metadata: dcterms:identifier ECHO:BYCAB3V6.xml dcterms:creator (GND:118639749) Huygens, Christiaan dcterms:title (la) Christiani Hugenii opera varia; Bd. 1: Opera mechanica dcterms:date 1724 dcterms:language lat text (la) free http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView/ECHOzogiLib?mode=imagepath&url=/mpiwg/online/permanent/library/BYCAB3V6/pageimg log: {ος} in running head makes problems during xml generation unknown: <007> = i or ı (dotless i) (occurs 66 time(s)) replacements: <\x{003F}08> = {ος} <#> = <^> = parameters: despecs=2.0 [0001] @@VM MANT, OB MERITA [0002] [0003] [0004] [0005] [0006] CHRISTIANUS HUGENIUS natus 14 Aprilis 1629. denatus 8 Junii 1695. LUGD. BAT. Apud JANSSONIOS VAN DER Aa. Bibliopolas. [0007] CHRISTIANI HUGENII ZULICHEMII, Dum viveret Zelemii Toparchæ, OPERA VARIA. VOLUMEN PRIMUM. LUGDUNI BATAVORUM, Apud JANSSONIOS VANDER AA, Bibliopolas, MDCCXXIV. [0008] MAX-PLANCK-INSTITUT FOR WISSENSCHAFTSGESCHICHTE Bibliothek [0009] ADMONITIO BIBLIOPEGIS, ubi locandi $int Tituli. AVIS AU RELIEUR, _Pour placer les Titres $uivant les Pages marquées ci-de$$ous_. BERIGT AAN DEN BOEKBINDER, Om en alwaar de Titels te plaat$en.

1. _Chri$tiani Hugenii Opera Mechanica. Tomus Primus_. (ante) (de- vant) voor Pag. 1. (& po$t _Hugenii Vitam_) (apres _Hugenii Vi-_ _ta_) agter Hugenii Vita.

2. _Chri$tiani Hugenii a Zulichem, dum viveret Zelhemi Toparchæ,_ _Opera Varia. Volumen Secundum_. (ante)(devant) voor Pag. 309.

3. _Chri$tiani Hugenii Opera Geometrica. Tomus Secundus_. (etiam an- te) (au$$i devant) mede voor Pag. 309. (& po$t Titulum _Voluminis Secundi_) (& après le Titre de _Volumen Secun-_ _dum_) en na de Titel van _Volumen Secundum_.

4. _Chri$tiani Hugenii Opera A$tronomica. Tomus Tertius_. (ante) (de- vant) voor Pag. 521.

5. _Chri$tiani Hugenii Opera Mi$cellanea. Tomus Quartus_. (ante) (de- vant) voor Pag. 723.

[0010] [0011] G. J.’s GRAVESANDE L. S.

ILlos de re litteraria bene mereri, $em- per per$ua$um habui, qui doctorum vi- rorum $cripta di$per$a colligunt; & minoribus, $eor$im perituris, in ma- jori volumine collocatis po$teritatem qua$i donant.

Hac de cau$a cùm Bibliopolæ bujus Urbis, _Jan-_ _$onii vander Aa_, mihi declararent, $e in men- te habere _Hugenii_ opus, olim _Pari$iis_ editum, _de_ _Horologio O$cillatorio_ typis mandare, & hac de re quid $entirem ego quærerent, Ip$is Auctor fui, ut non modo in propo$ito per$everarent, $ed ut omnia ante edita eju$dem Auctoris opera minora buic adjungerent.

[0012]PRÆFATIO.

In me libenter $u$cepi curam colligendi hæc, & di$ponendi; $cheda$que $emel & altera vice a cor- rectore examinatas, ip$e attente relegi, & cum figuris contuli; $cripta etiam quædam, in Diariis non $ub Auctoris oculis edita, $æpe mendis variis purgavi.

Opera quæ hic ex$tant, in quatuor di$per$i to- mos; quæ Mechanicam Machina$que $pectant to- mo primo continentur: Geometrica $ecundo: A- $tronomica tertio: Mi$cellanea pauca quarto.

Tractatus varios Auctor $eparatim ediderat; $cri- pta minora multa in Diariis di$per$a dantur: in- ter hæc quædam $pectant controver$ias quæ Aucto- ri cum viris doctis intercedere, & quæ ad ean- dem controver$iam pertinent, aliquando in variis regionibus publicata ex$tant, partim Gallicè con$cri- pta, partim Latinè.

In edendis libris, $eparatim ab Auctore publici juris factis, exemplaria manu ip$ius recognita, & in variis locis aucta, & emendata, $ecutus $um_;_ quod etiam referri debet ad $cripta pauca ex iis quæ in Diariis fuere tradita.

Exemplaria hæc accepi à Nob. D<#>no _Hugenio_ Ze- lemii Toparchâ, qui patrui _Chri$tiani_ opera hæc [0013]PRÆFATIO. cum cura $ervaverat, & qui libenter mibi hæc ea lege conce$$it, ut ab$oluta editione in Bibliotbeca publica Acad. Lugd. Bat. jungantur cum eju$dem Auctoris manu$criptis quæ ibi $ervantur.

In Indice, ad calcem libri adjecto, monui ubi $cri- pta $ingula antea edita fuere. Tractatus $epara- tos Latine Auctor con$crip$it, præter In$titutionem de U$u Horologiorum , quæ Belgico $ermone in lu- pag. 193. cem prodiit. Ex Gallicis Diariis excerpta $cripta Gallico $ermone con$cripta dantur. Illorum autem quæ inter opera Acad. Reg. Paris. Artium & Scient. cum publico communicata fuere, quædam Gal- lica $unt reliqua Latina, nempe;

De potentiis fune$ve trahentibus :

pag. 287.

Con$tructio loci ad Hyperbolam :

pag. 485.

De maximis & minimis :

pag. 490.

De inveniendis tangentibus .

pag. 498.

Ut omnia Latino $ermone exhiberentur, quæ Belgicè, aut Gallicè, edita fuere, Latinè reddidit Clari$$. _Hermanni Oo$terdyk Schacht_, Med. Profe$$o- ris in hac Acad. Celeberrimi, Filius Digni$$imus _Johan-_ _nes Oo$terdyk Schacht,_ qui ad $tudia $ubtiliora na- [0014]PRÆFATIO. tus, à naturâ acceptum, adhuc dum juvenis, di- ligentiâ pulcherrime excoluit ingenium.

Si collectioni huic volumen operum po$thumorum _Hugenii_, & tractatus duos de _Lumine & Gravitate_, addas, omina B. L. habebis _Hugenii_ opera.

Hæc autem quæ hìc deficiunt, eâdem formâ cum hi$ce, brevi edituri $unt Bibliopolæ Am$telodamen$es _Waesbergii_.

Dabam Lugd. Bat. 3°. Id. Mart. MDCCXXIV.

[0015] HUGENII VITA.

CHri$tianus Hugenius, natus e$t Ha- gæ Comitum in Hollandia, 14. A- pril. 1629. Patrem habuit Con$tan- tinum Hugenium, Equitem, To- parcham Zulichemii, Zelhemi, & in Monikenlandt, qui tribus Auriacis Principi- bus a $ecretis & con$iliis fuit. Mater erat Su- $anna van Baerle.

In $tudiis Mathematicis integram con$um$it vi- tam, non tantum $peculationibus deditus, $ed harum di$ciplinarum $ubtili$$ima ad vitæ u$um re- ferens. Ab ip$a infantia huic $tudio applicavit animum, vix natus annos novem, ip$o Patre du- ce, in Mu$icis, Arithmeticis, Geographicis, mi- ros, & vix credibiles, progre$$us fecit, Latinis & Græcis litteris interim animum applicans.

Anno ætatis decimo tertio quàm ingenium $tu- dio Mechanices e$$et aptum, quod tanta deinde hominum utilitate excoluit, in examinandis ma- chinis, ha$que, quantum infanti liceret, imitan- do, demon$travit.

Anno 1644, $tudium Mathe$eos aggre$$us e$t, Mathematicumque Belgam Stampioen præcepto- rem habuit.

Sequenti anno Academiam petiit quæ Leidæ e$t apud Batavos. Ibi Vinnium jus civile expli- cantem audivit, & magi$tro Schotenio $tudium [0016]HUGENII VITA. Mathe$eos continuavit, ingeniique ad hæc $tu- dia nati varia tunc temporis dedit $pecimina, brevique famam inter Mathematicos, annos $u- perantem, acqui$ivit.

Studium autem Juridicum Bredæ pro$ecutus e$t annis 1646, 1647, 1648, occa$ione $cho- læ illu$tris, tunc temporis ibi erectæ, & cu- ræ Patris ip$ius pro parte commi$$æ.

Hagam anno $equenti redux, Henricum Co- mitem Na$$avium $ecutus, Hol$atiam, & Da- niam, invi$it. Vehementi tenebatur de$ide- rio in Sueciam u$que iter $uum producendi, Carte$ium ut videret, quod ip$i non licuit, bre- vi finitâ Comitis legatione.

_Anno 1651. Tractatum edidit_ de quadratu- ra Hyperboles, Ellip$is, & Circuli, ex dato portio- num gravitatis centro.

_Vide pag_. 309.

Ut librum hunc perlu$trent Lectores rogo Ma- thematicos, & videant an non merito, in ip$a juventute, inter $ummos Mathematicos relatus fuerit Hugenius.

Eodem anno & $equentibus varia de refractio- nibus & Dioptrica con$crip$it, quæ in operibus po$thumis edita ex$tant.

Anno 1655. Galliam petiit, & Andegavi Do- ctor Juris renunciatus e$t.

Eodem anno cum fratre Con$tantino vitris for- mandis, quæ Tele$copiis majoribus in$ervirent [0017]HUGENII VITA. operam dedit. Tele$copium decem pedum con- $truxit quod, ut ip$e per$ua$um habebat, omnia illius temporis $uperabat. Hujus auxilio comi- tem Saturni detexit. Omnes hujus Planetæ $a- tellites tunc temporis A$tronomos latebant, & ni$i multis annis $erius, reliquos quatuor, inter quos unus Hugeniano à Saturno remotior, de- texit Ca$inus.

Non $tatim $ibi novum $idus cognitum dari cum A$tronomis communicavit, ad quo$dam tamen inventum, hi$ce verbis & litteris invo- lutum, mi$it.

Admovere oculis di$tantia $idera no$tris _VVVVVVV_ _CCCRRHNBQX_.

Quæ verba cum adjectis litteris ip$o vitro in- $crip$it.

Explicatio e$t _Saturno Luna $ua circumducitur_ _diebus $exdecim horis quatuor_. Exactius tamen in $equentibus hujus Lunæ periodum determina- vit.

_Vide pag_. 551.

Tran$po$itione litterarum Ænigma explica- tur.

Per multos annos vitris formandis quibus no- va in cœlis detegeret $edulam cum fratre impen- dit operam, præcipuè ab anno 1681 ad an- num 1687, artemque hanc perfectiorem red- didere; multa ex acuratè admodum elaboratis vitris majora con$truxere Tele$copia. Inter vi- [0018]HUGENII VITA. tra hæc duo præ ceteris antecellunt, magnitu- dine Tele$copiorum quibus in$ervire debent, &, $i Auctori no$tri fidem habeamus, excellentiâ ; ma- _Vide pag_. 698. jus de$tinatum erat Tele$copio ducentorum & de- cem pedum, alterum Tele$copio centum & $e- ptuaginta. Hæc duo nunc po$$idet Anglia. Mul- ta alia Tele$copiis, centum pedes excedentibus, ut & minoribus, in$ervientia apud heredes adhuc- dum $uper$unt.

Anno 1656 tractatum con$crip$it de ratiociniis in ludo aleæ , editus hic fuit ad calcem Exercita- _Vide pag_. 723. tionum Mathematicarum Schotenii. Methodum in hoc tractatu demon$travit ip$am $ortem com- putationi Mathematicæ $ubjiciendi, primu$que pu- blici juris fecit principia artis po$t illum ad vix $perandam perfectionem prolatæ.

Anno 1657 primus mortalium tempus exacti$- $ime men$uravit, pendula dum Horologiis appli- cavit. Ante illum A$tronomi adhibitis pendulis tempus quidem men$urabant, $ed ad exigua in- tervalla, cum pendula talia homine indigerent qui curaret ut in motu per$everarent. Ip$e au- tem ope Horologiorum perpetuum qua$i pendu- lis motum communicavit, ponderibus enim Horo- logia agitabantur, quæ, non mutata actione in Horologia, elevari poterant.

Per$ua$um habebat talia Horologia & mari u$u venire po$$e, & nil præter hæc in nave requiri ad determinandas longitudines.

[0019]HUGENII VITA.

Notum enim e$t, utilis hujus longitudinum pro- blematis diu de$ideratam, & forte de$iderandam, $olutionem, ab exacta temporis men$ura pende- re.

Non tamen $atis erat Horologiorum motus le- gibus fixis ad$trinxi$$e, $ed ut ip$e notabat, mo- tum æquabilem $ervare, navim jactantibus au$tris, hoc opus, hic labor erat; difficultatem tamen $u- perari po$$e $emper $peravit, multa tentavit, & ad mortem fere u$que nova, ut ad $copum per- veniret, molitus e$t; $ed licet ad hunc pertin- gere non potuerit, quo ingenio, qua per$picacitate, rem pro$ecutus e$t, qui horum operum tomum primum perleget dijudicabit; non omnia tamen tentamina publici juris facta fuere.

Anno 1659. _Sy$tema Saturnium_ edidit, in _Vide pag_. 527. quo veram cau$am an$arum hujus planetæ tradi- dit, quam ante illum nemo ne $u$picione qui- dem attingere potuerat, hancque invictis firmavit argumentis.

Sequenti anno altera vice Galliam petiit, unde in Angliam anno 1661. profectus e$t. lbi artem $uam laborandi vitra demon$travit, cum inter omnes con$taret, Hugenii Tele$copia, longitu- dinem viginti quatuor pedum tunc temporis non excedentia, ceteris omnibus perfectiora e$$e.

Novum tunc temporis inventum erat Antlia pneumatica, hujus, ab ip$o ex Anglia reduce [0020]HUGENII VITA. perfectioris redditæ, auxilio varia in$tituit experi- menta .

_Vide pag_. 765.

Eodem anno regulas de colli$ione corporum Ela$ticorum detexit, quas ea$dem po$tea etiam detexere in Anglia viri celeberrimi Walli$ius & Wrennius, cum quo tamen ultimo contentionem, $uper hoc invento, habuit Hugenius no$ter.

Anno 1663. Lutetiam Pari$iorum iterum pe- tiit, & cum Patre in Angliam iter $u$cepit, ubi Sociorum numero Regiæ $ocietatis Londinien$is ad$criptus e$t.

Per paucos tantum ibi $tetit men$es & in Gal- liam rediit.

Anno 1664 Hagam redux de invento applica- tionis pendulorum ad Horologia ip$i cum invidio- $o quodam lis fuit.

Hoc tempore, in Gallia, $tudiorum $e Mæce- natem demon$trabat vir illu$tris Colbertus; cu- jus con$ilia de $tudiis promovendis libenter au- diebat Galliarum Rex. Undique viri $cientiâ illu- $tres in Galliam vocabantur, inter quos Hugenius.

Hic anno 1665, nomine Regis, Colberti lit- teris, ut Lutetiam peteret, ibique domicilium eligeret, promi$$o largo annuo $tipendio, oblatâ- que habitatione in ædificio $ervandis Regiis bi- bliothecis de$tinato, invitatus e$t.

Ibi vixit ab anno 1666. ad annum 1681. Du- rante hoc tempore pulcherrima, $ubtili$$imaque [0021]HUGENII VITA. multa, in Mathematicis detexit, variaque ex iis operibus con$crip$it, quæ nunc in unum corpus collecta, quid in variis Mathe$eos partibus præ$ti- terit, $ub oculis ponunt.

Præter ip$ius jam memorata inventa præclara inter alia duo in$igni u$u eminent. Libellam Tele$copio munitam ita con$truxit, ut ip$i præ ce- teris fides haberi po$$it . Inventum aliud $pectat _Vide pag_. 254. temporis men$uram, Horologiis portatilibus fi- lum, chalybeum, $pirale, ela$ticum, adapta- vit ; quo nunc nullum portatile Horologium _Vide pag_. 253. de$tituitur, quo etiam $ublato, accurati$$imè con- $tructa omnem motus æquabilitatem amittunt.

Nimium verò $tudiis Mathematicis deditus, menti gratum Corpus non potuit $u$tinere laborem. Bis Hollandiam hac de cau$a petiit, annis 1670, & 1675, iterumque recuperatâ $anitate in Galliam rediit, $ed tandem valetudini ut con$uleret illi in perpetuum dixit vale anno 1681, omnibu$que Regis beneficiis nuncium remi$it.

Reliquum vitæ cur$um ii$dem occupatus $tudiis ab$olvit.

Anno 1682. con$trui curavit Automaton Pla- netarium in quo planetarum motus in plano pul- cherrime æmulatus e$t.

Machina hæc in operibus po$thumis delineata, & accurati$$imè de$cripta, datur. Ex$tat adhucdum apud hæredes.

[0022]HUGENII VITA.

Anno 1689. Angliam tertia vice invi$it.

Sequenti anno tractatus duos, alterum de _Lumi-_ _ne_, de _Gravitate_ alterum edidit.

_Co$inotheoros_ tempore mortis $ub prælo $udabat, editio tamen inchoata tantum erat.

Vitam finivit Hagæ Comitum octavo Junii 1695.

Scripta omnia legato dedit Bibliothecæ Acade- miæ Ordinum Hollandiæ quæ e$t Lugd. Bat. vi- ro$que duos, in$ignes Mathematicos, Burcherum de Volder, in eâdem Acad. Philo$ophiæ & Math. Profe$$orem celebrem, & Bernhardum Fullenium, in Academiâ Fri$iâ Franequeræ Profe$$orem, ro- gavit ut ex $criptis eligerent, quæ prælo committi po$$ent, cui petitioni volumen debemus operum po$thumorum, anno 1700. editorum.

[0023] CHRISTIANI HUGENII OPERA MECHANICA. _TOMUS PRIMUS_. [0024] Tomi primi contenta. HOROLOGIUM. # pag. 1. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM, $ive de motu pendulorum, ad horologia aptato, demon$trationes Geometricæ. # 15. BREVIS INSTITUTIO DE USU HOROLOGIORUM, ad inveniendas longitudines. # 193. De Hugeniana centri o$cillat<007>onis determinatione CONTROVER- SIA. # 215. MACHINÆ QUÆDAM, & varia circa Mechanicam. # 249. [0025] CHRISTIANI HUGENII A ZULICHEM, CONST, F. HOROLOGIUM. [0026] [0027] ILLUSTRISSIMIS AC POTENTISSIMIS HOLLANDIAE Et WESTFRISIAE ORDINIBUS Dominis $uis, CHRISTIANUS HUGENIUS à ZULIGHEM Felicitatem omnem.

PRoditum e$t memoriæ primum Ro- mæ $olare horologium fui$$e, quod è capto Siciliæ oppido quodam, an- nis po$t urbem conditam _CCCCLXXVII_, cum cætera præda deportatum $it, locoque publico dedicatum. Cui non planè ad Latii clima de$cripto, eo- que nec lineas horis congruentes ex- hibenti, quum nece$$itate tamen & meliorum penuria undecentum annis Pop. Romanus parui$$et, Cen$orem tandem Q. Marcium Phi- lippum diligentius ordinatum juxta po$ui$$e, idque munus in- ter cen$oria opera grati$$ime acceptum. Mihi, Proceres Am- pli$$imi, rem haud ab$imilem nec minore publico bono hodie agitanti, ut qui non in una modo urbe, $ed omnium ubivis horologiorum in$tabilem motum correxerim, $imilem quoque ab univer$is gratiam expectandam cen$ui$$em atque à civibus $uis Q. Marcius reportavit, $i, quemadmodum res eventusque ii- dem ex intervallo redire $olent, ita pri$cus candor & ingenui- tas in terris aliquando reduces cernerentur. Verum bæ cum jam diu apud majorem hominum partem de$itæ $int virtutes, [0028]DEDICATIO. contraque impo$tura & obtrectatio late omnia obtineant; quæ- nam fortuna maneret inventum no$trum, $imul ac vulgò in- note$cere cœpi$$et, facile equidem prævidi, neque me fefellit augurium. Ecce enim jam primum in patria hac no$tra eo ex- ce$$it quorundam tum audacia tum impudentia, ut nihil in- terdicto ve$tro deterriti, interpolare acceptum à nobis inven- tum, ac dein tanquam novum pror$us, no$troque etiam, $i diis placet, præ$tantius jactare au$i $int. Atque hæc qui co- ram & ante oculos nobis fieri viderunt, nihilo meliora ab ex- teris regionibus imminere crebro admonuerunt. Nempe alibi quoque exorituros, & in gloriolam hanc no$tram involaturos homines inique invidos, qui, forte an & $ibi ip$is, certe orbi univer$o per$uadere conentur, non hæc no$tr atium ingeniis de- heri, $ed à $ua $uorumve alicujus indu$tria diu ante profecta fui$$e. Cujus rei indignitas cum ad gentem omnem no$tram, eoque ad vos etiam, Domini Illu$tri$$imi, $pectare videretur, qui nunquam æquo animo tuleritis inventorum longe præcla- ri$$imorum, typographiæ inquam & telescopii, laudem à Ba- tavia ve$tra, plagiariorum fraude, averti; fateor me non le- vi $timulo impul$um fui$$e, ut eidem hujus quoque qualiscun- que reperti decus ad$ererem. Itaque eam quæ $ola ad hoc pate- re vi$a e$t, viam $ecutus, rationem omnem & con$tructionem novi automati, autor ip$e, paucis de$cribendam & in publi- cum producendam $u$cepi; exiguo $anè volumine, $ed quod brevius etiam fui$$et ni$i obiter ad ea quoque re$pondendum duxi$$em quæ à nonnullis objici mihi, ip$umque artificii no$tri fundamentum lace$$cre po$$e, pro$piciebam. Hoc vero quicquid e$t operæ, quum melioribus au$p<007>ciis lucem a$picere non po$$et, ve$tro Illu$tri$$imo Nomini actutelæ, ea qua decet veneratione, dicatum commi$$umque venio, neque tam pagellas ha$ce paucu- las, quam inventum ip$um, ut videtur, non incelebre futurum, dedico con$ecroque. Vos pro $olita benignitate ve$trafavete, ad publicam utilitatem, quoquo modo $tudia $ua referenti, neque aliud magis in votis habenti, quam ut majoris momenti in rebus eadem po$thac approbare vobis conting at. Ita Rempublicam $ub imperio ve$tro incolumem $ervet, beneque fortunet Deus.

[0029] CHRISTIANI HUGENII A ZULICHEM, CONST. F. HOROLOGIUM.

TEmporis dimetiendi rationem novam, quam exeunte Anno 1656. excogitavimus, pauci$que deinde men$ibus in patria divulgare in$tituimus, et$i dubitandum non erat, propter egregiam uti- litatem, brevi longe lateque manaturam, quip- pe pluribus jam distractis, ac dimi$$is quaqua- ver$um novi operis exemplaribus; nos tamen haud in- viti con$iliis eorum obtemperamus, qui ut $cripto compre- hen$am in lucem ederemus, autores fuere. cum ut illos de- mereamur, ad quos, ob locorum intervalla, tardius forta$$e perventura erat: tum ut male feriatorum hominum audaciæ obviam eamus, ne, quod $olenne ip$is e$t, alienis in$idien- tur inventis, ac per $ummam injuriam pro $uis venditent. Quanquam hos, $i fuerit opus, & dati Privilegii tempus refellere po$$it, quod à Cel$i$$imis Fœderatarum Provincia- rum Ordinibus die 16. Junii Anno 1657. impetratum e$t; & te$tes præterea non pauci, quos de oblato nobis recens in- vento $ubinde certiores fecimus. Occa$ionem ei præbui$$e A$tronomorum pendula, facile quivis conjiciet, qui non ne$cierit aliquot jam retro annis hæc u$urpari illis cœpta. [0030]CHRISTIANI HUGENII Nimirum fallentibus clep$ydris automati$que quibuslibet, quæ inter ob$ervandum adhibere con$ueverant, tandem, do- cente primum Viro $agaci$$imo Gal<007>leo Galilei, hunc mo- dum inierunt, ut è catenula tenui pondus appen$um manu impellerent, cujus vibrationibus $ingulis dinumeratis, toti- dem colligerentur æqualia temporis momenta. Hac metho- do Ob$ervationes Eclip$ium $crupulo$ius quam antea pere- gere, Soli$que item diametrum, & Stellarum di$tantias di- men$i $unt non infeliciter. Sed præterquam quod deficiebat nece$$ario pendulorum motus, ni$i ad$tantis opera identidem juvaretur, tædio$us in$uper labor evadebat, omnes eorum itus reditu$que numerantibus; cui $ane integris noctibus mi- rabili patientia nonnullos invigila$$e, ip$is prodentibus, con- $tat. Nos autem æquabili$$imum hocce genus motus cernen- tes, ac veluti unicum in rerum natura datum, quod ad Me- chanicam con$tructionem po$$et traduci, quæ$ivimus quo pacto hoc ip$um brevi$$ime a$$equi liceret, atque ita reme- dium inven@re gemino quod retulimus incommodo. Ac mul- ta fabricæ varietate animo perpen$a, hanc denique, quam deinceps tradituri $umus, ut cæteris planiorem faciliorem- que $elegimus. Qua percepta & in publicum porro priva- tumque u$um, $icut jam fieri cœpit, conver$a, ad univer- $os quidem hic fructus redundabit, quod horologiorum, cum inter $e, tum cum Sole ip$o, quantus nunquam antehac, imo quantus pene optari po$$et, con$en$us animadvertetur. A$tronomi vero id con$equentur, ut nulla po$thac agitando- rum perpendiculorum mole$tia, numerandive $olicitudine, & illa omnia exequantur, quorum paulo ante meminimus, & alia illis $ubtiliora, ip$am puta dierum de meridie in me- ridiem inæqualitatem, $crutentur; quam qui negare audent, ratione hactenus magis quam certa experientia refutati $unt. Ut jam de Longitudinum, quam vocant, $cientia dicere omittam: quæ $i unquam extitura e$t, de$ideratumque tan- topere u$um cur$ui navigantium præbitura, non aliter, quam vectis per mare exqui$iti$$imis atque omni errore vacuis ho- rologiis, id obtineri po$$e, multi nobi$cum exi$timant. Ve- [0031]HOROLOGIUM. rum hæc res vel ip$i mihi, vel aliis quandoque curæ erit. Nunc automaton no$trum & figura oculis $ubjiciam, & figu- ram verbis quam potero dilucide explicabo.

Præcipuam operis partem binæ laminæ continent oblongæ TAB. 1. atque inter $e æquales, A B, C D; quibus rotarum axes u- trinque in$erti $unt. Eæ laminæ lateribus tantum hic $unt con$picuæ: columellas autem quatuor, quibus ver$us angu- los connexæ $unt, de indu$tria exprimere neglexi, ut ne re- liquis officerent. Prima rota $eu tympanum dentatum e$t E, cujus axi orbiculus quoque F affixus e$t. Huic circumjectus funis cum appen$o pondere Δ, eo quem po$tea dicemus mo- do. Ponderis itaque vi tympanum E vertitur. Hoc movet proximum tympanum H. hoc rotam L, cujus dentes ad in$tar $erræ dentium formati $unt. Hujus prope axem erectus $tat axis M N, cum affixis lamellis $ive auriculis binis, quarum alteri occurrunt $uperiores rotæ L dentes, alteri inferiores, idque perpetua vici$$itudine, ita ut non in gyrum axis hic circumagatur, $ed reciproco motu, nunc in hanc, nunc in il- lam partem libretur, dum interim rota L in orbem vertitur. Quem motum pluribus exponere $uper$edeo, quod in vul- garibus pa$$im horologiis reperiatur. à quibus equidem huc- u$que no$trum hoc non di$crepat; at plurimum in his quæ $equuntur. Axi enim N M infigitur O tympanum, cujus den- tibus aptantur dentes rotæ P, ejus generis quas coronarias vocant artifices no$tri. Nec vero toto ambitu dentata ut $it nece$$e e$t, $ed parte $uperiori duntaxat. quippe tympanum O, haud aliter atque axis N M cui cohæret, reciprocam li- brationem habet, unde & rotam P $imili motu agitat. Cum- que major $it hujus diameter quam tympani O, $equitur ut minori etiam circuitus parte rota quam tympanum dictum gyretur. quod quo pertineat alibi indicabimus. Porro eju$- dem rotæ P axis trans laminam C D aliquantum extenditur, habetque conjunctam clavulam Q R, inferius itidem inflexam & terebratam ad R, ita ut per foramen hoc laxiu$culum vir- gula ænea I T libere transmeet. Hæc vero virgula $uperius ad S $u$pen$a e$t filo S I, ex inferiori parte pondus T. $u$ti- [0032]CHRISTIANI HUGENII nens, quod cochleæ $ubjectæ conver$ione $ur$um propellitur cum opus e$t, vel ulterius de$cendit.

Quibus expo$itis ut motus ratio, totiu$que adeo inventi percipiatur (nam quæ præterea in Schemate notata apparent, po$tea exequemur) advertendum e$t in primis, quod $i per- pendiculum S I T per foramen R trajectum non e$$et, neque omnino ade$$et, tunc quidem clavula Q R concitato motu ultro citroque jactaretur, vi ponderis Δ, omnes rotas auto- mati agitantis. Transmi$$a autem virgula I T, cum appen$o pondere T per foramen R, impeditur eo dictus clavulæ mo- tus, totumque horologium quie$cit, donec pondus T $emel impul$um principium agitationis nanci$catur. Quo facto, pendulum quidem S I T o$cillatorio motu fertur juxta planum laminæ C D. clavula vero Q R, momentum $entiens ponderis Δ, ultro ob$equitur penduli motui, ita ut pauli$per etiam vibrationibus hunc $ingulis adjuvet. Atque hoc modo peren- nis efficitur penduli agitatio, quæ ni$i illud horologio con- junctum foret, brevi deficeret vergeretque ad quietem. Ad $ingulos autem recur$us penduli, percipientur ictus totidem ex appul$u dentium rotæ L ad lamellas M, N. Et hæc qui- dem de motu automati no$tri, quæ præcipue explicationem requirebant, quoniam in eo $umma totius inventi vertitur.

In $chemate porro tertia lamina e$t Y Z, prioribus paral- lela, & à lamina A B $patio di$tans. quo in $patio con$pici- tur tympanum dentatum V, communem cum rota E axem habens. Huic congruunt dentes rotæ X, quæ media $ui par- te conjunctum habet tubulum cavum Γ ultra laminam Y Z prominentem, impo$itumque gerentem horologii indicem primarium Λ. Ip$i vero Γ tubulo alius itidem cavus intror$us con$titutus e$t, laminæque Y Z con$ertus, axis nimirum quo rota X volvatur, & per quem $imul transmittatur axis rotæ H, cui impo$itus e$t index alius Σ longior indice Λ. Is $e- cunda $crupula demon$trat. Primorum vero $crupulorum $eu minutorum index prioribus illis utri$que multo brevior Ψ, extremo axi D V, ultra laminam Y Z producto, affixus e$t. Et hic quidem indiculus, laminæ, Y Z proximus fertur, [0033]HOROLOGIUM. parvo in circello $ingula prima $crupula di$tinguens. Hoc verò $uperior index horarum Λ convertitur: & $upra hunc denique Σ index, quem dixi, $ecundorum. Hæc autem, uti & tympanorum omnium di$po$itio ac dentium numerus, cum multimodis variari po$$int, nos hunc unum in exem- plum proponere $atis habuimus, eumque experientia com- probatum. Itaque & dentium multitudinem in $ingulis tym- panis de$ignabimus, eam quæ huic formæ optime convenire vi$a e$t. In circumferentia rotarum $ingularum E H $eptua- geni bini $unt, $eni in tympanis G & K. rota L viginti quinque habet, tympanum O decem. rota P viginti, vel tantum partem horum aliquam, quia, ut dixi, totam den- tibus in$ecari nihil opus e$t. Penduli longitudo S I T pedis Rhenolandici, qui ad Romanum veterem proxime accedit, dextantem circiter æquat, & cuique vibrationi $implici im- pendit $emi$crupulum $ecundum. ad quam men$uram ob$er- vationibus ad $olem vel ad aliud hujus generis horologium comparatis non difficile perducitur. Ea longitudo rotis ita ordinatis convenit: & exqui$itam motus æqualitatem, quæ- que etiam A$tronomicis u$ibus $ufficiat, præ$tare valet. Quod $i tamen concinnitate operis in$uper habita, quadru- plo majus pendulum adhibeatur, vel ultra etiam producatur, rotis interim majoribus quoque ad$umptis, haud dubiè len- tioribus o$cillationibus tutius etiam fidemus. Et jam in ma- gnis publicis Horologiis, egregio $ucce$$u, perpendicula ejusmodi prælonga u$urpari vidimus, alibi duodecim, alibi vicenûm pedum, cum appen$a $phæra 25 vel 30 librarum. Cæterum revertendo ad ea quæ hic po$ita fuere, apparet quidem, rota E $emel circumacta, duodecies converti ro- tam H. centies vero quadragies & quater eam quæ $equitur L. Quæ cum dentes 25 habeat, 3600 vicibus alternatim im- pellit lamellas M. N. ac totidem recur$us duplices facit pen- dulum S I T. Cumque 3600 $crupula $ecunda, horâ unâ contineantur; hinc horæ $patio rota E $emel convertetur. Quamobrem & circulus indici Ψ $ubjectus in 60 partes divi- ditur, quæ prima $crupula $ignificent. Rota vero H quia [0034]CHRISTIANI HUGENII duodecies in hora, hoc e$t, $emel $patio 5 $crupulorum pri- morum ver$atur, unaque index Σ, ideo circulum huic in- dici $uppo$itum in 5 partes primum di$pe$cimus, & harum deinde $ingulas in 60 minores, quæ $ecunda $crupula deno- tent. Denique index Λ in $uo circulo duodecim horas di$tin- guere debet; ac proinde, ut harum tempore $emel circum- eat, tympano V $ex dentes tribuuntur, rotæ X $eptuageni bini.

Nunc qua ratione pondera Δ, Ξ, horologio appendan- tur docebimus. Hæc enim novo artificio ita ordinavimus, ut cum $ur$um retrahitur pondus primarium Δ, non pro- pterea ce$$et aut ullatenus impediatur horologii cur$us. Quod in hac inventione apprime nece$$arium erat, ne par- ticula temporis aliqua quotidie $ubduceretur, neve penduli motus interea dum pondus attollitur langue$ceret. Paratur itaque funis continuus atque in $e rediens, extremitatibus apte inter $e connexis. Is primo orbiculum F amplexus, aculeis ferreis a$perum, quo melius funis inhæreat, parte altera trochleæ, cui pondus primarium Δ alligatum e$t, cir- cumvolvitur. Hinc a$cendens $uper orbiculo Ω tran$it, ac rur$us de$cendens $u$tinet trochleam alteram cum appen$o minori pondere Ξ; unde denuo ad F redit. Orbiculus Ω (quem demon$trandi gratia hic inter laminas A B, Y Z, $u$pendimus, nam alioqui commodius thecæ quæ toti horo- logio circumdatur affigi $olet) circumferentiam ver$us den- ticulos habet, ut in rota L, $erratos, ac de$uper premen- tem elaterem Θ, quo fit ut in alteram tantummodo partem volvipo$$it, attracto nimirum fune Π, ac pondere propter- ea Δ a$cendente: Nam contrarium motum elater dentibus occurrens prohibet. Crenam autem $ecundum circumferen- tiam dicti orbiculi ita cavari oportet, ut funem immi$$um nonnihil coarctet con$tringatque, quo minus po$$it immo- to orbiculo delabi; quem in finem etiam pondus Ξ ad- hibetur. His $ic con$titutis, $emper Δ dimidia $ui gra- vitate incumbet funi Φ, motumque horologio continuabit etiam dum attracto fune Π in altum attollitur. Et hactenus [0035]HOROLOGIUM. quidem quæ ad con$tructionem automati pertinent declaravi- mus.

Reliquum e$t, ut, quantum idem iis omnibus, quæ ad hanc diem in u$u fuere, antecellat, per$picuum facia- mus. Satis con$tat plurimas in his erroris & inæqualita- tis cau$as e$$e. Nam & in di$ponendis rite elimandi$que tympanis vel levi$$imum peccatum, continuo motus in- con$tantia notabilis con$equitur. Tum vero & $iccato atque evane$cente oleo, quod axibus addi $olet, tardius horæ procedunt. atque ut hæc ab$int, varias tamen, an- ni tempe$tatum & aeris, mutationes horologia $entiunt, imo præ$entiunt nonnunquam: & frigore quidem plerun- que pigriora comperiuntur, æ$tu plus æquo properant. Penduli vero cum $it ea vis ac proprietas, ut nece$$ario eo- dem $emper tenore feratur, neque ab eo ni$i mutata lon- gitudine unquam declinet; apparet $ane omnia illa quæ diximus incommoda invento no$tro penitus nos $u$tuli$$e, adeo ut ni$i tale quod interveniat impedimentum, quo horologii motus omnis $i$tatur, nulla jam cur$us ejus retardatio aut inæqualitas timenda $it. At enimvero non nemini duplicem hic dubitandi cau$am oboriri po$$e $cio. Primum, quod differre à pendulo libero no- $trum hoc videatur, quippe ad $ingulas vibrationes vim quandam ac nixum clavulæ Q R $entiens. Deinde quod, etiam$i penduli $implicis proprietates retineat, perque omnia æmuletur, hujus tamen ip$ius geminæ inæqualitates à nonnullis, qui $ubtiliter hæc perqui$ive- runt, animadver$æ $int. Hìc illud quod de clavulæ im- pre$$ione dicitur verum e$$e non diffitemur. Sed levi$$i- mam utique hanc e$$e novimus ratione gravitatis T, quæ $ic temperatur, ut tantum non deficiat penduli agita- tio, $ed quam minimâ, & eâdem tamen latitudine per- $everet. Proinde nihilo concitatior aut minus æquabilis hic ip$ius motus evadit, quam $i clavulæ pror$us obno- xius non e$$et, pendulumque $implex S I T, ut adhuc fieri con$uevit, manu impelleretur. Et hoc quidem ex- [0036]CHRISTIANI HUGENII perientia optime comprobat. Penduli vero ip$ius, quas ad- notant, binas inæqualitates, alii autem contra pernegant, earum alteram admittimus, $ed vix quicquam horologio no- $tro officientem, alteram plane nullam e$$e ad$everare non dubitamus. Illud itaque vere a$$erunt, non pror$us æquali tempore latiores ejusdem penduli ac angu$tiores vibrationes tran$ire, $ed his illas paulo plus in$umere, quod facili ex- perimento demon$trari pote$t. Nam $i pendula duo, pon- dere ac longitudine æqualia, alterum procul à perpendicu- lo, alterum parumper dimoveantur, $imul dimi$$a, non diu in partes ea$dem una ferri cernentur, $ed prævertet il- lud cujus exiliores erunt recur$us. Verum huic inæqualitati no$trum, uti dixi, horologium minus obnoxium e$t, eo quod omnes o$cillationes æquali $patio à perpendiculo ex- currant. Nec tamen in totum expers reman$it, $i minuti$- $ima quæque, $icut hac in re fieri nece$$e e$t, con$ectari ve- limus. Contingit $iquidem vel aëris intemperie, vel operis vitio aliquo, ut non $emper pari vi agitetur clavula Q R, unde & o$cillationes penduli (licet exiguo di$crimine) cre- $cere ac rur$us imminui nece$$e e$t. Cumque ampliores re- cur$us arctioribus, $icut modo dicebam, plus temporis im- pendant; idcirco nonnulla hinc in horologii motu inæquali- tas exi$tit. Et huic quidem, utut contemptibilis videri po$- $it, remedium etiam adhibere $olebamus, quamdiu ita con- $tructa erant horologia, ut maju$cula e$$et penduli agitatio. Po$tmodum vero, ne remedio opus e$$et, effecimus adhi- bito tympano O rotaque P: quibus hoc con$equimur, ut quamlibet angu$tæ $int penduli vibrationes, neque eo $ecius axis M N, quantum nece$$e e$t, reciproco motu converta- tur. Nam cum tympani O diametro dupla vel tripla pona- tur diameter rotæ P, $equitur ut hujus exigua licet o$cilla- tione, illud tamen $atis magnam circuitus partem ab$olvat. Sic igitur o$cillationibus univer$is exilioribus redditis, etiam- $i harum aliæ alias latitudine quandoque excedant, $ingula- rum tamen tempora, experientia te$te, nullo memorabili di$crimine differunt. Qua ex re & hoc contingit, ut aucto [0037]HOROLOGIUM. vel ad duplum pondere Δ, non propterea penduli motus acceleretur, aut horologii cur$us alteretur, quod in omni- bus aliis hactenus u$itatis $ecus accidit. Alteram penduli in- æqualitatem, vir A$tronomiæ $tudiis clarus, Gothofr. Wen- delinus, primus & $olus, ut opinor, prodidit; expertum $e$e $cribens, eju$dem penduli velociores e$$e o$cillationes hyemali tempore quam æ$tivo idque notabili differentia. Sed quoniam in eo examine arenaria tantum horologia, vulgariaque automata $e$e adhibui$$e fatetur, cum $cioteri- cis, forta$$e non nimia cura de$criptis; multi, quam recte $e haberet hæc ip$ius ob$ervatio, dubitarunt. Mihi certe nihil ejusmodi licuit animadvertere. Quin contra, & mino- ribus horologiis, quibus $emipedale e$t pendulum, & ma- joribus, in quibus 24 fere pedes æquat, eandem perpetuo longitudinem, brumæ tempore ac æ$tate media, convenire expertus $um. Quæ longitudo $altem $eptima $ui parte per hyemem productior e$$e deberet, $i Wendelini vera foret opinio.

A$$erta igitur & hac in parte automati no$tri motus æ- quabilitate & con$tantia, finem jam de$criptioni impone- mus; multa quæ his addi præterea po$$ent, artificum indu- $triæ relinquentes, qui rationem inventi hujus edocti, non difficile reperient quo pacto illud varii generis horologiis, atque iis etiam quæ pridem ad veterem formam fabricata $unt, applicari queat. Nos quidem apud eum, cujus opera primum in his fabricandis u$i $umus, talia quoque confecta vidimus, quæ non pondere, $ed elateris vi moverentur. In quibus, cum antehac pyramide illa æquatoria, chordaque huic circumvoluta opus e$$et, quorum ope adæquarentur primi ac po$tremi elateris impetus; nunc iis omi$$is, ip$i tympano, cui elater inclu$us e$t, dentes adduntur. Nam licet hoc modo non æque in fine ac principio vigeat pendu- li motus, non tamen eo lentiores $ub finem o$cillationes effi- ciuntur, uti $uperius fuit demon$tratum. Elater vero ea parte, qua ad centrum convolutus e$t, intenditur, atque ita cavetur ne quo temporis momento cur$us horologii $uf- [0038]CHRISTIANI HUGENII HOROLOGIUM. flaminetur. Mitto quod & $onitu horas edentia automata hujusmodi machinatus e$t, ita ut uno eodemque, $ive pon- dere, $ive elatere, pars utraque, tam quæ ad hoc compa- rata e$t, quam quæ indicem horologii ver$at, moveretur. Etenim hæc omnia ad inventum no$trum haud aliter $pe- ctant, quam quod occa$ionem iis atque opportunitatem præbuerit.

FINIS. [0039] [0039a] Pag. 14 TAB. I. Y A S C O I Q P M Σ Λ L K R H N G Γ Ψ X E V D F Ω B Θ Φ Z Π Δ T Ξ [0040] [0041] CHRISTIANI HUGENII ZULICHEMII, CONST. F. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM. SIVE DE MOTU PENDULORUM AD HOROLOGIA APTATO DEMONSTRATIONES GEOMETRICÆ [0042] Dividitur liber hic in partes quinque, quarum

Prima _De$criptionem_ HOROLOGII OSCILLATORII continet.

Secunda agit de _De$cen$ugravium_, & _motu eorum in Cycloide_.

_Tertia de_ Evolutione & Dimen$ione linearum curvarum.

_Quarta de_ Centro O$cillationis $eu Agitationis.

Quinta _alterius Horologii con$tructionem_, in quo circularis e$t penduli motus, exhibet, & Theoremata de _Vi Centrifuga_.

[0043] LUDOVICO XIV, FRANCIÆ ET NAVARRÆ REGI INCLYTO.

RENATAM, Rex maxime, re$titutamque hoc $æculo Geometriam, Galliæ præ- cipue debemus. Hinc enim orti, qui magna meliorique $ui parte deperditam, ac veluti $epultam, in$taura- runt primi, & in lucem re- duxerunt. Quorum ve$ti- giis in$<007>$tentes, ita eam deinde, per totam Eu- ropam, excoluere viri $ubtili$$<007>mi, ut pauca jam po$terorum indu$triæ ab his relicta videan- tur; veterum vero inventa longi$$<007>me præter- vecti $int. In hac $cientia, quam $emper admi- ratus $um & amavi plurimum, quandocunque ad eam animum applicui, illa mihi præ cæteris propo$ui inve$tiganda, quæ vel ad vitæ com- moda, vel ad Naturæ cognitionem, reperta [0044]DEDICATIO. prode$$e po$$ent. Tunc verò optimè operam me colloca$$e exi$timavi, cum in ea incidi$$em, in quibus utilitas cum inveniendi difficultate, ac $ubtilitate aliqua, conjuncta foret. Quod $i com- mendationis nonnihil accer$ere muneri no$tro permittitur, ne pror$us indignum tua magnitudi- ne appareat; non alias felicius, quam in hoc Ho- rologii invento, utrumque illud me con$ecu- tum e$$e profiteor. Etenim, cum ex parte me- chanicum $it inventum; ex parte altera, eaque multò præcipua, geometricis principiis con$tet; id quod ad hanc attinet, non levi conamine, ex intimis artis rece$$ibus petendum fuit: adeo quidem, ut inter omnia, quæ impen$iore $tu- dio hactenus pertractaverim, haud dubie pri- mum huic $peculationi locum tribuam. Quæ- nam vero in his $it utilitas, non e$t quod mul- tis, Rex potenti$$ime, o$tendere tibi laborem. Non $olum enim diutinâ experientiâ comper- tum habes, ex quo regiæ tuæ penetralibus reci- pi meruere Automata no$tra, quantum, æqua- bili horarum demon$tratione, cæteris huju$mo- di machinationibus excellant: $ed & potiores u$us eorum, quibu$que jam inde à principio mihi de$tinata fuere, non ignoras. Illos $cili- cet, quos & in Cæle$tium ob$ervationibus, & in Longitudinibus locorum inter navigandum dimetiendis, præ$tare apta $unt. Tuo enim ju$$u, non $emel, per mare vecta fuere Horo- [0045]DEDICATIO. logia no$tra. Tuis au$piciis eadem nec pauca, A$tronomiæ u$ibus dicata, vi$untur in præclara illa Uraniæ arce, quam in$igni nuper magni$icen- tia, quantaque antehac regum nemo, exædi$i- candam cura$ti. Quæ quoties mecum reputo, toties de fortuna hujus inventi, quod in tua tempora inciderit, non parum mihi gratulari $oleo. Nec jam requiret qui$quam, opinor, qui quantum tibi illud debeat intelliget, cur lucubrationes has, quibus rationem ejus omnem de$criptionemque explicui, augu$to Nomini tuo in$cribendas duxerim. Ac minus etiam id mirabitur, qui mihi, ad hæc atque alia medi- tanda, tranquillum otium benignitate tua con- tigi$$e didicerit. Namque & hujus, ut mihi ali- quatenus apud te ratio con$taret, adnitendum erat; & quoquo modo conandum, ut, multis continui$que à te beneficiis affectus, nonnulla grati animi $ignificatione defungerer. Scio equi- dem, rebus maximis, negotii$que iis intento, quæ in illo rerum fa$tigio po$itum agitare con- venit, haudquaquam tibi liberum e$$e, ut ad huju$modi contemplationes animum, alioqui rerum omnium capacem, advertas. Sed non ideo minus grata hæc fore, minusve tibi pro- batum iri arbitror, Rex augu$ti$$ime; cui illa maxime placere videmus, quæ plurimum publi- cè pro$unt; neque aliud magis curæ e$$e, quam ut nova incrementa $umant optimæ di$cip$inæ, [0046]DEDICATIO. novi$que illu$trentur inventis. Hoc enim $atis declarat eximia illa tua, ac $ingularis, tum in ip$is promovendis, tum in his qui cognitione earum præminent remunerandis, liberalitas. Quam non immen$æ, ac $olito majores, bello- rum impen$æ quidquam imminuunt: non Gal- liæ tuæ fines circun$cribunt. Ut plane te hoc agere appareat, quo non $olum $ub imperio tuo viventes, $ed & Orbis univer$us, quacun- que beneficio tuo dignus e$t, te regnante, eru- ditior, ornatior, felicior evadat. Cui veri$$i- mæ præclari$$imæque gloriæ tuæ, ita aliquid forta$$e etiam hæc literaria monumenta condu- cent; ut, $i vigui$$e hoc tempore $tudia i$ta, arte$que, po$teris te$tari po$$int, $imul illos edoceant, tuæ hoc virtuti, atque animi magni- tudini, ante omnia acceptum ferendum e$- $e. Lutetiæ Pari$iorum; XXV. Mart. A. CIƆIƆCLXX III.

[0047] HADRIANI VALLII DAPHNIS, ECLOGA.

Ad Chri$tianum Hugenium Zulichemium, Con$tantini F.

_FINITIMUM_ tutela, $imul jucunda voluptas, Dilectæ Phæbo, Sceverinides Oceaninæ; Hunc quoque Pierium mihi fortunate laborem: Pervigilem noctem quo carmine duxerit Ancon Navita, d<#>1cemus: ve$tro $ic gurgite numquam Pan lavet, aut turpes ince$tent æquora Fauni.

Te, quem Fama vehit $uper aurea $idera curru, Ne pigeat nobis aurem præbere faventem, _HUGENIDE_, decus Hugenidum, fratrumque patrisque: Haud indigna tuo ferimus donaria $en$u, Siceli$in aptata modis à vate Batavo Mixta Palæphatio commenta Solen$ia ver$u, Teque intertextum tuaque præclara reperta.

Jam caput Oceano, $tipata minoribus a$tris, Extulerat radiis fraternis æmula Phæbe, Cum reditum molirentur pa$toria pubes, Sidere quam pleno conchas legi$$e marinas Juverat, hærentesque vadis captare paguros. In cel$o tamen advertunt Ancona morantem Colle, reum toties promi$$i carminis. ip$um The$tylis & Corydon, quos cætera turba $ecuti, A tergo circumveniunt, cinguntque corona.

Sceverina, Pagus apud Batavos, mari adjacens. [0048]DAPHNIS ECLOGA.

Ecquid agat, rogitant blande: tum fau$ta precantur; Et damnant voti, promi$$aque carmina po$cunt. Contra ille; O Pueri, quid portet cra$tinus Eos, Sed<007> explorator: turmales agmine mergi, Solivaga aut cornix, aut alcyones de$ertæ Si qua darent mihi $igna. maris cras æquor arandum. Det<007>nuit nunc u$que fovis clementia $udi, Et picturatus tot circum animalibus æther. Quæ nos in vitreo miramur mon$tra profundo, Fert radians æther, vultus formasque natantum. Cancer ibi e$t, delphinque; e$t grandi corpore cetus. Ad Boream pi$ces, & contemplere $ub Au$tro Pi$ces; nuper ubi numero crevi$$e feruntur. Sunt urna, fluviusque, & aplu$tris comta carina Illic. quin operis $imulamina plurima ve$tri, Luminaque in cœlo pecori debentia nomen. Sunt hœdi parvæque $ues, materque capella. Et fu$e $par$o quæ candet $emita lacte. Ve$tibulum $ervant, elucens vellere fulvo Dux aries, ingensque auratus cornua taurus. Bini cernunturque canes, pernoxque bubulcus; Plau$traque; quique auriga $uis excu$$us habenis. Stellatum volat alatus per inane caballus: Ac præ$epe $uum juxta $tabulantur a$elli. Illic virgo, manum Cereali inlu$tris ari$ta, Et, tran$mutatus faciem, Pan ip$e renidet; Daphnin amans ve$trum, $ecretæ rupis in umbra, Uranie velut edocuit: me $ingula Daphnis. Singula quæ (carmen quia po$citis) ordine pandam.

Extemplo tentat vocem: numerosque modosque Perpendens mulcet variis concentibus auras. Tum venti po$uere. jacet $ine fluctibus æquor; Factaque $unt terris, $unt facta $ilentia ponto. Mox interfatur: Quod pro$peret; ab fove magno Ordiar: ordiri con$uerunt ab fove vates. Vos, nec enim rerum brevis hic mihi na$citur ordo, [0049]DAPHNIS ECLOGA. Nocturnum chorea defendite corpore frigus.

Inde fovis magni cunas, veteri$que celebrat Saturni ju$$um crudele, dolumque Cybelles; Ortaque Dictæis Corybantia $acra latebris: Ut puero nutrix $it olentis lecta mariti Uxor; & ip$a recens hædos enixa gemellos; Queis comitata polum modo lucida $tella frequentet, Quæ prius Oleniis balavit be$tia campis; Sub pedibusque terat formo$i limen Olympi. Tantus amor fovis, & percepti gratia lactis.

Nec tamen hoc niveum mana$$e fluore nitorem, In duo $ecta vias, oculis manife$ta videntum, Semita quo candet ducens ad tecta Tonantis; Tergeminam $ed noctem productumque canebat Alciden mundo; Deus immortalis haberi Haud pote qui fuerat, $opitæ parvula mammis Labra pater gnati ni$i conjugis admovißet: Quæ, $imul experrecta, $imul conterr<007>ta, $urgens Uvidulas tenero mammas $ubtraxerit ori, Indignata. pavimentum tabulataque cæli Dec<007>duus maculis ut tunc infecerit albis Per convexa ruens in $e revolubilis humor. Orbita cycneo nunc unde bifurca colore, Ducta per æquales medio di$crimine partes, Cæruleum velut argento ferruminet axem: Axem, cervices qui quum la$$aret Atlantis, Haud gravis Herculeo requierit $arcina collo; Atque tot ærumnas quem po$t, mane$que $ubactos, Ip$e $uis ornet jam portio magna triumphis; He$peridum contra cu$todem divitis horti In$urgens Anguem pede nixus; apertaque retro Terribili rictu nil curans ora Leonis; Lerneæque audacem Hydræ $uccurrere Cancrum; Mon$tra novercales te$tantia jugiter iras Et fru$tra bacchatum odium funonis iniquæ.

Hinc aliam memorat gra$$atam fraude novercam; [0050]DAPHNIS ECLOGA. Et tran$mittendi pavidam nimis æquoris Hellen: In thalamos $it ut illa tuos, Neptune, recepta: Phryxeumque pecus, fætamque heroibus Argo Pha$idos ad fluctus deducit & æthera cantu.

Nec $ilet Europæ vectoris præmia; vel te, Bigarum Pelopis perjuri, Myrtile, rector. Myrtoum pelagus $<007>gnaras ante caduco Funere; $ublimem nunc tollunt cornua Tauri.

Haud procul his Hyades notat exarde$cere: $ed, quæ Sunt Hyades Grajis, Suculas dix<007>$$e Latinos; Atque duas $eptem muta$$e Trionibus Arctos; Arctophylaca pigro, $ua plau$tra $equente, Bubulco; Quando bovem pri$co vocitabant more trionem, Quod tereret duro pro$ci$$am vomere terram.

Hanc adeo $ortem mi$erans, $u$piria ducit; Buceriumque genus que$tu compellat inani; Ah pecus infelix, armentum! $æcla fuerunt, Pondere quum duro neque vos gemeretis aratri, Navita nec ve$tro vocitaret nomine $tellas. Tunc neque $idus erat terris pia Virgo relictis, Quæ Cereale manu $picum gerit; Icariotis Sive $it Erigone@ cui fida Canicula patrem Quærenti indigna mon$travit cæde peremtum; Atque, comes dominæ, domino comitem Oarioni A$tra minor $ocium majorem repperit inter: Seu magis A$træi $it $anguine creta, perenne De genitore $uo quæ nomen contulit a$tris: Sive $it antiquæ Themid<007>s ju$ti$$ima proles, Aver$ata jugo vos a$pectare gravari, Tempora dum, pul$is melioribus, ærea $urgunt: Sive $it alma Ceres; horrens fugitiva videre Vos quoque mactari; nil pejor l<007>nquit inau$um Ferrea dum $oboles, ip$orum inimica Deorum: Quos, qua$i de terra (nam Dii colui$tis & illam) Sit pepuli$$e parum, tentavit pellere cælo.

Tum dete$tatur $uffultos angue Gigantas; [0051]DAPHNIS ECLOGA. Porphyriona, $tatu terrentem cuncta minaci; Rhæcumque; immanemque Gygen, validumque Mimanta; Enceladumque; manusque rotantem Ægeona centum; Et, cui par nemo feritate, Typhöea dirum, Au$os inva$i$$e Deos tellure fugatos, Ac totum magno cælum comple$$e tumultu, Undique divul$as jaculantes torviter ornos De tumulis cumulorum montibus ex agge$tis. Terrigenam ut pubem, Divûm penetralia $ancta Rimantem, Superi mentito fallere vultu Quæ$ierint, addit; dispertitosque pavore: Donec apud late $tagnantis flumina Nili Horrificam faciem Pan $um$erit Ægocerotis; Ambiguoque $ono Superos animarit ad arma, Anguipedesque metu dare terga coëgerit omnes: Cælo donandos A$inos auxi$$e timorem Congerie vocum, perterricrepoque fragore: Illa cælicolis nam tempe$tate fui$$e Auxilio Satyros, S<007>lenorumque phalangem, Evantes in a$ellis cum Bacchæo ululatu, Thyr$is armatos, tectos colocynthide parma.

Parvus ut interea volucer cum matre Cupido Venerit A$$yrii fugiens Euphratis ad undam; Induerintque gregis (Syriæ po$t numina genti) Squammigerum formas, gemini nunc aurea Pi$ces Lumina, $igniferum Capricorno juncta per orbem, Ni fu$a medius $ecernat Aquarius Urna; Deucalioneos neque non edi$$erit imbres, Nectaris aut quanti Ganymedes pocula ver$et; Sive $it is Cecrops, peplo præ$ignis Athenæ; Pa$tor Ari$tæus $eu plena alvearia ge$tet, Quæ $ubter volitetis apes examine den$o.

Qualiter & pandus vectarit Ariona Delphin, Ac aliter vectum Danaeium Per$ea narrat; Cepheaque, Andromedenque, & mæ$tam Ca$$iopeiam; In$ertumque polo va$tum Pi$tricis hiatum: [0052]DAPHNIS ECLOGA. Quem Phaëthonteus longo $inuamine propter Fulgeat Eridanus declivi proximus Au$tro: Nuper ad occulti Batavos ubi verticis axem Intuitos nova $quammigerum $imulacra micare: Sollertes Batavos, imo $eu gurgite pi$cem Venari $it opus, vel in alto $<007>dera cælo.

Tum canit, ut Daphnis $acra $ub rupe docentem Viderit Uranien: argutas carmina $ilvas, Et repetita cavos edi$cere carmina montes: Ut Chaldæa vetus, mira dulcedine capti, Stent auditores circum, & Babylonia turba; Dein quos Graja tulit, quos aut Nilotica tellus, Itala quos, ac pulchra $uo cum Cæ$are Roma; Po$t Arabum de $tirpe viri & regnator Iberus; Ac tandem quos con$ultos Germania mi$it A$trorum cælique, $uæ qui $idera terræ; Inferior nullis ut item neque Gallia de$it; Gallia magnanimi Regis $plendore $uperba, Borbonios ignes cui parturit arduus æther:

Tum Dea quo Daphnin, Divam quo Daphnis amore Complexus, quanti non con$cia Latmia $axa: Utque Conon juveni radium donarit, utrimque Multo in$ignem auro, & pellucidulis cry$tallis; Per quas quod $pectes, prope fiat; & augmina $umat: Dixerit &: Sollers, en, primus quale Batavus Munus adornarit; $ed Etru$ci quo decus Arni E$t Antenorea $enior Tyrrhenus in urbe Regna fovis princeps metatus, ab æthere vobis Nunquam nota prius miracula nuntia portans; Lunaï montes; vultus tibi, Pho$phore, ternos; Quove $atellitio $ublu$tri nocte vagetur Stella Deûm regis per cærula templa $uperne. Hoc quoque tu non nota prius miracula prodes: Hujus erat tibi $ervatus $ollertior u$us; Arcanumque Chroni mortalibus omne recludes. Accipe fru$tra olim nobis optabile donum.

[0053]DAPHNIS ECLOGA.

Daphnidis ad gratum nomen pernice chorea Ex$ultant alacres Pueri: neque $egnius ip$e Pro$equitur; Geminas imitantia lumina falces Hactenus ut vane Saturni credita $idus Oblongo tam diver$a $ub imagine di$co Fingere, quando globum teretem teres annulus extra Splendet, & ambo nigror $patii di$terminat intus; Exiguo circum quos erret $tellula gyro: Omnia divino quæ fretus munere Daphnis Extulerit, non ante novam vulgata per artem: Adjungitque; quod his meritis permul$us, eundem In $ua magna Chronus $it adire $acraria pa$$us: Heic ocul<007>s lu$trarit ut omnia; prom$erit atque Inventum $ubtile $ecandi temporis illinc; Partes quo minimas ac momina dividat horæ, O$cilla ex tenui $u$pendens mollia filo: Id labyrintheos cur$us qui dirigat alni, Ignarumque viæ ratis haud $inat e$$e magi$trum: Cui neque quotidie tam certus $pondeat auctor, Oceano quantum Titan alti$$imus ex$tet; Ac quibus emergat, queis tunc $imul occidat oris, Daphnidos egregio norint conamine docti.

Ille canit: chorus in numerum $ua brachia qua$$ant, Alternoque $olum pede pul$ant. at freta $altu Librabant hilares $e$e $uper humida thynni. Auritus leporum populus tunc creditur ultro Iliceas liqui$$e domos, carasque quietes Vicini nemoris: nulloque frequentior unquam Caricis arro$or prodii$$e cuniculus antris Tempore narratur; narrent $i vera puellæ Littoreæ, quæ $iccandis cu$todia pa$$im Retibus ad ventos expan$is forte $edebant. Pectore Nereïdes nudo, la$civa caterva, V<007>$a per incertam Lunam, vi$æve putantur, Et Triton, Glaucusque, procul $ub luce maligna; Tuque, cubans juxta $tratas prope littora phocas, [0054]DAPHNIS ECLOGA. Neptuninarum pecudum fidi$$ime cu$tos: Neu quisquam $eræ meminit decedere nocti. Interea tenebræ den$antur; & abdita nimbo Cynthia dum latitat, cæli de parte $erena Cinctum non $olitis proce$$it crinibus a$trum, Prolixumque trahens albore notabile $yrma. Mirantur chorus attoniti. miratur & ip$e; Præ$ertim tantum capiti cum dem$it honorem, Ornatumque $equacem omnem mox reddita Luna. Infit &: Ad $ua quisque mapalia tendite nota, Prodigio nil $olliciti, curamve foventes. In$uetos alias tales cantabimus ignes, Et trepidantem nequicquam formidine vulgum.

Hæc Ancon: mihi vi$a tibi quæ digna referri, _HUGENIDE_, decus Hugenidum, cui $idera curæ, Nec Phæbum ac Pimplæ fas e$t contemnere Divas, Queis tua tota domus, fratres, genitorque dicati. Sic neque te facies peregrini terreat a$tri, Idemve anne alius vario fulgore cometes.

A. CIƆ IƆC LXV.

[0055] CHRISTIANI HUGENII ZULICHEMII, CONST. F. HOROLOGIUM OSCILLATORIUM, SIVE DE MOTU PENDULORUM AD HOROLOGIA APTATO Demon$trationes Geometricæ.

ANNUS agitur $extus decimus ex quo fabricam horologiorum, tunc recens à nobis inventorum, edito libello publicam fecimus. Ab illo verò Vide $upra pag. 5. tempore cùm multa invenerimus ad perfectio- nem operis $pectantia, vi$um e$t ea $ingula hoc libro exponere. Quæ quidem adeo ad perfectionem ejus in- venti pertinent, ut poti$$ima ejus pars cen$eri po$$int, ac velut fundamentum totius mechanicæ hujus, quo prius de- [0056]CHRISTIANI HUGENII $tituta erat. Men$ura enim temporis certa atque æqualis, pendulo $implici naturâ non inerat, cum latiores excur$us angu$tioribus tardiores ob$erventur; $ed geometria duce di- ver$am ab ea, ignotamque antea penduli $u$pen$ionem re- perimus, animadver$â lineæ cujusdam curvaturâ, quæ ad optatam æqualitatem illi conciliandam mirabili planè ratione comparata e$t. Quam po$tquam horologiis adhibuimus, tam con$tans certusque eorum motus eva$it, ut po$t crebra experimenta terra marique capta, manife$tum jam $it & A$tronomiæ $tudiis & arti Nauticæ plurimùm in iis e$$e præ$idii. Hæc ea e$t linea quam defixus in circumferentia currentis rotæ clavus, continua circumvolutione, in aëre de$ignat; à Geometris no$tri ævi cycloidis nomine donata, & ob alias multas $ui proprietates diligenter expen$a; à no- bis verò propter eam quam diximus men$urandi temporis facultatem, quam nihil tale $u$picantes, ac tantùm artis ve- $tigiis in$i$tentes, ine$$e ip$i comperimus. Hanc cum jam pridem amicis horum intelligentibus notam fecerimus (nam non multo po$t primam horologii editionem animadver$a fuit) nunc eandem, demon$tratione quàm potuimus accu- rati$$ima firmatam, omnibus legendam proponimus. Itaque in hac tradenda demon$tratione poti$$ima pars hujus libri ver$abitur. Ubi primùm nece$$e fuit novis nonnullis demon- $trationibus $tabilire & promovere ulterius viri maximi Ga- lilei de de$cen$u gravium doctrinam, cujus fructus de$idera- ti$$imus, atque apex veluti $ummus, hæc ip$a quam inve- nimus cycloidis e$t proprietas.

Quæ porro ut ad pendulorum u$um aptari po$$et, nova cur- varum linearum con$ideratio adhibenda fuit, earum $cilicet [0057]HOROLOG. OSCILLATOR. quæ $ui evolutione alias curvas generant. Unde comparatio in- ter $e longitudinis curvarum cum rectis na$citur, quam ulterius etiam quam præ$ens nece$$itas po$tulabat pro$ecutus $um, pro- pter theoriæ, ut mihi vi$um e$t, elegantiam & novitatem.

Cæterùm ad explicandam Penduli Compo$iti naturam, cujus utilitatem in con$tructione horum automatôn demon- $tro, adjungenda fuit Centrorum O$cillationis contemplatio, à pluribus quidem, $ed minus feliciter, hactenus tentata; in qua theoremata complura animadver$ione, ni fallor, di- gna reperientur, ad figuras lineares, planas, $olidasque per- tinentia. Ante hæc omnia vero præmittitur ip$a horologii mechanica con$tructio, pendulique applicatio, eâ formâ quæ ad u$us a$tronomicos apti$$ima reperta e$t, ad cujus in$tar re- liquæ omnes, mutatis quæ opus e$t, facile ordinari po$- $int.

Quia vero contigit egregio hujus inventi $ucce$$u, quod fieri plerumque $olet, quodque futurum prædixeram, ut plures $e$e ejus auctores e$$e cuperent, aut $i non $ibi ip$is, $uæ tamen nationis alicui potius quàm nobis eum honorem tribui vellent, iniquis eorum conatibus tandem aliquando occurrendum hic arbitror. Nec $anè aliud fere opponere iis nece$$e fuerit præterquam id unum, nempe ante annos $ex- decim, cum nec dicto nec $cripto cujusquam de horologiis hujusmodi mentio facta e$$et, aut rumor ullus omnino ferre- tur (loquor autem de penduli $implicis u$u ad horologia translato, nam de Cycloidis additione nemo credo contro- ver$iam movebit) con$tructionem eorum propria meditatio- ne me adinveni$$e & perficiendam cura$$e. In $equenti anno, qui nempe hujus $æculi quinquage$imus octavus fuit, deli- [0058]CHR. HUGENII HOROL. OSCILL. neationem automati de$criptionemque typis vulga$$e; exem- plaria, tum operis ip$ius, tum libelli, quaquaver$um dimi- $i$$e. Nam cum hæc ita omnibus nota $int, ut nec te$timo- niis eruditorum, nec Bataviæ Ordinum actis, quibus po$- $ent, confirmari opus habeant, facile apparet quid de illis exi$timandum $it, qui $eptem po$t annis eandem con$tru- ctionem, qua$i à $e $uisve amicis profectam, libris $uis ven- ditarunt. Qui vero Galileo primas hic deferre conantur, $i tenta$$e eum, non vero perfeci$$e inventum dicant, illius magis quam meæ laudi detrahere videntur, quippe qui rem eandem, meliore quam ille eventu, inve$tigaverim. Cum autem vel ab ip$o Galileo, vel à filio ejus, quod nuper vo- luit vir quidam eruditus, ad exitum perductum fui$$e con- tendunt, horologiaque ejusmodi re ip$â exhibita, ne$cio quomodo $ibi creditum iri $perent, cum vix veri$imile $it adeo utile inventum ignoratum manere potui$$e annis totis octo, donec à me in lucem ederetur. Quod $i deditâ operâ celatum fui$$e dicant, idem hoc intelligunt à quolibet alio po$$e obtendi, qui $ibi originem inventi arrogare cupiat. Itaque probandum quidem id foret, neque eo magis ad me tamen quicquam pertineret, ni$i unà quoque o$tendatur, id quod omnes latebat, mihi $oli innotui$$e. Et hæc quidem nece$$ariæ defen$ionis cau$a dicenda fuere. Nunc ad ip$ius automati con$tructionem pergamus.

[0059] HOROLOGII OSCILLATORII PARS PRIMA, De$criptionem ejus continens.

FIGURA ad$cripta horologium à latere in$piciendum præ- TAB. II. Fig. 1. bet, ubi primum laminæ binæ $unt A A, B B, $emipe- dali aut paulo ultra longitudine, latæ pollices duo & $emis, quarum anguli quatuor columellis coaptantur, ut $esquipol- lice inter $e di$tent. His laminis rotarum præcipuarum axes utrinque in$eruntur. Prima atque infima e$t quæ notatur C, dentibus 80 inci$a, cujus axi orbiculus quoque D affixus e$t, aculeis ferreis a$per, ut funem cum appen$is ponderi- bus contineat, quæ qua ratione ordinentur po$tea dicetur. Ponderis itaque vi rota C vertitur; hæc movet proximum tympanum E dentium octo, unáque rotam F eodem axe hæ- rentem, cui dentes 48. Hanc excipit tympanum aliud G, & in eodem axe rota H, quibus dentium numerus idem qui tympano rotæque præcedenti. Sed hæc rota ejus e$t generis quas à forma coronarias vocant artifices no$tri. Hujus den- tibus agitatur tympanum I $imulque rota K, quæ eodem axe tenetur, ad perpendiculum erecto. Tympano dentes 24; rotæ 15, atque hi ad in$tar $erræ dentium inci$i. Supra me- diam rotam K transver$us jacet axis pinnatus L M, cujus extrema $u$tinent hinc inde gnomones N Q & P, $eor$im affixi laminæ B B. Notanda vero in gnomone N Q pars de- or$um prominens Q, quæ oblongo foramine patens trans- mittit axem L M, $imulque retinet eum quem rotæ K tym- panoque I communem e$$e diximus, inferiori $ui parte gno- moni R innitentem. In lamina B B foramen amplum excava- tum e$t, quo ultra ip$am extendatur axis pinnatus L M, qui $ubtili cu$pide in$ertus gnomoni P, liberius ita movetur quam $i ab ip$a lamina B B $u$tineretur $imulque ultra eam pro- [0060]CHRISTIANI HUGENII mineret, debet enim prominere nece$$ario ut affigi po$$it cla- DESCRI- PTIO HO- ROLOGII. vula S, quæ $imul cum eo ver$ationes faciat. E$t autem hic motus reciprocus, nunc in hanc nunc in illam partem, quum dentes rotæ K alternatim occurrant pinnulis L L, no- tâ vulgo ratione, quæque proinde diligentiori explicatione non indiget.

Porro clavula S, ima $ui parte reflexa ac foramine ob- longo terebrata, penduli virgam ferream, cui plumbum X affixum e$t, amplectitur. Hæc vero virga $upernè duplici filo $u$pen$a e$t inter geminas lamellas, quarum una T hic tantum cernitur; itaque alteram figuram juxta de$crip$i- mus, quæ utriusque formam flexumque & totam hanc TAB. II. Fig. 2. $u$pendendi penduli rationem exprimeret. Quanquam de vera laminarum i$tarum curvatura pluribus po$tea agendum erit.

Nunc autem ut de motu horologii dicamus, nam reliquas figuræ partes po$tea exequemur, facile equidem apparet & vi rotarum, à pondere tractarum, perpendiculi V X mo- tum $u$tentari, po$tquam $emel manu incitatum fuerit; & $imul perpendiculi $tatos recur$us rotis univer$is, totique adeo horologio movendi legem normamque præ$cribere. Clavula enim, quantumvis levi rotarum impul$u acta, non tantum ob$equitur trahenti perpendiculo, $ed & $ingulis re- cur$ibus paulisper ejus motum adjuvat, atque ita perennem reddit, qui alioqui $ua $ponte, vel verius occur$u aëris, deficeret paulatim, vergeretque ad quietem. Rur$us vero, quum ejusmodi $it natura penduli ut eodem $emper tenore feratur, neque ab eo ulla ratione præterquam mutata longi- tudine dimoveri po$$it; utique po$tquam flexu lamellarum, inter quas $u$pen$um e$t, æqualitatem illam con$equuti fui- mus; nequaquam permittitur rotæ K, ut nunc citius nunc tardius incedat, et$i $æpe, ut in vulgaribus horologiis, id facere conetur; $ed nece$$ario $inguli dentes ejus coguntur æqualibus tran$ire temporibus. Hinc vero manife$tum e$t, & reliquarum quæ præcedunt rotarum, & denique etiam indicum æquabiles conver$iones effici, cum omnia propor- [0061]HOROLOG. OSCILLATOR. tionaliter moveantur. Quamobrem $iquid in fabrica vi- DESCRI- PTIO HO- ROLOGII. tii fuerit, vel, ob aëris mutatam temperiem, diffici- lius rotarum axes volvantur; dummodo non eo usque ut omnis horologii motus interrumpatur; nulla propter hæc inæqualitas aut motus retardatio timenda erit, $em- perque aut rectè tempus metietur aut omnino non metie- tur.

Indices porro hoc pacto circumaguntur atque ordinantur. Tertia lamina prioribus parallela e$t Y Y, pollicis quarta parte di$tans ab ea quæ notatur A A. In ea circuli horarii de$cripti $unt centro eodem α quo protenditur axis rotæ C. Quorum circulorum interior duodecim horarum divi$ionem habet, alter $crupulorum 60. Axi vero rotæ C aptatur, ul- tra laminam A A, rota ß, tubulo cohærens qui usque ad ε continuatur trans laminam Y Y; atque ita in$idet axi illi, ut una cum illo circumferatur; $ine illo tamen, ubi opus fuerit, converti po$$it. Ad ε index imponitur, horæ $pa- tio circuiturus atque ita $crupula prima, $eu $exage$imas ho- rarum, demon$traturus. Rota vero quam diximus ß, aliam rotam, totidem quot ip$a habet dentium, impellit, atque una affixum ei tympanum cui dentes $ex, axiculo eorum communi hinc laminâ A, inde gnomone δ $uffulto. Hoc tandem tympano rota ζ movetur, dentes habens 72, tubu- lumque affixum qui & ip$e ultra laminam Y ad θ porrigitur, paulo citra quam de$init tubulus rotæ ß, quem intra $e com- plectitur. Parte extrema θ apponitur horarius index, brevior aliquanto illo quem $crupula prima $ignare diximus, cum in- teriore gyro ferri debeat. Secunda vero $crupula ut absque errore demon$trentur, imponitur axi rotæ H, usque ad la- minam Y producto, orbis λ, cui circulus in $exaginta par- tes divi$us in$cribitur, inci$oque in laminâ Y foramine ad Z, eæ divi$iones, cuspide in $ummo foramine defixâ, prætereuntes notantur. Hæc vero tota indicum circulo- rumque horariorum di$po$itio ex figura minori (_fig_. 3._)_ cla- rius per$picitur, exteriorem horologii formam referen- te.

[0062]CHRISTIANI HUGENII

Cæterum penduli longitudinem, rotis quemadmodum di- DESCRI- PTIO HC- ROLOGII. ximus ordinatis, eam e$$e oportet ut $crupula $ecunda $in- gulis recur$ibus metiatur, quæ longitudo tripedalis e$t, & commodè in $chemate exhiberi non potuit. Tripedalem dico, non alicujus re$pectu pedis qui apud Europæ gentem hanc illamve in u$u $it, $ed certo æternoque pedis modulo ab ip$a hujus penduli longitudine de$umpto, quem PEDEM HORARIUM in po$terum appellare liceat, ad illam enim omnium aliorum pedum men$uræ referri debent quas incor- ruptas po$teris tradere voluerimus. Neque enim, verbi gra- tiâ, ignorabitur unquam venturis $æculis Pari$ini pedis mo- dus, dum con$tabit eum ad Pedem Horarium e$$e ut 864 ad 881. Sed de hujus men$uræ exacti$$ima con$titutione plu- ribus agemus in iis quæ de Centro O$cillationis. nunc tem- pora conver$ionum in $ingulis rotis indicibusque obiter de- $ignabimus, ut rectè omnia ad dentium $upra de$criptorum numerum quadrare intelligantur.

Ergo una quidem conver$ione rotæ C, decies circumire apparet rotam F, $exagies vero rotam H, & centies vicies $upremam K: cui quum dentes $int quindecim, iisque alternatim pul$entur pinnulæ L L, una conver$ione rotæ K numerabuntur ictus 30, quibus re$pondent totidem itus re- ditusque penduli V X. ideoque conver$ionibus 120, re$pon- debunt o$cillationes $implices 3600, qui numerus e$t $cru- pulorum $ecundorum unam horam efficientium. Itaque ho- ræ tempore $emel circumit rota C, cumque ea $imul index ad E impo$itus, qui $crupula prima demon$trat. Et quo- niam eodem temporis $patio etiam rota ß, & per eam γ, convertitur, cum tympanidio $uo dentium $ex, ad quem numerum duodecuplus e$t numerus dentium rotæ ζ, appa- ret duodecim demum horis hanc circumduci, totidemque indicem illi conjunctum in θ. Denique cum rotæ H $exa- ginta conver$iones re$pondere o$tenderimus $ingulis conver- $ionibus rotæ C, hinc illa, una cum affixo orbe λ, $exagies in $ingulas horas circumferetur, hoc e$t, $emel unius $cru- puli primi tempore, ideoque partes $exage$imæ orbiculi λ [0063]HOROLOG. OSCILLATOR. DESCRI- PTIO HO- ROLOGII. $ecunda $crupula tran$itu $uo o$tendent: atque ita omnia rectè $e habere manife$tum erit. Pondus X in imo perpendiculo trilibre e$t, plumbeum totum, vel ænea $uperficie plumbum continente. Nec tantum metalli gravitate $ed & figurâ in- $uper pro$piciendum (plurimi enim refert) ut quam mini- mum occur$u aëris impedimentum $entiat. Eoque in cylin- TAB. II. Fig. 3. dri jacentis oblongi & utrinque præacuti formam fingitur, qualis cernitur ad _a_ $chemate horologii minore. Quanquam in his quæ ad navigationem parantur, forma lent<007>s erectæ aptior vi$a e$t.

Porro eodem $chemate & ponderis alterius _b_, quo motus horologii continuatur, $u$pendendi ratio expre$$a e$t, quam, incognitam prius, inve$tigare nobis nece$$e fuit, ne interim dum $ur$um retrahitur pondus i$tud, ce$$aret vel impedire- tur aliquatenus horologii cur$us, quod hic omnino caven- dum erat. Paratur itaque funis continuus atque in $e rediens, extremitatibus apte inter $e connexis. Is primum orbiculum rotæ infimæ conjunctum, qui in $chemate majori notatus e$t D, amplectitur; inde de$cendens, altera $ui parte trochleam _c_, cui pondus _b_ appen$um e$t, $ubit. Hinc $uper orbicu- lum _d_ a$cendit, extrin$ecus horologio affixum, qui ferreos per circumferentiam aculeos habet, atque in$uper $erratis dentibus ita e$t aptatus ut volvatur tracto fune _e_; nequa- quam vero in partem contrariam revolvi po$$it. Ab hoc or- biculo de$cendit funis ad alteram trochleam _f_, cui pondus exiguum _g_ appenditur, quantum $ufficit continendo majori _b_, ne aliter quam revoluto orbiculo de$cendat. Namque à trochlea _f_ rur$us ad ip$um orbiculum D, unde de$cenderat, funis revertitur. Quibus ita $e habentibus, manife$tum e$t $emper pondus _b_ dimidia $ui gravitate conari ut rotas horo- logii circumagat, nec tunc quidem ce$$are cum manu fu- nem _e_ trahente a$cendere cogitur; adeoque horologii mo- tum nusquam interrumpi, nec momentum temporis de- perdi.

Gravitatis modus in pondere _b_ definiri certo non pote$t, $ed quo minor con$ervando motui $uffecerit, eo melius ac- [0064]CHRISTIANI HUGENII curatiusque fabrefactum automaton arguet. In no$tris, quæ DESCRI- PTIO HO- ROLOGII. optima hactenus habemus, ad $ex libras redactum e$t, po- $ita nimirum orbiculi D diametro pollicari fere; uti exhibi- ta fuit; item perpendiculi pondere trilibri, ac totidem pe- dum longitudine. Quæ longitudo, ut hoc etiam admonea- mus, trans cap$am horologii dependet, oblongo foramine perviam, quantum o$cillationibus peragendis nece$$e e$t, Ip$um vero horologium, ad hominis altitudinem $u$pen$um, horis 30 moveri per$everat.

Supere$t nunc forma lamellarum de$cribenda inter quas perpendiculum affigi diximus, quarumque ad æquabilem horologio motum præ$tandum vel præcipua e$t opera. Abs- que his enim Penduli $implicis o$cillationes (et$i nonnullis aliter vi$um e$t) non erunt æque diuturnæ, $ed brevioris temporis eæ quæ per minores arcus incedent; idque primùm experimento hujusmodi facile deprehenditur. Si enim fila accipiantur ejusdem longitudinis duo, paribusque in parte ima ponderibus religatis, utrumque $eor$im $u$pendatur, tumque alterum eorum procul à linea perpendiculari, alte- rum parumper duntaxat extrahatur, $imulque è manu di- mittantur; non diu utrumque $imul in partes easdem ferri videbitur, $ed prævertet illud cujus exiliores erunt recur- $us. Sed & temporum per quoslibet arcus rationes numeris definiri po$$unt, certâ $cientiâ nixis, & vero quam libuerit propinquis, veluti quod tempus de$cen$us per totum circu- li quadrantem e$t ad tempus per arcum minimum fere ut 34 ad 29. Adeo ut nequaquam re$i$tentiæ aëris ea diver$itas imputanda $it, ut quidam voluere, $ed ex ip$a motus natu- ra circulique proprietate na$catur. Quod alio quoque argu- mento concludi po$$it ex ip$a Penduli i$ochroni con$tructio- ne, ubi à circulari linea haud parum receditur, uti mox patebit.

Sed videatur for$an in no$tris horologiis hi$ce, ubi eadem $emper e$t o$cillationum latitudo, nullius momenti futura quam diximus inæqualitas, adeoque nec correctione ulla perpendiculi opus fore. Quod $ane ita e$$et $i latitudo omni- [0065]HOROLOG. OSCILLATOR. um planè eadem con$tanter maneret. Sed cum pauxillum DESCRI- PTIO HO- ROLOGII. quandoque excedat vel deficiat, ex multis minimis differen- tiolis tandem magna $atis conflatur, idque ita e$$e reip$a atque experimentis evincitur. Et$i enim eadem $emper $it ponderis vis, rotæ $ibi proximæ re$pectu, tamen per tot alias transdita, quantâcunque curâ limatæ fuerint, non $emper eadem ad perpendiculum usque pervenit. Præter- quam quod frigore quoque difficilior motus rotarum effici- tur; itemque evane$cente aut $orde$cente quod illis additur oleo. Sed præcipue inæquales fiunt o$cillationes horologiis quæ mari vehuntur, ob jactationem navis continuam, adeo ut omnibus quidem in univer$um, $ed his maxime omnium remedio opus $it, quo reciprocationum Penduli latiorum angu$tiorumque tempora æqualia evadant.

