes. Il n’en e$t pas de même des fractions {3/9}, {4/16}, qui $ont telles, qu’on en peut trouver d’autres qui leur $oient égales, & dont les termes $oient plus petit, comme {1/3} pour la premiere, & {2/8} ou {1/4} pour la $econde, que l’on trouve en divi$ant les deux termes de la premiere par 3, & les deux termes de la $econde par 2 ou par 4.

85. Si le nombre par lequel on divi$e les deux termes d’une fraction e$t le plus grand divi$eur po$$ible, commun au nu- mérateur & au dénominateur, la fraction qui ré$ultera des deux quotiens, divi$és l’un par l’autre, $era au$$i la plus $imple fraction po$$ible, & égale à la premiere.

86. En Algebre une fraction e$t réduite à $es moindres ter- mes, lor$qu’elle n’a point de lettre commune au numérateur [0078]NOUVEAU COURS & au dénominateur. Ain$i {_a_/_b_}, {_c_/_d_}, {_gf_/_mn_} $ont des fractions algé- briques irréductibles.

PROBLEME II.

_87_. Trouver le plus grand commun divi$eur de deux nombres, _360 & 792_, ou, ce qui e$t la même cho$e, réduire la fraction {_360_/_792_} à $es moindres termes.

SOLUTION.

On divi$era le plus grand nombre 792 par le plus petit 360, & négligeant le quotient 2, on divi$era de nouveau le plus petit 360 par le re$te 72; & comme la divi$ion de ces deux nombres $e fait exactement, on en conclura que 72 e$t le plus grand divi$eur po$$ible, commun aux deux nombres 792 & 360. De même $oit propo$é de trouver le plus grand commun di- vi$eur des deux nombres 91 & 294, ou, ce qui e$t la même cho$e, de réduire la fraction {91/294} à $es moindres termes; je divi$e le plus grand nombre 294 par le plus petit 91, il vient 3 au quotient, que je néglige, avec un re$te 21; je divi$e le plus petit nombre 91 par le re$te 21, il vient encore 3 au quo- tient, que je néglige pareillement, avec un re$te 7: je divi$e le premier re$te 21 par le $econd 7, & comme la divi$ion $e fait exactement & $ans re$te, je conclus que le nombre 7 e$t le plus grand commun divi$eur aux deux nombres 294 & 91. En général le re$te qui divi$e exactement le re$te précédent, e$t toujours le plus grand commun divi$eur que l’on cherche; di- vi$ant donc le numérateur & le dénominateur de la 1<_>re fraction {360/792} par le plus grand divi$eur commun 72, on aura la frac- tion {5/11}, qui e$t irréductible, & égale à la propo$ée. Divi$ant de même le numérateur & le dénominateur de la $econde fraction {91/294} par le plus grand commun divi$eur 7, on aura la nouvelle fraction {13/42} égale à la précédente, & réduite à $a plus $imple expre$$ion.

Démon$tration de cette pratique.

Pour concevoir la rai$on de ces opérations, on fera atten- tion, 1°. qu’un nombre qui divi$e exactement une grandeur, e$t au$$i divi$eur exact de $es multiples, ou des nombres qui ré$ultent du produit de cette grandeur par une autre quelcon- que. Par exemple, $i 3 e$t divi$eur de 6, il $era au$$i divi- [0079]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._ $eur de 6 x 4, de 6 x 5, ou des nombres 24 & 30, &c.

2°. Qu’un nombre qui divi$e les deux parties d’un tout, $era au$$i divi$eur du tout, parce qu’un nombre e$t égal à toutes $es parties pri$es en$emble; ain$i le nombre 3 étant di- vi$eur des nombres 9 & 6, e$t au$$i divi$eur de leur $omme 15.

3°. Que $i un nombre e$t divi$eur d’un tout & d’une de $es parties, il $era au$$i divi$eur de l’autre partie; car s’il ne la di- vi$oit pas, il ne $eroit pas divi$eur du tout, ce qui e$t contre l’hypothe$e: ain$i le nombre 3 étant divi$eur du tout 15, & d’une de $es parties 9, e$t au$$i divi$eur de l’autre 6.

Cela po$é, que _a_ & _b_ repré$entent les deux nombres, dont on demande le plus grand commun divi$eur, que _a_ divi$é par _b_ donne un quotient _f_ avec le re$te _d_, on aura _a_ = _bf_ + _d_; car un dividende quelconque e$t égal au produit du divi$eur par le quotient joint au re$te de la divi$ion. Que _b_, divi$é par le premier re$te _d_, donne un quotient _g_ avec le re$te _c_, on aura par la même rai$on _b_ = _dg_ + _c_: enfin que le dernier re$te _c_ divi$e exactement le premier _d_, en donnant _h_ au quotient, on aura encore _d_ = _ch_; & ra$$emblant toutes ces égalités, on aura _a_ = _bf_ + _d_, _b_ = _dg_ + _c_, & _d_ = _ch_. Or il e$t évident que _c_ e$t divi$eur des quantités _a_ & _b_, car pui$que _c_ e$t di- vi$eur de _d_, il e$t au$$i divi$eur de $on multiple _dg_; d’ailleurs il e$t divi$eur de lui-même; donc il divi$e _dg_ + _c_; donc il e$t divi$eur de _b_, à cau$e de l’équation _b_ = _dg_ + _c_. Pui$que _c_ e$t divi$eur de _d_ & de _b_, il e$t au$$i divi$eur des multiples de _b_; donc il divi$e _bf_ + _d_; donc il e$t divi$eur de _a_, à cau$e de l’égalité _a_ = _bf_ + _d_.

Si l’on met dans l’équation _b_ = _dg_ + _c_ la quantité _ch_ à la place de _d_ qui lui e$t égale, on aura _b_ = _cgh_ + _c_; $ub$tituant pareillement cette valeur de _b_ dans celle de _a_, ain$i que celle de _d_, on aura _a_ = _cfgh_ + _cf_ + _ch;_ donc au lieu de la frac- tion {_a_/_b_} on auroit, $uivant les $uppo$itions que nous avons faites, {_cfgh_ + _cf_ + _ch_/_cgh_ + _c_}, dans laquelle fraction il e$t ai$é de voir qu’il n’y a que la quantité _c_ qui $oit un divi$eur commun au numéra- teur & au dénominateur, & que cette lettre e$t en même tems le plus grand commun divi$eur. Comme le procédé numé- rique e$t préci$ément le même, il faut au$$i qu’il fa$$e trouver le commun divi$eur que l’on cherche; ain$i l’on pourra tou- [0080]NOUVEAU COURS jours réduire une fraction quelconque à $es moindres termes.

PROBLEME III.

_88_. Réduire deux ou plu$ieurs fractions à un même dénomina- teur, de maniere qu’elles $oient toujours égales aux fractions pro- po$ées.

SOLUTION.

S’il n’y a que deux fractions, on multipliera le numérateur & le dénominateur de chacune par le dénominateur de l’autre; & s’il y en a plu$ieurs, on multipliera le numérateur & le dé- nominateur de chacune par le produit des dénominateurs des autres fractions.

Dans l’un & dans l’autre cas les fractions auront même dé- nominateur; car le produit de tant de nombres que l’on vou- dra, multipliés les uns par les autres, $era toujours le même. De plus, chacune $era égale à la premiere fraction propo$ée, pui$que le numérateur augmente par la multiplication dans la même proportion que les parties du dénominateur dimi- nuent. La regle e$t précì$ément la même pour les fractions algébriques, & $e démontre de la même maniere, comme on le va voir dans les exemples $uivans.

Soient propo$ées les fractions {2/3} & {4/5}, pour être réduites au même dénominateur, on multipliera les deux termes 2 & 3 de la premiere par le dénominateur 5 de la $econde, & réci- proquement les deux termes 4 & 5 de la $econde par le déno- minateur 3 de la premiere, & l’on aura les deux nouvelles frac- tions {10/15} & {12/15} égales aux précédentes, & réduites en même dé- nomination. De même pour réduire les fractions algébriques {_a_/_b_} & {_c_/_d_} à la même dénomination, je multiplie _a_ & _b_ par _d_, & les termes _c_ & _d_ de la $econde par _b_, pour avoir les fractions {_ad_/_bd_}, {_cb_/_bd_} qui $ont égales aux précédentes, & ont même déno- minateur _bd_.

Si l’on a plu$ieurs fractions, comme {2/3}, {3/4}, {5/6} à réduire, on multipliera les termes 2 & 3 de la fraction {2/3} par 24, produit des deux autres dénominateurs 6 & 4; de même les termes 3 & 4 de la fraction {3/4} par le nombre 18, produit des dénomina- teurs 3 & 6 des deux autres; & enfin les termes 5 & 6 de la frac- tion {5/6} par 12, produit des dénominateurs 3 & 4 des deux [0081]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._ premieres, & l’on aura les trois nouvelles fractions {48/72}, {54/72}, {60/72} égales aux précédentes, & qui ont même dénominateur.

En agi$$ant de même, on verra que les fractions {_a_/_b_}, {_c_/_d_}, {_f_/_g_} deviendront celles-ci {_adg_/_bdg_}, {_cbg_/_bdg_}, {_bdf_/_bdg_}, qui ont évidemment même dénominateur.

REMARQUE.

89. Après avoir réduit les fractions propo$ées en même dé- nomination, il e$t à propos de voir $i le dénominateur n’a pas quelque divi$eur par lequel on pui$$e divi$er tous les numéra- teurs, afin de $implifier les nouvelles fractions, ain$i que dans l’exemple précédent, où l’on peut divi$er tous les numéra- teurs & le dénominateur commun par 6, ce qui réduit les frac- tions à celles-ci {8/12}, {9/12}, {10/12} égales aux premieres, ayant même dénomination, & les plus $imples que l’on pui$$e trouver, qui rempli$$ent ces conditions.

90. S’il y a plu$ieurs dénominateurs parmi les fractions à réduire, qui ayent entr’eux un divi$eur commun, deux par exemple, on pourra divi$er une fois par ce divi$eur chaque ter- me des nouvelles fractions réduites; s’il y en a trois qui ayent un divi$eur commun, on pourra divi$er toutes les nouvelles fractions deux fois de $uite par le même divi$eur, ou bien, $i l’on veut, une fois par le quarré de ce divi$eur commun. Dans l’exemple propo$é ci-de$$us; on a divi$é toutes les nouvelles fractions par 6, parce que deux d’entr’elles avoient un même divi$eur 3, $çavoir, la fraction {2/3} & fraction {5/6}, & deux autres des mêmes fractions avoient à leurs dénominateurs un divi- $eur commun 2, $çavoir, la fraction {3/4} & la fraction {5/6}, c’e$t pourquoi l’on divi$e par 2 x 3 ou par 6. On trouvera ai$ément la rai$on de ces opérations, $i l’on décompo$e les dénomina- teurs de ces fractions dans leurs facteurs.

De l’Addition des Fractions.

91 Si les fractions que l’on veut ajouter en$emble n’ont pas un même dénominateur, on commencera par les y réduire: ain$i $i l’on propo$e d’ajouter en$emble les fractions {2/3}, {4/5}, {5/6}, on les réduira au même dénominateur, $uivant l’art. 88, & l’on aura à la place de ces fractions {60/90}, {72/90}, {75/90}, ou plus $implement (article 89.) {20/30}, {24/30}, {25/30}, qui $ont égales aux précédentes. On [0082]NOUVEAU COURS prendra la $omme de leurs numérateurs, pour en faire celui d’une nouvelle fraction, qui con$ervera le même dénomina- teur commun, & qui $era la $omme des fractions propo$ées; cette $omme $e trouvera {69/30} ou {23/10}, qui e$t irréductible. On opé- reroit de même $ur des fractions littérales; ain$i {_a_/_b_} + {_c_/_d_} + {_f_/_g_} = {_adg_ + _bcg_ + _bdf_/_bdg_}.

Si les fractions ont déja même dénomination, on n’aura pas la peine de les y réduire, le re$te de l’opération s’achevera comme dans le cas précédent. La rai$on de cette opération e$t évidente, car pui$que les fractions comptent des unités de même e$pece, étant réduites au même dénominateur, la $omme de ces fractions ne differe pas de celle des numérateurs, par la même rai$on que la $omme de ces différens nombres, 10 écus, 20 écus, 15 écus e$t égale à la $omme des nombres 10 + 20 + 15 = 45 écus.

De la Sou$traction des Fractions.

92. Si les fractions ont un même dénominateur, on fera une nouvelle fraction, dont le numérateur $oit égal à la dif- férence des numérateurs des fractions propo$ées, & qui retien- dra le même dénominateur. Par exemple, $i l’on veut ôter {4/6} de {5/6}, on ôtera le numérateur 4 du numérateur 5, & l’on écrira le re$te 1 au de$$us de la barre de divi$ion, en mettant au de$$ous le dénominateur pour avoir la fraction {1/6} égale à la différence des fractions propo$ées. De même {5/9} - {3/9} = {2/9}, & en Algebre {_a_/_b_} - {_c_/_b_} = {_a_ - _c_/_b_}, {_d_/_f_} - {_g_/_f_} = {_d_ - _g_/_f_}.

Si les fractions n’ont pas un même dénominateur, on com- mencera par les y réduire (n°. 88), & le re$te $e fera comme dans le premier cas, $oit $ur les fractions numériques, $oit $ur les fractions algébriques. Par exemple, $i l’on propo$e d’ôter la fraction {3/7} de la fraction {2/3}, on les réduira d’abord en celles-ci qui leur $ont égales, {14/21} & {9/21}, dont la différence e$t {5/21} égale à celle des fractions primitives {3/7} & {2/3}; de même {5/8} - {4/9} = {45/72} - {32/72} = {13/72}. De même pour ôter de la fraction {_a_/_b_} celle-ci {_c_/_d_}, on les réduira d’abord au même dénominateur, & prenant la diffé- rence des numérateurs des nouvelles fractions, on aura pour [0083]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._ celle des fractions propo$ées {_ad_ - _bc_/_bd_}; de même encore {_f_/_g_} - {_d_/_h_} = {_fh_ - _dg_/_gh_}, {_r_/_s_} - {_x_/_z_} = {_rz_ - _sx_/_sz_}, _&c_.

93. Si l’on avoit plu$ieurs fractions à ôter de plu$ieurs au- tres fractions, on commenceroit par réduire celles que l’on doit ôter en même dénomination ($elon l’art. 88.) pour avoir une $eule fraction égale à leur $omme; on feroit la même cho$e pour les fractions dont on doit $ou$traire les premieres: enfin on prendra la différence de ces nouvelles fractions, & l’on aura celle des fractions propo$ées. Par exemple, $i l’on veut ôter les fractions {1/2}, {2/9}, {4/5} des fractions {2/3}, {3/4}, {5/6}, je réduis les premieres en même dénomination, pour avoir à leur place les fractions {45/90}, {20/90}, {72/90}, dont la $omme e$t {137/90}. Je réduis pareille- ment les fractions {2/3}, {3/4}, {5/6} en même dénomination pour avoir à leur place les fractions {48/72}, {54/72}, {60/72}, ou plus $implement {8/12}, {9/12}, {10/12}, dont la $omme e$t {27/12}; rédui$ant donc les deux fractions {137/90} & {27/12} en même dénomination, la premiere deviendra {1644/1080}, & la $econde {2430/1080}; prenant la différence de ces fractions, on aura celle des fractions propo$ées de {786/1080}. On voit par cet exemple comment on peut déterminer laquelle de deux fractions e$t la plus grande, & de combien l’une $urpa$$e l’autre, ce qui dans certains cas ne s’apperçoit pas tout d’un coup comme dans ces deux-ci, {48/55} & {27/32}, à moins que l’on n’ait beaucoup d’habitude au calcul.

94. Si l’on vouloit $ou$traire un entier & une fraction d’un autre entier, & d’une autre fraction, il faudroit d’abord réduire l’entier en fraction, ce qui $e feroit en le multipliant par le dénominateur de la fraction qui lui e$t jointe: ain$i pour que _a_ - {_cx_/_d_} $oit tout en fraction, il faut multiplier _a_ par _d_, & écrire {_ad_ - _cx_/_d_}; de même pour ne faire qu’une $eule fraction de l’entier 2_y_ + {_bb_/_f_}, l’on multipliera 2_y_ par _f_ pour avoir la frac- tion {2_fy_ + _bb_/_f_}; en$uite pour $ou$traire ces deux fractions l’une de l’autre, par exemple, {_ad_-_cx_/_d_} de {2_fy_ + _bb_/_f_}, je les réduis au même dénominateur, & j’ai pour la $econde {2_dfy_ + _bbd_/_df_}, & pour la premiere {_adf_ - _cfx_/_df_}, dont la différence e$t {2_dfy_ + _bbd_ - _adf_ + _cfx_/_df_}. [0084]NOUVEAU COURS Pour concevoir ai$ément la rai$on de toutes ces opérations, il $uffit de faire attention que les fractions ayant même dénomi- nateur, leur différence e$t préci$ément celle des numérateurs; car il e$t évident que la différence de {3/5} & {2/5} e$t {1/5}, par la même rai$on que la différence de 3 à 2 e$t 1.

REMARQUE.

95. Une fraction n’e$t plus que la moitié, le tiers ou le quart de ce qu’elle étoit, $i on multiplie $on dénominateur par 2, par 3 ou par 4, pui$que le nombre des parties dans le$quelles on divi$e l’unitéprincipale devenant double, triple ou qua- druple, chaque partie diminue dans la même proportion, & que d’ailleurs on n’en prend que le même nombre, pui$que le numérateur ne change pas.

De la Multiplication des Fractions.

96. On peut multiplier une fraction par un entier ou par une autre fraction. Si le multiplicateur e$t un entier, on mul- tipliera le numérateur de la fraction par l’entier donné, le pro- duit $era le numérateur d’une nouvelle fraction, qui con$er- vera le même dénominateur que la fraction multiplicande, & cette nouvelle fraction $era le produit cherché. Par exemple, $i l’on veut multiplier la fraction {2/3} par l’entier 4, je multiplie le numérateur 2 par l’entier 4, & le produit 8 $era le numéra- teur de la fraction {8/3} égale au produit cherché. De même la fraction {4/5} x 6 = {24/5} la fraction {27/32} x 3 = {81/32}; il en e$t de même pour les fractions algébriques. Le produit de {_a_/_b_} x _c_ = {_ac_/_b_}, {_a_/_g_} x _c_+_d_={_ac_ + _ad_/_g_}, {_fg_/_a_} x _a_ - _b_ = {_afg_ - _bfg_/_a_}.

97. Si le multiplicateur e$t au$$i une fraction, on multi- pliera les deux numérateurs l’un par l’autre, & les deux déno- minateurs de même, le produit des numérateurs $era le nu- mérateur d’une nouvelle fraction, dont le produit des déno- minateurs $era le dénominateur, laquelle fraction $era le pro- duit cherché: ain$i {2/3} x {4/5} = {8/15}, {3/5} x {8/9} = {24/45} ou {8/15}, en les rédui- $ant à leur plus $imple expre$$ion: il en $eroit de même $i les fractions étoient algébriques, {_a_/_b_} x {_c_/_d_} = {_ac_/_bd_}, {_fg_/_a_} x {_bd_/_gh_} = {_bdfg_/_agh_} = {_bfd_/_ah_}; de même {_a_ + _b_/_c_}x{_a_ - _b_/_g_} = {_aa_ - _bb_/_cg_}, {_a_-_b_/_f_}x{_c_-_d_/_g_} = {_ac_-_bc_-_ad_+_bd_/_fg_}.

[0085]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._ DÉMONSTRATION.

Pour entendre la rai$on de ces opérations, on fera atten- tion qu’une fraction devient d’autant plus grande, que $on nu- mérateur augmente, le dénominateur re$tant le même; donc pour avoir une fraction deux ou trois fois plus grande, il $uffit de multiplier le numérateur par 2 ou par 3: donc pour le pre- mier cas, pour multiplier une fraction par un entier, il $uffit de multiplier le numérateur de la fraction par l’entier.

Pour le $econd cas, lor$que le multiplicateur e$t au$$i une fraction, on remarquera que lor$que je multiplie une fraction {2/3}, par exemple par {4/5}, & que je multiplie d’abord le numéra- teur 2 de la premiere par le numérateur 4 de la $econde, je multiplie par un nombre cinq fois trop grand, pui$que je ne me propo$e pas de multiplier cette fraction par l’entier 4, mais $eulement par la cinquieme partie de 4; & c’e$t ce que je fais effectivement en multipliant le dénominateur 3 par le déno- minateur 5 (art. 95); car après cette multiplication, les par- ties ne $ont plus que la cinquieme partie de ce qu’elles étoient avant.

98. Si l’on avoit un entier & une fraction à multiplier par un entier & une fraction, on donneroit à chaque entier le même dénominateur que la fraction qui l’accompagne, en le multipliant par le dénominateur, & le divi$ant par le même; on multiplieroit les deux nouvelles fractions qui en ré$ulte- roient l’une par l’autre, & le produit $eroit le produit que l’on demande. Par exemple, (3 + {5/6}) x (4 + {8/9}) = ({18 + 5/6}) x ({36+8/9}) = {23/6} x {44/9} = {1012/54}; de même pour multiplier {_bx_/_a_} - _y_ par {_bx_/_a_} +_y_ je réduis les entiers en fractions, en le multipliant par le dé- nominateur de la fraction, à laquelle ils $ont liés par les $ignes + ou -, & il vient {_bx_ - _ay_/_a_} & {_bx_ + _ay_/_a_}, & multipliant les deux numérateurs l’un par l’autre, c’e$t-à-dire _bx_ - _ay_ par _bx_ + _ay_, il vient _bbxx_ - _abxy_ + _abxy_ - _aayy_ ou _bbxx_ - _aayy_, à qui il faut donner pour dénominateur le produit des dénomina- teurs des deux fractions, qui $era _aa_, & l’on écrira {_bbxx_ - _aayy_/_aa_} pour le produit de la multiplication, ou bien {_bbxx_/_aa_} - _yy_.

[0086]NOUVEAU COURS REMARQUE

99. Si dans le premier cas le multiplicateur étoit égal au dénominateur de la fraction propo$ée, le produit $eroit égal au numérateur, & alors la multiplication $e fait, en ôtant le dénominateur, ain$i {2/3} x 3 = 2, {_a_/_b_} x _b_ = _b_.

Si dans le même cas le dénominateur étoit divi$ible par l’entier propo$é, il faudroit faire la divi$ion, & du quotient faire le dénominateur d’une nouvelle fraction qui auroit même numérateur, & $eroit le produit demandé. Ain$i pour multi- plier {5/12} par 3, on divi$era le dénominateur 12 par 3, & le quo- tient 4 $era le dénominateur d’une nouvelle fraction {5/4}, qui con$ervera le même numérateur, & $era égale au produit cher- ché. En opérant de cette maniere, la fraction qui viendra $era tout d’un coup réduite à $a plus $imple expre$$ion, & l’on n’a pas deux opérations à faire. Il e$t de plus évident que la frac- tion {5/4} e$t le produit de la fraction {5/12} par 3, pui$que les par- ties dans le$quelles on divi$e l’unité principale $ont devenues trois fois plus grandes qu’elles n’étoient, & que l’on en prend toujours le même nombre.

100. Dans le $econd cas, c’e$t-à-dire lor$que le multiplica- teur e$t au$$i une fraction, $i le numérateur de la fraction mul- tiplicande e$t divi$ible par le dénominateur de la fraction multiplicateur, & réciproquement le dénominateur de la pre- miere divi$ible par le numérateur de la $econde, on fera les divi$ions, le premier quotient $era le numérateur d’une frac- tion, & le $econd le dénominateur de la même fraction, la- quelle $era le produit que l’on cherche. Par exemple, $i l’on propo$e de multiplier la fraction {8/9} par la fraction {3/4}, dans le$- quelles le numérateur 8 de la premiere e$t divi$ible par le dé- nominateur 4 de la $econde, & réciproquement le dénomina- teur 9 de la premiere divi$ible par le numérateur 3 de la $e- conde. Je divi$e donc 8 par 4, & 9 par 3; des quotiens 2 & 3, je fais la fraction {2/3}, qui e$t le produit demandé: en opérant de cette maniere, la fraction qui vient au produit e$t tout d’un coup réduite à $a plus $imple expre$$ion, au lieu qu’il auroit fallu réduire la fraction {24/36} que l’on eût trouvée, en $uivant le procédé ordinaire. On doit faire attention à cette remarque, lor$que les fractions que l’on veut multiplier les unes par les autres $ont des nombres un peu con$idérables.

[0087]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._

101. Il arrive quelquefois dans ce $econd cas, que le pro- duit e$t plus petit que le multiplicande, ce qui paroît d’abord $urprenant; mais on ne $era pas long-temps embarra$$é par cette difficulté apparente, $i l’on fait attention à la nature de la Multiplication, qui e$t une opération, par laquelle on cher- che un nombre qui $oit au multiplicande, comme le multi- plicateur e$t à l’unité. Si donc le multiplicateur e$t plus petit que l’unité, il faut que le produit $oit au$$i plus petit que le multiplicande; ce qui arrivera néce$$airement toutes les fois que la fraction propo$ée pour multiplicateur ne vaudra pas un entier. D’ailleurs, quand je multiplie une fraction {8/9} par une autre {3/4}, c’e$t-à-dire que j’en prends les trois quarts, qui $eront certainement plus petits que cette fraction.

102. La Multiplication des fractions $ert à faire connoître ce que c’e$t qu’une fraction de fraction, qui paroît d’abord quelque cho$e de bien compliqué. Si l’on demande, par exem- ple, ce que vaut la moitié des trois quarts des quatre cin- quiemes d’un écu, on multipliera, les unes par les autres, les fractions {1/2}, {3/4}, {4/5}; ce qui donnera au produit {12/40} ou {3/10}: je divi$e l’écu en dix parties pour en avoir le dixieme, il me vient 6 $ols: donc {3/10} valent 18 $ols; & par con$équent 18 $ols $ont la moitié des trois quarts des quatre cinquiemes d’un écu. Enfin on re- marquera encore que l’on peut énoncer une même fraction de plu$ieurs manieres. On peut dire que la fraction {3/10} d’écu vaut les trois dixiemes d’un écu, ou la dixieme partie de trois écus. Toutes ces expre$$ions reviennent ab$olument au même; car $i trois écus $ont triples d’un écu, en prenant la dixieme partie de trois écus, on ne prend qu’un dixieme; & prenant les trois dixiemes d’un écu, on en prend trois fois plus, ce qui fait une compen$ation parfaite.

De la Divi$ion des Fractions.

103. On peut divi$er une fraction par un entier, ou par une autre fraction. Si le divi$eur e$t un entier, on multipliera le dénominateur de la fraction dividende par cet entier, & le produit $era le dénominateur d’une nouvelle fraction, qui ayant même numérateur, $era le quotient demandé. Pour divi$er la fraction {3/4} par 5, on multipliera le dénominateur 4 par l’entier 5, & la fraction {3/20} e$t le quotient cherché: de même [0088]NOUVEAU COURS {5/6} divi$é par 3 = {5/18}, {7/5} divi$é par 6 = {7/30}. La regle e$t la même pour les quantités algébriques: {_a_/_b_} divi$é par _c_ = {_a_/_bc_}; la frac- tion {_fg_ + _gh_/_c_} divi$ée par _d_ = {_fg_ + _gh_/_cd_}, {_aa_ - _bb_/_a_} divi$é par _a_ + _b_ = {_aa_ - _bb_/_c_ x _c_ + _b_} = {_a_ - _b_/_c_}, car _aa_ - _bb_ e$t le produit de _a_ + _b_ par _a_ - _b_; donc _a_ + _b_ $e trouve un divi$eur commun au numé- rateur & au dénominateur, & par con$équent la fraction e$t réductible.

104. Si le numérateur de la fraction dividende étoit divi- $ible par l’entier donné, on feroit la divi$ion, afin de n’être point obligé de réduire la fraction qui viendroit au quotient, & qui $eroit néce$$airement réductible $i l’on multiplioit le dé- nominateur par l’entier propo$é pour divi$eur: ain$i la frac- tion {8/9} divi$ée par 4 = {2/9}, {35/48} divi$é par 7 = {5/48}, en général {_ab_/_c_} divi$é par _b_ = {_a_/_c_}, {_fgh_/_cd_} divi$é par _gh_ = {_f_/_cd_}. La rai$on de toutes ces opérations $e tire toujours du même principe; car divi$er une fraction par un entier, comme 2, 3 ou 4, c’e$t en cher- cher une qui ne $oit que la moitié, le tiers ou le quart de la fraction propo$ée, & c’e$t ce que l’on exécute effectivement, en $uivant l’une ou l’autre méthode. Dans la premiere, lor$- qu’on multiplie le dénominateur, les parties dans le$quelles on divi$e l’unité principale, ne $ont plus que la moitié, le tiers ou le quart de ce qu’elles étoient, pui$que leur nombre devient double ou triple, ou quadruple: donc la fraction n’e$t plus au$$i que la moitié, le tiers ou le quart de ce qu’elle étoit, pui$que l’on ne touche pas au numérateur. Dans la $econde pratique, les parties re$tent bien les mêmes, pui$que l’on ne touche pas au dénominateur; mais la fraction diminue par la divi$ion du numérateur, qui n’e$t plus que la moitié, le tiers ou le quart de ce qu’il étoit, $uivant qu’il a été divi$é par 2 ou par 3, ou par 4. Seulement il e$t à remarquer que l’une de ces deux méthodes peut toujours avoir lieu, pui$qu’il e$t toujours po$$ible de multiplier un nombre par un autre, & que la $e- conde n’e$t d’u$age que lor$que le numérateur e$t divi$ible par l’entier donné; auquel cas on doit préférer cette méthode à la plus générale, pour que la fraction $oit réduite à $es moindres termes dès la premiere opération.

105. Si le divi$eur e$t au$$i une fraction, on multipliera le [0089]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._ numérateur de la fraction dividende par le dénominateur de la fraction divi$eur, & le dénominateur de la même fraction dividende par le numérateur de l’autre, c’e$t ce qu’on appelle ordinairement multiplier en _croix_. Cette regle e$t générale pour les fractions numériques & algébriques; ain$i pour di- vi$er la fraction {2/3} par la fraction {4/5}, je multiplie le numérateur 2 de la premiere fraction dividende par le dénominateur 5 de la fraction divi$eur; je multiplie de même le dénomi- nateur 3 de la premiere par le numérateur 4 de la $econde, & mettant les deux produits 10, 12 en fraction, j’ai pour quo- tient des fractions données, divi$ées l’une par l’autre, la frac- tion {10/12} ou {5/6} qui lui e$t égale. De même la fraction {15/17} divi$ée par {3/4} = {15 x 4/17 x 3} = {60/51} = {20/17}, en rédui$ant le produit. En général une fraction {_a_/_b_} divi$ée par {_c_/_d_} = {_a_ x _d_/_b_ x _c_} = {_ad_/_bc_}, une fraction {_df_ + _gh_/_b_} divi$ée par la fraction {_a_/_c_} = {_cdf_ + _cgh_/_ab_}, {_a_ + _b_/_c_} x {_df_/_a_ - _b_} = {_a_ + _b_ x _a_ - _b_/_cdf_} = {_aa_ - _bb_/_cdf_}, & ain$i des autres.

DÉMONSTRATION.

La rai$on de cette opération e$t toujours déduite des mê- mes principes que les précédentes. Quand je multiplie le dé- nominateur 3 de la fraction {2/3} par le numérateur 4 de la frac- tion {4/5}, je rends la fraction propo$ée cinq fois plus petite (art. 103.) que je ne me propo$e de le faire, pui$que je ne veux pas la divi$er par quatre entier, mais $eulement par la cinquieme partie de 4, pui$que la fraction {4/5} ne vaut que cela (art. 102); donc il faut la rendre cinq fois plus grande pour la remettre dans l’état où elle doit être; c’e$t ce que je fais en multipliant en- $uite le numérateur de la fraction dividende par le dénomina- teur 5 de la fraction divi$eur. La démon$tration $ub$i$te tou- jours dans toute $a force pour les fractions algébriques, cepen- dant on peut la prouver directement comme il $uit.

Pour prouver que la fraction {_a_/_b_}, divi$ée par la fraction {_c_/_d_} donne au quotient {_ad_/_bc_}, nous $uppo$erons que {_a_/_b_} = _f_, & que {_c_/_d_} = _g_, & nous ferons voir que {_ad_/_bc_} = {_f_/_g_}: pour cela, faites at- tention que pui$que l’on a par hypothe$e {_a_/_b_} = _f_, & {_c_/_d_} = _g_, on [0090]NOUVEAU COURS aura _a_ = _bf_, & _c_ = _dg_. Mettant donc ces valeurs de _a_ & de _c_ dans la fraction {_ad_/_bc_}, on aura la nouvelle fraction {_bfd_/_bdg_}, qui étant réduite à $a plus $imple expre$$ion, devient {_f_/_g_}; donc {_ad_/_bc_} = {_f_/_g_}: C. Q. F. D.

106. Si le numérateur de la fraction dividende e$t divi$ible par le numérateur du divi$eur, & le dénominateur de la même fraction divi$ible par celui du divi$eur, il faudra faire les di- vi$ions, & les quotiens mis en fraction, $eront le quotient de- mandé, qui $e trouvera de cette maniere réduit à $a plus $imple expre$$ion. Par exemple, pour divi$er la fraction {8/9} par la frac- tion {2/3}, je divi$e le numérateur 8 par le numérateur 2, & le dénominateur 9 par le dénominateur 3, avec les quotiens 4 & 3, je fais la fraction {4/3}, qui e$t le quotient que l’on demande. En $uivant la regle générale, on auroit multiplié 8 par 3, & 9 par 2, ce qui auroit donné la fraction {24/18}, qui ne vaut en effet que {4/3}, en divi$ant $es deux termes par 6, qui leur e$t com- mun. Il $era toujours po$$ible de faire la divi$ion, en $uivant la regle générale, mais il faut préférer cette derniere à la pre- miere, lor$que la divi$ion peut $e faire.

107. Si l’on avoit un entier & une fraction à divi$er par un entier & une fraction, on réduiroit chaque entier en fraction, qui auroit même dénominateur que la fraction à laquelle il e$t uni par les $ignes + & -, & l’on feroit la divi$ion de ces fractions, $uivant l’une des regles précédentes. Ain$i pour di- vi$er 6 + {3/4} par 2 + {5/6}, je change la premiere en {27/4}, & la $e- conde en {17/6}, je multiplie ces deux fractions en croix, & j’ai pour le quotient {162/68} ou {81/34}, qui e$t irréductible.

108. Il y a encore une autre maniere de divi$er une fraction par une autre fraction, en opérant $ur le numérateur ou $ur le dénominateur $eulement. On opére $ur le numérateur $eu- lement, lor$que le numérateur du dividende e$t divi$ible par celui du divi$eur; & voici ce qu’on fait en ce cas: on divi$e le numérateur du dividende par celui du divi$eur, & en$uite on multiplie le quotient par le dénominateur du même divi- $eur, le produit étant divi$é par le dénominateur du dividende, donne le quotient des deux fractions. Par exemple, $i l’on propo$e de divi$er la fraction {18/49} par la fraction {3/5}, je divi$e le numérateur 18 du dividende par le numérateur 3 du divi$eur, [0091]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._ le quotient e$t 6, que je multiplie par 5, dénominateur du di- vi$eur, le produit 30 divi$é par 49 me donne une fraction {30/49} égale au quotient que je cherche: cette pratique $e déduit tou- jours des mêmes principes. Quand je divi$e 18 par 3, j’ai une fraction cinq fois plus petite que celle que je cherche, car ce n’e$t pas par 3 que je veux la divi$er, mais par {3/5}, ou la cin- quieme partie de 3; c’e$t donc pour rétablir cette trop grande diminution, que je multiplie par 5 le quotient que j’ai trouvé.

On opére $ur le dénominateur $eulement, lor$que le déno- minateur du dividende e$t divi$ible par le dénominateur du divi$eur, & voici ce que l’on fait: On divi$e le dénomina- teur du dividende par celui du divi$eur, & on multiplie le quotient par le numérateur du divi$eur; ce nouveau produit $ert de dénominateur à une fraction qui retient toujours le même numérateur que la fraction dividende, & cette fraction e$t le quotient cherché. Par exemple, pour divi$er la fraction {18/49} par la fraction {5/7}, je divi$e le dénominateur 49 par 7; je multiplie le quotient 7 par le numérateur 5 du divi$eur, le pro- duit e$t 35, que je fais $ervir de dénominateur à une nouvelle fraction, dont le numérateur e$t toujours 18, & j’ai {18/35} pour le quotient demandé. La rai$on de cette méthode e$t encore ai$ée à déduire des principes que l’on a donnés. Quand je divi$e le dénominateur du dividende par le dénominateur 7 du di- vi$eur, j’ai une fraction $ept fois plus grande que la précé- dente, maisje veux qu’elle $oit $eulement {5/7} de fois plus grande que la propo$ée; donc il faut multiplier le nouveau quotient, afin que par la multiplication du dénominateur il y ait une com- pen$ation de ce que l’on avoit fait de trop. En général on doit encore préférer ces méthodes à la méthode générale, lor$- qu’elles peuvent avoir lieu; car en opérant ain$i, les quotiens $eront irréductibles $i le dividende avoit été réduit à $a plus $imple expre$$ion avant de commencer la Divi$ion: dans les exemples précédens, $i l’on eût $uivi la regle générale, on eût trouvé pour le premier {90/147}, pour le $econd {126/245}, au lieu des frac- tions {30/49} & {18/35}.

[0092]NOUVEAU COURS TRAITÉ DES FRACTIONS DÉCIMALES.

109. OUtre les fractions dont nous venons de parler, il y en a encore d’autres qui $ont d’un grand u$age en Mathématique, & dont la connoi$$ance e$t ab$olument néce$$aire pour avoir dans certaines occa$ions les grandeurs dont on a be$oin avec toute la préci$ion po$$ible.

DÉFINITION.

110. Si on divi$e un tout ou unité principale par l’unité, $uivie d’un ou de plu$ieurs zero, par les nombres 10, 100, 1000, 10000, &c, qui $ont les pui$$ances $ucce$$ives de 10, & que l’on prenne plu$ieurs de ces parties égales, la fraction qui marque combien on prend de ces parties égales, e$t ap- pellée _fraction décimale_, & $e marque ain$i: {3/10}, {7/100}, {48/1000}, & ain$i des autres.

On a trouvé le $ecret d’opérer $ur ces $ortes de fractions, préci$ément de la même maniere que l’on opére $ur les nom- bres naturels; & de plus, de réduire toute fraction donnée à une fraction décimale qui lui $oit égale, ou qui n’en différe que d’une quantité infiniment petite, & c’e$t ce qui a rendu leur u$age $i fréquent dans les Mathématiques.

PREMIER PRINCIPE.

111. Pui$que les fractions décimales $ont des fractions, on peut les exprimer comme les autres fractions; ain$i pour mar- quer 3 dixiemes, 58 centiemes on peut écrire {3/10}, {58/100}: mais il y a une autre maniere de les marquer, c’e$t d’écrire le numé- rateur $eulement, en $ous-entendant le dénominateur. Par exemple, au lieu d’écrire {3/10}, {58/100}, on écrit. 3. 58, en mettant un point $ur la gauche du numérateur, de maniere qu’il y ait après ce point autant de chiffres qu’il y auroit de zero au dé- nominateur après l’unité; de même s’il y avoit des entiers joints aux fractions, comme 15 {25/100}, 38 {245/1000}, on pourroit écrire 15. 25 & 38. 245. De cette maniere, quoique le dénomina- teur ne $oit pas exprimé, on peut cependant toujours le con- [0093]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._ noître: car s’il y a deux chiffres après le point, on concluera que le dénominateur e$t 100, s’il y en a trois, on concluera que le dénominateur e$t 1000, & ain$i de $uite.

112. Il $uit delà que $i l’on a des expre$$ions, comme 253. 27, cela $ignifie 253 {27/100}, de même que 483. 547 $ignifie 483 entiers {547/1000}. Il $uit encore delà que $i l’on veut mettre $ous cette forme la quantité 28 {3/100}, il faudra l’écrire ain$i, 28. 03, en mettant un zero devant le 3, afin qu’il y ait deux chiffres après le point, pour que l’on connoi$$e que le dénominateur e$t l’unité $uivie de deux zero ou 100. De même pour mettre $ous cette forme 53 {48/10000}, on écrira 53. 0048, en mettant deux zero avant les chiffres 48, pour marquer que le déno- minateur a quatre zero après l’unité, & compte des dix mil- liemes.

113. S’il n’y avoit point d’entiers avec la fraction, mais $eu- lement {325/1000}, on écriroit ain$i: 0.325, en fai$ant voir par le zero mis avant le point, qu’il n’y a pas d’entier. Si l’on fait bien attention, on verra que cette expre$$ion 0.325 e$t égale à {3/10} + {2/100} + {5/1000}; car {3/10} e$t égale à {30/100}, à {300/1000}, & {2/100} = {20/1000}, pui$qu’une fraction ne change pas de valeur lor$qu’on multiplie $on numérateur & $on dénominateur par un même nombre: donc au lieu d’exprimer la fraction 0.325 en di$ant 325 cen- tiemes, on auroit pu l’énoncer ain$i: 3 dixiemes, 2 centiemes, 5 milliemes; ce qui fait voir que les chiffres de cette quantité 0.325 vont en augmentant en proportion décuple, en allant de droite à gauche, & diminuent dans la même proportion, en allant de gauche à droite: car il e$t évident qu’un centieme e$t dix fois plus grand qu’un millieme, & qu’un dixieme e$t dix fois plus grand qu’un centieme. En con$idérant les frac- tions décimales $ous ce point de vue, on peut les définir en di$ant que ce $ont des nombres moindres que les entiers qui $uivent la proportion des différens ordres de la numération.

En effet, après avoir fixé le terme des unités ou nombres en- tiers, rien n’empêche d’imaginer d’autres nombres, dont les unités $uivent toujours la même progre$$ion, ain$i que dans ce nombre 6325.489, dans lequel les unités du premier chiffre 2, qui e$t à la gauche du 5, où $e terminent les entiers, $ont dix fois plus grandes que les unités du même 5, & les unités du 4 qui e$t immédiatement à la droite du même 5, $ont dix fois plus petites que les unités du 5, ou les unités du 3 qui occupe le [0094]NOUVEAU COURS $econd rang à la gauche du chiffre 5 des unités, $ont cent fois plus grandes que celles du même 5, & les unités du 8 qui tient le $econd rang vers la droite, après le 5, $ont cent fois plus petites que les unités du même 5, & ain$i des autres qui pour- roient occuper des rangs égaux, tant vers la droite, que vers la gauche du chiffre des unités: en$orte que l’on peut dire, en partant de ce chiffre vers la droite, unités, dixiemes, cen- tiemes, milliemes, &c, de même que l’on dit, en partant de ce même chiffre vers la gauche, unités, dixaines, centaines, mille, &c. Cette maniere d’envi$ager les fractions décimales jette un grand jour dans toutes les opérations que l’on fait $ur elles, & l’on ne peut $e la rendre trop familiere.

SECOND PRINCIPE.

114. Plu$ieurs fractions décimales, comme 0 3, 0.54, 0.008, ou leurs égales, {3/10}, {54/100}, {8/100}, étant $ous leur premiere forme, pourront ai$ément $e réduire à la même dénomination; car {3/10}, comme on l’a déja dit, e$t égal à {30/100}, à {300/1000}, & {54/100} e$t égal à {540/1000}: donc les fractions propo$ées pourront au$$i s’écrire $ous cette forme, 0.300, 0.540, 0.008. Il e$t évident que ces chan- gemens ne font point changer la valeur des fractions, pui$que l’on ne fait par cette opération que multiplier les numérateurs & dénominateurs par les mêmes nombres. Ces principes une fois bien compris, il e$t ai$é de voir que l’on peut opérer $ur les fractions comme $ur les nombres entiers; & comme l’on peut réduire toute fraction en fraction décimale qui lui $oit égale, ou qui n’en différe pas $en$iblement, il $uit au$$i que l’on peut rappeller toutes les opérations des fractions à celles des nombres entiers: c’e$t pourquoi nous n’entrerons pas dans un grand détail d’exemples. Nous allons commencer par ex- pliquer l’art de faire $ur ces quantités les quatre Regles prin- cipales de l’Arithmétique; nous donnerons en$uite la maniere de réduire une fraction quelconque en décimales, & les diffé- rentes applications que l’on peut faire de ces opérations aux calculs qui $ont le plus en u$age.

De l’Addition des Fractions décimales.

115. Si les fractions propo$ées ne $ont pas réduites à la même dénomination, on commencera par les y réduire (art. 113): [0095]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._ cette préparation faite, on les rangera les unes $ous les autres, de maniere que les dixiemes $oient $ous les dixiemes, les cen- tiemes $ous les centiemes, les milliemes $ous les milliemes, formant chacun une colonne verticale, & l’on fera l’Addition $uivant les regles que l’on a données pour l’Addition des nom- bres entiers. Par exemple, $i l’on veut avoir la $omme des fractions 0.3, 0.25, 0.489, 0.056, on les réduira en même dé- nomination que le nombre 0.489, ou 0.056, dont chacun a des milliemes, & l’on aura, en les di$po$ant par ordre comme il convient, # 0.300 # 0.250 # 0.489 # 0.056 dont la $omme $e trouvera être de # 1.095, # c’e$t-à-dire l’entier, & {95/1000}.

116. S’il y avoit des entiers joints aux # 25.430 # 3.054 # 69.067 # 36.480 # 134.031 fractions, comme dans les nombres $ui- vans, 25.43, 3.054, 69.067, 36.48, ce $eroit préci$ément la même opération, & l’on auroit, en les ajoutant comme on voit ici, après les avoir réduit à la dénomination de 3.054, 134.031, c’e$t-à-dire 134 entiers, plus lafraction {3@/1000}.

On peut même $e di$pen$er de réduire les frac- # 0.35 # 0.48 # 0.54 # 0.345 # 0.0048 # 1.7198 tions propo$ées à la même dénomination, en ob- $ervant tout le re$te, comme on l’a expliqué au commencement de l’art. 114. Ain$i $i l’on veut ajouter les fractions $uivantes, 0.35, 0.48, 054, 0.345, 0.0048, on les di$po$era comme on le voit ici, & l’on aura pour la $omme que l’on a demandée

De la Sou$traction des Fractions décimales.

117. Si les fractions n’ont pas même dénomination, pour plus grande facilité, on commencera par les réduire à celle du plus grand dénominateur, $uivant la méthode de l’art. 113; en$uite on les di$po$era de maniere que les dixiemes $oient au de$$ous des dixiemes, les centiemes $ous les centiemes, & ain$i des autres nombres: cela fait, on fera la Sou$traction [0096]NOUVEAU COURS comme elle $e pratique $ur les nombres entiers. # 0.5894 # 0.0250 # 0.5644 Ain$i pour ôter la fraction décimale 0.025 de 0.5894, on écrira comme on voit ici, & fai$ant la Sou$traction, le re$te $era . . .

Si l’on avoit des entiers & des fractions à $ou$traire d’un entier & d’une fraction, la méthode $eroit toujours la même:

# 68.05489 # 47.9453 # 20.10959

ain$i pour ôter 47.9453 de 68.05489, on écrira, fans même $e donner la peine de réduire le pre- mier à la domination du $econd, & le re$te $era

La démon$tration de ces deux opérations e$t la même que celle des mêmes opérations $ur les nombres entiers; car pui$- que l’on prend la _$omme_ ou la _différence_ des dixiemes, des cen- tiemes, des milliemes, on a au$$i la _$omme_ ou la _différence_ de ces fractions, pui$qu’elles ne contiennent que des dixiemes, des centiemes, & des milliemes, &c. La preuve de ces deux opérations $e fait au$$i comme dans les autres par l’opération contraire; ain$i il n’e$t pas néce$$aire d’in$i$ter davantage.

De la Multiplication des Fractions décimales.

118. Pour multiplier deux nombres l’un par l’autre, donc un $eul, ou tous les deux en$emble, renferment des parties décimales, on fera la Multiplication comme $i ces nombres étoient tous nombres entiers; & lor$qu’on aura trouvé le pro- duit, on $éparera vers la droite autant de chiffres qu’il y a de décimales, tant au multiplicande qu’au multiplicateur. Les chiffres qui $eront à la gauche du point marqueront les en- tiers, & ceux qui $eront à la droite marqueront les décimales. Par exemple, pour multiplier 24.35 par 2.3, on écrira

# 24.35 # 2.3 # 7305 # 4870 # 56.005

Ayant fait la Multiplication comme s’il n’y avoit point de décimales, & trouvé le produit 56005, on écrira 56.005, fai- $ant en$orte qu’il $e trouve trois chiffres à la droite du point, parce qu’il y avoit trois rangs de décimales, tant au multipli- cande qu’au multiplicateur, $çavoir, 2 à l’un, & 1 à l’autre. De même pour multiplier 4.35 par 6.7, j’écris

[0097]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._ # 4.35 # 6.7 # 3045 # 2610 # 29.145

Fai$ant la Multiplication comme s’il n’y avoit point de décimales, je trouve le produit 29145, & j’écris 29.145, fai$ant en$orte qu’il y ait trois rangs de décimales aprés le point, parce qu’il y en a deux au multiplicande, & un au multiplicateur.

119. Il pourroit arriver que le nombre des rangs de déci- males du multiplicande & du multiplicateur fût plus grand que le nombre des chiffres du produit; ce qui arrive lor$qu’il n’y a point d’entiers joints aux fractions décimales, & qu’elles $ont d’un certain ordre; en ce cas on mettroit vers la gauche autant de zero qu’il $eroit néce$$aire, pour qu’il y ait après le point autant de rangs de chiffres qu’il y en a au multiplicande & au multiplicateur. Par exemple, $i l’on propo$e de multi- plier ces deux nombres, qui ne contiennent

# 0.0054 # 0.012 # 108 # 54 # 0.0000648

que des décimales, 0.0054 par 0.012, les ayant di$po$és comme on voit ici, fait la multiplication comme à l’ordinaire, & trouvé le produit 648 des chiffres $ignificatifs, multi- pliés les uns par les autres, on écrira 0.0000648, en fai$ant en$orte, par l’addition de quatre zero, qu’il y ait après le point autant de rangs qu’il y en a, tant au multiplicande qu’au multiplicateur.

De même 0.0048, multiplié par 0.027,

# 0.0048 # 0.027 # 336 # 96 # 0.0001296

donne au produit, en multipliant les chiffres $ignificatifs les uns par les autres, 1296, & j’ajoute à ce produit, vers la gauche, trois zero, afin qu’il y ait autant de rangs de décimales après le point qu’il y en a, tant au multipli- cande qu’au multiplicateur.

DÉMONSTRATION.

Pour entendre plus ai$ément la rai$on par laquelle on dé- montre l’opération précédente, nous l’appliquerons au pre- mier exemple, dans lequel il s’agi$$oit de multiplier 24.35 par 2.3. Lor$que je multiplie ces nombres l’un par l’autre, com- me s’ils n’avoient point de décimales, je rends le multiplicande cent fois plus grand qu’il n’e$t, pui$que les unités du 4 qui $e [0098]NOUVEAU COURS trouvoient par le point au rang des unités $imples, $e trou- vent par la $uppre$$ion du même point au rang des centaines. De même je rends le multiplicateur 2.3 dix fois plus grand qu’il n’e$t effectivement, en le con$idérant comme 23: le pro- duit qui ré$ulte de ces deux nombres $era donc dixfois cent fois plus grand qu’il ne doit être, ou mille fois plus grand: donc pour le réduire à $a ju$te valeur, il faudra le rendre mille fois plus petit; & c’e$t ce que l’on fait en retranchant vers la droite autant de rangs de décimales qu’il y en a, tant au multiplicande qu’au multiplicateur. Dans notre exemple, on en a retranché 3, ce qui a fait que le chiffre 6 du produit 56005, qui étoit au rang des mille, s’e$t trouvé au rang des unités, en écrivant 56.005. On appliquera le même rai$onnement à tout autre exemple.

De la Divi$ion des Fractions décimales.

120. Pour divi$er un nombre décimal par un autre, $oit qu’ils ne contiennent l’un & l’autre que des décimales, $oit que le dividende & le divi$eur ayent encore, outre ces déci- males, des nombres entiers, ou $eulement l’un des deux, regle générale, on regardera ces nombres comme s’ils étoient tous nombres entiers: on les divi$era l’un par l’autre, $uivant la méthode de la Divi$ion des nombres entiers; & lor$qu’on aura trouvé le quotient, on fera en$orte qu’il y ait après le point un nombre de décimales égal à celui du dividende, moins celui du divi$eur.

Soit, par exemple, propo$é de divi$er 88.392 par 254.

Je divi$e ces deux nombres comme s’ils

# 88.392 # { # 2.54 # 762 # # 34.8 # 1219 # 1016 # 2032 # 2032

étoient 88392 & 254, ayant trouvé le quo- tient 348, j’écris 34.8, de maniere qu’il y ait après le point un rang de décimales, parce qu’il y en a trois au dividende, & deux au di- vi$eur, dont la différence e$t 1.

[0099]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._ EXEMPLE II.

Soit propo$é de divi$er 158.0802 par 32.46.

Je divi$e ces deux nombres comme # 158.0802 # { # 32.46 # 12984 # # 4.87 # 28240 # 25968 # 22722 # 22722 # 00000 s’ils ne contenoient point de décimales, & ayant trouvé le quoitient 487, je l’é- cris ain$i, 4.87, c’e$t-à-dire quatre en- tiers {87/100}, en fai$ant en$orte qu’il y ait deux chiffres de décimales, parce que la différence de 2 à 4 e$t 2.

121. Il $uit de cette Regle générale, que s’il y a autant de décimales au divi$eur qu’au dividende, le quotient $era des entiers; car pui$que (_hyp_.) le divi$eur a autant de rangs de décimales que le dividende, la différence $era 0, & par con- $équent il n’y aura point de décimales au’quotient. Il $uit en- core delà, que s’il n’y a point de décimales au divi$eur, il y en aura autant au quotient qu’au dividende. Si le dividende n’a- voit point de parties décimales, ou en avoit moins que le di- vi$eur, on lui ajouteroit autant de zero qu’il $eroit néce$$aire, pour que le nombre de $es décimales fût égal à celui des déci- males du divi$eur, & dans ce cas le quotient aura toujours des entiers, à moins que le nombre des entiers du divi$eur ne fût plus grand que celui des entiers du dividende. Par exem- ple, $i l’on propo$e de divi$er 883.92 par 2.54, le quotient $era 348, parce que la différence des décimales du dividende à celles du divi$eur e$t zero.

De même $i l’on veut divi$er 5952 par # 5952.00 # { # 1.24 # 496 # # 4800 # 992 # 992 # 000 1.24, on ajoutera deux zero au dividen- de, parce qu’il y a deux rangs de déci- males au divi$eur: puis fai$ant la divi$ion des nombres 5952.00, 1.24 comme s’ils étoient 595200, 124, on trouvera le quo- tient de 4800 entiers.

Pour entendre plus ai$ément la démon$tration de cette Regle générale, nous allons établir plu$ieurs principes.

PREMIER PRINCIPE.

122. Une fraction décimale qui contient des entiers & des [0100]NOUVEAU COURS décimales, peut être énoncée comme $i elle ne contenoit que des décimales: ain$i la fraction 24.32, qui vaut 24 entiers & 32 centiemes, peut être énoncée ain$i, deux mille quatre cens trente-deux centiemes; car {2400/100} ou deux mille quatre cens cen- tiemes, valent 24 entiers, pui$que le numérateur e$t 24 fois plus grand que le dénominateur.

SECOND PRINCIPE.

123. Les unités du quotient doivent toujours être de même nature que celles du dividende, lor$que le divi$eur e$t un nom- bre entier qui marque des nombres de fois: ain$i $i le divi- dende a pour unités des milliemes, & que le divi$eur $oit un nombre entier ab$trait, comme 3 ou 4, le quotient vaudra le tiers ou le quart des milliemes du dividende, & aura par con- $équent des unités de même nature.

TROISIEME PRINCIPE.

124. Plus un divi$eur e$t grand, le dividende re$tant le même, plus le quotient e$t petie; & réciproquement plus le divi$eur e$t petit, le dividende étant toujours $uppo$é le mê- me, plus le quotient e$t grand: car il e$t vi$ible que plus un nombre e$t petit, plus il e$t contenu de fois dans un autre.

Démon$tration de la Regle générale.

Pour rendre cette démon$tration plus intelligible, nous al- lons appliquer les rai$onnemens au premier exemple. Quand je divi$e ce nombre 88.392 par celui-ci, 2.54, comme s’ils étoient des nombres entiers, le quotient 348 que je trouve, ne doit avoir que des nombres entiers par le $econd principe: mais pui$que le dividende e$t 88.392, & non pas 88392, c’e$t- à-dire 88 milles 392 milliemes, les unités du quotient, par le $econd principe, doivent être des milliemes: doncle quotient 348 e$t mille fois plus grand qu’il ne doit être, en $uppo$ant le divi$eur toujours entier, & que les unités du dividende $ont des milliemes: il faudroit donc en ce cas l’écrire ain$i, 0.348. Pré$entement $i l’on $uppo$e que le divi$eur devienne ce qu’il e$t réellement, c’e$t-à-dire 2.54, ou deux cens cinquante-quatre centiemes, pui$que les centiemes $ont cent fois plus petits que les unités, le nombre 2.54 $era au$$i cent fois plus petit que [0101]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. 254: donc le quotient doit devenir cent fois plus grand; & c’e$t ce que l’on fait en retranchant un rang de décimales vers la droite dans le quotient 0.348, qui devient 34.8: car en opé- rant ain$i, les unités du 3 qui étoient des dixiemes, $ont deve- nues des dixaines, les unités du 4 qui étoient des centiemes, $ont devenues des unités $imples, & par con$équent le quo- tient 0.348 étant écrit ain$i 34.8, e$t devenu cent fois plus grand; d’où il $uit que la méthode que l’on a donnée met les cho$es dans l’état où elles doivent être.

Pour entendre la rai$on des opérations énoncées dans l’ar- ticle 120, on fera attention que le quotient d’une divi$ion ne change pas, lor$qu’on multiplie le divi$eur & le dividende par un même nombre. Ain$i 12 divi$é par 4, donne 3 au quo- tient: que je multiplie 12 & 4 par 5, le quotient des produits 60 & 20, divi$és l’un par l’autre, $era toujours 3. Cela po$é, lor$que je divi$e deux nombres, qui ont chacun même nom- bre de décimales, comme s’ils n’en avoient point, je ne fais que multiplier le dividende & le divi$eur par un même nom- bre; ce qui ne doit point changer le quotient: ain$i quand je divi$e 88 3.92 par 2.54, comme s’ils étoient 88392 & 254, je multiplie le dividende & le divi$eur par 100; le quotient ne doit donc pas changer: mais le quotient de 88392 divi$é par 254, e$t 348: donc ce même nombre e$t au$$i le quotient de 883.92 divi$é par 2.54. Cette rai$on peut donner la démon$- tration de tous les cas imaginables, c’e$t pourquoi on fera très-bien de l’étudier avec attention.

U$ages des Fractions décimales.

125. _Premier u$age_. Approcher $i près que l’on voudra du quotient d’une divi$ion qui ne peut pas $e faire $ans re$te.

On cherchera d’abord le quotient du dividende, divi$é par le divi$eur, & l’on mettra à la $uite du re$te autant de zero que l’on voudra avoir de décimales au quotient: $i l’on veut avoir le quotient à un millieme ou un dix millieme près, on ajoutera trois ou quatre zero à la $uite du re$te, & l’on conti- nuera la divi$ion comme à l’ordinaire, en mettant les chiffres à la $uite du quotient comme ils viendront, après les avoir $éparés des entiers du quotient par un point, comme on va voir dans l’exemple $uivant.

[0102]NOUVEAU COURS

Soit propo$é de divi$er 353 par 15, & de trouver un quo- tient qui ne differe pas du vrai quotient de la dix millieme partie de l’unité.

Après avoir divi$é 353 par 15, & trouvé 353 # {15 30 # 23.5333 53 45 8.0000 7.5 50 450 500 45 50 le quotient 23 avec le re$te 8, j’ajoute à ce re$te quatre zero, parce que je veux pou$$er les décimales ju$qu’aux dix mil- liemes, & continuant la Divi$ion comme à l’ordinaire, je dis, en 80 combien de fois 15, cinq fois; je po$e 5 au quotient (après avoir mis un point à la $uite du 3 pour $é- parer les entiers des décimales); cinq fois 15 font 75, que je po$é $ous 80. 75 de 80, re$te 5; j’abai$$e un zero à côté du 5, & je dis, en 50 combien de fois 15, trois fois; je po$e 3 au quotient; trois fois 15 font 45, de 50, re$te 5; j’abai$$e encore un zero, & divi$ant 50 par 15, je trouve encore 3 au quotient; & comme l’on e$t ar- rivé à un re$te 5, qui $era toujours le même, les quotiens qui $uivront $eront au$$i toujours les mêmes, & l’on aura tout d’un coup un quotient qui ne différera pas, $i l’on veut, du vrai quotient de la cent millionieme partie de l’unité.

126. _Second u$age_. Trouver une fraction décimale égale à une fraction donnée moindre que l’unité, ou bien, ce qui revient au même, faire la divi$ion d’un nombre par un nom- bre plus grand que lui.

Soit propo$é de réduire la frac- 5.000000 # {7 49 # 0.714285 10 7 30 28 20 14 60 56 40 35 5 tion {5/7} en décimale, ou, ce qui e$t la même cho$e, de trouver le quo- tient approché de 5 divi$é par 7, ju$qu’à ce qu’il ne differe pas de la millieme partie de l’unité. On ajou- tera à la $uite du numérateur 5 $ix zero, & fai$ant la divi$ion comme à l’ordinaire, on trouvera au quo- tient 0.714285, ou 174 mille 285 millioniemes pour le quotient de 5 divi$é par 7, ou pour la valeur ap- prochée de la fraction {5/7}, avec un re$te cinq, ou cinq millioniemes, [0103]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. dont il faudroit encore prendre la $eptieme partie. Si l’on vou- loit continuer plus loin la Divi$ion, on trouveroit une $uite infinie de périodes égales à 714285; car il e$t évident qu’en mettant un zero à la $uite du 5, on auroit encore 50 à divi$er par 7, & les mêmes quotients reparoîtroient avec les mêmes re$tes, ce qui donneroit en un in$tant une approximation pro- digieu$e, mais cependant toujours telle, qu’il y manqueroit quelque cho$e. Dans la pratique la plus rigoureu$e, on $e con- tente ordinairement de $ix chiffres décimaux, ou tout au plus de huit.

127. Il y a des fractions qui peuvent $e réduire en fractions décimales, & d’autres qui ne peuvent jamais s’y réduire, com- me la fraction {5/7} & la fraction {6/7}, pour laquelle on trouveroit 0.857142, 857142, &c. en $uivant le même procédé que nous avons $uivi pour la premiere. Il n’en e$t pas de même des frac- tions {4/5}, {5/16}, pour le$quelles on trouve des fractions décimales complettes & $ans re$te, 0.8, 0.3125, en $uivant toujours le même procédé.

128. _Troi$ieme u$age_. Réduire en fraction décimale les par- ties connues d’une certaine me$ure, comme de la toi$e, du pied, & de la livre, &c. On fera d’abord une fraction qui aura pour numérateur le nombre des parties que l’on veut ré- duire en décimales, & pour dénominateur, le nombre qui marque combien de fois cette partie e$t contenue dans la me- $ure dont il s’agit. On réduira cette fraction en décimales par l’article précédent, & l’on aura la fraction décimalc deman- dée. Par exemple, $i je veux avoir une fraction décimale de la toi$e, qui vale 5 pieds, ou bien réduire 5 pieds en parties décimales de la toi$e, je prends cette fraction {5/6}, dont le nu- mérateur 5 exprime le nombre de pieds, dont je veux avoir la valeur en décimales, & le dénominateur 6 marque combien de fois le pied e$t contenu dans la toi$e: jeréduis cette fraction en décimale, $uivant l’art. 125, & j’ai pour la valeur de 3 pieds en décimale, 0.8333, qui n’en differe pas de la dixmillieme partie de la toi$e. De même $i je veux réduire 9 pouces en dé- cimales de la toi$e, ou, ce qui revient même, avoir une partie décimale de la toi$e égale à 9 pouces, je prends la fraction {9/72}, dont le numérateur $oit 9, & le dénominateur le nombre 72, qui me marque combien de fois le pouce e$t contenu dans la toi$e, & divi$ant 9 par 72, $elon la méthode de l’art. 125, je trouve [0104]NOUVEAU COURS pour la valeur de 9 pouces en parties décimales de la toi$e, 0.125. Si l’on vouloit avoir une partie décimale de la toi$e égale à 5 pieds 9 pouces, il n’y auroit qu’à prendre la $omme des deux nombres 0.8333, & 0.125, ou 0.1250 que l’on trouveroit de 0.9583.

129. Si l’on vouloit réduire en parties décimales de la livre, des nombres de $ols & de deniers, on s’y prendroit de la même maniere. Par exemple, $i l’on me demande une partie déci- male de la livre égale à 7 $ols 8 den. je cherche d’abord une partie décimale de la livre, égale à 7 $ols; ce que je fais en di- vi$ant 7 par 20, ou en cherchant une fraction décimale égale à la fraction {7/20}, que l’on trouvera de 0.35={35/100}. Je cherche en$uite une fraction décimale de même valeur que la fraction {8/240}, qui vaut 8 deniers, pui$que le denier e$t la 240<_>e partie de la livre, que je trouve de 0.0333, & prenant la $omme de ces deux fractions, j’ai pour la valeur de 7 $ols 8 den. en fractions décimales de la livre, 0.3833.

130. _Quatrieme u$age des fractions décimales_. Faire la multi- plication des nombres complexes par le moyen des décimales.

Soit propo$é de trouver le prix de 27 toi$es 5 pieds 9 pouces, à 4 liv. 7 $ols 8 den. la toi$e.

Je réduis les 5 pieds 9 pouces en parties 27.9583 4.3833 838749 838749 2236664 838749 1118332 122.54961639 décimales de la toi$e, $uivant l’art. 127, & j’ai 27<_>t. 9583 de toi$e; de même je réduis les 7 $ols 8 den. en parties décimales de la livre, & j’ai par l’art. 128, 4<_>1.3833, je mul- tiplie ces deux nombres l’un par l’autre, au lieu de multiplier 27 toi$es 5 pieds 9 pouces par 4 liv. 7 $ols 8 deniers, & ayant trouvé le produit 122.54961639, je fais en$orte qu’il y aìt huit rangs de décimales après le point (art. 117), parce qu’il y en a quatre au multiplicande & au multiplicateur, & j’ai 122 au rang des livres, re$te à $çavoir ce que vaut la fraction décimale 0.54961639, expri- mée en $ols & en deniers: c’e$t ce que nous allons expliquer dans l’article $uivant.

131. Réduire une fraction décimale en parties connues, ou, ce qui e$t la même cho$e, évaluer une fraction décimale.

On multipliera la fraction décimale par le nombre qui mar- que combien de fois la quantité à laquelle on veut réduire, e$t [0105]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. contenue dans le tout, dont la fraction e$t décimale; & lor$- qu’on aura trouvé le produit, le nombre qui $e trouvera hors du rang des décimales, $era celui que l’on demande: par exem- ple, $i l’on me propo$e d’évaluer cette fraction de livre 0.35 en $ols, je multiplie 0.35 par 20, le produit e$t 7.00; d’où je conclus que cette fraction vaut 7 $ols, pui$que le nombre 7 $e trouve hors du rang des décimales. De même $i l’on me propo$e d’évaluer en pieds & pouces cette fraction de toi$e 0.9583, je multiplie d’abord ce nombre par 6, qui marque combien de fois la toi$e contient le pied, je trouve au produit 5.7498, d’où je conclus d’abord que cette fraction vaut cinq pieds; la partie décimale 7498 exprime donc des parties décimales de pieds. Pour $çavoir ce qu’elle vaut de pouces, je multiplie ce nombre par 12, qui marque combien de fois le pouce e$t con- tenu dans le pied, le produit e$t 8.9976; d’où je conclus en- core que 0.7498 de pied valent 8 pouces, pui$que 8 $e trouve au rang des entiers; & de plus je prends 9, à cau$e que la frac- tion re$tante {9976/10000} e$t pre$que égale à l’unité: donc la fraction décimale de toi$e 0.9583 vaut 5 pieds 9 pouces, comme on le $çait par l’art. 127.

La rai$on de cette pratique e$t ai$é à déduire de la nature des décimales; car lor$que je multiplie la fraction 0.35 de liv. par 20, le produit 7.00 e$t bien vingt fois plus grand, mais il n’exprime plus que des parties décimales de $ols, au lieu qu’au- paravant il exprimoit des parties décimales de livres, qui $ont vingt fois plus grandes.

En $uivant ce procédé, on trouvera que la fraction de livre 0.54961639, vaut 10 $ols 11 den. + {907840/1000000}; & $i l’on eût cherché le même prix, $uivant les regles des parties aliquotes, on auroit trouvé 122 liv. 11 $ols o d.; ce qui montre la préci- $ion de chacune de ces méthodes. Cependant il faut avouer que celle des parties aliquotes a quelque cho$e de plus expé- ditif dans la pratique, quoique les principes $ur le$quels cha- que méthode e$t fondée $oient fort $imples, & à la portée de tout le monde.

Remarque générale $ur les Fractions décimales.

132. Lor$que les fractions décimales contiennent beaucoup de chiffres, on retranche ordinairement les deux derniers, vu [0106]NOUVEAU COURS l’erreur in$en$ible qui en ré$ulte. Par exemple, pour évaluer cette derniere fraction de livres 54961639, on aura à peu près la même préci$ion en évaluant celle-ci, 5497, que l’on a, en retranchant les quatre derniers chiffres de la précédente, & mettant une unité au 6 pour compen$er ce retranchement. On verra encore d’autres u$ages des fractions décimales dans l’extraction des racines quarrées & cubiques, qui $ont encore plus importans que les précédens.

_DU CALCUL DES EXPOSANS_, DE LA FORMATION DES PUISSANCES, ET DE L’EXTRACTION DES RACINES. _Du Calcul des Expo$ans_.

133. NOUS avons déja vu (art. 39.) qu’un expo$ant e$t un nombre que l’on met vers la droite d’une lettre, un peu plus élevée qu’elle, & qui marque combien de fois on auroit dû écrire cette lettre, ou combien de fois elle e$t multipliée par elle - même. _a_<_>3, _a_<_>5, _a_<_>2_b_<_>3, _a_<_>4_b_<_>8 $ont des quantités exponan- tielles. Mais on trouve $ouvent en Algebre des quantités qui ont des expo$ans po$itifs & négatifs, po$itifs entiers, & po$itifs fractionnaires, négatifs entiers, & négatifs fractionnaires, comme _a_<_>3, _a_<_>-3, _a_<_>{3/2}, _a_<_>-{3/2}; on trouve même quelquefois des lettres qui ont zero pour expo$ant, comme _a_°, _b_°, &c. Il s’agit de $çavoir ce que peuvent $ignifier ces expre$$ions, c’e$t ce que nous allons démontrer, & c’e$t à quoi $e réduit ce qu’on appelle _calcul des expo$ans_.

Comme ce calcul e$t fondé $ur ces deux $uppo$itions, 1°. que deux lettres ou plu$ieurs, mi$es à côté l’une de l’autre, dé$i- gneront toujours le produit des grandeurs qu’elles expriment; 2°. Que pour divi$er deux grandeurs algébriques l’une par l’autre, il faut les po$er en fraction, & effacer les lettres com- munes au divi$eur & au dividende, ou communes au numéra- teur & au dénominateur, il faut $e rendre attentif à tout ce qui e$t renfermé dans ces deux hypothe$es, & l’on en déduira aifément tout ce que nous allons voir.

[0107]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_.

134. Pour multiplier deux grandeurs qui ont les mêmes lettres avec différens expo$ans l’une par l’autre, il faut écrire ces lettres les unes à côté des autres, & leur donner la $omme des expo$ans des deux facteurs: ain$i _a_<_>3 x _a_<_>2 = _a_<_>3 + 2 = _a_<_>5; _a_<_>2_b_<_>3 x _a_<_>4_b_<_>2 = _a_<_>2 + 4_b_<_>3 + 2 = _a_<_>6_b_<_>5; car _a_<_>3 = _aaa_, & _a_<_>2 = _aa_: donc _a_<_>3 x _a_<_>2 = _aaa_ x _aa_ = _a_<_>5; de même _a_<_>2_b_<_>3 = _aabbb_, & _a_<_>4_b_<_>2 = _aaaabb_ : donc _a_<_>2_b_<_>3 x _a_<_>4_b_<_>2 = _aabbb_ x _aaaabb_ = _aaaaaabbbbb_.

135. Comme la Divi$ion fait toujours le contraire de la Multiplication, elle doit au$$i $e faire par une voie oppo$ée: donc pui$que la multiplication des quantités qui ont les mêmes lettres, avec différens expo$ans, $e fait par l’Addition de ces mêmes expo$ans, la Divi$ion doit $e faire par la Sou$traction des expo$ans des lettres communes au dividende & au divi$eur: ain$i {_a_<_>3/_a_<_>2} = _a_<_>3 - 2 = _a_, & c’e$t ce que l’on fait, lor$qu’après les avoir mis en fraction, on efface les lettres communes au nu- mérateur & au dénominateur; car{_a_<_>3/_a_<_>2} = {_aaa/aa_} effaçant _aa_ au nu- mérateur & au dénominateur, il vient _a_ au quotient, de même que par la Sou$traction des expo$ans. Tout de même {_a_<_>4_b_<_>2_c_<_>5/_a_<_>3_bc_<_>2} = {_aaaabbccccc_/_aaabcc_} = _abccc_ = _abc_<_>3, ce que l’on eût au$$i trouvé par la Sou$traction des expo$ans, en fai$ant {_a_<_>4_b_<_>2_c_<_>5/_a_<_>3_bc_<_>2} = _a_<_>4 - 3_b_<_>2 - 1_c_<_>5 - 2 = _abc_<_>3. De même {_d_<_>2_f_<_>3_g_<_>4/_dfg_<_>2} = _d_<_>2 - 1_f_<_>3 - 1_g_<_>4 - 2 = _df_<_>2_g_<_>2; demê- me encore {_a_<_>2_b_<_>5/_a_<_>3_b_<_>2} = {_b_<_>3/_a_} en effaçant les lettres communes au nu- mérateur & au dénominateur, ou bien en fai$ant la $ou$trac- tion des expo$ans _a_<_>2 - 3_b_<_>5 - 2 = _a_<_>-1_b_<_>3. On voit à pré$ent ce que c’e$t qu’un expo$ant négatif; car il e$t évident que le né- gatif vient de la $ou$traction d’un nombre plus grand, ôté d’un plus petit que lui: donc une quantité qui a un expo$ant né- gatif e$t le quotient d’une certaine pui$$ance d’une lettre di- vi$ée par une plus haute pui$$ance de la même lettre; ain$i _a_<_>-2 peut venir de {_a_<_>3/_a_<_>5}, ou bien de {_a_<_>5/_a_<_>7} ou de {_a_/_a_<_>3}, &c, car {_a_<_>3/_a_<_>5} = {_a_<_>3 x 1/_a_<_>3 x _a_<_>2}; donc en divi$ant le numérateur & le dénominateur de la fraction par une même grandeur _a_<_>3, il vient au quotient {1/_a_<_>2}: mais on trouve au$$i le quotient de {_a_<_>3/_a_<_>5} en ôtant l’expo$ant 5 du divi$eur de l’expo$ant 3 du dividende, & le quotient e$t [0108]NOUVEAU COURS _a_<_>3 - 5 = _a_<_>-2; donc _a_<_>-2 = {1/_a_<_>2}: en général une lettre élevée à une pui$$ance négative e$t égale au quotient de l’unité, divi$ée par la même pui$$ance po$itive de la même lettre. _a_<_>-2_b_<_>3 = _b_<_>3 x {1/_a_<_>2} = {_b_<_>3/_a_<_>2}, _a_<_>-4 = {1/_a_<_>4}, _a_<_>-_m_ = {1/_a_<_>_m_}, & ain$i des autres.

136. Si l’expo$ant du divi$eur e$t égal à l’expo$ant du divi- dende, la différence de l’expo$ant $era zero: donc _a_° = {_a_<_>2/_a_<_>2} = {_a_<_>3/_a_<_>3} = _a_<_>2 - 2 = _a_<_>3 - 3, &c. Donc en général _a_° = 1; car une grandeur, divi$ée par elle-même, donne toujours 1 au quo- tient, pui$qu’elle $e contient une fois.

De la formation des Pui$$ances, des Quantités exponentielles, & de l’extraction de leurs racines.

137. On appelle pui$$ance en général, tout produit qui ré- $ulte de la multiplication d’une quantité multipliée plu$ieurs fois par elle-même. _a_, _a_<_>2, _a_<_>5 $ont des pui$$ances de _a_, parce que ces produits ré$ultent de _a_, multiplié plu$ieurs fois par lui-même: dans ces exemples il a été multiplié trois fois, deux fois, cinq fois, parce que les expo$ans $ont 3, 2 & 5.

138. Comme la multiplication d’une même lettre, qui a dif- férens expo$ans, $e fait par l’addition des expo$ans (art. 133), les pui$$ances d’une quantité algébrique, qui a déja un ex- po$ant, ou les produits de cette quantité, multipliée plu$ieurs fois par elle-même, $e trouveront par l’addition de cet expo- $ant, répétés autant de fois qu’il y a d’unité dans la pui$$ance à laquelle on veut élever cette quantité; mais l’addition ré- pétée d’un même nombre $e fait par la multiplication: donc la formation des pui$$ances d’une quantité exponentielle $e fera en multipliant $on expo$ant par le nombre qui marque la pui$$ance à laquelle on veut l’élever: ain$i pour élever _a_<_>2 à la 3<_>e, 4<_>e ou 5<_>e pui$$ance, il faudra ajouter l’expo$ant 2 à lui- même trois fois, quatre fois, ou cinq fois, ou, ce qui e$t la même cho$e, le multiplier par 3, par 4, ou par 5, & l’on aura pour la 3<_>e, 4<_>e, ou 5<_>e pui$$ance de _a_<_>2; _a_<_>6, _a_<_>8, _a_<_>10. De même pour élever _a_<_>2 _b_<_>3 _c_<_>4 à la cinquieme pui$$ance, il faudra multiplier les expo$ans des lettres _a_, _b_, _c_, qui $ont 2, 3, 4 par 5, & les produits, mis à côtés des mêmes lettres, donneront la pui$- [0109]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. $ance demandée égale à _a_<_>10, _b_<_>15, _c_<_>20. De même la quatrieme pui$$ance de _c_<_>2 _b_<_>3 _f_<_>6 e$t _c_<_>8 _b_<_>12 _f_<_>24, & ain$i du re$te.

139. Si l’on avoit une fraction que l’on voulût élever à une pui$$ance, & dont le numérateur & le dénominateur fu$$ent chacuns des quantités exponentielles, on l’éleveroit à cette pui$$ance en multipliant les expo$ans du numérateur & du dé- nominateur par l’expo$ant de la pui$$ance; car une fraction multipliée par une fraction e$t égale au produit des numéra- teurs, divi$é par celui des dénominateurs. Ain$i pour élever la fraction {_a_<_>2_b_<_>3/_c_<_>4} à la $econde pui$$ance, on écrira {_a_<_>2 x <_>2_b_<_>3 x <_>2/_c_<_>4 x <_>2} = {_a_<_>4_b_<_>6/_c_<_>8}; de même la 3<_>e pui$$ance de la fraction {_a_<_>3_f_<_>2_c_<_>4/_b_<_>2_g_<_>2} = {_a_<_>9_f_<_>6_c_<_>12/_b_<_>6_g_<_>6}, & ain$i des autres.

140. L’extraction des racines fait préci$ément le contraire de la formation des pui$$ances. Extraire la racine d’une quan- tité algébrique, c’e$t chercher la quantité qui, multipliée par elle-même, a donné la quantité dont on cherche la racine. Comme il y a différentes pui$$ances, il y a au$$i différentes racines: la racine quarrée d’une quantité algébrique e$t la lettre ou quantité, qui multipliée une fois par elle-même, a donné le quarré propo$é; la racine cube e$t celle qui, multi- pliée deux fois par elle-même, a donné le cube propo$é, ou bien dont l’expo$ant, multiplié par 3, a donné ce même cube. Si l’on veut indiquer cette racine, on $e $ert du $igne , que l’on appelle $igne radical, & qui $ert pour marquer toutes les racines, en mettant au de$$us un chiffre qui marque la racine que l’on veut prendre. Ain$i <_>2, <_>3, <_>4, <_>5 $ont des $ignes qui indiquent les racines $econde, troi$ieme, quatrieme ou cin- quieme; quand on veut marquer une racine quarrée, on $ous-entend pre$que toujours le 2, & l’on marque ain$i : par exemple, _a_<_>2 indique qu’il faut prendre la racine quarrée de la quantité _a_<_>2, <_>3_a_<_>3 indique que l’on prend la racine cube de _a_<_>3. La racine quarrée de _a_<_>2 e$t _a_, car _a_ x _a_ donne _a_<_>2; la racine cube de _a_<_>3 e$t _a_, car _a_ x _a_ x _a_ donne _a_<_>3: de même la racine quatrieme de _a_<_>4 e$t _a_, car _a_ x _a_ x _a_ x _a_ donne _a_<_>4, & ain$i de $uite.

141. Comme l’extraction des racines e$t une opération di- rectement oppo$ée à la formation des pui$$ances, que celle-ci [0110]NOUVEAU COURS décompo$e les quantités que l’autre avoit compo$ées, la ma- niere dont on doit la pratiquer doit au$$i être directement op- po$ée à celle dont on $e $ert pour l’élévation des pui$$ances. Mais (n°. 136.) la formation des pui$$ances $e fait, en mul- tipliant l’expo$ant de la quantité que l’on veut élever par l’expo$ant de la pui$$ance à laquelle on veut élever cette quan- tité; donc l’extraction des racines $e fera en divi$ant l’expo- $ant de la quantité donnée par l’expo$ant de la racine que l’on demande. Si l’expo$ant de la grandeur donnée e$t divi$ible par l’expo$ant de la racine, on aura la racine exacte, $inon on aura pour la racine cherchée une quantité, dont l’expo$ant $era une fraction, ou bien on $e contentera d’indiquer la racine, en la mettant $ous le $igne , au de$$us duquel on mettra un nombre qui marque la racine que l’on demande. Tout ceci s’entendra ai$ément par des exemples. Pour avoir la racine quarrée ou 2<_>e de _a_<_>2_b_<_>6, je divi$e les expo$ans 2 & 6 par 2, ex- po$ant de la racine; je mets les quotiens 1 & 3 en expo$ant à côté des lettres _ab_, & j’ai pour la racine demandée _a_<_>1_b_<_>3; (car lor$qu’une lettre n’a pas d’expo$ant, on lui $uppo$e tou- jours l’unité pour expo$ant). Si l’on multiplie _ab_<_>3 ou _abbb_ par lui-même une fois, on aura _a_<_>2_b_<_>6 ou _aabbbbbb_; donc _ab_<_>3 e$t la racine quarrée de _a_<_>2_b_<_>6: pour avoir la racine cinquieme de _a_<_>10_b_<_>15_c_<_>20, j’écris d’abord _a_<_>{10/5}_b_<_>{15/5}_c_<_>{20/5}, & fai$ant la divi$ion des ex- po$ans par l’expo$ant 5 de la racine cinquieme, j’ai _a_<_>2_b_<_>3_c_<_>4 = <_>5_a_<_>10_b_<_>15_c_<_>20: de même <_>38_a_<_>3_b_<_>9_c_<_>12 = 2_a_<_>{3/3}_b_<_>{9/3}_c_<_>{12/3} = 2_ab_<_>3_c_<_>4, car le cube de 2 e$t 8, celui de _a_ e$t _a_<_>3, de _b_<_>3 e$t _b_<_>3 x 3 ou _b_<_>9, celui de _c_<_>4 e$t _c_<_>4 x 3 ou _c_<_>12.

Si l’on me demande la racine cinquieme de _a_<_>6_b_<_>8, comme les expo$ans 6 & 8 ne $ont pas divi$ibles par 5, expo$ant de la racine, je puis indiquer cette racine en deux manieres, ou bien en mettant le $igne avec un 5 au de$$us devant la quan- tité _a_<_>6_b_<_>8, de cette maniere: <_>5_a_<_>6_b_<_>8, ou bien en mettant aux lettres _ab_ les expo$ans fractionnaires {6/5}, {8/5}, en cette maniere: _a_<_>{6/5}_b_<_>{8/5}, & ces deux expre$$ions <_>5_a_<_>6_b_<_>8, ou _a_<_>{6/5}_b_<_>{8/5} $ont égales, car elles dé$ignent chacune la racine cinquieme d’une même grandeur.

142. Il $uit delà, que lor$qu’on trouvera une quantité avec un expo$ant fractionnaire, on en pourra conclure que l’on [0111]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. prend la racine marquée par le dénominateur de cette même quantité élevée à une pui$$ance égale au numérateur de la frac- tion: ain$i _a_<_>{3/2}=<_>2_a_<_>3, _a_<_>{5/6}=<_>6_a_<_>5, _a_<_>{2/3}_b_<_>{4/3}=<_>3_a_<_>2_b_<_>4, _a_<_>{1/2}_b_<_>{4/5}=<_>2_a_ X <_>5_b_<_>4, &c.

143. Il $uit encore des mêmes principes, que _a_<_>-{3/2}={1/_a_<_>{3/2}}= {1/_a_<_>3}; car par la fin de l’art. 134. _a_<_>-3={1/_a_<_>3}, & par la même rai$on _a_<_>-{3/2}={1/_a_<_>{3/2}}. Mais par l’article précédent _a_<_>{3/2}=_a_<_>3; donc _a_<_>-{3/2}={1/_a_<_>3}: de même _a_<_>-{3/2}_b_<_>{5/6}={_b_<_>{5/6}/_a_<_>{3/2}={<_>6_b_<_>5/_a_<_>3}; de même encore _a_<_>-3_b_<_>-{4/5}={1/_a_<_>3_b_<_>{4/5}}={1/_a_<_>3<_>5_b_<_>4}, ou {_a_<_>-3/_b_<_>4}, & ain$i desautres. On voit par tout ce que nous venons de dire ce que $ignifie un expo- $ant po$itif ou négatif entier, ce que $ignifie un expo$ant en- tier, fractionnaire po$itif ou fractionnaire négatif, & enfin ce que c’e$t qu’un expo$ant zero.

144. Lor$qu’on aura une des expre$$ions précédentes, com- me _a_<_>-3, _a_<_>-{3/2}, _a_<_>{4/5}, _a_<_>0, & autres $emblables, on pourra pren- dre en leurs places leurs égales, {1/_a_<_>3}, {1/_a_<_>{3/2}} ou {1/_a_<_>3}, <_>5_a_<_>4, & 1 à la place de _a_<_>0, $i cela e$t à propos, & réciproquement $ub$ti- tuer les premieres expre$$ions à la place des $econdes, $i le calcul le demande ain$i. Voici les formules générales de toutes ces expre$$ions: _a_<_>-_m_={1/_a_<_>_m_}, _a_<_>{_m_/_n_}=<_>_n__a_<_>_m_, _a_<_>-{_m_/_n_}={1/<_>_n__a_<_>_m_}, _a_<_>0, _b_<_>0, _q_<_>0=1.

Si l’on avoit des fractions algébriques, dont on voulût extraire les racines, on extrairoit celle du numérateur & celle du dénominateur, $uivant les regles précédentes, en $uppo- $ant que les deux termes $ont des quantités incomplexes: car pui$que l’on éleve les fractions à des pui$$ances propo$ées, en y élevant le numérateur & le dénominateur (art. 139), il faut, par la rai$on contraire, extraire les racines, en prenant celle du numérateur & celle du dénominateur. Ain$i la racine $econde de {_a_<_>6_b_<_>8/_c_<_>4}={_a_<_>{6/2}_b_<_>{8/2}/_c_<_>{4/2}}={_a_<_>3_b_<_>4/_c_<_>2}, la racine 3<_>e ou cubique de {_a_<_>9_f_<_>6_c_<_>12/_b_<_>6_g_<_>6}={_a_<_>{9/3}_f_<_>{6/3}_c_<_>{12/3}/_b_<_>{6/3}_g_<_>{6/3}}={_a_<_>3_f_<_>2_c_<_>4/_b_<_>2_g_<_>2}, & ain$i des autres.

[0112]NOUVEAU COURS De la formation des Pui$$ances, des Polinomes, & de l’extrac- tion de leurs racines.

145. On trouve les pui$$ances des quantités algébriques complexes de la même maniere que celles des quantités al- gébriques incomplexes, c’e$t-à-dire en multipliant ces quan- tités par elles-mêmes autant de fois moins une qu’il y a d’unités dans l’expo$ant de la pui$$ance à laquelle on veut élever cette quantité. Pour avoir le quarré de _a_ + _b_, je multiplie _a_ + _b_ par _a_ + _b_, & j’ai (art. 60.) _a_<_>2 + 2_ab_ + _bb_. Demême le quarré ou la $econde pui$$ance de _a_ - _b_ e$t _a_<_>2 - 2_ab_ + _bb_: d’où il $uit que généralement le quarré d’un binome contient tou- jours les quarrés des deux termes, plus ou moins deux rectan- gles du premier par le $econd; plus, lor$que les deux termes $ont po$itifs ou négatifs, & moins lor$que l’un ou l’autre e$t négatif: car il e$t clair que -

    _a_ - _b_
x -
    _a_ - _b_
donne _a_<_>2 + 2_ab_ + _bb_, de même que
    _a_ + _b_
x
    _a_ + _b_
, & que -
    _a_ + _b_
x -
    _a_ + _b_
donne
    _a_<_>2 - 2_ab_ + _b_<_>2
, au$$i-bien que
    _a_ - _b_
x
    _a_ - _b_
.

Si la quantité que l’on veut élever au quarré avoit plus de deux termes, 4 ou 5, par exemple, comme _a_ + _b_ + _c_ + _d_, on trouveroit toujours le quarré de cette quantité, en la mul- tipliant une fois par elle-même: mais on peut le trouver d’une maniere beaucoup plus expéditive. Je prends d’abord les quar- rés de tous les termes qui compo$ent cette quantité, $oit que tous ces termes $oient po$itifs, $oit que tous $oient négatifs, ou qu’il y en ait de po$itifs & de négatifs. Je prends en$uite le double du premier terme, que je multiplie par tous les $ui- vans, en donnant au produit le $igne du premier terme, $i chacun des $uivans a le même $igne que ce premier terme, & un $igne différent $i celui du terme par lequel je multiplie le double du premier e$t différent de celui du même premier. Je prends pareillement le double du $econd, que je combine avec les $uivans par multiplication, en $uivant la même regle; je prends de même le double du troi$ieme, que je combine en- core de même avec les autres, ju$qu’à ce que je $ois arrivé à l’avant dernier, que je combine avec le dernier de la même maniere, & l’opération e$t achevée.

Ain$i pour élever _a_ + _b_ - _c_ + _d_ - _f_ + _g_ à la $econde pui$$ance, [0113]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. je prends d’abord tous les quarrés po$itifs des termes qui com- po$ent cette quantité, & j’ai pour une premiere partie du quarré que je cherche _a_<_>2 + _b_<_>2 + _c_<_>2 + _d_<_>2 + _f_<_>2 + _g_<_>2: je prends en$uite le double du premier terme _a_, qui e$t 2_a_, que je com- bine par multiplication avec tous les $uivans, & j’ai pour une $econde partie du quarré que je cherche 2_ab_ - 2_ac_ + 2_ad_ - 2_af_ + 2_ag_, en donnant le $igne + aux termes qui ont le même $igne + que 2_a_, & le $igne à ceux qui ont le $igne -. Je prends pareillement le double de _b_, qui e$t 2_b_, & le combi- nant, ain$i que j’ai fait pour _a_, avec ceux qui le $uivent, j’ai - 2_bc_ + 2_bd_ - 2_bf_ + 2_bg_ pour la troi$ieme partie du quarré que je cherche. Je prends encore le double de - _c_, qui e$t - 2_c_, & j’ai - 2_cd_ + 2_cf_ - 2_cg_, en mettant + aux termes qui ont le $igne -, & - à ceux qui ont le $igne +. Je trouve de même, en prenant le double du quatrieme terme _d_, qui e$t 2_d_, - 2_df_ + 2_dg_; & enfin prenant le double de - _f_, qui e$t - 2_f_, je trouve - 2_fg_ pour la derniere partie du quarré que je cherche. Ajoutant toutes ces parties, j’ai pour le quarré de- mandé _a_<_>2 + _b_<_>2 + _c_<_>2 + _d_<_>2 + _f_<_>2 + _g_<_>2 + 2_ab_ - 2_ac_ + 2_ad_ - 2_af_ + 2_ag_ - 2_bc_ + 2_bd_ - 2_bf_ + 2_bg_ - 2_cd_ + 2_cf_ - 2_cg_ - 2_df_ + 2_dg_ - 2_fg_. La preuve de cette pratique $e fera en multipliant cette quantité par elle-même, & l’on trouvera les mêmes quantités, quoique dans un ordre différent. Mais la valeur du quarré ne dépend pas de l’ordre dans lequel les termes $ont di$po$és: il $era toujours le même, pourvu qu’il y ait autant de termes qu’il doit y en avoir, & que chacun d’eux ait le $igne qu’il doit avoir. On pourroit encore $e $ervir du même abrégé, $i les termes avoient des coefficiens diffé- rens de l’unité. Par exemple, le quarré de 3_a_ - 2_b_ + 4_c_ $e trouvera en $uivant cette méthode, 9_a_<_>2 + 4_b_<_>2 + 16_c_<_>2 - 12_ab_ + 24_ac_ - 16_bc_.

De l’Extraction de la Racine quarrée, des Quantités algébriques complexes.

146. Pour extraire la racine quarrée d’une quantité algé- brique complexe, par exemple, celle de la quantité _a_<_>2 + 2_ab_ + _bb_, il faut dire, la racine de _aa_ e$t _a_, qu’il faut po$er à la racine: ayant multipliée cette racine par elle-même, il faut ôter le produit _aa_ de la quantité propo$ée pour avoir le re$te [0114]NOUVEAU COURS 2_ab_ + _bb_: en$uite il faut doubler _a_, & divi$er le re$te 2_ab_ + _bb_ par ce divi$eur 2_a_. Fai$ant la divi$ion de 2_ab_ par 2_a_, il vient _b_, qu’il faut mettre à la $uite de la racine, & à la $uite du divi$eur 2_a_. Enfin il faut multiplier par ce quotient _b_ le divi$eur devenu 2_a_ + _b_, & $ou$traire le produit 2_ab_ + _bb_ du re$te 2_ab_ + _bb_; & comme il ne re$te rien après la $ou$traction, l’on conclura que la racine de _a_<_>2 + 2_ab_ + _bb_, e$t _a_ + _b_.

Pour voir $i l’on a bien fait l’opération, on multipliera la racine _a_ + _b_ par elle-même, & comme le produit e$t _a_<_>2 + 2_ab_ + _bb_ égal à la quantité propo$ée, on $era $ûr que l’on a bien opéré.

147. Pour extraire la racine quarrée de _a_<_>2 - 2_ab_ + _bb_, il faut dire, la racine quarrée de _a_<_>2 e$t _a_, qu’il faut mettre à la racine; en$uite ôter le quarré _aa_ de cette racine de la quantité propo$ée pour avoir le re$te, - 2_ab_ + _bb_, qu’il faut pareille- ment divi$er par + 2_a_, le quotient e$t - _b_, que je po$e à la racine, & à côté du divi$eur. Je multiplie 2_a_ - _b_ par - _b_, le produit e$t 2_ab_ + _bb_; ôtant ce produit de - 2_ab_ + _bb_, comme il ne re$te rien, je conclus que _a_ - _b_ e$t la racine.

ARTICLE 146.

_a_<_>2 + 2_ab_ + _b_<_>2 Re$te 2_ab_ + _b_<_>2 Sou$tract. 2_ab_ - _bb_ 0 0

{_a_ + _b_, racine. 2_a_ divi$eur. 2_a_ + _b_ _b_ 2_ab_ + _bb_

ARTICLE 147.

_a_<_>2 - 2_ab_ + _b_<_>2 Re$te - 2_ab_ + _bb_ Sou$traction + 2_ab_ - _bb_ 0 0

{_a_ - _b_, racine. 2_a_ divi$eur. 2_a_ - _b_ - _b_ - 2_ab_ + _bb_

148. De même pour avoir la racine quarrée de la quantité 9_a_<_>2 - 12_ab_ + 4_b_<_>2 + 24_ac_ - 16_bc_ + 16_c_<_>2 + 24_ac_ - 16_bc_, je dis, la racine quarrée de 9_a_<_>2 e$t 3_a_, que je po$e à la racine, & j’ôte le quarré de cette racine de la quantité propo$ée: pour avoir le re$te - 12_ab_ + 4_b_<_>2 + 24_ac_ - 16_bc_ + 16_c_<_>2, je double cette racine 3_a_, & j’ai 6_a_ pour divi$eur. Je divi$e - 12_ab_ par [0115]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. 6_a_, le quotient e$t - 2_b_, que j’écris à la racine, à côté de 3_a_, & à côté du divi$eur 6_a_; ce qui me donne 6_a_ - 2_b_, que je multiplie par - 2_b_, pour avoir le produit - 12_ab_ + 4_bb_, que j’écris au de$$ous du premier re$te avec des $ignes con- traires pour avoir un $econd re$te, en effaçant ce qui $e détruit, que je trouve être 24_ac_ - 16_bc_ + 16_c_<_>2: je double encore ce que j’ai trouvé à la racine pour avoir le nouveau divi$eur 6_a_ - 4_b_, par lequel je divi$e le premier terme 24_ac_ du $econd re$te; ce qui me donne au quotient 4_c_, que j’écris à la $uite de la racine, & à côté du divi$eur 6_a_ - 4_b_: je multiplie cette $omme par le même quotient 4_c_, & j’en ôte le produit 24_ac_ - 16_bc_ + 16_c_<_>2 du dernier re$te; & comme la Sou$traction $e fait $ans re$te, je conclus que 3_a_ - 2_b_ + 4_c_ e$t la racine du quarré propo$é: je leve cette quantité au quarré, & je trouve qu’elle donne effectivement une quantité égale à celle que l’on avoit donnée pour en extraire la racine.

ARTICLE 148.

9_a_<_>2 - 12_ab_ + 4_b_<_>2 + 24_ac_ - 16_bc_ -9_a_<_>2 {+ 16_cc_ 1<_>er re$te - 12_ab_ + 4_b_<_>2 + 24_ac_ - 16_bc_ + 16_cc_ + 12_ab_ - 4_bb_ Second re$te 24_ac_ - 16_bc_ + 16_c_<_>2 - 24_ac_ + 16_bc_ - 16_c_<_>2 0 0 0}

{3_a_ - 2_b_ + 4_c_, racine. 6_a_ premier divi$eur. 6_a_ - 2_b_ - 2_b_ - 12_ab_ + 4_bb_ 6_a_ - 4_b_, 2<_>e divi$. 6_a_ - 4_b_ + 4_c_ + 4_c_ 24_ac_ - 16_bc_ + 16_cc_

Il e$t évident que la méthode dont on $e $ert pour extraire la racine doit la faire trouver néce$$airement, $i la quantité propo$ée en a une: car nous avons déja vu plu$ieurs fois que le quarré d’une quantité complexe contient le quarré du pre- mier terme, le double du premier par le $econd, & le quarré du $econd. Lor$que l’on a pris la racine quarrée du premier terme, on a celui de la racine: ain$i pour avoir le $econd de la même racine, il n’y a qu’à doubler ce premier, & divi$er par ce double un terme qui renferme deux lettres; & $i l’on a un quotient, ce $era le $econd terme de la racine, pourvu que le quarré de ce $econd terme $oit encore contenu dans la quan- tité propo$ée. Or par notre méthode on prend le quarré de [0116]NOUVEAU COURS ce terme, pui$que l’on ajoute ce nombre au divi$eur pour mul- tiplier le tout par ce $econd terme; & s’il ne re$te rien, on $era $ûr que la quantité e$t un quarré parfait, & de plus celui des deux termes que l’on a trouvés, pui$que l’on a pu en $ou$traire le quarré du premier, le double rectangle du même premier par le $econd, & le quarré du $econd. Le rai$onnement e$t toujours le même, quelque $oit le nombre des termes de la racine; car on peut toujours regarder ce que l’on a trouvé comme le premier, & ce que l’on cherche comme le $econd d’une quantité de deux termes, pui$que l’on peut toujours réduire un polinome quelconque, comme _a_ + _b_ + _c_ + _d_ à un binome, en $uppo$ant _a_ + _b_ + _c_ = _f_; ce qui donne _a_ + _b_ + _c_ + _d_ = _f_ + _d_.

149. Si la quantité propo$ée pour en extraire la racine n’e$t pas un quarré parfait, on $e contentera d’indiquer que l’on en prend la racine, en la mettant $ous le $igne √, que l’on appelle _radical_, comme nous avons déja vu: ain$i la racine de _aa_-_bb_ e$t _aa_ - _bb_, la racine de _a_<_>2 - 2_bc_ = _ac_ e$t _a_<_>2 - 2_bc_ + _ac_, & l’on appelle ces quantités, des _quantités_ _radicales_ ou _irrationnelles_, quelquefois _incommen$urables_.

De la formation du quarré d’un nombre quelconque, & de l’ex- traction des racines $ur les grandeurs numériques.

150. Le quarré d’un nombre quelconque $e trouve en mul- tipliant ce nombre par lui-même: ain$i le quarré de 3247 $e trouveroit en multipliant ce nombre une fois par lui-même, $uivant les regles de la Multiplication. Mais pour déterminer avec plus de préci$ion les différentes parties qui compo$ent ce quarré, & faire entendre plus ai$ément ce que nous avons à dire $ur l’extraction des racines, nous rapporterons la forma- tion du quarré de ce nombre à celle du quarré d’une quantité algébrique complexe, en le regardant lui-même comme une quantité de cette nature, & le décompo$ant en $es parties 3000 + 200 + 40 + 7, & fai$ant 3000 = _a_, 200 = _b_, 40 = _c_, 7 = _d_: donc le quarré 3247, ou de 3000 + 200 + 40 + 7 $era repré$enté par celui de la quantité algébrique _a_ + _b_ + _c_ + _d_, qui e$t _a<_>2_ + 2_ab_ + _b<_>2_ + 2_ac_ + 2_bc_ + _c_<_>2 + 2_ad_ + 2_bd_ + 2_cd_ + _dd_, ou _a_<_>2 + 2_ab_ + _b_<_>2 + 2_a_ + 2_b_ x _c_ + _c_<_>2 + 2_a_ + 2_b_ + 2_c_ x _d_ + _d_<_>2

[0117]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_.

En fai$ant toutes les Multiplications néce$$aires, on trouvera 9 # 00 # 00 # 00 # = # _a<_>2_ 1 # 20 # 00 # 00 # = # 2_ab_ # 4 # 00 # 00 # = # _bb_ # 25 # 60 # 00 # = # 2_a_ + 2_b_ x _c_ # # 16 # 00 # = # _c<_>2_ # 4 # 53 # 60 # = # 2_a_ + 2_b_ + 2_c_ x _d_ # # # 49 # = # _d<_>2_ 10,54,30,09 = _a_<_>2 + 2_ab_ + _b_<_>2 + 2_a_ + 2_b_ x _c_ + _c_<_>2 + 2_a_ + 2_b_ + 2_c_ x _d_ + _dd_.

Sur quoi l’on remarquera qu’en partageant ces produits par- tiels en tranches de deux chiffres chacunes, excepté la der- niere à gauche, qui peut n’en contenir qu’un,

1°. Le quarré du chiffre $ignificatif 3 du premier terme 3000, aura après lui autant de tranches de deux chiffres chacunes, qu’il a de chiffres après lui dans le nombre 3247, & qu’ain$i ce quarré doit $e trouver au produit total dans la premiere tranche à gauche 10.

2°. Que le produit 1200000 fait du double 6000 du pre- mier terme 3000, multiplié par le $econd 200, $era renfermé dans le premier chiffre de la $econde tranche, joint au re$te que l’on aura eu, en ôtant le quarré de 9000000 de la premiere.

3°. Que le quarré du même $econd terme 40000 $era en- core contenu dans le dernier chiffre de la $econde tranche, ayant après lui autant de tranches qu’il y a de chiffres dans le nombre 3247; d’où il $uit, en ré$umant ces trois articles, que les deux premieres tranches contiennent le quarré 9000000 du premier terme 3000, le double du produit du premier terme 3000, par le $econd 200, & enfin le quarré du $econd.

4°. Que le produit du double des deux premiers termes par le $econd 40, repré$enté par 2_a_ + 2_b_ x _c_, lequel e$t 256000, $e trouvera renfermé dans le premier chiffre 3 de la troi$ieme tranche, pui$que le 6 e$t directement au de$$us du 3 de cette tranche, & que le quarré 1600 du même troi$ieme terme $era encore contenu dans la troi$ieme tranche, jointe à ce qu’il précéde. Ain$i les trois premieres tranches contiennent le quarré des trois premiers termes, le double du premier, mul- tiplié par le $econd, & le double des deux premiers par le troi- [0118]NOUVEAU COURS $reme, le$quels produits $ont repré$entés par _a_<_>2 + _b_<_>2 + _c_<_>2 + 2_ab_ + 2_a_ + 2_b_ x _c_.

5°. Enfin l’on verra que le double du produit des trois pre- miers termes 3000 + 200 + 40, multipliés par le $econd, e$t renfermé dans le premier chiffre de la derniere tranche, & que le quarré de ce dernier terme 7 e$t renfermé dans le der- nier chiffre de la derniere tranche; & qu’ain$i le quarré de la grandeur complexe 3000 + 200 + 40 + 7, ou du nombre 3247, e$t renfermé dans le nombre 10443009, pui$que ce nombre renferme tous les produits dont il peut être compo$é.

Tout cela po$é, il $era facile d’entendre ce que nous allons dire $ur l’extraction des racines.

151. Extraire la racine quarrée d’un nombre, c’e$t cher- cher un nombre qui, multiplié par lui-même, donne au pro- duit un nombre égal au nombre propo$é: extraire la racine de 25, c’e$t chercher le nombre 5, qui multiplié par lui-même une fois, donne 25 au produit. Toutes les fois qu’un nombre propo$é, pour en extraire la racine, ne contiendra que deux chiffres, ou $era moindre que 100, on pourra, $ans aucune opération, trouver $a racine vraie ou la plus proche, par le moyen de la Table $uivante.

1 # 2 # 3 # 4 # 5 # 6 # 7 # 8 # 9 1 # 4 # 9 # 16 # 25 # 36 # 49 # 64 # 81

Mais lor$que les nombres $eront plus con$idérables, l’opé- ration devient plus compliquée, & c’e$t ce que nous allons détailler, après que nous aurons donné les réflexions $ui- vantes, qui $ont néce$$aires pour une exacte démon$tration de la regle générale de l’extraction des racines quarrées.

152. Le plus grand nombre po$$ible de deux chiffres 99 ne peut avoir plus d’un chiffre à $a racine: car $uppo$ons qu’il pui$$e en avoir deux, & que ce nombre de deux chiffres $oit le plus petit po$$ible, qui e$t 10, ou élevant 10 au quarré, on verra que ce quarré 100 e$t plus grand que 99: donc un nom- bre de deux chiffres quelconque ne peut en avoir plus d’un à $a racine; ce qui e$t vi$ible au$$i par la Table précédente. Ain$i toutes les racines d’un chiffre $ont compri$es, depuis 1 ju$qu’à 99 inclu$ivement.

[0119]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_.

153. Le plus grand nombre po$$ible de quatre chiffres ne peut en avoir plus de deux à $a racine. Prenons le plus grand nombre po$$ible de quatre chiffres, qui e$t 9999, pui$que $i on lui ajoute l’unité, il devient 10000, qui en a 5; & $uppo$ons que ce nombre pui$$e avoir à $a racine le plus petit nombre compo$é detrois chiffres, qui e$t 100, j’éleve 100 à $on quarré, & il me vient 10000, qui e$t plus grand que le nombre 9999: donc il ne peut pas avoir à $a racine aucun nombre de trois chiffres. D’où il $uit que toutes les racines de deux chiffres $ont renfermées, depuis 100 ju$qu’à 9999 inclu$ivement.

154. Le plus grand nombre de $ix chiffres ne peut en avoir plus de trois à $a racine. Prenons le plus grand nombre de $ix chiffres, qui e$t 999999, & $uppo$ons qu’il pui$$e avoir pour racine le plus petit nombre de quatre chiffres, qui e$t 1000, j’éléve 1000 à $on quarré, & j’ai 1000000, qui a $ept chiffres, & e$t plus grand que le nombre 999999, & par con$équent ce nombre ne peut donner que trois chiffres à la racine. D’où il $uit que les racines de trois chiffres $ont renfermées, depuis 10000 ju$qu’à 999999 inclu$ivement.

155. En continuant le même rai$onnement, on verra que toutes les racines de quatre chiffres $ont compri$es, depuis 1000000 ju$qu’à 99999999; que les nombres ou racines de 5 chiffres $ont contenues depuis 100000000 ju$qu’à 9999999999 inclu$ivement, &c.

REMARQUE GÉNERALE.

156. Il $uit de tout ce que nous venons de dire, qu’en gé- néral un nombre aura toujours à $a racine autant de chiffres qu’on aura de tranches de deux chiffres, en le partageant de deux en deux de droite à gauche, excepté la derniere tranche, qui peut n’en contenir qu’un.

Ain$i 99 ne peut avoir qu’un chiffre, parce qu’il n’a qu’une tranche de deux chiffres. 100 & 9999 auront deux chiffres à leurs racines, parce qu’en les divi$ant en tranches de cette maniere: 1,00; 99,99, chacun en contient deux. De même 10000 & 999999 auront au$$i trois chiffres à leurs racines, ain$i que tous les nombres qui leur $ont intermédiaires, parce qu’en partageant chacun en tranches, on a 1,00,00 & 99,99,99; ils contiennent chacun trois tranches. De plus, le quarré du premier chiffre $e trouvera dans la premiere tranche, le quarré [0120]NOUVEAU COURS du $econd $e trouvera dans la $econde tranche, le quarré du troi$ieme $e trouvera dans la troi$ieme tranche; ce qui revient encore à ce que nous avons vu précédemment dans la forma- tion algébrique du quarré du nombre (art. 150). Cela po$é, nous allons donner la regle générale, & nous en ferons l’ap- plication à quelques exemples.

Regle générale pour l’extraction des Racines quarrées.

157. Un nombre étant donné pour en extraire la racine, on partagera ce nombre en tranches de deux chiffres chacunes, excepté la premiere à gauche, qui peut n’en contenir qu’un $eul; on cherchera quel e$t le plus grand quarré contenu dans la premiere tranche, on en prendra la racine, que l’on po$era à la racine, à côté d’un nombre propo$é, après l’avoir $éparé par une petite barre verticale; on élevera cette racine à $on quarré pour l’ôter de la premiere tranche, & l’on écrira le re$te au de$$ous, & l’opération $era faite $ur la premiere tranche. A côté de ce re$te, on abai$$era la $econde tranche, en met- tant un point au de$$ous du premier chiffre de cette $econde tranche; on doublera ce que l’on a trouvé à la racine, & par ce nombre on divi$era les chiffres qui $ont terminés au premier chiffre de la $econde tranche; on mettra le quotient à la $uite du divi$eur, & on multipliera le divi$eur ain$i augmenté par ce même quotient. Si le produit peut être ôté des chiffres du re$te & de la $econde tranche, le quotient $era le $econd chiffre de la racine, & on le po$era à côté du premier chiffre. Si ce produit étoit plus grand, on diminueroit le quotient d’une unité, & l’on feroit l’opération de même, ju$qu’à ce qu’on eût un nombre que l’on pût retrancher des chiffres $ur le$- quels on opére; & l’ayant trouvé, on cherchera le re$te qui doit venir par la $ou$traction de ce produit.

On abai$$era la troi$ieme tranche à côté de ce re$te, en met- tant un point $ous le premier chiffre de la troi$ieme tranche, & l’on divi$eroit les chiffres terminés au premier de la troi- $ieme, par le double de ce qu’on auroit trouvé à la racine: on po$era de même ce quotient à côté du divi$eur; & $i le pro- duit du divifeur ain$i augmenté, multiplié par le quotient, donne un produit moindre que le $econd re$te, joint à la troi- fieme tranche, ce quotient $era le troi$ieme chiffre de la racine; [0121]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. $inon il faudra diminuer ce quotient de l’unité, ju$qu’à ce que ce quotient, po$é à côté du divi$eur, multipliant le tout, donne un produit moindre, ou au moins égal aux chiffres $ur le$quels on opére.

S’il n’y a que trois tranches, & qu’après avoir retranché ce produit il ne re$te rien, on aura la racine demandée; s’il y en davantage, on abai$$era la tranche $uivante à côté du re$te, & l’on fera toujours la même opération, en prenant toujours pour divi$eur le double des chiffres que l’on a trouvés à la ra- cine, & prenant pour les termes de la racine ceux qui auront les conditions expliquées ci-devant; $çavoir, que le produit de ce nombre par lui-même, plus le produit du même nom- bre par le divi$eur $oit plus petit, ou au moins égal aux chiffres $upérieurs.

EXEMPLE I.

158. Soit propo$é d’extraire la racine quarrée du nombre 1936, je partage ce nombre en tranches de deux chiffres cha- cune, en l’écrivant ain$i, 19,36; & je dis, en 19 quel e$t le plus grand quarré qui y $oit contenu, ce quarré e$t 16, dont la racine e$t 4, je po$e 4 à la racine, après avoir $éparé le nombre 1936 de $a racine par une petite barre verticale. Je dis en$uite, quatre fois 4 font 16 de 19, re$te 3: j’abai$$e la $econde tranche 36 à côté du re$te 3, en mettant un point $ous le premier chiffre 3 de cette tranche: je double le chiffre 4 que j’ai trouvé à la racine pour avoir le divi$eur 8, par lequel je divi$e les deux premiers chiffres 33 du re$te, & de la $econde tranche; & je dis en 33 combien de fois 8, quatre fois: je po$e 4 à côté du divi$eur 8; ce qui me donne 84, que je mul- tiplie par le même quotient 4, en di$ant, quatre fois 4 font 16, po$e 6 & retiens 1: quatre fois 8 font 32, & 1 que j’ai retenu font 33: le produit e$t 336, qui ôté de 336, re$te o; d’où je conclus que 44 e$t la racine du quarré propo$é. Pour voir $i je ne me $uis pas trompé, j’éleve 44 à $on quarré, il me vient 1936, qui e$t le nombre propo$é.

ARTICLE 158. # 19,36 # { # 44, _racine_. # 44 # _Preuve_. # 16 # # 8, _divifeur_. # 44 # 336 # # 84, _divi$. augmenté_. # 176 # 336 # # 4, _quotient_. # 176 _Différence_ # 000 # 336, _produit_. # 1936 [0122]NOUVEAU COURS EXEMPLE II.

159. Soit propo$é d’extraire la racine du nombre 10543009, après l’avoir partagé en tranches de deux chiffres chacune, & placé comme on voit ci-après à la gauche d’une barre verti- cale, à côté de laquelle je dois mettre la racine: je dis, en 10 quel e$t le plus grand quarré qui y $oit contenu, ce quarré e$t 9, dont la racine e$t 3, que je po$e à la racine: j’éleve 3 à $on quarré, il me vient 9, que je retranche de 10, re$te 1. J’abai$$e la $econde tranche 54 à côté du re$te 1, en ob$ervant de mettre un point $ous le premier chiffre 5; & doublant ce que j’ai trouvé à la racine, il me vient 6 pour divi$eur: je dis en 15 combien de fois 6, deux fois; j’écris 6 au de$$ous du divi$eur, & je mets à côté le quotient 2, & je multiplie 62 par 2, le produit e$t 124, lequel retranché de 154, donne 30 pour $e- cond re$te: j’abai$$e la $econde tranche, qui e$t 30, à côté du re$te 30, en mettant un point $ous le premier chiffre 3 de cette $econde tranche; je double ce que j’ai à la racine pour avoir le $econd divi$eur 64, par lequel je divi$e les chiffres 303, & je dis en 30 combien de $ois 6, cinq $ois, je po$e le 5 à la $uite de 64, en écrivant 645. Je multiplie ce nombre par 5, & comme le produit 3225 ne peut pas être ôté du 3030, j’e$$aie le 4; j’écris donc 644, & multipliant ce nombre par 4, le pro- duit e$t 2576, qui pouvant être ôté de 3030, m’indique que ce 4 e$t bon, & je le po$e à la racine. J’ôte le nombre 2576 de 3030, le re$te e$t 454, à côté duquel j’abai$$e la quatrieme tranche, en mettant un point $ous le premier chiffre 0 de cette tranche 09 pour divi$er les chiffres 4540 par le double de ce qui e$t à la racine, qui e$t. 648. Je dis donc en 45 combien de fois 6, $ept fois, je po$e le 7 à côté du divi$eur 648, en écri- vant 6487, & je multiplie ce nombre par 7, le produit e$t 45409, lequel étant préci$ément égal au nombre 45409, in- dique que le 7 e$t bon: je le po$e à la racine qui $e trouve de 3247, comme on le $çait d’ailleurs par l’article 150.

[0123]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. ARTICLE 159.

10,54,30,09 1 54 1 24 3030 2576 45409 45409 00000

{ 3247 6, I<_>er _divi$eur_. 62 2 124, _produit_. 64, 2<_>e _divi$eur_. 645 5 _prod. d’épreuve_ 644 4 2576, _produit_. 648, 3<_>e _divi$eur_. 6487 7 45409, _produit_.

_Preuve de l’opération_. 3247 3247 22729 12988 6494 9741 10543009

EXEMPLE III.

160. Soit propo$é d’extraire la racine du nombre 867972, je divi$e ce nombre en tranches de deux chiffres chacune, en l’écrivant ain$i: 86,79,72; puis je dis, en 86 quel e$t le plus grand quarré qui y $oit contenu, ce quarré e$t 81, dont la ra- cine e$t 9, que je po$e à la racine; j’éléve 9 à $on quarré, & j’ôte ce quarré 81 de 86, re$te 5: j’abai$$e à côté du 5 la $e- conde tranche 79, en mettant un point $ous le premier chiffre 7, ce qui me donne 57 à divi$er par 18, double de 9, qui e$t à la racine. Je fais la divi$ion, & je dis, en 5 combien de fois 1, il y e$t cinq fois; mais comme je vois ai$ément qu’il n’e$t pas bon, parce qu’il me donneroit un produit trop fort, j’e$- $aie tout d’un coup le 4, en le mettant à la $uite du divi$eur 84: je multiplie 184 par 4, le produit e$t 736, qui étant plus grand que 579, me marque que le 4 n’e$t pas encore bon, ain$i je ne le mets point à la racine. J’éprouve le 3, en mettant 183, & multipliant ce nombre par 3, le produit e$t 549; comme ce produit e$t moindre que 579, je mets le 3 à la racine. J’ôte en$uite 549 de 579, le re$te e$t 30; j’abai$$e à côté de ce re$te la troi$ieme tranche 72, en mettant le point $ous le premier [0124]NOUVEAU COURS chiffre 7, afin de divi$er le nombre 3072 par 186, double de ce qui e$t à la racine: je dis donc en 3 combien de fois 1, il y e$t trois fois: mais comme je vois que le 3 e$t trop fort, j’e$$aie le 2 en le mettant à côté du divi$eur 186; ce qui me donne 1862, que je multiplie par 2; le produit e$t 3724: comme ce produit e$t plus grand que 3072, je conclus que le 2 n’e$t pas encore bon; je mets 1 à la racine, qui $era cer- tainement bon, pui$qu’en mettant 1 à la $uite du divi$eur, & multipliant par 1, le produit e$t 1861, moindre que 3072: j’ôte ce nombre 1861 de 3072, le re$te e$t 1211.

Sil’on veut faire la preuve de cette opération, il faudra élever la racine 931 que l’on a trouvée à $on quarré, lui ajouter le re$te 1211, & l’on doit trouver un nombre égal au nombre propo$é.

ARTICLE 160.

86,79,72 579 549 30772 1861 _Re$te_ 1211

{ 931 18, I<_>_er_ _divi$eur_. 184 4 _produit d’épreuve_. 183 3 549, _bon produit_. 186, _$econd divi$eur_. 1862 2 _produit d’épreuve_. 1861 1 1861

_Preuve de l’opération_. 931 931 931 2793 8379 866761 1211 867972

Maniere d’approcher le plus près qu’il e$t po$$ible de la racine quarrée d’un nombre, dont on ne peut avoir la racine $ans re$te, par le moyen des décimales.

161. Comme le principal u$age de la racine quarrée dans la Géométrie, & $urtout dans la Géométrie pratique, e$t de trouver en nombre le côté d’un quarré égal à une quantité de toi$es, ou de pieds quarrés, il e$t néce$$aire, pour agir avec plus de préci$ion, d’approcher le plus près qu’il e$t po$$ible de [0125]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. la racine qu’on cherche, en fai$ant en$orte que les re$tes que l’on néglige $oient de $i petite valeur, qu’on pui$$e les regarder comme de nulle con$équence. Pour cela, voici ce qu’il faut faire.

Regle générale d’approximation.

162. On ajoutera au nombre propo$é, pour en extraire la racine, autant de tranches de deux zero chacune, que l’on vou- dra avoir de décimales à la racine; & aprés avoir $éparé les entiers de la racine d’avec les décimales qui doivent $uivre, on continuera le procédé de l’extraction des racines, préci$é- ment de la même maniere qu’il $e pratique $ur les nombres entiers, comme on le verra dans l’exemple $uivant.

8,69,00,00,00, 469 441 2800 2336 46400 41209 519100 471584 _Re$te_ 47516

{ 29,478 4, _premier divi$eur_. 49 9 441 58, _$econd divi$eur_. 585 5 _produit d’épreuve_. 584 4 2336, _bon produit_. 588, _troi$ieme divi$eur_. 5888 8 _produit d’épreuve_. 5887 7 41209, _bon produit_. 5894, 4<_>me _divi$eur_. 58948 8 471584

[0126]NOUVEAU COURS

163. Soit propo$é d’extraire la racine de 869, ju$qu’à ce que la racine ne différe pas d’un millieme de la vraie valeur. On ajoutera au nombre propo$é $ix zero, parce que l’on veut avoir des milliemes, en écrivant au lieu de 869, 8,69.00,00,00, & après les avoir partagé en tranches de deux en deux, on dira en 8 quel e$t le plus grand quarré qui y $oit contenu; ce quarré e$t 4, dont la racine e$t 2, que je po$e à la racine. J’ôte ce quarré 4 du premier chiffre 8, il me re$te 4, à côté duquel j’abai$$e la $econde tranche 69, en mettant un point $ous le 6, afin de faire voir que c’e$t 46 que je divi$e par le divi$eur 4, double de la racine. Je dis donc, en 46 combien de fois 4, neuf fois, je po$e 9 à côté du divi$eur 4, & au de$$ous, & je multiplie 49 par 9, le produit e$t 441, moindre que 469; ce qui me montre que le 9 e$t un des chiffres de la racine. J’ôte 441 de 469, le re$te e$t 28. J’abai$$e à côté de ce re$te la pre- miere tranche de décimales, en mettant un point $ous le pre- mier zero, pour marquer que c’e$t 280 que je veux divi$er par le nombre 58, double de ce qui e$t à la racine. Je fais la Divi- $ion, & je dis, en 28 combien de fois 5, il y e$t cinq fois: je po$e le 5 à côté du divi$eur 58, & au de$$ous, & je multiplie 585 par 5, le produit e$t 2925, qui étant plus grand que 28,00, me marque que l’on ne peut pas mettre 5 à la racine: je prends le 4, & j’écris 584, queje multiplie par 4, le produit e$t 2336, lequel étant moindre que 2800, me marque que le 4 e$t bon, & je le po$e à la racine, après avoir $éparé les entiers 29 des décimales par un point. J’ôte ce produit 2336 de 2800, le re$te e$t 464, à côté duquel j’abai$$e la $econde tranche de déci- males, en mettant un point $ous le premier zero. Je divi$e 4640 par 588, double de ce qui e$t à la racine; & je dis, en 46 combien de fois 5, il y e$t 8, je po$e le 8 à côté du divi$eur 588; & au de$$ous de ce même divi$eur, je multiplie 5888 par 8, le produit e$t 47104, qui étant plus grand que 46400, fait voir que je ne puis pas mettre 8 à la racine; je prends le 7, que je mets à côté du divi$eur 588, & au de$$ous, puis multipliant 5887 par 7, le produit e$t 41209; & comme ce produit e$t moindre que 46400, je po$e le 7 à la racine. Je retranche le produit 41209 de 46400, le re$te e$t 5191, à côté duquel j’a- bai$$e la troi$ieme tranche, en mettant un point $ous le pre- mier zero, pour divi$er le nombre 51910 par 5894, double de ce que j’ai trouvé à la racine. Je fais la Divi$ion, en di$ant, [0127]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. en 51 combien de fois 5, il y e$t neuf fois: mais comme je vois que le 9 e$t trop fort, je pa$$e au 8; je po$e 8 à côté du divi- $eur & au de$$ous, & je multiplie 58948 par 8: le produit e$t 471584; & comme il e$t moindre que le nombre 519184, je po$e le 8 à la racine, qui $e trouve de 29.478, ou, ce qui re- vient au même, 29 entiers, plus {478/1000}.

164. Si l’on $uppo$e que le nombre 869 $oit un nombre de toi$es quarrées, ce que l’on trouve à la racine au rang des entiers, marque des toi$es linéaires, & le nombre que l’on trouve au rang des décimales, marque des parties de toi$es linéaires, comme des pieds, des pouces, & des lignes. Pour $çavoir ce que vaut de pieds la partie décimale {478/1000} ou 0.478, on multipliera, $uivant la regle (art. 131.) le nombre 478 par 6, qui marque combien la toi$e contient de pieds; & le re$te par 12, qui marque combien le pied vaut de pouces, & le re$te encore par 12, qui marque combien le pouce vaut de lignes. En $uivant ce procédé, tous les nombres qui $e trouveront hors les décimales, marqueront les parties de la toi$e que l’on demande, qui $ont 2 pieds 10 pouces 4 lignes 11 points, ou $i l’on veut, à cau$e du re$te que l’on a encore négligé dans les décimales, 2 pieds 10 pouces 5 lignes. La racine du nom- bre 869 toi$es e$t donc 29 toi$es 2 pieds 10 pouces 5 lignes.

165. Si l’on a un nombre compo$é de toi$es, pieds & pouces propo$é pour en extraire la racine, comme $i l’on demandoit celle du nombre 24 toi$es 3 pieds 9 pouces, il faudroit réduire les fractions {1/2} & {9/72} de toi$es, qui $ont la même cho$e que 3 pieds 9 pouces, en fractions décimales de la toi$e, $uivantla méthode de l’art. 128; de la $omme de ces deux fractions dé- cimales, & du nombre propo$é faire un $eul nombre, que l’on trouvera de 24.625000, dont on extraira la racine, $uivant les méthodes données ci - devant; cette racine $e trouvera de 4,962, c’e$t-à-dire de 4 toi$es, plus {962/1000} de toi$es que l’on éva- luera, $uivant la méthode de l’art. 131, & que l’on trouvera de 5 pieds 9 pouces 3 lignes 2 points.

Démon$tration de la Racine quarrée.

166. Pour démontrer les opérations précédentes, nous ex- trairons encore la racine quarrée du nombre 676, & nous fe- rons voir la rai$on de chaque opération.

[0128]NOUVEAU COURS

On voit par les articles 152, 153, 154 & 155 pour quelle rai$on on divi$e le nombre donné en tranches de deux chiffres chacune, & comment chaque tranche doit donner un chiffre à la racine. Cela po$é, pour extraire la racine de 676, après avoir partagé le nombre en tranches de deux chiffres chacune, excepté la premiere qui n’en contient qu’un, je dis, la racine quarrée de 6 e$t 2, que je po$e à la racine, & qui vaut 20, pui$- qu’il doit y avoir deux chiffres à la racine, dont il e$t le pre- mier. Lors donc que j’éleve 2 au quarré, & que je retranche 4 de 6, c’e$t comme $i j’élevois 40 au quarré, & que je retrancha$$e 400 de 600, pui$que le 6 vaut réellement 600. Selon la regle, j’abi$$e la $econde tranche à côté du re$te 2, & j’ai 276: je mets un point $ous le 7, parce que nous avons fait voir que le double du premier terme, multiplié par le $econd, doit $e trouver compris dans les deux premiers chiffres 27 (n°. 150); mais j’ai le double du premier, & ce nombre 27 contient le double du premier, multiplié par le $econd: donc en divi$ant 27 par le double du premier, je dois trouver le $econd: je fais la Divi$ion, & je dis, en 27 combien de fois 4, il y e$t $ix fois: je mets le 6 à côté du divi$eur & au de$$ous, $elon la regle; ce qui me donne néce$$airement par la Multiplication le quarré de 6, lequel doit être contenu dans les deux derniers chiffres: je dis donc $ix fois 6 font 36, je po$e 6 & retiens 3; $ix fois 4 font 24, & 3 de retenus, font 27, le produit e$t 276: donc le 6 e$t le $econd chiffre de la racine: donc 26 e$t la racine du nombre propo$é, pui$que ce nombre contient le quarré du premier 2 ou 20, qui e$t 400, le double du premier 40, mul- tiplié par 6 ou 240, & enfin le quarré 36 du $econd.

Le rai$onnement que nous fai$ons pour une racine de deux chiffres $e peut appliquer à tout autre; car on pourra toujours partager un nombre quelconque de chiffres en deux parties, dont la premiere contiendra tous les chiffres, excepté le der- nier à droite, & la $econde contiendra le dernier chiffre. De cette maniere, on verra que lor$qu’on aura trouvé la racine des premiers chiffres, le re$te qui viendra, joint avec la der- niere tranche, doit contenir le double des premiers chiffres trouvés, multiplié par le dernier avec le quarré du dernier. D’ailleurs ce double produit $era toujours placé de maniere, que les chiffres $ignificatifs de ce même produit $eront tou- jours terminés au premier chiffre de la derniere tranche: donc [0129]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. en fai$ant la Divi$ion, on doit trouver le dernier chiffre. Ceci peut encore $e démontrer indépendamment de cette $uppo$i- tion, par la formation du quarré, expliquée au n°. 150, & même on ne peut mieux faire que d’y recourir encore, pour voir de quelle maniere on a déduit de cette formation la regle que nous venons de voir; c’e$t en cela que con$i$te l’e$prit géométrique, & c’e$t par l’étude de la compo$ition des quan- tités que l’on acquiert le grand art de les décompo$er; je dis le grand art, car c’e$t le plus difficile de toute la Géométrie, & la décompo$ition des quantités e$t $on objet dans toutes les méthodes de calcul que l’on propo$e.

De la formation du Cube d’une quantité complexe, & de l’extrac- tion de la racine cube des quantités algébriques & numériques.

167. Nous avons déja vu, n°. 61, que le cube d’une quan- tité, compo$ée de deux termes, contient le cube du premier terme, le cube du $econd, plus deux parallelepipedes, dont le premier a pour ba$e le triple du quarré du premier, & le $e- cond pour hauteur, & l’autre a pour ba$e le triple du quarré du $econd, & pour hauteur le premier; ce que nous avons démontré généralement, en élevant _a_ + _b_ à $on cube, que nous avons trouvé _a_<_>3 + 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3.

168. Le cube d’une quantité, compo$é de trois termes, ou de quatre termes, $e trouvera de même, en multipliant cette quantité deux fois de $uite par elle-même; mais on peut la trouver plus ai$ément, en rapportant la quantité à l’expre$$ion générale _a_ + _b_, qui peut repré$enter une quantité complexe quelconque, en fai$ant, par exemple dans celle-ci, _c_ + _d_ + _f_ + _g_, _c_ + _d_ = _a_, & _f_ + _g_ =_b_. Voici de quelle maniere on s’y prendroit pour élever tout d’un coup _c_ + _d_ + _f_ + _g_ au cube. On prendroit d’abord le cube de _c_ + _d_, qui e$t _c_<_>3 + 3_c_<_>2_d_ + 3_cd_<_>2 + _d_<_>3, & de même le cube de _f_ + _g_, qui e$t _f_<_>3 + 3_f_<_>2_g_ + 3_fg_<_>2 + _g_<_>3; on prendroit en$uite le triple du quarré de _c_ + _d_ que l’on trouvera de 3_c_<_>2 + 6_cd_ + 3_d_<_>2, que l’on multipliera par _f_ + _g_, ce qui donnera 3_c_<_>2_f_ + 6_cdf_ + 3_d_<_>2_f_ + 3_c_<_>2_g_ + 6_cdg_ + 3_d_<_>2_g_. De même on prendra le triple du quarré de _f_ + _g_, qui $era 3_ff_ + 6_fg_ + 3_g_<_>2, que l’on multipliera par _c_ + _d_, & l’on aura 3_cff_ + 6_cfg_ + 3_cg_<_>2 + 3_dff_ + 6_dfg_ + 3_dg_<_>2; ajou- tant tous ces produits en$emble, on aura pour le cube total de [0130]NOUVEAU COURS la grandeur _c_ + _d_ + _f_ + _g_, la quantité _c_<_>2 + 3_c_<_>2_d_ + 3_cd_<_>2 + _d_<_>3 + _f_<_>3 + 3_f_<_>2_g_ + 3_fg_<_>2 + _g_<_>3 + 3_c_<_>2_f_ + 6_cdf_ + 3_d_<_>2_f_ + 3_c_<_>2_g_ + 6_cdg_ + 3_d_<_>2_g_ + 3_cff_ + 6_cfg_ + 3_cg_<_>2 + 3_dff_ + 6_dfg_ + 3_dg_<_>2.

169. Quand cette méthode n’auroit pas l’avantage d’être plus expéditive, & moins $ujette à jetter dans l’erreur, elle devient ici néce$$aire, pour faire connoître comment on peut ramener la formation du cube d’une quantité complexe de tant de termes que l’on voudra, à la formation du cube, du binome _a_ + _b_; & pour montrer pareillement comment l’extraction des racines cubes des mêmes polinomes $e rappelle à l’extraction de la racine cube de _a_ + _b_.

De même $i l’on vouloit élever au cube la quantité complexe 3_c_ + 2_d_ + 5_f_, on feroit 3_c_ + 2_d_ = _a_, & 5_f_ = _b_. Cela po$é, on chercheroit d’abord _a_<_>3, que l’on trouveroit en élevant le binome 3_c_ + 2_d_ au cube, $uivant la regle du binome _a_ + _b_, & qui e$t 27_c_<_>3 + 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3. On chercheroit en$uite le triple du quarré du premier terme, multiplié par le $econd, ou 3_a_<_>2_b_ qui e$t 135_cf_<_>2 + 180_cdf_ + 60_d_<_>2_f_. On prendroit de même le triple du quarré du $econd, multiplié par le premier, ou 3_ab_<_>2 qui $e trouveroit être 225_cf_<_>2 + 150_df_<_>2: enfin on auroit pour _b_<_>3 ou le cube du $econd terme, 125_f_<_>3. En a$$emblant toutes ces quantités, on auroit pour le cube du trinome 3_c_ + 2_d_ + 5_f_, 27_c_<_>3 + 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3 + 135_c_<_>2_f_ + 180_cdf_ + 60_d_<_>2_f_ + 225_cf_<_>2 + 150_df_<_>2 + 125_f_<_>3.

De l’Extraction des Racines Cubes des quantités algébriques. REGLE GENERALE.

170. Pour extraire la racine cube d’une quantité algébri- que, il faudra prendre d’abord la racine cube d’un des termes de cette quantité, qui $era un cube parfait, & l’écrire à la racine: pour avoir le $econd terme de la racine, il faudra prendre le triple du quarré du premier terme que l’on vient de mettre à la racine, & par cette quantité divi$er un terme du polinome propo$é qui pui$$e donner un quotient exact; il fau- dra ajouter à côté du divi$eur le triple du premier terme, mul- tiplié par ce quotient, le quarré du même quotient, & multi- plier le tout par le même quotient; & $i le polinome propo$é e$t un cube parfait, & n’a que quatre termes, il faut que le produit qui viendra, $oit égal à ce qui re$te de la même quan- [0131]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. citè, après en avoir retranché le cube du premier terme.

EXEMPLE I.

171. Soit propo$é d’extraire la racine cube du polinome _a_<_>3 + 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3. Ayant di$po$é cette quantité à la gau- che d’une barre verticale, comme on le voit ci-après, je dis, la racine cube de _a_<_>3 e$t _a_, que je po$e à la racine: j’éleve cette racine à $on cube, & ôtant _a_<_>3 de la quantité propo$ée, il me vient pour re$te 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3. Pour avoir le $econd terme de la racine, j’éleve la grandeur _a_ à $on quarré, dont le triple 3_a_<_>2 me $ert de divi$eur, que je place au de$$ous de la racine. Je cherche dans le re$te un terme divi$ible par 3_a_<_>2, & je vois que le premier de ce re$te 3_a_<_>2_b_ e$t effectivement divi$ible par 3_a_<_>2, & me donne au quotient _b_. J’écris au de$$ous du divi$eur 3_a_<_>2 la quantité $uivante, 3_a_<_>2 + 3_ab_ + _b_<_>2, qui contient le triple du quarré du premier terme, le triple du premier par le $econd, & le quarré du $econd ou du quotient _b_: je multiplie cette quantité par le même quotient _b_, & j’ai 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3, qui e$t égal au re$te, & me fait voir que _b_ e$t le $econd terme de la racine. Je le mets donc à la $uite de _a_, ce qui me donne _a_ + _b_ pour la racine cube demandée.

ARTICLE 171.

_a_<_>3 + 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3 - _a_<_>3 Re$te 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3 Sou$tract. - 3_a_<_>2_b_ - 3_ab_<_>2 - _b_<_>3 0 0 0

{_a_ + _b_, racine. 3_a_<_>2, divi$eur. 3_a_<_>2 + 3_ab_ + _b_<_>2 _b_ 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3, produit.

EXEMPLE II.

172. Soit encore propo$é d’extraire la racine cube de la quan- tité 27_c_<_>3 + 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3. Ayant écrit cette quantité à la gauche d’une ligne verticale, de l’autre côté de laquelle je dois mettre la racine, je dis, la racine cube de 27_c_<_>3 e$t 3_c_, pui$qu’en élevant 3_c_ au cube, j’ai 27_c_<_>3: j’ôte ce cube de la quantité propo$ée, le re$te e$t 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_. Je triple le quarré de ce qui e$t à la racine, & j’ai pour divi$eur 27_c_<_>2. Je cherche dans le re$te un terme qui $oit divi$ible par 27_c_<_>2, ce terme e$t 54_c_<_>2_d_, qui me donne au quotient 2_d_: j’écris au [0132]NOUVEAU COURS de$$ous du divi$eur le même divi$eur 27_c_<_>2, avec les termes $ui- vans, + 18_cd_ + 4_dd_, je multiplie toute cette quantité par le quotient 2_d_; & comme le produit e$t 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3 égal au re$te, je conclus que 2_d_ e$t le $econd terme que je cherche, & je le mets à la racine, qui e$t 3_c_ + 2_d_.

ARTICLE 172.

27_c_<_>3 + 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3 - 27_c_<_>3 Re$te 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3 - 54_c_<_>2_d_ - 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3 0 0 0

{ 3_c_ + 2_d_, racine. 27_c_<_>2, divi$eur. 27_c_<_>2 + 18_cd_ + 4_dd_ 2_d_ 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3, produit.

173. Si la quantité devoit avoir plus de deux termes à la racine, on $uivroit toujours le même procédé, c’e$t-à-dire que l’on prendroit pour divi$eur le triple du quarré de ce que l’on auroit trouvé pour divi$er le re$te par cette quantité, & le quotient qui viendroit $e détermineroit de la même maniere que l’on a déterminé le $econd terme de la racine. Par exem- ple, $i l’on me propo$e d’extraire la racine cube de la quantité 27_c_<_>3 + 54_c_<_>2_d_ + 36_cd_<_>2 + 8_d_<_>3 + 135_c_<_>2 _f_ + 180_dcf_ + 60_d_<_>2_f_ + 225_cf_<_>2 + 150_df_<_>2 + 125_f_<_>3. Après avoir trouvé les deux premiers termes de la racine 3_c_ + 2_d_, avec le re$te 135_c_<_>2_f_, &c. comme il e$t marqué ci-après, pour avoir le troi$ieme terme de la racine, il faudra prendre pour divi$eur le triple du quarré de ce qui e$t à la racine, que l’on trouvera être 27_c_<_>2 + 46_cd_ + 12_dd_: on cherchera donc un terme qui $oit divi$ible par 27_c_<_>2: ce terme e$t le premier du dernier re$te 135_c_<_>2_f_, lequel divi$é par 27_c_<_>2, donne 5_f_ au quotient: j’écris au de$$ous du divi$eur ce même divi$eur, avec les quantités $uivantes, 45_cf_ + 30_df_ + 25_ff_, dont les deux premiers termes $ont le triple de ce qui e$t à la racine, multiplié par le quotient 5_f_; le troi- $ieme, le quarré du même quotient 5_f_: je multiplie toute cette quantité par 5_f_, & comme le produit qui en ré$ulte détruit tous les termes du dernier re$te, étant pris en moins, je con- clus que 5_f_ e$t le troi$ieme terme de la racine, & je le po$e à la $uite des autres.

[0133]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. ARTICLE 173.

Re$te { 135_c_<_>2_f_ + 180_dcf_ + 60_d_<_>2_f_ + 225_cf_<_>2 + 150_df_<_>2 + 125_f_<_>3 - 135_c_<_>2_f_ - 180_dcf_ - 60_d_<_>2_f_ - 225_cf_<_>2 - 150_df_ - 125_f_<_>3 _Produit_ _négatif_. 0 0 0 0 0 0

{ 3_c_ + 2_d_ + 5_f_, racine. 27_c_<_>2 + 36_c_<_>2_d_ + 12_dd_, div. 27_c_<_>2 + 36_cd_ + 12_dd_<_>2 + 45_cf_ + 30_df_ + 25_ff_ x 5_f_

DÉMONSTRATION.

Cette pratique porte $a démon$tration avec elle; car il e$t évident qu’en la $uivant, on doit reconnoître $i la quantité propo$ée e$t un cube, pui$que l’on ôte de cette quantité toutes les parties qui forment le cube d’une quantité complexe. Quand on a un peu d’habitude au calcul, on voit tout d’un coup $i une quantité propo$ée e$t un cube parfait; car $i elle ne contient que deux termes, trois termes, ou cinq, $ix, $ept, huit, neuf, & non pas dix termes, on $era $ûre qu’elle n’e$t point un cube parfait; car elle ne peut être cube parfait que d’un binome ou d’un trinome, ou d’une quantité plus com- pliquée, & le binome ne donne que quatre termes à $on cube, & le trinome en donne dix: donc les intermédiaires ne $ont pas des cubes.

De la formation algébrique du Cube d’un nombre quelconque, & de l’extraction de racine cube de quantités numériques.

174. Pour élever un nombre comme celui-ci, 47 à $on cube, on peut le faire en deux manieres, ou en multipliant 47 par lui-même pour avoir $on quarré 2209, & multipliant encore ce quarré par 47, ce qui donnera 103823, ou bien en $e $ervant de la formule _a_<_>3 + 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3: pour cela, je regarde le nombre 47 comme une quantité complexe, que je repré- $ente par _a_ + _b_; $çavoir 40 par _a_, & 7 par _b_, ce qui me donne 40 + 7 = _a_ + _b_. Je cherche d’abord _a_<_>3 en élevant 40 au cube, & j’ai _a_<_>3 = 64000: je prends en$uite le triple du quarré de 40, que je multiplie par 7, pour avoir 3_a_<_>2_b_, ce qui me donne 3_a_<_>2_b_ = 33600. Je cherche pareillement 3_ab_<_>2, ou le triple du premier, multiplié par le quarré du $econd, ce qui donne 3_ab_<_>2 = 5880: enfin pour _b_<_>3, j’ai _b_<_>3 = 343. Ra$$emblant toutes [0134]NOUVEAU COURS # { # 64,000 = _a_<_>3 # # 33,600 = 3_a_<_>2_b_ ces égalités, on aura # # 5,880 = 3_ab_<_>2 # # 343 = _b_<_>3 # # 103,823 = _a_ + _b_<_>3 Sur quoi l’on remarquera, 1°. Qu’en divi$ant les produits par- ticuliers & le cube total en tranches de trois chiffres chacune, excepté la derniere à gauche, qui peut n’en contenir que deux ou un; que le nombre 64, cube du premier chiffre 4 de la quantité 47, a après lui autant de tranches de trois qu’il y a de rangs de chiffres à $a racine; $çavoir une tranche de, 000 après 64, & un chiffre 7 après 4 dans 47.

2°. Que le produit repré$enté par 3_a_<_>2_b_ e$t placé de maniere que le triple du quarré de 4 ou 16, qui e$t 48, multiplié par 7 ou 336, a deux zero après lui: donc il aura au$$i deux chif- fres après lui dans le cube total, & $era contenu dans les chif- fres qui $e terminent au premier 8 de la $econde tranche.

3°. Que le produit repré$enté par 3_ab_<_>2, ou le triple 12 du premier chiffre 4, multiplié par 49, quarré du $econd, a un rang de chiffres après lui, pui$qu’il e$t 5580; & qu’enfin le cube du $econd chiffre 7 e$t ren$ermé tout entier dans la $econde tranche.

Ceci $uppo$é, il $era facile d’entendre la méthode de l’ex- traction de la racíne cube que nous allons donner, après quel- ques remarques, qui $ont ab$olument néce$$aires, pour qu’il n’y ait rien à dé$irer $ur cette partie.

Pour extraire la racine cube d’une quantité quelconque, il faut d’abord connoître les cubes des neuf premiers chiffres; ce que l’on connoîtra par le moyen de la Table $uivante, qui $uffit, lor$que les nombres propo$és n’ont que trois chiffres.

1 # 2 # 3 # 4 # 5 # 6 # 7 # 8 # 9 # 10 1 # 8 # 27 # 64 # 125 # 216 # 343 # 512 # 729 # 1000

175. On remarquera d’abord que le plus grand nombre de trois chiffres ne peut avoir qu’un chiffre à $a racine cube, car le plus grand nombre de trois chiffres e$t 999, & le plus petit de deux chiffres e$t 10, dont le cube 1000 e$t de quatre chif- [0135]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. fres; ain$i toutes les racines cubes d’un chiffre $ont compri$es inclu$ivement depuis 1 ju$qu’à 999.

176. Le plus grand nombre de $ix chiffres ne peut en avoir que deux à $a racine; le plus grand nombre de $ix chiffres e$t 999999, & le plus petit de trois chiffres e$t 100, dont le cube e$t 1000000, qui a $ept chiffres, & e$t plus grand que 999999. Ain$i toutes les racines cubes de deux chiffres $ont compri$es depuis 1000 ju$qu’à 999,999 inclu$ivement.

177. Le plus grand nombre de neuf chiffres ne peut en avoir que trois à $a racine; car le plus grand nombre de neuf chif- fres e$t 999999999, & le plus petit nombre de quatre chiffres e$t 1000, dont le cube e$t 1000000000 qui contient dix chif- fres, & e$t néce$$airement plus grand que 999999999; d’où il $uit que les racines cubes de trois chiffres $ont compri$es, de- puis 1000000 ju$qu’à 999,999,999 inclu$ivement.

178. En continuant toujours le même rai$onnement, on verra qu’en général un nombre propo$é doit avoir autant de chiffres à $a racine cube qu’il aura de tranches de trois chiffres chacune, excepté la premiere à gauche, qui peut n’en con- tenir que deux ou même un, mais que l’on regarde toujours comme une tranche; car 999 ne donne qu’un chiffre à la ra- cine, comme on l’a démontré, art. 175, & ce nombre ne contient qu’une tranche de trois chiffres. 1000 donne deux chiffres à la racine cube, parce que, outre la tranche des trois zero, il contient encore une tranche d’un chiffre. De même 999999 ne peut donner que deux chiffres à la racine, ain$i que tous les intermédiaires entre lui & 1000, parce qu’ils ne contiennent que deux tranches, & ain$i des autres.

Tout cela po$é, nous allons donner la regle générale, & l’appliquer à quelques exemples.

Regle générale pour l’extraction de la Racine cube des quantités numériques.

179. 1°. On commencera par partager le nombre donné en tranches de trois chiffres chacune, en comptant pour une tranche la premiere à gauche, qui peut ne contenir que deux chiffres, ou même un $eul.

2°. On cherchera le plus grand cube contenu dans la pre- miere tranche à gauche, on en prendra la racine, que l’on [0136]NOUVEAU COURS po$era à la droite du nombre propo$é, après en avoir $éparé la racine par une barre verticale. On élevera cette racine à $on cube, que l’on ôtera de la premiere tranche, & l’opération $era achevée pour cette tranche.

3°. A côté du re$te que l’on aura trouvé, en ôtant le cube du premier chiffre de la racine de la premiere tranche, on abai$$era la $econde tranche, en ob$ervant de mettre un point $ous le premier chiffre de cette $econde tranche: pour avoir le $econd chiffre de la racine, on élevera le premier au quarré, dont on prendra le triple, qui $era le divi$eur dont il faudra $e $ervir pour trouver le $econd chiffre de la racine.

4°. On divi$era les chiffres terminés à celui $ous lequel on a mis un point, par le divi$eur trouvé, & l’on aura un quotient, que l’on éprouvera comme il $uit, avant que de le po$er à la racine. Il faudra ajouter en$emble les produits repré$entés par 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3, c’e$t-à-dire le produit du divi$eur par le chiffre que l’on éprouve, le triple du premier terme de la ra- cine par le quarré du même chiffre, & enfin le cube de ce même chiffre, en ob$ervant de les placer avant l’addition, de maniere qu’ils $e pa$$ent tous d’un chiffre en avant. Il faudra ôter la $omme de la $econde tranche, jointe au re$te que l’on a trouvé, & $i la $ou$traction $e peut faire, on mettra le chiffre à la racine, $inon il faudra diminuer d’une unité, ju$qu’à @e que la $omme de ces produits $oit moindre, ou tout au moins égale aux chiffres $ur le$quels on opere. Si le nombre propo$é n’a que deux tranches, l’extraction $era faite, & la racine $era la racine exacte que l’on cherche, $i la $ou$traction n’a pas donné de re$te. Si le nombre avoit encore d’autres tranches, on les abai$$eroit l’une aprés l’autre à côté du dernier re$te, en déterminant les divi$eurs, & les chiffres que l’on doit mettre à la racine, comme on a fait pour le $econd chiffre de la même racine.

EXEMPLE I.

180. Soit propo$é d’extraire la racine cube du nombre 103823. Aprés avoir partagé ce nombre en tranches de trois chiffres chacune, je dis, en 103 quel e$t le plus grand cube qui y $oit contenu? Ce cube e$t 64 (comme on le peut voir ai$ément par la Table des cubes), dont la racine cube e$t 4, Je po$e 4 à la racine, à la droite du nombre propo$é, après [0137]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. l’avoir $éparée par une barre verticale, & je $ou$trais le cube 64 de cette racine 4 de 103, le re$te e$t 39. J’abai$$e en$uite la $e- conde tranche 823 à côté du re$te 39, en mettant un point $ous le premier chiffre 8, pour marquer que 398, e$t le dividende $ur lequel il faut opérer, & qui contient le triple du quarré du premier terme, multiplié par le $econd: pour avoir ce $econd terme, je triple le quarré de 4, & j’ai 48 pour divi$eur, par lequel je divi$e 398, en imaginant le chiffre 8 du divi$eur $ous le chiffre 8 du dividende partiel, & je dis, en 39 combien de fois 4, il y e$t neuf fois; mais comme je prévois que le 9 n’e$t pas bon, j’e$$aie le 8, quoique je $çache bien qu’il n’e$t pas non plus celui que je demande, mais pour montrer la maniere dont on fait l’épreuve. Je multiplie d’abord le divi$eur par 8, & j’ai 384 qui me repré$ente le produit dé- $igné par 3_a_<_>2_b_. Je multiplie en$uite le nombre 12, triple de ce qui e$t à la racine, par 64, quarré de 8, le produit e$t 768, que j’écris au de$$ous du premier 384, de maniere qu’il dé- borde le dernier chiffre 4 d’un rang vers la droite, & ce nom- bre me repré$ente 3_ab_<_>2. Enfin je prends le cube de 8, qui e$t 512, que j’écris au de$$ous du $econd produit, de maniere que le 2 déborde d’un rang le dernier chiffre 7 de ce $econd pro- duit. J’ajoute ces trois nombres en$emble, & je trouve la $omme 46582. Comme ce produit e$t plus grand que le re$te, joint avec la $econde tranche 39823, je conclus que le 8 n’e$t pas encore bon; je diminue d’une unité, & j’éprouve le 7 de la même maniere: je multiplie le divi$eur 48 par 7, & j’ai 336, qui me repré$ente le produit dé$igné par 3_a_<_>2_b_; je multiplie en$uite 12, triple de ce qui e$t à la racine, par 49, quarré de 7, & j’ai au produit 588, que je place de maniere, que le der- nier chiffre 8 déborde d’un rang le dernier chiffre du produit $upérieur, & ce produit me dé$igne 3_ab_<_>2. Enfin j’éleve 7 au cube, qui e$t 343, que j’écris encore au de$$ous du $econd produit, de maniere que le dernier chiffre 3 pa$$e le dernier du produit $upérieur d’un rang vers la droite: j’ajoute en$em- ble ces produits, & je trouve que leur $omme e$t 39823, égale au nombre $ur lequel j’opere; d’où je conclus que le 7 e$t bon, je le po$e à la racine, que je trouve être 47, comme on le $çait déja par l’article 174.

[0138]NOUVEAU COURS ARTICLE 180.

103,823 64 39823 39823 00000

{47, racine. 48 = 3_a_<_>2, divi$eur. 384 = 3_a_<_>2_b_ 768 = 3_ab_<_>2 512 = _b_<_>3 46592 = 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3 336 = 3_a_<_>2_b_ 588 = 3_ab_<_>2 343 = _b_<_>3 39823 = 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3

}_Epreuve du_ 8. }_Epreuve du_ 7.

EXEMPLE II.

181. Soit propo$é d’extraire la racine cube du nombre 99865243. Aprés avoir partagé ce nombre en tranches de trois chiffres en trois chiffres, à commencer par la droite, je cherche d’abord la racine cube de 99,865, préci$ément de la même maniere que dans l’exemple précédent, en fai$ant ab$- traction pour un moment de la troi$ieme tranche 243. Je dis donc en 99 quel e$t le plus grand cube qui y $oit contenu? Ce cube e$t 64, dont la racine e$t 4, que je po$e à la racine, à la droite du nombre propo$é: je cube 4, & j’ôte le produit 64 de 99, le re$te e$t 35, & toute l’opération e$t faite pour la pre- miere tranche. J’abai$$e la $econde tranche 865, en mettant un point $ous le premier chiffre de cette tranche, pour mar- quer que le nombre 358 contient le triple du quarré du pre- mier terme, multiplié par le $econd. Je triple le quarré de ce qui e$t à la racine, & j’ai le divi$eur 48, par lequel il faut di- vi$er 358 pour avoir le $econd chiffre de la racine. Je divi$e donc 358 par 48, & je dis, en 35 combien de fois 4, il y e$t huit fois; mais ni le 8 ni le 7 ne peuvent être mis à la racine, car en fai$ant l’épreuve du 7, comme dans l’exemple précé- dent, on verra que les produits dé$ignés par 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3, qu’il faut retrancher du re$te, joint à la $econde tranche, don- nent un nombre trop grand 39823. Ain$i j’éprouve le 6; pour cela je multiplie le divi$eur 48 par 6 pour avoir le produit 288, dé$igné par 3_a_<_>2_b_. Je multiplie en$uite le triple de ce qui e$t à [0139]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I._ la racine, ou 12 par le quarré de 6, qui e$t 36, & j’ai 432, qui me repré$ente 3_ab_<_>2, que j’écris au de$$ous du premier produit, de maniere que le dernier chiffre 2 $urpa$$e d’un rang vers la droite le chiffre $upérieur. Enfin j’écris le cube de 6, qui e$t 216, de maniere que le 6 déborde encore d’un rang; je prends la $omme de ces trois produits, que je trouve être 33336. Comme ce nombre e$t moindre que 35865, je conclus que le 6 e$t bon, & je le po$e à la racine; je $ou$trais 33336 de 35865, & le re$te e$t 2529. Si l’on n’avoit pas encore la troi$ieme tranche 243, l’opération $eroit achevée, & la racine $eroit 46, avec le re$te 2529, qui ne pourroit pas donner une unité mais pui$qu’elle s’y trouve, il faut encore déterminer le troi$ieme chiffre de cette racine: pour cela, je quarre 46 à part, & je trouve pour $on quarré 2116, dont je prends le triple, qui e$t 6348, par lequel je dois divi$er le nombre qui contient le troi$ieme chiffre, multiplié par le triple du quarré du premier terme, que je regarde comme 46; j’abai$$e la troi- $ieme tranche 243 à côté du re$te 2529, en mettant un point $ous le premier chiffre 2 de cette tranche, & je divi$e 25292 par 6348, en di$ant, en 25 combien de fois 6, il y e$t quatre fois; mais en fai$ant l’épreuve comme ci-devant, on verroit que le 4 ne peut pas être mis à la racine, ain$i j’éprouve le 3. Je prends d’abord le produit du divi$eur par 3, que je trouve 19044, qui me repré$ente 3_a_<_>2_b_, je prends en$uite le triple de ce qui e$t à la racine, que je multiplie par 9, quarré du chiffre 3, que j’éprouve, & j’ai 1242 que je place au de$$ous du pre- mier produit, de maniere que le 2 déborde d’un chiffre, & ce produit me repré$ente 3_ab_<_>2. Enfin j’écris au de$$ous de ce $econd produit 27, cube de 3, de maniere que le 7 déborde d’un rang les chiffres $upérieurs: j’ajoute ces trois grandeurs en$emble, & j’ai pour leur $omme 1916847. Comme ce pro- duit e$t moindre que 2529243, je conclus que le 3 e$t bon, & je le po$e à la racine. J’ôte ce dernier produit du nombre 2529243, le re$te e$t 612396, qui ne pouvoit donner une unité de plus à la racine, & de cette maniere l’opération $e trouve achevée.

[0140]NOUVEAU COURS ARTICLE 181.

99865243 64 35865 33336 2529243 1916847 612396

{463 48 = 3_a_<_>2, I<_>er divi$eur. 288 = 3_a_<_>2_b_ 432 = 3_ab_<_>2 216 = _b_<_>3 33336 = 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3 6348 = 3_a_<_>2, $econd divi$. 19044 = 3_a_<_>2_b_ 1242 = 3_ab_<_>2 27 = _b_<_>3 1916847 = 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_ + _b_<_>3

} _Epreuve du_ 6. } _Epreuve du_ 3.

Maniere d’approcher le plus prés qu’il e$t po$$ible de la racine cube d’un nombre donné, par le moyen des décimales.

182. On ajoutera au nombre propo$é, pour en extraire la racine, autant de tranches de trois zero chacune que l’on vou- dra avoir de décimales à la racine: on extraira d’abord la ra- cine du nombre propo$é, comme on a fait ci-devant, & aprés avoir trouvé le re$te, pui$que la racine n’e$t pas complette, on abai$$era auprés de ce re$te la premiere tranche, & l’on opérera $ur cette partie comme $ur des nombres entiers; on fera l’épreuve des chiffres qu’il faudra mettre à la racine, préci$ément de la même maniere, comme on verra $u$affimment dans l’exemple $uivant, dans lequel on $e contentera d’indiquer les opérations $ans s’arrêter à les détailler.

183. Si l’on $uppo$e que 694 $oit un nombre de toi$es, dont on demande la racine en toi$es, pieds, pouces, il faudra ré- duire les décimales 853 en valeur connue, $uivant la méthode de l’article 131, en multipliant ce nombre 0.853 par 6, pre- nant les entiers pour les pieds, & multipliant encore le re$te par 12 pour avoir les pouces, & ain$i de $uite pour les lignes & les points. En opérant de cette maniere, on verra que la racine cube de 694 toi$es cubes e$t 8 toi$. 5 pieds 1 pouce 5 lig.

184. Si au contraire on propo$oit un nombre qui contînt des toi$es, des pieds, des pouces pour en extraire la racine, [0141]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. I_. il faudroit chercher une fraction décimale de la toi$e égale aux pieds, pouces, lignes, qui $ont joints au nombre entier, en chercher la racine, $uivant les regles précédentes; & la ra- cine que l’on trouvera $era celle que l’on demande, exprimée en toi$es & parties décimales de toi$es, que l’on réduira en pieds, pouces, lignes & points, $uivant la méthode de l’ar- ticle 131.

ARTICLE 182.

694,000,000,000 512 182000 169 472 12 528000 11 682125 845875000 705142479

{8.853 192 = 3_a_<_>2, premier divi$eur. 1536 = 3_a_<_>2_b_ 1536 = 3_ab_<_>2 512 = _b_<_>3 169472 = 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3 23232 = 3_a_<_>2, $econd divi$eur. 116160 = 3_a_<_>2_b_ 6600 = 3_ab_<_>2 125 = _b_<_>3 116821 25 = 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3 2349675 = 3_a_<_>2, troi$ieme divi$eur. 7049025 = 3_a_<_>2_b_ 23895 = 3_ab_<_>2 27= _b_<_>3 705141477= 3_a_<_>2_b_ + 3_ab_<_>2 + _b_<_>3.

Démon$tration de la Racine Cube.

185. Le cube d’un nombre quelconque peut être regardé comme celui d’un binome, dont le premier terme repré$ente cous les chiffres, excepté le premier à droite, & le $econd repré$ente ce dernier. Or le cube d’un binome contient le cube du premier terme, le triple du quarré du premier par le $econd, le triple du premier par le quarré du $econd, & le cube du $econd: ain$i il n’y a qu’à faire voir que par la mé- thode propo$ée on détermine toutes ces parties, dont le cube e$t compo$é; c’e$t ce qu’il e$t ai$é de reconnoître: car dans le premier exemple, lor$que je po$e 4 à la racine cube, comme [0142]NOUVEAU COURS je $çais qu’il doit y avoir deux chiffres, c’e$t réellement 40 que je po$e, dont le cube e$t 64000, que je retranche de 10383, & le re$te e$t 39823. Je triple en$uite le quarré de 4, & je di- vi$e 398 par 48, comme $i je divi$ois 39823 par 4800, pui$- que le 8 e$t po$é $ous le premier chiffre de la $econde tranche. Or il e$t certain que le quotient qui doit me venir e$t le $econd terme de la racine, pui$que le triple du quarré du premier ter- me par le $econd doit avoir deux chiffres après lui: d’ailleurs j’ôte encore le triple du quarré du $econd par le premier, par la maniere dont je po$e le produit du triple du premier terme par le quarré du $econd, en l’avançant d’un rang vers la droite, pui$que ce produit ne doit avoir qu’un chiffre après lui, & enfin j’ôte le cube du $econd terme. D’où il $uit que j’ai ôté du nombre propo$é toutes les parties qui forment un cube, & $i le cube e$t parfait, il ne doit rien re$ter après la $ou$traction de la $omme de ces trois produits. Si le cube e$t imparfait, on prend toujours le plus approchant, à quelque défaut près, mais on e$t a$$uré qu’il ne s’en faut pas d’une unité que la ra- cine ne $oit celle qu’on cherche par l’épreuve que l’on fait, pui$que $i l’on augmentoit d’une unité, le cube de la racine $eroit plus grand que le nombre propo$é.

On appliquera le même rai$onnement à une racine de tant de chiffres que l’on voudra, pui$que l’on peut regarder les chif- fres trouvés comme le premier terme de la racine, & celui qui re$te à trouver comme le $econd, en regardant le nombre propo$é comme s’il ne contenoit que deux tranches.

La preuve de l’extraction des racines quarrées & cubiques $e fait en élevant les racines trouvées au quarré ou au cube: $i le nombre propo$é étoit un quarré ou un cube parfait, on doit trouver en multipliant la racine une ou deux fois par elle- même un nombre égal au premier; $i les nombres ne $ont pas des quarrés ou des cubes parfaits, en ajoutant le re$te avec la même pui$$ance de la racine, on doit retrouver le nombre propo$é.

De l’Extraction des Racines quarrées & cubiques, des Fractions numériques.

186. Pour extraire la racine quarrée d’une fraction numé- rique, il faut extraire la racine du numérateur & du dénomi- [0143]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. nateur, & des deux racines en faire une nouvelle fraction, qui $era la fraction demandée: ain$i la racine de {16/25} e$t {4/5}, & ain$i des autres. La rai$on e$t, que l’on éleve une fraction au quarré, en multipliant le numérateur par lu-même, ain$i que le dénominateur. Ain$i pour en extraire la racine, il faut prendre celle du numérateur & du dénominateur.

187. Quand le dénominateur de la fraction n’e$t pas un quarré, on multiplie le numérateur & le dénominateur par ce même dénominateur: de cette maniere la fraction n’a pas changé de valeur, & de plus le dénominateur e$t un quarré parfait, ce qui contribue beaucoup à déterminer exactement la valeur de la racine fractionnaire. Ain$i pour extraire la ra- cine quarrée de {3/8}, je multiplie 3, & 8 par 8 pour avoir la frac- tion {24/64}, dont la racine e$t à peu près {5/8}, pui$qu’en l’élevant au quarré il vient {25/64}, qui ne differe de la fraction {3/8} que de {1/64}. De même la racine de {3/5} ou de {15/25} e$t {4/5}, ou à peu près: quand on veut les avoir encore plus exactement, il faut chercher une fraction décimale égale à la fraction propo$ée, & en extraire la racine, $uivant les regles ordinaires.

188. De même pour extraire la racine cube d’une fraction numérique, il faudra chercher celle du numérateur & celle du dénominateur: par exemple, la racine de {216/64} e$t {6/4} ou {3/2}; de même celle de {512/729} e$t {8/9}. Si le dénominateur n’étoit pas un cube parfait, on multiplieroit les deux termes de la fraction par le quarré du même dénominateur pour avoir la racine cube que l’on demande avec plus de préci$ion; tout ceci e$t évident par la formation des pui$$ances des fractions.

Fin du premier Livre. [0144] NOUVEAU COURS DE MATHÉMATIQUE. LIVRE SECOND,

Où l’on traite des rai$ons ou rapports, proportions & pro- gre$$ions géométriques & arithmétiques, des Logarithmes, de la ré$olution analytique des Problêmes du premier & $econd degré, & de leurs opérations.

DÉFINITIONS.

189. ON appelle _homogenes_ les grandeurs de même nature, comme deux _lignes_, deux _$urfaces_ ou deux _$olides_, deux _e$paces_ ou deux _tems_, &c.

190. Les grandeurs qui ne $ont pas de même nature, $ont appellées _grandeurs hétérogenes:_ ain$i une toi$e & une livre de monnoie $ont des grandeurs hétérogenes: ain$i qu’une ligne & une $urface, ou bien un $olide & un tems, parce ces gran- deurs ne peuvent pas $e contenir l’une l’autre, n’étant pas de même nature.

191. On appelle _rai$on_ ou _rapport_ de deux ou de plu$ieurs grandeurs, la comparai$on que l’on peut faire de ces grandeurs entr’elles. Ain$i pour déterminer combien il peut y avoir de $ortes de rai$ons ou de rapports, il faut examiner en combien de manieres on peut comparer une grandeur à une autre.

192. 1°. On peut comparer une grandeur à une autre, en examinant combien cette grandeur $urpe$$e celle à laquelle on la compare, ou de combien elle en e$t $urpa$$ée, & cette com- parai$on e$t appellée _rai$on_ ou _rapport arithmétique_. Ain$i $i je [0145]NOUVEAU COURS DE MATHÉM. _Liv. II_. con$idere de combien 15 e$t plus grand que 5, le nombre 10 que je trouve, en retranchant 5 de 15, e$t le rapport arith- métique de 15 à 5, que l’on marque ordinairement ain$i, 15 - 5; & de même en Algebre _a_ - _b_ e$t le rapport arith- métique de _a_ à _b_. D’où il $uit qu’en général on peut toujours connoître le rapport arithmétique de deux grandeurs par la Sou$traction, pui$que c’e$t par cette opération que l’on peut connoître de combien l’une $urpa$$e l’autre.

193. 2°. On peut comparer une grandeur à une autre, en examinant combien l’une contient l’autre, ou y e$t contenue, & cette comparai$on e$t appellée _rapport géométrique_. Ain$i dans la comparai$on que je fais de 12 à 4, je puis examiner combien de fois 12 contient 4; & dans celle de _a_ à _b_, je puis examiner combien de fois _a_ contient _b_, & comme on ne le peut $çavoir que par la Divi$ion, ce rapport $e marque ain$i, {12/4}, {_a_/_b_}; car on peut prendre une divi$ion indiquée pour la divi$ion même, ou pour le quotient qui ré$ulte de leur divi$ion. Ain$i lor$qu’il e$t be$oin, on peut $e $ervir de ces termes, _divi$iòn_ _indiquée, quotient, fraction, rai$on_ ou _rapport géométrique_, pui$- que tous $ignifient la même cho$e ou le même nombre. Le quotient de 12 divi$é par 4 e$t 3; la fraction {12/4} e$t 3, le rap- port géométrique de 12 à 4 e$t encore 3. Il faut remarquer encore que comme l’on $e $ert plus communément dans les Mathématiques de rapport géométrique, on dit tout $imple- ment rapport, pour exprimer le rapport géométrique de deux grandeurs.

194. Les grandeurs qui ont entr’elles un rapport de nom- bre à nombre, $ont appellées _commen$urables_, parce qu’elles ont au moins l’unité pour commune me$ure: par exemple, une ligne de quatre pieds e$t dite commen$urable avec une ligne de neuf pieds, parce que le rapport de ces deux lignes e$t celui des deux nombres 4 & 9.

195. Les grandeurs qui n’ont point un rapport de nombre à nombre, ou qui ne peuvent avoir de me$ures communes, $i petites qu’elles $oient, $ont nommées _incommen$urables_. Par exemple, $i l’on a un quarré de 16 pieds, & un autre de 32 pieds, la racine du premier quarré $era incommen$urable avec celle du $econd: car comme 32 n’e$t point un quarré parfait, $i près que l’on pui$$e approcher de ce nombre, il y aura tou- [0146]NOUVEAU COURS jours quelque re$te; & cette racine $era incommen$urable avec celle de 16, pui$que l’on ne pourra jamais la déterminer exac- tement.

196. Dans un rapport quelconque arithmétique ou géomé- trique, il y a toujours deux termes, le premier e$t appellé _anté-_ _cédent_, & le $econd _con$équent_; dans le rapport de 12 à 4, 12 e$t l’antécédent, & 4 e$t le con$équent; dans celui de _a_ à _b_, _a_ e$t antécédent, & _b_ con$équent.

197. Une rai$on e$t égale à une autre, quand l’antécédent de l’une contient autant de fois $on con$équent que l’antécé- dent de l’autre contient le $ien. Par exemple, la rai$on de 12 à 4 e$t égale à celle de 15 à 5, parce que 12 contient 4 autant de fois que 15 contient 5, $çavoir trois fois. Cette égalité de rai$on $e marque quelquefois ain$i, {12/4} = {15/5}; & $i _a_ a même rapport avec _b_ que _c_ avec _d_, l’on peut encore exprimer cette égalité de rapport, en mettant {_a_/_b_} = {_c_/_d_}, qui fait voir que les quatre grandeurs _a b_ & _c d_ forment deux rapports géométri- ques égaux.

198. Comme cette expre$$ion {12/4} ou {_a_/_b_} repré$entent égale- ment des rapports géométriques des divi$ions & des fractions: on remarquera que lor$qu’il s’agira de rapport, on appellera le terme qui e$t au de$$us de la ligne, _antécédent_, & le terme qui e$t au de$$ous, _con$équent_; & que quand il s’agira de divi$ion, le premier $era appellé _dividende_, & le $econd _divi$eur_; & qu’enfin lor$qu’il s’agira de fraction, le premier $era appellé _numérateur_, & le $econd _dénominateur_.

199. On appelle _rai$on d’égalité_ celle où l’antécédent e$t égal au con$équent, & _rai$on d’inégalité_, lor$que les deux termes $ont inégaux; ce qui peut arriver de deux manieres: la premiere, quand l’antécédent e$t plus grand que le con$é- quent, & pour lors on nomme cette rai$on, _rai$on de plus_ _grande inégalité_; & lor$que l’antécédent e$t plus petit que le con$équent, on l’appelle _rai$on de moindre inégalité_.

200. Deux rapports égaux forment ce que l’on appelle une _proportion_; $i les deux rapports égaux $ont arithmétiques, la proportion e$t arithmétique; $i les deux rapports égaux $ont géométriques, la proportion e$t géométrique. Ain$i dans toute proportion il y a quatre termes, pui$que chacun des deux rapports en a deux. Il y a proportion arithmétique entre [0147]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. quatre grandes, lor$que la premiere $urpa$$e la $econde autant que la troi$ieme $urpa$$e la quatrieme, ou bien lor$que la $e- conde $urpa$$e la premiere autant que la quatrieme $urpa$$e la troi$ieme. Ain$i ces quatre nombre 9 7, 5 3 forment une proportion arithmétique, que l’on peut marquer ain$i, 9 - 7 = 5 - 3, ou 2 = 2. Mais on la marque plus communément de cette maniere, 9. 7: 5. 3, que l’on prononce ain$i, 9 e$t à 7, comme 5 e$t à 3. Le point qui e$t entre le 9 & le 6 $ignifie _e$t à_, & les deux points qui $ont entre chaque rapport, $igni- fient _comme_. Le point qui $épare les deux termes du $econd rapport, $ignifie la même cho$e que celui qui e$t entre les deux premiers termes 9 & 7. La proportion arithmétique $e mar- que de même en Algebre. Si _a_ - _b_ = _c_ - _d_, on écrit $i _a_. _b_: _c_. _d_ que l’on exprime, en di$ant, _a_ e$t à _b_ arithmétiquement, comme _c_ e$t à _d_. Il y a proportion géométrique entre quatre nombres, lor$que le premier contient le $econd, ou y e$t con- tenu autant de fois que le troi$ieme contient le quatrieme, ou y e$t contenu. Ain$i ces quatre nombres 12, 4, 15 & 5, $ont en proportion géométrique, pui$que 12 contient 4 autant de fois que 15 contient 5: cette proportion peut $e marquer ain$i, {12/4} = {15/5}, & cette maniere e$t peut-être la plus naturelle; mais le plus communément on la marque ain$i, 12. 4 :: 15. 5, c’e$t-à-dire que 12 e$t à 4 géométriquement, comme 15 e$t à 5. La proportion géométrique $e marque de même en Al- gebre: ain$i $i _a_ contient _b_ autant de fois que _c_ contient _d_, on écrit _a. b_ :: _c. d_.

201. Une proportion arithmétique ou géométrique e$t ap- pellée _di$crete_, lor$que les quatre termes $ont quatre gran- deurs différentes; & lor$que dans l’une ou l’autre le même nombre e$t con$équent d’un rapport, & antécédent de l’autre, la proportion e$t appellée _continue_; ain$i ces trois grandeurs 3, 5, 7 $ont en proportion arithmétique continue, parce que l’on a 3. 5 : 5. 7, & cette proportion $e marque ain$i · 3.5.7 que l’on exprime, en di$ant, 3 e$t à 5, comme 5 e$t à 7 arith- métiquement, afin de la di$tinguer de la proportion di$crete arithmétique, comme celle-ci, 2.4:8.10, & autres $embla- bles. De même ces trois grandeurs 18, 6, 2 forment une pro- portion géométrique continue, parce que 18. 6 :: 6. 2, où l’on voit que 6 e$t con$équent dans le premier rapport, & an- récédent dans le $econd. Pour di$tinguer cette e$pece de pro- [0148]NOUVEAU COURS portion des autres, on e$t convenu de la marquer ain$i {../..} 18.6.2, de même en Algebre {../..} _a_. _b_. _c_ marque que les trois grandeurs _a_, _b_, _c_ forment une progre$$ion géométrique.

201. Les quantités qui forment une proportion arithméti- que ou géométrique $ont appellées _proportionnelles_. Le premier & le dernier terme d’une proportion quelconque $ont appellés _extrêmes_, & le $econd & le troi$ieme $ont appellés _moyens_. Dans les proportions continues arithmétiques ou géométri- ques, le terme qui $ert de con$équent & d’antécédent e$t ap- pellé _moyen arithmétique_ ou _géométrique_.

AVERTISSEMENT.

Je crois devoir avertir ici ceux qui commencent la Géo- métrie, qu’il e$t de la derniere importance de bien $çavoir les propo$itions de ce $econd Livre, particuliérement la premiere & $es corollaires, pui$que c’e$t pre$que par elle $eule que $ont démontrées toutes les propo$itions où il s’agit de rapport & de proportion. Pour leur en faciliter l’intelligence, nous leur donnerons plu$ieurs démon$trations de cette propo$ition, & nous nous arrêterons principalement à celles qui $ont démon- trées par des rai$ons métaphy$iques.

PROPOSITION I. THÉOREME.

Si quatre grandeurs $ont en proportion géométrique, le produit des extrêmes $era égal à celui des moyens, c’e$t-à-dire que $i l’on a a. b :: c. d, on aura ad = bc.

PREMIERE DÉMONSTRATION.

202. Pui$qu’une proportion n’e$t autre cho$e que l’égalité de deux rapports, au lieu de l’exprimer ain$i, _a. b_ :: _c. d_, on peut la marquer de cette maniere, {_a_/_b_} = {_c_/_d_}. Si je multiplie les deux termes de cette égalité par une même grandeur _bd_, je ne troublerai point l’égalité; ain$i j’aurai {_abd_/_b_} = {_cbd_/_d@_}: mais {_abd_/_b_} = _ad_, en effaçant la lettre _b_, commune au numérateur & au dé- nominateur; & de même {_cbd_/_d_}=6_c_: donc on aura _ad_ = _bc_. Ce qui prouve que le produit des extrêmes e$t égal au produit des moyens. C. Q. F. D.

[0149]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. SECONDE DÉMONSTRATION.

203. Pui$que l’on a _a. b_ :: _c. d_, à cau$e de l’égalité des rap- ports {_a_/_b_}, {_c_/_d_}; $i l’on $uppo$e que {_a_/_b_} = _f_, on aura au$$i {_c_/_d_}=_f_. Mul- tipliant chaque membre de la premiere égalité par _b_, on aura {_ab_/_b_} = _bf_, ou _a_ = _bf_; multipliant chaque membre de la $e- conde égalité par _d_, on aura {_cd_/_d_} = _df_, ou _c_ = _df_: donc en mettant dans la proportion _a. b_ :: _c. d_ à la place de _a_ & de _c_ $ur valeurs _bf_ & _df_, on aura _bf_ : _b_ :: _df_ : _d_, ou le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens, pui$que l’un & l’autre donne également _bdf_.

TROISIEME DÉMONSTRATION.

204. Suppo$ons qu’au lieu de la proportion _a. b_ :: _c. d_ on me donne celle-ci 12. 6 :: 4. 2; il faut démontrer pour quelle rai$on le produit des moyens 6 x 4 e$t égal au produit des ex- trêmes 12 x 2. Pour cela je fais attention que 12 étant double de 6; $i je viens à multiplier 12 & 6 par le même nombre 4, le produit de 12 par 4 $era double du produit de 6 par le même nombre 4; mais $i au lieu de multiplier 2 par 4, je multiplie ce nombre par un autre, qui ne $oit que la moitié de 4, il e$t néce$$aire que le produit devienne la moitié de celui de 12 par 4: donc il $era égal à celui de 6 par 4, pui$qu’il perd autant du côté du multiplicateur 2, que le nombre 6 gagne par $on multiplicateur 4. En un mot, 6 n’e$t que la moitié de 12; mais par la nature de la proportion, il a un multiplicateur double de celui de 12, ce qui fait une compen$ation parfaite. On peut appliquer ce rai$onnement à tel autre rapport que ce $oit, $oit numérique, $oit algébrique. Ain$i notre démon$tration e$t générale, parce qu’elle ne dépend pas de l’exemple auquel elle e$t appliquée, mais de l’univer$alité des principes $ur le$quels elle e$t fondée.

COROLLAIRE I.

205. Il $uit de cette propo$ition, que dans une proportion géométrique continue, le produit des extrêmes e$t égalau quarré du terme moyen: car $i l’on a {../..} _a. b. c_, ou bien _a. b_ :: _b: c_, on aura _ac_ = _bb_.

[0150]NOUVEAU COURS COROLLAIRE II.

206. Il $uit encore que connoi$$ant les trois termes _a, b, c_ d’une proportion, on pourra connoître le quatrieme; car $i l’on nomme _x_ ce quatrieme, l’on aura _a. b_ :: _c. x_; par con- $équent _ax_ = _bc_, ou bien en divi$ant chaque membre de l’é- galité par _a_, {_ax_/_a_}, ou _x_ = {_bc_/_a_}, qui fait voir que pour trouver ce quatrieme terme, il faut multiplier le $econd par le $econd par le troi$ieme, & divi$er le produit par le premier.

COROLLAIRE III.

207. Il $uit encore qu’on peut prendre le produit du $econd & du troi$ieme terme d’une proportion divi$é par le premier, pour le quatrieme terme de la même proportion: car comme _x_ e$t égal à {_bc_/_a_}, on pourra avec les trois termes _a_, _b_, _c_ écrire _a. b_ :: _c_, {_bc_/_a_}, & c’e$t $ur cette proportion qu’e$t fondée la regle, appellée _Regle de Trois_, qui fait trouver le quatrieme terme d’une proportion, dont les trois autres $ont connus. Si dans une proportion quelconque on connoît trois termes, on pourra toujours connoître le quatrieme, de quelque maniere qu’ils $oient di$po$és.

208. De même dans la proportion continue, connoi$$ant les deux premiers termes, on pourra connoître le troi$ieme, en divi$ant le quarré du moyen par le premier. Ain$i ayant les deux premiers termes _a,b_ de la proportion continue, on aura _x_ = {_bb_/_a_}, pui$que _a. b_ :: _b_. {_bb_/_a_}.

209. Mais $i l’on avoit le premier terme _a_ & le troi$ieme _c_, & qu’on voulût avoir le terme moyen, que nous appellerons _x_, on multipliera le premier & le troi$ieme l’un par l’autre, & l’on prendra la racine du produit; cette racine $era la moyenne proportionnelle demandée: car ayant _a_ : _x_ :: _x_ : _c_, on aura _xx_ = _ac_, & par con$équent _x_ = _ac_

[0151]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. PROPOSITION II. THÉOREME.

210. Si quatre grandeurs $ont di$po$ées de telle $orte que le pro- duit des extrêmes $oit égal au produit des moyens, ces quatre gran- deurs $eront proportionnelles.

DEMONSTRATION.

Si quatre grandeurs _a, b, c, d_ donnent _ad_ = _bc_, je dis que l’on aura _a. b_ :: _c. d_, ou bien que {_a_/_b_} = {_c_/_d_}. Pour le prouver il n’y a qu’à divi$er les deux membres de l’équation _ad_=_bc_, par une même grandeur _bd_, on aura {_ad_/_bd_}={_bc_/_bd_}, ou en effaçant les lettres communes pour faire la divi$ion {_a_/_b_}={_c_/_d_}. Or comme on a divi$é des grandeurs égales par d’autres grandeurs égales, on aura des quotients égaux {_a_/_b_} & {_c_/_d_} qui donnent _a. b_ :: _c. d_. C.Q.F.D.

