Non $olo à Geometri, Agrimen$or<007>, Architetti c<007>uih, e militari, Pittori, Scoltori, & à tutti quelli, che v$ano del D<007>$$egno, mà anche à Bombardieri, Sergent<007> d<007> Battaglia, Mercanti, & altri, per molte operationi Ar<007>tmet<007>che, fatte con grandi$$ima fac<007>l<007>tà, _Accre$ciuta notabilmente in que$ta $econda Editione dal mede$imo Autore_.
_O_Pu$culum, cui titulus e$t, _Fabrica, & V$o_ _del Compa$$o di Proportione, &c._ à P. Paulo Ca$ato Societatis no$træ compo$itum, tres viri graues, ac docti eiu$dem no$træ Societatis perlegerunt, & in lucem edi po$$e iudicarunt. Quare facultate mi- hiconce$$a ab Adm. Reuer. P. Ioanne Paulo Oliva Vi- cario Generali pote$tatem facio, vt imprimatur, $i al{ij}s, ad quos $pectat, it a vi$umfuerit. Bononiæ die _26_. Octobris _1662_.
Franci$cus Bellhomus.
Locus <028> Sigilli.
V.D. Fulgentius Orighetus Rector Pœniten- tiariæ, pro Illu$tri$simo, & Reuerendi$simo D. Io$epho Mu$otto Vicario Capitulari.
Fr. Vincentius Vbaldinus Vicarius Generalis S. Officij Bonon. Ordinis Præd<007>cat.
IO non pretendo di $criuere co$a nuoua, mà
impiegarmi in materia vtile. Ciò che del-
l’Organo $i dice e$$er’vn Compendio de gli
Stromenti Mu$icali à cagione deìla molti-
plicità, e varia combinatione de’regi$tri,
che contiene, parmi po$$a vgualmente dir$i
del Compa$$o di Proportione, cioè, che $ia vn Compendio
di molti $tromenti Geometrici inuentati per la facilità di
molte operationi, poiche contiene varietà di linee diuer$a-
mente diui$e, e $eruendo variamente conforme alla diuer$a
apertura di detto Compa$$o, comprende vna grand’vniuer-
$alità d’operationi. Mà alcuni $i trouano proui$ti di $imile
Stromento fabricato con grand’accuratezza, e politezza in
Francia, ò in Fiandra, à quali però non $erue più che vna bel-
la pittura nella lor galeria, il cui v$o fini$ce, con e$$er’attenta-
mente rimirata: e$$endoche ne cono$cono le linee, che vi
$ono notate, $e non for$i quanto dalle parole aggiunte à cia$-
Da ciò $i vede per qual cagione io habbia $critto in forma $emplice, & in lingua Italiana: e$$endo che così era conue- niente di fare à chi voleua e$$er’inte$o dalli no$tri Artefici Ita- liani: Oltre che e$$endo molti, iquali non hanno l’v$o della lingua Latina così famigliare, e pure affettionando$i alle co- $e Mattematiche, $penderiano vtilmente molto tempo, che loro sfugge otio$amente, hò de$iderato di far loro in ciò co$a grata, mentre non $ono ritirati dalla lettione di que$ta Ope- retta dalla qualità dell’Idioma.
E $e ad alcuno pare$$e $uperflua que$ta mia fatica;e$$endo che di que$to Stromento è $tato $critto da altri; $appia, che tal’obiettione à me ancora è venuta in mente prima di met- tetmi à $criuere que$ti fogli; e quello che più mi ritraeua, era il dubbio probabili$simo d’incontrar mi à dire molte co$e der- te da altri, e $oggiacer’alla ripren$ione d’hauer copiato. Mà finalmente mi $on la$ciato vincere dal de$iderio non di mia lode, mà dell’altrui vtilità; tenendo per certo, che sì come non o$tante $ia $tato $critto da altri di que$ta Mareria, ad ogni modo io non hò hauuto forruna di vedere mai alcun’Autore, fuorche il Galilei, di cui nel 1642. ventidue anni prima di $criuere que$t’Operetta, nella Libreria no$tra del Collegio Romano mi capitò vn picciolo libretto di que$ta Materia, da me allhora poco inte$o; così à molti altri poteua accadere $i- mile di$gratia, che non capita$$e loro alle mani alcuno di que’ buoni Autori; e perciò capitando loro que$ta mia Operetta, ne potranno trarre qualche vtilità. Oltre che vediamo da tanti Huomini $aggi e$$er$i $piegati gli mede$imi $ei primi li- bri d’Euclide, e pur niuno $i $tima inutile, portando$i con ciò qualche maggior facilità a’principianti_:_ e così per la $te$$a cagione hò creduto non e$$er que$ta mia fatica $uper flua, mentre non $criuo per Mattematici prouetti, ma per principianti, e poco e$perti nelle co$e della Geo- metria. E per que$to per lo più cito le propo$itioni d’Euclide, con le quali $i dimo$trano le co$e, che vado dicendo. § § § § § §
IL Compa$$o di Proportione non è altro, che vno Stro- mento compo$to di due regole piane, e diritte di ma- teria $olida (ò $ia legno, ò ottone, ò argento) nell’vna delle due e$tremità vnite in$ieme in modo, che $i po$$ino allargar, e $tringere sì, che ri$trette $i combacino, & allargate $i $ten- dano à formar vna $ola regola diritta. Che $e bene non è a$$oluta mente nece$$ario, che po$$ano tanto allargar$i, ò $trin- ger$i, ad ogni modo così riu$cirà più vtile lo Stromento.
Si chiama _Compa$$o_, perche il $uo v$o è con allargarlo, ò $tringerlo à $omiglianza del Compa$$o, con cui $i de$criuo- no i circoli maggiori, ò minori. Si dice poi _di Proportione_, perche $erue à trouar linee nella proportione, che $i de$idera.
Dal centro dunque, circa di cui $i muouono le due regole (il quale conuien che $ia accurati$$imamente $egnato nella $uperfieie dello Stromento, e $i troua nell’inter$ettione delli lati interiori delle due regole, prolongati con linee occulte, e $ottili$$ime, ba$tando poi $egnare vi$ibilmente $olamente il punto, che corri$ponde al centro) $i tira $opra cia$cheduna regola vna linea retta, e que$ta $i diuide con la de$iderata pro- portione; auuertendo, che l’vna, el’altra linea $ia vguale, e $imilmente diui$a. E ciò fatto, s’hà lo Stromento, di cui hab- biam bi$ogno per poter diuidere $imilmente qualunque altra linea, che non $ia maggiore della di$tanza, che è trà li due e$tremi punti delle linee de$critte sù le regole, quando $tanno di$te$e, e fanno vna regola $ola.
Siano dunque le due regole AB, AC, congionte nel pun-
Auuerta$i però, che, $e bene $in’hora non s’è parlato che di diui$ioue di linea retta, non è, che à que$t’v$o $olamente $i ri$tringa il Compa$$o di Proportione, di cui parliamo; mà ciò s’è detto per più facile intelligenza de gl’ine$perti: poiche più à ba$$o $i $piegaranno gl’v$i molto maggiori, che per vna $emplice diui$ione. Quindi è, che per e$$er più obuio, e com- mune l’v$o di que$to Stromento per le diui$ioni, è anche chia- mat@ da molti _Stromento delle Parti_; $e ben’il vocabolo di _Compa$$o, ò S<007>romento di Proportione_ pare più proprio, perche comptende più vniuer$almente il fine, à cui$erue.
Hor’acciò s’intenda fondamentalmente l’v$o di que$to
Stromento, e vegga$i, come quellc due di$tanze EL, & HI
E que$ta è la dimo$trazione generale, qualunque $ia la pro- portione, in cu<007>$ia diui$a la linea retta tirata $ul piano delle regole dello Stromento. E perche varie a$$ai puonno e$$ere le proportioni, nelle quali $i può diuidere vna linea, così $opra la $te$$a faccia della regola dello Stromento $i tirano diuer$e linee variamente diui$e, acciò le $te$$e due regole vengano à $eruirci per tanti Stromenti, quante linee $ono tirate in vna delle $udette regole. Sì che tutto l’ artificio di que$to Stro- mento con$i$te in mettere $opra le $ue regole quelle propor- tioni, con cui $i può de$iderare d’hauer altre linee in propor- tioni $imili; ancorche quelle linee non fo$$ero commen$ura- bili alle linee de$critte nello Stromento.
Da quel che s’è detto è manife$to, che li due ttiangoli AEL,
Auuerta$i e$$er nece$$ario nell’o perationi prendere col Cõ- pa$$o accuratamente la lunghezza delle linee, e perciò con- uiene, che le $ue punte $iano ben’ acute: e $e tali non fo$$ero, $i potranno alle gambe del Compa$$o con $ottili cordicelle da liuto legare $trettamente due aghi da cucire, le cui punte $ono $ottili$$ime, & acute, quanto ba$ta ad ogni più accurata operatione.
IL primo, e più facile v$o di que$to Stromento è in ordine
alle $emplici lung hezze di linee Rette perciò da que$te $i
comincia. Si tirano dunque dal centro A due linee rette AE,
AL, e que$te $i diuidono nelle più minute parti vguali, che $i
può, $alua la di$tintione nece$$aria, per non confonder$i nel
numerarle, & hauuto ri$guardo alla lunghezza delle regole.
E quì fà di me$tieri apportarui tutta la diligenza, per poter
Diuida$i dunque la linea AE _(_ele diui$ioni fatte in que$ta
$i tra$portino nella A L) con vn ben’ acuto, e $odo compa$-
$o in due parti vguali; e cia$cuna $arà di 50. particelle cente-
$ime, onde al punto della diui$ione $i noti il numero 50. Di-
poitutta la linea AE $i diuida in cinque parti vguali, e cia$cu-
na $arà di 20. particelle: onde doueranno $egnar$i con li nu-
meri 20. 40. 60. 80. Cosìhauuta$i la di$tanza trà 40. e 50.
shà la decima parte ditutta la linea AE, e con que$ta comin-
ciando da A $i $egnano di dieci in dieci_:_ con che anche $i pro.
ua, $e le prime diu $ioni furono accuratamente fatte. Simil-
mente $e vna di que$te decime $i diuide per metà (ouero $e ne
piglino trè decime, e $i diuidano per metà) s’hauranno le di-
ui$ioni di cinque in cinque, e la linea AE $arà diui$a in 20.
parti vguali. E sì come le decime furono notate col numero,
& vna lineetta tra$uer$ale, così la metà delle decine $i nota
con vna $ola lineetta più piccola, acciò $ubito $i po$$a cono-
$cere, e numerare le particelle, le altre poi $i $egnano con
E perche for$i il diuider’ vna di quelle parti vente$ime
in cinque particelle vgual<007> r<007>u$cirebbe a$$ai difficile, pigli$<007> da
A $in a 30. e $ia la linea RS diui$a in $ei di quelle parti vente-
$ime. Tutta la RS
Ora per prouare $e $ia giu$ta la diui$ione, $i prenda R _a_, e $e replicata cade nel 60. ella è giu$ta, e $egnarà tutti l<007> punti numerati dal 6. Così pre$a 5 _b_ $i repl<007>chi, e $e è giu$ta, comin- ciando da A centro, caderà nel 70. & in tutti li numeri molti- plici di 7. Così 10 _c_, darà 8, & i $uoi moltiplici, cadendo pre- ci$amente in 80: e così anche 15 _d_, darà 9. & i $uoi moltipli- ci, cadendo nel 90. Et in que$ta maniera traportando li $u- detti interualli non $olo dalli punti delle decime, mà anche dalle loro metà, come da 5. 15. 25. &c. $i verranno à $egnar tutti i punti della linea AE con molta aggiu$tatezza, ò $e furo- no già $egnati, $i cono$cerà la buona diu<007>$ione.
SIa data la linea MN longhezza della Cortina in vn di$-
$egno d<007> qualche Fortezza, e volendo$i prende<007>e la dif-
fe$a dal quinto della Cort<007>na, $i cerch<007> la $ua
Che $e $i cerca$$e tal parte, la quale non fo$$e preci$amente nel numero 100; pigli$i vn’altro numero, che habbia tal par- e, e $opra di quello $<007> ponga la longhezza MN, e poi il nu- mero, che $arà la parte cercata del numero pre$o, darà la lon- ghezza cercata. Per cagion d’e$$empio $i de$ideri della data linea MN vna parte, che $ia quattro vndecime. Non $i po- tendo il 100 diuidere giu$tamente per 11, prendo vn nume. 10 qual$iuoglia, che $ia numerato dall’ 11; e$ia 88. Apro lo Stromento in modo, che MN $ia la di$tanza di 88; e perche l’vndecima parte di 88 è 8, que$to replico quattro volte, e 32 $ono quattro vndecime: p<007>glio dunque la di$tanza 32. 32, & è MR quattro vndecime di MN. Vn’ altra maniera di trouar vna parte a$$ai piccola, vedrai nel capo 7, que$t<007>o- ne 3. nel fine.
Di quì $i vede, che data vna linea maggiore, $e ne può tro-
uar vna minore in qual$iuoglia proportione di quelle, che
con numeri $i ponno e$primere, pigliando dentro à 100 dne
numeri nella data proportione; & applicata la linea data al
maggiore di que$ti due numeri, il minor numero darà la line@
minore cercata. E $e per auuentura li due numeri e$primen-
ti la proportione fo$$ero tali, che eccede$lero il 100, $i ridu-
cano à cente$ime; che per l’operatione Mecanica vi $arà po-
chi$$imo sbaglio. Il che $i fà (per ricordarlo alli meno prat-
tici) moltiplicando per 100 il Con$eguente della Proportio-
ne, & diuidendo il prodotto per l’Antecedente; e s’haurà la
proportione e$pre$ia con due noui termini, il maggior de’
quali $arà il 100. & il minore, che $i cerca, $arà il Quotiente,
che ri$ulta da cotal diui$ione. Sia per cagion d’ e$$empio la
mede$ima linea MN, e $e ne cerchi vna minore, ò parte di
MN in tal proportione, che $iano come 3, 22 {8/50}, che è quan-
Mà $e la l<007>nea data fo$$@ così lunga, che ò non haue$$imo Compa$$o così grande, che ba$ta$$e à prenderla tutta, per ap- plicarla al no$tro stromento, ò lo Stromento fo$$e così picco- lo, che allargato non pote$$e capire tutta la linea data; Al- lhora vna cotal linea $i diuida per mezo, e $e ancora riu$ci$$e troppo lunga, la metà $i diuida di nuouo per mezo, e s’haurà la quarta parte, e que$ta quarta parte s’applichi allo Stro- mento, come s ella fo$$e la linea propo$ta, e $i cerchi la parte determinata come $opra; e poi que$ta replicata tante volte, in quante parti è $tata diui$a la linea data, $arà la parte, che $i de- $idera: onde $e $olo $i diui$e in due que$ta parte trouata, $i rad- doppia, e $e quella fù diui$a in quattro, que$ta $i repl<007>ca quat- tro volte, perche le parti con i moltiplici han la $te$$a pro- portione (per la 15. del 5.) Così figurandoci vna linea lunga 300 determinate particelle, $i prende la $ua quarta parte, che $ia 75. e s’applichi allo Stromento 75. 75, e $e $i vogliono due terzi di tutta la data linea (che $ono 200) $i prendano li due terzi di 75, che $ono 50. e perche la linea tutta fù diui$a in quattro, $i replichi que$ta linea trouata tra 50. 50 quat- tro volte, e $aranno appunto li due terzi della linea data, cioè 200; poiche come 50 à 75, così 200 à 300.
Che $e dalla l<007>nea data $i doue$$e cauar vna parte denomi-
Mà for$i per gli Artefici, che per lo più cercano vna parte
aliquota, ò più parti aliquote non maggiori delle decime,
tornarà commodo vn’altra $orte di linea Aritmetica, in cui
$iano notate le parti aliquote $<007>n alle decime; come $e $i pren-
da la ST, & <007>n e$$a $i noti la $ua metà, il terzo, il quarto, e
L’v$o di que$ta linea è manife$to;
perche po$ta la l<007>nea da diuider$i, ò di
cui $i voglia vna parte determinata,
nell’ e$tremità alli punti 1. 1, l’inter-
Potrà anche que$ta linea Diu<007>$or<007>a $eru<007>re à Moltiplicar, e
D<007>u<007>dere qual$<007>uoglia numero, <007>l cu<007> Moltiplicatore, ò Diui-
$ore $<007>a vn numero <007>n e$$a notato. L’operatione è fondata $o-
pra la verità nota à gli Aritmetici, che nella moltiplicatione
l’Vn<007>tà al Moltiplicatore hà la $te$$a proportione, che il Mol-
t<007>pl<007>cato al Prodotto, e nella Diu<007>$<007>one l’<007>$te$$a proport<007>one
ha <007>l D<007>ui$ore all’Vnità, che ha <007>l D<007>ui$o al Quotiente; e$$endo
manife$to, che tante volte l’vnità è contenuta dal Moltiplica.
tore, ò dal D<007>u<007>$ore, quante volte il Moltiplicato è contenu.
to dal Prodotto, ò il Quotiente dal Diu<007>$o. Or habbia$i vna
Scala di parti minuti$$ime, la quale à molti v$i può $eruire, &
in e$$a $i prenda con vn Compa$$o vn numero di particelle
corri$pondente al numero dato da moltiplicar$i: $e il Molti-
pl<007>catore è numero intiero, quella grandezza di linea pre$a
col Compa$$o, $i appl<007>chi all’ interuallo della parte aliquora
denom<007>nata da tal numero; come $e fo$$e 7, $i applichi alli
Punti 7. 7. D<007>poi prenda@i nell’e$tremità l’interuallo 1. 1, &
applicato alla Scala $odetta, $i trouarà nel numero delle par-
ticelle e$pre$$o il numero Prodotto, e$$endo che il primo in-
terual@o al $econdo, per la co$truttione, è come {1/7} ad 1, cioè,
Mà $e il Moltiplicatore fo$$e vnode’ otti notat sù lo Stro- me <007>to, deue operar$i differentemente; cioè <007>l numero Molti. pl<007>cando $i applica alli punti 1. 1; e l’<007>nteruallo del rotto da- to darà <007>l Prodotto. Così volendo molt<007>plicar l’i$te$$o 14 per {6/7}, applico <007>l numero dato all’interuallo e$tremo 1. 1; e l’<007>nter- uallo {6/7}. {6/7} darà nella $cala 12, che è <007>l numero Prodotto, e$- $endo come l’V nità à {6/7}, così 14 à 12.
Similmente nella Diu<007>$ione prendo nella Scala il numero dato da diuider$i, & allargo lo Stromento sì, che cap<007>$ca trà l’e$tremità 1. 1; dipoi all’interuallo corri$pondente al nume- ro intiero del Diui$ore trouo la linea, che sù la Scala dà il Quotienre. Habbia$i à diuidere 176 per 8: Nella $cala pren- do 176, e l’appl<007>co allo Stromento in 1. 1: all’interuallo 8. 8; trouo tal linea, che sù la Scala mi dà 22: poiche come 1 ad {1/8}, cioè come il Diui$ore 8 à 1, cos<007> <007>l Diui$o 176 à 22 Quotiente.
Mà $e il Diui$ore fo$$e vn Rotto delli notati, à quell’inter-
uallo douria applicar$i il numero Diui$o, perche l’interuallo
1. 1 dar<007>a il Quotiente cercato, à cui il diui$o hauerebbe la
$te$$a proportione, che hà <007>l Diu<007>$ore all’ Vnità. Habbia$i à
diuidere 176 per {2/3}: pre$a dalla Scala la lunghezza di parti
176, l’appl<007>co alli punti {2/3}.
LI due numeri, co’quali s’e$prime la proportione deter- minata $e $o$$ero a$$ai piccioli, $i moltiplichino per qual$iuoglia numero tale, che il prodotto dalla moltiplica- tione per il maggiore non ecceda 100. Poi $i piglino que$ti due prodotti come Antecedente, e Con$eguente della Pro- portione, e la linea data s’applichi nello Stromento al nume- ro minore, poicheil numero maggiore darà la lunghezza del- la linea cercata. Sia la figura prima della que$tione prece- dente, data la linea H, la quale debba ad vn’altra linea hauer la proportione di 3 à 7. Moltiplico così il 3 come il 7 per 10, e $ono 30, e 70. Allargo lo Stromento, & applico la linea H alla di$tanza 30, 30; e poi ritenendo lo Stromento così allar- gato, prendo la di$tanza 70. 70, e $arà la linea MN cercata. In que$ta maniera $e fo$$e data in di$$egno vna fronte huma- na, quanto è dal mezo doue fini$cono le $opraciglia $in alla radice de’capegli, $i trouerà la lunghezza della faccia, piglian- do vna linea trè volte maggiore: E perche la faccia è la de- cima parte, come $criue Vitruuio lib. 3. cap, 1. ò come altri vogliono, la nona parte di tutta la giu$ta $tatura humana, data la fronte $i pigli vna lina, che $ia 30, ouero 27 volte maggio. re, e $i haurà l’altezza del corpo proportionato.
Che $e la linea dataf $$e così grande, che non capi$$e com- modamente nell’apertura dello Stromento, operi$i come s’è detto nel fine della que$t<007>one precedente; cioè pigl<007>$<007> vna $ua pa@@e al<007>quora, econ e$$a s’operi al modo detto; po<007>che que- $ta linea trouata, e replicata tante volte, in quante parti la li- nea data fù d<007>ui$a, $arà appunto la linea cercata.
Se finalmente la proport<007>one fo$le determ<007>nata in numeri ambidue maggiori di 100. riduca$i à denominat<007>one di cen- te$ime, facendo come il Con$eguente maggiore all’ Antece- dente, minore nella Proportione data, così 100 ad vn’ altro numero, e con que$ti due vltim<007> s’operi, applicando la linea data al numero m<007>nore trouato, e la d<007>$tanza 100. 100, darà la linea cercata. Mà $e de’ numeri e$primenti la proportio- ne, $ol’il magg<007>ore eccede$$e 100, ba$terà, appl<007>cata la linea data al numero minore, pigliare per la linea cercata prima la di$tanza 100. 100, poi la di$tanza del re$to del numero, e di que$te due di$tanze farne vna $ola linea.
Così per e$$empio habbiamo dato il Semidiametro d’vn
cerchio, e vogliamo vna linea retta pro$$imamente vguale al-
la Semicirconferenza. Sappiamo per la Dottrina d’Archi-
mede, che la Circonferenza al Diametro (l’i$te$$o è delle loro
metà) è minore, che la tripla è dieci $ettante$ime, mà maggio-
re, che la t@ipla è dieci $ettantune$ime. Sì che la prima pro-
portione di 7 à 22, la $econda di 71 à 223. Sia dunque <007>l $e-
midiametro dato la linea B, la quale applicata al 7. 7, ouero
14. 14, darà nelli 22. 22, ouero 44. 44, la linea C vn poco
maggiore della vera Semicirconferenza. Per hauer poil’al-
tra proportione applich<007>$<007> la linea B alli 71. 71, e poi per li
223, pigli$<007> due volte 100. 100, e poi 23. 23. e $arà vna li-
nea di 223 particelle, delle quali B ne hà 71, così poco d<007>f-
QVando $on date trè linee, & alla Terza $i cerca vna Quarta, che $ia nella pro- portione della Prima alla Seconda, $enza che $ia e$pre$$a in numeri la proportio- ne, $i tra$porta la Prima dal centro dello Stro- mento A $opral’vno, e l’altro lato; e$e non cade preci$amente $opra alcuno de’ punti $e- gnati, ba$ta leggiermente con la punta del Compa$$o tagliar à trauer$o la linea tra l’vn punto, el’altro, tanto che $i po$$a ricono$cere. Poi s’allarghi lo Stromento tanto, che trà li due punti già $egnati con la punta del Compa$$o capi$ca la fe- conda delle linee date. Finalmente la Terza $i tra$porti $i- milmente dal centro A $opra l’vno, el’altro lato, e $i $egni il $uo termine; poiche la di$tanza trà que$ti due punti vltima- mente $egnati è la Quarta Proportionale, che $i cerca.
Siano date trè linee 1. 2 3. e $i cerchi la Quarta nella pro-
portione della prima alla Seconda. Tra$porto la Prima $o-
Di quì appari$ce, come date due linee $i poffa trouar la. Terza in Proportione continua, e così di mano in mano: e$- $endo che di trè continuamente proportionali, la Seconda hà ragione di Con$eguente, e d Antecedente; e perciò la di$tan- za li tra$porta dal centro A dello Stromento $opra de’lati, co- me s’ella fo$$e vna Terza per trouar la Quarta. Così $ia data la linea AB diui$a in D, e $i debba tagliar in proportione con- tinua, come AB ad AD, così AD ad vn’altra. Piglio sù lo Stromento AB, AC vguali alla data AB, l’allargo tanto che capi$ca la Seconda trà BC. Poi tra$porto la di$tanza BC in AD, AE, ela di$tanza DE è la Terza proportionale; qua- le tra$portata in AF, AG dà la diftanza FG Quarta propor- tionale: Così FG trasferita in AH, AI dà la Qu<007>nta HI; & HI applicata in AK, AL dà la Se$ta KL e così di mano in mano. Onde trasferite le diui$ioni F, H K, O, sù la linea data AB, que$ta $arà diui$a, come $i cercaua, e come AB ad AD, così AD ad AE, cosi AE ad AH, così AH ad AK, & AK ad AO.
La ragione di ciò è chiara, per quello, che s’è mo$trato nelcap I. e$$endo come AB à BC (intendan$i tirate le line BC, DE, &c.) così AD, cioè BC à DE cioè AF; dunque AB, AD, AF $ono continuamente proportionali.
SI trouano alle volte di$$egni già fatti, ne v’è aggiunta la
Scala per poter ridurre tutte le linee ad vna mifura Ho-
mogenea: altre volte s’hà à far qualche di$$egno, & il douer
Primieramente, $ia data la Campagna di$$egnata ne’$uoi
termini A B C D E F, di cui $i de$idera $apere la grandezza.
Se vno de’lati è cono$ciuto in mi$ura, s’applichi quella linea
al numero corri$pondente nello Stromento: Come $e il lato
AF $i $ape$$e e$$ere pa$$i 79. la lunghezza AF s’applichià 79.
79, el’altre linee tutte applicate allo Stromento, ritenuta la
Dal punto A alla linea A B tiri$i la perpendicolare AG: po$cia dall angolo più ba$$o E $i tira la EH perpendicolare al- la AG; che perciò EH vien ad e$$er parallela alla AB (per la 28. del primo) è doppo que$to dall angolo p ù interno, che quì è B $i tira la linea BI parallela alla AH: onde $i hà il paral- lelogrammo A I.
Doppo que$to dall’angolo D $i tirino due linee DK, DL perpendicolarialle linee BI, & EI, $opra le qualicadono; e $i hà il piccolo Rettangolo KL. E perche re$ta il Trapezio BK DC, t<007>ri$i la linea DB, che lo diuide in due Triangoli. Si che dall’area cauati li parallelogrammi, re$tano li Triangoli: Ne’ quali $e non v’è angolo Retto, tiri$i da vn’angolo al lato op. po$to vna perpendicolare. Così li Triangoli BKD, DLE, EHG per e$$er rettangoli, non han bi$ogno d’altra perpen- dicolare, come ne’Triangoli, AGF, BCD, fà di me$tieri ti- rare le perpendicolati GN, DM.
Ora $e vno de’lati è cono$ciuto, come AF pa$$i 79 aperto
lo Stromento in modo, che trà 79, e 79 capi$ca la linea AF,
ritenga$i la $te$$a apertura, & applicando cia$cuna linea $i tro-
uerà la $ua grandezza. Ma per non prender$i fatica $ouer-
chia, ba$ta nelli parallelogrammi prendere la mi$ura de’due
lati, che fanno l’angolo Retto; e que$ti moltiplicati in$ieme
danno l’area de’$udetti parall logrammi. Nelli Triangoli
poi fi piglia la mi$ura della perpendicolare, e della ba$e, $opra
Quindi $i caua, che $e il dato di$$egno fo$$e Topografia di pae$e non tanto grande, che $en$ibilmente s’allontana$$e dal- l’e$$er piano, con ogni facilità $i potrà cono$cere la d<007>$tanza d’vn luogo dall’altro, purche vna qualche di$tanza $ia nota, $eruendo que$ta per dar vna deter minata apertura allo Stro- mento: come facilmente $i raccogl<007>e da c<007>ò, che s’è detto $in’hora.
Mà per traportar vn di$egno di grande in piccolo, ò di piccolo in grande, non è di me$tieri dir altra co$a più parti- colare, poiche ciò è manife$to da ciò che $i è detto nella que$tione antecedente, non e$$endo que$to altra co$a, che trouare la Quarta proportionale.
E’Vero, che non tutte le linee $ono trà di loro commen-
$urab<007>li, ne hanno la proportione, che $i po$$a e$pri-
mere con numeri, come è man<007>fe$to dalla Geometria, e dal
l<007>bro Decimo d’Eucl<007>de; ad ogni modo per le operationi Me-
caniche, alle volte ci ba$ta $apere, quali $iano que’ numeri,
che p<007>ù da vicino e$primono la proportione, ò almeno li ter-
mini (per dir così) e$trin$eci della proportione, cioè quelli,
che $ono immediatamente maggiori, & immediatamente mi-
nori del douere; tra’ quali prendendo$i il mezo Aritmetico
Ora per operare più $peditamente in que-
Siano dunque date le due linee C, B, la cui proportione in numeri $i cerca. Prenda$i con vn Compa$$o accuratamente la lunghez- za di C, e con l’altro Compa$$o quella di B, dipoi s’applichi la lunghezza d<007> C al 100, 100, e con la lunghezza di B $i vegga $opra qual numero dello Stromento aperto ella ca- da, e $ia per cagion d’e$$empio $u’l 32, 32; e diremo, che C à B hà la proportione di 100 à 32. Mà $e la lunghezza di B fo$$e minore del- la di$tanza 32, 32, e maggiore della di$tanza 31, 31, diremo, che la proportione di 100 à 31 è maggior della vera, e quella di 100 à 32 è minor della vera: onde e$- $endo la differenza d’vna $ola cente$ima parte di C, ba$terà per l’ordinario prendere la B per 31 {1/2}.
Auanti però che $i venga à que$to di prendere litermini
e$trin$eci della proportione, cioè il maggior, & il minore,
conuien tentare in altri numeri, ma$$ime di quelli, che $i chia-
mano _Primi_, cioè che non hanno altro numero, che li mi$uri,
Mà per operar ancora più preci$amente in ca$i $imili, doue
non $i po$$ano hauere li numeri preci$i, meglio $arà trouare la
differenza d’vna parte cente$ima della linea minore B, perche
que$ta è minor differenza, che vna cente$ima della maggio-
re C, perche le parti hanno la proportione de’ Moltiplici, e
de gl’Intieri (per la 15, del 5.) e così c’acco$taremo p<007>ù al
vero. Tale dunque $arà l’aperatione. La linea minore B,
s’applichi nello Stromento al 100. Poì la fte$$a B $i caui dalla
maggiore C, quante volte $i può, e $iano per e$$empio trè
volte; $i che re$ta vna parte della C, minore della data B; e $ia
que$to re$tante IO. Onde di quali parti 100 è B, di tali 300
è CI. Pre$a dunque col Compa$$o la IO, & applicata allo
Stromento, trouo che è maggiore, che la di$tanza 14, 14 è
minore che trà 15. 15. Sì che dico, che B à C, hà la propor-
tione maggiore di 100 à 315, e minore di 100 à 314; poiche
Ora $e fi farà come 315 à 100, così 100 à 31 {235/315}; c come 314 à 100, così 100 à 31 {266/314}; $i vede chiaramente, che hab- biamo li due Con$eguenti maggior, e minore della propor- tione in termini più vicini trà di $e, che non erano prima 31, e 32, mettendo la linea maggiore C per 100: poiche ridotte le due frattioni allo $te$$o Denominatore 98910, il Numera- tore della prima $arà 73790, quello della $econda 83790. Eridotti tutti gl’Intieri alla denominatione commune troua- ta, $arà la linea C 9891000, e la linea B $arà maggiore di 3140000, e minore di 3150000; onde la differenza è di 10000 particelle di tutta la C; la qual differenza è minore, che la cente$ima parte della $te$$a C; poiche que$ta cente$i- ma è delle particelle di C 98910.
SIa data la linea AB A$$e maggiore, ela linea C A$$e mi-
nore d’ vn’Ellip$i, e $i voglia de$criuere l’Ouato, di
cui $ono A$$i. Primieramente per la Que$t. 5. antecedente
$i troui in numeri la loro proportione, e $ia per e$empio come
di 5 à 3. Dipoi circa AB come diametro $i de$criua vn circo-
lo: e dal punto e$tremo A $i prendano di quà, e di là archi
vguali ad arbitrio AS, AR; AD, AF; AH, AI &c. e con
linee rette congionti li punti vgualmente di$tanti dall’e$tre-
Mettan$i dunque cia$- cuna delle applicate nel circolo ad vn numero della linea Aritmetica, che habbia vn’altro nu- mero, à cui ella $ia come 5 à 3, come $aria 50, 50; e 30, 30: perche il $econ- do interuallo 30, 30, darà l’Applicata dell’Ellip$i: Così OR ad OV; MF ad MN; PI à PQ, e così $u$$eguentemente, $aranno come 5 à 3, e pigliara$$i ad OV vguale OG, & à MN vguale MK &c. perche la linea tirata per li punti Q, N, V, A, G, K, &c. $arà Elliptica.
Ciò $i demo$tra, perche nell’ Ellip$i i Quadrati delle Ap-
plicate hanno la proportione delli rettangoli fatti dalli $eg-
menti del diametro, à cui $ono Applicate: e nel circolo i
Quadrati delle perpendicolari OR, MF $ono vguali alli ret-
tangoli AOB, AMB fatti dalli $te$$i $egmenti: dunque co-
me il Quadrato di OV al Quadrato di MN, così il Quadra-
to di OR al Quadrato di MF. Dunque per la 22. del 6. co-
me OV ad MN, così OR ad MF, e permutando come OV
SE bene ciò appari$ce a$$ai chiaramente da ciò, che s’è
detto nella que$tione 4.ad ogni modo per maggior $pie-
Tiri$i dunque in vn piano à parte la linea IN indefinita, e dal puuto I $i tiri vn’altra linea parimenti indefinita, mà che faccia in I l’angolo vguale all’angolo CMH, che è il minore delli due o$$eruati. Dipoi nella IN pigli$i il punto O arbi- trariamente, e $i faccia in O vn’altr’angolo vguale all’ angolo BMH, che è il maggiore delli due o$$eruati. Et in tal manie- ra IO rappre$enta la di$tanza delli due luoghi dell’ o$$erua- tione; ele due linee OA, IA, che s’incontrano in A, rappre- $entano li due raggivi$uali, che $i terminano nella cima della Torre. E che s’incontrino in A, è manife$to, perche li due angoli AOI, AON $on vguali à due retti (per la 13. del lib. 1.) l’angolo AIO è minore dell’angolo AON, per la con. $truttione, dunque li due AIO, AOI $on minori di due retti; dunque quelle due linee $on conuergenti, e da quella parte s’incontrano; e ciò $i fà in A. Se dunque dal punto A, $opra la linea IN parallela all’Orizonte, $i tirarà la perpendicola- re AN, que$ta $arà l’altezza della Torre $opra l’altezza dell’ occhio dell’o$$eruatore, la quale ponendo$i IS, ò la $ua vgua- le OR, $arà tutta l’altezza della Tore AL, e la $ua di$tanza $arà ON, cioè RL.
Ora portando $opra dello Stromento la linea IO come
100, trouo per la que$tione precedente, che AN è 374, &
ON 328. Sì che e$$endo nota la di$tanza de’ due luoghi dell’
o$$eruationi per cagion d’e$$empio di pa$$i 18, trouo, che $e
Di quì è manife$to, che dato qualunque triangolo, $i può trouare la proportione de’$uoi lati; e $e vno di que$ti è cono- $ciuto in mi$ura determinata, $i verrà anche in cognitione del- la quantità de gl’altri due lati nella $te$$a mi$ura.
SIa l’occhio O, il punto della vi$ta C, in di$tanza di piedi
10 {1/2}; l’altezza dell’occhio OB piedi 6; à cuiè vguale
Prenda$i DC, e $i metta $ul Compa$$o di Proportione al numero corri$pondente alla di$tanza dell’ oggetto dall’ oc- chio; e poi al numero corri$pondente alla di$tanza dell’oc- chio dal Quadro, $i trouera quanto $otto al punto della vi$ta C $i debba tirare la cercata parallela. Sia la di$tanza dell’og- getto BA piedi 28 {1/2}, & OC piedi 10 {1/2}. Metto la DC all’in- teruallo 57, 57: e pre$o l’interuallo 21, 21. mi viene CE, per cu $i tirarà la parallela EF. La ragione per la $omiglian- za de’ triangoli ADE, OCE è manife$ta, perche come AD à OC, così DE à EC, e componendo come AD <028> OC(cioè AB) à OC, così DC à CE.