Ad definiendam ergo lamellarum formam in quibus po$i- tum e$t remedium i$tud, in primis Penduli longitudinem $tatui$$e oportet, quæ facile ex eo habetur, quod $int inter $e longitudines perpendiculorum, $icut temporum quæ in $ingulos recur$us impenduntur quadrata. Adeo ut cum tri- bus pedibus definiverimus longitudinem perpendiculi quod $crupula $ecunda metitur, ejus quarta pars, $ive unciæ no- vem debeantur ei quod $emi$ecunda notaturum $it. Item $i Penduli longitudo quæratur, cujus recur$us $implices 10000 horæ $patio peragantur, hoc modo ratio inibitur. Penduli nempe tripedalis $cimus 3600 recur$us in horas $ingulas nu- merari: ergo hujus recur$uum tempora $ingula, majora $unt temporibus Penduli quæ$iti, proportione 10000 ad 3600, $ive 25 ad 9. Quare ut quadratum numeri 25 ad quadra- tum 9, hoc e$t, ut 625 ad 81, ita erit longitudo pedum 3 ad eam quæ quærebatur, nempe unciarum 4 cum {66/100}.

Po$ita ergo longitudine perpendiculi, puta pedum trium in horologio à nobis propo$ito, inde Cycloïs linea, quæ curvaturam laminarum T datura e$t, hoc modo de$cribe- tur.

Super tabula plana affigatur regula A B, $emidigiti cra$$itu- TAB. III. Fig. 1. dine. Deinde fiat cylindrus C D E eadem illa altitudine, dia- [0066]CHRISTIANI HUGENII metrum vero ba$eos, dimidiæ perpendiculi longitudi- DESCRI- PTIO HO- ROLOGII. ni, æqualem habens; $itque F G H E fa$ciola, $eu potius bractea tenuis, affixa regulæ in F, cylindro verò in circumferentiæ puncto aliquo E, ita ut partim huic circum- voluta $it, partim extendatur juxta latus regulæ A B. Cy- lindro autem infixa $it ferrea cu$pis D I, pauxillum ultra ba$in inferiorem prominens, atque ita ut circumferentiæ ejus exacte re$pondeat.

His ita $e habentibus, $i cylindrus $ecundum regulam A B volvatur, bracteolæ tantum F G cra$$itudine intercedente, eâque $emper quantum pote$t extensâ, de$cribet cu$pis I in $ubjecto tabulæ plano lineam curvam K I, quæ Cyclois vo- catur. Circulus vero genitor erit C D E, cylindri adhibiti ba$is. Quod $i jam laminam K L ad regulam A B appli- cuerimus; exaratâ primum in ea cycloidis portione K I, in- vertemus deinde ip$am, & in $uperficie adver$a $imilem li- neam K M, ab eodem puncto K egredientem, incidemus. Tum figuram M K I, accurate $ecundum lineas i$tas, ef- formabimus, cui figuræ lamellarum inter$titium aptari opor- tet, inter quas perpendiculum $u$penditur. Sufficiunt au- tem ad horologiorum u$um portiones exiguæ arcuum K M, K I; reliquo flexu inutili futuro, ad quem perpendiculi fi- lum accedere non pote$t.

Verum, ut mirabilis lineæ natura atque effectus plenius TAB. III. Fig. 2. intelligantur, integras $emicycloides K M, K I, alio $che- mate hic exprimere vi$um fuit, inter quas $u$pen$um agita- tumque Pendulum K N P, diametri circuli genitoris du- plum, cujuscunque amplitudinis o$cillationes, usque ad maximam omnium per arcum M P I, iisdem temporibus confecturum $it: atque ita, ut appen$æ $phæræ P centrum, in linea M P I, quæ & ip$a cyclois integra e$t, $emper ver$etur. Quæ proprietas in$ignis, ne$cio an alii præter hanc lineæ data $it, ut nempe $e ip$am $ui evolutione de$cribat. Hæc autem quæ dicta $unt, in $equentibus, ubi de de$cen- $u gravium, deque evolutione curvarum agemus, $ingula demon$trabuntur.

[0067]HOROLOG. OSCILLATOR.

Licebit autem aliter quoque, per inventa puncta, cy- DESCRI- PTIO HO- ROLOGII. TAB. III. Fig. 3. cloidem de$ignare. De$cribatur circulus diametro A B, quæ dimidiæ longitudini perpendiculi æqualis $it. In cujus cir- cumferentia $umptis partibus æqualibus quotlibet, A C, C D, D E, E F, A G, G H, H I, I K, jungantur G C, H D, I E, K F, quæ erunt inter $e parallelæ. Deinde arcui A F $umatur æqualis linea recta L M, eaque in partes æquales totidem dividatur quot $unt in arcu A F, earumque partium uni æquales ponantur $ingulæ C N, G O in recta C G; duabus vero partibus rectæ L M, æ- quales fiant $ingulæ D P, H Q in recta D H. Tribus ve- ro, $ingulæ E R, I S in recta E I; atque ita porro $i par- tes plures fuerint acceptæ ac tandem toti L M æquales fiant $ingulæ F T, K V in linea extrema F K. Jam $i curvæ de$cribantur per puncta A O Q S V, A N P R T, hæ rur$us quæ$itæ cycloidis partes erunt, inter quas per- pendiculum affigi oportet.

Recta autem L M æqualis arcui A F invenitur, $i pri- mum duabus rectis, quæ $emi$$ibus arcus A F $ubtendun- tur, æqualis ponatur X Z, totius vero arcus $ubten$æ A F æqualis ab eodem termino accipiatur X Y, differentiæque Y Z triens Z Δ ad totam X Z adponatur. Nam tota X Δ toti arcui A F tam prope æqualis erit, ut licet $extans fue- rit circumferentiæ, (neque major hic unquam requiritur) non una $exies mille$ima parte $uæ longitudinis deficiat, uti in his, quæ de Circuli Magnitudine antehac $crip$imus, demon$tratum e$t.

Explicitis quæ ad horologii fabricam attinent, nunc quo- que illud declarandum e$t, quo pacto ad veram horarum men$uram componi debeat. Ergo primum, an recte $e ha- beat motus ejus, hoc modo examinabitur.

Oculo ob$ervatoris certus eligatur locus, unde $idera de- $pici po$$int, $imulque tecta parietesve vicinarum ædium, $ic po$ita, ut, cum eò appulerint $tellæ quædam è fixarum numero, $imul videri de$inant. Eo loco foramen, ad pu- pillæ magnitudinem, con$tituatur, ut $equentibus diebus, [0068]CHRISTIANI HUGENII absque errore, oculus ad idem punctum reponi po$$it. Jam DESCRI- PTIO HO- ROLOGII. ad momentum ip$um, cum $tellarum aliqua è con$pectu abit, notetur tempus horologio indicatum. Atque idem po$tero die, vel potius aliquot diebus intermi$$is, fiat. Quod $i tantum unius diei $patium duabus ob$ervationibus interce$$e- rit, oportet in po$trema ob$ervatione tempus horologii de- ficere ab illo, quod prima ob$ervatione annotatum fuerat, $crupulis primis 3, $ecundis 56. Ita enim rectè $e habere perpendiculi longitudinem con$tabit; quum tanto $uperetur quælibet $iderum fixorum revolutio à die $olari mediocri. Mediocri dico, quoniam dies $olares, de meridie ad meri- diem, non omnes inter $e æquales $unt, ut mox amplius exponetur. Si vero po$t plures demum dies ob$ervatio re- petatur, in $ingulos tantundem differentiæ cau$a computan- dum erit. Sit, exempli gratiâ, in prima ob$ervatione, ad momentum evane$centis $tellæ, adnotata horologii hora 9, cum $crupulis primis 30, $ecundis 18; deinde, $eptimo po$t die, eâdem di$parente $tellâ, indicet horam 8, cum $crupulis pr. 50, $ec. 24. Hæc hora deficit à priore $crupu- lis pr. 39, $ecundis 54. Quæ, in $eptem divi$a, dant retar- dationem diurnam $crupulorum 5′. 42″. Debebat autem e$$e $crupulorum 3′.56″. quæ illâ minor e$t $crupulis 1′.46″. Ita- que tantundem quotidie deficit horologium à vera, $eu me- dia, dierum men$ura.

Cæterum alio quoque modo, ad $olem, horologii motum examinare licebit. Sed hic jam inæqualitatis dierum natu- ralium ratio habenda erit. Sunt enim, ut jam dixi, non omnes ejusmodi dies inter $e æquales; & quanquam exi- guum $it di$crimen, tamen plurium dierum intervallo $æpe eo usque excre$cit, ut haudquaquam contemni po$$it. Ete- nim $i & $olarium quam perfecti$$ime de$criptum habeatur, & horologii automati motus ad veri$$imam dierum men$u- ram exactus $it, neque ab ea recedat; eveniet tamen nece$- $ario ut, certis anni temporibus, $æpe horæ quadrante, aut etiam $emihora, inter $e di$crepent, ac rur$us $tatis tempo- ribus ultro concordent. Hoc enim ita e$$e, ex tabula tem- [0069]HOROLOG. OSCILLATOR. poris æquatoria quam $ubjicimus, intelligetur; po$tquam DESCRI- PTIO HO- ROLOGII. u$um ejus o$tenderimus, qui e$t hujusmodi.

Accipiatur æquatio tabulæ, a$$ignata diei qua primum cum $ole, $ive cum $ciotherico, horologium ut conveniret fecimus. Itemque æquatio diei, qua quæritur quam bene ad dierum men$uram temperatum $it. Quod $i jam prior æ- quatio major fuerit $equente, $uperare debebit hora auto- mati horam gnomonis eo, quo inter $e æquationes i$tæ dif- ferunt. At $i po$terioris diei æquatio major inveniatur, erit exce$$us penes horam gnomonis, $ive eam quæ ex $ole ob- $ervatur. Ut $i, exempli gratiâ, die 5 Martii in eandem horam conveniant $ciothericum horologium atque automa- ton, cujus diei æquatio invenitur, in tabula, $crupulorum primorum 3, $ecundorum 11. lubeatque $cire ejusdem men$is die 20, an automaton horas æquales rectè metiatur necne: invenietur die po$teriori ad$cripta æquatio $crupulorum pri- morum 7, $ecundorum 27. quæ quia $uperat præcedentem $crupulis primis 4, $ecundis 16, debebit tanto $erior e$$e hora $ciotherici, quam quæ automato indicatur. Unde, $i diver$um reperiatur, facile inde colligetur, quantum in dies $ingulos exuperet automaton, aut retardet.

In computanda tabula hac duplicem cau$am adhibui, u- tramque A$tronomis notam, Eclipticæ nimirum obliquita- tem; & $olaris motus anomaliam. Quod cum ratio po$tulat, tum experientia quoque, his ip$is horologiis $uper$tructa, quæque $ine his nequaquam haberi poterat, evincit; quan- doquidem, cum æquatione hìc propo$ita, ob$ervationes $o- lis, quas $æpe per complures men$es, quotidie ad momen- tum quo meridianum circulum $ol occuparet, in$tituimus, plani$$ime con$entire inventæ $unt.

[0070]TABULA ÆQUA. ## _Dies_. ## _Januar_. ## _Febr_. ## _Mart_. ## _Apr_. ## _Maj_. ## _Jun_. " # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. 1 # 10 # 40 # 0 # 32 # 2 # 15 # 11 # 18 # 18 # 32 # 18 # 10 2 # 10 # 10 # 0 # 24 # 2 # 28 # 11 # 37 # 18 # 39 # 18 # 1 3 # 9 # 41 # 0 # 18 # 2 # 42 # 11 # 56 # 18 # 46 # 17 # 51 4 # 9 # 13 # 0 # 13 # 2 # 56 # 12 # 15 # 18 # 53 # 17 # 41 5 # 8 # 45 # 0 # 9 # 3 # 11 # 12 # 34 # 18 # 59 # 17 # 30 6 # 8 # 17 # 0 # 6 # 3 # 26 # 12 # 53 # 19 # 4 # 17 # 19 7 # 7 # 50 # 0 # 3 # 3 # 41 # 13 # 12 # 19 # 9 # 17 # 8 8 # 7 # 23 # 0 # 1 # 3 # 56 # 13 # 31 # 19 # 14 # 16 # 57 9 # 6 # 58 # 0 # 0 # 4 # 12 # 13 # 49 # 19 # 18 # 16 # 46 10 # 6 # 34 # 0 # 0 # 4 # 29 # 14 # 6 # 19 # 22 # 16 # 35 11 # 6 # 10 # 0 # 0 # 4 # 46 # 14 # 23 # 19 # 25 # 16 # 24 12 # 5 # 47 # 0 # 2 # 5 # 4 # 14 # 39 # 19 # 28 # 16 # 13 13 # 5 # 24 # 0 # 4 # 5 # 22 # 14 # 55 # 19 # 29 # 16 # 1 14 # 5 # 2 # 0 # 8 # 5 # 40 # 15 # 10 # 19 # 29 # 15 # 49 15 # 4 # 41 # 0 # 12 # 5 # 58 # 15 # 25 # 19 # 29 # 15 # 37 16 # 4 # 21 # 0 # 16 # 6 # 16 # 15 # 39 # 19 # 28 # 15 # 24 17 # 4 # 2 # 0 # 21 # 6 # 33 # 15 # 53 # 19 # 26 # 15 # 11 18 # 3 # 44 # 0 # 26 # 6 # 51 # 16 # 7 # 19 # 24 # 14 # 58 19 # 3 # 27 # 0 # 32 # 7 # 9 # 16 # 21 # 19 # 21 # 14 # 45 20 # 3 # 11 # 0 # 40 # 7 # 27 # 16 # 34 # 19 # 18 # 14 # 32 21 # 2 # 55 # 0 # 48 # 7 # 45 # 16 # 47 # 19 # 15 # 14 # 19 22 # 2 # 39 # 0 # 57 # 8 # 3 # 16 # 59 # 19 # 11 # 14 # 6 23 # 2 # 23 # 1 # 6 # 8 # 22 # 17 # 11 # 19 # 7 # 13 # 53 24 # 2 # 7 # 1 # 16 # 8 # 41 # 17 # 22 # 19 # 2 # 13 # 40 25 # 1 # 52 # 1 # 26 # 9 # 1 # 17 # 33 # 18 # 57 # 13 # 27 26 # 1 # 38 # 1 # 37 # 9 # 21 # 17 # 43 # 18 # 51 # 13 # 15 27 # 1 # 25 # 1 # 49 # 9 # 41 # 17 # 53 # 18 # 45 # 13 # 3 28 # 1 # 13 # 2 # 2 # 10 # 1 # 18 # 3 # 18 # 39 # 12 # 52 29 # 1 # 2 ### 10 # 21 # 18 # 13 # 18 # 33 # 12 # 41 30 # 0 # 51 ### 10 # 40 # 18 # 23 # 18 # 26 # 12 # 30 31 # 0 # 41 ### 10 # 59 ### 18 # 18 [0071]TIONIS DIERUM. ## _Dies_. ## _Jul_. ## _Aug_. ## _Sept_. ## _Octob_. ## _Nov_. ## _Dec_. " # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. 1 # 12 # 19 # 10 # 4 # 16 # 23 # 26 # 30 # 31 # 55 # 25 # 34 2 # 12 # 8 # 10 # 8 # 16 # 42 # 26 # 49 # 31 # 55 # 25 # 10 3 # 11 # 58 # 10 # 13 # 17 # 1 # 27 # 8 # 31 # 54 # 24 # 45 4 # 11 # 48 # 10 # 18 # 17 # 21 # 27 # 26 # 31 # 52 # 24 # 20 5 # 11 # 38 # 10 # 23 # 17 # 41 # 27 # 43 # 31 # 50 # 23 # 55 6 # 11 # 28 # 10 # 28 # 18 # 1 # 28 # 0 # 31 # 47 # 23 # 30 7 # 11 # 18 # 10 # 34 # 18 # 21 # 28 # 16 # 31 # 43 # 23 # 4 8 # 11 # 9 # 10 # 41 # 18 # 41 # 28 # 32 # 31 # 37 # 22 # 38 9 # 11 # 0 # 10 # 49 # 19 # 1 # 28 # 47 # 31 # 30 # 22 # 11 10 # 10 # 52 # 10 # 58 # 19 # 21 # 29 # 2 # 31 # 22 # 21 # 43 11 # 10 # 47 # 11 # 7 # 19 # 41 # 29 # 16 # 31 # 13 # 21 # 14 12 # 10 # 38 # 11 # 16 # 20 # 1 # 29 # 30 # 31 # 3 # 20 # 44 13 # 10 # 31 # 11 # 25 # 20 # 22 # 29 # 43 # 30 # 53 # 20 # 14 14 # 10 # 25 # 11 # 36 # 20 # 43 # 29 # 56 # 30 # 43 # 19 # 44 15 # 10 # 19 # 11 # 48 # 21 # 4 # 30 # 9 # 30 # 32 # 19 # 14 16 # 10 # 13 # 12 # 1 # 21 # 25 # 30 # 22 # 30 # 20 # 18 # 44 17 # 10 # 7 # 12 # 14 # 21 # 47 # 30 # 34 # 30 # 8 # 18 # 14 18 # 10 # 2 # 12 # 28 # 22 # 9 # 30 # 45 # 29 # 55 # 17 # 44 19 # 9 # 58 # 12 # 42 # 22 # 31 # 30 # 55 # 29 # 40 # 17 # 14 20 # 9 # 54 # 12 # 57 # 22 # 52 # 31 # 4 # 29 # 23 # 16 # 44 21 # 9 # 51 # 13 # 12 # 23 # 13 # 31 # 12 # 29 # 6 # 16 # 14 22 # 9 # 49 # 13 # 27 # 23 # 33 # 31 # 19 # 28 # 48 # 15 # 44 23 # 9 # 47 # 13 # 43 # 23 # 53 # 31 # 26 # 28 # 30 # 15 # 14 24 # 9 # 46 # 13 # 59 # 24 # 13 # 31 # 32 # 28 # 11 # 14 # 43 25 # 9 # 46 # 14 # 16 # 24 # 33 # 31 # 38 # 27 # 51 # 14 # 12 26 # 9 # 46 # 14 # 33 # 24 # 53 # 31 # 43 # 27 # 30 # 13 # 41 27 # 9 # 47 # 14 # 50 # 25 # 13 # 31 # 47 # 27 # 8 # 13 # 10 28 # 9 # 49 # 15 # 8 # 25 # 33 # 31 # 50 # 26 # 45 # 12 # 40 29 # 9 # 52 # 15 # 26 # 25 # 52 # 31 # 53 # 26 # 22 # 12 # 10 30 # 9 # 56 # 15 # 45 # 26 # 11 # 31 # 55 # 25 # 58 # 11 # 40 31 # 10 # 0 # 16 # 4 ### 31 # 55 ### 11 # 10 [0072]CHRISTIANI HUGENII

Jam po$tquam utrovis modo eorum quos diximus, $ed DESCRI- PTIO HO- @OLOGII. priore potius, examen in$titutum fuerit, $i multum aberra- re à media dierum longitudine horologium reperiatur, adeo ut differentia ultra tria quatuorve prima $crupula a$cendat, remedium adhibebitur aucta aut diminuta ip$ius penduli longi- tudine. Ubi hæc tenenda e$t regula, tot $crupulis primis, in $ingulos dies, motum horologii acceleratum aut retarda- tum iri, quot {7/10} unius lineæ auferentur pendulo aut adden- tur. Cumque ad veram men$uram hoc pacto jam prope re- TAB. II. Fig. I. ductum erit, reliqua correctio transpo$itione exigui ponde- ris Δ, virgæ V V adhærentis, commode peragetur. Id pondus lentis formam habet, cujus $ectionem $ecundum axem in figura 1. expre$$imus. Et quia tantum vice$imam trice$imamve, aut etiam minorem, partem æquat ponderis X, hinc fit ut $at magnis $patiis è priore loco di$cedens, haud multum tamen perpendiculi motum afficiat, acceleran- do nempe quoties ver$us mediam virgæ longitudinem attra- hitur, retardando cum inde $ur$um aut deor$um movetur. Ne vero diu punctum illud quærendum $it quo veri$$imam daturum $it dierum men$uram, divi$imus certa ratione, ex motus legibus petita, inferiorem virgæ medietatem, po$ito nimirum pondere Δ parte quinquage$ima ponderis X, pari- que gravitate ip$ius virgæ V V. Quæ quidem divi$iones fi- TAB. II. Fig. 4. gura 4 exhibentur, ubi penduli portio inferior in tres partes $ecta cernitur, quarum, quæ infimo loco ponenda, e$t A B. Punctum A e$t centrum gravitatis ponderis X, à puncto autem C, centro o$cillationis, partes $ingulæ, quindecim $crupulorum $ecundorum differentiam diurnam efficiunt, ubi tali intervallo mota fuerit lens Δ. Demon$tratio autem divi- $ionumque inventio, dabitur in iis quæ de Centro O$cilla- tionis.

Cæterum illorum quoque quæ mari vehuntur, longitu- dinum inve$tigandarum gratiâ, formam hic de$criberemus, $i quænam maxime ad hunc u$um accommodata $it, æque ac in præcedentibus, exploratum determinatumque habere- mus; et$i quidem jam nunc eo res deducta $it, ut parum [0073] [0073a] Pag. 46. TAB.II. Fig. 1. A Y B P N Q L L M T λ K 15 Z I 24 H S R G 8 48 F 48 48 8 V E λ C 72 D 30 ß 80 θ ε ε θ ß V γ ζ D C Δ 9 γ 30 δ A B Y X Fig. 2. Fig. 4. Fig. 3. B 2′ 30″ 4″ 3′ 30″ 15″ 4″ 1′ 30″ 15″ 45″ _d_ 30″ 15″ _e_ 15″ _c_ C 2′ 3′ _b_ A _a f g_ [0074] [0075]HOROLOG. OSCILLATOR. dee$$e videatur ad perficiendum tantæ utilitatis inventum. DESCRI- PTIO HO- ROLOGII. Quid autem & qua fortuna hìc tentatum fuerit, quidve de- inceps tentandum re$tet, exponere non pigebit.

Prima duo hujusmodi horologia Britannica navi vecta fuere anno 1664, quæ vir nobilis è Scotia nobisque amicus ad no$trorum exemplum fabricari curaverat. Hæc ponderis loco laminam chalybeam habebant in $piram convolutam, cujus vi rotæ circumagerentur, quemadmodum in exiguis illis quæ circumferri $olent automatis adhiberi $olent. Ut autem jactationem navis perferre po$$ent, è chalybea pila, cylindro æneo inclu$a, horologia $u$penderat, clavulamque quæ penduli motum continuat (erat autem $emipedali longi- tudine pendulum) deor$um productam geminaverat, ut li- teræ F inver$æ formam referret; ne videlicet in gyrum evagari po$$et penduli motus, unde ce$$ationis pericu- lum. Navis hæc, cum tribus aliis quas itineris $ocias habue- rat, po$tquam in Britanniam rever$a e$t, Præfectus cla$$is hæc retulit. Se nempe, cum à Guineæ littore $olvi$$et, at- que ad in$ulam, $ancti Thomæ dictam, perveni$$et, quæ æquinoctiali circulo $ubjacet, compo$itis hìc ad $olem horo- logiis, occidentem ver$us cur$um in$titui$$e, atque ad $e- ptingenta circiter milliaria continuo tramite progre$$um, tum rur$us vento favente Libonoto ad Africæ littora declinavi$- $e. Cum autem ad ducenta trecentave milliaria eò cur$um tenui$$et, magi$tros aliarum navium, veritos ne priu$- quam Africam attigi$$ent aquâ ad potum deficerentur, $ua- $i$$e ut ad in$ulas Americanas, Barbatorum dictas, aquan- di gratiâ deflecteret. Tum $e$e concilio nauclerorum habito, ju$$i$que ut Ephemeridas ac $upputationes $inguli $uas pro- ferrent, reperi$$e cæterorum calculos à $uis diver$os abire, unius quidem 80 milliaribus, alterius centenis, tertii am- plius etiam. Ip$um vero, cum ex horologiorum indicio collegi$$et non amplius quam triginta circiter milliaribus ab- e$$e in$ulam _del Fuego_ dictam, quæ una e$t earum, non procul ab Africa di$tantium, quæ à Viridi promontorio no- men habent, eamque po$tero die teneri po$$e; confi$um [0076]CHRISTIANI HUGENII pendulis $uis eò cur$um dirigi impera$$e, ac die in$equenti DESCRI- TLO HO- ROLOGII. $ub meridiem eam ip$am in con$pectum veni$$e in$ulam, paucisque po$t horis navibus $tationem præbui$$e. Et hæc quidem ex Præfecti illius relatu.

Ab eo vero tempore aliquoties tum Batavorum tum Gallo- rum opera, idque Regis Sereni$$imi ju$$u, repetita $uere ex- perimenta, vario eventu, $ed ita ut $æpius negligentia eo- rum quibus horologia commi$$a erant quam ip$amet automa- ta culpari po$$ent. Optimus vero $ucce$$us fuit in Mediter- raneo mari, expeditione in Cretam in$ulam, quò illu$tri$$i- mus Dux Belfortius, Candiæ à Turcis ob$e$$æ auxilium la- turus, cum Gallorum copiis mi$$us erat, ubi & in prælio occubuit. Is in ea qua vehebatur navi, horologia huju$ce ex- perimenti gratiâ habebat, virumque A$tronomiæ peritum iis præfecerat, è cujus ob$ervationibus, in $ingulos dies habi- tis, longitudines locorum ad quæ in ea profectione aut ap- pulerunt naves, aut quæ prætervecti digno$cere oculis po- tuerant, horologiorum operâ exacte dimen$as fui$$e compe- rimus, atque ita ut Geographicis de$criptionibus quæ melio- ris notæ habentur eædemmet longitud<007>num differentiæ di$i- gnatæ reperiantur. Namque inter Toloni portum Candiam- que oppidum differentia hor. 1. $crup. 22′; reperta fuit, hoc e$t graduum longitudinis 20. $crup. 30′;. ac rur$us à Candia Tolonum revertentibus differentia proxime eadem. qui con- $en$us certi$$imum veritatis e$t indicium.

Inter eundem Toloni portum & in$ulam quandam cui _Ma-_ _retimo_ nomen e$t, prope promontorium Siciliæ quod Occi- dentem $pectat, Lilybæum olim vocatum, differentia horaria ob$ervata e$t $crup. prim. 25, $ec. 20, quibus re$pondent gra- dus longitudinis 6, $crup. 20′;. Item à Tolono ad in$ulam _Sa-_ _pienza_ dictam, quæ juxta Peloponne$um e$t Occidentem ver$us, hora 1, $crup. prima 5′;, $ec. 45″;, quibus re$pon- dent longitudinis gradus 16, $crup. 26.

Horologia ad $olem examinata fuerant, mane ad Orien- tem, ve$pere ad Occidentem, $upputato ex data poli alti- tudine utroque temporis momento. Atque hæc ratio cum na- [0077] [0077a] Pag. 48. TAB. III. Fig. 1. A B G C K H M D I L E Fig. 2. K N M I P Fig. 3. A G C N O H D P Q R S I E T V K F B L M X Y Z Δ [0078] [0079]HOROLOG. OSCILLATOR. ves in anchoris $tant omnium optima videtur, quod, abs- DESCRI- PTIO HO- ROLOGII. que in$trumentorum ope, $olis oculis eæ ob$ervationes per- agantur.

Pendulum vero unciarum novem longitudine inerat horolo- giis hi$ce, pondere $emi$$is. Rotæ ponderum attractu cir- cumagebantur, eademque cum illis theca inclu$æ erant quater- num pedum longitudine. In ima theca plumbum in$uper centum atque amplius librarum additum erat, quo mel<007>us perpendicularem $itum $u$pen$a in navi machina $ervaret.

Quanquam autem æquabilis admodum $ibique con$tans automati motus per hæc experimenta comperiebatur, tamen alia quoque ratione ulterius illud perficere aggre$$i $umus, quæ erat huju$modi. Rotæ illi quæ $erratos dentes habet, penduloque proxima e$t, pondus exiguum ex catenula affa- bre con$tructa appendimus, quo $ola ip$a moveretur, reli- qua omni machina nihil aliud agente quam ut $ingulis $emi- $crupulis horariis plumbum illud exiguum ad priorem alti- tudinem re$titueret; eadem fere ratione atque in con$tructio- ne horologii $uperius expo$ita videre e$t, ubi pondus al- tero fune attollitur, dum altero gravitatem $uam horolo- gii motui impertit. Quibus ita con$tructis, cum veluti ad unicam rotam omnia e$$ent redacta, major adhuc quam an- tea apparuit horologiorum æqualitas, illudque accidit me- moratu dignum, quod cum duo ad hanc formam con$tructa ex eodem tigno $u$pendi$$emus, tignum vero fulcris duobus impo$itum e$$et; motus penduli utriu$que ita ictibus adver- $is inter $e con$en$ere, ut nunquam inde vel minimum rece- derent, $ed utriu$que $onus una $emper exaudiretur: imo $i data opera perturbaretur concordia illa, $emetip$am brevi tempore reduceret. Miratus aliquandiu rem adeo in$olitam, inveni denique, in$tituto diligenti examine, à motu ti- gni ip$ius, licet haudquaquam $en$ibili, cau$am petendam e$$e. Nempe pendulorum reciprocationes horologiis, quanto- libet pondere gravatis, motum aliquem communicare; hunc vero motum, tigno ip$i impre$$um, nece$$ario efficere ut $i aliter quam contrariis ad unguem ictibus pendulum u- [0080]CHRISTIANI HUGENII trumque moveatur, eo tamen nece$$ario tandem deveniant, DESCRI- PTIO HO- ROLOGII. ac tum demum tigni motum penitus interquie$cere. Quæ ta- men cau$a non $atis efficaciæ haberet, ni$i & horologiorum motus aliunde æquabili$$imus foret atque inter $e con$en- tiens.

Cæterum experimentis in Oceani navigatione habitis, ac præ$ertim procella vehementiore aquas agitante, compertum fuit primam ac præcipuam curam de motu horologiorum ab$que interruptione con$ervando habendam e$$e, quod jacta- tionem navis tantam ægrè tunc perferre illa animadver$um $it. Quamobrem nova denique ratione & penduli formam immuta- vimus, & aliter horologia ip$a $u$pendimus. Pendulum trian- guli formam habet, in cujus vertice deor$um $pectante plum- bea lens affixa e$t. Anguli utrique reliqui filis inter laminas cycloidales $u$pen$i $unt. Ba$is clavulam bifurcatam puncto $ui medio recipit ab eaque movetur, illa vero ab rota $erra- ta horizonti parallela motum accipit. Motus rotarum omni- um non à pondere $ed à chalybea lamina, tympano inclu$a, principium habet. In figura adjecta pendulum triangulare e$t TAB. IV. Fig. 1. A B C; lens plumbea B; laminæ cycloidales E D, F G. Clavula bifurcata H K; rota $erratis dentibus N, quæ cæ- teris horologii rotis inferior e$t. Lenticulæ ad temperandum penduli motum L L.

TAB. IV. Fig. 2.

Su$pen$ionis modum altera hæc figura exhibet; ubi theca A B axibus primum duobus, quorum alter C tantum appa- ret, rectangulo ferreo D E in$erta e$t; quod deinde rectan- gulum rur$us axibus $uis F G ferreo gnomone F H K G $u$tinetur, qui contignationi navis immobiliter affixus e$t. in ima theca pondus 50 librarum appen$um e$t. Quibus ita $e habentibus, quacunque navis inclinatione perpendicularem po$itum $ervat horologium. Axis autem C, cum $ibi oppo- $ito, ita collocati $unt, ut ad rectam lineam re$pondeant punctis $u$pen$ionum penduli ejus quod diximus: quo fit ut motus ip$ius o$cillatorius machinam nequaquam commovere po$$it, quo nihil e$t alioqui quod magis penduli motum de- $truat. Porro axium C C, & F G cra$$itudo, quæ polli- [0081]HOROLOG. OSCILLATOR. cem æquat, gravita$que plumbi inferius appen$i, nimiam DESCRI- PTIO HO- ROLOGII. movendi libertatem horologio adimunt, faciuntque ut $i for- te $uccu$$u navis graviore commotum fuerit, continuo ad quietem perpendiculumque $uum revertatur.

Et hæc quidem ita adaptata machina ut in mare deduca- tur experientiæque committatur $upere$t, quæ & certam pe- ne $ucce$$us $pem præbet, quod iis quæ hactenus in$tituere licuit experimentis, multo melius quam priores illæ omnem motus diver$itatem perferre reperta $it.

HOROLOGII OSCILLATORII PARS SECUNDA. De de$cen$u Gravium & motu eorum in Cycloide. HYPOTHESES. I.

_S_I gravitas non e$$et, neque aër motui corporum officeret, unumquodque eorum, acceptum $e- mel motum continuaturum velocitate æquabili, $e- cundum lineam rectam.

II.

Nunc vero fieri gravitatis actione, undecunque illa oriatur, ut moveantur motu compo$ito, ex æ- quabili quem habent in hanc vel illam partem, & ex motu deor$um à gravitate profecto.

III.

Et horum utrumque $eor$im con$iderari po$$e, neque alterum ab altero impediri.

[0082]CHRISTIANI HUGENII

Ponatur grave C è quiete dimi$$um, certo tempore, DE DE- SCENSU GRAVIUM. TAB. IV. Fig. 3. quod dicatur F, vi gravitatis tran$ire $patium C B. Ac rur$us intelligatur idem grave accepi$$e alicunde motum quo, $i nulla e$$et gravitas, transiret pari tempore F motu æqua- bili lineam rectam C D. Accedente ergo vi gravitatis non perveniet grave ex C in D, dicto tempore F, $ed ad pun- ctum aliquod E, recta $ub D $itum, ita ut $patium D E $emper æquetur $patio C B, ita enim, & motus æquabilis, & is qui à gravitate oritur $uas partes peragent, altero alte- rum non impediente. Quamnam vero lineam, compo$ito il- lo motu, grave percurrat, cum motus æquabilis non recta $ur$um aut deor$um $ed in obliquum tendit, è $equentibus definiri poterit. Cum vero deor$um in perpendiculari con- tingit motus æquabilis C D, apparet lineam C D, acce- dente motu ex gravitate, augeri recta D E. Item, cum $ur- $um tendit motus æquabilis C D, ip$am C D diminui recta D E, ut nempe, peracto tempore F, grave inveniatur $emper in puncto E. Quod $i, utroque hoc ca$u, $eor$im, uti diximus, duos motus con$ideremus, alterumque ab al- tero nullo modo impediri cogitemus, hinc jam acceleratio- nis gravium cadentium cau$am legesque reperire licebit. Et primum quidem duo i$ta $imul o$tendemus.

PROPOSITIO I.

_Æ_Qualibus temporibus æquales celeritatis par- tes gravi cadenti accre$cere, & $patia æqua- libus temporibus ab initio de$cen$us emen$a, augeri continue æquali exce$$u.

Ponatur grave aliquod, ex quiete in A, primo tempore TAB. V. Fig. 1. lap$um e$$e per $patium A B, atque ubi pervenit in B, ac- qui$ivi$$e celeritatem qua deinceps, tempore $ecundo, mo- tu æquabili, percurrere po$$et $patium quoddam B D. Sci- mus ergo $patium $ecundo tempore peragendum majus fore $patio B D, quia vel ce$$ante in B omni gravitatis actione [0083] [0083a] Pag. 52. TAB. IV. Fig. 1. N H G E F D C A K L L B Fig. 2. A B E F D C L Fig. 3. D D D E E E D E C D B E D E D D D E E E [0084] [0085]HOROLOG. OSCILLATOR. $patium B D percurreretur. Feretur vero motu compo$ito DE DE- SCENSU GRAVIUM. ex æquabili quo percur$urum e$$et $patium B D, & ex mo- tu gravium cadentium, quo deprimi nece$$e e$t per $patium ip$i A B æquale. Quare ad B D addita D E, æquali A B, $cimus tempore $ecundo grave perventurum ad E.

Quod $i vero inquiramus quam velocitatem habeat in E, in fine $ecundi temporis, eam inveniemus duplam e$$e debe- re velocitatis quam habebat in B fine temporis primi. Dixi- mus enim moveri compo$ito motu ex æquabili cum celerita- te acqui$ita in B, & ex motu à gravitate producto, qui cum tempore $ecundo idem plane $it ac primo, ideo decur- $u temporis $ecundi æqualem celeritatem gravi contuli$$e debet atque in fine primi. Quare cum acqui$itam in fine pri- mi temporis celeritatem con$ervaverit integram, apparet in fine $ecundi temporis bis eam celeritatem ine$$e quam acqui- $iverat in fine temporis primi, $ive duplam.

Quod $i jam, po$tquam pervenit in E, pergeret deinceps tantum moveri celeritate æquabili, quantam illic acqui$ivit, apparet tempore tertio, prioribus æquali, percur$urum $pa- tium E F, quod duplum futurum $it $patii B D; quia hoc percurri diximus dimidia hujus celeritatis, motu æquabili, & temporis parte æquali. Accedente autem rur$us gravitatis actione, percurret tempore tertio, præter $patium E F, etiam $patium F G, ip$i A B vel D E æquale. Itaque in fine tertii temporis grave invenietur in G. Velocitatem vero hîc habebit triplam jam ejus quam habebat in B, in fine pri- mi temporis: quia præter celeritatem acqui$itam in E, quam diximus duplam e$$e acqui$itæ in B, vis gravitatis, tempo- ris tertii decur$u, æqualem rur$us atque in fine primi cele- ritatem contulit. Quamobrem utraque celeritas, in fine tem- poris tertii, triplam celeritatem con$tituet ejus quæ fuerat in fine temporis primi.

Eodem modo o$tendetur tempore quarto peragi debere & $patium G H triplum $patii B D, & $patium H K ip$i A B æquale: velocitatemque in K, in fine quarti temporis, fo- re quadruplam ejus quæ fuerat in B, in fine temporis primi. [0086]CHRISTIANI HUGENII Atque ita $patia quotlibet deinceps con$iderata, quæ æqua- DE DE- SCENSU GRAVIUM. libus temporibus peracta fuerint, æquali exce$$u, qui ip$i B D æqualis $it, cre$cere manife$tum e$t; $imulque etiam velocitates per æqualia tempora æqualiter augeri.

PROPOSITIO II.

_S_Patium peractum certo tempore à gravi, è quie- te ca$um inchoante, dimidium e$t ejus $patii quod pari tempore transiret motu æquabili, cum velocitate quam acqui$ivit ultimo ca$us momento.

Ponantur quæ in propo$itione præcedenti, ubi quidem TAB. V. Fig. 1. A B erat $patium certo tempore, à gravi cadente ex A, per- actum. B D vero $patium quod pari tempore transiri intel- ligebatur celeritate æquabili, quanta acqui$ita erat in fine primi temporis, $eu in fine $patii A B. Dico itaque $patium B D duplum e$$e ad A B.

Quum enim $patia primis quatuor æqualibus temporibus à cadente transmi$$a $int A B, B E, E G, G H, quorum inter $e certa quædam e$t proportio: $i eorum temporum du- pla tempora $umamus, ut nempe pro primo tempore jam accipiantur duo illa quibus $patia A B, B E, peracta fue- re; pro $ecundo vero tempore duo reliqua quibus peracta fuere $patia E G, G K, oportet jam $patia A E, E K, quæ $unt æqualibus temporibus à quiete peracta, inter $e e$$e $icut $patia A B, B E, quæ æqualibus item tempori- bus à quiete percurrebantur.

Quum igitur $it ut A B ad B E, ita A E ad E K; & convertendo, ut E B $ive D A ad A B ita K E ad E A: erit quoque, dividendo, D B ad B A ut exce$$us K E $u- pra E A ad E A. Quum $it autem, ex o$ten$is propo$itione præcedenti, K E æqualis tum duplæ A B, tum quintuplæ B D: E A vero æqualis tum duplæ A B, tum $implici B D; apparet dictum exce$$um K E $upra E A æquari quadruplæ [0087]HOROLOG. OSCILLATOR. B D. Sicut igitur D B ad B A ita erit quadrupla D B ad DE DE- SCENSU GRAVIUM. E A: unde E A quadrupla erit ip$ius B A: eadem vero E A æquatur, uti diximus, & duplæ A B & $implici B D. er- go B D duplæ A B æqualis erit; quod erat demon$tran- dum.

PROPOSITIO III.

_S_Patia duo, à gravi cadente quibuslibet tempo- ribus transmi$$a, quorum utrumque ab initio de$cen$us accipiatur, $unt inter $e in ratione du- plicata eorundem temporum, $ive ut temporum qua- drata, $ive etiam ut quadrata celeritatum in fine cujusque temporis acqui$itarum.

Quum enim o$ten$um $it propo$itione antecedenti $pa- TAB. V. Fig. 1. tia A B, B E, E G, G K, quotcunque fuerint, æqualibus temporibus à cadente, peracta, cre$cere æquali exce$$u, qui exce$$us $it ip$i B D æqualis: Patet nunc, quoniam B D e$t dupla A B, $patium B E fore triplum A B; E G quintu- plum eju$dem A B; G K $eptuplum; aliaque deinceps au- ctum iri $ecundum progre$$ionem numerorum imparium ab unitate, 1, 3, 5, 7, 9, &c. cumque quotlibet horum nu- merorum, $e$e con$equentium, $umma faciat quadratum, cujus latus e$t ip$a ad$umptorum numerorum multitudo (ve- lut $i tres primi addantur, facient novem, $i quatuor $exde- cim) $equitur hinc $patia, à gravi cadente tran$mi$$a, quo- rum utrumque à principio ca$us inchoetur, e$$e inter $e in ratione duplicata temporum quibus ca$us duravit, $i nempe tempora commen$urabilia $umantur.

Facile autem & ad tempora incommen$urabilia demon$tra- TAB. V. Fig. 2. tio extendetur. Sint enim tempora huju$modi, quorum inter $e ratio ea quæ linearum A B, C D. $patiaque temporibus his tran$mi$$a $int E, & F, utraque nimirum ab initio de- $cen$us ad$umpta. Dico e$$e, ut quadratum A B ad quadra- tum C D, ita $patium E ad F.

[0088]CHRISTIANI HUGENII

Si enim negetur; habeat primo, $i pote$t, $patium E ad F DE DE- SCENSU GRAVIUM. majorem rationem quam quadratum A B ad quadratum C D, nempe eam quam quadratum A B ad quadratum C G, $umta C G minore quam C D, & à C D auferatur pars D H, minor quam D G exce$$us C D $upra C G, atque ita ut reliqua H C commen$urabilis $it ip$i A B; hoc enim fieri po$$e con$tat. Erit ergo C H major quam C G. Atqui ut quadratum temporis A B ad quadratum tem- poris C H, ita $patium E, quod tempore A B peractum e$t, ad $patium peractum tempore C H, per $uperiùs o$ten- $a. Hoc vero $patio majus e$t illud quod tempore C D per- curritur, nempe $patium F. ergo $patii E ad $patium F mi- nor e$t ratio quam quadrati A B ad quadratum C H. Sicut autem $patium E ad F, ita ponebatur e$$e quadratum A B ad quadratum C G; ergo minor quoque erit ratio quadrati A B ad quadratum C G, quam quadrati A B ad quadra- tum C H, ac proinde quadratum C G majus quadrato C H; quod e$t ab$urdum, quum C H major dicta $it quam C G. Non habet igitur $patium E ad F majorem rationem quam quadratum A B ad quadratum C D.

Habeat jam, $i pote$t, minorem; $itque ratio $patii E ad F eadem quæ quadrati A B ad quadratum C L, $umptâ C L majore quam C D, & à C L auferatur L K minor ex- ce$$u L D, quo C D $uperatur à C L, atque ita ut reliqua K C $it commen$urabilis A B. Quia ergo ut qua- dratum temporis A B ad quadratum temporis C K, ita e$t $patium E, peractum tempore A B, ad $patium peractum tempore C K. Hoc vero $patio minus e$t $patium peractum tempore C D, nempe $patium F. erit proinde $patii E ad F major ratio quam quadrati A B ad quadratum C K. Sic- ut autem $patium E ad F, ita ponebatur e$$e quadratum A B ad quadratum C L. Ergo major erit ratio quadrati A B ad quadratum C L quam eju$dem quadrati A B ad quadra- tum C K, ideoque quadratum C L minus erit quam qu. C K. quod e$t ab$urdum, quum C L major $it quam C K. Ergo neque minorem rationem habet $patium E ad F quam [0089]HOROLOG. OSCILLATOR. quadratum A B ad quadratum C D. quare nece$$e e$t ut DE DE- SCENSU @RAVIUM. eandem habeat. Porro cum celeritates in fine temporum A B, C D acqui$itæ $int inter $e $icut ip$amet tempora; apparet rationem $patiorum E ad F eandem quoque e$$e quæ qua- dratorum temporum A B, C D, quibus transmi$$a $unt. Itaque con$tat propo$itum.

PROPOSITIO IV.

_S_I grave celeritate ea quam in fine de$cen$us ac- qui$ivit $ur$um tendere cœperit, fiet ut paribus temporis partibus, $patia quæ prius $ur$um, ea- dem deor$um transeat, adeoque ad eandem unde de$cenderat altitudinem a$cendat. Item ut æquali- bus temporis partibus æqualia amittat celeritatis momenta.

TAB. V. Fig. 1.

Sunto enim ut in propo$itione 2, $patia quotlibet, æqua- libus temporis partibus cadendo è quiete peracta, quorum primum A B; $ecundum compo$itum ex B D, quod celeri- tate æquabili acqui$ita per A B tran$eundum erat, & ex D E ip$i A B æquali; tertium compo$itum, ex E F, duplo ip$ius B D, & ex F G, eidem A B æquali; quartum com- po$itum ex G H, triplo ip$ius B D, & ex H K ip$i itidem A B æquali, atque eadem ratione porro cre$centia, $i plu- ra fuerint. Dico totidem æqualibus temporibus eadem $patia K G, G E, E B, B A, $ingula $ingulis peragenda e$$e à gravi $ur$um tendente, atque incipiente cum celeritate in fine de$cen$us K acqui$ita.

Brevitatis autem gratia celeritas quæque de$ignetur de- inceps longitudine $patii quod grave motu æquabili, cum celeritate illa, atque temporis parte una, quales in de$cen- $u con$ideravimus, tran$mi$$urum e$$et.

Itaque ex o$ten$is dicta propo$itione, cum in K grave pervenerit, habet celeritatem G H auctam celeritate B D, [0090]CHRISTIANI HUGENII hoc e$t celeritatem K F, quia K F æquatur ip$is H G, B D, DE DE- SCENSU GRAVIUM. $unt enim partes $ingulæ H K, F G, æquales ip$i A B, ac proinde utraque $imul ip$i B D, quam e$$e duplam A B o$tendimus propo$itione 2. Itaque celeritatem in fine de$cen$us K acqui$itam $ur$um convertendo, $i grave æqua- bili motu ferretur, conficeret una temporis parte $patium K F. Atqui, gravitatis actione accedente, diminuetur a$cen$us K F $patio F G ip$i A B æquali, ut patet ex di- ctis ad hypothe$in initio $umptam. Ergo parte prima tempo- ris a$cendet grave tantum per K G, quo eodem $patio parte temporis novi$$ima de$cenderat. Simul vero & celeritati tan- tum dece$$i$$e nece$$e e$t, quantum acquiritur temporis parte una deor$um cadendo, hoc e$t celeritatem B D. Itaque gra- ve, ubi ad G a$cenderit, habet celeritatem reliquam H G, cum initio a$cen$us habuerit celeritatem H G una cum cele- ritate B D. E$t autem ip$i H G æqualis G D; quum æque- tur ip$i F E una cum D B, hoc e$t una cum dupla A B, hoc e$t una cum duabus F G & E D; Ergo $i ex G, cum celeritate æquabili, quantam illic habet, $ur$um pergeret, conficeret una parte temporis $patium G D. Accedente au- tem gravitatis actione, diminuetur a$cen$us i$te $patio D E, ip$i A B æquali. Ergo, hac $ecunda parte temporis, a$cendet per $patium G E, quod $imili temporis parte etiam cadendo tran$ierat. Simul autem celeritati tantum dece$$i$$e denuo de- bet quantum temporis parte una ex ca$u acquiritur, nempe celeritas B D. Itaque ubi u$que ad E a$cenderit, habet dun- taxat celeritatem F E, quæ nimirum relinquitur quum à celeritate G D aufertur celeritas B D. Nam B D, ut jam diximus, æqualis e$t duabus D E, F G.

E$t autem ip$i F E æqualis E A, quum F E æquetur ip$i B D bis $umptæ, hoc e$t ip$i B D una cum dupla A B, hoc e$t una cum duabus A B, D E. Ergo $i ex E cum ce- leritate æquabili, quantam illic habet, $ur$um pergeret, con- fecturum e$$et una temporis parte $patium E A. Sed acce- dente actione gravitatis, diminuetur a$cen$us i$te ip$o $patio A B. Proinde hac parte temporis per $patium E B tantum [0091]HOROLOG. OSCILLATOR. a$cendet, quod $imili parte temporis de$cendendo quoque DE DE- SCENSU GRAVIUM. tran$ierat. Hic vero rur$us celeritati tantum dece$$i$$e nece$$e e$t quantum una temporis parte cadendo deor$um acquiritur, hoc e$t celeritatem B D. Itaque grave, ubi u$que ad B a- $cenderit, habet celeritatem ip$am B D reliquam, cum in E habuerit celeritatem F E ip$ius B D duplam. Si ergo ex B cum celeritate æquabili, quantam illic habet, $ur$um per- geret, confecturum e$$et parte una temporis $patium æquale ip$i D B, hoc e$t duplum A B. Sed accedente gravitatis actione, diminuitur a$cen$us i$te $patio quod ip$i A B æqua- le $it. Igitur hac parte temporis a$cendet tantummodo per $patium B A, quod etiam primo de$cen$us tempore trans- ierat. Atque in fine quidem extremi temporis hujus nece$$a- rio grave in A puncto reperietur. Sed dicetur for$an altius a$cendi$$e quam ad A, atque inde eo relap$um e$$e. At hoc ab$urdum e$$et, cum non po$$it, notu à gravitate profecto, al- tius quam unde decidit a$cendere. Porro quum celeritati quam in B habebat rur$us dece$$erit celeritas B D, patet jam gra- vi in A con$tituto nullam celeritatem $upere$$e, ac proinde non altius excur$urum. Itaque o$ten$um e$t ad eandem unde decidit altitudinem perveni$$e, & $ingula $patia, quæ æqua- libus de$cen$us temporibus tran$mi$erat, eadem totidem a- $cen$us temporibus remen$um e$$e: $ed & æqualibus tempo- ribus æqualia ip$i dece$$i$$e celeritatis momenta apparuit. Ergo con$tat propo$itum.

Quia vero in demon$tratione propo$itionis $ecundæ, ex qua pendet præcedens, ad$umptum fuit certam quandam e$- $e proportionem $patiorum quæ continuis æqualibus tempo- ribus à gravi cadente transeuntur, quæque eadem $it, quæ- cunque æqualia tempora accipiantur; quod quidem & ex rei natura ita $e habere nece$$e e$t, & $i negetur, fatendum fru$tra proportionem i$torum $patiorum inve$tigari. Tamen, quia propo$itum etiam absque hoc demon$trari pote$t, Ga- lilei methodum $equendo, operæ pretium erit demon$tra- tionem, ab illo minus perfecte traditam, hic accuratius con$cribere. itaque rur$um hic demon$trabimus.

[0092]CHRISTIANI HUGENII PROPOSITIO V. DE DE- SOENSU GRAVIUM.

_S_Patium peractum certo tempore, à gravi è quie- te ca$um inchoante, dimidium e$$e ejus $patii quod pari tempore transiret motu æquabili, cum celeritate quam acqui$ivit ultimo ca$us momento.

Sit tempus de$cen$us totius A H, quo tempore mobile TAB. V. Fig. 3. peregerit $patium quoddam cujus quantitas de$ignetur plano P. ductaque H L perpendiculari ad A H, longitudinis cujus- libet, referat illa celeritatem in fine ca$us acqui$itam. Dein- de completo rectangulo A H L M, intelligatur eo notari quantitas $patii quod percurreretur tempore A H, cum ce- leritate H L. O$tendendum e$t igitur planum P dimidium e$$e rectanguli M H, hoc e$t, ducta diagonali A L, æqua- le triangulo A H L.

Si planum P non e$t æquale triangulo A H L, ergo aut minus eo erit, aut majus. Sit primo, $i fieri pote$t, pla- num P minus triangulo A H L. dividatur autem A H in tot partes æquales A C, C E, E G &c. ut, circum$criptâ tri- angulo A H L figurâ è rectangulis quorum altitudo $ingulis divi$ionum ip$ius A H partibus æquetur, ut $unt rectangula B C, D E, F G, alterâque eidem triangulo in$criptâ, ex rectangulis ejusdem altitudinis, ut $unt K E, O G &c. ut, inquam, exce$$us illius figuræ $upra hanc, minor $it exce$- $u trianguli A H L $upra planum P. hoc enim fieri po$$e per$picuum e$t, cum totus exce$$us figuræ circum$criptæ $u- per in$criptam æquetur rectangulo infimo, ba$in habenti H L. Erit itaque omnino exce$$us ip$ius trianguli A H L $upra figuram in$criptam minor quam $upra planum P, ac proin- de figura triangulo in$cripta major plano P. Porro autem, quum recta A H tempus totius de$cen$us referat, ejus par- tes æquales A C, C E, E G, æquales temporis illius par- tes referent. Cumque celeritates mobilis cadentis cre$cant Prop. I. huj. eadem proportione qua tempora de$cen$us ; $itque celeritas [0093]HOROLOG. OSCILLATOR. in fine totius temporis acqui$ita H L; erit ea, quæ in fine DE DE- SCEN U GRAVIUM. primæ partis temporis A C acquiretur, C K; quia ut A H ad A C, ita H L ad C K. Similiter quæ in fine partis tem- poris $ecundæ C E acquiritur, erit E O, atque ita dein- ceps. Patet autem, tempore primo A C, $patium aliquod à mobili transmi$$um e$$e, quod majus $it nihilo; tempore ve- ro $ecundo C E transmi$$um e$$e $patium quod majus $it quam K E, quia $patium K E transmi$$um fui$$et tempore C E, motu æquabili, cum celeritate C K. habent enim $pa- tia, motu æquabili transacta, rationem compo$itam ex ra- tione temporum, & ratione velocitatum, ideoque cum tem- pore A H, celeritate æquabili H L percurri po$uerimus $pa- tium M H, $equitur tempore C E, cum celeritate C K, percurri $patium K E, quum ratio rectanguli M H ad re- ctangulum K E componatur ex rationibus A H ad C E, & H L ad C K.

Quum ergo, ut dixi, $patium K E $it illud quod trans- mitteretur tempore C E, cum celeritate æquabili C K, mo- bile autem feratur tempore C E motu accelerato, qui jam principio hujus temporis habet celeritatem C K; manife$tum e$t i$to accelerato motu, tempore C E, majus $patium quam K E confecturum. Eadem ratione, tempore tertio E G, ma- jus $patium conficiet quam O G, quia nempe hoc confectu- rum e$$et tempore eodem E G, cum celeritate æquabili E O. Atque ita deinceps, $ingulis temporis A H partibus, à mo- bili majora $patia quam $unt rectangula figuræ in$criptæ, ip$is partibus adjacentia, peragentur. Quare totum $patium motu accelerato peractum majus erit ip$a figura in$cripta. Spatium vero illud æquale po$itum fuit plano P. Itaque fi- gura in$cripta minor erit $patio P. quod e$t ab$urdum; eo- dem enim $patio major o$ten$a fuit. Non e$t igitur planum P minus triangulo A H L. At neque majus e$$e o$tendetur.

Sit enim, $i pote$t; & dividatur A H in partes æquales, atque ad earum altitudinem, in$cripta circum$criptaque rur- $us, ut ante, $it triangulo A H L figura ex rectangulis, ita ut altera alteram excedat minori exce$$u quam quo planum [0094]CHRISTIANI HUGENII P $uperat triangulum A H L, erit igitur nece$$ario figura DE DE- SCENSU GRAVIUM. circum$cripta minor plano P. Con$tat jam, prima temporis parte A C, minus $patium à mobili transmitti quam $it B C, quia hoc percurreretur eodem tempore A C cum celeritate æquabili C K, quam demum in fine temporis A C mobile adeptum e$t. Similiter $ecunda parte temporis C E, minus $patium motu accelerato transmittetur quam $it D E, quia hoc percurreretur eodem tempore C E, cum celeritate æ- quabili E O, quam demum in fine temporis C E mobile a$- $equitur. Atque ita deinceps, $ingulis partibus temporis A H, minora $patia à mobili trajicientur quam $unt rectan- gula figuræ circum$criptæ, ip$is partibus adjacentia. Quare totum $patium motu accelerato peractum, minus erit ip$a fi- gura circum$cripta. Spatium vero illud æquale po$itum fuit plano P; ergo planum P minus quoque erit figura circum- $cripta. quod e$t ab$urdum, cum figura hæc plano P minor o$ten$a fuerit. Ergo planum P non majus e$t triangulo A H L, $ed nec minus e$$e jam o$ten$um fuit. Ergo æquale $it nece$- $e e$t; quod erat demon$trandum.

Et hæc quidem omnia quæ hactenus demon$trata $unt, gravibus per plana inclinata de$cendentibus atque a$cenden- tibus æque ac perpendiculariter motis convenire $ciendum e$t: cum, quæ de effectu gravitatis po$ita fuerunt, eadem ratione utrobique $int admittenda.

Hinc vero non difficile jam erit demon$trare propo$itionem $equentem quam concedi $ibi, ut quodammodo per $e ma- nife$tam, Galileus po$tulavit. nam demon$tratio illa quam po$tea adferre conatus e$t, quæque in po$teriori operum ejus editione extat, parum firma meo quidem judicio vide- tur. E$t autem propo$itio hujusmodi.

PROPOSITIO VI.

_C_Eleritates gravium, $uper diver$is planorum inclinationibus de$cendendo acqui$itæ, æquales $unt, $i planorum elevationes fuerint æquales.

[0095]HOROLOG. OSCILLATOR.

Elevationem plani vocamus altitudinem ejus $ecundum DE DE- SCENSU GRAVIUM. perpendiculum. TAB. V. Fig. 4.

Sunto itaque plana inclinata, quorum $ectiones factæ pla- no ad horizontem erecto, A B, C B; quorumque eleva- tiones A E, C D $int æquales; & cadat grave ex A per planum A B, & rur$us ex C per planum C B. dico utro- que ca$u eundem gradum velocitatis in puncto B acqui$itu- rum.

Si enim per C B cadens minorem velocitatem acquirere dicatur quam cadens per A B, habeat ergo, per C B ca- dens, eam duntaxat quam per F B acquireret, po$ita nimi- rum F B minore quam A B. Acquiret autem per C B ca- dens eam velocitatem qua rur$us per totam B C po$$it a$cen- dere . Ergo & per F B acquiret eam velocitatem qua po$- Prop. 4. huj. $it a$cendere per totam B C. Ideoque cadens ex F in B, $i continuet porro motum per B C; quod repercu$$u ad $u- perficiem obliquam fieri pote$t; a$cendet usque in C, hoc e$t, altius quam unde decidit, quod e$t ab$urdum.

Eodem modo o$tendetur neque per planum A B deciden- ti minorem velocitatem acquiri quam per C B. Ergo per utraque plana eadem velocitas acquiritur, quod erat demon- $trandum.

Quod $i vero, pro plano alterutro, $umatur perpendicu- lum ip$um planorum elevationi æquale, per quod decidere mobile ponatur, $ic quoque eandem quam per plana incli- nata velocitatem ei acquiri con$tat; eadem namque e$t de- mon$tratio.

Porro hinc jam recte quoque procedet demon$tratio alte- rius theorematis Galileani, cui reliqua omnia, quæ de de- $cen$u $uper planis inclinatis tradidit, $uper$truuntur. Nempe

PROPOSITIO VII.

TEmpora de$cen$uum $uper planis diver$imode inclinatis, $ed quorum eadem e$t elevatio, e$$e inter $e ut planorum longitudines.

[0096]CHRISTIANI HUGENII

Sint plana inclinata A C, A D quorum eadem elevatio DE DE- SCENSU GRAVIUM. A B. d<007>co tempus de$cen$us per planum A C ad tempus TAB. V. Fig. 5. de$cen$us per A D e$$e ut longitudo A C ad A D. E$t enim tempus per A C æquale tempori motus æquabilis per ean- dem A C, cum celeritate dimidia ejus quæ acquiritur ca$u per A C . Similiter tempus per A D e$t æquale tempori Prop. 1. huj. motus æquabilis per ip$am A D, cum dimidia celeritate ejus quæ acquiritur ca$u per A D. E$t autem hæc dimidia celeri- tas illi dimidiæ celerirati æqualis , ideoque dictum tempus Prop. præced. motus æquabilis per A C, ad tempus motus æquabilis per A D, erit ut A C ad A D. Ergo & tempora $ingulis i$tis æqualia, nimirum tempus de$cen$us per A C, ad tempus de$cen$us per A D, eandem rationem habebunt, nempe quam A C ad A D. quod erat demon$trandum.

Eodem modo o$tendetur & tempus de$cen$us per A C, ad tempus ca$us per A B perpendicularem, e$$e ut A C ad A B longitudine.

PROPOSITIO VIII.

SI ex altitudine eadem de$cendat mobile conti- nuato motu per quotlibet ac quælibet plana con- tigua, utcunque inclinata; $emper eandem in fine velocitatem acquiret, quæ nimirum æqualis erit ei quam acquireret cadendo perpendiculariter ex pa- ri altitudine.

Sint plana contigua A B, B C, C D, quorum terminus TAB VI. Fig. 1. A, $upra horizontalem lineam D F per infimum terminum D ductam, altitudinem habeat quanta e$t perpendicularis E F. de$cendatque mobile per plana illa ab A u$que in D. Di- co in D eam velocitatem habiturum quam, ex E cadens, ha- beret in F.

Producta enim C B occurrat rectæ A E in G. Itemque D C producta occurrat eidem A E in E. Quoniam itaque [0097] [0097a] Pag. 64. TAB. V. Fig. 1. A B D E F G H K Fig. 2. C A G H B D K L E F Fig. 3. A B M C K D E O F G P H L Fig. 4. A C F E B D Fig. 5. A C D B [0098] [0099]HOROLOG. OSCILLATOR. per A B de$cendens eandem acquirit velocitatem in termi- DE DE- SCENSU GRAVIUM. no B, atque de$cendens per G B ; manife$tum e$t, cum Prop. 6. huj. flexus ad B nihil ob$tare motui ponatur, tantam velocitatem bahiturum ubi in C pervenerit, quantam $i per G C planum de$cendi$$et; hoc e$t, quantam haberet ex de$cen$u per E C. Quare & reliquum planum C D eodem modo tran$ibit ac $i per E C adveni$$et, ac proinde in D denique parem veloci- tatem habebit, ac $i de$cendi$$et per planum E D, hoc e$t, eandem quam ex ca$u perpendiculari per E F. quod erat demon$trandum.

Hinc liquet etiam per circuli circumferentiam, vel per cur- vam quamlibet lineam de$cendente mobili (nam curvas tan- quam ex infinitis rectis compo$itæ e$$ent hic con$iderare li- cet) $emper eandem illi velocitatem acquiri $i ab æquali al- titudine de$cenderit: tantamque eam e$$e velocitatem, quan- tam ca$u perpendiculari ex eadem altitudine adipi$ceretur.

PROPOSITIO IX.

SI grave, à de$cen$u, $ur$um convertat motum $uum, a$cendet ad eandem unde venit altitudi- nem, per quascunque planas $uper$icies contiguas, & quomodocunque inclinatas, ince$$erit.

Cadat grave ex altitudine A B, & ex puncto B inclinata TAB. VI. Fig. 2. $int $ur$um plana B C, C D, D E, quorum extremitas E $it eadem altitudine cum puncto A. Dico $i mobile, po$t ca- $um per A B, convertat motum ut pergat moveri per dicta plana inclinata, perventutum u$que in E.

Dicatur enim, $i fieri pote$t, tantum ad G perventurum. Producantur B C & C D, donec occurrant horizontali G F in F & H. Cum igitur mobile, $uperatis planis B C, C D, habeat tantum eam velocitatem quâ po$$it a$cendere per D G, vel per D H; nam ad hæc utraque eadem velocitate opus e$$e con$tat ex propo$itione 6; Ergo, $uperato plano B C, eam duntaxat habebat qua potui$$et a$cendere per C H, [0100]CHRISTIANI HUGENII vel per C F. Ergo in B duntaxat eam qua potui$$et a$cen- DE DE- SCENSU GRAVIUM. dere per B F, hoc e$t, eandem quam acquireret de$cendendo per F B. Atqui in B habet velocitatem qua pote$t a$cende- re u$que in A. Ergo illa velocitate quam acquirit grave de- $cendendo per F B, po$$et a$cendere per B A, hoc e$t, al- tius quam unde di$ce$$erat, quod fieri non pote$t.

E$t autem eadem pror$us demon$tratio quotcunque plana fuerint per quæ mobile a$cendat. Unde & $i infinita fuerit planorum multitudo, hoc e$t, $i $uperficies aliqua curva ponatur, per hanc quoque ad eam ex qua venit altitudinem mobile a$$urget.

PROPOSITIO X.

_S_I mobile cadat perpendiculariter, vel per quam- libet $uperficiem de$cendat, ac rur$us impetu concepto per quamlibet aliam feratur $ur$um, ha- bebit a$cendendo ac de$cendendo in punctis æque al- tis eandem $emper velocitatem.

Ut $i mobile ex altitudine A B decidens, motum deinde TAB. IV. Fig. 3. continuet per $uperficiem B C D, in qua punctum C $it pari altitudine atque in A B e$t punctum E. Dico in C ean- dem velocitatem ine$$e mobili atque in E fuerat.

Quum enim in C ea velocitas $uper$it mobili qua porro a$cendat usque ad D punctum, æque altum ac A : cum- Prop. præced. que & ex de$cen$u per A E velocitatem eam acquirat qua, conver$o motu, a$cen$urum $it per C D ; Patet cum per- Prop. præced. venit ad C a$cendendo, eandem ip$um habere velocitatem, quam habebat in E de$cendendo; quod erat demon$tran- dum.

PROPOSITIO XI.

SI mobile per $uperficiem aliquam deor$um ten- dat, ac deinde conver$o motu $ur$um per ean- [0101]HOROLOG. OSCILLATOR. dem $uperficiem vel aliam $imilem $imiliter que po- DE DE- SCENSU GRAVIUM. $itam feratur, æqualibus temporibus per idem $pa- tium de$cendet atque a$cendet.

Velut $i per $uperficiem A B de$cendat mobile, atque, ubi TAB. VI. Fig. 4. ad B pervenerit, conver$o motu $ur$um per eandem A B, vel ei $imilem & re$pectu plani horizontalis $imiliter po$itam B C, a$cendat, con$tat ex ante demon$tratis, perventurum ad eandem ex qua venit altitudinem. Cum autem perpetuo, in punctis quorum eadem altitudo, eandem velocitatem ha- beat a$cendendo ac de$cendendo ; apparet eandem lineam Prop. præced. bis eadem velocitate $ingulis $ui partibus percurri: unde & tempora utriusque motus æqualia e$$e nece$$e e$t; quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO XII.

_E_Sto circulus _A B C_, diametro _A C_, cui ad an- TAB. VI. Fig. 5. gulos rectos $it _F G_; huic vero occurrat à ter- mino diametri _A_ educta _A F_ extra circulum, quæ quidem nece$$ario $ecabit circumferentiam, puta in _B_. Dico arcum _B D_, lineis _G F, A F_ inter- ceptum, minorem e$$e recta _D F_.

Jungatur enim B C, & ducatur ex B puncto tangens cir- cumferentiam recta B E, quæ nece$$ario occurret rectæ F G inter F & D. E$t igitur angulus B A C in circulo æqualis angulo E B C . quare & angulus F B E, qui una cum Prop. 32. Lib. 3. Eucl. E B C con$tituit angulum rectum F B C, erit æqualis B C A. Quia autem $imilia $unt triangula A B C, A G F, erit & angulus F æqualis angulo A C B. Ergo idem angulus F æ- qualis angulo F B E. Itaque i$o$celes e$t triangulus F E B, habens crura æqualia F E, E B. Addita ergo utrique eo- rum recta E D, fiet F D, æqualis duabus B E, E D. Has- ce vero duas majores e$$e con$tat arcu B D, iisdem termi- [0102]CHRISTIANI HUGENII nis intercepto, & in eandem partem cavo. Ergo & F D DE DE- SCENSU GRAVIUM. eodem arcu B D major erit: quare con$tat propo$itum.

PROPOSITIO XIII.

_I_Isdem po$itis, $i recta _A B_ occurrat ip$i _D G_ in- TAB. VI. Fig. 6. tra circulum; Dico arcum _B D_, rectis _G D,_ _A B_ interceptum, majorem e$$e recta _D F_.

Jungatur enim D C & ducatur arcui D B $ubten$a D B. Quoniam ergo angulus A B D æqualis A C D, hoc e$t, angulo A D G; angulus autem D F B major angulo A D F, $ive A D G; erit idem D F B etiam major D B F. Ergo in triangulo D F B latus D B majus latere D F; unde mul- to magis arcus D B $uperabit eandem D F. Quare con$tat propo$itum.

PROPOSITIO XIV.

_S_It cyclois _A B C_ cujus ba$is _A C_ axis _B D_. Quomodo autem generetur ex definitione & de$criptione mechanica $uperius traditis $atis ma- nife$tum arbitror. Et circa axem _B D_, circulus de$criptus $it _B G D_, & à quolibet puncto _E_ in cy- cloide $umpto agatur _E F_ ba$i _A C_ parallela, quæ occurrat axi _B D_ in _F_, $ecetque circumferentiam _B G D_ in _G_, Dico rectam _G E_ arcui _G B_ æqua- lem e$$e.

De$cribatur enim per E punctum circulus L E K ip$i B G D æqualis, quique tangat ba$in cycloidis in K, & du- catur diameter K L. E$t igitur recta A K arcui E K æqua- lis; $ed tota A D æqualis $emicircumferentiæ K E L; ergo K D æqualis arcui E L $ive G B. E$t autem K D $ive N F æqualis E G, quoniam E N æqualis G F, & communis utrique N G. Ergo con$tat & G E æqualem e$$e arcui G B.

[0103] [0103a] Pag. 68. TAB. VI. Fig. 1. A G E B C D F Fig. 2. A E F H G D C B Fig. 3. D A E C B Fig. 4. A C B Fig. 5. A B F E D G C Fig. 6. A D G F B C [0104] [0105]HOROLOG. OSCILLATOR. PROPOSITIO XV. DE DE- SCENSU GRAVIUM.

_D_Ato in Cycloide puncto, rectam per illud du- cere quæ Cycloidem tangat.

Sit cyclois A B C, & punctum in ea datum B, per quod TAB. VII. Fig. 2. tangentem ducere oporteat.

Circa axem cycloidis A D de$cribatur circulus genitor A E D, & ducatur B E parallela ba$i cycloidis, quæ dicto circulo occurrat in E, & jungatur A E, cui denique paral- lela per B agatur H B N. Dico hanc cycloidem in B con- tingere.

Sumatur enim in ea punctum quodlibet, à B diver$um, ac primo ver$us $uperiora velut H, & per H ducantur re- cta ba$i cycloidis parallela, quæ occurrat cycloidi in L, cir- culo A E D in K, rectæ A E in M. Quia ergo K L e$t æqualis arcui K A, recta autem K M minor arcu K E, erit recta M L minor arcu A E, hoc e$t, rectâ E B, $ive M H; unde apparet punctum H e$$e extra cycloidem.

Deinde in recta H N $umatur punctum N inferius B, & per N agatur, ut ante, ba$i parallela, quæ occurrat cycloi- di in Q, circulo A E D in O, rectæ A E productæ in P. Quia ergo O Q, æqualis e$t arcui O A; O P autem major arcu O E; erit P Q minor arcu E A, hoc e$t, rectâ E B, $ive P N. Unde apparet rur$us punctum N e$$e extra cycloi- dem. Cum igitur quodlibet punctum præter B, in recta H B N $umptum, $it extra cycloidem, con$tat illam in puncto B cycloidem contingere; quod erat demon$trandum.

Huic demon$trationi an locum $uum hic relinquerem dubi- tavi, quod non multum ei ab$imilem à clari$$imo Wrennio editam inveniam in libro Walli$ii de Cycloide. Pote$t autem & univer$ali con$tructione propo$itum ab$olvi, quæ non cy- cloidi tantum $ed & aliis curvis, ex cuju$libet figuræ circum- volutione genitis, conveniat; dummodo $it figura in ean- dem partem cava, & ex iis quæ geometricæ vocantur.

Sit enim curva N A B, orta ex circumvolutione figuræ TAB. VII. Fig. 3. [0106]CHRISTIANI HUGENII O L $uper regula L D; de$cribente nempe puncto N, in cir- DE DE- SCENSU GRAVIUM. cumferentia figuræ O L $umpto. Et oporteat ad punctum cur- væ A tangentem ducere. Ducatur recta C A à puncto C, ubi figura regulam tangebat cum punctum de$cribens e$$et in A: quod punctum contactus $emper inveniri pote$t, $iqui- dem eo reducitur problema ut duæ rectæ inter $e parallelæ ducendæ $int, quarum altera tran$eat per punctum de$cri- bens in figuræ ambitu datum, altera figuram tangat, quæ- que inter $e di$tent quantum di$tat punctum datum A ab re- gula L D: dico ip$am C A occurrere curvæ ad angulos rectos, $ive circumferentiam M A F de$criptam centro C radio C A, tangere curvam in puncto A, unde perpendicula- ris ad A C, per punctum A, ducta curvam ibidem continget.

Ducatur enim C B primum ad punctum curvæ B, quod di$tet ultra punctum A ab regula L D, intelligaturque figu- ræ po$itus in B E D, cum punctum de$cribens e$$et in B, contactus regulæ in D. & punctum curvæ quod erat in C, cum punctum de$cribens e$$et in A, hìc jam $ublatum $it in E; & jungantur E C, E B, tangatque figuram in E recta K H, occurrens regulæ in H.

Quia ergo recta C D æqualis e$t curvæ E D; eâdem ve- ro curva major e$t utraque $imul E H, H D; erit E H ma- jor quam C H. Unde angulus E C H major quam C E H, & proinde E C L minor quam C E K. Atqui addendo an- gulum K E B, qui æqualis e$t L C A, ad K E C, fit an- gulus C E B: & auferendo ab E C L angulum L C B, fit E C B. Ergo angulus C E B major omnino angulo E C B. Itaque in triangulo C E B, latus C B majus erit quam E B. $ed E B æquale patet e$$e C A, cum $it idemmet ip$um unà cum figura transpo$itum. Ergo C B etiam major quam C A, hoc e$t, quam C F. unde con$tat punctum B e$$e extra cir- cumferentiam M A F.

Sit rur$us punctum N in curva $umptum inter regulam L D & punctum A. Cumque punctum de$cribens e$$et in N, ponatur $itus figuræ fui$$e in V L, punctumque contactus L, punctum verò quod tangebat prius regulam in C, $it jam [0107]HOROLOG. OSCILLATOR. fublatum in V: & jungantur C N, N V, V C, V L. E- DE DE- SCENSU GRAVIUM. rit ergo V N æqualis C A; imo erit ip$a C A translata in V N. Jam quia recta L C æquatur curvæ L V, ac proin- de major e$t recta L V, erit in triangulo C L V angulus L V C major quam L C V. Quare addito in$uper angulo L V N ad L V C, fiet totus N V C major utique quam L C V, ac proinde omnino major angulo N C V, qui pars e$t L C V. Ergo in triangulo C V N latus C N majus erit latere V N, cui æquatur C A, ideoque C N major quo- que quam C A, hoc e$t quam C M. Unde apparet pun- ctum N cadere extra circulum M A F, qui proinde tanget curvam in puncto A. quod erat demon$trandum.

E$t autem eadem quoque tum con$tructio tum demon$tra- tio, $i curva genita $it à puncto de$cribente, vel intra vel extra ambitum figuræ circumvolutæ $umpto. Ni$i quod, hoc po$teriori ca$u, pars quædam curvæ infra regulam de- $cendit, unde nonnulla in demon$tratione oritur diver$itas.

Sit enim punctum A, per quod tangens ducenda e$t, da- TAB. VIII. Fig. 1. tum in parte curvæ N A B, quæ infra regulam C L de- $cendit, de$cripta nimirum à puncto N extra figuram revo- lutam $umpto, $ed certam po$itionem in eodem ip$ius pla- no habente. Invento igitur puncto C, ubi figura revoluta tangit regulam C D quum punctum de$cribens e$$et in A, ducatur recta C A. Dico hanc curvæ N A B occurrere ad rectos angulos, $ive circumferentiam radio C A centro C de$criptam tangere curvam N A B in puncto A. O$tendetur autem exterius ip$am contingere, cum in curvæ parte $upra regulam C D po$ita interius contingat.

Po$itis enim & de$criptis iisdem omnibus quæ prius, os- tenditur rur$us angulus E C H major quam C E H. atqui ad E C H addito H C B fit angulus E C B; & à C E H auferendo H E B, qui æqualis e$t D C A, fit angulus C E B. Ergo E C B major omnino quam C E B. unde in triangulo E C B latus E B majus quam C B. $ed ip$i E B æqualis e$t C A, $ive C F. Ergo & C F major quam C B: ideoque punctum circumferentiæ F e$t ultra curvam N A B à centro remotum.

[0108]CHRISTIANI HUGENII

Item rur$us o$tenditur angulus L V C major L C V. Qua- DE DE- SCENSU GRAVIUM. re C V P, qui cum L V C duos rectos æquat, minor erit quam V C D. Atqui addendo ad V C D angulum D C N, fit V C N; & auferendo ab C V P angulum P V N, fit C V N. Ergo angulus V C N omnino major quam C V N. In triangulo itaque C V N, latus V N majus erit quam C N. E$t autem ip$i V N æqualis C A $ive C M. Ergo & C M major quam C N, ideoque punctum circumferentiæ M erit ultra curvam N A B à centro C remotum. Itaque con$tat circumferentiam M A F tangere curvam in puncto A. quod erat demon$trandum.

Quod $i punctum curvæ per quod tangens ducenda e$t, $it illud ip$um ubi regula curvam $ecat, erit tangens quæ$i- ta $emper regulæ perpendicularis; ut facile e$$et o$tendere.

PROPOSITIO XVI.

SI circuli circumferentiam, cujus centrum _E_, $e- DE MOTU IN CY- CLOIDE. cent rectæ duæ parallelæ _A F, B G_, quarum TAB. VIII. Fig. 2. utraque ad eandem partem centri transeat, vel altera _A F_ per centrum ip$um: & à puncto _A_, quo centro propior circumferentiam $ecat, ducatur recta ip$am contingens: dico partem hujus _A B_, à parallela utraque interceptam, minorem e$$e arcu _A C_, ab utraque eadem parallela intercepto.

Ducatur enim arcui A C $ubten$a recta A C. Quia ergo angulus B A F e$t æqualis ei quem capit portio circuli A H F, quæ vel major e$t $emicirculo vel $emicirculus, erit proinde angulus B A F, vel minor recto vel rectus; ideoque angu- lus A B C vel major recto vel rectus. Quare in triangulo A B C latus A C, angulo B $ubten$um, majus erit latere A B. $ed idem latus A C minus e$t arcu A C. Ergo omni- no & A B arcu A C minor erit.

[0109] [0109a] Pag. 72. TAB. VII. Fig. 1. L B E N G F A K D C Fig. 2. A H L K M B E N Q P O C D Fig. 3. B F A K O N M E V L C H D [0110] [0111]HOROLOG. OSCILLATOR. PROPOSITIO XVII. DE MOTU IN CY- CLOIDE.

_I_Isdem po$itis, $i tertia recta prioribus parallela TAB. VIII. Fig. 3. _D K_, circulum $ecuerit, quæ ab ea quæ centro propior e$t _A F_, tantundem di$tet quantum hæc à reliqua _B G_: dico partem tangentis in _A_, à pa- rallela ultimo adjecta, & media interceptam, nem- pe _A D_, arcu _A C_ à primis duabus parallelis in- tercepto minorem e$$e.

Hoc enim patet quum A D ip$i A B æqualis $it, quam antea o$tendimus arcu A C minorem e$$e.

PROPOSITIO XVIII.

_S_I circulum, cujus centrum _E_, duæ rectæ paral- TAB. VIII. Fig. 4. lelæ $ecuerint _A F, B G_; & à puncto _B_, ubi quæ à centro remotior e$t, vel tantundem atque altera di$tat, circumferentiæ occurrit, ducatur recta circumferentiam tangens: erit pars hujus _B A_, à parallelis intercepta, major arcu ab iis- dem parallelis intercepto _B C_.

Ducatur enim in puncto C, recta M C L circumferentiam tangens, quæ occurrat tangenti B A in L. In triangulo igi- tur A C L, angulus C æqualis e$t angulo M C F, hoc e$t, ei quem capit portio circuli C B F. angulus autem A æqua- tur angulo quem capit portio circuli B C G, quæ portio quum $it major vel æqualis portioni C B F, quippe quum B G vel ulterius di$tet à centro quam C F, vel tantun- dem: erit proinde trianguli A C L angulus A minor vel æqualis angulo C: & con$equenter latus C L vel minus vel æquale lateri A L. Atqui C L una cum L B majores $unt arcu C B. Ergo & A L una cum L B, hoc e$t, tan- [0112]CHRISTIANI HUGENII gens A B, eodem arcu C B major erit. quod erat demon- DE MOTU IN CY- CLOIDE. $trandum.

PROPOSITIO XIX.

_I_Isdem po$itis, $i tertia recta prioribus parallela TAB. VIII. Fig. 5. _D K_ circulum $ecet, quæ tantundem di$tet ab ea quæ remotior e$t à centro quantum hæc à reliqua _A F_: Erit pars tangentis in _B_, à parallela me- dia, & ultimo addita _D K_, intercepta, nimirum _B D_, major arcu _B C_.

Hoc enim manife$tum e$t cum B D fiat ip$i B A æqualis, quam o$tendimus arcu B C majorem e$$e.

PROPOSITIO XX.

_S_I arcus circuli, $emicircumferentia minor, _A B_, TAB. VIII. Fig. 6. in partes quotlibet $ecetur lineis rectis paralle- lis, quæ & inter $e, & cum rectis $ibi parallelis per terminos arcus ductis, æqualia intervalla con- $tituant, quales $unt _C D, E F, G H, K L_ & c. ducanturque ad terminum arcus alterutrum _A_, & ad reliqua omnia $ectionum puncta rectæ circumfe- rentiam tangentes, omnes in eandem partem, & ut unaquæque occurrat proximæ dictarum paralle- larum; cujusmodi $unt tangentes _A C, D E, F G,_ _H K_ & c. Dico has tangentes, dempta prima _A C_, $imul $umptas, minores e$$e arcu propo$ito _A B_. Easdem vero omnes, non omi$$a _A C_, majores e$$e arcu _A B_ diminuto parte extrema _N B_, hoc e$t, majores arcu _A N_.

Ponamus enim primo perallelarum aliquas tran$ire ab u- [0113]HOROLOG. OSCILLATOR. traque parte centri Z, & $it G H, earum quæ $unt à parte DE MOTU IN CY- CLOIDE. B, centro proxima, vel per ip$um centrum tran$eat. Itaque tangentes omnes inter G H & B O comprehen$æ, ut H K, L M, N O, $ingulæ $uis arcubus minores $unt . Porro Prop. 16. huj. autem & tangens G F, arcu $equente F D minor e$t , & Prop. 17. huj. $imiliter tangens E D arcu D A. Itaque tangentes omnes inter B O & C D interjectæ, minores $unt arcubus B H & F A, ac proinde omnino minores arcubus B H, H A, $ive arcu B A, quod erat primo o$tendendum.

Porro jam demon$trabimus tangentes omnes inter B O & A majores e$$e arcu A N. Enimvero parallela G H, vel pro- pius centrum Z tran$it quam parallela E F, quam pono proximam e$$e earum quæ à parte A tran$eunt, vel erit re- motior, vel æque di$tabit.

Quod $i E F longius à centro vel æque remota e$t ac G H, erit tangens F G major arcu $uo F H, & reliquæ tangen- tes ver$us A, nimirum E D, C A majores $ingulæ arcubus Prop. 15. huj. $uis ; adeo ut omnes $imul G F, E D, C A majores $int arcu H A. $ed & arcu H L major erit tangens L M , & Prop. 19. huj. arcu L N tangens N O; itaque tangentes omnes, præter H K, majores $imul erunt arcu A N; multoque magis, ac- cedente ip$a H K, tangentes omnes inter A & B compre- hen$æ arcu eodem A N majores erunt.

Si vero G H à centro longius di$tat quam E F, erit tan- gens K H major arcu H F , & tangens M L ut ante ma- Prop. 19. huj. jor arcu L H, & tangens O N major arcu N L, & omnes proinde tangentes O N, M L, K H majores arcu N F. Sed & tangens E D major e$t arcu $uo F D , & tangens Prop. 11. huj. C A major $imiliter arcu $uo D A. Itaque tangentes omnes inter B O & A, præter G F, majores erunt arcu N A; multoque magis tangentes eædem, accedente G F, hoc e$t, omnes quæ inter B O & A interjiciuntur, eodem arcu N A majores erunt.

Ex his vero etiam demon$tratio manife$ta e$t in ca$ibus aliis, qualiscunque $emicircumferentiæ arcus accipiatur, quippe cum vel eadem $it ubique, vel pars tantum præce- dentis demon$trationis.