211. Ce théorême, qui e$t l’inver$e du précédent, $ert à faire voir que quatre grandeurs $ont proportionnelles, en fai- $ant voir que le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens: c’e$t pourquoi il e$t à propos d’être bien prévenu de ce prin- cipe, qui $era le fondement de toutes les démon$trations al- gébriques que nous allons donner.

COROLLAIRE I.

212. Il $uit de cette propo$ition, qu’une équation peut tou- jours être regardée comme ayant un de $es membres formé du produit des extrêmes, & l’autre de celui des moyens d’une proportion; & que l’on peut même faire une proportion avec les racines des produits qui forment chaque membre de l’é- quation, comme on le verra ailleurs.

COROLLAIRE II.

213. Il $uit encore du théorême précédent, que $i quatre grandeurs $ont en proportion géométrique, elles le $eront encore dans les quatre changemens $uivans, que l’on dé$igne par ces mots _invertendo, alternando, componendo, dividendo_, & que d’autres appellent en _rai$on inver$e_, en _rai$on alterne_, _compo$ition & divi$ion_.

214. Pour changer une proportion donnée en rai$on in- [0152]NOUVEAU COURS ver$e, l’on met les antécédens à la place des con$équens, & les con$équens à celle des antécédens, c’e$t-à-dire que $i _a. b_ :: _c. d_, on aura au$$i _b. a_ :: _d. c_; ce qui e$t bien évident, pui$qu’on vient de voir que les quatre termes d’une propor- tion peuvent toujours former une équation; & comme la proportion inver$e, au$$i-bien que la directe donne _b c_ = _a d_; il s’en$uit qu’en renver$ant les termes, cela n’empêche pas qu’ils ne $oient en proportion.

215. Pour changer une proportion en _rai$on alterne_ ou _al_- _ternando_, on met les moyens à la place les uns des autres $ans changer les extrêmes, c’e$t-à-dire que $i l’on a _a. b_ :: _c. d_, on aura au$$i _a. c_ :: _b. d_; ce qui e$t bien évident, pui$qu’on a tou- jours _a d_ pour le produit des extrêmes, & _b c_ pour le produit des moyens; & que ces produits $ont égaux, à cau$e de la pre- miere proportion _a. b_ :: _c. d_ qui donne _a d_ = _b c_.

216. Pour changer une proportion en _compo$ant_ ou _com_- _ponendo_, on ajoute le con$équent à l’antécédent, & l’on com- pare la $omme au con$équent ou à l’antécédent: on fait la même opération pour chaque rapport, c’e$t-à-dire que $i l’on a _a. b_ :: _c. d_, on aura au$$i _a_ + _b. b_ :: _c_ + _d. d_; ce qui $era évident, $i l’on fait voir que ces quatre termes don- nent un produit des extrêmes égal au produit des moyens. Le produit des extrêmes e$t _a d_ + _b d_, & celui des moyens e$t _b c_ + _b d_, évidemment égal au premier, pui$que la proportion primitive donne _a d_ = _b c_, & que _b d_ e$t égal dans l’un & dans l’autre.

217. Le changement appellé _dividendo_, que l’on pourroit nommer avec plus de rai$on _detrahendo_ ou de _$ou$traction_, $e fait en ôtant le con$équent de l’antécédent, dans chaque rap- port, & en comparant chaque différence à l’antécédent, ou au con$équent: par exemple, $i l’on a _a. b_ :: _c. d_, on aura au$$i _a_ - _b. b_ :: _c_ - _d. d_, ou _a. a_ - _b_ :: _c. c_ - _d_: car dans l’un & dans l’autre, le produit des moyens e$t égal au produit des extrêmes. Dans le premier cas, le produit des moyens e$t _b c_ - _b d_, & celui des extrêmes e$t _a d_ - _b d_ égal au premier: dans le $econd, le produit des moyens e$t _a c_ - _b c_, & celui des extrêmes _a c_ - _a d_ évidemment égal à l’autre, pui$que les termes de l’un $ont égaux aux termes de l’autre; car _a c_ = _a c_, & _a d_ = _b c_ par la proportion _a. b_ :: _c. d_.

218. Il y a encore beaucoup d’autres changemens différens [0153]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. de ceux-ci, que l’on peut faire dans une proportion $ans la dé- truire, mais qui ré$ultent de la combinai$on de ces premiers, & dont l’u$age e$t moins fréquent dans les Mathématiques: il $uffit d’avoir la regle générale pour reconnoître $i les changemens que l’on fait ne détrui$ent point la proportion; & pour cela il n’y a qu’à examiner dans tous les cas $i le produit des extrê- mes e$t égal à celui des moyens.

Nous allons donner un e$pece de tableau de ces change- mens, en nombres & en lettres, pour que l’on pui$$e plus ai$é- ment $e les graver dans la mémoire.

Si l’on a _a. b_ :: _c. d_, on aura

_Invertendo_ # _b. a_ :: _d. c_, ou _d. c_ :: _b. a_. _Alternando_ # _a. c_ :: _b. d._ _Componendo_ # _a_ + _b. a_ :: _c_ + _d. d_, ou _a. a_ + _b_ :: _c. c_+ _d_. _Dividendo_ # _a_ - _b. a_ :: _c_ - _d. d_, ou _a. a_ - _b_ ::_c. c_ - _d_. En nombres.

Si 3. 4 :: 6. 8, on aura

_Invertendo_ # 4. 3 :: 8. 6, ou 8. 6 :: 4. 3. _Alternando_ # 3. 6 :: 4. 8. _Componendo_ # 3. 7 :: 6. 14, ou 7. 4 :: 14. 8. _Dividendo_ # 3. 4-3 :: 8. 8-6, ou 3.1 :: 6. 2.

Dans les deux premiers changemens, le produit des extrê- mes & des moyens $ont les mêmes que ceux que donnent la proportion; & dans les autres, les produits des extrêmes & des moyens $ont $implement égaux, $ans être les mêmes que ceux de la proportion primitive.

PROPOSITION III. THÉOREME.

219. Lor$que deux rai$ons ont un même rapport à une troi$ieme, ces deux rai$ons $ont égales entr’elles, c’e$t-à-dire que $i l’on a a. b :: e. f, & c. d :: e. f, on aura a. b :: c. d.

DEMONSTRATION.

Si l’on divi$e l’antécédent _a_ par $on con$équent, & que le quotient $oit _g_; en divi$ant de même _c_ par _d_, & _e_ par _f_, les quotients $eront au$$i _g_ & _g_; ce qui donnera _a_ = _bg_, _c_ = _dg_, & _e_ = _fg_: pour faire voir que _a. b_ :: _c_ : _d_, il n’y a qu’à mettre [0154]NOUVEAU COURS à la place de _a_ $a valeur _b g_, & à la place de _c_ $a valeur _d g_, on aura _bg_. _b_ :: _dg_. _d_. Le produit des extrêmes $era _bdg_ = _bdg_, produit des moyens. Plus $implement, pui$que _a. b_ :: _e. f_, & que _c. d_ :: _e. f_, on aura {_a_/_b_} = {_e_/_f_}, & {_c_/_d_} = {_e_/_f_}: donc {_a_/_b_} = {_c_/_d_}: donc _a. b_ :: _c. d_. C. Q. F. D.

PROPOSITION IV. THÉOREME.

220. Lor$que plu$ieurs grandeurs $ont en proportion géomé- trique, ou qu’elles forment des rapports égaux, la $omme des an- técédens e$t à la $omme des con$équens, comme un $eul antécédent e$t à $on con$équent; c’e$t-à-dire que $i des grandeurs, comme a, b, c, d forment les rapports égaux {_a_/_b_}={_c_/_d_}={_e_/_f_}, l’on aura _a_ + _c_ + _e. b_ + _d_ + _f_ :: _a. b_, ou comme _c. d_.

DEMONSTRATION.

Pour le prouver, nous ferons voir que le produit des moyens e$t égal au produit des extrêmes, ou, ce qui e$t la même cho$e, que _a b_ + _b c_ + _b e_ = _a b_ + _a d_ + _a f_; ce qui e$t bien évident: car 1°. _a b_=_a b_, 2°. Pui$que {_a_/_b_}={_c_/_d_}, ou que _a. b_ :: _c. d_, on @ _ad_ = _bc_. 3° Pui$que {_a_/_b_}={_e_/_f_}, ou que _a. b_ :: _e. f_, on aura _a f_ = _b e_. Donc toutes les parties qui compo$ent le produit des extrêmes $ont égales à celles qui forment le produit des moyens, & partant il y a proportion. C. Q. F. D.

PROPOSITION V. THÉOREME.

221. Deux grandeurs demeurent en même rai$on, quoi que l’on leur ajoute, pourvu que ce que l’on ajoute à la premiere, $oit à ce que l’on ajoute à la $econde, comme la premiere e$t à la $econde.

DEMONSTRATION.

Si aux deux grandeurs _a_ & _b_ l’on ajoute les deux grandeurs _c_ & _d_, & que _a_ $oit à _b_, comme _c_ & à _d_, je dis que _a_ + _c_. _b_+_d_ :: _a. b_: car pui$que _a. b_ :: _c. d_: donc _alternando_ (n°.215.) _a. c_ :: _b. d_: donc _componendo_ (n°. 216.) _a_ + _c. a_ :: _b_ + _d. b_, & _alternando_. _a_ + _c. b_ + _d_ :: _a. d_. C. Q. F. D.

[0155]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. PROPOSITION VI. THEOREME.

222. Deux grandeurs demeurent toujours en même rapport, quoique l’on retranche de l’une ou de l’autre, pourvu que ce que l’on retranche de la premiere, $oit à ce que l’on retranche de la $e- conde, comme la premiere e$t à la $econde.

DEMONSTRATION.

Si l’on a deux grandeurs _a_ & _b_, & deux autres _c_ & _d_, telles que _a_ $oit à _b_, comme _c_ à _d_, je dis que _a_ - _c_. _b_ - _d_ :: _a. b_ : car pui$que _a. b_ :: _c. d_: donc _alternando_ (art. 215.) _a. c_ :: _b. d_, & _dividendo_ (art. 217.) _a_ - _c. a_ :: _b_ - _d. d_, & @ncore _alternando_, _a_ - _c. b_ - _d_ :: _a. b_. C. Q. F. D.

PROPOSITION VII. THEOREME.

223. Si l’on multiplie les deux termes d’une rai$on par une même quantité, les produits $eront dans la même rai$on que ces termes avant d’être multipliés.

DEMONSTRATION.

Pour prouver que $i l’on multiplie deux grandeurs, comme _a_ & _b_ par une autre grandeur _c_, l’on a _ac. bc_ :: _a. b_, con$idérés que le produit des extrêmes & celui des moyens donnent _abc_ = _abc_. C. Q. F. D.

PROPOSITION VIII. THEOREME.

224. Si l’on divi$e les deux termes d’une rai$on par une même quantité, les quotients $eront dans la même rai$on que les grandeurs que l’on a divi$ées.

DEMONSTRATION.

Pour démontrer que $i l’on divi$e deux grandeurs _a_ & _b_ par une même grandeur _c_, les quotients $eront dans la même rai$on que les grandeurs, nous $uppo$erons que {_a_/_c_} = _d_, & que {_b_/_c_} = _f_. Cela po$é, on aura _a_ = _c d_, & _b_ = _c f_, ain$i pour [0156]NOUVEAU COURS prouver que _a.b_::_d.f_, on n’a qu’à mettre à la place de _a_ & de _b_ dans la proportion leurs valeurs _cd_ & _cf_ pour avoir _cd_. _cf_::_d.f_, qui donnera _cdf_ = _cdf_ pour le produit des ex - trêmes & des moyens.

PROPOSITION IX. TTHEOREME.

225. Si l’on multiplie deux proportions, termes par termes, les produits qui en ré$ulteront $eront encore en proportion.

DEMONSTRATION.

Soient les deux proportions _a.b_::_c.d_, & l’autre _f. g_:: _m. n_, il faut prouver que _af.bg_::_cm.dn_, ou que _bgcm_ = _afdn_, c’e$t - à - dire que le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens. Pour cela, con$idérez que _bgcm_ = _bcgm_ = _bc_ x _gm_, & que _afdn_ = _adfn_ = _ad_ x _fn_: mais _ad_ = _bc_, pui$que _a.b_::_c.d_, & _gm_ = _fn_, pui$que _f.g_::_m.n_. Donc _bgcm_ = _afdn_, c’e$t-à- dire qu’il y a proportion, pui$que le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens.

COROLLAIRE.

226. Il $uit de cette propo$ition, que $i quatre grandeurs $ont en proportion géométrique, leurs quarrés, leurs cubes, ou en général les mêmes pui$$ances de ces grandeurs y $eront au$$i, c’e$t - à - dire que $i l’on a _a.b_::_c.d_, on aura _a_<_>2._b_<_>2::_c_<_>2._d_<_>2, ou _a_<_>3._b_<_>3::_c_<_>3._d_<_>3: car en multipliant la proportion _a.b_::_c.d_ par elle - même une ou plu$ieurs fois, on retombe dans le cas de la propo$ition pré$ente. D’ailleurs il e$t ai$é de voir que dans tous ces cas le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens.

PROPOSITION X. THEOREME.

227. Dans une proportion continue, le quarré du premier terme e$t au quarré du $econd, comme le premier au troi$ieme; c’e$t-à- dire que $i l’on a la proportion continue {../..} a.b.c, ou a.b::b.c, on aura au$$i a<_>2.b<_>2::a.c.

DEMONSTRATION.

Pui$que _a.b_::_b.c_, on aura _bb_ = _ac_, & multipliant chaque membre de cette égalité par _a_, on aura _abb_ = _a_<_>2_c_; d’où l’on [0157]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. tire la proportion _a_<_>2._b_<_>2::_a_._c_; car nous avons déja vu que lor$que l’on a une équation on en peut tirer une proportion, & réciproquement d’une proportion, on en peut toujours tirer une équation (art. 212). C. Q. F. D.

Des Proportions & Progre$$ions arithmétiques.

228. Nous avons déja dit qu’une proportion arithmétique e$t l’égalité de deux rapports arithmétiques, & qu’elle ré$ulte de quatre nombres, tels que le premier $urpa$$e le $econd, d’autant que le troi$ieme $urpa$$e le quatrieme, comme dans les nombres $uivans, 2.5:6.9′, qui $ont en proportion arith - métique.

PROPOSITION XI. THEOREME.

229. Lor$que quatre grandeurs $ont en proportion arithmétique, la $omme des extrêmes e$t égale à celle des moyens; c’e$t-à-dire que $i l’on a a.b:c.d, on aura a + d = b + c.

DEMONSTRATION.

Pui$qu’il y a proportion entre les quatre grandeurs _a_,_b_,_c_,_d_, & qu’une proportion n’e$t que l’égalité de rapports, l’excès de _b_ $ur _a_ $era égal à celui de _d_ $ur _c_: $uppo$ant que cet excès $oit une quantité _f_, on aura _b_ = _a_ + _f_; & de même _d_ = _c_ + _f_. Donc au lieu de la proportion _a_. _b_: _c_. _d_, on aura celle - ci, _a_._a_ + _f_:_c_._c_ + _f_: prenant la $omme des extrêmes & des moyens de cette nouvelle proportion, égale à la premiere, on aura _a_ + _c_ + _f_ = _a_ + _f_ + _c;_ ce qui e$t bien évident, pui$que tout e$t égal de part & d’autre. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

230. Il $uit delà, que $i l’on connoît trois termes quelcon - ques d’une proportion arithmétique, on connoîtra au$$i le qua - trieme: par exemple, $i l’on donne ces trois nombres 2, 5, 7 pour les trois premiers termes d’une proportion arithmétique, dont on demande le quatrieme, $oit _x_ ce quatrieme terme, on aura 2.5:7._x_: donc 2 + _x_ = 5 + 7; & ôtant de chaque membre le même nombre 2, on aura 2 + _x_ - 2, ou _x_ = 5 + 7 - 2 = 10; ce qui e$t bien évident, pui$que l’excés de [0158]NOUVEAU COURS 10 $ur 7 e$t 3, comme l’excès de 5 $ur 2 e$t 3. D’où l’on dé - duit généralement que le quatrieme terme d’une proportion arithmétique $e trouve en prenant la $omme des moyens, & ôtant le premier extrême de cette $omme.

COROLLAIRE II.

231. Si la proportion e$t continue, c’e$t - à - dire $i un terme e$t à la fois antécédent du $econd rapport, & con$équent du premier, on aura la $omme des extrêmes égale au double du terme moyen. Ain$i $i l’on a cette proportion continue arith - métique _a_. _b_: _b_. _c_, on aura _a_ + _c_ = _b_ + _b_ = 2_b_: car pui$ - que ces trois grandeurs $ont en proportion arithmétique, la premiere $urpa$$e la $econde, autant que la même $econde $ur - pa$$e la troi$ieme, & appellant _d_ l’excès de la premiere $ur la $econde, on aura _a_ = _b_ + _d_, & _b_ = _a_ - _d_: donc pui$que l’excès de _b_ $ur _c_ e$t encore le même, on aura _b_ = _c_ + _d_, ou _b_ - _d_ = _c_; mais nous avons _b_ = _a_ - _d_: donc _b_ - _d_ = _a_ - _d_ - _d_ = _a_ - 2_d_ = _c_. Ain$i au lieu de la proportion continue _a_. _b_: _b_. _c_, on aura celle - ci _a_. _a_ - _d_: _a_ - _d_. _a_ - 2_d_, dans laquelle il e$t évident que la $omme des extrêmes _a_ + _a_ - 2_d_ e$t égale à celle des moyens _a_ + _a_ - _d_ - _d_, ou au double du moyen _a_ - _d;_ ce qui e$t encore une autre démon$tration de la même propriété.

COROLLAIRE III.

232. Connoi$$ant les deux extrêmes d’une proportion con - tinue arithmétique, il $era facile de trouver le moyen terme, en prenant la moitié de la $omme des deux termes donnés: ain$i $i l’on demande un terme moyen arithmétique entre 3 & 5, on prendra la moitié de la $omme de ces deux nombres 8, qui e$t 4, & ce nombre $era le moyen que l’on cherche: car il e$t évident que l’on a 3. 4: 4. 5. En Algebre c’e$t la même cho$e, pour trouver un moyen arithmétique entre les deux grandeurs _a_ & _b_, j’ajoute ces deux nombres en$emble pour avoir _a_ + _b_, dont la moitié {_a_ + _b_/2} e$t le moyen demandé; en effet _a_. {_a_ + _b_/2}:{_a_ + _b_/2}. _b_, pui$que la différence du premier terme au $econd e$t égale à celle du méme $econd au troi$ieme.

[0159]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. PROPOSITION XII. THEOREME.

233. Si quatre grandeurs $ont telles que la $omme des extrêmes, $oit égale à celle des moyens, ces quatre grandeurs $ont en pro - portion arithmétique; c’e$t - à - dire que $i les quatre grandeurs a, b, c, d $ont telles que a + d, $omme des extrêmes, $oit égale à c + d, $omme des moyens, on aura a. b: c. d.

DEMONSTRATION.

Tout $e réduit à prouver que l’excès de _a_ $ur _b_ e$t égal à celui de _c_ par _d_, ou réciproquement que l’excès de _b_ $ur _a_ e$t égal à celui de _d_ $ur _c_; pui$que _a_ + _d_ = _b_ + _c_, en ajoutant de part & d’autre de cette égalité la même quantité, on ne changera pas l’égalité. Ajoutons dans chaque membre la quantité négative - _b_ - _d_, on aura _a_ + _d_ - _b_ - _d_ = _c_ + _d_ - _b_ - _d_, ou _a_ - _b_ = _c_ - _d_, pui$que + _d_ - _d_ $e détrui$ent dans le premier membre; & que - _b_ + _b_ $e détrui$ent dans le $econd: donc l’excès de _a_ $ur _b_ e$t égal à celui de _c_ $ur _d_, on prouveroit avec la même facilité que l’excès de _b_ $ur _a_ e$t égal à celui de _d_ $ur _c_: donc $i quatre grandeurs $ont telles, que la $omme des extrêmes $oit égale à celle des moyens, ces quatre grandeurs $ont en proportion arithmétique. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

234. Il $uit delà, que l’on aura toujours prouvé que quatre grandeurs $ont en proportion arithmétique, dès qu’on aura démontré que la $omme des extrêmcs e$t égale à celle des moyens. Il $uit encore de cette propo$ition, que l’on peut faire $ur cette proportion les changemens appellés _alternando_ & _in_ - _vertendo_ $ans la détruire: car il e$t évident que $i l’on a 3. 5: 7. 9, on aura au$$i 3. 7: 5. 9, & 5. 3: 9. 7.

DÉFINITIONS.

235. Si plu$ieurs grandeurs $ont telles, que toutes $e $ur - pa$$ent également les unes les autres, on appelle _progre$$ion_ _arithmétique_, la $uite de rapports égaux qui en ré$ulte. La progre$$ion arithmétique $e marque de la même maniere que la proportion continue: ain$i {./.} _a_. _b_. _c_. _d_. _f_ marque que les grandeurs _a_, _b_, _c_, _d_ $ont en progre$$ion arithmétique.

[0160]NOUVEAU COURS

236. On di$tingue deux principales $ortes de progre$$ions arithmétiques; progre$$ion arithmétique _croi$$ante_, & progre$ - $ion arithmétique _décroi$$ante_. La premiere e$t celle où les ter - mes vont en augmentant, & dans laquelle chaque terme e$t moindre que celui qui le $uit; la $econde e$t celle où les ter - mes vont en diminuant, ou, ce qui revient au même, dans laquelle chacun e$t plus grand que celui qui le $uit, comme dans les deux progre$$ions $uivantes, dont la premiere e$t croi$$ante, & la $econde décroi$$ante. {./.} 2. 5. 7. 9. 11. 13, & {./.} 15. 12. 9. 6. 3. 1. Chacune de ces deux $ortes de pro - gre$$ions, en contiennent une infinité de différentes, $elon les différens rapports qui régnent dans chaque progre$$ion en particulier.

PROPOSITION XIII. THEOREME.

237. Dans une progre$$ion arithmétique quelconque, la $omme de deux termes également éloignés des extrêmes, e$t égale à celle des mêmes extrêmes.

DEMONSTRATION.

Soit {./.} _a_._b_._e_._d_._f_._g_._h_ une progre$$ion arithmétique croi$$ante, je dis que _e_ + _f_, $omme de deux termes également éloignée des extrêmes, e$t égale à la $omme des mêmes extrêmes _a_ + _h_. Pui$qu’une progre$$ion n’e$t qu’une $uite de rapports égaux, $uppo$ons que le rapport arithmétique de _a_ à _b_ $oit _c_, c’e$t - à - dire que _b_ $urpa$$e _a_ de la quantité _c_, on aura _b_ = _a_ + _c_, par la même rai$on _b_ $era $urpa$$é par _e_ de la même grandeur _c_: donc _e_ = _b_ + _c_, ou _a_ + _c_ + _c_ = _a_ + 2_c_. En continuant le même rai$onnement, on verra que _d_ = _a_ + 3_c_, que _f_ = _a_ + 4_c_, que _g_ = _a_ + 5_c_, & _h_ = _a_ + 6_c_: donc au lieu de la premiere, on aura celle - ci {./.} _a_. _a_ + _c_. _a_ + 2_c_. _a_ + 3_c_. _a_ + 4_c_. _a_ + 5_c_. _a_ + 6_c_, dans laquelle il e$t évident que la $omme de deux termes quelconques, également éloignés des extrêmes, e$t égale à celle des extrêmes. Ain$i la $omme du troi$ieme & du cinquieme terme e$t 2_a_ + 6_c_, & la $omme des extrêmes e$t au$$i 2_a_ + 6_c_, c’e$t - à - dire que _e_ + _f_ = _a_ + _h_. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

238. Si le nombre des termes de la progre$$ion arithmétique [0161]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. e$t impair, la $omme des extrêmes $era égale au double du terme moyen; & la $omme de tous les termes d’une progre$$ion arithmétique $era égale au produit de la $omme des extrê- mes, multipliée par la moitié du nombre des termes: car $i l’on multiplioit la $omme des extrêmes par le nombre des ter- mes, le produit $eroit double de la $omme de tous les termes, pui$que la $omme des extrêmes ne vaut pas un terme tout $eul, mais deux termes en$emble également éloignés des extrêmes.

COROLLAIRE II.

239. Si l’on prend deux termes quelconques, & deux autres termes également éloignés du terme moyen, $i le nombre des termes e$t impair, ou des moyens $i le nombre des termes e$t pair, ces quatre termes $eront en proportion arithmétique: par exemple, dans la progre$$ion {./.} _a_. _a_ + _c. a_ + 2_c_. _a_ + 3_c_. _a_ + 4_c_. _a_ + 5_c_. _a_ + 6_c_; les deux premiers termes _a_ & _a_ + _c_, & les deux derniers _a_ + 5_c_ & _a_ + 6_c_ forment une proportion arithmétique _a. a_ + _c_: _a_ + 5_c_. _a_ + 6_c_: car il e$t évident que le $econd $urpa$$e le premier, d’autant que le quatrieme $ur- pa$$e le troi$ieme.

COROLLAIRE III.

240. Il $uit encore de cette propo$ition, & de l’expre$$ion générale, qu’un terme quelconque d’une progre$$ion arithmé- tique croi$$ante e$t égal au premier terme, plus au produit de la différence du $econd au premier, multipliée par le nombre des termes qui le précéde: ain$i le cinquieme terme _a_ + 4_c_ de la progre$$ion, citée dans ces corollaires, e$t égal au pre- mier terme _a_, plus quatre fois l’excès _c_ du $econd $ur le pre- mier, parce qu’il a quatre termes avant lui. Ain$i l’on voit ce qu’il faut faire pour trouver un terme quelconque, lor$que l’on connoît le premier & la différence du $econd au premier. Par exemple, $i l’on me demande le $ixieme terme d’une pro- gre$$ion arithmétique croi$$ante, dont le premier terme e$t 2, & la différence du $econd au premier e$t 3; je multiplie cette différence 3 par 5, parce qu’il y a cinq termes devant le 6<_>e, & j’ajoute au produit 15 le premier terme 2, ce qui me donne 17 pour le $ixieme terme.

COROLLAIRE IV.

241. Réciproquement étant donnés le premier & le $ixieme [0162]NOUVEAU COURS termes d’une progre$$ion, on pourra trouver la différence de cette progre$$ion, & tous les termes intermédiaires. Ain$i $i le premier terme e$t 2, & le $ixieme e$t 17, j’ôte le premier du dernier, & je divi$e le re$te 15 par 5, qui marque le nombre des termes qui précédent le $ixieme; le quotient 3 e$t la dif- férence; de même en Algebre $i un terme e$t _a_, & le $ixieme _a_ + 5_c_, j’ôte _a_ de _a_ + 5_c_, & je divi$e 5_c_ par 5 pour avoir l’ex- cès _c_ du $econd terme $ur le premier.

COROLLAIRE V.

242. On voit encore comment il faudroit s’y prendre pour trouver tous les termes d’une progre$$ion arithmétique, dont on connoîtroit le premier & le $econd: car pui$que trois ter- mes de $uite forment une proportion continue arithmétique, il n’y a qu’à ôter le premier du double du $econd pour avoir le troi$ieme terme.

COROLLAIRE VI.

243. On tire encore de cette propo$ition la méthode d’in- $érer tant de moyens proportionnels arithmétiques que l’on veut entre deux nombres donnés. Pour cela, il faut ôter le plus petit nombre du plus grand, & divi$er le re$te par le nombre qui exprime combien on veut avoir de moyens arith- métiques, augmenté de l’unité. Par exemple, $i l’on me de- mande quatre moyens arithmétiques entre 2 & 17, j’ôte 2 de 17, le re$te e$t 15, que je divi$e par 5, plus grand d’une unité que le nombre des moyens arithmétiques que je demande. Le quotient 3 e$t la différence du $econd terme au premier: ain$i en ajoutant cette différence au premier terme, le $econd e$t 5, & la progre$$ion e$t {./.} 2. 5. 8. 11. 14. 17, qui e$t telle qu’en- tre 2 & 17 il y a quatre moyens arithmétiques.

REMARQUE.

244. Tout ce que nous venons de dire $ur les progre$$ions arithmétiques croi$$antes $e démontrera avec la même facilité, & à peu près de la même maniere $ur les progre$$ions décroi$- $antes. Il faut encore remarquer qu’une progre$$ion arithmé- tique peut commencer par zero, & qu’en ce cas la différence e$t égale au $econd terme; c’e$t ce qui arrive dans la progre$- $ion des nombres naturels {./.} 0. 1. 2. 3. 4, &c. Il faut encore [0163]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. remarquer que toute progre$$ion, dont la différence ne $era pas égale au $econd terme, ne pourra commencer par zero.

DÉFINITIONS.

245. Si l’on a plu$ieurs termes de $uite, tels que chacun, ex- cepté le premier, $oit antécédent & con$équent d’une $uite de rapports géométriques égaux, toutes ces quantités formeront une _progre$$ion géométrique_. Par exemple, les nombres $uivans 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 forment une progre$$ion géométrique: car 64. 32@: 32. 16, & 32. 16 :: 16. 8; ce qui montre évidemment que chaque terme peut être con$équent & antécédent des rapports égaux. On marque ordinairement que des quantités $ont en progre$$ion géométrique, en mettant au devant vers la gauche une petite barre entre quatre points de cette maniere: {:/:} 64. 32. 16. 8. 4. 2, &c.

On peut encore définir une progre$$ion géométrique, en di$ant, que c’e$t une $uite de nombres, tels que chacun, divi$é par celui qui le $uit, donne toujours le même quotient. On di$tingue deux principales $ortes de progre$$ions géométriques: l’une que l’on appelle _croi$$ante_, c’e$t celle dans laquelle cha- que terme e$t moindre que celui qui le $uit, & l’autre _décroi$_- _$ante_, c’e$t celle dans laquelle chaque terme e$t toujours plus grand que celui qui le $uit.

PROPOSITION XIV. THEOREME.

_246_. Toute progre$$ion géométrique croi$$ante peut être repré$enté par celle-ci {:/:} a. aq. aq<_>2. aq<_>3. aq<_>4. aq<_>5, &c. Et toute progre$$ion géométrique décroi$$ante par celle-ci, qui e$t l’inver$e de la précé- dente {:/:} aq<_>6. aq<_>5. aq<_>4. aq<_>3. aq<_>2. aq<_>1 a.

DÉMONSTRATION.

Pour faire voir que ces quantités $ont en progre$$ion géo- métrique, il n’y a qu’à divi$er un terme quelconque par le $ui- vant, & ce même terme par celui qui le $uit immédiatement, & voir $i le quotient e$t le même. Dans la premiere progre$- $ion, je divi$e _aq_<_>3 par _aq_<_>2, le quotient e$t _q_. Je divi$e en$uite _aq_<_>2 par _aq_, & le quotient e$t encore _q_: donc il y a progre$- $ion, pui$que _aq. aq@: aq_<_>2. _aq_<_>3. De même pour la $econde, je divi$e _aq_<_>6 par _aq_<_>5, le quotient e$t _q_. Je divi$e le même _aq_<_>5 [0164]NOUVEAU COURS par _aq_<_>4, le quotient e$t _q_, égal au premier: donc ces termes $ont en progre$$ion géométrique, pui$qu’ils donnent un même quotient. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

247. Il $uit delà, que dans une progre$$ion géométrique croi$$ante, le quarré du premier terme e$t au quarré du $econd, comme le premier terme au troi$ieme; car dans la $uite {:/:} _a_. _aq. aq_<_>2. _aq_<_>3, &c. on a _a_<_>2. _a_<_>2_q_<_>2:: _a. aq_<_>2: pui$que le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens, _a_<_>3_q_<_>2 = _a_<_>3_q_<_>2. Il $uit encore de la même formation des progre$$ions, que le cube du premier terme e$t au cube du $econd, comme le premier au quatrieme: car _a_<_>3. _a_<_>3_q_<_>3:: _a_. _aq_<_>3, pui$que _a_<_>4_q_<_>3, produit des ex- trêmes e$t égal à _a_<_>4_q_<_>3, produit des moyens. En général $i l’on appelle _a_ le premier terme d’une progre$$ion, & _b_ le $econd; _m_ la pui$$ance quelconque à laquelle on éleve les deux pre- miers termes, on aura _a<_>m. b<_>m_:: _a_ e$t au terme, dont le rang $eroit dé$igné par le nombre _m_ + 1.

COROLLAIRE II.

248. Suppo$ant toujours que la progre$$ion va en croi$$ant, un terme quelconque e$t égal au produit du premier terme, multiplié par le quotient du $econd, divi$é par le premier, le- quel quotient e$t élevé à la pui$$ance, marquée par le nombre des termes qui précédent. Ain$i le quatrieme terme e$t égal au premier _a_, multiplié par _q_, quotient du $econd _aq_, divi$é par le premier, élevé à la troi$ieme pui$$ance, parce qu’il y a trois termes qui précédent le quatrieme; ce terme e$t _aq_<_>3: ain$i connoi$$ant les deux premiers termes d’une progre$$ion géométrique, on connoîtra ai$ément un terme quelconque. Pour cela, il n’y aura qu’à divi$er le $econd par le premier, multiplier le premier terme par ce quotient, élevé à une pui$- $ance, marqué par le nombre des termes qui précédent celui qu’on cherche. Par exemple, $i l’on me demande le $ixieme terme d’une progre$$ion géométrique croi$$ante, dont le pre- mier e$t _a_, & le $econd _aq_, je divi$e le $econd par le premier _a_, le quotient e$t _q_: je multiplie _a_ par ce quotient _q_, élevé à la cinquieme pui$$ance, & le $ixieme terme e$t _aq_<_>5. Il en $eroit de même en nombres. Si le premier terme e$t _a_, & le $econd _b_; je divi$e _b_ par _a_, le quotient e$t {_b/a_}, & qu’on me demande le cin- [0165]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. quieme terme de la progre$$ion croi$$ante, dont _a_ & _b_ $eroient les deux premiers termes: je multiplie _a_ par la quatrieme pui$- $ance de {_b/a_}, qui e$t {_b_<_>4/_a_<_>4}, & appellant _x_ ce cinquieme terme, j’ai _x_ = {_ab_<_>4/_a_<_>4} ou {_b_<_>4/_a_<_>3}. D’où il $uit encore qu’un terme quelconque d’une progre$$ion géométrique croi$$ante e$t égal au $econd terme, élevé à une pui$$ance moindre d’un degré que le nu- méro de ce terme, divi$é par le premier terme, élevé à une pui$$ance moindre de deux degrés que le même numéro.

COROLLAIRE III.

249. Si l’on $uppo$e _a_ égal à l’unité la $uite ou progre$$ion {:/:} _a_. _aq_. _aq_<_>2, &c. deviendra {:/:} _q_<_>1. _q_<_>2. _q_<_>3. _q_<_>4. _q_<_>5. _q_<_>6, &c. D’où il $uit que toutes les pui$$ances d’un nombre forment une pro- gre$$ion géométrique; ce qui e$t d’ailleurs évident par l’idée que l’on doit avoir des pui$$ances $ucce$$ives d’un nombre.

PROPOSITION XV. THEOREME.

_250._ Dans une progre$$ion quelconque, la $omme des antécé- dens e$t à la $omme des con$équens, comme un $eul antécédent e$t à $on con$équent; c’e$t-à-dire que $i les grandeurs a, b, c, d, f, font une progre$$ion géométrique, on aura cette proportion, a + b + c + d + f. b + c + d + f:: a. b.

DEMONSTRATION.

Il faut démontrer que le produit des extrêmes _ab_ + _bb_ + _bc_ + _bd_ e$t égal au produit des moyens. _ab_ + _ac_ + _ad_ + _af_. 1°. _ab_ = _ab_. 2°. Pui$que par la nature de la progre$$ion _a_. _b_:: _b_. _c_, _bb_ = _ac_. 3°. Par la même rai$on, pui$que _a_. _b_:: _b_. _c_, & que _b_. _c_ :: _c_. _d_, on aura _a_. _b_:: _c_. _d_; donc _ad_ = _bc_. 4°. Pui$que _a_. _b_ :: _c_. _d_:: _d_. _f_, on aura _a_. _b_ :: _d_. _f_; donc _af_ = _bd_. Ain$i toutes les parties du produit des extrêmes $ont égales à toutes les parties du produit des moyens; d’où il $uit que la pro- portion a lieu.

COROLLAIRE.

251. Si la progre$$ion e$t décroi$$ante, & décroît ju$qu’à l’infini, le dernier terme pourra être regardé comme zero: ain$i la $omme des antécédens, qui e$t tous les termes, excepté [0166]NOUVEAU COURS le dernier, $era la $omme de tous les termes de la progre$$ion; & la $omme des con$équens $era la $omme de tous les termes, excepté le premier, ce qui ne détruira pas la proportion. Cette propo$ition & $on corollaire donnent la $olution des problêmes que l’on peut propo$er pour la $ommation des $uites des pro- gre$$ions géométriques, comme on verra dans le Traité des Equations. On ne peut trop $çavoir cette propo$ition, & ce qui précéde, $i l’on veut trouver la $olution de ces $ortes de problêmes.

PROPOSITION XVI. THEOREME

_252_. Dans une progre$$ion géométrique, telle que {:/:} a.b.c.d.f.g. le produit de deux termes, également éloignés des extrêmes, e$t égal au produit des mêmes extrémes.

DEMONSTRATION.

Prenons les termes _c, d,_ qui $ont également éloignés des extrêmes; il faut prouver que _c d_ e$t égal au produit des ex- trêmes _ag_. Pour cela, faites attention que la nature de la progre$$ion donne les proportions $uivantes.

a. b :: b. c, b. c :: c. d, c. d :: d. f

b. c :: c. d, c. d :: d. f, d. f :: f. g.

Multipliant deux à deux termes par termes, on aura

ab. bc :: bc. cd, bc. cd :: cd. df, cd. df :: df. fg.

D’où l’on déduit celle-ci, en divi$ant chaque terme des rap- ports par les lettres communes à l’antécédent & au con$équent.

a. c :: b. d, b . d :: c. f, c. f :: d. g.

Et pui$que toutes ces rai$ons $ont égales entr’elles, on aura cette proportion _a. c :: d. g:_ donc _ag_ = _dc_, c’e$t-à-dire que le produit des extrêmes de la progre$$ion e$t égal à celui de deux termes quel conques, également éloignés des mêmes ex- trêmes. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

253. Il $uit de cette propo$ition, que les deux extrêmes & deux termes quelconques qui en $eront également éloignés, formeront une proportion, dont les deux premiers $eront les [0167]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II._ extrêmes, & les deux autres les moyens. Si le nombre des ter- mes de la progre$$ion e$t impair, le produit des extrêmes ou de deux termes, qui en $eront chacun également éloignés, $era égal à celui des moyens.

REMARQUE.

254. Tout ce que nous avons dit $ur les progre$$ions arith- métiques croi$$antes $e doit au$$i entendre des progre$$ions décroi$$antes, en fai$ant les changemens néce$$aires. Au re$te toute progre$$ion décroi$$ante $e peut rappeller à une progre$- $ion croi$$ante, en allant de droite à gauche. On remarquera de plus, que les deux derniers théorêmes auroient pu $e dé- montrer bien facilement par la progre$$ion générale {:/:} _a. aq._ _aq_<_>2, &c: mais c’e$t préci$ément à cau$e de cette facilité que j’ai cru qu’il falloit les démontrer un peu autrement; car cette expre$$ion ne vous lai$$e aucun rai$onnement à faire, en vous donnant tout d’un coup ce que vous demandez, & l’on court $ouvent ri$que de dérai$onner, ou au moins d’ignorer l’art de rai$onner, lor$que l’on ne rai$onne que par formule, $ans $e mettre en peine de le faire par $oi-même.

PROBLEME.

_255_. In$érer plu$ieurs moyens proportionnels entre deux nom- bres donnés.

SOLUTION.

Il faudra divi$er le plus grand par le plus petit; & pour avoir la rai$on de la progre$$ion, il faudra extraire la racine du quotient, marquée par le nombre des moyens proportion- nels, augmenté de l’unité. Par exemple, $i l’on me demande trois moyens proportionnels géométriques entre 4 & 64, je divi$e 64 par 4, le quotient e$t 16, dont j’extrais la racine quatrieme, qui e$t 2, parce que l’on demande trois moyens proportionnels, & cette racine e$t la rai$on de la progre$$ion, c’e$t-à-dire que chaque terme e$t double de celui qui le $uit: ain$i le $econd terme $era 8, & le troi$ieme 16, le quatrieme 32, & la progre$$ion e$t {:/:} 4.8. 16. 32. 64, où l’on voit qu’il $e trouve trois moyens entre 4 & 64. Si l’on en avoit demandé quatre, il auroit fallu extraire la racine cinquieme du quotient du plus grand nombre, divi$é par le plus petit.

[0168]NOUVEAU COURS DEMONSTRATION.

La rai$on de cette opération $e déduit immédiatement de la formule ou expre$$ion générale des progre$$ions {:/:} _a. aq._ _aq_<_>2._aq_<_>3. _aq_<_>4, &c. Je $uppo$e que l’on me demande trois moyens géométriques entre _a_ & _aq_<_>4, je divi$e _aq_ par _a_, le quotient e$t _q_<_>4, dont la racine quatrieme _q_ e$t la rai$on de la progre$$ion: ain$i _aq_ $era le $econd terme, _aq_ x _q_ $era le troi$ieme, _aq_<_>2 x _q_ ou _aq_<_>3 $era le quatrieme.

Il faut encore remarquer qu’une progre$$ion géométrique quelconque ne peut jamais avoir zero pour un de $es termes, à moins qu’il ne $erve d’expo$ant: car une progre$$ion quel- conque peut commencer par l’unité, ou par une grandeur éle- vée à la pui$$ance zero, comme _a_°, _q_°, qui ne différe pas de l’unité (art. 136).

Des Logarithmes, de leur nature, & de leurs u$ages.

DÉFINITION.

256. Les _logarithmes_ $ont des nombres en progre$$ion arith- métique, corre$pondans à d’autres nombres en progre$$ion géométrique. Par exemple, $i l’on di$po$e l’une au de$$ous de l’autre, ces deux $uites 2, 4, 8, 16, 32; & 35, 7, 9, 11, dont la premiere e$t une progre$$ion géométrique, & la $econde une progre$$ion arithmétique, comme on le voit ici:

3, 5, 7, 9, 11

2, 4, 8, 16, 32.

Chaque terme inférieur de la progre$$ion arithmétique e$t appellé _logarithme_ du terme inférieur corre$pondant: ain$i 3 e$t le logarithme de 2, 5 celui de 4, & ain$i des autres.

257. De même $i l’on prend ces deux autres $uites,

0 # 1 # 2 # 3 # 4 # 5 1, # 10, # 100, # 1000, # 10000, # 100000,

dont l’une e$t une progre$$ion arithmétique, dont la différence e$t l’unité, & l’autre e$t la progre$$ion géométrique ré$ultante des différentes pui$$ances de 10: chaque terme de la progre$- $ion arithmétique $era le logarithme du terme de la progre$$ion géométrique auquel il répond: ain$i 1 e$t le logarithme de 10, 3 e$t celui de 1000, & ain$i des autres.

[0169]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II._ COROLLAIRE.

258. Comme on peut prendre une infinité de progre$$ions arithmétiques, dont les termes $oient po$és au de$$us de ceux d’une progre$$ion géométrique, il $uit delà que chaque terme de cette progre$$ion pourroit avoir une infinité de logarithmes: mais on e$t convenu de donner à la progre$$ion décuple les logarithmes de la progre$$ion arithmétique des nombres na- turels, en donnant zero pour logarithme à l’unité.

REMARQUE.

Comme les propriétés des logarithmes dépendent des pro- portions, progre$$ions géométriques & arithmétiques, & de plus de celles des expo$ans, comme on le verra ci-après, il e$t de la derniere importance d’avoir pré$ent à l’e$prit tout ce que nous avons vu $ur ces différentes parties: c’e$t pourquoi nous allons reprendre la formule des progre$$ions géométriques, & l’examiner par rapport aux logarithmes.

PROPOSITION XVII. THEOREME FONDAMENTAL.

_259_. Dans la $uite des pui$$ances d’une quantité quelconque, dont les termes forment une progre$$ion géométrique, les expo$ans $ont en progre$$ion arithmétique.

DEMONSTRATION.

Que cette $uite $oit repré$entée par celle des pui$$ances $uc- ce$$ives de _q_, qui e$t {:/:} _q_<_>0. _q_<_>1. _q_<_>2. _q_<_>3. _q_<_>4. _q_<_>5. _q_<_>6. _q_<_>7. _q_<_>8. _q_<_>9. _q_<_>10, &c, il e$t évident que ces quantités forment une progre$$ion géo- métrique, comme nous l’avons déja dit, pui$que chaque ter- me, divi$é par le précédent, donne toujours le même quotient _q_. De plus il e$t encore évident que les expo$ans $ont en pro- gre$$ion arithmétique, qui e$t celle des nombres naturels. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

60. Donc ces expo$ans peuvent être regardés comme les logarithmes des termes auxquels ils répondent, $uivant la dé- finition des logarithmes: ain$i le logarithme d’un nombre n’e$t autre cho$e que l’expo$ant d’une pui$$ance; & ce que nous di$ons [0170]NOUVEAU COURS ici des lettres, peut s’entendre des nombres, par exemple, la progre$$ion géométrique double, qui ré$ulte de toutes les pui$ $ances $ucce$$ives de 2, qui e$t # {:/:} 1. 2. 4. 8. 16. 32. 64, &c. auroit pu s’écrire ain$i # {:/:} 2<_>0. 2<_>1. 2<_>2. 2<_>3. 2<_>4. 2<_>5. 2<_>6, &c. Et de même la progre$$ion décuple, ou celle des pui$$ances $uc- ce$$ives de 10, qui e$t # {:/:} 1. 10. 100. 1000. 10000. 100000, auroit pu s’écrire ain$i # {:/:} 10<_>0. 10<_>1. 10<_>2. 10<_>3. 10<_>4. 10<_>5. Dans l’une & dans l’autre, les nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5 $ont les logarithmes des termes auxquels ils répondent, & en même tems les expo$ans des pui$$ances de 10. Nous avons déja averti que l’on s’en tenoit à la derniere $uite pour calculer les loga- rithmes des nombres naturels, comme nous le verrons dans la $uite.

COROLLAIRE II.

261. Donc $i l’on prend quatre termes quelconques en pro- portion géométrique, leurs expo$ans ou leurs logarithmes for- meront une proportion arithmétique. Par exemple, $i l’on prend ces quatre termes _q_<_>0, _q_<_>1, _q_<_>4 & _q_<_>5 qui $ont en proportion géométrique, pui$que l’on a _q_<_>0. _q_<_>1: _q_<_>4. _q_<_>5, & que d’ailleurs le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens, il e$t vi$ible que leurs expo$ans ou leurs logarithmes $ont en proportion arithmétique, pui$que 0. 1 : 4. 5.

COROLLAIRE III.

262. Pour trouver le produit d’un terme de cette $uite par un autre, il faut chercher un terme, dont l’expo$ant $oit égal à la $omme des expo$ans des deux termes: car on a vu dans le calcul des expo$ans (art: 134), que le produit des quantités exponentielles $e trouve par l’addition des expo$ans. Ain$i pour multiplier _q_<_>2 par _q_<_>3, je cherche le terme dont l’expo$ant $oit 5, égal à la $omme des expo$ans 2 + 3, & le terme _q_<_>5 e$t le produit demandé. Donc pour avoir le produit de deux nombres par le moyen des logarithmes, il faut ajouter les lo- garithmes de ces deux nombres, & la $omme $era le logarithme du produit, pourvu que la progre$$ion arithmétique que l’on a choi$ie, $oit telle que zero $oit le logarithme de l’unité.

COROLLAIRE IV.

263. Pour divi$er un terme quelconque de cette $uite par [0171]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II._ un autre, il faut retrancher l’expo$ant du divi$eur de celui du dividende, & la di$$érence $era l’expo$ant du quotient: par exemple, pour divi$er q<_>9 par q<_>4, je retranche 4 de 9, le re$te 5 e$t l’expo$ant du quotient, qui e$t q<_>5: car on a vu dans le calcul des expo$ans (art. 135), que la divi$ion $e fait par la $ou$traction des expo$ans de ces quantités. Donc en général pour divi$er un nombre par un autre, par le moyen des logarithmes, il $aut $ou$traire le logarithme du divi$eur de celui du dividende, & chercher un nombre, dont le logarithme $oit égal à la diffé- rence des deux logarithmes des nombres donnés; le nombre corre$pondant $era le quotient que l’on demande, en $uppo- $ant toujours que zero $oit le logarithme de l’unité.

COROLLAIRE V.

264. Pour faire une Regle de Trois par le moyen des loga- rithmes, il faudra ajouter en$emble les logarithmes des deux moyens, & de la $omme retrancher le logarithme du premier extrême, le re$te $era le logarithme du dernier extrême: car une regle de Trois $e fait en multipliant ces deux moyens l’un par l’autre, & divi$ant par le premier extrême. Mais par le corollaire 3<_>e, la multiplication de deux termes de notre pro- gre$$ion $e fait par l’addition des logarithmes ou expo$ans des deux moyens, & le terme qui a pour expo$ant la $omme de ces expo$ans, e$t le produit de ces deux termes. Et par le corol- laire 4<_>e, la divi$ion de ce produit par le premier terme $e fait par la $ou$traction des expo$ans: donc en ôtant l’expo$ant du premier terme de la $omme des expo$ans des deux moyens, on a l’expo$ant ou le logarithme du quatrieme terme. Ain$i pour trouver un terme quatrieme proportionnel géométrique aux trois termes q<_>2, q<_>3, 9<_>5, je prends la $omme 8 des expo$ans 5.3 des termes moyens q<_>3, q<_>5; de cette $omme j’ôte 2, expo$ant du premier, & le re$te 6 e$t le logarithme du quatrieme terme que je cherche, qui e$t q<_>6: & en effet, q<_>2. q<_>3: q<_>5. q<_>6, pui$- que le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens. D’ail- leurs, comme ces quatre termes $ont en proportion géomé- trique, leurs expo$ans ou logarithmes, par le corollaire 2, $ont en proportion arithmétique: ain$i le logarithme que l’on cher- che e$t le quatrieme terme d’une proportion arithmétique, qui $e détermine en ôtant le premier terme de la $omme des deux moyens (art. 230). Ain$i en général pour faire une Regle de [0172]NOUVEAU COURS Trois par les logarithmes, il faut ajouter en$emble les loga- rithmes des moyens, & de la $omme ôter celui du premier ex- trême, le re$te e$t celui du quatrieme terme.

265. Comme toute Multiplication renferme cette propor- tion, _l’unité e$t au multiplicateur, comme le multiplicande e$t au_ _produit_; il $uit que faire une Multiplication ou une Regle de Trois c’e$t la même cho$e: donc il faut ajouter le logarithme du multiplicateur à celui du multiplicande, & de la $omme ôter le logarithme de l’unité. C’e$t pour cela que dans les pro- gre$$ions arithmétiques que l’on a choi$ies, pour déterminer les logarithmes des nombres naturels, on a donné zero pour loga- rithme à l’unité, afin que toute multiplication $e réduisît à l’addition de deux nombres.

266. Comme toute Divi$ion renferme cette proportion, l_’unité e$t au divi$eur, comme le quotient e$t au dividende:_ il $uit qu’on ne peut faire une divi$ion qu’on ne fa$$e réellement une regle de Trois; & comme dans cette regle de proportion, le terme que l’on cherche e$t le troi$ieme, il faut ajouter en$em- ble les logarithmes ou expo$ans des extrêmes, qui $ont l’unité & le dividende, & de la $omme ôter l’expo$ant du divi$eur, pour avoir le logarithme ou l’expo$ant du quotient: donc $i le logarithme de l’unité e$t zero, toute divi$ion $ur les loga- rithmes $e réduira à la $ou$traction de deux nombres; c’e$t encore pour cette rai$on que l’on a donné zero pour logarithme à l’unité.

COROLLAIRE VI.

267. Pour élever un terme quelconque à une pui$$ance pro- po$ée, il $uffit de multiplier $on expo$ant par celui de la pui$- $ance à la quelle on veut l’élever, & faire du produit l’expo$ant de la même lettre, qui $era la pui$$ance demandée, comme on l’a démontré dans la formation des pui$$ances des quantités exponentielles. Par exemple, pour élever q<_>2 au cube, je mul- tiplie $on expo$ant 2 par 3, expo$ant de la pui$$ance deman- dée; le produit 6 mis en expo$ant au devant de la même quan- tité, me donne q<_>6, qui e$t le cube de q<_>2: donc en général pour trouver la pui$$ance d’un nombre, par le moyen des logarith- mes, il faut multiplier le logarithme de ce nombre par l’ex- po$ant de la pui$$ance, & le produit $era le logarithme de la pui$$ance que l’on demande, que l’on trouvera à côté de ce même logarithme.

[0173]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II._ COROLLAIRE VII.

268. Pour extraire la racine d’un terme quelconque de cette $uite, il faut divi$er l’expo$ant ou le logarithme de ce terme par l’expo$ant de la racine, par 2 $i c’e$t la racine quar- rée que l’on demande, par 3 $i c’e$t la racine cubique, & ain$i des autres: car on a vu dans le Traité du calcul des expo- $ans, que la racine des quantités exponentielles $e fait en di- vi$ant leur expo$ant par l’expo$ant de la racine. Ain$i pour extraire la racine cubique de q<_>9, je divi$e le logarithme ou ex- po$ant 9 par 3, le quotient e$t 3: ain$i q<_>3 e$t la racine cubique de cette quantité. Donc en général, par le moyen des loga- rithmes, l’extraction d’une racine quarrée ou cubique $e ré- duit à divi$er un nombre par 2 ou par 3; & c’e$t principale- ment dans cette opération que l’on voit tout d’un coup l’im- portance de cette découverte, dont on e$t redevable au Baron de _Neper_, Eco$$ois, dont le nom $era toujours re$pecté des plus grands Calculateurs.

REMARQUE.

269. Comme tout ceci e$t de la derniere importance, nous allons en faire l’application $ur un $y$tême de logarithme quel- conque, différent de celui des Tables ordinaires, après quoi nous expo$erons en peu de mots la maniere dont on a trouvé les logarithmes des nombres naturels. Nous ne pouvons trop recommander aux Commençans de s’appliquer à générali$er les idées, en examinant particuliérement la po$$ibilité d’une infinité de $y$têmes de logarithmes, & en tâchant de décou- vrir les rai$ons qui ont déterminé les premiers qui en ont cal- culé des Tables, à $e $ervir de la progre$$ion décuple. On verra que cette rai$on e$t pri$e de la nature des logarithmes con$i- dérés comme expo$ans des pui$$ances de 10.

_Logarithmes_ # {./.} # 0. # 1. # 2. # 3. # 4. # 5. # 6. # 7. # 8. # 9 _Progre$$ion géométrique_ # {../..} # 1. # 2. # 4. # 8. # 16. # 32. # 64. # 128. # 256. # 512.

1°. Pour multiplier un terme quelconque de cette $uite, 8, par exemple par 16, j’ajoute en$emble leurs logarithmes 3 & 4, la $omme e$t 7; & le nombre 128 qui $e trouve au de$$ous e$t le produit de 16 par 8. De même pour multiplier le nombre 8 de la progre$$ion géométrique par 32, j’ajoute en$emble leurs [0174]NOUVEAU COURS logarithmes 3 & 5; la $omme 8 e$t le logarithme du produit 244, comme on peut s’en convaincre ai$ément, en fai$ant la multiplication.

2°. Pour divi$er un nombre quelconque de la progre$$ion géométrique par un autre terme de la même progre$$ion, 128 par 4, j’ôte le logarithme de 4 du logarithme de 128; ces deux logarithmes $ont 2 & 7, dont la différence 5 e$t le logarithme du quotient 32. De même pour divi$er 512 par 64, j’ôte 6, logarithme ou expo$ant du divi$eur, de 9 expo$ant du divi- dende, la différence 3 e$t le logarithme du quotient 8. En effet 512, divi$é par 64, donne 8.

3°. Pour trouver un quatrieme terme proportionnel aux trois nombres 4, 32, 64, je prends la $omme des logarithmes des deux moyens, qui e$t 11, j’en ôte le logarithme 2 du premier extrême 4, le re$te e$t 9, logarithme de 512 qui e$t le terme que l’on demande.

4°. Pour élever 8 au cube, je multiplie $on expo$ant ou $on logarithme, qui e$t 3 par 3, expo$ant de la pui$$ance, & j’ai 9 au produit, qui e$t le logarithme du cube de 8, qui e$t 512, comme on l’a déja vu par la Table des Cubes.

5°. Pour extraire la racine quarrée de 256, je divi$e $on lo- garithme 8 par 2, expo$ant de la racine quarré le quotient 4 e$t le logarithme de la racine 16: élevant 16 au quarré, on aura effectivement 256, comme il e$t ai$é de le voir.

REMARQUE GÉNÉRALE.

270. On voit par-là que toute Multiplication $e réduit à l’Addition de deux nombres; que toute Divi$ion $e fait par la Sou$traction de deux nombres; & que toute Regle de Trois $e fait par l’Addition de deux nombres, & par la Sou$traction d’un troi$ieme de la $omme des deux premiers; enfin que la formation des pui$$ances $e fait en doublant ou triplant le lo- garithme du nombre, dont on veut avoir le quarré ou le cube, & que l’extrction des racines $e réduit à prendre la moitié, le tiers, ou le quart du logarithme d’un nombre propo$é, pour avoir la racine $econde, troi$ieme, ou quatrieme. Mais pour cela, il faut que les nombres propo$és $oient préci$ément quel- ques-uns des termes de la progre$$ion, pour avoir leurs loga- rithmes. Ain$i afin de rendre un $i grand avantage pratica- ble $ur tous les nombres po$$ibles, il a fallu trouver leurs lo- [0175]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II._ garithmes, ou, ce qui e$t la même cho$e, l’expo$ant du rang que chacun occupe dans la progre$$ion des nombres à laquelle on s’e$t arrêté pour calculer les logarithmes. C’e$t ce que nous allons détailler dans les articles $uivans.

271. On a imaginé que tous les nombres naturels étoient renfermés dans une $eule progre$$ion géométrique, dont cha- queterme étoit des pui$$ances différentes du nombre 10; toutes pui$$ances fractionnaires, excepté les termes de la progre$$ion décuple, {../..}10. 100. 1000. 10000, &c, qui $ont des pui$$ances complettes de 10. Pour cela, on a in$éré entre 1 & 10 9999999 moyens géométriques, & entre chaque expo$ant 0 & 1 de ces nombres, autant de moyens arithmétiques corre$pondans aux premiers; & pour avoir plus commodément ces moyens arith- métiques, on a ajouté $ept décimales à la $uite de chaque ex- po$ant; ce qui ne change pas la progre$$ion arithmétique. Ain$i au lieu de la premiere $uite {../..} 10<_>0. 10<_>1. 10<_>2. 10<_>3. 10<_>4. 10<_>5, on a celle-ci, {../..}10<_>0.0000000. 10<_>1.0000000. 10<_>3.0000000, &c. tou- jours telle que les expo$ans $ont en progre$$ion arithmétique, & que chaque terme e$t une pui$$ance complette du nombre 10. En $uppo$ant donc qu’entre les expo$ans 0.0000000, il y ait 999,9999 moyens arithmétiques, on trouvera que le pre- mier e$t 0.0000001, & que le terme de la progre$$ion géomé- trique qui lui répond, ou, ce qui e$t la même cho$e que la pui$$ance de 10 corre$pondante à ce logarithme, e$t 10<_>0.0000001: car, $elon l’article 243, pour in$érer un nombre de moyens arithmétiques entre deux nombres quelconques, il faut ôter le plus petit du plus grand, & divi$er le re$te par le nombre des moyens que l’on demande, augmenté de l’unité. Suivant cette regle, j’ôte le plus petit terme 0.0000000 de 1.0000000, ou, ce qui e$t la même cho$e, 0 de 1, le re$te e$t 1, que je divi$e par le nombre 9999999 des moyens arithmétiques pro- portionnels, augmenté de l’unité, qui e$t 10000000. Ce pre- mier moyen arithmétique e$t donc {1/10000000}, ou en rédui$ant cette fraction en décimales 0.00000001; le $econd moyen arithmétique $era 0.00000002, & le terme de la progre$$ion géométrique corre$pondant à ce logarithme $era 10<_>0.00000002, en continuant le même rai$onnement, on a con$truit des Ta- bles des Logarithmes de tous les nombres naturels, & l’on a trouvé que le nombre 2 e$t à peu près égal à 10, élevé à la pui$$ance 0.3010300, ou 10<_>0.3010300. On a trouvé de même que [0176]NOUVEAU COURS 3 étoit égal à 10, élevé à la pui$$ance 0.4771213, ou égal 10<_>0.4771213, & l’on a appellé ces nombres, logarithmes de 2 & de 3.

272. On a in$éré le même nombre de moyens arithméti- ques entre les expo$ans 1.0000000, & 2.0000000, ou entre les nombres 1 & 2, & l’on a trouvé que 12, par exemple, étoit égal à 10, élevé à la pui$$ance 1.0791812, ou que 12 = 10<_>1.0791812. Quand on a eu une fois trouvé les logarithmes des nombres, appellés premiers, c’e$t-à-dire qui n’ont point de divi$eur autre que l’unité, la plus grande partie du travail s’e$t trouvée achevée, pui$que pour avoir les logarithmes des nombres multiples ou $ous-multiples de ceux-ci, il n’a fallu qu’ajouter à leurs logarithmes celui du multiplicateur, ou bien en $ou$traire celui du divi$eur. Par exemple, lor$qu’on a trouvé que le logarithme de 2 e$t 0.3010300, on a découvert ai$é- ment & $ans calcul celui de 5, en ôtant 0.3010300 de 1.0000000, logarithme de 10, & ce logarithme e$t 6989700.

273. Il faut bien prendre garde que lor$que nous di$ons que l’on a renfermé dans une $eule progre$$ion géométrique tous les nombres naturels, on ne veut pas dire pour cela que les nombres naturels $ont en progre$$ion géométrique, mais $eu- lement que chacun d’eux en particulier e$t un terme de cette progre$$ion, dont le numéro ou le rang qu’il occupe e$t mar- qué par $on logarithme. Au$$i les logarithmes de quatre nom- bres, pris de $uite dans les Tables des Logarithmes, ne $ont- ils pas en progre$$ion arithmétique, ce qui devroit arriver, $i les nombres auxquels ils répondent formoient une progre$$ion géométrique.

274. On appelle _caracteri$tique_ d’un logarithme le nombre de ce logarithme qui e$t au rang des entiers: ain$i pour peu que l’on y fa$$e attention, on verra que le caracteri$tique des nombres moindres que 10, e$t 0; que celui des nombres moindres que 100, e$t 1; que celui des nombres moindres que 1000, e$t 2, & qu’en général le caractéri$tique du logarithme d’un nombre renferme autant d’unités que la plus proche pui$- $ance de 10, à laquelle un nombre e$t $upérieur, contient de zero. Ain$i le logarithme de 99 ne peut avoir pour caracté- ri$tique que l’unité, parce que la plus proche pui$$ance de 10, à laquelle il e$t $upérieur, qui e$t 10, n’a qu’un zero.

275. Les nombres fractionnaires, moindres que l’unité, [0177]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. auront des expo$ans ou des logarithmes négatifs: car dans une progre$$ion arithmétique, les termes qui $ont avant le zero $ont négatifs; & d’ailleurs l’unité a zero pour expo$ant. Donc, &c. De plus, les fractions {1/2}, {1/3}, {1/4}, {1/5}, &c. dont le numérateur e$t l’unité, & le dénominateur, quelques-uns des nombres natu- rels, auront pour logarithmes ceux des nombres entiers qui leur $ervent de dénominateurs, pris en moins ou négatifs. D’où il $uit que l’on peut ai$ément opérer $ur les fractions, par le moyen des logarithmes.

Si l’on veut avoir un plus grand détail des logarithmes, & particuliérement $ur la con$truction de leurs Tables, on peut con$ulter le Livre de Trigonométrie de M. _Rivard_. Cette étude ne peut qu’être utile, & d’ailleurs comme on e$t obligé de $e $ervir de ces nombres artificiels dans la pratique du calcul des triangles, on agit toujours avec plus de $ûreté dans $es opérations, lor$que l’on connoît bien les propriétés des nombres dont on $e $ert.

Des Rai$ons compo$ées. DEFINITION.

276. _Une rai$on compo$ée_ e$t le produit de deux rapports multipliés les uns par les autres: par exemple, la rai$on de _a b_ à _c d_ e$t compo$ée de la rai$on de _a_ à _b_, & de _c_ à _d_. Ain$i une rai$on compo$ée peut être regardée comme le produit de deux fractions, pui$que chaque rai$on peut être regardée comme une fraction. Il en e$t de même dans les nombres: la rai$on de 10 à 21 e$t compo$ée de celle de 2 à 3, & de celle de 5 à 7. Les rai$ons de la Multiplication, de$quelles ré$ulte la rai$on compo$ée, $ont appellées _rai$ons compo$antes_.

277. Si les rai$ons compo$antes $ont égales, la rai$on com- po$ée qui en ré$ulte e$t appellée _rai$on doublée_, s’il y a deux rai- $ons égales, rai$on triplée, $i l’on a multipliée trois rai$ons égales l’une par l’autre. Par exemple, $i l’on a la proportion _a. b_:: _c. d_, ou, ce qui e$t la même cho$e, {_a_/_b_} = {_c_/_d_}, la rai$on de _a c_ à _b d_ e$t doublée de celle de _a_ à _b_, ou de celle de _c_ à _d_, pui$que la proportion $uppo$e qu’il y a égalité entre ces deux rai$ons. Si l’on a _a. b_:: _c. d_:: _f. g_, ou {_a_/_b_} = {_c_/_d_} = {_f_/_g_}, la rai$on [0178]NOUVEAU COURS de _a c f_ à _b d g_ $era triplée de celle de _a_ à _b_, ou bien de celle de _c_ à _d_, pui$que ces trois rai$ons $ont égales.

278. Quand on dit que deux produits $ont entr’eux en rai- $on doublée de deux autres grandeurs, c’e$t comme $i l’on di- $oit que le premier produit e$t au $econd, comme le quarré d’une grandeur e$t au quarré de l’autre: ain$i $uppo$ant tou- jours que _a. b_:: _c. d_, lor$que je dis que la rai$on de _a c_ à _b d_ e$t doublée de celle de _a_ à _b_, c’e$t comme $i je fai$ois cette proportion, _ac. bd_:: _aa. bb_. Pour démontrer cette propor- tion, il n’y a qu’à faire voir que le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens, ou que _a a b d_ = _a c b b_; ce qui e$t évi- dent, $i l’on divi$e chaque membre par _a b_, pui$que _a d_ = _b c_.

279. De même lor$qu’on dit que la rai$on d’un produit de trois dimen$ions à un autre produit de trois dimen$ions, e$t triplée de celle d’une grandeur linéaire à une autre, c’e$t comme $i l’on di$oit que le premier produit e$t au $econd, comme le cube de la premiere grandeur e$t au cube de la $econde. Par exemple, $i l’on a _a. b_:: _c. d_:: _f. g_, quand on dit que la rai$on de _a c f_ à _b d g_ e$t triplée de celle de _a_ à _b_, c’e$t comme $i l’on fai$oit cette proportion, _a c f. b d g_:: _a_<_>3. _b_<_>3. Pour prou- ver cette proportion, il n’y a qu’à faire voir que le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens, ou que _a c f b_<_>3 = _a_<_>3_b d g_; ce qui e$t ai$é à faire, car _a b_ = _a b_: donc en divi$ant chaque membre par cette même quantité, on aura _c f b_<_>2 = _a_<_>2 _dg_; mais pui$que _a. b_:: _c. d, b c_ = _a d_: donc divi$ant encore le premier membre par _b c_, & le $econd par _a d_, on aura _b f_ = _a g_; ce qui e$t encore vrai, pui$que _a. b_:: _f. g_.

PROPOSITION XVIII. THEOREME.

280. L’expo$ant des deux termes d’une rai$on doublée e$t égal au quarré de celui qui e$t entre les deux termes de la rai$on $imple, & l’expo$ant des deux termes d’une rai$on triplée e$t égal au cube de celui des deux termes de la rai$on $imple.

DEMONSTRATION.

On entend ici par l’expo$ant d’une rai$on, le quotient qui ré$ulte de la divi$ion des deux termes l’un par l’autre. Cela po$é, $i l’on imagine que le quotient de _a_, divi$é par _b_, $oit _f_, & que celui de _c_, divi$é par _d_, $oit au$$i _f_, ce qui donnera [0179]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. _a. b_:: _c. d_, il faut démontrer que {_a c_/_b d_} = _f f_; ce qui e$t évident, car {_a_/_b_} = _f_, & {_c_/_d_} = _f_: donc {_a_/_b_} X {_c_/_d_} = _f f_. De même $i _a. b_:: _c_. _d_:: _f. g_, & que le quotient de _a_, divi$é par _b_, $oit _q_, ain$i que celui de _c_, divi$é par _d_, & de _f_ par _g_, on aura {_a c f_/_b d d_} = _q_<_>3; car (_hypoth_.) {_a_/_b_} = _q_, {_c_/_d_} = _q_, {_f_/_g_} = _q_: donc {_a c f_/_b d g_} = _q_<_>3. Il en e$t de même en nombres, la rai$on de 12 à 3 e$t 4, celle de 20 à 5 e$t 4, & celle de 12 X 20, ou de 240 à 5 X 4 & 20, & 16, quarré de 4.

COROLLAIRE.

281. La rai$on qui e$t entre les quarrés de deux nombres e$t doublée de celle qui e$t entre les racines; la rai$on qui e$t entre les cubes de deux nombres e$t triplée de celle qui e$t en- tre les racines, & ain$i des autres.

Il faut bien prendre garde de confondre la rai$on double avec la rai$on doublée, & de même la rai$on triple avec la rai- $on triplée. Une rai$on double ou triple n’e$t qu’une rai$on $imple, dans laquelle l’antécédent e$t double ou triple du con- $équent; mais une rai$on doublée e$t une rai$on compo$ée de deux rai$ons égales, & une rai$on triplée e$t une rai$on com- po$ée du produit de trois rai$ons égales.

Regles générales pour la ré$olution des Problêmes ou application du calcul analytique à la méthode de dégager les inconnues.

DEFINITION.

282. Lor$qu’une quantité e$t po$itive, & qu’elle ne $e trouve qu’une $eule fois dans un $eul membre d’une équation, on l’appelle _quantité dégagée_: par exemple, dans l’équation _a_ + _b_ = _x_, la quantité _x_ e$t une quantité dégagée.

AXIOME I.

283. Si à des grandeurs égales on ajoute des grandeurs éga- les, les tous $eront égaux.

II.

284. Si de grandeurs égales on ôte des grandeurs égales, les re$tes $eront égaux.

[0180]NOUVEAU COURS III.

285. Si on multiplie des grandeurs égales par une même grandeur, les produits $eront égaux.

IV.

286. Si l’on divi$e des grandeurs égales par une même grandeur, les quotiens $eront égaux.

V.

287. Si l’on extrait la racine de quantités égales, les racines $eront égales.

PREMIERE REGLE,

Où l’on fait voir l’u$age de l’ Addition & de la Sou$tr action pour le dégagement des inconnues.

288. Pour dégager une quantité, il faut faire pa$$er les grandeurs qui l’accompagnent dans l’autre membre avec des $ignes contraires, & les effacer dans le membre où elles $ont. Par exemple, $i l’on a cette équation _a_ + _c_ = _x_ - _d_, pour dégager _x_, il faut faire pa$$er - _d_ du $econd membre dans le premier avec le $igne +, & l’on aura _a_ + _c_ + _d_ = _x_, où la quantité _x_ e$t dégagée, pui$que $a valeur e$t _a_ + _c_ + _d_: car comme on n’a fait qu’ajouter _d_ à chaque membre de l’équa- tion, il s’en$uit par l’axiome premier, que l’on n’a point changé l’égalité.

De même pour dégager _y_ dans l’équation _y_ + _a_ = _b_ + _c_, l’on fera pa$$er _a_ du premier membre dans le $econd avec le $igne -, pour avoir _y_ = _b_ + _c_ - _a_, qui donne la valeur de _y_, pui$que par le $econd axiome on n’a fait que retrancher la même grandeur de deux grandeurs égales.

COROLLAIRE.

289. Il $uit de la regle précédente, premiérement, que l’on peut rendre tous les termes d’une équation po$itifs, en tran$- po$ant ceux qui ont le $igne - d’un membre de l’équation dans l’autre, & leur donnant le $igne +. Par exemple, pour ren- dre po$itifs tous les termes de l’équation _a b_ - _c c_ + _c d_ - _d d_ = _a a_ + _b b_, il n’y a qu’à faire pa$$er les termes _c c_ & _d d_, qui ont le $igne - du premier membre dans le $econd, en leur donnant le $igne +; & après les avoir effacés du premier [0181]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II._ membre, on aura _ab_ + _cd_ = _aa_ + _bb_ + _cc_ + _dd_, où il n’y a plus de quantités négatives. De même $i l’on a _aa_ - _dd_ + _cd_ - _ab_ = _ac_ + _cc_ - _ad_, l’on n’a qu’à faire pa$$er _dd_ & _ab_ du premier membre dans le $econd, & _aa_ du $econd dans le pre- mier, avec des $ignes contraires, & l’on aura _aa_ + _cd_ + _ad_ = _ac_ + _cc_ + _dd_ + _ab_, où il n’y a plus de termes négati$s.

290. L’on peut encore par la même regle faire pa$$er tous les termes d’un des membres d’une équation dans l’autre, en rédui$ant l’égalité à zero: car pour faire pa$$er, par exemple, les termes du $econd membre de cette équation _aa_ + _bb_ = _cd_ + _bc_ - _dd_; dans le premier, l’on n’a qu’à tran$po$er les ter- mes, en leur donnant des $ignes contraires, & l’on aura _aa_ + _bb_ - _cd_ + _bb_ + _dd_ = o.

SECONDE REGLE,

Où l’on fait voir l’u$age de la Multiplication pour dégager les inconnues, & pour délivrer les équations des fractions qu’elles contiennent.

291. Pour dégager une quantité qui $e trouve divi$ée par quelque nombre, ou par quelque lettre, il faut multiplier les autres termes de l’équation par le divi$eur de cette quantité, $ans toucher à cette quantité, que pour en effacer le divi$eur: ain$i pour dégager {_xx_/_c_} dans l’équation _a_ + _b_ = {_xx_/_c_}, il faut mul- tiplier le membre _a_ + _b_ par le divi$eur _c_, & l’on aura _ac_ + _bc_ = _xx_, ou _xx_ e$t dégagée. De même $i l’on avoit _c_ + _b_ = _z_, il faut pour dégager _z_, multiplier les termes _c_ + _b_ par le divi- $eur 2, & l’on aura 2_c_ + 2_b_ = _z_; ce qui e$t évident par le 3<_>e axiome, pui$qu’ayant multiplié les deux membres de cette équation par une même quantité, on n’a rien changé à l’é- galité.

COROLLAIRE.

292. Comme la divi$ion indiquée, ou autrement {_a_/_b_} n’e$t qu’une fraction; il $uit de la regle précédente, que l’on peut non $eulement dégager les quantités inconnues qui $ont divi- $ées, mais que l’on peut encore délivrer de fractions les ter- mes d’une équation, en multipliant tous les autres termes de l’équation par les dénominateurs des fractions: par exemple, [0182]NOUVEAU COURS pour ôter la fraction qui $e trouve dans l’équation _a_ + {_dd_/_e_} + _b_ = _d_ + _c_, je multiplie tous ces termes par le dénomina- teur _c_ de la fraction {_dd_/_c_}, & il vient _ac_ + _dd_ + _bc_ = _dc_ + _cc_, où il n’y a plus de fractions. Pour ôter les fractions de l’équa- tion _xd_ + {_bbc_/_a_} - _cc_ = _dd_ - {_aad_/_c_} + _bc_, je commence par mul- tiplier tous les termes de l’équation par le dénominateur _a_ de la premiere fraction, pour avoir _adx_ + _bbc_ - _acc_ = _add_ - {_aaad_/_c_} + _abc_, où il n’y a plus de fractions dans le premier mem- bre; en$uite je multiplie tous les termes de cette nouvelle équation par le dénominateur de la $econde fraction, pour avoir _adcx_ + _bbcc_ - _cccc_ = _acdd_ - _a_<_>3_d_ + _abcc_, où il n’y a plus de fractions. En$in $i l’on avoit une équation, comme {_a_/_b_} = {_c_/_d_} + {_x_/_a_} = {_b_/_c_} + {_y_/_c_}, l’on en feroit évanouir toutes les frac- tions, en multipliant chaque numérateur par les dénomina- teurs de toutes les autres fractions, & l’on aura _aacdc_ + _abccc_ + _bcdcx_ = _abbdc_ + _abcdy_.

293. Mais au lieu de multiplier l’un après l’autre chaque numérateur par tous les dénominateurs des autres fractions, on peut tout d’un coup ôter les fractions d’une équation, en multipliant chaque terme par le produit de tous les dénomina- nateurs, & en effaçant dans les numérateurs & dénomina- teurs de chaque nouvelle fraction les lettres $emblables.

TROISIEME REGLE, Où l’on fait voir l’u$age de la Divi$ion pour dégager les inconnues.

294. Lor$qu’une quantité inconnue, que l’on veut dégager, e$t multipliée par une grandeur connue, on dégagera l’incon- nue, en divi$ant chaque membre de l’équation par cette gran- deur connue. Ain$i pour dégager l’inconnue dans l’équation _ax_ = _bb_ - _cc_, l’on divi$era chaque membre par _a_, & l’on aura _x_ = {_bb_ - _cc_/_a_}. De même $i l’on a _cz_ = _dd_ + _az_, on dé- gagera l’inconnue _z_, en fai$ant pa$$er _az_ du $econd membre dans le premier, avec un $igne contraire, pour avoir _cz_ - _az_ = _dd_, & divi$ant chaque membre par _c-a_, l’on aura _z_ = {_dd_/_c_-_a_}; [0183]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. ce qui e$t bien évident, par l’axiome 4<_>e, pui$qu’ayant divi$é chaque membre de l’équation par la même grandeur, les quo- tients doivent être égaux.

COROLLAIRE.

295. Il $uit de cette regle, que lor$que tous les termes d’une équation $ont multipliés par une même lettre, ou par une même grandeur, on peut rendre l’équation plus $imple, en divi$ant tous les termes par cette grandeur. Par exemple, $i l’on a _aa_ + _ab_ = _ac_ - _ad_, où tous les termes $ont multipliés par _a_, l’on n’a qu’à divi$er les deux membres de cette équa- tion par la même lettre _a_, il viendra l’équation _a_ + _b_ = _c_ - _d_, qui e$t plus $imple que la précédente: mais s’il $e trouvoit quel- que terme qui ne pût pas être divi$é comme les autres, ne con- tenant pas de lettres $emblables au divi$eur; cela n’empêche pas que la divi$ion ne $e fa$$e toujours, parce que quand on ne peut pas la faire effectivement $ur quelque terme, on la fait par indiction. Par exemple, pour divi$er cette équation _abb_ - _cbb_ = _cdx_ + _bbc_ par _bb_, dans laquelle le terme _cdx_ n’a point de lettres $emblables au divi$eur, l’on efface _bb_ des au- tres termes, & l’on marque pour celui-ci {_cdx_/_bb_}: ain$i l’on a _a_ - _c_ = {_cdx_/_bb_} + _c_.

En$in lor$que les deux membres d’une équation ont un divi$eur commun, on pourra les réduire à une équation plus $imple, en divi$ant chaque membre par le divi$eur qui e$t commun. Par exemple, $i l’on a une équation comme _bbx_ - _bxx_ = _abb_ - _abx_, dont les membres ont pour divi- $eur commun _bb_ - _bx_, on fera la divi$ion qui donnera cette autre équation, qui donnera _x_ = _a_.

QUATRIEME REGLE, Où l’on fait voir l’u$age de l’extraction des racines pour dégager les inconnues.

296. Quand on a une équation, où l’un des membres ne contient que des grandeurs connues, & que l’autre où e$t l’in- connue e$t un quarré ou un cube parfait, il faut extraire la racine de ces deux membres pour avoir une nouvelle équation, dans laquelle on pourra dégager l’inconnue. Par exemple, $i l’on a _xx_ + 2_ax_ + _aa_ = _bc_ + _dd_, où le premier membre de [0184]NOUVEAU COURS cette équation e$t un quarré parfait, on extraira la racine de chaque membre. Celle du premier membre, $uivant la mé- thode de l’article 147, e$t _x_ + _a_, & celle du $econd, par l’ar- ticle 149, e$t _bc_ + _dd_: donc l’équation devient _x_ + _a_ = _bc_ + _dd_; & fai$ant pa$$er _a_ du premier membre dans le $econd (art. 288), on aura _x_ = _bc_ + _dd_-a, qui fait voir que $i l’on extrait la racine de _bc_ + _dd_, & que l’on ôte de cette racine la grandeur _a_, la différence $era la valeur de _x_.

De même pour dégager _x_ dans l’équation _xx_ - 2_ax_ + _aa_ = _bb_, j’extrais la racine de chaque membre, & j’ai _x_ - _a_ = _b_; d’où l’on déduit en tran$po$ant _x_ = _b_ + _a_.

297. Comme le premier membre de cette équation e$t un cube parfait, _x_<_>3 + 3_ax_<_>2 + 3_a_<_>2_x_ + _a_<_>3 = _aab_, en tirant la ra- cine cube de chaque membre, on aura l’équation plus $imple _x_ + _a_ = <_>3_aab_; & en tran$po$ant, l’on aura _x_ = <_>3_aab_ - _a_, qui fait voir que $i l’on extrait la racine cubique de _aab_, & que l’on ôte de cette racine la grandeur _a_, le re$te $era la valeur de _x_. De même le premier membre de cette équation _x_<_>3 - 3_axx_ + 3_a_<_>2_x_ - _a_<_>3 = _bdd_, étant encore un cube parfait, $i l’on ex- trait la racine cube de chaque membre, l’on aura _x_ - _a_ = <_>3_bdd_, ou _x_ = _a_ + <_>3_bdd_, qui fait voir que la grandeur _a_, plus la racine cube de _bdd_ e$t égale à _x_.

CINQUIEME REGLE, Où l’on donne la maniere de $ub$tituer dans une équation la valeur des inconnues.

298. Quand on connoît la valeur de quelques lettres que l’on veut faire évanouir dans une équation, on $ub$titue à leur place les quantités qui leur $ont égales avec le même $igne. Par exemple, $i l’on a l’équation _a_ + _z_ = _y_ + _b_ - _c_, où l’on veut faire évanouir _z_, & que l’on $uppo$e _z_ = _d_ + _e_, on effa- cera _z_ dans l’équation, & l’on mettra à $a place $a valeur _d_ + _e_; ce qui donnera _a_ + _d_ + _e_ = _y_ + _b_ - _c_, où _z_ ne $e trouve plus. Si l’on a cette équation _b_ + _d_ - _x_ = _c_ + _z_, dans laquelle on veut faire évanouir _x_, $uppo$ant que _x_ = _a_ - _e_, l’on effacera _x_, & l’on mettra à $a place - _a_ + _e_, à cau$e que _x_ a le $igne -, & l’on aura _b_ + _d_ - _a_ + _e_ = _c_ + _z_, où _x_ ne $e trouve plus.

[0185]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_.

299. Si la lettre qu’on veut faire évanouir e$t multipliée ou divi$ée dans l’équation par quelqu’autre grandeur, il faut mul- tiplier ou divi$er $a valeur par cette même grandeur, & l’écrire dans l’équation avec le même $igne. Par exemple, $i de l’é- quation _bb_ + _ax_ - _cc_ = _ad_ + _aa_ - _yy_, on veut faire éva- nouir _x_, $uppo$ant que _x_ = _e_ + _f_, comme _x_ e$t multipliée par _a_ dans l’équation, il faut multiplier $a valeur _e_ + _f_, par la même lettre _a_, pour avoir _ax_ = _ac_ + _af_, & mettant _ac_ + _af_ à la place de _ax_, l’on aura _bb_ + _ac_ + _af_ - _cc_ = _ad_ + _aa_ - _yy_, où _x_ ne $e trouve plus.

300. Pour faire évanouir de l’équation _cc_ + _yy_ - 2_bd_ = _aa_ - _bz_ la lettre _z_, $uppo$ant que _z_ = _d_ - _e_ + _g_, il faut mul- tiplier la valeur de _z_ par _b_, pour avoir _bz_ = _bd_ - _be_ + _bg_; & comme _bz_ a le $igne - dans l’équation, il faut changer les $ignes de _bd_ - _be_ + _bg_, & mettre dans l’équation - _bd_ + _be_ - _bg_; ce qui donnera _cc_ + _yy_ = _aa_ - _bd_ + _be_ - _bg_, où _z_ ne $e trouve plus.

301. Pour faire évanouir _y_ de l’équation 2_ab_ + _ez_ = _be_ + {_ddy_/_a_ - _f_}, $uppo$ant que l’on a _y_ = _e_ - _g_, il faut multiplier _e_ - _g_ par _dd_, pour avoir _ddy_ = _dde_ - _ddg_; mais comme _ddy_ e$t divi$é par _a_ - _f_ dans l’équation, il faut pour y $ub$tituer _dde_ - _ddg_ le divi$er au$$i par _a_ - _f_, & alors on aura 2_ab_ + _ez_ = {_dde_ - _ddg_/_a_ - _f_}, où _y_ ne $e trouve plus.

302. Pour faire évanouir _u_ de l’équation _aa_ + _dd_ = _au_ + _bd_, $uppo$ant que l’on a _u_ = {_aa_ - _cc_ + _fg_/_b_ + _d_}, il faut, à cau$e que _u_ e$t égal à une fraction, multiplier le numérateur de cette fraction par _a_, pour avoir a _u_ = {_a_<_>3 - _acc_ + _afg_/_b_ + _d_}, & puis mettre à la place de _au_ dans la premiere équation, la fraction qui lui e$t égale, & l’on aura _aa_ + _dd_ = {_a_<_>3 + _afg_ - _acc_/_b_ + _d_} + _bd_, dans laquelle _u_ ne $e trouve plus. Si l’on veut ôter la fraction de cette équation, l’on n’aura qu’à multiplier les autres termes par le dénomina- teur _b_ + _d_ (art. 283), & l’équation $era transformée en celle- ci, _aab_ + _aad_ + _d_<_>3 = _a_<_>3 + _acc_ + _afg_ + _bbd_, après avoir effacé les termes _b d d_, qui $e trouvent dans chaque membre avec le même $igne.

303. Si la lettre qu’on veut faire évanouir e$t le côté d’un quarré ou d’un cube, il faut quarrer ou cuber $a valeur, & [0186]NOUVEAU COURS mettre $on quarré ou $on cube dans l’équation à la place du quarré ou du cube de la lettre qu’on veut faire évanouir. Par exemple, $i l’on veut faire évanouir _y_ de l’équation _yy_ - 2_bd_ = 2_ax_ + _dd_, $uppo$ant que _y_ = _b_ + _d_, il faut quarrer la va- leur de _y_ pour avoir _yy_ = _bb_ + 2_bd_ + _dd_, & mettre la va- leur du quarré de _y_ à la place de _yy_, & l’on aura cette équa- tion, _bb_ + 2_bd_ + _dd_ - 2_bd_ = 2_ax_ + _dd_, & effaçant + 2_bd_ & - 2_bd_, qui $e détrui$ent, & _dd_ qui e$t commun au premier & au $econd membre avec le même $igne, l’équation deviendra _bb_ = 2_ax_, d’où dégageant _x_, il vient _x_ = {_bb_/2_a_}, qui e$t la va- leur de _x_. L’on pourra de même $ub$tituer dans une équation la valeur d’un cube, quand on connoîtra celle de $a racine.

Comme l’on ne fait par la $ub$titution que mettre une gran- deur égale à la place d’une autre dans une équation, il s’en$uit que les deux membres de cette équation demeurent toujours égaux.

SIXIEME REGLE, Où l’on fait voir comment on peut faire évanouir toutes les incon- nues d’une équation.

304. Pour ré$oudre un problême par Algebre, il faut com- mencer par con$idérer attentivement l’état de la que$tion, & toutes les conditions qu’elle renferme; en$uite marquer ce que l’on connoît avec les premieres lettres de l’alphabet, & ce que l’on ne connoît pas avec les dernieres: con$idérant après cela le problême comme ré$olu, on tâchera de trouver autant d’é- quations que l’on a employé de lettres inconnues, que nous appellerons _premieres équations_.

On choi$ira la plus $imple de toutes ces équations, pour dé- gager une des inconnues qu’elle renferme; & ayant trouvé la valeur de cette inconnue, on la $ub$tituera dans les autres équations aux endroits où cette inconnue $e trouvera.

On recommencera de nouveau à choi$ir la plus $imple des autres équations pour y dégager une $econde inconnue, dont on $ub$tituera, comme auparavant, la valeur dans les autres équations, & l’on réïtérera la même cho$e pour faire évanouir l’une après l’autre toutes les lettres inconnues; & de cette maniere on trouvera la valeur connue de toutes les inconnues; ce qui donnera la $olution du problême.

[0187]DE MATHEMATIQUE. _Liv. II_.

Pour rendre ceci plus $en$ible, nous allons faire évanouir toutes les inconnues des trois équations _x_ + _y_ = _z_ + _a_, _y_ + _z_ = _b_ + _x_, & _x_ + _z_ = _c_ + _y_. Pour cela, je commence par chercher la valeur de _z_ dans la premiere équation, en la dé- gageant de _a_, que je fais pa$$er dans l’autre membre avec le $igne contraire, afin d’avoir _x_ + _y_ - _a_ = _z_, qui me donne la valeur de _z_; en$uite je mets cette valeur à la place de _z_ dans les autres équations (art. 298.) qui $e trouvent changées en celles-ci, 2_y_ + _x_ - _a_ = _b_ + _x_, & 2_x_ + _y_ - _a_ = _c_ + _y_, & comme _x_ $e trouve dans le premier & le $econd membre de la premiere équation avec le $igne +, de même _y_ dans la $econde; je les efface, & en dégageant les inconnues qui re$tent, il vient 2_y_ = _b_ + _a_, & 2_x_ = _c_ + _a_, ou bien _y_ = {_b_ + _a_/2}, & _x_ = {_c_ + _a_/2}, où les valeurs de _x_ & de _y_ $e trouvent tout d’un coup, $ans avoir été obligé de faire une $econde $ub$titution. Si pré$entement on met dans la premiere équa- tion, où l’inconnue a été dégagée, la valeur de _x_ & de _y_, on aura {_b_ + _a_ + _c_ + _a_/2} - _a_ = _z_, ou {_b_ + _c_/2} = _z_. Par con$équent on a trouvé la valeur des inconnues _x_, _y_ & _z_ en lettres connues.

AVERTISSEMENT.

On s’e$t contenté de donner $eulement un petit exemple de cette regle, parce qu’on en va voir l’application, au$$i-bien que des précédentes, dans tout ce qui $uit, où l’on va ré$oudre plu$ieurs problêmes curieux, que l’on a rapportés exprès pour familiari$er les Commençans avec le calcul algébrique, & pour rendre intére$$ant ce que l’on a vu ju$qu’ici, qu’il e$t à propos d’entendre parfaitement, pour avoir le plai$ir de com- prendre $ans peine tout ce qui compo$e la $uite de cet ouvrage.

Application des Regles précédentes à la ré$olution de plu$ieurs Problêmes curieux. PREMIERE QUESTION.

Trois per$onnes ont gagné en$emble au jeu 875 livres, la $econde per$onne a gagné deux fois autant que la premiere, & 10 liv. de plus, la troi$ieme a gagné autant que la premiere & la $econde, & 15 liv. de plus. On demande combien chaque per$onne a gagné.

[0188]NOUVEAU COURS

Pour ré$oudre cette que$tion, j’appelle _x_ le gain de la pre- miere per$onne; par con$équent celui de la $econde $era 2_x_, parce qu’elle a gagné le double de la premiere; & comme elle a encore gagné 10 livres de plus, $on gain $era 2_x_ + 20. Or comme la troi$ieme per$onne a gagné autant que la premiere & la $econde, & même 15 liv. de plus, j’ajoute en$emble le gain des deux premieres per$onnes, c’e$t-à-dire _x_ & 2_x_ + 10, à quoi ajoutant 15, le gain de la troi$ieme per$onne $era 3_x_ + 25; & comme le gain des trois per$onnes e$t égal à 875, je forme cette équation _x_ + 2_x_ + 10 + 3_x_ + 25 = 875; d’où je dégage la quantité inconnue, en fai$ant pa$$er la $omme des nombres que je connois du premier membre dans le $econd (art. 288.) avec le $igne -, & rédui$ant le tout en un $eul terme; ce qui donne cette nouvelle équation 6_x_ = 875 - 25, ou 6_x_ = 840, que je divi$e par 6 (art. 294.) pour avoir _x_ = 140, qui me fait voir que la premiere per$onne a gagné 140 livres. Pour avoir le gain de la $econde per$onne, je dou- ble 140, & j’ajoute 10 au produit, qui donne 2_x_ + 10 = 290: enfin $i j’ajoute cette équation à la précédente, & 15 à la $om- me, j’aurai le gain de la troi$ieme per$onne, c’e$t - à - dire 3_x_ + 25 = 445; par con$équent la premiere per$onne a ga- gné 140 livres, la $econde 290 livres, & la troi$ieme 445; ce qui e$t bien évident, pui$que ces trois $ommes font en$emble 875 livres, & qu’elles rempli$$ent toutes les conditions du problême.

SECONDE QUESTION.

Quatre Sappeurs ont fait chacun une quantité de toi$es de $appe, & ils ont gagné en$emble 140 livres; le $econd Sappeur a gagné trois fois plus que le premier, moins 8 livres; le troi- $ieme a gagné la moitié de ce qu’ont gagné en$emble le pre- mier & le $econd, moins 12 livres; & le quatrieme a gagné autant que le premier & le troi$ieme: l’on demande combien ils ont gagné chacun.

Pour ré$oudre cette que$tion, j’appelle _x_ le gain du pre- mier Sappeur; ain$i 3_x_ - 8 $era le gain du $econd Sappeur; 2_x_ - 16 le gain du troi$ieme; & 3_x_ - 16 le gain du qua- trieme: & comme toutes ces quantités, pri$es en$emble, $ont égales à 240 livres, je forme cette équation _x_ + 3_x_ - 8 + 2_x_ - 16 + 3_x_ - 16 = 140, que je réduis à $a plus $imple expre$- [0189]DE MATHEMATIQUE. _Liv. II_. $ion, en ajoutant en$emble toutes les quantités $emblables, & il vient 9_x_ - 40 = 140, ou bien 9_x_ = 180, en fai$ant pa$$er 140 du premier membre dans le $econd. Or $i l’on divi$e les membres de cette équation par 9 (art. 294.) pour dégager l’inconnue, l’on trouvera _x_ = 20, qui montre que le gain du premier Sappeur e$t 20 livres: ain$i le gain du $econd, qui e$t 3_x_ - 8, $era 52 livres; celui du troi$ieme, qui e$t 2_x_ - 16, $era 24 livres; & celui du quatrieme, qui e$t 3_x_ - 16, $era 44 livres; ce qui e$t évident, pui$que ces quatre nombres, pris en$emble, font 140 livres, & rempli$$ent les autres con- ditions du problême.

TROISIEME QUESTION.

Cinq Canonniers ont tiré dans une après midi 96 coups de canon; le $econd a tiré le double du premier, & deux coups de plus; le troi$ieme a tiré autant que le premier & le $econd, moins $ix coups; le quatrieme autant que le $econd & le troi- $ieme, plus dix coups; le cinquieme a tiré autant que le pre- mier & le quatrieme, moins vingt coups: on demande com- bien de coups de canon ils ont tiré chacun.

Ayant nommé _x_ le nombre de coups que le premier a tiré, je trouverai pour le $econd 2_x_+2; pour le troi$ieme 3_x_ + 2 - 6, ou, ce qui e$t la même cho$e, 3_x_ - 4; pour le quatrieme 5_x_ + 2 - 4 + 10, ou bien 5_x_ + 8; enfin pour le cinquieme 6_x_ + 8 - 20, ou bien 6_x_ - 12. Or comme toutes ces quan- tités pri$es en$emble doivent être égales à 96, je forme cette équation _x_ + 2_x_ + 2 + 3_x_ - 4 + 5_x_ + 8 + 6_x_ - 12 = 96, que je réduis à $a plus $imple expre$$ion, en ajoutant dans une $omme les quantités connues, qui ont le $igne + ou -, & il vient 17_x_ - 6 = 96, ou bien 17_x_ = 102, en fai$ant pa$$er - 6 du premier membre dans le $econd: pour avoir pré$ente- ment la valeur de _x_, je divi$e cette équation par 17, & je trouve _x_ = 6; ce qui fait voir que le premier Canonnier a tiré $ix coups; ain$i le $econd, qui e$t 2_x_ + 2, en a tiré 14; le troi- $ieme, qui e$t 3_x_ - 4, en a au$$i tiré 14; le quatrieme, qui e$t 5_x_ + 8, en aura tiré 38; & le cinquieme, qui e$t 6_x_ - 12, en aura tiré 24; ce qui e$t évident, pui$que tous ces nombres, pris en$emble, font 96.

[0190]NOUVEAU COURS QUATRIEME QUESTION.

Un Officier de Mineurs a fait faire en trois mois mille toi$es courantes de galeries de mines; il a fait dans le $econd mois le double de l’ouvrage du premier, & 50 toi$es de plus, parce qu’il a reçu un renfort de Mineurs; le troi$ieme mois il a fait 200 toi$es d’ouvrage de moins que le $econd, parce qu’une partie de $on monde e$t tombée malade: on demande combien il a fait de toi$es de galeries dans le premier mois, dans le $econd, & dans le troi$ieme?

Pour ré$oudre cette que$tion, je nomme _x_ la quantité de toi$es de galeries de mines qui s’e$t faite le premier mois, 2_x_+50 pour ce qui s’e$t fait le $econd mois, & 2_x_+50-200, ou bien 2_x_ - 150 pour la quantité qui s’e$t faite le troi$ieme mois; & comme la $omme de ces quantités doit être égale à 1000 toi$es, je forme cette équation _x_ + 2_x_ + 50 + 2_x_ - 150 = 1000, qui étant réduite à $a plus $imple expre$$ion (art. 50.) donne 5_x_ - 100 = 1000, ou bien _x_ = 1100, & divi$ant chaque membre de cette équation par 5, l’on aura _x_ = 220; ce qui fait voir que dans le premier mois on a fait 220 toi$es courantes de galeries de mines: par con$équent on en a fait 400 le $econd mois, & 290 le troi$ieme; ce qui e$t évident, pui$que ces quantités font en$emble 1000 toi$es.

CINQUIEME QUESTION.

On a fait un détachement de Grenadiers pour attaquer un po$te, parmi le$quels il s’en trouve deux qui rai$onnant en- $emble $ur les grenades qu’ils ont dans leurs gibernes, le pre- mier dit au $econd: Si tu m’avois donné une de tes grenades, j’en aurois autant que toi, & le $econd lui répond: $i tu m’en avois donné une des tiennes, j’en aurois le double de celles que tu as: on demande combien ils avoient de grenades chacun?

Comme cette que$tion renferme deux inconnues, je nomme _y_ le nombre des grenades qu’a le premier Grenadier, & _z_ le nombre de celles qu’a le $econd; & je fais autant d’équations qu’il y a d’inconnues, $elon l’article 304. Pour former la pre- miere équation, je dis, $i _y_ avoit une grenade de plus, & _z_ une grenade de moins, ces deux quantités $eroient égales, ce qui [0191]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II._ donne _y_ + 1 = _z_ - 1. Pour avoir la $econde équation, je fais encore ce rai$onnement, $i _z_ avoit une grenade de plus, & _y_ une de moins, la premiere quantité $eroit dou- ble de la $econde; ce qui donne cette égalité _z_ + 1 = 2_y_ - 2. Pré$entement que j’ai autant d’équations que d’incon- nues, je dégage l’inconnue _z_ de la premiere équation, en fai$ant pa$$er - 1 du $econd membre dans le premier pour avoir _y_ + 2 = _z_: en$uite je $ub$titue dans la $econde équa- tion à la place de _z_ $a valeur (art. 298), & il vient _y_ + 3 = 2_y_ - 2, où _z_ ne $e trouve plus; & fai$ant pa$$er - 2 du $econd membre dans le premier, il vient _y_ + 5 = 2_y_, & effa- çant _y_ de part & d’autre, j’aurai cette équation 5 = _y_, qui me donne la valeur de _y_, $ub$tituant cette valeur de _y_ dans l’é- quation, où _z_ e$t dégagée, l’on aura 7 = _z_: par con$équent le premier Grenadier avoit cinq grenades, & le $econd $ept; ce qui e$t bien évident, pui$que ces deux nombres rempli$$ent les conditions du problême.

SIXIEME QUESTION.

Trois Bombardiers ont jetté une certaine quantité de bom- bes dans une Ville a$$iégée: le premier & le $econd en ont jetté en$emble 20 plus que le troi$ieme; le $econd & le troi- $ieme 32 plus que le premier; & le premier & le troi$ieme 28 plus que le $econd: on demande combien chaque Bombardier a jetté de bombes?

Comme les quantités connues dans cette que$tion $ont ex- primées par des nombres, nous $ub$tituerons à leurs places les premieres lettres de l’alphabet: ain$i au lieu des nombres 20, 32, 28, nous prendrons _a, b, c_, $uppo$ant que 20 = _a_, 32 = _b_, 28 = _c_, pour rendre la ré$olution de ce problême plus générale, & nous nommerons _x_ la quantité de bombes que le premier Bombardier a jetté, _y_ la quantité du $econd, & _z_ la quantité du troi$ieme. Cela po$é, je dis $i de _x_ + _y_, qui ex- prime la quantité de bombes qu’ont jetté le premier & le $e- cond Bombardier, je $ou$trais _a_, qui e$t le nombre de bom- bes que le premier & le $econd ont tiré plus que le troi$ieme, j’aurai _x_ + _y_ - _a_ = _z_ pour la premiere équation; _y_ + _z_ - _b_ = _x_ pour la $econde, & _x_ + _z_ - _c_ = _y_ pour la troi$ieme. Con$idérant que j’ai trois équations, qui renferment chacune [0192]NOUVEAU COURS trois inconnues, je cherche la valeur d’une de ces inconnues, pour la $ub$tituer dans les autres équations aux endroits où cette inconnue $e trouvera (art. 298). Et comme la premiere équation _x_ + _y_ - _a_ = _z_, me donne la valeur de _z_, qui e$t la quantité _x_ + _y_ - _a_ elle-même, je la mets dans la $econde & troi$ieme équation à la place de _z_; ce qui les changera en celles-ci, _y_ + _x_ + _y_ - _a_ - _b_ = _x_, & _x_ + _y_ - _a_ + _x_ - _c_ = _y_, dont les termes étant rendus po$itifs, & réduits à leur plus $imple expre$$ion, donnent 2_y_ = _a_ + _b_, & 2_x_ = _a_ + _c_, qui étant divi$és par 2, donnent enfin _y_ = {_a_+_b_/2}, & _x_ = {_a_+_c_/2}. Or comme il n’y a plus d’inconnues dans ces deux équations, il faut revenir à la premiere, qui e$t _x_ + _y_ - _a_ = _z_, afin de $ub$tituer à la place de _x_ & de _y_ leurs valeurs {_a_+_b_/2} & {_a_+_c_/2} pour avoir {1/2}_a_ + {1/2}_b_ + {1/2}_a_ + {1/2}_c_ - _a_ = _z_, ou bien {_b_+_c_/2}, parce queles deux termes + {1/2}_a_ + {1/2}_a_ qui valent _a_, détrui$ent - _a_: on a donc la valeur de _z_, qui e$t la derniere quantité qui re$toit à connoître.

Pré$entement que je $çais que _x_ = {_a_+_c_/2}, que _y_ = {_a_+_b_/2}, & que _z_ = {_b_ + _c_/2}, je prends à la place de {_a_ + _c_/2} la moitié des nombres repré$entés par _a_ & _b_, c’e$t-à-dire la moitié de 20 + 28, qui e$t 24, qui $era la valeur de _x_; à la place de {_a_+_b_/2}, je prends la moitié de 20 + 32 pour avoir 26, qui e$t la valeur de _y_; & enfin à la place de {_b_ + _c_/2}, je prends la moitié des nombres 28 & 32 pour avoir 30, qui $era la valeur de _z_; d’où je conclus que le premier Bombardier a jetté 24 bombes, le $econd 26, & le troi$ieme 30, pui$que ces trois nombres $a- tisfont pleinement aux conditions du problême.

SEPTIEME QUESTION.

L’on a$$iege une Place, dont la garni$on étoit compo$ée de Troupes Allemandes, Angloi$es, Hollandoi$es & E$pa- gnoles. La Place pri$e, on a trouvé qu’il y avoit eu en$emble autant d’Allemands, d’ Anglois & de Hollandois de tués que d’E$pagnols, moins 620 hommes; autant d’Allemands, d’An- glois & d’E$pagnols en$emble que de Hollandois, moins 460 hommes; autant d’Allemands, de Hollandois & d’E$pagnols [0193]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II._ en$emble que d’Anglois, moins 380; enfin autant d’Anglois, de Hollandois & d’E$pagnols, moins 500 hommes que d’Alle- mands: on demande combien il y a eu d’Allemands de tués, combien d’Anglois, de Hollandois & d’E$pagnols?

Ayant nommé _u_ le nombre d’Allemands, _x_ celui des An- glois, _y_ celui des Hollandois, & _z_ celui des E$pagnols, nous $uppo$erons que 620 = _a_, que 460 = _b_, que 380 = _c_, & que 500 = _d_, afin de rendre la $olution du problême plus géné- rale. Cela po$é, comme les conditions du problême me donnent quatre équations, j’ai pour la premiere _u_ + _x_ + _y_ = _z_ + _a_, pour la $econde _u_ + _x_ + _z_ = _y_ + _b_, pour la troi$ieme _u_ + _y_ + _z_ = _x_ + _c_; & enfin pour la quatrieme _x_ + _y_ + _z_ = _u_ + _d_. Après cela, je dégage une inconnue dans la premiere équa- tion qui $era, par exemple _z_, pour avoir _u_ + _x_ + _y_ - _a_ = _z_, qui me donne la valeur de _z_, que je $ub$titue dans les trois autres équations; ce qui les change en celles-ci, _u_ + _x_ + _u_ + _x_ + _y_ - _a_ = _y_ + _b_, _u_ + _y_ + _u_ + _x_ + _y_ - _a_ = _x_ + _c_, & _x_ + _y_ + _u_ + _x_ + _y_ - _a_ = _u_ + _d_, qui deviennent, en les rédui$ant à leur plus $imple expre$$ion, 2_u_ = _a_ + _b_ - 2_x_, 2_y_ = _a_ + _c_ - 2_u_, & 2_x_ = _a_ + _d_ - 2_y_, en dégageant 2_u_, 2_x_, & 2_y_. Après cela je $ub$titue la valeur de 2_u_ dans l’équa- tion 2_y_ = _a_ + _c_ - 2_u_, il vient 2_y_ = _a_ + _c_ - _a_ - _b_ + 2_x_, dans laquelle _u_ ne $e trouve plus; & $i à la place de 2_y_ je mets $a valeur pri$e dans l’égalité 2_x_ = _a_ + _d_ - 2_y_, il viendra cette derniere équation, 2_x_ = _a_ + _d_ - _a_ - _c_ + _a_ + _b_ - 2_x_, ou bien _x_ = {_a_ + _b_ + _d_ - _c_/4}, où il n’y a plus d’in- connue. Si à la place de 2_x_ dans l’équation 2_u_ = _a_ + _b_ - 2_x_, l’on met la moitié de la valeur de 4_x_, qui e$t {1/2}_a_ + {1/2}_b_ + {1/2}_d_ -{1/2}_c_, l’on aura 2_u_ = _a_ + _b_ - {1/2}_a_ - {1/2}_b_ - {1/2}_d_ + {1/2}_c_, ou 2_u_ = {_a_ + _b_ + _c_ - _d_/2}, ou bien _u_ = {_a_ + _b_ + _c_ - _d_/4}, qui donne la valeur de _u_; & $i l’on met dans l’équation 2_y_ = _a_ + _c_ - 2_u_ la moitié de la valeur de 4_u_, qui e$t {1/1}_a_ + {1/2}_b_ + {1/2}_c_ - {1/2}_d_, l’on aura 2_y_ = _a_ + _c_ - {1/2}_a_ - {1/2}_b_ - {1/2}_c_ + {1/2}_d_, ou _y_ = {_a_ + _c_ + _d_ - _b_/4}, qui donne la valeur de _y_; enfin $i l’on met dans l’équation _u_ + _x_ + _y_ - _a_ = _z_ les valeurs de _u_, de _x_ & de _y_, l’on aura, après les réductions néce$$aires, _z_ = {_b_ + _c_ + _d_ - _a_/4}

[0194]NOUVEAU COURS

Comme l’on vient de trouver _u_ = {_a_+_b_+_c_-_d_/4}, _x_= {_a_+_b_+_d_-_c_/4}, _y_ = {_a_ + _e_ + _d_ -_b_/4}, & _z_ = {_b_ + _c_ + _d_ - _a_/4}, il s’en$uit que le problême e$t ré$olu, pui$que $i l’on divi$e 1460 - 500 par 4, qui e$t égal à {_a_ + _c_ + _b_ - _d_/4}, l’on trouvera 240 pour la valeur de _u_, fai$ant de même pour les autres, l’on trouvera 300 pour la valeur de _x_, 260 pour celle de _y_, & 180 pour celle de _z_. Ain$i il y a eu 240 Allemands de tués, 300 Anglois, 260 Hollandois, & 180 E$pagnols; ce qui e$t bien évident, pui$- que ces nombres répondent aux conditions du problême.

HUITIEME QUESTION.

Un Sergent de Sapeurs s’e$t trouvé à 32 $ieges, & à plu- $ieurs batailles, où il a reçu plu$ieurs ble$$ures: le Roi lui pro- met de lui accorder la gratification qu’il lui demandera pour $es $ervices. Le Sergent demande au Roi de lui donner en ar- gent la $omme des gratifications qu’il auroit eu, en $uppo$ant qu’on lui eût donné une livre pour la premiere ble$$ure, 2 liv. pour la $econde, 4 livres pour la troi$ieme, & ain$i de $uite en doublant toujours. Le Roi lui accorde $a demande, & il re- çoit 65535 livres: on demande combien il a reçu de ble$$ures.

Pour ré$oudre cette que$tion, je la dépouille de tout ce qui lui e$t étranger, & je la réduis à ce qu’elle a de plus $imple; je vois que le nombre 65535 e$t la $omme des termes d’une progre$$ion géométrique, dont le premier terme e$t 1, le $e- cond 2, & dont la rai$on e$t au$$i 2, ou, ce qui e$t la même cho$e, que ce même nombre e$t la $omme de plu$ieurs pui$- $ances $ucce$$ives de 2, dont la derniere, augmentée de l’u- nité, marque le nombre des termes de la progre$$ion. Je fais attention en$uite, que $i j’avois le dernier terme de cette pro- gre$$ion, il me $eroit ai$é d’en connoître le nombre, pui$que ce dernier terme e$t égal au premier, multiplié par la pui$$ance de 2, exprimée par le nombre des termes qui précédent (art. 248). J’appelle _x_ ce dernier terme, & je fais encore attention que la $omme des antécédens e$t celle de tous les termes, excepté ce dernier, & que la $omme des con$équens e$t la même $omme de tous les termes, excepté le premier, qui e$t 1. Or (art. 250) la $omme des antécédens e$t à la $omme des con$équens, [0195]DE MATHEMATIQUE. _Liv. II._ comme un $eul antécédent e$t à $on con$équent. Ain$i en exprimant cela analitiquement, & appellant _s_ le nombre 65535, qui e$t la $omme des termes de la progre$$ion, j’aurai _s_ - _x_. _s_ - 1 : : 1.2, d’où l’on tire, en fai$ant le produit des extrêmes & des moyens, 2_s_ - 2_x_ = _s_ - 1, & dégageant _x_, il vient _x_ = {_s_ + 1/2} = {65536/2} = 32768, qui montre que le dernier terme de la progre$$ion e$t 32768, qui e$t certaine- ment une pui$$ance de 2. Pour $çavoir à quelle pui$$ance de 2 ce nombre e$t égal, j’éleve 2 à $es pui$$ances $ucce$$ives, & je trouve qu’il e$t égal à la 15<_>e pui$$ance de 2: donc ce terme e$t le 16<_>e, pui$que le nombre 15 qui marque la pui$$ance de 2 à laquelle ce terme e$t égal, marque au$$i le nombre des termes qui le précédent: ain$i ce Sergent avoit reçu 16 ble$$ures.

REMARQUE.

La même proportion, qui nous a $ervi à ré$oudre cette que$tion, peut au$$i $ervir à la $olution de toutes les que$tions que l’on propo$e $ur les progre$$ions géométriques, & parti- culiérement dans la $ommation des mêmes $uites: pour en faire $entir encore mieux l’utilité, nous allons l’appliquer à la $olution du problême $uivant.

PROBLEME.

305. Trouver la $omme des termes d’une progre$$ion géomé- trique décroi$$ante à l’infini, dont le premier terme e$t a, & le $econd b.

SOLUTION.

Pui$que le nombre des termes e$t infini, & que d’ailleurs la progre$$ion e$t $uppo$ée décroi$$ante, le dernier terme pourra enfin être regardé comme zero: ain$i la $omme des antécé- dens $era la $omme de tous les termes, moins zero; la $omme des con$équens $era la $omme de tous les termes, moins le premier: donc appellant _s_ cette $omme, on aura (art. 250.) la $omme des antécédens e$t à la $omme des con$équens, comme le premier terme au $econd, ou analitiquement _s_ - 0. _s_ - _a_ : : _a_. _b_, d’où l’on tire _as_ - _a_<_>2 = _bs_, ou _as_ - _bs_ = _a_<_>2, & dégageant _s_, il vient _s_ = {_a_<_>2/_a_-_b_}; ce qui $ignifie qu’en général la $omme des termes d’une progre$$ion géométrique [0196]NOUVEAU COURS décroi$$ante à l’infini, e$t égale au quarré du premier terme, divi$é par la différence du premier au $econd. Par exemple, $i l’on veut $ommer tous les termes de cette progre$$ion {../..} 2. 1. {1/2}. {1/4}. {1/8}. {1/16}. {1/32}, &c; j’éleve 2 à $on quarré, qui e$t 4, que je divi$e par 2 --- 1, qui e$t 1: ain$i la $omme des termes de cette progre$$ion e$t 4. D’où il $uit, que toutes les fractions {1/2}, {1/4}, {1/8}, {1/16} ne valent qu’un, en les pou$$ant ju$qu’à l’infini. De même $i l’on a {../..} 3. 1. {1/3}. {1/9}. {1/27}, &c, je cherche le quarré de 3, qui e$t 9, que je divi$e par 3 --- 1 ou 2, & j’ai la $omme des termes de la progre$$ion _s_ = {9/2} = 4 {1/2}: d’où il $uit que tous les termes {1/3}, {1/9}, {1/27}, {1/81}, &c. ne valent que {1/2}, pui$que les deux premiers termes font 4. Il en e$t ain$i des autres progre$$ions, $ur le$- quelles il e$t ai$é de faire l’application de la formule générale.

_De la ré$olution des Equations du $econd degré_. DÉFINITIONS.

306. Les équations que nous venons de ré$oudre, $ont ap- pellées _équations du premier degré_, ain$i que les problêmes, dont elles expriment les conditions, parce que les inconnues n’y $ont point multipliées par elles-mêmes, ni les unes par les autres: mais $i cela arrivoit, l’équation qui $eroit dans ce cas, $eroit plus compliquée que les précédentes, & $eroit appellée du $econd, troi$ieme, quatrieme degré, $elon que l’inconnue y $eroit élevée à la $econde, à la troi$ieme ou quatrieme pui$- $ance. Par exemple, _xx_ - 2_ax_ = 30, e$t une équation du $econd degré, _x_<_>3 - 5_x_<_>2 + 7_x_ + 12 = 15, e$t une équation du troi$ieme degré. Nous ne parlerons ici que des équations du $econd degré, & après les avoir ré$olues $ur quel ques exem- ples dans des cas particuliers, nous les ré$olverons en général dans les formules qui comprennent tous les cas po$$ibles de ces $ortes d’équations.

REMARQUE.

307. Les regles que l’on doit $uivre pour mettre un pro- blême du $econd degré en équation, $ont préci$ément les mêmes que celles que nous avons donné pour les autres pro- blêmes: le tout con$i$te à bien exprimer analitiquement les conditions énoncées ou renfermées dans la que$tion; ce qui dépend plutôt de la $agacité de celui qui ré$out le problême, que d’aucune regle générale que l’on pui$$e établir.

[0197]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_.

308. On remarquera encore avant toutes cho$es, que le quarré d’une grandeur quelconque peut avoir le $igne + ou - à $a racine, c’e$t-à-dire que ce quarré _aa_, peut ré$ulter de + _a_ multiplié par + _a_, ou de - _a_ x - _a_, pui$que l’un & l’autre donne également _a_<_>2 au produit: d’où il $uit qu’en général une équation du $econd degré doit avoir deux racines, l’une que l’on appelle _négative_, parce qu’elle e$t précédée du $igne -, & l’autre qu’on appelle _po$itive_, parce qu’elle e$t précédée du $igne +. L’état de la que$tion détermine ordinairement celle que l’on doit prendre; mais on ne doit point, $urtout dans les commencemens, rejetter les valeurs négatives, $ans avoir auparavant examiné ce qu’elles peuvent $ignifier, parce qu’elles ne ré$olvent pas moins le problême, que celles que l’on appelle _po$itives_, quoiqu’elles ne le ré$olvent pas dans le $ens qu’on s’étoit propo$é d’abord; & parce que d’ailleurs ces $olutions nous découvrent toujours des vérités auxquelles on n’auroit peut-être jamais pen$é, $i l’on n’y eût été conduit par l’analy$e. On verra dans la $uite des exemples $en$ibles de ce que nous di$ons, dans les problêmes que nous allons ré$oudre.

PREMIERE QUESTION.

309. Un Soldat va rejoindre $on Régiment, dont il e$t éloigné de 64 lieues, il fait une lieue le premier jour, trois le $econd, cinq le troi$ieme, & ain$i de $uite en augmentant toujours de deux lieues: on demande combien il $era de jours à rejoindre $on Régiment?

Pour ré$oudre cette que$tion, je la dépouille encore de tout ce qui lui e$t étranger (car c’e$t ain$i que l’on accoutume $on e$prit aux idées générales; & d’ailleurs cette regle e$t de la derniere importance pour trouver les équations des problêmes avec facilité). Je remarque que la que$tion $e réduit à trouver le nombre des termes d’une progre$$ion arithmétique, dont le premier e$t 1, le $econd 3, & la $omme e$t 64. Et pour géné- rali$er encore davantage le problême, je $uppo$e que le pre- mier terme de la progre$$ion e$t _a_, le $econd _b_, & la $omme _s_. J’appelle _x_ le nombre des termes, & _d_ l’excès de _b_ $ur _a_. Je $çais que la $omme des termes d’une progre$$ion arithmétique e$t égale au produit de la $omme des extrêmes, multipliée par la moitié du nombre des termes (art. 238). Je connois le pre- [0198]NOUVEAU COURS mier extrême, qui e$t _a_, mais je ne connois pas le dernier; cependant je $çais qu’en général ce dernier terme e$t égal au premier terme, plus au produit de la différence du $econd au premier, multipliée par le nombre des termes qui le précédent (art. 240); & comme _x_ e$t le nombre des termes, _x_- 1 $era celui termes qui précédent le dernier: donc ce dernier $era _a_ + _d_ X _x_-1, ou _a_ + _dx_ - _d_, auquel ajoutant le premier, il vient pour la $omme des extrêmes _a_ + _a_ + _dx_- _d_, ou 2_a_ + _dx_-_d_, que je multiplie par la moitié du nombre des termes {_x_/2} pour former l’équation {2_ax_ + _dxx_ - _dx_/2} = _s_; fai$ant évanouir le di- vi$eur 2, il vient 2_ax_ + _dxx_ - _dx_ = 2_s_, qui e$t l’équation qu’il faut ré$oudre pour avoir la $olution du problême.

Pour ré$oudre cette équation, je commence par dégager de tout coefficient le terme qui contient la plus haute pui$$ance de l’inconnue, qui e$t _xx_, en divi$ant chaque terme de l’équa- tion par _d_; ce qui me donne _xx_ + {2_ax_/_d_} - {_dx_/_d_} = {2_s_/_d_}, ou _xx_ + {2_ax_/_d_} - _x_ = {2_s_/_d_}, ou _xx_+_x_ X {2_a_/_d_} - 1 = {2_s_/_d_}. Pour faciliter encore le calcul, je $uppo$e que le coefficient du $econd terme, qui e$t {2_a_/_d_} - 1, e$t égal à une $eule lettre _c_, & au lieu de _xx_ + _x_ x {2_a_/_d_}-1, j’ai _xx_ + _cx_ = {2_s_/_d_}, & c’e$t là la forme la plus $imple que pui$$e avoir une équation du $econd degré à deux termes. Pré$entement pour rappeller cette équation à celles du premier degré, il n’y a qu’à faire en$orte que le premier membre $oit un quarré parfait, dont on pui$$e extraire la racine; & voici comment cela $e pratique. On ajoute à chaque membre de l’é- quation le quarré de la moitié du coefficient de _x_ au $econd terme: ain$i je prends la moitié du coefficient de _x_, qui e$t {_c_/2}, dont le quarré e$t {_c c_/4} que j’ajoute à chaque membre; ce qui me donne la nouvelle équation _xx_ + _cx_ + {_c c_/4} = {_c c_/4} + {2_s_/_d_}, dans laquelle le premier membre e$t un quarré parfait, $çavoir celui de _x_ + {1/2}_c_, pui$qu’il contient le quarré _xx_ du premier terme, le double produit _cx_, du premier par le $econd, & le quarré du $econd. Ain$i extrayant les racines de part & d’au- tres, il vient _x_ + {1/2} _c_ = ±{1/4} _cc_ + {2_s_/_d_}, & tran$po$ant {1/2} _c_, [0199]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II._ _x_ = - {1/2} _c_ ± {_c c_/4} + {2_s_/_d_}. Pour appliquer cette expre$$ion ou formule générale à notre problême, je fais _a_ = 1, pui$que 1 e$t le premier terme de la progre$$ion arithmétique; _b_ = 3, pui$que le $econd jour il fait trois lieues; _b_ - _a_, ou _d_ = 3 - 1 = 2, qui e$t la différence du $econd au premier terme, & _s_ = 64, qui e$t la $omme de tous les termes. Je cherche par le moyen de ces valeurs celle de _c_, que j’ai fait égal à {2_a_/_d_} - 1, que je trouve être {2 x 1/2} - 1, ou {2/2} - 1, ou 1 - 1 = 0; ain$i _c_ e$t zero, ou rien dans notre que$tion: par con$équent en l’effa- çant partout où il $e trouve dans l’expre$$ion ou formule gé- nérale _x_ = - {1/2} _c_ ± {_c c_/4} + {2_s_/_d_}, elle $e réduit à ceci, _x_ = ± {2_s_/_d_} = ± {2 x 64/2} = ± 64 = ± 8; c’e$t - à - dire que le Soldat, dont il e$t que$tion, a été huit jours en chemin: ce qui m’apprend en même-tems que le nombre 64, qui e$t la $omme des termes de la progre$$ion, e$t au$$i le quarré du nom- bre des termes de la même progre$$ion: en$orte que les huit premiers termes de la progre$$ion des nombres impairs · 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15 font en$emble 64, & c’e$t une propriété commune à tant de termes que l’on voudra de cette progre$- $ion, pourvu que l’on prenne toujours depuis l’unité. Cette propriété mérite beaucoup d’attention, comme on le verra par la $uite dans le Traité du jet des bombes.

SECONDE QUESTION.

310. La $omme de deux nombres e$t 6, la $omme de leurs quarrés e$t 20: on demande chacun de ces deux nombres?

SOLUTION.

Soit _x_ l’un de ces nombres, l’autre $era 6 - _x_, pui$que leur $omme e$t 6. Les quarrés de ces nombres $ont _xx_ & 36 - 12_x_ + _xx_, dont la $omme doit être égale à 20, par la $econde condition du problême, ce qui donne 2_xx_ - 12_x_ + 36 = 20. Je fais pa$$er d’abord 36 de l’autre côté, ce qui me donne 2_xx_ - 12_x_ = 20 - 36, ou en divi$ant chaque membre de l’équa- tion par 2; _xx_ - 6_x_ = 10 - 18 = - 8. Selon la regle générale, pour rendre le premier membre de cette équa- [0200]NOUVEAU COURS tion un quarré parfait, j’ajoute de part & d’autre le quarré 9 de la moitié 3 de 6, coefficient de _x_ au $econd terme: pour avoir _xx_ - 6_x_ + 9 = 9 - 8 = 1, j’extrais les racines de part & d’autre, & je trouve _x_ - 3 = ± 1 = ± 1, & lai$$ant _x_ tout $eul dans un membre, il vient _x_ = 3 ± 1 = 4 ou 2. Si je prends 4 pour _x_, le $econd membre $era 2; $i au contraire je prends 2, le $econd nombre $era 4, pui$que ces deux nom- bres donnent également 6 pour $omme, & 20 pour la $omme de leurs quarrés, où l’on remarquera encore que la racine né- gative ré$out le problême dans le $ens qu’on s’étoit propo$é au$$i-bien que la po$itive.

TROISIEME QUESTION.

311. On propo$e de trouver un nombre qui $oit tel qu’en lui ajoutant la racine quarrée de $on produit par 10, la $omme $oit 20.

Soit _x_ le nombre cherché, & $uppo$ons 10 = _a_, & 20 = 2_a_, on aura par les conditions du problême _x_ + _ax_ = 2_a_. Je lai$$e le radical $eul dans un membre, & j’ai _ax_ = 2_a_ - _x_; pour faire di$paroître le radical, j’éleve chaque membre au quarré, ce qui me donne _ax_ = 4_a_<_>2 - 4_ax_ + _xx_, & rédui- $ant _xx_ - 5_ax_ = - 4_a_<_>2. Pour completter le quarré, j’ajoute de part & d’autre le quarré de la moitié du coefficient, qui e$t {25/4}_a_<_>2, & j’ai _xx_ - 5_ax_ + {25/4}_a_<_>2 = {25/4}_a_<_>2 - {16/4}_a_<_>2 = {9/4}_a_<_>2, tirant la racine de part & d’autre, il vient _x_ - {5/2}_a_ = ± {9/4}_a_<_>2= ± {3/2}_a_, & lai$$ant _x_ tout $eul, il vient _x_ = {5/2}_a_ ± {3/2}_a_, ou _x_ = 4_a_, & _x_ = _a_, c’e$t-à-dire que l’un des nombres e$t 10 & l’autre 40.

Il e$t évident que le nombre 10 e$t tel que la racine quarréc de $on produit par 10, qui e$t 100, & dont la racine e$t 10, fait effectivement 20: mais on ne voit pas de même comment la racine quarrée de 40 multiplié par 10, $atisfait au$$i aux con- ditions du problême. Pour cela, je remarque que 400 peut avoir à $a racine - 20 ou + 20, pui$que - 20 X - 20 = 400, & que + 20 X + 20 = 400: donc en ajoutant cette racine de 400, qui e$t - 20 au nombre 40, j’ai 40 - 20 = 20.

QUATRIEME QUESTION.

312. On demande les trois termes d’une progre$$ion géomé- [0201]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II._ trique, dont le premier terme e$t 4, & dont la différence du $econd au troi$ieme $oit 3.

SOLUTION.

Soit _x_ le $econd terme, le troi$ieme $era _x_ + 3 par une des conditions du problême, & par l’autre on aura 4. _x_ : : _x_. _x_+3, d’où l’on tire _xx_ = 4_x_ + 12, ou _xx_ - 4_x_ = 12; j’ajoute à chaque membre le quarré de la moitié du coefficient, qui e$t 4, & j’ai _xx_ - 4_x_ + 4 = 16, d’où l’on déduit en prenant les racines de chaque membre, _x_ - 2 = ± 4, c’e$t-à-dire que l’une des valeurs de _x_ e$t 6, & l’autre e$t 2 - 4 ou - 2, & ces valeurs $ont telles, qu’il n’y en a réellement qu’une qui ré- $olve le problême dans le $ens qu’on s’étoit propo$é, en don- nant cette progre$$ion 4. 6 : : 6. 9; mais on peut dire au$$i que l’autre ne ré$out pas moins le problême que la premiere, en donnant cette autre progre$$ion géométrique, 4. - 2 :: - 2. 1; car il e$t évident que ces trois grandeurs $ont en progre$$ion géométrique, pui$que le produit des extrêmes e$t égal au quarré du moyen, & que $elon la $econde condition, la diffé- rence du $econd terme au 3<_>e e$t 3: car il e$t évident que la diffé- rence de - 2 à 1 e$t 3, comme on peut voir en ôtant - 2 de 1.

CINQUIEME QUESTION.

313. Deux Commerçans ont placé dans le commerce unc $omme de 1300 liv. $ur laquelle ils gagnent 900; le premier, tant pour $a mi$e que pour l’intérêt de $on argent, qui a été trois mois dans le commerce, a retiré 870<_>1.; & le $econd pa- reillement, tant pour $a mi$e que pour l’intérêt de $on argent, qui a été $ix mois dans le commerce, reçoit 1330 livres: on demande la mi$e de chacun en particulier.

SOLUTION.

Soit _x_ la mi$e du premier, celle du $econd $era 1300 - _x_, pui$qu’ils ont mis à eux deux 1300 dans le commerce. Le gain du premier $era 870 - _x_, & celui du $econd $era 1330 - 1300 + _x_, ou en rédui$ant 30 + _x_: car il e$t clair que pour avoir le gain que fait l’un & l’autre, il faut ôter $a mi$e du nombre qui contient par hypothe$e la mi$e & le gain de cha- cun. Or par les conditions du problême, la mi$e & le gain du premier $ont renfermés dans $a part 870, & de même la mi$e & le gain du $econd $ont contenus dans $a part, qui e$t 1330.

[0202]NOUVEAU COURS

On $çait de plus que les gains $ont dans la rai$on compo$ée des mi$es & des tems, c’e$t - à - dire comme les produits des mi$es par les tems: car il e$t évident que $i un homme a placé dans le commerce trois fois plus qu’un autre dans le même tems, il doit gagner trois fois davantage, & s’il a mis $on ar- gent pendant un tems quadruple, il doit encore par-là gagner quatre fois plus que l’autre, c’e$t-à-dire que $on gain $era 4 fois 3 fois plus grand que celui du $econd, ou qu’il $era à celui du $econd, comme 12 à 1, qui $ont les produits des mi$es par les tems; multipliant donc la mi$e du premier, qui e$t _x_, par $on tems 3, & celle du $econd par $on tems 6; puis fai$ant une proportion avec les produits & les gains particuliers, on aura 3_x_. 1300 - _x_ x 6 : : 870 - _x_. 30 + _x_, & divi$ant chaque terme de la premiere rai$on par 3, _x_. 1300 - _x_ x 2 :: 870 - _x_. 30 + _x_: prenant en$uite le produit des extrêmes & des moyens, on aura cette égalité 30_x_ + _xx_ = 2262000 - 4340_x_ + 2_xx_, qui renferme toutes les conditions du problême. Otant _xx_ de chaque membre, & fai$ant pa$$er 30_x_ de l’autre côté, & 2262000 dans le premier membre, il vient - 2262000 = _xx_ - 4370_x_, ou _xx_ - 4370_x_ = - 2262000. Ajoutant à chaque membre le quarré de 2185, moitié du coefficient, pour compléter le quarré, on aura _xx_ - 4370_x_ + 4774225 = 4774225 - 2262000 = 2512225; & tirant en$uite la ra- cine de chaque membre, il vient _x_ - 2185 = ± 2512225 = ± 1585, ou enfin _x_ = 2185 ± 1585, qui donne pour une des valeurs de _x_, 3770, & pour l’autre 600 livres, que l’on regarde comme celle qui ré$out le problême dans le $ens que I’on s’étoit propo$é, comme il e$t ai$é de le voir, en détermi- nant la part de gain total pour 600, par une Regle de Trois, dont le premier terme $era la $omme des mi$es, multipliées par leurs tems, le $econd terme le gain total, le troi$ieme la mi$e 600 livres du premier, multipliée par $on tems, & le qua- trieme le gain du même premier.

Remarque générale & importante $ur la $olution de ce Problême.

314. On remarquera 1<_>0. que la valeur de l’inconnue qui $atisfait aux conditions du problême, e$t celle qui e$t déter- minée par la racine négative du quarré, qui étoit $ous le $igne [0203]DE MATHEMATIQUE. _Liv. II._ radical; d’où il $uit que l’on ne doit pas établir pour regle gé- nérale que les quantités déterminées par les racines négatives $ont étrangeres à la que$tion, pui$que dans ce cas la négative donne la $olution du problême dans le $ens qu’on s’étoit pro- po$é. Pour voir pré$entement ce que $igni$ie l’autre racine 3770, je fais attention que pui$que la $omme des mi$es e$t égale à 1300, en ôtant l’une de ce nombre, je dois avoir l’au- tre. J’ôte donc 3770 de 1300, & quoique cela ne $oit pas po$- $ible dans un $ens, cependant de l’autre il e$t vrai de dire qu’en ôtant 3770 de 1300, le re$te e$t - 2470, pui$qu’en ajoutant ce re$te à la quantité retranchée, il vient 1300, ce qui m’ap- prend d’abord que l’un des Commerçans, au lieu d’avoir mis dans le commerce, en a réellement ôté 2470 livres; je multi- plie en$uite les mi$es quelles qu’elles $oient par leurs temps, multipliant 3770 par 3, il vient 11310, & multipliant de même la mi$e du $econd - 2470 par $on tems 6, il vient au produit - 14820; la $omme de ces deux produits, qui e$t cen$ée la cau$e du gain total e$t - 3510. Je fais après cela une Regle de Trois, dont le premier terme $oit - 3510, le $econd, la mi$e du premier multipliée par $on tems 3, le troi$ieme, le gain total, que l’on $uppo$e de 900, & appellant _x_ le quatrieme terme, qui $era le gain du premier, j’ai cette proportion - 3510. 11310 :: 900. _x_ = {11310 x 900/- 3510} = - 2900, dont le quatrieme terme fait voir que le premier, au lieu d’avoir ga- gné a réellement perdu 2900, & cette perte e$t telle que la $omme de la perte - 2900, & de la mi$e 3770 fait préci$é- ment 870. Pui$que le premier perd, il faut néce$$airement que le $econd qui a ôté $on argent du commerce gagne, pui$- qu’il manque de perdre, & cela d’autant plus qu’il a ôté plus d’argent, & qu’il y a plus de tems qu’il a ôté $on argent, c’e$t- à-dire que le gain qu’il fait e$t dans la rai$on compo$ée de l’ar- gent qu’il a ôté du commerce, multiplié par le tems, ou comme le produit de cet argent par le tems qui s’e$t pa$$é depuis qu’ll l’a retiré. Je fais encore une proportion pour déterminer $on gain, dont le premier terme $oit la $omme des produits des mi$es par leurs tems, le $econd le produit de la mi$e de ce Commerçant par $on tems; le troi$ieme le gain total, & le quatrieme le gain de ce Commercant, ce qui me donne - 3510. - 14820 :: 900. _x_ = {- 14820 x 900/- 3510}, ou = {- 13338000/- 3510} = [0204]NOUVEAU COURS + 3800 livres, pui$que - divi$é par - doit donner +; & ce gain e$t encore tel qu’en l’ajoutant avec la mi$e négative - 2470, il vient pour la $omme 1330, qui e$t le nombre ex- primé par les conditions du problême.

On voit par-là que quoique les valeurs algébriques paroi$- $ent quelquefois ne rien $ignifier, parce qu’elles $ont extrê- mement éloignées de ce que nous aurions imaginé, elles n’en $ont pas pour cela moins vraies ni moins bien rai$onnées; & quoique l’on ne doive pas s’appliquer dans tous les cas à les re- connoître, parce que cela deviendroit inutile, il e$t au$$i ridi- cule de ne les pas rechercher dans quelques-uns, pour s’accoutu- mer aux expre$$ions algébriques, & pour être en état d’inter- prêter au be$oin les oracles que nous donne l’analy$e.

315. Ces exemples $uffi$ent pour connoître l’u$age que l’on doit faire des racines négatives. Nous allons pré$entement ré- $oudre en peu de mots les équations du $econd degré dans leurs formules générales, parce que la méthode e$t toujours la même. Si l’on a une équation du $econd degré, comme celle-ci, _xx_ - 4_x_ = 12, on fait pa$$er ordinairement le terme 12 de l’au- tre côté du $igne d’égalité, & alors on dit que l’équation e$t égale à zero, & elle $e marque ain$i : _x x_ - 4_x_ + 12 = 0. Cela po$é, toute équation du $econd degré peut $e rappeller à l’une des $ix formules $uivantes.

_xx_ # + # _px_ # + # _q_ # = # 0 _xx_ # - # _px_ # - # _q_ # = # 0 _xx_ # - # _px_ # + # _q_ # = # 0 _xx_ # + # _px_ # - # _q_ # = # 0 # # _xx_ # - # _q_ # = # 0 # # _xx_ # + # _q_ # = # 0

316. Ces équations $e ré$olvent comme les précédentes. Le terme _q_ repré$ente toutes les quantités connues: la lettre _p_ dé- $igne tous les coefficients qui multiplient l’inconnue au $econd terme. On tran$porte après cela le terme _q_ dans l’autre membre, & l’on ajoute à chacun, le quarré de la moitié du coefficient _p_, & l’on prend la racine du premier membre, qui devient un quarré parfait, & l’on met les quantités qui $ont dans l’autre membre $ous le $igne radical, pour marquer que l’on en prend la racine; ce qui donne les $ix formules $uivantes corre$pondantes aux équations précédentes.

[0205]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II._

Premiere _x_ = - {1/2}_p_ ± {1/4}_pp_ - _q_}

Seconde _x_ = {1/2}_p_ ± {1/4}_pp_ + _q_}

Troi$ieme _x_ = {1/2}_p_ ± {1/4}_pp_ - _q_

Quatrieme _x_ = - {1/2}_p_ ± {1/4}_pp_ + _q_

Cinquieme _x_ = ± _q_

Sixieme _x_ = ± -_q_.

Voici ce que l’on peut remarquer $ur ces formules. Dans la premiere & la troi$ieme, le problême $era toujours po$$ible, tant que {1/4}_pp_ $era plus grand que _q_, ou au moins égal; mais s’il étoit moindre, le problême $eroit impo$$ible, pui$que dans ce cas {1/4}_pp_ - _q_ $eroit une quantité imaginaire. On appelle imaginaire une quantité négative, $oumi$e à un radical, parce qu’il n’y a point de quantité qui donne - au quarré. Tous les problêmes qui $e rapportent à la $econde & à la troi$ieme formule, $eront toujours po$$ibles, pui$que jamais la quantité {1/4}_pp_ + _q_ ne pourra être imaginaire.

Enfin la cinquieme formule aura toujours deux valeurs égales, l’une po$itive, qui e$t + _q_, & l’autre négative, qui e$t - _q_; & la $ixieme renfermera toujours quelque ab$ur- dité, pui$que ± -_q_ $era toujours une quantité imagi- naire.

317. Il y a certaines équations du quatrieme degré qui $e ré$olvent de même que celles du $econd, comme on va voit dans l’exemple $uivant.

SIXIEME QUESTION.

On demande deux nombres, dont le produit $oit 12, & la différence des quarrés 7.

SOLUTION.

Soient _x_ & _y_ ces deux nombres, la premiere condition du problême donne _xy_ = 12, d’où l’on tire _y_ = {12/_x_}, & la $e- conde donne _xx_ - _yy_ = 7; & $ub$tituant à la place de _yy_ $a valeur {144/_xx_}, on aura _xx_ - {144/_xx_} = 7, multipliant par _xx_ pour faire évanouir la fraction {144/_xx_}, il vient _x_<_>4 - 144 = 7_xx_, ou [0206]NOUVEAU COURS _x_<_>4 - 7_xx_ = 144. J’ajoute à chaque membre le quarré de la moitié du coefficient de _x_, qui e$t celui de 3 {1/2}, il vient _x_<_>4 - 7_xx_ + 12 {1/4} = 12 + {1/4} + 144, dont le premier membre e$t un quarré parfait, & tirant les racines de part & d’autre, après avoir réduit le $econd membre, on aura _xx_ - 3 {1/2} = ± 156 {1/4}; la racine de 156 {1/4} e$t 12 {1/2}: ain$i _xx_ - 3 {1/2} = ± 12 {1/2}. Dégageant _xx_, on a _xx_ = ± 12 {1/2} + 3 {1/2} = 16 ou - 9, & tirant encore les racines pour avoir _x_ au premier degré, on aura _x_ = ±16, & _x_ = ± - 9, dont les deux premieres $ont ±4, & les deux autres $ont imaginaires, c’e$t-à-dire que l’une des valeurs de _x_ e$t 4. Je divi$e 12 par 4 pour avoir _y_ = {12/_x_}, & le quotient e$t 3: donc les nombres demandés $ont 3 & 4, pui$que leur produit e$t 12, & que la différence de leurs quarrés 16 & 9 e$t 7. On auroit pu ré$oudre ce problême, en $e $ervant de la $econde formule, & fai$ant - 7 = - _p_, & - 144 = - _q_; ce qui auroit donné la même $olution.

Du calcul des radicaux, des opérations qui leur $ont particu- # lieres, & de la maniere de les réduire, de les ajouter, $ou$traire, # multiplier ou divi$er.

318. On appelle _radicale_ une quantité, dont on ne peut pas extraire la racine exactement. Pour peu que l’on veuille ré- $oudre quelques problêmes du $econd degré, on trouve né- ce$$airement de ces $ortes d’expre$$ions, que l’on appelle _radicales_ ou _incommen$urables_; mais quoiqu’elles ne pui$$ent pas avoir de racines exactes, il y a cependant bien des cas où on peut $implifier leurs expre$$ions, d’autres dans le$quels on e$t obligé d’opérer $ur ces grandeurs par Addition, Multiplication ou Divi$ion, ce qui arrive principalement dans les équations du quatrieme degré réductibles au $econd; c’e$t pourquoi il e$t à propos d’en$eigner de quelle maniere on doit pratiquer toutes ces opérations, & c’e$t en cela que con$i$te le calcul des radi- caux ou incommen$urables que nous allons expliquer en peu de mots. Il y a autant de radicaux qu’il y a de pui$$ances diffé- rentes; mais pour ne point entrer dans un trop grand détail, nous ne parlerons que des radicaux du $econd degré, auxquels on ajoutera quelques exemples de radicaux du troi$ieme. Les [0207]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. regles étant générales, on pourra de $oi-même les appliquer à des radicaux plus compliqués.

Réduire les quantités irrationnelles ou incommen$urables à leur plus $imple expre$$ion.

319. On examinera $i la quantité $oumi$e au radical n’a pas parmi $es facteurs quelque pui$$ance de même nom que le ra- dical, $oit que cette pui$$ance $oit une quantité complexe, $oit qu’elle ne $oit qu’un monome: pour reconnoître $es facteurs, il faut $çavoir décompo$er une quantité, c’e$t-à-dire trouver les autres quantités, de la multiplication de$quelles ré$ulte la grandeur donnée. Cela po$é, lor$qu’on aura trouvé un ou plu$ieurs facteurs de même pui$$ance que la racine, on en ex- traira la racine, & l’on mettra le re$te $ous le radical.

Par exemple, _a_<_>3_b_ = _a__ab_: car il e$t évident que _a<_>3b_ = _a_<_>2 x _ab_: donc en prenant la racine du quarré complet _a_<_>2, & lai$- $ant le re$te $ous le radical, on aura _a__ab_; tout de même 16_a_<_>2_b_ - 32_a_<_>3 = 16_a_<_>2 x _b_ - 2_a_. Or il e$t vi$ible que 16_a_<_>2 e$t un quarré parfait, celui de 4_a_: donc on extraira cette racine, & l’on aura pour la plus $imple expre$$ion de ce radical 4_a__b_ - 2_a_. Si l’on avoit <_>3_a_<_>3_c_<_>2 - _a_<_>@_bd_, on voit que _a_<_>3, qui e$t commun aux deux termes, e$t un cube parfait, dont on peut prendre la racine cubique; ain$i l’on écrira _a_ <_>3_c_<_>2 - _bd_. De même $i l’on avoit 50_ffgg_ - 25_ffmm_ + 75_bdff_, il e$t ai$é d’appercevoir qu’il y a dans cette quantité un quarré parfait, commun à tous les termes, que l’on peut mettre hors du radical, c’e$t 25_ff_; car on auroit pu écrire cette quantité comme il $uit, 25_ff_ x 2_gg_ - _mm_ + 3_bd_, & prenant la ra- cine, on auroit eu 5_f_2_gg_ - _mm_ + 3_bd_. Il en $eroit de même des autres quantités. Par exemple, 3_a_<_>2_b_<_>2_fg_ + 6_a_<_>2_bcfg_ + 3_a_<_>2_c_<_>2_fg_ auroit pu s’écrire ain$i: _a_<_>2 x _b_<_>2 + 2_bc_ + _c_<_>2 x 3_fg_, & pre- nant la racine des deux facteurs, qui $ont des quarrés parfaits, on aura _a_ x _b_ + _c_ x 3_fg_. Si l’on avoit à réduire cette autre ex- pre$$ion 27_a_<_>2_b_<_>2 - 36_a_<_>2_fg_ + 9_a_<_>3_c_, je remarque que cette quantité e$t le produit de 9_a_<_>2 par 3_b_<_>2 - 4_fg_ + _ac_: ain$i j’écrirai [0208]NOUVEAU COURS en prenant la racine 3_a_3_b_<_>2 - 4_fg_ + _ac_; $i l’on avoit 64_m_<_>2_g_<_>2 - 36_ffgg_ + 48_abgg_, on auroit en $implifiant ce radical, 2_g_16_mm_ - 9_ff_ + 12_ab_, & ain$i de tous les autres.

320. Il e$t quelquefois à propos de compliquer un radical, pour faciliter certaines opérations, & de faire préci$ément l’in- ver$e de ce que nous venons d’en$eigner, c’e$t-à-dire de faire pa$$er $ous le radical une quantité qui e$t hors du même $igne: voici comme cela $e pratique. On éleve la quantité qui e$t hors du $igne, à la pui$$ance marquée par l’expo$ant du radical, & on multiplie cette pui$$ance par les quantités $oumi$es au mê- me $igne. Il e$t ai$é de voir que cette nouvelle expre$$ion n’e$t différente de la premiere qu’en apparence, & non en valeur; car la quantité élevée à la pui$$ance du radical & $oumi$e au même radical, ne vaut que la racine de cette même quantité: ain$i _a__ab_ = _a_<_>2 x _ab_, _a_ + _b__fg_ = _a_<_>2 + 2_ab_ + _b_<_>2 x _fg_ = _a_<_>2_fg_ + 2_abgf_ + _b_<_>2_fg_.

321. On peut multiplier ou divi$er l’expo$ant d’un radical $ans en changer la valeur: pour cela, il faut élever la quantité qui e$t $ous ce $igne à la pui$$ance marquée par le nombre qui multiplie l’expo$ant du radical, ou tirer de la quantité qui e$t $oumi$e au même radical, la racine marquée par le divi$eur; ce qui $e peut faire en deux manieres, ou bien en indiquant cette racine par de nouveaux $ignes radicaux, ou bien en di- vi$ant les expo$ans des quantités qui $ont $ous le $igne, par le nombre qui doit divi$er l’expo$ant du radical: car on a vu qu’en divi$ant ain$i les expo$ans par des nombres, c’e$t prendre la racine marquée par ce même nombre (art. 142). D’ailleurs $i l’on multiplie ou $i l’on divi$e, il e$t évident que la quan- tité propo$ée reçoit autant par l’élévation de la quantité $ou- mi$e au radical, à la pui$$ance marquée par le multiplicateur de l’expo$ant du radical; que la racine que l’on prend en$uite diminue par la multiplication du même expo$ant, & récipro- quement lor$que l’on divi$e les expo$ans des quantités qui $ont $ous le $igne radical, on diminue ces grandeurs de la quan- tité dont elles ont été augmentées par la divi$ion de l’expo$ant du radical. Des exemples éclairciront tout ceci. Si l’on a _ab_, je dis que l’on peut faire ces égalités, _ab_ = <_>6_a_<_>3_b_<_>3 = [0209]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. <_>2_m__a<_>mb<_>m_; car _<_>ma<_>mb<_>m_ = _ab_, en prenant les racines de chaque lettre: donc <_>2_m__a<_>mb<_>m_ = _ab_, & ain$i des autres. De même <_>5_a_<_>3_b_<_>2 = <_>{5/3}_a_{5/3}_b_{2/3}, ou en général <_>_m__a<_>nb<_>p_ = <_>{_m_/_r_}_a_{_n_/_r_}_b_{_p_/_r_} = <_>{_m_/_r_}<_>_ra<_>nb<_>p_: car <_>{1/_r_}_a_{_n_/_r_}_b_{_p_/_r_} = _a<_>nb<_>p_: donc <_>{_m_/_r_}_a_<_>{_n_/_r_}_b_<_>{_p_/_r_} = <_>_m__a<_>nb<_>p_, & ain$i des autres: car il e$t évident que lor$que l’expo$ant du radical e$t égal à l’expo$ant des grandeurs $oumi$es au même $igne, on peut $upprimer le radical, & écrire les quantités toutes $imples, comme $i l’on a <_>3_a_<_>3, on met _a_, & pour <_>5_a_<_>5_b_<_>10, on met _ab_<_>2; c’e$t ce qui arrive ici, car l’expo$ant {_m_/_r_} peut s’é- crire ain$i, _m_ x {1/_r_}, & de même les expo$ans {_n_/_r_}, {_p_/_r_} peuvent $e marquer ain$i, _n_ x {1/_r_}, _p_ x {1/_r_}: donc notre quantité deviendroit <_>_m_ x {1/_r_}_a_<_>_n_ x {1/_r_}_b_<_>_p_ x {1/_r_}, où il e$t vi$ible que l’on ne fait que multiplier les expo$ans du radical & des quantités qui lui $ont $oumi$es par la même grandeur {1/_r_}; ce qui rentre dans le premier cas.

322. On tire delà la méthode de réduire plu$ieurs radicaux à la même dénomination $ans changer leurs valeurs, c’e$t-à-dire de donner à deux radicaux différens un même $igne. Par exem- ple, $i l’on me donne ces deux incommen$urables _a_<_>3 & <_>3_a_<_>2_b_<_>3, j’éleve le premier _a_<_>3 à $on cube, & je multiplie l’expo$ant 2 du radical par 3, ce qui me donne <_>6_a_<_>9 = _a_<_>3: de même j’é- leve _a_<_>2_b_+ à $on quarré pour avoir _a_<_>4_b_<_>8, & je multiplie l’expo- $ant du $igne radical qui lui e$t joint par l’expo$ant 2 du pre- mier, ce qui me donne <_>6_a_<_>4_b_<_>8 = <_>3_a_<_>2_b_<_>4. De cette maniere il e$t vi$ible que les deux quantités irrationnelles propo$ées ont changé de forme ou d’expre$$ion, $ans avoir changé de va- leur, & de plus qu’elles ont le même $igne radical <_>6, & ain$i des autres. En général pour réduire deux radicaux quelcon- ques _a_ <_>_m__b<_>P_, _c_ <_>_n__d_<_>r, on écrira _a_<_>_mn__b<_>pn_, _c_ <_>_mn__d<_>mr_. Les opérations [0210]NOUVEAU COURS que nous venons de voir, $ont particulieres aux quantités irra- tionnelles: nous allons pré$entement expliquer celles qui leur $ont communes avec les autres quantités.

De l’Addition des Radicaux.

323. On ajoutera les radicaux, en les joignant avec leurs $ignes tels qu’ils $ont, & ob$ervant de les réduire avant de faire l’addition. De plus, $i les radicaux $ont les mêmes de part & d’autre, il $uffira d’ajouter les quantités qui précédent le $igne radical, & d’en multiplier la $omme par le même radical: $uivant cette regle, la $omme de _a__b_ & de _c__d_ e$t _a__b_ + _c_ _d_; celle de _ff_<_>3_g_<_>2, & de _mn__dc_ e$t _ff_<_>3_g_<_>2 + _mn__dc_; celle de _af__mn_ & de _bg__mn_ e$t _af_ + _bg__mn_. De même en nombres, 35 & 47 donnent pour $omme 35 + 47, 48 & 68 donnent 108, &c.

De la Sou$traction des Radicaux.

324. La Sou$traction des radicaux $e fait de même que celle des autres quantités algébriques, en changeant le $igne + en -, & le $igne - en + de la quantité que l’on veut $ou$traire, ob$ervant de $implifier auparavant les radicaux propo$és, & de multiplier la différence par le même radical, en cas qu’il $oit commun aux deux radicaux. Par exemple, la différence de _a__c_à _b__c_ e$t _a_ - _b__c_; celle de 10<_>39 à 4<_>39 e$t 10 - 4<_>39, ou 6<_>39, &c.

De la Multiplication des Radicaux.

325. On peut multiplier un radical par un entier, par une fraction, ou par un autre radical; ce qui fait trois cas parti- culiers, qui n’ont aucune difficulté.

326. Pour multiplier un radical par un entier, s’il a déja quelque grandeur qui le précéde, on multipliera cette quan- tité qui e$t hors du radical par l’entier propo$é. Par exemple, le produit de _a__b_ par 3_c_ e$t 3_ac__b_; le produit de <_>3_c_<_>2 par _a_ + 2_b_ e$t _a_ + 2_b_<_>3_c_<_>2, ou _a_<_>3_c_<_>2 + 2_b_<_>3_c_<_>2, & ain$i de $uite. Si l’on ne vouloit pas que le multiplicateur fût devant le radi- [0211]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. II_. cal, il faudroit l’élever à la pui$$ance marquée par l’expo$ant du radical. Ain$i pour multiplier <_>3_bc_ par _af_, j’éleve _af_ à $on cube, & je multiplie ce qui e$t $ous le radical par _a_<_>3_f_<_>3, & j’ai <_>3_a bcf_<_>3. Il en $eroit ain$i des autres en nombres ou en lettres, quelque $oit le multiplicateur incomplexe ou polynome.

327. Pour multiplier un radical par une $raction, on mul- tipliera la quantité qui e$t hors du $igne par la fraction pro- po$ée, & la multiplication $era faite. Si le radical n’avoit d’autre coefficient que l’unité, & qu’on jugeât à propos de ne point lui en donner, il faudroit élever la fraction à la pui$- $ance marquée par l’expo$ant du radical, & multiplier le nu- mérateur de la nouvelle fraction par la quantité $oumi$e au radical. Ain$i pour multiplier le radical _f_ _ab_ par {_c_/_d_}, j’écris {_cf_/_d_}_ab_; de même 3 _c_ par {6/5}={18/5}_c_; de même <_>3_cf_, multi- plié par {2_a_/_b_}=<_>3{8_a_<_>3_cf_/_b_<_>3}, par la $econde partie de cette regle.

328. Si le multiplicateur e$t au$$i un radical de même ex- po$ant que celui du multiplicande, on multipliera les quan- tités $oumi$es au même radical les unes par les autres, $uivant les regles ordinaires, & on donnera au produit le $igne du multiplicande ou du multiplicateur, ob$ervant de multiplier les quantités qui précédent les radicaux les unes par les autres, & de tirer hors du nouveau radical les pui$$ances de même nom, que la multiplication auroit pu produire. Par exemple, _a__cb_, multiplié par _f__cd_=_af__c<_>2db_=_a c f__bd_; de même _f_<_>3_a<_>2bc_ x _g_<_>3_ac_<_>2_d_=_fg_<_>3_a<_>3bc<_>3 d_ = _a c f g_<_>3_bd_, & ain$i des autres.

329. Si le radical n’a pas le même expo$ant, on commen- cera par les y réduire (art. 321), & l’on fera la multiplication comme dans le cas précédent. Par exemple, pour multiplier _a__bc_ par _d_<_>3_fg_, je réduis d’abord _a__bc_ en _a_<_>6_b<_>3c<_>3_, & _d_<_>3_fg_ en _d_<_>6_f<_>2g<_>2_, & multipliant en$uite j’ai _ad_<_>6_b<_>3c<_>3f<_>2g<_>2_. Il en $eroit de même des radicaux plus compliqués. Il faut bien remarquer que $i le radical du multiplicateur e$t le même que celui du multiplicande, la multiplication $e fait en $up- primant le radical, & multipliant par cette quantité le pro- duit des quantités qui précédent. Ain$i _a__bc_ x _d__bc_=_adbc_ [0212]NOUVEAU COURS 3_fg_ x 4_fg_ = 12_fg_; ce qui e$t évident, pui$que toute raci- ne multipliée par elle-même doit néce$$airement $e reproduire.

Si l’on avoit des radicaux complexes à multiplier par des radicaux monomes ou complexes, la multiplication s’en fe- roit, en $uivant les mêmes regles, & celles de la multiplication des polynomes.

De la Divi$ion des Radicaux.

330. On peut divi$er un radical par un entier ou par une fraction, ou par un autre radical: toutes ces opérations $ont les inver$es des précédentes; c’e$t pourquoi nous ne nous y arrêterons pas long-tems.

331. Pour divi$er un radical par un entier, on divi$era le coefficient par l’entier propo$é: ain$i pour divi$er _a__b_ par _c_, j’écris {_a_/_c_}_b_; de même 3 5 divi$é par 4 = {3/4} 5, & de même des autres.

332. Pour divi$er un radical par une fraction, on multipliera le coefficient du radical par la fraction inver$e, à moins que l’on ne voulût faire pa$$er le divi$eur $ous le $igne radical; auquel cas il faudroit multiplier ce qui e$t $ous le radical par le quarré de la fraction inver$e. Suivant ces regles, le quo- tient de _a_ _bc_ divi$é par {_d_/_f_} = {_af_/_d_} _bc_, le quotient de 3 _bd_, divi$é par {4/5} = {15/4}_bd_; & celui de <_>3_fg_ par {_a_/_d_} = {_d_/_a_}<_>3_fg_, ou en mettant la fraction $ous le radical <_>3{_d_<_>3_fg_/_a<_>3_}.

Pour divi$er un radical par un autre, on divi$era les coeffi- cients & les radicaux l’un par l’autre, en ob$ervant d’effacer le radical, lor$qu’il e$t commun au divi$eur & au dividende. Ain$i _a__b_ divi$é par _c__d_ = {_a_/_c_} {_b_/_d_}, _a__cd_ divi$é par _b__cd_ = {_a_/_b_}, & ain$i des autres.

Formation des Pui$$ances des Radicaux.

333. Pour élever un radical à une pui$$ance propo$ée, il faut élever à cette pui$$ance les quantités qui précédent le ra- dical, & celles qui lui $ont $oumi$es, ou bien divi$er l’expo- $ant du radical par l’expo$ant de la pui$$ance à laquelle on veut élever ce radical: ain$i le cube de _a__bc_ e$t _a_<_>3 _b<_>3c<_>3_, ou [0213]DE MATHEMATIQUE. _Liv. II_. _a_<_>3_bc__bc_, en $implifiant la derniere expre$$ion: on peut dire au$$i que le cube de cette même quantité e$t _a_<_>3<_>{2/3}_bc_: car $i l’on $e $ouvient de ce que nous avons déja dit $ur les radicaux & les expo$ans (art. 142.) _a_<_>3 <_>{2/3}_bc_ = _a<_>3b<_>{1/2/3}c<_>{1/2/3}_ = _a<_>3b<_>{3/2}c<_>{3/2}_ = _a<_>3__b<_>3c<_>3_, par le même article. Toutes les fois que l’expo$ant du radical $era divi$ible par celui de la pui$$ance à laquelle on veut l’élever, il faudra faire la divi$ion préférablement à toute autre méthode.

Extraction des racines des radicaux.

334. Pour tirer la racine d’un radical, il n’y aura qu’à tirer la racine de ce qui précéde ce radical, & multiplier l’expo$ant du $igne radical par l’expo$ant de la racine propo$ée; car pui$- que nous venons de voir que la formation des pui$$ances de ces quantités $e fait par la divi$ion des expo$ans, par celui de la pui$$ance; dans l’extraction des racines, il faut faire le con- traire: ain$i la racine cubique de _a<_>3_ _b<_>2c_ e$t _a_<_>6_b<_>2c_, celle de _a_<_>4 <_>5_b<_>2c<_>3_ e$t _a_ <_>3_a_<_>15_b<_>2c<_>3_. Si l’on vouloit on pourroit encore faire la même cho$e, après avoir fait pa$$er tout ce qui pré- céde le $igne $ous le même $igne: ain$i la racine cubique de _a_<_>4 <_>5_b<_>2c<_>3_, ou celle de <_>5_a<_>20b<_>2c<_>3_ e$t <_>15_a<_>20b<_>2c<_>3_.

335. Il faut bien remarquer que toutes les opérations que l’on fait $ur les radicaux peuvent $e faire d’une autre maniere, en cherchant la quantité exponentielle égale au radical pro- po$é: car nous avons démontré (art. 141 & $uivans) qu’il n’y a point de radical qu’on ne pui$$e convertir en quantité expo- nentielle & réciproquement.

Les Commençans confondent quelquefois les racines ima- ginaires avecles grandeurs incommen$urables; il y a une diffé- rence totale entre les unes & les autres. On peut déterminer par la Géométrie la grandeur ab$olue des quantités incom- men$urables, quoiqu’on ne pui$$e pas déterminer en nombres leurs rapports avec l’unité, au lieu que l’on ne peut connoître ce que $ignifient les imaginaires; car on ne connoît point de racine qui pui$$e donner un quarré négatif: c’e$t ce qui a fait regarder ces quantités comme ab$olument impo$$ibles, & com- me ab$urdes les équations ou problêmes qui ne donnent que de pareilles $olutions. Mais on a reconnu que l’on ne doit [0214]NOUVEAU COURS DE MATHEM. _Liv. II_. point établir cette propo$ition comme un principe général; & d’ailleurs $i l’on con$idere les racines d’une équation dans leur nature & leur e$$ence, qui e$t d’être des divi$eurs exacts de cette même équation, on verra que les imaginaires ne $ont pas moins racines d’une équation, que celles que l’on appelle vraies ou réelles, pui$que comme celles-ci, elles concourent par leur multiplication à former l’équation qui les a données, & qu’elles en $ont par con$équent des divi$eurs exacts, comme il e$t ai$é de s’en convaincre par l’exemple $uivant.

Soit propo$é de ré$oudre cette équation du $econd degré, _xx_ - 4_x_ + 12 = 0. On trouvera, en $uivant les regles ordinaires, _x_ = 2 ± -8, ou, ce qui e$t la même cho$e, en égalant les deux valeurs de _x_ à zero, les deux équations _x_ - 2 + -8 = 0, & _x_ - 2 - -8 = 0, que l’on peut regarder comme des racines de la propo$ée, parce qu’en les multipliant l’une par l’autre, on retrouve au produit, après la réduction & l’évanoui$- $ement des radicaux l’équation propo$ée _xx_ - 4_x_ + 12 = 0.

Il faut encore remarquer que dans une équation quelconque, délivrée de tout $igne radical, les racines imaginaires ne peu- vent être qu’en nombre pair. Ain$i dans une équation du $e- cond degré, les racines $ont toujours toutes les deux vraies, ou toutes deux imaginaires.

Je me borne à ces exemples $ur la maniere de ré$oudre les équations du $econd degré, afin d’en faciliter l’u$age qui e$t fort fréquent dans les que$tions Mathématiques. L’on trouvera vers la fin de ce volume ce qui appartient à celles du troi$ieme & du quatrieme degré, quoiqu’elle ne $oient pas au$$i ab$olu- ment néce$$aires que celles-ci.

Fin des équations du $econd degré, & du $econd Livre. [0215] NOUVEAU COURS DE MATHÉMATIQUE. _LIVRE TROISIEME_, Où l’on con$idere les différentes po$itions des Lignes droites les unes à l’égard des autres. DÉFINITIONS. I.

336. LES _lignes paralleles_ $ont celles qui, étant prolongées Planche I. autant que l’on voudra, $ont toujours également éloignées _Figure_ 7. entr’elles, & dont les extrêmités ne peuvent jamais $e ren- contrer, comme les lignes A B & C D.

II.

337. L’_angle_ e$t l’inclinai$on d’une ligne $ur une autre: on l’appelle _angle rectiligne_, lor$que les deux lignes qui le forment $ont droites, comme l’angle A B C; il e$t appellé _curviligne;_ _Figure 8_. lor$que les lignes qui le forment $ont des lignes courbes, com- me l’angle D E F, & _mixtiligne_, lor$qu’une des lignes e$t droite _Figure 9_. & l’autre courbe, comme G H I.

_Figure 10_. III.

338. Les lignes droites ou courbes, dont l’inclinai$on re$- pective fait un angle quelconque, $ont appellées _côtés de l’an-_ _gle_. Le point où ces deux lignes $e rencontrent mutuellement, [0216]NOUVEAU COURS e$t appellé _le $ommet de l’angle_. Il $uit delà que la grandeur d’un angle ne dépend pas de la longueur de $es côtés, mais $eulement de l’inclinai$on de ces lignes l’une $ur l’autre, qui $eule con$titue la nature de l’angle. Il $uit encore delà qu’un angle ne renferme aucun e$pace fini ou déterminé. Pour mar- quer un angle, on $e $ert ordinairement de trois lettres, & celle qui $e trouve au milieu, dé$igne le $ommet de l’angle.

IV.

339. L’_angle droit_ e$t celui qui e$t formé par la rencontre de deux lignes perpendiculaires l’une à l’autre, comme les an- gles A B C ou A B D. _Figure 11_.

V.

340. L’_angle oblique_ e$t celui qui $e fait par la rencontre de deux lignes qui ne $ont pas perpendiculaires l’une à l’autre, & que l’on appelle pour cette rai$on des lignes _obliques_, comme $ont les lignes I H & L K. Il y a deux $ortes d’angles obliques, _Figure 12_. $çavoir l’angle _aigu_ & l’angle _obtus_.

VI.

341. L’_angle aigu_ e$t celui qui e$t plus petit, ou moins ou- vert qu’un droit, comme l’angle H I K; & l’angle obtus e$t _Figure 12_. celui qui e$t plus grand ou plus ouvert qu’un droit, comme L H I. Il e$t vi$ible qu’une ligne H I tombant $ur une autre, forme avec elle deux angles inégaux, qui pris en$emble, valent deux droits: car $i l’on imagine la droite I F perpendiculaire à la ligne L K au point I, l’angle aigu H I L = F I L - F I H, & l’angle obtus H I K = F I K + F I H. Ain$i en ajoutant les membres de ces deux équations, on aura H I L + H I K = F I L + F I L = 2F I L, pui$que tous les angles droits $ont égaux.

VII.

342. Le _cercle_ e$t une $urface plane, terminée par une $eule _Figure 13_. ligne courbe, qu’on appelle _circonférence de cercle_, dont tous les points $ont également éloignés d’un point A, que l’on ap- pelle _centre du cercle_; les lignes A B, A C, A D menées du centre A à la circonférence, $ont appellées _rayons du cercle_, & $ont toutes égales entr’elles, pui$qu’elles me$urent la di$- tance du centre à chaque point de la circonférence, & que [0217]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. III_. cette di$tance e$t partout la même, $elon la définition du cercle.

VIII.

343. Le _diametre d’un cercle_ e$t une ligne droite qui pa$$e _Figure 14_. par le centre, & dont les extrêmités vont aboutir à la circon- férence, comme E D: cette ligne divi$e le cercle & $a circon- férence en deux parties égales, que l’on appelle indifféremment _demi-cercle_, & dont la moitié par con$équent $e nomme _quart_ _de cercle_.

IX.

344. On appelle _arc de cercle_ une partie de la circonférence plus petite ou plus grande que la demi-circonférence.

X.

345. Les Mathématiciens ont divi$é la circonférence du cercle en 360 parties égales, qu’ils ont appellées _degrés_, & cha- que degré en 60 autres parties égales, qu’ils ont appellées _mi_- _nutes_, dont chacune a été encore divi$ée en 60 autres parties égales, nommées _$econdes_. Ces divi$ions ont été imaginées par- ticuliérement pour me$urer les angles, & déterminer plus exac- tement les rapports qu’ils ont entr’eux. Il ne faut pas s’ima- giner que degré $oit une grandeur fixe & ab$olue, mais au contraire c’e$t une quantité variable, $elon les différens cer- cles, quoique con$tamment la même, par rapport à chacun en particulier, dont chaque degré e$t la 360<_>e partie: d’où il e$t ai$é de conclure qu’un grand cercle a des degrés plus grands que ceux d’un petit: il en e$t de même des minutes, des $e- condes & des tierces, &c.

XI.

346. La _me$ure d’un angle_ e$t un arc de cercle décrit à vo- lonté de $a pointe, & terminé par $es côtés: ain$i l’on con- noît que la me$ure de l’angle A B C e$t l’arc A C; de $orte _Figure 16_. qu’autant l’arc A C contiendra de degrés de minutes, &c, au- tant l’angle A B C vaudra de degrés de minutes, &c. Pour concevoir comment les arcs de cercles $ont la me$ure des an- gles, & peuvent $ervir à déterminer leur grandeur, on peut imaginer que l’angle C B A a été formé par le mouvement de la ligne B C, autour du point B comme d’une charniere, laquelle étoit d’abord appliquée $ur la ligne B A: car il e$t évident [0218]NOUVEAU COURS qu’en prenant $ur cette ligne un point A, & $ur la ligne B C un point C, également di$tant du point B, que le point A, l’arc A C exprimera la quantité de chemin qu’a parcouru le point A pour s’éloigner de la ligne A B. Si cette ligne $e fût éloignée deux fois davantage, l’angle eût été deux fois plus grand, ain$i que l’arc qui marque l’e$pace parcouru par le point C pour s’éloigner du point A. On peut remarquer que la me- $ure d’un angle droit e$t toujours le quart de la circonférence d’un cercle, c’e$t-à-dire de 90 degrés: car $i l’on con$idere les deux diametres A B, C D qui $e coupent à angles droits, on _Figure 15_. verra qu’ils divi$ent la circonférence du cercle en quatre par- ties égales, & que chacune e$t la me$ure de l’angle droit qui lui corre$pond: par con$équent on peut dire encore qu’un demi-cercle e$t la me$ure de deux angles droits.

PROPOSITION I. PROBLEME.

_347._ D’un point _A_ donné hors d’une ligne _B C_ $ur le même Figure 17. plan, mener une perpendiculaire _A D_ à cette ligne.

Pour tirer du point donné A une perpendiculaire $ur la ligne B C, décrivez du point A, comme centre, un arc de cercle qui vienne couper la ligne donnée dans les points B & C; en$uite de ces points & d’une même ouverture de compas, moindre que A B, décrivez deux arcs de cercle qui $e coupe- ront en un point E, par lequel & par le point A, fai$ant pa$$er une droite A E D, cette ligne $era la perpendiculaire demandée. Pour le prouver, con$idérez que par la con$truction, les li- gnes A B & A C $ont égales, étant rayons d’un même cercle, & que les lignes E B & E C le $ont au$$i, par la même rai$on; ce qui fait voir que la ligne A D e$t perpendiculaire $ur la ligne B C, pui$qu’elle n’e$t pas plus inclinée d’un côté que de l’autre.

PROPOSITION II. PROBLEME.

_348._ D’un point _A_ donné $ur une ligne _B C_, élever une droite Figure 18. _A D_ perpendiculaire à cette ligne.

Pour élever une perpendiculaire $ur la ligne B C au point donné A, prenez deux points B & C également éloignés de A; [0219]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. III_. & de ces points comme centre, décrivez avec la même ou- verture de compas deux arcs de cercle qui $e coupent en un point comme D; puis tirez du point D au point A la ligne D A, elle $era perpendiculaire $ur B C. Il e$t ai$é d’apperce- voir que la ligne A D e$t perpendiculaire $ur B C; car elle a par con$truction deux points A & D, également éloignés de deux points B, C, de la ligne B C: donc elle ne penche pas plus d’un côté que de l’autre; & par con$équent elle e$t perpendi- culaire $ur B C.

PROPOSITION III. PROBLEME.

_349._ Divi$er une ligne donnée en deux parties égales.

_Figure_ 19.

Pour divi$er une ligne, telle que A B, en deux parties égales, décrivez des extrêmités A & B comme centres, avec une même ouverture de compas, deux arcs de cercle qui $e cou- pent aux points C & D; tirez par ces deux points la ligne C D, qui la coupera en deux également au point E.

Pui$que la ligne C D a deux points C, D, également éloi- gnés des extrêmités de la ligne A B, tous $es points $eront éga- lement éloignés des mêmes extrêmités A & B: donc le point E, qui e$t un des points de la ligne C D & de la ligne A B, e$t au$$i à égale di$tance de A & de B: donc il e$t le milieu de cette ligne. C. Q. F. T.

PROPOSITION IV. THÉOREME.

_350._ D’un même point $ur une ligne donnée, on ne peut élever Figure 20. qu’une $eule perpendiculaire.

DÉMONSTRATION.

Si du point C de la ligne A B, on a élevé la ligne C E per- pendiculaire à cette ligne, il e$t vi$ible que $i on vouloit en élever une autre, telle que C D, qui pa$$ât par le même point C, on ne le pourroit faire, $ans que cette ligne ne $oit plus in- clinée d’un côté que d’un autre, comme ici plus vers A que vers B; & comme ce $eroit agir contre la définition des lignes perpendiculaires, il s’en$uit qu’on n’en peut élever qu’une d’un même point $ur une même ligne. D’ailleurs $i cette ligne, outre [0220]NOUVEAU COURS ce point C, a encore un autre point commun avec la perpen- diculaire C E, elle $e confond avec elle, pui$que deux points déterminent la po$ition d’une ligne droite (art. 13): donc par un point donné $ur une ligne, on ne peut élever qu’une perpendiculaire. C. Q. F. D.

PROPOSITION V. THÉOREME.

_351._ D’un point _A_ donné hors d’une ligne _D E_, on ne peut Figure 21. abai$$er qu’une $eule perpendiculaire _A B_.

DEMONSTRATION.

Si du point A l’on a mené à la ligne D E la perpendicu- laire A B, & que les points D, E $oient également éloignés du point A, il e$t certain que le point B, où la perpendiculaire A B rencontre la ligne D E, $era au$$i également éloigné des ex- trêmités D, E de la même droite. Mais comme on ne peut tirer du point A à la ligne D E aucune ligne, telle que A C, diffé- rente de A B, $ans que le point C ne $oit à droite ou à gauche du milieu B, il s’en$uit que les points D, E ne $eront pas éga- lement éloignés du point C; & par con$équent que la ligne A C ne $era point perpendiculaire $ur D E. C. Q. F. D.

PROPOSITION VI. THEOREME.

_352._ Une ligne perpendiculaire e$t la plus courte de toutes les Figure 22. lignes qu’on peut mener d’un point à une ligne.

DEMONSTRATION.

Si l’on a mené du point D la ligne D C perpendiculaire à la ligne A B, je dis que cette ligne e$t la plus courte de toutes celles que l’on peut mener du point D à la même ligne A B, comme la ligne D F.

Pour le prouver, $oit prolongée la perpendiculaire D C ju$- qu’en E, au delà de la ligne A B, par rapport au point D, en- $orte que C E = C D, & $oit tirée la ligne E F, la ligne D E $era certainement plus courte que la ligne D F E: car, $elon la définition de la ligne droite, elle e$t la plus courte de toutes celles que l’on peut mener du point D au point E. D’ailleurs, [0221]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. III_. pui$que la ligne D E e$t perpendiculaire $ur A B, réciproque- ment la ligne A B e$t perpendiculaire $ur D E, & _par con$truction_ la coupe en deux également: donc le point F de cette ligne e$t également éloigné des extrêmités de la ligne D, E; & par con$équent F D = F E: ain$i prenant les moitié des lignes D E, C F E, la droite D C $era plus courte que la droite D F. On démontrera la même cho$e de toute autre ligne différente de D F, pri$e à droite ou à gauche de la ligne D C: donc cette ligne e$t la plus courte de toutes celles que l’on peut mener du point D à la ligne A B.

On pourroit pré$entement regarder ce théorême comme une définition de la ligne perpendiculaire à une autre, pui$- que cette propriété e$t une des plus importantes, & de laquelle on peut déduire les autres.

PROPOSITION VII. THEOREME.

_353_. Lor$que deux lignes droites $e coupent, elles forment les Figure 24. angles oppo$és au $ommet qui $ont égaux.

DEMONSTRATION.

Soient deux lignes droites quelconques A B, C D, qui $e coupent dans un point E, & forment par leur rencontre ou inter$ection mutuelle, les angles B E D, A E C, que l’on ap- pelle _oppo$és au $ommet_, parce qu’ils ont effectivement leur $ommet au même point E, l’un d’un côté, l’autre de l’autre, je dis que ces angles $ont égaux. Pour le prouver, du point E comme centre, avec un rayon quelconque E B, je décris une portion de circonférence qui coupe les lignes A B, C D aux points A, C, D, B. Cela po$é, pui$que le centre du cercle e$t au point d’inter$ection des deux lignes, il e$t dans l’une & dans l’autre: donc chaque ligne A B, C D e$t à un diametre du cercle, & les arcs A D B, D A C $eront chacuns égaux à la demi-circonférence; ce qui donne A D B = D A C, & ôtant de part & d’autre l’arc A D commun, on aura l’arc D B = A C; mais ces arcs $ont la me$ure des angles A F C, D E B: donc au$$i les angles oppo$és au $ommet, formés par les droites A B, C D, $ont égaux. C. Q. F. D.

[0222]NOUVEAU COURS PROPOSITION VIII. THEOREME.

_354_. Lor$que deux lignes droites _A B, C D_, paralleles en- Figure 25. tr’elles viennent aboutir $ur une troi$ieme ligne _E F_, elles forment des angles égaux d’un même côté.

DEMONSTRATION.

Pour démontrer que les deux paralleles A B, C D qui vien- nent tomber $ur la ligne E F, forment $ur cette ligne d’un même côté les angles égaux A B F, C D F, con$idérez que l’angle n’étant autre cho$e que l’inclinai$on d’une ligne $ur une autre (art. 337), l’égalité de ces inclinai$ons fera l’égalité des angles, & que les lignes AB, CD ne peuvent être paralleles comme on le $uppo$e, qu’elles ne $oient également inclinées $ur la ligne E F; autrement elles concourroient en quelque point: donc l’angle A B F e$t égal à l’angle C D E, pui$que la ligne A B e$t autant inclinée $ur E F que la ligne C D. C. Q. F. D.

DÉFINITIONS.

_355_. Lor$qu’une droite E F coupe deux paralleles A B, C D, _Figure 26_. elle forme avec elle des angles auxquels on a donné différens noms, $elon leurs po$itions par rapport à ces mêmes lignes.

I.

_356_. Les angles, tels que B G H, D H G, A G H, C H G, $ont appellés angles _internes_ ou _intérieurs du même côté_.

II.

_357_. Les angles B G E, D H F, ou A G E, C H F $ont ap- pellés angles _externes_ ou _extérieurs du même côté_.

_358_. Les angles, tels que A G E, D H F, pris, l’un à droite, & l’autre à gauche, au dehors des paralleles A B, C D, $ont nommés _alternes externes_, de même que les angles E G B, C H F.

_359_. Les angles intérieurs, comme A G H, D H G, pris, l’un à droite & l’autre à gauche, de la $écante E F, $ont appellés angles _alternes internes_, ain$i que les angles B G H, C H G.

[0223]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. III_. PROPOSITION IX. THEOREME.

_360_. Si deux lignes droites _A B, C D_ paralleles entr’elles, $ont Figure 26. coupés par une même ligne _E F_, je dis, _1<_>0_. que les angles alternes internes ou alternes externes $ont égaux; _2<_>0_. que les angles internes ou externes pris d’un même côté de la $écante, $ont égaux à deux droits.

DEMONSTRATION.

1<_>0. Il faut démontrer que l’angle externe E G B e$t égal à $on alterne C H F. Pui$que les droites A B, C D $ont paral- leles, elles $ont également inclinées d’un même côté $ur la $é- cante E F (art. 354); ain$i l’on aura l’angle E G B égal à l’an- gle G H D, mais G H D e$t égal à l’angle C H F, qui lui e$t oppo$é au $ommet (art. 353): donc E G B = C H F. On dé- montrera de même que l’angle A G E e$t égal à $on alterne D H F; que l’angle interne A G H e$t égal à $on alterne G H D, & que l’angle interne B G H e$t égal à $on alterne C H E. C. Q. F. 1<_>0. D.

2<_>0. Les angles internes B G H, D H G pris d’un même côté de la $écante E F, ou les externes B G E, D H F pris d’un mê- me côté, $ont en$emble égaux à deux droits. Pui$que les droites A B, C D $ont paralleles, les angles B G E, D H G qu’elles for- ment d’un même côté avec la $écante E F $ont égaux entr’eux, ain$i que les angles B G H, D H F; mais (art. 341.) B G E + B G H e$t égal à deux droits: donc au$$i D H G + B G H e$t égal à deux droits.

On démontrera de même que les angles externes B G E + D H F pris en$emble valent deux droits, ou que les angles in- ternes A G H + C H G, & les externes du même côté A G E, C H F $ont en$emble égaux à deux droits. C. Q. F. 2<_>0. D.

PROPOSITION X. THEOREME.

_361_. Suppo$ant toujours une droite _E F_ qui coupe deux autres lignes droites _A B, C D_, je dis que ces lignes $eront paralleles, $i les angles alternes internes, ou alternes externes $ont égaux, ou bien, $i les angles internes ou externes d’un même côté valent en- $emble deux droits.

[0224]NOUVEAU COURS DEMONSTRATION.

1<_>0. Par _hypothe$e_, l’angle interne D H G e$t égal à $on al- terne A G H, & (art. 353.) A G H = B G E qui lui e$t op- po$é au $ommet: donc on aura l’angle D H G égal à l’angle B G E; ain$i les droites A B, C D $ont parelleles, pui$qu’elles forment des angles égaux d’un même côté avec la $écante E F.

On démontrera de même que ces droites $ont paralleles, en $e $ervant des angles alternes internes égaux B G H, C H G, ou des angles alternes externes égaux E G B, C H F; A G E, D H F. C. Q. F. 1<_>0. D.

2<_>0. Par _hypothe$e_, les angles internes D H G, B G H pris du même côté de la $écante E F valent en$emble deux droits, & (art. 341.) les angles B G H & B G E de $uite, pris en$em- ble, valent au$$i deux droits: donc on aura D H G + B G H = B G H + B G E, & ôtant de chaque membre B G H, on aura D H G = B G E; ce qui montre que les lignes A B, C D font des angles égaux d’un même côté $ur la $écante E F: donc ces mêmes lignes $ont paralleles. C. Q. F. 2<_>0. D.