Prenda$i la CE, e $i metta al numero dell’altezza dell’oc- chio $opra l’Orizonte; & al numero della di$tanza dell’ogget- to dal mezzo, $i hauerà l’interuallo douuto nella parallela tro- uata. Sia dunque data la di$tanza di piedi 5.3′, come $aria DG. Perche CD è 6 piedi, intenda$i 60′. Dunque CE po- $ta al 60. 60, l’interuallo 53.53 darà EI. ($e CE è troppo piccola, prenda$i il triplo, e poi della linea trouata $i prenda la terza parte, e $arà la EI). La ragione è, perche come CD à DG, così CE à El.
Sia il punto I il luogo nel piano della Per$pettiua: l’altez-
Di qua $i vede quanto facile $arà trouare le conuer$e di que$te trè propo$itioni. Primo, $e $i farà come CE à CD, così OC à BA, s’haurà la di$tanza dell’oggetto. Secondo, $e come CE à EI, così CD à DS, s’haurà la di$tanza dall’a$se vi$uale. Terzo, $e come EI à IT, così CO à BS, s’haurà di quanta altezza perpendicolare $ia l’oggetto vi$to in IT.
QVe$ta prattica veramente non può riu$cire tanto preci- $a per ragione de’ Rotti, mà per gl’Intieri appari$ce facili$$ima, e pre$ta. Si pigli dal centro A dello Stromento con vn Compa$$o la di$tanza $in al punto corri- $pondente al $econdo numero delli trè dati (ò per parlare più vniuer$almente, corri$pondente al numero, che è il Con$e- guentetrà li dati) & à que$ta di$tanza s’allarghilo Stromen- to, applicandola al punto corri$pondente al numero, che è Primo Antecedente della Proportione: perche all’incontro del punto, che corri$ponde al Terzo numero, ò al Secondo Antecedente, $i prenderà la di$tanza nello Stromento; e que$ta applieata dal Centro A $opra la linea dello Stromento mo$trerà il Quarto numero cercato.
Sia per cagion d’e$$empio, ch’io habbia comprato 54 braccia di panno per 36 zecchini; & vn’amico ne vorrebbe hauere 2 I braccia; Quanto hà egli à pagare per $ua parte? Piglio col Compa$$o nello Stromento dal centro $in al pun- to 36; que$ta di$tanza applico al 54. 54. E ritenendo que$ta apertura piglio la di$tanza 21.21. Que$ta traporto dal cen- tro dello Strumento sù la linea, e vedendo che cade $ul pun- to 14, dico al mio amico, toccali per $ua parte à pagare 14 zecchini.
La dimo$tratione di ciò è manife$ta, perche $e di quali par-
ti 54 è AE, ditali 36 s’è pre$a EL, dell’i$te$$a mi$ura hauen-
E perche i’e$$empio po$to è della regola, diretta, mettiamone vn’altro dell’@uer$a. Hò vna la$tra d’argento lunga piedi 2 {1/2}, elarga oncie 7: Vorei che l’orefice ne face$$e vna della $te$$a gro$$ezza, mà larga oncie 10; Quanto dourà e$$er longa? Quì è certo, che il Primo Antecedente deue e$$ere que$to numero, che è po$to nelterzo luogo, cioè il 10; ela proportione ordinata $arà come 10 à 7, così 30 (poiche piedi 2 {1/2} $ono oncie 30) ad vn’altro. Pre$a dal centro la di- $tanza $in al punto 7 la colloco trà 10.10, e ritenuta la $te$$a apertura dello Stromento, prendo la di$tanzatrà 30. 30; e que$ta di$tanza applicata alla linea dal centro, trouo, che ca- de nel punto 21; e così dico, che la lunghezza cercata dourà e$$ere di oncie 21. Così d’vno $quadrone di$oldati, che hà 60 di fronte, e 25 di fianco, volendo metterne 40 di fianco, $i cerca, quanti $ariano di fronte: la proportione ordinata $arà come 40 à 25, così 60, ad vn’ altro, & operando, come s’è detto, $i trouarà venire 37 difronte: vero è che ne auan- zeranno 20: e perciò $itrouerà che la punta del Compa$$o caderà tra’l 37, e 38.
Potrebbe occorrere, che li numeri fo$$er ò troppo grandi,
ò troppo piccioli, $i che ò non $i troua$$ero per la $ua gran-
dezza nella linea $egnata dello Stromento, che $ol arriua al
Ioo, ò non $i pote$$ero commodamente applicar all’apef-
tura dello Stromento per la $ua picciolezza. Se fo$$ero trop-
Primo delli trè numeri dati $e $olo il Secondo Antecedente della Proportione è maggiore di 100, $i prenda la $ua metà, ò il terzo, e poi il numero trouato $i raddoppij, ò $i triplichi, e s’haurà il quarto numero cercato. Per e$$empo, 24 per$one in vn tal tempo con$umano 30 $acchi di farina: in tempo vguale 120 per$one quanta ne con$umeranno? La di$tanza del centro $in à 30, applica$i trà 24. 24; e perche 120 non fi troua nella linea, prendo la $ua metà 60, ela di$tanza 60, 60, applicata alla linea, trouo e$$er 75; dunque que$ta rad- doppiata, dico richieder$i 150 $acchi di farina per 120 per$one.
Secondo, $e $olo il Primo Antecedente, ò $olo il Primo Con$eguente, ò ambidue, ò l’vn, e l’altro Antecedente $ono maggiori di 100; l’vno, el’Altro Antecedente, ò li primi An- recedente, e Con$eguente, $imilmente $i diuidano, e con quel- le parti s’operi, come quelle fo$$ero li termini dati. In vn capitale di $cudi 2000 s’è fatta perdita di $cudi 1120; io che cihaueuo per mia parte 75 $cudi, quanto vengo à perdere? Perche li due priminumeri $on troppo grandi, leuo à cia$cuno vn zero, e re$tano le loro decime parti 200, e 112: e perche que$tiancora $on troppo grandi, li diuido per metà, e $ono le lor vente$ime parti 100, e 56. Prendo dunque dal centro al punto 56, e l’applico tra 100.100: poi trà 75.75 prendo la di$tanza, & applicata alla linea dello Stromento, trouo ch’el- la è 42; e perciò dico e$$er la perdita, che mi tocca di 42 $cudi.
Terzo, $e tutti trè li numeri dati $ono maggiori di 100, conuien diuiderli tuttitrè: E ciò $i può far ò diuidendoli $imil, mente, come $e 200 dà 150, che darà 160? perche, tutti di- ui$i per metà, dico, $e 100 dà 75, che darà 80? & applicati li 75 tra 100. 100, la di$tanza 80. 80, mi darà 60, e que$to raddoppiato fà 120, che è quello che $i cerca: Ouero $i pon- no diuidere $imilmente $olamente due, cioè ò li due Antece- denti, ò il Primo Antecedente col $uo Con$eguente, e di quell’altro numero che re$ta, prenderne quella parte che più piacerà; poiche quello, che $i trouarà, $arà parte $imile del Quarto, che $i cerca. Così $tando nello $te$$o e$$empio, $e 200 dà 150, che darà 160? Piglio la metà del primo, e del $econdo 100 è 75, e del terzo 160 piglio la quarta parte 40, & opro come prima, pigliando vltimamente la di$tanza trà 40, 40, e mi viene 30, il quale quadruplicato mi dà 120: ouero delli due Antecedenti propo$ti 200, e 160. piglio la metà 100, e 80, e del primo con$eguente 150 piglio la terza parte 50, & oprando, come s’è più volte detto, trouo 40, il qual’è la terza parte del numero cercato, cioè di 120.
La ragione di que$to modo d’operare $tà fondato nella 15,
& 11 del lib. 5. d’Euclide, cioè, che le parti hanno le propor-
tioni de’ $uoi intieri, ele proportioni $imili ad vna $te$$a pro-
portione $ono $imili trà di loro. E perciò $e $ia come A al B,
così C al D, e$$endo {1/2} A al {1/2} B, come A al B, anche $arà co-
me {1/2} A al {1/2} B, così C al D, e$$endo come C al D, così {1/3} C al {1/3}
D $arà per con$eguenza, come {1/2} A al {1/2} B, così {1/3} C al {1/3} D.
E perche $e come A al B, così C al D, vale anche permutan-
do, come A al C, così B al D, ne $eguirà con l’i$te$$o di$cor$o,
che come {1/2} A al {1/3} C, così {1/2} B al {1/3} D. Et in tal modo è manife-
$ta la ragione delle $opraccennate operationi. E quello, che
Quarto, $e $olo il $econdo Antecedente $arà troppo picco- lo, ba$terà raddoppiarlo, ò triplicarlo, e $eruir$i di que$to, co- me $e fo$$e il vero Antecedente, perche del numero, che $i tro- uerà, dourà pigliar$i la metà, ò il terzo, per hauer il numero, che $i cerca. Per e$$empio. V na fontana, che getta l’acqua fempre vniformemente, hà riempito vn va$o capace di 54 botti d’acqua in 23.ore, quant’ore ci vogliono per empir vno capace di $ol 7 botti? Piglio dal centro $in al punto 23. e que$ta di$tanza applico all interuallo 54. 54. Dipoi perche 7.7. è troppo vicino, piglio la di$tanza 14. 14. e que$ta ap- plicata dal centro cade $ul punto 6; onde perche il 7 $i rad- doppiò, prendo la metà di 6, e dico; che in 3 ore s’em pirà il va$o capace di $ol 7 botti. E’vero, che ciè qualche differen- za, e non $ono preci$amente 3 ore, mà $olo 2 {53/54}, il che nell’ operatione, c’habbiamo per la mano, non è da con$iderar$i.
Quinto, mà $e $olo il Primo Antecedente, ò $olo il Primo Con$eguente, ò ambidue, ò l’vn, el’altro Antecedente fo$$ero troppo piccioli, tutti due gl’Antecedenti, ò li Primi Antece- dente, e Con$eguente, $imilmente $i moltiplichino, raddop- pino, ò triplichino, e s’opri, come $e que$ti fo$$ero li numeri dati, perche ne verrà il numero cercato. Così s’io dico 7 mi dà 10, che midarà 3? raddoppio il 7, & il 3, come troppo piccioli, & opro, come $e cerca$$i, 14 midà 10, che mi darà 6? e trouo, ch’è vn poco più di 4.
Se$to, $e tutti trè li numeri dati $ono troppo piccioli, òtut. ti $i moltiplichino vgualmente, & il numero, che $itrouerà dourà diuider$i per il moltiplicatorepre$o, come $e tutti $i raddoppiarono, $i deue prendere la metà del trouato, per ha- uer quello, che $i cercaua, come è mani$e$to. Ouero due, cioè ò li due Antecedenti, ò li due Primi termini $i ponno moltiplicare $imilmente, e l’altro numero moltiplicar altri- menti, perche quel che $i trouerà, $i dourà diuidere per il nu- mero, che moltiplicò que$t’ vltimo. Per e$$empio: d’vn drappo alto cinque quarte il Sarto me ne fece prendere brac- cia 7 {1/2}, ora per far vna $imil ve$te d’vn drappo alto $ol 3 quarte, quante braccia hò à comprarne? E’certo, che quì è la proportione euer$a, cioè che le altezze, e le lunghezze $o- no reciprocamente proportionali, e come la $econda altezza alla prima aitezza, così la prima lunghezza alla $econda lun- ghezza, che $i cerca: Sidice dunque, come 3 al 5, così 7 {1/2} ad vn altro: quadruplico il 3, & il 7 {1/2}, e$ono 12, e 30; duplico il 5, & è 10. Oprodunque con que$titrè numeri 12, 10, 30; e pre$adal centro la d<007>$tanza $in al punto 10, l’applico al 12. 12; e pre$o l’interuallo 30. 30, trouo e$$ere 25. Ora perche il 5 $olo $i duplicò, piglio la metà di 25, edico, che del $econ- do drappo me ne fan di me$tieri braccia 12 {1/2}. Eque$to $te$- $o haurei trouato, $e haue$$i duplicato rutti trè li numeri; per- che come 6 al 10, così 7 {1/2} al 12 {1/2}.
Mà perche $pe$$o occorre, che l’interuallo, che $i troua,
non cade preci$amente $ul punto $egnato da qualche numero
intiero, $i potrà trouare la frattione, & auuicinar$i più al ve-
ro in que$to modo. Si prenda dal centro dello $tro mento con
vn’altro Compa$$o la di$tanza $in’al punto pro$$imamente
maggiore, & il numero dital punto $i moltiplichi, quanto $i
La ragione di que$ta operatione è, perche quelle 20 par-
ticelle applicate al 100. 100, vengono come ad e$$ere diui$e
in 100 parti, cioè cia$cuna ne’$uoi quinti; ora $e di quali 100
parti $ono le 20, ditali 97 $ono quell’altre, è manife$to; che à
que$te mancano {3/5} per arriuar à 20, ecosì $ono 19 {2/5}. Mà $e
la di$tanza prima trouata fo$$e $tata maggiore di 24, e dal
centro $in à 25 $i fo$$e applicata al 100. 100, la frattione $a-
ria di Quarti, e cadendo la di$tanza trouata $ul 97. 97, $aria
For$i riu$cirà ad alcuno più facile que$t’altro modo. Quan- dola mi$ura trouata, e dalcentro applicata $ula linea dello Stromento non cade in vn punto intiero, pigli$i con vn’altro Compa$$o la mi$ura $in al punto pro$$imamente minore: & il numero di tal punto moltiplicato, sì che non arriui à 100, s’a- pra lo Stromento, & al punto, che corti$ponde al numero moltiplicato, s’applichi la lunghezza pre$a col $econdo Com- pa$$o; poi applicatala mi$ura, che dà il primo Compa$$o, il numero de’ punti, ehe eccedono quel moltiplicato, $arà il Numeratore della frattione, il cui Denominatore è quel che fù il Moltiplicatore. Sia la mi$ura trouata maggiore di 17: Prendo con vn’altro Compa$$o dal centro $inal punto 17; e que$ta di$tanza applico al numero 68. 68, quadruplo del 17: e perciò la frattione haurà il 4 per Denominatore: applicata poi quella mi$ura trouata maggiore di 17, trouo che capi$ce al 71. 71: e perciò dico, che e$$endo l’ecce$$o di 3 punti, la frattione $arà {3/4}, ecosì il numero, che $i cercaua è 17 {3/4}.
Laragione di que$to modo d’operare è, perche in quell’- applicatione al numero quadruplo vengono le 17 vnità ad e$$er diui$e in tutt<007> <007> $uoi Quarti, che $ono 68; dunque $e la mi$ur a trouata hà di tali Quarti 71, $arà il $uo numero 17 {3/4}.
Auuerta$i quì, che può occorrere, che la mi$ura tolta col
primo Compa$$o non po$$a applicar$i preci$amente a due
punti $imili, come 71, e 71; ma $olo a 71, e 72; & in tal ca$o
è$egno, che è più di trè quarti: e $e cade così preci$amente
$u due punti 71, e 72, $i può prendere per vna metà; $e ca-
de$$e $ul 71, & alla metà del 72, $i potria prendere per vn
Quarto. Ora mettiamo, che cada $u li 71. 72; e così oltre
E per non la$ciare di $piegare anche meglio l’v$o di que$to Stromento, per trouare con più preci$ione le frattioni aggiun- te agl’intieri, $enza obligarcia prendere li numeri moltiplici, ma$$ime, che bene $pe$$o appena $i ponno raddoppiare, ò tri- plicare; perciò aggiungerò anche que$to modo d’operare. Pre$o dunque, come $i di$$e, con vn $econdo Compa$$o dal centro $in al numero pro$$imamente minore, s’apra lo Stro- mento, e que$ta di$tanza s’applichi a quell’interuallo, che più piace, in maniera però, che poila di$tãza, che dà l’altro Com- pa$$o po$$a capire almeno tra 100. 100; & il numero dital interuallo $arà il Denominatore della frattione. Di poi rite- nuta l’a pertura mede$ima dello Stromento, $i vegga in qual interuallo capi$ca la prima mi$ura. Il numero de’ punti, che que$to $econdo interuallo è di$tante dal primo già co$tituito, $i moltiplichi per l’Intiero nu mero, che $i pre$e pro$$imamen- ce minore; e ciò per la molti plicatione $i produce, $arà il Nu- meratore della frattione.
Sia la mi$ura trouata maggiore di 6, ma minore di 7. Pren- do dal centro $in al 6, e que$ta di$tanza applico ad arbitrio ad wn numero, per e$$empio al 50. 50:e perciò le parti della frat- tione $aranno cinquante$ime. Quindi applicata la mi$ura trouata, veggo che cade $ul 53, 53. Dunque pre$o l’ecce$$o 3, lo moltiplico per il numero intiero 6, e $i fà 18, per nu- meratoredella frattione; e perciò dico, che la mi$ura trouata dà il nu mero cercato 6 {18/50}.
La dimo$tratione di que$ta operatione $i vede dalla figura
pre$ente doue BC è parallela alla DE, e prendendo$i BF
Di quì $i vede, che $e le due mi$ure pre$e co’due Compa$$i, come s’è detto, cade$$ero in tal apertura dello Stromento, che non fo$$ero di$tanti, che vn punto $olo, il Numeratore della frattione $arà il numero intiero pre$o. Come per e$$empio, $e il numero è 27, & è applicato all’interuallo 43. 43, e l’altra mi$ura cade $ul 44. 44, diremo, che il numero cercato è 27 {27/44}. Laragione è, perche l’vnità moltiplicando il 27 non lo muta.
Finalmente s’auuerta in que$to modo, che $e la di$tanza EC fo$$e di molti punti, & il numero DE fo$$e così grande, che riu$ci$$e difficile moltiplicarlo per EC così alla mente, $i dourà applicare la DE più vicina al centro A, che così la BC riu$cirà più vicina alla DE, & EC $arà numero minore.
In vn’altra maniera potiamo $eruirci di que$to stromento
per trouar il quarto numero proportionale $enza applicar i
Que$to modo d’operare mo$tra vna grandi$$ima facilità per
$ciogliere le que$tioni appartenenti al moltiplico de’capitali,
quando corrono intere$$i $opra intere$$i, cioè che il frutto di
cia$cun anno a capo d’anno s’accre$ce al capitale: il che $i fà,
e$$endo noto, quanto per cento $ia il frutto, perche $e il 100
guadagna nel primo anno per e$$empio 4. $arà il capitale del
$econdo anno 104; e così bi$ogna dire, $e 100 a capo del pri-
mo anno dà 104, che co$a darà 104 a capo del $econdo anno?
e $i troua, che dà 108 {16/100}. E poi $eguitando all’ i$te$$o modo
a replicare la regola del Trè, $e 100 dà 104, che co$a darà
108 {16/100} a capo del terzo anno? tante volte $i replicherà, quan-
ti $on gl’anni, che $i la$cia il denaro a moltiplico. Il che, co-
me $i vede, porta tempo, e fatica nel calcolo. Ma $e le linee
Aritmetiche dello Stromento $ono accuratamente diui$e,
Sapendo$i quanto per cento $i guadagna, prenda$i la metà del 100, che è 50, ela metà del frutto annuo: & aperto lo Stromento ad arbitrio, prenda$i l’interuallo 50. 50, ma con- $erui$i il compa$lo così aperto, come $i pre$e que$ta prima mi$ura, ouero $i tiri vna linea vguale à tal’apertura, per hauer- ne memoria, ouero $i prenda que$ta prima lunghezza vguale ad vn numero determinato di punti pre$i $ul lato dello Stro- mento; e poi con vn’altro Compa$$o ($e per altro in vno de’ modi detti non $i con$erua$$e memoria della prima larghez- za) e$$endo ancora lo Stromento allargato come prima, $i prenda l’interuallo corri$pondente alla metà del capitale, e del frutto; e così $e il frutto è 4 per 100, prenda$i 52. 52, $e fo$$e 6 per 100, prenda$i 53. 53; e così de gl’altri. Que$ta larghezza vltima di Compa$$o per il $econdo anno, di nuouo s’applichi al 50. 50, allargando lo Stromento, e di nuouo $i prenda il 52. 52, $e fù alli 4, ouero il 53. 53, $e fù alli 6 per 100. Di nuouo que$t’vltima lunghezza per ilterzo anno s’ap- plichi al 50. 50, con allargare lo Stromento, & al 52. 52 s’ha- urà la lunghezza conueniente al terzo anno; e così tante vol- te, quanti $on gl’anni, che $i la$cia a moltiplico. Finalmente $i paragoni la prima larghezza, che fù pre$a da principio con que$t’vltima trouata; ela proportione di quella prima a que$t’vltima è la proportione del capitale me$$o da principio allo $te$$o accre$ciuto d’anno in anno, con i frutti, che diuen- tarono capitale. Così $e furono alli 4 per 100, troueremo che li 100 in capo a dieci anni diuentano 148 {1/4} qua$i, cioè vn poco più d’vn quinto: Onde dico, $e in dieci anni 100 mi danno 148 {1/4}, nello $te$$o tempo vn capitale di dieci mila $cudi diuerrà 148 25.
In altra maniera $i può operare ritenendo $empre la me- de$ima apertura dello Stromento, ma prendendo nel $uo lato inumeri. Per e$$empio $ia al 4 per 100: prenda$i dal centro A $in al 52 la di$tanza, e que$ta $i metta tra 50, 50, e que$ta è l’apertura dello Stromento $enza mutarla. Ora prenda$i la metà del numero del capitale, e $e è troppo grande, pren- da$i vna parte aliquota di e$$o; come $e fo$$e il capitale 300 Scudi, la $ua metà è 150, prenda$i 75, che è la 4. parte. E col compa$$o pre$o l’interuallo 75. 75, metta$i vna punta nel cen- tro, e $u li lati dello Stromento leggiermente $i $egni con l’al- tra punta; prenda$i que$to interuallo tra li $egni fatti, e di nuouo dal centro $i traporti, e $egni$u li lati; e ciò tante volte $i replichi, quanti $ono gli anni: così $e fo$$ero cinque anni, $i prendano cinque volte gl’interualli, e l’vltimo, cioè il quin- to interuallo traportato dal centro $ul lato dello Stromento, darà il numero cercato; e caderà pro$$imamente al punto 91. Si che 75 $cudi a capo di cinque anni danno 91 $cudi pro$$i- mamente; e perche 75 è la quarta parte di 300, diremo che 300 $cudi a capo di cinque anni $aranno pro$$imamente $cu- di 364. Di que$to modo d’operare la ragione è manife$ta, perche ritenuta $empre l’apertura mede$ima dello Stromento tutti <007> lati a gl’interualli $ono come 50 à 52, cioè 100 a 104; e perche gl’interualli $ucce$$iuamente $i traportano $u li lati, perciò $empre $i cõtinua la proportione i$te$$a di 100 a 104.
Che $e haue$$i curio$ità di prouarlo col calcolo, $e non
prenderai di volta in volta le frattioni pro$$ime alla vera
ora maggiori, ora minori, ma tutta la frattione intiera
(la quale è nel $econdo anno di cente$ime, nel terzo di dieci-
mille$ime, e così ogn’anno aggiungendo due zeri al denomi-
natore) trouerai nel decimo anno vna frattione, che haurà
Quindi volendo $i $a pere in quanto tempo raddoppiara$$i
il Capitale, $i piglia vna linea, & all’interuallo 50. 50, $ia appli-
cata tal linea, dipoinel modo detto, con$iderato il frutto an-
Dalle co$e dette $i raccoglie anche il modo per tramutar
tra di $e le $pecie delle monete, e$$endo cono$ciuto il lor valo-
re, riducendolo prima alla mede$ima $emplice denominatio-
ne; come $e il valore d’vna $pecie di moneta fo$$e compo$to
di lire, e $oldi, $i riduce il valor d’ambidue in $oldi, e così dell’
altre denominationi di valore, e quando fatta que$ta riduttio-
ne riu$ci$$ero i numeritroppo grandi, ba$terà prendere, di
ambidue l<007> numeri e$primenti il valore, vna mede$ima parte
aliquota. Per e$$em pio s’hanno a ridurre Ongari in Doppie;
e$$endo il valor dell’Ongaro 17 giulij, quello della Doppia
30 giulij, è manife$to, che 30 Ongari $ono 17 Doppie, per-
che l’i$te$$o numero $i produce prendendo$i trenta volte il
17, e prendendo$i dici$ette volte il 30. Dunque il numero de
gl’Ongari al numero delle Doppie $arà reciprocamente co-
me il valor della Doppia al valore dell’Ongaro. Perciò aper-
to ad arbitrio lo Stromento, prendo con vn compa$$o l’inter-
uallo 30. 30, e con vn’altro compa$$o l’interuallo 17. 17.
Po$cia per ridurre vn numero d’Ongari in Doppie, applico
il primo compa$$o all’interuallo corri$pondente al numero
dato de gl’Ongari, & il $econdo compa$$o con la $ua apertu-
ra caderà nel numero competente delle Doppie, ò $e $i fo$$e
pre$a vna parte aliquota del numero de gl’Ongari, s’haurà $i-
mile parte del numero delle Doppie. Così $e fo$$ero dati
180 Ongari, prendo la metà, che è 90, & applico l’apertura
del primo compa$$o all’interuallo 90. 90; & il $econdo com-
Che $e il valore è compo$to di diuer$e $pecie, come in Vene- tia lo Scudo è lire 9 $oldi 6, & il Zecchino nuouo lire 17, con- uien ri$oluer tutto in $oldi, $i che lo Scudo è $oldi 186, & il Zecchino $oldi 340, e perciò 340 Scudi $ono Zecchini 186, e nella $te$$a proportione $ono le parti aliquote $imili. Onde perche il 340, & il 186 $on troppo grandi, $i prende la lor quarta parte 85, e 46 {1/2}, come $e que$to fo$$e il valore (pi- gliando$i ade$$o non più il valor in $oldi, mà in gro$$etti, e$$en- done 85 gro$$etti in vn Zecchino, e 46 {1/2} in vno Scudo) e $i opera come di $opra.
Auuerta$i in que$te operationi e$$ere molto meglio, e più
$icuro, quando quella prima apertura dello Stromento arbi-
traria $i piglia a$$ai grande, perche poi nelle $eguenti opera-
tioni rie$ce maggior di$tintione, $enza pericolo di prender
vn’ intiero di più. Vero è che que$ta operatione, come mec-
canica, non darà la preci$ione della frattione aderente a gl’in-
tieri, mà que$ta poi $i troua, e$$endo a$$ai hauer $ubito notitia
de gl’intieri con qualche facilità. Come nel propo$to e$$em-
E que$to che s’è detto della tra$mutatione delle monete tra diloro, $i deue intendere di tutte l’altre mi$ure, ò $iano dell’i$te$$o pae$e con diuer$e denominationi, o $iano di pae$i diuer$i con l’i$te$$a denominatione sì, ma con grandezze di. uer$e; perche hauuta$i la loro proportione, $i tramutano con proportione reciproca. Così perche lo $tadio Romano è pa$$i 125, & il miglio pa$$i 1000, mille $tadij Romani $ono 125 miglia Romane: e perche lo $tadio Greco era di piedi antichi Romani 600, elo $tadio Ale$$andrino di piedi 720, è manife$to, che 600 $tadij Ale$$andrini erano 720 $tadij Gre- ci: Onde $i vede correr quì la $te$$a operatione, che s’è detta per la tra$mutatione delle monete.
Ma for$i troppo lungamente ci $iamo fermati in mo$trare que$to v$o dello Stromento di Proportione nella Regola del Trè, per de$iderio d’e$$er meglio inte$i dalli principianti: i quali dalle co$e quì dette, potranno raccogliere ciò che deb- ba far$i in ca$i $imili.
QVe$ta que$tione in $o$tanza non è di$ferente da quello, che s’è detto nella prima, e $econda que$tione di que- $to capo $econdo, ad ogni modo per facilità mag- giore di chi non fo$$e così prattico, ò non haue$$e così ben compre$o, ciò che iui s’è detto, $i con$idera quì la prattica di trouare vna linea, che contenga vn determinato numero di minute particelle d’vna linea data.
E quì conuien o$$eruare, che $e bene la linea dello Stro- mento non è attualmente diui$a, che in 100 parti vguali, ad ogni modo e$s\~edo all’occhio a$$ai manife$ta la metà di cia$cu- na dique$te cente$ime, vien ad e$$ere virtualmente $egnata in 200 parti. Quindi è, che $e d’vna linea applicata all’interuallo 100. 100. vole$$i hauere {157/200}, ba$ta ch’io cerchi l’interuallo 78 {1/2}. 78 {1/2}, perche cia$cuna parte delle $egnate nello Stro- mento vale per due. Così d’vna linea data $e bramo hauere {141/153} diui$o per metà li 153, viene 76 {1/2}, & a que$to interuallo 76 {1/2}. 76 {1/2} applicata la linea data, l’interuallo del numero, che è la metà del 141, cioè 70 {1/2}. 70 {1/2}, mi darà la parte che $arà {141/153} della linea data.
Mà $e vole$$i, che tali particelle non fo$$ero leuate, ma
aggiunte ad vna linea vguale, ò moltiplice alla data; $e bene
ba$terebbe tirar vna linea indefinita, e da quella leuar vna
parte vguale, ò moltiplice alla data linea, & a que$ta parte
leuata aggiungere le $udette particelle; ad ogni modo alle
Per e$$empio è data la linea H, e ne vor- rei vna, che della detta linea fo$$e 1 {71/100}. Perche 100 è il denominatore delle particel- le, applico la linea H all’interuallo 50. 50. Dipoi intendo quell’ altra linea nella parte vguale alla H diui$a in 100 particelle; e perciò tutta $ara {171/100} della H. Dunque la metà di 171, cioè l’interuallo 85 {1/2}. 85 {1/2}, mi darà nell’inde- finita MN la parte MX, che $arà 1 {71/100} della li- nea H. Che $e haue$$i voluto vna linea, che di detta linea H fo$$e 4 {71/100}; haurei in vna linea pre$o trè vol- te la lunghezza della H, & a que$te haurei aggiunta que$ta trouata MX; etutta la linea compo$ta $aria $tata quella, che $i cercaua.
E que$to che s’è detto delle parti cente$ime, s’intende,
quando la linea data non è così grande, che $e ne po$$a pren-
Nella $te$$a maniera $e la linea data fo$$e così lunga, che la
$ua decima parte pote$$e commodamente applicar$i all’iter-
uallo 50. 50, commodi$$imamente $i trouerà vn’altra linea in
proportione $uperpartiente di mille$ime; perche e$$endo vna
decima della linea applicata al 50.50, s’intende detta Deci-
ma diui$a in 100; e così tutta la linea in 1000. Onde ogni me-
tà de’punti$egnati nello Stromento, valendo vna cente$ima
della Decima, vien ad e$$er {1/1000} della linea intiera. Quindi $e
della linea data, la cui Decima s’è applicata all’interuallo 50.
50, vorrò vn’altra linea, che $ia 1 {96/1000}, prendo il numeratore,
come $e fo$$e 196, e la $ua metâ 98 applico all’interuallo 98.
98, e que$ta lunghezza aggiungo à noue decime di tutta la
linea, poiche ne pre$i vna da principio. E generalmente in
que$to metodo d’operare, tutto il numero $i butti in mille$i-
POiche que$te co$e non $i $criuono per huomini dotti,
conuien ricordar à quelli, che $ono men’e$perti, che fi-
gure $imili $on quelle, che tra di loro hanno gl’angoli vguali
(a benche gl’angoli di cia$cuna $iano tra di $e di$uguali) & i
lati, che fanno gl’angoli in vna, $ono proportionali alli lati,
che fanno gl’angoli vguali nell’altra figura; come le defini$ce
Euclide nel principio del libro 6, & ilati, che nell’vna, e l’altra
figura $i corri$pondono, $i chiamano _Lati Homologi_. In oltre
(come $i dimo$tra nella 19. e 20. del lib. 6.) così li triangoli,
come l’altre figure poligone $imili, hanno trà di loro la pro-
portione duplicata, della proportione, che $i troua trà li lati
Homologi; cioè continuando la proportione de’$udetti lati,
come il primo termine al terzo, così le figure trà di loro. On-
de $e per cagion d’e$$empio vn lato è la metà dell’altro, con-
uien continuare la proportione di 1 a 2, con vn terzo termi-
ne, e$arà 4; e così la proportione di quelle due $uperficie
Ora $icome nelli numeri, quando $on trè minimi numeri continuamente proportionali, li due e$tremi $ono numeri quadrati, per il primo corollario della prop. 2. del lib. 8. e li numeri piani $imili hanno la proportione duplicata della pro- portione de’lati Homologi, per la 18. del lib. 8. onde ne $ie- gue, che li numeri piani $imili hanno trà diloro la proportio- ne de’Numeri Quadrati de’lati Homologi; Così parimenti le $uperficie piane $imili, hauendo la proportione duplicata de’ lati Homologi, la qual proportione i$te$$a $i troua trà li qua- drati de’$udetti lati Homologi, $i dicono hauere trà di loro la proportione delli quadrati de’lati homologi; E$e ben $i potria dire, che dette $uperficie $imili hanno la proportione de’trian- goli $imili, e $imilmente po$ti $opra li detti lati Homologi; ad ogni modo per e$$er grande la varietà de’triangoli $imili, che $opra detti lati $i ponno intendere, perciò $i dice più to$to, che hanno la proportione de’quadrati di detti lati, poiche per la vguaglianza de gl’angoli, e de’lati, che è nel quadrato, dato vn lato, e cono$ciuto tutto il quadrato.
Quindi è, che per cono$cere qual proportione habbiano
due figure $imili, ba$ta cono$cere qual proportione habbiano
li quadrati de’loro lati Homolgi. E per il contrario cono$ciu-
ta la proportione de’quadrati, $i manife$tarà quella de’lati, la
qual è $ubduplicata di quella de’quadrati. Onde $e $aranno
date due linee, e $i de$iderino due quadrati nella proportio-
ne di dette due linee; conuien trouar trà quelle vna media
proportionale, & i quadrati della prima, e della $econda han-
no la proportione della prima alla terza: e ciò che de’quadra-
Per venir dunque all’atto di $egnar, e diuidere lo Stro- mento per $eruircene nelle $uperficie piane, $itiri dal centro A, vna linea retta AZ; & vn’altra vguale A S: le quali nonè nece$$ario $egnare $in ad A, ma ba$terà, che comincino à ve- der$i in F, e G; in maniera tale però, che la di$tanza A F $ia capace di 15 diui$ioni, ca$o ch’ella fo$$e {1/2} di tutta la AZ; di che $i vedrà la ragione poco appre$$o.
Di poi la di$tanza A F dal punto F $i vada replicando nel- la linea A Z, in maniera, ch’ella venga diui$a in parti vguali; che quì non ponno commodamente e$$ere più di 8. Mà per far più diui$ioni conuerrebbe, che lo Stromento fo$$e più lun- go. Eciò che $i dice della linea A Z, $i faccia anche nella A S, $enza che habbiamo più di me$tieri diricordarlo. Alli punti notati $i $criuano li numeri quadrati, intendendo$i nel punto F 1, e cosìne gl’altri, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, i quali $ono li numeri quadrati di 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, conforme, che A 4 è dupla di A F, & A 9 è tripla della $te$$a A F, e così dell’altre. E più volontieri da me $i notano le diui$ioni di tal linea con li $o pradetti numeri quadrati, acciò quelli $te$$i manife$ti- no l’v$o dital Linea e$lere per le figure piane. La ragione poi di notare tali numeri è, perche e$$endo A 4 doppia di A F, il quadrato di A 4 è quadruplo del quadrato di AF: e perche A 9 è tripla di AF, il$uo quadrato è noncuplo, ecosì de gl’altri.