[0114]CHRISTIANI HUGENII PROPOSITIO XXI. DE MOTU IN CY- CLOIDE.

_S_I mobile de$cendat continuato motu per quælibet plana inclinata contigua, ac rur$us ex pari al- titudine de$cendat per plana totidem contigua, ita comparata ut $ingula altitudine re$pondeant $ingu- lis priorum planorum, $ed majori quam illa $int inclinatione. Dico tempus de$cen$us per minus in- clinata, brevius e$$e tempore de$cen$us per magis inclinata.

Sint $eries duæ planorum inter easdem parallelas horizon- TAB. IX. Fig. 1. tales comprehen$æ A B C D E, F G H K L, atque ita ut bina quæque $ibi corre$pondentia plana utriusque $eriei iisdem parallelis horizontalibus includantur; unumquodque vero $eriei F G H K L magis inclinatum $it ad horizontem quam pla- num $ibi altitudine re$pondens $eriei A B C D E. Dico bre- viori tempore ab$olvi de$cen$um per A B C D E, quam per F G H K L.

Nam primo quidem tempus de$cen$us per A B, brevius e$$e con$tat tempore de$cen$us per F G, quum $it eadem ratio horum temporum quæ rectarum A B ad F G , $itque Prop. 7. huj. A B minor quam F G, propter minorem inclinationem. Producantur jam $ur$um rectæ C B, H G, occurrantque horizontali A F in M & N. Itaque tempus per B C po$t A B, æquale e$t tempori per eandem B C po$t M B, cum in puncto B eadem celeritas contingat, $ive per A B, $ive per M B de$cendenti . $imiliterque tempus per G H po$t Prop. 6. huj. F G, æquale erit tempori per eandem G H po$t N G. E$t autem tempus per B C po$t M B ad tempus per G H po$t N G, ut B C ad G H longitudine, $ive ut C M ad H N, cum hanc rationem habeant & tempora per totas M C, N H, & per partes M B, N G , ideoque etiam tempora reliqua. Prop. 7. huj. E$tque B C, minor quam G H propter minorem inclina- tionem. Patet igitur tempus per B C po$t M B $ive po$t [0115] [0115a] Pag. 76. TAB. VIII. Fig. 1. O P E V D H C L M N A B F Fig. 2. A B C E H G F Fig. 3. D A B C E H G K F Fig. 4. A L C M B E G F Fig. 5. A B C D K F G Fig. 6. G E C K H F L D M N A O B Z [0116] [0117]HOROLOG. OSCILLATOR. A B, brevius e$$e tempore per G H po$t N G $ive po$t F G.

DE MOTU IN CY- CLOIDE.

Similiter o$tendetur, productis D C, K H $ur$um, do- nec occurrant horizontali A F in O & P, tempus per C D po$t A B C, $ive po$t O C, brevius e$$e tempore per H K po$t F G H $ive po$t P H. Ac denique tempus per D E po$t A B C D, brevius e$$e tempore per K L po$t F G H K. Quare totum tempus de$cen$us per A B C D E, brevius erit tempore per F G H K L. quod erat demon- $trandum.

Hinc vero manife$tum e$t, con$iderando curvas lineas tanquam ex innumeris rectis compo$itas, $i fuerint duæ $u- perficies, $ecundum lineas curvas ejusdem altitudinis incli- natæ, quarum in punctis quibuslibet æque altis major $em- per $it inclinatio unius quam reliquæ, etiam tempore bre- viori per minus inclinatam grave de$cen$urum quam per ma- gis inclinatam.

Velut $i $int duæ $uperficies inclinatæ $ecundum curvas TAB. IX. Fig. 2. A B, C D, æqualis altitudinis, quarumque in punctis æ- que altis quibuslibet E, F, major $it inclinatio ip$ius C D quam A B, hoc e$t, ut recta tangens curvam C D in F, magis inclinata $it ad horizontem, quam quæ curvam A B tangit in puncto E. erit tempus de$cen$us per A B brevius quam per C D.

Idemque continget $i altera linearum recta fuerit: dum- modo inclinatio rectæ, quæ ubique e$t eadem, major mi- norve fuerit inclinatione curvæ in quolibet $ui puncto.

PROPOSITIO XXII.

_S_I in Cycloide cujus axis ad perpendiculum erectus $tat, vertice deor$um $pectante, duæ portiones curvæ æqualis altitudinis accipiantur, $ed quarum altera propior $it vertici; erit tempus de$cen$us per $uperiorem, brevius tempore per inferiorem.

Sit Cyclois A B, cujus axis A C ad perpendiculum ere- TAB. IX. Fig. 3. ctus, vertex A deor$um $pectet; & accipiantur in ea por- [0118]CHRISTIANI HUGENII tiones B D & E F, æqualis altitudinis, hoc e$t, ejusmodi DE MOTU IN CY- CLOIDE. ut parallelæ horizontales B C, D H, quæ $uperiorem por- tionem B D includunt, æque inter $e di$tent ac E G, F K, inferiorem partionem E F includentes. Dico tempus de$cen$us per curvam B D brevius fore tempore per E F.

Sumatur enim in B D punctum quodlibet L, & in E F punctum M, ita ut eadem $it altitudo E $upra M quæ B $upra L. Et de$cripto $uper axe A C $emicirculo, occurrant ei rectæ horizontales L N, M O, in N & O, & jungan- tur N A, O A. Itaque quum punctum N $it altius puncto O, manife$tum e$t rectam N A minus ad horizontem incli- nari quam O A. E$t autem ip$i N A parallela tangens curvæ in L puncto , & ip$i O A parallela tangens curvæ in M. Prop. 15. huj. Ergo curva B D in puncto L minus inclinata e$t quam curva E F in puncto M. Quod $i igitur portio E F, invariata in- clinatione, altius extolli intelligatur velut in _e f_, ita ut in- ter ea$dem parallelas cum portione B D comprehendatur, invenietur punctum M in _m_, æquali altitudine cum puncto L. eritque etiam inclinatio curvæ _e f_ in puncto _m_, quæ ea- dem e$t inclinationi curvæ E F in M, major inclinatione curvæ B D in L. Similiter vero, & in quolibet alio puncto curvæ _e f_, major o$tendetur inclinatio quam curv æ B D in puncto æque alto. Itaque tempus de$cen$us per B D bre- vius erit tempore per _e f_, $ive, quod idem e$t, per E F. Prop. præced. quod erat demon$trandum.

LEMMA.

_E_Sto circulus diametro _A C_, quem $ecet ad an- TAB. IX. Fig. 4. gulos rectos _D E_, & à termino diametri _A_ e- ducta recta _A B_ occurrat circumferentiæ in _B_, ip$i vero _D E_ in _F_. Dico tres ha$ce, _A B, A D, A F_, proportionales e$$e.

Sit enim primo inter$ectio F intra circulum; & arcui B D recta $ubten$a ducatur. Quia igitur arcus æquales $unt A E, [0119]HOROLOG. OSCILLATOR. A D, erunt anguli ad circumferentiam ip$is in$i$tentes, DE MOTU IN CY- CLOIDE. E D A, A B D æquales. Itaque in triangulis A B D, A D F, æquales anguli A B D, A D F. Communis au- tem utrique e$t angulus ad A. Ergo dicti trianguli $imiles erunt, ideoque B A ad A D ut A D ad A F.

Sit jam punctum inter$ectionis _f_ extra circulum, & du- catur _b_ H parallela D E, quæ occurrat rectæ A D in H. Itaque $ecundum jam demon$trata erit ut D A ad A _b_, ita A _b_ ad A H, hoc e$t, ita A _f_ ad A D: Ideoque rur$us proportionales erunt A _f_, A D, A _b_. Quare con$tat propo- $itum.

PROPOSITIO XXIII.

_S_It Cyclois _A B C_, cujus vertex _A_ deor$um con- TAB. IX. Fig. 5. ver$us $it, axe _A D_ ad perpendiculum erecto; $umptoque in ea quolibet puncto _B_, ducatur inde deor$um recta _B I_ quæ Cycloidem tangat, terminetur- que recta horizontali _A I_. recta vero _B F_ ad axem perpendicularis agatur, & divi$a bifariam _F A_ in _X_, $uper ea de$cribatur $emicirculus _F H A_. Du- ctâ deinde per punctum quodlibet _G_ in curva _B A_ $umptum, rectâ Σ _G_ parallelâ _B F_, quæ circum- ferentiæ _F H A_ occurrat in _H_, axi _A D_ in Σ, in- telligantur per puncta _G_ & _H_ rectæ tangentes u- triusque curvæ, earumque tangentium partes iis- dem duabus horizontalibus _M S, N T_ interceptæ $int _M N, S T_. Iisdemque rectis _M S, N T_ in- cludantur tangentis _B I_ pars _O P_, & axis _D A_ pars _Q R_.

Quibus ita $e habentibus, dico tempus quo gra- ve percurret rectam _M N_, celeritate æquabili [0120]CHRISTIANI HUGENII quanta acquiritur de$cendendo per arcum Cycloi- DE MOTU IN CY- CLOIDE. dis _B G_, fore ad tempus quo percurretur recta _O P_, celeritate æquabili dimidia ejus quæ acqui- ritur de$cendendo per totam tangentem _B I_, $icut e$t tangens _S T_ ad partem axis _Q R_.

De$cribatur enim $uper axe A D $emicirculus D V A $e- cans rectam B F in V, & Σ G in Φ, & jungatur A V $e- cans rectas O Q, P R, G Σ in E K & Λ. Jungantur item H F, H A, H X & A Φ; quæ po$trema $ecet rectas O Q, P R in punctis Δ & Π.

Habet ergo dictum tempus per M N ad tempus per O P, rationem eam quæ componitur ex ratione ip$arum linearum M N ad O P, & ex ratione celeritatum quibus ip$æ per- curruntur, contrarie $umpta , hoc e$t, & ex ratione dimi- Prop. 5. Galil. de motu æ- quab. diæ celeritatis ex B I $ive ex F A, ad celeritatem ex B G, $ive ex F Σ . Atqui tota celeritas ex F A ad celeritatem ex F Σ, Prop. 8. huj. e$t in $ubduplicata ratione longitudinum F A ad F Σ , ac Prop. 3. huj. proinde eadem quæ F A ad F H Ergo dimidia celeritas ex F A ad celeritatem ex F Σ erit ut F X ad F H. Itaque tem- pus dictum per M N ad tempus per O P habebit rationem compo$itam ex rationibus M N ad O P, & F X ad F H. Harum vero prior ratio, nempe M N ad O P, eadem o$ten- detur quæ F H ad H Σ.

E$t enim tangens Cycloidis B I parallela rectæ V A, $i- militerque tangens M G N parallela rectæ Φ A; ac proinde recta M N æqualis Δ Π, & O P æqualis E K. Ergo dicta ratio rectæ M N ad O P eadem e$t quæ Δ Π ad E K; hoc e$t, Δ A ad E A; hoc e$t, Φ A ad Λ A; hoc e$t V A ad Φ A . E$t autem ut V A ad A Φ ita F A ad A H; nam Lemma @ræced, quia quadratum V A æquale e$t rectangulo D A F, & qua- dratum A Φ æquale rectangulo D A Σ, quæ rectangula $unt inter $e ut F A ad Σ A, hoc e$t ut quadratum F A ad qua- dratum A H, erit proinde & quadratum V A ad quadra- tum Φ A ut quadratum F A ad quadratum A H; atque [0121]HOROLOG. OSCILLATOR. etiam V A ad A Φ longitudine, ut F A ad A H. Ratio DE MOTU IN CY- CLOIDE. itaque M N ad O P, eadem erit quæ F A ad A H, hoc e$t, propter triangula $imilia F A H, F H Σ, eadem quæ F H ad H Σ, ut dictum fuit. Itaque dicta ratio temporis per M N ad tempus per O P, componitur ex rationibus F X ad F H & F H ad H Σ, ideoque eadem erit quæ F X $ive X H ad H Σ. Sicut autem radius X H ad H Σ, ita e$t tangens S T ad rectam Q R; hoc enim facile per$p<007>- citur. Igitur tempus motus qualem diximus per M N, ad tempus per O P con$tat e$$e $icut S T ad Q R. quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO XXIV.

_S_It rur$us ut in præcedenti propo$itione Cyclois TAB. X. Fig. I. _A B C_, cujus vertex _A_ deor$um $pectet, axis _A D_ ad borizontem erectus $it_;_ & $umpto in ea quovis puncto _B_, ducatur inde deor$um recta _B_ Θ quæ Cycloidem tangat, occurratque rectæ horizon- tali _A_ Θ in Θ_:_ recta vero _B F_ ad axem perpendi- cularis agatur, & $uper _F A_ de$cribatur $emicir- culus _F H A_. Deinde alia recta _G E_, parallela _F B_, $ecet Cycloidem in _E_, rectam _B_ Θ in _I_, cir- cumferentiam _F H A_ in _H_, & denique axem _D A_ in _G_.

Dico tempus de$cen$us per arcum Cycloidis _B E_, e$$e ad tempus per tangentem _B I_ cum celeritate di- midia ex _B Θ_, $icut arcus _F H_ ad rectam _F G_.

Si enim hoc verum non e$t, habebit tempus per arcum B E ad dictum tempus per B I, vel majorem rationem quam arcus F H ad rectam F G vel minorem. Habeat primo, $i fieri pote$t, majorem.

[0122]CHRISTIANI HUGENII

Itaque tempus aliquod brevius tempore per B E ($it hoc DE MOTU IN CY- CLOIDE. tempus Z) erit ad dictum tempus per B I ut arcus F H ad rectam F G. Quod $i jam in Cycloide $upra punctum B $u- matur punctum aliud N, erit tempus per B E po$t N B, brevius tempore per B E. Manife$tum e$t autem punctum N tam propinquum $umi po$$e ip$i B, ut differentia eorum temporum $it quamlibet exigua, ac proinde ut minor $it ea qua tempus Z $uperatur à tempore per B E. Sit ita- que punctum N ita $umptum. unde quidem tempus per B E po$t N B majus erit tempore Z, majoremque pro- inde rationem habebit ad tempus dictum per B I cum di- midia celeritate ex B Θ, quam arcus F H ad rectam F G. Habeat itaque eam quam arcus F H O ad rectam F G.

Dividatur F G in partes æquales F P, P Q, &c. qua- rum unaquæque minor $it altitudine lineæ N B, atque item altitudine arcus H O; hoc enim fieri po$$e manife$tum e$t; & à punctis divi$ionum agantur rectæ, ba$i D C parallelæ, & ad tangentem B Θ terminatæ P Λ, Q Ξ, &c. Quibus- que in punctis hæ $ecant circumferentiam F H, ab iis, itemque à puncto H, tangentes $ur$um ducantur usque ad proximam quæque parallelam, velut Δ Χ, Γ Σ &c. Si- militer vero & à punctis, in quibus dictæ parallelæ Cy- cloidi occurrunt, tangentes $ur$um ducantur velut S V, T M &c. additâ vero ad rectam F G parte una G R æ- quali iis quæ ex divi$ione, ductaque R Φ parallelâ $imi- liter ip$i D C, patet eam occurrere circumferentiæ F H A inter H & O, quia G R minor e$t altitudine puncti H $upra O. Jam vero $ic porro argumentabimur.

Tempus per tangentem V S cum celeritate æquabili quæ acquireretur ex B S, majus e$t tempore motus continue ac- celerati per arcum B S po$t N B. Nam celeritas ex B S mi- nor e$t celeritate ex N B, propterea quod minor altitudo B S quam N B. At celeritas ex B S æquabiliter continuari ponitur per tangentem V S, cum celeritas acqui$ita ex N B continue porro acceleretur per arcum B S, qui arcus minor [0123] [0123a] Pag. 82. TAB. IX. Fig. 1. AMO FNP B G C H D K L Fig. 2. A C E F B D Fig. 3. C B _e_ N L _m_ E O M D _f_ F A Fig. 4. C B E G F D _f_ H _b_ A Fig. 5. C V B E S Δ M O Λ H Φ G Π T N P I [0124] [0125]HOROLOG. OSCILLATOR. in$uper e$t tangente V S, omnibusque partibus $uis magis DE MOTU IN CY- CLOIDE. erectus quam ulla pars tangentis V S. Adeo ut omnino ma- jus $it futurum tempus per tangentem V S cum celeritate ex B S, tempore per arcum B S po$t N B. Similiter tempus per tangentem M T, cum celeritate ex B T, majus erit tempore per arcum S T po$t N S, & tempus per tangen- tem Π Y cum celeritate ex B Y, majus tempore per arcum T Y po$t N T. Atque ita tempora motuum æquabilium per tangentes omnes usque ad infimam quæ tangit cycloi- dem in E, cum celeritatibus per $ingulas quantæ acquirun- tur cadendo ex B adusque punctum ip$arum contactus, ma- jora $imul erunt tempore per arcum B E po$t N B. Eadem vero & minora e$$ent, ut nunc o$tendemus.

Con$iderentur enim denuo tempora eadem motuum æqua- bilium per tangentes cycloidis. Et e$t quidem tempus per tangentem V S cum celeritate ex B S, ad tempus per re- ctam Β Λ cum celeritate dimidia ex F A, ut tangens cir- cumferentiæ Δ Χ ad partem axis F P . Similiterque tem- Prop. præced. pus per tangentem M T, cum celeritate ex B T, ad tem- pus per rectam Λ Ξ cum eadem dimidia celeritate ex F A, ut tangens Γ Σ ad rectam P Q. Atque ita deinceps $ingula tempora per tangentes cycloidis, quæ $unt eadem $upradi- ctis, erunt ad tempora motus æquabilis per partes $ibi re- $pondentes rectæ B I cum celeritate dimidia ex B Θ, $icut tangentes circumferentiæ F H, iisdem parallelis compre- hen$æ, ad partes rectæ F G ip$is re$pondentes.

Sunt igitur quantitates quædam rectæ F P, P Q, &c. & totidem aliæ, tempora $cilicet quibus percurruntur rectæ Β Λ, Λ Ξ &c, motu æquabili cum celeritate dimidia ex Β Θ; Et unaquæque quantitas in prioribus ad $equentem ea- dem proportione refertur, qua unaquæque po$teriorum ad $uam $equentem; $unt enim utrobique inter $e æquales. Qui- bus autem proportionibus priores quantitates ad alias quas- dam, nempe ad tangentes circuli Δ Χ, Γ Σ, &c. referun- tur, iisdem proportionibus & eodem ordine po$teriores quo- que referuntur ad alias quasdam, nempe ad tempora motus [0126]CHRISTIANI HUGENII qualem diximus per tangentes cycloidis V S, M T &c. Er- DE MOTU IN CY- CLOIDE. go, $icut $e habent omnes $imul priores ad omnes eas ad quas ip$æ referuntur, hoc e$t, $icut tota F G ad tangentes omnes Χ Δ, Γ Σ, &c. ita tempus quo percurritur tota B I cum celeritate dimidia ex Β Θ, ad tempora omnia motuum quales diximus per tangentes cycloidis V S, M T, &c . Prop. 2. Archimedis de Sphæ- roid. & Conoid. Et invertendo itaque, tempora motuum dictorum per tan- gentes cycloidis, ad tempus per rectam B I cum celeritate dimidia ex B Θ, eandem rationem habebunt quam dictæ tan- gentes omnes circumferentiæ F H ad rectam F G; ac mi- norem proinde quam arcus F O ad rectam eandem F G; quia arcus F Φ, ideoque omnino & arcus F O major e$t dictis omnibus arcus F H tangentibus . Atqui tempus per Prop. 20. huj. B E po$t N B, ad tempus per B I cum celeritate dimidia ex B Θ, po$uimus e$$e ut arcus F O ad rectam F G. Ergo dicta tempora omnia per tangentes cycloidis minora $imul erunt tempore per B E po$t N B, cum antea majora e$$e os- ten$um $it; quod e$t ab$urdum. Itaque tempus per arcum cycloidis B E, ad tempus per tangentem B I, cum celerita- te dimidia ex Β Θ vel ex F A, non habet majorem rationem quam arcus circumferentiæ F H ad rectam F G.

Habeat jam, $i pote$t, minorem. Ergo tempus aliquod majus tempore per arcum B E, ($it hoc tempus Z) erit ad tempus dictum per B I, ut arcus F H ad rectam F G.

Quod $i jam $umatur arcus N M æqualis altitudine cum TAB. X. Fig. 2. arcu B E, $ed cujus terminus $uperior N $it humilior puncto B, erit tempus per arcum N M majus tempore per arcum BE . Manife$tum autem quod punctum N tam propinquum Prop. 22. huj. $umi pote$t puncto B, ut differentia dictorum temporum $it quamlibet exigua, ac proinde minor ea qua tempus Z $upe- rat tempus per arcum B E. Sit itaque punctum N ita $um- ptum. Unde quidem tempus per N M minus erit tempore Z, habebitque proinde ad dictum tempus per B I, cum dimi- dia celeritate ex Β Θ, minorem rationem quam arcus F H ad rectam F G. Habeat ergo eam quam arcus L Had rectam F G.

Dividatur jam F G in partes æquales F P, P Q, &c. [0127]HOROLOG. OSCILLATOR. quarum unaquæque minor $it arcus cycloidis B N altitudine, DE MOTU IN CY- CLOIDE. itemque minor altitudine arcus circumferentiæ F L; & ad- ditâ ad F G unâ earum partium G ζ, ducantur à punctis di- vi$ionum rectæ ba$i D C parallelæ, & ad tangentem B Θ terminatæ, P O, Q K, &c; itemque à puncto ζ recta ζ Ω quæ $ecet cycloidem in V, circumferentiam in η; quibus- que in punctis ductæ parallelæ $ecant circumferentiam F H, ab iis tangentes deor$um ducantur usque ad proximam quæ- que parallelam, velut θ Δ, Γ Σ: Quarum infima à puncto Η ducta occurrat rectæ ζ Ω in X. Similiter vero & à pun- ctis, in quibus dictæ parallelæ occurrunt cycloidi, ducan- tur totidem tangentes deor$um, velut S Λ, T Ξ, &c. qua- rum infima, tangens nempe à puncto E ducta, occurrat re- ctæ ζ Ω in R.

Quia igitur P ζ æqualis e$t F G altitudini arcus B E, cui æqualis e$t ex con$tructione altitudo arcus N M, erit & P ζ æqualis altitudini arcus N M. E$t autem recta P O ex con$tructione $uperior termino N. Ergo & ζ Ω, & in ea punctum V, $uperius termino M. Quare, cum arcus S V æqualis $it altitudinis cum arcu N M, $ed termino S $ubli- miore quam N, erit tempus per S V brevius tempore per N M.

Prop. 22. huj.

Atqui tempus per tangentem S Λ, cum celeritate æqua- bili ex B S, brevius e$t tempore de$cen$us accelerati per ar- cum S T, incipientis in S. Nam celeritas ex B S, qua to- ta S Λ transmi$$a ponitur, æqualis e$t celeritati ex S T , Prop. 8. huj. quæ motui per arcum S T in fine demum acquiritur; ip$a- que S Λ minor e$t quam S T. Similiter tempus per tangen- tem T Ξ, cum celeritate æquabili ex B T, brevius e$t tem- pore de$cen$us accelerati per arcum T Y po$t S T; quum celeritas ex B T, qua tota T Ξ transmi$$a ponitur, $it æqua- lis celeritati ex S Y, quæ in fine demum acquiritur motui dicto per arcum T Y po$t S T; ip$aque T Ξ minor $it arcu T Y. Atque ita tempora omnia motuum æquabilium per tangentes cycloidis, cum celeritatibus per $ingulas quantæ acquiruntur de$cendendo ex B usque ad punctum ip$arum contactus, breviora $imul erunt tempore de$cen$us accelerati [0128]CHRISTIANI HUGENII per arcum S V. Eadem vero & longiora e$$ent, ut nunc DE MOTU IN CY- CLOIDE. o$tendemus.

E$t enim tempus dictum per tangentem S Λ, cum cele- ritate æquabili ex B S, ad tempus per rectam O K cum ce- leritate æquabili dimidia ex B Θ, $icut tangens $emicirculi θ Δ ad rectam P Q . $imiliterque tempus per tangentem Prop. præced. Τ Ξ, cum celeritate æquabili ex B T, e$t ad tempus per rectam Κ Ψ cum celeritate æquabili dimidia ex B Θ, ut tan- gens Γ Σ ad rectam Q Π. Atque ita deinceps $ingula tem- pora per tangentes cycloidis, quæ $unt eadem $upra dictis, erunt ad tempora motus æquabilis per partes $ibi re$ponden- tes rectæ O Ω, cum celeritate dimidia ex B Θ, ut tangen- tes circumferentiæ θ η, iisdem parallelis inclu$æ, ad partes rectæ P ζ ip$is re$pondentes. Unde, ut in priori parte de- mon$trationis, concludetur omnes $imul rectas P Q, Q Π &c. hoc e$t, totam P ζ e$$e ad omnes $imul tangentes θ Δ, Γ Σ, &c. $icut tempus quo percurritur tota O Ω, cum ce- leritate dimidia ex B Θ, ad tempora omnia motuum quales diximus per tangentes cycloidis S Λ, T Ξ, &c. Quare & convertendo, tempora omnia per tangentes cycloidis, eam rationem habebunt ad tempus dictum motus æquabilis per rectam Ο Ω, $ive per B I, quam dictæ tangentes omnes ar- cus θ η ad rectam P ζ vel F G, ac proinde majorem quam arcus L H ad rectam F G; e$t enim arcus θ H, adeoque Prop. 20. huj. etiam omnino arcus L H, minor dictis tangentibus arcus θ η . Sed tempus per N M po$uimus ab initio ad idem tempus per B I $e habere ut arcus L H ad rectam F G. Ergo tempus per N M, multoque magis tempus per S V, minuserit tempore per tangentes cycloidis. Quod e$t ab$urdum, cum hoc tempus, illo per arcum S V, antea minus o$ten$um fuerit. Patet igi- tur tempus per arcum cycloidis B E ad tempus per tangen- tem B I cum celeritare æquabili dimidia ex B Θ, non mi- norem rationem habere quam arcus F H ad rectam F G. Sed nec majorem habere o$ten$um fuit. Ergo eandem habeat nece$$e e$t. quod erat demon$trandum.

[0129] [0129a] Pag. 86. TAB. X. Fig. 1. D C N F X B V P Δ Σ S M Λ Q Γ T Π Ξ Y G H E I R Φ O A Θ Fig. 2. D C F B P Θ S O N Q L Δ K Γ T Λ Π Σ Y Ψ Ξ G H E I ζ η X V R Ω A M Θ [0130] [0131]HOROLOG. OSCILLATOR. PROPOSITIO XXV. DE MOTU IN CY- CLOIDE.

_I_N Cycloide cujus axis ad perpendiculum erectus e$t, vertice deor$um $pectante, tempora de$cen- $us quibus mobile, à quocunque in ea puncto dimis- $um, ad punctum imum verticis pervenit, $unt in- ter $e æqualia; habentque ad tempus ca$us perpen- dicularis per totum axem cycloidis eam rationem, quam $emicircumferentia circuli ad diametrum.

E$to cyclois A B C cujus vertex A deor$um $pectet, axis TAB. XI. Fig. 1. vero A D ad perpendiculum erectus $it, & à puncto quovis in cycloide $umpto, velut B; de$cendat mobile impetu na- turali per arcum B A, $ive per $uperficiem ita inflexam. Di- co tempus de$cen$us hujus e$$e ad tempus ca$us per axem D A, $icut $emicircumferentia circuli ad diametrum. Quo demon$trato, etiam tempora de$cen$us, per quoslibet cy- cloidis arcus ad A terminatos, inter $e æqualia e$$e con$ta- bit.

De$cribatur $uper axe D A $emicirculus, cujus circumfe- rentiam $ecet recta B F, ba$i D C parallela, in E; junctâ- que E A, ducatur ei parallela B G, quæ quidem cycloidem tanget in B. Eadem vero occurrat rectæ horizontali per A ductæ in G: $itque etiam $uper F A de$criptus $emicirculus F H A.

E$t igitur, per præcedentem, tempus de$cen$us per ar- cum cycloidis B A, ad tempus motus æquabilis per rectam B G cum celeritate dimidia ex B G, $icut arcus $emicirculi F H A ad rectam F A. Tempus vero dicti motus æquabilis per B G, æquatur tempori de$cen$us naturaliter accelerati per eandem B G, $ive per E A, quæ ip$i parallela e$t & æqualis, hoc e$t, tempori de$cen$us accelerati per axem D A. Itaque tempus per arcum B A, erit quoque ad tem- Prop. 6. Galil. de motu Accel. pus de$cen$us per axem D A, ut $emicirculi circumferentia F H A ad diametrum F A. quod erat demon$trandum.

[0132]CHRISTIANI HUGENII

Quod $i tota cycloidis cavitas perfecta ponatur, con$tat DE MOTU IN CY- CLOIDE. mobile, po$tquam per arcum B A de$cenderit, inde conti- nuato motu per alterum ip$i æqualem arcum a$cen$urum , Prop. 9. huj. atque in eo tantundem temporis atque de$cendendo con$um- pturum . Deinde rur$us per A ad B perventurum, ac $ingu- Prop. 11. huj. larum ejusmodi reciprocationum, in magnis parvisve cycloi- dis arcubus peractarum, tempora fore ad tempus ca$us per- pendicularis per axem D A, $icut circumferentia circuli tota ad diametrum $uam.

PROPOSITIO XXVI.

_I_isdem po$itis, $i ducatur in$uper recta horizonta- TAB. XI. Fig. 1. lis _H I_ quæ arcum _B A_ $ecet in _I_, circumferen- tiam vero _F H A_ in _H:_ dico tempus per arcum _B I_, ad tempus per arcum _I A_ po$t _B I_, eam ra- tionem habere quam arcus circumferentiæ _F H_ ad _H A_.

Occurrat enim recta H I tangenti B G in K, axi D A in L. E$t itaque tempus per arcum B A, ad tempus motus æ- quabilis per B G cum celeritate dimidia ex B G, $icut arcus F H A ad rectam F A . Tempus autem dicti motus æqua- Prop. 24. huj. bilis per B G, e$t ad tempus motus æquabilis per B K, cum eadem celeritate dimidia ex B G, $icut B G ad B K longi- tudine, hoc e$t, $icut F A ad F L. Et rur$us tempus mo- tus æquabilis, cum dicta celeritate, per B K, ad tempus per arcum B I, $icut F L ad arcum F H . Igitur ex æ- Prop. 24. huj. quo erit tempus per arcum B A ad tempus per B I, ut ar- cus F H A ad F H. Et dividendo, & convertendo, tem- pus per B I, ad tempus per I A po$t B I, ut arcus F H ad H A. quod erat demon$trandum.

[0133] DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. HOROLOGII OSCILLATORII PARS TERTIA.

De linearum curvarum evolutione & dimen$ione.

DEFINITIONES. I.

_L_INEA in unam partem inflexa vocetur quam rectæ omnes tangentes ab eadem parte contin- gunt. Si autem portiones quasdam rectas lineas ha- buerit, hæ ip$æ productæ pro tangentibus habentur.

II.

Cum autem duæ hujusmodi lineæ ab eodem pun- cto egrediuntur, quarum convexitas unius obver$a $it ad cavitatem alterius, quales $unt in figura ad$cripta curvæ _A B C, A D E_, ambæ in ean- TAB. XI. Fig. 2. dem partem cavæ dicantur.

III.

Si lineæ, in unam partem cavæ, filum $eu linea flexilis circumplicata intelligatur, & manente una fili extremitate illi affixa, altera extremitas ab- ducatur, ita ut pars ea quæ $oluta e$t $emper ex- ten$a maneat_;_ manife$tum e$t curvam quandam aliam hac fili extremitate de$cribi. Vocetur autem ea, De$cripta ex evolutione.

[0134]CHRISTIANI HUGENII IV. DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE.

Illa vero cui filum circumplicatum erat, dicatur Evoluta. In figura $uperiori_, A B C_ e$t evoluta_,_ TAB. XI. Fig. 2. _A D E_ de$cripta ex evolutione _A B C_, ut nempe cum extremitas fili ex _A_ venit in _D_, pars fili ex- ten$a $it _D B_ recta_,_ reliqua parte _B C_ adhuc ap- plicata curvæ _A B C_. Manife$tum e$t autem _D B_ tangere evolutam in _B_.

PROPOSITIOI.

_R_ Ecta omnis, quæ evolutam tangit, occurret li- @eæ ex evolutione de$criptæ ad angulos rectos.

Sit A B evoluta, A H vero quæ ex evolutione illius de- TAB. XI. Fig. 3. $cripta e$t. Recta autem F D C, tangens curvam A D in D, occurrat in C curvæ A C H. Dico ei occurrere ad angulos rectos: hoc e$t, $i ducatur C E recta perpendicularis C D, dico eam in C tangere curvam A C H. Quia enim D C tangit evolutam in D, apparet ip$am referre po$itionem fili tunc cum ejus extremitas pervenit in C. Quod $i igitur o- $tenderimus filum, in tota reliqua de$criptione curvæ A C H, nusquam pertingere ad rectam C E præterquam in C pun- cto, manife$tum erit rectam C E ibidem curvam A C H contingere.

Sumatur punctum aliquod in A C præter C, quod $it H, $itque primo remotius à principio evolutionis A quam pun- ctum C, & intelligatur pars libera e$$e H G, cum extremi- tate $ua ad H pervenit. Tangit ergo H G lineam A B in G. Cumque interea dum de$cribitur pars curvæ C H, evolu- tus $it arcus D G, occurret C D à parte D producta ip$i H G, ut in F. Ponatur autem G H occurrere rectæ C E in E. Quia igitur duæ $imul D F, F G, majores $unt quam D G, $ive curva ea fuerit $ive recta: fiet addendo utrinque rectam D C, ut rectæ C F, F G $imul majores $int recta [0135]HOROLOG. OSCILLATOR. C D & ip$a D G. Sed propter evolutionem, apparet utris- DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. que $imul, rectæ C D, & lineæ D G, æquari rectam H G. Ergo duæ $imul C F, F G majores quoque erunt recta H G. & ablata communi F G, erit C F major quam H F. Sed F E major e$t quam F C, quia angulus C trianguli F C E e$t rectus. Ergo F E omnino major quam F H. Unde ap- paret, ab hac quidem parte puncti C, fili extremitatem non pertingere ad rectam C E.

Sit jam punctum H propinquius principio evolutionis A TAB. XII. Fig. 1. quam punctum C, $itque fili po$itio H G, tunc cum ejus extremitas e$$et in H, & ducantur rectæ D G, D H, qua- rum hæc occurrat rectæ C E in E: apparet autem D G re- ctam non po$$e e$$e in directum ip$i H G, adeoque H G D fore triangulum. Jam quia recta D G vel minor e$t quam D K G, vel eadem, $i nempe evolutæ pars D G recta $it; additâ utrique G H, erunt rectæ D G, G H $imul mino- res vel æquales duabus i$tis, $cilicet D K G & G H, $ive his æquali rectæ D C. Duabus autem rectis D G, G H mi- nor e$t recta D H. Ergo hæc minor utique erit rectâ D C. Sed D E major e$t quam D C, quia in triangulo D C E angulus C e$t rectus. Ergo D H multo minor quam D E. Situm e$t ergo punctum H, hoc e$t extremitas fili G H, in- tra angulum D C E. Unde apparet neque inter A & C us- quam illam pertingere ad rectam C E. Ergo C E tangit curvam A C in C; ac proinde D C, cui C E ducta e$t perpendicularis, occurrit curvæ ad angulos rectos. quod erat demon$trandum.

Hinc etiam manife$tum e$t curvam A H C in partem u- nam inflexam e$$e, & in eandem partem cavam ac ip$a A G B, cujus evolutione de$cripta e$t. Omnes enim tangentes lineæ A H C, cadunt extra $patium D G A H C: omnes vero tangentes lineæ A G D, intra dictum $patium. unde liquet cavitatem A H C re$picere convexitatem A G D.

[0136]CHRISTIANI HUGENII PROPOSITIO II. DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. TAB. XII. Fig. 2.

_O_Mnis curva linea terminata, in unam partem cava, ut _A B D_, ut pote$t in tot partes dividi, ut $i $ingulis partibus $ubten$æ rectæ ducantur, velut _A B, B C, C D;_ & à $ingulis item divi$ionis punctis, ip$aque curvæ extremitate rectæ ducan- tur curvam tangentes, ut _A N, B O, C P_, quæ occurrant iis, quæ in proxime $equentibus divi$ionis punctis curvæ ad angulos rectos in$i$tunt, quales $unt lineæ _B N, C O, D P;_ ut inquam $ubten$a quæque habeat ad $ibi adjacentem curvæ perpendi- cularem, velut _A B_ ad _B N, B C_ ad _C O, C D_ ad _D P_, rationem majorem quavis ratione propo- $ita.

Sit enim data ratio lineæ E F ad F G, quæ recto angulo ad F jungantur, & ducatur recta G E H.

Intelligatur primo curva A B D in partes tam exiguas $e- cta punctis B, C, ut tangentes quæ ad bina quæque inter $e proxima puncta curvam contingunt, occurrant $ibi mutuo $ecundum angulos qui $inguli majores $int angulo F E H; quales $unt anguli A K B, B L C, C M D. quod quidem fieri po$$e evidentius e$t quam ut demon$tratione indigeat. Ductis jam $ubten$is A B, B C, C D, & erectis curvæ perpendicularibus B N, C O, D P, quæ occurrant pro- ductis A K, B L, C M, in N, O, P: dico rationes $in- gulas rectarum, A B ad B N, B C ad C O, C D ad D P, majores e$$e ratione E F ad F G.

Quia enim angulus A K B major e$t angulo H E F, erit re$iduus illius ad duos rectos, nimirum angulus N K B, minor angulo G E F. Angulus autem B trianguli K B N e$t rectus, $icut & angulus F in triangulo E F G. Ergo [0137] [0137a] Pag. 92. TAB. XI Fig. 1. D C F E B L H I K A G Fig. 2. E D A B C Fig. 3. E H C A D F G B [0138] [0139]HOROLOG. OSCILLATOR. major erit ratio K B ad B N quam E F ad F G. Sed A B DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. major e$t quam K B, quoniam angulus K in triangulo A K B e$t obtu$us, e$t enim major angulo H E F qui e$t obtu$us ex con$tructione. Ergo ratio A B ad B N major erit ratio- ne K B ad B N, ac proinde omnino major ratione E F ad F G. Eodem modo & ratio B C ad C O, & C D ad D P, major o$tendetur ratione E F ad F G. Itaque con$tat pro- po$itum.

PROPOSITIO III.

_D_Uæ curvæ in unam partem inflexæ & in eas- dem partes cavæ ex eodem puncto egredi ne- queunt, ita ad $e invicem comparatæ, ut recta omnis quæ alteri earum ad angulos rectos occurrit, $imiliter occurrat & reliquæ.

Sint enim, $i fieri pote$t, huju$modi lineæ curvæ A C E, TAB. XII. Fig. 3. A G K, communem terminum habentes A, & $umpto in ex- teriore illarum puncto quolibet K, $it inde educta K E recta, curvæ A G K occurrens ad angulos rectos, ac proinde etiam curvæ A C E.

Pote$t jam recta quædam $umi major curva K G A, quæ $it Q. Divi$a autem intelligatur ip$a K G A, ut in propo- $itione antecedenti dictum fuit, in tot partes punctis H G F, ut $ubten$æ $ingulæ K H, H G, G F, F A, ad perpen- diculares curvæ $ibi contiguas H M, G N, F O, A P majorem rationem habeant quam linea Q ad rectam K E. Itaque & omnes $imul dictæ $ubten$æ ad omnes dictas per- pendiculares majorem habebunt rationem quam Q ad K E. Producantur autem perpendiculares eædem & occurrant cur- væ A C E in D, C, B, nimirum ad angulos rectos ex hypothe$i. Erit jam K E minor quam M D. Etenim, ducta E L ip$i K E perpendiculari, quoniam K E occurrit lineæ curvæ E C A ad angulos rectos, tanget E L curvam A C E, occurretque nece$$ario rectæ M D inter D & M. Unde [0140]CHRISTIANI HUGENII cum K E $it brevi$$ima omnium quæ cadunt inter parallelas DE LINEA RUM CUR- VARUM EVOLUTIO NE. E L, K M, erit ea minor quam M L, ac proinde minor quoque omnino quam M D. Eodem modo & H D minor o$tendetur quam N C, & G C minor quam O B, & F B minor quam P A. Cum $it ergo P A major quam F B, erunt duæ $imul P A, O F majores quam O B. Item quum O B $it major quam G C, erunt duæ $imul O B, N G, majo- res quam N C. Sed duæ P A, O F majores erant quam O B. Itaque tres $imul P A, O F, N G omnino majores erunt quam N C. Rur$us, quia N C major quam H D, erunt duæ $imul N C, M H majores quam M D. Unde, $i loco N C $umantur tres hæ ip$a majores P A, O F, N G, erunt omni- no hæ quatuor P A, O F, N G, M H majores quam M D: ac proinde eædem quoque omnino majores recta K E, quia ip$a M D major erat quam K E. Diximus autem $ubten$as omnes A F, F G, G H, H K majorem rationem habere ad omnes perpendiculares P A, O F, N G, M H, quam linea Q ad K E. Ergo cum dictis perpendicularibus minor etiam $it K E, habebunt dictæ $ubten$æ ad K E omnino majorem rationem quam Q ad K E. Ergo $ubten$æ $imul $umptæ majores erunt rectâ Q. Hæc autem ip$a curvâ A G K major $umpta fuit. Ergo $ubten$æ A F, F G, G H, H K $imul majores erunt curva A G K cujus partibus $ubtenduntur; quod e$t ab$urdum, cum $ingulæ $uis arcubus $int minores. Non igitur poterunt e$$e duæ curvæ lineæ quæ quemadmo- dum dictum fuit $e$e habeant. quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO IV.

_S_I ab eodem puncto duæ lineæ exeant in partem unam inflexæ, & in eandem partem cavæ, ita vero mutuo comparatæ ut rectæ omnes, quæ alte- ram earum contingunt, alteri occurrant ad angu- los rectos; po$terior hæc prioris evolutione, à pun- cto communi cœpta, de$cribetur.

[0141]HOROLOG. OSCILLATOR.

Sunto lineæ A B C, A D E, in partem unam inflexæ, DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. & quarum uttraque in ea$dem partes cava exi$tat, habeant- que communem terminum A punctum. Omnes autem rectæ tangentes lineam A B C, velut B D, C E, occurrant TAB. XII. Fig. 4. lineæ A D E ad angulos rectos. Dico evolutione ip$ius A B C, à termino A incepta, de$cribi A D E.

Si enim fieri pote$t, de$cribatur dicta evolutione alia quædam curva A F G. Ergo lineæ rectæ quælibet, evolu- tam A B C tangentes, ut B D, C E, occurrent ip$i A F G ad angulos rectos, puta in F & G. Sed eædem tangentes Prop. 1. huj. etiam ad rectos angulos occurrere ponuntur lineæ A D E. Sunt igitur lineæ curvæ A D E, A F G, eodem puncto A terminatæ, inque partem unam flexæ, & ambæ in ean- dem partem cavæ, quippe utraque in eandem atque ip$a A B C; nam de linea A D E con$tat ex hypothe$i, de A F G vero ex propo$itione prima hujus; & omnes quæ uni earum occurrunt ad angulos rectos, etiam alteri $imili- ter occurrunt. quod quidem fieri non po$$e antea o$ten$um e$t. Quare con$tat ip$am A D E de$criptum iri evolutione Prop. 3. huj. lineæ A B C. quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO V.

_S_I Cycloidem recta linea in vertice contingat, $u- per qua, tanquam ba$i, alia cyclois priori $imi- lis & æqualis con$tituatur, initium $umens à pun- cto dicti verticis; recta quælibet inferiorem cycloi- dem tangens, occurret $uperioris portioni, $ibi $u- perpo$itæ, ad angulos rectos.

Tangat cycloidem A B C in vertice A recta A G, $uper TAB. XVI. Fig. 1. qua, tanquam ba$i, $imilis alia cyclois con$tituta $it A E F, cujus vertex F. Cycloidem autem A B C tangat recta B K in B. Dico eam productam occurrere cycloidi A E F ad an- gulos rectos.

De$cribatur enim circa A D, axem cycloidis A B C, cir- [0142]CHRISTIANI HUGENII culus genitor A H D, cui occurrat B H, ba$i parallela, in DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. H, & jungatur H A. Quia ergo B K tangit cycloidem in B, con$tat eam parallelam e$$e rectæ H A . Itaque A H B K parallelogrammum e$t, ac proinde A K æqualis H B, hoc Propo$. 15. partis 2. e$t, arcui A H. Sit porro jam de$criptus circulus K M, Propo$. 14. partis 2. genitori circulo, hoc e$t ip$i A H D, æqualis, qui tangat ba$in A G in K, rectam vero B K productam $ecet in pun- cto E. Quia ergo ip$i A H parallela e$t B K E, ac proin- de angulus E K A æqualis K A H, manife$tum e$t B K productam ab$cindere à circulo K M arcum æqualem ei quem à circulo A H D ab$cindit recta A H. Itaque arcus K E æqualis e$t arcui A H, hoc e$t rectæ H B, hoc e$t rectæ K A. Hinc vero $equitur, ex cycloidis proprietate, cum circulus genitor M K tangebat regulam in K, punctum de$cribens fui$$e in E. Itaque recta K E occurrit cycloidi in E ad angulos rectos . E$t autem K E ip$a B K producta. Propo$. 15. partis 2. Ergo patet productam B K occurrere cycloidiad angulos re- ctos. quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO VI.

_S_Emicycloidis evolutione, à vertice cœpta, alia $emicyclois de$cribitur evolutæ æqualis & $imi- lis, cujus ba$is e$t in ea recta quæ cycloidem evolu- tam in vertice contingit.

Sit $emicyclois A B C, cui $uperimpo$ita $it alia $imilis TAB. XVI. Fig. 1. A E F, quemadmodum in propo$itione præcedenti. Dico, $i linea flexilis, circa $emicycloidem A B C applicata, evol- vatur, incipiendo ab A, eam de$cribere extremitate $ua i- p$am $emicycloidem A E F. Quia enim ex puncto A egredi- untur $emicycloides A B C, A E F, in unam partem in- flexæ, & ambæ in eandem cavæ, ac præterea ita comparatæ, ut omnes tangentes $emicycloidis A B C occurrant $emicy- cloidi A E F ad angulos rectos, $equitur hanc evolutione illius, à termino A incepta, de$cribi . quod erat demon- Propo$. 4. huj. $trandum.

[0143] [0143a] Pag. 96. TAB. XII. Fig. 1. C E H A G K D B Fig. 2. N O L K B C M P G D A E F H Fig. 3. N M H G K O F L C D B E P A Q Fig. 4. A D F E G B C [0144] [0145]HOROLOG. OSCILLATOR.

Et apparet, $i dimidiam cycloidem, ip$i A B C gemel- DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. lam, contrario $itu ab altera parte lineæ C G di$ponamus, velut C N, ejus evolutione, vel etiam dum filum, jam exten$um in C F, circa eam replicatur, alteram $emicy- cloidem F N fili extremitate de$criptum iri, quæ $imul cum priore A E F integram con$tituat.

Atque ex his, & propo$itione 25 de de$cen$u gravium, ma- nife$tum jam e$t quod $upra in Con$tructione Horologii de æquabili penduli motu dictum fuit. Patet enim perpendicu- lum, inter laminas binas, $ecundum $emicycloidem inflexas, $u$pen$um agitatumque, motu $uo cycloidis arcum de$cri- bere, ac proinde æqualibus temporibus qua$libet ejus reci- procationes ab$olvi. Non refert enim utrum in $uperficie, $ecundum cycloidem curvata, mobile feratur, an filo alliga- tum lineam ip$am in aëre percurrat, cum utrobique eandem libertatem, eandemque in omnibus curvæ punctis inclina- tionem ad motum habeat.

PROPOSITIO VII.

_C_yclois linea $ui axis, $ive diametri circuli ge- nitoris, quadrupla e$t.

Repetita enim figura præcedenti: cum po$t totam $emi- TAB. XVI. Fig. 1. cycloidem A B C evolutam, filum occupet rectam C F, quæ dupla e$t A D, proptarea quod axes cycloidum A B C, A E F $unt æquales; apparet $emicycloidem ip$am A B C, filo $ibi circum applicito æqualem, duplam e$$e $ui axis A D, ac totam proinde cycloidem axis $ui quadruplam.

Apparet etiam tangentem B E, quæ refert partem fili ex- ten$am, antea curvæ parti B A applicatam, huic ip$i longi- tudine æquari. E$t autem B E dupla ip$ius B K, $ive A H, quoniam in propo$itione quinta o$ten$um e$t K E ip$i A H æqualem e$$e. Itaque pars cycloidis A B rectæ A H, $ive B K, dupla erit: exi$tente nimirum B H parallela ba$i cycloidis: idque ubicunque in ea punctum B $umptum fue- rit.

[0146]CHRISTIANI HUGENII

Hanc cycloidis dimen$ionem primus invenit, via tamen DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. longe alia, eximius geometra Chri$tophorus Wren Anglus, eamque deinde eleganti demon$tratione confirmavit, quæ edita e$t in libro de cycloide viri clari$$imi Ioannis Walli$ij. De eadem vero linea, alia quoque multa extant pulcherrima inventa no$tri temporis mathematicorum, quibus præcipuè occa$ionem præbuere problemata quædam à Bla$io Pa$chalio Gallo propo$ita, qui in his $tudiis præcellebat. Is cum $ua, tum aliorum inventa recen$ens, primum omnium Mer$ennum lineam hanc in rerum natura adverti$$e ait. Primum Roberval- lium tangentes ejus definivi$$e, ac plana & $olida dimen$um e$$e. Item centra gravitatis tum plani, tum partium ejus inveni$$e. Primum Wrennium curvæ cycloidis æqualem rectam dedi$- $e. Me quoque primum reperi$$e dimen$ionem ab$olutam por- tionis cycloidis, quæ rectâ, ba$i parallelâ, ab$cinditur per punctum axis, quod quarta parte ejus à vertice abe$t. quæ nimirum portio æquatur dimidio hexagono æquilatero, intra circulum genitorem de$cripto. Seip$um denique $olidorum ac $emi$olidorum, tam circa ba$in quàm circa axem, centra gravitatis definivi$$e, itemque partium eorum. Lineæ etiam ip$ius (Sed hæc po$t acceptam à Wrennio dimen$ionem) centrum gravitatis inveni$$e, & dimen$ionem $uperficierum convexarum, quibus $olida i$ta eorumque partes comprehen- duntur; earumque $uperficierum centra gravitatis. Ac denique dimen$ionem curvarum cuju$vis cycloidis, tam protractæ quam contractæ: hoc e$t earum quæ de$cribuntur à puncto intra vel extra circumferentiam circuli genitoris $umpto. Et ho- rum quidem demon$trationes à Pa$chalio $unt editæ. A qui- bus $uas quoque, de eadem linea, $ubtili$$imas meditationes expo$uit Cl. Walli$ius, atque eadem illa omnia $uo Marte $e reperi$$e, ac problemata à Pa$chalio propo$ita $olvi$$e con- tendit. Quod idem & docti$$imus Lovera $ibi vindicat. Quan- tum vero unicuique debeatur, ex $criptis eorum eruditi dijudi- cent. Nos propterea tantum præcedentia retulimus, quod $i- lentio prætereunda non videbantur egregia adeo inventa, qui- bus factum e$t, ut, ex lineis omnibus, nulla nunc melius aut [0147]HOROLOG. OSCILLATOR. penitiùs quam cyclois cognita $it. Methodum vero no$tram, DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUT@@- NE. qua in hac metienda u$i $umus, in aliis quoque experiri li- buit, de quibus porro nunc agemus.

PROPOSITIO VIII.

_C_Ujus lineæ evolutione parabola de$cribatur os- tendere.

Sit paraboloides A B, cujus axis A D; vertex A; pro- TAB. XIII, Fig. 1. prietas autem i$ta, ut ordinatim ad axem applicatâ B D, cubus ab$ci$$æ ad verticem D A æquetur $olido, ba$in ha- benti quadratum D B, altitudinem vero æqualem lineæ cui- dam datæ M; quæ quidem curva pridem geometris nota fuit; & ponatur axi D E juncta in directum A E, quæ ha- beat {8/27} ip$ius M. Jam $i filum continuum circa E A B ap- plicetur, idque ab E evolvi incipiat, dico de$criptam ex evolutione e$$e parabolam E F, cujus axis E A G, vertex E, latus rectum æquale duplæ E A.

Sumpto enim in curva A B puncto quolibet B, ducatur quæ in ip$o tangat curvam recta B G, occurrens axi E A in G. & ex G ducatur porro G F, quæ ad rectos angulos occurrat parabolæ E F in F; & $it ip$i G F perpendicula- ris F H, quæ parabolam in F continget; & denique F K ordinatim ad axem E G applicetur.

E$t igitur K G æqualis dimidio lateri recto, hoc e$t, ip$i E A; ac proinde, additâ vel ablatâ utrimque A K, erit E K æqualis A G. E$t autem A G triens ip$ius A D, quo- niam B G tangit paraboloidem in B: illud enim ex natura curvæ hujus facile demon$trari pote$t. Ergo & E K æqualis e$t trienti A D: & K H, quæ ex natura parabolæ dupla e$t K E, æquabitur duabus tertiis A D. Itaque cubus ex K H æqualis e$t {8/27} cubi ex A D, hoc e$t, $olido ba$in habenti quadratum D B, altitudinem vero æqualem {8/27} M, hoc e$t, ip$i A E. Quamobrem ut quadratum D B ad quadratum K H, ita erit K H longitudine ad A E, hoc e$t ad K G. Erat autem K H æqualis {@/3} A D, hoc e$t ip$i G D. Ergo [0148]CHRISTIANI HUGENII ut quadratum B D ad quadratum D G ita e$t H K ad K G. DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. Ut autem H K ad K G, ita e$t quadratum F K ad quadra- tum K G. Ergo $icut quadratum B D ad quadratum D G, ita quadratum F K ad quadratum K G. Et proinde $icut B D ad D G longitudine, ita F K ad K G. Unde $equitur B G F e$$e lineam rectam. Sed G F occurrit parabolæ E F ad angulos rectos. Ergo apparet B G, tangentem paraboloidis, productam occurrere eidem parabolæ ad angulos rectos. Idque $imiliter de quavis illius tangente demon$trabitur. Ergo con- $tat ex evolutione lineæ E A B, à termino E incepta, de- $cribi parabolam E F . quod erat demon$trandum.

Propo$. 4. huj. PROPOSITIO IX.

_R_Ectam lineam invenire æqualem datæ portioni curvæ paraboloidis, ejus nempe in qua qua- drata ordinatim applicatarum ad axem, $unt in- ter $e $icut cubi ab$ci$$arum ad verticem.

Quomodo hoc fiat ex prop. præcedenti manife$tum e$t. TAB. XIII. Fig. 2. Parabola vero E F ad con$tructionem non requiritur, quæ $ic peragetur. Data quavis parte paraboloidis hujus A B, cui rectam æqualem invenire oporteat, ducatur B G tangens in puncto B, quæ occurrat axi A G in G. Tanget autem $i A G fuerit tertia pars A D, inter verticem & ordinatim ap- plicatam B D interceptæ. Porro $umpta A E æquali {8/27} lineæ M, quæ latus rectum e$t paraboloidis A B, ducatur E F parallela B G, occurratque lineæ A F, quæ parallela e$t B D, in F. Jam $i ad rectam B G addatur N F, exce$$us rectæ E F $upra E A, habebitur recta æqualis curvæ A B. Cujus demon$tratio ex ante dictis facile per$picitur.

Semper ergo curva A B tantum $uperat tangentem B G, quantum recta E F rectam E A.

Rur$us autem hic in lineam incidimus, cujus longitudi- nem alii jam ante dimen$i $unt. Illam nempe quam anno 1659 Joh. Heuratius Harlemen$is rectæ æqualem o$tendit, cujus demon$tratio po$t commentarios Joh. Schotenii in Carte$ii [0149]HOROLOG. OSCILLATOR. Geometriam, eodem anno editam, adjecta e$t. Et ille qui- DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. dem omnium primus curvam lineam, ex earum numero qua- rum puncta quælibet geometricè definiuntur, ad hanc men- $uram reduxit, cum $ub idem tempus Cycloidis longitudi- nem dedi$$et Wrennius, non minus ingenio$o epicheremate.

Scio equidem, ab edito Heuratii invento, Docti$$imum Walli$ium Wilhelmo Nelio, nobili apud $uos juveni, idem attribuere volui$$e, in libro de Ci$$oide. Sed mihi, quæ il- lic adfert perpendenti, videtur non multum quidem ab in- vento illo Nelium abfui$$e, neque tamen plane id ad$ecutum e$$e. Nam neque ex demon$tratione ejus, quam Walli$ius affert, apparet illum $atis per$pexi$$e quænam foret curva illa, cujus, $i con$trueretur, men$uram datam fore videbat. Et credibile e$t, $i $civi$$et ex earum numero e$$e quæ jam- pridem Geometris cognitæ fuerant, vel ip$um, vel alios ejus nomine, tam nobile inventum Geometris maturius imperti- turos fui$$e, quod, $i quod aliud, merebatur ut Archime- deum illud εὕρη{κα} exclamarent. Sane ejusdem inventi, tan- quam à $e profecti, etiam Fermatius, Tholo$anus $enator ac Geometra periti$$imus, demon$trationes con$crip$it, quæ anno 1660 excu$æ $unt; $ed illæ $ero utique.

Cum vero in his $imus, etiam de nobis dicere liceat, quid ad promovendum tam eximium inventum contulerimus: $i- quidem & Heuratio ut eo perveniret occa$ionem præbuimus, & dimen$ionem curvæ parabolicæ ex hyperbolæ data quadratura, quæ Heuratiani inventi pars e$t, ante ip$um atque omnium primi reperimus. Etenim $ub finem anni 1657 in hæc duo $i- mul incidimus, curvæ parabolicæ quam dixi dimen$ionem, & $uperficiei conoidis parabolici in circulum reductionem. Cumque Schotenio, aliisque item amicorum, per literas indi- ca$$emus, duo quædam non vulgaria circa parabolam inven- ta nobis $e$e obtuli$$e, eorumque alterum e$$e conoidicæ $u- perficiei exten$ionem in circulum, ille literas eas cum Heu- ratio, quo tum familiariter utebatur, communicavit. Huic vero, acuti$$imi ingenii viro, non difficile fuit intelligere, conoidis i$tius $uperficiei affinem e$$e dimen$ionem ip$ius cur- [0150]CHRISTIANI HUGENII væ parabolicæ. Qua utraque inventa, ulterius inde inve$ti- DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. gans, in alias i$tas curvas paraboloides incidit, quibus rectæ æquales ab$olute inveniuntur.

Ac de Conoidis quidem $uperficie in planum redacta, ne quis forte te$timonium de$ideret, pauca hæc ad$cribere vi- $um e$t ex literis viri clari$$imi, atque inter præcipuos ho- die Geometras cen$endi, Franc. Slu$ii, quibus eo ip$o anno mihi inventum illud, ac prolixius forte quam pro merito, gratulatus e$t. In quibus literis 24. Decemb. anni 1657. da- tis, i$ta habentur. _Duo tantum addo, unum_ &c. _Alterum_ _e$t, me has omnes curvas, ip$umque adeo locum linearem in-_ _tegrum, nih<007>li pene facere præ invento hoc tuo, quo $uperfi-_ _ciei in conoide parabolico rationem ad circulum $uæ ba$eos de-_ _mon$tra$ti. Hanc pro circuli quadratura pulcherrimam ἀ{πα}-_ _{γ@}{γὴ}ν præfero libens iis omnibus, quas ex loco lineari nec pau-_ _cas olim deduxi, & quas tecum, $i ita ju$$eris, data occa-_ _$ione communicabo_.

Anno autem in$equenti etiam $uperficies conoidum hyper- bolicorum & $phæroidum reperi, quomodo ad circulos re- duci po$$ent, con$tructionesque eorum problematum, non addita tamen demon$tratione, Geometris quibuscum tunc literarum commercium habebam, in Gallia Pa$chalio aliis- que, in Anglia Walli$io impertii, qui non multo po$t $ua quoque $uper his, una cum aliis multis $ubtilibus inventis in lucem edidit, fecitque ut no$tris demon$trationibus per- ficiendis $uper$ederem. Quoniam vero non inelegantes vi$æ $unt con$tructiones no$træ, neque adhuc publice extant, placet hoc loco illas ad$cribere.

Conoidis parabolici $uperficiei curvæ circulum æqualem invenire.

SIt datum conoides cujus $ectio per axem parabola A B C; TAB. XIII. Fig. @. axis ejus B D, vertex B, diameter ba$is A C, quæ $it axi B D ad angulos rectos. Et oporteat $uperficiei portionis cur- væ invenire circulum æqualem.

[0151]HOROLOG. OSCILLATOR.

Producto axe à parte verticis, $umatur B E æqualis B D, DE LINEA RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. & jungatur E A, quæ parabolam A B C in A continget. Porro $ecetur A D in G, ut $it A G ad G D $icut E A ad A D. Et utrisque $imul A E, D G æqualis $tatuatur recta H. Item trienti ba$is A C æqualis $it recta L, & inter H & L media proportionalis inveniatur K. qua tanquam radio circulus de$cribatur. Is æqualis erit $uperficiei curvæ conoi- dis A B C. Hinc $equitur, $i fuerit A E dupla A D, $u- perficiem conoidis curvam ad circulum ba$eos fore ut 14 ad 9. Si A E tripla A D, ut 13 ad 6. $i A E quadrupla A D, ut 14 ad 5. Atque ita $emper fore ut numerus ad numerum, $i A E ad A D ejusmodi rationem habuerit.

Sphæroidis oblongi $uper$iciei circulum æqualem invenire.

ESto $phæroides oblongum cujus axis A B, centrum C, TAB. XIII. Fig. 4. $ectio per axem ellip$is A D B E, cujus minor diame- ter D E.

Ponatur D F æqualis C B, $eu ponatur F alter focorum ellip$eos A D B E, rectæque F D parallela ducatur B G, occurrens productæ E D in G. centroque G, radio G B, de$cribatur $uper axe A B arcus circumferentiæ B H A. In- terque $emidiametrum C D & rectam utrisque æqualem, ar- cui A H B & diametro D E, media proportionalis $it recta K. Erit hæc radius circuli qui $uperficiei $phæroidis A D B E æqualis $it.

Sphæroidis lati $ive compre$$i $uperficiei circulum æqualem invenire.

SIt $phæroides latum cujus axis A B, centrum C, $ectio TAB. XIII. Fig. 5. per axem ellip$is A D B E.

Sit rur$us focorum alteruter F, divi$âque bifariam F C in G, intelligatur parabola A G B quæ ba$in habeat axem A B, verticem vero punctum G. Sitque inter dimatrum D E, & rectam curvæ parabolicæ A G B æqualem, media pro- [0152]CHRISTIANI HUGENII portionalis linea H. Erit hæc radius circuli qui $uperficiei DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLURIO- NE. $phæroidis propo$iti æqualis $it.

Conoidis hyperbolici $uperficiei curvæ circulum æqualem invenire.

ESto conoides hyperbolicum cujus axis A B, $ectio per TAB. XIV. Fig. 4. axem hyperbola C A D, cujus latus tran$ver$um E A, centrum F, latus rectum A G.

Sumatur in axe recta A H, æqualis dimidio lateri recto A G. & ut H F ad A F longitudine ita, $it A F ad F K potentiâ. Et intelligatur vertice K alia hyperbola de$cripta K L M, eodem axe & centro F cum priore, quæque late- ra rectum & transver$um illi reciproce proportionalia habeat. Occurrat autem ip$i producta B C in M, $itque A L paralle- la B C. Erit jam $icut $patium A L M B, tribus rectis lineis & curva hyperbolica comprehen$um, ad dimidium quadra- tum ex B C, ita $uperficies conoidis curva ad circulum ba- $eos $uæ, cujus diameter C D. Unde con$tructio reliqua facile ab$olvetur, po$itâ hyperbolæ quadraturâ.

Quum igitur conoidis parabolici $uperficies ad circulum redigatur, æque ac $uperficies $phæræ, ex notis geometriæ regulis; in $uperficie $phæroidis oblongi, ut idem fiat, po- nendum e$t arcus circumferentiæ longitudinem æquari po$$e lineæ rectæ. Ad $phæroidis vero lati, itemque ad conoidis hyperbolici $uperficiem eadem ratione complanandam, hy- perbolæ quadratura requiritur. Nam parabolicæ lineæ lon- gitudo, quam in $phæroide hoc adhibuimus, pendet à qua- dratura hyperbolæ, ut mox o$tendemus.

Verum, quod non indignum animadver$ione videtur, in- venimus absque ulla hyperbolicæ quadraturæ $uppo$itione, circulum æqualem con$trui $uperficiei utrique $imul, $phæ- roidis lati & conoidis hyperbolici.

Dato enim $phæroide quovis lato, po$$e inveniri conoi- des hyperbolicum, vel contra, dato conoide hyperbolico, po$$e inveniri $phæroides latum ejusmodi, ut utriusque $i- [0153] [0153a] Pag. 104. TAB. XIII. Fig. 1. H E M A F K G B D Fig. 2. A F N E G B D Fig. 4. A G D C H E K F B Fig. 3. E B H X L D C A G D C Fig. 5. A D C G F E B H [0154] [0155]HOROLOG. OSCILLATOR. mul $uperficiei exhibeatur circulus æqualis. cujus exemplum DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. in ca$u uno cæteris $impliciore $ufficiet attuli$$e.

Sit $phæroides latum cujus axis S I, $ectio per axem el- lip$is S T I K; cujus ellip$is centrum O, axis major T K. TAB. XIV. Fig. 2. ponatur autem ellip$is hæc ejusmodi, ut latus transver$um T K habeat ad latus rectum eam rationem, quam linea $e- cundum extremam & mediam rationem $ecta, ad partem $ui majorem.

Sumatur B C potentia dupla ad S O, item B A potentia dupla ad O K. & $int hæ quatuor continue proportionales B C, B A, B F, B E, & ponatur E P æqualis E A. In- telligatur jam conoides hyperbolicum Q F. N, cujus axis F P; axi adjecta, $ive {1/2} latus transver$um F B; dimidium latus rectum æquale B C.

Hujus conoidis $uperficies curva, unà cum $uperficie $phæ- roidis S I, æquabitur circulo cujus datus erit radius M L, qui nempe po$$it quadratum T K cum duplo quadrato S I.

Curvæ parabolicæ æqualem rectam lineam invenire.

SIt parabolæ portio A B C, cujus axis B K, ba$is A C TAB. XIV. Fig. 3. axi ad angulos rectos; & oporteat curvæ A B C rectam æqualem invenire.

Accipiatur ba$i dimidiæ A K æqualis recta I E, quæ pro- ducatur ad H, ut $it I H æqualis A G, quæ parabolam in puncto ba$is A contingens, cum axe producto convenit in G. Sit jam portio hyperbolæ D E F, vertice E, centro I de- $criptæ, cujusque diameter $it E H; ba$is vero D H F or- dinatim ad diametrum applicata. Latus rectum pro lubitu $umi pote$t. Quod $i jam $uper ba$i D F intelligatur paral- lelogrammum con$titutum D P Q F, quod portioni D E F æquale $it; ejus latus P Q ita $ecabit diametrum hyperbolæ in R, ut R I $it æqualis curvæ parabolicæ A B, cujus du- pla e$t A B C.

Apparet igitur hinc quomodo à quadratura hyperbolæ pendeat curvæ parabolicæ men$ura, & illa ab hac vici$$im.

[0156]CHRISTIANI HUGENII

Quæcunque vero problemata ad alterum è duobus hi$ce DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. reducuntur, quamlibet veræ proximam $olutionem per nu- meros accipiunt, logarithmorum admirabili invento. Cum per hos hyperbolæ quadratura, ut olim invenimus, numeris quam proxime explicetur. E$t autem regula hujusmodi.

Sit D A B portio hyperbolæ, cujus a$ymptoti C S, C V, TAB. XV. Fig. 1. ductis D E, B V parallelis a$ymptoto S C.

Accipiatur differentia logarithmorum qui conveniunt nu- meris, eandem inter $e rationem habentibus quam rectæ D E, B V; ejusque differentiæ quæratur logarithmus. Cui adda- tur logarithmus hic (qui $emper e$t idem) 0,36221,56887. Summa erit logarithmus numeri qui $patium D E V B A D de$ignabit, tribus rectis & curva D A B comprehen$i, in partibus qualium parallelogrammum D E e$t 100000,00000. Unde porro facile quoque habebitur area portionis D A B.

Sit ex. gr. proportio D E ad B V ea quæ 36 ad 5.

Ab # 1,55630,25008, logar<#>o. 36. auferatur # 0,69897,00043.logar<#>us. 5. Erit # 0,85733,24965.differ.logar<#>orum. Et # 9,93314, 92856.logar<#>us.differentiæ. Cui addatur # 0,36221,56887.logar<#>us.$emper addendus. Fit # 10,29536,49743. logar<#>us. $patii D E V B A D.

Habebit hujus logarithmi numerus 11 characteres, quum characteri$tica $it 10. Quæratur itaque primo numerus pro- xime minor, conveniens invento logarithmo, qui numerus e$t 19740. Deinde ex differentia logarithmi ejusdem, & pro- xime eum in tabula $equentis, reliqui characteres eliciantur 81026, $cribèndi po$t priores, ut fiat 197408, 10260, addi- to ad $inem zero, ut efficiatur numerus characterum 11. E$t ergo area $patii D E V B A D proxime partium 197408, 10260, qualium partium parallelogrammum D C e$t 100000, 00000.

[0157] [0157a] Pag. 106. TAB. XIV. Fig. 2. T B M S O I C A F K E L Q P N Fig. 1. E F K L A G H M C B D Fig. 3. I G E B P R Q A K C D H F [0158] [0159]HOROLOG. OSCILLATOR. PROPOSITIO X. DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE.

LIneas curvas exhibere quarum evolutione elli- p$es & hyperbolæ de$cribantur, rectasque in- venire iisdem curvis æquales.

Sit ellip$is vel hyperbole quælibet A B, cujus axis trans- TAB. XV. Fig. 2. & 3. ver$us A C; centrum figuræ D; latus rectum duplum ip$ius A E. Et $umpto in $ectione quovis puncto, ut B, applice- tur ordinatim ad axem recta B K, & ad dictum punctum B tangens ducatur quæ conveniat cum axe in F; $itque B G ip$i F B perpendicularis, axique occurrat in G; & produ- catur B G usque ad H, ut B H ad H G habeat rationem eam quæ componitur ex rationibus G F ad F K, & A D ad D E.

Dico curvam E H M, cujus puncta omnia inveniuntur eodem modo quo punctum H, e$$e eam cujus evolu- tione, unà cum recta E A, de$cribetur $ectio A B. Ip$am autem B H tangere curvam in H, & e$$e toti H E A æqua- lem. Quamobrem, $i ab H B auferatur E A, reliqua recta portioni curvæ H E æquabitur. Apparet autem, cum cur- væ puncta quævis indifferenter, certaque ratione invenian- tur, e$$e eam utrobique ex earum genere, quæ merè geo- metricæ cen$entur. Unde & relatio horum omnium puncto- rum ad puncta axis A C, æquatione aliqua exprimi poterit, quam æquationem ad $extam dimen$ionem a$cendere invenio; minimumque habere terminorum, $i fuerit A B hyperbola cujus latera transver$um rectumque æqualia. Tunc enim du- cta ex quovis curvæ puncto, ut H, ad axem C A N per- pendiculari H N; vocatâque A C, _a_; C N, _x_; & N H, _y;_ erit $emper cubus ab _x x-y y-a a_ æqualis 27 _x x y y a a_. Sed hoc ca$u brevius quoque multo, quam prædicta con- $tructione, curvæ E H M puncta reperiri po$$unt, ut in $e- quentibus o$tendetur.

Cæterum notandum e$t, in ellip$i $ingulos quadrantes $in- gularum linearum evolutione de$cribi; $icut quadrans A B L [0160]CHRISTIANI HUGENII evolutione lineæ A E H M, quadrans C L evolutione $imi- DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. lis huic oppo$itæ C O M. E$t enim hæc in $ectione utraque diver$itas, quod cum principium quidem curvæ E H M, tam in ellip$i quam in hyperbola, $it punctum E, $umpta A E æquali {1/2} lateris recti; in hyperbola in infinitum inde dicta linea extenditur, at in ellip$i finitur in puncto axis minoris M, $umpta L M æquali {1/2} lateris recti, $ecundum quod po$$unt ordinatim applicatæ ad dictum minorem axem. Namque hos terminos e$$e hujus curvæ, facile apparebit or- tum ejus con$ideranti, quodque in ellip$i e$t $icut A D ad D E, ita L M ad M D.

Horum autem demon$trationi non immorabimur, $ed ad ip$am methodum tradendam pergemus, qua & hæ curvæ ex $ectionibus conicis, & aliæ innumeræ ex aliis quibu$cun- que datis inveniuntur.

PROPOSITIO XI.

_D_Atâ lineâ curvâ, invenire aliam cujus evolu- tione illa de$cribatur_;_ & o$tendere quod ex unaquaque curva geometrica, alia curva itidem geometrica exi$tat, cui recta linea æqualis dari po$$it.

Sit curva quæpiam, vel pars ejus, in partem unam infle- TAB. XV. Fig. 4. & 5. xa A B F, & recta K L, ad quam puncta omnia referan- tur; & oporteat invenire curvam aliam, ut D E, cujus evolutione ip$a A B F de$cribatur.

Ponatur jam inventa; & quoniam tangentes omnes curvæ D E, nece$$e e$t occurrere lineæ A B F, ex evolutione de- $criptæ, ad angulos rectos; patet quoque vici$$im eas quæ ip$i A B F ad rectos angulos in$i$tunt, ut B D, F E, ta- cturas evolutam C D E.

Intelligantur autem puncta B, F, inter $e proxima; & $i- quidem à parte A evolutio incipere ponatur, ulteriu$que in- de di$tet F quam B, etiam contactus E ulterius quam D@di- [0161]HOROLOG. OSCILLATOR. $tabit ab A; inter$ectio vero rectarum B D, F E, quæ e$t DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. G, cadet ultra punctum D in recta B D. Nam concurrere ip$as B D, F E nece$$e e$t, cum curvæ B F ad partem ca- vam in$i$tant rectis angulis.

Quanto autem punctum F ip$i B propinquius fuerit, tanto propius quoque puncta D, G & E convenire apparet; ideo- que, $i inter$titium B F infinite parvum intelligatur, tria dicta puncta pro uno eodemque erunt habenda; ac præterea, ductâ rectâ B H, quæ curvam in B tangat, eadem quoque pro tangente in F cen$ebitur. Sit B O parallela K L, & in hanc perpendiculares cadant B K, F L: $ecetque F L rectam B O in P, & $int puncta notata M, N, in quibus rectæ, B D, F E, occurrant ip$i K L. Quia igitur ratio B G ad G M e$t eadem quæ B O ad M N, data hac dabi- tur & illa; & quia recta B M datur magnitudine ac po- $itione, dabitur & punctum G in producta B M, $ive D in curva C D E, quia G & D in unum convenire diximus. Datur autem ratio B O ad M N, $impliciter quidem in Cycloide, ubi primùm omnium illam inve$tigavimus, inve- nimu$que duplam; in aliis vero curvis, quas hactenus exa- minavimus, per duarum datarum rationum compo$itionem. Nam quia ratio B O ad M N componitur ex rationibus B O ad B P, $ive N H ad L H, & ex B P $ive K L ad M N; patet, $i rationes hæ utræque dentur etiam ex iis compo$i- tam rationem B O ad M N datum iri. Illas vero dari in o- mnibus curvis geometricis, in $equentibus patebit; ac proin- de iis $emper curvas ad$ignari po$$e, quarum evolutione de- $cribantur, quæque ideo ad rectas lineas $int reducibiles.

Ponatur primò parabola e$$e A B F, cujus vertex A, TAB. XVI. Fig. 2. axis A Q. Cum igitur lineæ B M, F N, $int parabolæ ad angulos rectos; ductæque $int ad axem A Q perpendicula- res B K, F L; erunt, ex proprietate parabolæ, $ingulæ M K, N L dimidio lateri recto æquales; & ablata commu- ni L M, æquales inter $e K L, M N. Hinc, quum ratio B G ad G M componatur ex rationibus N H ad H L, & K L ad M N, uti dictum fuit, $itque earum po$terior ratio [0162]CHRISTIANI HUGENII æqualitatis; liquet rationem B G ad G M fore eandem quæ N H DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. ad H L; & dividendo, B M ad M G, eandem quæ N L ad L H, $ive M K ad K H; nam L H, K H pro eadem habentur, propter propinquitatem punctorum B, F. Data autem e$t ratio M K ad K H, dato puncto B; quoniam tam M K, quam K H dantur magnitudine; nam M K æquatur dimidio lateri recto, K H vero duplæ K A. Dataque etiam e$t po$itione & magnitudine recta B M. Ergo & M G data erit, adeoque & punctum G, $ive D, in curva R D E; quod nempe invenitur productâ B M u$que in G, ut $it B M ad M G $icut {1/2} lateris recti ad duplam K A.

Et $ic quidem, ad$umptis in parabola A B F aliis quotli- bet punctis præter B, totidem quoque puncta lineæ R D E, $imili ratione, invenientur; atque hoc ip$o lineam R D E geometricam e$$e con$tat, unáque proprietas ejus innote$cit, ex qua cæteræ deduci po$$unt. Ut $i inquirere deinde veli- mus, quanam æquatione exprimatur relatio punctorum omnium curvæ C D E ad rectam A Q: ducta in hanc perpen- diculari D Q, vocatoque latere recto parabolæ A B F, _a;_ A K, _b;_ A Q, _x;_ Q D, _y_. Quoniam ratio B M ad M D, hoc e$t, K M ad M Q, e$t ea quæ {1/2} _a_ ad 2 _b_, e$tque ip$a K M = {1/2} _a_, erit & M Q æqualis 2 _b_. E$t autem M A = {1/2} _a_ + _b_. ergo A Q $ive _x_ æqualis 3 _b_ + {1/2} _a_. Unde _b_ = {1/3} _x_ -{1/6} _a_. Porro quoniam, $icut quadratum M K, hoc e$t, {1/4} _a a_ ad quadratum K B, hoc e$t, _a b_, ita qu. M Q, hoc e$t, 4 _b b_ ad qu. Q D; erit qu. Q D, $ive _y y_ = {16b<#>3/4}. Ubi, $i in locum _b_ $ub$tituatur {1/3} _x_ - {1/6}_a_, quod illi æquale inventum e$t, fiet _y y_ = 16. cub. {1/3} _x_ - {1/6} _a_ divi$is per _a_. Ac proinde {27/16} _a y y_ = cubo ab _x_ - {1/2} _a_. Accipiatur A R in axe parabolæ = {1/2} _a_; eritque R Q = _x_ - {1/2} _a_. Curvam igitur C D ejus naturæ e$$e liquet, ut $emper cubus lineæ R Q æquetur parallelepipedo, cujus ba$is qu. Q D, altitudo {27/16} _a_; ac proinde ip$am para- boloidem e$$e, cujus evolutione de$cribi parabolam A B $u- pra o$tendimus; cujus nimirum paraboloidis latus rectum æ- quetur {27/16} lateris recti parabolæ A B. tunc enim hujus latus rectum æquale fit {15/27} lateris recti paraboloidis, quemadmo- dum ibi fuit de$initum.

[0163]HOROLOG. OSCILLATOR.

Quomodo porro ratio O B ad B P, $ive N H ad H L, DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. non tantum cum A B F parabola e$t, $ed etiam alia quæli- bet curva geometrica, $emper inveniri po$$it manife$tum e$t. Quoniam tantum recta F H ducenda e$t, quæ curvam in TAB. XV. Fig. 4. & 5. ad$umpto puncto F tangat, & F N ip$i F H perpendicu- laris: unde N H & H L datæ erunt, ac proinde ratio quo- que earum data.

At non æque liquet quo pacto ratio K L ad M N innote$cat, quam tamen $emper quoque reperiri po$$e $ic o$ten-demus.

Sint rectæ K T, L V, perpendiculares $uper K L, $it- que K T æqualis K M, & L V æqualis L N, & ducatur V X parallela L N, quæ occurrat ip$i K T in X. Quo- niam ergo $emper eadem e$t differentia duarum L K, N M, quæ duarum L N, K M, hoc e$t, quæ duarum L V, K T; e$t autem differentiæ ip$arum L V, K T æqualis X T, & X V ip$i L K; erit proinde N M æqualis duabus $imul V X, X T, vel ei quo V X ip$am X T $uperat. Atque adeo, $i data fuerit ratio V X ad X T, data quoque erit ratio V X ad utramque $imul V X, X T, vel ad exce$$um V X $upra X T, hoc e$t, data erit ratio V X $ive L K ad N M.

Sciendum e$t autem, quoniam K T ip$i K M, & L V ip$i L N, æquales $umptæ $unt, locum punctorum T, V, fore lineam quandam vel rectam vel curvam datam, ut mox o$tendetur. Et $iquidem $it linea recta; ut contingit $i A B F coni $ectio fuerit, & K L axis ejus; con$tat rationem V X ad X T datam fore, data po$itione ip$ius lineæ V T, quæ locus e$t puuctorum V, T; $emperque eandem tunc haberi dictam rationem, qualecunque fuerit intervallum K L.

At $i locus alia linea curva fuerit, diver$a erit ratio V X ad X T, prout majus minu$ve fuerit intervallum K L. In- quirendum e$t autem quænam futura $it i$ta ratio, cum K L infinite parvum imaginamur, quoniam & puncta B, F, pro- xima invicem po$uimus. Similiter itaque & puncta V, T, lineæ curvæ minimam particulam intercipere intelligendum e$t; unde recta V T, cum ea quæ in T curvam contingit, coincidet. Sit ergo tangens illa T Y; pote$t enim duci quo- [0164]CHRISTIANI HUGENII niam curva, ad quam $unt puncta T, V, geometrica e$t. DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. Ratio igitur Y K ad K T data erit, adeoque & V X ad X T. ex qua etiam rationem L K ad N M dari o$tendimus.

Quænam vero $it linea ad quam $unt puncta T, V, in- venitur ponendo certum punctum S in recta K L, & vocan- do S K, _x_; K T, _y_. Nam quia data e$t curva A B F, eique B M ad angulos rectos ducta, invenietur inde quanti- tas lineæ K M, per methodum tangentium à Carte$io traditam, quæ ip$i K T, $ive _y_ æquabitur, & ex ea æquatione, natura curvæ T V innote$cet, ad quam deinde tangens ducenda e$t. Sed clariora omnia fient $equenti exemplo.

Sit A B F paraboloides illa, cui $uperius rectam æqua- TAB. XVI. Fig. 3. lem invenimus; in qua nempe cubi perpendicularium in rectam S K, $int inter $e $icut quadrata ex ip$a S K ab$ci$- $arum. Et oporteat invenire curvam C D E cujus evolu- tione paraboloides S B F de$cribatur.

Hic primum ratio B O ad B P facile invenitur, quia tangentem paraboloidis in puncto B duci $cimus, $umpta S H æquali {1/2} S K. Cui tangenti cum B M ad angulos rectos in- $i$tat, dantur jam lineæ M H, H K, ac proinde earum in- ter $e ratio, quæ e$t eadem quæ O B ad B P.

Ut autem ratio B P, $ive K L ad M N innote$cat, po- nantur ad K L perpendiculares rectæ K T, L V, æquales $ingulis K M, L N, $itque V X parallela L K. Jam quia ex duabus $imul K L, L N, auferendo K M, relinquitur M N ; hoc e$t, auferendo ex duabus X V, V L, $ive

_In Exemplari $uo ad marginem $crip$it Auctor._ $upponitur hic rectam L N majorem e$$e quam K M, quod melius fuerat antea probari, et$i verum e$t. _Demon$tratio autem haud difficilis e$t, $it ab$ci$$a_ S K = x; _perpendicularis_ K B = u; _Tatus rectum paraboloidis_ = a. _Quia_ S H = {1/2} SK, _e$t_ H K = {3/2} S K ({3/2}x). _Propter angulum rectum_ H B M, _triangula rectangula_ H B K, K B M _$imilia $unt, &_ H K ({3/2}x), K B (u), K M, _$unt in continua proportione; ergo_ K M = {2uu/3x}, _cujus quadratum e$t_ {4u<#>4./9xx} = {4au<#>4./9axx}; _$ed ut notavit auctor ex natu-_ _ra Paraboloidis_ A B F, u<#>3 = axx_; ergo quadratum lineæ_ K M = {4au<#>4/9axx} = {4au<#>4/9u<#>3} = {4/9} a u _unde $equitur ip$am_ K M, _augeri $i cre$cat_ B K (u). _Cum autem_ L F _exce-_ _dat_ B K, L N _$uperabit_ K M, quod demon$trandum erat. [0165] [0165a] Pag. 112. TAB. XV. Fig. 1. S D A B C E V Fig. 2. F A E B K G H N L D M O C Fig. 3. C D F A B K E G N H Fig. 5. S M A N B K X T P L F V O C Y D E G H Fig. 4. Y H A S B K T X F L V P O M N C D G E [0166] [0167]HOROLOG. OSCILLATOR. X V, X K, ip$am K T; hinc autem relinqui apparet V X DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. & X T: erunt igitur hæ duæ V X, X T ip$i M N æqua- les, ac proinde ratio K L ad M N eadem quæ V X ad duas $imul V X, X T. Ut autem hæc ratio innote$cat cum intervallum K L e$t minimum; oportet $ecundum prædicta inquirere quis $it locus, $ive linea ad quam $unt puncta T, V. Quod ut fiat $it latus rectum paraboloidis A B F = _a;_ S K = _x;_ K T = _y_.

