metadata: dcterms:identifier ECHO:Y97ESDAP.xml dcterms:creator (GND:118639749) Huygens, Christiaan dcterms:title (la) Christiani Hugenii opera varia; Bd. 2: Opera geometrica. Opera astronomica. Varia de optica. dcterms:date 1724 dcterms:language lat text (la) free http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView/ECHOzogiLib?mode=imagepath&url=/mpiwg/online/permanent/library/Y97ESDAP/pageimg log: curly braces also left around greek ligatures red tag is not yet recognized unknown: <007> = i or ı (dotless i) (occurs 601 time(s)) <046> = ♐ (zodiac: sagittarius) (occurs 5 time(s)) replacements: ɔ = ↄ (only in Roman numerals) <#> = <^> = [0001] [0002] [0003] [0004] [0005] CHRISTIANI HUGENII AZULICHEM, Dum viveret Zelhemi Toparchæ, OPERA VARIA. VOLUMEN SECUNDUM. LUGDUNI BATAVORUM, Apud JANSSONIOS VANDER A@, Bibliopolas. MDCCXXIV. [0006] MAX-PLANCK-INSTITUT FOR WISSENSCHAFTSGESCHICHTE Bibliothek [0007] CHRISTIANI HUGENII OPERA GEOMETRICA. TOMUS SECUNDUS. [0008] Tomi $ecundi contenta. THEOREMATA DE QUADRATURA HYPERBOLES, ELLIPSIS ET CIRCULI, ex dato portionum gravitatis centro. Quibus $ub- juncta e$t E’ξετα{σι}ς Cyclometriæ Cl. Viri GREGORII à S. VIN- CENTIO, editæ Anno CIƆIƆCXLVII. # 309. EPISTOLA AD C. V. FRANC. XAVERIUM AINSCOM. S. I. qua diluuntur ea quibus Ἐξέτα{σι}ς Cyclometriæ GREGOR II à S. VIN- CENTIO impugnata fuit. # 341. DE CIRCULI MAGNITUDINE INVENTA. Accedunt eju$dem Pro- blematum quorundam illu$trium Con$tructiones. # 351. DE CIRCULI ET HYPERBOLÆ QUADRATURA CONTROVER- SIA. # 405. GEOMETRICA VARIA. # 483. [0009] CHRISTIANI HUGENII, CONST. F. THEOREMATA DE QUADRATURA HYPERBOLES, ELLIPSIS ET CIRCULI, EX DATO PORTIONUM GRAVITATIS CENTRO. Quibus $ubjuncta e$t Ε’ξέ{τα}{σι}ς Cyclometriæ Cl. Viri GREGORII à S. VINCENTIO, editæ Anno CIƆ IƆCXLVII. [0010] [0011] AD LECTOREM.

DE Conicis Sectionibus & Cir- culo novi quid adferimus, Amice Lector, $i tamen ita vo- cari queat, quod æternâ le- ge definitum con$titutum que, quale nunc e$t, perpetuò fuit. Sic quod recens effoditur, no- vum quis aurum dicat. Sic $tellas in cœlo novas, quæ $uperioribus $æculis incognitæ, no$trorum artificio deteguntur. Neque verò his Geometri- cum Theorema ullum vetu$tate cedit, $ed nos novitatem $ingulis tribuimus, prout quæque $e- $e nobis offerunt fiuntque manife$ta. Itaque & in$cripti trigoni Parabola ante Archimedem $e$- quitertia fui$$e dicenda e$t; neque illa minùs immutabili veritate reliquarum Sectionum Cir- culique portionibus $emper inerant, quæ nunc circa eas prodimus, licet antehac nemini, de quo quidem ad nos pervenerit, comperta fui$$e con$tet vel determinata. Damus autem non i$ti, quam retulimus, Archimedeæ $imilem determi- nationem, neque vel ip$a rerum natura, po$t tot $ubtili$$imorum hominum delu$os conatus, $pem reliqui$$e videtur tale quid unquam de fi- guris, quas tractandas $ump$imus, expectandi: Verùm id præ$titi$$e profitemur, quod in ip$a [0012]PRÆFATIO. quoque in $criptione expre$$um e$t, & paulò quid amplius, $i Lectoris æqui judicium prævenire per- mittitur. Namque ex datis gravitatum centris Hyperbolas, Ellip$es & Circulos ad quadrata redigere non finis e$t horum Theorematum, $ed con$equentia duntaxat; eoque nomine poti$$i- mum placere debent, quòd aliquatenus certam trium Portionum ad in$cripta triangula rationem dcmon$trant. Eam in Hyperbola primum mihi deprehendere contigit, viâ de$tinatâ planè, $ed impeditâ difficilique; quâ deinde breviorem ex- quirens, in hanc incidi quæ ad Ellip$in & Cir- culum quoque pertineret, commodumque ob- venit con$tans illa in cognatis figuris mirabili$- que convenientia. Quæ quidem univer$im in o- mnibus hi$ce quo minus locum habeat, $ola fa- cit Propo$itionum novi$$ima, $upernumeraria illa qua$i, atque ultra propo$itum ad$cita, cuju$que hoc $olum mihi tribui par e$t, quod ex præce- dentibus ip$am non ineleganti ratione compro- bari po$$e o$tendi. Dudum enim hîc nos præ- venit, egregiumque Theorema ante annos un- deviginti demon$tratum dedit acuti$$imus Geo- metra I. Della Faille, felix, meâ quidem $enten- tiâ, quod ante alios per$pexerit, quomodo à $e- ctorum gravitatis centro Quadratura depende- ret: cumque illum in Circulo præcipuam laudem promerui$$e agno$cam, non æquè gavi$us $um de- tectâ in reliquis hujus $egmentis $imili connexio- [0013]PRÆFATIO. ne, quàm cum eandem in Hyperboles portioni- bus ob$erva$$em, illudque inveni$$em de quo tantus Vir non potuit non & ip$e cogita$$e. Ra- ros alioqui $emper hæc figura, $i cum Circulo conferatur, $ui contemplatores nacta e$t; eju$- que rei vel effectum vel indicium habemus, quod cum varia $int in$pecta quibus datis Quadratu- ram quoque Circuli dari nece$$e $it; cuju$modi $unt exacta perimetri longitudo, Helicis Archi- medeæ contingens, Quadratricis Dino$trati ter- minus, vel tangens quoque eju$dem Quadratri- cis ad terminum alterum, ($icut aliquando me demon$tra$$e memini) & alia nonnulla quæ recen- tioribus debentur; nihil interea à quoquam de- finitum extet, quo vel $ub ulla conditione Hy- perbole cum $patio rectis comprehen$o lineis comparari po$$it. No$trâ $anè ætate, pauci$que abhinc annis Vir Clari$$. D. Gregorius à S. Vin- centio, de quo mihi deinceps dicendum re$tat, exqui$itâ pror$us novâque methodo utramque Quadraturam aggre$$us e$t, & credidit eâdem $e propemodum demon$tratione ab$olvi$$e. At ego cum ampli$$ima quæ de hi$ce volumina emi- $it, per$criptis jam Theorematis meis, diligentius evolverem, (certus, $i quod intenderat obtineret, $altem gravitatis me centra exhibiturum,) in- tellexi tandem, majori $ubtilitate quàm $ucce$- $u rem arduam tentatam fui$$e, ratione quoque repertâ quâ id clari$$ime o$tendi po$$e confido. [0014]PRÆFATIO. Et quando inter tot eximios hoc ævo Geome- tras nondum licuit animadvertere qui $ibi hanc provinciam delegerit, ac proinde fieri po$$et ut longa porro dubitatio maneret circa demon- $trationes, quas certi$$imas e$$e oportet; arbi- tratus $um me facturum quod & in publicum utile e$$et & à propo$iti argumenti ratione non alienum, $i $imul hîc prodire $inerem, quæ no- vam in re ob$cura lucem allatura videbantur. Nulla autem temeritate ad elevandam Viri gra- vis & eruditi auctoritatem acce$$i, $ed cau$æ bonitate adductus, putavi quæ compereram li- berè citraque offen$am proponi po$$e. Majori quoque fiduciâ, po$teaquam is $e$e ip$um per literas, quarum aliquod inter nos commercium e$t, auctorem hortatoremque candidè præbuit, ut $iqua commentatus e$$em, ea cum univer$is communicarem. Ingenuitatem hanc in$ignem lubenti gratoque uti meretur animo accepi, & $pero mode$tâ reprehen$ione $atis me decla- ra$$e, quanti æ$timem Docti$$. Viro haberi ami- cus. Cujus invicem $umma, quâ me u$que ad- huc excepit, humanitas facit ne, quid aliud ex- $pectem, ni$i ut vel moderatè & $ine ulla acer- bitate ad mea re$pondeat, $i quid iis reponen- dum e$$e duxerit, vel rationibus evidenti$$imis per$ua$us, æquè lubens no$tra quam alterius po$thac opera veriora $entiat & amplectatur.

[0015] CHRISTIANI HUGENII, CONST. F. THEOREMATA DE QUADRATURA HYPERBOLES, ELLIPSIS, ET CIRCULI, EX DATO PORTIONUM GRAVITATIS CENTRO THEOREMA I.

_P_Ortioni hyperboles, vel ellip$is vel circuli portioni, dimidiâ ellip$i di- midiove circulo non majori, circum- $cribi pote$t figura ex parallelo- grammis æqualem latitudinem ha- bentibus, quæ portionem excedat $patio quod minus $it quovis dato.

DATA $it portio A B C, cujus diameter B D. TAB. XXXIV. Fig. 1. Super ba$in A C con$tituatur parallelogrammum A E, latera duo habens diametro B D parallela & æqualia, quo fiet ut latus reliquum portionem in vertice contingat. Hoc parallelogrammo con- tinuè in duo æqualia $ecto, relinquetur tandem pars quæ [0016]THEOR. DE QUADRAT. minor erit dato $patio; $it ea parallelogrammum B F, & di- vidatur ba$is A C in partes æquales ip$i D F, punctis G, H, K &c. atque inde ducantur ad $ectionem rectæ G L, H M, K N &c. diametro B D parallelæ, & perfi- ciantur parallelogramma D O, G P, H Q, K R &c. Di- co figuram ex omnibus i$tis parallelogrammis compo$itam (quæ impo$terum ordinatè circum$cripta vocabitur) $upera- re portionem A B C minori quàm datum $it $patio.

Jungantur enim A N, N M, M L, L B, B S, &c. eritque hac ratione in$cripta quoque portioni figura quædam rectilinea; majorque erit exce$$us figuræ circum$criptæ quæ ex parallelogrammis compo$ita e$t, $uper in$criptam, quàm $upra portionem A B C. Exce$$us autem circum$criptæ $uper in$criptam ex triangulis con$tat, quorum quæ $unt ab una diametri parte, ut A R N, N Q M, M P L, L O B, æquantur dimidio parallelogrammi O D vel B F, quia $in- gulorum ba$es ba$i D F æquales $unt, & omnium $imul al- titudo, parallelogrammi B F altitudini. Eâdem ratione trian- gula qu& $unt ab altera diametri parte, æquantur dimidio parallelogrammi B F: Ergo omnia $imul triangula $ive di- ctus exce$$us æqualis e$t parallelogrammo B F, eóque mi- nor $patio dato. Sed eodem exce$$u adhuc minor erat ex- ce$$us figuræ circum$criptæ $upra portionem A B C: igitur hic exce$$us dato $patio multo minor e$t. Et apparet fieri po$$e quod proponebatur.

THEOREMA II.

_D_Atâ portione hyperboles, vel ellip$is vel circuli portione, dimidiâ ellip$i dimidiove circulo non majore, & dato triangulo qui ba$in habeat ba$i por- tionis æqualem; pote$t utrique figura circum$cribi ex parallelogrammis quorum $it omnium eadem latitu- do, ita ut uterque $imulexce$$us quo figuræ circum- $criptæ portionem & triangulum $uperant, $it minor $patio quovis dato.

[0017]HYPERB. ELLIPS. ET CIRC.

Data $it portio A B C & triangulus D E F, ba$ibus A C, TAB. XXXIV Fig, 2. D F æqualibus; & portionis diameter $it B G, in trian- gulo verò ducta à vertice in mediam ba$in linea E H. Sint autem utræque B G, E H vel ad ba$es rectæ vel æqualiter inclinatæ; & quam rationem habet B G ad E H, in eandem dividatur $patium datum, $intque partes K & L. Circum$cri- batur jam $icut antea portioni A B C figura ordinatè, quæ portionem $uperet exce$$u minore quàm $it $patium K. Et triangulo D E F circum$cribatur figura quæ totidem paral- lelogrammis con$tet, quot $unt in figura portioni A B C cir- cum$cripta.

Quoniam igitur ba$es portionis & trianguli æquales $unt, apparet quidem omnium parallelogrammorum eandem fore latitudinem. Hinc quum parallelogrammum B M $it ad E R ut B G ad E H, id e$t ut K ad L, $itque B M minus quam K , erit quoque E R minus quam L . Verùm omnia trian- Ex con$it. 14. 5. Elem. gula quibus con$tat exce$$us figuræ circum$criptæ $upra trian- gulum D E F, æqualia $unt parallelogrammo E R, ergo minor e$t idem exce$$us $patio L. Sed & exce$$us quo figu- ra circum$cripta portionem A B C $uperat, minor e$t $pa- tio K. Ergo utergue $imul exce$$us minor erit $patio K L dato. Et con$tat fieri po$$e quod proponebatur.

THEOREMA III.

_S_I portioni hyperboles, vel ell<007>p$is vel circuli por- tioni, dimidiâ ellip$i dimidiove circulo non majori, circum$cribatur figur a or dinatè; ejus figuræ centrum gravitatis erit in portionis diametro.

Sit portio quælibet i$tarum A B C, diameter ejus B D; TAB. XXXVI. Fig. 3. & circum$cribatur ei ut $upra figura ordinatè. O$tenden- dum e$t ejus figuræ centrum gravitatis fore in B D diametro. Ducantur lineæ H K, N R, P S, conjungentes $uprema latera parallelogrammorum quæ à diametro portionis æqua- liter utrinque di$tant.

[0018]THEOR. DE QUADRAT.

Quoniam igitur F H, L K $unt diametro B D parallelæ, $untque D F, D L æquales, oportet lineam H K, quæ duas F H, L K conjungit, à diametro B D bifariam $ecari; qua- re eadem H K parallela erit ba$i A C , & E H K G recta 5. _lib_. 2. _con_. linea. Itaque E C parallelogrammum e$t; cujus oppo$ita la- tera quum bifariam dividat diameter B D, erit in ea paral- lelogrammi centrum gravitatis . Eâdem ratione parallelo- 9. _lib_. 1. _Arch. de_ _Æquipond_. gramma erunt H M, N O, P Q, & $ingulorum centra gra- vitatis in linea B D. Ergo & figuræ ex omnibus dictis pa- rallelogrammis compo$itæ centrum gravitatis in eadem B D reperiri nece$$e e$t. I$ta autem figura eadem e$t quæ portio- ni ordinatè fuerat circum$cripta. Ergo figuræ portioni ordi- natè circum$criptæ centrum gravitatis con$tat e$$e in B D por- tionis diametro. Quod erat o$tendendum.

THEOREMA IV.

_P_Ortionis hyperboles, ellip$is & circuli, centrum gravitatis e$t in portionis diametro.

E$to portio hyperboles, vel ellip$is vel circuli dimidiâ pri- TAB. XXXIV. Fig. 4. mum figurâ non major, A B C; diameter ejus B D. O- $tendendum e$t, in B D reperiri portionis A B C gravitatis centrum.

Si enim fieri pote$t, $it extra diametrum in E, & ducatur E H diametro B D parallela. Dividendo itaque D C conti- nuè bifariam, relinquetur tandem linea minor quam D H; $it ea D F, & circum$cribatur portioni figura ordinatè ex parallelogrammis quorum ba$es æquales $int lineæ D F, & jungantur B A, B C. Figuræ itaque portioni circum$cri- ptæ centrum gravitatis e$t in B D portionis diametro. Sit hoc K, & jungatur E K, producaturque, & occurrat ei A L parallela B D. Quia autem portio major e$t triangulo A B C, & exce$$us quo figura circum$cripta portionem $uperat, mi- nor parallelogrammo B F, uti $upra demon$tratum fuit ; Theor. 1. erit major ratio portionis A B C ad dictum exce$$um, quàm trianguli A B C ad B F parallelogrammum, id e$t quàm [0019]HYPERB. ELLIPS. ET CIRC. A D ad D F; multoque major quam A D ad D H, vel quàm L K ad K E. Sit itaque M K ad K E $icut portio A B C ad exce$$um quo ip$a $uperatur à figura ordinatè cir- cum$cripta. Itaque cum K $it centrum grav. figuræ portio- ni circum$criptæ, & E centrum grav. ip$ius portionis; erit M centrum gravitatis omnium $patiorum quæ eundem exce$- $um con$tituunt . Quod e$$e non pote$t; Nam $i per M 8. _lib_. 1. _Arch. de_ _Æquipond_. linea ducatur diametro B D parallela, erunt ab una parte omnia quæ diximus $patia. Manife$tum e$t igitur, portio- nis A B C centrum grav. e$$e in B D portionis diametro.

E$to nunc A B C portio ellip$is vel circuli, dimidiâ fi- TAB. XXXIV. Fig. 5. gurá major. Ab$olvatur figura, & producatur B D u$que dum $ectioni occurrat in E; erit igitur portionis A E C dia- meter E D, & B D E diameter totius figuræ. Et quoniam in B D E diametro e$t figuræ totius centrum gravitatis, (hoc enim ex prædemon$tratis con$tabit, $i in duo æqualia tota figura dividatur diametro quæ ip$i A C $it parallela,) & in eadem centr. gravitatis A E C portionis minoris, $icut mo- dò o$ten$um fuit; erit quoque centr. gravitatis portionis re- liquæ A B C in B D E ; quod erat o$tendendum.

8. _lib_. 1. _Archim. dc_ _Æqu@pond_. LEMMA.

E$to linea E B, cui ad utrumque terminum adjiciantur æ- TAB. XXXIV. Fig. 6. quales duæ E S, B P, & in$uper alia P D. Dico id quo rectangulum E D B excedit E P B, æquari rectangulo S D P. E$t enim rectangulum E D B æquale i$tis duobus, rectangulo E D P & rectangulo $ub E D, P B: quorum ultimum $uperat rectangulum E P B rectangulo D P B. Igitur exce$$us rectan- guli E D B $upra rectangulum E P B æqualis e$t duobus i$tis, rectangulo E D P, & D P B. Sed rectangulum E D P addito rectangulo D P B, id e$t rectangulo $ub E S, D P, æquale fit rectangulo S D P. Manife$tum e$t igitur, exce$$um re- ctanguli E D B $upra E P B, æquari rectangulo S D P.

E$to rur$us linea E B, cui ad utrumque terminum aufe- TAB. XXXIV. Fig. 7. Idem hoc aliter demon$tratum reperi apud Pappum, lib. 7. Prop. 24. Vide eundem, lib. 7. Prop. 57. [0020]THEOR. DE QUADRAT. rantur duæ æquales E S, B P, & in$uper alia P D. Dico iterum, id quo rectangulum E D B excedit E P B, æquari rectangulo S D P. Rectangulum enim E D B æquale e$t i$tis duobus, rectangulo E D P, & rectangulo $ub E D, P B; horum autem E D P rur$us æquale e$t duobus, rectangulo ni- mirum S D P, & ei quod continetur $ub E S, D P, $ive rectangulo D P B. Igitur rectangulum E D B i$tis tribus æ- quale e$t rectangulis, S D P, D P B, & rectangulo $ub E D, P B; horum vero duo po$trema æquantur rectangu- lo E P B; ergo rectangulum E D B æquale e$t duobus, re- ctangulo nimirum S D P & E P B, unde apparet exce$- $um rectanguli E D B $upra rectangulum E P B æquari re- ctangulo S D P.

THEOREMA V.

_D_Atâ portione hyperboles, vel ellip$is vel cir- culi portione, dimidiâ figurâ non majore; $i ad diametrum con$tituatur triangulus huju$modi, qui verticem habeat in centro figuræ, & ba$in portio- nis ba$i æqualem & parallelam; eam verò quæ de- inceps à vertice ad mediam ba$in pertingit tantam, ut po$$it ip$a rectangulum comprehen$um lineis, quæ inter portionis ba$in & terminos diametri figuræ in- terjiciuntur. Erit magnitudinis, quæ ex portione & præ$cripto triangulo componitur, centrum gravita- tis punctum idem quod e$t trianguli vertex, cen- trum nimirum figuræ.

Data $it portio hyberboles, vel ellip$is vel circuli portio TAB. XXXV. Fig. 1. 2. 3. dimidiâ figurâ non major, A B C. Diameter ejus $it B D, & figuræ diameter B E, in cujus medio centrum figuræ F. Et $umatur F G quæ po$$it rectangulum B D E, ductâque K G H æquali & parallelâ ba$i A C, quæque ad G bi$a- [0021]HYPERB. ELLIPS. ET CIRC. riam dividatur, jungantur K F, F H. Demon$trandum e$t, quòd magnitudinis compo$itæ ex portione A B C & trian- gulo K F H, centrum gravitatis e$t punctum F.

Si non e$t in F, $it $i fieri pote$t primùm ab ea parte pun- cti F quæ e$t ver$us A B C portionem, atque e$to pun- ctum L; con$tat autem futurum in recta B D G, quum in hac $int utraque centra gravitatis portionis & trianguli K F H. Jungantur A B, B C, & quam rationem habet G F ad F L, eam habeat magnitudo compo$ita ex triangulis A B C, K F H ad $patium quoddam M; & circum$cribantur portioni & tri- angulo K F H figuræ ordinatè, ex parallelogrammis quo- rum omnium $it eadem latitudo, ita ut duo $imul exce$$us quibus i$tæ figuræ $uperant portionem A B C & triangu- lum K F H, minores $int $patio M . Igitur duorum $imul _Theor_. 2. _h_. triangulorum A B C, K F H ad dictos duos exce$$us $ive re$idua major erit ratio quàm ad M, id e$t quàm G F ad F L; ac proinde longè major ratio portionis A B C unà cum K F H triangulo ad eadem re$idua quam G F ad F L. Sit itaque N F ad F L, $icut portio A B C $imul cum trian- gulo K F H ad duo re$idua, & cadet terminus N ultra tri- anguli ba$in K H. Jam per F ducatur O Ξ parallela ba$i A C vel K H; & duorum quorumcunque parallelogram- morum, quæ in portione & in triangulo K F H æqualiter à diametro di$tabunt, ut $unt R Q, Σ T, $int centra gra- vitatis V & X; per quæ ducatur recta Z Λ Δ Ω, $ecans li- neam Ο Ξ in Y; & ducatur R P ba$i A C parallela, ab$ci$- $æque ad verticem lineæ P B $umatur æqualis, ex altero diametri figuræ termino, E S.

Quoniam igitur ad diametrum figuræ ordinatim $unt ap- plicatæ C D & R P, erit ut rectangulum B D E ad rectan- gulum B P E, ita quadratum C D ad R P quadratum ; 21. _lib_. 1. _Con_. verùm ut C D ad R P, hoc e$t, ut H G ad Ψ G, ita e$t H F ad Σ F, & ita Z Y ad Λ Y igitur ut C D quadratum ad quadratum R P, id e$t ut rectangulum B D E ad B P E, Notatu dignum quod K F, F H in hyperbole $unt a$ymptoti. [0022]THEOR. DE QUADRAT. ita e$t quadratum Z Y ad Λ Y quadratum. Quare & per con- ver$ionem rationis, $icut rectangulum B D E ad differenti- am rectangulorum B D E, B P E, ita quadratum Z Y ad differentiam quadratorum Z Y, Λ Y. E$t autem differentia rectangulorum B D E, B P E, æqualis rectangulo S D P, $icut lemmate præmi$$o demon$tratum e$t; differentia verò quadratorum Z Y, Λ Y, æqualis quadrato Z Λ & duobus rectangulis Z Λ Y , $ive quod idem e$t, rectangulis Z Λ X, 4. _lib_. 2. _Elem_. Z Λ Y bis $umptis, hoc e$t, duplo rectangulo $ub Z Λ, X Y. Itaque $icut e$t rectangulum B D E ad rectangulum S D P, ita quadratum Z Y ad duplum rectangulum $ub X Y, Z Λ. quare cum rectangulum B D E quadrato F G æquale $it , ideoque & quadrato Z Y, erit quoque rectan- _Ex con$tr_. gulum S D P æquale duplo rectangulo $ub X Y, Z Λ . 14. 5. _E-_ _lem_. Quia verò F punctum dividit B E per medium, $untque æquales B P, E S, etiam F P, F S æquales erunt, unde additi utrique F D, erit S D æqualis toti P F D id e$t Δ Y Ω: $ed Δ Y Ω dupla e$t lineæ V Y, quia bis continet utramque Y Δ, Δ V in hyperbole, in ellip$i verò & circulo bis utramque V Ω & Ω Y; ergo & S D dupla V Y, ideo- que rectangulum S D P æquale duplo rectangulo $ub Y V, Ω Δ. Sed idem rectangulum S D P æquale o$ten$um fuit duplo rectangulo $ub X Y, Z Λ; ergo æquale e$t rectangu- lum $ub Y V, Ω Δ, rectangulo $ub X Y, Z Λ. E$t itaque Y V ad Y X, ut Λ Z ad Ω Δ ; verùm ut Λ Z ad Ω Δ, ita 16. _l_. 6. 6. _Elem_. e$t parallelogrammum Σ T ad R Q; itaque & Y V e$t ad Y Χ ut parallelogrammum Σ T ad R Q parallelogr. Sunt autem puncta X & V centra gravitatis dictorum parallelo- grammorum; ergo magnitudinis ex utroque parallelogram- mo compo$itæ centrum gravitatis e$t punctum Y . Eâdem 7. _lib_. 1. _A@chim. de_ _Æquip_. ratione o$tendi pote$t de reliquis omnibus parallelogrammis, quod duorum quorumlibet oppo$itorum centrum gravitatis e$t in linea O Ξ. Ergo totius magnitudinis quæ ex duabus $iguris utrimque ordinatè circum$oriptis componitur, centr. gravitatis in eadem O Ξ reper@ri nece$$e e$t. Sed eju$dem com- po$itæ magnitudinis centrum gravit. e$t quoque in recta [0023]HYPERB. ELLIPS. ET CIRC. B D G, quoniam in ea $unt centra gravitatis utriusque fi- guræ circum$criptæ ; igitur magnitudinis ex dictis figuris _Theor_. 3. _h_. compo$itæ centrum grav. e$t ip$um punctum F. Po$itum au- tem fuit L punctum centrum gravitatis ejus magnitudinis quæ ex portione A B C & K F H triangulo componitur; igi- tur magnitudinis reliquæ, compo$itæ ex duobus re$iduis, quæ in figuris circum$criptis remanent, erit centr. grav. in producta L F, ubi ea $ic terminatur, ut pars adjecta habeat ad F L eandem rationem quam portio A B C $imul cum K F H triangulo ad dicta duo re$idua : is autem termi- 8. _lib_. 1. _Archine. d e_ _Æqu<007>pond_ nus e$t N; itaque N punctum e$t centrum gravitatis duo- rum re$iduorum. Quod fieri nequit; Nam $i per N ducatur recta ba$i K H parallela, erunt ab una parte $patia omnia è quibus utrumque re$iduum con$tat. Non e$t igitur L pun- ctum centrum gravitatis magnitudinis ex portione A B C & K F H triangulo compo$itæ. Sed neque erit ab altera parte puncti F. Namque hoc $i dicatur, planè $imili demon$tratio- ne eò devenietur ut duorum re$iduorum quæ demptâ port<007>o- ne A B C & K F H triangulo, in circum$criptis figuris $u- pererunt, centrum gravitatis $it ultra portionem A B C; quod e$t æquè ab$urdum. Reliquum e$t igitur ut $it ip$um pun- ctum F; quod erat o$tendendum.

THEOREMA VI.

_O_Mnis hyperboles portio ad triangulum in$cri- ptum, eandem cum ip$a ba$in habentem ean- demque altitudinem, hanc habet rationem; quam $ub$e$quialtera duarum, lateris tran$ver$i & dia- metri portionis, ad eam quæ ex centro $ectionis ducitur ad portionis centrum gravitatis.

E$to hyperboles portio, & in$criptus ei, qualem diximus, TAB. XXXIV. Fig. 8. triangulus A B C; diameter autem portionis $it B D, & latus tran$ver$um $ive diameter $ectionis B E, in cujus me- dio centrum $ectionis F. Et ponatur centrum gravitatis in [0024]THEOR. DE QUADRAT. portione punctum L. Dico portionem ad in$criptum trian- gulum A B C eam habere rationem, quam duæ tertiæ to- tius E D ad F L.

Con$tituatur enim ad diametrum, ut in præcedentibus, triangulus K F H; $cilicet ut quadratum F G æquetur re- ctangulo E D B, & ut ba$is K H $it ba$i A C æqualis & parallela: eju$que trianguli $it centrum gravitatis M, $um- ptâ nimirum F M æquali duabus tertiis lineæ F G .

14. _lib_. 1. _Arch. de_ _Æquip_.

E$t itaque triangulus K F H ad A B C triangulum, ut F G ad B D: verùm ut F G ad B D, ita e$t E D ad F G, quia quadratum F G æquale e$t rectangulo E D B; & ut E D ad F G, ita $unt duæ tertiæ E D ad duas tertias F G, id e$t F M; ergo triangulus K F H ad triangulum A B C, ut duæ tertiæ E D ad F M. E$t autem portio hyperboles ad triangulum K F H, ut F M ad F L , quoniam æqui- 7. _lib_. 1. _Archim. de_ _Æquipond_. librium portionis & trianguli K F H e$t in puncto F , & centra gravitatis $ingulorum puncta L & M; ex æquali igi- _Thcor_. 5. _h_. tur in proportione perturbata, erit portio ad triangulum A B C, ut duæ tertiæ lineæ E D ad F L : quod erat de- 23. _lib_. 5. _Elem_. mon$trandum.

THEOREMA VII.

_O_Mnis ellip$is vel circuli portio ad triangulum in$criptum, eandem cum ip$a ba$in habentem eandemque altitudinem, hanc habet rationem; quam $ub$e$quialtera diametri portionis reliquæ, ad eam quæ ex figuræ centro ducitur ad centrum gravitatis in portione.

E$to ellip$is vel circuli portio primùm dimidiâ figurâ non TAB. XXXV. Fig. 4. 5. major, & in$criptus ei triangulus A B C, eandem cum portione ba$in habens, eandemque altitudinem; diameter au- tem portionis $it B D, quæ producatur, & manife$tum e$t quod tran$ibit per centrum figuræ; $it hoc F, & diameter portionis reliquæ D E. Et ponatur centrum gravitatis in por- [0025] [0025a] Pag. 324. TAB. XXXIV. Fig. 1. O B E P L S Q M R N A K H G D F C Fig. 3. B Q P S O N R M E H K G A F D L C Fig. 2. B E A G M C D H R F K L Fig. 4. B M L K E A D F H C Fig. 5. B B A D C A D C E E Fig. 8. K G H M E F B L A D C Fig. 6. S E B P D Fig. 7. E S D P B [0026] [0027]HYPERB. ELLIPS. ET CIRC. tione A B C punctum L. Dico igitur portionem ad in$cri- ptum $ibi triangulum A B C eam habere rationem quam duæ tertiæ E D ad F L. Con$tituatur enim ut $upra triangulus K F H, cujus nimirum ba$is K H $it ba$i A C æqualis & parallela, & F G quæ à vertice ad mediam ba$in pertingit po$$it rectangulum B D E: & centrum gravitatis trianguli K F H $it M punctum, $umptâ $cilicet F M æquali duabus 14. _lib_. 1. _Arch. de_ _Æquip_. tertiis lineæ F G .