Volendo$i dunque notare $u la linea AZ ilati de’quadrati, che vanno cre$cendo $econdo l’ordine naturale de’numeri, $i vede che e$$endo dall’vnità al 4 la di$ferenza 3, e dal 4 al 9 la differenza 5, dal 9 al 16 la differenza 7, e così di mano in mano aggiungendo li numeri di$pari, nece$$ariamente ne $ie gue, che delle $ette parti della linea F 64 la prima $i diuide in trè, la $econda in cinque, la terza in $ette, la quarta in noue, la quintain vndici, la $e$ta in tredeci, e la $ettima in quindeci. Perciò $i di$$e, che la di$tanza AG, ò AF, che $i piglia per il lato del primo Quadrato, douea e$$er tanto lunga, che fo$$e capace di 15 diui$ioni. Onde appari$ce, che volendo$i pro- $eguire oltre 64, conuerrebbe che lo Stromento fo$$e a$$ai più lungo, acciò la AF $i piglia$$e così grande, che vi $i pote$- $ero commodamente notare tutte le diui$ioni nece$$arie per l’vltima parte, le quali, come s’è accennato, vanno $empre cre$cendo di moltitudine, conforme cre$cono li numeri di$pa- ri. Quindi è, che riu$cendo que$te diui$ioni tra di loro di$u- guali, & in maniera, che la di$tanza dal centro A à cia$cun- punto non hà la proportione del numero, che gli corri$pon- de, cioè A 1 ad A 2, nonè come à 2, anzi più to$to A 2 è tra A 1, & il $uo duplo Media Proportionale di medietà Geo- metrica; perciò que$ta linea in tal modo diui$a può, e $uole da molti chiamar$i linea Geometrica, à differenza della pri- ma, che habbiamo chiamato Aritmetica nel Capo prece- dente.
Mà per fare nella linea AZ le diui$ioni per notar’i lati de’
Quadrati moltiplici del Quadrato di AF, $econdo l’ordine
naturale de’ numeri, è nece$$ario $opra vn piano (e $arà otti-
ma vna la$tra dirame ben pulita, poiche in e$$a appari$cono
facilmenteli $ottili$$imi $egni, che $i faranno colla punta del
Prenda$i dunque la di$tanza BC, e $i traporti in AD, e $arà A D il lato del Quadrato duplo del Quadrato di AC; come appari$ce dalla 47.dellib. 1. e$$endo vgualitra di$eilati AB, A C. Quindi pre$a la di$tanza BD $i tra$porti in AE, e que$to $arà illato del quadrato tripolo del quadrato di AC; perche il quadrato di BD, cioè di AE è vguale alli quadrati di DA, & AB, cioè à trè quadrati di AB, cioè di AC. E così $u$$e- guentemente pigliando la di$tanza B 4, e tra$portandola dal punto A, s’haurà il lato del quadrato quintuplo, & in tal ma- niera $i procederà in cia$cun punto, pigliando la di$tanza da quello al punto B, e traportandola sù la linea, che $i diuide.
E per non far molta fatica poco vtilmente, facendo diui-
$ioni non tanto aggiu$tate, $i potranno di tanto in tanto nel
progre$$o far alcune proue per vedere, $e le diui$ioni $on fate
giu$tamente. Ora perche A 4 è il doppio di AC, cioè AB,
pre$o$i da principio, ne $e ne può fi$icamente dubitare, pren-
deremo la di$tanza A 4, e po$to vn piede del compa$$o in B,
vedremo $e l’altro piede cade giu$tamente in E, e $arà $egno,
Trouati giu$ti que$ti punti e$$aminati, con e$$i $e ne po- tranno e$$aminare de gl’altri, ò anche da principio notare con $icurezza; perche $e AD replicata in H cade nel 8, repli- cata di nuouo darà il lato del qnadrato noncuplo di AD, cioè 18, e di nuouo replicata darà il lato del $edecuplo, cioè 32, e pre$a la quinta volta caderà nel termine del lato del Quadra- to, che contiene 25 volte il Quadrato di AD, cioè 50 volte il primo Quadrato di AC Così parimenti AE, che è 3 dupli- cata darà 12, triplicata darà 27, quadruplicata 48. Così A 5 duplicata darà 20, e triplicata 45. A 6 duplicata darà 24, e triplicata 54. A 7 duplicata darà 28, e triplicata darà 63. A 10 duplicata darà 40. A 11 duplicata darà 44, e così del- l’altre $in’à A 15, che duplicate darà 60.
Per e$$aminare poi gl’altri punti, $i prenda da vno di que$ti
già certi, e determinati la di$tanza $in’à B, e s’applichi in A,
Vn’altra maniera a$$ai facile per trouare ilati de’quadrati
$i hà colbene-
Prenda$i il lato del primo quadrato in vna commoda di-
$tanza dal centro dello $tromento; e $ia AF, la quale $ia ap-
plicata al $emicircolo dall’e$tre mità del diametro A, e dal
punto F $i tiri la perpendicolare FG, che prolongata in D ta-
gliarà il lato del rettangolo AC. Ora la di$tanza AG $i re-
plichi in H, I, K, &c. quante volte ci può capire; e $imilmen-
re la BD $i replichi in E, O, &c. le quali $ono vguali alle prime.
Tirate dunque le linee EH, OI, &c. $aranno tutte parallele
alla DG, e perciò perpendicolari al diametro AZ, e$ega-
ranno la circonferenza in S, T, V, X, Y. Dico che A Sè il lato
del quadrato duplo di AF, & AT è lato dd triplo, e così di
E che que$ti$ian’i lati che $i cercano, è manife$to dall’ 8. del 6. perche AF è media proportionale trà AZ, & AG, on- de per la 17 del 6 il quadrato di AF è vguale al rettangolo di A Z in AG. Similmente per la $te$$a ragione il quadrato di A S è vguale al rettangolo di AZ in AH: dunque li quadrati di AF, & AS, $ono come i rettangoli di AZ in AG, & AZ in A H. Mà perche que$ti rettangoli hanno la $te$$a altezza A Z, $ono per la prima del 6. come le ba$i AG, & AH, e di que$te la $econda è dupla della prima;dunque anche il rettan- golo di AZ, & AH, cioè il quadrato di AS è doppio del ret- tangolo di AZ in AG, cioè del quadrato di AF.
Così dimo$trara$$i il rettangolo di AZ in AI, cioè il qua- drato di _A_ T, e$ler triplo del rettangolo di _A_ C in _A_ G, cioè del quadrato di _A_ F, e$$endo che _A_ I è tripla di _A_ G. E così dituttigli altri. _A_uuerta$i però, che per hauer il $emicirco- lo preparato conforme all’intento, ba$terà $egnare nella cir- conferenza i punti doue $i taglia dalla regola applicata alli punti oppo$ti del rettangolo _A_ C, $enzatirare le linee paral- lele, ne meno le linee $uttendenti gli archi; perche ba$tarà prendere con il compa$$o le di$tanze _A_ F, _A_ S, _A_ T, &c. etra- portarle sù lo $tromento.
Fatte sù la la$tra dirame que$te diui$ioni (le quali fatte vna
volta per vno $tromento, $eruiranno all’_A_rtefice per molti
altri $enza nuoua fatica) altro non re$ta, che con diligenza-
traportarle sù la linea _A_ Z dello $tromento e nello $te$$o tem-
po, che vna diui$ione $i $egna nell’_A_ Z, $i deue $egnare nell’
_A_ S, acciò cia$cuna $ia vgualmente pre$a dal centro A. E nel
Se ben’il modo $in’ora pre$critto per $egnar’i lati de’qua- drati è $icur<007>$$imo, e Geometrico, e perciò il più preci$o; nientedimeno ò gl’_A_rteficinon vorranno prender$i tanta bri- ga, la quale for$i $timeranno maggiore di quello, che real- mente è, ò alcuno temerà, che quello traportare li punti del- la la$tra sù lo $tromento po$$a portar qualche variatione, ò anche $i vorrà con altro modo di operare prouare, quanto preci$amente $iano notati li punti in que$ta linea quadratica, ò Geometrica, che chiamar la vogliamo. Perciò ecco vn’al- tra forma mecanica, in cui ci $eruirà la linea Aritmetica del Capo precedente.
Que$to con$i$te in e$trarre la Radice quadrata di cia$cun
numero dall’ 1 $in’al 64, come $e fo$$e quadrato: e $e ben’è
E per $odisfar’al dubbio, che alcuno potria hauere, per qual cagione potendo$i tutte le Radici notare vn poco mag- giori, ò tutte vn poco minori, altre $i $iano notate maggiori del douere col $egno--, altre minori col $egno †; dico e$$er$i ciò fatto, perche la radice vera è più vicina al numero $egna- to, che à quello, che fo$$e minore, ò maggiore per vna mil- le$ima: e pois’è hauuto ri$guardo di far sì, che con que$ta al- ternatione ora di più, ora di meno $i venga a con$eruare quanto $i può la giu$ta mi$ura, la quale, aggiunte in$ieme quelle piccole, & in$en$ibili differenze, nel progre$$o verreb- be ad alterar$i notabilmente.
Che $e la lunghezza del lato del primo quadrato non fo$$e
tale, che occorre$$e e$$er $ollecito delle parti mille$ime, ba-
$terà prenderele cente$ime, la$ciando l’vltima figura della
Mà $e vole$$i ampliar l’v$o di que$ta linea Geometrica à
numeri moltiplici dell<007> numeri in e$$a $egnati, cioè alli dop-
pij, triplici &c. ba$terà nella AF, & AG la$ciate occulte, $e-
gnare il lato de’ quadrati $ubmultiplici del quadrato di AF;
perche con vn compa$$o prendi la lunghezza AF, e quefta
applica all’interuallo 2. 2. Dipoi ritenuta quella $te$$a aper-
tura dello $tromento, prendi l’interuallo FG, e que$to trapor-
tato dal punto A nelle linee AF, AG, $egnerà il punto del la-
to del quadrato, che è la metà del quadrato d<007> AF. Nell’i-
$te$$o modo la lunghezza AF applica all’ interuallo 33, e
l’interuallo FG darà la quãtità da $egnar$i nelle line AF, AG,
E per non replicar più volte l’i$te$$o con tedio di chi legge, auuerti, che que$to $te$$o, che s’è detto del $egnare le parti del quadrato in que$ta linea Geometrica, $i potrà far’anche nella linea cubica, di cui $i parlerà nel Capo $eguente, ado prando l’i$te$$o modo per $egnare nelle AH, AI i lati de’cubi $ubmoltiplici. Onde propo$ta vna proportione moltiplice, il cui termine maggiore $upera il ma$$imo $egnato nello $tro- mento, diuidital numero per vno delli denominatori delle parti notate, & il quotiente darà l’intiero, che hà alla detta parte l’i$te$$a proportione; come appari$ce e$$ere 147 à 1, come 49 à {1/2}.
FIgura Regolare $i chiama quella, che hà ne’$uoi termini, da’ quali è compre$a, tutte le le parti vniformi; perciò quelle, che hanno molti lati, & angoli, $aranno Regolari, $e $aranno Equilatere, & Equiangole; & il Circolo $e bene non hà, propriamente parlando, nè lati, nè angoli, è però figura regolare, perche le parti della circonferenza, che lo termina, $ono vniformemente di$po$te: il che non $i può dire dell’El- lip$i, della Parabola, nè dell’Hiperbola, perche con tutto che i termini di tali figure $iano regolati da certe, e deter minate conditioni, non $ono però in ogni $ua parte vniformi. Quin- diè, che delle Fortezze alcune $i chiamano Regolari, perche la figura, che $i fortifica è Regolare, cioè Equilatera, & Equi- angola. E $e bene è manife$to, che non tutte le linee della fort<007>ficatione $ono trà loro vguali, e$$endo certo, che la faccia del Baloardo, la $palla, ò fianco, ela cortina, $ono trà di loro di$uguali: ad ogni modo, perche tutte le cortine trà di loro, tutte le $palle de’Baloardi trà di loro, e tutte le faccie trà di loro $ono vguali, anche per que$to capo $i puonno chiamar Regolari, à d<007>$ferenza dell’Irregolari, doue le cortine $ono trà di loro di$uguali, ele parti d’vn Baloardo non $on’vguali alle lor’homogenee d’vn’altro Baloardo. Noi però quì par- lando di figure Regolari, prendiamo quelle, che a$$oluta- mente parlando $on’Equilatere, & Equiangole, con$iderãdo- le a$$olutamente in $e $te$$e, e non come ordinate nel circolo.
Sia primiera-
La dimo$tratione di ciò non è punto diffe-
Dalla $te$$a propo$itione 22 dellib. 6 $i dimo$tra, che qual $i voglia altra $pecie di figure $im<007>li, e $imilmente po$te $opra le due $econde linee R, & S, $iano di quanti lati, & angoli e$- $ere $i vogliano, hanno trà di loro la proportione de’quadra- ti delle due prime linee $egnate sù lo $tromento: E così $e la linea Sfo$$e data lato d’vn pentagono regolare da fortificar$i, e vole$$imo metter’in di$$egno vn’altro pentagono minore nella proportione di 14 à 10, applicata la linea S alli punti 14. 14, prenda$i la di$tanza 10. 10, e $arà la linea T lato del pentagono regolare, à cui mancano due $ettimi del maggiore pentagono.
E perche $pe$$o occorre, che douendo$i vn di$$egno tra- portare digrande in piccolo $econdo vna data proportione, & il lato dato è così grande, che non capi$ce nello $tromen- to; prenda$ivna parte aliquota di detto lato, e con e$$a s’ope- ri, come $e fo$$e il lato $te$$o, perche $i trouerà la parte ali- quota $imile del lato cercato; come $e la $o pradetta linea S fo$$e la $e$ta parte dellato del pentagono maggiore, la linea T trouata $arà la $e$ta del minore. Perche come S à T, così il $e$tuplo di S al $e$tuplo di T, dunque per la 22 del 6, come il pentagono di Sal pentagono d<007> T, cioè come 14 à 10, così il pentagono del $e$tuplo di S, al pentagono del $e$tuplo di T.
Per il contrario volendo$i tta$portar’vn di$$egno d’vna fi-
gura regolare di piccolo in grande, può e$$er’il lato dato tale,
che non capi$ca nell’interuallo del minore de’due numeri
Ciò che de’poligoni regolari $i dice, dee intender$i anche de’circoli, i quali per la 2 del lib. 12 $ono nella proportione de’quadrati de’$uoi diametri, e perche li quadrati de’ diametri $ono quadrupli de’quadrati de’$emidiametri, $aranno anchei circoli nella proportione de’quadrati delli $emidiametri. Sì che volendo due circoli in vna determinata proportione, ba- $terà trouar’i lati de’quadrati nella $te$$a proportione, e quel- le linee $aranno li $emidiametri de’circoli nella bramata pro- portione. Sia data la forma per improntar’vna moneta d’ar- gento; e $e ne vuol far vn’altra per improntar vna moneta, che nella $te$$a gro$$ezza $ia il doppio della prima. Sia la linea R il $emidiametro della moneta ABC; applico R al punto 5. 5, e pre$o l’interuallo 10. 10, trouo T $enndiametro della mo- neta DEF, che $arà doppia della prima: perche e$$endo am- bidue della $te$$a gro$$ezza, come $i $uppone, hanno la pro- portione delle lor ba$i circolari, per la 11 del lib. 12, e que$te hanno la proportione de’quadrati delli loro $emidiametri, co- me s’è detto; e tali quadrat<007> $ono come 10 à 5, c<007>oè vnodop- pio dell’altro.
Di quì vedendo$i, che cauato il circolo minore del mag-
giore, re$ta il cingolo, ò annello DEFABC vguale al circolo
minore ABC, perche egliè la metà del maggiore, $i raccoglie
Secondo. E’dato il circolo HIK, e voglio trouar’vna por- tione annulare, che lo contenga vna volta, e due terzi, cioè, che $ia come 5 à 3, mà che le circonferenze, che la terminano $iano ambidue maggiori di quella del circolo dato. Applico il $emidiametro dato al punto 3. 3. E poi à mio piacere prendo vn’interuallo di qualche punto maggiore, come $aria 10. 10, econ que$to dallo $te$$o centro de$criuo la circonfe- renza DEF. Quindi $e voglio l’altra circonferenza ancor maggiore, perche il cingolo deue e$$ere come 5 à 3, prendo l’interuallo di cinque punti più di$tanti dal 10. 10, cioè 15. 15, ede$critta la circonferenza LMN $arà il cingolo LMNF- DE al circolo HIK, come 5 à 3: poiche il circolo LMN al cir- colo HIK è come 15 à 3: & al circolo DEF, come 15 à 10, dunque leuato DEF dal circolo LMN, quel che rimane è al dato circolo HIK, come 5 à 3. Mà $e voglio, che la circonfe- renza maggiore $ia DEF, prendo l’interuallo di cinque punti minori del 10, & è 5. 5; onde la circonferenza ABC termi- narà il cingolo DEFABC, che $arà al dato circolo, come 5 à 3, come è manife$to per lo $te$$o di$cor$o.
Ora dal $opradetto raccogliendo$i, come li due cingoli
AHBICK, & LDMENF $ono come 2 à 5, è chiaro il modo
Nella $te$$a maniera volendo$i vn circolo vguale à tutta la $uperficie sferica d’vn globo dato, poiche $i sà da Archime- de lib. de Sph. & Cylind. prop. 30. che que$ta è quadrupla del circolo ma$$imo di detta sfera, prenda$i il diametro del globo dato, e ponga$i nella linea Geometrica all’interuallo d’vn numero, di cui vi $ia il quadruplo come al 6.6, e prenda$i l’interuallo 24.24, che darà il diametro del circolo vguale alla $uperficie sferica del globo. ll che $i può fare col $olo rad- doppiare il diametro del globo. Quindi hauendo$i vn globo piccolo, nella cui $uperficie fo$$ero de$critte le $telle, e$e ne vole$$e far vn’altro, la cui $uperficie fo$$e $ette volte maggio- re, acciò più di$tintamente compari$$ero le $telle; primiera- mente troui$i il diametro del circolo vguale alla data $uperfi- cie sferica, come $i è detto; dipoi que$to diametro trouato $i metta all’interuallo d’vn numero, a cui $ia nella linea Geo- metrica notato vn’altro $ettuplo, come $e $i prende$$e 4. 4, e poi 28.28, e que$to $econdo interuallo darà il diametro d’vn circolo vguale ad vna $u perficie sferica $ettupla della $uperfi- cie data Perciò diui$o tal diametro trouato in due parti vguali, la $ua metà $arà il diametro del globo di tal $uper- ficie.
Mà $e la proportione, in cui $i deuono formare li due po-
ligoni $imili regolari fo$$e e$pre$$a non in numeri, ma con li-
nee; conuerrà trà le due linee e$primenti la proportione tro-
uare vna Media proportionale, per la 13 del lib. 6, e $egnate
$ottilmente le prime due delle trè continue proportionali sù
le linee Geometriche AZ, AS, (ca$o che non cade$lero in al-
Quì però deue auuertir$i, che que$ta operatione non è alli.
Che $e la proportione fo$$e e$pre$$a con due figure rettili- nee di$$imili, & irregolari; que$te, per la 14 dellib. 2, $i ridu- cano à quadrati; e poi, come il lato d’vn quadrato al lato dell’- altro quadrato, così $i faccia il lato del poligono regolare da- to, al lato cercato del poligono $imile, che $i de$idera.
DVe maniere $i puonno tenere per venir all’ e$$ecutione
di que$to problema. La prima è, pigliando i lati del-
la figura data, etraportando cia$cuno sù lo $tromento al nu-
mero corri$pondente all’antecedente della data proportione,
epigliando poi, per illato, che $i cerca, l’interuallo, che dà il
numero, con cuis’e$prime il con$egaente di detta proportio.
Per tanto tirate le due linee
RF, FS, che facciano l’angolo
RFSvguale al’angolo AFE, per
la 23 del lib. 1, $i prenda la mez-
za gola FA, es’applichi all’inter-
E' dunque il Baloardo LIHKMF in proportione $e$qui-
La $econda maniera è, con prender vn’angolo della figura, e da quello tirar linee rette à tutti gl’angoli, che e$cano fuori della figura data: poiche trouata vna $ola linea sù lo $tro- mento, con $olo tir ar linee parallele alli lati della data figura, $arà fatto ciò, che $i cerca. Sia dato lo $te$$o Baloardo ABC- DEF, e $en’habbia à fare, come di $opra, vno $e$quiquarto. Prendo il punto F, e tiro la Capitale FC, prolongandola an- che fuori; $imilmente prolongo FB, FD, FA, FE. Doppo di che applico la Capitale FC all’interuallo 16.16, e l’inter- uallo 20.20 mi dà FH Capitale del maggior Baloardo. Ora dal punto H tiro due parallele alle due faccie CB, CD, che rincontrando le prolongate FB, FD in I, & K, fanno le faccie del nuouo Baloardo HI, HK, e $imilmente dalli punti I, & K tirando$i le IL, KM parallele alle BA, DE, s’hauranno li fian- chi del Baloardo maggiore, e determinaranno le $ue mezze gole LF, & MF. La dimo$tratione è la $te$$a, che di $opra, per la 20 del lib. 6, e$$endo manife$to per il paralleli$mo del- le linee, che cosìl’vno, come l’altro Baloardo $ono ri$oluti in triangoli $imili.
Fatto$i il di$$egno à que$to modo del maggiore intorno al
minore (l’i$te$$a for ma d’operare $i tiene, quando data vna
figura maggiore, $e ne voglia far vna minore) non è difficile il
traportarlo $eparatamente, ò col Compa$$o di tre punte, $o-
Prapplicandole alli punti FLI, & alla linea FR applicando le
punte, che danno la di$tanza FL, poiche l’altra punta mo-
OCcorre alcune volte, che e$$endo data vna $uperficie piana, in cui $ono de$critte varie linee, $enza prender$i la briga di de$criuere tutta l’altra $uperficie $imile maggior, ò minore nella data proportione, vorriamo $apere, quanta douria e$$ere la grandezza d’vna linea, che in quella $uperficie da far$i corri$ponde$$e ad vna tal linea, che habbiamo nella $uperficie data. L’operatione è facile, poiche ba$terà nello $tromento prendere nella linea A Z li due numeri e$primenti la data proportione de’piani, & applicata la data linea all’ in- teruallo del numero congruente, l’interuallo dell’ altro nume- ro darà la linea cercata.
Sia per cagion d’e$lempio dato in piccolo il di$$egno d’vn’
Orologio à Sole, e$i voglia $apere, quanto maggiore dourà
Egli è vero, che cono$ciuta la proportione de’ lati delle $u- perficie, il trouar poi que$te linee $i può fare per quello, che s’è detto nel primo Capo, con la linea dello $tromento diui$a in parti vguali per le linee $emplici, poiche tali linee hanno tra di loro la proportione de’lati delle figure $imili; Mà $e $ia data la proportione $olamente de’ piani, e non quella de’lati, conuien’ operare con que$ta linea AZ dello $tromento nel modo detto: e così $e la proportione de’piani fo$$e data, co- me 1 à 24, la lunghezza dello $tile douria e$$ere CE, prenden- do$i l’interuallo 24.24.
La dimo$tratione di ciò, che s’è operato è, perche la pro-
Mà $e occore$$e, che la linea data fo$$e così grande, che nello $tromento non capi$$e all’interuallo del numero, che le corm$ponde ne’ termini della proportione data, prenda$i vn a parte aliquota di detta linea, poiche l’interuallo dell’altro nu- mero della proportione darà vna $imile parte aliquota della linea, che $i cerca: perche e$$endo le parti nella proportione de’$uoi intieri, per la 15 del lib. 5, anche i quadrati delle parti hanno la proportione de’ quadrati de’ $uoi intieri, per la 23 dellib. 6. Come $e la proportione de’ piani doue$$e e$$ere, come 4 à 63, e la linea nel piano dato fo$$e lunga vn palmo, que$ta non capirebbe nell’interuallo 4.4; prenda$i dunque tal parte, che commodamente vi capi$ca, e $ia la quinta parte; que$ta s’applichi all’interuallo 4 4, el’interuallo 63. 63 darà la quinta parte della linea, che $i cerca.
Che $e alcuno de’termini della proportione fo$$e e$pre$$o
con vn numero maggiore di quelli, che $ono notati nella li-
nea AZ, vegga$i s’egli $i può diuidere per qualche numero
quadrato, e $erua$i del quotiente, per pigliar nello $tromen-
to l’interuallo, che à tal numero corri$ponde; e poique$to in-
teruallo $i replichi tante volte, quante vnità $ono nella radice
di quel numero quadrato, che $eruì per diui$ore; che così s’ha-
Similmente $e ambidue li numeri fo$$ero troppo grandi, ne
$i pote$$ero diuidere per lo $te$$o numero quadrato, ba$terà
diuidere cia$cuno per quello, che $i può, edella linea data
prendere la parte, che dimo$tra la radice quadrata del Diui-
$ore del numero, che le corri$ponde. Per e$$empio nella fig.
15 la linea CD è in vna figura piana, e $i cerca la grandezza
di quella, che le corri$ponde in vn’altra figura piana, che$ia
alla data figura, come 99 à 80. Diuido 80 per il quadrato di
2, che è 4, & il quotiente è 20: perciò diui$a la CD per me-
tà (poiche 2 è la radice del Diui$ore) que$ta metà applico
all’interuallo 20. 20. Poi diui$o il 99 per 9, il quotiente 11
mi mo$tra, che debbo prendere l’interuallo 11. 11, e perche
la radice del diui$ore è 3, triplico que$t’ interuallo, e $arà ciò
che $i cercaua. La ragione è, perche l’interuallo 20. 20 è
l’interuallo 11. 11, dannoi lati de’quadrati, che $onocome
20 à 11. Dunque il primo lato duplicato è lato d’vn qua-
Se poi li due numeri e$primenti la proportione del piano $ono tali, che niuno d’e$$i $i po$$a diuidere per alcuno de’nu- meri quadrati, $i riducano ad altri numeri, che pro$$imamente e$primano la data proportione, $e bene non tanto preci$a- mente; quando l’operatione Mecanica non richiede tanta ac- curatezza. Il che $i fà prendendo ò il ma$$imo numero, ò vno de’maggiori di quelli, che $ono notati nello $tromento, e que. $to moltiplicato per il minore delli due della proportione, il prodotto diui$o per l’altro numero, chere$ta, cioè per il ter- mine maggiore della proportione, il quotiente darà l’altro numero, che $arà il termine minore, con cui $i e$prime la pro- portione ridotta à que$ta nuoua denominatione. Per e$$em- pio debbano e$$er due piani, che habbiano la proportione di 223 à 71: prendo per nuouo termine maggiore 62, che mol- tiplicato per il minore 71, produce 4402, il quale diui$o per il maggiore 223, dà per nuouo termine 19 {165/223}, che è qua$i 19 {3/4}: onde prendendo l’interuallo vn poco minore di 20.20, s’haurà quanto ba$ta per operare fi$icamente. Che $e vi fo$$e di me$tieri di maggior preci$ione, conuerrebbe in tal ca$o operare conforme alle regole della Geometria, trouando la media proportionale tra due linee, che haue$$ero la propor- tione data de’piani, e quella media $aria la lunghezza cercata della linea.
NOn $i vuol negare, che vi $iano delle $igure $imili, la cui
proportione non $i può e$primere con numeri, come
quelle, che $ono incommen$urabili, & hanno i lati homologi
incommen$urabili di lunghezza, e di potenza, come $i parla
nellib. 10 d’Euclide. Adogni modo, per la prattica, à cui $er-
ue que$to $tromento, ba$terà trouare appre$$o di poco, qual
$ia la loro proportione. E per far ciò, con due di$tinti com-
pa$$i $i prenda la lunghezza de’lati homologi delle figure,
cioè di quelli, che $ono frapo$ti
Equì è da auuertire e$$er meglio applicare la linea minore
à tal’a pertura dello $tromento, che la maggiore venga à ca-
dere ver$o li numeri maggiori, perche e$$endo li punti delle
diui$ioni ver$o il fine dello $tromento tra diloro poco di$tanti,
$i vien’anche à trouare più preci$amente l’interuallo capace
della maggiore, pa$$ando$i dall’vn punto all’ altro con poca
differenza, doue che nelle parti dello $tromento più vicine al
centro non è così
Che $e le linee date fo$$ero troppo lunghe, già dalle co$e dette di $opra $i caua, in qual maniera po$$iamo $eruirci delle lor parti aliquote. Se $i piglia d’amendue la $te$$a parte ali- quota, come la metà, ò il terzo di cia$cuna, li numeri in cui cadono, e$primono la proportione, perche la $te$$a propor- tione è de’quadrati de gl’intieri, e de’quadrati delle parti $i- mili. Se vna linea è $tata applicata intiera, e dell’altra s’è ap- plicata vna parte, il numero in cui cade, $i moltiplichi per il quadrato del denominatore della parte; come $e la linea mi- nore $i fo$$e applicata al 27. 27, e della maggiore pre$a la metà, cade$$e nel 18. 18, perche il 2 è denominatore della parte, cioè della metà, piglio il $uo quadrato 4, e moltiplica- to per e$$o il 18, trouo, che viene 72; onde dico, che li piani $ono come 27 à 72, cioè come 3 à 8. Se in vece della metà haue$$e pre$o il terzo, e fo$$e caduto nell’ interuallo 8. 8, per- che 9 è quadrato del 3 denominatore della parte pre$a, mol- tiplicato 8 per 9, all’i$te$$o modo $i $aria trouato 72. Se fi- nalmente d’vna linea $i fo$$e pre$a la metà, dell’altra il quin- to, il num. della prima $i molti plicarebbe per 4, e quello del- la $econda per 25, che $onoi quadrati de’denominatori delle parti pre$e, & i prodotti e$primerebbono la proportione cercata de’ piani $imili.
OCcorre alle volte hauer’alcune figure la $omma delle quali $i vuol’hauere in vna $ola figura $imile à quelle: e $e bene ciò $i può pratticare, mediante la 47 del lib. 1, come appari$ce da ciò, che s’è detto nella de$crittione di que$te linee Geometriche; ad ogni modo $enz’altro trauaglio facil- mente $i troua il lato della figura, che $i cerca mediante que- $to $tromento. Siano dati due, ò più pentagoni, per farne vno $imile vguale à tutti in$ieme. Prendo con tanti compa$- $i, quante $ono le figure date, li lati di dette figure, e confor- me alla Que$tione precedente trouo la proportione di dette figure tra di loro: e con$iderati i numeri e$primenti la pro- portione, li riduco in vna $omma, & il numero, che ne ri$ulta è quello, à cui nelle linee Geometriche $i deue prender l’in- teruallo, per hauer’il lato del pentagono, che $i cerca. Così $e $i è trouato, che la proportione delli dati due pentagoni è co- me 7 à 10. il pentagono vguale à tutti due $arà come 17; on- de ritenuta quella $te$$a apertura dello $tromento, prendo l’interuallo 17. 17, e que$to è illato del pentagono vguale al- li due pentagoni dati.
Mà $e e$$endo più di due le figure date, ò non haue$$i tanti
compa$$i, quante $on quelle, ouero nella $te$$a apertura di
$tromento non $i troua$$e, che cade$$ero giu$tamente sù li
punti, $i faccia così: $e ne prendano due di quelli, che caden-
do sù li punti mo$trano la proportione, e $e ne troui vno
QVe$ta operatione $eguita per il conuer$o della prece- dente, perche $e vniti i numeri e$primenti la propor- tione $i troua la $omma, $ottratto il minore dal maggiore $i hà il re$iduo. Dati dunque due Baloardi $imili nella figura della que$tione 4, $e ne voglia far’vno vguale alla lor differenza; prendo in e$$i due lati homologi, per e$$em- pio le mezze gole FE, FM, & applicatele allo $tromento nel- le linee Geometriche, trouo, che cadono ne’ punti 16, e 20; onde la proportione de’piani è nota; $ottrago il 16 dal 20, & il re$iduo 4 mi mo$tra, che all’interuallo 4. 4, haurò la mez- za gola del Baloardo $imile vguale alla loro differenza.
SI piglino le lunghezze delle due linee date con due di- $tinti compa$$i, es’appplichino allo $tromento nel mo- do detto alla que$tione precedente: e $i o$$erui $opra quali numeri cadano. Dipoi la lunghezza della prima s’applichi nella linea Aritmetica, di cui $i parlò nel Capo 2, al numero, che le corri$ponde; perche l’interuallo, che nella $te$la linea Aritmetica darà l’altro numero corri$pondente nella linea Geometrica, $arà la terza proportionale, che $i cerca.
Siano date due
Quindi $e $arà dato il quadrato HO $opra la linea HI, che rappre$enta vn campo di terra; e $arà data la linea KL fianco d’vn’ altro pezzo diterra, che debba e$$er’ vguale al detto quadrato HO, $i vede e$$er nece$$ario trouar’vna Terza pro- portionale, à fine, che $i faccia il rettangolo vguale al qua- drato, per la 17 del lib. 6. Applico dunque le due linee HI, KL alla linea Geometrica, e vego, che cadono ne gl’interual- li quella 14. 14, que$ta 49. 49. Perciò nella linea Aritmeti- ca applico la linea KL all’<007>nteruallo 49. 49, el’interuallo 14. 14 nella $te$$a linea Aritmetica midà la KM, onde il rettan- golo ML è vguale al quadrato HO.
Della $te$$a maniera dato vn $egmento di circolo, $i troua- rà il diametro di e$$o circolo: poiche diui$a la corda per mez- zo, e tirata à perpendicolo vna linea indefinita, $i ponga in primo luogo l’altezza del $egmento, nel $econdo la metà del- la corda, e troui$i la terza proportionale: e que$ta aggionta all’altezza del $egmento, darà il diametro del circolo, come appari$ce dalla 13 del lib. 6.
SE la proportione delle linee date è cono$ciuta in nume. ri, $i applichi nella linea Geometrica vna delle date li- nee all’interuallo d’vno de’numeri, ch’e$primono la propor- tione delle due linee e$treme, poiche l’interuallo corri$pon- dente all’altro di detti numeri darà la lunghezza della media proportionale. Mà $e non $i sà, che proportione habbiano tra d<007> loro le due linee e$treme date, que$ta $i troui sù la linea Aritmetica nel modo in$egnato alla Que$tione 5. del Cap. 2, e poi s’opri, come s’è detto.
Sia dato vn triangolo KSL nella fig. della que$t. antece-
dente, e $i voglia vn quadrato, che gli $ia vguale. Per quel-
lo, che $i caua dalla 41. del lib. 1, il $udetto triangolo è vguale
al parallelogrammo rettangolo, che habbia la $te$$a ba$e, e
la metà dell’ altezza perpendicolare, ò la $te$$a altezza è la
metà della ba$e. Dunque $e $i trouerà vna media proportio-
nale tra la ba$e, e la metà dell’ altezza perpendicolare del
triangolo, que$ta $arà il lato del quadrato vguale al triango-
lo dato KSL, e$$endo che per la 17 del 6, il quadrato di quel-
la è vguale alrettangolo $otto le due e$treme. Diuido dun-
que per metà l’altezza SL in R, e nella linea Aritmetica ap-
plicate KL, & LR, trouo, che la prima è 49, la $econda 14:
perciò nella linea Geometrica applico KL all’ interuallo 49.
49, e nella $te$$a pre$o l’interuallo 14. 14, dà la linea HI me-
EDimo$trato, che nella Parabola li quadrati delle linee Applicate al diametro $ono in tal proportione, quale hanno le Saette (che $ono la parte del diametro intercetta tra’l punto dell’ Applicatione, & il Vertice della Parabola) e$$endoche cia$cun Quadrato delle Applicate è vguale al ret- tangolo fatto dalla Saetta, e dal lato Retto; e perciò hauen- do tutti i rettangoli l’altezza mede$ima, che è il lato Retto, hanno la proportione delle ba$i, cioè delle Saette.
Pre$o dunque il Diametro della Parabola $i diuida in quan-
te $i vogliano parti vguali cominciando dal Vertice, e per i
punti delle diui$ioni $i tirino linee parallele tra di loro, ò $iano
perpendicolari al diametro, ò oblique, come più piacerà.
Dipoi prenda$i il lato Retto, $e è dato, e tra e$$o, e la prima
Saetta, troui$i vna Media proportionale, per la que$t. 8, e que-
Che $e il lato Retto non è dato, prenda$i la prima Appli- cata grande ad arbitrio, e $i operi, come $i è detto; e ad vna delle Saette, & alla $ua Applicata trouando$i per la que$t. 7. la Terza Proportionale $arà illato Retto di tal Parabola.
SIa dato il Cono ABC, e dal punto D $ia fatta la Settione,
che genera la Parabola FDG. Or e$$endo DE paralle-
la ad AB, come CA à CB, così
SIano le due linee AB, CD, che $i tagliano per mezzo ob-
liquamente in E; & intorno ad e$$e habbia$i à de$criuer
vn’ Ellip$i, di cui elle $ono i diametri
Per trouar il termine de gli A$$i, dal punto A $i tiri vna pa- rallela all’altro diametro DC, la quale è Tangente dell’Ellip- $i, e taglia gli A$$i in H, & I. Troui$i dunque tra EF, & EH, la media Proportionale EL, per la que$t. 8, e que$to è il termi- ne dell’ A$$e maggiore: e $imilmente tra EG, & EI troui$i la Media proportionale EK, & è K termine dell’ A$$e minore. Tirata per tanto la KL è Applicata al diametro AB.