Quia igitur proportionales $unt K H, K B, K M, e$t- que H K = {1/2} _x:_ K B ex natura paraboloidis æqualis R. cub. _a x x:_ fiet K M, hoc e$t K T = {2/3} R. cub. _a a x_ = _y_, ac proinde {8/27} _a a x_ = _y_<#>3. Unde patet locum punctorum T, V, e$$e paraboloidem illam, quam cubicam vocant geome- træ. Cui proinde ad T tangens ducetur, $umptâ S Y duplâ ip$ius S K, junctâque Y T. Et jam quidem ratio V X ad duas $imul V X, X T, quam diximus eandem e$$e ac K L ad M N, erit ea quæ Y K ad utramque $imul Y K, K T. Hæc autem ratio data e$t, ergo & ratio K L ad M N. Sed & rationem O B ad P B datam e$$e o$ten$um e$t. Ergo, cum ex duabus hi$ce componatur ratio B D ad D M, ut $u- pra patuit, dabitur & hæc; & dividendo, ratio B M ad M D; adeoque & punctum D in curva D E.

Ad con$tructionem autem brevi$$imam hoc pacto hic per- veniemus. K T $ive K M dicta fuit _y_. Itaque M H erit _y_ + {3/2} _x_. Et M H ad H K, $ive O B ad B P, ut _y_ + {3/2} _x_ ad {3/2} _x_. $ive, $umptis omnium duplis, ut 2 _y_ + 3 _x_ ad 3 _x_. Deinde quia Y K = 3 _x_, erit Y K ad Y K + K T, $i- ve per prædicta, K L ad M N, ut 3 _x_ ad 3 _x_ + _y_. Atqui ex rationibus O B ad B P, & K L ad M N, componi di- ximus rationem B D ad D M. Ergo ratio B D ad D M erit compo$ita ex rationibus 2 _y_ + 3 _x_ ad 3 _x_, & 3 _x_ ad 3 _x_ + _y;_ ideoque erit ea quæ 2 _y_ + 3 _x_ ad 3 _x_ + _y_. & divi- dendo, ratio B M ad M D, eadem quæ _y_ ad 3 _x_ + _y_.

Sit S Z perpendicularis ad S K, eique occurrat M B pro- ducta in Z. Quia ergo ratio B M ad M D inventa e$t ea quæ _y_ ad _y_ + 3 _x_, hoc e$t quæ M K ad M K + 3 K S. Sicut au- [0168]CHRISTIANI HUGENII tem M K ad M K + 3 K S, ita M B ad M B + 3 B Z: DE LINEA- RUMCUR- VARUM EVOLUTIO- NE. erit proinde M B ad M D ut M B ad M B + 3 B Z. Un- de liquet M D æqualem $umendam ip$i M B + 3 B Z. At- que ita quotlibet puncta curvæ C D E invenire licebit. Cu- jus curvæ portio quælibet ut D S, rectæ D B, quæ para- boloidi S A B ad angulos rectos occurrit, æqualis erit. Con$tat autem geometricam e$$e, & $i velimus, po$$umus æquatione aliqua relationem exprimere punctorum omnium ip$ius ad puncta axis S K.

Simili modo autem, $i inquiramus in paraboloide illa $ive TAB. XVII. Fig. 1. parabola cubica, in qua cubi ordinatim applicatarum ad axem, $unt inter $e $icut portiones axis ab$ci$$æ, inveniemus curvam cujus evolutione de$cribitur, quæque proinde rectæ lineæ æquari poterit, nihilo difficiliori con$tructione per pun- cta determinari. Nam $i fuerit illa S A B; axis S M; (di- citur autem improprie axis in hac curva, cum forma ejus $it ejusmodi, ut ductâ S Z, quæ $ecet S M ad angulos rectos, ea portiones $imiles curvæ habeat ad partes oppo$itas;) aga- rur per punctum quodlibet B, in paraboloide $umptum, re- cta B D, quæ curvam ad angulos rectos $ecet, axique ejus occurrat in M, rectæ vero S Z in Z. Deinde $umatur B D æqualis dimidiæ B M, unà cum $esquialtera B Z. Eritque D unum è punctis curvæ quæ$itæ R D vel R I, cujus evo- lutione, juncta tamen recta quadam R A, de$cribetur para- boloides S A B. Sunt autem hic, quod notatu dignum e$t, quodque in aliis etiam nonnullis harum paraboloidum con- tingit, duæ evolutiones in partes contrarias, quarum utra- que à puncto certo A initium capit; ita ut evolutione ip$ius A R D, in infinitum porro continuatæ, de$cribatur para- boloidis pars infinita A B F; evolutione autem totius A R I, $imiliter in infinitum exten$æ, tantum particula A S. Pun- ctum autem A definitur, $umptâ S P quæ $it ad latus re- ctum paraboloidis, $icut unitas ad radicem quadrato-qua- draticam numeri 91125, (is cubus e$t ex 45) applicatâque ordinatim P A. Unde porro punctum R, confinium dua- rum curvarum R D, R I, invenitur $icut cætera omnia ha- [0169] [0169a] Pag. 114. TAB. XVI. Fig. 1. M F E A K G N H B D C Fig. 2. H A K B R P F L O M N D Q G E Fig. 3. Y H A S Z X T K B V L P F O C M N D G E [0170] [0171]HOROLOG. OSCILLATOR. rum curvarum, hoc e$t, $icut punctum D modo inventum DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. fuit.

Denique, quæcunque fuerit ex paraboloidum genere cur- va S A B, $emper æque facile curvam aliam, cujus evolu- tione ip$a de$cribatur, quæque propterea rectæ adæquari po$$it, per puncta inveniri comperimus. Atque adeo con- $tructionem univer$alem $equenti tabella exhibemus; quæ quousque libuerit extendi poterit.

# _a x_ = _y_<#>2 # # B M + 2 B Z # _a_<#>2 _x_ = _y_<#>3 # # {1/2} B M + {3/2} B Z Si # _a x_<#>2 = _y_<#>3 # Erit # 2 B M + 3 B Z # = # B D. # _a x_<#>3 = _y_<#>4 # # 3 B M + 4 B Z # _a_<#>3 _x_ = _y_<#>4 # # {1/3} B M + {4/3} B Z

Sit S B parabola, vel paraboloidum aliqua, cujus vertex TAB XVII. Fig. 2. S; recta S K vel axis, vel axi perpendicularis, ad quam re- feruntur æquatione puncta paraboloidis; & ip$a quidem S K $emper ad partem cavam ducta intelligitur; cui perpendicu- laris S Z. Ponendo jam S K = _x;_ B K = _y_, quæ à pun- cto quovis curvæ perpendicularis e$t ip$i S K; & latere re- cto curvæ = _a;_ prior pars tabellæ, quæ ad $ini$tram e$t, naturam $ingularum paraboloidum $ingulis æquationibus ex- plicat. Quibus re$pondent in parte dextra quantitates lineæ B D, quæ $i curvæ S B in$i$tat ad angulos rectos, exhibi- tura $it punctum D in curva quæ$ita C D. Exempli gratia, $i S B e$t parabola quæ ex coni $ectione fit, ei $cimus con- venire æquationem tabellæ primam, _a x_ = _y_<#>2; cui re$pon- det ab altera parte B M + 2 B Z = B D. Unde longitudo lineæ B D cogno$citur, adeoque inventio quotlibet puncto- rum curvæ C D. Quam quidem, hoc ca$u, paraboloidem e$$e $upra demon$tratum fuit, eam nempe, cujus æquatio tertia e$t hujus tabellæ.

Con$truitur autem tabella hoc pacto, ut B M $umatur multiplex $ecundum numerum qui e$t exponens pote$tatis _x_ in æquatione; B Z vero, multiplex $ecundum exponentem pote$tatis _y;_ ex his autem utrisque compo$itæ accipiatur pars denominata ab exponente pote$tatis _a_.

[0172]CHRISTIANI HUGENII

Præter ha$ce autem paraboloides lineas, alias item inve- DE LINEA- RUM CUR- VARUM EVOLUTIO- NE. nimus, à quibus, non ab$imili con$tructione, deducuntur curvæ rectis comparabiles. A$$imilantur autem hyperbolis, eo quod a$ymptotos $uas habent, $ed tantum angulum re- ctum con$tituentes. Et harum primam quidem $tatuimus hy- perbolam ip$am, quæ e$t è coni $ectione.

Reliquarum vero naturam ut explicemus; $unto P S, S K, TAB. XVII. Fig. 3. a$ymptoti curvæ A B, rectum angulum comprehendentes, & à curvæ puncto quolibet B ducatur B K parallela P S, $itque S K = _x;_ K B = _y_. Si igitur hyperbola $it A B, $cimus rectangulum linearum S K, K B, hoc e$t, rectan- gulum _x y_ $emper eidem quadrato æquale e$$e, quod voce- tur _a a_.

Proxima vero hyperboloidum erit, in qua$olidum ex qua- drato lineæ S K, in altitudinem K B ductum, hoc e$t, $o- lidum _x x y_, cubo certo æquabitur, qui vocetur _a_<#>3. Atque ita innumeræ aliæ hujus generis hyperboloides exi$tunt, qua- rum proprietatem $equens tabella fingulis æquationibus ex- hibet, $imulque rationem con$truendi curvam D C, cujus evolutione quæque generetur.

# _x y_ = _a_<#>2 # # {1/2} B M + {1/2} B Z # _x_<#>2 _y_ = _a_<#>3 # # {2/3} B M + {1/3} B Z Si # _x y_<#>2 = _a_<#>3 # Erit # {1/3} B M + {2/3} B Z # = B D # _x_<#>3 _y_ = _a_<#>4 # # {3/4} B M + {1/4} B Z # _x y_<#>3 = _a_<#>4 # # {1/4} B M + {3/4} B Z

Recta D B M Z curvam A B, ut antea quoque, $ecat ad angulos rectos, occurritque a$ymptotis S K, S P, in M & Z. Si igitur exempli gratia hyperbola fuerit A B, cujus æquatio e$t _x y_ = _a_<#>2, $umetur B D = {1/2} B M + {1/2} B Z, quemadmodum tabella præcipit. Eritque punctum Din cur- va D C quæ$ita, cujus alia quotlibet puncta $ic inveniri po- terunt, & portio ejus quælibet rectæ lineæ adæquari. Et hæc quidem eadem illa e$t curva, cujus relationem ad axem hyperbolæ $uperius æquatione expre$$imus. Con$tructio au- tem tabellæ hujus plane eadem e$t quæ $uperioris.

Cæterum, quoniam tum ad harum curvarum, tum ad ea- [0173]HOROLOG. OSCILLATOR. rum quæ ex paraboloidibus na$cuntur con$tructionem, du- DE LINEA- RUMCUR. VARUM EVOLUTIO- NE. cendæ $unt lineæ D B Z, quæ ad datum punctum B $ecent curvas A B, $ive ip$arum tangentes B H, ad angulos re- ctos; dicemus in univer$um quomodo hæ tangentes inve- niantur. In æquatione itaque, quæ cujusque curvæ naturam explicat, quales æquationes duabus tabellis præcedentibus exponuntur, con$iderare oportet quæ $int exponentes pote- $tatum _x_ & _y_, & facere ut, $icut exponens pote$tatis _x_ ad exponentem pote$tatis _y_, ita $it S K ad K H. Juncta enim H B curvam in B continget. Velut in tertia hyperboloide, cujus æquatio e$t _x y_<#>2 = _a_<#>3: quia exponens pote$tatis _x_ e$t 1, pote$tatis autem _y_ exponens 2; oportet e$$e ut 1 ad 2 ita S K ad K H. Horum autem demon$trationem noverunt analyticæ artis periti, qui jam pridem omnes has lineas con- templari cœperunt; & non $olum paraboloidum i$tarum, $ed & $patiorum quorundam infinitorum, inter hyperboloi- des & a$ymptotos interjectorum, plana $olidaque dimen$i $unt. Quod quidem & nos, facili atque univer$ali metho- do, expedire po$$emus, ex $ola tangentium proprietate $um- pta demon$tratione. Sed illa non $unt hujus loci.

HOROLOGII OSCILLATORII _PARS QUARTA_. De centro O$cillationis.

CEntrorum O$cillationis, $eu Agitationis, inve$tigatio- nem olim mihi, fere adhuc puero, alii$que multis, do- cti$$imus Mer$ennus propo$uit, celebre admodum inter illius temporis Geometras problema, prout ex litteris ejus ad me datis colligo, nec non ex Carte$ii haud pridem editis, qui- bus ad Mer$ennianas $uper his rebus re$pon$um continetur. Po$tulabat autem centra illa ut invenirem in circuli $ectori- [0174]CHRISTIANI HUGENII bus, tam ab angulo quam à medio arcu $u$pen$is, atque in DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. latus agitatis, item in circuli $egmentis, & in triangulis, nunc ex vertice, nunc ex media ba$i pendentibus. Quod eo redit, ut pendulum $implex, hoc e$t, pondus filo appen$um reperiatur ea longitudine, ut o$cillationes faciat temporum eorundem ac figuræ i$tæ, uti dictum e$t, $u$pen$æ. Simul vero pretium operæ, $i forte quæ$itis $atisfeci$$em, magnum $ane & invidio$um pollicebatur. Sed a nemine id quod de$i- derabat tunc obtinuit. Nam me quod attinet, cum nihil re- perirem quo vel primus aditus ad contemplationem eam pa- te$ceret; velut à limine repul$us, longiori inve$tigatione tunc quidem ab$tinui. Qui vero rem $e$e confeci$$e $perabant viri in$ignes, Carte$ius, Honoratus Fabrius, aliique, nequaquam $copum attigerunt, ni$i in paucis quibu$dam facilioribus, $ed quorum tamen demon$trationem nullam idoneam, ut mi- hi videtur, attulerunt. Idque comparatione eorum quæ hic trademus manife$tum fore $pero, $i quis forte quæ ab illis tradita $unt, cum no$tris hi$ce contulerit; quæ quidem & certioribus principiis demon$trata arbitror, & experimentis pror$us convenientia reperi. Occa$io vero ad hæc denuo ten- tanda, ex pendulorum automati no$tri temperandorum ratio- ne oblata e$t, dum pondus mobile, præter id quod in imo e$t, illis appl<007>co, ut in de$criptione horologii fuit explica- tum. Hinc melioribus au$piciis atque à prima origine rem exor$us, tandem difficultates omnes $uperavi, nec tantum problematum Mer$ennianorum $olutionem, $ed alia quoque illis difficiliora reperi, & viam denique, qua in lineis, $u- perficiebus, $olidi$que corporibus certa ratione centrum illud inve$tigare liceret. Unde quidem, præter voluptatem inve- niendi quæ multum ab aliis quæ$ita fuerant, cogno$cendique in his rebus naturæ leges decretaque, utilitatem quoque eam cepi, cujus gratia primo animum ad hæc applicueram, reperta illa horologii temperandi ratione facili & expedita. Acce$$it autem hoc quoque, quod pluris faciendum arbitror, ut certæ, $æculi$que omnibus duraturæ, men$uræ defini- tionem ab$oluti$$imam per hæc tradere po$$em; qualis e$t ea quæ ad finem horum adjecta reperietur.

[0175]HOROLOG. OSCILLATOR. DEFINITIONES. DECENTRO OSCILLA- TIONIS. I.

_P_Endulum dicatur figura quælibet gravitate præ- dita, $ive linea fuerit, $ive $uperficies, $ive $o- lidum, ita $u$pen$a ut circa punctum aliquod, vel axem potius, qui plano horizontis parallelus intel- ligitur, motum reciprocum vi gravitatis $uæ con- tinuare po$$it.

II.

Axis ille horizontis plano parallelus, circa quem penduli motus fieri intelligitur, dicatur axis O$cil- cillationis.

III.

Pendulum $implex dicatur quod filo vel linea in- flexili, gravitatis experte, con$tare intelligitur, ima $ui parte pondus affixum gerente; cujus pon- deris gravitas, velut in unum punctum collecta, cen$enda e$t.

IV.

Pendulum verò compo$itum, quod pluribus pon- deribus con$tat, immutabiles di$tantias $ervantibus, tum inter $e, tum ab axe O$cillationis. Hinc figura quælibet $u$pen$a, ac gravitate prædita, pendu- lum compo$itum dici pote$t, quatenus cogitatu in partes quotlibet e$t divi$ibilis.

V.

Pendula i$ochrona vocentur, quorum O$cillatio- [0176]CHRISTIANI HUGENII nes, per arcus $imiles, æqualibus temporibus per- DECENTRO OSCILLA- TIONIS. aguntur.

VI.

Planum O$cillationis dicatur illud, quod per cen- trum gravitatis figuræ $u$pen$æ duci intelligitur, ad axem o$cillationis rectum.

VII.

Linea centri, recta quæ per centrum gravitatis figuræ ducitur, ad axem o$cillationis perpendicula- ris.

VIII.

Linea perpendiculi, recta in plano o$cillationis, ducta ab axe o$cillationis, ad horizontis planum per- pendicularis.

IX.

Centrum o$cillationis vel agitationis figuræ cu- juslibet, dicatur punctum in linea centri, tantum ab axe o$cillationis di$tans, quanta e$t longitudo penduli $implicis quod figuræ i$ochronum $it.

X.

Axis gravitatis, linea quævis recta, per cen- trum gravitatis figuræ tran$iens.

XI.

Figura plana, vel linea in plano $ita, in pla- num agitari dicatur, cum axis o$cillationis in eo- dem cum figura lineave e$t plano.

[0177]HOROLOG. OSCILLATOR. XII. DECENTRO OSCILLA- TIONIS.

Eædem vero in latus agitari dicantur, cum axis o$cillationis ad figuræ lineæve planum rectus e$t.

XIII.

Quando pondera in rectas lineas duci dicentur, id ita e$t intelligendum, ac $i numeri lineæve, quantitates ponderum rationemque inter $emutuam exprimentes, ita ducantur.

HYPOTHESES. I.

_S_I pondera quotlibet, vi gravitatis $uæ, moveri incipiant; non po$$e centrum gravitatis ex ip$is compo$itæ altius, quam ubi incipiente motu repe- riebatur, a$cendere.

Altitudo autem in his $ecundum di$tantiam à plano hori- zontali con$ideratur, graviaque ponuntur ad hoc planum, $ecundum rectas ip$i perpendiculares, de$cendere conari. Quod idem ab omnibus, qui de centro gravitatis egerunt, vel ponitur expre$$e, vel à legentibus $upplendum e$t, cum abs- que eo centri gravitatis con$ideratio locum non habeat.

Ip$a vero hypothe$is no$tra quominus $crupulum moveat, nihil aliud $ibi velle eam o$tendemus, quam quod nemo un- quam negavit, gravia nempe $ur$um non ferri. Nam primo, $i unum quodpiam corpus grave proponamus, illud vi gravi- tatis $uæ altius a$cendere non po$$e extra dubium e$t. a$cen- dere autem tunc intelligitur $cilicet, cum ejus centrum gra- vitatis a$cendit. Sed & idem de quotlibet ponderibus, in- ter $e per lineas inflexiles conjunctis, concedi nece$$e e$t, quoniam nihil vetat ip$a tanquam unum aliquod con$iderari. [0178]CHRISTIANI HUGENII Itaque neque horum commune gravitatis centrum ultro a$cen- DECENTRO OSCILLA- TIONIS. dere poterit.

Quod $i jam pondera quotlibet non inter fe connexa po- nantur, illorum quoque aliquod commune centrum gravita- tis e$$e $cimus. Cujus quidem centri quanta erit altitudo, tantam ajo & gravitatis ex omnibus compo$itæ altitudinem cen$eri debere; $iquidem omnia ad eandem illam centri gra- vitatis altitudinem deduci po$$unt, nullâ accer$itâ po- tentiâ quam quæ ip$is ponderibus ine$t, $ed tantum lineis inflexilibus ea pro lubitu conjungendo, ac circa gravitatis centrum movendo; ad quod nulla vi neque potentia deter- minata opus e$t. Quare, $icut fieri non pote$t ut pondera quædam, in plano eodem horizontali po$ita, $upra illud planum, vi gravitatis $uæ, omnia æqualiter attollantur; ita nec quorumlibet ponderum, quomodocunque di$po$itorum, centrum gravitatis ad majorem quam habet altitudinem per- venire poterit. Quod autem diximus pondera quælibet, nulla adhibita vi, ad planum horizontale, per centrum commune gravitatis eorum tran$iens, perduci po$$e, $ic o$tendetur.

Sint pondera A, B, C, po$itione data, quorum commu- TAB. XVII. Fig. 4. ne gravitatis centrum $it D. per quod planum horizontale ductum ponatur, cujus $ectio recta E F. Sint jam lineæ in- flexiles D A, D B, D C, quæ pondera $ibi invariabiliter connectant; quæ porro moveantur, donec A $it in plano E F ad E. Virgis vero omnibus per æquales angulos dela- tis, erunt jam B in G, & C in H.

Rur$us jam B & C connecti intelligantur virgâ H G, quæ $ecet planum E F in F; ubi nece$$ario quoque erit centrum gravitatis binorum i$torum ponderum connexorum, cum trium, in E, G, H, po$itorum, centrum gravitatis $it D, & ejus quod e$t in E, centrum gravitatis $it quoque in pla- no E D F. Moventur igitur rur$us pondera H, G, $uper puncto F, velut axe, absque vi ulla, ac $imul utraque ad planum E F adducuntur, adeo ut jam tria, quæ prius erant in A, B, C, ad ip$am $ui centri gravitatis D altitudinem, [0179] [0179a] Pag. 122 TAB. XVII. Fig. 1. S A P B R M D I Fig. 2. H S Z K B C M D Fig. 3. P S Z M A B K D H Fig. 4. H C A E D F B G [0180] [0181]HOROLOG. OSCILLATOR. $uo ip$orum æquilibrio, translata appareat. quod erat o$ten- DE CENTR@ OSCILLA- TIONIS. dendum. Eademque de quotcunque aliis e$t demon$tratio.

Hæc autem hypothe$is no$tra ad liquida etiam corpora valet, ac per eam non $olum omnia illa, quæ de innatanti- bus habet Archimedes, demon$trari po$$unt, $ed & alia ple- raque Mechanicæ theoremata. Et $anè, $i hac eadem uti $cirent novorum operum machinatores, qui motum perpe- tuum irrito conatu moliuntur, facile $uos ip$i errores depre- henderent, intelligerentque rem eam mechanica ratione haud- quaquam po$$ibilem e$$e.

II.

Remoto aëris, alioque omni impedimento mani- fe$to, quemadmodum in $equentibus demon$tratio- nibus id intelligivolumus, centrum gravitatis pen- duli agitati, æquales arcus de$cendendo ac a$cen- dendo percurrere.

De pendulo $implici hoc demon$tratum e$t propo$itione 9 de De$cen$u gravium. Idem vero & de compo$ito tenendum e$$e declarat experientia; $iquidem, quæcunque fuerit pen- duli figura, æque apta continuando motui reperitur, ni$i in quantum plus minusve aëris objectu impeditur.

PROPOSITIO I.

POnderibus quotlibet ad eandem partem plani exi$tentibus, $i à $ingulorum centris gravitatis agantur in planum illud perpendiculares; hæ $in- gulæ in $ua pondera ductæ, tantundem $imul effi- cient, ac perpendicularis, à centro gravitatis pon- derum omnium in planum idem cadens, ducta in pondera omnia.

Sint pondera A, B, C, $ita ad eandem partem plani, TAB. XVII@ Fig. 1. [0182]CHRISTIANI HUGENII cujus $ectio recta D F, inque ip$um à $ingulis ponderibus DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. ducantur perpendiculares A D, B E, C F. Sit autem G punctum centrum gravitatis ponderum omnium A, B, C, à quo ducatur perpendicularis in idem planum G H. Dico $ummam productorum, quæ fiunt à $ingulis ponderibus in $uas perpendiculares, æquari producto ab recta G H in omnia pondera A, B, C.

Intelligantur enim perpendiculares, à $ingulis ponderibus eductæ, continuari in alteram partem plani D F, $intque $ingulæ D K, E L, F M, ip$i H G æquales; omnesque lineæ, inflexiles virgas referant, ad horizontem parallelas; & ponantur in K, L, M, gravitates ejusmodi, quæ $ingu- læ cum $ibi oppo$itis A, B, C, æquilibrium faciant ad in- ter$ectionem plani D E F. Omnes igitur K, L, M, æqui- ponderabunt omnibus A, B, C. Erit autem, $icut longitu- do A D ad D K, ita pondus K ad pondus A, ac proinde D A ducta in magnitudinem A, æquabitur D K, $ive G H, ductæ in K. Similiter E B in B æquabitur E L, $ive G H, in L; & F C in C æquabitur F M, $ive G H, in M. Er- go $umma productorum ex A D in A, B E in B, C F in F, æquabitur $ummæ productorum ex G H in omnes K, L, M. Quum autem K, L, M, æquiponderent ip$is A, B, C, etiam iisdem A, B, C, ex centro ip$orum gravita- tis G $u$pen$is, æquiponderabunt. Unde, cum di$tantia G H æqualis $it $ingulis D K, E L, F M, nece$$e e$t ma- gnitudines A, B, C, $imul $umptas, æquari ip$is K, L, M. Itaque & $umma productorum ex G H in omnes A, B, C, æquabitur productis ex D A in A, E B in B, & F C in C. quod erat demon$trandum.

Et$i vero in demon$tratione po$itæ fuerint rectæ A K, B L, C M, horizonti parallelæ, & planum ad horizontem ere- ctum; patet, $i omnia $imul in alium quemlibet $itum trans- ponantur, eandem manere productorum æqualitatem, cum rectæ omnes $int eædem quæ prius. Quare con$tat propo- $itum.

[0183]HOROLOG. OSCILLATOR. PROPOSITIO II. DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. TAB. XVIII. Fig. 1.

_P_O$itis quæ prius, $i pondera omnia _A, B, C,_ $int æqualia; dico $ummam omnium perpendi- cularium _A D, B E, C F_, æquari perpendicula- ri, à centro gravitatis ductæ, _G H_, multiplici $ecundum ponderum numerum.

Quum enim $umma productorum, à ponderibus $ingulis in $uas perpendiculares, æquetur producto ex G H in pon- dera omnia; $itque hìc, propter ponderum æqualitatem, $umma illa productorum æqualis producto ex uno pondere in $ummam omnium perpendicularium; itemque productum ex G H in pondera omnia, idem quod productum ex pon- dere uno in G H, multiplicem $ecundum ponderum nume- rum: patet $ummam perpendicularium nece$$ario jam æquari ip$i G H, multiplici $ecundum ponderum numerum. quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO III.

_S_I magnitudines quædam de$cendant omnes, vel a$cendant, licet inæqualibus intervallis; alti- tudines de$cen$us vel a$cen$us cujusque, in ip$am magnitudinem ductæ, efficient $ummam producto- rum æqualem ei, quæ fit ex altitudine de$cen$us vel a$cen$us centri gravitatis omnium magnitudi- num, ducta in omnes magnitudines.

Sunto magnitudines A, B, C, quæ ex A, B, C, de$cen- TAB. XVIII. Fig. 2. dant in D, E, F; vel ex D, E, F, a$cendant in A, B, C. Sitque earum centrum gravitatis omnium, dum $unt in A, B, C, eadem altitudine cum puncto G; cum vero $unt in D, E, F, eadem altitudine cum puncto H. Dico $ummam productorum ex altitudine A D in A, B E in B, C F in C, æquari producto ex G H in omnes A, B, C.

[0184]CHRISTIANI HUGENII

Intelligatur enim planum horizontale cujus $ectio recta DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. M P, atque in ip$um incidant productæ A D, B E, C F & G H, in M, N, O, P.

Quia igitur $umma productorum ex A M in A, B N in B, C O in C, æqualis e$t facto ex G P in omnes A, B, C . Prop. 1. huj. Similiterque $umma productorum ex D M in A, E N in B, F O in C, æqualis facto ex H P in omnes A, B, C; $e- quitur & exce$$um priorum productorum $upra po$teriora, æquari facto ex G H in omnes magnitudines A, B, C. Di- ctum vero exce$$um æquari manife$tum e$t productis ex A D in A, B E in B, C F in C. Ergo hæc $imul etiam æqua- lia erunt producto ex G H in omnes A, B, C. quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO IV.

_S_I pendulum è pluribus ponderibus compo$itum, atque è quiete dimi$$um, partem quamcunque o$cillationis integræ confecerit, atque inde porro intelligantur pondera ejus $ingula, relicto communi vinculo, celeritates acqui$itas $ur$um convertere, ac quousque po$$unt a$cendere; hoc facto, centrum gravitatis ex omnibus compo$itæ, ad eandem alti- tudinem rever$um erit, quam ante inceptam o$cil- lationem obtinebat.

Sit pendulum compo$itum ex ponderibus quotlibet TAB. XVIII. Fig. 3. 4. A, B, C, virgæ, vel $uperficiei pondere carenti, inhæren- tibus. Sitque $u$pen$um ab axe per D punctum ducto, qui ad planum, quod hic con$picitur, perpendicularis intelliga- tur. In quo eodem plano etiam centrum gravitatis E, pon- derum A, B, C, po$itum $it; lineaque centri D E, incli- netur ad lineam perpendiculi D F, angulo E D F: attra- cto, nimirum, eo u$que pendulo. Hinc vero dimitti jam ponatur, ac partem quaml<007>bet o$cillationis conficere, ita ut pondera A, B, C, perveniant in G, H, K. Unde, reli- [0185]HOROLOG. OSCILLATOR. cto deinceps communi vinculo, $ingula intelligantur acqui- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. $itas celeritates $ur$um convertere, (quod impingendo in pla- na quædam inclinata, fieri poterit,) & quou$que po$$unt a$cendere, nempe in L, M, N. Quo ubi pervenerint, $it centrum gravitatis omnium punctum P. Dico hoc pari alti- tudine e$$e cum puncto E.

Nam primum quidem, con$tat P non altius e$$e quam E, ex prima $umptarum hypothe$ium. Sed nec humilius fore $ic o$tendemus. Sit enim, $i pote$t, P humilius quam E, & intelligantur pondera ex ii$dem, ad quas a$cenderunt, alti- tudinibus recidere, quæ $unt L G, M H, N K. Unde quidem ea$dem celeritates ip$is acquiri con$tat, quas habe- bant ad a$cendendum ad i$tas altitudines , hoc e$t, eas i- Propo$. 4. part. 2. p$as quas acqui$ierant motu penduli ex C B A D in K H G D. Quare, $i cum dictis celeritatibus ad virgam $u- perficiemve, cui innexa fuere, nunc referantur, eique $i- mul adhære$cant, motumque $ecundum inceptos arcus con- tinuent; quod fiet, $i priu$quam virgam attingant, à planis inclinatis Q Q repercu$$a intelligantur; ab$olvet, hoc modo re$titutum pendulum, o$cillationis partem reliquam, æquè ac $i ab$que ulla interruptione motum continua$$et. Ita ut centrum gravitatis penduli, E, arcus æquales E F, F R, de$cendendo ac a$cendendo percurrat, ac proinde in R ea- dem ac in E altitudine reperiatur. Ponebatur autem E e$$e altius quam P centrum gravitatis ponderum in L, M, N, po$itorum. Ergo & R altius erit quam P: adeoque ponde- rum ex L, M, N, delap$orum centrum gravitatis, altius, quam unde de$cenderat, a$cendi$$et. quod e$t ab$urdum . Hypoth. @ huj. Non igitur centrum gravitatis P humilius e$t quam E. Sed nec altius erat. Ergo æque altum $it nece$$e e$t. quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO V.

_D_Ato pendulo ex ponderibus quotlibet compo$ito, $i $ingula ducantur in quadrata di$tantiarum [0186]CHRISTIANI HUGENII $uarum ab axe o$cillationis, & $umma producto- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. rum dividatur per id quod fit ducendo ponderum $ummam, in di$tantiam centri gravitatis commu- nis omnium ab eodem axe o$cillationis; orietur lon- gitudo penduli $implicis compo$ito i$ochroni, $ive di- $tantia inter axem & centrum o$cillationis ip$ius penduli compo$iti.

Sint pondera pendulum componentia, (quorum nec figura TAB. XIX. Fig. 1. 2. nec magnitudo, $ed gravitas tantum con$ideretur), A, B, C, $u$pen$a ab axe, qui per punctum D, ad planum quod con$pi- citur, rectus intelligitur. In quo plano $it quoque eorum cen- trum commune gravitatis E; nam pondera in diver$is e$$e ni- hil refert. Di$tantia puncti E ab axe, nempe recta E D, vo- cetur _d_. Item ponderis A di$tantia A D, $it _e;_ B D, _f_; C D, _g_. Ducendo itaque $ingula pondera in quadrata $ua- rum d<007>$tantiarum, erit productorum $umma _a e e_ + _b f f_ + _c g g_. Et rur$us, ducendo $ummam ponderum in di$tan- tiam centri gravitatis omnium, productum æquale erit _a d_ + _b d_ + _c d_ . Unde, productum prius per hoc dividen- Prop. 1. h@. do, habebitur {_a e e_ + _b f f_ + _c @ @_/_a d_ + _b d_ + _c a_}. Cui longitudini $i æqualis $ta- tuatur longitudo penduli $implicis F G, quæ etiam _x_ vo- cabitur; dico hoc illi compo$ito i$ochronum e$$e.

Ponantur enim tum pendulum F G, tum linea centri D E, æqualibus angulis à linea perpendiculi remota, illud ab F H, hæc ab D K, atque inde dimi$$a librari, & in recta D E $umatur D L æqualis F G. Itaque pondus G penduli F G, integra o$cillatione arcum G M percurret, quem linea perpendiculi F H medium $ecabit. punctum ve- ro L arcum illi $imilem & æqualem L N, quem medium dividet D K. Itemque centrum gravitatis E, percurret $i- milem arcum E I. Quod $i in arcubus G M, N L, $um- ptis punctis quibuslibet, $imiliter ip$os dividentibus, ut O & P, eadem celeritas e$$e o$tendatur ponderis G in O, & puncti L in P; con$tabit inde æqualibus temporibus utros- [0187] [0187a] Pag. 128. TAB. XVIII. Fig. 1. A G C B D E H F K I M Fig. 2. A C G B E F D H M N O P Fig. 3. D L Q A G Q M R E P. Q B F N H Q C Q K Q Fig. 4. N Q K C Q D L R E P F A Q G M Q Q H B Q [0188] [0189]HOROLOG. OSCILLATOR. que arcus percurri, ac proinde pendulum F G, pendulo DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. compo$ito ex A, B, C, i$ochronum e$$e. O$tendetur au- tem hoc modo.

Sit primo, $i pote$t, major celeritas puncti L, ubi in P pervenit, quam ponderis G in O. Con$tatautem, dum pun- ctum L percurrit arcum L P, $imul centrum gravitatis E percurrere arcum $imilem E Q. Ducantur à punctis Q, P, O, perpendiculares $ur$um, quæ occurrant $ubten$is arcuum E I, L N, G M, in R, S, Y. & S P vocetur _y_. Unde, cum $it ut L D, _x_, ad E D, _d_, ita S P, _y_, ad R Q; erit R Q æqualis {_d y_/_x_}. Jam quia pondus G eam celeritatem ha- bet in O, qua valet ad eandem unde de$cendit altitudinem a$cendere, nempe per arcum O M, vel perpendicularem O Y ip$i P S æqualem; punctum igitur L, ubi in P per- venerit, majorem ibi celeritatem habebit, quam qua a$cen- ditur ad altitudinem P S. Dum vero L tran$it in P, $imul pondera A, B, C, $imiles arcus percurrunt ip$i L P, nimirum A T, B V, C X. E$tque puncti L celeritas in P, ad celeri- tatem ponderis A in T, quum vinculo eodem contineantur, $icut di$tantia D L ad D A. Sed ut quadratum celeritatis puncti L, quam habet in P, ad quadratum celeritatis pun- cti A in T, ita e$t altitudo ad quam illa celeritate a$cendi pote$t, ad altitudinem quò hac celeritate a$cendi pote$t . Ergo etiam, ut quadratum di$tantiæ D L, quod Prop. 3. & 4. part. @. e$t _x x_, ad quadratum di$tantiæ D A, quod e$t _e e_, ita e$t altitudo quo a$cenditur celeritate puncti L, quum e$t in P, (quæ altitudo major dicta e$t quam P S $ive _y_,) ad altitu- dinem quo a$cenditur celeritate ponderis A in T; $i nempe po$tquam in T pervenit, relicto pendulo, $eor$im motum $uum $ur$um converteret. Quæ proinde altitudo major erit quam {_e e y_/_x x_}.

Eadem ratione, erit altitudo ad quam a$cenderet pondus B, celeritate acqui$ita per arcum B V, major quam {_f f y_/_x x_}. Et altitudo ad quam a$cenderet pondus C, celeritate acqui$ita per arcum C X, major quam {_g g y_/_x x_}. Unde, ductis $ingulis al- [0190]CHRISTIANI HUGENII titudinibus i$tis in $ua pondera, erit $umma productorum DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. major quam {_a e e y_ + _b f f y_ + _c g g y_/_x x_}. quæ proinde major quoque probatur quam {_a d y_ + _b d y_ + _c d y_/_x_}. Nam quia po$ita e$t longitudo _x_ æqualis {_a e e_ + _b f f_ + _g g_/_a d_ + _b d_ + _c d_}; erit _a d x_ + _b d x_ + _c d x_ æquale _a e e_ + _b f f_ + _c g g_. Et ductis omnibus in _y_, & dividen- do per _x x_, erit {_a d y_ + _b d y_ + _c d y_/_x_} æquale {_a e e y_ + _b f f y_ + _c g g y_/_x x_}. Unde quod dictum e$t con$equitur. E$t autem $umma i$ta produ- ctorum æqualis ei, quod fit ducendo altitudinem, ad quam a$cendit centrum gravitatis commune ponderum A, B, C, in $ummam ip$orum ponderum, _a_ + _b_ + _c_; $i nempe $ingu- la, uti dictum, $eor$im quousque po$$unt moveantur. Quan- titas vero {_a d y_ + _b d y_ + _c d y_/_x_} producitur ex de$cen$u centri gravi- tatis eorundem ponderum, (qui de$cen$us e$t R Q, $ive {_d y_/_x_}, ut $upra inventum fuit,) in eandem quoque ponderum $um- mam _a_ + _b_ + _c_. Ergo quum prius productum altero hoc majus o$ten$um fuerit, $equitur a$cen$um centri gravitatis ponderum A, B, C, $i, relicto pendulo ubi pervenere in T, V, X, $ingula celeritates acqui$itas $ur$um convertant, majorem fore ejusdem centri gravitatis de$cen$u, dum ex A, B, C, moventur in T, V, X. quod e$t ab$urdum, cum dictus a$cen$us de$cen$ui æqualis e$$e debeat, per anteceden- tem.

Eodem modo, $i dicatur celeritatem puncti L, ubi per- venerit in P, minorem e$$e celeritate ponderis G quum in O pervenerit; o$tendemus a$cen$um po$$ibilem centri gravitatis ponderum A, B, C, minorem e$$e quam de$cen$um, quod eidem propo$itioni antecedenti repugnat. Quare relinquitur ut eadem $it celeritas puncti L, ad P tran$lati, quæ ponde- ris G in O. Unde, ut $uperius dictum, $equitur pendulum $implex F G compo$ito ex A, B, C, i$ochronum e$$e.

PROPOSITIO VI.

_D_Ato pendulo ex quotcunque ponderibus æqua- libus compo$ito; $i $umma quadratorum facto- [0191]HOROLOG. OSCILLATOR. rum à di$tantiis, quibus unumquodque pondus ab- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. e$t ab axe o$cillationis, applicetur ad di$tantiam centri gravitatis communis ab eodem o$cillationis axe, multiplicem $ecundum ip$orum ponderum nu- merum, orietur longitudo penduli $implicis compo- $ito i$ochroni.

Sint po$ita eadem quæ prius, $ed pondera omnia inter $e æqualia intelligantur, & $ingula dicantur _a_. Rur$us vero nulla eorum magnitudo con$ideretur, $ed pro minimis ha- beantur, quantum ad exten$ionem.

Itaque penduli $implicis i$ochroni longitudo, per propo- $itionem antecedentem, erit {_a e e_ + _a f f_ + _a g g_/_a d_ + _a d_ + _a d_}. Vel, quia quanti- tas divi$a ac dividens utraque per _a_ dividitur, fiet nunc ea- dem longitudo, {_e e_ + _f f_ + _g g_/_3d_}. Quo $ignificatur $umma quadra- torum à di$tantiis ponderum ab axe o$cillationis, applicata ad di$tantiam centri gravitatis omnium ab eodem o$cillatio- nis axe, multiplicem $ecundum numerum ip$orum ponde- rum, qui hic e$t 3. facile enim per$picitur numerum hunc, in quem ducitur di$tantia _d_, re$pondere nece$$ario ip$i pon- derum numero. Quare con$tat propo$itum.

Quod $i pondera æqualia in unam lineam rectam conjun- cta $int, atque ex termino ejus $uperiore $u$pen$a; con$tat di$tantiam centri gravitatis, ex omnibus compo$itæ, ab axe o$cillationis, multiplicem $ecundum ponderum numerum, æquari $ummæ di$tantiarum omnium ponderum ab eodem o$cillationis axe ; ac proinde, hoc ca$u, habebitur quoque Prop. 2. huj. longitudo penduli $implicis, compo$ito i$ochroni, $i $umma quadratorum à di$tantiis ponderum $ingulorum ab axe o$cil- lationis, dividatur per $ummam earundem omnium di$tan- tiarum.

[0192]CHRISTIANI HUGENII DEFINITIO XIV. DE CENTRO OSOILLA- TIONIS.

_S_I fuerint in eodem plano, figura quædam, & li- nea recta quæ ip$am extrin$ecus tangat; & per ambitum figuræ alia recta, plano ejus perpendicu- laris, circumferatur, $uperficiemque quandam de- $cribat, quæ deinde $ecetur plano per dictam tan- gentem ducto & ad dictæ figur æplanum inclinato; $olidum comprehen$um à duobus planis i$tis, & par- te $uperficiei de$criptæ, inter utrumque planum in- tercepta, vocetur Cuneus $uper figura illa, tan- quam ba$i, ab$ci$$us.

In $chemate adjecto, e$t A B E C figura data; recta eam TAB. XXI. Fig. 3. tangens M D; quæ vero per ambitum ejus circumfertur, E F; cuneus autem figura $olida planis A B E C, M F G, & parte $uperficiei, à recta E F de$criptæ, comprehen$a.

DEFINITIO XV.

_D_ I$tantia inter rectam, per quam cuneus ab$ci$- $us e$t, & punctum ba$eos, in quod perpen- dicularis cadit à cunei centro gravitatis, dicatur cunei Subcentrica.

Nempe in figura eadem, $i K $it centrum gra- TAB. XIX. Fig. 3. vitatis cunei, recta vero K I ad ba$in ejus A B E C perpendicularis ducta $it, & rur$us I M perpen- dicularis ad M D; erit I M, quam $ubcentri- cam dicimus.

PROPOSITIO VII.

_C_Uneus $uper plana figura qualibet ab$ci$$us, plano inclinato ad angulum $emirectum, æqua- [0193]HOROLOG. OSCILLATOR. lis e$t $olido, quod fit ducendo figuram eandem, in DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. altitudinem æqualem di$tantiæ centri gravitatis fi- guræ, ab recta per quam ab$ci$$us e$t cuneus.

Sit, $uper figura plana A C B, cuneus A B D ab$ci$$us TAB. XI. Fig. 4. plano ad angulum $emirectum inclinato, ac transeunte per E E, rectam tangentem figuram A C B, inque ejus plano $itam. Centrum vero gravitatis figuræ $it F, unde in rectam E E ducta $it perpendicularis F @. Dico cuneum A C B æ- qualem e$$e $olido, quod fit ducendo figuram A C B in al- titudinem ip$i F A æqualem.

Intelligatur enim figura A C B divi$a in particulas mini- mas æquales quarum una G. Itaque con$tat, $i harum $in- gulæ ducantur in di$tantiam $uam ab recta E E, $ummam productorum fore æqualem ei quod fit ducendo rectam A F in particulas omnes , hoc e$t, ei quod fit ducendo figuram Prop. 1. huj. ip$am A C B, in altitudinem æqualem A F. Atqui particu- læ $ingulæ ut G, in di$tantias $uas G H ductæ, æquales $unt parallelepipedis, vel prismatibus minimis, $uper ip$as erectis, atque ad $uperficiem obliquam A D terminatis, qua- le e$t G K; quia horum altitudines ip$is d<007>$tantiis G H æ- quantur, propter angulum $emirectum inclinationis plano- rum A D & A C B. Patetque ex his parallelepipedis totum cuneum A B D componi. Ergo & cuneus ip$e æquabitur $o- lido $uper ba$i A C B, altitudinem habenti rectæ F A æ- qualem. quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO VIII.

_S_I figuram planam linea recta tangat, divi$aque intelligatur figura in particulas minimas æqua- les, atque à $ingulis ad rectam illam perpendicula- res ductæ: erunt omnium harum quadrata, $imul $umpta, æqualia rectangulo cuidam, multiplici $e- cundum ip$arum particularum numerum; quod [0194]CHRISTIANI HUGENII nempe rectangulum fit à di$tantia centri gravitatis DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. figuræ ab eadem recta, & à $ubcentrica cunei, qui per illam $uper figura ab$cinditur.

Po$itis enim cæteris omnibus quæ in con$tructione præce- TAB. XIX. Fig. 4. denti, $it L A cunei A B D $ubcentrica in rectam E E. O- portet igitur o$tendere, $ummam quadratorum omnium à di- $tantiis particularum figuræ A C B æquari rectangulo ab F A, L A, multiplici $ecundum particularum numerum.

Et con$tat quidem ex demon$tratione præcedenti, altitu- dines parallelepipedorum $ingulorum, ut G K, æquales e$- $e di$tantiis particularum, quæ ip$orum ba$es $unt, ut G, ab recta A E. Quare, $i jam parallelepipedum G K ducamus in di$tantiam G H, perinde e$t ac $i particula G ducatur in quadratum di$tantiæ G H. Eodemque modo $e res habet in reliquis omnibus. Atqui producta omnia parallelepipedorum in d<007>$tantias $uas ab recta A E, æquantur $imul producto ex cuneo A B D in di$tantiam L A , quia cuneus gravitat $u- Prop. 1. huj. per puncto L. Ergo etiam $umma productorum à particulis $ingulis G, in quadrata $uarum di$tantiarum ab recta A E, æquabitur producto ex cuneo A B D in rectam L A, hoc e$t, producto ex figura A C B in rectangulum ab F A, L A. Nam cuneus A B D, æqualis e$t producto ex figura A C B in rectam F A . Rur$us quia figura A C B æqualis e$t pro- Prop. præced. ducto ex particula una G, in numerum ip$arum particula- rum; $equitur, dictum productum ex figura A C B in re- ctangulum ab F A, L A, æquari producto ex particula G in rectangulum ab F A, L A, multiplici $ecundum nume- rum particularum G. Cui proinde etiam æqualis erit dicta $umma productorum, à particulis $ingulis G in quadrata $uarum di$tantiarum ab recta A E, $ive à particula una G in $ummam omnium horum quadratorum. Quare, omi$$a utrin- que multiplicatione in particulam G, nece$$e e$t $ummam @andem quadratorum æquari rectangulo ab F A, L A, mul- tiplici $ecundum numerum particularum in quas figura A C B divi$a intelligitur. quod erat demon$trandum.

[0195]HOROLOG. OSCILLATOR. PROPOSITIO IX. DE CENTRO- OSCILLA- TIONIS.

_D_Atâ figurâ planâ & in eodem plano lineâ re- ctâ, quæ vel $ecet figuram vel non, ad quam perpendiculares cadant à particulis $ingulis minimis & æqualibus, in quas figura divi$a intelligitur; invenire $ummam quadratorum ab omnibus i$tis per- pendicularibus; $ive planum, cujus multiplex, $e- cundum particularum numerum, dictæ quadrato- rum $ummæ æquale $it.

Sit data figura plana A B C, & in eodem plano recta TAB. XIX. Fig. 5. 6. E D; divisâque figurâ cogitatu in particulas minimas æqua- les, intelligantur ab unaquaque earum perpendiculares du- ctæ in rectam E D, $icut à particula F ducta e$t F K. O- porteatque invenire $ummam quadratorum ab omnibus i$tis perpendicularibus.

Sit datæ E D parallela recta A L, quæ figuram tangat, ac tota extra eam po$ita $it. Pote$t autem figuram vel ab ea- dem parte ex qua e$t E D, vel à parte oppo$ita contingere. Di$tantia vero centri gravitatis figuræ ab recta A L $it recta G A, $ecans E D in E; & $ubcentrica cunei, $uper figura ab$ci$$i plano per rectam A L, $it H A. Dico $ummam qua- dratorum quæ$itam æquari rectangulo A G H una cum qua- drato E G, multiplicibus $ecundum particularum numerum, in quas figura divi$a intelligitur.

Occurrat enim F K, $i opus e$t producta, tangenti A L in L puncto. Itaque primum, eo ca$u quo recta E D à $i- gura di$tat, & tangens A L ad eandem figuræ partem ducta e$t, $ic propo$itum o$tendetur. Summa omnium quadrato- rum F K æquatur totidem quadratis K L, una cum bis to- tidem rectangulis K L F, & totidem in$uper quadratis L F. Sed quadrata K L æquantur totidem quadratis E A. Et re- ctangula K L F æqualia e$$e con$tat totidem rectangulis [0196]CHRISTIANI HUGENII E A G, quia omnes F L æquales totidem G A . Et deni- DECENTRO OSCILLA- TIONIS. que quadrata L F æquantur totidem rectangulis H A G , hoc e$t, totidem quadratis A G cum totidem rectangulis Prop. 2. huj. A G H. Ergo quadrata omnia F K æqualia erunt totidem Prop. præced. quadratis E A, cum totidem duplis rectangulis E A G, at- que in$uper totidem quadratis A G cum totidem rectangulis A G H. Atqui tria i$ta; nempe quadratum E A cum duplo rectangulo E A G & quadrato A G; faciunt quadratum E G. Ergo apparet quadrata omnia F K æquari totidem quadratis E G, una cum totidem rectangulis A G H. Quod erat o$ten- dendum.

Porro in reliquis omnibus ca$ibus, quadrata omnia F K TAB. XX. Fig. 1. 2. æquantur totidem quadratis K L, minus bis totidem rectan- gulis K L F, plus totidem quadratis L F; hoc e$t, toti- dem quadratis E A, minus totidem duplis rectangulis E A G, plus totidem quadratis A G, cum totidem rectangulis A G H. Atqui, omnibus hi$ce ca$ibus, fit quadratum E A, plus qua- drato A G, minus duplo rectangulo E A G, æquale qua- drato E G. Ergo rur$us quadrata omnia F K æqualia erunt totidem quadratis E G, una cum totidem rectangulis A G H. Quare con$tat propo$itum.

Hinc $equitur, rectangulum A G H eadem magnitudine e$$e, utriusvis cunei $ubcentrica fuerit A H; hoc e$t, $ive per hanc, $ive per illam tangentium parallelarum A L ab- $ci$$i. Itaque A G unius ca$us ad A G alterius, ut H G hu- jus ad H G illius. Sicut autem rectæ A G inter $e, ita in utroque ca$u cunei per A L ab$ci$$i, ut colligitur ex prop. 7. huj. Ergo ita quoque reciproce G H ad G H.

Apparet etiam, dato figuræ planæ centro gravitatis G, & $ubcenerica cunei, per alterutram tangentium parallelarum A L ab$ci$$i, dari quoque cunei, pertangentem alteram A L ab$ci$$i, $ubcentricam.

PROPOSITIO X.

_P_o$itis quæ in propo$itione præcedenti; $i data TAB. XX. Fig. 3. recta _E D_ transeat per _G_, centrum gravita- [0197] [0197a] Pag. 136. TAB. XIX. Fig. 1. D C X B Y E R I Q L S N K P A T F G Y M H O Fig. 2. X C D A T E R I Q L S N K P B Y Fig. 3. F G K C D I E M A B D Fig. 4. D K E F L B A H G C E Fig. 5. D C K L F E A G H D B Fig. 6. C D K F L E H G A D B [0198] [0199]HOROLOG. OSCILLATOR. tis figuræ _A B C_; erit $umma quadratorum à di- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. $tantiis particularum, in quas figura divi$a intel- ligitur, ab recta _E D_, æqualis rectangulo $oli _A G H_, multiplici $ecundum ip$arum particula- rum numerum.

Hoc enim manife$tum e$t, quum nullum tunc $it quadra- tum E G.

PROPOSITIO XI.

_P_O$itis rur$us cæteris ut in præcedentium penul- TAB. XX. Fig. 4. tima; $i _D E_ $it axis figuræ planæ _A B C_, in duas æquales $imilesque portiones eam dividens, $it- que in$uper _V G_ di$tantia centri gravitatis dimi- diæ figuræ _D A D_ ab recta _E D_, cunei vero, $u- per ip$am ab$ci$$i per ip$am _E D_, $ubcentrica _G X_; erit rectangulum _X G V_ æquale rectangulo _A G H_.

E$t enim rectangulum X G V, multiplex $ecundum nu- merum particularum figuræ D A D, æquale quadratis omni- bus perpendicularium à particulis ejusdem figuræ dimidiæ in rectam E D cadentium . Ac proinde idem rectangulum Prop. @. huj. X G V, multiplex $ecundum numerum particularum totius figuræ A B C, æquale erit quadratis perpendicularium, ab omnibus particulis figuræ hujus in rectam E D demi$$arum; hoc e$t, rectangulo A G H multiplici $ecundum eundem particularum numerum, ut con$tat ex propo$. præcedenti. Unde $equitur rectangula X G V, A G H inter $e æqualia e$$e. quod erat demon$trandum.

PROPOSITIO XII.

_D_Atis in plano punctis quotlibet; $i ex centro gravitatis eorum circulus quilibet de$cribatur; [0200]CHRISTIANI HUGENII ducantur autem ab omnibus datis punctis, ad pun- DECENTRO OSCILLA- TIONIS. ctum aliquod in circuli illius circumferentia lineæ rectæ erit $umma quadratorum ab omnibus $em- per eidem plano æqualis.

Sint data puncta A B C D: centrumque gravitatis eorum, TAB. XX. Fig. 5. $ive magnitudinum æqualium ab ip$is $u$pen$arum, $it E; & centro E de$cribatur circulus quilibet F _f_, in cujus cir- cumferentia $umpto puncto aliquo, ut F, ducantur ad id, à datis punctis, rectæ A F, B F, C F, D F. Dico earum omnium quadrata, $imul $umpta, æqualia e$$e plano cuidam dato, $emperque eidem, ubicunque in circumferentia pun- ctum F $umptum fuerit.

Ducantur enim rectæ G H, G K, angulum rectum con- $tituentes, & quarum unicuique omnia data puncta $int po- $ita ad eandem partem. Et à $ingulis in utramque harum perpendiculares agantur A L, A K; B M, B O; C N, C P; D H, D Q. A centro autem gravitatis E, & à pun- cto F, in alterutram duarum, G H vel G K, perpendi- culares E R, F S. Et item, à datis punctis, in ip$am F S perpendiculares A V, B X, C Y, D Z. Et F T per- pendicularis in ip$am E R. Porro $it jam

A L = _a_ # A K = _e_ # radius # E F = _z_ B M = _b_ # B O = _f_ # # G S = _x_ C N = _c_ # C P = _g_ D H = _d_ # D Q = _h_

Quia autem E e$t centrum gravitatis punctorum A, B, C, D; $i addantur in unum perpendiculares A L, B M, C N, D H, compo$itaque ex omnibus dividatur in tot partes, quot $unt data puncta; earum partium uni æqualis erit E R . Simili- Prop. 2. huj. terque, divisâ in totidem partes $ummâ perpendicularium A K, B O, C P, D Q, earum uni æqualis erit perpendi- cularis, ducta ex E in rectam G K, $ive ip$a R G . Ita- Prop. 2. huj. que, $i $umma omnium A L, B M, C N, D H, $ive _a + b + c + d_ vocetur _l_: $umma vero omnium, A K, B O, C P, D Q $ive _e + f + g + h_, vocetur _m_: & numerus, [0201]HOROLOG. OSCILLATOR. datorum punctorum multitudinem exprimens, dicatur θ; erit DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. E R = {ι/θ}; & R G = {μ/θ}. Cumque G S $it _x_, erit R S $ive F T = _x_ - {μ/θ}; vel {μ/θ} - x, $i G R major quam G S; & $em- per quadratum F T = _xx_ - 2 {_x_μ/θ} + {μμ/θθ}. quo ablato ab qua- drato F E = _zz_, relinquetur quadratum T E = _zz - xx_ + 2 {_x_μ/θ} - {μμ/θθ}. Et proinde T E = _zz - xx_ + 2 {_x_μ/θ} - {μμ/θθ}. Erat autem E R = {ι/θ}. Itaque T R = {ι/θ} + vel - _zz - xx_ + 2 {_x_μ/θ} - {μμ/θθ}. quæ T R, brevitatis gratia, dicatury _y_. Colli- gamus jam porro $ummam quadratorum omnium F A, F B, F C, F D. Quadratum A F æquatur quadratis A V, V F. E$t autem A V æqualis differentiæ duarum V K, A K, $i- ve duarum S G, A K; ac proinde A V = _x - e_ vel _e - x_; & qu. A V = _xx_ - 2 _ex + ee_. V F vero æqualis e$t differen- tiæ duarum F S, V S $ive duarum F S, A L; ac proinde V F = _y - a_ vel _a - y_; & qu. V F = _yy_ - 2 _ay + aa_. Ad- ditisque quadratis A V, V F, fit quadratum F A = _xx_ - 2 _ex_ + _ee + yy_ - 2 _ay + aa_. Eodemque modo invenientur qua- drata reliquarum F B, F C, F D; atque omnia ordine di$- po$ita erunt hæc; qu. F A = _xx_ - 2 _ex + ee + yy_ - 2 _ay + aa_. qu. F B = _xx_ - 2 _fx + ff + yy_ - 2 _by + bb_. qu. F C = _xx_ - 2 _gx + gg + yy_ - 2 _cy + cc_. qu. F D = _xx_ - 2 _hx + hh + yy_ - 2 _dy + dd_.

Horum vero $umma; $i ponamus quadrata _ee + ff + gg_ + _hh = nn_; & quadrata _aa + bb, + cc + dd = kk_; erit i$ta, θ _x x_ - 2 _mx + nn_ + θ _yy_ - 2 _ly + kk_. Siquidem θ erat numerus datorum punctorum ideoque & quadratorum, po$itumque fuerat _e + f + g + h = m_, & _a + b + c + d = l_.

In i$ta vero $umma, $i in terminis θ _y y_ & 2 _l y_, pro _y_, ponatur id cujus loco po$itum erat, nempe {ι/θ} + vel - _zz - xx_ + 2 {xμ/θ} - {μμ/θθ} fiet + θ _y y_ = {ιι/θ} + 2 _l_ _zz - xx_ + 2 {_x_μ/θ} - {μμ/θθ} + θ _zz_ - θ _xx_ + 2 _x m_-{μμ/θ}. [0202]CHRISTIANI HUGENII & - 2 _ly_ = - 2 {ιι/θ} - 2 _l_ _zz - xx_ + 2 {xμ/θ} - {μμ/θθ}. DE CENTRO O@CILLA- TIONIS. vel + θ _yy_ = {ιι/θ} - 2 _l_ _zz - xx_ + 2 {_x_μ/θ} - {μμ/θθ} + θ _zz_ - θ _x x_ _xm_ - {μμ/θ}. + 2 & - 2 _ly_ = - 2{ιι/θ} + 2 _l_ _zz - xx_ + 2 {_x_μ/θ} - {μμ/θθ}. Ac proinde, utroque ca$u, pro θ _y y_ - 2 _l y_ habebitur - {ιι/θ} + θ _z z_ - θ _x x_ + 2 _x m_ - {μμ/θ}. Quò appo$itis reliquis quantita- tibus, $umma prædicta contentis, θ _x x_ - 2 _x m + n n + k k_, fiet tota $umma, nempe quadratorum F A, F B, F C, F D, = θ _z z + nn + k k_ - {μμ - ιι/θ}. Quod apparet e$$e planum da- tum, cum hæ quantitates omnes datæ $int; $emperque idem reperiri, ubicunque in circumferentia $umptum fuerit pun- ctum F. quod erat demon$trandum.

Quod $i puncta data diver$as gravitates habere ponantur, invicem commen$urabiles, ut $i punctum A ponderet ut 2, B ut 3, C ut 4, D ut 7, eorumque reperto gravitatis cen- tro, circulus rur$us de$cribatur, ad cujus circumferentiæ punctum, à datis punctis rectæ ducantur, ac $ingularum quadrata multiplicia $umantur $ecundum numerum ponderis puncti $ui; ut quadratum A F duplum, B F triplum, C F quadruplum, D F $eptuplum; dico rur$us $ummam omnium æqualem fore $patio dato, $emperque eidem, ubicunque in circumferentia punctum $umptum fuerit. Patet enim hoc ex præcedenti demon$tratione, $i imaginemur puncta ip$a mul- tiplicia $ecundum numeros attributæ cuique gravitatis; qua$i nempe in A duo puncta conjuncta $int, in B tria, in C qua- tuor, in D $eptem, atque illa omnia æqualiter gravia.

PROPOSITIO XIII.

_S_I figura plana, vel linea in plano exi$tens, ali- ter atque aliter $u$pendatur à punctis, quæ, in eodem plano accepta, æqualiter à centro gravitatis $uæ di$tent; agitatamotu in latus, $ibi ip$i i$ochrona e$t.

[0203]HOROLOG. OSCILLATOR.

Sit figura plana, vel linea in plano exi$tens A B C, cu- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. TAB. XX. Fig. 6. jus centrum gravitatis D. quo eodem centro, circumferentia circuli in eodem plano de$cribatur, E C F. Dico, $i à quo- vis in illa puncto, ut E, C, vel G, $u$pen$a figura agite- tur in latus; $ibi ip$i, $ive eidem pendulo $implici, i$ochro- nam e$$e.

Sit prima $u$pen$io ex E puncto, quando autem e$t extra figuram, ut hic, putandum e$t lineam E H, ex qua figura pendet, rigidam e$$e, atque immobiliter ip$i affixam.

Intelligatur figura A B C divi$a in particulas minimas æ- quales, à quarum omnium centris gravitatis, ad punctum E, rectæ ductæ $int; quas quidem manife$tum e$t, quum moveatur figura motu in latus, e$$e ad axem agitationis per- pendiculares. Harum igitur omnium perpendicularium qua- drata, divi$a per rectam E D, multiplicem $ecundum nu- merum particularum in quas figura divi$a e$t, efficiunt lon- gitudinem penduli $implicis, figuræ i$ochroni , quæ $it K L. Prop. 6. huj. Su$pensâ autem figurâ ex puncto G, rur$us longitudo pen- duli $implicis i$ochroni invenitur, dividendo quadrata omnia linearum, quæ à particulis figuræ ducuntur ad punctum G, per rectam G D, multiplicem $ecundum earundem particu- larum numerum . Quum igitur puncta G & E $int in cir- Prop. 6. huj. cumferentia de$cripta cetnro D, quod e$t centrum gravitatis figuræ A B C, $ive centrum gravitatis punctorum omnium, quæ centra $unt particularum figuræ æqualium; erit proinde $umma quadratorum à lineis, qnæ à dictis particulis ad pun- ctum G ducuntur, æqualis $ummæ quadratorum à lineis quæ ab ii$dem particulis ducuntur ad punctum E . Hæ vero Prop. præced. quadratorum $ummæ, utraque $u$pen$ione, applicantur ad magnitudines æquales: quippe, in $u$pen$ione ex E, ad re- ctam E D, multiplicem $ecundum numerum omnium par- ticularum; in $u$pen$ione autem ex G, ad rectam D G, multiplicem $ecundum earundem particularum numerum. Ergo patet, ex applicatione hac po$teriori, quum nempe $u$pen$io e$t ex G, fieri longitudinem penduli i$ochroni ean- dem atque ex applicatione priori, hoc e$t, eandem ip$i K L. [0204]CHRISTIANI HUGENII Eodem modo, $i ex C, vel alio quovis puncto circumfe- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. rentiæ E C F, figura $u$pendatur, eidem pendulo K L i$o- chrona e$$e probabitur. Itaque con$tat propo$itum.

PROPOSITIO XIV.

_D_Atâ figurâ $olidâ, & lineâ rectâ interminatâ, quæ vel extra figuram cadat, vel per eam transeat; divisâque figurâ cogitatu in particulas minimas æquales, à quibus omnibus ad datam re- ctam perpendiculares ductæ intelligantur; invenire $ummam omnium quæ ab ip$is fiunt quadratorum, $ive planum, cujus multiplex $ecundum particula- rum numerum, dictæ quadratorum $ummæ æ- quale $it.

Sit data figura $olida A B C D, & linea recta quæ, per TAB. XXI. Fig. 1. punctum E tran$iens, ad planum hujus paginæ erecta intel- ligatur: quæque vel $ecet figuram, vel tota extra cadat. In- tellectoque, à $ingulis particulis minimis æqualibus, $olidum A B C D con$tituentibus, velut F, rectas duci perpendi- culares in datam rectam per E, quemadmodum hic F E, oporteat omnium quadratorum F E $ummam invenire.

Secetur figura plano E A C, per dictam datam lineam & per centrum gravitatis figuræ ducto. Item aliud planum in- telligatur per eandem lineam datam, perque E G, quæ ip$i e$t ad angulos rectos.

Con$tat jam, quadratum rectæ cuju$que, quæ à particula dictarum aliqua, ad lineam datam per E perpendicularis du- citur, $icut F E, æquari quadratis duarum F G, F H, quæ, ab eadem particula, in plana per E G & E C ante di- cta, perpendiculares aguntur . Quare, $i cogno$cere po$$i- 47. lib. 1. Eucl. mus $ummam quadratorum, quæ fiunt ab omnibus perpen- dicularibus, quæ à particulis univer$is cadunt in plana dicta per E G & E C; habebimus etiam huic æqualem $um- [0205] [0205a] Pag. 142. TAB. XX. Fig. 1. D L F K A E G H C L K F D B Fig. 2. D F K L C H E G A K F L D B Fig. 3. L D C A E H G B L D Fig. 4. D L C E A X V G H L D B Fig. 5. T F K A V Q Z D E O B X P C Y f I G M L R N S H Fig. 6. K E A H C L D F G B [0206] [0207]HOROLOG. OSCILLATOR. mam quadratorum à perpendicularibus, quæ ab univer$is DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. ii$dem particulis cadunt in rectam datam per E punctum.

Illa vero prior quadratorum $umma colligetur hoc modo. Ponatur primò figuram planam dari O Q P, ad latus figu- ræ $olidæ A B C D, eju$dem cum ip$a altitudinis, quæque $it eju$modi, ut $ecta lineis rectis Q Q, R R, quæ re$pon- deant planis figuram $olidam A B C D $ecantibus M M, N N, & his parallelis; eadem $it dictarum linearum inter $e, quæ & planorum horum ratio, $i nempe $umantur utrin- que quæ in ordine $ibi re$pondent. Ut $i linea R R $it ad Q Q quemadmodum planum N N ad M M. Quod $i igitur figura plana O Q P, in totidem particulas minimas æquales divi$a intelligatur, quot intelliguntur in $olido A B C D, erunt etiam in unoquoque $egmento figuræ planæ, velut Q Q R R, tot numero particulæ, quot $unt in figuræ $oli- dæ $egmento M M N N, i$ti $egmento re$pondente; ac proinde & $umma quadratorum, à perpendicularibus o- mnium particularum figuræ O Q P in planum E G, æqua- bitur $ummæ quadratorum, à perpendicularibus omnium par- ticularum figuræ $olidæ, in idem planum E G productis. Il- la autem quadratorum $umma data erit, $i dentur in figura O Q P, cuneoque illius, quæ propo$. 9. huj. requiri dixi- mus. Ergo his datis, dabitur quoque $umma quadratorum, à perpendicularibus quæ, à particulis omnibus $olidi A B C D, ducuntur in planum E G.

Ponatur nunc alia item figura plana S Y T Z, cju$dem cum $olido A B C D latitudinis, hoc e$t, quam includant plana B Y, D Z $olidum contingentia, ac parallela plano E A C, quæque $it eju$modi, ut, $ecta lineis rectis V V, X X &c. quæ re$pon- deant planis figuram A B C D $ecantibus, K K, L L, & his parallelis, faciat eandem inter $e rationem linearum harum atque illorum planorum, $i $umantur quæ $ibi mutuo re$pon- dent. Itaque rur$us quadrata $imul omnia perpendicularium, à particulis figuræ S Y T Z in rectam S T cadentium, æqualia erunt quadratis omnibus perpendicularium quæ, à particulis $olidi A B C D, ducuntur in planum A C. Illo- [0208]CHRISTIANI HUGENII rum autem $umma quadratorum data erit, $i detur di$tantia DE CENTRO O@CILLA- TIONIS. centri gravitatis figuræ S Y T Z ab recta B Y vel D Z; nec non di$tantia indidem centri gravitatis cunei $ui ab$ci$$i plano per eandem rectam . Vel, figura S Y T Z ordinata Prop. 9. huj. exi$tente, ut S T $it axis ejus, eadem quadratorum $umma da- bitur, $i detur di$tantia centri gravitatis figuræ dimidiæ S Z T ab axe S T, item centri gravitatis cunei, $uper eadem di- midia figura, ab$ci$$i plano per axem ducto . Ergo, his Prop. 11. huj. datis, dabitur quoque $umma quadratorum à perpendicula- ribus quæ, à particulis omnibus $olidi A B C D, ductæ intelliguntur in planum E A C. Invenimus autem & $um- mam quadratorum, à perpendicularibus omnibus in planum per E G ductis. Ergo & aggregatum utriu$que $ummæ ha- bebitur, hoc e$t, per $uperius o$ten$a, $umma quadratorum perpendicularium quæ, à particulis omnibus $olidi A B C D, cadunt in rectam datam per E tran$euntem, & ad paginæ hujus planum erectam. quod erat faciendum.

PROPOSITIO XV.

_I_Isdem po$itis, $i $ol<007>dum _A B C D_ $it ejusmodi, ut TAB. XXI. Fig. 1. & 2. figura plana _S Y T Z_, ip$i proportionalis, non ha- beat notam di$tantiam centri gravitatis à tangenti- bus _B Y_ vel _D Z_, vel, ut $ubcentrica cunei $uper ip$a ab$ci$$i, plano per easdem _B Y_ vel _D Z_, ignoretur; in figura tamen proportionali, quæ à latere e$t, _O Q P_, detur di$tantia Φ _P_, qua centrum gravita- tis figuræ dimidiæ _O P V_ abe$t ab axe _O P_; li- cebit hinc inven<007>re $ummam quadratorum à di$tan- tiis particularum $olidi _A B C D_ à plano _E C_. O- portet autem ut $ectiones omnes, _N N, M M_, $int plana $imilia; utque per omnium centra gravitatis transeat planum _E C_; quemadmodum in prismate, pyramide, cono, conoidibus, multisque aliis figu- [0209]HOROLOG. OSCILLATOR. ris contingit. Atque eorum planorum di$tantias cen- DE CENTR@ OSCILLA- TIONIS. tri gravitatis, $uper tangentibus axi o$cillationis parallelis, datas e$$e nece$$e e$t; uti & $ubcentri- cas cuneorum, qui $uper ip$is ab$cinduntur, ductis planis per easdem tangentes.

Veluti, $i maxima dictarum $ectionum $it B D, & in B Fig. 2 intelligatur recta parallela axi E, hoc e$t, erecta ad planum quod hic con$picitur, oportet datam e$$e di$tantiam centri gr. $ectionis B D à dicta linea in B, quæ $it B C; itemque $ubcentricam cunei, $uper $ectione B D ab$ci$$i, plano du- cto per eandem lineam in B, quæ $ubcentrica $it B K.

Etenim his datis, divisâque P V bifariam in Δ, $i fiat $icut Δ P ad P Φ, ita rectangulum B C K ad $patium quod- dam Z; dico hoc ip$um, multiplex per numerum particu- larum $olidi A B C D, æquari $ummæ quæ$itæ quadrato- rum, à di$tantiis earundem particularum à plano E C.

Quadrata enim à di$tantiis particularum planæ $ectionis B D, à plano E C, quod per centrum gravitatis $uæ tran$it; $ive quadrata à di$tantiis particularum $olidarum $egmenti B N N D à plano eodem, æquari con$tat rectangulo B C K, multiplici per numerum dictarum particularum . Similiter, Prop. 10. huj. $i planæ $ectionis N N di$tantia centri gravitatis, ab recta quæ in N intelligitur axi E parallela, $it N X; $ubcentrica vero cunei $uper ip$a ab$ci$$i, plano per eandem rectam, $it N F; erunt quadrata à di$tantiis particularum planarum $e- ctionis N N à plano E C, $ive quadrata à di$tantiis parti- cularum $olidarum $egmenti N M M N, à plano eodem, æqualia rectangulo N X F, multiplici per numerum parti- cularum ip$arum $ectionis N N, vel $egmenti N M M N. E$t autem B D divi$a $imiliter in C & K, atque N N in X & F. Ergo rectangulum B C K ad rectangulum N X F, $icut quadratum B D ad quadratum N N.

E$t autem & numerus particularum $ectionis B D, ad nu- merum particularum $ectionis N N, $icut $ectiones ip$æ; [0210]CHRISTIANI HUGENII hoc e$t, $icut quadratum B D ad quadratum N N. Itaque DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. rectangulum B C K, multiplex per numerum particularum $ectionis B D, ad rectangulum N X F, multiplex per nu- merum particularum $ectionis N N, duplicatam habebit ra- tionem quadrati B D ad quadratum N N; hoc e$t, eam quam quadratum V V ad quadratum R R, in figura pro- portionali. Erit igitur & dicta prior $umma quadratorum, à di$tantiis particularum $egmenti B N N D à plano E C, ad $ummam alteram quadratorum, à di$tantiis particularum $e- gmenti N M M N, ut qu. V V ad qu. R R. Eademque ratione o$tendetur, $ummas quadratorum à di$tantiis parti- larum in reliquis $egmentis $olidi A B C D, e$$e inter $e in ratione quadratorum quæ fiunt à rectis in figura O V V, quæ ba$i cujusque $egmenti re$pondent. Quare $umma qua- dratorum, à di$tantiis particularum omnium $egmentorum $olidi A B C D à plano E C, erit ad $ummam quadrato- rum, à di$tantiis particularum $egmentorum totidem, maxi- mo $egmento æqualium, hoc e$t, cylindri vel prismatis B D S S, eandem cum $olido A B C D ba$in altitudinem- que habentis, $icut quadrata omnia rectarum V V, R R, Q Q, &c. ad quadrata totidem maximo V V æqualia, hoc e$t, $icut $olidum rotundum O V V circa axem O P, ad cylin- drum V V Ω Ω, qui ba$in & altitudinem habeat eandem. Hanc vero rationem $olidi O V V ad cylindrum V V Ω Ω, componi con$tat ex ratione planorum quorum conver$ione generantur, hoc e$t, ex ratione plani O P V, ad rectangu- lum P Ω, & ex ratione di$tantiarum quibus horum plano- rum centra gravitatis ab$unt ab axe O P; hoc e$t, & ex ra- tione P Φ ad P Δ. Et prior quidem harum rationum, nem- pe plani O P V ad rectangulum P Ω, eadem e$t quæ $olidi A B C D ad cylindrum vel prisma B D S S, hoc e$t, ea- dem quæ numeri particularum $olidi A B C D, ad nume- rum particularum cylindri vel prismatis B D S S. Altera vero ratio, nempe P Φ ad P Δ, e$t eadem, ex con$tru- ctione, quæ $patii Z ad rectangulum B C K. Habebit ita- que dicta $umma quadratorum, à di$tantiis omnium particu- [0211]HOROLOG. OSCILLATOR. larum $olidi A B C D à plano E C, ad $ummam quadrato- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. rum, à di$tantiis omnium particularum cylindri vel prisma- tis B D S S ab eodem plano, rationem eam quæ componi- tur ex ratione numeri particularum $olidi A B C D, ad nu- merum particularum cylindri vel prismatis B D S S, & ex ratione $patii Z ad rectangulum B C K: hoc e$t, rationem quam habet rectangulum Z, multiplex per numerum parti- cularum $olidi A B C D, ad rectangulum B C K, multi- plex per numerum particularum cylindri vel prismatis B D S S. Atqui quarta harum magnitudinum æqualis e$t $ecundæ nempe rectangulum B C K, multiplex per numerum parti- cularum cylindri vel prismatis B D S S, æquale $ummæ quadratorum, à di$tantiis particularum ejusdem prismatis vel cylindri B D S S à plano E C; $iquidem rectangulum idem B C K, multiplex per numerum particularum $egmen- ti B N N D, æquatur quadratis di$tantiarum particularum ejusdem $egmenti à plano E C . Ergo & tertia primæ æ- Prop. 10. huj. quabitur; nempe planum Z, multiplex per numerum parti- cularum $olidi A B C D, $ummæ quadratorum, à di$tantiis particularum $olidi ejusdem A B C D à plano E C . quod Prop. 14. lib. 5. Eucl. erat demon$trandum.

Notandum vero, quando $olidum A B D rotundum e$t circa axem A C, fieri $emper rectangulum B C K æquale quartæ parti quadrati B C; quoniam $ubcentrica cunei, ab- $ci$$i $uper circulo B D, plano per tangentem in B, nempe recta B K, æquatur {5/4} radii B C. Unde, $i P V æqualis po$ita $it B C, $equitur, faciendo ut Ρ Δ ad Ρ Φ ita rectan- gulum B C K, hoc e$t, {1/4} quadrati B C, hoc e$t, qu. Ρ Δ ad planum aliud Z, fore hoc rectangulo Δ Ρ Φ æquale. Ac proinde tunc ip$um rectangulum Δ Ρ Φ, multiplex $ecun- dum numerum particularum $olidi A B D, æquari $ummæ quæ$itæ quadratorum à perpendicularibus omnibus, quæ à particulis iisdem cadunt in planum E C.

[0212]CHRISTIANI HUGENII PROPOSITIO XVI. DE CENTRO OSCILLA- TIONIS.

_F_Igura quævis, $ive linea fuerit, $ive $uper$i- cies, $ive $olidum; $i aliter at que aliter $u$pen- datur, agiteturque $uper axibus inter $e paralle- lis, quique à centro gravitatis figuræ æqualiter di- $tent, $ibi ip$i i$ochrona e$t.

Proponatur magnitudo quævis, cujus centrum gravitatis E punctum, $itque primo $u$pen$a ab axe, qui per F intel- TAB. XXI. Fig. 3. ligitur hujus paginæ plano ad angulos rectos. Itaque idem planum erit & planum o$cillationis. In quo $i centro E, ra- dio E F, de$cribatur circumferentia F H G, $umptoque in illa puncto quovis, ut H, magnitudo $ecundò $u$pendi intel- ligatur ab axe in hoc puncto infixo, atque agitari, manente eodem o$cillationis plano. Dico i$ochronam fore $ibi ip$i agi- tatæ circa axem in F.

Intelligatur enim dividi magnitudo propo$ita in particu- las minimas æquales. Itaque, quia in utraque illa $u$pen$io- ne idem manet o$cillationis planum, re$pectu partium ma- gnitudinis; manife$tum e$t, $i ab omnibus particulis, in quas divi$a e$t magnitudo, perpendiculares cadere concipiantur in dictum o$cillationis planum, illas utraque $u$pen$ione oc- currere ip$i in punctis iisdem. Sint autem hæc puncta ea quæ apparent in $patio A B C D.

Quum igitur E $it centrum gravitatis magnitudinis pro- po$itæ, ip$aque proinde circa axem, qui per E punctum erectus e$t ad planum A B C D, quovis $itu æquilibrium $ervet; facile per$picitur, quod $i punctis omnibus ante di- ctis, quæ in $patio A B C D $ignantur, æqualis gravitas tribuatur, eorum quoque omnium centrum gravitatis futu- rum e$t punctum E. Quod $i vero, ut fieri pote$t, in pun- cta aliqua plures perpendiculares coincidant, illa puncta qua$i toties geminata intelligenda $unt, gravitatesque toties multiplices accipiendæ. Atque ita con$ideratorum, patet rur$us centrum gravitatis e$$e E punctum.

[0213]HOROLOG. OSCILLATOR.

Porrò $ummam quadratorum ab rectis, quæ ducuntur à DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. dictis punctis omnibus ad punctum F, eandem e$$e patet cum $umma quadratorum ab iis rectis, quæ à $ingulis particulis magnitudinis propo$itæ ducuntur perpendiculares in axem o$cillationis per F transeuntem; quippe cum lineæ ip$æ, quarum quadrata intelliguntur, utrobique eandem habeant longitudinem. Similiter etiam, cum $u$pen$io e$t ex axe per H, patet $ummam quadratorum ab rectis, quæ ab omnibus punctis, in $patio A B C D $ignatis, ducuntur ad punctum H, eandem e$$e cum $umma quadratorum, ab iis quæ, à particulis omnibus magnitudinis propo$itæ, ducuntur per- pendiculares in axem o$cillationis per H transeuntem. Ergo utroque ca$u, $i $umma quadratorum ab rectis quæ, à pun- ctis omnibus prædictis, ducuntur ad puncta F vel H; di- vidatur per rectas E F vel E H, multiplices $ecundum nu- merum particularum in quas magnitudo propo$ita divi$a in- telligitur, orietur ex applicatione hac longitudo penduli $im- plicis, quod magnitudini $u$pen$æ ex F vel H i$ochronum fit. E$t autem $umma quadratorum utroque ca$u æqualis ; Prop. 13. huj. & rectæ quoque E F, E H, inter $e æquales; & particu- larum idem numerus. Ergo, quum & applicatæ quantitates, & quibus illæ applicantur, utrobique æquales $int, etiam longitudines ex applicatione ortæ æquales erunt, hoc e$t, longitudines pendulorum i$ochronorum magnitudini propo$i- tæ $u$pen$æ ex F vel ex H. Quare con$tat propo$itum.

PROPOSITIO XVII.

_D_Ato plano, cujus multiplex per numerum par- ticularum, in quas $u$pen$a figura divi$a in- telligitur, æquetur quadratis omnium di$tantia- rum ab axe o$cillationis; $i illud applicetur ad re- ctam, æqualem di$tantiæ inter axem o$cillationis & centrum gravitatis $u$pen$æ magnitudinis, orie- tur longitudo penduli $implicis ip$i i$ochroni.

[0214]CHRISTIANI HUGENII

Sit figura A B C, cujus centrum gravitatis E, $u$pen$a DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. ab axe qui, per F punctum ad planum quod con$picitur, erectus $it. Ponendoque divi$am figuram in particulas mini- TAB. XXII. Fig. 1. mas æquales, à quibus omnibus, in dictum axem, perpen- diculares cadere intelligantur: e$to, per $uperius o$ten$a, inventum planum H, cujus multiplex per numerum dicta- rum particularum, æquetur quadratis omnibus dictarum perpendicularium. Applicatoque plano H ad rectam F E, fiat longitudo F G. Dico hanc e$$e longitudinem penduli $implicis, i$ochronas o$cillationes habentis magnitudini A B C, agitatæ circa axem per F.

Quia enim $umma quadratorum, à di$tantiis ab axe F, applicata ad di$tantiam F E, multiplicem $ecundum par- tium numerum, facit longitudinem penduli $implicis i$o- chroni . I$ti vero quadratorum $ummæ æquale ponitur pla- Prop. 6. huj. num H, multiplex per eundem particularum numerum. Er- go & planum H, multiplex per eundem particularum nu- merum, $i applicetur ad di$tantiam F E, multiplicem $e- cundum particularum numerum; $ive, omi$$a communi mul- tiplicitate, $i planum H applicetur ad di$tantiam F E; o- rietur quoque longitudo penduli $implicis i$ochroni. Quam proinde ip$am longitudinem F G e$$e con$tat. quod erat de- mon$trandum.

PROPOSITIO XVIII.

_S_I $patium planum, cujus multiplex $ecundum numerum particularum $u$pen$æ magnitudinis, æquetur quadratis di$tantiarum ab axe gravitatis, axi o$cillationis parallelo; id, inquam, $patium $i applicetur ad rectam, æqualem di$tantiæ inter utrumque dictorum axium, orietur recta æqualis intervallo, quo centrum o$cillationis inferius e$t centro gravitatis ejusdem magnitudinis.

E$to magnitudo A B C D, cujus centrum gravitatis E; TAB. XXII. Fig. 2. [0215]HOROLOG. OSCILLATOR. quæque $u$pen$a ab axe, qui per punctum F ad planum hu- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. jus paginæ erectus intelligitur, habeat centrum o$cillationis G. Porrò axi per F intelligatur axis alius, per centrum gra- vitatis E transiens, parallelus. Divi$aque magnitudine cogita- tu in particulas minimas æquales, $it quadratis di$tantiarum, ab axe dicto per E, æquale planum I, multiplex nempe $e- cundum numerum dictarum particularum; applicatoque pla- no I ad di$tantiam F E, fiat recta quædam. Dico eam æ- qualem e$$e intervallo E G, quo centrum o$cillationis infe- rius e$t centro gravitatis magnitudinis A B C D.