Triangulus igitur K F H e$t ad triangulum A B C, ut F G ad B D; ut autem F G ad B D, $ic e$t E D ad F G, quia quadratum F G æquale e$t B D E rectangulo; & ut E D ad F G, $ic $unt duæ tertiæ E D ad duas tertias F G, id e$t, ad F M. Ergo triangulus K F H ad triangulum A B C, $icut duæ tertiæ E D ad F M. Portio autem A B C e$t ad triangulum K F H, ut F M ad F L , quoniam æquili- 7. _lib_. 1. _Archim. de_ _Æqu<007>pond_. brium eorum e$t in F , & centra gravitatis $ingulorum pun- _Theor_. 5. _h_. cta L & M; Ergo ex æquali in proportione perturbata, erit portio A B C ad A B C triangulum, $icut duæ tertiæ E D ad F L .

23. _lib_. 5. _Elem_.

Sit nunc portio A B C dimidiâ figurâ major. Dico eam TAB. XXXVI. Fig. 1. 2. rur$us ad in$criptum triangulum eam habere rationem, quam duæ tertiæ E D ad F L.

Ponatur enim portionis reliquæ A E C centrum gravitatis H punctum, & jungantur A E, E C. Igitur per ea quæ jam o$tendimus, erit portio A E C ad A E C triangulum, ut duæ tertiæ B D ad F H; verùm ut triangulus A E C ad triangulum A B C, $ic e$t E D ad B D, $ive duæ tertiæ E D ad duas tertias B D; ex æquali igitur in proportione perturbata, erit $icut portio A E C ad triangulum A B C, ita duæ tertiæ E D ad F H . Sed ut portio A B C ad 23. _lib_. 5. _Elem_. A E C portionem, ita e$t F H ad F L , quoniam totius 8. _lib_. 1. _Arch. de_ _Æquipond_. figuræ centrum gravitatis e$t F, centraque dictarum portio- num L & H; Ergo iterum ex æquali in proportione per- turbata, erit portio A B C ad A B C triangulum, ut duæ tertiæ E D ad F L. Omnis igitur Ellip$is vel circuli portio &c. Quod erat demon$trandum.

[0028]THEOR. DE QUADRAT. THEOREMA VIII.

_I_N $emicirculo & quolibet circuli $ectore, habet arcus ad duas tertias rectæ $ibi $ubten$æ hanc ra- tionem, quam $emidiameter ad eam, quæ ex centro ducitur ad $ectoris centrum gravitatis.

E$to primùm $emicirculus A B C, de$criptus centro D, TAB. XXXVI. Fig. 3. $ectu$que bifariam rectâ B D, in qua centrum gravitatis $emicirculi $it E . Dico arcum A B C e$$e ad duas tertias _Theor_. 4. _h_. A C, $icut B D ad D E. Jungantur enim A B, B C. Igi- tur, ut $emicirculus ad triangulum A B C, $ic $unt duæ ter- tiæ B D ad D E , e$t enim B D æqualis diametro portio- _Theor_. 7. _h_. nis reliquæ. Verùm etiam ut $emicirculus, id e$t, ut trian- gulus habens ba$in æqualem arcui A B C & altitudinem B D, ad A B C triangulum, ita e$t arcus A B C ad A C re- ctam; ergo ut arcus A B C ad A C, ita $unt duæ tertiæ B D ad D E, & permutando, ut arcus A B C ad duas tertias B D, ita A C ad D E, $ive ita {2/3} A C ad {2/3} D E, unde rur- $us permutando, ut arcus A B C ad {2/3} A C, ita {2/3} B D ad {2/3} D E, $ive ita, B D ad D E.

TAB. XXXVI. Fig. 4.

Sit deinde $ector D A B C, $emicirculo minor, bifariam $ectus rectâ D B, in qua $ectoris centrum gravitatis ponatur E punctum, & ducatur $ubten$a A C. Dico rur$us, arcum A B C ad duas tertias rectæ A C eam habere rationem, quam B D ad D E. Jungantur enim A B, B C, & totius circuli $it diameter K D B, quæ producatur in Q, ut fiat Q F, ad B F, $icut portio A C B ad A B C triangulum, & jungantur A Q, Q C; erit jam triangulus A Q C portio- ni A C B æqualis. Ponantur deinde centra grav<007>tatis, G tri- anguli A C D, & H portionis A C B; & $icut D Q ad Q F, ita $it H D ad D R.

Quia igitur $icut portio A C B $ive triangulus A Q C ad triangulum A B C, id e$t, ut Q F ad B F, ita {2/3} K F ad D H , erit rectangulum $ub Q F, D H, æquale duabus _Theor_. 7. _h_. [0029] [0029a] Pag. 326. TAB. XXXV. Fig. 1. N H T Z Ψ G K X S Σ Α E Ξ Y F O L B Δ R P V C Q Ω D M Fig. 5. B L A C D F M G K E H Fig. 4. B L A C D F M G K H E Fig. 2. B Δ P R V C Q Ω D A L F O Y Ξ Α Σ X S G K Ψ Z T H E N M Fig. 3. B Δ P R V A D Ω Q C L F O Y Ξ Α Σ X S G K E Ψ Z T H E N M [0030] [0031]HYPERB. ELLIPS. ET CIRC. tertiis rectanguli K F B , id e$t, duabus tertiis quadrati 16. _lib_. 6. _Elem_. A F; $ed idem rectangulum $ub Q F, D H, æquale e$t re- ctangulo Q D R, quia ut Q D ad Q F, ita fecimus e$$e D H ad D R; ergo rectangulum Q D R æquale duabus ter- tiis quadrati A F, ideoque ut Q D ad A F ita {2/3} A F ad D R : $ed ut Q D ad A F, $ic quoque e$t rectangulum $ub Q D, 16. _lib_. 6. _Elem_. A F, cui æquale quadrilaterum D A Q C, id e$t, $ector D A B C ad A F quadratum; ergo & $ector D A B C ad quadratum A F, ut {2/3} A F ad D R. Porro quoniam E cen- trum gravitatis e$t totius $ectoris, & H centrum grav. por- tionis A C B, G vero trianguli A C D, con$tat e$$e, $icut triangulus A C D ad A C B portionem $ive ad triangulum A Q C, id e$t, ut D F ad F Q, ita H E ad E G ; quare 8. _lib_. 1. _Arch. de_ _Æquipond_. convertendo & per compo$itionem rationis erit ut D Q ad D F, ita G H, ad H E. Sed quia fecimus ut D Q ad Q F, ita H D ad D R, erit quoque per conver$ionem rationis, ut D Q ad D F, ita H D ad H R; ergo H D ad H R ut G H ad H E; quare & reliqua G D ad reliquam E R, ut 19. _lib_. 5. _Elem_. H D ad H R , hoc e$t, ut D Q ad D F. Sicut autem D Q ad D F, ita e$t quadrilaterum D A Q C, cui æqualis $ector D A B C ad A C D triangulum; igitur $ector D A B C ad A C D triangulum ut G D ad E R: E$t autem A C D triangulus ad D F quadratum, ut A F ad D F, $ive ut {2/3} A F ad {2/3} D F id e$t D G. Igitur ex æquali in proportione perturbata, $icut $ector D A B C ad quadratum D F, ita {2/3} A F ad E R , & convertendo, quadratum D F ad $ectorem D A B C, 23. _lib_. 5. _Elem_. ut E R ad {2/3} A F. Fuit autem ante o$ten$um, quadratum A F e$$e ad $ectorem D A B C, ut D R ad {2/3} A F; igitur duo $imul quadrata, D F & A F, $ive unum quadratum D A ad $ectorem D A B C ut duæ $imul E R & R D, id e$t ut tota E D ad {2/3} A F . E$t verò etiam quadratum D A 24 _lib_. 5. _Elem_. ad D A B C $ectorem, $icut linea D A ad arcum A B, quia nimirum $ector D A B C æqualis e$t rectangulo, ba$in ha- benti æqualem arcui A B & altitudinem D A; ergo $icut D A ad arcum A B, ita E D ad {2/3} A F; & permutando, arcus A B ad {2/3} A F, $ive arcus A B C ad {2/3} A C, ut D A vel B D ad D E.

[0032]THEOR. DE QUADRAT. HYPERB. &c.

E$to jam denique $ector D A B C $emicirculo major, & TAB. XXXVI. Fig. 5. ponantur ea quæ priùs, & perficiatur circulus B A F C, & totius diameter $it B D F, in qua erit quoque centrum grav. $ectoris reliqui D A F C , quot $it G.

8. _lib_. 1. _Arch. de_ _Æquip_.

Quia igitur circuli totius centrum gravitatis e$t D, & duorum $ectorum centra grav. E & G, erit $icut $ector D A B C, ad $ecto- rem D A F C, id e$t, $icut arcus A B C ad arcum A F C, ita G D ad D E : verum ut arcus A F C ad {2/3} A C, ita e$t D F 8. _lib_. 1. _Arch. de_ _Æquip_. ad D G, $icuti modò o$ten$um e$t; ergo ex æquali in pro- portione perturbata, $icut arcus A B C ad {2/3} A C, ita erit D F vel B D ad D E . Con$tat itaque quod in $emicircu- 23. _lib_. 5. _Elem_. lo & quolibet circuli $ectore &c. quod erat demon$trandum.

ἘΞἘΤΑΣΙΣ CYCLOMETRIÆ _CLARISSIMI VIRI,_ GREGORII à S. VINCENTIO, S. J. Editæ Anno D. cIɔ Iɔc XLVII.

ANte quinquennium circiter Vir eruditi$$imus & Geometriâ celeberrimus, Gregorius à S. Vin- centio, quatuor modos propo$uit quadrandi Cir- culum, unum vero eorum etiam Quadraturæ Hy- perboles applicavit: quem cæteris potiorem ab ip$o exi$timari ex multis indiciis colligere licet. Unum e$t hoc ip$um quod duas diver$arum figurarum quadraturas per eundem hunc demon$travit; alterum quod evidentior multò $it hic modus quam reliqui tres, ideoque minus errori obno- xius videri debuerit; nonnullum etiam quod primo eum lo- co produxit; Et denique hoc maximum e$t, quod in iis quæ @d lectorem in principio totius operis præfatur, ubi $uæ in- [0033] [0033a] Pag. 328. Fig. 2. B L F A D C H E Fig. 1. B L F A D C H E Fig. 3. B E A D C Fig. 4. Q B H A F C E G R D K Fig. 5. B E D A C G F [0034] [0035]ΕΞΕΤΑΣΙΣ CYCLOM. GR. à S. VINC. ventionis hi$toriam & progre$$um paucis expo$uit, nullius modi præter hunc unum meminerit. Potuit autem & aliam rationem habui$$e tres po$teriores quadraturas illic $ilentio prætereundi, eam videlicet, quod quatuor omnes $ciret ex ii$dem principiis deductas & demon$tratas e$$e. Sed mihi vel alterutra harum con$iderationum $ufficere vi$a e$t, ut per- $uaderet unam pro omnibus fore di$cu$$ionem quæ quadra- turam primariam infirmatura e$$et, reliquarum agmen du- centem. Si enim erratum in ea o$tenderimus quæ minus ob$curitatis habet, non video quâ ratione melior $uc- ce$$us expectandus $it in tribus $equentibus, quæ maximâ caligine involvuntur, qua$que Auctor ip$e vel uni illi po$t- habere videtur. Principia quæ communia e$$e omnibus qua- draturis dixi, ea $unt nova inventa de Proportionalitatibus Geometricis $ive de Proportionum proportionibus, & de Ductibus plani in planum. Quæ quidem pror$us non impu- gnabo, nam & $olida corpora quæcunque in Geometria con- $iderare licere exi$timo, & alia omnia adhiberi po$$e, quæ modò ullo auxilio fore credimus ad inve$tigationem veri. U- num tamen prætermittere nequeo quin dicam, Clar. Virum non $atis feliciter quædam inventa in materia Proportiona- litatum ad Quadraturam applica$$e, atque hinc, meâ opi- nione, ip$i extiti$$e erroris cau$am. Primùm omnium id in propo$. 39. lib. 10. Oper. Geom. ob$ervaveram. Po$itis enim numeris fortuitò a$$umptis, 2, 3, 4, 5; deinde horum quadratis 4, 9, 16, 25; & quadratorum, quadratis, 16, 81, 256, 625; videbam duodecim hi$ce eandem demon$tra- tionem convenire, quæ in dicta prop. 39. $cripta e$t de to- tidem parallelepipedis. Et quum tamen conclu$io nullam ido- neam admitteret interpretationem, non dubitabam quin æ- què ip$ius ac mea argumentatio, quam ii$dem verbis forma- veram, aliquid ab$urdi contineret. Po$terior autem demon- $trationis pars rectè $e habebat, ideoque arguebat peccatum In hac Propo$. 39. etiam Carte$ius paralogi$mum o$tendit Epi$t. ad Schotenium. [0036]ΕΞΕΤΑΣΙΣ CYCLOM. in priori. Sed veritus ne intricata & prolixa hinc nobis di$- putatio oriretur, ad alias inventiones me converti, & tan- dem ea $e$e obtulerunt, quæ paucis hic per$cribere con$titui. Nulla per hæc propo$itionum Cl. Viri in controver$iam vo- cabitur; $ed contrà multis earum probatis, atque in u$um meum conver$is, eò rem deducam, ut $i quidem non impo$- $ibile dicet quadraturam $uam ad exitum perducere, & per eam reap$e invenire rectilineum circulo æquale, o$tendam qui id facillimè impo$terum a$$equatur. Deinde ve$tigia i- p$ius in$i$tens demon$trabo, quibus hactenus nobis præce$$it, iis nequaquam ad optatum finem perveniri po$$e, $ed e$$e $ub$i$tendum ad conclu$iones perquam ab$urdas. Atque ut ad rem veniamus.

E$to circulus cujus centrum F, diameter C D. Et divi$o TAB. XXXVII. Fig. 1. radio F C bifariam in G, ducantur ip$i ad angulos rectos F E, G H. Dico, datâ ratione $egmenti C H G ad G H E F $egmentum, dari quoque rationem circuli ad in$criptum $ibi hexagonum regulare. Jungantur enim F H, H C, & mani- fe$tum e$t triangulum F H C fore æquilaterum; item qua- drantis arcum C E triplum fore arcus H E. Si ergo data $it ratio $egmenti C H G ad G H E F $egmentum, componen- do quoque, data erit ratio quadrantis F E C ad $egmentum G H E F. Sed data quoque e$t ratio $ectoris F H E ad qua- drantem F E C, ergo datur quoque ratio $egmenti G H E F ad $ectorem F H E; ac proinde dabitur quoque ratio $e- gmenti G H E F ad triangulum F H G; quare & ratio $e- ctoris F H E ad triangulum F H G data erit. Sed huic ra- tioni eadem e$t ratio $ectoris F H C ad triangulum F C H, (quoniam hæc utriu$que præcedentium dupla $unt;) eadem- que e$t circuli ratio ad hexagonum regulare $ibi in$criptum. Ergo & hanc datam e$$e apparet: quod erat demon$tran- dum.

TAB. XXXVII. Fig. 1. 2.

Sunto nunc lineæ A B, C D, E F, $ingulæ æquales dia- metro circuli C D: & $uper unaquaque harum con$truantur bina quadrata. Deinde verticibus A & B de$cribantur $emi- parabolæ A V G, B T H, quarum ba$es $int quadratorum [0037]GREGORII à S. VINCENTIO. latera B G, A H. In duobus $equentibus quadratis duean- tur diagonii C I, D K. Sed in po$tremis rur$us $emipara- bolæ de$cribantur E Σ L, F Π M, quarum vertices E & F, axes vero $int quadratorum latera E Ψ, F Ω, & ba$es Ψ L, Ω M. Porro divi$is bifariam $ingulis lineis quæ ab initio po$itæ fuerunt, in N, O, P, & medietatibus rur$us bifariam in Q, R, S, ducantur per divi$ionum puncta, qua- dratorum lateribus parallelæ, T V, X Y; Ζ Γ, Δ Θ, Π Σ, Λ Ξ.

O$tendit itaque Cl. V. in demon$tr. prop. 52. lib. 10. Oper. Geom. & veri$$imum e$t, in circulo $uperiori $e- gmentum C H G ad $egmentum G H E F, eandem habere rationem quam habet hîc $olidum quod fit ex ductu plani A Y Q in planum A H X Q, ad $olidum ortum ex ductu plani Q Y V N in planum Q X T N; $icut enim ille in $uo $chemate $umit æquales lineas _h i, k l_, ita nobis æqua- les $unt $umptæ in circulo, C G, G F, & hi$ce pares A Q, Q N.

Atque ut ip$a demon$trandi methodus quoque no$catur, ea huju$modi e$t. In prop. 51. lib. 10. o$tenditur, $olidum quod fit ex ductu $emiparabolæ A B G in $emipar. A B H, æquari $emicylindro, ba$in habenti $emicirculum C E D & altitudinem C D. Deinde in Corollario eju$dem prop. idem quoque $ingulis partibus quod totis $olidis convenire doce- tur. Nimirum id $olidum quod fit ex ductu plani Q Y V N in planum Q X T N, æquatur quoque parti dicti $emicy- lindri quæ in$i$tit $egmento G H E F; Itemque $olidum ex ductu plani A Y Q in pl. A H X Q, æquatur eju$dem $emicy- lindri parti quæ in$i$tit $egmento C H G. Quorum hoc vel ex eo con$tat, quod alioqui duo i$ta $olida $imul $umpta, hoc e$t, $olidum ex ductu plani A V N in pl. A H T N, æquale non e$$et dimidio ejus quem diximus, $emicylin- dri; & con$equenter fal$um quoque e$$et quod in confe$- $o e$t, nimirum $olidum ex ductu $emiparab. A B G in $e- miparab. A B H æquari toti $emicylindro. Apparet igitur, quoniam dictæ $emicylindri partes eandem inter $e rationem [0038]ΕΞΕΤΑΣΙΣ CYCLOM. habent quam ba$es quibus in$i$tunt, certum e$$e quod dixi- mus, $egmentum circuli C H G ad G H E F, e$$e ut $oli- dum ex ductu plani A Y Q in pl. A H X Q ad $olidum ex ductu plani Q Y V N in pl. Q X T N.

Hæc ita enucleatè $cribere volui, ne cui ignaro forta$$e na- turæ demon$trationum quibus Cl. V. utitur, $crupulus re- $tare po$$et, quod ubi ille in d. prop. 52, lib. 10, duo cir- culi $egmenta con$iderat, quale ferè e$t G H E F, ego pro altero eorum $ump$erim $egmentum C H G: Quodque in linea A B ab ip$o termino A æquales partes capiam A Q, Q N. Ip$um autem Cl. Virum hæc remorari non po$$unt, neque hîc, neque in $equentibus; quia cum in d. prop. 52. & 44, lib. 10. præcipit in linea _a b_ æquales inter $e $umi _h i, k l_, $cit hoc nullam limitationem admittere; $icut & in $chemate communi prop. 39, lib. 10, ubivis in linea _a b_ $umitur _i k_, quæ dividitur in duas æquales _i m, m k_. Idem contingit in prop. $equenti 40.

Revertor autem ad propo$itum, & con$tat nunc quidem, $i detur Ratio $olidi quod fit ex ductu plani A Y Q in pl. A H X Q, ad $olidum ex ductu plani Q Y V N in pl. Q X T N, eo ip$o dari quoque rationem $egmenti C H G ad $egmentum G H E F, ac proinde continuò tunc inveni- ri po$$e quam rationem circulus habeat ad in$criptum hexa- gonum regulare.

Vocemus autem brevitatis gratia, id quod fieri diximus ex ductu plani A Y Q in planum A H X Q, $olidum H Y. Item quod $it ex ductu plani Q Y V N in planum Q X T N, $olidum X V. Similiter quod oritur ex ductu plani C Θ R in planum C K Δ R, vocemus $olidum K Θ; eâdemque brevitate dicamus $olida Δ Γ, Μ Ξ, Λ Σ, quibus quæ de- notentur jam $atis intelligitur.

His $ic con$titutis, $ciendum e$t, omnem $pem & fundamen- tum perficiendæ Quadraturæ Cl. Viro in eo po$itum e$$e, quod exi$timet rationem $olidi H Y ad $olidum X V (quam unicam tantum de$iderari jam admonui) facile inveniri po$- $e, $i cognitæ $int duæ rationes hæ, nimirum ratio $olidi [0039]GREGORII à S. VINCENTIO. Μ Ξ ad $ol. Λ Σ, & ratio $olidi Κ Θ ad $ol. Δ Γ. Sic enim tunc argumentabitur; Nota e$t ratio $olidi Μ Ξ ad $ol. Λ Σ, item ratio $olidi Κ Θ ad $ol. Δ Γ, ergo notum quoque quo- ties illa ratio hanc contineat; Quoties autem illa hanc con- tinet toties hæc ip$a, $cilicet ratio $olidi Κ Θ ad $ol. Δ Γ, continet rationem $olidi H Y ad X V; ergo & hæc ratio nota erit. Quomodo hæc intelligenda $int paulò inferiùs me- lius patebit, ubi eandem argumentationem repetemus. Inter- ea certo $cio, nihil horum quæ dixi mihi à Cl. V. nega- tum iri, modò con$ideret in linea A B, $umptas e$$e æqua- les inter $e partes A Q, Q N, & hi$ce pares C R, R O; E S, S P.

Si igitur indicavero ip$i quæ $it ratio $olidi Μ Ξ ad $ol. Λ Σ, item quæ $it ratio $olidi Κ Θ ad $ol. Δ Γ, & ne tum quidem dicere po$$it quam rationem habeat $olidum H Y ad $ol. X V, fateatur $ane $e fru$tra utramque Quadraturam tenta$$e, tam Circuli quam Hyperboles. Circuli; quoniam tunc videbit nequaquam procedere Propo$itionem 44. lib. 10. Oper. Geom. quæ vana & inanis erit, ni$i ex notis ra- tionibus $olidi Μ Ξ ad $ol. Λ Σ, & $olidi Κ Θ ad $ol. Δ Γ, innote$cat ratio $olidi H Y ad $ol. X V. Hyperboles ve- ro; quoniam prop. 146. ejusd. lib. 10. cui hæc quadratura innititur, eadem e$t cum dicta prop. 44. & ii$dem verbis Hyperbolæ applicatur.

Sin vero datis i$tis duabus rationibus invenire po$thac po- tuerit rationem $olidi H Y ad $ol. X V, tum $e credat Cir- culum reverâ quadravi$$e. Nota enim $ic erit ratio $egmenti C H G in circulo ad $egmentum G H E F, & reliqua facile perficientur.

Dicam autem nunc ip$as Rationes. Et primam quidem, hoc e$t rationem $olidi Μ Ξ ad $ol. Λ Σ, ajo e$$e eandem quæ numeri 53 ad 203. Alteram vero, rationem $olidi Κ Θ ad $ol. Δ Γ, eam quæ 5 ad 11. atque horum utrumque in- frà $um demon$traturus.

Priùs autem quod ab initio promi$i etiam o$tendam, hi$ce Rationibus cognitis, tamen rationem $ol. H Y ad $ol. X V, [0040]ΕΞΕΤΑΣΙΣ CYCLOM. per ea quidem quæ nos adhuc docuit V. Cl. inveniri non po$$e. Etenim inventurus ex datis rationibus, $ol. Μ Ξ ad $ol. Λ Σ, & $olidi Κ Θ ad $ol. Δ Γ, rationem tertiam $o- lidi H Y ad $ol. X V, in hunc modum rationcinabitur, ut videre e$t ex demon$tratione prop. 44. $uprà citatæ, cui hunc ca$um convenire liquidò con$tat. Dicet enim, Notæ $unt prima & $ecunda ratio, (i$tæ enim $unt 53 ad 203, & 5 ad 11,) ergo notum quoque quoties prima $ecundam contineat. Sed quoties prima continet $ecundam, toties $ecunda continet tertiam, (hoc a$$erit prop. 40. lib. 10. oper. Geom.) Ergo notum quoque quoties $ecunda tertiam contineat. Quare cum nota $it $ecunda, etiam tertia nota erit, ea nimirum quam habet $olidum H Y ad $ol. X V.

Con$equenter hoc nunc definiendum ei incumbet, Quo- ties Ratio harum prima $ecundam contineat; hoc e$t, quo- ties ratio 53 ad 203, contineat rationem 5 ad 11. Sed enim quo $en$u verbum _continere_ hîc explicaturus e$t? Num eo, ut idem $ignificet quod alibi _continere per multiplicationem?_ utque ratio 53 ad 203 rationem 5 ad 11. multiplicare dica- tur vel bis (hoc e$t ut illa hujus $it duplicata, ita enim _con-_ _tinere_ intelligendum videtur in propo$itione 40. lib. 10, modo citata) vel ter, vel quater, vel $æpiùs etiam. Et hoc quidem e$$e non pote$t; nam ratio 53 ad 203, rationis 5 ad 11, neque duplicata e$t neque triplicata vel ulterius mul- tiplex, quum demum ratio 53 ad 256 {13/25} $it duplicata rationis 5 ad 11.

An igitur verbum _Continere_ in eum $en$um trahet, quem habet in propo$itione 125. lib. 8. Oper. Geom.? Vix qui- dem illud $u$picari po$$um; $ed etiam$i vellet rur$us inde ab$urdum con$equetur. Nam $ecundum interpretationem i$tam; quoties ratio 53 ad 203 continet rationem 5 ad 11, toties hæc ip$a continebit rationem 5075 ad 6413; hoc autem pa- tebit horum numerorum inter $e rationis examinanti $ecun- dùm regulam dictæ propo$itionis 125. E$$et igitur ratio $oli- di H Y ad $ol. X V, hoc e$t, ratio $egmenti circuli ab ini- tio propo$iti C H G, ad $egmentum G H E F, eadem quæ [0041]GREGORII à S. VINCENTIO. 5075 ad 6413. Quare qualium partium $egmentum C H G e$$et 5075, talium $egmentum G H E F e$$et 6413; & pro- inde quadrans F C E 11488; & $ector F H E (qui qua- drantis tertia pars e$t) 3829 {1/3}: & triangulum G H F 2583 {@/3}. Sicut autem $ector F H E ad triang. G H F, ita e$t $ector F H C ad triangul. F C H, & ita circulus C D ad in- $criptum $ibi hexagonum regulare. Ergo quoque qualium par- tium circulus C D e$$et 3829 {1/3} talium hexagonum in$cri- ptum foret 2583 {2/3}. Qualium autem hexagonum in$criptum e$t 2583 {2/3}, talium hexagonum regulare circum$criptum e$t 3444 {8/9}; quoniam hoc in$cripti e$t $e$quitertium: Ergo qualium partium circulus C D e$$et 3829 {1/3}, talium hexagonum cir- cum$criptum e$$et 3444 {8/9}, atque ita e$$et ip$o circulo mi- nus, quod e$t ab$urdum.

Manife$tum igitur fecimus, ex duabus interpretationibus verbi _Continere_, neutram ca$ui no$tro accommodari po$$e. Aliam autem præter illas nullam in $uo opere attulit; non docuit igitur modum determinandi, quoties ratio $ol. Μ Ξ ad $ol. Λ Σ contineat rationem $ol. Κ Θ ad $olid. Δ Γ, ac proinde nec determinari poterit quoties hæc ratio contineat rationem $olidi H Y ad $olid. X V. Quare liquet, hanc rationem, ne duabus quidem prioribus i$tis datis, per in- venta Clari$$. Viri cogno$ci po$$e: ideoque fru$tra ip$um $pera$$e hoc modo perficere Circuli quadraturam.

Re$tat nunc tantùm ut manife$ta faciam quæ in præce- dentibus po$ita fuere, dixi enim me demon$traturm, quod $olidum Μ Ξ e$$et ad $olid. Λ Σ, ut 53 ad 203: item quod $olidum Κ Θ rationem haberet ad $olidum Δ Γ, quam 5 ad 11.

Quoniam autem ad horum primi demon$trationem nece$$a- rium e$t, ut notum habeamus, quæ $it Ratio ungulæ Paraboli- cæ ad Cylindrum $uum, qui ba$i in$i$tit eidem, & eandem habet altitudinem; idcirco hanc Rationem declarantes, Tra- ctatum Clari$$. Viri, quem de eadem Ungula, Parte 5. lib. 9. propo$uit, uno egregrio Theoremate auctiorem reddemus, quod miror ip$um non inveni$$e, quum ex iis quæ jam [0042]ΕΞΕΤΑΣΙΣ CYCLOM. o$tenderat facili negotio deducatur, ut jam $tatim appa- rebit.

TAB. XXXVII. Fig. 3.

Repetitâ enim quatenus hîc nece$$e erit figurâ ip$ius, quæ e$t in propo$itione 99. lib. 9. E$to Cylindrus Parabolicus, ba$es oppo$itas habens parabolas A B D, V C E; à quo $it ab$ci$$a Ungula A B C D, eâdem ba$i & altitudine. Dico Cylindrum ad hanc Ungulam habere rationem duplam $e$- quialteram, $ive quam 5 ad 2.

Tran$criptis enim reliquis ex figura eadem, e$t F B dia- meter parabolæ A B D: & lineæ rectæ A B, B D. Ductâ porrò B C rectâ in $uperficie cylindri, $umptâque ejus quar- tâ parte C Q, ab$cinditur plano P Q N ungula P Q C N & junguntur C A, C D. Denique toti cylindro adjuncta e$t pyramis A D γ C æqualis parti B X D E C, quæ à cylin- dro ab$ci$$a e$t plano B D E C. Et hactenus quidem $uffi- ciet nobis con$tructionem Cl. V. repetii$$e. Demon$travit autem hæc duo quæ $equuntur, $icut videre e$t in dicta prop. 99. lib. 9. Nimirum quod ungula A B C D e$t ad ungulam P Q C N, $icut 32 ad 1. Item quod hæc ungula P Q C N e$t ad pyramidem totam A γ D B C, (quæ compo$ita e$t ex duabus pyramidibus A D B C & A D γ C) ut 1 ad 30.

Erit igitur ex æquo ungula A B C D ad pyramidem A γ D B C ut 32 ad 30, hoc e$t, ut 16 ad 15. Porrò cùm parabolæ A B D octava pars $it $egmentum B D X, erit quoque $egmentum $olidum B X D E C vel huic æqualis pyramis A D γ C, octava pars cylindri totius parabolici A V C E D B: $ed pyramis altera A D B C æquatur dua- bus octavis $ive uni quartæ eju$dem parabolici cylindri; (e$t enim ip$a tertia pars $ui pri$matis, quod æquale e$t tribus quartis cylindri i$tius, ut ex quadratura parabolæ con$tat) ergo tota pyramis A γ D B C tribus octavis æquatur cylin- dri parab. A V C E D B. Cylindrus igitur parabolicus A V C E D B erit ad pyramidem A γ D B C, ut 8 ad 3, hoc e$t, ut 40 ad 15; $ed o$ten$um e$t eandem pyramidem A γ D B C e$$e ad ungulam A B C D ut 15 ad 16. Igitur [0043]GREGORII à S. VINCENTIO. ex æquo erit cylindrus parabolicus A V C E D B ad ungu- lam A B C D ut 40 ad 16, hoc e$t, ut 5 ad 2; quod fuit demon$trandum.

Quæ hîc dixi à Cl. Viro o$ten$a fui$$e, veri$$ima $unt, ac proinde non e$t quod de veritate hujus Theorematis du- bitemus: Cujus aliam quoque demon$tr. adferre po$$em, lon- ge ab i$ta diver$am, ni$i ad $equentia properarem.

Repetitâ igitur parte ultimâ $chematis, quod $uprà de- TAB. XXXVII. Fig. 2. $crip$imus, $it o$tendendum, quod $olidum Μ Ξ, id e$t, quod oritur ex ductu plani E Ξ S in planum E M Λ S ad $olidum Λ Σ, id e$t, quod oritur ex ductu plani S Ξ Σ P in planum S Λ Π P, eam habet rationem quam 53 ad 203. De$cribatur $uper E F parabola E Π F, axem habens P Π, quam con$tat e$$e quartam partem ip$ius E F $ive M E. Erit igitur parabola E Π F eadem quam V. Cl. in prop. 41. & 42. lib. 10. notat literis A R B. Ait autem in dicta prop. 42. & veri$$imum e$t, $olidum quod producitur ex ductu plani E Σ L F in planum F Π M E æquari $olido quod fit ex parabola E Π F ducta in $e ip$am: $icut illud quoque quod $ubjungit in Coroll. 1. nimirum quod $olidum ex pla- no S Ξ Σ P in planum S Λ Π P, æquatur $olido ex ductu plani S Φ Π P in $e ip$um; unde $imiliter $olidum ex pla- no E Ξ S in planum E M Λ S æquabitur $olido ex plano E Φ S in $e ip$um ducto.