PROPOSITION XI. PROBLEME.

_362_. Une ligne _A B_ & un point _H_ $ur le même plan étant donnés, on propo$e de mener par ce point _H_ une ligne parallele à la ligne _A B_.

SOLUTION.

Par le point Hon menera une droite quelconque H G, qui coupe la droite A B donnée dans un point G; on prendra la me$ure de l’angle K G H, en décrivant une portion de cercle du rayon G H; en$uite du point H comme centre avec le mê- me rayon, on décrira un arc de cercle indéfini, $ur lequel on prendra l’arc G M égal à l’arc H K, & la ligne H M $era la parallele demandée; car pui$que les arcs de cercles $ont égaux, les angles, dont ils $ont la me$ure, $ont au$$i égaux, l’angle A G H $era donc égal à $on alterne G H M: donc par la pro- po$ition précédente les lignes A B, M H $ont paralleles. C. Q. F. T. & D.

Il faut remarquer que l’on pourra toujours de la même ma- niere faire avec une ligne donnée, un angle égal à un autre angle donné.

[0225]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. III_. PROPOSITION XII. PROBLEME.

_363_. Trois points _A, D, B_ étant donnés $ur le même plan, Figure 27. trouver le rayon du cercle qui pa$$e par ces trois points.

SOLUTION.

On menera par ces points les droites A B, D B, $ur le mi- lieu de la droite A B, on élevera la perpendiculaire indéfinie E C; $ur le milieu de B D, on élevera pareillement la droite F C perpendiculaire à B D, qui coupera la premiere au point C; je dis que ce point $era le centre du cercle qui pa$$e par les points A, B, D.

DEMONSTRATION.

Le point C, en tant qu’il appartient à la ligne E C perpendi- culaire à A B, e$t également éloigné des extrêmités A & B, pui$- que cette ligne divi$e A B en deux également, par con$truction; de même en tant qu’il appartient à la droite E F perpendiculaire à B D, <007>l e$t au$$i également éloigné des extrêmités B, D de la droite B D, par la même rai$on: donc il e$t également éloi- gné des trois points A, B, D: donc il e$t le centre du cercle qui pa$$e par les mêmes points. C. Q. F. T. & D.

COROLLAIRE.

364. Si les points A, B, D étoient di$po$és de maniere que les perpendiculaires F C, E C $e trouva$$ent paralleles, le rayon du cercle $eroit in$ini; ain$i l’on peut conclure delà qu’un cer- cle ne peut pas avoir trois points $ur une ligne droite, à moins que la ligne droite $ur laquelle $e trouvent les trois points ne $oit infiniment petite par rapport au rayon, comme il arrive ici, auquel cas cette ligne devient un des côtés du cercle, que l’on peut regarder comme un polygone d’une infinité de côtés. Je dis, que dans notre $uppo$ition les trois points $ont $ur une même ligne’droite; car il e$t vi$ible que les perpendiculaires E C, F C ne peuvent être paralleles qu’autant que les droites A B, B D formeront une même ligne droite.

Fin du troi$ieme Livre. [0226] NOUVEAU COURS DE MATHÉMATIQUE. LIVRE QUATRIEME, Qui traite des propriétés des Triangles & des Parallelo- grammes. DÉFINITIONS.

365. _FIGURE rectiligne_ e$t une $urface plane, terminée par des lignes droites, appellées _côtés;_ il y a plu$ieurs $ortes de figures, parmi le$quelles il y en a quelques-unes auxquelles on a donné des noms particuliers, $elon le nombre de leurs côtés, & leurs difpo$itions re$pectives les uns à l’égard des autres. La plus $imple de toutes les figures e$t celle qui e$t renfermée $ous trois côtés, & on l’appelle _triangle:_ on nomme _quadri-_ _lateres_ toutes les figures compri$es $ous quatre côtés, & _polygones_ en général toutes les figures qui ont plus de quatre côtés.

366. On con$idere le triangle par rapport à $es côtés, ou par rapport à $es angles. Si le triangle a $es trois côtés égaux, on l’appelle _équilatéral_, s’il n’a que deux côtés égaux, il e$t appellé _i$o$cele_, & _$calene_, s’il a les trois côtés inégaux; ce qui fait trois $ortes de triangles.

Le triangle con$idéré par rapport à $es angles, e$t encore de trois $ortes: on l’appelle _rectangle_ s’il a un angle droit, _obtus-_ _angle_, ou _amblygone_ s’il a un angle obtus, _acutangle_ ou _oxygone_ s’il a $es trois angles aigus ou moindres qu’un droit; d’où il $uit qu’il y a $ix $ortes de triangles en tout.

[0227]NOUVEAU COURS DE MATHEM. _Liv. IV._

367. La _ba$e_ d’un triangle e$t le côté de ce triangle, $ur lequel on a abai$$é une perpendiculaire de l’angle oppo$é. On appelle cette perpendiculaire la _hauteur_ du triangle: ain$i l’on voit ai$ément, $uivant ces définitions, que la ba$e du trian- gle A C B e$t la ligne A B, & que $a hauteur e$t E D. Si les _Figure_ 28. deux angles fur la ba$e $ont aigus, la perpendiculaire tombera $ur le côté A B; $i l’un des angles $ur la même ba$e étoit obtus, la perpendiculaire ou hauteur du triangle tomberoit $ur le pro- longement de la ba$e. Comme on peut prendre à volonté dans un triangle donné telle ligne que l’on voudra pour ba$e de ce triangle, il e$t toujours po$$ible de faire tomber la perpendi- culaire $ur ce côté, que l’on regarde comme ba$e; au dedans du triangle, les parties dans le$quelles la perpendiculaire C D divi$e la ba$e A B, $ont appellées _$egmens_ de cette même ba$e. Dans un triangle rectangle, le côté oppo$é à l’angle droit e$t ordinairement regardé comme la ba$e de ce triangle, & on lui a donnéle nom d’_hypothenu$e_.

368. On appelle _trapeze_ un quadrilatere qui n’a aucun de $es côtés paralleles, comme G.

_Figure_ 29.

369. _Trapezoïde_ e$t un quadrilatere qui a deux de $es côtés oppo$és paralleles, comme H.

_Figure_ 30.

370. _Parallelogramme_ e$t une figure quadrilatere, dont les côtés oppo$és $ont égaux & paralleles, comme E F.

_Figure_ 31.

371. _Diagonale_ e$t une ligne droite, comme C D, tirée dans un parallelogramme ou un rectangle d’un angle quel- conque C à celui D qui lui e$t oppo$é.

372. Si par un point quelconque A de la diagonale C D, on mene une ligne B A G parallele à E D, & une autre H I parallele à D F, l’on aura deux parallelogrammes A E, A F, que l’on appellera complémens du parallelogramme E F.

PROPOSITION I. THEOREME.

373. L’angle extérieur _B D C_ d’un triangle _A B D_ e$t égal aux _Figure_ 33. deux intérieurs oppo$és, & les trois angles du même triangle pris en$emble, valent deux droits.

DEMONSTRATION.

Pour prouver que l’angle extérieur B D C e$t égal aux deux [0228]NOUVEAU COURS intérieurs oppo$és, en A & en B: par le point D, $oit menée la droite D E parallele au côté A B du triangle A B D. Cela po$é (art. 360.) l’angle B D E e$t égal à $on alterne A B D, l’angle E D C e$t égal à l’angle B A D, pui$que les lignes A B, D E $ont paralleles entr’elles: donc la $omme des angles B D E & E D C, ou l’angle extérieur B D C e$t égal à la $omme des angles interieurs oppo$és A B D, B D A. C. Q. F. 1<_>0. D.

2<_>0. Je dis que les trois angles du triangle A B D, pris en$em- ble, valent deux droits: car la ligne B D tombant obliquement $ur la droite A C, forme deux angles de $uite B D A, B D C, qui pris en$emble, valent deux droits. Mais nous venons de voir que l’angle extérieur B D C e$t égal à la $omme des inté- rieurs B A D + A B D; on aura donc en leur ajoutant l’angle B D A, B A D + A B D + B D A = B D C + B D A = deux droits. C. Q. F. 2<_>0. D.

COROLLAIRE I.

374. Il $uit delà que la $omme des angles d’un polygone quelconque vaut toujours autant de fois deux angles droits moins quatre, que le polygone a de côtés. Soit le quadrilatere _Figure_ 29. A B C D d’un point G pris au dedans de ce quadrilatere, com- me on voudra, $oient menées les lignes G A, G B, G C, G D aux angles A, B, C, D, qui partageront cette figure en quatre triangles, il e$t évident que les angles autour du point G, & les angles du quadrilatere forment tous les angles des triangles dont il e$t compo$é. On aura donc huit angles droits, pui$- que chaque triangle vaut deux droits, mais la $omme des an- gles autour du point G vaut quatre droits: donc les angles du polygone valent au$$i quatre droits ou 8 - 4, c’e$t-à-dire au- tant de fois deux droits moins quatre que ce polygone a de côtés.

COROLLAIRE II.

375. Donc la $omme des angles extérieurs d’un polygone quelconque ne vaut que quatre droits: car tous les angles ex- térieurs $ont $upplémens des angles intérieurs; ain$i la $omme des uns & des autres vaut deux fois autant deux angles droits que le polygone a de côtés, & les mêmes angles intérieurs avec les angles autour du point G font la même $omme: donc les angles extérieurs $ont égaux à la $omme des angles autour du [0229]DE MATHEMATIQUE. _Liv. IV._ point G, c’e$t-à-dire à quatre droits; ce $eroit la même dé- mon$tration pour tout autre polygone.

COROLLAIRE III.

376. Il $uit de cette propo$ition, que connoi$$ant deux an- gles dans un triangle, on pourra connoître le troi$ieme, en $ou$trayant la $omme des deux angles connus de la valeur de deux angles droits, & la différence $era la valeur de l’angle inconnu. Ain$i connoi$$ant dans le triangle E D F l’angle E _Figure_ 32. de 50 degrés, & l’angle D de 70; pour avoir la valeur de l’an- gle F, on ajoutera en$emble 50 & 70, qui font 120, qu’il faut $ou$traire de 180 degrés: la différence 60 $era la valeur de l’angle E que l’on cherchoit.

COROLLAIRE IV.

377. Il $uit encore delà, que $i deux triangles ont deux an- gles égaux chacun à chacun, le troi$ieme du premier triangle $era égal au troi$ieme du $econd: car $i l’angle A e$t égal à l’angle D, l’angle C à l’angle F, il e$t certain qu’il manquera autant de degrés à la $omme des deux angles A & C pour va- loir deux droits, qu’à la $omme des deux angles D & F pour valoir au$$i deux droits, & ces différences égales ne $ont autre cho$e chacune, que la valeur du troi$ieme angle; d’où il $uit que l’angle B $era égal à l’angle E.

DEFINITION.

378. Deux triangles $ont dits être _parfaitement égaux_, Ior$- qu’ils ont les trois angles & les trois côtés égaux chacun à chacun; & _$implement égaux_, lor$qu’ils ont une égale $uper- ficie compri$e $ous des côtés in égaux.

PROPOSITION II. THEOREME.

379. Deux triangles $ont parfaitement égaux, lor$que les trois côtés du premier $ont égaux aux trois côtés du $econd.

DEMONSTRATION.

Pour démontrer que le triangle G, dont on $uppo$e les côtés _Figure_ 34. A B, B C, A C, égaux aux côtés D E, E F, D F du triangle H, e$t entiérement égal à ce dernier triangle, il n’y a qu’à faire voir [0230]NOUVEAU COURS que l’égalité des côtés emporte néce$$airement l’égalité des angles oppo$és aux côtés égaux. Si l’angle D n’e$t pas égal à $on corre$pondant A, il ne peut être que plus petit ou plus grand: or cela ne peut arriver $ans impliquer contradiction. Que l’angle D, s’il e$t po$$ible, $oit plus petit que $on corre$- pondant A; $oit fait l’angle L A C égal à l’angle D, & $ur le côté indéfini A L du nouvel angle, $oit pri$e la partie A L = A B ou D E, il e$t clair que le côté C L du triangle L A C $era dans ce cas plus petit que le côté C B: car pui$que l’angle e$t plus petit, les points C, L, pris à égale di$tance du $ommet A, que les points C, B, doivent être plus près l’un de l’autre, que dans une plus grande ouverture d’angle, telle que C A B: donc au triangle C A L le côté C L $era plus petit que le côté C B. On ne peut donc pas $uppo$er dans le triangle D E F l’an- gle D plus petit que l’angle en A, $ans $uppo$er en même- tems le côté E F plus petit que le côté A B; ce qui e$t contre l’hypothe$e: de même on ne pourroit pas $uppo$er l’angle D plus grand que l’angle A $ans une pareille contradiction. L’an- gle D e$t donc égal à l’angle A. On fera voir de même que l’angle F e$t égal à l’angle C, & l’angle E égal à l’angle B: donc ces triangles $ont parfaitement égaux, pui$qu’ils ont, outre les côtés égaux, les angles compris entre ces côtés au$$i égaux chacun à chacun. C. Q. F. D.

380. On verra par la $uite que les trois angles d’un triangle peuvent être égaux chacun à chacun aux trois angles d’un au- tre triangle, $ans qu’il y ait aucune égalité entre ces deux triangles: ain$i de ce que l’égalité des côtés emporte avec elle l’égalité des angles, il ne faut pas conclure que l’égalité des angles emporte celle des côtés. De plus, il e$t bon d’avertir que le triangle e$t le $eul de toutes les figures qui ait cette pro- priété. Par exemple, deux quadrilateres peuvent avoir les côtés égaux chacun à chacun, $ans avoir leurs angles égaux ou leurs $uperficies; & par con$équent $ans être parfaitement égaux.

PROPOSITION III, THEOREME.

381. Deux triangles _G, H_ $ont égaux en tout, lor$qu’ils ont Figure 34. un angle égal _B, E_ compris entre deux côtés égaux chacun à chacun.

[0231]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IV._ DEMONSTRATION.

Pour démontrer que le triangle G e$t égal au triangle H, $i le côté B A e$t égal au côté D E, le côté B C égal au côté E F, & l’angle B égal à l’angle E, imaginons que le côté D E e$t appliqué $ur le côté A B: comme ces deux côtés $ont égaux, par hypothe$e, en mettant le point E $ur le point B, le point D tombera $ur le point A; & parce que l’angle E e$t égal à l’angle B, le côté E F tombera $ur le côté B C, & le point F $ur le point C, pui$que B C = E F: doncle côté D F tombera $ur le côté A C; ce qui montre que les deux triangles con- viennent parfaitement: donc ils $ont parfaitement égaux. C. Q. F. D.

PROPOSITION IV. THEOREME.

382. _Deux triangles_ A B C, D E F _$ont parfaitement égaux_, _lor$qu’ils ont un côté_ A C _égal au côté_ D F, _avec les angles en_ A _& en_ C _égaux aux angles en_ D _& en_ F _chacun à chacun_.

DEMONSTRATION.

Si le côté A C du triangle G e$t égal au côté D F du trian- _Figure 34._ gle H, & que l’angle A $oit égal à l’angle D, l’angle C à l’an- gle F, il e$t ai$é de voir que ces deux triangles $ont parfaite- ment égaux: car $i l’on imagine le côté A C, po$é $ur le côté D F, comme ces côtés $ont égaux, par hypothe$e, en mettant le point A $ur le point D, le point C tombera $ur le point F; d’ailleurs à cau$e de l’égalité des angles en A & en C, à ceux en D & en F, le côté A B tombera $ur le côté D E, & le côté C B $ur le côté F E: donc ces lignes $e couperont au même point E: ain$i les triangles G, H conviendront en tout, & $e- ront parfaitement égaux. C. Q. F. D.

PROPOSITION V. THEOREME.

_383._ Deux parallelogrammes _A B D C, E B D F_ $ont égaux, Figure 35. lor$qu’ils ont une ba$e commune, & $ont compris entre les mêmes paralleles.

DEMONSTRATION.

Il e$t ai$é de voir que les triangles A B E, C D F $ont égaux [0232]NOUVEAU COURS en tout: car pui$que A B D C e$t un parallelogramme, le côté A B du premier e$t égal au côté C D du $econd; par la même rai$on, pui$que E B D F e$t au$$i un parallelogramme, le côté B E du premier triangle e$t égal au côté D F du $econd: enfin le troi$ieme côté A E e$t égal au troi$ieme côté C F; car A C = B D, & B D = E F, pui$que ce$ont des côtés oppo$és des paralle- logrammes A D, B F: donc A C = E F, & ajoutant à chacun la ligne C E, on a A E = C F; d’où il $uit que ces triangles $ont parfaitement égaux (art. 378): donc en leur ôtant la partie commune C G E, on aura le trapeze A B G C égal au trapeze E G D F; & en leur ajoutant à chacun le triangle B D G, on aura le parallelogramme A B D C égal au paralle- logramme E B D F, compris entre les mêmes paralleles. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

384. Il $uit de la propo$ition précédente, que les parallelo- grammes qui ont des ba$es égales, & qui $ont renfermés entre les mêmes paralleles, $ont égaux: car pour prouver que le pa- rallelogramme A D e$t égal au parallelogramme G F; $i les _Figure 36._ ba$es C D & E F $ont égales, il n’y a qu’à tirer les lignes C G & D H, qui formeront le parallelogramme C H, & con$i- dérer que ce parallelogramme e$t égal au parallelogramme A D, parce qu’ils ont la même ba$e C D, & qu’il e$t au$$i égal au parallelogramme G F, parce qu’ils ont la même ba$e G H; d’ou il $uit évidemment que les parallelogrammes A D, G F $ont égaux, pui$que chacun d’eux e$t égal à un même troi- $ieme.

PROPOSITION VI THEOREME.

385. _Deux triangles_ B C D, B F D _$ont égaux, lor$qu’ayant_ _Figure 37._ _une ba$e commune_ B D _ils $ont compris entre les mêmes paralleles_ B D, C F.

DEMONSTRATION.

Par le point D, $oit menée la ligne D A parallele au côté C B, & la ligne D E parallele au côté B F, on aura deux pa- rallelogrammes A B, B E, qui $eront égaux entr’eux, pui$- qu’ils ont même ba$e, & qu’ils $ont compris entre paralleles; d’ailleurs ces parallelogrammes $ont doubles des triangles [0233]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IV._ B C D, B F D, pui$que les triangles C A D, D E F ont les côtés égaux chacun à chacun à ceux des triangles C B D, D B F: donc les triangles B C D, B F D ou les moitiés des parallelo- grammes A B, B E $ont égaux entr’eux. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

386. Il $uit de cette propo$ition, que $i un parallelogramme _Figure 38._ A D, & un triangle A E C, renfermés entre les mêmes pa- ralleles, ont la même ba$e A C, le triangle e$t la moitié du pa- rallelogramme, parce que le triangle B A C qui lui e$t égal, e$t au$$i la moitié du même parallelogramme.

COROLLAIRE II.

387. Comme le triangle B A C e$t égal au triangle A E C, il e$t con$tant qu’ayant la même ba$e, ils doivent avoir la même hauteur; & comme la hauteur du premier e$t la per- pendiculaire B A, la hauteur du $econd $era au$$i la même per- pendiculaire B A, ou $a parallele E F, abai$$ée de l’angle E $ur la ba$e A C prolongée; ce qui fait voir que la hauteur d’un triangle incliné e$t la perpendiculaire abai$$ée de $on $ommet $ur le prolongement de $a ba$e. Ce $era la même cho$e pour les parallelogrammes inclinés.

COROLLAIRE III.

388. Un triangle A B C étant la moitié d’un parallelo- _Figure 39._ gramme A G, il $era égal au parallelogramme A D E C, dont la hauteur H F e$t $uppo$ée la moitié de la perpendiculaire B F, qui $ert de hauteur commune au triangle & au parallelo- gramme. Or, comme pour trouver la $uperficie du paralle- logramme A D E C, il faut multiplier la ba$e A C par $a hau- teur H F, moitié de la perpendiculaire B F; il s’en$uit qu’en _multipliant la ba$e d’un triangle par la moitié de la perpendicu-_ _laire, qui en me$ure la hauteur, ou, ce qui revient au même, la_ _hauteur entiere par la moitié de la ba$e, le produit donnera la $u-_ _perficie du triangle_.

COROLLAIRE IV.

389. Si l’on con$idere qu’un triangle A B C e$t compo$é d’une infinité de lignes paralleles, qui en $ont les élémens, & que toutes ces lignes étant également éloignées $e $urpa$- $ent de la même quantité, on verra qu’elles compo$ent une [0234]NOUVEAU COURS progre$$ion arithmétique d’une quantité infinie de termes, dont le premier e$t 0, & dont la $omme e$t exprimée par la perpendiculaire B D. Or comme on trouvera la valeur du triangle, ou autrement la $omme de toutes ces paralleles, en multipliant la plus grande, qui e$t la ba$e, par la moitié de la grandeur qui exprime le nombre des termes, il s’en$uit que l’on peut tirer de ce rai$onnement le principe $uivant: _Qui e$t que_ _la $omme des termes des quantités infinies en progre$$ion arithmé-_ _tique, à commencer par 0, e$t égale au produit du plus grand_ _terme, par la moitié de la grandeur qui exprime la quantité de_ _ces termes_. C’e$t ce que nous avons déja démontré directe- ment (art. 238).

Il faut s’attacher à bien comprendre ce corollaire, parce que nous en $ervirons utilement dans la $uite.

PROPOSITION VII. THÉOREME.

_390._ Les complémens _A E, A F_ d’un parallelogramme _E F_ $ont Figure 31. égaux entr’eux.

DEMONSTRATION.

Pour prouver que les complémens A E & A F du parallelo- gramme E F $ont égaux, con$idérez que le parallelogramme E F e$t divi$é en deux triangles égaux D E C, D F C, de même que les parallelogrammes B I, G H, formés $ur les par- ties A D, A C de la diagonale C D: donc $i l’on retranche du triangle D E C les triangles A D H, A B C, & de $on égal D C F les triangles égaux corre$pondans A D G, A I C, il re$tera d’une part le complément A E égal au complément A F. C. Q. F. D.

PROPOSITION VIII. THÉOREME.

_391._ Les parallelogrammes, qui ont même hauteur, $ont en- tr’eux comme leurs ba$es.

DEMONSTRATION.

Je dis que $i les parallelogrammes E F ont même hauteur, _Figure 41._ ou, ce qui revient au même, $ont compris entre paralleles, ils $eront entr’eux dans la rai$on de leurs ba$es. Pour le [0235]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IV._ prouver, $oit _a_ la ba$e du premier, _b_ celle du $econd, & _c_ la hauteur commune, la $urface du premier $era repré$entée par _a c_, & celle du $econd par _b c_: or il e$t évident que l’on a _a c_: _b c_ :: _a_ : _b_, pui$que _a b c_ = _a b c_. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

392. Il $uit de cette propo$ition, que $i deux triangles A B C, _Figure 42._ C D B, ont même hauteur, ou bien leur $ommet au même point, ils $eront entr’eux dans la rai$on de leurs ba$es A C C D: car ces triangles étant moitié des parallelogrammes cor- re$pondans de même ba$e & de même hauteur, il en $era des moitiés comme des tous.

PROPOSITION IX. THÉOREME.

393. _Si l’on coupe les deux côtés_ A B, A C _d’un triangle_ B A C _Figure 43._ _par une ligne_ D E, _parallele à la ba$e_ B C _de ce triangle, je dis_ _que les côtés_ A B, A C _$eront coupés proportionnellement, ou, ce_ _ce qui e$t la même cho$e, que l’on aura cette proportion_ A D : D B :: A E : E C.

DEMONSTRATION.

Pour démontrer cette propo$ition, $oient tirées les lignes B E, D C. Cela po$é, il e$t évident que les triangles D B E, D C E $ont égaux, pui$qu’ils ont même ba$e D E, & qu’ils $ont compris entre paralleles. Mais les triangles A D E & D E B ayant même $ommet, $ont entr’eux comme leurs ba$es (art. 392); ain$i que le même triangle A D E, & le triangle C D E qui ont au$$i même $ommet en D.

On aura donc A D : D B :: A D E : D E B; & parce que D E B = D C E . . . A D E : D E B :: A D E : D C E :: A E : E C; & comme la $uite des rapports égaux n’e$t pas interrompue, on en concluera que A D : D B :: A E : E C, c’e$t-à-dire que les côtés A B, A C $ont coupés proportionnellement. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

394. Pui$que A D : D B :: A E : E C, on aura _componendo_ A D : A D + D B :: A E : A E + E C, ou en rédui$ant A D: A B :: A E : A C, c’e$t-à-dire que les côtés A B, A C $ont pro- portionnels à leurs parties A D, A E.

[0236]NOUVEAU COURS COROLLAIRE II.

395. Il $uit delà que deux triangles $ont égaux, lor$qu’ils ont un angle égal compris entre côtés réciproques, c’e$t-à- dire que les côtés de l’un $ont les extrêmes d’une proportion, dont les côtés de l’autre $ont les moyens : car $i aux triangles égaux D B E, D C E, on ajoute le même triangle A D E, on aura deux nouveaux triangles égaux en $uperficie A D C, A E B, qui ont un angle en A commun, & par con$équent égal; d’ailleurs, par le corollaire précédent, on a A D : A B :: A E : A C, où l’on voit que les côtés A D, A C du triangle A D C $ont les extrêmes, tandis que les côtés A B, A E du triangle B A E $ont les moyens. Comme les parallelogrammes $ont doubles des triangles, il $uit encore des deux articles précédens, que deux parallelogrammes $ont égaux, lor$qu’ils ont un angle égal compris entre côtés réciproques.

COROLLAIRE III.

396. Si par le point E on mene la ligne E F parallele au côté A B, les côtés A C, C B $eront au$$i coupés en parties propor- tionnelles, & l’on aura A C : C E :: B C : C F, & A E : A C :: B F : B C; mais à cau$e des paralleles B D, E F; B F e$t égale à D E : on aura donc A E : A C :: D E : B C, c’e$t-à-dire que les parties A C, A E $ont proportionnelles au côté B C, & à la $écante D E.

DEFINITION.

397. Deux triangles, ou en général deux figures quelcon- ques, $ont dites être _$emblables_, lor$que tous les angles de l’une $ont égaux aux angles de l’autre, & que les côtés oppo$és aux angles égaux $ont proportionnels. Par exemple, les deux trian- M N $eront $emblables, $i l’on a l’angle A égal à l’angle D, _Figure_ 44. l’angle C égal à l’angle F, l’angle B égal à l’angle E; & les côtés A B, B C, A C proportionnels aux côtés D E, E F, D F.

REMARQUE.

398. Il faut bien remarquer que le triangle e$t le $eul de toutes les figures qui pui$$e être $emblable à un autre, ayant $es trois angles égaux chacun à chacun, ou $es côtés propor- tionnels; en$orte que l’une de ces conditions emporte l’autre, au lieu que dans une figure, tous les côtés peuvent être pro- [0237]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IV_. portionnels à ceux d’une autre, $ans que les angles oppo$és à ces côtés $oient égaux, comme on le verra par la $uite.

PROPOSITION X. THEOREME.

399. Deux triangles _A B C, D E F_ $ont $emblables, lor$que les trois côtés _A B, B C, A C_ du premier $ont proportionnels aux trois côtés _D E, E F, D F_ du $econd.

DEMONSTRATION.

Pour démontrer cette propo$ition, il n’y a qu’à faire voir que les angles A, B, C du premier triangles $ont égaux aux an- gles D, E, F du $econd, oppo$és aux côtés proportionnels à ceux du triangle A B C : pour cela, $ur le côté A B propor- tionnel au côté D E du triangle D E F, $oit pri$e la ligne B G égale à D E, & $oit menée par ce point la parallele G K au côté A C, on aura (art. 393.) A B: B G :: B C : B K = {BG x BC/AB}= {D E x B C/A B}, pui$que par con$truction D E = B G: mais par hy- pothe$e, pui$que les trois côtés du premier triangle $ont pro- portionnels aux trois côtés du $econd, A B : D E :: B C : E F = {D E x B C/A B}; d’où il $uit que le triangle B G K a le côté B K égal au côté E F du triangle D E F: on démontrera de même, que ce même triangle B G K a au$$i le côté G K égal au côté D F du triangle D E F: donc ces triangles $ont parfaitement égaux, pui$qu’ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun (art. 378) : donc les angles en D & en F $ont égaux aux an- gles en G & en K, ou aux angles en A & en C, à cau$e des paralleles : donc le triangle D E F e$t $emblable au triangle A B C. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

400. Réciproquement $i deux triangles $ont $emblables, ils auront les côtés proportionnels; car s’ils étoient $emblables $ans avoir les côtés proportionnels, la propo$ition que nous venons de démontrer $eroit fau$$e; ce qui ne peut arriver.

[0238]NOUVEAU COURS PROPOSITION XI. THÉOREME.

_401._ Deux triangles _A B C, D E F_ $ont $emblables, lor$qu’ils ont un angle égal compris entre côtés proportionnels.

DEMONSTRATION.

Suppo$ons que l’angle E du triangle D E F e$t égal à l’angle B du triangle A B C, & que l’on a A B : B C :: D E : E F, il faut démontrer que les angles en A & en C $eront égaux aux angles en D & en F, & que l’on aura A B : A C :: D E : D F. Soit pris $ur le côté A B la ligne B G égale à D E, & la ligne B K égale à E F, à cau$e de l’angle en B, $uppo$é égal à l’angle en E, le triangle B G K $era parfaitement égal au triangle E D F (art. 381): donc G K e$t égal à D F, & l’angle D e$t égal à l’angle G, de même que l’angle K à l’angle F. De plus les côtés B A, B C $ont coupés proportionnellement par la ligne G K : donc la ligne G K e$t parallele à la ba$e A C, & le triangle B G K e$t $emblable au triangle B A C : donc on aura A B : B G :: A C : G K, ou A B : D E :: A C : D F, ou _alternando_ A B : A C :: D E : D F. D’où il $uit que les angles du triangle D E F $ont égaux aux angles du triangle A B C; d’ailleurs les côtés oppo$és à ces angles $ont proportionnels à ceux qui $ont oppo$és aux mêmes angles dans le triangle A B C: doncle triangle D E F e$t $emblable au triangle A B C. C. Q. F. D.

PROPOSITION XII. THEOREME.

_402._ Deux triangles _A B C, D E F_ $ont $emblables, lor$que deux angles de l’un $ont égaux aux deux angles de l’autre.

DEMONSTRATION.

Suppo$ons que l’angle A e$t égal à l’angle D, & que l’angle _Figure_ 44 & 45. C e$t égal à l’angle F. Sur le côté A C prolongé, on prendra une partie C D = D F, & par le point C, on menera la droite C E parallele au côté A B, & par le point D, la droite D E parallele au côté C B. Le triangle C E D $era entiérement égal au triangle D E F (art. 352), pui$que ces triangles ont deux angles égaux chacun à chacun $ur un même côté: re$te à faire [0239]DE MATHEMATIQUE. _Liv. IV_. voir que le triangle C E D e$t $emblable au triangle A B C. Pour cela $oient prolongées les lignes A B, D E, ju$qu’à ce qu’elles $e rencontrent en F; les côtés A D, A F $eront coupés proportionnellement par la ligne B C, & l’on aura A B : A C :: B F : C D, ou en mettant à la place de B F, C E = B F, à cau$e du parallelogramme C F, A B : A C :: C E : C D : donc le trian- gle C D E ou $on égal D E F a les côtés proportionnels à ceux du triangle ABC, & lui e$t par con$équent $emblable. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

403. Il $uit de tout ce que nous venons de voir, que lor$- qu’on aura des triangles $emblables, on pourra toujours faire une proportion par la comparai$on des côtés du premier aux côtés du $econd. Par exemple, $i les triangles, M, N $ont _Figure_ 44. $emblables, & que l’on repré$ente les côtés AB, AC du pre- mier par _a_ & par _b_, & les côtés corre$pondans du triangle N, DE, DF par _c_ & _d_, on aura _a_ : _b_ :: _c_ : _d_; donc _ad_ = _bc_ : ce qui montre qu’avec deux côtés, pris dans deux triangles $em- blables, & deux autres pris dans les mêmes triangles, on peut toujours faire des rectangles égaux, pourvu que les côtés $oient oppo$és à des angles égaux.

COROLLAIRE II.

404. Il $uit encore que $i l’on a deux triangles $emblables, dont on connoît deux côtés dans l’un, & un côté dans l’autre, qu’on pourra trouver ce $econd côté : car $uppo$ant, par exem- ple, que dans les triangles M, N les côtés _a, b_ $oient de 12 pieds, & 8 pieds, & le côté _c_ de 9 pieds, & que l’on veuille connoître le côté _d_, il n’y aura qu’à faire une Regle de Trois, & dire 12 : 8 :: 9 : _x_ = {9 x 8/12} = 6, qui $era la valeur du côté _d_, & ain$i des autres.

DÉFINITION.

405. On appelle dans des triangles $emblables, & dans toutes les autres figures, côtés _homologues_ ou _corre$pondans_, ceux qui $ont oppo$és à des angles égaux dans l’un & dans l’autre trian- gles; & l’on ne peut former de proportion qu’avec des côtés homologues, $oit dans les triangles, $oit dans les autres figures.

[0240]NOUVEAU COURS AVERTISSEMENT.

Les propo$itions précédentes $ont les plus importantes de la Géométrie, dont elles font la ba$e & le fondement; c’e$t pour- quoi il faut s’appliquer à les bien comprendre, $i l’on veut en- tendre les $uivantes, & faire quelque progrès dans toutes les parties des Mathématiques qui ne peuvent $e pa$$er de ces pro- po$itions.

PROPOSITION XIII. THEOREME.

_406._ Si de l’angle droit _B_ d’un triangle rectangle _A B C_, on Figure 46. abai$$e une perpendiculaire B D $ur l’hypoténu$e _A C_, elle divi- $era le même triangle en deux autres triangles _A B D, B D C_, qui lui $eront $emblables, & par con$équent $emblables entr’eux.

DEMONSTRATION.

Pour démontrer que la perpendiculaire B D divi$e le triangle A B C en deux autres $emblables A B D, B D C; con$idérez que chacun de ces triangles a un angle communavec le grand trian- gle & un angle droit. L’angle A pour le triangle A B D & le triangle A B C, l’angle C au triangle B D C & au triangle A B C : donc ils $ont chacun $emblables au grand triang le, & $emblables entr’eux. C. Q. F. D.

PROPOSITION XIV. THÉOREME.

_407._ Dans un triangle rectangle _A B C_, le quarré de l’hypo- Figure 47. ténu$e A C e$t égal à la $omme des quarrés des deux autres côtés.

DÉMONSTRATION.

Soit abai$$ée de l’angle droit la perpendiculaire B D $ur la ba$e A C, $oit nommé A C, _a_, B A, _b_, B B, _c_, A D, _x;_ D C $era _a_ - _x_. Cela po$é, nous ferons voir ai$ément que A C<_>2 (_aa_) = A B<_>2 + B C<_>2 (_bb_ + _cc_).

Comme la perpendiculaire B D divi$e le triangle rectangle en deux autres qui lui $ont $emblables, A D B, B D C, les côtés homologues de ces triangles $eront proportionnels à ceux du grand triangle A B C, & donneront A C (_a_) : A B (_b_) :: A B (_b_) : A D (_x_), & A C (_a_) : C B (_c_) :: C B (_c_) : D C (_a_-_x_); [0241]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IV._ d’où l’on tire ces équations _a x_ = _b b_, & _c c_ = _a a_ - _a x_, en prenant les produits des extrêmes & des moyens. En ajoutant en$emble ces deux équations, on aura _a x_ + _a a_ - _a x_ = _b b_ + _c c_, ou en rédui$ant _a a_ = _b b_ + _c c_, ou enfin A C<_>2 = A B<_>2 + B C<_>2. C. Q. F. D.

Si a$$uré que l’on $oit d’une propo$ition, l’e$prit, ou plutôt la rai$on qui veut toujours être éclairée, a encore quelque cho$e à dé$irer, lor$qu’elle ne joint pas la derniere évidence à la certitude entiere, & cette évidence e$t d’autant plus à dé$irer, que les propo$itions $ont plus importantes.

Comme celle-ci e$t une des plus belles propo$itions qu’il y ait, tous les grands Géometres $e $ont appliqués à en donner des démon$trations palpables, parmi le$quelles je regarde la $uivante comme une des plus belles & des plus claires que l’on pui$$e donner, attendu qu’elle ne $uppo$e pas d’autre principe que celui-ci, que deux triangles $ont égaux en tout, lor$qu’ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun.

SECONDE DEMONSTRATION.

Soit prolongé le côté A B en K, en$orte que l’on ait B K = B C; $oit de même prolongé le côté B C, en$orte que B L = A B. Soient achevés les quarrés $ur les côtés B C, A B, dont les côtés I K, H L, prolongés autant qu’il le faut, $e rencon- trent en G: enfin $oit menée la droite G B, & la perpendicu- laire à la ba$e B D, & con$truit le quarré A C E F $ur l’hypo- ténu$e A C.

Il e$t ai$é de voir que la droite B G e$t parallele à la droite C E: car le triangle G B K e$t égal au triangle A B C, pui$que G K = B L = A B, que B K = B C, & quel’angle en K e$t droit: donc on aura G B = A C = C E: donc l’angle G B K e$t égal à l’angle B C A, ou à l’angle A B D du triangle A B D $em- blable au grand triangle, c’e$t-à-dire que l’angle G B K e$t égal à $on oppo$é ou $ommet: donc les lignes G B, B D ne font qu’une $eule ligne droite, & cette ligne G B D e$t pa- rallele à C E, pui$que chacune e$t perpendiculaire $ur le côté A C. G B C E $era donc un parallélogramme, ain$i que A B G F, pui$que les lignes B C, G I $ont paralleles au$$i-bien que les li- gnes B K, G F, & les droites A F, G D, C E. De plus ces pa- rallélogrammes ont même ba$e que les quarrés B I, B H, & $ont compris entre les mêmes paralleles: donc ils leur $ont [0242]NOUVEAU COURS égaux (art. 383): re$te à faire voir que la $omme de ces pa- rallélogrammes ou la figure A B C E G F e$t égale au quarré C F fait $ur A E; ce qu’il e$t ai$é de reconnoître: car le côté F E = A C, le côté G E = B C, & le côté G F = A B: donc en ôtant le triangle FGE de la figure A B C E G F, & mettant à $a place le triangle A B C, $on égal, on aura la $omme des paral- lélogrammes C G, B F, ou des quarrés B I, B H égale au quarré de l’hypoténu$e A C. C. Q. F. D.

TROISIEME DÉMONSTRATION.

Soit prolongée la perpendiculaire BD, ju$qu’à ce qu’elle ren- contre en O le côté N M du quarré fait $ur l’hypoténu$e, qu’elle divi$era en deux rectangles D M, D N; du point B, $ommet de l’angle droit, $oient menées aux points M, N les droites B M, B N, & par les points A, C aux points I, H les lignes A I, C H, on aura quatre triangles A C I, BCM; C A H, B A N, qui $eront parfaitement égaux deux à deux: car l’an- gle A C I du premier e$t égal à l’angle B C M du $econd, pui$- que chacun e$t la $omme d’un angle droit & de l’angle com- mun B C D. De plus, le côté C I du premier e$t égal au côté B C du $econd, pui$que ce $ont les côtés d’un même quarré, & le côté A C du triangle A C I e$t, par la même rai$on, égal au côté C M: donc ces triangles $ont parfaitement égaux, pui$- qu’ils ont un angle égal, compris entre côtés égaux chacun à chacun (art. 381): donc les rectangles A D N O, D C M O, dont ces triangles $ont les moitiés, $eront au$$i égaux. Or il e$t vi$ible que le triangle A C I e$t moitié du quarré fait $ur B C, pui$qu’ils ont même ba$e C I, & qu’ils $ont compris en- tre paralleles A K, C I. Il e$t encore évident que le triangle B C M e$t moitié du rectangle D M, pui$qu’ils ont même ba$e B M, & $ont compris entre les mêmes paralleles B M, B D O: donc le quarré fait $ur B C e$t égal au rectangle D M. On dé- montrera préci$ément de la même maniere que le quarré fait $ur A B e$t égal au rectangle D N; mais la $omme des rectan- gles D M, D N e$t égal au quarré con$truit $ur l’hypoténu$e: donc la $omme des quarrés faits $ur les deux côtés A B, B C e$t égale au quarré de l’hypoténu$e A C. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

408. Cette propo$ition e$t la fameu$e 47<_>e du premier Livre [0243]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IV._ d’_Euclide_, pour la découverte de laquelle _Pythagore_ offrit aux Mu$es un $acrifice de cent bœufs, en reconnoi$$ance de la fa- veur qu’il croyoit avoir reçu d’elles. Pour être prévenu de l’u$age que nous en ferons dans la $uite, il faut remarquer que connoi$$ant les quarrés de deux côtés d’un triangle rectangle, on pourra toujours connoître celui du troi$ieme: car $i l’on connoît A C<_>2 (_aa_), & A B<_>2(_bb_), on voit qu’on aura toujours A C<_>2 - A B<_>2 (_a a_ - _b b_) = B C<_>2(_cc_), qui donne la valeur du côté B C: on voit de plus, que connoi$$ant les deux côtés qui comprennent l’angle droit d’un triangle rectangle, on pourra connoître l’hypoténu$e, en quarrant ces deux côtés, & extrayant la racine des deux membres de l’équation _aa_=_bb_ + _cc_, on aura _a_ = _bb_ + _cc_; & $i connoi$$ant l’hypoté- nu$e avec un autre côté, on vouloit trouver le troi$ieme, on n’auroit qu’à $ou$traire du quarré de l’hypoténu$e le quarré du $econd côté que l’on connoît; & la racine quarrée de la différence, donnera la valeur du côté qu’on cherche. Ain$i connoi$$ant les deux côtés B C & A C, on voit que A B = _aa_ - _cc_.

COROLLAIRE II.

409. Il $uit de cette propo$ition, que la perpendiculaire tirée de l’angle droit d’un triangle rectangle $ur l’hypoténu$e, e$t moyenne proportionnelle entre les parties de l’hypothenu$e: car comme cette perpendiculaire divi$e le triangle A B C en deux autres triangles $emblables A D B, B D C, en les compa- rant en$emble, on aura A D : D B :: D B : D C. Ain$i connoi$- $ant la ba$e d’un triangle rectangle A B C, & les deux $egmens A D, D C de cette ba$e, on pourra connoître les autres côtés de ce triangle; il n’y aura qu’à chercher une moyenne propor- tionnelle entre les $egmens donnés, ajouter le quarré de cette ligne au quarré de chaque $egment, & extraire les racines des deux $ommes qui $eront les deux côtés demandés.

PROPOSITION XV. THEOREME.

_410_. Dans un triangle obtus-angle _A B C_, le quarré du côté Figure 48. _A C_, oppo$é à l’angle obtus, e$t égal au quarré des deux auires côtés, plus à deux rectangles compris $ous le côté _B C_ prolongé ju$- [0244]NOUVEAU COURS qu’à la rencontre de la perpendiculaire abai$$ée de l’angle _A_, & la partie _B D_ ou le prolongement du même côté _B D_; c’e$t-à-dire que l’on aura _A C<_>2 = A B<_>2 + B C<_>2 + 2B C x B D_.

DÉMONSTRATION.

Soit fait A C = _a_, A B = _c_, B C = _b_, B D = _x_, A D = _d_; il faut démontrer que _aa_ = _cc_+_bb_ + 2_bx_, ou que A C<_>2 = A B<_>2 + B C<_>2 + 2B C x B D. Le triangle rectangle A D C donne A C<_>2 = A D<_>2 + D C<_>2, ou _aa_ = _dd_ + _bb_ + 2_bx_ + _xx_: car D C = D B + B C = _b_ + _x_; & le triangle rectangle A D B donne A B<_>2 = A D<_>2 + D B<_>2, ou _cc_ = _dd_ + _xx_; $i l’on retran- che les deux membres de cette équation des deux membres de la premiere, on aura _aa_ - _cc_ = _dd_ + _bb_ + 2_bx_ + _xx_ - _dd_ - _xx_, & rédui$ant le dernier membre _aa_ - _cc_ = _bb_ + 2_bx_, & fai$ant pa$$er _cc_ de l’autre côté du $igne d’égalité, _aa_ = _bb_ + _cc_ + 2_bx_, ou A C<_>2 = A B<_>2 + B C<_>2 + 2B C x B D. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

411. Si l’on avoit un triangle A B C, dont on connût les trois côtés, on pourroit par cette propo$ition trouver la per- pendiculaire A D, qui détermine la hauteur du triangle: car comme on a _aa_ = _cc_ + _bb_ + 2_bx_, $i l’on fait pa$$er _cc_ + _bb_ du $econd membre dans le premier, il viendra _aa_ - _cc_ - _bb_ = 2_bx_, qui étant divi$é par 2_b_, donne la valeur de _x_, ou {_aa_ - _cc_ - _bb_/2_b_} = _x_, qui fait voir qu’on trouvera la valeur de la ligne D B, en $ou$trayant du quarré du côté A C oppo$é à l’an- gle obtus; les quarrés des côtés A B & B C, & en divi$ant le re$te par le double du côté B C. Mais dans le triangle rectan- gle A D B, on connoît le côté A B par l’hypothe$e, on connoît le côté B D par le pré$ent corollaire: donc on pourra con- noître l’autre côté A D, ou la perpendiculaire qui me$ure la hauteur du triangle, & l’on aura A D = A B<_>2 - B D<_>2, ou _d_ = _cc_ - _xx_. Si le triangle donné étoit rectangle, la per- pendiculaire A D $e confondroit avec le côté A B, & l’on auroit {_aa_ - _cc_ - _bb_/2_b_} = o = B D.

[0245]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IV_. PROPOSITION XVI. THEOREME.

_412_. Dans tout triangle _A B C_, le quarré d’un côté _A B_ oppo$é Figure 49. à un angle aigu, e$t égal à la $omme des quarrés des deux autres côtés, moins deux rectangles égaux, compris $ous le côté _A C_, op- po$é au plus grand angle, $ur lequel on a abai$$é une perpendicu- laire _B D_; & la partie _C D_ du même côté _A C_, compri$e entre l’an- gle _C_, auquel ce côté _A B_ e$t oppo$é, & la perpendiculaire _B D_; c’e$t-à-dire que l’on aura _A B<_>2 = A C<_>2 + B C<_>2 - 2A C x D C_.

DEMONSTRATION.

Soit fait A B = _a_, B C = _b_, A C = _c_, B D = _d_, D C = _x_, A D $era _c_ - _x_. Cela po$é, le triangle rectangle B A D donne A B<_>2 = B D<_>2 + A D<_>2, ou analytiquement _aa_ = _dd_ + _cc_ - 2_cx_ + _xx_; & par la même rai$on, le triangle rectangle B D C donne B C<_>2 = B D<_>2 + D C<_>2, ou en termes analytiques, _bb_ = _dd_ + _xx_. Si l’on retranche les termes de cette derniere égalité des termes de la précédente, on aura _aa_ - _bb_ = _dd_ + _cc_ - 2_cx_ + _xx_ - _dd_ - _xx_ = _cc_ - 2_cx_; en effaçant ce qui $e détruit, & fai$ant pa$$er dans l’autre membre le terme - _bb_, on aura _aa_ = _bb_ + _cc_ - 2_cx_, ou A B<_>2 = A C<_>2 + B C<_>2 - 2A C x D C. C. Q. F. D.

On démontreroit de la même maniere que l’on auroit B C<_>2 = A B<_>2 + A C<_>2 - 2A C x A D.

COROLLAIRE.

413. Pui$que l’on a _aa_ = _bb_ + _cc_ - 2_cx_, on aura, en fai$ant pa$$er - 2_cx_ dans le premier membre, & _aa_ dans le $econd, 2_cx_ = _bb_ + _cc_ - _aa_, d’où l’on tire _x_ = {_bb_ + _cc_ - _aa_/2_c_}. Ce qui fait voir que pour avoir la valeur du $egment D C, il faut de la $omme des quarrés des côtés A C, B C, ôter le quarré du côté A B oppo$é à l’angle C, & divi$er le re$te par 2_c_, ou deux fois le côté $ur lequel on a abai$$é la perpendiculaire B D. D’où il $uit que par la connoi$$ance des trois côtés d’un trian- gle quelconque, on peut toujours trouver la $urface; car la [0246]NOUVEAU COURS DE MATH. _Liv. IV_. $urface d’un triangle e$t égal au produit de $a ba$e par la per- pendiculaire, & nous voyons par le pré$ent corollaire, que l’on peut toujours avoir la perpendiculaire B D. Pour cela, il n’y a qu’à ôter le quarré du $egment D C du quarré de B C, & prendre la racine quarrée de la différence, que l’on multi- pliera par le côté A C, pour avoir la $urface du triangle A B C.

_Fin du quatrieme Livre_. [0247] NOUVEAU COURS DE MATHÉMATIQUE. LIVRE CINQUIEME, _Où l’on traite des propriétés du Cercle_. DÉFINITIONS. I.

414. L’ON nomme _cercles concentriques_, ceux qui ayant été Planche III. décrits du même centre, ont leurs circonférences paralleles: _Figure_ 50. tels $ont les deux cercles qui ont pour centre commun le point A.

II.

415. Les _cercles excentriques_, $ont ceux qui ayant été décrits _Figure_ 51. par des centres différens, n’ont pas leurs circonférences pa- ralleles, comme B & C.

III.

416. L’on nomme _couronne_, l’e$pace renfermé entre les _Figure_ 50. circonférences de deux cercles concentriques, comme e$t l’e$- pace B B, terminé par les circonférences E & F.

IV.

417. Le _$egment de cercle_ e$t la partie de la $urface d’un cer- _Figure_ 52. cle, terminée par une ligne droite, & par une partie de $a circonférence, comme A B C. Si la ligne droite A C ne [0248]NOUVEAU COURS pa$$e pas par le centre, le cercle $era divi$é en deux $egmens inégaux.

V.

418. Le _$ecteur de cercle_ e$t une partie de $a $urface, termi- _Figure_ 53. née par deux rayons D C, D E, & par une partie de $a circon- férence, comme C D E.

VI.

419. L’_arc de cercle_ e$t une partie de la circonférence, plus grande ou plus petite que la demi-circonférence.

VII.

420. On nomme _cordes_ toutes les lignes droites, comme _Figure_ 52. A C, terminées par la circonférence d’un cercle.

VIII.

421. Quand une ligne touche la circonférence d’un cercle _Figure_ 54. $ans le couper, cette ligne e$t nommée tangente: ain$i la ligne A B, qui ne touche la circonférence du cercle D qu’au point _d_, e$t dite tangente à ce cercle au point _d_.

IX.

422. Si une ligne rencontre la circonférence d’un cercle, de maniere qu’elle pa$$e au dedans, cette ligne e$t appellée $é- cante, comme e$t, par exemple, la ligne B E.

PROPOSITION I. THEOREME.

423. Si du centre d’un cercle on abai$$e une perpendiculaire Figure 55. _B D E_ $ur une corde _A C_, elle la divi$era en deux parties égales au$$i-bien que l’arc _A E C_ $outenu par cette corde.

DEMONSTRATION.

Soient menés aux extrêmités A, C de la corde A C les rayons A B, B C; il e$t ai$é de voir que les triangles rectangles A B D, C B D $ont égaux en tout; car ils ont, outre l’angle droit, deux côtés A B, B C égaux, pui$que ce $ont les rayons d’un même cercle; & de plus, le côté B D e$t commun à l’un & à l’autre : donc la ligne A D e$t égale à la ligne D C. On peut encore démontrer cette propo$ition par la propriété des triangles rec- [0249]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. V_. tangles: car pui$que par hypothe$e B D e$t perpendiculaire $ur A C, on aura A D<_>2 = A B<_>2 - B D<_>2, & D C<_>2 = B C<_>2 - B D<_>2 = A B<_>2 - B D<_>2: donc A D<_>2 = D C<_>2, ou A D = A C.

2<_>0. Pui$que les triangles A B D, C B D $ont égaux en tout, l’angle A B D $era égal à l’angle C B D; & prolongeant le côté B D ju$qu à la circonférence du cercle en E, les arcs A E, E C qui me$urent les angles A B E, C B E $ont égaux; & par con- $équent l’arc A C e$t au$$i divi$é en deux parties égales au point E.

PROPOSITION II. THEOREME.

_424_. Si une droite _B D_ pa$$e par le centre, & divi$e la corde ou $on arc _A C_ en deux parties égales; elle $era perpendiculaire à cette corde.

DEMONSTRATION.

Soient tirés les rayons A B, B C aux extrêmités de la corde A C. Cela po$é, pui$que la droite B D divi$e la corde A C en deux parties égales, le point D de cette droite $era également éloigné des extrêmités A, C de la droite A C; & parce que, _par hypothe$e_, la même droite B D pa$$e par le centre B, $on point B $era encore également éloigné des mêmes extrêmités A, C : donc elle $era perpendiculaire à cette corde.

Si l’on $uppo$e que l’arc A C e$t coupé en deux également par la droite B D, prolongée en E, il e$t vi$ible que les an- gles A B E, C B E, me$urés par ces arcs, $eront égaux; & parce que le point B e$t le centre du cercle, les rayons B C, A B $eront au$$i égaux: donc les triangles A B D, C B D auront un angle égal compris entre côtés égaux; ain$i ils $eront parfai- tement égaux (art. 381). Donc l’angle B D C e$t égal à l’an- gle B D A: donc la ligne B D ne penche pas plus d’un côté que de l’autre $ur la ligne A C, & par con$équent lui e$t per- pendiculaire. C. Q. F. D.

PROPOSITION III. THEOREME.

_425_. Si une ligne droite _E D B_ perpendiculaire à une corde _A C_, divi$e cette corde ou $on arc en deux parties égales, je dis que cette ligne pa$$e néce$$airement par le centre.

[0250]NOUVEAU COURS DEMONSTRATION.

Pui$que la ligne E B e$t perpendiculaire $ur le milieu de la corde A C, elle pa$$e néce$$airement par tous les points égale- ment éloignés de A & de C; mais le centre B e$t également éloigné des points A & C, qui $ont à la circonférence, par la définition du cercle & de $on centre : donc la ligne E D B pa$$e néce$$airement par le centre B. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

426. Il $uit des trois propo$itions précédentes, que de ces trois conditions, _pa$$er par le centre, être perpendiculaire à la_ _corde, & la couper en deux parties égales_, deux, comme l’on voudra, étant po$ées, la troi$ieme s’en$uit néce$$airement.

PROPOSITION IV. THEOREME.

_427_. Si du centre _D_ d’un cercle on mene une ligne _DC_ au point Figure 56. _C_, où une tangente _A B_ touche le cercle, je dis que cette ligne $era perpendiculaire à la tangente.

DEMONSTRATION.

Pui$que la ligne A B e$t $uppo$ée tangente en C, tout autre point de cette ligne, comme F, $era au dehors du cercle, & partant la ligne DF, menée du centre D à ce point, $era plus grande que le rayon D C: donc le rayon D C e$t la plus courte de toutes les lignes qu’on pui$$e mener du point D à la tan- gente A B: donc ce rayon D C e$t perpendiculaire à la même tangente. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

428. Réciproquement $i une ligne C B e$t perpendiculaire à l’extrêmité d’un rayon D C, elle $era tangente en C; car toute autre ligne, comme D F, étant plus longue que le rayon D C, aura $on extrêmité F $ur la ligne A B hors du cercle; & par con$équent la ligne A B perpendiculaire à l’extrêmité du rayon, $era tangente au cercle en ce point. C. Q. F. D.

[0251]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. V_. PROPOSITION V. THEOREME.

_429_. L’angle _A B C_, qui a $on $ommet à la circonférence d’un _Figure_ 57 cercle, a pour me$ure la moitié de l’arc compris entre $es côtés.

DEMONSTRATION.

Par le $ommet B de l’angle A B C, & le centre D, $oit me- née la ligne B D E, & les rayons D A, D C; il e$t évident que l’angle total A B C e$t égal à la $omme des angles A B E, C B E, & que l’angle au centre A D C e$t égal à la $omme des angles A D E, C D E. Cela po$é, l’angle C D E extérieur au triangle i$o$cele C D B e$t égal aux deux angles intérieurs en B & en C, ou double de l’angle en B; & de même l’angle A D E étant extérieur au triangle i$o$cele A D B, e$t égal à la $omme des intérieurs oppo$és en B & en A, ou double de l’angle A B D: donc l’angle total A D C e$t double de l’angle total A B C: donc l’angle à la circonférence n’e$t que la moitié de l’angle au centre. C.Q.F.D.

430. On déduit de cette propo$ition plu$ieurs con$équences, qui $ont d’un très-grand u$age. 1<_>0. Qu’un angle, tel que A B C, _Figure_ 59. e$t droit, lor$qu’il e$t appuyé $ur le diametre, ou $ur une demi- circonférence, pui$qu’il a pour me$ure la moitié de l’arc A O C, qui e$t de 90 degrés, ou un quart de cercle.

431. 2<_>0, Qu’un angle, comme D E F, qui e$t renfermé dans _Figure_ 60 un $egment plus petit qu’un demi-cercle e$t obtus, pui$qu’il a pour me$ure un arc plus grand qu’un quart de cercle, étant appuyé $ur l’arc D O F, plus grand que la demi-circonférence.

432. 3<_>0. Qu’un angle, comme G H I, qui e$t renfermé dans _Figure_ 60 un $egment plus petit qu’un demi-cercle e$t obtus, pui$qu’il a pour me$ure la moitié de l’arc G O I, qui e$t plus petite qu’un quart de cercle.

433. 4<_>0. Que les angles, comme A B C & A D C, qui $ont _Figure_ 62. renfermés dans le même $egment $ont égaux, pui$qu’ils ont chacun pour me$ure la moitié de l’arc A O C.

434. Que deux angles qui $ont appuyés $ur une même corde _Figure_ 60. D F, l’un d’un côté, l’autre de l’autre, $ont $upplémens l’un de l’autre, pui$qu’ils ont en$emble pour me$ure la moitié de la circonférence, tels $ont les angles D E F, D O F.

[0252]NOUVEAU COURS PROPOSITION VI. THEOREME.

_435_. Si l’on a un angle _B A D_, formé par une tangente & par _Figure_ 58. une corde _A D_, cet angle aura pour me$ure la moitié de l’arc _A F D_, compris entre la corde & la tangente.

DEMONSTRATION.

Tirez du centre E le rayon E A au point d’attouchement A, qui $era perpendiculaire $ur la tangente A B (art. 427), & tirez du centre E la droite E G F perpendiculaire $ur A D, qui la divi$era en deux également, au$$i-bien que l’arc A F D (art. 423). Cela po$é, à cau$e du triangle rectangle A G E, l’angle G A E, joint à l’angle A E G vaut un droit, & le même angle G A E, joint à G A B vaut au$$i un droit: donc l’angle G A B e$t égal à l’angle A E G; mais l’angle A E G étant au centre du cercle, a pour me$ure l’arc A F compris entre $es côtés, & moitié de l’arc A F D $outenu par la corde A D: donc l’angle B A D formé par une tangente & par une corde, a pour me$ure la moitié de l’arc compris entre la corde & cette tan- gente. C.Q.F.D.

PROPOSITION VII. THEOREME.

_436_. Un angle _A E C_ qui a $on $ommet placé au dedans du _Figure_ 63. cercle dans un point quelconque E, différent du centre & des points de la circonférence, a pour me$ure la moitié de l’arc _A C_, $ur lequel il e$t appuyé; plus la moitié de l’arc _B D_ compris entre le prolongement de $es côtés _A E, EC_.

DEMONSTRATION.

Soit tirée la droite B C du point B au point C. L’angle A E C étant extérieur au triangle B E C, e$t égal à la $omme des an- gles intérieurs B C E, C B E: mais ces mêmes angles ayant leur $ommet à la circonférence, ont pour me$ure la moitié de l’arc compris entre leurs côtés; $çavoir, l’angle C B E ou C B A, la moitié de l’arc A C, & l’angle B C E ou B C D $on égal, la moitié de l’arc B D: donc l’angle A E C, qui e$t égal à leur [0253]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. V_. $omme, a pour me$ure la $omme de la moitié des mêmes arcs, c’e$t-à-dire la moitié de l’arc A C compris entre $es côtés, plus la moitié de l’arc B D, compris entre le prolongement des mêmes côtés. C.Q.F.D.

PROPOSITION VIII. THEOREME.

_437_. L’angle _B A C_, dont le $ommet e$t au dehors de la cir- _Figure_ 64. conférence d’un cercle, & dont les côtés $e terminent à la partie concave de la même circonférence en _B_ & en _C_, a pour me$ure la moitié de l’arc concave _B C_, moins la moitié de l’arc conyexe _D E_ compris entre $es côtés.

DEMONSTRATION.

Soient menées les lignes B E, C D, qui donneront les trian- gles B A E, D A C. L’angle B D C étant extérieur au triangle D A C e$t égal à l’angle D A C, plus à l’angle A C D: donc l’angle D A C, ou $on égal B A C, e$t égal à l’angle B D C, moins l’angle D C E: mais chacun de ces angles étant à la circonférence, a pour me$ure la moitié de l’arc compris entre $es côtés; $çavoir l’angle B D C, la moitié de l’arc B C, & l’angle A C D, la moitié de l’arc D E: donc l’angle B A C a pour me$ure la moitié de la différence des mêmes arcs, c’e$t- à-dire la moitié de l’arc concave B C $ur lequel il e$t appuyé, moins la moitié de l’arc convexe D E. C.Q.F.D.

COROLLAIRE.

438. Il $uit de tout ce que nous venons de dire, que, $i l’on a un angle à la circonférence, tel que A D C, formé par une _Figure_ 64. corde D C & une droite A D, dont le prolongement coupe le cercle, cet angle aura pour me$ure la moitié de l’arc compris entre la corde D C, plus la moitié de l’arc $outenu par le côté A D, prolongé ju$qu’à la circonférence du cercle en B: car pui$que la ligne A D B e$t une ligne droite, ain$i que la ligne D C, les angles B D C, A D C $ont en$emble égaux à deux droits, & par con$équent doivent avoir pour me$ure la moitié de la circonférence; mais l’angle B D C ayant $on $om- met à la circonférence, a pour me$ure la moitié de l’arc B C: donc l’angle A D C doit avoir pour me$ure la moitié de l’arc D C, plus la moitié de l’arc B D, qui font en$emble la moitié du re$te de la circonférence.

[0254]NOUVEAU COURS PROPOSITION IX. THEOREME.

_439_. Si l’on a deux droites quelconques _A B, C D_, qui $e cou- _Figure_ 63. pent au dedans d’un cercle dans un point _E_, je dis que le rectangle compris $ous les parties _A E_ & _E B_ de l’une, e$t égal au rectangle compris $ous les parties _D E_ & _E C_ de l’autre.

DEMONSTRATION.

Soient menées les cordes A C & D B; con$idérez que les triangles A C E & D B E $ont $emblables, ayant les angles égaux en E, pui$qu’ils $ont oppo$és au $ommet, & que de plus l’angle en C e$t égal à l’angle en B, pui$que chacun d’eux e$t appuyé $ur le même arc: donc les côtés oppo$és aux angles égaux $eront proportionnels, & donneront A E: E D:: E C: EB (art. 402): donc en prenant le produit des extrêmes & des moyens, on aura A E x E B = E D x E C. C.Q.F.D.

PROPOSITION X. THEOREME.

_440_. Si du point _A_, pris au dehors d’un cercle $ur le même _Figure_ 64. plan, on mene deux lignes droites _A B, A C_ qui aillent $e terminer à la partie concave de la circonférence; je dis que le rectangle com- pris $ous une $écante entiere _A B_, & $a partie _A D_ extérieure au cercle, e$t égal au rectangle compris $ous l’autre $ecante entiere _A C_, & $a partie extérieure _A E_.

DEMONSTRATION.

Si l’on tire les lignes B E & C D, on aura deux triangles $emblables A B E & A C D: car l’angle A leur e$t commun, & les angles B & C ont chacun pour me$ure la moitié de l’arc D E (art. 429): donc les côtés oppo$és aux angles égaux $eront proportionnels (art. 403), & donneront A B: A C:: A E: A D: par con$équent en prenant le produit des extrêmes & des moyens, on aura A B x A D = A C x A E. C.Q.F.D.

[0255]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. V_. PROPOSITION XI. THÉOREME.

_441_. Si d’un point _B_ quelconque de la circonférence _A B C_, on _Figure_ 65. abai$$e une perpendiculaire _B D_ $ur le diametre _A C_; je dis que le quarré de cette perpendiculaire $era égal au rectangle des parties _A D, D C_ du diametre.

DEMONSTRATION.

Soient tirées les droites A B, B C du point B aux extrê- mités du diametre A C, le triangle A B C $era rectangle en B, pui$que l’angle A B C e$t appuyé $ur la demi-circonférence (art. 430), & $era partagé en deux autres triangles A B D, B D C au$$i rectangles, & qui lui $eront $emblables (art. 406). Comparant ces deux triangles $emblables, & prenant les côtés homologues, on aura A D: B D:: B D: D C: donc en pre- nant le produit des extrêmes & celui des moyens, A D x D C = B D<_>2. C.Q.F.D.

COROLLAIRE I.

442. Il $uit de cette propo$ition, qu’à quelque point du dia- metre qu’on éleve une perpendiculaire, elle e$t toujours moyenne proportionnelle entre les deux parties du même dia- metre; & c’e$t ce que nous appellerons dans la$uite, la pro- priété principale du cercle, de laquelle on déduit $on équation.

COROLLAIRE II.

443. Il $uit au$$i de la démon$tration précédente, qu’une corde quelconque A B e$t moyenne proportionnelle entre le diametre entier A C, & la partie compri$e entre l’origine de cette corde & la perpendiculaire B D, abai$$ée de $on extrê- mité: car le triangle rectangle B D A e$t $emblable au grand triangle C B A, pui$qu’ils ont un angle commun en A, outre l’angle droit: donc en comparant les côtés homologues, on aura A C: A B:: A B: A D: donc A D x A C = A B<_>2. On démontreroit de même que B C e$t moyenne proportionnelle entre A C & C D.

COROLLAIRE III.

444. On auroit pu déduire cette derniere propo$ition de la [0256]NOUVEAU COURS propo$ition neuvieme; car pui$que deux droites quelconques, qui $e coupent dans le cercle, s’y coupent de maniere que les produits de leurs parties $ont égaux; lor$que l’une des $écantes $era coupée en deux également par une droite AC, comme la ligne B F, le produit B D x D F deviendra le quarré B D; & _Figure_ 65. $i l’on $uppo$e de plus que l’autre $écante AC pa$$e par le cen- tre, ou qu’elle e$t perpendiculaire au milieu de la $écante B F; cette $uppo$ition nous donnera préci$ément l’énoncé du der- nier théorême.

DEFINITION.

445. La perpendiculaire BD, menée d’un point B de la circon- férence du cercle $ur le diametre AC, e$t appellée _ordonnée_ à ce diametre, & les parties du diametre déterminées ou _coupées_ du en D, comme A D, D C $ont appellées _ab$ci$$es_ ou _coupées_ du même diametre. On exprime généralement le théorême pré- cédent, en di$ant _que dans un cercle, les quarrés des ordonnées_ _$ont égaux aux produits de leurs ab$ci$$es._

PROPOSITION XII. PROBLEME.

_446_. Un cercle _B E_ étant donné avec un point _D_ $ur le même _Figure 66_. plan, mener une droite _DB_ qui aille toucher le cercle en un point _B_.

SOLUTION.

Par le centre C & le point donné D, menez une ligne C D; $ur cette ligne, comme diametre, décrivez un demi-cercle C B D qui coupe le cercle donné dans un point B; menez la ligne B D, qui $era la tangenre demandée, & qui ne rencontre le cercle qu’au $eul point B.

DEMONSTRATION.

Pour concevoir la rai$on de cette opération, tirez encore au centre C du point B la ligne BC. Il e$t vi$ible que l’angle C B D e$t droit (art. 430), étant appuyé $ur le diametre; d’ailleurs, la ligne B D e$t perpendiculaire à l’extrêmité du rayon C B, & pa$$e par le point D: donc elle e$t la tangente demandée. C. Q. F. T. & D.

[0257]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. V_. PROPOSITION XIII. THEOREME.

_447_. Si d’un point _B_ hors d’un cercle, on mene une tangente _BA_, _Figure_ 67. & une $écante _B C_, je dis que le quarré de la tangente _A B_ e$t égal au rectangle, compris $ous la $écante entiere _BC_, & $a partie ex- térieure _B D_.

DEMONSTRATION.

Soient menées les cordes A C & A D du point de contin- gence A, aux points C, D, où la $écante BC rencontre le cer- cle. Les triangles C A B, A D B $eront $emblables, car ils ont un angle commun en B; & de plus, l’angle A C B, formé par la corde A C & la $écante C B, e$t égal à l’angle B A D, formé par la tangente A B & la corde A D, pui$qu’ils ont chacun pour me$ure la moitié de l’arc A D, compris entre leurs côtés (art. 429 & 435): donc ces triangles $ont $emblables (art. 402); & par con$équent les côtés homologues $ont proportionnels, & donnent B C : A B :: A B : B D : donc A B<_>2 = B C x B D. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

448. Il $uit delà, que $i deux tangentes A B, B F $e rencon- trent dans un point A, les parties A B, B F de ces tangentes, pri$es depuis le point de rencontre ju$qu’aux points de con- tact, $ont égales entr’elles: car on démontrera de même que pour la tangente A B, que l’on auroit B F<_>2 = B D x B C: donc pui$que A B<_>2 = B C x B D, on aura A B<_>2 = B F<_>2, & par con$équent A B = B F.

Il e$t à remarquer, que l’on auroit pu déduire cette propo- $ition, immédiatement de la dixieme: car $i l’on imagine que la $écante A B tourne au tour du point A comme d’une char- _Figure_ 64. niere, on verra que les points B, D s’approchant continuelle- ment l’un de l’autre, $e confondront enfin, lor$que la ligne A B $era devenue tangente dans un $eul point, & alors le rec- tangle A B x A D deviendra le quarré de la même tangente, qui $era égal au produit de la $écante entiere A C par $a partie extérieure A E.

[0258]NOUVEAU COURS PROPOSITION XIV. THEOREME.

_449_. Si l’on a une tangente _C D_ perpendiculaire à l’extrêmité _Figure_ 68. d’un diametre _A B_, je dis que $i l’on tire autant de lignes qu’on voudra du point _A_ à la tangente, telles que _A C, A D_, le quarré du diamettre _A B_ $era égal au produit de cette ligne _A C_ par la partie intérieure _A E_.

DEMONSTRATION.

Soit menée la droite B E de l’extrêmité inférieure du dia- metre au point E, où la droite A C coupe le cercle: on aura deux triangles rectangles $emblables A B C, A E B: car le pre- mier A B C e$t rectangle en B, à cau$e de la tangente A D, qui e$t perpendiculaire au diametre A B, le $econd A E B e$t rec- tangle en E, pui$que cet angle e$t appuyé $ur le diametre; de plus, ces triangles ont un angle commun en A: donc ils $ont $emblables (art. 402), & les côtés homologues nous donnent A C : A B :: A B : A E; donc A B<_>2 = A C x A E. C. Q. F. D.

DÉFINITION.

450. L’on dit qu’une ligne e$t divi$ée en moyenne & ex- trême rai$on, lor$que la ligne entiere e$t à la plus grande par- tie; comme la même plus grande partie e$t à la plus petite: & la plus grande partie e$t appellée _médiane_.

PROPOSITION XV. PROBLEME.

_451_. Divi$er une ligne donnée _A B_ en moyenne & extrême rai- _Figure_ 69. $on, c’e$t-à-dire de maniere que l’on ait _A B : A F :: A F : F B_.

SOLUTION.

A l’extrêmité B de la ligne donnée A B, $oit élevée la per- pendiculaire B D, égale à la moitié de la même ligne A B: du point D, & de l’intervale ou rayon B D, $oit décrit un cercle E B C, en$uite par le point A & le centre D, $oit menée la $é- cante A C: enfin $oit pri$e A F égale à la partie extérieure A E de la $écante A C; je dis que le point F divi$e la ligne A B en moyenne & extrême rai$on, ou, ce qui revient au même, que l’on a A B : A F :: A F : F B.

[0259]DE MATHEMATIQUE. _Liv. V_. DEMONSTRATION.

Soit nommé A F ou A E _x_, A B _a_, C E $era au$$i _a_, A C $era _a_ + _x_, & F B $era _a_ - _x_. Cela po$é, par la propo$i- tion 13, on a A C : A B :: A B : A E, ou A F; & en termes analytiques, _a_ + _x_ : _a_ :: _a_: _x_, & fai$ant le produit des extrê- mes & des moyens, il vient _aa_ = _ax_ + _xx_, fai$ant pa$$er en- $uite _ax_ du $econd membre dans le premier, il vient _aa_ - _ax_ = _xx_, ou _a_ - _x_ x _a_ = _xx_, d’où l’on déduit cette proportion _a_ : _x_ :: _x_ : _a_ - _x_, ou A B : A F :: A F : F B. C. Q. F. T. & D.

Fin du cinquieme Livre. [0260] NOUVEAU COURS DE MATHÉMATIQUE. LIVRE SIXIEME, Qui traite des Polygones réguliers, in$crits & circon$crits au cercle. DÉFINITIONS. I.

452. ON dit qu’un polygone régulier ou irrégulier e$t _in$crit_ au cercle, lor$que tous les $ommets de $es angles $ont à la cir- conférence du cercle.

II.

453. On dit qu’une figure rectiligne, réguliere ou irréguliere e$t _circon$crite_ au cercle, quand chacun de $es côtés touche la circonférence du cercle, ou autrement, quand chaque côté e$t une tangente au cercle.

III.

454. On appelle _polygone régulier_, une figure dont tous les angles & les côtés $ont égaux entr’eux, & _polygones $ymétriques_, ceux dont les côtés oppo$és $ont égaux, & paralleles deux à deux.

IV.

455. Un polygone régulier $e nomme _pentagone_, lor$qu’il a cinq côtés; _exagone_, quand il a $ix côtés, _eptagone_, quand il [0261]NOUVEAU COURS DE MATHEM. _Liv. VI_. en a $ept; _octogone_, quand il en a huit; _ennéagone_, quand il en a neuf; _décagone_, quand il en a dix; & enfin _ondécagone_ ou _dodécagone_, quand il en a onze ou douze.

V.

456. Comme tout polygone régulier peut être in$crit dans un cercle, on di$tingue dans tout polygone régulier deux $ortes d’angles, les angles du _centre_, & les angles du _polygone_ ou de la _circonférence_.

VI.

457. L’angle au centre e$t un angle, comme B A C, formé Planche IV. par deux rayons A B & A C, tirés du centre aux extrêmités d’un _Figure_ 70. des côtés du polygone.

VII.

458. L’angle du polygone, e$t un angle comme B C D, formé par la rencontre des deux côtés B C & C D du même polygone.

COROLLAIRE.

459. Comme l’angle du centre du polygone a pour me$ure l’arc, dont un des côtés du polygone e$t la corde, l’on trou- vera toujours la valeur de cet angle, en divi$ant 360, ou les degrés de la circonférence entiere, par le nombre des côtés du polygone. Ain$i pour trouver l’angle au centre d’un exa- gone, je divi$e 360 par 6, & le quotient 60, e$t la me$ure de l’angle que je cherche. Or comme l’angle B C D du polygone e$t double de l’angle A B C, & que par con$équent il e$t égal aux deux angles de la ba$e du triangle i$o$cele A B C, il s’en$uit qu’il e$t égal à la différence de l’angle du centre à deux droits: ain$i on trouvera la valeur de l’angle du polygone, en retran- chant l’angle du centre de 180 degrés.

PROPOSITION I. PROBLEME.

460. In$crire un exagone dans un cercle.

SOLUTION.

Pour in$crire un exagone dans un cercle, il faut prendre le _Figure_ 70. rayon du cercle avec le compas, & le porter $ix fois $ur la cir- conférence; cette opération détermine les points qui $ervent à tracer l’exagone.

[0262]NOUVEAU COURS DEMONSTRATION.

Con$idérez que le côté B C de l’exagone e$t égal au rayon A B; car comme l’angle du centre B A C de l’exagone e$t de 60 degrés, la $omme des deux angles de la ba$e du triangle i$o$cele B A C $era de 120 degrés, double de l’angle au centre; chacun d’eux $era donc de 60 degrés: donc le triangle B A C e$t équilatéral, & le côté B C e$t égal au rayon A C. C. Q. F. D.

PROPOSITION II. PROBLEME.

461. Décrire un dodécagone dans un cercle, ou, ce qui e$t la _Figure_ 71. même cho$e, une figure de douze côtés.

SOLUTION.

Pour déctire un dodécagone dans un cercle, il faut porter le rayon A C $ur la circonférence, afin d’avoir l’arc C D de 60 degrés, ou autrement égal à la $ixieme partie de la même cir- conférence, & divi$er en$uite cet arc en deux également en E, la corde D E $era le côté du dodécagone, pui$qu’elle e$t la corde d’un angle de 30 degrés, qui font la douzieme partie de la circonférence. C. Q. F. D.

LEMME.

_462_. Si l’on a un triangle i$o$cele _A B C_, dont chaque angle de _Figure_ 72. la ba$e $oit double de celui du $ommet; je dis que $i l’on divi$e l’un des angles de la ba$e, comme _B A C_ en deux également par une ligne _A D_, qui va rencontrer le côté oppo$é en _D_, cette ligne divi- $era ce même côté _A C_ en moyenne & extrême rai$on au point _D_, en$orte que l’on aura _B C : B D : : B D : D C._

DEMONSTRATION.

Con$idérez que les triangles A B C & D A C $ont $embla- bles, pui$qu’ils ont un angle commun en C, & que l’angle D A C e$t égal à l’angle B, pui$que l’angle B e$t par $uppo$i- tion moitié de l’angle B A C, dont celui-ci e$t au$$i la moitié. On aura de plus le triangle B D A, qui $era i$o$cele, pui$que l’angle D B A e$t égal à l’angle B A D: donc les côtés A D, B D $eront égaux. Cela po$é, les triangles $emblables A B C, D A C [0263]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VI_. nous donnent par la comparai$on des côtés homologues B C : A C : : A C : D C, & mettant B D à la place de A C, au- quel il e$t égal, on aura B C : B D : : B D : D C. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

463. Cette propo$ition donne un moyen de faire un trian- gle i$o$cele, dont les angles de la ba$e $oient chacun doubles de celui du $ommet; car pour faire, par exemple, un triangle comme A B C, l’on n’aura qu’à divi$er le côté B C en moyen ne & extrême rai$on (art. 451), & $ur la plus petite partie D C comme ba$e, faire un triangle i$o$cele par le moyen de deux $ections, avec une ouverture de compas de la grandeur de la médiane B D, & l’on aura le point A, qui $ervira à former le triangle A B C. Comme il n’y a qu’une maniere de divi$er une ligne en moyenne & extrême rai$on, il n’y a au$$i qu’un trian- gle qui ait la propriété que nous venons de voir.

COROLLAIRE II.

464. Il $uit encore delà que $i du point B, comme centre, l’on décrit un cercle, dont le rayon $oit B A ou B C, la ba$e A C du triangle i$o$cele A B C $era le côté du décagone in$crit dans ce cercle: car pui$que, par con$truction, les deux angles de la ba$e $ont chacun doubles de l’angle au $ommet, les trois an- gles du même triangle, pris en$emble, vaudront cinq fois l’angle du $ommet; & comme la valeur des trois angles d’un triangle quelconque e$t de deux angles droits, on aura la va- leur de l’angle au $ommet, en divi$ant deux droits ou 180 degrés par 5, & ce qui donnera 36 pour le nombre des degrés de l’angle au centre B, lequel nombre e$t préci$ément la dixieme partie de la circonférence, ou de 360 degrés.

PROPOSITION III. PROBLEME.

465. In$crire un décagone dans un cercle.

Pour in$crire un décagone dans un cercle, il faut divi$er le rayon de ce cercle en moyenne & extrême rai$on, la médiane $era le côté du décagone; ain$i l’on n’aura qu’à porter dix fois cette ligne $ur la circonférence, & l’on aura les points qui $er- viront à tracer le décagone; ce qui e$t évident, pui$que par le [0264]NOUVEAU COURS corollaire précédent, la médiane d’une ligne quelconque, di- vi$ée en moyenne & extrême rai$on, e$t le côté du décagone in$crit au cercle qui auroit cette ligne pour rayon.

PROPOSITION IV. THÉOREME.

_466_. Si l’on a une ligne droite _B D_ égale à la $omme des côtés _Figure_ 74. de l’exagone & du décagone in$crit au même cercle, elle $era divi$ée en moyenne & extrême rai$on au point de jonction de ces deux côtés.

DEMONSTRATION.

Soit la ligne B C égale au côté du décagone in$crit au cer- cle, qui a pour rayon B A ou A C. Soit prolongée cette ligne en D, de maniere que l’on ait D C = A C, pui$que le rayon e$t le côté de l’exagone; il faut faire voir que l’on aura B D: D C : : D C : B C. Pour cela, $oit tirée la ligne A D qui nous donnera le triangle i$o$cele D C A, & le nouveau triangle B D A $emblable au triangle B A C, pui$que ces triangles ont l’angle B commun, & que l’angle B D A e$t égal à l’angle C A B; car à cau$e du triangle i$o$cele D C A, l’angle A C B qui lui e$t extérieur, e$t double de l’angle C A D, ou C D A; mais par la nature du côté du décagone, le même angle e$t double de l’angle B A C au centre A: donc l’angle B D A e$t égal à l’angle C A B: donc les triangles B D A, B A C $ont $emblables, & les côtés homologues $eront proportionnels; ain$i l’on aura B D : B A : : B A : B C, ou en mettant D C au lieu de B A qui lui e$t égal, B D : D C : : D C : B C. C. Q. F. D.

PROPOSITION V. THEOREME.

467. Le quarré du côté du pentagone in$crit dans un cercle e$t _Figure_ 75. égal à la $omme des quarrés de l’exagone & du décagone in$crits au même cercle.

DEMONSTRATION.

Si l’on a dans un cercle le côté A B du pentagone, & qu’on divi$e en deux également au point C l’are A C B, la corde A C ou C B $era le côté du décagone, & le rayon A D ou B D le côté de l’exagone. Il faut démontrer que l’on aura A B<_>2 = B D<_>2 [0265]DE MATHEMATIQUE. _Liv. VI_. + A C. Pour cela, $oit encore divi$é l’arc A C en deux éga- lement en F, $oit mené le rayon F D & du point E, où il coupe le côté A B du pentagone, $oit tirée la droite E C. Le triangle A E C $era i$o$cele & $emblable au triangle A C D; car pui$- que la droite F D coupe l’arc A C en deux parties égales, & pa$$e par le centre; elle coupe au$$i la corde en deux parties égales, & lui e$t perpendiculaire: donc tous les points de cette droite F D $ont également éloignés des extrêmités A C, ain$i l’on aura A E = E C. De plus, ce triangle a un angle com- mun avec le triangle i$o$cele A C B: donc ils $ont $emblables; & comparant les côtés homologues on aura A B : A C : : A C : A E; donc A C<_>2 = A B x A E. De même le triangle A D B e$t $em- blable au triangle D E B, car ces triangles ont un angle com- mun en B, qui vaut 54 degrés; mais l’angle B D F e$t au$$i de 54 degrés, ayant pour me$ure l’arc F B, qui vaut C B de 36 degrés, plus F C de 18 degrés, pui$que F C e$t moitié de l’arc A C; ce triangle D E B $era donc i$o$cele, ain$i que le trian- gle A D B, & comparant les côtés homologues, on aura A B : B D : : B D : B E; donc B D<_>2 = A B x B E. Et ajoutant aux membres de cette équation ceux de l’équation précédente, on aura B D<_>2 + A C<_>2 = A B x A E + A B x B E. Mais A B x A E + A B x B E = A B x (A E + B E) = A B x A B = A B<_>2: donc B D<_>2 + A C<_>2 = A B<_>2. C. Q. F. D.

PROPOSITION VI. PROBLEME.

468. In$crire un Pentagone dans un cercle.

SOLUTION.

Pour in$crire un pentagone dans un cercle, tirez le rayon _Figure_ 76. C F, perpendiculaire $ur le diametre A B, & divi$ez le demi- diametre C B en deux également au point E; de ce point comme centre, & de l’intervalle E F, décrivez l’arc F D, & la ligne F D $era le côté du pentagone in$crit au cercle A F D.

DEMONSTRATION.

Pour le prouver, con$idérez que le triangle D F C e$t rec- tangle, par con$truction, & que le côté C F étant celui de l’exagone, il $uffira de faire voir que le côté D C e$t celui du décagone: car pour que la ligne F D $oit le côté du pentagone, [0266]NOUVEAU COURS on $çait, par le théorême précédent, qu’il faut que le quarré de ce côté $oit égal aux quarrés des côtés de l’exagone & du décagone. Pour cela, nous nommerons C F ou C B, _a_; par con$équent C E $era {1/2} _a_, l’inconnue D C $era nommée _x_, ain$i B D $era _a_+_x_. Cela po$é, comme E F e$t égal à E D, on aura, à cau$e du triangle rectangle E C F, C E<_>2 + C F<_>2 = E F<_>2, ou en termes analytiques _aa_ + {1/4} _aa_ = _xx_ + _ax_ + {1/4} _aa_, ou _aa_ = _xx_ + _ax_, en effaçant {1/4} _aa_ de part & d’autre; d’où l’on tire _a_ + _x_: _a_:: _a_: _x_, ou D B: C B:: C B: D C, qui montre que la ligne D B e$t divi$ée en moyenne & extrême rai$on au point C; & par con$équent (art. 466) la ligne D C e$t le côté du décagone, pui$que B C e$t celui de l’exagone. C. Q. F. D.

PROPOSITION VII. PROBLEME.

469. In$crire un quarré dans un cercle.

Pour in$crire un quarré dans un cercle, tirez le diametre _Figure_ 77. A B, $ur le milieu de ce diametre, élevez un $econd diametre C E D perpendiculaire au premier: ces deux diametres coupe- ront la circonférence en quatre parties égales dans les points A, C, B, D, par le$quels vous menerez les droites A C, C B, B D & D A, qui formeront un quarré; car toutes ces lignes $ont égales, pui$qu’elles $ont des cordes d’arcs égaux; & de plus, chacun des angles de cette figure e$t droit, pui$qu’il eft appuyé $ur le diametre. C. Q. F. T. & D.

PROPOSITION VIII. PROBLEME.

470. In$crire un octogone dans un cercle.

_Figure_ 77.

Pour in$crire un octogone dans un cercle, il faut d’abord divi$er $a circonférence en quatre parties égales, comme $i l’on vouloit y in$crire un quarré, & divi$er en deux également chaque quart de cercle, tel que C B; la corde C F ou F B $era le côté de l’octogone.

AVERTISSEMENT.

Nous n’avons point parlé de la maniere d’in$crire dans un cercle l’_eptagone_, l’_ennéagone_, ni l’_ondécagone_, parce que l’on [0267]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VI_. n’a pas encore trouvé le moyen de tracer géométriquement ces trois polygones, $implement avec la regle & le compas, étant obligé d’avoir recours à la Géométrie compo$ée, c’e$t- à-dire à la Géométrie des courbes. Il s’en faut beaucoup que que les $olutions des problêmes, par le moyen des courbes, $oient au$$i $imples que celles que l’on trouve par la regle & le compas, c’e$t ce qui a fait regarder ju$qu’ici ces $ortes de pro- blêmes comme très-difficiles, ain$i que celui de la tri$ection de l’angle, où il s’agit de divi$er un angle donné en trois par- ties égales, & dont l’équation monte au troi$ieme degré. Comme nous ne parlons pas de ces $ortes d’équations dans ce Traité, nous allons donner le moyen de tracer une courbe, que l’on a nommé _quadratrice_ de _Dino$trate_, du nom de $on inventeur, par le moyen de laquelle on pourra divi$er les an- gles & les arcs de cercles, en autant des parties égales que l’on voudra; mais auparavant il faut être prévenu des deux pro- blêmes $uivans.

PROBLEME I.

471. Divi$er une ligne droite en autant de parties égales que _Figure_ 80. l’on voudra.

Pour divi$er une ligne A B, par exemple, en neu$ parties égales, tirez la ligne A C, qui fa$$e avec A B un angle à volonté; du point A comme centre, & du rayon A B, décrivez l’arc B C, qui $era la me$ure de l’angle C A B; en- $uite avec la même ouverture de compas, & du point B com- me centre, décrivez l’arc A D égal à B C, & tirez la ligne B D, qui donnera l’angle A B D égal à l’angle C A B. Cela po$é, marquez $ur le côté A C avec une ouverture de compas à volonté, un nombre de parties égales, tel que celui dans le- quel on veut divi$er la ligne A B, c’e$t-à-dire qu’en commen- cant du point A, il faut marquer neuf parties égales $ur la ligne A C; aprés quoi il en faudra faire autant $ur la ligne B D, en commençant du point B: après cela, $i l’on tire les lignes 9 A, 81, 72, &c. elles divi$eront la ligne A B en neuf parties égales; ce qui e$t bien évident: car comme les lignes que l’on a tirées $ont paralleles entr’elles, elles donneront les triangles $emblables A1E, A9B, qui font voir que pui$que A1 e$t la neuvieme partie de A9, A E $era la neuvieme partie de A B, ain$i des autres.

[0268]NOUVEAU COURS PROBLEME II.

472. Divi$er un arc de cercle en un nombre de parties égales, pairement paires, c’e$t-à-dire qui $oit divi$ible par les nombres deux, & $es pui$$ances 4, 8, 16, 32.

SOLUTION.

Si l’on veut divi$er, par exemple, le quart de cercle A B C _Figure_ 81. en $eize parties égales, il faut des points A & C décrire avec la même ouverture de compas la $ection D, & tirer la ligne B D, qui divi$era l’arc A C en deux également au point E; divi$er de la même maniere l’arc E C en deux également au point F, l’arc F C encore en deux également au point G, & l’arc G C en deux également au point H, pour avoir l’arc C H, qui$era la $eizieme partie de A C, & ain$i des autres.

C’e$t ain$i qu’on pourra divi$er géométriquement un arc de cercle en un nombre infini de parties égales, pourvu que l’on divi$e le tout, & $es parties toujours de deux en deux.

Maniere de décrire la Quadratrice.

473. Pour décrire cette courbe, il faut divi$er le rayon A B en un grand nombres de parties égales; de maniere que le quart de cercle pui$$e être divi$é dans le même nombre de parties égales. Nous $uppo$erons donc que l’on a divi$é le quart de cercle en $eize parties égales, ain$i que le rayon A B. Cela po$é, après avoir tiré du centre B à l’extrêmité de chaque par- rie égale du quart de cercle, les droites BC, BD, BE, BF, &c. l’on tirera par les points G,H,I,K des parties égales du rayon, parallélement au diametre B F, les droites G L, H M, I N, K G; & les rencontres de ces droites, avec les rayons qui divi$ent le quart de cercle, donneront les points L, M, N, O, &c. avec le$quels on tracera la courbe A S, que l’on pourra faire beau- coup plus ju$te, en divi$ant le quart de cercle & le rayon B A en un plus grand nombre de parties égales que l’on n’a fait ici, afin d’avoir les points L, M, N, O beaucoup plus près les uns des autres, & que le point R, formé par la rencontre du dernier rayon B P, & la parallele Q R approche le plus près qu’il e$t po$$ible du demi-diametre B T, pour rendre in$en- $ible l’erreur que l’on pourroit faire, en continuant méchani- [0269]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VI_. quement la courbe AR, ju$qu’à la rencontre du demi-diametre.

Il faut bien remarquer que par la génération de cette courbe, $i l’on mene des paralleles H M & K O, qui aillent rencontrer la courbe aux points M & O, & que l’on tire par ces points des rayons B D & B F, qu’il y aura même rai$on de l’arc A D à l’arc D F, que de la ligne A H à la ligne H K; & c’e$t dans cette proportion que con$i$te la nature de cette courbe.

PROPOSITION IX. PROBLEME.

474. Divi$er un angle en trois parties égales.

Suppo$ant que l’on ait tracé $ur un morceau de corne ou de _Figure_ 83 & 85. carton bien uni la courbe A D, de la façon qu’on vient de l’en- $eigner, on propo$e de divi$er l’angle O P Q en trois parties égales.

Pour ré$oudre ce problême, $uppo$ant que la courbe $oit accompagnée de $on quart de cercle A C, je fais l’angle A B E égal à l’angle donné, & au point F, où le rayon B E coupe la courbe A D, j’abai$$e la perpendiculaire F G $ur le demi-dia- metre A B, qui me donne la partie A G, que je divi$e en au- tant de parties égales qu’on veut que l’angle donné $oit divi$é: ain$i je la partage en trois parties égales, aux points H & K, de$quels je mene les paralleles K L & H I, qui me coupent la courbe aux points L & I, par le$quels je mene les rayons B M & B N, qui divi$ent l’arc A E en trois parties égales, aux points M & N; pui$que par la propriété de la courbe, il y a même rai$on de A K à A G, que de A M à A E; & comme A K e$t la troi$ieme partie de A G, l’arc A M $era au$$i la troi$ieme partie de l’arc A E.

Mais $i l’on propo$oit de divi$er un angle obtus, comme _Figure_ 84. R S T en trois parties égales, il $emble que cela $ouffriroit quelque difficulté, parce que l’arc R T ne peut pas être con- tenu dans l’arc A C, pui$qu’il e$t $uppo$é plus grand que lui: en ce cas, il faut divi$er en deux également l’angle obtus donné, pour avoir l’angle aigu R S V, que nous $uppo$erons être le même que l’angle A B E: ain$i divi$ant l’angle aigu en trois parties égales, aux points M & N, l’on n’aura qu’à pren- dre l’arc A N, qui étant double de la $ixieme partie de l’arc R T, $era par con$équent le tiers du même arc R T. C. Q. F. T. & D.

[0270]NOUVEAU COURS PROPOSITION X. PROBLEME.

475. Décrire un ennéagone dans un cercle.

_Figure_ 78.

Pour décrire un ennéagone dans un cercle, il faut porter le rayon du cercle $ix fois $ur la circonférence, pour avoir les points B, C, D, E, F, G, qui la divi$eront en $ix parties égales; & tirant des lignes du premier point au troi$ieme, du troi- $ieme au cinquieme, & du cinquieme au premier, on aura un triangle équilatéral B D E, qui divi$era la circonférence en trois parties égales; $i on divi$e après cela un de ces arcs, comme B C D, en trois parties égales, par le problême précé- dent, l’on aura la neuvieme partie de la circonférence du cer- cle, dont la corde $era le côté de l’_ennéagone_. C. Q. F. T. & D.

PROPOSITION XI. PROBLEME.

476. Décrire un eptagone dans un cercle.

Pour décrire un eptagone dans un cercle, il faut divi$er le quart de la circonférence du cercle en $ept parties égales: ain$i chacune de ces parties $era la 28<_>e partie de toute la circonfé- rence. Or prenant un arc égal au quatre $eptiemes du quart de cercle, il $era égal à la $eptieme partie de la circonférence du même cercle, & par con$équent la corde qui le $outient $era le côté de l’eptagone demandé. C. Q. F. T. & D.

PROPOSITION XII. PROBLEME.

477. Décrire un ondécagone dans un cercle.

Pour décrire un polygone de onze côtés qui $oit in$crit au cercle, il faut divi$er le quart de cercle en onze parties égales, & $i l’on prend la corde d’un angle, qui $eroit les quatre on- ziemes du quart de cercle, elle $era le côté de l’ondécagone demandé. C. Q. F. T. & D.

REMARQUE.

L’on a nommé _quadratrice_, la courbe que nous venons d’exa- [0271]DE MATHEMATIQUE. _Liv. VI_. miner, parce qu’elle contribue à la quadrature méchanique du cercle: car $uppo$ons qu’on ait trouvé le point D, où cette courbe rencontre le rayon B C, il e$t démontré dans _Pappus_, dans _Clavius_, & dans plu$ieurs autres Auteurs, que le demi- diametre B C e$t moyen proportionnel entre la ba$e B D de la quadratrice & la circonférence A E C du quart de cercle; en- $orte que l’on a cette proportion B D : B C :: B C : A E C. D’où il $uit qu’en connoi$$ant cette ba$e, on pourroit déter- miner une ligne droite égale à la circonférence du quart de cercle.

PROPOSITION XIII. PROBLEME.

_478_. Circon$crire un polygone quelconque autour d’un cercle donné.

Quand on veut circon$crire un polygone autour d’un cer- cle, il faut commencer par en in$crire un $emblable dans le même cercle: ain$i voulant, par exemple, circon$crire un exagone autour du cercle BEC, il faut commencer par en _Figure_ 79. tracer un dans le cercle, & divi$er un de $es côtés, tels que B C, en deux également, par un rayon A E, & à l’extrêmité E, mener la tangente F G, qu’il faut terminer par les rayons A B, A C prolongés, ju$qu’à la rencontre de la tangente, & l’on aura le côté F G de l’exagone circon$crit: ain$i on trou- vera tous les autres, en fai$ant la même opération. Mais pour avoir plutôt fait, après avoir trouvé les points F, G, il vaut mieux décrire un cercle du centre A avec le rayon A G, $ur la circonférence duquel on pourra marquer les points, qui $er- viront à tracer le polygone, en y portant avec le compas la longueur du côté F G.

Fin du $ixieme Livre. [0272] NOUVEAU COURS DE MATHÉMATIQUE. LIVRE SEPTIEME, _Où l’on con$idere les rapports qu’ont entr’eux les circuits des_ _figures $emblables, & la proportion de leurs $uperficies_. DÉFINITION.

479. ON dit que deux quadrilateres ont leurs ba$es & leurs hauteurs _réciproques_, lor$que la ba$e du premier e$t à la ba$e du $econd, comme la hauteur du même $econd e$t à celle du premier. En général on dit que deux grandeurs quelconques $ont réciproques à deux autres, lor$que les deux premieres $ont les extrêmes ou les moyens d’une proportion, dont les deux autres $ont les moyens ou les extrêmes. Par exemple, _a_ & _b_ $ont réciproques aux grandeurs _c_ & _d_, $i l’on a _a : c :: d : b_, ou _c : a :: b : d_.

PROPOSITION I. THEOREME.

_480_. Si l’on a deux polygones réguliers $emblables, _A_ & _B_, Planche V. je dis que le circuit ou le contour du polygone _A_ e$t au contour du _Figure_ 86 & 87. polygone _B_, comme le rayon _A C_ e$t au rayon _B F_.

DEMONSTRATION.

Nous nommerons C D, _a_, F G, _b_, A C, _c_, & B F, _d_. Cela [0273]NOUVEAU COURS DE MATH. _Liv. VII_. po$é, $i chaque polygone e$t un exagone, le circuit du poly- gone A $era 6_a_, & le circuit du polygone _b_ $era 6_b_: ain$i il faut prouver que l’on aura 6_a_ : 6_b_ :: _c_: _d_. Les triangles D A C, G B F $ont $emblables; car pui$que les polygones $ont $em- blables, les angles de chacun des triangles qui les compo$ent $ont égaux chacun à chacun, & les côtés oppo$és aux angles égaux $ont proportionnels (art. 405): on aura donc _a : b :: c : d_, & multipliant les deux termes _a_ & _b_ par 6, on aura 6_a_ : 6_b :: c : d_. C. Q. F. D.

REMARQUE.

Cette propo$ition $e doit entendre de toutes les figures $em- blables, régulieres ou irrégulieres, à commencer par les trian- gles: car quoique des figures irrégulieres ne $oient pas in$crip- tibles au cercle, on peut dire cependant que les contours de ces polygones, $uppo$és $emblables, $ont entr’eux comme les rayons de deux cercles qui pa$$eront par les $ommets de trois angles égaux, pris comme l’on voudra dans l’une & dans l’autre figure, pourvu que ces cercles pa$$ent par les angles de deux triangles $emblables, & $emblablement placés dans l’une & dans l’autre figure.

COROLLAIRE.

481. Il $uit de cette propo$ition, que les circonférences des cercles $ont entr’elles comme les rayons de ces cercles: car $i l’on con$idere les cercles X & Y, comme étant des polygones _Figure_ 88 & 89. $emblables d’une infinité de côtés, nommant _a_ la circonfé- rence du premier, _c_ le rayon, _b_ la circonférence du $econd, & _d_ $on rayon, on aura encore _a : b :: c : d_.

PROPOSITION II. THEOREME.

_482_. Si du centre _A_ d’un polygone régulier, on abai$$e une _Figure_ 86 & 90. perpendiculaire _A E_ $ur l’un de $es côtés, je dis que la $uperficie de ce polygone $era égale à un triangle rectangle _I K L_, qui auroit pour hauteur la ligne _I K_ égale à la perpendiculaire _A E_, & pour ba$e une ligne _K L_ égale au circuit du polygone.

DEMONSTRATION.

Si le polygone régulier e$t un exagone, & que l’on tire du [0274]NOUVEAU COURS centre des rayons à tous les angles, l’on aura autant de trian- gles égaux, que le polygone a de côtés: ain$i le polygone A $era compo$é de $ix triangles, tels que C A D; mais comme les triangles C A D & K I L ont la même hauteur, ils $eront dans la même rai$on que leurs ba$es (art. 392); & comme la ba$e K L e$t $extuple de la ba$e C D, _par con$truction_, le trian- gle K I L $era au$$i $extuple du triangle C A D, & par con$é- quent égal au polygone. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

483. Il $uit de cette propo$ition, que pour trouver la $u- perficie d’un polygone régulier, il faut multiplier la moitié de $on circuit par la perpendiculaire abai$$ée du centre de ce po- lygone $ur $on côté, pui$que pour trouver la $urface du trian- gle I K L, qui e$t égal à ce polygone, il faut multiplier la moitié de $a ba$e K L par la perpendiculaire I K.

PROPOSITION III. THEOREME.

_484_. La $uperficie d’un cercle e$t égale à un triangle, qui au- roit pour hauteur le rayon du cercle, & pour ba$e la circonférence du même cercle.

DEMONSTRATION.

Comme un cercle e$t un polygone d’une infinité de côtés, on peut prendre la circonférence du cercle pour la $omme de ces côtés, & ce rayon pour la perpendiculaire du polygone; d’ou il $uit qu’il $era égal à un triangle qui auroit pour hau- teur le rayon M N, & pour ba$e une ligne N O égale à la cir- conférence. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

485. Pui$que le triangle M N O e$t égal au cercle, & qu’il e$t au$$i égal à un rectangle qui auroit pour ba$e la moitié de la ba$e N O, & pour hauteur la ligne M N, il s’en$uit qu’un cercle e$t égal à un rectangle qui auroit pour ba$e la moitié de la circonférence, & pour hauteur le rayon; & que pour en trouver la $uperficie, il faut multiplier la moitié du dia- metre, par la moitié de la circonférence.

[0275]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VII_. REMARQUE I.

486. Si l’on con$idere la $urface du cercle, comme étant compo$ée d’une infinité de circonférences concentriques, dont les rayons $e $urpa$$ent également, toutes ces circonférences compo$eront une progre$$ion infinie arithmétique, dont le cen- tre $era le plus petit terme, & la circonférence le plus grand. Or comme le demi-diametre A B exprime le nombre des ter- mes de la progre$$ion, il s’en$uit qu’on en trouvera la $omme en multipliant le plus grand terme, qui e$t la circonférence, par la moitié du rayon A B.

REMARQUE II.

487. Il $emble d’abord que la propo$ition précédente donne la quadrature du cercle, parce qu’elle prouve qu’un cercle e$t égal à un triangle, qui auroit pour ba$e la circonférence du cercle, & pour hauteur le rayon; mais comme on n’a pas en- core trouvé géométriquement une ligne droite, parfaitement égale à la circonférence d’un cercle, l’on n’a pu par con$équent trouver un triangle parfaitement égal au cercle. Quand je dis un triangle, on peut au$$i entendre un quarré égal au cercle, parce que l’on peut faire géométriquement un quarré égal à un triangle, comme on le verra ailleurs. Mais pour qu’il n’y ait point d’équivoque $ur le mot de quadrature du cercle, il e$t bon que les Commençans $çachent que la quadrature du cer- cle con$i$te à trouver une propo$ition qui donne le moyen de faire un quarré égal en $urface à un cercle donné, & qui dé- qu’on le fait réellement.

Quoique les Géometres n’aient pas encore trouvé une ligne droite parfaitement égale à la circonférence d’un cercle, cela n’empêche pas que dans la pratique on ne $uppo$e que cela $e pui$$e faire, en $e $ervant de quelques regles qui $ont des approximations de la quadrature du cercle, comme on le va voir.

488. _Archimede_ a trouvé que le rapport du diametre à la circonférence, e$t à peu près celui de 7 à 22, c’e$t-à-dire que $i le diametre contient $ept parties égales, la circonférence en contiendra à peu près 22, ou, ce qui revient au même, que la circonférence vaut trois fois le diametre & un $eptieme. Or comme les diametres des cercles $ont dans la rai$on de [0276]NOUVEAU COURS leurs circonférences (art. 481), $i l’on avoit un cercle, dont le diametre fût, par exemple, de 28 pieds, pour en trouver la circonférence, on diroit: Si 7, diametre d’un cercle, donne 22 pour la circonférence du même cercle, combien donneront 28, diametre d’un autre cercle pour $a circonférence, que l’on trouvera de 88 pieds?

Mais $i l’on avoit un cercle, dont on connût $eulement la circonférence, que nous $uppo$erons de 66 pieds, pour en trouver le diametre, il faudroit encore faire une Regle de Trois, en di$ant: Si la circonférence d’un cercle qui auroit 22 pieds, donne 7 pour $on diametre, combien donnera la cir- conférence d’un autre cercle, qui $eroit de 66 pieds, pour le diametre du même cercle? L’on trouvera 21 pieds pour le dia- metre qu’on cherche. Outre le rapport de 7 à 22, dont on peut toujours $e $ervir, lor$qu’on ne veut pas arriver à la derniere préci$ion, on peut encore faire u$age de celui de 113 à 355, trouvé par _Métius_, & plus exact que le précédent; c’e$t pour- quoi il $era à propos de $e $ervir de ce dernier dans les opéra- tions où il faudra déterminer la circonférence du cercle avec plus de ju$te$$e que dans les opérations ordinaires.

COROLLAIRE II.

489. Il $uit encore delà, qu’un cercle e$t égal à un rectan- gle N S R Q, qui auroit pour ba$e le quart de la circonférence, & pour hauteur le diametre, pui$que ce rectangle e$t égal au rectangle N T, qui a pour hauteur le rayon, & pour ba$e la moi- tié de la circonférence: par con$équent $i l’on avoit un quarré V X Y Z fait $ur le diametre du cercle, le quarré & le rectangle N R égal à la $urface du cercle, ayant même hauteur, $eront entr’eux comme leurs ba$es V Z & N Q. On peut donc dire que le diametre d’un cercle e$t au quart de la circonférence, comme le quarré de ce même diamette e$t à la $uperficie du même cercle.

COROLLAIRE III.

490. Si l’on $uppo$e que le diametre d’un cercle $oit divi$é en $ept parties égales, & que $a circonférence en contienne exactement vingt-deux (ce qui ne peut faire une erreur $en$i- ble dans la pratique), en doublant les mêmes nombres, on aura 14 & 44 pour le diametre & la circonférence, $ur quoi l’on remarquera que le dernier étant divi$ible par 4, & don- [0277]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VII_. nant 11 au quotient, on pourra prendre ce même quotient pour le quart de la circonférence; d’où il $uit, par le corollaire précédent, que le rapport de 14 à 11 e$t le même que celui du quarré du diametre à la $urface du cercle: ain$i pour avoir la $uperficie d’un cercle, dont on connoît le diametre, que je $uppo$e = _a_, on n’aura qu’à faire cette Regle de Trois, 14 : 11 :: _aa_ : {11_aa_/14}, ou, ce qui revient au même, pour avoir l’aire d’un cercle quelconque, il $uffira de prendre les onze quatorziemes du quarré du diametre de ce cercle.

SCHOLIE.

491. Les Commençans ne $eront peut-être pas fâchés de connoître la route qu’ _Archimede_ a $uivie pour découvrir le rapport dont nous venons de parler. La connoi$$ance des pre- miers axiomes de géométrie $uffit pour nous faire concevoir clairement que la circonférence d’un cercle e$t plus grande que le contour d’un polygone quelconque in$crit à ce cercle, & plus petite que le contour d’un polygone quelconque cir- con$crit au même cercle. Il faut entendre la même cho$e pour la $uperficie du cercle & celle des polygones in$crits & cir- con$crits. Cela po$é, voici ce que fit _Archimede_ pour décou- vrir le rapport approché du diametre à la circonférence. Il in$crivit à un cercle un polygone de 96 côtés, & circon$crivit au même cercle un polygone $emblable d’un pareil nombre de côtés; il calcula en$uite par les propriétés des lignes ou des cordes de cercle, la longueur d’un des côtés de chaque poly- gone, dont il trouva par con$équent le contour, en multipliant le nombre trouvé par 96. Ayant donc $uppo$é que le diametre du cercle étoit l’unité, il trouva que le périmetre de polygone in$crit étoit plus grand que 3 {10/71} du diametre, & que celui du polygone circon$crit étoit moindre que 3 {10/70}, ou 3 & {1/7}; d’où il faut conclure que la circonférence, qui e$t néce$$airement entre ces deux contours, e$t au$$i à plus forte rai$on plus grande que 3 {10/71}, & moindre que 3 & {10/70}: ain$i le diametre du cercle étant 7, il faut néce$$airement que la circonférence $oit plus grande que 21, & moindre que 22, qui vaut trois fois le dia- metre & {1/7}, de maniere que cette même circonférence e$t beau- coup plus proche de 22, qu’elle ne l’e$t de 21. Il e$t ai$é de voir qu’ _Archimede_ partagea d’abord $on cercle en quatre parties [0278]NOUVEAU COURS égales, ou, ce qui e$t la même cho$e, qu’il chercha la valeur d’une corde de 90 degrés; en$uite il chercha la corde d’un arc de 45 degrés pour avoir le côté de l’octogone; il chercha en- $uite le côté d’un polygone de 16 côtés, & enfin celui d’un polygone de 32 côtés; après quoi il chercha la corde d’un arc, qui n’e$t plus que le tiers du dernier polygone de 32 côtés, & cette corde e$t le côté de $on polygone de 96 côtés; car il e$t évident que 32 x 3 = 96.

PROPOSITION IV. THEOREME.

_492_. Si l’on a deux polygones $emblables _A_ & _B_, la $urface _Figure_ 86 & 87. du premier $era à celle du $econd, comme le quarré de la perpendi- culaire _A E_ au quarré de la perpendiculaire _B H_, ou comme le quarré du rayon _A C_ au quarré du rayon _B F_.

Soit nommé le côté C D du 1<_>er polygone, _a_, la perpendicu- laire A E, _b_, le côté F G de l’autre polygone, _c_, la perpendiculaire B H, _d_: le circuit du premier polygone $era 6_a_, & celui du $e- cond $era 6_c_: multipliant les moitiés de ces circuits par leurs perpendiculaires, les produits donneront les $urfaces des po- lygones, & l’on aura 3_ab_ pour le premier A, & 3_cd_ pour le $econd B: ain$i il faut démontrer que 3_ab_ : 3_cd_ :: _bb_ : _dd_.

DEMONSTRATION.

Pour prouver que 3_ab_ : 3_cd_ :: _bb_ : _dd_, nous ferons voir que dans cette proportion le produit des extrêmes e$t égal au pro- duit des moyens, & que l’on a 3_abdd_ = 3_cbbd_. Pour cela, con$idérez qu’à cau$e des triangles $emblables, A C D & B F G, _a_ : _c_ :: _b_ : _d_, d’où l’on tire _ad_ = _bc_: ain$i mettant _ad_ dans le $econd membre de la premiere équation à la place de _bc_, auquel il e$t égal, il viendra 3_abdd_ = 3_abdd_, C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

493. Pui$que les figures A & B $ont $emblables, les trian- gles dont elles $ont compo$ées le $eront au$$i; ain$i le triangle A C E $era $emblable au triangle B F H, pui$qu’ils ont deux angles égaux chacun à chacun: donc on aura AE : BH :: AC : BF, & A E<_>2 : B H<_>2 :: A C<_>2 : B F<_>2. Mais les polygones $ont entr’eux comme les quarrés des perpendiculaires A E, B H, par la pré- [0279]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VII_. $ente propo$ition: donc ils $ont au$$i entr’eux comme les quarrés des rayons A C, B F, ou des côtés C D, F G, pui$que ces quarrés $ont en même rai$on que les quarrés des perpendi- culaires.

REMARQUE.

494. Cette propo$ition $e doit entendre, non $eulement de tous les polygones réguliers $emblables in$criptibles à un cer- cle, mais encore de tous les autres autres polygones irréguliers $emblables, qui $ont entr’eux comme les quarrés des perpen- diculaires abai$$ées d’un point $emblablement placé dans l’une & dans l’autre figure, $ur des côtés homologues. En un mot, les $uperficies de deux polygones $emblables quelconques, $ont en- tr’elles comme les quarrés des côtés homologues, des lignes tirées dans les figures par des angles égaux, des perpendicu- laires abai$$ées $ur deux côtés corre$pondans, ou en général des lignes $emblablement placées.

PROPOSITION V. THEOREME.

_495_. Les $urfaces de deux cercles $ont entr’elles comme les quar- rés des rayons.

Si l’on a deux cercles X & Y, & que l’on nomme _a_ la cir- _Figure_ 89. conférence du cercle X, _c_ $on rayon, _b_ la circonférence du cer- cle Y, & _d_ $on rayon, la $urface du premier $era {_ac_/2}, & la $ur- face du $econd $era {_bd_/2}. Cela po$é, il faut prouver que {_ac_/2} : {_bd_/2} :: _cc_ : _dd_.

DEMONSTRATION.

Pour prouver que {_ac_/2} : {_bd_/2} :: _cc_ : _dd_, nous ferons voir que le produit des extrêmes de ces quatre quantités, e$t égal au pro- duit des moyens, ou que {_acdd_/2} = {_bdcc_/2}. Pour cela, faites atten- tion que les circonférences des cercles étant entr’elles comme les rayons (art. 481), on aura _a_ : _b_ :: _c_ : _d_, d’où l’on tire _ad_ = _bc_. Si donc on met dans le $econd membre de l’équation précé- dente, _a d_ à la place de _b c_, on aura {_acdd_/2} = {_acdd_/2}. C. Q. F. D.

[0280]NOUVEAU COURS COROLLAIRE.

496. Pui$que les rayons des cercles $ont entr’eux comme les cordes des arcs d’un même nombre de degrés, comme les dia- metres ou les côtésdes polygones $emblables in$crits dans ces mê- mes cercles: donc les $urfaces des cercles, qui $ont comme les quarrés des rayons, $ont au$$i entr’elles comme les quarrés des diametres, des cordes d’un même nombre de degrés, comme les quarrés des côtés de polygones $emblables in$crits ou cir- con$crits à ces cercles.

REMARQUE.

Cette propo$ition, ain$i que la précédente, $ont d’un grand u$age dans la Géométrie, & l’on ne peut trop s’appliquer à les concevoir dans toute leur étendue. Quoique l’on pui$$e dé- duire la propo$ition $uivante de la précédente, nous allons la démontrer en particulier d’une maniere différente, en averti$- $ant que l’on pourroit au$$i déduire de cette même propo$ition $uivante, toutes les propriétés des figures $emblables, pui$que par la définition des figures $emblables, tous les polygones $emblables $ont compo$és de triangles $emblables.

PROPOSITION VI. THEOREME.

_497_. Deux triangles $emblables _A B C, D E G_ $ont entr’eux _Figure_ 92 & 93. comme les quarrés de leurs côtés homologues, c’e$t-à-dire que l’on aura _A B C : D E G :: A B_<_>2 : _D E_<_>2, _ou :: A C_<_>2 : _D G_<_>2.

DÉMONSTRATION.

Soient abai$$ées des angles égaux C, G les perpendiculaires C H, G F: le triangle A C B e$t égal au produit de $a ba$e A B par la moitié de la perpendiculaire C H; & de même le triangle D G E e$t égal au produit de $a ba$e D E par la moi- tié de la perpendiculaire G F; on aura donc A C B = A B x {C H/2}, & D G E = D E x {G F/2}, & fai$ant une proportion avec les termes de ces équations, on aura A C B : D G E :: A B x {CH/2}: D E x {G F/2}. Mais pui$que les triangles $ont $uppo$és $embla- bles, les triangles rectangles A C H, D G F le $eront au$$i, [0281]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VII._ ayant un angle égal, outre l’angle droit, l’angle A de l’un égal à l’angle D de l’autre: donc on aura C H: G F:: C A: G D, & l’on a pour les premiers triangles C A : G D :: A B: D E; donc A B : D E :: C H: G E; on aura au$$i A B: D F:: {A B/2}: {D E/2}; donc en multipliant par ordre les deux dernieres proportions, il viendra A B<_>2: D E<_>2 :: C H x {A B/2}: G F x {D E/2}; donc pui$que la derniere rai$on de cette proportion e$t la même que la derniere de notre premiere proportion, on aura A C B : C G E :: A B<_>2: D E<_>2. C. Q. F. D.

REMARQUE.

498. On peut encore $e $ervir de cette propo$ition, pour _Figure_ 94. démontrer que le quarré de l’hypoténu$e e$t égal au quarré des deux autres côtés dans un triangle rectangle quelconque, comme A B C: car abai$$ant de l’angle droit la perpendicu- laire B D, on aura trois triangles $emblables A B C, A D B, B D C; & prenant pour côtés homologues de ces triangles rec- tangles les hypoténu$es A C, A B, B C, on aura A B C: A D B: B D C :: A C<_>2: A B<_>2: B C<_>2; mais le triangles A B C e$t égal à la $omme des triangles A D B, B D C: donc au$$i le quarré A C<_>2 de l’hypoténu$e A C $era égal aux quarrés des autres hy- poténu$es A B, B C, qui $ont les côtés du même triangle A B C.

PROPOSITION VII. THEOREME.

_499_. Les parallélogrammes $ont dans la rai$on compo$ée des _Figure_ 97 _&_ 98. ba$es & des hauteurs, c’e$t-à-dire comme les produits de leurs ba$es par leurs hauteurs.

DEMONSTRATION.

Ayant les parallélogrammes G & H, $i l’on nomme _a_ la ba$e du premier, & _b_ $a hauteur, _c_ la ba$e du $econd, & _d_ $a hau- teur, le premier G $era égal au produit _ab_, & le $econd H $era égal au produit _c d_ de $a ba$e par $a hauteur: ain$i on aura G: H :: _a b_ : _c d_. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

500. Commelestriangles $ont moitiés des parallélogrammes [0282]NOUVEAU COURS de même ba$e & de même hauteur, ils $eront au$$i entr’eux comme les produits de leurs ba$es par leurs hauteurs.

COROLLAIRE II.

501. Si les produits _a b_, _c d_ des ba$es par les hauteurs $ont égaux, les parallélogrammes G, H, qui $ont comme ces pro- duits, $eront au$$i égaux; au$$i-bien que les triangles, qui $ont la moitié des mêmes parallélogrammes; d’où l’on déduit cette propo$ition générale: deux parallélogrammes ou deux trian- gles $ont égaux, lor$qu’ils ont des ba$es réciproques à leurs hauteurs; & réciproquement, $i deux triangles ou deux paral- lélogrammes $ont égaux, ils ont des ba$es réciproques à leurs hauteurs; car pui$que _a b_ = _c d_, on aura _a_: _c_ :: _d_: _b_.

COROLLAIRE III.

502. Il $uit encore de cette propo$ition, que $i deux trian- gles ou deux parallélogrammes $ont $emblables, ils $eront en- tr’eux comme les quarrés de leurs ba$es ou de leurs hauteurs: car pui$que ces triangles $ont $uppo$és $emblables, les ba$es & les hauteurs $eront proportionnelles: ain$i on aura _a_: _c_ :: _b_: _d_, & _a_: _c_ :: _a_: _c_, multipliant ces deux proportions par ordre, il viendra _a a_: _cc_ :: _a b_: _c d_; donc pui$que la rai$on de _a_<_>2 à _c_<_>2 e$t égale à celle de _a b_ à _c d_, on aura G: H :: _a_<_>2: _c_<_>2, c’e$t-à-dire que les parallélogrammes $emblables, ou les triangles qui en $ont les moitiés, $ont entr’eux comme les quarrés de leurs ba$es, ou comme s’expriment les Géometres en rai$on dou- blée de leurs ba$es.

PROPOSITION VIII. THEOREME.

503. Si l’on a trois lignes en proportion continue, je dis que le quarré fait $ur la premiere, e$t au quarré fait $ur la $econde, comme la premiere ligne e$t à la troi$ieme, c’e$t-à-dire, en repré$entant ces lignes par les lettres a, b, c, que $i l’on a, a: b :: b : c, on aura a<_>2: b<_>2 :: a : c.

DEMONSTRATION.

Pour prouver que _aa_: _bb_ :: _a_: _c_, nous ferons voir que le pro- duit des extrêmes e$t égal à celui des moyens, ou que _abb_ = _aac_. Pour cela, faites attention que pui$que _par hypothe$e_ les trois [0283]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VII_. lignes $ont en proportion continue, on aura _a_: _b_ :: _b_: _c_, d’où l’on tire _a c_ = _b_<_>2. Si donc on multiplie chaque membre de cette équation par _a_, on aura _a_<_>2_c_ = _ab_<_>2, qui e$t préci$ément le produit des extrêmes & celui des moyens de la proportion qu’il s’agi$$oit de prouver. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

504. Il $uit de cette propo$ition, que $i l’on a trois lignes proportionnelles, non $eulement le quarré fait $ur la premiere e$t au quarré fait $ur la $econde, comme la premiere e$t à la troi$ieme; mais que tous polygones $emblables, réguliers ou irréguliers, faits $ur ces deux lignes, $eront entr’eux comme la premiere e$t à la troi$ieme: car comme les polygones $em- blables $ont entr’eux comme les quarrés de leurs rayons ou des côtés homologues, & que _par hypothe$e_, nos deux premieres lignes $ont des côtés homologues de ces polygones $emblables, le premier polygone $era au $econd, comme le quarré de la premiere ligne au quarré de la $econde, ou comme la premiere ligne à la troi$ieme. D’où il $uit, qu’ayant les $urfaces de deux polygones $emblables, on peut toujours a$$igner deux lignes qui $oient entr’elles, comme ces $urfaces.

PROPOSITION IX. THEOREME.

505. Si l’on a deux lignes droites, que nous nommerons a & b, je dis que le rectangle compris $ous ces deux lignes, e$t moyen pro- portionnel entre les quarrés des mêmes lignes, c’e$t-à-dire que l’on aura aa: ab :: ab: bb.

DEMONSTRATION.

Il e$t certain que la proportion _aa_: _ab_ :: _ab_: _bb_, doit avoir lieu, pui$que le produit des extrêmes & celui des moyens don- nent _a a b b_ = _a a b b_. C. Q. F. D.

PROPOSITION X. PROBLEME.

_506_. Trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes _Figure_ 99. données.

[0284]NOUVEAU COURS

Pour trouver une moyenne proportionnelle entre les deux lignes A & B, il faut joindre ces deux lignes, en$orte qu’elles n’en fa$$ent qu’une $eule C D, ob$ervant de marquer le point E où elles $e joignent; il faut en$uite divi$er la ligne entiere en deux également au point F, & de cepoint, comme centre, décrire un demi-cercle. Pré$entement $i au point E, où les deux lignes $e joignent, on éleve une perpendiculaire E H, qui aille $e terminer à la circonférence, elle $era la moyenne que l’on cherche; ce qui e$t bien évident, pui$que par la propriété du cercle (art. 444), toute perpendiculaire, comme H E, e$t moyenne proportionnelle entre les parties C E & E D du dia- metre. Ain$i $uppo$ant que la ligne K $oit égale à H E, l’on aura les trois lignes proportionnelles A, K, B.

507. Si l’on vouloit avoir une moyenne proportionnelle entre deux nombres donnés, comme 4 & 9, il faudroit mul- tiplier ces deux nombres l’un par l’autre, & extraire la racine du produit 36, que l’on regardera comme le quarré de la moyenne, qui e$t 6, pui$que le quarré de cette moyenne e$t égal au produit des extrêmes 4 & 9; ce qui donne 4: 6 :: 6: 9.

Si le produit des deux nombres donnés n’e$t pas un quarré, ce qui arrivera toutes les fois que l’un des nombres, ou tous les deux, ne $eront point des quarrés, on ne pourra avoir la moyenne que l’on demande que par approximation, en $e $er- vant des décimales pour extraire la racine du produit. Il e$t encore à remarquer que la Géométrie nous donne exacte- ment ces lignes, quoiqu’elles $oient ce qu’on appelle _incom-_ _men$urables_, c’e$t-à-dire qu’elles n’aient aucune me$ure com- mune, $i petite qu’elle $oit, avec les lignes propo$ées. Par exemple, quoiqu’il pui$$e arriver que le nombre des parties de la ligne A ne $oit pas un nombre quarré, ain$i que ceux des parties de la ligne B, on trouve cependant la longueur exacte de la moyenne K, que l’on ne pourroit pas déterminer en nombres dans cette $uppo$ition.

PROPOSITION XI. PROBLEME.

_508_. Trouver une troi$ieme proportionnelle à deux lignes don- nées.

Si l’on veut trouver une troi$ieme proportionnelle à deux [0285]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VII_. lignes données M & N, en$orte que la premiere ligne M $oit à la $econde N, comme la même $econde N à celle que l’on cherche; il faut faire à volonté un angle A B C, prendre $ur _Figure_ 100. le côté B C la partie B D égale à la premiere M, & la partie D F égale à la $econde N, & $ur le côté B A la partie B E égale à la même $econde N, & tirer la ligne E D; $i du point F on mene la ligne F G parallele à la ligne E D, je dis que la ligne E G $era la troi$ieme proportionnelle demandée.

DÉMONSTRATION.

Con$idérez que le triangle B G F a $es deux côtés B G, B F coupés proportionnellement par la ligne D E parallele à $a ba$e F G, _par con$truction_, & que par con$équent (art. 397) on a B D : D F :: B E: E G, mais B E étant égal à D F, _par con-_ _$truction_, on aura B D: D F :: D F: E G. Ain$i fai$ant la ligne O égale à E G, on aura les trois lignes continuement propor- tionnelles M, N, O.

509. Si l’on vouloit trouver une troi$ieme proportionnelle à deux nombres, il faut quarrer le $econd, & divi$er ce quarré par le premier; le quotient $era la troi$ieme proportionnelle demandée. Si le $econd nombre n’e$t pas divi$ible par le pre- mier, $on quarré ne $era pas non plus divi$ible par ce même premier nombre: ain$i l’on ne pourra trouver la troi$ieme pro- portionnelle que par approximation, en $e $ervant des fractions décimales. Surquoi l’on remarquera encore la différence de la Géométrie à l’Arithmétique dans la détermination des quan- tités, en ce que la premiere donne exactement la longueur des lignes que l’on cherche, $ans déterminer le nombre de leurs parties, & la $econde donne leur valeur exacte dans cer- tains cas, en fixant le nombre de lcurs parties; & dans d’au- tres, ne peut la donner que par une approximation, que l’on pou$$eroit ju$qu’à l’infini, $ans jamais arriver à la ju$te valeur.

On pourroit encore ré$oudre le dernier problême d’une au- tre maniere, en $e $ervant du cercle. Qu’il faille, par exemple, trouver une troi$ieme proportionnelle aux lignes B, K, on pren- dra la ligne C E égale à la ligne B; $ur cette ligne on élevera la perpendiculaire E H égale à la ligne K; on menera la ligne C H, $ur laquelle on élevera la droite H D perpendiculaire, qui ira rencontrer le prolongement de la ligne C E en D, & déterminera la ligne E D, qui $era la troi$ieme proportionnelle [0286]NOUVEAU COURS demandée: car il e$t vi$ible que l’angle C H D étant droit, la droite E H $era moyenne entre les $egmens de la ba$e, ou, ce qui revient au même, la droite E D $era troi$ieme proportion- nelle aux lignes C E, E H, ou à leurs égales B, K. C. Q. F. T. & D.

PROPOSITION XII. PROBLEME.

_510_. Trouver une quatrieme proportionnelle à trois lignes don- _Figure_ 101 & 102. nées.

Pour trouver une quatrieme proportionnelle aux trois lignes P, Q, R, il faut, comme dans la propo$ition précédente, faire un angle à volonté C S X; prendre $ur le côté C S la partie S V égale à la ligne P, & la partie V Z $ur le même côté égale à la ligne Q, & $ur l’autre côté S X, la partie S T égale à la ligne R; après quoi tirer la ligne T V, à laquelle on menera du point Z la parallele Z X, qui donnera la ligne T X égale à la quatrieme proportionnelle que l’on cherche.

DEMONSTRATION.

Les côtés du triangle Z S X étant coupés par la ligne T V, parallele à la ba$e Z X, l’on aura (art. 393) S V : V Z :: ST : TX. Ain$i fai$ant la ligne Y égale à T X, l’on aura les quatre lignes proportionnelles, P, Q, R, Y. C. Q. F. T. & D.

511. Pour trouver une quatrieme proportionnelle à trois nombres donnés, il n’y a qu’à faire la Regle de Trois ordi- naire, pui$que cette Regle n’e$t autre cho$e que l’art de trouver une grandeur quatrieme proportionnelle à trois autres don- nées. On va voir dans les problêmes $uivans, l’u$age qu’on peut faire des précédens, & les propriétés des lignes propor- tionnelles.

PROPOSITION XIII. PROBLEME.

_512_. Faire un quarré égal à un rectangle.

_Figure_ 97 & 98.

Pour faire un quarré égal à un rectangle A C, il faut cher- cher une moyenne proportionnelle entre les côtés inégaux A B & B C du rectangle donné, & le quarré de cette moyenne $era égal au rectangle donné. Pui$que la ligne D E e$t moyenne [0287]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VII._ proportionnelle entre les côtés A B & B C du rectangle A C, il e$t certain que $on quarré D F $era égal au rectangle A C, pui$que ce rectangle e$t égal au produit des extrêmes A B, B C.

COROLLAIRE.

513. Comme nous avons prouvé qu’un cercle e$t égal à un rectangle compris $ous la moitié de la circonférence, & la moitié du diametre (art. 485), il s’en$uit que le quarré d’une ligne qui $eroit moyenne proportionnelle entre le demi-dia- metre & la demi-circonférence, $eroit égal au cercle.

PROPOSITION XIV. PROBLEME.

_514_. Trouver un quarré qui $oit à un autre dans une rai$on _Figure_ 105 & 106. donnée.

Pour trouver un quarré qui $oit au quarré C B dans une rai- $on donnée, par exemple, de 3 à 5, je fais une ligne G H, égale aux trois cinquiemes du côté A B; en$uite entre les li- gnes A B & G H, je cherche une moyenne proportionnelle E F, $ur laquelle je fais le quarré I F, qui $era les trois cin- quiemes du quarré C B: car comme les trois lignes A B, E F, G H $ont en proportion continue, on aura A B<_>2 : E F<_>2 :: A B : G H; mais G H e$t, _par con$truction_, les trois cinquiemes de A B: donc au$$i E F<_>2 $era les trois cinquiemes du quarré A B<_>2.

515. Cette propo$ition doit s’entendre, non $eulement des quarrés, mais encore de toutes les figures. Par exemple, $i l’on vouloit faire un pentagone irrégulier quelconque $emblable à un autre pentagone irrégulier, & qui eût avec lui une rai$on donnée, on chercheroit une moyenne proportionnelle entre un côté quelconque du pentagone propo$é, & une ligne qui au- roit avec ce côté, la rai$on donnée: $ur cette moyenne ain$i déterminée, comme côté homologue, on décriroit le penta- gone demandé, & l’on trouveroit les autres côtés par une $im- ple Regle de Trois, en $e $ervant des triangles $emblables, comme on a vu (art. 510). Cette propo$ition fournit un moyen pour réduire des figures quelconques de grand en petit, ou de petit en grand, dans un rapport quelconque.

[0288]NOUVEAU COURS PROPOSITION XV. PROBLEME.

_516_. Trouver le rapport de deux figures $emblables.

Pour trouver le rapport de deux figures $emblables A & B, _Figure_ 107 & 108. il faut chercher une troi$ieme proportionnelle, telle que G H à leurs côtés homologues, C D & E F; le rapport de la ligne C D à la ligne G H, $era le même que celui du polygone A au polygone B.

Pour le prouver, con$idérez que pui$que les polygones A & B $ont $emblables, on a A : B :: C D<_>2: E F<_>2, & que pui$- que les trois lignes C D, E F, G H $ont en proportion conti- nue, on a C D<_>2 : E F<_>2 :: C D : GH, d’où l’on tire A : B :: CD : GH. C. Q. F. T. & D.

PROPOSITION XVI. PROBLEME.

_517_. Faire un rectangle égal à un autre qui ait un côté dé- _Figure_ 109 & 110. terminé.

L’on demande de faire un rectangle égal au rectangle B C, en$orte qu’il ait un de $es côtés égal à la ligne donnée D E.

Pour cela, il faut chercher une ligne qui $oit quatrieme pro- portionnelle à la ligne donnée D E (art. 510), & aux deux côtés A C & A B du rectangle; en$uite $i l’on fait un rectan- gle $ous la ligne donnée D E, & $ous la quatrieme que l’on aura trouvée, ce rectangle $era égal au rectangle B C.

Pour le prouver, con$idérez que $i l’on a fait le rectangle G H, dont le côté F G $oit égal à la proportionnelle trouvée, & le côté F H égal à D E, on aura F G: A B :: A C: F H; donc F G x F H = A B x A C. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

518. Il $uit de cette propo$ition, que $i l’on a plu$ieurs rectan- gles, dont les ba$es & les hauteurs $oient inégales, on pourra les réduire tous à la même hauteur; & après cela, $i l’on veut, n’en faire qu’un $eul, égal à tous les autres pris en$em- ble, en lui donnant pour ba$e une ligne égale à la $omme de toutes les ba$es, & pour hauteur, la hauteur commune.

[0289]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VII._ COROLLAIRE II.

519. Comme on peut réduire toutes les figures rectiligne des triangles, & que de chaque triangle on peut faire un rectan- gle, il $uit encore, que $i l’on donne la même hauteur aux rec- tangles provenus des triangles, on pourra, en les rédui$ant tous dans un $eul, faire un quarré égal à une figure rectiligne, compo$ée d’un grand nombre de côtés, & même à la $omme de plu$ieurs figures rectilignes, pui$qu’on n’aura qu’à chercher une moyenne proportionnelle entre les côtés du rectangle égal à la figure rectiligne propo$ée, ou à la $omme des figures données.

SCHOLIE.

520. Toutes la théorie des rapports des figures $emblables ou non $emblables, e$t fondée $ur les propo$itions que nous venons de démontrer. Mais comme toutes les figures géomé- triques droites ou courbes $ont compo$ées de triangles, pour rendre cette partie encore plus complette, nous allons ajouter deux Théorêmes $ur les propriétés des triangles con$idérés par rapport à leurs $uperficies, & dont la connoi$$ance ne peut être que très-utile dans la Géométrie pratique.

Le premier que j’ai tiré d’un Livre de M. _Scooten_, Com- mentateur de la Géométrie de M. _De$cartes_, & qu’on ne trouve dans aucun Livre d’Elément, peut-être mis au rang des pro- po$itions les plus géérales que l’on pui$$e donner $ur les rap- ports des triangles. J’aurois même pu commencer par cette propo$ition le Traité des rai$ons des figures géométriques, & en déduire toutes les propo$itions que nous venons de voir, $i cela ne m’eût engagé dans des changemens trop con$idérables, aimant mieux le faire ici en peu de mots; ce qui ne peut qu’af- fermir les Commençans dans cette partie, qui e$t ab$olument néce$$aire pour entendre la $uite. On peut encore faire un grand u$age de cette propo$ition dans la Géodé$ie ou divi$ion des champs. Rien de plus curieux que la $implicité avec la- quelle M. _Scooten_ ré$out plu$ieurs problêmes, qui $ans le $e- cours de cette propo$ition, paroîtroient très - compliqués. Le $econd théorême donne la maniere de trouver la $urface d’un triangle quelconque, dont on connoît les trois côtés. Nous avons déja vu que cette connoi$$ance $uffit pour en avoir la [0290]NOUVEAU COURS $urface, pui$que les trois côtés déterminent la perpendiculaire qu’il faut multiplier par la moitié de la ba$e pour avoir l’aire du triangle (art. 411).

PROPOSITION XVII. THÉOREME.

_521_. Deux triangles quelconques _B A C, E D F_ qui ont un _Figure_ 103 & 104. angle égal, l’un en _A_ & l’autre en _D,_ compris entre deux côtés quelconques, $ont entr’eux comme les produits des côtés qui con- tiennent l’angle égal.

DEMONSTRATION.

Sur le côté A C du triangle B A C, $oit pri$e la partie A H = D F, & $ur A B la ligne A L = D E, & $oient menées les lignes L H, B H. Les triangles L A H, E D F ayant, _par hypo-_ _the$e_, un angle égal compris entre côtés égaux, _par con$truc-_ _tion_, $eront égaux en tout. Cela po$é, à cau$e des triangles A H L, A H B, qui ont même $ommet en H, & des triangles A B H, A B C, qui ont même $ommet en B, & qui $ont en- tr’eux dans la rai$on de leurs ba$es, on aura les proportions $uivantes. A L H : A B H :: A L : A B, & A B H : A B C :: A H : A C; donc en multipliant par ordre A L H x A B H : A B C x A B H :: A L x A H, ou E D x D F: A B x A C, ou en divi$ant les deux premiers termes par la même grandeur A B H, & mettant à la place du triangle A L H $on égal D E F, on aura E D F : A B C :: E D x D F : A B x A C. C. Q. F. D.

AUTRE DÉMONSTRATION.

Des $ommets B, E de chaque triangle, $oient abai$$ées $ur les ba$es A C, D F les perpendiculaires B K, E M: les $urfaces des triangles étant égales aux produits des hauteurs par les moitiés des ba$es, $eront proportionnelles aux produits des ba$es par les hauteurs, & donneront A B C: D E F :: A C x B K : D F x E M; mais les triangles A B K, D E M $ont $em- blables, ayant, outre l’angle droit, un angle égal de part & d’autre, l’angle A du premier égal à l’angle D du $econd: donc A B : D E :: B K : E M, ou en multipliant les deux anté- cédens par A C, & les deux con$équens par D F, A B x A C : D E x D F :: B K x A C : E M x D F; mais nous venons de voir que A B C : D E F :: B K x A C : E M x D F; donc A B C : D E F :: A B x A C : D E x D F. C. Q. F. D.

[0291]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VII_. COROLLAIRE I.

522. Il $uit des deux démon$trations précédentes, que la propo$ition e$t encore vraie dans le cas où les angles des deux triangles $eroient $eulement $upplément l’un de l’autre. Pour le prouver, $oit prolongée la ligne F D en G, de maniere que G D = F D, & $oit tirée E D: les triangles G E D, D E F, ayant des ba$es égales, & leur $ommet au même point $eront égaux en $uperficie: donc pui$que A B C: D E F : : A B x A C: D E x D F, on aura au$$i, en mettant à la place du triangle D E F $on égal G D E, & à la place du rectangle D E x D F $on égal D E x D G, A B C: G D E :: A B x A C : G D x D E.

COROLLAIRE II.

523. Comme les parallélogrammes $ont doubles des trian- gles de même ba$e & de même hauteur, il s’en$uit que deux parallélogrammes quelconques, qui ont un angle égal ou $up- plément l’un de l’autre, $ont entr’eux comme les produits des côtés qui comprennent cet angle.

COROLLAIRE III.

524. Si les côtés qui comprennent l’angle égal $ont réci- proques, c’e$t-à-dire $i l’on a cette analogie AB : DE :: DF : AC, les rectangles A B x A C, D E x D F $eront égaux: donc les triangles ou les parallélogrammes qui $ont dans la rai$on de ces rectangles $eront au$$i égaux. On voit par-là que les ar- ticles 390 & 395 deviennent des corollaires trés-$imples de cette propo$ition. On peut donc établir généralement, que _deux triangles ou deux parallélogrammes $ont égaux, lor$qu’ils_ _ont un angle égal ou des angles $upplémens l’un de l’autre, compris_ _entre des côtés réciproques_.

COROLLAIRE IV.

525. On pourroit au$$i déduire de cette propo$ition la pro- priété commune à toutes les figures $emblables, d’être en- tr’elles comme les quarrés des côtés homologues: car les figures $emblables étant toutes compo$ées de triangles $emblables, & les triangles $emblables ayant les côtés homologues propor- tionnels, ceux qui contiendront des angles égaux, $eront des côtés homologues: donc pui$que ces triangles $ont entr’eux [0292]NOUVEAU COURS comme les produits de ces côtés, ils $eront au$$i dans la rai$on des quarrés des mêmes côtés: car il e$t évident que $i l’on a A B : A C :: D E : D F, on a au$$i A B : A B :: D E : D E : donc en multipliant par ordre A B<_>2 : A B x A C :: D E<_>2 : D E x D F, & _alternando_ A B<_>2 : DE<_>2 :: A B x A C : D E x D F; mais par la pré$ente propo$ition, ABC : DEF :: AB x AC : DE x DF : donc dans le cas des triangles $emblables, ABC : DEF :: AB<_>2 : DE<_>2.

COROLLAIRE V.

526. On peut encore faire u$age de cette propo$ition pour _Figure_ 103. trouver un triangle A L H, qui ait un côté déterminé A L $ur le côté A B du triangle A B C, & qui ait avec ce triangle une rai$on donnée. Par exemple, $i je veux que le triangle A L H $oit le tiers du triangle B A C, après avoir fait A B = _a_, A C = _b_, A L = _c_, & A H = _x_; j’ai par la propo$ition pré- $ente, _ab_ : _cx_ :: 3 : 1; donc 3_cx_ = _ab_, & dégageant l’incon- nue, _x_ = {_ab_/3_c_}; d’où il $uit que pour avoir _x_, il faut chercher une quatrieme proportionnelle aux lignes 3A L, A B & A C : car de l’équation 3_cx_ = _ab_, on tire cette proportion, 3_c_ : _a_ :: _b_ : _x_.

_AVERTISSEMENT_.

Pour faciliter l’intelligence de la propo$ition $uivante, qui $eroit un peu compliquée pour des Commençans, nous allons expliquer dans les deux Lemmes $uivans tout ce qu’il e$t né- ce$$aire de $çavoir pour la comprendre ai$ément.

LEMME PREMIER. PROBLEME.

_527_. Un triangle _B A C_ étant donné, lui in$crire un cercle _Figure_ 111. _E D F_.

SOLUTION.

Il e$t ai$é de voir que tout $e réduit à trouver un point G au dedans du triangle, qui $oit tel qu’en abai$$ant $ur chaque côté les perpendiculaires G D, G E, G F, ces trois lignes $oient égales entr’elles: car pui$que le cercle doit être in$crit au trian- gle, chaque côté $era une tangente de ce cercle, & par con$é- quent perpendiculaire à l’extrêmité des rayons G D, G E, G F. Suppo$ons pour un moment que le point G e$t celui qu’on de- mande, & qu’on ait menées les perpendiculaires GD, GE, GF [0293]DE MATHEMATIQUE. _Liv. VII_. aux côtés A C, A B, B C; nous avons déja vu (art. 448) que les parties A E, A D des tangentes, compri$es entre le point A de rencontre, & les points E, D de contact $ont égales en- tr’elles, mais les droites E G, D G le $ontau$$i; donc les trian- gles rectangles A G D, A G E $ont égaux en tout, pui$que les trois côtés de l’un $ont égaux aux trois côtés de l’autre: donc les angles E A G, D A G $ont égaux; & par con$équent le centre du cercle $e trouvera quelque part $ur la ligne A G qui divi$e l’angle B A C en deux également. On fera voir de la même maniere, que les triangles rectangles B E G, B F G $ont égaux, & que le centre du cercle $e trouvera dans la ligne B G qui divi$e l’angle A B C en deux également: donc il $era au point d’inter$ection des lignes A G, B G. Ain$i pour avoir le centre G, on n’aura qu’à divi$er deux angles quelconques A & C, ou bien A & B, chacun en deux angles égaux, & le point G, où les lignes de divi$ion $e couperont, $era le point de- mandé. Abai$$ant en$uite de ce point la perpendiculaire G D $ur le côté A C, on aura le rayon avec lequel on pourra dé- crire le cercle demandé.

LEMME II.

_528_. Suppo$ant toutes cho$es, comme dans le problême précé- dent, $i l’on prolonge le côté _A B_ d’une quantité _B K = F C_, je dis 1<_>0. que la ligne _A K_ $era égale à la demi-$omme des trois côtés: 2<_>0. Quelle $era la $omme des trois différences de la demi-$omme des trois côtés à chacun des mêmes côtés?

DEMONSTRATION.

1<_>0. Pui$que l’on a AE = AD, BE = BF, DC = CF, la $om me des trois côtés $era 2A E + 2B E + 2C F, ou 2A E + 2B E + 2B K, pui$que B K = C F (_con$truction_) : donc la demi- $omme des trois côtés $era A E + E B + B K = A K. C. Q. F. 1<_>0. D.

2<_>0. Pui$que A K e$t égal à la demi-$omme des trois côtés, il e$t évident que B K e$t l’excès de la même demi-$omme $ur le côté A B; de même A E e$t l’excès de la demi-$omme $ur B E + B K, ou $ur $on égal B F + F C, c’e$t-à-dire $ur le côté B C; &enfin B E e$t l’excès de la demi-$omme $ur B K + A E, ou $ur leurs égales D C + A D, c’e$t-à-dire $ur le troi$ieme côté A C: donc A K e$t la $omme des trois différences de [0294]NOUVEAU COURS chacun des trois côtés à la demi - $omme des mêmes côtés. C. Q. F. 2<_>0. D.

529. On remarquera encore que le triangle B A C e$t par- tagé par les lignes G B, G C, G A en trois triangles A G C, A G B, B G C, qui ont tous pour hauteur le rayon du même cercle: donc la $urface de ce triangle $era égale à la $omme de celles des trois triangles, c’e$t-à-dire que l’on aura cette égalité B A C = {AB/2} x G E + {AC/2} x G E + {BC/2} x G E = {A B + A C + B C/2} x G E = A K x G E. Cette remarque e$t en- core ab$olument néce$$aire pour l’intelligence du théorême $uivant.

PROPOSITION XVIII. THÉOREME.

_530_. La $urface d’un triangle quelconque _B A C_ e$t égale à la racine quarrée d’un produit de quatre dimen$ions, fait de la demi- $omme des trois côtés, multipliée par les différences de chacun des côtés à la même demi-$omme.

DEMONSTRATION.

Sur le côté B C $oit pri$e la ligne B M = F C, qui donnera C M = F B, en ôtant des lignes égales la partie commune F M; $oit prolongé le côté A C d’une quantité C H = B F ou C M: on aura A H = A K, pui$que les parties qui compo$ent ces deux lignes $ont égales. Aux points K, M, H, $oient éle- vées $ur chacune des lignes corre$pondantes B K, B C, C H les perpendiculaires K I, M I, H I qui $e rencontreront toutes en un $eul & même point I, & $eront toutes égales entr’elles; car pui$que B M = B K, en tirant B I, les triangles rectangles B M I, B K I auront, outre l’angle droit, deux côtés égaux cha- cun à chacun B M = B K, & le côté B I qui leur e$t com- mun: donc K I = M I; on feroit voir de même que M I = H I, pui$que les lignes C M & C H $ont égales: on prolongera en- $uite la ligne A G, qui pa$$era au$$i par le point I, comme il e$t ai$é de le voir, à cau$e des quadrilateres A E G D, A K I H, qui $ont évidemment $emblables, pui$que les lignes G D, G E $ont égales entr’elles, & paralleles aux lignes I H, I K au$$i égales entr’elles; & que les lignes A D, A E $ont au$$i égales entr’elles, ain$i que les lignes A H, A K.

[0295]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VII_.

Cette con$truction $uppo$ée, il e$t ai$é de voir que les qua- drilateres E G B F, M B K I $ont $emblables, ayant chacun deux angles droits, les côtés E G, G F égaux entr’eux, de même que les côtés B K, B M, l’angle E B F du premier égal à l’angle en I du $econd, pui$qu’ils $ont chacun $upplément du même angle M B K, & que dans tout quadrilatere, les quatre angles valent quatre droits: donc les triangles G E B, B K I, qui $ont les moitiés de ces quadrilateres, $eront $emblables, & donne- ront I K: B K : : BE : GE, d’où l’on tire IK x GE = BK x BE; mais G E<_>2 : IK x GE::GE: I K, & à cau$e des triangles $emblables A E G, A K I; GE : I K :: AE : AK; donc GE<_>2 : IK x GE ou B K x B E :: A E : A K; & prenant le produit des extrêmes & des moyens G E<_>2 x A K = B K x B E x A E : & multipliant encore chaque membre par A K, G E<_>2 x A K<_>2 = B K x B E x A E x A K, d’où l’on déduit, en prenant les racines de part & d’autre, G E x A K, ou (art. 529) la $urface du triangle B A C = B K x B E x A E x A K. Or il e$t vi$ible que les facteurs $oumis au radical $ont les trois différences de la demi- $omme des trois côtés, à chacun de ces côtés, multipliées par la même demi-$omme A K : donc la $urface du triangle B A C e$t égale à la racine quarrée d’un produit de quatre dimen- $ions, fait de la demi-$omme des trois côtés, multipliée par la différence de la même demi-$omme à chacundes trois côtés. C. Q. F. D.

Fin du $eptieme Livre. [0296] NOUVEAU COURS DE MATHÉMATIQUE. LIVRE HUITIEME, _Qui traite des propriétés des corps, de leurs $urfaces, &_ _de leurs $olidités_. DÉFINITIONS. I.

531. ON appelle _pri$me_, un $olide terminé par deux poly- gones $emblables & égaux, paralleles entr’eux, & par autant de parallélogrammes que le polygone qui lui $ert de ba$e a de côtés: tel e$t le $olide cotté A. On appelle _axe du pri$me_ une Planche VI. droite, telle que C B, tirée du centre C du polygone qui $ert _Figure_ 112. de ba$e au centre B du polygone $upérieur. Si cette ligne e$t perpendiculaire à la ba$e du pri$me, le pri$me e$t appellé _droit_, & on l’appelle _pri$me oblique_ ou _incliné_, lor$que cette ligne e$t inclinée $ur le plan de la ba$e.

II.

532. On appelle _cylindre_, un $olide engendré par le mou- vement d’un cercle qui $e meut parallélement à lui même le long d’une ligne A B. Le cercle inférieur de ce $olide e$t ap- _Figure_ 113. pellé _ba$e du cylindre_ ou _cercle générateur_: une ligne menée du centre du cercle inférieur au centre du cercle $upérieur e$t ap- pellée l’_axe du cylindre_: Si cette ligne e$t perpendiculaire $ur le cercle inférieur, le cylindre e$t appellé _droit_; & $i cette ligne e$t inclinée à la même ba$e, on l’appelle _cylindre oblique_. [0297]NOUVEAU COURS DE MATHEM. _Liv. VIII_. Il $uit de cette génération du cylindre, que $i l’on coupe un cylindre par un plan parallele à la ba$e de ce cylindre, la coupe repré$entera un cercle, pui$que le cercle générateur a néce$- $airement pa$$é par ce plan pour engendrer le $olide.

III.

533. Si d’un point quelconque A, pris au dehors d’un poly- _Figure_ 115. gone quelconque, on mene des droites A B, A C, A D, A E à tous les angles d’un polygone, il en ré$ultera un $olide, que l’on appelle _pyramide_, dont la ba$e $era le polygone donné, & qui $era terminée par autant de triangles que le polygone a de côtés. Les $olides, repré$entés par les figures 114 & 115, $ont des pyramides. Le point A, d’où l’on mene les lignes aux angles de la ba$e, e$t appellé _le $ommet de la pyramide_. Si la ba$e de la pyramide e$t un polygone régulier, la ligne A H, menée du centre H de cette ba$e au $ommet de la pyramide, e$t appellée _l’axe de la pyramide_. Lor$que cet axe e$t perpen- diculaire à la ba$e, la pyramide e$t _droite_; autrement elle e$t _inclinée_.

IV.

534. Si le polygone qui $ert de ba$e à la pyramide e$t un cercle, alors on lui-donne le nom de _cône_. On peut donc ima- giner qu’un cône e$t formé par la révolution d’une droite C A, _Figure_ 116. qui e$t attachée fixement en C, & dont l’extrêmité inférieure tourne autour d’un cercle A D B A, au dehors duquel e$t placé le point C. Le cercle A D B A e$t appellé la _ba$e du cône_; le point C e$t appellé le _$ommet du cône_. Une ligne menée du centre de la ba$e du cône au $ommet, e$t appellée _axe du cône_. Si l’axe e$t perpendiculaire à la ba$e du cône, le cône e$t _droit_. Si l’axe e$t incliné à la même ba$e, le cône e$t _oblique_. Les figures 116 & 117 repré$entent des cônes.

On peut encore imaginer que le cône droit e$t formé par la révolution d’un triangle rectangle A D C, autour d’un des côtés de l’angle droit C D; mais on ne peut pas $uppo$er que le cône oblique $oit formé par la révolution d’un triangle obli- qu’angle, autour de quelqu’un de $es côtés; ain$i la premiere définition étant plus générale, e$t au$$i la meilleure.

V.

535. On appelle _cône tronqué droit_, un $olide formé par la [0298]NOUVEAU COURS révolution d’un trapezoïde rectangle, tel que F G H I, autour _Figure_ 118. d’un de $es côtés G F, qui $outient les deux angles droits. On peut encore dire qu’un cône tronqué e$t ce qui re$te d’un cône A B C, après en avoir ôté le petit cône D B E, qui a été coupé _Figure_ 117. par un plan parallele à la ba$e du cône.

VI.

536. La _$phere_ e$t un $olide terminée par une $eule $urface _Figure_ 119. courbe, qu’on appelle _$urface $phérique_, comme A D C B, au- dedans de laquelle il y a un point qu’on appelle _centre de la_ _$phere_, duquel toutes les lignes droites menées à la $urface $ont égales entr’elles. On peut imaginer que la $phere a été en- gendrée par la révolution d’un demi-cercle autour d’un dia- metre. Le demi-cercle engendre la $olidité de la $phere, & la demi-circonférence engendre la $urface de la même $phere.

VII.

537. _Segment $phérique_ ou _portion de $phere_, e$t un $olide compris $ous une partie de la $urface de la $phere & la $urface d’un cercle; où l’une des deux parties inégales A B C & A D C _Figure_ 119. d’une $phere coupée par un plan qui ne pa$$e pas par $on centre. Si le plan de $ection pa$$e par le centre de la $phere, il la divi$e en deux $egmens égaux, que l’on appelle _hemi$pheres_. On peut imaginer que le $egment $phérique e$t formé par la révolution d’un $egment de cercle autour d’une ligne, qui divi$e la corde de ce $egment en deux parties égales, & qui lui e$t perpendi- culaire.

VIII.

538. On appelle _zone_ une partie A B C D de la $urface d’une _Figure_ 120. $phere, terminée par deux cercles B C & A D, de la même $phere paralleles entr’eux.

IX.

539. Le _$ecteur de $phere_ e$t un $olide terminé en pointe au centre de la $phere, qui a pour ba$e une partie de la $urface de la $phere, comme C O H. On peut imaginer que le $ecteur _Figure_ 121. $phérique a été produit par la révolution d’un $ecteur de cercle autour d’une ligne qui pa$$e par le centre, & qui divi$e $a corde en deux parties égales.

X.

540. _Orbe_ e$t un corps $phérique, qui e$t terminé par deux [0299]DE MATHéMATIQUE. _Liv. VIII_. $uperficies $phériques & concentriques, l’une concave, & l’au- tre convexe, comme le corps qui e$t borné par les deux $uper- _Figure_ 112. ficies $phériques, l’une B C D E, qui e$t convexe, & l’autre F G H I, qui e$t concave: ain$i vous voyez que l’orbe e$t ce qui re$te, lor$que d’une grande $phere, comme B C D E on en a ôté une plus petite concentrique à la plus grande, comme F G H I. On peut concevoir un orbe comme formé, par la ré- volution d’une couronne autour d’un diametre.

541. Comme on peut concevoir un orbe d’une épai$$eur in- finiment petite, il s’en$uit qu’une $phere peut être con$idérée comme compo$ée d’une infinité d’orbes, dont le plus grand e$t la $urface de la $phere, & le plus petit e$t celui qui va $e terminer à zero, au centre de la $phere.

XI.

542. On appelle _angle $olide_ celui qui e$t formé par la ren- contre de plu$ieurs plans qui $e terminent à un même point, tel e$t, par exemple, l’angle E qui e$t compo$é des plans _Figure_ 127. B E A, A E D, D E C & B E C: pour mieux comprendre cette définition, il faut con$idérer le $ommet des pyramides, les coins des cubes & des parallelepipedes, qui $ont des angles $olides. Il faut au moins trois plans pour former un angle $o- lide, de même qu’il faut deux lignes pour former un angle plan.

PROPOSITION I. THEOREME.

_543_. La $urface de tout pri$me droit, $ans y comprendre les _Figure_ 123 & 124. ba$es, e$t égale à celle d’un rectangle, qui auroit pour ba$e une li- gne _F G_ égale à la $omme des côtés de la ba$e du pri$me, & pour hauteur une ligne _G H_ égale à la hauteur _A E_ du pri$me.

DEMONSTRATION.

Si le pri$me droit a pour ba$e un exagone régulier, il $era renfermé par $ix rectangles, tels que D E: donc $i la ligne F G e$t égale à la $omme des côtés du polygone, pris en$emble, elle $era $extuple du côté A D; & comme les rectangles E D, F H ont la même hauteur, le rectangle F H $era $extuple du rectangle E D, & par con$équent égal à la $urface du pri$me. C. Q. F. D.

[0300]NOUVEAU COURS COROLLAIRE.

544. Le cylindre ayant pour ba$e un cercle, que l’on peut regarder comme un polygone d’une infinité de côtés, il s’en- $uit que le rectangle qui aura pour ba$e une ligne droite égale à la circonférence du cercle qui $ert de ba$e au cylindre, & pour hauteur celle du cylindre, que l’on $uppo$e droit, $era égal à la $urface du même cylindre.

On démontreroit de même que la $urface d’un pri$me droit quelconque, dont la ba$e $eroit un polygone irrégulier, comme on voudra, e$t égale à celle d’un rectangle qui auroit même hauteur que le pri$me, & une ba$e égale à la $omme des côtés du polygone.

PROPOSITION II. THEOREME.

_545_. La $urface d’une pyramide droite quelconque, comme _ABC_, _Figure_ 125. & 126. e$t égale à celle d’un triangle, qui auroit pour ba$e une ligne _G I_ égale à la $omme des côtés du polygone régulier qui lui $ert de ba$e, & pour hauteur une ligne _G H_ égale à une perpendiculaire _B F_ abai$$ée du $ommet de la pyramide $ur un des côtés _D E_.

DEMONSTRATION.

Imaginons que la pyramide A B C D E a pour ba$e un exa- gone régulier; comme elle e$t $uppo$ée droite, elle $era renfer- mée par $ix triangles égaux au triangle D B E: donc $i l’on a un triangle G H I, dont la ba$e H I $oit $extuple de la ba$e D E du triangle D B E, & dont la hauteur $oit égale à celle du même triangle, la $urface de ce dernier triangle G H I $era $extuple de celle du triangle D B E: donc elle $era égale à la $urface dela pyramide, $ans y comprendre la ba$e. C.Q.F.D.

546. Si la pyramide n’avoit pas pour ba$e un polygone régu- lier, la perpendiculaire menée du $ommet de la pyramide $ur chaque côté ne $eroit pas la même pour tous les triangles, quoi- que la pyramide fût droite, & cela arriveroit encore dans le cas où la pyramide ayant pour ba$e un polygone régulier, ne $eroit pas droite. Dans ces deux cas, il faut chercher la $urface de chacun des triangles en particulier, & la $omme de ces $ur- faces $era la $urface de la pyramide.

[0301]DE MATHEMATIQUE. _Liv. VIII_. COROLLAIRE.

547. Un cône droit pouvant être regardé comme une py- ramide droite d’une infinité de côtés, il s’en$uit que $a $urface $era égale à celle d’un triangle, qui auroit pour ba$e une ligne égale à la circonférence du cercle qui lui $ert de ba$e, & pour hauteur une ligne égale au côté du cône.

PROPOSITION III. THÉOREME.

_548._ Les parallelepipedes & les pri$mes droits $ont dans la rai- $on compo$ée des rai$ons de leurs trois dimen$ions, ou comme les produits de leurs trois dimen$ions.

DEMONSTRATION.

Nous avons vu (art. 26), que pour trouver la $olidité des parallelepipedes, il falloit multiplier le produit des deux di- men$ions de leurs ba$es par leurs hauteurs. Si donc on a deux pri$mes, dont l’un $oit A & l’autre B, dont les dimen$ions du premier $oient _a_, _b_, _c_; & les dimen$ions du $econd _d_, _e_, _f_; le $olide du premier pri$me, ou ce pri$me lui-même, $era égal à _abc_, & le $olide du $econd pri$me, ou ce prime lui-même, $era _d e f_: donc on aura A: B:: _a b c_: _d e f_; mais la rai$on de _a b c_ à _d e f_ e$t compo$ée des trois rai$ons de _a_ à _d_, de _b_ à _e_, de _c_ à _f_: donc les pri$mes $ont en rai$on compo$ée de leurs trois dimen$ions, ou comme les produits de leurs dimen$ions. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

549. Les pri$mes & les cylindres étant compo$és d’un nom- bre infini de plans égaux, & $emblables à ceux de leurs ba$es, on peut dire que pui$que le nombre de ces plans e$t exprimé par la hauteur de ces $olides, il faudra, pour en trouver la va- leur, multiplier la ba$e par la hauteur: donc pui$que la $olidité des pri$mes & des cylindres dépend du produit de leur trois dimen$ions, il s’en$uit qu’ils $eront entr’eux dans la rai$on compo$ée de celles des mêmes dimen$ions.

COROLLAIRE II.

550. Il $uit encore delà que l’on trouvera toujours le rap- [0302]NOUVEAU COURS port des $olides de même e$pece, en multipliant leurs ba$es par leurs hauteurs: quand je dis de même e$pece, j’entends, par exemple, les pyramides, les cônes, &c. Car quoique nous n’ayons pas encore donné la maniere de trouver la $olidité des pyramides & des cônes, cela n’empêche pas qu’on ne $oit con- vaincu qu’elles dépendent des produits de leur trois dimen- $ions: car $i pour trouver le $olide d’une pyramide, il faut mul- tiplier la ba$e par le tiers ou lamoitié de $a hauteur, il e$t certain que pour trouver la $olidité d’une autre pyramide, il faudra au$$i multiplier $a ba$e par le tiers ou la moitié de $a hauteur: ain$i en multipliant de la même maniere les trois dimen$ions d’une pyramide, & les trois dimen$ions d’une autre; $i ces produits ne donnent pas les $olidités, ils donneront au moins le rap- port que ces pyramides ont entr’elles.

PROPOSITION IV. THEOREME.

_551._ Toute pyramide, comme _A B C D E_, e$t le tiers d’un pri$me _Figure_ 128. de même ba$e & de même hauteur.

Suppo$ant que la ba$e A C $oit un quarré, nous nommerons A D ou D C _a_, A H ou E F _b_, & la perpendiculaire E G {1/2} _a_, pui$qu’elle e$t moitié de I K ou de A D.

DEMONSTRATION.

Con$idérez que $i du pri$me A K on retranche la pyramide A B C D E, il re$tera quatre autres pyramides telles que A H I E B, qui $ont toutes égales entr’elles, ayant chacune pour ba$e un des rectangles A H I B de la $urface du pri$me, & pour hauteur une perpendiculaire égale à E G. Or $i l’on multiplie _a a_, qui e$t la ba$e A C, de la pyramide A E C par $a hauteur E F, qui e$t _b_, on aura _a a b_ pour le produit de $es trois dimen$ions; & multipliant au$$i _a b_, qui e$t la ba$e de la pyramide A H I E B, par $a hauteur E G, qui e$t {1/2} _a_, on aura {_aab_/2} pour le produit de $es trois dimen$ions. Ain$i la pyramide A B C D E e$t à la pyramide A H I E B, comme _a a b_ e$t à {_aab_/2}; donc la premiere e$t double de la $econde (art. 550), pui$que ces pyramides $ont entr’elles comme les produits de leurs trois dimen$ions. Mais [0303]DE MATHEMATIQUE. _Liv. VIII_. me il y a quatre pyramides égales à {_aab_/2}, leur $omme $era {/2} ou 2_aab_, & $i l’on joint encore à cette pyramide la py- ramide A B C D E = _a a b_, on aura le $olide entier, égal à 3_aab_: donc la pyramide A E C $era le tiers du $olide ou pri$me droit A K. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

552. Pui$que la pyramide A B C D E e$t le tiers du pri$me A K, $i l’on coupe cette pyramide par un plan B E D, qui pa$$e par le $ommet E & les angles oppo$és de la ba$e, ce plan di- vi$era la pyramide totale en deux autres pyramides égales, & le pri$me quarré en deux autres pri$mes, pareillement égaux entr’eux, pui$que chacun a même ba$e & même hauteur: donc pui$que la pyramide totale e$t le tiers du pri$me total, la pyramide triangulaire $era au$$i le tiers du pri$me triangulaire. D’où il $uit qu’une pyramide quelconque e$t toujours le tiers d’un pri$me de même ba$e & de même hauteur, parce que l’on peut concevoir un pri$me pentagonal, par exemple, comme compo$é de cinq pri$mes triangulaires, & une pyramide pen- tagonale, comme au$$i compo$ée de cinq pyramides triangu- laires, & comme chacune $era le tiers du pri$me corre$pon- dant, la pyramide totale $era au$$i le tiers du pri$me total.

COROLLAIRE II.

553. Il $uit de cette propo$ition, que pour trouver la $olidité d’une pyramide telle que A B C D E, qui a pour ba$e un quarré, il faut multiplier la ba$e, c’e$t-à-dire le quarré A D, par le tiers de la hauteur de la pyramide, qui e$t la perpendiculaire C H, ou bien multiplier la ba$e par toute la hauteur, & prendre le tiers du produit.

COROLLAIRE III.

554. Si l’on coupe la pyramide droite A C D par un plan F C G, _Figure_ 129. qui pa$$ant par l’axe, $oit parallele à un des côtés de la ba$e, la $ection donnera un triangle i$o$cele F C G, dont tous les élémens, tels que I K, $ont en progre$$ion arithmétique; mais comme tous ces élémens $ont autant de lignes égales aux côtés des quarrés qui compo$ent la pyramide, il s’en$uit que la py- ramide e$t compo$ée d’un nombre infini de quarrés, dont [0304]NOUVEAU COURS tous les côtés $ont en progre$$ion arithmétique; & comme pour trouver la $omme de tous ces quarrés, il faut multiplier le quarré A D par le tiers de la perpendiculaire C H, l’on pourra tirer de ce rai$onnement un principe général, qui e$t que _$i l’on_ _a une progre$$ion arithmétique infinie, compo$ée de lignes, dont_ _la plus petite va $e terminer à o, l’on trouvera la $omme des quarrés_ _de toutes ces lignes, en multipliant le quarré de la plus grande li-_ _gne par le tiers de la grandeur qui exprime la quantité des lignes_ _ou des quarrés_. Comme la $uite des nombres naturels e$t une $uite de grandeurs qui croi$$ent en progre$$ion arithmétique, on peut par cette propo$ition, prouver que la $omme des quarrés de tous les nombres po$$ibles, depuis zero ju$qu’à l’infini, e$t égale au tiers du cube du dernier nombre que l’on pui$$e ima- giner, ou bien au tiers du cube de l’infini.

Il e$t bien important de comprendre ce corollaire, parce que nous nous en $ervirons dans les démon$trations $uivantes.

COROLLAIRE IV.

555. Il $uit encore delà, que pour trouver la $olidité d’une pyramide droite A B C, qui a pour ba$e un polygone quelcon- _Figure_ 130. que A C, il faut multiplier la ba$e par le tiers de l’axe B D; car comme cette pyramide e$t compo$ée d’une infinité de po- lygones $emblables à la ba$e, & tous ces polygones $emblables étant dans la rai$on des quarrés de leurs côtés homologues (art. 493), ou de leurs rayons, tels que E F & A D, le$quels $ont les mêmes que les élémens du triangle A B D, on peut dire que ces polygones $ont dans la rai$on des quarrés des li- gnes d’une progre$$ion infinie arithmétique, & que par con$é- quent pour en trouver la valeur, il faudra multiplier le plus grand polygone A C par le tiers de la perpendiculaire B D.

COROLLAIRE V.

556. Comme le cône A B C e$t compo$é d’une infinité de _Figure_ 132. cercles, qui ont pour rayons les élémens, tels que E F & A D du triangle A B D, il s’en$uit que les cercles étant dans la même rai$on que les quarrés de leurs rayons, il faudra, pour trouver la valeur de tous les cercles dont le cône e$t compo$é, multiplier le plus grand cercle A C par le tiers de la perpendi- culaire B D qui en exprime la quantité.

[0305]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VIII_. PROPOSITION V. THEOREME.

_557._ Si l’on a deux pyramides, _A B C_ & _H L K_, dont la hau- _Figure_ 130 & 131. teur _B D_ de la premiere $oit égale à la hauteur _L O_ de la $econde, je dis qu’elles $eront entr’elles dans la rai$on de la ba$e _A C_ à la ba$e _H K_.

Suppo$ant que la ba$e A C $oit un exagone régulier, & la ba$e H K un quarré, nous nommerons le côté M N, _a_; la perpendiculaire D G, _b_; le côté H I ou I K, _c_; & la hauteur B D ou L O, _d_. Cela po$é, la ba$e A C $era {6_ab_/2} ou 3_ab_, & la ba$e H K $era _c c_, & multipliant les deux ba$es par le tiers de la hauteur commune (art. 553), c’e$t-à-dire par {_d_/3}, l’on aura {3_abd_/3} pour la valeur de la premiere pyramide A B C, & {_ccd_/3} pour la valeur de la pyramide H K L: ain$i il faut démontrer que _abd_: {_ccd_/3}:: 3_ab_: _c c_.

DEMONSTRATION.

Cette proportion e$t évidente, pui$que le produit des ex- trêmes e$t égal à celui des moyens: car _a b d c c_ = {3_a b d c c_/3} = _a b d c c_. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

558. Les cônes étant des pyramides d’une infinité de côtés, il s’en$uit que lor$qu’ils auront la même hauteur, ils $eront dans la rai$on de leurs ba$es. Il en $era de même pour les pri$mes & les cylindres qui $ont triples des pyramides ou des cônes de même ba$e & de même hauteur: car $i les parties $ont entr’elles comme les tous, réciproquement les tous $ont entr’eux comme leurs parties de même nom.

PROPOSITION VI. THEOREME.

_559._ Si l’on a deux pri$mes _X_ & _Y_, dont les ba$es & les hau- Pl. VII. teurs $oient réciproques, je dis qu’ils $ont égaux.

_Figure_ 133 & 134. [0306]NOUVEAU COURS DEMONSTRATION.

Pour le prouver, nous $uppo$erons que _a b_ e$t la ba$e du pri$me X, & _c d_ celle du pri$me Y, _e_ la hauteur du pri$me Y, & _f_ celle du prime X; cela étant, _par hypothe$e_, on a _a b_: _c d::e:f_; donc _a b f_=_c d e_: or comme le premier membre de cette équation e$t le produit des trois dimen$ions du pri$me X, & le $econd le produit des trois dimen$ions du pri$me Y, il s’en$uit évidemment que ces pri$mes $ont égaux. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

560. Il $uit de cette propo$ition, que les cylindres, les pyra- mides & les cônes qui ont leurs ba$es & leurs hauteurs réci- proques, $ont égaux chacun à chacun. La démon$tration e$t la même que la précédente.

PROPOSITION VII THÉOREME.

561. Une pyramide tronquée, comme _A B E D_, e$t égale à une _Figure_ 135. & 136. pyramide qui auroit pour ba$e un plan égal aux deux quarrés _B E_ _& A H_, pris en$emble; plus un plan qui $eroit moyen géométrique entre ces deux quarrés, & pour hauteur l’axe _F G_.

Con$idérant la figure H K L I, comme étant la coupe de la pyramide tronquée, coupée par un plan perpendiculaire à $a ba$e, & qui pa$$eroit par $on $ommet, & le triangle H M I, comme la coupe de la pyramide entiere, nous nommerons le côté A D, _a_; K L ou B C, _b_; l’axe M G, _c_; le petit axe M F de la pyramide K M L, _d_: ain$i l’axe F G de la pyramide tronquée $era _c-d_, & l’on aura _aa+bb+ab_ pour la ba$e de la pyramide égale à la pyramide tronquée; car _a b_ e$t moyen proportionnel entre _a a & b b_ (art. 505). Ain$i il faut prouver que le produit de _aa_ + _bb_ + _ab_ par {_c-d_/3}, qui e$t {_aac+bbc+abc-aad-bbd-abd_/3}, e$t égal au $olide de la pyramide tronquée.

DEMONSTRATION.

Faites attention que la pyramide tronquée e$t égale à la di$- férence de la pyramide entiere & de la pyramide emportée; que la pyramide entiere H M I e$t {_aac_/3}, & que la petite pyra- [0307]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VIII_. mide K M L e$t {_bbd_/3}, & que $i l’on ôte la petite de la grande, la différence $era la valeur de la pyramide tronquée, qui e$t {_aac-bbd_/3}, & qui doit être égale au produit {_aac+bbc+abc-aad-bbd-abd_/3}; ce qui fournit cette équation, {_aac-bbd_/3}={_aac+bbc+abc-aad-bbd-abd_/3}.

Pour prouver cette équation, on fera attention qu’à cau$e des triangles $emblables H M I, K M L, on a HI:KL::MG:MF, ou _a:b::c:d_; ce qui donne _ad_=_bc_: en mettant donc _b c_ à la place de _a d_ dans le quatrieme & $ixieme terme du $econd membre de cette équation, on aura celle-ci {_aac-bbd_/3}= {_aac+bbc+abc-abc-bbd-bbc_/3}, dans laquelle, effaçant ce qui $e détruit, on aura {_aac-bbd_/3}={_aac-bbd_/3}. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

562. Il $uit de cette propo$ition, que pour trouver la valeur d’une pyramide quarrée tronquée, il faut multiplier le côté de la ba$e inférieure de cette pyramide par le côté de la ba$e $upé- rieure, pour avoir le plan _a b_, moyen entre les deux, & ajouter ce plan à la $omme des deux ba$es inférieure & $upérieure, puis multiplier le tout par le tiers de la perpendiculaire F G.

REMARQUE.

563. Si la ba$e de la pyramide n’étoit pas un quarré, pour avoir le plan moyen, il faudroit multiplier les deux plans l’un par l’autre, & en extraire la racine: mais on peut trouver ce plan d’une maniere plus $imple, comme on le va voir.

Suppo$ons que la ba$e de la pyramide e$t un pentagone ré- gulier, la ba$e $upérieure de la pyramide $era au$$i un penta- gone régulier, & $emblable à celui de la ba$e inférieure, parce que l’on $uppo$e la pyramide coupée par un plan parallele à cette ba$e. Soit 2_a_ le contour du premier polygone, & _b_ la per- pendiculaire qui me$ure la hauteur d’un triangle: $oit pareil- lement 2_c_ le contour du polygone, qui e$t la ba$e de la pyra- mide emportée, & _d_ la perpendiculaire qui me$ure la hauteur d’un triangle: on aura la $urface du premier polygone, en multipliant la hauteur d’un triangle par la moitié du contour: [0308]NOUVEAU COURS on aura de même la $urface du $econd polygone, ou de la ba$e $upérieure, en multipliant $a perpendiculaire par la moitié du contour (art. 483). La ba$e inférieure $era donc _a b_, & la ba$e $upérieure _c d_: multipliant ces deux $urfaces l’une par l’autre, le produit $era _a b c d_, dont la racine donneroit le moyen cherché entre les deux ba$es: mais je fais attention que pui$que ces polygones $ont $emblables, leurs contours, ou les moitiés de ces contours $eront entr’elles comme les perpen- diculaires: on aura donc _a:b::c:d_, d’où l’on tire _ad_=_bc_. Si donc dans le produit _a b c d_, on met à la place de _bc_ le pro- duit _a d_, qui lui e$t égal, on aura _a a d d_ pour le quarré du plan moyen géométrique entre les deux ba$es, dont la racine _a d_, que l’on peut prendre $ur le champ, donne ce même plan moyen. D’où il $uit, que pour trouver un polygone quel- conque $emblable à deux autres polygones $emblables en- tr’eux, & qui $oit moyen géométrique entre ces deux poly- gones, il faut multiplier la moitié du contour du plus grand par la perpendiculaire de l’autre, ou le demi-contour du plus petit par la perpendiculaire du plus grand. J’ai in$i$té $ur cette remarque, parce qu’elle donne une méthode fort commode de trouver une $urface moyenne géométrique entre deux au- tres $urfaces $emblables, & que d’ailleurs on ne le trouve pas dans les autres élémens. Par exemple, pour trouver un cercle moyen géométrique entre deux cercles donnés, dont les rayons $ont _a_ & _b_, les circonférences 2_c_ & 2_d_, le cercle moyen $era également _a d_ ou _b c_, que l’on trouve $ur le champ, $ans être obligé d’extraire de racines.

COROLLAIRE II.

564. Comme un cône tronqué e$t compo$é d’une infinité de cercles, qui $ont tous dans la rai$on des quarrés qui com- po$ent une pyramide tronquée, il s’en$uit que pour en trouver la $olidité, il faut chercher un cercle moyen entre les deux cercles oppo$és, ajouter cette $omme avec les deux qui $ervent de ba$e, & multiplier le tout par le tiers de l’axe compris entre les deux cercles; il faut au$$i entendre la même cho$e de toute autre pyramide tronquée, $oit que $a ba$e $oit réguliere, $oit qu’elle $oit irréguliere.

[0309]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VIII_. LEMME.

_565_. Une ligne moyenne proportionnelle entre les parties _E G_ _Figure_ 137. _& G F_ du diametre _E F_ d’un cercle, $era le rayon d’un cercle égal à la couronne _X_.

DEMONSTRATION.

Con$idérez que par la nature du cercle, la ligne G H e$t moyenne proportionnelle entre les parties E G & G F du dia- metre; & à cau$e du triangle rectangle D G H, on a GH<_>2 = DH<_>2-DG<_>2: & commeles cercles $ont en mêmerai$on que les quarrés de leurs rayons, on aura le cercle de G H égal au cer- cle de D H moins le cercle de D G; mais la couronne e$t au$$i égale à la différence des cercles décrits du rayon DH & du rayon D G: donc la couronne e$t égale au cercle du rayon G H, ou d’une ligne moyenne entre les parties du diametre. C. Q. F. D.

PROPOSITION VIII. THEOREME.

_566_. Si l’on a une demi-$phere _A E D_ in$crite dans un cylindre _Figure_ 138. _A B C D_, je dis que la demi - $phere e$t égale aux deux tiers du cylindre.

Prolongez le diametre B C ju$qu’en F, en$orte que B F $oit égale à B A, & tirez la ligne F A, qui donnera letriangle i$o$- cele A B F.

DEMONSTRATION.

Si l’on $uppo$e que la demi-$phere & le cylindre $ont coupés par un plan GL parallele à la ba$e A D, cette $ection formera la couronne G H, & $i l’on abai$$e du point H la perpendi- culaire H I $ur le diametre A D, elle $era, _par le lemme précé-_ _dent_, le rayon du cercle égal à la couronne G H, pui$qu’elle e$t moyenne proportionnelle entre les parties A I & I D, ou G H & H L qui leur $ont égales. Or comme les lignes H I, G A, G K $ont égales, _par con$truction_, il s’en$uit que la cou- ronne G H $era égale au cercle, qui auroit pour rayon la ligne corre$pondante G K, qui e$t un des élémens du triangle A B E; & comme le triangle e$t compo$é d’autant d’élémens qu’il y a de couronnes dans l’e$pace qui e$t entre la demi-$phere & le [0310]NOUVEAU COURS cylindre. La $omme des élémens & des couronnes étant ex- primée par la ligne B A, il s’en$uit que tous les cercles qui au- ront pour rayons les élémens du triangle, vaudront, pris en- $emble, toutes les couronnes; & comme pour trouver la va- leur de tous ces cercles, il faut multiplier le cercle du plus grand élément F B par le tiers de la ligne B A (art. 554), il faudra donc pour trouver la $omme de toutes les couronnes, multiplier la plus grande couronne B C, qui e$t le cercle qui $ert de ba$e au cylindre, par le tiers de la ligne A B, hauteur du cylindre; ce qui fait voir que toutes les couronnes, pri$es en$emble, $ont égales au tiers du cylindre, & que par con$é- quent la demi-$phere en e$t les deux tiers. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

567. Pui$qu’une demi-$phere e$t les deux tiers du cylindre où elle $eroit in$crite, c’e$t-à-dire de même ba$e & de même hauteur, il s’en$uit que pour en trouver la $olidité, il faut mul- tiplier $on plus grand cercle A D par les deux tiers du rayon M E.

COROLLAIRE II.

568. Une demi-$phere étant les deux tiers d’un cylindre de même ba$e & de même hauteur, une $phere $era par con$é- quent les deux tiers du cylindre, qui auroit pour ba$e le grand cercle de la $phere, & pour hauteur le diametre: ain$i il faut, pour trouver la $olidité d’une $phere, _multiplier $on grand cercle_ _par les deux tiers du diametre_, ou bien multiplier le grand cer- cle par le diametre, & prendre les deux tiers du produit.

COROLLAIRE III.

569. Si l’on con$idere qu’un quart de cercle e$t compo$é d’un nombre infini d’élémens, tels que D E, on verra que $i _Figure_ 139. le quart de cercle fait une révolution autour du rayon A B, il décrira une demi-$phere telle que X, qui $era compo$ée d’une _Figure_ 142. infinité de cercles, dont tous les élémens du quart de cercle $eront les rayons. Or comme les cercles $ont dans la même rai$on que les quarrés de leurs rayons, & que pour trouver la valeur de tous les cercles, qui ont pour rayon les élémens du quart de cercle, il faut multiplier le cercle du plus grand rayon B C par les deux tiers du demi-diametre A B, il $uit delà, que [0311]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VIII_. pour trouver tous les quarrés des élémens du quart de cercle A C, il faut multiplier le quarré du plus grand élément par les deux tiers de la ligne A B, & l’on peut tirer de ce rai$on- nement le principe général $uivant, qui e$t que, _dans une $uite_ _qui $eroit compo$ee des élémens infinis du quart de cercle, la $omme_ _de tous les élémens $eroit égale au produit du quarré du plus grand_ _élément, c’e$t-à-dire du rayon par les deux tiers du même rayon_.

PROPOSITION IX. THEOREME.

_570_. Les $olidités des $pheres $ont dans la même rai$on que les _Figure_ 143. cubes de leurs diametres.

Si l’on nomme le diametre A B, _a_, $a circonférence, _b_, le diametre C D, _c_, & $a circonférence, _d_, la $uperficie du grand cercle de la premiere $phere $era {_ab_/4}, pui$qu’il faut mul- tiplier la demi-circonférence par le rayon pour avoir la $ur- face d’un cercle; de même la $uperficie du grand cercle de la $econde $phere $era {_cd_/4} multipliant en$uite l’un & l’autre, cha- cun par les deux tiers de $on diametre, l’on aura {2_a_<_>2_b_/12} ou {_a_<_>2_b_/6} pour la $olidité de la premiere $phere (art. 568), & par la même rai$on {_cd_/6} pour la $olidité de la $econde $phere: il faut donc démontrer que {_aab_/6}: {_ccd_/6}:: _a_<_>3: _c_<_>3.