Ciò fatto, nel Diametro AB prendan$i quelli punti che $i vogliono M, P, & altri, e $i tirino linee parallele all’Applica- ta KL, ò pure al diametro DC, che tutto torna allo $te$$o. E per hauere la quantità di que$te, $i prenda, per la que$t. 8, la media proportionale tra li due $egmenti del diametro: così tra AM, MB $ia MN; e tra AP, PB $ia PR, e così dell’altre: perche li punti N, R, &c. $ono anch’e$$i nella circonferenza $te$$a con gli altri. Il che $i dimo$tra, perche nell’ Ellip$i i Quadrati delle Applicate $ono nella proportione delli Ret- tangoli fattidalli $egmenti del diametro, à cui$ono Applica- te. Onde come il rettangolo AOB al rettangolo AMB, così il Quadrato OL al Quadrato MN: e così in realtà $ono, e$- $endo$i po$te OL, MN medie Proportionali.
E che li Quadrati delle Applicate all’vno de’Diametri con-
iugati vguali, $iano vguali alli Rettangoli fatti dalli $egmenti,
è manife$to; perche come il rettangolo AEB al Quadrato EC,
così il rettangolo AOB al Quadrato OL: Mà ilrettangolo
AEB è vguale al Quadrato EC (e$$endo vguali le trè linee
Auuerta$i dalli meno prattici, che tal modo di de$criuere l’Ellip$i con le Medie proportionali al modo $odetto, conuie- ne $olo alli diametri coniugati vguali.
Nella maniera che $i è de$crita vna quarta parte dell’El- lip$i, $i fà il quadrante oppo$to; e l’i$te$lo artificio $i v$a con gli altri quadranti; il che non hò fatto in que$to e$empio per isfuggire la confu$ione delle linee. Che poi HS, & IZ $iano gli A$$i, che ad angoli retti $i tagliano in E, è mani$e$to; per- che da E v$cendo trè linee EA, EC, ED vguali, quello è cen- tro del circolo, che pa$$a per li punti e$tremi, onde CAD è an- golo retto, e$$endo nel $emicircolo; e perciò AC, & IE $ono parallele, e l’angolo IEF è vguale all’angolo AFE retto, poi- che tutti due in$ieme $i vguagliano à due retti.
SIa data la portione Elliptica BAC,
Ora, perche come il Quadrato di GF al Quadrato di DC, così è il rettangolo AGH al rettangolo ADH; perc<007>ò à fine di trouare la DH, que$ta $i metta I<006> al modo gli Algebri$ti. E$apponga$i, che GA $ia 3, e DA $ia 5: dunque GD è 2: e così GH è 2 + I<006>. Dunque il rettangolo _A_GH è 6+3<006>, & il rettangolo _A_DH è 5<006>. Quindiè, che trouato$i il Quadrato di GF e$$ere 17, & il Quadrato di DC 25 (per cagion d’e$$em- pio) $arà come 17à 25, così 6 + 3<006>, à 5<006>: e per la 16 del 6, ò 19 del 7. $aranno 85 <006> vguali à 150 † 75<006>, e leuate da ambe le parti 75<006>, re$tano 10<006> vguali à 150; diui$o 150 per 10, il Quotiente 15 dà la quantità di vna Radice, cioè DH, che è 15 parti di quelle, che in DA $ono 5; e tutto il diametro AH è di parti 20.
Quindi per vedere $e il diametro _A_H $ia A$$e dell’Ellip$i, o$$erui$i, $el’angolo CDA $ia retto, ò nò: il che facilmente $i farà mettendo nella linea Geometrica la DC all’<007>nteruallo 25.25, come $i trouò; e vedendo doue capi$ca la DA, aggion- gan$i que$ti due Quadrati. Dipoi tirata la retta _A_C anch’ella applicata alla linea Geometrica, ritenuta la $te$$a apertura dello $tromento, mo$trarà il $uo Quadrato: il quale $e $arà vguale alla $omma di que’due Quadrati, l’angolo CD_A_ è ret- to, per la 48 del 1: $e è maggiore, l’angolo è ottu$o per la 12 del 2, e $e è minore l’angolo è acuto per la 13 del 2. Se dunque non è angolo retto, quel diametro non è _A_$$e.
PRimieramente $i faccia come 14 à 11, così il Quadrato del diametro maggiore ad vn’altro, e $arà l’area del circolo di detto diametro, per la 2. di Archimede lib. de di- men$. circuli. Dipoi per le co$e dimo$trate dall’ i$te$$o _A_rchi- mede lib. de Conoid. & Sphæroid. prop 5. Faccia$i come il diametro maggiore al minore, così il Quadrato del diame- tro maggiore ad vn’altro, e $arà l’area dell’Ellip$i.
Perciò nelle linee Geometriche ponga$i la l<007>nea data, che è maggior diametro dell’Ellip$i, all’interuallo 14. 14, e di poi prenda$i l’interuallo 11. 11, e $arà lato d’vn Quadrato vguale al circolo di detto diametro.
Dipoi habbia$i in numeri la proportione delli due Dia- metri dati, e $ia per cagion d’e$$empio 15 a 13: Dunque quell’interuallo trouato tra 11. 11, $i ponga tra 15. 15, poi- che l’interuallo 13. 13, darà illato del Quadrato, che è vguale all’area dell Ellip$i cercata.
Finalmente que$t’vltimo lato trouato $i paragoni col dia- metro maggiore dato, e sì come è noto il Quadrato di e$$o diametro maggiore, così$arà noto il Quadraro del lato vlti- mamente trouato, e per con$eguenza $arà nota l’area dell’ Ell<007>p$i.
E’Vero, che non tutti li numeri $ono quadrati, e perciò
non hanno la radice preci$a, ad ogni modo, per le ope.
rationi Fi$iche, ci ba$ta la radice più vicina ne’numeri intieri,
e nel formare $quadroni quadri di gente, non occorre $aper
li rotti. Mà perche tutti li numeri di$otto del 100. $ono di
due $ole figure, perciò nello $tromento non $i trouerà imme-
diatamente, che la radice di numeri non maggiori di quattro
figure, perche vn numero ditre, ò quattro figure hà la radice
di due figure, mà $e il numero habbia cinque, ò $ei figure, la
radice è di tre figure, come è manife$to, & allhora $i richiede
qualch’altro artificio da $piegar$i. Ora $e è nota la proportio-
ne di due quadrati, la $ubduplicata è la proportione delle loro
radici, e così di quali parti è vna, ditali $arà anche l’altra. Per-
ciò dato vn numero, $appiamo, che proportione habbia ad
vn’altro numero, pre$i tutti due come quadrati nella linea
Geometrica. E $e $arà nota la radice d’vno nella linea Arit-
metica, $i manife$terà anche l’altra radice in particelle $imili.
Quindi è, che dato vn numero d’alcune figure, ne piglio
vn’altro ad arbitrio, mà preci$amente quadrato, il quale ò
tutto intiero, ò gettati via li zeri, $ia tra li numeri $egnati nella
linea Geometrica. Et il numero dato ò tutto intiero, ò getta-
te via tante figure, quanti zeri $i leuarono dal quadrato pre-
ci$o, lo prendo al $uo interuallo nella linea Geometrica, allar-
gato lo $tromento ad arbitrio: e poi con vn’altro Compa$$o
prendo l’interuallo del numero preci$amente quadrato nel
Sia dato il numero di Soldati 5400, di cui de$idero la radice quadrata per $apere, quanti debbano e$$er per fronte, volen- do far $quadrone quadro di gente; leuo li due zeri, & aperto lo $tromento ad arbitrio, prendo nella linea Geometrica l’in- teruallo 54. 54. Eritenuta quell’apertura di $tromento, pi- glio nella $te$$a linea l’interuallo d’vn numero preci$amente quadrato, come 4.9. 16, ò altro tale. Sia pre$o per e$$empio l’interuallo 9. 9, la cui radice è nota e$$ere 3. Ora perche $i gettaron via due zeri dal numero dato 5400, s’intendono le- uati due zeri anche dal 900; $ono dunque li due quadrati ap- plicati nella proportione di 900 à 5400; e così la radice del primo è 3 con vn zero, cioè 30. l’interuallo dunque 9. 9 del- la linea Geometrica applicato nella linea Aritmetica al 30. 30, l’apertura dell’altro Compa$$o, che daua 54. 54 nella li- nea Geometrica, caderà nella linea Aritmetica all’interuallo 73. 73, e così dico la radice del numero 5400 e$$ere 73, e perciò e$$ere 73 file di Soldati, cia$cuna delle quali ne hà 73 difronte.
L’i$te$$o $arebbe, $e in vece di prendere 9. 9 $i fo$$e pre$o 25. 25, poiche quell’interuallo 25. 25 della linea Geometri- ca applicato nella linea Aritmetica al 50. 50, $imilmente hauria dato l’intiero 73 per radice del 5400. Mà perche quell’interuallo è vn poco maggiore del 73. 73, è $egno, che al numero 73 và aggiunta vna frattione.
Mà $e il numero dato fo$$e $tato 5486, $aria $tato bene in
vece di 54 prendere 55, poiche quel numero più s’acco$ta
Che $eil numero, di cui $i cerca la radice, fo$$e piccolo in modo, che nello $tromento non $i pote$$e facilmente prender nella linea Aritmetica l’interuallo proprio, $i prenda il decu- plo, e $i trouerà in decime la frattione attaccata all’intiero. Come per e$$empio, cerco la radice di 18 piedi, che $ono l’a- rea d’vn piano da ridur$i in quadro: prendo nella linea Geo- metrica l’interuallo 18. 18, e poi nella $te$$a prendo l’inter- uallo d’vn numero quadrato, per e$$em pio 49. 49, la cui ra- dice è 7: mà perche rie$ce ò $commodo, ò impo$$ibile met- tere quell’interuallo nella linea Aritmetica al 7. 7, lo metto al 70. 70, e trouando, che il primo interuallo pre$o cade qua$i al 42 {1/2}. 42 {1/2}, poiche li 70 non erano $e non 7, così li 40 non $ono $e non 4, & il re$to dà li decimi d’vn’intero, perciò dico, che la radice di piedi 18 è piedi 4 {1/4} qua$i, ma certo è più di 4 {1/5}, perche cade in vn’interuallo maggiore di 42. 42, cioè maggiore di 4 {2/10}.
Occorrendo poi, che il numero fo$$e ditre $ole figure, ò
anche di due, ma maggiore del ma$$imo quadrato notato
nella linea Geometrica, prenda$i vna parte aliquota di e$$o
tale, che $ia minore del numero 64 ma$$imo delli notati nel-
la linea: e que$to interuallo s’applichiad vn’altro numero in
tal linea, il qual’habbi vn’altro così moltiplice, come tutto il
numero è moltiplice di quella parte pre$a; e que$to vltimo in-
teruallo del moltiplice $arà l’interuallo, che nella linea Arit-
metica mo$trerà, quanti intieri, e quante decime habbia la
radice. Per e$$empio, cerco la radice di 96: perche è troppo
E perche operando in tal maniera occorrerà, che l’interual-
lo vltimo da applicar$i alla linea Aritmetica $arà tale, che non
capirà nell’interuallo dell’a pertura dello $tromento, perciò ti-
ri$i vna linea lunga quanto porta que$t’interuallo pre$o nella
linea Geometrica: e poi pre$o nell’ Aritmetiche l’interuallo
100. 100, $i leui dalla linea tirata; il re$to della linea s’appli-
chi all’interuallo dell’ Aritmetiche, e s’haurà il numero da
aggiunger$i al 100: tutte le decine $aranno vnità, il re$to da-
rà i decimi dell’vnità. Per e$$empio cerco la radice di 156:
perche è troppo grande, piglio la terza parte, che è 52, e nel-
Di quì $i caua il modo ditrouar la radice quadrata anche
de’ numeri maggiori di quattro figure, perche $e $arà il num.
18412, dicui $i cerchila radice quadrata, getto via le due
vltime figure 12, e del re$to 184 prendo la quarta parte, che
è 46, e nelle linee Geometriche prendo la di$tanza 46. 46, e
con vn’altro Compa$$o l’interuallo di qualche numero qua-
drato, per e$$empio 9. 9; e così, come quello 46 è di centina-
ra, così anche que$to 9, onde $ono due quadrati 900, e 4600;
e que$to è la quarta parte del numero propo$to, dunque ap-
plicando que$to interuallo ad vn numero, di cui $i troui il
quadruplo, per e$$empio al 15. 15, l’interuallo 60. 60, $arà
la radice del quadrato 18400. Dunque applicato quell’in-
teruallo 9.9, pre$o da principio col $econdo Compa$$o, alla
linea Aritmetica al punto 30. 30, l’altro Compa$$o con l’a-
Due co$e quì $ono da auuertire: la prima è, che li 100 pun- ti della linea Aritmetica potendo$i prendere per 200, $i può rendere più breue l’operatione, poiche applicando$i all’inter- uallo 15. 15, come $e fo$$e 30. 30, verrà l’altro interuallo alli punti 67 {1/2}. 67 {1/2}, in circa, onde immediatamente $i caua e$- $er la radice 135 in circa, come prima. La $econda è, che $e da principio $i darà alle linee Geometriche l’apertura, pren- dendo prima nella linea Aritmetica $opra illato la lunghezza corri$pondente al numero, che è radice del quadrato preci$o, come di 30 punti, ò di 15, che s’intendano valer 30, e que$ti s’applichino al 9. 9, e poi pre$o l’interuallo corri$pondente del numero dato, que$to poi applicato allato dello $tromen- to sù la linea Aritmetica, $i potranno hauer le frattioni ade- renti nel modo, che s’è detto nel Capo 2. que$t. 7. ver$o il fine.
Seil numero dato fo$$e così grande, che lidue numeri mol-
tiplicati in$ieme, che lo producono, fo$$ero ambidue mag-
giori di quelli, che$on notati nelle linee, $e ne prendano tre,
che $iano minori, e lo mi$urino, moltiplicati tra di loro. Per
e$$empio $ia il numero dato 604812, leuate le due vltime fi-
gure, re$ta 6048, il quale $i produce dal 72 per 84, niuno de’
quali $i troua notato nelle linee Geometriche. Perciò pren-
do tre numeri, che in$ieme moltiplicatilo producono, e $ono
Mà cercando la Radice Quadrata d’vn Rotto, prendi nel- le linee Geometriche li due interualli corri$pondenti al Nu- meratore, & al Denominatore: dipoi traportali nelle linee Aritmetiche, aprendo lo $tromento in modo, che capi$ca, l’interuallo del numero, che vuoi ritenere; poiche l’altro in- teruallo nelle $te$$e linee darà il numero cercato.
Sia il Rotto {4/9}, di cui $i cerca la Radice Quadrata: prendo
nelle linee Geometriche 4.4, con vn Compa$$o, e con vn’al-
tro 9. 9. Dipoi volendo ritener il Numeratore 4; apro lo
$tromento in modo, che l’interuallo del primo Compa$$o $i
addatti alli punti 4.4, nelle linee Aritmetiche; poiche l’altro
Compa$$o $i addattarà alli punti 6. 6: onde dirò che la radi-
ce cercata è {4/6}, cioè {2/3}. Ouero addattando il $econdo Com-
pa$$o, che corri$ponde al Denominatore, alli punti 9. 9, tro-
uo che l’altro corri$ponde alli 6. 6: onde dirò, che la Radice
cercata è {6/9}. E perche il 4, & il 9 $ono interualli troppo pic-
coli, in lor vece $i prendano li moltiplici, cioè 40, e 90, ò
qual$iuoglia altro. II che molto più $erue, quando il Rotto
dato non hà la Radice preci$a, poiche $i trouarebbe la Radi-
ce più vicina alla vera. Così cercando la Radice di {4/10} $i tro-
Que$to modo dioperare è fondato nella regola per troua- re tal Radice Aritmeticamente, la quale $i appro$$imi alla vera; cioè $i moltiplica il Numeratore per il Denominatore: del prodotto $i caua la Radice Quadrata pro$$ima; e que$ta $i mette per Denominatore al Numeratore dato, ouero per Numeratore al dato Denominatore. Così per {4/10} $i caua la Radicc di 40 fatto dal 4 in 10, & è 6 {4/13}: onde la Radice pro$- $imamente è {52/82}, ouero {82/130}; la prima è maggiore del douere, e$$endo che quadrando$i vien vna frattione maggiore di {4/10}; la $econda è minore del douere, perche quadrando$i dà vna frattione minore di {4/10}.
E’la ragione di que$to prendere la Media Proportionale tra il Numeratore, & il Denominatore dati, caua$i dalla na- tura delli Quadrati, che$ono nella duplicata proportione de’ $uoi lati. Perciò volendo$i la Radice Quadrata d’vn Rotto, $i cerca vna frattione, il cui Numeratore $ia al Denominatore nella proportione $ubduplicata del Numeratore al Denomi- natore della frattione data. E così ritenuto il primo Nume- ratore, que$ta Media Proportionale è il Denominatore; e $e que$ta $i mette per Numeratore, re$ta il primo Denomina- tore.
SI come le $uperficie $ono terminate da linee, dalle quali riceuono la denominatione, così li corpi $olidi $ono ter- minati da $uperficie, e da que$te, ò per la qualità loro, ò per la moltitudine vien denominata la figura $olida; perchc s’ella è vna $uperficie $ola in tutti i $uoi punti vgualmente di$tante dal centro, che s’intende nel mezzo della $olidità del corpo, $arà quel corpo vna sfera; ma $e non hà que$ta vgual di$tanza dal centro, $arà ben sì sferoidale la figura, ma non sfera; tale è la $uperficie d’vn vouo, & altre tali ò Elliptiche, ò P$eudoel- liptiche; ma $e $ono più $uperficie terminanti il corpo di di- uer$o genere, cioè altre $uperficie piane, altre curue, & incli- nate à far’vn’angolo $olido, dalla qualità delle $uperficie $i denominarà il corpo, ò Cono, ò Cilindro, ò con altro nome compo$to; come li Conoidi Parabolici, ò Hiperbolici, &c. Que’$olidi però, che più communemente $i con$iderano, $ono quelli, che hanno molte faccie, e $on terminati da $uperficie piane; e conforme al numero, e qualità di tali $uperficie $ono chiamati tali corpi, come cia$cuno sà, e può facilmente vede- re nelle defin<007>tioni del lib. 11. d’Euclide.
Ora nella gui$a, che quelle $uperficie $i dicono $imili, le
quali hanno vgual numero di l<007>nee, che le terminano, e tra
loro proportionali: Così le figure $olide $imili (che tanto è,
quanto dire corpi $imili) s’intendono e$$er quelle, che $ono
terminate da vgual numero di $uperficie $imili. Onde $e le
Perme$$e que$te co$e, per più chiara intelligenza, auuerto,
che nelle cofe $eguenti prenderò il nome di _Lati Homologi_ nel
$en$o mede$imo, che s’è detto nel Capo precedente; e per
E$$endo dunque l’v$o di que$to $tromento di Proportione in ordine alle figure $imili, per poter’ in e$$o de$criuere due li- nee talmente d<007>ui$e, che po$$ano $eruir’ al fine prete$o in or- dine a’corpi $olidi, conuien $upporre ciò che nel lib. 11, e 12 d’Euclide s’in$egna, cioè, che li $olidi $imili $ono nella tripli- cata proportione de’lati homologi, come le sfere $ono nella triplicata proportione de’$uoi diametri. Il che è quanto dire, che dati due lati homologi di due corpi $imili, ò due diametri di due sfere, $e $i continuarà la proportione $in’al quarto ter- mine; qual proportione hà il primo al quarto termine, tale è d’vn $olido all’altro, ò d’vna sfera all’altra. Sì che date quat- tro linee continuamente proportionali, come la prima alla quarta, così il $olido sù la prima al $olido $imile sù la $econda.
Quindiè, che data in linee la proportione, che debbano hauere due $olidi, conuiene tra quelle trouare due medie con- tinuamente proportionali, per potere sù la prima, e sù la $e- conda fare li $olidi $imili, come auuertiti furono da Platone quei di Delo, quando cercauano di raddoppiare l’ altare d’Apolline (il qual’era $timato vno de’ $ette miracoli, per e$- $er fatto tutto d<007> $ole corna de$tre, $enza e$$er’ incollate, ne le- gate in$ieme, come riferi$ce Plutarco nel fine del l<007>bro _De $o-_ _lertia animalium_) conforme all’Oracolo hauuto, & e$$i in ve- ce di raddoppiarlo, ne haueano fatto vno quattro volte mag- giore del douere, come dice lo $te$$o Plutarco nel libro de Genio Socratis; Et è a$$ai noto appre$$o molti Scittori e$$ere que$ta la famo$a duplicatione del Cubo, cioè l’inuentione di due medie proportionali tra due e$treme, l’vna delle quali $ia doppia dell’altra.
Varij $ono $tati li tentatiui, evarie $ono le forme per tro- uare mecanicamente que$te due medie proportionali; e chi vuole può vedere nell’ Annotationi di Guglielmo Filandro $opra il libro 9. di Vitruuio cap. 3. qual fo$$e il Me$olabio d’Erato$tene; nel Villalpando tom. 1. part. 2. lib. 1. cap. 3. prop. 12. E nella Geometria di Renato di Chartes $ul prin- ci pio del lib. 3. trouerà, come perl’inuentione delle medie proportionali, egli $i $erua d’vno Stromento da lui propo$to nel principio del lib. 2. Ma quanto appartiene al no$tro fine pre$ente, meglio $arà $eruirci d’vna tauola di numeri, co’qua- li $i notaranno tanto preci$amente, quanto ba$ta, per l’ope- rationi mecaniche, li punti richie$ti in ordine alli $olidi.
E perche tra li $olidi il più cono$ciuto, e facile ad hauer$i la $ua mi$ura è il cubo, come quello, che hà le tre dimen$ioni di tal maniera vguali, che data la lunghezza d’vna $ua linea, e que$ta moltiplicata in $e $te$$a, $e $i moltiplica di nuouo il pro- dotto per la mede$ima, $i fà nota la $ua $olidità; e date quat- tro linee continuamente proportionali, come il cubo della prima al cubo della $econda, così qual $i voglia $olido sù la prima ad vn’altro $olido $imile sù la $econda, e$$endo che tan- to i cubi, quanto quegl’ altri $olidi $ono nella proportione della linea prima alla quarta: Perciò $egnando$i nello $tro- mento di Proportione i lati de’ cubi, che vanno cre$cendo $e- condo la $erie naturale de’numeri, $i vengono ad hauere pari- menti $egnati i lati homologi di qualunque $olidi $imili. Quin- di è, che tal linea $i chiama più to$to col nome $pecifico di Cubica, che col generico di Stereometrica; sì perche tutti li cubi $ono $imili, sì anche perche riducendo le proportioni a’numeri, $i trouano le medie proportionali coll’e$trattione della radice cubica.
Sì che per formare la $otto$citta tauoletta, in cui $i notano le proportioni, che hà la radice di cia$cun cubo alla radice del primo cubo, conuiene tra li due numeri e$primenti la propor- tione de’ cubi trouare il primo de’ due medij proportionali; perche que$to $arà la radice del cubo, che hà al cubo del pri- mo numero la proportione, che hà il quarto numero al pri- mo, com’è manife$to da quello, che delle linee s’è detto. E perche la maggior parte de’numeri non hà la radice cubica preci$a, & aggionger’à gl’intieri frattioni di diuer$e deno- minationi, $aria co$a, che nella prattica porterebbe molto di- $turbo, quindiè, che riu$cirà commodi$$imo intendere l’vni- tà diui$a in mille particelle, perche così tutte le frattioni ag- giunte à gl’intieri $aranno di mille$ime;e nel numero, che ver- rà per radice, le tre vltime figure $aranno numeratore delle parti mille$ime aggiunte à gl’ intieri $ignificati dal re$to delle figure antecedenti nel modo detto nel Capo precedente, do- ue $i parlò delle radici de’ quadrati.
Sia dunque nella fig. dello Stromento tirata dal centro del-
lo $tromento la linea AL, ela AM, nella quale $i prendano
AH, & AI vguali, e perciò non è nece$$ario, che que$te parti
AH, AI $iano vi$ibili; e s’intenda AH e$$er’ il lato del primo
cubo; que$ta $i replichi quante volte $i può, nelli numeri 8, e
27, in maniera, che A 8 è doppia, & A 27 è tripla della lun-
ghezza AH. E per que$to s’è notato nel $econdo punto 8, e
nelterzo 27, per denotare, che il cubo di A 8 contiene otto
volte, & il cubo di A 27 contiene venti$ette volte il cubo di
AH. E $e la linea AL fo$$e più lunga, che $i pote$$e vn’altra
volta replicare, nel quarto punto $i notarebbe 64, percheil
cubo della linea quadrupla di AH, contiene 64 cubi di AH.
Ma perche $i vede che tra 8, e 27, è molto più tra 27, e 64
Mà per $egnare li lati de gl’altri cubi, e vedere, come $i $ia
fatta la $eguente tauoletta delle radici, conuien trouare tra
l’vnità, & il numero di cia$cun cubo il primo delli due medij
continuamente proportionali; il che $i fà moltiplicando il
quadrato del primo nel quarto numero; e la radice cubica
del prodotto è il $econdo numero, che $i cerca. Il fondamen-
to di ciò fare è, perche dati quattro termini continuamente
proportionali A, B, C, D, il piano fatto dalli due e$tremi A
in D, è eguale al piano fatto dalli due medij Bin C, per la
16 del 6, e 19 del 7. Dunque li $olidi fattì dalli due piani
detti, e dal primo termine, $ono vguali, e così il quadrato
del primo nel quarto A quadrato in D, e vguale al $olido fatto
dallitre primi A in B in C. E perche A, B, C, $ono continua-
mente proportionali, il piano fatto da gl’e$tremi, A in C, è
vguale al quadrato del medio, B quadrato per la 17 del 6, e
20 del 7, li $olidi fatti da que$ti due piani, e dal $econdo ter-
mine B $ono vguali, e così A in B in C, cioè, come $opra s’è
dimo$trato, A quadrato in D, è vguale al cubo di B $econdo
termine delli quattro. Dunque e$$endo noti li due e$tremi,
moltiplicato il quadrato del primo nell’ altro e$tremo, il lato
cubico del prodotto è il $econdo termine delli quattro con-
tinuamenre proportionali. Nella $te$$a maniera $i dimo$tra,
che moltiplicato il quadrato del quarto termine nel primo, la
Di quì $i vede, che $e il primo termine AH $ia 1000, & il $uo doppio 2000, il quadrato del primo 1000000 moltipli- cato per 2000, darà il $olido 2000000000, la cui radice cu- bica 1259 è il $econdo termine delli quattro, & è radice del cubo doppio del cubo di AH. Elo $te$$o s’intende diqual$i- uoglia altro numero: onde ba$terà à cia$cun numeroal 3, al 4, al 9, &c. aggiunger noue zeri, perche così la radice cubica $arà di quattro figure, la prima delle quali mo$tra, quante volte $i debba prender la linea AH, e le tre vltime figure mo- $treranno, quante mille$ime della $te$$a AH $i debbano di più aggiungere. Che $e $i fo$$ero per AH pre$e $olo le cente$i- me, con aggiunger’ ad e$$a due zeri, allhora à gl’altri numeri doueua aggiunger$i $olamente $ei zeri, e la radice di tre $igu- re hauria con le due vltime mo$trato il numero delle cente- $ime. Ma perche volendo $eruirci $olo delle cente$ime $i opera con più preci$ione, cono$ciuto il numero delle mil- le$ime, perciò nell’anne$$a tauolletta $i $on po$te le mille$i- me, $egnando le radici $in’al cubo, che è cinquanta volte maggiore del cubo di AH.
Il modo di $eruir$i di que$ta Tauola per portare sùle linee AL, AM le diui$ioni, e$$endo lo $te$$o con quello, che s’è det- to di $opra nelle Radici de’Quadrati, non hà bi$ogno di più lunga e$po$itione. E finita la diui$ione di tutta la linea, $i po- tranno notare tutte le decine, e con vna lineeta $egnare la metà delle decine, acciò con maggior facilità $i po$$ano pren- deri punti corri$pondent<007> à que’ numeri che più piaceranno.
In que$ta linea Cubica non potiamo hauere nel diuiderla que’vantaggi compendio$i, che s’hebbero nella linea Geo- metrica, raddo ppiando, ò triplicando i lati $egnati; perche il lato doppio dà il cubo ottuplo, e così A 2 raddoppiata cade nel punto 16, A 3 duplicata nel punto 24, A 4 nel punto 32, A 5 nel 40, A 6 nel 48; & oltre di que$te niun’ altra $i può raddoppiare; onde que$t<007> $oli punti $i puonno e$$aminare.
Segnati di que$ta maniera nelli lati dello Stromento i lati de’eubi, che vanno cre$cendo conforme alla $erie naturale de’numeri, è manife$to per la dimo$tratione fondamentale portata nel capo 1, che anche gl’interualli dello Stromento allargato danno i lati de’Cubi, che $ono nella $te$$a proportio- ne indicata dalli numeri notati nello Stromento: poiche e$- $endo quattro linee proportionali (cioè li due lati nello Stro- mento, e li due interualli loro corri$pondenti) i $olidi $imili $opra di e$$e $ono proportionali per la 37. del lib. 11.
SE la proportione delle due linee date non è cono$ciuta in numeri, $i cerchi per la que$t. 5. del capo 2, la quale tro- uata, s’applichi nella linea cubica dello Stromento la prima delle date linee all interuallo del numero, che le corri$ponde, perche l’interuallo dell’altro numero nella $te$$a linea cubica, darà la $econda delle quattro proportionali. Di poi l’ altra delle due date linee, allargando, ò $tringendo lo Stromento, s’applichi all’interuallo del numero, chele corri$ponde, per- che l’interuallo del numero corri$pondente all’ altra, darà la terza delle Quattro Proportionali.
Siano date due linee R, S, le quali
$i troua, che hanno la proportione di
29 à 42; applico la linea R all’inter-
uallo 29, 29 della linea cubica dello
Stromento, e ritenuta la $te$$a aper-
L’i$te$$o $i farà dati due numeri, tra’quali $i vole$$ero due
medij proportionali; come per e$$empio tra 8, e 27. A qual-
$iuoglia apertura dello Stromento nella linea cubica, prendo
con due Compa$$i gl’interualli 8, 8, e 27, 27. Dipoi trapor-
tando il primo interuallo $u la linea Aritmetica all’interuallo
S, 8, applico l’altro Compa$$o, e veggo che cade nell’ inter-
uallo 12, 12; onde dico, che il num. 12 è il $econdo propor-
tionale. Quindi ritenendo l’interuallo pre$o con que$to $e-
condo Compa$$o, l’applico nella $te$$a linea Aritmetica al
punto 27, 27, $tringendo lo Stromento, come fà di bi$ogno,
e con$iderando che l’interuallo pre$o col primo Compa$$o,
E quì s’auuerta ciò che in altre occa$ioni s’è detto, che $e non fo$$e commodo applicare alla linea Aritmetica il Com- pa$$o con la $ua apertura pre$a nella linea cubica, quella $te$- $a apertura s’applichi ad alcun numero moltiplice, ò $ubmol- tiplice, poiche l’altro Compa$$o darà vn numero $imilmente moltiplice, ò $ubmoltiplice del numero, che $i cerca. Così$e l’interuallo primo non $i può applicare all’interuallo della li- nea Aritmetica 8. 8, s’applichi al numero triplo 24. 24, per- che così il $econdo interuallo caderà nel 36. 36 triplo del 12, che $i cerca: e $e il $econdo interuallo s’applicherà al numero duplo 54. 54, il primo interuallo caderà nel 36. 36 duplo del 18, che $i cerca.
Quando però li due numeri dati non $ono $imili $olidi, non $i troueranno li due medij proportionali preci$i, ma vi $aran- no aggiunte frattioni, che $olo s’auuicineranno al vero $enza dar preci$ione, come $i può raccogliere dalla 19, e 21 del lib. 8, e per trouar tali frattioni, potremo valerci dell’ artificio mo$trato nel Capo 2 alla Que$t. 7, quando le linee, ò apertu- re del Compa$$o, che per lo $te$$o $i prendono, non cadono preci$amente ne’ punti dello $tromento.
HAuendo il corpo tre dimen$ioni in Lunghezza, Lar-
ghezza, e Gro$$ezza, che altri chiamano Altezza, ò
Profondità, $i dice, che vn $olido $ia applicato ad vna linea
data, quando $i $uppone, che detta linea $ia vna delle $ue tre
dimen$ioni, e $i determina, quali, e quanto grandi $iano l’al-
tre due dimen$ioni dello $te$$o corpo. E per maggior facilità
di que$to e$$empio, ma$$ime che è conforme all’v$o più com-
mune, $uppongo e$$er’ <007>l $olido, che deue applicar$i alla data
Sia dunque dato
il cubo V T il cui
lato V S, e $ia datà
lalinea CD, la quale debba e$$ere vna delle dimen$ioni del $o-
Così $e fo$$e dato vn pezzo di marmo ben $quadrato, che
fo$$e per ogni ver$o $ette palmi, e da vn’altro gran pezzo di
marmo, che per vn ver$o è 10 palmi, per l’altro 11, e per il
terzo 4 palmi, $i doue$$e cauar’ vn pezzo vguale al primo,
ma quadro in vna delle faccie; facilmente $i cauerà in numeri,
quanta debba e$$er la gro$$ezza. Primieramente $i pigli il cu-
bo di 7, & è il pezzo cubico dato 343 palmi $olidi. Dipoi il
pezzorozzo non può $quadrar$i, che con hauer 10 palmi in
quadro, e così il quadrato di 10 è 100; per il quale diuiden-
do il cubo 343, viene per la gro$$ezza cercata palmi 3 {43/100}. Mà
$e non $ape$$i alcun numero, che mi$ura$$e i lati de’ $udetti
pezzi di marmo, prendo con vn Compa$$o tal parte aliquota
dellato del cubo, che po$$a commodamente capire ne gl’in-
terualli dello Stromento: e $imile parte aliquota prendo nel
PO$$ono li $olidi e$$ere Regolari, ò Irregolari; Regolari,
quando tutte le linee, & i piani del corpo $ono vguali
tra diloro; Irregolari, quando non v’è que$ta vguaglianza.
Nell’operatione v’è que$ta $ola differenza, che ne’ Regolari
trouata vna linea, che habbia la douuta proportione con il la-
to del $olido $imile, non s’hà à cercar’ altra linea; mà ne gl’Ir-
Se dunque il cor-
po dato è cubo, ò
altro de’ corpi Re-
golari, vegga$i con
quali numeri $i e-
$prima la propor-
tione data, & il la-
to del corpo dato
$i applichi nella li-
nea cubica all’ in-
teruallo del nume-
ro, che gli corri-
$ponde, e l’ inter-
uallo dell’ altro nu-
mero darà il lato,
che $icerca. Così $e al cubo VST $i debba farne vno, che
$ia {7/8} di quello, applico il lato V S all’interuallo 8. 8, e l’inter-
uallo 7. 7, mi darà il lato del cubo cercato. Mà $e fo$$e dato
DAH $olido di lati di$uguali, e conueni$$e farne vn $imile, che
fo$$e parimenti {7/8}, applico D I all’interuallo 8. 8, e l’ inter-
uallo 7. 7 dà il lato homologo RB. Dipoi all’i$te$$o interual-
lo 8. 8 applico I A, e la di$tanza 7. 7 dà il lato homologo BK,
che col primo trouato faccia l’angolo R BK vguale all’angolo
D I A. Finalmente allo $te$$o interuallo 8. 8 applico IH, e la
di$tanza 7. 7 dà il terzo lato homologo B O, il quale con il
$econdo trouato faccia l’angolo KBO vguale all’ angolo AIH:
L’i$te$$o modo $i dourà tenere ne’ Coni, e Cilindri $imili, $eruendo$i de gl’interualli delli $te$$i numeri peri diametri delle ba$i, e per gl’a$$i.
Così li Pittori, per e$primere vn corpo, che $ia più picco- lo di vn’ altro $imile in data proportione, $i $eruiranno di que- $ta linea cubica; altrimenti $e per far’vn dito la metà più pic- colo, lo face$$ero la metà più corto, $aria rappre$entato vn dito otto volte minore: perciò applicato il dito maggiore all’interuallo 2. 2 di que$ta linea cubica, l’interuallo 1. 1 darà la lunghezza de$iderata; e così dell’altre parti. Quindi è, che deuono auuertire li Pittori altra co$a e$$ere far’vn Quadro la metà più piccolo, altra co$a far le figure in e$$o la metà più piccole: perche l’impicciolire il Quadro è impicciolir’ vna $uperficie, doue che l’impicciolire le figure, è far corpi mi- nori: in quello $erue la linea Geometrica, & in que$to la Cubica.