Oportet itaque o$tendere $olidum ortum ex plano E Φ S ad $olidum ex plano S Φ Π P, utroque in $e ip$um ducto, e$$e ut 53 ad 203.

E$to ungula parabolica A E F Π, cujus ba$is parabola TAB. XXXVII. Fig. 4. E Π F repetita $it ex figura præcedenti, eodemque modo ut i$tic divi$a lineis Π P, Φ S. Sit autem altitudo ungulæ A Π dupla diametri ba$is Π P. Erit igitur hæc ea ungula, quam intelligit in prop. dicta 42. lib. 10. eju$demque coroll. 2. fieri ex ductu parabolæ E Π F in $e ip$am. Eâdem nimi- rum con$ideratione u$us quæ e$t in Scholio propo$. 19. lib. 9. Nam alioqui ex eju$modi ductu potius dicendum e$$et ge- minas ungulas produci, $ingulas altitudine æquales diame- [0044]ΕΞΕΤΑΣΙΣ CYCLOM. tro Π P. Ducto deinde plano per A Π P, & alio huic pa- rallelo D Φ S $ecundum lineam Φ S, erit jam pars ungulæ hi$ce duobus planis terminata, æqualis $olido quod fit ex du- ctu plani S Φ Π P in $e ip$um; & pars ungulæ E D S Φ, æ- qualis ei $olido quod fit ex ductu plani E Φ S in $e ip$um. Quare nunc demon$trandum erit duntaxat, partem E D S Φ e$$e ad partem Φ A P ut 53 ad 203, Sit Φ N parallela E P, & N C parallela Π A. Ergo quoniam ex proprietate Para- boles, P N e$t {3/4} Π P, erit quoque P C {3/4} A P. Verùm & S D æquatur {3/4} A P, quum $it huic parallela , $itque pa- 11. 16. _Elem_. rabola E A F: Itaque junctâ C D, ea parallela & æqualis erit lineis P S, N Φ. Ducatur $ecundùm D C planum D B C parallelum ba$i E Π F, fietque $emiparabola B D C æqualis & $imilis $emiparabolæ Π Φ N; & erit Φ B N di- midius cylindrus parabolicus: D A C B verò dimidiata un- gula. Hæc autem æquatur $icut antea o$tendimus, duabus quintis cylindri dimidiati, ba$in habentis D B C & altitudi- nem B A. Ergo quum $emicylindrus Φ B N habeat altitu- dinem B Π triplam ip$ius B A, erit ungula dimid. D A C B ad $emicyl. Φ B N, ut 2 ad 15, hoc e$t, ut 8 ad 60.

Junctâ porro Φ Π, con$tat $emiparabolam Π Φ N ad trian- gulum Π Φ N e$$e ut 4 ad@ 3; $ed triangulus Π Φ N e$t ad rectangulum Φ P ut 1 ad 6, (e$t enim ba$is Π N tertia pars ip$ius N P) hoc e$t, ut 3 ad 18. Ergo ex æquo erit $emi- parab. Π Φ N ad rectang. Φ P ut 4 ad 18. Itaque & $emi- cylindrus Φ B N e$t ad parallelepipedum eju$dem altitudinis $uper ba$i Φ P, ut 4 ad 18. Dictiautem parallelepipedi di- midium e$t pri$ma D N S; ergo $emicylindrus Φ B N e$t ad pri$ma D N S, ut 4 ad 9, hoc e$t, ut 60 ut 135. Qua- lium igitur partium dimidiata ungula D A C B erat 8, ta- lium $emicylindrus parab. Φ B N erat 60, (ut $uprà o$ten- $um e$t) taliumque pri$ma D N S erit 135. Ac proinde $o- lidum A Π S D, quod ex i$tis tribus componitur, erit 203. E$t autem ungula dimidiata A D C B ad dimidiatam un- gulam E A P Π, ut 1 ad 32, $icut Cl. Vir. demon$travit in prop. 95. lib. 9. Ergo qualium partium ungula dimid. [0045]GREGORII à S. VINCENTIO. A D C B e$t 8, talium erit dimid. ungula E A P Π 256, quoniam ut 1 ad 32, ita e$t 8 ad 256. Diximus autem par- tem $ol. A Π S D e$$e talium 203. Igitur dim. ungula E A P Π e$t ad partem A Π S D ut 256 ad 203; & divi- dendo pars reliqua E D S Φ ad partem A Π S D, ut 53 ad 203; quod erat demon$tr. O$tendimus igitur illud quoque $olidum, quod $uprà diximus fieri ex ductu plani E Ξ S in planum E M Λ S, eam habere rationem ad $olidum ortum ex ductu plani S Ξ Σ P in planum S Λ Π P, quam 53 ad 203.

Tandem ad alterum eorum quæ demon$trare promi$imus TAB. XXXVII. Fig. 2. accedamus, repetitâque parte mediâ $chematis triplicis quod $uprà de$criptum fuit, o$tendendum $it; $olidum or- tum ex ductu plani C Θ R in planum C K Δ R, ad $oli- dum ex ductu plani R Θ Γ O in planum R Δ Z O eam ha- Fig. 5. bere rationem, quam 5 ad 11. Supra latus C D trianguli C D I, erigatur ad perpendiculum triangulum C K D, & jungatur K I. Erit jam pyramis C D I K illud $olidum quod intelligitur fieri ex ductu trianguli C D I in triangulum C D K. Etenim $ectâ pyramide plano A Z O Γ $ecundum O Γ, quod rectum $it ad ba$in C D I, erit $ectio quadratum, id e$t, rectangul. quod fit ex lineis Γ O, O Z; eademque $e- ctio dividet pyramidem bifariam. Secta item plano E Δ R Θ priori parallelo, $ecundùm lineam R Θ, exi$tet inde re- ctangulum E R, quale continetur lineis Θ R, R Δ. Opor- tet itaque o$tendere, quòd $olidum K C R E Δ e$t ad $o- lidum Δ Λ Ο Θ Δ, ut 5 ad 11.

Ducatur $ecundùm E Δ planum Δ E B parallelum ba$i C D I; ab$cindet illud pyramidem B E Δ K $imilem toti pyramidi C I D K, quæque proinde erit ad hanc in tripli- cata ratione laterum homologorum B Δ ad C D. Sed B Δ, cum $it æqualis ip$i C R, quarta pars e$t lateris C D. Ita- que qualium partium pyramis B E Δ K e$t unius, talium pyramis C I D K erit 64: & dimidium hujus, hoc e$t, $o- lidum K A O C erit 32. Qualium autem pyramis B E Δ K e$t unius talium quoque pri$ma B E R e$t 9; quoniam ba- $in habent communem B E Δ, & pri$matis altitudo B C tri- [0046]ΕΞΕΤΑΣΙΣ CYCLOM. GR. à S. VINC. pla e$t ad altitudinem pyramidis B K. Ergo $olidum K C R E Δ quod ex hi$ce duobus componitur, erit partium 10, qua- lium $olidum K A O C e$t 32. Apparet igitur hoc e$$e ad illud ut 16 ad 5; ideoque dividendo & convertendo $oli- dum K C R E Δ e$$e ad $olidum Δ Α Ο Θ Δ, ut 5 ad 11: quod erat o$tendendum.

FINIS. [0047] [0047a] Pag. 340. TAB. XXXVII. Fig. 1. C G H F E D H A X Q Y T N V B G Fig. 3. γ A F D X B P N V E Q C Fig. 2. K C Δ R Θ Z O Γ D I Fig. 4. A B D C Π Φ N E S P F Fig. 2. M E Ψ Λ Φ S Ξ Π Ρ Σ Ω F L Fig. 5. K B Δ E Z A C R O D Θ Γ I [0048] [0049] CHRISTIANI HUGENII, CONST. F. AD C. V. FRAN. XAVERIUM AINSCOM. S.I. EPISTOLA, Qua diluuntur ea quibus Ε’ξε{τα}{σι}ς Cyclometriæ _Gregorii à S<#>to. Vincentio_ impugnata fuit. [0050] [0051] CHRISTIANI HUGENII, CONST. F. AD C. V. FRAN. XAVERIUM AINSCOM. S. I. EPISTOLA. CL. VIRO D°. XAVERIO AINSCOM CHRISTIANUS HUGENIUS S. D.

LIber ille quem non ita pridem tuo no- mine huc mi$it Apelles ve$ter Segerus, tam mihi acceptus fuit, Vir Clari$$. quam $olent e$$e ea quorum diutina ex- pectatio de$iderium auget. Jam diu enim intellexeram te Quadraturæ Vincentia- næ patrocinium $u$cepi$$e, novi$$iméque & Lovanio & Româ $ignificatum fuerat opus illud jam penè à te ad umbilicum perductum, in quo pars etiam quædam no$træ Exeta$i dica- ta e$$et. Itaque cum avide totum commentarium tuum evol- vi, tum accuratius reliquis illa expendi quæ propius ad me pertinebant. De quibus quid vi$um fuerit breviter t<007>bi per$cri- bere con$titui. Equidem miratus $um, cum me non ultimum inter eos recen$eas qui cæteris $olidius in examinanda Qua- dratura ve$tra ver$ati $int, po$tea tamen adeo nihili animad- ver$iones omnes meas, omniáque argumenta prædicare, ut quod convellere nituntur, id ne attingant quidem. Nempe ego totâ viâ, totoque, quod ajunt, cœlo erravi, quemque refutare volui, ejus mentem minime $um a$$ecutus. Verun- tamen Viri Docti$$imi funditus everti$$e me commenta ve$tra pronunciavere, quorum judiciis, et$i vos forta$$e non $tatis, apud intelligentes tamen multo pluris futura reor quam eo- [0052]CHRIST. HUGENII AD XAVERIUM rum qui vobis de reperta Quadratura gratulantur. E $ocie- tate ve$tra Vir eximius A. Tacquetus, _accurate $ibi lectam_ _e$$e m@ltumque prohari Exeta$in no$tram re$crip$it, & recte_ _me urgere autorem Quadraturæ, ut exhibeat, quoties ratio_ _prima contineat $ecundam & $ecunda tertiam, idque ni$ipræ-_ _$tet, tertiam incognitam explicaturum nunquam, ac proinde_ _non daturum quadraturam, quæ à notitia tertiæ illius ratio-_ _nis dependet_. Alter item apud vos e$t Clari$$imus Gut$cho- vius, quem pa$$im profiteri $cio magnos P. Gregorii cona- tus no$trâ operâ penitus concidi$$e. Neque aliter $entit Vir undiquaque Docti$$imus & in Academia Oxonien$i Mathe- matum Profe$$or J. Walli$ius, idque publice te$tatum fecit in edito nuper $ubtili$$imo opere de Infinitorum Arithmeti- ca. Po$$emque & alios complures referre quorum pro me fa- cit calculus, ni per$ua$um haberem in re Geometrica ratio- nibus magis quam autoritate agendum. Neque enim dubito quin dicturus $is, eodem mecum errore ductos qui mihi ap- plaudunt, ip$os quoque nihilo rectius penetra$$e $en$a au- toris tui. Quare id agam potius, ut procul à me $imul atque illis hanc, $ive in$citiæ, $ive o$citantiæ culpam amoliar. Prius autem ad alia quoque nonnulla quæ mihi objicis re$ponden- dum opinor. Variis allatis conjecturis veri$imile reddere co- natus eram, ex quatuor quadraturis eam à vobis præferri quæ prima ponitur. Hoc ita refutas, ut, quod ego præcipuum argumentum dixeram, di$$imules prætereá$que. Verum per me licet ut quo loco vobis vi$um erit primam quadraturam habeatis. Ego me abunde præ$titi$$e arbitrabor $i hancab$ur- dam e$$e evincam: cuique hoc planum fecero, eum non pu- to reliquarum trium confutationem expetiturum, imo, $i offeratur, ne lecturum quidem. Etenim quod ii$dem omnes principiis innitantur, Proportionalitatum nimirum doctrinæ atque ei quæ e$t de ductibus plani in planum, tam certum e$t, ut negari nulla ratione po$$it. Negas tu tamen hoc, crebro- que inculcas, in prima hac quadratura, proportionalitatum con$ideratione, non uti autorem tuum. Sed miror qua fron- te; cum non ignores ut<007>que propo$itionem 12. 39. & 40. libri 10. ex 8<#>va. eju$dem libri demon$trari, hanc vero per 114. [0053]EPISTOLA. lib. 8. qui totus e$t de Proportionalitatibus.

Porro $uperfluam me ais operam $ump$i$$e, cum priores duas corporum rationes numero exh<007>bui, ex qu<007>bus tertia vobis definienda erat; illas enim autor operis Geometrici, $i credimus, multo antè quàm ego edidi$$em, imo quàm ip$e editus e$$em, per$pectas habuit alii$que demon$travit. Quæ- $o curnon explicuit igitur, no$que ea levavit mole$tia? Nam certum erat plurimum ad ab$olvendam quadraturam, $i mo- do ab$olvi po$$et, eorum notitiam conferre debere, planéque e$$e nece$$ariam. Sed vobis cuncta perinde nota dici video quæ cogno$ci po$$e aliquâ $altem ratione imaginamini, at- que ea quæ liquido comperta fuerint. Itaque ad propo$. 43. lib. 10. me remittis, in qua utramque rationem notam fieri a$$eris. Illa vero non magis ip$as expedit quam propo$itio po$trema eju$dem libri, rationem quæ $it inter circulum & quadratum diametri. Prorsus huic $imile e$t quod de Para- bolica ungula re$pondes. Videlicet jam à triginta annis ex- ploratum habu<007>$$e autorem tuum, quænam $it illius ad cy- lindrum $uum proportio. Equidem ex iis quæ jam tradide- rat, erui illam po$$e fa$$us $um; ip$um vero adhuc cuju$mo- di foret ne$civi$$e, $atis evidens argumentum videbatur, quod eam non expromeret. Neque enim credibile, cujus theo- rematis gratia duodeviginti propo$itiones elucubra$$et, id tanquam $uperfluum non e$$e ad$cripturum, $i tam nullo ne- gotio inveniri po$$e $peraret. Parum intererat utrum propo- $itione illud dignatus fui$$et, (quod nolui$$e eum dicis) an corollario tantum. Sed nec in corollario ratio illa u$piam ex- pre$$a e$t. Nam in eo quod adducis, hoc $olum legitur, methodum traditam e$$e qua ratio ungulæ ad cylindrum quo continetur, inve$tigari queat, eamque notam fore, $i quo- rundam inter $e corporum rationes inventæ fuerint. Atqui & horum corporum rationes, & ex iis quæ $it inter ungulam cylindrumque $uum analogia, lectoribus di$quirenda relin- quuntur: idque ip$e non ne$cis. Quare non $atis ingenue hic me di$$imulationis arguis, ubi ip$e contra quam $entias, $cri- bere videaris.

Jam vero de _palmari_ errore quem mihi impingis videa- [0054]CHRIST. HUGENII AD XAVERIUM mus. Is circa verbum _continere_ commi$$us e$t, ex quo non recte percepto factum e$t $cilicet, ut, cum Quadraturam ve- $tram oppugnare me crederem, nihil minus egerim, omnes- que item, qui me labefeci$$e eam judicarunt, cæcutierint. Ego $ignificationem duplicem ejus verbi quam in opere Ge- ometrico inveneram, adduxi, tuam, quæ & P. Sarra$æ e$t, interpretationem, quoniam adhuc ignorabam, præterii. Igi- tur hic _palmaris_ e$t error meus, quod nec P. Sarra$æ librum, nec tuum Corollarium tum temporis videram. Sed nec for- ta$$e $i $civi$$em explicationem ve$tram, propterea memo- randam duxi$$em, cum parum adeo ad rem faciat, $itque mon$tro$a plane atque ab$ona, uti ex adjecto $pecimine li- quebit: quantum vero ea promoveritis deinde exponam. Propo$itio 40. l<007>b. 10. e$t huju$modi. _Ii$dempo$itis, dicora-_ _tionem $ol<007>diex_ R S _in_ X Y _ad $olidum ex_ T V _in_ Z &, _to-_ _t<007>es continere rationem $ol<007>diex_ I K _in_ N O _ad $ol<007>dum ex_ L M _in_ P Q, _quoties hæc ip$a ratio continet rat<007>onem $olidi ex_ A B _in_ E F _ad $olidum ex_ C D _in_ G H. Quam propo$itionem _jux-_ _ta mentem_, ut ais, _autoris_, (variatâ tantùm phra$i $cilicet) $ic nobis enarras. _Ii$dem po$itis, dico rat<007>onem $olidi ex_ R S _in X_ Y _ad $olidum ex_ T V _in_ Z &, _con$titui ex iis rationibus_ _quæ toties multipl<007>catæ $unt illarum rat<007>onum ex quibus con-_ _$tituitur ratio $olidi ex_ I K _in_ N O _ad $olidum ex_ L M _in_ P Q, _quoties hæ ip$æ rationes multiplicatæ $unt earum ex qui-_ _bus con$tituitur ratio $olidi ex_ A B _in_ E F _ad $olidum ex_ C D _in_ G H.

Pulchra vero explanatio! quam quia ego pervidere non valui, $en$um convenientem ratiociniis ve$tris non percepi. At cui hoc in mentem veniret, Mathematicum longe aliud $cribere quam intelligi po$tulet? qui$ve magis adhuc intri- catum $en$um theorematibus jam nunc nimium ob$curis af- fingere vellet? Omnes profecto qui vobis controver$iam mo- verunt, haud aliter atque ego, verbum _continere_ accepi$$e no$ti, neque ulli hoc incidi$$e, ut cum de ratione inter duas magnitudines legeret, id ad _partiales_ referret, ex quibus _to-_ _tales_ con$tituerentur. Ecce vero ut præter eos quorum ani- madver$iones ad manus ve$tras pervenere, eadem plane quæ [0055]EPISTOLA. nobis, circa has propo$itiones & $ignificationem verbi _continere_, opinio fuit Incomparabili Carte$io, quem $i minus in$ignem Geometram quam _Algebri$tam_ fui$$e arbitraris, parum ex ve- ro judicas. Ejus ad amicum epi$tolæ copia mihi facta e$t, cum jam diu exeta$is no$tra prodii$$et, quâ quoniam non tantum id quod dixi comprobatur, $ed & tota in$uper ad opus Geometri- cum P. à S<#>to. Vincentio pertinet, integram hic ad$cribere vi- $um e$t. Gallicè $ic habet.

MONSIEUR.

J’Aygardé vos livres un peulong temps, pource que je de$irois en vous les renvoyant, vous rendre compte de la Quadrature du cercle pretendue, & j’ avois bien de la peine à me re$oudre de feuilleter tout le gros volume qui en traite. En fin j’ en ay veu quelque cho$e & a$$ez ce me $emble pour pouvoir dire qu’<007>lne conti- ent rien de bon qui ne $oit facile, & qu’on ne pu$t e$crire tout en une ou deux pages. Lere$te n’ e$t qu’un paralogi$me touchant la Quadrature du cercle, enveloppé en quantité de propo$itions qui ne $ervent qu’ à embroüiller la matiere, & $ont tres$imples & fac<007>lles pour la pluspart, bien que la façon dont il les tra<007>te, les face paroi$tre un peu ob$cures. Pour trouver $on paralogi$me, j’ai commencé par la _1134_<#>e page, ou il dit: Nota autem e$t propor- tio $egmenti _L M N K_ ad $egmentum _E G H F_, ce qui e$t faux, & la preuve qu’il en donne e$t fondée $ur la _39_<#>e propo$ition en la page _1121_. du me$me livre, ou ily a une erreur tresmanife$te, qui con$i$te en ce qu’il veut appliquer à plu$ieurs quantitez conjo- intes ce qu’il a prouvé auparavant des me$mes quantitez divisées. Carpar exemple, ayant les _4_. ordres de proportionelles 2, # 4, # 8, # 2, # 8, # 32. ###### & 2, # 6, # 18, # 2, # 10, # 50. bien qu’il $oit vray que _8_. e$t à _32_. en rai$on duoblée de ce que _4_. e$t à _8_. Et que _18_. e$t au$$i à _50_. en rai$on doublée de ce que _6_. e$t à _10_. il n’ e$t pas vray pour cela que _8_ + _18_. c’ e$t à dire _26_. $o- it à _32_ + _50_. c’ e$t à dire _82_. en rai$on double de celle qui e$t entre _4_ + _6_. c’ e$t à dire _10_, & _8_ + _10_, c’ e$t à dire _18_. Tous $esrai$on- nements ne $ont fondez que $ur cettefaute, & ce qu’il e$crit de [0056]CHRIST. HUGENII AD XAVERIUM Proportionalitatibus & de Ductibus, ne $ert qu’ à l’embara$$er, & ne me $emble d’ aucun u$age, pour ce que fru$tra fit per plur a quod pote$t fieri per pauciora.

Quorum latinè hæc e$t $ententia.

Libros tuos retinui diutius, quod remittere eos nolebam quin $imul opinionem meam tibi exponerem de nova i$ta quam vendi- tant circul<007> Quadratura_;_ vix autem à me ip$o impetr are poteram, ut ingentia quibus tractatur volumina evolverem. Tandem ta- men nonnulla in iis delibavi, è quibus $atis tutò mihi pronunciare po$$e videor, nihil ibi boni inveniri, quod non captu facile $it; unâque aut alter â paginâ explicari potuerit. Cætera merum pa- ralogi$mum de quadratura circuli continent, multis propo$itio- nibus implicitum, quæque hoc tantum efficiunt, ut omnia eva- dant intricatior a. Pler æque vero $implici$$imæ $unt & facili ratio- ne con$tant, licet tractandi methodus ob$curiores reddiderit. Pa- ralogi$mum quærere in$titui, initio facto ad paginam _1134_. ubi hoc ait_:_ Nota autem e$t proportio $egmenti _L M N K_ ad $egmen- tum _E G H F_; quod fal$um e$t, pendet enim hujus demon$tratio à propo$<007>tione _39_, pag. _1121_. eju$dem libri, ubi manife$tus er- ror occurrit, dum pluribus quantitatibus conjunctim applicatur, quod de $<007>ngulis $eor$im fuerat o$ten$um. Etenim ex. gr. po$itis quatuor proportionalium ordinibus 2, 4, 8, # 2, 8, 32, ## & 2, 6, 18, # 2, 10, 50, licet verum $it rationem _8_. ad _32_. duplicatam e$$e ejus quæ _4_. ad _8_. itemque rationem _18_. ad _50_. duplicatam e$se ejus quæ _6_. ad _10_. non tamen idcirco verum e$t _8_ + _18_. hoc e$t, _26_. e$$e ad _32_ + _50_. hoc e$t ad _82_. inratione duplicata ejus quæ _4_ + _6_. hoc e$t, _10_. ad _8_ + _10_. hoc e$t, _18_. Unicum ei fundamentum hæc vitio$a argu- mentatio; quæque de Proportionalitatibus $cribit & de Ducti- bus, tantum majoribus ip$um d<007>$$icultatibus involvunt, neque alicujus u$us videntur, $iquidem fru$tra fit per plura quod pote$t fieri per pauciora.

Vides, Vir Egregie, neque Carte$ium, ve$trum illud _Hoc_ _e$t juxta mentem autoris_, agniturum fui$$e, $ed potius, quod res e$t, dicturum, de$peratâ causâ hoc vobis effugium quæ$i- tum, ut quadratura ve$tra ad in$tar Protei cuju$dem aliâ atque [0057]EPISTOLA. aliâ a$$umptâ formâ quantum libet arctè $e$e con$tringentibus e- laberetur. Verum age, in$piciamus jam quo rem deducas, po$t- eaquam verbi _continere_ novam $ignificationem elicui$ti, eâque vetera theoremata tam $citè interpola$ti. In Corollario propo- $itionis 40. lib. 10. quò tam $æpe provocas, id unum egi$$e vi- deris, unas ex aliis difficultates nectendo, ut $i quis argumen- tationis tuæ tenorem con$ectari cupiat, is defe$$us ab$i$tat pri- u$quam ad finem pervenerit. Ego ad eum u$que locum te $ecu- tus $um, ubi $patia Y & Z a$$umi jubes: Inde non ulterius pro- cedendum putavi. Adeo enim manife$to vitio atque ἀγεωμετρησίἀ ibi laborat con$tructio tua, ut tibimet ip$i exploratum id e$$e du- bitare nequeam: $ed quoniam alia evadendi ratio non occurre- bat, $pera$ti, credo, in tanta ob$curitate nemini illud facile animadver$um iri. _Dein_, inquis, _a$$umantur duo plana Hyper-_ _bolica_ Y & Z, _rectis alteri a$ymptotorum parallelis inclu$a_. Nullâ aliâ præcautione a$$umuntur quam quod rectis alteri a$ympto- torum parallelis includi ea nece$$e $it. De magnitudine utriu$- que aut ratione quam inter $e $ervare debeant nihil præcipis. I- gitur quamlibet magnum aut parvum unum quodque eorum ab$cindi poterit. Mox tamen rationem $patii Y ad Z cum aliis rationibus comparare in$tituis, quas prius $ecundum certam de- terminationem a$$ump$i$ti, tibique hoc demon$trandum propo- nis, _Rationem totalem planorum_ X _ad_ T _tam e$$e multipl<007>cem ra-_ _tionis totalis planorum_ Y _ad_ Z, _quàm ratio totalis $olidorum_ G H _ad_ I K _multiplicata e$t rationis totalis $olidi_ L M _ad_ N O. Quid- nam, quæ$o, ab$urdius, quam de quantitate ejus rationis ali- quid enunciare, quæ pror$us in certa $it ac vaga? Equidem ex hoc $olo $atis liquere puto, quam fru$tra primæ Quadraturæ $uppetias ferre tentaveris, cum in eo quod præcipuè tibi ex- plicandum erat, tam in$igniter delinquas. In tribus reliquis an meliore fortunâ u$us $is, $i me inquirere oporteat, talentum non meream. Id tamen $cito perpetuum adver$us vos argumen- tum fore, quod rationem peripheriæ ad diametrum quam $in- gulis quadraturis datam e$$e profitemini, ip$i tamen exhibere non pote$tis; non autor ip$e Quadraturæ, non tot ejus di$ci- puli, qui tot jam annis in id incumbunt, ut paucioribus Ilium expugnatum $it. Datam e$$e rationem, Euclides definivit, cui [0058]CHR. HUGENII AD XAVER. EPIST. po$$umus æqualem invenire. Quis autem ad ve$tram illam hoc pertinere credet, quæ irrito labore toto decennio quæ$ita e$t? Nam quod $ufficere exi$timatis $i modo viam common$traveri- tis quâ emensâ ad quæ$itum perveniatur, ob$tacula vero, at- que innumeras difficultates quibus præ$epta e$t, non remove- tis, videte cui per$uadere po$$itis, eâratione tetragoni$mi ne- gotium à vobis confectum e$$e. Illud $anè vos con$equi apparet, ut, dum ultra non proceditis, minus expo$iti $itis ad promi- $cuos omnium in$ultus, difficilius etiam à peritioribus oppu- gnemini, paratioremque habeatis receptum. Facile enim acrius in$tantes proportionum & proportionalitatum ve$trarum tene- bris involvere pote$tis, atque e$$icere ut tandem veluti nox præ- lium dirimat. Hoc ip$um ne mihi eveniret, cum exeta$in Qua- draturæ con$criberem, metuebam, atque ut caverem operam dedi; id unum conatus, ut, quatenus fieri po$$et, autorem ad ab$urdum compellerem, nimirum ut vel nolle $e vel non po$$e Quadraturam $uam ab$olvere fateretur. Eo fine ignota prius at- que informia corpora dimen$us $um, exhibiti$que prioribus duabus $olidorum proportionibus, petii ut inde tertiam elice- ret, utpote quam cognitis illis notam dixi$$et. Ad quas angu- $tias redactum non aliâ ratione defendis, quam expo$tulando mecum quod autori tuo modum præ$cribere præ$umam qua- drandi circulum, ac jubendo denique ut meminerim _quid_ & _cui_ $cribam. Ego verò quomodo quadratus fiat circulus, nec di- dici, nec præ$cribo; $ed hoc urgeo; ut quem ille modum $e inveni$$e contendit, eum reap$e utilem & efficacem e$$e demon- $tret. Atque ita, quid $crip$erim & in quem finem, me non ne$civi$$e, $atis jam tibi con$tare arbitror. Cui vero $crip$erim, ne hoc quidem puto me oblitum fui$$e. Vides autem quam hac in parte longe diver$um $onent Carte$ii literæ atque Elogia ve- $tra: quorum utris potius $ub$cribendum $it aliorum judicio de- cerni malim quam meum interponere. Hoc tamen autorem Quadraturæ $cire velim, tanto majori eruditionis & candoris opinione apud me futurum, quanto maturius ab errore $uo re$i- pi$cet. Vale.

Dat. Hagæ Com. _2_. Oct. _1656_.

[0059] CHRISTIANI HUGENII, CONST. F. DE CIRCULI MAGNITUDINE INVENTA. ACCEDUNT EJUSDEM Problematum quorundam illu$trium Con$tructiones. [0060] [0061] PRÆFATIO.