Ut enim univer$ali demon$tratione quod propo$itum e$t comprehendamus: intelligatur plana figura, magnitudini A B C D analoga, ad latus adpo$ita, O Q P; quæ nempe, $ecta planis horizontalibus iisdem cum magnitudine A B C D, habeat $egmenta intercepta inter bina quæque plana, in ea- dem inter $e ratione cum $egmentis dictæ magnitudinis, quæ ip$is re$pondent; $intque $egmenta $ingula figuræ O Q P, divi$a in tot particulas æquales, quot continentur $egmentis ip$is re$pondentibus in figura A B C D. Hæc autem intel- ligi po$$unt fieri, qualiscunque fuerit magnitudo A B C D, $ive linea, $ive $uperficies, $ive $olidum. Semper vero cen- trum gravitatis figuræ O Q P, quod $it T, eadem altitu- dine e$$e manife$tum e$t cum centro gravitatis magnitudinis A B C D; ideoque, $i planum horizontale, per F ductum, $ecet lineam centri figuræ O Q P, velut hic in S, æquales e$$e di$tantias S T, F E.

Porrò autem con$tat quadrata di$tantiarum, ab axe o$cil- lationis F, applicata ad di$tantiam F E, multiplicem $ecun- dum numerum particularum, efficere longitudinem penduli i$ochroni ; quæ longitudo po$ita fuit F G. Illorum vero Prop. 6. huj. quadratorum $ummam, æqualem e$$e per$picuum e$t, qua- dratis di$tantiarum à plano horizontali per F, unà cum qua- dratis di$tantiarum à plano verticali F E, per axem F & cen- trum gravitatis E ducto . Atqui quadrata di$tantiarum ma- Prop. 47. lib. 1. Eucl. gnitudinis A B C D à plano horizontali per F, æquantur quadratis di$tantiarum figuræ O Q P ab recta S F. Quæ [0216]CHRISTIANI HUGENII quadrata ($i O $it punctum $upremum figuræ O Q P, & DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. O H $ubcentrica cunei $uper ip$a ab$ci$$i, plano per rectam O V, parallelam S F) æqualia $unt rectangulo O T H & quadrato S T, multiplicibus $ecundum numerum particula- rum dictæ figuræ, $ive magnitudinis A B C D. Quadrata Prop. 9. huj. vero di$tantiarum magnitudinis A B C D à plano F E, quantumcunque axis o$cillationis F di$tet à centro gravita- tis E, $emper eadem $unt: quæ proinde putemus æquari $patio Z, multiplici $ecundum numerum particularum ma- gnitudinis A B C D.

Itaque quoniam quadrata di$tantiarum magnitudinis A B C D, ab axe o$cillationis F, æquantur i$tis, quadrato nimirum S T, rectangulo O T H, & plano Z, multipli- cibus per numerum particularum ejusdem magnitudinis; $i applicentur hæc omnia ad di$tantiam F E $ive S T, orietur longitudo F G penduli i$ochroni magnitudini A B C D . Prop. 6. huj. Sed ex applicatione quadrati S T ad latus $uum S T, orie- tur ip$a S T, $ive F E. Ergo reliqua E G e$t ea quæ ori- tur ex applicatione rectanguli O T H, & plani Z, ad ean- dem S T vel F E.

Quare $upere$t ut demon$tremus rectangulum O T H, cum plano Z, æquari plano I. Tunc enim con$tabit, etiam planum I, applicatum ad di$tantiam F E, efficere longitu- dinem ip$i E G æqualem. Illud autem $ic o$tendetur. Re- ctangulum O T H, multiplex $ecundum numerum particu- larum figuræ O Q P, $ive magnitudinis A B C D, æ- Prop. 10. huj. quatur quadratis di$tantiarum figuræ ab recta X T , quæ per centrum gravitatis T ducitur ip$i S F parallela; ac pro- inde etiam quadratis di$tantiarum magnitudinis A B C D, à plano horizontali K K, ducto per centrum gravitatis E; cum di$tantiæ utrobique $int eædem. At vero planum Z, $i- militer multiplex, æquale po$itum fuit quadratis di$tantia- rum magnitudinis A B C D à plano vert<007>cali F E. Ac pa- tet quidem quadrata hæc di$tantiarum à plano F E, una cum dictis quadratis di$tantiarum à plano horizontali per E, æ- qualia e$$e quadratis di$tantiarum ab axe gravitatis per E, [0217]HOROLOG. OSCILLATOR. qui $it axi F parallelus . Itaque rectangulum O T H una DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. cum plano Z, multiplicia $ecundum numerum particularum Prop. 47. lib. 1. Eucl. magnitudinis A B C D, æqualia erunt quadratis di$tantia- rum ejusdem magnitudinis à dicto axe per E. Sed & planum I, multiplex $ecundum eundem particularum numerum, æ- quale po$itum fuit iisdem di$tantiarum quadratis. Ergo pla- num I æquale e$t rectangulo O T H & plano Z $imul $um- ptis. quod o$tendendum $upererat.

Hinc rur$us manife$tum fit, quod propo$itione 16 demon- $tratum fuit; nempe magnitudinem quamlibet, $i aliter at- que aliter $u$pendatur atque agitetur, ab axibus parallelis, qui à centro gravitatis $uæ æqualiter di$tent, $ibi ip$i i$o- chronam e$$e.

Sive enim magnitudo A B C D $u$pendatur ab axe F, $i- ve ab axe L illi parallelo; patet eadem utrobique e$$e qua- drata di$tantiarum ab axe per E, qui $it axibus F vel L pa- rallelus. Unde & planum I, cujus multiplex, $ecundum numerum particularum, æquatur quadratorum $ummæ, u- troque ca$u idem erit. Hoc vero planum, applicatum ad di- $tantiam centri gravitatis ab axe o$cillationis, quæ utroque ca$u eadem ponitur, efficit di$tantiam qua centrum o$cilla- tionis inferius e$t centro gravitatis; Ergo etiam hæc di$tan- tia utroque ca$u eadem erit. Velut $i, facta $u$pen$ione ex L, fuerit dicta di$tantia E Y, erit ip$a æqualis E G; & to- ta Y L æqualis G F; adeoque, in $u$pen$ione utraque, idem pendulum $implex i$ochronum fit magnitudini A B C D.

PROPOSITIO XIX.

_S_I magnitudo eadem, nunc brevius nunc longius $u$pen$a, agitetur; erunt, $icut di$tantiæ axi- um o$cillationis à centro gravitatis inter $e, ita contraria ratione di$tantiæ centrorum o$cillationis ab eodem gravitatis centro.

Sit magnitudo, cujus centrum gravitatis A, $u$pen$a pri- TAB. XXII. Fig. 3. [0218]CHRISTIANI HUGENII mum atque agitata ab axe in B, deinde vero ab axe in C; DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. $itque in prima $u$pen$ione centrum o$cillationis D, in po- $teriori vero centrum o$cillationis E. Dico e$$e ut B A ad C A ita E A ad D A.

Quum enim, in $u$pen$ione ex B, efficiatur di$tantia A D, qua nempe centrum o$cillationis inferius e$t centro gravita- tis, applicando ad di$tantiam B A $patium quoddam, cujus multiplex $ecundum numerum particularum minimarum æ- qualium, in quas magnitudo divi$a intelligitur, æquatur quadratis di$tantiarum ab axe per A, parallelo axi in B ; Prop. præced. erit proinde rectangulum B A D dicto $patio æquale. Item, in $u$pen$ione ex C, quum fiat di$tantia A E, applicando idem dictum $patium ad di$tantiam C A; erit & rectangu- lum C A E eidem $patio æquale. Itaque æqualia inter $e re- ctangula B A D, C A E; ac proinde ratio B A ad C A eadem quæ A E ad A D. quod erat demon$trandum.

Hinc patet, dato pendulo $implici, quod magnitudini $u$pen$æ <007>$ochronum $it in una $u$pen$ione, datoque ejus centro gravitatis; etiam in alia omni $u$pen$ione, longiori vel breviori, dummodo idem maneat planum o$cillationis, longitudinem penduli i$ochroni datam e$$e.

PROPOSITIO XX.

_C_Entrum O$cillationis & punctum $u$pen$ionis inter $e convertuntur.

In figura $uperiori, quia, po$ita $u$pen$ione ex B, cen- TAB. XXII. Fig. 3. trum o$cillationis e$t D; etiam invertendo omnia, ponendo- que $u$pen$ionem ex D, erit tunc centrum o$cillationis B. Hoc enim ex ip$a propo$itione præcedenti manife$tum e$t.

PROPOSITIO XXI.

_Q_Uomodo in figuris planis centra o$cillationis in- veniantur.

Intellectis quæ hactenus demon$trata $unt, facile jam erit [0219] [0219a] Pag. 154. TAB. XXI. Fig. 1. G E G O A K L Q Q M M H F R R N N B D L K C P S V X Z Y X V T Fig. 3. F A D E B C G H Fig. 2. G E Ω O Ω S A S Q Q M M R R N X F N V P Φ Δ V B C K D Z [0220] [0221]HOROLOG. OSCILLATOR. in plerisque figuris, quæ in Geometria con$iderari con$ueve- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. runt, definire o$cillationis centra. Atque ut de planis figu- ris primum dicamus; duplicem in iis o$cillationis motum $upra definivimus; nempe, vel circa axem in eodem cum figura plano jacentem, vel circa eum qui ad figuræ planum erectus $it. Quorum priorem vocavimus agitationem in pla- num, alterum agitationem in latus.

Quod $i priore modo agitetur, nempe circa axem in eo- TAB. XXII. Fig. 4. & 5. dem plano jacentem, $icut figura B C D circa axem E F; hic, $i cuneus $uper figura intelligatur ab$ci$$us, plano quod ita $ecet planum figuræ, ut inter$ectio, quæ hic e$t D D, $it parallela o$cillationis axi; deturque di$tantia centri gra- vitatis figuræ ab hac inter$ectione, ut hic A D; itemque $ubcentrica cunei dicti $uper eadem inter$ectione, quæ hic $it D H. Habebitur centrum o$cillationis K, figuræ B D C, applicando rectangulum D A H ad di$tantiam F A; quo- niam ex applicatione hac orietur di$tantia A K, qua cen- trum o$cillationis inferius e$t centro gravitatis. E$t enim re- ctangulum D A H, multiplex $ecundum numerum particu- larum figuræ B C D, æquale quadratis di$tantiarum ab re- cta B A C, quæ per centrum gravitatis A parallela ducitur axi o$cillationis E F. Quare, applicando idem rectangu- Prop. 10. huj. lum ad di$tantiam F A, orietur di$tantia A K, qua centrum o$cillationis inferius e$t centro gravitatis A .

Prop. 18. huj.

Hinc manife$tum e$t, $i axis o$cillationis $it D D, fieri centrum o$cillationis H punctum; adeoque longitudinem D H, penduli $implicis i$ochroni figuræ B C D, e$$e tunc ip$am $ubcentricam cunei, ab$ci$$i plano per D D, $uper ip$am D D. Quod unum ab aliis ante animad ver$um fuit, non tamen demon$tratum.

Quomodo autem centra gravitatis cuneorum $uper figuris planis inveniantur, per$equi non e$t in$tituti no$tri, & jam in multis nota $unt. Velut, quod $i figura B C D $it circu- lus, erit D H æqualis {5/8} diametri. Si rectangulum, erit D H . = {2/3} diametri. Unde & ratio apparet cur virga, $eu linea gravitate prædita, altero capite $u$pen$a, i$ochrona $it pen- [0222]CHRISTIANI HUGENII dulo longitudinis $ub$esquialteræ. Con$iderando nempe li- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. neam ejusmodi, ac $i e$$et rectangulum minimæ latitudinis.

Quod $i figura triangulum fuerit, vertice $ur$um conver- $o, fit D H {3/4} diametri. Si deor$um, {1/2} diametri.

Quod autem propo$itione 16 demon$tratum fuit, id ad hu- jusmodi figuræ planæ motum ita pertinere $ciendum. Nem- pe, $i aliam atque aliam po$itionem demus figuræ B C D, invertendo eam circa axem B A C, ut vel horizonti paral- lela jaceat, vel oblique inclinetur, manente eodem agitatio- nis axe F E, etiam longitudo penduli i$ochroni F K eadem manebit. Hoc enim ex propo$itione illa manife$tum e$t.

Porro quando figura plana, circa axem ad planum figu- TAB. XXIII. Fig. 1. & 2. ræ erectum, agitatur; quam vocavimus agitationem in latus; velut $i figura B C D moveatur circa axem, qui per pun- ctum F intelligitur ad planum D B C erectus; hic jam ha- benda e$t $umma quadratorum a di$tantiis particularum omnium ab recta quæ per centrum gravitatis A intelligitur axi o$cillationis parallela; $ecundum ea quæ prop. 18. ex- po$ita fuere. Hoc e$t $umma quadratorum a di$tantiis ab ip$o A centro gravitatis, quoniam figura plana e$t. Sive etiam $ummæ quadratorum a di$tantiis tam ab recta B A C quam ab recta D A. Con$tat enim quadratum rectæ O A, quam pono e$$e di$tantiam unius cujusdam particulæ a centro A, æquari quadratis di$tantiarum O N, O V, quibus eadem particula abe$t a rectis B A C, D A . Atqui $umma qua- Per 47. lib. 1. Elem. dratorum a di$tantiis ab recta B A C æquatur rectangulo D A H, $i D H $it $ubcentrica cunei $uper figura ab$ci$$i per tangentem D D, parallelam B A . item $umma qua- Prop. 10. huj. dratorum a di$tantiis ab recta D A æquatur rectangulo B A L, $i B L $it $ubcentrica cunei ab$ci$$i per tangentem B D pa- rallelam A D. Oportetque dari, præter figuræ centrum gra- vitatis A, $ubcentricamque H D cunei prioris, etiam $ub- centricam L B cunei po$terioris. Ita enim nota erunt rectan- gula D A H, B A L, quæ $imul $umpta faciunt hic $pa- tium applicandum, quod deinceps etiam rectangulum o$cil- lationis vocabitur. Quod nempe, applicatum ad di$tantiam [0223] [0223a] Pag. 156. Fig. 2. S F Z V O V L A Q Q M M I R R N N X T X K E K Y H G P B C D Fig. 1. F H A E G B C Fig. 3. C B A E D Fig. 4. E F E D D D V O B A N C K H Fig. 5. D D D E F E B A C H K [0224] [0225]HOROLOG. OSCILLATOR. F A, dabit di$tantiam A K, qua centrum o$cillationis K in- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. ferius e$t centro gravitatis A.

Si vero F A $it axis figuræ B C D, pote$t, pro cuneo TAB. XXIII. Fig. 1. ab$ci$$o per B D $uper figura tota, adhiberi cuneus $uper figura dimidia D B M ab$ci$$us plano per D M. Nam, $i cunei hujus $ubcentrica $uper D M $it O A, di$tantia vero centri gr. figuræ planæ D B M ab eadem D M $it N A, æquale e$$e con$tat rectangulum O A N rectangulo B A L . Itaque Prop. 11. huj. rectangulum O A N, additum rectangulo D A H, con$ti- tuet quoque planum applicandum ad di$tantiam F A, ut fiat di$tantia A K.

Et horum quidem manife$ta e$t demon$tratio ex præce- dentibus, quippe cum rectangula D A H, B A L, vel D A H, O A N, multiplicia $ecundum numerum particu- larum figuræ, æqualia $int quadratis di$tantiarum à centro gravitatis A; $ive, quod idem hic e$t, ab axe gravitatis axi o$cillationis parallelo; ac proinde rectangula dicta, ad di$tan- tiam F A applicata, efficiant longitudinem intervalli A K . Prop. 18. huj.

Centrum o$cillationis Circuli.

Et in circulo quidem rectangula D A H, B A L, inter $e æqualia e$$e liquet, $imulque efficere $emi$$em quadrati à $emidiametro. Unde, $i fiat ut F A ad $emidiametrum A B, ita hæc ad aliam, ejus dimidium erit di$tantia A K, à cen- tro gravitatis ad centrum o$cillationis. Si igitur circulus ab axe D, in circumferentia $umpto, agitetur, erit D K æqua- lis tribus quartis diametri D M.

Ad hunc modum & in $equentibus figuris planis centra o- $cillationis quæ$ivimus, quæ $impliciter ad$crip$i$$e $ufficiet- Nempe,

Centrum o$cillationis Rectanguli.

In rectangulo omni, ut C B, $patium applicandum, $ive TAB. XXIII. Fig. 3. rectangulum o$cillationis, invenitur æquale tertiæ parti qua- drati à $emidiagonio A C. Unde $equitur, $i rectangulum [0226]CHRISTIANI HUGENII ab aliquo angulorum $u$pendatur, motuque hoc laterali agi- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. tetur, pendulum illi i$ochronum e$$e {2/3} diagonii totius.

Centrum o$cillationis Trianguli i$o$celis.

In triangulo i$o$cele, cuju$modi C B D, $patium appli- TAB.XXIII. Fig. 4. candum æquatur parti decimæ octavæ quadrati à diametro B E, & vige$imæ quartæ quadrati ba$eos C D. Unde, $i ab angulo ba$eos ducatur D G, perpendicularis $uper latus D B, quæ occurrat productæ diametro B E in G; $itque A centrum gravitatis trianguli; divi$oque intervallo G A in quatuor partes æquales, una earum A K apponatur ip$i B A; erit B K longitudo penduli i$ochroni, $i triangulum $u$pendatur ex vetrice B. Cum autem ex puncto mediæ ba- $is E $u$penditur, longitudo penduli i$ochroni E K æquabi- tur dimidiæ B G.

Atque hinc liquet, triangulum i$o$celes rectangulum, $i ex puncto mediæ ba$is $u$pendatur, i$ochronum e$$e pendu- lo longitudinem diametro $uæ æqualem habenti. Similiterque, $i $u$pendatur ab angulo $uo recto, eidem pendulo i$ochro- num e$$e.

Centrum o$cillationis Parabolæ.

In parabolæ portione recta, $patium applicandum æqua- tur {12/175} quadrati axis, una cum quinta parte quadrati dimi- diæ ba$is. Cumque parabola ex verticis puncto $u$pen$a e$t, invenitur penduli i$ochroni longitudo {5/7} axis, atque in$uper {@/3} lateris recti. Cum vero ex puncto mediæ ba$is $u$penditur, erit ea longitudo {4/7} axis, & in$uper {1/2} lateris recti.

Centrum o$cillationis Sectoris circuli.

In circuli $ectore B C D, $i radius B C vocetur _r_: $emi TAB.XXIII. Fig. 5. arcus C F, _p_: $emi$ubten$a C E, _b_: fit $patium applican- dum æquale {1/2} _rr_ - {4_b b r r_/9 _p p_}, hoc e$t, dimidio quadrati B C, minus quadrato B A; ponendo A e$$e centrum gravitatis $e- ctoris. Tunc enim B A = {2 _b r_/3 _p_}. Si autem $u$pendatur $ector [0227]HOROLOG. OSCILLATOR. ex B, centro circuli $ui, fit pendulum ip$i i$ochronum {3 _pr_/4_b_}, DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. hoc e$t, trium quartarum rectæ, quæ $it ad radium B F ut arcus C F D ad $ubten$am C D. Hæc autem inveniuntur cognitis $ubcentricis cuneorum; tum illius qui $uper $ectore toto ab$cinditur, plano ducto per B K parallelam $ubten$æ C D, cujus cunei $ubcentricam $uper B K invenimus e$$e {3/8} _y_ - {3/8} _a_ + {3 _p r_/8 _b_}, vocando _a_ $inum ver$um E F; tum illius. qui $uper dimidio $ectore B F C ab$cinditur plano per B F, cujus nempe cunei $ubcentricam $uper B F invenimus {3/8} _b_ - {3 _b r_/8 _a_} + {3 _p r_/8 _a_}.

Sed & alia via, $ectoris centrum o$cillationis, facilius in- TAB.XXIII. Fig. 6. venitur, quæ e$t hujusmodi. Intelligatur $ectoris B C D pars minima $ector B C P, qui trianguli loco haberi pote$t. Quadrata autem, à di$tantiis particularum ejus à puncto B, æqualia $unt quadratis di$tantiarum ab recta B R, bifariam $ectorem dividente, una cum quadratis di$tantiarum ab recta B Q, quæ ip$i B R e$t ad angulos rectos. Sed, horum quadratorum ad illa, ratio quavis data e$t major, quoniam angulus C B P minimus; ideoque illa pro nullis habenda $unt.

Po$itâ vero B O duarum tertiarum B R, hoc e$t, po$ito O centro gravitatis trianguli B C P; & B N trium quar- tarum B R: ut nempe N $it centrum gravitatis cunei, $u- per triangulo B C P ab$ci$$i plano per B Q. His po$itis, con$tat quadrata, à di$tantiis particularum trianguli B C P ab recta B Q, æquari rectangulo N B O multiplici $ecun- dum particularum eju$dem trianguli numerum. Itaque rectan- gulum N B O, ita multiplex, æquale cen$endum quadratis di$tantiarum à puncto B particularum trianguli B C P. Sunt autem quadrata di$tantiarum harum, ad quadrata di$tantia- rum totius $ectoris B C D, $icut $ector B C P ad $ectorem B C D, hoc e$t, $icut numerus particularum $ectoris B C P, ad numerum particularum $ectoris B C D; hoc enim facile intelligitur, eo quod $ector B C D dividatur in $ectores qua- lis B C P. Ergo rectangulum N B O, multiplex $ecundum [0228]CHRISTIANI HUGENII numerum particularum $ecctoris B C D, æquale erit quadra- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. tis di$tantiarum particularum ejus à puncto B. Ideoque re- ctangulum N B O, applicatum ad B A, di$tantiam inter $u$pen$ionem & centrum gravitatis $ectoris, dabit longitudi- nem penduli i$ochroni, cum $ector ex B $u$penditur . E$t Prop. 17. huj. autem rectangulum N B O = {1/2} _r r_: di$tantia autem B A, ut jam ante diximus, = {2 _br_/3 _p_}. Unde, facta applicatione, oritur {3 _p r_/4 _b_}, longitudo penduli i$ochroni, ut ante quoque inventa fuit.

Centrum o$cillationis Circuli, aliter quam $upra.

Eodem modo etiam $implici$$ime, in circulo, centrum TAB.XXIV. Fig. 1. o$cillationis invenire licet. Sit enim circulus G C F, cujus centrum B; $ectorque in eo minimus intelligatur B C P, $icut ante in $ectore B C D.

Cum igitur, $ecundum modo expo$ita, quadrata, à di- $tantiis particularum $ectoris B C P ad centrum B, æquen- tur rectangulo N B O, hoc e$t, dimidio quadrato radii, multiplici $ecundum $ectoris ip$ius particularum numerum; circulus autem ex ejusmodi $ectoribus componatur; erunt proinde quadrata, à di$tantiis particularum circuli totius ad centrum B, æqualia dimidio quadrato radii, multiplici $e- cundum numerum earundem circuli particularum.

E$t autem B centrum gravitatis circuli. Ergo dictum di- midium quadratum radii, hic erit $patium applicandum di- $tantiæ inter $u$pen$ionem & centrum B, ut habeatur inter- vallum, quo centrum o$cillationis inferius e$t ip$o centro B . Prop. 18. @uj. quod & $upra ita $e habere o$tendimus.

Centrum o$cillationis Peripheriæ circuli.

Facilius etiam, centrum o$cillationis circumferentiæ cir- TAB.XXIV. Fig. 2. culi, hoc pacto reperitur. E$to enim circumferentia de$cri- pta centro B, radio B R. Quadratum igitur B R, multi- plex $ecundum numerum particularum in quas circumferen- tia divi$a intelligitur, æquatur quadratis à di$tantiis omnium [0229] [0229a] Pag. 160. Fig. 1. F D D @ N A L C H K M Fig. 2. D D D F B A L C H K Fig. 3. C A B Fig. 4. B A K C E D G G D E C A K B G D K C A B Fig. 5. K B K A C E D F Fig. 6. Q B Q O N A C E D R P F [0230] [0231]HOROLOG. OSCILLATOR. earum particularum ad centrum B. Quare quadratum B R DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. erit hic $patium applicandum . Patetque hinc, $i $u$pen$io Prop. 18. huj. $it ex G, puncto circumferentiæ, penduli i$ochroni longitu- dinem æquari diametro G F.

Centrum o$cillationis Polygonorum ordinatorum.

Haud ab$imiliter & polygono cuivis ordinato, ut A B C, TAB XXIV. Fig. 3. pendulum i$ochronum invenitur. Fit enim, $patium appli- candum, æquale $emi$$i quadrati perpendicularis ex centro in latus polygoni, una cum vigefima quarta parte quadrati lateris. At, $i perimetro polygoni pendulum i$ochronum quæratur, fit $patium applicandum æquale quadrato perpen- dicularis à centro in latus, cum duodecima parte quadrati lateris.

Loci plani & $olidi u$us in hac Theoria.

E$t præterea & Locorum contemplatio in his non injucun- TAB.XXIV. Fig. 4. da. Ut $i propo$itum $it, dato puncto $u$pen$ionis A, & longitudine A B, invenire locum duorum ponderum æqua- lium C, D, æqualiter ab A & à perpendiculari A B di$tan- tium, quæ agitata circa axem in A, perpendicularem plano per A C D, i$ochrona $int pendulo $implici longitudinis A B.

Ponatur A B = _a_, ductâque C D, quæ $ecet A B ad angulos rectos in E, $it A E indeterminata = _x_: E C vel E D = _y_. Ergo quadratum A C = _x x_ + _y y_. Hoc vero multiplex $ecundum numerum particularum ponderum C, D, quæ hic minima intelliguntur, æquatur quadratis di$tantia- rum earundem particularum ab axe $u$pen$ionis A. Ergo quadratum A C, $ive _x x_ + _y y_, applicatum ad di$tantiam _A E_, quæ nempe e$t inter axem $u$pen$ionis & centrum gra- vitatis ponderum C, D, efficiet {_xx_ + _yy_/_x_}, longitudinem pen- duli i$ochroni ; quam propterea oportet æqualem e$$e A B Prop. 17. huj. $ive _a_. Itaque {_x x_ + _y y_/_x_} = _a_. Et _y y_ = _a x_ - _x x_. Unde patet, locum punctorum C & D, e$$e circumferentiam circuli, cu- [0232]CHRISTIANI HUGENII jus centrum F, ubi A B bifariam dividitur, radius autem DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. = {1/2} _a_, $ive F A. Ergo, ubicunque in circumferentia A C B D duo pondera æqualia, æqualiter ab A di$tantia, ponentur, ea, ex A agitata, i$ochrona erunt pendulo lon- gitudinem habenti æqualem diametro A B.

Atque hinc manife$tum quoque, & circumferentiam A C B D, $i gravitas ei tribuatur, & quamlibet ejus por- tionem, æqualiter in A vel B divi$am, & ab axe per A $u$- pen$am, eidem pendulo A B i$ochronam e$$e.

Loci vero $olidi exemplum e$to hujusmodi. Sit A N linea TAB.XXIV. Fig. 5. inflexilis $ine pondere. Propo$itumque $it, ad punctum in ea acceptum, ut M, affigere ip$i ad angulos rectos lineam, $eu virgam, pondere præditam O M L, ad M bifariam divi- $am, cujus in latus agitatæ o$cillationes, ex $u$pen$ione A, i$ochronæ $int pendulo $implici longitudinis A N.

Ducatur O H parallela A N, & A H parallela O M, & $it O R æqualis {2/3} O L. Itaque cunei $uper recta O L, ab$ci$$i plano per O H ducto, $ubcentrica erit O R. Sed cunei alterius $uper eadem O L, ab$ci$$i plano per rectam A H, (e$t autem cuneus hic nihil aliud quam rectangulum) $ubcentrica erit ip$a A M. Quare rectangulum illud, quod $upra O$cillationis vocavimus, erit $olum rectangulum O M R. quod nempe, applicatum ad longitudinem A M, dabit di- $tantiam centri o$cillationis lineæ O L, ex A $u$pen$æ, in- fra punctum M.

Sit jam A N = _a_: A M = _x_: M O vel M L = _y_. E$t ergo rectangulum O M R = {1/3} _yy_. quo applicato ad A M, fit {1 _y y_/3_x_}. quæ longitudo itaque ip$i M N æqualis e$$e debebit, cum velimus centrum o$cillationis virgæ O L e$$e in N. Fit ergo æquatio {1 _yy_/3_x_} + _x_ = _a_. Unde _y_ = 3 _a x_ - 3 _x x_. Quod $ignificat puncta O & L e$$e ad Ellip$in, cujus axis minor A N; latus rectum vero, $ecundum quod po$$unt ordinatim ad axem hunc applicatæ, ip$ius A N triplum.

Hinc vero manife$tum fit, cum omnis virga ip$i O L pa- rallela, & ad Ellip$in hanc terminata, o$cillationes i$ochro- [0233]HOROLOG. OSCILLATOR. nas habeat pendulo $implici A N, etiam totum Ellip$eos DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. planum, ex A $u$pen$um & in latus agitatum, ip$i A N pendulo i$ochronum fore. Sed & partem Ellip$eos quamli- bet, quæ lineis una vel duabus, ad A N perpendicularibus, ab$cindetur.

Cæterum ad$cribemus & aliud loci plani exemplum, in quo nonnulla notatu digna occurrunt.

Sit virga A B ponderis expers, $u$pen$a ex A; oporteat- TAB.XXIV. Fig. 6. que, ad datum in ea punctum B, affigere triangula duo pa- ria, & paribus angulis ab axe A B recedentia, quorum an- guli ad B minimi, $ive infinite parvi exi$timandi, quæque, ita $u$pen$a ab A, o$cillationes i$ochronas faciant pendulo $implici datæ longitudinis A L.

Hic, ducta C G perpendiculari in B G, & ponendo A B = _a_; A L = _b_; B G = _x_; C G = _y_: invenitur æqua- tio _y_ = 2 _a b_ - 2 _a a_ - {8/3} _a x_ + {4/3} _b x_ - _x x_ ex qua patet, ba$es triangulorum C, & D, quæ ba$es hic ut puncta con$ide- rantur, e$$e ad circuli circumferentiam; quia nempe habetur terminus $implex - _x x_.

Licet autem hic animadvertere, quod $i _a_ $it nihilo æqua- TAB. XXV. Fig. 1. lis, hoc e$t, $i punctum, ubi affiguntur trianguli B C, B D, $it idem cum puncto A; tum futura $it æquatio _y_ = {4/3} _b x_ - _x x_. Ac proinde, hoc ca$u, $i $umatur A O = {2/3} _b_, hoc e$t, = {2/3} A L, centroque O per A circulus de- $cribatur A D N; erunt ba$es triangulorum A C, A D, ad illius circumferentiam. Cum igitur quælibet duo triangula acuti$$ima, quæ ex A ad circumferentiam A C N D con$ti- tuuntur, magnitudine & $itu $ibi re$pondentia, centrum o$cillationis habeant punctum L, po$itâ A L = {3/4} diametri A N; cumque circulus totus ex ejusmodi triangulorum pa- ribus componatur; uti & portio ejus quælibet, ut A C N D, latera A C, A D æqualia habens; manife$tum e$t, tum cir- culi totius, tum portionis qualem diximus, centrum o$cilla- tionis e$$e in L.

Rur$us, $i in æquatione inventa ponatur {8/3} _a_ = {4/3} _b_, $eu TAB. XXV. Fig. 2. [0234]CHRISTIANI HUGENII 2 _a_ = _b_; hoc e$t, $i triangula affigi intelligantur in B, quod DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. longitudinem A L $ecet bifariam, erit _y_ = 2 _a a_ - _x x_. quæ æquatio docet, quod $i centro B, radio qui po$$it du- plum B A, circumferentia de$cribatur, ea erit locus ba$ium triangulorum acuti$$imorum B C, B D, quorum nempe, ex A $u$pen$orum, centrum o$cillationis erit L punctum. Cumque & circulus totus, & $ector ejus quilibet, axem habens in recta A L, ex hujusmodi triangulorum paribus componatur, manife$tum e$t & horum, ex A $u$pen$orum, centrum o$cillationis e$$e punctum L.

Adeoque quilibet circuli $ector, $u$pen$us à puncto quod di$tet, à centro circuli $ui, $emi$$e lateris quadrati circulo in$cripti, pendulum i$ochronum habebit toti eidem lateri æ- quale. Atque ita, hoc uno ca$u, absque po$ita dimen$ione arcus, pendulum $ectori i$ochronum invenitur.

Porro, ad univer$alem con$tructionem æquationis primæ, TAB.XXV. Fig. 3. & 4. _y_ = 2 _a b_ - 2 _a a_ - {8/3} _a x_ + {4/3} _b x_ - _x x_, dividatur A L bifariam in E, & adponatur ad B E pars $ui tertia E F; eritque F centrum de$cribendi circuli; radius autem F O æqualis $u- mendus ei, quæ pote$t duplum differentiæ quadratorum A E, E F.

Si itaque, ex puncto B, ad de$criptam circumferentiam triangula duo paria acuti$$ima con$tituantur, ut B C, B D; illorum, ex A $u$pen$orum, centrum o$cillationis erit L. Quare & portionis cujuslibet de$cripti circuli, cujus portio- nis vertex $it in B, axis vero in recta A L, quales $unt u- traque C B D; po$ita $u$pen$ione ex A; centrum o$cilla- tionis idem punctum L e$$e con$tat. Atque adeo etiam cir- culi $egmentorum K O N, K M N, quæ facit recta K B N perpendicularis ad A B.

Et hæc quidem de motu laterali planorum, ac linearum, animadverti$$e $ufficiat. Quibus hoc tantum addimus; in- ventis centris o$cillationis figurarum rectarum, $eu quæ æ- qualiter ad axem utrinque con$titutæ $unt; ut trianguli i$o- $celis, vel parabolicæ $ectionis rectæ etiam obliquarum, [0235] [0235a] Pag. 164. Fig. 1. G B O N C R P F Fig. 2. G B R F Fig. 3. A E C F B Fig. 4. A C E D F B Fig. 6. A B C G D L Fig. 5. H A O M R L N [0236] [0237]HOROLOG. OSCILLATOR. quæ velut luxatione illarum efficiuntur, ut trianguli $caleni, DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. & parabolæ non rectæ, centra o$cillationis haberi. Ut $i, TAB.XXVII. Fig. 1. exempli gratia, triangulum B A C i$o$celes, cujus axis A D, à puncto E $u$pen$um intelligatur; $it vero & aliud triangulum $calenum F A G, axem eundem habens A D, & ba$in F G æqualem ba$i B C; etiam hoc triangulum, ex E $u$pen$um, priori B A C i$ochronum e$$e dico.

Quia enim virga, $eu linea gravis, F G, affixa virgæ $i- ne pondere E D in D, $itu obliquo, $u$pen$aque ex E, i$ochrona e$t virgæ B C, $imiliter in D affixæ ; idemque Prop. 16. huj. evenit in virgis cæteris trianguli útriusque, quæ axem A D $ecant in iisdem punctis, atque inter $e æquales $unt: ne- ce$$e e$t tota triangula, quæ ex lineis, $eu virgis iisdem compo$ita intelligi po$$unt, i$ochrona e$$e. In aliis figuris $i- milis e$t demon$tratio.

PROPOSITIO XXII.

_Q_Uomodo, in $olidis figuris, o$cillationis centra inveniantur.

In $olidis porro figuris facile quoque, per ante demon- TAB. XXV. Fig. 5. $trata, centrum o$cillationis invenire licebit. Si enim $it $c- lidum A B C, $u$pen$um ab axe, qui, per punctum E, intelligitur hujus paginæ plano ad rectos angulos; centrum autem gravitatis $it F: ductis jam per F planis E F D, G F H, quorum po$terius $it horizonti parallelum, alterum vero per axem E transeat; inventisque, per propo$itionem 14, $um- mis quadratorum à di$tantiis particularum $olidi A B C à plano G F H, itemque à plano E F D; hoc e$t, inven- tis rectangulis utrisque, quæ, multiplicia $ecundum numc- rum dictarum particularum, æqualia $int dictis quadratcrum $ummis; rectangula hæc applicata ad di$tantiam E F, qua nempe axis $u$pen$ionis di$tat à centro gravitatis, dabunt intervallum F K, quo centrum agitationis K inferius e$t centro gravitatis F. Hoc enim patet ex propo$itione 18. Da- bimus autem & horum exempla aliquot.

[0238]CHRISTIANI HUGENII Centrum o$cillationis in Pyramide. DECENTRO OSCILLA- TIONIS.

Sit primum A B C pyramis, verticem habens A, axem TAB.XXVI. Fig. 1. A D, ba$in vero quadratum, cujus latus B C. ponaturque agitari circa axem qui, per verticem A, $it hujus paginæ plano ad angulos rectos.

Hic figura plana proportionalis O V V, à latere adpo- nenda, $ecundum propo$itionem 14, con$tabit ex re$iduis parabolicis O P V, quæ nempe $uper$unt, cum, à rectan- gulis Ω P, auferuntur $emiparabolæ O V Ω, verticem ha- bentes O.

Sicut enim inter $e $ectiones pyramidis B C, N N, ita quoque rectæ V V, R R, ip$is in figura plana re$ponden- tes. & $icut centrum gravitatis E di$tat, à vertice pyrami- dis, tribus quartis axis A D, ita quoque centrum gravita- tis F, figuræ O V V, di$tabit tribus quartis diametri O P à vertice O.

Intellecto porro horizontali plano N E, per centrum gra- vitatis pyramidis A B C, quod idem figuram O V V $ecet $ecundum R F; inventâque $ubcentricâ cunei, $uper figura O V V ab$ci$$i plano per O Ω, quæ $ubcentrica $it O G, (e$t autem {4/5} diametri O P) erit rectangulum O F G, mul- tiplex per numerum particularum figuræ O V V, æquale quadratis di$tantiarum ab recta R F , ac proinde quoque Prop. 10. huj. quadratis di$tantiarum à plano N E, particularum $olidi A B C. Fit autem rectangulum O F G æquale {3/80} quadrati O P, vel quadrati A D.

Deinde, ad inveniendam $ummam quadratorum à di$tan- tiis à plano A D, no$cenda primo $ubcentrica cunei, $uper quadratâ ba$i pyramidis B C ab$ci$$i, plano per rectam quæ in B intelligitur axi A parallela; quæ $ubcentrica $it B K; e$tque {2/3} B C. No$cenda item di$tantia centr. gr. dimidiæ fi- guræ O P V ab O P; quæ $it Φ P; e$tque {3/10} P V. Inde, divi$à bifariam P V in Δ, $i fiat ut Δ P ad P Φ, hoc e$t, ut 5 ad 3, ita rectangulum B D K, quod e$t {1/12} quadrati B C, ad aliud $patium Z; erit hoc, multiplex $ecundum [0239] [0239a] Pag. 166. TAB.XXV. Fig. 1. A O C G D L N Fig. 2. A B C G D L N Fig. 3. O C D A K B N E F C D L M Fig. 4. O A C D F E K B N C L D M Fig. 5. E A G F H K B D C [0240] [0241]HOROLOG. OSCILLATOR. numerum particularum $olidi A B C, æquale quadratis di- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. $tantiarum à plano A D . Apparet autem, fieri $patium Z Prop. 15. huj. æquale {1/20} quadrati B C.

Itaque, totum $patium applicandum, æquatur hic {3/80} qua- drati A D, cum {1/20} quadrati B C. Unde, $i $u$pen$io, ut hic, po$ita fuerit in A, vertice pyramidis, ideoque di$tan- tia, ad quam applicatio facienda, A E æqualis {3/4} A D; fiet hinc E S, intervallum quo centrum agitationis inferius e$t centro gravitatis, æquale {1/20} A D, atque in$uper {1/15} tertiæ proportionalis duabus A D, B C. $ive tota A S æqualis {4/5} A D, præter dictam {1/15} tertiæ proportionialis.

Centrum o$cillationis Coni.

Quod $i A B C conus fuerit, omnia eodem modo @e habe- bunt, ni$i quod $patium Z hic fit æquale rectangulo Δ Ρ Φ , Prop. 15. huj. hoc e$t {3/2@} quadrati P V vel B D, $ive {3/80} quadrati B C. Quare, totum $patium applicandum, in cono erit {3/80} qua- drati A D, una cum {3/80} quadrati B C. Ac proinde, po$ita $u$pen$ione ex vertice A, fiet E S, qua centrum agitationis inferius e$t centro gravitatis, æqualis {1/20} A D, & {1/20} tertiæ proportionalis duabus A D, B C. $ive tota A S æqualis {4/5} A D, una cum {1/5} tertiæ proportionalis duabus A D, D B. Atque hinc manife$tum e$t, $i A D, D B æquales $int, hoc e$t, $i conus A B C $it rectangulus, fieri A S æqualem axi A D.

Sequitur quoque porro, ex propo$itione 20, conum hunc rectangulum, $i ex D centro ba$eos $u$pendatur, i$ochro- num fore $ibi ip$i ex vertice A $u$pen$o, quemadmodum & de triangulo rectangulo $upra o$ten$um fuit.

Centrum o$cillationis Sphæræ.

Si A B C $it $phæra, erit figura plana proportionalis, à TAB. XXVI. Fig. 2. latere adponenda, O V H, ex parabolis compo$ita, qua- rum ba$is communis O H, æqualis $phæræ diametro A D. Sectâ vero $phærâ planis per centrum E, quorum B C $it [0242]CHRISTIANI HUGENII horizonti parallelum, A D vero verticale: ut inveniatur DE CENTRO OSCILLA TIONIS. $umma quadratorum à di$tantiis à plano A D, no$cenda e$t di$tantia centri gr. parabolæ O V H ab O H, quæ $it Φ P, e$tque {2/5} V P. Deinde, divi$â P V bifariam in Δ, con$tat rectangulum Δ Ρ Φ, multiplex per numerum particularum $phæræ A B C, æquari quadratis di$tantiarum à plano A D . Prop. 15. @n fine. E$t autem rectangulum Δ Ρ Φ æquale {1/5} quadrati P V, vel quadrati B E.

Atqui, quadrata di$tantiarum à plano B C, æqualia e$$e liquet quadratis di$tantiarum à plano A D, ac proinde ei- dem rectangulo Δ Ρ Φ, multiplici per dictum particularum numerum. Ergo $patium applicandum, in $phæra A B C, erit duplum rectanguli Δ Ρ Φ; ideoque æquale {2/5} quadrati à radio E B.

Itaque, $i $phæra $u$pen$a $it ex puncto in $uperficie $ua A, erit E S, à centro $phæræ E ad centrum agitationis S, æqualis {2/5} $emidiametri A E. Totaque A S æqualis {7/10} dia- metri A D. Si vero ex puncto alio, ut L, $phæra $u$pen$a $it; erit E S æqualis {2/5} tertiæ proportionalis duabus L E, E B.

Centrum o$cillationis Cylindri.

In cylindro, invenimus $patium applicandum æquari {@/12} quadrati altitudinis, una cum {1/4} quadrati à $emidiametro ba- $is. Unde, $i cylindrus à centro ba$is $uperioris $u$pendatur, fit longitudo penduli i$ochroni æqualis {2/3} altitudinis, una cum $emi$$e ejus, quæ $it ad $emidiametrum ba$is ut hæc ad alti- tudinem.

Centrum o$cillationis Conoidis Parabolici.

In conoide parabolico, rectangulum o$cillationis e$t {@/18} quadrati altitudinis, cum {1/6} quadrati à $emidiametro ba$is. Unde, $i à puncto verticis fuerit $u$pen$um, fit longitudo penduli i$ochroni {3/4} axis, cum {1/4} ejus quæ $it ad $emidiame- trum ba$is, $icut hæc ad axem, id e$t, una cum {1/4} lateris re- cti parabolæ genitricis.

[0243]HOROLOG. OSCILLATOR. DECENTRO OSCILLA- TIONIS. Centrum o$cillationis Conoidis Hyperbolici.

In conoide quoque hyperbolico centrum o$cillationis inve- TAB. XXVI. Fig. 3. niri pote$t. Si enim, exempli gratia, $it conoides cujus $e- ctio per axem, hyperbola B A B; axem habens A D, la- tus tran$ver$um A F: erit figura plana ip$i proportionalis B K A K B, contenta ba$i B B, & parabolicæ lineæ por- tionibus $imilibus A K B, quæ parabolæ per verticem A tran$eunt, axemque habent G E, dividentem bifariam latus tran$ver$um A F, ac parallelum ba$i B B. Et hujus quidem figuræ B K A K B, centrum gravitatis L, tantum di$tat à vertice A, quantum centrum gravitatis conoidis A B B; e$t- que axis A D ad A L, $icut tripla F A cum dupla A D, ad duplam F A cum $esquialtera A D. Deinde & di$tantia centri gr. figuræ dimidiæ A D B K, ab A D, inveniri po- te$t, atque etiam $ubcentrica cunei $uper figura B K A K B, ab$ci$$i plano per A P, parallelam B B; hujus inquam cu- nei $ubcentrica, $uper ip$a A P, inveniri quoque pote$t; atque ex his con$equenter centrum agitationis conoidis, in quavis $u$pen$ione; dummodo axis, circa quem movetur, $it ba$i conoidis parallelus. Atque invenio quidem, $i axis A D lateri tran$ver$o A F æqualis ponatur, $patium appli- candum æquari {1/20} quadrati A D, cum {31/200} quadrati D B. Tunc autem A L e$t {7/10} A D.

Unde, $i conoides huju$modi ex vertice A $u$pendatur, invenitur longitudo penduli i$ochroni, A S, æqualis {2/3}{7/5} A D, cum {31/140} tertiæ proportionalis duabus A D, D B.

Centrum o$cillationis dimidii Coni.

Denique & in $olidis dimidiatis quibu$dam, quæ fiunt TAB. XXVII. Fig. 2. $ectione per axem, centrum agitationis invenire licebit. Ut $i $it conus dimidiatus A B C, verticem habens A, diame- trum $emicirculi ba$eos B C: ejus quidem centrum gravita- tis D notum e$t, quoniam A D e$t {3/4} rectæ A E, ita divi- dentis B C in E, ut, $icut quadrans circumferentiæ circuli [0244]CHRISTIANI HUGENII ad radium, ita $int {2/3} C B ad B E. Tunc enim E e$t cen- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. trum gravitatis $emicirculi ba$eos, ideoque in A E centra gravitatis omnium $egmentorum $emiconi A B D, ba$i pa- rallelorum.

Et figura quidem porro proportionalis à latere ponenda, O V V, eadem e$t quæ in cono toto $upra de$cripta fuit: per quam nempe invenietur $umma quadratorum, à di$tan- tiis particularum $emiconi à plano horizontali N D, per centrum gravitatis ducto. Verum quadrata di$tantiarum, à plano verticali M D O, ut colligantur, altera quoque figu- ra proportionalis S Y Z, $icut $upra prop. 14. adhibenda e$t, cujus nempe $ectiones verticales, exhibeant lineas pro- portionales $ectionibus $ibi re$pondentibus in $emicono A B C. & hujus figuræ cogno$cenda e$t di$tantia centri gr. F ab S Y, quam æqualem e$$e con$tat di$tantiæ D N, centri gr. $emiconi à plano trianguli A B. po$itâque H G $ubcentricâ cunei ab- $ci$$i $uper figura S Z Y, ducto plano per S Y, no$cendum e$t rectangulum G F H, cujus nempe multiplex, $ecundum numerum particularum $emiconi A B C, æquabitur quadra- tis di$tantiarum $emiconi in planum M D O. Licebit vero cogno$cere rectangulum illud G F H, etiam$i $ubcentricæ H G longitudo ignoretur, hoc modo.

Diximus $upra, cum de cono ageremus, quadrata di$tan- tiarum à plano per axem ejus, æquari {3/80} quadrati à diametro ba$is, $ive {3/20} quadrati à $emidiametro, multiplicis per nu- merum particularum coni totius. Unde & hic, in $emicono A B C, quadrata di$tantiarum à plano A B æqualia erunt {3/20} quadrati B C, multiplicis per numerum particularum i- p$ius $emiconi. Sed & rectangulum H G F, multiplex per nu- merum particularum $emiconi A B C, æquatur quadratis di$tantiarum à plano A B, ut patet ex propo$itione 9. Ergo rectangulum H G F æquale {3/20} quadrati B C. Ponendo autem A B = _a_; B C = _b_; & quadrantem circumferentiæ, radio B C de$criptæ, = _q_; fit E B = {2 _b b_/3 _q_}. Cujus cum N D tribus quartis æquetur, fiet proinde N D, $ive G F = {1 _b b_/2 _q @_}. [0245] [0245a] Pag. 170. TAB. XXVI. Fig. 1. Ω O Ω A Z R F R N E N R G S V P Φ Δ V B D K C Fig. 2. L O A V P Φ Δ V B E C S H D Fig. 3. F G E G P A P K K L B D B S [0246] [0247]HOROLOG. OSCILLATOR. Cujus quadratum auferendo à rectangulo H G F, quod erat DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. {3/20} quadrati B C, fiet rectangulum G F H = {3/20} _b b_ - {1_b_4/4 _q q_}. Hoc autem rectangulum, multiplex per numerum particularum $emiconi A B C, æquatur quadratis di$tantiarum à plano M D O. At quadratis di$tantiarum à plano N D æquantur, ut in cono, {3/80} quadrati A B, $ive {3/80} _a a_, multiplices per numerum particularum $emiconi A B C. Itaque, totum $pa- tium applicandum, æquabitur hic {3/80} _a a_ + {3/20} _b b_ - {1 _b_ 4/4 _q q_}.

Unde quidem centrum agitationis invenitur in omni $u$pen- $ione $emiconi, dummodo ab axe qui $it parallelus ba$i trianguli à $ectione A B. Notandum vero, cum figura S Z Y $it ignotæ pror$us naturæ, $ubcentricam tamen G H, cunei $uper ip$a ab- $ci$$i plano per S Y, hinc inveniri. Nam, quia rectangulum H G F æquale erat {3/20} _b b_, $ive quadrati B C, & G F æqualis {1_b b_/2 _q_}, fit inde G H æqualis {3/10} _q_.

Porro, etiam $emicylindri, & $emiconoidis parabolici, centra agitationis inveniri po$$unt, atque aliorum in$uper $e- mi$olidorum; quæ aliis inve$tiganda relinquimus.

Quemadmodum autem in figuris planis, ita & hic in $o- lidis figuris locum habet, quod de obliquarum centris agi- tationis illic diximus, quæ veluti luxatione rectarum con$ti- tuuntur, quarum centra o$cillationis non differunt à centris o$cillationis rectarum. Sic, $i coni duo fuerunt A B C, A F G, TAB. XXVII. Fig. 1. alter rectus, alter $calenus; quorum & diametri & ba$es æquales; hi ex vertice $u$pen$i, vel à quibu$cunque axibus, æqualiter à centris eorum gravitatis di$tantibus, i$ochroni erunt; dummodo axis, unde conus $calenus $u$pen$us e$t, rectus $it ad planum trianguli per diametrum, quod planum ba$i e$t ad angulos rectos.

[0248]CHRISTIANI HUGENII DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. PROPOSITIO XXIII.

HOrologiorum motum temperare, addito ponde- re exiguo $ecundario, quod $uper virga pen- duli, certa ratione divi$a, $ur$um deor$umque moveri po$$it.

Ut hoc expediamus, primo penduli ip$ius, ex virga gra- TAB. XXVII. Fig. 3. vitate prædita, & appen$o parte ima pondere, compo$iti, centrum o$cillationis inveniendum e$t.

Sit virga, cum appen$o pondere, A C, cujus longitudo dicatur _a_. Intelligantur autem, tum virga ip$a, tum pondus appen$um C, in particulas minimas æquales divi$a, earum- que particularum virga habeat numerum _b_, pondus vero C numerum _c_, ponendo nempe _b_ ad _c_, $icut gravitas virgæ ad gravitatem appen$i ponderis. Longitudo igitur penduli $im- plicis, dato i$ochroni, habebitur, $i $umma quadratorum à di$tantiis particularum omnium à puncto $u$pen$ionis A, di- Prop. 6. huj. in fine. vidatur per $ummam earundem di$tantiarum . Secetur A C bifariam in M; tum vero in T, ut A T $it dupla T C. Quia ergo M e$t centrum gravitatis lineæ A C, & A T $ubcen- trica cunei $uper ip$a ab$ci$$i plano per A D, perpendicu- larem ad A C; qui cuneus hîc revera triangulum e$t; erit $um- ma quadratorum, à di$tantiis particularum virgæ à puncto A, æqualis rectangulo A M T, una cum quadrato A M; hoc e$t, rectangulo T A M, multiplici $ecundum numerum particularum _b_; hoc e$t, {1/3} _a a b_; quia M A e$t {1/2} _a_, & T A {2/3} _a_, ac proinde rectangulum T A M = {1/3} _a a_. Summa vero quadratorum, à di$tantiis particularum ponderis C ab eo- dem puncto A, æquabitur quadrato A C, multiplici $ecun- dum numerum particularum ip$ius ponderis; hoc e$t, _a a c_. Adeoque $umma quadratorum omnium, tam à di$tantiis par- ticularum virgæ, quam ponderis C, erit {1/3} _a a b_ + _a a c_.

Porro, di$tantiæ omnes particularum virgæ A C à pun- cto A, æquantur {1/2} _b a_; longitudini $cilicet virgæ ip$ius, quæ [0249]HOROLOG. OSCILLATOR. e$t _a_, multiplici $ecundum $emi$$em numeri particularum DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. quas continet. Et di$tantiæ omnes particularum ponderis C, ab eodem puncto A, $unt _a c_. Ita ut $umma utrarumque di- $tantiarum $it {1/2} _a b_ + _a c_. Per quam dividendo $ummam quadratorum prius inventam, {1/3} _a a b_ + _a a c_, fit {{1/3} _a a b_ + _a a c_/{1/2} _a b_ + _a c_} $ive {{1/3} _a b_ + _a c_/{1/2} _b_ + _c_}, longitudo penduli i$ochroni. Quæ itaque habebitur, $i fiat, ut dimidia gravitas virgæ, una cum gravitate appen$i ponderis, ad trientem gravitatis virgæ, una cum gravitate eju$dem appen$i ponderis, ita longitudo A C ad aliam. Oportet autem $umere longitudinem A C, à puncto $u$pen$ionis A ad centrum gravitatis ponderis C; cum magnitudinis ejus ratio hic non habeatur, ac veluti minimum con$ideretur.

Quod $i jam, præter pondus C, alterum in$uper D virgæ TAB. XXVII@ Fig. 4. inhærere intelligatur, cujus gravitas, $eu particularum nume- rus $it _d_: di$tantia vero A D $it _f_. Ut pendulum $implex huic ita compo$ito i$ochronum inveniatur, addenda $unt ad $ummam $uperiorem quadratorum, quadrata di$tantiarum particularum ponderis D à puncto A, quæ quadrata apparet e$$e _d f f_. Adeo ut $umma omnium jam $it futura {1/3} _a a b_ + _a a c_ + _f f d_. Item, ad $ummam di$tantiarum, addendæ di$tantiæ particularum ponderis D, quæ faciunt _d f_. Ac $um- ma proinde di$tantiarum omnium erit {1/2} _b a_ + _c a_ + _d f_; per quam dividenda e$t i$ta quadratorum $umma, & fit {{1/3} _a a b_ + _a a c_ + _f f d_/{1/2} _a b_ + _a c_ + _f d_}, longitudo penduli i$ochroni.

Quod $i vero, hæc longitudo penduli i$ochroni, datæ æqualis po$tuletur, quæ $it _p_, & reliqua omnia quæ prius data $int, præter di$tantiam A D $eu _f_, quæ determinat locum pon- deris D: $itque invenienda hæc di$tantia, id fiet hoc modo. Nempe, cum po$tuletur {{1/3} _a a b_ + _a a c_ + _f f d_/{1/2} _a b_ + _a c_ + _f d_} æquale _p_, orietur ex hac æquatione _f f_ = _p f_ + {{1/2} _a b p_ + _c a p_ - {1/3} _a a b_ - _a a c_/_d_}. Et _f_ = {1/2} _p_ [0250]CHRISTIANI HUGENII DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. + vel - {1/4} _p p_ + {1/2} _a b p_ + _a a p_ - {1/3} _a a b_ - _a a c_/_d_}. Ubi animadverten- dum, duas e$$e veras radices, $i {1/2} _a b p_ + _c a p_ minus $it quam {1/3} _a a b_ + _a a c;_ hoc e$t, $i longitudo _p_ minor $it quam {{1/3} _a b_ + _a c_/{1/2} _b_ + _c_}, quæ antea inventa fuit longitudo penduli i$ochro- ni, $ive di$tantia centri o$cillationis à $u$pen$ione, in pen- dulo compo$ito ex virga A C & pondere C.

Unde patet, $i velimus efficere, ut, applicato pondere D, acceleretur penduli motus; po$$e duobus locis, inter A & C, illud di$poni, quorum utrolibet eadem celeritas pendulo concilietur: velut in D vel E. Quæ loca æqualiter di$tabunt à puncto N, quod abe$t ab A, $emi$$e longitudinis _p_, hoc e$t, $emi$$e penduli $implicis, cui compo$itum hoc i$ochro- num po$tulabatur. Apparet autem, quando hæc longitudo _p_ tantum exiguo minor ponitur quam A C, etiam punctum N exiguo $uperius e$$e puncto medio virgæ A C.

Porro, ex æquatione $uperiori, _f_ = {1/2} _p_ + vel - {1/4} _p p_ + {1/2} _a b p_ + _a c p_ - {1/3} _a a b_ - _a a c_/_d_} habetur determinatio longitudi- nis _p_. Patet enim, {1/4} _p p_ + {1 _a b p_ + _a c p_/2 _d_} non minus e$$e debere quam {1 _a a b_ - _a a c_/3 _d_}. Unde non debebit e$$e minor quam {_a_/_d_} {4/3} _b d_ + 4 _c d_ + _b b_ + 4 _b c_ + 4 _c c_ @ _a b_ - 2 _a c_/_d_}. Quod $i _p_ æquetur huic quantitati, hoc e$t, $i {1/4} _p p_ + {1 _a b p_ + _a c p_/2 _d_} fuerit æquale {1 _a a b_ + _a a c_/3 _d_}, erit jam, in eadem $uperiori æquatione, _f_ = {1/2} _p_, hoc e$t, {_a_/2 _d_} {4/3} _b d_ + 4 _c d_ + _b b_ + 4 _b c_ + 4 _c c_ -{_a b_ - 2 _a c_/2 _d_}. Quo determinatur di$tantia ponderis D à puncto A, ex qua ma- xime omnium acceleret motum penduli.

Atque hæc ad horologiorum u$um $ic porro adhibentur. Sit, exempli gratia, pendulum horologii, quod $ingulis o$cillationibus $crupula $ecunda notet. Virgæ autem gravitas $it 50 gravitatis appen$i ponderis in imo pendulo: &, præ- ter hoc, $it aliud exiguum pondus mobile $ecundum virgæ longitudinem, cujus gravitas eadem ponatur quæ ip$ius vir- [0251]HOROLOG. OSCILLATOR. gæ. Quæritur jam, quo loco hoc virgæ imponendum, ut DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. uno $crupulo primo acceleretur horologii motus, $patio 24 horarum. Item, ubi collocandum, ut duorum $crupulorum primorum $it acceleratio; item, ut trium, quatuor, atque ita porro.

Ductis viginti quatuor horis $exagies, fiunt 1440, quot nempe $crupula prima una die continentur. Ex his unum aufer, quando unius $crupuli acceleratio quæritur: $uper- $unt 1439. Ratio autem 1440 ad 1439 duplicata, proxime e$t ea quæ 1440 ad 1438. Ergo, $i penduli $implicis, $e- cunda $crupula notantis, longitudo divi$a intelligatur in par- tes æquales 1440, earumque 1438 alii pendulo tribuantur, hoc præcedet alterum illud, in 24 horis, uno $crupulo pri- mo. Adeo ut hic _p_ valeat partes 1438.

Quia autem pendulum horologii, ex virga metallica & pondere appen$o compo$itum, i$ochronum ponitur pendulo $implici partium 1440; invenienda primum e$t virgæ illius longitudo, ex æquatione $uperius po$ita. Erat nempe {{1/3} _a b_ + _a c_/{1/2} _b_ + _c_} æquale longitudini penduli $implicis, quod i$ochro- num compo$ito ex virga habente longitudinem _a_, gravita- tem _b_, & pondere affixo cujus gravitas _c_. Ergo $i longitu- do penduli $implicis i$ochroni dicatur _$_. Erit {{1/2} _b $_ + _c $_/{1/3} _b_ + _c_} = _a_. po$itoque, ut hic, _c_ = 50; _b_ = 1; _$_ = 1440; fiet, a = 1444 {4/5}, longitudo virgæ.

Jam, quia erat _f_ = {1/2} _p_ + vel @ {1/4} _p p_ + {1/2} _a b p_ + _a c p_ - {1/3} _a a b_ - _a a c_/_d_, fiet _f_ = {1/2} _p_ + vel - {1/4} _p p_ + 72962 _p_ - 105061210. Unde porro, $i _p_ $it, uti diximus, partium 1438; invenie- tur _f_ = 1331 {1/2}, qualium nempe _$_, $eu pendulum $implex, $ecunda $crupula o$cillationibus de$ignans, continet 1440. Cu- jus longitudo $i pedum trium $tatuatur, quos horarios voca- vimus, habebit _f_ uncias 33, & 3 unciarum uncias, quas lineas vocant. Vel, auferendo hanc longitudinem _f_ à tota trium pedum longitudine, $upererunt unciæ duæ, lineæ 9, [0252]CHRISTIANI HUGENII à centro o$cillationis penduli compo$iti $ur$um $umendæ, ut DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. habeatur locus ponderis D, unius $crupuli primi accelera- tionem præ$tans tempore 24 horarum. Eodem modo reli- quas di$tantias, quibus virga dividenda e$t, calculo inve$ti- gavimus, aliam atque aliam ponendo longitudinem _p:_ eas- que $ubjecta tabella exhibemus, $ecundum cujus numeros etiam virga penduli divi$a e$t, quæ $uperius in de$criptione horologii fuit exhibita. Procedunt autem accelerationes diur- næ, ut jam illic advertimus, per 15 $crupula $ecunda, $eu primorum $crupulorum quadrantes. Ex. gr. $i, pondere mo- bili D hærente in parte 73, 4, inveniatur horologium tar- dius ju$to incedere, in 24 horis, differentiâ 15 $ecundorum $crupulorum; oportebit $ur$um adducere pondus D, usque ad numerum 85, 6, ut corrigatur.

Acceleratio horolog@i \\ $patio 24 horarum. # Partes, à centro o$c. \\ $ur$um accipiendæ. _Scrup. pr. Sec_. # _Lineæ & decima linearum pedis horarii_. 0, 15 # 7, 0 0, 30 # 15, 2 0, 45 # 23, 7 1, 0 # 32, 6 1, 15 # 41, 9 1, 30 # 51, 7 1, 45 # 62, 2 2, 0 # 73, 4 2, 15 # 85, 6 2, 30 # 99, 0 2, 45 # 114, 1 3, 0 # 131, 8 3, 15 # 154, 3 3, 30 # 192, 6

Centrum o$cillationis altius e$t centro gravitatis C parti- bus 1, 4.

[0253]HOROLOG. OSCILLATOR. PROPOSITIO XXIV. DE CENTRO OSCILLA- TIONIS.

_C_Entri o$cillationis rationem haberi non po$$e, in pendulis inter Cycloides $u$pen$is; & quomo- do hinc orta difficultas tollatur.

Si quis, $ubtili examine, contulerit ea quæ in $uperiori- bus, de pendulo inter cycloides $u$pen$o, demon$travimus, cum his quæ ad centrum o$cillationis pertinent; videbitur ei dee$$e aliquid ad perfectam illam, quam præferimus, o$cil- lationum æqualitatem. Ac primo dubitabit, an, ad inveni- endum circulum cycloidis genitorem, pendulilongitudo ac- cipienda $it à puncto $u$pen$ionis ad centrum gravitatis ap- pen$i plumbi, an vero ad centrum o$cillationis; quod, abal- tero illo, $æpe $en$ibili intervallo di$tat, atque eo majore, quo major fuerit $phæra aut lens plumbea. Quid enim, $i $phæræ diameter quartam, aut tertiam partem, pendulilon- gitudinis æquet? Quod $i ad centrum o$cillationis illam lon- gitudinem accipiendam dicamus, non tamen expediet quo pacto ea, quæ de centro o$cillationis o$ten$a $unt, conve- niant pendulo continue longitudinem $uam immutanti, qua- le illud quod inter cycloides movetur. Po$$et enim videri, et- iam centrum o$cillationis mutari, ad $ingulas diver$as longi- tudines; quod tamen hoc modo intelligendum non e$t. Res $ane explicatu difficillima, $i omnimodam ἀκ{ρί}βει{αν} $ecte- mur. Nam in demon$tratione temporum æqualium in cycloi- de, mobile, per eam delatum, veluti punctum gravitate præ- ditum con$ideravimus. Sed, $i ad effectum $pectemus, non magni facienda e$t difficultas hæc; cum ponderis, quo pen- dulum con$tat, magnitudo in horologiis tanta non requiratur (et$i quo majus eo melius) ut differentia centrorum gravita- tis, & o$cillationis, aliquid hic turbare po$$it. Quod $i ta- men effugere pror$us has tricas velimus, id ita con$equemur, $i $phæram lentemve penduli, circa axem $uum horizontalem, mobilem efficiamus: axis extrema utrinque, virgæ penduli imæ, in$erendo: quæ idcirco ut bifida hac parte $it nece$$e [0254]CHRISTIANI HUGENII e$t. Fit enim hoc modo, ex motus natura, ut eandem per- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. petuo po$itionem, re$pectu horizontalis plani, $phæra pen- duli $ervet, atque ita puncta ejus quævis, æque ac cen- trum ip$um, cycloides ea$dem percurrant. Unde ce$$at hic jam centrorum o$cillationis con$ideratio; nec minus perfectam temporum æqualitatem tale pendulum con$equitur, quam $i puncto unico omnis ejus gravitas contineretur.

PROPOSITIO XXV.

_D_E men$uræ univer$alis, & perpetuæ, con$ti- tuendæ ratione.

Certa, ac permanens magnitudinum men$ura, quæ nullis ca$ibus obnoxia $it, nec temporum injuriis, aut longinquita- te aboleri aut corrumpi po$$it, res e$t & utili$$ima, & à multis pridem quæ$ita. Quæ $i pri$cis temporibus reperta fui$$et, non tam perplexæ nunc forent, de pedis Romani, Græci, Hebræique veteris modulo, di$ceptationes. Hæc ve- ro men$ura, Horologii no$tri opera, facile con$tituitur; cum $ine illo nequaquam, aut ægre admodum, haberi po$$it. Et$i enim, $implici pendulorum o$cillatione, hoc à quibu$dam tentatum fuerit, numerando recur$us qui tota cæli conver- $ione continentur, vel parte ejus cognita, per fixarum $tel- larum di$tantias, $ecundum a$cen$ionem rectam; nec certi- tudo eadem hoc modo, quæ adhibitis horologiis, contingit, & labor longe e$t mole$ti$$imus ac tædio$i$$imus, propter numerandi $olicitudinem. Quia autem, præter horologia, aliquid, ad exacti$$imam hujus men$uræ inqui$itionem, etiam centrorum o$cillationis notitia confert; ideo hic de- mum, po$t eorum tractationem, hanc determinationem $ub- jicimus.

Apti$$ima huic rei $unt horologia, quorum o$cillationes $ingulæ $ecunda $crupula, vel eorum $emi$$es, notant, quæ- que indicibus etiam, ad ea demon$tranda, in$tructa $unt. Po$tquam enim, ad mediocrem dierum longitudinem, eju$- [0255]HOROLOG. OSCILLATOR. modi horologium, fixarum $tellarum ob$ervationibus, com- DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. po$itum fuerit, methodo illa quam in horologii de$criptione o$tendimus: aliud pendulum $implex, hoc e$t, $phæra plum- bea, aut alia materia gravi con$tans, ex tenui filo religata, juxta $u$pendenda e$t, motuque exiguo impellenda; ac tan- ti$per producenda, aut contrahenda fili longitudo, donec recur$us ejus, per quadrantem horæ, aut $emi$$em, una feran- tur cum reciprocationibus penduli horologio aptati. Dixi autem exiguo motu impellendum pendulum, quia o$cilla- tiones exiguæ, puta 5 vel 6 partium, $atis æqualia tempora habent, magnæ vero non item. Tunc, acceptâ men$urâ di- $tantiæ, à puncto $u$pen$ionis ad centrum o$cillationis pen- duli $implicis; eâque, $i recur$us $inguli $crupula $ecunda valeant, in tres partes divisâ; facient hæ $ingulæ longitudi- nem pedis, quem HORARIUM in $uperioribus vocavimus: quique, hoc pacto, non $olum ubique gentium con$titui po$$it, $ed & venturo ævo redintegrari. Adeo ut & moduli pedum omnium aliorum, $emel ad hunc proportionibus $uis expre$$i, certò quoque in po$terum cogno$ci po$$int. Sicut jam $upra, pedem Pari$ien$em ad hunc horarium e$$e diximus, ut 864 ad 881; quod idem e$t ac $i, po$ito prius pede Pa- ri$ien$i, dicamus tribus huju$modi pedibus, cum octo lineis & dimidia, con$titui pendulum $implex, cujus o$cillationes $crupulis $ecundis horariis re$pon$uræ $int. Pes autem Pari- $ien$is ad R henanum, quo in Patria no$tra utuntur, $e habet ut 144 ad 139; hoc e$t, quinque lineis $uis diminutus, al- terum illum relinquit. Atque ita & hic pes, & alii quilibet, perpetuo duraturas men$uras accipiunt.

Quomodo autem centrum o$cillationis in $phæra, ex qualibet longitudine $u$pen$a, inveniatur, in $uperioribus demon$tratum e$t. Nempe, $i fiat ut di$tantia inter punctum $u$pen$ionis & $phæræ centrum, ad $emidiametrum ejus, ita hæc ad aliam; ejus duas quintas, à centro deor$um ac- ceptas, terminari in quæ$ito o$cillationis centro. Facile au- tem apparet cur nece$$aria $it hujus centri con$ideratio, ad accuratam pedis Horarii con$titutionem. Nam, $i à pun- [0256]CHRISTIANI HUGENII cto $u$pen$ionis ad $phæræ centrum di$tantia accipiatur, DE CENTRO OSCILLA- TIONIS. $phæræ autem magnitudo non definiatur proportione ad fili longitudinem, non erit certa men$ura penduli cujus recur$us $ecunda $crupula metiantur; $ed quo major erit ejus $phæra, hoc minor invenietur men$ura illa, inter centrum $phæræ & punctum $u$pen$ionis intercepta. Quia in i$ochronis pendu- lis, centra quidem o$cillationis à punctis $u$pen$ionum æ- qualiter di$tant; amplius autem de$cendit centrum o$cilla- tionis infra centrum $phæræ majoris, quam minoris.

Hinc nece$$e fuit illis, qui, ante hanc centri o$cillatorii determinationem, men$uræ univer$alis con$tituendæ ratio- nem inierunt; quod, jam inde à prima Horologii no$tri inventione, nobilis illa Societas Regia Anglicana $ibi nego- tium $ump$it, & recentius docti$$imus A$tronomus Lugdu- nen$is, Gabriel Moutonus; his, inquam, nece$$e fuit de$i- gnare globuli $u$pen$i diametrum, vel proportione certa ad fili longitudinem, cujus nempe trice$imam vel aliam partem æquaret; vel men$ura quadam cognita, ut digiti vel polli- cis. Sed hoc po$teriore modo, ponitur jam certi aliquid, quod id ip$um e$t quod quærendum e$t: et$i $cio vix $en$i- bilem errorem fore, dummodo $phæræ i$tam, quam jam di- xi, magnitudinem non multum excedant. Priore autem po$$et quidem aliquo pacto res explicari; $ed ita, ut nu- merandarum o$cillationum labor $ubeundus $it, calculoque etiam utendum. Quamobrem præ$tat, centra o$cillationis adhibendo, certam rationem $equi, nulli$que præter nece$- $itatem legibus obligari. atque hic jam majoribus $phæris quam exiguis potius utendum, quod illæ occur$u aëris mi- nus impediantur.

Cæterum, non $phæræ tantum ex filo $u$pen$æ, $ed & coni, cylindri, aliaque omnia $olida, planaque, quorum centra o$cillationis $uperius exhibuimus, ad hanc men$uram inve$tigandam, apta $unt; quoniam, à puncto $u$pen$ionis ad centrum o$cillationis, certum idemque omnibus i$ochronis pendulis e$t intervallum. Neque etiam illa duntaxat horolo- gia, quæ $ecunda $crupula aut eorum $emi$$es $ingulis penduli [0257]HOROLOG. OSCILLATOR. recur$ibus indicant, ad hæc u$urpare po$$umus; $ed & aliâ DECENTRO OSCILLA- TIONIS. quàcunque penduli longitudine in$tructis propo$itum obti- nebitur, dummodo ex rotarum proportionibus, $eu dentium numero, cogno$catur numerus o$cillationum certo tem- pore peragendarum. Invento enim pendulo $implici, cu- jus librationes $ingulæ conveniant vel $ingulis, vel binis terni$ve recur$ibus horologii, con$tabit jam hinc, quot penduli illius vices horæ $patio tran$igantur. Quarum nume- rus $i quadretur, erit ut quadratum è 3600, numero $cru- pulorum $ecundorum horam unam efficientium, ad qua- dratum illius numeri, ita longitudo penduli $implicis in- venti, (quæ longitudo $emper à puncto $u$pen$ionis ad centrum o$cillationis accipienda e$t) ad longitudinem pen- duli illius horarii tripedalis, quod diximus. Hoc enim inde con$tat, quod duorum quorumvis pendulorum longitudines $unt inter $e, $icut quadrata temporum quibus $ingulæ o- $cillationes tran$eunt; ideoque contrariam rationem habent quadratorum à numeris, quos efficiunt o$cillationes æquali- bus temporum intervallis peractæ. Nam, cum hactenus ex- perientiâ tantum comprobatum fuerit Theorema illud, de pendulorum longitudinibus; eas nempe duplicatam habere rationem temporum, quibus o$cillationes $ingulæ peragun- tur; nunc ejus demon$tratio ex $uperius traditis manife$ta e$t. Cum enim o$tenderimus, $ingulos recur$us penduli, in- ter cycloides $u$pen$i, ad ca$um perpendicularem, è dimi- dia penduli longitudine, certam rationem habere; eam $ci- licet quam circumferentia circuli ad diametrum $uam; faci- le hinc colligitur, tempora o$cillationum in duobus pendulis e$$e inter $e, $icut tempora de$cen$us perpendicularis ex di- midiis eorum altitudinibus. Quæ altitudines dimidiæ, $ive etiam totæ, cum habeant rationem duplicatam temporum, quibus ip$æ de$cen$u perpendiculari percurruntur ; eædem Prop. 3. Part. 2. quoque duplicatam rationem habebunt temporum, quæ o- $cillationes $ingulas metiuntur. Ab o$cillationibus autem mini- mis penduli, inter cycloides $u$pen$i, non differunt $en$i- biliter o$cillationes minimæ penduli $implicis, cujus eadem [0258]CHRISTIANI HUGENII $it longitudo. Itaque & pendulorum $implicium longitudi- DECENTRO OSCILLA- TIONIS. nes, duplicatam rationem habebunt temporum, quibus o- $cillationes minimæ tran$iguntur.

Quod $i quis o$cillationum numerandarum, quæ horæ aut $emihoræ tempore tran$eunt, laborem non defugiat; horo- logiumque ad$it, cujus index $ecunda $crupula demon$tret; quæcunque accipiatur penduli $implicis longitudo, ejus nu- merus o$cillationum, quæ hora una continentur, hoc modo cogno$cetur; atque inde longitudo penduli tripedalis, ad $ecunda $crupula, ut antea, calculo prodibit.

PROPOSITIO XXVI.

_S_Patium de$inire, quod gravia, perpendiculari- ter cadentia, dato tempore percurrunt.

Hanc men$uram quicunque hactenus inve$tigarunt, expe- rimenta con$ulere nece$$e habuerunt; quibus, prout hacte- nus in$tituta fuere, non facile ad exactam determinationem pervenitur, propter velocitatem cadentium, $ub finem mo- tus acqui$itam. Ex no$tra autem prop. 25, de De$cen$u gravium, cognitaque longitudine penduli ad $ecunda $cru- pula, ab$que experimento, per certam con$equentiam, rem expedire po$$umus. Ac primo quidem $patium il- lud inquiremus, quod unius $crupuli $ecundi tempore grave præterlabitur; ex quo quælibet alia deinde colligere lice- bit. Quia igitur penduli, ad $ecunda $crupula, longi- tudinem diximus e$$e pedum Horariorum 3: tempus au- tem unius o$cillationis minimæ, e$t ad tempus de$cen$us perpendicularis ex dimidia penduli altitudine, ut circumfe- rentia circuli ad diametrum, hoc e$t, ut 355 ad 113: $i fiat, ut numerus horum prior ad alterum, ita tempus unius $ecundi $crupuli, $ive $exaginta tertiorum, ad aliud; fient 19″′ {1/@0}, tempus de$cen$us per dimidiam penduli altitudinem, quæ nempe e$t pedis unciarum 18. Sicut autem quadrata temporum, ita $unt $patia illis temporibus peracta, quemad- [0259]HOROLOG. OSCILLATOR. modum $uperiori propo$itione fuit o$ten$um. Ergo, $i fiat ut DECENTRO OSCILLA- TIONIS. quadratum ex 19″′ {1/10} ad quadratum ex 60″′, hoc e$t, ut 36481 ad 360000, ita 18 unciæ ad aliud, fient ped. 14. unc. 9. lin. 6, altitudo de$cen$us perpendicularis, tempore unius $ecundi. Cum autem pes Horarius $it ad Pari$ien$em, ut 881 ad 864; erit eadem altitudo, ad hanc men$uram redu- cta, proxime pedum 15 & unciæ unius. Atque hæc cum accurati$$imis experimentis no$tris pror$us conveniunt. in quibus punctum illud temporis, quo cafus finitur, non au- rium aut oculi judicio di$cernitur; quorum neutrum hic $a- tis tutum e$t; $ed $patium de$cendendo peractum, alio mo- do, quem hic exponere tentabimus, ab$que ullo errore cog- no$citur.

Penduli, ad parietem tabulamve erectam, $u$pen$i dimi- dia o$cillatio moram temporis, cadendo ab$umpti, indi- cat. Cujus $phærula, ut eodem momento ac plumbum ca$ui de$tinatum dimittatur, utraque filo tenui connexa tenentur, quod admoto igne inciditur. Sed prius, ca$uro plumbo, fu- niculus alius adnectitur, ejus longitudinis, ut, cum totus exierit à plumbo tractus, nondum ad parietem illidatur pen- dulum. Funiculi ejus caput alterum, regulæ chartaceæ, aut ex tenui membrana paratæ, cohæret; ita ad parietem ta- bulamve applicatæ, ut trahentem funem facile $equi po$$it, rectáque $ecundum longitudinem $uam de$cendere; eo loci tran$iens, quo penduli $phæra ad tabulam accidet. Ab$um- pto igitur funiculo toto, pars in$uper regulæ deor$um tra- hitur à cadente plumbo, priu$quam pendulum ad tabulam pertingat. Quæ quanta $it pars, $phæra fuligine leviter in- fecta, regulamque præterlabentem $ignans, indicat. Huc autem addita funiculi longitudine, $patium cadendo emen- $um certò definitum habetur.

Aëris autem occur$um, qua$i nullus e$$et in his intelligi- gimus, ut men$ura cadentibus corporibus præfixa cum ex- perimentis exacte con$entiat. Nec $ane tantus e$t ille, ut in altitudinibus his, quò a$cendere datur, $en$ibile di$crimen inducere po$$it; dummodo $olida corpora è metallo, aut, $i [0260]CHR. HUGENII HOROL. OSCILL. leviore materia con$tent, mole grandiu$cula accipiantur Le- DECENTRO OSCILLA- TIONIS. vitas enim materiæ, in iis quæ cadendo aërem $ecant, ita magnitudine corporis pen$atur, ut $phæra lignea, vel etiam è $ubere formata, paria faciat cum plumbea: quando nimi- rum diameter harum ad plumbeæ diametrum eam rationem habuerit, quam gravitas plumbi propria ad ligni $uberisve gravitatem. Tunc enim gravitates $phærarum erunt inter $e $icut earum $uperficies. Veruntamen, ut æquali celeritate, quantum $en$u percipi pote$t, decidant corpora, quæ mul- tum intrin$eca gravitate differunt nequaquam opus e$t ut proportio illa diametrorum $ervetur. Po$$unt enim inter $e æqualia e$$e, dummodo utraque $atis magna $int; aut ex non nimia altitudine decidant. Etenim illud quoque hic animadvertendum e$t, tantam vel altitudinem e$$e po$$e; vel, in mediocri etiam altitudine, tantam projecti corporis levitatem; ut ob aëris renitentiam, acceleratio motus tan- dem ab illa, quam in $uperioribus demon$travimus, pro- portione plurimum rece$$ura $it. Namque in univer$um, corpori cuilibet, per aërem aliudve liquidum labenti, certus celeritatis modus, pro ratione ponderis ac $uper$iciei $uæ, con$titutus e$t; quem excedere, aut potius ad quem perve- nire nunquam po$$it. Quæ nempe celeritas ea e$t, quam $i aër, aut liquor ille $ur$um tendens, haberet, $u$pen$um cor- pus idem $ibi innatans $u$tinere po$$et. Verum de his, alias forta$$e, pluribus agendi occa$io erit.

[0261] HOROLOGII OSCILLATORII PARS QUINTA.

Con$tructionem aliam, è circulari pendulorum motu deductam, continens; & Theoremata de Vi Centrifuga.

EST & aliud O$cillatorii motus genus, præter id quod hactenus pertractavimus. Eju$modi nempe, quo, per circuli ambitum, pendulum pondus circumfertur. Unde ali- ud quoque horologii commentum deduximus, eodem fere tempore quo prius illud; certoque itidem æquabilitatis prin- cipio nixum; $ed cujus u$us minus percrebuit, propter al- terius illius con$tructionem, quodammodo $impliciorem fa- cilioremque. Plura tamen hujus quoque generis de quo nunc loquimur, nec $ine $ucce$$u, con$tructa fuere: e$tque in his $ingulare illud, quod continuo atque æquabili motu cir- cumferri cernitur index po$tremus, qui $ecunda $crupula de$ignat; cum in priore no$tro horologio, omnibu$que aliis, $ub$ultim qua$i feratur. Item hoc quoque, quod ab$que $tre- pitu, $onoque omni, moveantur hac ratione con$tructa au- tomata. quanquam, ad ob$ervationes a$tronomicas, $onus ad $ingula $ecunda $crupula repetitus, utilitate non careat. Et con$titueram quidem, de$criptionem horum cum iis de- mum edere, quæ ad motum circularem & Vim Centrifu- gam, ita enim eam vocarelibet, attinent; de quo argumen- [0262]CHRISTIANI HUGENII to plura dicenda habeo, quam quæ hoc tempore exequi va- SECUNDI @OROLO- GII DE- SORIPTIO. cet. Sed, ut nova nec inutili $peculatione maturius fruantur harum rerum $tudio$i, neve ca$u aliquo intercidat, hanc quoque partem, præter de$tinatum, cæteris adjunxi, qua machinæ hujus fabrica breviter exponitur, $imulque Theo- remata traduntur, ad Vim Centrifugam pertinentia; demon- Vide Au- ctoris Opera po$thuma p. 401. & $eq. $tratione ip$orum in aliud tempus dilata .

Horologii $ecundi con$tructio.

Non nece$$arium duxi, ut rotarum, quibus interiora ho- TAB.XXVII. Fig. 5. rologii con$tant, di$po$itionem hic exhiberem; cum ea ab artificibus facile ordinari, varii$que modis mutari po$$it; $ed eam partem explicari $atis e$$e, quæ motum ejus certa ratione moderatur. Cujus partis hic figura expre$$a e$t.

Axis D H ad horizontem erectus intelligendus e$t, ac $uper polis duobus mobilis. Huic ad A affixa e$t lamina, latitudine aliqua prædita, curvataque $ecundum lineam A B; quæ e$t paraboloides illa de qua o$tendimus, Propo$. 8. partis 3, evolutione ejus, po$tquam ip$i recta quædam juncta fuerit, de$cribi parabolam. Earecta hic e$t A E; parabolam vero, ex evolutione totius B A E de$criptam, refert linea E F. Filum curvæ B A applicatum, cujus extremo puncto parabola de$cribitur, e$t B G F. Pondus illi affixum F. Dum autem axis D H in $e$e vertitur, filum B G F, in re- ctam lineam exten$um, $phærulam F una circumducit, ita ut circulos horizonti parallelos percurrat; qui majores minore$ve erunt, prout majori aut minori vi axis D H, ab rotis horologii in tympanidium K agentibus, incitabitur: $ed ita, ut omnes in $uperficie conoidis parabolici continean- tur. Atque hoc ip$o æqualia $emper circuitus tempora eva- dent, ut ex iis, quæ de hoc motu po$tea dicemus, appa- rebit.