Così parimenti $eruirà que$ta linea Cubica alli Scultori,
& alli Fonditori nel far le for me per Campane, Artiglierie, ò
co$e $omiglianti, $e vole$$ero far’vna Statua, ò altra figura $i-
Mà commodi$$i mo riu$cirà que$to no$tro Compa$$o di Proportione alli Bombardieri, per notar li diametri delle palle, e dalla grandczza della bocca dell’ Artiglieria raccoglier la loro portata, e formarne li $uoi Calibri, ò Colibri, come altri li chiamano; e con ragione da molti $i deplora l’ignoran- za di molti di que$ta profe$$ione, che hanno Calibri $propo- $itati$$imi; mà con que$ta linea Cubica fatta nel Compa$$o di Proportione con qualche accuratezza, e diligenza, potrà cia- $cuno e$$aminare nel $uo Calibre, $e $iano ben notati li diame- tri; e con $omma facilità, e pre$tezza potrà notare li diametri delle palle di ferro, di piombo, di pietra à ragion di libre ò communi di 12 oncie, ò, come in moltiluoghi s’ v$a, di 16. oncie.
Habbia$i noto il diametro d’vna palla, il cui pe$o $i sà, per
cagion d’e$$empio, di libre 7, que$to diametro $i noti sù la
Regola, ò Calibre, e nella linea Cubica s’applichi all’inter-
uallo 7. 7; perche ritenuta quell’apertura dello Stromento,
prendendo tutti gl’interuali da 1 $in’ à 50, e traportandoli sù
la Regola, s’hauranno li diametri delle palle $in’ à 50 libre di
pe$o, della $te$$a materia, di cui era quella, il cui diametro era
noto. E que$to, che s’è fatto con vna palla di ferro, $aputa$i
la proportione, che hà la pietra col ferro, $i potrà fare con le
palle di pietra: onde $e la pietra, con$orme all’ opinione de’
Bombardieri, è la terza parte del pe$o del ferro in parità di
mole, conuerrà pigliar’vna linea, che $ia diametro d’vna sfe-
ra, la qual $ia tre volte tanto, quanto la palla di ferro nota di
libre 7, e $arà il diametro della palla di pietra di libre 7, & ap-
E così $i faccia rifle$$ione, quanto più giu$ti $aranno com-
munemente li diametri delle palle notate, e pre$e dal Com-
pa$$o di Proportione $egnato nella linea Cubica, come hab-
biamo detto in que$to Capo, che con la forma pre$critta da
Luigi Colliado nella $ua Prattica Manuale di Artiglieria trat-
tato 4 cap. 32, doue cia$cuno potrà e$$aminare, quanto s’al-
lontani dalla preci$ione. E $ia per e$$empio ciò ch’ egli dice
per hauer’il diametro d’vna palla di due libre; prenda$i, dice
egli, il diametro d’vna palla d’vna libra, e diui$o in quattro
parti, vna $e ne aggiunga, sì che il diametro di vna libra è co-
me 4, e quello di due è come 5; li cubi$ono 64, e 125, e pure
que$to, per e$$er doppio, douria e$$ere 128, onde manca
Mà $e il Bombardiere haurà $eco que$to Stromento di Proportione, haurà $eco vn Calibre vniuer$ale per tutti i Pae$i, $econdo la diuer$ità de’ pe$i; poiche cono$ciuto il dia- metro d’vna palla di determinato pe$o di quel pae$e, ritenuta quell’apertura dello Stromento, à cui tal diametro è applica- to al numero corri$pondente alle libre del pe$o, $ubito $i co- no$cerà il diametro di qual $i voglia altra palla di tal materia di qual $i voglia pe$o.
Quindi volendo diametri di palle minori d’ vna libra, metta il diametro d’vna libra al numero 12. 12, e potrà ha- uer il diametro d’vna, due, e più oncie, & anche minori dell’ oncia, $e trouato il diametro d’vn’ oncia $i applichi ad vn nu. mero capace della diui$ione cercata; così mettendo$i al 50. 50, $i potrà hauer il diametro d’vna palla, che $ia {1/50} d’oncia.
Che $e per auuentura la proportione, che deuono hauer’i
$olidi $imili fo$$e e$pre$$a in numero maggiore del 50, che $i
troua nella linea Cubica dello Stromento, come $e la propor-
tione fo$$e di 40 à 72, $i riduca à minor termini, come di 10
à 18, ouero di 5 à 9, e con que$ti numeri $i operi, come$e in
e$$i fo$$e data la proportione, poiche in realtà è la $te$$a pro-
portione diuer$amente e$pre$$a. Mà $e li numeri della Pro-
portione non haue$$ero alcuna commune mi$ura, come 49
à 60, s’applichi il lato del $olido dato all’interuallo 49. 49;
dipoi ritenuta quell’ apertura dello Stromento, diui$o il 60
per alcun numero, che lo mi$uri, $ia per cagion d’e$$empio, il
12, che lo mi$ura per 5, prendo l’interuallo 12. 12, e con$er-
uo que$ta lunghezza, la quale applico all’interuallo di qual-
che numero, che habbia tra’numeri della linea vn numero
quintuplo à cagione, che il 12 mi$uraua per 5 il 60; e per e$-
$empio l’applico al 7. 7; Quindi al quintuplo di 7, cioè all’in-
teruallo 35. 35 haurò il lato del $olido, che $arà come 60 in,
riguardo del dato, che è 49. E che ciò $ia, è chiaro dall’ope-
ratione, perche nella prima operatione $i trouò il lato d’vn,
$olido, che al 49 era come 12; nella $econda operatione s’è
trouato il lato d’vn $olido quintuplo di quello, e perciò pren-
dendo$i cinque volte il 12, vien’ad e$$ere 60. Così per hauer’
il lato del $olido, che $ia come 51 ad vn’ altro il cuilato s’ad-
datta all’interuallo 28. 28, prendo l’interuallo 3. 3: que$to
Mà quando occorre$$e, che il numero maggiore di 50 fo$- $e numero primo, non mi$urato da altro numero, che dall’ vnità, e per con$eguenza di$pari, come $e fo$$e 83, $i potrà $enza pericolo di errore $en$ibile prendere la metà del nu- mero all’interuallo 41 {1/2}. 41 {1/2}, e poi applicata que$ta di$tan- za al punto 25. 25, l’interuallo 50. 50 darà il lato cercato di 83: perche $e bene quel lato, che dà il 41’ pre$o à occhio, non è così preci$o, è però tanto poca la differenza, che per l’operatione $i$ica non porta errore notabile.
COn due Compa$$i $i prendano i due lati homologi, &
applicati nella linea Cubica à gl’ interualli, ne’quali
caderanno con preci$ione la maggiore che $i potrà, i numeri,
che corti$pondono e$primeranno la pro portione. E $e i lati
de’ corpi dati fo$$ero troppo grandi per applicargli allo $tro-
mento, $i opericon vnalor parte aliquota $imile, perche il $o-
Prendiamo l’e$$empio dalli Bombardieri, i quali danno il vento alle palle dell’ artiglieria, cioè prendono le palle vn, poco minori di quello, che richiede la bocca del pezzo, à fine che mancando per auuentura, come $pe$$o accade, la douuta rotondità alla palla, non re$ti impedita dal poter$i $pinger à ba$$o, quanto conuiene, ò nello $parare non incontra$$e con, qualche piccola prominenza à $errar così giu$to, che perico- la$$e il pezzo. Due $ono le prattiche, che adoprano. Pri- mieramente prendono il diametro della bocca del pezzo, e diui$olo in 21 parti, ne danno 20 per il diametro della palla. Ora per $apere, che proportione habbia la palla, che real- mente s’ adopra, à quella, che giu$tamente porta il pezzo, s’ella fo$$e i$qui$itamente polita, e li$cia; prenda$i il diametro dell’ anima del pezzo, e nella linea cubica dello $tromento s’applichi all’ interuallo di quel numero, che è il pe$o della palla, che lo denomina, e $ia vn cannone da 40, onde dourà applicar$i all’interuallo 40. 40; e poi $i vegga à che interual- lo $i po$$a applicare il diametro della palla, ch’è {20/21} del diame- tro del pezzo, e $i trouerà, che cade tra li numeri 34, e 35, onde $i raccoglie, che tal palla non arriua à 35 libre di pe$o, mà è circa 34 {1/2}. E cio $i conferma, $e delli due diametri 21, e 20 $i prendano i cubi 9261, & 8000: & e$$endo il primo libre 40, $i faccia come 9261 à 8000, così libre 40 à libre 34 {5/9}, & in que$ta maniera, $e la portata del pezzo fo$$e di libre 50, dato il vento alla palla, con leuare al $uo diametro {1/31}, $aria la palla $olo di libre 43 {1/5} poco meno.
La $econda maniera è tale; il cir-
Dalle co$e dette $i caua, come $i po$$a
OGni Cono paragonato con vn Cilindro, che habbia la
ba$e, e l’a$$e, vguale alla ba$e, & all’ a$$e del Cono, è
la terza parte del Cilindro, per la 10 del lib. 12, e perciò da-
to il Cilindro, ba$terà trouar’il diametro della ba$e, e l’a$$e
d’vn $imile Cilindro, che fo$$e tre volte maggiore, perche il
Cono, che haurà que$to diametro della ba$e, e que$to a$$e,
e$$endo la terza parte di que$to Cilindro triplo del primo,
$arà vguale al primo Cilindro. Ora perche li Cilindri $imili
$ono nella triplicata proportione
SE fo$$e data vna gran Colonna, e $i vole$$e $apere, quan- to, ò quale douria e$$er’ il diametro d’vna sfera vguale alla colonna (la quale $uppongo e$$er’ vn cilindro retto, cioè, che l’a$$e cade perpendicolare nella ba$e; $e nò, facilmente $i ridurrà ad vn cilindro retto, che habbia l’i$te$$a ba$e, e l’i$te$- $a altezza perpendicolare, che $ia a$$e, come $i raccoglie dal Corollario della 11 del lib. 12) prenda$i il diametro della ba- $e, e l’altezza di tal cilindro; $i troui la lor proportione in numeri, per la que$t. 5. del cap. 2. e nella linea cubica dello $tromento applicato il diametro all’ interuallo del numero, che gli corri$ponde, $i prenda l’interuallo, che dà l’altro nu- mero corri$pondente all’a$$e. Que$ta di$tanza trouata s’ap- plichi nello $tromento all’ interuallo 2. 2, poiche l’interuallo 3. 3 darà il diametro cercato della sfera vguale al cilindro. E $e gl’interualli 2. 2, e 3. 3 fo$$ero troppo piccolli, $i pren- dano li loro equemoltiplici in qualunque proportione. Sia nell’i$te$$a fig. 21 dato il cilindro EIF, à cui $i voglia far’vna sfera vguale; $i troua, che il diametro della ba$e EF all’ a$$e GH è come 91 à 200, cioè come 5 à 11, nella linea cubica applico EF all’interuallo 5. 5, e l’interuallo 11. 11 mi dà la linea R. Applico la linea R all’interuallo 2. 2, e l’interuallo 3. 3 mi dà la linea S diametro della sfera MN vguale al dato cilindro EIF.
Per dimo$trare, che ciò $ia, prenda$i la linea R diametro,
& a$$e del cilindro quadroto KPXL, & in que$to cilindro s’in-
SIa data la Parabola ABC, & in e$$a due $egmenti AFB,
e BC terminati nello $te$lo punto B. Si cerca la propor-
tione di que$ti due $egmenti. Tiri$i
Ora perche li $egmenti AFB, e BC hanno tra di loro la tri- plicata proportione della linea AE all’EC, come dimo$tra Gregorio di S. Vicenzo lib. 5. Quadr. circ. prop. 260; metta$i la linea AE in qual$iuoglia interuallo della linea Cubica; e quell’interuallo, doue capirà la linea EC col numero oppo- $to dimo$trarà la proportione delli due $egmenti: poiche e$- $endo triplicata della proportione di AE ad EC, $arà la me- de$ima delli Cubi di dette linee AE, EC.
SIa data la Parabola DBE terminata dalla linea DE; &
à que$ta $ia parallela la linea AC. Si cerca la propor-
tione del $egmento ABC al re-
Mà perche la Parabola ABC alla Parabola DBE è nella proportione del $uo Triangolo ma$$imo ABC a$ Triangolo ma$$imo DBE; dunque la Parabola ABC alla Parabola DBE è nella triplicata proportione della linea AC alla linea DE. Metta$i dunque nella linea Cubica dello $tromento à qual$i- uoglia interuallo $a linea DE, etroui$i doue capi$ca l’inter- uallo AC, che $arà manife$ta la proportione delle due Para- bole: e pre$a la differenza trà di loro, $arà manife$ta la pro- portione del$egmento ABC al re$tante DACE.
APerto lo Stromento; gl’interualli de’numeri nelle linee
cubiche danno i lati de’cubi, i qualli hanno tra diloro
la proportione e$pre$$a dalli numeri adiacenti. Dunque $e
detti lati s’applicheranno ad interualli delle linee Aritmeti-
che, $i cono$cerà la proportione di detti lati; la qual’è la $ub-
triplicata della proportione de’Cubi. Dunque cono$ciuta la
proportione di due cubi, & il lato d’vno di e$$i, $i cono$cerà
anche l’altro. Quindi è, che applicato vn cubo ad vn nu-
mero delle linee cubiche, e pre$o il lato d’vn’altro cubo co-
no$ciuto nella $ua radice, & applicata que$ta all’interuallo
corri$pondente nelle linee Aritmetiche, l’altro lato del cubo
dato $i cono$cerà, e$$endo applicato all’interuallo proportio-
nato delle linee $te$$e Aritmetiche. Perciò dato vn numero
pre$o come cubo; & applicato alle linee cubiche (nel modo
proportionatamente, che $i di$$e dell’ e$trattione della radice
quadrata con le linee Geometriche) quelche re$ta tagliate
via le tre vltime figure, e pre$o l’interuallo d’vno de’numeri
cubi $egnati nelle linee, cioè 8, ouero 27, radice de’ quali $o-
no 2, e 3, e que$to poinelle $inee Aritmetiche applicato al 20.
20, ouero al 30. 30, l’altro interuallo applicato alla $te$$a li-
nea, darà la radice cubica cercata. E la ragione, perche $i
buttino via le tre vltime figure, è perche li cubi di 20, e di
30 $ono 8000, e 27000, e così gettate via le tre vltime figure,
re$ta la proportione de’cubi e$pre$$a in numeri minori, che
$ono $egnati nelle linee dello Stromento: & applicati poi
Cerchi$i la radice cubica del numero 14119; gettate via le tre $igure 119, il re$to 14 applico all’interuallo 14. 14 del- le linee cubiche: poicon vn’altro Compa$$o prendo l’inter- uallo 8. 8 nella $te$$a apertura dello Stromento. Poinelle li- nee Aritmetiche applico que$to $econdo interuallo pre$o alli punti 20. 20, che è la radice di 8000, e vedendo, che il primo interuallo pre$o applicato à que$te $te$$e linee Aritmetiche cade al 24. 24, e vn poco più; dico, che la radice cubica del dato numero 14119 è 24 con vna frattione aderente. Che $e le tre vltime figure tagliate pa$$ano li 500, $i può accre$cer d’vn’vnità il numero, che re$ta, poiche più s’acco$ta al mille. Così cercando$i la radice di 19864, $i può in vece del 19 prendere il 20, & operando come prima, $i troua e$$er la $ua radice 27, e poco più.
Mà $e il numero re$tante fo$$e maggiore del ma$$imo no-
tato nelle linee cubiche, prenda$i vna parte aliquota tale, che
nelle linee cubiche $iano due numeri così moltiplici l’vno
dell’altro, come il tutto è moltiplice della detta parte aliquo-
ta: come $e $i prende la $e$ta parte, vi$ia vn numero $e$tuplo
d’vn’altro. Et in tali occa$ioni è bene nel principio prendere
piccola apertura dello Stromento, per poter poi applicar
quell’interuallo pre$o à numeri minori, come mo$trerà l’i$pe-
rienza. Cerchi$i la radice cubica di 336212: tagliate le tre
vltime figure, re$ta 336, il qual’è troppo grande; piglio
dunque la $ettima patte di 336, cioè 48, & aperto lo Stro-
mento, prendo nelle linee cubiche l’interuallo 48. 48, e con
vn’altro Compa$$o l’interuallo 8, 8. Mà perche il lato pre$o
di 48 è $olo il lato d’vn cubo $ub$ettuplo del cubo dato, per-
Quando poi l’interuallo vltimo riu$ci$$e così grande, che fo$$e maggiore dell’interuallo 100. 100 della linea Aritmeti- ca, $i de$criue vna linea vguale à tal’ interuallo delle linee Cu- biche vltimamente trouato, e cauatone la di$tanza 100. 100 delle Aritmetiche, s’applica il re$to della linea, e $i vede quan- to di più vada aggiunto al 100. Cerchi$i la radice cubica di 1840325, gettate le tre vltime figure, diuido il re$to 1840 in quaranta parti, e trouo, che la $ua quarante$ima patte è 46. Apro mediocremente lo Stromento, e prendo col primo Compa$$o l’interuallo 46. 46, e col $econdo Compa$$o l’in- teruallo 8, 8. Dipoi, perche il cubo 46. 46 và moltiplicato 40 volte, applico quell’interuallo pre$o col primo Compa$- $o all’interuallo 1. 1, e poi prendo l’interuallo 40, 40. Et operando poi, con hauer’ applicato l’interualo pre$o col $e- condo Compa$$o alli punti 20. 20 delle linee Aritmetiche, trouo, che eccede l’altro Compa$$o la ma$$ima di$tanza 100. 100: perciò da vna linea de$critta vguale all’vltimo in- teruallo pre$o col Compa$$o alli punti 40, 40 delle cubiche, cauo l’interuallo 100. 100 dell’Aritmetiche, & applico à quello il re$to della linea de$critta, e cadendo alli punti 22, dico, che la radice cubica del numero dato 1840325, è 122 con qualche frattione.
Quì pure nelnumero così grande, che due numeri, i quali moltiplicati in$ieme lo producono, $ono maggiori delli nota- ti nella linea cubica dello $tromento, $e ne piglino 3, ò anche quattro, dalla moltiplicatione de’quali vien prodotto il nu- mero, chere$ta, leuate le tre vltime figure, nel modo detto, quando $i parlò dell’e$trattione della radice quadrata. Così cercando la radice cubica di 3600000, leuate le tre vltime figure, re$ta 3600, che $i fà dal 60 per 60: po$$o dunque prendere tre numeri 15. 15. 16, e pre$o l’interuallo 15. 15, prender poiillato del cubo quindecuplo di que$to, applican- do quell’interuallo al 3. 3, epoi prendendo i’interuallo 45. 45, & hauuto que$to, s’hà à prender’il lato del cubo $edecu- plo, il che $i farà applicando que$to $econdo interuallo tro- uato al 3. 3, e poi prendendo l’interuallo 48. 48, & operan- do con que$to nel modo detto, nelle linee Aritmetiche $i tro- ua, che la radice cubica di 3600000, $arà 153 in circa.
Finalmente per i piccoli numeri s’opera $enza tagliarne
alcuna figura; e s’hanno l’intieri con le decime. Cerco la ra-
dice del numero 47; prendo l’interuallo 47. 47, & anche 8. 8,
que$to $econdo nelle linee Aritmetiche applico al 20. 20, e
l’altro cade nel 36. 36, poco più: onde dico, che la radice cu-
bica di 47 è 3 {6/10}, poco più: perche per radice di 8 douea,
prender$i 2, e non 20; dunque hauuti$i i decimi del cubo
preci$o, vengono li decimi del cubo dato non così preci$o.
Cerco la radice di 180, prendo il quinto 36, e l’interuallo 36.
36 applico ad vn’altro numero, dicui $ia il quintuplo nelle
linee cubiche, per e$$empio al 5. 5, e poi prendo l’interuallo
quintuplo 25. 25. Poi applicato l’interuallo 8. 8, pre$o da
principio al 20. 20, delle linee Aritmetiche, trouo, che l vlti-
mo interuallo cade nelle linee Aritmetiche al 56. 56, e qua-
Che $e il numero dato non fo$$e intiero, ma vn rotto, di cui
$i cerca$$e la radice cubica; $arà $acile il trouarla; cioè nelle
linee cubiche applicando all’interuallo corri$pondente al nu-
mero, che $i vuol ritenere (ò $ia il Numeratore, ò pure il De-
nominatore) i$ compa$$o con quell’apertura, che $i vuole; e
di poicon altro compa$$o prendendo l’interuallo ri$pondente
all’altro numero della frattione data; poiche nelle linee
Aritmetiche applicato il primo compa$$o al numero, che $i
vuol ritenere della data frattione, ouero ad vn $uo moltiplice,
(il che $arà meglio, per hauer la radice più vicina alla preci$io-
ne) l’ltro compa$$o mo$trarà il numero cercato. Sia per ca-
gione d’e$empio dato il roto {4/7}, di cui $i vuole la radice cubi-
ca: prendo nelle cubiche l’interuallo 4. 4. (poiche voglio ri-
tener il Numeratore) e con altro compa$$o l’interuallo 7. 7.
Quindi applico il primo compa$$o nelle linee Aritmetiche al
decuplo di 4, cioè al 40, & il $econdo compa$$o caderà all’in-
teruallo 48. 48, poco più: onde la radice $arà pro$$imamen-
te {40/48}, cioè pro$$imamente {5/6}, il cui cubo {125/216} è poco maggiore
del cubo dato {4/7}. Che $e nelle linee cubiche prendo col primo
compa$$o l’interuallo 7. 7, e col $econdo 4. 4, nelle Aritmeti-
che applico il primo compa$$o al 70. 70, & il $econdo cade
all’interuallo 58.58. onde la radice è pro$$imamente {58/70}, cioè
{29/35}; il cui cubo {24389/42875} è poco minore del cubo dato {4/7}. La ragio-
ne di que$to modo di operare è manife$ta, perche cercando $i
laradice cubica ad vn numero rotto, $i cerca vna frattione, il
cui Numeratore al $uo Denominatore habbia la propottio-
ne $ubtriplicata del Numeratore al Denominatore della data
frattione. Ora per la con$truttione dello $tromento $i hanno
In que$to luogo, come per aggiunta, mi per$uado non $ia per e$$er di$caro al mio Lettore, $e proporrò vna maniera, a$$ai facile per trouar la radice cubica de’ numeri, almeno molto vicina alla preci$ione, della quale non $i curano più che tanto quelli, che cercano tali compendij, di$$i vicina alla preci$ione, non perche non $i po$$a hauere la radice preci$a, quando ella c’è, ma perche in alcuni numeri grandi, come ap- pre$$o $i vedrà, non $empre s’affronterà.
Per li numeri, che non $iano maggiori di $ei figure, e per-
ciò la radice non è che di due figure, $eruirà con ogni preci$io-
ne la $eguente tauoletta, in cui nel capo di cia$cun’ordine,
dou’è C 2. C 3. &c. $i mo$tra che, quando la prima nota del-
la radice è 2, ouero 3, ò qualunque altro numero, tutto quel-
lo, che $i dourà cauare, è vno de’numeri po$ti in quell’ordine
venendo à ba$$o; e nella prima colonna, doue $on po$te le 9
Sia dato il numero 438976, da cui de-
Ora perche la radice trouata da principio è 7, cerco nell’ ordine C. 7, venendo à ba$$o vn numero vguale, ò pro$$ima- mente minore del 95976, e lo trouo preci$amente à dirittu- ra della radice 6 nella prima colonna: perciò aggiungo il 6 alla radice 7, e fatta l’e$trattione, nulla rimane; onde conchiu- do, che il num. dato 438976 è preci$amente cubo, e la $ua ra- diee è 76.
Nell’i$te$$a maniera dato 749812, leuo dal 749 il cubo di
9, che è 729, e rimane 20. Il numero,
che re$ta è 20812. Ora perche la radi-
Mà $e il numero dato fo$$e 57649, le-
uo dal 57 il cubo di 3, che è 27, e re$ta
La ragione di que$to modo d’operare è, perche i numeri
di cia$cuna area della tauoletta $ono quelli, che $i fanno dal
Che $e il numero dato $arà maggiore di $ei figure, $i diuida
per vn numero cubo, di cui $ia cono$ciuta la radice, e del quo-
tiente rima$to minore di $ette figure $i caui nel modo predet-
to la radice; poiche $e que$ta radice trouata $i moltiplicarà
per la rad<007>ce nota del cubo, che fù diui$ore, $i produrrà la ra-
dice cercata del numero dato. La ragione di ciè è manife$ta,
perche come l’vnità al diui$ore, così il quotiente al numero
diui$o; dunque e$$endo l’i$te$$a la lor proportione $ubtriplica-
ta, è ancho come la radice cubica dell’vnità alla radice cubi-
Ma $e vn numero $arà così grande, che non ti $ia noto vn cubo, che diuidendo$o la$ci per quotiente meno di 7 figure, diuidilo per qucl cubo, che ti è noto: & il quotiente troppo grande diuidi $imilmente per vn cubo noto, $in che habbi vn quotiente piccolo à tuo modo, dal quale po$$i cauar la radi- ce: dipoi que$ta radice moltiplicata $ucce$$iuamente con le radici de’cubi pre$i per diui$ori, darà fina$mente la radice cercata.
Di quì hai vn modo a$$ai facile per cauare la radice cubica
anche $enza que$ta tauoletta, $e $olamente $aprai i primi no-
ue cubi, diuidendo per e$$i il tuo numero, $in che re$ti vn quo-
tiente minore di 4 figure, di cui ti $arà nota la radice; e que$ta
poi moltiplica per tutte le radici de’cubi diui$ori. Sia dato
lo $te$$o numero poco prima po$to 128024064: lo diuido
per 729 cubo del 9, & il quotiente 175616 diuido di nuouo
per 343 cubo del 7, e viene il quotiente 512, la cui radice è
Dal che potrai anche inferire la facilità del $eruir$i delli cu- bi di 10, 100, 1000, &c. tagliando dal dato numero alla de- $tra tanti numeri ternarij di figure, che non re$tino più di tre figure, delle quali prendi il cubo maggiore con la $ua radice, e quel che auanza del numero re$tato aggiungi alle figure ta- gliate, e $erue per numeratore della frattione, il cui denomi- natore $arà il triplo quadrato della radice trouata, aggiunti tanti zeri, quante figure tag$ia$ti fuora: Dipoi que$ta radi- ce trouata moltipl<007>ca per il 10, ouero 100, &c. conforme taglia$t<007> fuora 3, ò 6, ò 9 figure, e $i produrrà la radice cer- cata; è ben vero, che $arà vn poco maggiore del douere, co- me per il contrario, $e haue$$i accre$ciuto d’vn’vnità quel tri- plo quadrato della radice, verrebbe vn poco minore del do- uere. Così $ia dato l’i$te$$o 128024064: taglio $ei figure, che è come diuiderlo per 1000000, cubo del 100, re$ta 128 {024064/1000000}, da cui cauato 125 cubo di 5, re$ta 3 con la frat- tione: Dunque, poiche 75 è il triplo quadrato di 5, la radi- ce $arà 53 {024064/1000000/75}, cioè 5 {3024064/75000000}, que$ta radice moltiplicata per 100 radice del cubo diui$ore, produce 504, con l’aggiun- ta d’vna frattione, la quale fà il numeratore troppo grande, che $e in vece del 75 haue$$i pre$o 76, $aria venuto meno di 504, onde $i caua douer$i prendere 504.
HAbbiamo $in’ora nelle linee $egnate sù lo Stromento, ri$guardato preci $amente le grandezze, ò $iano lun- ghezza, ò aree, ò corpi, $enza tener conto della materia; Ora per cagion d’e$$empio, onde altri potrà à $uo talento de- $criuerne altre, con$ideriamo le grandezze in materie deter- minate in quanto $i po$$ono paragonar’in$ieme, e $iano li me- talli, aggiungendoui la Calamita, il Marmo, e la Pietra, per hauer dieci materie da paragonar’in$ieme. In due maniere $i può in$tituire que$ta comparatione, cioè nella grauità, e$- $endo vguale la lor mole; ouero nella mole, e$$endo vguale illor pe$o. Mà perche hauere nello Stromento vna linea di- ui$a nella proportione della grauità, è co$a, che non hà mol- ta difficoltà, poiche è vna diui$ione di linea $emplice, e tutte le $ue operationi non $olo $i puonno facilmente fare con la li- nea Aritmetica, hauuto ri$guardo alla Tauoletta, che quì $i porrà, nella cui $econda colonna s’e$primono le proportioni delle grauità; ma anche $enza la Tauoletta $i potranno caua- re dallo Stromento nel modo, che quì à ba$$o nella Que$t. 1. $i dirà; perciò è meglio hauer le proportioni de’lati cubici, ouero delli diametri delle sfere, ch’e$$endo di diuer$a mate- ria, $ono però di vgual pe$o; e que$to hauendo qualche diffi- coltà, conuerrà quì $piegare, acciò $i vegga il modo, che $i de- ue tenere; poiche li meno prattici vi ci potriano prendere non piccolo sbaglio.
Suppongo noto dalla Statica, che la $pecie della grauità de’ corpi paragonati in$ieme $i cono$ce dal pe$o di cia$cuno nell’ i$te$$o mezzo, in cui grauitano, e$$endo di mole vguali: così perche vna palla di ferro pe$ata nell’aria $i troua e$$ere libre 21, doue che vna di pietra della $te$$a grandezza pe$ata pure nell’aria, non è che libre 7, perciò dice$i, che il ferro è tre vol- te più pe$ante della pietra. In oltre $uppongo ciò, che nella Statica $i dimo$tra, che le grauità $pecifiche de’ corpi, e le lo- ro moli $ono reciprocamente proportionali, cioè, come la grauità $pecifica del primo, alla grauità $pecifica del $econdo, quando le moli $ono vguali, così quando le grauità a$$olute $on’vguali, la mole del $econdo alla mole del primo. E per $tare nell’e$$empio propo$to del ferro, e della pietra, il ferro è in $pecie tre volte più pe$ante della pietra; dunque quando faranno due ma$le, vna di ferro, e l’altra di pietra vguali di pe$o, la ma$$a di pietra $arà reciprocamente tre volte mag- giore di quella di ferro. Così perche in mole vguale il pe$o dell’oro è come 100, & il pe$o del rame è come 47 {1/3}, così in pe$o vguale la mole del rame $arà come 100, ela mole dell’ oro $arà come 47 {1/3}; ecosì di tutte l’altre grauità.
Quindiè, che cono$ciuta la proportione, che hanno le gra- uità $pecifiche de’corpi propo$ti, $i verrà a trouar la propor- tione della loro $olidità, quando $i $uppongano di pe$i vgua- li, $e $i riuoltarà la proportione delle grauità in modo, che quello, ch’era con$eguente nelle grauità, diuenga anteceden- te della proportione nelle $olidità. Onde e$$endo li dieci cor- pi propo$ti nella grauità tali, che l’oro è il più pe$ante, e la pietrail più leggiero, per il contrario, $e $i faranno dieci palle di pe$o vguale, quella di pietra è la più grande, e quella d’oro la più pic cola.
E prima di pa$$ar’ auanti, mi conuien quì auui$are, che $i troua appre$$o gl’ Autori qualche diuer$itànel determinare le proportioni delle grauità $pecifiche; e ciò è potuto accadere $enza alcun errore, ò imperfettione nelle lor’ i$perienze, per- che il ferro, ò l’argento, ò l’oro di tutte le miniere non è per- fettamente $imile, ne tuttii marmi $ono giu$tamente pe$anti à vn modo, e da que$ta diuer$ità de’ corpi o$$eruati hà potu- to na$cere la diuer$ità delle proportioni, che $i $ono deter- minate: anzi deue auuertir$i, che $i troua diuer$ità di pe$o nel metallo coniato, e nel metallo fu$o, perche nel fonderlo non $i conden$a tanto, quanto nel batterlo per coniarlo, e così nella $te$$a mole $i può trouare diuer$ità di pe$o tra argento, & argento tolto dalla $te$$a miniera. Mà purche $i prenda la proportione trouata da alcun’e$$atto, e diligente o$$eruatore, tanto ba$ta; perche nell’operatione fi$ica, à cui $erue que- $to Stromento di Proportione, di cui trattiamo, non può riu- $cir’errore notabile. A me è piacciuta la proportione ap- portata dal Mer$ennio ne’$uoi Hidraulici, come quella, che mettendo la grauità dell’oro, come 100, e paragonando con e$$a l’altre grauità, mo$tra alla prima a$$ai intelligibiln ente la loro proportione.
Or’ecco in qual maniera s’è fatta que$ta Tauoletta, in cui
nella prima colonna $ono po$ti i corpi per ordine, come van-
no cre$cendo di grauità, e calando di mole; nella $econda
$ono le grauità $peeifiche, cioè i pe$i di detti corpi, quando
$ono di mole vguali; nella terza la $olidità delle sfere fatte di
cia$cun corpo, sì che però $iano di pe$o vguali: e quel che
delle sfere $i dice, s’intende de’ cubi, e di qual$iuoglia altro
corpo $imile, poiche tutti $ono nella triplicata proportione
E perche nello Stromento conuien notare la proportione $ubtriplicata delle sfere, ò de’ cubi, perciò da c<007>a$cun nume- ro delle $olidità $i caua la radice cubica, aggiungendo à cia- $cun numero noue zeri, à fine d’hauer la radice in parti mille- $ime: nel che s’è operato nella $te$$a maniera, che nel Capo 4. onde circa il modo di $eruirci de’ numeri della quarta co- lonna per notar le diui$ioni dello Stromento, non occorre re- plicar ciò, che già di $opra s’è detto.
Per venir dunque all’e$$ecutione dal centro dello Stro-
mento, tiro le due @inee AP vguali; e pongo, che A P $ia dia-
metro d’vna palla di pietra, il quale conforme alla Tauoletta
è 464 cente$ime_:_ onde $i può intendere tutta la linea diui$a
Dunque per hauer le parti cente$ime in ordine à $egnar
nella linea AP gl’altri diametri, la grandezza d’vna di que$te
parti vltimamente trouate per vn’intiero, applico nella $te$$a
linea Aritmetica all’interual@o 50. 50; eritenuto lo Stromen-
to nel@a $te$$a apertura pa$$o all’inue$tigatione de gl’ altri dia-
metri nel modo che nella Que$t. 10. del Cap. 2. $i di$$e. Così
perche il diametro della sfera di marmo è 405, prendo 105,
& all’interuallo della metà cioè al 52 {1/2}. 52 {1/4} hò la parte da
aggiunger alli tre intieri, cioe dal punto c $in’all’M; e così di
quali parti AP è 464, di tali e$$endone Ac 300, e c M 105,
tutta @a AM è 405 diametro d’vna sfera di marmo di pe$o
vguale alla sfera di pietra. Così per la calamita alli due in-
tieri A b aggiungo l’interuallo della metà di 178, cioè di 89.
89, & è b C; onde AC è il diametro per la calamita: E così
de gl’altri. Similmente per l’argento, <007>l cui diametro è 295,
prendo alla metà di 295 l’interuallo 97 {1/2}. 97 {1/2}, e l’aggiungo
ad vn intiero, cioè dal pnntoa, onde AA è il diametro di vna
sfera d’argento. E nella i$te$$a maniera s’anderanno aggiun-
Quì auuerto che nello Stromento $i $on po$te le lettere ini- tiatiue de’nomi ltaliani, e per l’argento viuo, già che hà otte- nuto da’Chimici il nome di Mercurio fattogli già commune, s’è po$ta la lettera M, la qual’e$$endo la più vicina alla lettera O, e $apendo$i, che doppo l’oro l’argento viuo è il più pe$an- te, ogn’vno facilmente intende e$$ere la M per l’argento vi- uo. Sarà poi lecito à qual$iuoglia Artefice porre quelle let- tere, che più gli piacerà, purche $iano tali, che $i po$$a facil- mente cono$cere qual nome dimo$trino.
GIà s’è detto, che le grauità $pecifiche $ono reciproca-
mente, come le moli, e grandezze delli pe$i a$$oluta-
mente vguali; onde è manife$to, che hauendo$i nello Stro-
mento la proportione $ubtriplicata delle moli, que$ta pro-
portione triplicata darà la proportione delle moli, e rouer-
$ciata $arà proportione delle grauità $pecifiche. Si può dun-
que in due maniere operare. Primieramente, allargando lo
Stromento, quanto piace, e prendendo con due Compa$$i
gl’interualli de’due corpi, la cui proportione delle grauit à $pe-
ci$iche $i cerca: dipoi con la linea Aritmetica per la Que$t. 5.
del Cap. 2 $i vegga, che proportione in numeri habbiano
quelli due interualli pre$i: li numeri $i cubichino, e $arà nota
la proportione cercata, $e $i riuolterà. Per e$$empio voglio
Secondariamente $i può fare con più facilità, quando nello stromento vi $ia la linea cubica; poiche il primo modo pro- po$to è buono, quando nello Stromento e$$endoui la $inea metallica non v’è la cubica. Prendan$i come prima gl’inter- ualli della linea metallica, e $i vegga nella linea cubica, à quali interualli s’addattino, & i numeri della linea cubica mo$tre- ranno i termini della Proportione reciproca, poiche mo- $trano la proportione delle grandezze. Così l’interuallo FF nella linea metallica corri$pondente al ferro portato sù la li- nea cubica all’interuallo 13. 13, l’interuallo CC corri$pon- dente alla calamita, cadendo nella linea cubica all’interuallo 21. 21, dimo$tra, che la mole della calamita alla mole del fer- ro è come 21 à 13, e perciò reciprocamente la grauità del ferro alla grauità della calamita è come 21 à 13.