_C_Irca antiquum Tetragoni$miproble- ma, quo vel apud Mathematum ig- naros nihil e$t celebrius, recens ope- ræ pretium nos feci$$e rati, & quæ- dam hactenus compertis meliora ut putamus con$ecuti, Geometris ea de- mon$trata impertiri volumus. Nam- que & $tudiis eorum profutura arbitramur, & no- vitate ip$â ad rerum abditarum inve$tigationem incitamento futura, reputantibus in eo quoque ar- gumento, ubi omnes pridem $ummâ contentione ver- $ati $int, aliqua $uperfui$$e haud indigna diligen- tiæ præmia. Plurimi quidem antehac inventæ Qua- draturæ gloriam $ibi a$$erere conati $unt, varia- que $ubinde commenta protulere, fal$is vera mi- $centes. Verum à peritioribus omnia velever$a fui$- $e vel contempta $cimus, neque aliud adhuc rece- ptum, quo omnis circuli dimen$io niteretur, præ- ter unum illud, majorem e$$e eum in$cripto $ibi polygono, circum$cripto minorem. Nos autem pro- piorem determinationem nunc exhibemus o$tendi- mu$que, quod _duobus $umptis polygonis propor-_ _tione mediis inter in$criptum circum$criptum-_ _que ip$is $imile, minoris eorum perimeter cir-_ _cumferentia circuli major exi$tit, reliquum ve-_ [0062]PRÆFATIO. _ro polygonum eâdem proportione circuli are-_ _am exuperat_. Et hoc quidem ut inter ea quæ de- mon$traturi $umus & difficillimum & contempla- tione præcipue dignum v<007>deatur, alia tamen $unt non accuratiora modò, $ed quæ & u$u magis pro- bentur; quæ $ane hic in antece$$um non recen$ebi- mus, quippe in $equentibus rectius percipienda. Bre- viter tamen quid $tudiis Geometriæ conferant ex- po$ui$$e proderit, cum non minimam habeant utili- tatis commendationem. Cum igitur duplicem propo- $iti tractationem in$tituerimus, primum eatraden- do quorum demon$tratio con$uetis Geometriæ ele- mentis contenta e$t, deinde centrorum gravitatis quoque con$iderationem adhibendo: in prioribus quidem illud explicatum reperietur, quomodo non tantum circumferentiæ toti, $ed & arcui cuilibet dato recta linea æqualis invenienda $it; expeditâ ratione ad Mechanicas con$tructiones, quæque vel $ubtili$$imas earum minime fru$tretur. Quomodo item numeros exercentibus peripheriæ ad diametrum ratio, quam Archimedes ex polygonis laterum 96 eruit, per dodecagona $ola comprobari queat. Ex polygonis autem laterum _10800_, cum iis qui vete- rem in$i$tunt viam vix hi peripheriæ termini exi- $tant _62831852_ & _62831855_, ad d<007>ametrum par- tium _20000000_, no$trâ Methodo i$ti prodii$$e cer- nentur, _6283185307179584, 6283185307179589_; $emperque duplicem obtineri verorum characterum numerum, quacunque laterum multitudine poly- [0063]PRÆFATIO. gona adhibeantur. Quod quidem certâ ratione con- tingere per$peximus $icuti & Quadratum cuju$que numeri bis totidem quot latus characteribus ple- rumque con$tituitur. At majora etiam compendia centrorum gravitatis proprietas $ubmini$trat, & propius quodammodo ad perfectionem in$uperabilis problematis per hæc acce$$i$$e videmur. Certe ad Archimedeos peripheriæ limites con$tituendos, $o- lo nunc in$cripti trigoni cognito latere indigemus. E $exagintangulo autem inter ho$ce eam contineri probamus _31415926538_ & _31415926533_, po$itâ diametro partium _10000000000_, cum $olitâ me- thodo vix i$ti producantur _3145, 3140_. Adeo ut triplus jam & ultra $it verarum hîc notarum nume- rus, $icut per præcedentia duplus; & perpetuo qui- dem $ucce$$u, haud aliter quam in majoribus nu- meris cubum $ui lateris triplum e$$e animadverti- tur. Ergo po$thac $i qui falsò circumferentiæ ma- gnitudinem definient, pernumero$apolygona non re- futabuntur, $ed calculo brevi miniméque intrica- to, quemque erroris in$imulare, quod hactenus fe- rè $oliti $unt, haud facile po$$int. Ad hæc $i quid in $ub<007>en$arum Canone, quem emendatum haberi quantum referat omnes $ciunt, in eo contexendo $i quid erit admi$$um aut aliunde perver$um irrep$e- rit, non dif@icile erit horum ope re$tituere, cum aliâ nunc ratione ex in$criptis in circulo longitu- dinem arcuum quibus $ubtenduntur invenire lice- at. Quinimo & omni Canonum auxilio de$titutis [0064]PRÆFATIO. o$tendimus, quo pacto ex lateribus triangulorum datis angulos eorum inve$tigare queant, ut nun- quam duorum $ecundorum $crupulorum $it à vero di$$en$us, $æpe ne unius quidem tertii. Et hæc qui- dem non levia commoda vi$um iri confidimus. Com- perimus autem & Renatum Carte$ium, cujus viri inventis cum Philo$ophia univer$a tum Mathe$is plurimùm illu$trata e$t, nonnulla quæ huc $pectent $cript<007>s manda$$e. Ea vero defuncto ip$o in commen- tariis reperta feruntur, neque adhuc re$cire potui- mus quâ indu$triâ aut eventu hi$ce manum admo- verit. Willebrordi autem Snellii geometræ eruditi Cyclometricus extat, multo labore con$criptus, qui- que omnis in his e$t. Atque ille non exiguam lau- dem promeritus videretur, $i præcipua duo theore- mata, quibus omne id opus velut fundamentis $u- per$tructum e$t, demon$trare potui$$et. Sed quas ibi pro demon$trationibus haberi po$tulat, propo$i- tum minime comprobant: ip$a vero theoremata, $ic- ut in utroque evidenti ratione nos o$tendimus, præclaram continent veritatem. Et ea quidem $e- quentibus meritò in$erenda putavimus, quod cau- $æ eorum à no$tris pendeant inventis.

[0065] CHRISTIANI HUGENII, CONST. F. DE CIRCULI MAGNITUDINE INVENTA. THEOREMA I. PROPOSITIO I.

_S_I Circuli portioni, $emicirculo minori, trian- gulum maximum in$cribatur, & portioni- bus reliquis triangula $imiliter in$cribantur, erit triangulum primo de$criptum duorum $imul quæ in portionibus reliquis de$cripta $unt minus quam quadruplum.

E$to circuli portio A B C, $emicirculo minor, cujus diameter TAB. XXXVI@ Fig. 1. B D; maximum autem in$criptum $it triangulum A B C, hoc e$t, quod ba$in & altitudinem habeat cum portione eandem. Et reliquis duabus portionibus in$cribantur triangula item ma- xima A E B, B F C. Dico triangulum A B C minus e$$e quam quadruplum triangulorum A E B, B F C $imul $umpto- rum. Jungatur enim E F, quæ $ecet diametrum portionis in puncto G. Quoniam igitur arcus A B bifariam dividitur in E puncto, erit utraque harum E A, E B, major dimi- diâ A B. Quamobrem quadratum A B minus erit quam qua- druplum quadrati E B vel E A. Sicut autem quadratum A B ad quadr. E B, ita e$t D B ad B G longitudine; quia qua- dratum quidem A B æquale e$t rectangulo quod à D B & circuli totius diametro continetur, quadratum vero E B æ- quale rectangulo $ub eadem diametro & recta B G. Minor igitur e$t B D quam quadrupla B G. Sed & A C minor e$t quam dupla E F, quoniam hæc ip$i A B æquatur. Er- go patet triangulum A B C minus e$$e quam octuplum tri- [0066]CHRISTIANI HUGENII anguli E B F. Huic autem triangulo æquantur $ingula A E B, B F C. Ergo utriu$que $imul triangulum A B C minus erit quam quadruplum. Quod erat o$tendendum.

THEOR. II. PROP. II.

_S_i fuerit circuli portio, $emicirculo minor, & $u- per eadem ba$i triangulum, cujus latera portio- nem contingant_;_ ducatur autem quæ contingat por- tionem in vertice: Hæc à triangulo dicto triangu- lum ab$cindet majus dimidio maximi trianguli in- tra portionem de$cripti.

E$to circuli portio $emicirculo minor A B C, cujus vertex TAB. XXXVIII. Fig. 2. B. Et contingant portionem ad terminos ba$is rectæ A E, C E, quæ conveniant in E: convenient enim quia portio $e- micirculo minor e$t. Porro ducatur F G, quæ contingati- p$am in vertice B; & jungantur A B, B C. O$tendendum e$t itaque, tr<007>angulum F E G majus e$$e dimidio trianguli A B C. Con$tat triangula A E C, F E G, item A F B, B G C æquicruria e$$e, dividique F G ad B bifariam. Utra- que autem $imul F E, E G, major e$t quam F G; ergo E F major quam F B, vel quam F A. Tota igitur A E minor quam dupla F E. Quare triangulum F E G majus erit quarta parte trianguli A E C. Sicut autem F A ad A E, ita e$t al- titudo trianguli A B C ad altitudinem trianguli A E C, & ba$is utrique eadem A C. Ergo, quum F A $it minor quam $ubdupla totius A E, erit triangulum A B C minus dimi- dio triangulo A E C. Hujus vero quarta parte majus erat triangulum F E G. Ergo triangulum F E G majus dimidio trianguli A B C. Quod o$tendendum fuit.

THEOR. III. PROP. III.

_O_Mnis circuli portio, $emicirculo minor, ad ma- ximum triangulum in$criptum majorem ratio- nem habet quam $e$quitertiam.

[0067]DE CIRCULI MAGNIT. INVENTA.

E$to Circuli portio, $emicirculo minor, cui maximum $it in- TAB. XXXVIII. Fig. 3. $criptum triangulum A B C. Dico portionem ad dictum tri- angulum majorem rationem habere quam quatuor ad tria. In- $cribantur enim & reliquis portionibus duabus maxima triangu- la A D B, B E C. Itaque minus e$t triangulum A B C quam illo rum $imul quadruplum : ac proinde $patium aliquod adjungi _per_. 1. _huj_. pote$t triangulo A B C, quod una cum ip$o minus etiam $it quam quadruplum dictorum $imul triangulorum A D B, B E C. E$to itaque eâ ratione adjectum triangulum A F C, ut to- tum $patium A B C F minus $it quam quadruplum triangu- lorum A D B, B E C. Et porro in re$iduis portionibus ma- xima triangula in$cribi intelligantur; itemque in re$iduis $em- per, donec portiones quibus po$tremùm in$cribentur $imul minores $int triangulo A C F, hoc enim fieri pote$t. Ita- que & triangula po$tremùm in$cripta $imul triangulo A C F minora erunt. Quia autem $patii A B C F quarta parte ma- jora $unt duo $imul triangula A D B, B E C. Rur$u$que quarta horum parte majora triangula quatuor, quæ portio- nibus reliquis in$cribuntur. Et horum quartâ majora $imili- ter, quæ deinceps: atque ita continue, $i plura fuerint de- $cripta. Erit propterea $patium ex quadrilatero A B C F & cæteris in$criptis triangulis, & triente eorum, quæ po$tremò in$cripta erunt, compo$itum, majus quam $e$quitertium i- p$ius quadrilateri A B C F. Hoc enim ab Archimede demon- $tratum e$t, quod $i fuerint $patia quotcunque in ratione qua- drupla, ea omnia $imul cum triente minimi ad maximum ra- tionem habebunt $e$quitertiam. Dividendo itaque, triangula omnia intra portiones A D B, B E C de$cripta cum trien- te po$tremo di$criptorum majora erunt tertia parte $patii A B C F. Sed triens dictus minor e$t triente trianguli A C F. Igitur dempto illinc triente po$tremò in$criptorum; à $patio autem A B C F ablato triangulo A F C, erunt triangula omnia intra portiones A D B, B E C de$cripta, majora triente trianguli A B C . Quare componendo, tota figura 33. 5. _Elem_. rectilinea portioni A B C in$cripta major quam $e$quitertia trianguli A B C, multoque magis portio ip$a. Quod erat demon$trandum.

[0068]CHRISTIANI HUGENII THEOR. IV. PROP. IV.

_O_mnis circuli portio, $emicirculo minor, minor e$t duabus tertiis trianguli eandem cum ip$a ba$in babentis, & latera portionem contingentia.

E$to circuli portio, $emicirculo minor, A B C, & contin- TAB. XXXVIII. Fig. 4. gant ip$am ad terminos ba$is rectæ A D, C D, quæ con- veniant in puncto D. Dico Portionem A B C minorem e$$e duabus tertiis trianguli A D C. Ducatur enim E F quæ por- tionem contingat in vertice B, & in$cribatur ip$i triangu- lum maximum A B C. Quum igitur triangulum E D F ma- jus $it dimidio trianguli A B C , manife$tum e$t ab illo _per_. 2. _huj_. partem ab$cindi po$$e, ita ut reliquum tamen majus $it di- midio dicti A B C trianguli. Sit igitur hoc pacto ab$ci$$um triangulum E D G. Et ducantur porro rectæ H I, K L, quæ portiones reliquas A M B, B N C in verticibus $uis contingant, ip$i$que portionibus triangula maxima in$cri- bantur. Idemque pror$us circa reliquas portiones fieri intel- ligatur, donec tandem portiones re$iduæ $imul minores $int quam duplum trianguli E D G. Erit igitur in$cripta portio- ni figura quædam rectilinea, atque alia circum$cripta. Et quoniam triangulum E G F majus e$t dimidio trianguli A B C; & rur$us triangula H E I, K F L, majora quam dimidia triangulorum A M B, B N C; idque eadem $em- per ratione in reliquis locum habet, ut triangula $uper por- tionum verticibus con$tituta, eorum quæ intra portiones i- p$as de$cripta $unt, majora $int quam $ubdupla: apparet tri- angula omnia extra portionem po$ita etiam ab$que triangu- lo E G D majora $imul e$$e quam dimidia triangulorum o- mnium intra portionem de$criptorum. Atqui $egmentorum in portione reliquorum triangulum quoque E G D majus e$t quam $ubduplum. Ergo triangulum E D F $imul cum reli- quis triangulis, quæ $unt extra portionem, majus erit dimi- dio portionis totius A B C. Quare multo magis $patium à [0069]DE CIRCULI MAGNIT. INVENTA. rectis A D, D C & arcu A B C comprehen$um majus erit portionis A B C dimidio. Ac proinde triangulum A D C majus quam portionis A B C $e$quialterum. Quod erat de- mon$trandum.

THEOR. V. PROP. V.

_O_Mnis circulus major e$t pylogono æqualium laterum $ibi in$cripto & triente exce$$us quo id polygonum $uperat aliud in$criptum $ubduplo la- terum numero.

E$to circulus centro C; $itque ip$i in$criptum polygonum TAB. XXXVIII. Fig. 5. æqualium laterum, quorum unum $it A B. Atque alterum item polygonum $it in$criptum, cujus bina latera A D, D B, $ubtendat A B. Hoc igitur priore polygono majus e$t. Sit autem exce$$us trienti æquale H $patium. Dico circulum ma- jorem e$$e polygono A D B una cum $patio H. Ducantur enim ex centro rectæ C A, C B. Quoniam igitur portio circuli A D B major e$t quam $e$quitertia trianguli A D B $ibi in$cripti ; erunt portiones A D, D B, $imul majores tri- _per_. 3. _huj_. ente trianguli A D B. Quamobrem & $ector C A B major erit utri$que $imul quadrilatero C A D B & triente trian- guli A D B. Sicut autem $ector C A B ad circulum totum, ita e$t quadrilaterum C D B A ad polygonum A D B, & ita quoque triens trianguli A D B ad trientem exce$$us po- lygoni A D B $upra polygonum A B. Ergo manife$tum e$t circulum quoque totum majorem fore polygono A D B una cum triente exce$$us quo polygonum A D B $uperat poly- gonum A B, hoc e$t, unà cum $patio H. Quod erat demon- $trandum.

THEOR. VI. PROP. VI.

_O_mnis circulus minor e$t duabus tertiis polygo- ni æqualium laterum $ibi circum$cripti & tri- ente polygoni $imilis in$cripti.

[0070]CHRISTIANI HUGENII

E$to circulus cujus centrum A, & in$cribatur ip$i polygo- TAB. XXXVIII. Fig. 6. num lateribus æqualibus, quorum unum $it B C; & ali- ud $imile circum$cribatur F E G, cujus latera circulum con- tingant ad occur$um angulorum polygoni prioris. Dico cir- culum minorem e$$e duabus tertiis polygoni F E G $imul cum triente polygoni B C. Ducantur namque ex centro re- ctæ A B, A C. Igitur quoniam $uper ba$i portionis B D C con$i$tit triangulum B E C, cujus latera portionem contin- gunt, erit ip$a minor duabus tertiis trianguli B E C . I- _per_. 4. _huj_. taque $i triangulo A B C addantur duæ tertiæ trianguli B E C, hoc e$t, duæ tertiæ exce$$us quadrilateri A B E C $upra tri- angulum A B C, ex utri$que compo$itum $patium majus erit $ectore circuli A B C. Idem e$t autem, $ive triangulo A B C addantur duæ tertiæ exce$$us dicti, $ive addantur duæ tertiæ quadrilateri A B E C, contraque auferantur duæ ter- tiæ trianguli A B C: hinc autem fiunt duæ tertiæ quadri- lateri A B E C cum triente trianguli A B C. Ergo apparet $ectorem A B C minorem e$$e duabus tertiis quadrilateri A B E C & triente trianguli A B C. Quare $umptis omni- bus quoties $ector A B C circulo continetur, totus quoque circulus minor erit duabus tertiis polygoni circum$cripti F E G & triente in$cripti B C. Quod erat o$tendendum.

THEOR. VII. PROP. VII.

_O_Mnis circuli circumferentia major e$t perime- tro polygoni æqualium laterum $ibi in$cripti, & triente exce$$us quo perimeter eadem $uperat pe- rimetrum alterius polygoni in$cripti $ubduplo late- terum numero.

E$to circulus A B, centro O, cui in$cribatur polygonum TAB. XXXVIII. Fig. 7. æquilaterum A C D, atque alterum duplo laterum nume- ro A E C B D F. Sitque recta G I æqualis perimetro po- lygoni A E C B D F, G H vero æqualis perimetro poly- [0071]DE CIRCULI MAGNIT. INVENTA. goni A C D. Exce$$us igitur perimetrorum e$t H I; cujus triens I K adjiciatur ip$i G I. Dico totâ G K majorem e$$e circuli A B circumferentiam. In$cribatur enim circulo tertium polygonum æquilaterum A L E M C, quod $it duplo nu- mero laterum polygoni A E C B D F. Et $uper lineis G H, H I, I K, triangula con$tituantur quorum communis vertex N, altitudo autem æqualis $emidiametro circuli A B. Igi- tur quoniam G H ba$is æqualis e$t perimetro polygoni A C D, erit triangulum G N H æquale polygono, cui bis totidem $unt latera, hoc e$t, polygono A E C B D F. Hoc enim patet, ductis ex centro rectis O A & O E, quarum hæc $ecet A C in P. Nam triangulum quidem A E O æ- quale e$t triangulo ba$in habenti A P & altitudinem radii O E. Quanta autem pars e$t triangulum A E O polygo- ni A E C B D F, eadem e$t recta A P perimetri A C D. Itaque polygonum A E C B D F æquabitur triangulo cu- jus ba$is æqualis perimetro A C D, altitudo autem radio E O: hoc e$t, triangulo G N H. Eâdem ratione, quo- niam ba$is G I e$t æqualis polygoni A E C B D F perimetro, & altitudo trianguli G N I æqualis radio circu- li, erit triangulum G N I æquale polygono A L E M C. Itaque triangulum H N I æquale exce$$ui polygoni A L E M C $upra polygonum A E C B D F. Trianguli autem H N I $ubtriplum e$t ex con$tr triangulum I N K. Ergo hoc æquale erit dicti exce$$us trienti. Quare totum tri- angulum G N K minus erit circulo A B . Altitudo autem _per_ 5. _huj_. trianguli æqualis e$t circuli $emidiametro. Ergo evidens e$t rectam G K totâ circuli circumferentiâ minorem e$$e. Quod erat o$tendendum.

Hinc manife$tum e$t, $i à fe$quitertio laterum polygoni circulo in$cripti auferatur triens laterum polygoni alterius in$cripti $ubduplo laterum numero, reliquum circumferen- tiâ minus e$$e. Idem enim e$t, $ive perimetro majori adda- tur {1/3} exce$$us quo ip$a $uperat perimetrum minorem, $ive addatur {1/3} perimetri majoris contraque auferatur {1/3} perimetri minoris. Hinc autem fit $e$quitertium majoris perimetri mi- [0072]CHRISTIANI HUGENII nus triente minoris. Quare $i à $exdecim in$cripti dodecago- ni lateribus duo latera in$cripti hexagoni, hoc e$t, diameter circuli deducatur, reliqua circuli circumferentiâ minor erit, aut $i ab octo dodecagoni lateribus radius deducatur, reliqua minor erit circumferentiæ $emi$$e. Hoc autem ad con$tructio- nem mechanicam utile e$t, quoniam exigua e$t differentia, $icut po$tea o$tendetur.

Manife$tum etiam, in omni arcu qui $emicircumferen- tiâ minor $it, $i ad $ubten$am addatur triens exce$$us quo $ubten$a $inum $uperat, compo$itam arcu minorem e$$e.

THEOR. VIII. PROP. VIII.

_C_Irculo dato, $i ad diametriterminum contingens ducatur, ducatur autem & ab oppo$ito diametri termino quæ circumferentiam $ecet occurratque tan- genti ductæ: erunt interceptæ tangentis duæ tertiæ cum triente ejus quæ ab inter$ectionis puncto dia- metro ad angulos rectos incidet, $imul arcu ab$ci$- $o adjacente majores.

E$to circulus centro A, diametro B C; & ducatur ex C TAB. XXXVIII. Fig. 8. recta quæ circulum contingat C D: huic autem occurrat ducta ab altero diametri termino recta B D, quæ circumfe- rentiam $ecet in E: $itque E F diametro B C ad angulos re- ctos. Dico tangentis interceptæ C D duas tertias $imul cum triente ip$ius E F, arcu E C majores e$$e. Jungantur enim A E, E C; & ducatur tangens circulum in E puncto, quæ tangenti C D occurrat in G. Erit igitur G E ip$i G C æqua- lis, itemque D G; nam $i centro G circumferentia de$criba- tur quæ tran$eat per puncta C, E, eadem tran$ibit quoque per D punctum, quoniam angulus C E D rectus e$t. O$ten- $um autem fuit $uprà, duas tertias quadrilateri A E G C una cum triente trianguli A E C $imul majores e$$e $ectore A E C . _per_ 6. _huj_. E$tque quadrilaterum A E G C æquale triangulo ba$in ha- [0073]DE CIRCULI MAGNIT. INVENTA. benti duplam C G, hoc e$t, C D, & altitudinem C A: tri- angulum vero A E C æquale triangulo ba$in ip$i E F æqua- lem habenti & altitudinem dictam A C. Itaque apparet duas tertias quadrilateri A E G C $imul cum triente trianguli A E C æquari triangulo qui ba$in habeat compo$itam ex duabus ter- tiis C D & triente E F, altitudinem vero radii A C. Qua- re eju$modi quoque triangulum majus erit $ectore A E C. Unde liquet ba$in ip$ius, hoc e$t, compo$itam ex duabus tertiis ip$ius C D & triente ip$ius E F, majorem e$$e arcu C E. Quod erat demon$trandum.

THEOR. IX. PROP. IX.

_O_Mnis circuli circumferentia minor e$t duabus tertiis perimetri polygoni æqualium laterum $ibi in$cripti & triente perimetri polygoni $imilis circum- $cripti.

E$to Circulus cujus A centrum; & in$cribatur ei polygo- TAB. XXXIX. Fig. 1. num æquilaterum, cujus latus C D: $imileque aliud cir- cum$cribatur lateribus ad priora parallelis, quorum unum $it E F. Dico circuli totius circumferentiam minorem e$$e dua- bus tertiis ambitus polygoni C D & triente ambitus polygo- ni E F. Ducatur namque diameter circuli B G, quæ $imul in$cripti polygoni latus C D medium dividat in H, & cir- cum$cripti latus E F in G, (con$tat autem G fore punctum contactus lateris E F,) Et ponatur H L æqualis ip$i H G, & jungantur A C, B C & producantur, occurrátque B C lateri E F in K, producta autem A C incidet in E angu- lum polygoni circum$cripti. Quoniam igitur H L æqualis H G, erit B L dupla ip$ius A H: Ideoque ut G A ad A H, ita G B ad B L. Major autem e$t ratio H B ad B L, quam G B ad B H; quoniam hætres $e$e æqualiter excedunt G B, H B, L B. Itaque major erit ratio G B ad B L, hoc e$t, G A ad A H, quam duplicata rationis G B ad B H. Sicut autem G A ad A H, ita e$t E G ad C H; & $icut G B [0074]CHRISTIANI HUGENII ad B H, ita K G ad C H. Ergo major erit ratio E G ad C H, quam duplicata ejus, quam habet K G ad C H. Qua- re major ratio E G ad K G, quam K G ad C H. Ideoque duæ $imul E G, C H omnino majores duplâ K G. Et $umptis omnium trientibus, erunt trientes utriu$que E G & C H $i- mul majores duabus tertiis K G. Quamobrem addito utrim- que ip$ius C H triente, erit triens E G cum duabus tertiis C H, major duabus tertiis K G cum triente C H. Hi$ce vero minor etiam e$t arcus C G . Igitur duæ tertiæ C H _per praced_. $imul cum triente ip$ius E G majores omnino $unt eodem ar- cu C G. Unde $umptis omnibus toties quoties arcus C G circumferentiâ totâ continetur, erunt quoque duæ tertiæ pe- rimetri polygoni C D, cum triente perimetri polygoni E F, majores circuli totius circumferentiâ. Quod fuerat o$tenden- dum.

Omnis igitur circumferentiæ arcus quadrante minor, mi- nor e$t $inus $ui be$$e & tangentis triente.

PROBLEMA I. PROP. X. Peripheriæ ad diametrum rationem invenire quamlibet veræ propinquam.

MInorem e$$e peripheriæ ad diametrum rationem quam tri- plam $e$qui$eptimam: majorem vero quam 3 {10/71}, Archi- medes o$tendit in$cripto circum$criptoque 96 laterum po- lygono. Idem verò hic per dodecagona demon$trabimus.

Quia enim latus in$cripti circulo dodecagoni majus e$t par- tibus 5176 {3/8}, qualium radius continet 10000: duodecim la- tera proinde, hoc e$t, perimeter in$cripti dodecagoni major erit quam 62116 {1/2}: perimeter autem hexagoni in$cripti e$t radii $extupla, ideoque partium 60000. Igitur dodecagoni perimeter perimetrum hexagoni excedit amplius quam par- tibus 2116 {1/2}. Quare triens exce$$us major erit quam 705 {1/2}. Igi- tur dodecagoni perimeter unà cum triente exce$$us, quo pe- rimetrum hexagoni $uperat, major erit aggregato partium [0075] [0075a] Pag. 366. TAB.XXXVIII. Fig. 1. B E F G A D C Fig. 2. E F G B A C Fig. 3. B E D C A F Fig. 4. D G E F I B K M N H L A C Fig. 5. H D A B C Fig. 6. E D C B F G A Fig. 8. D E G B A F C Fig. 7. N G H I K E L M A P C O F B D [0076] [0077]DE CIRCULI MAGNIT. INVENTA. 62116 {1/2} & 705 {1/2}, hoc e$t, partibus 62822. Atque hi$ce pro- inde omnino major erit circuli peripheria . E$t autem ma- _per_ 7. _huj_. jor ratio 62822 ad 20000, longitudinem diametri, quam 3{10/71} ad 1. Ergo omnino etiam peripheriæ ad diametrum ratio ma- jor erit.

Rur$us quoniam latus dodecagoni in$cripti minus e$t par- tibus 5176 {2/5}. Erunt octo latera, hoc e$t, {2/3} perimetri minora quam 41411 {1/5}. Item quia latus dodecagoni circum$cripti mi- nus e$t quam 5359, erunt quatuor latera, hoc e$t, triens perimetri minor quam 21436. Quamobrem {2/3} perimetri dode- cagoni in$cripti cum triente perimetri circum$cripti minores erunt quam 62847 {1/5}. Sed i$tis $imul minor etiam e$t circuli circumferentia . Ergo hæc ad diametrum omnino minorem ha- _per 9. huj_. bebit rationem, quam 62847 {1/5} ad 20000; & multo minorem proinde, quam 62857 {1/7} ad 20000, hoc e$t, quam triplam $e$- qui$eptimam. Demon$trati itaque $unt termini Rationis pe- ripheriæ ad diametrum, quos Archimedes $tatuit. Eo$dem verò po$tmodum $olius in$cripti trigoni æquilateri latere in- dagato comprobabimus. Porrò ut propinquior inveniatur ra- tio plurium laterum polygona con$ideranda $unt. Intelliga- tur igitur circum$criptum circulo polygonum aliudque in$cri- ptum laterum 60. Et præter hæc $ubduplo numero laterum in$criptum, nempe trigintangulum.

Et invenitur quidem latus in$cripti $exagintanguli majus partibus 10467191, qualium radius 100000000 & latus tri- gintanguli minus quam 20905693: cujus dimidium 10452846 {1/2} e$t $inus arcus æquantis {1/60} circumferentiæ. Subten$a autem erat 10467191. Ergo differentia 14344 {1/2} minor verâ: & triens differentiæ 4781 {1/2}, qui additus ad $ubten$am 10467191 facit 10471972 {1/2}. Quibus itaque major e$t arcus {1/60} circumferentiæ. Ductis autem 10471972 {1/2} $exagies fiunt 628318250. Hi$ce igitur partibus omnino major e$t circumferentia tota.

Rur$us quoniam latus in$cripti 60 anguli minus e$t quam 10467192, erunt duæ tertiæ ip$ius minores quam 6978128. Circum$cripti autem 60 anguli latus cum $it minus quam 10481556, erit triens ip$ius minor quam 3493852. Quibus [0078]CHRISTIANI HUGENII additis ad 6978128, fiunt 10471980. Hæigitur omnino ex- cedunt {1/60} circumferentiæ, & $exagecuplum ip$arum, hoc e$t 628318800 majus erit circumferentiâ totâ. Quod $i verò polygona adhibeamus laterum 10800, quorum in$cripti qui- dem latus, calculo Ludolphi Colonien$is, Arithmetici nobi- lis, inventum e$t partium 58177640912684919 non unâ am- plius, $ubtenditurque duobus $crup. primis; circum$cripti autem latus 58177643374063182 non unâ minus. Prætereaque latus polygoni $ubduplo laterum numero in$cripti, quod e$t 116355276902613523 non unâ minus. Hinc peripheriæ lon- gitudo invenitur major quam partium 6283185307179584; minor autem quam 6283185307179589, qualium radius 1000000000000000. Solitâ autem methodo ex additis in$cri- pti circum$criptique polygoni i$tius lateribus, invenietur tantum majorem e$$e peripheriam partibus 62831852, & mi- norem 62831855. Patet igitur notarum verarum amplius quam duplum numerum e$$e à nobis inventum. Hoc autem & in præcedentibus ita $e habet, $emperque evenire nece$$e e$t quot- cunque laterum polygonis utamur. At per ea, quæ po$tea trademus, triplum numerum notarum facile obtineri appare- bit.

PROBLEMA II. PROP. XI.

Rectam $umere peripheriæ dati circuli æqualem.

O$ten$um e$t $uperius, quod octo in$cripti dodecagoni la- tera dempto circuli radio minora $unt peripheriâ dimidiâ. In con$tructione autem ut plurimum defectus animadverti ne- quit. Nam $i quatermille$ima diametri pars accedat longitu- dini $ic inventæ, jam dimidiam peripheriam excedet. Quod $ic fiet manife$tum. Quarum partium radius e$t 10000, earum latus dodecagoni in$cripti circulo e$t amplius quam 5176 {3/8}. Unde latera octo majora quam 41411. & dempto radio 10000, erit reliqua major quam 31411. cui $i addantur partes 5, hoc e$t, {1/4000} diametri, fient jam 31416; quibus minorem e$$e circumferentiam dimidiam liquet ex præcedentibus. Latus au- [0079]DE CIRCULI MAGNIT. INVENTA. tem dodecagoni in$cripti facile invenitur, quia radius pe- ripheriæ $extantem $ubtendit. E$tque hæc ratio accuratior quam $i triplâ $e$qui$eptimâ utamur. Nam $ecundum eam excedetur {1/2} peripheriæ longitudo amplius quam {1/100} diame- tri.

ALITER.

E$to datus circulus cujus B C diameter. Dividatur $emi- TAB. XXXIX. Fig. 2. circumferentia B C bifariam in D. reliqua vero trifariam in E & F. Et jungantur D E, D F, quæ $ecent diametrum in G & H. Erit trianguli G D H latus alterum una cum ba$i G H quadrante B D exiguo majus, neque enim exce- det {1/5000} diametri B C. Sciendum e$t enim fieri D G vel D H duobus in$cripti dodecagoni lateribus æquales. G H autem lateri dodecagoni circum$cripti. Unde quidem junctas D G & G H majores e$$e con$tat quadrante B D. Nam quia per 8. huj. octo latera dodecagoni circulo in$cripti cum quatuor lateribus circum$cripti majora $unt peripheriâ totâ, ideo $um- ptâ omnium quartâ parte erunt quoque duo latera in$cripti cum latere uno circum$cripti majora peripheriæ quadrante. Porro quoniam latus in$cripti dodecagoni minus e$t quam partium 51764 qualium B C 200000: erunt latera duo, hoc e$t, G D, minor quam 103528. Circum$cripti autem dode- cagoni latus minus e$t partibus 53590, ip$a nimirum G H. Itaque junctæ una D G, G H efficiunt minus quam 157118. At quadrantem B D con$tat ex præcedentibus majorem e$$e quam 157079. Ergo differentia minor e$t quam partium 39, cum 40 demum efficiant {1/3000} diametri B C.

ALITER.

Tribus $emidiametris addatur {1/10} lateris in$cripti quadrati; compo$ita $emicircumferentiæ æquabitur tam propè, ut non {1/18000} diametri brevior $it. Latus quadrati e$t majus quam partium 141421 qualium radius 100000, unde quod dictum e$t facile demon$tratur.

[0080]CHRISTIANI HUGENII

Vel potius $ex $e midiame$tris addatur {1/5} dicti lateris qua- drati in$cripti ut habeatur recta æqualis peripheriæ toti.

PROBLBMA III. PROP. XII. Dato arcui cuicunque rectam æqualem $umere.