Quod $i circuitus $ingulos, $ecundorum $crupulorum $e- mi$$es notare velimus, oportet latus rectum parabolæ E F e$$e 4{1/2} unciarum pedis Horarii no$tri, hoc e$t dimidium [0263]HOROLOG. OSCILLATOR. longitudinis penduli, cujus $ingulæ o$cillationes $emi$cru- SECUNDI HOROLO- GII DE- SCRIPTIO. pulum $ecundum impenderent. Ex parabolæ autem latere recto, pendet magnitudo lateris recti paraboloidis A B; quippe quod illius {27/16} continet: atque item longitudo A E, quæ lateris recti parabolæ dimidium e$t. Si vero $ecunda $crupula unoquoque circuitu expleri de$ideremus, quadru- pla priorum accipienda $unt, tum latera recta, tum linea A E.

Porro, et$i filum B G F veluti unicum ac $implex hacte- nus de$ignavimus, $ciendum tamen longe præ$tare ut parte $uperiori duplex $it, ac F versùs in angulum coëat, 20 vel 30 partium. In quem finem & laminæ A B latitudo ad B tanta e$$e debet, quanta i$ti filorum divaricationi $ufficit, vel & ip$a bifida facienda. Hoc pacto enim motus circularis ponderis F, ab$que alio ullo adminiculo, continuatur, ac filum utrumque $ibi annexum in rectum extendit; quod non face- ret, $i unico tantum filo teneretur. Ubi tamen vim illam ab horologii rotis, vel pondere vel alia potentia motis, ad con- tinuationem hujus motus circularis requiri $ciendum. Quæ nempe vis per tympanidium K ad axem K H pervenit, ac minimo ni$u, motum $phæræ F $emel inditum, con$ervat.

Hoc autem quo facilius po$$it, liberrimam axis K H re- volutionem e$$e oportet. Quod nulla ratione melius perfici compertum, quam $i, parte $ui ima, durato chalybe con- $tet, $uppo$itamque habeat adamantis $uperficiem planam; cujus minima quævis particula hic $ufficit, $ubter laminam perforatam collocanda.

Cæterum in locum fili B G F, qua parte curvæ A B appli- cari debet, catenulam tenuem ex auro, aliove metallo, adhi- bere licebit, quo melius invariata $ervetur longitudo. Atque hoc in priore quoque horologio, ubi pendulum inter cycloi- des $u$pen$um e$t, experti $umus. Sed ibi flexus catenulæ continuus, attritu annulorum, perexiguo licet, non parum impedit liberam penduli agitationem.

[0264]CHRISTIANI HUGENII DE VI CENTRIFUGA ex motu circulari, Theoremata. I.

_S_I mobilia duo æqualia, æqualibus temporibus circumferentias inæquales percurrant; erit vis centrifuga in majori circumferentia, ad eam quæ in minori, $icut ip$æ inter $e circumferentiæ, vel earum diametri.

II.

Si duo mobilia æqualia, æquali celeritate fe- rantur, in circumferentiis inæqualibus; erunt eo- rum vires centrifugæ in ratione contraria diame- trorum.

III.

Si duo mobilia æqualia in circumferentiis æqua- libus ferantur, celeritate inæquali, $ed utraque motu æquabili, qualem in his omnibus intelligi vo- lumus; erit vis centrifuga velocioris, ad vim tar- dioris, in ratione duplicata celeritatum.

[0265] [0265a] Pag. 188. TAB.XXVII. Fig. _1_. O V V A M N D N B O E C E A G B D C F Fig. _2_. S Z G F H Y Fig. 3. D A D M T C Fig. 4. A E N D C Fig. 5. K D B G A F E H [0266] [0267]HOROLOG. OSCILLATOR. DE VI CENTRI- FUGA. IV.

Si mobilia duo æqualia, in circumferentiis in- æqualibus circumlata, vim centrifugam æqua- lem habuerint; erit tempus circuitus in majori cir- cumferentia, ad tempus circuitus in minori, in $ubdupla ratione diametrorum.

V.

Si mobile in circumferentia circuli feratur ea celeritate, quam acquirit cadendo ex altitudine, quæ $it quartæ parti diametri æqualis; habebit vim centrifugam $uæ gravitati æqualem; hoc e$t, eadem vi funem quo in centro detinetur intendet, atque cum ex eo $u$pen$um e$t.

VI.

In cava $uperficie conoidis parabolici, quod axem ad perpendiculum erectum habeat, circuitus omnes mobilis, circumferentias horizonti parallelas per- currentis, $ive parvæ $ive magnæ fuerint, æqua- libus temporibus peraguntur: quæ tempora $ingula æquantur binis o$cillationibus penduli, cujus longi- tudo $it dimidium lateris recti parabolæ genitricis.

[0268]CHRISTIANI HUGENII DE VI CRENTRI- FUGA. VII.

Si mobilia duo, ex filis inæqualibus $u$pen$a, gyrentur ita ut circumferentias horizonti paralle- las percurrant, capite altero fil<007> immoto manente; fuerint autem conorum, quorum $uperficiem $ila hoc motu de$cribunt, altitudines æquales; tempo- ra quoque circulationum æqualia erunt.

VIII.

Si mobilia duo, uti prius, motu conico gyren- tur, filis æqualibus vel inæqualibus $u$pen$a; fue- rintque conorum altitudines inæquales; erunt tem- pora circulationum in $ubduplicata ratione ip$arum altitudinum.

IX.

Si pendulum, motu conico latum, circuitus mi- nimos faciat; eorum $ingulorum tempora, adtem- pus ca$us prpendicularis ex dupla penduli altitu- dine, eam rationem habent, quam circumferentia circuli ad diametrum: ac proinde æqualia $unt tempori duarum o$cillationum lateralium, ejusdem penduli, minimarum.

[0269]HOROLOG. OSCILLATOR. X. DE VI CENTRE- FUGA.

Si mobile in circumferentia feratur, circuitus- que $ingulos ab$olvat eo tempore, quo pendulum, longitudinem $emidiametri circumferentiæ ejus ha- bens, motu conico circuitum minimum ab$olveret, vel duplicem o$cillationem minimam lateralem: ha- bebit vim centrifugam $uæ gravitati æqualem.

XI.

Penduli cujuslibet, motu conico lati, tempora circuitus æqualia erunt tempori ca$us perpendicula- ris, ex altitudine penduli filo æquali; cum angu- lus inclinationis fili, ad planum horizontis, fuerit partium _2_. $crup. _54_, proxime. Exacte vero, $i anguli dicti $inus fuerit ad radium, ut quadra- tum circulo in$criptum ad quadratum à circumfe- rentia ejus.

XII.

Si pendula duo, pondere æqualia, $ed inæquali filorum longitudine, motu conico gyrentur, fue- rintque conorum altitudines æquales; erunt vires, quibus fila $ua intendent, in eadem ratione quæ e$t filorum longitudinis.

[0270]CHRIST. HUGENII HOROL. OSCILL. DE VII CENTRI- FUGA. XIII.

Si pendulum $implex o$cillatione laterali maxi- ma agitetur, hoc e$t, $i per totum circuli quadran- tem de$cendat: ubi ad punctum imum circumfe- rentiæ pervenerit, triplo majori vi filum $uum trahet, quam $i ex illo $impliciter $u$pen$um fo- ret.

FINIS. [0271] BREVIS INSTITUTIO DE USU HOROLOGIORUM AD INVENIENDAS LONGITUDINES. [0272] Adr. Metius in Geographicis In$titutionibus Cap. _4_.

ET hæc $ane facillima & apti$$ima e$t methodus (_$cilicet qua adhibit{is} Horologiis longitudines de-_ _teguntur_) quam acquirere po$$is; ni$i quod difficultas & error con$i$tat in irregulari Horolo- giorum motu: ideoque diligentes inqui$itores & inventores rerum naturalium id curate, neque laboris ve$tri vos pæniteat, quo hunc errorem tollere tentetis. Inquirite in hunc verum & æqua- bilem naturæ cur$um; quo potiti verum lapidem Philo$ophorum inveni$tis, neque fortes Nau- cleri ad $copulos toties offendent.

Fournier in Hydrographia 1. _12_. C. _35_.

UNde tandem colligo, $i via inveniri queat ad Horologia perficienda, & laborem $u$cipere ve- limus iis bene utendi, nullam praxim (_ad inveniendas longitudines_) cum hac comparandam e$$e.

Didericus Rembrantz a Nierop in Animadver$ionibus de inveniendis longitudinibus.

HOc modo laudabiliora cen$erem nova excogitata Horologia Domini Chri$tiani Hugenii a Zuy- lichem, quæ, loco liberamenti, a plumbo pendulo o$cillato moderantur, de quibus per certa te$timonia certus $um, quod hæc tempus exacte ad hebdomadas, imò ferè ad men$es ju$te di- metiri queant; Unde confiderem, quod ope horum Horologiorum maximum perciperemug commodum, imò quod, ni$i agitatio navis impediret, $atis attingere po$$emus ad inventionem longitudinum.

[0273] BREVIS INSTRUCTIO DE USU HOROLO- GIORUM AD INVENIENDAS LONGITUDINES. I.

AD minimum bina nova Horologia O- $cillatoria in navem ferantur: ut $i al- terutrum forte fortunâ vel ex negli- gentia quie$cat; vel $i diuturnitate temporis contractis $ordibus, purgan- dum $it, alterum nihilominus movea- tur; præ$taret autem 3 vel 4 adhibere horologia.

II.

Cui cura horologiorum committetur, di$cat a fabro quæ $pectant indices horarum minutarum primarum & $ecunda- rum, internas etiam horologiorum partes intelligere, & redu- cendi ea methodum.

III.

Horologia in navi $u$pendenda $unt in loco arcte clau$o, ubi tuta $unt ab humore vel $ordibus, & ne di$turbentur con- tactibus: Et $i locum illum in media navi prope malum principem ordinare po$$emus, multum præ$taret, quoniam ibi motus minimus e$t.

IV.

Antequam horologia in navem inferantur, conabimur ea aptare ad rectam dierum men$uram, tum enim u$us e$t facil- limus, nullu$que fabris labor e$t ad unum bene adaptatum horologium alia accommodare. Sed $i tamen tempus vel op- portuna id præ$tandi occa$io defuerit, nihilominus poterunt æque certe mari u$urpari, dummodo ob$ervaveris vel $cias, quanto citius vel tardius $patio 24 horarum moveantur, ut po$tea docebitur.

[0274]CHRIST. HUGENII INSTITUTIO V. Reducere horologia ad rectam dierum men$uram vel cogno- $cere quanto citius vel tardius $patio _24_ horarum movean- tur.

Ob$erva, dies ab una ad alteram meridiem aliquantulum differre quæ cau$a e$t cur horologium, licet pror$us exactum & $ecundum mediorum dierum men$uram moveatur, non $em- per cum $ole conveniat. Sed ut hæc inæqualitas æquetur, & $emper ope Horologii $cire po$$imus, quam horam indicat Sol, & con$equenter num horologium ad rectam mediorum die- rum men$uram di$po$itum $it, conducit $equens tabula cu- jus u$us talis e$t. Quando primum horologium con$tituendum e$t, $ubtrahe ex hora $olari ob$ervatâ æquationem ejus diei quæ in tabula reperitur, & di$pone horologium ad re$iduas horas, minuta prima & $ecunda: ubi po$t aliquot dies quæritur hora $olaris, adde ad horam horologii æquationem diei ul- timi, & aggregatum erit hora $olaris, $i horologium exacte fuit adaptatum, $ecundum men$uram dierum mediorum; ve- rum ut hæ ob$ervationes quam certi$$ime in$tituantur, & horologia ad men$uram adaptentur antequam in navem infe- rantur, methodus $equens apti$$ima e$t.

Duc lineam meridianam in pavimento, cujus operationis methodi $atis notæ $unt; ob$ervandum præterea $ummam hic non requiri exactitudinem; Porro, directe $uper lineam meri- dianam, $u$pende 2 fila appen$is infra ponderibus, vel aliter verticaliter tendantur, certosque a $e mutuò di$tent pedes, quo plures eo melius.

Ubi dein medietas $olis videtur exacte ex adver$o ambo- rum $ilorum (ad quod requiritur vitrum ob$curi coloris, vel in fuligine candelæ denigratum) eo momento horologiorum indices di$ponendi $unt, non exacte in 12 horas, $ed tanto ma- gis retror$um, quanta e$t æquatio illius diei in Tabula: ex. gr. $i fuerit 22 dies Martii, cujus æquatio in Tabula e$t 8 min. 3 $ec: hæc $unt $ubducenda ex 12 horis, & re$iduum erit 11 horæ 51 min. 57 $ec: in quot horas minuta & $ecunda di$ponendi $unt indices Horologiorum quam primum $ol me- [0275]DE USU HOROLOG. dius ex adver$o 2 filorum con$picitur. Dein po$t aliquot dies ob$ervatio rur$us eodem modo e$t in$tituenda, ubi $ol ex adver$o filorum cernitur, & $imiliter notanda hora minu- ta & $ecunda horolog<007>orum, quibus adde æquationem ejus diei excerptam ex Tabulâ, & $i aggregatum exacte compo- nat 12 horas Horologium ad rectam men$uram accommoda- tum e$t. Si vero differat dividenda $unt minuta & $ecunda i$tius differentiæ, per numerum dierum inter utramque ob- $ervationem, ad obtinendam quotidianam differentiam.

Supponamus hanc $ecundam ob$ervationem fieri 30. Mar- tii $cil. octo diebus po$t primam & comperiatur medietate $olis vi$a in meridiano ex adver$o 2. filorum, _h_. # _m_. # _$_. 11. # 51. # 7. 0. # 10. # 40. 12. # 1. # 47. horologium indicare Æquatio 30. Martii in tabula e$t præbet $ummam

Si hæc $umma exacte fui$$et 12 horarum, horologium re- cte dispo$itum fui$$et, $ed cum excedat 12. horas 1. minuto 47. $ecundis, tanto citius promotum fuit $patio octidui; & hoc 1 minutum & 47 $ecunda, aut 107 $ecunda, divi$a per 8. efficiunt 13. {3/8} $ecundorum, differentiam in $patio 24. hora- rum. Quâ differentià cognitâ, $i non otium nec animus $it $u$cipiendi mole$tiam ut adaptetur horologium ad veram men- $uram, nece$$e hoc non e$t; ita enim in navim inferre licet, modo prædicta quotidiana differentia annotetur, & ad eam nosmet componamus ut $tatim dicetur.

Sed $i accuratius Horologium di$ponere velimus, removen- dum e$t minus pondus penduli parumper deor$um, quo tardius movebitur: & tum de novo ob$ervatio per $olem in$tituenda e$t ut antea; $i tarde nimis motum fui$$et, $upra memora- tum pondus parumper $ur$um promovendum fui$$et, ita tamen, ne $upra punctum medium penduli promoveatur. eâ quippe gaudet proprietate, quod inde $ur$um promotum horologium lentius iterum promoveat, cujus rei in de$cri- ptione Horologii datur demon$tratio ; ut & æquationis tem- Vide $u- pra pag 172. poris, cujus $olummodo hic docemus u$um. Præter certam [0276]TABULA ÆQUA. _Dies_. ## _Fanuar_. ## _Febr_. ## _Mart_. ## _Apr_. ## _Maj_. ## _Fun_. " # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. 1 # 10 # 40 # 0 # 32 # 2 # 15 # 11 # 18 # 18 # 32 # 18 # 10 2 # 10 # 10 # 0 # 24 # 2 # 28 # 11 # 37 # 18 # 39 # 18 # 1 3 # 9 # 41 # 0 # 18 # 2 # 42 # 11 # 56 # 18 # 46 # 17 # 51 4 # 9 # 13 # 0 # 13 # 2 # 56 # 12 # 15 # 18 # 53 # 17 # 41 5 # 8 # 45 # 0 # 9 # 3 # 11 # 12 # 34 # 18 # 59 # 17 # 30 6 # 8 # 17 # 0 # 6 # 3 # 26 # 12 # 53 # 19 # 4 # 17 # 19 7 # 7 # 50 # 0 # 3 # 3 # 41 # 13 # 12 # 19 # 9 # 17 # 8 8 # 7 # 23 # 0 # 1 # 3 # 56 # 13 # 31 # 19 # 14 # 16 # 57 9 # 6 # 58 # 0 # 0 # 4 # 12 # 13 # 49 # 19 # 18 # 16 # 46 10 # 6 # 34 # 0 # 0 # 4 # 29 # 14 # 6 # 19 # 22 # 16 # 35 11 # 6 # 10 # 0 # 0 # 4 # 46 # 14 # 23 # 19 # 25 # 16 # 24 12 # 5 # 47 # 0 # 2 # 5 # 4 # 14 # 39 # 19 # 28 # 16 # 13 13 # 5 # 24 # 0 # 4 # 5 # 22 # 14 # 55 # 19 # 29 # 16 # 1 14 # 5 # 2 # 0 # 8 # 5 # 40 # 15 # 10 # 19 # 29 # 15 # 49 15 # 4 # 41 # 0 # 12 # 5 # 58 # 15 # 25 # 19 # 29 # 15 # 37 16 # 4 # 21 # 0 # 16 # 6 # 16 # 15 # 39 # 19 # 28 # 15 # 24 17 # 4 # 2 # 0 # 21 # 6 # 33 # 15 # 53 # 19 # 26 # 15 # 11 18 # 3 # 44 # 0 # 26 # 6 # 51 # 16 # 7 # 19 # 24 # 14 # 58 19 # 3 # 27 # 0 # 32 # 7 # 9 # 16 # 21 # 19 # 21 # 14 # 45 20 # 3 # 11 # 0 # 40 # 7 # 27 # 16 # 34 # 19 # 18 # 14 # 32 21 # 2 # 55 # 0 # 48 # 7 # 45 # 16 # 47 # 19 # 15 # 14 # 19 22 # 2 # 39 # 0 # 57 # 8 # 3 # 16 # 59 # 19 # 11 # 14 # 6 23 # 2 # 23 # 1 # 6 # 8 # 22 # 17 # 11 # 19 # 7 # 13 # 53 24 # 2 # 7 # 1 # 16 # 8 # 41 # 17 # 22 # 19 # 2 # 13 # 40 25 # 1 # 52 # 1 # 26 # 9 # 1 # 17 # 33 # 18 # 57 # 13 # 27 26 # 1 # 38 # 1 # 37 # 9 # 21 # 17 # 43 # 18 # 51 # 13 # 15 27 # 1 # 25 # 1 # 49 # 9 # 41 # 17 # 53 # 18 # 45 # 13 # 3 28 # 1 # 13 # 2 # 2 # 10 # 1 # 18 # 3 # 18 # 39 # 12 # 52 29 # 1 # 2 # # # 10 # 21 # 18 # 13 # 18 # 33 # 12 # 41 30 # 0 # 51 # # # 10 # 40 # 18 # 23 # 18 # 26 # 12 # 30 31 # 0 # 41 # # # 10 # 59 # # # 18 # 18 [0277]TIONIS DIERUM. _Dies_. ## _Jul_. ## _Aug_. ## _Sept_. ## _Octob_. ## _Nov_. ## _Dec_. " # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. # Min. # Sec. 1 # 12 # 19 # 10 # 4 # 16 # 23 # 26 # 30 # 31 # 55 # 25 # 34 2 # 12 # 8 # 10 # 8 # 16 # 42 # 26 # 49 # 31 # 55 # 25 # 10 3 # 11 # 58 # 10 # 13 # 17 # 1 # 27 # 8 # 31 # 54 # 24 # 45 4 # 11 # 48 # 10 # 18 # 17 # 21 # 27 # 26 # 31 # 52 # 24 # 20 5 # 11 # 38 # 10 # 23 # 17 # 41 # 27 # 43 # 31 # 50 # 23 # 55 6 # 11 # 28 # 10 # 28 # 18 # 1 # 28 # 0 # 31 # 47 # 23 # 30 7 # 11 # 18 # 10 # 34 # 18 # 21 # 28 # 16 # 31 # 43 # 23 # 4 8 # 11 # 9 # 10 # 41 # 18 # 41 # 28 # 32 # 31 # 37 # 22 # 38 9 # 11 # 0 # 10 # 49 # 19 # 1 # 28 # 47 # 31 # 30 # 22 # 11 10 # 10 # 52 # 10 # 58 # 19 # 21 # 29 # 2 # 34 # 22 # 21 # 43 11 # 10 # 47 # 11 # 7 # 19 # 41 # 29 # 16 # 31 # 13 # 21 # 14 12 # 10 # 38 # 11 # 16 # 20 # 1 # 29 # 30 # 31 # 3 # 20 # 44 13 # 10 # 31 # 11 # 25 # 20 # 22 # 29 # 43 # 30 # 53 # 20 # 14 14 # 10 # 25 # 11 # 36 # 20 # 43 # 29 # 56 # 30 # 43 # 19 # 44 15 # 10 # 19 # 11 # 48 # 21 # 4 # 30 # 9 # 30 # 32 # 19 # 14 16 # 10 # 13 # 12 # 1 # 21 # 25 # 30 # 22 # 30 # 20 # 18 # 44 17 # 10 # 7 # 12 # 14 # 21 # 47 # 30 # 34 # 30 # 8 # 18 # 14 18 # 10 # 2 # 12 # 28 # 22 # 9 # 30 # 45 # 29 # 55 # 17 # 44 19 # 9 # 58 # 12 # 42 # 22 # 31 # 30 # 55 # 29 # 40 # 17 # 14 20 # 9 # 54 # 12 # 57 # 22 # 52 # 31 # 4 # 29 # 23 # 16 # 44 21 # 9 # 51 # 13 # 12 # 23 # 13 # 31 # 12 # 29 # 6 # 16 # 14 22 # 9 # 49 # 13 # 27 # 23 # 33 # 31 # 19 # 28 # 48 # 15 # 44 23 # 9 # 47 # 13 # 43 # 23 # 53 # 31 # 26 # 28 # 30 # 15 # 14 24 # 9 # 46 # 13 # 59 # 24 # 13 # 31 # 32 # 28 # 11 # 14 # 43 25 # 9 # 46 # 14 # 16 # 24 # 33 # 31 # 38 # 27 # 51 # 14 # 12 26 # 9 # 46 # 14 # 33 # 24 # 53 # 31 # 43 # 27 # 30 # 13 # 41 27 # 9 # 47 # 14 # 50 # 25 # 13 # 31 # 47 # 27 # 8 # 13 # 10 28 # 9 # 49 # 15 # 8 # 25 # 33 # 31 # 50 # 26 # 45 # 12 # 40 29 # 9 # 52 # 15 # 26 # 25 # 52 # 31 # 53 # 26 # 22 # 12 # 10 30 # 9 # 56 # 15 # 45 # 26 # 11 # 31 # 55 # 25 # 58 # 11 # 40 31 # 10 # 0 # 16 # 4 # # # 31 # 55 # # # 11 # 10 [0278]CHRIST. HUGENII INSTITUTIO demon$trationem etiam revera exactis Pendulis compertum e$t, quod ad inæqualitatem dierum ad rectam men$uram re- ducendam, æquatio, prout eam hic per præcedentem Ta- bulam in$tituimus, exacte cum experientia conveniat, ita ut tuto ei confidere liceat. Idque tanti momenti e$t in inve- niendis longitudinibus, ut, $i non fuerit ob$ervatum, non- nunquam $patio 3 men$ium in calculo errorem committas 7 graduum & amplius, $ine ulla tamen horologiorum culpa: qui gradus $ub Tropicis ultra 100 Germanica milliaria conti- nent.

O$ten$o, quomodo horologia po$$int adaptari terrâ, vel quomodo eorum differentia quotidiana $it invenienda, pro- ximum erit dicere, quomodo idem faciendum $it in navi fixa ad anchoram, cum minime po$$ibile $it idem præ$tare in ve- lificatione.

Ob$ervabimus quodam die ortum & occa$um Solis, & in utraque ob$ervatione ubi ejus medietas exacte $upra Horizon- tem apparet, notabimus horam quam indicat horologium, & $upputabimus quot horæ interea fuerint præteritæ, cujus numeri dimidio addito ad horam ob$ervationis matutinæ, habebimus horam quam indicavit horologium cum Sol e$- $et in meridiano: cui addens Tabulæ æquationem i$tius diei, $ummam notabimus, & horologium ulterius promoveri pa- tiemur. dein quibusdam diebus, elap$is (quo autem plures præterierint, eo melius e$t) idem omnino faciemus; Et $i hora hujus ultimi diei $it eadem, cum ea quæ antea fuerat notata, horologium recte accommodatum e$t. Sin vero ma- jor vel minor $it, vel lentius vel celerius movetur, & diffe- rentia divi$a per numerum dierum interim dilap$arum dabit quotidianam differentiam, quam annotabimus, & $i velimus horologium relinquemus in illo $tatu; vel alioquin remo- vendo minus pondus penduli ut $upra dictum e$t, melius horologium accommodabimus.

Ex. Gr. pone 21. Martii mane cum $olis medie- _h_. # _m_. # _$_. 5. # 30. # 10. 5. # 20. # 6. tas apparet $upra horizontem horologium indicare. Et ve$peri ubiSolis medietas latet infra horizontem.

[0279]DE USU HOROLOG.

Ut $cias ope horologii horas inter binas _h_. # _m_. # _$_. 5. # 30. # 10. ex 12. # 0. # 0. Re$tant 6. # 29. # 50. 5. # 20. # 6. ob$ervationes elap$as, $ubtrahe horam ortus

Cui $i addas horam occa$us

Prodeunt horæ inter binas ob$ervationes elap$æ

11. # 49. # 56. 5. # 54. # 58. 5. # 30. # 10.

Quarum dimidium e$t

Quo addito ad horam ortus

Prodit hora horologii, cum $ol e$$et in Me- ridiano

11. # 25. # 8. 0. # 7. # 45. 11. # 32. # 53.

Cui addita æquatione 21. Martii

Summa e$t

Septem diebus po$t $c. 28. Martii ob$ervetur ortus $olis, quum horologium indicat

5. # 19. # 4. 5. # 25. # 4.

Et occa$us quum indicat

Ad habendas horas interim elap$as, $ubtra- he horam ortus

5. # 19. # 4. ex 12. # 0. # 0. Re$tant 6. # 40. # 56. 5. # 25. # 4. 12. # 6. # 0. 6. # 3. # 0. 5. # 19. # 4.

Cui $i addas horam occa$us

Prodeunt horæ interea delap$æ

Quarum dimidium e$t

Quo addito ad horam ortus

Prodit hora horologii cum Sol erat in me- ridie

11. # 22. # 4. 0. # 10. # 1. 11. # 32. # 5.

Cui addita æquatione 28. Martii

Summa e$t

Quæ $umma $i fui$$et eadem cum priori $cilicet 11. 32. 53. ad rectam men$uram di$po$itum fui$$et horologium; $ed cum po$terior minor $it priori, differentiâ exi$tente 49. $ecundo- rum, horologium $patio 7 dierum tanto tardius fuit promo- tum, quæ 49 $ecunda divi$a per 7 numerum dierum, dant quotientem 7 $ecunda differentiam diurnam, quâ horolo- [0280]CHRIST. HUGENII INSTITUTIO gium tardius movetur; po$$umus etiam loco ortus & occa$us Solis duas æquales Solis altitudines ob$ervare ante & po$t me- ridiem, & hora horologii annotatâ utriu$que ob$ervationis tempore, eodem modo, ac hic dictum e$t procedemus.

VI. Ope Horologiorum mari invenire longitudinem loci in quo ver$aris.

Singulis horologiis nomina vel $igna impone ut A. B. C. & antequam velifices, di$pone eadem $ecundum tempus ob- fervatum per Solem in loco, ubi moraris, diminutum æquatio- ne ejus diei, quo ob$ervas; quem annotabis.

Dein ubi in mari ver$aris $i vis $cire longitudinem loci, in quo es; quot gradibus Meridianus loci hujus $it orientalior vel occidentalior meridiano loci illius in quo adapta$ti horologia; ob$erva Solem vel Stellas, ut determines horam, & vide quam horam eodem momento indicent horologia; quam horam, $i ho- rologia non fuerint di$po$ita ad rectam men$uram æquabis co- gnitâ diurnâ differentiâ, ei porrò addens æquationem præ$en- tis diei, quo ita habeas horam in loco illo, ubi horologia fue- re di$po$ita. Si hæc hora eadem $it cum illa quæ ob$ervata fuit in loco præ$ente, con$i$tis $ub eodem Meridiano, ac ubi horologia fuere di$po$ita ad Solem: Si vero hora ob$ervata major $it illâ quam horologia o$tendunt, certus es, te per- veni$$e $ub Meridianum Orientaliorem; $in denique fuerit mi- nor, perveni$ti $ub Meridianum Occidentaliorem: & com- putatis in $ingulas quasque horas differentiæ temporis 15 gra- dibus longitudinis vel in $ingula minuta 15 minutis, vel to- tidem quadrantibus gradus, cogno$ces, quot gradibus dicti Meridiani ab invicem di$tent. E. Gr. pone Horologia A. B. C. fui$$e aptata ad Solem in loco ex quo abii$ti, 2 Martii, id e$t ad horam ob$ervatam, $ed in tantum diminutam, quanta e$t æquatio 2 Martii, 2 min. 28 $ec. & pone horologium A fui$$e dispo$itum ad veram men$uram, $ed B moveri $ingu- lis diebus 7 $ecundis tardius, & C $ingulis diebus 12 $ecun- dis citius.

[0281]DE USU HOROLOG.

Aliquot diebus po$t E. G. 15. Maji, ut detegas longi- tudinem loci in quo in mari ver$aris; ob$erva _h_. # _m_. # _$_. 5. # 18. # 10. 2. # 6. # 0. 1. # 57. # 22. horam diei, quæ $it

Et comperis horologium A indicare

Sed horologium B. indicare

Sed cum $ingulis diebus 7. $ec. tardius mo- veatur, prodeunt $patio 74. dierum nempe a 2. Martii ad 15. Maji

0. # 8. # 38.

Quæ addita ad horam a B. demon$tratam prodit hora eadem ac indicavit horologium A

2. # 6. # 0. 2. # 20. # 48.

Invenis etiam horologium C. indicare

Sed cum moveatur 12. $ec. $ingulis diebus citius, habemus $patio 74. dierum

0. # 14. # 48.

Quæ $ubtracta ab hora a C. indicata, iterum prodeunt

2. # 6. # 0. 2. # 6. # 0. 0. # 19. # 29. 2. # 25. # 29. 5. # 18. # 10. 2. # 52. # 41.

Cum itaque hora horologiorum $it

Adde illi æquationem 15. Maji

Prodit hora loci ubi horologia di$po$ita $unt

Sed hora ob$ervata e$t

Excedens priorem

Ergo Meridianus loci in quo ver$aris 15. Maji Orientalior e$t, Meridianoloci, in quo horologia fuere aptata

2. # 52. # 41. _gr_. # _min_. # _$ec_. 43. # 0. # 15.

Quæ horæ in gradus reductæ, ponendo 15. gradus valere unam horam, prodeunt

Verum e$t ex eodem calculo po$$e concludi te e$$e $ub Me- ridiano hôc ip$o 180. gradus Orientaliori, quia index hora- rius revolutionem $uam ab$olvit $patio 12. horarum in ho- rologiis, $ed differentia tanta e$t, ut nequeas in ea decipi. Alioquin enim horologium po$$et con$trui, cujus index cir- cuitum $uum $emel ab$olveret $patio 24 horarum.

Ob$ervandum quoque hic e$t, cum dico, locum tot gradibus Orientaliorem e$$e illo ex quo abii$ti, illud dicieo re$pectu quod illuc veneris ad Orientem navigans, ver$us quam partem gra- dus numerari po$$unt usque ad 360; alioquin enim $atis no- [0282]CHRIST. HUGENII INSTITUTIO tum e$t: locum, qui 180. gradus Orientem ver$us ab alio di$tat, tantum etiam Occidentem ver$us inde di$tare: & pa- riter, qui 300. gradus Orientaliter ab alio di$tat etiam 60. gradus Occidentaliter inde di$tare.

VII. Mari invenire horam diei.

Quandoquidem pro invenienda longitudine requiritur ut hora loci, in quo es, cognita $it, ut $upra dictum e$t, di- cta hora $umma exactitudine e$t ob$ervanda; unumquodque enim minutum quo in calculo aberras con$tituit errorem {1/4}. gradus in longitudine, id e$t, prope Æquatorem 3{1/4}. Germa- nicorum milliarium $ed minus ubi longe inde abes:

Quare ad certam horæ inventionem, ne fidas ob$ervationi maximæ Solis altitudinis, ut inde concludas præci$e meridiem e$$e vel Solem in Meridiano, ni$i inter Tropicos Sol fuerit in ip$o puncto Zenith vel ei quam proximus. Nam alias Sol exi$tens prope Meridianum aliquamdiu per$everat $ine ulla $en$ibili mutatione altitudinis $uæ; ideoque altitudo meri- dialis idonea $atis e$t ad latitudinem vel elevationem Poli loci alicujus dimetiendam, non tamen ad longitudinem ejus exacte inveniendam. Multo minus niti potes pyxidibus nau- ticis in accurato meridiei tempore inquirendo.

Neque annuli A$tronomici vel alia horologia $olaria certa $atis $unt in o$tendenda hora ad minuta & $ecunda. Sed me- lius e$t ob$ervare $olis altitudinem, ubi e$t in Oriente vel Occidente, quo autem Orienti aut Occidenti propior e$t, eo melius; ibi enim cum e$t, mutatur ejus altitudo $en- $ibiliter magis quam ante vel po$t & ita, ex inventa Poli ele- vatione, & nota Solis declinatione, hora pote$t computatione detegi, cujus modus ab aliis $atis de$criptus e$t; quia tamen computatio illa mole$ta e$t & nonnulli errores in men$uranda altitudine Solis committi po$$unt faciliorem hic methodum o$tendam & demon$trabo.

[0283]DE USU HOROLOG. VIII. Quomodo ex ob$ervatione ortus & occa$us Solis & ex hora horologiorum longitudo mari inveniri queat.

Hæc $ane methodus meo judicio omnium e$t certi$$im@, cum ad eam neque notitia Poli elevationis, neque Solis de- clinationis, neque ulla in$trumenta ad ob$ervandum requi- rantur; cum neque refractio quid nocere po$$it, quoniam hæc in ortu & occa$u Solis ejusdem diei parum aut nih<007>l differre pote$t.

Sicuti ergo antea docuimus horologia in naviadaptare, & ob$ervare quâ horâ eorundem horologiorum Sol fuerit in meridiano; hic eodem modo procedendum e$t, id e$t, in or- tu & occa$u $olis, ubi ejus medietas e$t $upra horizontem, annotabis horam demon$tratam tunc temporis per horolo- gia; & licet interea velificando fueris progre$$us, nil re- fert, uti po$tea demon$trabitur: dein computans quot in- terea horæ horologiorum dilap$æ $int, earumque dimidium addens ad horam ortus, habebis horam quam horologium indicabat quum Sol erat in Meridiano; ad quam addenda e$t æquatio i$tius diei ex tabula de$umta; & $i $umma æqualis $it 12 horis, fui$ti meridie $ub eodem Meridiano, $ub quo horologia ad $olem fuere adaptata; $ed $i $umma excedat 12. horas, fui$ti meridie $ub occidentaliori meridiano, quam loci ejus in quo horologia $unt di$po$ita; $ed $i $umma fuerit minor 12. horis fui$ti $ub orientaliori Meridiano, idque toties quindecim gradibus, quot horis $umma fuerit minor vel exce$$e- rit 12. horas, prout i$tius rei computationem antea jam docuimus.

E. G. Ponatur Horologia A. & B, ut ante, fui$$e ad- aptata ad Solem in loco ex quo dece$$i$ti 2. Martii, id e$t ad horam Solis diminutam æquatione i$tius diei $cil. 2. min. 28. $ec. Horologio A. ad rectam men$uram redacto; B. vero $ingulis diebus 7. $ecundis tardius moto; Po$tea $cire de$iderans longitudinem loci in quem perveni$ti, [0284]CHRIST. HUGENII INSTITUTIO (pone 1. Junii,) ob$ervetur mane $ol medius _h_. # _m_. # _$_. 2. # 30. # 37. $upra horizontem quando horologium indicat Et Ve$peri iterum medius Sol infra horizon- tem, cum idem horologium indicat

3. # 9. # 7.

Ad inveniendashoras interea elap$as, $ub- trahe horam ortus

2. # 30. # 37. ex 12. # 0. # 0. 9. # 29. # 23. 3. # 9. # 7. 12. # 38. # 30. 6. # 19. # 15. 2. # 30. # 37.

Reliquum e$t

Huic adde horam occa$us

Prodeunt horæ interea elap$æ

Quarum dimidio

Addito ad horam ortus

Habebis horam Horologii A, quum Sol erat in Meridiano

8. # 49. # 52.

Eodem modo quæratur hora horologii B, cum Sol erat in Meridiano, quæ $it

8. # 38. # 5.

Sed hoc horologium $ingulis diebus 7. $e- cundis tardius motum retardatur $patio 101. dierum a 2. Martii ad 1. Junii

0. # 11. # 47.

Quæ propterea ad inventam horam addita, datur

8. # 49. # 52.

Id e$t, eadem hora, quæ per horologium A. inventa e$t; ad quam nunc addita æqua- tione 1. Junii

0. # 18. # 10. 9. # 8. # 2.

Prodit

Hæc e$t diei hora loci in quo horologia ad- aptata $unt, quæ cum coincidit cum meridie loci ob$ervationis;

Differentia e$t

2. # 51. # 58.

Quare hic ultimus Meridianus tanto orienta- lior e$t; quibus horis reductis ad gradus, _gr_. # _min_. # _$ec_. 42. # 59. # 30. uti $upra docuimus prodeunt

Patet te hoc modo invenire longitudinem loci, in quo meridie vel Sole exi$tente in Meridiano fui$ti; quæ differt a longitudine loci, in quo ob$ervas Solis occa- [0285]DE USU HOROLOG. $um, $ed $ine $en$ibili errore æ$timare potes, quantum pau- cis horis progre$$us fueris, vel longitudo mutata fuerit: Po- tes etiam, loco ob$ervationis ortus & occa$us Solis, prius So- lis occa$um, ve$peri ob$ervare, & dein proximo mane ortum, utroque tempore notando horam Horologiorum; & inde computa eodem modo horam in loco di$po$itionis, quum media nox erat in loco ob$ervationis, & detege differen- tiam longitudinis ut ante. Tandem potes quoque loco ortus & occa$us Solis ob$ervare duas æquales $olis altitu- dines ante & po$t meridiem, annotando horam horologio- rum, & computando eodem modo, quo diximus de or- tu & occa$u; con$iderandum tamen e$t, Solis altitudines optime ob$ervari, quando Orienti vel Occidenti proximus e$t, ut antea notatum.

Licet forte quis cen$eat, in praxi hujus methodi, inter ante & pomeridianam ob$ervationem, quie$centem navem de$ide- rari, aut quæ parum transferatur; certum tamen e$t, progre- diendo nullum $en$ibilem errorem cau$ari po$$e, in quan- tum interea eundem teneas cur$um, æquabili velocitate.

Primum enim, $i cur$um Orientem vel Occidentem ver- $us dirigas, nullus omnino error erit, $ed certo conclu- dere poteris, qua longitudine meridie vel mediâ nocte fue- ris, unde ergo, uti antea dictum e$t, $atis exacte æ$timare potes, ubi $is ultimæ ob$ervationis tempore.

V. G. pone, quod ante meridiana Solis altitudo 10 gra- duum ob$ervata $it, quum horologia indicant 8. horas & pomeridiana æqualis altitudo quum horologia indicant 2. horas; & quod inter utramque ob$ervationem æquabili ve- locitate Orientem ver$us navigaverim, licet in$cius me 1. gra- dum in longitudine progre$$um e$$e, id e$t, 1. gradum paral- leli juxta quem navigo: Agens jam $ecundum præ$criptam regulam, comperio longitudinem 15. gradus Orientem ver- $us, calculum ineundo a loco, in quo Horologia fuere di$po- $ita. quam longitudinem 15. graduum dico e$$e loci, ubi meridie fui.

Quod ita demon$tratur. Quoniam locus ve$pertinæ ob$er- [0286]CHRIST. HUGENII INSTITUTIO vationis uno gradu Orientalior e$t, quam matutinæ cer- tum e$t in loco ve$pertinæ ob$ervationis Solem 4. minuta prius perventurum e$$e, ad altitudinem 10. graduum, quam in loco matutinæ. Duorum enim locorum $ub eodem paralelo $itorum, quot gradus unus altero Orientalior e$t, totidem 4. minutis prius in illo ob$ervantur $ingulæ Solis altitudines; ideo $i in priori loco cum navi $ub$titi$$em, Solem ve$perti- nâ ob$ervatione reperi$$em ad altitudinem 10. graduum quum horologia indicabant non 2. horas, $ed 2. horas 4. min. ubi tum loci ejus longitudinem, juxta regulam, inveni$$em 14 {1/2}. gradus Orientem ver$us. Sed certum e$t, me in priori temporis dimidio inter 2. ob$ervationes progre$$um fui$$e {1/2} gradum, quoniam ponitur, me toto tempore profeci$$e 1. gradum, velocitatemque fui$$e æquabilem. Eram igitur meridie in longitudine 15. graduum Orientem ver$us, $icuti prius erat inventum.

Pariter pote$t demon$trari, progre$$um navis Occiden- tem ver$us nil ob$tare, $ed regulam $equendo, iterum in- venire longitudinem loci, quem meridie præternaviga$ti.

Si jam cur$us inter 2. ob$ervationes Meridiem ver$us vel Septentrionem de$ci$cat, imo licet fieret directe Septen- trionem vel meridiem ver$us, modo ponatur æquabilis velo- citas, nullus inde orietur error $i Solis altitudo $umatur, quando prope Orientem vel Occidentem e$t, quibus in lo- cis alibi quoque dictum e$t optime fieri ob$ervationem. Ratio hæc e$t, quando 2. loca Septentrionaliter vel Au- $traliter a $e mutuò di$tant, & $olummodo 1. vel 2. gra- dus in latitudine differunt, $i Sol re$pectu unius loci in O- riente vel Occidente ver$etur, ad certam $upra horizon- tem altitudinem, etiam quam proxime eodem tempore ad eandem altitudinem $upra horizontem alterius loci appare- bit. Ita ut comperiam, licet navis inter matutinam & ve$pertinam ob$ervationem 2. gradus navigaret, quod ra- ro vel nunquam accidit, nullum tamen in longitudine er- rorem hinc oriri po$$e, vel tantum paucorum minuto- rum.

[0287]DE USU HOROLOG.

Præ$criptis ergo modis, vel per ortum & occa$um Solis, vel per occa$um & ortum Solis, vel per 2 æquales Solis altitu- dines, tuto $emper uti po$$umus, non ob$tante progre$$u navium; quemcunque hæ teneant cur$um.

Si autem procul ab Æquatore Septentrionem vel Meri- diem ver$us naviges, præ$ertim hyeme, altitudo Solis lente mutatur, unde incertæ $unt ob$ervationes; $ed iis in locis gradus longitudinis $unt breviores, vel pauciora milliaria continent quam prope Æquatorem, ideoque errores in in- veniendis longitudinibus eo minus $en$ibiles $unt.

IX.

Potes verò, præ$ertim in iis oris, quæ procul ab Æqua- tore Septentrionem vel Au$trum ver$us remotæ $unt, vel etiam ubicunque velis, præ$criptam regulam ad praxin vo- care, ob$ervando 2 æquales altitudines cognitæ alicujus $tel- læ, quæ multum attollitur $upra Horizontem. Nam inde $ecundum memoratam regulam, di$ces quâ horâ Horologio- rum in Meridiano fuerit $tella, & porro cognita eju$dem _a$cen$ione recta_, ut & _a$cen$ione recta_ Solis, facile inde $up- putabis horam $olarem, qua comparatâ cum horâ Horolo- giorum, ut ante, habebis longitudinem loci, ubi fui$ti $tella exi$tente in Meridiano.

X.

Quando Horologia, quorum aliquamdiu motus fuit accu- ratus, ab invicem paululum differunt, prout diuturnitate temporis facile accidit, ut unum vel alterum minuto cir- citer deficiat, eo in ca$u computatio ineunda e$t erit $e- cundum i$tud, quod celerius movetur: ni$i noris cau$am veri$imilem ob quam citius moveatur; facilius enim Pendu- li motus retardatur, quàm acceleratur: nam filum, cui Pen- dulum appendet, poterit for$an per violentam navis agitatio- nem nonnihil extendi, $ed nequit contrahi.

[0288]CHRIST. HUGENII INSTITUTIO XI.

Quando videndam $e offert regio cognita, ne negli- gas annotare longitudinem illius, quantum exacte fieri poterit, ex inventa longitudine loci in quo ver$aris; Pri- mo ad corrigendas inde mappas marinas, po$tquam longitu- do loci fuerit diver$is temporibus comperta eadem, ita ut nil amplius de ea dubites. In his enim mappis quantum atti- net ad $itum locorum Orientem & Occidentem ver$us, multa $u- per$unt emendanda. Secundo ut $cias, in pro$ecutione tui itineris, quantum re$pectu loci vi$i velificando progre$$us fueris ad Orientem vel Occidentem: etiam$i infortun@o, vel negligentia, omnia quie$cant Horologia, poteris eadem ad motum rur$us adaptare, & di$ponere ad horam per So- lem compertam. computando porro longitudinem ab ejus- dem loci vi$i Meridiano. Nam nullatenus teneris certum Meridianum alicujus loci cogniti, pro initio computationis longitudinum habere, cujus u$us tantum e$t in mappis vel Tabulis longitudinum, in quo ca$u u$u venit Meridianus montis Pici in in$ula Teneriffa, vel Meridianus in$ularum Corvo & Flores, occidentali$$imarum Azorum vel in$ula- rum Flandricarum, vel cujusvis alterius loci: & foret egre- gium (quod non obtinet) $i omnes auctores unum eundem- que Meridianum pro primo eligerent, ut $ingula loca iis- dem gradibus longitud<007>nis pariter ac latitudinis determina- rentur: $ed in itinere $atis e$t longitudinum differentiam ob- $ervare, initio computationis facto a Meridiano cujuscunque loci.

XII.

Si accidat, ut mari medio omnia Horologia quie$cant, quam primum fieri pote$t, rur$us eadem ad motum adapta, [0289]DE USU HOROLOG. ut illorum ope $cias, quantum dein ad Orientem vel Occi- dentem progre$$us $is, quod non parvi e$t momenti, nam defectu hujus notitiæ, nonnunquam violentis fluctibus ita abriperis, ut, licet vento $ecundo naviges, tamen retror- $um abigaris, cujus rei varia dantur exempla.

FINIS. EXCERPTA EX LITERIS DATIS LONDINI {13/23} JANUARII MDCLXV.

_I_Andem Navarchus Holmius huc advenit, & re- latio, quam ip$e mihi communicavit de experimen- to, quod de no$tris Horologiis fecit, plane nos cer- tos facit de bono, qui$perandus e$t, $ucce$$u; Cum ad in$ulam St. Thomæ $ub æquatore e$$et, ut inde huc veni- ret, coactus fuit, longi$$ime Occidentem ver$us cur$um diri- gere, pro$perum ut obtineret ventum; cum ergo $ub ejus au- $piciis quatuor darentur naves, omnes $imul navigarunt per _600_ milliaria non mutato cur$u: cum dein $ecundum ventum nacti e$$ent quo peterent littora Africæ, eo tendebant, cur$um $uum Orientem inter & Septentrionem dirigentes; cumque hoc cur$u _4_ vel _500_ milliaria confeci$$ent, judicabant navitæ _3_ navium quæ $ub ejus erant au$piciis, $e procul a prædictâ or â e$$e, ita ut non $ufficientem aquæ quantitatem haberent, dum eo pervenient; Navarchi Holmii navis $atis h@bebat; $ed ubi audiret, quid $entirent cæteri, qui tribus reliquis præ- erant navibus, omnes nautas & gubernatores convocari ju$- [0290]EXCERPTA EX LIT. CHRIST. HUGENII. $it, ut deliberarent de eo quod faciendum e$$et. Ubi verò vidi$$et commentarios, & ephemerides, quas illi, qui præerant _3_ iis na- vibus proferebant, & conjecturam de loco in quo ver$aban- tur; cumque po$t longas deliberationes, omnes cen$erent, præ- $tare ad Barbadas trajicere, quam oras Africæ quærere, quia ventus longe citius eos illuc transferret, dixit ille: Viri computatio ve$tra cum no$tra minimè convenit; nam $ecun- dum Horologia mea proce$$i, unde concludo, vos errare omnes, $tatuendo nos multò longius Occidentem ver$us e$$e pro- gre$$os, quam revera $umus, unius error e$t _120_ milliaria, alîus _100_, alîus _80_: verùm ita Horologiis confido ut hac vice experi- mentum facere velim_;_ nam $ecundum meam computationem in- $ula del Fuogo _(_quæ una e$t ex in$ulis Capoverdæ $eu promontorii He$perii,_)_ non ultra _30_ milliaria a nobis abe$t; Ibi nobis a- quam po$$umus curare, & eo cur$um dirigere con$titui; Si vera e$t computatio, multum præ$tabit nobis hanc viam in- gredi, quam a vobis o$ten$am; $<007>n evenerit aliter, biduum tantum producemus navigationem, $atisque aquæ interim $u- pererit, ut Barbadas perveniamus; quoniam tanta mihi in navi copia e$t, ut vobis defectum ve$trum $upplere queam; Addens quem cur$um tenere vellet, mandavit ut $equerentur ip$um cæteri. Po$tero mane detegebant iu$ulam del Fuogo, & opportuno illuc advenêre tempore, uti præd<007>xerat: Cogor hic de$inere, communicaturus tecum reliquos omnes ca$us peculia- res, quos $criptis mandare promi$it, quamprimum illos nactus fuero.

Nota, hæc Horologia fui$$e ex primo Pendulorum gene- re, nec tam exacta quam recentiora.

[0291] EXCERPTA EX LITERIS HAGÆ CO- MITUM, DIE XXVI. FEBRUAR MDCLXV. DATIS.

_C_Um per aliquot dies nece$$e mihi foret cubiculum tenere, & variis ob$ervationibus circa duo mea novæ fabricæ Horologia pendula tempus im- penderem, mirum quendam eorum effectum, & a nemine unquam vel cogitandum, detexi. Su$pen$a enim juxta $e invicem ad di$tantiam unius aut duorum pedum, tam accu- rate congruebant, ut $ine ullâ variatione pendulorum vibra- tiones $imul peragerentur. Quod cum per aliquod tempus im- pen$e miratus fui$$em, tandem reperi ex aliquâ qua$i $ympa- thiâ id oriri; ita ut $i pendula movi$$em vibrationibus diver$is & ut ita dicam intermixtis, intra dimidiæ horæ $patium con- $ona rur$us fierent, & $ibi mutuo, quamdiu motum non tur- babam, re$ponderent. Remotis deinde à $e invicem Horologiis, & ad di$tantiam _15_. pedum $u$pen$is, uno die quinque $ecun- dorum di$crepantiam animadverti, quæ clare demon$travit, priorem pendulorum convenientiam, uti dixi, à $ympathia quadam debui$$e profici$ci, quæ, meo quidem judicio, unicè in$en$ili aëris agitationi, per pendulorum motus productæ, ad- $cribi pote$t. Continentur tamen Horologia $uis Cap$is, quarum utraque $i omne plumbum contentum numeres, centum fere li- [0292]EXCERPTA EX LIT. CHRIST. HUGENII. brarum pondus æquat. Et hoc ob$ervandum, pendula, cum congruunt, non parallelis motibus ferri, $ed contra- riis, nunc accedendo, nunc recedendo. Quando autem horolo- gia ad parvam di$tantiam rur$us à me fuere po$ita, pendula, priorem convenientiam brevi tempore recuperarunt.

Nec hisce contentus, a$$erem latum tres pedes, cra$- $um unum pollicem, ita interpo$ui, ut pars inferior fun- dum tangeret, $uperior Horologia excederet & qua$i $epararet. Non turbata tamen fuit motuum concordia, $ed dies noctes que perduravit, imò $i ip$e turba$$em, brevi in$taurata fuit. Nunc in id incumbo, ut quam accurati$$ime Horologia con- cordent, experturus deinde ad quam usque di$tantiam $ympa- thia hæc $e$e exerat; $ed, ut ex ob$ervatis auguror, non in- fra _5_. aut _6_. pedes $ub$i$tet. Major tamen horum omnium e$t expectanda veritas, quam præ$tabit diligentia mea, & ac- curatior in rei cau$as inqui$itio.

Quicquid $it, habemus duo Horologia, quæ nunquam inter $e di$crepant: quod etiam$i mirum $it, tamen e$t veri$$imum. Addo, præter Horologia quæ novo hoc invento con$tructæ $unt, nulla alia idem præ$titi$$e; unde $imul patet, quam accurata illa $int, quæ ad perpetuum con$en$um tantillum re- quirunt.

[0293] DE HUGENIANA CENTRI OSCILLATIONIS DETERMINATIONE CONTROVERSIA. [0294] [0295] DE HUGENIANA CENTRI OSCILLATIONIS DETERMINATIONE CONTROVERSIA. I. Ob$ervationes Abbatis Catelani in propo$itio- nem, quæ fundamentum e$t 4<#>æ. partis tra- ctatus de Pendulis, Hugenii.

DOminus Hugenius in tractatu $uo de Pendulis, ut nil quod ad materiam $pectat intactum relinqueret, hanc divi$it in 5 partes, in quarum 4<#>a. fu$e examinat quæ- $tionem de _Centro O$cillationis_ vel _vibrationis_. Sed cum difficile $it animo $emper æqualiter attento ab$tru$as ve- ritates, quales $unt Mathematicæ, perpendere; non e$t quod miremur, $i quæ$tionem illam non æque accurate, quam quidem reliquas ejusdem operis, examinaverit. Principium autem, quo nititur totum ejus Sy$tema O$cillationis hoc e$t.

Si Pendulum e pluribus ponderibus compo$itum at que e quie- te dimi$$um, partem quamcunque O$cillationis integræ con- fecerit; at que inde porro intelligantur pondera ejus $ingula, relicto communi vinculo, celeritates acqui$itas $ur$um con- vertere, ac quo usque po$$unt a$cendere; hoc facto centrum gravitatis ex omnibus compo$itæ, ad eandem altitudinem re- ver$um erit, quam ante inceptam O$cillationem obtinebat .

Vide $@- pra pag. 126.

Ut parum firmam propo$itionem hanc demon$tremus, $uffi- ciet ob$erva$$e; vim, quam vocamus gravitatem, longe ali- ter agere in pondera inter $e juncta quam in pondera a $e in- vicem $eparata. Sint A & B æqualia pondera, quorum TAB XXVIII. Pig. 1. [0296]DE CENTRO OSCILL non con$iderantur neque magnitudo neque figura, qua$i $in- gula in unicum punctum reducta forent; $i $eparatim $u$- pen$a ex eodem puncto D, & elevata ad idem planum Ho- rizontale D A B, dimittantur usque ad F & G, gravitates eorum, ex ratione Mechanica, quæ cum experimentis, & prin- cipiis Phy$ices congruit, augebuntur in tali ratione, vel quod idem e$t, acquirent velocitates tales, ut harum quadrata $int inter $e ut altitudines A H & B I. unde illa pondera per- pendiculariter de$cendunt ad Horizontem.

Quod $i dein pondera hæc duo, lineâ aut virgâ inflexi- li A B, quam pondere expertem ponimus, conjungamus, & ex eodem puncto D, ad memoratas di$tantias D A & D B, $u$pen$a, dimittamus ad F & G ab eâdem, quâ ante, alti- tudine. Pendulum ex illis compo$itum, acquiret tantum velocitatis quantum $umma duorum Pendulorum $implicium, quoniam commune gravitatis centrum E idem, quod antea, manebit, & ponderum non mutatur $itus re$pectu centri Telluris; $ed partes, in quas tota illa velocitas $e di$tribuet ponderibus A & B, erunt inter $e ut arcus A F, B G, vel ut radii D F, D G; quoniam in hoc ca$u ratio inter motus ponderum pendebit ab eorum $itu re$pectu puncti $u$pen$ionis D, quod e$t mo- tuum centrum. Triangula autem H A F & I B G, ut & triangula A F D, B G D cum $int $imilia, latera eorum A H & B I, A F & B G, D F & D G $unt proportio- nalia, id e$t datur eadem ratio inter altitudines, unde pon- dera A & B de$cendunt, & inter velocitates quas acquirunt de$cendendo; $ed altitudines $unt eædem ac in priori $up- po$itione; ergo velocitates $unt diver$æ, quoniam illæ altitu- dines, quæ $unt proportionales velocitatibus ponderum $imul appen$orum, non $unt proportionales ni$i quadratis veloci- tatum, quando $unt $eparata.

Porro ponamus pendulum compo$itum in vibratione $uâ occurrere plano duro D F G, quo rumpatur, ita ut a $e in- vicem pondera $olvantur, erunt hæc reflexa juxta tangentes ar- cuum F A & G B ad altitudines, quæ inter $e erunt ut quadrata velocitatum, quas cadendo acqui$ivere, id e$t, ut quadrata [0297]CONTROVERSIA. radiorum D F & D G, vel horum proportionalium A H & B I nam $eparatio ponderum non mutat quantitatem motus eo- rum: efficit ut moveantur juxta legem corporum cadentium, quæ non inter $e conjuncta $unt. Demon$tratur in Me- chanicis, altitudinem perpendicularem ad horizontem, un- de de$cendit, vel ad quam a$cendit, commune gravitatis centrum multorum ponderum, æqualem e$$e $ummæ altitu- dinum, quarum re$pectu (gallice _par raport auquelles_). pondera de$cendunt vel a$cendunt, divi$æ per eorundem nu- merum: $ed probavimus pondera, quæ $eparantur, rupto pendulo percu$$ione in planum o$cillationi illius oppo$itum, iterum a$cen$ura e$$e, ad altitudines diver$as ab iis, unde de$cenderunt, & quidem tales, ut $ummæ ad utramque partem æ- quales e$$e nequeant; nam ultimæ altitudines $emper habent pro ra- dicibus quantitates primis proportionales, & præterea eandem, quam eorum radices componentes $ummam, quæ exprimit totam celerita- tem penduli A B; $i ergo diver$as illas $ummas $eparatim divi- damus per numerum ponderum, habebimus altitudinem ad quam centrum commune gravitatis iterum a$cendit, diver- $am ab illa, unde de$cendit; quoniam $unt partes aliquotæ $imiles quantitatum inæqualium.

Propo$itio igitur Domini Hugenii fal$a e$t, & con$equenter quidquid conclu$it circa centrum O$cillationis corruit; vera autem Mathematica hujus quæ$tionis $olutio hæc e$t.

II. Domini Abbatis Catelani Examen Ma- thematicum Centri O$cillationis.

QUæ$tio de determinando centro O$cillationis, $i bene in- tellecta fuerit, haud difficilis e$t. Centrum O$cillationis vocatur punctum mobile in Pendulo ad talem ab axe, vel centro $u$pen$ionis, di$tantiam, ut $i omnes aliæ Penduli partes de$truerentur, illa $ola pergeret in vibrationibus ut antea; id e$t eodem tempore ac totum Pendulum; Quod ita non fiet cum aliis partibus $ingulis $eparatim $umtis; nam [0298]DE CENTRO OSCILL. quæ axi viciniores $unt, breviores & frequentiores vibrationes peragent quam remotiores, $i arcus $imiles de$cribant, & aër non re$i$tat.

Cujus rei ratio e$t, quod viciniores de$cribant arcus mi- nores & acquirant celeritates majores re$pectu arcuum quam remotiores: nam arcus $unt proportionales quadratis, & velocitates radicibus eorum; quo autem radices minores $unt inter $e, eo majores $unt re$pectu quadratorum $uorum.

Cum in Pendulo omnes partes ni$i $imul, propter earum conjunctionem, moveri nequeant, vibratio minus di$tantium ab axe ita retardata e$t a vibratione remotiorum, & vibratio remotiorum ita accelerata e$t a vibratione aliarum, ut inter illas detur compen$atio velocitatum proportionalis arcubus quos de$cribunt; ita ut tempus vibrationis totius Penduli medium $it inter tempus, quo O$cillationem peragunt ejus partes a $e invicem $olutæ, ut $it æquale $ummæ illorum temporum, divi$æ per numerum partium, quas ut Mathema- tice & exacti$$ime procedamus con$ideramus, ac $i reductæ e$$ent in puncta.

Con$tat experimentis, & per Philo$ophiam Carte$ianam demon$trari pote$t, omnia gravia tellurem ver$us cadere in temporibus quæ $unt in ratione $ubduplicatâ, vel $icuti radi- ces, altitudinum, unde de$cendunt, $i verticaliter de$cendant, quod etiam & ex principiis Galilæi demon$trari pote$t, $i cadant per arcus $imiles, qui incipiunt omnes in eodem plano.

Hæ altitudines in Pendulis, quæ de$cribunt arcus $imiles cir- ca axem, quocum forrmant idem planum, $unt inter $e ut di$tantiæ ab axe, circa quem moventur.

_Propo$ita ergo quæ$tio eo redit,_ ut dividamus, per nume- rum partium Penduli, $ummam radicum di$tantiarum partium ab axe. vel generaliter $ummam linearum rectarum quæ repræ$entant tempora vibrationium partium $eparatim $umtarum, ut habeamus lineam rectam, quæ $it men$ura temporis, quo vibrationes $uas per- agit Pendulum, cujus con$equenter quadratum vel _3a_. propor- tionalis erit di$tantia inter axem & centrum O$cillationis.

Applicatio hujus principii tribus magnitudinibus quas ha- bet Geometria pro objecto $atis facilis e$t.

[0299]CONTROVERSIA.

1. Ad determinandum centrum O$cillationis lineæ rectæ $u$- pen$æ ex axe, debemus illam concipere, divi$am in partes æ- quales infinite parvas, vel in omnibus $uis punctis. Para- bola dein $uper maximâ lineæ ab axe di$tantiâ de$cribenda e$t, cujus vertex $it punctum axis in quod terminatur hæc di- $tantia & parameter linea quæ e$t unitas re$pectu ejusdem di- $tantiæ. E quovis lineæ puncto ducenda e$t axi parallela quæ occurrat parabolæ, ejusque applicata fiat, $umma omnium applicatarum $imilium e$t æqualis rectangulo, cujus altitudo e$t linea propo$ita, & ba$is radix di$tantiæ inter axem & cen- trum O$cillationis quæ$itum; nam $umma illa e$t Parabola, vel Para- bolæ portio, cujus Diameter e$t linea data, & Parameter tertia proportio- nalis illi lineæ & maximæ ab axe di$tantiæ; vel 4a. proportionalis po$itis hi$cc tribus, linea, maxima di$tantia, & differentia hujus cum minimâ.

2. Ut habeamus di$tantiam quâ centrum O$cillationis Plani remotum e$t ab axe, debemus concipere partem $o- lidi Parabolici, cujus Parabolæ habeant pro Diametris ma- ximas di$tantias inter axem & unamquamque linea- rum parallelarum, quæ implent planum. Si $olidum hoc in duas partes æquales $ecetur juxta Axis longitudinem, & dimidia pars $ecta fuerit inter applicatas ad di$tantias ab Axe, & inter Plani latera, $egmentum æquale erit Prismati, quod pro ba$i habet planum, & pro altitudine radicem di$tantiæ axis a centro O$cillationis ejusdem plani. $i vibratio fiat circa Punctum vel $i, quum fit circa Planum, Pendulum $it compo$itum e partibus, quæ $int in planis diver$is re$pectu Axis, determinabitur, eâ me- thodo quâ diximus, quodvis centrum O$cillationis partium, quæ $unt in eâdem lineâ rectâ transeunte per punctum $u$pen$ionis, vel in eodem plano transeunte per Axem; omnia illa O$cillationis centra fa- cient Pendulum multo $implicius & habens idem O$cillationis cen- trum, ac primum. Invenietur O$cillationis centrum dividendo per numerum aliorum O$cillationis centrorum $ummam linearum recta- rum, quæ repræ$entant tempora, quibus conficerent peculiares $uas vibrationes. Tempora illa pendent ab arcubus, vel curvarum portio- nibus, de$criptis ab omnibus O$cillationis centris in vibratione Pendu- li, qui arcus con$iderari debent $inguli velut infinita plana diver$i- mode ad Horizontem inclinata.

3. Quod ad $olida attinet, concipe illa dividi in parallelas [0300]DE CENTRO OSCILL. inter $e $uperficies. & ad axem perpendiculares; formari debet, $ecun- dâ $ectione, planum vel $uperficies curva di$tantiarum inter il- lorum centra O$cillationis & axem †, circa cujus puncta mo- ventur. Sic in $ummâ centrorum, quæ ab unâ parte rectas lineas ter- minant, ex quibus planum hoc, vel $uperficies illa curva, compo$ita e$t, habetur Pendulum magis $implex quam $olidum, & cujus vibra- tio æque diuturna e$t. Centrum O$cillationis novi illius Penduli de- terminabitur transferendo omnia illa centra O$cillationis particularia ad Axem qui e$t eorum numerus, & ponendo illum axem ita mo- veri, ut puncta ejus percurrant eosdem arcus ac centra. Si $oli- da propo$ita $int Prismata recta, habebunt eadem O$cil- lationis centra, ac eorum ba$es, $i hæ fuerint perpendicula- res ad axem.

Sic centrum O$cillationis $olidi pendet a centris O$cillationis certa- rum $uperficierum motarum circa punctum, quarum commune O- $cillationis centrum e$t centrum O$cillationis lineæ rectæ motæ circa aliam rectam vel curvam; ita ut non requirantur aliæ regulæ pro cor- poribus quam pro lineis & $uperficiebus.

MONITUM.

Ob$ervationes Abbatis Catelani primum editæ fuere in _25_ diario Pari$ien$i anni _1681,_ & examen Mathematicum in _29_ diario ejusdem anni. Scripta ambo in primo diario $equentis anni iterum extant, cum monitu varia defici in prima editione, quam $olam Hugenius viderat cum re$pon- dit; & in qua non reperiuntur ea quæ minori charactere hic edita $unt. Sola verba $equentia in prima dantur & in $e- cunda fuere omi$$a po$t †. centrum O$cillationis hujus plani coincidet cum centro O$cillationis $olidorum illorum.

III. Excerpta ex literis Domini Hugenii, quibus re- $pondet ob$ervationi Abbatis Catelani in _4_<#>am. pro- po$itionem Tractatus de centris O$cillationis.

ADmiratus vidi, Theoriam meam de centro O$cillationis oppugnari, contra quam per 9 annos, a quibus typis [0301]CONTROVERSIA. mandata fuit, nemo quid protulit; $ed con$iderata refutatione, qua Abbas Catelanus 4<#>am. meam propo$itionem aggreditur, non vidi, quod ullatenus me feriat. nam ut paucis di- cam, in quo fallitur; negat, datis duabus lineis & præter has, duabus aliis, quæ diver$am quam primæ inter $e ratio- nem habent, $ummam duarum ultimarum æqualem unquam fore $ummæ duarum priorum.

Concipe priores 5 & 10 pedum, & alteras 3 & 12 & vi- de num harum $umma æque ac illarum non $it 15: ut autem pateat errorem ejus inde oriri, utar eodem, quod ille propo- $uit, exemplo.

A & B $unt duo pondera applicata virgæ vel lineæ D B, TAB. XXVIII. Fig. 2. quæ con$iderari debet ut inflexibilis & $ine pondere; quæ libere notetur circa punctum D: tale Pendulum compo$itum voco e ponderibus A & B; $i hoc peragat partem vibrationis, Ex. Gr. usque ad D F G, & occurrat plano, ad quod frangatur, ut pondera a lineâ inflexili $eparentur, & tendat $ur$um eorum unumquodque cum velocitate acqui$ita, ad maximam quam pote$t altitudinem, velut ad L & M, $uper planis inclinatis $i velimus, quæ tangant arcus A F, B G; dico commune centrum gravitatis ponderum A & B quæ a$cen- dunt in L & M tunc ad eandem fore altitudinem, ac erat in E, ante vibrationem inchoatam.

Abbas Catelanus ut fal$am hanc probet propo$itionem, demon$trat, altitudines, ad quas duo pondera $oluta a$cen- dunt, ut hic N L, O M, diver$as e$$e ab iis unde de- $cenderunt, $cilicet A H, B I. id quod veri$$imum e$t ex ra- tione ab ip$o datâ, quod alteræ $int inter $e ut lineæ D F, D G, alteræ vero ut quadrata harum linearum; _$i ergo div<007>-_ _damus_, inquit _diver$as illas $ummas per numerum illorum_ _ponderum_, id e$t, $i $umamus dimidium linearum L N, M O, & dimidium linearum A H, B I. _habebimus ab una parte al-_ _titudinem ad quam centrum commune gravitatis a$cendit, &_ _ab altera altitudinem unde de$cendit:_ id verum e$t, per divi- $ionem has duas altitudines detegi. $ed minime concedo, duas $ummas divi$as differre inter $e; quod Abbas Catelanus pro- [0302]DE CENTRO OSCILL. bare nequit; neque igitur, duas inventas altitudines centri gravitatis inæquales e$$e, id quod in conclu$ione contendit, nam licet altitudines L N, M O, diver$am habeant rationem inter $e quam altitudines A H, B I, non $equitur $ummas primarum & $ecundarum differre.

Po$$em præter hunc alium locum ob$ervare, ubi fallitur Abbas Catelanus, $ed non hærebo, quoniam id, quod pro- fert non $pectat ea quibus me aggreditur. Unicum verbum addam de examine ejus Mathematico, ut vocat, de centro O$cillationis edito in diario 15. Dec. 1681. ubi contendit $e inveni$$e regulam hanc generalem, $cilicet, _per nume-_ _rum partium Penduli dividi debere $ummam radicum di$tan-_ _tiarum partium ab axe; ut habeamus lineam rectam, quæ $it_ _men$ura temporis quo vibrationem peragit illud Pendulum,_ _cujus con$equenter quadratum vel_ 3<#>a. _proportionalis erit di-_ _$tantia inter axem & centrum O$cillationis_.

TAB. XXVIII. Fig. 3.

Relicto omni peculiari examine, $atis erit ad vitium re- gulæ detegendum, nota$$e, juxta hoc principium, duas li- neas graves ut A B, B C, junctas & inter $e angulum quem- cunque efficientes, $u$pen$as in B $emper idem O$cillatio- nis centrum habere; ideoque vibrationes $emper fore æque ve- loces, uti facile intelligunt hi, qui in hi$ce materiis parum $unt ver$ati; $ed & illi videbunt, quod æqualitas illa vibratio- num locum habere nequeat, quoniam augendo angulo tan- dem duæ lineæ $imul junctæ unicam efficiunt rectam _a_ B _c_, cujus vibrationes forent æque diuturnæ cum vibrationibus anguli A B C, linea vero recta in puncto medio $u$pen$a, nullas peragit vibrationes, aut $altem velocitate infinite exi- gua movetur.

Porro credo Abbati Catelano $atis difficile fore, $uâ regulâ, centrum O$cillationis in quibusvis particularibus figuris, etiam $implici$$imis, determinate, $ed, $i id forte perficiat, inveniet, $uam Theoriam cum experientiâ nunquam convenire, & meam $emper $ummâ exactitudine eidem re$pondere, $i mo- do experimenta exacti$$imè in$tituta fuerint.

Non po$$um hac occa$ione $ilentio præterire, P. Dechales, [0303]CONTROVERSIA. in quodam magni $ui Cur$us Mathematici loco, memorando experimentum cum Pendulo compo$ito ex duobus ponderi- bus in$titutum, in quo computans rationem non habuit (ut debebat) ponderis baculi, cui pondera erant applicata, immerito regulas no$tras de determinando centro gravitatis culpare, qua$i non convenirent cum iis quæ ille revera ob$er- varat.

IV. Exceptio Abbatis Catelani ad re$pon$ionem Hugenii.

NOn debebat Hugenius a $uo principio $eparare con$e- quentiam, ut hanc aliter intelligat, quam ego in $cri- ptis meis. Pror$us deberem oblitus e$$e Arithmetices, $i ab- $olute negarem, ut me facere contendit, _quod_ 4 _magnitudi-_ _nes inæquales po$$int efficere_ 2 _$ummas æquales_, quum nil a- liud concludo in $criptis, præterquam quod propo$itio Hu- genii vera e$$e nequeat, ni$i pars $it æqualis toti. Ut hoc melius pateat, debemus hic proferre propo$itionem illam ge- neralem propriis terminis.

Si Pendulum e pluribus ponderibus compo$itum, at que e quie- te demi$$um, partem quamcunque O$cillationis integræ confece- rit, atque inde porro intelligantur pondera ejus $ingula, reli- cto communi vinculo, celeritates acqui$itas $ur$um convertere, ac quousque po$$unt a$cendere; hoc facto, centrum gravitatis ex omnibus compo$itæ, ad eandem altitudinem rever$um erit, quam ante inceptam O$cillationem obtinebat.

Cum hæc propo$itio terminis generali$$imis concepta $it, ita ut numerus ponderum, $itus eorum, duratio Vibrationis, ip$am non mutent, pono, Exempli cau$â, Pendulum compo$i- tum e ponderibus duo bus æqualibus, & inter $e ad quam li- buerit a $e invicem di$tantiam junctis. Con$idero porro al- titudines, quæ $unt proportionales quadratis velocitatum in duobus Pendulis $implicibus, e$$e inter $e ut velocitates in [0304]DE CENTRO OSCILL Pendulo compo$ito. Nam eandem habent proportionem, quam arcus de$cripti a duobus ponderibus æqualibus, ex quibus Pendulum formatur; duo illi arcus $unt $patia, quæ duo pondera percurrunt, eodem tempore, velocitatibus, quæ nece$$ario $unt ip$is $patiis proportionales.

Celeritas totalis Penduli compo$iti, quæ inter partes dis- tribuitur proportionaliter ad arcus, quos ip$æ de$cribunt, $emper æqualis e$t $ummæ celeritatum, quas eædem partes acquirerent, $i a $e invicem fui$$ent $ejunctæ, & omnes $epa- ratim ex iisdem altitudinibus & ad easdem ab axe, di$tantias de$cendi$$ent. Altitudines $emper $unt ut quadrata velocitatum, $ive pondera $eparatim ad$cendant, $ive de$cendant. Omni- bus his bene intellectis facile patet, ad hanc propo$itionem redire quæ$tionem. _Si habeamus du@s magnitudines inæquales_ a a & b b, _$ummam radicum ip$arum_ a † b, & _quadrata_ _partium illius $ummæ, quæ $int proportionales dictis magni-_ _tudinibus, quæque adeo communem denominatorem habeant_ a a † b b, & _numeratores diver$os a_<#>3 † a a b & b<#>3 † a b b, _demon$trare, $ummam harum duarum magnitudinum, quæ_ _altitudines, unde duo pondera æqualia Pendulo alligata_ _dimittuntur, repræ$entant, non e$$e æqualem $ummæ quadra-_ _torum <007>llarum partium, quæ altitud<007>nes exhibent, ad quas_ _duo pondera, po$tquam percu$$ione fuerint $eparata, redeunt,_ _ni$i minor ex hi$ce magnitudinibus_ a a & b b _$it æqualis majo-_ _ri, id e$t, quia i$tæ magnitudines in quæ$tione propo$itâ $em-_ _per inæquales $unt, ni$i pars æqualis $it, toti_.

Maxime $en$ibilis hujus veritatis demon$tratio e$t compa- ratio terminorum quæ$tionis per regulas Algebraicas, id quod examinandum relinquo iis, qui u$um illarum regula- rum norunt. Quod rem ip$am $pectat, nullius e$t momenti; $ive centrum Mathematicum O$cillationis bene $ive male de- terminatum $it, inventio Penduli nec minus utilis homini- bus, nec minus auctore $uo digna e$t.

[0305]CONTROVERSIA. V. Objectio Abbatis Catelani contra motum Pendulorum in Cycloidibus.

Si vis gravitatis ageret in corpora tanquam in puncta Ma- thematica, vel $i $patium contentum $ub Cycloide e$$et divi$ibile in infinitas alias Cycloides, $imiles & parallelas, quidam Geometræ revera demon$tra$$ent, uti contendunt, pendula illam debere de$cribere curvam ut Vibrationes, æ- qualibus temporibus, peragant; $ed nulla datur pars in cor- pore gravi, quale e$t Pendulum ex cupro vel plumbo, quæ non æque ac centrum Tellurem ver$us propellatur magis mi- nusve pro inclinatione, juxta quam movetur; Præterea $patium, quod continet Cyclois, non pote$t repleri infini- tis aliis Cycloidibus $imilibus, quoniam tripla circuli $uperfi- cies æqualis e$$et duplo quadrato diametri. Latet igitur@adhuc Geometras, quamnam lineam curvam de$cribat Pendulum, cujus Vibrationes $unt i$ochronæ. Con$equentia hæc patet, $i con$ideremus, in corpore Pendulo, quando centrum vel alia quælibet pars Cycloidem percurrit, partes viciniores Axi, vel inde remotiores, eodem tempore, de$cribere lineas curvas inter $e $imiles, $ed quæ non $unt Cycloides; ut patet ex dictis, & quia in quovis arcu perpendiculares ductæ e tangentibus $uis ad tangentes Cycloidis $unt æqua- les. Omnes itaque partes non habent æqualem inclinationem in de$cen$u, neque Tellurem ver$us cum eâdem velocitatis proportione propelluntur; unde $equitur, Vibrationem to- tius Penduli, quæ nece$$ario pendet a Vibrationibus, quas peragunt partes ejus $eparatim $umtæ, differre a Penduli Vibratione, $i reductum foret ad illam partem, quæ move- tur in Cycloide.

Videtur huic potius cau$æ, quam cra$$itudini fili, cui pondus alligatur, ad$cribendam e$$e artificum praxin, quos experientia cogit curvaturam a Cycloide diver$am laminis tribuere, inter quas $u$pendunt Pendulum.

[0306]DE CENTRO OSCILL.

Non tamen mihi animus e$t, hic ab$olute oppugnare $en- tentiam illorum, qui credunt corpora gravia moveri, veluti puncta, quæ in Cycloide, ad Horizontem perpendiculari, peragunt $uas O$cillationes, temporibus æqualibus, a qua- cunque dimittantur altitudine. Contendo tantummodo, il- lud nondum e$$e demon$tratum, ni$i alterutrum horum pro- betur, vel quod curvæ parallelæ Cycloidi eandem habent proprietatem quantum ad motum corporum, licet non $int Cycloides, vel quod inæqualitas temporis, quod brevius e$t in parallelis, interioribus & Cycloide viciniores Axi, ita moderetur contraria inæqualitate temporis, quod majus e$t in parallelis exterioribus & ip$â curvâ remotioribus ab Axe, ut compen$atio inæqualitatum ambarum in Cycloide detur, quæ tanquam medium locum tenet inter omnes curvas ip$i parallelas. Geometræ hanc difficultatem examinabunt $i di- gnam $uâ attentione judicent; nec, ni$i po$tquam eorum $en- tentiam novero, ob$ervationes meas hac de re dare potero.

VI. Re$pon$io ad objectiones Hugenii adver$us me- thodum Abbatis Catelani de determinan- do Centro O$cillationis.

HUgenius propo$uit objectionem adver$us propo$itionem deductam ex principio, a me, ad determinandum Mathe- matice centrum O$cillationis Penduli, propo$ito; $ed de- buit examinare id, quod præcedit locum, quem e $cri- ptis meis profert, nec generalem habere regulam ad ca$um particularem tantum accommodatam, quem elegi, ut uterer exemplo $implici$$imo & facillimo; $cilicet quando Pendula compo$ita $unt ex partibus, quæ de$cribunt arcus $imiles circa Axem, quocum faciunt idem planum; tum enim di$tantiæ ab illo Axe $unt radii arcuum, qui habent eandem inter $e proportionem, ac perpendiculares ad Hori- zontem, vel $inus, qui $unt altitudines, a quibus $ingulæ partes in O$cillatione de$cendunt. Itaque cum Pendula, de [0307]CONTROVERSIA. quibus Hugenius loquitur, ut probet propo$itionem meam fal$am, $int anguli rectilinei agitati circa verticem, non habentes requi$itam conditionem, me non feriunt. Si concipiamus tales angulos moveri circa Axem, per verti- ces illorum transeuntem, patet $ummas di$tantiarum Axis ab omnibus punctis linearum, quæ Pendula componunt, e$$e inæquales, prout illæ lineæ efficiunt cum Axe angulos ma- gis minusve acutos. Et meâ regulâ detego $ummas di$tantia- rum e$$e æquales Parabolis habentibus pro Diametro maxi- mam ab Axe di$tantiam, & pro Parametro 4<#>am proportiona- lem po$itis hi$ce tribus, linea datâ, quæ eadem e$t in quo- vis Pendulo, maximâ di$tantiâ, quæ variat pro variis angu- lis, & unitate; unde $equitur, tempus O$cillationis valere {2/3} ma- ximæ ab Axe di$tantiæ, & non in omni ca$u idem e$$e; tanto enim brevius e$t, quanto angulus e$t obtu$ior, id e$t, quan- to Pendulum magis Axi vicinum e$t.

Si Hugenius de$iderat propo$itionem quæ conveniat Pen- dulis, circa punctum motis, mutanda tantum erunt verba quædam in principio Pendulorum habentibum Axem; loco _radices di$tantiarum illarum_, legendum _$ummæ linearum re-_ _ctarum, quæ repræ$entant tempora O$cillationum omnium par-_ _tium $eparatim $umtarum_.

_Hoc modo propo$itio in$erviet ambobus ca$ibus. Sed res_ _melius intelligitur per generale Principium, quod propo$ui_ _& ita $e habet_. In eodem Pendulo, cum omnes partes ni$i $<007>mul moveri nequeant, propter $uam conjunctionem, vibra- tio minus di$tantium ab Axe, vel puncto $u$pen$ionis, ita retardatur a vibratione remotiorum, & reciproce O$cillatio remotiorum ita acceleratur per O$cillationem aliarum, ut de- tur inter illas compen$atio celeritatum proportionalis arcubus, vel cur varum portionibus, quas de$cribunt, ita ut tempus O$cil- lationis totius Penduli $it medium inter tempora Vibratio- num, quas peragerent illæ partes, $i non inter $e forent con- junctæ, id e$t, ut $<007>t æquale $ummæ temporum illorum divi$æ per numerum partium, quas debemus con$<007>derare ut æquales & infinite parvas.

[0308]DE CENTRO OSCILL.

Demon$trare potero in $equentibus, non adeo difficile e$$e, ut quidem Hugenio videtur, accommodare illud Principium ad particulares magnitudinum Geometricarum $pecies $u$pen- $arum ex Axe vel puncto.

Quod ad experimenta attinet, paratus $um demon$trare hæc ita non po$$e in$titui, ut perfecte conveniant cum regulis $im- plicibus & generalibus, quæ deducuntur e principiis Mathe- maticis, eandem ob cau$am ob quam generalis regula, $ta- biliri nequit, certa, & con$tans, in ca$ibus particularibus, qui dependent a pluribus cau$is, non exacte notis.

VII. Excerpta ex litteris D. Bernoullii datis Ba$ileæ ad Autorem Diarii Pari$ien$is, de Controver$ia, inter Abbatem Catelanum & Hugenium, de Centro O$cillationis.

QUum nondum ob$ervaverim, Hugenium re$pondi$$e, ad exceptionem Abbatis Catelani, quæ $pectabat primariam ejus de centro O$cillationis propo$itionem, te haud ægre laturum credo, $i verbulum ad ejus defen$ionem ad te $cribam. Quicquid D. Catelanus di$putat, eo redit ut probet, _$ummam radicum duarum magnitudinum quarumvis non po$$e_ _in duas partes ita dividi, ut proportionales $int ad magnitu-_ _dines datas, utque $umma quadratorum ip$orum $it æqualis_ _$ummæ magnitudinum_. Id vero neutiquam in dubium ab Hugenio vocatur, qui tantum affirmat, _$ummam harum ma-_ _gnitudinum po$$e e$$e æqualem $ummæ duarum aliarum, quæ_ _quadratis priorum proportionales $unt_. Quod & veritati con- $onum e$t.

Atque ut o$tendam, controver$iæ omnis cardinem hic verti, utar eodem exemplo de duobus ponderibus æquali- bus, & quidem po$itis numeris, ut veritates hæ ab$tractæ $en$ui magis obviæ fiant.

[0309]CONTROVERSIA.

Sint A & B duo corpora ex Axe D $u$pen$a ita, ut unius TAB. XXVIII. Fig. 4. di$tantia ab Axe quadruplo major $it alterius di$tantiâ.