DEMONSTRATION.

Pour prouver que {_aab_/6}: {_ccd_/6}:: _a_<_>3: _c_<_>3, nous ferons voir que dans ces quatre termes le produit des extrêmes e$t égal à celui des moyens, c’e$t-à-dire que {_aabc_<_>3/6} = {_a_<_>3_dcc_/6}. Pour cela, con- $idérez que les diametres des cercles étant en même rai$on que leurs circonférences (art. 481), on aura _a_: _b_:: _c_: _d_, d’où l’on tire _a d_ = _b c_, & que $i l’on met _a d_ à la place de _b c_ dans le premier membre de l’équation précédente, elle deviendra, en multipliant chaque membre par 6, _aaadcc_ = _aaadcc_. C. Q. F. D.

DÉFINITION.

571. On appelle corps ou $olides _$emblables_ ceux dont [0312]NOUVEAU COURS toutes les dimen$ions $ont proportionnelles, par exemple, deux pyramides $ont $emblables, lor$qu’elles ont chacune pour ba$es des polygones $emblables, & que leurs axes $ont di$po$és de la même maniere par rapport au plan de leur ba$e, & $ont proportionnels aux côtés homologues, ou aux rayons de ces polygones: car il faut bien faire attention que les axes de deux pyramides, ou même leurs hauteurs, peuvent être pro- portionnelles à leurs rayons, ou aux côtés homologues des ba$es $emblables, $ans que ces pyramides $oient des corps $embla- bles; ce qui arriveroit $i l’une des pyramides étoit droite & l’au- tre oblique.

COROLLAIRE.

572. Il $uit de la définition précédente & de la derniere propo$ition, que toutes les pyramides, pri$mes, cylindres, ou cônes $emblables, $eront entr’eux comme les cubes des dimen- $ions homologues; de leurs axes, par exemple, de leurs hauteurs, ou, comme s’expriment les Géometres, dans la rai$on triplée de leurs dimen$ions homologues.

REMARQUE.

Il pourroit arriver, comme nous l’avons déja in$inué, que deux corps qui ont des ba$es $emblables, fu$$ent entr’eux com- me les cubes de leurs hauteurs, $ans qu’on en pui$$e conclure qu’ils $ont $emblables. Imaginons deux pri$mes, qui ont cha- cun pour ba$e des pentagones $emblables, & des hauteurs proportionnelles aux côtés homologues de ces pentagones, mais le premier droit, & le $econd oblique. Soit 2_a_ le contour de la ba$e du premier; _b_, la perpendiculaire qui me$ure la hauteur d’un des triangles de la ba$e, & _c_ $a hauteur: $oit de même 2_d_ le contour du polygone qui $ert de ba$e au $econd pri$me, _f_ la hauteur d’un triangle, & _g_ la hauteur de ce pri$me. La $oli- dité du premier $era _a b c_, & celle du $econd $era _d f g_, pui$- qu’il faut multiplier la ba$e de chacun par $a hauteur, & l’on auroit dans ce cas _a b c_: _d f g_:: _a_<_>3: _d_; ce qu’il e$t ai$é de prou- ver, en fai$ant voir que le produit des extrêmes e$t égal à ce- lui des moyens, ou que _a b c d_ = _d f g a_<_>3: car pui$que les po- lygones qui $ervent de ba$es $ont $emblables, leurs contours ou les moitiés de ces contours $ont proportionnels aux per- pendiculaires qui me$urent les hauteurs des triangles: donc [0313]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VIII_. _a_: _b_ :: _d_: _f_; donc _a f_ = _b d_, & pui$que, _par hypothe$e_, les hauteurs de ces pri$mes $ont proportionnelles aux circuits des ba$es, on aura _a_: _c_ :: _d_: _g_; donc _a g_=_c d_. Si dans le premier membre de l’équation, qu’il faut prouver, on met _a f_ à la place de _bd_, & _ag_ à la place de _cd_, il viendra celle-ci, _a_<_>3_d f g_ = _a_<_>3_d f g_, qui fait voir que ces pri$mes $ont entr’eux comme les cubes des côtés de leurs ba$es ou de leurs rayons, quoiqu’ils ne $oient pas $emblables. Il e$t donc vrai de dire que lor$que deux $olides $ont $emblables, ils $ont entr’eux comme les cubes des côtés homologues de leurs ba$es, ou comme les cubes de leurs hauteurs; mais de ce que deux $olides $eroient entr’eux com- me les cubes de leurs côtés homologues ou de leurs hauteurs, il ne s’en$uit pas qu’ils $oient $emblables.

On a $uppo$é dans cette remarque & dans ce qui pré- cede, qu’un pri$me oblique e$t égal au produit de $a ba$e par $a hauteur; ou, ce qui revient au même, que deux pri$mes $ont égaux, lor$qu’ils $ont compris entre deux plans paral- leles: $i l’on veut $e convaincre de cette vérité, il n’y a qu’à faire attention qu’un pri$me peut être engendré par le mouve- ment d’un parallélogramme qui $e meut parallélement à lui- même, & comme les parallélogrammes inclinés $ont égaux au rectangle de même ba$e, & compris entre les mêmes pa- ralleles, il s’en$uit que les pri$mes droits & obliques, engen- drés par les mouvemens de ces $urfaces, $eront au$$i égaux, pui$que les $urfaces génératrices $ont égales, & parcourent le même e$pace parallélement à elles-mêmes.

PROPOSITION X. THEOREME.

_573_. La $urface d’une demi-$phere _A E D_ e$t égale à celle du _Figure_ 140 & 141. cylindre _A B C D_, dans lequel elle e$t in$crite.

Suppo$ant que le cylindre A C & le cône G H I ont la même ba$e & la même hauteur, nous nommerons _a_ les lignes égales F E, F D, K H, K I, & _b_ les circonférences A D & G I. Cela po$é, on aura {_a b_/2} pour la valeur du cercle A D ou G I, qui étant multiplié par les deux tiers de F E ({2_a_/3}) donnera {2_aab_/6} = {_aab_/3} pour la valeur de la demi-$phere (art. 567 & 568), & [0314]NOUVEAU COURS multipliant {_ab_/2} par le tiers de H K ({_a_/3}), il viendra {_aab_/6} pour la $olidité du cône G H I

DEMONSTRATION.

Si l’on imagine la demi-$phere, comme étant compo$ée d’une infinité de petits cônes, qui ont leurs ba$es égales, ré- pandues $ur la $urface de la $phere, & dont tous les fommets venant aboutir au centre F, ont pour hauteur commune le rayon, on pourra dire que tous ces petits cônes $ont égaux, pris en$emble, à un $eul qui auroit pour ba$e la $urface de la $phere, & pour hauteur le rayon. Or comme la valeur de ce cône, égal à la demi-$phere, e$t {_aab_/3}, & que celle du cône G H I e$t {_aab_/6}, ces deux cônes ayant la même hauteur, il s’en- $uit qu’ils $eront dans la rai$on des ba$es, c’e$t-à-dire comme le cercle G I e$t à la $urface de la $phere, que l’on trouvera, en di$ant: Comme {_aab_/6}, valeur du cône G H I, e$t à {_aab_/3}, valeur du cône égal à la $phere, ain$i {_ab_/2}, ba$e du cône G H I, e$t à la ba$e du $econd cône, ou autrement à la $urface de la demi- $phere, que l’on trouvera {6_a_<_>3_b_<_>2/6_a_<_>2_b_} = _a b_, qui e$t un rectangle égal à la $urface du cylindre, pui$qu’il e$t compris $ous la hauteur _a_ & la circonférence _b_. C. Q. F. D.

AUTRE DEMONSTRATION.

Con$idérez que $i du cylindre A C l’on retranche le cône B F C, qui en e$t le tiers, le $olide A B F C D qui re$tera, que _Figure_ 140. nous nommerons _entonnoir_, en $era les deux tiers; & comme la demi-$phere in$crite e$t au$$i les deux tiers du cylindre, elle $era par con$équent égale à l’entonnoir. Mais $i l’on imagine l’entonnoir compo$é d’une infinité de petites pyramides, dont toutes les ba$es $ont à la $urface du cylindre, & dont la hau- teur commune e$t le rayon F D, il s’en$uit que toutes les pyra- mides de la demi-$phere étant égales à toutes celles de l’en- tonnoir, toutes les ba$es des unes, pri$es en$emble, $eront égales à toutes les ba$es des autres, au$$i pri$es en$emble, pui$- que ces pyramides ont la même hauteur; mais toutes les ba$es des unes valent la $urface de la $phere, & toutes les ba$es des [0315]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VIII._ autres valent la $urface du cylindre: donc la $urface de la $phere e$t égale à la $urface du cylindre qui lui e$t circon$crit. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

574. La $urface du cylindre A C ayant pour ba$e la circon- férence du grand cercle de la $phere, & pour hauteur le rayon, il s’en$uit que la $urface d’une demi-$phere e$t égale au rectan- gle compris $ous une ligne droite égale à la circonférence de $on grand cercle, & $ous le rayon; & que par con$équent la $urface d’une $phere e$t égale au rectangle compris $ous une ligne égale à la circonférence de $on grand cercle & $ous $on axe: ain$i pour trouver la $urface d’une $phere, il faut mul- tiplier le diametre de $on grand cercle par $a circonférence.

COROLLAIRE II.

575. Le grand cercle d’une demi-$phere étant la moitié du rectangle compris $ous la circonférence & $ous le rayon, il s’en$uit que la $urface d’une demi-$phere e$t double de $on grand cercle; & par con$équent la $urface de la $phere entiere e$t quadruple de celle du même grand cercle.

COROLLAIRE III.

576. Comme les cercles $ont dans la même rai$on que les quarrés de leurs rayons (art. 495), il s’en$uit qu’un cercle qui aura un rayon double d’un autre, aura une $urface quadruple: par con$équent la $urface d’une $phere e$t égale à celle d’un cercle, qui auroit pour rayon l’axe de la même $phere.

COROLLAIRE IV.

577. Comme les $urfaces de $pheres $ont égales à des cer- cles qui auroient pour rayons les diametres des $pheres, & ces cercles étant comme les quarrés de leurs rayons, qui $ont ici les diametres des $pheres, il s’en$uit que les $urfaces des $pheres $ont entr’elles comme les quarrés de leurs diametres.

PROPOSITION XI. THEOREME.

_578._ La $olidité d’une zone _A B C D_ e$t égale aux deux tiers _Figure_ 144. du cylindre _A E F D_ du grand cercle _A D_, plus au tiers du cylin- dre _G B C H_ du plus petit cercle B C.

[0316]NOUVEAU COURS DÉMONSTRATION.

Comme l’on trouve la valeur de toutes les couronnes qui $ont entre la zone & le cylindre A E F D, en multipliant la plus grande couronne E B par le tiers de la ligne E A ou O I (art. 566), il s’en$uit que ce produit e$t égal au tiers de l’e$- pace E G ou F H qui regne entre les deux cylindres A E F D G B C H; & que par con$équent la partie A B G de la zone qui regne autour du cylindre en e$t les deux tiers. Or $i l’on retranche de ce cylindre le cône B I C, qui en e$t le tiers, il re$tera l’entonnoir G B I C H, qui en $era les deux tiers, ain$i la partie A B I C D de la zone vaudra les deux tiers du cylin- dre A E F D; mais comme le cône B I C, qui fait au$$i partie de la zone, e$t le tiers du cylindre G B C H, il faut ajouter ce cône aux deux tiers du cylindre A E F D pour avoir la $o- lidité de la zone: ain$i cette $olidité e$t égale aux deux tiers du cylindre A E F D, plus au tiers du cylindre G B C H. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

579. Il $uit de cette propo$ition, que $i l’on coupe une demi- _Figure_ 145. $phere in$crite dans un cylindre, par un plan F G, parallele à la ba$e A E, la partie A B C D E (qui e$t la différence de la demi-$phere au $ecteur $phérique C B H D) e$t égale à l’entonnoir A F C G E du cylindre corre$pondant A G, pui$- que l’une & l’autre $ont les deux tiers du même cylindre A G.

COROLLAIRE II.

580. Il $uit encore delà que la $olidité d’un $ecteur $phé- rique tel que C I B P, e$t égale aux deux tiers du cylindre _Figure_ 144. E F L K, qui a pour ba$e le grand cercle de la $phere, & pour hauteur la fleche P O du $egment $phérique B P C, plus au tiers du cylindre G B C H: car pui$que la demi-$phere e$t les deux tiers du cylindre qui lui e$t circon$crit, & que la zone A B C D e$t les deux tiers du cylindre A E F D, plus le tiers du cylindre G B C H, il faut que le $ecteur C I A P $oit les deux tiers du cylindre E K L F, plus le tiers du cylindre G B C H.

COROLLAIRE III.

581. Il $uit encore de cette propo$ition, que le $egment $phé- [0317]DE MATHÉMATIQUE. _Liv_. _VIII_. rique B P C e$t égal aux deux tiers du cylindre E K L F, moinsle tiers du cylindre G B C H: car la demi-$phere entiere étant les deux tiers du cylindre A K L D, $era au$$i les deux tiers des cy- lindres A E F D & E K L F, dont la $omme e$t égale au cylin- dre circon$crit; mais la zone e$t égale aux deux tiers du cy- lindre A E F D, plus au tiers du cylindre G B C H: donc en ôtant la zone de la demi-$phere, on aura pour le $olide de la calotte deux tiers du cylindre E K L F, moins le tiers du cy- lindre G B C H; d’où il $uit que le $olide d’une calotte $phé- rique e$t les deux tiers d’un cylindre qui auroit pour ba$e le grand cercle de la $phere, & pour hauteur, la fleche P O de la calotte, moins un cône, qui auroit pour ba$e le cercle ou la ba$e de la calotte, & pour hauteur le rayon I P, moins la fleche P O.

PROPOSITION XII. THEOREME.

582. Si l’on coupe une demi-$phere in$crite dans un cylindre _Figure_ 145. par un plan _F G_ parallele à la ba$e _A E_, je dis que la $urface de la zone _A B D E_ e$t égale à celle du cylindre corre$pondant _A G_.

DEMONSTRATION.

L’entonnoir A F C G E étant égal à la partie A B C D E _Figure_ 145. de la zone (art. 579), $i l’on imagine l’entonnoir compo$é d’une infinité de petites pyramides qui ont toutes leurs ba$es dans la $urface du cylindre A G, & pour hauteur le rayon C E; & la partie A B C D E de la demi-$phere, comme étant au$$i compo$ée de petites pyramides, dont les ba$es $ont dans la $urface de la zone, & qui ont pour hauteur commune le rayon C E, il s’en$uivra (toutes les pyramides d’une part étant égales à toutes celles de l’autre, & ayant toutes la même hau- teur) que néce$$airement toutes les ba$es d’une part $eront égales à toutes les ba$es de l’autre, & qu’ain$i la $urface de la zone A B D E $era égale à celle du cylindre A F G E. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

583. Comme la $urface de la demi-$phere A H E e$t égale à celle du cylindre A I, & que la $urface de la zone A B D E e$t égale à celle du cylindre A G, il s’en$uit que la $urface du $egment B H D de la $phere, e$t égale à celle du cylindre cor- [0318]NOUVEAU COURS re$pondant F I, ou bien au rectangle compris $ous une ligne égale à la circonférence du grand cercle de la $phere, & $ous la partie H K.

COROLLAIRE II.

584. Il $uit encore de cette propo$ition, que $i l’on coupe une demi-$phere in$crite dans un cylindre par un plan parallele à la ba$e, les parties de la $urface de la demi-$phere $eront égales aux zones corre$pondantes du cylindre.

COROLLAIRE III.

585. Les $urfaces des cylindres F I & A G ayant des ba$es égales, $eront dans la même rai$on que leurs hauteurs H K & K C; & comme le premier cylindre e$t égal à la partie de la $urface B H D de la demi-$phere, & le $econd à la partie A B D E, il s’en$uit que les parties de la $urface de la demi- $phere $ont dans la même rai$on que les parties H K & K C du demi-diametre, la demi-$phere étant coupée par un plan B D parallele à $on grand cercle.

586. L’on peut dire encore que $i l’on coupe une $phere par un plan perpendiculaire à l’axe, les parties de la $urface $phé- rique $eront dans la même rai$on que les parties de l’axe.

PROPOSITION XIII. THÉOREME.

587. Lor$que trois lignes a, b, c $ont en proportion continue, le parallelepipede fait $ur ces trois lignes, e$t égal au cube fait $ur la moyenne: ain$i il faut prouver que $i l’on a, a : b :: b : c, on aura a b c = b b b.

DEMONSTRATION.

Pui$que par hypothe$e _a : b :: b : c_, on aura _a c_ = _b b_: ain$i en mettant dans l’équation _a b c_ = _b b b_, _a c_ à la place de _b b_, on aura _a b c_ = _a b c_. C. Q. F. D.

PROPOSITION XIV. THÉOREME.

588. Lor$que quatre lignes $ont en progre$$ion géométrique, le cube fait $ur la premiere, e$t au cube fait $ur la $econde, comme [0319]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VIII_. la premiere ligne e$t à la quatrieme, c’e$t-à-dire que $i l’on a {../..} a. b. c. d, on aura au$$i a a a : b b b :: a : d.

DEMONSTRATION.

Con$idérez que dans la progre$$ion {../..} _a. b. c. d_, les trois pre- miers termes donnent _a c_ = _b b_, pui$que l’on a _a : b :: b : c_, & que l’on aura au$$i _a d_ = _b c_, pui$que _a : b :: c : d_. Ain$i pour prouver que _a : b :: a : d_, il $uffit de faire voir que le produit des extrêmes & celui des moyens donnent _a d_ = _ab_. Pour cela, il n’y a qu’à mettre _a c_ à la place de _b b_ dans le $econd membre de l’équation, & _b c_ à la place de _a d_ dans le premier, & l’on aura _a a b c_ = _a a b c_. C. Q. F. D.

PROPOSITION XV. PROBLEME.

589. Trouver deux moyennes proportionnelles entre deux lignes _Figure_ 136. données.

SOLUTION.

Pour trouver deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données A B & C D, il faut faire un rectangle $ous les deux lignes, tel que E F $oit égale à C D, & E G égal à A B; en$uite prolonger indéfiniment les côtés E F, E G, & du centre I du rectangle, décrire un cercle de ma- niere que la circonférence venant couper les lignes prolongées G K & F L, on pui$$e mener du point K au point L une ligne K L, qui ne fa$$e que toucher l’angle H, & l’on aura les lignes G K & F L, qui $eront moyennes proportionnelles entre G E & E F, c’e$t-à-dire entre les données A B & C D.

DEMONSTRATION.

Con$idérez que $i l’on abai$$e les perpendiculaires I M & I N, la corde O L $era divi$ée en deux également au point M (art. 423) au$$i-bien que la ligne E F, & que par con$équent O E e$t égale à F L, & que K P étant divi$ée en deux égale- ment au point N, au$$i-bien que G E, G K $era égale à E P. Cela po$é, comme les triangles O E P, H F L, K G H $ont $emblables, on aura H F : F L :: E O : E P; mais pui$que O E e$t égal à F L, on aura H F : F L : : F L : E P; & comme les deux triangles $emblables E O P, G K H donnent encore [0320]NOUVEAU COURS O E : E P :: G K : G H, $i à la place de E P on met G K, qui lui e$t égal, on aura O E : G K :: G K : G H; ce qui prouve qu’il y a même rai$on de H F à F L, que de F L à G K, & que de G K à G H, & que par con$équent les lignes F L & G K $ontmoyennes proportionnelles entre G E & E F. C. Q. F. D.

REMARQUE.

590. Le problême précédent e$t celui qu’on appelle com- munément la _duplication du cube_, parce qu’il $ert à faire un cube double d’un autre, ou qui ait avec lui une rai$on don- née; il $eroit à $ouhaiter qu’on pût le ré$oudre géométrique- ment $ans tâtonner: car on peut ai$ément reconnoître dans la con$truction précédente, qu’il faut décrire plu$ieurs cer- cles avant d’en trouver un, dont la circonférence venant à couper aux points K, L les lignes prolongées, l’on pui$$e tirer la ligne K L, qui ne fa$$e que toucher l’angle H; il e$t vrai qu’on peut encore le ré$oudre d’une autre façon, comme on le verra à la $uite des $ections coniques. Mais quoique la mé- thode que nous donnerons $oit plus géométrique que celle-ci, elle ne lai$$e pas d’avoir $es difficultés; cependant comme on $e $ert plus volontiers des nombres que des lignes dans la pra- tique, l’on va voir dans le problême $uivant la maniere dont on peut trouver en nombres deux grandeurs moyennes géo- métriques entre deux nombres donnés.

PROPOSITION XVI. PROBLEME.

591. Trouver entre deux nombres donnés deux moyennes pro- portionnelles.

Pour trouver entre deux nombres deux moyennes propor- tionnelles, il faut cuber le premier nombre, & faire une Regle de Trois, dont les deux premiers termes $oient le premier & le $econd nombre donnés, le troi$ieme le cube du premier nombre donné, & le quatrieme terme étant trouvé, $era le cube de la premiere moyenne proportionnelle: ain$i pour trou- ver cette premiere moyenne, il faudra extraire la racine cube du quatrieme terme. Pour trouver en$uite la $econde moyenne, il faudra chercher une moyenne entre cette premiere trouvée & le dernier nombre donné.

[0321]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VIII_.

Ain$i pour trouver deux moyennes proportionnelles entre 2 & 16, je cube le premier nombre 2, qui donne 8, & je fais la proportion 2 : 16 : : 8 : {8 x 16/2} = 4 x 16 = 64, dont la racine cube e$t 4, que je regarde comme la premiere de mes deux moyennes proportionnelles; pour avoir la $econde, je cherche un moyen géométrique entre cette premiere 4, & le $econd nombre donné 16, en fai$ant 4 : _x_ : : _x_ : 16, d’où je tire _xx_ = 64, & _x_ = 8 en prenant la racine, mes deux moyennes $eront donc 4 & 8: en effet, l’on a la progre$$ion {../..} 2 : 4 : : 8 : 16.

Si les nombres donnés étoient tels qu’on ne pût pas dans les opérations extraire les racines cubes & quarrées avec exacti- tude, il faudroit en ce cas $e $ervir des décimales, $uivant les méthodes expliquées (art. 158 & 159), afin d’approcher le plus près qu’il e$t po$$ible des racines, & d’avoir le plus exacte- ment qu’on pourra les moyennes demandées. Comme les Commençans pourroient ne pas entendre d’eux-mêmes la rai- $on des opérations que nous venons d’en$eigner pour trouver deux moyennes proportionnelles entre deux nombres donnés, en voici la démon$tration.

L’on a vu (art. 588), que lor$que quatre lignes $ont en progre$$ion géométrique, le cube fait $ur la premiere e$t au cube fait $ur la $econde, comme la premiere ligne à la qua- trieme. On peut donc dire _invertendo_, la premiere e$t à la $e- conde, comme le cube de la premiere e$t au cube de la $econde: ain$i connoi$$ant la premiere ligne & la quatrieme, avec le cube de la premiere, on a les trois premiers termes de cette Regle de Trois: donc on pourra trouver le cube de la $econde, dont la racine cube $era la même $econde. Mais quand on a une fois la $econde, on voit qu’il n’y a plus qu’à chercher une moyenne proportionnelle entre cette $econde & la quatrieme (qui n’e$t autre cho$e que le $econd nombre donné), & l’on aura la troi$ieme des quatre proportionnelles, qui $era en même-tems la $econde des deux inconnues que l’on cherche. C. Q. F. D.

PROPOSITION XVII. PROBLEME.

_592._ Faire un cube qui $oit à un autre dans une rai$on donnée.

_Figure_ 147. & 148.

Pour faire un cube qui $oit au cube C, dans une rai$on [0322]NOUVEAU COURS donnée de 2 à 3, par exemple, c’e$t-à-dire un cube qui $oit les deux tiers du cube C, il faut divi$er le côté A B du cube C en trois parties égales, & faire une ligne D E égale à deux de ces parties, en$uite chercher entre A B & D E deux moyennes proportionnelles telles que F G & H I, & le cube qui aura pour côté la premiere F G de ces deux moyennes proportionnelles, $era le cube demandé; car nous allons prouver qu’il e$t les deux tiers du cube C.

DEMONSTRATION.

Les quatre lignes A B, F G, H I, D E étant en proportion continue, on aura le cube de la premiere au cube de la $econde, comme la premiere à la quatrieme; mais _par con$truction_, la quatrieme e$t les deux tiers de la premiere: donc le cube de la $econde F G e$t les deux tiers du cube C fait $ur la premiere. C. Q. F. D.

Si le côté du cube étoit exprimé en nombres, il faudroit de même en prendre les deux tiers, & chercher entre le tout & les deux tiers, deux moyennes proportionnelles; le cube fait $ur la premiere $era celui que l’on demande.

COROLLAIRE.

593. Comme les $pheres $ont dans la rai$on des cubes de leurs diametres ou de leurs rayons (art. 570), de même que les cylindres, les pri$mes, les pyramides & les cônes $embla- bles; il s’en$uit que pour trouver quelqu’un de ces $olides qui $oit à $on $emblable dans une rai$on donnée, il faut agir à l’égard de leurs dimen$ions homologues, des axes, par exem- ple, comme on vient de faire à l’égard des côtés des cubes; & après avoir trouvé la dimen$ion homologue, qui e$t ici l’axe, l’on n’aura qu’à en faire l’axe d’un $olide $emblable au $olide propo$é, en cherchant les autres dimen$ions qui $oient toutes proportionnelles aux dimen$ions corre$pondantes, & dans la rai$on de l’axe du premier à l’axe du $econd.

PROPOSITION XVIII. PROBLEME.

_594_. Faire un cube égal à un parallelepipede.

_Figure_ 149 & 150.

Pour faire un cube qui $oit égal au parallelepipede A E, il [0323]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. VIII_. faut, $i les trois dimen$ions du parallelepipede $ont inégales, comme on le $uppo$e ici, chercher une moyenne proportion- nelle entre les deux plus petites, A B, B C (art. 506), qui $era, par exemple F G, & faire $ur cette ligne un quarré F H, qui doit $ervir de ba$e à un parallelepipede F I, qui doit avoir la même hauteur que le parallelepipede A E, pui$que le rectangle A C, qui lui $ert de ba$e, e$t égal au quarré F H, qui $ert de ba$e au $econd. Cela po$é, il faut chercher deux moyennes proportionnelles entre F G & G K (art. 589), qui $eront, par exemple, N O & P Q, & je dis que le cube fait $ur la premiere N O $era égal au parallelepipede F I ou A E.

Pour le prouver, nous prendrons G D égal à F G, pour avoir le cube G O, nous nommerons F G ou G H, ou G D, _a_; G K, _b_; & N O, _c_: ain$i le parallelepipede F I $era _a a b_, le cube F M $era _a a a_, le cube de N O $era _c c c_: il faut donc prouver que _a a b_ = _c c c_.

DÉMONSTRATION.

Le cube F M & le parallelepipede F I ayant la même ba$e F H, $eront dans la rai$on de leurs hauteurs G D & G K, d’où l’on tire _a a a_: _a a b_ : : _a_: _b_; & à cau$e des quatre proportion- nelles, on verra que le cube fait $ur la premiere, e$t au cube fait $ur la $econde, comme la premiere à la quatrieme, ce qui donne _a a a_ : _c c c_ : : _a_ : _b_; donc pui$que ces deux proportions ont la même derniere rai$on, on aura _a a a_ : _a a b_ : : _a a a_ : _c c c_; mais _a_<_>3 = _a_<_>3 : donc _a a b_ = _c c c_. C. Q. F. D.

Si les dimen$ions du parallelepipede donné étoient expri- mées en nombres, on n’auroit (pour trouver un cube égal au parallelepipede) qu’à multiplier les trois dimen$ions l’une par l’autre pour avoir le $olide du parallelepipede, & extraire la racine cube du produit, qui $era le côté du cube demandé.

COROLLAIRE.

595. L’on voit par cette propo$ition, qu’il n’y a point de $olide qu’on ne pui$$e réduire en cube; car les cônes & les $pheres pouvant $e réduire en cylindres, & les pyramides en pri$mes, $i on change la ba$e des cylindres & des pri$mes en quarrés qui leur $oient égaux, on aura des parallelepipedes, que l’on réduira ai$ément en cube par le problême que nous venons de ré$oudre.

Fin du huitieme Livre. [0324] NOUVEAU COURS DE MATHÉMATIQUE. LIVRE NEUVIEME. _DES SECTIONS CONIQUES_.

COmme tous les Livres qui traitent des Elémens de Géométrie ne parlent point des Sections Coniques, la plûpart de ceux qui étudient ces Elémens s’en tiennent là, $ans s’embarra$$er de les chercher ailleurs, dans la pen$ée que cette étude e$t plus curieu$e que néce$$aire, & ne convient qu’aux per$onnes qui veulent $e donner toutes entieres aux Mathématiques: cependant il e$t $i utile de les $çavoir, que $i on les ignore, il n’e$t pas po$$ible de ré$oudre les Problêmes les plus communs de la Géométrie pratique, particuliérement de cette Géométrie pratique qui convient à l’In- génieur & à l’Officier d’Artillerie: car $i le premier veut toi$er des voûtes $urbai$$ées, il faut qu’il $çache comme on trouve la $uperficie d’une ellip$e, que l’on appelle communément ovale, & qui e$t une des Sections coniques. Si le $econd veut $çavoir l’art de jetter les bombes, il ne le peut encore $ans connoître les pro- priétés de la Parabole, qui e$t au$$i une des Sections coniques. Et pour être bien convaincu de la néce$$ité de $çavoir au moins les principales propriétés des Sections coniques, il ne faut que lire _l’Application de la Géométrie à la pratique_, l’on verra que les plus belles opérations en dépendent ab$olument. Cependant malgré cela, les Sect<007>ons coniques $eroient bien peu de cho$e, $i elles n’a- voient d’autres u$ages que ceux que l’on trouvera ici; elles $ont $i néce$$aires à un homme, qui $ans vouloir devenir grand Géo- [0325]NOUVEAU COURS DE MATH. _Liv. IX_. metre, veut $eulement $çavoir cette $cience pa$$ablement, qu’il ne peut pas les perdre de vue d’un moment: car s’il veut ré$oudre un problême un peu compo$é, il trouvera des équations qui lui indiqueront les courbes, dont il faudra qu’il $e $erve pour con$truire les égalités, c’e$t-à-dire pour con$truire une figure qui donne la $olution du Problême.

Je ne parle point de ceci dans cet Ouvrage, parce que je ne donne que les principales propriétés des Sections coniques, ayant eu $eulement pour objet de les faire connoître à ceux qui ont du goût pour la Géométrie, afin de leur in$pirer l’envie d’aller plus loin, & d’ailleurs pour m’en $ervir dans les endroits où je ne pourrois m’en pa$$er. Mais s’il $e trouvoit de ces per$onnes dont je viens de parler, qui ne $e bornent point à voir un Livre de Géométrie, je leur con$eille d’étudier l’excellent Traité des Sec- tions Coniques de M. le Marquis de l’Hôpital, qui e$t ce que nous avons de meilleur dans ce genre. Et comme je me $uis $ervi dans ce que je donne ici d’une façon de démontrer fort approchante de la $ienne, je ne doute pas qu’on n’ait une grande facilité à comprendre cet Auteur, $i l’on entend bien ce qui $uit, qui en e$t en quelque $orte l’introduction.

CHAPITRE PREMIER. Qui traite des propriétés de la Parabole. DÉFINITIONS. I.

596. SI l’on a une ligne droite A B perpendiculaire $ur la _Figure_ 151. ligne O P, $ur laquelle on aura pris les parties A C & C D égales entr’elles; & que de C, en venant vers B, l’on mene $ur la ligne A B une quantité de paralleles, comme E F, G H à la ligne O P, & qu’on fa$$e D E ou D F égale à A K, & de même D G ou D H égal à A I, & que l’on continue à trouver une quantité de points, tels que E, G, M, en fai$ant tou- jours D M égal à A L; la ligne que l’on $era pa$$er par tous ces points $era une courbe nommée _parabole_.

II.

597. La ligne A C B e$t nommée l’_axe_ de la parabole.

[0326]NOUVEAU COURS III.

598. Le point A e$t appellé le point _générateur_, la ligne O P _directrice_, & le point D le _foyer_.

IV.

599. Le point C e$t appellé _origine de l’axe_ ou _$ommet de la_ _parabole_, parce que c’e$t de ce point que l’on $uppo$e avoir commencé les lignes paralleles qui forment la parabole.

V.

600. Chaque perpendiculaire, comme K E ou I G, ou M L, e$t appellée _ordonnée_ à l’axe A B.

VI.

601. Les parties C K, C I, C L de l’axe, compri$es entre le $ommet & la rencontre d’une ordonnée, $ont appellées _ab$ci$$es_ ou _coupées_ de l’axe C B.

VII.

602. Si au $ommet de la courbe on éleve une perpendicu- laire C N à l’axe C B, quadruple de A C, elle $era appellée _parametre de la parabole_.

VIII.

603. Une ligne droite qui ne rencontre la parabole qu’en un $eul point, & qui étant prolongée à droite ou à gauche, ne peut pas la couper, mais tombe toujours au dehors, e$t ap- pellée _tangente_.

PROPOSITION I. THEOREME.

_604._ Dans la parabole, le rectangle compris $ous l’ab$ci$$e _C I_ _Figure_ 151. & le parametre _C N_, e$t égal au quarré de l’ordonnée _G I_.

Ayant nommé les données A C ou C D, _a_; les indétermi- nées ou lignes variables C I, _x_, & G I, _y_; A I ou D G qui lui e$t égal, _par la définition de la courbe_, $era _x_ + _a_; & D I ou C I - C D, $era _x_ - _a_, le parametre C N, par $a définition, $era 4_a_: il faut donc prouver que C I x C N = G I<_>2, ou que 4_ax_ = _yy_.

[0327] [0327a] [0328] [0329] [0329a] [0330] [0331] [0331a] [0332] [0333] [0333a] [0334] [0335] [0335a] [0336] [0337] [0337a] [0338] [0339] [0339a] [0340] [0341] [0341a] [0342] [0343]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IX_. DEMONSTRATION.

Con$idérez qu’à cau$e du triangle rectangle G I D, on a G D<_>2 = G I<_>2 + D I<_>2, d’où l’on tire G I<_>2 = G D<_>2 - D I<_>2; mais G D = A I = _x_ + _a_, ain$i G D<_>2 $era _x_<_>2 + 2_ax_ + _aa_, & D I = _x_ - _a_: donc D I<_>2 $era _xx_ - 2_ax_ + _aa_, & GI<_>2 = _yy_: on aura donc cette équation, _yy_ = _xx_ + 2_ax_ + _aa_ - _xx_ + 2_ax_ - _aa_ = 4_ax_, en effaçant ce qui $e détruit. C. Q. F. D.

PROPOSITION II. THEOREME.

_605_. Dans la parabole, je dis que les quarrés des ordonnées _E K, G I_ $ont entr’ eux comme leurs ab$ci$$es _C K, C I;_ ou, ce qui e$t la même cho$e, que les quarrés de deux ordonnées quelconques & de leurs ab$ci$$es, donneront cette proportion _EK<_>2 : GI<_>2 :: CK : CI_.

DEMONSTRATION.

Les quarrés des ordonnées étant égaux aux rectangles com- pris $ous leurs ab$ci$$es & le parametre, ces quarrés $ont en- tr’eux comme les rectangles auxquels ils $ont égaux; mais comme tous ces rectangles ont une hauteur commune, qui e$t le parametre, ils $eront dans la rai$on de leurs ba$es (art. 391): donc on aura E K<_>2 : G I<_>2 :: CK : CI. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

606. Si à l’origine de l’axe C B on mene une perpendiculaire C S, & que des points E, G, M de la courbe, on mene les per- pendiculaires $ur la ligne C S, il s’en$uit qu’il y aura même rai- $on du quarré C Q<_>2 au quarré C R<_>2, que de la ligne Q E à la ligne R G, pui$que les lignes C Q & C R $ont égales aux or- données K E & I G, & que les lignes Q E & R G $ont égales aux ab$ci$$es C K & C I.

Nous nous $ervirons de ce corollaire dans la $uite, pour faire voir que les boulets & les bombes décrivent des paraboles dans l’e$pace qu’ils parcourent, depuis le lieu d’où ils $ont pou$$és, ju$qu’à l’endroit où ils vont tomber.

COROLLAIRE II.

607. Comme les quarrés des ordonnées qui $ont à droite & à gauche de l’axe $ur une même ligne $ont égaux au rectangle [0344]NOUVEAU COURS de la même ab$ci$$e par le même parametre, il s’en$uit qu’ils $ont égaux entr’eux; ain$i les ordonnées $ont égales entr’elles: donc l’axe divi$e l’e$pace indéfini, terminé par la courbe, en deux parties égales, pui$qu’il divi$e en deux également toutes les ordonnées qui lui $ont perpendiculaires, & que l’on peut regarder comme les élémens de cette $urface.

COROLLAIRE III.

608. Comme l’on peut prendre des lignes C L $i grandes que l’on voudra, & terminer le point M toujours de la même maniere, en fai$ant D M = C L, il s’en$uit que la courbe peut s’étendre à l’infini, & que $es deux branches s’éloignent con- tinuellement de l’axe.

PROPOSITION III. PROBLEME

_609_. Mener une tangente à une parabole par un point donné.

_Figure_ 152.

Pour mener une tangente à une parabole par un point donné E, tirez de ce point au foyer C la ligne E C, & du mêmepoint la parallele E D à l’axe, qui $era perpendiculaire à la directrice A H, qu’elle rencontrera dans un point D; joignez la ligne D C, & $i vous menez la ligne E G qui pa$$e par le milieu I de la ligne D C, & par le point E donné; je dis qu’elle $era tangente à la parabole, ou, ce qui revient au même, qu’elle ne la touchera qu’au $eul point E; tirez les lignes F D & F C par deux points quelconques de la ligne E I, & les paralleles F H, F H à l’axe A K, & la ligne E K perpendiculaire au même axe.

DEMONSTRATION.

Pui$que le point E e$t à la parabole, la ligne E C menée de ce point au foyer C e$t égale à la ligne A K, par la définition de la parabole, ou à la ligne E D qui lui e$t égale, à cau$e du rectangle E D A K. De plus, _par con$truction_, la ligne E G divi$e la ligne D C en deux également au point I: donc cette ligne e$t perpendiculaire $ur D C, pui$qu’elle a deux points E, I, également éloignés de $es extrêmités; donc cette ligne pa$$era par tous les points également éloignés des mêmes ex- trêmités, tels que $ont les points F, F; mais dans les triangles rectangles D H F, l’hypoténu$e D F = F C, e$t plus grande [0345]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IX_. qu’un des côtés F H: donc F C e$t plus grande que F H ou que A C, ain$i le point F n’e$t pas à la parabole. On démon- trera la même cho$e de tout autre point: donc la ligne E G touche la parabole au $eul point E, & par con$équent elle e$t tangente à la courbe. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

610. Il $uit de cette con$truction que l’angle D E C e$t _Figure_ 153. coupé en deux également par la tangente E G, pui$que cette ligne divi$e la ligne D C en deux parties égales. D’où il $uit encore que l’angle R E L formé par la tangente E G, & le dia- metre D E R mené par le point de contact, e$t égal à l’angle C E I formé par la même tangente, & la ligne menée du point de contingence au foyer C; car comme on vient de voir l’an- gle C E I = D E I, mais D E I = L E R qui lui e$t oppo$é au $ommet: donc C E I = L E R.

COROLLAIRE II.

611. Il $uit du dernier corollaire, que $i l’on place un point lumineux au foyer C, tous les rayons qui partiront de ce point, $e réflechiront à la rencontre de la parabole, $uivant des lignes paralleles à l’axe; car c’e$t un principe dans la catoptrique, que tout rayon réflechi fait avec le plan de réflexion, l’angle de réflexion égal à celui d’incidence. Or il e$t vi$ible que la tangente au point E peut repré$enter le plan de réflexion; & par con$équent le rayon parti du foyer C, $uivant la ligne C E, $e réflechira $uivant la ligne E R. Réciproquement tous les rayons paralleles à l’axe d’une parabole, interceptés par le péri- metre de cette courbe, $e réfléchiront au foyer F. Il faut en- tendre la même cho$e de tout corps à re$$ort différent de la lu- miere. Ain$i une petite bille d’yvoire que l’on pou$$eroit, $ui- vant R E, $e détourneroit à la rencontre de la courbe pour $uivre la ligne E C.

DEFINITION.

612. Si du point d’attouchement E l’on mene l’ordonnée E K à l’axe de la parabole, la ligne G K $era nommée _$outan-_ _gente_.

[0346]NOUVEAU COURS PROPOSITION IV. THEOREME.

613. Si on éleve une perpendiculaire _E M_ au point de contin- _Figure_ 153. gence _E_, & que de ce même point l’on tire une ordonnée _E K_ à l’axe _B M_, je dis que la partie _K M_ de l’axe $era toujours égale à la moitié du parametre de cette parabole, c’e$t-à-dire à 2a.

DEMONSTRATION.

Comme les lignes D C & E M $ont paralleles, étant toutes deux, _par con$truction_, perpendiculaires $ur L G, ain$i que les lignes E K & A D, qui $ont toutes deux perpendiculaires à l’axe, il s’en$uit que les triangles rectangles D A C, E K M $ont égaux en tout: donc A C = K M, ou la moitié du parametre qui e$t 2_a_. C. Q. F. D.

PROPOSITION V. THEOREME.

614. Nous $ervant de la même figure, je dis que la $outan- _Figure_ 153. gente _G K_ e$t double de l’ab$ci$$e _B K_.

DEMONSTRATION.

Le parametre de cette parabole étant 4a (art. 604), K M $era 2a, par la derniere propo$ition; & à cau$e des triangles rectangles $emblables G K E, E K M (art. 406), l’on aura cette proportion K M (2a) : K E (_y_) :: K E (_y_): {K E<_>2/K M} ({_y y_/2_a_})=K G, & $i dans l’équation K G = {_yy_/2a}, on met 4ax à la place de _yy_, auquel il e$t égal (art, 605), on aura K G = {4ax/2a} = 2x. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

615. L’on tire de cette propo$ition un moyen fort ai$é de mener une tangente à une parabole: car, par exemple, pour mener la ligne L G qui $oit tangente à la parabole au point E, il n’y a qu’à abai$$er du point E la perpendiculaire E K $ur l’axe B M, & faire la ligne B G égale à l’ab$ci$$e B K; & par les points G, E, mener la ligne G E L.

[0347]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IX_. DEFINITION.

616. Si du point A, où une droite A B touche la parabole, _Figure_ 154. on mene une ligne A O parallele à l’axe M N, cette ligne $era nommée un _diametre_ de la parabole.

PROPOSITION VI. THEOREME.

617. Si l’on tire une ligne _C D_ parallele à la tangente _N B_, _Figure_ 154. je dis qu’elle $era divi$ée en deux également au point _E_ par le dia- metre _A O_.

Du point A menez l’ordonnée A G, & des points C, E, D les lignes H C I, E F, D L paralleles à l’ordonnée A G; pro- longez le diametre O A ju$qu’à la rencontre de la ligne H C. Cela po$é, nous nommerons M F, _m_; I F ou H E, _t_; F L ou E K, _u_: ain$i F I $era _m_ - _t_; & M L _m_ + _u_: nous nommerons de même M G, _x_; A G, _y_; G F $era _m_ - _x_. Ain$i il faut prouver que E C e$t égal à E D, ou que H E (_t_) = E K (_u_); ce qui e$t la même cho$e: car $i H K e$t divi$é en deux égale- ment au point E, la droite C D le $era au$$i au même point.

DEMONSTRATION.

Les triangles B G A & E H C, E K D $ont $emblables, parce qu’ils ont les côtés paralleles chacun à chacun, & donnent les deux proportions $uivantes B G (2_x_) : A G (_y_) :: E K (_u_): D K ({_uy_/2_x_}), & B G (2_x_) : A G (_y_) :: E H (_t_): C H ({_ty_/2_x_}). Ayant ain$i déterminé les valeurs des lignes D K, C H, on a celles des ordonnées C I, D L: car C I = I H - C H, ou A G - C H = _y_ - {_ty_/2_x_}; & de même D L = K L + D K = A G + D K = _y_ + {_uy_/2_x_}. Mais par la propriété de la parabole, les quarrés des ordonnées C I, A G, D L $ont entr’eux comme leurs ab$ci$$es; ce qui donne les deux proportions $uivantes: A G<_>2 (_yy_) : C I<_>2 (_yy_ - {_ty_<_>2/_x_} + {_ttyy_/4_xx_}) :: MG (_x_) : MI (_m_-_t_). Et A G<_>2 (_yy_) : D L<_>2 (_yy_ + {_uy_<_>2/_x_} + {_uuyy_/4_xx_}) :: MG (_x_) : ML (_m_+_u_), d’où l’on tire les deux équations $uivantes, _myy_ - _tyy_ = _xyy_ - _ty_<_>2 + {_ttyy_/4_x_}, & _myy_ + _uyy_ = _xyy_ + _uy_<_>2 + {_uuyy_/4_x_). Pré$en- [0348]NOUVEAU COURS tement $i l’on retranche la premiere équation de la $econde, c’e$t-à-dire le premier membre de la premiere du premier membre de la $econde, & le $econd membre de la premiere du $econd membre de la $econde, on aura _myy_ + _uyy_ - _myy_ + _tyy_ = _xyy_ + _uyy_ + {_uuyy_/4_x_} - _xyy_ + _tyy_ - {_ttyy_/4_x_}, ou en ré- dui$ant le premier & le $econd membre, & ôtant de chaque membre les quantités égales _uyy_ + _tyy_; 0 = {_uuyy_/4_x_} - {_ttyy_/4_x_}, & tran$po$ant {_uuyy_/4_x_} = {_ttyy_/4_x_}, d’où l’on tire _uu_ = _tt_, ou _u_ = _t_, en tirant les racines, & divi$ant chaque membre par la fraction {_yy_/4_x_}. C. Q. F. D.

DÉFINITIONS. I.

618. Toute ligne, comme E C ou E D, menée paralléle- ment à la tangente A B, e$t nommée _ordonnée_ au diametre A O.

II.

619. Si l’on cherche une troi$ieme proportionnelle à la ligne B M & à la tangente A B, cette ligne $era appellée le _para-_ _metre_ du diametre A O.

COROLLAIRE.

620. Il $uit de la définition précédente, que $i l’on tire une ligne du foyer P au point d’attouchement A, une ligne qua- druple A P $era égale au parametre du diametre A O.

Pour le prouver, nous $uppo$erons que le point S e$t le point générateur; ce qui donnera G S = P A (art. 596). Et $i l’on nomme S M ou M P, _a_; M G, _x_; A G, _y_; nous aurons G S ou A P = _x_ + _a_, & par la premiere propo$ition 4_ax_ = _yy_. Cela po$é, $i on nomme _p_ le parametre du diametre A O, on aura par la définition précédente (art. 619) M B (_x_) : AB :: AB : _p_; donc _p x_ = A B<_>2; mais à cau$e du triangle rectangle A B G, A B<_>2 = A G<_>2 + G B<_>2 = 4_ax_ + 4_xx_: donc _px_ = 4_ax_ + 4_xx_, ou en divi$ant tout par _x, p_ = 4_a_ + 4_x_ = 4A P. C. Q. F. D.

[0349]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IX_. PROPOSITION VII. THÉOREME.

621. Le quarré d’une ordonnée quelconque _E C_ à un diametre _A O_ e$t égal au rectangle compris $ous l’ab$ci$$e _A E_, & $ous le parametre du diametre _A O_ (ou, ce qui e$t la même cho$e, $ous une ligne quadruple de _A P_). Les cho$es demeurant les mêmes que dans la propo$ition précédente; les lignes $eront nommées avec les mêmes lettres, excepté la ligne _A E_, que nous nommerons z, qui étant égale à _F G_, $era m - x.

DEMONSTRATION.

Il faut d’abord ajouter les deux équations que nous avons trouvées dans le théorême précédent, après avoir mis _t_ à la place de _u_ qui lui e$t égal; ce qui donnera _myy_ + _tyy_ + _myy_ - _tyy_ = _xyy_ + _tyy_ + {_ttyy_/4_x_} + _xyy_ - _tyy_ + {_ttyy_/4_x_}; d’où l’on tire, en fai$ant la réduction, 2_myy_ = 2_xyy_ + {_ttyy_/2_x_}, ou en fai- $ant évanouir la fraction, 4_mxyy_ = 4_xxyy_ + _ttyy_, qui étant divi$ée par _yy_, donne 4_mx_ = 4_xx_ + _tt_; & fai$ant pa$$er 4_xx_ du $econd membre dans le 1<_>er 4_mx_-4_xx_ ou _m_-_x_ x 4_x_ = _tt_, & comme _m_ - _x_ = _z_, on aura 4_zx_ = _tt_; mais à cau$e du triangle rectangle E H C, l’on aura E C<_>2 = E H<_>2 + C H<_>2 = _tt_ + {_ttyy_/4_xx_}, & mettant 4_xz_ à la place de _tt_, & 4_ax_ à la place de _yy_, il viendra E C<_>2 = 4_xz_ + {4_xz_ x 4_ax_/4_xx_}, ou 4_xz_ + 4_az_ = _z_ x 4_x_+4_a_, ou E C<_>2 = 4A P x A E. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

622. On voit par ce théorême que la propo$ition premiere devient générale, pui$que non $eulement le quarré d’une or- donnée à l’axe e$t égal au rectangle compris $ous le parametre de l’axe & $ous l’ab$ci$$e, mais que le quarré de toute ordon- née à un diametre quelconque, e$t au$$i égal au rectangle com- pris $ous l’ab$ci$$e corre$pondante & le parametre de ce dia- metre. Mais pour mieux faire entendre ceci, con$idérez que $i la ligne R T e$t tangente au point M, extrêmité de l’axe, toutes les ordonnées à l’axe $eront paralleles à cette tangente, [0350]NOUVEAU COURS & par la propo$ition premiere, le quarré de chacune de ces ordonnées $era égal au rectangle compris $ous l’ab$ci$$e cor- re$pondante, & $ous une ligne quadruple de P M, qui e$t la di$tance du foyer au point d’attouchement. Si donc l’on ima- gine que l’axe M L $e $oit mu parallélement à lui-même ju$- qu’au point A, où il devient le diametre A O, & que la tan- gente R T ait gli$$ée $ur la parabole, ne la touchant toujours qu’en un $eul point, ju$qu’à ce que le point M devienne le point A; pour lors la tangente R T deviendra la tangente N B, & la ligne P M deviendra la ligne P A; & par con$équent elle $era encore la quatrieme partie du parametre de l’axe, devenue le diametre A O, & les ordonnées que l’on auroit menées pa- rallélement à la tangente R T, telles que V X, $eront toujours paralleles à la tangente, $i elles ont accompagné l’axe, & $i l’ab$ci$$e M V e$t égale à l’ab$ci$$e A E, l’ordonnée V X de- viendra l’ordonnée E C, & l’on aura toujours le quarré de E C égal au rectangle compris $ous l’ab$ci$$e A E, & $ous une ligne quadruple de la di$tance du point d’attouchement A au foyer P, comme on l’a démontré dans la propo$ition précé- dente.

On pourra remarquer que $i le point A approchoit plus du point M, il pourroit arriver que le point C tomberoit au-delà de l’axe M L, & qu’il y tombât encore dans le cas où l’on prendroit une ab$ci$$e A E plus grande $ur le diametre, $uppo$é toujours au même point A; mais cela n’empêcheroit pas que tout ce que nous avons démontré ne $ub$i$tât de même, de quelque façon que la ligne D C pui$$e $e trouver dans la para- bole, pui$qu’elle $era toujours divi$ée en deux également par le diametre, lor$qu’elle $era parallele à la tangente.

COROLLAIRE II.

623. Il $uit au$$i de ce que nous avons vu, & de la remarque précédente, 1<_>0. que le parametre de l’axe e$t le plus petit de tous les parametres: 2<_>0. Que $i l’on prend $ur l’axe & $ur un diametre quelconque des ab$ci$$es égales, les ordonnées au diametre $eront plus grandes que celles de l’axe, pui$que leurs quarrés $ont égaux aux rectangles d’une même ab$ci$$e par des parametres différens, & que d’ailleurs le parametre d’un diametre quelconque e$t plus grand que celui de l’axe.

[0351]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IX._ COROLLAIRE III.

624. Pui$que le quarré d’une ordonnée à un diametre quel- conque e$t égal au produit de l’ab$ci$$e par le parametre, qui e$t une grandeur con$tante pour chaque diametre, & variable $uivant les différens diametres, il $uit qu’en dé$ignant par _p_ le parametre d’un diametre quelconque, par _x_, l’ab$ci$$e pri$e $ur le même diametre, à commencer de l’origine du diametre, & par _y_, l’ordonnée corre$pondante à cette ab$ci$$e, on aura toujours _y y_ = _p x_ pour l’équation qui renferme les propriétés de la parabole, $oit par rapport aux diametres, $oit par rap- port à l’axe. Si l’on $uppo$e que l’ab$ci$$e $oit pri$e $ur l’axe, & qu’elle $oit égale au quart du parametre, cette équation deviendra _y y_ = {1/4}_pp_, d’où l’on tire _y_ = {1/2}_p_, & en doublant 2_y_ = _p_; ce qui montre que la double ordonnée qui pa$$e par le foyer e$t égale au parametre; ce qui e$t encore vrai par rap- port à un diametre quelconque, comme on peut ai$ément le reconnoître, $i l’on conçoit bien ce que nous avons expliqué (art. 622).

PROPOSITION VIII. THEOREME.

625. Si l’on coupe un cône par un plan parallele à un de $es Figure 155. côtés, la $ection $era une parabole.

Si l’on a coupé le cône A B C par un plan parallele à un de $es côtés B C, je dis que la $ection qui $era, par exemple D E I, aura formé $ur la $urface du cône une courbe DHEKI qui $era une parabole. Suppo$ons encore que le cône a été coupé par un plan L M parallele à $a ba$e, la $ection $era un cercle, dont les lignes F K & F H $eront des perpendiculaires au diametre LM, & en même-tems des ordonnées de la courbe, parce que l’on $uppo$e que le plan coupant E D I e$t perpen- diculaire au plan du triangle A B C, que l’on appelle le triangle par l’axe. Cela po$é, prenez $ur le côté B C la partie B O égale à F M, & du point O, menez à F M la parallele O N, qui $era le parametre de la parabole; car nous démontrerons que le rectangle compris $ous N O, & l’ab$ci$$e E F, e$t égal au quarré de l’ordonnée F K; après avoir nommé les lignes B O ou F M, _a_; N O, _p_; E F, _x_, & F K, _y_.

[0352]NOUVEAU COURS DEMONSTRATION.

Les triangles BNO, EFL ayant les côtés paralleles chacun à chacun, $eront $emblables, & donneront BO (_a_) : ON (_p_) :: EF (_x_) : F L ({_px_/_a_}), d’où l’on tire B O x F L, ou F M x F L = O N x EF, & analytiquement _p x_ = {_apx_/_a_}; mais par la pro- priété du cercle F M x F L = F K: donc on aura _p x_ = _y y_. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

626. Si le triangle par l’axe e$t équilatéral, la ligne F M compri$e entre l’axe de la parabole & le côté B C du cône, $era égale au parametre de la parabole; car il e$t évident que l’ab$ci$$e LF $era dans ce cas égale à l’ab$ci$$e E F.

PROPOSITION IX. PROBLEME.

627. Décrire une parabole, le parametre étant donné. Figure 156.

Pour décrire une parabole, dont la ligne A B $oit le pa- rametre, prenez dans une ligne telle que E K, les parties C E & C F, chacune égale au quart du parametre A B; en- $uite tirez $ur la ligne E K un nombre in déterminé de perpen- diculaires telles que G H, & faites les lignes F G, F H chacune égale à la ligne E I, ou, ce qui e$t la même cho$e, du point F comme centre avec le rayon E I, décrivez un arc de cercle qui coupe la ligne G H aux points déterminés H & G. La courbe qui pa$$era par ces points $era une parabole. La démon$tration e$t la même que celle de la premiere propo$ition.

PROPOSITION X. PROBLEME.

628. Trouver l’axe d’une parabole donnée.

_Figure_ 157.

Pour trouver l’axe d’une parabole donnée CLI, on n’a qu’à tirer par tels points que l’on voudra de la parabole deux lignes A B & C D paralleles entr’elles, divi$er chacune de ces lignes en deux également aux points E, F, & tirer par ces points la ligne G F H qui $era un diametre, pui$qu’elle divi$e [0353]DE MATHÉMATIQUES. _Liv. IX._ deux lignes paralleles en deux également; en$uite du point C tirer la ligne C I perpendiculaire $ur G H, divi$er cette ligne en deux également au point K; & $i à ce point vous élevez la perpendiculaire K L, elle $era l’axe de la parabole.

DEMONSTRATION.

Les lignes A B & C D étant des ordonnées au diametre G H, la ligne C I perpendiculaire à ce diametre, $era au$$i perpen- diculaire à l’axe, pui$que l’axe e$t parallele au diametre, & cette même ligne $era une double ordonnée à l’axe: donc la ligne K L qui pa$$e par $on milieu e$t l’axe demandé, pui$que l’axe divi$e $es doubles ordonnées en deux également.

PROPOSITION XI. PROBLEME.

629. Trouver le parametre d’une parabole donnée.

_Figure_ 157.

Pour trouver le parametre d’une parabole donnée, il ne faut que chercher à une ab$ci$$e quelconque L M, & à l’ordonnée corre$pondante M N, une troi$ieme proportionnelle (art. 602) qui $era, par exemple O P, & cette ligne O P $era le para- metre que l’on demande, pui$que le rectangle compris $ous L M & O P $era égal au quarré de l’ordonnée M N. (art. 604).

PROPOSITION XII. PROBLEME.

630. Trouver le foyer d’une parabole dont on connoît le para- Figure 157. metre.

Pour trouver le foyer d’une parabole, il faut prendre dans l’axe L K une partie L Q, égale au quart du parametre O P, & le point Q $era le foyer qu’on demande; ce qui e$t bien évident, pui$que par la génération de la parabole, le parametre e$t quadruple de la di$tance du foyer Q au $ommet L de la para- bole (art. 620).

[0354]NOUVEAU COURS CHAPITRE II. _Qui traite de l’Ellip$e._ DEFINITIONS.

631. A Yant tiré $ur un plan deux lignes droites & inégales Planche IX. A B & C D, qui $e coupent par le milieu à angles droits au _Figure_ 158. point E; $i l’on décrit un demi-cercle, dont le diametre $oit la plus grande A B, & que l’on éleve $ur ce diametre quantité de perpendiculaires, comme F G & I K, &c. & qu’en$uite on fa$$e F H quatrieme proportionnelle aux lignes A B, C D, F G, & de même I L, quatrieme proportionnelle à A B, C D & I K, & que l’on continue à trouver de la même maniere une quantité de points, tels que H & L, la courbe qu’on fera pa$$er par tous ces points $era nommée _ellip$e._

632. La ligne A B e$t nommée _grand axe_ de l’ellip$e, & la ligne C D, qu’on $uppo$e perpendiculaire $ur le milieu de A B, e$t appellée _petit axe_. On dit au$$i que la ligne C D e$t _l’axe_ _conjugué_ à l’axe A B, & réciproquement que l’axe A B e$t con- jugué à l’axe C D.

633. Les lignes telles que F H, I L perpendiculaires à l’axe A B $ont appellées _ordonnées au même axe_; les lignes I K, F G $ont appellées _ordonnées du cercle_, & en les comparant aux or- données de l’ellip$e, qui en font partie, on les appelle toutes _ordonnées corre$pondantes_. D’où il $uit que _l’ellip$e e$t une courbe_ _dont les ordonnées $ont toujours aux ordonnées d’un cercle décrit_ _$ur $on grand axe dans un rapport con$tant, qui e$t celui du grand_ _axe_ A B _à $on conjugué_ C D; ce qui donne cette analogie pour une ordonnée quelconque F H; A B : C D :: F G : F H.

634. Si l’on cherche une troi$ieme proportionnelle aux axes A B & C D, telle que M N; cette ligne e$t nommée _parametre_ de l’axe qui occupe le premier terme de la proportion con- tinue.

635. Le point E, où les axes $e coupent à angles droits, e$t appellé _centre_ de l’ellip$e.

636. Si dans le grand axe A B d’une ellip$e on prend les _Figure_ 159. points K, K, chacun éloigné des extrêmités du petit axe de la quantité K D = A E, c’e$t-à-dire de la di$tance du grand [0355]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IX._ demi-grand axe, ces points $eront nommés _foyers_ de l’ellip$e.

637. Les parties A F, F B d’un axe faites par la rencontre d’une ordonnée F G à cet axe, $ont appellées _ab$ci$$es_ ou _cou-_ _pées_ de cet axe, par rapport à l’ordonnée F G: on appelle au$$i quelquefois ab$ci$$es les parties compri$es entre le centre & la rencontre d’une ordonnée, comme E F; alors on dit que les ab$ci$$es ont leur origine au centre.

PROPOSITION I. THEOREME.

_638_. Dans l’ellip$e $i l’on mene une ordonnée _F H_ au premier Figure 159. axe, je dis que le rectangle des ab$ci$$es _A F, F B_ de cet axe e$t au quarré de l’ordonnée _F H,_ comme le quarré du premier axe _A B_ e$t au quarré du $econd axe _C D;_ ou, ce qui e$t la même cho$e, comme le quarré de _A E_ e$t au quarré de _D E._

Ayant nommé les données A E ou E B, _a_; C E ou E D, _b_; & les indéterminées E F, _x_; F H, _y_; F G, _s_; A F $era _a_ - _x_; & F B _a_ + _x_. Cela po$é, il faut démontrer que l’on aura A F x F B : FH<_>2 :: A B<_>2 : CD<_>2, ou :: AE<_>2 : DE<_>2, ou que _aa_ - _x x_ : _y y_ :: _a_<_>2 : _b_<_>2.

DÉMONSTRATION.

Par la définition de l’ellip$e, chaque ordonnée étant qua- trieme proportionnelle au grand axe A B, au petit axe C D, & à l’ordonnée F G, on a A B : C D :: F G : F H, ou 2_a_ : 2_b_ :: _s_ : _y_ : donc AB<_>2 : CD<_>2 :: FG<_>2:FH<_>2, ou 4_a_<_>2 : 4_b_<_>2 :: _ss_ : _yy_. Mais par la propriété du cercle, le quarré de l’ordonnée F G e$t égal au produit de $es ab$ci$$es, ou A F x F B = F G<_>2, & analytiquements _ss_ = _a a_ - _x x_ : donc en mettant cette expre$- $ion au lieu de _ss_ dans la proportion précédente, on aura 4_a_<_>2 : 4_b_<_>2 :: _aa_ - _xx_ : _yy_, ou bien _invertendo aa_ - _x x_ : _y y_ :: 4_a_<_>2 : 4_b_<_>2 :: _a_<_>2 : _b_<_>2, en divi$ant les termes de la $econde rai$on par 4.

COROLLAIRE I.

639. Si l’on a deux ordonnées F H & I L, l’on aura par la _Figure_ 158. propo$ition précédente, A F x F B : F H<_>2 : : A B<_>2 : C D<_>2, & AI x IB : IL<_>2 :: AB<_>2 : CD<_>2; donc AF x FB : FH<_>2 :: AI x IB : IL<_>2, ou _alternando_, A F x F B : A I x I B :: F H<_>2 : I L<_>2, c’e$t-à-dire [0356]NOUVEAU COURS que les quarrés des ordonnées F H, I L $ont entr’eux comme les produits de leurs ab$ci$$es.

COROLLAIRE II.

640. Il $uit encore delà, que $i du point H l’on mene l’or- donnée H I au $econd axe C D, le rectangle compris $ous les _Figure_ 159. les parties I C, I D e$t au quarré de l’ordonnée corre$pondante I H, comme le quarré du même axe C D e$t au quarré de $on conjugué A B.

Pour le prouver, con$idérez que F H étant égale à E I, on aura E I = _y_, & que F E étant égale à H I, on aura encore H I = _x_; ain$i I D $era _b_ - _y_, & C I $era _b_ + _y_. Cela po$é, pui$que par la propo$ition pré$ente, on a _aa_ - _xx_ : _yy_ :: _aa_ : _bb_, en prenant le produit des extrêmes & des moyens, on aura _a a y y_ = _a a b b_ - _b b x x_. Si l’on fait pa$$er - _bbxx_ du $econd membre dans le premier, & _aayy_ du premier dans le $econd, il viendra _b b x x_ = _a a b b_ - _a a y y_, d’où l’on tire cette pro- portion _b b_ - _y y_ : _x x_ :: _b b_ : _aa_, c’e$t-à-dire que I D x D C: I H<_>2 :: D E<_>2: A E<_>2. Ain$i l’on voit que les propriétés des or- données au petit axe $ont préci$ément les mêmes que celles du grand axe; d’où l’on peut conclure que les ordonnées H I au petit axe de l’ellip$e, $ont troi$iemes proportionnelles au demi petit axe, au demi-grand axe, & à l’ordonnée I N d’un cercle décrit $ur le petit axe; c’e$t ce qu’il e$t ai$é de voir, $i l’on fait attention que dans la proportion I D x D C : I H<_>2 :: A E<_>2 : D E<_>2, on peut mettre au lieu du rectangle I D x D C le quarré de l’or- donnée IN, qui lui e$t égal; d’où l’on déduit, en prenant les racines, & fai$ant un _invertendo_ D E : A E :: I N : I H. On peut donc définir l’ellip$e d’une maniere plus générale, en di- $ant que c’e$t une courbe, dont toutes les ordonnées ont été alongées ou raccourcies proportionnellement; alongées, lor$- que le cercle e$t décrit $ur le petit axe, & raccourcies, lor$- qu’il e$t décrit $ur le grand axe.

COROLLAIRE III.

641. Si l’on nomme _a_ le premier axe d’une ellip$e, & _b_ le $econd, _p_ le parametre du premier axe, on aura (art. 634) _a_ : _b_ :: _b_ : _p_, & (art. 503) _a a_ : _b b_ :: _a_ : _p_. Mais par la propriété de l’ellip$e, on a _a a_ - _x x_ : _y y_ :: _a a_ : _b b_; donc on aura au$$i _aa_ - _xx_ : _y y_ :: _a_ : _p_; d’où l’on tire _y y_ = _aa_ - _xx_ x {_p_/_a_}, c’e$t- [0357]DE MATHEMATIQUE. _Liv. IX_. à-dire que le quarré d’une ordonnée quelconque e$t égal au produit de $es ab$ci$$es, multiplié par le rapport du parame- tre à l’axe: ain$i, $i l’on $çait que le parametre e$t les deux tiers de l’axe, le quarré de chaque ordonnée $era égal aux deux tiers du rectangle des ab$ci$$es corre$pondantes.

REMARQUE I.

642. Il e$t à remarquer que pui$que l’on a A F x F B : F H<_>2 :: _Figure_ 158. A I x I B : I L<_>2, $i l’on met à la place des rectangles A F x F B, A I x I B, les quarrés des ordonnées F G, I K, qui leur $ont égaux par la propriété du cercle, on aura F G<_>2 : F H<_>2 :: I K<_>2 : IL<_>2; & en tirant les racines de chaque terme, F G : F H :: I K : I L, & _alternando_, F G : I K :: F H : I L, qui fait voir que $i l’on prend les lignes F H, I L pour les élémens de la $uperficie du quart d’ellip$e E A D, & les lignes F G, I K pour les élémens du quart de cercle E A M; les élémens du quart d’ellip$e $ont dans la même rai$on que les élémens corre$pondans du quart de cercle.

REMARQUE II.

643. On a vu (art. 569) que dans une progre$$ion qui $e- roit compo$ée des élémens infinis tels que F G & I K d’un quart de cercle, la $omme des quarrés de tous ces élémens $eroit égale au produit du quarré du plus grand élément E M, par les deux tiers de la ligne A E, qui en exprime le nombre: or comme les élémens de l’ellip$e ont tous un rapport con$tant avec les élémens corre$pondans du quart de cercle, il s’en$uit qu’ils auront la même propriété que ceux du cercle; & que par con$équent $i l’on a une progre$$ion compo$ée de termes infinis des élémens d’un quart d’ellip$e E A D, la $omme des quarrés de tous les élémens, tels que F H & I L, e$t égale au produit du quarré du plus grand élément E D, par les deux tiers de la grandeur qui en exprime le nombre, c’e$t-à-dire par les deux tiers de la ligne A E.

Comme ces deux remarques nous $ervent beaucoup dans la Géométrie pratique, il faut s’attacher à les bien com- prendre.

DEFINITIONS. I.

644. L’on nomme _diametres_ d’une ellip$e, deux lignes, _Figure_ 160. [0358]NOUVEAU COURS comme C D, E F, qui pa$$ent par le centre de l’ellip$e, & qui $ont terminées à cette courbe.

II.

645. Ayant mené d’un point quelconque C de l’ellip$e un _Figure_ 160. diametre C D, & une ordonnée C K à l’axe A B, $i l’on fait G O troi$ieme proportionnelle à G K & G A, le diametre E F, que l’on aura mené parallele à la ligne C O, e$t appellé _dia_- _metre conjugué_ au diametre C D; & réciproquement le dia- metre C D e$t dit _conjugué_ au diametre E F.

III.

646. Toute ligne, comme H I, menée d’un point quelcon- que H, pris dans le diametre C D, parallélement à $on con- jugué E F, e$t appellée _ordonnée_ au diametre C D.

IV.

647. Si l’on cherche une troi$ieme proportionnelle aux dia- metres conjugués C D, E F, elle $era nommée _parametre_ du diametre, qui occupe le premier terme de la proportion.

COROLLAIRE.

648. Pui$que l’on a fait (art. 645) G K : G A :: G A : G O, il s’en$uit que $i l’on nomme G K, _x_; G A, _a_; K O, _z_, l’on aura G K (_x_) : G A (_a_) :: G A (_a_) : G O (_x_ + _z_), d’où l’on tire _x x_ + _zx_ = _aa_; & en fai$ant pa$$er _xx_ du premier mem- bre dans le $econd, _z x_ = _aa_ - _xx_, ou bien O K x K G = A K x K B. Comme ce corollaire nous $ervira beaucoup dans les propo$itions $uivantes, il e$t à propos de le bien retenir.

PROPOSITION II. THEOREME.

_649_. Si des extrêmités _C_ & _E_ de deux diametres conjugués Figure 160. _C D, E F_ on mene à l’axe _A B_ les ordonnées _C K, E P_, je dis que le quarré de la partie _G P_ $era égal au rectangle de _A K_ par _K B_.

Ayant fait A G = _a_, G P = _f_, G K = _x_, K O = _z_, G O $era _x_ + _z_. Cela po$é, nous ferons voir que A K x K B (_aa_-_xx_) ou bien _x z_ (art. 648) = _f f_.

DÉMONSTRATION.

Con$idérez que l’on a par la propriété de l’ellip$e (art. 639) [0359]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IX_. A K x K B (_x z_) : A P x P B (_aa_ - _f f_) :: K C<_>2 : P E<_>2; & que $i au lieu de _aa_ dans le $econd terme de cette proportion on met _x x_ + _x z_, qui lui e$t égal (art. 648), & au lieu de K C<_>2 & P E<_>2, on met K O<_>2 (_z z_) & P G<_>2 (_f f_) qui $ont dans la même rai$on, à cau$e des triangles $emblables C O K, E G P, qui donnent C K : P E :: K O : P G, on aura A K x K B : A P x P B :: K C<_>2, : P E<_>2, ou _x z_ : _xx_ + _xz_ - _f f_ :: _z z_ : _f f_, dont le produit des extrêmes & des moyens donnent cette équation _x x z z_ + _x z<_>3_ - _f f z z_ = _f f x z_; d’où tran$po$ant _f f z z_ du pre- mier membre dans le $econd, vient _xxzz_+_xz_<_>3=_ffzz_+_ffxz_, & divi$ant chaque membre de l’équation par _z_, il vient _x x z_ + _z_<_>2_x_ = _f f z_ + _f f x_, & divi$ant encore chaque membre par _z_ + _x_, il vient _x z_ = _f f_, ou A K x K B = G P<_>2. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

650. Comme on a _xx_ + _xz_ = _aa_ (art. 648), il $uit de cette propo$ition, que $i l’on met _ff_ à la place de _xz_ qui lui e$t égal, on aura _x x_ + _f f_ = _a a_; & fai$ant pa$$er _f f_ du premier mem- bre dans le $econd, on aura G K<_>2 (_xx_) = A P x P B (_aa_-_ff_).

PROPOSITION III. THÉOREME.

_651_. Le rectangle fait des parties _C H_, _H D_ du diametre _C D_, e$t au quarré d’une ordonnée _H I_, comme le quarré de ce même dia- metre e$t à celui de $on conjugué _E F_.

Après avoir tiré les lignes I N, H L paralleles à C K, & la ligne H M parallele à A B, nous nommerons G K, _x_; C K, _y_; A G, _a_; K O, _z_; M H, ou L N, _c_; G L, _g_; G C, _s_.

DEMONSTRATION.

Les triangles G K C, G L H $ont évidemment $emblables, & donnent G K (_x_) : K C (_y_) :: G L (_g_) : L H {_g y_/_x_}; & les trian- gles C O K, I H M, qui $ont au$$i $emblables, pui$qu’ils ont les côtés paralleles chacun à chacun, nous donnent O K (_z_) : K C (_y_) :: H M (_c_) : I M ({_cy_/_z_};) d’où l’on tire IM+HL = IM+MN ou I N = {_g y_/_x_} + {_c y_/_z_}, dont le quarré e$t {_yygg_/_xx_} + {_2cgy_<_>2/_xz_} + {_ccyy_/_zz_}. De plus, con$idérez que L N - L G = G N = _c_ - _g_, dont le [0360]NOUVEAU COURS quarré e$t _c c_ · 2_cg_ + _gg_. Cela po$é, il faut encore chercher une $econde valeur de I N<_>2, que l’on trouvera par la propriété de l’ellip$e (art. 639) : car A K x K B : A N x N B, ou G B<_>2 - G N<_>2 (art. 62) :: C K<_>2 : I N<_>2, ou analytiquement _aa_ - _xx_ : _aa_ - _cc_ + 2_cg_ - _gg_ :: _yy_ : _yy_ x {_aa_ - _cc_ + 2_cg_ - _gg_/_aa_ - _xx_} = IN<_>2, ou en fai$ant la multiplication {_aayy_ - _ccyy_ + 2_cgyy_ - _ggyy_/_aa_ - _xx_}. Pré$en- tement $i l’on forme une égalité avec ces deux valeurs, on aura {_ggyy_/_xx_} + {2_cgy_<_>2/_xz_} + {_ccyy_/_zz_} = {_aayy_ - _ccyy_ + 2_cgyy_ - _ggyy_/_aa_ - _xx_}. Mais com- me on $çait que _aa_ - _xx_ = _xz_, on aura {_ccyy_/_zz_} + {2_cgyy_/_zx_} + {_ggyy_/_xx_} = {_aayy_ - _ccyy_ + 2_cgyy_ - _ggyy_/_zx_}, ou en effaçant dans chaque mem- bre le terme égal {2_cgyy_/_zx_}, & divi$ant en$uite tout par _yy_, {_c c_/_zz_} + {_g g_/_xx_} = {_aa_ - _cc_ - _gg_/_aa_ - _xx_}. Pré$entement il faut multiplier tout par _xx_, afin de n’avoir plus _gg_ en fraction; ce qui donnera {_ccxx_/_zz_} + _gg_ = {_aaxx_ - _ccxx_ - _ggxx_/_aa_ - _xx_}: on fera pa$$er _gg_ du premier membre dans le $econd, & on le réduira en fraction, dont le dénomina- teur $oit _aa_ - _xx_; ce qui donnera cette nouvelle équation {_ccxx_/_zz_} ou {_ccx_<_>4/_zzxx_} = {_aaxx_ - _ccxx_ - _aagg_ + _ggxx_ - _ggxx_/_aa_ - _xx_}, fai$ant attention que le premier membre {_ccxx_/_zz_} e$t la même cho$e que {_ccx_<_>4/_zzxx_}, pui$- que l’on n’a fait que multiplier les deux termes de chaque frac- tion par la même grandeur _x x_. Mais le premier membre de cette équation e$t divi$é par le quarré de _x z_ ou de _a a_ - _x x_, qui divi$e le $econd membre. D’où il $uit que l’on fera éva- nouir toute fraction, en multipliant le numérateur du $econd membre par _aa_ - _xx_: on aura donc _ccx_<_>4 = _aaxx_-_ccxx_-_aagg_ x _aa_ - _xx_ = _a_<_>4_x_<_>2 - _a_<_>2_c_<_>2_x_<_>2 - _a_<_>4_g_<_>2 - _a_<_>2_x_<_>4 + _c_<_>2_x_<_>4 + _a_<_>2_g_<_>2_x_<_>2; d’où l’on tire en effaçant de part & d’autre _c_<_>2_x_<_>4, & tran$po- $ant _a_<_>2_c_<_>2_x_<_>2 du $econd membre dans le premier, _a_<_>2_c_<_>2_x_<_>2 = _a x_<_>2 - _a_<_>4_g_<_>2 - _a_<_>2_x_<_>4 + _a_<_>2_g_<_>2_x_<_>2, qu’il faut divi$er par _a_<_>2_x_<_>2; ce qui donne _cc_ = _a_<_>2 - _x_<_>2 + _g_<_>2 - {_a_<_>2_g_<_>2/_x_<_>2} = LN<_>2 = HM<_>2. Cela po$é, con$idérez que les triangles $emblables G K C, G L H donnent [0361]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IX_. G K (_x_) : G C (_s_) : : G L (_g_) : G H ({_gs_/_x_}); par con$équent GC<_>2 - GH<_>2, ou C H x H D (art. 62)=_ss_ - {_g_<_>2_s_<_>2/_xx_} = {_s_<_>2_xx_-_g_<_>2_s_<_>2/_xx_}. Pour voir pré$entement $i la proportion énoncée au théorême e$t vraie, je fais attention que les quatre grandeurs $uivantes C H x H D, H M<_>2, C G<_>2, G P<_>2 $ont en proportion, pui$que l’on trouve, en di$po$ant leurs expre$$ions analytiques, $elon le même ordre, que le produit des extrêmes e$t égal au produit des moyens, ou, ce qui e$t la même cho$e, que CH x HD ({_ssxx_-_ggss_/_xx_}) : H M<_>2 (_a_<_>2 - _x_<_>2 + _g_<_>2 - {_a_<_>2_g_<_>2/_x_<_>2}) :: C G<_>2 (_ss_) : G P<_>2 (_aa_-_xx_) : donc en $ub$tituant à la place des con$équens des quantités qui leur $oient proportionnelles, $çavoir HI<_>2 & GE<_>2, comme il e$t évident, à cau$e des triangles $emblables, MIH, PEG, on aura C H x H D : H I<_>2 :: C G<_>2 : G E<_>2. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

652. L’on voit que ce qui a été démontré dans la propo$i- tion premiere par rapport aux deux axes, s’étend par le moyen de celle-ci à deux diametres quelconques : car $i l’on fait le même rai$onnement pour l’ellip$e que pour la parabole (art. 622), _Figure_ 161. l’on verra que la tangente H I, à l’extrêmité A de l’axe A B, ayant gli$$é le long de la courbe pour prendre la $ituation Q R, & l’axe A B ayant tourné pour prendre la $ituation F G, l’ordonnée K L qui l’aura accompagnée toujours parallélement à la tangente H I, deviendra l’ordonnée O P; & comme l’axe conjugué C D aura au$$i tourné parallélement à la tangente H I, il deviendra le diametre conjugué M N; & par con$é- quent toutes ces lignes demeurant dans des rapports con$tans les unes avec les autres, il s’en$uit que le rectangle compris $ous les ab$ci$$es O F, O G e$t quarré de l’ordonnée O P, comme le quarré du diametre F G e$t au quarré de $on conjugué M N.

COROLLAIRE II.

653. Il $uit encore delà, que pour mener par un point F une tangente Q R à l’ellip$e, il faut de ce point abai$$er une perpendiculaire F S à l’axe A B, & faire E Q troi$ieme pro- portionnelle aux droites ES, EA (art. 645) pour avoir le point Q, duquel on n’aura qu’à mener la tangente par le point donné.

[0362]NOUVEAU COURS COROLLAIRE III.

654. Il $uit encore de cette propo$ition, que toute ligne comme T P parallele à la tangente R Q e$t divi$ée en deux également par le diametre F G; car le rectangle de F O par O G e$t au quarré de O P, comme le quarré de F G au quarré de N M, & le même rectangle de F O par O G e$t encore au quarré de O T, comme le quarré de F G e$t au quarré de N M, il s’en$uit donc que le quarré de O P e$t égal au quarré de O T, & que par con$équent O T = O P.

COROLLAIRE IV.

655. Il $uit encore delà que les quarrés des ordonnées à un même diametre $ont entr’eux comme les rectangles faits $ur les ab$ci$$es corre$pondantes; d’où l’on voit que $i l’on ap- pelle un diametre quelconque 2_a_, $on conjugué 2_b_, le para- metre du premier _p_, _x_ & _y_ l’ab$ci$$e & l’ordonnée corre$- pondante, on aura comme pour les axes _yy_ : _aa_-_xx_ :: 4_aa_ : 4_bb_ :: 2_a_ : _p_, d’où l’on tire _yy_ = {_aa_ - _xx_ x _p_/2_a_}, c’e$t-à-dire que le quarré d’une ordonnée à un diametre quelconque e$t égal au rectangle des ab$ci$$es, multiplié par le rapport du parame- tre au diametre. Si le diametre e$t plus grand que $on para- metre, le quarré d’une ordonnée quelconque $era plus grand que le rectangle des ab$ci$$es. Si les deux diametres $ont égaux, le parametre $era égal au diametre, & par con$équent le rec- tangle des ab$ci$$es $era égal au quarré de chaque ordonnée, & alors les ordonnées $eroient égales à celle d’un cercle décrit $ur un des diametres, mais obliques à ce diametre, parce que dans cette courbe il n’y a que les ordonnées aux axes qui pui$- $ent être à angles droits, comme il e$t ai$é de le remarquer, $i l’on fait attention que les ordonnées étant toujours paralleles aux tangentes, il faut néce$$airement qu’elles fa$$ent avec leurs diametres les mêmes angles que ces tangentes.

PROPOSITION IV. THEOREME.

656. La $omme des quarrés de deux diametres conjugués _C D_, Figure 160. _E F_ e$t égale à celle des quarrés des deux axes _A B, Q R_.

[0363]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IX_. DEMONSTRATION.

Les cho$es étant toujours les mêmes que ci-devant, nous aurons (art. 649) G P<_>2 = _aa_-_xx_, & (art. 650) G A<_>2-G P<_>2 = ou A P x P B = G K<_>2 = _xx_. Or par la propriété de l’ellip$e, l’on aura G A<_>2 : G R<_>2 :: A P x P B : P E<_>2, ou analytiquement _a_<_>2 : _b_<_>2 :: _xx_ : {_bbxx_/_aa_}=P E<_>2, & d’une autre part G A<_>2 : G R<_>2 :: A K X K B : C K<_>2, & en lettres _a_<_>2 : _b_<_>2 :: _aa_-_xx_ : {_aabb_-_bbxx_/_aa_}. Or lestriangles rectangles G P E, G K C donnent E G<_>2=E P<_>2 + PG<_>2=_aa_ - _xx_+{_bbxx_/_aa_}, ou E G<_>2={_a_<_>4 - _aaxx_ + _bbxx_/_aa_}, & encore CG<_>2=CK<_>2+GK<_>2={_aabb_-_bbxx_/_aa_}+_xx_={_aabb_-_bbxx_+_aaxx_/_aa_}: donc E G<_>2+C G<_>2={_a_<_>4-_a_<_>2_x_<_>2+_b_<_>2_x_<_>2+_a_<_>2_b_<_>2-_bbxx_+_a_<_>2_x_<_>2/_a_<_>2}={_a_<_>4+_a_<_>2_b_<_>2/_a_<_>2}, & divi$ant par _a_<_>2, _aa_+_bb_=E G<_>2+C G<_>2, & en quadruplant les termes de chaque membre A B<_>2+Q R<_>2=C D<_>2+E F<_>2. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

657. Il $uit de cette propo$ition, qu’il ne peut y avoir dans une ellip$e que deux diametres conjugués qui $oient égaux: car pui$que la $omme des quarrés de deux demi-diametres conjugués e$t égale à celle des quarrés des deux demi-axes, $i l’on prend l’expre$$ion générale de l’un de ces diametres pour le quarré d’un des deux diametres conjugués égaux, par exem- ple, celle de C G<_>2, on aura cette équation {2_aabb_-2_bbxx_+2_aaxx_/_aa_} = _aa_ + _bb_, & multipliant tout par _aa_, 2_aabb_ - 2_bbxx_+ 2_aaxx_=_a_<_>4+_aabb_, d’où l’on déduit, en effaçant _aabb_ dans chaque membre _aabb_-2_bbxx_+2_aaxx_=_a_<_>4, ou en tran$- po$ant _aabb_-_a_<_>4=2_bbxx_-2_aax_, & divi$ant tout par _bb_-_aa_, il vient _a_<_>2=2_xx_, ou _x_<_>2={_aa_/2}, d’où l’on déduit cette propo$ition {1/2} _a_ : _x_ :: _x_ : _a_, qui fait voir que l’ab$ci$$e qui détermine les deux diametres conjugués égaux, e$t moyenne proportionnelle entre le quart & la moitié du grand axe. Et comme il n’y a qu’une moyenne proportionnelle entre ces deux grandeurs, il s’en$uit qu’il n’y a au$$i dans une ellip$e que deux diametres conjugués égaux entr’eux. C. Q. F. D.

[0364]NOUVEAU COURS PROPOSITION V. THEOREME.

658. Si par l’extrêmité _A_ de l’axe _A B_ l’on mene une tan- Figure 162. gente qui aille rencontrer aux points _N_ & _F_, les deux diametres conjugués _M G_, _I H_ prolongés autant qu’il e$t néce$$aire, je dis que le rectangle des parties _A N_, _A F_ e$t égal au quarré de la moitié de l’axe _C D_. Ain$i il faut prouver _A N x A F = C E<_>2_.

DEMONSTRATION.

Con$idérez que l’on a A L x L B égal au quarré de E K, qui e$t _xx_ (art. 650), & que par con$équent AE<_>2 (_aa_) : EC<_>2 (_bb_) :: A L x L B (_xx_) : L M<_>2 ({_bbxx_/_aa_}); & comme ce dernier terme e$t un quarré parfait en extrayant laracine, on aura L M = {_bx_/_a_}. Mais comme on a au$$i (art. 649) A K x K B = L E<_>2, on aura encore C E<_>2 : A E<_>2 :: I K<_>2 : A K x K B ou E L<_>2, & analytique- ment _bb_ : _aa_ :: _yy_ : {_aayy_/_bb_} = L E<_>2; & comme cette quantité e$t au$$i un quarré, $i on en extrait la racine, on aura EL={_ay_/_b_}. Cela po$é, à cau$e des triangles $emblables E A F, E L M, on pourra former cette proportion E L : L M :: E A : A F; & mettant les valeurs analytiques trouvées précédemment, {_ay_/_b_} : {_bx_/_a_} :: _a_ : {_abxb_/_aay_} = {_bbx_/_ay_} = A F. Et de même à cau$e des trian- gles $emblables E A N, E K I, on aura E K : E A :: I K : A N, ou _x_ : _a_ :: _y_ : {_ay_/_x_} = AN: donc AN x A F={_bbx_/_ay_}x{_ay_/_x_}=_bb_=CE<_>2. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

659. On peut ai$ément, par le moyen de cette propo$ition, déterminer dans l’ellip$e les diametres conjugués égaux: car pour cela, il n’y a qu’à prendre $ur la perpendiculaire A N à l’ori- gine de l’axe, une partie AR égale à CE, moitié du petit axe, & par le centre E & lepoint R mener la ligne E R, dont la partie compri$e entre le centre & la courbe, $era l’un des demi-dia- metres conjugués égaux: car pui$que l’on a toujours A N x A F=C E<_>2, lor$que les diametres conjugués $ont égaux, les parties A N, A F $ont égales; & par con$équent A R doit être égale à C E.

[0365]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IX_. PROPOSITION VI. THEOREME.

660. Si l’on coupe un cône par un plan oblique à la ba$e, de Figure 164. maniere que les deux côtés du cône $oient coupés entre le $ommet & la ba$e, la $ection $era une ellip$e.

Si l’on coupe le cône X par un plan A B, oblique à $a ba$e, & perpendiculaire au plan du triangle N O X qui pa$$e par l’axe de ce cône, la $ection B E A F $era une ellip$e. Nous $up- po$erons que le cône e$t au$$i coupé parallélement à $a ba$e par un plan C M, qui pa$$e par le milieu de la ligne A B, qui e$t l’inter$ection des plans NOX, AEBF, & l’axe de la courbe; & encore par un plan L D, au$$i parallele à la ba$e, & qui pa$$era par un point quelconque I de l’axe A B. Comme ces deux $ections formeront des cercles, nous tirerons les lignes E F & H K, qui couperont les diametres L D, C M à angles droits aux points I, G, & la ligne E F deviendra le petit axe de l’ellip$e, & les lignes I K & I H en $eront des ordonnées. Cela po$é, nous ferons A G ou G B=_a_, E G ou G F=_b_, G M=_c_, C G=_d_, G I = _x_, I K = _y_, ain$i I B $era _a_+_x_, & AI $era _a_-_x_. Nous ferons voir que A I x I B (_aa_-_xx_): I K<_>2 (_yy_) : : A G<_>2 (_aa_) : G F<_>2(_bb_).

DÉMONSTRATION.

Les triangles $emblables B G M, B I D nous donnent B G : B I :: G M : I D, ou en lettres _a_ : _a_+_x_ :: _c_ : {_ac_+_cx_/_a_}; & de même les triangles $emblables A L I, A C G nous donnent A G : A I :: C G : L I, & en lettres _a_ : _a_-_x_ :: _d_ : {_ad_-_dx_/_a_}: donc en multipliant ces deux proportions termes par termes, on aura _aa_ : _aa_-_xx_ :: _cd_ : {_ac_+_cx_/_a_}x{_ad_-_ax_/_a_}, ou A G<_>2 : A I x I B : : C G x G M : L I x I D. Mais à cau$e des cercles G E M, K D H L, on a C G x G M = G E<_>2, ou G F<_>2 = _bb_, & ID x IL = IH<_>2 ou IK<_>2=_yy_; on aura donc AG : AI x IB :: IH<_>2 : EF<_>2, ou _invertendo_ & _alternando_ A I x I B : I H<_>2 :: A G<_>2 : E F<_>2, ou _aa_-_xx_ : _yy_ :: _aa_ : _bb_.

[0366]NOUVEAU COURS PROPOSITION VII. THEOREME.

_661_. Si l’on coupe un cylindre par un plan oblique à la ba$e, Figure 165. je dis que la $ection $era une ellip$e.

Pour être convaincu que la $ection B E A F du cylindre Y e$t une ellip$e, il ne faut que lire la démon$tration du théo- rême précédent, & partout où il y aura le nom de cône $ub- $tituer celui de cylindre, la démon$tration étant la même.

PROPOSITION VIII. THÉOREME.

_662_. Si du point quelconque _G_ de l’ellip$e on mene des droites Figure 166. _G F, G E_ aux foyers _E, F_, je dis que la $omme de ces deux lignes pri$es où l’on voudra, $era toujours égale au grand axe _A B_.

DEMONSTRATION.

Il faut $e re$$ouvenir que l’on détermine les foyers E, F en décrivant du point D, extrêmité du petit axe comme centre, un arc de cercle avec le rayon D F égal à la moitié du grand axe, qui coupe cet axe dans les points E, F; d’où il $uit évidem- ment que le point D e$t tel que E D + D F = A B. Pour démontrer cette propo$ition par rapport à un point quelconque G différent du point D, nous ferons A I = _a_, I D = _b_, E I = _c_, I K = _x_, G K ordonnée à l’axe _y_. Cela po$é, à cau$e du triangle rectangle E K G, on a E G<_>2 = E K<_>2 + G K<_>2; mais E K e$t _c_+_x_, dont le quarré e$t _cc_ + 2_cx_ + _xx_, & G K étant ordonnée à l’axe, on aura G K<_>2 = _bb_ - {_bbxx_/_aa_}: donc E G<_>2 = _cc_ + 2_cx_ + _xx_ + _bb_ - {_bbxx_/_aa_}, & tirant les racines de chaque membre E G = _cc_ + 2_cx_ + _xx_ + _bb_ - {_bbxx_/_aa_}. De même à cau$e du triangle rectangle F K G, on a F G<_>2 = F K<_>2 + G K<_>2; mais F K = _c_ - _x_: donc F K<_>2 = _cc_ - 2_cx_ + _xx_; & partant F G<_>2 = _cc_ - 2_cx_ + _xx_ + _bb_ - {_bbxx_/_aa_}; & tirant les racines de part & d’autre, on aura F G = _cc_ - 2_cx_ + _xx_ + _bb_ - {_bbxx_/_aa_}. Pré- $entement $i la propo$ition e$t vraie, il faut qu’en égalant la $omme de ces deux lignes au grand axe 2_a_, on arrive à quel- [0367]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IX._ que principe qui nous démontre que nous avons $uppo$é vrai, ou qui nous fa$$e voir que nous avons mal $uppo$é, en nous condui$ant à quelque ab$urdité. Je fais donc cette équation 2_a_ = _cc_ + 2_cx_ + _xx_ + _bb_ - {_bbxx_/_aa_} + _cc_ - 2_cx_ + _xx_ + _bb_ - {_bbxx_/_aa_}, d’où je tire, en tran$po$ant, 2_a_ - _cc_ - 2_cx_ + _xx_ + _bb_ - {_bbxx_/_aa_} = _cc_ + 2_cx_ + _xx_ + _bb_ - {_bbxx_/_aa_}, & en quarrant chaque mem- bre 4_a_<_>2 - 4_a_ x _cc_ - 2_cx_ + _xx_ + _bb_ - {_bbxx_/_aa_} + _cc_ -2_cx_ + _xx_ + _bb_ - {_bbxx_/_aa_} = _cc_ + 2_cx_ + _xx_ + _bb_ - {_bbxx_/_aa_}; & en effaçant de part & d’autre les quantités égales, & tran$po$ant la quan- tité - 2_cx_ du premier membre dans le $econd, on aura 4_a_<_>2 - 4_a_ _cc_ - 2_cx_ + _xx_ + _bb_ - {_bbxx_/_aa_} = 4_cx_; d’où l’on tire en $ai$ant pa$$er 4_cx_ dans le premier membre, & le terme ra- dical dans le $econd, après avoir divi$é par 4, _a_<_>2 - _cx_ = _a_ _cc_ - 2_cx_ + _xx_ + _bb_ - {_bbxx_/_aa_}. Si l’on quarre chaque membre de l’équation, on aura celle - ci, _a_<_>4 - 2_a_<_>2_cx_ + _ccxx_ = _a_<_>2_c_<_>2 - 2_a_<_>2_cx_ + _a_<_>2_x_<_>2 + _a_<_>2_b_<_>2 - _bbx_<_>2, dans laquelle effaçant de chaque terme les quantités égales - 2_a_<_>2_cx_, on aura _a_<_>4 + _c_<_>2_x_<_>2 = _a_<_>2_c_<_>2 + _a_<_>2_x_<_>2 + _a_<_>2_b_<_>2 - _bbxx_. Enfin $i dans cette derniere équation on met à la place de _c_<_>2 $a valeur, qui e$t _aa_ - _bb_, comme il e$t vi$ible dans la figure, à cau$e du triangle rectan- gle E I B, il viendra _a_<_>4 + _a x_<_>2 - _b_<_>2_x_<_>2 = _a_<_>4 - _a b_<_>2 + _a_<_>2_x_<_>2 + _a_<_>2_b_<_>2 - _bbxx_; d’où l’on déduit, en effaçant toutes les quan- tités égales de part & d’autre, & rédui$ant le $econd membre, 0 = 0; d’où il $uit que la propo$ition e$t vraie.

REMARQUE.

663. Un ré$ultat $emblable au dernier 0 = 0 doit paroître d’abord bien $ingulier, & les Commençans pourroient être embarra$$és à concevoir comment $ur cette équation on peut établir la vérité d’un théorême, ou de toute autre propo$ition. Pour comprendre ce qu’il $ignifie, il faut faire attention que toutes les démon$trations étant fondées $ur des axiomes, il $uffit de faire voir la liai$on d’une propo$ition avec quel qu’un de ces axiomes, pour en établir la certitude. Pré$entement $i [0368]NOUVEAU COURS l’on réfléchit à toutes les opérations que nous avons faites, on verra que notre $uppo$ition nous a conduit à cet axiome, que le _rien e$t égal au rien_, que l’on pourroit mettre au rang des premiers axiomes, pui$que cette vérité ne peut pas être con- çue autrement que par $on énoncé: donc notre propo$ition e$t vraie, pui$qu’elle a une liai$on néce$$aire avec ce dernier axiome Ceux qui liront les Auteurs qui ont beaucoup écrit $ur les Mathématiques, verront combien ce principe e$t d’u- $age pour la démon$tration d’un grand nombre de théorêmes, & l’on peut dire que c’e$t, à proprement parler, la méthode la plus convenable de démontrer les propo$itions, & de décou- vrir les vérités par Algebre: car il n’y a qu’à $uppo$er que la cho$e $oit; $i cette $uppo$ition vous conduit à quelqu’ab$ur- dité, vous en concluez qu’elle e$t fau$$e, & qu’elle e$t vraie, $i vous pouvez arriver, en partant delà, à quelqu’axiome ou à quelqu’autre vérité connue par elle-même ou déja démontrée.

PROPOSITION IX. PROBLEME.

_664_. Les deux axes conjugués _A B_ & _C E_ d’une ellip$e étant Figure 166. donnés, la décrire par un mouvement continu.

SOLUTION.

Il faut du point D comme centre, & d’un intervalle égal à la moitié A I du grand axc décrire un arc de cercle qui coupe ce grand axe dans les points E, F qui $eront les foyers de l’el- lip$e. Il faut en$uite avoir un fil de la longueur du même axe A B, dont on attachera les extrêmités aux points E, F, en $e $ervant d’un $tyle G pour tenir le fil tendu; l’on ira du point A au point D, du point D au point B, & l’on décrira avec le bout du $tyle la demi-ellip$e A D B. Si l’on fait pa$$er le $tyle de l’autre côté de l’axe A B, on décrira de la même maniere avec le $tyle G l’autre moitié de l’ellip$e A C B.

_Figure_ 166.

La démon$tration de cette pratique $e tire de ce que l’on a démontré dans la propo$ition précédente, que la $omme des lignes menées d’un des points de l’ellip$e à chaque foyer, e$t égal au grand axe, & l’on auroit pu définir l’ellip$e en partant de cette propriété de laquelle on auroit déduit toutes les autres.

[0369]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IX._ PROPOSITION X. PROBLEME.

_665_. Trouver le centre & les deux axes conjugués d’une ellip$e Figure 163. donnée.

SOLUTION.

Par deux points quelconques A, C, tirez les lignes A B & C D paralleles, que vous divi$erez chacune en deux également aux points E, F; pour avoir les ordonnées au diametre G H (art. 654), qui pa$$ant par les points E & F, pa$$era au$$i par le centre de l’ellip$e. Ain$i en divi$ant en deux également cette ligne G H au point I, ce point $era le centre de l’ellip$e, duquel décrivant l’arc G L, on aura deux points $ur la courbe également éloignés du centre, qui $erviront à tracer la $ec- tion M, par laquelle & par le point I fai$ant pa$$er une ligne M I, la partie N O de cette ligne renfermée dans la courbe $era le grand axe. Si l’on veut trouver le petit axe, il n’y a qu’à élever au point I une perpendiculaire à la ligne N O. Cette propo$ition e$t $uffi$amment démontrée par tout ce que nous avons vu précédemment.

CHAPITRE III, Qui traite de l’Hyperbole. DÉFINITIONS.

666. AYant tiré $ur un plan deux lignes droites A B, D E qui $e coupent à angles droits au point C, on élevera la perpendi- culaire B S à l’extrêmité B; & après avoir prolongé A B in- définiment vers O & vers P, on prendra $ur la ligne B O un nombre de parties égales telles que B G, G L, pour décrire en$uite du point C comme centre les demi-cercles G Q I, L R K, &c. qui couperont la perpendiculaire B S aux points F, N; en$uite on cherchera aux lignes A B, D E, B F une qua- trieme proportionnelle G H qu’on élevera perpendiculaire au point G; on cherchera de même une quatrieme proportion- nelle L M aux droites A B, D E, B N, qu’on élevera perpendi- culaire au point L, & continuant à trouver de même un nom- [0370]NOUVEAU COURS bre de points, tels que H, M, la courbe que l’on fera pa$$er par tous ces points, $era nommée _hyperbole_.

667. Si dans le même tems on décrit deux hyperboles, l’une à l’extrêmité A, l’autre à l’extrêmité B, elles $eront nommées en$emble _hyperboles oppo$ées_.

668. La ligne A B e$t nommée _premier axe_, & la ligne D E _$econd axe_ de chacune des hyperboles oppo$ées.

669. Les deux axes A B & D E $ont appellés en$emble _conjugués_, de $orte que le premier A B e$t dit conjugué au $e- cond D E, & réciproquement le $econd D E conjugué au pre- mier A B.

670. Le point C où $e coupent les deux axes à angles droits, e$t nommé _centre de l’hyperbole_ ou _des hyperboles oppo$ées_.

671. Toutes lignes comme G H ou L M perpendiculaires au prolongement de l’axe A B, $ont appellées _ordonnées_ au premier axe A B; & toute ligne comme TV, menée perpen- diculairement au $econd axe D E, e$t appellée _ordonnée_ au même $econd axe.

672. Les parties A G, B G de l’axe & de $on prolongement $ont appellées _ab$ci$$es_ de l’ordonnée corre$pondante G H, de même A L, B L $ont les ab$ci$$es de l’ordonnée M L.

673. Une ligne troi$ieme proportionnelle aux deux axes, e$t appellée le _parametre_ de celui qui occupe le premier terme de la proportion.

PROPOSITION I. THEOREME.

_674_. Dans l’hyperbole, le rectangle des ab$ci$$es _A G, B G_ de l’axe _A B_, e$t au quarré de l’ordonnée _G H_ corre$pondante, comme le quarré du grand axe _A B_ au quarré de $on conjugué _D E_.

Ayant nommé C A ou C B, _a_; C D ou C E, _b_; B F, _c_; les indéterminées C G ou C I, _x_; G H, _y_; A G $era _x_ + _a_, & BG _x_ - _a_.

DEMONSTRATION.

Par la définition de l’hyperbole, on a A B : D E :: B F : G H, ou 2_a_ : 2_b_ :: _c_ : _y_ : donc en quarrant les termes de cette pro- portion, 4_aa_ : 4_bb_ :: _cc_ : _yy_; mais par la nature du cercle, B F ou _cc_ = I G x B G, ou A G x B G = (_a_ + _x_) x (_x_ - _a_) = _xx_ - _aa_, & mettant cette expre$$ion à la place de _cc_, on [0371]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IX._ aura 4_aa_: 4_bb_:: _xx_--_aa : yy_, ou bien _xx_--_aa : yy_ :: 4_aa_ : 4_bb_, c’e$t-à-dire que A G x B G : G H<_>2 :: A B<_>2: D E<_>2. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

675. Il $uit de cette propo$ition, que les quarrés des ordon- nées $ont entr’eux comme les rectangles de leurs ab$ci$$es: car pui$que l’on a A G x B G: G H<_>2 :: A B<_>2 : D E<_>2, on aura par la même rai$on, A L x B L : L M<_>2 :: A B<_>2 : D E<_>2 : donc pui$que les deux dernieres rai$ons $ont égales, on aura A G x B G : G H<_>2 :: A L x B L : L M<_>2, ou _alternando_ A G x B G: A L x B L :: G H<_>2: L M<_>2. Donc, &c.

COROLLAIRE II.

676. Il $uit de cette propo$ition, que $i l’on mene une or- donnée T V au $econd axe D E, le quarré de cette ordonnée e$t au quarré de T C, plus celui de D C, moitié du $econd axe, comme le quarré de $on conjugué A B e$t au quarré du même axe D E. Pour le prouver, con$idérez que T V = G C = _x_, & que T C = V G = _y_. Or comme la propo$ition pré- cédente donne _x x_ - _aa : yy_ :: 4_aa_ : 4_bb_, on peut en tirer cette équation, 4_a_<_>2_y_<_>2 = 4_bbxx_ - 4_aabb_, & fai$ant pa$$er - 4_aabb_ du $econd membre dans le premier, on aura 4_a_<_>2_y_<_>2 + 4_a b_<_>2 = 4_b_<_>2_x_<_>2, d’où l’on tire _xx : yy_ + _bb_ :: 4_aa_:4_bb_, ou T V<_>2 : C T<_>2 + C D<_>2 :: A B<_>2 : D E<_>2.

REMARQUE.

677. Comme on a trouvé dans le corollaire précédent cette équation, 4_aayy_ = 4_bbxx_ - 4_aabb_, il e$t vi$ible qu’en divi$ant par 4_aa_ chaque membre de l’équation, on aura _yy_ = {_bbxx_/_aa_} - _bb_, qui e$t une équation dont nous aurons be$oin par la $uite.

DÉFINITION.

678. Si par l’extrêmité B de l’axe A B on mene une ligne _Figure_ 168. droite F G parallele au $econd axe D E, en$orte que B F ou B G $oient chacune égale à la moitié du même axe, & que du centre C on tire par les extrêmités F, G les lignes CF, CG, prolongées indéfiniment; ces lignes $eront nommées les _a$ymptotes_ de l’hyperbole L B M; & $i on les prolonge au$$i indéfiniment de l’autre côté du centre, elles deviendront a$ymptotes de l’autre hyperbole oppo$ée.

[0372]NOUVEAU COURS PROPOSITION II. THEOREME.

_679_. Si l’on mene une droite _H I_ parallele au $econd axe _D E_, en$orte qu’elle coupe une des hyperboles, & qu’elle $oit terminée aux a$ymptotes, je dis que le rectangle de _H K_ par _K I_ $era égal au quarré de _D C_ ou _F B_, moitié du $econd axe _D E_.

Ayant nommé C B, _a_; C D ou B F, _b_; les indéterminées C P, _x_; P K, _y_, il faut prouver que D C<_>2 ou F B<_>2 = K H x K I.

DEMONSTRATION.

Con$idérez que les triangles $emblables C B F & C P H don- nent C B : B F :: C P : P H, ou en lettres _a : b :: x_ : {_bx_/_a_} = PH; ain$i l’on aura H P - P K = {_bx_/_a_} - _y_, & P I + P K = {_bx_/_a_} + _y_: donc (H P-P K) x (H P+P K) ou K H x K I = {_bx_/_a_} - y x _{bx/a} + y_, ou en fai$ant la multiplication {_bbxx_/_aa_} - _yy_=KHxKI, mais (art. 677) _yy_ = {_bbxx_/_aa_} -_bb_: on aura donc, en $ub$tituant cette valeur {_bbxx_/_aa_} - {_bbxx_/_aa_} + _bb_ = H K x K I, ou _bb_ = F B<_>2 = H K x K I. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

680. Il $uit delà que $i l’on mene des lignes T S & Q R paralleles au $econd axe D E, & terminées aux a$ymptotes, les rectangles T O x O S, H K x K I, & Q L x Q R $ont égaux entr’eux, pui$que chacun e$t égal au quarré de F B; d’où l’on peut tirer ces proportions, O S : H K :: K I : O T, & H K : Q L :: L R : K I.

COROLLAIRE II.

681. Il $uit encore delà que les parties M R, Q L compri$es entre la courbe & les a$ymptotes $ont égales entr’elles: car on démontreroit de même que M R x M Q = F B<_>2; & comme les ordonnées $ont égales, il faut que les lignes M R, Q L le $oient au$$i.

[0373]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IX_. COROLLAIRE III.

682. Il $uit encore delà que $i loin que l’on prolonge la courbe & $es a$ymptotes, jamais ces deux lignes ne $e rencon- treront, pui$que l’on aura toujours QL x LR = FB<_>2; ce qui ne pourroit arriver $i ces lignes $e rencontroient, pui$que dans ce cas Q L $eroit égal à zero; & c’e$t par cette rai$on que les lignes C Q, C R ont été nommées _a$ymptotes_, c’e$t-à-dire qui ne peuvent rencontrer (l’hyperbole).

PROPOSITION III. THEOREME.

_683_. Si l’on mene par deux points quelconques _K, O_ de deux Figure 168. hyperboles oppo$ées deux lignes droites _V X & Y Z_ paralleles en- tr’elles, & terminées par les a$ymptotes, je dis que le rectangle de _V O_ par _O X_ e$t égal à celui de _Y K_ par _K Z_.

DEMONSTRATION.

Pour démontrer cette propo$ition, tirez par les points O, K les lignes T O S, H K I paralleles entr’elles & au $econd axe D E, pour avoir les triangles $emblables OSX, YHK, OTV, KIZ, qui donnent les proportions $uivantes, OS : KH :: OX : KY, & O T : K I :: O V : KZ : donc en multipliant ces deux pro- portions, termes par termes, on aura O S x O T : K H x K I :: O X x O V : K Y x K Z, & (art. 680) O S x O T = KH x KI: donc O X x O V = K Y x K Z. C. Q. F. D.

PROPOSITION IV. THEOREME.

_684_. Si l’on mene par deux points quelconques _A & C_ d’une Figure 169. hyperbole, ou des hyperboles oppo$ées deux lignes droites _A B &_ _C D_ paralleles entr’elles, & deux autres _A E, C F_ au$$i paralleles entr’elles, & terminées aux a$ymptotes, je dis que le rectangle _A E x A B_ $era égal à celui de _F C_ par _C D_.

DEMONSTRATION.

Soient tirées par les points A, C les lignes G A H, I C K pa- ralleles entr’elles; & con$idérez que les triangles $emblables EAG, FCI, BAH, DCK, nous donneront AG : AE :: CI : CE, [0374]NOUVEAU COURS & A H : A B :: C K : C D : donc en multipliant par ordre les termes de ces proportions, on aura A G x A H : A E x A B :: C K x C I : C F x C D. Mais (art. 680) A G x A H = IC x CK : donc au$$i A E x A B = C F x C D. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

685. Il $uit de cette propo$ition, que $i l’on mene par des points quelconques A & C, pris $ur une hyperbole ou les hy- perboles oppo$ées, des lignes A P, C O, A E, C F paralleles aux a$ymptotes, les rectangles A E x A P, C F x C O $eront égaux entr’eux: car les lignes étant paralleles aux a$ymptotes, $ont paralleles entr’elles, & $ont par con$équent dans le cas des lignes A B, C D.

COROLLAIRE II.

686. Comme le point L, extrêmité de l’axe e$t un des points de l’hyperbole, il s’en$uit qu’en menant les lignes L M & L N paralleles aux a$ymptotes, on aura encore L M x L N = A E x AP, ou L M x L N = C F x C O. Mais comme L M x L N n’e$t autre cho$e que le quarré de M L, l’on voit qu’en nom- mant L M, _a_; A P, _x_; A E, _y_, on aura toujours A P x A E, ou C F x C O (_xy_) = L M<_>2 (_aa_), qui e$t une équation qui exprime parfaitement la propriété de l’hyperbole, & par le moyen de laquelle on peut déterminer tous $es points.

PROPOSITION V. PROBLEME.

_687_. Par un point donné, mener une tangente à une hyperbole, Figure 171. dont les a$ymptotes $ont données.

Pour mener une tangente à une hyperbole, par un point donné A, il faut de ce point mener la ligne A B parallele à l’a$ymptote oppo$ée E F, faire la partie B D égale à B E, & tirer la ligne D A C, qui $era tangente au $eul point A: car à cau$e des triangles $emblables, D C E, D A B, on voit que A C e$t égal à A D. Et $i on vouloit que l’hyperbole rencon- trât encore cette ligne dans un point H, il faudroit qu’on eût A C = H D, ce qui e$t impo$$ible, à moins que le point H ne tombe $ur le point A: donc cette ligne e$t tangente au $eul point A. C. Q. F. D.

[0375]DE MATHEMATIQUE. _Liv. IX_. COROLLAIRE.

688. Comme il n’y a que la $eule ligne C D, qui étant ter- minée aux a$ymptotes, $oit coupée en deux également au point A, il s’en$uit que $i une ligne droite C D, terminée par les a$ymptotes d’une hyperbole, e$t tangente au point A, où elle $eroit coupée par une ligne I K, elle y $era divi$ée par cette ligne en deux parties égales A C & A D.

DÉFINITIONS.

689. Si l’on a deux lignes A B, C D qui s’entrecoupent au _Figure_ 170. centre de l’hyperbole, ou des hyperboles oppo$ées, dont l’une A B $oit menée par le point touchant B, milieu d’une tan- gente F G, & l’autre C D parallele, & égale à la même tan- gente; ces deux lignes $eront nommées _diametres_ des hyper- boles, & en$emble _diametres conjugués_ l’un à l’autre.

690. Si par un point H quelconque de l’hyperbole, on mene une ligne H K I, terminée de part & d’autre à la courbe, & parallele à la tangente F G; cette ligne $era nommée une _double ordonnée_ au diametre E B, dont la ligne H K $era l’or- donnée. Les parties E K, B K du diametre $eront nommées les _ab$ci$$es_ de l’ordonnée H K.

PROPOSITION VI. THEOREME.

_691_. Le quarré d’une ordonnée quelconque _H K_ parallele à une Figure 170. tangente _F G_, e$t au rectangle _A K_ x _K B_ de $es ab$ci$$es, comme le quarré du diametre _C D_ e$t au quarré du diametre _A B_.

Par l’une des extrêmités B du diametre A B, $oient me- nées les lignes B C, B D, & la tangente F G parallele au dia- metre C D; & par con$équent par le corollaire précédent, divi$ée en deux également en B; $oit prolongé la ligne H I ju$qu’aux a$ymptotes; ce qui donnera les parties égales K M, K L, & $oit fait A E ou E B = _a_, C E ou D E = _b_, E K = _x_, K H ou K I = _y_; d’où l’on tire B K = _x_ - _a_, & A K =_x_ + _a_.

DEMONSTRATION.

Il e$t vi$ible que les triangles E B F, E B D $ont égaux, ain$i que les triangles E B G, C B E; car ces triangles ont les côtés [0376]NOUVEAU COURS paralleles chacun à chacun, & un côté commun E B: donc F B = C E, ou E D = _a_. Cela po$é, les triangles $emblables EBF, E K L nous donnent E B : B F :: E K : K L, ou _a_ : _b_ :: _x_ : {_bx_/_a_} = K L : donc L H = K L - K H = {_bx_/_a_}-_y_, & HM=KM, ou KL + KH = {_bx_/_a_} + _y_; mais par la propriété des a$ymptotes, H M x H L = F B<_>2 : donc {_bx_/_a_}+_y_ x {_bx_/_a_}-_y_=_bb_, ou {_bbxx_/_aa_} -_yy_=_bb_, d’où l’on tire _yy_ = {_bbxx_/_aa_}-_bb_={_bbxx_/_aa_} - {_aabb_/_aa_}, ou _aayy_=_bbxx_-_aabb_; ce qui donne cette proportion _xx_ - _aa_ : _yy_ :: _aa_ : _bb_, ou A K x K B : K H<_>2 :: A B<_>2 : C D<_>2. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

692. Il $uit delà que ce que l’on a démontré dans la pre- miere propo$ition à l’égard des deux axes d’une hyperbole, s’étend par celle-ci à deux diametres conjugués quelconques A B & C D, au$$i bien que toutes les autres propriétés que l’on a démontrées d’une hyperbole avec $es a$ymptotes: car pour s’en convaincre, il ne faut que relire les articles précédens, & mettre diametre partout où il y aura le mot d’axe; car tout $ub$i$tera également, $oit que l’angle E B F $oit droit ou non.

PROPOSITION VII. THÉOREME.

_693_. Si l’on coupe un cône droit _A B C_ par un plan parallele à Figure 172. l’axe _B Q_, je dis que la courbe _F H D K G_ $era une hyperbole.

Ayant prolongé le côté C B du cône ju$qu’en P, en$orte que B P $oit égal à B D, la ligne P D $era le premier axe de l’hyperbole, & la ligne B N tirée du point B perpendiculaire au milieu de la ligne P D, $era la moitié du $econd axe; en- $orte que $i l’on fait N O = B N, O B $era le $econd axe. Ayant nommé les données N P ou N D, _a_; N O ou N B, _b_; les indéterminées N I, _x_; I K ou I H, _y_, D I $era _x_ - _a_, & P I $era _x_ + _a_; & nous allons $aire voir que l’on a _xx_ - _aa_ : _yy_ :: 4_aa_ : 4_bb_, ou P I x I D : IK<_>2 :: P D<_>2 : B O<_>2.

DEMONSTRATION.

Les triangles $emblables PNB, PIM donnent PN:NB::PI:IM, [0377]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. IX_. ou _a_ : _b_ :: _a_ + _x_ : {_a_+_x_ x _b_/_a_}; de même les triangles $emblables D N B, D I L donnent D N : N B :: D I : I L, ou bien _a_ : _b_ :: _x_ - _a_ : {_x_-_a_ x _b_/_a_} = I L: on aura donc, en multipliant les termes de ces deux proportions les uns par les autres, _aa_ : _bb_ :: _xx_ - _aa_: I M x I L; mais par la propriété du cercle, I M x I L = I K<_>2 ou I H<_>2, ou _yy_ : donc on aura _aa_ : _bb_ :: _xx_ - _aa_ : _yy_, ou 4_aa_ : 4_bb_ :: _xx_ - _aa_ : _yy_, c’e$t-à-dire qu’en fai$ant _invertendo_ P I x I D : I K<_>2 :: P D<_>2 : B O<_>2. C. Q. F. D.

Nous ne parlerons point des différentes manieres de tracer l’hyperbole, parce que cette courbe n’a guere lieu dans la Géométrie pratique; c’e$t pourquoi l’on pourra pa$$er légére- ment ce chapitre, pour s’attacher à ce qui va $uivre, qui e$t de la derniere importance dans tout ce qui s’appelle Géométrie pratique, & $urtout dans la Géométrie qui regarde particulié- rement l’Ingénieur.

AVERTISSEMENT.

Quand on e$t né avec le goût des Mathématiques, l’on ne s’en tient guere à la lecture des $imples Elémens; il $uffit qu’ils nous aient montré qu’on peut aller beaucoup plus loin pour de$irer des Livres qui nous apprennent des cho$es nou- velles; car ceux qui ont l’e$prit Géometre, cherchent à $e le nourrir des vérités d’une $cience qu’il e$t difficile de connoître $ans l’aimer. L’on cherche, l’on s’informe quels $ont les bons Livres de Mathématiques qu’on n’a pas vus; mais $ouvent à qui s’en informer? Je ferai donc plai$ir de rapporter ici une li$te des meilleurs Ouvrages de Mathématique qu’ils pour- ront étudier. Je ne prétends parler que des principaux Livres qui ont été imprimés à Paris; s’il falloit citer tous les bons qu’on a faits chez les Etrangers, & particuliérement en An- gleterre, il faudroit un volume entier pour en faire le dé- nombrement.

Indépendamment de ce que j’ai donné d’Algebre dans mes Elémens de Géométrie pour en $çavoir parfaitement toutes les opérations, l’on pourra avoir recours au Livre de la _Science_ _du Calcul_ du R. P. Reyneau. Cet Ouvrage $ert d’intro- duction à un autre du même Auteur, intitulé l’_Analy$e dé-_ _montrée_, qui e$t ce que nous avons de meilleur $ur l’Algebre; [0378]NOUVEAU COURS DE MATHEM. _Liv. IX_. ce Livre e$t en deux vol. _in_-4. Dans le premier on en$eigne la ré$olution des problêmes qui $e rédui$ent à des équations $imples & compo$ées; ce qui e$t uniquement l’objet de l’ana- ly$e; & dans le $econd, l’on trouve les nouveaux calculs, c’e$t- à-dire le calcul _différentiel_, & le calcul _intégral_, qui e$t une autre $orte d’Algebre; & ces calculs font en$uite appliqués à la ré$olution d’un grand nombre de problêmes Phy$ico-Mathé- matiques, qui font voir la beauté de ces calculs, & une partie des belles découvertes qu’on a faites dans ces derniers tems.

L’on peut voir après cela l’excellent Livre des _Infiniment_ _petits_ de M. le Marquis de l’Hôpital, qui traite uniquement du calcul _différentiel_ appliqué à la Géométrie _des Courbes_. Cet Ouvrage e$t le plus beau morceau que nous ayons en France $ur les Mathématiques; & comme il e$t un peu ab$trait, on pourra recourir au _Commentaire_ qu’en a donné M. de Crou$as, qui $ervira beaucoup à $oulager les Commençans.

Quoique j’aie déja parlé du Traité des _Sections coniques_ de M. de l’Hôpital, je crois devoir recommander encore une fois aux Commençans d’étudier $érieu$cment cet Ouvrage, s’ils ont envie de faire du progrès, & de le lire même immédia- tement après qu’ils auront étudié le premier tome de l’Analy$e démontrée, parce qu’ils s’y fortifieront, & auront l’e$prit plus di$po$é à voir en$uite le $econd tome de l’Analy$e.

Il y a au$$i un Livre de M. Carré $ur le _calcul intégral_, qui e$t une application de ce calcul à la me$ure des $urfaces, des $olides, & à la maniere de trouver leur centre de gravité, &c. qu’il e$t bon au$$i de $çavoir, pour connoître l’u$age de ce calcul.

Fin du neuvieme Livre. [0379] NOUVEAU COURS DE MATHÉMATIQUE. LIVRE DIXIEME, Qui traite de la Trigonométrie rectiligne, & du Nivellement.

DE toutes les parties des Mathématiques, il n’y en a point que les Commençans étudient plus volontiers que la Trigonométrie, parce qu’elle pré$ente à l’e$prit des problêmes fort curieux, dont la $olution e$t ai$ée, n’ayant be$oin que du $imple calcul de l’Arith- métique. Cependant il faut $e rendre bien familieres les analogies de ce calcul, afin d’en placer les termes à propos; car la Trigono- métrie e$t d’un $i grand u$age dans le métier de la guerre, qu’un homme qui e$t chargé des moindres cho$es dans le Génie, ou dans l’Artillerie, ne peut ab$olument l’ignorer; pui$que $i l’on veut conduire quelque galerie de mines, jetter des bombes avec regles, calculer les parties d’une fortification réguliere pour la tracer $ur le terrein, lever un Camp, une Carte, le plan d’une tranchée, orien- ter des batteries, il faut néce$$airement avoir recours à la Trigono- métrie.

Et pour dire un mot du Traité que j’en donne ici, l’on $çaura que je ne parle que des triangles rectilignes, parce que ceux qu’on nomme _Sphériques,_ à cau$e qu’ils $ont formés par des cercles de la Sphere, ne $ont d’aucune utilité à un homme de guerre, au- quel il ne faut apprendre que les cho$es néce$$aires, crainte de le rebuter, en voulant lui fatiguer la mémoire par celles qui $ont pu- [0380]NOUVEAU COURS rement curieu$es, ou dont l’u$age ne $e rencontre point dans les cho$es de $on mini$tere. J’ai fait en$orte d’éviter ce défaut, parti- culiérement dans ce petit Traité, que j’ai tâché de rendre le plus clair & le plus intére$$ant qu’il m’a été po$$ible, en appliquant la Trigonométrie à quantité d’opérations, qui feront plai$ir à ceux qui n’aiment point à s’appliquer, $ans voir dans le moment l’u$age des propo$itions qu’ils apprennent. Outre les problêmes généraux de la Trigonométrie, on a joint ici plu$ieurs problêmes particu- liers très-intére$$ans pour un Ingénieur militaire. Comme il y a toujours du danger de me$urer des ba$es dans un terrein expo$e au feu de l’ennemi: je donne la maniere de connoître la di$tance du lieu où l’on e$t à celui que l’on veut attaquer par une $eule opéra- tion $ans $ortir de l’endroit où je $uppo$e l’Ingénieur. Cette opéra- tion $era toujours praticable, pourvu que d’un même lieu on pui$$e appercevoir trois objets au dedans, ou au dehors de la ville, & dont la po$ition a été déterminée géométriquement avec toute la préci$ion po$$ible dans des endroits où l’on pouvoit faire toutes les opérations néce$$aires $ans aucun danger. Je donne des $olu- tions numériques & géométriques du même problême, afin que l’on pui$$e $e $ervir de l’une dans le cas où l’on a be$oin de toute la pré- ci$ion po$$ible, & de l’autre, lor$qu’on peut $e contenter d’un à peu près qui peut être $uffi$ant dans un grand nombre d’occa$ions; c’e$t à l’Ingénieur à $çavoir de laquelle des deux méthodes il doit faire u$age, & je lui lai$$e faire l’application de ce problême dans toutes les circon$tances où il peut s’en $ervir avec avantage.

Comme en me$urant la di$tance d’un lieu à un autre, il arrive quelquefois qu’on e$t obligé d’en connoître au$$i les différentes hau- teurs par rapport au centre de la terre, il $emble que le nivelle- ment e$t une partie des Mathématiques qui doit $uivre immédia- tement la Trigonométrie: au$$i ai-je ob$ervé cet ordre, pui$qu’a- près la Trigonométrie l’on trouvera un Traité du Nivellement, où l’on fait voir l’u$age du niveau d’eau, & celui d’un autre niveau, pour niveler des grandes di$tances. Ces in$trumens $ont d’un $i grand u$age dans la pratique, qu’on ne $çauroit trop engager ceux qui peuvent $e trouver dans le cas de s’en $ervir, de s’appliquer à ce que l’on verra dans la $uite $ur ce $ujet. Tout le monde $çait que quand on veut faire un canal de navigation, joindre une riviere avec une autre, conduire des eaux aux endroits où il en man- que, les projets de ces $ortes de cho$es ne peuvent avoir lieu, $ans avoir fait auparavant des nivellemens fort exacts; & c’e$t-là par- [0381]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. ticuliérement où la théorie & la pratique doivent travailler de con- cert. Combien de grands ouvrages n’a-t’on pas exécutés, depuis qu’on a $çu réduire à des principes l’art du nivellement! Auroit- on o$é tenter autrefois un travail au$$i admirable que celui de la jonction des deux Mers? Toute la magnificence des Anciens a- t’elle jamais été ju$qu’ à faire naître des jets d’eau dans des lieux fort éloignés de tous ré$ervoirs? Et $i cela s’e$t fait, étoit-on sûr de la réu$$ite avant l’exécution? Combien e$t-il arrivé de fois qu’après avoir commencé un grand projet, on s’e$t apperçu trop tard, & après de grandes dépen$es, de l’impo$$ibilité du de$$ein! au lieu qu’à pré$ent on trouve avec toute l’exactitude po$$ible la différence du niveau de plu$ieurs endroits, lor$qu’on entend bien le nivellement, & l’on $çait $i le projet qu’on a en vue, e$t po$$i- ble, ou non; s’il faut des éclu$es, à quelle di$tance il faut les con$truire; enfin on e$t en état de ne rien craindre du $uccès d’une grande entrepri$e, $i après en avoir fait le nivellement, l’on a re- connu le projet po$$ible.

_DE LA TRIGONOMETRIE RECTILIGNE_. DEFINITIONS. I.

694. La _Trigonométrie_ e$t une partie de la Géométrie, par le moyen de laquelle trois cho$es étant données ou connues dans un triangle, l’on vient à la connoi$$ance du re$te.

II.

695. Comme l’on ne parvient à trouver ce que l’on cher- che dans la Trigonométrie que par le calcul ordinaire de l’A- rithmétique, l’on $e $ert de certaines Tables dre$$ées pour ce $ujet, qu’on appelle _Tables des Sinus, Tangentes, Sécantes_, dont je donnerai l’u$age $eulement, $ans en en$eigner la con- $truction, que l’on trouvera dans plu$ieurs Livres, ne voulant parler que des cho$es qu’il faut ab$olument $çavoir.

III.

696. Nous avons $ix cho$es à con$idérer dans un triangle; $çavoir, les trois côtés & les trois angles, $ans s’embarra$$er de la $uperficie: & comme il y a trois de ces $ix termes, qui peuvent être donnés, pour arriver à la connoi$$ance des au- tres, il faut toujours que ce $oit deux angles & un côté, ou un angle & deux côtés, ou bien enfin les trois côtés; car les [0382]NOUVEAU COURS trois angles ne $uffi$ent pas pour connoître la valeur des trois côtés, parce qu’on peut former deux triangles, tels que les angles de l’un $oient égaux aux angles de l’autre, chacun à $on corre$pondant, $ans que pour cela les côtés du premier $oient égaux à ceux du $econd. Il e$t bien vrai qu’on peut trouver la proportion de ces côtés, mais non pas leur ju$te valeur.

IV.

697. Nous avons déja dit que la me$ure d’un angle n’étoit autre cho$e que la quantité de degrés, ou de degrés & de mi- nutes, que l’arc terminé par les lignes qui forment cet angle peut contenir. Mais comme cette me$ure e$t relative dans la Trigonométrie à certaines lignes, qui en font le principal objet, voici leurs noms.

V.

698. _Sinus droit_ d’un arc, ou d’un angle dont cet arc e$t la _Figure_ 174. me$ure, e$t une ligne droite, abai$$ée de l’extrêmité F de cet arc perpendiculairement au côté qui pa$$e par l’autre ex- trêmité B du même arc F B. Ain$i la ligne F H tirée de l’ex- trêmité F de l’arc F B perpendiculaire $ur le côté B C, e$t le $inus de l’angle F C B.

COROLLAIRE I.

699. Si l’on prolonge la ligne F H ju$qu’en G, le rayon C B étant perpendiculaire $ur la ligne F G, la divi$era en deux également au point H (art. 423), au$$i-bien que l’arc F B G; & comme la ligne F G e$t la corde de cet arc, & que la ligne F H e$t le $inus de l’arc F B, il s’en$uit que le $inus d’un arc e$t la moitié de la corde d’un arc double.

COROLLAIRE II.

700. Comme le $inus F H augmentera d’autant plus que l’angle F C B $era grand, il s’en$uit que lor$que le rayon C F $era perpendiculaire $ur A B, comme e$t le côté C I, le $inus F H, & le côté C F $e joindront pour ne faire qu’une $eule ligne C I, & que dans ce cas le $inus de l’angle droit I C H $era le rayon même du cercle; ce qui fait voir que l’angle droit a le plus grand de tous les $inus, que l’on nomme à cau$e de cela, _Sinus total_.

[0383]DE MATHEMATIQUES. _Liv. X_. REMARQUE.

701. Le $inus de l’angle droit n’étant autre cho$e que le rayon du cercle, dont l’angle tire $a me$ure, nous nomme- rons dans la $uite le rayon C B _$inus total_. On voit par ce qui précede, que les $inus des angles moindres qu’un droit, croi$- $ent depuis zero ju$qu’à la grandeur du rayon. Il $uit au$$i de cette définition, que le $inus d’un angle plus grand qu’un droit, e$t égal au $inus de $on $upplément. Ain$i le $inus de 120 degrés e$t le même que celui de 60 degrés, & plus les angles $eront obtus, plus leurs $inus $eront petits, pui$qu’ils auront pour $inus ceux de leurs $upplémens.

VI.

702. _Sinus ver$e_ d’un arc ou de l’angle dont cet arc e$t la _Figure_ 174. me$ure, e$t la partie du rayon compri$e entre le $inus droit & l’extrêmité de cet arc: ain$i la ligne droite, ou la partie B H du rayon C B, e$t le $inus ver$e de l’arc F B ou de l’angle F C B, dont cet arc e$t la me$ure.

VII.

703. _Tangente_ d’un arc ou d’un angle dont cet arc e$t la me$ure, e$t une ligne perpendiculaire $ur l’extrêmité d’un des côtés de l’angle, & terminée par l’autre côté prolongé: ain$i la ligne B E perpendiculaire à l’extrêmité B du côté C B, & terminée par la rencontre du côté C F prolongé ju$qu’en E, e$t la tangente de l’angle F C B. On voit au$$i par cette défini- tion, que la tangente d’un angle obtus e$t la même que celle d’un angle aigu, qui e$t $on $upplément: car la ligne A B e$t le côté de l’angle obtus A C F, & cette ligne rencontre le pro- longement de l’autre côté en F; ain$i plus l’angle $era obtus, plus $a tangente $era petite.

VIII.

704. On appelle _co$inus_ d’un angle ou d’un arc le $inus de $on complément. L F e$t le co$inus de l’angle BCF, ou de l’arc B F. On voit par-là que le co$inus d’un arc ou d’un angle e$t la partie du rayon compri$e entre le centre & la rencontre de $on $inus: car il e$t clair que L F = C H. Une ligne comme I K, tangente de l’arc I F complément de l’arc B F, e$t appellée _cotangente_ ou _tangente_ de complément de l’angle B C F.

[0384]NOUVEAU COURS IX.

705. _Sécante_ d’un arc ou d’un angle, dont cet arc e$t la me$ure, n’e$t autre cho$e que le côté de l’angle prolongé, & terminé à la tangente: ain$i la ligne C E e$t $écante de l’angle F C B. La ligne C K e$t appellée la _co-$écante_ de l’arc B F, parce qu’elle e$t la $écante de $on complément. On peut au$$i remar- quer que la $écante d’un angle obtus e$t égale à la $écante d’un angle aigu, qui e$t $on $upplément. La $écante d’un angle droit e$t infinie: car étant alors parallele à la tangente, qui pa$$e par l’extrêmité de l’autre côté de l’angle droit, elle ne peut la rencontrer qu’à l’infini; ain$i les $écantes croi$$ent depuis zero ju$qu’à l’infini.

706. Quand on a con$truit les Tables des Sinus, l’on a $uppo$é le rayon C B, ou autrement le $inus total divi$é en 10000000 parties, & l’on a cherché combien le $inus de cha- que angle, depuis une minute ju$qu’à 90 degrés, pouvoit contenir de parties du $inus total, afin de connoître les $inus en nombre; & c’e$t ain$i que l’on a trouvé que le $inus d’un angle de 20 degrés, par exemple, contenoit 3420202 de ces parties, que le $inus de 55 degrés 10 minutes en contenoit 8208170, ain$i des autres qui en contiennent plus ou moins, $elon que l’angle approche plus ou moins de la valeur d’un droit; & ce $ont tous ces différens $inus que l’on trouve dans la $econde colonne des Tables $ur chacun des feuillets.

707. Comme une tangente telle que B E augmente ou di- minue, $elon que l’angle E C B approche ou s’éloigne plus ou moins de l’angle droit, l’on a cherché au$$i la valeur des tangentes de tous les angles, depuis celle d’une minute ju$- qu’à celle de 90 degrés, en con$idérant combien elle conte- noit de parties de $inus total, c’e$t-à-dire de 10000000, & l’on en a compo$é la troi$ieme colonne des Tables, qui $uit immédiatement celle des $inus; de $orte que l’on trouve à côté des $inus de chaque angle la valeur de la tangente du même angle. Ain$i l’on verra que la tangente de 20 degrés e$t de 3639702, & que la tangente de 55 degrés 10 minutes e$t 14370267 parties du $inus total, divi$é en 10000000.

708. Enfin l’on a cherché au$$i la valeur de la $écante de chaque angle, que l’on a trouvée par le moyen du $inus total & de la tangente; car comme une $écante telle que C E, n’e$t [0385]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. autre cho$e que l’hypoténu$e d’un triangle rectangle C B E, dont l’angle droit e$t compris par le $inus total C B, & la tangente B E de l’angle F C B; l’on a quarré le $inus total C B, & la tangente B E pour avoir la racine quarrée de la $omme de ces deux produits, qui donne la valeur de la $écante; & c’e$t ain$i que l’on a trouvé les $écantes de tous les angles, depuis une minute ju$qu’à 90 degrés, dont on a compo$é la troi$ieme colonne qui $e trouve dans les Tables.

709. Si donc on veut $çavoir quel e$t le $inus, la tangente, & la $écante d’un angle, il faut con$idérer d’abord combien la me$ure de l’angle contient de degrés, ou de degrés & de minutes, & chercher dans la Table le feuillet, où il y a mar- qué en haut le nombre de degrés de cet angle: par exemple, $i l’angle e$t de 15 degrés, je cherche la page où e$t le nom- bre 15 en haut, & je trouve dans la premiere ligne que le $inus de 15 degrés e$t 2588190, que $a tangente e$t 2679492, & que la $écante e$t 10352762.

710. Mais comme les degrés de chaque page $ont accom- pagnés d’un nombre de minutes, qui $ont en progre$$ion Arith- métique, depuis 1 ju$qu’à 60, qui $e trouvent dans une petite colonne, où il y a au commencement ce mot _minute_, $i l’on vouloit $çavoir le $inus de 15 degrés 24 minutes, je cherche d’abord, comme ci-devant, la page où il y a 15 degrés en haut, & je de$cends ju$qu’à l’endroit de la colonne des mi- nutes, où 24 $e trouve marqué, & je prends le $inus qui lui corre$pond, qui e$t de 2655561.

711. Comme le $inus total, ou autrement le côté C B, de- vient le côté commun de tous les angles, pui$qu’il n’y a que l’autre côté C F qui varie pour faire l’angle plus ou moins ouvert: il e$t à remarquer que le $inus total, la tangente & la $écante d’un angle peuvent toujours former les côtés d’un triangle rectangle, dont la grandeur e$t indéterminée, parce qu’il n’e$t que$tion que de la proportion de ces côtés avec ceux d’un autre triangle qui lui $eroit $emblable; & pour faire voir ceci plus clairement, con$idérez le triangle rectangle C E F, $i du point C l’on décrit l’arc B D, qui $era, par exem- _Figure_ 175. ple, de 35 degrés, & qu’on éleve au point B la perpendicu- laire B A, l’on aura le triangle rectangle C B A, dont le côté C B pourra être pris pour le $inus total, le côté A B pour la tangente de l’angle C, & le côté C A pour la $écante du [0386]NOUVEAU COURS même angle; mais tous les côtés de ce triangle $ont connus: car le côté C B étant le $inus total, $era de 10000000, le côté B A étant la tangente d’un angle de 35 degrés, $era de 7002075, & le côté C A étant la fécante du même angle, $era par con$é- quent de 12207746, & c’e$t par le moyen de ces triangles qu’on va ré$oudre les problêmes $uivans.

712. Pour con$truire les tables, l’on a divi$é le $inus total en un grand nombre de parties, afin que dans les divi$ions que les opérations demandent, l’on pui$$e négliger les re$tes, quand ils $ont compo$és de ces petites parties; mais comme dans la pratique ordinaire de la Géométrie l’on peut $e di$- pen$er d’entrer dans une $i grande cxactitude, l’on pourra, au lieu de $uppo$er que le $inus total e$t divi$é en 10000000, le $uppo$er $eulement en 100000; & pour lors il faudra, au lieu de prendre toutes les figures qui $ont dans les colonnes des $inus, des tangentes & $écantes, prendre $eulement les pre- mieres, & négliger les deux dernieres, que l’on voit $éparées à droite par un petit point, c’e$t-à-dire, que pour la tangente de 30 degrés, au lieu de prendre 57735:03, on ne prendra que 57735; & c’e$t de cette façon que $eront faits tous les cal- culs que l’on verra dans la $uite.

CALCUL DES TRIANGLES RECTANGLES. PROPOSITION I. PROBLEME.

713. Dans un triangle rectangle _A D E_, dont on connoît un angle aigu _A_, & le côté _A D_, trouver le côté _D E_ oppo$é à l’angle aigu.

Suppo$ant que l’angle A $oit de 30 degrés, & le côté A D de 20 toi$es, il faut chercher dans la table la tangente de 30 degrés, que l’on trouvera de 57735, & con$idérer que les triangles A B C & A D E étant $emblables, l’on a A B: B C :: A D: D E, qui nous fournit cette regle, $i A B, qui e$t le $inus total de 1000000, donne la tangente B C de 57735, que don- nera le côté A D de 20 toi$es pour le côté D E, que l’on trou- vera de 11 toi$es 3 pieds & quelques pouces.

[0387]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X._ PROPOSITION II. PROBLEME.

_714_. Connoi$$ant dans un triangle rectangle _A D E_, un angle Figure 176. aigu _A_ de _30_ degrés, & le côté _A D_ de _20_ toi$es, trouver l’hy- poténu$e _A E._

Il faut chercher la $écante de 30 degrés, qui e$t 115470, & con$idérer que le triangle A B C étant $emblable au triangle A D E, A B: A C:: A D: A E. d’où l’on tire cette regle, $i A B, qui e$t le $inus total de 100000, m’a donnné 115470 pour la $écante A C, que me donnera le côté A D de 20 toi$es pour le côté A E, que l’on trouvera de 23 toi$es & quelques pouces.

PROPOSITION III. PROBLEME.

715. Dans un triangle rectangle _A B C_, dont on connoît un Figure 177. angle aigu _A_, & le côté _B C_ oppo$é à cet angle, trouver le côté A B oppo$é à l’autre angle aigu _C_.

Si l’angle aigu A e$t de 40 degrés, & le côté C B de 25 toi- $es, il faut chercher la tangente de 40 degrés, qui e$t 83909, & con$idérer que les triangles A E D & A B C étant $embla- bles, l’on a D E: E A:: C B: B A, d’où l’on tire cette regle, comme la tangente D E de 83909 e$t au côté E A, $inus total de 100000; ain$i le côté C B de 25 toi$es e$t au côté B A, que l’on trouvera de 29 toi$es & quelque cho$e.

716. Autrement, comme l’angle A e$t de 40 degrés, $i l’on _Figure_ 178. retranche ce nombre de 90, l’on aura 50 degrés pour l’angle C; & comme les triangles C E D & C B A $ont $emblables, l’on pourra, en cherchant la tangente de l’angle C, dire, comme le côté C E, qui e$t le $inus total, e$t au côté E D, qui e$t la tangente de 40 degrés, ain$i le côté C B de 25 toi$es, e$t au côté B A, que l’on trouvera encore de 29 toi$es & quel- que cho$e.

[0388]NOUVEAU COURS PROPOSITION IV. PROBLEME.

_717_. Dans un triangle rectangle _A B C_, dont on connoît les Figure 179. deux côtés _A B_ & _B C_, qui comprennent l’angle droit, trouver l’angle aigu _A_.

Suppo$ant que le côté A B $oit de 16 toi$es, & le côté B C de 14, remarquez que les triangles A D E & A B C étant $em- blables, A B: B C:: A D: D E, d’où l’on tire cette regle, $i le côté A B de 16 toi$es, donne le côté B C de 14, que don- nera 100000, qui e$t le côté A D pour le côté D E, qui e$t la tangente de l’angle A, que l’on trouvera de 875000; & cherchant le nombre le plus approchant de celui-là dans la colonne des tangentes, l’on trouvera qu’il corre$pond à 41 degrés & 12 minutes, qui e$t la valeur de l’angle A.

PROPOSITION V. PROBLEME.

718. Dans un triangle rectangle _A B C_, où l’on connoît deux Figure 180. côtés _A B_ & _A C_, qui comprennent un angle aigu _A_, trouver la valeur de cet angle.

Suppo$ant le côté A B de 35 toi$es, & le côté A C de 40, l’on aura, à cau$e des triangles $emblables A D E & A B C, A B:A C:: A D: A E, d’où l’on tire cette regle, $i le côté A B de 35 toi$es, donne 40 toi$es pour le côté A C, que don- nera le $inus total A D de 100000 pour la $écante A E de l’an- gle A, que l’on trouvera de 114285, & ayant recours à la table pour y chercher dans la colonne des $écantes le nombre qui approche le plus de celui-ci, on trouvera qu’il corre$pond à 28 degrés 57 minutes, qui e$t la valeur de l’angle A.

PROPOSITION VI. THEOREME.

719. Dans tous triangles les $inus des angles $ont dans la même Figure 181. rai$on que leurs côtés oppo$és.

Je dis que dans un triangle A B C, il y a même rai$on du $inus de l’angle A à $on côté oppo$é B C, que du $inus de l’an- gle B à $on côté oppo$é A C.

[0389]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X._ DÉMONSTRATION.

Ayant circon$crit un cercle autour de ce triangle, on voit que l’angle A ayant pour me$ure la moitié de l’arc B D C, la ligne B C $era la corde d’un arc double de celui qui me$ure l’angle A: par con$équent la moitié de la ligne B C $era le $inus de l’angle A; & par la même rai$on le $inus de l’angle B $era la moitié de la ligne A C, comme le $inus de l’angle C e$t à la moitié du côté A B; ain$i l’on aura {B C/2}: B C:: {A C/2}: A C, ou bien {A C/2} : A C :: {A B/2} : A B. C. Q. F. D.

PROPOSITION VII. THEOREME.

720. Dans un triangle obtus-angle, le $inus de l’angle obtus Figure 184. e$t le même que celui de $on $upplément.

Ayant abai$$é la perpendiculaire C D $ur la ba$e prolongée B D, & décrit les arcs F E & H G avec une même ouverture de compas A F & B H, l’on abai$$era les perpendiculaires F I & H L. Cela po$é, comme A F e$t égal à B H, l’un & l’autre $era nommé _a_; A C, _b_; C D, _c_; F I, _d_; H L, _e_; C B, _f_; & nous ferons voir que F I (_d_) : C B (_f_):: H L (_e_): A C (_b_).

DEMONSTRATION.

Les triangles C A D & F A I étant $emblables, l’on aura C D (_c_): C A (_b_):: F I (_d_): A F (_a_). Et comme les triangles C B D & H B L $ont au$$i $emblables, l’on aura encore C D (_c_): H L (_e_):: C B (_f_): H B (_a_), d’où l’on tire ces deux équations _a c_=_b d_, & _a c_=_e f_, dont les premiers membres étant égaux, l’on aura par con$équent _b d_=_e f_, d’où l’on tire F I (_d_): C B (_f_):: H L (_e_): A C (_b_), qui fait voir que le $inus H L du $upplément de l’angle A B C a même rai$on au côté A C, que le $inus F I au côté B C; & que par con$équent le $inus d’un angle obtus e$t toujours celui de $on $upplément. C. Q. F. D.

Ces deux théorêmes nous fourni$$ent le moyen de connoître les angles & les côtés de la plûpart des triangles qui ne $ont pas rectangles, comme on le va voir dans les problêmes $uivans.

[0390]NOUVEAU COURS PROPOSITION VIII. PROBLEME.

721. Dans un triangle _A B C_, dont on connoît deux angles Figure 182. & un côté; on demande de trouver les deux autres côtés.

Le côté B C étant $uppo$é de 15 toi$es, l’angle A de 40 de- grés, & l’angle B de 60, l’on connoîtra le troi$ieme angle, en $ou$trayant de la valeur de deux droits, c’e$t-à-dire de 180 degrés, la $omme des angles A & B, & l’on trouvera 80 degrés pour l’angle C. Cela po$é, pour connoître le côté A C, je cherche dans les Tables le $inus de l’angle A, c’e$t-à-dire le $inus de 40 degrés, qui $era celui de l’angle oppo$é au côté que je connois, & je trouve qu’il e$t 64278; & cherchant au$$i celui de l’angle B oppo$é au côté que je cherche, je trouve qu’il e$t de 86602: pré$entement je dis: Si 64278, qui e$t le $inus de l’angle A, donne 15 toi$es pour le côté B C, que donnera 86602, qui e$t le $inus de l’angle B, pour le côté A C, que l’on trouvera de 20 toi$es & quelque cho$e: pour trouver la valeur du côté A B, il faut chercher le $inus de l’angle C, qui e$t de 98480, & dire encore: Si le $inus de l’angle A, qui e$t 64278, donne 15 toi$es pour le côté B C, que donnera le $inus de l’angle C, qui e$t 98480 pour le côté A B, que l’on trouvera de 23 toi$es & quelque cho$e.

LEMME.

_722_. Si l’on a deux grandeurs x & y, dont la $omme e$t a, & la différence d, la plus grande e$t égale à la moitié de la $omme, plus la moitié de la différence, & la plus petite e$t égale à la moitié de la $omme, moins la moitié de la différence.

Suppo$ant que _x_ $oit la plus grande, & _y_ la plus petite, il faut démontrer que _x_ = {_a_+_d_/2}, & que _y_={_a_-_d_/2}.

DEMONSTRATION.

Pui$que la $omme des deux grandeurs e$t _a_, on aura _x_+_y_ =_a_, & pui$que leur différence e$t _d_, on aura _x_-_y_=_d_. De la premiere équation, on tire _y_=_a_-_x_: donc en mettant cette valeur de _y_ dans la $econde équation, on aura _x_-_a_ +_x_=_d_, ou 2_x_=_a_+_d_: donc _x_={_a_+_d_/2}. Si l’on met cette [0391]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X._ valeur de _x_ dans la premiere équation, on aura {_a_+_d_/2}+_y_=_a_ ou _a_ + _d_ + 2_y_ = 2_a_: donc 2_y_ = 2_a_ - _a_ - _d_ = _a_ - _d_, & _y_ = {_a_-_d_/2}. C. Q. F. D.

PROPOSITION IX. PROBLEME.

723. Dans un triangle _A B C,_ dont on connoît deux côtés _A C_ Figure 183. & B C avec un angle _A_, oppo$é à l’un des côtés connus, trouver les deux autres angles.

Pour trouver d’abord l’angle B, $uppo$ant que le côté A C $oit de 26 toi$es, le côté B C de 20, & l’angle A de 50 de- grés, il faut chercher le $inus de cet angle, qui e$t de 76604, & dire: Si le côté B C de 20 toi$es donne 76604 pour $inus de l’angle A, que donnera le côté A C de 26 toi$es pour le $inus de l’angle B, que l’on trouvera de 99585; & cherchant dans la colonne des $inus le nombre qui approche le plus de celui-ci, l’on verra qu’il corre$pond à 84 degrés 45 minutes, qui e$t la valeur de l’angle B.

Comme l’on connoît les angles A & B, l’on n’aura qu’à $ou$traire la $omme de 180, le re$te $era la différence 45 de- grés 15 minutes pour l’angle C.

724. Mais $i l’angle donné étoit plus ouvert qu’un droit, _Figure_ 185. comme dans le triangle A B C, où l’angle B e$t de 120 degrés, le côté A C de 18 toi$es, & le côté B C de 12, il faudra, pour connoître l’angle A, chercher le $inus du $upplément de l’an- gle obtus, c’e$t-à-dire le $inus de 60 degrés, qui e$t 86602, & dire: Si le côté A C de 18 toi$es donne 86602 pour le $inus du $upplément de l’angle obtus, que donnera le côté B C de 12 toi$es pour le $inus de l’angle A, que l’on trouvera de 57734, qui corre$pond à 35 degrés 16 minutes?

PROPOSITION X. THEOREME

725. Dans tous triangles, comme A B C, dont on connoît deux Figure 186. côtés _B A & B C_ avec l’angle compris _A B C_, la $omme des deux côtés connus e$t à leur différence, comme la tangente de la moitié de la $omme des deux angles inconnus B A C, & B C A e$t la tan- gente de la moitié de leur différence.

[0392]NOUVEAU COURS DEMONSTRATION.

Si du point angulaire B l’on décrit un cercle, dont le rayon $oit le côté B C, & que l’on prolonge le côté A B ju$qu’à la circonférence en D & E, la ligne A D $era la $omme des deux côtés connus, pui$que B D e$t égal à B C, & la ligne A E $era la différence de ces deux côtés, pui$que B A e$t plus petit que B D de toute la ligne A E. Cela po$é, comme l’angle D B C e$t extérieur au triangle A B C, il $era égal aux deux inté- rieurs B A C & B C A: ain$i il vaudra la $omme des deux an- gles inconnus; & $i l’on tire la ligne E C, l’angle D E C, qui e$t à la circonférence, $era moitié de celui du centre D B C: ain$i il vaudra la moitié de la $omme des deux angles incon- nus; & $i l’on tire la ligne D C, qui $e trouve perpendiculaire $ur E C, à cau$e que l’angle E C D e$t renfermé dans un demi- cercle, cette ligne $era la tangente de l’angle D E C, c’e$t-à- dire de la moitié de la $omme des deux angles inconnus. Pré- $entement con$idérez que le triangle E B C e$t i$o$cele, & que les angles B E C & B C E de la ba$e $ont égaux; par con- $équent l’angle B E C $era plus grand que l’angle B C A de tout l’angle F C E; & comme l’angle extérieur B A C du trian- gle B A C e$t plus grand que l’angle B E C de tout l’angle A C E, il s’en$uit donc que l’angle B A C e$t plus grand que B C A de deux fois l’angle A C E; ce qui fait voir que l’angle A C E e$t la moitié de la différence des deux angles inconnus B A C & B C A. Or $i la ligne E F e$t perpendiculaire $ur E C, elle $era la tangente de la moitié de la différence des deux angles in- connus, étant tangente de l’angle F C E; mais les lignes D C & F E $ont paralleles, pui$qu’elles $ont perpendiculaires $ur E C; par con$équent l’angle F E A $era égal à $on alterne E D C. Et comme les angles F A E & D A C $ont au$$i égaux, il s’en$uit que les triangles A F E & A D C $ont $emblables, d’où l’on tire A D: A E : : D C: F E, qui fait voir que la $omme des deux côtés A D e$t à leur différence A E, comme la ligne D C, tangente de la moitié de la $omme des deux angles in- connus, e$t à la ligne F E tangente de la moitié de leur diffé- rence. C. Q. F. D.

[0393]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X._ PROPOSITION XI. PROBLEME.

726. Dans un triangle _A B C_, dont on connoît deux côtés _A C_ Figure 185. & _B C_ avec l’angle compris _C_, trouver les angles _A_ & _B_.

Comme ce Problême e$t une application du théorême pré- cédent, il faut, pour le ré$oudre, ajouter les deux côtés C B & C A en$emble, c’e$t-à-dire 25, & 20 pour avoir la $omme des deux côtés connus, & $ou$traire le plus petit côté du grand pour en avoir la différence, qui $era 5; & comme l’angle C e$t $uppo$é de 40 degrés, l’on cherchera $a différence avec deux droits, que l’on trouvera de 140, dont la moitié 70 $era la moitié de la $omme des deux angles inconnus A & B. Or cherchant la tangente de cet angle, qui e$t 274747, l’on dira: Si 45, $omme des deux côtés connus, donne 5 pour leur dif- férence, que donnera 274747, tangente de la moitié de la $omme des deux angles inconnus pour la tangente de la moitié de la différence des deux angles inconnus, que l’on trouvera 30527.

Pré$entement $i l’on cherche dans la colonne des tangentes le nombre le plus approchant de celui-ci, l’on verra qu’il cor- re$pond à 16 degrés & 59 minutes: & comme cette quantité n’e$t que la moitié de la différence, il faut la doubler pour avoir la différence entiere, qui $era 33 degrés 58 minutes, qu’il faut $ou$traire de la $omme des deux angles inconnus, c’e$t-à-dire de 140 degrés, & l’on trouvera pour la différence 106 degrés 2 minutes, dont on n’a plus qu’à prendre la moitié pour avoir la valeur de l’angle oppo$é au pluspetit côté, c’e$t- à-dire de l’angle B, qui $era de 53 degrés une minute: car par le lemme de l’art. 722, le plus petit angle doit être égal à la moitié de la $omme, moins la moitié de la différence, & c’e$t ce que l’on trouve en ôtant la différence de la $omme, & pre- nant la moitié du re$te.

Pour avoir l’angle A, on n’a qu’à ajouter la différence 33 degrés 58 minutes à la valeur de l’angle B, & l’on trouvera qu’il e$t de 86 degrés 59 minutes.

Si l’on veut connoître le côté A B, il $era facile de le trouver par la $eptieme propo$ition.

[0394]NOUVEAU COURS PROPOSITION XII. THEOREME.

727. Dans tous triangles comme _A B C_, dont on connoît les Figure 188. trois côtés, le plus grand côté _A C_ e$t à la $omme des deux autres côtés _A B_ & _B C_, comme la différence de ces deux mêmes côtés e$t à la différence des $egmens _A G_ & _G C_ de la ba$e.

DEMONSTRATION.

Si du point B l’on décrit un cercle, dont le rayon $oit le côté B C plus grand que B A, & que l’on prolonge le côté A B ju$qu’à la circonférence, B D étant égal à B C, A D $era la $omme des deux côtés A B & B C, & A F en $era la différence: & comme la ligne E C e$t divi$ée en deux également par la perpendiculaire B G, E A $era la différence des deux $egmens A G & G C. Si l’on tire les lignes D C & E F, l’on aura les deux triangles $emblables A E F & A D C: car ils ont un an- gle oppo$é au $ommet en A, & de plus l’angle en E e$t égal à l’angle en D, pui$qu’ils $ont appuyés $ur le même arc F C. On aura donc cette proportion, A C qui e$t la ba$e, e$t à A D qui e$t la $omme des deux côtés, comme A F, qui e$t la différence de ces deux côtés e$t à A E, qui e$t la différence des $egmens de la ba$e. C. Q. F. D.

Ce théorême nous donne un moyen de connoître les trois angles d’un triangle dont on connoît les trois côtés, comme on le va voir dans le problême $uivant, qui en e$t une appli- cation.

PROPOSITION XIII. PROBLEME.

728. Connoi$$ant les trois côtés d’un triangle _A B C_, l’on de- Figure 189. mande de trouver la valeur d’un des $egmens de la ba$e.

Suppo$ant que la ba$e A C $oit de 15 toi$es, le côté A B de 8, & le côté B C de 12, il faut dire: Comme la ba$e A C de 15 e$t à la $omme des deux autres côtés, qui e$t 20: ain$i la différence de ces deux côtés, qui e$t 4, e$t à la différence des deux $egmens, que l’on trouvera de 5 toi$es 2 pieds. Pré- $entement $i l’on ajoute cette quantité à la valeur de la ba$e A C, l’on aura 20 toi$es 2 pieds, qui $era la valeur d’une ligne [0395]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X._ telle que E C; par con$équent $i on en prend la moitié, on connoîtra le plus grand $egment D C, qui e$t de 10 toi$es un pied: mais comme l’on connoît dans le triangle rectangle D B C les côtés B C & D C, l’on pourra donc connoître au$$i l’angle C, & en$uite les angles A & B. Pour cela, on fera cette proportion, comme le côté B C e$t au $inus total, ain$i le $egment D C e$t au $inus de l’angle D B C. Connoi$$ant cet angle, on n’aura qu’à ôter $a valeur de 90 degrés, & l’on aura la valeur de l’angle C. On trouveroit de même l’angle A B D & l’angle A.

U$ages des Logarithmes pour le calcul des Triangles.

729. On a pu voir dans les Tables qu’il y a trois colonnes $ur la droite de celles dont nous nous $ommes $ervis, au haut de$quelles on trouve ces mots, _Logarithmes des $inus, Loga-_ _rithmes des tangentes, Logarithmes des $écantes_. Pour concevoir comment on peut faire u$age des logarithmes dans le calcul des triangles, il faut $e rappeller ce que nous avons démontré $ur les propriétés des logarithmes, par le moyen de$quels toute multiplication e$t réduite à l’addition des logarithmes du mul- tiplicande & du multiplicateur, & toute divi$ion à une $ou$- traction du logarithme du divi$eur de celui du dividende. Il faut encore $e rappeller que toute Regle de Trois $e réduit à l’addition des logarithmes des deux moyens, & à la $ou$trac- tion du logarithme du premier extrême de la $omme de ceux des moyens. Cela po$é, il e$t évident que $i l’on connoît les logarithmes des $inus, tangentes & $écantes, comme on a ceux des nombres naturels qui expriment les côtés des triangles que l’on veut calculer, les proportions qu’il faut faire $e réduiront à l’addition de deux logarithmes, & à la $ou$traction du lo- garithme du premier terme de la $omme des logarithmes des moyens. Ain$i en cherchant les $inus, il faudra prendre le logarithme du $inus; en cherchant une tangente, il faudra prendre le logarithme de cette tangente, & en cherchant la $écante, il faudra prendre le logarithme de cette $écante au lieu des $inus des tangentes & des $écantes. En$uite au lieu de mettre les nombres naturels qui expriment le nombre de toi$es ou de pieds contenus dans les côtés connus, il faudra prendre les logarithmes de ces nombres, que l’on cherchera dans les [0396]NOUVEAU COURS Tables des Logarithmes calculées depuis l’unité ju$qu’à 200000, que l’on trouve dans le même Livre que les Tables des $inus tangentes & $écantes. On en va voir des exemples dans les articles $uivans.

EXEMPLE I.

730. Ayant un triangle rectangle A D E, dont on connoît _Figure_ 180. l’angle A de 30 degrés, & le côté A D de 20 toi$es; l’on de- mande de trouver le côté D E, en $e $ervant des logarithmes.

Pour le trouver, je cherche dans la Table la page, au $om- met de laquelle il y a 30 degrés; & au lieu de prendre la tan- gente de la troi$ieme colonne, je prends $on logarithme, qui e$t 97614394. Et comme j’ai au$$i be$oin du $inus total, au lieu de prendre celui qui e$t divi$é en 100000 parties, je prends $on logarithme, qui e$t divi$é en 100000000 parties; & comme il faut faire une Regle pour trouver le côté D E, dont le premier terme doit être le $inus total dont je viens de parler, le $econd la tangente que nous venons de trouver, & le troi$ieme la valeur du côté A D. Il faut au$$i, au lieu de mettre $implement 20 toi$es au troi$ieme terme, mettre à $a place le logarithme de ce nombre, que l’on trouvera dans le premier feuillet de la Table des Logarithmes des nombres na- turels à côté du nombre 20, dont le logarithme e$t 13010300. Pré$entement il faut faire cette proportion arithmétique: Si le $inus total 100000000 donne 97614394 pour le logarithme de la tangente de 30 degrés, combien donneront 13010300, logarithme de 20 toi$es, pour le logarithme du nombre que je cherche; & pour le trouver, j’additionne le $econd & le troi- $ieme terme, & de la $omme j’en $ou$trais le premier pour avoir 10624694, qui e$t le logarithme du nombre que je cherche: & pour $çavoir quel e$t ce nombre, j’ai recours à la Table des Logarithmes des nombres naturels pour chercher un logarithme qui approche le plus de celui-ci, & j’en trouve un qui e$t un peu trop petit, qui corre$pond au nombre 11, & un autre qui e$t un peu trop grand, qui corre$pond au nom- bre 12; c’e$t pourquoi j’en cherche un qui $oit à peu près moyen entre ces deux-là, comme e$t, par exemple, 11 {1/2}; ce qui fait voir que le côté D E e$t à peu près de 11 toi$es 3 pieds.

[0397]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. EXEMPLE II.

731. Si l’on a un triangle rectangle A B C, dont on con- _Figure_ 179. noît le côté A B de 16 toi$es, & le côté B C de 14, pour con- noître l’angle A, il faut chercher dans la $econde Table le logarithme de 16, qui e$t 12041200, & le logarithme de 14, qui é$t 11461280; & à cau$e des triangles $emblables A B C & A D E, l’on dira: Si 12041200, logarithme du côté A B, donne 11461280 pour le logarithme du côté B C, que donnera le logarithme du côté A D, qui e$t 100000000 pour le loga- rithme de la tangente D E, l’on trouvera (après avoir ajouté le $econd & le troi$ieme terme, & $ou$trait de leur $omme le premier) que la différence e$t 99420080 pour le logarithme de la tangente, lequel corre$pond dans les Tables à 41 degrés 12 minutes, qui e$t la valeur de l’angle A.

EXEMPLE III.

732. Ayant un triangle A B C, dont on connoît l’angle A _Figure_ 182. de 40 degrés, & l’angle B de 60, & le côté B C de 15 toi$es, l’on demande la valeur du côté A C.

Je cherche le logarithme du $inus de 40 degrés, qui e$t 98080675, & le logarithme de 60 degrés, qui e$t 99375306; & enfin dans la $econde Table le logarithme du nombre 15, qui e$t 11760913; & fai$ant l’analogie ordinaire, je dis: Si le logarithme du $inus de l’angle A, qui e$t 98080675, donne 11760913 pour le logarithme du côté B C, que donnera le lo- garithme du $inus de l’angle B, qui e$t 99375306 pour le lo- garithme du côté A C, que je trouve de 13055544; & cher- chant dans la $econde Table le logarithme qui approche le plus de celui-ci, je trouve qu’il corre$pond au nombre 20; ce qui fait voir que le côté A C e$t de 20 toi$es.

_APPLICATION DE LA TRIGONOMETRIE A LA PRATIQUE._ PROPOSITION XIV. PROBLEME.

733. _Trouver une di$tance inacce$$ible._ Pl. XII.

Un objet quelconque tel que C étant donnée, duquel _Figure_ 190. on $uppo$e qu’on ne peut pas approcher, on demande la quantité de toi$es qu’il peut y avoir de cet objet à l’endroit D. [0398]NOUVEAU COURS Pour la trouver, il faut envoyer une per$onne avec un jalon à l’endroit A, éloigné d’une di$tance proportionnée à l’inter- valle qu’il peut y avoir du point D au point C. Cette di$tance $era, par exemple, ici de 20 toi$es, qui e$t une quantité qui doit $ervir de ba$e pour faire l’opération. Après cela vous prendrez l’ouverture de l’angle formé par la ba$e D A, & le rayon vi$uel D C; & pour bien prendre cet angle, il faut com- mencer par mettre les deux pinulles du graphometre, qui $ont immobiles d’alignement avec les points D & A: après quoi vous faites tourner l’alidale de maniere que vous pui$$iez ap- percevoir par les fentes des pinulles (qui $ont à $es extrêmités) l’objet C. Après quoi vous comptez la quantité de degrés que contient l’angle marqué $ur le graphometre, c’e$t-à-dire l’angle compris par le côté du graphometre, qui e$t d’alignement avec les points D & A, & le rayon vi$uel qui apperçoit l’objet C; & je $uppo$e que c’e$t ici de 70 degrés. Cela étant fait, il faut po$er un autre jalon à l’endroit où étoit po$é le pied du gra- phometre, c’e$t-à-dire au point D, & puis venir à l’endroit A pour y prendre la valeur de l’angle D A C, j’entends l’angle formé par la ba$e, & par un $econd rayon vi$uel, qui doit ob$erver l’objet C, & je $uppo$e que cet angle e$t de 80 de- grés. Cela po$é, il ne s’agit plus que de connoître l’angle C, que l’on trouvera ai$ément en $ou$trayant la $omme des deux angles A & D de la valeur de deux droits, & vous trouverez que cet angle e$t de 30 degrés. Or pour connoître le côté C D, il n’y a qu’à dire: Si le $inus de 30 degrés m’a donné 20 toi$es pour le côté A D, que me donnera le $inus de l’angle A de 80 degrés pour la valeur du côté C D? L’on trouvera 39 toi$es deux pieds pour la di$tance que l’on cherche.

REMARQUE.

734. Il arrive quelquefois que l’on e$t embarra$$é de trouver une di$tance inacce$$ible, lor$qu’elle e$t extrêmement éloignée, comme $i elle avoit deux ou trois lieues La difficulté pour lors e$t d’avoir une ba$e a$$ez grande, qu’il faut dans ce cas-là au moins de 1000 toi$es. Comme il $eroit fort pénible de me$urer une $i longue di$tance, jointe à l’inégalité du terrein, & aux ob$tacles qu’on peut rencontrer, le parti qu’il faut prendre, c’e$t de $e donner d’abord une petite ba$e, par le moyen de laquelle vous pouvez en avoir une trois ou quatre fois plus [0399]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. grande; & avec cette $econde, une troi$ieme plus grande e$t $uffi$ante pour faire votre opération.

Les opérations précédentes $ont très-utiles pour lever des Cartes, afin de $e donner des points capitaux pour y rapporter tous les lieux qui y ont rapport; ou bien $i l’on veut lever la campagne qu’occupe une armée, pour y marquer les quartiers, les lignes de circonvallation, les po$tes de con$équence; enfin tout ce qui peut devenir intére$$ant en pareil cas.

Si on a$$iége une Place, & que l’on $oit obligé de faire quelques galeries pour établir des fourneaux $ous les angles du chemin couvert, ou $ous quelque ouvrage avancé, il faut ab- $olument avoir recours à cette opération, afin qu’étant pré- venu de la di$tance de l’entrée de la galerie à l’objet vers lequel on chemine, on $çache donner à cette galerie la longueur néce$$aire pour être po$itivement $ous l’objet qu’on veut faire $auter.

PROPOSITION XV. PROBLEME.

_735_. Trouver la di$tance inacce$$ible d’un lieu à un autre, Figure 191. comme de l’endroit _D_ à l’endroit _C_.

Pour faire cette opération, il faut commencer par $e don- ner une ba$e telle que A B, que je $uppo$e ici de 100 toi$es, & de l’extrêmité B prendre avec l’in$trument l’ouverture de l’angle A B C, formé par la ba$e A B, & le rayon vi$uel B C; on $uppo$e cet angle de 92 degrés: du même endroit B il faut prendre au$$i l’ouverture de l’angle A B D, qui $era, par exemple, de 45 degrés; & cette opération étant faite, il faut venir à l’autre extrêmité A de la ba$e A B, pour y prendre l’ouverture de l’angle D A B, que je $uppo$e ici de 98 degrés; & du même endroit prendre encore l’ouverture de l’angle D A C, qui $era, par exemple, de 50 degrés. Les angles étant connus, au$$i-bien que la ba$e A B, l’on n’aura aucune diffi- culté de trouver la di$tance D C, non plus que celle de D en A, & celle de B en C: car con$idérez qu’il e$t facile de trouver la valeur des côtés A C & B C du triangle C A B, parce que l’on connoît le côté A B de 100 toi$es, l’angle B de 92 de- grés, & l’angle C A B de 48, & par con$équent l’angle A C B de 40 degrés. Cela po$é, pour trouver la valeur du côté C B, [0400]NOUVEAU COURS il n’y a qu’à dire: Si le $inus de l’angle A C B m’a donné le côté A B de 100 toi$es, que me donnera le $inus de l’angle C A B pour la valeur du côté C B que je cherche? & pour trouver le côté A C, il faut dire encore: Si le $inus de l’angle A C B m’a donné la valeur du côté A B, que me donnera le $inus de l’angle du complément de 92 degrés, qui $era celui de 88 degrés pour la valeur du côté A C, parce que l’angle A B C e$t obtus?

Comme on ne peut pas connoître la valeur du côté D C $ans celle du côté D A, pour le trouver il faut dire: Si le $inus de l’angle A D B de 37 degrés m’a donné la valeur du côté A B de 100 toi$es, que me donnera le $inus de 45 degrés pour la valeur du côté D A, lequel étant connu, au$$i-bien que le côté A C, & l’angle D A C, nous aurons deux côtés connus, & l’angle compris dans un triangle, qui pourra nous donner les deux angles inconnus; & en $uivant ce qui e$t dit dans la propo$ition 10<_>e, art. 725, il faudra d’abord chercher les angles en D & en C: par cette proportion, la $omme des deux côtés A C, A D (que l’on vient de trouver), e$t à leur différence, comme la tangente de la moitié de la $omme des angles en C & en D e$t à la tangente de la moitié de la différence. A yant l’angle C, que je $uppo$erai le plus grand, pour avoir le côté C D, on fera cette autre proportion: Le $inus de l’angle C e$t au côté A D connu, comme le $inus de l’angle A e$t au côté D C que je cherche; & l’on aura ain$i le côté D C, qui e$t la di$tance que l’on demande.

Comme il arrive pre$que toujours que la campagne n’e$t pas marquée $ur le plan des Villes que l’on a$$iege, & que $i elle y e$t figurée, l’on ne peut pas, $ans faire de grandes erreurs, $e fier à la préci$ion de ceux qui les ont levés ou copiés, l’opération pré- cédente nous donne un excellent moyen pour orienter $ur le plan par rapport à la place, la queue de la tranchée de chaque attaque, afin de pouvoir en$uite projetter les travaux que l’on a envie de faire d’une nuit à l’autre, ou $eulement les y marquer à me$ure qu’on les avance, parce qu’ayant une fois un bout de parallele, l’on peut de dedans la tranchée me$urer les boyaux, & prendre l’ouverture des angles qui font les retours; marquer la po$ition des batteries; enfin lever le plan de la tranchée avec autant d’exac- titude que s’il n’y avoit aucun ob$tacle.

[0401]DE MATHÈMATIQUE. _Liv. X_. REMARQUE GENERALE.

736. Il faut bien remarquer que lor$que l’on cherche un côté, on doit toujours commencer la proportion par un $inus; & $i c’e$t un angle que l’on veut avoir, il faut commencer la proportion par un côté: de cette maniere la grandeur que l’on cherche $era toujours le quatrieme terme d’une proportion géométrique, dont les trois premiers termes $ont connus, en cas que l’on $e $erve des $inus & des nombres naturels, ou ce quatrieme terme $era le logarithme de ce que l’on cherche, en cas que l’on prenne les logarithmes des $inus & ceux des nom- bres naturels.

PROPOSITION XVI. PROBLEME.

_737_. Tirer une ligne parallele à une autre inacce$$ible.

_Figure_ 192.

On demande de tirer par le point C une parallele à une ligne inacce$$ible A B.

Pour ré$oudre ce problême, il faut commencer par $e donner une ba$e telle que C D, qui doit être, comme nous l’avons dit ailleurs, proportionnée à la di$tance de l’objet, afin que l’opération en $oit plus ju$te, & nous $uppo$ons que 150 toi$es e$t la longueur qui lui convient.

Nous $çavons que deux lignes paralleles étant coupées par une troi$ieme, forment les angles alternes égaux, & que par con$équent lor$que les angles alternes $eront égaux, les lignes $eront paralleles; d’où il $uit que $i l’on connoît l’angle A B C, formé par la parallele A B, & le rayon vi$uel C B, on n’aura qu’à faire l’angle B C E égal au précédent, pour que la ligne C E $oit parallele à la ligne A B: ain$i toute la que$- tion e$t réduite à trouver la valeur de l’angle A B C. Afin de la connoître, je commence du point C par prendre l’ouver- ture de l’angle A C B, que je trouve de 40 degrés: en$uite je viens au point D pour y prendre l’ouverture de l’angle C D B, qui e$t de 86 degrés; & je prends au$$i l’ouverture de l’angle A D B, qui $era, par exemple, de 60 degrés. Ces cho$es étant connues, je fais en$orte de trouver par leur moyen la valeur des lignes C A & C B. Pour cela, je cherche dans le triangle C D B la valeur du côté C B. Pour le trouver, je con$idere [0402]NOUVEAU COURS que l’angle B C D e$t de 80 degrés, & que l’angle C D B e$t de 86; d’où il $uit que l’angle C B D e$t de 14 degrés. Cela po$é, il faut dire: Si le $inus de l’angle de 14 degrés m’a donné 150, que me donnera le $inus de 86 pour la valeur du côté oppo$é C B?

Pour trouver le côté C A, je fais attention que l’angle C D A e$t de 26 degrés, & que l’angle A C D étant de 120 degrés, l’angle C A D doit être de 34 degrés. Cela étant, je dis encore: Si le $inus de l’angle C A D de 34 degrés, m’a donné 150 toi$es pour le côté C D, que me donnera le $inus de l’angle C D A de 26 degrés pour la valeur du côté C A? Or comme nous avons dans le triangle A C B les deux côtés A C & C B de connus avec l’angle compris A C B, il s’en$uit que l’on trou- vera ai$ément par la propo$ition 10<_>e la valeur de l’angle A B C, dont la connoi$$ance e$t la $olution du problême.

L’on e$t $ouvent obligé de mener une parallele à une ligne inac- ce$$ible dans une infinité d’occa$ions, $oit qu’on veuille percer des routes dans un bois avec certaines précautions, ou $oit dans les $iéges, quand on veut dre$$er une batterie qui $oit parallele à la face de l’ouvrage que l’on veut battre, ou quand on en veut faire une autre en écharpe, dont les feux aillent $e diriger $elon un angle donné avec la face.

PROPOSITION XVII. PROBLEME.

_738_. Me$urer une hauteur acce$$ible ou inacce$$ible.

_Figure_ 193.

Pour me$urer la hauteur A B d’une Tour, il faut $e donner une ba$e telle que E B, qu’il faut me$urer exactement depuis le point du milieu B de la Tour ju$qu’à l’endroit E, qui e$t le lieu où l’on aura planté le graphometre; & $uppo$ant que cette ba$e $oit de 25 toi$es, l’on prendra l’ouverture de l’angle A C D formé par deux rayons vi$uels, dont le premier C D doit être parallele à l’horizon, & le $econd C A doit aboutir au $ommet de la Tour; & $uppo$ant que l’angle $oit de 35 degrés, l’on cherchera dans le triangle A C D le côté A D, en di$ant: Comme le $inus total e$t à la tangente de l’angle C, ain$i le côté C D de 25 toi$es e$t au côté D A, que l’on trouvera de 17 toi$es 3 pieds; à quoi ajoutant la hauteur D B ou C E du pied de l’in$trument, qui e$t ordinairement de 4 pieds, on [0403]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. trouvera que la hauteur A B de la Tour e$t de 18 toi$es un pied.

Mais $i l’on avoit à prendre la hauteur d’une Tour ou d’une _Figure_ 194. éminence qui fût inacce$$ible, comme on le voit dans la figure 194, il faudroit de l’endroit F prendre l’ouverture de l’angle A D G, formé par deux rayons; & $uppo$ant qu’on a trouvé cet angle de 50 degrés, il faudra $e reculer $ur l’alignement des points D & G ju$qu’à l’endroit C, afin d’avoir une ba$e E F d’une longueur $uffi$ante pour que l’angle C A D ne $oit pas trop aigu; & cette ba$e ayant été trouvée de 40 toi$es, l’on prendra encore l’ouverture de l’angle A C G, qui $era, par exemple, de 30 degrés. Or comme l’angle A D G e$t égal aux deux autres intérieurs oppo$és du triangle C A D, la dif- férence de cet angle, qui e$t de 50 degrés à l’angle A C D, qui e$t de 30 degrés, $era la valeur de l’angle C A D, que l’on trouvera de 20 degrés. Or comme dans le triangle rectangle A D G nous avons be$oin de connoître le côté D A pour con- noître le côté A G, l’on dira: Si le $inus de l’angle C A D de 20 degrés m’a donné 40 toi$es pour le côté C D, que donnera le $inus de l’angle A C D de 30 degrés pour le côté A D, que l’on trouvera de 63 toi$es 2 pieds?

Pour donc trouver le côté A G, je dis: Comme la $écante de l’angle A D G e$t à $a tangente, ain$i le côté D A de 63 toi$es 2 pieds, e$t au côté A G, que l’on trouvera de 48 toi$es 3 pieds: à quoi il ne faut plus qu’ajouter la hauteur du pied de l’in$trument pour avoir la ligne A B.

Maniere de lever une Carte par le moyen de la trigonométrie.

739. L’on doit di$tinguer deux $ortes de cartes: les unes _Figure_ 195. $ont des cartes générales, & les autres des cartes particulieres: les dernieres $ont celles que l’on leve avec beaucoup d’atten- tion, n’oubliant rien de tout ce qui peut avoir lieu dans la carte, tel que la grandeur & la figure des Villages, des Bourgs & des Villes, les Bois, les Ponts, les Rivieres, les Chemins, les Fontaines, les Croix, Chapelles, Ju$tices, &c.

Pour les cartes générales, l’on ne prend que la po$ition des lieux les plus con$idérables, & la figure des grands che- mins, omettant quantité de cho$es qui ne pourroient $e placer $ur ces $ortes de cartes, parce qu’elles $ont ordinairement dre$$ées $ur de petites échelles. Telles $ont les Cartes des [0404]NOUVEAU COURS Royaumes & des grandes Provinces. Cependant l’on peut dire que l’on s’y prend de la même façon pour lever les cartes par- ticulieres & générales, parce que pour les unes & les autres l’on commence par faire un canevas, qui n’e$t autre cho$e que la grandeur de la carte déterminée avec les principales po$itions, après quoi l’on entre dans le détail de chaque cho$e, comme nous le ferons voir après avoir en$eignè la maniere de prendre les po$itions qui doivent faire les principaux points de la carte.

Si l’on vouloit, par exemple, lever la carte des lieux mar- qués par les lettres de cette figure, l’on voit que l’objet qu’on $e propo$e n’e$t autre cho$e que de placer $ur le papier les dif- férens endroits qui $ont ici, en$orte que la di$tance qu’il y a d’un lieu à un autre ait le même rapport $ur la carte que $ur le terrein; ce qui e$t proprement faire une réduction de grand en petit. Comme ces réductions ne peuvent $e faire que par les triangles $emblables, il s’en$uit qu’en levant la carte d’un pays par le moyen de la Trigonométrie, il ne s’agit que de trouver la valeur des angles & des côtés qui $ont formés par la di$- tance des lieux. Cela po$é, je commence par établir une ba$e la plus grande qu’il e$t po$$ible, a$in que les lieux qui doivent s’y rapporter $oient plus exactement levés. Pour cela il faut éviter, autant qu’il e$t po$$ible, d’avoir des angles trop obtus & trop aigus. Ayant donc choi$i les points de $tation A & B, je commence par en chercher la di$tance de la maniere que nous l’avons en$eigné dans la $econde propo$ition: l’ayant trouvée, je viens à l’endroit B, pour y prendre l’ouverture des angles formés par la ba$e A B, & les différens endroits que je me propo$e de lever. Pour cela, je prends l’ouverture de l’angle A B C, de l’angle A B D, de l’angle A B E, je pa$$e le point F, parce que l’angle qu’il formeroit avec la ba$e $e- roit trop obtus, & qu’on auroit trop de peine à couper le rayon qui $eroit tiré de B en F: je continue à prendre l’ouver- ture des angles A B G, A B H, A B I, & A B K: je pa$$e au$$i le point L, parce que l’angle formé par la ba$e A B, & le rayon de B en L $eroit trop aigu.

Pré$entement il ne s’agit plus, pour avoir la po$ition des endroits qu’on voit marqués ci - de$$us, que de couper les rayons qu’on vient de tirer. Pour cela, je viens au point A, pour y prendre l’ouverture de l’angle B A E, qui me donnera [0405]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. le point E, parce que dans le triangle A B E, je connois le côté A B, & la valeur des angles E A B & A B E, par le moyen de$- quels je trouverai les di$tances A E & B E. Pour les autres points, je continue à couper les rayons que j’ai tirés dans la premiere opération, en prenant l’ouverture des angles B A D, B A C, B A G, B A H, B A I, B A K. Comme tous les trian- gles formés par ces rayons ont la ba$e A B pour côté commun, il s’en$uit qu’on pourra en trouver la longueur, pui$qu’il n’y a point de triangle dans lequel on ne connoi$$e deux angles & un côté. Comme nous avons pa$$é deux endroits pour les rai$ons que nous avons dites, il faut faire voir comment on en peut trouver la po$ition, $ans $e $ervir de la ba$e A B: pour donc trouver le point F, je prends la di$tance B E ou B G pour ba$e, ou toute autre qui pourroit mieux convenir; mais je choi$is ici le côté B E, & du point B je prends l’ouverture de l’angle E B F, & du point E l’ouverture de l’angle B E F, qui me donne le point F. Je fais la même cho$e pour trouver le point L, & même le point M, que je $uppo$e n’avoir pu pren- dre dans les opérations précédentes, c’e$t-à-dire, je choi$is la ba$e A C, & du point A je prends les ouvertures des angles C A M & C A L, & du point C je prends encore l’ouverture des angles A C L & A C M.