E$to datus circumferentiæ arcus C D, primum quadrante mi- TAB. XXXIX. Fig. 3. nor, cui rectam æqualem $umere oporteat. Dividatur ar- cus C D bifariam in E, $itque $ubten$æ C D æqualis recta F G. Duabus vero C E, E D, quæ $ubtendunt arcus dimidios, æqualis F H. Et ip$i F H jungatur H I triens exce$$us G H. Erit tota F I arcui C D æqualis ferè: adeo ut unâ $ui particulâ, qualium 1200 continet, aucta, major futura $it, etiam$i arcus C D quadranti æqualis detur. In minoribus autem arcubus minor erit differentia. Nam $i fuerit datus non major peri- pheriæ $extante, linea inventa minus quam {1/6000} $ui parte à ve- ra arcus longitudine deficiet. Et minores quidem e$$e arcu- bus rectas eo modo inventas con$tat ex Theoremate 7. huj. De quantitate autem differentiæ e$t o$tendendum.

Primum itaque ponendo arcum C D quadranti peripheriæ æqualem, erit C D recta, hoc e$t, F G, latus quadrati circulo in$cripti, & minor proinde quam partium 141422, qualium radius circuli 100000. C E autem vel E D latus in- $cripti octogoni, ideoque major quam 76536. E$t autem du- plæ E D æqualis F H. Ergo hæc major quam 153072. Qua- re exce$$us G H major quam 11650: Et hujus triens H I major quam 3883. Ideoque tota F I major quam 156955. Arcus autem C D cum quadranti æqualis ponitur, minor e$t quam 157080. Itaque minus ab hoc di$crepat recta F I quam partibus 125, qualium ip$a e$t 156955. Quæ utique minus efficiunt quam {1/1200} ip$ius F I.

Si vero $extans peripheriæ $it arcus C D, erit recta C D, hoc e$t, F G, latus hexagoni in$cripti, ideoque partium 10000, & C E vel E D latus dodecagoni, ac proinde ma- [0081]DE CIRCULI MAGNIT. INVENTA. jor quam 5176 {3/8}. cujus dupla F H major quam 10352 {3/4}. unde G H major quam 352 {3/4}; & H I major quam 117 {7/12}. Tota igi- tur F I major quam 10470 {1/3}. Arcus autem C D, $extans pe- ripheriæ, minor e$t quam 10472. Ergo deficiunt lineæ F I partium earundem pauciores quam 1 {2/3}. Quæ non æquant {1/6000} F I. Porro cum arcus quadrante major datus erit, dividen- dus e$t in partes æquales 4 vel 6 vel plures, prout accura- tiori dimen$ione uti voluerimus; $ed numero pares: Earum- que partium $ubten$is $imul $umptis adjungendus e$t triens exce$$us quo ip$æ $uperant aggregatum earum quæ arcubus duplis $ubtenduntur. Ita namque componetur longitudo ar- cus totius. Vel hac etiam ratione eadem habebitur, $i arcus reliqui ad $emicircumferentiam longitudo inveniatur aut $u- pra eandem exce$$us, aut reliqui ad circumferentiam totam, $i dodrante major fuerit datus; eaque longitudo adjungatur vel auferatur à dimidiæ vel totius circumferentiæ longitudi- ne, quam antea invenire docuimus.

THEOR. X. PROP. XIII.

_L_Atus Polygoni æquilateri circulo in$cripti, pro- portione medium e$t inter latus polygoni $imi- lis circum$cripti, & dimidium latus polygoni in- $cripti$ub duplo laterum numero.

IN circulo cujus centrum A, radius A B, $it latus in$cri- TAB. XXXIX. Fig. 4. pti polygoni æquilateri B C; & latus circum$cripti $imilis polygoni D E ip$i B C parallelum. Ergo producta A B trans- ibit per D, & A C per E. Et $i ducatur C F ip$i A B ad angulos rectos, ea erit dimidium latus polygoni in$cripti $ub- duplo numero laterum. Itaque o$tendendum e$t, B C me- diam e$$e proportione inter E D & C F. Ducatur A G, quæ dividat E D bifariam, itaque erit ip$a quoque circuli $emi- diameter & æqualis A B. Et quoniam e$t ut E D ad C B, $ic D A ad A B, hoc e$t, D A ad A G; $icut autem D A [0082]CHRISTIANI HUGENII ad A G, ita B C ad C F, propter triangulos $imiles D A G, B C F. Erit proinde ut E D ad C B, ita quoque C B ad C F. Quod erat demon$trandum.

LEMMA.

E$to linea B C divi$a æqualiter in R; & inæqualiter in F, TAB. XXXIX. Fig. 5. $itque $egmentum majus F C; & fiat B O æqualis utrique $imul B C, C F; B M vero utrique B C, C R. Dico ma- jorem e$$e rationem R B ad B F, quam triplicatam ejus, quam habet O B ad B M. Sumatur enim ip$i O M æqualis utraque harum M L, L P. Quoniam igitur M O ip$i R F æqualis e$t, (nam hoc ex con$tructione intelligitur) erit P O tripla ip$ius F R. Sed & B M tripla e$t B R. Ergo ut B R ad B M, ita F R ad P O. Et permutando ut B R ad F R, $ic B M ad P O. Major autem e$t B O quam B M. Ergo major erit ratio B O ad O P, quam B R ad R F: & per conver$ionem rationis minor O B ad B P, quam R B ad B F. Porro quoniam æquales $unt O M, M L, major erit ratio B O ad O M, quam B M ad M L: & per conver$io- nem rationis minor O B ad B M, quam M B ad B L. Eo- dem modo minor adhuc o$tendetur ratio M B ad B L, quam L B ad B P. Itaque omnino ratio triplicata ejus quam ha- bet O B ad B M minor erit quam compo$ita ex rationibus O B ad B M, B M ad B L, & B L ad B P, hoc e$t, quam ratio O B ad B P. Major autem erat R B ad B F, quam O B ad B P. Ergo omnino major erit ratio R B ad B F, quam triplicata rationis O B ad B M. Quod erat pro- po$itum.

THEOR. XI. PROP. XIV.

_O_Mnis circuli circumferentia minor e$t minore duarum mediarum proportionalium inter peri- metros polygonorum $imilium, quorum alterum or- dinate circulo in$criptum $it, alterum circum$cri- [0083]DE CIRCULI MAGNIT. INVENTA. ptum. Et circulus minor e$t polygono i$tis $imili cu- jus ambitus majori mediarum æquetur.

E$to circulus B D, cujus centrum A. Et in$cribatur ei po- TAB. XXXIX. Fig. 6. lygonum æquilaterum B C D L, $imileque circum$cri- batur lateribus parallelis H K M N. Sitque perimetro po- lygoni H K M N æqualis recta T, perimetro autem B C D L æqualis Z. Et inter Z & T duæ $int mediæ proportionales X & V, quarum X minor. Dico circumferentiam circuli B D minorem e$$e rectâ X. Et $i fiat polygonum in quo Y, cujus perimeter æquetur rectæ V, $imile autem $it polygono B C D L aut H K M N; Dico circulum B N minorem haberi polygono Y. Ducatur enim diameter circuli P E, quæ dividat bifariam latera parallela B C, H K, in$cripti circum$criptique polygoni in R & E; erit autem E punctum contactus lateris H K, & B C $ecabitur in R ad angulos rectos. Ducatur etiam ex centro recta A C K, quæ utriu$- que polygoni angulos C & K bifariam $ecet, nam hoc ab eadem recta fieri con$tat; & jungatur C E. Ip$i autem C E ponatur æqualis C F; $itque duabus his C R, C F tertia proportionalis C G. Ergo qualis polygoni in$cripti latus e$t C E $ive C F, talis circum$cripti latus erit C G . Ideoque _per_ 13. _huj_. duæ tertiæ C F cum triente C G $imul majores erunt arcu E C . Sit autem duabus tertiis C F cum triente C G æqua- _per_ 9. _huj_. lis recta S. Ergo & hæc major erit arcu E C.

Et quoniam $e habet C R ad C F, ut C F ad C G; erit quoque dupla C R una cum C F ad triplam C R, hoc e$t, utraque $imul B C, C F ad utramque B C, C R, ut dupla C F una cum C G ad triplam C F: vel $umptis horum trientibus, ut {2/3} C F una cum {1/3} C G ad C F, hoc e$t, ut S ad C F. Quare etiam triplicata ratio ejus quam ha- bet utraque $imul B C, C F ad utramque B C, C R ea- dem erit triplicatæ rationi S ad C F. Major autem e$t ratio R B ad B F quam triplicata ejus, quam habet utraque $i- mul B C, C F ad utramque B C, C R . Ergo major ea- _per lemm@_ _præ_. dem ratio R B ad B F quam triplicata ejus quam habet S ad [0084]CHRISTIANI HUGENII C F, hoc e$t, quam cubi S ad cubum C F. Sicut autem R B ad B F, ita e$t cubus R B ad id quod fit ex quadra- to R B in B F. Ergo major quoque ratio cubi R B ad qua- dratum R B in B F, quam cubi S ad cubum C F. Qua- drato autem R B in B F minus e$t rectangulum $ub R B, B G, in F C; quod $ic o$tenditur. Quia enim proportiona- les $unt R C, C F, C G, Erit id quo major mediam exce- dit, hoc e$t F G, major quam quo media minimam, hoc e$t, quam F R. Major autem e$t F C quam F B. Ergo o- mnino major erit ratio C F ad F R, quam B F ad F G. Et per conver$ionem rationis, minor ratio F C ad C R, quam F B ad B G. Et permutando minor F C ad F B, quam C R $eu R B ad B G: hoc e$t, ($umptâ communi altitu- dine B R) quam quadrati R B ad rectangulum R B G. Un- de quod fit ex rectangulo R B G in F C minus erit quam quod ex quadrato R B in F B, uti dictum fuit. Quum ita- que major o$ten$a fuerit ratio cubi R B ad quadratum R B in B F, quam cubi S ad cubum C F; omnino quoque major erit ratio cubi R B ad $olidum $ub rectangulo R B G in F C, quam cubi S ad cubum C F. Et permutando major ratio cubi R B ad cubum S, quam rectanguli R B G in F C ad cubum C F; hoc e$t, quam rectanguli R B G ad quadratum C F. E$t autem quadrato C F æquale rectan- gulum G C R, hoc e$t rectangulum $ub G C, R B, quia proportionales $unt C R, C F, C G. Itaque major erit ra- tio cubi R B ad cubum S, quam rectanguli R B G ad re- ctangulum $ub G C, R B, hoc e$t, quam B G ad G C. Sicut autem B G ad G C, ita R C ad E K. Quia enim e$t C R ad C G, ut quadratum C R ad quadratum C F $eu quadratum C E: ut autem quadratum C R ad quadratum C E, ita e$t P R ad P E diametrum: Erit idcirco C R ad C G, ut P R ad P E. Unde dupla C R, hoc e$t, C B ad C G, ut dupla P R ad P E, hoc e$t, ut P R ad P A. Et dividendo, B G ad G C, ut R A ad A P, $eu A E, hoc e$t, ut R C ad E K, quod dicebamus. Itaque major quo- que ratio cubi R B ad cubum S, hoc e$t, ratio triplicata [0085]DE CIRCULI MAGNIT. INVENTA. R B ad S, quam R C ad E K. E$t autem S major o$ten$a arcu E C. Ergo omnino major erit ratio triplicata R B $eu R C ad æqualem arcui E C, quam R C ad E K. Sicut au- tem R C ad arcum E C, ita e$t perimeter polygoni B C D L, hoc e$t, linea Z ad circumferentiam circuli B D; Et $icut R C ad E K, ita perimeter polygoni B C D L ad perime- trum polygoni H K M N, hoc e$t, ita Z ad T. Ergo ma- jor quoque triplicata ratio Z ad circumferentiam totam B D, quam Z ad T. Ratio autem triplicata Z ad X eadem e$t rationi Z ad T. Itaque major e$t ratio ip$ius Z ad dictam circumferentiam, quam Z ad X. Ac proinde circumferentia minor quam recta X. Quod erat demon$trandum.

Sciendum e$t autem ip$am X minorem e$$e duabus tertiis Z & triente T: hoc e$t, duabus tertiis perimetri polygoni in$cripti & triente circum$cripti, quibus alioqui minorem e$$e circuli circumferentiam con$tat ex præcedentibus. Nam {2/3} Z cum {1/3} T æquantur minori duarum mediarum $ecundum Ari- thmeticam proportionem, quæ major e$t minore mediarum $ecundum proportionem Geometricam.

Jam vero & de polygono Y demon$trabimus, ip$um videlicet circulo B D majus e$$e. Quia enim polygonum Y habet ad po- lygonum $imile H K M N rationem duplicatam ejus quam peri- meter ad perimetrum: perimeter autem polygoni Y æquatur rectæ V, & perim. H K M N ip$i T. habebit proinde polygon. Y ad polyg. H K M N rationem duplicatam ejus quam V ad T, hoc e$t, eam quam X ad T. Sicut autem polygonum H K M N ad circulum B D, ita e$t perimeter ip$ius poly- goni, hoc e$t, linea T ad circuli B D circumferentiam; quo- niam polygonum æquale e$t triangulo ba$in habenti perime- tro $uæ æqualem & alt<007>tudinem radii A E, circulus autem æqualis eju$dem altitudinis triangulo cujus ba$is circumferen- tiæ æquetur. Ex æquali igitur, erit polygonum Y ad circu- lum B D $icut X ad circumferentiam B D. E$t autem X major o$ten$a quam B D circumferentia. Ergo & polygo- num Y majus erit circulo B D. Quod erat demon$tran- dum.

[0086]CHRISTIANI HUGENII

Ex his manife$tus e$t Orontii Finei error, qui circumfe- rentiæ quadrantem æqualem minori duarum proportione me- diarum inter in$cripti & circum$cripti quadrati latera prodi- dit, circulum vero æqualem quadrato quod fieret à majori.

THEOR. XII. PROP. XV.

_S_I inter productam circuli diametrum & circum- ferentiam recta aptetur radio æqualis, & pro- ducta circulum $ecet, occurr atque tangenti circulum ad alterum diametri terminum: Intercipiet eapar- tem tangentis arcu adjacente ab$ci$$o majorem.

E$to de$criptus circulus centro C, cujus diameter A B. TAB. XXXIX. Fig. 7. Hæc autem producatur ver$us A, interque ip$am & cir- cumferentiam ponatur E D recta radio A C æqualis. Quæ producta $ecet circumferentiam in F, occurratque tangenti in G, ei nimirum quæ circulum contingit ad diametri ter- minum B. Dico tangentem B G majorem e$$e arcu B F. Ducatur enim per centrum recta H L parallela E G, quæ circumferentiæ occurrat in punctis H, M: tangenti vero B G in L Et jungatur D H, quæ diametrum $ecet in K. Simi- les itaque $unt trianguli E D K, C H K, quoniam angu- los ad K æquales habent, & angulum E æqualem angulo C. Sed & latus E D æquale e$t lateri H C, $untque hæc latera æqualibus angulis $ubten$a. Ergo æquale etiam latus D K lateri K H. Itaque C A $ecat bifariam ip$am D H, itemque arcum D A H. Arcus igitur D H $ive huic æqua- lis F M duplus e$t ad arcum A H. Ip$i autem A H æqua- lis e$t arcus M B. Igitur arcus F B triplus erit ad arcum A H. Porro quoniam H K $inus e$t arcus H A, eju$dem- que tangenti æquatur L B, erunt duæ tertiæ H K & triens L B $imul majores arcu A H . Quare $umptis omnium tri- _per_ 9. _huj_. plis erit dupla H K, hoc e$t, H D $ive G L una cum L B major arcu A H triplo, hoce$t, arcu F B. Apparet igitur totam G B arcu F B majorem e$$e.

[0087] [0087a] Pag. 376. TAB. XXXIX Fig. 1. E K C B A L H G D F Fig. 2. D B G H C E F Fig. 4. E C G A F B D Fig. 3. E C D F G H I Fig. 5. B F R C P L M O Fig. 6. Y S H E K B C G F R A L D N P M Z X V T Fig. 7. G F D M L E A K C B H [0088] [0089]DE CIRCULI MAGNIT. INVENTA.

Hoc Theorema alterum e$t ex iis quibus Cyclometria Willebrordi Snellii tota innititur, quæque demon$tra$$e ip$e videri voluit, argumentatione u$us quæ meram quæ$iti pe- titionem continet. Sed & alterum $ubjungemus, quod utile e$t imprimis & contemplatione digni$$imum.

THEOR. XIII. PROP. XVI.

_S_I diametro circuli $emidiameter in directum adji- ciatur, & ab adjectæ termino recta ducatur quæ circulum $ecet, occurr atque tangenti circulum ad ter- minum diametri oppo$itum: Intercipiet eapartem tan- gentis arcu adjacente ab$ci$$o minorem.

E$to circulus, cujus diameter A B; quæ producatur, & TAB. XL. Fig. 1. $it A C $emidiametro æqualis. Et ducatur recta C L, quæ circumferentiam $ecundò $ecet in E; occurratque tan- genti in L, ei nimirum quæ circulum contingit in termino diametri B. Dico interceptam B L arcu B E minorem e$$e. Jungantur enim A E, E B, po$itâque A H ip$i A E æqua- li ducatur H E & producatur, occurratque tangenti in K. Denique $it E G diametro A B ad angulos rectos, E D ve- ro tangenti B L. Quoniam igitur i$o$celes e$t triangulus H A E, erunt anguli inter $e æquales H & H E A. Quia autem angulus A E B rectus e$t, etiam recto æquales erunt duo $imul H E A, K E B. Verùm duo quoque i$ti H & H K B uni recto æquantur, quoniam in triangulo H K B rectus e$t angulus B. Ergo demptis utrimque æqualibus, hinc nimirum angulo H, inde angulo H E A, relinquen- tur inter $e æquales anguli K E B, H K B. Triangulus igitur i$o$celes e$t K B E, eju$que latera æqualia E B, B K. E$t autem B D æqualis E G. Ergo D K differentia e$t quâ B E excedit E G. Porro quoniam e$t A G ad A E, ut A E ad A B, erunt duæ $imul A G, A B majores duplâ A E . 25.5. _Elem_. Ideoque A E, hoc e$t, A H minor quam dimidia utriu$que [0090]CHRISTIANI HUGENII $imul A G, A B; hoc e$t, minor quam C A cum dimidia A G. Quare ablatâ utrimque C A, erit C H minor dimi- diâ A G. C A vero dimidiâ A G major e$t. Ergo $i adda- tur A C ad A G, erit tota C G major quam tripla ip$ius C H. Quia autem ut H G ad G E, ita e$t E D ad D K; ut autem G E ad G C, ita L D ad D E: Erit ex æquo in proportione turbata ut H G ad G C, ita L D ad D K. Et per conver$ionem rationis & dividendo, ut G C ad C H, ita D K ad K L. Ergo etiam D K major quam tripla K L. Erat autem D K exce$$us ip$ius E B $upra E G. Ergo K L minor e$t triente dicti exce$$us. K B autem æqualis e$t ip$i E B $ubten$æ. Ergo K B unà cum K L, hoc e$t, tota L B omnino minor erit arcu B E . Quod erat demon$tran- _per_ 7. _huj_. dum.

Perpen$o autem Theoremate præcedenti, liquet non po$$e $umi punctum aliud in producta B A diametro, quod minus à circulo di$tet quam punctum C, eandemque $ervet proprie- tatem, ut nimirum ductâ C L fiat tangens intercepta B L $emper minor arcu ab$ci$$o B E.

Porro u$us hujus Theorematis multiplex e$t, cum in inve- niendis triangulorum angulis quorum cognita $int latera, id- que citra tabularum opem, tum ut latera ex angulis datis inveniantur, vel cuilibet peripheriæ arcui $ubten$a a$$igne- tur. Quæ omnia à Snellio in Cyclometricis diligenter pertra- ctata $unt.

THEOREMA XIV. PROPOS. XVII.

_P_Ortionis circuli centrum gravitatis diametrum portionis ita dividit, ut pars quæ ad verticem reliquâ major $it, minor autem quam eju$dem $e$- quialtera.

E$to circuli portio A B C, (ponatur autem $emicirculo TAB. XL. Fig. 2. minor, quoniam cæteræ ad propo$itum non faciunt) & dia- meter portionis $it B D, quæ bifariam $ecetur in E. Itaque [0091]DE CIRCULI MAGNIT. INVENTA. o$tendendum e$t primò centrum gravitatis portionis A B di- $tare à vertice B ultra punctum E; nam, quod in diametro $itum $it, alibi o$tendimus. Ducatur per E recta ba$i paral- lela, quæ utrimque circumferentiæ occurrat in punctis F & G. Per quæ ducantur K I, H L ba$i A C ad angulos re- ctos, atque hæ cum ea, quæ portionem in vertice contingit, con$tituant rectangulum K L. Quoniam igitur portio $emi- circulo minor e$t, con$tat rectanguli dicti dimidium F L con- tineri intra $egmentum A F G C, atque in$uper $patia quæ- dam A F I, L G C. Alterum vero rectanguli K L $emi$$em K G complecti $egmentum F B G unà cum $patiis F B K, B G H. Quæ $patia quum $int tota $upra rectam F G, et- iam centrum commune gravitatis eorum $upra eandem $itum erit. E$t autem E punctum in ip$a F G centrum grav. to- tius rectanguli K L. Igitur $patii reliqui B F I L G B cen- trum grav. erit infra rectam F G. Sed & $patiorum A F I, L G C commune gravitatis centrum e$t infra eandem F G. Ergo magnitudinis ex $patiis hi$ce & dicto $patio B F I L G B compo$itæ, quæ e$t portio ip$a A B C, centrum gravitatis infra lineam F G reperiri nece$$e e$t, ideoque infra E pun- ctum.

Eadem verò diameter B D $ecetur nunc in S, ita ut B S TAB. XL. Fig. 3. $it $e$quialtera reliquæ S D. Dico centrum grav. portionis A B C minus di$tare à vertice B quam punctum S. S<007>t enim B D P totius circuli diameter. & ducatur per S recta ba$i parallela quæ circumferentiæ occurrat in F & G. Et parabo- le intelligatur cujus vertex B, axis B D, rectum vero latus æquale S P. Et occurat ba$i portionis in H & K. Quoniam igitur quadratum F S æquale e$t rectangulo B S P, hoc e$t, ei quod $ub B S & latere recto parabolæ continetur, tran$ibit ea per F punctum, itemque per G. Partes autem lineæ pa- rabolicæ B F, B G intra circumferentiam cadent, $ed reli- quæ F H, G K erunt exteriores. Hoc enim o$tenditur du- ctâ inter B & S ordinatim applicatâ N L, quæ circumfe- rentiæ occurrat in N, parabolæ autem in M. Nam quia qua- dratum N L æquale e$t rectangulo B L P, quadratum vero [0092]CHRISTIANI HUGENII M L rectangulo contento lineis B L, S P: rectangulum au- tem B L P majus eo quod $ub B L, S P continetur: erit quadratum N L majus quadrato M L, & N L linea major quam M L. Idem autem continget ubicunque inter B & S aliqua ordinatim applicabitur. Igitur partem circumferentiæ B F totam extra parabolam ferri nece$$e e$t, eâdemque ra- tione partem B G. Rur$us quia rectangulum B D P æquale e$t quadrato D A; rectangulum verò $ub B D, S P conten- tum quadrato D H; erit H D major quam A D potentiâ, ideoque & longitudine. Idemque eveniet ubicunque inter S, D, ordinatim aliqua applicabitur. Quare partes circum- ferentiæ F A, itemque G C intra parabolam cadent. Fiunt igitur $patia quædam F N B M, & B Q G, itemque alia H F A, G C K. Quorum hæc cum tota $int infra lineam F G, etiam centrum commune gravitatis eorum infra eandem erit. At parabolicæ portionis H B K centrum grav e$t in ip$a F G, nimirum S punctum . Ergo partis reliquæ 8. _lib_. 2. _Archim. de_ _Æquipond_. A F M B Q G C centrum grav. erit $upra rectam F G. Sed $upra hanc $itum quoque apparet centrum grav. $patio- rum F M B N, B Q G, quum tota $int $upra ip$am F G. Ergo & $patii ex hi$ce duobus & A F M B Q G C compo$iti, hoc e$t, portionis circuli A B C centrum grav. $upra lineam F G reperietur: quumque $it in B D diametro, minus aberit à vertice B quam punctum S. Quod erat o$ten- dendum.

THEOR. XV. PROPOS. XVIII.

_C_Irculi portio $emicirculo minor ad in$criptum triangulum maximum majorem rationem habet quam $e$quitertiam, minorem vero quam diameter portionis reliquæ tripla $e$quitertia ad circuli diame- trum cum tripla ea, quæ à centro circuli pertingit ad portionis ba$in.

[0093]DE CIRCULI MAGNIT. INVENTA.

SIt portio $emicirculo minor, cui in$criptum triangulum TAB. XL. Fig. 4. maximum A B C. Diameter autem portionis $it B D; & diameter circuli à quo portio re$ecta e$t, B F, centrum E. O$tendendum e$t primo, portionis A B C ad triangulum in- $criptum majorem e$$e rationem quam $e$quitertiam. E$to portionis A B C centrum grav. punctum G, & $ecetur D F in H, ut $it H D dupla reliquæ H F.

Quoniam igitur F B e$t dupla E B; D B autem minor quam dupla G B. Erit major ratio F B ad B D, quam E B ad B G. Et per conver$ionem rationis, minor B F ad F D, quam B E ad E G. Et permutando minor B F ad B E, (quæ proportio dupla e$t) quam F D ad E G. Igitur F D major e$t quam dupla E G. Ip$ius autem F D duas tertias continet H D. Ergo H D major e$t quam $e$quitertia E G. Sicut autem H D ad E G, ita e$t portio A B C ad in$cri- ptum $ibi triangulum: hoc enim antehac demon$travimus in Theorematis de Hyperboles Ellip$is & Circuli quadratura . _Vide $upra_ _p_. 324. Itaque major e$t ratio portionis ad in$criptum triangulum A B C quam $e$quitertia.

Quod autem ad triangulum A B C portio minorem ha- beat rationem quam tripla $e$quitertia ip$ius D F ad diame- trum circuli B F unà cum tripla E D, id nunc o$tendemus. Secetur diameter portionis in R, ut B R $it $e$quialtera re- liquæ R D. Ergo cadit R punctum inter G & D quo- _per præced_. niam po$itum fuit G centrum gravitatis in portione A B C. Quumque portionis ad in$criptum triangulum eadem $it ra- tio, quæ H D ad E G, ut modo dictum fuit; minor au- tem $it ratio H D ad E G, quam H D ad E R: Erit propterea minor quoque portionis ad in$criptum triangulum ratio quam H D ad E R, $ive quam H D quinquies $um- pta ad quintuplam E R. Atqui H D, (cum $it æqualis duabus tertiis D F) quinquies $umpta æquabitur decem ter- tiis, hoc e$t, triplæ $e$quitertiæ D F. E R verò quæ con- tinet E D & duas quintas ip$ius D B, $i quinquies $uma- tur, æquabitur duplæ B D & quintuplæ E D; hoc e$t, duplæ totius E B atque in$uper triplæ E D. Igitur appa- [0094]CHRISTIANI HUGENII ret portionem A B C ad in$criptum triangulum minorem ha- bere rationem quam triplam $e$quitertiam D F ad duplam E B, hoc e$t, diametrum B F, unà cum tripla E D. Quod erat demon$trandum.

THEOR. XVI. PROPOS. XIX.

_A_Rcus quilibet $emicirumferentiâ minor, ma- jor e$t $uâ $ubten$â $imul & triente differen- t<007>æ quâ $ubten$a $inum excedit. Idem verò minor quam $ubten$a $imul cum ea quæ ad dictum trien- tem $e$e habeat, ut quadrupla $ubten$a juncta $i- nui ad $ubten$am duplam cum $inu triplo.

E$to circulus cujus D centrum, diameter F B. Et $it ar- TAB. XL. Fig. 5. cus B A $emicircumferentiâ minor, cui $ubten$a ducatur B A, $inus autem A M: quæ nimirum diametro F B $it ad angulos rectos. Porro ip$i A M $it æqualis recta G H, & G I æqualis $ubten$æ A B. Exce$$us igitur e$t H I; cujus triens I K ip$i G I adjiciatur. O$tendendum e$t primo, ar- cum A B totâ G K majorem e$$e. Hoc autem ex Theore- mate 7. e$t manife$tum. At cum ip$i G I additur IO quæ ad I K trientem ip$ius H I rationem habeat, quam quadru- pla G I una cum G H ad duplam G I cum tripla G H. Dico totam G O arcu A B majorem e$$e. Con$tituantur enim $uper lineis G H, H I, IO, triangula quorum communis vertex $it L, alt<007>tudo autem æqualis radio D B. Et junga- tur D A, ducaturque diameter circuli C E quæ rectam A B bifariam dividat in N, arcum vero A B in E. Et jun- gantur A E, E B.

Quoniam igitur O I e$t ad I K ut quadrupla G I unà cum G H ad duplam G I cum tripla G H; $umptis con$equen- tium triplis erit O I ad I H (hæc enim tripla e$t I K,) ut quadrupla G I unà cum G H ad $excuplam G I cum non- cupla G H. Et componendo, O H ad H I, ut decupla [0095]DE CIRCULI MAGNIT. INVENTA. utriu$que I G, G H ad $excuplam I G cum noncupla G H: vel $umptis horum trientibus ut decem tertiæ duarum $imul G I, G H ad duplam G I cum tripla G H. E$t autem ea- dem ratio linearum G I ad G H, hoc e$t, B A ad A M, quæ B D ad D N, propter $imiles triangulos B A M, B D N. Ergo etiam O H ad H I, ut {10/3} utriu$que $imul B D, D N ad duplam B D cum tripla D N; hoc e$t, ut {10/3} N C ad diametrum E C cum tripla D N. Hac autem ra- tione minor e$t ratio portionis A E B ad A E B triangulum . _per præced_. Ergo dictæ portionis ad dictum triang. minor quoque ratio quam O H ad H I, hoc e$t, quam trianguli O H L ad triangulum I H L. Triangulum autem I H L æquale e$t tri- angulo A E B. Quod $ic o$tenditur. Triangulum enim G H L æquale e$t triangulo D A B, quoniam ba$es & alti- tudines reciprocè æquales habent. Similique ratione quo- niam G I æqualis e$t rectæ A B, erit triangulum G I L æ- quale duobus $imul triangulis D A E, D B E, hoc e$t, quadrilatero D A E B. Itaque triangulum H I L triangulo A E B æquari nece$$e e$t, quod dicebamus. Habebit itaque portio A E B ad triangulum $ibi in$criptum A E B mino- rem quoque rationem quam triangulum O H L ad idem tri- angulum A E B. Quamobrem triangulum O H L portione A E B majus erit. Et totum proinde triangulum O G L majus $ectore D A E B. Altitudo autem trianguli G L O æqualis e$t radio D B. Ergo ba$is G O major erit arcu A B. Quod erat o$tendendum.

_Ex his autem manife$tum e$t de tota quoque circumferen-_ _tia pronunciari po$$e, quod_, Si circulo in$cribantur polygona duo æquilatera, quorum alterum alterius $it duplo laterum nu- mero, & differentiæ perimetrorum triens per<007>metro polygoni majoris adjungatur, compo$<007>ta ex his circuli circumferentiâ mi- nor erit. Eidem vero majori perimetro $i linea addatur quæ ad dictum differentiæ trientem $e$e habeat, $icut quadrupla perimetri majoris juncta perimetro minori, ad duplam ma- joris cum tripla minoris, compo$ita circumferentiam circuli ex- cedet.

[0096]CHRISTIANI HUGENII PROBLEMA IV. PROPOS. XX.

_C_Ircumferentiæ ad diametrum rationem inve- $tigare; & ex datis in$criptis in dato circulo invenire longitudinem arcuum quibus illæ $ubtendun- tur.

E$to circulus centro D, cujus diameter C B, & $it arcus TAB. XL. Fig. 6. B A $extans circumferentiæ, cui $ubten$a ducatur A B, itemque $inus A M. Po$itâ igitur D B $emidiametro par- tium 100000, totidem quoque erit $ubten$a B A. A M ve- rò partium 86603 non unâ minus, hoc e$t, $i una pars $i- ve unitas auferatur ab 86603 fiet minor debito. quippe $e- mi$$is lateris trianguli æquilateri circulo in$cripti.