Adeoque $i altitudo perpendicularis B I, ex qua de$cendit corpus B de$cribendo arcum B G, ponatur quatuor pedum, altera A H, unde corpus A delabitur, unius pedis erit. Celeritates igitur, quas $eparatim cadendo acquirunt, quo- niam $unt ut radices altitudinum, $e habent ut 2 ad 1. Summa 3, quæ totalem Penduli celeritatem manife$tat, quando pro- portionaliter ad altitudines, $ive ad arcus B G & A F divi- ditur, dat gradus celeritatis, quos obtinent pondera, quan- do conjunctim in tabulam D G decidunt, videlicet {12/5} & {3/5}, quorum quadrata $unt {144/25} & {9/25}, unde quæ prodit $umma, $ane a $umma altitudinum, e quibus pondera dimittuntur, differt. Veruntamen hæc quadrata proportionem $olummodo altitudinum O M & N L, ad quas pondera, dum a tabula re$iliunt, ad$cendunt, non ip$as altitudines exprimunt; quas inter ratio quidem e$$e pote$t, quæ e$t inter {144/25} & {9/25}, hoc e$t inter 16 & 1, dum ip$a $umma e$t quinque, quæ e$t $um- ma altitudinum B I & A H unde pondera delap$a $unt.

Nam $i ponamus altitudinem O M 4{17/1@} pedum e$$e, & alte- ram N L {5/17}, O M $e habebit ad N L, ut 16 ad 1; & O M † N L erit æqualis B I † A H. Idcirco centrum gravitatis commune ponderum A & B, ubi in L, M pervenere, erit ad eandem altitudinem, quam obtinebat ante O$cillationis ini- tium. Id clare ex in$pectione figuræ apparet. Pondus enim M tantum $upra lineam Horizontalem B D elevatur, quan- tum L infra eam deprimitur, videlicet {12/17} unius pedis; $e- quitur hinc in triangulis $imilibus M P Q & L Q R latera M Q & Q L e$$e æqualia, hoc e$t medium lineæ M L, quæ duo pondera conjungit, e$$e in inter$ectione lineæ Horizon- talis.

[0310]DE CENTRO OSCILL. VIII. Excerpta ex literis D<#>ni. Hugenii ad Auctores Diarii Pari$ien$is, datis Hagæ _8_. Funii _1684_. quæ continent ejus re$pon$ionem ad exceptio- nem D<#>ni. Abbatis Catelani, de cen- tro O$cillationis.

HUc usque di$tuli re$pondere ad exceptionem D<#>ni. Abbatis Catelani, & fere omnis no$træ controver$iæ oblitus eram, quoniam non audiveram, ullum ex iis qui tales ponderant quæ$tiones in illius partes ivi$$e. Sed cum ex amicis quidam de$iderarent, ut Geometris facilius redderem litis no$træ exa- men; & eo impedirem quo minus illi, qui hanc norunt, $ilentium meum reprehendant, vos rogo ut diariis ve$tris, $e- quentia velletis in$erere, cum quibusdam ve$trum jam du- dum communicata.

Abbas Catelanus, vi$â meâ re$pon$ione ad primam ob$er- vationem, $uoque errore cognito, credidit $e illam po$$e di$$imulare, $i diceret, ob$ervationes $uas ex vitio$o auto- grapho editas e$$e, in quo non $olum quædam verba dee- rant, $ed etiam $ex $eptemve ordine $equentes lineæ; cumque illæ $uppletæ $int in $ecunda Editione, ubi addidit, & _qui-_ _dem tales, ut $ummæ_ cum $ex aliis lineis, propo$itam obje- ctionem omnino mutavit.

Non opportunum tamen duxit hac de re lectorem mone- re, ne quidem in $uâ exceptione, in qua po$itâ hac muta- tione ratiocinatur. Cùm enim antea $e demon$traturum pro- mi$erat, propo$itionem meam 4<#>am. de centris O$cillationum fal$am e$$e ni$i pars $it æqualis toti, in præ$ens ut illud probet, non tantum ponit axioma hoc irrefragabile _totum_ _e$$e majus parte_, $ed præter hoc pro vero habet quoddam, quod $ibi finxit, de motu Pendulorum, principium.

[0311]CONTROVERSIA.

Rem ita $e habere o$tendam, & ut mutatam ejus objectio- nem $olvam, demon$trabo principium, quod ponit, ve- rum e$$e non po$$e. Etiam fal$um e$$e o$tendam alterum ejus principium generale, quo utitur _in $uâ verâ $olutione Mathe-_ _matica Problematis de centris O$cillationis_, & tandem ambo hæc principia $ibi mutuò contrariare: non de$pero fore ut ip$e Abbas Catelanus mecum conveniat, $i ad $equentia at- tendat.

Quæ$tio $ecundum illum ad hanc propo$itionem redit. Si habeamus duas magnitudines inæquales _a a_ & _b b_, & $ummam harum radicum dividamus in duas partes, quæ $int inter $e ut _a a_ ad _b b_, quæ partes ideo $unt {_a_3+_a a b_/_a a_+_b b_} & {_b_3+_a b b_/_a a_+_b b_}, ut facile per Algebram invenitur, demon$trare, $ummam magnitudinum _a a_ & _b b_, quæ repræ$entant altitudines, un- de de$cendunt pondera duo æqualia eidem Pendulo alligata, non po$$e æquari $ummæ quadratorum partium {_a3_+_a a b_/_a a_ + _b b_} & {_b_3+_a b b_/_a a_+_b b_}, quarum quadrata repræ$entant altitudines, ad quas pondera, percu$$ione $eparata, redeunt, ni$i pars _a a_ æque- tur _b b;_ id e$t (quoniam quantitates in quæ$tione propo$ita $unt inæquales) ni$i pars æqualis $it toti.

Hæc e$t propo$itio Abbatis Catelani, quam tantum cla- rius exprimere conatus $um, quâ demon$tratâ, ut facile fit comparando duas illas $ummas per calculum Algebraicum, contendit, fundamentalem meam de centris O$cillationis propo$itionem ruere.

Sed etiam relictâ Algebrâ demon$trari pote$t illius propo- $itio; nam $i ponatur _a a_ æquale e$$e 1; & _b b_ æquale 4; $umma radicum _a_ + _b_ e$t 3, & partes proportionales hujus $ummæ $unt {3/5} & {12/5}, faciunt enim junctim {15/5} hoc e$t 3. Qua- drata earundem partium $unt {9/52} & {144/25}. Hoc igitur $olum re- $taret demon$trandum, $ummam 1. & 4. non e$$e æqualem $ummæ, quæ prodit ex additione {9/25} ad {144/25}, $ive 5 & 6{3/25} non e$$e æqualia inter $e; quod $ane per $e clarum e$t.

Vera ergo e$$et Abbatis Propo$itio ni$i affirmaret quadra- ta partium {_a_3+_a a b_/_a a_ + _b b_} & {_b_3 + _a b b_/_a a_ + _b b_}, quæ hic $unt {9/25} & {144/25}, re- [0312]DE CENTRO OSCILL præ$entare altitudines, ad quas pondera $ejuncta redeunt. Non di$$entiet & facile probari pote$t illud deductum e$$e ex Principio, quod $ibi finxit, & pro fundamento habet pro- po$itionis $uæ; $cilicet, _celeritatem totalem Penduli compo$iti,_ _quæ inter partes di$tribuitur proportionaliter ad arcus, ques_ _ip$æ de$cribunt, $emper æqualem e$$e $ummæ celeritatum, quas_ _eædem partes acqui$ivi$$ent, $i $ejunctæ $ingulæ $eparatim ex_ _iisdem altitudinibus, & in eadem di$tantia ab Axe de$cendi$-_ _$ent_. Ponit ergo, ut me refellat, principium hoc, quod fal- $um contendo; in demon$tratione computationem memora- tam $equar.

D<#>nus Abbas novit & concedit, detegi altitudinem, unde commune ponderum gravitatis centrum de$cendit, $i divi- damus $ummam altitudinum 1. & 4. (unde duo pondera $i- mul alligata de$cenderunt) per 2 numerum ponderum, quæ ergo e$t {5/2}. Concedit pariter, dari altitudinem, ad quam re- vertitur commune eorum gravitatis centrum, $cilicet {153/50}, vel 3{3/503}, $i per numerum ponderum duo, dividamus $ummam al- titudinum {9/25} & {144/25}, ad quas pondera percu$$ione $eparata re- deunt.

Centrum ergo gravitatis revertetur altius quam unde de- $cenderat, quantum 3{3/50} excedit 2{1/2}, quod primario adver$a- tur Mechanices Principio. Hoc $i D<#>nu. Abbas efficere po$- $it, detectum habebit perpetuum mobile: Quum ergo ejus Principium ex quo fal$a $equitur conclu$io, fal$um $it, ex- inde nil quo mea labefactetur Propo$itio, pote$t inferri vel deduci. Quod ad alterum ejus Principium attinet, quod pro fundamento habet regulæ generalis de determi- nandis centris O$cillationis, in eundem inducit errorem. Hoc Principium e$t, _tempus Vibrationis Penduli compo$i-_ _ti e$$e medium inter tempora Vibrationum partium, id e$t,_ _æquale e$$e $ummæ illorum temporum, divi$æ per numerum_ _partium_. In Pendulo, quale con$ideravimus, ubi ponderum di$tantiæ, a puncto $u$pen$ionis, $unt 1 & 4, $i ponamus tempus minoris ex partibus $eparatis e$$e unum, (unde $e- quitur, tempus alterius partis $eparatim agitatæ e$$e duo;) [0313]CONTROVERSIA. $ecundum ejus principium, $umma illorum temporum, quæ e$t tria, divi$a per duo, numerum partium, erit tempus Penduli compo$iti, $cilicet {3/2}. Hi$ce po$itis, nil præterea po- nendo præter id quod concedit D<#>us. Abbas, deteguntur alti- tudines, ad quas revertuntur pondera, po$tquam a Pendulo compo$ito $unt $ejuncta; nempe {4/9} & {64/9}; quarum $umma {68/9}, divi$a per duo, numerum ponderum, dat {34/9}, vel 3{7/9}, alti- tudinem, ad quam ad$cendit commune gravitatis centrum, quæ etiam $uperat {5/2} vel 2{1/2} unde demon$travimus centrum de$cendi$$e. Non addo methodum computationis quæ facilis e$t. D<#>nus. Abbas ergo dum quærit principium bis male divi- navit; proprie enim divinare e$t, ratiocinia deducere ex principiis, quæ levem tantum veri $peciem præ $e ferunt; & verum e$$et, quæ$tionem de centro O$cillationis non dif- ficulter re$olvi, $i, ut ip$e fecit, tantum ponendum foret id, quod $tatim rem quæ$itam determinat.

De cætero, contraria e$$e inter $e ambo principia clarum e$t; quoniam ut patet, ex his diver$æ $equuntur conclu$io- nes, altitudines enim, ad quas centrum commune gravitatis a$cendit, diver$æ ex utroque deteguntur, nempe 3 {3/50}, 3 {7/9}.

Unum hoc addam, ut re$pondeam difficultati, quam D<#>nus. Ab- bas propo$uit, contra motum in Cycloide , hanc difficulta- Vide $u- pra pag. 227. tem $olutam dari in ip$o meo tractatu de centro O$cillationis in cujus propo$itione 24 explicavi, quomodo efficiqueat, ut omnia ponderum Penduli puncta moveantur in Cycloidibus æqualibus; licet in praxi minime nece$$aria $it correctio hæc.

IX. Re$pon$io D<#>ni. Abbatis Catelani ad literas D<#>ni. Bernoulli de Controver$ia $ua cum D<#>no. Hu- genio de centro O$cillationis . Vide $u- pra pag. 23@.

UT re$pondeam ad has literas, idem repetam, quo utitur D<#>nus. Bernoulli, exemplum Penduli compo$iti ex pon- deribus æqualibus eidem virgæ applicatis, & ex eodem centro [0314]DE CENTRO OSCILL. $u$pen$is, a quo pondus unum quater magis quam alterum di$tat; ita ut altitudines perpendiculares, unde de$cendunt $int ut 1 ad 4.

Convenit inter nos de proportione inter has altitudines, & de $umma velocitatum, quas illa pondera acquirerent, $i $e- paratim ab iis altitudinibus caderent; $ed contendimus de exprimendis his altitudinibus re$pectu $patii, quod $it com- munis earum men$ura, & pro unitate habeatur. Cum omni- bus, qui ante me de $imilibus quæ$tionibus $crip$erunt, po- no veros numeros, quibus exprimuntur altitudines, e$$e qua- drata ip$orum numerorum qui velocitates de$ignant, in illis ca$ibus, in quibus inter altitudines & inter velocitates non alia datur ratio, præter generalem experientiâ detectam.

Patet autem ex numeris quos in computatione mea detexi, (cum 9 & 144 ducta in {1/25} pedis, id e$t 6 pedes cum 1 digito 5 lineis & quod excedit, differant cum 1 pede & 4 pedibus, aut 5 pedibus,) $ummas altitudinum, ad quas ad$cendunt pon- dera in exemplo propo$ito, non e$$e æqualem $ummæ alti- tudinum unde de$cendunt, quam æqualitatem D<#>us. Huge- nius ponit in generali propo$itione, quâ utitur pro princi- pio in $uo tractatu de centro O$cillationis.

D<#>us. Bernoulli re$pondet, quadrata numerorum, qui exprimunt velocitates ponderum, tantum exprimere pro- portionem altitudinum, ad quas revertuntur po$t illo- rum $eparationem, & non ip$as altitudines, quæ qui- dem inter $e habere po$$unt rationem, {144/25} ad {9/25} dum ta- men harum $umma e$t 5, quæ e$t $umma altitudinum, unde pondera de$cenderunt. Nam altitudines, ad quas revertuntur $eparata, $unt juxta illum 4{12/17} & {5/17}, quarum $umma valet 5, ut $umma primarum altitudinum 1. & 4. Iterum re$pondere non difficile erit. Rogatum velim D<#>um. Bernoulli, dum contendit, proportionem quadra- torum numerorum, qui velocitates exprimunt, tantum con$iderandam e$$e, quâ motus lege, & per quodnam principium Mechanicum pondera, de quibus agimus, po- tius redeant ad altitudines, quas ille notavit, & [0315]CONTROVERSIA. quæ cum ip$ius $ententia congruunt, quam ad illarum propor- tionales 5{11/17} & {6/17}, quarum $umma e$t 6; vel ad 3{13/17} & {4/12} qua- rum $umma e$t 4; vel ad innumeras alias $imiles, quæ ha- beant inter $e eandem proportionem, {144/25} ad {9/25}, $ed ex qui- bus altitudo centri gravitatis rever$i major minorve, quam unde de$cendit deducitur. Certè pondera non revertentur ad omnes altitudines proportionales quadratis velocitatum, quas de$cendendo acqui$iverunt, quoniam gravitas gradatim re- tardat, & tandem de$truit velocitates, cum quibus reflectun- tur pondera.

Quid ergo eveniet? rogo D<#>um. Bernoulli ut illud explica- re velit? An Natura per $e incerta de eo quod $ibi agendum e$t, pro voluntate D<#>ni. Bernouilli actura e$t? Cum ip$ius ve- niâ, hac de re dubitabo, donec $ententiam $uam $olidis argu- mentis, ex Phy$ica deductis probet. Interim credo me jure concludere, rationibus quas affert pro D. Hugenio hoc con- firmari, propo$itionem hujus generalem & fundamentalem de centris O$cillationis non e$$e omni exceptione majorem.

X. Dn. Bernouillii narratio controver$iæ inter Dn. Hugenium & Abbatem Catelanum agitatæ de Centro O$cillationis, quæ loco Anim- adver$ionis e$$e poterit in Re$pon- $ionem Dn. Catelani. Excerpta ex Litteris Dn. Bernoullii Lip$<007>am mi$$<007>s.

Men$e Septembri A. 1681. Abbas Catelanus propo$itio- nem quandam tractatus Cl. Hugenii, quem de _Horo-_ [0316]DE CENTRO OSCILL. _logio O$cillatorio_ in$crip$erat, adortus e$t, formata contra il- lam objectione; in qua quia mentem $uam minus feliciter expre$$it, an$am dedit i$ti controver$iæ, quæ hucusque fere inter illos v<007>guit. Verum quidem e$t, eum initio A. 1682. objectioni $uæ, additis paucis lineis, variationem quandam in- duxi$$e; $ed quoniam ejus partes $atis adhuc male cohæren- tes reliquit, eam in mente Lectoris $ui excitavit opinionem, qua$i per$ua$um haberet, $ummas altitudinum, e quibus pon- dera alicujus penduli junctim de$cendunt, & ad quas po$t- modum $eparatim a$cendunt, inæquales e$$e debere hanc $o- lam ob cau$am, quod _priores altitudines $int proportionales_ _ip$is ponderum celeritatibus, po$teriores vero non ni$i quadra-_ _tis i$tarum celeritatum_. Quare etiam Hugenius, id unicum Catelano $crupulum movere ratus, re$pondere ab$tinuit, us- que in men$em Junium, quo tandem calamum arripuit, ac exemplo duorum numerorum 5 & 10, duorumque aliorum 3 & 12 breviter mon$travit, fieri utique po$$e, ut binæ quan- titates eandem cum binis aliis conficiant $ummam, etiam$i di- ver$am ab illis rationem habeant, neque tum temporis in dubium revocavit πρῶ{το}ν Catelani {ψε}ῦδ quod tamen in pri- ma jam objectionis $uæ impre$$ione manife$te $atis prodide- rat, dum $uppo$uit: _Pendulum ex duobus ponderibus compo-_ _$itum, eandem acquirere celeritatem, quantam acquir at $um-_ _ma pendulorum $implicium;_ id vero $icco pede præteriit Hu- genius, vel quod non penetrarit $tatim, ob nullam periodo- rum connexionem, quor$um fal$a i$ta Catelani $uppo$itio tenderet, vel potius quod illi ceu veri$imili admodum tum ip$emet ad$tipularetur. Catelanus interea Hugeniano re$pon- $o non contentus, excepit 20 Julii 1682, ac terminis Alge- braicis rem aggre$$us e$t, eodem innixus fundamento: _Quod_ _totalis celeritas penduli compo$iti æquet $ummam celeritatum_ _partium ejus $eparatarum_. Quo facto controver$ia i$ta ultra annum $opita jacuit. Me quod $pectabat, cui Hugenii liber tum nondum vi$us, nedum lectus fuerat, $copum alium non habebam, quam illu$trare ejus re$pon$ionem, remque exa- minare, qualiter ab ip$o examinata, atque in Actis recen$ita [0317]CONTROVERSIA. fuerat. Animadvertens itaque, Catelani principium ab Hu- genio non refutatum e$$e, & ego illud intactum reliqui, $ufficere mihi ratus, $i Hugenianum re$pon$um $impliciter applicarem ad præ$entem controver$iam, propo$ito eum in finem exemplo penduli, e duobus æqualibus ponderibus compo$iti; ubi innuere $altem volui, quod $uppo$ito pro totali ejus celeritate numero ternario (quicquid $tatuatur de celeritatibus utriusque $eparatim $pectati ponderis, dummo- do eæ $int in ratione 2 ad 1) quadrata {144/25} & {9/25} ex mente Hu- genii $ignificare debeant non ni$i _rationem altitudinum_, ad quas a$cendant $eparata pondera, minime vero _ip$as altitu-_ _dines_ (quod ip$e quoque po$tmodum indigitavit Hugenius in $ecunda re$pon$ione, 8 Jun. 1684. ) partim quoniam ce- Vide $u- pra pag. 232. leritates atque altitudines, utpote quantitates heterogeneæ, $e mutuo men$urare non po$$unt; partim etiam, quia ip$e Catelanus urgere $altem videbatur, altitudines e$$e _propor-_ _tionales_ quadratis, vel _$icut_ quadrata celeritatum; tamet$i in proxime $equenti calculo quadrata i$ta pro ip$is altitudini- bus adhibuerit. Comparato mihi paulo po$t, & perlecto Hugenii libro, animadvertebam, Propo$itionem controver- $am ex priore Hypothe$ium, quas Auctor initio $tabiliverat, adeo evidenter inferri, ut neutra infringi po$$it, quin $imul evertatur altera; quocirca judicabam, $i Catelano fal$a fui$- $et vi$a propo$itio, eum potius ip$am adoriri debui$$e Hy- pothe$in, magnumque illud inibi contentum Principium Me- chanicum. Verum enim vero cum hujus principii veritatem nullo jure in dubium revocare po$$em, atque $imul etiam $e- riem ratiocinii a Catelano $atis confu$e propo$iti evolvere cœpi$$em, errorem ejus detexi illico, fal$amque cognovi e$- $e, qua nitebatur, regulam, nimirum: _Celeritatem totalem_ _penduli compo$iti æqualem e$$e $ummæ celeritatum partium ejus_ _$eparatarum_. Atque ut o$tendam, animadver$um mihi fui$- $e errorem, priusquam Hugenii epi$tola de 8. Jun. lucem a- $pexi$$et, afferam hic cau$am phy$icam, omi$$am ab Huge- nio, qua fit, ut penduli compo$iti celeritas perpetuo minor $it celeritate partium ejus $eparatarum: Ponamus majoris evi- [0318]DE CENTRO OSCILL. dentiæ ergo, pondera penduli A & B in linea inflexili D B TAB. XXVIII. Fig. 5. libere hinc inde moveri po$$e, $ic ut linea hæc, dum rotatur circa axem D, quamvis $ecum rapiat pondera, non tamen impediat de$cen$um illorum in linea recta centrum Terræ ver$us. Quo po$ito, con$tat, utrumlibet pondus $igillatim dimi$$um, eadem celeritate latum iri, qua ferretur absque virga D B, utpote nec a virga, nec ab ejus axe ullo modo impeditum; id e$t $i pondus A absque virga certo tempore conficit $patium A H, & pondus B $patium æquale B N, utrumque etiam cum virga, $ed $igillatim, dimi$$um eodem tempore idem $patium A H & B N conficiet. Con$tat in- $uper, quod $i gravitas in utrumque pondus ageret viri- bus, quæ proportionatæ forent ip$orum re$pectivis ab axe di$tantiis, virga nullum adhuc ip$orum de$cen$ui afferret im- pedimentum, propterea quoniam exacto certo tempore unum eorum reperiretur in H & alterum in I, vel prius in L, po- $terius in N, $ive absque virga, $ive cum virga, $ive $igil- latim $ive conjunctim dimitterentur. Verum enim vero quoniam gravitas in utrumque pondus agit viribus æquali- bus, $ic ut pondera eodem tempore æqualia $patia A H & B N transigere annitantur, & tamen interea pondus A jun- ctim dimi$$um, ob inflexilem virgam, nequit pertingere ni$i ad L, dum pondus B jam e$t in N, hinc $equitur, gravita- tis vim in pondere A non e$$e exhau$tam; adeoque re$iduum harum virium, ex una parte urgere debere corpus B, ex al- tera ip$um axem D, eundemque premendo aliquam $ui par- tem ibidem in$umere & deperdere; $iquidem virga hocce ca$u in$tar vectis con$iderari po$$it, prout extra dubium e$t; quod $i corpus B infinite tarde moveri, id e$t, firmum & $tabile e$$e intelligatur $icut axis D, corpus A partem $ui ponderis æque in axem D atque in corpus B transferret. Ex hactenus dictis colligere proclive e$t, $i quis examinare vellet, quantam partem celeritatis $uæ pondus A in premen- do axe D con$umere debeat, eum exinde, imitando Dn. Ca- telani ratiocinium, veritatem aut fal$itatem Hugenianæ Hy- pothe$eos, inque hac fundatæ Propo$itionis, detegere po$$e. [0319]CONTROVERSIA. Rogantur hac occa$ione eruditi, ut examinent, qualem le- gem communicationis celeritatum ob$ervent corpora mota, quæ ex una parte innituntur firmo fulcimento, ex altera alii corpori itidem, $ed tardius moto: $i namque celeritatis ex- ce$$us, qui hinc inde communicandus e$t, in eadem ratione di$tribueretur, in qua di$tribuitur onus aliquod, quod vecti duobus $u$tento fulcris impo$itum e$t, nimirum in ratione reciproca di$tantiarum mobilis a fulcris, tum imitando ra- tiocinium Dn. Catelani, deprehenderemus, $ummam altitu- dinum, ad quas a$cendunt $eparata penduli pondera, vici$- $im nunc minorem e$$e $umma altitudinum, e quibus antea conjunctim de$cenderant, quod iterum Hugenianam Propo- $itionem everteret.

En calculum: E$to altitudo A L = 1 ped.

Altitudo B N = 4 ped.

Celeritas ponderis A acqui$ita in puncto L, ubi de$cendit $eparatim # = 1 Celeritas ponderis B acqui$ita in puncto N, quando cadit $eparatim # = 2 Celeritas ponderis A acqui$ita in puncto L, quando de$cen- dit conjunctim # = x Igitur Exce$$us celeritatis ponderis A, qui tam in axem, quam in pondus B redundat # = 1 - x Et pars hujus exce$$us, quæ $oli ponderi B communicatur # = {1/4} - {1/2} x Tota ergo celeritas ponderis B in puncto N cum conjun- ctim cadit # = 2 {1/4} - {1/4} x

Atqui vero 2 {1/4} - {1/4} x, x:: 4, 1. Igitur x = {9/17} & 4 x = {36/17} eorum- que quadrata {81/289} & {1296/289} quorum $umma 4 {13/17} minor e$t 1 + 4 = 5. Antequam finiam, in favorem Dn. Catelani hoc monebo, quod etiam$i commune gravitatis centrum juxta illum altius a$cendere deberet, quam de$cendit, nondum tamen $equa- tur, repertum fore motum perpetuum, ut $ibi per$uadet Ill. Hugenius; quoniam in i$tis ab$trahi $olet ab aëris re$i$tentia, a diminutione celeritatis, quæ nece$$ario $equitur disruptio- nem vinculi, quo connectebantur partes penduli, aliorum- [0320]DE CENTRO OSCILL. que ob$taculorum; prout ip$a quoque hæc aëris re$i$tentia in cau$a e$t, cur $implex pendulum motum $uum non con- tinuet, ut maxime in Hypothe$i Hugeniana ad eandem a$cendere debeat altitudinem, a qua de$cendit.

_XI_. Litteræ D<#>ni Marchionis de l’Hôpital ad D<#>um Huge- nium, in quibus contendit, $eregulam hujus Au- ctoris de Centro o$cillationis penduli compo$iti demon$trare per cau$am Phy$icam, & re- $pondere $imul D<#>no Bernoulli.

Ante aliquot annos, cum admiratione legi eruditum tuum de centris O$cillationis tractatum, & pleni$$ime mihi per$ua$um e$t veras e$$e demon$trationes tuas. Interea cum Acta Lip$ien$ia nuper mihi ad manus venerint, inveni in actis men$is Julii anni 1686. relationem tuæ hac de re cum D<#>no Abbate Cateleno controver$iæ, à D<#>no Bernoulli factam, qui tuam $ententiam amplectitur, uti certe debent, quicunque aliquem inter Geometras locum $e tenere contendunt. Sed attonitus vidi, finem ratiocinii quo utitur, contrarium e$$e tuis demon$trationibus: unde ad illud $edulo examinandum perductus fui, & cognovi, quod utatur principio veri$$imo, licet in eodem applicando fallatur; illud enim principium, uti demon$trabo, ducit ad eandem veritatem, quam proba$ti in 5<#>a tua propo$itione.

Sit D A B virga inflexilis & $ine gravitate, mobilis circa TAB. XXVIII. Fig. 6. punctum fixum D, ad quam annexa $int 2 pondera æqualia A & B; & $it di$tantia B D a puncto fixo quadrupla di- $tantiæ A D, quæritur longitudo D G penduli $implicis i$ochroni, id e$t, quod movetur cum eâdem celeritate ac pen- dulum compo$itum.

Ad $olvendum hoc problema, con$idero velocitates, cum quibus corpora A & B incipiunt de$cendere in primo in$tan- [0321]CONTROVERSIA. ti ca$us $ui, vel potius, $patia, quæ percurrunt eodem tem- pore, utut parvo; hoc $en$u $umo 1 pro velocitate, quacum omne corpus grave $ive magnum $ive parvum incipit de$cen- dere $uper planis æqualiter inclinatis; nam, ut $atis notum e$t, illa velocitas e$t æqualis in omnibus corporibus.

Concipio etiam, quantitatem motus corporis initio de$cen- $us $ui oriri ex ma$$â multiplicatâ per illam primam velocitatem; His $uppo$itis, con$tat, quod corpus A conetur de$cendere cum eâdem celeritate, quâ corpus B; quod cum non po$- $it, quoniam virgæ junctum e$t in puncto A, cujus veloci- tas tantum e$t 4ta pars velocitatis B, debet accelerare mo- tum corporis B in pendulo compo$ito. Tota ergo difficultas con$i$tit in rite determinandâ motûs augmentatione; quod hoc pacto facio.

Sit _x_ quantitas motus corporis A in pendulo compo$ito, re$iduus exce$$us quantitatis ejus motus erit ergo A - _x_, vis hæc applicata in A exerit actionem in punctum fixum D & corpus B, quod con$iderari debet ut immobile ip$ius re$pe- ctu (quoniam clarum e$t, corpus B debere cen$eri immobile re$pectu illius exce$$us) & con$equenter virga B D debet con$iderari ut vectis cujus extremitates $u$tinentur in B & D. habebimus ergo B D, 4. ad A D, 1. ut A - _x_ ad {1/4} A -{1/4} _x_ portio- nem exce$$us quantitatis motus corporis A, quæ communi- catur corpori B; ita ut quantitas motus corporis B in pen- dulo compo$ito $it B + {1/4} A - {1/4} _x_ id e$t {5/4} A - {1/4} _x_; Jam vero propter virgam inflexilem D B velocitas corporis B in pen- dulo compo$ito debet nece$$ario e$$e quadrupla velocita- tis corporis A, & con$equenter etiam quantitas ejus motus, quoniam corpora $unt æqualia; unde $equitur æqualia e$$e 4 _x_ & {5/4} A - {1/4} _x_ unde deducitur valor ip$ius _x_, {5/17} A, qui ex- primit quantitatem motus corporis A in pendulo compo$ito; Jam $i fiat, ut {5/17}, velocitas corporis A in pendulo compo$i- to, e$t ad 1, velocitatem, omnium corporum gravium in extremitate pendulorum $implicium, ita D A, 1; e$t ad D G, {17/5}, erit hæc longitudo penduli $implicis i$ochroni; $i enim $patia $unt inter $e ut velocitates, tempora æqualia $unt.

[0322]DE CENTRO OSCILL

Si addamus ad pendulum compo$itum D A B novum pon- TAB. XXVIII. Fig. 7. dus C æquale cuivis ponderi A & B, ita ut D C duplum $it D A, con$iderari debent pondera A & B tanquam ap- pen$a ad G commune $uum O$cillationis centrum, in extre- mitate penduli $implicis D G; & tunc ponendo _x_, quanti- tatem motus corporis C in pendulo compo$ito D C G, ha- bebimus C-x pro re$iduo exce$$u quantitatis motus corporis C. Quantitas hæc re$idua applicata in C exercet vim in pun- ctum fixum D, & punctum G, quod con$idero ut fixum ip$ius re$pectu; habebimus ergo D G, {17/5}, e$t ad D C, 2, ut C-x e$t ad {10 C - 10 _x_/17}, portionem ejus exce$$us, quæ di$tribuitur in G; unde $equitur, quantitatem motus corporum A & B in pendulo compo$ito D A C B futuram {5/17} A + {20/17} B + {10 C - 10 _x_/17} id e$t {35 C - 10 _x_/17}; Ob virgam autem inflexilem D B, velocitas corporis A in pendulo compo$ito erit nece$$ario dimidia ve- locitatis corporis C, & velocitas corporis B erit dupla ve- locitatis corporis C, & eædem quoque inter motus quanti- tates rationes dantur, cum tria corpora $int æqualia inter $e; datur ergo æqualitas inter 2 _x_ + {1/2} _x_ & {35 C - 10 _x_/17}, unde de- ducitur quantitas {2/7} _x_ = C, exprimens quantitatem motus corporis C in pendulo compo$ito D A C B. Jam $i fiat, ut {2/3}, velocitas corporis C in pendulo compo$ito, e$t ad 1, ve- locitatem cujusvis corporis gravis in extremitate penduli $im- plicis; ita D C, 2. e$t ad D E, 3, erit hæc longitudo pen- duli $implicis i$ochroni.

Si pondera A, B, C e$$ent inæqualia, inveniretur $emper, $equendo hoc ratiocinium, centrum O$cillationis. ita ut hæc methodus $it generalis, quicunque $it ponderum numerus, & quæcunque eorundem inæqualitas. O$tendendum nunc, methodum hanc etiam u$u venire, $i pondera $int ad puncti fixi partem utramque di$po$ita.

Sit pendulum compo$itum A D B mobile circa punctum fixum D, & oneratum ponderibus æqualibus A & B, $itque D B quadrupla ip$ius D A, patet quod corpus A debeat retardare motum corporis B in pendulo compo$ito; & ut [0323]CONTROVERSIA. præci$e inveniatur quantum retardet, voco x quantitatem motus corporis B in pendulo compo$ito A D B, & con$e- quenter exce$$us re$iduus quantitatis ejus motus erit B x; $ed ob virgam B A, velocitas corporis A debet nece$$ario e$$e quarta pars velocitatis corporis B: quantitas ergo ejus motûs in pendulo compo$ito erit {1/4} x (cum enim corpora A & B $int æqualia quantitates motus $unt proportionales ve- locitatibus. Illa autem motus quantitas produci non potuit, ni$i per re$iduum exce$$um quantitatis motus corporis B. Pa- tet ergo, quod ille exce$$us B - x debeat $uperare quantitatem motus corporis A inferiora ver$us, & eidem præterea imprimere quantitatem motus {1/4} x $uperiora ver$us; id e$t quod debeat agere in corpus A ac $i vis A + {1/4} x immediate applicita in A, illud $ur$um propelleret. Sed vis B x ob punctum fixum D agit in A ac$i vis 4 B - 4 x immediate applicita in A, illud $ur$um propelleret; dabitur ergo æqualitas inter 4 B - 4 x & A + {1/4} x; unde deducitur quantitas x = {12/17} B, quæ præci$e exprimit quantitatem motus corporis B in pendulo compo$ito A D B, Porro $i fiat, ut {12/17}, velocitas corporis B in pendulo compo- $ito, e$t ad 1, velocitatem corporis omnis gravis in extremi- tate penduli $implicis, ita D B, 4. e$t ad D G {17/3}, erit hæc longitudo penduli $implicis I$ochroni.

Facile concluditur ex his omnibus, principium D<#>ni Ber- noulli e$$e verum; $ed eundem falli in conclu$ione quam in- de deducit; quoniam con$iderat velocitates acqui$itas corpo- rum A & B, cum con$iderare deberet, uti nos fecimus illo- rum velocitates incipientes & præterea motus quantitates. Alias enim nunquam po$$et applicari hoc principium, quod non differt à principio, quod obtinet circa vectem, quum corpora $unt inæqualia; Adeo ut credam me plane petitioni ejus $atis feci$$e, _Rogantur hac occa$ione eruditi_ & c.

Vides, quo pacto diver$æ viæ ducant ad cognitio- nem ejusdem veritatis; nolim tamen meam tuæ æquiparare, quæ ultra omnem comparationem eruditior e$t & magis Geo- metrica; Interim $i exi$times, non inutile fore demon$trare rationes Phy$icas, quas hic affero, perfecte convenire cum [0324]DE CENTRO OSCILL. tuis demon$trationibus, idque in$ervire po$$e tollendo D<#>ni Bernoulli dubio, per me licet publici juris fieri has lit- teras, $ed $imul peto, ut iisdem ob$ervationes tuas $ubjun- gere digneris, & per$ua$um habeas me a judicio tuo non provocaturum, quod procul dubio doctum $imul clari$$imum & æqui$$imum futurum e$t: $um ex animo & c.

XII. Ob$ervationes D<#>ni Hugenii in liter as præcedentes & in relationem D<#>ni Bernoulli, cujus in iis fit mentio.

Semper credidi difficile e$$e inventu centrum O$cillationis alia methodo, quam quâ ip$e u$us $um; neminem quo- que vidi, qui id pro$pero $ucce$$u tentârit, $ive re$pectu $o- lutionis generalis, $ive in ca$u pendulorum compo$itorum, quorum pondera $unt in lineâ recta cum puncto $u$pen$ionis. Hunc ca$um D<#>nus Marchio de l’Hôpital $ibi po$t plures alias propo$uit, & primus, quod vere po$$um dicere, $peratum $ortitus e$t eventum; nam D<#>i. Walli$ius, Mariotte, & Pa- ter De$chales quæ$iverunt tantum centrum Percu$$ionis, nec potuerunt demon$trare idem e$$e cum Centro O$cillationis, licet id revera ita $e habeat.

Cæterum licet demon$tratio Domini Marchionis valida $it & legitima, & naturæ rei congrua videatur, multa ta- men continet quæ Lectorem aliquantum detinere queant; ut, quando con$iderat quantitatem motus corporis in primo initio ca$us, & quum di$tinguit & dividit, re$iduum motum corporis A, $cilicet quem haberet cum $eparatim caderet, præ illo quem haberet, $i de$cenderet veluti pars penduli compo$iti, & tandem, quum in pendulo trium ponderum vult A & B tanquam fixa con$iderari in G, centro O$cilla- tionis illorum. cum hæc omnia non $int pror$us evidentia, patet viam, quam ingre$$us e$t Marchio, $atis e$$e difficilem, & accuratum valde ratiocinium fui$$e requi$itum, ne hic de- viaretur; D<#>us Bernoulli in $ua relatione controver$iarum me inter & Abbatem Catelanum, de qua in $equentibus ali- [0325]CONTROVERSIA. quid ob$ervabo, eandem viam fuerat $ecutus, $ed cum nec illam ad finem usque $equi potuerit, novo inde ratiocinio ejusdem difficultas colligitur.

Ob$trictus $um D<#>o. Bernoulli, quod $emper in hac con- trover$iâ a meis partibus $teterit adver$us D<#>um Abbatem Ca- telanum. Interea non potui concipere, quo pacto, po$t- quam dixit propo$itionem meam fundamentalem de centro O$cillationis pendere a magno illo principio, $cilicet _quod_ _commune centrum gravitatis plurium ponderum non po$$it a-_ _$cendere altius per gravitatis eorum effectum, quam unde de-_ _$cendit_, in $equentibus vertat contra me quoddam ratioci- nium, quemadmodum ip$e confitetur, incertum, ac $i po$- $et in dubium vocare veritatem hujus ip$ius propo$itionis; cum potius deberet concludere, $e erra$$e in $uo ratiocinio.

Ad id vero, quod mihi imputat, me in prima re$pon$io- ne non refuta$$e fal$um D<#>ni Abbatis principium, idque in ultima non refelli$$e per cau$am ejus Phy$icam, re$pondeo me in prima re$pon$ione credidi$$e, $ufficere, $i evidens vitium o$tenderem in ratiocinio, quod mihi opponitur, licet ulte- rius hanc materiam non examinarem; In exceptione autem 8. Junii 1684. pari jure cum D<#>no. Bernoulli po$$em perten- dere me id principium refuta$$e per $uam cau$am Phy$i- cam, quoniam o$tendi, repugnare illud magno principio naturali _quod corpora gravia $ponte non po$$int a$cendere_.

Credo enim, in hoc æque con$i$tere cau$am Phy$icam hujus phænomeni, $cilicet quod in pendulo compo$ito pondera A & B, cum de$cenderint junctim ad partem infimam vibrationum $uarum, non acquirant $imul tantam velocitatem, quantam acqui$ivi$$ent $eparatim ex iisdem altitudinibus cadentia, quam in eo, quod pondus A con$umat partem $ui motus agendo in punctum fixum F, juxta demon$trationem D<#>ni. Bernoulli & D<#>ni Marchionis de l’Ho$pital; Et ad hoc credendum ex eo ad- ducor, quod $æpe pereat pars motus, licet hunc in aliquo affe- ctu edendo con$umi, affirmare non po$$umus, ut in multis ca$i- bus percu$$ionis duorum corporum durorum, juxta id quod ob- [0326]DE CENTRO OSCILL. CONTROVERSIA. $ervavi, quum in lucem ederem leges ejusmodi motuum in diariò Pari$ien$i 1669 men$is Februarii, ita ut minime pro lege naturæ habendum $it, eandem motus quantitatem $emper con- $ervari, ni$i alicui impendatur & con$umatur, $ed hæc con- $tans lex e$t, corpora $ervare vim _$uam ad$cendentem_, & idcir- co $ummam quadratorum velocitatum illorum $emper manere eandem; Hoc autem non $olum obtinet in ponderibus pen- dulorum, & percu$$ione corporum durorum, ut ibidem ob- $ervavi, $ed in multis quoque aliis mechanicis experimentis.

Demon$traveram admittendo principium Abbatis Catelani, _vim a$cendentem_ ponderum penduli augeri, & ita commune eorum gravitatis centrum altius po$$e reverti quam unde de- $cenderat, unde inferebam, hoc po$ito inventum fore perpetu- um mobile. D<#>us. Bernoulli non concedit hanc con$equentiam ob aëris ob$taculum, & quædam alia, quæ effectum impedi- rent: $ed con$iderare debui$$et, cum altitudo illa major, quam acquirit centrum gravitatis, $emper determinata $it quan- titas, & effectus ob$taculorum non $it determinatus, imo mi- nui magis magisque po$$it, facile con$trui po$$e machinam, in qua commodum ex elevatione centri gravitatis deriva- tum, præponderaret impedimento ob$taculorum; $ed revera id experiri nece$$e erit nunquam.

FINIS. [0327] [0327a] Pag. 248. TAB. XXVIII. Fig. 1. B A E D H F I G Fig. 2. M B A E D L N H F O I G Fig. 4. O P M I B G Q N L R H A F D Fig. 5. B A D L N H I Fig. 3. a B c A C Fig. 7. D A C B E G Fig. 6. D A G B [0328] [0329] MACHINÆ QUÆDAM, ET VARIA CIRCA MECHANICAM. [0330] [0331] MACHINÆ QUÆDAM, ET VARIA CIRCA MECHANICAM. I. Excerpta ex Literis Domini Hugenii, novam quan- dam Inventionem Horologiorum exacti$$ino- rum ac portatilium concernentibus.

CUm invenerim artificium diu de$ideratum quo fiant Horologia & exacti$$ima $imul & portatilia, credo rem gratam me facturum publico, $i id communicem. Quamobrem mitto Tibi & de$criptionem & picturam formæ, continentem id quod in hoc invento habetur $ingulare, ut inter cæteras novitates $cientiarum, hanc quoque po$$is in- $erere, $iquidem ita collubuerit, Ephemeridibus Tuis.

Horologia formâ modicâ ad hunc modum con$tructa, erunt horarum indices portatiles quam exacti$$imi, $ub ma- jori forma autem ubique utiliter adhibebuntur, ac $peciatim in longitudinibus terrâ marique inveniendis, $iquidem ip$o- rum motus regitur à principio quodam æquabilitatis, non aliter ac aliorum cum pendulis, per cycloidem quippe ita cor- rectorum ut nullum vecturæ genus illa po$$it $i$tere aut $uf- flaminare.

[0332]MACHINARUM

Arcanum inventionis con$i$tit in pinna quadam $pirali quæ altera $ui extremitate interiore affixa e$t ha$tæ animulæ $eu ra$tri æquilibris, $ed majoris ac pondero$ioris quam pro $o- lito, ac $upra $uos cardines ultro citroque mobilis; alterâ vero extremitate cohæret particulæ cuidam $upra Horologii $uperius tegmen eminenti: quæque vibrato $emel Horologii libramento, $piras $uas alternis comprimit ac relaxat, ac ac- cedente $ibi parvulo adjumento ab Horologii rotis veniente, ra$tri, $eu æquilibrii, motum con$ervat, ita quidem, ut, licet majores aut minores faciat excur$us, ejus reciprocationes tamen una alteri $int tempore pror$us æquales. In figura, TAB.XXIX. Fig. 1. $uperius Horologii planum e$t A B, circulus æquilibrii vel libramentum circulare C D, hujusque axis $eu ha$ta E F: Pinna $eu elaterium in $piram contortum G H M, ferrumi- natum ad ha$tam æquilibrii in M, & lamellam $upra planum Horologii $upremum in G, ita quidem ut $piræ omnes elaterii è duobus i$tis $u$tentaculis in aëre $u$pen$æ hæreant, infernè nihil attingentes: N O P Q e$t quædam coronis aut fultura in qua vertitur alter cardo æquilibrii $eu libramenti: R S e$t una ex rotis dentatis Horologii, habens motum quendam libratorium ab occurrente rota proxima $ibi impre$$um. Et hæc rota R S implicatur tympano T, ad axem $eu ha$tam libramenti firmato, cujus adeo motus hoc medio con$ervatur quantum opus e$t.

II. Nova Libella, Tele$copio in$tructa, propriam $ecum ferens probationem, & quæ in unica $tatione verificatur, & rectificatur.

Hujus in$trumenti præcipua pars e$t Tele$copium A B, TAB.XXIX. Fig. 2. unius, duorum, aut plurium pedum longitudinis, pro- ut ab eo plures ex$pectantur effectus: ex duobus, quatuorve [0333]DESCRIPTIONES. convexis vitris modo ordinario, $at $uperque cognito, per- ficitur; duo ad inver$a objecta videnda, quatuor ad ea erigenda in$erviunt. Tubus ex Bractea, aut alio metallo ad Cylindri formam componitur, tran$itque in annulum aut Cylindrum minorem Cupreum C, qui ip$um in medio in- cludit & illi conferuminatur. Cum annulo duo plana & $imi- lia cohærent brachia D & E, unum in $uperiori parte, alte- rum in inferiori, utriusque longitudo e$t fere quartæ partis longitudinis Tele$copii, adeo ut tota Machina Crucem imi- tetur. In brachiorum extremitatibus duplicia fila, per parvu- los annulos transeuntia, & inter laminas in$erta cum brachiis cohærent. Harum laminarum altera brachio affixa e$t, dum altera $eparari pote$t ut fila inter illas in$erantur. Annulo crux $u$penditur ex hamo F, dum ope alterius annuli cruci, uti po$tmodum notabitur, annectitur pondus ejusdem circi- ter gravitatis cum illa, & in pyxide G inclu$um. Ex hac pyxide $olus egreditur ponderis uncus. Spatium in pyxide vacuum oleo nucum, lini, aut alio quocunque quod fri- gore non coale$cit repletur, quo motus ponderis & Tele$co- pii illico reprimuntur.

In interiori Tele$copii parte filum $ericum horizontaliter ad vitri objectivi focum expan$um e$t, $ive unum, duo, aut tria ad$int ocularia; hoc filum ope cochleæ, quæ circum- vertitur in foramine H in Tele$copii tubo, elevatur, & deprimitur. Methodus di$ponendi filum po$tea explica- bitur. I levis admodum ex Cupro annulus e$t, non majoris ponderis, quam {1/8@} aut {1/100} partis ponderis ip$ius crucis, & qui juxta Tele$copii tubum movetur, & ubi libuerit hæret; in$uper $i Crux non in æquilibrio e$t, alter annulus in interiori Tele- $copii parte $ufficientis ponderis apponitur, ut æquilibrium detur, id e$t, ut Tele$copii tubus Horizonti parallelus fiat, in quo tamen $umma cura haud requiritur.

Plana Crux ex ligno Machinæ $u$pen$ioni in$ervit, ad hoc $uperne uncus F habetur, & in brachiorum altero furca K majorem Tele$copii motum lateralem reprimens, ita ut per $patium $emilineæ, id e$t {1/24} pollicis, tantum agitari po$$it.

[0334]MACHINARUM

Pyxis plumbum, & oleum continens eidem Cruci anne- ctitur, ad latera, & fundum inclu$a; ut autem ventus a Libel- la arceatur, cava crux L planæ ligneæ cruci cum duobus aut tribus hamis annectitur, adeo ut integra tum conficiatur pyxis.

Ut u$ui libella accommodetur, ac rectificetur, ut dictum $u$penditur, plumbo non infernè annexo, & in quoddam di$tans objectum collineatur, attendendo ad punctum quod Horizontale filum obtegit, filum enim di$tincte, ut obje- ctum ip$um ob$ervari pote$t. Deinde plumbum addatur, id e$t annulo inferiori jungatur, $i tum Horizontale filum eidem objecti puncto re$pondeat, con$tabit crucis centrum gravita- tis exacte dari in recta linea quæ duo $u$pen$ionis puncta conjungit, id e$t quæ tran$it per puncta quibus fila brachiis annectuntur. Hæc e$t primaria requi$ita præparatio: verum $i hoc minime reperitur, res facilè perficitur ope annuli I, ob$ervando, annulum vitrum objectivum ver$us promoveri debere, $i Tele$copium declinat, dum pondus annexum e$t; contra retrahi debere, $i Tele$copium po$t annexum pondus elevetur.

Ubi ergo ita con$tituta e$t Machina, ut ad idem punctum appen$o & $ublato pondere vi$um dirigamus, invertenda e$t, $u$pendendo eam ex annulo inferiori, & plumbum brachio alteri annectendo; quia citius motum $i$tere jubet, & quia hoc ad reliqua quæ $uper$unt perficienda plurimum conducit.

Quod $i tunc filum in Tele$copio, uti antea collineando, punctum idem ac in præcedenti ob$ervatione obtegat, pun- ctum hoc in eodem plano Horizontali cum centro tubi Te- le$copii exi$tere certiffimum e$t, quemadmodum demon$tra- bitur.

Verum $i filum punctum idem collimando non obtegat, elevando & declinando filum, opecochleæ huic u$ui adapta- tæ, eo poterit reduci, elevando nempe filum $i ad punctum magis elevatum vi$us dirigatur, & contra, Tele$copium po$t $ingulas fili mutationes invertendo.

His peractis In$trumentum perfecte erit rectificatum, nec [0335]DESCRIPTIONES. ob$tat (quod notabile e$t) $i lentium axes non per harum centra transeant, aut $i ip$æ non exacte in recta linea col- locentur; & con$equenter $ecure Machinâ utemur, dummo- do nulla $uperveniat mutatio; filum namque Horizontale cujuscunque objecti, ad quem fiet collimatio, indicabit lo- cum qui e$t in eodem plano Horizontali cum centro Te- le$copii; $i autem mutatio quædam detur, in $ingulis ob$er- vationibus detegi pote$t, primo cum plumbo annexo, dein- de $ine plumbo collineando, & tandem Tele$copium in- vertendo. Et hoc utique præcipuum e$t, quo Libella præ cæteris gaudet commodum, quod in u$u erroris periculum nullum detur.

Pes, quo Machina innitatur, e$t rotunda ferri, aut bra- cteæ lamella modice concava, cui annectuntur tres baculi longitudinis circiter trium pedum cum $emi$$e, pyxis huic lamellæ impo$ita hanc in tribus punctis, tangit, quare facile movetur, & ita con$tituitur, juvante cavitate lamellæ, ut plumbum in pyxide $ua libero fruatur motu, quod videtur trans aperturam M in operculo ligneo.

Gravitas plumbi, ut pyxis firmiter pedi inhæreat, in$ervit, verum $i firmius eam $u$tentari velimus in lamellæ cavæ me- dio foramen f@at.

Si totum pondus in pyxide G recludi nolumus, tertia vel quarta tantum pars huic includatur & reliquum eidem ferreæ caudæ annectatur, $ed extra pyxidem; primo tunc ob$erva- bitur cum minori pondere $olo, pyxide contento, tum cum altero de$uper addito, in con$tituendo filo Horizontali am- bobus utentum.

Hac methodo Tele$copii agitationes prompti$$ime, in omnibus ob$ervationibus quæ ad rectificandam Machinam in- $tituuntur, ce$$ant; $i autem nullum in quibusdam ob$erva- tionibus imponatur pondus, hæ motiones difficilius $i$tuntur.

Uncus F, cui Libella appenditur, $impliciter ligneæ pla- næ cruci annecti pote$t, licet hic annexus apparet annulo, qui ope cochleæ adhærentis annulo, quo Machina defertur, elevari & deprimi pote$t.

[0336]MACHINARUM

Quantum hoc pro$it, experitur in ip$ius tran$latione, nam tum crucis fila laxari queunt curando, ut $upra furcam K, & brachium exiguum curvatum R, de$cendat Tele$copium, ne quidem thecam ligneam aperiendo.

Ne oleum pyxide G contentum ex hac defluat, dum Li- bella in itineribus confertur, pyxidis hujus foramen ip$o pondere inclu$o claudi pote$t; curabitur ad hoc, ut pondus illud de$uper planum admodum $it, & detineatur juxta pyxidis operculum ope annuli cochleati S.

Tubus N, illum in magno repræ$entat, cui in interiori TAB.XXIX. Fig. 3. Tele$copii parte Horizontale filum cohæret, continet ela- $trum O P furcæ Q annexum, cui $ericum filum cera affi- gitur; hoc ela$trum furcam ad fru$tum bracteæ T trahit, quod ingreditur cochlea, quæ re$pondet foramini H in tubo Tele$copii, quo dato foramine etiam modice tubus N verti pote$t, ut filum exacte fiat Horizontale, de quo judicatur per Tele$copium videndo.

Rectificationis Libellæ Demon$tratio.

Rectificationis requi$itum primum fuit hoc; ut centrum gravitatis $u$pen$æ crucis in recta linea per puncta, qui- bus fila brachiis annectuntur, transeunte daretur. Ut hujus præparationis nece$$itas concipiatur, $ciri oportet, non $ufficere $i Tele$copium ex utroque annulo $ucce$$ive $u$pen$um ad idem objecti punctum dirigatur, hoc enim fieri pote$t, licet objecti punctum multum infra, aut $upra Horizontale pla- num inveniatur. Sit A B Cylindri Tele$copiani axis; $it TAB.XXIX. Fig. 4. C I $u$pen$ionis, aut nexuum filorum linea, quarum linea- rum longitudinum hic non habetur ratio, quoniam, cujus- cunque magnitudinis Tele$copium $it, nihil hoc ad $u$pen- $i corporis $itum conferre, notum e$t: ponimus A B, C I $e mutuo ad angulos perfectè rectos $ecare in puncto H. De- $uper centrum gravitatis crucis in E, ponatur in axe A B, magis tamen ver$us B, quam punctum H; Cruce itaque $u- $pen$a in C, linea quæ a C ad centrum terræ tendit erit C F, [0337]DESCRIPTIONES. ita ut axis A B declinaturus $it infra Horizontale planum, cui C E perpendicularis e$t, & cum quo efficiet angulum æ- qualem angulo H C E; $i vero vi$us radius A B filum Hori- zontale, & vitri objectivi B centrum pertran$iens continuetur in recta linea ad objecti punctum usque; i$tud punctum infra Horizontale planum tunc e$$e futurum, evidens e$t; In- vertendo interim Tele$copium, & hoc per I $u$pendendo, ita tamen, ut extremitas B ad eandem partem remaneat, fa- cile patet eundem $itum, quem $u$pen$um per C habebat, eum acquirere; quia, directionis linea denuo per pun- ctum E tran$ibit: igitur juxta filum Horizontale, uti antea collineabimus ad idem objecti punctum; licet minime æqua $it Libella.

Per primariam rectificationis partem, defectus hic detegi- tur, & corrigitur: nam primo $i gravitatis Crucis centrum exi$tit in H, directionis linea erit C I, & con$tat, pon- dere in I annectendo, crucis $itum non mutari; & idcirco per Tele$copium ad idem punctum, collineabimus; $ed $i cen- trum gravitatis crucis $it in E, & pondus in I appendatur, extremitas B elevabitur, & ideo vi$us per Tele$copium ad punctum magis elevatum, quam ante, dirigitur. Quod aperte videtur ducendo lineam I E, eamque dividendo in K, ita ut pars I K $it ad K E, uti crucis pondus e$t ad pondus in I annexum; nam commune centrum gravitatis erit K, & C K directionis linea: & angulus K C E æqualis erit illi, quo elevabitur Axis A B. Quia linea C E $upra C K tali angulo elevatur, & quia A B cum C E eundem quem ante efficit angulum.

Ut vero clare pateat, appendendo pondus in I $ufficienter detegi, an centrum gravitatis crucis detur extra $u$pen$ionis lineam; dico, angulum K C E, po$ito pondere appen$o æ- quale ponderi ip$ius crucis, $en$ibiliter æquari {2/3} anguli I C E, qui æqualis e$t angulo quo Axis A B, & ideo quoque Vi- $us Radius, magis deprimitur ver$us partem B, quam fe- ci$$et, $i centrum gravitatis crucis in H fui$$et; nam ducendo K L parallelam ad E H, in duas partes æquales dividet H I, & [0338]MACHINARUM H N valebit {2/3} lineæ L K, a$t L K e$t dimidium H E; ergo H N e$t {1/3} ex H E, & N E ideo {2/3} ex H E, $ed uti E N e$t ad E H, ita $en$ibiliter angulus E C N e$t ad an- gulum E C H quia exigui $unt, id e$t E C K ad E C I.

Cum autem angulus E C K illi æqualis e$t, quo Tele- $copium elevatur addendo pondus in I, $equitur exiguum pondus P ver$us H retro trahendum e$$e ut magis elevetur Tele$copium, ita tamen ut prima elevatio dupla $it $ecundæ, quia angulus K C E duplus e$t K C I; & tunc directionis li- nea erit C I, in qua nece$$ario gravitatis centrum crucis exi- $tet, quandoquidem centrum gravitatis ponderis in I appen- $i, <007>n hac datur, uti & centrum gravitatis commune ejus- dem ponderis & crucis, cujus pars e$t exiguum pondus P. Si annectendo pondus in I Tele$copii extremitas B depri- matur, dimidia $ua parte augenda erit depre$$io, quod eo- dem modo demon$tratur. Hæc angulorum cognitio, ad pri- mam Libellæ præparationem faciliorem reddendam u$u venit.

Quod aliam verificationis partem $pectat, ubi centrum gravitatis crucis e$t in C I, $u$pen$ionum linea, ex ante ex- plicatis $equitur, hanc lineam e$$e perpendicularem ad Ho- rizontem, $ive crux per C, $ive per I $u$pendatur, & $ive illi ad infra pondus annectatur, $ive crux $ola $u$pendatur.

Tandem, po$itâ brachiorum ut & filorum æqualitate, TAB.XXIX. Fig. 5. certi$$imum e$t, centrum Cylindri Tele$copii, quod $it H, ad eandem in utraque $u$pen$ione altitudinem dari: $int ita- que D H M, E H P, axis Cylindri in una, & altera $u$- pen$ione, ponendo primo, quod differentibus gaudeat po- $itionibus, $it O objecti punctum, ad quod juxta filum Ho- rizontale collineamus, & O M, O P, Radii luminis, qui a puncto O tendunt ad centrum aperturæ vitri objectivi, & inde æque ac omnes alii radii, qui a puncto O ad vitrum objectivum perveniunt, Horizontali filo obviam profici$cun- tur, $ive filum i$tud Tele$copii axem pertranseat, $ive non; hoc namque per Dioptricæ leges $equitur, cum filum pun- ctum O tegere videatur, & utrumque di$tincte appareat. Ductis lineis rectis H O, M P, ultima parallela erit C I, quia H M, [0339]DESCRIPTIONES. H P $unt æquales, ac æqualiter inclinatæ ad C I. Ergo an- guli M, P, trianguli M H P $unt æquales; a$t angulos H M O, H P O etiam e$$e æquales certum e$t, nullo habito re$pectu ad id, quod radiis O M, O P intra Tele$copium accidit, nec $i vitri objectivi axis per hujus centrum transeat, id e$t, an maximam $uam in centro habeat cra$$itudinem. Anguli igitur M, P, trianguli M O P $imiliter æquales $unt, & triangulum hoc e$t I$osceles, uti M P H; recta idcirco H O $ecabit M P ad angulos rectos; $ed M P parallela erat C I; O H ergo perpendicularis e$t C I, & idcirco punctum O in eodem plano Horizontali cum centro H Tele$copii, quod probandum erat.

Si nunc centrum vitri objectivi M, P, in utroque ca$u detur in eodem puncto ut S, recta H S perpendicularis erit C I, quandoquidem anguli C H S, I H S tum æquales $int, propter Tele$copii inver$ionem, verum quia S O tendit ad idem punctum O in ambabus $u$pen$ionibus, nece$$ario erit in eadem recta linea cum H S, $i enim lineæ hæ angu- lum conficerent, angulus i$te $uperne in una $u$pen$ione e$- $et dum in altera $itum contrarium haberet, $icque juxta filum ad duo di$tincta puncta collinearemus, cum ad uni- cum punctum id fieri po$uimus; $ed integra igitur linea O S H e$t perpendicularis ad C I, ideoque punctum O in eodem datur plano Horizontali cum puncto H.

_III_. A$tro$copia Compendiaria, Tubi Optici molimine liberata.

QUod pleri$que omnibus accidit novis inventis, ut, à par- vis orta initiis, cura & tractatione hominum auctiora fiant ac perfectiora, id vel præcipue, in admirando illo pro- ferendi vi$us artificio, u$u veni$$e animadvertimus. Notum e$t enim quàm fuerit à prima origine tenue ac pene nihili, cum rudimenta ejus quædam, in Portæ Neapolitani libris, [0340]MACHINARUM ob$cure expo$ita con$picerentur; quibus tantum præcelluere no$tratium hominum conatus, ut non $ane immerito primi ejus inventores haberentur. Hos vero rur$us longi$$ime præ- vertit Galilæus, tot tanti$que rebus, tubi $ui opera, in cæ- lo deprehen$is, quarum nihil quidquam ante ip$um fuerat perceptum. Videbatur nihil præ$tantius iis, quæ $ibi para- verat, organis repertum iri. At, $i nunc in vitam redeat, quis dubitet quin $uis ip$e multo præpo$iturus $it ea quæ de- inde ex$titerunt; tum no$tra, quibus Saturni planetæ veras figuras annulumque primi con$peximus; tum magis etiam, quæ his $ucce$$erunt Italica, ab egregiis artificibus elaborata. Quibus u$us Vir Clari$$imus Dominicus Ca$$inus, alia in- $uper nova phænomena cœlo deduxit; planetariorum glo- borum in $e$e revolutiones, comite$que Saturni duos, præ- ter eum quem nos repereramus, reliquis manife$tiorem.

Quod $i attendamus quibus acce$$ionibus in tantum hæc ars continue creverit, nihil aliud reperiemus ni$i auctam tubo- rum longitudinem, lente$que, quas vocant, vitreas in $phæ- ræ majoris convexitatem diligentius conformatas. Et$i enim modos quo$dam alios, compendiaque inve$tigaverint viri $ub- tili$$imi; jam conicarum $ectionum præ$criptis figuris, quæ vitro inducerentur; jam $peculorum reflexionibus radios lu- cis colligendo; certum e$t hæc omnia vel fru$tra fui$$e, vel votis & expectatione longe minora, ob cau$as quas expo- nere non e$t hujus loci; unamque adeo rationem, qua profi- ceretur, hactenus e$$e relictam, tuborum productionem. Et $ane, quanto magis rei ip$ius naturam intueor, tanto pro- pius e$t ut exi$timem, nihil alia via ne impo$terum quidem e$$e $perandum.

Optime igitur operam $uam ij colloca$$e videntur, qui pa- randis tubi majoris lentibus incubuerunt. Quorum diligentiæ $ucce$$us hac in parte non defuit. Sed aliunde non exiguum oblatum fuit incommodum, nimia, tuborum longiorum gra- vitas ac moles; quibus movendis nece$$ario machinæ in auxi- lium advocandæ fuerunt. Hæ vero & in iis quæ nunc extant, pedum triginta aut quadraginta, longitudinibus difficile con- [0341] [0341a] Pag. 262. TAB.XXIX. Fig. 1. P E O D C Q H M G N B S R T F Fig. 4. C A H N E P B L K I Fig. 3. N Q O P T Fig. 2. F D I C A B H K E R S G Fig. 5. L M C M E H O D P I [0342] [0343]DESCRIPTIONES. $truuntur tractanturque; &, $i ulterius progrediendum $it, multo plus exhibituræ $int negotii. Adeo ut hic velut obex quidam fixus fui$$e videatur ad majora tendentibus. Quare rem inprimis gratam me facturum arbitror hæc $tudia colen- tibus, $yderumque ob$ervationi intentis, $i, quod nuper in- veni, o$tendero qua ratione impedimentum illud omne ac tædium tollatur; magnoque temporis, operæ & $umptuum compendio, maxima quæque tele$copia ad hæc $pectacula adhibeantur. Scio inter cætera quæ in hunc finem propo$ita fuere, hoc quoque, quod hic adferimus, aliis in mentem jam à multis annis veni$$e, ut $ine tubo lentes di$ponerentur; $ed quod volebant efficere eos nequii$$e, ni$i machinatione quadam difficili nimium, quæque propterea adhuc exitum non habuerit. Nos autem quæ docebimus, reip$a utilia e$$e invenimus, idque magno commodo no$tro quotidie experi- mur. Ea vero $ic $e habent.

Loco patente & undique aperto, malus in terram defigi- tur, ad perpendiculum erectus. No$ter, quo primum u$i $u- mus, pedum quinquaginta altitudinem habebat; tele$copiis nempe pedum 70 & amplius $uffecturus, quanquam non in omni $yderum $upra horizontem a$cen$u. Deberet enim non multo infra totam tele$copii longitudinem produci. Hujus, priu$quam erigatur, latus unum dolabra complanatur at- que ibi regulæ binæ affiguntur inter $e parallelæ, ac $e$qui- pollice di$tantes, itaque canalem efficientes, interius paulo latiorem, qui à $ummo malo ad imum fere pertingat, reli- quis tantum pedibus tribus vacuis. Præterea in ip$o mali ca- cumine, orbiculus imponitur, circum axem mobilis, inque eum funis ducitur dupla mali longitudine, cra$$itudine mi- nimi digiti dimidia. Utque eo, $i forte opus$it, a$cendi po$- $it, triangula lignea æqualibus $patiis defiguntur, quibus $candentis pedes in$i$tant. Ita demum paratus malus erigitur, parte ea, qua terra tegendus, illita pice, circumdataque arena, quo minus putredine corrumpatur. U$us mali e$t, ut lens major ejus opera in altum tollatur quou$que opus e$t; quod fit hoc modo.

[0344]MACHINARUM

A$$erculus bipedalis uno latere ita inciditur, ut intra cana- lem, quem diximus, liberrime moveri queat. Hujus medio affigitur brachium itidem ligneum, pedem unum à malo ex- $tans, cujus in extremo aliud $esquipedale, media item $ui parte, conjungitur rectis angulis. Utrumque vero Horizon- ti parallelum extenditur. Huic tran$ver$o brachio lens impo- nitur ea qua dicemus ratione, atque omnia $ur$um adducuntur, adnexis a$$erculi extremis ad funem ante demon$tratum; qui ab imo malo ad $ummum a$cendens, ac $uper orbiculum trans- iens, inde de$cendit rur$us ac, priu$quam terram attingat, in $ui ip$ius caput alterum innectitur. Habet autem funis is adjectum plumbum, pondere æquali quantum e$t brachii mo- bilis cum lente impo$ita; eoque loco deligatum, ut ad $um- mum malum pertingat, cum lens in imo con$i$tit. Ita hæc facillime ad eam quæ requiritur altitudinem erigitur &, omi$- $o fune, $ponte ibi $u$pen$a manet. Forma plumbi parte u- traque in coni apicem de$init, ne obhæreat ad triangula quæ per malum defixa diximus.

Cæterum lens hæc tele$copii major collocatur aptaturque hoc modo. Primum in annulum $eu cylindrum cavum, è ferri bractea fabricatum, ip$a includitur, longum digitos quaternos. Huic cylindro, $ive alteri potius in quem hic in- $eritur, bacillus pedalis, digiti cra$$itudine, extrin$ecus $e- cundum latus affigitur, totus in partem unam prominens. Hæc omnia globulo æneo in$i$tunt, avellanæ nucis magni- tudine, qui bacillo cohæret, inque $ubjecto $ui moduli ca- vo liberrime volvitur; ita tamen ut excidere nequeat. Ca- vum partibus duabus con$tat, quæ, $uper pediculo tereti, cochlea junguntur ad$tringunturque, $ed ita ut globulum ni- hil pror$us premant. Lens igitur, cum bacillo $ibi adfixo, hoc modo mobilis efficitur. Quæ porro ut æqualiter librata con$i$tat, pondus unius libræ circiter infra bacillum appen- ditur, filo æneo cra$$iore $emipedali conjunctum atque infi- xum. Cujus flexu facile ita pondus temperatur, ut centrum commune, $uæ lentisque gravitatis, cum centro Sphærulæ conveniat, atque hoc pacto quocunque po$itu lens $u$pen$a [0345]DESCRIPTIONES. maneat, attactuque levi$$imo moveatur. Qua in re poti$$ima ver$atur inventi pars. Pede enim globuli in foramen transver$i brachii, quod $upra de$ignavimus, immi$$o, (duo autem vel plura ejusmodi foramina fiunt, ut in omnem cæli partem commode lens obverti po$$it) filum vel funiculus tenui$$i- mus bacillo, $ive caudæ extremæ, illigatur; juncturus nem- pe lentem majorem cum ea quæ oculo proxima ponitur, ac proinde futuri tele$copii longitudinem æquans, vel potius paulo excedens. Hinc, ubi $ublata ad malum fuerit lens, quocunque id filum, manu leviter tractum, circumferetur, lentem una movebit, eamque hoc modo ad a$trum quodcun- que recta opponet. Quod certe absque hoc libramento fieri non po$$et. Cæterum ut extento filo cauda $eu bacillus, quem lenti adpo$uimus, parallelus fiat, quod omnino nece$- $e e$t, in$igitur parti ejus extremæ $tylus æreus digiti longi- tudine, cui deor$um flexo, donec cu$pide $ua tantundem ac centrum globuli infra bacillum de$cendat, ita demum filum, quod diximus, adnectitur. Cur autem $tylo flexili hic uta- mur po$tea dicetur.

Jam vero & de oculari lente explicandum, quomodo cum priore componatur; quod multis verbis non indiget, $iqui- dem eadem fere omnia, quæ in majori lente, ob$ervanda $unt. Similiter enim tubo, $eu cylindro brevi, hæc quoque in- cluditur; item bacillo $eu caudæ conjungitur; quæ porro globulum $uum cui innitatur habet. Sed hujus loco axiculus transver$us adhiberi pote$t. Infra bacillum vero pondus exi- guum rur$us appenditur, quanto opus e$t ad faciendum li- bramentum. Porro capulus, globulum vel axiculum ferens, manu ob$ervatoris apprehenditur; bacillus lentem majorem $ublime po$itam ver$us, directus e$t, filo eidem, quod inde de$cendit, illigatus. Adducta vero manu, contento- que leviter filo, parallelas inter $e fieri lentes per$picuum e$t. At non eodem modo, bacilli hujus extrema parte, filum ad- nectitur, ac $uperiori illi, qui lentem majorem dirigit, $ed per foramen trajectum, inde verticillo involvitur, cujusmo- di $unt quibus te$tudinum chordas intendunt; qui verticillus [0346]MACHINARUM medio bacillo à latere infixus e$t. Hujus conver$ione, inter ob$ervandum, fili longitudo producitur contrahiturve, do- nec intervallum inter lentem utramque, oculo $pectatoris exacte conveniat, po$tquam antea prope verum fuerit reper- tum, quod e$t facillimum.

Cæterum, quo po$$it ob$ervator immotam detinere lentem Vide Aucta- @um. p@g. 274. $ibi proximam, quod apprime nece$$e e$t, fulcrum quoddam præ$to e$t è levi materia compactum, duobus pedibus in$i- $tens, ac $uperiori parte transver$um habens baculum, cui brachia utraque, $ive $tantis $ive $edentis, innitantur; dum altera manus, quomodo diximus, lentem $u$tinet. Multoque expeditior e$t hæc ratio, atque ad u$um accommodatior, quam $i tertius pes fulcro accedat, inque ip$um lens ocula- ris imponatur.

Ut vero noctu, atque in tenebris, $tellæ quævis tele$co- pio no$tro facile reperiantur, lumine utimur laternæ inclu$o, quales jam vulgo notæ $unt, vitri convexi vel $peculi opera longe lucem projicientes. Hujus radiis ad malum lentemque in eo hærentem directis, ubi circulus ip$am continens con- $pectus fuerit, facile eo transfertur vi$us, ut $tella ip$i me- dia lente tegatur, $imulque admota lente minori, per u- tramque $e $pectandam præbeat. Ac $ane multo citius hoc per- agitur, quam factum $it hactenus tele$copiis tubo in$tructis. Adeo ut hoc quoque nomine longe præ$tet nova hæc ob$er- vandi ratio. Lunam vero contemplari volentibus, lucerna ni- hil opus e$t, quod ip$ius a$tri luce lens con$pici po$$it. Sed hic ob di$ci lunaris amplitudinem; ne partem quampiam in- tuenti, ab alia parte lux, aliaque via quam per majorem lentem, ad oculum accidat; circulus papyraceus lenti huic circumponitur, paulo majore quam dupla diametro ad eum quo tota Luna tegeretur. Quod ni$i fiat, dilutiores apparent umbræ tractu$que ii qui, cæteris ob$curiores, in ejus globo con$pici $olent. Atque ita jam tele$copii no$tri aërii ratio- nem omnem & apparatum explicuimus, non $ane opero$um; filoque illo, velut Ariadnæo, unde hactenus inventus non erat, exitum reperimus.

[0347]DESCRIPTIONES.

Cæterum quo clarius ea, quæ diximus, intelligantur, delineationem hic $ubjicimus, in qua

Malus e$t, a b.

TAB.XXX.

A$$erculus in canali mobilis, c d.

Brachium ip$i ad angulos rectos infixum, e.

Baculus tran$ver$us in quem lens imponitur, f f.

Funis in $e rediens, g g.

Plumbum funi innexum, h.

Orbiculus in $ummo malo, a.

Cylindrus cavus lentem primariam continens, i.

Bacillus cylindro affixus, k l.

Globulus æneus bacillo hærens & in $ubjecto cavo volubilis, m.

Plumbum filo æneo junctum, n.

Stylus brevis ac flexilis, extremo bacillo in$ertus, l.

Tubulus minorem $eu ocularem lentem ferens, o.

Bacillus tubulo affixus, p.

Axiculus mobilis, q.

Capulus manu tenendus, r.

Glans plumbea, $.

Verticillus cui filum involvitur, t.

Pinnulæ decu$$atim po$itæ, atque ita foramen efficientes quo filum trajicitur, u.

Filum tenue bombycinum, l u.

Fulcrum cui $pectator innititur, x.

Laterna, y.

Triangula per malum di$po$ita, quibus con$cendi po$$it, omi$$a $unt, ne figuram ob$curiorem redderent.

Supere$t ut nonnulla, quæ forta$$e nondum expertis $cru- pulum injicere po$$ent, paulo accuratius examinemus. Vere- buntur primum ne, $ub$idente filo quod ad utramque len- tem pertingit, flexus ejus, quanquam exiguus, in magnis tamen illis, pedum centum aut ducentorum, longitudinibus impediat po$itum earum parallelum. Et profecto, $i fune graviore opus foret, non parum noceret curvatura ejus, nullaque fere tendendi vehementia $uperari po$$et hoc incom- modum. Nunc verò, $u$pen$a librataque lente majori ut à no- [0348]MACHINARUM bis factum e$t, levi$$imi tantum fili bombycini tractueam di- rigimus; cujus pondus in pedes quinquaginta $emidrachmam non $uperat; quodque idem appen$as libras $eptem $u$tinet priu$quam rumpatur. Quare flexus ejus neque in hac, ne- que in multo majori lentium di$tantia quidquam officit, et$i non ni$i modica vi trahatur, duabus tribu$ve æquipollente li- bris; utique cum geometrica perfectio nequaquam hic requi- ratur, ut cuilibet experto notum.

Etenim certum e$t eadem ratione, qua funis fune levior e$t, vim ten$ionis diminui, qua utrumque ad rectam lineam æqua- liter accedat. Ut proinde funiculus quinquaginta pedes lon- gus, atque unciam pendens, vi librarum quadraginta octo o- pus habeat, ubi filum no$trum, longitudine pari, non ni$i tri- bus libris indigebit. Atque hoc per $e clarius e$t quam ut demon$tratione comprobetur. Idem enim e$t pror$us cum $exdecim funiculi $emidrachmales trahuntur $inguli trium li- brarum pondere, atque cum uncialem funiculum $imul com- ponentes, is à conjunctis itidem $exdecies ternis libris conten- ditur.

Sed ulterius quoque hæc, quæ ad fili flexum attinent, geometriæ rationibus, experimenti$que expendi po$$unt. Nempe contentum $ilum, flexu illo exiguo, parabolicam li- neam tam prope exprimit, ut pro vera ab$que errore habea- tur. Cujus parabolæ profunditatem, in longitudine pedum centum quinquaginta, invenimus pedis unius circiter quar- tam partem; cum filum horizonti parallelum tenderetur, nec TAB.XXXI. Fig. 1. ni$i vi librarum duarum & $emis. Sit fili parabola _a b c_, pro- funditas ejus _d b_, ducta nimirum recta _a d c_. Porro tangant parabolam rectæ _a e, c f_: quibus occurrant _c e, a f_, paral- lelæ _d b_. Intuenti igitur ex _a_ puncto, $ecundum rectam _a e_, notatum fuit $patium _c e_ fieri pedis unius; unde fit _d b_ pe- dis quarta pars. Ip$i vero _c e_ æquale e$t _a f_. Itaque lentem in _c_ po$itam ita trahit filum _c b a_, ut non ad oculum, qui e$t in _a_, $ed ad _f_ punctum directe oppo$ita $it. Ut proinde pedis unius intervallo à vero loco oculus ab$it: quod in illa pedum 150 di$tantia nihil obe$$e pote$t. Fit enim angulus [0349] [0349a] Pag. 268. _TAB. XXX_. _a a_ I L K M _g_ N _l_ O _c k_ P Q T S Q V T S R _f f e n l d h g b_ [0350] [0351]DESCRIPTIONES. deflexionis _c a e_ vel _a c f_ tantum duarum quintarum unius gradus; adeo ut remedio, quod tamen dabimus, non $it opus. Sumpta autem _g h_ di$tantia prioris dupla, $eu pe- dum trecentorum, ut filum incurvum $it _g b h_, erit cav<007>ta- tis men$ura _k b_, prioris _d b_ quadrupla quidem, $ed angulus deflexionis tantummodo duplus, hoc e$t, {4/5} unius gradus; ut facile per$picitur, ducta tangente _g l_, quæ cum perpen- diculari _h l_ conveniat. Ip$a enim _h l_ quadrupla erit ad _k b_ $ive _c e_; di$tantia vero _g h_ ad _a c_ erat dupla. Quare angu- lus deflexionis _h g l_, antea inventi _c a e_, duplus cen$eri po- te$t.

Hæc verò $crupulorum 48, aberratio nullius adhuc mo- menti e$t, neque neglecta nocebit. Attamen, quo minus cau$andi locus hic $uper$it, o$tendam jam quænam adhiberi po$$it correctio, atque ejusmodi quidem ut, una opera, omnem aliam lentis declinationem re$tituat.

Igitur $emel ab initio, ad $uperiorem lentis magnæ præ- parationem, hoc quod dicemus, adjungatur. Nempe lente quemadmodum præcepimus librata, atque ad oculi altitudi- nem defixa, filum caudæ adnexum manu altera capiatur, eaque oculo admoveatur; altera lucernam juxta teneat. Tum paulatim recedendo, extentumque filum producendo, ob$ervetur an duplex flammæ imago circa mediam lentem appareat, ab utraque nimirum $uperficie ejus reflexa. Id $i contingat ubi jam tota fili longitudo exierit, quanta nimi- rum futuro tele$copio debetur, indicio e$t recti$$ime lentem ad oculum converti. Quod $i altera tantum flammæ reflexio con$piciatur, male collocata erit, $in neutra, pejus. Hic ve- ro jam remedium adhibebitur, ubi cognitum fuerit in quam partem lens declinet. Stylus enim æneus extremæ caudæ ad- jectus, filumque innexum habens, in partem eandem pa- rumper flectendus e$t; ac rur$us, ut ante, lucernæ reflexio tentanda; idque ita repetitis vicibus faciendum, quoad u- traque flammulæ imago in unum convenire con$piciatur. Ten$ione autem fili utendum mediocri, qualem $upra defi- nivimus, duarum aut trium librarum vim referente, eique [0352]MACHINARUM quatenus licet ad$ue$cendum. Hoc modo correcta $emel len- t<007>s po$itio ad omnes ob$ervationes valebit. Neque hic $ubti- liter nimium objiciat qui$quam quod obliquo fili a$cen$u, cum ad a$tra dirigitur, paulo minor efficitur flexus ejus à gravitate ortus, quam cum filum idem horizonti parallelum extenditur. E$t enim differentia hæc perexigua, præ$ertim in tanta fili levitate; & lentium paralleli$mus, ut jam dixi- mus, ad geometriæ leges exactus non requiritur.

Multo magis ventus obe$$e dicendus foret, filum $inuans atque in latus impellens, præ$ertim in magnis, quas dixi- mus, longitudinibus; ni$i quod tubis quoque idem ventus adver$us e$t, qui concu$$u ejus tremunt ac vacillant, magno $pectantis incommodo; ut propterea $æpe ob$ervationibus $uper$edendum fuerit. Sed quo æquiore animo hæc di$pen- dia feramus, $ciendum e$t, flantibus ventis, $emper fere aëris pelluciditatem adeo turbari, etiam$i $erenus videatur, ut hoc uno omnis tele$copiorum pro$pectus impediatur; quod exercitatis ignotum e$$e nequit. Imo & tranquillo in- terdum ac pror$us $ereno cœlo, $cintillantibus cum max<007>me $ideribus, fru$tra tamen tele$copia adhibentur; humido vapo- re quodam aërem ob$idente, quo fit ut ad Planetarum corpo- ra re$picienti, undatio quædam tremula & fluctuans omnem vi$us aciem intercipiat. Po$$etque, ubi hoc accidit, ip$a len- tium bonitas $u$pecta e$$e, ni$i alio tempore ac puriore cœlo fui$$et cognita. Idem vapor, ut hoc quoque obiter admo- neam, non raro, lenti majori adhære$cens, radiorum lucis partem avertit: cui malo, calefacto modice ad ignem vitro, occurritur.

Videamus nunc & illud quod de illu$tranda lente eadem diximus ad malum $ubrecta. Quæ $i valde procul di$tet, puta ad ducentorum & amplius pedum intervallum, vix vi- detur tantum luminis, ut ab ob$ervatore cerni po$$it, acce- ptura, etiam$i lucerna convexo vitreo juvetur, uti præcepi- mus. Sed hic intendere amplius lumen licebit, vel aucto lu- cernæ ip$ius ellychnio, vel latiori lente adhibita leniusque convexa, quæ lucem transmi$$am, etiam$i pari quantitate [0353]DESCRIPTIONES. accipiat, minus tamen diffundet, longiusque proinde ejacu- labitur.

Quantum igitur ad hæc attinet, nihil admodum referre liquet quænam fuerit tele$copii longitudo, $ed æque facile qualiacunque in u$um deduci. Aliquod tantum di$crimen in varia mali altitudine po$itum e$$e. Cujus quidem parandæ plures modi $uppetunt. Po$$umus enim, uno $tatuto malo, alium ejus opera duplo altiorem juxta attollere, ac $imul fir- miorem reddere, transver$is fibulis utrumque con$erendo. Ac firmi$$ima quidem fuerit compages hujusmodi, $i duo mali humiliores, cum tertio duplæ altitudinis, binis ternis- ve ped<007>bus inter $e di$tent, in triangulum di$po$iti, atque uti diximus religati. Qua ratione facile ad centum pedum altitudinem perveniemus. Ad multo majores vero, vel vali- diori malorum ac trabium $ub$tructione utendo, vel ad tur- rim aut ædificii altioris angulum inferiora ligna applicando; ita ut nihil tamen ob$tet, quo minus, ab imo ad $ummum, lens primaria adducatur, per continuum canaliculum, uti diximus, a$cendens. Sed & $uper turri aut domus culmine erigi malus pote$t, ut ibi ad$tet is cui funis cura demandata e$t, ad evehendam demittendamve lentem.

Nec vero præpropera aut $upervacua cura hæc à nobis a- gitari quis putet, quod veri$imile non $it his altitudinibus opus fore. Ecce enim, dum hæc $cribo, Ca$$ini literis certior fio, lentes quatuor, quarum maxima tele$copio pedum cen- tum quadraginta de$tinata $it, à Jo$epho Campano, ea$que præ$tanti$$imas Romæ e$$e perfectas, & ad magnum Galliæ Regem mi$$as. Et$i enim ad cœle$tium ob$ervationem non- dum fuere admotæ, non dubitandum tamen interdiu in$titu- tum fui$$e earum examen, in atriis porticibu$ve prælongis unde lux exclu$a e$$et. Nunc vero, hoc no$tro invento, uti- litas $ua tum his lentibus, tum $i quæ has longitudine exce- dentes prodeant, con$tabit.

Quod $i cogitemus quibus modis tele$copiorum efficaciam alii augere $tuduerint; quæ fru$tra illi quæ$iverunt, ea nos levi hac opera con$ecutos e$$e videri po$$it. Sive enim figu- [0354]MACHINARUM ris lentium hyperbolicis elliptici$ve, ut Carte$ius, $ive $pe- culis cavis, ut Neutonus, $ive alia quavis ratione id aggre$$i $int, huc omnia redibant ut brevioribus tele$copiis, ac mi- nori molimine u$urpandis, multum amplificarentur res vi$æ. Nam neque accurata illa ac $crupulo$a $uperficierum forma- tio devitari poterat, neque etiam lentium $peculorumve magnitudo. quoniam ob$curitate nimia, quicquid machinati fuerimus, inutile reddi nece$$e e$t, ni$i pro ratione perce- pti augmenti cre$cant aperturæ quibus primum lux $ubintrat. Nos vero longitudines quidem non imminuimus, $ed ne obe$- $ent effecimus, quod fere eodem redit.