La d<007>mo$tratione è chiara: perche gl’interualli CC, & FF
$ono nella proportione di AC ad AF, per quello che s’è det-
to nel Capo 1; dunque e$$endo que$te, per la con$truttione
dello Stromento nella proportione $ubtriplicata delle gran-
dezze, anche gl’interualli CC, FF $ono nella $te$$a propor-
tione $ubtriplicata; dunque que$te portate come interualli
della linea cubica, $ono nella $te$$a proportione, in cui $ono
Quindi è, che $aputo$i il pe$o d’vna palla di ferro, che por- ta vn cannone, $i potrà facilmente $apere, quante libre porti di palla di pietra; poiche trouata la proportione delle graui- tà $pecifiche, come 3 à 1, $e la palla di ferro è di libre 60, quella di pietra vguale è libre 20.
E quì $i può auuertire la diuer$a forma, con cui $i può in
di$$egno e$primere la proportione delle grauità di due corpi;
perche $e $i vuol’ e$primere con sfere, ò con cubi, ba$terà
prendere gl’interualli della linea metallica, e $opra quelli, co-
PErche in que$ta que$tione $i $uppone nota la grauità, ela grandezza del corpo, poco importa, che detto corpo $ia regolare, e$$endo che $i può operare, come $e $i haue$@e vna sfera di pe$o vguale, mentre non $i cerca im mediatamen- te la proportione, ne $a $imilitudine della grandezza, mà de’pe$i.
Sia per e$$empio vn pezzo di marmo di pe$o 40 libre, e $i
voglia hauer’vna palla, ò vn cubo di piombo vguale di pe$o
al marmo. Conuien dunque trouar, ò il diametro d’vna sfe-
ra, ò il lato d’vn cubo di marmo vguale alla grauità del pez-
zo di marmo dato. Sia per e$$empio cono$ciuto il lato d’vn
Mà $e $i cerca$$e vn cubo di piombo, ch’in vna $tadiera
equilibra$$e vn’altro pe$o maggiore, è manife$to dalle ragio-
ni $tatiche, che li pe$i deuono hauere la proportione recipro-
ca delle lunghezze de bracci della $tadiera, pigliandoli dal
punto, da cui ella $tà $o$pe$a; e perciò al pe$o dato conuien
trouar v’altro pe$o della $te$$a materia, che $ia minore nella
proportione de’bracci della $tadiera; & hauuto il lato cubico,
ò diametro sferico di tal pe$o minore applicato alla linea
metallica, $ubito $i trouerà il lato, ò il diametro del cubo, ò
della sfera dell’altra materia, che $i cerca. Così $ia la $tadie-
ra AB $o$tenuta nel punto C, $i che il braccio CB $ia noue
volte maggiore del braccio CA, e dall’ e$tremità A debba
$o$pender$i vn pe$o di 450 libre di $tagno; dunque e$$endo
BC à CA, come 9 à 1, il pe$o che in A è 450 libre, vien equi-
librato in B da libre 50. Ora facciamo, che $ia noto il dia-
metro di vna palla di $tagno di lib. 3, s’appli chi tal diametro
nella linea cubica all’interuallo 3. 3, e l’interuallo 50. 50, da-
rà il diametro d’vna palla di $tagno di lib. 50. Que$to dia-
metro trouato $i porti nella linea metallica all’ interuallo SS
Quì però deue intender$i la $tadiera equilibrata da $e me- de$ima, perche altrimenti nelle $tadiere communi non riu$ci- rebbe aggiu$tato il pe$o, a cagione che il braccio lungo del- la $tadiera hà li $uoi momenti di grauità.
Auuerta$i in que$te operationi riu$cir a$$ai commodo prendere le sfere; perche quando fo$$ero grandi a$$ai, $i può operare col $emidiametro più to$to, che col diametro, e s’hà l’apertura del Compa$$o per de$criuer la sfera; ma $e $i pren- de$@e la metà dellato cubico, conuerria pigliar il cubo otto volte minore del pe$o dato, e $i trouerebbe il lato d’vn cubo otto volte minoré del douere: onde finita l’operatione, $aria di me$tieri raddoppiar il lato trouato.
In oltre $i deue auuertire da chi non fo$$e tanto prattico della Geometria, che quando $i tratta $olamente d’e$primere la proportione, tanto è trouar li diametri delle sfere, quanto ilati de’cubi; perche le sfere e$$endo tra di $e nella triplicata proportione de’loro d<007>ametri, hanno la proportione de’cubi de gli $te$$i diametri; Mà $e $i tratta$$e d’e$primere le gran- dezze, non è l’i$te$$o prender le sfere, & i cubi, come è ma- nife$to; poiche la sfera circo$critta dal cilindro è à que$to co- me 2 a 3, & il cilindro cir@o$critto dal cubo è nella propor- tione del circolo al quadrato d@l diametro, cioè come 11 a 14: onde ne viene, che que$ti tre corpi sfera, cilindro, e cu- bo, à quali $erue l’i$te$$a linea di diametro alli rotondi, e di la- to al cubo, $ono nella proportione di 22. 33. 42, e così il cubo alla sfera è come 21 à 11; dal che appari$ce quanto enorme sbaglio faria chi in ciò opera$$e $enza la douuta rifle$- $ione.
Dal che così di pa$$aggio po$$iamo raccogliere, come $i po$$a trasformar vn cubo in vna sfera, & al contrario. Perche $e $arà dato il lato d’vn cubo, è manife$to, ehe di quali parti quel cubo è 21, la sfera che habbia diametro vguale $arà $olo 11: ponga$i dunque quel lato del cubo dato nella linea cubi- ca, come $e fo$$e diametro d’vna sfera all’interuallo II. II, e pre$o l’interuallo 21.21, que$to $arà il diametro della sfera, la quale e$$endo alla sfera del primo diametro, come 21 à 11, vien ad e$$er vgual al cubo dato, perla 7 del lib. 5. E $e la sfera s’haurà à cangiar in cubo, ponga$i il diametto di detta sfera come latò d’vn cubo all’interuallo 21. 21, e pre$o l’in- teruallo 11. 11, $arà lato d’vn cubo, che $arà al cubo del pri- mo lato, come 11 à 21, e perciò vguale alla sfera del primo diametro pre$o, come lato di cubo.
Fatta poi que$ta trasformatione di sfera in cubo vguale della $te$$a materia, $arà facile, per quel ches’è detto con la linea metallica trouar la sfera, \‘c’lcubo vguale di pe$o, che $ia d’altra materia.
L’i$te$$a forma d’operare $i terrà nella trasformatione di
sfera, ò cubo in cilindro, hauendo ri$guardo alla propor-
tione delle loro grandezze; e $eruendo$i della linea Cubica,
Geometrica, e poi della linea Metallica per la diuer$ità della
materia in ordine al pe$o. Così e$$endo data la sfera S d’ar-
gento, e $i voglia vn cilindro d’oro vguale di pe$o, il cilindro
quadrato CE, che hà per ba$e il circolo ma$$imo della sfera,
e per altezza il diametro della $te$$a sfera, è $e$quialtero alla
sfera: dunque trouando$i con la linea Geometrica il diame-
tro d’vn circolo $ub$e$quialtero, e $ia CF, il cilindro CG d’al-
tezza vguale al diametro della sfera $arà vguale alla $te$$a sfe-
ra, poiche anch’egliè $ub$elquialtero del cilindro CE, ha-
DAlle co$e dette $in’ora è manife$to, che $apendo$i la, grandezza d’vn pe$o in materia determinata di quel- le, che $ono nella linea metallica $ubito $i troua la grandezza del corpo d’vgual pe$o in figura $imile, e di materia diuer$a. Po$cia con la linea cubica $i troua la grandezza del pe$o, che $i cerca. Per cagione d’e$$empio $i cerca di far’ vn va$o di capacità cubica in modo, che capi$ca libre 3200 d’argento viuo: è noto il diametro d’vna palla diferro di 3 libre. Per- che $i cerca illato cubico del va$o, $i riduca la grandezza del- la palla ad vn cubo vguale, trouando il lato del cubo di ferro di 3 libre, come s’è detto nella Que$t. precedente: e que$to lato cubico nella linea metallica s’applichi all’interuallo del ferro FF, perche l’interuallo del mercurio MM darà il lato di vn cubo d’argento viuo di 3 libre. Que$to lato trouato s’ap- plichi nella linea cubica all’interuallo 3. 3, e l’interuall 0 50. 50, darà illato d’vn cubo di 50 libre d’argento viuo. Dun que que$to lato quadruplicato darà il lato d’vn cubo 64 volte maggiore del cubo di libre 50, cioè del cubo di lib. 3200 d’argento viuo, come $i cercaua.
Quando il numero, che denomina il pe$o è grande a$$ai,
per trouar pre$to vn lato, che con replicarlo alcune volte dia
PEr la nece$$ità, che s’hà molte volte di di$$egnar’ alcune
piante di campi, e co$e $imili, ò per l’v$o della Gnomo-
nica, conuien fare angoli di mi$ure determinate in gradi, i
quali $ono quelle 360 parti, in cui s’intende diui$a la circon-
ferenza di cia$cun circolo, come è noto. A que$to fine mol-
ti hanno de$critta vna quarta parte dicerchio diui$a ne’$uoi
gradi, e dalla circonferenza vltima tirate per cia$cun grado
linee rette al centro, vengono à diuidere $imilmente altri
Tirando$i dunque nello $tromento vna linea retta, è certo,
che que$ta non và diui$a in parti vguali, come vna linea cir-
colare è diui$a in parti vguali, che $i chiamano Grandi; poi-
che in tal linea reta dello $tromento $i $egnano non gl’archi,
mà le corde $ottendenti à gl’archi, e con e$$e s’opera nel mo-
do, che $i $piegarà à ba$$o. E che tali corde de gl’archi, che
cre$cono vgualmente in numero di grandi, non cre$cono
anch’e$$e vgualmente, è manife$to dalla dottrina de’Seni, che
quì $i $uppone. Onde grauemente errarebbe l’ Artefice,
che vna tal linea tirata nello $tromento per vn quadrante di
cerchio, vole$$e diuider’in 90 parti vguali; perche così fa-
cendo, que$ta linea non $aria punto differente dalla $inea
Aritmetica, di cuis’è parlato nel Capo 2. E così e$$endoci
o$ferto vno Stromento di Proportione, $e applicati due com-
pa$$i à due numeri nella linea Aritmetica, quelle due di$tan-
ze vengono ad applicar$i à due numeri $imili nella linea de’
Ora douendo$i notare nello $tromeuto le corde de gl’ar- chi, $i puonno notare, ò quelle di tutto vn $emicircolo, ò $ol quelle d’vn quadrante; e torna più à conto notar $ol que$te del quadrante, perche in tal modo rie$cono le diui$ioni della linea più di$tinte, e notabili, e per altro que$te ba$tano per qual$iuoglia arco anche maggiore. Se pur non fo$$e così lun- go lo $tromento, che riu$ci$$e commodo il notarui tutto vn $emicircolo. Perciò qui parleremo $olo della diui$ione per il quadrante, perche da ciò $arà manife$to, quanto s’habbia à fare volendo$i fare per il $emicircolo.
Per tanto voltato lo $tromento dall’altra faccia oppo$ta
alla $egnata già per linee rette $enza relatione al circolo, $i ti-
rino dal centro nell’vno, e nell’altro braccio due linee rette
vguali, cialcuna delle quali $i $uppone e$$er corda dell’arco
di 90 gradi. Conuien dunque trouare, qual $ia il $emidia-
metro d’vn circolo, la di cui quarta parte habbia per corda
la linea data. Il che $i fà in tal maniera. Supponga$i, che la
Sia dunque $o pra vna la$tra piana di rame, ò altra materia
piana con$i$tente, la linea RS longhezza della linea, che può
tirar$i nel lato dello $tromento, e conforme al modo detto $ia
R C la corda di gr. 60. Perciò all’interuallo CR fatto centro
in C, $i de$criua vn àrco, & applicata l’apertura del Compa$-
Che $e più to$to vole$$imo prendere vn’interuallo minore, e replicarlo più $pe$$o (il che for$i non riu$cirà tanto accura- to, poiche quanto più $i replica il Compa$$o, la punta tanto più $patio rubba) $i può diuidere R 30 in cinque parti vgua- li, cia$cuna delle quali contiene 6 gradi, e replicato quell’in- teruallo conuenientemente al modo detto, cominciando or da vno, or da vn’altro de’punti già $egnati, verranno ad e$$er notati tutti li gradi.
Fatta que$ta diui$ione del quadrantc ne’$uoi gradi, $i pren-
dano dal punto R gl’interualli à cia$cun grado, e $i notino
Da que$ta co$truttione, e dalle ragioni di $opra più volte addotte, $i rende manife$to, che e$$endo lilati AC, AQ diui$i nella proportione ditutte le corde de gl’archi del quadrante, il cui $emidiametro è A 60, data qua$$iuoglia apertura dello $tromento, l’interuallo 60. 60 $arà la quantità del $emidia. metro del circolo, e tutti gl’altri interualli daranno le corde de gl’archi corri$pondenti di detto circolo.
GIà $i sà, che la quantità de gl’angoli $i denomina dalla
moltitudine de’gradi del circolo, che habbia il centro
nel punto, doue s’vni$cono le due linee, che fanno l’angolo;
e la quantità de’gradi della circonferenza compre$a tra dette
due linee denomina l’angolo di tanti, ò tanti gradi. Onde ne
viene, che douendo$i de$criuer’vn’angolo, dall’e$tremo d’vna
linea data, come da centro à qualunque interuallo, $i de$cri-
ue occultamente vn’arco minore della $emicirconferenza,
più, ò meno, $econdo che l’angolo deu’e$$er maggior, ò mi-
nore; poiche dal punto, doue la data linea taglia la detta cir-
conferenza, prendendo$i l’arco della determinata quantità,
Debba$i per cagione d’e$$empio de$criuere l’Angolo del
Mà $e $i vole$$e de$criuere l’angolo del mede$imo Penta-
gono $enza $aper$i il centro della figura, per de$criuerui vn
Baloardo, ba$terà leuare l’angolo del centro, che è gr. 72 da
Ora $e $opra l’angolo BAD del pentagono vole$$imo de- $criuere il baloardo col $uo angolo proportionato, primiera- mente $i diuide l’angolo BAD per metà, onde e$$endo BD gr. 108, prenda$i nello Stromento l’interuallo 54. 54, e $arà BE: e così applicata la riga alli punti AE, $i tiri la Capitale I. A, che prolongata taglia per mezzo l’angolo del Poligono, e giungerebbe $in al centro. Supponga$i che in L debba e$$er la punta del Baloardo. E perche alla forma a$$ai commune, e pratticata $i fà l’angolo del Baloardo, che $ia due terzi dell’ angolo del Poligono, e$$endo que$to gr. 108, quello $arà gr. 72, & il $emiangolo del Baloardo gr. 36. Fatto dunque centro in L à qualunque interuallo, per e$$empio LM, $i de$criua vn arco di quà, e di là; & applicata nello Stromento la linea LM all’interuallo 60. 60, prenda$i l’interuallo 36. 36, & applica- to nell’arco de$critto, dal punto M $i prenda vguale MN, & MO: e tirate le linee LN, LO, $arà l’angolo del Baloardo NLO di gr. 72, come $i richiedeua.
Che $e occorre$$e de$criuer vn’angolo, che oltre li gradi
haue$$e anco li minuti, conuien auuertire, $e la figura da de-
$criuer$i è grande, ò pur piccola; perche nelle piccole vua
cotal differenza di minuti non è notabile: onde $e li minuti
$ono a$$ai meno di 30, $i puonno la$ciare, $e pa$$ano notabil-
mente li 30, $i puonno prendere per vn grado di più; così in
DA ciò, che s’è detto nella precedente Que$tione è co$a
facili$$ima, $e $arà dato vn’angolo, cono$cere deter-
m<007>natamente in gradi, quanta $ia la $ua grandezza, fatto cen-
tro nel punto, oue le due linee $i toccano, & à qualunquein-
teruallo de$critto vn arco, che tagli amendue quelle linee,
perche applicata la larghezza del Compa$$o, alla cui apertura
Similmente $e $arà tirata la linea TS, e fatto il triangolo, cono$cerò, quanto $ia l’ang. S, $e alla lunghezza ST prendeiò vguale SC, & applicata que$ta lunghezza ST alli punti 60. 60 dello Stromento, prenderò col Compa$$o la di$tanza TC, e ritenuta la $te$$a apertura dello Stromento, trouando, che la di$tanza TC s’applica giu$tamente nello Stromento all’in- teruallo 90. 90, dico che l’angolo Sè retto, e perciò l’angolo T è <007>l complemento dell’angolo R, e per con$eguenza è di gr. 64. m. 40.
Di qui è manife$to il modo di cauare dall’ombra d’vn cor-
po, la cui altezza è cono$ciuta, quanta $ia l’altezza del Sole
$opra l’Orizonte. Sia dunque l’altezza perpendicolare d’vn
ba$tone piedi 6, e mi$urando la longhezza dell’ombra, trouo
che è piedi 2. oncie 10 {1/2}. Si che que$te due mi$ure $ono oncie
72, & oncie 34 {1/2}. Dunque alargatolo Stromento à mio pia-
Di que$to modo potranno $eruir$i iPittori, per non far l’ombre de’corpi, ò troppo corte, òtroppo lunghe, quando la co$a dipinta rappre$enta vn fatto operato in ora determi- nata del giorno in vn luogo determinato; perche per e$$em- pio $e $i dourà dipinger il Miracolo di S. Pietro, quando ri$a- nò lo $torpiato alla Porta $pecio$a del Tempio di Gierufa- lemme, bi$ogna auuertire di non far l’ombre delle fabriche in modo, che non corri$pondano con le altezze, all’hora nona, cioè tre ore doppo mezzo dì (parlando dell’ ore di$uguali) circa il fine di Maggio in Gierufalemme. Che $e bene nonè nece$$aria in ciò vna certa preci$ione Mattematica per l’v$o de’ Pittori, ad ogni modo $i può errare a$$ai in ciò, e mo$tra. re d’hauer fatto l’ombre, & il $ito del Sole à ca$o.
Mà $e l’angolo dato fo$$e così grande, che de$critto l’arco,
non $i pote$$e nello Stromento trouare la $ua quantità, $i po-
trà prender in due volte: Come nella figura della que$tione
precedente l’angolo BAD è tale, che aperto lo Stromento
all’interuallo AB applicato alli punti 60. 60, la di$tanza
BD non capi$ce nello Stromento, perciò pre$o ad arbitrio
vn’interuallo, pere$$empio 80. 80, & applicato all’arco de-
$critto BD, $aranno BI gr. 80; il re$to dell’arco ID applico al-
lo Stromento, ecade nell’interuallo 28. 28; onde alli gradi
SE Bene di que$to $i parlò qualche co$a nel cap. 2. Que$t. 6, ad ogni modo $arà meglio più vniuer$almente $pie- gare quì l’v$o dello Stromento nella $olutione prattica de’ triangoli, e $eruirà per quelli che non $i curano di tanta pre- ci$ione, quanta oprando co’numeri $i troua coforme alle re- gole della Trigonometria.
E quì $uppongo ciò che è noto, che delle $ei parti, cioè di
tre lati, etre angoli, che $ono in vn triangolo, conuien $aper-
ne tre, per cono$cere l’altre tre. Se $ono datitutti tre gl’an-
goli, non $i può cono$cere, quanta $ia la longhezza de’lati,
ma $olo la proportione, che li lati hanno tra di loro, e$$endo-
che li triangoli equiangoli, e$imili tra di loro, hanno ben $i i
lati proportionali, ma non vguali. Onde $e $aranno dati tre
Mà $e $aranno dati li tre lati d’vn triangolo, $i troueranno li tre angoli, prendendo nella linea Aritmetica tre interualli nella proportione de’lati dati; e formatone vn triangolo, $i cerchi la quantità di due angoli nel modo detto nella Que- $tione precedente, perche il terzo angolo $arà noto, e$$endo il complemento $in a’ gradi 180. Così date le di$tanze di tre luoghi di pa$$i 160. 76. 96, prendo nella linea Aritmetica gl’interualli della metà di detti num. cioè 80. 38. 48, e forma- to il triangolo TCR, cerco come $opra s’è detto gl’angoli R, & T, e così $i fà noto anche il terzo angolo.
Mà $e non fo$$ero date le mi$ure delli trè lati, e$olamente fo$$e propo$to vn triangolo, dicui $i de$idera $apere gli ango- li:circa il Triangolo $i de$criua il circolo per la 5. del lib. 4. (cioè $i troui il centro, e da quel punto $in all’e$tremità d’vno de gliangoli $i prenda la di$tanza, che è il Raggio del circo- lo) & il$emidiametro di tal circolo portato tra li punti 60. 60, vegga$i à qual interuallo capi$ca cia$cuno de’lati dati; poiche il numero corri$pondente nello Stromento, darà il doppio dell’angolo oppo$to allato applicato: e$$endoche tal lato è Corda dell’ arco notato, & è $otten$a all’angolo fatto nelcentro, che è doppio dell’angolo alla circonferenza, qual è l’angolo cercato oppo$to al lato dato.
Quando li dati $ono mi$ti d’angoli, elati, ò $ono due an-
goli, & vn lato, ò due lati, & vn angolo: e que$to in due ma-
niere, poiche è il lato adiacente alli due angoli dati, ouero
Sia dato vn lato, e gl’angoli adiacenti; $ia AB parte del$a
riua d’vn fiume, cono$ciuta in mi$ura di piedi 90; e $i de$ideri
$apere la di$tanza AC, che trauer$a il fiume. Sia o$$eruato in
A l’angolo CAB, di gradi 78, & in B l’angolo ABC di gradi
35; de$criuo nell’e$tremità della linea AB li due angoli con-
forme alle $opradette mi$ure o$$eruate, cioè ABC gr. 35, e
BAC gr. 78; onde le linee BC, AC $i rincontrano in C. Ap-
plicata dunque la linea AB sù la linea Aritmetica alli punti
90. 90, trouo, che AC cade nell’interuallo 56. 56, dal che cõ-
Mà $e fo$$e dato illato A B con l’angolo B adiacente, e l’angolo C oppo$to, $arà anche noto il terzo angolo A, che è complemento alli due retti; e così $i de$criuerà la figura, come $e fo$$e dato il lato con li due angoli B, & A adiacenti, e s’operarà, come poco fà $i diceua.
Ora $ian dati due lati con l’angolo compre$o: de$criua$i
l’angolo dato, come s’è detto nella prima Que$tione, e $i
prenda la lunghezza de’lati proportionata à ilati dati; poile
e$tremità de’lati $i congiungano, e s’haurà il triangolo, in cui
$i cono$ceranno l’altre parti, come $opra. Sia nella figura
antecedente, dato l’angolo compre$o dalli lati dati di gr. 25.
Siano finalmente dati due lati, & vn angolo oppo$to ad vno diloro. In que$to ca$o conuien o$$eruare $e l’angolo da- to è oppo$to allato maggiore, ò pur al minore de’dati; per- che $e è oppo$to al lato maggiore, non v’è bi$ogno d’altra precognitione; mà $e fo$$e oppo$to allato minore, allhora può dar$i ca$o, in cui $ia nece$$ario $aperela $pecie dell’ango- lo oppo$to allato maggiore, cioè $e $ia ottu$o, ò pur acuto. ll che $i vedrà chiaramente dalla prattica, che quì $oggionge- rò. Sia dato vn’angolo di gr. 67. oppo$to ad vn lato di piedi 90, & adiacente ad vn lato di piedi 56. Tiro la linea CA di piedi 56, e faccio l’angolo C di gr. 67. tirando la CB indefi- nita. Poi nella linea Aritmetica po$to il lato CA all’inter- uallo 56. 56, prendo l’interuallo 90. 90, e dal punto A, come da centro de$criuo con quell’apertura di Compa$$o vn’arco, che taglia l’indefinita CB nel punto B: e così tirata la retta AB, $arà l’altro lato de’dati oppo$to all’angolo dato: onde $arà con$tituito tutto il triangolo ABC, e nel modo detto $i cono$ceranno l’altre parti incognite. Ora perche la linea AB è maggiore, che AC, è manife$to chel’arco occulto de- $critto non taglia l’indefinita CB, $e non nel pnnto B da que- $ta parte oppo$ta all’angolo dato: e così il lato dato non può hauer altra po$itura che AB.
Mà $e dato l’i$te$$o angolo C gr. 67. il lato adiacente fo$$e 70 piedi, cioè C D, & il lato oppo$to fo$$e piedi 65, applicata C D nella linea Aritmetica all’interuallo 70. 70, e pre$a la di- $tanza 65. 65, de$critto dal centro D vn’arco, che tocchi l’in- definita C B nel punto E, tirata la linea D E, è manife$to, che l’angolo D E C è retto, ne altra può e$$ere la po$itione del lato oppo$to di piedi 65.
Che $e finalmente dati gl’i$te$$i lati di piedi 90, e piedi 56, $ia dato l’angolo B digr. 35. oppo$to allato minore, pre$a A C di tali parti 56, delle quali A B è 90, e dal punto A de$crit- to vn’arco, $i vede, che tag$ia l’indefinita B C in due punti C, & l, e così non $appiamo $e dobbiamo più to$to $eruirci della A C, ò pure della A I, $e non $i sà, $e l’angolo oppo$to al lato maggiore dato A B, $ia acuto, come A C B, ò pur ottu$o, co- me A I B.
COn tutto, che nell’ v$o della linea Aritmetica dello Stromento $i $ia mo$trato, come po$$a trouar$i la pro- portione di due linee date, ad ogni modo chi de$idera$$e auuicinar$i anche p<007>ù alla preci$ione, & e$primerla con nu- meri maggiori, potria $eruir$i di que$ta linea de’ gradi, doue $ono notate le corde de gl’archi del Quadrante: le quali cor- de $ono il doppio del $eno della metà dell’arco: cos<007>la metà della corda d<007> gradi 74, è il $eno di gradi 37.
Date dunque due linee, la maggiote s’applichi in que$ta
Che $e le due linee date non fo$$ero con notabil ecce$$o differenti, potria la minore applicar$i all’interuallo 60. 60, e poi vedere doue capi$ca la maggiore, e cercare come pri- ma il $eno della metà de’gradi, e raddoppiarlo; e que$te $aran- no le particelle della linea maggiore, po$ta la minore col nu- mero del raggio.
Mà $e dato il numero del raggio alla minore, $a linea mag-
giore fo$$e così grande, che eccede$$e l’ interuallo 90. 90.
(come nella $te$$a figura applicata T S all’interuallo 60. 60, e
cercando$i il numero delle particelle di T R) prenda$i l’inter-
uallo 90. 90; e leui$i dalla linea maggiore, quante volte $i
può, e quante volte s’è pre$o, tante volte $i pigl<007> i$ doppio del
$eno di gr. 45, e $ia T E vna volta il doppio del $eno di gradi
45. Dipo<007> il re$tante della linea, cioè E R s’applichi nello
Stromento alla linea de’ gradi, e cadendo nell’interuallo 54.
ALcuna volta conuien operare $enza hauer le tauole de’ Seni, e pur $i vuole ri$oluer il triangolo non così me- canicamente, come s’è detto nella Que$t. 3. di que$to Capo; & in tal ca$o potiamo $eruirci dello Stromento per trouar i Seni de gl’angoli. E perche nello Stromento $ono $egnate le corde de gl’archi, già $i vede, che volendo <007>l $eno d’vn’agolo, conuien prendere la corda d’vn arco doppio; così per trouar il $eno dell’ angolo di gr. 37, $i deue prendere la corda dell’ arco di gr. 74.
Primieramente dunque allargato ad arbitrio lo Stromen-
to, con vn Compa$$o prendo l’interuallo 60. 60 nella linea
de’ gradi, e que$to è il raggio. Poi ritenuta la $te$$a apertura
dello Stromento, con vn’altro Compa$$o prendo l’interuallo
dell’arco doppio dell’angolo, il cui $eno $i de$idera, e volen-
do$i il $eno di gr. 37, prendo l’interuallo 74. 74. Fatto que-
$to, ritenuta l’apertura de’due Compa$$i, applico nella linea
Aritmetica l’apertura del Compa$$o, che dà il raggio alli pun-
ti 50. 50 (intendendo$i cia$cuno diui$o in due, onde è come
$e il raggio fo$le 100) e l’altro Compa$$o con la $ua apertura
applico nella $te$$a linea Aritmetica, e cade nell<007> punti 60.
60; <007>l che mo$tra, che la corda di gr. 74 è di parti 120 di quel-
Quì per\‘c conuien’ o$$eruare, che e$$endo nello Stromento fatta la diui$ione delle corde $olo per il quadrante, non $i po- trà trouar’ il $eno, $e non di gr. 45. nel modo detto; doue che $e nello Stromento fo$$ero le corde per tutto il $emicircolo, come $i può fare nell<007> Stromenti, che $ono a$$ai lunghi, con que$to metodo $i trouerebbono li $eni di tutti i gradi del qua- drante. Ma non hauendo$i $e non le corde del quadrante nello Stromento, in occa$ione, che il doppio dell’angolo, il cui $eno $i cerca, eccede$$e li gr. 90, cerchi$i il $eno del com- plemento dell’angolo dato, e que$to moltiplicato in $e $te$$o, $i caui dal 10000 quadrato del raggio; poiche il re$tante è il quadrato del $eno, che $i cerca. Per e$$empio, de$idero il $e- no di gr. 50: que$t’arco raddoppiato è gr. 100, i quali non $o- no nello Stromento. Cerco dunque nel modo detto di $opra il $eno del complemento, cioè di gr. 40, prendendo la corda di gr. 80. la quale trouo di particelle 129; onde il $eno di gr. 40 è 64 {1/2}: il cui quadrato 4160, leuato dal 10000 quadra- to del raggio 100, la$cia 5840, la cui radice quadrata 76 è il $enocercato di gr. 50, le quali co$e $on manife$te, per la dot- trina de’$eni, e$$endo che il quadrato del raggio è vguale alli quadrati de’$eni di due angoli, che in$ieme fanno gr. 90.
Aggionga$i quì, che mo$te volte potrà oprar$i con la cor-
da dell’arco doppio così bene, come col $eno dell’angolo da-
to, poiche hanno tra diloro la $te$$a proportione le parti, & i
moltiplici: ne meno $arà nece$$ario prendere il raggio, ma
ba$terà nella linea de’gradi prendere le corde de gl’archi dop-
pij, e poi trasferitele à gl’<007>nterualli della linea Aritmetica, $i
SIa dato vn triangolo ABC, e $ia il lato A B oppo$to ad
ad vn’angolo di gr. 42, e voglia de$ctiuer$i vn circolo
intorno ad vn taltriangolo. E dunque manife$to, che la da-
ta linea del triangolo in$critto nel circolo è corda d’vn’arco
doppio dell’angolo oppo$to, che è angolo alla circonferen-
E così generalmente data vna linea, che $ia corda d’vn’ arco, quella s’applichi al numero de’gradi di detto arco; poi ritenuta quell’a pertura di Stromento, $i prenda l’interuallo 60. 60, e que$ta $arà la quantità del $emidiametro del circolo, in cui la data linea è corda dell’arco determinato.
Che $e la linea data $offe corda d’vn’arco maggiore del
quadrante, al$hora que$ta $i diuide per mezzo con vna linea
perpendicolare indefinita: poiad vn’e$tremità di detta linea
$i faccia vn’angolo, che $ia la metà del re$iduo $in’ al $emicir-
colo, cioè $in a gradi 180; poiche doue $arà tagliata la per-
pendicolare indefinita, iui$aràil centro del circolo, che $i de-
$idera. Così $ia la linea MN corda digr. 136, la quale non è
nello Stromento, in cui $olo $on’i gradi del quadrante. Que-
$ta $i diuida per mezzo in P, e $ia la perpendicolar indefinita
PK. Or il re$iduo da 136 $in à 180 è 44, la cui metà è gradi
22. Faccia$i dunque nell’e$tremità M l’angolo PMO, come
s’è detto nella prima Que$tione, digr. 22: e la linea MO $arà
il $emidiametro del Circolo, il cui centro è il punto O, & in
SE il circolo è dato, e $i de$idera vna $ua parte aliquota,
diuida$i il numero de’ gradi 360 per il denominatore
della parte che $i de$idera, & il quotiente $arà il numero de’
gradi, la corda de’quali applicata al circolo prenderà la parte
cercata. Il che $i fà applicando prima il $emidiametro del
circolo dato all’interuallo 60. 60 nella linea de’ gradi nello
Sia dato il circolo, il cui $emi-
diametro BC; e $i cerchi l’ottaua,
parte: Diuido 360 per 8, evien
il quotiente 45. Applico dunque
nello Stromento nella linea de’
gradi all’interuallo 60. 60 la linea
Mà $e la parte del circolo cercata non fo$$e aliquota, fac- cia$i come il denominatore al numeratore della parte cerca- ta, così gr. 360. ad vn’altro numero, e verrà il numero de’ gradicompetenti alla parte, che $i de$idera. Così de$ideran- do$i hauere d’vn circolo vn’arco, che $ia {5/9}, faccia$i come 9 à 5, così 360 à 200. Dunque deuono pigliar$i dal circolo dato gradi 200; i quali $e bene non $i puonno pigliare nello Stro- mento tutti in$ieme, ad ogni modo $i puonno pigliar per par- ti; onde e$$endo più del $emicircolo, prolongato il $emidia- metro CB in F, $arà CEDF gr. 180; e rimanendo gradi 20 fin’à 200, prendo gr. 20 nello Stromento allargato in 60. 60, all’interuallo di BC, e $ono FG; e così tutto l’arco CDGè {5/9} del circolo, cioè gr. 200. In $omigliante maniera, per prender la terza parte del circolo, che è gr. 120, $i prendono due volte 60, ò qual$iuoglia a$tri due numeri, che aggiunti in$ieme fac- ciano la $te$$a $omma digr. 120.