Hinc exce$$us A B $upra A M fit 13397 vero minor. Cujus triens 4465 {2/3} additus ip$i A B 100000, fiunt partes 104465 {2/3} minores arcu A B. Et hic primus e$t minor termi- nus, quo po$tea alium vero propiorem inveniemus. Prius autem major quoque terminus $ecundum Theorema præce- dens inquirendus e$t.

Tres nimirum $unt numeri quibus quartum proportiona- lem invenire oportet. Primus e$t partium duplæ A B & tri- plæ A M qui erit 459807, vero minor, (nam hoc quoque ob$ervandum ut minor $it, idemque in cæteris prout dicetur) $ecundus quadruplæ A B & $implæ A M qui 486603 vero maj. Et tertius triens exce$$us A B $upra A M, 4466 vero major. Itaque quartus proportionalis erit 4727 vero maj. quo addito ad A B 100000 fit 104727, major numero par- tium, quas continet arcus A B, peripheriæ $extans. Jam _per præced_. igitur invenimus longitudinem arcus A B $ecundum mino- rem majoremque terminum, quorum hic quidem longe pro- pior vero e$t, cum vero proximus $it 104719.

Sed ex utroque i$torum alius minor terminus habebi- tur priore accuratior $i@ utamur præcepto $equenti, quod à diligentiori centrorum gravitatis in$pectione dependet.

[0097]DE CIRCULI MAGNIT. INVENTA.

Inventorum terminorum differentia $e$quitertia jungatur du- plæ $ubten$æ & $inui triplo, & quam rationem habet ex h<007>s compo$ita ad triplam $e$quitertiam $eu _{10/3}_ utriu$que $imul, $i- nus, $ubten$æque, eandem habeat $ubten$æ $upra $inum exce$- $us ad aliam quandam; Hæc ad $inum addita rectam con$tituet arcu minorem.

Minor terminus erat 104465 {2/3}. Major 104727. differentia horum e$t 261 {1/3}. E$tque rur$us tribus numeris inveniendus quartus proportionalis. Primus e$t partium duplæ A B & triplæ A M & $e$quitertiæ terminorum differentiæ, 460158 vero major. Secundus {10/3} utriu$que $imul A B, A M, 622008 vero m<007>nor. Tertius denique exce$$us A B $upra A M, 13397 vero min. Quibus quartus proportionalis e$t 18109 vero min. Hic igitur additus numero partium A M 86602 {1/2} vero min. fiunt 104711 {1/2} minores arcu A B. Quare $excuplum earum, 628269 minus erit circumferentiâ totâ. At quoniam 104727 majores inventæ $unt arcu A B, earum $excuplum 628362 circumferentiâ majus erit. Itaque circumferentiæ ad diame- trum ratio minor e$t quam 628362, major autem quam 628269 ad 200000. Sive minor quam 314181, major autem quam 314135 ad 100000. Unde con$tat minorem utique e$$e quam triplam $e$qui$eptimam, & majorem quam 3 {10/@}. Quin etiam Longomontani error per hæc refutatur, qui $crip$it peri- pheriam majorem e$$e partibus 314185 qualium rad. 100000.

E$to nunc arcus A B {1/@} circumferentiæ, & erit A M, $e- mi$$is lateris quadrati circulo in$cripti, partium 7071068, non unâ minus, qualium radius D B 10000000. A B vero latus octanguli partium 7653668 non unâ majus. Quibus da- tis ad $imilitudinem præcedentium invenietur primus minor terminus longitudinis arcus A B 7847868. Deinde major terminus 7854066. Et ex utroque rur$us terminus minor ac- curatior 7853885. Unde con$tat peripheriæ ad diametrum rationem minorem haberi quam 31416 {1/3}, majorem autem quam 31415 ad 10000.

Et quum terminus major 7854066 à vera arcus A B lon- [0098]CHRISTIANI HUGENII gitudine minus di$tet quam partibus 85; (E$t enim arcus A B, per ea quæ $upra o$tendimus, major quam 7853981) partes autem 85 efficiant minus quam duos $crupulos $ecun- dos, hoc e$t, quam {2/1296600} circumferentiæ, nam tota earun- dem plures habet quam 60000000: Hinc manife$tum e$t, $i trianguli rectanguli angulos quæramus ex datis lateribus, eo modo quo majorem i$tum terminum paulò antè, nunquam duobus $crupulis $ecundis aberraturos; etiam$i æqualia inter $e fuerint latera circa angulum rectum, veluti hic erant in triangulo D A M.

Si vero ea $it ratio lateris D M ad M A, ut angulus A D M non excedat {1/4} recti; non unius tertii $crupuli error erit. Po- $ito enim arcu A B {1/16} circumferentiæ, erit A M $emi$$is la- teris octanguli æquilateri circulo in$cripti partium 382683433, non unâ minus. A B vero latus $exdecanguli 390180644 non unâ amplius, qualium radius D B 1000000000. Unde primus minor terminus longitudinis arcus A B invenitur par- tium 392679714. Terminus autem major 392699148. Et ex his minor rur$us 392699010. Con$tat autem ex $upra demon- $tratis arcum A B {1/16} peripheriæ, majorem e$$e quam 392699081, quas terminus major $uperat partibus 67. Hæ autem minus efficiunt uno $crupulo tertio, hoc e$t, {1/77760000} to- tius circumferentiæ, quoniam ea major e$t utique quam 6000000000.

Porro ex novi$$imis terminis inventis orietur ratio circum- ferentiæ ad diametrum minor quam 3141593 {1/5}, major autem quam 3141592 ad 1000000.

Quod $i {1/60} circumferentiæ ponatur arcus A B, $eu par- tium 6 qualium tota 360: Erit A M $emi$$is lateris trigin- tanguli in$cripti partium 10452846326766, non unâ minus, qualium radius 100000000000000. Et A B latus $exagintan- guli in$cripti 10467191248588 non unâ amplius. Invenietur- que ex his arcus A B $ecundum primum minorem terminum 10471972889195. Secundum majorem 10471975512584. Et ex his minor alter terminus 10471975511302. Unde efficitur peripheriæ ad diametrum ratio minor quam [0099] [0099a] Pag. 386. TAB. XL. Fig. 2. K B H F G E A I D L C Fig. 1. L K E D H C A G B Fig. 3. B Q N L M F G S H K A D C P Fig. 4. B G R A C D E H F Fig. 6. A C D M B Fig. 5. A E N F B L D M C G H I K O [0100] [0101]DE CIRCULI MAGNIT. INVENTA. 31415926538, major autem quam 31415926533 ad 10000000000.

Quos terminos $i ex additis in$criptorum & circum$cripto- rum polygonorum lateribus inquirendum e$$et ferè ad late- rum quadringenta millia deveniendum. Nam ex $exagintan- gulo in$cripto circum$criptoque hoc tantum probatur, mi- norem e$$e rationem peripheriæ ad diametrum quam 3145 ad 1000, majorem autem quam 3140. Adeo ut triplum & am- plius verarum notarum numerum no$tro ratiocinio produ- ctum appareat. Idem vero in ulterioribus polygonis $i quis experiatur $emper evenire cernet: non ignota nobis ratione, $ed quæ longiori explicatione indigeret.

Porro autem quomodo, datis quibu$cunque aliis in$criptis, arcuum quibus $ubtenduntur longitudo per hæc inveniri que- at $atis puto manife$tum. Si enim quadrati in$cripti latere majores $unt, longitudo arcus ad $emicircumferentiam reli- qui inquirenda e$t, cujus tum quoque $ubten$a datur. Sci- endum autem & dimidiorum arcuum $ubten$as inveniri cum totius arcus $ubten$a data e$t. Atque hâc ratione $i bi$ectioni- bus uti placebit, poterimus ad omnem $ubten$am, arcus i- p$ius longitudinem quamlibet veræ propinquam non difficul- ter cogno$cere. Utile hoc ad $inuum tabulas examinandas. Imo ad componendas quoque: quia cognitâ arcus alicujus $ubten$â, etiam ejus qui paulò major minorve $it $atis accu- ratè definiri pote$t.

[0102] CHRISTIANI HUGENII C. F. ILLVSTRIVM QVORVNDAM PROBLEMATVM CONSTRVCTIONES. PROBL. I. Datam $phæram plano $ecare, ut portiones inter $e rationem habeant datam.

HOc Archimedes problema re$olvit lib. 2. de Sphæra & Cylind. Compo$itionem autem pro- mi$$am non videtur explicui$$e, ni$i ip$ius e$t il- la quam Eutocius in vetu$to quodam libro reper- tam commentariis $uis inferuit. Ea vero parabo- les & hyperboles inter$ectione perficitur, uti & illa cujus Diony$idorus autor e$t, quæ tamen à priori differt. Præter has tertiam quoque adfert Eutocius è Dioclis de Pyriis li- bro, quæ hyperboles & ellip$is de$criptionem requirit. No- $tra autem quam hic con$cribemus anguli tri$ectionem po$tu- lat; Et hæc con$truendi ratio in $olidis problematibus quo- dammodo $implici$$ima videtur, atque ad u$um maxime ac- commodata.

E$to igitur data $phæra cujus centrum M, diameter C A. TAB. XLI. Fig. 1. Et data $it proportio lineæ S ad T majoris ad minorem. Intelligatur $ecari $phæra plano $ecundum A C diametrum, $itque maximus in ea circulus C B A D. Et producatur utrimque diameter C A, & ponatur $emidiametro æqua- lis utraque harum C H, A E. Et dividatur tota H E in Q, ut $it E Q ad Q H $icut S ad T. Ip$i autem M Q æqua- lis ponatur ad circumferentiam recta A R. Et ei quæ ter- tiam partem $ubtendit arcus A R, æqualis $umatur M N. [0103]CHR.HUGENII ILL.QUOR.PROB.CONSTR. Et per N punctum ducatur planum K L quod diametro C A $it ad angulos rectos. Dico hoc $phæram $ic $ecare, ut portio cujus A vertex e$t ad eam cujus vertex C rationem ha- beat quam S ad T.

Secetur enim $phæra per centrum M plano B D ip$i K L parallelo, & jungantur K M, M L; & intelligatur conus ba$in habens circulum factum $ectione K L, verticem vero M. Et $icut quadratum C M ad quadratum M N, ita $it M N ad N O longitudine. Erit igitur per conver$ionem ra- tionis ut quadratum C M $ive quadr. K M ad quadratum K N (e$t enim quadr. K N exce$$us quadrati K M $upra quadr. M N) ita linea N M ad M O. Sicut autem quadr. K M, hoc e$t, quadr. B M ad quadr. K N, ita e$t circu- lus circa diametrum B D ad eum qui circa diametrum K L. Ergo quoque ille circulus ad hunc $e$e habebit ut N M ad M O. Ac proinde conus K M L æqualis erit cono cujus ba$is circulus circa diametrum B D, altitudo M O . Hic 15. 12. _E_. _lem_. autem conus ad hemi$phæram B C D, hoc e$t, ad conum qui ba$in habeat eundem circulum circa B D diametrum, & altitudinem M H , eam habet rationem quam M O ad 32. 1. _Ar-_ _chim. de_ _Sphær. &_ _Cylin_. M H. Itaque & conus K M L erit ad hemi$phæram B C D $icut M O ad M H. Et invertendo.

Porro autem quoniam hemi$phæra B C D e$t ad $ectorem $ol<007>dum M K C L $icut $uperficies illius $phærica ad $phæ- ricam hujus $uperficiem , hoc e$t, ut M C ad C N . 42. 1. _Ar-_ _chim. de_ _Sphær. &_ _Cyl_. Erit per conver$ionem rationis hemi$phæra B C D ad par tem $ui quæ remanet dempto $ectore M K C L, $icut C M 3. 2. _Ar-_ _chim. de_ _Sphær_. _& Cyl_. ad M N: vel $umptis horum duplis ut H M ad O Q. Quod enim O Q dupla $it ip$ius M N po$tea o$tendemus. Fuit autem o$ten$um, quod hemi$phæra B C D ad conum K M L $icut H M ad M O. Ergo jam hemi$phæra B C D ad to- tam portionem inter plana B D, K L contentam erit ut H M ad utramque $imul Q O, O M , hoc e$t, ad M Q. Qua- 24. 5 _Ele@_. re & per conver$ionem rationis, erit hemi$phæra B C D ad portionem K C L, ut M H ad H Q. Et $umptis antece- dentium duplis, $phæra tota ad portionem K C L ut E H [0104]CHRISTIANI HUGENII ad H Q. Et dividendo, portio K A L ad portionem K C L ut E Q ad Q H, hoc e$t ut S ad T. Quod erat fa- ciendum. Quod autem dictum fuit O Q duplam e$$e ip$ius M N, $ic fiet manife$tum. Quia enim ut quadratum C M ad quadr. M N, ita e$t M N ad N O longitudine: E$t au- tem Q M æqualis $ubten$æ arcus A R cujus trienti $ubten- ditur M N. Erunt propterea duæ $imul Q M & N O æqua- les triplæ M N, uti $equenti lemmate demon$tratur. Quam- obrem ablata communi O N, erit $ola Q M æqualis du- plæ N M & ip$i M O. Sed eadem Q M æqualis e$t dua- bus $imul his Q O, O M, ergo apparet duplam M N æqua- ri ip$i O Q.

LEMMA.

SI Circumferentiæ arcus in tria æqualia $ecetur, tres $imul TAB. XLI. Fig. 2. rectæ quæ æqualibus partibus $ubtenduntur, æquantur $ub- ten$æ arcus totius & ei quæ ad $ubten$am trientis $e$e habe- at, $icut hujus quadratum ad quadratum $emidiametri. Ar- cus $ectoris A B C in tria æqualia divi$us $it punctis D, E. Et $ubtendantur partibus rectæ B D, D E, E C; & toti arcui linea B C. Porro jungantur D A, E A, atque inter- $ecent $ubten$am B C in punctis G & H. Sitque H F pa- rallela G D.

Quoniam igitur circumferentia B D E dupla e$t circum- ferentiæ E C, angulus autem huic in$i$tens E A C ad cen- trum con$titutus, qui vero illi in$i$tit angulus B C E ad circumferentiam. Erit propterea angulus B C E, hoc e$t, angulus H C E in triangulo H C E æqualis angulo C A E in triangulo C A E. Sed angulus ad E utrique e$t commu- nis; itaque $imiles inter $e $unt dicti trianguli: Eritque ut A E ad E C ita E C ad E H. Ratio igitur A E ad E H hoc e$t D E ad E F, duplicata e$t rationis A E ad E C, ac proinde cadem quæ quadrati A E ad quadr. E C $eu quadr. E D. Erit igitur invertendo F E ad E D $icut quadr. E D ad quadr. E A. Quamobrem o$tendendum e$t, tres $imul B D, D E, E C æquari $ubten$æ B C [0105]ILLUST.QUORUND.PROB.CONSTRUCT. atque ip$i E F. quod $ane manife$tum e$t; nam C E e$t æ- qualis C H; B D æqualis B G; D E vero utri$que $imul G H, & F E. Ergo con$tat propo$itum.

Sump$imus autem arcum B C $emicircumferentiâ mino- rem quoniam in con$tructione problematis eju$modi $emper invenitur. Nam lemma ad quo$vis arcus pertinet, e$tque in $emicircumferentiâ majoribus demon$tratio parum diver$a.

PROBL. II. Cubum invenire dati cubi duplum.

AD hoc imperfectam primò con$tructionem proponemus ad mechanicen utilem; deinde accuratam $ubjiciemus, quæ tamen non ni$i $æpius tentando perficiatur. Etenim $oli- da problemata omnia vel hoc exigunt vel $ectionum conica- rum de$criptionem.

Sit itaque datus cubus cujus latus A B, oporteatque in- TAB. XLI. Fig. 3. venire latus cubi dupli.

Radio B A $emicirculus de$cribatur A F C. Sitque arcus A F $emicircumferentiæ triens, C D vero quadrans; & du- cantur C F, A D, quarum inter$ectio ad E punctum. Erit A E latus cubi quæ$iti; exiguo tamen excedens, quodque minus $it {1/2000} $ui parte, ut facile numeris explorari pote$t. Fit enim A E $ecans anguli p. 37. $cr. 30. quæ proinde ma- jor e$t partibus 12600 qualium A F vel A B 10000. Minor autem quam 12605. Itaque cum cubus ex 12600 $it major quam duplus ejus qui ex A B 10000, erit & cubus A E major duplo cubo ex A B. Rur$us quia A E major e$t par- tibus 12600 erit {1/2000} A E major part. 6. Tota vero A E mi- nor e$t quam 12605. Ergo auferendo ab A E partem bis- mille$imam $ui ip$ius reliqua minor erit partibus 12599, tot enim $uper$unt cum ex 12605 deducuntur 6. Atqui cubus ex 12599 minor e$t duplo cubo ex 10000. Ergo omnino quoque A E diminuta parte $ui bi$mille$ima cubum mino- rem producet quam $it duplus cubus à latere A B.

Porro ad perfectam con$tructionem, C F quidem uti pri- [0106]CHRISTIANI HUGENII us ducenda e$t: A D vero $ic, ut $ubten$a C D æqualis $it ab$ci$$æ E F. Etenim his po$itis dico cubum A E ejus qui ex A B duplum exi$tere.

Producatur enim C A, & $it ip$i A E æqualis A G. Propter triangulos $imiles igitur e$t E C ad C D, hoc e$t, E F ut E A ad A F, hoc e$t, ut G A ad A B. Et com- ponendo C F ad F E ut G B ad B A $ive A F. Et permu- tando C F ad G B ut E F ad F A. Quare ut C F qua- dratum ad quadr. G B, ita quadr. E F ad quadr. F A. Et componendo ut quadr. C F & G B ad quadr. G B, ita quadr. E F & F A $imul, hoc e$t, quadr. E A ad quadr. A F. Quadr. autem C F & G B $imul æquantur rectangu- lo G C A cum quadr. A G, quod $ic o$tenditur. Quadra- tum enim G B æquale e$t rectangulo C G A & quadrato A B $eu A F . Quare addito utrimque quadrato F C, 6.2. Elem. erunt quadrata G B, F C $imul æqualia rectangulo C G A & quadrato A C. Rectangulum autem C G A cum quadra- to A C æquatur rectangulo G C A cum quadrato G A. Ita- que & quadrata C F, G B $imul æqualia $unt rectangulo G C A cum quadrato A G, $icut diximus. Sicut igitur re- ctangulum G C A cum quadrato A G ad quadr. G B, ita e$t quadr. E A ad quadr. A F, hoc e$t, ita quadratum G A ad quadr. A B. Et permutando, ut rectangulum G C A cum quadrato G A ad quadratum G A ita quadr. G B ad quadr. A B. Dividendo igitur, erit ut rectang. G C A ad quadr. G A, ita quadr. G B dempto quadrato A B, hoc e$t, rectangulum C G A ad quadr. A B. Et per- mutando rur$us, ut rectang. G C A ad rectang. C G A, hoc e$t, ut C A ad A G ita quadratum G A ad quadr. A B. Quamobrem quod fit ex quadrato G A in ip$am G A, hoc e$t, cubus G A æquabitur ei quod fit ex quadra- to A B in A C, hoc e$t, duplo cubo ex A B. Quod erat demon$trandum.

[0107]ILLUST. QUORUND. PROB. CONSTRUCT. PROBL. III. Datis duabus rectis duas medias propor- tionales invenire.

VEterum Geometrarum ad hoc Problema con$tructiones complures retulit Eutocius ad lib. 2. Archimedis de Sphæra & Cylindro, at non omnes inventione diver$as, uti recte quoque ip$e animadvertit. Heronis enim inventionem $ecuti videntur Apollonius & Philo Byzantius: quanquam Heronem Apollonio ætate po$teriorem nonnulli exi$timent. Dioclis modum Pappus & Sporus. Nicomedea autem con- $tructio præ cæteris $ubtilis ibidem extat, quam Fr. Viëta paulò aliter concinnatam $uo Geometriæ $upplemento in$e- ruit. R. Carte$ii egregia e$t & nova per paraboles & cir- cumferentiæ inter$ectionem, cujus demon$tratio legitur in libris Harmonicôn M. Mer$enni. No$træ autem $equen- tes.

Sit datarum linearum major A C, quæ bifariam $ecetur TAB. XLI. Fig. 4. in E. Minor autem $it A B, quæ $ic con$tituatur ut trian- gulus E A B habeat crura æqualia A E, E B. Et perficia- tur parallelogrammum C A B D. Et producantur A C, A B. Porro applicetur regula ad punctum D, & moveatur quousque po$itionem habeat G F, ab$cindens nimirum E F æqualem rectæ E G; (Hoc autem vel $æpius tentando a$$e- quemur, vel de$criptâ hyperbole, uti po$tea o$tendetur) Dico inter A C, A B medias duas inventas e$$e B G, C F.

Sit enim E K ip$i A B ad angulos rectos. Quia igitur B E æqualis E A, dividetur A B in K bifariam: adjecta au- tem e$t linea B G. Ergo rectangulum A G B cum quadrato ex K B, æquabitur quadrato K G. Et addito utrimque qua- drato K E, erit rectangulum A G B unà cum quadratis B K, K E, hoc e$t unà cum quadrato B E, æquale qua- drato E G. Similiter quia A C bifariam dividitur in E, & ad- [0108]CHRISTIANI HUGENII jecta e$t linea C F, erit rectangulum A F C cum quadrato E C æquale quadrato E F. Quadratum autem E F æquale e$t quadrato E G. Erit igitur rectangulum A F C cum qua- drato C E, æquale rectangulo A G B cum quadrato B E. Atqui quadratum C E $eu E A æquale e$t quadrato E B. Ergo & reliquum rectangulum A F C æquale rectangulo A G B. Quare $icut F A ad A G ita B G ad C F. Ut au- tem F A ad A G ita e$t D B ad B G, & ita quoque F C ad C D. Igitur ut D B, hoc e$t, A C ad B G ita B G ad F C, & F C ad C D, hoc e$t, A B. Quod erat dem. Quod autem dictum e$t, etiam de$criptâ hyperbole inveni- ri quomodo linea F D G ducenda $it, hinc con$tabit: Fa- ctum enim $it, ut E F, E G $int æquales, & $umatur G N æqualis D F. Itaque punctum N e$t ad hyperbolem quæ de$cribetur per D punctum circa a$ymptotos F A, A G . 8. 2. _Conic_. Sed idem punctum N e$t quoque ad circuli circumferentiam cujus centrum E radius E D: (Hoc enim facile intelligitur quia triangulus F E G e$t æquicruris, & N G æqualis D F) Itaque datum e$t punctum N ad inter$ectionem hyperboles & circumferentiæ dictæ. Sed & D datum e$t. Datur igitur po$itione linea F G ducenda per puncta N, D. Et compo- $itio manife$ta e$t.

ALITER.

CIrca diametrum A C majori datarum linearum æqualem TAB. XLI. Fig. 5. circulus de$cribatur & ponatur A B minori datarum æqua- lis, & perficiatur parallelogrammum A D: productâque A B, ducatur ex centro E recta E H G eâ ratione ut H D, H G $int inter $e æquales. Secet autem circumferentiam in L. Dico duabus A C, A B duas medias inventas e$$e B G, G L.

Producatur enim G E u$que ad circumferentiam in K, & jungatur A K, eique parrallela ducatur B O. Similes ita- que $unt trianguli A E K, B H O; & quia A E æqualis E K, etiam B H, H O æquales erunt. Sed & H G, H D inter $e æquales $unt. Igitur tota O G æqualis B D, hoc [0109]ILLUST. QUORUND. PROB. CONSTRUCT. e$t, diametro A C vel L K; & ablatâ communi L O, re- linquentur æquales L G, O K. E$t autem rectangulum K G L æquale rectangulo A G B. Ergo ut K G ad G A ita B G ad G L. Sed ut K G ad G A ita e$t O G ad G B & ita reliqua O K, hoc e$t, L G ad B A. Ergo ut O G, hoc e$t, A C ad G B ita B G ad G L & G L ad A B. Quod erat demon$tr. Hujus autem con$tructionis inventio eandem cum præcedenti originem habet.

ALITER.

SInt datæ A B & Q quibus duas medias proportionales in- TAB. XLI. Fig. 6. venire opus $it; A B autem quam Q major.

Dimidiæ Q $umatur æqualis A F, & productâ A B u- trimque, $it ip$i æqualis B R. Erigatur autem ad A B perpen- dicularis F C, & ip$i R A æqualis ponatur R C: & junga- tur B C, & huic parallela ducatur A E. Denique applica- tâ regulâ ad punctum C, moveatur ea quou$que po$itionem habeat C D, faciens C E æqualem A D. Dico inter A B & Q duas medias e$$e C E, E D.

Jungatur enim C A. Igitur quia æquales $unt R A, R C & angulus C F A rectus, erit R A ad A C ut A C ad du- plam A F, hoc e$t, Q: ac proinde quadratum A C æqua- le rectangulo $ub R A & Q. Quadratum autem A C cum quadrato A D & duplo rectangulo D A F, hoc e$t, $ub D A & Q contento, æquatur quadrato D C. Igitur qua- 12. 2. E- lem. dratum D C æquabitur quadrato D A unà cum rectangulis $ub D A, Q, & $ub R A, Q, hoc e$t, unà cum rectan- gulo $ub D R & Q. Quadratum autem D B æquale rectan- gulo R D A & quadrato A B . Igitur ut quadratum 6.2. _Elem_. D B ad quadratum D C, hoc e$t, ut quadr. A B ad quadr. A D, (e$t enim ut D B ad D C $ic A B ad E C $ive A D) ita erit rectangulum R D A cum quadrato A B ad rectan- gulum $ub R D, Q, cum quadrato A D. Quamobrem & rectangulum R D A ad rectangulum $ub R D, Q, $icut quadr. A B ad quadr. A D . E$t autem ut quadratum A B ad 19. 5. E- lem. quadr. A D, ita A B ad E D longitudine: nam ut B A ad A D [0110]CHRISTIANI HUGENII $ic C E, hoc e$t, ip$a A D ad E D. Ergo rectangulum R D A ad rectangulum $ub R D, Q, hoc e$t, A D ad Q $icut A B ad E D. Et permutando & invertendo, B A ad A D ut E D ad Q. Atqui ut B A ad A D, hoc e$t, C E ita C E ad E D. Ergo ut A B ad C E ita C E ad E D, & E D ad Q. Itaque inter A B & Q mediæ proportionales $unt C E, E D. Quod erat o$tendendum.

PROBL. IV.

_Q_Uadrato dato & uno latere producto, aptare $ub angulo exteriori rectam magnitudine da- tam quæ ad angulum oppo$itum pertineat.

E$to quadratum B A cujus productum $it latus F A. Data TAB. XLI. Fig. 7. verò linea K. Et oporteat ducere rectam B D C, ita ut pars intercepta D C $it datæ K æqualis.

Quadratis ex K & E B $it æquale quadratum E G; & $uper B G diametro de$cribatur $emicirculus B C G $ecans rectam F A productam in C, & ducatur B D C. Dico D C æqualem e$$e ip$i K. Jungantur enim C G, G D; $itque C H ip$i B G ad angulos rectos.

Quia igitur $imiles $unt trianguli B E D, C H G, & la- tera B E, C H circa angulos rectos inter $e æqualia, erit & latus D B æquale lateri G C, & D E ip$i G H. Sunt autem quadrata D C, C G, hoc e$t, quadrata D C, C H, & H G æqual<007>a quadrato D G , hoc e$t, quadratis G E, 47.1. _Elem_. E D. Ergo dempto hinc quadrato E D, inde vero quadrato H G; erunt duo quadrata D C & C H æqualia quadrato E G, hoc e$t, quadratis ex K & E B . Quadratum autem _Ex con-_ _$truct_. E B æquale e$t quadrato C H. Ergo & reliquum quadra- tum D C æquabitur K quadrato; & recta D C ip$i K. Quod erat o$tendendum.

Demon$tratio hæc ab ea diver$a e$t quæ apud Pappum A- lex. legitur lib 7. prop. 72. Con$tructio verò non differt. Cæ- terum eandem ad ca$um quoque $equentem pertinere inveni- mus.

[0111]ILLUST. QUORUND. PROB. CONSTRUCT. PROBL. V.

_D_Ato quadrato, & duobus contiguis lateribus productis, aptare $ub angulo interiori rectam magnitudine datam quæ per angulum oppo$itum tran$eat. Oportet autem non minorem e$$e datam quam $it quadrati diameter dupla.

Datum $it quadratum A B, productaque latera A F, A E.

TAB. XLI. Fig. 8.

Data verò linea K, non minor duplâ A B diametro. Et oporteat per angulum B ponere rectam D C ip$i K æqua- lem.

Si K æqualis fuerit duplæ A B, con$tructio manife$ta e$t; tunc enim per B ducenda e$t quæ $it ip$i A B ad angulos re- ctos, eaque propo$itum efficiet. Cum verò major erit K quam dupla A B, con$tructio ii$dem verbis præcipitur atque in Pro- blemate præcedenti: & demon$tratio quoque e$t eadem.

Quod autem circumferentia B C G $ecabit productam A F hinc manife$tum e$t. Etenim quia K major e$t duplâ diame- tro A B, erit K quadratum majus octo quadratis E B. Itaque quadratum E G majus quam quadrata novem ex E B; ac pro- inde E G major quam tripla E B. Dimidia igitur B G, hoc e$t, radius de$cripti $emicirculi major quam E B vel B F; unde nece$$e e$t rectam A C $ecari à circumferentia B C G.

PROBL. VI.

_R_Hombo dato, & uno latere producto, aptare $ub angulo exteriori l<007>neam magnitudine da- tam quæ ad oppo$itum angulum pertineat.

Sit datus rhombus A B, cujus productum latus F A. Data TAB. XLII. Fig. 1. autem linea K. Et oporteat ducere rectam B D C, ita ut pars intercepta D C $it ip$i K æqualis.

Ducatur diameter A B, & latus B E producatur; & qua- dratis ex K & A B $it æquale quadratum A G. Et $uper B G [0112]CHRISTIANI HUGENII circumferentiæ portio de$cribatur quæ capiat angulum ip$i B F A æqualem. Secabit ea productum latus F A, ut mo- do o$tendetur. Itaque ad inter$ectionis punctum C ducatur B C. Dico hujus partem interceptam D C lineæ datæ K æ- qualem e$$e. Quod autem circumferentia de$cripta latus F A productum $ecabit, $ic primùm o$tenditur. Ducatur A N ita ut $it angulus B A N angulo B F A vel B E A æqualis. Itaque triangulus B A N triangulo B E A $imilis e$t, ac proinde i$o$celes quoque. Quare $i $uper B N circumferen- tia de$cribatur quæ capiat angulum B F A, ea continget latus F A in A puncto. Sed B G major e$t quam B N: nam quadratum A G majus e$t quadrato A N vel A B, cum $it æquale quadratis ex K & A B. Quare A G cadet extra triangulum i$o$celem B A N. Itaque manife$tum e$t cir- cumferentiam $uper B G de$criptam capientemque angulum ip$i B F A vel B A N æqualem $ecare lineam F A C. E$to alterum inter$ectionis punctum M & jungantur B M, G C, & cadat in B E ex A perpendicularis A L.