Si quis vero jam requirat quou$que & quo operæ pretio extendi porro tele$copia po$$e exi$timem, & num productis longe ultra modum eorum quæ paulo ante diximus, $pe- randum $it adhuc decuplo propius ad lunam cæteraque a$tra nos acce$$uros, quam quo triginta pedes habentibus pro- ce$$imus; quibus tanti itineris partes centum quadraginta novem, una duntaxat reliqua, confectæ $unt: re$pondebo me certos quidem arti terminos præfinire non po$$e; huc ta- men, quo dixi, nec maximo hominum conatu perventum iri. multoque minus futurum, quod aliqui videntur non de- $pera$$e, ut lunam ac Planetas cæteros velut è propinquo in$piciamus, & utrum animalibus habitentur, an præter va$tas $olitudines nihil habeant, vi$u penetremus. Primum enim, in parandis lentibus, $cio quantopere cre$cat cum ma- gnitudine formandi difficultas; ip$iusque inveniendi vitri quod vitiis iis careat, quæ maxime huic operi infe$ta $unt. Quanto enim ulterius radii colligentur, tanto magis hæc vi- tia $e prodant nece$$e e$t. Con$tat præterea, ut jam i$ta ni- hil ob$tent, non amplificari res vi$as, ni$i pro ratione diame- trorum aperturæ lentis exterioris. Quæ diametri nequaquam cre$cunt cum tele$copiorum longitudine; $ed, quantum vi- deo, rationem longitudinum $ubduplam $equuntur. Adeo ut data apertura pollicum trium, in tele$copio triginta pe- des longo; quantam circiter experientia concedi $init; alia, ad trecentos pedes, non ni$i novem unciarum & $emis $it [0355]DESCRIPTIONES. $utura, ac propterea tantum triplo majora fere omnia $int apparitura, prægrandi hoc tele$copio, quam illo pedum tricenum. At $i decuplo exce$$u idem $uperandum $it, jam ter mille pedum longitudine opus erit, quo quidem nulla humana ope perveniri po$$e, vel $olius altitudinis cau$a, manife$tum e$t.

Sane majores multo forent, & majori proportione cre$ce- rent, eæ, quas diximus, aperturæ, $i nihil aliud ob$taret quam figuræ $phæricæ parum idonea, in colligendis radiis, curvatura. Nunc vero alia quædam, ex ip$a refractionis na- tura, oritur radiorum aberratio, quam ante annos aliquot Neutonus egregiis quibusdam experimentis & pri$matum vitreorum coloribus comprobavit. Hæc vero & ip$a leges $uas habet, quibus, $i recte eas per$picio, $ubdupla illa, quam dixi, aperturarum ad longitudines ratio colligitur.

AUCTARIUM.

_V_Idebatur jam perfecta ab$olutaque omnibas numeris nova A$tro$copia no$tra; typisque excu$a, nondum tamen edita erat; cum $ecundis cogitationibus, ut fit, alia quædam nobis in mentem venere, quibus ea melior commodiorque fieret. Quæ cum auctarii vice hic adponere vi$um $it, $imul hoc monemus, ut, $icut po$terius reperta fuere, ita ultimo loco, po$tquam reliqua de$criptio ac delineatio percepta fuerit, legantur.

Cum primum $pectatores invento no$tro, ac Planetis na- cti $umus, tele$copicis ob$ervationibus minus a$$uetos, docuit experient<007>a, eos quidem per $e difficilius $tellæ con$pectum con$equi; $icut antehac quoque, ubi in grandiores tubos inciderant, eveniebat. Quod autem hic fieri $olitum, ut, re- perto prius $idere, ac manente tubo, tantummodo oculum ei $pectator ju$$us admoveret, id non perinde nobis nunc imitari licebat; cum lens oculo proxima, ubi defigeretur, non haberet. Itaque hic quoque ratio fuit excogitanda, qua po$itum $uum $ervaret ocularis lens. Quod quidem præ$titi- [0356]MACHINARUM mus machinæ exiguæ opera, quæ fulcro bipedi, in de$cri- ptione de$ignato affigitur; ut in figura adjecta videre e$t.

Tran$ver$arii namque in $ummo fulcro pars e$t _a a_. Rhom- bus plicatilis ex ære _b b_, binis lateribus ad duplam longitu- TAB.XXXI. Fig. 2. dinem productis. Longitudo laterum pollices 5 {1/2}, latitudo paulo major pollice dimidio; cra$$itudo parte ejus decima. Hunc rhombum tran$ver$arii medio applicitum tenet cochlea ferrea _f_, $uppo$ita æris vel ferri particulâ _g_, ac præterea or- biculo ex ære tenui, leniter convexo, cujus pre$$u lentus æ- quabili$que efficitur motus rhombi ac diductio. Porro ex an- gulo ejus $uperiore, axis $eu columella prominet _c_, per- pendiculariter in$i$tens, longitudine $esqui pollicis. Cujus capite altero lamella mobilis adhæret, 4. pollices longa, di- midium lata; quæ hic con$pici nequit, quippe tecta capulo ligneo _d_, paris longitudinis, cui con$erta e$t. Huic demum capulo, plano ac parte anteriori leviter inci$o, in$eritur la- mella altera ænea _e_, quæ $uper axiculo mobili bacillum $u- $tinet, cum affixa oculari lente, tubulo $uo inclu$a. Ut au- tem thombus cum impo$ito onere æqualiter libretur $uper axe _f_, adjiciuntur in productis lateribus extremis pondera paria _h h_, quantis ad hoc opus e$t.

Quibus ita $e habentibus, quocumque perducta fuerit ob- fervantis manu lens ocularis, capulo _d_ $emper deor$um con- ver$o, ibi $ponte $ua con$i$tit; atque ita, invento $idere, facile imperitior $pectator in prioris locum $uccedit, eodem- que fruitur $pectaculo. Facit enim funiculus utramque len- tem conjungens, ut po$itum $uum fulcrum $ervet, $pecta- torem ver$us reclinans, et$i duobus tantum pedibus in$i$tat; $imulque fulcri pondere, eorumque quæ ip$i impo$ita do- cuimus, idem funiculus intenditur; adeo ut nihil aptius com- modiusve hac in re optari queat.

Altitudo fulcri e$t pedum 4. poll. 9. Gravitas ejus libra- tum 2 {3/4}. Lentis ocularis, cum tubulo & bacillo, gravitas libra dimidia. Rhombi cum ponderibus _h h_, libræ 2 {1/4}. Quæ pro- ptetea ad$cribo, ut con$tructionem no$tram, experientia comprobatam, eo facilius cuivis imitari liceat.

[0357]DESCRIPTIONES.

Nunc vero aliud præterea addemus, quo perfectior evadat hæc no$tra ob$ervandi ratio. quod licet, omi$$um, nihil plerumque noceret, curio$o tamen $yderum in$pectori ne- quaquam e$t negligendum. Nempe cum Saturni comites il- los Ca$$inianos diligentius requirerem, eo$que difficulter ad- $equerer, præ$ertim noctibus non admodum ob$curis, intel- lexi in cau$a e$$e lucem tenuem quandam, ab aëre ad ocu- lum manantem; non eam quæ per lentem majorem advenit, $ed quæ extrin$ecus circum latera præterlabitur. Huic impor- tunæ luculæ excludendæ, nonnihil quidem conducere $cie- bam, $i circulum illum papyraceum, quo in luna ob$ervan- da utebar, etiam hic lenti majori circumponerem. Sed aliud efficacius remedium, circa hæc occupato incidit, priori il- li jungendum; ut nempe, perforatæ laminæ oppo$itu, ocu- li pupilla arctaretur, quæ alioqui per tenebras late patere $o- let. Cujus $imul ac experimentum feci, jam clare tres Satur- ni Lunulas con$pexi; cum amoto exiguo foramine media il- la no$tra tantum cerneretur. Quia vero, ita reductâ pupil- lâ, minus facile propo$itum $ydus inve$tigatur, quam cum tota patet, idcirco orbiculum illum perforatum, ac $emipol- licem latum, brachiolo quodam mobili, ac Græco Λ hæren- tem $imili, cui in figura hac ad$criptum e$t _k_, ita conjun- ximus tubuli fundo per quem lens ocularis in$picitur, qui- que latiori foramine pervius e$t, ut non ante quam hoc fora- mine $ydus inventum fuerit, $uperinducatur alterum illud an- gu$tius.

Credidi$$et forta$$e aliquis hac oculi contractione non pa- rum vi$um ob$curari. cum tamen certum $it, $i diameter exi- gui foraminis, ad diametrum aperturæ lentis majoris eam ra- tionem habeat, quam habent inter $e focorum utriu$que di$tan- tiæ, nihilo ob$curius tele$copio eju$modi omnia cerni, quam $i apertus ac liber oculus relinquatur. Sed præ$tat duplicare tantillam hanc latitudinem, vel paulo etiam augere ampli- us, quo minus difficilis $it rei videndæ inqui$itio, nec ni- mium cito inventa $tella elabatur, ob mundi conver$ionem diurnam. Nobis in tele$copio 34 pedes longo, foraminuli dia- [0358]MACHINARUM meter decimam $extam circiter pollicis partem habet. Ip$um vero duos pollices cum dimidio ab oculari lente abe$t, quan- ta e$t præci$e in hac lente foci di$tantia. Quod diligenter cu- randum, quia alias non poterit amplum $patium, ut $olet, uno obtutu comprehendi. Facile autem deltoidis brachii fle- xu, qui quidem in $chemate no$tro con$pici nequit, quan- tum opus e$t, lamellaperforata removetur, quæ nobis $emi- pollice à tubuli fundo extat.

Porro circulus lenti magnæ circumdatus, tele$copii partem longitudinis quadrage$imam quintam circiter diametro æquet. Cujus circuli objectu quia paulo impeditiorem reddi nece$$e erat a$tri inve$tigationem, vi$um fuit imponere bacillo, $eu caudæ lentis ocularis, $tylum _m_, perpendiculariter erectum; cujus apex tantundem $upra axem lentium attollitur quantus e$t circuli illius $emidiameter. Hinc enim fit, ut $i oculum prius ibi collocemus, unde cum $ummomargine circuli in ean- dem rectam lineam $tella conveniat; tumque, apprehen$o ca- pulo _d_, moveamus lentem ocularem cum adjuncto bacillo, do- nec in eandem quoque rectam quadret extremum $tyli _m_; fit inquam ut, ad tubulum ocularem vi$um referenti, $tella eadem per tele$copium $e$e con$piciendam det, vel certe pa- rum ab$it. U$u vero & exercitatione tum hæc, tum cæte- ra quæ ad hanc ob$ervandi rationem pertinent, facilia fiunt.

IV. Excerpta ex literis D<#>ni Hugenii de novâ methodo con$truendi Barometrum.

Quod novam meam methodum Barometri $pectat, no$ti, diver$as aëris atmo$phæræ pre$$iones multo magis fore vi$ibiles, & faciliores di$tinctu, $i in tubo 30 pedes alto fiat barometrum ope aquæ quam $unt in barometris vulgari- bus, quæ cum Hydrargyro con$truuntur. Cum enim maxima diver$itas $it circiter duorum pollicum in barometris vul- [0359] [0359a] _Pag_. 276. TAB.XXXI. Fig. 2. _a a m f k b e @ b a g a f b b h_ Fig. 1. h g k h d a b c f e l [0360] [0361]DESCRIPTIONES. garibus, in novo hoc barometro erit viginti octo pollicum id e$t decies & quater major erit, aliæque variationes auge- buntur eadem ratione, quæ ip$a datur inter Mercurii & aquæ gravitates $pecificas.

Sed uti difficile e$t bene di$ponere hæc barometra ob ma- gnam tubi altitudinem, quæ impeditetiam, quo minus com- modè locari po$$int, aut de loco in locum transferri. Cogita- vi, quo pacto con$trui po$$et barometrum mediocris magni- tudinis & portatile, cujus effectus quam proxime idem e$$et ac aliorum illorum magnorum barometrorum, & duas diver- $as con$tructiones inveni.

Prima e$t, ut fiat tubus vitreus A B quatuor pedum cum TAB.XXXII. Fig. 1. $emi$$e, qui clau$us $it in extremitate A, & cujus cavitas $it circiter duarum linearum; requiritur ut latior $it in loco medio, ubi detur qua$i pyxis cylindrica C D, cujus altitu- do $it circiter unius pollicis, & Diameter E E 14 vel 15 li- nearum, id e$t $epties vel octies major diametro tubi; in- funditur in apertam extremitatem tantum aquæ, quantum requiritur ad replendum dimidium receptaculi C D cum partis $uperioris tubi dimidio C F; Porro repletur quid- quid $upere$t Mercurio; qui etiam infunditur in vas G ad al- titudinem $emipollicis, deinde immergitur in hunc extre- mitas tubi B; tum pro parte exit Mercurius, & qui $u- per e$t manet ad altitudinem E E; aqua, quæ $upernatat, de$cendit usque in F, relinquens reliquum tubi F A aëre vacuum, & $uperficies aquæ, ad$cendendo & de$cendendo denotat diver$um atmo$phæræ pondus, gradibus fere æqua- libus iis quibus aqua illud denotat in barometro 32 pe- dum.

Altera con$tructio partim $imilis e$t priori, $ed multo me- TAB. XXXII. Fig. 2. lior e$t; detur tubus in medio incurvatus H M N, duæ in hoc tubo requiruntur pixides cylindricæ æquales K & M, quarum una, $c. K, quæ e$t ad tubi extremitatem, hermetice $it clau$a $uperius, & M, quæ e$t paululum $upra curvatu- ram, $it utrinque aperta in locis in quibus cum tubo jungi- tur; longitudo crurum determinata e$t per di$tantiam pyxi- [0362]MACHINARUM dum K, M, quæ $it circitcr 27{1/2} pollicum , men$urando di$tan- tiam inter harum media. Altitudo cujusvis pyxidis e$t præter- propter unius pollicis cum $emi$$e; diameter interior unius polli- cis vel 15 linearum; diameter cavitatis reliqui tubi {1/10} vel {1/12} ejusdem magnitudinis. Primo infunditur $olus Mercurius in tubum per aperturam N, ut fiat barometrum vulgare ex iis quæ inferius re- curvata $unt. Infundendum vel tollendum e$t Hydrargyrum donec $uperficies dentur circiter in medio pyxidum K & M, $i tempore quo fit hæc operatio aër mediæ $it gravitatis, id eft in barometris vulgaribus Mercurius $it ad altitudi- nem 27{1/2} pollicum; alioquin enim $i pre$$io aëris $it major vel minor ordinariâ, ad hocattendendum, computando pro uno pollice variationis, in vulgari barometro, lineam unam cum $emi$$e variationis in quavis pyxide: Po$tquam Mercurius bene aëre depurgatus erit, ita ut nullus detur in pyxide K infundetur per aperturam N quidam liquor, qui hieme non congelatur, & qui nequit di$$olvere Mercurium; E. G. aqua communis mixta cum {1/8} aquæ fortis: $piritus vini quidem po$$idet has duas qualitates, $ed non conveniret barometro, quia per calorem dilatatur. Hoc etiam referri debet ad pri- mam formam Barometri.

Quod attinet ad liquoris quantitatem, debet illa ad$cendere ad pedem unum circiter in tubum B C po$itâ mediâ aëris pre$$ione.

Di$po$ito ita hoc Barometro videbimus, maximam diffe- rentiam pre$$ionis aëris, quæ notabitur per $uperficiem li- quoris in tubo M N, fore propemodum 22 pollicum, $i diametri pyxidum cylindricarum, $int decies majores diametro tubi. Et ut inveniamus quantum differentiæ quas indicatæ ba- rometrum hoc no$trum excedantillas, quas pote$t indicare ba- rometrum vulgare, generalis e$t regula, differentias no$trinovi Barometri e$$e ad differentias Barometri vulgaris, ut decies & quater quadratum diametri pyxidum ad idem quadratum plus vicies octies quadratum diametri tubi, qui aquam continet; & hinc $equitur, cuju$cunque magnitudinis $int pyxides, maximas differentias non po$$e excedere 28 pollices, quan- doquidem differentiæ Barometrorum ordinariorum non ex- cedunt duos pollices.

_Pollices hi $unt partes duodecimæ pedis Regii Gallici_. [0363]DESCRIPTIONES.

Ut transferatur commode hoc Barometrum, a$$eri adjun- gendum e$t. vel Thecâ includendum; & notari debent in ligno divi$iones æquales ad indicandas altitudinum differen- tias, quæ augebuntur eadem ratione, in quâ minuetur at- mo$phæræ pondus.

Sic parvæ mutationes, in pondere atmo$phæræ, & quæ non percipiuntur in Barometris ordinariis, in his $en$ibiles fiunt.

Exempli gratiâ $i ferantur in Turrim _de No$tre Dame_ vel _Montmartre_ videbimus fuperficiem aquæ de$cendere in primo Barometro quosdam pollices, & tantum in altero ad$cende- re; $i ferantur in domum elevatam tantum 50 pedes, & porro inde de$cendamus, habebimus notabilem mutationem {1/2} pro- pemodum pollicis, ita ut po$$imus ope hujus in$trumenti $a- tis bene men$urare diver$am altitudinem montium a $e invi- cem di$$itorum, & regionum, quarum $itus non $init, ut has metiamur aliter. Si mutationes temporum ope Barometrorum, prævideri po$$int uti $perandum videtur, certum e$t, quod illa, quæ hoc modo con$tructa $unt, magnam utilitatem habebunt præ aliis, quæ adhibita $unt huc usque.

Verum e$t quod quædam novorum horum Barometrorum $en$ibiliter quodammodo mutentur ex calore vel frigore aëris exterioris, quamcunque etiam ad@ibeamus operam ad illa interiori aëre purganda; $ed Barometra ordinaria $unt etiam eidem varietati obnoxia, & $i in no$tris magis con$picua $it, hoc inde venit, quod multo majores differentias indicent, quam Barometra vulgaria: $ed ut occurramus huic malo, quod plane nobis impedimento e$$et, $i vellemus metiri alti- tudines, po$$umus Thermo$copium includere in parte Baro- metri aëre vacuâ, & efficere calefaciendo aërem, qui utrumque cingit, ut Thermometrum redeat ad eandem no- tam in utraque operatione; & hac viâ certi erimus, quod aër externus nullam inducat mutationem Barometro, & quod omnis varietas, quæ ibi apparebit, oriatur ex diver$â atmo- $phæræ gravitate.

Dixi po$teriorem con$tructionem alterâ meliorem e$$e, non [0364]MACHINARUM $olum, quia ultimum Barometrum multo minoris voluminis e$t, $ed &, quia ob$ervavi, quod in priori parum aëris, quem aqua exhalat in vacuo, pedetentim augeatur temporis diuturnitate; cui vitio certum e$t Barometrum 32 pedum, de quo $upra dixi, pariter obnoxium e$$e; Et, ut huic ma- lo occurratur, quærendus e$t liquor, qui non producit aë- rem, ut faciunt aqua & $piritus vini. Sed patet, quod po- $terius no$trum Barometrum hoc vitio non laboret, quoniam aqua in vacuo non e$t inclu$a: Quod $i percipiamus aquam, quæ e$t in po$teriore Barometro, vapores emittere, tantum $uperius infundenda e$t gutta olei, quod frigore non in$pi$- $atur, quodque calore non emittit vapores, ut oleum amy- gdali dulcis.

V. Nova vis movens mediante pulvere nitrato & aëre.

De$ideratum a longo tempore e$t artificium quo vis pul- veris pyrii aliis, quam quibus huc u$que in$erviit, u$ibus applicari po$$et, in quibus omnibus vis admodum $ubita re- quiritur, qualem ob$ervamus in explo$ione bombardæ & $clo- peti & disruptione cuniculorum: $i impetus ille promtus po$$et moderari & reduci ad vim magis placidam, maximam in me- chanicis utilitatem haberet, & in multis occa$ionibus, in qui- bus vim hominum, equorum, venti, aliarumque potentia- rum adhibemus, in$erviret. Ad hunc effectum excogitavi ma- chinam, hic delineatam. Hanc non propono, ac$i in omni- bus partibus perfecta foret, $edtanquam inventum, quod cum pro parte $ucce$$it, poterit ad majorem proferri perfectionem.

A A cylindrus cavus e$t, intus bene politus, & ubique TAB. XXXII. Fig. 3. æqualis magnitudinis; B e$t embolus in $uperiori parte Cy- lyndri, & qui in hoc pote$t moveri; in C C cylindrus e$t per- foratus duobus foraminibus, quorum diametri circiter $unt {1/4} diametri cylindri; tubi D, D, corii madidi & mollis, fir- [0365]DESCRIPTIONES. miter alligati $unt duobus cylindris minoribus, qui cum majo- ri cohærent, & circumdant foramina; tubus unus exhibetur pendens, alter exten$us. In fundo cylindri cum hoc conjun- gitur ope cochleæ interpo$ito annulo coriaceo pyxis H; ita ut exacte claudat apperturam cylindri; E E $unt retinacula, quæ cylindrum in inferiori parte conjungunt cum theca, qua includitur, $ed quæ hic non e$t exhibita, ne turbetur figura: E F e$t funis annexus embolo B, circumponitur trochlea G, & in$ervit ad movendum id, quod ei applica- tur.

Obtecto parvâ aquæ quantitate embolo, qui $uperius fir- miter debet con$i$tere, ne po$$it exire ex cylindro, immittitur in ci$tam H parum pulveris tormentarii cum parva quantitate igniarii Germanici accen$i, & clauditur bene ci$ta mediante $ua cochleâ.

Pulvis ille paulo po$t accen$us implet cylindrum flammâ & fugat aërem per tubos coriaceos C D, C D, qui exten- duntur, quique $tatim clauduntur iterum ab aëre exteriore; ita ut cylindrus maneat aëre vacuus, $altem maximâ parte; porro embolus B e$t adactus per pre$$ionem aëris, qui $upra gravitat ad de$cendendum, & $ic trahit funem F F pariter illud quod ei appenditur.

Quantitas ejus pre$$ionis cognita e$t, & determinata, per gravitatem aëris, & per magnitudinem diametri emboli, qui, $i $it unius pedis, ita premitur, ut $u$tineat pondus 1800 circiter librarum; po$ito, quod cylindrus totus fiat aëre va- cuus, quod huc u$que efficere non potui; etiam experi- menta eo re$pectu in magnis & parvis cylindris non eodem modo proce$$ere.

Cylindrus diametri 2{1/2} pollicum, & 20 poll. longus, pon- dere 6 granorum pulveris aëre, evacuatus fuit {5/6} partibus; in cylindro ejusdem latitudinis, $ed longitudinis 44 poll., requiruntur 36 grana pulveris ut ejiciantur {4/6} aëris; Et in cylindro diametri unius pedis, & 3{1/2} altitudinis, 1{1/2} drachma pulveris ad fugandum {1/2} aëris; & duplicata pulveris quanti- tate vix magis evacuatus fuit cylindrus.

[0366]VARIA CIRCA

Aër vero ille qui $upere$t in cylindro, impedit magnam partem effectus, quem exereret machina, $i omnis aër pror- $us exhauriretur; ut $atis videre e$t, & $imul determinari computatione pote$t. Ideo deberet examinari, quæ ratio in- ter altitudinem & diametrum cylindri $it optima in hâc ma- china ad h@nc maxime evacuandam adhibitâ minima quan- tum po$$et pulveris quantitate, nam licet totus cylindrus non evacuetur, vis hujus pre$$ionis nihilominus magnum ederet effectum.

Poterit hæc in$ervire non tantum elevationi magnorum ponderum quorumcunque & aquarum. Sed etiam ad pro- jicienda globos & $agittas magna vi, juxta methodum bali- $tarum veterum.

Ulterius, cum propter cylindri convexitatem, non $it nece$$e, ut $it valde $olidus ad re$i$tendum pre$$ioni aëris externi, cer- tum e$t totam machinam ex<007>gui ponderis e$$e po$$e, quæ levi- tas conjuncta cum magna vi, quam habet, poterit forte u$ui e$$e ad effectus edendos quos huc u$que impo$$ibiles duximus.

VI. Demon$tratio Æquilibrii bilancis.

In demon$tratione, quam Archimedes dedit de propo$itione TAB. XXXII. Fig. 4. fundamentali Mechanices, tacite ponit quid, de quo jure aliquo po$$umus dubitare; e$t autem hoc, $i plura pondera æqualia annexa $int libræ ad di$tantias æquales a $e invicem; $ive omnia $int ad eandem partem puncti $u$pen$ionis, $ive quæ- dam transferantur ad patrem oppo$itam, ut in hac figura, ubi punctum $u$pen$ionis e$t A, pondera habere eandem vim ad deflectendam libram quam $i forent omnia $u$pen$a in pun- cto, ubi e$t commune eorum centrum gravitatis, ut hic e$t punctum B. adeo ut $i $eparatim $u$pen$a in æquilibrio fo- rent cum contrario pondere C, hoc etiam obtineret $u$pen- @is omnibus ponderibus in puncto B, vel eorum loco pon- dus D, quod æquat omnium gravitatem.

[0367]MECHANICAM.

Quidam Geometræ parumper mutando hanc demon$tra- tionem tentarunt defectum minus $en$ibilem reddere, $ed in totum fui$$e $ublatum mihi non videtur. Igitur conatus $um alio modo eandem propo$itionem demon$trare uti $equi- tur.

1°. Po$tulatur cum Archimede, duo pondera æqualia appen$a extremitatibus brachiorum æqualium libræ fore in æquilibrio.

2°. Po$itis ponderibus æqualibus, & brachiis libræ, cui appen$a $unt, inæqualibus, illam inclinari ad latus brachii longioris.

3°. Po$tulatur po$$e concipi, lineas & plana, de quibus loquimur in hac demon$tratione, inflexilia & $ine gravitate e$$e.

_PROP. I_. Si $uper planum Horizontale quod imponitur lineæ rectæ, quæ id dividit <007>n duaspartes, applicetur pondus, vis, quam illud pondus habebit ad deflectendum planum par- tem ver$us ad quam applicatur erit major, quam $i po$itum $it prope dictam lineam.

Sit planum Horizontale A B impo$itum lineæ rectæ TAB. XXXII. Fig. 5. C D, & cui applicetur pondus E, cujus di$tantia a C D li- neâ perpendiculari E H men$uratur; & cui porro applice- tur idem pondus in F, ita ut di$tantia F H minor $it quam E H, dico, quod habebit plus virium ad planum deflecten- dum, $i $it applicatum in E quam in F.

Nam producta recta E F H in G & po$itis H G & H F æqualibus, certum e$t, pondus æquale illi, de quo locuti $umus, applicatum in G in æquilibrio futurum cum altero in F, propter æqualia brachia F H, H G.

Sed pondus tran$latum ex F in E deflectet planum, quo- niam plano exi$tente $ine gravitate effectus idem e$t ac in bilance brachiorum inæqualium quæ æqualibus ponderibus gravantur, idem ergo pondus po$itum in E plus virium ha- bet ad planum deflectendum quam $i e$t in F; Q.E.D.

_PROP. II_. Si planum Horizont@le_;_ oneratum plurimis pon- deribus, maneat in æqual<007>brio, impo$itum lineæ rectæ, quæ [0368]VARIA CIRCA id $ecat in duas partes, centrum gravitatis plani $ic onerati erit in ip$a lineâ rectâ.

Sit planum Horizontale A B oneratum ponderibus C C, TAB. XXXII. Fig. 6. D D & quod manet in æquilibrio, impo$itum rectæ E F; dico centrum ejus gravitatis e$$e in illa linea E F; nam po$i- to, $i fieri pote$t, centrum gravitatis e$$e alibi in puncto G, ducatur per id punctum recta H K parallela ip$i E F.

Tunc ergo, quia planum fultum in puncto G, manet in $uo $itu Horizontali, debent, ducta linea recta qua- cunque in plano per punctum G, pondera ad utramque par- tem lineæ e$$e in æquilibrio.

Idcirco pondera C C facient æquilibrium cum ponderibus D D, quando planum fulcitur a recta H K: id quod fieri nequit, quoniam manet in æquilibrio fultum a recta E F; nam patet, omnes di$tantias ponderum ad unam partem e$$e diminutas, $cilicet ponderum C C, & con$equenter etiam effectus gravitatis eorum; & di$tantias ponderum oppo$ito- rum D D e$$e auctas, & eodem tempore effectum eorum gravitatis, adeo ut ultima pondera deflexura $int planum ad $uam partem, & multo magis $i unum vel plura pondera C C $int ad alteram partem lineæ H K; Centrum ergo gra- vitatis plani onerati erit in linea E F. Q. E. D.

_PROP. III_. Duo gravia commen$ur abilia appen$a ad extre- mitates brachiorum Libræ erunt in æquilibrio, $i brachia $int in ratione reciproca gravium.

Sint gravia commen$urabilia A & B, quorum A $it ma- TAB. XXXII. Fig. 7. jus; & libra C D E, cujus brachium D E $it ad D C, ut grave A ad grave B; dico, libram e$$e in æquilibrio appen$o A ad extremum C, & B ad extremum E, $i C E $u$tineatur in D.

Concipiatur planum parallelum ad horizontem tran$iens per lineam C E, in eo plano $int ductæ per puncta E & C rectæ L E G, K C M perpendiculares ad C E; fiat ulterius E F æquale C D, & ducantur G F K, M D L quæ cum C E angulos $emirectos efficiunt & $e$e mutuò ad angulos rectos $ecant in N; illæ lineæ nece$$ario occurrunt duabus prioribus, quas duximus per E & C; ponamus pun- [0369]MECHANICAM. cta occur$us e$$e G, K & M, L; manife$tum e$t, E G æquale e$$e E F, & C K, C F; uti etiam G K, M L, $e mutuo $ecare in medio in puncto N; & triangula G N L, K N M e$$e $imilia & æqualia: $umatur E H æquale E G, & C O æquale C K; tum, quia E D e$t ad D C ut pondus A ad B, patet quod lineæ E D & D C, $int commen$urabiles, ut & H G & K O, cum inter $e $int ut E F ad F C, id e$t ut C D ad D E. Sint ergo K O & H G divi$æ in partes æqua- les per maximam earum communem men$uram, & quantita- tes A & B pariter divi$æ; idcirco habebuntur tot partes ponderis A, quot habentur partes in linea K O, & tot par- tes ponderis B, quot habentur partes in linea H G, quæ partes ponderum, æquales inter $e, $int $ingulæ appen$æ in me- dio unius ex partibus linearum K O, H G.

Jam demon$trabimus, quod gravibus ita di$po$itis, pla- num maneat in æquilibrio, quando fulcitur a puncto D, un- de veritas propo$itionis erit manife$ta; quon<007>am concipere po$$umus omnes partes plani e$$e $ublatas & $olas lineas K O, H G, oneratas ponderibus æqualibus ip$is A & B, $u$tineri in extremitatibus libræ C & E, nam cum planum $it $ine gravitate, partes $ublatæ non po$$unt mutare æquilibrium.

Ad demon$trandum igitur, æquilibrium plani, ut di- ctum e$t gravati, dari in puncto D, $int ductæ ex quovis pondere perpendiculares ad lineam L M, quantum nece$$e e$t, productam, uti R S, Z I, T V, X Y. Perpendi- culares T V & R S, quæ ducuntur a ponderibus ma- xime vicinis punctis G & K erunt inter $e æquales; nam tri- angula G N L, K N M $unt æqualia & $imilia, uti di- ctum e$t, & latera G L & K M $unt etiam æqualia inter $e, ut & intervalla G T & K R, quæ $ingula æqualia $unt dimidio u- nius ex partibus æqualibus in quas divi$æ $unt lineæ H G, K O; unde patet lineas T V, R S, etiam fore æquales, uti di- ctum e$t; Tunc $i fulciatur planum in linea L M Q, pondus T in æquilibrio erit cum pondere R.

Pariter, ob æqualitatem perpendicularium X Y & Z I, pondus X erit in æquilibrio cum pondere Z, & $ic con- [0370]VARIA CIRCA $equenter omnia pondera lineæ G H cum tot ponderi- bus $umtis po$t K in linea K O; id e$t, $i $umatur pars K P æqualis lineæ G H, pondera appen$a inter K & P, æquiponderabunt cum omnibus ponderibus lineæ G H.

Si ergo pondera reliqua in linea P O etiam faciant æqui- librium unum cum altero in plano fulto a linea L M Q, $equetur planum oneratum omnibus ponder<007>bus man$urum in æquilibrio $uper eandam illam lineam.

Æquilibrium autem ponderum reliquorum ita invenitur: cum $it K O = 2 C F; & K P = H G, id e$t 2 C D, erit P O = 2 D F; $ed M O = D F; quoniam C M = C D; ergo M P e$t dimidium P O; Adeo ut lineâ P O, quæ con- tinet numerum partium, quibus K O $uperat H G, in 2 par- tes æquales dividatur per rectam L M Q, manife$tum ergo e$t æqualem numerum ponderum illorum quæ continet illa linea P O dari ad partem utramque puncti M, & $imiliter di$poni; ideo $i numerus, illorum ponderum $it impar, illud quod in medio e$t, erit in puncto M, unde $equitur, $ingulas perpendiculares quas duximus ab ii$dem ponderibus ad lineam L M Q æquales e$$e $ibi re$pondentibus, & con$equenter pon- dera e$$e in æquilibrio, quando planum fulcitur a linea L M Q; quod cum ita $it demon$tratum de aliis ponderibus linearum P K & H G, $equitur planum cum omnibus ponderibus man- $urum in æquilibrio fultum a linea L M Q; Centrum er- go gravitatis plani $ic onerati e$t in illa linea; $ed centrum gravitatis etiam e$t in linea C E, quoniam evidens e$t pla- num etiam futurum in æquilibrio $i in hac linea $u$tinea- tur, Erit ergo centrum gravitatis punctum commune illis duabus lineis L M Q & C E, $cilicet punctum D in quo $i planum $u$tineatur manet in æquilibrio. patet ergo, veritas Theorematis.

[0371] [0371a] Pag. 286. TAB.XXXII. Fig. 1. A E C E E D B G Fig. 2. H N K M Fig. 4. B A D C Fig. 5. A E E C H D G B Fig. 6. A C C C C H G K E F D D D D Fig. 3. G F F B D D C D A F A E E H Fig. 7. K L R Z Y H V N S P A C E B X T M G Q O [0372] [0373]MECHANICAM. VII. De potentiis fila funesve trahentibus.

_PROP.I_. Si puuctum A trahatur a filis duobus A B, A C TAB. XXXIII. Fig. 1. angulum B A C facientibus, $intque potentiæ trahentes ut fi- @orum ip$orum A B, A C, longitud<007>nes multipl<007>ces $ecundum numeros datos N & O; juncta vero B C dividatur in E, ut $it reciprocè C E ad E B $icut numerus N ad O, & jun- gatur A E: dico filis A B, A C ita trahentibus, æqu<007>pol- lere filum A E tractu@ à potentia quæ $it ut longitudo A E multiplex $ecundum numerum æqualem utri$que N & O.

Producantur enim A B, A C ad F & G, ut $it A F multiplex A B $ecundùm numerum N, & A G multi- plex A C $ecundùm numerum O; junctæque F G occur- rat A E producta in H, & $int B K, C L parallelæ A H.

Quia ergo F Had H K ut F A ad A B, hoc e$t, ut nu- merus N ad unitatem; H K vero ad H L ut B E ad E C, hoc e$t, ut numerus O ad numerum N: erit, inproportio- ne turbata F H ad H L, ut numerus O ad unitatem, hoc e$t ut G A ad A C, $ive ut G H ad H L. Itaque F H ad H L ut G H ad H L, ac proinde F H æqualis H G.

Sit jam A H continuata u$que in P, ut $int æquales A H, H P, & jungantur G P, F P: eritque F A G P paralle- logrammum, ad cujus diametrum P A ducantur F Q, G R, parallelæ B C. Manife$tum igitur e$t fieri triangula $imilia & æqualia F P Q, G A R, quorum latera inter $e æqualia P Q, R A. E$t autem A E ad A R ut A C ad A G, hoce$t, ut unitas ad numerum O. Eadem verò A E ad A Q ut A B ad A F, hoc e$t, ut unitas ad numerum N. Ergo erit A E ad utramque $imul A Q, A R, $ive A Q, Q P, hoc e$t, ad A P, ut unitas ad utrumque $imul numerum N & O.

Cùm ergo potentiæ fila A B, A C trahentes, $int ut A F, A G, quibus æquipollet attractio per filum A E à potentia quæ $it ut A P, ex theoremate Mechanico $atis noto, ma- nife$ta e$t propo$iti ver<007>tas.

[0374]VARIA CIRCA

_PROP. II_. Datis po$itione quotlibet punctis; $ive in eodem plano fuerint, $ive non: $i à puncto quod eorum commune e$t gravitatis centrum, ad unum quodque datorum fila extendan- tur, eaque $ingula trahantur à potentiis quæ $int inter $e ut filorum longitud<007>nes, fiet æquilibrium manente nodo commu- ni in dicto gravitatis centro.

Sint data puncta A, B, C, D, E, quæ vel in eodem TAB. XXXIII. Fig. 2. plano vel aliter utcunque collocata intelligantur: attributâ autem $ingulis æquali gravitate, con$tat commune eorum gravitatis centrum inveniri hoc modo.

Jungantur nempe duo quælibet datorum punctorum rectâ A B, quâ bifariam $ectâ in F, erit hoc centrum gravitatis punctorum A, B. Ducatur deinde ad punctum aliud C re- cta F C quæ $ecetur in G, ut $it C G dupla G F; & erit G centrum gravitatis punctorum trium A, B, C. Rur$us ducatur ad aliud punctum recta G D, $eceturque in H, ut $it D H tripla H G, & fiet H centrum gravitatis punctorum quatuor A, B, C, D.

Similiterque ductâ H E ad punctum quintum E, $ectâque in K, ut K E $it quadrupla K H, erit K centrum gravi- tatis punctorum quinque A, B, C, D, E. Ac $imili ratione quotcunque punctorum centrum gravitatis invenire licebit.

Porro extentis filis à puncto K ad A, B, C, D, E, quæ trahantur $ingula à potentiis quæ $int inter $e ut ip$æ longitudines K A, K B, K C, K D, K E: dico fieri æ- quilibrium manente nodo communi in K. Ducantur enim à centris gravitatis inventis F, G, H, ad centrum gravitatis omnium punctorum K, rectæ F K, G K, H K. Itaque con- $tat filis A K, B K, punctum K trahentibus cum potentiis quæ $int ut longitudines eorum filorum, æquipollere filum F K, tractum à potentia quæ $it ut dupla longitudo F K. Rur$us verò duobus his, filo F K trahenti cum potentia quæ $it ut dupla F K, & filo C K trahenti cum potentia quæ $it ut $implex longitudo C K, æquipollet filum G K tractum à potentia quæ $it ut tripla K G per præcedentem: ergo filum G K ita tractum æquipollet filis tribus K A, K B, [0375]MECHANICAM. K C. Similiter verò duobus his, filo G K tracto à potentia quæ $it ut tripla G K, & filo D K tracto à potentia quæ $it ut $implex longitudo D K, æquipollet filum H K tractum à potentia quæ $it ut quadrupla H K. Ergo hoc æquipollet filis onmibus K A, K B, K C, K D, punctum K uti di- ctum e$t trahentibus. Atqui filo K H in directum opponitur filum K E tractum à potentia quæ e$t ut longitudo K E, id e$t ut quadrupla K H. Ergo cum filis K E, K H, in partes directè oppo$itas trahentibus cum potentiis æqualibus, pun- ctum K nece$$ario in locum $uum $ervatum $it, $equitur & filis K A, K B, K C, K D, uti dictum e$t trahentibus & ex alia parte filo K E nodum re$tare immotum. Quod erat de- mon$trandum.

Po$$unt autem & binorum quorumque punctorum centra gravitatis primò de$ignari, & per hæc deinceps centra gra- vitatis quaternorum, & per hæc octonorum & $ic porro; qua ratione $implicior plerumque efficitur demon$tratio, ac præ$ertim $i datorum punctorum numerus fuerit pariter par.

Ut $i quatuor data fuerint A, B, C, D; $ive in eodem TAB. XXXIII. Fig. 3. plano, $ive non: junctis A B, C D, divi$isque bifariam in E & F; ductâque inde F E, quæ rur$us bifariam $ecetur in G; con$tat G e$$e centrum gravitatis punctorum A, B, C, D. Quod $i jam nodus G trahatur filis G A, G B, G C, G D, à potentiis quæ $int inter $e ut hæ ip$æ filorum longi- tudines; dico fieri æquilibrium.

Con$tat enim filis G A, G B, æquipollere filum G E tractum à potentia quæ $it ut dupla G E; filis verò G C, G D, æquipollere filum G F tractum à potentia quæ $it ut dupla G F. Cum ergo G E, G F æquales $int, unamque lineam rectam efficiant, eodem modo nodus G trahitur, ac $i traheretur à potentiis æqualibus per fila G E, G F. Un- de immotum manere nece$$e e$t.

Con$tat verò $i puncta A, B, C, D non $int in eodem plano, fore G centrum gravitatis pyramidis cujus anguli hæc ip$a quatuor puncta; cum in omni pyramide idem $it cen- [0376]VARIA CIRCA trum gravitatis ip$ius $olidi & quatuor punctorum angularium, uti o$tendere facillimum e$t. Et hinc patet veritas theorema- tis Robervalliani, _Si à centro gravitatis pyramidis fila ten-_ _dantur ad quatuor angulos, quæ trahantur à potentiis quæ_ _$int inter $e ut filorum ip$orum longitudines, fieri æquilibrium_ _manente nodo in dicto gravitatis centro_.

VIII. Solitio problematis a G G. Leibnitio propo$iti in diario (cui titulus _Nouvelles de la Republi-_ _que des Lettres_) men$is Sept. _1687_. PROBLEMA.

Detegere lineam juxta quam $i corpus de$cendat tem- poribus æqualibus æqualiter tellurem ver$us accedat.

SOLUTIO.

Impo$$ibile e$t problema $i requiratur ut corpus motum in tali linea inchoet a quiete.

TAB.XXXIII. Fig. 4.

Sed $i ponamus corpus quandam, quantumvis exiguam, ve- locitatem habere ex. gr. quam acquirit cadendo ab altitu- dine A B, quæ$ito $atisfacit curva B C, cujus hæc e$t pro- prietas ut cubus altitudinis B D æqualis $it quadrato perpen- dicularis C D ad A B continuatam ducto in {9/4} A B.

Præter curvam hanc B C, in numeræ aliæ dantur eju$dem generis, & quæ $acile deteguntur, in quibus corpus etiam, temporibus æqualibus, æqualiter, $ed lentius quam per B C, ad Tellurem accedit.

Si B D $it dupla ip$ius B A, tempus de$cen$us per cur- væ partem B C aquale erit tempori ca$us per A B.

[0377]MECHANICAM. IX. Chri$tiani Hugenii, Solutio Problematis de linea in quam flexile $e pondere pro- prio curvat.

Si Catena C V A $u$pen$a $it ex filis F C, E A utrin- TAB.XXXIII. Fig. 5. que annexis, ac gravitate carentibus, itaut capita C & A $int pari altitudine, deturque Angulus inclinationis filorum productorum C G A, & catenæ totius po$itus, cujus vertex $it V, axis V B.

1. Licebit hinc invenire tangentem in dato quovis catenæ puncto. Velut $i punctum datum $it L, unde ducta appli- cata L H dividat æqualiter axem B V. Jam $i angulus C G A $it 60°, erit inclinanda a puncto A ad axem recta A W, æ- qualis {1/2} A B, cui ducta parallela L R, tanget curvam in pun- cto L. Item $i latera G B, B A, A G $int partium 3, 4, 5, erit A W ponenda partium 4 {1/2}.

2. Invenitur porrò & recta linea catenæ æqualis, vel da- tæ cuilibet ejus portioni. Semper enim dato angulo C G A, data erit ratio axis B V ad curvam V A. Velut $i latera G B, B A, A G $int ut 3, 4, 5, erit curva V A tripla axis V B.

3. Item definitur radius curvitatis in vertice V, hoc e$t, $emidiameter circuli maximi, qui per verticem hunc de$cri- ptus totus intra curvam cadat. Nam $i angulus C G A $it 60°, erit radius curvitatis ip$i axi B V æqualis. Sin vero angulus C G A $it rectus, erit radius curvitatis æqualis curvæ V A.

4. Poterit & circulus æqualis inveniri $uperficiei conoidis, ex revolutione catenæ circa axem $uum. Ita $i angulus C G A $it 60°, erit $uperficies conoidis ex catena C V A genita æ- qualis circulo, cujus radius po$$it duplum rectangulum B V G.

5. Inveniuntur etiam puncta quotlibet curvæ K N, cujus evolutione, una cum recta K V, radio curvitatis in verti- [0378]VARIA CIRCA ce, curva V A de$cribitur; atque evolutæ ip$ius K N lon- gitudo. Velut $i angulus C G A fuerit 60°, erit K N tripla axis B V. Si vero latera G B, B A, A G $int ut 3, 4, 5, erit illa {9/4} axis B V.

6. Præterea $patii N K V A N quadratura datur. Po$i- to enim angulo C G A 60°, erit $patium illud æquale rectan- gulo ex axe B V, & ea quæ pote$t triplum quadratum ejusdem B V. Si vero latera G B, B A, A G $int ut 3, 4, 5, erit idem $patium æquale $eptuplo quadrato B V, cum par- te octava.

7. Porro puncta quotlibet catenæ inveniri po$$unt, po$i- ta quadratura curvæ alterutrius harum: _x x y y_ = _a_<#>4 — _a a y y_, vel _x x y y_ = 4_a_<#>4 — _x_<#>4. Vel etiam data di$tantia centri gravi- tatis ab axe, in portionibus planis, quas ab$cindunt rectæ axi parallelæ in curva harum priore. Quadratura autem hu- jus curvæ pendet a $ummis $ecantium arcuum per minima æqualiter cre$centium: quæ $ummæ ex Tabulis $inuum egre- gio quodam adhibito compendio inveniuntur quamlibet pro- xime. Hinc ex. gr. inventum, quod $i angulus C G A $it rectus, & ponatur axis B V partium 10000; erit B A, 21279, non una minus. Curva autem V A, per $uperius indicata cogno$citur hic e$$e partium 24142, non una minus.

In his omnibus non ni$i ad ca$us $ingulares $olutiones pro- blematum dedi, vitandæ prolixitatis $tudio & quoniam non dubito quin regulas univer$ales Viri docti affatim $int exhi- bituri. Quod $i tamen aliquæ ex no$tris requirentur, eas lu- benter mittam. Ac jam pridem omnes apud Clari$$imum Vi- rum _G. G. Leibnitium_ involucro quodam obtectas depo$ui.

X. Hugenii Annotationes in librum Pari$iis _1689_. editum, de Manuaria Nautica.

Auctor hujus librie$t D. Renaldus (_M. Renau, Ingenieur ge-_ _neral de Marine_), $umma cura & methodo con$criptus e$t, [0379]MECHANICAM. & auctoris peritia in Geometricis, & analy$i in hoc patet; nulla ponuntur principia, quæ vera non fatear, & integra $i Theo- ria inde legit<007>me deducta foret, nihil in opere culpandum e$$et; hoc tamen deficiente, utile credidi de notabili quem notavi errorem, monere, cum enim $pectet ad maximam partem regularum, quæ in hoc libro Nautis præ$cribuntur po$$et hos in maximos, & periculo$os admodum errores inducere.

Initium faciam memorando quæ in Art. 1. cap. 2. conti- TAB. XXXIII. Fig. 6. nentur, in quo Auctor navem H B M ponit, in qua linea recta D C Veli po$itionem repræ$entat, quod tanquam pla- na $uperficies concipitur, perpendiculariter $uper i$tam li- neam elevatam; A B e$t directio venti qui velum propellit; B G e$t perpendicularis ad D C; G K e$t perpendicularis ad B K, carinam navis productam; G E A e$t arcus circuli centro B de$cripti; B K G e$t circuli peripheria cujus Diame- ter e$t B G.

Veri$$imum e$t quod Auctor notat, $uperficiem C D a vento A B propelli juxta lineam B G, ita ut navis per B G ad pun- ctum G tenderet, $i nullibi magis quam ad proram aqua re- $i$teret. Addit, navem i$tam lineam percurrendo directe progredi per B K, & ad latus per K G; $ed cum navis ma- jori difficultate aquam lateribus, quam prorâ $ecet, non poterit juxta directionem K G per integram hanc lineam progredi, $ed deerit pars, quæ $equetur rationem exce$$us quo difficultas $ecandi aquam ad latus $uperat difficultatem qua navis hanc prorâ $ecat; ex. gr. $i difficultas $ecandi aquam ad latus $e habeat ad difficultatem qua prora illam $ecat ut decem ad unum, $i fiat K G ad K L ut 10 ad 1, & ducatur B L, dicit Auctor navem moveri per B L, hancque lineam percurrere eo tempore quo potui$$et in G pervenire, $i re$i- $tentia ab omni parte fui$$et æqualis.

Auctorem huc u$que nos fui$$e $ecutos $ufficiat. Con- tendo ip$ius errorem in eo dari, quod dicat navem per- venire ex B in L _eodem tempore_, quo perveni$$et ex B in G. Nam $i deviatio nullam e$$e ponamus, ut ambages remo- veantur, certi$$imum e$t navem, juxta Auctorem, progredi [0380]VARIA CIRCA ex B in K, eodem tempore, quo pergeret ex B in G, $i undequaque aquam eadem facilitate $ecaret, aut directe per B G, æque ac per B K progrediretur.

In his $ic ratiocinatum fui$$e auctorem videtur, $cilicet, $i in motu ex B in G, navis feratur ad latus per K G & di- recte progrediatur per B K, oportet, ut $ublato motu per K G, motus per B K $uper$it, quo motu linea B K percur- rebatur eodem tempore quo B G.

Sed notandum erat, licet motus navis per B G po$$it con- cipi tanquam compo$itus ex motibus per B K, & K G, inde non $equi $i in re ip$a tantum $uper$it motus per B K ($ive figura ip$ius navis in cau$a $it, $ive hæc cohæreat cum fune infinito B R, perpendiculari ad B M) ventum qui navem ex B in G tran$tuli$$et, hanc æquali tempore po$$e transferre ex B in K. Ut enim determinemus viam juxta B K percur$am, vim propellentem debemus determi- nare, & attendere ad re$i$tentiam quam ex actione aquæ pa- titur navis.

Con$tat autem in Mechanicis, vim, qua velum D C, na- vem pellit per B K, e$$e ad vim qua idem velum, & in ea- dem po$itione re$pectu venti, illam pelleret per B G, uti B K ad B G: ut Auctor ip$e ponit in his, quæ $crip$it de impre$$ionibus aquæ in gubernaculum Art. 5. hujus $ecun- di Cap. Sed celeritates quoque e$$ent $icuti B K ad B G; quia point Auctor lineas æqualibus temporibus percurri. Vires ergo forent ut celeritates, quod impo$$ibile e$t, dictis- que Auctoris repugnat in 13° Art. primi Cap. ubi dicit, _ut corpus diver$is velocitatibus in fluido moveatur, requiri_ _vires in ratione quadratorum celeritatum:_ lineæ ergo B K, B G, non percurruntur æquali tempore. Ut autem determi- netur, $patium juxta B K percur$um continuanda e$t B K in S, ita ut B S $it media proportionalis inter B K, B G. Tum B S erit $patium, quod eo tempore permeabit navis quo pergeret per B G; $i aquam juxta hanc directionem eadem facilitate $ecaret. nam quadrata celeritatum per [0381]MECHANICAM. B G, & B S, & con$equenter etiam aquæ re$i$tentiæ $unt inter $e ut B G ad B K; a$t, uti modo o$tendi, virium ratio e$t etiam ut B G ad B K; vires igitur $unt ut re$i$tentiæ, & etiam ut quadrata velocitatum. Hæ ergo $unt velocitates, quæ $unt ut B G ad B S, quas Navis in ambobus motibus acquirere debet $ecundum ip$am Auctoris $tatim memoratam, nec in dubium revocandam, regulam. Non ergo ut credidit Auctor circumferentia circuli B K G determinat $patia a navi permeanda in diver$is carinæ po$itionibus, manente eadem veli C D po$itione re$pectu directionis venti, $ed determinantur hæc $patia curvâ B I S G T, cujus puncta eodem modo ac S, facile inveniuntur. Hic autem notandum e$t, $patia quæ hac curvâ deteguntur, eo magis abiis differre, quæ Auctor adhibitâ circumferentiâ B K G determinat, quo angulus quem carina cum venti directione efficit acutior e$t; ita juxta B N navis progredietur per B I, quæ dupla e$t ip$ius B N circulo in$criptæ, $i B N $it {1/4} B G; & tripla $i B N $it {1/9} B G.

Error a me notatus in toto fere tractatus reliquo locum ha- bet, quo varia labefactantur Theoremata quæ de cætero ele- gantia videntur. Quale e$t inter alia hoc. Dato O B A angu- lo veli cum vento, carinæ $itum, quo in adver$um venti ma- xime progreditur navis, determinari dividendo æqualiter in duas partes complementum O B E anguli dati; unde Au- ctor deducit, ponendo quod deviatio nulla $it, carinæ & veli $itum in hoc ca$u omnium maxime utilem dari, quando angulus quem carina cum vento efficit e$t 60 gr., & angulus venti cum velo 30 gr., quod a vero abe$t; nam per Regu- lam, quam veram novi detego, quando venti & carinæ an- gulus e$t graduum 60, navem celerius moveri, ideoque in adver$um venti magis progredi, $i angulus veli & venti. 38 gr. 23′. fiat, quam $i angulus hicce foret 30 graduum. Regu- la qua detego veli $itum, ut navis omnium celerrime movea- tur, ubi carinæ cum vento angulus datus e$t, talis e$t _x_<#>4 = _a a x x_ + {1/3} _p p x x_ — {4/9} _a a p p_. $cilicet, $i _x_ de$ignat $i- num O Q anguli veli cum vento, _a_ radius B A, _p_ $inus F P anguli carinæ cum vento. Et congruit hgc regula cum illa quam [0382]VARIA CIRCA D. Fatio antea invenit, cum aliis pulcherrimis circa hanc materiam, ut percepi in tabula quadam, in qua quorun- dam i$torum angulorum rationes de$ignarat. Duas veras ra- dices continet æquatio hæc in$ervientes duobus ca$ibus, in quibus carina cum venti linea eundem angulum efficit, ut- pote, quando navis vento $ecundo aut adver$o utitur.

Cæterum quin vera $it no$tra regula non poterit, D. Renaldus dubitare, cum per eam angulus gubernaculi cum carina, quo navis omnium celerrime circumvolvitur, idem detegatur, quem determinavit in capite 7°. Quod ip$ius in- ventum certe utili$$imum e$t. Ponendo enim _p_ = _a_, id e$t ponendo venti lineam ad carinam perpendicularem, no$trâ regulâ habetur _x_ = _V_ {2/3} _a a_, quem ille detexit $inum an- guli carinæ aut directionis motus aquæ cum gubernaculo, quod $ic nece$$ario $e$e habere facile patet.

Licet Theoria hæc po$t a me indicatam correctionem dif- ficilior evadat, quam in tractatu D<#>ni Renaldi, percipio nihil- ominus regulam detegi po$$e, qua & navis & veli $itus de- terminarentur, ut in adver$um venti omnium maxime pro- grediatur, $ed computatio nimium longa foret, quare hanc nunc non aggredior. Quibus addendum navis deviationem in hac computatione non con$iderari, ex qua con$ideratione maxima daretur difficultas. Quia non modo cum auctore at- tendendum e$t ad relationem inter re$i$tentias quas patitur navis proram ver$us & ad latus, $ed etiam ad actionem venti in ip$am navem, præcipue in hujus latus; ita ut ex unica ob- $ervatione quæ ad deviationem $pectant non po$$ent deduci.

XI. Re$pon$um D<#>ni Renaldi ad Dominum Hugenium.

D<#>nus Hugenius hæc ponit, _licet motus navis per B G po$$it_ _concipi tanquam compo$itus ex motibus per B K & K G, inde_ _non $equi, $i re ip$a tantum $uper$it motus per B K, ventum_, _qui navem ex B in G iran$tuli$$et, hanc æquali tempore po$$e_ [0383]MECHANICAM. _transferre ex Bin K_. Et primo in eo mihi videtur falli. Nam ut navis po$$it ferri ex B in G tempore determinato, nece$$e e$t ut reap$e celeritatem habeat, quâ eodem tempore $ecun- dum determinationem B K, lineam B K, & $ecundum deter- minationem K G, lineam K G po$$it percurrere. Et ne hoc in dubium vocari po$$it, concipiamus navim pelli $ecundum determinationem B K, vi quâ certo tempore ex B po$$it pervenire in K; concipiamus eandem $imul pelli $ecundum K G, vi quâ eodem tempore po$$it percurrere lineam K G: cum duæ hæ vires nec $ibi contrarientur nec etiam concur- rant (e$t enim B K perpendicularis ip$i K G) nece$$e e$t ut harum unicuique navis ex toto ob$ecundet; & per con- $equens celeritas, quam $ingulis momentis habebit $ecundum B K, erit ad celeritatem, quam iisdem momentis habebit, $ecundum K G, ut B K ad K G; & ita navis utrique vi $atis- faciens, movebitur per B G, & tempore determinato perveniet in G; Etideo $i in effectu ip$i relinquatur $olus motus per B K, vis quæcunque, quâ pelleretur ex B in G, illam tempore æquali pellet ex B in K. Inutilem enim reddendo illam im- pre$$ionis partem, quæ requiritur ut eodem tempore navis percurrat K G, neque augetur, ut diximus, neque minui- tur celeritas per B K. Fateor, $i angulus B K G e$$et acu- tus, vim peculiarem quâ pelleretur navis $ecundum K G, aliquid detracturam celeritati, quam haberet $ecundum B K utpote $ibi contrariæ; & contra, $i angulus B K G foret obtu- $us, eandem celeritatem utpote cum altera concurrentem, e$$e augendam; $ed cum angulus B K G rectus $it, vis illa ce- leritatem navis $ecundum B K neque auget, neque minuit.

Addit D<#>nus Hugenius; _Ut enim determinemus viam ju-_ _xta B K percur$am, vim propellentem debemus determina-_ _re, & attendere ad re$i$tentiam quam ex actione aquæ patitur_ _navis_. Statim o$tendi relationes celeritatum in variis de- terminationibus $ibi invicem perpendicularibus, $ufficere ad detegendam viam, quam navis e$t $ecutura; nec per con- $equens ad id requiri relationem virium, nec re$i$tentiarum; $ed cum dictæ celeritates à viribus dependeant, idem ex [0384]VARIA CIRCA relatione virium facile probabo.

Demon$travi Articulo 13° Cap. 1. Theoriæ manuariæ nauticæ, de quo Articulo D<#>nus Hugenius mecum con$entit, vires navem propellentes e$$e inter $e ut quadrata veloci- tatum; & propterea vis requi$ita, ut navis certo tempo- re $ecundum determinationem B K conficiat B K, e$t ad vim, quâ $ecundum determinationem K G conficiat K G, ut quadratum B K, ad quadratum K G; unde $equi- tur, navem, $i $ecundum duas illas determinationes $imul pelleretur, habituram vim duabus illis viribus æqualem; cum $cilicet neutra neutri quicquam vel addat vel detra- hat; per con$equens vis illa exprimetur per quadratum ip$ius B G, quod æquale e$t quadratis B K & K G; & ita na- vis habebit celeritatem ex illa vi ortam, id e$t, dicto tempore quantitatem B G peragrabit. Et propterea, $i na- vis pelleretur $ecundum B G, vi quæ exprimitur per qua- dratam B G, perveniret in G eodem tempore, quo perve- niret in K, $i pelleretur $ecundum B K, vi quam exprimit quadratum B K.

Pergit D<#>nus Hugenius hoc modo; _Con$tat autem in me-_ _chanicis, vim, quâ velum D C pellit navem per B K, e$$e_ _ad vim, quâ idem velum, & in eadem po$itione re$pectu_ _venti, navem pelleret per B G, ut B K ad B G_. Non ego fateor id ex regulis Mechanices $equi; è contra certum e$t, virium illarum relationem inter $e e$$e ut quadratum B K ad quadratum B G, non vero ut B K ad B G; & ut omne hic dubium eximatur, concipiamus aërem $ecundum lineam A B duplo citius moveri uno tempore quam alte- ro. Quando duplo citius movebitur quadruplo fortius in velum impinget, quoniam unaquæque particula duplo for- tius impingit propter velocitatem duplam, propter quam etiam duplo plures particulæ eodem tempore impingunt. Quare $i velocitas $it dupla, & ma$$a itidem dupla, vis $eu potentia e$t quadrupla. Si tripla foret velocitas, unaquæ- que particula triplo fortius impingeret, quia tripla e$$et ve- locitas; & $imul quia tripla e$$et velocitas, triplo plures [0385]MECHANICAM. particulæ $imul impingerent; unde triplâ exi$tente velocitate, ma$$â etidem triplâ, potentia aut vis erit noncupla; ex quo patet ma$$am augeri in eadem ratione, qua velocitas auge- tur; & cum unaquæque pars etiam fortius impingat in ratio- ne auctæ velocitatis, potentia aut vis venti in velum, e$t in ratione duplicata celeritatum venti, id e$t, in ratione qua- dratorum velocitatum venti in velum. Agno$cit hocce prin- cipium Cl. Hugenius; re$tat ergo tantum, ut illud ap- plicemus.

Prima applicatio o$tendet, quare vis venti in velum, cum ventus velo perpendicularis e$t, $e$e habeat ad vim eju$dem venti in velum, quando illud inclinatum vento opponitur, ut quadratum radii ad quadratum $inûs anguli incidentiæ; aut, quod idem e$t, cur vires eju$dem venti in vela varia in- clinatione ip$i obten$a, $int inter $e in ratione quadratorum $inuum angulorum incidentiæ, quod demon$travi Articulis 7. 8. & 9. Cap. 1., & quod etiam hoc modo nunc demon$tro. Probatum dedi in Theoria Manuariæ Nauticæ, Artic. 6. Cap. 1. corpus motum ab A in B non occurrere $uperficiei C D ni$i $ecundum determinationem $uam A V, ponendo $cilicet A V perpendicularem ip$i D C productæ, & in illam $uper- ficiem nullam vim ex$erere ni$i $ecundum hanc determinatio- nem; quod agno$cit D<#>nus Hugenius. Hoc po$ito, ventus A B in velum non agit, ni$i $ecundum hanc determinationem, id e$t, cum velocitate A V. Si velum C D vento A B per- pendiculare e$$et, ventus in velum ageret velocitate A B; & per con$equens ex principio quod $tatim ad$truxi, vis cum qua ventus in velum ageret, $i vento e$$et perpendicula- re, e$t ad vim venti in velum D, quod inclinatè vento ob- tenditur, ut quadratum A B ad quadratum A V, id e$t, ut quadratum radii ad quadratum $inûs anguli incidentiæ.

Secunda applicatio in$ervit $olvendæ quæ$tioni, de qua lis e$t inter D<#>num Hugenium & me, id e$t o$tendit, quod, velo con$tituto in $itu C D, & navi in $itu B K, vis, qua ventus ope veli, navim $ecundum B G propellit, $it ad vim, qua idem ventus, ope eju$dem veli navim propellit $ecun- [0386]VARIA CIRCA dum B K, ut quadratum B G ad quadratum B K, & non quemadmodum $u$tinet Hugenius, ut B G ad B K.

Quod ut pateat, concipiamus ventum in velum impin- gere cum velocitate B G; quoniam in illud impingit $olum- modo per motum, qui dirigitur $ecundum B G $pectan- dus e$t ventus, tanquam latus ex B in G velocitate B G. $ed quando illa velocitate fertur ex B in G, fertur veloci- tate B K $ecundum determinationem B K, & velocitate K G $ecundum determinationem K G; quare ex iis quæ $u- perius a me dicta $unt, vis qua navis pellitur $ecundum B G e$t ad vim qua pellitur $ecundum B K, ut quadratum B G ad quadratum B K; & ad vim, qua pellitur $ecundum K G, ut quadratum B G ad quadratum K G. Ob$ervandum au- tem e$t, eandem vim venti in velum, id e$t, vim totalem $e- cundum B G, quam vim exprimit quadratum B G, divi- vi$am e$$e $ecundum B K, & K G, in duas partes, quarum $umma vim totalem adæquat; & illa vis, potentia, $eu motus, quibus tribus una eademque res $ignificatur nomi- nibus, nullum vel augmentum vel imminutionem accipit, ex no$tris motum con$iderandi modis, qui motus non in $ola corporum velocitate con$i$tit, $ed ex eorundem ma$$is quo- que con$tituitur. Ergo potentia, vis, $eu motus, e$t pro- ductum quadrati celeritatis per ma$$am. Quare potentia ex duabus aliis potentiis conflata, iis æqualis e$t, dummodo unius determinatio determinationi alterius $it perpendicularis, quia eo in ca$u duæ illæ potentiæ, nec quicquam addere, nec detrahere quicquam altera alteri, po$$unt, duabus deter- minationibus, uti diximus, nihil oppo$iti habentibus. Inde fit ut potentia $ecundum B K eadem manere po$$it, idem- que per con$equens illius effectus, licet in infinitum augea- tur $eu minuatur potentia $ecundum K G. Eo in ca$u $ola potentia totalis B G mutationem patietur, quia $emper æ- qualis erit $ummæ potentiarum, ex quibus producta fue- rit.

Ex omnibus, quæ a me nunc dicta $unt, $equitur, na- vem H B M, $i pellatur $ecundum B G ope veli D C, & [0387]MECHANICAM. $i velocitas, quâ movetur ad latus, $it ad velocitatem quâ directè progreditur, ut G K ad L K, $equitur, inquam, navem juxta B L proce$$uram, & in L perventuram eo- dem tempore, quo peryeni$$et in G, $i ab omni parte aquas $ecaret eadem facilitate, quâ $ecat has à parte proræ; & $i, quemadmodum po$uit D<#>nus Hugenius, navis fune B R in- finite longo, & ip$i B K perpendiculari ad$tringere- tur, ad tollendum omnem motum $ecundum determi- nationem K G, $equeretur etiam perventuram navim ad punctum K eodem tempore quo perveni$$et ad punctum G; quod erat in quæ$tione, & quod erat demon$tran- dum.

Si vera foret mechanices regula, quam memorat D<#>nus Huge- nius, $cilicet vim cum qua velum D C navim propellit $e- cundum B K e$$e ad vim, cum qua idem velum navem $e- cundum B G propellit, ut B K ad B G, non $olum navis non perveniret in K eodem tempore, quo perveni$$et in G, po$itis circum$tantiis, de quibus $upra, $ed & navis aquam æqualiter ab omni parte $ecans, & a velo D C, $ecundum B G ip$i perpendicularem propul$a, non ferretur juxta li- neam B G: nam ex eadem mechanices regula, vis, qua fer- retur navis juxta B K ope veli, foret ad vim qua ferretur $ecundum K G, ut B K ad K G, & velocitates navis e$$ent inter $e ut radices virium. Ergo velocitates quæ ex illis viri- bus orirentur, $cilicet velocitas quam $ingulis momentis ac- qui$ivi$$et navis in motu juxta B K, e$$et ad velocitatem quam ii$dem momentis haberet ex motu juxta K G, ut ra- dix B K ad radicem K G. Sed ut navis moveatur $ecun- dum B G, quando inæquales $unt velocitates inter $e, qua- les hic a nobis ponuntur, requiritur, ut $int inter $e $in- gulis momentis, ut B K ad K G, & non ut eorundem radi- ces. Ergo navis non ferretur juxta B G, quod e$t ab$urdum; nam cum vis totalis, quæ navem impellit, $it juxta B G, ponendo navem ab omni parte æqualiter aquam $ecare, non pote$t non illam lineam $equi.

_Ita pergit Cl. Hugenius_, Error à me notatus in toto [0388]VARIA CIRCA fere tractatus reliquo locum habet, quo varia labefactan- tur theoremata, quæ decætero elegantia videntur. Quale e$t inter alia hoc. Dato O B A angulo veli cum vento, Carinæ $i- tum, quo in adver$um venti maxime progreditur navis, de- terminari dividendo æqualiter in duas partes complementum O B E anguli dati. Unde Auctor deducit &c.

Siquidem, quem errorem credidit D<#>nus Hugenius, errorem non e$$e o$tenderim, intacta remanent tractatus mei theo- remata.

_Addit_; Cæterum, quin vera $it no$tra regula non poterit dubitare D<#>nus Renaldus; cum per eam angulus gubernaculi, quo navis omnium clerrime circumvolvitur, idem detegatur, quem Cap. 7. determinavit. Quod certe ip$ius inventum vtili$$imum e$t. Ponendo enim p = a, id e$t ponendo venti lineam ad carinam perpendicularem, no$trâ regula habetur x = V {2/3} a a, quem il- le detexit $inum anguli carinæ aut directionis motus aquæ cum gubernaculo, quod $ic nece$$ario $e$e habere facile patet.

Et hic à D<#>no Hugenio di$$entire cogor, & ab ip$o meo con$equenter tractatu, in quo error datur maximus, $tatim à me, detectâ prius ingenue eju$dem cau$â, o$tendendus. Compo$ueram primo libru meum, pro vero ponendo prin- cipium fal$um, à P. Pardies, art. 118. $cientiæ virium motri- cium prolatum; præter quod nil continet de navis motu tracta- tus illius, & quod nec ip$um ulli rei applicatur; imonullam auctor viam aperit $olvendi vel unam, quæ $pectat theoriam Manuariæ Nauticæ, propo$itionem. Cum jam $ub prælo $u- darent ultimæ libri I. paginæ; principii memorati fal$ita- tem animadverti, & quoniam per omnes tractatûs propo$i- tiones di$per$um, fal$as reddebat re$olutiones omnes, totam editionem $uppre$$i. Solidiori po$tea fundamento nixus ea$- dem denuo $olvi, præloque $ubjeci, hæ $unt quæ in lucem $unteditæ. Sed aliis di$tentus negotiis, vocem _vis_, loco _velo-_ _citatis_, quæ erat $ub$tituenda, in demon$tratione Art. 5. Cap. 2. incogitanter reliqui; quod D<#>nus Hugenius non attendit. Fateor me, in Art. 6. Cap. 1. promi$cue vocibus _virium_ & _velocitatum_ uti, $ed unius tantum corporis in vacuo motum [0389]MECHANICAM. ibi con$idero, & in eo ca$u velocitas & vis eandem $em- per relationem habent. Capitis autem 7. errorem, po$t al- teram tantum libri mei editionem animadverti, neque tunc illum corrigere per negotia mihi licuit. Fal$itatem vero ita demonftro.

Centro B de$cribatur circulus A D R E C, & repræ$en- TAB. XXXIII. Fig. 7. tet linea A B carinam navis, B R vero carinam productam. Supra B R, tanquam diametrum de$cribatur $emicirculus B G R, & $imiliter $upra A B $emicirculus A V B. Sit B D certus gubernaculi $itus, & B C gubernaculum productum; B E perpendicularis $upra A B; B G & A V perpendicu- lares $upra D C; & G H perpendicularis ad B E. Po- nendo alium gubernaculi $itum, qualis e$t B _d_ producta in _c_; ducantur in iisdem circum$tantiis lineæ B _g_, A _u_, & _g h_. Si navis antror$um moveatur $ecundum lineam B A, anguli A B C, & A B _c_ æquales angulis G B E, & _g_ B E, $unt anguli incidentiæ aquæ in gubernaculum. Unde $equi- tur, aquam, po$ito gubernaculo in $itu B D, impingi $e- cundum determinationem & cum velocitate A V, & per con- $equens cum vi, quam exprimit quadratum ip$ius A V. Et quoniam velocitas navis $e$e habet tantum ut radix ip$ius vis, propter aquæ re$i$tentiam, propellitur navis $ecundum deter- minationem B G, velocitate quæ exprimitur per B G, quia B G e$t æqualis & parallela ip$i A V. Sed quando propel- litur navis $ecundum B G velocitate B G, propellitur $ecun- dum B E velocitate B H. Si gubernaculum foret in alio $i- tu B _d_, iisdem ratiociniis probaretur, navem pellendam fo- re $ecundum B E velocitate B _h_. Sed quando majori velo- citate navis pellitur $ecundum B E, citius etiam convertitur. Quare $i B G, quæ perpendicularis e$t ad gubernaculi $itum, $ecet $emicirculum B G R bifariam, id e$t, $i angulus G B E, æqualis angulo incidentiæ A B C, $it 45. graduum, G H perpendicularis ip$i B E, erit tangens $emicirculi. Ergo G H quæ exprimit celeritatem, quâ navis pellitur $ecundum B E, e$t omnium maxima. Nam $i gubernaculum con$tituatur in alio $itu, ut in B _d_, tunc B _g_ ip$i perpendicularis, $ecabit [0390]VARIA CIRCA $emicirculum in _g_, unde $i ducatur perpendicularis _g h_, erit illa propior puncto B, quam ip$a G _h_, & navis pelletur $ecundum B E velocitate B _h_, quæ minor erit quam B H. Quare, ut navis citi$$ime convertatur, nece$$e e$t ut _vectis_ gubernaculi B C cum carinâ navis faciat angulum 45. gra- duum, non autem, $icut Cap. VII. Theoriæ dicitur, angu- lum graduum circiter 55.

_Concludit Cl. Hugenius hi$ce verbis_, licet theoria hæc po$t indicatam à me correctionem difficilior evadat, quam in tractatu D<#>ni Renaldi, percipio mhilominus regulam detegi po$$e, qua & navis & veli $itus determinarentur, ut in ad- ver$um venti omnium maxime progrediatur, $ed computatio nimium longa foret quare hanc nunc non aggredior.

In meo certe tractatu facillima foret determinatio $itûs TAB.XXXIII. Fig. 8. navis velique, non tantum $i in adver$um venti omnium maxime $it progrediendum, $ed & conveniens cuicun- que viæ in$tituendæ, $i deviatio navis à calculo $eclu- deretur; quod ut pateat, $it linea venti A B, & $it data via B K, cum vento con$tituens angulum quencunque _A_ B K. Ut inveniatur, quo veli $itu, navis illâ viâ citi$$ime po$$it progredi, $i $cilicet nulla $it deviatio; $umatur B R tanquam diameter, & centro M de$cribatur $emicirculus B G V; ab eodem puncto M ducatur M G viæ B K parallela; a pun- cto B ad punctum G ducatur B G, & tandem ducatur D B C perpendicularis ip$i B G. Dico D C repræ$entare veli $itum, quo per viam B K navis omnium citi$$ime po$$it progredi. Ad id probandum, ducatur G K perpendicularis ip$i B K. Ex omnibus quæ $uperius dicta $unt, patet ventum A B propellere navem ope veli D C, $ecundum B G velocitate B G, eodem tempore quo eandem propelleret $ecundum B K velocitate B K. Et quoniam G K e$t perpendicularis ip$i B K, erit itidem perpendicularis ip$i M G. Ergo G K e$t tangens $emicirculi. Ergo quotcunque ducantur perpendiculares ex aliis circumferentiæ $emicirculi punctis, $upra B K, cadent omnes inter B & K. Ergo navis celeritas in veli $itu D C erit omnium maxima. Addo, velum D C $ecare bifariam [0391]MECHANICAM. angulum A B K, qui e$t angulus venti cum viâ. Ad quod demon$trandum ducatur M N perpendicularis ip$i B G. $e- cat M N angulum B M G angulo A B K æqualem, bifariam; & quoniam M N e$t parallela ip$i D C, angulus B M N dimidius anguli B M G, qui æqualis e$t angulo A B K, æqualis e$t angulo A B C, qui ip$e per con$e- quens æqualis e$t dimidio angulo A B K. Unde $equitur, veli $itum $emper bifariam debere $ecare angulum venti & viæ, & cum agitur de progrediendo in adver$um venti, de- bere illum cum velo con$tituere angulum 30. graduum, pro- ramque itidem cum velo angulum 30. grad.; quia, ut de- mon$tratum fuit in Theoria Manuariæ Nauticæ, quocunque in $itu re$pectu venti di$ponatur velum, nece$$e e$t ut ejus complementum prora bifariam $ecet. Et exinde apparet, quo- cunque in $itu con$tituatur prora, quæ $emper cum via con- gruit; quia ponitur navem non deviare, nece$$e e$$e ut angulum quem cum prora, ventus con$tituit, velum bifariam $ecet. Unde $equitur angulum rectum debere à prora & velo in tres partes æquales $ecari, id e$t, ventum cum velo 30. gradus con$tituere, proram itidem cum velo 30. gradus, & cum vento per con$equens 60.

XII. Exceptio D<#>ni Hugenii ad Re$pon$um D<#>ni Renaldi.

Mihi evidens videbatur illud quod in ob$ervationibus de errore primario, qui reperitur in tractatu de manuaria nauti- ca D<#>ni Renaldi, propo$ueram, & cen$uerunt viri in re Ma- thematicâ ver$ati$$imi, argumentum meum omni exceptione majus e$$e; idcirco neque credideram, velle ip$um quidpiam re$pondere, quo $uam confirmaret Theoriam; interim ex iis, quæ in lucem edidit, apparet eum minime de $uo errore mecum $entire; & quandoquidem rationibus utitur, e quibus haud ita facile $e expedire po$$ent illi, qui non $atis hæcce o- mnia excu$$erunt, ob$trictum me credidi ad demon$trandum [0392]VARIA CIRCA majori evidentiâ, quam antea, ejus Theoriam $u$tineri non po$$e, ni$i principia mechanices, jam dudum $tabilita, quo- rumque veritatem negare nec auderet, nec vellet, evertan- tur.

Ne inutiliter protraham controver$iam no$tram re$ponden- do argumentis quæ D<#>us Renaldus mihi objicit, o$tendam tan- tum illum, ut jam ob$ervaram, erra$$e in propo$itione, qua nititur tota ejus Theoria, deinde paucis indicabo, quid huic errori an$am dederit.

Ut o$tendam, quinam $it quæ$tionis $tatus, hic maximam TAB. XXXIII. Fig. 9. partem eorum, quæ no$tras figuras $pectant, repeto, $cil; H M e$t navis carina; C D velum; A B linea venti velum inflantis; B G e$t perpendicularis ad C D; G K per- pendicularis ad B K, quæ indicat carinam prolongatam; continuo G B ad Z, & M H ad X.

D<#>us Renaldus in Theoria cap. II. Art. 1. dicit, $i pona- tur navem undique eâdem, qua puppis, facilitate aquam findere, illam ita a vento propelli, ut progre$$ura $it per re- ctam B G, quod e$t verum; $ed $i juxta $itum carinæ navis tantum progredi queat in recta B K, vel $i funis B R per- pendicularis ad B K, & cujus longitudo cen$etur infinita, eam cogat in$i$tere in via B K, contendit, velo & vento ii$dem ac antea manentibus, navem percur$uram $patium B K, eodem tempore quo percurri$$et B G; ego autem defendo, quod percurreret $patium B S, medium proportionale in- ter B K & B G; Et hic e$t controver$iæ no$træ $tatus.

In probatione, quam affert in re$pon$ione $uâ, loco venti A B oblique cadentis in velum C D, $ub$tituit ventum Z B, qui in id perpendiculariter agit; quod pote$t, & minime controver$iam mutat, quum certum $it, quod quocunque $en$u ventus in velum C D cadat, conetur navem propelle- re per viam B G perpendicularem ad C D; neque ullius u$us $unt, quas habet D. Renaldus, diver$as con$iderationes de motu venti. Ratiocinando dein invenit, quod vis, quâ navis pellitur a vento $ecundum B G ope veli, $it ad vim, qua pellitur ab eodem vento ope eju$dem veli $ecundum B K, [0393]MECHANICAM. ut quadratum B G ad quadratum B K, non vero ut B G ad B K, quod ego contendo, & inde tota res pendet.

Ut determinemus cujus $ententia vera$it, concipiamus pla- num, in quo no$tra figura exi$tit, ita ad Horizontem erectum, ut linea B G ad eundem $it perpendicularis, & $it R B X funis affixus in R, ad quem in B alligatum & $u$pen$um $it pon- dus Q: Ponamus ulterius portionem B X perpendicularem ad R B a manu retineri in X; clarum e$t, id exacte re- præ$entare ca$um navis, de quo e$t quæ$tio; nam loco ven- ti, qui impingendo in velum C D propellat navim $ecun- dum B G, hic habemus pondus Q quod trahit punctum B juxta B G; & funis B R, qui cen$etur infinitæ longitudinis, & impedit, quo minus navis aliam plagam versùs, quam B K po$$it progredi, hic eundem edit effectum re$pectu no- di B.

Utergo vis, qua ventus propellit navem $ecundum B G, e$t ad vim, qua hanc propellit $ecundum B K, ita e$t pondus Q ad gravitatem, quæ agit in manum quæ in X cohibet, quò minus nodus B moveatur ver$us B K; illa enim gravitas æ- quipollet vi, qua nodus $ecundum B K trahitur. Cum au- tem G K parallela $it ip$i B R, certum e$t ex noti$$imis Me- chanicæ regulis, quod pondus Q $it ad id quod retinet chor- dam B X, vel ad gravitatem quæ in X agit in manum ut B G ad B K. Vis ergo, qua navim propellit ventus $ecun- dum B G, e$t ad vim, qua propul$a e$t ver$us B K, ut B G ad B K non vero, ut illarum linearum quadrata, ut D<#>nus Renaldus contendit.

Ponamus porro, navem H M, quæ undas eadem undi- que facilitate $ecat, propelli per ventum Z B vel A B (perinde enim e$t) quo naviget certo tempore per B G, velo exi$tente in C D, & determinandum e$$e, quan- tum progre$$ura $it $ecundum B K æquali tempore eodem vento, eodemque veli $itu. Cum celeritates navis in dua- bus illis viis tales debeant e$$e, ut re$i$tentiæ, quas in- ferit ip$i aqua, $int ut vires, quibus propellitur (nam in eo ca$u $olo motu æquabili progreditur), & cum re$i$tentiæ [0394]VARIA CIRCA MECHANICAM. $int ut quadrata celeritatum, ideo requiritur ut quadrata ce- leritatum $int ut vires, id e$t ut G B ad B K; & con$equen- ter ut velocitates $int ut G B ad B S; quandoquidem quadrata G B & B S $unt ut lineæ G B, B K per con$tructio- nem. Probavi ergo ex ordinariis Mechan<007>ces principiis, id, quod in ob$ervatione mea propo$ueram.

Superfluum foret alia argumenta D<#>ni Renaldi examinare, quibus vult hanc eandem, quam refutavi propo$itionem, con- firmare; $olummodo indicabo originem erroris, qui in iis oc- currit, præ$ertim na$ci ex eo, quod in Articulo 7. Cap. 1. Theoriæ $uæ concludat, _vires relativas materiæ fluidæ ad_ _$uperficies diver$imode inclinatas e$$e inter $e, ut quadrata $i-_ _nuum angulorum incidentiæ;_ debui$$et addere _ad $uperficies æ-_ _quales diver$imode inclinatas;_ cujus vocis _æquales_ paulo ante in eodem Articulo pag. 7. quoque non meminerat; quod $i $up- pleatur, tum demon$tratio optime congruit cum conclu$ione cumque veris principiis P: Pardies in Art. 118. Tracta- tus de _Viribus moventibus_. Pater hic tantum in eodem illo Articulo deceptus fuit, quod ignorarit vel $altem non recor- datus fuerit, re$i$tentias aquæ in corpus e$$e ut quadrata ve- locitatum ejus corporis; ideo enim p. 225. facit _a f ad a u in_ _duplicatâ ratione b o ad m p_ cum $impliciter facere debuerit _a f ad a u, ut b o ad m p_.

Quod attinet ad utili$$imum Gubernaculi $itum, D<#>nus Re- naldus $e ip$um nullo jure culpat, & dum quæ primo deter- minaverat corrigere conatur, male ratiocinatur; in re$pon$io- ne p. 303, nam tantum determinandum e$t, in quonam Gu- bernaculi $itu aqua id propul$ura $it maximâ vi, juxta per- pendicularem ad carinam; unde nece$$ario $equetur maxima puppis velocitas juxta illam perpendicularem. Errat etiam, quum vult, p. 25 Theoriæ $uæ de Manuaria Nautica, legi _velocitas_ loco _vis_.

Quod $upere$t, ob$ervo, totam hanc Theoriam, ut edi- derat, veram fore $i re$i$tentiæ aquæ e$$ent ut velocitates navis, $unt autem ut quadrata illarum velocitatum.

FINIS. [0395] [0395a] Pag. 308. TAB.XXXIII. Fig. 1. P F Q K H L R G B E C N O 3 A 2 Fig. 8. R G M K N D B V C A Fig. _7_. R _d_ D G _g_ B _h_ H E V C _u_ A _c_ Fig. 2. B F G C H A K D E Fig. 4. A B G F E C D Fig. 6. T G D H B E M L N C K I S P F V R Q O A Fig. 3. A E G B D F C Fig. 5. N K F E C B A H L V W R G Fig. 9. Z R A X H C B D M K S Q G [0396] [0397] [0398] [0399] [0400]