Che $e fo$$e data vna linea, e conueni$$e farne vn poligo-
no regolare, diuidan$i gr. 360 per il denominatore del poli-
gono; alli gradi del quotiente s’applichi nello $tromento la
linea data, e ritenuta quell’ apertura dello Stromento, pren-
da$i l’interuallo 60. 60, e $arà quello il $emidiametro del cir-
colo, a cui applicata la linea data, $arà il lato del poligono, e
SI come nel circolo altra co$a è il $egmento, & altra il $et-
tore, poiche $egmento è quello, che da vna linea retta,
e parte della circonferenza $i comprende, e $ettore è quello,
che vien compre$o da due linee rette v$cite dal centro, e dalla
circonferenza, che da dette linee rette vien’intercetta: Così
parimente nella sfera $egmento è quella parte $olida, che $i
comprende da vn piano, che taglia la sfera, e dalla $uperficie
sferica: doue che il $ettore è compre$o da vna $uperficie
conica, la cui cima è nel centro della sfera, e della $uperficie
sferica, che vientagliata dalla detta $uperficie conica. Quindi
ciò che $i comprende dal piano CTRH, e dalla $uperficie sfe-
Or per trouare la $uperficie di tutta
la sfera data, ba$ta prendere per $emi-
dia metro d’vn circolo tutto il diame-
tro della sfera, poiche quel circolo $arà
vguale alla $uperficie della sfera;e$$endo
che la $uperficie di qual$iuoglia sfera,
come d<007>mo$tra Archimede lib. 1. de
Sphoer. & Cylindro, prop. 30, è qua-
drupla del circolo ma$$imo di detta sfe-
ra; & il circolo, il cui diametro è dop-
pio del diametro dell’ifte$$o circolo ma$-
$imo, è quadruplo di detto circolo, per
la 2. dellib. 12, e perciò il circolo, <007>l cui
raggio è vguale al diametro della sfera,
è vguale alla $uperficie di tutta la sfera,
per la 7. del lib. 5. E perche il circolo è
vguale al triangolo, li di cui lati po$ti ad
angolo retto, $ono il raggio, e la circon-
ferenza (come nel lib. de dimen$. circ.
mo$tra Archimede) e perciò al paralle-
logrammorettangolo fatto dal raggio, e dalla $emicirconfe-
renza; perla 41 del lib. 1. d’Euclide; ne $eguita, che il ret-
tangolo fatto da tutto il diametro, etutta la circonferenza
$arà quadruplo del circolo. Dunque dato il diametro della
sfera, $i cono$ce la circonferenza, la quale è al diametro pro$-
$imamente come 355 à 113; e moltiplicato il diametro per
Mà per trouare la $uperficie d’vn $egmento di sfera, $e $i
cerca la $ola $uperficie sferica cono$ciuta ne’gradi del circolo
ma$$imo perpendicolare alla ba$e di detto $egmento, pren-
da$i la metà del numero di detti gradi, & applicato nelle linee
de’gradi nelio Stromento il $emidiametro della sfera, il qual
è anche $emidiametro del circolo ma$$imo, all’interuallo de’
gradi 60. 60, prenda$i l’interuallo della metà di detti gradi, e
que$to $arà il $emidiametro del circolo vguale alla $uperficie
sferica cercata d<007> detto $egmento. Mà $e $i prenderà l’inter-
uallo del numero intiero de’gradi dati, que$to $arà tutto il dia-
metro del circolo, che è la ba$e del $egmento. Il che è mani-
fe$to nella $te$$a figura, in cui al piano CHRT è perpendico-
lare, il circolo ma$$imo BCAR, & il punto A è l’apice del
$egmento C A R, come il punto B è l’apice del $egmento
C B R: dunque per la prop. 36. del lib. 1. de Sphœra, & Cylind.
d’Archimede, la linea A C è raggio del circolo vguale alla $u-
perficie sferica C A R, e per la prop. 37. la linea BC è raggio
del circolo vguale alla $uperficie sferica CBR. Ora tanto la
linea A C, quanto la B C, $ottendono la metà de’gradi del cir-
E $e vorremo trouar in numeri la $uperficie sferica $udetta, cerchiamo per e$$empio nella terra, quanta $ia la $uperficie, compre$a dal circolo polare, e $ia il polo A, nel meridiano BRAC $ia AC gr. 23 {1/2}. Apro lo Stromento ad arbitrio, e con vn Compa$$o pre$o l’interuallo de’gradi 60. 60, con vn altro Compa$$o prendo l’interuallo 23 {1/2}. 23 {1/2}. Dipo<007> appli- cato l’vno, el’altro Compa$$o nella linea Aritmetica, il primo all’interuallo 100. 100, el’altro doue s’addata, trouo, che di quali parti il $emidiametro è 100, & il diametro è 200, di ta- li qua$i 41 è AC $ottendente gr. 23 {1/2}. Dunque come 200 à 41, così il diametro della terra di pa$$i 9739696, alla $otten- dente di gr. 23 {1/2}, cioè pa$$i 1996637. $emidiametro del cir- colo vguale alla $uperficie sferica CAR compre$a dal circolo Polare. Faccia$i per tanto come 113 à 355, così il $emidia- metro 1996637 alla $emicirconferenza di detto circolo, che è pa$$i 6272620; e moltiplicato <007>l $emidiametro per la $emi- circonferenza $arà tutta l’area del circolo pa$$i quadrati 12524145178940, e così la $uperficie sferica compre$a nel circolo polare è miglia quadrate 12524145, e pa$$i quadra- ti 178940.
Trouata que$ta $uperficie sferica, $itrouarà la $olidità del
$ettore SRAC, poiche que$ta è vguale al cono, la cui ba$e è
vguale alla $uperficie sferica, CAR, è l’altezza vguale al rag-
gio della sfera AS, come in$egna Archimede lib. 1. de Sph{ae}r.
& Cylind. prop. 38. Dunque moltiplicata la ba$e perla terza
parte dell’altezza, s’haurà la $olidità del cono vguale al $etto-
re. Si che la terza parte del raggio del globo della terra, e$-
F<007>nalmente per hauere la $olidità del $olo $egmento CRA, $i cerchi la $olidità del cono CSR, trouando la $ubten$a di tut- to l’arco CAR, che è gradi 47. il che $i fà applicando il $emi- diametro della sfera alli gr. 60. 60, e poi pre$o l’interuallo 47. 47, e nella linea Aritmetica applicato il raggio della sfera al 100. 100, la $ubten$a d<007> gr. 47, cioè CR è qua$i 80; e que$ta come diametro darà la grandezza del circolo CT RH; e la SI $eno del complemento della metà de’gradi dati, $arà l’altezza del cono, la terza parte dunque di tal altezza moltiplicando la grandezza del circolo ba$e del cono, dà la di lui $ohdità; la quale leuata dalla $olidità del $ettore, la$cierà la $olidità cercata del $egmento CRA.
Vn’altra maniera v<007> $arà per trouar la $uperficie sferica di
qual$iuoglia $egmento, e delle zone, $e faremo rifle$$ione, che
Archimede al manife$to 9. doppo la prop. 31. del lib. 1. de
Sphœra, & Cylindro, mo$tra, che la $uperficie del cilindro
con le ba$i è $elquialtera alla $uperficie della sfera, il cui ma$-
$imo c<007>rcolo è vguale alla ba$e di detto cilindro circo$critto à
detta sfera: onde ne$egue, che detratte le ba$i, re$ta la $uper-
ficie cilindrica vguale alla $uperficie sferica. Ora $ia alla sfe-
ra BRAC circo$critto il cilindro IK, e con li piani OF, ZP pa-
ralleli $ia tagliata la sfera, & il cilindro. Come di $opra $i è
detto, il circolo, di cui $ia raggio la linea AC, è vguale alla
$uperficie sferica CAR. Ma per la prop. 13. dello $te$$o lib.
d’Archimede, la linea media proportionale trà il lato, & il
diametro della ba$e del cil<007>ndro retto, è raggio d’vn circolo
vguale alla $uperficie cilindrica; dunque $ela $te$la CA è me-
Nella $te$$a maniera $i mo$tra, che la $uperficie cilindrica KZ è vguale al cir- colo, di cui è raggio l’AD; & all’i$te$$o circolo è vguale la $uperficie sferica D A E. Dunque leuata la cilindrica K O, e la sferica CAR vguali, rimane la cilindrica FZ vguale alla zona della sfe- rica D C R E.
Sì che $e la $uperficie sferica è di $eg-
mento, troui$i il $eno ver$o della metà
de’gradi dati, cioè AH, e que$to $i mol-
tiplichi per il giro del circolo ma$$imo
della sfera: e $e la $uperficie sferica è d’vna zona, prenda$i la
differenza de’$eni ver$i de’ due gradi e$tremi della larghezza
di detta zona, cioè HV, e $i moltiplichi per l’i$te$$o giro del
circolo ma$$imo della sfera, e s’haurà la $uperficie, così sfe-
rica CRED, come cilindrica FZ corri$pondente. Mà $e
nelle linee Geometriche applicarai le due linee _A_C; _A_D, e per
ES$endo che per l’vltima del 6. d’Euclide li $ettori del cir- colo hanno tra di $e la proportione de gl’archi, da’ quali $ono compre$i, il $ettore à tutto <007>l circolo hà la proportione del $uo arco à tutta la circonferenza. Si che nella figura 24, $e $arà dato il circolo BR AC, & il $egmento di circolo CRA, tirate dal centro le linee SC, SR, il $ettore SCAR à tutto il cir- colo, hà la proportione, che hà l’arco CAR à tutta la circon- ferenza. Quindi è, che cono$ciuti li gradi dell’arco del $eg- mento, $e $i fà come gr. 360, alli gradi cono$ciuti del $egmen- to, così l’area di tutto il circolo ad altro, verrà ad hauer$i l’a- rea del $ettore SCAR: E $e da que$to $i leua il triangolo CSR (<007>l quale $i troua moltiplicando CI $eno della metà de’gradi cono$c<007>uti del $egmento, per SI $eno del complemento di di detta metà) rimane l’area del $egmento CRA.
Dunque applicato il raggio del circolo dato all’interuallo
de’gradi 60. 60. prenda$i l’interuallo congruente alli gradi
dati del $egmento: ouero $e $olo $o$$e dato il $egmento, per la
Que$t. 6. di que$to Capo, $i troui il raggio del $uo circolo. Et
applicati que$ti due interualli (cioè il raggio del circolo, e la
corda del $egmento) nelle linee Aritmetiche $i troui la lor
proportione, e della CR già cono$ciuta in numeri $i prenda
Sia dato il $egmento, il cui arco $ia di gr. 47. Se i$ diametro è 100000, e la circonferenza 314159, l’area del circolo fat- ta dalla metà del diametro, e dalla metà della circonferenza è di part<007>celle quadrate 7853975000. Dunque come gr. 360 à gr. 47, così 7853975000 all’area del $ettore di gr. 47, c<007>oè à 1025380069. Quindi aperto lo Stromento, e pre$i gl’interualli 47. 47, e 60. 60, trouo che di quali parti 50 è il raggio di tali qua$i 40 è la $ubten$a di gr. 47. dunque la metà è parti qua$i 20. E perche la metà de’gr. 47 è 23 {1/2}, il cui complemento è gr. 66{@/2} trouo con aprire di nuouo lo Stro- mento, come prima, che il $eno di gr. 66{@/2} è di parti 45, del- le quali il raggio è 50. Ora perche il diametro $i po$e 100000 il raggio non è 50; ma 50000, e così alli numeri trouati con lo Stromento aggiongo trè zeri; onde moltiplco 20000 per 45000, e $i produce l’area nel triangolo 900000000, che leuata dal $ettore trouato 1025380069 la$cia per area del $egmento dato 125380069.
Di quì $i vede ciò, che debba far$i, quando il $egmento dato è maggiore del $emicircolo, come il $egmento CRB: poiche operando$i, come prima, $i troua da principio tutto il $ettore SCBR: e poi trouata l’area del triangolo CSR, que- $ta non $i leua dal $ettore trouato; mà $e gl’aggionge per ha- uer tutto il $egmento CRB.
E $e $arà vna parte di circolo compre$a da due linee’ paral-
lele, troui$i la quantità de’due $egmenti, che e$$e fanno, e la
differenza di detti $eg menti, è l’area dello $patio compre-
DA quello, che s’è detto nella Que$t. 7. del Capo pre- cedente, doue habbia mo in$egnato il modo di troua- uare il lato di qual$iuoglia figura regolare, non pare nece$$a- rio de$criuere nello Stromento i lat<007> delle figure <007>egolari, che puonno de$criuer$i nello $te$$o circolo, ad ogni modo per la breuità dell’operare, $arà vtile porre nello Stromento que$ta linea de’Poligoni.
Tirate dunque ne’ lati dello Stromento le due linee AR, AT, acciò rie$cano più di$tinte le diui$ioni, prenda$i tutta la linea A R, per il lato del triangolo equilatero, che può de- $criuer$i nel circolo: poiche come que$ta figura è la minore di tutte quelle, che nello $te$$o c<007>rcolo puonno de$criuer$i, $e $i con$idera l’area, e capacità $ua, così il $uo lato è il maggio- re di tutti. Ora po$ta la detta linea AR, per lato del trian- golo, è manife$to, ch’ella è corda della terza parte del circo- lo, cioè di gr. 120. Conuien dunque trouar il $emidiametro del $uo circolo: il quale $e non $i troua nel modo detto nella Que$tione 6. del Capo precedente, può trouar$i nel modo $eguente.
Sia la linea A B lato del triangolo, e corda di gr. 120; dun-
que dal centro del circolo tirati li $emidia metri, faranno gli
angoli alla ba$e vguali di gr. 30 per cia$cuno. E per far ciò,
Trouato illato dell’e$$agono, che è la corda dell’arco AL, la quale nella linea AB traportata è _A_ 6, $i cerca il lato del quadrato nello $te$$o circolo: il che $i fà diuidendo per mezzo l’arco LB, ouero dal centro I, tirando vna perpendicolare al diametto AK, e cade in M, $i che AM traportata nella linea data AB, $ia A 4 lato del quadrato.
Per hauer il lato del pentagono, diuida$i, come in$egna Ptolomeo nel lib. 1. dell’ Almage$to, per mezzo il $emidia- metro IK, nel punto N, e dal punto N all’interuallo NM, $i de$criua vn’arco occulto, che taglia il diametro in O; poiche dal punto O, tirata la linea OM, que$ta è illato del pentago- no da applicar$i all’arco AP, e nella linea A B $arà A 5. E per con$eguenza OI è il lato della figura d<007> dieci angoli applicata all’arco A Q, e nella linea Ab $arà A 10.
Per illato della figura di $ette lati non v’è forma propria-
mente Geometrica; ma tentando $i può trouare, ò la $ettin a
parte di tutto il circolo, e que$t’ arco darà la corda, che $arà
Or hauendo gl’archi, che $onola 4. 5. 6. 7. 10. parte del circolo, diuidendoli per mezzo, e $ubdiuidendoli hauremo la 8. 16. 12. 14. 20. parte del circolo con la $ua corda da $e- gnar$i nella linea A B. Pertrouare la 9 parte, $i può diuider in 3 parti l’ arco ALB, e la terza parte $ia A R, quale perciò $arà la 9 di tutto il circolo. E que$ta diui$a per mezzo da- rà la 18.
Mà per la decimaquinta parte, $i prenderà l’ arco A P, che è la quinta, e l’ arco A B, che è la terza parte del circolo, e la loro differenza PB diui$a per mezzo s’applichi all’arco A S, che que$ta $arà la 15 parte di tutto il circolo, come con$ta dalla 16. dellib. 4.
Si che non re$tano, che la 11. 13. 17. 19. parte del circo- lo, la quale non $i troua, che mecanicamente tentando con la replicatione del Compa$$o. ll che $e bene è di qualche noia nella fabrica dello Stromento, ad ogni modo apporta poi fa- cilità per $empre nell’ altre occa$ioni: e la prattica di tal di- ui$ione non rie$ce tanto $commoda, quando il circolo è così grande, che la corda della terza parte $ia vguale alla linea dello Stromento, e di tal grandezza deue intender$i la linea A B della pre$ente figura, $e bene s’è fatta quì a$$ai più piccola.
Che $e bene quando lo Stromento è a$$ai lungo, vi $i puon- no commodamente notare li lati delle figure anche di più an- goli, nulladimeno ne’ mediocri ba$terà $in alla figura di 20 angoli, come s’è fatto nella figura 27.
Mà $e que$taforma d’oprare $in’ ora accennata, non pia-
ce$$e come troppo opero$a, potremo hauere l’i$te$$o intento
Finita, che $ia nella linea tirata que$ta diui$ione, $i traporta sù le linee AR, AT dello Stromento, il quale hauendo le li- nee lateral<007> diui$e nella proportione de’ lati delle figure rego- lariri$petto al mede$imo circolo, in cui capifcano, è manife- $to, che anche gl’interualli hauranno $<007>mile proportione, co- me più volte s’è dimo$trato.
SIa data vna linea AB nella figura 35, e di e$$a voglia far$i
vna figura di cinque lati vguali. Que$ta s’applichi nella
linea de’poligoni AR, AT dello Stromento, all’ interuallo 5.
5: e perche il lato dell’a$$agono è vguale al $emidiametro del
circolo, in cui hà da formar$i il cercato pentagono, ritenuta
quell’apertura dello Stromento, prenda$i l’interuallo 6. 6, e
Che $e$olo $icerca$$e di far’vn’ an- golo del Pentagono all’ e$tremità A della linea data, trouato come prima il centro C, ba$terà de$criuere occul- tamente l’arco A F, & ad e$$o applicare la linea A B, $iche $ra la retta A F, e $arà fatto l’angolo BAF del pentagono. Il che è vn pran compendio d’operare per chi hà da far in grande il di$$egno d’vna fortezza regolare.
Quindi è, che $e la linea data fo$$e molto grande, in modo, che non $i pote$$e prender tutta col Compa$$o, ò non capi$$e nell’interuallo dello Stromento, ba$terà $olo pigliarne vna parte nell’e$tremità, qualunque ella $ia ad arbitrio, ò $ia ali- quota, ò nò, e con quella far l angolo de$iderato del poligo- no, nel modo che s’è detto: perche allongata poi que$ta linea tirata per far l’angolo, $inche $ia tanto quanto la prima, fatto nella $ua e$tremità vn angolo vguale al già trouato, e co- sì di mano in mano verrà à compir$i la figura bramata. Co- me per e$$empio, $e c’imaginiamo la linea A B prolongata alla lunghezza di quattro palmi, que$ta non può tutta capire nello Stromento: perciò ne prendo $olo la parte A B, e come $e con quella $ola doue$$i operare, quella applico nello Stro- mento, & opero come s’è detto: poiche prolongata poi A F tanto ch’anch’ella $ia di quattro palmi, nella $ua e$tremità fac- cio vn’altr’angolo vguale all’ angolo BAF, e così di mano in mano $in che $ia compita la figura.
PEr la circo$erittione del circolo non $i richiede più che trouar’il centro della figura regolare data: la quale $e hà numero pari di $ati, come 6, 8, &c. ba$ta dalli due angoli oppo$ti tirar’vna diagonale, e da altri due angoli oppo$ti vn’ altra diagonale, la quale diuiderà per mezzo la prima, & il punto dell’inter$ettione è il centro della figura; e l’interuallo dal detto punto $in’ad vno de gl’angoli è il $emidia metro del circolo, che $i circo$criue alla figura.
Mà $e la data figura è di numero di$uguale dilati, conuien’ applicar’ il lato di detta figura nella linea de’poligoni nello Stromento all’interuallo corri$pondente alla figura (così $e è vn pentagono s’applica all’interuallo 5.5.) e poi pre$o l’in- teruallo 6. 6, de$criuere, come nella Que$tione precedente, due archi occulti, che $i tagliano in C; e que$to è il centro della figura, & all’interuallo CA $e le circo$criue il circolo ABDF.
Per i$criuere poi il circolo, ba$ta, trouato come prima il centro della data figura, diuider per mezzo vno de’lati, come AB in H, e dal centro C all’interuallo CH de$criuer’ il circo- lo HIKLM, il quale $arà in$critto alla detta figura, poiche tutti i lati di e$$a lo toccano; come facilmente $i può dimo- $trare dalle co$e, che dice Euclide nellib. 4. in $omigliante propo$ito.
SE bene que$to problema facilmente $i mette in prattica con la linea de’gradi dello Stromento, nondimeno con- uien pratticarlo con que$ta linea de’ poligoni, perche que$ta prattica darà lume per varie diui$ioni a$$ai minute anche di lin ee rette.
Sia dato l’arco AB, di cui
$i de$idera $apere, quanto
$ia grande la quantità d’vn
grado. Cerchi$i, per la 25.
del lib. 3. il centro di tal’ar-
co; il che breuemente $i fà
prendendo ad arbitrio AC,
e dalli punti A, & C de$crit-
ti occultamente à qual$iuo-
glia interuallo due archi,
che $i tagliano in E, & F, per
li punti E, & F $i tiri vna li-
nea retta indefinita, e lo $te$-
$o faccia$i prendendo ad ar-
bitrio BD, e per li punti del-
l’inter$ettioni de gl’archi occulti G, & H $imilmente $i tiri vna
linea retta indefinita; la quale taglierà la prima nel punto I;
e que$to è il centro del circolo, di cui l’arco dato AB è parte.
Ora quì conuiene far rifie$$ione à ciò, che o$$eruò Euclide nell’vltima propo$itione del libro 4. doue in$egnò à de$cri- uere la figura di quindici lati, col beneficio de’lati del trian- golo, e del pentagono: & è, che moltiplicando in$ieme li de- nominatori di due figure regolari, cioè i numeri de’loro lati, $i hà il denominatore d’vn’altra nuoua figura; e la differenza de gl’archi corri$pondenti al lato di dette due figure contiene tante parti di que$ta nuoua figura, quanta è la differenza de’ numeri de’lati di quelle figure. Così il triangolo hà trè lati, il pentagono cinque, moltiplico 3, per 5, & hò 15; e perche la differenza di 3 à 5 è 2, perciò dall’ i$te$$o punto del circolo applicato il lato del triangolo, & il lato del pentagono, la dif- ferenza de gl’archi corri$pondenti à que$ti lati contiene due parti delle quindici del circolo. E $e la differenza del nume- ro de lati delle figure $ia l’vnità, applicati i loro latial circolo, re$tarà la differenza de gl’archi la parte competente alla nuo- ua figura: Così applicato il lato del quadrato, e del pentago- no, la differenza è la vente$ima parte del circo$o, perche 4 moltiplicato per 5, fà 20. Il che è manife$to, perche delle 20 parti vn quarto ne leua 5, e delle $te$le 20 vn quinto ne leua quattro; dunque la differenza d’vn quarto, e d’vn quin- to è vna vente$ima.
Suppo$ta que$ta dottrina veri$$ima, e chiari$$ima, hauendo
noi nella linea de’poligoni illato della figura di 20, & il lato
della fig. di 18 lati, moltiplicando 20 per 18, habbiamo 360,
che è il numero de’gradi ditutto il circolo; e perche la diffe-
renzatra 20, e 18 è 2, perciò pre$o nello Stromento nella li-
Che $e prende$$imo l’interuallo, che diuide il circolo in 20, e quello, che lo diuide in 19 parti, la differenza loro $arà{1/380} del circolo, così per diuider il circolo in 63 parti, prendo due nu- meri, che moltiplicati facciano 63, e que$ti $ono 7, e 9, la differenza de’quali è 2. Dunque applicato al circolo il lato della figura di $ette, e quello di noue lati, la differenza $arà {2/63} del circolo, e diui$a per mezzo, darà l’arco, la cui corda è lato della figura di 63 lati.
Di quì $i vede, che hauendo noi nella linea de’poligonii lati di diciotto figure, combinandole à due à due, $i ponno fa- re 162 combinationi, e trouar’i lati di altre 162 figure, oltre le notate nello Stromento. Mà perche alcune differenze comprenderebbono numero di$uguale di parti, $aria a$$ai dif- ficile il trouarle, perciò meglio è $eruir$i $olo di quelli, che hanno ne’numeri la differenza, che è numero pari, e riceue $ubdiui$ione. Come per e$$empio, $e prendiamo il lato di 20, e queilo di 13, la differenza $arà {9/260} del circolo; e troppo difficile riu$cirebbe diuidere in $ette parti quella particella, che è la differenza de gl’archi: $e pur non s’adopra$$e ne gli archi l’indu$tria, che nelle linee rette habbiamo mo$trata nel Cap.2. e$pre$$a doue vna vente$ima $i diui$e in cinque parti. Mà $e prendiamo il lato di 11, e quello di 19, la dif$erenza $arà{8/209} del circolo; la qual differenza diui$a, e due altre volte $ubdiui$a, finalmente re$ta {1/209} del circolo.
Da que$te co$e quì dette $i raccoglie vn modo facili$$i mo
Per e$$empio voglio vna $ettante$ima $econda della linea
E' vero, che $i può fare più breuemente, e
$arà maniera commune anche quando la parte
è denominata da vn numero primo; cioè $i
metta la linea data all’interuallo della deno-
minatione delle parti, & all’ apertura mede$i-
ma $i prenda l’interuallo pro$$i mamente mi-
nore, poiche leuato que$to dalla linea data, il
rimanente $arà la parte cercata. Così po$ta
la MN all’ interuallo 72. 72, prenda$i l’inter-
Che $e la linea data fo$$e piccola a$$ai, come ML, e $i vede$- $e diuidere in parti 9; perche $aria $commodo l’applicarla allo Stromento, prolongo la linea ML tanto, che la replico otto volte $in ad N: dipoi applicata la MN all’ottuplo di par- ti 9, cioè al 72, prendo poi 71. 71, e $arà NI, onde re$tando IM {1/72} di MN, $arà per con$equenza {1/9} di ML: e così potrà, $e $i vorà, continuar ladiui$ione di ML in tutte le $ue none par- ti prendendo$i 70. 70, e traportandolo dal punto N ver$o M, che la$ciarà {2/72}, cioè {2/9} di ML, &c.
DAlla tauoletta po$ta in que$to Capo è manife$ta la pro-
portione de’lati de’poligoni; mà non $i può $empre
hauere que$ta tauoletta alla mano, come s’hà lo Stromento.
Per cono$cer dunque la proportione di detti lati conuiene
vedere, $e $i vog$iono con relatione al$emidiametro, ò $olo
Trouata la proportione de’lati di due figure, in riguardo
al lato dell’e$$agono po$to come 100, $i trouerà la proportio-
ne di dette figure, cercando l’area d’vno de’triangoli di cia-
$cuna, e poi moltiplicando que$t’area, per il numero de’lati di
cia$cuna. L’area poi di cia$cun trian-
golo $i troua con la moltiplicatione
Ora per trouar l’area del decagono, il cui lato è qua$i 31, & il mezzo giro 155, in circa, trouola perpendicolare cauan- do dal quadrato del $emidiametro, cioè da 10000, il quadra- to della metà del lato 15 {1/2}, cioè 240, e re$tano 9760 qua- drato della perpendicolare, quale perciò è 98. Moltiplica- to dunque 155 per 98 {3/4}, $i produce l’area del decagono 15306. Dal che conchiudo, che il pentagono, & il deca- gono de$critti nello $te$$o circolo $ono come 13967, e 15306, & in minori termini, poiche li numeri non $on tanto preci$i, come 14 à 15. E nella $te$$a forma $i procederà nel- la comparatione dell’altre figure, doue $i vedrà, che quanto minore è il lato, tanto più và cre$cendo l’area.
SE $arà data vna figura regolare, & vn’altra diuer$a $e ne de$ideri à lei vguale, primieramente per la Que$tione antecedente $i troui la proportione di tali figure nello $te$$o circolo, come $e $ia dato vn pentagono, e $i voglia vn deca- gono à lui vguale, $i troua, che il pentagono al decagono nel- lo $te$$o circolo è come 14 à 15. Dipoi il lato della data figu- ra s’applichi nelle linee de’poligoni all’interuallo conuenien- te, come nel ca$o no$tro all interuallo 5.5, e $i prenda l’inter- uallo della $pecie della figura, che $i cerca, come quì è il de- cagono, e $arà 10. 10. Finalmente perche il decagono è co- me 15, al pentagono, che è come 14; nelle linee Geometri- che all’interuallo 15. 15, applico que$to lato trouato del de- cagono; e pre$o l’internallo 14. 14, $arà illato d’vn decago- no, che è al decagono in$critto nello $te$$o circolo col penta- gono dato, come 14 à 15, cioè come il pentagono dato al decagono nello $te$$o circolo: Dunque que$t’ vltimo inter- uallo pre$o è il lato del decagono vguale al dato pentagono; poiche così il decagono di que$to lato, come il pentagono dato hanno la $te$$a proportione di 14 à 15 al decagono nel- lo $te$$o circolo con la figura data, per la 7 del 5.
COnuien talhora cangiar’vna figura piana in vn’altra di $pecie differente, e $e bene d<007> c<007>ò s’e parlato nel Capo antecedente alla Que$t. 1. nientedimeno per farlo più pre$to, e con facilità, $i può nel no$tro Stromento $egnar il lato di cia$cuna figura. E perche le figure Irregolari non hanno al- cuna determinatione, potendo e$$er molto varia la loro irre- golarità, perciò $olamente $i con$iderano le reglari, poiche cono$ciuto vn lato, tutti gl’altri $on noti, e$$endo tra di $e vguali.
Primieramente fà di me$tieri cono$cere la proportione de’lati delle figure di$$omiglianti, ma $econdo l’area, ò $uper- ficie tra di$e vguali. E perche tutte le figure regolar<007> puon- no concepir$i, come de$critte nel circolo; dal cu<007> centro tira- te à cia$cun’ angolo linee rette, l’area $i diuide in tantitrian- goli vguali, quanti $ono i lati di cia$cuna di dette figure, per- ciò ba$terà trouar la ba$e d’vno di detti triangoli. Onde no- ta, che $ia l’area d’vna figura, que$ta $i diuiderà in tante parti, quanti $ono i lati della figura, che $i de$idera, e que$to quo- tiente $arà l’area del triangolo, che è tal parte di detta figu- ra. Del qual triangolo i$o$cele e$$endo cono$ciuta l’area, e la proportione de’lati (poiche per il Capo antecedente $i co- no$ce la proportione dellato della figura al $emid<007>ametro del circolo, in cui è de$critta, ò almeno $i può cauare dalle rauole de’$eni) $i troua la grandezza della ba$e.
Dunque $uppo$to il lato del triangolo equilatero e$$er 1000, trouo la $ua area nel modo commune à tutti li trian- goli, cioè dalla metà del giro di tutto il triangolo $ottraendo cia$cuno de’lati, e moltiplicate in$ieme le trè differenze, e que$to prodotto moltiplicato per la detta metà del giro, cauo la radice quadrata, che $arà l’area cercata. Perciò e$$endo vn lato 1000, tutto il giro è 3000, e la metà 1500; dunque le trè differenze $ono 500, 500, 500, le quali moltiplicate in$ieme, fanno 125000000, e que$to prodotto moltiplicato per 1500 metà del g<007>ro del triangolo, dà 187500000000; la cui radice quadrata è 433012 area del dato triangolo equilatero.
Ora volendo$i illato d’vn quadrato vguale al dato trian- golo, prendo la quarta parte dell’area trouata del triangolo, & è 108253, e que$ta è l’area del triangolo, che è la quarta parte del quadrato vguàle al dato triangolo. Et in que$to piccolo triangolo, quarta parte del quadrato li lati po$ti, co- me 1000, la ba$e è 1414 <006> 2000000. Dunque perche li triangol<007> $imili $ono nella proportione duplicata de’lati, cioè le lor’aree $ono come li quadrati de’lati homologi, per la 19. del lib. 6, trouata l’area corri$pondente à que$ti trè lati ne’termini della proportione cono$ciuta, $e $i farà come l’area trouata all’area cono$ciuta 108253, così il quadrato della ba$e 1414 ad vn’altro verrà il quadrato della ba$e, che $i cer- ca. Quindiè, che data la proportione de’lati del triangolo 1000, 1000, 1414, $i troua l’area 499999: ecosì come que$ta à 108253, così il quadrato della ba$e, che è 2000000 (ouero 1999396 $e $i prende per ba$e 1414 preci$amente) à 433012, quadrato della vera ba$e, che $i cerca; quale per- c<007>ò $arà 658 <028>, etale $arà illato del quadrato vguale al da- to tr<007>angolo.
Con l’i$te$$o metodo $i trouano i lati del pentagono, e$$a-
gono, & altri vguali al dato triangolo, cioè prendendo per il
pentagono la quinta parte dell’area del triangolo equilatero
po$to, per l’Eptagono la $ettima parte, &c. E poi cono$ciu-
ta la proportione del lato di cia$cuna figura al $emidiametro
del circolo, in cui ella può de$criuer$i, $i troua l’area di que$to
triangolo i$o$cele; e finalmente facendo$i, come la quinta, ò
$ettima, &c. parte del triangolo equilatero po$to, à que$t’area
vltimamente trouata, così il quadrato del lato del pentago-
no, ò eptagono, &c. al quadrato del lato vero cercato; onde
la radice di que$t’vltimo quadrato $arà il lato, che $i cerca: e
così $i $ono trouati ilati d’a$cune figure regolari, come nell’
anne$$a Tauoletta $i troua notato. Econ que$ta proportione
Col mede$imo metodo approuarei, che nella $te$$a linea $i $egna$fe il Diametro del circolo vguale all’i$te$$o triangolo, la cui area è di parti 433012 quadrate. Perche il circolo è vguale al triangolo rettangolo fatto dal $emidia- metro, edalla circonferenza, e perciò vguale al Rettangolo $otto il $emidiametro, ela $emicircon$erenza, onde que$t<007> la- ti hanno la proportione mede$<007>ma del diametro alla circon- ferenza, cioè di 113 à 355; perciò moltiplicato 355 per 113 l’area del circolo $arà 40115. Siche habbiamo due aree di circoli, vna d<007> 40115, l’altra di 433012; e perche $ono i circoli comei quadrati del diametro, prenda$<007> il quadrato del diametro 226, cioè 51076, e faccia$i, come il circolo 40115 al circolo 433012, così il quadrato 51076 al quadro 5513- 28: la cui radice quadrata 742 <028> è la quantità del diame- tro del circolo, che dourà prender$i dal punto A, e verrà à cadere tra’l quadrato, & il Triangolo, e $i potrà $egnare ò con la figura circolare Θ, ouero con le lettere Dia; acciò s’in- tenda quello e$$er il diametro del circolo, la cui area è di parti 433012, vguale al Triangolo equilatero, li cui lati fono vguali alla linea AN di parti 1000. Così con vna tal diui- $ione $egnata per il circolo, $i potrà immediatamente quadra- re il circolo, e$$endoui il quadrato vguale al dato Triangolo, al qual è vguale il Circolo del diametro notato.
Quindi è manife$to, che dato qualunque lato di triangolo, à cui $i de$idera altra figura regolare vguale, gl’interualli dell’ apertura dello Stromento $aranno nella $te$$a proportione, in cui $ono diui$i i lati dello $te$$o Stromento, come più volte di $opra s’è detto.
HAbbia$i per cagione d’e$$empio vna la$tra d’argento quadrata, e voglia$i farne vn’altra d’vgual gro$lezza, mà di figura e$$agona, $i cerca la grandezza del lato dell’e$$a- gona. Nella linea trasformatoria, ò d’vguaglianza, comun- que chiamar la vogliamo, s’applichi all’interuallo del qua- drato il lato dato; e ritenuta quell’ apertura, prenda$i nella $te$$a linea l’interuallo 6. 6, e que$to riu$cirà il lato cercato dell’e$$agono.
Mà $e fo$$e la la$tra così grande, che non capi$ce il lato del quadrato ne gl’interualli dello Stromento, e $i vole$$e $ape- re in numeri di quanti deti $arà la lunghezza del lato trouato dell’e$$agono, così può operar$i. Allargato lo Stromento à qual$iuogl<007>a apertura, prenda$i con due Compa$$<007> gl’inter- ualli corr<007>$pondenti al quadrato, & all’e$$agono nella linea trasformatoria. Dipo<007> nella linea Aritmetica $<007> vegga con l’applicatione de’due Compa$$<007>, che proportione habbiano tra d<007>loro que’ due lati; e trouando che <007>l lato del quadrato à quello dell’e$$agono vguale è come 100 à 62, con la rego- la del trè dico, $e 100 danno 62, illato d’vna la$tra quadrata d<007> deti 20, mi darà in vna la$tra vguale e$$agona, il lato di deti 12 {2/3}.
Che $e non $i pote$$e prendere preci$amente in denomina-
tione di mi$ura cono$ciuta di palmi, deti, &c. il lato del qua-
drato, e nondimeno fo$$e a$$a<007> grande, prendo la metà, ò al-
QVe$ta operatione è facile adoprando$i la linea trasfor-
matoria, e la linea Geometrica: poiche prima nel<007>a
trasformatoria $i troua l’vguale, poi nella Geometrica $i tro-
ua quella, che hà la data proportione. Sia dato vn triango-
lo, e $i de$idera vn’ottangolo, che contenga tre volte, e mez-
za detto triangolo, cioè che $ia al triangolo, come 7 à 2. Pon-
go dunque nella linea trasformatoria <007>l lato dato del triango-
lo all’interuallo proprio: quindi prendo nella $te$$a linea l’in-
teruallo 8. 8, e que$to è l’ottangolo vguale al triangolo dato.
Che $e de$ideri cono$cer in numeri illato di que$to ottan- golo, che è al triangolo dato, come 7 à 2: $i troua con l’ap- plicatione de’lati del triangolo, & ottangolo vguali nella linea Aritmetica, che $ono come 100 à qua$i 30: dipoii lati de gl’ottangoli, che $ono come 2 à 7, applicati $imilmente al- la linea Aritmetica, trouo che $ono come 30 à 56, onde raccolgo, cheil lato del triangolo dato allato d’vn’ottango- lo, che lo contiene trè volte, e mezza è come 100 à 56.
SIano date due figure diuer$e regolari, per e$$empio vn pentagono, & vn triangolo: applico nella linea trasfor- matoria il lato della figura, che hà meno angoli, cioèil lato del triangolo, & à que$ta appertura all’interuallo 5. 5. nella $te$$a trasformatoria prendo il lato del pentagono vg uale. Po$cia que$to lato d’vn pentagono vguale al triangolo dato, & il lato del pentagono dato, applico nella linea Geometri- ca, come $i di$$e nel Capo 3. Que$t. 4. e così trouata la pro- portione de’pentagoni di que$ti due lati, $i fà manifefta la proportione del pentagono, etriangolo dati.
La ragione di que$ta operatione è manife$ta dalle co$e più volte dette, e dalla co$truttione dello Stromento nella diui- $ione di que$te linee, delle quali ci $eruiamo.