Quia igitur quadratum A G æquale e$t quadratis ex K & A B: atque idem quadratum A G æquale quadratis A B & B G minus duplo rectangulo G B L, hoc e$t, minus rectan- gulo G B N; erit K quadratum æquale quadrato B G mi- nùs rectangulo G B N, hoc e$t, rectangulo B G N. E$t autem ut rectangulum B G N ad rectang. B E, G N, ita B G ad B E. Ergo ut B G ad B E ita quoque quadratum K ad rectangulum G N, B E, hoc e$t, rectangulum G B E minùs rectangulo N B E. E$t autem rectangulo G B E æ- quale rectang. C B D, quoniam G B ad B C ut D B ad B E propter triangulos $imiles G B C, D B E; habent enim an- gulum ad B communem, & angulus B C G ip$i B E D e$t æqualis. Item rectangulo N B E æquale e$t quadratum A B quia propter triangulos $imiles e$t N B ad B A ut A B ad B E. Ergo erit G B ad B E ut quadratum K ad rectangu- lum C B D minùs quadrato A B. E$t autem rectangulo C B D minùs quadr. A B æquale rectangulum D A, A C; quod $ic o$tenditur. Etenim quia quadrilaterum C G B M [0113] [0113a] Pag. 398. TAB. XLI. Fig. 1. S T B R K H Q C N O M A E L D Fig. 2. D E F B G H C A Fig. 3. F D E G A B C Fig. 4. G N B H D K A E C F Fig. 8 K A F c C E B h H G D d Fig. 6. C E D A F B R Q Fig. 5. G L B H D O A E C K Fig. 7. K F A C D B E H G [0114] [0115]ILLUST. QUORUND. PROB. CONSTRUCT. e$t in circulo, $unt anguli C G B & B M C $imul duobus rectis æquales. Sed & anguli E D B, A D B. Quorum E D B æqualis angulo C G B propter $imilitudinem triangulorum G B C, D B E. Ergo & angulus B M C æqualis erit an- gulo A D B. Trianguli igitur A B M, A B D angulos M & D inter $e æquales habent. Verum & angulos ad A, & latus A B commune. Itaque dicti trianguli $imiles $unt & æquales. Quare A M æqualis A D, & M B æqualis B D, & angulus M B A æqualis A B D. In triangulo igitur M B C angulus B in duo æqualia dividitur à recta B A, ideoque rectang. M B C minus quadrato B A æquatur rectangulo M A C. Sed rectangulo C B M æquale e$t rectangulum C B D; & rectangulo M A C æquale rectang. D A C. Igi- tur rectang. C B D minus quadrato B A æquale rectangulo C A D, uti dictum fuit. E$t itaque G B ad B E ut quadr. K ad rectangulum D A C. Sicut autem G B ad B E ita e$t rectang. G B E, hoc e$t, rectang. C B D ad quadratum B E. Ergo ut quadratum K ad rectang. D A C ita rectang. C B D ad quadratum B E. Ratio autem rectanguli C B D ad quadr. B E compo$ita e$t ex ratione D B ad B E, hoc e$t, D C ad C A, & ex ratione C B ad B E $ive B F, hoc e$t, C D ad D A. Ergo & quadr. K ad rectang. D A C eam habet rationem quæ componitur ex ratione D C ad C A & D C ad D A. hoc e$t, eam quam quadratum D C ad rectang. D A C. Quamobrem quadr. K. quadrato D C æquale e$t: Et D C ip$i K longitudine. Quod erat demon$trandum.

PROBL. VII.

_R_Hombo dato & duobus contiguis lateribus pro- ductis, aptare $ub angulo interiorirectam ma- gnitudine datam quæ per oppo$itum angulum tran$- eat. Oportet autem datam non minorem e$$e quam duplam diametri quæ reliquos duos rhombi angulos conjungit.

[0116]CHRISTIANI HUGENII

Sit datus rhombus A B cujus producantur latera A F, A E; TAB. XLII. Fig. 2. data autem $it recta K cui æqualem ponere oporteat C D, per angulum B tran$euntem. Ducatur diameter A B, eique ad angulos rectos linea S B R, quæ quidem æqualis erit duplæ diametro F E. Igitur K non minor debet e$$e quam S R. Si vero æqualis, factum e$t quod proponebatur. Sed ponatur K major data e$$e quam S R. Erit jam in $chemate hoc prout propo$itum e$t con$tructio eadem, quæ in Pro- blemate præcedenti. Demon$tratio autem nonnihil diver$a. Etenim hoc primò aliter o$tenditur quod circumferentia $u- per B G de$cripta $ecat productam A F. Sit A L ad E B perpendicularis & ducatur S T ut $it angulus B S T æqua- lis angulo E A F vel B F S. E$t itaque triangulus B S T triangulo B F S $imilis; (nam & angulos ad B æquales ha- bent:) ac proinde æquicruris etiam triangulus B S T. Ap- paret igitur lineam A S æquari ip$i L B cum dimidia B T. Quare dupla A S æquabitur duplæ L B & toti B T. Sed dupla A S e$t quadrupla A F vel E B. Ergo quadrupla E B æqualis duplæ L B & B T. Sumptâque communî altitudi- ne B T, erit rectangulum $ub quadrupla E B & B T con- tentum, æquale duplo rectangulo L B T & quadrato B T. Et addito utrimque quadrato B L, erit rectangulum E B T quater cum quadrato L B æquale rectangulo L B T bis cum quadratis B T, B L, hoc e$t quadrato L T. Quia vero propter triangulos $imiles e$t T B ad B S ut B S ad B F $ive B E, æquale erit rectang. E B T quadrato B S; & quater $umptum quadrato R S. Itaque quadr. S R cum qua- drato L B æquale quadrato L T. Quadratum vero K (quod majus e$t quam R S quadr.) unà cum eodem quadrato L B æquale e$t quadrato L G, uti ex con$tructione manife$tum e$t, quia $cilicet quadr. A G æquale po$itum fuit quadratis ex K & A B. Itaque majus e$t quadr. L G quam L T, & L G major quam L T, & B G quam B T. Quamobrem circumferentia $uper B G de$cripta capax anguli E A F $e- cabit rectam A S; nam $imilis circumferentia, $i $uper B T de$cribatur, ea continget ip$am in S puncto, quoniam an- [0117]ILLUST. QUORUND. PROB. CONSTRUCT. gulus B S T ip$i E A F æqualis e$t triangulu$que B S T æ- quicruris.

Porrò quod C D ip$i K æqualis e$t, $ic demon$trabitur. Quia quadratum A G æquale e$t quadratis ex K & A B: idemque quadratum A G æquale quadratis A B, B G cum duplo rectangulo G B L. Erit propterea quadratum K æ- quale quadrato B G cum duplo rectangulo G B L. Sicut autem B G ad B E ita e$t quadratum B G cum duplo re- ctangulo G B L ad rectangulum G B E cum duplo rectan- ctulo E B L; $ingula enim ad $ingula eam habent rationem. Ergo & quadratum K ad rectangulum G B E cum duplo re- ctangulo E B L ut B G ad B E. E$t autem rectangulo G B E æquale rectangulum C B D, quoniam C B ad B G ut E B ad B D, propter triangulos $imiles C B G, E B D; habent enim angulos ad B æquales & angulum B C G angulo B E D. Item duplo rectangulo E B L æquale e$t quadratum A B, quia propter triangulos $imiles ut S A, hoc e$t, dupla B E ad A B ita A B ad B L. Igitur ut B G ad B E ita erit quadratum K ad rectangulum C B D cum quadrato A B. Sed hi$ce duobus æquale e$t rectangulum C A D; quoniam in triangulo C A D angulus A bifariam dividitur à linea A B. Ergo ut B G ad B E ita e$t quadr. K ad rectangulum C A D. Atque hinc porrò eodem modo ut in ca$u præcedenti con- cludemus lineam D C ip$i K æqualem e$$e, repetendo i$ta: Sicut autem G B ad B E, &c.

Utrumque præcedentium Aliter.

SIt datus rhombus A D B C cujus productum latus TAB. XLII. Fig. 3. D B. Et data $it linea G. Oportet ducere rectam A N F, ut pars intercepta N F $it datæ G æqualis.

Ducatur diameter A B, & quadratis ex G & A B $it æ- quale quadratum A H, & ducatur H E ip$i B A parallela. Et A E ip$i G ponatur æqualis, eademque producatur ad F. Dico N F ip$i G æqualem e$$e.

Quod autem ad H E poni pote$t A E ip$i G æqualis, [0118]CHRISTIANI HUGENII hinc manife$tum e$t. Etenim quadratum A H majus e$t quadratis A X & X H, quum $it angulus A X H obtu$us. Sed idem quadratum A H æquale ponitur quadratis A B $eu H X & G. Itaque quadratum G $eu A E majus e$t quadrato A X. Unde apparet inter$ectionem E accidere inter puncta H & X.

Producatur B D & ponatur ip$i æqualis D R. & $it R K parallela D A vel B C, eique occurrant productæ F A, B A, H E, in punctis M, Q, K: & jungatur R A, & producatur ad P.

Quoniam igitur D R æqualis e$t D B, & R Q K paral- lela D A, erit & M A æqualis A N, & Q A æqualis A B; angulus autem B A R rectus, quum $it in $emicirculo, nam tres hæ æquales $unt D B, D A, D R. Parallelæ au- tem $unt B Q, H E K, ergo & anguli ad P recti, & erit H P æqualis P K. E$t itaque quadratum A H æquale qua- drato A E unà cum rectangulo H E K . Sed idem quadra- 12.2 _Elem_. tum A H æquale e$t etiam quadratis ex G $eu A E, & ex A B. Itaque quadr. A B æquale erit rectangulo K E H. Ac propterea K E ad A B ut A B ad E H. Verum ut K E ad A B $eu Q A ita e$t E M ad M A: & ut A B ad E H ita A F ad F E. Igitur E M ad M A ut A F ad F E: Et proinde E A ad A M ut E A ad E F. Æqualis e$t igi- tur E F ip$i A M; quare & ip$i A N. Ideoque & F N ip$i A E, hoc e$t, datæ G. Quod erat demon$trandum.

Sit denuo datus rhomdus A D B C, cujus producta la- TAB. XLII. Fig. 4. tera B D, B C; & data $it linea G. Oportet ducere re- ctam N F tran$euntem per angulum A, quæque æqualis $it ip$i G.

Ducatur diameter B A, eique ad angulos rectos R A L. Si igitur G minor detur quam R L, problema con$trui ne- quit, uti $upra quoque dictum fuit. Si vero æqualis, jam fa- ctum e$t quod quærebatur. Sit igitur G major quam R L. Erit in $chemate adjecto, $icut propo$itum e$t, con$tru- ctio & demon$tratio eadem quæ in ca$u præcedenti.

[0119]ILLUST. QUORUND. PROB. CONSTRUCT.

Illud autem hic aliter e$t o$tendendum, quod ad lineam H E poni pote$t A E ip$i G æqualis. Sit R S æqualis R B, & jungatur A S. Quoniam igitur in triangulo B A S à ver- tice ad mediam ba$in ducta e$t A R, erunt quadrata B R & R A $imul $umpta, hoc e$t, quadratum B A cum duplo _per_ 122. _lib.7. Pappi_. quadrato A R, $ubdupla quadratorum B A, A S . Itaque quadratum A B duplum cum quadruplo quadrato A R, hoc e$t, cum quadrato R L, æquabitur quadratis B A, A S. Quare ablato utrimque quadrato B A, erit quadratum A S æquale quadratis B A & R L, ac proinde minus quam quadr. A H; nam hoc æquale e$t quadratis A B & G. E$t igitur A S minor quam A H. Sed major e$t quam A R. Ergo pun- ctum S cadit inter R & H; angulus enim A R H obtu$us e$t. Major itaque e$t R H quam R S vel R B. Et quum propter triangulos $imiles $it R H ad H P ut R B ad B A, erit quoque H P major quam B A; & quadratum H P ma- jus quadrato A B. At quadratum H P cum quadrato P A æquatur quadrato A H, hoc e$t, quadratis B A & G. Er- go cum quadratum H P $it majus quadrato A B, erit invi- cem quadr. P A minus quam quadr. G. Patet igitur quod $i centro A circumferentia de$cribatur radio A E ip$i G æ- quali, ea lineam H E $ecabit.

PROBL. VIII. In Conchoide linea invenire confinia flexus contrarii.

Conchoidem intelligimus quam Nicomedes excogitavit; TAB. XLII. Fig. 5. quâ & angulum divi$it trifariam, & duas medias invenit proportionales: E$to ea C Q D, polus G, regula autem A B cujus ope de$cripta e$t; quam $ecet G Q ad angulos rectos. Hæc igitur lineæ proprietas e$t, ut ductâ ad ip$am rectâ qualibet ex G puncto, pars hujus inter conchoidem & rectam A B intercepta $it ip$i A Q æqualis.

Quum autem appareat partem quandam Conchoidis ut in $chemate $ubjecto C Q D ver$us polum G cavam e$$e, lineam [0120]CHR. HUG. ILL. QUOR. PROB. CONSTR. verò reliquam in infinitum licet utrimque productam in diver- $um curvari; quæ$itum e$t qua ratione puncta ea determinari po$$ent ubi contraria flexio initium capit. Et nos quidem ad hoc $equentem invenimus con$tructionem.

Sit duabus A G, A Q tertia proportionalis A E, $umenda ver$us G. Et ponatur G F æqualis G E. Porro $it G R ip$i G Q ad angulos rectos, & æqualis duplæ G A. Et de$cribatur pa- rabole R O, cujus vertex $it R axis R G, latus rectum ip$i A G æquale. Centro autem F radio F R circumferentia de$criba- tur, quæ parabolen $ecet in O; & ducatur O C parallela A B occurratque conchoidi in punctis C, D. Hæc erunt puncta quæ$ita in confinio flexionis contrariæ.

I$ta autem Univer$alis e$t con$tructio. At quando quadra- TAB. XLII. Fig. 6. tum ex A Q non majus e$t quam duplum quadrati A G, ar- cus tri$ectione propo$itum quoque efficiemus. Et diversè qui- dem prout A Q major vel minor erit quam A G. Etenim $i minor, de$cribenda e$t circumferentia centro A radio A G, in eaque ponenda G K æqualis duplæ G E, inventæ ut priùs. Et rectæ G H quæ $ubtendit trientem circumferentiæ K H G æqualis $umenda G M, & per M ducenda ut ante D C ip$i TAB. XLII. Fig. 7. A B parallela. Cum verò A Q major e$t quam A G, cæte- ris ad eundem modum compo$itis, hæc tantum differentia erit quod arcum K P, qui unà cum arcu G K $emicircum- ferentiam explet, in tria æqualia dividere oportet, & partium unam con$tituere P H, & $ubten$æ G H æqualem $umere G M.

Porro planum e$t Problema cum A G æqualis A Q. Tunc enim G M fit æqualis lateri trigoni ordinati in circulo in- $cripti. Item cum quadratum A Q duplum e$t quadrati A G: fit enim G M dupla ip$ius G A.

Sed & ali<007>s ca$ibus innumeris planum erit, quorum ii qui- dem facilè di$cerni poterunt, qui ad anguli tri$ectionem re- ducuntur.

FINIS. [0121] [0121a] Pag. 404. TAB. XLII. Fig. 1. K F M A C D B L E N G Fig. 3. G R D B H F E N A X C M P Q K Fig. 2. K A F _c_ S C L E B T G D R _d_ Fig. 4. K _e_ G P E _m_ B D _f_ R F S H M C A N L Q _n_ Fig. 5. B C R E G A F M Q D O Fig. 6. B C H G E A M Q P K D Fig. 7. B C E G A M P Q K H D [0122] [0123] DE CIRCULI ET HYPERBOLÆ QUADRATURA CONTROVERSIA. [0124] [0125] VERA CIRCULI ET HYPERBOLÆ QUADRATURA AUTHORE JACOBO GREGORIO. LECTORI GEOMETRÆ SALUTEM.

_M_Ecum aliquando cogitabam, ami- ce Lector, num Analytica cum $uis quinque operationibus e$$et $ufficiens, & generalis methodus inve$tigandi omnes quantitatum proportiones, ut in initio $uæ Ge- ometriæ affirmare videtur Car- te$ius_;_ $i enim ita e$$et, po$$ibile foret ejus ope to- ties decantatam circuli quadraturam exhibere: cumque hæc mente revolverem, facile percepi ex hactenus repertis circuli proprietatibus nullam po$$e analy$in in$titui tali $tructuræ in$ervientem: dein- de mihi alias quærenti incidit in mentem hujus $e- cunda, prima enim in circulo vulgo e$t cognita: ex hi$ce percepi $eriem polygonorum convergentem, cujus terminatio e$t circuli $ector_;_ ubi $tatim vidi [0126] PRÆFATIO aliquod analy$ios ve$tigium. deinde $erierum con- vergentium naturis non $olum in facilioribus qui- busdam ca$ibus, $ed etiam in genere con$ideratis, & prædictis circuli proprietatibus ad ellip$im & hyperbolam nullo negotio reductis, infallibilis mihi videbatur omnium $ectionum conicarum quadratu- ra: dum autem me illuc converti ut polygonorum $eriem convergentem terminarem, in$uperabilem difficultatem in ejus terminatione invenienda po$t omnes artis & aleæ conatus deprehendi: Sed ani- mo revolvens analy$ios o$$icium e$$e $icut algebræ communis, non $olum problemata re$olvere, $ed etiam eorum impo$$ibilitatem _(_$i opus $it_)_ demon- $trare_;_ cumque in primo difficultatem indicibilem expertus e$$em, ad $ecundum me converti, quod certe $upra votum $ucce$$it_;_ non enim $olius circuli _(_quam mihi ab initio propo$ueram_)_ $ed omnium $e- ctionum conicarum veram & legitimam in $ua pro- portionum $pecie quadraturam, & integram pro- portionis $peciem ante incognitam orbi Geometrico patefacio, quam etiam proportionem $altem in re- latione ad dimen$ionem $ectionum conicarum ad commen$urabilem veræ quam proximam reduco, praxi facili, demon$trabili, & extractione radicis $urde $olidæ _(_ni fallor_)_ multo breviore_;_ in omni enim proportione incommen$urabili ad tales approxi- mationes recurrunt Mathematici: ut autem melius concipiamus hujus proportionis naturam, loquamur de proportione quatenus ortum habet à quinque [0127]AD LECTOREM. operationibus analyticis, $eu arithmeticæ vulgaris, proportio enim nobis notior e$t in numeris $eu in quantitate di$creta, quam in continua, neque ve- reor po$t Carte$ium has operationes in geometriam adducere. Primo itaque $ciendum e$t nos $emper nobis proponere quantitates commen$urabiles, $eu quæ inter $e $unt ut numerus ad numerum_;_ pro- portionem enim incommen$ur abilem ni$i relativè ad commen$urabilem nullo modo percipimus, habet enim in $e ne$cio quid infiniti, mentem no$tram obtun- dens & $implicem perceptionem impediens: deinde ex illis quinque operationibus arithmet<007>cis, duæ $unt tantum $implices, additio & $ub$tractio_;_ mul- tiplicatio enim e$t compo$ita ex additione, & divi- $io ex $ub$tractione_;_ & extractio radicum, quæ in genere nihil aliud e$t quam inventio proportionis commen$urabilis, quæ quam proximè accedit ad proportionem analyticam <007>ncommen$ur abilem, com- ponitur ex præcedentibus quatuor_;_ & no$tra $exta operatio quæ in genere nihil aliud e$t quam inven- tio proportionis commen$urahilis, quam proximè accedentis ad no$tram proportionem non analyticam, componitur ex prioribus quinque. Advertendum quoque e$t $icut numeri fracti nunquam procedunt ex integrorum additione, $ubductione, multiplica- tione, $ed tantum ex divi$ione_;_ & numeri incom- men$urabiles nunquam procedunt ex commen$ura- bilium additione, $ubductione, multiplicatione, divi$ione, $ed tantum ex radicum extractione; [0128]PRÆFATIO ita numeros, vel quantitates non analyticas nun- quam provenire ex analyticarum additione, $ub- ductione, multiplicatione, divi$ione, radicum ex- tract<007>one, $ed ex $exta hac operatione_;_ ita ut hæc no$tra inventio addat arithmeticæ aliam operatio- nem, & geometriæ aliam rationis $peciem, idem enim e$t _(_$icut in hoc tractatulo demon$tro_)_ ratio- nem circuli ad diametri quadratum in analytica $eu illa rationis $pecie hactenus cognita exhibere, ac rationem inter quadrati latus & eju$dem diame- trum in commen$ur abilibus: verum certè e$t me hanc demon$trationem integram ad phra$em geo- metricam non reduxi$$e, nam ut hoc perficiatur, opus e$t non parvo volumine de quantitatum analy- ticarum mutuo inter $e relatione & incommen$ura- bilitate in genere, quod miror nullum unquam $crip$i$$e, cum in his tam latè pateant inventio- num campi_;_ nam ex his petenda e$t demon$tratio, quod me$olab<007>um non po$$<007>t perfici ope regulæ & circi- ni, item quod non $emper & quando æquationes affectæ po$$unt reduci ad puras, item quod nece$$aria $it ad minimum talis generis curva ad mechanicam talium æquationum re$olutionem, cum talibus innumeris, quæ à præ$tantioribus geometris impo$- $ibilia e$$e deprehenduntur ex analy$i, & à rudio- ribus quotidie & fru$tra quæruntur. Scrip$it Eu- clides decimum $uum librum $olummodo _(_ni$i in pau- cis quibu$dam propo$itionibus generalibus_)_ de incom- @nen$urabilitate facta ab extractione radicis quadra- [0129]AD LECTOREM. tæ_;_ neque quantum $cio ab ullo alio tractata e$t hæc materia, etiam$i geometriæ $peculativæ non $o- lum utili$$ima $it, $ed etiam maxime admirabilis; in ip$o enim limine admiranda occurrunt theorema- ta_;_ e.g. Si fuerit progre$$io geometrica cujus unus terminus fuerit propo$itæ quantitati commen$urabi- lis longitudine vel pote$tate quacunque, & alius quilibet, binomium, trinomium, &c. quodcunque, impo$sibile e$t duos totius progre$$ionis terminos in infinitum continuatæ e$$e inter $e commen$urabiles longitudine vel pote$tate quacunque: alia multa po$$em afferre, $ed pro commodiore forta$$is tempo- re hæc re$ervo, $atis exi$timans pro præ$enti hæc analyticè demon$tra$$e_;_ et$i enim analy$is a$$en$um adeo violenter non cogat ac geometria, nunquam ta- men re$puit nec re$puere pote$t geometria, quodpro- bavit $emel analy$is geometrica. Ex hac inventione deduco quoque novam $ectionem angularium & lo- gorithmorum doctrinam, facilem quidem, in praxi expediti$simam & geometrica demon$tratione muni- tam_;_ hactenus enim logorithmorum con$tructio pro- lixi$$ima, conjectura potius quam $cientia videba- tur, & divi$io anguli in partes æquales ultra quin- que numero primo numeratas in praxim vix ad- mitti poterat. hæc omnia $umma _(_qua po$$um_)_ bre- vitate & per$picuitate demon$tro_;_ neque $crupulo- $us $um in citationibus, utpote peregrinus, & li- bris ad tale opus de$titutus, te enim $uppono in geometricis non mediocriter ver$atum, alioquin nul- [0130]PRÆFATIO AD LECTOREM. lum hinc fructum colliges.

DEFINITIONES.

1 Si in circulo, ellip$e vel hyperbola ducantur è centro in ejus perimetrum duæ rectæ, appellamus planum ab illis rectis & perimetri $egmento comprehen$um, $ectorem.

2 Si perimetri $egmentum inter illas rectas comprehen$um à rectis quotcumque $ubtendatur, ita ut triangula rectili- nea (quorum communis vertex e$t $ectionis centrum & ba$es rectæ $ubtendentes) $int æqualia; vocamus rectili- neum illud ab i$tis triangulis conflatum, polygonum re- gulare in$criptum, $i $ectio conica fuerit circulus vel el- lip$is; quod $i fuerit hyperbola, vocamus illud rectili- neum polygonum regulare circum$criptum.

3 Si perimetri $egmentum inter illas rectas comprehen$um à rectis quotcunque tangatur & à tactibus ad $ectionis cen- trum ducantur rectæ; $i inquam omnia trapezia, a tan- gentibus proximis & rectis ad centrum comprehen$a, fue- rint æqualia; appello rectilineum ab illis conflatum, poly- gonum regulare circum$criptum, $i $ectio conica $it elli- p$is vel circulus, & polygonum regulare in$criptum $i fuerit hyperbola.

4 Si omnes anguli (excepto illo ad $ectionis centrum) po- lygoni regularis à $ubtendentibus comprehen$i in$i$tant [0131]DEFINITIONES. omnibus contactum punctis polygoni regularis à tangen- tibus comprehen$i, appello hæc polygona complicata.

5 Quantitatem dicimus à quantitatibus e$$e compo$itam; cum à quantitatum additione, $ubductione, multiplica- tione, divi$ione, radicum extractione, vel quacunque alia imaginabili operatione, fit alia quantitas.

6 Quando quantitas componitur ex quantitatum additione, $ubductione, multiplicatione, divi$ione, radicum extra- ctione; dicimus illam componi analyticè.

7 Quando quantitates à quantitatibus inter $e commen$ura- bilibus analyticè componi po$$unt, dicimus illas e$$e inter $e analyticas.

8 Si à quantitatibus quotcunque A, B, C, D, E, com- ponatur quantitas X, & à quantitatibus F, G, C, D, E, componatur quantitas Z, eâdem omnino methodo & iis- dem omnino operationibus quibus antè componebatur X, po$itis quantitatibus F, G, loco quantitatum A, B, $i inquam hoc fiat. dicimus quantitatem X eodem modo componi à quantitatibus A, B, quo Z componitur à quantitatibus F, G.

9 Sint duæ quantitates A, B, à quibus compo- A # B C # D E # F G # H nantur duæ aliæ quantitates C, D, quarum differentia $it minor differentia quantitatum A, B, & eodem modo quo C, componitur à quantitatibus A, B, componatur E à quantita- tibus C, D; & eodem modo quo D componitur à quan- titatibus A, B, componatur F, à quantitatibus C, D; & [0132]DEFINITIONES. eodem modo quo E componitur à quantitatibus C, D, vel C à quantitaiibus A, B, componatur G à quantita- tibus E, F; & eodem modo quo F componitur à quan- titatibus C, D, vel D à quantitatibus A, B, componatur H à quantitatibus E, F; atque ita continuetur $eries: appello hanc $eriem, $eriem convergentem.

10 Ejus termini juxta $e po$iti nempe A, B, vel C, D, vel E, F, vel G, H, dicuntur termini convergentes.

PETITIONES.

1 Petimus quantitates, à quantitatibus datis inter $e ana- lyticis analyticè compo$itas, e$$e inter $e & cum quantitatibus datis analyticas.

2 Item quantitates, quæ à quantitatibus datis inter $e ana- lyticis non po$$unt analyticè componi, non e$$e cum quan- titatibus datis analyticas.

Præcedentes petitiones quibusdam forta$$is ob$curæ videbun- tur, $ed tamen ex analy$eos elementis $unt $atis mani- fe$tæ.

[0133] VERA CIRCULI ET HYPERBOLÆ QUADRATURA.

Sit circuli, ellip$eos vel hyperbolæ $egmentum B I P TAB. XLIII. Fig. 1. 2. 3. cujus centrum A: compleatur triangulum A B P, & $egmentum in punctis, B, P, tangentes ducantur re- ctæ B F, P F, $e invicem $ecantes in puncto F; pro- ducatur ($i opus $it) recta A F $egmentum inter$ecans in puncto I & rectam B P in puncto Q; deinde jungantur re- ctæ B I, P I.

PROP. I. THEOREMA. Dico trapezium _B A P I_ e$$e medium propor- tionale inter trapezium _B A P F_, & triangulum _B A P_.

Quoniam recta A Q ducitur per F concur$um duarum re- ctarum F B, F P, $egmentum in punctis B, P, tan- gentium; igitur recta A Q rectam B P contactuum puncta jungentem bifariam $ecabit in puncto Q; & proinde triangulum A B Q e$t æquale triangulo A Q P, & trian- gnlum F B Q triangulo F Q P; & igitur triangulum A B F æquale e$t triangulo A P F; e$t ergo triangulum A B F di- midium trapezii A B F P: eodem modo probatur triangu- lum A B I e$$e dimidium trapezii A B I P; & triangulum A B Q e$t dimidium trianguli A B P: cumque triangula A B F, A B I, A B Q, eandem habeant altitudinem, in- ter $e $unt ut ba$es, $ed eorum ba$es nempe A F, A I, A Q, $unt continuè proportionales; & igitur ip$a quoque triangu- la $unt continuè proportionalia; & proinde eorum dupla ni- mirum trapezia A B F P, A B I P, & triangulum A B P $unt continuè proportionalia in ratione A F ad A I, quod demon$trare oportuit.

[0134]VERA CIRCULI

Ducatur recta D L $egmentum tangens in puncto I, & rectis B F, F P, occurrens in punctis D, L, ita ut com- pleatur polygonum A B D L P.

PROP. II. THEOREMA. Dico trapezia _A B F P, A B I P_ $imul, e$$e ad du- TAB. XLIII. Fig. 1. 2. 3. plum trapezii _A B I P_, $icut trapezium _A B F P_ ad polygonum _A B D L P_.

Quoniam recta A F, ducta per contactum rectæ D L cum $egmento, ducitur etiam per concur$um duarum recta- rum F B, F P, rectam D L terminantium & $egmen- tum in duobus punctis tangentium; ig<007>tur recta D L bifa- riam $ecatur in puncto I; & proinde triangulum F D I æ- quale e$t triangulo F I L, at triangulum A B F æquale e$t triangulo A P F; & igitur trapezium A B D I æquale e$t trapezio A P L I; trapezium ergo A P L I dimidium e$t polygoni A B D L P. ducatur recta A L: manife$tum e$t ex præcedentis demon$tratione triangulum A I L e$$e æqua- le triangulo A L P; $ed ut triangulum A L F ad triangu- lum A L I ita F A ad A I, & ut F A ad A I ita trapezium A B F P ad trapezium A B I P; & igitur ut trapezium A B F P ad trapezium A B I P; ita triangulum A L F ad triangulum A L I; & componendo, ut trapezia A B F P, A B I P $imul, ad trapezium A B I P, ita triangulum A F L & triangulum A I L $imul, hoc e$t triangulum A F P, ad triangulum A I L: & con$equentes duplicando, ut trape- zia A B F P, A B I P $imul, ad duplum trapezii A B I P, ita triangulum A F P, ad trapezium A I L P: at triangu- lum A F P e$t dimidium trapezii A B F P, & trapezium A I L P e$t dimidium polygoni A B D L P; & igitur ut trapezia A B F P, A B I P $imul, ad duplum trapezii A B I P, ita trapezium A B F P ad polygonum A B D L P, quod demon$trare oportuit.

[0135]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. PROP. III. THEOREMA. Dico triangulum _B A P_, & trapezium _A B I P_ $imul, TAB. XLIII. Fig. 1. 2. 3. e$$e ad trapezium _A B I P_, ut duplum trapezii _A B I P_ ad polygonum _A B D L P_.

In antecedente demon$tratum e$t trapezia A B F P, A B I P $imul, e$$e ad duplum trapezii A B I P, $icut trapezium A B F P ad polygonum A B D L P: & permutando tra- pezia A B F P, A B I P $imul, $unt ad trapezium A B F P, ut duplum trapezii A B I P ad polygonum A B D L P. & quoniam trapezium A B F P, trapezium A B I P & trian- gulum A B P, $unt continuè proportionalia; erit trape- zium A B I P ad trapezium A B F P, ut triangulum A B P ad trapezium A B I P; & componendo, ut trapezia A B I P, A B F P $imul, ad trapezium A B F P, ita triangulum A B P & trapezium A B I P $imul, ad trapezium A B I P: erat autem, ut trapezia A B I P, A B F P, $imul, ad tra- pezium A B F P, ita duplum trapezii A B I P ad polygo- num A B D L P; & igitur ut triangulum A B P & trape- zium A B I P $imul, ad trapezium A B I P, ita duplum trapezii A B I P ad polygonum A B D L P, quod demon- $trare oportuit.

Producantur ($i opus $it) rectæ A D, A L, $egmentum $ecantes in punctis E & O, & rectas B I, I P, in H & M: deinde jungantur rectæ B E, E I, I O, O P, ut complea- tur polygonum A B E I O P.

PROP. IV. THEOREMA. Dico polygonum _A B E I O P_ e$$e medium pro- TAB. XLIII. Fig. 1. 2. 3. portionale inter polygonum _A B D L P_ & trapezium _A B I P_.

Ex hujus prima manife$tum e$t trapezium A I L P, tra- pezium A I O P & triangulum A I P e$$e continuè [0136]VERA CIRCULI proportionalia, & ex prædictis $atis facile colligi pote$t trapezium A I L P e$$e dimidium polygoni A B D L P & trapezium A I O P e$$e dimidium polygoni A B E I O P & triangulum A I P e$$e dimidium trapezii A B I P: & proinde terminos duplicando, polygonum A B D L P, po- lygonum A B E I O P & trapezium A B I P $unt continuè proportionalia, quod demon$trare oportuit.