Après avoir trouvé la valeur de tous les côtés des triangles qui $ont ici, il faut les rapporter $ur le papier, en donnant à chaque ligne la valeur qu’elle doit avoir; ce qui $e fera $ans difficulté par le moyen d’une échelle: & après que toutes ces po$itions $eront rapportées bien exactement, l’on pourra, en $uivant la même méthode, continuer à lever les lieux qu’on aura pu découvrir dans les premieres opérations; ce qui $era bien ai$é, pui$qu’on aura de toutes parts des ba$es, dont la valeur $era connue. Par exemple, pour lever les objets au- delà des points C & D, on pourra prendre la di$tance C D pour ba$e; d’un autre côté on pourra prendre la ligne I H; enfin $ur la gauche la di$tance L K, $ur la droite toute autre ligne que l’on choi$ira de même.

Des attentions qu’il faut avoir pour lever une Carte particuliere.

740. Quand on veut lever une carte d’une façon à ne rien omettre de toutes les particularités qui entrent dans le détail [0406]NOUVEAU COURS d’une carte, ceux qui condui$ent le travail doivent envoyer des per$onnes entendues dans les Villages pour lever leurs $ituations, leurs figures, la forme des rues, la po$ition des fon- taines, s’il s’y en trouve, des carrieres, des montagnes, col- lines & vallons, qui peuvent $e rencontrer dans les environs. On réduit chaque village $ur l’échelle de la carte; & pour les rapporter, on a $oin que l’Egli$e $oit po$itivement au point qui e$t marqué $ur le canevas, parce que ces points $ont ordinai- rement des clochers & des tours. Pour les Villes, on fait en- $orte d’en avoir les plans, qu’on réduit à l’échelle de la carte. Quand il $e rencontre des bois ou des forêts, l’on commence par lever exactement les villages & les hameaux qui $ont les plus proches, pour avoir des ba$es, qui ne $ont autre cho$e que la di$tance d’un lieu à un autre, de$quels on forme un e$- pece de polygone qui entoure le bois: après quoi il e$t ai$é de rapporter à ce polygone un nombre de points, qui marquent les limites du bois, pour en tracer en$uite à la vue la figure extérieure, quand il ne s’agira que de quelque $inuo$ité peu con$idérable, Après cela, il faut entrer dans le bois pour y con$iderer les principaux chemins, les rui$$eaux, les fontaines, les mai$ons & les châteaux qui pourroient s’y rencontrer. Toutes ces cho$es doivent être levées avec le plus de préci$ion qu’il e$t po$$ible. Pour cela l’on $e donne des points de po$ition que l’on prend dans les bois, par des opérations que l’on fait $ur quelque éminence hors du bois. Ces points de po$ition $ont ordinairement des clochers, des châteaux, ou bien quelques grands arbres qui $e font di$tinguer au de$$us des autres: & lor$qu’on e$t une fois parvenu à la connoi$$ance de quelqu’un de ces points, l’on peut, $ans aucune difficulté, orienter les différens endroits qui $e trouvent dans le bois, à l’aide des po$itions connues.

_Application de la Trigonométrie à la Fortification_.

741. Quand on veut tracer une fortification $ur le terrein, Pl. XIII. il e$t ab$olument néce$$aire de connoître toutes les lignes & _Figure_ 196. les angles qui en compo$ent le projet; & comme cette con- noi$$ance doit être la plus exacte qu’il e$t po$$ible, il ne con- viendroit pas que l’on $e $ervît du compas pour trouver avec l’échelle les lignes que l’on ne connoît pas, non plus que du [0407]DE MATHEMATIQUES. _Liv. X_. rapporteur pour trouver la valeur des angles, pui$que l’on peut faire des erreurs in$en$ibles $ur le papier, qui deviendroient de con$équence $ur le terrein; c’e$t pourquoi il e$t à propos d’avoir recours à la Trigonométrie, pour déterminer par le moyen des lignes que l’on connoît, celles que l’on ne connoît pas: & comme dans la fortification, $elon la méthode de M. de Vauban, l’on connoît la ba$e de 180 toi$es, la perpen- diculaire C F de 30, & la face A D de 50, voici de quelle maniere on pourra connoître l’angle de l’épaule, l’angle flan- quant, le flanc & la courtine; $uppo$ant qu’on e$t prévenu que la ligne D H e$t égale à la ligne D E.

Il faut avant toutes cho$es chercher la valeur de l’angle F A C, en di$ant: Comme le côté A C de 90 toi$es e$t au côté C F de 30, ain$i le $inus total A I e$t à la tangente I D, qui étant trouvée, l’on verra qu’elle corre$pond à un angle de 18 degrés 26 minutes, qui e$t la valeur de l’angle F A C: par con$équent celle de l’angle H D E, à cau$e des paralleles A B & D E qui abouti$$ent $ur A H.

Or comme nous avons be$oin dans le triangle D A I du côté A I, on n’aura qu’à dire (pour le connoître): comme la $écante de l’angle D A I e$t au $inus total, ain$i le côté A D de 50 toi$es e$t au côté A I; que l’on trouvera de 47 toi$es 2 pieds, qu’on n’aura qu’à retrancher de la ligne A C de 90 toi$es pour avoir la ligne I C de 42 toi$es 4 pieds; & comme cette ligne e$t moitié du côté D E, on verra que ce même côté e$t de 85 toi$es 2 pieds.

Comme le triangle H D E e$t i$o$cele, & que l’on connoît l’angle du $ommet avec les deux côtés qui le comprennent, parce que la ligne D H e$t le prolongement de la ligne A D; & que la ligne D E e$t parallele à la ligne A B, _par con$truction_, on aura l’angle en H ou l’angle en E, en retranchant l’an- gle D de 180 degrés, & prenant la moitié pour cet angle. Ain$i l’on dira (pour avoir le flanc H E): Si le $inus de l’an- gle D H E m’a donné le côté D E, que me donnera le $inus de l’angle H D E pour le flanc ou côté H E, que l’on trouvera de 27 toi$es 2 pieds?

Comme les angles de la ba$e dutriangle i$o$cele $ont chacun de 80 degrés & 47 minutes, pui$que l’angle du $ommet e$t de 18 degrés 26 minutes; il s’en$uit, à cau$e des angles alternes formés par les lignes paralleles G H & D E, que $i de l’angle [0408]NOUVEAU COURS H E D on retranche l’angle G E D de 18 degrés 26 minutes, il re$tera 62 degrés 21 minutes pour l’angle G E H, dont le $upplément à 180, qui e$t l’angle de l’épaule H E B, e$t de 117 degrés 39 minutes: & $i l’on ajoute au contraire à D H E l’angle G H D, qui e$t au$$i de 18 degrés 26 minutes, l’on trouvera que l’angle flanquant G H E e$t de 99 degrés 13 minutes.

Or comme du triangle G H E l’on connoît les angles & le côté H E, l’on n’aura (pour connoître la courtine) qu’à dire: Comme le $inus de l’angle H G E e$t au côté H E, ain$i le $inus de l’angle G E H e$t au côté G H, que l’on trouvera de 76 toi$es 3 pieds.

Pour connoître I’angle flanqué, con$idérez qu’il e$t plus petit que l’angle de la circonférence de deux fois l’angle D A I, qui e$t de 18 degrés 26 minutes: & comme l’on $uppo$e qu’il s’agit ici d’un exagone, dont l’angle de la circonférence e$t de 120 degrés, l’on n’aura qu’à retrancher 36 degrés 52 mi- nutes de 120 degrés pour avoir l’angle flanqué, qui $era de 83 degrés 8 minutes.

L’on pourra calculer de même tous les autres fronts de for- tification, dont le côté extérieur auroit plus ou moins de 180 toi$es, parce que les proportions $e trouveront toujours. Ain$i quand il s’agira de calculer les lignes & les angles dont un ouvrage à corne, ou un ouvrage à couronne e$t compo$é, il $uffira de connoître le côté extérieur, la perpendiculaire, & la face d’un ba$tion pour connoître le re$te: c’e$t pourquoi cette pratique peut avoir également lieu dans la fortification irréguliere comme dans la réguliere; car $oit que l’on fa$$e les flancs perpendiculaires $ur la ligne de défen$e, ou $ur la cour- tine, $elon les cas où l’on $eroit obligé de $uivre une méthode plutôt qu’une autre, l’on trouvera le calcul également ai$é, pourvu que l’on ait $eulement quelques grandeurs connues, par le moyen de$quelles on pui$$e opérer.

742. De tout ce qui regarde le calcul d’une fortification, je n’ai point trouvé de partie plus difficile à calculer que la valeur de la face de la demi-lune; & l’on peut même regarder ce cas-là comme un petit problême de fortification: c’e$t pour- quoi je crois qu’on $era bien ai$e d’en voir la $olution; car quoiqu’elle paroi$$e peu de cho$e, elle ne lai$$eroit pas que d’embarra$$er un Commençant: ain$i pour bien $çavoir de quoi il e$t que$tion, voici comme on $uppo$e que la demi-lune a été tracée.

[0409]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_.

Après avoir pris le point E $ur la face d’un ba$tion à 5 toi$es _Figure_ 197. au de$$us de l’angle de l’épaule, l’on a du point C comme cen- tre, & de l’intervalle C E, décrit un arc, qui venant rencon- trer la capitale, a donné le point F pour la pointe de la demi- lune; en$uite l’on a pris le point D à trois toi$es au de$$us de l’angle de l’épaule, & l’on a tiré la ligne F D: après quoi l’on a fait le fo$$é de 20 toi$es $ur le prolongement de la face à l’endroit A H, & l’on a tiré la ligne H K, qui détermine la longueur I F de la face de la demi-lune, dont il s’agit de trouver la valeur.

Comme il $eroit facile de trouver la longueur I F, $i l’on connoi$$oit la valeur des lignes D I & D F, nous allons voir comment on peut y parvenir, en tirant les lignes D H, D K, C F, & en connoi$$ant les parties du corps de la Place que nous venons de trouver. Pour y arriver, je cherche dans le triangle rectangle C L F la valeur de l’angle L C F, par le moyen des deux côtés L C & C F, qui me $ont connus (pui$que l’un vaut la moitié de la courtine, & que l’autre e$t égal à la ligne C E), en di$ant: Comme le côté L C e$t au côté C F; ain$i le $inus total e$t à la $écante, qui donnera 65 degrés pour l’an- gle L C F, duquel ayant retranché l’angle M C D de 18 degrés 26 minutes, re$tera 46 degrés 34 minutes pour l’angle D C F.

Or comme le côté D C e$t de 88 toi$es 2 pieds, & le côté C F de 90 toi$es 2 pieds, & que l’on connoît l’angle qu’ils comprennent, on trouvera par l’analogie ordinaire que le côté D F e$t de 70 toi$es 2 pieds, & que l’angle C D F e$t de 68 de- grés 15 minutes.

Comme nous avons be$oin de connoître l’angle C D K, au$$i- bien que le côté D K, con$idérez que dans le triangle C D K, l’on connoît les deux côtés D C & C K avec l’angle qu’ils com- prennent, & que par con$équent il $era facile de trouver ce que l’on cherche. Au$$i verra-t’on que C D K e$t de 17 degrés 49 minutes, & le côté D K de 88 toi$es.

Or comme il faut dans le triangle H D K connoître, outre le côté D K, le côté H D avec l’angle qu’ils comprennent pour parvenir à la $olution du problême, con$idérez que dans le triangle A H D l’on connoît le côté A D de 47 toi$es, & le côté A H de 20, & qu’on connoîtra l’angle H A D, quand on $çaura la valeur de l’angle flanqué, pui$qu’il en e$t la différence avec deux droits; & comme l’on $uppo$e que c’e$t ici un exa- [0410]NOUVEAU COURS gone, l’angle flanqué $era par con$équent de 83 degrés 8 mi- nutes: ain$i l’angle D A H $era de 96 degrés 52 minutes; & en fai$ant la regle ordinaire, l’on trouvera (art. 725) que le côté H D e$t de 53 toi$es un pied, & que l’angle A D H e$t de 21 degrés 59 minutes.

Pré$entement $i l’on retranche de 180 degrés la $omme des deux angles C D K & A D H, il re$tera 140 degrés 12 minutes pour la valeur de l’angle H D K.

743. Or comme l’on connoît dans le triangle H D K deux côtés & l’angle compris, on trouvera par con$équent (art. 725) les deux autres angles, particuliérement l’angle D K I, dont nous avons be$oin, qui e$t de 14 degrés 4 minutes; & comme il nous faut au$$i l’angle F D K, on trouvera qu’il e$t de 50 de- grés 26 minutes, $i l’on retranche de l’angle F D C l’angle K D C: mais comme ceci nous donne la valeur de l’angle D I K, qui e$t de 115 degrés 30 minutes, l’on pourra donc dire pour trouver le côté D I: Si le $inus du $upplément de l’angle D I K a donné le côté D K, que donnera le $inus de l’angle D K I pour la valeur du côté D I, que l’on trouvera de 23 toi$es 4 pieds, qu’on n’aura qu’à retrancher de la ligne D F, qui vaut, comme nous l’avons vu, 70 toi$es 2 pieds, l’on trou- vera que la face I F de la demi-lune e$t de 46 toi$es 4 pieds?

744. Pour trouver la demi-gorge I N de la demi-lune, faites attention que dans le triangle O D F, l’on connoît les deux angles F O D & O D F, & que par con$équent on connoîtra l’angle O F D, qui $e trouve de 40 degrés 11 minutes; & comme cet angle $e trouve au$$i dans le triangle I N F, dont on connoît l’angle N I F, pui$qu’il e$t $upplément de l’angle D I K, il s’en- $uit qu’ayant deux angles dans le triangle I F N, l’on connoîtra le troi$ieme I N F; par con$équent l’on pourra dire: Si le $inus de l’angle I N F de 75 degrés 19 minutes a donné le côté I F, que donnera le $inus de l’angle I F N pour le côté I N, que l’on trouvera de ....?

Enfin $i pour tracer la demi - lune l’on avoit be$oin de la di$tance du milieu L de la courtine au point F, il $eroit facile de la trouver, en di$ant: Comme le $inus total e$t à la tangente de l’angle L C F, ain$i le côté C L e$t au côté L F, que l’on trouvera de 82. 0. 9 pouces.

Je ne parle point de la maniere de calculer les lignes, tant droites que courbes, qui forment la contre$carpe, parce que [0411]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. c’e$t une cho$e qui m’a paru fort ai$ée, & que les Commen- çans pourront faire d’eux-mêmes. Je ne dis rien non plus de la maniere de calculer une fortification, dont les ba$tions $e- roient à orillons, pour leur lai$$er le plai$ir de faire quelque cho$e par eux-mêmes, ayant mieux aimé leur donner, au lieu de cela, une idée de la façon de tracer une fortification $ur le terrein.

Maniere de tracer les Fortifications $ur le terrein.

745. Après que l’on a fait le calcul des lignes & des angles qui compo$ent la fortification, on commence, pour la tracer $ur le terrein, par planter des piquets à tous les angles qui doi- vent former le polygone; en$uite l’on s’attache à tracer la for- tification de chaque front, ju$qu’à ce que tout $oit achevé.

Si l’on $uppo$e que les points A & B repré$entent deux en- droits auxquels l’on a planté des piquets, qui déterminent la longueur A B d’un des côtés du polygone, qui $era, par exem- ple de 180 toi$es, voici comment il faut s’y prendre pour tracer le front qui corre$pond à $es côtés.

Ayant marqué $ur un plan le projet de la fortification avec _Figure_ 199. la valeur des lignes & des angles, comme on le voit dans la figure 198, l’on commencera par po$er le pied du graphometre à l’endroit du piquet A: l’on fera avec la ba$e A B, & les pin- nules immobiles, un angle E A B de 18 degrés 26 minutes; & ayant fait porter un piquet $ur l’alignement du rayon vi$uel A E, on déterminera, en toi$ant fort ju$te, une longueur comme A C de 50 toi$es, qui donnera une des faces du pre- mier ba$tion. Après quoi l’on portera l’in$trument à l’extrê- mité C, & l’on fera avec la ligne C A un angle A C D de 117 degrés 39 minutes, qui $era l’angle de l’épaule, & l’on prendra dans la longueur C D une quantité de 27 toi$es 2 pieds, en commençant du point C pour avoir le flanc C D.

L’on fera la même opération au piquet B, comme on vient de faire à l’autre; & aprés avoir tracé, ou $eulement planté des piquets aux points F & E, l’on $e portera au point E pour voir s’il $e trouve de même alignement que les deux C & A, afin de remarquer $i la face A C $e termine préci$ément dans l’angle flanquant; & l’on fera la même cho$e pour être a$$uré de la ju$te$$e de la face B F; en$uite l’on n’aura plus qu’à tracer avec un cordeau la courtine D E, au$$i-bien que les faces & [0412]NOUVEAU COURS les flancs des ba$tions: & pour voir $i on ne s’e$t pas trompé en traçant les faces & les flancs, on me$urera la courtine, afin de la vérifier avec le calcul.

Pour faire $entir encore davantage l’utilité de la Trigono- métrie dans ce qui concerne les fortifications, nous allons ajouter quelques problêmes, dont la $olution dépend des prin- cipes précédens, & qui peuvent être d’un grand u$age dans l’attaque des places, & dans la conduite des ouvrages, pour connoître par une $eule ob$ervation la di$tance où l’on e$t de certains endroits remarquables que l’on a intérêt d’attaquer.

Problêmes de Trigonométrie applicables à la Fortification. PROBLEME I.

746. Connoi$$ant une ligne _A B_, dont on ne peut approcher, _Figure_ 173. avec les angles _A D C, A D B_; & les angles _B C D, B C A_ ob- $ervés aux points de $tation C & D, connoître tous les angles & les lignes de cette figure.

SOLUTION.

Pui$que l’on connoît l’angle A C D & l’angle A D C, on connoît au$$i l’angle en A, en ôtant les deux premiers de 180 degrés; de même dans le triangle B C D on connoît l’angle C B D, pui$que, _par hypothe$e_, les angles B C D, B D C $ont connus. Quoique je ne connoi$$e point les côtés A C, A D, D C, B C, B D de ces triangles, je $çais cependant que ces côtés $ont entr’eux comme les $inus des angles qui leur $ont oppo$és; & comme ces angles $ont connus, les rapports des côtés le $eront au$$i. Cela po$é, dans le triangle C A D, on aura cette proportion, S. CAD: S. ADC:: DC: AC, & dans le trian- gle C B D, on aura cette autre, S. BDC: S. CBD:: BC: DC: donc en multipliant terme par terme ces deux proportions, on aura S. C A D x S. B D C: S. A D C x S. C B D:: B C x D C: A C x D C:: B C: A C. D’où il $uit que dans le triangle B C A, on a le rapport exact des côtés A C, C B qui comprennent l’angle connu A C B; ain$i on $uppo$era pour un in$tant que ces côtés $ont effectivement égaux aux produits des $inus des angles C A D, B D C, A D C, C B D; & pour avoir les angles en A & en B du triangle A B C, on fera cette proportion: La $omme des deux côtés A C + B C e$t à leur différence, comme [0413]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. la tangente de la moitié de la $omme des angles oppo$és à ces côtés, e$t à la tangente de la moitié de la différence des mêmes angles (art. 725). Ayant ain$i déterminé les angles en A & en B, on calculera de nouveau le triangle A B C, pour avoir la véritable expre$$ion des côtés A C, B C que l’on trouvera en fai$ant cette proportion: Le $inus de l’angle A C B e$t au côté comme A B, comme le $inus de l’angle A B C, que l’on vient de trouver, e$t au côté A C. On calculera par le $ecours de la même analogie tous les autres côtés de la figure: ain$i le pro- blême e$t ré$olu.

REMARQUE.

747. On a dû remarquer que dans le triangle A C B l’on ne connoi$$oit d’abord que le côté A B & l’angle oppo$é C, & rien de plus. L’on pourroit donc être tenté de croire que la connoi$$ance d’un angle & du côté oppo$é $uffit pour con- noître toutes les parties d’un triangle, mais il e$t ai$é d’ap- percevoir la fau$$eté d’une pareille induction; il e$t vrai que l’on ne connoît qu’un angle & le côté oppo$é, mais les ob- $ervations des angles en D $uppléent à ce qui nous manque, en donnant le rapport des côtés A C & C B, par le moyen de$- quels on a calculé les angles en A & en B.

748. Si l’on appelle le $inus de l’angle A D C, _a_; celui de l’angle C A D, _b_; celui de l’angle C B D, _c_; & enfin celui de l’angle B D C, _d_; on aura au lieu de la proportion S. C A D x S. B D C: S. A D C x S. C B D :: B C: A C, celle-ci _bd_: _ac_ :: B C: A C: donc en divi$ant les deux premiers termes par _c_, on auroit {_bd_/_c_}: _a_ :: B C: A C.

Si l’on vouloit $e $ervir des logarithmes pour faire cette opération, voici comment on pourroit s’y prendre. On cher- chera d’abord les $inus des angles _a, b, c, d_, que l’on regar- dera comme des nombres naturels; on cherchera en$uite dans la Table des Logarithmes des nombres naturels, les logarithmes de ces $inus con$idérés comme tels; on ajoutera en$emble les logarithmes des $inus _s, b, d_, & de la $omme on retranchera le logarithme de _c_: ce qui viendra $era le logarithme de la frac- tion {_bd_/_c_}; on cherchera ce logarithme dans la Table des Loga- rithmes pour voir le nombre qui lui répond. Après cela on prendra la $omme de ce nombre & du $inus _a_, & la diffé- [0414]NOUVEAU COURS rence des mêmes nombres; on cherchera encore les logarithmes de ces nouvelles quantités, & dans les Tables des Sinus le logarithme de la tangente de la moitié de la $omme des angles oppo$és aux côtés A C & B C. Ajoutant les logarithmes de cette tangente, & de la différence des nombres _a_ & {_bd_/_c_}, on aura, aprés en avoir retranché le logarithme de la $omme des mêmes nombres, celui de la tangente de la moitié de la diffé- rence des angles que l’on cherche, & le problême $era ré$olu.

PROBLEME II.

749. La ligne _A C_ & $es parties _A B, B C_ étant connues avec _Figure_ 200. les angles _A F B, B F C_, ob$ervés dans un point _F_, trouver les di$tances du point _F_ aux points _A, B, C_.

Ce problême peut être ré$olu géométriquement, & par le calcul trigonométrique: nous allons donner la $olution qui dé- pend du calcul, & nous donnerons en$uite la $olution géomé- trique.

SOLUTION I.

Imaginons les lignes A F, B F, C F, tirées des extrêmités _Figure_ 200. A, B, C des parties de la ligne A C, au point d’ob$ervation F; imaginons encore, que par chacun des deux triangles A B F, B C F, on ait fait pa$$er un cercle F B C, A B F. Comme les angles en F $eront à la circonférence, ils ne $eront que la moitié des angles B E C, B D A, appuyés $ur les mêmes ba$es B C, A B, & dont le $ommet e$t au centre E ou D. Cela po$é, pui$que les angles B F C, A FB $ont connus, les angles au centre doubles des angles ob$ervés le $eront au$$i, & dans les triangles i$o$celes B E C, B D A, on connoîtra les trois angles & un côté; ain$i on connoîtra les côtés ou les rayons B E, B D, pui$que l’on connoît les angles C B E, A B D; on con- noîtra au$$i l’angle D B E, qui joint avec ces angles, fait la va- leur de deux droits; de plus on vient de trouver les côtés B E, B D: donc on connoîtra toutes les parties de ce triangle dans lequel on a les côtés B D, B E, & l’angle compris entre ces côtés: ain$i on connoîtra l’angle en E & l’angle en D. Pui$que les cercles décrits $ur les triangles C B F, A B F $e cou- pent en deux points B, F, le centre F $era également éloigné des points B, F, & le point D de la même ligne D E $era au$$i également éloigné des mêmes points B, F; ain$i la ligne D E [0415]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. $era perpendiculaire à la ligne B F, & partout dans le triangle rectangle B G E, dans lequel on connoît déja l’angle en E, comme on vient de voir, on connoîtra au$$i l’angle G B E; ajoutant cet angle à l’angle connu C B E du triangle i$o$cele B E C, on aura l’angle total C B F; ain$i dans le triangle CBF on connoît deux angles & un côté: donc on peut connoître toutes les autres parties.

SOLUTION GEOMÉTRIQUE.

750. Pui$que les parties de la ligne A C $ont connues, ain$i que les angles A F B, B F C, je prends une ligne A B qui con- tienne autant de parties égales que la ligne A B, que l’on $up- po$e $ur le terrein, contient de toi$es: je prends de même $ur la ligne A B prolongée une partie B C qui contienne autant de parties égales, que la ligne B C ob$ervée $ur le terrein con- tient de toi$es. Je double l’angle A F B, j’ôte cet angle de 180 degrés, & je divi$e le re$te en deux parties égales. Au point A & au point B, je fais les angles B A D, A B D égaux cha- cun à la moitié de cette différence; ce qui me détermine le point D. Je double de même l’angle ob$ervé B F C, & ôtant ce double de 180 degrés, je fais en B & en C les angles C B E, B C E égaux chacun à la moitié de la différence du double de l’angle ob$ervé; ce qui me donne le point E: je mene la ligne E D; du point B j’abai$$e $ur cette ligne E D la perpendicu- laire B G F, & je prends G F = B G; le point F e$t le point qui me donne tout ce dont j’ai be$oin: ain$i je n’ai qu’à voir combien les lignes BF, CF, AF contiennent de parties égales, & j’aurai les di$tances du point F aux points donnés A, B, C.

751. On pourroit encore ré$oudre le problême géométri- quement d’une autre maniere: il n’y auroit qu’à décrire $ur les lignes A B & B C des $egmens capables des angles donnés A F B, B F C, & le point où ces cercles s’entrecouperoient au dehors de la ligne A C, $eroit celui qui donneroit les di$tances demandées.

REMARQUE.

752. On pourroit encore ré$oudre le problême par les mé- thodes que nous venons de propo$er dans le cas où les parties A B & B C ne $eroient pas en lignes droites, comme dans les figures 202, 203, pourvu que l’on connût l’angle A B C qu’elles [0416]NOUVEAU COURS forment entr’elles, ou bien les trois côtés du triangle B A C. Pour s’en convaincre, il n’y a qu’à relire les deux $olutions précédentes, en les appliquant $ur les figures $uivantes, & ob- $ervant que dans la figure 201, l’angle D B E e$t égal à la dif- férence de l’angle A B C aux angles A B D, C B E, & que dans la figure 202 on trouve l’angle D B E, en prenant la différence des trois angles A B C, A B D, C B E à quatre droits. Enfin l’on remarquera que $i le point F d’ob$ervation e$t placé au dedans du triangle A B C, & que l’un des angles ob$ervés $oit obtus, on fera de l’autre côté de la ligne A B un triangle i$o$- cele A D B, dont l’angle D $oit double du $upplément de l’an- gle A F B; & dans ce cas l’angle D B E e$t égal à la $omme des angles B B A, A B C, moins l’angle E B C, que l’on con- noîtra, pui$que l’on connoît, _par con$truction_ ou _par hypothe$e_, les angles qui le déterminent.

COROLLAIRE I.

753. Il $uit delà que $i l’on connoît la po$ition de trois objets placés au dedans d’une Ville a$$iégée par le moyen d’un plan, ou bien parce qu’on l’aura déterminée géométrique- ment; on pourra toujours par une $eule opération déterminer la di$tance de l’endroit où l’on e$t aux mêmes objets que l’on a intérêt d’attaquer; & par con$équent on $era le maître d’y conduire des galeries de mines, ou d’y jetter des bombes, ou enfin de diriger $es batteries de la maniere qui paroîtra la plus avantageu$e. Il faut dans le cas où l’on auroit be$oin d’une grande préci$ion $e $ervir des $olutions numériques préféra- blement aux $olutions géométriques, parce que le calcul donne toujours les di$tances avec la derniere exactitude.

COROLLAIRE II.

754. Il $uit encore delà que l’on peut, par le moyen des Pl. XIV. mêmes objets, que nous $uppo$ons toujours vi$ibles, lever _Figure_ 210. très-promptement les dehors d’une place par deux ob$erva- tions, $ans être obligé de me$urer des ba$es dans un terrein expo$é au feu de l’ennemi. Suppo$ons, par exemple, qu’on veuille avoir la po$ition des ba$tions F, G, H d’une place que l’on a$$iége, par deux ob$ervations faites aux points D, E. On prendra par Trigonométrie la po$ition des trois objets qui @voi$inent la place, tels que A, B, C, ce que l’on pourra faire [0417]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. $ans aucun danger, en me$urant une ba$e dans un terrein qui $oit à l’abri du canon; en$uite par le moyen de ces trois ob- jets, deux Ingénieurs placés l’un en E, l’autre en D, ob$er- veront les angles formés par les rayons vi$uels, dirigés des points de $tations aux points A, B, C, & aux angles du flanc des ba$tions F, G, H; $çavoir, celui qui e$t placé en E, les angles C E H, C E G, C E F, & celui qui e$t placé en D les angles B D H, B D G, B D F; de cette maniere on aura tout d’un coup la po$ition re$pective des ba$tions les uns à l’égard des autres, & leurs di$tances aux points d’ob$ervations: car il e$t évident que les $tations D, E $ont déterminées par rapport aux points A, B, C; ce qui $uffit pour déterminer tout le re$te.

_Nota_. Le problême propo$é (art. 746) pourroit au$$i $ervir aux mêmes u$ages, & l’on peut en faire l’application à bien d’autres opérations qu’il $eroit inutile de détailler ici. L’occa- $ion fournit des re$$ources & des expédiens lor$que l’on e$t d’abord muni d’une bonne théorie; ain$i chacun pourra s’exer- cer à mettre en œuvre les propo$itions que nous venons de démontrer.

_THEORIE ET PRATIQUE DU NIVELLEMENT_. DÉFINITIONS. I.

755. L’on dit que deux points $ont de _niveau_, lor$qu’ils Pl. XIV. $ont également éloignés du centre de la terre:

_Figure_ 203.

756. De $orte qu’une ligne qui a tous $es points également éloignés du centre de la terre, e$t appellée _ligne du vrai niveau_, qui ne peut être qu’une ligne courbe.

757. L’on peut donc dire que la $uperficie des lacs, des étangs, & de toutes les eaux qui ne $ont guere agitées, ren- ferment une infinité de points de niveau, pui$qu’ils $ont tous également éloignés du centre de la terre.

II.

758. _Ligne de niveau apparent_, e$t une ligne telle que B D, tangente au cercle de la terre, & par con$équent perpendicu- laire au demi-diametre A B; cette ligne e$t nommée _ligne de_ _niveau apparent_, parce que $es extrêmités B & D ne $ont pas [0418]NOUVEAU COURS également éloignées du centre de la terre: ain$i toute ligne parallele à l’horizon, & qui étant prolongée par une de $es extrêmités, s’écarte de la $uperficie de la terre, comme une tangente s’écarte de la circonférence d’un cercle, e$t une ligne de niveau apparent.

Comme le point B e$t de niveau avec le point C, pui$qu’ils $ont également éloignés du centre A de la terre, l’on voit qu’il s’en faut toute la ligne C D, que le point B ne $oit de niveau avec le point D; l’on peut donc dire que la ligne C D e$t _la différence du niveau apparent au de$$us du vrai_.

759 Quand une ligne de niveau apparent n’a pas plus de 100 ou 150 toi$es, il s’en faut $i peu que $es extrêmités ne $oient également éloignées du centre de la terre, qu’on peut la regarder comme étant parfaitement de niveau; mais $i elle $urpa$$e cette longueur, il faut avoir égard à la différence du niveau apparent au de$$us du vrai, comme nous le ferons voir en $on lieu.

III.

Quand on veut niveler deux endroits pour $çavoir de com- bien l’un e$t plus élevé que l’autre, ces deux endroits $ont nommés _termes_, & pour lors l’endroit par où l’on commence le nivellement, e$t nommé _premier terme_, & celui où $e va ter- miner la ligne de niveau apparent, e$t nommé le _$econd terme_.

CHAPITRE PREMIER, _Où l’on donne l’u$age du Niveau d’eau_.

760. LA principale piece du niveau d’eau e$t un tuyau A B de _Figure_ 204. 5 ou 6 pieds de long, recourbé par $es extrêmités C & D; ce tuyau peut avoir un pouce de diametre: aux extrêmités $ont deux bouteilles F C & G D, qui font le principal du niveau: ces bouteilles, pour être d’un bon u$age, doivent être d’un verre fort blanc, bien clair & tran$parent, faites exprès pour être plus commodes; car les deux cercles F & G, qui ont environ trois pouces de diametre, $ont proprement les culs de ces bouteilles, dans le milieu de$quels il y a un trou cir- culaire d’environ un pouce: ces bouteilles, qui ont 5 pouces de hauteur, ont un petit goulot, dont la gro$$eur e$t plus [0419]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. petite que celle du tuyau, parce qu’elles doivent être ma$ti- quées dedans aux extrêmités C & D: dans le milieu du tuyau A B e$t une virole avec un genou, qui répond à un bâton M N de 4 pieds, de $orte que le niveau étant po$é à un en- droit, on le peut faire tourner en tous $ens, comme $ur un pivot $ans bouger le pied.

Pour $e $ervir de cet in$trument, l’on ver$e de l’eau dans une des bouteilles, qui va au$$i-tôt $e communiquer dans l’au- tre, à cau$e du tuyau qui e$t ouvert par les deux bouts; & quand les bouteilles ont de l’eau environ ju$qu’aux deux tiers, l’eau donne deux $urfaces H & I, qui $ont parfaitement de niveau. Cela po$é, $i l’on veut $çavoir de combien le terme Q e$t plus élevé que le terme P, celui qui fait l’opération en- voie un aide au $econd terme Q, où il po$e une toi$e, ou une double toi$e, le plus perpendiculairement qu’il e$t po$$ible, qu’il doit tenir de la main gauche, parce que dans la droite il doit avoir un carton blanc de la grandeur d’un cul de cha- peau, & dans le milieu duquel on fait un petit rond noir d’un pouce de diametre; & $uppo$ant que cet aide $oit bien in$truit des mouvemens qu’il doit faire, $oit pour aller $ur la droite ou $ur la gauche, ou pour faire monter ou de$cendre le carton le long de la toi$e, aux différens $ignes qu’on lui fera, celui qui fait l’opération vi$e horizontalement aux $urfaces de l’eau, l’endroit de la toi$e qui $e rencontre dans le rayon de mire K L; & ayant fait $igne à l’aide de faire gli$$er le carton le long de la toi$e, pour que le bord $upérieur du rond noir $e rencontre au point L, on lui fera en$uite un autre $igne, pour lui faire entendre qu’il s’e$t rencontré ju$te, & pour lors un autre aide, qui e$t avec celui-ci, me$ure exactement la hau- teur Q L, que je $uppo$e de 2 pieds 9 pouces, & pendant ce tems-là un autre aide, qui ne quitte point celui qui fait l’o- pération, me$ure la hauteur K P, qui $era, par exemple, de 4 pieds 6 pouces: après avoir mis en écrit de part & d’autre les hauteurs que l’on aura trouvées, & les deux aides que l’on a détachés, étant venus joindre celui qui fait l’opération, l’on cherche quelle e$t la différence de la ligne K P à la ligne L Q, en les $ou$trayant l’une de l’autre, & l’on trouve un pied 9 pouces, qui e$t la hauteur du $econd terme au de$$us du pre- mier: ain$i l’on voit que tout l’objet du nivellement e$t de connoître de combien un lieu e$t plus élevé qu’un autre.

[0420]NOUVEAU COURS

761. Comme les coups de niveau, qui $e donnent avec cet in$trument, ne vont guere au-delà de 100 à 120 toi$es, l’on n’a point égard au niveau apparent dans les petites opérations comme celle-ci, parce que le niveau apparent peut être pris pour le vrai.

A cau$e de la petite portée des coups de niveau, on e$t _Figure_ 205. obligé d’en donner plu$ieurs de di$tance en di$tance, quand les objets que l’on veut niveler $ont beaucoup plus éloignés l’un de l’autre que l’on ne l’a $uppo$é ici: cependant quand cette di$tance e$t environ double de la portée du coup de ni- veau, on peut par une $eule $tation trouver la différence des hauteurs du niveau de ces deux endroits, pourvu que l’on pui$$e les appercevoir tous les deux, quand on $e $era placé à peu près dans le milieu de leur di$tance.

Par exemple, $uppo$ant que la di$tance de A en B $oit de _Figure_ 205. 220 toi$es, & qu’on veuille $çavoir de combien le terme A e$t plus bas que le terme B, il faut po$er le niveau en C, qui $era à peu près le milieu de la di$tance A B, en$uite vi$er de D en E, le rond noir du carton que l’aide aura po$é au point G, que je $uppo$e élevé de 2 pieds 4 pouces. Cela po$é, celui qui fait l’opération, quitte la bouteille D, & vient à la bou- teille E, pour vi$er de E en F, parce qu’il doit y avoir à l’en- droit A un autre aide pour tenir la toi$e & le carton: & comme il peut arriver que la ligne A F $oit élevé au de$$us de l’endroit A de plus de 6 pieds, en ce cas on a une autre toi$e, au bout de laquelle e$t un carton, comme celui dont nous avons déja parlé, & l’aide fait gli$$er cette toi$e le long de l’autre, la fai$ant monter & de$cendre tant que le rond noir du carton $e rencontre dans le rayon de mire E F; après quoi un autre aide me$ure exactement la hauteur F A. Or $uppo$ant qu’ayant me$uré avec autant de préci$ion qu’il e$t po$$ible, l’on ait trouvé 9 pieds 6 pouces pour la hauteur A F, on $ou$traira de cette quantité 2 pieds 4 pouces, qui e$t l’élevation du point G, & la différence $era 7 pieds 2 pouces, qui fait voir que l’endroit A e$t plus bas que B de 7 pieds 2 pouces.

Cette maniere de niveler e$t la meilleure de toutes, parce qu’elle e$t moins $ujette à erreur, $oit de la part du niveau ap- parent, ou des réfractions; car tant que le point C $era dans le milieu de deux termes, les points F & G $eront parfaite- ment de niveau, pui$qu’ils $ont également éloignés du centre [0421]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. de la terre: d’ailleurs par cette pratique, on fait beaucoup moins de $tations que $i l’on alloit par plu$ieurs coups de ni- veau d’un terme à l’autre.

CHAPITRE II, Où l’on donne la maniere de faire le Nivellement compo$é.

762. QUand les deux termes que l’on veut niveler $ont beau- _Figure_ 206. coup plus éloignés l’un de l’autre qu’on l’a $uppo$é dans l’opé- ration précédente, on e$t obligé de faire plu$ieurs $tations; & en ce cas l’on dit que le nivellement e$t compo$é: car en effet il e$t compo$é de plu$ieurs coups de niveau, que l’on fait en$orte d’abréger, comme on le va voir dans l’opération $ui- vante.

Pour niveler deux objets A & B, éloignés l’un de l’autre de 680 toi$es, il faut divi$er ce nombre par 200 ou 220 toi$es, pour voir combien l’on $era obligé de faire de $tations: car dans l’opération précédente on a nivelé par une $eule $tation une di$tance de 220 toi$es: ain$i comme 680, divi$é par 220, donne 3 au quotient, je vois qu’en trois $tations on peut ni- veler les deux termes A & B. Pour cela, je commence par chercher dans la di$tance A B les trois endroits qui $ont les plus commodes pour faire les $tations: je choi$is d’abord le point C à peu près dans le milieu de A B, où je fais planter un piquet, & à une di$tance de 100 ou 110 toi$es du point A j’en fais planter un autre en D, & à la même di$tance du point B j’en fais placer un troi$ieme E, & autant qu’il $e peut, il faut que ces trois piquets $oient d’alignement avec les deux termes A & B. Ayant donc déterminé les trois $tations D, C, E, il faut envoyer deux aides au premier terme A, dont le premier porte une ou deux toi$es, & le $econd $oit chargé d’écrire les hauteurs; on en envoie un troi$ieme à peu près dans le milieu de la di$tance D C, lequel ne doit point bouger de $a place, qu’on n’ait achevé les opérations de la premiere & de la $e- conde $tation, parce que la toi$e qu’il tiendra en main doit $ervir de terme commun pour les deux premieres $tations.

Ayant donc fait porter le niveau au point D, il faut vi$er de T en S, pour que le rayon de mire T M aille rencontrer [0422]NOUVEAU COURS le bord $upérieur du rond noir, qui $era au point M, & le $econd Aide me$ure la hauteur M A, que je $uppo$e de 8 pieds 2 pouces, qu’il a $oin d’écrire $ur des tablettes: en$uite on vi$e de S en T, pour découvrir le rond noir au point K; & comme il n’e$t pas néce$$aire de connoître la hauteur K F, qui $eroit plus embarra$$ante qu’utile, l’Aide qui tient la toi$e $e contente de marquer un trait de crayon à l’endroit de la toi$e où le rayon de mire S K s’e$t terminé: delà on vient à la $econde $tation C, & on envoie à peu prés dans le milieu de la di$tance C E un Aide à l’endroit G, qui ne doit pas bouger de $a place, que les opérations de la $econde & de la troi$ieme $tation ne $oient finies. Pré$entement il faut donner un coup de niveau de Q en R, pour découvrir le point L du rond noir; & quand on l’aura rencontré, on me$urera la hauteur K L, qui e$t la di$tance du trait de crayon que l’on a marqué $ur la toi$e au point L, & celui qui tenoit les tablettes à l’endroit A, a eu $oin de $e rendre à la $econde $tation, pour y écrire la hauteur K L, qui $era, par exemple, de 3 pieds 6 pouces: après cela il faut vi$er de R en Q, pour que celui qui e$t en G pui$$e marquer $ur la toi$e le point H par un trait de crayon, $ans s’embarra$$er de $on élévation, qu’il e$t inutile de connoître, comme nous l’avons déja dit. Enfin, l’on fait porter le niveau à la troi$ieme $tation E, pour donner un coup de niveau de P en O, qui déterminera en$uite le point I; on me$urera la ligne H I, que je $uppo$e de 4 pieds 3 pouces, qu’on aura $oin d’écrire $ur les tablettes; après quoi on donnera le dernier coup de niveau O N, & l’Aide qui e$t en B, me- $urera la hauteur B N, que je $uppo$e d’un pied 6 pouces, qu’il faudra écrire à part, parce que cette hauteur n’a rien de commun avec ce que l’on a marqué $ur les tablettes.

Le nivellement étant achevé, l’on ajoutera en$emble les hauteurs que l’on a écrites $ur les tablettes, c’e$t-à-dire 8 pieds 2 pouces, 3 pieds 6 pouces, & 4 pieds 3 pouces, qui font 15 pieds 11 pouces, d’où il faudra $ou$traire la hauteur B N d’un pied 6 pouces, & la différence $era 14 pieds 5 pouces, qui e$t l’élévation de l’endroit B au de$$us de l’endroit A.

[0423] [0423a] [0424] [0425] [0425a] [0426] [0427] [0427a] [0428] [0429] [0429a] [0430] [0431] [0431a] [0432] [0433] [0433a] [0434] [0435]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X._ CHAPITRE III, Où l’on donne la maniere de niveler deux termes, entre le$quels il $e trouve des hauteurs & des fonds.

763. QUand on veut niveler deux objets fort éloignés l’un _Figure_ 207. de l’autre, il e$t a$$ez rare qu’on ne rencontre en chemin des hauteurs & des fonds, qui obligent de niveler tantôt en mon- tant, tantôt en de$cendant: en ce cas, il faut ob$erver cer- taines cho$es dont nous n’avons pas encore parlé, qui $ont, d’écrire $ur les tablettes dans une colonne toutes les hauteurs que l’on trouvera en montant, & dans une autre colonne toutes celles que l’on trouvera en de$cendant; & pour les di$- tinguer à l’avenir, nous nommerons premiere colonne celle dans laquelle il faudra écrire les hauteurs que l’on trouvera en montant, & $econde colonne celle dans laquelle on écrira toutes les hauteurs que l’on trouvera en de$cendant. L’on va voir ceci dans l’opération $uivante.

Pour niveler deux lieux A & B, il faut commencer par po$er le niveau au point D, éloigné d’environ 100 toi$es des endroits A & 3, où l’on aura envoyé des Aides avec des toi$es; en$uite il faut donner les coups de niveau D C & D E, & écrire la hauteur A C de 9 pieds 4 pouces dans la premiere colonne, & marquer un trait de crayon à l’endroit E: delà il faut faire porter le niveau au point 4, qui n’e$t pas dans le milieu de la ligne F H, à cau$e que la rampe de trois en 5 ne le permet point, mais cela n’empêche pas que les coups de niveau G F & G H ne $oient ju$tes, parce qu’ils ne $ont pas d’une grande portée. Ayant donc déterminé les points F & H, il faut me- $urer la hauteur F E, qui $era, par exemple, de 9 pieds 6 pouces, qu’il faut écrire dans la premiere colonne, & ne pas oublier de marquer un trait de crayon au point H de la toi$e 5: delà il faut venir à la $tation 6, & donner les coups de niveau K I & K L; l’on marquera, comme à l’ordinaire, un trait de crayon au point L, & l’on écrira dans la premiere colonne la hauteur I H, que je $uppo$e de 7 pieds: delà on viendra à la $tation 8, de laquelle je $uppo$e qu’on ne peut donner que le coup de niveau N M, à cau$e que la rampe e$t trop grande pour pouvoir [0436]NOUVEAU COURS en donner un $econd de l’autre côté, l’on me$urera la hau- teur L M depuis le point L, que l’on a marqué $ur la toi$e ju$qu’au point M du rayon de mire, qui $e trouve de 8 pieds 2 pouces; l’on aura $oin de l’écrire dans la $econde colonne, parce que c’e$t une hauteur que l’on a trouvée en de$cendant: mais comme la hauteur N O du niveau fait voir de combien le point O e$t plus bas que le point M, il faudra me$urer cette hauteur, que je $uppo$e de 4 pieds & demi, pour l’écrire au$$i dans la $econde colonne; en$uite il faudra faire planter un piquet à l’endroit O, & de$cendre le niveau au point 9, qu’il faudra trouver; de $orte que le rayon de mire P O aille ren- contrer le pied du piquet: après quoi l’on donnera le coup de niveau P Q, & l’Aide qui tient la toi$e aura $oin de marquer un trait de crayon au point Q. Delà on ira à la $tation 11, pour y donner les coups de niveau S R & S T, afin d’avoir la hauteur R Q, qui $era, par exemple, de 3 pieds, qu’il faudra écrire dans la premiere colonne, parce que c’e$t une hauteur que l’on a trouvée en montant; il faut aller après cela au point 13, pour y donner les coups de niveau X V, X Y, & l’on écrira dans la premiere colonne la hauteur V T, qu’on $uppo$e de 5 pieds 5 pouces: & comme il arrive que le rayon X Y va $e terminer à un point Y de la hauteur, il n’y aura pas de trait de crayon à marquer $ur la toi$e à cet endroit-là, on y lai$$era $eulement un Aide pour $ervir à l’opération 15, laquelle ayant déterminé les points Z & B, des coups de niveau A Z & A B, l’on me$urera la hauteur Z Y, que je $uppo$e de 7 pieds 4 pouces, qu’il faudra encore écrire dans la premiere colonne: delà il faut venir à la $tation 17, pour y donner les coups de niveau D C & D E, marquer un trait de crayon au point E, & con$i- dérer que la hauteur B C, qu’on $uppo$e de 6 pieds 6 pouces; a été trouvée en de$cendant, & que par con$équent il faut l’écrire dans la $econde colonne. Enfin l’on portera le niveau à la derniere $tation B, pour déterminer par le rayon G F la hauteur E F, qui $era, par exemple, de 8 pieds 5 pouces, qu’il faudra écrire dans la $econde colonne, au$$i-bien que la hau- teur G B du niveau, qui e$t ordinairement de 4 pieds 6 pouces.

Pré$entement $i l’on additionne les nombres de la premiere colonne, l’on trouvera 41 pieds 7 pouces; & fai$ant la même cho$e pour la $econde, l’on aura 32 pieds un pouce. Or $i l’on retranche la plus petite $omme de la plus grande, c’e$t-à-dire [0437]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. 32 pieds un pouce, de 41 pieds 7 pouces, la différence $era 9 pieds 6 pouces, qui fait voir que le terme A e$t plus bas que le terme B de 9 pieds 9 pouces.

Il e$t bon de remarquer que lor$que l’on a un nivellement à faire en montant, & qu’on s’apperçoit que les coups de ni- veau $ont trop courts, de $orte qu’on e$t obligé d’en donner trop $ouvent, il vaut mieux monter au $ommet de la hauteur, & faire le nivellement en de$cendant, ob$ervant d’écrire dans la premiere colonne les hauteurs que l’on trouvera en allant vers un terme, & dans la $econde colonne, celles que l’on trouvera en allant vers l’autre.

Par exemple, $i l’on veut connoître la différence des hau- teurs de deux termes A & B, & qu’on s’apperçoive qu’il fau- dra trop de tems & trop d’opérations pour niveler de A en B par une $uite de coups de niveau, on fera porter le niveau à l’endroit 6, que je $uppo$e être le $ommet de la hauteur, & l’on nivellera de 6 en A, en ob$ervant d’écrire dans la pre- miere colonne les hauteurs que l’on trouvera; après cela l’on viendra à l’endroit 6 pour niveler de 6 en 10, & les hauteurs que l’on trouvera, on les écrira dans la $econde colonne. Enfin on viendra au $ommet 15 de la $econde éminence, pour ni- veler de 15 en 10, mettant toutes les hauteurs que l’on trou- vera dans la premiere colonne; après quoi l’on nivellera de 15 en B, & on écrira les hauteurs de cette derniere opération dans la $econde colonne, & le re$te $era comme dans l’opé- ration précédente.

L’on peut faire beaucoup d’ouvrage en peu de tems par cette maniere de niveler, parce que tandis qu’une per$onne enten- due fait le nivellement de 6 en A, une autre peut faire celui de 6 en 10; & de la même façon celui de 15 en 10, & de 15 en B.

[0438]NOUVEAU COURS # # # PREMIERE COLONNE. _Pieds_. # _Pouces_. # _Lignes_. 9<_>//--// # 4<_>//--// # 0<_>// 9<_>//--// # 6<_>//--// # 0<_>// 7<_>//--// # 0<_>//--// # 0<_>// 3<_>//--// # 0<_>//--// # 0<_>// 5<_>//--// # 5<_>//--// # 0<_>// 7<_>//--// # 4<_>//--// # 0<_>// 41 _pieds_<_>// # 7 _pou_<_>// # 0 _lig_.<_>// # # # SECONDE COLONNE. _Pieds_. # _Pouces_. # _Lignes_. 8<_>//--// # 2<_>//--// # 0<_>// 4<_>//--// # 6<_>//--// # 0<_>// 6<_>//--// # 6<_>//--// # 0<_>// 8<_>//--// # 5<_>//--// # 0<_>// 4<_>//--// # 6<_>//--// # 0<_>// 32 _pieds_<_>// # 1 _pouce_<_>// # 0 _lig_.<_>// _pieds_. # _pouces_. 41<_>//--// # 7<_>//--0<_>// 32<_>//--// # 1<_>//--0<_>// _Différence_ # 9 _pieds_ # 6 _pouces_. CHAPITRE IV, Qù l’on fait voir la maniere de connoître de combien le Niveau apparent e$t élevé au de$$us du vrai, pour une ligne de telle longueur que l’on voudra.

764. L’On n’a pas eu égard à la différence du niveau appa- rent au de$$us du vrai dans les nivellemens que nous venons d’en$eigner, parce que les coups de niveau étoient fortpetits; d’ailleurs les opérations ont été faites d’une maniere à ne pas donner lieu à cette différence: mais comme le niveau d’eau ne peut $ervir que pour des petits nivellemens, & qu’il de- mande une grande exactitude, pour ne point faire d’erreur, quand le nivellement e$t fort compo$é, on a inventé une autre e$pece de niveau, avec lequel, par le moyen d’une lunette, l’on peut donner des coups de niveau extrêmement grands; c’e$t l’u$age de ce niveau que nous allons en$eigner, après avoir donné dans ce chapitre la maniere de calculer la hauteur du niveau apparent au de$$us du vrai, dont la connoi$$ance e$t ab$olument néce$$aire, quand on fait de grands nivel- lemens.

765. Nous avons vu dans la Géométrie que le quarré de [0439]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. la tangente B D étoit égal au rectangle compris $ous la $écante _Figure_ 203. G D, & $ous la partie C D: ain$i divi$ant le quarré de la ligne B D par la valeur de la ligne G D, on trouvera la ligne C D. Mais comme la ligne G C, qui e$t le diametre de la terre, a été trouvée de 6538594 toi$es, elle ne differe de la ligne G D que d’une quantité infiniment petite, il s’en$uit que l’on pourra prendre la ligne G C pour la ligne G D, & que divi$ant le quarré de la ligne B D par le diametre G C de la terre, c’e$t- à-dire par 6538594, l’on aura la valeur de la ligne C D, qui e$t la différence du niveau apparent avec le vrai. Or $uppo$ant que la ligne de niveau apparent B D $oit de 800 toi$es, il fau- dra les réduire en lignes, & l’on aura 691200 lignes, qu’il faut en$uite quarrer pour avoir 477754440000, qui e$t le quarré de la ligne B D. Pré$entement $i l’on réduit le diametre de la terre, qui e$t de 6538594 toi$es en lignes, on aura 5649345216 lignes; & divi$ant le quarré de la ligne B D par le nombre pré- cédent, l’on aura environ 85 lignes, qui font 7 pouces une ligne, pour la différence C D du niveau apparent au de$$us du vrai.

766. L’on peut encore d’une maniere plus géométrique que la précédente, trouver la valeur C D du niveau apparent au de$$us du vrai: car à cau$e du triangle rectangle A B D, les quarrés A B & B D, pris en$emble, valent le quarré de l’hy- poténu$e A D. Ain$i il n’y a qu’à quarrer la valeur du demi- diametre de la terre, & la valeur de B D de la ligne de niveau apparent, & additionner ces deux quarrés, dont la racine $era la ligne A D, de laquelle il faudra retrancher la valeur du demi-diametre A B ou A C de la terre, & la différence $era la valeur de la ligne C D.

767. L’on peut remarquer que les hauteurs de deux points de niveau apparent au de$$us du vrai, $ont dans la même rai$on que les quarrés des lignes des niveaux apparens; car prenant le diametre G C pour la ligne G D, & le diametre H K pour la ligne H I, le quarré de la ligne B I étant au$$i égal au rec- tangle compris $ous H K & K I, les quarrés des lignes B D & B I $eront dans la même rai$on que les rectangles qui leur $ont égaux: mais ces rectangles ayant chacun pour ba$e le dia- metre G C ou H K de la terre, $eront comme leurs hauteurs C D & K I: ain$i les quarrés B D & B I $eront donc dans la rai$on des lignes C D & K I.

[0440]NOUVEAU COURS

768. L’on peut tirer de cette con$équence une regle gé- nérale pour trouver la hauteur du niveau apparent au de$$us du vrai, d’une façon bien plus courte, que par les deux mé- thodes précédentes: car $i on connoît une fois la hauteur du niveau apparent au de$$us du vrai pour une ligne d’une certaine longueur, l’on pourra trouver la même cho$e pour toutes les autres.

Par exemple, étant prévenu que pour une di$tance de 600 toi$es, le niveau apparent e$t élevé au de$$us du vrai de 4 pouces, pour $çavoir combien il e$t élevé pour une di$tance de 1000 toi$es, je fais une Regle de Trois, en di$ant: Si le quarré de 600, qui e$t 360000, donne 4 pouces, combien donnera le quarré de 1000, qui e$t 1000000? La Regle étant faite, on trouvera 11 pouces une ligne 4 points pour la hauteur du ni- veau apparent au de$$us du vrai, d’un coup de niveau de 1000 toi$es.

CHAPITRE V, Où l’on fait la de$cription du Niveau de M. Huyghens.

769. NOus n’avons parlé ju$qu’à pré$ent que du niveau d’eau, parce que c’e$t celui qui e$t le plus en u$age dans les nivelle- mens qui ne $ont pas d’une grande étendue. Cependant comme les niveaux qui ont des lunettes $ont bien plus commodes, parce que l’on peut en deux ou trois coups de niveau, ou quel- quefois même en un $eul, niveler deux objets, dont on ne pourroit connoître la différence des hauteurs avec le niveau d’eau, $ans faire beaucoup plus d’opérations, voici celui qui a été inventé par M. Huyghens, qui peut pa$$er pour le plus commode & le plus ju$te de tous ceux qui ont été faits dans ce goût-là.

Une des principales parties de cet in$trument e$t la virole D, qui a deux branches plates, C & E qui $ont $emblables, chacune d’environ un demi-pied de long; de $orte que le tout fait une e$pece de croix. Cette virole D porte la lunette A B longue de deux pieds: $i elle n’a que deux verres convexes, elle repré$entera les objets renver$és, mais avec beaucoup plus de clarté que $i elle en a quatre, qui les remettroient dans leur [0441]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. $ituation naturelle. Le tuyau de cette lunette doit être de cuivre, ou de quelqu’autre matiere forte, & à l’épreuve des injures de l’air.

Au bout des branches de la virole D $ont attachés deux filets doubles pa$$és dans des petits anneaux, & $errés entre des pinces à deux dents, dont l’une e$t fixée au bout de $a branche, & l’autre y e$t attachée de telle maniere qu’elle $e pui$$e ouvrir.

Comme la lunette e$t $u$pendue par la virole D au cro- chet F, elle e$t tendue horizontalement par le poids qui e$t enfermé dans la boîte G, dont il ne $ort que $on crochet. La pe$anteur de ce poids ne doit être qu’environ la pe$anteur de la croix, & le vuide qui re$te dans cette boîte e$t rempli d’huile de noix ou de lin, ou de quelqu’autre liqueur qui ne $e glace ni ne $e fige point; & c’e$t par cette liqueur que $ont arrêtés les balancemens du poids & de la lunette. Il doit y avoir au dedans de la lunette un fil de $oie tendu horizontale- ment au foyer du verre objectif; & c’e$t par une vis que l’on tourne au travers du trou H, percé dans le tuyau de la lunette, que l’on abai$$e ou éleve ce fil $elon le be$oin. Il faut mettre au tuyau de la lunette une petite virole, qui doit être fort legere, & ne pas pe$er plus d’une 80<_>e partie de la croix: elle n’e$t point attachée au tuyau de la lunette, parce qu’il faut la pou$$er vers le bout, ou l’en reculer autant qu’il e$t néce$$aire pour trouver l’équilibre de la lunette, & la mettre parallele à l’horizon.

Cette machine e$t $u$pendue au haut d’une e$pece de croix de bois plate, où il y a pour cela le crochet F, qui peut $e hau$$er ou bai$$er par le moyen de la vis qui tient à l’anneau qui $u$pend la machine: cette même croix tient la boîte qui contient le plomb & l’huile; & cette boîte e$t enfermée par les côtés & par le fond.

On couvre le niveau par une autre e$pece de croix, qui e$t creu$e, que l’on applique contre la croix de bois plate, avec plu$ieurs crochets, afin de couvrir le niveau contre les injures du tems; de $orte que le tout fait une boîte.

Pour rectifier ce niveau, on le $u$pendra par l’anneau d’une de $es branches, $ans attacher de poids par en bas, & l’on vi$era par la lunette à quelque objet éloigné, remarquant l’en- droit où le point de l’objet e$t coupé par le fil de la lunette, [0442]NOUVEAU COURS & en$uite on mettra le poids, en l’accrochant dans l’anneau d’en bas: & $i alors le fil de la lunette répond à la même marque de l’objet, c’e$t une preuve certaine que le centre de gravité, ou les deux points de la $u$pen$ion de la croix répon- dent au centre du tuyau de la lunette, ou au centre de la terre; mais $i cela ne $e trouve pas préci$ément au même point, on la vérifiera par le moyen de la virole I, en la fai$ant couler de part ou d’autre, pour réparer le défaut, & mettre la lu- nette en équilibre; & la lunette étant mi$e horizontalement par la virole $ans poids & avec poids, on la tournera $ans de$$us de$$ous, mettant en haut la branche d’en bas, & atta- chant le poids à la branche que l’on a abai$$ée.

Si après cette rectification, le fil qui e$t dans la lunette $e trouve à la même hauteur de l’objet que devant; c’e$t une marque que le fil du foyer de la lunette e$t directement au milieu de ce foyer: mais $i le fil ne vi$e pas au même point, & qu’il coupe l’objet au de$$us ou au de$$ous, on hau$$era ou bai$- $era moyennant la vis qui e$t pour cela, ju$qu’à ce que le fil coupe le point moyen, qui e$t entre les deux points remar- qués, & après cela le niveau $era bien rectifié.

Le pied qui doit porter la machine e$t une e$pece de table de fer ou de cuivre, qui e$t ronde & un peu concave, afin que la machine $oit plus $olidement établie dans la concavité: elle e$t élevée $ur trois pieds, qui y $ont attachés en char- niere, & dont la hauteur e$t de trois ou quatre pieds.

La figure N repré$ente en grand le tuyau qui porte en de- dans de la lunette le fil horizontal, qui e$t attaché à la four- chette K avec de la cire.

Il faut $i peu de cho$e pour faire de grandes erreurs en ni- velant, que l’on ne $çauroit prendre trop de précautions à $e bien $ervir des in$trumens: pour cela, il faut les connoître parfaitement; quand je dis les connoître, j’entends que l’on doit $i bien les examiner, que l’on pui$$e en $çavoir ju$qu’au moindre défaut, entre le$quels il n’y en a point de plus con- $idérable que de bai$$er ou hau$$er la mire. Il e$t vrai que pour le niveau de M. Huyghens, quand même il n’auroit pas été fait avec a$$ez de précaution pour avoir cet inconvénient, il ne faut pas beaucoup s’en embarra$$er; car s’il bai$$e la mire dans un $ens, il la hau$$era d’autant dans un autre; & prenant le point milieu des deux objets, l’on aura toujours le vrai [0443]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. niveau apparent, qui e$t un avantage particulier de ce niveau, de pouvoir être renver$é de bas en haut, & de haut en bas; mais comme on peut $e $ervir de tout autre in$trument qui n’aura pas cet avantage, voici le moyen de corriger un rayon de mire faux.

Ayant po$é un in$trument à l’endroit A, pour pointer vers _Figure_ 209. D G, je $uppo$e que l’on a reconnu que la lunette, au lieu de donner le point C du niveau apparent B C, donne le point D, qui e$t plus élevé que le point C, parce que l’in$trument hau$$e la mire; & ayant remarqué que $ur une di$tance B C de 200 toi$es, le point D e$t élevé de deux pouces au de$$us du point C. Après en être bien a$$uré, $i je vois que cette faute ne $e pui$$e pas réparer, parce que l’on $uppo$e que l’in$trument a été mal fait, j’ai égard, dans toutes les opérations que je fais, à la correction de l’in$trument; de $orte qu’ayant donné un autre coup de niveau B E de 600 toi$es, je cherche à quel point de la hauteur E H doit être le niveau apparent, parce que je $uis prévenu que ce n’e$t pas le point E, mais que ce doit être un autre point au de$$us de celui-ci. Pour le trouver, je dis: Si 200 toi$es donnent 2 poucespour le hau$$ement du rayon de mire, combien donneront 600 toi$es? La Regle étant faite, je trouve 6 pouces; ain$i je prends le point F, $ix pouces au de$$ous du point E, & pour lors la ligne B F e$t celle du ni- veau apparent: mais $i l’in$trument bai$$e la mire, au lieu de la hau$$er, on trouvera toujours le point du vrai niveau appa- rent en $uivant la même regle, qui e$t fondée $ur ce que les triangles B C D & B F E $ont $emblables.

CHAPITRE VI, Où l’on donne la maniere de $e $ervir du Niveau de M. Huyghens.

770. LE niveau ayant été po$é au lieu de$tiné pour l’opéra- tion, on envoyera, comme à l’ordinaire, un Aide à une di$- tance convenable, & on regardera exactement par la lunette l’endroit de la perche où le fil répondra; & l’Aide qui tient la carte l’ayant hau$$ée & bai$$ée tant que le petit rond noir ré- ponde au rayon de mire, il a $oin de marquer un trait de crayon [0444]NOUVEAU COURS $ur la perche à l’endroit où le rayon de mire a répondu, & il ne bouge point de $a place ju$qu’à ce qu’il $oit averti; & alors celui qui e$t à l’in$trument, le change de di$po$ition, mettant le de$$us au de$$ous, c’e$t-à-dire qu’il faut accrocher la croix par l’anneau d’en bas; après quoi on vi$e de rechef avec la lunette, & celui qui e$t à la perche hau$$e & bai$$e encore le carton, pour marquer à quelle hauteur porte le rayon de mire, qui doit répondre au même endroit que l’on a marqué. Or $uppo$ant qu’il donne au de$$ous de la marque, il faut mar- quer exactement à quel endroit; en$uite divi$er en deux égale- ment l’intervalle des deux coups de niveau différens, & l’on aura au ju$te la hauteur du niveau apparent, de laquelle il fau- dra retrancher la hauteur du niveau apparent au de$$us du vrai, que l’on trouvera, $elon qu’il a été en$eigné au quatrieme chapitre, & la différence $era la hauteur du vrai niveau, la- quelle on pourroit encore trouver $ans faire de calcul, comme on le va voir.

Ayant deux perches C A & B E, éloignées l’une de l’autre, _Figure_ 210. je $uppo$e d’une di$tance de 600 toi$es, l’on demande quelle $eroit la hauteur du niveau apparent au de$$us du vrai.

Pour la trouver, po$ez le niveau à l’endroit A, & pointez avec la lunette l’endroit de la perche B E, où le rayon de mire ira la rencontrer, $uppo$ant que ce $oit au point B, il faut y faire une marque, & vérifier ce coup de niveau, en renver$ant l’in$trument, pour voir $i dans cette $ituation le rayon de mire $e termine au point B. Cela po$é, faites porter l’in$tru- ment à l’endroit E, & di$po$ez-le de maniere que le foyer du verre de la lunette $oit préci$ément à la hauteur B. Après cela donnez un autre coup de niveau B C, qui aille rencontrer la perche A C au point C, qu’il faudra marquer $ur la perche, après l’avoir vérifié comme ci-devant; & $i l’on me$ure exac- tement la di$tance C A, je dis qu’elle $era double de la hauteur du niveau apparent au de$$us du vrai; de $orte que C A doit $e trouver ici de 8 pouces: car en divi$ant C A en deux également au point D, l’on aura la ligne C D de 4 pouces, qui $era la différence du niveau apparent au de$$us du vrai, pour une di$- tance de 600 toi$es, comme on le peut voir par le calcul: ain$i les points B & D $ont de niveau, étant également éloi- gnés du centre de la terre, comme vous l’allez voir.

[0445]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_.

Si l’on prend le point A pour l’extrêmité d’un des rayons de la terre, le point B $era plus éloigné du centre de la terre que le point A de 4 pouces: mais le point C étant plus éloigné du centre de la terre que le point B au$$i de 4 pouces, le point C $era donc plus éloigné que le point A du centre de la terre de 8 pouces: donc les points D & B étant chacun plus éloignés du centre de la terre que le point A de 4 pouces, il s’en$uit qu’ils $eront de niveau, & que la moitié de la ligne C A $era la hauteur du niveau apparent au de$$us du vrai.

L’on voit que par le nivellement réciproque l’on peut d’une maniere fort $imple déterminer deux points parfaitement de niveau, $ans s’embarra$$er de leur di$tance. Il e$t vrai que l’on peut encore trouver deux points de niveau, $ans même faire de nivellement réciproque, en po$ant l’in$trument dans le milieu de la di$tance de deux objets que l’on a à niveler; ce qui $e fait à peu près de la maniere qu’on a expliqué dans l’u$age du niveau d’eau.

CHAPITRE VII, Où l’on donne la maniere de faire le Nivellement compo$é, avec le niveau de M. Huyghens.

771. NOus avons dit que pour faire un nivellement com- _Figure_ 212. po$é, il falloit ajouter toutes les hauteurs que l’on trouveroit en montant, & que l’on auroit mi$es dans la premiere co- lonne, & ajouter au$$i en$emble toutes celles que l’on aura trouvées en de$cendant, qui $ont dans la $econde colonne, afin de $ou$traire la $omme des unes de la $omme des autres, pour avoir la différence, qui fait voir de combien l’un des en- droits e$t plus élevé que l’autre: mais comme dans cette pra- tique nous nous $ommes $ervis du niveau d’eau, dont les coups de niveau ne $ont pas con$idérables, & que d’ailleurs l’in$tru- ment pour chaque $tation a été placé dans le milieu des deux termes, on n’a pas eu égard à la différence du niveau appa- rent au de$$us du vrai, ni en de$cendant, ni en montant, parce que, $elon cette pratique, la différence du niveau ap- parent n’a pas lieu: mais il n’en e$t pas de même, lor$qu’on [0446]NOUVEAU COURS $e $ert d’un in$trument à pouvoir donner des grands coups de niveau, ou il faut avoir égard à la différence du niveau appa- rent au de$$us du vrai, en montant comme en de$cendant, $urtout quand l’in$trument e$t placé au premier terme, pour niveler d’un terme à l’autre: car dans cette occa$ion, il faut non $eulement mettre dans la premiere colonne les hauteurs que l’on a trouvées en montant, & dans la $econde celles que l’on a trouvées en de$cendant; mais encore écrire à côté de chaque colonne la différence du niveau apparent au de$$us du vrai, pour chaque di$tance qui $ont dans les colonnes, tant en montant qu’en de$cendant: & ce qu’il y a de particulier en ceci, c’e$t qu’après avoir mis dans une $omme les hauteurs du niveau apparent au de$$us du vrai, que l’on aura trouvées en montant, il faut l’ajouter à la $omme des hauteurs de la premiere colonne, pour ne faire qu’une $omme des hauteurs de la premiere colonne, & des différences de leur niveau ap- parent au de$$us du vrai.

L’on écrira de même à côté de la $econde colonne, la dif- férence du niveau apparent au de$$us du vrai, pour chaque hauteur que l’on aura trouvée en de$cendant; & l’on fera une $omme de toutes ces différences, qu’il faudra en$uite $ou$traire de celles des hauteurs, tellement qu’il faut regarder comme une regle générale, qu’en montant il faut ajouter la différence du niveau apparent au de$$us du vrai, aux hauteurs que l’on trouvera en de$cendant, & qu’en de$cendant il les faut $ou$- traire; & en voici la rai$on.

Suppo$ons qu’en montant l’on ait donné des coups de ni- _Figure_ 211. veau B C & F G, & en de$cendant les coups de niveau K N & Q R. Cela po$é, con$idérez qu’ayant mené à la ligne B C la parallele A D, cette parallele $era une tangente à la terre, & la ligne D E marquera la hauteur du niveau apparent au de$$us du vrai. Or comme les lignes B A & C D $ont égales, le point C $era plus éloigné du centre de la terre que le point B de toute la ligne D E: ain$i pour que le point B $oit de ni- veau avec le point C, il faudra ajouter à la hauteur B A la ligne D E, c’e$t-à-dire la ligne de la différence du niveau ap- parent au de$$us du vrai. De même $i à la ligne de niveau ap- parent F G l’on mene la parallele E H, la ligne H I $era en- core la différence du niveau apparent au de$$us du vrai. Or [0447]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_. les lignes F E & G H étant égales, le point G $era plus éloigné du centre de la terre que le point F de toute la ligne H I: il faut donc, pour que le point F $oit de niveau avec le point G, ajouter à la hauteur F C la ligne H I.

A l’égard des coups de niveau K N & Q R, que l’on a donnés en de$cendant, l’on voit que leur ayant mené les paralleles L O & P S, qui $ont des tangentes à la terre, le point N e$t plus éloigné du centre de la terre que le point K de toute la ligne O P; & que pour trouver un point de niveau avec le point K, il faut ôter de la hauteur N Q la ligne O P, qui e$t la différence du niveau apparent au de$$us du vrai pour la lon- gueur K N. Enfin comme le point R n’e$t pas de niveau avec le point Q, parce que le premier e$t plus éloigné du centre de la terre que le $econd de toute la ligne S T, il faudra donc encore ôter la ligne S T de la hauteur R T, pour mettre le point R de niveau avec le point Q. Il en $era de même des autres.

L’on a $uppo$é que les lignes B A & C D, F E & G H, &c. _Figure_ 212. étoient paralleles, quoiqu’elles $oient des demi-diametres de la terre prolongés; mais à cau$e de la grande di$tance au cen- tre, on les peut regarder comme telles, $ans que cela pui$$e faire une erreur $en$ible.

Pour appliquer à un exemple ce que nous venons d’en$ei- gner, $oient les lieux A & F, dont on veut connoître la dif- férence de niveau.

Pour cela je me $ers d’un niveau à lunettes, que je po$e au premier terme A, pour donner le coup de niveau G B, qui $e termine à un point B de la hauteur, auquel j’envoie un Aide pour y planter un piquet, & je con$idere que la différence du niveau apparent e$t de 4 pieds & demi, qui e$t la hauteur G Q du niveau, que j’écris dans la premiere colonne; en$uite je fais me$urer la longueur G B, que je $uppo$e de 600 toi$es, & je cherche quelle e$t la hauteur du niveau apparent au de$$us du vrai, que je trouve de 4 pouces: j’écris cette hauteur à côté de la premiere colonne, vis-à-vis de 4 pieds & demi. Après cela je fais porter le niveau au point B, & j’envoie un Aide à l’endroit C, qui e$t une di$tance que l’on aura jugé conve- nable; & après avoir donné le coup de niveau H I, je $uppo$e que l’on a trouvé I C de 2 pieds, que je $ou$trais de 4 pieds & [0448]NOUVEAU COURS demi, & il re$te 2 pieds & demi pour la hauteur du point C au de$$us du point B. Ayant donc écrit cette quantité dans la premiere colonne, je fais me$urer la longueur H I, que je trouve de 380 toi$es, qui donnent un pouce 7 lignes pour la différence du niveau apparent au de$$us du vrai, que j’écris à côté de la premiere colonne, vis-à-vis 2 pieds 6 pouces.

Delà je viens au point C, & j’envoie un Aide au point D avec une perche; en$uite je donne le coup de niveau K L, & l’Aide qui e$t en L, marque un trait de crayon à l’endroit de la perche où a répondu le rayon de mire, & on me$ure la hau- teur L D, qui $era, par exemple, de 9 pieds; d’où ayant $ou$- trait la hauteur du niveau, il vient 4 pieds & demi, qui fait voir la différence de niveau apparent des points C & D. Mais comme 4 pieds & demi e$t une hauteur que l’on a trouvée en de$cendant, je l’écris dans la $econde colonne, à côté de laquelle j’écris au$$i 2 pouces 4 lignes, qui e$t la différence du niveau apparent au de$$us du vrai pour la longueur K L. Après cela je fais porter le niveau au point D, & j’envoie un Aide en E, pour marquer le point M $ur la perche, après que j’aurai donné le coup de niveau M N: ayant trouvé 10 pieds & demi pour la hauteur E N, j’en $ou$trais celle du niveau, qui e$t de 4 pieds & demi, & la différence e$t 6 pieds, que j’écris dans la $econde colonne: & $uppo$ant que la di$tance M N $oit de 650 toi$es, je cherche la hauteur du niveau apparent au de$$us du vrai pour une pareille di$tance, & je trouve qu’elle e$t de 4 pouces 8 lignes, que j’écris à côté de la $econde colonne, vis-à-vis le dernier nombre que j’y ai marqué, c’e$t-à-dire vis-à-vis 6 pieds. Enfin je fais porter le niveau en E, pour faire la derniere opération O P, qui donne 8 pieds pour la hauteur P F; d’où ayant retranché celle du niveau, la diffé- rence e$t 3 pieds & demi, que j’écris dans la $econde colonne, à côté de laquelle je mets 5 pouces 4 lignes, qui e$t la diffé- rence du niveau apparent au de$$us du vrai pour la di$tance O P, que nous $uppo$ons de 700 toi$es.

Après que l’on a fait l’opération, il faut faire l’addition des hauteurs de la premiere colonne, & l’on aura 6 pieds, & ajouter au$$i en$emble les hauteurs des niveaux apparens au de$$us du vrai, pour avoir 5 pouces 7 lignes, qu’il faut ajouter avec la premiere colonne, & le tout $era 6 pieds 5 pouces 7 lignes.

[0449]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. X_.

En$uite il faut ajouter les hauteurs de la $econde co- lonne, qui font 14 pieds; mettre au$$i dans une $omme les hauteurs du niveau apparent au de$$us du vrai, qui $ont à côté, pour avoir un pied 4 lignes, qu’il faut $ou$traire de la $omme des hauteurs de la $econde colonne, c’e$t-à-dire, de 14 pieds, & la différence $era 12 pieds 11 pouces 8 lignes. Enfin il faut $ou$traire 6 pieds 5 pouces 7 lignes de cette quan- tité, & le re$te $era 6 pieds 6 pouces une ligne, qui fait voir que le lieu A e$t plus élevé que le lieu F de 6 pieds 6 pouces une ligne.

772. Quand le terrein le permet, il vaut beaucoup mieux faire le nivellement entre deux termes, que de $uivre ce qui vient d’être dit, parce que l’on n’a point d’égard à la diffé- rence du niveau apparent au de$$us du vrai, non plus que dans les pratiques que nous avons données au $ujet du ni- veau d’eau: mais pour cela il $eroit à propos que le niveau eût deux lunettes, l’une pour pointer de la droite à la gau- che, & l’autre pour pointer de la gauche à la droite. Les corrections des coups de niveau $e feront toujours de la même façon qu’il a été en$eigné.

Par exemple, voulant connoître la différence des hau- _Figure_ 213. teurs de deux endroits I & E, je partage la di$tance de ces deux termes, pour faire des $tations aux endroits les plus convenables; & ayant fait planter des piquets aux endroits F, G, H, je fais ma premiere $tation au point A, à peu près dans le milieu de E F, la $econde au point B, au$$i dans le milieu de F G, la troi$ieme au point C, & la quatrieme au point D; ob$ervant toujours d’écrire dans la premiere co- lonne les hauteurs que l’on trouvera en montant, & dans la $econde celles que l’on trouvera en de$cendant, $ans $e mettre en peine des hauteurs du niveau apparent au de$$us du vrai. Je crois avoir a$$ez dit pour ne rien lai$$er à dé$irer $ur tout ce qui regarde le nivellement; & pour peu qu’on s’attache à le bien entendre, il ne faudra qu’un peu de pra- tique pour être en état de faire toutes les opérations qui $e pourront pré$enter.

[0450]NOUVEAU COURS DE MATHEM. _Liv. X_. AVERTISSEMENT.

M’étant apperçu qu’une grande partie de ceux qui $e $er- vent tous les jours du toi$é, n’en ont que la routine, & que les per$onnes qui en ont écrit ne $e $ont attachées qu’à don- ner la pratique de ce calcul, $ans rien dire des rai$ons $ur le$quelles il e$t établi; j’ai cru devoir en donner un petit Traité avant de parler de la me$ure des corps, afin que ceux qui commencent pui$$ent les calculer, & trouvent dans cet Ouvrage tout ce qu’il faut qu’ils $çachent, pour être en état de $e $ervir utilement de ce qui a été en$eigné dans la pre- miere Partie.

Fin du dixieme Livre. [0451] NOUVEAU COURS DE MATHÉMATIQUE. LIVRE ONZIEME. Du Toi$é en général, où l’on en$eigne la maniere de faire le calcul du toi$é des plans, des $olides, & de la charpente.

773. L’ON entend ordinairement par le _toi$é_, la maniere de calculer les dimen$ions de tous les ouvrages qui font partie de la fortification d’une place, & même de tous les édifices civils. Quoique chaque pays ait $a me$ure particuliere, & que le pied ne $oit pas le même partout, cela n’empêche pas que pour les ouvrages du Roi, l’on ne $e $erve toujours de la toi$e, qui e$t (comme nous l’avons dit ailleurs) compo$ée de $ix pieds. Mais comme le pied e$t dans un endroit de dix pouces, dans un autre de onze pouces, on a nommé celui dont on $e $ert en France pour les fortifications, _pied de Roi_, lequel e$t compo$é de 12 pouces; ain$i la toi$e vaut 72 pouces. L’on a au$$i divi$é le pouce en douze parties, que l’on nomme _lignes_, & la ligne en douze autres parties, que l’on nomme _points_.

Cependant on di$tingue trois $ortes de toi$es; la toi$e _cou-_ _rante_, la toi$e _quarrée_, & la toi$e _cube_. La toi$e courante e$t celle qui a 6 pieds de longueur, $ans largeur ni profondeur; la toi$e quarrée e$t celle qui a 6 pieds de longueur $ur 6 pieds de largeur, $ans hauteur ou profondeur; & la toi$e _cube_ e$t celle qui a 6 pieds de longueur, 6 pieds de largeur, $ur 6 pieds de hauteur, & qui a par con$équent les trois dimen$ions égales: [0452]NOUVEAU COURS au$$i cette toi$e $ert-elle à me$urer les $olides, au lieu que la toi$e quarrée ne $ert qu’à me$urer les $uperficies, & la toi$e courante les longueurs, & à déterminer les dimen$ions des plans & des $olides.

Ain$i ce que nous venons d’expliquer à l’égard de la toi$e, e$t la même cho$e que ce que l’on a dit à l’égard du pied au commencement du premier Livre.

La toi$e quarrée ayant 6 pieds de longueur $ur 6 pieds de largeur, l’on peut dire que $a $uperficie e$t compo$ée de 36 pieds quarrés, pui$que multipliant les deux dimen$ions de cette toi$e l’une par l’autre, c’e$t-à-dire 6 pieds par 6 pieds, l’on aura 36 pieds quarrés: à l’égard de la toi$e cube, comme $es trois dimen$ions $ont chacune compo$ées de 6 pieds, on voit qu’elle doit être compo$ée de 216 pieds cubes; car multi- pliant la toi$e quarrée, qui vaut 36 pieds quarrés par 6 pieds, qui e$t la hauteur de la toi$e cube, l’on aura 216 pieds cubes.

774. Il e$t bon de remarquer ici que dans le toi$é des plans & des $olides, tel que nous l’allons expliquer, on ne con$idere point combien il faut de pieds quarrés pour compo$er une toi$e quarrée, ni combien il faut de pieds cubes pour compo$er une toi$e cube; parce que pour rendre le calcul plus court, l’on a pris pour le pied de la toi$e quarrée, la $ixieme partie de la même toi$e, & pour le pied de la toi$e cube, la $ixieme partie de cette toi$e; tellement que $i l’on con$idere le quarré A B _Figure_ 214. comme une toi$e quarrée, dont le côté A C e$t divi$é en $ix parties égales, le rectangle D E étant la $ixieme partie du quarré A B, il $era par con$équent un pied de toi$e quarrée, de même que le rectangle D F renferme 3 pieds de toi$e quarrée, pui$- qu’il e$t la moitié du quarré A B. Mais comme la toi$e quarrée vaut 36 pieds quarrés, & que le rectangle D E e$t la $ixieme partie de la toi$e, il s’en$uit qu’un pied de toi$e quarrée vaut 6 pieds quarrés, & que le rectangle D F, qui e$t la moitié de la toi$e, en vaut 18.

L’on pourroit dire la même cho$e des pouces, des lignes, des points de toi$e quarrée; car un pouce tel que celui-ci e$t un rectangle, qui a un pouce de ba$e $ur une toi$e de hau- teur; de même une ligne e$t un rectangle, qui a une ligne de ba$e $ur une toi$e de hauteur. Enfin un point e$t encore un rectangle, qui a pour ba$e la douzieme partie d’une ligne, & pour hauteur une toi$e: ain$i l’on voit que 12 points de toi$e [0453]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XI_. quarrée font une ligne de la même toi$e, que 12 lignes font un pouce, que 12 pouces font un pied, & que 6 pieds font une toi$e quarrée, pui$que toutes ces quantités ont la même hauteur. Nous ferons voir la même cho$e à l’égard des pieds, des pouces, des lignes & des points de la toi$e cube, après que nous aurons $uffi$amment expliqué la maniere de multi- plier deux dimen$ions exprimées par des toi$es & des parties de toi$es courantes.

CHAPITRE PREMIER, Où l’on fait voir comment on multiplie deux dimen$ions, dont la premiere e$t compo$ée de toi$es & de parties de toi$es, & la $econde de toi$es $eulement.

775. A Yant une longueur A B de 6 toi$es, à laquelle on a ajouté une petite longueur C B de 2 pieds, & une autre C D de 6 pouces, toute la ligne A D vaudra 6 toi$es 2 pieds 6 pouces; laquelle étant multipliée par la ligne A E d’une toi$e, le pro- duit donnera le rectangle E A D H, dont on aura la valeur, en multipliant 6 toi$es 2 pieds 6 pouces par une toi$e, pour en faire le calcul.

Je po$e les deux dimen$ions comme on les _toi$es_. # _pieds_. # _pou._ 6. # 2. # 6. 1. # 0. # 0. 6. # 2. # 6. voit ici; en$uite je multiplie les plus petites parties, en commençant par la droite, & fini$- $ant par la gauche, en di$ant: une fois 6 e$t 6, que je po$e à la colonne des pouces, parce que ce $ont 6 pouces de toi$e quarrée, & puis une fois 2 e$t 2, que je po$e au rang des pieds, parce que ce $ont des pieds de toi$e quarrée: enfin une fois 6 e$t 6, que je po$e au rang des toi$es, parce que ce $ont autant de toi$es quarrées: ain$i le produit 6 toi$es 2 pieds 6 pouces, e$t la valeur du rectangle A H, le- quel e$t compo$é du rectangle A F, qui vaut 6 toi$es du rec- tangle B G, qui vaut 2 pieds, & du rectangle C H, qui vaut 6 pouces.

Pour multiplier 10 toi$es 4 pieds 8 pouces _toi$es_. # _pieds_. # _pou._ 10. # 4. # 8. 5. # 0. # 0. 53. # 5. # 4. par 5 toi$es, je di$po$e ce nombre comme on le voit ici, & je dis, 5 fois 8 font 40, fai$ant attention que ce font 40 unités, qui valent [0454]NOUVEAU COURS chacune un petit rectangle, qui a pour ba$e un pouce $ur une toi$e de hauteur; & comme ce $ont autant de pouces de toi$e quarrée, je con$idere en 40 combien il y a de fois 12, parce que 12 pouces de toi$e quarrée valent un pied de la même toi$e: & comme je trouve qu’en 40 il y a trois fois 12, & 4 de re$te, je po$e 4 au rang des pouces, & je retiens 3 pieds: en- $uite je dis, 5 fois 4 font 20, & 3 de retenu, font 23, dont chaque unité vaut un pied de toi$e quarrée; & comme il faut 6 de ces pieds pour faire une toi$e, je con$idere combien 6 $e trouve de fois dans 23; & comme il y e$t 3, & qu’il re$te 5, je po$e 5 au rang des pieds, & je retiens 3, qui $ont autant de toi$es quarrées, que j’ajoute avec le produit de 10 par 5, pour avoir 53: ain$i l’opération étant faite, on trouvera 53 toi$es 5 pieds 4 pouces.

Pour multiplier 60 toi$. 3 pieds 9 pouces _toi$es_. # _pieds_. # _pou._ 60. # 3. # 9. 84. # 0. # 0. 240. 480. 42. # 0. # 0. 10. # 3. # 0. 5092. # 3. # 0. par 84 toi$es, je remarque que le nombre 84 étant con$idérable, la mémoire $eroit fatiguée en multipliant les pieds & les pouces, comme on le voit dans cette opé- ration: car d’aller dire 84 fois 9, on n’ap- perçoit pas d’abord combien ce produit doit donner de pouces; & $uppo$é qu’on le $çache à l’in$tant, l’on trouveroit en- core un autre embarras, en cherchant combien ce produit contient de pieds, à moins qu’on ne fa$$e une divi$ion par 12; & ceci $e rencontrera, non $eulement à l’égard des pouces, mais encore pour les pieds, les lignes, & les points. Or pour éviter les difficultés que pourroit donner un pareil calcul, on agit d’une façon fort $imple pour multiplier les pieds, les pouces, les lignes & les points de la premiere dimen$ion, quand le nombre de toi$es de la $econde e$t compo$é de plus d’une figure. Pour cela, il faut commencer par multiplier les entiers par les entiers: ain$i je multiplie 60 par 84, & j’écris le pro- duit comme à l’ordinaire; en$uite je remarque que $i au lieu de 3 pieds j’avois une toi$e à multiplier par 84, le produit $eroit 84 toi$es; mais comme 3 pieds ne valent que la moitié d’une toi$e, la moitié de 84 $era donc le produit de 3 pieds; ain$i je dis: La moitié de 8 e$t 4, & la moitié de 4. e$t 2, ce qui donne 42 pour le produit; mais il faut remarquer que dans le tems que je prends la moitié de 84 pour le produit de 3 pieds, j’agis [0455]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XI_. comme $i 84 contenoit des toi$es quarrées: car pour que 42 toi$es $oient le produit de deux dimen$ions, ou autrement $oient des toi$es quarrées, il faut que 84 $oient regardées comme des toi$es quarrées.

Mais comme il y a encore 9 pouces qui n’ont pas été mul- tipliés, je con$idere quel e$t le rapport de 9 pouces avec 3 pieds, de même que j’ai con$idéré celui de 3 pieds avec la toi$e. Or comme 3 pieds valent 36 pouces, je vois que le rapport de 9 à 36 e$t un quart, & que $i le produit de 84 par 3 pieds a donné 42 toi$es, le produit de 9 pouces par 84 ne doit donner que le quart de 42: je dis donc, le quart de 4 e$t 1, que je po$e $ous le 4, & le quart de 2 e$t 0; mais comme 2 toi$es valent 12 pieds, n’ayant pu prendre le quart de 2 toi$es en nombres entiers, je les réduis en pieds pour en prendre le quart, qui e$t 3; après quoi je fais l’addition de tous ces pro- duits, afin d’avoir le produit total, qui e$t 5092 toi$es & 3 pieds.

Pour rendre ce calcul plus familier aux Commençans, voici encore plu$ieurs exemples des mêmes Regles.

Pour multiplier 18 toi$es 2 pieds 8 pouces _toi$es_. # _pieds_. # _pou._ 18. # 2. # 8. 24. # 0. # 0. 72. 36. 8. # 0. # 0. 2. # 4. # 0. 442. # 4. # 0. par 24 toi$es, l’on commence par multiplier les toi$es par les toi$es, comme à l’ordinaire: après cela il faut con$idérer le rapport de 2 pieds avec la toi$e; & comme 2 pieds en e$t le tiers, je prends le tiers de 24, qui e$t 8; & comme ce $ont autant de toi$es, je les place au rang des toi$es.

Pour être convaincu que 24 multipliés par 2 pieds, donne 8 toi$es, fai$ons-en la multiplication comme à l’ordinaire, l’on verra que le produit e$t 48 pieds, c’e$t-à-dire 48 petits rec- tangles, dont chacun a un pied pour ba$e, & une toi$e pour hauteur: & comme il en faut 6 pour faire une toi$e quarrée, l’on voit que divi$ant 48 par 6, le quotient $era 8, qui e$t le même nombre que nous avons trouvé de l’autre façon.

Mais il nous re$te encore à multiplier 24 toi$es par 8 pouces; & comme cela $e peut faire par le moyen du produit de 2 pieds, je con$idere le rapport que 2 pieds ont avec 8 pouces, parce que le rapport du produit de 8 pouces avec celui de 2 pieds $era le même que 8 pouces avec 2 pieds. Or comme 2 pieds valent 24 pouces, & que 8 en e$t le tiers, je prends le tiers du produit de 2 pieds, c’e$t-à-dire le tiers de 8 toi$es, en di$ant: Le tiers [0456]NOUVEAU COURS de 8 e$t 2, il re$te 2 toi$es, qui valent 12 pieds, dont le tiers e$t 4 pieds, que je po$e au rang des pieds; aprés quoi je fais l’addition de tous les produits pour avoir le total, qui e$t 442 toi$es 4 pieds.

Pour multiplier 36 toi$es 5 pieds _toi$es._ # _pieds_. # _pouces_. # _lig._ 36. # 5. # 6. # 9. 28. # 0. # 0. # 0. 288. 72. 14. # 0. # 0. # 0. 9. # 2. # 0. # 0. 2. # 2. # 0. # 0. 0. # 1. # 9. 1033. # 5. # 9. # 0. 6 pouces 9 lignes par 28 toi$es, je commence, comme à l’ordinaire, à multiplier les toi$es par lestoi$es; en- $uite je compare le rapport de 5 pieds avec la toi$e, & je vois que c’e$t les {5/6}, & par con$équent il faut pour mul- tiplier 28 toi$es par 5 pieds, prendre les {5/6} de 28 toi$es; & comme il n’e$t pas ai$é de prendre cela tout d’un coup, je cherche des parties aliquotes pour rendre le calcul plus ai$é; & comme 5 e$t compo$é de 3 & de 2, dont 3 e$t la moitié de la toi$e, & 2 le tiers, je prends d’abord pour 3 la moitié de 28, qui e$t 14, en$uite pour 2 pieds le tiers, en di- $ant: Le tiers de 28 e$t 9; & comme il re$te une toi$e, j’en prends encore le tiers, qui e$t 2 pieds.

Pour multiplier les 6 pouces, j’ai recours au produit de 2 pieds, qui paroît le plus commode, parce que 6 pouces e$t le quart de 2 pieds, pui$que 2 pieds valent 24 pouces; ain$i le produit de 6 pouces $era le quart de celui de 2 pieds; & comme ce produit e$t 9 toi$es 2 pieds, je dis: Le quart de 9 e$t 2, il re$te une toi$e, qui vaut 6 pieds, le$quels étant ajoutés avec les 2 pieds qui re$tent, font 8 pieds, dont le quart e$t 2: ain$i le produit de 6 pouces e$t 2 toi$es 2 pieds.

Comme il re$te encore 9 lignes, qui n’ont pas été multi- pliées, je cherche le rapport de 9 lignes avec 6 pouces. Or comme 6 pouces valent 72 lignes, & que 9 lignes en font la huitieme partie, le produit de 9 lignes $era donc la huitieme partie de celui de 6 pouces, je dis donc: La huitieme partie de 2 e$t o; mais ce $ont 2 toi$es qui valent 12 pieds, auxquels ajoutant 2 pieds qui re$tent, on aura 14, dont la huitieme partie e$t un pied, il re$te 6 pieds, que je réduis en pouces pour avoir 72 pouces, dont la huitieme partie e$t 9, que je po$e au rang des pouces; après quoi je fais l’addition, qui donne 1033 toi$es 5 pieds 9 pouces pour produit total.

Pour multiplier 12 toi$es 9 pouces par 18 toi$es, je fais la [0457]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XI._ multiplication des toi$es comme à l’ordi- _toi$es._ # _pieds._ # _pou._ 12. # 0. # 9. 18. # 0. # 0. 96. 12. 1. # 3. # 0. 0. # 4. # 6. 218. # 1. # 6. naire; en$uite pour multiplier 18 toi$es par 9 pouces, je cherche le rapport de 9 pouces avec la toi$e, & je trouve qu’ils en $ont la huitieme partie, pui$qu’une toi$e vaut 72 pouces; mais comme il $e peut rencontrer une quantité de nombres, 7, 11, 10, où ce rapport ne $e fera pas ap- percevoir ai$ément, il vaut mieux faire une fau$$e po$ition, c’e$t-à-dire $uppo$er le produit d’un pied. Fai$ant donc comme s’il y avoit un pied à la place du zero, je multiplie ce pied $uppo$é par 18 toi$es; & comme un pied e$t la $ixieme partie de la toi$e, je prends la $ixieme partie de 18, qui e$t 3 toi$es, que je po$e au rang des toi$es, ayant $oin de couper le 3 par un trait de plume, pour faire voir qu’il ne doit point être compris dans l’addition. Cela po$é, je cherche le rapport de 9 pouces avec un pied, qui e$t les {3/4}: je prends donc d’abord pour 6 pouces, qui e$t la moitié; ain$i je dis: la moitié de 3 e$t 1, il re$te une toi$e, qui vaut 6 pieds, dont la moitié e$t 3; en$uite je prends la moitié de ce produit pour 3 pouces, en di$ant: la moitié d’un n’e$t rien, mais c’e$t une toi$e qui vaut 6 pieds, le$quels étant joints avec les 3 pieds qui re$tent, font 9 pieds, dont la moitié e$t 4 pieds 6 pouces, que j’additionne avec les autres produits, & il vient 218 toi$es un pied 6 pouces pour le produit total.

Pour multiplier 24 toi$es 2 pieds _toi$es._ # _pieds._ # _pouces._ # _lig._ 24. # 2. # 0. # 6. 52. # 0. # 0. # 0. 48. 120. 17. # 2. # 0. # 0. # # 0. # 0. 0. # # # 0. 0. # 2. # 2. # 0. 1265. # 4. # 2. # 0. 6 lignes par 52 toi$es, il faut, après avoir multiplié les toi$es par les toi- $es, chercher le rapport de 2 pieds avec la toi$e; & comme c’e$t le tiers, on prendra donc le tiers de 52, qui e$t 17 toi$es 2 pieds. Comme il re$te 6 lignes à multiplier par 52 toi$es, il n’e$t pas ai$é de voir le rapport de 6 lignes avec 2 pieds; l’on auroit bien plus de facilité, $i l’on avoit le pro- duit de quelque pouce: cependant comme il n’y a pas de pouces dans la premiere dimen$ion, il faut $e donner un produit $up- po$é d’un pouce; & comme un pouce e$t la 24<_>e partie de 2 pieds, je m’apperçois qu’il n’e$t pas encore ai$é de prendre la 24<_>e partie [0458]NOUVEAU COURS de 17 toi$es 2 pieds; c’e$t pourquoi j’en prends la moitié pour avoir le produit d’un pied $eulement, qui $era 8 toi$es 4 pieds. Ayant po$é ces nombres à leurs places ordinaires, je les coupe par un trait de plume, pour qu’ils ne $oient pas compris dans l’addition: après cela je con$idere qu’un pouce étant la dou- zieme partie d’un pied, $i je prends la douzieme de 8 toi$es 4 pieds, j’aurai 4 pieds 4 pouces pour le produit d’un pied: après quoi je barre ces deux nombres, parce qu’ils compo$ent un produit $uppo$é. Or comme 6 lignes $ont la moitié d’un pouce, il n’y a donc qu’à prendre la moitié de 4 pieds 4 pouces, qui e$t 2 pieds 2 pouces, pour avoir le produit de 6 lignes: $i l’on fait l’addition de tous les produits, l’on aura 1265 toi$es 4 pieds 2 pouces pour le produit total.

Si l’on avoit eu à multiplier 24 toi$es 6 lignespar 52 toi$es, & que dans la premiere dimen$ion il n’y eût eu ni pieds ni pouces, comme on le $uppo$e ici, il auroit fallu pour trouver le produit de 6 lignes, $uppo$er celui d’un pied, en$uite celui d’un pouce pour avoir celui de 6 lignes, qui $era la moitié de celui d’un pouce.

CHAPITRE II, Où l’on donne la maniere de multiplier deux dimen$ions, dont chacune e$t compo$ée de toi$es, pieds, pouces, &c.

776. NOus avons affecté de ne pas mettre des pieds, pouces, & des lignes dans la $econde dimen$ion des multiplications que l’on a faites dans le chapitre précédent, afin de rendre les opérations plus $imples: mais comme il arrive pre$que toujours que s’il y a des pieds, des pouces dans la premiere dimen$ion, il y en a au$$i dans la $econde, voici la maniere de multiplier les parties de toi$es qui peuvent $e rencontrer dans l’une & dans l’autre.

Pour multiplier 15 toi$es 4 pieds 8 pouces 7 lignes par 6 toi$es 3 pieds 6 pouces, je con$idere que le nombre des toi$es de la $econde dimen$ion étant exprimé par un chiffre $eulement, je puis faire la multiplication de toute la premiere dimen$ion par 6 toi$es, par un calcul de mémoire, comme on l’a fait au commencement du chapitre précédent: ain$i fai$ant ab$trac- [0459]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XI_. tion pour un moment des 3 pieds _toi$es._ # _pieds._ # _pouces._ # _lig._ # _poi._ 15. # 4. # 8. # 7. # 0. 6. # 3. # 6. # 0. # 0. 94. # 4. # 3. # 6. # 0. 7. # 5. # 4. # 3. # 6. 1. # 1. # 10. # 8. # 7. 103. # 5. # 6. # 6. # 1. 6 pouces de la $econde dimen$ion, je commence par multiplier les plus petites parties de la premiere dimen- $ion par 6 toi$es, en di$ant: $ix fois 7 font 42 lignes, qui valent 3 pouces 6 lignes. Ayant po$é 6 lignes en leur place, je retiens 3 pouces; je dis en- $uite: $ix fois 8 font 48, & 3 de retenus font 51 pouces, qui valent 4 pieds 3 pouces: je po$e 3 pouces, & retiens 4 pieds, & je viens à la multiplication des pieds, en di$ant: $ix fois 4 font 24, & 4 de retenus font 28 pieds, qui valent 4 toi$es 4 pieds, je po$e 4 pieds, & retiens 4 toi$es, que j’ajoute au produit de 15 toi$es par 6 pour avoir 94: ain$i le produit de 6 toi$es par la premiere dimen$ion e$t 94 toi$es 4 pieds 3 pouces 6 lignes, qui e$t une quantité qui contient autant de fois la premiere dimen$ion, qu’il y a d’unités dans le nombre 6.

Pré$entement je con$idere que pui$que chaque toi$e du nom- bre 6 a donné pour $on produit une quantité $emblable à celle de la premiere dimen$ion, $i j’ai à multiplier cette premiere dimen$ion par des parties de la toi$e, il faut que le produit ait le même rapport avec celui de la toi$e par la premiere dimen- $ion, que $es parties avec la toi$e même. Cela po$é, comme la premiere dimen$ion doit être multipliée encore par 3 pieds, je con$idere que 3 pieds étant la moitié de la toi$e, le pro- duit de 3 pieds $era la moitié de la premiere dimen$ion, qui e$t $uppo$ée dans ce cas avoir été multipliée par la toi$e; ain$i je dis: la moitié de 15 e$t 7, il re$te une toi$e qui vaut 6 pieds, qui étant ajoutés avec 4 pieds, font 10 pieds, dont la moitié e$t 5; je dis en$uite: la moitié de 8 e$t 4, & la moitié de 7 lignes e$t 3 lignes 6 points.

Comme il nous re$te encore 6 pouces à multiplier, je con- $idere que 6 pouces étant la $ixieme partie de 3 pieds, le pro- duit de 6 pouces $era la $ixieme partie de celui de 3 pieds; ain$i je prends la $ixieme partie de ce produit, qui donne une toi$e un pied 10 pouces 8 lignes 7 points, qui étant ajoutés avec le re$te, il vient 103 toi$es 5 pieds 6 pouces 6 lignes un point pour le produit total.

Pour multiplier 68 toi$es 3 pieds 4 pouces 9 lignes par 9 toi$es 4 pieds 9 pouces, je commence par multiplier la premiere di- [0460]NOUVEAU COURS men$ion par 9, & le produit donne _toi$es._ # _pieds._ # _pou._ # _lig._ # _points._ 68. # 3. # 4. # 9. # 0. 9. # 4. # 9. # 0. # 0. 617. # 0. # 6. # 9. # 0. 22. # 5. # 1. # 7. # 0. 22. # 5. # 1. # 7. # 0. 5. # 4. # 3. # 4. # 9. 2. # 5. # 1. # 8. # 4. {1/2} 671. # 2. # 3. # 0. # 1. {1/2} 617 toi$es 6 pouces 9 lignes; en$uite je con$idere que 4 pieds $ont les deux tiers de la toi$e: ain$i je prends deux fois le tiers pour avoir moins d’embarras, c’e$t-à-dire, je prends chaque fois pour deux pieds, en di$ant: le tiers de 6 e$t 2, le tiers de 8 e$t encore 2, & il re$te 2 toi$es, qui valent 12 pieds, qui étant ajou- tés avec les 3 pieds qui $ont $ur la droite, font 15, dont le tiers e$t 5. Après cela le tiers de 4 e$t 1, & il re$te un pouce, qui vaut 12 lignes, qui étant ajoutées avec 9, font 21 lignes, dont le tiers e$t 7: ain$i le produit de 2 pieds étant 22 toi$es 5 pieds un pouce 7 lignes, j’écris encore une $econde fois ce produit, afin que les deux fa$$ent celui de 4 pieds; & comme il y a encore 9 pouces à multiplier, je prends $eulement pour 6 pouces le quart du produit de 2 pieds, en di$ant: le quart de 22 e$t 5, il re$te 2, qui valent 12 pieds, & 5 font 17, dont le quart e$t 4, il re$te un pied, qui vaut 12 pouces, dont le quart e$t 3, il re$te encore un pouce, qui vaut 12 lignes, & 7 font 19, dont le quart e$t 4: enfin il re$te 3 lignes, qui valent 36 points, dont le quart e$t 9 points; de $orte que le produit de 6 pouces e$t 5 toi$es 4 pieds 3 pouces 4 lignes 9 points. Mais comme je dois avoir le produit de 9 pouces, & que je n’ai encore que celui de 6, je prends pour le produit de 3 pouces la moitié de celui de 6 pouces, qui e$t 2 toi$es 5 pieds un pouce 8 lignes 4 points & demi: après quoi je fais l’addition de tous ces produits, qui font en$emble 671 toi$es 2 pieds 3 pouces un point & demi.

Pour multiplier 12 toi$es 5 pieds _toi$es._ # _pieds._ # _pou._ # _lig._ # _points._ 12. # 5. # 6. # 4. # 0. 6. # 0. # 4. # 8. # 0. 77. # 3. # 2. # 0. # 0. . # 4. # 3. # 8. # 2. {2/3} . # 0. # 8. # 7. # 4. {4/9} 78. # 2. # 2. # 3. # 7. {1/9} 6 pouces 4 lignes par 6 toi$es 4 pouces 8 lignes, je commence, comme à l’ordinaire, par multiplier la premiere dimen$ion par 6 toi$es; aprés quoi je remarque que comme il n’y a point de pieds dans la $econde dimen$ion, il n’e$t pas ai$é de trouver le produit de 4 pouces, $ans faire une fau$$e po$ition: c’e$t pourquoi je $uppo$e le produit d’un pied, en prenant la $ixieme partie de [0461]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XI_. la premiere dimen$ion, qui e$t 2 toi$es 11 pouces 8 points, dont j’ai $oin de barrer les chiffres; & comme 4 pouces e$t le riers d’un pied, je prends le tiers du produit d’un pied, qui e$t 4 pieds 3 pouces 8 lignes 2 points & deux tiers; & comme il y a encore 8 lignes à multiplier, je vois que 8 lignes étant la $ixieme partie de 4 pouces (pui$que 4 pouces valent 48 lignes) le produit de 8 lignes $era la $ixieme partie de celui de 4 pouces: après avoir pris cette $ixieme partie, qui e$t 8 pouces 7 lignes 4 points & 4 neuviemes, j’additionne le tout pour avoir le produit total, qui e$t 78 toi$es 2 pieds 2 pouces 3 lignes 7 points {1/9}.

Pour multiplier 40 toi$. 3 pieds _toi$es._ # _pieds._ # _pou._ # _lig._ # _points._ 40. # 3. # 6. # 8. # 0. 24. # 5. # 8. # 0. # 0. 160. 80. 12. # 0. # 0. # 0. # 0. 2. # 0. # 0. # 0. # 0. 0. # 1. # 4. # 0. # 0. 20. # 1. # 9. # 4. # 0. 13. # 3. # 2. # 2. # 8. 4. # 3. # 0. # 8. # 10. {2/3} 1012. # 3. # 4. # 3. # 6. {2/3} 6 pouces 8 lignes par 24 toi$es 6 pieds 8 pouces, je commence par multiplier les toi$es par les toi$es, au lieu de multiplier d’abord les lignes, les pouces, & les pieds de la premiere dimen$ion, à cau$e qu’il y a plus d’une figure dans le nombre des toi$es de la $econde dimen$ion; en$uite j’agis comme j’ai fait dans le chapitre précédent, en prenant pour 3 pieds la moitié de 24, qui e$t 12, n’ayant égard qu’aux nombres entiers de la $econde dimen$ion: ain$i je fais ab$traction de 5 pieds & de 8 pouces qui s’y trouvent, parce qu’il n’e$t pas encore tems de les multiplier. Ayant donc trouvé le produit de 3 pieds, qui e$t 12 toi$es, je con$idere que les 6 pouces qui $ont dans la pre- miere dimen$ion, font la $ixieme partie de 3 pieds, c’e$t-à- dire la $ixieme partie de 12, qui e$t 2; & ayant encore 8 lignes de la premiere dimen$ion à multiplier, je vois que 6 pouces valant 72 lignes, les 8 lignes en font la neuvieme partie, & par con$équent le produit de ces 8 lignes $era la neuvieme partie du produit de 6 pouces. Or comme le produit de 6 pouces e$t 2 toi$es, je dis: la neuvieme partie de 2 n’e$t rien, mais ce $ont 2 toi$es, qui valent 12 pieds, dont la neuvieme partie e$t un pied, & il en re$te 3, qui valent 36 pouces, dont la neuvieme partie e$t 4, que je place au rang des pouces.

Ju$qu’ici nous n’avons fait que multiplier la premiere di- men$ion par les 24 toi$es qui $ont dans la $econde: mais comme [0462]NOUVEAU COURS ces 24 toi$es $ont accompagnées de 5 pieds 8 pouces, il faut, comme dans les opérations précédentes, chercher le produit de ces deux quantités: ain$i je con$idere que 5 pieds valent 3 & 2, c’e$t-à-dire la moitié & le tiers de la toi$e: je prends donc pour 3 pieds la moitié de toutes les quantités qui $e trou- vent dans la premiere dimen$ion, & pour 2 pieds le tiers de ces mêmes quantités. Or comme ce dernier produit e$t celui de 2 pieds, je remarque que 8 pouces étant le tiers de 2 pieds, le produit de 8 pouces $era le tiers de celui de 2 pieds. Ayant donc pris le tiers de ce produit, je l’additionne avec les autres, pour avoir le produit total, qui e$t 1012 toi$es 3 pieds 4 pouces 3 lignes 6 points {2/3}.

Pour multiplier 36 toi$es 3 pou- _toi$es._ # _pieds._ # _pou._ # _lig._ # _points._ 36. # 0. # 3. # 9. # 0. 50. # 0. # 0. # 8. # 0. 1800. # # 0. # 0. # 0. 2. # 0. # 6. # 0. # 0. 0. # 3. # 1. # 6. # 0. # 0. # 0. 0. # # 0. # 0. # {1/2} 0. # 1. # 0. # 0. # 2. {1/2} 0. # 1. # 0. # 0. # 2. {1/2} 1802. # 5. # 7. # 6. # 5. ces 9 lignes par 50 toi$es 8 lignes, je multiplie les toi$es par les toi$es, comme à l’ordinaire; en$uite pour trouver le produit de 3 pouces, je vois que j’ai be$oin de $uppo$er celui d’un pied: ain$i je prends la $ixieme partie de 50 toi$es, qui e$t 8 toi$es 2 pieds; & comme 3 pou- ces font le quart d’un pied, je prends le quart de 8 toi$es 2 pieds, qui e$t 2 toi$es 6 pouces: après cela je cherche le produit de 9 lignes, en con$idérant que 9 lignes étant le quart de 3 pouces, qui valent 36 lignes, le quart du produit de 3 pouces $era par con$équent celui de 9 lignes; je prends donc le quart de 2 toi$es 6 pouces, qui e$t 3 pieds un pouce 6 lignes.

Après cela je vois que j’ai 8 lignes dans la $econde dimen- $ion, & que n’ayant ni pieds ni pouces dans cette dimen$ion, il faut néce$$airement $uppo$er des faux produits pour trouver celui de 8 lignes. Je cherche donc d’abord celui d’un pied, en prenant la $ixieme partie des quantités qui compo$ent la pre- miere dimen$ion, & je trouve 6 toi$es 7 lignes & 6 points: mais comme le rapport de 8 lignes à un pied e$t encore trop grand, pour ne point fatiguer la mémoire, je prends la dou- zieme partie de ce produit, qui e$t 3 pieds 7 points & demi pour le produit d’un pouce; & comme 8 lignes $ont les deux tiers d’un pouce, je prends pour leur produit les deux tiers de celui [0463]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XI_. d’un pouce, lequel ayant été additionné, donne pour le pro- duit total 1802 toi$es 5 pieds 7 pouces 6 lignes & 5 points.

CHAPITRE III, Où l’on donne la maniere de multiplier trois dimen$ions exprimées en toi$es, pieds, pouces, &c.

777. LE calcul que l’on a en$eigné dans les deux chapitres précédens, ne convient qu’aux $uperficies, parce que nous n’y avons $uppo$é que deux dimen$ions; il e$t vrai que le calcul de trois dimen$ions ne differe pas beaucoup de celui-ci, pui$- que pour en avoir le produit, il ne faut que multiplier celui des deux premieres dimen$ions par la troi$ieme: mais comme le produit de trois dimen$ions donne non $eulement des toi$es cubes, mais au$$i des pieds, des pouces, & des lignes de toi$e cube, voici l’idée qu’il faut avoir de ces différentes parties.

Nous avons dit que la toi$e cube étoit compo$ée de 216 pieds cubes; mais dans le calcul on ne s’embarra$$e point de ces $ortes de pieds: car on entend par un pied de toi$e cube la $ixieme partie de la même toi$e, qui e$t ($i l’on veut) de 36 pieds cubes, qui font un parallelepipede E A F G H I D, qui a pour ba$e une toi$e quarrée E A H D, & pour hauteur la ligne H G d’un pied: de $orte que ce $olide e$t la $ixieme partie du corps E A B C, qui e$t une toi$e cube. On con$idé- rera de même que le pouce de toi$e cube e$t un parallelepi- pede, qui a une toi$e quarrée pour ba$e $ur un pouce de hau- teur, & qu’une ligne de toi$e cube e$t un parallelepipede, qui a pour ba$e une toi$e quarrée, & une ligne pour hauteur; ain$i des autres parties.

778. Il $uit de cette définition, que 12 lignes de toi$e cube font un pouce de la même toi$e; que 12 pouces font un pied, & que 6 pieds font une toi$e cube; pui$que tous ces $olides ont pour ba$e une toi$e quarrée, & des hauteurs, qui étant jointes en$emble, peuvent donner des toi$es cubes, ou des parties de toi$es cubes, comme on le va voir dans les opéra- tions $uivantes.

Pour multiplier trois dimen$ions, dont la premiere e$t de 8 toi$es 2 pieds 4 pouces, la $econde 6 toi$es 4 pieds 8 pouces, [0464]NOUVEAU COURS & la troi$ieme 5 toi$es 3 pieds 6 _toi$es._ # _pieds._ # _pouces._ # _lig._ # _points._ 8. # 2. # 4. # 0. # 0. 6. # 4. # 8. # 0. # 0. 5. # 3. # 6. # 0. # 0. 8. # 2. # 4. # 0. # 0. 6. # 4. # 8. # 0. # 0. 50. # 2. # 0. # 0. # 0. 2. # 4. # 9. # 4. # 0. 2. # 4. # 9. # 4. # 0. # 5. # 7. # 1. # 4. 56. # 5. # 1. # 9. # 4. pouces, il faut commencer par mul- tiplier la $econde dimen$ion par la premiere, & le produit $era 56 toi$. 5 pieds un pouce 9 lignes 4 points, qu’il faut en$uite multiplier par la troi$ieme dimen$ion, agi$$ant com- me dans les regles des chapitres précédens, c’e$t-à-dire qu’il faut faire comme $i le produit des deux premieres dimen$ions ne fai$oit qu’une dimen$ion. Je dis donc: cinq fois 4 font 20, qui $ont autant de points de toi$e cube, c’e$t-à-dire que ce $ont autant de petits parallelepipedes, qui ont pour ba$e une toi$e quarrée, & pour hauteur un point: car $i l’on fait attention que chaque unité du nombre 4 e$t un petit parallélogramme, qui a pour ba$e un point, & pour hau- teur une toi$e, pui$que ce $ont des points de toi$e quarrée (art. 774), l’on verra que multipliant ce parallélogramme par une ou plu$ieurs toi$es, ils $eront changés en parallele- pipedes, qui auront deux dimen$ions d’une toi$e, qui font en$emble une toi$e quarrée; ce qui répond à la définition. De même $i l’on multiplie 9 lignes de toi$e quarrée par des toi$es, l’on aura encore des petits parallelepipedes, qui auront pour ba$e une toi$e quarrée, & pour hauteur une ligne, pui$- que l’on aura multiplié par des toi$es les rectangles qui ont une de leurs dimen$ions, qui vaut une toi$e; il en $era ain$i des pouces & des pieds. A l’égard des toi$es, il n’y a point de doute que multipliant des toi$es quarrées par des toi$es cou- rantes, le produit ne donne des toi$es cubes.

Ain$i multipliant 56 toi$es 5 pieds 1 pouce 9 lignes 4 points de toi$e quarrée par 5 toi$es courantes, le produit $era 284 toi$es 1 pied 8 pouces 10 lignes 8 points de toi$e cube.

Or comme 56 toi$es 5 pieds 1 pouce 9 lignes 4 points étant multipliés par une toi$e, donneront des toi$es & des parties de toi$e cube, qui $eront toujours exprimées par les mêmes nombres qui $ont ici, c’e$t-à-dire par 56 toi$es 5 pieds, &c. $i l’on $uppo$e que cette multiplication a été faite, la moitié de cette quantité $era donc le produit de 3 pieds: ain$i comme il y a 3 pieds dans la $econde dimen$ion, je prends la moitié de [0465]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XI_. cette quantité, qui $era 28 toi$es 2 pieds 6 pouces 10 lignes 8 points, que je regarde comme des toi$es & des parties de toi$e cube, qui compo$ent le produit de 3 pieds.

Enfin comme il y a encore 6 pouces dans la troi$ieme di- men$ion, je con$idere que 6 pouces étant la $ixieme partie de 3 pieds, le produit de 6 pouces $era la $ixieme partie de celui de 3 pieds: ain$i prenant la $ixieme partie de ce produit, l’on aura 4 toi$es 4 pieds 5 pouces une ligne 9 points & un tiers pour le produit de 6 pouces, qui étant ajoutés avec les autres, don- neront le produit total de 317 toi$es 2 pieds 8 pouces 11 lignes 1 point & un tiers.

Pour multiplier trois dimen$ions, _toi$es._ # _pieds._ # _pou._ # _lig._ # _points._ 15. # 5. # 3. # 0. # 0. 8. # 3. # 9. # 0. # 0. 6. # 2. # 6. # 0. # 0. 15. # 5. # 3. # 0. # 0. 8. # 3. # 9. # 0. # 0. 127. # 0. # 0. # 0. # 0. 7. # 5. # 7. # 6. # 0. 1. # 5. # 10. # 10. # 6. 136. # 5. # 6. # 4. # 6. 6. # 2. # 6. # 0. # 0. 821. # 3. # 2. # 3. # 0. 45. # 3. # 10. # 1. # 6. 11. # 2. # 5. # 6. # 4. {1/2} 878. # 3. # 5. # 10. # 10. {1/2} dont la premiere e$t 15 toi$es 5 pieds 3 pouces, la $econde 8 toi$es 3 pieds 9 pouces, & la troi$ieme 6 toi$es 2 pieds 6 pouces, je multiplie, comme ci-devant, les deux premieres di- men$ions l’une par l’autre pour avoir leur produit, qui e$t 136 toi$es 5 pieds 6 pouces 4 lignes 6 points; & comme ce produit donne des toi$es & des parties de toi$es quarrées, je multiplie encore le tout par la troi- $ieme dimen$ion, c’e$t-à-dire par 6 toi$es 2 pieds 6 pouces, & le pro- duit donne 878 toi$es 3 pieds 5 pou- ces 10 lignes 10 points & demi.

Pour multiplier trois dimen$ions, dont la premiere e$t 4 toi$es 2 pieds 5 pouces, la $econde 3 toi$es 1 pied 6 pouces, & la troi$ieme 5 pieds 4 pouces, je commence par multiplier les deux premieres dimen$ions, dont le produit e$t 14 toi$es 1 pied 10 pouces 3 lignes; en$uite je multiplie ce produit par 5 pieds 4 pouces; & comme il n’y a point de toi$es dans la troi$ieme dimen$ion, je po$e un zero en leur place, & je mul- tiplie par 5 pieds 4 pouces, commençant par prendre pour 5 pieds la moitié de 14 toi$es 1 pied, &c; en$uite je prends pour 2 pieds le tiers de la même quantité, & le produit donne 4 toi$es 4 pieds 7 pouces 5 lignes, dont je prends la $ixieme partie pour le produit de 4 pouces, parce que 4 pouces e$t la $ixieme partie de 2 pieds: enfin j’additionne ce produit avec [0466]NOUVEAU COURS les autres pour avoir 12 toi$es 4 pieds 3 pouces 9 lignes 4 points; ce qui e$t le produit total.

_toi$es._ # _pieds._ # _pouces._ # _lignes._ # _points._ 4. # 2. # 5. # 0. # 0. 3. # 1. # 6. # 0. # 0. 0. # 5. # 4. # 0. # 0. 4. # 2. # 5. # 0. # 0. 3. # 1. # 6. # 0. # 0. 13. # 1. # 3. # 0. # 0. # 4. # 4. # 10. # 0. # 2. # 2. # 5. # 0. 14. # 1. # 10. # 3. # 0. 0. # 5. # 4. # 0. # 0. 7. # 0. # 11. # 1. # 6. 4. # 4. # 7. # 5. # 0. 0. # 4. # 9. # 2. # 10. 12. # 4. # 3. # 9. # 4.

Pour multiplier trois dimen$ions, dont la premiere e$t 5 pieds 9 pouces 6 lignes, la $econde 3 pieds 6 pouces, & la troi$ieme 4 pieds 8 pouces 6 lignes, je range _toi$es._ # _pieds._ # _pou._ # _lig._ # _points._ 0. # 5. # 9. # 6. # 0. 0. # 3. # 6. # 0. # 0. 0. # 4. # 8. # 6. # 0. 0. # 5. # 9. # 6. # 0. 0. # 3. # 6. # 0. # 0. 0. # 2. # 10. # 9. # 0. 0. # 0. # 5. # 9. # 6. 0. # 3. # 4. # 6. # 6. 0. # 4. # 8. # 6. # 0. 0. # 1. # 1. # 6. # 2. 0. # 1. # 1. # 6. # 2. 0. # 0. # 4. # 6. # 0.{2/3} 0. # 0. # # # {1/6} 0. # 0. # 0. # 3. # 4.{7/12} 0. # 2. # 7. # 9. # 4.{1/3} les deux premieres dimen$ions l’une $ur l’autre, en mettant des zero à la place des toi$es; en$uite comme il $e trouve 3 pieds dans la $econde di- men$ion, je prends la moitié des termes de la premiere dimen$ion, pour avoir le produit de 3 pieds; & comme il y a encore 6 pouces, qui valent la $ixieme partie de 3 pieds, je prends pour le produit de 6 pouces la $ixieme partie du produit de 3 pieds; & l’addition étant faite, il vient 3 pieds 4 pouces, 6 lignes 6 points pour le produit des deux pre- mieres dimen$ions, que je multiplie en$uite par la 3<_>me, qui e$t, comme [0467]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XI._ nous l’avons dit, compo$ée de 4 pouces 8 lignes 6 points: ain$i je commence par prendre deux fois le tiers de ce pro- duit pour avoir celui de 4 pieds; & comme celui de 2 pieds e$t 1 pied 1 pouce 6 lignes 2 points, je con$idere que 8 pouces étant le tiers de 2 pieds, le produit de 8 pouces $era le tiers de celui de 2 pieds, qui donne 4 pouces 6 lignes & {2/3} de points: mais nous avons encore 6 lignes dans la troi$ieme dimen$ion, dont le rapport étant un peu éloigné de 8 pouces, je trouve qu’il e$t moins embarra$$ant de faire un faux produit; & comme celui de 2 pouces conviendroit fort, parce qu’on n’au- roit qu’à prendre le quart pour avoir celui de 6 lignes, je prends donc le quart du produit de 8 pouces pour avoir celui de 2 pouces, qui e$t 1 pouce 1 ligne 6 points & {1/6}, dont je coupe les figures; & prenant le quart de ce produit, il vient 3 lignes 4 points & {7/12} pour le produit de 6 lignes: & comme il ne re$te plus rien à multiplier, je fais l’addition de tous les produits pour avoir le total, qui e$t 2 pieds 7 pouces 9 lignes 9 points & {1/4} de points cubes.

AVERTISSEMENT.

779. Comme les preuves de toutes les Regles d’Arithmé- tique $e font par des Regles contraires, il $emble que la meil- leure preuve que l’on pui$$e donner du calcul du toi$é, $eroit qu’aprés avoir multiplié deux dimen$ions, l’on divisât le pro- duit par la premiere dimen$ion pour avoir la $econde au quo- tient, ou bien divi$er par la $econde pour avoir la premiere: il y en a qui pratiquent cette preuve, mais ils $ont obligés de réduire tous les termes du produit en leur moindre e$pece, au$$i-bien qu’une des dimen$ions, c’e$t-à-dire que $i l’on a ré- duit le produit en lignes, il faut au$$i réduire une des di- men$ions en lignes: après cela on fait une divi$ion, dont on réduit le quotient en toi$es, en pieds, &c. pour avoir l’autre dimen$ion; mais comme cette preuve demande beaucoup d’o- pération, en voici une beaucoup plus $imple.

Après que l’on a trouvé le produit des deux dimen$ions, pour voir $i l’opération e$t ju$te, l’on prend la moitié de la premiere dimen$ion, & l’on double la $econde; en$uite l’on multiplie les deux dimen$ions ain$i changées l’une par l’autre, & il vient un $econd produit, qui doit être égal au premier. Par exemple, pour $çavoir $i le produit de 6 toi$es 5 pieds [0468]NOUVEAU COURS 4 pouces par 4 toi$es 2 pieds 6 pouces, qui e$t 30 toi$es 2 pieds 6 pouces 8 lignes e$t bon, il faut prendre la moitié de la pre- miere dimen$ion pour avoir 3 toi$es 2 pieds 8 pouces, & dou- bler la $econde, qui vaudra 8 toi$es 5 pieds: après cela $i l’on multiplie ces deux quantités l’une par l’autre, l’on trouvera que le produit e$t encore 30 toi$es 2 pieds 6 pouces 8 lignes; ce qui ne peut arriver autrement, $i l’opération e$t bien faite.

CHAPITRE IV, Où l’on donne la maniere de calculer le Toi$é de la charpente.

780. LE toi$é de la charpente e$t fort différent de celui des autres ouvrages, parce que ce toi$é a une me$ure particuliere, que l’on nomme _$olive_, qui e$t une quantité qui contient 3 pieds cubes de bois; de $orte que $i l’on a une piece de bois D C, dont la longueur A D $oit de 6 pieds, la largeur A B de 12 pouces, & l’épai$$eur B C de 6 pouces, cette piece compo- $era une $olive, pui$qu’elle vaut 3 pieds cubes. Or comme la toi$e cube vaut 216 pieds cubes, & que 216 divi$é par 3 donne 72, il s’en$uit qu’une $olive e$t la $oixante & douzieme partie d’une toi$e cube.

La $olive, ain$i que la toi$e, e$t divi$ée en 6 pieds, que l’on nomme _pieds de $olive_, qui e$t une quantité d’une toi$e de longueur $ur un pied de largeur, & un pouce d’épai$$eur: de $orte que $i la ligne B G e$t la $ixieme partie de la ligne B C, la $olive D A F G B E H $era un pied de $olive, pui$qu’il e$t la $ixieme partie de D C.

Comme un pied de toi$e cube vaut 36 pieds cubes, la $olive en $era donc la douzieme partie: & comme un pied de $olive e$t la $ixieme partie de la $olive, il s’en$uit qu’un pied de $o- live e$t la $oixante & douzieme partie d’un pied de toi$e cube, pui$qu’il faut 6 pieds de $olive pour faire une $olive, & 12 $o- lives pour faire un pied de toi$e cube. Comme le pouce de $olive e$t la douzieme partie du pied de folive, l’on verra de même qu’il e$t la $oixante & douzieme partie d’un pouce de toi$e cube: il en $era ain$i des lignes & des points.

Il $uit de ce qu’on vient de dire, que $i l’on a une piece de bois qui contienne un certain nombre de toi$es, de pieds & [0469]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XI._ de pouces cubes, pour réduire cette piece en $olives, il faut multiplier $a valeur par 72, & le produit $era la quantité de $olives contenues dans la piece.

Par exemple, $i l’on $uppo$e que _toi$es._ # _pieds._ # _pou._ # _cubes._ 2. # 3. # 6. 72. 144. 46. 6. 186 _$olives._ 2 toi$es 3 pieds 6 pouces cubes $oient la valeur d’une piece de bois, je con- $idere que chaque toi$e de cette quan- tité vaut 72 $olives, chaque pied 72 pieds de $olive, & chaque pouce 72 pouces de $olive: ain$i $i l’on mul- tiplie 2 toi$es 3 pieds 6 pouces cubes par 72, on aura 186 $olives.

Pour me$urer une piece de bois, dont la premiere dimen- $ion a 4 toi$es 5 pieds 9 pouces, la $econde 1 pied 6 pouces, & la troi$ieme 1 pied 3 pouces, je _toi$es._ # _pieds._ # _pouces._ # _lig._ # _points._ 4. # 5. # 9. # 0. # 0. # 1. # 6. # 0. # 0. 0. # 4. # 11. # 6. # 0. 0. # 2. # 5. # 9. # 0. 1. # 1. # 5. # 3. # 0. 0. # 1. # 3. # 0. # 0. 0. # 1. # 2. # 10. # 6. 0. # 0. # 3. # 8. # 7.{1/2} 0. # 1. # 6. # 7 # 1.{1/2} 72. 12. # 0. # 0. # 0. # 0. 6. # 0. # 0. # 0. # 0. 0. # 3. # 0. # 0. # 0. 0. # 0. # 6. # 0. # 0. 0. # 0. # 0. # 6. # 0. 0. # 0. # 0. # 3. # 0. 18. # 3. # 6. # 9. # 0. multiplie, comme à l’ordinaire, la premiere dimen$ion par la $econde, & le produit donne une toi$e 1 pied 5 pouces 3 lignes, que je multiplie par la troi$ieme dimen$ion pour avoir 1 pied 6 pouces 7 lig. 1 point & demi. Pré$entement pour ré- duire cette quantité en $olives, je la multiplie par 72. Pour cela je prends pour 1 pied la $ixieme partie de 72, qui e$t 12, & pour 6 pouces la moi- tié du produit d’un pied, qui e$t 6: & comme il y a 7 lignes, je prends d’abord pour 6 la douzieme partie du produit de 6 pouces, qui e$t 3 pieds; en$uite pour une ligne la $ixieme partie du produit précé- dent, qui donne 6 pouces, il re$te encore un point & demi; je prends premiérement pour un point la douzieme partie de 6 pouces, qui e$t 6 lignes; enfin pour la moitié d’un point la moitié du dernier produit pour avoir 3 lignes; après quoi j’additionne le tout, qui donne 18 $olives 3 pieds 6 pouces 9 lignes de $olive, pour la valeur de la piece de bois.

Il y a une maniere de calcuer les bois, qui e$t bien plus [0470]NOUVEAU COURS courte que la précédente; c’e$t de réduire d’abord une des deux dimen$ions de l’équarri$$age en pouces, en$uite les mettre au rang des toi$es, & l’autre à la place qu’elle doit occuper na- turellement. L’on multiplie ces deux dimen$ions l’une par l’autre, comme dans les regles précédentes, regardant celle qu’on a mi$e au rang des toi$es, comme des toi$es mêmes; après quoi on multiplie le produit qui en vient par la longueur de la piece pour avoir un $econd produit, qui donne le nombre des $olives, des pieds & des pouces de $olive, qui $ont conte- nues dans la piece.

Par exemple, pour calculer la même _toi$es._ # _pieds._ # _pouces._ # _lig._ 18. # 0. # 0. # 0. 0. # 1. # 3. # 0. 3. # 0. # 0. # 0. # 4. # 6. # 0. 3. # 4. # 6. # 0. 4. # 5. # 9. # 0. 15. # 0. # 0. # 0. 1. # 1. # 6. # 0. 1. # 5. # 3. # 0. # 2. # 9. # 9. 18. # 3. # 6. # 6. piece de bois que ci-devant, qui a 1 pied 6 pouces $ur 1 pied 3 pouces d’équarri$- $age, & 4 toi$es 5 pieds 9 pouces de lon- gueur, je réduis une des dimen$ions de l’équarri$$age en pouces, qui $era, par exemple, 1 pied 6 pouces pour avoir 18 pouces, que je mets au rang des toi$es, & 1 pied 3 pouces de l’autre dimen$ion à leur place ordinaire; en$uite je prends pour 1 pied la $ixieme partie de 18, qui e$t 3; & comme il y a encore 3 pouces qui $ont le quart d’un pied, je prends le quart du produit d’un pied, pour avoir celui de 3 pouces, qui e$t 4 pieds 6 pouces, & j’additionne le tout pour avoir le produit de 3 toi$es 4 pieds 6 pouces, qu’il faut multiplier par la lon- gueur de la piece, c’e$t-à-dire par 4 toi$es 5 pieds 9 pouces, & l’on aura 18 $olives 3 pieds 6 pouces 9 lignes de $olive.

Pour entendre ceci, con$idérez que $i l’on a trois quantités _a, b, c_ à multiplier l’une par l’autre, le produit $era _a b c_; & que $i ce produit doit être multiplié par _d_, l’on aura _a b c d_; mais $i au lieu de multiplier le produit _a b c_ par _d_, l’on multi- plioit $eulement une des dimen$ions, comme _a_ par _d_, l’on aura _a d, b c_, dont le produit donne encore _a b c d_; ain$i c’e$t la même cho$e de multiplier le produit de trois dimen$ions par une quantité, ou de multiplier une des dimen$ions par la même quantité, & en$uite ce produit par les autres dimen$ions, pui$qu’à la fin l’on trouvera toujours la même cho$e pour le produit total.

781. Or $i l’on fait attention qu’une toi$e vaut 72 pouces, [0471]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XI_. l’on verra que mettant un pouce au rang des toi$es, c’e$t comme $i on l’avoit multiplié par 72: ain$i quand nous avons mis 18 pouces au rang des toi$es, on les a donc multipliés par 72; & par con$équent le produit de cette quantité par les deux autres dimen$ions e$t devenu 72 fois plus grand qu’il n’eût été, $i l’on avoit mis les 18 pouces à leur place ordinaire; ce qui fait voir que le produit doit donner des $olives: car le produit total devient 72 fois plus grand qu’il n’eût été, $i l’on n’avoit pas mis les 18 pouces au rang des toi$es, & que l’on eût fait l’opération à l’ordinaire. Mais pour donner aux Commençans plus de facilité de $e $ervir de cette méthode, voici encore quelques exemples $ur le même $ujet.

Pour $çavoir combien il y a de $o- _toi$es_. # _pieds_. # _pon_. # _lig_. # _points_ 8. # 0. # 0. # 0. # 0. 0. # 1. # 2. # 0. # 0. 1. # 2. # 0. # 0. # 0. 0. # 1. # 4. # 0. # 0. 1. # 3. # 4. # 0. # 0. 3. # 4. # 8. # 0. # 0. 4. # 4. # 0. # 0. # 0. 0. # 3. # 1. # 4. # 0. 0. # 3. # 1. # 4. # 0. 0. # 1. # 0. # 5. # 4. 5. # 5. # 3. # 1. # 4. lives dans une piece de bois, qui a 3 toi$es 4 pieds 8 pouces de longueur $ur 8 à 14 pouces d’équarri$$age, je po$e 8 pouces au rang des toi$es, & l’autre dimen$ion, qui vaut 1 pied 2 pouces, au rang qu’elle doit occuper, & je dis: la $ixieme partie de 8 e$t 1, il re$te 2, qui valent 12, dont la $ixieme partie e$t 2; & comme il y a encore 2 pouces, qui font la $ixieme partie d’un pied, je prends pour 2 pouces la fixieme partie du produit d’un pied pour avoir 1 pied 4 pouces, & le produit total e$t une toi$e 3 pieds 4 pouces, que je multiplie par la longueur, c’e$t-à-dire par 3 toi$es 4 pieds 8 pouces, & le produit donne 5 $olives 5 pieds 3 pouces une ligne 4 points de $olive pour la valeur de la piece.

L’on peut remarquer que ce n’e$t _toi$es_. # _pieds_. # _pou_. # _lig_. # _points_. 3. # 4. # 8. # 0. # 0. 8. # 0. # 0. # 0. # 0. 30. # 1. # 4. # 0. # 0. 0. # 1. # 2. # 0. # 0. 5. # 0. # 2. # 8. # 0. 0. # 5. # 0. # 5. # 4. 5. # 5. # 3. # 1. # 4. pas une néce$$ité ab$olue de commen- cer par multiplier les deux dimen$ions de l’équarri$$age l’une par l’autre: car $i l’on veut, il n’y a qu’à multiplier la longueur par la dimen$ion de l’é- quarri$$age, qui doit être mi$e au rang des toi$es: ain$i pour avoir la valeur de la piece de bois précédente, je prends pour premiere dimen$ion la longueur, qui e$t 3 toi$es [0472]NOUVEAU COURS 4 pieds 8 pouces; & $uppo$ant que 8 pouces de l’équarri$$age valent 8 toi$es, je les po$e pour $econde dimen$ion, & la mul- tiplication étant faite, il vient 30 toi$es 1 pied 4 pouces, qui étant multipliés par 1 pied 2 pouces, donnent encore 5 $olives 5 pieds 3 pouces une ligne 4 points de $olive.

Pour calculer la valeur d’une piece _toi$es_. # _pieds_. # _pou_. # _lig_. # _points_. 10. # 0. # 0. # 0. # 0. 3. # 4. # 0. # 0. # 0. 30. 5. # 0. # 0. # 0. # 0. 1. # 4. # 0. # 0. # 0. 36. # 4. # 0. # 0. # 0. 0. # 0. # 9. # 6. # 0. # 0. # # 0. 3. # 0. # 4. # 0. 1. # 3. # 2. # 0. # # 1. # 6. # 4. 4. # 5. # 0. # 4. de bois, qui a 3 toi$es 4 pieds de lon- gueur $ur 10 à 9 pouces 6 lignes d’é- quarri$$age, je prends la plus $imple de deux dimen$ions de l’équarri$$age, c’e$t-à-dire celle qui e$t compo$ée des pouces $eulement, pour la mettre au rang des toi$es: ain$i ayant pris 10 pour la premiere dimen$ion, je la multiplie par la longueur de la piece, ou par l’autre dimen$ion de l’équar- ri$$age: car il e$t indifférent de mul- tiplier d’abord par l’une ou l’autre de ces quantités, comme on l’a déja dit: ain$i je multiplie 10 par 3 toi$es 4 pieds pour avoir le produit, qui e$t 36 toi$es 4 pieds, que je multiplie en$uite par 9 pouces 6 lignes, & il vient 4 $olives 5 pieds 4 lignes de $olives pour la valeur de la piece de bois.

782. S’il arrive que dans les deux dimen$ions de l’équar- ri$$age il $e trouve des pouces & des lignes, il faut pour la dimen$ion qu’on doit changer de valeur, mettre les pouces au rang des toi$es, comme à l’ordinaire, & regarder les lignes de cette dimen$ion comme des pieds: ain$i on les mettra au rang des pieds, avec cette attention, qu’au lieu de mettre au- tant de pieds qu’il y a de lignes, il n’en faut mettre que la moitié, c’e$t-à-dire que $i cette dimen$ion e$t compo$ée de 6 pouces 8 lignes, l’on mettra 6 pouces au rang des toi$es, & la moitié des lignes au rang des pieds, pour avoir 6 toi$es 4 pieds; & $i au lieu de 8 on en avoit 7 ou 9, ou tout autre nombre impair, on en prendra toujours la moitié, & l’on mar- quera 3 pieds 6 pouces, ou bien 4 pieds 6 pouces. L’on va voir ceci dans les deux exemples $uivans.

Pour toi$er une piece de bois qui a 6 toi$es 3 pieds de lon- gueur $ur 9 pouces 6 lignes à 10 pouces 8 lignes d’équarri$$age, ilfaut, pour changer une des deux dimen$ions de l’équarri$$age, [0473]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XI_. qui $era, par exemple, 9 pouces 6 lignes, mettre 9 pouces au rang des toi$es, & la moitié de 6 lignes au rang des pieds, pour avoir 9 toi$es trois pieds, qu’il faut multiplier par l’autre dimen$ion, c’e$t-à-dire par 10 pouces 8 lignes, pour avoir une toi$e 2 pieds 5 pouces 4 lignes au produit, qui étant multiplié par la longueur de la piece, l’on verra qu’elle contient 9 $olives 10 pouces 8 lignes.

EXEMPLE I _toi$_. # _pieds_. # _pou_. # _lig_. # _points_. 9. # 3. # 0. # 0. # 0. 0. # 0. # 10. # 8. # 0. # # # 0. # 0. 0. # 4. # 9. # 0. # 0. 0. # 3. # 2. # 0. # 0. 0. # 0. # 6. # 4. # 0. 1. # 2. # 5. # 4. # 0. 6. # 3. # 0. # 0. # 0. 8. # 2. # 8. # 0. # 0. 0. # 4. # 2. # 8. # 0. 9. # 0. # 10. # 8. # 0. EXEMPLE II _toi$_. # _pieds_. # _pon_. # _lig_. # _points_. 8. # 3. # 6. # 0. # 0. 0. # 0. # 9. # 6. # 0. # # # 0. # 0. 0. # 4. # 3. # 6. # 0. 0. # 2. # 1. # 9. # 0. 0. # 0. # 4. # 3. # 6. 1. # 0. # 9. # 6. # 6. 0. # 5. # 8. # 0. # 0. 0. # 3. # 4. # 9. # 3. 0. # 2. # 2. # 2. # 2. 0. # 0. # 9. # 0. # 8.{2/3} 1. # 0. # 5. # 0. # 1.{2/3}

Pour trouver la valeur d’une piece de bois, qui a 5 pieds 8 pouces de longueur $ur 8 pouces 7 lignes à 9 pouces 4 lignes d’équarri$$age, je porte 8 pouces à l’endroit des toi$es; & con- $idérant les 7 lignes de cette dimen$ion comme valant des pieds, je marque 3 pieds 6 pouces; en$uite je multiplie cette dimen$ion ain$i changée par 9 pouces 6 lignes, & le produit donne une toi$e 9 pouces 6 lignes 6 points, quiétant multipliés par 5 pieds 8 pouces, il vient une $olive 5 pouces 1 point {2/3} pour la valeur de la piece.

783. Pour rendre rai$on de ce que nous avons dit qu’il fal- loit regarder les lignes comme des pieds, après en avoir pris la moitié, con$idérez que nous avons dit qu’il falloit multi- plier une des dimen$ions par 72, pour que la $uite de la Regle donnât des $olives: pour cela, $i la dimen$ion e$t 8 pouces 7 lignes, nous $çavons que mettant 8 pouces à l’endroit des toi$es, la multiplication par 72 $e fait tout d’un coup; mais à l’égard de ces lignes qui re$tent, remarquez que $i on les met- toit au rang des pouces, c’e$t comme $i on les multiplioit par 12; & que $i du rang des pouces on les porte au rang des pieds, [0474]NOUVEAU COURS DE MATHEM. _Liv. XI_. c’e$t comme $i on les multiplioit encore par 12: ain$i quand on po$e des lignes au rang des pieds, c’e$t proprement les mul- tiplier par 144; mais comme, $elon notre regle, elles ne doi- vent être multipliées que par 72, qui e$t la moitié de 144, il faut donc, $i l’on porte les lignes au rang des pieds, n’en pren- dre que la moitié, pour n’voir que la moitié de 144.

Pour trouver la quantité de $olives & de $es parties conte- nues dans un pilot non équarri, dont le diametre $eroit, par exemple, de 14 pouces, pris à la tête ou dans le milieu, $elon qu’on le jugera plus à propos, & dont la longueur $eroit de 27 pieds 6 pouces, il faut quarrer le diametre pour avoir 196; & comme le rapport au quarré du diametre d’un cercle e$t à la $uperficie du même cercle, à peu de cho$e près, comme 14 e$t à 11, l’on dira comme 14 e$t à 11; ain$i 196, quarré du dia- metre du pilot e$t à la $uperficie de $on cercle, qu’on trouvera de 154 pouces quarrés, qu’il faut divi$er par 72, pour avoir des ba$es de $olives; l’on trouvera 2 au quotient qu’il faut po$er au rang des $olives: comme il re$te 10 pouces, qui ne $uffi$ent pas pour faire un pied, on mettra zero au rang des pieds, & & les 10 pouces immédiatement après, pour avoir 2 $olives 0 pieds 10 pouces, qu’il faut en$uite multiplier par la longueur du pilot, c’e$t-à-dire par 4 toi$es 3 pieds 6 pouces, comme au calcul ordinaire du toi$é, & l’on trouvera 9 $olives 4 pieds 9 pouces 10 lignes pour la valeur du pilot.

Si l’on avoit plu$ieurs pilots de même gro$$eur, il faudroit trouver, comme l’on vient de faire, la $uperficie de leurs cer- cles communs, la divi$er de même par 72, afin d’avoir des ba$es de $olives, & multiplier ce qui viendra par la $omme de to utes les longueurs différentes.

Fin du onzieme Livre. [0475] NOUVEAU COURS DE MATHÉMATIQUE. LIVRE DOUZIEME, _Où l’on applique la Géométrie à la me$ure des Superficies_ _& des Solides_. CHAPITRE PREMIER. _De la me$ure des $uperficies_. PROPOSITION I. PROBLEME.

_784._ ME$urer les figures triangulaires.

Pl. XVI.

Si l’on a un triangle rectangle ABC, dont la ba$e B C $oit _Figure_ 216. de 8 pieds, & la hauteur A B de 5, il faut, pour en trouver la $uperficie, multiplier la moitié de la ba$e par toute la perpen- diculaire, ou la moitié de la perpendiculaire par toute la ba$e, & l’on aura 20 pieds quarrés pour la valeur du triangle (art. 388).

785. Si le triangle n’étoit pas rectangle, comme D E F, il faudroit, en connoi$$ant les trois côtés, chercher la valeur de la perpendiculaire E G (art. 413), & multiplier encore la moitié de la ba$e par toute la perpendiculaire, ou toute la per- pendiculaire par la moitié de la ba$e.

[0476]NOUVEAU COURS

786. Mais comme il peut arriver que la perpendiculaire au _Figure_ 217. lieu de tomber dans le triangle tombe en dehors, comme H L, en ce cas il en faut chercher la valeur (art. 411), & la multi- plier par la moitié de la ba$e I K.

787. Enfin $i l’on avoit $eulement les trois côtés d’un trian- gle, l’on pourra également avoir $a $uperficie, en $uivant ce qui e$t en$eigné dans l’art. 530, c’e$t-à-dire que $uppo$ant le côté D E de 10 pieds, le côté E F de 11, & le côté D F de 13, il faut les ajouter en$emble pour avoir 34 pieds, dont on pren- dra la moitié, qui e$t 17; en$uite la différence des mêmes côtés avec cette moitié, qui font 7, 6 & 4: après quoi l’on multipliera de $uite les quatre termes, 17, 7, 6 & 4 l’un par l’autre, j’entends 17 par 7, qui donneront 119; en$uite ce produit par $ix pour avoir 714, & ce dernier par 4, qui donne 2856, dont il faut extraire la racine qu’on trouvera de 52 pieds 5 pouces & 3 lignes de pied quarré pour la $uperficie du trian- gle D E F.

PROPOSITION II. PROBLEME.

788. Trouver la $uperficie des figures quadrilateres. _Figure_ 218.

Pour trouver la $uperficie du quarré A C, dont le côté $e- roit, par exemple, de 7 pieds, il faut multiplier 7 par lui- même, c’e$t-à-dire A B par B C, & le produit $era 49 pieds, qui e$t la valeur du quarré A C.

789. Si au lieu d’un quarré l’on a un rectangle D F, dont _Figure_ 219. la ba$e D E e$t $uppo$ée de 5 pieds, & la hauteur E F de 12, l’on multipliera 5 par 12 pour avoir au produit 60 pieds, qui $eront la valeur du rectangle.

790. Mais $i au lieu d’un rectangle D F l’on avoit un pa- rallélogramme G K, dont on voulut avoir la $uperficie, il faudroit prolonger la ba$e G L, & abai$$er la perpendiculaire K I, qui $era la hauteur du parallélogramme (art. 383); & $uppo$ant que cette perpendiculaire $oit de 10 pieds, & la ba$e G L de 4, l’on multipliera 10 par 4, & le produit $era 40 pieds pour la valeur du parallélogramme.

791. Si la figure e$t trapezoïde, comme A B C D, & que _Figure_ 221. le côté B A $oit perpendiculaire $ur les deux côtés paralleles B C & A D, il faut joindre ces deux côtés en$emble pour [0477]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII_. avoir la ba$e A E du triangle A B E, qui $era égal au trapezoïde. Ain$i $uppo$ant que le côté B C $oit de 4 pieds, le côté A D de 10, la hauteur B A de 12, la ba$e A E, ou autrement la $omme des deux côtés $era de 14, qu’il faut multiplier par 6, moitié de la perpendiculaire, l’on aura 48 au produit pour la $uperficie du triangle A B E, qui e$t la même que celle du tra- pezoïde, parce que les triangles B C F & F D E $ont égaux.

792. Si l’on veut encore d’une autre façon trouver la $uper- ficie du trapezoïde, il n’y a qu’à chercher une moyenne arith- métique (art. 232) G F entre B C & A D, c’e$t-à-dire entre 4 & 10, l’on trouvera qu’elle e$t 7; & $i l’on multiplie cette moyenne par toute la hauteur B A, qui e$t 12, l’on aura 84 pour la $uperficie; ce qui e$t évident, pui$que le rectangle A B H I e$t égal au trapezoïde A B C D, à cau$e que le trian- gle C H F e$t le même que F I D.

PROPOSITION III. PROBLEME.

793. Me$urer la $uperficie des polygones réguliers & irréguliers. _Figure_ 222.

Si l’on veut $çavoir la $uperficie d’un polygone régulier, il faut du centre E abai$$er une perpendiculaire E B $ur un des côtés C D, & tirer les rayons E C & E D, qui donneront le triangle i$o$cele E C D. Or comme on connoîtra les angles de la ba$e de ce triangle, pui$que le polygone e$t régulier, & que d’ailleurs on connoît le côté C D, on aura le triangle rec- tangle E B D, duquel il $era facile de connoître le côté E B (art. 713): & $uppo$ant qu’on l’a trouvé de 6 pieds, on ajou- tera en$emble tous les côtés du polygone, dont la $omme $era, par exemple, 48, qu’il faudra multiplier par 3, moitié de la perpendiculaire, pour avoir 144 pieds, qui $era la va- leur du polygone.

794. Si le polygone e$t irrégulier, comme A B C D E F, _Figure_ 223. l’on tirera du point E les lignes E C, E B, E A, qui divi$e- ront le polygone en quatre triangles, dont le premier aura pour hauteur la perpendiculaire F G, le $econd, la perpendi- culaire A H; le troi$ieme, la perpendiculaire C I; & le qua- trieme, la perpendiculaire D K. Cela po$é, $i l’on me$ure $ur le terrein avec la toi$e, ou $ur le papier avec une échelle, la valeur des perpendiculaires, au$$i-bien que celles des lignes $ur [0478]NOUVEAU COURS le$quelles ces perpendiculaires tombent, l’on n’aura qu’à faire autant de multiplications qu’il y a de triangles; & ajoutant tous les produits en$emble, l’on aura la valeur du polygone.

PROPOSITION IV. PROBLEME.

795. Me$urer la $uperficie des cercles & de leurs parties. _Figure_ 224.

Pour me$urer la $uperficie d’un cercle A B, il faut connoître la valeur de $on diametre & de $a circonférence, comme on l’a dit (art. 484), & multiplier la moitié de la circonférence par la moitié du diametre, & le produit donnera la valeur du cercle. Par exemple, pour trouver la $uperficie d’un cercle, dont le diametre e$t 14, je cherche $a circonférence, qui $era 44; & prenant la moitié de 44, qui e$t 22, & la moitié de 14, qui e$t 7, je multiplie ces deux nombres l’un par l’autre pour avoir 154, qui $era la $uperficie du cercle.

L’on peut au$$i $e $ervir du rapport de 14 à 11, qui exprime celui du quarré du diametre d’un cercle à la $uperficie du même cercle, $elon l’art. 490. Ain$i $uppo$ant que le diametre $oit de 15 pieds, je quarre ce diametre pour avoir 225; en$uite je dis: comme 14 e$t à 11, ain$i 225, quarré du diametre, e$t à la $uperficie du cercle que l’on trouvera de 176 {11/14}.

796. Si l’on veut $çavoir la $uperficie d’un $ecteur de cer- _Figure_ 225. cle, il faut connoître l’angle formé par les deux rayons, & la valeur du rayon. Ain$i $uppo$ant que l’angle du $ecteur A B C e$t de 60 degrés, & le rayon de 7 pieds, je commence par trouver la valeur du cercle d’où e$t provenu le $ecteur, la- quelle $e trouve de 154, & puis je fais une Regle de Trois, en di$ant: Si 360, valeur de toute la circonférence, m’a donné 154 pour la $uperficie qu’elle renferme, combien me donne- ront 60, valeur de la circonférence du $ecteur, pour la $uper- ficie qu’elle renferme, l’on trouvera 25 pieds 8 pouces.

797. Enfin pour trouver la valeur d’un $egment de cercle, _Figure_ 226. tel que D G F, il faudra commencer par en faire un $ecteur, dont on cherchera la $uperficie, que je $uppo$e encore être 25 pieds 8 pouces. Cela po$é, on cherchera la $uperficie du triangle D E F, que l’on trouvera à peu près de 21 pieds; & $ou$trayant cette quantité de 25 pieds 8 pouces, le re$te $era la valeur du $egment qui $era environ de 4 pieds 8 pouces.

[0479]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII_. PROPOSITION V. PROBLEME.

798. Me$urer la $uperficie d’une Ellip$e.

Nous avons vu (art. 240) que les élémens F H & E I d’un _Figure_ 227. quart de cercle étoient en même rai$on avec les élémens F G & E D d’un quart d’ellip$e; par con$équent il y aura donc même rai$on de la $omme de tous les antécédens à la $omme de tous les con$équens, que d’un antécédent à $on con$é- quent (art. 633), c’e$t-à-dire que le quart de cercle E A I e$t au quart d’ellip$e E A D, comme la ligne E I e$t à la ligne E D, ou bien comme la ligne A B e$t à la ligne C D: & $i au lieu du quart de cercle, & du quart d’ellip$e, l’on prend tout le cercle & toute l’ellip$e; il y aura encore même rai$on du cercle à l’ellip$e, que de la ligne A B à la ligne C D; ce qui fait voir que la $uperficie d’un cercle qui auroit pour diametre le grand axe d’une ellip$e, e$t à la $uperficie de l’ellip$e, comme le grand axe e$t au petit. Or $uppo$ant que le grand axe A B $oit de 14 pieds, & le petit C D de 8, il faut pour trouver la $uperficie de l’ellip$e, chercher d’abord celle du cercle de $on grand axe, que l’on trouvera de 154, & puis dire: Si le grand axe de 14 m’a donné 8 pouces pour le petit, que me donne- ront 154, $uperficie du cercle pour celle de l’ellip$e, que l’on trouvera de 88 pieds.

Les $uperficies des cercles étant dans la rai$on des quarrés de leurs diametres, l’on peut dire que celles des ellip$es $ont dans la rai$on compo$ée de leurs axes, que par con$équent l’on peut prendre à la place de leurs diametres les rectangles compris $ous les mêmes axes; & comme il n’y a point de quarré qui ne pui$$e être produit par les dimen$ions d’un rec- tangle qui lui $eroit égal, l’on peut trouver la $uperficie de l’ellip$e précédente, en multipliant ces deux axes 14 & 8 l’un par l’autre pour avoir 112, qui tiendra lieu du quarré de $on diametre, en$uite dire, comme 14 e$t à 11, ain$i 112 e$t à la $uperficie de l’ellip$e, que l’on trouvera encore de 88 pieds.

[0480]NOUVEAU COURS PROPOSITION VI. PROBLEME.

_799._ Me$urer l’e$pace renfermé par une parabole. _Figure_ 228.

Si l’on a une parabole A B C, dont l’axe B D $oit de 9 pieds, & la plus grande ordonnée D A de 12, toute la ligne A C $era de 24. Cela étant, je dis que pour trouver l’e$pace renfermé par la parabole A B C, il faut multiplier la ligne A C par les deux tiers de l’axe B D, c’e$t-à-dire 24 par 6, pour avoir 144 au produit, qui $era l’e$pace que l’on demande.

La rai$on de cette opération e$t que l’e$pace A B C e$t les deux tiers du rectangle A E F C; pour le prouver nous fe- rons voir que l’e$pace A E B K e$t le tiers du rectangle A E B D.

Ayant divi$é la ligne E B en un nombre de parties égales, & tiré par tous les points de divi$ion des lignes telles que G H & I K, paralleles à A E, l’on verra (art. 605) que par la pro- priété de la parabole, le quarré B G e$t au quarré B I, comme G H e$t à I K; mais les parties de $uite de la ligne E B étant en progre$$ion arithmétique, les quarrés des lignes B G & B I $eront ceux des termes d’une progre$$ion arithmétique; par con$équent les élémens G H & I K $ont en même rai$on que les quarrés des termes d’une progre$$ion arithmétique: ain$i l’e$pace A E B K contient une quantité infinie d’élémens, qui $ont tous dans la même rai$on que les quarrés des termes in- finis d’une progre$$ion arithmétique: mais comme pour trouver la valeur de tous ces quarrés, il faut (art. 551) multiplier le plus grand quarré par le tiers de la grandeur qui exprime la quantité des termes; il faut donc pour trouver la valeur de tous les élémens qui compo$ent l’e$pace A E B K, multiplier le plus grand élément E A par le tiers de la ligne E B, qui en exprime la quantité: ce qui fait voir que cet e$pace e$t le tiers du rectangle A E B D, & que par con$équent l’e$pace A K B D de la parabole en e$t les deux tiers.

REMARQUE.

Il e$t ab$olument néce$$aire pour ceux qui veulent s’atta- cher au Génie, de $çavoir bien me$urer les figures planes, parce qu’elles $e rencontrent continuellement dans le toi$é des fortifications & des bâtimens civils: car les couvertures de [0481]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII_. tuiles & d’ardoi$es, les planchers, les pavés, le blanchi$$age des murs recrepis, les vitres, le gazon avec lequel on revêtit les ouvrages de terra$$e, $e me$urent à la toi$e quarrée, & toutes les figures que toutes ces cho$es peuvent former, $e ré- dui$ent toujours à des rectangles ou à des triangles.

PROPOSITION VII PROBLEME.

_800._ Me$urer les $urfaces des Pri$mes & des Cylindres. _Figure_ 229.

Pour me$urer la $urface d’un pri$me A E, il faut multiplier la $omme des côtés du polygone, qui lui $ert de ba$e par la hauteur du pri$me: ain$i $i le pri$me a pour ba$e un exa- gone, dont chaque côté B C $oit de 4 pieds, & la hauteur B E de 6, la $omme des côtés $era 24, qui étant multiplié par 6, le produit $era 144 pieds pour la valeur de la $urface.

801. Pour me$urer la $urface d’un cylindre, tel que B C, _Figure_ 230. dont le diametre A C e$t de 14 pieds, & la hauteur A B de 8, il faut commencer par chercher la circonférence du cercle qui lui $ert de ba$e, qu’on trouvera de 44 pieds. Après cela, il faut multiplier cette circonférence par 8, hauteur du cylindre, & l’on trouvera 352 pieds pour la $urface du cylindre.

PROPOSITION VIII. PROBLEME.

_802._ Me$urer les $urfaces des Pyramides & des Cônes. _Figure_ 231.

Pour me$urer la $urface d’une pyramide droite, qui a pour ba$e un exagone, dont chaque côté, tel que A B, e$t $uppo$é de 6 pieds, & la perpendiculaire tirée du $ommet $ur un de $es côtés de 10 pieds, il faut multiplier la $omme de la moitié de tous ces côtés par toute la perpendiculaire (art. 545), c’e$t- à-dire 18 par 10: l’on trouvera 180 pour la $urface de la py- ramide.

803. Pour trouver la $urface d’un cône droit, dont le dia- _Figure_ 232. metre A B du cercle de $a ba$e e$t de 14 pieds, & le côté A D de 12, il faut multiplier la circonférence du cercle, que l’on trouvera de 44, par la moitié du côté A D (art. 547), c’e$t- à-dire par 6, & l’on verra que la $urface du cône e$t de 264; [0482]NOUVEAU COURS ou bien multiplier la moitié de la circonférence par tout le côté A D, & l’on aura encore la même cho$e.

PROPOSITION IX. PROBLEME.

_804._ Me$urer les $urfaces des Spheres, celles de leurs Seg- _Figure_ 233. mens, & celles de leurs Zones.

Pour me$urer la $urface d’une $phere, dont le diametre H G e$t $uppo$é de 14 pieds, il faut commencer par chercher la circonférence de ce diametre, que l’on trouvera de 44; & il faut la multiplier par le diametre, c’e$t-à-dire par 14, & le produit donnera la valeur de la $urface de la $phere (art. 575) que l’on trouvera de 616.

805. si au lieu de la $urface de toute une $phere, on vou- loit me$urer $eulement celle d’un $egment, tel que A B C, il faudroit chercher d’abord la circonférence du grand cercle de la $phere d’où le $egment a été tiré; & de plus connoître exactement la perpendiculaire C D élevée $ur le centre du cer- cle A B, & puis multiplier la circonférence du grand cercle par la valeur de cette perpendiculaire (582): ain$i $uppo$ant que la circonférence du cercle $oit 44, & la perpendiculaire C D de 4, multipliant l’un par l’autre, on aura 176 pieds pour la valeur de la $urface du $egment.

806. Enfin pour me$urer la $urface d’une zone, telle que E H F G, il faut connoître au$$i la circonférence du grand cercle de la $phere d’où elle a été tirée, & la valeur de la per- pendiculaire I K, tirée d’un centre à l’autre des deux cercles oppo$és, & multiplier cette perpendiculaire par la circonfé- rence du grand cercle (art. 582), dont nous venons de parler. Ain$i $uppo$ant qu’elle $oit encore de 44 pieds, & la perpen- diculaire I K de 5, multipliant l’un par l’autre, l’on trouvera 220 pieds pour la valeur de la $urface de la zone.

REMARQUE.

La plûpart de ceux qui étudient la Géométrie $çavent bien que cette $cience e$t fort utile, & qu’en général toutes les propo$itions qu’elle renferme ont leur u$age; cependant comme ils n’en connoi$$ent point l’application, faute de s’être trouvés dans le cas de s’en $ervir, ils en viennent toujours à demander [0483]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII_. à quoi tels & tels problêmes peuvent $ervir: c’e$t pourquoi ayant de$$ein de leur ôter cette inquiétude, je tâcherai, autant qu’il me $era po$$ible, de leur faire voir l’application des moin- dres cho$es: & pour dire un mot des propo$itions précédentes, ils feront attention que les cloches étant toujours des pyra- mides ou des cônes, que les dômes étant ordinairement des figures $phériques, & les tours des châteaux étant couvertes par des toits faits en cône ou en pyramide, il faut, pour en toi$er la couverture, $çavoir me$urer ces différentes $urfaces.

PROPOSITION X. PROBLEME.

_807_ Me$urer la $olidité des Cubes, des Parallelepipedes, des _Figure_ 234. Pri$mes & des cylindres.

Pour me$urer la $olidité d’un cube A D, dont le côté A B $eroit, par exemple, de 6 pieds, il faut quarrer 6 pour avoir la $uperficie de la ba$e, qui $era 36; & multipliant cette ba$e par la hauteur du cube, c’e$t-à-dire par 6 pieds, l’on aura 216 pieds pour la valeur du cube.

808. L’on trouvera de même la valeur d’un parallelepipede, _Figure_ 235. en multipliant la $uperficie de $a ba$e par la hauteur. Ain$i voulant me$urer le parallelepipede E H, $uppo$ant que $a ba$e ait 10 pieds de long $ur 4 pieds de large, & que $a hauteur H F $oit de 5 pieds, il faut multiplier 4 par 10 pour avoir 40, qui $era la $uperficie de la ba$e, qui étant multipliée par la hauteur 5, donnera 200 pieds cubes pour le parallelepipede.

809. Pour me$urer la $olidité d’un pri$me C E, dont la ba$e _Figure_ 229. e$t un exagone, il faut d’abord connoître la $uperficie de l’exa- gone, que l’on trouvera en multipliant la $omme de $es côtés par la moitié de la perpendiculaire A D: ain$i ce côté B C étant de 4 pieds, la perpendiculaire de 3 {1/2}, la $omme des côtés $era 24, qui étant multipliée par 1 {3/4}, on aura 42 pieds quarrés pour la valeur de la ba$e, qu’il faut en$uite multiplier par la hauteur B E, que je $uppo$e de 6 pieds: la multiplication étant faite, l’on trouvera 252 pieds cubes pour la valeur du pri$me.

810. Pour me$urer la $olidité d’un cylindre C B, dont le _Figure_ 230. diametre B D du cercle de la ba$e e$t de 14 pieds, & la hauteur A B de 8 pieds, il faut commencer par avoir la valeur du cercle qui $ert de ba$e au cylindre: pour cela, il faut chercher la cir- [0484]NOUVEAU COURS conférence, que l’on trouvera de 44, dont la moitié étant multipliée par le rayon du même cercle, donnera 154 pieds quarrés pour la valeur de la ba$e du cylindre: il faut en$uite la multiplier par 8 pour avoir 1232 pieds cubes pour la $olidité du cylindre.

Comme la $olidité des cubes, des parallelepipedes, des pri$- mes & des cylindres, e$t compo$ée d’une infinité de plans $em- blables à celui qui $ert de ba$e à chacun de ces corps, & que leur hauteur exprime la quantité de plans dont ils $ont com- po$és; il s’en$uit que pour trouver la $olidité d’un corps tel que les précédens, il faut multiplier $a ba$e par toute $a hau- teur.

PROPOSITION XI. PROBLEME.

_811._ Me$urer la $olidité des Pyramides & des Cônes. _Figure_ 231.

Pour me$urer la $olidité d’une pyramide qui a pour ba$e un exagone, il faut commencer par connoître la $uperficie de la ba$e. Ain$i $uppo$ant que le côté A B $oit de 6 pieds, & la perpendiculaire C E de 6 {3/4}, l’on trouvera 121 pieds {1/2} quarrés pour la $uperficie de la ba$e, qu’il faut multiplier par le tiers de l’axe D C de la pyramide. Comme cet axe e$t $uppo$é de 10 pieds, il faudra multiplier 121 {1/2} par 3 {1/3}, & le produit $era 405 pieds cubes pour la $olidité de la pyramide.

812. Pour trouver la $olidité d’un cône, l’on agira comme _Figure_ 232. on vient de faire pour trouver celle de la pyramide: on commencera par connoître la $uperficie du cercle, qui $ert de ba$e au cône, il faudra la multiplier par le tiers de l’axe du cône. Ain$i voulant me$urer la $olidité d’un cône A D B, dont le diametre de $on cercle e$t de 14 pieds, & la valeur de $on axe de 9 {1/2}, l’on trouvera que la $uperficie de la ba$e e$t de 154 pieds quarrés, qui étant multipliés par 3 {1/6}, qui e$t le tiers de l’axe, l’on trouvera 456 pieds cubes pour la $olidité du cône.

Si nous avons multiplié la ba$e de la pyramide, au$$i-bien que celle du cône, par le tiers de la hauteur de l’un & de l’autre, c’e$t que nous avons vu (art. 551) que la pyramide étoit le tiers du pri$me de même ba$e & de même hauteur, comme le cône étoit au$$i le tiers du cylindre de même ba$e & de même hauteur.

[0485]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII_.

813. Si les parallelepipedes, les pri$mes, les cylindres, les pyramides, les cônes que l’on veut me$urer étoient inclinés, il faudroit tirer une perpendiculaire de leur $ommet $ur leurs ba$es prolongées; en$uite connoître la valeur de cette per- pendiculaire, & la regarder comme celle de la hauteur du $olide, qui $era incliné; & $i cela arrive à l’égard d’un paralle- lepipede, d’un pri$me, ou d’un cylindre, on multipliera toute la perpendiculaire par la ba$e du $olide auquel elle corre$pond: & $i cela arrive à l’égard des pyramides, des cônes, on mul- tipliera la ba$e de l’un ou l’autre de ces $olides par le tiers de la perpendiculaire.

PROPOSITION XII. PROBLEME.

_814._ Me$urer la $olidité des Pyramides & des cônes tronqués. _Figure_ 236.

Si l’on a une pyramide D B, dont les plans oppo$és D F & A B $oient des quarrés, pour en $çavoir la $olidité, nous $up- po$erons que le côté D E e$t de 9 pieds, le côté A C de 4, & l’axe G H de 12. Cela po$é, il faut chercher la valeur des plans A B & D F, qui $eront de 16 & de 81 pieds, entre le$- quels il faut chercher une moyenne proportionnelle, qui $era 36 pour le plan moyen, qu’il faut ajouter avec les deux autres, pour avoir 133, qui $era la $omme des trois plans, qu’il faut multiplier par le tiers de l’axe, c’e$t-à-dire par 4 pour avoir 532 pieds pour la $olidité de la pyramide tronquée (art. 561).

Si l’on avoit un cône tronqué, l’on en trouveroit de même la valeur, en cherchant un cercle moyen entre les deux op- po$és, & en multipliant la $omme de la valeur des trois cer- cles par le tiers de l’axe, pour avoir un produit, qui $era ce que l’on demande.

815. Voici encore une autre maniere de trouver la valeur _Figure_ 237. d’une pyramide ou d’un cône tronqué, qui e$t plus d’u$age que la précédente: par exemple, pour connoître la $olidité du cône tronqué A D E B, dont l’axe G C e$t de 15 pieds, le diametre D E de 7, & le diametre A B de 21: j’abai$$e la per- pendiculaire D H, & j’acheve le cône pour avoir l’axe entier C F, dont je cherche la valeur comme il $uit.

Le rayon D G étant de 3 pieds {1/2}, & le rayon A C de 10 {1/2}, la ligne A H $era la différence de D G à A C: par con$équent [0486]NOUVEAU COURS de 7 pieds. Or ayant les deux triangles $emblables A H D & A C F, je dis: Si le côté A H de 7 pieds donne 15 pieds pour le côté H D, que donnera le côté A C de 10 {1/2} pour le côté C F, que l’on trouvera de 22 pieds {1/2}.

Pré$entement que l’on a trouvé le grand axe, il faut cher- cher la valeur du cône A B F, & celle du petit cône D F E, & retran cher celle-ci de l’autre pour avoir la différence, qui $era la valeur du cône tronqué.

816. Ou bien à cau$e que les cônes D F E & A F B $ont $emblables, l’on pourra cuber les diametres A B & D E, & dire. Comme le cube du diametre A B e$t au cube du diametre D E, ain$i la valeur du cône A F B e$t à celle du cône D F E, qui étant trouvée, $era retranchée de celle du cône A F B pour avoir la différence, qui $era la partie tronquée.

REMARQUE.

L’on verra dans la $uite la néce$$ité de $çavoir me$urer les pri$mes, les cylindres, les pyramides & les cônes, au$$i-bien que leurs parties tronquées: car on ne peut faire le toi$é de la maçonnerie du revêtement d’une fortification, $ans qu’il ne $e rencontre des parties $emblables à celles-ci; ce qui arrive toujours aux angles rentrans & $aillans: il $e rencontre même bien des cas où la figure bizarre de ce que l’on veut me$urer, demande beaucoup d’u$age de la Géométrie pour en venir à bout: & comme bien des Ingénieurs $e contentent de les toi$er par approximation, voici quelques propo$itions qui donneront beaucoup d’éclairci$$emens pour ré$oudre les dif- ficultés que je ferai appercevoir à ce $ujet.

PROPOSITION XIII. PROBLEME.

_817_. Me$urer la $olidité des Secteurs de cylindre & de Cônes _Figure_ 238. tronqués.

Pour trouver la $olidité d’un $ecteur A B C D E F d’un cylindre formé par deux plans C A & C E, il faut commencer par $çavoir la valeur du cylindre entier, & connoître l’angle B C D du $ecteur. Ain$i $uppo$ant que cet angle $oit de 50 degrés, & que la $olidité du cylindre $oit de 425 pieds, il faut dire: Si 360 degrés, valeur du cercle qui renferme le cylindre, [0487]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII_. m’a donné 425 pieds pour la valeur du cylindre, que me don- neront 50 degrés pour la valeur du $ecteur, l’on trouvera qu’il e$t de 59 pieds & quelque cho$e.

818. Pour me$urer un $ecteur G H K L M N d’un cône _Figure_ 239. tronqué, il faut, comme ci-devant, connoître l’angle H K L du $ecteur, & la valeur du cône tronqué: ain$i $uppo$ant que l’angle e$t de 60 degrés, & que le cône tronqué e$t de 600 pieds, l’on dira encore: Si 360 m’ont donné 600 pour la valeur du cône tronqué, que me donneront 60 pour la valeur du $ecteur, que l’on trouvera de 100 pieds.

819. Mais $i l’on avoit un cône tronqué A B C D, dans le _Figure_ 240. milieu duquel il y auroit un vuide cylindrique G E F H, & qu’on voulût $çavoir la valeur du fragment L N P Q O M S R formé par des parties de couronnes, il faudroit commencer par trouver la $olidité de tout le cône tronqué A B C D, comme s’il n’y avoit point de vuide pour avoir la valeur du $ecteur L N K O M I, tant plein que vuide, de la façon qu’on vient de le pratiquer; en$uite en retrancher le $ecteur du cy- lindre R P K Q S I, & la différence $era la $olidité du fragment L N P Q O M S R que l’on demande.

820. Si au contraire on avoit un cylindre A B C D, dans le _Figure_ 241. milieu duquel il y eût un vuide en forme de cône tronqué E F G H, & qu’on voulût $çavoir la valeur de la $olidité du fragment Q O N P R L M S terminé par des plans qui $oient dans les rayons I N & I L, il faudra chercher la valeur du $ecteur cylindrique K O N I L M, & celle du $ecteur K Q P I R S du cône tronqué pour le retrancher de celle du $ecteur du cylin- dre, & la différence $era la valeur du fragment QONPRLMS que l’on demande.

Il faut, pour $e rendre familier ce que l’on vient de voir, donner des dimen$ions aux lignes qui compo$ent ces figures, en faire le calcul, & bien entendre les rai$ons de chaque opé- ration: car, comme je l’ai déja dit, nous $erons obligés d’avoit recours à lui pour donner la $olution de quelques-uns des pro- blêmes les plus difficiles du toi$é de fortification.

[0488]NOUVEAU COURS PROPOSITION XIV. PROBLEME.

_821_. Me$urer la $olidité d’une Sphere. Pl. XVII.

Pour avoir la $olidité d’une $phere, dont le diametre A B _Figure_ 242. e$t de 14 pieds, il faut chercher la circonférence de ce diametre, qui $era 44, & la multiplier par le diametre même pour avoir la $urface de la $phere (art. 576), qui $era de 616 pieds, qu’il faut multiplier par le tiers du rayon (art. 575), c’e$t-à-dire par le tiers de 7, pour avoir 1437 {1/2} pieds cubes pour la $olidité de la $phere.

L’on trouvera encore la $olidité de la $phere d’une autre maniere, en multipliant la $uperficie de $on grand cercle par les deux tiers du diametre (art. 568).

L’on peut encore trouver la $olidité des $pheres par une $eule Regle de Trois, ayant $eulement les cubes de leurs axes, avec la même facilité que l’on trouve la $uperficie des cercles à l’aide du quarré de leur diametre; car il y a même rai$on du cube de l’axe d’une $phere à la $olidité de la même $phere, que de $on diametre à la $ixieme partie de la circonférence du même diametre. Pour en être convaincus, nous nommerons _a_ le diametre où l’axe de cette $phere, & _b_ $a circonférence; la $uperficie de $on grand cercle $era par con$équent {_ab_/4}, qui étant multiplié par les deux tiers du diametre, c’e$t-à-dire par {2_a_/3} donne {2_aab_/12} = {_aab_/6} pour la $olidité de la $phere: ain$i l’on aura _a a a_: {_aab_/6}:: a: {_b_/6}: & $uppo$ant une $phere de 21 pieds de diametre, dont la circonférence e$t de 66 pieds, en prenant la $ixieme partie, qui e$t 11, on n’aura plus qu’à dire, comme 21 e$t à 11: ain$i le cube de 14, qui e$t 2744 e$t à la $olidité de la $phere que l’on trouvera encore de 1437 pieds & {1/7}.

822. Pour me$urer un $ecteur de $phere, tel que A B C D, _Figure_ 243. il faut connoître le rayon & la perpendiculaire D E, élevée $ur le milieu de la corde A C. Or $i nous $uppo$ons le rayon de 7 pieds, & la perpendiculaire de 3, il faut chercher, par le moyen du rayon, la circonférence du grand cercle de la $phere, d’où le $ecteur a été tiré, & on la trouvera de 44 pieds: il [0489]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII_. faut en$uite multiplier cette circonférence par la perpendicu- laire D E, c’e$t-à-dire 44 par 3; & le produit 132 $era la $ur- face A D C du $ecteur (art. 805), qu’il faudra multiplier par le tiers du rayon B C, c’e$t-à-dire par 2 {1/3}, pour avoir 308 pieds cubes, qui e$t la $olidité du $ecteur.

823. Si au lieu d’un $ecteur l’on avoit un $egment de $phere _Figure_ 244. D G F, il faudroit, pour en trouver la $olidité, le réduire en $ecteur, & chercher la $olidité de ce $ecteur, de laquelle il faudroit retrancher le cône D E F, & le re$tant $eroit la va- leur du $egment.

824. Mais $i la partie de la $phere que l’on veut me$urer _Figure_ 245. étoit une zone compri$e par le grand cercle de la $phere, & par un autre quelconque, qui lui $eroit parallelement oppo$é, comme e$t la zone A F H E, on en trouveroit la $olidité en prenant les deux tiers du cylindre qui auroit pour ba$e le grand cercle A E, & pour hauteur la partie de l’axe G C; & de plus le tiers du cylindre qui auroit pour ba$e le petit cer- cle F H, & pour hauteur la même ligne G C (art. 578). Or pour en faire l’opération, nous $uppo$erons le rayon C E de 14 pieds, & la perpendiculaire C G de 8; & comme nous avons le triangle rectangle C H K, dont l’hypoténu$e C H e$t de 14 pieds, & le côté H K de 8, l’on trouvera par la racine quarrée le côté C K de 11 pieds: ain$i l’on aura le rayon du cercle F H; & par con$équent l’on trouvera la $olidité du cy- lindre I H, qui e$t de 3036 pieds cubes, & la $olidité du grand cylindre A D $e trouvera de 4928 pieds cubes. Or $i l’on prend les deux tiers du plus grand cylindre, l’on aura 3285 {1/3}, qui étant ajouté avec 1012, qui e$t le tiers du petit cylindre, nous donnera 4297 {1/3} pieds cubes pour la $olidité de la zone.

REMARQUE.

825. La génération de la plûpart des $olides ayant été for- _Figure_ 246. & 247. mée par la circonvolution d’un plan $ur $on axe, l’on peut avoir autant de $olides différens, que l’on peut avoir de plans générateurs différens: mais pour ne parler que de ceux qui $ont formés par le plan des courbes des $ections coniques, l’on $çaura que $i une demi-parabole A C B fait une circonvo- lution autour de $on axe A B, elle décrira un corps H I K, que l’on nomme _parabolique_, qui e$t compo$é d’une infinité [0490]NOUVEAU COURS de cercles qui auront tous pour rayons les ordonnées, telles que D E & F G, que l’on regarde ici comme les élémens du plan A B C de la parabole.

826. Si l’on a une demi-ellip$e H L I qui fa$$e une circon- _Figure_ 250. & 251. volution autour de $on axe H I, toutes les ordonnées, comme O P & R S, que l’on peut regarder comme les élémens du plan de l’ellip$e, décriront une infinité de cercles, qui tous en$em- ble formeront le corps A B C D, que l’on nomme _$phéroïde_, parce qu’ayant pour plan générateur une ellip$e, qui e$t pro- prement un cercle alongé, le $phéroïde e$t regardé comme une $phere alongée.

827. Enfin $i l’on fait faire à une demi - hyperbole A B C _Figure_ 252. une circonvolution $ur $on axe B C, elle décrira un $olide, que l’on nomme _hyperboloïde_; & $i la demi-hyperbole e$t ac- compagnée d’une a$ymptote E F, & des lignes D B & D G pa- ralleles à A C & B C, le triangle E F C décrira un cône, & le rectangle G D B C un cylindre.

Comme la plûpart de ces $olides ont lieu dans bien des oc- ca$ions, nous en ferons voir l’application, après que nous aurons donné dans les propo$itions $uivantes la maniere de les me$urer.

PROPOSITION XV. PROBLEME.

_828_. Me$urer la $olidité d’un Paraboloïde.

Pour avoir la $olidité d’un paraboloïde, dont le rayon L K _Figure_ 246. & 247. du cercle de la ba$e $eroit de 7 pieds, l’axe I L de 10, il faut chercher la valeur du cercle de la ba$e, qui $era de 154 pieds, qu’il faut multiplier par la moitié de l’axe I L, c’e$t-à-dire par 5 pour avoir 770 au produit, qui $era ce que l’on demande.

Pour $çavoir la rai$on de cette opération, con$idérez que l’axe AB de la parabole e$t compo$é d’une infinité de parties, comme A E & A G, qui $ont en progre$$ion arithmétique, & que les quarrés des ordonnées E D & G F étant dans la même rai$on que les parties A E & E G (art. 605); ces quarrés $eront au$$i en progre$$ion arithmétique. Or comme les cercles $ont dans la même rai$on que les quarrés de leurs rayons (art. 455), il s’en$uit que les cercles qui compo$ent le para- boloïde H I K $ont en progre$$ion arithmétique, pui$qu’ils $ont [0491]DE MATHEMATIQUE. _Liv. XII_. comme les quarrés des ordonnées de la parabole: mais comme pour trouver la valeur des termes infinis d’une progre$$ion arith- métique (art. 389), il faut multiplier le plus grand terme de la progre$$ion par la moitié de la grandeur qui exprime la quantité de ces termes, il faut donc, pour trouver la valeur de tous les cercles qui compo$ent le paraboloïde, multiplier le plus grand cercle H K par la moitié de l’axe I L.

PROPOSITION XVI. PROBLEME.

_829_. Me$urer la $olidité d’un Sphéroïde. _Figure_ 250. & 251.

Pour $çavoir la $olidité d’un $phéroïde, dont le grand axe B D e$t de 18 pieds, & le petit axe A C de 14, il faut cher- cher la $uperficie du cercle du petit axe, qui $era de 616 pieds, qu’il faut multiplier par les deux tiers du grand axe B D, c’e$t- à-dire par 12, pour avoir le produit 7392, qui $era la $olidité que l’on demande.