ES$endoche ogni area s’intende compo$ta di quadretti di determinata mi$ura, data l’area, deue e$ler dato il lato di cia$cun quadretto. Ora $upponga$i data l’area d’vn pen- tagono di 400 palmi quadrati, e cerchi$i quanto grande $ia il lato del detto pentagono. Trouifi il lato d’vn quadrato di 400 palmi, cauando dal dato numero la radice quadrata, che è 20, & in vn piano $i de$criua vna linea, che $i $upponga di 20 particelle, cia$cuna delle quali $e ben piccola rappre$enti vn palmo. Que$ta linea s’applichi nella linea trasformato- ria all’interuallo proprio del quadrato, & à quella apertura dello Stromento $i prenda l’interuallo 5. 5, del pentagono. Il che fatto, que$ti due interualli del quadrato, e del pentago- no s’applichino nella linea Aritmetica, e $i trouerà, che $e il lato del quadrato 400, è 20, il lato del pentagono di 400 pal- miè 15 {1/4}.
Si che data qual$iuoglia area $i caua la radice quadrata; e po$ta vna linea di tante mi$ure s’applica nella trasformatoria all’interuallo del quadrato; poiche l’interuallo corri$ponden- te alla denominatione del poligono dato, $arà il lato della fi- gura, la cui area è vguale al quadrato della linea $uppo$ta, cloè all’area data.
E’Manife$to, che li poligoni vguali diuer$i non $i puonno de$criuere nello $te$$o circolo; dunque il poligono di più lati $i de$criue in vn circolo minore, che quello di meno lati, ma vguale d’area. Cerchi$i dunque la proportione de’ circoli.
Il che $i fà trouando la proportione de’ $emidiametri. E $ia per e$$e mpio vn triangolo, & vn’eptagono vguali.
Primieramente applico nella linea de’poligoni il lato del triangolo all’interuallo 3.3, e prendo l’interuallo 6.6, e que- $to è il $emidiametro del circolo, in cui $i de$criue il dato triangolo. Similmente nella $te$$a linea de’poligoni applico il lato dell’eptagono all’interuallo 7. 7, e con quell’ apertura prendo l’interuallo 6. 6, il quale $farà il femidiametro del cir- colo, in cui $i de$criue il dato eptagono. Pre$i dipoi que$ti due $emidiametri, s’applicano nella linea Geometrica, & in quella $i troua la proportione de’circoli, come s’è detto nella Que$t. 4. del Cap. 3.
SE non fo$$e nella linea $egnato anche il diametro del cir-
colo vguale à cia$cuna delle figure notate nella linea
Quindi dato vn circolo, $arà facili$$imo il quadrarlo: per- che applicato il diametro dato alli punti 14. 14: prenda$i l’in- teruallo 11. 11, e que$ta linea darà vn quadrato vguale al cir- colo dato; e$$endoche il circolo al quadrato del $uo diametro è come 11 à 14.
QVe$ta operatione $i fà con ridurre le due di$$imili à
$omiglianza, e poi vnirle in vna $imile, e finalmente
trouare vna di$$imile. Sia dato vn pentagono, &
vn quadrato di$uguali, e $i voglia far vn triangolo vguale alla
$omma del pentagono, e del quadrato. Prima riduca$i il pen-
tagono in quadrato, in que$to modo. Nella linea trasforma-
toria s’applichi il lato del pentagono dato a$l’interuallo 5.
5, e poi prenda$i l’interual$o de’quadrati, <058> <058> che $arà il la-
E $e fo$$ero molte le figure date da vnir$i, $i continui l’o- peratione nello $te$$o modo; come $e oltre i$ pentagono, e quadrato dati vi fo$$e anche vn triangolo, e poitutti in$ieme haue$$ero à far’ vn’ottangolo; trouato il triangolo vguale al pentagono, & al quadrato dati, così il lato di que$to, come del dato triangolo s’applichino nelle linee Geometriche, e $i troui vn triangolo eguale à tutti due; e finalmente il lato di tal triangolo vguale à tutte trè le figure date s’applichi nelle linee trasformatorie all’interuallo del triangolo, poiche rite- nuta quell’ a pertura di Stromento, l’interuallo 8. 8, darà il lato dell’ottangolo vguale alle trè figure date.
SIa dato nello $te$$o circolo vn triangolo, & vn quadrato,
li quali nece$$ariamente $ono di$uguali, e $i voglia far
In tutte que$te operationi $e le linee, che $ono lati delle figure date, fo$$ero troppo grandi, $i prendano le parti ali- quote, ricordando$i poi di moltiplicare l’vltima linea troua- ta $econdo la denominatione della parte aliquota pre$a; co- me $e $i pre$e il terzo della linea, quella trouata $arà $ola- mente il terzo di quella, che $i cerca, e così dourà triplicar$i: $e $i pre$e il quarto, que$ta dourà quadruplicar$i, e così dell’altre.
COrpi regolari $i chiamano quelli, che hanno le loro $u-
perficie piane, dalle quali $ono compre$i, $imili, &
vguali: E perche ogni angolo $olido è fatto almeno da trè
$uperficie, ne può e$$ere $e non minore di quattro angoli ret-
Per trouar dunque i lati di que$ti cinque corpi regolari
contenuti in vna mede$ima sfera, ci $eruiremo del modo da-
to da Euclide nell’vltima propo$itione del lib. 13. Si tiri nel-
lo Stromento la linea, che deue à que$to effetto $eruire, e $ia
la l<007>nea AP, ouero AM. A que$ta linea $e ne tiri in vn pia-
no vna vguale, e $ia la linea AB, la quale diuida$i in modo,
che BC $ia la metà, BD la terza parte, BE la quinta parte.
E dal centro C $i de$criua il $emicircolo AFB. S’alzino poi
le perpendicolari CF, DG, EH, e $i t<007>rino le linee AF, che
è lato dell’octaedro, AG, che è lato della piramide, ouero
tetraedro BG, che è lato del cubo. E que$ta linea BG $i ta-
Trouate que$te mi$ure, $itrasferi$cono $opra lo Stromen- to, in cui AP è diametro della sfera, A4 vguale ad AG, A8 vguale ad AF, A 6 vguale à BG, A 20 vguale à BI, A 12 vguale à BK; & in tal maniera $ono $egnati i lati de’corp<007> re- golari, che puonno de$criuer$i nella $te$$a sfera.
E perche $e bene tutte que$te linee $ono tra di loro incom-
men$urabili di longhezza, nondimeno li lati del tetraedro,
octaedro, e cubo $ono col diametro della sfera commen$ura-
bili di potenza (gl’altri due lati del dodecaedro, & ico$aedro
$on’affatto irrationali) e $ono iloro quadrati in que$ta pro-
Quindi $i potrà in numeri determinare la quantità di que- $te linee in proportione al diametro della sfera, quale mettia- mo e$$ere di particelle 2000. Dunque il $uo quadrato 4000000, che è al quadrato del lato della Piramide come 6 à 4, darà 2666666 quadrato, la cui radice 1633- è il la- to della Piramide. Similmente come 6 à 3, così il quadrato 4000000 al quadrato 2000000, la cui radice 1414 <028> è il lato dell’octaedro. E come 6 à 2, così il quadrato 4000000 al quadrato 1333333, la cui radice 1154 <028> è il lato del Cubo.
Mà per ilati delli altri due corpi regolari $i richiede mag-
gior indu$tria, poiche il lato del Cubo 1154 deue diuider$i
nella media, & e$trema ragione, cioè come 1000 à 618. pro$.
$imamente, & il $egmento magg<007>ore 713 $arà il lato del do-
decaedro, come $i hà dal primo corollario della prop. 17. del
lib. 13. d’Euclide. E per trouar il lato dell’Ico$aedro, primie-
ramente deue trouar$i il raggio di quel circolo, che compren.
de lecinque ba$i delli cinque triangoli, che co$titui$cono l’an-
golo $olido di que$to corpo: Ora per il primo corollario del-
la prop 16. del lib. 13. il quadrato di quel raggio è la quinta
parte del quadrato del diametro della sfera; onde $arà
800000 il quadrato, e la $ua radice 894 <028> è il raggio di det-
QVelli, che $i dilettano dentro sfere di vetro formare di piccole regolette te$$ute in$ieme varie figure, come $e fo$$ero linee, hauranno l’v$o di que$to problema. Il diametro della sfera dato s’applichi all’ interuallo vltimo della linea de’ corpi regolari; e di poi pre$o l’interuallo del cubo, $e $i de$idera formare vn cubo, ò di qualunque altro $o- lido, che vogl<007>a formar$i, cioè l’interuallo 6. 6, in quella $te$- $a linea, e s’haurà il lato del cubo. Se $i vole$$e formar’ vna piramide, prenda$i l’interuallo 4.4, in quella linea de’cor- piregolari.
SIa data vna piramide, e $i de$ideri vna sfera, che conten-
ga vna piramide, che al$a data $ia come 9, à 8. Troui$i
illato della piramide, che $ia come 9 à 8, ri$petto della pira-
mide data: e perche i $olidi $imili $ono nella triplicata pro-
portione de’lati Homologi, cioè, come i cubi de’lati, illato
della piramide data s’applichi nella linea cubica dello Stro-
mento all’interuallo 8. 8; e pre$o l’interuallo 9.9, $arà lato
della piramide, che alla prima $arà come 9 à 8. Quel$to lato
SIa data vna sfera, il cui diametro è noto, e$i cerchi la
proportione di detta sfera à cia$cuno de’corpi regolari
in$critti. Ogni sfera è vguale al cono, la cui ba$e è vguale
alla $uperficie sferica, e l’altezza vguale al raggio, come di-
mo$tra Archimede nel l<007>b. 1. de Sph{ae}r. Cyl. dunque dato il
diametro $i troua la circonferenza del ma$$imo circolo, e que-
$ta moltiplicata per il $udetto diametro dà la $uperficie sferi-
ca, ba$e del cono, e que$ta poi moltiplicara per la terza par-
te del raggio, cioè il $e$to del diametro dà la $olidità del cono
vguale alla sfera; perche $e la ba$e $i moltiplica$$e per tuttta
l’altezza, $aria la $olidità del cilindro di ba$e, & altezza vgua-
le; dunque e$$endo il cono la terza parte di tal cilindro, perla
10. del lib. 12. è manife$to, che$i deue moltipliar $olo per la
terza parte dell’altezza. Per trouar poila $olidità d’vn corpo
regolare in$critto; Primo, $i troua il lato di detto corpo, ap-
plicando il d<007>a metro della sfera all’e$tremità della linea de’
corpi regolari, econ vn’altro Compa$$o $i prenda l’interual-
lo competente al corpo, che $i cerca: e que$ti due interualli
applicati nella linea Aritmetica, danno in numeri homologi
al d<007>ametro della sfera, illato del corpo, per e$$empio dell’
Ciò che s’è detto de’corpi, le cui faccie $ono triangolari, $i deue proportionata mente intendere del dodecaedro, le cui faccie $ono pentagone: perche trouato il lato del dodecae- dro, che è il lato del pentagono, $i troua il raggio del circolo, in cui capi$ce detto pentagono, e diui$o per metà il lato del pentagono in e$$o cade $a perpendicolare dal centro, la qua- le può il quadrato, che è differenza trà il quadrato del rag- gio trouato del circolo, & il quadrato della metà del lato del pentagono: e cos<007>4; $i troua l’area d’vno de’cinque triangoli i$o$celi, ne’quali $i diuide il pentagono; onde $i vien à cono- $cerel’area di detto pentagono. Poi dal quadrato del raggio della sfera leuato il quadrato del raggio di detto circolo, re- $ta il quadrato della linea, che dal centro della sfera cade perpendicolarmente nel piano pentagonico, & è l’altezza della piramide, che è la duodecima parte dell’octaedro: co- me è manife$to.
Quanto poi al cubo è manife$to, ch’egli è alla sfera dello
$te$$o diametro con il $ato del cubo, come 21 à 11, come s’o$-
$eruò nel Cap. 5. que$t. 2. Mà il cubo in$critto nella sfera è
LI corpicirco$critti alla sfera hanno i loro piani, che toc-
cano la sfera; e perciò l’altezza delle piramidi, che han-
no per bale tali piani, è vguale al raggio della sfera data. Ora
perche il corpo in$critto, & il circo$critto $ono $imili, hanno
anche ilati homologi, e li piani $ono $imili: e per con$eguen-
za le pitamidi, nelle quali $i ri$oluono, hauendo trà di loro la
proportione de’$uoi tutti, per la 15. del 5. hanno la propor-
tione triplicata de’lati homologi. Mà perche le piramidi
hanno le ba$i $im<007>l<007>, que$te ba$i hanno la proportione dupli-
cata de’lati homologi; e perche le piramidi hanno trà di$e
la proport<007>one compo$ta della proportione delle ba$i, e del-
le altezze, e$$endo le ba$i nella duplicata proportione de’lati,
$eguita, che le altezze habbiano la $te$$a proportione de’lati.
Ora e$$endo data la sfera, & il $uo raggio, habbiamo l’altez-
za della piramide maggiore, che è parte del corpo circo$crit-
Di quì è manife$to, che hauendo $e piramidi $udette la proportione triplicata de’lati delle ba$i, cioè la triplicata del- l’altezze, anche il corpo in$critto, & il circo$critto hanno la, proportione triplicata della perpendicolare dal centro della sfera sù la faccia del corpo in$critto, al $emidiametro della $te$$a sfera; e così cono$ciuta detta perpendicolare, & il rag- gio della sfera, e pre$i i loro cubi, que$ti daranno la propor- tione delcorpo in$critto, al circo$critto, nella $te$$a sfera.
SIa dato vn’ico$aedro, e $i voglia far’vna piramide à lui
vguale. Come s’è detto nella Que$t. 3. $i troui la pro-
portione dell’ico$aedro, e della piramide in$critti nella $te$$a
sfera. Dipoinella linea delli corpi regolari applicato il lato
dato dell’ico$aedro all’interuallo 20. 20, $i prenda il lato del-
la piramide nella $te$$a sfera all’interuallo 4.4. E finalmente
nelle linee cubiche s’applichi que$to lato della piramide all’
nteruallo d’vn numero, à cui $ia vn’altro numero di dette
lineenella proportione, che $i trouò e$$ere l’ico$aedro alla
Da ciò, che quì $i è detto, potranno ad imitatione della
linea Trasformatoria de’Poligoni trouar$i ilati di tutti i cin-
que corpi regolari, & il diametro della sfera, i quali corpi
$iano tra di $e vguali; onde $i potriano $egnare nella $te$$a
linea de’corpi regolari, mà tirata (non così à trauer$o, come
per più di$tintione $i è fatto nella figura po$ta alla pag. 164.)
per il lungo de’lati dello Stromento come l’altre linee, acciò
così rimanendo le d<007>$tanze delle mi$ure notate alquanto
maggiori, vi $i po$$ano con di$tintione $egnar i punti, che cor-
ri$pondono alli lati de’corpi, che $i vguagliano. Nel che $i
deuono auuertire due co$e: la prima è, che que$ti punti no-
tati per l’vguaglianza $udetta non $i notino con inumeri, co-
me $i $on notati li corpi in$critti nella $te$$a sfera, mà con la
lettera capitale de’loro nomi; cioè il Dodecaedro col D,
l’Ico$aedro con l’I, il Cubo col C, la Sfera con S, l’Ottaedro
con l’O, e la Piramide con P. La $econda è, che cre$cendo
ilati con l’ordine, con cui quì $i $ono annouerati, conuien.
auuertire, che il maggior lato di tutti è quello della Pirami-
de, ò Tetraedro: e così que$to deue metter$i nel fine della
linea, ò più à ba$$o, ò alquanto più $opra del punto, doue è
notato il diametro della sfera per li corpi in$critti: altrimen-
ti $e à ciò non $i haue$$e il douuto riguardo, correrebbe peri-
colo, che non vi fo$$e luogo per il lato della Piramide, che
douria e$$ere più lungo ditutta la linea tirata $ul lato dello
ES$endo$i que$to opu$colo $tampato alcuni anni $ono, ec- co mi capitan’<007>n mano le Operationi del Compa$$o Geometrico del Galilei; & all’Operat. 31. trouo v$ar$i da lui certe linee, che chiama Aggiunte, e $eruono à riquadrare i Segmenti del Circolo, e per con$eguenza anche le figure in$critte al Circolo benche Trapezie, cioè à ritrouar vna li- nea, che fatta lato d’vn quadrato, darà vn’area vguale al pro- po$to Segmento, ouero alla figura rettilinea, ò mi$ta, che $ia di linee rette, e di curue circolari. Mi pare vtile que$ta l<007>nea, perciò in que$ta $econda impre$$ione aggiongo quì la $ua de- $crittione, & v$o, à fine che chi haue$$e alcuno Stromento for- mato à $o miglianza di quello del Galilei, $appia valer$ene, & intenda come $ia fatta la diu<007>$ione dital linea, la quale io chiamo Quadratrice; e$$endo che dà li lati de’quadrati vguali alli Segmenti di circolo propo$ti.
Primieramente è nece$$ario determinare la lunghezza del-
la linea da tirar$i $ul lato dello Stromento; e que$to $i farà tro-
uando la linea, ilcui quadrato $ia vguale al $emicircolo, che $i
$uppone e$$er il maggior delli $egmenti, che $i notano nella
linea. L’area dunque del $emicircolo è vguale al rettangolo
fatto dal Raggio, e dalla quarta parte della circonferenza:
perciò inte$o i$ diametro e$$ere 200000, la circonferenza è
628318; ela quarta parte 157079 moltiplicata per il Rag-
Fatto que$to, $i deue determinare in
quante parti vguali $i vuole diuidere l’al-
tezza del $emicircolo, la qual è vguale
al Raggio, per hauer con ciò le diuer$e
altezze di varj $egmenti. E$$endoche l’i-
$te$$a linea A <058>, che $i è po$ta raggio
d’vn $emicircolo, può in vn’altro circolo
maggiore e$$ere la metà della corda d’vn’
arco minore del $emicircolo, e perciò l’al-
tezza del $egmento $arà minore di A <017>.
Il Galilei la diui$e in 20 parti vguali, onde
non ne $egnò $e non 18, perche l’vltime
due cadeuano nel gruppo dello Stromen-
to. Veroè, che $e la linea fo$$e a$$ai lun-
ga, $i potria la parte A <058> diuidere in
maggior numero di parti; mà auuerta$i,
che po$$ano e$$er i punti $enza confu$io-
ne. Qu<007> per chiarezza maggiore $i è fat-
Ora per intender il
Ora perche il Settore $i fà dal Raggio, e dalla metà dell’ arco, perciò conuien inue$tigare la metà dell’arco COD, cioè l’arco O D, che è mi$ura dell’angolo OID. Mà perche nel triangolo rettangolo D A I è noto il lato D A 100000, & il lato AI 5131, prenda$i que$to numero come Tangente dell’ Angolo A D I, e nella tauola delle Tangenti $i troua corri- $pondere à gr. 2. 5' 6 {1/4}; perilche $i notifica il $uo complemen- to quantità dell’angolo DIA, e dell’arco OD gr. 87. 3’{3/4}.
Notificata la quantità dell’arco OD in gradi, re$ta ridurla
à parti $imili alle particelle del $uo Raggio OI. E perche in
ogni circolo la proportione del Raggio alla $emicirconferen-
za è come 100000 à 314159, faccia$i il terzo termine dell’
analogia il Raggio OI già trouato 100131, e $arà il quarto
termine 314570 $emicirconferenza del circolo, di cui è Rag-
gio OI. Il che fatto in$titui$ca$i que$ta $econda analogia: $e
gr. 180 danno particelle 314570, che daranno gr. 87. 3' {3/4}?
e trouaremmo particelle 152151, che $ono l’arco O D. Mol-
tiplichi$i que$t’arco OD trouato per il Raggio IO, e $arà tut-
Con que$to metodo $i trouano le altre linee quadratrici de’ $egmenti, che hanno minor altezza: e così nell’ anne$$a Ta- uoletta nella prima colonna $i mettono per ordine li $egmen- ti, come $on notate le $ue altezze nella linea dello $tromento cominciando dalli più alti, e così il primo hà pet altezza {19/20}, il $econdo ne hà 18 vente$ime, e così per ordine, come di- mo$tra la $econda colonna. Il re$tante è chiaro dal titolo di cia$cuna colonna. E fina$mente l’vltima colonna contiene le Radici abbreuiate del quadrato vguale all’ area del $eg- mento, poiche que$te $on quelle, ehe deuono notar$i nella linea Quadratrice dello Stromento; e le due vltime figure $eparate col punto, dinotano le parti cente$ime d’vn’ intiero; acciò $i vegga quel che $i deue aggiongere all’ intieri: così al numero 6 interiore deue e$$ere A6 parti 100.95, cioè pochi$- $<007>mo meno di parti 101 delle quali A <058> è 100.
Dalla con$truttione di que$ta linea Quadratrice $i rende
manife$to il $uo v$o: e$$endoche A <058> e la metà della corda
d’vn legmento: A 3, per e$$em pio, de’numeri e$teriori è l’al-
tezza del $egmento, & A 3 de’numeri ntieriori è la linea, che
HAbbia$i riceuuta $opra vna carta la $pecie optica dell’
Ecli$$e del Sole, e $ia ADB il termine dell’o$curatione,
e voglia$i $apere, quanta $ia la parte del di$co Solare o$cura-
ta, e coperta dalla luna. Tiri$i alli punti A & B, doue le cir-
conferenze $i tagliano, la corda A B, e que$ta diui$a per mez-
zo in F $ia tagliata dalla perpendicolare DC: Quindi la metà
della corda A B, cioè F B, $i applichi nelle linee Quadratrici
all’interuallo <058> <058>, poi pre$a l’altezza
Similmente pre$a la altezza FC, &
applicata alli numeri e$teriori, doue
capi$ce, $i vedrà qual interuallo debba
Et acciò qualche principiante non $tima$$e difficile l’haue- re que$te linee, cioè la corda AB, e le altezze FD, FC, à ca- gione del moto, che fà la $pecie optica del Sole, ò della Luna $opra il piano, doue $i riceue; $appia che ba$ta notare con vn punto li due termini A e B, che $on manife$ti, e $ubito ad ar- bitrio notare vn punto, per e$$empio 1 nel giro dell’ombra, & vn’altro punto arbitrario nelgiro dell’imagine lucida, per e$$empio S. Poiche hauuti que$ti punti $arà facile con $uo agio finire l’imagine circolare, e trouare i centri delli due cir- coli; e$$endo che perla 25. del lib. 3. e la quinta del lib. 4. per li tre punti S A B $i tira il circolo, il dicui centro $i troua O, e perli trè punti A I B $imilmente $i tira il circolo, il dicui cen- tro $itroua V. E di que$ta maniera $arà facile trouare il dia- metro del circolo, da cui $i deue cauare la parte o$curata ADBCA.
Per vedere quanta $ia la parte o$curata di tutto il di$co lu-
mino$o, prenda$i il diametro del di$co lumino$o, e nelle linee
Geometriche $i applichi all’interuallo 14. 14, e ritenuta quel-
l’apertura dello Stromento prenda$i l’interuallo 11. 11. poi-
che que$to è il lato del quadrato vguale à tutto il circolo, il
cui diametro $i è pre$o. Di poi ritenuta pure l’i$te$$a apertu-
ra, nelle mede$ime linee $i vegga, doue capi$ca la linea tro-
Di quì $i vede, che $ia meglio compire tutto il cerchio quando $ia data vna $unula, in cui tirata la corda, che vni$ca le punte e$treme, e que$ta diui$a per mezzo da vna perpen- dicolare, veni$$e l’altezza maggiore della metà della $udetta corda; perche $aria $egno, che il $egmento $ia maggiore del $emicircolo: come $e la $unula data fo$$e AGBDA, troui$i il centro O del circolo e$teriore, e $i compi$ca il circolo con l’aggionta dell’arco ACB: poiche trouata, come $opra, la quantità della parte ADBCA, e leuata, come $i è detto dal circolo intiero, rimarrà la cercata quantità della lunula AGBDA.
Mà $e l’altezza della perpendicolare, che cade in mezzo della corda, che vni$ce le punte e$treme della Lunula data, $arà minore della metà di detta corda, $arà $egno, ch’il $eg- mento è minore del $emicircolo: tale $arebbe la lunula SGE LS. Tirata la corda SE, diuida$i per mezzo in H dalla per- pendicolare GH; così $i hanno due $egmenti $ull’<007>$te$$a corda, l’altezza del minore è H L, quella del maggiore è H G. Dun- que applicata HE all’interuallo <058> <058>, conforme alle due al- tezze HG, HL $i trouino le linee de’quadrati vguali alli $eg- menti predetti: Quindi per la Que$t. 6. del capo 3. nelle linee Geometriche $i troui la differenza di que$ti quadrati, e la li- nea, il cui quadrato è vguale à tal differenza, darà il quadra- to vguale alla lunula SGELS.
NOn tuttili trapezj $on tali, che po$$a loro circo$criuer$i
vn circolo; perche i quadrilateri de$critti in vn circo-
lo hanno gli angoli oppo$ti vguali à due retti per la 22. del
lib.3. Onde à que$ti $oli è ri$tretta la pre$ente Que$tione. Sia
dato il Trapezio ABCD nel $egmento circolare AOD. Pri-
mieramente diuida$i in mezzo nel
Que$to, che $i è detto del modo di trouare l’area de’Trape-
zj in$critti nel circolo, deue intender$i dell’ altre figure m ol-
tilatere, ò $iano dilati vguali, ò di$uguali, trouando le linee
ALle volte occorre, che $ia propo$to vn $egmento con la corda, ò con l’altezza così piccola, ò così grande, che non $i po$$ano commodamente applicare à gl’interualli della linea quadratrice, perciò $arà nece$$ario nelle troppo piccole valer$i delle moltiplici, e nelle troppo grandi $eruir$i d’vna parte aliquota; perche poi la linea trouata nella $te$$a proportione $i $minui$ce, con cui l’altre $i accrebero, ò $i ac- cre$ce, $e l’altre furono $minuite. Così $e le mi$ure del $eg- mento furono raddoppiate, $i toglie la metà della linea tro- uata; $e quelle furono dimezzate, que$ta $i raddoppia.
Mà può accadere, che $e bene la metà della corda commo-
damente capi$ce nell’interuallo <058> <058>, l’altezza del $egmento
$ia minore di quelle, che corri$pondono à gl’interualli de’pun-
ti notati e$teriormente, il che occorrerà ogni volta, che la
proportione dell’altezza alla metà della corda $arà minore
d’vna decima parte di detta metà; poiche $olamente vi $ono
$egnate 18 vente$ime di tutta la A <058>. Et in tal ca$o non va-
lerebbe raddoppiar, ò triplicare la mezzacorda, e l’altezza;
perche rimanendo $empre la mede$ima proportione, non $i
In ca$o però che $i face$$ero que$te più minute diui$ioni, deue auuertir$i, che caderanno alle volte i punti delli numeri e$ter<007>ori, e delli interiori, così vicini, che $i dubitarà, à quali numeri e$$i appartengono. Perciò io con$igliarei, che alla linea Quadratrice $i tira$$e parallela dalla parte difuori vn’al- tra linea vicina, alla quale dalli punti delle parti vguali $i tira$- $ero lineette, poiche tali punti, da quali v$ci$$ero tali lineette tra$uer$ali, $i ricono$cerebbero per appartenenti alli numeri e$teriori; e così alli numeri interiori apparterebbono gli al- tri punti, dalli quali non v$ci$$ero $imili lineette, e $i togliereb- be il pericolo d<007> prender vn punto per vn’altro vicino.
Quando dunque l’altezza del $egmento è minore della de-
cima parte della metà della corda, troui$i la loro proportio-
ne, come $i di$$e alla Que$t. 5. del capo 2, e $tatuita la mezza
corda come 100000, $i faccia l’altezza data del $egmento à
que$to numero nella proportione trouata: così trouata la
proportione della mezza corda all’altezza e$$ere di 12 à 1,
diuida$i 100000 per 12, e$arà l’altezza 8333. dipoi con
que$ta mi$ura $i operi nella maniera adoperata in que$to ca-
po per trouare le quantità de’lati del quadrato da notar$i sù
SOno alle vo$te date alcune portioni circolari, che non $ono de$critte in carta da poter$ene traportare le linee con il Compa$$o; perciò date le loro mi$ure, $i trouano linee nella $te$$a proportione, e con quelle $i opera sù lo Stromen- to nel modo detto. Sia, per cagione d’e$empio, data nella parte $uperiore d’vna porta, che tondeggia, vna portione circolare, e $i vuol $apere di quante braccie, ouer oncie, qua- drate $ia quello $patio.
Prenda$i la mi$ura della larghezza, che $ia braccia 5, e del-
l’altezza, che $ia braccia vno, & oncie noue: la metà della
corda è braccia 2 {1/2}, cioè oncie 30, e l’altezza è oncie 21.
Nelle linee Aritmetiche con due Compa$$i prendan$i due
interualli, che habbiano la $te$$a proportione di 30 à 21; e
$iano 100. 100, e 70. 70. le quali lunghezze quanto $i pren-
deranno maggiori, tanto più e$atta riu$cirà l’operatione. La
lunghezza, che rappre$enta la metà della corda del $egmen-
to circolare, $i applichi nelle Quadratrici all’interuallo <058> <058>,
e l’altra che rappre$enta l’altezza, $i applichi alli punti de’nu-
meri e$teriori doue capi$ce, e $arà all’interuallo 6. 6. Perciò
ritenuta l’apertura $te$$a dello Stromento, con que$to mede-
fimo Compa$$o allargato $i prenda nelli punti de’numeri in-
teriori l’interuallo 6. 6. Po$cia ritornando alle linee Aritme-
Mà $e mi$urando il $egmento propo$to, $i troua$$e l’altez-
za e$$ere maggiore della metà della larghezza, $aria $egno,
che quel $egmento fo$$e maggiore del $emicircolo: & in tal
ca$o conuerrebbe trouare l’altezza dell’altro $egmento mi-
nore, e con quella $i operarebbe nel modo $odetto, trouan-
do la quantità di quel $egmento minore; e que$ta leuata dal-
la quantità di tutto il circolo, il re$iduo darebbe la grandez-
za del propo$to $egmento. Per trouar dunque l’altezza del
$egmento minore, faccia$i come l’a$tezza data D C alla C B
metà della data larghezza, così C B à C E: e que$ta terza pro-
portionale, trouata per la Que$t. 7.
SIa dato il Segmento di circolo C O D B C, in cui il ma$$i-
mo triangolo è quello, la cui altezza è la mede$ima
con l’altezza
del Segm\~eto,
Primieramente e$$endo larea del ma$$imo triangolo vgua- le al rettangolo fatto da OB, e BC, troui$i tra que$te due linee la media proportionale, e$ia H, per la Que$t. 8. del capo 3. & il quadrato dique$ta linea H $arà vguale al detto Triango- lo ma$$imo COD, perla 17. del lib. 6.
Dipoi nelle linee Quadratrici di que$to capo $i applichi BC metà della corda alli punti <058> <058>, e l’altezza BO $i troui ne gl’interualli de’numeri e$teriori, poiche all’interuallo de’ numeri interiori corr<007>$pondenti $i haurà la linea I, che dà il quadrato vguale al $egmento dato. Si che il dato $egmento di circolo al Triangolo ma$$imo che capi$ce, hà la proportio- ne del quadrato di I al quadrato d<007> H, c<007>oè la duplicara pro- portione di que$ta $econda linea I trouata, à quella H, che in primo luogo $i trouò. Dunque cerch<007>$i, per la Que$t. 7. del capo 3, à que$te due la terza proportionale K; & il $egmen- to al Triangolo ma$$imo hà la proportione della linea I alla linea K.
Finalmente per la Que$t. 3. del capo 2. $i faccia come B O ad EA, così K ad L: onde ne$iegue, perl’ 11. del lib. 5, che il triangolo C O D al triangolo C A D $ia come K ad L. Dun- que il $egmento del circolo al Triangolo C O D è come la linea I alla linea K; & il Triangolo C O D al Triangolo C A D è come la linea K alla linea L: dunque perla 22. del libro 5. $aràil dato $egmento del circolo al triangolo dato C A D in- chiu$o, come la linea I alla linea L. Perciò volendo$i $aper in numerila proportione, $i portino le dette due linee I, & L sù le linee Aritmetiche; e gl’interualli, ne’quali capiranne, daranno i numeri, che e$primono la cercata proportione del $egmento al triangolo dato in e$$o.
DAlle co$e dette in tutto que$to Trattato della diligen- za, con cui deuono far$i le diui$ioni delle linee de- $critte (alcune delle quali non $i può negare, che ricercano molto particolar’ attentione, acciò $iano diui$e accuratamen- te) potrà per auuentura $pauentar$i qualche. Artefice, te- mendo, che rie$ca la fattura così lunga, e trauaglio$a, che douendo$i condegnamente ricompen$are, venga à riu$cire tanto cara, che trouando$i pochicompratori, venga à trarne poco guadagno. Per facilità dunque de gl’Artefici, a’ quali non ba$ta hauerne fatto vno, ò anche d’altri, i quali vole$- $ero con poca fatica diuidere le linee tirate nel $uo Compa$$o di proportione, $oggiongo per fine di que$to Trattato que- $to Capo, i$ quale in $o$tanza non è altro, che la prattica di quanto di$opra s’è detto.
Prouegga$i dunque l’Artefice d’vn Compa$$o di propor- tione con le regole a$$ai lunghe, $opra delle quali $iano tira- te dal centro varie linee rette nell’vna, e nell’ altra faccia, e que$te linee diuida nella maniera, che habbiamo mo$trato, ne $timi alcuna diligenza $uperflua, ne perduto il rempo, che v’impiegarà, à fine, che le diui$ioni $iano accurati$$ime; per- che fatta vna volta que$ta fatica, non haurà più à replicarla, e gli $eruirà per tutta la $ua vita, e de’ $uoi figliuoli, perche que$to Compa$$o di proportione dourà ritener appre$$o di $e, e non venderlo, per non nece$$itar$i ad vna nuoua fatica.
Occorrendo poi far vn’ a$tro Stromento vguale, ò più
Di quì $i vede, che $e vn’amico habbia vn Compa$$o di proportione, diligentemente fatto da buon’artefice, cia$cuno potrà con gran facilità far$ene vno da $e, cauando da quello le diui$ioni nel modo, che s’è detto douer fare l’Artefice. On- de con molto poca $pe$a può e$lere proui$to d’vn buono Stromento.
EQue$te co$e ba$tino per la $piegatione della Fabrica, &
V$o del Compa$lo di proportione, dalle quali cia$cu-
no potrà andar inuentando altre operationi. Sì come anche
puonno de$criuer$i altre linee, nelle quali $iano altre propor-
tioni, $econdo il piacere di cia$cuno: come $arebbe vna linea
delle fortificationi, nella quale $i $egna$$e la proportione delle
parti di e$$a, cioè la capitale, & il fianco del baloardo in cia-
$cuna fortezza di più angoli, $upponendo$i la mezzagola, &
il fianco vguali al $e$to di tutto il lato del poligono: & io per
Ciò che per modo d’e$$e m p<007>o s’è detto della linea delle fortificationi, con notare que$te due $ole diui$ioni, s’intenda anche, ò notando altre proportioni d’altre linee appartenen- ti alla fortificatione, ò pur anche altre linee d’altre co$e, e proportioni, $econdo il piacere di cia$cuno. Così perche $pe$$o può venir’ occa$ione di tagliar’ vna linea nella media, & e$trema ragione, potrebbe$i nello Stromento tirar’ vna li- nea nell’vno, e nell’ altro braccio, la quale à que$t’ effetto $er- ui$$e, tagliandola con que$ta proportione, poiche qual$iuo- glia linea data applicata all’e$tremo interuallo, $aria tagliata $imilmente, prendendo l’interuallo de’ punti, ne’ quali le li- nee laterali furono così diui$e. Se bene $e non hai tal linea preci$amente diui$a nello Stromento, ba$terà, che applica- ta tutta la linea all’interuallo 100. 100, prendi l’interuallo 38. 38, e con que$to diuida$i la linea data; perche il $egmen- to maggiore 62. hà per $uo quadrato 3844. poco maggio- re del rettangolo fatto da tutta 100, e dal minor $egmento 38, cioè poco maggiore di 3800, come richiede cotal $et- tione. Se tutta la linea fo$$e 1000, le parti $ariano 618, e 382, & il quadrato del maggior $egmento è 381924 poco minore del rettangolo 382000.
Mà ciò $i fà con preci$ione maggiore $e la data linea $i ap-
plichi nelle linee che moftranole corde de gliarchi, all’inter-
uallo 60. 60; po<007>prenda$il’interuallo 36. 36, che que$to da-