L’on connoîtra la rai$on de cette opération, $i l’on con- $idere que les ordonnées O P & R S de l’ellip$e étant dans la même rai$on que celles du cercle O Q & R T, les quarrés des ordonnées de l’ellip$e $eront dans la même rai$on que ceux des ordonnées du cercle (art. 633): & $i à la place des quarrés des ordonnées du cercle, l’on prend les $uperficies des cer- cles, dont ces lignes $eroient les rayons, l’on verra que tous les cercles des ordonnées de l’ellip$e, qui compo$ent ici un $phéroïde, $ont dans la même rai$on que tous les cercles qui compo$ent la $phere. Mais comme l’on trouve la valeur de tous les cercles qui compo$ent la $phere, en multipliant le cer- cle qui auroit pour rayon la plus grande ordonnée M N parles deux tiers de l’axe H I (art. 569), on trouvera donc au$$i la valeur de tous les cercles qui compo$ent le $phéroïde, en mul- tipliant le cercle qui auroit pour rayon la plus grande ordon- née N L de l’ellip$e par les deux tiers de l’axe H I.

830. Mais $i le plan de l’ellip$e, au lieu de faire une cir- _Figure_ 248. & 249. convolution à l’entour de $on grand axe A B, en fai$oit une $ur $on petit axe C D, l’on auroit encore un $phéroïde A C B D, dont on trouvera la $olidité, comme ci-devant, en multi- pliant la $uperficie du cercle du grand axe A B par les deux tiers du petit axe C D: car $i l’on a un cercle E C F D, qui [0492]NOUVEAU COURS ait pour diametre le petit axe C D, & que l’on mene les or- données G H & K L, l’on aura par la propriété de l’ellip$e (art. C G x G D : C K x K D ::

    G H
<_>2:
    K L
<_>2; & $i à la place des rectangles C G x G D & C K x K D, l’on prend les quarrés G I<_>2 & K M<_>2, qui leur $ont égaux par la propriété du cercle, l’on aura
    G I
<_>2:
    K M
<_>2::
    G H
<_>2:
    K L
<_>2. Or $i à la place des quar- rés de toutes les ordonnées du demi-cercle C F D, l’on prend les cercles dont ces ordonnées $ont les rayons, & qu’on fa$$e la même cho$e pour la demi-ellip$e C B D, l’on verra que tous les cercles de la $phere $ont dans la même rai$on que tous les cercles du $phéroïde, & que la quantité des uns & des autres étant exprimée par la ligne C D, $i l’on multiplie le cercle E F par les deux tiers de la ligne C D, pour avoir la valeur de tous les cercles qui compo$ent la $phere, il faudra multiplier le cercle de A B par les deux tiers de la ligne C D, pour avoir la valeur de tous les cercles qui compo$ent le $phéroïde.

831. L’on peut dire au$$i que $i l’on n’avoit que la moitié d’un $phéroïde A C B, il faudroit de même, pour en trouver la $olidité, multiplier le cercle A B par les deux tiers de la ligne C N.

Quoique l’hyperboloïde n’ait guere lieu dans la Géométrie pratique, cela n’empêche pas que je ne di$e un mot $ur la maniere de me$urer ce $olide, pour $atisfaire la curio$ité de ceux qui n’aiment pas qu’on leur $upprime rien.

PROPOSITION XVII. PROBLEME.

_832_. Me$urer la $olidité d’un Hyperboloïde. _Figure_ 253.

Pour avoir la $olidité d’un hyperboloïde D E F, il faut ac- compagner la courbe D E F de $es a$ymptotes B A & B C, & de la ligne G H, qui $era égale à un de $es axes. Cela po$é. il faut chercher la $olidité d’un cône tronqué A G H C (art. 815), & en retrancher le cylindre I G H K pour avoir la différence, qui $era la $olidité de l’hyperboloïde.

Pour entendre la rai$on de l’opération que nous indiquons ici, il faut $e rappeller que nous avons fait voir dans l’hyper- bole (art. 679), que $i l’on menoit une ligne telle que A C, parallele à G H, le rectangle compris $ous les parties A D & [0493]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII_. D C, $eroit égal au quarré de la ligne G E. Or comme le rectangle compris $ous A D & D C, e$t égal au quarré de la perpendiculaire D M (art. 441), à cau$e du demi-cercle A D C, il s’en$uit que la ligne D M e$t égale à la ligne G E. Cela po$é, l’on $çait que le cercle, qui auroit pour rayon la ligne D M, e$t égal à la couronne formée par les deux circonfé- rences (art. 565) A N C O & D P F Q. Cela étant, cette cou- ronne $era égale au cercle, qui aura pour rayon la ligne G E, & qui $era un des cercles du cylindre G H I K; & comme il arrivera la même cho$e pour toutes les lignes telles que A C, qu’on tirera parallele à G H par tel point que l’on voudra de la ligne G A; il s’en$uit que toutes les couronnes $eront égales entr’elles, pui$que chacune $era égale à des cercles du cylin- dre. Or comme il y a autant de couronnes que de cercles, les uns & les autres étant exprimés par la ligne E L, il s’en$uit que l’e$pace qui e$t renfermé entre l’hyperboloïde D P F Q E & le cône tronqué A N C O G F (qui n’e$t autre cho$e que la $omme de toutes les couronnes), e$t égal au cylindre I G H K; & par con$équent le cône tronqué e$t plus grand que l’hyper- boloïde de tout le même cylindre I G H K.

Application de la Géométrie au Toi$é des Voûtes.

PROPOSITION XVIII. PROBLEME.

_833_. Me$urer la $olidité de la Maçonnerie de toutes $ortes de Pl. XVIII. voûtes.

Il n’y a guere que trois $ortes de voûtes parmi les ouvrages _Figure_ 256, 257 & 258. de fortification. Les premieres $ont celles des $outerreins, les $econdes, celles des maga$ins à poudre, & les troi$iemes, celles des tours auxquelles il y a des plates-formes: les unes & les autres $ont ou à plein ceintre, comme dans la figure 256, ou $urbai$$ées, comme dans la figure 257, ou gothique, que l’on nomme au$$i _voûte en tiers point_, ou _voûte en arc de cloître_, comme dans la figure 258, & $oit qu’elles $ervent aux ma- ga$ins ou aux $outerreins, elles $ont toujours di$po$ées en de- hors en dos d’âne, comme un toit, parce qu’on y applique de$$us une chape de ciment pour les garantir des eaux de pluies.

834. Si l’on a donc à toi$er la maçonnerie d’un $outerrein [0494]NOUVEAU COURS ou d’un maga$in, dont la figure 250 $oit le plan, l’on com- _Figure_ 256. & 259. mence par toi$er les pignons P R S T & M K O L, $ans aucune difficulté, parce que ce $ont des parallelepipedes; en$uite on toi$e au$$i les pieds-droits A D F G, depuis la retraite des fon- demens ju$qu’à la nai$$ance A C de la voûte; & pour la voûte, l’on toi$e la $uperficie du triangle A B C, que l’on multiplie par la longueur dans œ uvre de la voûte; ce qui s’appelle _toi$er_ _tant plein que vuide:_ & comme il faut du produit en déduire le vuide D K E, $i la voûte e$t en plein ceintre, l’on me$ure la $uperficie du demi-cercle (art. 484) D K E, que l’on mul- tiplie par la même longueur qui a $ervi à me$urer le triangle A B C; & $ou$trayant ce produit-ci du précédent, la diffé- rence e$t la valeur de la voûte.

835. Si la voûte e$t $urbai$$ée, comme F E G, dont la figure _Figure_ 257. e$t une demi-ellip$e, il faut me$urer le triangle A B C comme ci-devant, & le multiplier par la longueur dans œuvre de la voûte: après quoi l’on cherchera la $uperficie de la demi-ellip$e F E G (art. 798), pour la multiplier au$$i par la même lon- gueur; & $ou$trayant ce produit-ci du précédent, on aura la valeur de la voûte.

836. Enfin $i la voûte que l’on veut me$urer e$t en tiers _Figure_ 258. point, comme I L M, on cherchera la $uperficie du triangle I L M, à laquelle on joindra celle des $egmens (art. 797) des cercles, dont les lignes L I & L M $ont les cordes; & ayant multiplié cette quantité par la longueur de la voûte dans œu- vre, on $ou$traira le produit de celui du triangle H K N, multiplié par la même longueur, & l’on aura la $olidité que l’on demande.

837. Pour les voûtes au de$$us de$quelles il y a des plates- formes, comme, par exemple, celles qui couvrent les $alles de l’Ob$ervatoire Royal de Paris, le toi$é en e$t un peu plus difficile; & je ne $çache pas même que per$onne ait recherché la maniere de le faire géométriquement: comme ces $ortes d’endroits ont pour ba$e un quarré ou un polygone régulier, le vuide & le plein de la voûte font ordinairement un pri$me, qui e$t facile à me$urer: & comme il n’y a que le vuide qu’il faut déduire, qui peut faire quelque difficulté, nous con$idé- rerons ici les différentes figures qu’il peut avoir, afin de les réduire à des corps réguliers.

Suppo$ant donc que les lieux dont il s’agit, ayent pour ba$e [0495]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII_. un quarré A B, ou un polygone régulier G H, voici comment on peut con$idérer la nature de leurs voûtes.

Si la ba$e e$t un quarré, les diagonales A B & C D $ervi- _Figure_ 260. & 261. ront de diametre à des demi-cercles A E B & C F D, qui par- tagent la voûte en quatre, & qui forment des arrêtes dans les angles. Or $i l’on con$idere une infinité de quarrés qui rem- pli$$ent le vuide de la voûte, tous ces quarrés auront leurs an- gles dans les quarts de cercles F C, F A, F B, F D, & leurs côtés $eront des lignes comme G H & I K, tirées d’un quart de cercle à l’autre parallélement aux côtés A D ou D B, & la moitié de toutes les diagonales, comme E A & L M $eront les ordonnées d’un quart de cercle A F E. Or comme la ligne E F ou E A qui marque la hauteur de la voûte, exprime la $omme de tous ces quarrés, il s’en$uit que les ordonnées E A & L M $ervant de demi-diagonales à ces quarrés, l’on trou- vera la valeur de tous ces quarrés, comme on trouve celles des ordonnées d’un quart de cercle; mais nous avons vu (art. 821), que la valeur des quarrés des ordonnées d’un quart de cercle $e connoi$$oit en multipliant la plus grande ordon- née E A par les deux tiers de la ligne E F: il faudra donc, pour trouver la $olidité du corps A F B, multiplier le quarré A B, qui lui $ert de ba$e, par les deux tiers de la ligne E F, qui en exprime la hauteur.

838. Si la voûte étoit $ur des pieds-droits, qui compo$a$$ent _Figure_ 261. en$emble un pri$me, & que ce pri$me fût de $ix côtés, le corps qui formeroit le vuide de la voûte auroit une figure comme G H I K, formée au$$i par demi-cercles: & comme ce corps $eroit compo$é d’une quantité infinie de polygones $em- blables, de même que celui que nous venons de voir e$t com- po$é de quarrés, $i l’on con$idere le quart de cercle I K G, l’on verra que toutes les ordonnées, comme O P & Q R de ce quart de cercle, $ervent de rayons aux polygones, dont le $olide e$t compo$é: mais ces polygones étant tous $emblables, & dans la rai$on des quarrés de leurs rayons (art. 492), l’on en trouvera la valeur, comme on trouve celle des quarrés de leurs rayons, c’e$t-à-dire, en multipliant la $uperficie du plus grand polygone par les deux tiers de la ligne qui en exprime la quan- tité. Ain$i pour trouver la valeur du $olide G I H, il faut mul- tiplier la ba$e G H par les deux tiers de la perpendiculaire I K.

839. Mais $i au lieu de demi-cercles, c’étoit des demi-ellip$es[0496]NOUVEAU COURS A B C & D B E, qui partagea$$ent la voûte, on trouveroit de même la valeur du vuide, en multipliant la ba$e A C par les deux tiers de l’axe B F: car $i le plan A C e$t un quarré, tous ceux qui compo$eront le $olide $eront au$$i des quarrés: donc les demi-diagonales $eront les ordonnées K L & M N du quart d’ellip$e H G I ou F B C: & comme l’on trouve la valeur de tous les quarrés des ordonnées d’un quart d’ellip$e, comme on trouve celles des ordonnées d’un quart de cercle (art. 798), c’e$t-à-dire en multipliant le quarré de la plus grande ordon- née H I par les deux tiers de la ligne G H, il s’en$uit que l’on trouvera toujours la $olidité d’une voûte quelconque, $oit que $es arrêtes $e trouvent être des ellip$es, $oit qu’elles $oient $eulement des quart de cercles. Cela vient de ce que l’on doit toujours déterminer la $olidité d’un corps, dont les élément croi$$ent dans la rai$on des quarrés des ordonnées d’une el- lip$e ou d’un quart de cercle, en multipliant le plus grand élé- ment qui $ert de ba$e par les deux tiers de la hauteur, quelle que $oit d’ailleurs la figure du polygone qui $ert de ba$e régu- liere ou irréguliere.

840. Il e$t encore une autre e$pece de voûte, que l’on nomme _voûte en bourlet_, parce qu’en effet le vuide de cette voûte re$- $emble a$$ez à un bourlet; & pour en donner une idée, con- $idérez les figures 264 & 265, dont la premiere e$t le plan d’une Tour, où l’on voit dans le milieu un pilier A B, $ur le- quel repo$e une voûte, qui répond au$$i aux murs de la Tour; de $orte que de quelque $ens qu’on pui$$e prendre le profil de cette Tour, il $era toujours $emblable à la figure 265. Or comme la voûte regne autour du pilier A B E, il faut pour la toi$er, commencer par me$urer la ma$$e H I C D, tant pleine que vuide, qui e$t un cylindre qui a pour ba$e un cercle, dont C D e$t le diametre, & H C la hauteur.

Pré$entement pour trouver le vuide qu’il faut déduire de ce cylindre, il faut chercher la $uperficie du demi-cercle C M A, & la multiplier par la circonférence du cercle, qui $era moyenne arithmétique entre les circonférences de la Tour & du pilier, c’e$t-à-dire entre les circonférences qui auront pour rayons A F & F C; & retranchant ce produit-ci du précédent, on aura la valeur de la voûte.

Comme le bourlet e$t compo$é d’autant de demi-cercles que l’e$pace qui e$t entre les deux circonférences C O D Q & [0497]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII._ A N B P contient de lignes, comme A C & N O, qui $ervent de diametre aux demi-cercles, il s’en$uit que la ligne qui ex- primera la $omme de tous les élémens qui compo$ent la cou- ronne, c’e$t-à-dire la $omme de toutes les lignes A C & N O, marquera au$$i la $omme de tous les demi-cercles qui compo- $ent le bourlet. Or comme cette ligne n’e$t autre cho$e qu’une circonférence G H moyenne arithmétique entre les deux C O D Q & A N B P, qui renferment la couronne, il s’en$uit qu’il faut multiplier le demi-cercle, qui auroit pour diametre C A par la circonférence G H, pour avoir la valeur du bourlet.

A l’égard du revêtement de la Tour, l’on voit que pour en trouver la $olidité, il faut ôter de la valeur du cône tronqué, dont R S T X $eroit la coupe, le cylindre qui auroit pour dia- metre du cercle de $a ba$e la ligne H I, & pour hauteur la ligne H Z, afin d’avoir la différence, qui $era ce qu’on demande.

841. On peut être $ouvent dans le cas de toi$er la $uper- ficie des voûtes dont nous venons d’examiner la $olidité: c’e$t pourquoi il e$t à propos de $çavoir la maniere dont il faudroit s’y prendre $i l’on avoit de pareilles $urfaces courbes à me- $urer. La méthode que je vais expliquer ici ne peut s’appli- quer qu’aux voûtes telles que A B C, dont la ba$e e$t un po- _Figure_ 262. lygone régulier, & dont la hauteur B F e$t égale au rayon G F, mené du centre F du polygone régulier qui $ert de ba$e, per- pendiculairement au côté A E. Si l’on pouvoit trouver le moyen de toi$er par une méthode générale & facile la $urface d’un ellip$oïde, la méthode que nous allons propo$er s’appli- queroit avec la même facilité aux voûtes $urbai$$ées & $ur- montées. En général on dit qu’une voûte quelconque e$t en plein cintre, lor$que la hauteur B F ou la perpendiculaire abai$$ée du $ommet $ur le plan de la ba$e e$t égale à la ligne menée du centre F de la ba$e où tombe la perpendiculaire B F, au milieu de chaque côté du polygone régulier, comme e$t ici la ligne F G. Si cette ligne B F e$t plus grande ou plus petite que G F, la voûte e$t appellée _$urmontée_ ou _$urbai$$ée_. Le principe que nous allons expliquer a ceci d’avantageux, que quoiqu’on ne pui$$e l’appliquer qu’aux voûtes en plein cintres, on trouve encore par $on moyen la $urface d’une voûte fort commune, à laquelle on a donné le nom de voûte d’arrête. Lafigure 254, planche 17, repré$ente une voûte d’arrête. Nous ferons voir au$$i la maniere de toi$er la $olidité de cette voûte, en ne fai- $ant u$age que des principes précédens.

[0498]NOUVEAU COURS DÉFINITION.

842. Suppo$ant toujours la voûte en plein ceintre, en arc de cloître, comme celle qui e$t repré$entée par la figure 262, nous appellerons chaque portion de la $urface courbe de la voûte, telle que A B E, _un pan de voûte:_ ain$i dans la même figure, la voûte propo$ée e$t une voûte à quatre _pans_. En gé- néral, une voûte en arc de cloître & en plein ceintre, aura toujours autant de pans que le polygone régulier qui lui $ert de ba$e a de côtés.

PROPOSITION XIX. THÉOREME.

_843._ La $uperficie courbe _A B E_ d’un pan de voûte quelconque _Figure_ 262. e$t double du triangle qui lui $ert de ba$e.

Soit repré$enté par 2_a_ le côté du polygone régulier qui $ert de ba$e à notre voûte, & par _b_ la perpendiculaire G F abai$$ée du centre F du polygone $ur $on côté A E, laquelle (art. 841) doit être égale à la hauteur B F de la voûte, pui$qu’on la $up- po$e en plein ceintre; la $urface du triangle A F E qui $ert de ba$e à la portion A B F E de la voûte $era _a b_: & pour avoir le $olide de cette portion de voûte, il faudra, $uivant l’art. 837, multiplier le plus grand élément ou le triangle A F E par les deux tiers de B F; ce qui donnera pour la $olidité du corps A B F E {2_ab_<_>2/3}.

Pré$entement je fais attention que l’on pourroit con$idérer la $olidité de ce corps d’une autre maniere, en le concevant comme étant compo$é d’une infinité de petits cônes, tels que F G, F _g_, F _h_, qui ont tous leur $ommet au point F, & dont les ba$es $ont répandues uniformément $ur la $urface ou le pan de voûte A B E. Il e$t ai$é de voir que de tous ces cônes il n’y a que ceux qui $ont di$po$és $ur le quart de cercle qui pui$$ent être droits, & que tous les autres $ont néce$$airement obliques & différemment inclinés, quoiqu’ils aient tous la même hau- teur F G. Ain$i pour avoir la $olidité de la portion de voûte A B F E con$idérée de cette maniere, il faudra multiplier la $omme des ba$es de tous ces petits cônes, qui n’e$t autre cho$e que la $urface du pan de voûte A B E, par le tiers du rayon F G: [0499]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII_. donc en dé$ignant cette $urface par S, on aura le $olide du corps A B F E = S x {_a_/3}. D’ailleurs, nous venons de voir que le même $olide e$t exprimé par {2/3}_a_<_>2_b_, en le con$idérant com- po$é d’élémens triangulaires, tels que I L K qui croi$$ent com- me les quarrés des ordonnées L H au quart de cercle B H G: on aura donc S x {_a_/3} = {2/3}_a_<_>2_b_, & en divi$ant par {1/3}_a_, S = 2_ab_; d’où il $uit évidemment que le pan de voûte A B E e$t double du triangle corre$pondant A F E qui lui $ert de ba$e.

_Nota_. Il faut remarquer que $elon la figure où la ba$e A DC E e$t un quarré, la $urface du triangle e$t _aa_, parce que la per- pendiculaire F G $e trouve, par la propriété du quarré, égale à la moitié A G du côté A E. Comme cela n’e$t qu’accidentel, & que notre démon$tration doit s’entendre d’un polygone quel- conque, il étoit à propos de ne point $uppo$er la perpendicu- laire G F = A G, pour que la propo$ition fût démontrée dans toute $a généralité.

COROLLAIRE I.

844. Il $uit delà que la $urface d’une voûte en arc de cloître en plein cintre e$t toujours double de la $urface du polygone _Figure_ 261. régulier qui lui $ert de ba$e: ain$i $uppo$ant que la ligne D K perpendiculaire au côté G N de l’exagone, $oit égale à la ligne I K, menée du $ommet I de la voûte perpendiculairement à la ba$e, au centre K de cette même ba$e, la $urface de cette voûte $era double de celle de l’exagone M N G L O H qui lui $ert de ba$e, pui$que chaque pan N I M, N I G $era double du triangle corre$pondant N K M, N K G.

COROLLAIRE II.

845. Il $uit de cette propo$ition, que la $urface d’une demi- $phere e$t double du cercle qui lui $ert de ba$e; en$orte que la propo$ition que nous avons démontré $ur la $uperficie de la $phere devient un corollaire trés-$imple de celle-ci; car pui$que notre démon$tration e$t applicable à tous ies poiy- gones réguliers, elle e$t au$$i applicable au cercle. En effet, on peut concevoir la $urface de la $phere comme compo$ée d’une infinité de petits triangles curvilignes qui ont leur $om- met au pôle de cette demi-$phere, & qui vont $e terminer à la circonférence, le$quels $ont tous, par la propo$ition pré- [0500]NOUVEAU COURS $ente, doubles des petits triangles corre$pondans dans le cer- cle qui lui $ert de ba$e.

SCHOLIE.

846. On peut faire u$age de la propo$ition précédente pour trouver la $uperficie des voûtes d’arrêtes, telle que celle qui e$t repré$entée par la figure 254 (planche 17). Mais avant que de chercher la $uperficie de ces $ortes de voûtes, il e$t à propos de rechercher de quelle maniere elles peuvent être formées; c’e$t ce que nous allons examiner dans les articles $uivans, après quoi il nous $era facile de déterminer leur $urface, & leur $olidité par la même occa$ion.

847. A E D C F B e$t un demi-cylindre droit, dont la ba$e Pl. XVII. e$t un paralléogramme rectangle A D C B. Le côté A D e$t _Figure_ 255. divi$é en deux également en K, & de ce point on a tiré aux angles B, C les lignes droites K B, K C. Par ces lignes & la ligne E K perpendiculaire au plan de la ba$e ren$ermée dans le plan du demi-cercle A E D, il faut concevoir deux plans coupans K E I B, K E H C qui $eront néce$$airement perpendi- culaires au plan de la ba$e. Il e$t vi$ible que ces plans retran- chent du demi-cylindre ou berceau deux corps égaux A K E B, D K E C qui $ont dans le cas de ceux que nous venons d’exa- miner dans tout ce qui précéde, dont on pourra trouver la $olidité, en multipliant chaque triangle qui lui $ert de ba$e par les deux tiers du rayon A K, & dont on aura la $urface en doublant les mêmes triangles égaux A K B, D K C. La corps E K B F C terminé en coin du côté de la ligne E K, e$t évi- demment égal à ce qui re$te du cylindre, après en avoir ôté les deux corps A K E B, E K D C: donc pui$que l’on peut toi$er ces deux corps, ain$i que le demi-cylindre, on aura au$$i la $olidité du corps E K B F C. De même la $urface courbe de ce même corps e$t égale à celle du demi-cylindre, après en avoir ôté celles des corps A K E B, D K E C: donc pui$que la $uperficie courbe de ces deux corps peut être déterminée, on peut au$$i trouver celle du corps E K B F C.

848. Cela po$é, une voûte d’arrête telle que celle qui e$t repré$entée par la figure 254, n’e$t autre cho$e que différens corps R G E L D, R G F I E, tous égaux entr’eux, & formés de la même maniere que le corps E K B F C de la figure 255, le$quels $e touchent tous dans les $urfaces planes qui forment [0501]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII_. leurs côtés qui $eront toujours des quart d’ellip$e, & $ont tous terminés à une même ligne perpendiculaire au plan de la voûte. Il e$t vi$ible que tous ces corps doivent être parfaite- ment égaux, que leurs cercles F I E, E L D doivent au$$i être égaux, ain$i que les triangles qui leur $ervent de ba$e. On voit par-là que la $uperficie & la $olidité $e réduit à trouver la $ur- face & la $olidité du corps E K B F C de la figure 255.

849. Soit le rayon A K ou E K = _a_; la ligne A B qui me- $ure la longueur du cylindre $oit égale à _b_: pour trouver la $urface de ce corps, je chercherai d’abord celle du cylindre. Je commence par déterminer la demi-circonférence B F C par la proportion $uivante, 7 : 22 :: _a_ : {22/7}_a_; pui$que le rapport du rayon à la demi-circonférence e$t le même que celui du dia- metre à la circonférence. Multipliant cette demi-circonfé- rence par _b_, j’aurai {22/7}_ab_ pour la $urface du demi-cylindre: ôtant de cette $uperficie celles des corps A K E B, D K E C, le$quelles $ont égales en$emble au rectangle A B, on aura pour la $uperficie du corps E K B F C, {22/7}_ab_ - 2_ab_ = {22/7}_ab_ - {14/7}_ab_ = {18/7}_ab_; d’où il $uit que cette $urface e$t égale à _ab_ + {1/7}_ab_, c’e$t-à-dire égale à la ba$e, plus {1/7} de la même ba$e A B C D : donc pour avoir la $urface d’une voûte d’arrête en plein cintre, comme celle de la figure 254, & dont la ba$e e$t un polygone régulier, il faut à cette même ba$e ajouter un $eptieme.

850. Pour la $olidité du même corps, je cherche la $urface du demi-cercle B F C, en multipliant la demi-circonférence {22/7} _a_ par la moitié du rayon; ce qui me donne {11/7}_a_<_>2: $i je mul- tiplie ce produit par _b_, j’aurai la $olidité du demi-cylindre qui $era {11/7}_a_<_>2_b_. Pré$entement je cherche la $olidité des deux corps égaux A K E B, E K D C, qui e$t {2/3}_a_<_>2_b_: donc la $olidité du corps E K B F C $era {11/7}_a_<_>2_b_ - {2/3}_a_<_>2_b_, ou en rédui$ant au même dénominateur {33/21} - {14/21} x _a_<_>2_b_ = {19/21}_a_<_>2_b_; d’où il $uit que ce $olide e$t au demi-cylindre A E D C F B :: 19 : 33 : donc ce même corps $era les {19/33} du même demi-cylindre. Pour ap- pliquer ce que nous venons de dire au toi$é du $olide d’une voûte d’arrête, dont la ba$e e$t un polygone régulier, il fau- dra chercher la $olidité du demi-cylindre, qui auroit pour ba$e un rectangle formé $ur le côté E D du polygone, & la perpen- diculaire G S abai$$ée du centre du polygone $ur le côté D E, & en$uite prendre les {19/33} de ce $olide autant de fois que le poly- gone de la ba$e aura de côtés.

[0502]NOUVEAU COURS

851. Il faut bien remarquer que quoiqu’on ne pui$$e pas trouver par notre méthode la $uperficie d’une voûte d’arrête $urbai$$ée ou $urmontée, cependant on détermineroit avec la derniere facilité le $olide de ces $ortes de voûtes dans ces deux cas. Je lai$$e aux Commençans le plai$ir d’en trouver eux- mêmes la démon$tration.

Comme ces $ortes de voûtes $ont ordinairement remplies de maçonnerie du côté des toits des Egli$es ou autres endroits où elles $e trouvent; on toi$era la $olidité du pri$me droit qui auroit même ba$e & même hauteur, & du tout on déduira la $olidité des voûtes, $elon la méthode que nous venons d’ex- pliquer.

Il e$t ai$é de voir qu’il ne nous a pas été po$$ible de parler de la $uperficie de ces $ortes de voûtes dans l’article de la me$ure des $urfaces, parce que la connoi$$ance de ces mêmes $urfaces ne peut $e déduire que de la $olidité de ces voûtes, au moins dans la méthode que j’ai $uivie ici.

Application de la Géométrie à la maniere de toi$er le revêtement d’une Fortification.

852. Quand on trace une fortification, il y a une ligne qui regne tout autour des ouvrages, que l’on nomme _magi$trale_, qui $ert à donner les longueurs que doivent avoir les parties de la fortification; & cette ligne e$t celle qui e$t repré$entée par le cordon du revêtement d’un ouvrage: par exemple, $i l’on dit qu’une face de ba$tion a 50 toi$es, cela doit s’entendre de- puis une extrêmité du cordon de cette face ju$qu’à l’autre; ou, ce qui e$t la même cho$e, depuis une extrêmité ju$qu’à l’autre de l’entablement de la muraille de la face.

Pré$entement pour me$urer le revêtement du ba$tion re- pré$enté dans la figure 266, con$idérez-en le profil, dont les _Figure_ 266. _& 267._ dimen$ions ont été pri$es $elon le profil général de M. de Vauban, pour le revêtement ordinaire d’un rempart, qui auroit 30 pieds, depuis la retraite A G des fondemens ju$qu’à la hauteur C H du cordon: & comme la partie D E F G n’a point de talud, nous n’en parlerons point ici, parce qu’elle e$t facile à me$urer; nous con$idérerons $eulement la muraille, depuis la retraite ju$qu’au cordon; & fai$ant au$$i ab$traction des contre-forts, il faut, à cau$e des pyramides tronquées qui [0503]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII_. $e rencontrent aux angles des points A & D, abai$$er les per- pendiculaires A B & D E, & me$urer la $uperficie du trapeze A B C G du profil par la longueur A D de la face, pri$e le long des contre-forts, & le produit $era regardé comme le revête- ment de la face: venant en$uite dans l’angle flanquant I, l’on tirera une perpendiculaire G H, de $orte qu’elle corre$ponde dans l’angle K du pied de la muraille; & ayant au$$i abai$$é la perpendiculaire C A, l’on multipliera le profil précédent par la longueur H A ou G C du flanc, & l’on fera de même pour toi$er la courtine & les autres parties où l’on aura re- tranché les pyramides des angles.

Pour connoître la valeur de ces pyramides tronquées, je _Figure_ 220. con$idere que celle qui e$t à l’angle de l’épaule & à l’angle $ail- lant, re$$emblent a$$ez à la figure 270. Ain$i connoi$$ant les deux plans V T & Q R, je me$ure cette pyramide tronquée comme à l’ordinaire, & $uppo$ant qu’elle $oit celle de l’angle flanqué, je me garde bien de la prendre au$$i pour celle de l’angle de l’épaule, parce qu’elles $ont différentes en $olidité c’e$t pourquoi je me$ure cette derniere, comme je viens de faire la précédente.

Quant à ce qui nous re$te à me$urer dans l’angle flanquant I, _Figure_ 268. _&_ 269. je con$idere la figure 269, comme étant cette partie-là déta- chée, qui re$$embleroit à un pri$me, $i le vuide B C E H G étoit rempli: $uppo$ant donc qu’il le $oit, je cherche la valeur du pri$me A F G, de laquelle je $ou$trais celle de la pyramide K M I, que je $uppo$e être égale au vuide B E G, & la diffé- rence donne la partie que je cherche.

853. Ce $eroit peu de cho$e que de toi$er le revêtement _Figure_ 271. d’une fortification, s’il étoit toujours compo$é de lignes droites, comme dans cette figure; mais il y a bien d’autres difficultés, quand il faut toi$er le revêtement des parties des ba$tions à orillons, comme celle du ba$tion repré$enté dans la figure 271. Cependant comme les articles 854, 855 ont été rapportés ex- près pour en faciliter l’intelligence, nous allons faire en$orte d’en rendre les opérations ai$ées.

La figure 275 repré$ente le flanc d’un ba$tion à orillon, Pl. XX. dont la largeur A B marque l’épai$$eur du revêtement au cor- _Figure_ 275. don, qui e$t toujours de 5 pieds, & la largeur B C marque le talud I du revêtement, qui e$t ici de 6 pieds; de $orte que toute la largeur A C marque l’épai$$eur du revêtement $ur la retraite, [0504]NOUVEAU COURS qui $era de 11 pieds, & la ligne F K I G D E la magi$trale. Pour $çavoir comment il faut s’y prendre pour toi$er l’orillon G S D, nous allons voir premiérement de quelle façon il a été tracé, afin de connoître l’angle G H D, & le rayon H D, dont nous aurons be$oin.

L’on fçait que pour tracer l’orillon, $elon la méthode de M. de Vauban, l’on divi$e le flanc F D en trois parties égales, & que la troi$ieme partie G D devient la corde d’une portion de cercle qui forme l’orillon, & que pour décrire cette por- tion de cercle, l’on éleve $ur le milieu de la partie G D une perpendiculaire I H, & une autre D H $ur l’extrêmité D E de la face du ba$tion, & que ces deux perpendiculaires venant $e rencontrer au point H, donnent le centre de l’orillon, ou autrement de l’arc G V D, dont le rayon e$t la perpendicu- laire D H.

Cela po$é, $i avec les rayons H B, H G, H Q l’on décrit _Figure_ 273. _&_ 274. trois cercles, & que l’on con$idere la figure 273, l’on verra que ces trois cercles compo$ent un cône tronqué, dans le mi- lieu duquel e$t un cylindre, & le plan B Y étant le profil de On n’a re- pré$enté que la moitié du cônetronqué, afin de ména- ger l’e$pace de la planche. l’orillon, la ligne G Q dans l’une & l’autre figure marquera le talud du revêtement; la ligne G B, $on épai$$eur à l’endroit du cordon, & la ligne H G, le demi-diametre de l’orillon, qui e$t la même cho$e que H D. Or comme le revêtement de l’o- rillon e$t un $ecteur de cône tronqué, après en avoir ôté le cylindre, qui e$t dans le milieu, & que la grandeur de ce $ec- teur e$t déterminée par l’angle G H D, voici comment on pourra connoître la valeur des lignes dont nous avons be$oin pour me$urer ce $ecteur.

On a vu (art. 741) que l’angle de l’épaule F D E étoit de 117 degrés 39 minutes: par con$équent $i l’on en $ou$trait l’angle droit H D B, il re$tera 27 degrés 39 minutes pour l’an- gle I H D du triangle rectangle H L D. Ain$i l’angle L D H $era de 62 degrés 21 minutes: & comme on a trouvé au$$i (art. 541) que le flanc F D étoit de 27 toi$es 2 pieds, la ligne L D en étant la $ixieme partie, $era de 4 toi$es 3 pieds 4 pouces. Or comme du triangle L H D l’on connoît les trois angles & le côte L D, il $era facile de connoître le côté D H, que l’on trouvera de 5 toi$es 9 pouces. Cela étant, on connoîtra toutes les lignes de la figure; car le demi-diametre H G étant de 5 toi$es 9 pouces, & la ligne G B de 5 pieds, le rayon H B du [0505]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII_. cylindre $era de 5 toi$es 1 pied 9 pouces, & le talud G Q étant de 6 pieds, le demi-diametre H Q de la ba$e du cône tronqué $era de 6 toi$es 9 pouces, & l’axe H Z exprimant la hauteur du revêtement, $era de 5 toi$es: ain$i l’on connoît tout ce qu’il faut pour me$urer le cône tronqué & le cylindre qui e$t dans le milieu.

Ayant donc me$uré le cône tronqué & le cylindre, on re- tranchera la valeur du cylindre de celle du cône tronqué, pour avoir le fragment qui en fait la différence: & comme le re- vêtement de l’orillon e$t un $ecteur de ce fragment, l’on en cherchera la valeur, en fuivant ce qu’on a vu dans l’art. 820, c’e$t-à-dire, que connoi$$ant l’angle G H D, qui e$t de 124 degrés 42 minutes, l’on dira: Si 360 degrés m’ont donné tant pour la valeur du cône tronqué, après en avoir ôté le cylindre, que me donneront 124 degrés 42 minutes pour le $ecteur, ou autrement pour la valeur du revêtement de l’orillon, qui $e trouvera, en fai$ant le calcul des parties que l’on vient d’in- diquer.

854. Avant que de chercher à toi$er le flanc concave KI, il _Figure_ 272. _&_ 275. faut être prévenu que pour le tracer on a prolongé la ligne de défen$e S F de la longueur F K de 5 toi$es pour faire la bri$ure, & que par l’angle flanqué S, & le point G l’on a tiré la ligne S I, pour avoir la partie G I au$$i de 5 toi$es; & en$uite on a tiré la ligne K I, $ur laquelle on fait un triangle équilatéral K P I, pour avoir le point P, qui a $ervi de centre pour décrire avec le rayon P K l’arc K I, avec le rayon P N l’arc N O, & avec le rayon P L l’arc R M.

Pré$entement la premiere difficulté e$t d’avoir la valeur du rayon P K, que l’on trouvera pourtant en con$idérant qu’on connoît l’angle S F G de So degrés 47 minutes par l’art. 741 qui nous a donné au$$i la ligne E F de 82 toi$es, à laquelle ajoutant la ligne S E, c’e$t-à-dire la face du ba$tion, qui e$t de 50 toi$es, on aura toute la ligne S E F de 132 toi$es: & comme la ligne F G e$t les deux tiers du flanc E D, que nous avons trouvé de 27 toi$es 2 pieds, elle $era donc de 18 toi$es 1 pied 4 pouces. Or comme du triangle S F G on connoît les côtés F S & F G avec l’angle compris, on trouvera par leur moyen que l’angle F S G e$t de 8 degrés, & que le côté e$t de 126 toi$es 5 pieds; & $i au côté S F on ajoute la ligne F K de 5 toi$es, & au côté S G la ligne G I au$$i de 5 toi$es, l’on aura [0506]NOUVEAU COURS un autre triangle K S I, dont on connoîtra le côté S K de 137 toi$es, le côté S I de 131 toi$es 5 pieds, & l’angle K S I de 8 degrés, avec le$quels on trouvera la ligne K I de 18 toi$es 4 pieds quelque cho$e; & comme cette ligne e$t égale au rayon P K, il $era donc au$$i de 18 toi$es 4 pieds.

Si l’on con$idere bien le revêtement du flanc concave K I, _Figure_ 272, 273 _&_ 274. on verra qu’il n’e$t autre cho$e qu’un $ecteur du cylindre, dans le milieu duquel il y auroit un vuide en forme de cône tronqué, comme dans l’art. 820; & pour le mieux comprendre, ima- ginons que X V e$t la moitié d’un cylindre, dont le rayon P N du cercle e$t le même que celui de l’arc N O du flanc, & que le rayon P K étant de 18 toi$es 4 pieds, $i on y ajoute la ligne K N, qui marque l’épai$$eur de la muraille au cordon, & qui e$t par con$équent de 5 pieds, on aura la ligne P N de 17 toi$es 3 pieds: $i donc de la ligne P K on retranche la ligne K L, qui marque le talud de la muraille, qui e$t de 6 pieds, l’on aura la ligne P L de 17 toi$es 4 pieds; & $i la ligne N V e$t égale à la hauteur du revêtement, c’e$t-à-dire de 5 toi$es, le trapeze K L V N $era le profil du revêtement: ain$i comme l’on con- noît le rayon P N du cylindre, le demi-diametre P K du plus grand cercle du cône tronqué, & le demi-diametre P L du plus petit cercle du même cône, & de plus l’axe P _p_ de 5 toi$es; on a tout ce qu’il faut pour me$urer la $olidité du cylindre X V & celle du cône tronqué. Ayant donc trouvé ces $olidités, on $ou$traira celle du cône tronqué de celle du cylindre, pour avoir la différence, qui étant une fois trouvée, l’on dira: Si 360 m’ont donné tant pour la différence du cylindre au cône tronqué, que me donneront 60 degrés, valeur de l’angle N O P pour la $olidité du $ecteur de la partie du cylindre, après en avoir ôté le cône tronqué, & ce qu’on trouvera $era au ju$te la valeur du revêtement du flanc concave. Quant à la bri$ure F K, & au revers G I de l’orillon, ce $ont des par- ties trop ai$ées à toi$er, pour avoir be$oin d’explication.

855. La maniere de toi$er l’arrondi$$ement d’une contre$- _Figure_ 278. carpe, e$t encore une opération qui a au$$i $es difficultés: mais comme cette partie e$t la même que celle du flanc concave, $i on a bien entrendu ce que j’ai dit ci-devant, je ne crois pas qu’on $e trouve embarra$$é. Cependant comme je ne veux rien lai$$er à deviner, con$idérez que pour toi$er la maçonnerie de la contre$carpe de la figure 278, on s’y prendra comme on a [0507]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII_. fait pour le ba$tion de la figure 266, c’e$t-à-dire que fai$ant ab$traction des contre-forts, on multipliera la $uperficie de la maçonnerie par la longueur de la contre$carpe rectiligne, & qu’on me$urera au$$i les pyramides tronquées, qui $e trouve- ront dans les angles rentrans; & pour l’arrondi$$ement, on s’y prendra comme il $uit.

856. Suppo$ant que l’arc A C B marque le pied de la mu- _Figure_ 278. raille dans le fo$$é, l’arc D F G le $ommet, & l’arc H I K avec le précédent l’épai$$eur au $ommet, & l’intervalle C F le talud, on commencera par chercher la valeur de la corde A B, que nous $uppo$erons de 20 toi$es, & celle de la fleche L C, qui $era, par exemple, de 4, afin de connoître le diametre de l’arc A C B, qu’on trouvera, au$$i-bien que celui de tout autre arc, en cherchant une troi$ieme proportionnelle à la fleche L C, & à la moitié de la corde L A, c’e$t-à-dire à 4 & à 10: cette troi$ieme proportionnelle, qui e$t ici de 25 toi$es, $era la va- leur du diametre qu’on demande.

857. La rai$on de ceci s’entendra ai$ément, en con$idé- _Figure_ 276. rant que l’arc A C B de la figure n 276 e$t le même que le précé- dent; & on remarquera qu’ayant achevé le cercle, la demi- corde L B e$t moyenne proportionnelle entre la fleche C L & la partie L M du diametre; & qu’ayant trouvé la ligne L M troi$ieme proportionnelle à C L & L B, on n’a qu’à l’ajouter à la fleche C L, pour avoir le diametre C M.

Comme nous avons be$oin de connoître au$$i la quantité de degrés que contient l’arc A C B, $i on tire les rayons N B & N A du centre, l’on aura le triangle A B N, dont on connoît le côté A B de 20 toi$es, & les côtés N B & N A chacun de 14 toi$es 3 pieds: il $era donc facile de connoître l’angle A N B, que l’on trouvera de 90 degrés 44 minutes.

Pré$entement $i l’on con$idere le profil de la contre$carpe dans la figure 281, on verra que re$$emblant à celui du flanc concave, l’arrondi$$ement du fo$$é e$t un $ecteur de cylindre, duquel on a ôté un cône tronqué, dont l’axe commun $eroit la ligne O P. Or $i la hauteur F R ou O P e$t de 18 pieds, & l’épai$$eur F I de 3, le talud C R de 4, le rayon P C étant de 14 toi$es 3 pieds, le rayon O F $era de 15 toi$es 1 pied, & le rayon O I $era de 15 toi$es 4 pieds: & comme on connoît toutes les lignes du cylindre, qui auroient pour plan généra- teur le rectangle P I, & celles du cône tronqué, qui auroient [0508]NOUVEAU COURS pour plan générateur le trapézoïde P O F D, $i on cherche la $olidité de l’un & de l’autre, & qu’on ôte celle du cône tron- qué de celle du cylindre, on aura la différence qui nous don- nera la $olidité que nous cherchons, en di$ant: Si 360 degrés m’ont donné cette différence, que me donneront 90 degrés 44 minutes pour la valeur de l’arrondi$$ement.

Je n’ai rien dit ju$qu’ici $ur la maniere de toi$er les contre- forts, parce qu’ils ne $ont autre cho$e que des parallélepipedes, dont la $olidité $e trouve en multipliant la ba$e par la hauteur.

PROPOSITION XX. PROBLEME.

_858_. Maniere de me$urer la $olidité de l’onglet d’un batardeau. _Figure_ 277.

Quand les fo$$és d’une fortification $ont inondés, on y fait ordinairement aux endroits les plus convenables des batardeaux de maçonnerie, pour retenir les eaux ou pour les lâcher, $elon le be$oin qu’on en a. Pour connoître ce batardeau, con$idérez la figure 277, qui fait voir que cet ouvrage n’e$t autre cho$e qu’un corps de maçonnerie, dont le profil A B C D E marque que le de$$us B C D e$t en dos d’âne pour l’écoulement des eaux de pluie, & pour empêcher qu’un homme ne pui$$e pa$$er de$$us: cependant comme les $oldats pourroient, en de$cen- dant du rempart avec une corde, pa$$er le fo$$é en s’acheva- lant $ur cette chappe, on fait, pour y mettre empêchement, une tourelle dans le milieu, qui s’oppo$e ab$olument au pa$- $age. Pour toi$er ce batardeau, on commence par me$urer la $uperficie du profil A B C D E, qu’on multiplie par toute la largeur du fo$$é en cet endroit; en$uite on cherche la $olidité du cylindre F I K G, au$$i-bien que celle de $a couverture, qui e$t quelquefois un cône I L K, ou une demi-$phere. Ju$ques-là tout e$t facile; mais ce qui embarra$$e pre$que tous les Ingé- nieurs, c’e$t de toi$er les deux fragmens, comme F H G, de la tourelle, qui $ont à droite & à gauche, comme on peut les voir encore mieux en X & Z de la figure 282, qui e$t un profil de la tourelle & du batardeau.

Ce problême me fut propo$é par plu$ieurs Ingénieurs, qui _Figure_ 282. dé$iroient d’en avoir la $olution. Je la cherchai, & la trouvai de plu$ieurs manieres; je pris tant de plai$ir à y travailler, que je cherchai même plu$ieurs cho$es fort curieu$es à $on occa- [0509]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII_. $ion; entr’autres de $çavoir quelle e$t la quadrature de la $ur- face de l’onglet, c’e$t-à-dire trouver un rectangle égal à $a $urface: & comme je crois qu’on $era bien ai$e de $çavoir ce qu’on peut dire de plus intére$$ant là-de$$us, on n’a qu’à exa- miner ce qui $uit.

Comme l’axe du cylindre qui compo$e la tourelle répond _Figure_ 279. $ur l’arrête de la cape du batardeau, cette arrête partage la cape du cylindre en deux également; de $orte que chaque demi-cercle devient une des faces N Q M de l’onglet. Or $i l’on con$idere ce $olide comme compo$é d’une quantité infinie de triangles rectangles, tels que P O Q, qui ont tous pour ba$e les ordonnées Q O, R S, T V, des quarts de cercles O Q N & O P M, on verra que tous ces triangles étant $emblables, ils $ont dans la même rai$on que les quarrés de leurs ba$es; & ne prenant que les triangles qui compo$ent la moitié Q N O P de l’onglet, il s’en$uit qu’on en trouvera la valeur, comme on trouve celle des quarrés de leurs ba$es, ou autrement comme on trouve celle des quarrés des ordonnées d’un quart de cer- cle (art. 569); mais nous $çavons que pour trouver la valeur de tous ces quarrés, il faut multiplier celui de la plus grande ordonnée O Q par les deux tiers de la ligne O N, qui en ex- prime la quantité: $il faudra donc, pour trouver la valeur de tous les triangles, multiplier le plus grand triangle P O Q par les deux tiers de la ligne O N: mais comme ceci ne donne que la moitié de la $olidité de l’onglet, il faudra donc, pour l’avoir toute entiere, multiplier le triangle P O Q par les deux tiers du diametre M N.

Suppo$ant que cet onglet-ci $oit le même que celui qui e$t _Figure_ 279 _&_ 282. en X, le triangle O P Q $era le même que A B C: par con$é- quent $i la ligne C A e$t de 5 pieds, & le diametre A D de 9, la ligne B C $era de 4 & demi, & la $uperficie du triangle A B C $era de 11 pieds 3 pouces, qui étant multipliés par les deux tiers du diametre A D, c’e$t-à-dire par 6, donnera 67 pieds & demi cubes pour la $olidité de l’onglet X.

Si on imagine l’onglet coupé par une quantité de plans, qui pa$$ant par le centre B du demi-cercle, aillent tomber $ur la circonférence A F D, c’e$t-à-dire perpendiculairement $ur la $urface de l’onglet, ces plans partageront l’onglet en une infinité de petites pyramides, qui auront toutes pour hauteur commune le rayon du demi-cercle, & leurs ba$es dans la $ur- [0510]NOUVEAU COURS face de l’onglet. Mais comme toutes ces pyramides, pri$es en$emble, $ont égales à une $eule qui auroit pour ba$e la $omme de toutes les ba$es, c’e$t-à-dire la $urface de l’onglet, & pour hauteur $on rayon, il s’en$uit qu’on trouvera encore la $olidité de l’onglet, en multipliant $a $urface par le tiers du rayon.

859. Pré$entement je dis que la $urface de l’onglet X e$t égale à un rectangle, qui auroit pour ba$e le diametre B D ou M N de l’onglet, & pour hauteur, la hauteur même de l’on- glet, c’e$t-à-dire la ligne B A.

Si l’on nomme la ligne B A, _a_; le rayon C B ou C D, _b_; le diametre B D $era 2_b_. Cela po$é, il faut faire voir que B D x B A (2_ba_) e$t égal à la $urface de l’onglet.

Con$idérez que la $uperficie du triangle A B C e$t {_ab_/2}, & que $i on multiplie cette quantité par les deux tiers du diametre B D, c’e$t-à-dire par {_4b_/3}, l’on aura {4_abb_/6} pour la $olidité de l’on- glet: mais comme ce produit peut être regardé comme le pro- duit de la $urface de l’onglet par le tiers du rayon, il s’en$uit que divi$ant {4_abb_/6} par {_b_/3}, le quotient $era néce$$airement la $ur- face de l’onglet. Si l’on fait la divi$ion, on trouvera que ce quotient e$t 2_ab_ = B D x B A; ce qui fait voir que la $urface de l’onglet e$t égale au rectangle que nous avons dit.

Ceci rentre dans la propo$ition que nous avons donnée $ur la $uperficie des voûtes en plein cintre, & $ur leur $olidité; l’onglet que nous venons de me$urer pouvant être regardé comme un double pan de voûte, dont chacun auroit la même hauteur, & pour ba$e le triangle B F I.

Principe général pour me$urer les $urfaces & les $olides.

860. Rien ne fait mieux connoître la beauté de la Géomé- trie, que la fécondité de $es principes qui $emblent, à l’envi, ouvrir de nouveaux chemins pour parvenir à la même cho$e; témoin les belles découvertes qu’on a faites de notre tems, parmi le$quelles en voici une qui e$t trop intére$$ante pour la refu$er à ceux dont le principal objet, en étudiant la Géomé- trie, e$t de $çavoir me$urer les corps; mais comme $a con- noi$$ance dépend de certaines cho$es dont nous n’avons point [0511]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII._ parlé ju$qu’ici, nous allons faire en$orte de ne rien lai$$er à deviner.

DEFINITION.

861. L’on nomme _centre de gravité d’une ligne droite_, un point par lequel cette ligne étant $u$pendue, toutes $es parties $ont en équilibre: car quoiqu’une ligne $oit regardée comme n’ayant aucune pe$anteur, cela n’empêche pas que la diffé- rence de $es parties ne $oit con$idérée comme un ob$tacle à l’équilibre. Ain$i la ligne A B étant divi$ée en deux également au point C, ce point e$t pris pour celui d’équilibre, c’e$t-à-dire pour l’endroit par lequel cette ligne étant $u$pendue, les parties égales C A & C B $eront en équilibre, parce que n’étant pas plus longues l’une que l’autre, il n’y a point de rai$on pour que l’extrêmité A $oit plus $ollicitée à $e mouvoir que l’extrêmité D: & quand cela e$t ain$i à l’égard d’un plan, ce point e$t ap- pellé le _centre de gravité du plan_: car quoique le plan, au$$i- bien que la ligne, $oit con$idéré $ans pe$anteur, cela n’em- pêche pas qu’on ne regarde encore $es parties comme pouvant être un ob$tacle à leur équilibre.

862. Par exemple, $i l’on a un rectangle A B, & qu’on tire Pl. XXI. les diagonales A B & C D, le point E où elles $e coupent en _Figure_ 283. $era le centre de gravité, parce que $i ce plan étoit po$é $ur un pivot fort aigu qui répondît à l’endroit E, il n’y auroit point de rai$on pour que le plan inclinât plus du côté D B que du côté A C, ni du côté A D, plutôt que du côté C B.

Comme les $urfaces circulaires $ont formées par la circon- _Figure_ 285 & 283. volution uniforme d’une ligne droite, & que les $olides cir- culaires $ont formés par la circonvolution d’un plan, c’e$t la valeur de ces $urfaces & de ces $olides qu’on $e propo$e de trouver ici, moyennant la connoi$$ance du centre de gravité de la ligne génératrice, & celui du plan générateur: car $i le point C e$t le centre de gravité de la ligne A B, & qu’on éleve à cet endroit la perpendiculaire C D, nous ferons voir que (la ligne A B ayant fait une circonvolution autour de la ligne E F, qui $era appellée _axe_, & qui e$t au$$i perpendiculaire $ur D C), la $urface que décrira la ligne A B, $era égale à un rec- tangle, qui auroit pour ba$e la ligne A B, & pour hauteur une ligne égale à la circonférence, qui auroit pour rayon la ligne D C, qui exprime la di$tance du centre de gravité C à [0512]NOUVEAU COURS l’axe; & que $i du centre de gravité E l’on abai$$e une perpen- diculaire E F $ur le côté C B, & qu’on fa$$e faire une circon- volution au rectangle A B $ur le côté C B (que nous nomme- rons au$$i _axe_), le corps que décrira le plan, $era égal à un pa- rallélepipede qui auroit pour ba$e ce plan même, & pour hauteur une ligne égale à la circonférence du cercle, qui au- roit pour rayon la ligne E F; ce que nous rendrons général pour me$urer toutes les $urfaces dont on pourra connoître les centres de gravité de leurs lignes génératrices, & pour me- $urer tous les $olides dont on pourra connoître le centre de gravité de leur plan générateur.

PROPOSITION XXI. PROBLEME.

_863_. Connoi$$ant le centre de gravité d’une ligne droite _A B_, _Figure_ 285 & 286. trouver la valeur de la $urface qu’elle décrira, aprés avoir fait une circonvolution autour de l’axe _E F_.

Je dis qu’il faut multiplier la ligne A B par la circonférence du cercle, qui auroit pour rayon D C, & qu’on aura la $urface que l’on demande: car comme cette ligne décrira un cylindre G B, & que pour trouver la $urface de ce cylindre, il faut multiplier le cercle du rayon F B de la ba$e par la hauteur A B du cylindre, il s’en$uit que la ligne D C étant égale à F B, les circonférences de ces lignes $eront au$$i égales, & que par con$équent le produit de la ligne A B par la circonférence du rayon D C, $era égal à la $urface qu’on demande.

864. Mais $i la ligne A B, au lieu d’être parallele à l’axe _Figure_ 287 & 258. E F étoit oblique, comme e$t, par exemple, la ligne G H: je dis qu’ayant fait une circonvolution à l’entour de l’axe E F, la $urface qu’elle décrira $era encore égale au rectangle com- pris $ous la même ligne G H, & $ous la circonférence du cer- cle, qui auroit pour rayon la ligne D C, tirée du centre de gravité C perpendiculaire $ur l’axe E F.

Comme cette ligne aura décrit la $urface I H d’un cône tronqué, & que la ligne D C e$t moyenne arithmétique entre E G & F H, la circonférence qui auroit pour rayon D C $era moyenne arithmétique entre les circonférences des rayons E G & F H: mais comme ces circonférences $ervent de côtés paralleles au trapézoïde qui auroit pour hauteur la [0513]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII._ ligne G H, & que ce trapeze e$t égal à la $urface du cône tronqué, il s’en$uit que le rectangle compris $ous G H, & la circonférence du cercle, qui auroit pour rayon D C, e$t égal à la $urface décrite par la ligne G H.

865. Enfin $i la ligne génératrice venoit rencontrer, comme _Figure_ 289 & 290. E K, l’axe E F, je dis encore que $i elle fait une circonvolution à l’entour de l’axe E F, la $urface qu’elle décrira $era égale au rectangle compris $ous la même ligne E K, & $ous la cir- conférence du cercle qui auroit pour rayon D C.

Si l’on fait attention que la ligne génératrice aura décrit la $urface du cône L E K, on verra que cette $urface étant égale au rectangle compris $ous le côté E K, & $ous la moitié de la circonférence du cercle L K (art. 547), la ligne D C étant moitié du rayon F K, la circonférence dont elle $era le rayon $era au$$i moitié de L K, & que par con$équent le rectangle compris $ous la ligne génératrice E K, & $ous la circonfé- rence du cercle, qui auroit pour rayon D C, $era égale à la $urface qu’elle aura décrite.

PROPOSITION XXII. PROBLEME.

_866_. Si l’on a une demi-circonférence _E B F_, & que le point _Figure_ 294. _C_ $oit le centre de gravité, je dis que cette demi-circonférence ayant fait une circonvolution $ur l’axe _E F_, la $urface qu’elle décrira, qui $era celle d’une $phere, $era égale au rectangle compris $ous une ligne égale à la demi-circonférence _E B F_, & $ous celle qui $eroit égale à la circonférence dont la ligne _C D_ $eroit le rayon.

Comme il faut connoître le centre de gravité C par rap- port aux autres parties de la figure, on $çaura que la ligne C D, qui en détermine la po$ition par rapport au centre du demi-cercle, doit être quatrieme proportionnelle à la demi- circonférence E B F, au diametre E F, & au demi-diametre D F. Ain$i ayant nommé la demi-circonférence _a_; le dia- metre E F, _b_; le demi-diametre D F $era {_b_/2}; & par con$é- quent on aura _a_ : _b_ :: {_b_/2} : {_bb_/2_a_}, qui fait voir que {_bb_/2_a_} e$t égal à la ligne D C: mais comme nous avons be$oin de la circonfé- rence de la ligne D C, on la trouvera, en di$ant: Comme le [0514]NOUVEAU COURS rayon D F ({_b_/2}) e$t à $a circonférence (2_a_), ain$i le rayon D C ({_bb_/2_a_}) e$t à $a circonférence: c’e$t pourquoi multipliant le $e- cond terme par le troi$ieme, & divi$ant le produit par le pre- mier (art. 206), on trouvera le quatrieme, qui $era 2_b_.

Comme 2_b_ e$t la circonférence du rayon D C, $i on la mul- tiplie par la demi-circonférence E B F (_a_), l’on aura 2_ab_ pour la $urface que la demi-circonférence aura décrite; ce qui e$t évident: car comme cette $urface e$t ici celle d’une $phere, & que la $urface d’une $phere e$t égale au produit du diametre du grand cercle par la circonférence du même cercle (art. 574), toute la circonférence étant ici 2_a_, & le diametre _b_, la $urface $era toujours 2_ab_.

REMARQUE.

Je viens d’en dire a$$ez pour faire voir que dès qu’on aura le centre de gravité d’une ligne droite ou courbe, on trouvera toujours la $urface dont elle aura été la génératrice, & que rien au monde ne $eroit plus beau que ce principe, $i on avoit autant de facilité à trouver le centre de gravité de ces lignes, qu’on en a à trouver la valeur des $urfaces qu’elles décrivent. Ain$i ayant $atisfait à mon premier de$$ein, je vais remplir le $econd, en montrant comment on peut au$$i, par les centres de gravité des plans générateurs, trouver la $olidité des corps qu’ils auront décrits.

PROPOSITION XXIII. PROBLEME.

_867_. Si l’on a un rectangle _A F_, qui fa$$e une circonvolution _Figure_ 284. autour de l’axe _E F_, je dis que la $olidité du corps qu’il décrira $era égale au produit du plan _A F_ par la circonférence, qui auroit pour rayon la ligne _C D_, tirée du centre de gravité _C_, perpendi- culaire $ur l’axe _E F_.

Comme ce $olide $era un cylindre, nous $uppo$erons que c’e$t le cylindre A G: ain$i nommant l’axe E F, _a_; la ligne A E, _b_; la ligne C D $era {_b_/2}, pui$qu’elle e$t la moitié de A E; & $i l’on nomme la circonférence du rayon E A, _c_; celle du rayon C D $era {_c_/2}.

[0515] [0515a] [0516] [0517] [0517a] [0518] [0519] [0519a] [0520] [0521] [0521a] [0522] [0523] [0523a] [0524] [0525] [0525a] [0526] [0527]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII._

Cela po$é, A E x E F (_ab_) $era la valeur du plan généra- teur, qui étant multiplié par la circonférence du rayon C D ({_c_/2}), doit être {_abc_/2} pour la valeur du $olide, formé par la cir- convolution du plan A F; ce qui e$t évident: car comme ce $olide, ou autrement le cylindre A G, e$t égal au produit du cercle de $a ba$e par l’axe E F (art. 812), on voit que la $u- perficie de ce cercle étant {_bc_/2}, $i on la multiplie par l’axe E F, on aura encore {_abc_/2}.

PROPOSITION XXIV. PROBLEME.

_868_. Si l’on a un triangle i$o$cele E B F, dont le centre de _Figure_ 291 & 292. gravité $oit le point C, je dis que $i ce triangle fait une circon- volution autour de l’axe E F, le $olide qu’il décrira $era égal au produit du plan générateur par la circonférence du cercle, qui au- roit pour rayon la ligne C D, tirée du centre de gravité perpendi- culaire $ur l’axe.

Remarquez que le $olide I K G H qu’aura décrit le triangle E B F, e$t compo$é de deux cônes K G H & K I H, & qu’il s’agit de faire voir que le produit du plan E B F, par la cir- conférence du rayon C D, e$t égal à ces deux cônes: mais pour cela, il faut être prévenu que le centre de gravité du triangle i$o$cele e$t un point tel que C, pris dans la perpendiculaire B D à une di$tance C D de la ba$e, qui e$t le tiers de la per- pendiculaire. Ain$i nommant la ligne E F, _a_; la ligne B D, _b_; & _c_ la circonférence dont elle $eroit le rayon, C D étant le tiers de B D, la circonférence dont elle $eroit le rayon $era{_c_/3}.

Cela po$é, le triangle E B F $era {_ab_/2}, qui étant multiplié par {_c_/3}, l’on aura {_abc_/6} pour la valeur du $olide K G H I; ce qui e$t évident: car $i l’on cherche par la voie ordinaire la $olidité du cône K G H, dont le plan générateur e$t le triangle E B D, la ligne B D étant le rayon du cercle de la ba$e, $a valeur $era {_bc_/2}, qui étant multipliée par le tiers de la ligne E D (art. 556), [0528]NOUVEAU COURS ou par la $ixieme partie de E F ({_a_/6}), donnera {_abc_/12} pour la va- leur du cône; & par con$équent {2_abc_/12}, ou bien {_abc_/6} pour la va- leur des deux cônes, c’e$t-à-dire du $olide K G H I, qui $e trouve la même que la précédente.

869. Mais $i le triangle E B F fai$oit une circonvolution autour de l’axe L M, il décrira un $olide d’une autre figure, dont le rapport avec le précédent $era comme la ligne B C e$t à la ligne C D: car pour trouver la valeur de ce $olide, il faudra multiplier le plan E B F par la circonférence du cercle, qui auroit pour rayon B C: & comme l’un & l’autre $olide aura pour ba$e le même plan E B F, ils $eront dans la même rai$on que leurs hauteurs, c’e$t-à-dire dans la rai$on des cir- conférences des rayons B C & C D, qui $ont dans la même rai$on que ces rayons.

L’on peut remarquer encore qu’ayant un triangle rectangle E B D, qui fa$$e une circonvolution autour du côté E D, il décrira un cône dont on trouvera la valeur, en multipliant le triangle B E D par la circonférence du cercle, qui auroit pour rayon la ligne C D égale au tiers de la ba$e B D: car mul- tipliant B D (_b_) par la moitié de E D ({_a_/4}), l’on aura {_ab_/4} pour la $uperficie du triangle, qui étant multiplié par {_c_/_d_}, donnera {_abc_/12}.

Et $i le triangle E B D fai$oit une circonvolution autour de _Figure_ 295. l’axe H B, il décriroit l’entonnoir F G B D E, qui $eroit dou- ble du cône: car comme le cône & l’entonnoir ont le même plan générateur, ils $eront dans la rai$on des circonférences décrites par le centre de gravité C: & comme le rayon B C e$t double de C D, l’entonnoir $era double du cône; ce qui fait voir qu’un cône e$t le tiers d’un cylindre de même ba$e & de même hauteur.

870. Enfin $i l’on avoit un triangle B A D, dont le point C _Figure_ 293. fût le centre de gravité du triangle double de celui-ci, que l’on prolongeât la ligne A D indéfiniment ju$qu’aux points E & F, & que l’on fît faire une circonvolution au triangle B A D au- tour de l’axe G F, le $olide qu’il décriroit $eroit égal au pro- duit du plan B A D par la circonférence du cercle, qui auroit pour rayon la ligne C F, qui e$t la di$tance du centre de gra- [0529]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XII_. vité C à l’axe F G; & $i le triangle, au lieu de faire une cir- convolution autour de l’axe G F, en fai$oit une autre autour de l’axe H E, le $olide qu’il décriroit $eroit égal au produit du plan A B D par la circonférence du cercle, qui auroit pour rayon la ligne C E, tirée du centre de gravité à l’axe, & ces deux $olides $eroient dans la rai$on des rayons C F & C E.

Je lai$$e au lecteur le plai$ir d’en chercher la démon$tra- tion; & je me contenterai de dire $eulement que le $olide, formé par la circonvolution du triangle A B D autour de l’axe G F, e$t $emblable à celui dont nous avons parlé dans l’arti- cle 820, c’e$t-à-dire qu’il fait la différence d’un cylindre, duquel on auroit ôté un cône tronqué; & que le $olide, formé par la circonvolution du triangle A B D autour de l’axe H E, e$t au$$i $emblable à celui de l’art. 819, c’e$t-à-dire qu’il fait la différence d’un cône tronqué, duquel on auroit ôté un cylin- dre: & comme la maniere de trouver la valeur de ces $olides de la façon que je viens de dire, e$t plus ai$ée que celle des articles 819, 820, l’on pourra s’en $ervir pour toi$er la ma- çonnerie, compri$e par le talud de l’orillon, du flanc concave, & de l’arrondi$$ement de la contre$carpe.

PROPOSITION XXV. PROBLEME.

_871_. Si on a un demi-cercle _E B F,_ dont le centre de gravité _Figure_ 294. $oit le point _I_, & que de ce point l’on abai$$e la perpendiculaire _I D_, je dis que le $olide formé par la circonvolution du demi- cercle _E B F_ autour de l’axe _E F_, qui $era une $phere, $era égal au produit du plan _E B F_ par la circonférence du cercle, qui auroit pour rayon la ligne _I D_.

Il faut être prévenu que la ligne I D, qui marque la di$- tance du centre de gravité I au centre D du demi-cercle, e$t une quatrieme proportionnelle à la moitié de la circonfé- rence E B F au rayon D E, & aux deux tiers du même rayon. Ain$i nommant la demi-circonférence E B F, _a_; le rayon D E, _b_; la moitié de la circonférence E B F $era {_a_/2}; & les deux tiers du rayon D E $eront {2_b_/3}: on trouvera la ligne D I, en di- [0530]NOUVEAU COURS $ant: Comme {_a_/2} e$t à _b_, ain$i {2_b_/3} e$t à D I, qui $era {4_bb_/3_a_}: & com- me nous avons be$oin de la circonférence du rayon D I, on dira: Si le rayon D E (_b_) donne 2_a_ pour $a circonférence, que donnera le rayon D I ({4_bb_/3_a_}) pour $a circonférence, qui $era {8_abb_/3_a_}, ou bien {8_bb_/3}? Or $i l’on multiplie cette circonférence par la valeur du demi-cercle E B F ({_ab_/2}), l’on aura {8_abb_/6}, ou bien {4_abb_/3} pour la valeur du $olide; ce qui e$t ai$é à prouver: car comme une $phere e$t égale au produit de quatre fois $on grand cercle par le tiers du rayon (art. 568 & 570), la $u- perficie du demi-cercle étant {_ab_/2}, celle de tout le cercle $era _ab_, qui étant multipliée par 4, donnera 4_ab_ pour la valeur des quatre cercles; & $i l’on multiplie cette quantité par le tiers du rayon, c’e$t-à-dire par {_b_/3}, l’on aura {4_abb_/3} pour la valeur de la $phere, qui e$t la même que celle que nous venons de trouver.

Mais $i le demi-cercle E B F fai$oit une circonvolution au- tour de la tangente G A, parallele au diametre E F, il décri- roit un $olide, dont on trouvera la valeur, en multipliant le demi-cercle par la circonférence, qui auroit pour rayon la ligne I B, qui e$t la di$tance du centre de gravité I à l’axe G A, & $i le demi-cercle fait encore une circonvolution au- tour de l’axe A H perpendiculaire à E F, il décrira une e$pece de bourlet, dont on trouvera la valeur, en multipliant le demi-cercle par la circonférence du rayon I K, ou du rayon D F, qui e$t la même cho$e; & pour lors le $olide décrit par le demi-cercle autour de l’axe E F, $era au $olide décrit au- tour de l’axe G A, comme le rayon I D e$t au rayon I B, & le $olide formé par la circonvolution du demi-cercle autour de l’axe E F, $era à celui qui aura été formé par une circon- volution du même demi-cercle autour de l’axe A H, comme le rayon I D e$t au rayon I K ou D F.

REMARQUE.

Je n’ai point donné la maniere de trouver les centres de [0531]DE MATHEMATIQUE. _Liv. XII_. gravité, parce que c’eût été m’écarter de mon $ujet, n’ayant eu en vue que d’exercer l’e$prit des Commençans, & leur faire $entir le prix de ce principe général, par le moyen duquel on peut, indépendamment de ce que nous avons en$eigné dans le huitieme Livre de la premiere Partie, ré$oudre une quantité de problêmes, dès qu’on a les centres de gravité des figures génératrices, que l’on ne peut trouver d’une façon gé- nérale, qu’avec le $ecours du calcul intégral: cependant on peut voir ce qu’en a dit M. Ozanam dans $on Traité de Méchanique, où il trouve les centres de gravité de plu$ieurs figures par la Géométrie ordinaire.

_Fin du douzieme Livre_. [0532] NOUVEAU COURS DE MATHÉMATIQUE. LIVRE TREIZIEME, _Où l’on applique la Géométrie à la divi$ion des Champs,_ _& à l’u$age du Compas de proportion_. PROPOSITION I. PROBLEME.

_872_. DIvi$er un triangle en autant de parties égales qu’on vou- _Figure_ 296. dra, par des lignes tirées de l’angle oppo$é à la ba$e.

Pour divi$er un triangle A B C en trois parties égales par des lignes tirées de l’angle oppo$é à la ba$e, il faut divi$er la ba$e A C en trois parties égales aux points D & E, tirer les lignes B D & B E, & le triangle $era divi$é en trois triangles égaux, pui$que ces triangles ont des ba$es égales, & qu’ils ont la même hauteur.

PROPOSITION II. PROBLEME.

_873_. Divi$er un triangle en deux parties égales par une ligne _Figure_ 297. tirée d’un point donné $ur un des côtés du triangle.

L’on demande qu’on divi$e le triangle A B C en deux par- ties égales par une ligne tirée du point D, parce que l’on $up- po$e que ce triangle e$t un champ, $ur le bord duquel e$t un [0533]NOUVEAU COURS DE MATH. _Liv. XIII_. lieu avantageux au point D, qui doit être commun à chacun de ceux qui auront part au champ.

Pour ré$oudre ce problême, il faut divi$er la ba$e A C en deux parties égales au point E, & tirer de ce point les lignes E B & E D; puis du point B tirer la ligne B F parallele à D E; enfin tirer la ligne E D, qui divi$era le triangle en deux par- ties égales B D F A & D F C.

Pour prouver cette opération, con$idérez que le triangle A B E e$t la moitié de tout le triangle A B C; & qu’à cau$e des paralleles B F & D E, le triangle B F D e$t égal au trian- gle B E F; d’où il s’en$uit que le triangle O F E, que l’on a retranché du triangle B E A, e$t égal au triangle O D B, que l’on a retranché du triangle E B C: ce qui fait voir que le tra- peze B D F A e$t égal au triangle F D C.

PROPOSITION III. PROBLEME.

_874_. Divi$er un triangle en trois parties égales par des lignes _Figure_ 298. tirées d’un point pris $ur un de $es côtés.

Pour divi$er le triangle A B C en trois parties égales par des lignes tirées du point D, il faut partager le côté A C en trois parties égales aux points E & F; en$uite tirer la ligne D B, à laquelle il faut mener des points E & F les paralleles E H & F G: & $i l’on tire du point D les lignes D G & D H, on aura le triangle divi$é en trois parties égales A H D, D H B G, & D G C.

Pour le prouver, il ne faut que tirer les lignes B E & B F, qui divi$eront le triangle en trois autres triangles égaux. Or comme le triangle A B E e$t égal au triangle A H D, à cau$e des paralleles H E & B D: on verra par la même rai$on que le triangle D G C e$t égal au triangle B F C, & que par con$é- quent ils $ont chacun le tiers de toute la figure.

PROPOSITION IV. PROBLEME.

_875_. Divi$er un triangle en trois parties égales par des lignes tirées dans les trois angles.

[0534]NOUVEAU COURS

On demande un point dans le triangle A B C, duquel ayant Pl. XXII. tiré des lignes dans les angles, elles divi$ent le triangle en trois _Figure_ 299. parties égales.

Pour ré$oudre le problême, il faut faire la ligne A F égale au tiers de la ba$e A C, du point F tirer la ligne F E parallele au côté A B, & divi$er la parallele F E en deux également au point D, ce point $era celui qu’on cherche: car ayant tiré dans les angles du triangle les lignes D B, D A & D C, elles divi$e- ront le triangle en trois parties égales.

Pour le prouver, je tire la ligne B F, qui me donne le triangle B A F, qui e$t le tiers de toute la figure: & comme ce triangle e$t égal au triangle A D B, à cau$e des paralleles, il s’en$uit que ce dernier triangle e$t au$$i le tiers de la figure: & comme les triangles A D C & B D C $ont égaux entr’eux, comme il e$t facile de le voir, il s’en$uit que le problême e$t ré$olu.

PROPOSITION V. PROBLEME.

_876_. Divi$er un triangle en deux parties égales par des lignes _Figure_ 300. tirées d’un point donné à volonté dans la $uperficie du triangle.

Pour divi$er en deux également le triangle A B C par des lignes tirées du point donné F, il faut divi$er la ba$e A C en deux également au point D, & tirer la ligne D F, à laquelle il faut mener une parallele B E; après quoi l’on n’aura qu’à tirer les lignes E F & F B pour avoir la figure A B F E égale à la figure B F E C.

Pour le prouver, tirez la ligne B D, & con$idérez qu’à cau$e des paralleles le triangle B F E e$t égal au triangle B D E, & que par con$équent ce qu’on a retranché d’une part e$t égal à ce que l’on a ajouté de l’autre dans les deux triangles A B D & D B C.

PROPOSITION VI. PROBLEME.

_877_. Divi$er un triangle en deux parties égales par une ligne _Figure_ 301. parallele à la ba$e.

Pour divi$er le triangle A B C par une ligne D E parallele à [0535]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIII_. la ba$e, il faut partager en deux également l’un des autres côtés, par exemple, le côté B C; puis chercher une moyenne proportionnelle entre tout le côté B C, & $a moitié B F: & $uppo$ant que la ligne B E $oit égale à la moyenne, que l’on aura trouvée, on n’aura qu’à mener du point E la parallele E D à la ba$e A C, pour avoir ré$olu le problême.

Pour le prouver, faites attention que les lignes B C, B E, B F étant proportionnelles, il y aura même rai$on du quarré fait $ur la ligne B C au quarré fait $ur la ligne B E, que de la premiere ligne B C à la derniere B F (art. 497). Or comme les triangles $ont dans la même rai$on que les quarrés de leurs côtés homologues, le triangle B A C $era double du triangle B D E, pui$que le quarré du côté B C e$t double du quarré du côté B E, à cau$e que la ligne B C e$t double de la ligne B F.

Si l’on vouloit divi$er un triangle en trois parties égales par des lignes tirées paralleles à la ba$e, il faudroit chercher d’a- bord une moyenne proportionnelle entre l’un des côtés du triangle, & les deux tiers du même côté; & ayant déterminé la longueur de cette moyenne $ur le côté qu’on aura divi$é, l’on tirera une parallele de l’extrêmité de cette ligne à la ba$e: on aura un triangle intérieur, qui $era les deux tiers de celui qu’on veut partager en trois: & $i l’on divi$e le rectangle qui contient les deux tiers du grand, en deux également, comme on vient de le faire dans la propo$ition précédente, tout le triangle $e trouvera divi$é en trois parties égales.

PROPOSITION VII. PROBLEME.

_878_. Divi$er un Trapézoïde en deux parties égales par une _Figure_ 302. ligne parallele à la ba$e.

Pour divi$er le trapézoïde A B C D par une ligne parallele à la ba$e, il faut prolonger les deux côtés A B & D C pour qu’ils $e rencontrent au point G, puis élever $ur l’extrêmité G la perpendiculaire G H égale à la ligne G B; tirer la ligne H A, & décrire $ur cette ligne un demi-cercle, dont il faudra divi$er la circonférence en deux également au point I; & ayant tiré la ligne I H, on fera G E égal à I H: & $i par le point E l’on mene la parallele E F à la ba$e A D, je dis qu’elle divi$era le trapézoïde en deux parties égales.

[0536]NOUVEAU COURS

Pour le prouver, je con$idere que la ligne H A e$t le côté du quarré, qui vaut la $omme des quarrés B G & G A; & que la ligne I H e$t le côté d’un quarré qui vaut la moitié du quarré H A: par con$équent le quarré I H ou G E e$t moyenne arithmétique entre les quarrés G A & G B. Et comme les triangles $emblables $ont dans la même rai$on que les quarrés de leurs côtés homologues, il s’en$uit que les quarrés des côtés G B, G E, G A étant en progre$$ion arithmétique, les trian- gles G B C, G E F, G A D $ont en proportion arithmétique, par con$équent $e $urpa$$ent également; & comme les gran- deurs dont ils $ont $urpa$$és, ne $ont autre cho$e que le tra- pézoïde E C, & A F, je conclus que ces trapézoïdes $ont égaux, & que par con$équent le problême e$t ré$olu.

PROPOSITION VIII. PROBLEME.

_879_. Divi$er un trapeze en deux également par une ligne pa- _Figure_ 303. rallele à l’un de $es côtés.

Pour divi$er le trapeze A B C D par une ligne parallele au côté A B, il faut prolonger les côtés B C & A D, tant qu’ils $e rencontrent au point G; puis réduire le trapeze en triangle pour avoir le point F: après quoi on divi$era la ba$e A F du triangle A B F en deux également au point H; on cherchera une moyenne proportionnelle entre A G & H G, qui $era, par exemple, I G; & $i du point I l’on mene la ligne I K pa- rallele à A B, elle divi$era le trapeze en deux parties égales A B K I & I K C D.

Pour le prouver, remarquez que les triangles A B G & I K G $ont $emblables, & qu’étant dans la même rai$on que les quarrés de leurs côtés homologues, ils $eront comme les lignes A G & H G (art. 497). Or comme les triangles A B G & H B G ont la même hauteur, ils $eront dans la même rai- $on que leurs ba$es, & auront par con$équent même rai$on que les lignes A G & H G; d’où il s’en$uit que le triangle I K G e$t égal au triangle H B G. Cela po$é, $i l’on retranche de part & d’autre la figure H O K G qui e$t commune à ces deux trian- gles, il re$tera le triangle O I H égal au triangle O B K: mais comme le triangle B A H e$t égal à la moitié du trapeze, il s’en$uit que la figure A I K B e$t au$$i égale à la moitié du tra- [0537]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIII._ peze, & que par con$équent la ligne I K le partage en deux également.

PROPOSITION IX. PROBLEME.

_880_. Divi$er un trapézoïde en trois parties égales.

_Figurè_ 304.

Cette propo$ition e$t peu con$idérable, mais elle e$t mi$e ici pour $ervir d’introduction aux $uivantes. Ain$i con$idérant le trapézoïde A C, qu’on propo$e à divi$er en trois parties égales, on verra qu’il ne faut que divi$er les côtés B C & A D en trois parties égales, & tirer les lignes G E & H F, qui donneront les figures égales A G, E H, F C, pui$qu’elles $ont compo$ées chacune de deux triangles égaux.

PROPOSITION X. PROBLEME.

_881_. Divi$er un trapeze en deux parties égales.

_Figure_ 305.

Pour divi$er le trapeze A B C D en deux parties égales, il faut du point B tirer la ligne B H parallele à A D, & divi$er les lignes B H & A D en deux parties égales aux points G & F; en$uite tirer les lignes G C & G F, qui donneront la figure C B A F G égale à la figure C G F D, qui $ont chacune moitié du trapeze: car par l’opération le trapézoïde A G e$t égal au trapezoïde G D, & le triangle B C G e$t égal au triangle G C H.

Mais pour que les deux parties du trapeze fu$$ent plus régu- lieres, il $eroit à propos que les lignes de divi$ion C G & G F ne fi$$ent qu’une ligne droite. Or $i l’on tire à la ligne F C la parallele G E, on n’aura qu’à tirer de E en F pour avoir le trapeze divi$é en deux parties égales par la $eule ligne E F, comme on le peut voir par les triangles F G C & F E C, qui $ont renfermés entre les mêmes paralleles.

PROPOSITION XI. PROBLEME.

_882_. Divi$er un trapeze en deux parties égales par une ligne _Figure_ 306. tirée d’un de $es angles.

L’on demande qu’on divi$e le trapeze A B C D en deux par- ties égales par une ligne tirée de l’angle B.

[0538]NOUVEAU COURS

Pour ré$oudre ce problême, tirez les diagonales A C & B D, & divi$ez la premiere A C en deux parties égales au point E, & de ce point menez la ligne E F parallele à B D; & $i vous tirez une ligne de l’angle B au point F, elle divi$era le trapeze en deux parties égales.

Pour le démontrer, con$idérez qu’ayant tiré les lignes E B & E D, elles donnent les triangles A E D & E C D égaux en- tr’eux, au$$i-bien que les triangles A B E & E B C. Cela étant, le trapeze $e trouve divi$é en deux parties égales par les lignes E B & E D: & comme les triangles qui $ont renfermés entre les mêmes paralleles nous donnent E B O égal à O F D, il s’en$uit que la $eule ligne B F divi$e le trapeze en deux égale- ment.

PROPOSITION XII. PROBLEME.

_883_. Divi$er un trapézoïde en deux parties égales par une _Figure_ 307. ligne tirée d’un point pris $ur l’un de $es côtés.

Pour divi$er en deux également le trapézoïde A B C D par une ligne tirée du point H, il faut commencer par réduire le trapézoïde en triangle, en tirant à la diagonale B D la parallele C F, afin d’avoir le point F pour tirer la ligne F B, qui don- nera le triangle A B F égal au trapézoïde. Cela po$é, il faut divi$er la ba$e A F du triangle en deux également au point E, & tirer la ligne B E, pour avoir le triangle A B E, qui $era la moitié du trapézoïde. Pré$entement il faut tirer la ligne B H, & lui mener du point E la parallele E G; & $i on tire la ligne H G, elle divi$era le trapézoïde en deux également.

Pour le démontrer, faites attention qu’à cau$e des paralleles, les triangles O H E & O B G $ont égaux, & que par con$é- quent la figure A B G H e$t égale à la moitié du trapézoïde, pui$qu’elle e$t égale au triangle A B E.

PROPOSITION XIII. PROBLEME.

_884_. Divi$erun pentagone en trois parties égales par des lignes _Figure_ 308. tirées d’un de $es angles.

Pour divi$er en trois parties égales le pentagone A B C D E par les lignes tirées de l’angle C, il faut commencer par ré- [0539]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIII._ duire le pentagone en triangle; & cela, en tirant aux lignes C A & C E les paralleles B F & D G, & en menant des lignes du point C au point F, & du même point C au point G, qui donneront le triangle F C G égal au pentagone, comme on le peut connoître facilement. Après cela, $i l’on divi$e la ba$e F G en trois parties égales aux points H & I, on n’aura plus qu’à tirer les lignes C H & C I pour avoir le triangle H C I, qui $era le tiers du triangle F C G, par con$équent du penta- gone, & il $e trouvera que les parties H A B C & I C D E $e- ront égales entr’elles, & $eront par con$équent chacune le tiers du pentagone.

Application de la Géométrie à l’u$age du Compas de proportion.

De tous les in$trumens de Mathématique, il n’y en a point dont l’u$age $oit $i univer$el que celui qu’on nomme _compas de_ _proportion;_ car il facilite la pratique de toute la théorie de la Géométrie: par exemple, la ligne des parties égales $ert à di- vi$er une ligne, $elon une rai$on donnée, & à trouver des troi$iemes & quatriemes proportionnelles: la ligne des cordes tient lieu de rapporteur, pui$que par $on moyen l’on peut connoître la valeur des angles, & en déterminer de quelque quantité de degrés qu’on voudra: la ligne des polygones $ert à divi$er un cercle en une quantité de parties égales, pour y in$crire des polygones: par le moyen de la ligne des plans, l’on trouve les côtés des figures $emblables qu’on veut aug- menter ou diminuer $elon les rai$ons données: enfin la ligne des $olides, qui peut pa$$er pour la plus con$idérable du compas de proportion, $ert à trouver deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, à diminuer & augmenter les $olides $emblables, $elon les rai$ons que l’on voudra. Ce $ont toutes ces propriétés que nous allons en$eigner ici, en commençant par les lignes de parties égales.

PROPOSITION XIV. PROBLEME.

_885_. Divi$er une ligne droite en tant de parties égales qu’on _Figure_ 309. voudra.

L’on trouvera marqué d’un côté $ur chaque jambe du compas [0540]NOUVEAU COURS de proportion une ligne que l’on verra nommée _parties égales_, parce qu’elles $ervent effectivement à divi$er les lignes droites en parties égales: & pour faire voir comment on s’en $ert, nous $uppo$erons qu’on veut divi$er la ligne H I en neuf par- ties, pour faire, par exemple, l’échelle d’un plan: pour cela, il faut avec le compas ordinaire, prendre la longueur de la ligne H I, & ouvrir le compas de proportion, de maniere que les pointes du compas ordinaire pui$$ent être po$ées dans les points de la ligne des parties égales, où l’on verra marqué 90, qui $era, par exemple, les points D & E. Pré$entement lai$- $ant le compas de proportion ouvert, il faut, avec le compas ordinaire, prendre l’intervalle des points où l’on verra le nom- bre 10, qui $era, par exemple, l’intervalle F G. Or $i vous portez pré$entement le compas ain$i ouvert $ur la ligne H I, vous trouverez que $on ouverture $era la neuvieme partie de cette même ligne,

Pour le démontrer, con$idérez que les triangles A F G & A D E $ont $emblables, & que par con$équent il y aura même rai$on de A F à A D, que de F G à D E. Or comme A F e$t la neuvieme partie de A D, F G $era la neuvieme partie de D E.

PROPOSITION XV. PROBLEME.

_886_. Trouver une troi$ieme proportionnelle à deux lignes données.

_Figure_ 310.

Pour trouver une troi$ieme proportionnelle à deux lignes données F & G, il faut prendre la premiere F avec le compas ordinaire, & la porter $ur la ligne des parties égales, comme $i elle occupoit, par exemple, la di$tance depuis A ju$qu’en D; en$uite prendre la $econde G, & la porter depuis A ju$qu’en B. Il faut après cela ouvrir le compas de proportion d’une gran- deur telle que la di$tance D E (des deux nombres égaux qui corre$pondent aux points D & E) $oit égale à la ligne G. Pré$entement $i l’on prend la di$tance B C, c’e$t-à-dire l’in- tervalle du chiffre, qui e$t au point B à celui qui lui corre$pond au point C, l’on aura la troi$ieme proportionnelle que l’on cherche, qui $era, par exemple, H.

Pour le prouver, con$idérez que les triangles A B C & E A D $ont $emblables, & que la ligne A B étant égale à la ligne D E, l’on aura A D : D E : : A B : B C; par con$équent {../..} F. G. H.

[0541]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIII._ PROPOSITION XVI. PROBLEME.

_887_. Trouver une quatrieme proportionnelle àtrois lignes données. _Figure_ 311.

Pour trouver une quatrieme proportionnelle aux trois li- gnes données A, B, C, il faut prendre la ligne A, & la porter avec le compas ordinaire $ur la ligne des parties égales, en$orte qu’elle occupe l’intervalle E F; puis porter la $econde B de- puis le point F ju$qu’au point corre$pondant G: enfin il faut prendre la troi$ieme C, en$orte qu’elle occupe l’e$pace E H, & l’intervalle du point H à celui qui lui corre$pond en I, $era la quatrieme proportionnelle, comme e$t, par exemple, la ligne D.

Pour le prouver, remarquez que les triangles E F G & E H I $ont $emblables, & par con$équent l’on aura EF:FG::EH:HI, ou bien A : B :: C : D.

_USAGE DE LA LIGNE DES POLYGONES_. PROPOSITION XVII. PROBLEME.

_888_. In$crire un polygone dans un cercle. _Figure_ 312 & 313.

Par le moyen de la ligne des polygones, qui e$t tracée $ur le compas de proportion, on peut in$crire des polygones dans un cercle depuis celui de trois côtés ju$qu’à celui de douze, qui $ont ceux qu’on met le plus en u$age. Pour faire voir comment on s’en $ert, nous $uppo$erons qu’on veuille in$crire un octogone dans le cercle H: pour cela il faut prendre avec le compas ordinaire la grandeur du rayon HI de ce cercle, & ouvrir le compas de proportion de maniere que les points du compas ordinaire, ouvert, comme nous venons de dire, pui$$ent être po$és dans les points B & C de 6 en 6, marqués $ur la ligne des polygones. Après cela l’on prendra du point F au point G, où corre$pondent les nombres 8, & cet inter- valle $era le côté de l’octogone, qu’on portera huit fois $ur la circonférence du cercle H, pour avoir les points qui $ervi- ront à décrire l’octogone.

Si au lieu de l’octogone l’on vouloit prendre dans le même cercle un décagone, il ne faudra que prendre l’intervalle de [0542]NOUVEAU COURS 10 en 10, ain$i des autres polygones, après avoir pris avant la di$tance de B en C, en po$ant $ur ces di$tances le rayon du cercle, que vous voulez réduire en polygone.

PROPOSITION XVIII. PROBLEME.

_889_. Décrire un polygone régulier $ur une ligne donnée.

Nous $ervant de la même figure, l’on pourra, à l’aide du compas de proportion, décrire tel polygone qu’on voudra. Or $i l’on veut faire $ur la ligne K L un octogone, il faudra pren- dre cette ligne avec le compas ordinaire, & la porter $ur le compas de proportion; de façon que les points du compas ordinaire tombent dans les points 8 & 8. Après cela $i l’on prend l’intervalle de B en C, c’e$t-à-dire de 6 en 6, & que des extrêmités K & L l’on fa$$e une $ection H avec le compas ain$i ouvert, on n’aura qu’à décrire du point H un cercle, dont le rayon $oit H K ou H L, & l’on pourra trouver tous les points qui $erviront à décrire l’octogone, en portant huit fois la ligne K L $ur la circonférence du cercle.

_USAGE DE LA LIGNE DES CORDES._ PROPOSITION XIX. PROBLEME.

_890_. Prendre $ur la circonférence d’un cercle un angle d’autant _Figure_ 312 & 314. de degrés qu’on voudra.

Si l’on vouloit prendre $ur la circonférence du cercle H un arc de 70 degrés, il faudra avec le compas ordinaire, porter $ur la ligne des cordes aux endroits marqués 60 la grandeur ou le rayon H I: ain$i $uppo$ant que l’angle A B C e$t formé par les lignes des cordes du compas de proportion, de maniere que l’on ait ouvert la grandeur D E égale au rayon H I, l’on pren- dra l’intervalle de F en G, que je $uppo$e être de 70 en 70, & la ligne F G $era la corde de 70 degrés, qu’on n’aura qu’à porter $ur la circonférence du cercle, pour avoir l’arc M I qu’on demande.

[0543]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIII._ PROPOSITION XX. PROBLEME.

_891_. Un angle étant donné $ur le papier, en trouver la va- leur par le moyen de la ligne des cordes.

Pour connoître la valeur d’un angle A B C, il faut, du point B, comme centre, décrire l’arc A C d’une ouverture de compas indéterminée; en$uite prendre le rayon B C, & ouvrir le compas de proportion, de maniere que l’intervalle de 60 en 60, marqué $ur la ligne des cordes, $oit égal au rayon. Pré- $entement $i on prend avec le compas la corde A C, & qu’on la porte $ur la ligne des cordes, de façon qu’il convienne dans deux points également éloignés du centre, les nombres qui corre$pondront à ces points, donneront la valeur de l’an- gle: ain$i $uppo$ant que ce $oit de 50 en 50, l’on connoîtra que l’angle A B C e$t de 50 degrés.

PROPOSITION XXI. PROBLEME.

_892_. Connoi$$ant la quantité de degrés d’un arc de cercle, trouver _Figure_ 314 & 315. $on rayon.

Si l’on a un arc de cercle B A de 50 degrés, & qu’on veuille connoître le rayon du cercle de cet arc, il faudra prendre avec le compas la corde B A, & la porter $ur la ligne des cordes pour ouvrir le compas de proportion de 50 en 50: par exemple, $i les points D & E corre$pondent au nombre 50, il faut faire l’intervalle D E égal à la corde B A; & $i après cela l’on prend l’intervalle F G de 60 en 60, elle $era le rayon que l’on de- mande, c’e$t-à-dire que la ligne F G $era égale au demi-dia- metre C B.

PROPOSITION XXII. PROBLEME.

_893_. Ouvrir le compas de proportion de maniere que les lignes _Figure_ 314. des cordes fa$$ent tel angle que l’on voudra, $uppo$ant que les lignes _A B & C B_ $oient celles des cordes; on demande de faire avec elles un angle de 70 degrés.

[0544]NOUVEAU COURS

Il faut prendre avec le compas ordinaire l’intervalle qu’il y a du centre B au point F ou G, que je $uppo$e être de 70 degrés; puis porter les pointes du compas ain$i ouvert dans les points de 60 en 60: par exemple, $i les points D & E $ont ceux de 60 en 60, il faut faire la di$tance D E égale à l’inter- valle B F, & les lignes des cordes formeront l’angle A B C de 70 degrés.

PROPOSITION XXIII. PROBLEME.

_894_. Le compas de proportion étant ouvert d’une grandeur quel- _Figure_ 314. conque, connoître la valeur de l’angle formé par les lignes des cordes.

Si l’on veut $çavoir la valeur de l’angle A B C, formé par les lignes des cordes, l’on n’aura qu’à prendre avec le compas ordinaire l’intervalle de 60 en 60, puis la porter $ur l’une des cordes, en commençant du centre, l’on trouvera la quantité de degrés que contient l’angle: ain$i les points D & E étant $uppo$és ceux de 60, l’on prendra la ligne D E pour la porter $ur B F; & $i l’on voit que le point F corre$pond à un nom- bre, par exemple, de 70, l’on verra par-là que l’angle A B C e$t de 70 degrés.

REMARQUE.

Comme l’on applique quelquefois des pinnules aux extrê- mités des cordes du compas de proportion, pour prendre des angles $ur le terrein, on peut en former de telle ouverture que l’on voudra, pui$que par ces deux propo$itions l’on peut faire un angle quelconque avec les lignes des cordes, & qu’on peut d’ailleurs connoître la valeur des angles qu’elles peuvent former.

_USAGE DE LA LIGNE DES PLANS_. PROPOSITION XXIV. PROBLEME.

_895_. Faire un quarré qui $oit à un autre $elon une rai$on donnée. _Figure_ 316 & 321.

Si l’on veut faire un quarré qui ait même rai$on à un autre que 5 à 2, il faut prendre le côté A B du quarré donné, & [0545]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIII._ ouvrir le compas de proportion de maniere que l’intervalle H I des points 2 & 2 de la ligne des plans $oit égal au côté A B, c’e$t-à-dire que cette ligne $oit égale à H I; & $i l’on prend l’intervalle K L, que je $uppo$e de 5 en 5, la ligne K L $era le côté du quarré que l’on demande: ain$i fai$ant C D égal à K L, il y aura même rai$on du quarré A B au quarré de C D, que de 5 à 2.

PROPOSITION XXV. PROBLEME.

_896_. Connoître le rapport d’un quarré à un autre. _Figure_ 316 & 321.

Se $ervant de la même figure, $i l’on veut $çavoir le rapport du quarré A B au quarré C D, l’on n’aura qu’à prendre le côté A B du plus petit quarré, & ouvrir le compas de proportion, de maniere que le compas ordinaire $e trouve dans deux points également éloignés du centre $ur les lignes des plans, comme e$t, par exemple, H I: en$uite il faut prendre le côté C D de l’autre quarré, & chercher avec le compas un intervalle tel que K L, qui lui convienne $ur la ligne des plans; & le rap- port qu’il y aura entre les deux nombres qui $e trouveront aux points H & K, $era le même que celui du quarré A B au quarré C D.

PROPOSITION XXVI. PROBLEME.

_897_. Ouvrir le compas de proportion de maniere que les lignes _Figure_ 317. des plans forment un angle droit.

Pour faire un angle droit tel que B A C avec les deux lignes des plans, il faut avec le compas ordinaire prendre l’intervalle du centre à un nombre quelconque D, qui $era, par exemple, 20, puis ouvrir le compas de proportion, de maniere que l’in- tervalle des points (qui corre$pondront à la moitié de ce nom- bre) $oit égal à la longueur A D: ain$i prenant les nombres 10 & 10, qui $eront moitié de 20, l’on n’aura qu’à faire l’in- tervalle F G égal à la di$tance A D, & les lignes des plans A B & A C formeront un angle droit.

[0546]NOUVEAU COURS PROPOSITION XXVII. PROBLEME.

_898_. Faire un quarré égal à deux autres donnés.

_Figure_ 318 & 321.

Pour faire un quarré qui $oit égal aux deux autres A B & C D, il faut ouvrir le compas de proportion, de maniere que les lignes des plans forment un angle droit, comme e$t l’angle E F G; puis prendre $ur la ligne F E la longueur F I égale au côté A B, & bien retenir le nombre où l’extrêmité I viendra aboutir: en$uite il faut prendre de même la longueur F H égale au côté C D de l’autre quarré & la di$tance de H en I, qui $era, par exemple, celle de 18 en 5, $era le côté du quarré égal aux deux quarrés propo$és.

REMARQUE.

Comme toutes les figures $emblables $ont dans la même rai$on que les quarrés de leurs côtés homologues, l’on pourra faire les mêmes opérations pour les triangles, les polygones & les cercles que l’on a faits dans les propo$itions précédentes pour les quarrés.

_USAGE DE LA LIGNE DES SOLIDES_. PROPOSITION XXVIII. PROBLEME.

_899_. Faire un cube qui $oit à un autre $elon une rai$on donnée.

_Figure_ 319 & 322.

Si l’on veut avoir un cube qui $oit au cube A B, comme 3 e$t à 7, il faut commencer par prendre avec le compas or- dinaire le côté A B, & le porter $ur la ligne des $olides, de maniere qu’il corre$ponde aux points 7 & 7: ain$i $uppo$ant que l’intervalle des points K & L $oit celui du nombre 7, l’on n’aura plus qu’à prendre l’intervalle I H de 3 en 3 pour avoir le côté du cube que l’on demande. Ain$i fai$ant C D égal à H I, il y aura même rai$on du cube A B au cube C D, que de 7 à 3.

PROPOSITION XXIX. PROBLEME.

_900_. Trouver le rapport qui e$t entre deux cubes.

[0547]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIII_.

Pour trouver le rapport qui e$t entre deux cubes quelconques _Figure_ 319 & 322. C D & A B, il faut prendre le côté C D du plus petit cube, & ouvrir le compas de proportion, en$orte que l’intervalle H I, pris vers le centre, $oit égal à ce côté. Après cela, l’on pren- dra le côté A B pour le porter en un endroit, comme K L, dont l’intervalle lui $oit égal, & le rapport que l’on trouvera entre les nombres qui $eront marqués aux points I & K, $era le même que celui du cube C D au cube A B.

REMARQUE.

Comme tous les $olides $emblables $ont dans la même rai$on que les cubes de leurs côtés homologues, il s’en$uit que l’on pourra faire à l’égard des cylindres, des cônes, des pyramides, & des $pheres, les mêmes opérations que l’on vient de faire pour les cubes, comme dans les propo$itions précédentes.

APPLICATION DE LA GEOMETRIE A L’ARTILLERIE. PROPOSITION XXX. PROBLEME.

_901_. Faire l’analy$e de l’alliage du métail dont on fait les pieces de canon.

Pour connoître l’utilité de ce problême, il faut être prévenu que le métail dont on fait les pieces d’Artillerie de fonte, e$t compo$é de _ro$ette_, que l’on appelle communément _cuivre_ _rouge_, & d’_étain_ fin d’Angleterre; & comme il doit y avoir une proportion entre la ro$ette & l’étain qui compo$ent le métail, les Fondeurs les plus expérimentés $uivent celle de 100 à 12, c’e$t-à-dire que $ur 100 livres de ro$ette ils mettent 12 livres d’étain.

Or comme il arrive tous les jours que dans les Fonderies on fond des pieces qui $ont hors d’état de $ervir pour en faire de nouvelles, & que les Fondeurs $ont embarra$$és pour $çavoir $i le métail e$t conforme à l’alliage qu’ils $uivent, pour qu’il ne $oit ni trop aigre ni trop doux; voici comment on pourra connoître au ju$te la quantité de ro$ette & d’étain qui compo$e le métail des pieces.

C’e$t une cho$e démontrée par l’expérience, & dont la rai- $on phy$ique e$t facile à appercevoir, que les métaux perdent [0548]NOUVEAU COURS de leur pe$anteur lor$qu’ils $ont dans l’eau: par exemple, $i l’on attache à une balance romaine un morceau de plomb pe- $ant 48 livres, l’on verra que le corps étant mis dans l’eau, de $orte qu’il en $oit environné de toutes parts, au lieu de pe$er 48 livres, n’en pe$era que 44, parce que le plomb perd dans l’eau la douzieme partie de $on poids, ain$i des autres métaux qui perdent plus ou moins, $elon qu’ils $ont plus ou moins pe- $ans. Mais comme nous avons be$oin de connoître ici ce que perdent l’étain & la ro$ette, l’on $çaura que l’étain perd la $eptieme partie de $on poids, & que la ro$ette n’en perd que la neuvieme partie.

Cela po$é, pour connoître la quantité de ro$ette & d’étain qui $e trouve dans une piece de 24 livres de balle, qui pe$e en- viron 5200 livres, il faut avoir un morceau de la piece, qui $era, par exemple, un de $es tronçons, & le pe$er bien exac- tement; & $uppo$ant qu’il pe$e 163 livres, on le pe$era en- $uite dans l’eau, pour voir combien il perd de $a pe$anteur, & nous $uppo$erons qu’il en perd 19 livres.

Pré$entement il faut con$idérer le métail comme étant tout de ro$ette, afin de voir, $elon cette $uppo$ition, combien il perd de $a pe$anteur, & l’on trouvera qu’il perd {164/9}; & con- $idérant au$$i le métail comme étant tout étain, l’on cher- chera combien il perd de $a pe$anteur, & l’on trouvera qu’il perd {163/7}: ain$i $i l’on nomme _a_ la pe$anteur du métail, _b_ $a perte, _c_ la perte du poids du métail, s’il étoit tout de ro$ette, _d_ la perte du même poids, s’il étoit tout étain, l’on aura _a_ = 163, _b_ = 19, _c_ = {163/9}, _d_ = {163/7}; & nommant _x_ la quan- tité de ro$ette qui e$t dans le métail, & _y_ la quantité d’étain, voici comment on trouvera la valeur de ces deux inconnues.

Il faut commencer par faire deux proportions, en di$ant: Comme _a_, poids du métail con$idéré comme ro$ette e$t à _c_, perte de ce poids de ro$ette, ain$i _x_, qui e$t la quantité de ro$ette inconnue, e$t à la perte du poids de la même ro$ette inconnue; ce qui donne _a_:_c_::_x_:{_cx_/_a_}; & fai$ant la même cho$e pour l’étain, l’on dira: Comme _a_, poids du métail con$idéré comme étain e$t à _d_, perte de ce poids d’étain, ain$i _y_, va leur de la quantité inconnue, e$t à la perte de cette quantité d’étain, qui donnera encore cette proportion _a_:_d_::_y_:{_dy_/_a_}.

[0549]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIII_.

Mais comme l’on a trouvé {_cx_/_a_} pour la perte du poids de la ro$ette qui e$t dans le métail, & {_dy_/_a_} pour la perte du poids d’é- tain, qui e$t au$$i dans le métail, & que ces deux quantités font en$emble la perte du poids du métail: l’on aura donc cette équation {_cx_/_a_} + {_dy_/_a_} = _b_; & comme _x_ & _y_ repré$entent la ro$ette & l’étain qui compo$ent le métail, l’on pourra en- core former cette équation _x_ + _y_ = _a_; & dégageant une de ces deux inconnues, qui $era, par exemple _x_, l’on aura _x_ = _a_ - _y_; & $ub$tituant la valeur de _x_ dans l’équation {_cx_/_a_} + {_dy_/_a_} = _b_, il viendra {_ac_ - _yc_ + _dy_/_a_} = _b_, ou bien _c_ + {_dy-yc_/_a_} = _b_. Or $i l’on fait pa$$er _c_ du premier membre dans le $econd, & que l’on multiplie les deux membres par _a_, il viendra _dy_ - _yc_ = _ab_ - _ac_, qui étant divi$é par _d_ - _c_, donne _y_ = {_ab_ - _ac_/_d_ - _c_}, où _y_ e$t égal à des quantités connues: par con$équent $i l’on met dans l’équation _x_ = _a_ - _y_ la valeur de _y_, l’on aura _x_ = _a_ - {_ab_ + _ac_/_d_ - _e_} = {_ad_ + _ab_/_d_ - _c_}, qui donne au$$i la valeur de _x_.

Or pour connoître _y_ en nombres, je con$idere qu’il e$t égal à _ab_ - _ac_ divi$é par _d_ - _c_: & comme _b_ - _c_ e$t multiplié par _a_, je $ou$trais de 19 de _b_ {163/9} valeur de _c_, & le re$te e$t {8/9}, que je multiplie par 163, qui e$t la valeur de _a_ pour avoir {1304/9}, que je divi$e par {363/7} - {163/9} valeur de _d_ - _c_, qui e$t {416/63}; la divi$ion étant faite, l’on trouvera 28 pour la valeur de _y_: & cher- chant de même la valeur de _x_, l’on trouvera qu’elle e$t de 135; ce qui fait voir qu’il y a 135 livres de ro$ette, & 28 livres d’étain dans le morceau de métail.

Pour $çavoir pré$entement la quantité d’étain qu’il y a dans la piece de canon, il faut dire: Si dans 163 livres de métail il y a 28 livres d’étain, combien y en aura-t-il dans 5200 livres, poids de la piece? l’on trouvera qu’il y en a environ 894 livres, & par con$équent il y a 4306 livres de ro$ette.

Mais comme la rai$on de 4306 livres à 894 n’e$t pas égale à celle de 100 à 12, parce que nous avons $uppo$é qu’il y avoit dans le métail beaucoup plus d’étain qu’il n’en falloit, il $era facile de $çavoir combien il faut ajouter de ro$ette pour que l’alliage $oit bien fait, en di$ant: Si pour 12 livres d’étain il faut 100 livres de ro$ette, combien en faudra-t-il pour 894 [0550]NOUVEAU COURS livres. On trouvera qu’il en faut 7450 livres; & comme il y en a déja 4306 livres, il faudra en ajouter 3144 livres.

Si l’on a plu$ieurs pieces à refondre en même-tems, l’on cherchera par la regle précédente ce qui manque à chacune de ro$ette ou d’étain, afin que l’alliage $oit dans la rai$on de 100 à 12.

PROPOSITION XXXI. PROBLEME.

_902_. Trouver le calibre des boulets & des pieces de canon.

Pour trouver le calibre des boulets de telle pe$anteur que l’on voudra, il faut $çavoir d’abord le diametre d’un boulet de même métail d’un poids déterminé, comme, par exem- ple, celui d’une livre de fer coulé, qui e$t d’un pouce 10 lignes 8 points, & con$idérer le diametre comme étant divi$é en un grand nombre de petites parties égales, comme en 500 (pour que dans le calcul on pui$$e négliger les re$tes), en$uite cuber la valeur du diametre en petites parties, pour avoir 125000000 pour $on cube, que nous regarderons ici comme le boulet même, parce que les boulets étant des $pheres, ils $ont dans la même rai$on que les cubes de leurs diametres: c’e$t pour- quoi $i l’on veut avoir le diametre d’un boulet de 24, l’on n’aura qu’à multiplier le cube d’un boulet d’une livre, c’e$t-à- dire 125000000 par 24 pour avoir 3000000000, qui $era le cube du diametre du boulet de 24, pui$qu’il e$t 24 fois plus grand que l’autre. Ain$i en extrayant la racine cube de 3000000000, l’on aura 1442 petites parties, que l’on pourra changer en pouces, lignes & points, en di$ant: Si 500 petites parties don- nent un pouce 10 lignes 8 points pour le diametre du boulet d’une livre, combien donneront 1442 petites parties pour le diametre du boulet de 24. On trouvera, après la regle faite, que le diametre e$t de 5 pouces 5 lignes, & un peu plus de 4 points.

Si l’on veut avoir le diametre de tout autre boulet, par exemple, celui de 16, l’on fera comme on a fait pour celui de 24, avec cette différence, qu’au lieu de multiplier 125000000 par 24, il faudra le multiplier par 16, afin d’avoir le cube du diametre du boulet qu’on cherche: & l’on pourra $ur ce prin- cipe calculer une table pour tous les autres boulets.

[0551]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIII._

Mais comme l’on a be$oin de connoître particuliérement les diametres des boulets pour faire les coquilles dans le$quelles on coule le fer qui doit les former, & que la plûpart pour- roient $e trouver embarra$$és, s’ils ne connoi$$oient pas le dia- metre du boulet d’une livre, ou s’ils $oupçonnoient qu’il ne fût pas a$$ez ju$te pour $ervir de ba$e à une regle générale, en ce cas l’on pourra faire couler un boulet de tel diametre que l’on voudra, comme de 3 pouces, $ans s’embarra$$er de $a pe$an- teur qu’après qu’il $era fondu, parce que pour lors on le pe$era bien exactement; & $uppo$ant qu’on a trouvé qu’il pe$e 5 livres & demie, l’on réduira $on diametre en petites parties pour le cuber, & en$uite l’on dira: Si 5 livres & demie donnent tant de petites parties pour le cube du diametre de $on boulet, com- bien une livre donnera-t’elle de petites parties pour le cube de $on diametre: & lor$qu’on aura trouvé ce que l’on cherche, on en extraira la racine cube, qui donnera en petites parties la valeur du diametre du boulet d’une livre, qu’il $era facile de réduire en pouces, lignes, &c. $çachant que le diametre du premier boulet e$t de 3 pouces.

Pour trouver le diametre des pieces, l’on $çaura qu’il ne differe que de peu de cho$e de celui de leurs boulets; & comme cette différence, qui e$t ce qu’on appelle _vent_ du boulet, n’e$t pas la même pour toutes les pieces, il $uffira de $çavoir le dia- metre de la piece d’une livre, pour trouver celui de tous les au- tres: & comme le diametre e$t d’un pouce 11 lignes 6 points, parce que le boulet de cette piece a environ une ligne de vent, on $uppo$era, comme on a fait pour $on boulet, que le diametre de la piece e$t divi$é en 500 parties; & voulant trouver celui de la piece de 24, l’on cubera 500 pour multiplier le produit par 24, dont on extraira la racine cube, qui e$t en- core 1442, dont on pourra connoître la valeur en pouces, lignes, &c. en di$ant: Si 500 donnent un pouce 11 lignes 6 points pour le diametre de $a piece d’une livre, combien donneront 1442 pour le diametre de la piece de 24: on trou- vera que ce diametre e$t de 5 pouces 7 lignes 9 points.

PROPOSITION XXXII. PROBLEME.

903. Trouver le diametre des cylindres $ervant à me$urer la poudre.

[0552]NOUVEAU COURS

L’on ne $e $ert pre$que jamais de balances dans les maga$ins & dans les Arcenaux pour me$urer la poudre que l’on di$tribue aux troupes, $oit pour des détachemens ou pour tout autre $ujet, parce qu’il faudroit trop de tems pour en faire la di$tri- bution: on $e $ert, au lieu de balances, de certaines me$ures de fer blanc ou de cuivre, de figure cylindrique, qui contiennent plus ou moins de livres de poudre, ou de parties de livres. Or comme $ouvent l’on e$t obligé de faire faire de ces me$ures, & qu’on ne peut, $ans le $ecours de la Géométrie, $çavoir les dimen$ions qu’il faut leur donner pour contenir une quantité de poudre quelconque, voici une regle générale qui pourra $ervir pour trouver le diametre de toutes les me$ures que l’on voudra: mais comme il faut que ces me$ures $oient $embla- bles pour que la regle pui$$e convenir à toutes également, nous $uppo$erons que ces me$ures étant cylindriques, la hauteur du cylindre e$t égale au diametre du cercle qui lui $ert de ba$e.

Cela po$é, étant prévenu qu’une me$ure cylindrique, dont le diametre e$t de 3 pouces, contient 4 livres de poudre, l’on trouvera le diametre d’une me$ure pour autant de livres que l’on voudra: par exemple, pour 10 livres, en di$ant: Si 4 livres de poudre donne 125 pouces pour le cube du diametre de $a me$ure, combien donneront 10 livres de poudre? l’on trou- vera 312 pouces & demi cubes, dont il faudra extraire la ra- cine qui $era de 6 pouces 8 lignes 9 points, qui e$t la grandeur qu’il faut donner au diametre de la me$ure de 10 livres, qui doit avoir au$$i la même hauteur: il en $era de même pour telle autre me$ure que l’on voudra.

Mais $i l’on ignore le diametre d’une me$ure pour une certaine quantité de poudre, & $i l’on n’a aucun terme de la proportion connue, dans ce cas il faut faire faire une me- $ure à laquelle on donnera le diametre que l’on voudra, & on la remplira de poudre, a$in de $çavoir ce qu’elle contient; & $çachant ce qu’elle contient, & la valeur du diametre, l’on $e $ervira de la regle précédente pour trouver le diametre de toutes les autres me$ures, fai$ant attention que ces me$ures ne peuvent avoir lieu que pour la poudre dont les grains $ont approchans de même gro$$eur que $ont ceux de la poudre à canon: car $i les grains étoient plus fins, les me$ures contien- droient moins de poudre en pe$anteur.

L’on voit que cette regle e$t établie $ur ce que les cylindres [0553]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIII._ $emblables $ont dans la même rai$on que les cubes de leurs diametres. Or comme les me$ures dont il s’agit ici $ont $up- po$ées avoir une hauteur égale à leur diametre, elles $eront donc $emblables, & par con$équent leurs $olidités, qui ne $ont autre cho$e que la quantité de poudre qu’elles contiennent, $eront dans la rai$on des cubes des diametres.

Mais $i l’on vouloit avoir des me$ures, dont la hauteur fût plus grande ou plus petite que le diametre de la ba$e (que nous nommerons _me$ure irréguliere_), il faudroit chercher le dia- metre de la me$ure pour la quantité de poudre que l’on veut que cette me$ure contienne, comme $i cette me$ure devoit être réguliere, c’e$t-à-dire que le diametre fût égal à la hau- teur; en$uite cuber le diametre, & divi$er le produit par la hauteur de la me$ure irréguliere, & le quotient $era la va- leur du quarré du diametre de cette me$ure. Après cela, $i l’on extrait la racine quarrée de cette quantité, l’on aura le diametre du cercle qui doit $ervir de ba$e à la me$ure que l’on cherche.

Comme les cercles $ont dans la rai$on des quarrés de leurs diametres, l’on pourra prendre à la place des cercles les quarrés de leurs diametres. Or comme les cylindres $ont égaux, lor$- que leurs hauteurs & leurs ba$es, ou les quarrés des diametres de leurs ba$es $ont réciproques, nommant _a_ le diametre de la ba$e du cylindre régulier, _a_ $era au$$i $a hauteur; & nommant _b_ la hauteur du cylindre irrégulier, & _x_ le diametre de $a ba$e, il faut, pour que le cylindre régulier $oit égal à l’irrégulier, que _b_ : _a_ :: _aa_ : _xx_, d’où l’on tire _bxx_ = _aaa_, ou bien _xx_ = {_aaa_/_b_}, ou encore _x_ = {_aaa_/_b_} = _a_ {_b_/_a_}, qui fait voir la rai$on de la regle précédente.

Ce que nous venons de dire à l’égard des me$ures pour la poudre, $e peut appliquer à toutes autres me$ures cylindriques pour telles cho$es que ce $oit.

PROPOSITION XXXIII. PROBLEME.

904. Trouver quelle longueur doivent avoir les pieces de canon par rapport à leurs calibres.

Les extrêmités dans le$quelles on e$t tombé pour régler la [0554]NOUVEAU COURS longueur des pieces de canon, en fai$ant celles de même cali- bre, tantôt fort longues, tantôt fort courtes, m’ont fait pen$er qu’il devoit y avoir une longueur pour les pieces cylindriques de chaque calibre, qui étoit telle, qu’avec la charge ordinaire le boulet reçût la plus grande vîte$$e que l’impul$ion de la pou- dre e$t capable de lui donner; & $i pour la connoître l’on e$t obligé de con$idérer les effets de la poudre dans le canon, voici, à mon avis, ce que l’on peut dire de plus plau$ible $ur ce $ujet.

Comme l’on ne peut douter que plus il y a de poudre en- Pl. XXIII. flammée dans un canon, & plus le boulet reçoit de mouve- _Figure_ 323. ment, nous $uppo$erons que l’on a mis pour la charge de la piece D G la quantité de poudre D E. Cela po$é, au$$i-tôt que le feu de l’amorce $e $era introduit au point A de la lumiere, les premiers grains de poudre enflammés raréfieront l’air qu’ils contiennent, & celui dont ils $ont environnés, & écarte- ront à la ronde tout ce qui leur fera ob$tacle, & $ucce$$ivement la poudre continuant à s’enflammer, elle occupera un bien plus grand volume qu’auparavant; & agi$$ant avec beaucoup de violence à droite & à gauche du point A, & particuliérement du côté où elle trouvera moins de réfi$tance, qui e$t celui du boulet qu’elle cha$$era du côté de la bouche, avec une grande quantité de poudre, qui n’aura pas encore eu le tems de s’en- flammer, & la vîte$$e du boulet augmentant dans la même rai$on du volume de la poudre enflammée, il $e trouvera dans un in$tant cha$$é en G pour $ortir de la piece. Or $i dans le tems que le boulet a parcouru l’e$pace E G, la poudre qui l’ac- compagnoit n’a pu être enflammée entiérement, il en $ortira une quantité F avec le boulet, qui s’écartera comme du petit plomb, au lieu que $i la piece avoit été plus longue que je ne la $uppo$e ici, le boulet ayant à parcourir un plus grand e$- pace, la poudre qui a été cha$$ée avec lui auroit eu le tems de s’enflammer, & par con$équent auroit été capable d’un plus grand effort: ain$i l’on peut conclure que la proportion qu’il doit y avoir entre D E & D G, c’e$t-à-dire entre la charge & la longueur de la piece, doit être telle que la poudre acheve de s’enflammer entiérement à l’in$tant que le boulet $ort de la piece; d’où il $uit qu’un canon qui e$t chargé plus qu’il ne faut, ne cha$$e pas pour cela $on boulet plus loin, & même au contraire, pui$que plus il y aura de parties entre la poudre [0555]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIII._ agi$$ante & le boulet, moins il recevra de mouvement: & cela e$t $i vrai, que $i au lieu d’un bouchon de fourrage ordi- naire entre la poudre & le boulet, l’on en mettoit cinq ou $ix, l’on s’appercevroit vi$iblement que la portée ne $eroit pas $i longue que s’il n’y en avoit qu’un, comme j’en ai fait l’ex- périence: car le boulet ne recevant de mouvement que par l’impul$ion que la poudre a imprimée au premier bouchon, celui-ci ne peut le communiquer aux autres, pour aller ju$- qu’au boulet, $ans l’altérer; ce qui fait qu’il s’en faut de beau- coup que le boulet n’ait autant de vîte$$e que s’il avoit reçu $on impul$ion immédiatement de la poudre même. Ain$i le trop de poudre fera le même effet que s’il y avoit trop de bourre.

Mais $i au lieu d’une piece trop courte nous en $uppo$ons une trop longue, comme L O, il n’y a point de doute, quoi- qu’elle $oit de même calibre que la précédente, & chargée avec la même quantité de poudre, qu’elle ne porte pas $i loin que $i elle étoit d’une ju$te longueur: car $uppo$ant que la poudre L M fai$ant $on effet, ait pou$$é le boulet ju$qu’au point N, qui e$t l’endroit où elle auroit achevé de s’enflammer entiérement, il e$t certain que $i le boulet a encore à parcourir l’e$pace N O, il $ortira avec moins de violence de l’endroit O, que s’il étoit parti d’abord de l’endroit N: car dans le tems que le re$te de la poudre acheve de s’enflammer vers N, la flamme de celle qui a commencé vers la cula$$e $e dilate, & l’air raré$ié s’amorti$$ant de ce côté-là, il n’y a plus que celui qui e$t vers N, qui fait impre$$ion $ur le boulet; de $orte que $i la piece étoit a$$ez longue pour que l’impul$ion de la poudre fût entiére- ment amortie à l’in$tant que le boulet e$t prêt à $ortir de la piece, il pourroit arriver que l’air que le boulet auroit cha$$é avec beau- coup de violence, cherchant à rentrer dans la piece, le repou$- $eroit vers la cula$$e; ce qui arriveroit $ans doute, $i à l’in$tant que le feu a pris à la poudre, l’on pouvoit boucher la lumiere avec a$$ez de promptitude, pour empêcher que l’air que le boulet cha$$e ne $oit remplacé par celui qui s’introduiroit par-là.

Pui$que les pieces d’une trop grande longueur font moins d’effet que les autres, il ne faut donc plus s’étonner $i la cou- levrine de Nancy (contre l’opinion commune) a moins de portée que les pieces de même calibre, comme M. Dumez [0556]NOUVEAU COURS l’a ob$ervé dans les épreuves qu’il a faites à Dunkerque.

Ce rai$onnement fait voir que la charge doit dépendre de la longueur de la piece, & la longueur de la piece de la force de la charge: mais comme pour de gro$$es charges il faudroit de longues pieces, dont le $ervice & le tran$port $ouffriroient bien des difficultés, joint à la grande con$ommation de pou- dre que l’on $eroit obligé de faire; comme il $emble que la méthode de charger (comme on le pratique ordinairement) les pieces à la moitié du poids du boulet e$t la meilleure, il faut, en comptant là-de$$us, chercher quelle doit être la longueur d’une piece par rapport à un calibre quelconque, parce qu’après cela l’on peut établir des regles pour connoître la longueur de tous les calibres imaginables. Je crois que le plus $ûr moyen pour parvenir à cette connoi$$ance, e$t de faire un canon fort long, dont le calibre $eroit, par exemple, de 8 livres, & le charger à la moitié du poids de $on boulet, puis le tirer de but en blanc, pour voir $a portée: & comme l’on $uppo$e que la piece e$t plus longue qu’elle ne doit être, on la $ciera pour la diminuer d’un calibre, & on tirera un autre coup pour voir de combien elle aura porté plus loin que le premier; & conti- nuant toujours à raccourcir la piece, en la diminuant de quel- ques pouces, $ur la fin l’on arrivera à un point où la piece, pour être un peu trop courte, portera moins loin qu’aupara- vant; & con$idérant la longueur moyenne entre celle du der- nier coup & le pénultieme, l’on aura au ju$te la longueur de la piece par rapport à $a charge, pour que la poudre $oit ca- pable du plus grand effet qu’il e$t po$$ible avec la même quan- tité de poudre.

Cependant comme ce que je propo$e ici pourroit peut-être n’avoir pas $es parti$ans, quoique le $ujet $oit a$$ez de con$é- quence pour prendre toutes ces me$ures, voici encore ce que l’on pourroit faire.

Comme l’expérience fait voir tous les jours que les petites pieces portent plus loin à proportion que les gro$$es, pui$que, $elon les épreuves qu’en a faites M. Dumez, il a trouvé que nos pieces de France chargées aux deux tiers de la pe$anteur du boulet, & pointées à 45 degrés, portoient,

[0557]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIII._ # { # la piece de 24 à # 2250 toi$es. # # de 16 à # 2020 Premiérement, # # de 12 à # 1870 # # de 8 à # 1660 # # & la piece de 4 à # 1520;

Ce qui me fait croire que la longueur des petites pieces e$t mieux proportionnée par rapport à leurs calibres, que celle des gro$$es: ain$i $uppo$ant qu’une piece de canon de 4, qui a ordinairement 6 pieds de longueur dans l’ame, $oit bien pro- portionnée, voici comment on pourra trouver la longueur des pieces de tel calibre que l’on voudra.

Con$idérant A C comme étant la longueur de l’ame d’une Pl. XXIII. piece de 4; A B l’e$pace qu’occupe la poudre dans le canon; & _Figure_ 323. H K la longueur de la piece de 24, que je cherche, & H I l’e$- pace qu’occupe $a charge; je fais attention que la poudre agi$- $ant dans la piece de 4 & dans la piece de 24, dans la rai$on de la quantité qu’il s’en trouve dans l’une & dans l’autre (en fai$ant ab$traction des forces unies), il faut, afin que le boulet de l’une & de l’autre piece parte dans le moment que la poudre e$t entiérement allumée, qu’il y ait même rai$on du cylindre A B au cylindre A C, que du cylindre H I au cylindre H K: & comme je puis prendre à la place des cylindres A B & H I la quantité de poudre qu’ils contiennent, & à la place des cy- lindres A C & H K le cube de leurs axes, pui$qu’ils doivent être $emblables, l’on pourra (pour trouver la longueur H K) dire: Si deux livres de poudre, qui e$t la charge de la piece de 4, donne 216 pour le cube de $on axe, combien donneront 12 livres de poudre, qui e$t la charge de la piece de 24, pour le cube de l’axe de la même piece? l’on trouvera 1296 pieds cubes, dont la racine cube e$t 11 pieds, moins très-peu de cho$e: ain$i l’on voit que l’ame de la piece de 24, pour être proportionnée à $a charge par rapport à celle de 4, doit avoir 11 pieds de longueur; & comme l’ame de ces mêmes pieces n’a ordinairement qu’environ 9 pieds: $elon ce principe, elles $ont trop courtes de 2 pieds.

L’on pourra trouver de même la longueur de toutes les au- tres pieces, lor$qu’elles auront leurs chambres cylindriques: car $i elles étoient autrement, il faudroit prendre d’autres me$ures.

[0558]NOUVEAU COURS

Les pieces dont on $e $ert ordinairement n’étant point d’une longueur proportionnée à celle de la piece de 4, & comme il n’y a point d’apparence qu’on les fonde toutes exprès pour les y faire convenir, il faut, pui$que la charge d’une piece dépend de $a longueur, comme la longueur dépend de la charge, faire voir comment on peut trouver la charge de toutes les pieces, en connoi$$ant le calibre & la longueur. Comme les ames des pieces qui ne $ont point $emblables, $ont dans la rai$on com- po$ée des quarrés des diametres des pieces & des axes des mêmes pieces, $i l’on multiplie le quarré du diametre de cha- que piece par l’axe, l’on pourra trouver la charge qui convient aux pieces, pui$que ces charges doivent être dans la rai$on des produits des quarrés des diametres des pieces, par les axes des mêmes pieces. Ain$i voulant $çavoir la charge d’une piece de 24 ordinaire, dont l’ame a 9 pieds de longueur; j’ai recours à la piece de 4, pour en prendre le diametre, qui e$t 3 pouces, que je quarre pour en multiplier le quarré par la longueur de l’axe, qui e$t 6 pieds, dont le produit e$t 54; en$uite je quarre le diametre de la piece de 24, qui donne 29 pouces 9 lignes 6 points, que je multiplie par l’axe, qui e$t 9, & le produit e$t 268. Après cela, je fais une Regle de Trois, en di$ant: Si 54, produit du quarré du diametre de la piece de 4 par $on axe, donne deux livres pour $a charge, combien donneront 268, produit du quarré du diametre de la piece de 24 par $on axe, pour la charge de la même piece? l’on trouvera 10 livres moins quelque petite cho$e, qui fait voir que les pieces de 24, dont l’ame à 9 pieds de longueur, doivent être chargées à 10 livres de poudre, quand la piece de 4 $era chargée à la moitié de $on boulet.

De la même façon, $i l’on veut $çavoir quelle doit être la charge de la coulevrine de Nancy, par rapport à la piece de 4, chargée à la moitié de $on boulet, il faut être prévenu que cette piece e$t de 18 livres de balle, que $on diametre e$t de 5 pouces 1 ligne 6 points, & que la longueur de $on axe e$t de 20 pieds: ain$i fai$ant la regle, on trouvera qu’elle doit être chargée à 20 livres de poudre.

Mais comme $on métail ne ré$i$teroit peut-être pas à une charge au$$i forte que celle-ci, il n’y a qu’à voir la longueur qui lui convient pour la charge de la moitié de $on boulet, c’e$t-à-dire pour 9 livres de poudre, en di$ant: Si 2 livres de [0559]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIII._ poudre, qui e$t la charge de la piece de 4, donnent 216 pour le cube de $on axe, que donneront 9 livres de poudre, qui e$t la charge d’une piece de 18, pour le cube de $on axe, que l’on trouvera de 972, dont la racine cube e$t environ 9 pieds 11 pouces, qui e$t la longueur que devroit avoir l’ame de la coulevrine, pour être bien proportionnée? Ain$i l’on con- noîtra que cette piece e$t environ de 10 pieds plus longue qu’elle ne devroit être.

905. Depuis 1723 que j’ai écrit ce di$cours, j’ai fait des épreuves pour $çavoir quelle étoit la charge des pieces de dif- férens calibre en u$age en France pour cha$$er le boulet à la plus grande di$tance, ou pour battre en breche avec le plus de violence qu’il e$t po$$ible, afin que, partant de ce point, on pût la diminuer $elon les occa$ions, & jamais l’augmenter. J’ai fait mes premieres épreuves à l’Ecole de la Fere, dans le mois d’Octobre 1739, en pré$ence de Me$$ieurs les Officiers d’Ar- tillerie, en chargeant chaque piece de 8, de 12, de 16, & de 24, avec des charges qui alloient en augmentant par gradation d’une demi-livre de poudre, en commençant par une charge égale à la huitieme partie de la pe$anteur du boulet, & fini$- $oient par celle des deux tiers de la même pe$anteur. L’on tiroit de $uite quatre coups avec la même charge, dont on pre- noit en$uite la portée moyenne. J’entends que le premier coup pour la piece de 16 a été chargée de deux livres de poudre, que la $econde charge a été de deux livres & demie, la troi$ieme de trois livres, la quatrieme de trois livres & demie, ain$i de $uite ju$qu’à dix livres & demie, qui e$t à peu près les deux tiers de 16, pe$anteur du boulet. On en a u$é de même pour les pieces des autres calibres toutes pointées $ous l’angle de 4 degrés formé par la direction de l’ame avec l’horizon.

Ayant me$uré bien exactement toutes les portées de ces pieces pour chaque charge différente, j’ai reconnu que celle qui produiroit le plus grand effet, c’e$t-à-dire qui cha$$oit le boulet à la plus grande di$tance, étoit à peu près égale au tiers de la pe$anteur du même boulet, & que tout ce que l’on em- ployoit de poudre au-delà étoit en pure perte, parce qu’elle ne s’enflammoit qu’après que le boulet étoit $orti de la piece; il e$t vrai que plus l’on met de poudre dans un canon, plus la détonnation e$t forte, ce qui arrive également quand l’on tire $ans boulet: par con$équent ces expériences ont fait voir que [0560]NOUVEAU COURS pour le plus grand effet il falloit charger la piece de 8 de trois livres de poudre, celle de 12 de quatre, celle de 16 de cinq & demie, & celle de 24 de huit à neuf livres.

Ces épreuves ayant été conte$tées avec beaucoup de cha- leur de la part de ceux qui ne les avoient point vues, la Cour ordonna qu’elles fu$$ent répétées à Metz, en pré$ence de M. le Maréchal de Belle-I$le, qui étoit chargé de la part du Roi de veiller à leur exactitude, pour être en état d’en rendre compte à Sa Maje$té: elles eurent le même $uccès qu’à la Fere, ayant au$$i reconnu qu’il falloit environ le tiers de la pe$anteur du boulet pour la charge la plus forte; mais on s’en e$t tenu à neuf livres pour celle du plus grand effet des pieces de 24.

Dans le mois d’Août de la même année, l’on a encore ré- pété ces épreuves à Strasbourg, mais avec des circon$tances propres à les rendre plus exactes. L’on s’e$t $ervi d’une piece de 24 bien conditionnée, que l’on a pointée $ous l’angle de 45 degrés & maintenue inébranlable, on ne s’e$t $ervi que de boulets bien calibrés & bien ébarbés. L’on verra dans le Traité du Jet des Bombes, que le canon tiré $ous l’angle de 45 degrés $e trouve dirigé de la maniere la plus convenable pour faire des épreuves de$tinées à juger de l’effet des différentes charges, parce que les portées des boulets qui partent $ous une direction au de$$us ou au de$$ous de 45 degrés, $ont plus courtes avec une même charge que ne $ont celles des boulets qui $uivent la direction de l’ame pointée $ous cet angle; d’où il $uit que les plus grandes portées ne doivent être attribuées qu’à la force de la poudre, & non pas aux accidens qui ne peuvent que lesraccourcir.

L’on a employé un nombre de charges en progre$$ion arith- métique, tirées de $uite en augmentant d’une livre pour chacune, en commençant par huit livres, & fini$$ant par vingt-quatre. L’on a reconnu que la charge de neuf livres de poudre avoit cha$$é le boulet à 2500 toi$es, & que toutes les autres charges plus fortes, ju$qu’à celle de vingt-quatre, n’a- voit jamais cha$$é le boulet plus loin, au grand étonnement de ceux qui en avoient douté. Le lendemain de cette pre- miere $éance, l’on a répété les mêmes épreuves avec les mê- mes charges; mais au lieu de commencer par huit livres de poudre, & finir par vingt-quatre, l’on a tiré le premier coup à vingt-quatre livres, & le dernier à huit, en $uivant la même [0561]DE MATHEMATIQUE. _Liv. XIII_. progre$$ion des nombres naturels dans un ordre renver$é, & jamais les fortes charges ne l’ont emporté $ur celle de neuf livres.

Comme je n’ai point eu de part à ces dernieres épreuves, elles ne peuvent être $u$pectées, ain$i elles con$tatent de la maniere la plus évidente, que la plus forte charge du canon doit être à peu près le tiers de la pe$anteur du boulet.

L’on trouvera dans l’Hi$toire de l’Académie Royale des Sciences de l’année 1757, un Mémoire que j’y ai lu $ur la charge du plus grand effet du canon, & qui répand un plus grand jour $ur cette matiere que je n’ai fait ju$qu’ici: on pourra y avoir recours, $i on le juge à propos.

906. Il y a encore une difficulté touchant les armes à feu, qui e$t de $çavoir à quel endroit doit être po$ée la lumiere, pour que la poudre fa$$e un plus grand effet, & je ne crois pas que l’on $e $oit déterminé là-de$$us: les uns di$ent qu’il faut la placer dans le milieu de la longueur de la chambre, parce que la poudre s’enflamme à la ronde, & en bien plus grande quantité: les autres $ont d’une opinion contraire, & veulent qu’elle $oit placée à l’extrêmité de la chambre contre la cu- la$$e, di$ant pour leur rai$on que la piece n’a pas tant de recul. Ces deux rai$onnemens $ont également vrais; cependant comme les re$$orts de la poudre, au$$i-bien que tous les autres re$$orts, n’agi$$ent avec plus ou moins de violence, qu’autant que les corps qui leur ré$i$tent cedent plus ou moins vîte, il s’en- $uit que quand une arme à feu n’a pre$que point de recul, c’e$t une marque que la poudre a trouvé $i peu de ré$i$tance pour cha$$er la balle, qu’elle n’a eu be$oin que de $on pre- mier effort, au lieu que $i elle trouve beaucoup de ré$i$tance vers la cula$$e & du côté de la balle, tous $es efforts $e déban- deront en même tems, quoique le recul $oit plus grand, la balle ira bien plus loin que $i le canon n’avoit point eu de recul: ain$i la lumiere étant placée dans le milieu de la cham- bre, les re$$orts agiront en bien plus grande quantité dans le même tems, que $i elle étoit contre la cula$$e, où ces mêmes re$$orts ne peuvent agir que $ucce$$ivement, pui$que la poudre s’enflamme ain$i; & $i le boulet vient à partir dès que la poudre commence à s’enflammer, il arrivera encore qu’une grande partie $era cha$$ée hors de la piece $ans faire aucun effet: ain$i il me $emble que la lumiere placée dans le milieu de la [0562]NOUVEAU COURS chambre, convient beaucoup mieux que partout ailleurs: car comme le canon ne recule qu’avec peine, à cau$e de la pe$an- teur de la machine & du frottement de l’affût contre la plate- forme, il $e fait une réaction d’une grande partie de poudre qui agit contre la cula$$e, qui vient augmenter l’impul$ion de celle qui cha$$e le boulet.

Je crois qu’il ne $era pas ici mal-à-propos de dé$abu$er ceux qui croient que le boulet, en $ortant de la piece, s’éleve au de$$us de la même piece, & qui pen$ent qu’après avoir décrit une courbe, il reprend une direction horizontale, pour en décrire après cela une autre: la plûpart $ont $i opiniâtres à $outenir cette erreur, qu’on a beau leur dire que la pe$anteur du boulet, bien loin de permettre qu’il pui$$e s’élever au de$$us de l’axe de la piece, l’emporte au de$$ous, dès l’in$tant même qu’il $ort, & lui fait décrire une courbe, qui à la vérité e$t d’abord fort approchante de la ligne droite, mais qui devient $en$ible à me$ure qu’il s’éloigne de la piece; & une preuve à laquelle ils ont tous recours pour $outenir leur opinion, c’e$t, di$ent-ils, que quand on tire après une piece de gibier à la cha$$e, il faut tirer un peu au de$$ous de l’animal, pour gagner la di$tance dont la balle s’e$t élevée au de$$us du canon: mais comme cette rai$on ne vaut ab$olument rien, en voici l’unique cau$e.

Si l’on attache un canon de fu$il $ur une petite planche, & qu’aux deux côtés de cette planche on y mette deux tourillons, en$orte que le canon $oit en équilibre $ur ces tourillons, comme le bras d’une balance, on verra que l’ayant chargé à balle, $i l’on tire au de$$us de l’horizon, la partie de la poudre qui agira contre la cula$$e, & qui cau$e ordinairement le recul, fera bai$$er la cula$$e, & par con$équent lever le bout du canon: & comme cela $e fera avant même que la balle $oit $ortie du canon, il arrivera qu’elle ira au de$$us de l’objet vers lequel on avoit pointé, parce qu’en $ortant elle ira $elon la direction de l’ame, & non pas $elon celle du rayon vi$uel, qui ne $era plus la même à cau$e du dérangement de la cula$$e. Or $i l’on fait attention que le fu$il entre les mains du cha$$eur fait le même effet que je viens de dire, l’on verra que quand on veut pointer ju$te, il faut pointer au de$$ous de l’objet.

Cependant ce qui fait qu’il $emble que le boulet à une cer- taine di$tance s’éleve au de$$us de la piece, c’e$t que la $urface extérieure de la piece n’étant point parallele avec l’ame, le [0563]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIII_. boulet emporté avec beaucoup de violence, approche fort pendant un tems de la direction de l’ame: & comme cette direction $e coupe avec celle de la $urface de la piece, de ces deux lignes prolongées, celle de l’ame pa$$e au de$$us de la $urface: & $i le boulet $uit encore à peu près la direction de l’ame au-delà de la $ection des deux lignes, il arrive en effet que le boulet e$t au de$$us de la $urface de la piece, mais non pas au de$$us de la direction de l’ame prolongée; & il y a même apparence que des Fondeurs ont eu égard à l’obliquité de la $urface de la piece par rapport à l’ame, afin de rectifier la ligne courbe pour tirer de but en blanc.

PROPOSITION XXXIV. PROBLEME.

907. Trouver la maniere de connoître le nombre de boulets qui $ont en pile.

Les boulets de canon & les bombes qui $ont dans les Arce- naux, $ont ordinairement rangés en pile; ces piles $ont de trois $ortes: il y en a qui ont pour ba$e un quarré, que l’on nomme _piles quarrées_, comme dans la figure 324, d’autres un _Figure_ 324, 325 & 327. triangle, que l’on nomme _piles triangulaires_, comme dans la figure 325, & d’autres un parallélogramme, comme dans la figure 326, que l’on nomme _piles oblongues_. Or comme la maniere de compter ces boulets dépend d’un calcul qui e$t différent, $elon la figure de la pile, en voici la méthode.

Avant toutes cho$es, il faut con$idérer que les faces de la pile quarrée & de la pile triangulaire $ont toujours des trian- gles, dont les trois côtés $ont égaux, & que ces triangles étant formés par des boulets, ils compo$ent une progre$$ion arith- métique, qui commence par l’unité, c’e$t-à-dire par le boulet qui e$t au $ommet de la pile, & que le plus grand terme de la progre$$ion e$t la ba$e du triangle. Et comme nous $erons obligés de connoître la quantité de boulets contenue dans une face, que nous nommerons dans la $uite _triangle arithmétique_, voici comment on les pourra compter d’une maniere fort ai$ée.

Pour $çavoir combien il y a de boulets dans le triangle A B C, il faut compter combien il s’en trouve dans le côté A C, ajouter à ce nombre l’unité, en$uite multiplier cette [0564]NOUVEAU COURS quantité par la moitié du côté A B ou A C, qui e$t la même cho$e, & le produit donnera le nombre des boulets contenus dans le triangle: ain$i le côté A C étant de $ix boulets, $i j’a- joute à ce nombre l’unité pour avoir 7, & que je les multiplie par la moitié de A B ou de A C, qui e$t 3, le produit $era 21, qui e$t le nombre des boulets que l’on cherche. Il en $era de même pour tous les autres triangles arithmétiques.

La rai$on de ceci e$t que dans une progre$$ion arithmétique, _a. a_ + _e, a_ + _2e, a_ + _3e, a_ + _4e, a_ + _5e_, dont les termes $e $urpa$$ent d’une quantité _e_, la $omme des deux termes _a_ + _e_ & _a_ + _4e_ également éloignés des extrêmes, e$t égale à la $omme des extrêmes _a_ & _a_ + _5e_, ou à celle des deux autres termes quelconques au$$i également éloignés des extrêmes, pui$que la $omme des uns & des autres donne _2a_ + _5e_; mais il y a la moitié autant de fois _2a_ + _5e_ (qui e$t la $omme des extrêmes) qu’il y a de termes dans la progre$$ion: donc pour avoir la valeur de tous les termes d’une progre$$ion arithmé- tique, qui commence par l’unité, ou par tout autre nombre, il faut multiplier le premier & le dernier terme par la moitié du nombre qui exprime la quantité des termes: c’e$t pourquoi nous avons ajouté le premier terme A C avec le dernier B, & nous avons multiplié la $omme par la moitié du côté A B, c’e$t-à-dire par la moitié du nombre des termes de la pro- gre$$ion pour avoir les boulets du triangle.

Prévenu de ceci, il faut encore con$idérer que $i l’on a une quantité de boulets qui forment par leurs arrangemens un pri$me triangulaire D E H G F, $outenu par un plan incliné _Figure_ 327. IK, dont la ba$e $oit le triangle E G H, ce pri$me étant coupé par un plan E F, parallele à la ba$e, $e trouvera divi$é en deux parties, dont l’une, comme D E F, $era le tiers de tout le pri$me, & l’autre, comme E F G H, en $era les deux tiers; car la partie E D F e$t une pyramide triangulaire, qui a pour ba$e le triangle oppo$é à E G H, & pour hauteur la hau- teur D E du pri$me: par con$équent la partie E F G H, qui e$t au$$i une pyramide, qui a pour ba$e un quarré, en $era les deux tiers. Mais il faut remarquer que le plan E F partage un triangle de boulet, tel que E F G, qui $e rencontre dans la coupe; ce qui rendra les deux pyramides imparfaites, quand on les con$idérera compo$ées de boulets: car comme le plan E F pa$$e par tiers de chaque boulet L, il faudra donner à la [0565]DE MATHEMATIQUE. _Liv. XIII_. pyramide triangulaire D E F les deux tiers de la quantité des boulets du triangle arithmétique qui $e rencontre dans la coupe E F. De même pour rendre réguliere la pyramide quarrée E F G H, il faudra lui donner le tiers du même triangle arith- métique. Or $i l’on $uppo$e que l’on a détaché du pri$me la pyramide quarrée E F G H pour tenir lieu de la pyramide A B C Q, & que la pyramide triangulaire D E F qui re$te $oit _Figure_ 324 & 325. regardée comme la pyramide M N O P, on pourra donc dire que la pyramide A B C Q e$t plus grande que les deux tiers du pri$me qui auroit pour ba$e le triangle A B C, qui e$t la même cho$e que E G H, & pour hauteur le côté A B, qui e$t la même cho$e que D E, du tiers du triangle A B C, qui e$t la même que celui qui $e trouve dans la coupe E F.

Enfin l’on pourroit dire au$$i que la pyramide M N O P $era plus grande que le tiers du pri$me, qui auroit pour ba$e le triangle M N O, qui e$t le même que E G H, & pour hau- teur le côté M N, qui e$t le même que E D, des deux tiers du triangle M N O, qui e$t le même que le triangle arithmétique qui $e rencontre dans la coupe E F.

D’où il s’en$uit, 1°. que pour trouver la quantité de boulets contenue dans une pile quarrée A B C Q, il faut d’abord cher- cher le nombre de ceux qui $ont contenus dans le triangle arithmétique A B C, & le multiplier par les deux tiers du côté A B ou A C, & ajouter au produit le tiers du triangle A B C.

908. Ain$i le côté A C étant de 6, je commence par trou- ver le triangle A B C, en ajoutant l’unité au nombre 6 pour avoir 7, que je multiplie par la moitié du côté A B, qui e$t 3, & le produit donne 21, que je multiplie par les deux tiers du côté A B, qui e$t 4, pour avoir 84 au produit, auquel ajoutant le tiers du triangle arithmétique A B C, qui e$t 7, il vient 91 pour le nombre des boulets de la pile.

909. L’on pourra donc dire au$$i que pour trouver le nom- bre de boulets contenus dans la pile triangulaire M N O P, il faut multiplier le triangle M N O par le tiers du côté M N, & ajouter au produit les deux tiers du nombre de boulets contenus dans le triangle M N O: ain$i le côté N O étant en- core de 6, le triangle arithmétique $era de 21, qui étant mul- tiplié par le tiers du côté M N, qui e$t 2, l’on aura 42, aux- quels ajoutant les deux tiers du triangle, qui e$t 14, l’on aura 56 pour le nombre de boulets contenus dans cette pile.

[0566]NOUVEAU COURS

A l’égard de la pile oblongue, il e$t fort facile d’en con- _Figure_ 326. noître la quantité de boulets: car comme elle e$t compo$ée d’un pri$me triangulaire R S T V, & d’une pyramide quarrée V T X Y, l’on voit qu’il n’y a d’abord qu’à chercher la quantité de boulets contenue dans une pyramide quarrée, qui auroit pour côté X Y ou V X; en$uite ajouter à la valeur de cette pyramide celle du pri$me R S T V, que l’on trouvera en mul- tipliant le triangle X T V ou celui de la coupe T V, qui e$t la même cho$e, par la quantité de boulets R T qui $e trouve au $ommet de la pile moins une unité; quand je dis moins une unité, c’e$t qu’on doit faire attention que le premier boulet T, avec le triangle arithmétique T V, qui lui corre$pond, appar- tient entiérement à la pyramide T V X Y, & par con$équent il doit être $upprimé de la quantité R T.

Ain$i $uppo$ant que le côté X Y ou T X $oit de 9, j’ajoute 1 à 9 pour avoir 10, que je multiplie par la moitié de 9; ou, ce qui e$t la même cho$e, 9 par la moitié de 10, qui e$t 5, le produit $era 45 pour la quantité de boulets du triangle X T Y, que je multiplie par les deux tiers de 9, c’e$t-à-dire par 6, & il vient 270 pour le produit, auquel j’ajoute le tiers du triangle, qui e$t 15, & le tout fait 285 pour la pyramide. Or $uppo$ant au$$i que R T $oit de 15 boulets, je multiplie 15 moins 1, qui e$t 14, par le triangle arithmétique, qui e$t 45, & il vient 630 pour le nombre de boulets du pri$me R S T V, qui étant ajouté avec ceux de la pyramide, l’on trouvera 715 boulets dans la pyramide oblongue.

910. Comme il n’y a rien de plus commode pour l’imagi- nation que les formules qui nous indiquent par leurs expre$$ions ce que nous avons à faire dans tous les cas imaginables, nous allons donner une formule très-$imple, par le moyen de la- quelle on pourra trouver le nombre des boulets ou des bombes rangés en piles, $oit que ces piles $oient di$po$ées en forme pri$matique, comme dans la figure 326, $oit qu’elles $oient en pyramide quarrée ou en pyramide triangulaire. Notre for- mule peut s’appliquer à tous ces cas: car il e$t évident que pour connoître le nombre de boulets compris dans la pile de la figure 326, il faut, comme nous l’avons dit, décompo$er cette pile en deux corps, dont l’un e$t le pri$me triangulaire RQXYT, lequel n’a aucune difficulté, & dont l’autre e$t une pyramide qui a même nombre de rangs que le pri$me triangulaire, ou [0567]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIII_. qui a autant de rangs qu’il y a de boulets dans le côté R Q du triangle S R Q.

Il n’e$t pas moins vi$ible que cette pile e$t la $omme des quarrés d’autant de nombres depuis l’unité qu’il y a de boulets dans le côté R Q: ain$i $i l’on a 9 boulets, la pyramide $era égale à la $omme des quarrés des neuf premiers nombres, 1, 2, 3, 4, &c. Tout $e réduira donc à trouver la $omme des quarrés de tant de nombres naturels que l’on voudra. Sur quoi je remarque que tous les quarrés des nombres naturels ré$ul- tent de l’addition des termes de deux $uites égales des nom- bres triangulaires, di$po$ées de maniere que la premiere ait un terme de plus que la $econde.

1, # 3, # 6, # 10, # 15, # 21, # 28, # 36, # &c. # 1, # 3, # 6, # 10, # 15, # 21, # 28, # &c. 1, # 4, # 9, # 16, # 25, # 36, # 49, # 64, # &c.

Par exemple, $i l’on di$- po$e ces deux $uites, com- me on voit ici, & que l’on les ajoute terme par terme, il e$t évident qu’il en ré$ultera la $uite des quarrés des nombres naturels que l’on voit au de$$ous. Ain$i tout $e réduit à trouver la $omme des quarrés de tant de termes que l’on voudra de la $uite des nombres naturels: car de cette maniere on pourra trouver le nombre des boulets contenus dans une pile trian- gulaire & dans une pyramide quarrée quelconque. La pyra- mide triangulaire $e trouvera, en $ommant autant de termes qu’il y a de boulets dans le côté du triangle M N O, & la py- ramide quarrée $e trouvera, en $ommant d’abord un nombre de termes de la $uite des nombres triangulaires égal au nom- bre de boulets contenus dans le côté B C du triangle B C Q, _Figure_ 324. & en $ommant un nombre de termes de la même $uite trian- gulaire diminué de l’unité, la $omme de ces deux premieres $era la $omme des boulets de la pyramide quarrée. Voici la formule que j’ai trouvée: Si _m_ e$t égal au nombre de boulets contenus dans le côté M O du triangle M N O, la $omme des boulets $era {_m_<_>3 + 3_m_<_>2 + 2_m_/6}, par exemple, dans notre figure _m_ = 6: donc on aura {216 + 108 + 12/6} = 56, c’e$t le nombre que l’on a trouvé (art. 907). Si la pyramide e$t une pyramide quarrée, on pourra trouver le nombre des boulets par la même formule. Si _m_ = 6, on aura pour la premiere $omme 56, & pour la $econde, en fai$ant _m_ = 5, c’e$t-à dire en prenant la [0568]NOUVEAU COURS DE MATH. _Liv. XIII_. $omme des mêmes nombres triangulaires, diminuée d’un terme, on aura {125 + 75 + 10/6} = 35, dont la $omme, avec 56, fait 91, comme on l’a déja trouvé à l’art. 906. J’ai trouvé cette formule, en recherchant les propriétés des nombres triangu- laires; mais comme la théorie $eroit peut-être un peu difficile pour des Commençans, je me contente de donner la formule qui e$t a$$ez $imple, pour qu’on pui$$e s’en re$$ouvenir dans tous les cas po$$ibles. Il faut bien remarquer que par cette for- mule, on pourra $ommer autant de termes que l’on voudra de la $uite des quarrés des nombres naturels.

911. Suivant ces principes, on peut ai$ément déduire une formule pour $ommer tant de nombres quarrés que l’on vou- dra: pour cela, il n’y a qu’à faire dans la formule _m_ = _m_ - 1, & ajouter ce qui en viendra à la même formule, la $omme $era une formule propre à $ommer tant de nombres quarrés que l’on voudra: cette $ub$titution donne {_m_<_>3 - 3_m_<_>2 + 3_m_ - 1 + 3_m_<_>2 - 6_m_ + 3 + 2_m_ - 2/6} = {_m_<_>3 - _m_/6}, qui étant jointe avec {_m_<_>3 + 3_m_<_>2 + 2_m_/6}, donnera {2_m_<_>3 + 3_m_<_>2 + _m_/6} = {_m_<_>3/3} + {1/2} _m_<_>2 + {1/6} _m_. Il e$t à propos de $e $ervir de cette formule pour trouver les nombres des boulets rangés en pyramide quarrée, pui$- que l’on trouve la $omme demandée par une $eule opération, au lieu que par l’autre formule il faut néce$$airement en faire deux. Par exemple, $i le nombre des rangs de boulets e$t 6, en fai$ant _m_ = 6 dans cette derniere formule, on aura {216/3} + 18 + 1 = 91, comme on l’avoit trouvé ci-devant. Cette formule pour $ommer les nombres quarrés e$t démontrée, en admettant celle que nous avons donnée pour $ommer les nombres trian- gulaires.

Fin du treizieme Livre. [0569] NOUVEAU COURS DE MATHÉMATIQUE. LIVRE QUATORZIEME. Du mouvement des Corps, & du jet des Bombes.

LE principal objet que je me $uis propo$é dans le Traité du Mouvement que je donne ici, a été d’en$eigner l’art de jetter les bombes. Il e$t vrai que je ne commence pas d’abord par-là, parce qu’il m’a paru qu’il étoit bon de donner une connoi$$ance du choc des corps, afin d’en tirer quelques principes qui nous $erviront beaucoup dans la méchanique. Je pourrois dire la même cho$e du chapitre du mouvement, parce qu’il me donnera au$$i lieu dans la méchanique d’expliquer plu$ieurs cho$es qui n’auroient pu être en- tendues $ans une connoi$$ance de la chûte des corps: d’ailleurs il e$t ab$olument néce$$aire à ceux qui veulent s’attacher aux Ma- thématiques & à la Phy$ique, pour expliquer quantité de cho$es curieu$es dans l’Artillerie, de $cavoir les principales regles du choc & du mouvement des corps: ain$i ce Traité contient trois chapitres; le premier traite du choc des corps, le $econd des regles du mouvement, & le troi$ieme de la théorie & de la pratique du jet des bombes.

A l’égard du jet des bombes, je ne vois pas que les Bombar- diers $e $oient mis beaucoup en peine de $cavoir s’il y avoit des regles certaines $ur ce $ujet, dans la pen$ée où ils ont toujours été qu’il n’y avoit que la $eule pratique qui pui$$e $ervir au Bombar- dier, pour lui faire jetter des bombes avec $uccès; & cela vient $ans doute de ce que la plûpart n’ayant aucune connoi$$ance des [0570]NOUVEAU COURS Mathématiques ni de la Phy$ique, ne peuvent point s’imaginer qu’il e$t po$$ible de donner des loix des effets de la poudre, au caprice de laquelle ils attribuent les fautes qu’ils font. J’avoue qu’il y a tant de cho$es qui concourent dans la charge d’un mortier à déranger tout ce que les regles & l’attention du Bombardier le plus adroit $ont en état de faire, qu’il y auroit de la témérité à croire qu’on peut jetter des bombes dans un endroit comme $i on les y portoit avec la main. Mais ce qu’il y a de $ûr, c’e$t que $i un Bombardier avoit a$$ez d’attention, en chargeant $on mortier, pour en examiner le défaut, & pour faire en$orte de charger tou- jours également, les regles $eroient d’un u$age excellent, pui$- que l’on n’auroit pour cha$$er des bombes à une di$tance quel- conque, qu’à en tirer une avec la charge que l’on aura jugé à pro- pos, & à un degré d’élevation à volonté, pour connoître l’éléva- tion qu’il convient de donner au mortier, pour jetter les autres bombes à la di$tance qu’on demande. Mais ceux qui n’ont que la pratique, $outiennent qu’il e$t impo$$ible de pouvoir ob$erver cette préci$ion dans la maniere de charger également: car, di$ent-ils, l’inégalité des grains de poudre, $oit dans leur gro$$eur ou dans les matieres qui la compo$ent, fait que la même quantité pour chaque charge produit des effets différens; ce qui peut venir au$$i de la part de la terre avec laquelle on remplit la chambre, qui peut être plus ou moins refoulée une fois que l’autre: d’ailleurs les bombes qui ne $ont point toutes bien calibrées & d’égale pe- $anteur, & $ouvent mal coulées, la plate-forme qui $e dérange pre$- que à chaque coup que l’on tire, $ont autant de $ujets qui prouvent que moralement il n’e$t pas po$$ible de jamais tirer des bombes comme il faut. Mais quoiqu’on pui$$e remédier à tout ceci quand on voudra y bien prendre garde, il n’y a point de doute qu’un Bombardier expérimenté d’ailleurs dans $on métier, & qui $caura l’art de jetter les bombes, ne $oit plus $ûr de $on fait que celui qui n’a que la $imple pratique: car s’il s’apperçoit que $on premier & $on $econd coup ne jettent point la bombe où il veut qu’elle tombe, il pourra $e corriger, au lieu que ce dernier tâtonnera en augmentant ou diminuant la poudre ou les degrés pendant un tems con$idérable; & quoiqu’on di$e que c’e$t le pur hazard qui gou- verne l’action du mortier, l’expérience m’a fait voir que quand on vouloit apporter tous $es $oins à charger également, & à po$er l’affût toujours dans le même endroit de la plate-forme, & les tourrillons dans la même $ituation $ur l’affût, il étoit très-po$$ible de tirer [0571]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. quantité de bombes toujours à peu près dans le même endroit. Qu’on revienne donc de l’opinion où l’on e$t, que les regles pour jetter les bombes ne peuvent être d’aucun $ecours, pui$que $i l’on a $oin de charger bien également, & que l’on $e $erve des bombes à peu près de même poids, l’on n’aura plus lieu de douter de la certitude de ces regles.

Après cela on peut dire qu’il y a $i peu de Bombardiers qui $e $oient attachés à $çavoir ces regles, & encore moins à les prati- quer, que certainement il y a plus de préjugé que de connoi$$ance dans leur fait; & quand ils pourroient s’en pa$$er pour jetter des bombes dans un endroit de niveau avec la batterie, après en avoir tiré un grand nombre d’inutiles, comme cela arrive toujours, com- ment s’y prendroient-ils pour en jetter dans quelque fortere$$e fort élevée, comme $ur un rocher e$carpé, au pied duquel $eroit la bat- terie, ou bien $i la batterie étoit un lieu fort élevé, pour en jetter dans un fond? Il n’y a point de Bombardier, que je $çache, à qui l’expérience ait donné quelque pratique pour cela, d’autant plus qu’ils ne regardent point ces deux cas comme problématiques. Enfin il ré$ulte de tout ce qui vient d’être dit, que jamais on ne parviendra à jetter des bombes à une di$tance donnée, que l’on ne $çache les regles qui $ont établies pour cela, & qu’on n’ait a$$ez d’expérience pour prévoir tous les accidens auxquels le mortier & la bombe $ont $ujets.

CHAPITRE PREMIER. _Du Choc des Corps_. DÉFINITIONS. I.

912. LE _mouvement_ d’un corps e$t le tran$port de ce corps d’un lieu dans un autre. Le mouvement e$t _réel_, lor$que le corps parcourt lui-même, en vertu d’une force qui lui a été ap- pliquée, les parties de l’étendue compri$es entre les deux termes du mouvement, qui $ont le point de départ & le point d’ar- rivée. Tel e$t le mouvement d’une boule que l’on a jettée $ur un plan horizontal. Le mouvement e$t _relatif_ ou _re$pectif_, lor$- que le corps pa$$e d’un lieu en un autre par le moyen d’un [0572]NOUVEAU COURS corps en mouvement, quoiqu’il $oit lui-même en repos. Tel e$t le mouvement d’un homme dans un bateau. Dans le mou- vement d’un corps, il y a cinq cho$es à con$idérer, le corps mis en mouvement, la force motrice, l’e$pace parcouru, le tems du mouvement, la direction de ce mouvement.

II.

913. On appelle _force motrice_ tout ce qui peut mouvoir un corps. Un corps en mouvement e$t lui-même une force mo- trice: car l’expérience nous apprend qu’il peut lui-même en mettre un autre en mouvement. Pour e$timer une force mo- trice, il faut connoître la ma$$e du corps mis en mouvement, l’e$pace que ce corps a parcouru, & le tems pendant lequel il a parcouru cet e$pace.

III.

914. La _vîte$$e_ d’un corps e$t le plus ou le moins de chemin qu’il fait pendant un certain tems, lor$que quelque cau$e l’a mis en mouvement; d’autres ont défini la vîte$$e, le rapport de l’e$pace au tems. En effet, pour avoir une idée de la vîte$$e d’un mobile, il ne $uffit pas de connoître $eulement l’e$pace qu’il a parcouru, ou le tems qu’il a été en mouvement, mais il faut connoître pendant quel tems il a parcouru un e$pace dé- terminé. Par exemple, on ne peut pas dire qu’un homme ait fait une grande diligence, parce qu’il a parcouru dix lieues: mais cette même vîte$$e e$t connue, lor$qu’on $çait qu’il les a faites pendant cinq heures.

IV.

915. La vîte$$e d’un corps e$t uniforme ou variable, elle $e nomme _uniforme_, lor$que dans des tems égaux elle fait par- courir des e$paces égaux, & elle $e nomme _variable_, lor$que dans des tems égaux elle fait parcourir des e$paces inégaux. Les vîte$$es uniformes ou variables $ont entr’elles comme les e$paces qu’elles font parcourir en des tems égaux. Si l’une dans une minute fait parcourir dix toi$es, & l’autre 20 dans le même-tems, ces deux vîte$$es $ont entr’elles comme 10 & 20, c’e$t-à-dire que la derniere e$t double de la $econde.

V.

916. La _direction_ d’un corps e$t la détermination de $on [0573]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. mouvement, $uivant une certaine ligne qu’il tend à parcourir en vertu de la force qui lui a été communiquée, & qu’il dé- crit effectivement, $i rien ne le détourne de cette ligne.

VI.

917. Comme il e$t évident qu’un corps ne peut aller par deux chemins différens, lor$que plu$ieurs forces concourent par leurs actions réunies à le mettre en mouvement, le mou- vement s’appelle _mouvement compo$é_, & la direction que $uit le corps e$t appellée _direction moyenne_.

VII.

918. Les corps dont on con$idere le mouvement, $ont _durs_ ou _fluides_: il y en a au$$i qui ont du re$$ort, & d’autres qui n’en ont pas.

VIII.

919. On appelle corps _dur_ celui dont les parties ne $e divi- $ent pas ai$ément, & qui étant divi$ées ne $e réuni$$ent point facilement, comme une pierre.

IX.

920. On appelle corps _fluide_ celui dont les parties $e divi- $ent ai$ément, & le$quelles étant divi$ées $e réuni$$ent facile- ment, comme l’eau.

X.

921. On appelle corps $ans _re$$ort_ celui qui à la rencontre d’un autre, ne change point de figure, ou s’il en change, ne $e rétablit point dans $a premiere figure.

XI.

922. On appelle corps à _re$$ort_ celui qui à la rencontre d’un autre, change de figure dans le choc, & en$uite $e rétablit comme auparavant.

_Nota_. Nous n’examinerons dansce Traité que les corps durs $ans re$$ort; à l’égard des autres, nous en parlerons aux en- droits qu’il conviendra.

DEMANDES. I.

923. L’on demande qu’il $oit regardé comme inconte$table [0574]NOUVEAU COURS que lor$que deux corps $e rencontrent dans des directions dia- métralement oppo$ées, ils $e communiquent mutuellement leur mouvement, & qu’un corps perd autant de $on mouve- ment qu’il en communique à un autre.

II.

924. Que lor$que deux corps $ans re$$ort $e rencontrent, ils ne $e repou$$ent point l’un l’autre, & que le plus fort em- porte le plus foible dans $a même détermination.

COROLLAIRE.

925. Il $uit delà que lor$qu’un corps a plus de force qu’un autre, il pou$$e devant lui celui qui e$t le plus foible, & que ces deux corps peuvent être regardés comme s’ils n’en fai- $oient plus qu’un, qui les vaut tous deux.

III.

926. On $uppo$e encore que les corps $e meuvent dans un milieu, qui ne ré$i$te point à leurs mouvemens; de $orte que $i un corps parcourt 4 toi$es dans la premiere minute de $on mouvement, il continuera de parcourir 4 toi$es dans chaque minute.

AXIOME.

927. Les effets $ont proportionnels à leurs cau$es.

COROLLAIRE.

928. Il $uit delà que $i l’on a deux corps égaux A & C, qui Pl. XXIII. étant mis en mouvement, parcourent en même tems les e$- _Figure_ 329. paces A B & C D, ces deux corps ont reçu des degrés de vîte$$e, qui $ont dans la rai$on des mêmes e$paces A B & C D; pui$que les degrés de vite$$e de ces corps peuvent être pris pour les cau$es, & les e$paces parcourus pour les effets.

AVERTISSEMENT.

Comme les corps que l’on fait rouler $ur un plan parcourent des lignes droites (pourvu qu’une $eule force les ait mis en mouvement), nous prendrons dans la $uite des lignes droites pour exprimer non $eulement le chemin que ces corps par- courent, ou auront à parcourir, mais encore pour exprimer [0575]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. les degrés de force qu’on leur aura communiqué: nous $uppo- $erons au$$i que les corps dont nous parlerons $eront de figure $phérique.

PROPOSITION I. THÉOREME.

_929_. Si deux corps $emblables de même matiere & égaux $ont mus avec des vîte$$es inégales, l’effort du corps qui aura le plus de vîte$$e $era plus grand $ur le corps qu’il rencontrera, que celui dont la vîte$$e $era plus petite.

DÉMONSTRATION.

Si l’on $uppo$e que de deux corps égaux l’un ait une vîte$$e double de l’autre, je dis que ces deux corps venant à frapper un autre corps, celui qui aura la vîte$$e double, le frappera avec deux fois plus de force que l’autre: car les effets étant proportionnés à leurs cau$es (art. 927 & 928) $i l’on prend les vîte$$es pour les cau$es, & les chocs pour les effets, le corps qui aura deux fois plus de vîte$$e que l’autre, agira avec deux fois plus de force contre celui qu’il rencontrera.

PROPOSITION II. THÉOREME.

_930_. Si deux corps inégaux & de même matiere $ont pou$$és avec des vîte$$es égales, le plus grand corps fera plus d’impre$$ion $ur le corps qu’il rencontrera que le plus petit.

DÉMONSTRATION.

Si l’on $uppo$e deux corps, l’un de quatre livres, & l’autre de deux livres, il e$t con$tant que $i ces deux corps ont des de- grés de vîte$$e égaux, le plus grand aura deux fois plus de force que le plus petit: car $i l’on $uppo$e le corps de quatre livres divi$é en deux également, l’on aura deux autres corps, dont chacun $era égal à celui de deux livres; & comme ils auront la même vîte$$e que celui de deux livres, la force de chacun en particulier $era égale à celle du plus petit: ain$i ces deux corps n’en fai$ant qu’un, la force du plus grand corps $era par con$équent double de celle du plus petit.

[0576]NOUVEAU COURS COROLLAIRE I.

931. Il $uit des deux théorêmes précédens que la force d’un corps, qu’on peut appeller au$$i _quantité de mouvement_ de ce corps, ne dépend pas $eulement de $a vîte$$e, mais encore de $a ma$$e: c’e$t pourquoi l’on connoîtra toujours la quantité de mouvement de deux ou de plu$ieurs corps, _en multipliant_ _la ma$$e de chacun par $a vîte$$e_. Pour $e convaincre de cette vîte$$e, imaginons deux corps, dont l’un ait trois parties de ma$$e & 4 degrés de vîte$$e, & l’autre cinq parties de ma$$e & 6 degrés de vîte$$e, & nommons _f_ la force qui e$t en état de donner un degré de vîte$$e à un corps qui n’aura qu’une partie de ma$$e, pui$que les effets $ont proportionnés aux cau$es, celle qui $era en état de donner quatre degrés de vîte$$e $era 4_f_. Si le corps devient trois fois plus grand, & qu’il faille lui donner encore 4 degrés de vîte$$e, il n’e$t pas moins évi- dent que la force devient 3 x 4_f_ ou 12_f_. Par la même rai$on, pui$que les degrés de vîte$$e $ont égaux, en appellant toujours _f_ celle qui peut donner un degré de vîte$$e à une partie du $e- cond corps, 6_f_ $era celle qui e$t capable de lui en donner 6 degrés, & $i le corps devient cinq fois plus gros, il faudra une force cinq fois plus grande: donc la force qui lui donne cette même vîte$$e $era 5 x 6_f_ ou 30_f_: donc les quantités de mouvement de ces corps, ou les forces qui les ont mi$es en mouvement $eront entr’elles comme 12_f_ e$t à 30_f_, ou comme 12 à 30, c’e$t-à-dire comme les produits des ma$$es par les vîte$$es. Ain$i ayant deux corps, que nous nommerons _a_ & _b_, nommant _c_ la vîte$$e du premier, & _d_ la vîte$$e du $econd, _a c_ $era la quantité de mouvement de l’un, & _b d_ la quantité de mouvement de l’autre.

COROLLAIRE II.

932. Il $uit encore delà que connoi$$ant la quantité de mouvement d’un corps & $a ma$$e, en divi$ant la quantité de mouvement par la ma$$e, l’on aura au quotient la vîte$$e; & que divi$ant de même la quantité de mouvement par la vîte$$e, le quotient donnera la ma$$e.

[0577]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. PROPOSITION III. THÉOREME.

_933_. Si deux corps ont des ma$$es & des vîte$$es qui $oient en rai$on réciproque, ces deux corps auront une même quantité de mouvement.

DÉMONSTRATION.

Par ce qui précede, la force d’un corps ou $a quantité de mou- vement dépend de ces deux cho$es, $a ma$$e & $a vîte$$e, c’e$t-à-dire, e$t en rai$on compo$ée de la ma$$e & de la vîte$$e, ou comme le produit de $a ma$$e par $a vîte$$e: _par hypothe$e_, la ma$$e du premier e$t à celle du $econd, comme la vîte$$e du même $econd e$t à celle du premier: donc les quantités de mouvemens ou les forces de ces deux corps $ont égales. Ain$i nommant _a_ la ma$$e du premier, & _c_ $a vîte$$e; _b_ la ma$$e du $econd, & _d_ $a vîte$$e, on aura _a_ : _b_ :: _d_ : _c_. Donc _a c_ = _b d_. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

934. Il $uit delà que $i l’on a deux corps A & B, dont les _Figure_ 330. ma$$es $oient réciproques aux vîte$$es, ces deux corps venant à $e rencontrer $uivant des directions diamétralement oppo- $ées, $e choqueront également, & qu’ils demeureront tous les deux en repos au moment qu’ils $e $eront choqués: car $uppo$ant que le corps A $oit de 4 livres, & $a vîte$$e $oit de 12 degrés, que le corps B $oit de 6 livres, & $a vîte$$e de 8 de- grés; la ma$$e du corps A, qui e$t 4, étant multipliée par $a vîte$$e, qui e$t 12, donnera 48 pour la quantité de mouve- ment du corps A. De même, $i l’on multiplie la ma$$e du corps B, qui e$t 6, par $a vîte$$e, qui e$t 8, $a quantité de mouvement $era encore 48: ils viendront donc $e choquer avec des forces égales & diamétralement oppo$ées; le corps A choquera donc autant le corps B, que le corps B choquera le corps A: ain$i ils demeureront en repos, pui$que l’un ne fera pas plus d’effort que l’autre, & qu’il n’y a pas de rai$on pour que l’un l’emporte $ur l’autre.

Cette égalité entre deux forces ou quantités de mouvemens qui agi$$ent $uivant des directions diamétralement oppo$ées, $e nomme _équilibre_. Ain$i pour qu’il y ait équilibre entre deux ou un [0578]NOUVEAU COURS plus grand nombre de forces qui agi$$ent $uivant des directions quelconques, il faut qu’on pui$$e les réduire à deux forces égales & directement oppo$ées.

COROLLAIRE II.

935. Il $uit encore delà que $i deux corps égaux avec des vîte$$es égales, viennent à $e rencontrer dans des lignes de direction diamétralement oppo$ées, ils $eront en équilibre à l’in$tant du choc, pui$qu’ils auront chacun une même quantité de mou- vement.

PROPOSITION IV. THÉOREME.

_936_. Lor$que deux corps $ans re$$ort $e meuvent dans la même détermination, & vers un même côté, le corps qui a le plus de vîte$$e ayant rencontré celui qui en a moins, & ces deux corps allant en$emble, ils auront une quantité de mouvement égale à la $omme de celles qu’ils avoient avant le choc.

DÉMONSTRATION.

Si ces deux corps $e meuvent d’un même côté, il n’y aura rien d’oppo$é qui pui$$e détruire leur mouvement: c’e$t pour- quoi ils con$erveront après le choc la même quantité de mou- vement qu’ils avoient avant le choc: car $i celui qui a le plus de mouvement en communique à celui qui en a moins, cette quantité de mouvement re$te dans ce dernier. Or ces deux corps étant con$idérés comme n’en fai$ant qu’un $eul (art. 925) après le choc; il s’en$uit que leur quantité de mouvement e$t la $omme de celles qu’ils avoient avant le choc.

COROLLAIRE I.

937. Il $uit delà que connoi$$ant la quantité de mouvement de deux corps, qui n’en font plus qu’un, après s’être rencon- trés, l’on trouvera la vîte$$e en divi$ant la quantité de mouve- ment par la $omme des ma$$es; & que connoi$$ant la vîte$$e, l’on trouvera la $omme des ma$$es, en divi$ant la quantité de mouvement par la vîte$$e.

COROLLAIRE II.

938. Par con$équent $i l’on a deux corps égaux mus $ur une [0579]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. même ligne de direction, & que l’un $oit en repos, & l’autre en mouvement, celui qui e$t en mouvement venant à ren- contrer celui qui e$t en repos (ces deux corps n’en fai$ant plus qu’un), il lui comumniquera la moitié de la vîte$$e qu’il avoit avant le choc; pui$que pour avoir cette vîte$$e, il faut divi$er la quantité de mouvement par une ma$$e double: en$in $i le corps mobile en rencontre un autre en repos, dont la ma$$e $oit triple de la $ienne, $a vîte$$e ne $era plus que d’un quart, ain$i des autres.

En général $oit _u_ la vîte$$e du premier corps, & _m_ $a ma$$e, _v_ la vîte$$e du $econd corps, & M $a ma$$e. Soit V la vîte$$e après le choc, on aura, $uivant ce que nous venons de voir, V = {_m u_ + M_v_/_m_ + M}. On pourra par cette formule déterminer la vîte$$e V dans tous les cas po$$ibles, quel que $oit le rapport de _m_ à M, & de _u_ à _v_. Suppo$ons, par exemple, _u_ = o, & _m_ = M, on aura V = {M_v_/2M} = {_v_/2}; c’e$t ce que nous venons de voir.

PROPOSITION V. THÉOREME.

_939_. Si deux corps $e meuvent dans un $ens directement oppo$é $ur une même direction, ces deux corps venant à $e rencontrer, & n’en fai$ant plus qu’un, la quantité de mouvement de ces corps $era la différence des quantités de mouvement que les deux corps avoient avant le choc.

DÉMONSTRATION.

Si ces deux corps $e meuvent dans des déterminations di- rectement oppo$ées, ils tendront mutuellement à s’arrêter; de $orte que s’ils avoient des forces égales, ils demeureroient en repos après le choc; ain$i le plus fort perd autant de $a force que le plus foible en a. Il ne re$te donc pour mouvoir ces deux corps après leur choc, que la différence de leurs forces, ou de leur quantité de mouvement; mais ces deux corps étant con- $idérés comme n’en fai$ant plus qu’un, $a quantité de mou- vement $era la différence de celles des deux corps avant le choc.

COROLLAIRE.

940. Il $uit delà que pour trouver la vîte$$e de ces corps [0580]NOUVEAU COURS après leur choc, il faut divi$er la différence des quantités de mouvement qu’ils avoient avant le choc, par la $omme de leurs ma$$es, & le quotient donnera cette vîte$$e, laquelle $era dans la détermination du corps qui avoit la plus grande quantité de mouvement avant le choc: donc la formule gé- nérale pour déterminer la vîte$$e des corps après le choc, $oit dans une même direction ou dans des directions diamétrale- ment oppo$ées, $era V = {_mu_ ± M_v_/_m_ + M}.

CHAPITRE II. _Du mouvement des Corps jettés_. DÉFINITIONS. I.

941. SI un corps $e meut pendant un certain tems, lequel tems $oit divi$é en plu$ieurs parties égales, nous appellerons chacune de ces petites parties _moment_ ou _in$tant_.

II.

942. Si un corps reçoit dans chaque in$tant une augmenta- tion égale de vîte$$e, cette vîte$$e $era nommée _accélerée_; & $i au contraire un corps à chaque in$tant perd des degrés égaux de vîte$$e, cette vîte$$e $era nommée _retardée_. La vîte$$e d’un corps qui tombe e$t une vîte$$e accélerée, parce que la pe$an- teur agit à chaque in$tant $ur lui, & lui communique des degrés égaux de vîte$$e. Par une rai$on contraire, la vîte$$e d’un corps jetté de bas en haut e$t une vîte$$e retardée, pui$- que la pe$anteur ôte à chaque in$tant des degrés égaux de vîte$$e. Si les degrés de vîte$$e reçus ou perdus à chaque in$- tant ne $ont pas égaux entr’eux, mais varient $uivant des rap- ports con$tans, ces vîte$$es $ont appellées _variables accélerées_ ou _variables retardées_.

AXIOME I.

943. Un corps en mouvement ou en repos e$t toujours le même corps; il e$t encore le même quelle que $oit la détermi- nation de $on mouvement & $a quantité.

[0581]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. AXIOME II.

944. Le corps de lui-même ou de $a nature e$t tout-à-fait indifférent au mouvement ou au repos, & par con$équent ce corps étant une fois mis en mouvement, il y re$tera toujours ju$qu’à ce que quelque cau$e le lui ait ôté; & réciproquement un corps une fois en repos, ne $e mettra jamais de lui-même en mouvement.

AXIOME III.

945. Le corps de $oi ou de $a nature e$t tout-à-fait indif- férent à quelque détermination, ou à quelque vîte$$e que ce pui$$e être, & par con$équent ce corps ne changera jamais de lui-même ni la vîte$$e, ni la détermination qu’il a eu en der- nier lieu.

946. Nous venons de voir qu’un corps ne peut être en mou- vement $ans une cau$e qui l’y ait mis, & que $i rien ne s’oppo$e à $on mouvement, il y $era éternellement. Dans la même $uppo$ition que rien ne s’oppo$e à $on mouvement, $i petite ou $i grande que $oit la force motrice, il e$t évident que la durée du mouvement $eroit éternelle. On pourroit donc en appa- rence inférer delà que la plus petite force comme la plus grande produiroit un effet infini en durée, & croire que les forces mêmes $ont infinies, $uivant notre axiome, qui dit que les effets $ont proportionnels aux cau$es. Pour n’être pas $éduits par ce $ophi$me, il faut, 1°. di$tinguer la durée du mouve- ment du plus ou moins d’e$pace que la force motrice fait par- courir au corps dans un tems fini. 2°. Faire attention que, dans l’hypothe$e, que rien ne s’oppo$e au mouvement du corps, la durée infinie de ce mouvement ne vient pas directement de la force motrice, mais bien de l’indifférence du même corps au mouvement ou au repos; d’où il $uit évidemment que les effets des cau$es $eront toujours finis & proportionnels à ces cau$es, pui$que les effets ne $eront que le plus ou le moins d’e$- pace parcouru dans un tems donné.

DEMANDE.

947. L’on demande qu’il $oit accordé que la pe$anteur de quelque cau$e qu’elle pui$$e provenir, pre$$e toujours le corps avec une même force pour le faire de$cendre.

[0582]NOUVEAU COURS PROPOSITION I. THÉOREME.

_948_. Si rien ne s’oppo$oit au mouvement des corps jettés; chacun de ces corps con$erveroit toujours avec une vîte$$e égale le mouvement qu’il auroit réçu, & $uivant toujours une même ligne droite.

DÉMONSTRATION.

Comme un corps ne peut jamais de lui-même $e mettre en repos, ni changer $a détermination ou la vîte$$e qu’il a reçue (art. 944 & 945), il s’en$uit que, $i rien ne s’oppo$oit à cette vîte$$e, le corps con$erveroit perpétuellement $on mouve- ment, & avec une vîte$$e toujours égale, & $uivroit toujours une même ligne droite. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

949. Donc le mouvement tel qu’il e$t de la part de la pui$- $ance qui meut, $oit horizontalement, $oit obliquement, $oit verticalement, $eroit perpétuel & égal, en allant toujours de même côté, $i l’air ne ré$i$toit pas au corps, & $i $a pe$anteur ne le fai$oit pas toujours de$cendre en bas; de $orte que le mouvement, préci$ément comme il e$t de la part du mobile, doit être con$idéré comme égal, perpétuel, & toujours divi$é vers le même côté où le corps e$t pou$$é.

COROLLAIRE II.

950. De même, $i immédiatement après qu’un corps a acquis une certaine vîte$$e en tombant, l’action de la pe- $anteur venoit à ce$$er tout-à-fait, & que l’air ne ré$i$tât point, ce corps néanmoins continueroit de $e mouvoir avec la même vîte$$e qu’il auroit reçue en dernier lieu, con$ervant toujours également cette même vîte$$e, & $uivant toujours la même ligne droite.

COROLLAIRE III.

951. Donc pui$que l’action de la pe$anteur ne nuit point à la vîte$$e d’un corps qui tombe, $i l’air, ni autre cho$e ne s’y oppo$oit, la vîte$$e que la pe$anteur cau$eroit au corps dans le premier in$tant, $ub$i$teroit dans le $econd in$tant avec une [0583]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. pareille vîte$$e cau$ée par la même pe$anteur; par la même rai$on les vîte$$es des deux premiers in$tans $ub$i$teroient avec celles du troi$ieme in$tant; & ain$i les vîte$$es de tous ces pre- miers in$tans $ub$i$teroient avec les vîte$$es que ce même corps recevroit dans chacun des in$tans $uivans, ou bien (ce qui e$t la même cho$e) lor$qu’un corps tombe, ce corps reçoit des parties égales de vîte$$e dans des tems égaux, en $uppo$ant que l’action de la pe$anteur e$t uniforme, & négligeant la ré$i$tance de l’air.

PROPOSITION II. THEOREME.

_952_. Un corps qui tombe reçoit des degrés égaux de vîte$$e dans des tems égaux; de $orte que dans le $econd in$tant il a une vîte$$e double de celle qu’il avoit dans le premier in$tant de $a chûte, & dans le troi$ieme il en a une triple, & ain$i des autres.

DÉMONSTRATION.

Pui$qu’un corps qui tombe e$t continuellement pou$$é en bas, par l’action de $a pe$anteur, qui e$t toujours la même (art. 951), il s’en$uit que la pe$anteur doit donner à ce corps, à chaque in$tant de $a chûte des degrés égaux de vîte$$e: donc pui$que les degrés de vîte$$e que le corps a reçus en premier lieu $ub$i$tent entiérement avec ceux qu’il auroit reçus en der- nier lieu (art. 951), le corps en tombant $e trouve avoir au- tant de degrés de vîte$$e, cau$és par $a pe$anteur, qu’il s’e$t écoulé de momens depuis le commencement de $a chûte ju$- qu’au moment que l’on compte: donc ce corps aura à la fin du $econd in$tant une vîte$$e double de celle du premier, au troi$ieme in$tant une vîte$$e triple, &c. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

953. Il $uit delà que les degrés de vîte$$e qu’un corps a ac- quis à la fin de chaque in$tant de chûte, $ont comme les tems qui $e $ont écoulés depuis le commencement de $a chûte: donc pui$que les in$tans écoulés depuis le premier moment de la chûte $ont en progre$$ion arithmétique, les degrés de vîte$$e acquis à la fin de ces tems $ont au$$i en progre$$ion arithmé- tique.

[0584]NOUVEAU COURS DEMANDE.

954. On demande qu’il $oit permis de repré$enter les tems par des lignes; ce qui ne doit faire aucune difficulté: car ayant repré$enté une minute par une ligne d’un pouce, je repré$en- terai deux ou trois minutes par des lignes de deux ou de trois pouces. Par cette $uppo$ition, on ne prétend pas que les tems & les lignes $oient des quantités de même nature, mais bien que les dernieres $ont des expre$$ions propres à repré$enter les différens rapports des premiers.

PROPOSITION III. T HÉOREME.

_955_. Si deux corps égaux _A_ & _B_ $ont en mouvement pendant _Figure_ 331. un même-tems, l’un d’une vîte$$e uniforme, l’autre d’un mouvement uniformément accéléré, tel que le dernier degré de la vîte$$e acqui$e $oit égal à la vîte$$e con$tante du corps qui $e meut uniformément, l’e$pace parcouru par le premier $era double de l’e$pace parcouru par le $econd.

DÉMONSTRATION.

Soit repré$enté le tems du mouvement par A C, & $uppo- $ons-le partagé en un nombre infini d’in$tans égaux. Si pen- dant un de ces in$tans le corps qui $e meut d’un mouvement uniforme parcoure C D pendant le tems A C, il parcourra autant de fois C D qu’il y a d’in$tans dans le tems du mouve- ment, ou qu’il y a de points dans A C: donc le rectangle A C x C D, repré$entera l’e$pace parcouru pendant le tems A C par le corps, dont le mouvement e$t uniforme. Pré$en- tement voyons quel $era l’e$pace que parcourra le mobile qui $e meut d’un mouvement uniformément accéléré, pendant le même tems A C, en $uppo$ant que la vîte$$e qu’il a acqui$e à la fin du dernier in$tant du tems A C e$t au$$i repré$entée par C D. Cela po$é, par le dernier corollaire, pui$que les vîte$$es $ont comme les tems, à la fin du tems A B, c’e$t-à-dire dans l’in$tant B, il parcourra une ligne B E qui $era à C D, comme A C : A B : donc la $omme des e$paces parcourus par le corps qui e$t mu d’un mouvement uniformément accéléré, $era re- pré$entée par la $omme des élémens du triangle A C B : donc l’e$pace total parcouru pendant le tems A B n’e$t pas différent [0585]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. de cette $omme, & $era repré$enté par A C x {C D/2} : donc le pre- mier mobile parcourt dans le même-tems un e$pace double du $econd. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

956. Pui$que les deux corps $ont égaux, on peut n’en $up- po$er qu’un $eul; d’où il $uit que $i un même corps e$t mu d’un mouvement uniforme pendant un certain tems, & que dans un tems égal il ait acquis d’un mouvement uniformé- ment accéléré une vîte$$e égale à celle du mouvement uni- forme, l’e$pace qu’il aura parcouru dans le premier cas $era double de celui qui a été parcouru dans le $econd.

COROLLAIRE II.

957. Donc les e$paces parcourus dans un mouvement uni- formément accéléré $ont entr’eux comme les quarrés des tems, à commencer de l’in$tant que le corps a été mis en mouve- ment: car il e$t évident que les triangles A B E, A C D qui repré$entent les e$paces parcourus pendant les tems A B, A C étant $emblables, $ont comme les quarrés des tems A B & A C.

COROLLAIRE III.

958. Pui$que les tems $ont comme les vîte$$es (art. 953), & que les e$paces parcourus depuis le premier in$tant du mou- vement $ont comme les quarrés des tems, ils $eront au$$i en- tr’eux comme les quarrés des vîte$$es acqui$es. Ain$i nommant L une longueur parcourue depuis le point du repos; T, le tems employé à la parcourir; V, la vîte$$e acqui$e à la fin de ces tems; & _l_, une autre longueur parcourue depuis le point de repos; _t_, le tems employé à la parcourir; _u_, la vîte$$e acqui$e à la fin de ce tems, l’on aura L : _l_ :: T T : _tt_, ou bien L : _l_ :: V V : _uu_.

COROLLAIRE IV.

959. Pui$que l’on a L : _l_ :: V V : _uu_, $i on extrait la racine quarrée de chaque terme, on aura L : _l_ :: V : _u_; ce qui fait voir que dans le mouvement accéléré, on peut exprimer les vîte$$es par les racines des longueurs parcourues depuis le point de repos. Il faut s’appliquer à comprendre ceci pour n’être point arrêté dans la $uite.

[0586]NOUVEAU COURS COROLLAIRE V.

960. Comme dans la chûte des corps graves la pe$anteur agit à chaque in$tant pour les approcher du centre de la terre, qu’elle leur communique à chaque in$tant des degrés égaux de vîte$$e (au moins cette $uppo$ition ne peut cau$er aucune erreur en les con$idérant à des di$tances peu con$idérables de la $urface de la terre, même de quelques lieues); il s’en$uit que les e$paces parcourus par un corps qui tombe librement, à compter du point de repos, $ont comme les quarrés des in$tans écoulés depuis le repos.

COROLLAIRE VI.

961. Il $uit delà que les e$paces qu’un corps parcourt en tom- bant pendant destems égaux, $ont entr’eux comme la $uite des nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9, &c. Imaginons que dans le premier in$tant de $a chûte le corps ait parcouru une toi$e. Comme cette vîte$$e a été acqui$e par degrés, & que d’ailleurs il la con$erve dans tous les in$tans $uivans; dans le $econd in$tant, en vertu de ce premier degré de vîte$$e, le corps parcourra un e$pace double, c’e$t-à-dire 2 toi$es (art. 955), mais la pe$an- teur a toujours agi de la même maniere; donc elle aura fait parcourir au corps une toi$e de plus dans ce $econd in$tant: il aura donc parcouru 3 toi$es. De même avec les deux degrés de vîte$$e qu’il po$$ede, dans le troi$ieme in$tant il parcourra 4 toi$es, & en vertu du nouveau degré que la pe$anteur lui communique par $on action, il parcourra encore une toi$e: donc dans le troi$ieme in$tant il aura parcouru 5 toi$es, & ain$i des autres. Donc les e$paces qu’un corps qui tombe parcourt pendant des tems égaux $ont comme les nombres 1, 3, 5, 7, 9, &c; d’où il $uit encore de nouveau que les e$paces parcourus depuis le premier in$tant de la chûte, $ont comme les quarrés des in$tans qui $e $ont écoulés; pui$qu’en ajoutant continuelle- ment les nombres impairs depuis l’unité, il en ré$ulte les nom- bres quarrés: car il e$t évident que 1 = 1, 4 = 1 + 3, 9 = 1 + 3 + 5, 16 = 1 + 3 + 5 + 7, &c.

COROLLAIRE VII.

962. Il $uit encore delà que $i un corps, après avoir parcouru un certain e$pace pendant un certain nombre d’in$tans, ve- [0587]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. noit à être abandonné tout d’un coup de la force de la pe$an- teur, il continueroit néan moins à $e mouvoir avec une vîte$$e uniforme égale à celle que la pe$anteur lui a communiquée dans le premier tems, & par con$équent pendant un tems égal à celui de la de$cente, il parcourroit toujours un e$pace double de celui qu’il a parcouru pendant tout le tems que la pe$an- teur a agi $ur lui.

COROLLAIRE VIII.

963. Il $uit encore delà que $i l’on jette un corps de bas en haut, $uivant une direction perpendiculaire ou oblique à l’ho- rizon, le corps $era mu d’un mouvement uniformément re- tardé: car il e$t évident que dans cette $uppo$ition la pe$an- teur étant oppo$ée en tout ou en partie au mouvement de pro- jection de ce corps, doit lui ôter à chaque in$tant des degrés égaux de vîte$$e, & par con$équent au bout d’un certain tems, lor$que la pe$anteur aura détruit toute la force que le mobile avoit pour s’élever perpendiculairement, il commencera à tomber, & pa$$era $ucce$$ivement par tous les degrés po$$ibles d’accélération, ju$qu’à ce qu’il $oit arrivé à quelque corps qui l’arrête entiérement.

COROLLAIRE IX.

964. Donc la vîte$$e qu’un corps a acqui$e en tombant d’une certaine hauteur, e$t égale à celle qui auroit pu le faire monter à cette hauteur; ou, ce qui revient au même, $i l’on jette un corps de bas en haut avec une force égale à celle qu’il a acqui$e en tombant d’une certaine hauteur, cette force $era capable de le faire remonter à la même hauteur; d’où il $uit encore que les e$paces parcourus par un corps pou$$é de bas en haut, $eront comme les nombres impairs, pris dans un ordre renver$é, $i les tems $ont égaux.

COROLLAIRE X.

965. Donc $i l’on modifie la force de la pe$anteur d’une maniere con$tante, les e$paces que cette force modifiée fera parcourir à un corps quelconque, $eront toujours $uivant les loix générales de la pe$anteur. Par exemple, un corps qui tombe le long d’un plan incliné à l’horizon, ne gli$$e $ur le plan qu’en con$équence des loix de la pe$anteur qui l’oblige [0588]NOUVEAU COURS toujours à de$cendre: donc il doit parcourir des e$paces qui $oient dans la rai$on des quarrés des tems, à compter depuis le premier in$tant du mouvement. Si dans l’expérience on ne trouvoit pas cette loi avec toute la préci$ion po$$ible, il n’y a que le frottement & la ré$i$tance du milieu dans lequel $e fait le mouvement qui pourroit en altérer la ju$te$$e, ce qui ne conclud rien contre les principes que nous venons d’établir, pui$que nous n’avons pas eu égard à ces circon$tances.

REMARQUE.

966. Comme la théorie de la pe$anteur a une application directe & immédiate à la projection des corps; que l’on ne peut entendre celle du jet des bombes $ans être convaincu des vérités que nous venons d’établir, & que d’ailleurs il y auroit une infinité de pe$anteurs po$$ibles, capables de faire parcourir aux corps $oumis à leur action des e$paces qui $eroient entr’eux comme les quarrés des tems depuis le premier in$tant du mou- vement, ou comme les nombres impairs depuis l’unité, en $up- po$ant les tems égaux, c’e$t à l’expérience à décider quelle e$t la force de la pe$anteur auprès de la $urface de la terre: car dans la $uppo$ition même que cette force augmentât ou di- minuât à rai$on de $es différentes di$tances de la terre, $ui- vant un rapport quelconque, les di$tances auxquelles on peut jetter les corps, même les plus grandes, ne $ont pas a$$ez con- $idérables pour que l’on pui$$e appercevoir des variations dans l’action de la pe$anteur.

967. On a reconnu par l’expérience qu’un corps qui tombe parcourt 15 pieds dans la premiere $econde de $a chûte, qu’il en parcourt 45 dans la $econde, 75 dans la troi$ieme, & ain$i de $uite: donc la pe$anteur e$t une force capable de faire par- courir 30 pieds dans une $econde à tout corps qui auroit été $oumis à $on action pendant le même-tems, pui$que les 15 pieds n’ont été parcourus que d’un mouvement accéléré, & qu’il s’agit ici d’un mouvement uniforme. De même $i la pe- $anteur a agi pendant 3 $econdes, elle fera parcourir au corps 270 pieds pendant le même-tems, & par con$équent 90 pieds dans une $econde. Or il e$t vi$ible que les vîte$$es 30 & 90 pieds par $econde, $ont comme les tems pendant le$quels le mobile e$t tombé.

968. Tout nous prouve cette prodigieu$e augmentation de [0589]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. vîte$$e à rai$on des racines quarrées des hauteurs d’où les corps tombent: car $i la vîte$$e d’un corps qui tombe de 3 pieds étoit égale à celle d’un corps qui tombe de 60 pieds de haut, il n’y auroit pas plus de danger à tomber d’un troi$ieme étage qu’à tomber de deux ou trois pieds de haut, pui$que l’on ne frappe la terre qu’à rai$on de la vîte$$e avec laquelle on tombe. De même il n’y a per$onne qui ne $çache qu’une pierre nous ble$$e d’autant plus qu’elle tombe de plus haut.

Digre$$ion $ur les variations de la pe$anteur. 969. Nous avons déja in$inué que la pe$anteur pouvoit bien n’être pas une force con$tante & égale, à toutes les di$- tances différentes de notre globe, quoiqu’on la regarde comme telle dans les di$tances médiocres; c’e$t ce qui arrive en effet. M. _Newton_ a démontré le premier que cette force décroît en rai$on inver$e des quarrés des di$tances, en$orte que la force qui, combinée avec une force de projection, retient la lune dans $on orbite, en l’écartant continuelle- ment de la tangente qu’elle tend à décrire, n’e$t autre cho$e que la pe$anteur diminuée en rai$on inver$e du quarré des di$tances. Il prouve qu’en vertu de la pe$anteur, la lune dans une minute s’écarte de 15 pieds de la tangente au point de $on orbite où elle étoit au commencement de cette mi- nute: donc pour comparer la force de la pe$anteur près de la lune à celle de la pe$anteur près de la terre, il faut voir ce qu’elle fera décrire dans une $econde, en $uppo$ant tou- jours que les e$paces parcourus $ont comme les quarrés des tems, & fai$ant l’e$pace de 15 pieds égal à l’unité. Une mi- nute vaut 60 $econdes: donc les quarrés des tems $eront 3600 & 1; fai$ant cette proportion 3600 : 1 :: 1 : {1/3600}, ce qua- trieme terme $era l’e$pace parcouru près de la lune dans une $econde de tems: donc les e$paces que les corps parcourent dans une $econde près de la lune, & près de la terre, en vertu de la pe$anteur, $ont comme {1/3600} : 1. Mais les di$tances des corps qui $ont $ur notre globe & de la lune au centre de la terre $ont 1 & 60, parce que la di$tance moyenne de la lune à la terre e$t de 60 rayons de la terre: ces quarrés $ont 1 & 3600, qui $ont préci$ément dans la rai$on inver$e des forces ou e$paces parcourus {1/3600} & 1, pui$que {1/3600} : 1 :: 1 : 3600. C. Q. F. D. [0590]NOUVEAU COURS On a au$$i découvert que la pe$anteur varie $elon les di$tances à l’équateur, en$orte qu’elle va en augmentant de l’équateur vers les poles, & réciproquement. On s’e$t ap- perçu de cette variation, en ob$ervant qu’un pendule qui bat les $econdes à Paris, c’e$t-à-dire qui fait $oixante vibrations dans une minute, en fai$oit un plus petit nombre vers l’é- quateur; d’où on a conclu avec certitude que la pe$anteur e$t moindre vers l’équateur que vers les poles, pui$que les vibrations des pendules, qui ne $ont que des effets de la pe- $anteur, $ont plus lentes vers l’équateur que vers les poles. Cette diminution de pe$anteur e$t cau$ée par le mouvement de rotation de la terre autour de $on axe, duquel il ré$ulte une force centrifuge plus grande vers l’équateur que vers les poles.

Tout ce que nous venons de voir $ur les variations de la pe- $anteur n’empêche pas qu’on ne la doive regarder comme une force con$tante, pui$que ces variations ne peuvent être $en- $ibles dans les plus grandes di$tances auxquelles on pui$$e jetter les corps. Quoique ces vérités n’aient pas une application di- recte au jet des bombes, qui doit faire le principal objet de l’Ingénieur, je n’ai pas cru cependant devoir les $upprimer, parce qu’elles $ont trop belles pour qu’il $oit permis à un homme de $cience de les ignorer, & que de plus il e$t à pro- pos que l’on $çache quels $ont les changemens qui peuvent altérer les loix que nous venons d’établir, & quels $ont ceux qui ne peuvent produire le même effet.

PROPOSITION IV. PROBLEME.

_970_. Un corps e$t tombé perpendiculairement pendant quatre $econdes; on demande l’e$pace que la pe$anteur lui a fait parcourir.

SOLUTION.

Soit appellé _x_ cet e$pace inconnu; pui$que les e$paces par- courus dans des tems différens, depuis le commencement du mouvement, $ont comme les quarrés des tems (art. 958), & que d’ailleurs on $çait par expérience qu’un corps parcourt 15 pieds dans la premiere $econde; on aura cette proportion, 1 : 16 :: 15 : _x_ = {15 x 16/1} = 240 pieds. C. Q. F. T. & D.

[0591]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. PROPOSITION V. PROBLEME.

_971_. Un corps a parcouru en tombant par la $eule force de la pe$anteur un e$pace de 375 pieds, on demande le tems qu’il lui a fallu pour les parcourir.

SOLUTION.

Soit _x_ le tems cherché; pui$que les e$paces parcourus $ont comme les quarrés des tems (art. 957), on aura cette propor- tion, 15 : 375 :: 1 : _xx_: donc _xx_ ={375/15}=25, d’où l’on tire _x_=5, c’e$t-à-dire que le corps a été 5 $econdes de tems en mouvement. C. Q. F. T. & D.

972. Comme dans le jet des bombes le mobile $e trouve entre deux forces, l’une de projection & $implement motrice, c’e$t la force de la poudre, l’autre accélératrice ou retardatrice con$tante; c’e$t la force de la pe$anteur; $uivant que le corps de$cend ou monte, quelle que $oit $a direction, & que d’ailleurs ab$traction faite des ré$i$tances de l’air à ces deux forces, on ne peut trouver la courbe que le mobile décrit pendant $on mouvement, $ans $uppo$er qu’il $atisfait à chacune de ces deux forces à la fois, comme s’il n’avoit été pou$$é que par l’une ou l’autre $éparément. Nous allons démontrer cette propo$ition, que l’on appelle le _mouvement compo$é_.

DÉFINITION.

973. On appelle $implement _force motrice_, toute force qui n’e$t appliquée à un corps que pendant un $eul in$tant. Tout corps dur en mouvement e$t une force motrice par rapport à celui qu’il rencontre, car il ne lui e$t appliqué que pendant l’in$tant du choc.

974. Si deux ou plu$ieurs forces motrices $ont appliquées dans un même in$tant à un même corps pour le mouvoir, chacune $uivant $a direction, on les appelle _forces compo$antes_. La force qu’elles donnent e$t appellée _ré$ultante_.

PROPOSITION VI. THÉOREME.

_975_. Si un corps K e$t pou$$é à la fois par deux forces M, N _Figure_ 333. $implement motrices, & capables de lui faire parcourir dans le même [0592]NOUVEAU COURS tems, $uivant leurs directions, l’une _A B_, & l’autre _A C_; je dis, 1°. que le corps par l’effort compo$é de ces deux pui$$ances, dé- crira d’un mouvement uniforme la diagonale _A D_ du parallélo- gramme formé $ur leurs directions; 2°. qu’il parcourra cette même diagonale pendant le même-tems qu’il auroit parcouru le côté A B ou le côté _A C_, $i l’une des deux forces $eulement eût agi $ur lui.

DÉMONSTRATION.

Concevons deux regles infiniment minces M A B, N A C, chacune égale en pe$anteur au corps K, elles-mêmes en mou- vement, & dirigées, l’une $uivant A B, & l’autre $uivant A C, avec des vîte$$es qui leur font parcourir le double des lignes A C & A B, que les pui$$ances M & N font parcourir au corps K. Ces regles venant à choquer le corps K, que l’on $uppo$e en repos, lui communiqueront chacune la moitié de leurs vîte$$es, $uivant les loix des corps à re$$ort, & par con$équent elles font préci$ément $ur ce corps un effet égal à celui qu’au- roient fait les pui$$ances M, N que nous avons $uppo$ées agir $ur lui, & elles ne $ont pas différentes de ces mêmes forces. Cela po$é, le corps K doit décrire la diagonale A D dans le même-tems qu’il auroit décrit la ligne A B ou la ligne A C, s’il n’eût été pou$$é que par une $eule pui$$ance M ou N. Pour s’en convaincre, on remarquera que les regles ne choquent le corps qu’autant qu’il e$t néce$$aire pour qu’il ne pui$$e s’op- po$er au mouvement qui leur re$te, lequel e$t la moitié de celui qu’ils avoient avant le choc. Il faut de plus remarquer que les regles ne fai$ant que gli$$er l’une $ur l’autre, ne peu- vent détruire mutuellement le mouvement qui leur re$te: donc elles $ont mues avec des vîte$$es qui leur font parcourir les lignes A B, A C dans le tems que les pui$$ances M, N au- roient fait parcourir au corps K les mêmes lignes. Enfin on fera attention que dans ce même-tems leur inter$ection mu- tuelle décrit la diagonale A D: car il e$t évident que lor$que la regle A B e$t venue en E F, la regle A C a parcouru une partie proportionnelle de l’e$pace A B, & $e trouve par con- $équent en G H; d’où il $uit évidemment que l’inter$ection I e$t un point de la diagonale: donc pour que le corps K ne s’oppo$e point au mouvement de ces regles, il $uffit qu’il $oit venu d’une égale vîte$$e de K en I, c’e$t-à-dire qu’il ait par- couru K I dans le tems que les regles ont parcouru les e$paces [0593]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. A E, A H: donc il arrivera en D dans le tems que les regles $eront venues en B D & en C D. D’ailleurs il e$t vi$ible, comme nous l’avons déja fait remarquer, que ces regles $ont égales aux pui$$ances M & N, pui$qu’elles communiquent la même vîte$$e au corps K, $uivant les loix des corps durs: donc le corps décrira la diagonale A D dans le même-tems qu’il eût parcouru A B ou A C, s’il n’eût été pou$$é que par l’une des forces M ou N. C. Q. F. D.

On peut encore concevoir le mouvement compo$é d’une autre maniere. Imaginons que le corps K e$t mu $ur une regle A B, & que dans le même-tems qu’il parcourt la longueur de la regle, une force emporte cette regle le long de A C en lui fai$ant parcourir A C. Il e$t évident que dans ce mouvement le corps K décrit encore la diagonale A D, pui$que les e$- paces entiers A B, A C & leurs parties proportionnelles $ont décrits dans des tems égaux. Donc, &c.

On pourroit craindre dans cette derniere démon$tration, que la $uppo$ition que nous avons faite que le corps e$t mu $ur la ligne A B, & que cette ligne e$t emportée $ur A C parallé- lement à elle-même, ne changeât quelque cho$e dans la force N qui meut le corps de A en C. Pour prévenir cette objec- tion, nous remarquerons, avec M. _Varignon_, que lor$que deux corps $ont mus d’une égale vîte$$e, comme dans notre hypothe$e, cette même vîte$$e les mettant dans l’impo$$ibilité de s’aider ou de $e nuire réciproquement, la force qui meut chacun $éparément, e$t toujours la même; d’où il $uit que la force qui fait parcourir A C au corps K e$t toujours la même, $oit qu’il $oit emporté $ur la regle A B, ou que la regle $oit $upprimée; moyennant quoi on peut regarder cette derniere démon$tration comme une des plus $atisfai$antes.

Au re$te comme cette propo$ition ne $e trouve ici que re- lativement au jet des bombes, & pour faire voir qu’un corps qui e$t entre deux pui$$ances, prend une direction par laquelle il $atisfait à l’impul$ion de chacune des forces qui agi$$ent $ur lui, nous donnerons encore une démon$tration plus lumineu$e & plus convaincante de cette même propo$ition dans le Traité de Méchanique qui doit $uivre. Comme cette propo$ition e$t de la derniere importance dans tout ce qui a rapport à la com- po$ition & la décompo$ition des forces, on doit, autant qu’il e$t po$$ible, s’appliquer à bien éclaircir les principes.

[0594]NOUVEAU COURS COROLLAIRE I.

976. Donc la force ré$ultante, $uivant la diagonale A D, e$t à l’une des compo$antes M ou N, comme A D: A B, ou comme AD: AC: car les forces qui meuvent des corps égaux $ont comme les e$paces parcourus en même-tems.

COROLLAIRE II.

977. Donc le corps $atisfait aux deux pui$$ances en même tems, comme s’il n’avoit été pou$$é que par l’une des deux: car il e$t évident que lor$qu’il e$t au point D, il $e trouve éloigné de la ligne A B d’une quantité B D = A C, & réci- proquement il $e trouve éloigné de la direction A C d’une quantité D C = A B.

COROLLAIRE III.

978. Donc la force que le corps a, $uivant la diagonale, e$t capable de faire équilibre avec les compo$antes, $i elle e$t dirigée dans un $ens contraire, c’e$t-à-dire que $i l’on pou$$e un corps de D vers A avec une vîte$$e capable de lui faire parcourir A D dans un certain tems, ce corps arrêtera avec la force qu’il a, dans cette hypothe$e, celle des pui$$ances capables de lui faire parcourir A B & A C dans le même-tems, pui$que l’effort ré- $ultant de ces deux pui$$ances appliquées dans le même in$tant à ce corps, ne peuvent lui faire parcourir que la diagonale avec la même vîte$$e.

COROLLAIRE. IV.

979. Donc $i l’on a une force quelconque, on pourra tou- jours la regarder comme la ré$ultante de deux autres forces, & $uppo$er qu’elle e$t la diagonale du parallélogramme formé $ur les directions de ces deux nouvelles forces; d’où il $uit encore qu’il y a une infinité de forces dans le$quelles on peut décom- po$er une force quelconque, pui$qu’une ligne peut être dia- gonale d’une infinité de parallélogrammes différens. L’état de la que$tion ou les conditions du problême, déterminent ordi- nairement quelles $ont les forces dans le$quelles on doit dé- compo$er une force donnée. On en verra des exemples dans la méchanique.

[0595]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. COROLLAIRE V.

980. Donc $i un corps $e trouve à la fois $oumis à l’action de deux forces accélératrices ou retardatrices con$tantes, il dé- crira encore la diagonale du parallélogramme formé $ur les di- rections de ces forces: car ces forces ne $ont que des forces motrices qui renouvellent leur action à chaque in$tant; & comme les degrés d’augmentation ou de diminution $ont pro- portionnels dans tous les in$tans du mouvement pour chaque force, il s’en$uit que la ligne décrite par le mobile doit être une ligne droite.

COROLLAIRE VI.

981. Si les deux forces ne gardent pas un certain rapport con$tant pendant chaque in$tant du mouvement, la ligne dé- crite par le mobile ne peut être qu’une ligne courbe; cepen- dant toujours telle qu’il $atisfait durant chaque in$tant du mouvement à chacune des deux forces à la fois, comme s’il n’avoit été $oumis qu’à l’une des deux.

COROLLAIRE VII.

982. Donc $i l’une des forces e$t variable, & l’autre con$- tante, la ligne décrite par le corps $oumis à l’action de ces deux forces $era néce$$airement une ligne courbe; d’où il $uit & du corollaire précédent, que l’on peut ramener la théorie des courbes à celles du mouvement; & réciproquement con- noître quel rapport les forces motrices doivent avoir entr’elles pour faire décrire à un corps une courbe déterminée.

Tout ce que nous venons de voir e$t $uffi$ant pour con- noître la courbe décrite par un corps $oumis à l’action d’une force motrice, & à celle de la pe$anteur, ab$traction faite des ré$i$tances de l’air & des différentes circon$tances qui peuvent altérer la préci$ion des regles que nous allons établir. Il $uffira de dire que les expériences du vuide démontrent que les corps tomberoient avec la même vîte$$e, quels que $oient leurs ma$$es & leurs volumes, $i l’air ne ré$i$toit pas à leur mouvement. Si l’on vouloit avoir égard à cette ré$i$tance, il faut déter- miner auparavant la ré$i$tance des fluides aux corps en mou- vement, à rai$on de leurs volumes, de leurs ma$$es & de leurs vîte$$es. Ain$i l’on voit que nous ne pouvons actuelle- [0596]NOUVEAU COURS ment déterminer la courbe que les corps décrivent en montant ou en de$cendant, $uivant une ligne oblique à l’horizon, qu’en fai$ant ab$traction des ré$i$tances de l’air, pui$que l’air e$t un fluide, & que nous n’avons pas encore donné la théorie de la ré$i$tance des fluides.

CHAPITRE III. De la théorie & de la pratique du Jet des Bombes pour $ervir à l’intelligence de la con$truction & de l’u$age d’un in$trument univer$el pour le jet des bombes.

983. TOUS ceux qui tirent des bombes $çavent en général que la bombe décrit une courbe, en allant du mortier au lieu où elle tombe; mais il faut encore $çavoir quelle e$t cette courbe, afin d’établir quelques regles qui $ervent de principes dans la pratique, en con$équence des propriétés de la courbe décrite pendant le mouvement. Nous allons démontrer que la courbe décrite non $eulement par une bombe, mais par tout corps, quelle que $oit $a direction parallele ou oblique à l’horizon, e$t toujours une parabole. On $uppo$e encore ici comme dans ce qui précéde, que l’air ne fait aucune ré$i$tance, $oit à la force d’impul$ion, $oit à celle de la pe$anteur. Si la di- rection du projectile e$t verticale ou perpendiculaire à l’ho- rizon, tout le monde $çait que le corps doit décrire une ligne droite, ain$i il n’e$t pas que$tion de cette direction dans le cas pré$ent.

DEMANDE

984. On demande qu’on pui$$e regarder la force de la pou- dre comme une force capable de faire parcourir au corps jetté des e$paces égaux. Cette demande e$t une $uite immédiate de l’hypothe$e pré$ente qu’on n’a pas égard à la ré$i$tance de l’air; d’ailleurs la force de la poudre e$t une force $implement mo- trice, qui n’agit $ur le corps que dans un certain tems, que l’on peut regarder comme un in$tant par rapport à la durée du mouvement.

[0597]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. PROPOSITION VII. THÉOREME.

_985._ Si un corps A e$t pou$$é par une force motrice $uivant une _Figure_ 134 & 135. direction parallele ou oblique à l’horizon, je dis que par l’effort compo$é du mouvement d’impul$ion & de la pe$anteur, il décrira une parabole.

DÉMONSTRATION.

Quelle que $oit la direction de la force motrice, le corps A $e trouvera entre deux forces, l’une con$tante, c’e$t la force de la poudre, l’autre accélératrice con$tante, c’e$t celle de la pe$anteur: donc (art. 975) il doit $atisfaire dans le même tems à chacune de ces deux forces, comme s’il n’avoit été $oumis qu’à l’une des deux. En vertu de la force d’impul$ion, il parcourt, dans des tems égaux, des e$paces égaux A E, E G, G I, I B, & en vertu de la pe$anteur, il parcourt à la fin de chacun de ces tems des e$paces E F, G H, I K, B D, qui $ont comme les quarrés des tems écoulés depuis le premier in$- tant du mouvement. Cela po$é, pui$que les e$paces A E, A G, A I croi$$ent en progre$$ion arithmétique, & que les tems croi$$ent dans la même proportion; & que d’ailleurs les e$- paces parcourus à la fin de chacun de ces tems, à compter du premier in$tant, $ont comme les quarrés des tems; ces mê- mes e$paces E F, G H, I K, B D $eront au$$i entr’eux comme les quarré des lignes A E, A G, A I, A B proportionnelles au tems; & prenant au lieu des lignes A E, A G, A I, leurs paral- leles L F, M H, N K, & de même au lieu des lignes E F, G H, I K, leurs paralleles A I, A M, A N, on aura, par ce qu’on vient de voir L F<_>2: M H<_>2: N K<_>2:: A L: A M: N N; d’où il $uit que la courbe A F D e$t une parabole, pui$que les quarrés des ordonnées $ont entr’eux comme leurs ab$ci$$es. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

986. Comme la pe$anteur n’e$t pas un in$tant $ans agir $ur le projectile, quelle que $oit $a direction, il e$t évident qu’elle le détourne de cette ligne dès le premier in$tant du mouve- ment: donc la ligne A B qui exprime la direction de la force motrice, e$t tangente à la parabole.

[0598]NOUVEAU COURS COROLLAIRE II.

987. Si la direction de la force motrice e$t parallele à l’ho- rizon, la verticale A O menée par le point A $era l’axe de la parabole, & le point A e$t le $ommet de la courbe. Si la direc- tion e$t oblique, la ligne A O menée par le même point A $era _Figure_ 335. un diametre. Si le corps e$t pou$$é de A vers B, le point H déter- miné par la verticale, menée par le milieu de G B, $era le plus haut où le corps pui$$e s’élever; s’il e$t pou$$é de A vers Q, le point A $era le plus haut où il pui$$e $e trouver dans le mouve- ment.

COROLLAIRE III.

988. Les paraboles décrite par un même mobile ont d’au- tant plus d’étendue que la force motrice e$t plus grande $ous la même inclinai$on: car l’étendue dépend de la force motrice & de l’inclinai$on de la direction de cette même force à l’ho- rizon.

DÉFINITION.

989. La ligne A B, direction de la force motrice, e$t nom- mée la ligne de _projection_; la ligne B D élevée du point D de l’horizon où le corps tombe perpendiculairement ju$qu’à la ligne de projection e$t nommée ligne de _chûte_. La ligne A D menée du point d’où le corps part ju$qu’au point où il arrive $ur l’horizon, e$t appellée ligne de _but_. Si cette ligne e$t ho- rizontale, comme dans la figure 335, on l’appelle _amplitude_ de la parabole; cette ligne détermine l’étendue du jet, & c’e$t pour cela qu’on l’appelle _amplitude_.

PRINCIPE FONDAMENTAL.

990. Comme les étendues des paraboles décrites par un même mobile dépendent de la force qui a mis le mobile en mouvement; pour ramener cette force à quelques me$ures fixes & déterminées, les Géometres, après _Galilée_, $ont con- venus d’e$timer les forces par les hauteurs, dont il auroit fallu que le même corps tombât pour acquérir la vîte$$e qu’on lui $uppo$e: car comme un mobile en tombant acquiert à chaque in$tant de nouveaux degrés de vîte$$e, il n’y a point de vîte$$e $i grande qu’on pui$$e imaginer, à laquelle le même mobile ne pui$$e arriver, pui$que l’on peut $uppo$er la hauteur dont il e$t tombé au$$i grande que l’on voudra.

[0599]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. PROPOSITION VIII. PROBLEME.

_991._ Connoi$$ant la ligne de projection _A B_, $uppo$ée parallele _Figure_ 336. à l’horizon, & la ligne de chûte _B F_ de la parabole _A E F_ décrite par un mobile quelconque, on demande de quelle hauteur ce mobile doit tomber pour avoir à la fin de $a chûte une vîte$$e avec laquelle il pui$$e parcourir la ligne _A B_ d’un mouvement uniforme, dans le même tems que la pe$anteur lui fera parcourir _B F_ ou _A G_.

SOLUTION.

Soit _x_ la hauteur d’où le corps doit tomber pour avoir la vîte$$e demandée; $oit T le tems que le corps emploie à par- courir B F en vertu de $a pe$anteur; $oit fait de plus B F = _a_, & A B = 2_b_. La vîte$$e que la pe$anteur a communiquée au corps à la fin de $a chûte par B F e$t telle qu’elle lui fait par- courir 2_a_ ou 2B F dans le tems T (art. 962): la vîte$$e qui doit être acqui$e par la hauteur inconnue _x_ e$t telle qu’elle fait parcourir au même corps l’e$pace 2_b_ ou A B dans le même tems T: d’ailleurs (art. 959) les vîte$$es acqui$es par diffé- rentes hauteurs $ont comme les racines quarrées de ces hau- teurs, qui $ont _a_ & _x_: on aura donc cette proportion, _a_: _x_:: 2_a_: 2_b_:: _a_: _b_; d’où l’on tire _a__x_=_b__a_: éle- vant tout au quarré, on aura _a_<_>2_x_ = _b_<_>2_a_, d’où l’on déduit _x_ = {_b_<_>2/_a_}: donc on aura cette proportion, _a_: _b_:: _b_: _x_. Pour con$- truire cette valeur de _x_, du point G au point D milieu de la ligne A B, on menera une ligne G D; on élevera au point D, la perpendiculaire C D à cette ligne, ju$qu’à ce qu’elle ren- contre la ligne A G, prolongée en C; je dis que la ligne A C e$t égale à _x_, c’e$t-à-dire que cette ligne e$t la hauteur dont le corps doit tomber pour avoir la vîte$$e demandée: car à cau$e des triangles $emblables G A D, D A C, on aura A G (_b_): A D (_b_):: A D (_b_): A C ({_bb_/_a_}). C. Q. F. T. & D.

_Suite du Problême précédent_.

992. Si l’on veut $çavoir de quelle hauteur le mobile doit tomber pour acquérir une vîte$$e capable de lui faire parcourir [0600]NOUVEAU COURS la ligne oblique G D dans un tems égal à la moitié de celui qu’il auroit employé à tomber par A G: on fera de même la hauteur inconnue = _y_; la ligne G D connue = _d_; la hauteur A G = _a_; & l’on dira: La vîte$$e acqui$e par la hauteur A G e$t à la vîte$$e acqui$e par la hauteur inconnue _y_, comme l’e$- pace A G qu’elle fait parcourir uniformément pendant la moitié du tems de la chûte par A G, e$t à l’e$pace G D qui doit être parcouru pendant le même-tems, $elon l’hypothe$e: & comme d’ailleurs les vîte$$es $ont comme les racines quarrées des hau- teurs, on aura cette proportion, _a_: _y_:: _a_: _d_: donc en élevant tout au quarré _a_: _y_:: _a_<_>2: _dd_: donc _y_ = {_a_<_>2_d_<_>2/_aa_} ou {_dd_/_a_}: donc la ligne G C e$t la hauteur que l’on demande; car à cau$e des triangles rectangles $emblables G A D, G D C, on a A G (_a_): G D (_d_):: G D (_d_): G C ({_dd_/_a_}). C. Q. F. T. & D.

COROLLAIRE.

993. Pui$que le mobile avec la vîte$$e acqui$e par la chûte _Figure 337_. C G parcourt G D dans la moitié du tems qu’il emploie à parcourir A G en tombant; pendant un tems quadruple il parcourra une ligne quadruple G E: donc dans le double du tems de la chûte par A G il parcourra d’un mouvement uni- forme la ligne G E quadruple de G D. Mais dans le même tems double de celui de la de$cente par A G, la pe$anteur fera parcourir un e$pace quadruple de A G, à compter depuis le premier in$tant de la chûte; d’où il $uit que $i un mobile e$t pou$$é $uivant une direction oblique G D avec la force acqui$e par le diametre C G, il parcourra d’un mouvement uniforme la ligne G E quadruple de G D dans le même tems que la pe- $anteur lui feroit parcourir d’un mouvement accéléré la ver- ticale E F au$$i quadruple de G A, comme il e$t évident par ce qu’on vient de dire, & à cau$e des triangles $emblables G A D, G E N.

DEFINITION.

994. Toute ligne comme C G parcourue par un mobile pour acquérir un degré de force capable de lui faire décrire une parabole déterminée, e$t appellée la _ligne de hauteur_.

[0601]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. PROPOSITION IX. THÉOREME.

_995._ Le parametre d’une parabole décrite par un mobile e$t _Figure_ 336. quadruple de la ligne de hauteur.

DÉMONSTRATION.

Ce problême renferme deux cas; car le corps e$t projetté horizontalement comme dans la figure 336, ou $uivant une ligne oblique à l’horizon, comme dans la figure 337. Nous l’allons démontrer dans l’un & l’autre cas.

1°. Si le mobile e$t projetté horizontalement, $uivant la ligne A B, l’ordonnée G F e$t égale à la ligne A B, & partant égale à 2 A D. Par la propriété de la parabole, le quarré de G F e$t égal au produit de $on ab$ci$$e A G par le parametre, ain$i nous aurons G F<_>2 ou 4 A D<_>2=A G x 4 A C: mais à cau$e des triangles $emblables D A G, C A D, on a A G: A D :: A D: A C; donc A D<_>2 = A G x A C: donc 4 A D<_>2, ou G F<_>2 = A G x 4 A C: donc le quadruple de A C ou de la ligne de hauteur e$t égalau parametre. C. Q. F. 1°. D.

2°. Si la ligne de projection G E e$t oblique à l’horizon, _Figure_ 337. on remarquera d’abord que la ligne de projection E G étant tangente à la parabole décrite en G, la ligne H I parallele à G B $era ordonnée au diametre G I; & comme, par hypothe$e, G B e$t double de G D; I H = G B $era au$$i double de G D. Mais à cau$e des triangles $emblables G A D, G D C, on aura G A: G D:: G D: G C: donc G D<_>2 = G A x G C, & partant 4 G D<_>2 ou I H<_>2 = G A x 4 G C = G I x 4 G C, pui$que G A = G I. C. Q. F. 2°. D.

COROLLAIRE I.

996. Il $uit delà que $i on éleve $ur la ligne de projection G E une perpendiculaire E M, qui aille rencontrer la ligne de hauteur G C prolongée en M, M G $era le parametre du dia- metre G K: car les triangles G C D & G M E étant $embla- bles, on aura G D: G E:: G C: G M: donc pui$que G E e$t quadruple de G D, G M $era au$$i quadruple de G C.

COROLLAIRE II.

997. Il $uit encore delà que connoi$$ant le parametre d’une [0602]NOUVEAU COURS parabole décrite par un mobile, on connoîtra ai$ément de quelle hauteur le mobile doit tomber pour acquérir une force capable de lui faire décrire la parabole à laquelle appartient le parametre, pui$que cette hauteur $era toujours le quart du parametre.

COROLLAIRE III.

998. Comme avec un même parametre on peut décrire une infinité de paraboles différentes, lor$que l’angle des ordonnées avec le diametre n’e$t pas déterminé; il s’en$uit qu’avec une même force un corps projetté peut décrire une infinité de pa- raboles différentes: ces courbes varieront $uivant les diffé- rens angles de la ligne de projection avec l’horizon.

COROLLAIRE IV.

999. Il $uit encore delà que ces trois lignes, le parametre M G, la ligne de projection G E, & la ligne de chûte E F, $ont en progre$$ion géométrique: car à cau$e des triangles $em- blables M G E, E G F, on aura M G: G E:: G E: E F: donc deux lignes quelconques étant connues, on trouvera toujours la troi$ieme.

COROLLAIRE V.

1000. Les lignes de chûte E F étant perpendiculaires à l’ho- rizon, elles formeront, avec les lignes de projection G E, des triangles rectangles G E F qui $eront $emblables aux triangles G M E, le$quels auront tous pour hypothe$e le parametre M G; d’où il $uit que toutes les lignes de projections po$$i- bles pour une même force $ont renfermées dans un demi- cercle G E M.

OBSERVATION.

1001. Il faut bien s’attacher à concevoir la rai$on pour la- quelle on a $uppo$é que la force de projection e$t telle qu’elle fait parcourir au corps d’un mouvement uniforme la ligne G D dans la moitié du tems que le corps employeroit à par- courir A G. Pour cela, on remarquera que dans le tems que le corps parcourt G B, la pe$anteur qui a toujours agi $ur lui a fait parcourir l’e$pace B H = A G; de même dans le tems que la force de projection lui auroit fait parcourir B E = G B, la pe$anteur lui fera parcourir E F, quadruple de A G, & par con$équent il $e trouvera en F $ur l’horizontale G F.

[0603]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. COROLLAIRE.

1002. Il $uit delà que dans un tems double de la de$cente par A G, le corps projetté $uivant la ligne G D avec la vîte$$e acqui$e par G C décrira la parabole G H F, & de plus que la vîte$$e qu’il a lor$qu’il e$t en F e$t égale à celle qu’il auroit acqui$e par A G: car il e$t vi$ible que le $ommet H de la pa- rabole décrite e$t au milieu de la ligne B L, double de A G.

PROPOSITION X. PROBLEME.

_1003._ Etant donnée la ligne de but _G F_, l’angle _M G E_ for- _Figure_ 339, 340 & 341. mé par le parametre _M G_, & la direction _G E_ du mortier, & l’an- gle _E G F_ formé par la direction du mortier & la ligne de but _G F_, trouver le parametre _M G_, la ligne de projection _G E_, & la ligne de chûte _E F_.

Con$idérez que les lignes M G & E F étant paralleles, les angles alternes M G E & G E F $ont égaux; & que connoi$- $ant l’un, on connoîtra l’autre: & qu’ain$i l’on connoît dans le triangle G E F le côté G F avec les angles E G F & G E F; & que par con$équent on trouvera par la Trigonométrie la ligne de projection G E, & la ligne de chûte E F: mais E F: E G:: E G: G M (art. 999). Ain$i l’on voit que cherchant une troi$ieme proportionnelle à la ligne de chûte & à la ligne de projection, l’on aura au$$i le parametre.

COROLLAIRE.

1004. Il $uit delà que $i l’on jette une bombe avec un mor- tier, $elon telle inclinai$on que l’on voudra, pour trouver le parametre de toutes les paraboles décrites par le même mo- bile toujours pou$$é avec la même force, il n’y a qu’à ob- $erver l’angle d’inclinai$on du mortier, & me$urer la di$tance où la bombe $era tombée, pui$que le re$te $e trouve après ai$é- ment.

Suppo$ons, par exemple, que l’on ait me$uré l’angle E G F _Figure_ 342. d’inclinai$on du mortier avec la ligne de but G F, que nous $uppo$erons de 500 toi$es; & qu’on ait au$$i me$uré l’angle M G E que fait la même ligne de direction avec la verticale M G ou le parametre. On connoîtra donc trois cho$es dans [0604]NOUVEAU COURS le triangle E G F, $çavoir la ligne de but G F, l’angle E G F, & l’angle G E F égal à $on alterne M G E: donc on connoîtra les lignes, E F qui e$t la ligne de chûte, E G qui e$t celle de direction; & par con$équent on trouvera le parametre par cette proportion, E F: E G:: E G: M G. Ain$i l’on $çaura de quelle hauteur le corps a dû tomber pour acquérir une force égale à celle que lui a communiqué la charge de poudre dont il e$t que$tion, en prenant le quart du parametre (art. 995). D’ail- leurs avec le même parametre on peut décrire une infinité de paraboles, $elon l’angle des ordonnées au diametre: donc ces ob$ervations $uffi$ent pour déterminer le parametre.

AVERTISSEMENT.

Nous allons donner des $olutions géométriques & analyti- ques de plu$ieurs problêmes qui ont rapport au jet des bombes, pour nous préparer à faire les mêmes cho$es dans la pratique avec un in$trument univer$el, dont la con$truction & l’u$age dépendent de ce que l’on va voir: ain$i il ne faut pas que ceux qui étudieront ce Traité, s’inquiétent $i on ne les conduit pas d’abord à la pratique, pui$qu’ils trouveront dans la $uite de quoi $e contenter.

PROPOSITION XI. PROBLEME.

_1005._ Trouver quelle élevation il faut donner à un mortier pour _Figure_ 342. jetter une bombe à tel endroit que l’on voudra, pourvu que cet en- droit $oit de niveau avec la batterie.

Le mortier étant $uppo$é au point G, & le point F étant celui où l’on veut jetter la bombe, nous $uppo$erons que la ligne G M, élevée perpendiculairement $ur G F, e$t le parametre de projection. Cela po$é, on le divi$era en deux également au point A; & de ce point comme centre, on décrira un demi- cercle, & $ur le point F de la ligne horizontale G H, on éle- vera la perpendiculaire F E, qui coupera le demi-cercle au point E. Or $i l’on tire du point G aux points E les lignes G E, je dis que le mortier pointé, $elon l’une ou l’autre de ces directions, jettera la bombe au point F.

[0605]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. DÉMONSTRATION.

Nous avons fait voir (art. 997) que le parametre, la ligne de projection, & la ligne de chûte étoient trois proportion- nelles: ain$i pour prouver que la ligne G E e$t la ligne de pro- jection, il n’y a qu’à prouver qu’elle e$t moyenne proportion- nelle entre le parametre M G & la ligne de chûte corre$pon- dante E F. Or $i l’on tire les lignes M E, l’on aura les trian- gles $emblables M G E & G E F; car ils ont chacun un angle droit, & les angles G M E & E G F ont chacun pour me$ure la moitié de l’arc G I E: par con$équent l’on a M G: G E:: G E : E F.

Mais $i la perpendiculaire élevée $ur le point F, au lieu de _Figure_ 343. couper le cercle, ne fai$oit que le toucher en un $eul point E; je dis que la ligne G E $era encore l’inclinai$on du mor- tier; pui$qu’à cau$e des triangles $emblables M G E & G E F, l’on aura M G : G E :: G E : E F.

En$in $i l’on $uppo$e que le point donné $oit l’endroit C, & que la perpendiculaire C D ne rencontre pas le cercle, je dis que le problême e$t impo$$ible; pui$que G D, qui e$t $uppo$é la ligne de projection, ne peut pas être moyenne proportion- nelle entre le parametre M G & la ligne de chûte D C: car pour cela il faudroit qu’elle fût un côté commun aux deux triangles $emblables M G E & G D C; ce qui ne peut arriver, tant que la pointe D $era hors du cercle.

COROLLAIRE I.

1006. Il $uit delà que lor$que la perpendiculaire E F coupe le cercle, le problême a deux $olutions, & que par con$équent on peut jetter une bombe en un même endroit par deux che- mins différens: car les arcs M E & G E étant égaux, lor$que le mortier $era pointé à un degré d’élevation par un angle au- tant au de$$us qu’au de$$ous du quart de cercle, la bombe ira également loin: mais comme les angles M G E n’ont pour me$ure que les moitiés des arcs M E, & que c’e$t toujours avec la verticale M G & les lignes de projections G E, que l’on con- $idere l’élevation du mortier; l’on voit que cet angle $era tou- jours plus petit qu’un droit, & qu’on pourra pointer le mortier également au de$$us ou au de$$ous de 45 degrés pour cha$$er la bombe en un même endroit.

[0606]NOUVEAU COURS COROLLAIRE II.

1007. Comme le problême e$t toujours po$$ible, $oit que la ligne E F coupe ou touche le cercle, l’on voit que lor$qu’elle touchera le cercle, la bombe $era cha$$ée le plus loin qu’il e$t po$$ible avec la même charge, pui$que la ligne de but G F e$t la plus grande de toutes celles qui peuvent être renfermées entre le parametre & la ligne de chûte. Or comme l’angle M G E a pour me$ure la moitié du demi-cercle M E, l’on peur dire que de toutes les bombes qui $eront tirées avec une même charge, celle qui ira le plus loin, $era celle qui aura été tirée $ous un angle de 45 degrés.

PROPOSITION XII. PROBLEME.

_1008._ Trouver quelle élevation il faut donner à un mortier pour cha$$er une bombe à une di$tance donnée, en $uppo$ant que la batterie n’e$t pas de niveau avec l’endroit où l’on veut jetter la bombe, c’e$t-à-dire en $uppo$ant que cet endroit e$t beaucoup plus élevé ou plus bas que la batterie.

Le point G étant $uppo$é l’endroit du mortier, & le point F celui où l’on veut jetter la bombe, lequel $era plus élevé que la batterie, comme dans la figure 344, ou plus bas que la batterie, comme dans la figure 345, il faut $ur la ligne ho- rizontale G H élever la perpendiculaire G M égale au para- metre de la charge du mortier, parce que je $uppo$e que l’on a fait une épreuve pour trouver ce parametre, comme il a été dit, art. 1001; en$uite l’on élevera la perpendiculaire G A $ur la ligne du plan G L, & l’on fera l’angle A M G égal à l’angle A G M; & du point A, comme centre, l’on décrira la portion de cercle M E G: du point donné F l’on menera la ligne F E parallele au parametre M G; & cette ligne venant couper le cercle aux points E, je dis que $i l’on tire les lignes G E, qu’elles détermineront l’élevation qu’il faut donner au mortier pour jetter la bombe au point F dans l’un & l’autre cas.

DÉMONSTRATION.

M G étantle parametre, G E la ligne de projection, & E F, [0607]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. la ligne de chûte, il faut prouver, comme on l’a fait ci-devant, que M G : G E :: G E : E F. Pour cela, con$idérez que les triangles M G E & G E F $ont $emblables: car comme la ligne G F e$t perpendiculaire au rayon A G, l’angle E G F $era égal à l’angle G M E, pui$qu’ils ont chacun pour me$ure la moitié de l’arc G I E: d’ailleurs à cau$e des paralleles M G & E F les angles M G E & G E F $ont égaux, étant alternes: ain$i l’on aura M G : G E :: G E : E F, ce qui fait voir que l’angle M G E e$t celui qu’il faut que le mortier fa$$e avec la verticale pour cha$$er la bombe au point F. C. Q. F. D.

Pour ne pas répéter les mêmes cho$es, nous avons compris les deux cas précédens dans une même démon$tration: mais il $eroit bon que les Commençans répéta$$ent deux fois la dé- mon$tration précédente, pour ne con$idérer qu’une des deux figures 344 & 345 à la fois.

COROLLAIRE.

1009. Il arrivera dans les deux cas du problême précédent ce que nous avons dit (art. 1006) à l’occa$ion des bombes jet- tées à un endroit de niveau avec la batterie, qui e$t que $i la parallele E F touche le cercle, au lieu de le couper, la portée de la bombe $era la plus grande de toutes celles qu’on peut jetter avec la même charge; & que $i la parallele E F ne tou- choit ni ne coupoit le cercle, que le problême $eroit impo$- $ible; ce qui a été $uffi$amment expliqué ailleurs (art. 1005), pour n’avoir pas be$oin d’en faire voir encore la rai$on.

REMARQUE.

1010. Il e$t bon que l’on $çache que dans la pratique ordi- naire du jet des bombes, l’on pointe toujours le mortier $ous l’angle qui donne la plus grande ligne de chûte E F, afin que la bombe tombant de plus haut, acquiere par $a pe$anteur un degré de force capable de produire plus de dommage $ur les édifices où elle tombe; mais quand on e$t près d’un ouvrage de fortification que l’on veut labourer par les bombes, pour le mettre plutôt en état de l’attaquer, l’on pointe le mortier $ous l’angle de la petite ligne de chûte E F, afin que la bombe pa$$ant par le chemin le plus court, ne donne pas le tems à ceux qui $ont dans l’ouvrage de $e garantir des éclats.

[0608]NOUVEAU COURS PROPOSITION XIII. PROBLEME.

_1011._ La ligne de but _G F_, l’angle qu’elle fait avec la verti- _Figure_ 345. cale _G M_, & la charge du mortier etant donnee, trouver l’angle d’élévation $ous lequel il faut pointer le mortier pour qu’elle tombe au point _F_.

SOLUTION.

Soit nommée _a_ la ligne de but G F; comme la charge du mortier e$t au$$i connue, & que d’ailleurs on $uppo$e que l’ex- périence a déterminé la force qu’une telle charge peut donner à la bombe, il s’en$uit qu’on connoît le parametre de la para- bole qu’elle doit décrire; pui$que ce même parametre e$t qua- druple de la ligne de hauteur, dont le projectile à dû tomber pour acquérir une force égale à celle qu’il reçoit de la poudre; $oit _p_ ce parametre. Comme l’on connoît l’angle M G F dela verticale avec la ligne de but G F, on connoîtra au$$i l’angle de cette derniere ligne avec l’horizontale: donc au triangle rectangle G H F on connoîtra le côté H F & le côté G H. Nous nommerons H F, _d_; & partant G H $era _aa_-_dd_: enfin la ligne E H qui détermine l’angle d’inclinai$on demandé $era nommée _x_. Cela po$é, il e$t vi$ible, à cau$e du triangle rec- tangle G H E, que la ligne de projection G E e$t _aa_-_dd_+_xx_; d’ailleurs la ligne de chûte E F = _d_ + _x_, & comme ces deux lignes $ont en progre$$ion avec le parametre (art. 999), on aura E F: G E :: G E : G M, ou _d_ + _x_: _aa_-_dd_+_xx_ :: _aa_ - _dd_ + _xx_: _p_; d’où l’on tire _px_+_pd_=_aa_-_dd_+_xx_. Or donnant cette équation, & la ré$olvant $uivant les regles ordinaires, on aura d’abord _xx_ -_px_=_dd_+_pd_-_aa_; & en- $uite _x_={1/2} _p_ ± _dd_+_pd_+{1/4}_pp_-_aa_. Nous allons faire voir que ces deux valeurs de _x_, con$truites $uivant la formule algébrique, $ont préci$ément les mêmes que celles que nous avons ci-devant déterminé géométriquement.

Dans les con$tructions précédentes, on a d’abord $ur la ligne G F élevée une perpendiculaire indéfinie G A; au point B, milieu du parametre M G, on a élevé une autre perpen- diculaire B A qui coupe la premiere en A. Du point A comme [0609]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. centre avec le rayon A G, on a décrite une portion de cercle qui a déterminé $ur la verticale F E les points E, E qui don- nent deux inclinai$ons différentes pour jetter la bombe en F. Ain$i il faut faire voir que des deux lignes E F, E F, la plus pe- tite e$t {1/2}_p_ - _dd_+_pd_+{1/4}_pp_-_aa_, & la plus grande {1/2}_p_+_dd_+_pd_+{1/4}_pp_-_aa_. Par con$truction les triangles G H F, G B A $ont $emblables, & donnent GH : HF :: GB : BA, & analytiquement _aa_-_dd_: _d_ :: {_p_/2} : {_pd_/2_aa_-_dd_}: doncle rayon A G $era égal à {_p_<_>2_d_<_>2/4_a_<_>2-4_dd_}+{_pp_/4}. Je fais en$uite attention que pour avoir E H (_x_) il faut déterminer A O parallele à B G, & terminé en O à la ligne D E parallele à G H. O E = D E-D O =G H- G N ou G H - A B, & analytiquement O E = _aa_-_dd_-{_pd_/2_aa_-_dd_}; & à cau$e du triangle rectangle A O E, A O = A E<_>2 - O E<_>2: donc l’expre$$ion algébrique de A O $era {_p_<_>2_d_<_>2/4_aa_ - 4_dd_} + {_pp_/4} - _aa_ + _dd_ - {_p_<_>2_d_<_>2/4_aa_-4_dd_} + _pd_; ce qui $e réduit à _dd_+_pd_+{_pp_/4}-_aa_: donc E H (_x_), ou B G-B D ={1/2}_p_-_dd_+_pd_+{1/4}_pp_-_aa_; d’où il $uit évidemment que la con$truction géométrique e$t parfaitement d’accord avec l’analy$e, & qu’elle nous donne les mêmes $olutions. C. Q. F. T. & D.

COROLLAIRE I.

1012. Il $uit delà, comme nous l’avons déja remarqué, que le problême aura toujours deux $olutions, tant que le radical _dd_+_pd_+{1/4}_pp_-_aa_ $era quelque cho$e. 2°. Il e$t évident que dans le cas où {1/4}_pp_+_pd_+_dd_=_aa_, le problême ne peut avoir qu’une $olution; il n’e$t pas moins évident que la ligne E F devenue pour lors F I touche le cercle au $eul point I, pui$que l’expre$$ion _dd_+_pd_+{1/4}_pp_, e$t le quarré de {1/2}_p_+_d_, qui e$t égale à F I, & qu’il n’ya a que dans le cas où {1/2}_p_+_d_=_a_, que cette ligne e$t tangente. Enfin $i {1/4}_pp_+_pd_+_dd_, e$t plus grand que _aa_, le problême $era impo$$ible, & l’on en con- clueroit qu’il faut augmenter la charge du mortier.

[0610]NOUVEAU COURS COROLLAIRE II.

1013. Si la ligne de but G F au lieu d’être au de$$ous de l’horizon étoit au de$$us, la formule $erviroit toujours à faire connoître les angles d’inclinai$ons demandés; il n’y auroit qu’à faire F H = - _d_, & la formule deviendroit _x_ = {1/2}_p_ ± {1/4}_pp_-_pd_+_dd_-_aa_, $ur laquelle on feroit les mêmes rai$onnemens que $ur la premiere. La con$truction de cette formule revient encore à celle de la figure 344.

COROLLAIRE III.

1014. Enfin $i la ligne de but e$t horizontale, on tirera encore de cette formule la con$truction de la premiere figure, en fai$ant _d_=_o_, d’où l’on tire _x_={1/2}_p_± {1/4}_pp_-_aa_. Ain$i la formule que nous venons de donner renferme tous les cas po$$ibles.

COROLLAIRE IV.

1015. On remarquera encore que dans toutes les po$itions po$$ibles de la ligne de but avec la ligne horizontale, la plus grande partie du jet $era toujours celle qui e$t déterminée par _Figure_ 343. {1/4}_pp_=_aa_, ou par {1/4}_pp_+_dd_=_aa_+_pd_, ou par _aa_={1/4}_pp_ _Figure_ 344. +_pd_+_dd_, parce que dans tous ces cas la ligne de chûte e$t _Figure_ 345. la tangente de la portion de cercle G I M, & que cette tan- gente détermine la plus grande portée du jet.

PROPOSITION XIV PROBLEME.

_1016._ Con$truction d’un in$trument univer$el pour jetter les _Figure_ 346. bombes $ur toutes $ortes de plans.

On fera un cercle de cuivre ou de quelqu’autre matiere $o- lide & polie, & on divi$era $a circonférence en 360 parties égales ou degrés: on appliquera à un de $es points G une regle fixe G N, qui le touche au point G, & qui $oit égale à $on diametre G B. On divi$era cette regle en un grand nombre de parties égales, comme en 200 parties; & on y attachera un filet avec un plomb D, en$orte néanmoins que le filet pui$$e couler le long de la regle, en s’approchant ou s’éloignant du point G. On expliquera l’u$age de cet in$trument dans les pro- blêmes $uivans.

[0611]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. U$age de l’in$trument univer$el pour le jet des bombes. PROPOSITION XV. PROBLEME.

_1017._ Trouver par le moyen de l’in$trument univer$el, quelle _Figure_ 339. hauteur il faut donner à un mortier pour jetter une bombe à une di$tance donnée, $uppo$ant que le lieu où l’on veut la jetter $oit de niveau avec la batterie.

Pour ré$oudre ce problême, il faut commencer par faire une épreuve, en jettant une bombe avec la charge qu’on $e propo$e de tirer, qui$era, par exemple, de deux livres de pou- dre; & $uppo$ant que la bombe a été jettée à 400 toi$es, $ous un angle que l’on aura pris à volonté, qui $era, $i l’on veut de 30 degrés, il faut chercher le parametre: ain$i l’angle MGE étant de 30 degrés, l’angle GEF $era au$$i de 30 de- grés, parce que la ligne de chûte E F e$t parallele au parametre MG: & comme l’angle E G F e$t de 60 degrés, & qu’on con- noît la ligne F G de 400 toi$es, l’on trouvera, par la Trigo- nométrie, que la ligne de chûte E F e$t de 693 toi$es, & que la ligne de projection G E e$t de 800 toi$es. Or cherchant une troi$ieme proportionnelle à 693 & à 800 toi$es, l’on trouvera qu’elle e$t de 923 toi$es, qui e$t la valeur du parametre G M.

Cela po$é, $i l’on veut $çavoir à quels degrés d’élevation _Figure_ 346. il faut pointer le mortier pour cha$$er une bombe à 250 toi$es avec une charge de deux livres de poudre, il faut faire une regle de Trois, en di$ant: Si 923 toi$es, valeur du parametre, donnent 250 toi$es pour la di$tance donnée, combien donne- ront 200, valeur du diametre de l’in$trument, c’e$t-à-dire valeur de la ligne NG, pour le nombre de $es parties que je cherche, qu’on trouvera de 54.

Pré$entement il faut mettre la regle N G parfaitement de niveau, & faire gli$$er le filet K D ju$qu’au nombre 54, & le filet venant à couper la circonférence du cercle de l’in$tru- ment aux deux endroits C, marquera que le problême a deux $olutions, & qu’il doit être pointé $ous un angle moitié du nombre des degrés compris dans les arcs G C. Or comme le plus grand e$t de 148 degrés, & que le plus petit e$t de 32 de- grés, prenant leurs moitiés, qui $ont 74 & 16, le mottier [0612]NOUVEAU COURS pointé à l’une ou l’autre de ces élevations, cha$$era la bombe à la di$tance propo$ée.

DÉMONSTRATION.

Pour faciliter la démon$tration de la pratique précédente, nous $uppo$erons que la ligne G F e$t la di$tance donnée, c’e$t- à-dire qu’elle vaut 250 toi$es, & que la perpendiculaire G M e$t le parametre que l’on a trouvé. Or $i l’on décrit un demi- _Figure_ 347. cercle M E G, & que l’on mene la ligne F E parallele à G M, & que l’on tire les lignes G E aux points où cette parallele coupe le cercle, l’on aura les angles M G E de l’élévation du mortier, pour jetter la bombe au point F, comme on l’a dé- montré ci-devant (art. 1000). Pré$entement $i l’on imagine que la regle N G de l’in$trument $oit mi$e d’alignement avec la ligne de but G F, & que les diametres M G & G B $oient au$$i d’alignement, & que le filet K D $oit encore à l’endroit où on l’a po$é, c’e$t-à-dire au point 54, l’on aura, $elon la pratique du problême, G M : G F :: G B : G K, parce qu’on peut prendre ici le diametre G B pour la longueur de la regle G N, ces deux lignes étant égales. Cela étant, à cau$e de la proportion, la perpendiculaire K D coupera le demi-cercle G C B, de la même façon que la perpendiculaire F E coupe le demi-cercle M E G: ain$i les lignes E G & G C n’en fai$ant qu’une $eule E C, comme les lignes M G & G B, l’arc M E $era égal à l’arc C B ou G C, qui e$t la même cho$e: ain$i ces arcs $eront de 32 degrés; & comme l’angle M G E n’a pour me$ure que la moitié de l’arc M E, il ne vaudra que 16 degrés, qui e$t l’élevation qu’il faudra donner au mortier, $i l’on veut pointer au de$$ous de 45 degrés: ain$i l’on voit que l’on trouve, par le moyen de l’in$trument, les mêmes cho$es que l’on a trouvées ci-devant (art. 1008) avecle demi-cercle M E G. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

1018. Il $uit delà que lor$que le filet K D, au lieu de cou- _Figure_ 348. per le demi-cercle G C B, ne fait que le toucher en C, le mortier pointé $ous la moitié de l’arc G C, qui e$t 45 degrés, cha$$era la bombe le plus loin qu’il e$t po$$ible avec la même charge, pui$que pour lors la ligne E F touchera au$$i le demi- cercle M E G; enfin que $i le filet K D ne touchoit ni ne cou- [0613]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. poit le cercle, le problême $era impo$$ible; pui$que dans ce cas la ligne E F ne peut pas toucher non plus, ni couper le demi-cercle M E G.

PROPOSITION XVI. PROBLEME.

_1019._ Trouver quelle élevation il faut donner au mortier pour _Figure_ 349 & 350. cha$$er une bombe à une di$tance donnée, $uppo$ant que l’endroit où l’on veut jetter la bombe $oit plus haut ou plus has que la bat- terie, & cela en $e $ervant de l’in$trument univer$el.

Suppo$ant que de l’endroit G, où $eroit une batterie de mortiers, on veuille jetter des bombes à l’endroit F beaucoup plus élevé ou plus bas que le plan de la batterie, il faut com- commencer par chercher, en $e $ervant de la Trigonométrie, la di$tance horizontale G H, qui e$t l’amplitude de la para- bole; & connoi$$ant le parametre de la charge dont on vou- dra $e $ervir, que je $uppo$e être le même que celui du pro- blême précédent, c’e$t-à-dire de 923 toi$es, la charge étant encore de deux livres de poudre, l’on dira: comme le para- metre e$t à la di$tance G H, ain$i la longueur G N de la regle divi$ée en 200 parties e$t à la longueur G K, qui donnera un nombre de ces parties. Or $uppo$ant qu’on a trouvé 60 parties, l’on fera gli$$er le filet K D $ur le nombre 60, où il faudra le tenir fixe; en$uite on appuyera le cercle de l’in$trument $ur un endroit où il pui$$e être $table; & l’ayant mis bien verticale- ment, on vi$era le long de la regle N G le lieu donné F, & le filet K D coupera le cercle aux points C, où il déterminera les arcs C G: & $i l’on prend la moitié du nombre des degrés contenus dans l’un ou l’autre de ces arcs, l’on aura la valeur de l’angle que doit faire le mortier avec la verticale pour jetter la bombe au point F.

DÉMONSTRATION.

Ayant élevé $ur la ligne horizontale G H la perpendicu- _Figure_ 351 & 352. laire G M égale au parametre, & $ur le plan G F la perpendi- culaire G A, on fera l’angle A M G égal à l’angle A G M, & du point A on décrira une portion de cercle M E G, & du point F on menera la ligne F E parallele à G M, qui coupera le cercle aux points E, auxquels menant les lignes G E, l’on [0614]NOUVEAU COURS aura les directions G E qu’il faut donner au mortier pour jetter une bombe à l’endroit F (art. 1008). Or $i on place l’in$tru- ment de maniere que la regle N G $oit d’alignement avec le diametre G O, & que le filet K D $oit toujours à l’endroit où on l’a po$é dans l’opération, l’on verra que le demi-cercle G C B e$t coupé par la perpendiculaire K D de la même façon que le demi-cercle O E G e$t coupé par la perpendiculaire E F; ce qui $e prouve a$$ez de $oi-même, $ans qu’il $oit be$oin de répéter ce qui a déja été dit ailleurs à ce $ujet.

AVERTISSEMENT.

Comme l’on peut $e $ervir de la Trigonométrie pour jetter des bombes par une méthode toute différente de celle que nous venons d’en$eigner, voici deux propo$itions dont on pourra faire u$age dans les occa$ions où l’on n’auroit pas d’in$trumens tel que celui dont nous venons de parler; il e$t vrai que tout ce que nous allons en$eigner ne peut avoir lieu que lor$que l’objet où l’on veut jetter les bombes e$t de niveau avec la bat- terie; mais comme cela $e rencontre pre$que toujours, je ne me $uis pas $oucié de donner une méthode pour en jetter dans un lieu qui $eroit plus bas ou plus haut que la batterie, parce que les opérations m’ont paru trop longues par la Trigono- métrie. Il faut remarquer que nous allons $uppo$er dans les propo$itions $uivantes, que le mortier fait $on angle d’éléva- tion avec la ligne horizontale, quoique dans la pratique l’on pourra, $i l’on veut, le former avec la verticale.

PROPOSITION XVII. THÉOREME.

_1020._ Si l’on tire deux bombes avec la même charge à diffé- rentes élévations de mortier, je dis que la portée de la premiere bombe $era à celle de la $econde, comme le $inus d’un angle double de l’élévation du mortier pour la premiere bombe, e$t au $inus de l’angle double de l’élévation pour la $econde.

Ayant élevé $ur l’extrêmité B de la ligne horizontale B P _Figure_ 353. une perpendiculaire B N à volonté, on la divi$era en deux éga- lement au point M, pour décrire le demi-cercle N G B; en- $uite ayant tiré les lignes B G & B K, pour marquer les deux inclinai$ons différentes du mortier, on les prolongera de ma- [0615]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. niere que K A $oit égal à K B, & que G D $oit égal à B G, & des extrêmités A & D, l’on abai$$era les perpendiculaires A C & D E $ur la ligne horizontale B P; en$uite $i par le point K l’on mene la ligne I L parallele à B C, l’on aura I K égal à K L, & A L égal à L C, à cau$e des paralleles I B & A C: ain$i I K $era moitié de B C; & menant au$$i par le point G la ligne F H parallele à B E, l’on aura encore F G égal à G H, & par con$équent F G $era la moitié de B E.

DÉMONSTRATION.

Con$idérez que l’angle D B E ayant pour me$ure la moitié de l’arc G O B, la ligne G F étant le $inus de l’angle G M B, elle $era le $inus d’un angle double de l’angle D B E, & que de même l’angle A B C ayant pour me$ure la moitié de l’arc K G B, la ligne K I étant le $inus de cet arc, ou bien de $on complément, qui e$t la même cho$e, elle $era le $inus d’un angle double de l’angle A B C. Or la ligne B C étant double de I K, & la ligne B E double de F G, l’on aura donc B C: B E :: IK: F G. Mais $i à la place des demi-amplitudes B C & B E, l’on prend les amplitudes entieres B Q & B P, c’e$t-à-dire la portée entiere de chaque bombe, l’on aura comme B Q, portée de la premiere bombe, e$t à B P portée de la $econde, ain$i I K, $inus de l’angle double de l’élévation de la premiere, e$t à F G, $inus de l’angle double de l’élévation de la $econde. C. Q. F. D.

APPLICATION.

1021. Pourtirer des bombes avec une même charge à quelle di$tance l’on voudra, il faut commencer par faire une épreuve: cette épreuve $e fera, par exemple, en chargeant le mortier à deux livres de poudre, & en le pointant à 45 degrés, qui e$t l’élévation où le mortier cha$$era le plus loin avec cette charge, comme nous l’avons déja dit: après avoir tiré la bombe, on me$urera exactement la di$tance du mortier à l’endroit où elle $era tombée, que je $uppo$e qu’on aura trouvée de 800 toi$es. Cela étant fait, $i l’on veut $çavoir quelle élévation il faut donner à un mortier pour envoyer une bombe à 500 toi$es, pour la trouver il faut faire une Regle de Trois, dont le pre- mier terme $oit 800 toi$es, qui e$t la di$tance connue, le $e- cond 500 toi$es, qui e$t la di$tance où l’on veut envoyer la [0616]NOUVEAU COURS bombe, le troi$ieme le $inus d’un angle double de 45 degrés, qui e$t 100000. La regle étant faite, l’on trouvera 62500, qui e$t le $inus d’un angle double de celui que l’on cherche: après l’avoir trouvé dans la Table, l’on verra qu’il corre$pond à 38 degrés 40 minutes, dont la moitié e$t 19 degrés 20 mi- nutes, qui e$t la valeur de l’angle que doit faire le mortier avec l’horizon pour jetter une bombe à 500 toi$es.

PROPOSITION XVIII. THÉOREME.

_1022_. Si l’on tire deux bombes à différens degrés d’élévations avec la même charge, il y aura même rai$on du $inus de l’angle double de la premiere élévation au $inus du double de la $econde, que de la portée de la premiere élévation à la portée de la $econde.

DÉMONSTRATION.

L’angle A B C étant celui de la premiere élévation du mor- _Figure_ 353. tier, & l’angle D B E celui de la $econde, l’on aura encore I K : F G :: B C : B E, ou bien I K : F G :: B Q : B P, qui fait voir que I K, $inus d’un angle double de l’angle A B C, e$t à la ligne F G, $inus d’un angle double de l’angle D B E, comme la premiere portée B Q e$t à la $econde B P.

APPLICATION.

1023. On peut, par le moyen de cette propo$ition, $çavoir à quelle di$tance du mortier une bombe ira tomber, ayant fait une épreuve comme nous l’avons dit ci-devant.

Suppo$ons donc qu’une bombe a été tirée par un angle de 40 degrés, & qu’elle ait été cha$$ée à 1000 toi$es avec une cer- taine charge, on demande à quelle di$tance ira la bombe avec la même charge, le mortier étant pointé à 25 degrés, il faut faire une Regle de Trois, dont le premier terme $oit le $inus d’un angle double de 40 degrés, c’e$t-à-dire le $inus de 80 de- grés, qui e$t 98480, & le fecond le $inus d’un angle double de ce- lui qu’on veut donner au mortier; comme cet angle a été pro- po$é de 25 degrés, on prendra donc le $inus de 50 degrés, qui e$t 76604, & le troi$ieme terme la di$tance où la bombe a été cha$$ée à 40 degrés, que nous avons $uppo$é de 1000 toi$es, la regle étant faite, l’on trouvera pour quatrieme terme 777 [0617]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XIV_. toi$es, qui e$t la di$tance du mortier à l’endroit où tombera la bombe, ayant été tirée $ous un angle de 25 degrés.

PROPOSITION XIX. PROBLEME.

_1024_. Connoi$$ant l’amplitude d’une parabole décrite par une _Figure_ 353. bombe, $cavoir quelle e$t la hauteur où la bombe s’e$t élevée au de$$us de l’horizon.

Nous $ervant de la figure précédente, où l’on a $uppo$é que la ligne B A marquoit l’élévation du mortier, l’on peut dire que cette ligne e$t la tangente de la parabole B L Q; & qu’ain$i la $outagente A C $era double de l’ab$ci$$e L C (art. 614), qui e$t ici la hauteur où la bombe aura été élevée $ous l’angle A B C. Suppo$ant cet angle de 70 degrés, l’amplitude B Q de 300 toi$es, la demi-amplitude B C $era de 150 toi$es: ain$i dans le triangle A B C l’on connoît l’angle A B C de 70 degrés, le côté B C de 150 toi$es, & l’angle droit B C A: ain$i par le calcul ordinaire de la Trigonometrie, l’on trouvera le côté A C de 412 toi$es, dont la moitié, qui e$t 206 toi$es, $era la valeur de la ligne L C, c’e$t-à-dire la hauteur où la bombe $e $era élevée.

PROPOSITION XX. PROBLEME.

_1025_. Connoi$$ant la hauteur où une bombe s’e$t élevée, $çavoir la pe$anteur ou le degré de mouvement qu’elle a acquis en tombant par $on mouvement accéléré.

Suppo$ant qu’une bombe de 12 pouces $oit tombée de 206 toi$es de hauteur, $a vîte$$e $era exprimée par la racine quarrée de $a chûte (art. 959), c’e$t-à-dire par la racine quarrée de 206, qui e$t 14 {1/3}. Cela po$é, l’on $çait que la force ou la quan- tité du mouvement d’un corps, e$t le produit de $a ma$$e par $a vîte$$e (art. 931). Or comme les bombes de 12 pouces pe$ent environ 140 livres, l’on peut regarder cette quantité comme la valeur de la ma$$e, qui étant multipliée par la vîte$$e, qui e$t 14 {1/3}, donnera 2006 pour la quantité de mou- vemens, ou la force de la bombe.

[0618]NOUVEAU COURS DE MATH. _LIV. XIV_. REMARQUE.

1026. Par les deux problêmes précédens, l’on voit qu’il e$t facile de $çavoir la force des bombes qui $ont cha$$ées $ous dif- férens degrés d’élévations, pui$que connoi$$ant leurs ampli- tudes, on connoîtra les hauteurs où elles $e $ont élevées, & par con$équent leur vîte$$e, qu’il ne faudra que multiplier par la pe$anteur des bombes de mêmes ou de différens calibres, pour avoir des produits, dont les rapports $eront les mêmes que ceux des forces que les bombes auront acqui$es en tom- bant. Ain$i l’on peut $çavoir quel degré d’élévation il fau- droit donner à un mortier de 8 pouces, pour que la bombe de $on calibre tombant $ur un éaifice, comme, par exemple, $ur un maga$in à poudre, fît autant de dommage qu’une bombe de 12 pouces, qui auroit été jettée $ous un angle de direction moindre que celui de la bombe de 8 pouces, cette derniere devant acquérir, par la hauteur de $a chûte, ce qu’elle a de moins en pe$anteur que celle de 12 pouces. Ceci e$t non $eu- lement curieux, mais peut encore avoir $on utilité dans l’at- taque des places.

Fin du quatorzieme Livre. [0619] NOUVEAU COURS DE MATHÉMATIQUE. LIVRE QUINZIEME, Qui traite de la Méchanique Statique.

DE toutes les parties des Mathématiques néce$$aires à un Ingé- nieur, après les élémens de Géométrie, il n’y en a pas de plus importante que celle que nous allons traiter. On l’appelle _mécha-_ _nique $tatique_, parce que nous y con$idérons les machines en repos, ou plutôt en équilibre avec les fardeaux ou les poids qu’on veut enlever par leur moyen. On peut ai$ément $e convaincre de l’avantage qu’il y a de con$idérer ain$i les machines $imples ou compo$ées: car $i l’on connoît la force qui e$t capable de faire équi- libre avec les pui$$ances qui leur $ont appliquées, on $çait, dès-là même, celles qui $ont capables de les $urmonter, en cas qu’il faille vaincre l’équilibre. En un mot, on e$t en état d’apprécier les forces par les ré$i$tances qu’elles ont à vaincre; de déterminer les $itua- tions & les directions les plus avantageu$es, $uivant le$quelles on doit appliquer les forces motrices aux machines dont on fait u$age. Tout nous invite à découvrir les principes des effets que nous voyons exécuter tous les jours. N’y eût-il que la curio$ité, on ne peut s’empêcher de voir avec étonnement un homme, dont la force ordinaire e$t très-petite, faire équilibre à l’aide d’une $imple ma- chine, avec des fardeaux de plu$ieurs milliers, & $ouvent les mettre en mouvement. Bientôt, lor$qu’on a reconnu les vraies cau$es d’effets au$$i $urprenans, on devient, pour ain$i dire, maître des [0620]NOUVEAU COURS mouvemens, à l’aide de la théorie établie $ur ces mêmes principes: leur combinai$on nous découvre une infinité d’avantages particu- liers, applicables aux Arts & aux différentes $ituations dans le$- quelles on peut $e trouver. Quoique le génie de la méchanique, ain$i que les autres talens, $oit un don particulier, qui $emble d’a- bord dépendre beaucoup plus d’une heureu$e di$po$ition des organes qui nous rend inventifs, que des regles générales, il faut cependant regarder comme une vérité inconte$table, que toutes cho$es égales d’ailleurs, celui qui po$$ede les principes du mouvement & de la $tatique, e$t beaucoup plus propre que tout autre à l’exécution d’un grand nombre de manœuvres qui paroîtroient quelquefois imprati- cables: il $çaura combiner avec certitude, calculer les forces des machines qu’on lui pré$entera, & s’épargnera mille tâtonnemens inutiles, mais inévitables pour ceux qui ne $ont pas in$truits comme lui. Il e$t bon de prévenir ici, & de combattre deux erreurs gro$$ieres, dans le$quelles tombent la plûpart de ceux qui s’appli- quent à la méchanique $ans en connoître les loix. Ayant ob$ervé la prodigieu$e augmentation des forces dans certaines machines, ils s’imaginent pouvoir les augmenter à leur gré, en multipliant les leviers ou les roues. Ce qui $eroit vrai dans un état parfait & dans la métaphy$ique de la méchanique, devient faux par l’aug- mentation des frottemens qui $ont inévitables dans les machines, telles que celles dont on e$t obligé de faire u$age. Une erreur à peu près $emblable, & qui a toujours $a $ource dans l’ignorance, e$t celle de certaines per$onnes qui ayant exécuté une machine en petit, en concluent avec la derniere a$$urance qu’elle doit produire les mêmes effets en grand. Ils ne font pas attention que les corps $emblables croi$$ant en pe$anteur dans la rai$on des cubes des di- men$ions homologues, les frottemens croi$$ent dans la même rai$on; ce qui e$t cau$e que dans certaines machines la force $ur laquelle ils comptent pour produire l’effet qu’ils annoncent, e$t employée toute entiere, & $ouvent n’e$t pas encore capable de vaincre les frotte- mens. Il e$t bien vrai qu’une machine qui produit certain effet en grand, en produira un proportionnel en petit; mais le réciproque n’e$t jamais vrai: ain$i il faut toujours compter $ur une augmen- tation con$idérable de forces dans les machines que l’on exécute. Les meilleures $ont celles où cette augmentation parde$$us la pro- portion du modele avec la machine en grand $e trouve être la plus petite, toutes cho$es égales d’ailleurs. Il y a encore un troi$ieme défaut dans ceux qui ignorent la $tatique, & qui cependant ont un [0621]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. goût décidé pour cette partie. Mais on commence à craindre le ridi- cule, en cherchant le mouvement perpétuel, & l’on $e per$uade ai$ément, quand on n’e$t pas entêté de $es idées, qu’il y a des recher- ches plus dignes de notre attention, après les efforts inutiles de ceux qui ont voulu trouver la $olution de ce problême, qui e$t or- dinairement l’écueil des mauvais Méchaniciens, comme la qua- drature du cercle e$t celui des médiocres Géometres.

CHAPITRE PREMIER, _Dans lequel on donne l’introduction à la Méchanique._ DÉFINITIONS. I.

1027. L A _méchanique_ e$t une $cience qui con$idere les rap- ports qui $e rencontrent entre les pui$$ances ou les forces ap- pliquées $ur les corps pour les mouvoir par le moyen des ma- chines. Ain$i la méchanique pri$e en général, e$t la $cience des mouvemens, & par con$équent la comparai$on des ma$$es des corps, celle de leur vîte$$e, fait néce$$airement partie de la méchanique, envi$agée $ous ce point de vue.

II.

1028. Si l’on détermine les rapports qui doivent $e trouver entre un certain nombre de pui$$ances, pour leurs forces ab$o- lues, & leurs directions, afin de produire l’équilibre, la mé- chanique en général devient une partie déterminée, & $e nomme _méchanique $tatique_: $on objet e$t de mettre les forces en équilibre, ou $i elles y $ont, de déterminer les rai$ons qui concourent à l’établir.

III.

1029. Nous avons déja dit que toute _force mouvante_ ou _pui$$ance_, e$t ce qui peut mouvoir un corps, & par con$équent les corps en mouvement $ont des forces motrices, pui$qu’il e$t démontré par l’expérience qu’ils peuvent faire mouvoir les autres. Nous n’examinons pas ici $i cette propriété e$t atta- chée e$$entiellement aux corps en mouvement, ou $i elle ne dépend que de la volonté de Dieu qui a établi la communica- tion du mouvement par le moyen du choc.

[0622]NOUVEAU COURS IV.

1030. _L’équilibre_ e$t l’état d’un corps en repos, tiré par plu- $ieurs forces, qui tendent à le mouvoir. Un corps $u$pendu, au moyen d’un cordon, e$t en équilibre, & tire autant le cor- don de haut en bas, qu’il e$t lui-même tiré de bas en haut par ce même cordon. Cette machine nous pré$ente la maniere dont $e fait l’équilibre, & nous montre qu’en général il ne peut y avoir d’équilibre qu’entre deux forces égales, & directe- ment oppo$ées. Si donc il y a plus de deux forces en équi- libre appliquées à un même corps, ce que l’on a à faire e$t de déterminer, par le moyen d’une force connue, comment toutes les autres, dont les directions $ont données, $e compo- $ent en une $eule égale & directement oppo$ée à la premiere, afin de produire l’équilibre.

V.

1031. On appelle _poids_, l’effort qui $ollicite les corps à de$cendre au centre de la terre. Dans les corps de même ma- tiere, les poids $ont proportionnels aux volumes, & par con- $équent $e déterminent par les regles de la Géométrie. Comme les me$ures doivent être homologues aux cho$es dont elles $ont la me$ure, les poids naturellement doivent $e me$urer par des poids. Celui auquel on rapporte les autres, e$t regardé comme l’unité, quoiqu’il pui$$e contenir un nombre indéfini de parties égales: ain$i la livre, qui e$t la me$ure ordinaire des poids, e$t regardée comme l’unité, quoiqu’elle contienne $eize parties égales, qui $ervent à me$urer les corps d’un moin- dre poids, & ain$i des autres me$ures plus petites.

1032. Il y a deux manieres de repré$enter une force. La premiere & la plus naturelle, e$t d’exprimer l’effort dont elle e$t capable par les poids auxquels elle peut faire équilibre. Ain$i une pui$$ance capable de $outenir un poids de 20 livres e$t une force de 20 livres. Mais comme il s’agit moins des forces ab$olues que des rapports qu’elles ont entr’elles, les Géometres $ont convenus de dé$igner les forces par des lignes. Ain$i ayant repré$enté une force de 4 livres par une ligne d’une certaine longueur, une force triple ou quadruple, c’e$t-à-dire de 12 ou de 16 livres, $era repré$entée par une ligne triple ou quadruple de la premiere. Dans la théorie du mouvement, nous avons déterminé les forces par les e$paces qu’elles font [0623]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV._ parcourir à des corps égaux en tems égaux: ain$i les lignes qui repré$entoient les forces motrices, $ont les expre$$ions na- turelles de ces forces. Ici ces lignes dé$ignent les rapports qui $e trouvent entre les poids des forces appliquées aux corps. Au re$te de quelque maniere que l’on les con$idere, on verra que cela revient toujours au même.

VI.

1033. La ligne de _direction_ d’une pui$$ance e$t la ligne $ui- vant laquelle elle tend à mouvoir le corps en cas qu’elle $oit $eule, & que le corps cede à $on impre$$ion. Une même force ne peut pas agir $uivant plu$ieurs directions à la fois: ain$i une force $eule qui tire un corps ne peut le mouvoir que $ui- vant une ligne droite: il faut encore remarquer que l’on ne doit me$urer l’effort d’une force appliquée à un corps que par la ré$i$tance qu’elle éprouve de la part de ce corps: car $i le corps a une ma$$e de dix livres, il ne détruit qu’une force de dix livres dans la pui$$ance qui agit $ur lui, quand même elle $eroit en état de vaincre une force de 100 livres; c’e$t ce que les Méchaniciens entendent par ce principe général: _l’action_ _e$t égale à la réaction._

VII.

1034. On appelle _machines_ tous les in$trumens propres à faire mouvoîr ou à arrêter le mouvement des corps; il y en a de _$imples_ & de _compo$ées_.

1035. Les machines $imples $ont au nombre de $ix, $çavoir, le _levier_, la _roue dans $on ai$$ieu_, la _poulie_, le _plan incliné_, le _coin_, & la _vis_.

1036. Les _machines compo$ées_ $ont $ans nombre, & dépen- dent des différentes combinai$ons de celles-ci, pri$es en tel nombre qu’on le juge à propos.

VIII.

1037. On appelle _centre de gravité_ d’un corps un point par lequel ce corps étant $u$pendu, demeure en équilibre dans toutes les $ituations imaginables. Il $uit delà que la pui$$ance qui e$t appliquée à ce point, arrête tous les efforts de la pe$anteur des parties qui compo$ent ce corps: donc on peut concevoir que cette même pe$anteur e$t réunie à ce point. Nous verrons par la $uite la maniere de déterminer les centres de gravité des [0624]NOUVEAU COURS principales figures & des principaux corps qui peuvent être mis en u$age. Cette recherche ne peut être que trés-utile dans la méchanique.

AXIOME.

1038. Le poids d’un corps agit avec la même force dans tous les points de $a direction. Concevons un corps attaché à une corde flexible, & fai$ons ab$traction du poids de cette corde: il e$t évident que ce corps tire toujours autant le point auquel il e$t attaché par cette corde, quelle que $oit la longueur de la corde. Cela $uppo$e que la force qui pou$$e le corps au centre de la terre e$t toujours la même. Cette fau$$e $uppo$ition ne peut être $en$ible dans les plus grandes di$tances, relative- ment aux machines.

AVERTISSEMENT.

Après avoir con$idéré dans le Traité du mouvement le pa- rallélogramme des forces, c’e$t-à-dire la compo$ition des forces, pour déterminer la vîte$$e que les forces compo$antes procu- rent au mobile, nous allons reprendre la même que$tion par rapport à la méchanique $tatique, c’e$t-à-dire con$idérer quelle e$t la force capable de faire équilibre avec les forces com- po$antes.

PROPOSITION I. THÉOREME.

_1039_. Si un corps K e$t pou$$é à la fois par deux pui$$ances _Figure_ 354. égales repré$entées par les côtés _A B, A C_ d’un quarré _A B D C_, & dirigées $uivant ces mêmes côtés, je dis qu’il décrira la diago- nale _A D_ du même quarré dans le tems qu’il eût décrit le côté _A C_, s’il n’avoit été pou$$é que par une $eule force.

DÉMONSTRATION.

Il e$t d’abord évident que le corps doit $e mouvoir $ur la diagonale A D : car ne pouvant aller que par un $eul chemin, & $e trouvant entre deux forces motrices entiérement égales, il n’y a pas de rai$on pour qu’il s’approche plutôt de l’une que de l’autre; ce qui arriveroit, s’il décrivoit toute autre ligne que la diagonale. Pour $çavoir pré$entement $i la force ré$ultante e$t repré$entée par la même diagonale, je nomme _x_ cette même ré$ultante, dont la longueur e$t inconnue, & je fais [0625]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV._ attention que $i des deux forces égales A C, A B il en ré$ulte une $eule force _x_: pareillement ces mêmes forces peuvent être regardées comme les ré$ultantes, chacune de deux forces égales, di$po$ées de la même maniere qu’elles le $ont elles- mêmes par rapport à la ré$ultante _x_, & proportionnelles à ces mêmes forces: mais ces forces font un angle de 45 degrés avec la diagonale: donc leurs compo$antes doivent être pri$es, deux $ur la ligne E A F perpendiculaire à la diagonale, & deux autres $ur la diagonale elle-même. On aura donc cette pro- portion, la ré$ultante _x_ e$t à $a compo$ante A B, que je nom- merai _a_, comme la même compo$ante A B, pri$e pour ré$ul- tante des forces A E & A G, e$t à $a compo$ante A E; d’où l’on tire cette analogie, _x_ : _a_ :: _a_ : {_aa_/_x_} = A E. On démon- trera de même que la force A F e$t au$$i égale à {_aa_/_x_}: donc au lieu des deux forces égales A B, A C, on aura quatre nou- velles forces égales, dont deux A E, A F $ont directement op- po$ées, & $e détrui$ent par con$équent, & deux autres $ont toutes les deux dirigées $uivant A D, & $ont chacune repré- $entées par {_aa_/_x_}. Mais ces deux forces tirant dans le même $ens, $ont les $eules qui forment la ré$ultante inconnue _x_, à laquelle elles $ont égales. On aura donc cette équation {2_aa_/_x_} = _x_, ou en multipliant par _x_, 2_aa_ = _xx_; d’où il $uit évidemment que la ré$ultante e$t non $eulement dirigée $uivant la diagonale, mais encore égale à cette même diagonale. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

1040. Comme toute ligne peut être regardée comme la diagonale d’un quarré, il s’en$uit qu’au lieu d’une $eule force on peut prendre deux forces compo$antes, repré$entées par les côtés du quarré, dont l’expre$$ion de la premiere e$t dia- gonale: car ces deux nouvelles forces ne produiront pas d’autre effet $ur le mobile que celui qui ré$ultoit de la premiere.

COROLLAIRE II.

1041. Il $uit delà que $i un corps e$t tiré ou pou$$é à la fois par deux forces motrices, repré$entées & dirigées $uivant les côtés A B, A C d’un parallélogramme rectangle, il décrira, par l’effort compo$é des deux pui$$ances, la diagonale A D du [0626]NOUVEAU COURS même parallélogramme, dans le tems qu’il eût décrit l’un ou l’autre des côtés A B, A C, s’il n’cût été pou$$é que par une $eule force M ou N.

DÉMONSTRATION.

Par le corollaire précédent, on peut décompo$er les deux _Figure_ 355. forces A C, A B, chacune en deux autres qui $oient les côtés du quarré, dont ces mêmes lignes $ont les diagonales: de plus, il e$t évident que la ligne A E qui divi$e l’angle droit en deux angles égaux, doit réunir deux de ces quatre forces dans le$quelles nous décompo$ons les premieres compo$antes A B & A C; mais il e$t ai$é de voir que le corps ne peut pas $uivre la ligne A E: car pour cela il faudroit que les forces A H, A I, directement oppo$ées, fu$$ent égales, ce qui e$t impo$$ible, pui$que les lignes ou les forces qu’elles repré$entent $ont dans la rai$on des lignes ou forces A C, A B, qui $ont iné- gales (_par hypothe$e_): donc tandis que le corps $era pou$$é par la $omme des forces A F, A G, dirigées $ur la même ligne, il y aura encore une force repré$entée par A K, différence des forces directement oppo$ées A H, A I. Pour déterminer toutes ces forces, nous nommerons A B, _a_; A C, _b_; on aura A F ou A H = {1/2} _b_<_>2, & de même A I ou A G = {1/2} _aa_: donc A E ou A F + A G = {1/2} _a_<_>2 + {1/2} _b_<_>2; & A K ou A I - A H = {1/2} _a_<_>2 - {1/2} _b_<_>2. Pré$entement voyons $i cette force A K, appliquée perpendiculairement en E, e$t capable de ramener le corps à l’extrêmité D de la diagonale A D; $i cela e$t, il faut que l’angle A E D étant rectangle, on ait A D<_>2 = A K<_>2 + (A F + A G)<_>2. J’éleve donc D E ou A K au quarré, & j’ai {1/2} _a_<_>2 - 2 {1/4} _a_<_>2 _b_<_>2 + {1/2} _b_<_>2 pour le quarré de {1/2} _a_<_>2 - {1/2} _b_<_>2. J’éleve de même A E ou A F + A G = {1/2} _a_<_>2 + {1/2} _b_<_>2 au quarré, & j’ai {1/2} _a_<_>2 + 2 {1/4} _a_<_>2 _b_<_>2 + {1/2} _b_<_>2: ajoutant les deux quarrés en$emble, la $omme e$t _a_<_>2 + _b_<_>2; d’où il $uit que pendant que les efforts conjoints A F, A G font décrire au mobile la ligne A E égale à leur $omme, la force A K ou D E, ramene le corps à l’extrêmité de la diagonale: Donc dans ce cas des forces inégales dirigées $uivant les côtés du parallélogramme rectan- gle & repré$entées par ces côtés, le corps décrit encore la dia- gonale. C. Q. F. D.

[0627]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. OBSERVATION.

1042. On pourroit craindre d’être tombé dans un paralo- gi$me, parce que nous démontrons que le corps, entre les forces A E & A K, qui $ont les côtés d’un parallélogramme rectangle, & qui repré$entent les forces qui agi$$ent $ur lui, décrit la diagonale A D du nouveau parallélogramme; ce qui $emble être préci$ément l’état de la que$tion. Mais il e$t ai$é de $e convaincre que quelles que $oient les forces dans le$quelles on décompo$e les premieres A B, A C, la ré$ultante e$t néce$- $airement égale à la diagonale: c’e$t ce que nous allons faire en peu de mots. Soit _x_ la ré$ultante, dirigée $uivant A E, qui fait un angle quelconque avec la ligne A C, & $oient faits A B = _a_, A C = _b_; pui$que les forces _a_ & _b_ font parcourir _x_, deux forces proportionnelles à _a_ & _b_ feront parcourir A B, pourvu qu’elles $oient di$po$ées de la même maniere que les lignes A B & A C le $ont par rapport à A E; ce qui arrivera $i l’on prend l’une A G $ur A E, & l’autre $ur la ligne A I per- pendiculaire à la diagonale: car A B fait avec A E le même angle que A G fait avec A B, & A C fait avec A E le même angle que A I fait avec A B. Donc les forces dirigées, $uivant ces lignes, $ont di$po$ées à l’égard de A B, comme A B & A C le $ont à l’égard de A E: de même pui$que les forces _a_ & _b_ font parcourir A E ou _x_, deux forces proportionnelles, & di$- po$ées de la même maniere à l’égard de A E, feront parcourir A C; ce qui arrivera, $i l’on prend l’une $ur A E, & l’autre $ur A H, au$$i perpendiculaire à A E. On aura donc ces quatre proportions, A E : A B :: A B : A G, ou _x_ : _a_ :: _a_ : {_a a_/_x_} = A G A E : A C :: A B : A I, ou _x_ : _b_ :: _a_ : {_a b_/_x_} = A I; & encore A E : A C :: A C : A F, ou _x_ : _b_ :: _b_ : {_b b_/_x_} = A F; & en$in A E : A B :: A C : A L, ou _x_ : _a_ :: _b_ : {_a b_/_x_} = A L : donc au lieu des deux forces A B & A C nous en avons quatre, A F, A G, A L, A I, dont les deux dernieres $ont égales, & directement oppo$ées, pui$que nous avons trouvé pour A L & pour A I {_a b_/_x_}, & dontles deux premieres $ont dirigées $ur la même ligne A E, & par con$équent concourent $eules à produire A E; ce qui donne [0628]NOUVEAU COURS {_a a_/_x_} + {_b b_/_x_} = _x_; d’où l’on tire _a a_ + _b b_ = _x x_: ce qui prouve invinciblement que la ré$ultante des quatre nouvelles forces ou des deux compo$antes e$t néce$$airement égale à la dia- gonale. Mais ces quatre forces dans le$quelles on a décom- po$ées les deux premieres A B & A C, font préci$ément le même effet que les forces A H, A F, A I, A G, dans le$quelles nous avions d’abord décompo$é les forces M & N, en regar- dant les lignes A B & A C comme les diagonales des quarrés G I, F H: donc il e$t inconte$tablement démontré que la force D E ou A K a dû ramener le corps K $ur la diagonale A D.

COROLLAIRE III.

1043. Donc $i l’on a une force quelconque, on pourra, $i on le juge à propos, la décompo$er en deux autres forces per- pendiculaires entr’elles, & la regarder comme la ré$ultante ou la diagonale d’un parallélogramme rectangle, dont les côtés expriment les forces ré$ultantes qui l’ont produites; $eulement il faut bien remarquer que comme une même ligne peut être diagonale d’une in$inité de parallélogrammes rectangles diffé- rens, il ne faut pas la décompo$er au hazard, mais examiner la décompo$ition la plus analogue à l’état de la que$tion. On en va voir un exemple dans le corollaire $uivant.

COROLLAIRE IV.

1044. Il $uit encore delà que $i un corps e$t pou$$é à la fois _Figure_ 356. par deux forces M, N, repré$entées par les côtés A C, A B d’un parallélogramme obliqu’angle ou obtu$angle, & dirigées $uivant les mêmes côtés, il décrira encore la diagonale A D dans le tems qu’il eût décrit l’une ou l’autre des lignes A B, A C, en n’obéi$$ant qu’à une $eule force M ou N. Pour s’en convaincre, du point C $ur la diagonale A D, $oit abai$$ée la ligne C F, & formé le parallélogramme A F C H; pareille- ment du point B $oit abai$$ée la perpendiculaire B G à la dia- gonale A D, & $oit achevé le parallélogramme rectangle A I B G: les lignes A H, A F, A I, A G feront le même effet que les forces A C, A B (art. 1043). De plus, les forces repré- $entées par A H, A I $ont évidemment égales, & directement oppo$ées, pui$qu’elles me$urent les hauteurs des triangles égaux A B D, A C D: donc il ne re$te pour mouvoir le corps [0629]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. que les forces con$pirantes A F, A G, dirigées $uivant la dia- gonale: re$te donc à faire voir que leur $omme e$t égal à la diagonale; ce qui e$t évident, à cau$e des triangles rectangles égaux & $emblables B G D, C F A, qui donnent G D = A F: donc encore dans ce cas le corps décrit la diagonale A D du parallélogramme, formé $ur la direction des forces compo- $antes. C. Q. F. 3°. D.

COROLLAIRE V.

1045. Donc quel que $oit l’angle de direction des forces compo$antes, le corps pou$$é par deux forces décrira toujours la diagonale du parallélogramme formé $ur ces directions. Et de plus, $i l’on oppo$e au corps dans la direction de la diago- nale une force repré$entée par cette même ligne, cette force fera équilibre avec les deux autres; pui$que de ces deux forces il n’en ré$ulte qu’une force égale à celle de la diagonale, & à laquelle on $uppo$e la nouvelle force directement oppo$ée.

COROLLAIRE VI.

1046. Donc plus l’angle de direction des pui$$ances com- po$antes $era petit, plus au$$i la ligne ou force ré$ultante $era grande pour les mêmes forces compo$antes: de maniere que le corps $e mouvra avec la $omme des compo$antes dans le cas où ces deux forces $ont dirigées $ur une même ligne; & réciproquement plus cet angle $era obtus, plus la force ré$ul- tante $era petite; en$orte que dans le cas où cet angle devien- droit égal à deux droits, les forces $e détrui$ent réciproque- ment, & le corps e$t emporté dans la direction de la plus forte pui$$ance, & re$te en repos, $i les forces compo$antes $ont égales.

COROLLAIRE VII.

1047. Il $uit encore delà que les trois forces étant repré- $entées par les lignes A B, A C, A D, elles le $ont au$$i par les lignes A B, A D, B D qui forment le triangle A B D: donc elles $ont entr’elles comme les $inus des angles du triangle A B D, pui$que dans tout triangle, les côtés $ont entr’eux comme les côtés oppo$és à ces angles. On aura donc B D: A B : A D :: $in. B A D: $in. A D B: $in. A B D; mais à cau$e des paralleles C D, A B, l’angle C A D = l’angle A D B, l’angle [0630]NOUVEAU COURS B A D = l’angle B A D, & le $inus de l’angle A B D e$t le même que celui de l’angle A B C: donc on aura cette propor- tion, A B : A C : A D :: $in. C A D: $in. B A D: $in. B A C; d’où il $uit que chaque pui$$ance e$t repré$entée par le $inus de l’angle formé par les directions des deux pui$$ances que l’on ne compare pas.

COROLLAIRE VIII.

1048. Il $uit encore delà que $i l’on a trois forces repré- $entées par les lignes P, Q, R à mettre en équilibre, il n’y a qu’à former un triangle A B D avec ces trois lignes ou leurs égales, & achevant en$uite le parallélogramme A B D C, les lignes A B, A C, A D di$po$ées comme elles $e trouveront par la con$truction du parallélogramme, détermineront les $itua- tions re$pectives des pui$$ances données dans le cas de l’équi- libre.

COROLLAIRE IX.

1049. De plus, comme chaque côté A B, A D, B D du triangle A B D peut être pris pour la diagonale du parallélo- gramme à con$truire, il s’en$uit que trois forces pourront re- cevoir trois di$po$itions différentes, & toutes les trois propres à produire l’équilibre.

COROLLAIRE X.

1050. Il $uit encore delà que $i l’on donne un nombre quel- conque de forces déterminées de grandeur & de po$ition qui tirent toutes dans un même plan, & qui $ont appliquées au même corps, on pourra toujours déterminer la ré$ultante de toutes ces forces, $oit pour $a direction, $oit pour $a quantité de force. Pour cela on commencera par chercher la ré$ultante de deux forces quelconques; en$uite on cherchera la ré$ul- tante de cette nouvelle force équivalente aux deux autres, & d’une troi$ieme; ce qui réduira trois forces à une $eule: on continuera le même procédé ju$qu’à ce que l’on n’ait plus qu’une $eule force, & alors la ré$ultante derniere $era celle qu’on demande.

SCHOLIE.

1051. Il $eroit ai$é de déduire encore un grand nombre de corollaires de cette propo$ition, & l’on peut dire même que [0631]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. toute la théorie de la méchanique $tatique n’e$t qu’une $uite de con$équences déduites de ce principe. Il étoit donc de la derniere importance de le démontrer dans toute la rigueur po$$ible: peut-être la démon$tration que j’apporte paroîtra- t’elle un peu longue; mais on $entira bientôt que cette lon- gueur e$t pardonnable, $i l’on veut approfondir les démon$- trations de plu$ieurs Auteurs. Il ne leur e$t pas bien difficile de démontrer que le corps décrit la diagonale, lor$qu’ils ont tellement combiné les forces motrices ou tractives, que le corps e$t néce$$airement obligé de $e mouvoir en diagonale. Ce n’e$t pas là l’état de la que$tion. Il faut, comme le dit M. _d’Alembert_, lai$$er le corps libre de choi$ir telle direction qu’il voudra, & faire voir en$uite que cette direction doit $e trouver ab$olument $ur la diagonale, & que la force ré$ultante doit être repré$entée par cette même diagonale; c’e$t ce que je crois avoir fait dans lesart. 1042 & 1043. Dans ce dernier, la direction e$t pri$e au hazard, & je démontre que la force ré$ul- tante e$t exprimée par la diagonale, quelle que $oit la direction de cette ré$ultante; d’où il $uit que pui$que les quatre forces dont il e$t que$tion dans cet article, produi$ent une diagonale, les quatre dont il étoit que$tion dans le précédent, & qui $ont, ain$i que les quatre premieres équivalentes aux deux forces motrices M & N, doivent au$$i produire une diagonale; d’où il $uit _Figure_ 355. que le corps ne peut pas décrire la ligne AE; ce qui fixe par con$équent la direction du corps $ur la diagonale. J’ai au$$i $uppo$é deux forces $implement motrices: car $i la propo$ition e$t vraie dans ce cas, elle le $era au$$i dans le cas des forces tractives, parce que l’on peut regarder la force qui meut un corps, après que la force motrice a agi $ur lui dans un in$tant, comme une force tractive.

CHAPITRE II, Où l’on fait voir le rapport des pui$$ances qui $outiennent des poids avec des cordes.

1052. COMME nous avons con$idéré dans le Traité du Mou- vement la théorie des corps qui $e choquent ou qui $e rencon- trent, celle des corps jettés $elon des directions perpendicu- [0632]NOUVEAU COURS laires, obliques ou paralleles à l’horizon; il $emble que, pour $uivre un ordre dans la méchanique, dont l’objet e$t de con- $idérer en équilibre les corps qui tendent naturellement à $e mouvoir, il e$t néce$$aire d’expliquer, avant toutes cho$es, ce qui a le plus de rapport avec ce qui précéde immédiatement: or ce $era $ans doute la théorie des corps $outenus par des pui$$ances qui $ont en équilibre avec ces corps dans toutes les $ituations qu’on peut leur donner; & c’e$t ce qu’on $e propo$e d’en$eigner dans ce $econd chapitre, parce qu’après cela nous ferons voir dans le troi$ieme les poids qui tendent à rouler $ur des plans inclinés, & le rapport de leur pe$anteur avec les pui$$ances qui les $outiennent en repos.

PROPOSITION. THÉOREME.

_1053_. Si les deux pui$$ances _P & Q_ $outiennent un poids _R_ Pl. XXVII. tendant à $uivre la direction _BR_, je dis que ces deux pui$$ances _Figure_ 360. $eront en équilibre entr’elles, $i elles $ont en rai$on réciproque des perpendiculaires _BC & BG_, tirées d’un des points _B_ de la direc- tion _BR_ $ur les directions _FP & FQ_, c’e$t-à-dire que _P : Q_ :: BG: BC.

DÉMONSTRATION.

Pour que ces deux pui$$ances fa$$ent équilibre entr’elles, il faut qu’elles $oient comme les côtés FE & FD d’un parallé- logramme, dont la diagonale BF exprimeroit la force ou la pe$anteur du poids R, parce que pour lors le poids R étant pris pour la pui$$ance ré$iftante, il $era en équilibre avec les deux pui$$ances agi$$antes, parce qu’il $e trouvera de part & d’autre une égalité de force; mais prenant BD à la place de EF, nous aurons les côtés BD & DF du triangle BDF, qui feront dans la rai$on des pui$$ances P & Q; & comme les côtés BD & DF $ont au$$i dans la rai$on des $inus de leurs angles oppo$és, qui ne $ont autre cho$e que les perpendicu- laires BC & BG, l’on aura donc P : Q :: BC : BG. C. Q. F. D.

De même $i d’un point D de la direction F Q l’on tire les _Figure_ 361. perpendiculaires DG & DC $ur les directions BR & FP, l’on aura le rapport de la pui$$ance P au poids Q, étant en rai$on réciproque des perpendiculaires DC & DG: car à cau$e que [0633]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. ces perpendiculaires $ont les $inus des angles oppo$és aux côtés BF & BD du triangle BDF, l’on aura BD : BF :: DG : DC, ou bien P : R :: DG : DC.

Enfin $i du point E, pris dans la direction de la pui$$ance _Figure_ 362. P, l’on abai$$e les perpendiculaires EG & EC $ur les direc- tions des pui$$ances R & Q, l’on aura encore Q : R :: EG : EC.

COROLLAIRE I.

1054. Il $uit delà que $i l’on $uppo$e que le poids R diminue _Figure_ 363. continuellement, les deux pui$$ances P & Q demeurant les mêmes, la diagonale BF du parallélogramme ED, diminuera à proportion du corps R. Or comme les côtés FD & FE de- meureront les mêmes, l’angle EFD augmentera, parce que les pui$$ances P & Q de$cendront, & le poids R remontera: mais tant que le poids R $era d’une grandeur finie, la diago- nale BF $era toujours une ligne finie, & pourra toujours for- mer le parallélogramme ED, & par con$équent les directions FP & FQ formeront toujours un angle en F.

COROLLAIRE II.

1055. Il $uit delà qu’une corde ne peut jamais être tendue en ligne droite que par une pui$$ance infinie: car $on poids, quelque petit qu’on le $uppo$e, $era toujours d’une grandeur finie, & peut être regardé, étant réuni en un $eul point, comme le poids R attaché à quelqu’un des points F de la même corde.

COROLLAIRE III.

1056. Si des points E & D l’on abai$$e les perpendiculaires _Figure_ 364. EG & DH $ur la direction BR, & qu’on acheve les parallé- logrammes rectangles GI & HK, l’on aura les côtés EI & IE, qui repré$enteront deux forces égales à la force EF, & les deux côtés FK & KD, qui exprimeront au$$i deux forces égales à DF (art. 1045); mais IF & FK $ont deux forces égales qui ne $outiennent aucune partie du poids R: ain$i la partie du poids que $outient la pui$$ance Q, $era exprimée par DK, & la partie du poids que $outient la pui$$ance P, $era exprimée par EI. Il s’en$uit donc que les parties du poids R que $outiennent les pui$$ances P & Q, $ont l’une à l’autre, comme EI e$t à DK, ou comme GF e$t à HF: mais comme [0634]NOUVEAU COURS BH e$t égal à GF, BF exprimera toute la pe$anteur du poids: ain$i l’on aura donc P : R :: EI, ou G F : BF; & de l’autre part Q : R :: D K ou HF : BF.

COROLLAIRE. IV.

1057. Mais $i la pui$$ance Q étoit dans la ligne horizontale _Figure_ 365. ED, & que la pui$$ance P fût au de$$us de l’horizontale, cette pui$$ance $outiendra elle $eule tout le poids R: car ayant achevé le parallélogramme rectangle BE, la perpendiculaire HE ex- primera la partie du poids R, que porte la pui$$ance P; mais HE e$t égal à la diagonale BF, qui exprime toute la pe- $anteur du poids: ain$i la pui$$ance P $outiendra tout le poids.

COROLLAIRE V.

1058. Mais $i la pui$$ance Q étoit au de$$ous de l’horizon- _Figure_ 366. tale HL, & la pui$$ance P au de$$us, il arrivera que la pui$- $ance P $outiendra non $eulement tout le poids R, mais en- core la partie du poids que $outiendroit la pui$$ance Q, $i elle étoit autant au de$$us de l’horizontale HL, comme elle $e trouve ici au de$$ous: car ayant formé les parallélogrammes rectangles IH & GK, la ligne EH exprimera ce que porte la pui$$ance P, & la ligne FK exprimera l’effort que fait la pui$- $ance Q. Or comme FK e$t égal à IB, il s’en$uit que E H ou IF e$t compo$é de B F & de BI, c’e$t-à-dire de B F, qui exprime la pe$anteur du poids, & de BI qui e$t la partie du poids R que $outiendra la pui$$ance Q, $i elle étoit autant au de$$us de l’horizontale H L qu’elle e$t au de$$ous: ce qui fait voir que la pui$$ance P $outient plus que la pe$anteur du poids R.

COROLLAIRE VI.

1059. Enfin il $uit delà que $i l’on a un corps pe$ant HI, _Figure_ 367. $outenu par deux pui$$ances P & Q, ces deux pui$$ances $eront en équilibre, $i elles $ont en rai$on réciproques des perpendi- culaires F G & F C, tirées d’un des points de la direction B F $ur celles des pui$$ances P & Q: car $i l’on $uppo$e que toute la pe$anteur du corps H I $oit rama$$ée autour de $on centre de gravité F pour $ormer le poids R, il faudra, pour $outenir ce poids, que P $oit à Q, comme B E e$t à B D, ou comme F D e$t à B D. Or comme les $inus des angles dans le triangle [0635]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. FBD $ont dans la même rai$on que leurs côtés oppo$és, FG étant le $inus de l’angle FBG, & FC le $inus de l’angle BFD, pui$qu’il e$t celui de $on alterne CBF, l’on aura FD : BD :: FG : FC, ou bien BE : BD :: FG : FC; par con$équent P : Q :: FG : FC.

Mais $i le corps pe$ant HI étoit appuyé par une de $es ex- trêmités H, & $outenu $eulement à l’extrêmité I par la pui$- $ance Q, cette pui$$ance Q $era au poids R, comme BD e$t à BF; & comme ces lignes $ont les côtés du triangle BFD, elles $eront dans la rai$on des $inus des angles BFD & BDF, qui $ont les perpendiculaires EG & EC; ce qui fait voir que la pui$$ance Q e$t au poids R dans la rai$on réciproque des perpendiculaires E C & E G, tirées d’un des points E de la di- rection de la pui$$ance P $ur celles des pui$$ances Q & R.

CHAPITRE III. Du Plan incliné. DÉFINITIONS.

1060. ON appelle _plan incliné_ toute $uperficie inclinée à l’horizon, le long de laquelle on fait mouvoir un poids. Ce plan peut toujours être exprimé par l’hypoténu$e d’un triangle rectangle.

PROPOSITION. THEOREME.

_1061_. Si une pui$$ance _Q_ $outient un poids $phérique _P_ par une Pl. XXVIII. ligne de direction _D E_, parallele au plan incliné _A B_, je dis, _Figure_ 369. _1°_. que la pui$$ance $era au poids, comme la hauteur du plan in- cliné e$t à $a longueur, c’e$t-à-dire que _Q : P :: BC : BA_.

_2°_. Que $i le poids e$t $outenu par une pui$$ance _Q_, qui tire _Figure_ 370. $elon une direction _DE_, parallele à la ba$e _AC_ du plan, la pui$- $ance $era au poids comme la hauteur du plan e$t à la longueur de $a ba$e, c’e$t-à-dire que _Q : P :: BC : AC._

DÉMONSTRATION DU PREMIER CAS.

Si l’on tire la ligne DF perpendiculaire $ur le plan incliné _Figure_ 369. AB, cette ligne $era la direction de la pui$$ance ré$i$tante: & [0636]NOUVEAU COURS fai$ant le parallélogramme I G, le côté D G exprimera une des pui$$ances agi$$antes, & le côté D I l’autre pui$$ance agi$- $ante, & ces deux pui$$ances agi$$antes en$emble $eront en équilibre avec la pui$$ance ré$i$tante D F; mais ces deux pui$- $ances étant l’une à l’autre comme D G e$t à D I, $eront comme les côtés I F & I D du triangle rectangle D I F; & comme ce triangle e$t $emblable au triangle A B C, l’on aura I F, ou D G : I D :: B C : B A, ou bien Q : P :: B C : B A.

DÉMONSTRATION DU SECOND CAS.

1062. Si la direction D E de la pui$$ance Q e$t parallele à _Figure_ 370. la ba$e A C du plan incliné, il $era facile de prouver que Q : P :: B C : C A: car $i la ligne D F e$t perpendiculaire $ur A B, elle exprimera encore la pui$$ance ré$i$tante; & $i l’on fait le parallélogramme rectangle I G, l’on aura Q : P :: D G : D I. Or $i à la place du D G on prend I F, l’on aura les côtés I F & I D du triangle rectangle D I F, qui $eront comme Q e$t à P : & comme ce triangle e$t $emblable au triangle A C B, l’on aura F I : I D :: B C : C A, ou bien Q : P :: B C : C A.

1063. Mais $i la ligne de direction D E de la pui$$ance Q _Figure_ 371. n’étoit point parallele au plan incliné A B, ni à $a ba$e A C, & que cependant la pui$$ance & le poids fu$$ent en équilibre, en ce cas la pui$$ance $era au poids dans la rai$on réciproque des perpendiculaires F I & F L : car ayant fait le parallélo- gramme K G, l’on aura toujours Q : P :: D G : D K, ou G F; mais les côtés D G & G F du triangle G D F $ont comme les $inus de leurs angles oppo$és, qui $ont les perpendiculaires E I & F L : ain$i l’on aura D G : G F ou D K :: F I : F L, ou bien Q : P :: F I : F L. L’on trouvera comme dans les propo$itions précédentes le rapport de chacune des pui$$ances agi$$antes P & Q à la ré$i$tance R, qui e$t l’effort que le poids P fait contre le plan A B.

COROLLAIRE I.

1064. Il $uit delà que $i deux corps P & Q $e $outiennent _Figure_ 371. mutuellement $ur des plans diver$ement inclinés par des lignes R P & R Q, paralles à ces plans, ils $eront entr’eux comme les longueurs des plans, c’e$t-à-dire que P : Q :: B A : B C : car comme B D e$t la hauteur commune des deux plans, la pui$- $ance qui $eroit en R ne fera pas plus d’effort pour $outenir [0637]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. le poids, que pour $outenir le poids Q, c’e$t-à-dire qu’elle pourroit être la pui$$ance commune: ain$i comme le rapport de la pui$$ance R à la hauteur D B, e$t le même pour chaque plan incliné, le rapport des plans & des poids $era au$$i le même.

COROLLAIRE II.

1065. De même $i deux poids P & Q $e $outiennent mu- _Figure_ 373. tuellement $ur des plans diver$ement inclinés par des lignes de directions paralleles aux ba$es, ces deux poids $eront en- tr’eux comme les longueurs des ba$es, c’e$t-à-dire que P : Q :: D A : D C : car comme B D e$t la hauteur commune des deux plans, la pui$$ance R pourra devenir commune pour les deux poids. Ain$i comme le rapport de la hauteur B D à la pui$$ance de part & d’autre $era le même, le rapport des poids & des ba$es $era au$$i le même.

COROLLAIRE III.

1066. Il $uit encore delà que lor$qu’une pui$$ance Q tire _Figure_ 369. ou pou$$e un poids P par une ligne de direction parallele au plan, la pui$$ance e$t au poids comme le $inus B C de l’angle d’inclinai$on B A C du plan e$t au $inus total A B, & que par con$équent la pui$$ance e$t toujours moindre que le poids.

COROLLAIRE IV.

1067. Enfin l’on peut dire encore que lor$qu’une pui$$ance _Figure_ 370. Q tire ou pou$$e un poids P par une ligne de direction parallele à la ba$e A C du plan incliné, la pui$$ance e$t au poids, comme le $inus B C de l’angle d’inclinai$on B A C e$t au $inus A C de $on complément A B C; ce qui fait voir que la pui$$ance e$t égale au poids, lor$que l’angle d’inclinai$on e$t de 45 degrés, & qu’elle e$t plus grande que le poids, lor$que l’angle d’in- clinai$on e$t au de$$us de 45 degrés.

[0638]NOUVEAU COURS CHAPITRE IV. _Du Levier_. DEFINITIONS.

1068. _LEvier_ e$t une verge inflexible con$idérée $ans pe$an- teur, à trois points de laquelle il y a trois pui$$ances appliquées, deux de$quelles, qui $ont les _agi$$antes_, agi$$ent d’un certain $ens, & ont leurs directions dans un même plan; & la troi- $ieme, qui e$t la _ré$i$tante_, agit d’un $ens directement oppo$é aux deux autres, entre le$quelles elle e$t toujours.

PROPOSITION. THÉOREME.

1069. _Deux pui$$ances_ P & Q _que l’on compare, $eront en_ _équilibre, $i elles $ont en rai$on réciproque des perpendiculaires_ D G & D H, _tirées du point d’appui_ D _$ur les lignes de direc-_ _tions_ C A & C B _des pui$$ances_ P & Q : _ain$i il faut prouver que_ P : Q :: D H : D G.

DÉMONSTRATION.

Si du point D l’on tire les lignes D E, D F paralleles aux lignes de directions C A, C B, l’on aura un parallélogramme E F, dont la diagonale C D exprimera la force de la pui$$ance qui ré$i$te aux deux pui$$ances P & Q; le côté C E exprimera la force de la pui$$ance P, & le côté C F celle de la pui$$ance Q : ain$i l’on aura P : Q :: E C, ou D F : F C; mais dans le triangle D C F, l’on $çait que les $inus des angles $ont dans la même rai$on que leurs côtés oppo$és: l’on aura donc le côté D F e$t au côté C F, comme le $inus de l’angle D C F e$t au $inus de l’angle C D F. Or comme D H e$t le $inus de l’angle D C F, & que D G e$t le $inus de l’angle C D F, pui$qu’il e$t celui de l’angle alterne E C D, $i à la place de D F on prend E C, l’on aura E C : F C :: H D : D G, & $i au lieu de E C & F C l’on prend les pui$$ances P & Q, l’on aura encore P : Q :: D H : D G. C. Q. F. D.

[0639] [0639a] [0640] [0641] [0641a] [0642] [0643] [0643a] [0644] [0645] [0645a] [0646] [0647] [0647a] [0648] [0649] [0649a] [0650] [0651]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. COROLLAIRE I.

1070. Il e$t clair que $i le point C s’éloignoit de plus en plus des trois points A, D, B, de $orte que les directions A C, D C, B C des trois pui$$ances P, R, Q, devin$$ent enfin pa- ralleles, elles $eront perpendiculaires ou obliques; $i elles $ont obliques, l’on aura encore P : Q :: D H : D G : car les lignes _Figure_ 374 & 375. D H & D G $ont des perpendiculaires tirées $ur les lignes de directions des pui$$ances P & Q; de plus à cau$e des triangles $emblables D A G & D B H, l’on pourra à la place des lignes D H, D G, prendre les lignes D B & D A, d’où l’on tire P : Q :: D B : D A; c’e$t-à-dire que deux pui$$ances appliquées aux extrêmités des bras d’un levier, $ont en équilibre, lor$- qu’ayant leurs directions paralleles, elles $ont en rai$on réci- proque des bras du levier, c’e$t-à-dire $i P : Q :: D B : D A.

REMARQUE.

1071. L’on peut remarquer ici en pa$$ant, que $i deux pui$- _Figure_ 377. $ances portent un poids E, appliqué dans le milieu d’un levier, elles $eront également chargées; car il y aura même rai$on de P à Q, que de C B à C A : mais comme C B e$t égal à C A, la pui$$ance P $era égale à la pui$$ance Q. Et $i au contraire le poids F, e$t plus près de A que de B, comme le poids F, la pui$$ance P $era plus chargée que la pui$$ance Q, pui$que l’on aura P : Q :: D B : D A. Ain$i d’autant le bras $era plus grand que le bras D A, d’autant la pui$$ance P $era plus chargée que la pui$$ance Q.

COROLLAIRE II.

1072. Mais $i l’on a un levier A B, dont le point d’appui _Figure_ 377. $oit à une des extrêmités A, & que de deux pui$$ances appli- quées aux points D & B, l’une tire $elon la direction D Q, & l’autre $elon la direction B P en $ens contraires, ces deux pui$$ances $eront encore en équilibre, $i elles $ont en rai$on réciproque des perpendiculaires A G & A H, tirées du point d’appui A $ur leurs lignes de directions: car fai$ant le parallé- logramme E F, le côté C F exprimera la force de la pui$$ance P, & la diagonale C D celle de la pui$$ance Q, pour que ces deux pui$$ances $oient en équilibre. Et comme dans le triangle C F D, les côtés C F & C D $ont dans la rai$on des $inus de [0652]NOUVEAU COURS leurs angles oppo$és, l’on aura C F : C D :: A H : A G, ou bien P : Q :: A H : A G.

COROLLAIRE III.

1073. L’on peut dire encore, comme dans le coroll. I, que _Figure_ 377 & 378. $i le point C s’éloignoit de plus en plus à l’infini des points D & B, en$orte que les lignes de directions B P & D Q de- vin$$ent paralleles & perpendiculaires au levier A B, les pui$- $ances P & Q demeureront toujours en équilibre: car dans ce cas la perpendiculaire A G deviendra égale à la longueur du levier A B, & la perpendiculaire A H égale au bras A D, & l’on aura encore P : Q :: A D : A B.

COROLLAIRE IV.

1074. Par con$équent $i une pui$$ance P $outient un poids _Figure_ 379. Q à l’aide d’un levier A B, en$orte que le poids $oit dans le milieu D, le point d’appui à l’extrêmité A, & la pui$$ance à l’extrêmité B, cette pui$$ance ne $outiendra que la moitié du poids Q; car l’on aura P : Q :: A D : A B : ain$i A D étant la moitié de A B, P $era la moitié de Q.

COROLLAIRE V.

1075. Donc $i le poids, au lieu d’être dans le milieu du le- vier, étoit au point C plus près de A que de B, la pui$$ance $era moins chargée qu’elle n’étoit auparavant: car l’on aura toujours P : Q :: A C : A B. Et comme A C e$t moindre que C B, P $era moindre que la moitié de Q.

COROLLAIRE VI.

1076. Il $uit delà que $i la pui$$ance étoit appliquée à un Pl. XXIX. _Figure_ 380. point quelconque D du levier A B, & que le poids fût à l’ex- trêmité B, la pui$$ance & le poids $eront encore en équilibre, s’il y a même rai$on de la pui$$ance au poids, que du levier A B au bras A D.

COROLLAIRE VII.

1077. Si l’on a un levier A B, dont le point d’appui $oit en _Figure_ 381. E, deux poids P & Q attachés aux extrêmités A & B $eront en équilibre, s’ils $ont en rai$on réciproque des bras du levier, c’e$t-à-dire $i P : Q :: E B : E A : car nous avons démontré que deux pui$$ances dans cet état étoient en équilibre, $i au lieu [0653]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. des pui$$ances l’on met des poids qui leur $oient équivalens, ils feront le même effet, & $eront par con$équent en équi- libre.

COROLLAIRE VIII.

1078. Il $uit encore delà que $i l’on a deux poids appliqués _Figure_ 381. aux extrêmités d’un levier ou d’une balance, on pourra tou- jours trouver le point d’appui, autour duquel les deux poids $eront en équilibre, en di$ant: Comme la $omme de deux poids P & Q e$t à toute la longueur de la balance A B, ain$i le poids P e$t à la longueur du bras B E, qui donnera le point E pour le point d’appui.

Par la même rai$on connoi$$ant les bras A E & E B avec un poids P, l’on trouvera toujours l’autre poids Q, en di$ant: comme le poids P e$t au bras E B, ain$i le bras A E e$t au poids Q.

COROLLAIRE IX.

1079. Il $uit encore delà qu’ayant une verge A B d’une pe- _Figure_ 382. $anteur quelconque, on pourra trouver un point tel que F, par lequel la verge étant $u$pendue, elle $oit en équilibre avec le poids C : car il n’y a qu’à divi$er la verge A B en deux également au point D, & $uppo$er que $a pe$anteur e$t ra$- $emblée autour de $on centre de gravité pour avoir le poids E, en$uite chercher dans la verge A D, qui n’a plus de pe$an- teur, un point d’appui F, en di$ant: comme la $omme des deux poids C & F e$t à la longueur A D, ain$i le poids E e$t au au bras A F.

COROLLAIRE X.

1080. Enfin l’on peut dire qu’ayant deux poids C & D ap- _Figure_ 383. pliqués aux deux extrêmités d’une balance A B, à laquelle on $uppo$e une pe$anteur, pour trouver un point d’appui, autour duquel la pe$anteur de la balance & celle des poids $oient en équilibre, il faut d’abord chercher un point d’appui tel que E, autour duquel les deux poids C & D $oient en équi- libre, en fai$ant ab$traction de la pe$anteur de la balance; en- $uite $uppo$er que les poids C & D $ont réunis dans le $eul poids G au centre de gravité E, & que la pe$anteur de la ba- lance e$t au$$i réunie dans le poids F autour de $on centre de gravité H, & regardant la longueur E H comme une balance [0654]NOUVEAU COURS aux extrêmités de laquelle $ont les poids G & F, on en cher- chera le point d’appui, en di$ant: Comme la $omme des deux poids G & F e$t à la longueur E H, ain$i le poids F e$t au bras E I, qui donnera le point I, qui $era celui autour duquel la pe$anteur de la balance & celle des poids C & D $eront en équilibre.

COROLLAIRE XI.

1081. Enfin $i l’on a une verge ou balance A B d’une cer- _Figure_ 384. taine pe$anteur avec un poids I $u$pendu à l’extrêmité A, & qu’on prenne le point C pour le point d’appui, & que l’on veuille trouver dans le bras C B un endroit où un poids tel que H, aidé de la pe$anteur de la balance, $oit en équilibre avec le poids I, il faut divi$er la balance A B en deux égale- ment au point E, & $uppo$er que $a pe$anteur $oit réunie dans le point F; en$uite chercher la partie du poids I, qui fera équilibre avec le poids F, ou autrement avec la balance, en di$ant: Comme le bras A C e$t au poids F, ain$i le bras C E e$t à la partie du poids I qui doit faire l’équilibre, qui $era, par exemple, la partie K. Pré$entement pour trouver le point G, où le poids H doit être $u$pendu pour être en équilibre avec ce qui re$te du poids I, qui e$t la partie L, il faut dire: Comme le poids H e$t au bras A C, ain$i le poids L e$t au bras C G, que l’on trouvera après avoir déterminé la pe$anteur de la balance A B, & celles des poids I & H.

L’on tire de ce corollaire le moyen de faire la balance romaine, que l’on nomme au$$i _pe$on_.

REMARQUE.

1082. Il y a encore une autre maniere de démontrer l’é- _Figure_ 385. quilibre dans les machines dont nous n’avons pas encore parlé, mais qui s’entendra ai$ément, $i l’on $e rappelle ce qui a été en$eigné dans le Traité du Mouvement.

Par exemple, pour prouver que deux poids P & Q attachés aux extrêmités d’un levier A B, $ont en équilibre, s’ils $ont en rai$on réciproque des bras E B & E A, c’e$t-à-dire $i P : Q :: E B : E A.

Con$idérez que le poids P ne peut $e mouvoir qu’il ne fa$$e au$$i mouvoir le poids Q. Or $uppo$ant que le poids P pui$$e emporter le poids Q, dans le tems que le poids P décrira l’arc [0655]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. A F, le poids Q décrira l’arc G B : ain$i l’arc A F marquera la vîte$$e du poids P, & l’arc G B la vîte$$e du poids Q en tems égaux. Mais nous avons fait voir (art. 933) que deux corps avoient une même quantité de force, lor$qu’ils avoient des ma$$es & des vîte$$es réciproques: ain$i ces deux poids auront des forces égales, $i P : Q :: G B : A F. Or, $elon la $up- po$ition, P : Q :: E B : E A : ain$i prenant E B & E A à la place de G B & A F, qui $ont dans la même rai$on, l’on aura P : Q :: E B : E A : par con$équent ces deux poids ayant une même force, lor$qu’ils $ont dans la rai$on réciproque des bras du levier, demeureront en équilibre, pui$que l’un ne fera pas plus d’effort pour $e mouvoir que l’autre.

COROLLAIRE.

1083. Il $uit delà que $i à la place du poids Q on $uppo$e _Figure_ 385. une pui$$ance, cette pui$$ance $era encore en équilibre avec le poids P, s’ils $ont en rai$on réciproque de leurs chemins ou des vîte$$es, qu’ils ont en tems égaux, c’e$t-à-dire $i la pui$$ance Q e$t au poids, comme le chemin ou la vîte$$e A F du poids e$t au chemin ou à la vîte$$e G B de la pui$$ance: c’e$t pourquoi lor$que l’on fera voir dans les machines que le che- min de la pui$$ance & celui du poids $ont en rai$on réciproque de la pui$$ance & du poids, on prouvera toujours que la pui$- $ance & le poids $ont en équilibre.

Par exemple, pour prouver que $i une pui$$ance Q appli- _Figure_ 386. quée à l’extrêmité d’un levier, $outient un poids P, que la pui$- $ance & le poids $eront en équilibre, $i Q : P :: A F : A B. Imaginons que la pui$$ance & le poids $e $oient mus, en$orte que le levier A B ait pris la $ituation A D, la vîte$$e de la pui$- $ance $era l’arc D B, & la vîte$$e du poids l’arc E F; & dans l’état de l’équilibre, l’on aura Q : P :: E F : D B, & $i à la place des arcs l’on prend les rayons, l’on aura Q : P :: A F : A B.

DÉFINITIONS.

1084. Comme nous n’avons point mis de différence entre les leviers dont nous venons de faire mention, & que cepen- dant le point d’appui, ou la pui$$ance ré$i$tante change le levier de nature, $elon qu’il e$t placé différemment, nous nommerons _levier du premier genre_ celui qui a une pui$$ance à une extrêmité, un poids à l’autre, & le point d’appui entre [0656]NOUVEAU COURS les deux. Nous nommerons _levier du $econd genre_ celui dont le point d’appui e$t à une des extrêmités, une pui$$ance à l’autre, & le poids entre les deux. Enfin nous nommerons _levier du_ _troi$ieme genre_ celui dont le point d’appui e$t à une des extrê- mités, le poids à l’autre, & la pui$lance entre les deux.

Il y a encore une quatrieme $orte de levier, qu’on appelle _levier recourbé_. Ce levier e$t nommé ain$i, parce qu’il fait un angle au point d’appui; ce qui lui a fait au$$i donner le nom _d’angulaire_. Ce levier $e rapporte toujours au levier du pre- mier genre, parce que la pui$$ance e$t à une des extrêmités, le poids à l’autre, & le point d’appui entre deux.

CHAPITRE V. De la Roue dans $on ai$$ieu. DEFINITIONS.

1085. LA _roue dans $on ai$$ieu_ e$t une machine compo$ée d’une roue attachée par $es rayons fixement à un cylindre, que l’on nomme _treuil_, aux extrêmités duquel $ont des pivots de fer, po$és $ur un affût, qui n’e$t autre autre cho$e qu’un a$- $emblage de pieces de bois, qui $ert à porter la roue & $on ai$$ieu.

La pui$$ance s’applique ordinairement à la circonférence de la roue, qu’elle fait tourner par le moyen des chevilles qui $ont perpendiculaires à $on plan, comme aux roues qui$ervent à tirer les pierres des carrieres: pour le poids, il e$t toujours attaché à une corde qui tourne autour du treuil.

PROPOSITION. THÉOREME.

_1086._ Si une pui$$ance $outient un poids à l’aide d’une roue, & que cette pui$$ance agi$$e par une ligne de direction tangente à la roue, je dis que la pui$$ance $era au poids comme le rayon du treuil e$t au rayon de la roue.

DÉMONSTRATION.

Pour prouver que $i la pui$$ance Q $outient le poids P en [0657]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. équilibre, il y aura même rai$on de Q à P, que du rayon C B _Figure_ 387. du treuil au rayon C A de la roue. Remarquez que la ligne droite A B peut être regardée comme un levier, dont le point d’appui e$t au centre C du treuil, & que la pui$$ance Q étant à une des extrêmités du levier, & le poids à l’autre, l’on aura dans l’état de l’équilibre Q : P :: C B : C A.

Mais $i la pui$$ance, au lieu d’agir $elon la direction A Q, agi$$oit $elon la direction D F, toujours tangente à la roue, la pui$$ance $era encore au poids comme le rayon du treuil e$t au rayon de la roue: car l’angle D C B fait un levier recourbé, dont les bras $ont les rayons C B & C D. Or $i la pui$$ance agit par une ligne de direction D F perpendiculaire au bras C D, elle fera le même effet à l’endroit D qu’à l’endroit A: ain$i le levier recourbé tenant lieu du levier du premier genre (art. 1084), l’on aura toujours Q : P :: C B : C A, ou bien Q : P :: C B : C D. C. Q. F. D.

L’on peut encore démontrer ceci par le mouvement, en con$idérant que lor$que la pui$$ance a fait un tour de la roue, le poids a fait un tour du treuil; mais nous $çavons que la pui$$ance & le poids $ont en équilibre, lor$qu’ils $ont en rai$on réciproque de leurs vîte$$es: ain$i la circonférence de la roue exprimant la vîte$$e de la pui$$ance, & la circonférence du treuil celle du poids, la pui$$ance $era au poids comme la cir- conférence du treuil e$t à la circonférence de la roue; mais prenant les rayons à la place des circonférences, pui$qu’ils $ont en même rai$on, l’on aura la pui$$ance e$t au poids comme le rayon du treuil e$t au rayon de la roue.

CHAPITRE VI. De la Poulie. DÉFINITIONS.

1087. LA _poulie_ e$t une roue de bois ou de métal, qui e$t atta- chée à une écharpe ou chape de fer, qui embra$$e la poulie.

Lor$que la poulie e$t attachée à l’endroit d’une machine d’où elle ne bouge point, on la nomme _poulie fixe;_ & lor$- qu’elle e$t attachée à un poids que l’on veut enlever, on la nomme _poulie mobile_.

[0658]NOUVEAU COURS

Lor$que plu$ieurs poulies $ont enfermées dans la même chape, $oit qu’elles $oient po$ées les unes au de$$us des autres, ou les unes à côté des autres, on les nomme _poulies mouflées_, le$quelles peuvent être toutes en$emble fixes ou mobiles.

REMARQUE.

1088. Dans la théorie de la poulie, comme dans celle de toutes les autres machines, l’on n’a point d’égard aux frot- temens des cordages, ni à celui de la poulie $ur $on ai$$ieu: cependant l’on peut dire que plus la poulie $era grande & l’axe petit, & moins il y aura de frottement.

PROPOSITION. THÉOREME.

_1089_. Si une pui$$ance $outient un poids à l’aide d’une poulie, dont la chape $oit immobile, je dis, _1°_. que la pui$$ance $era égale au poids. _2°_. Que $i la chape e$t mobile, de $orte que le poids qui y $eroit attaché, $oit enlevé par la pui$$ance, cette pui$$ance $era la moitié du poids, lor$que la direction de la pui$$ance & celle du poids $eront paralleles.

DÉMONSTRATION DU PREMIER CAS.

Si l’on con$idere le diametre A B de la poulie, comme un _Figure_ 388. levier du premier genre, pui$que le poids e$t à une extrêmité, la pui$$ance à l’autre, & le point d’appui entre les deux, qui e$t ici le point C. Il faudra, pour que la pui$$ance $oit en équilibre avec le poids, avoir cette proportion, Q : P :: C A : C B. Mais comme l’on a C A égal à C B, pui$que ce $ont les rayons d’un même cercle, l’on aura Q = P. C. Q. F. D.

Pour démontrer ceci par le mouvement, faites attention que $i la pui$$ance Q tire de haut en bas, la corde B Q de la longueur de deux pieds, cela ne $e pourra faire $ans que le poids P ne $oit monté, d’autant que la pui$$ance e$t de$cen- due, c’e$t-à-dire de deux pieds; mais dans l’état de l’équi- libre, la pui$$ance doit être au poids dans la rai$on réciproque de la vîte$$e ou du chemin de la pui$$ance & du poids. Et comme la vîte$$e de l’une e$t égale à la vîte$$e de l’autre, la force de l’une $era égale à la force de l’autre.

[0659]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. COROLLAIRE.

1090. Il $uit delà que les poulies fixes n’augmentent point la force de la pui$$ance, & qu’elles ne $ervent qu’à changer les directions, & à diminuer le frottement, qui $eroit très con- $idérable, $i la corde ne tournoit pas avec la poulie, & étoit obligée de gli$$er ou de pa$$er parde$$us un cylindre immobile; au lieu qu’il n’e$t pre$que que$tion ici que du frottement qui $e fait de la poulie contre $on ai$$ieu, qui e$t bien plus petit que celui que feroit la corde $ur le cylindre immobile, le frottement de l’ai$$ieu étant à celui du cylindre immobile, comme le rayon de l’ai$$ieu e$t à celui de la poulie; ce qui fait voir, comme nous l’avons déja dit, que plus la poulie e$t grande, & l’ai$$ieu petit, moins il y aura de frottement.

DÉMONSTRATION DU SECOND CAS.

Si l’on $uppo$e une poulie A B, au de$$ous de laquelle pa$$e _Figure_ 389. une corde, dont l’un des bouts $oit attaché à un endroit fixe G, & qu’à l’autre bout A E $oit appliquée une pui$$ance Q, ou bien que l’autre bout de la corde pa$$e au de$$us d’une poulie D E, afin que la pui$$ance étant en Q, & tirant de haut en bas, agi$$e plus commodément: enfin que le poids P $oit attaché à l’écharpe C I, il faut prouver que la pui$$ance ne $outient que la moitié du poids.

Pour cela, faites attention que le diametre A B de la poulie peut être regardé comme un levier du $econd genre, dont le point d’appui e$t à l’extrêmité B, la pui$$ance à l’extrêmité A, & le poids dans le milieu. Or $i la pui$$ance e$t en équilibre avec le poids, l’on aura Q : P :: C B : A B; mais le rayon C B, e$t la moitié du diametre A B: donc la pui$$ance Q $era la moitié du poids P.

Il faut remarquer que par ce qui a été démontré dans le premier cas, la poulie D E ne fait autre cho$e ici que faciliter l’action de la pui$$ance, pui$qu’elle n’aura pas plus de force appliquée dans la partie E A de la corde, que dans la partie D Q, comptant toujours pour rien le frottement dans la poulie D E, comme dans la poulie A B.

On démontrera encore ceci par le mouvement, en con$i- dérant que $i la pui$$ance a élevé le poids P de deux pieds, chaque brin de corde G B & E A $era diminué de deux pieds: [0660]NOUVEAU COURS ain$i la pui$$ance Q $era de$cendue de quatre pieds, ou pour mieux dire, le brin D Q $era augmenté de quatre pieds: ain$i le mouvement de la pui$$ance $era double de celui du poids; par con$équent le poids $era double de la pui$$ance, pui$que dans l’état de l’équilibre, la pui$$ance & le poids $ont dans la rai$on réciproque de leurs vîte$$es.

REMARQUE.

1091. Il e$t à remarquer que $i les brins A Q & B G ne $ont point paralleles, l’analogie précédente nc $era plus la même, c’e$t-à-dire que l’on n’aura pas Q : P :: B C : A B; mais que le rapport de la pui$$ance au poids $era dans la rai$on réciproque des perpendiculaires tirées du point d’appui B $ur les lignes de directions du poids & de la pui$$ance. Or pre- nant la ligne A H pour la direction de la pui$$ance, & la ligne C I pour celle du poids, B C $era une perpendiculaire tirée $ur la direction C I du poids, & B F $era une perpendiculaire $ur la direction A H de la pui$$ance: ain$i l’on aura Q : P :: B C : B F. Ce qui e$t facile à entendre, $i l’on a bien compris ce qui a été en$eigné au $ujet du levier.

Mais comme plus la ligne B A e$t grande par rapport à la ligne B C, plus la pui$$ance e$t grande par rapport au poids dans le levier du $econd genre, il s’en$uit que la ligne B F devenant plus petite que B A, lor$que les brins ne $ont pas paralleles, la pui$$ance n’a pas tant de force dans ce cas ci que dans l’autre, & par con$équent il faut que les brins $oient paralleles, pour que la pui$$ance agi$$e avec toute $a force.

CHAPITRE VII. Du Coin. DÉFINITION.

1092. LE _coin_ e$t une machine de fer ou de bois $ervant à élever des corps à une petite hauteur, ou à fendre du bois, qui e$t $on principal u$age. Sa figure e$t ordinairement i$o$- cele, quand il $ert à fendre du bois; mais on $uppo$e qu’elle e$t rectangle, quand on s’en $ert pour élever un corps pe$ant.

On $uppo$e en premier lieu que les faces A O & B O du coin [0661]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV._ $ont égales, & que le bois e$t flexible; de maniere qu’étant commencé à fendre, & le coin introduit par la force qui le pou$$e dans la fente, les faces de la fente $ont pliées en ligne courbe, & que les faces du coin les pou$$ent en deux points I & K, où il y a deux pui$$ances égales, qui ré$i$tent $elon des directions E C & F C perpendiculaires aux faces du coin, & à celle des fentes qui repou$$ent celles du coin, autant qu’elles $ont pou$$ées par le coin, parce que l’action e$t égale à la réaction, en $uppo$ant que la tête du coin e$t frappée en G par un maillet ou une force, dont la direction e$t perpen- diculaire à A B, & pa$$e par l’angle A O B du coin qu’elle divi$e en deux également, pui$que le coin e$t i$o$cele. Or l’objet de ceci e$t de prouver premiérement que dans l’in$tant de l’équi- libre que le coin e$t enchâ$$é, comme on vient de le dire, le bois ne $e fend point, mais il $e $eroit fendu, pour peu que la force du coin eût été plus grande; il faut prouver, dis-je, que dans l’in$tant de l’équilibre les faces du coin pou$$ant celles des fentes en $ont également repou$$ées; ou, ce qui e$t la même cho$e, que les deux efforts qui $e font en I & en K $ont égaux.

Pour cela ayant pris $ur G O, direction de la pui$$ance R, un point quelconque D, & achevé le parallélogramme C E D F, je dis qu’il a tous $es côtés égaux: car les triangles C I O, C K O, rectangles en I & en K, $ont égaux & $emblables, pui$queles angles C O I, C O K $ont égaux, & par con$équent au$$i les angles O C I, O C K; mais l’angle O C F e$t égal à l’angle C D E, étant alternes: donc l’angle O C I égalà O C K, e$t égal à l’angle C D E, & par con$équent C E & D E $ont égales entr’elles, & partant le parallélogramme E F a les quatre côtés égaux; mais dans l’état de l’équilibre, l’action du coin ou la ré$i$tance du bois en I, e$t à l’action du coin ou à la ré$i$tance du bois en K, comme C E, C F: donc pui$que C E & C F $ont égaux, l’effort du coin en I e$t égal à l’effort du coin en K: nommant donc la force qui pou$$e le coin R, & l’effort du coin en I, P, l’effort en K $era au$$i P.

[0662]NOUVEAU COURS PROPOSITION. THÉOREME.

_1093_. La force qui cha$$e le coin e$t à la ré$i$tance du bois, _Figure_ 390. comme la moitié de la tête du coin e$t à la longueur d’un de $es côtés: ain$i il faut prouver, _1°_. que _R : 2P :: A G : A O. 2°_. Que $i une pui$$ance $outient un poids à l’aide d’un coin, la pui$$ance $era au poids, comme la hauteur du coin e$t à $a longueur.

DÉMONSTRATION DU PREMIER CAS.

Il e$t clair que les trois pui$$ances P, P, R peuvent être re- gardées comme agi$$antes contre le point C, où leurs direc- tions concourent: c’e$t pourquoi l’on a R: P:: C D: C E + C F, ou C E + E D; mais les triangles A B O, C D B $ont $emblables: car les triangles A G O, C I O le $ont, ayant chacun un angle droit aux points G & I; & l’angle au point O commun: c’e$t pourquoi C D: C E + D E, ou 2CE :: AB : AO + BO ou 2AO: donc R : 2P :: AB : 2AO, ou R : 2P :: AG : AO, en divi$ant par 2 les deux termes du deuxieme rapport. C. Q. F. D.

DÉMONSTRATION DU SECOND CAS.

Pour démontrer pré$entement que $i une pui$$ance Q $ou- Pl. XXX. tient un poids à l’aide d’un coin A B C, la pui$$ance e$t au _Figure_ 391. poids, comme $a hauteur B C e$t à $a longueur C A, $uppo- $ons que le poids P $oit retenu par une corde G D, attachée à un point fixe D, & qu’une pui$$ance Q pou$$e le coin, en$orte que de l’endroit où il étoit, il $oit parvenu en F A; pour lors le poids P $era monté au $ommet B du coin, ou au $ommet E, qui e$t la même cho$e: alors le chemin de la pui$$ance $era ex- primé par la ligne A C, & le chemin du poids par la ligne CB: car la pui$$ance a été de A en F; ou, ce qui e$t la même cho$e, de C en A dans le même-tems que le poids e$t monté de la hauteur B C ou E A; mais dans l’état de l’équilibre, la pui$$ance & le poids $ont dans la rai$on réciproque de leurs vîte$$es: donc l’on aura Q : P :: B C : C A. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

1094. Il $uit delà que plus la hauteur ou la tête du coin e$t petite, plus la pui$$ance a de force.

[0663]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV._ CHAPITRE VIII. De la Vis.

1095. LA _vis_ e$t de toutes les machines celle qui donne le plus de force à la pui$$ance pour élever ou pour pre$$er un corps, lor$que la pui$$ance $e $ert d’un levier pour la mettre en mouvement; & quoique cette machine $oit connue de tout le monde, voici cependant de la façon qu’il faut la conce- voir, afin de mieux entendre l’analogie que nous en ferons.

Ayant un cylindre A B C D, imaginons que $a hauteur B D _Figure_ 392. e$t divi$ée en un nombre de parties égales, & que par chaque point de divi$ion, comme F & H, l’on a tiré des perpendicu- laires F E & H G à la ligne B D, & que chaque perpendicu- laire $oit égale à la circonférence du cercle du cylindre, c’e$t- à-dire qui auroit A B pour diametre. Or $i l’on tire des lignes E B & G F, l’on aura autant de triangles rectangles E B F & G F H, qu’il y a de parties égales dans la hauteur B D; & $i l’on roule tous ces triangles $ur le cylindre, le point E viendra aboutir en F, & le point G en H, & toutes les hypoténu$es E B & G F ain$i roulés, formeront en$emble une $pirale $ur le cylindre, qui commencera en B, & finira en D; ou autre- ment toutes ces hypoténu$es formeront les filets de la vis, & les hauteurs B F & F H $eront les intervalles de ces filets, que l’on nomme _pas de la vis:_ ain$i l’on peut dire que la vis e$t un cylindre enveloppé de triangles rectangles, dont les hypo- ténu$es E B & G F formeront les filets, les hauteurs B F & F H les pas de la vis, & les ba$es E F & G H le contour du cylindre.

L’écroue dans lequel entre la vis, e$t un autre cylindre creux, dont le diametre e$t égal à celui de la vis, & dont la $urface intérieure e$t compo$ée de triangles rectangles égaux, & $emblables à ceux qui $ont roulés $ur le cylindre pour for- mer la vis: c’e$t ain$i que les Géometres regardent la vis & $on écroue.

Mais afin de tirer de la vis toute l’utilité qu’on en attend, il faut entailler le cylindre entre les filets formés par les hy- poténu$es des triangles rectangles d’une certaine profondeur, [0664]NOUVEAU COURS & diminuer le diametre de l’écroue d’une grandeur égale à la profondeur des entrailles de la vis, & faire les mêmes entailles dans les creux de l’écroue, afin que la vis pui$$e entrer dedans, & y tourner librement: $i l’écroue e$t fixe en tournant la vis, on la fait avancer, & $i c’e$t la vis qui e$t immobile, on fait avancer l’écroue.

Il y a encore une autre $orte de vis, que l’on nomme _vis_ _$ans fin_, qui n’entre point dans un écroue. Elle e$t mi$e en mouvement par une manivelle, ou par une roue dentée, dont les dents gli$$ent le long des pas de la vis, comme on le verra dans les machines compo$ées.

PROPOSITION. THÉOREME.

_1096_. Si une pui$$ance pre$$e ou enleve un poids à l’aide d’une vis, la pui$$ance $era au poids, comme la hauteur d’un des pas de la vis e$t à la circonférence du cercle que décrira la pui$$ance ap- pliquée au levier, par le moyen duquel on meut la vis.

DÉMONSTRATION.

Si l’on $uppo$e que l’écroue C D de la vis $oit immobile $ur _Figure_ 392 & 393. le plan G H, la vis E F étant mi$e en mouvement, fera monter le poids P qui e$t attaché à $on extrêmité F, & $i la pui$$ance Q e$t appliquée à l’extrêmité B d’un levier A B, il faudra, pour faire tourner la vis, qu’elle tourne elle-même. Or dans le tems qu’elle aura décrit une circonférence de cercle, dont le rayon $era A B, la vis aura au$$i fait un tour, & $era montée de la hauteur d’un pas: ain$i le chemin ou la vîte$$e de la pui$- $ance $era exprimé par la circonférence I B, & le chemin ou la vîte$$e du poids par la hauteur d’un pas de la vis; mais dans l’état de l’équilibre, la pui$$ance e$t au poids dans la rai$on réciproque de la vîte$$e de l’une à celle de l’autre: donc la pui$$ance Q e$t au poids P, comme la hauteur d’un pas de la vis e$t à la circonférence décrite par la pui$$ance Q. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

1097. Il $uit delà que plus les pas de la vis $eront $errés, & & le levier long, plus la pui$$ance aura de force. Ain$i $uppo- $ant que les pas de la vis ne $oient éloignés que de deux pouces, [0665]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV._ & que le levier $oit de 6 pieds, ou autrement de 72 pouces, la circonférence du cercle, dont il $era le rayon, $era de 452 pouces: ain$i la pui$$ance $era au poids, comme 2 e$t à 452, ou bien comme 1 e$t à 226: par con$équent une pui$$ance d’une livre $era en équilibre avec un poids de 226 livres.

Nous n’avons point eu d’égard ici au frottement, non plus que dans les autres machines, quoiqu’il $oit con$idérable.

CHAPITRE IX. Des Machines compo$ées.

1098. NOUS avons déja dit que lor$que plu$ieurs machines $imples de mêmes ou de différentes e$peces, $ervent à faire mouvoir un corps, la machine qui étoit compo$ée de toutes celles-là, $e nommoit _machine compo$ée_. Or comme ces $ortes de machines montrent parfaitement l’utilité que l’on tire des méchaniques dans la pratique des Arts, nous allons faire voir les propriétés de celles qui $ont le plus d’u$age.

1099. Mais avant cela, il faut $çavoir que l’effort d’un homme qui agit en pou$$ant ou tirant (comme font ceux qui tournent au cabe$tan, & qui tirent les charrettes), n’e$t que d’environ 25 livres, & que celle des chevaux qui agi$ient de la même maniere, n’e$t que de 175 livres, ou égale à celle de $ept hommes, ce qu’on a connu par expérience.

1100. Que l’effort d’un homme gui tire du haut en bas, peut être d’environ 50 ou 60 liv@es, & même davantage; mais il ne peut agir $i long-tems. il peut même être égal à $on poids; mais alors il ne pourroit agir.

1101. Que l’effort d’un homme qui marche dans une roue e$t égal à $on poids.

1102. Que dans la pratique il faut avoir égard aux frotte- mens, qui $ont d’autant plus grands, que la machine e$t plus compo$ée; aux gro$$eurs des cordes qui alongent les rayons des cylindres de leur demi-diametre; à la gro$$eur des cordes qui augmentent au$$i le rayon du cylindre; d la roideur des mêmes cordes; que $i l’on fait faire plu$ieurs tours à la corde, le rayon du cylindre augmente à chaque tour du diametre de la corde.

[0666]NOUVEAU COURS ANALOGIE DES POULIES MOUFLÉES.

_1103_. Si une pui$$ance $outient un poids à l’aide de plu$ieurs poulies, je dis que la pui$$ance e$t au poids, comme l’unité e$t au double du nombre des poulies d’en bas, qui $ont toujours les poulies mobiles.

DÉMONSTRATION.

Soit H G la moufle d’en haut, qui e$t celle qui doit être _Figure_ 394. fixe, & D K la moufle d’en bas, qui e$t celle qui doit hau$$er & enlever le poids, $oit au$$i un des bouts de la corde atta- ché à l’extrêmité G de la moufle d’en haut; après avoir pa$$é au de$$us des poulies A, B, C, & au de$$ous des poulies D, E, F, en$orte que $on autre extrêmité $oit le bout où e$t appliquée la pui$$ance. Cela po$é, lor$que la pui$$ance tire le bout de la corde pour faire monter le poids, toutes les parties de la corde tirent d’une égale force à la pui$$ance Q; c’e$t pourquoi chacune des poulies d’en bas, D, E, F, porte une égale partie du poids P, c’e$t-à-dire que chacune porte un tiers, parce qu’il y a trois poulies. Or $i l’on con$idere que la poulie F e$t un levier du $econd genre, dont le point d’appui e$t en M, la pui$$ance en N, ou dans la direction N O ou R Q, qui e$t la même cho$e, & le poids dans le milieu F, l’on aura que la pui$$ance e$t au poids comme M N e$t à M F, c’e$t-à-dire que la pui$$ance $era la moitié du poids; mais comme la poulie ne $outient ici que le tiers du poids, la pui$$ance n’en $ou- tiendra que la $ixieme partie, pui$que P : R :: 1 : 6, qui fait voir que la rai$on de la pui$$ance au poids, e$t comme l’unité au double du nombre des poulies D, E, F.

1104. Mais $i l’on avoit une moufle E F immobile, dont les _Figure_ 395. poulies A, B, C, D fu$$ent mi$es les unes à côté des autres, & une moufle mobile L M, dont les poulies G, H, I, K fu$$ent dans la même di$po$ition que celles d’en haut, & qu’une corde dont une des extrêmités $eroit attachée en I, pa$$ât au de$$ous des poulies d’en bas, & au de$$us des poulies d’en haut, tant que l’autre bout étant parvenu à la derniere poulie A fût retenu par une pui$$ance Q, l’on verroit encore que cette pui$$ance e$t au poids, comme l’unité e$t au double du nombre des poulies d’en bas: ain$i comme il y a quatre poulies G, H, I, K, l’on aura Q : P :: 1 : 8.

[0667]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. Autre démon$tration par le mouvement.

1105. Pour prouver que Q : P :: 1 : 6 dans la figure 394, ou _Figure_ 394. que Q : P :: 1 : 8 dans la figure 395, remarquez que pour que le Poids P $oit élevé par la pui$$ance Q d’un pied, il faut que chacune des cordes qui $outient le poids $e raccourci$$e au$$i d’un pied, & qu’ain$i la pui$$ance doit de$cendre d’autant de pieds qu’il y a de brins de cordes qui $e raccourci$$ent: mais il y a deux fois autant de brins de corde qu’il y a de poulies mobiles; ce qui fait voir que la vîte$$e du poids e$t à celle de la pui$$ance, comme l’unité e$t au double du nombre des poulies d’en bas, & par con$équent la pui$$ance & le poids $ont en équilibre, pui$qu’ils $ont en rai$on réciproque de leur vîte$$e.

Application de l’effet des poulies aux manœuvres de l’Artillerie.

1106. De toutes les machines compo$ées, il n’y en a pas _Figure_ 396. qui $oient plus en u$age pour les manœuvres de l’Artillerie, & pour celles qu’on pratique en général, pour élever facilement des corps fort pe$ans, que la chevre. Or pour faire voir ici l’effet de la chevre A B C D, qui e$t équipée de deux poulies mouflées immobiles E, F, & de deux autres mobiles G, H, à la moufle de$quelles e$t attachée une piece de canon pe$ant 4800 livres. Con$idérez que $i la pui$$ance e$t appliquée à la corde E Q, l’on aura Q : P :: 1 : 4; ain$i la pui$$ance ne $outiendra que la quatrieme partie du poids, c’e$t-à-dire 1200 livres; mais la pui$$ance, quand on $e $ert d’une chevre, n’e$t jamais appli- quée aux cordes, elle e$t toujours appliquée à un levier M O, qui pa$$e dans le treuil K L de la chevre. Or $i le treuil a un pied de diametre, & que le levier depuis l’axe du treuil ju$qu à l’endroit où e$t appliquée la pui$$ance, $oit de 5 pieds, ou au- trement de 60 pouces, le rayon du treuil & la longueur du levier feront un levier du $econd genre, dont le point d’appui $era au centre du treuil, la pui$$ance à l’extrêmité O, & le poids à l’endroit I de la circonférence du treuil. Si la pui$$ance $outient le poids en équilibre, il y aura même rai$on de cette pui$$ance au poids, que du rayon du treuil à la longueur du levier, c’e$t-à-dire comme 6 pouces e$t à 60 pouces, ou bien comme 1 e$t à 10; mais à l’endroit I, le poids de 4800 e$t ré- duit à 1200: la pui$$ance qui $eroit appliquée au levier ne $ou- [0668]NOUVEAU COURS tiendra donc que la dixieme partie de 1200 livres, qui e$t 120 livres: ain$i l’on voit qu’une pui$$ance de 120 livres $outient, par le moyen de la chevre, un poids de 4800 livres, & qu’elle en pourroit élever un beaucoup plus pe$ant avec une force même moindre que celle qu’on lui a $uppo$ée ici, en augmen- tant le nombre des poulies, & la longueur du levier.

DÉFINITIONS.

1107. La machine $imple à laquelle une pui$$ance e$t immé- diatement appliquée, & qui donne le mouvement à toutes les autres, e$t nommée la _premiere_; celle $ur laquelle la premiere agit, la _$econde_; & celle $ur laquelle la $econde agit, la _troi_- _$ieme_, ain$i de $uite.

COROLLAIRE I.

1108. Il $uit delà que l’effet de la premiere machine e$t à la cau$e qui fait agir la $econde, comme l’effet de la $econde e$t à la cau$e qui fait agir la troi$ieme, ain$i de $uite ju$qu’à la derniere.

COROLLAIRE II.

1109. Il $uit encore delà que dans les machines compo$ées le rapport de la pui$$ance au poids e$t compo$é de l’effet de la premiere machine à la cau$e qui fait agir la $econde, & de l’effet de la $econde à la cau$e qui fait agir la troi$ieme, ain$i de $uite, ju$qu’à la cau$e qui fait mouvoir le poids: par exem- ple, dans la chevre dont nous venons de parler, le rapport de la pui$$ance Q au poids P e$t compo$ée de celui de 1 à 10, & de celui de 1 à 4: ain$i multipliant les antécédens de ces rap- ports les uns par les autres, & les con$équens au$$i les uns par les autres, on aura {1/40} pour le rapport compo$é, qui e$t celui de la pui$$ance au poids, & qui fait voir que la pui$$ance e$t la quarantieme partie du poids: car {1/40} e$t la même cho$e que {120/4800}, qui e$t le rapport que nous avons trouvé.

DES ROUES DENTÉES. DEFINITIONS.

1110. Lor$qu’une machine e$t compo$ée de plu$ieurs roues, il faut que toutes les roues $oient dentées, excepté la _premiere_, & que toutes les lanternes ou pignons le $oient au$$i, excepté [0669]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. le _dernier_, qui doit être rond, afin que la corde qui enleve le poids, s’entortille à l’entour; il faut au$$i qu’il y ait à chaque extrêmité des pivots des axes, pour pouvoir être aju$tés dans une e$pece d’affût, de maniere que la lanterne ou le pignon de l’axe de la premiere roue engraine dans les dents de la $econde, la lanterne ou le pignon de la deuxieme dans les dents de la troi- $ieme, ain$i de $uite ju$qu’à la derniere. Cette machine, ain$i compo$ée, e$t nommée _machine des roues dentées_, qui e$t pro- pre pour élever de très-gros fardeaux, & d’autant plus gros & plus pe$ans que les roues $eroient en plus grand nombre.

ANALOGIE DES ROUES DENTÉES.

1111. Ayant nommé f le rayon de la premiere roue, à la cir- Pl. XXXI. conférence de laquelle e$t appliquée la pui$$ance, _a_ le rayon de $on _Figure_ 398. pignon, g le rayon de la $econde roue, _b_ celui de $on pignon, h le rayon de la troi$ieme roue, _c_ celui de $on pignon, _k_ le rayon de la quatrieme roue, _d_ celui de $on pignon, l le rayon de la cinquieme roue, & _e_ celui de $on pignon (qui n’e$t point denté), il faut faire voir que le rapport de la pui$$ance _Q_ au poids _P_, e$t comme le produit des rayons des ai$$ieux au produit des rayons des roues.

Si la premiere roue étoit $eule, & que la pui$$ance enlevât par $on moyen le poids P, qui devroit pour cela être $u$pendu au pignon ou au treuil de cette roue, l’on auroit Q : P :: _a_ : _f_; mais l’effet de la premiere roue, au lieu d’être employé à lever un poids, e$t employé à faire tourner la $econde par le moyen des dents de $on pignon qui engraine dans les dents de la $e- conde roue; d’où l’on voit que l’effet de la premiere roue e$t la cau$e qui fait agir la $econde, parce que l’effet des dents de $on ai$$ieu contre les dents de la $econde roue, e$t égal au poids qu’elle pourroit enlever. Il en e$t ain$i des autres. Or $i l’on nomme l’effet de la premiere roue _r_, l’effet de la $econde _$_, celui de la troi$ieme _t_, & celui de la quatrieme _u_, l’on aura pour le premier rapport _q_ : _r_ :: _a_ : _f_, pour le $econd _r_ : _$_ :: _b_ : _g_, pour le troi$ieme _$_ : _t_ :: _c_ : _h_, pour le quatrieme _t_ : _u_ :: _d_ : _k_, enfin pour le cinquieme & dernier rapport, _u_ : _p_ :: _e_ : _l_.

Pré$entement $i l’on multiplie ces cinq proportions terme par terme, c’e$t-à-dire les antécédens par les antécédens, & les con$équens par les con$équens, l’on aura cette proportion, [0670]NOUVEAU COURS _q r $ t u_ : _r $ t u p_ :: _a b c d e_ : _f g h k l_. Et fi l’on divi$e _q_: _r_ :: _a_: _f_ _r_: _$_ :: _b_: _g_ _$_: _t_ :: _c_: _h_ _t_: _u_ :: _d_: _k_ _u_: _p_ :: _e_: _l_ les deux premiers termes par _r $ t u_, l’on aura Q : P :: _a b c d e_ : _f g h k l_; d’où l’on tire cette ana- logie pour toutes les machines compo$ées des roues dentées: _Si une pui$$ance $outient un poids_ _à l’aide de plu$ieurs roues, la pui$$ance e$t au poids_ _comme le produit des rayons des pignons e$t au produit des rayons_ _des roues_.

APPLICATION.

1112. Pour faire voir la force immen$e qu’on peut donner à une pui$$ance, par le moyen des roues dentées, $uppo$ons que la force de la pui$$ance $oit de 50 livres, & que cette pui$- fance $oit appliquée à la premiere roue d’une machine com- po$ée de cinq roues de chacune 12 pouces de rayon, parce que nous les $uppo$ons égales, au$$i-bien que les pignons qui $eront, par exemple, d’un pouce de rayon. Cela po$é, le rap- port du rayon de chaque pignon au rayon de chaque roue, $era comme 1 e$t à 12: ain$i le produit de tous les pignons $era 1, & celui de tous les rayons des roues $era 248832. Or $i l’on veut $çavoir quelle e$t la pe$anteur du poids qu’une pui$$ance de 50 livres, que je $uppo$e être la force d’un homme, pour- roit enlever avec cette machine: je con$idere que $elon ce qui vient d’être démontré, la pui$$ance e$t au poids comme le produit des rayons des pignons e$t au produit des rayons des roues, & que par con$équent le produit des rayons des pignons e$t au produit des rayons des roues, comme la pui$- $ance e$t au poids; ain$i pour trouver le poids, je dis: Si 1, produit des rayons des pignons, donne 248832 pour le pro- duit des rayons des roues, que donnera la pui$$ance de 50 livres pour le poids qu’elle $eroit capable d’enlever? l’on trouvera 12441600, qui e$t le nombre de livres qu’un homme peut en- lever avec une force moyenne, aidée d’une machine com- po$ée de cinq roues dentées.

DU CRIC.

1113. Le cric, dont l’u$age e$t $i fréquent dans l’Artillerie, fait encore voir combien les roues dentées augmentent la pui$- $ance, & pour en calculer la force, con$idérez la figure 397 qui repré$ente à peu près les parties dont l’intérieur e$t com- [0671]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. pofé, qui e$t mis en mouvement par la manivelle A B C, où Pl. XXX. e$t appliquée la pui$$ance; cette manivelle en tournant, fait _Figure_ 397. tourner le petit pignon D, lequel étant engrainé dans la roue E, la fait au$$i tourner. Au centre de cette roue, e$t un autre pignon F, qui fait monter le cric G H, pour enlever le fardeau. Pré$entement $i l’on $uppo$e que la manivelle A B (que nous con$idérons ici comme le rayon d’une roue), $oit de 15 pouces, que le pignon D ait un pouce de rayon, la roue E, 12 pouces au$$i de rayon, & le pignon F deux, l’on connoîtra le rapport de la pui$$ance au poids qu’on peut enlever, en con$idérant le rapport du produit des rayons des pignons au produit des rayons des roues: ain$i le produit des pignons $era 2, & le produit des roues 180; ce qui fait voir que la pui$$ance $era au poids, comme 2 e$t à 180, ou bien comme l’unité e$t à 90. Or $i l’on $uppo$e que la pui$$ance e$t 50, multipliant 50 par 90, l’on aura 4500, qui e$t à peu près le poids qu’un homme peut en- lever par le moyen d’un cric tel que celui que nous venons d’expliquer : & $i au lieu de deux roues il y en avoit davan- tage, l’on voit qu’on peut avec le cric lever des fardeaux d’une pe$anteur immen$e.

De la Vis $ans fin, appliquée aux roues dentées.

1114. La vis $ans fin e$t encore une machine propre à aug- Pl. XXXI. menter extrêmement la force de la pui$$ance, $urtout quand _Figure_ 399. elle met en mouvement plu$ieurs roues dentées. Suppo$ant donc qu’on a une machine compo$ée d’une vis $ans fin, & de trois roues, comme celle de la figure 399, pour $çavoir le rap- port de la pui$$ance Q au poids P, je con$idere que la pui$$ance étant appliquée à une manivelle ou à un levier A B, fera tour- ner la vis, qui mettra en mouvement la premiere roue, à cau$e que les pas de la vis $ont engrainés avec les dents de la premiere roue, dont les pignons qui s’engrainent avec les dents de la $econde roue, la fera tourner au$$i, & le pignon de celle-ci la troi$ieme roue, au pignon de laquelle e$t attaché le poids.

Pré$entement $i l’on nomme _n_ la circonférence du cercle, qui auroit pour rayon le levier A C, _a_ l’intervalle d’un pas de la vis, _f_ l’effet des filets contre les dents de la roue, _g_ le rayon de la premiere roue, _b_ celui de $on pignon, _h_ le rayon [0672]NOUVEAU COURS de la $econde roue, & _d_ le rayon de $on pignon, _k_ le rayon de la troi$ieme roue, & _c_ celui de $on pignon, _t_ l’effet de la premiere roue, & _u_ l’effet de la $econde. Voici comme il faut rai$onner: L’on $çait que la pui$$ance qui e$t appliquée au le- vier d’une vis, e$t à l’effet de la vis, comme l’intervalle d’un des pas de la vis e$t à la circonférence du cercle que décrit la pui$$ance, l’on aura donc cette proportion, _q_ : _$_ :: _a_ : _n_, & _q_ : _$_ :: _a_ : _n_ _$_ : _t_ :: _b_ : _g_ _t_ : _u_ :: _d_ : _h_ _u_ : _p_ :: _c_ : _k_ _q$tu_ : _$tup_ :: _acdb_ : _hgnk_ l’effet de la premiere roue don- nera encore _$_ : _t_ :: _b_ : _g_, l’effet de la $econde _t_ : _u_ :: _d_ : _h_, & celui de la troi$ieme, _u_ : _p_ :: _c_ : _k_. Or multipliant ces quatre propor- tions, termes par termes, l’on aura _q $ t u_ : _$ t u p_ :: _a b c d_ : _h g n k_, & divi$ant les deux premiers termes par _$ t u_, l’on aura Q : P :: _a c d b_ : _h g n k_; d’où l’on tire cette analogie : _Si une pui$$ance enleve un poids à l’aide d’une_ _vis & de plu$ieurs roues dentées, la pui$$ance $era au poids comme_ _le produit de l’intervalle d’un des pas de la vis, par les rayons_ _des pignons des roues, e$t au produit de la circonférence qui décrit_ _la pui$$ance par les rayons des roues_.

APPLICATION.

1115. Pour $çavoir quel e$t le poids qu’une pui$$ance de 50 livres peut enlever par le moyen de la machine précédente, nous $uppo$erons que le rayon C A du cercle que décrit la pui$- $ance e$t de 10 {1/2} pouces; par con$équent la circonférence $era de 66 pouces: de plus qu’un des pas de la vis e$t de 2 pouces, que le rayon de la premiere roue e$t de 24 pouces, & celui de $on pignon de 3, que le rayon de la $econde roue e$t de 20 pouces, & celui de $on pignon de 2, enfin, que le rayon de la troi$ieme roue e$t de 18 pouces, & celui de $on pignon d’un pouce & demi. Cela po$é, $i l’on multiplie les rayons des pi- gnons les uns par les autres, l’on aura 9 au produit, qui étant multiplié par un des pas de la vis, qui e$t de 2 pouces, l’on aura 18 pour un des termes de la proportion; & multipliant au$$i les rayons des roues les unes par les autres, & en$uite le pro- duit par la circonférence que décrira la pui$$ance, l’on aura 570240 pour un autre terme de la proportion: ain$i la pui$- $ance $era au poids, comme 18 e$t à 570240, ou comme 1 e$t à 31680. L’on pourra donc dire comme 1 e$t à 31680, qui [0673]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. e$t le rapport du produit des rayons des pignons par un pas de la vis au produit des rayons des roues par la circonférence dé- crite par la pui$$ance : ain$i 50, qui e$t la force de la pui$$ance, e$t au poids que cette pui$$ance e$t capable d’enlever, l’on trou- vera que ce poids e$t de 1584000 livres.

REMARQUE.

Si un au$$i grand poids que celui que nous venons de trou- ver peut être enlevé par la force moyenne d’un $eul homme avec une vis à trois roues $eulement, ce n’e$t pas $ans rai$on qu’ _Archimede_ di$oit, pour faire voir ju$qu’à quel point on pou- voit augmenter la force de la pui$$ance, que $i on lui donnoit un point fixe pour appuyer $a machine, il ne $eroit pas em- barra$$é d’enlever toute la terre, malgré l’immen$ité de $on poids. _Da punctum, & movebo_.

Machine compo$ée d’une roue, & d’un plan incliné.

1116. Ayant un plan incliné G H, dont la hauteur e$t G I, Pl. XXXI. & un poids P $ur ce plan, où il e$t retenu par une corde B P _Figure_ 401. parallele à G H, dont un des bouts e$t attaché au treuil d’un tourniquet, qui e$t mis en mouvement par une pui$$ance Q, appliquée à un des leviers A Q, A D ou A C, qui $ervent à faire tourner le treuil pour attirer le poids P vers le $ommet G; on demande quel e$t le rapport de la pui$$ance au poids?

Ayant nommé G H, _a_; G I, _b_; le rayon du treuil, _c_; & la longueur d’un des leviers A C, A Q ou A D, _d_; & l’effort que fait la pui$$ance qui $eroit appliquée dans la direction P B pour $outenir le poids P, _$_; l’on aura par la propriété du plan incliné, _$_: _p_ :: _b_ : _a_, & par la propriété de la roue, la pui$$ance Q ne $outenant que l’effort _$_ de l’autre pui$$ance _q_, l’on aura Q : _$_ :: _c_ : _d_. Or multipliant les termes de ces deux propor- tions, l’on aura Q x _$_ : _p$_ :: _bc_ : _ad_, & divi$ant les deux pre- miers termes de cette proportion par _$_, il viendra Q : P :: _bc_ : _ad_, qui fait voir que la pui$$ance e$t au poids, comme le produit du rayon de l’ai$$ieu par la hauteur du plan incliné e$t au pro- duit du rayon de la roue ou de la longueur du levier par la lon- gueur du plan incliné.

APPLICATION.

1117. Il arrive fort $ouvent que pour tirer des corps pe$ans [0674]NOUVEAU COURS d’une cave, comme $ont, par exemple, les muids de vin ou d’eau-de-vie, l’on $e $ert d’un tourniquet pour en faciliter le tran$port: ain$i $i les marches de la cave $ont dans un même plan, l’e$calier pourroit être regardé comme un plan incliné. Si donc la hauteur de ce plan incliné e$t à $a longueur, comme 4 e$t à 6, & qu’ayant un tourniquet à l’entrée de l’e$calier, le treuil $oit, par exemple, de 6 pouces de rayon, & le levier de 36 pouces de longueur, depuis le centre du treuil ju$qu’à l’en- droit où e$t appliquée la pui$$ance; & qu’on veuille $çavoir la pe$anteur du corps qu’une pui$$ance de 50 livres peut $outenir ou attirer à $oi par le moyen du tourniquet, il faut commencer par multiplier le rayon du treuil, qui e$t de 6 pouces, par la hauteur du plan incliné, qui e$t de 4 pieds, ou qu’on peut prendre pour telle, le produit $era 24 pouces; & multipliant la longueur du levier de 36 pouces par 6 pieds, le produit $era 2592 : ain$i la pui$$ance $era au poids qu’elle e$t capable de $outenir, comme 24 e$t à 2592, ou comme 1 e$t à 108 : ain$i pour trouver le poids, il n’y a qu’à dire: Si 1 donne 108, combien donneront 50? l’on trouvera 5400 livres pour le poids que l’on cherche.

DE LA SONNETTE.

1118. Pre$que toutes les machines compo$ées augmentent _Figure_ 400. la force de la pui$$ance, excepté celle que l’on nomme com- munément _$onnette_, dont on $e $ert pour enfoncer des pilots, par le moyen d’un gros billot de bois, tel que A, que l’on nomme _mouton_. Ce mouton e$t attaché par deux mains de fer ou crampons B, $u$pendus à deux cordes qui pa$$ent $ur des poulies G, & à ces cordes $ont plu$ieurs bouts O N, qui $ont tirés tout à la fois par des hommes qui levent le mouton vers G, & le lai$$ent tomber tout d’un coup $ur la tête du pilot C F que l’on veut enfoncer, Mais comme il arrive qu’à me$ure que le pilot s’enfonce, le mouton tombe de plus haut, & ac- quiert par $on accélération un plus grand degré de force; voici comme l’on pourra me$urer la force du mouton à chaque coup, & même $çavoir combien il faudra de coups pour enfoncer un pilot à refus de mouton.

Nous $uppo$erons que le terrein dans lequel on veut enfon- cer le pilot e$t homogene dans toutes $es parties, & qu’au$$itôt que le bout de pilot e$t entré ju$ques un peu au de$$us de la [0675]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. partie que l’on a taillée en pointe, le terrein dans lequel on l’enfonce ré$i$te toujours également, parce que l’on compte pour rien le frottement de la terre qui entoure la $urface du pilot, qui $e trouve de plus en plus couverte, à me$ure que le pilot enfonce.

Cela po$é, je $uppo$e que le mouton A, après avoir été en- levé ju$qu’au plus haut de la $onnette, $e trouve éloigné de 3 pieds de la tête C du pilot, & que l’ayant lai$$é tomber, le pilot $e $oit enfoncé de 13 pouces, de $orte que la tête $era de$cendue de C en D. Or pour $çavoir de combien le pilot $era enfoncé au $econd coup, qui $era plus fort que le pre- mier, parce que le mouton, au lieu de tomber de H en C, tom- bera de H en D; je con$idere que la force ou la quantité de mouvement d’un corps e$t le produit de $a ma$$e par $a vîte$$e, & qu’ain$i la force du corps A, en tombant de H en C, $era à la force du même corps en tombant de H en D, comme le produit de la pe$anteur du corps A par la vîte$$e acqui$e de H en C, e$t au produit de la pe$anteur du même corps par la vîte$$e acqui$e de H en D; mais nous $çavons que les vîte$$es d’un corps qui tombe de différentes hauteurs, peuvent s’ex- primer par les racines quarrées des e$paces parcourus: ain$i nommant _a_ la ma$$e du corps A; _b_ l’e$pace parcouru H C; & _d_ l’e$pace parcouru H D, l’on aura √ _b_ pour la vîte$$e acqui$e de H en C, & √ _d_ pour la vîte$$e acqui$e de H en D: ainfi la force du corps A tombant en C & en D, $era comme _a_ √ _b_ e$t à _a_ √ _d_, ou bien comme √ _b_ e$t à √ _d_. Mais les effets étant comme les cau$es, il s’en$uit que l’enfoncement du pilot au premier coup $era à l’enfoncement du pilot au $econd coup, comme la racine quarrée de l’e$pace parcouru par le mouton au premier coup $era à la racine quarrée de l’e$pace parcourn au $econd coup. Or dans la $uppo$ition, l’e$pace parcouru dans le premier coup e$t de 3 pieds, ou autrement de 36 pouces, dont la racine $era 6; & comme le pilot aura été enfoncé de 13 pouces, l’e$pace H D $era de 49 pouces, dont la racine e$t 7. Je dis donc, pour trouver l’enfoncement du pilot au $econd coup, $i la vîte$$e 6 a donné 13 pour l’enfoncement du pilot au premier coup, combien donnera la vîte$$e 7 pour l’enfon- cement du pilot au $econd coup? l’on trouvera 15 & {1/6}, qui fait voir que le pilot $era enfoncé au $econd coup de 15 pouces 2 lignes, qui e$t la di$tance D E.

[0676]NOUVEAU COURS

Pour $çavoir combien il $era enfoncé au troi$ieme coup, je Pl. XXXI. con$idere que l’e$pace H E e$t de 64 & {1/6}, dont la racine quarrée _Figure_ 400. e$t 8, & je dis encore: Si la vîte$$e 6 donne 13 pour l’enfon- cement du pilot au premier coup, combien donnera 8? l’on trouvera 17 pouces & 4 lignes, & agi$$ant toujours de même, l’on trouvera que l’enfoncement du quatrieme coup $era de 19 pouces 6 lignes, que celui du cinquieme $era de 21 pouces 8 lignes, & que celui du $ixieme $era de 23 pouces 10 lignes: ain$i l’on aura pour l’enfoncement du pilot à chaque coup les $ix termes $uivans, 13 pouces, 15 pouces, plus 2 lign. 17 + 4, 19 + 6, 21 + 8, 23 + 10, qui $ont tous en progre$$ion arith- métique, pui$qu’ils $e $urpa$$ent de 2 pouces & de 2 lignes; ils $e $urpa$$eroient même encore de quelques parties de point, auxquelles je n’ai pas eu égard.

L’on $era peut-être $urpris de voir que les racines quarrées des e$paces parcourus par le mouton, $ont en progre$$ion arith- métique, de même que les quantités qui expriment l’enfonce- ment du pilot à chaque coup; mais cela ne peut arriver autre- ment, comme on le va voir.

Si l’on a une progre$$ion arithmétique {./.} _a_. _b_. _c_. _d_. _e_. _f_, dont chaque terme marque le tems pendant lequel un corps tom- bant de différentes hauteurs, a mis à parcourir différens e$- paces, & que ces e$paces $oient, par exemple, _g_. _h_. _i_. _k_. _l_. _m_, ces e$paces $eront dans la rai$on des quarrés des tems, c’e$t-à- dire comme _aa_, _bb_, _cc_, _dd_, _ee_, _ff_: or $i l’on extrait la ra- cine quarrée de l’une & l’autre de ces progre$$ions, l’on aura {./.} _a_. _b_. _c_. _d_. _e_. _f_ pour les tems, & √ _g_, √ _h_, √ _i_, √ _k_, √ _l_, √ _m_, pour celles des e$paces parcourus. Or $i les tems _a_, _b_, _c_, _d_, _e_, _f_ $ont en progre$$ion arithmétique, les racines des e$paces le $eront au$$i: ain$i il n’e$t plus étonnant que $i les tems que le mouton met à tomber, $ont en progre$$ion arithmétique, les racines quarrées des e$paces, qui $ont les vîte$$es acqui$es, le $oient au$$i: mais les vîte$$es acqui$es pcuvent être regardées comme les cau$es de l’enfoncement du pilot à chaque coup; & comme les effets $ont proportionnels à leurs cau$es, les cau$es étant en proportion arithmétique, les effets le $eront au$$i; ce qui fait que le pilot doit s’enfoncer plus au $econd coup qu’au premier, & plus au troi$ieme qu’au $econd, dans la rai$on d’une progre$$ion arithmétique.

L’on peut tirer de ce qu’on vient de dire, la maniere de [0677]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. connoître combien il faut donner de coups $ur un pilot pour le faire entrer à refus de mouton: car on n’a qu’à con$idérer au premier coup de combien le pilot $era enfoncé, & regarder cette quantité comme le premier terme d’une progre$$ion arith- métique. Suppo$ant donc que le mouton tombant de 3 pieds de hauteur, le pilot $e $oit enfoncé de 12 pouces, & $uppo- $ant au$$i qu’au $econd coup le pilot $e $oit enfoncé de 14 pouces, je regarde ce nombre comme le $econd terme de la progre$$ion, & comme la différence de ce terme-ci à l’autre e$t 2, je vois que le troi$ieme terme $era 16, que le quatrieme $era 18, le cinquieme 20. Or $i j’ai un pilot, par exemple, de 12 pieds de longueur, cette longueur exprimera la valeur de tous les termes de la progre$$ion pris en$emble: ain$i j’ajoute les termes que je viens de trouver pour voir s’ils valent 144 pouces; & comme il s’en faut beaucoup, je cherche encore quelque terme, comme, par exemple 22, 24 & 26, qui font avec les autres 152 pouces, qui $urpa$$ent la longueur du pilot de 8 pouces; & comme ce $ont 8 termes qui m’ont donné cette quantité, je vois qu’il faut 8 coups pour enfoncer le pilot ju$qu’au refus de mouton. Au re$te l’on trouvera ce $ujet traité encore plus exactement dans le premier volume de la $econde Partie de l’_Architecture Hydraulique_, page 188.

Application de la méchanique à la con$truction des maga$ins à poudre.

1119. De tous les édifices militaires, il n’y en a point qui $oient d’une plus grande con$équence que les maga$ins à pou- dre, & qui demandent plus de précaution pour les bien con$- truire: car comme on les fait toujours voûtés, il faut $çavoir quelles $ortes de voûtes conviennent le mieux, de la voûte en _plein ceintre_, de celle qui e$t _$urbai$$ée_, ou de celle qui e$t en _tiers point_, pour être capable de ré$i$ter le plus à l’effort de la bombe, quand elle tombe de$$us: après cela, il faut $çavoir proportionner l’épai$$eur des pieds droits, qui $outiennent les voûtes au poids, à la pou$$ée, & à la grandeur des mêmes voûtes.

L’opinion de la plûpart des Ingénieurs e$t partagée $ur la maniere de voûter les maga$ins à poudre; les uns prétendent que la voûte en plein ceintre e$t la meilleure de toutes, & les autres au contraire veulent que la voûte en tiers point $oit [0678]NOUVEAU COURS préférable à celle-ci. Ce qu’il y a de certain, c’e$t que la voûte en tiers point a moins de pou$$ée que celle en plein ceintre, & celle en plein ceintre que celle qui e$t $urbai$$ée; ce que l’on peut démontrer même géométriquement, & $ans entrer dans une grande théorie; je vais faire voir comment la voûte en plein ceintre a plus de pou$$ée que celle en tiers point.

Con$idérez la figure 402, qui e$t le profil d’un maga$in à _Figure_ 402 & 403. poudre, dont la voûte e$t en plein ceintre, & la figure 403, qui e$t un autre profil, dont la voûte e$t en tiers point: dans ces deux figures l’on a divi$é en deux également les arcs E D & L D par des lignes tirées de leurs centres. Or $i l’on con- $idere la partie $upérieure B A G C de la voûte comme un coin qui agit contre les pieds droits, & contre les autres parties de la voûte pour les écarter, l’on verra que plus l’angle A B C $era aigu, & plus le coinaura de force par la loi des méchaniques, ou bien $i l’on regarde la ligne A B comme un plan incliné, l’on verra encore que plus il $era incliné, & plus le corps G A B qui tend à gli$$er de$$us aura de force pour de$cendre, pui$que la pe$anteur relative $era moindre qu’elle ne le $eroit, $i le plan incliné approchoit plus d’être horizontal. Or dans la figure 403, $i l’on regarde encore T Q R S comme un coin, l’on verra que l’angle Q S R étant obtus, le coin fera moins d’ef- fort pour écarter les parties R Z & Q N, que dans la figure 402 où l’angle du coin e$t droit; & $i l’on con$idere de plus la ligne Q P comme un plan incliné, l’on verra que l’étant beaucoup moins que le plan A B, la partie T Q S n’aura pas tant de force pour de$cendre que la partie G A B; par con$équent tous les vou$$oirs qui compo$ent la voûte en tiers point étant regardés comme des coins, ou comme des corps qui tendent à gli$$er $ucce$$ivement $ur des plans inclinés, feront moins d’effort que ceux de la voûte en plein ceintre; d’où il s’en$uit que la voûte en plein ceintre a plus de pou$$ée que la voûte en tiers point: & par un $emblable rai$onnement, on fera voir que la voûte $urbai$$ée a plus de pou$$ée que celle en plein ceintre.

Un autre défaut de la voûte en plein ceintre, e$t qu’elle oblige à faire le toît fort plat; ce qui la rend moins capable de ré$i$ter à la chûte des bombes, qui ne font point tant d’effort quand le plan $ur lequel elles tombent e$t plus incliné, parce qu’alors elles ne font que rouler $ans faire de dommage con$idérable; & $i l’on veut éviter ce défaut, au lieu de faire [0679]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. le toît comme dans la figure 402, le faire comme dans la figure _Figure_ 402 & 404. 404, c’e$t-à-dire plus roide, l’on e$t obligé de charger la voûte à l’endroit de la clef, d’une ma$$e de maçonnerie qui oblige ab$olument de faire les pieds droits plus épais: d’ailleurs un avantage de la voûte en tiers point, c’e$t que $i l’on veut faire un maga$in qui ne $oit pas fort élevé, l’on peut commencer la nai$$ance de la voûte à 4 ou 5 pieds au de$$us du rez-de-chau$$ée, & le maga$in e$t a$$ez élevé, au lieu que le fai$ant en plein ceintre, il faut que les pieds droits aient au moins 8 ou 9 pieds de hauteur; ce qui oblige à les faire plus épais: car il n’y a point de doute qu’à me$ure qu’on les fait plus élevés, il ne faille leur donner plus d’épai$$eur. Enfin je pourrois rapporter encore plu$ieurs rai$ons en faveur des voûtes en tiers point; mais je crois que ce que j’en ai dit $uffit pour faire voir com- bien elles $ont à préférer à celles qui $ont en plein ceintre.

Quoiqu’il $oit pre$que impo$$ible de déterminer l’épai$$eur que doit avoir la voûte d’un maga$in à poudre pour être à l’é- preuve de la bombe, pui$que les bombes ne $ont pas toutes d’é- gale pe$anteur, & $ont $ujettes à tomber de différentes hau- teurs, cela n’empêche point qu’on ne $e $oit déterminé à leur donner 3 pieds d’épai$$eur à l’endroit des reins, & je crois que cette épai$$eur $era $uffi$ante, quand le toit ne $era point trop plat.

Comme il m’a paru qu’il convenoit de donner une regle pour déterminer l’angle que doit avoir le faîte du toit d’un maga$in, afin qu’il ne $oit ni trop obtus, ni trop aigu, voici comme je m’y prends.

Suppo$ant qu’on veuille faire un maga$in à poudre, dont la _Figure_ 404. voûte $oit en plein ceintre, je commence par déterminer la largeur du maga$in, qui $era, par exemple, la ligne A C, qui doit $ervir de diametre au demi-cercle de la voûte; en$uite j’é- leve $ur le centre B la perpendiculaire B G, & je divi$e en deux également chaque quart de cercle A N & N C par les lignes B M & B E; je donne 3 pieds à chacune des lignes D E & L M, qui déterminent l’épai$$eur des reins de la voûte, & puis du centre B je décris un demi-cercle à volonté, qui $e trouve divi$é en deux également par la perpendiculaire au point G, & dont le diametre e$t la ligne F I, je tire au$$i les cordes F G & G I, & par les points E & M je fais pa$$er les paralleles O H & H K aux cordes qui $ont dans le demi-cercle, & ces paral- [0680]NOUVEAU COURS leles me donnent le toit O H K, qui forme un angle droit en H, parce que l’angle H e$t égal à l’angle G: ain$i $ans tâ- tonner par cette méthode, il $e trouvera toujours que l’angle du faîte d’un maga$in à poudre $era droit, & cet angle me paroît convenir mieux qu’un autre, parce qu’il tient un milieu entre l’angle aigu & l’angle obtus, qui conviennent moins que celui-ci: car l’angle obtus, comme je l’ai déja dit, rend le toit trop plat, & l’angle aigu charge trop la clef de la voûte par le grand vuide qu’il lai$$e au de$$us de la clef, qu’on e$t obligé de remplir de maçonnerie.

Pour tracer la voûte en tiers point, je $uppo$e que les points _Figure_ 403. V & X marquent l’endroit où doit commencer la nai$$ance de la voûte, je tire une ligne de V en X, laquelle je divi$e en quatre parties égales; & du point P comme centre, & de l’in- tervalle P V, je décris l’arc V Y, & du point O & de l’inter- valle O X, je décris l’arc X Y, lequel forme avec le précédent l’intrado$$e V Y X de la voûte: après cela je divi$e chacun de ces arcs en deux également, & je tire les lignes O R & P Q, & je donne à chacune des lignes A Q & B R 3 pieds & 3 pouces, & puis je divi$e la perpendiculaire L Y en trois parties égales, & de l’extrêmité M de la premiere parties, je décris un demi- cercle K T D, & je tire, comme dans la figure précédente, les cordes K N, N D, & par les points Q & R je fais pa$$er deux paralleles aux cordes qui forment le toît de la voûte, dont l’angle du faîte e$t encore droit.

Si j’ai donné aux lignes A Q & B R 3 pieds 3 pouces, c’e$t parce qu’elles $ont au de$$ous des reins de la voûte; mais en $uivant ce qui vient d’être dit, l’épai$$eur des reins de la voûte $e trouve dans leur plus foible avoir 3 pieds d’épai$$eur: vous pouvez remarquer la différence de la maçonnerie qui $e trouve au de$$us de la clef de la voûte en tiers point, & celle qui e$t au de$$us de la voûte en plein ceintre, c’e$t-à-dire que l’une e$t beaucoup moins chargée que l’autre; car il n’y a que 6 pieds de hauteur de maçonnerie au de$$us de la voûte en tiers point, au lieu que dans celle en plein ceintre il y en a plus de 10: c’e$t au$$i la rai$on pour laquelle les pieds droits de cette voûte $ont bien moins épais que ceux de celles en plein ceintre, parce que d’ailleurs ils $ont au$$i moins élevés.

Mais pour régler l’épai$$eur des pieds droits, tant pour les voûtes en tiers point, que pour les voûtes en plein ceintre, [0681]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV._ j’ai jugé à propos de rapporter ici une Table que j’ai calculée, pour proportionner préci$ément l’épai$$eur des pieds droits des voûtes des maga$ins à poudre par rapport à la largeur dans œuvre qu’on peut leur donner, & à l’élévation des mêmes pieds droits, e’e$t-à-dire que j’ai cherché un ju$te équilibre entre leur ré$i$tance & l’effort des voûtes; après quoi j’ai augmenté la pou$$ée d’un quart de ce qu’elle e$t effectivement pour rendre les pieds droits capables de cette ré$i$tance au de$$us de l’équilibre: j’ai fait ab$traction des contreforts que l’on fait ordinairement pour $outenir les pieds droits, parce qu’en quelque façon on pourroit s’en pa$$er; mais comme il $embleroit que ce $eroit vouloir changer ce qui $e pratique or- dinairement, je lai$$e à la di$crétion de ceux qui auront la conduite de ces $ortes d’ouvrages, d’en faire autant qu’ils le jugeront à propos, & de leur donner les dimen$ions qui leur conviendront le mieux: car quoiqu’il $emble qu’après avoir donné aux pieds droits des épai$$eurs $uffi$antes pour ré$i$ter à la pou$$ée des voûtes des maga$ins, il $oit inutile d’y ajouter encore des contreforts, cela n’empêche pas qu’ils ne $oient très-bien placés, pui$qu’il convient même d’en faire aux murs qui n’ont point de pou$$ée.

Il me re$te à donner l’u$age de la Table $uivante, que j’ai calculée pour quatre $ortes de maga$ins à poudre. Dans la pre- miere colonne l’on voit la largeur des maga$ins, qui auroient depuis 20 pieds ju$qu’à 36 dans œuvre; & la colonne qui e$t à côté, marque l’épai$$eur qu’il faut donner aux pieds droits des voûtes en plein ceintre de ces maga$ins; $uppo$ant d’ail- leurs que tous les pieds droits de ces différens maga$ins aient toujours 9 pieds de hauteur depuis le rez-de-chau$$ée ju$qu’à la nai$$ance de la voûte. Ain$i voulant $çavoir quelle épai$$eur il faut donner au pied droit d’un maga$in, dont la largeur $eroit de 30 pieds, & dont les pieds droits auroient 9 pieds de hau- teur depuis la fondation ju$qu’à la nai$$ance de la voûte, je cherche dans la premiere colonne le nombre 30, & je vois qu’il corre$pond à 7 pieds 7 pouces, qui e$t l’épai$$eur qu’il faudra leur donner, pour que leur ré$i$tance $oit au de$$us de l’équi- libre avec la pou$$ée de la voûte d’un maga$in fait à l’épreuve de la bombe.

La $econde Table fait voir l’épai$$eur qu’il faut donner aux pieds droits des voûtes des maga$ins à poudre, qui $eroient [0682]NOUVEAU COURS faits en tiers point, en $uppo$ant que la nai$$ance de la voûte commence à 5 pieds au de$$us du rez-de-chau$$ée, comme on le voit marqué au $econd profil; & cela pour toutes les lar- geurs marquées dans la premiere colonne: ain$i pour $çavoir l’épai$$eur qu’il faut donner au pied droit d’une voûte en tiers point d’un maga$in, dont la largeur dans œuvre $eroit de 24 pieds, & dont les pieds droits en dedans ne $ont élevés que de 5 pieds au de$$us du rez-de-chau$$ée, il faut chercher dans la premiere colonne le nombre 24, & l’on verra qu’il corre$pond à 5 pieds 10 pouces, qui e$t l’épai$$eur que l’on cherche.

La troi$ieme Table $ert pour régler l’épai$$eur qu’il faut donner aux pieds droits des maga$ins, qui ont un étage $ou- terrein, & j’ai $uppo$é, en la calculant, que la hauteur des pieds droit $eroit de 12 pieds depuis la retraite au de$$us de la fondation ju$qu’à la nai$$ance de la voûte qui doit être en tiers point.

Enfin la quatrieme Table a été calculée pour les pieds droits des maga$ins à poudre, qui auroient un étage pratiqué dans la voûte au de$$us de celui du rez-de-chau$$ée, & la hauteur des pieds droits a été $uppo$ée de 9 pieds pour tous les maga$ins, dont la largeur auroit depuis 20 ju$qu’à 36 pieds dans œuvre, & dont les voûtes $eroient en tiers point.

Le principe qui m’a $ervi à calculer cette Table, e$t une $uite d’un des plus beaux problêmes d’architecture, que peu de per$onnes $çavent, non pas même les plus fameux Archi- tectes. Ce problême e$t de $çavoir donner au pied droit d’une voûte une épai$$eur qui met la pou$$ée de la voûte en équilibre avec la ré$i$tance des pieds droits; ou, ce qui a encore rapport au même, $çavoir quelle épai$$eur il faut donner aux culées des ponts, pour $outenir la pou$$ée des arches. Le P. _Derand_ dans $on Traité de la coupe des Pierres, M. _Blondel_ dans $on Cours d’Architecture, & plu$ieurs autres, ont prétendu donner des regles là-de$$us; mais leur principe e$t faux, en ce qu’ils n’ont point d’égard à la hauteur des pieds droits, ni à l’épai$- $eur de la voûte. M. de la _Hire_ en a donné une parfaite $olu- tion dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1712. J’aurois pu rapporter $on Mémoire, & en expliquer les endroits qui m’ont paru ob$curs, mais je me $uis contenté de con$truire la Table que je rapporte ici, & que l’on trouvera expliquée à fonds dans la Science des Ingénieurs.

[0683]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV._ TABLE Pour régler l’épai$$eur qu’il faut donner aux pieds droits des voûtes des maga$ins à poudre. Largeur \\ des Ma- \\ ga$ins à \\ poudre. # # # Epai$$eur des \\ pieds droits des \\ voûtes en plein \\ ceintre pour les \\ maga$ins à un \\ étage. # # # Epai$$eur des \\ pieds droits des \\ voûtes en tiers \\ point pour les \\ maga$ins à un \\ étage. # # # Epai$$eur des \\ pieds droits des \\ voûtes pour les \\ Maga$ins qui \\ ont un étage \\ $outerrein. # # # Epai$$eur des pieds \\ droits pour les voû- \\ tes des maga$ins \\ qui ont un étage au \\ de$$us du rez - de- \\ chau$$ée. _pieds._ # _pie._ # _pou._ # _lig._ # _pie._ # _pou._ # _lig._ # _pie._ # _pou._ # _lig._ # _pieds._ # _pou._ # _lig._ 20 # 5 # 10 # 0 # 5 # 2 # 0 # 7 # 0 # 0 # 5 # 5 # 6 21 # 5 # 11 # 8 # 5 # 3 # 0 # 7 # 2 # 5 # 5 # 8 # 6 22 # 6 # 2 # 2 # 5 # 5 # 6 # 7 # 4 # 10 # 5 # 10 # 6 23 # 6 # 4 # 6 # 5 # 7 # 4 # 7 # 7 # 3 # 6 # 0 # 10 24 # 6 # 6 # 0 # 5 # 10 # 0 # 7 # 9 # 9 # 6 # 2 # 6 25 # 6 # 8 # 3 # 6 # 0 # 4 # 8 # 0 # 1 # 6 # 4 # 6 26 # 6 # 10 # 0 # 6 # 2 # 0 # 8 # 2 # 6 # 6 # 5 # 11 27 # 6 # 11 # 9 # 6 # 5 # 0 # 8 # 4 # 10 # 6 # 8 # 0 28 # 7 # 2 # 6 # 6 # 8 # 0 # 8 # 7 # 3 # 6 # 10 # 3 29 # 7 # 4 # 9 # 6 # 10 # 6 # 8 # 9 # 8 # 7 # 0 # 0 30 # 7 # 7 # 0 # 7 # 1 # 0 # 9 # 0 # 1 # 7 # 2 # 9 31 # 7 # 9 # 4 # 7 # 2 # 4 # 9 # 2 # 6 # 7 # 5 # 6 32 # 7 # 11 # 10 # 7 # 4 # 9 # 9 # 5 # 11 # 7 # 8 # 0 33 # 8 # 2 # 8 # 7 # 7 # 0 # 9 # 8 # 4 # 7 # 10 # 6 34 # 8 # 3 # 11 # 7 # 9 # 4 # 9 # 10 # 9 # 8 # 2 # 0 35 # 8 # 5 # 9 # 7 # 11 # 0 # 10 # 1 # 2 # 8 # 4 # 2 36 # 8 # 8 # 0 # 8 # 0 # 0 # 10 # 3 # 7 # 8 # 6 # 0

Après avoir parlé des maga$ins à poudre, je crois qu’on verra avec plai$ir de quelle maniere $e fait le choc des bombes qui tombent $ur leurs voûtes, afin qu’on $ente la différence qu’il y a de con$idérer les chofes comme elles nous paroi$$ent, ou telles qu’elles $ont en elles-mêmes, & que les Mathémati- ques donnent $ur ce $ujet des connoi$$ances que la pratique des plus habiles Bombardiers ne peut appercevoir.

Application des principes de la méchanique au jet des bombes.

1120. Nous avons fait voir (art. 1118) que pour trouver la force avec laquelle une bombe tomboit $ur un plan, il falloit multiplier $a pe$anteur par la racine quarrée de la hauteur où [0684]NOUVEAU COURS elle s’étoit élevée, & nous avons agi comme $i la bombe tom- boit $elon une direction perpendiculaire à l’horizon, & comme $i le plan qu’elle choquoit étoit de niveau avec la batterie. Mais comme les bombes ne tombent que rarement par des di- rections perpendiculaires aux plans qu’elles rencontrent, & que le plus $ouvent elles tombent $ur des $urfaces qui $ont plus élevées que la batterie, le problême dont je viens de parler, n’e$t pas ab$olument ju$te, parce qu’on y fait ab$traction des deux circon$tances précédentes; & $i on ne les a pas fait en- trer, c’e$t qu’on n’étoit pas encore prévenu du principe de méchanique expliqué ci-devant. Mais comme il ne re$te plus rien à de$irer à ce $ujet, voici comme il faut rai$onner.

Si la ligne A B marque l’élévation du mortier $ur le plan horizontal A C, & que la parabole A H D ait été décrite par la bombe, la ligne A B qui va rencontrer l’axe prolongé de la parabole, $era la tangente de cette courbe menée du point A, Pl. XXXII. & la ligne B D $era une autre tangente menée du point D: _Figure_ 404. mais quand un corps e$t jetté par une direction qui n’e$t pas perpendiculaire à l’horizon, la direction $elon laquelle ce corps choque un plan, e$t marquée par la tangente menée par le point de la parabole, où le corps rencontre le plan: ain$i la bombe qui aura décrit la parabole A H D, choquera le plan A C, $elon la direction B D; mais comme cette ligne e$t oblique au plan A C, $i la force de la bombe e$t exprimée par la ligne F D, elle ne choquera pas le plan avec toute la force F D: car $i l’on abai$$e F E perpendiculaire $ur A C, & qu’on fa$$e le parallélogramme E G, la force F D $era égale aux forces F G & F E (art. 1039) agi$$antes en$emble; mais la force F G parallele à l’horizon, n’agit point du tout $ur le plan A C: il n’y a donc que la force exprimée par F E, qui choque le plan; ce qui fait voir que le choc de la bombe, $elon la direc- tion B D, e$t au choc de la même bombe, $elon la direction perpendiculaire B I, comme F E e$t à F D, ou comme B I e$t à B D, c’e$t-à-dire comme la $outangente e$t à la tangente, ou bien comme la tangente de l’angle de l’élévation du mor- tier e$t à la $écante du même angle, ou encore comme le $inus de l’angle de l’élévation e$t au $inus total: ain$i $uppo$ant que l’angle B A I $oit de 50 degrés, l’on peut dire que le choc de la bombe tombant, $elon la direction perpendiculaire B I, e$t au choc par la direction B D, comme 100000 e$t à 76604.

[0685]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV._

A ne con$idérer que le choc des bombes qui tombent $ur un plan horizontal, il $emble que ce que l’on vient de dire ne $oit pas d’une grande utilité, parce que les bombes que l’on jette dans les ouvrages, $oit de la part des A$$iégés ou des A$$iégeans, font toujours beaucoup plus d’effet par leurs éclats, quand elles crevent, que par le poids de leur chûte; & $i le poids avoit lieu dans ce cas-ci, ce ne $eroit qu’à l’occa- $ion des $outerreins que l’on pratique dans les Places $ous les remparts pour les différens u$ages auxquels ils $ont propres: mais comme le choc d’une bombe mérite plus d’attention, lor$qu’elle tombe $ur un édifice que les A$$iégeans ont intérêt de ruiner, comme un maga$in à poudre, dont il s’agit de percer la voûte, qui e$t un plan incliné à l’horizon, c’e$t particulié- rement la chûte des bombes dans ce cas-ci qu’il nous faut exa- miner.

Si l’on a un mortier au point A pour jetter une bombe $ur _Figure_ 405. le plan incliné K L, & qu’on veuille $çavoir quel e$t le choc de la bombe, qui après avoir décrit la parabole A H D, vien- droit tomber à un point D du plan incliné, je con$idere que la bombe frappant le point D, agit $elon $a direction B D, qui e$t une tangente menée par le point D de la parabole. Or $i l’on prend la ligne F D pour exprimer la force de la bombe, lor$qu’elle e$t prête à tomber $ur le plan incliné, cette force étant oblique au plan, n’exprimera pas la force avec laquelle la bombe choquera ce plan, mais $eulement la force de la bombe en elle-même: & $i du point F l’on mene la ligne F E perpendiculaire $ur K L, elle exprimera la force avec laquelle la bombe choquera le plan incliné: car fai$ant le parallélo- gramme G E, l’on aura les côtés F E & F G, qui exprime- ront deux forces, le$quelles agi$$ant en$emble, $eront égales à la $eule F D; mais la force F G étant parallele au plan K L, n’agit point du tout $ur ce plan. Il n’y a donc que la ligne F E qui exprime le choc de la bombe: ain$i l’on peut dire que le choc d’une bombe qui tombe obliquement $ur un plan incliné, e$t au choc de la direction perpendiculaire, comme F E e$t à F D, ou comme le $inus de l’angle F D E e$t au $inus total, étant tombée de la même hauteur.

Si l’on vouloit $çavoir quel e$t ce rapport, il faudroit cher- cher l’angle F D E, que l’on trouvera en connoi$$ant la valeur de l’angle K D C, formé par l’horizon & le plan incliné, de [0686]NOUVEAU COURS plus l’angle d’inclinai$on B A D du mortier, qui e$t égal à B D A: ain$i $uppo$ant l’angle B D A de 50 degrés, & l’angle K C D de 70; $i on les ajoute en$emble, l’on aura 120 degrés, qui étant $ou$traits de deux droits, la différence $era 60 de- grés pour la valeur de l’angle F D E, dont le $inus e$t 86602, par con$équent le rapport du choc de la bombe, $elon la di- rection perpendiculaire, e$t à celle, $elon la direction oblique F D, comme 100000 e$t à 86602.

Tout le monde croit (& l’on a rai$on dans un $ens) que plus les bombes tombent de haut, & plus le choc $ur le plan qu’elles rencontrent e$t violent. Cependant ceci n’e$t vrai que quand le plan que la bombe rencontre e$t de niveau avec la batterie, parce que tombant de fort haut, elle décrit $ur la fin une ligne courbe, qui approche fort de la verticale; mais quand le plan e$t incliné à l’horizon, la chûte par la verticale même e$t celle qui choque le plan incliné avec moins de vio- lence que par toutes les autres directions po$$ibles, qui $eroient entre l’horizontale & la verticale, $i les bombes tombent d’une hauteur égale; & ce n’e$t que quand la tangente menée au point de la parabole qui rencontre le plan incliné, e$t perpen- diculaire à ce plan même, que la bombe choque avec toute $a force ab$olue. Or pour faire en$orte qu’une bombe tombe $ur un plan incliné par une direction perpendiculaire, il faut connoître l’angle d’inclinai$on que forme le plan avec l’ho- rizon, & pointer le mortier $ous un angle qui $oit égal au complément de celui du plan incliné.

Par exemple, $i $ur le plan incliné K L, on éleve la perpen- _Figure_ 406. diculaire B D au point D, qui aille rencontrer la perpendicu- laire B E, élevée dans le milieu de l’amplitude A D de la pa- rabole, & qu’on tire la ligne A B, l’angle B A D $era celui qu’il faut donner au mortier pour cha$$er la bombe au point D; mais cette angle e$t égal à l’angle B D E, lequel e$t com- plément de l’angle K D C, pui$que B D K e$t droit: donc l’angle B A E, complément de l’angle d’inclinai$on, e$t celui qu’il faut donner au mortier, pour que la bombe choque le plan incliné par une direction perpendiculaire au même plan.

Par cette théorie l’on pourroit déterminer quelle e$t la charge, ou $i l’on veut, quels $ont les degrés de force que doit avoir un mortier, & l’angle qu’il lui faut donner pour cha$$er une bombe $ur un plan incliné, en$orte que la bombe choque [0687]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. ce plan avec toute la force qu’il e$t po$$ible; démontrer même que lor$que les racines quarrées des différentes hauteurs d’où une bombe tombera $ur un plan incliné, $eront réciproque- ment proportionnelles aux $inus des angles d’incidence formés par les différentes directions des bombes, le choc $era tou- jours égal, & une quantité d’autres cho$es, qui à la vérité $ont plus propres à exercer l’e$prit, qu’à être mi$es en pratique. C’e$t pourquoi je ne parlerai plus que de deux cas qui me re$tent à expliquer; $çavoir quel e$t le choc des bombes qui $eroient tirées d’un lieu plus bas ou plus élevé que le plan incliné qu’elle doit rencontrer: & comme $çachant un de ces cas, il e$t ai$é de concevoir l’autre, voici celui qui regarde le plan incliné plus élevé que la batterie.

Si par les regles du jet des bombes l’on a trouvé l’angle B A I pour donner au mortier une élévation convenable, afin de jetter une bombe au point D d’un plan incliné K L, plus élevé que l’horizon A P, l’on connoîtra l’amplitude A P de la parabole A H P, & par con$équent $on axe H I; & avant cela on aura dû $çavoir l’élévation D Q du point D $ur l’horizon A P: mais $i la bombe au lieu de tomber en P, tombe en D, menant D O parallele à P A, la vîte$$e de la bombe $era ex- primée par la racine quarrée de H N. Or $i l’on prend la ligne F D pour exprimer cette force, & que l’on tire la ligne F E perpendiculaire au plan K L, le choc de la bombe au point D $era exprimé par la ligne F E, & non pas par la ligne F D, comme on vient de le voir. Or le rapport du choc perpendi- culaire au choc oblique étant comme F D e$t à F E, ou comme le $inus total e$t au $inus de l’angle F D E, $i l’on veut avoir ce $inus pour connoître en nombre le rapport de la ligne F D à la ligne F E, il faut chercher la valeur de l’angle M O N, formé par l’ordonnée O N & la tangente O M, qui e$t l’angle qu’il auroit fallu donner au mortier, $i la bombe avoit été tirée de l’endroit O, de niveau avec le point D. Pour le trouver, con$idérez que l’on connoît l’ab$ci$$e H N, qui e$t la diffé- rence de H I à H D, & que par con$équent on connoîtra au$$i la $outangente M N, qui e$t un des côtés du triangle rectangle M N O; & comme pour trouver l’angle que nous cherchons, il nous faut encore le côté O N, pour le trouver, l’on dira: Comme l’ab$ci$$e H I e$t à l’ab$ci$$e H N, ain$i le quárré de l’ordonnée A I e$t au quarré de l’ordonnée O N, que l’on trou- [0688]NOUVEAU COURS vera par la regle de proportion, dont extrayant la racine quarrée, l’on aura le côté O N, qui donnera avec le côté M N l’angle M O N ou M D N $on égal; & $i l’on ajoute à cet angle la valeur de l’angle E D C, formé par le plan incliné & l’ho- rizon, & que l’on ôte la $omme de ces deux angles de la va- leur de deux droits, l’on aura pour la différence l’angle F D E, dont le $inus $ervira à déterminer le choc de la bombe au point D, par rapport au $inus total qui exprime la force ab$olue.

L’on peut au$$i tirer de tout ceci des regles pour déterminer _Figure_ 408 & 409. la force d’un boulet de canon, qui choqueroit une $urface, tiré des batteries différemment éloignées de cette $urface: par exemple, $i l’on a une $urface verticale A B, & que du point C l’on tire un boulet, en$orte que l’ame de la piece $oit pointée $elon la direction C D perpendiculaire à cette $urface, le boulet, au lieu de frapper au point D, frappera au point G, plus bas que le point D, parce que $a pe$anteur lui fera décrire la pa- rabole C P G, & le choc du boulet $e fera $elon la direction de la ligne I G tangente à la parabole au point G: ain$i ce $era la ligne I K perpendiculaire à la $urface qui exprimera le choc du boulet, & non pas la ligne I G, diagonale du parallélo- gramme K L. Or $i le même boulet, au lieu d’être cha$$é du point C, e$t cha$$é du point E, avec la même force, la di$tance E F étant plus grande que C A, choquera la $urface au point H avec moins de force qu’il ne la choque au point G; ce n’e$t pas que cette plus grande di$tance lui ait rien fait perdre de $on degré de mouvement ($i l’on compte pour rien la ré$i$- tance de l’air); mais c’e$t que la parabole E _q_ H étant plus grande que C P G, le point H où le boulet aura choqué la $ur- face, $era bien plus éloigné de F que le point G ne l’e$t de D: par con$équent la tangente M H, que l’on menera à la pa- rabole par le point H, $era plus incliné à la $urface A B, que la tangente I G ne l’e$t à la même $urface. Or fai$ant M H égal à I G, $i l’on mene la ligne M N perpendiculaire à la $ur- face A B, elle $era dans la même rai$on avec la perpendicu- laire I K, comme le choc du boulet tiré de l’endroit E $era à celui du boulet tiré de l’endroit C, ou bien comme le $inus de l’angle M H N $era au $inus de l’angle I G K; d’où il s’en- $uit que quand on bat avec le canon une $urface de fort loin, ce n’e$t pas que le boulet ait rien perdu de $a force, qui fait qu’il ne choque pas la $urface avec autant de violence, que s’il [0689]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XV_. avoit été tiré de plus près, comme bien des gens le croient; mais au contraire c’e$t que ne frappant la $urface que par une direction fort oblique, il n’agit pas avec autant d’effort, que s’il la frappoit par une autre direction qui approchât plus d’être perpendiculaire: car $i un boulet en $ortant de la piece ne rencontroit pas des corps à qui il communique du mouve- ment qu’il a reçu de l’impul$ion de la poudre, que l’air ne lui fît aucun empêchement, & que la pe$anteur du boulet ne le fît pas tendre vers le centre de la terre, en un mot, qu’il pût toujours aller en ligne droite, $a force $eroit toujours la même, à quelque di$tance qu’il fût porté, pui$qu’il con$erve- roit toujours le mouvement qu’il a reçu, s’il n’en perdoit à me$ure qu’il en communique aux corps qu’il rencontre, n’y ayant point de rai$on que cela pui$$e être autrement.

Fin du Quinzieme Livre. [0690] NOUVEAU COURS DE MATHÉMATIQUE. LIVRE SEIZIEME. De l’Hydro$tatique.

NOUS allons traiter dans le Livre $uivant des propriétés des fluides con$idérés par rapport à l’équilibre; & c’e$t ce que l’on en- tend par le mot _Hydro$tatique_. Cette partie, comme l’on voit, e$t une $uite de la méchanique, & peut être regardée comme la plus importante. Il $eroit à $ouhaiter qu’on pût établir une théorie au$$i $imple $ur les fluides que $ur les corps $olides que nous avons con- $idérés dans le Livre précédent. Mais on voit bientôt qu’il n’e$t pas également facile de traiter cette partie comme la précédente, quoique ce $oit la même pe$anteur qui agi$$e $ur les corps & les fluides pour les faire de$cendre au centre de la terre. Il n’y a, pour ain$i dire, que ce phénomene qui $oit commun aux uns & aux au- tres, auquel on peut joindre celui de la force d’inertie, qui e$t tou- jours proportionnelle aux ma$$es. Il $emble que plus les parties $u- jettes aux mathématiques deviennent intére$$antes, plus elles de- viennent ob$cures & complïquées. Dans la $tatique, la $eule pe- $anteur des corps reconnue comme une force con$tante, quelle que $oit la cau$e dont elle provient, a $uffi pour démontrer géométri- quement les propriétés des machines, & le rapport néce$$aire entre tant de forces qu’on voudra, dont les directions étoient déterminées, ab$traction faite des frottemens. La même pe$anteur nous a pareil- [0691]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. lement conduit à la découverte des courbes que les projectiles décri- vent, quelle que $oit l’inten$ité de cette force. Une $eule expérience a fixé parmi toutes les courbes po$$ibles celle qu’ils décrivent réelle- ment en con$équence de l’action de la pe$anteur auprès de notre globe. Il n’en e$t pas de même dans l’hydro$tatique: la pe$anteur $eule ne peut nous faire connoître tout ce qui a rapport au choc des fluides à la maniere dont ils produi$ent l’équilibre entr’eux ou avec les corps $olides. Une théorie complette des fluides demanderoit que l’on connût au moins quel e$t le principe général de la fluidité, & en$uite l’e$$ence des parties de chacun en particulier: mais la nature ne nous lai$$e pas approcher de $i près de $es $ecrets. La pro- priété commune à tous les fluides de $e mettre de niveau, & de pre$$er également en tous $ens, e$t certainement une $uite du principe gé- néral de la fluidité; au$$i doit-elle être regardée comme le premier principe de l’hydro$tatique; & c’e$t delà qu’il faut partir pour dé- couvrir, par la voie la plus naturelle, les autres propriétés des fluides, relativement à l’équilibre: car il e$t ai$é de voir que cette même propriété ne donne rien à connoître $ur la figure des parties élémentaires de chacun en particulier. Lor$qu’on aura déduit de cette propriété tout ce que l’analy$e peut nous fournir de con$é- quences, il faut avoir recours aux expériences $ur chaque fluide pour connoître ce qui les différencie les uns des autres, & leurs pe- $anteurs $pécifiques. Il y a en général trois parties que nous de- vons con$idérer dans l’hydro$tatique, 1°. l’équilibre d’une liqueur homogene, en$uite celui des fluides étérogenes, & enfin celui des $olides avec les mêmes fluides. Il $eroit inutile d’entrer ici dans le détail des avantages qu’on peut retirer de cette théorie. On $era plus en état de les reconnoître lor$qu’on aura étudié ce Traité. Il n’e$t pas moins e$$entiel d’examiner la percu$$ion des fluides, les loix de leurs chocs contre les $olides, à proportion des vîte$$es & des ma$$es, ou den$ités. Quoique l’on ait fait u$age des fluides pour $e procurer une infinité de commodités & d’avantages, $ans connoître à fonds tout ce que l’on a découvert depuis environ un $iecle & demi, il ne s’en$uit pas qu’il $oit inutile de multi- plier continuellement $es recherches $ur cette partie. Plus on aura d’expériences bien analy$ées, plus on aura des vues intére$$antes pour les Arts & le bien public qui leur e$t attaché, plus on $era à portée de connoître les défauts des machines qui ont été exécutées en ce genre, & d’y remédier. Comme nous ne donnons ici que les élémens de l’hydro$tatique & de l’hydraulique, on pourra recourir [0692]NOUVEAU COURS à ce que nous avons donné $ur cette matiere dans le premier volume de l’Architecture Hydraulique; & ceux qui auront les élémens $uf- fi$ans pour pou$$er plus loin leurs recherches, ne pourront mieux faire que d’étudier l’Hydraudinamique de MM. _Bernouilli_ & _d’Alembert_.

CHAPITRE PREMIER. De l’équilibre & du mouvement des liqueurs. DÉFINITION I.

1121. ON appelle _fluides_ les corps dont les parties $e divi- $ent & cedent au moindre effort, & $e réuni$$ent en$uite avec la même facilité. Par exemple, l’_air_, la _flamme_, l’_eau_, le _mer-_ _cure_, & les autres liqueurs $ont des fluides.

REMARQUE I.

1122. Il faut bien remarquer que tout liquide e$t fluide, mais le réciproque n’e$t pas vrai. Pour en $entir la différence, il faut $çavoir que l’on appelle _liquide_ tout fluide dont la $ur- face $e met de niveau dans le va$e qui le contient. Or il e$t vi$ible que cette propriété ne convient pas à la flamme. On entend par une $urface de niveau celle dont tous les points $ont à égale di$tance du centre de la terre. Il faut encore bien remarquer que parmi les fluides il y en a qui ont du re$$ort, & d’autres qui n’en ont pas. Par exemple, on $çait que l’air $e dilate & $e comprime, en$orte que la compre$$ion e$t plus plus grande à proportion des poids, au lieu que ju$qu’ici on n’a pu parvenir à réduire une certaine quantité d’eau à un moindre volume; ce qui $eroit pourtant po$$ible $i l’eau avoit une force de re$$ort.

REMARQUE II.

1123. La plûpart des Auteurs qui ont écrit $ur la nature des fluides font con$i$ter l’e$$ence de la fluidité dans un mou- vement continuel & réciproque de toutes les parties du fluide dans toutes les directions po$$ibles. Ce mouvement leur paroît néce$$aire pour expliquer la di$$olution de certains corps plon- gés dans un fluide, dont toutes les parties $ont en$uite em- prégnées du corps qui a été mis en di$$olution. Je ne fçais pas $i ce mouvement continuel ne peut pas être regardé comme [0693]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. une $uppo$ition de convenance, même en admettant la ma- tiere $ubtile de M. _De$cartes_, qui les traver$e continuellement: car il faudroit, ce me $emble, avoir démontré que cette ma- tiere $ubtile ne peut ain$i pa$$er par les milieux des fluides $ans les mettre en mouvement; ce qui e$t préci$ément l’état de la que$tion. D’ailleurs il me paroît que pour expliquer d’une maniere au$$i $atisfai$ante les mêmes effets, on n’a be$oin que d’une tendance au mouvement, commune à toutes les parties $oumi$es au poids de l’atmo$phere. Quant aux différentes di$- $olutions, ne peuvent-elles pas s’expliquer au$$i par la différence des parties de chaque fluide en particulier? Au re$te ce même $y$tême, qui n’e$t pas nouveau, pourroit nous mener à des di$cu$$ions trop longues & étrangeres à notre objet. Il nous $uffit d’avoir expliqué ici ce que nous entendons par _fluide_, $ans vouloir définir la nature de toutes les parties de chaque fluide en particulier, ce qui a plus de rapport à la chymie qu’à l’hydraulique ou l’hydro$tatique.

DÉFINITION II.

1124. On appelle _pe$anteur $pécifique_ de deux ou de plu$ieurs fluides ou corps en général, le poids de chacun de ces corps me$urés $ous un même volume. Ain$i $i un corps pe$e 3 livres le pouce cube, & un autre deux livres le pouce cube, les pe- $anteurs $pécifiques de ces corps $ont comme 3 à 2.

Quand les volumes $ont inégaux, il faut pour connoître les pe$anteurs $pécifiques les réduire à un même volume: Par exemple, $i un corps pe$e 12 livres $ous un volume de 3 pouces cubes, & un autre 16 livres $ous un volume de deux pouces; pour avoir les pe$anteurs $pécifiques de ces mêmes corps, il faudra chercher le poids d’un pouce cube de chacun; le pre- mier donnera 4 livres le pouce cube, & le $econd 8: mais ces nombres $ont ceux qui viennent en divi$ant les poids par les volumes. On peut donc dire en général que les pe$anteurs $pé- cifiques de plu$ieurs corps $ont comme les poids divi$és par les volumes, ou en rai$on compo$ée de la rai$on directe des poids & de la rai$on inver$e des volumes; ce qu’il e$t fort ai$é de reconnoître: car il e$t évident que plus un corps aura de poids $ous un même volume, plus $a pe$anteur $era grande, & plus il aura de volume pour le même poids, moins il aura de pe- $anteur $pécifique.

[0694]NOUVEAU COURS III.

1125. Le plus ou le moins de poids $ous un même volume s’appelle _den$ité_: ain$i l’on peut dire en général que les den$ités $ont comme les pe$anteurs $pécifiques. Pour épargner de longs rai$onnemens $ur les rapports des den$ités des corps ou fluides, nous ferons le poids du premier corps P, $on volume V & $a den$ité D; pareillement nous ferons _p_ le poids du $econd corps; _v_ $on volume, & _d_ $a den$ité: on aura D : _d_ : : {P/V} : {_p_/_v_} : donc D : _d_ : : P_v_ : _p_V; d’où l’on tire D _p_ V = _d_P_v_: donc $i l’on $uppo$e que les den$ités $oient égales entr’elles, on aura _p_V=P_v_. Donc _p_ : P : : _v_ : V, c’e$t-à-dire que _les poids $ont proportionnels_ _aux volumes_.

1126. Si l’on $uppo$e les poids égaux; ou, ce qui e$t la même cho$e, $i les ma$$es $ont égales, on aura D V = _dv_ : donc D : _d_ : : _v_ : V, c’e$t-à-dire que _les den$ités $ont dans la rai$on_ _inver$e des volumes, ou réciproquement les volumes dans la rai$on_ _inver$e des den$ités_. On déduit encore de la formule D_p_V=_d_P_v_; V : _v_ : : P_d_ : _p_ D, c’e$t-à-dire que _les volumes de deux corps $ont_ _dans la rai$on compo$ée de la directe des poids & de l’inver$e des_ _den$ités;_ ce qui e$t bien évident, pui$que plus les poids $eront grands, plus il faudra de volume; & que plus les den$ités $e- ront grandes, moins le volume $era con$idérable.

1127. On peut au$$i conclure de la même formule que _p_ : P : : _dv_ : DV, c’e$t-à-dire que _les poids $ont en rai$on com-_ _po$ée des directes des den$ités & des volumes;_ ce qui e$t encore bien évident, pui$que les poids croi$$ent à proportion des vo- lumes & de la ma$$e compri$e $ous chaque volume. On dé- duiroit encore un grand nombre de proportions de cette éga- lité; mais il $uffit de la connoître pour y avoir recours au be$oin.

IV.

1128. Les fluides peuvent être _éla$tiques_ ou non _éla$tiques_. Un fluide e$t éla$tique, lor$qu’on peut réduire la même ma$$e à un moindre volume par la compre$$ion, & que le corps rem- plit toujours le même volume, après que la compre$$ion a ce$$ée. De tous les fluides, nous ne connoi$$ons que l’air qui ait cette propriété, au moins n’e$t-elle pas $en$ible dans les autres.

[0695]DE MATHEMATIQUE. _Liv. XVI_. V.

1129. On dit que la $urface d’un fluide e$t de _niveau_, lor$- que tous les points de cette $urface $ont à égale di$tance du centre de la terre.

PROPOSITION I. THÉOREME.

_1130_. Si on ver$e une liqueur dans un va$e, $a $urface $era de niveau, & toutes $es parties en équilibre.

DÉMONSTRATION.

Si quelque partie du fluide étoit plus élevée que les autres, comme d’ailleurs il n’y a rien qui l’empêche de gli$$er $ur les autres, elle cédera néce$$airement à l’effort de $a pe$anteur qui la $ollicite à de$cendre vers le centre de la terre; d’où il $uit évidemment que la $urface du fluide $era de niveau, parce que l’on feroit le même rai$onnement pour toutes les parties de la $urface du même fluide. Donc 1°. &c. 2°. Je dis que toutes les parties $ont en équilibre. Pour cela, concevons le fluide partagé en une infinité de tranches verticales d’un même diametre, & fai$ons attention que toutes ces colonnes $e con- trebalancent mutuellement, pui$que chacune doit $outenir le poids de tout le fluide environnant: car $i l’on $uppo$e que l’une de ces colonnes fût plus foible que l’effort des autres qui l’environnent, le poids de ces mêmes colonnes l’obligeroit de s’élever pour céder à leur impre$$ion, ju$qu’à ce que toutes les autres fu$$ent réunies; mais n’étant plus $outenue par ces mêmes colonnes, elle $e di$tribueroit uniformément $ur toute la $urface, en ajoutant des poids égaux à chaque colonne en particulier, & il y auroit alors équilibre; mais comme il y a toujours même ma$$e de fluide, & que d’ailleurs le va$e n’a pas changé de forme; il s’en$uit que cette colonne e$t rem- placée par une autre qui lui e$t parfaitement égale, & qui fait équilibre avec les autres: donc elle-même étoit au$$i en équi- libre avec les colonnes environnantes. Et comme on démon- trera la même cho$e de toutes les colonnes collatérales, il s’en$uit que toutes les parties $ont en équilibre.

[0696]NOUVEAU COURS COROLLAIRE I.

1131. Il $uit delà que quelle que $oit la figure du va$e qui _Figure_ 411. contient une liqueur, $a $urface $era toujours de niveau, & toutes $es parties en équilibre. De plus, comme l’effort de toutes les colonnes verticales e$t égal, il s’en$uit que la pre$$ion de toutes ces colonnes $ur le fond du va$e e$t égale au pro- duit de la même ba$e, par la hauteur de la plus grande colonne verticale. Pour s’en convaincre, imaginons un va$e compo$é de deux cylindres A B C D, E F G H unis en$emble, & que l’on a rempli d’eau ju$qu’à la hauteur G H; il e$t évident que toutes les colonnes, comme L M qui répondent aux côtés A E, F D, $ont dans un effort continuel contre les mêmes côtés pour s’élever ju$qu’au niveau G H de la liqueur: car la colonne I K étant plus grande que L M, fait effort contre cette liqueur qui cherche à s’échapper par le côté F D; & cet effort e$t égal à celui que feroit la colonne I N $ur la ba$e du cylindre E G H F, s’il étoit $éparé de l’autre A B C D.

COROLLAIRE II.

1132. De même $i l’on a un va$e de figure conique, & dont _Figure_ 412. les parois $oient inclinés à l’horizon, comme les lignes B E, C F, & qu’on rempli$$e ce va$e de liqueur, la pre$$ion du fluide $ur la ba$e E F $era égale à celle du poids d’un fluide de même pe$anteur $pécifique qui auroit même ba$e, & dont le volume $eroit égal au $olide fait $ur cette ba$e, & la hauteur E Q: car dans le va$e E B A D C F, il y a autant de colonnes qu’il y a de points dans la ba$e; de plus, chaque colonne pre$$e cette ba$e avec une force égale à celle de la colonne G H: donc la $omme des pre$$ions $ur la ba$e e$t égale au produit de la même ba$e par la hauteur G H.

1133. L’expérience a fait voir au$$i que telle direction qu’on pui$$e donner à l’eau que l’on fait $ortir d’un va$e par des trous pratiqués $ur $es côtés, la force e$t toujours la même pour des trous horizontaux & verticaux, pourvu que la hauteur du ni- veau de l’eau au de$$us de ces trous $oit égale.

COROLLAIRE III.

1134. Il $uit encore delà que l’on peut multiplier con$idé- _Figure_ 411. rablement les forces par le moyen des fluides. Suppo$ons, par [0697]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI._ exemple, que par le moyen d’un tuyau I N, & d’un pi$ton placé en I, on pre$$e la $urface de l’eau avec une force de 10 livres: je dis que cette pre$$ion pourra faire équilibre avec un poids de 100 livres, placé $ur un trou R, dont le diametre $e- roit dix fois plus grand que le trou N: car pui$que ce trou e$t dix fois plus grand, il y a dix fois plus de filets d’eau qui font effort contre le poids: de plus, chacun de ces filets étant égal au nombre de filets qui $ont en N à une force de dix livres; donc tous les filets en$emble font équilibre avec 100 livres.

COROLLAIRE. IV.

1135. Si la $urface A D du va$e cylindrique e$t cent fois plus grande que l’ouverture du trou que je $uppo$e en N, & qui e$t pre$$é par un poids de dix livres, la $urface de l’eau fera un effort de mille livres pour écarter cette $urface des parois A B C D. C’e$t par cette propriété, commune à tous les fluides, que l’on rendra rai$on de certains effets qui paroi$$ent très-$ur- prenans, & qui pourroient en impo$er à tout autre qu’à des per$onnes in$truites de ce que nous venons de voir. Le $ouffle d’un enfant $uffit pour enlever des poids con$idérables, par le moyen d’une ou de plu$ieurs ve$$ies $ur le$quelles ces poids $ont placés, & dans le$quelles on introduit l’air par le moyen d’un petit chalumeau. Plus le diametre e$t petit, plus il a de facilité à enlever les poids. Tout ceci peut encore $e démon- trer par le principe des vîte$$es.

REMARQUE.

1136. Tout ce que nous venons de voir e$t de la derniere importance dans l’hydro$tatique: au$$i e$t-il de la plus grande con$équence de bien $ai$ir le vrai de cette même propo$ition, que l’on exprime ordinairement ain$i: _Les pre$$ions des fluides_ _$ur les ba$es des vai$$eaux qui les contiennent $ont en rai$on des_ _ba$es multipliées par les hauteurs._ On pourroit objecter à cela, qu’il s’en$uivroit delà que $i l’on a un va$e conique, & un va$e cylindrique de même ba$e & de même hauteur que le premier, l’un & l’autre remplis de la même liqueur, le poids de l’un doit être égal au poids de l’autre, pui$qu’il $emble que la pre$$ion occa$ionne le poids. Mais on va voir que quoique les pre$$ions contre les ba$es $oient égales, il ne s’en$uit pas que les poids ab$olus doivent changer. Pour s’en convaincre, il n’y a qu’à [0698]NOUVEAU COURS faire attention que quoique dans le tambour d’une montre la force du re$$ort qui bande la chaîne $oit très-con$idérable, on ne $ent pourtant rien de cet effort, qui e$t détruit par la ré$i$- tance de la chaîne. Il en e$t de même de chaque filet, quoiqu’il fa$$e un effort con$idérable contre la ba$e inférieure du va$e: comme cet effort e$t détruit par la ré$i$tance des parois $upé- rieurs, on ne doit porter que le poids de la $omme des filets, c’e$t-à-dire le poids du volume de fluide contenu dans le va$e. Au$$i $i l’on détruit cette ré$i$tance réciproque des parois du va$e, en pratiquant un fond mobile, alors l’expérience e$t d’accord avec la théorie, & nous fait voir qu’il faut une force égale à celle d’un $olide qui auroit une ba$e égale à celle du va$e, & une hauteur égale à celle de la plus haute colonne. Voyez le premier volume de notre _Architecture Hydraulique,_ art. 352, page 141.

PROPOSITION II. THÉOREME.

_1137_. Si l’on ver$e une liqueur, par exemple, de l’eau dans un tuyau recourbé ou $iphon, je dis que la $urface de cette liqueur $e mettra de niveau dans les deux branches du $iphon.

DÉMONSTRATION.

1°. Si les deux branches du $iphon $ont d’égale gro$$eur, il _Figure_ 413. e$t ai$é de prouver que la $urface de la liqueur dans chaque tuyau $e trouvera renfermée dans une ligne droite horizontale A B; pui$que les colonnes de la liqueur contenues dans chaque tuyau, $e trouveront dans le même cas que $i elles étoient compri$es dans un va$e, c’e$t-à-dire de $e contre-balancer éga- lement, $ans faire plus d’effort l’une que l’autre pour bai$$er ou hau$$er: car les côtés L M & N O du tuyau font le même effet pour contenir la liqueur, que le feroient les colonnes L M P Q & R N Q O, $i les deux colonnes L H & N K étoient, au$$i- bien que les précédentes, renfermées dans un $eul va$e A H B K; mais $elon cette $uppo$ition, les colonnes L H & N K $eroient en équilibre (art. 1130), & auroient leur $urface de niveau: par con$équent $i l’on $upprime toutes les colonnes d’eau qui $eroient entre ces deux-ci, & qu’à la place l’on $ub$titue les côtés L M & N O du $iphon, l’eau re$tera de niveau dans les deux tuyaux. C. Q. F. D.

[0699]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI._ AUTRE DEMONSTRATION.

Pour démontrer ceci par les vîte$$es, $uppo$ons que la $ur- face A L $oit de$cendue de A en C, par exemple, de 4 pouces: cela étant, la $urface N B $era montée de N en E au$$i de 4 pouces, pui$que les deux tuyaux $ont d’égale gro$$eur: ain$i la quantité de mouvement du fluide dans le premier tuyau e$t égale à la quantité du mouvement du fluide dans le $econd tuyau: par con$équent ils $ont en équilibre, & leurs $urfaces $ont de niveau. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

1138. Il $uit delà que $i l’on a un $iphon, dont la gro$$eur _Figure_ 414. des branches $oit inégale, la liqueur qui $era ver$ée dans le $iphon $e mettra encore de niveau dans les deux branches: car $i, par exemple, la branche I K e$t trois fois plus gro$$e que la branche G H, il y aura trois fois plus de liqueur dans la gro$$e branche que dans la petite. Or $i l’on imagine que l’eau de cette branche $oit partagée en trois colonnes égales, il y en aura une, comme, par exemple, O L P M, qui $era en équilibre avec celle du petit tuyau, pui$qu’on $uppo$e qu’elles ont des ba$es égales. Or étant en équilibre, leurs $urfaces $eront de niveau; mais la colonne O L P M e$t en équilibre avec la co- lonne N L M F ou N F B K, & par con$équent de niveau en- tr’elles: elles $eront donc au$$i de niveau avec la colonne du petit tuyau.

Pour prouver ceci par les vîte$$es, con$idérez que $i la $ur- face de l’eau du petit tuyau e$t de$cendue de A en C de 3 pouces, par exemple, elle $era montée de B en E d’un pouce dans le grand tuyau, pui$que la ba$e du grand tuyau e$t triple de celle du petit: ain$i les vîte$$es $eront réciproques à leurs ma$$es, & par con$équent l’eau $era en équilibre de part & d’autre, & les $urfaces de niveau.

COROLLAIRE II.

1139. Mais $i le tuyau avoit une branche perpendiculaire à l’horizon, & l’autre inclinée comme dans le $iphon A B C, la _Figure_ 415. liqueur que l’on ver$era dans l’un des tuyaux, $e mettra en- core de niveau dans l’autre: car $i les deux branches de ce $iphon $ont d’égale gro$$eur, & que la ligne E G pa$$e par la [0700]NOUVEAU COURS $urface de la liqueur dans chaque tuyau, l’eau de la branche perpendiculaire $era à celle de la branche oblique, comme E B e$t à B G; mais l’eau de la branche inclinée n’agit pas $ur la ba$e B avec toute $a pe$anteur ab$olue; & con$idérant que cette liqueur e$t appuyée $ur un plan incliné, l’on pourra dire que la pe$anteur relative de la liqueur e$t à $a pe$anteur ab- $olue, comme la hauteur G D du plan incliné e$t à $a lon- gueur G B; & comme nous avons vu que les liqueurs de chaque tuyau étoient comme E B e$t à B G, il s’en$uit que les hauteurs E B & G D étant égales, l’eau du $iphon e$t en équilibre, & que par con$équent elle e$t de niveau; ce que l’on démontrera encore, quand même les branches du $iphon $eroient d’inégale gro$$eur.

COROLLAIRE III.

1140. Il $uit encore delà que l’eau qui e$t dans le canal _Figure_ 414. H S T P fait autant d’effort contre les côtés du même canal pour s’échapper, que l’eau de chaque tuyau en fait $ur la ba$e T V, qui $eroit celle du cylindre, parce que l’eau des petites colonnes Q T R P tend à $e mettre de niveau avec la $urface de la liqueur de chaque branche; au$$i l’expérience montre- t’elle que $i l’on fait un petit trou vertical au canal d’un $iphon, elle monte pre$qu’à la hauteur de l’eau des branches.

PROPOSITION III. THÉOREME.

_1141_. Si l’on met dans les deux branches d’un $iphon des li- queurs de différentes pe$anteurs, je dis que les hauteurs de ces li- queurs dans les tuyaux, $eront entr’elles dans la rai$on réciproque de leur pe$anteur $pécifique.

DÉMONSTRATION.

Si l’on ver$e du mercure dans le $iphon A B C H, il $e mettra _Figure_ 416. de niveau dans les deux branches, comme toutes les autres li- queurs. Or $i l’on $uppo$e que la ligne horizontale D E marque le niveau du mercure, & qu’en$uite l’on ver$e de l’eau dans la branche A B ju$qu’à la hauteur G, il e$t évident que le mer- cure de cette branche ce$$era d’être de niveau avec celui de l’autre branche, au$$i-tôt qu’on y aura ver$é de l’eau, & que s’il e$t de$cendu de D en I de 2 pouces dans la premiere bran- [0701]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. che, il $era monté de E en F au$$i de 2 pouces dans la $econde. Pré$entement $i l’on tire la ligne horizontale I L, l’on voit évidemment que le mercure I B de la premiere branche e$t en équilibre avec le mercure L C de la $econde. Or $i l’eau $e maintient en repos à la hauteur G, & le mercure à la hauteur F, il s’en$uit que l’eau G I e$t en équilibre avec le mercure F L, $i les branches du $iphon $ont d’égale gro$$eur, & que d’au- tant la colonne G I e$t plus haute que F L, d’autant la pe$an- teur $pécifique du mercure e$t plus grande que celle de l’eau, & que par con$équent la pe$anteur $pécifique de ces deux li- queurs e$t en rai$on réciproque de leurs hauteurs.

COROLLAIRE.

1142. Il $uit delà que $i une des branches A B du $iphon étoit _Figure_ 417. plus gro$$e que l’autre D C, le mercure qui $eroit dans la gro$$e branche, $era encore en équilibre avec l’eau de la petite, $i après avoir tiré l’horizontale F G, la hauteur E F du mercure e$t à la hauteur H K de l’eau dans la rai$on réciproque de la pe$anteur $pécifique de ces deux liqueurs: car $i l’on imagine une colonne L F de mercure, dont la ba$e $oit égale à celle du tuyau D C, cette colonne $era en équilibre avec la colonne d’eau H K. Or $i le tuyau A B e$t cinq fois plus gros que D C, la quantité de mercure E I contiendra cinq colonnes, comme L F, qui $eront toutes en équilibre entr’elles, au$$i-bien qu’avec la colonne H K: ain$i il en $era de la propo$ition précédente pour l’équilibre des liqueurs différentes dans des tuyaux d’iné- gale gro$$eur, la même cho$e que dans l’article 1137, $oit que la liqueur la plus pe$ante $e trouve dans le gros tuyau, ou dans le petit.

PROPOSITION IV. THÉOREME.

_1143_. 1°. Si un corps dur e$t mis dans un fluide de même pe- _Figure_ 418 $anteur $pécifique, il y demeurera entiérement plongé, à quelque hauteur qu’il $e trouve.

_2°_. S’il e$t d’une pe$anteur $pécifique plus grande que celle du fluide, il ira au fond du vai$$eau.

_3°_. S’il e$t d’une pe$anteur $pécifique moindre que celle du fluide, il n’y aura qu’une partie du corps qui s’enfoncera, & l’autre partie re$tera au de$$us de la $urface du fluide.

[0702]NOUVEAU COURS DÉMONSTRATION DU PREMIER CAS.

Si l’on a un va$e A B C D, rempli de telle liqueur que l’on voudra, par exemple, de l’eau, & qu’on y plonge un corps E, dont la pe$anteur $oit égale à celle du volume d’eau, dont il occupe la place, il e$t con$tant que ce corps demeurera en équilibre, c’e$t-à-dire en repos, $ans monter ni de$cendre, quelque $ituation qu’on lui donne: car il a autant de force que le volume d’eau qui $eroit à $a place, pour tendre au centre de la terre: mais les parties de l’eau $ont en équilibre avec toutes celles de la même eau qui les environne: ain$i le corps E te- nant lieu d’une certaine quantité d’eau, dont il occupe la place, $era en équilibre avec toute celle du vai$$eau, & demeu- rera entiérement plongé & en repos, à quelque hauteur qu’on le mette. C. Q. F. D.

DÉMONSTRATION DU SECOND CAS.

Si le corps F plongé dans le même va$e, e$t plus pe$ant que le volume d’eau, dont il occupe la place, il e$t ai$é de conce- voir qu’il de$cendra au fond de l’eau: car il tendra avec plus de force au centre de la terre qu’un pareil volume d’eau: ain$i il ne $era plus en équilibre avec les autres parties de l’eau dont il e$t environné, & ira par con$équent au fond du vai$$eau. C. Q. F. D.

DÉMONSTRATION DU TROISIEME CAS.

Si le corps G e$t plus léger qu’un pareil volume d’eau, l’on voit évidemment qu’il doit arriver tout le contraire du cas pré- cédent, c’e$t-à-dire qu’au lieu d’aller au fond de l’eau, il doit nager $ur la $urface, & ne s’enfoncer qu’en partie dedans, qui $era, par exemple, la partie I K M N qui occupe un volume d’eau égal en pe$anteur à tout le corps G: car $i, par exemple, ce corps ne pe$e que la moitié d’un pareil volume d’eau, la partie enfoncée $era la moitié du corps, & l’eau que cette moitié occupe étant d’une égale pe$anteur que tout le corps, ils tendront également au centre de la terre, & $eront par con$équent en équilibre, quoique le corps ne $oit pas entié- rement plongé dans l’eau. C. Q. F. D.

[0703]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. COROLLAIRE I.

1144. Il $uit du premier cas, que $i une pui$$ance Q vou- loit $ortir de l’eau un poids E attaché à une corde, $i le poids e$t égal à la pe$anteur $pécifique de l’eau, la pui$$ance ne s’ap- percevra de la pe$anteur du poids, que lor$qu’il commen- cera à $ortir de l’eau, pui$que tant qu’il $era plongé dedans, elle n’en $outiendra aucune partie; & c’e$t la rai$on qui fait que lor$que l’on tire de l’eau d’un puits, la pui$$ance ne fait pre$que point d’effort pour $outenir le vai$$eau plein d’eau, tant qu’il e$t plongé dedans, parce qu’elle ne $outient aucune partie de l’eau qui e$t dans le vai$$eau, & que le vai$$eau lui- même, quand il e$t de bois, e$t à peu près égal à la pe$anteur $pécifique de l’eau, au lieu qu’étant entiérement dehors, l’ef- fort de la pui$$ance devient égal au poids de l’eau & de celui du vai$$eau.

COROLLAIRE II.

1145. Il $uit du $econd cas, que $i une pui$$ance Q $outient un corps O plongé dans l’eau, & que la pe$anteur $pécifique du corps $oit plus grande que celle de l’eau, cette pui$$ance ne $outiendra qu’une partie de la pe$anteur du corps, qui $era la différence de $a pe$anteur $pécifique à celle du volume d’eau dont il occupe la place; parce que ce corps pe$e moins dans l’eau que dans l’air, du poids d’un pareil volume d’eau: ain$i l’on peut dire en général que les corps plus pe$ans que l’eau perdent de leur pe$anteur, lor$qu’ils $ont plongés dedans; & cela dans la rai$on de la gravité $pécifique du corps à celle de l’eau, qui e$t un principe dont nous avons déja parlé dans l’art. 901.

COROLLAIRE III.

1146. Il $uit du troi$ieme cas, que quand un corps e$t plus léger qu’un pareil volume d’eau, la pe$anteur $pécifique de l’eau e$t à celle du corps, comme le volume de tout le corps e$t à $a partie enfoncée: ain$i $uppo$ant que le corps G $oit un cube ou un parallelépipede, la pe$anteur $pécifique de l’eau $era à celle de ce corps, comme H K e$t à I K.

COROLLAIRE IV.

1147. Il $uit au$$i qu’un corps s’enfonce différemment dans [0704]NOUVEAU COURS les liqueurs dont les pe$anteurs $pécifiques $ont différentes, étant certain qu’il s’enfoncera davantage dans une liqueur d’une certaine pe$anteur $pécifique, que dans une autre qui $eroit plus pe$ante: par exemple, l’on voit qu’un vai$$eau chargé s’en$once plus dans une riviere que dans la mer, parce que l’eau des rivieres e$t moins pe$ante que celle de la mer: ain$i il ne faut pas s’étonner s’il e$t arrivé quelquefois qu’un vai$$eau, après avoir cinglé heureu$ement en pleine mer, s’e$t perdu & a coulé à fond en arrivant à l’embouchure de quelque riviere d’eau douce.

COROLLAIRE V.

1148. L’on peut encore remarquer que quoique les métaux $oient plus pe$ans que l’eau, cela n’empêche pas qu’ils ne pui$- $ent nager $ur l’eau: car s’ils compo$ent des corps creux, dont la pe$anteur $pécifique $oit moindre que celle du volume d’eau dont ils occupent la place, ils $urnageront $ans couler à fond.

REMARQUE.

1149. Nous avons déja dit dans l’art. 901, que les métaux perdoient de leur pe$anteur, lor$qu’ils étoient plongés dans l’eau: & comme c’e$t ici l’endroit d’en faire voir la rai$on, l’on remarquera qu’il n’y en a pas d’autre que celle qui fait qu’un corps étant plongé dans l’eau, e$t plus léger qu’il n’étoit dans l’air de toute la pe$anteur $pécifique de l’eau dont il oc- cupe la place. Ain$i l’on pourra toujours trouver la rai$on de la pe$anteur $pécifique d’un métal avec celle de l’eau, ou de toute autre liqueur, en pe$ant dans l’air avec des ju$tes balances une piece de métal; en$uite on l’attachera à l’un des bras ou ba$$ins de la balance avec un fil de $oie, pour voir après que le métal $era plongé dans l’eau, combien il pe$era de moins; & la différence $era celle de la pe$anteur $pécifique de ce métal à celle de l’eau.

C’e$t en $uivant ce que l’on vient de dire, qu’on a trouvé que l’or perd dans l’eau environ la dix-neuvieme partie de $on poids, le mercure la quinzieme, le plomb la douzieme, l’ar- gent la dixieme, le cuivre la neuvieme, le fer la huitieme, & l’étain la $eptieme.

En $uivant le même principe, on peut $çavoir au$$i le rap- port des pe$anteurs $pécifiques des liqueurs entr’elles, & des [0705]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. métaux entr’eux, & par con$équent des liqueurs avec les mé- taux, par exemple, le rapport du poids d’un pouce cube d’or avec celui d’un pouce cube de mercure; & c’e$t ain$i que l’on a trouvé la pe$anteur d’un pouce cube des métaux & des li- queurs contenus dans la Table $uivante.

Poids d’un pouce cube. _Matieres_. # _on_. # _gros_. # _gr_. # _Matieres_. # _on_. # _gros_. # _gr_. Or. # 12 # 2 # 17 # Marbre blanc. # 1 # 6 # 0 Mercure. # 8 # 6 # 8 # Pierre de taille. # 1 # 2 # 24 Plomb. # 7 # 3 # 30 # Eau de Seine. # 0 # 5 # 12 # # # # Vin. # 0 # 5 # 5 _Matieres_. # _on_. # _gros_. # _gr_. # _Matieres_. # _on_. # _gros_. # _gr_. Argent. # 6 # 5 # 26 # Cire. # 0 # 4 # 65 Cuivre. # 5 # 6 # 36 # Huile. # 0 # 4 # 43 Fer. # 5 # 1 # 27 # Chêne $ec. # 0 # 4 # 22 Etain. # 4 # 6 # 14 # Noyer. # 0 # 3 # 6

L’on peut encore par ce principe me$urer la $olidité d’un corps irrégulier: car $i ce corps pe$e 90 livres dans l’air, & que dans l’eau il n’en pe$e que 80, c’e$t une marque que le volume d’eau, dont il occupe la place, pe$e 10 livres: ain$i il ne s’agit que de $çavoir combien 10 livres d’eau valent de pouces cubes; ce que l’on trouvera, en di$ant: Si 70 livres valent un pied cube d’eau, ou 1728 pouces, combien vaudront 10 livres? l’on trouvera 246 pouces & {6/7} pour la $olidité du corps.

Application des principes précédens à la navigation.

1150. Quand on fait des tran$ports de munitions de guerre par des bateaux, comme cela arrive $ouvent, lor$qu’on a la commodité des rivieres ou des canaux, & que ces munitions peuvent être accompagnées de gros fardeaux: par exemple, comme du canon, des affûts, en un mot tout ce qui compo$e un équipage d’Artillerie, & qu’un Officier qui a un peu de dé- tail, n’ignore pas le poids des munitions dont il e$t chargé, il faut faire voir ici comme il pourra e$timer la charge que les bateaux peuvent porter, afin de $çavoir combien il lui en fau- dra, $i l’on n’avoit égard qu’aux poids des munitions, $ans s’embarra$$er du volume.

[0706]NOUVEAU COURS

Comme le pied cube d’eau douce pe$e environ 70 livres, & qu’un pied cube de bois de chêne ne pe$e qu’environ 58, l’on voit qu’un bateau pourroit être rempli d’eau, $ans pour cela couler à fond, parce que l’eau qui $eroit dedans e$t en équilibre avec celle du dehors, & que la pe$anteur $pécifique du bois qui compo$e le bateau, e$t plus petite que celle de l’eau. L’on peut donc mettre dans le bateau un poids équi- valent à celui de l’eau qu’il peut contenir. Or $i l’on me$ure la capacité du bateau, & qu’on la trouve, par e@emple, de 4000 pieds cubes, ce bateau pourra porter 4000 fois 70 livres, parce que nous avons dit qu’un pied cube d’eau pe$oit 70 livres: ain$i le bateau portera 280000 livres; mais comme l’u$age $ur les ports de mer e$t d’e$timer la charge des vai$$eaux par tonneaux, & la charge des bateaux $ur les rivieres par quin- taux, l’on $çaura que le tonneau e$t un poids de 2000 livres, & que le quintal e$t un poids de 100 livres: ain$i quand l’on dit en terme de Marine, qu’un vai$$eau porte 100 tonneaux, ou e$t de 100 tonneaux, cela veut dire qu’il peut porter 200000 livres, ou 2000 quintaux.

Nous avons déja dit que l’eau de la mer étoit plus pe$ante que celle des rivieres; & comme on pourroit avoir be$oin de connoître $on poids, l’on $çaura que le pied cube pe$e 73 livres, qui e$t 3 livres de plus par pied cube que l’eau douce.

Nous allons encore faire voir dans la propo$ition $uivante un principe de l’équilibre des liqueurs, qui e$t plus curieux qu’utile dans la pratique: c’e$t pourquoi je n’en ai pas parlé plutôt; mais comme il ne conviendroit pas de le pa$$er $ous $ilence, voici de quoi il e$t que$tion.

PROPOSITION V. THÉOREME.

_1151_. Si l’on a un va$e plus gros par un bout que par l’autre rempli d’une liqueur quelconque; cette liqueur aura autant de force pour $ortir par une ouverture égale à $a ba$e, que $i cette ouverture étoit égale à celle d’en haut.

DÉMONSTRATION.

Si l’on a un va$e comme dans la figure 411, plus large par _Figure_ 411. la ba$e B C que par le haut G H, il e$t ai$é de concevoir que [0707]DE MATHÉMATIQUE. _Liv_. _XVI_. l’eau qui pe$e $ur la ba$e B C fait autant d’effort, que $i elle étoit chargée de toute l’eau du volume B O P C: car nous avons fait voir que toutes les colonnes d’eau, comme L M (art. 1137), tendoient à monter à la hauteur G H ou O P, qui e$t la même cho$ & que l’effort qu’elle fai$oit étoit exprimé par le poids de la petite colonne I N : mais l’effort exprimé par I N, $e fait également à l’endroit M de la ba$e qu’à l’en- droit L, à cau$e de la mobilité re$pective des parties qui com- po$ent les colonnes d’eau; & toutes les colonnes, comme L M, indépendamment de l’effort exprimé par I N, font en- core effort de tout le poids de leur hauteur L M : d’où il $uit que la colonne L M pe$e autant $ur la ba$e que la colonne I K, & que par con$équent la ba$e e$t autant pre$$ée par l’eau, qui e$t dans le va$e, que $i elle étoit chargée de tout le volume B O P C. C. Q. F. D.

Si le va$e a $es côtés inclinés, comme dans la figure _Figure_ 412. 412, l’on démontrera de même que l’eau fait autant d’effort $ur la ba$e E F, que $i elle étoit chargée de toute celle qui $e- roit contenue dans le volume cylindrique E Q R F, qui a pour hauteur celle de l’eau du va$e.

L’expérience prouve ceci encore mieux que tout le rai$on- nement que l’on peut faire: car $i l’on a un va$e plus large par en bas que par en haut, & que le fond $oit fermé par un pi$ton qui ait la liberté de $e mouvoir, $ans cependant que l’eau pui$$e $e répandre; l’on voit, dis-je, que la pui$$ance qui $outient ce pi$ton, a be$oin d’une force égale au poids de l’eau qui $eroit contenue dans ce va$e, s’il étoit au$$i large par en haut que par en bas, à cau$e de l’effort que les petites colonnes d’eau font pour $e mettre au niveau des plus grandes: mais quand l’eau vient à être gelée, & que ces parties ne $ont plus en mouvement, elles ne font plus d’effort contre les côtés du va$e, & la pui$$ance n’a plus be$oin d’une $i grande force, parce que pour lors elle ne $outient plus que la pe$anteur ab$o- lue de l’eau gelée.

1152. Mais $i le vai$$eau étoit plus large par en haut que par _Figure_ 419. en bas, comme e$t le va$e A B C D, $i on le remplit de liqueur, elle ne fera pas plus d’effort contre la ba$e B D, que $i la lar- geur d’en haut étoit égale à celle d’en bas: car $i l’on imagine le cylindre d’eau B D E F, il $era ai$é de juger que comme l’eau pe$e perpendiculairement, il n’y a que celle qui e$t contenue [0708]NOUVEAU COURS dans le cylindre qui fait effort contre la ba$e B D, parce que celle qui e$t contenue autour du cylindre, ne pe$e pas $ur la ba$e, mais $eulement $ur les côtés inclinés du va$e.

COROLLAIRE.

1153. Il $uit de cette propo$ition, que quelque forme que pui$$ent avoir plu$ieurs vai$$eaux perpendiculaires à l’horizon, & d’égales hauteurs, $i ces vai$$eaux ont des ba$es égales, & qu’ils $oient remplis d’eau, les ba$es $eront également chargées,

REMARQUE.

1154. L’effort des liqueurs $e me$ure à la livre comme celui _Figure_ 420. des poids dans la méchanique; & comme on peut $çavoir la pe$anteur d’un pied cube de toutes $ortes de liqueurs, particu- liérement de celui de l’eau, qui pe$e 70 livres, l’on trouvera toujours l’effort de l’eau $ur le fond d’un va$e, en multipliant la capacité du fond par la hauteur perpendiculaire de l’eau du va$e: ain$i ayant un va$e A B C perpendiculaire à l’horizon, & rempli d’eau ju$qu’à l’ouverture A, voulant $çavoir l’effort que fait l’eau $ur la ba$e B C, nous $uppo$erons que cette ba$e vaut 4 pieds quarrés, & que la hauteur perpendiculaire A D e$t de 40 pieds: ain$i multipliant 40 par 4, l’on aura 160 pieds cubes, qui étant multipliés par 70 livres, qui e$t la pe$anteur d’un pied cube d’eau, il viendra 11200 livres, qui e$t l’effort que l’eau du va$e A B C fait $ur la ba$e B C; & ce qu’il y a de $urprenant, c’e$t que $i tout le va$e ne contenoit qu’un pied cube d’eau, qui e$t équivalent au poids de 70 livres, il faudroit que la pui$$ance Q qui voudroit $outenir le fond C D ($uppo- $ant qu’il fût détaché du re$te), eût une force de 11200 liv. pour être en équilibre avec l’effort de l’eau $ur la ba$e B C.

[0709]DE MATHÉMATIQUE. _Liv_. _XVI_. CHAPITRE II. De la vîte$$e des fluides qui $ortent par des ouvertures faites aux va$es qui les contiennent. PROPOSITION I. THÉOREME.

_1155_. Si l’on a un tuyau _A B C D_ perpendiculaire à l’horizon, _Figure_ 421. & rempli d’une liqueur quelconque, la vîte$$e de cette liqueur par l’ouverture C D de la ba$e $era exprimée par la racine quarrée de la hauteur.

DÉMONSTRATION.

Si l’on $uppo$e d’abord que l’ouverture de la ba$e e$t égale à la même ba$e du cylindre, il e$t vi$ible que rien ne s’oppo- $ant au pa$$age du fluide renfermé dans le va$e, toutes les parties de la tranche inférieure C D doivent partir avec la même vîte$$e; toute la difficulté con$i$te à $çavoir quelle doit être la vîte$$e de cette tranche au premier in$tant du mouve- ment. Je dis que cette vîte$$e e$t égale à celle qu’auroit acqui$e la premiere tranche $upérieure A B en tombant de la hauteur B D. Pour cela, faites attention que la vîte$$e d’un corps qui tombe augmente à chaque in$tant dans le rapport des momens qui $e $ont écoulés, & par con$équent la force de ce corps, que l’on peut toujours exprimer par des poids, augmente dans le même rapport. Cela po$é, $i nous imaginons que le tems e$t repré$enté par la hauteur A C, il y aura autant de tranches égales à la premiere qui pre$$eront la derniere, qu’il y a d’in$- tans pour la chûte de la premiere tranche A B E G: donc cette derniere tranche reçoit du côté du poids de la colonne qui la pre$$e une force égale à celle qu’elle auroit acqui$e en tombant de B en D: d’ailleurs cette force $eroit exprimée par la racine quarrée de la hauteur. Donc, &c. C. Q. F. D.

PROPOSITION II. THÉOREME.

_1156_. _2°_. Si le trou _D_ fait à la ba$e du va$e qui renferme la li- _Figure_ 422 & 423. queur, n’e$t pas égal à la même ba$e, je dis que la vîte$$e, au $ortir [0710]NOUVEAU COURS de cette ouverture, $era encore exprimée par la racine quarrée de la hauteur. On $uppo$e que le va$e e$t toujours entretenu à la même hauteur.

DEMONSTRATION.

Je con$idere d’abord que les quantités de fluides écoulées $ont dans la rai$on des vîte$$es pourune même ouverture, étant évident qu’une vîte$$e double donnera une ma$$e double, & ain$i de $uite. Cela po$é, concevons deux va$es A B C & E F G percés chacun à leur ba$e d’une même ouverture, & dont les hauteurs $oient différentes. Il e$t clair que les vîte$$es $eront différentes, quel que $oit leur rapport, & par con$équent les ma$$es ou quantités de fluides le $eront au$$i dans le même rapport. Soit V la vîte$$e du premier va$e, & _u_ celle du $e- cond; M la ma$$e de fluide écoulé dans un certain tems, & _m_ celle du fluide écoulé par le $econd va$e dans le même tems; on aura M: _m_ :: V : _u_; donc _m_={_u_M/V}. Soit F le poids de la colonne A D, & _f_ celui de la colonne E H. Ces poids ou co- lonnes $eront dans la rai$on des hauteurs, pui$qu’elles ont des ba$es égales, & que le fluide e$t le même pour chaque va$e: on aura donc F : _f_ :: A D : E G. Deplus, les forces étant comme les quantités de mouvement qu’elles produi$ent, c’e$t-à-dire comme les produits des ma$$es ou quantités écoulées par les vîte$$es, on aura encore F : _f_ :: MV : {M_u_<_>2/V}: donc F: _f_ :: M V<_>2 : M_u_<_>2 :: V<_>2: _u_<_>2: donc A D : E G :: V<_>2: _u_<_>2: doncenfin V: _u_:: AD : EG. C. Q. F. D.

REMARQUE.

1157. On voit par-là que le principe que nous avons établi précédemment devient général, c’e$t-à-dire que les vîte$$es $eront toujours exprimées par les racines quarrées des hau- teurs, quelle que $oit l’ouverture, égale ou plus petite que la ba$e du va$e qui renferme le fluide; & quelle que $oit d’ailleurs la figure du va$e droit ou oblique, pourvu qu’il $oit entretenu plein à la même hauteur. C’e$t en vain qu’on a tenté d’expli- quer ce principe par l’accélération des vîte$$es, cau$ée par la pe$anteur. La premiere tranche arrivée en bas du va$e ne peut pas avoir acquis de vîte$$e plus grande que celle de la derniere, pui$qu’elle ne peut pa$$er qu’aprés elle, & ain$i de toutes les [0711]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. autres $ucce$$ivement. Il faut avoir recours à d’autres dé- mon$trations, tirées de la maniere dont les fluides agi$$ent $ur leurs parties. On e$t redevable à M. _Varignon_ de la dé- mon$tration complette que nous venons d’apporter. Ce prin- cipe pouvoit être regardé avant lui comme douteux, pui$que l’on ne l’avoit point démontré par une rai$on convenable à la nature des fluides, & qu’au contraire on avoit eu recours à des cau$es qui ne peuvent avoir lieu.

1158. 2°. Dans le cas où l’ouverture e$t égale au diametre _Figure_ 421. de la ba$e, quelques Auteurs prouvent que la vîte$$e de l’eau, au $ortir de cette ba$e, doit être égale à la racine quarrée de la hauteur, en con$idérant le fluide qui tombe tout entier dans le même tems comme un morceau de glace. Je vois bien que dans cette hypothe$e, lor$que la tranche A B $era venue en C D, elle aura acqui$e une vîte$$e exprimée par la racine de cette hauteur: mais je ne vois nullement que la derniere tran- che C D, au premier in$tant de la chûte, ait la même vîte$$e; ce qui e$t pourtant l’état de la que$tion. Ain$i cette preuve ne peut être admi$e, d’autant plus qu’il n’y a aucune comparai$on à faire entre un corps cylindrique de glace & une colonne de fluide de même ba$e & de même hauteur. La rai$on en e$t, que dans ce cylindre de glace, la tranche C D étant attachée fortement avec toute la ma$$e, ne peut re$$entir l’impre$$ion des parties $upérieures; au lieu que cette impre$$ion nulle dans un $olide, a néce$$airement lieu dans un fluide.

COROLLAIRE I.

1159. Il $uit delà que la vîte$$e d’un fluide, à la $ortie du _Figure_ 421. va$e qui le contient, e$t égale à celle qu’un corps auroit ac- quis en tombant d’une hauteur égale à celle de la $urface de l’eau au de$$us du fond du va$e: car cette vîte$$e e$t au$$i ex- primée par la racine quarrée de la hauteur.

COROLLAIRE II.

1160. Nous venons de voir que $i un fluide s’échappe par une ouverture égale à celle de $a ba$e, la vîte$$e qu’il a e$t égale à celle d’un corps qui $eroit tombé librement de la hau- teur de cette colonne de fluide. De plus avec cette vîte$$e, le corps dans la moitié du tems de la chûte par B D parcourt le même e$pace B D: donc avec la vîte$$e que lefluide a au $ortir [0712]NOUVEAU COURS du va$e, il lui faudra, pour vuider le va$e entiérement, un tems égal à la moitié du tems qu’un corps grave employeroit à parcourir la même hauteur B D.

COROLLAIRE III.

1161. Comme la vîte$$e e$t la même, lor$que le trou e$t _Figure_ 422. plus petit que la ba$e, il s’en$uit que dans la moitié du tems qu’un corps mettroit à parcourir A C, il pa$$era une quantité d’eau égale à la colonne A D: par con$équent dans le tems de la chûte, par A D, il $ortira une colonne double de la même colonne A D, pourvu que le vai$$eau $oit toujours en- tretenu plein à la même hauteur, pour con$erver l’égalité de vîte$$e. On peut donc dire en général, _que la dépen$e d’un_ _tuyau ou ré$ervoir, pendant le tems qu’il faudroit à un corps pour_ _tomber de la hauteur du niveau de l’eau au de$$us du fond, e$t égale_ _à une colonne qui auroit pour ba$e l’orifice, & pour hauteur une_ _ligne égale à celle que le corps parcourroit uniformément pendant_ _le même tems avec la vîte$$e acqui$e, c’e$t-à-dire une colonne double_.

COROLLAIRE IV.

1162. Il $uit encore delà que l’on peut ai$ément connoître la dépen$e d’un tuyau dans un certain tems, $i l’on connoît le diametre de l’ouverture, & la hauteur de l’eau au de$$us du fond, que nous $uppo$ons toujours la même. Pour cela, il n’y aura qu’à chercher le tems de la chûte d’un corps par la hau- teur de l’eau au de$$us de la ba$e, en$uite chercher combien de fois ce tems e$t contenu dans le propo$é, & multiplier après par le quotient une colonne double de celle qui auroit pour ba$e l’orifice, & pour hauteur celle de l’eau au de$$us de l’orifice. Ce procédé $uit évidemment du corollaire précédent: car pui$que dans le tems de la chûte, par la hauteur de l’eau, il s’écoule une colonne double de la même hauteur, $i le tems donné e$t décuple du tems de la chûte par cette hauteur, il s’écoulera une colonne dix fois double, ou vingt fois plus grande que la propo$ée, pourvu, comme on le $uppo$e, que la hauteur $oit toujours la même.

COROLLAIRE V.

1163. Si l’on a des va$es qui aient des hauteurs inégales, & des orifices au$$i différens, mais $emblables, comme des cercles [0713]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. ou des quarrés, les quantités d’eau écoulées ou les dépen$es $eront dans la rai$on compo$ée des racines quarrées des hau- teurs, & des quarrés des diametres, pourvu que ces mêmes va$es $oient toujours entretenus à la même hauteur d’eau: donc $i l’on appelle D & _d_ les dépen$es, H & _h_ les hauteurs, L & _l_ les largeurs ou diametres des orifices, on aura D: _d_:: √ H x L<_>2 : √_h_ x _l_<_>2: donc D x √_h_ x _l_<_>2 = _d_ √ H x L<_>2. Si les dépen$es $ont égales, on aura √ _h_ x _l_<_>2 = √ H x L<_>2: donc √ H : √_h_:: _l_<_>2: L<_>2, c’e$t-à-dire que les orifices $ont dans la rai$on réciproque des racines quarrées des hauteurs, ou des vîte$$es qui $ont exprimées par ces racines. Si au lieu des dé- pen$es on met les produits des ba$es par les vîte$$es qui leur $ont égaux, on aura V x L<_>2 x √_h_ x _l_<_>2 = _u_ x _l_<_>2 x √ H x L<_>2, ou V x √_h_ = _u_√ H, d’où l’on tire comme ci-devant, V : _u_ :: √ H : √_h_.

COROLLAIRE VI.

1164. Comme l’eau contenue dans un va$e fait un effort _Figure_ 424. égal de tous côtés pour s’échapper, il $uit encore delà que $i l’on a un va$e, comme A D, rempli d’eau, toujours entre- tenue à la même hauteur, & qu’on pratique deux ouvertures en B & C, les vîte$$es de l’eau, à la $ortie, $eront comme les racines quarrées des hauteurs A B & A C, $oit que l’eau, à la $ortie des ouvertures, $oit pou$$ée $uivant une direction ver- ticale, horizontale, ou inclinée à l’horizon. Il e$t cependant à remarquer que cela ne $e trouve pas exactement vrai, c’e$t- à-dire que les vîte$$es de l’eau, $uivant des directions incli- nées, ne $ont pas $i grandes en $ortant, que $elon des direc- tions horizontales ou des directions verticales, lor$qu’elle coule de haut en bas. Cette différence vient de ce que les parties de l’eau ne s’échappent pas $i ai$ément, $uivant des directions obliques, que $uivant des directions horizontales, ni $i facilement $elon des directions horizontales, que $uivant des directions verticales.

COROLLAIRE VII.

1165. Il $uit encore delà que $i l’eau $ort $uivant une di- _Figure_ 425. rection horizontale, le jet décrira une parabole, dont le $om- met $era en B: car nous avons démontré dans le Traité du Mouvement, que $i l’on a un demi-cercle A F C, dont le dia- [0714]NOUVEAU COURS metre A C $oit vertical, & qu’on pou$$e un corps quelconque $uivant une direction B D avec une force exprimée par la ra- cine de A B, qui e$t celle qu’il auroit acqui$e en tombant de A en B, ce corps décrira une parabole B G E, dont l’amplitude C E $eroit double de la perpendiculaire B F: donc $i l’on con- $idere les parties de l’eau comme une infinité de petits corps pou$$és $uivant la direction B D avec une force exprimée par la racine quarrée de A B, on verra qu’ils décrivent pareille- ment la parabole B G E.

De même $i l’eau $ort $uivant une direction C G avec _Figure_ 426. une vîte$$e exprimée par la racine quarrée de la hauteur A C, que je $uppo$e être celle du niveau de l’eau au de$$us de la ba$e, le jet décrira la parabole C E F, dont le $ommet $era le point E, pui$que nous avons fait voir que tout corps pou$$é $uivant une direction C G oblique à l’horizon, avec une force expri- mée par AC, qui e$t la force de l’eau à $a $ortie, doit décrire. une parabole.

COROLLAIRE VIII.

1166. Il $uit encore delà que $i l’on a un ré$ervoir A B C D, _Figure_ 427. au bas duquel il y ait une ouverture D, & un tuyau recourbé à cette ouverture de D vers E, l’eau montera dans ce tuyau D E avec la vîte$$e acqui$e ju$qu’à la hauteur dont elle e$t de$cendue: car nous avons vu que $i un corps e$t pou$$é avec la force qu’il a acqui$e en tombant d’une certaine hauteur, il doit remonter à la même hauteur. Ce principe e$t d’un grand u$age dans la conduite des eaux, & dans les différentes di$tri- butions. Lor$qu’on veut $çavoir $i l’on peut mener de l’eau d’un endroit à un autre, il faut d’abord s’a$$urer $i celui où $e trouve la $ource e$t plus élevé que l’endroit où l’on veut la conduire, ce que l’on reconnoîtra par un nivellement exact. Si cette $ource e$t tant $oit peu plus élevée que le lieu auquel on veut conduire de l’eau, alors par le moyen des canaux pratiqués entre les deux endroits, on peut $e la procurer. Sur quoi il e$t à remarquer que lor$qu’il faut que l’eau monte pour arriver au lieu de $a de$tination, après avoir de$cendu, comme cela peut arriver par l’inégalité du terrein qui $e trouve entre deux, il faut que la $ource $oit de quelque cho$e plus élevée que le lieu où on conduit $es eaux, $ans quoi l’on s’ex- po$eroit à une dépen$e inutile, parce que plu$ieurs cau$es con- [0715]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. courent à altérer la vîte$$e de l’eau dans le tuyau, & par con- $équent diminuent la force qu’elle a pour monter.

COROLLAIRE IX.

1167. C’e$t au$$i à peu près la même rai$on qui fait que _Figure_ 428. dans un jet d’eau l’eau ne monte pas tout-à-fait à la même hauteur de celle du ré$ervoir qui fournit le même jet. L’air ré- $i$tant aux parties de l’eau à me$ure qu’elles $ortent de l’aju- tage, qui e$t en C, diminue leur vîte$$e, & les empêche de s’élever ju$qu’à la $urface du niveau de l’eau du ré$ervoir. M. _Mariotte_ dans $on Traité du Mouvement des Eaux a fait plu$ieurs ob$ervations pour $çavoir $uivant quel rapport dimi- nuent les hauteurs auxquelles s’élevent différens jets qui ont mêmes ajutages, & des ré$ervoirs inégaux. Il a trouvé que cette diminution $uivoit le rapport des racines quarrées des hauteurs; d’où l’on voit que $i l’on $çait la hauteur à laquelle un jet d’eau s’éleve, & de plus la hauteur du ré$ervoir qui la fournit, on pourroit connoître, par une $eule proportion, la hauteur à laquelle un jet d’eau d’un ré$ervoir donné de hau- teur, peut s’élever par un ajutage de même diametre. De plus, les dépen$es étant toujours à proportion des vîte$$es, il s’en$uit que $i l’on connoît la dépen$e d’un ré$ervoir d’une hauteur donnée par un ajutage donné, on connoîtra au$$i la dépen$e d’un autre ré$ervoir de hauteur au$$i donnée par telle ouverture que ce $oit au$$i donnée.

M. _Mariotte_ a trouvé qu’ayant un ré$ervoir toujours rempli d’eau, & dont la hauteur A B étoit de 13 pieds, & le diametre de l’ajutage de 3 lignes, il $ort pendant une minute, par le même ajutage, 14 pintes, me$ure de paris; la pinte pe$ant deux livres: ain$i il n’en faut pas davantage pour ré$oudre le problême $uivant.

PROPOSITION III. PROBLEME.

_1168_. Trouver la dépen$e d’un jet d’eau pendant une minute par un ajutage de _4_ lignes de diametre, l’eau du ré$ervoir étant de _40_ pieds de hauteur.

SOLUTION.

Nous $çavons que lor$que les ajutages $ont égaux, la dé- [0716]NOUVEAU COURS pen$e des eaux e$t dans la rai$on des racines quarrées des dif- férentes hauteurs de l’eau; & que quand les ajutages $ont dif- férens, les dépen$es $ont dans la rai$on compo$ée des racines quarrées des hauteurs, & des quarrés des diametres des aju- tages: ain$i en fai$ant u$age de l’expérience de M. _Mariotte_, nous dirons: $i le produit du quarré de 3 lignes, qui e$t 9, par la racine de 13, donne 14 pintes pour la dépen$e de l’eau pen- dant une minute, combien donnera le produit du quarré du diametre 4 de l’ajutage, qui e$t 16, par la racine quarrée de 40, pour la dépen$e que l’on demande pendant le même tems? Le quatrieme terme de cette Regle de Trois fera trouver le nombre de pintes que l’on cherche, C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

1169. Si les tems n’étoient pas égaux, on pourroit toujours trouver par une $eule Regle de Trois la dépen$e pendant un tems donné; car les dépen$es $ont toujours dans la rai$on compo$ée des racines quarrées deshauteurs, des quarrés des dia- metres, & de la rai$on $imple des tems: en$orte que $i l’on a un ré$ervoir, dont la hauteur $oit H, la dépen$e D par un ajutage; dont le diametre $oit F, pendant un tems T & un autre ré$ervoir, dont la hauteur $oit _h_, la dépen$e _d_ par un ajutage; dont le diametre $oit _f_, pendant un tems _t_ on aura cette proportion, D : _d_ :: F F T √ H : _f f t_ √ _h_; d’où l’on tire D _f f t_ √ _h_ = _d_ F F T √ H; & l’on peut faire u$age de cette for- mule pour déterminer tous les cas qui ont rapport aux diffé- rentes que$tions que l’on peut propo$er $ur les dépen$es des ré- $ervoirs, $elon les différentes combinai$ons des tems, des hau- teurs, & des diametres.

PROPOSITION IV. THÉOREME.

_1170_. Si un va$e cylindrique plein d’eau $e dé$emplit par une Pl. XXXIII. ouverture _D_, beaucoup plus petite que le fond de la ba$e, les _Figure_ 422. quantités d’eau qui s’écouleront dans des tems égaux $eront comme les nombres impairs pris dans un ordre renver$é, c’e$t-à-dire comme la $uite des nombres _11, 9, 7, 5_, &c.

DÉMONSTRATION.

Concevons le va$e coupé par des plans paralleles, dont les [0717]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. hauteurs C L, C M, C F, O N $oient comme les quarrés 1, 4, 9, 16, &c. des nombres naturels 1, 2, 3, 4, &c. Quand l’eau commencera à couler, $a vîte$$e étant exprimée par la racine quarrée de la hauteur, $era comme 4; & quand le niveau de l’eau $era de$cendu en E F, la vîte$$e deviendra comme racine de 9, qui e$t 3. Pareillement lor$que le niveau $era en M _m_, $a vîte$$e $era comme 2, & enfin lor$qu’elle $era en L _l_, la vîte$$e $era exprimée par 1. Pré$entement fai$ons attention que les cylindres, dont les hauteurs $ont C L, C M, C F, C N, ayant des ba$es égales, $ont entr’eux comme les mêmes hau- teurs, c’e$t-à-dire comme 1, 4, 9, 16. Et $i l’on $uppo$e pour un in$tant que la vîte$$e de N ju$qu’en F a été uniforme, que celle de F ju$qu’en M l’a été au$$i, les quantités N F, F M, M L, L C, écoulées pendant des tems égaux, le$quelles ne $ont que les différences des cylindres 7, 5, 3, 1, $ont préci$é- ment dans la rai$on inver$e des nombres impairs 1, 3, 5, 7. Pré$entement $i l’on fait attention que quoique la vîte$$e de N en F ait diminué continuellement, cependant on peut trouver une vîte$$e moyenne, qui regardée & $uppo$ée con$- tante, ait donné la même dépen$e, & ain$i des autres; il s’en- $uit néce$$airement que les quantités d’eaux écoulées pendant des tems égaux, $ont comme les nombres 7, 5, 3, 1. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

1171. Il e$t ai$é de voir que dans ce cas le diametre de l’ou- verture doit être beaucoup plus petit que celui de la ba$e: car alors l’eau tomberoit comme une $eule ma$$e, de maniere que les parties inférieures n’auroient pas plus de vîte$$e que les $u- périeures. C’e$t ce que l’on peut remarquer ai$ément par un grand entonnoir qui $e forme tout d’un coup à la $urface de l’eau, & qui prouve inconte$tablement que l’eau du milieu $ort avec une plus grande vîte$$e dans ce cas que dans les autres.

COROLLAIRE II.

1172. Il $uit encore delà que l’on peut connoître les quan- tités d’eau écoulées pendant un certain tems donné, $i l’on con- noît le tems total qu’un va$e a employé à $e vuider. Suppo- $ons, par exemple (_fig_. 421) que le va$e ait été $ix heures detems à $e dé$emplir par une ouverture beaucoup plus petite que la ba$e. Je conçois le va$e coupé par 36 tranches égales entr’elles. [0718]NOUVEAU COURS Cela fait, je divi$e encore le nombre 36 en $ix autres parties inégales entr’elles, dont la premiere contienne 11 de ces parties égales, la $econde 9, la troi$ieme 7, & ain$i de $uite. De cette maniere on verra que dans la premiere heure de l’écoulement il e$t $orti du va$e un cylindre égal à 11 parties égales, c’e$t- à-dire les {11/36} de l’eau contenu dans le même va$e: à la deuxieme heure il en $era $orti {9/36} ou {1/4}, & ain$i des autres; ce qui e$t bien évident, pui$que la $omme des nombres 11, 9, 7, 5, 3, 2, 1 fait préci$ément 36, & que par le théorême dont il s’agit, les quantités écoulées dans des tems égaux $uivent le rapport des mêmes nombres.

COROLLAIRE III.

1173. Il $uit delà que pui$que la vîte$$e de l’eau $ortant d’un va$e qui $e vuide e$t continuellement retardée, $i le va$e a voit tou- jours été entretenu à la même hauteur d’eau, comme la vîte$$e auroit été toujours uniforme, au$$i, $uivant la loi de _Galilée_, la quantité d’eau écoulée uniformément pendant le tems que le va$e $e dé$emplit, $era double de l’eau qui étoit dans le va$e.

COROLLAIRE. IV.

1174. Il $uit encore delà que $i des va$es qui $e dé$empli$- $ent ont des hauteurs & des ouvertures égales, avec des ba$es inégales, les tems qu’ils mettront à $e vuider entiérement $eront dans la rai$on des ba$es: car les tems que ces va$es em- ploient à $e vuider $ont égaux au tems qu’il faudroit pour qu’il s’écoulât, par un mouvement uniforme, une quantité double de l’eau qui e$t dans chaque va$e, en les $uppo$ant en- tretenus toujours à la même hauteur (art. 1173). Et dans ce dernier cas, les tems des écoulemens $ont proportionnels aux ba$es: donc au$$i lor$que les va$es $e dé$empli$$ent totalement, les tems doivent $uivre la même rai$on.

COROLLAIRE V.

1175. Si les va$es ont toujours même hauteur, & des ba$es avec des ouvertures inégales, il e$t évident que les tems qu’ils mettront à $e vuider $eront dans la rai$on compo$ée de la di- recte des ba$es, & de l’inver$e des ouvertures ou des quarrés des diametres de ces ouvertures, $i elles $ont des figures $emblables.

[0719]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. COROLLAIRE VI.

1176. Il n’e$t pas moins évident que les tems $eront en- core dans la rai$on compo$ée de la directe des racines quarrées des hauteurs, $i ces hauteurs $ont inégales, de la directe des ba$es & de l’inver$e des quarrés des diametres des ouvertures; en$orte que $i l’on appelle H la hauteur de l’eau dans un va$e, B la ba$e du même va$e, D le diametre de l’ouverture, & T le tems qu’il met à $e vuider, pareillement _h_ la hauteur de l’eau dans un autre va$e, _d_ le diametre de l’ouverture, _b_ $a ba$e, & _t_ le tems qu’il emploie à $e vuider, on aura T : _t_ :: {B√ H/D D} : {_b_√_b_/_d d_}, ou T : _t_ :: B _d d_ √ H : _b_ D D √ _h_; d’où l’on tire T _b_ D D √ _h_ = _t_ B _d d_ √ H; & l’on $e $erviroit de cette formule comme des précédentes.

CHAPITRE III. Du cours des rivieres, & du choc des fluides en mouvement contre les $urfaces des corps qu’elles rencontrent. DEFINITIONS. I.

1177. LE _lit_ d’un fleuve ou d’une riviere e$t le canal dans lequel il coule.

II.

1178. Si l’on conçoit un plan vertical qui coupe cette riviere dans toute $on étendue en largeur, & perpendiculairement à $on cours, la figure qui en ré$ulte e$t appellée _profil_ ou _$ection_ _du fleuve_. Comme la ligne du terrein qui termine cette figure e$t a$$ez irréguliere, on la réduit en rectangle pour avoir une me$ure plus ai$ée à déterminer.

PROPOSITION I. THÉOREME.

_1179_. Toute riviere ou fleuve qui n’e$t point arrêté dans $on mouvement e$t mu d’une vîte$$e accélérée.

[0720]NOUVEAU COURS DÉMONSTRATION.

Ou bien le fond du lit de la riviere e$t horizontal, ou bien _Figure_ 429. il e$t incliné à l’horizon. Dans le premier cas, on concevra d’abord le lit du fleuve, dont la hauteur e$t B C, repré$enté par la ligne C D, & le fleuve divi$é en une infinité de tran- ches paralleles. Il e$t vi$ible que chacune de ces tranches coule avec une vîte$$e égale à celle qu’elle auroit acqui$e en tom- bant de la hauteur corre$pondante; car chaque tranche étant pre$$ée par le poids des tranches $upérieures, $e trouve dans le cas de l’art. 1155. De plus, comme elle e$t toujours $ou- mi$e à l’action des tranches $upérieures, il s’en$uit qu’elle ac- quiert de nouveaux degrés de vîte$$e: donc elle e$t mue d’un mouvement accéléré. Dans le $econd cas, c’e$t-à-dire lor$que le lit e$t incliné à l’horizon indépendamment de cette premiere accélération, cau$ée par la pre$$ion de chaque tranche $ur celle qui e$t au de$$ous, & modifiée par l’inclinai$on du lit de la riviere; toute la ma$$e tombant $ur un plan incliné, acquiert à chaque in$tant de nouveaux degrés de vîte$$e, comme les corps qui tombent le long des plans inclinés C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

1180. Il $uit delà que quelle que $oit la po$ition du lit d’un fleuve, la vîte$$e $era d’autant plus grande que le fleuve $era plus éloigné de $a $ource; parce que dans le cas d’un lit ho- rizontal, chaque tranche aura agi d’autant plus qu’il y a plus de di$tances entre le point où l’on examine la vîte$$e du fleuve, & la $ource du même fleuve; & dans le cas d’un lit incliné à l’horizon, la hauteur de la $ource au de$$us du même point $era d’autant plus grande.

COROLLAIRE II.

1181. Il $uit delà que les vîte$$es de deux rivieres différentes à leurs embouchures, en $uppo$ant leur pente égale, $ont d’au- tant plus grandes que ces mêmes embouchures $ont plus éloi- gnées de leurs $ources: en général les vîte$$es des fleuves dé- pendent de la pente de leur lit, de la hauteur de leurs eaux, & de la di$tance de ces mêmes eaux à la $ource.

[0721]DE MATHEMATIQUE. _Liv. XVI_. COROLLAIRE III.

1182. Il $uit encore delà que les vîte$$es des différentes tranches $ont d’autant plus grandes qu’elles $ont plus proches du fond. Si cette vérité ne $e trouve pas entiérement confir- mée par l’expérience, cela vient de ce que le fond des rivieres e$t toujours rempli de corps inégaux, dont le frottement, avec les dernieres couches, ralentit néce$$airement le mou- vement de ces mêmes couches. De plus, il e$t vi$ible que les vîte$$es de chaque tranche étant exprimées par les racines quarrées des hauteurs, ces vîte$$es peuvent être repré$entées par les ordonnées d’une parabole A M O P, pui$que l’on a L M; _Figure_ 429. N O : D P :: A L; A N: A D.

DÉFINITION.

1183. Si l’on conçoit une vîte$$e uniforme qui $oit telle qu’il s’écoule pendant le même tems la même quantité d’eau que celle qui s’écoule par la $omme des vîte$$es inégales: cette vîte$$e e$t appellée _vîte$$e moyenne_.

COROLLAIRE I.

1184. Il $uit delà que la vîte$$e moyenne e$t les deux tiers _Figure_ 429. de la vîte$$e de la derniere tranche, dans le cas où la $ection du fleuve e$t un parallélogramme: car il e$t évident que les quantités d’eau qui s’écoulent par chaque tranche ou élément de la $ection, $ont proportionnelles à la largeur de ces élémens & aux vîte$$es: mais dans l’hypothe$e pré$ente, toutes les lar- geurs $ont égales, dont les quantités d’eau qui s’écoulent par chaque tranche, $uivent le rapport des vîte$$es, c’e$t-à-dire qu’elles vont en diminuant comme les ordonnées d’une para- bole qui auroit pour hauteur A D: donc $i D P exprime la vîte$$e de la derniere tranche, la quantité d’eau écoulée par la $urface du parallélogramme $era les deux tiers de celle qui $e $eroit écoulée, $i toutes les vîte$$es étoient égales: donc pour avoir la vîte$$e moyenne, il n’y a qu’à prendre les deux tiers de la derniere vîte$$e D P: car en multipliant la hauteur A D, par cette vîte$$e on aura la même quantité d’eau écoulée.

COROLLAIRE II.

1185. Il $uit encore delà que la vîte$$e moyenne varie $elon [0722]NOUVEAU COURS les différentes figures de la $ection de la riviere; & la regle générale pour la trouver e$t de divi$er la quantité d’eau écou- lée par la hauteur: cette opération e$t la plus ai$ée. Celle qui demande plus d’adre$$e e$t de trouver la quantité d’eau écoulée pendant un certain tems, en fai$ant u$age de ce principe, que les quantités d’eau qui s’écoulent $ont en rai$on compo$ée de la directe des racines quarrées des hauteurs, & de la directe des élémens de la $ection. Ceux qui auront connoi$$ance du calcul différentiel, pourront voir dans l’Architecture Hydrau- lique différentes $olutions de ce problême, & pourront trou- ver les vîte$$es moyennes corre$pondantes par le moyen du principe que j’expo$e ici.

COROLLAIRE III.

1186. Il $uit delà que la vîte$$e moyenne répond aux {4/9} de la hau- teur A D: car en $uppo$ant que N O $oit cette vîte$$e, on aura N O = {2/3} D P: donc D P<_>2: {4/9} D P<_>2:: A D : {4/9} {A D x D P<_>2/D P<_>2} = {4/9} A D: donc $i l’on connoît la hauteur A D, & la largeur de la $ec- tion, que nous $uppo$ons parallélogrammique, avec la quan- tité d’eau écoulée dans un certain tems, on connoîtra la vîte$$e de la derniere tranche comme il $uit. Soit _q_ la quantité d’eau écoulée par cette $ection dans une minute; _a_, la hauteur A D; on aura {2/3} √ _a_ pour la vîte$$e moyenne (art. 1184): donc la vîte$$e de la derniere tranche e$t connue; pui$que celle-ci en e$t les deux tiers: on fera donc {2/3} : 1 :: {_q_/_a_}:{3/2} {_q_/_a_}, c’e$t-à-dire que l’on connoîtra la vîte$$e de la derniere tranche, en divi$ant le triple de la quantité d’eau écoulée par le double de la hau- teur.

COROLLAIRE IV.

1187. Il $uit delà que $i l’on connoît la vîte$$e de la derniere tranche & la vîte$$e moyenne avec la quantité d’eau qui s’e$t écoulée, on connoîtra au$$i la hauteur de la $ection, & partant dans ce cas, comme dans le précédent, on déterminera faci- lement le parametre de la parabole.

Du choc des fluides contre les $olides en repos ou en mouvement.

1188. Dans le choc des fluides, comme dans celui des $o- [0723]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. lides, pour en e$timer la force, il faut avoir égard à la den$ité & à la vîte$$e du fluide dont elle dépend: mais comme les fluides agi$$ent tout autrement que les $olides, au$$i les loix de leur choc ne $ont pas les mêmes; la principale différence con$i$te en ce que lor$qu’un corps $olide vient en choquer un autre, il n’y a que la $urface antérieure de ce $olide qui frappe le premier, au lieu que dans les fluides toutes les lames élémentaires vien- nent frapper chacune avec la même vîte$$e.

PROPOSITION II. THÉOREME.

_1189_. Si un fluide choque avec différentes vîte$$es des $urfaces égales, expo$ées perpendiculairement à $on courant, les forces du choc $eront comme les quarrés des vîte$$es.

DÉMONSTRATION.

Pui$que les $urfaces $ont égales, & chacune perpendiculaire au courant ou à la direction du fluide, le nombre des filets qui agi$$ent contre elles e$t le même: il e$t donc évident que le choc du courant contre ces $urfaces $eroit égal, $i les vîte$$es étoient égales; & la différence ne peut venir que de l’inéga- lité des vîte$$es. Il faut donc faire voir que le rapport de ces forces e$t celui des quarrés des vîte$$es. Pour cela, $uppo$ons que la premiere vîte$$e $oit 1, & la $econde 3: donc dans le même tems le plan oppo$é à la plus grande vîte$$e e$t frappé trois fois davantage, pui$que la ma$$e d’eau e$t trois fois plus grande; & de plus, comme chaque partie de cette ma$$e d’eau égale à celle qui a un degré de vîte$$e, a (_par hypothe$e_) une vîte$$e triple, la $urface qui lui e$t oppo$ée recevra donc trois fois plus de mouvement de chacune de ces trois parties: donc la quantité de mouvement reçue, où la force du choc $era ex- primée par 9, quarré de 3; pendant que le choc, contre la pre- miere $urface, ne $era exprimé que par 1, quarré de la pre- miere vîte$$e: donc les forces du choc d’un fluide de même den$ité $ont comme les quarrés des vîte$$es, contre des $ur- faces égales, & expo$ées perpendiculairement à $on courant. C. Q. F. D.

SCHOLIE.

1190. Il faut bien remarquer que l’on $uppo$e ici que toutes [0724]NOUVEAU COURS les tranches horizontales du fluide ont une même vîte$$e: $i cela n’étoit pas, il faudroit connoître le rapport $uivant lequel elles augmentent ou diminuent, pour déterminer les vîte$$es moyennes; & les forces du courant contre ces $urfaces $eroient entr’elles comme les quarrés de ces vîte$$es moyennes.

COROLLAIRE I.

1191. Si les vîte$$es des fluides étant inégales, on $uppo$e de plus que les fluides ont des den$ités inégales, & qu’ils cho- quent perpendiculairement des $urfaces inégales; alors il e$t évident que les forces du choc contre ces $urfaces e$t en rai$on compo$ée des $urfaces choquées, des den$ités des fluides & des quarrés des vîte$$es: donc $i l’on appelle F la force du premier fluide, V $a vîte$$e, D $a den$ité, & S la $urface qu’il rencon- tre; & pareillement _f_ la force d’un $econd fluide, dont la den- $ité e$t _d_, la vîte$$e _v_, & qu’il rencontre une $urface _s_; on aura cette analogie, F : _f_ :: S V<_>2 D : _s u_<_>2 _d_, d’où l’on tire cette éga- lité, F _s u_<_>2_d_ = _f_S V<_>2 D qui pourra $ervir à déterminer les différens rapports des forces du choc, $elon les rapports des den$ités des vîte$$es & des $urfaces: toujours dans le cas où les tranches horizontales du fluide ont la même vîte$$e, comme nous le $uppo$ons ici: on avertira lor$que nous ferons d’autres $uppo$itions.

COROLLAIRE II.

1192. Si les $urfaces expo$ées aux différens fluides ont des vîte$$es particulieres, il e$t évident que dans le cas où ces vîte$$es $eroient vers le même point, elles doivent être moindres que celles des fluides, & alors les forces des fluides contre ces $ur- faces $eront en rai$on compo$ée de la den$ité de ces mêmes fluides, de celle des $urfaces & des quarrés des différences des vîte$$es de chaque fluide à la $urface choquée. Si les $urfaces choquées ont des vîte$$es particulieres, & directement oppo- $ées à celle des fluides; les forces du choc contre ces $urfaces $eront dans la rai$on compo$ée des $urfaces choquées, des quarrés des $ommes des vîte$$es du fluide, & de la $urface contre laquelle il choque, & des den$ités de ces mêmes fluides.

COROLLAIRE III.

1193. Si le fluide e$t $uppo$é en repos, & que la $urface [0725]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. meuve dans ce même fluide avec une certaine vîte$$e, les ré- $i$tances qu’elle éprouvera $eront comme les quarrés des vîte$$es: car il e$t évident que c’e$t préci$ément la même cho$e de $up- po$er le fluide en repos, & la $urface en mouvement, ou la $ur- face en repos, choquée par un fluide qui auroit la même vîte$$e.

PROPOSITION III. THÉOREME.

_1194_. Si deux $urfaces égales $ont expo$ées à un courant, dont toutes les tranches horizontales $ont $uppo$ées avoir la même vîte$$e, l’une perpendiculairement, & l’autre obliquement au même fluide, les chocs du fluide contre ces $urfaces $eront comme le quarré du $inus total au quarré du $inus de l’angle d’inclinai$on.

DÉMONSTRATION.

Soit une $urface T V, expo$ée au courant, repré$enté dans _Figure_ 430. cette figure, & perpendiculaire à ce même courant; & $oit une autre $urface T M inclinée à la direction du fluide, & que l’on $uppo$e égale à la précédente; ayant décrit l’arc M V, & abai$$é la perpendiculaire M Q $ur T V, il e$t vi$ible que T Q $era le $inus de l’angle d’inclinai$on T M V: il faut donc démontrer que le choc du fluide contre T V e$t au choc du fluide contre T M, comme le quarré T V<_>2 du $inus total e$t au quarré T Q<_>2 du $inus de l’angle d’inclinai$on.

On peut concevoir le fluide compo$é d’une infinité de lames horizontales qui choquent toutes avec la même force. Cela po$é, il e$t évident que la force du choc dépend de la maniere dont chacune agit directement, ou obliquement, & du nom- bre de ces tranches; il n’e$t pas moins vi$ible que le nombre des tranches qui choquent la $urface T V e$t au nombre des tranches qui choquent la $urface T M, comme T V e$t à T Q. Mais les tranches qui frappent la $urface T M ne la choquent pas directement, pui$que cette $urface e$t oblique au courant: ain$i la force du choc contre cette $urface doit encore dimi- nuer dans la rai$on du $inus total au $inus de l’angle d’incli- nai$on: car $i l’on $uppo$e que la force ab$olue d’une lame $oit repré$entée par P F, égale au $inus total, cette force doit $e décompo$er en deux autres, l’une P H parallele au plan T M, & l’autre perpendiculaire F H: or il e$t évident que [0726]NOUVEAU COURS P F : F H :: T M : T Q :: T V : T Q, à cau$e des triangles $emblables P H F, T M Q: donc la force du choc contre T V e$t à celle contre T M, comme T V<_>2: T Q, c’e$t-à-dire comme le quarré du $inus total e$t au $inus de l’angle d’incli- nai$on. C.Q.F.D.

COROLLAIRE I.

1195. Si le nombre des filets étoit égal de part & d’autre, ce qui arriveroit $i la $urface T M étoit prolongée en N ju$- qu’à la ligne horizontale N V, alors l’inégalité du choc ne vient que de l’obliquité du fluide, & par con$équent le choc contre T V e$t au choc contre T N, comme le $inus total au $inus de l’angle d’inclinai$on, car la vîte$$e e$t la même, & comme la hauteur e$t au$$i la même, il y a même nombre de tranches qui choquent les $urfaces T V, T N, que l’on $uppo$e d’ailleurs avoir une largeur égale.

COROLLAIRE II.

1196. Il $uit encore delà que les chocs de deux fluides dif- férens en den$ité contre des $urfaces inégales, & inégalemenc inclinées, $ont dans la rai$on compo$ée des quarrés des $inus des angles d’inclinai$ons, des den$ités, & des $urfaces expo- $ées à ces différens fluides, & des quarrés des vîte$$es: car les $inus de chacun des angles d’inclinai$on me$urent le nom- bre de lames horizontales qui choquent les $urfaces propo- $ées; ils me$urent au$$i l’inten$ité du choc, $elon le plus ou le moins d’inclinai$on de ces $urfaces: donc les chocs $onc 1°. comme les quarrés des $inus des angles d’inclinai$on. 2°. Il e$t évident que plus elles $eront grandes, plus il y aura de tranches qui les choqueront. 3°. Il e$t encore vi$ible qu’à vîte$$e égale plus les fluides $eront den$es, plus le choc $era grand, à cau$e de la ma$$e, toujours proportionnelle aux den- $ités; 4°. les chocs $eront comme les quarrés des vîte$$es; car nous avons démontré (art. 1188) que les chocs $uivent ce rapport pour les fluides. Donc $i l’on appelle D la den$ité d’un fluide, V la vîte$$e comme à toutes les tranches (_hyp._), S le $inus de l’angle d’inclinai$on du plan, dont la $urface e$t re- pré$entée par E, & F la force du fluide contre cette $urface; pareillement $i l’on nomme _d_ la den$ité d’un autre fluide, dont la vîte$$e e$t _v_, & qui choque un plan, dont le $inus [0727]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. d’inclinai$on e$t _s_, & dont la $urface e$t _e_; que l’on appelle_f_, du choc ré$ultant contre cette $urface, on aura F : _f_ :: D V<_>2S<_>2 E : _d v_<_>2_s_<_>2_e_; d’où l’on tire F _d v_<_>2_s_<_>2_e_ = _f_D V<_>2S<_>2 E. On pourra dé- duire de cette propo$ition, & de la formule qui a été con$- truite $ur ce que l’on vient de démontrer tout ce dont on pourra avoir be$oin dans les différentes circon$tances qui peu- vent avoir lieu dans le choc des fluides contre des $urfaces en repos. On pourroit même l’appliquer au choc des fluides contre des $urfaces en mouvement, & expo$ées obliquement au cou- rant, en prenant pour les vîte$$es V & _v_ la différence ou la $omme des vîte$$es du plan & du fluide, $elon que ces vîte$$es ont des directions dans le même $ens, ou dans des $ens op- po$és.

COROLLAIRE III.

1197. Pour faire voir quelques applications de cette formule, nous $uppo$erons que les vîte$$es $ont proportionnelles aux den$ités & aux $urfaces qu’elles rencontrent, c’e$t-à-dire que V : _v_ :: D : _d_, & que V : _v_ :: E : _e_ : donc en multipliant par ordre, on aura V<_>2 : _v_<_>2 :: D E : _de_ : donc en $ub$tituant ces rapports dans la proportion F : _f_ :: D V<_>2S<_>2E : _dv_<_>2_s_<_>2_e_, on aura celle-ci, F : _f_ :: D<_>2E<_>2S<_>2 : _d_<_>2_e_<_>2_s_<_>2, ou F : _f_ :: V<_>4S<_>2 : _v_<_>4_s_<_>2, c’e$t- à-dire que les forces $ont comme les produits des quarrés des den$ités, des $urfaces, & des $inus des angles d’inclinai$on, ou dans la rai$on compo$ée des quatriemes pui$$ances des vîte$$es & des quarrés des $inus des angles d’inclinai$on.

COROLLAIRE IV.

1198. Si les vîte$$es $ont réciproques aux racines quarrées des e$paces, & les den$ités réciproques aux quarrés des $inus des angles d’inclinai$on, les forces du choc $eront égales: car pui$que V : _v_ :: E : E, on a V<_>2 : _v_<_>2 :: _e_ : E : donc V<_>2E = _v_<_>2_e_: donc F : _f_ :: D S<_>2 : _ds_<_>2; mais par hypothe$e D : _d_ :: _s_<_>2 : S<_>2 : donc D S<_>2 = _ds_<_>2 : donc F = _f_, & ain$i des autres cas qu’il $eroit inutile de détailler ici davantage. C’e$taux Commençans à s’exercer à trouver eux-mêmes des $uppo$itions, pour connoître par la formule ce qui doit arriver dans ces circon$tances; mais ce qu’ils doivent étudier avec le plus de $oin, ce $ont les rai$ons métaphy$iques des ré$ultats qu’ils ti- reront de la formule, $ans quoi ils les auront au$$itôt oubliés [0728]NOUVEAU COURS que découverts, & contracteroient la pernicieu$e habitude de ne rai$onner que par formules, lor$qu’ils $ont en état de le faire par le jugement.

SCHOLIE.

1199. Dans ce qui précede, nous avons $uppo$é que toutes les tranches du fluide qui choque une $urface perpendiculaire ou oblique à $on courant, étoient toutes mues avec une égale vîte$$e; mais comme il y a un grand nombre de cas où les vîte$$es des tranches ne $ont pas égales, & $uivent différens rapports, nous allons examiner dans la propo$ition $uivante quelles doivent être les forces du choc, lor$que les vîte$$es de chaque tranche $ont comme les racines quarrées des hauteurs, comme cela arrive dans les rivieres & autres courans qui ont une certaine profondeur.

PROPOSITION IV. THÉOREME.

_1200_. Si deux $urfaces égales $ont expo$ées au courant d’un _Figure_ 432. fluide, dont toutes les tranches ont différentes vîte$$es qui $uivent la progre$$ion des racines des hauteurs, & que l’une de ces $urfaces $oit expo$ée perpendiculairement, & l’autre obliquement au même fluide, le choc contre la premiere e$t au choc $ur la $econde $ur- face, comme le cube du $inus total e$t au cube de celui de l’angle d’inclinai$on.

DÉMONSTRATION.

Suppo$ons que les lignes égales A B, A F repré$entent le profil de chacune de ces $urfaces, l’une A B perpendiculaire à la direction du fluide, & l’autre A F oblique au même fluide; A B $era le $inus total, & A G le $inus de l’angle d’inclinai$on: de plus, comme on $uppo$e que les vîte$$es croi$$ent comme les racines quarrées des hauteurs, il e$t évident que la plus grande vîte$$e des tranches qui répondent au plan oblique A F $era exprimée par A G, & la plus grande vîte$$e qui réponde au plan perpendiculaire A B $era exprimée par A B. On $çait par ce qui précéde, que le choc de ces différentes tranches contre les $urfaces qu’elles rencontrent perpendiculairement, e$t comme le produit de ces $urfaces par les quarrés des vîte$$es [0729]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. moyennes, le$quelles $ont comme les racines quarrées des hau- teurs corre$pondantes A B, A G, dont elles $ont les {2/3} (art, 1184). Ain$i en appellant F le choc du fluide contre A B, _f_ celui du même fluide contre A G, on aura F : _f_ :: A B x A B : A G x A G : car les $urfaces ayant une même largeur, $ont comme les hau- teurs A B & A G, & de plus les quarrés des vîte$$es moyennes corre$pondantes $ont comme A B & A G, pui$que A B e$t le quarré de A B, & A G celui de A G.

Pré$entement pour avoir le choc des tranches me$urées par A G contre la $urface oblique A F, il faut faire attention que le choc direct e$t au choc oblique, comme le $inus total e$t au $inus de l’angle d’inclinai$on, ou comme A B e$t à A G : donc en appellant $ la force du choc oblique, on aura _f_ : $ :: A B : A G; mais nous avions ci-devant F: _f_ :: A B<_>2 : A G<_>2: donc en mul- tipliant par ordre, & divi$ant les deux premiers termes par _f_, il viendra F : $ :: A B<_>3 : A G<_>3; d’où il $uit évidemment que dans cette hypothe$e, les forces du courant contre les $urfaces égales A B & A F $ont comme les cubes du $inus total & celui de l’angle d’inclinai$on. C.Q.F.D.

COROLLAIRE I.

1201. Si l’on a une autre inclinai$on pour le même plan, comme A K, on aura encore F : φ :: A B : A L<_>3 : donc les forces contre la même $urface différemment inclinée dans un fluide homogene, $ont comme les cubes des $inus des angles d’in- clinai$on: car il e$t évident que pui$que l’on a F : $ :: A B<_>3 : A G<_>3, & que les antécédens de ces deux proportions $ont les mêmes, les con$équens doivent au$$i former une proportion: donc $: φ :: A G<_>3 : A L<_>3.

COROLLAIRE II.

1202. Si les $urfaces $ont inégales & différemment inclinées dans un fluide de même den$ité, les forces du fluide contre ces mêmes $urfaces, $ont comme les produits de ces $urfaces par les produits des cubes des $inus des angles d’inclinai$on, par les quarrés des vîte$$es moyennes corre$pondantes.

Pour démontrer ce corollaire, $oient repré$entées les $ur- _Figure_ 432 _&_ 433. faces inégales par les lignes A F, _af_, & $oient pri$es les lignes A B = A F, & _ab_ = _af_, chacune perpendiculaire au courant. Soit F la force qui agit perpendiculairement contre la $urface [0730]NOUVEAU COURS A B, V la vîte$$e moyenne, & _aa_ la $urface repré$entée par A B ou A F; $oit pareillement _f_ la force du courant contre la $urface _ab_; _v_ la vîte$$e moyenne corre$pondante, & _b b_ la $ur- face repré$entée par _ab_ ou _af_ $on égale. Soit de plus R le $inus total, S le $inus d’inclinai$on du plan A F, & _s_ le $inus d’in- clinai$on du plan _af_; on aura par la pré$ente propo$ition R<_>3 : S<_>3 :: F ou (_aa_ x V<_>2) : {_aa_ x V<_>2 x S<_>3/R<_>3}, & ce quatrieme terme e$t la force qui agit contre la $urface oblique A F; pui$que la force qui agit contre A B e$t pré$entée par le produit de la $urface par le quarré de la vîte$$e. De même on a R<_>3 : _s_<_>3 :: _f_ ou (_b b_ x _vv_) : {_bb_ x _vv_ x _s_<_>3/R<_>3}. Les forces qui agi$$ent contre les $urfaces inégales & différemment inclinées, $eront donc comme les deux der- niers termes de ces deux proportions qui les expriment: donc $i l’on appelle ces forces _f_ & φ, on aura _f_ : φ :: {_aa_ x V<_>2 x S<_>3/R<_>3}: {_bb_ x _vv_ x _s_<_>3/R<_>3} :: _aa_ x V<_>2 x S<_>3 : _bb_ x _vv_ x _s_<_>3. C.Q.F.D.

COROLLAIRE III.

1203. Si les den$ités D & _d_ $ont inégales, il faudroit en- core multiplier les deux derniers termes des proportions pré- cédentes par les mêmes den$ités, pour avoir le rapport des forces qu’ils expriment. On pourroit de cette proportion dé- duire une formule générale, pour déterminer tous les cas qui ont rapport aux différentes $uppo$itions que l’on peut faire dans l’hypothe$e pré$ente; mais il $eroit inutile d’entrer dans le détail de tous ces cas particuliers, que l’on ne doit recher- cher que lor$que l’on en a be$oin.

REMARQUE I.

1204. Il faut bien remarquer que dans cette propo$ition & tous $es corollaires, on a $uppo$é que les $urfaces, par rapport auxquelles on e$timoit le choc des fluides où elles étoient plon- gées, répondent toutes à la même tranche $upérieure, que l’on $uppo$e être la premiere du fluide, $ans quoi le théorême ne $eroit pas vrai, & alors on parviendroit ai$ément à fixer le choc, en déterminant la vîte$$e moyenne comme nous l’avons fait (art. 1184). On remarquera encore que l’on pourroit trou- ver le choc des fluides de même ou de différentes den$ités, [0731]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. contre des $urfaces différemment inclinées, en $uppo$ant, par exemple, que les vîte$$es de ces tranches croi$$ent comme les hauteurs. Je me $uis arrêté à la premiere hypothe$e, parce que c’e$t celle qui a lieu dans la nature des fluides.

REMARQUE II.

1205. M. _Mariotte_ ayant fait plu$ieurs expériences pour me- $urer le choc de l’eau, a trouvé que l’eau ayant un pied de vîte$$e par $econde, fait un effort d’une livre & demie contre une $urface d’un pied quarré. Or pour $e $ervir de cette expé- rience à l’égard du choc que l’eau fait contre une $urface, il faut avoir une pendule ou une montre qui marque les minutes bien exactement; en$uite attacher au bout d’un fil de $oie un corps fort leger, comme, par exemple, un morceau de liege, qu’il faudra faire $urnager dans le milieu du courant de l’eau, marquer un piquet à l’endroit où le corps aura commencé à $uivre le courant, & faire en$orte d’accompagner ce corps le long du bord de l’eau; & quand on aura parcouru une longueur rai$onnable, on prendra garde combien il $e $era écoulé de minutes depuis le moment qu’on $era parti ju$qu’à l’endroit où l’on aura ce$$é d’accompagner ce corps; & $uppo$ant qu’on ait mis 3 minutes, on me$urera bien exactement le chemin qu’à fait le corps pendant ce tems, que je $uppo$e être, par exemple, de 120 toi$es. Orpour $çavoir le chemin que le corps a parcouru pendant une $econde, je multiplie 60 par 3, pour avoir 180 $econdes (parce qu’une minute vaut 60 $econdes), & voulant connoître la vîte$$e de l’eau pendant une $econde, je réduis les toi$es en pieds pour avoir 720 pieds, que je divi$e en$uite par 180 $econdes, qui donnent 4 au quotient: ain$i la vîte$$e de l’eau pendant une $econde $era de 4 pieds.

PROPOSITION V. PROBLEME.

_1206_. Connoi$$ant la vîte$$e de l’eau, trouver le choc de cette eau contre une $urface donnée.

Nous $ervant de l’expérience de M. _Mariotte_, rapportée dans la remarque précédente, on demande quel e$t le choc de l’eau contre une $urface de 20 pieds quarrés, en $uppo$ant que cette [0732]NOUVEAU COURS eau a 4 pieds de vîte$$e par $econde. Pour cela, il faut $e rap- peller que les chocs de l’eau avec des vîte$$es différentes contre des $urfaces inégales & perpendiculaires au courant, $ont comme les produits des quarrés des vîte$$es par les $urfaces oppo$ées. L’on pourra donc dire: Si le quarré d’une $econde, qui e$t 1, multiplié par une $urface d’un pied, qui e$t encore 1, donne une livre & demie pour l’effort de l’eau contre la $ur- face d’un pied quarré, que donnera le produit du quarré de la vîte$$e de 4, qui e$t 16, par la $urface de 20 pieds quarrés, qui e$t 320 pour le choc de l’eau contre la $urface de 20 pieds? l’on trouvera 480: ce qui fait voir que la $urface doit faire un effort de 480 livres, pour être en équilibre avec le choc de l’eau.

APPLICATION.

1207. Si l’on vouloit trouver l’effort de l’eau contre les aubes d’un moulin, expo$ées perpendiculairement à $on courant, il faut connoître d’abord la vîte$$e de l’eau, & la grandeur des aubes: ain$i $uppo$ant que la vîte$$e de l’eau $oit de 5 pieds par $econde, & les aubes de 6 pieds quarrés, l’on dira: Si le produit du quarré de la vîte$$e d’un pied par un pied quarré, fait un effort d’une livre & demie en une $econde, que fera le produit du quarré de la vîte$$e de 5 pieds par la $urface de 6 pieds? l’on trouvera pour l’effort que l’on cherche 225 livres.

PROPOSITION VI. THÉOREME.

_1208_. Si l’on a un vai$$eau rempli d’eau, qui $oit toujours en- _Figure_ 434. tretenu à la même hauteur, je dis que les chocs de l’eau, à la $ortie de deux ajutages égaux, $eront dans la rai$on des hauteurs de l’eau au de$$us du centre des deux ajutages.

DÉMONSTRATION.

Si le vai$$eau A B C D e$t rempli d’eau, & qu’elle $orte par les deux ajutages E & F, les vîte$$es de l’eau $eront comme B E e$t à B F; & $i les ajutages $ont égaux, les quantités d’eau qui $ortiront dans le même tems, $eront encore comme B E e$t à B F: mais ces quantités d’eau peuvent être re- gardées comme les ma$$es, & les racines de B E & B F comme leurs vîte$$es: par con$équent le choc dont l’eau $era capable, [0733]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. à la $ortie des deux ajutages, $era égal au produit de BE x BE & à BF x BF, c’e$t-à-dire comme le quarré des racines des hauteurs de l’eau au de$$us du centre des ajutages; mais ces deux produits ne $ont autre cho$e que B E & B F: par con$équent les chocs de l’eau, à la $ortie des ajutages égaux, $ont comme les hauteurs de l’eau au de$$us du centre des aju- tages.

COROLLAIRE.

1209. Il $uit delà que $i les ajutages $ont de différentes gran- deurs, les chocs de l’eau à leurs $orties, $eront comme les pro- duits des quarrés des diametres des ajutages par la hauteur de l’eau qui répond à leur centre, s’ils $ont circulaires; mais s’ils $ont de toute autre figure, il faudra multiplier leur capacité par la hauteur de l’eau qui répond au centre.

DISCOURS

SUR LA NATURE ET LES PROPRIETÉS DE L’AIR, pour $ervir d’introduction à la Phy$ique, $ervant au$$i à rendre rai$on de l’effet des machines hydrauliques.

Quoique les Anciens nous aient lai$$é beaucoup de belles connoi$$ances, il $emble qu’on pourroit leur reprocher de n’a- voir point a$$ez étudié la nature, $urtout quand on fait réflexion aux idées fau$$es qu’ils avoient de l’air: ce n’e$t pourtant pas manque qu’ils n’aient eu a$$ez de tems pour en découvrir les propriétés; mais apparemment qu’il en étoit de ceci comme d’une infinité d’autres cho$es qui étoient re$ervées aux décou- vertes de notre tems: & pour ne parler que de l’air, nous al- lons faire voir qu’il a de la pe$anteur, qu’il a du re$$ort, & qu’il e$t capable d’être conden$é & dilaté.

Avant M. _De$cartes_ & M. _Pa$cal_, $i l’on demandoit aux Philo$ophes pourquoi, en tirant le pi$ton d’une $eringue ou d’une pompe, l’eau monte & $uit comme $i elle adhéroit; pourquoi quand on remplit d’eau un $iphon, & qu’on met chaque jambe dans un vai$$eau plein d’eau, $i un des vai$$eaux e$t un peu plus élevé que l’autre, l’eau monte par le $iphon, $ort du vai$$eau qui e$t le plus élevé, pour de$cendre dans celui [0734]NOUVEAU COURS qui e$t un peu plus bas, tant que toute l’eau de celui d’en haut $oit entrée dans celui d’en bas; ils répondoient que la nature avoit de l’horreur pour le vuide, ou bien que la nature abhorroit le vuide, comme $i elle étoit capable de pa$$ion, pour avoir de l’horreur pour quelque cho$e: car à leur $ens ils parloient comme $i la nature fai$oit de grands efforts pour éviter le vuide, quoiqu’on voie parfaitement qu’elle ne fait aucune cho$e pour l’éviter, ni pour le rechercher, & que le vuide ou le plein lui $ont fort indifférens.

Il e$t bien vrai que l’eau monte dans une pompe, quand il n’y a point de jour par où l’air pui$$e entrer, & qu’ain$i il y auroit du vuide, $i l’eau ne $uivoit pas le pi$ton, & même qu’elle n’y monte pas, quand il y a des fentes par où l’air peut entrer pour la remplir. De même $i l’on fait une petite ouverture au haut d’un $iphon, par où l’air pui$$e s’introduire, l’eau de cha- que branche tombe dans $on vai$$eau, & le tout demeure en repos: d’où l’on a conclu que la nature avoit de l’horreur pour le vuide, pui$qu’au$$itôt qu’il n’y avoit point d’air dans un tuyau, l’eau montoit d’elle-même, & que l’air $urvenant, l’eau $e remettroit dans $on premier état; ce qui a fait croire qu’elle n’y montoit que pour empêcher le vuide.

Mais $i l’on fait voir que ces effets (de même que plu$ieurs autres que nous expliquerons dans la $uite) ne $ont cau$és que par la pe$anteur de l’air, on n’aura plus lieu de douter que la nature n’a point d’horreur pour le vuide, qu’elle $uit les loix de la méchanique, au$$i-bien par rapport à l’air, que par rapport aux liqueurs de différentes pe$anteurs, & que ce qu’on peut dire de l’air n’e$t qu’une $uite des principes que l’on a dé- montrés dans le Traité précédent.

Pour être convaincu de la pe$anteur de l’air par une expé- rience dont il e$t ai$é de $e convaincre, prenez un tuyau de verre de 20 ou 24 pouces, bien bouché par une de $es extrê- mités, après qu’on l’aura rempli de mercure; bouchez en$uite le bout qui e$t ouvert avec le doigt, & $outenez le tuyau per- pendiculairement, en$orte que le bout ouvert $oit en bas: $i vous plongez dans un va$e où il y aura du mercure le bout que vous aurez bouché avec le doigt, & qu’après cela vous lai$$iez la liberté au mercure de de$cendre, vous verrez que bien loin qu’il retombe dans le va$e pour $e mêler avec l’autre, il demeurera $u$pendu de lui-même. La rai$on de cet effet vient [0735]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. de la pe$anteur de l’air, qui pre$$e le mercure qui e$t dans le va$e, & qui ne pre$$e pas celui qui e$t dans le tuyau, qui e$t moins pe$ant qu’une colonne d’air qui aura la même ba$e: ain$i c’e$t le poids de l’air qui force le mercure de re$ter dans le tuyau; & pour en être plus certain, il n’y a qu’à ouvrir le bout d’en haut qu’on a bouché, & au$$itôt vous verrez le mer- cure de$cendre, & $e mêler avec celui qui e$t dans le va$e.

Si l’on prend encore un tuyau de 20 ou de 24 pouces, rempli de mercure, bouché par une de $es extrêmités, & que l’autre extrêmité $oit recourbée, vous verrez que le mercure, quoi- que le tuyau ne $oit pas plongé dans un va$e, $e maintiendra $u$pendu $ans $ortir par le bout recourbé, à cau$e que le poids de l’air qui pe$e $ur le mercure du bout recourbé, e$t plus pe- $ant que le mercure qui e$t dans le tuyau.

Si au lieu d’un tuyau de 20 ou 24 pouces l’on $e $ert d’un qui ait 25 ou 26 pieds, & qu’au lieu de le remplir de mercure, on le rempli$$e d’eau, l’on verra que l’eau demeurera $u$pen- due comme le mercure, quoique le tuyau $oit plus grand: car comme l’eau e$t beaucoup plus legere que le mercure, on en mettra une bien plus grande hauteur dans un tuyau que de mercure: car nous $çavons que les hauteurs de différentes li- queurs $ont comme les poids des mêmes liqueurs.

Cependant quoique la pe$anteur de l’air $outienne $u$pendus le mercure & l’eau dans des tuyaux de la grandeur que nous venons de dire, il ne faut pas croire que $i l’on rempli$$oit d’eau un tuyau qui auroit beaucoup plus de 25 ou 26 pieds, comme, par exemple, de 40 pieds, que l’eau y demeurera toute $u$pendue: car l’air ne peut pas $outenir un plus grand poids que le $ien; & c’e$t par le moyen des tuyaux remplis de mercure ou d’eau que l’on me$ure la pe$anteur de l’air, comme on le va voir.

Si l’on a un tuyau de verre de 40 pouces, que l’on rempli$$e de mercure, en$orte qu’il y ait toujours une de $es extrêmités bouchée, & que l’autre bout auquel on aura mis le doigt, $oit plongé dans un va$e où il y ait du mercure, ou que ce bout $oit $eulement recourbé, & qu’on le $outienne perpendiculai- rement dans l’air ou dans le mercure, car cela ne fait rien; l’on verra qu’au$$itôt qu’on aura ôté le doigt qu’on avoit ap- pliqué $ur le bout ouvert, le mercure bai$$era tant qu’il $era parvenu à la hauteur de 28 pouces, qui e$t la hauteur où une [0736]NOUVEAU COURS colonne de mercure e$t en équilibre avec la colonne d’air qui lui répond.

Si l’on prend un tuyau de 40 pieds, conditionné comme ceux dont nous avons parlé, l’on verra que l’ayant rempli d’eau, elle de$cendra tant qu’elle $oit à la hauteur de 31 pieds, parce qu’une pareille colonne d’eau e$t en équilibre avec celle de l’air qui lui répond, ou bien avec une colonne de vif-argent de 28 pouces: mais comme nous $çavons qu’un pied cube d’eau pe$e 72 livres, $i l’on multiplie 31 par 72, l’on aura 2232, qui e$t la quantité de livres que pe$e une colonne d’air, qui auroit un pied quarré de ba$e, & pour hauteur celle de l’atmo$phere.

L’on nom- me atmo$- phere l’éten- due de l’air quie$t renfer- mé dans le tourbillon de la terre.

Cette épreuve e$t encore confirmée par les pompes a$pi- rantes & les $eringues: car au$$itôt qu’on tire le pi$ton d’une pompe, l’eau $uit le pi$ton; & $i l’on continue à lever le pi$ton, l’eau $uivra toujours, mais non pas à la hauteur que l’on vou- dra, pui$qu’elle ne pa$$e pas 31 pieds: car au$$itôt qu’on veut la tirer plus haut, le pi$ton ne tire plus l’eau, & elle demeure immobile & $u$pendue à cette hauteur, où elle $e trouve en équilibre avec le poids de l’air qui pe$e au dehors du tuyau $ur l’eau qui l’environne. L’on peut remarquer ici, pour dé- $abu$er ceux qui croient que l’eau monte dans les pompes, parce que la nature a de l’horreur pour le vuide, que quand on a hau$$é le pi$ton au-delà de 31 pieds, l’eau demeure à cette hauteur, & il $e trouve un intervalle entre l’eau & le pi$ton, où il n’y a point, ou très-peu d’air que l’eau ne peut remplir, ne pouvant être pou$$ée plus haut par l’air extérieur. Si nos Philo$ophes avoient pris garde à cela, ils auroient $ans doute été fort étonnés de voir que la nature ce$$e d’avoir de l’horreur pour le vuide au-delà de 31 pieds de hauteur, & ils auroient pu l’accu$er d’avoir du caprice, pui$qu’à une certaine hauteur elle ne peut $upporter le vuide, & qu’après cela le vuide lui devient indifférent.

Si l’on $e $ert d’une $eringue longue de 3 pieds ou de 3 pieds & demi, l’on verra encore que mettant le bout du tuyau, qui e$t ouvert dans un va$e de vif-argent, qu’en tirant le pi$ton, le vif-argent montera à la hauteur de 28 pouces, & qu’inutile- ment on levera le pi$ton pour faire monter le vif-argent plus haut, qu’il demeurera toujours à la hauteur qui le met en équi- libre avec le poids de l’air: ain$i l’eau, le vif-argent & l’air demeurent en équilibre, quand les hauteurs $ont entr’elles [0737]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. comme leurs po<007>ds; & cela de quelque gro$$eur que $oient les tuyaux, parce que les liqueurs ne pe$ent pas $elon la grandeur de leurs ba$es, mais $elon leurs hauteurs.

Pour expliquer comme la pe$anteur de l’air fait monter l’eau dans les $iphons, nous $uppo$erons un $iphon dont une des jam- bes $oit environ haute d’un pied, & l’autre d’un pied un pouce. Si on le remplit d’eau, & qu’on bouche bien les deux ouver- tures, pour qu’elle ne pui$$e pas $ortir, & qu’après cela l’on ait deux vai$$eaux, dont l’un $oit un peu plus élevé que l’autre, & que le plus élevé $oit rempli d’eau, mettant la plus courte jambe du $iphon dans le vai$$eau plus élevé, & la plus longue dans celui qui e$t un peu plus bas, la courte jambe trempant dans l’eau, au$$itôt qu’on aura débouché les ouvertures, l’eau qui e$t dedans, au lieu de de$cendre, cherchera à monter: car l’eau qui e$t dans les deux vai$$eaux étant pre$$ée par l’air, & non pas celle qui e$t dans le $iphon, la forcera d’y entrer pour monter bien plus haut, s’il $e pouvoit, pui$qu’elle ne montera que d’un pied, au lieu que le poids de l’air e$t capable de la faire monter de 31 pieds.

D’où il arrive que l’eau de chaque jambe étant pou$$ée au haut du $iphon, elle $e combat à cet endroit; de $orte qu’il faut que celle qui a le plus de force l’emporte $ur celle qui en a moins: mais comme l’air a plus de hauteur d’un pouce $ur le vai$$eau plus bas que $ur le vai$$eau plus élevé, il pou$$e en haut l’eau de la longue jambe plus fortement que celle qui e$t dans l’autre; d’où il $emble d’abord que l’eau doit être pou$$ée de la plus longue jambe dans la plus courte; mais le poids de l’eau de chaque jambe, quoiqu’il ré$i$te à l’air, ne ré$i$te pas également: car comme l’eau de la longue jambe a plus de hau- teur d’un pouce que celle de la petite, elle ré$i$te plus forte- ment de la force que lui donne la hauteur d’un pouce d’eau. Or elle n’e$t pou$$ée en haut plus que celle de l’autre jambe, que par la hauteur d’un pouce d’air; mai le pouce d’eau qui e$t dans la plus longue jambe, a plus de force pour de$cendre que le pouce d’air n’en a pour le faire monter, pui$qu’un pouce d’eau e$t plus pe$ant qu’un pouce d’air: ain$i l’eau de la plus courte jambe e$t pou$$ée en haut avec plus de force que celle de la plus grande; ce qui fait qu’elle monte pour pa$$er dans l’autre vai$$eau, & continuera à monter tant qu’il y aura de l’eau dans le vai$$eau qui lui répond.

[0738]NOUVEAU COURS

C’e$t ain$i que toute l’eau du vai$$eau le plus élevé, montera & $e rendra dans le plus bas, tant que la branche du $iphon, qui y trempe, $era au de$$ous d’une hauteur de 31 pieds: car comme nous l’avons dit, le poids de l’air peut bien hau$$er & tenir $u$pendue l’eau à cette hauteur; mais dès que la branche qui trempe dans le vai$$eau élevé excédera cette hauteur, il arrivera que le $iphon ne fera plus $on effet, j’entends que l’eau du vai$$eau élevé ne montera plus en haut du $iphon pour $e rendre dans l’autre, parce que le poids de l’air ne peut pas l’é- lever au-delà de 31 pieds; de $orte que l’eau $e divi$era au haut du $iphon, & tombera de chaque jambe dans $on vai$$eau, ju$qu’à ce qu’elle $oit re$tée à la hauteur de 31 pieds au de$$us de chaque vai$$eau, où elle demeurera en repos $u$pendue à cette hauteur par le poids de l’air qui la contre-pe$e.

Il arrive plu$ieurs autres cho$es dans la nature, que les An- ciens ont toujours attribuées à l’horreur du vuide, mais qui n’ont cependant d’autre cau$e que la pe$anteur de l’air: par exemple, $i deux corps fort polis $ont appliqués l’un contre l’autre, l’on trouve une extrême ré$i$tance à les $éparer, & cette ré$i$tance même e$t $i grande, que l’on a cru qu’il n’y avoit point de force humaine qui pui$$e les dé$unir. Cepen- dant $i l’on fait attention que n’y ayant point d’air entre ces deux corps, $i l’on tient celui d’en haut avec la main, il doit arriver que celui d’en bas demeurera $u$pendu, pui$qu’il e$t pre$$é par tout le poids de l’air qui le touche par de$$ous, & qui fait qu’on ne peut les $éparer qu’on n’emploie une force plus grande que celle du poids de l’air; tellement que $i ces deux corps $ont, par exemple, chacun d’un pied cube, & qu’ils en aient la figure, ils $eront pre$$és l’un contre l’autre par une force de 2232 livres, qui e$t le poids d’une colonne d’air, qui auroit un pied quarré de ba$e: ain$i pour vaincre la force de l’air, afin de $éparer ces deux corps, il faut employer une force plus grande que celle de 2232 livres, & pour lors ces deux corps $e dé$uniront $ans aucune difficulté, pui$qu’il im- porte fort peu à la nature qu’ils $oient $éparés ou non.

L’expérience nous fait voir encore qu’un $oufflet, dont toutes les ouvertures $ont bien bouchées, e$t très-difficile à ouvrir, trouvant de la ré$i$tance, comme $i les aîles étoient collées: $i on demande la cau$e de cet effet, on n’en trouvera pas d’autre que celle de la pe$anteur de l’air; car comme il pre$$e les aîles [0739]DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. du $oufflet, $ans pouvoir s’introduire dedans, l’on ne peut lever une des aîles $ans lever au$$i toute la ma$$e de l’air qui e$t au de$$us, qui ré$i$tera d’autant plus, que les aîles du $oufflet auront de capacité, tellement que $i elles avoient un pied & demi de $uperficie, il faudroit une force plus grande que celle de 3348 livres, qui e$t égale au poids de l’air qui répond à un plan d’un pied & demi de $uperficie; mais dès que l’on fait une ouverture au $oufflet, l’air qui entre dedans fait équilibre avec celui de dehors; & l’on ne trouve plus de difficulté à l’ouvrir.

De même $i l’on demande pourquoi en mettant la bouche $ur l’eau, elle monte lor$que l’on a$pire, comme cela arrive au$$i avec un chalumeau de paille, il n’y a qu’à con$idérer que l’eau e$t pre$$ée de toutes parts par le poids de l’air, excepté à l’en- droit de la bouche, où le chalumeau e$t appliqué, parce qu’en a$pirant il arrive que les mu$cles de la re$piration élevant la poi- trine, font la capacité du dedans plus grande; ce qui donne à l’air du dedans plus de place à remplir qu’il n’avoit aupara- vant, & lui donne moins de force pour empêcher l’eau d’en- trer dans la bouche, que l’air du dehors n’en a pour l’y faire monter: ce qui devient le même cas que celui qui fait que l’eau monte dans les pompes & dans les $eringues.

Comme la pe$anteur de l’air n’e$t pas toujours la même, & qu’elle varie $elon qu’il e$t plus ou moins chargé de vapeurs, $es effets varient au$$i continuellement dans un même lieu; & c’e$t ce qu’on remarque par le barometre, où le mercure s’é- leve quelquefois qu de$$us de 28 pouces, & quelquefois de$- cend & $e met au de$$ous; quelque tems après il remonte, & toujours dans une vici$$itude continuelle qui $uit celle de l’air. La même cho$e arrive par con$équent dans les pompes où l’eau monte quelquefois dans un tems à 31 pieds & demi, puis elle revient à 31 pieds, puis elle bai$$e, & n’e$t plus qu’à la hau- teur de 30 pieds & quelques pouces, étant a$$ujetties, comme le barometre, aux différentes pe$anteurs de l’air.

Comme l’air $ur les montagnes fort élevées, ne pe$e pas tant que $ur le bord de la mer, que nous prendrons pour le lieu le plus bas de la terre, l’expérience fait voir que les pom- pes qui $ont $ur les lieux fort élevés ne font pas monter l’eau $i haut; l’on a même remarqué que $ur une montagne élevée de 600 toi$es, l’eau, au lieu de monter à 31 pieds, comme nous [0740]NOUVEAU COURS l’avons dit, ne montoit qu’à 26 pieds quelques pouces: le même changement arrive dans les lieux qui $ont fort bas, où l’eau monte quelquefois ju$qu’à 32 ou 33 pieds; mais ces change- mens s’ob$ervent bien mieux avec le barometre, qui peut $er- vir non $eulement à connoître la pe$anteur de l’air dans les lieux différemment élevés, mais encore à me$urer la hauteur des montagnes, & même celle de l’atmo$phere.

Car $i on e$t au pied d’une montagne, & que le mercure à cet endroit $oit élevé de 28 pouces, l’on verra qu’à me$ure que l’on montera pour en gagner le $ommet, le mercure au lieu de re$ter à la hauteur de 28 pouces, bai$$era, parce qu’étant $ou- tenu par une moindre colonne d’air, il faut néce$$airement qu’il bai$$e pour $e mettre en équilibre avec cette colonne: ain$i il demeure $u$pendu à une hauteur d’autant moindre, qu’on le porte à un lieu plus élevé de $orte que s’il étoit po$$i- ble d’aller ju$qu’qu haut de l’atmo$phere pour en $ortir entiére- ment dehors, le vif-argent tomberoit, $ans qu’il en re$tât au- cune partie, pui$qu’il n’y auroit plus aucun air pour le contre- pe$er.

L’on a fait plu$ieurs belles expériences $ur la pe$anteur de l’air. La premiere a été faite $ur une des plus hautes montagnes d’Auvergne, proche Clermont, que l’on nomme _la montagne_ _du Puy de Dome_, & a fait voir qu’ayant un tuyau plein de mercure, bouché par un bout, & recourbé par l’autre, le mer- cure étant à la hauteur de 26 pouces 5 lignes au pied de la mon- tagne, que partant delà pour aller au $ommet, à 10 toi$es le mercure étoit de$cendu d’une ligne, qu’à 20 toi$es il étoit de$- cendu de 2 lignes, qu’à 100 toi$es il étoit de$cendu de 9 lignes, & qu’étant monté de 500 toi$es, il étoit de$cendu de 3 pouces 10 lignes; & l’on a trouvé qu’en de$cendant, pour venir au pied de la montagne, à chaque endroit où le mercure étoit de$cendu, il e$t remonté à la même hauteur, & s’e$t retrouvé à 26 pouces 5 lignes, au pied de la montagne, à l’endroit d’où l’on étoit parti. Il ne faut pas être $urpris $i, après avoir dit ail leurs que la hauteur du mercure étoit ordinairement de 28 pouces pour être en équilibre avec l’air, on ne la trouve que de 26 pouces 5 lignes au plus bas lieu de la montagne du Puy de Dome, c’e$t que cet endroit-là e$t apparemment plus élevé que le bord de la mer, où effectivement le mercure e$t à la hauteur de 28 pouces: mais quand le barometre $e trouve [0741] DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. dans un lieu plus élevé que le bord de la mer, le mercure e$t toujours au de$$ous de 28 pouces, $elon que la colonne d’air qui y répond, e$t moindre que $ur le bord de la mer.

Ceux qui ne rai$onnent pas ont de la peine à s’imaginer que l’air ait de la pe$anteur, parce qu’ils n’en $entent pas le poids; mais $i on leur fait remarquer qu’un animal qui e$t dans l’eau a la liberté de $e mouvoir $ans $entir le poids de l’eau, à cau$e qu’il en e$t pre$$é également de toutes parts, ils ne s’é- tonneront plus $i on ne s’apperçoit pas du poids de l’air qui nous pre$$e au$$i également de toutes parts, & qui e$t en équi- libre avec celui que nous avons dans les poulmons & dans le $ang, & avec celui qui e$t généralement répandu par tout le corps.

Si l’on a cru $i long tems que l’air étoit léger, c’e$t parce que les anciens Auteurs l’ont dit, & que ceux qui font profe$- $ion de les croire, les $uivoient aveuglément, aux dépens même de la vérité & de la rai$on: l’on a même été $i éloigné de pen$er que la pe$anteur de l’air fût la cau$e de l’élévation de l’eau dans les pompes, qu’on a cru qu’il $uffi$oit de tirer l’air avec un pi$ton pour faire monter l’eau au$$i haut que l’on vou- droit, & qu’on pouvoit faire pa$$er l’eau d’une riviere par de$- $us une montagne pour la faire rendre dans le vallon oppo$é, pourvu qu’il $oit un peu plus bas que la riviere, par le moyen d’un $iphon placé $ur la montagne, dont l’une des jambes ré- pondroit dans la riviere, pui$que pour cela il ne faudroit que pomper l’air du $iphon, & il n’y a pas plus de 100 ans que l’on étoit dans cette erreur.

L’air a encore la propriété de pouvoir être extrêmement conden$é & dilaté, & de con$erver toujours une vertu de re$- $ort, par laquelle il fait effort pour repou$$er les corps qui le pre$$ent, ju$qu’à ce qu’il ait repris $on exi$tence naturelle. L’air $e dilate au$$i très-facilement par la chaleur, & $e con- den$e par le froid, comme on le remarque dans le thermo- metre, où l’on voit que l’air qui e$t dans l’e$prit de vin fait monter cette liqueur à vue d’œil dans le tuyau, quand on l’ap- proche du feu, ou quand le $oleil donne de$$us; & au contraire on s’apperçoit qu’elle bai$$e beaucoup, quand il fait $ort froid, ou quand on met le tuyau dans l’eau froide.

L’air qui e$t proche de la $urface de la terre, e$t fort con- den$é, parce qu’il n’a pas $on étendue naturelle: car pui$que [0742] NOUVEAU COURS celui qui e$t au de$$us e$t pe$ant, & qu’il a une vertu de re$$ort, celui que nous re$pirons étant chargé du poids de tout l’atmo$- phere, e$t plus conden$é que celui qui e$t tout au haut: par con$équent celui qui e$t entre ces deux extrêmités, doit être moins conden$é que celui qui touche la terre, & moins di- laté que celui qui e$t au haut de l’atmo$phere. Mais pour avoir une idée claire de ceci, $uppo$ons un grand amas de laine cardée de la hauteur de 80 ou 100 toi$es; il e$t con$tant que la laine qui e$t en bas étant chargée de toute la pe$anteur de celle qu’elle porte, ne $era pas $i étendue que celle qui e$t tout au haut, & celle qui e$t dans le milieu ne $era pas $i comprimée que celle qui e$t au de$$ous, ni $i étendue que celle qui eft au de$$us. Or $i l’on prend une poignée de la laine qui e$t en bas, & qu’on la porte au de$$us, en la tenant toujours pre$- fée de la même façon qu’elle l’étoit dans l’endroit d’où on l’a tirée, elle s’élargira d’elle-même, & prendra la même éten- due que celle qui e$t tout en haut; & au contraire $i on prend dans la main de celle qui e$t en haut, en lui lai$$ant $on éten- due naturelle, $ans la pre$$er aucunement, l’on verra que la mettant $ous celle qui e$t en bas, elle $e comprimera de la même façon que celle qui e$t en bas. L’on peut dire la même cho$e de l’air: car $i l’on prend une ve$$ie bien $éche, $oufflée à la moitié de la gro$$eur qu’elle devroit avoir, $i on l’avoit bien remplie d’air, $i après l’avoir bien fermée, on la porte au haut d’une montagne fort élevée, l’on verra qu’à me$ure que l’on montera, la ve$$ie deviendra plus enflée qu’elle n’é- toit auparavant, & lor$qu’on $era parvenu au $ommet, on la verra ronde & toute au$$i enflée qu’elle eût été au pied de la montagne, $i on l’avoit $oufflée autant qu’on fait ordinaire- ment pour la rendre $phérique. Cependant il e$t à remarquer que l’air qui e$t dans la ve$$ie e$t toujours le même qu’il étoit au pied de la montagne, n’étant point augmenté ni diminué; tout le changement qui lui e$t arrivé, c’e$t de s’être dilaté con$idérablement, c’e$t-à-dire qu’il occupe un bien plus grand e$pace qu’auparavant; & il e$t à pré$umer que $i on avoit porté cette ve$$ie au haut d’une montagne beaucoup plus élevée que celle que je $uppo$e ici, l’air $e $eroit dilaté ju$qu’au point de crever la ve$$ie par la force de $on re$$ort. La rai$on de cette dilatation vient $ans doute de ce que l’air qu’on a mis dans la ve$$ie au pied de la montagne, étant pre$$é par le poids de l’air [0743] DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. extérieur, celui de dedans n’a pas plus de liberté de prendre $on étendue naturelle que celui de dehors, pui$qu’ils $ont éga- lement chargés du poids de l’atmo$phere; mais quand la ve$$ie $e trouve au haut de la montagne, l’air qui e$t à cette hauteur n’étant point $i chargé que celui d’en bas, ne pre$$e pas tant les corps qu’il environne; ce qui fait que celui qui e$t dans la ve$$ie ne trouvant pas une $i grande ré$i$tance pour s’étendre qu’auparavant, $e dilate & occupe un bien plus grand e$pace que celui où il étoit renfermé dans le lieu d’où on l’a $orti.

Il arrive tout le contraire, $i on remplit, autant qu’il e$t po$$ible, une ve$$ie au $ommet d’une haute montagne: car $i l’on de$cend pour venir dans un lieu beaucoup plus bas, l’on voit que la ve$$ie de bien tendue qu’elle étoit auparavant, de- vient fla$que & molle à me$ure que l’on de$cend, tant qu’il ne paroît pre$que pas qu’elle ait été enflée; ce qui ne peut man- quer d’arriver par les rai$ons que nous venons de dire: car l’air qui e$t dans la ve$$ie $e trouvant comprimé de tous côtés par celui qui l’environne, qui e$t beaucoup plus pe$ant que $ur la montagne, il e$t forcé de $e rama$$er, c’e$t-à-dire de $e conden$er pour occuper un plus petit e$pace que celui qu’il tenoit dans l’endroit d’où on l’a tiré.

C’e$t $ans doute à la dilatation & à la conden$ation que l’air prend, quand il e$t porté dans un lieu plus élevé ou plus bas que celui d’où il e$t $orti, qu’on doit attribuer l’incommo- dité que re$$entent ceux que le be$oin conduit $ur des hautes montagnes: car comme ils ont dans les poulmons & dans le $ang un air plus conden$é que celui de l’endroit où ils $e trou- vent, les chairs n’étant plus pre$$ées $i fortement par l’air que de coutume, lai$$ent à celui qui e$t dans le corps la liberté de $e dilater; ce qui ne peut $e faire $ans déranger le tempéra- ment de ceux à qui cela arrive. L’on pourra expliquer par un rai$onnement tout contraire à celui-ci la peine que re$$entent ceux qui d’un lieu haut viennent habiter un lieu bas.

La raréfraction de l’air e$t très-con$idérable par les con$é- quences que l’on a tirées de plu$ieurs expériences; & M. _Mariotte_, qui en a fait plus que per$onne, fait voir qu’un cer- tain volume d’air, que nous re$pirons, peut $e raréfier de 4000 fois pour être dans $on étendue naturelle, c’e$t-à-dire que s’il étoit po$$ible de porter un pied cube d’air de de$$us la $urface de la terre au haut de l’atmo$phere, il occuperoit un e$pace [0744] NOUVEAU COURS de 4000 pieds cubes, & peut-être même d’une bien plus grande étendue. Si cette e$timation approche de la vérité, il en $era la même cho$e de la raréfraction de l’air naturel, c’e$t-à-dire de l’air qui e$t au haut de l’atmo$phere, $ur la $urface de la terre, que lor$qu’il $era comprimé par l’air du dehors; il occupera un volume quatre mille fois plus petit, pour devenir $emblable à celui que nous re$pirons: mais comme l’expérience fait voir que celui-ci peut être extrêmement conden$é, celui du haut de l’atmo$phere qui $e $eroit conden$é de quatre mille fois, pour devenir pareil au nôtre, peut donc l’être bien davantage de quatre mille fois, pour devenir au$$i $erré que le nôtre peut être réduit.

Nous avons fait voir que quand on portoit un barometre du pied d’une montagne au $ommet, à me$ure que l’on mon- toit, le mercure bai$$oit pour $e mettre en équilibre avec la colonne d’air, qui devient d’autant moindre, que la montagne e$t plus élevée; & en parlant de l’expérience qui a été faite $ur le Puy de Dome, nous avons dit qu’étant monté de 10 toi$es, le mercure étoit de$cendu d’une ligne; qu’étant monté de 20 toi$es, il étoit de$cendu de 2 lignes; qu’étant monté de 100 toi$es, il étoit de$cendu de 9 lignes; enfin qu’étant monté de 500 toi$es, il étoit de$cendu de 8 pouces 10 lignes, ou au- trement de 46 lignes, où l’on peut remarquer que la diminu- tion du mercure n’e$t pas dans la rai$on des différentes hau- teurs où le barometre a été porté $ur la montagne: car pour que cela fût ain$i, il faudroit qu’à 100 toi$es le mercure fût de$cendu de 10 lignes, & qu’à 500 toi$es il fût de$cendu de 50 lignes: pour lors l’on auroit deux progre$$ions arithméti- ques, l’une pour le barometre, & l’autre pour les différentes hauteurs $ur le$quelles il $eroit porté; les termes de la pre- miere progre$$ion $e $urpa$$eroient d’une unité, & les termes de la $econde $e $urpa$$eroient de 10 toi$es; ce qui $eroit fort commode pour me$urer la hauteur des montagnes & celle de l’atmo$phere, pui$que le mercure de$cendant d’une ligne de 10 toi$es en 10 toi$es, l’on n’auroit qu’à ob$erver de combien de lignes il $eroit de$cendu en allant du pied de la montagne au $ommet; en$uite multiplier cette quantité de lignes par 10 toi$es, & le produit donneroit la hauteur de la montagne au de$$us du vallon qui $eroit au pied: de même pour $çavoir la hauteur de l’atmo$phere, il n’y auroit qu’à multiplier 356 [0745] DE MATHÉMATIQUE. _Liv. XVI_. lignes, qui e$t la hauteur du mercure $ur le bord de la mer, par 10 toi$es, l’on auroit 3360 toi$es pour la hauteur de l’at- mo$phere: mais comme la pe$anteur de l’air ne $uit point une $emblable progre$$ion, & qu’elle en $uit une autre toute diffé- rente, voici ce que MM. _Ca$$ini_ & _Maraldi_ ont fait pour la trouver, que j’ai tiré des Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de l’année 1703.

Ils prirent d’abord géométriquement la hauteur des monta- gnes qui $e trouverent $ur le chemin de la Méridienne; & quand ils purent $e tran$porter ju$qu’au haut, ils ob$erverent quelle étoit la de$cente du barometre. Ils avoient fait le même jour, lor$qu’il avoit été po$$ible, une ob$ervation du baro- metre $ur le bord de la mer, ou dans un lieu dont ils con- noi$$oient l’élévation $ur le niveau de la mer, où en tout cas ils ne pouvoient manquer de trouver à leur retour des ob$er- vations perpétuelles du barometre qu’on fait à l’Ob$ervatoire, que l’on $çait être plus haut que la mer de 46 toi$es.

Par les comparai$ons des différentes hauteurs des monta- gnes, avec les différentes de$centes du mercure $ur ces mon- tagnes, ces Me$$ieurs jugerent que la progre$$ion, $uivant la- quelle les colonnes d’air qui répondoient à une ligne de mer- cure, qui vont en augmentant des hauteurs, quand on de$- cend de la montagne, pouvoient être telles que la premiere colonne ayant 61 pieds, la $econde en eût 62, la troi$ieme 63, & ain$i toujours de $uite, du moins ju$qu’à la hauteur d’une demi-lieue; car ils n’avoient pas ob$ervé $ur des monta- gnes plus élevées.

En ob$ervant cette progre$$ion, ils retrouverent toujours, à quelques toi$es près, par la de$cente du mercure $ur une montagne, la même hauteur de cette montagne qu’ils avoient eue immédiatement après l’opération géométrique.

On peut donc, en admettant cette progre$$ion, me$urer par un barometre, qu’on portera $ur une montagne, combien elle $era élevée $ur le niveau de la mer, pourvu qu’on pui$$e $çavoir à quelle hauteur étoit à peu près en même tems le ba- rometre $ur le bord de la mer, ou dans un lieu dont l’éléva- tion au de$$us de la mer $oit connu; & cette méthode réu$$ira le plus $ouvent, quand même la montagne $eroit fort éloi- gnée de la mer; que $i cette progre$$ion régnoit dans tout l’at- mo$phere, il $eroit bien facile d’en trouver la hauteur: car les [0746]NOUVEAU COURS 28 pouces de mercure étant la même cho$e que 336 lignes, on auroit une progre$$ion arithmétique de 336 termes, dont la différence $eroit l’unité, & le premier terme de 61: mais comme l’on n’e$t pas $ûr que la pe$anteur de l’air $uive une $em- blable progre$$ion, le principe paroît trop incertain pour qu’on pui$$e en rien conclure pour la hauteur de l’atmo$phere, qui ne $e trouveroit que de $ix lieues & demie, $elon cette pro- gre$$ion, au lieu que M. _Mariotte_ a fait voir par une nou- velle maniere de calculer la hauteur de l’atmo$phere, qu’elle avoit environ 25 lieues, qui e$t la hauteur que tous les Phy- $iciens lui donnent pré$entement: mais la progre$$ion précé- dente peut être fort utile pour me$urer la hauteur d’une mon- tagne qui ne pa$$e point 1200 toi$es.

Fin du Cours de Mathématique. [0747] [0747a] [0748] [0749] [0749a] [0750] [0751] [0751a] [0752] [0753] [0753a] [0754] [0755] [0755a] [0756] [0757] [0757a] [0758] [0759] [0759a] [0760] [0761] [0761a] [0762] [0763] EXTR AIT des Regi$tres de l’Académie Royale des Sciences, du 27 Janvier 1725.

LEs Révérends Peres Séba$tien & Reneau, & Me$$ieurs Saurin, de Mairan & Chevalier qui avoient été nommés pour examiner un Ouvrage, pré$enté par M. _Belidor_, Profe$$eur Royal de Mathématiques aux Ecoles d’Artillerie de la Fere, & intitulé _Nouveau Cours de Mathématiques à l’u$age de l’ Ar-_ _tillerie & du Génie_, en ayant fait leur rapport, la Compagnie a jugé que pui$que l’Auteur avoit recueilli avec choix & avec ordre des diver$es par- ties des Mathématiques les principales connoi$$ances qui pouvoient ap- partenir au Génie & au $ervice de l’Artillerie, qu’il avoit rendu toutes $es démon$trations plus nettes & plus courtes, en y employant l’Algebre, dont il donne les premiers élémens, & qu’il fai$oit voir l’u$age des connoi$$ances qu’il donnoit, en les appliquant à des exemples con$idérables, tirés du Génie même & de l’Artillerie, il avoit bien rempli les vues qu’il s’étoit propo$ées, & qu’on ne pouvoit trop louer $on zele pour le progrés de l’Ecole à laquelle il a voué $es $oins & $es travaux: en foi de quoi j’ai $igné le pré$ent Cer- tificat. A Paris ce 29 Janvier 1725.

FONTENELLE, Secr. Pr. de l’Ac. Royale des Sciences.

APPROBATION DU CENSEUR ROYAL.

J’AI lu, par ordre de Mon$eigneur le Chancelier, la nouvelle édition _du Cours de Mathématique de M. BELIDOR_. Cet Ouvrage a été, dès le commencement, bien reçu du Public; il a été en$eigné avec $uccès dans les Ecoles d’Artillerie. Les nouvelles augmentations dont on l’a enri- chi, rendent cette édition très-complette, & beaucoup $upérieure aux anciennes. Fait à Paris, ce 5 Juin 1757.

MONTCARVILLE, Lecteur & Profe$$eur Royal.

PRIVILEGE DU ROI.

LOUIS, par la grace de Dieu, Roi de France & de Navarre: à nos amés & féaux Con$eillers, les Gens tenant nos Cours de Parlement, Maîtres des Requêtes ordinaires de notre Hôtel, Grand Con$eil, Prevôt de Paris; Baillifs, Sénéchaux, leurs Lieutenans Civils, & autres nos Ju$ti- ciers qu’il appartiendra: SALUT. Notre amé CHARLES-ANTOINE JOMBERT, Notre Libraire à Paris, Nous a fait expo$er qu’il dé$ireroit faire imprimer & réimprimer les ŒUVRES DE M. BELIDOR; _$çavoir, le Cours de Mathématique; la Science des Ingénieurs; le Bombar-_ _dier François, & l’Architecture Hydraulique_, s’il Nous plai$oit lui ac- corder nos Lettres de privilege pour ce néce$$aires. A C E S C A U S E S, voulant favorablement traiter l’Expo$ant, nous lui avons permis & permettons par ces Pré$entes, de faire imprimer & réimprimer le$dits Ouvrages, autant de fois que bon lui $emblera, & de les vendre, faire [0764] vendre & débiter par tout notre Royaume, pendant le tems de _dix an-_ _nées_ con$écutives, à compter du jour de la date des Pré$entes. Fai$ons défen$es à tous Imprimeurs, Libraires, & autres per$onnes, de quelque qualité & condition qu’elles $oient, d’en introduire d’impre$$ion étran- gere dans aucun lieu de notre obéi$$ance: comme au$$i d’imprimer ou faire imprimer, vendre, faire vendre, débiter ni contrefaire le$dits Ouvrages, ni d’en faire aucun extrait, $ous quelque prétexte que ce $oit d’augment- tation, correction, changemens ou autres, $ans la permi$$ion expre$$e & par écrit dudit Expo$ant, ou de ceux qui auront droit de lui, à peine de confi$cation des exemplaires contrefaits, de trois mille livres d’amende contre chacun des contrevenans, dont un tiers à Nous, un tiers à l’Hôtel- Dieu de Paris, & l’autre tiers audit Expo$ant, ou à celui qui aura droit de lui, & de tous dépens, dommages & intérêts: à la charge que ces Pré- $entes $eront enrégi$trées tout au long $ur le Regi$tre de la Communauté des Imprimeurs & Libraires de Paris, dans trois mois de la date d’i- celles; que l’impre$$ion & réimpre$$ion de$dits Ouvrages $era faite dans notre Royaume, & non ailleurs, en bon papier & beaux caracteres, con- formément à la feuille imprimée, attachée pour modele $ous le contre- $cel des Pré$entes: que l’impétrant $e conformera en tout aux Réglemens de la Librairie, & notamment à celui du 10 Avril 1725; & qu’avant de l’expo$er en vente, les manu$crits & imprimés qui auront $ervi de copie à l’impre$$ion & réimpre$$ion de$dits Ouvrages, $eront remis dans le même état où l’approbation y aura été donnée, ès mains de notre très - cher & féal Chevalier, Chancelier de France, le Sieur DE LAMOIGNON, & qu’il en $era en$uite remis deux exemplaires de chacun dans notre Bibliotheque publique, un dans celle de notre Château du Louvre, & un dans celle de notre très - cher & féal Chevalier Chancelier de France le Sieur DE LA- MOIGNON, & un dans celle de notre très-cher & féal Chevalier Garde des Sceaux de France le Sieur de MACHAULT, Commandeur de nos Ordres; le tout à peine de nullité des Pré$entes: du contenu de$quelles vous man- dons & enjoignons de faire jouir ledit Expo$ant, ou $es ayans cau$e, plei- nement & pai$iblement, $ans $ouffrir qu’il leur $oit fait aucun trouble ou empêchement. Voulons que la copie des Pré$entes, qui $era imprimée tout au long au commencement ou à la fin de$dits Ouvrages, $oit tenue pour duement $ignifiée, & qu’aux copies collationnées par l’un de nos amés & féaux Con$eillers Secretaires, foi $oit ajoutée comme à l’Original. Commandons au premier notre Hui$$ier ou Sergent $ur ce requis, de faire pour l’exécution d’icelles tous actes requis & néce$$aires, $ans demander autre permi$$ion, & nonob$tant clameur de haro, Charte Normande, & Lettres à ce contraires; car tel e$t notre plai$ir. DONNÉ à Ver$ailles le vingt-unieme jour du mois d’Août, l’an de grace mil $ept cent cinquante- deux, & de notre regne le trente-$eptieme. Par le Roi en $on Con$eil.

SAINSON.

Regi$trè $ur le Regi$tre XIII. de la Chambre Royale des Libraires & Imprimeurs de Paris, N°. 19, fol. 12, conformément aux anciens Régle- mens, confirmés par celui du yingt-huit Féyrier 1723. A Paris le 29 Août mil $ept cent cinquante-deux.

HERISANT, Adjoint.

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