Ducantur rectæ C G, K N, $egmentum tangentes in punctis E, O, & rectis D L, D B, L P, occurrentes in punctis C, G, K, N, ut compleatur polygonum A B C G K N P.

PROP. V. THEOREMA.

Dico trapezium _A B I P_ & polygonum _A B E I O P_ TAB. XLIII. Fig. 1. 2. 3. $imul, eße ad polygonum _A B E I O P_, ut duplum polygoni _A B E I O P_ ad poly- gonum _A B C G K N P_.

Ex hujus tertia manife$tum e$t triangulum A B I & tra- pezium A B E I $imul, e$$e ad trapezium A B E I, ut duplum trapezii A B E Iad polygonum A B C G I: & ex prædictis facile concludi pote$t triangulum A B I e$$e di- midium trapezii A B I P, & trapezium A B E I e$$e dimi- dium polygoni A B E I O P, & polygonum A B C G I e$$e dimidium polygoni A B C G K N P; & proinde termi- nos duplicando, trapezium A B I P & polygonum A B E I O P $imul, erunt ad polygonum A B E I O P ut duplum polygo- ni A B E I O P ad polygonum A B C G K N P, quod demon$trandum erat.

Hinc facile colligi pote$t polygonum A B C G K N P e$$e medium harmonicum inter polygona A B E I O P, A B D L P, quod hic admonui$$e $ufficiat, in $equentibus enim demon$trabitur.

[0137]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. SCHOLIUM.

Duæ præcedentes propo$itiones eodem modo demon- $trari po$$unt de duobus quibu$cunque polygonis complicatis loco polygonorum complicatorum ABIP, A B D L P; polygonum enim à tangentibus comprehen$um tot continet æqualia trapezia, quot continet polygonum à $ubtendentibus comprehen$um æqualia triangula: atque hinc evidens e$t has polygonorum analogias ita $e habere in infi- nitum, ducendo nimirum rectas AN, AK, AG, AC, per puncta R, T, S, V, & adhuc alia & alia polygona intra & extra $emper $cribendo: notandum nos appellare hanc poly- gonorum in$criptionem & circum$criptionem, in$criptionem & circum$criptionem $ubduplam, ex prædictis patet ($i po- natur triangulum A B P = <#>a, & trapezium A B F P = <#>b) tra- pezium A B I P e$$e _vq_ab & polygonum A B D L P {2ab/a + _vq_ab}: eodem modo po$ito trapezio A B I P = <#>c, & polygono A B D L P = <#>d, erit polygonum A B E I O P = _vq_cd & po- lygonum A B C G K N P = {2cd/c + _vq_cd,}, ita ut evidens $it hanc polygonorum $eriem e$$e convergentem; atque in infinitum illam continuando, manife$tum e$t tandem exhiberi quanti- tatem $ectori circulari, elliptico vel hyperbolico A B E I O P æqualem; differentia enim polygonorum complicatorum in $eriei continuatione $emper diminuitur, ita ut omni exhibita quantitate fieri po$$it minor, ut in $equentis theorematis Scholio demon$trabimus: $i igitur prædicta polygonorum $e- ries terminari po$$et, hoc e$t, $i inveniretur ultimum illud polygonum in$criptum ($i ita loqui liceat) æquale ultimo illi polygono circum$cripto, daretur infallibiliter circuli & hyperbolæ quadratura: $ed quoniam difficile e$t, & in geo- metria omnino forta$$e inauditum tales $eries terminare; præ- mittendæ $unt quædam propo$itiones è quibus inveniri po$- $int huju$modi aliquot $erierum terminationes, & tandem ($i [0138]VERA CIRCULI fieri po$$it) generalis methodus inveniendi omnium $erierum convergentium terminationes.

PROP. VI. THEOREMATA.

Dico differentiam inter triangulum _A B P_ & trape- TAB. XLIII. Fig. 1. 2. 3. zium _A B F P_ majorem e$$e duplo differentiæ inter trapezium _A B I P_ & polygonum _A B D L P_.

Sit triangulum A B P, A; trapezium A B F P, B; tra- pezium A B I P, C, & polygonum A B D L P, D: quo- niam A e$t ad C ut C ad B, igitur ut differentia inter A & C ad A, ita differentia inter C & B ad C; & permutan- do, ut differentia inter A & C ad differentiam inter C & B ita A ad C; & componendo, ut differentia inter A & C & differentia inter C & B $imul, hoc e$t differentia inter A & B, ad differentiam inter C & B, ita A + C ad C; $ed ut A + C ad C ita 2 C ad D, & ideo differentia inter A & B e$t ad differentiam inter C & B ut 2 C ad D. quoniam A + C e$t ad C ut 2 C ad D, erit permutando ut A + C ad 2 C ita C ad D; & dividendo, ut differentia inter A & C ad 2 C ita differentia inter C & D ad D; & permutan- do, differentia inter A & C e$t ad differentiam inter C & D ut 2 C ad D; $ed demon$tratum e$t differentiam inter A & B e$$e ad differentiam inter C & B ut 2 C ad D; & proin- de differentia inter A & B e$t ad differentiam inter C & B, ut differentia inter A & C ad differentiam inter C & D; $ed differentia inter A & B e$t major differentia inter C & B, & ideo differentia inter A & C e$t major differentia inter C & D: & prædictam analogiam permutando, differentia in- ter A & B e$t ad differentiam inter A & C, ut differentia inter C & B ad differentiam inter C & D; at differentia in- ter A & B e$t major differentia inter A & C, & ideo diffe- rentia inter C & B e$t major differentia inter C & D; atque differentia inter A & B æqualis e$t differentiis, inter A & C, inter C & B; cumque earum utravis $it major differentia in- [0139]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. ter C & D, manife$tum e$t differentiam inter A & B majo- rem e$$e duplo differentiæ inter C & D, hoc e$t differen- tiam inter triangulum A B P & trapezium A B F P majo- rem e$$e duplo differentiæ inter trapezium A B I P, & po- lygonum A B D L P, quod demon$trare oportuit.

SCHOLIUM.

Eodem pror$us modo demon$tratur differentiam inter tra- pezium A B I P & polygonum A B D L P majorem e$$e duplo differentiæ inter polygonum A B E I O P & poly- gonum A B C G K N P. denique eodem modo demon$tra- ri pote$t hic differentiarum exce$$us in $ubdupla no$tra poly- gonorum complicatorum de$criptione in infinitum; differen- tia enim priorum nempe in$cripti & circum$cripti major $em- per erit duplo differentiæ immediatè $equentium nimirum in- $cripti quoque & circum$cripti, & proinde aufertur majus quam dimidium a priorum differentia ut fiat differentia im- mediatè $equentium; & igitur continuando $ubduplam po- lygonorum de$criptionem, inveniri po$$unt duo polygona complicata, quorum differentia $it minor qualibet exhibita quantitate, ut in præcedentis Scholio a$$ump$imus.

Sint duæ quantitates indefinitæ <#>a minor <_>b major, $intque datæ duæ rationes majoris inæqualitatis <#>c ad <#>d, & <#>c ad <#>e; de- inde $it ut <#>c ad <#>d ita <#>b - a ad {bd - ad/c} cui addatur quantitas <_>a ut fiat {ca + bd - ad/c}, quæ quantitas ponatur immediate $ub a: fiatque ut <#>c ad <_>e ita <#>b - <_>a ad {be - ae/c}, quæ quantitas $ub$trahatur ex <#>b & relictum nempe {bc - be + ae/c} ponatur $ub <_>b. continuetur de- inde $eries convergens cujus pri- # d c # e # a # b ## {ca + bd - ad/c} # {bc - be + ae/ c} mi termini convergentes $unt <#>a, b, & $ecundi termini convergentes {ca + bd - ad/c}, {bc - be + ae/c}. manife$tum e$t terminum {ca + bd - ad/c} majorem [0140]VERA CIRCULI e$$e termino <_>a, quoniam termino <#>a additur {bd - ad/c} ut fiat termi- nus {ca + bd - ad/c}: manife$tum quoque e$t terminum {ca + bd - ad/c} mi- norem e$$e termino b, quoniam differentia inter <#>a & <#>b e$t ad differentiam inter a & {ca + bd - ad/c} in ratione majoris inæqualita- tis: evidens quoque e$t terminum {bc - be + ae/c} minorem e$$e ter- mino b. quoniam ex <_>b $ub$trahitur {be - ae/c} ut fiat {bc - be + ae/c}; ma- nife$tum etiam e$t terminum {bc - be + ae/c} majorem e$$e termino <#>a, quoniam differentia inter <#>a & <_>b e$t ad differentiam inter {bc - be + ae/c} & <#>b in ratione majoris inæqualitatis: evidens igitur e$t differentiam inter terminos convergentes <#>a & <#>b majorem e$$e differentiâ inter terminos convergentes {ca + bd - ad/c} & {bc - be + ae/c}. fed quoniam termini convergentes <#>a & <#>b ponuntur indefiniti, po$$unt <#>a & <#>b $umi loco quorumlibet terminorum convergen- tium totius hujus $eriei; & po$itis <#>a & <#>b pro terminis hujus $eriei convergentibus quibu$cunque, $equitur nece$$ario ex $eriei compo$itione {ca + bd - ad./c}, {bc - be + ae/c} e$$e terminos conver- gentes immediatè $equentes: cumque differentia terminorum <#>a & <#>b major $it differentia terminorum {ca + bd - ad/c} & {bc - be + ae/c}, evidens e$t differentiam terminorum convergentium priorum $emper e$$e majorem differentia terminorum convergentium immediatè $equentium; & igitur quò magis continuatur hæc $eries convergens eò minor fit differentia terminorum con- vergentium: & quoniam hæc differentiarum diminutio $em- per fit proportionaliter nempe in ratione <#>b-a ad {bc - be + ae - ca - bd + ad;/c} igitur po$$unt inveniri hujus $eriei termini convergentes quo- rum differentia $it omni exhibita quantitate minor; & igitur imaginando hanc $eriem in infinitum continuari, po$$umus imaginari ultimos terminos convergentes e$$e æquales, [0141]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. quos terminos æquales appellamus $eriei terminatio- nem.

PROP. VII. PROBLEMA. Oportet prædictæ $eriei terminationem invenire.

Ut huic problemati $atisfiat, oportet primò invenire quantitatem quæ eodem modo componitur ex termi- nis convergentibus <#>a, <#>b, quo ex terminis convergentibus {ca + bd - ad/c}, {bc - bc + ae/c}, hoc autem facile fit hoc modo: inveniatur quantitas quæ multiplicata in <_>a & addita <#>b multiplicata in quantitatem data m, eandem quantitatem facit ac $i multi- plicaretur in {ca + bd - ad/c} & adderetur {bc - be + ae/c} multiplicata etiam in eandem quantitatem data\m m. $it quantitas illa <_>z, & pro- inde za + bm æquatur {zca + zbd - zad + mbe - mbe + mae/c}, & æquatione reducta invenitur {z = mac - mbe/ad - bd}; quæ quantitas $ive multiplica- ta in <#>a & addita <#>m, $ive multiplicata in {ca + bd - ad/c} & addita {mbe - mbe + mae/c} efficit eandem in utroque ca$u quantitatem nempe {maae - mbae + mbad - mbbd/cd - bd}: & proinde prædicta quantitas eodem mo- do componitur ex terminis convergentibus <#>a, <#>b, quo compo- nitur ex terminis convergentibus {ca + bd - ad/c}, {bc - be + ae/c}. atque <#>a & <_>b quoniam $unt quantitates indefinitæ po$$unt e$$e quili- bet totius $eriei termini convergentes, modò termini con- vergentes immediatè $equentes $int {ca + bd - ad/c} & {bc - be + ae/c}, & proinde quantitas {maae - mbae + mbad - mbbd/cd - bd} eodem modo componi- tur ex quibuslibet totius $eriei terminis convergentibus quo compon<007>tur ex terminis convergentibus <#>a, <#>b; & igitur præ- [0142]VERA CIRCULI dicta quantitas eodem etiam modo componitur ex ul- timis ejus terminis convergentibus, qui æquales $unt: $it ultimus ille terminus <#>x qui multiplicatus in {mae-mbe/ad-bd} & in <#>m efficit xm & {xmae - xmbe/ad - bd}, quorum factorum $umma nempe {xmae - xmbe + xmad - xmbd/ad - bd} æquatur {maae - mbae + mbad - mbbd/ad - bd} & æquatio- ne reducta invenitur x $eu $eriei terminatio {aae - bae + bad - bbd/ae - be + ad - bd}, quam invenire oportuit.

Ne minus exercitatis ob$curum videatur hoc problema, illud in numeris illu$trabimus: $it <#>c 7, d 2, e 3, a 28, b 42, erunt $e- cundi termini convergentes 32, 36, tertii 33 {1/7}, 34 {2/7}, & ejus ter- minatio 33 {3/5}.

Neminem moveat, quod (etiam$i <#>a $it minor quam <#>b) {ca + bd - ad/c} po$$it e$$e major quam {bc - be + ae/c}, analyticè enim major à minore pote$t $ub$trahi, cnjus tamen exemplum non grava- bimus exhibere, $it <#>c 7, d 5, e 4, a 28, b 42; erunt $ecundi termini convergentes 38, 34, & tertii 35 {1/7}, 36 {2/7}, eju$que terminatio 35 {7/9}.

Animadvertendum e$t hujus problematis $olutionem eo- dem modo $e habere, etiam$i loco <#>a ponatur cyphra $eu me- rum nihil, Ex. Gr; $it <#>c 8, d 3, e 4, a 0, b 24; erunt $ecundi ter- mini convergentes 9, 12, & tertii 10 {1/8}, 10 {1/2}, & $eriei termina- tio 10 {2/7},

Harum etiam $erierum terminationes po$$unt inveniri ex Gregorii à S. Vincentio lib. de progre$$. geometrica, etiam$i methodo longe ab hac diver$a.

[0143]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. PROP. VIII. PROBLEMA.

Sint duæ quantitates datæ _A, B_, & ratio quæli- libet data _C_ ad _D_: oportet invenire aliam quantitatem, ut ratio ejus ad _A_ $it multipli- cata rationis _B_ ad _A_ in ratione _C_ ad _D_.

Sit primò ratio C ad D commen- EDC # AFBG $urabilis, $itque inter C & D com- munis men$ura E; & quoties E continetur in D toties $it ratio F ad A $ubmultiplicata rationis B ad A; & quoties E continetur in C toties $it ratio G ad A multiplicata rationis F ad A: dico G e$$e quantitatem illam quæ$itam. ratio G ad A e$t multiplicata rationis F ad A in ratione C ad E, & ra- tio F ad A e$t multiplicata rationis B ad A in ratione E ad D; & igitur ex æqualitate, ratio G ad A e$t multiplicata rationis B ad A in ratione C ad D, quod demon$trare oportuit.

Quod $i ratio C ad D $it incommen$urabilis, geometricam hujus problematis praxim e$$e impo$$ibilem mihi per$uadeo; approximatione tamen fieri pote$t, a$$umendo rationem com- men$urabilem ejus loco, quæ quàm proximè ad illam acce- dat.

Sit $eries convergens, cujus primi ## G # H # A # B # N # I # K # C # D M ## R # S # E # F # O # T # V # X # Y ### L ## Z termini convergentes $int A, B, $e- cundi C, D, tertii E, F; $intque $ecundi termini ita facti à primis, ut ratio B majoris ad A minorem $it multiplicata rationis C ad A in ra- tione data mojoris inæqualitatis M ad N, & ut ratio B ad A $it multiplicata rationis D ad A in ratione data majoris inæqualitatis M ad O: $intque tertii termini eodem modo facti ex $ecundis quo $ecundi facti $unt ex primis; atque ita continuetur $eries.

[0144]VERA CIRCULI PROP. IX. PROBLEMA.

Oportet prædictæ $eriei terminationem invenire.

Ponatur G cyphra $eu nihil hoc e$t exponens rationis æ- qualitatis, $eu rationis A ad A; $itque H ad libitum ex- ponens rationis B ad A: $it ut M ad N ita differentia inter G & H, hoc e$t ip$a H vel exponens rationis B ad A ad ex- ce$$um quo I $uperat G hoc e$t ip$am I, $ed ut M ad N ita ratio B ad A e$t multiplicata rationis C ad A; & igitur Exce$$us quo I $uperat G hoc e$t ip$a I e$t exponens ratio- nis C ad A. $it ut M ad O ita differentia inter G & H hoc e$t H ad exce$$um quo K $uperat G hoc e$t ip$am K, $ed ut M ad O ita ratio B ad A e$t multiplicata rationis D ad A, cumque H $it exponens rationis B ad A, erit K expo- nens rationis D ad A: $i igitur I $it exponens rationis C ad A & K exponens rationis D ad A; erit exce$$us quo K $u- perat I exponens rationis D ad C. deinde $it ut M ad N ita exce$$us quo K $uperat I $eu exponens rationis D ad C ad exce$$um quo R $uperat I, $ed ut M ad N ita ex $eriei compo$itione ratio D ad C e$t multiplicata rationis E ad C, atque exce$$us quo K $uperat I e$t exponens rationis D ad C; & proinde exce$$us quo R $uperat I e$t exponens rationis E ad C, atque I e$t exponens rationis C ad A, & pro- inde R e$t exponens rationis E ad A. deinde $it ut M ad O ita exce$$us quo K $uperat I ad exce$$um quo S $uperat I, $ed ut M ad O ita ex $eriei compo$itione ratio D ad C e$t multiplicata rationis F ad C, cumque exce$$us quo K $uperat I $it exponens rationis D ad C; erit exce$$us quo S $uperat I exponens rationis F ad C, atque I e$t expo- nens rationis C ad A, & proinde S e$t exponens rationis F ad A: cum igitur R $it exponens E ad A & S exponens ra- tionis F ad A; erit exce$$us quo S $uperat R exponens ra- tionis F ad E: & utramque $eriem continuando, demon$tra- tur ut antè T e$$e exponentem rationis X ad A, & V e$$e [0145]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. exponentem rationis Y ad A; denique $emper demon$trabi- tur terminos convergentes $eriei exponentium e$$e exponen- tes rationum, terminorum convergentium $eriei propo$itæ ad primam $eriei quantitatem A, modò utriu$que $eriei ter- mini convergentes $int in eodem ab initio ordine: & proin- de terminatio $eriei exponentium per hujus 7 inventa, quæ Ex: Gr: $it L, erit exponens rationis, terminationis $eriei propo$itæ ad primum terminum A: inveniatur igitur ratio Z ad A quæ $it multiplicata rationis datæ B ad A in ratio- ne data L ad H; eritque Z terminatio quæ$ita, quam in- venire oportuit.

Ad hoc problema in numeris illu$trandum $it M 4, N 2, O I, A <#>6, B <#>10; erunt $ecundi termini convergentes v<_>960, <#>V992160, tertii termini convergentes <#>V9997776000, V9999100776960000000. & $eriei terminatio <#>Vc360.

Aliud exemplum, $it M 6, N 2, O 3, A 5, B 10; erunt $ecundi termini convergentes <#>Vc250, Vq50, tertii termini convergentes <#>Vqcc488281250000000, Vqqc7812500000, & $eriei terminatio <#>V$12500. hactenus terminavimus omnes $eries convergentes quæ fieri po$$unt vel à $ola proportione arithmetica vel a $ola pro- portione geometrica, nunc vero methodum aggredimur, cu- jus ope omnium $erierum convergentium terminationes ($i modò $int in rerum natura) inveniri po$$unt.

PROP. X. PROBLEMA.

Ex data quantitate, eodem modo compo$ita à duo- bus terminis convergentibus cuju$cunque $eriei convergentis, quo componitur ex terminis con- vergentibus eju$dem $eriei immediatè $e- quentibus; $eriei propo$itæ terminationem invenire.

Sit $eries convergens, cujus duo termini convergentes quicunque $int <#>a, b, & termini convergentes immediatè [0146]VERA CIRCULI $equentes Vqab, {aa./Vqab} $umma terminorum convergentium <#>a + b multiplicata in terminum convergentem primum <_>a efficit aa + ab: & $umma terminorum convergentium immediate $e- quentium nempe Vqab + {aa/Vqab} multiplicata in primum terminum convergentem <#>Vqab efficit etiam aa + ab; ex his invenienda $it $e- riei propo$itæ terminatio. manife$tum e$t quantitatem aa + ab eodem modo fieri à terminis convergentibus <#>a, b, quo à termi- nis convergentibus immediatè $equentibus Vqab, {aa/Vqab:} & quo- niam quantitates <#>a, b, indefinitæ ponuntur pro quibuslibet to- tius $eriei terminis convergentibus, evidens e$t $ummam quo- rumcunque terminorum convergentium propo$itæ $eriei mul- tiplicatam in primum terminum convergentem efficere quan- titatem æqualem illi, quæ fit à $umma terminorum conver- gentium immediatè $equentium multiplicata etiam in primum $uum terminum convergentem; cumque duo termini conver- gentes duos terminos convergentes $emper immediatè $e- quuntur, manife$tum e$t $ummam duorum quorumlibet ter- minorum convergentium multiplicatam in primum $emper efficere eandem quantitatem nempe aa + ab, atque ultimi ter- mini convergentes $unt æquales, & proinde $it ultimus ille terminus $eu $eriei terminatio <#>z, quæ $ibi addita & in $um- mam multiplicata efficit <#>2 zz, quæ quantitas debet e$$e æqua- lis quantitati aa + ab, & æquatione re$oluta dabitur <#>z $eu $eriei terminatio {Vq aa + ab,/2} quam invenire oportuit.

Et proinde ad inveniendam cujuscunque $eriei convergen- tis terminationem; opus e$t $olummodo invenire quantitatem eodem modo compo$itam ex terminis convergentibus primis, quo componitur eadem quantitas ex terminis convergentibus $ecundis.

CONSECTARIUM.

Quoniam non refert in problemate $ive termini conver- gentes a, b, $int primi, $ecundi, vel tertii &c; manife$tum e$t [0147]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. omnes $eriei convergentis terminationem eodem modo e$$e compo$itam ex terminis convergentibus primis quo ex termi- nis convergentibus $ecundis, tertiis, vel quartis, &c.

PROP. XI. THEOREMA.

Dico $ectorem circuli, ellip$eos vel hyperbolæ _A B I P_ TAB. XLIII. Fig. 1. 2. 3. non e$$e compo$itum analyticè à triangulo _A B P_ & trapezio _A B F P_.

Ponatur triangulum A B P <#>a & trapezium A B F P <#>b: ma- nife$tum e$t ex prædictis trapezium A B I P e$$e Vqab & polygonum A B D L P {2 ab/a + Vqab}, item $ectorem A B I P e$$e hujus $eriei convergentis terminationem. ut ex $eriei termi- nis auferantur $igna radicis & fractionis, pro <#>a & <#>b primis $eriei terminis convergentibus, hoc e$t pro triangulo A B P & trapezio A B F P ponantur _a_<#>3 + _a_<#>2 _b_ & _ab_<#>2 + _b_<#>3; erunt- que $ecundi $eriei termini convergentes, hoc e$t trapezium A B I P & polygonum A B D L P, _ba_<#>2 + _b_<#>2 _a_ & 2 _b_ <#>2 _a_, di- co $eriei convergentis (cujus primi termini convergentes $unt _a_<#>3 + _a_<#>2_b_, _ab_<#>2 + _b_<#>3 & $ecundi $unt _ba_<#>2 + _b_<#>2 _a_, 2 _b_<#>2 _a_) termina- tionem non e$$e compo$itam analyticè a terminis _a_<#>3 + _a_<#>2 _b_, _ab_<#>2 + _b_<#>3: $i enim componatur prædicta terminatio analyticè a terminis convergentibus _a_<#>3 + _a_<#>2_b_, _ab_<#>2 + _b_<#>3; componetur etiam eadem terminatio analyticè & eodem omnino modo à termi- nis convergentibus _ba_<#>2 + _b_<#>2_a_, 2_b_<#>2_a_; & proinde eadem quan- titas, nempe prædicta terminatio, eodem modo componitur analyticè ex terminis _a_<#>3 + _a_<#>2_b_, _ab_<#>2 + _b_<#>3, quo componitur ex terminis _ba_<#>2 + _b_<#>2_a_, 2_b_<#>2_a_, _a_<#>3 + _a_<#>2_b_ # _ab_<#>2 + _b_<#>3. _ba_<#>2 + _b_<#>2 _a_ # 2_b_<#>2_a_ $ed nulla quantitas pote$t eodem modo analyticè com- poni ex terminis _a_<#>3 + _a_<#>2_b_, _ab_<#>2 + _b_<#>3, quo componitur ex terminis _ba_<#>2 + _b_<#>2_a_, 2_b_<#>2_a_, quod $ic demon$tro. $i analy- ticè componeretur quantitas ex terminis _a_<#>3 + _a_<#>2_b_, _ab_<#>2 + _b_<#>3, [0148]VERA CIRCULI eodem modo, quo analyticè componitur eadem quantitas ex terminis _ba_<#>2 + _b_<#>2_a_, 2_b_<#>2_a_; addendo, $ubtrahendo, multi- plicando & dividendo terminos _a_<#>3 + _a_<#>2_b_, _ab_<#>2 + _b_<#>3 & radices ex factis extrahendo, eadem fieret quantitas ac $i eodem mo- do adderentur, $ubducerentur, multiplicarentur & divide- rentur termini _ba_<#>2 + _b_<#>2_a_, 2_b_<_>2_a_, & radices eædem ex factis extraherentur, $ed po$terius fieri non pote$t, ergo nec prius; minorem $ic probo, $i eadem fieret quantitas ex additione, $ubductione, multiplicatione, divi$ione & radicum extractio- ne terminorum _a_<#>3 + _a_<#>2_b_, _ab_<#>2 + _b_<#>3, quæ fieret ex eadem ad- ditione, $ubductione, multiplicatione, divi$ione & radicum extractione terminorum _ba_<#>2 + _b_<#>2_a_, 2_b_<#>2_a_; tunc addendo æ- quales quantitates terminis _a_<#>3 + _a_<#>2_b_, _ba_<#>2 + _b_<#>2_a_, vel ab illis $ive ip$orum factis æquales quantitates $ubducendo, vel il- los $ive ip$orum factos æqualibus quantitatibus multiplican- do vel dividendo, vel denique illos $ive ip$orum factos eo- dem modo in $e multiplicando, vel ex iisdem easdem radi- ces extrahendo, hasce analyticas operationes aliquo modo mutando, reiterando vel utrumque vel neutrum faciendo, fieri po$$ent duo ultima producta, nempe unum à termino _ab_<#>2 + _b_<_>3 & alterum à termino 2_b_<#>2 _a_; ita ut ultimum produ- ctum ex termino _a_<#>3 + _a_<#>2 _b_ cum ultimo producto ex termino _ab_<#>2 + _b_<_>3 additum, $ubductum, multiplicatum, divi$um, & ex facto radice aliqua extracta (ha$ce analyticas operationes aliquo modo mutando, reiterando vel utrumque vel neu- trum faciendo) eandem efficiat quantitatem quam efficit ul- timum productum ex termino _ba_<#>2 + _b_<#>2_a_ cum ultimo produ- cto ex termino _2b_<#>2_a_ eodem omnino modo additum, $ubdu- ctum, multiplicatum, divi$um, & ex facto eadem etiam ra- dice extracta, ha$ce analyticas operationes eodem omnino modo mutando, reiterando vel utrumque vel neutrum fa- ciendo; $ed po$terius e$t ab$urdum ergò & prius: $equela majoris patet ex octava definitione hujus, minorem $ic pro- bo, in termino _a_<#>3 + _a_<#>2 _b_ reperitur pote$tas ip$ius _a_ nempe _a_<#>3, quæ e$t altior ulla pote$tate ejusdem _a_ in termino _ba_<#>2 + _b_<#>2 _a_; & proinde terminos _a_<#>3 + _a_<#>2 _b_, _ba_<_>2 + _b_<#>2_a_, cum [0149]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. æqualibus quantitat<007>bus addendo, $ubtrahendo, multiplican- do, dividendo, &c: $icut $uperius dictum e$t, $emper ma- net pote$tas ip$ius a in ultimo producto ex termino _a_<#>3 + _a_<#>2 _b_ altior pote$tate ulla ip$ius _a_ in ultimo producto termini _ba_<#>2 + _b_<#>2 _a_, quoniam illos cum æqualibus quantitatibus ad- dendo, $ub$trahendo, &c, $emper manent in factis eædem pote$tates, & illos in $e eodem modo multiplicando $emper magis elevatur altior pote$tas in termino _a_<#>3 + _a_<#>2 _b_ quam ele- vatur depre$$ior pote$tas in termino _ba_<#>2 + _b_<#>2 _a_, & ex illis ea$dem radices extrahendo, ubi _a_ fuerat elevatior in pote$ta- te erit etiam elevatior in radice: & quoniam eadem reperitur alti$$ima pote$tas ip$ius _a_ in termino _ab_<#>2 + _b_<#>3 quæ reperitur in termino 2_b_<#>2 _a_, demon$tratur ut antè alti$$imam pote$ta- tem ip$ius _a_ in ultimo producto ex termino _ab_<#>2 + _b_<#>3 eandem e$$e cum alti$$ima pote$tate ip$ius _a_ in ultimo producto ex termino 2_b_<#>2 _a_: in ultimo igitur producto termini _a_<#>3 + _a_<#>2 _b_ reperitur altior pote$tas ip$ius _a_ quam in ultimo producto termini _ba_<#>2 + _b_<#>2_a_, & in ultimo producto termini _ab_<#>2 + _b_<#>3 alti$$ima pote$tas ip$ius _a_ eadem e$t cum alti$$ima pote$tate ip$ius _a_ in ultimo producto termini 2_b_<#>2 _a_; & igitur ultima producta ex terminis _a_<#>3 + _a_<#>2_b_, _ab_<#>2 + _b_<#>3, eodem modo inter $e addita, $ubducta, multiplicata, divi$a, &c. $emper effi- cient quantitatem, in qua reperitur altior pote$tas <007>p$ius _a_ quam ulla quæ reperiri pote$t in quantitate facta ex eadem pror$us additione, $ubductione, multiplicatione, divi$ione, &c, productorum à terminis _ba_<#>2 + _b_<#>2 _a_, 2_b_<#>2 _a_; quoniam al- tior pote$tas cum altera pote$tate $emper altiorem facit po- te$tatem quam depre$$ior pote$tas cum eadem altera pote$ta- te; & igitur i$tæ duæ quantitates non po$$unt e$$e indefini- tè æquales, cum reperiatur altior pote$tas ip$ius _a_ in una quam in altera: atque hinc evidens e$t quod $ector circuli, ellip$eos vel hyperbolæ A B I P non po$$it componi analy- ticè à triangulo A B P & trapezio A B F P, quod demon- $trandum erat.

Ut autem evidentius fiat propo$itum, aliam demon$tratio- nem treviorem faciliorem & ex alio medio petitam hic $ub- [0150]VERA CIRCULI jungo: quantitas non pote$t componi analyticè ex terminis _a_<#>3 + _a_<#>2 _b_, _ab_<#>2 + _b_<#>3, eodem modo quo componitur eadem quantitas ex terminis _ba_<#>2 + _b_<#>2 _a_, 2_b_<#>2 _a_; quoniam adden- do, $ub$trahendo, multiplicando, dividendo duo binomia _a_<#>3 + _a_<#>2 _b_, _ab_<#>2 + _b_<#>3 & radices ex ultimo facto extrahendo, plura fiunt nomina in ultimo producto, quam $i eodem mo- do adderentur, $ubducerentur, multiplicarentur, divideren- tur, binomium _ba_<#>2 + _b_<#>2_a_ & $implex quantitas 2_b_<#>2 _a_, & eæ- dem quoque radices ex facto extraherentur; & $i plura $int nomina in uno producto quam in altero, impo$$ibile e$t ut $int indefinitè æqualia, quod e$t propo$itum, reliqua enim ex priore demon$tratione haberi po$$unt.

SCHOLIUM.

Ob$curum forta$$is videbitur hoc theorema ob multas in- u$itatas in geometria voces quas hic adhibere oportet, & ob multa $uppo$ita lemmata, quæ demon$trare pigebat, quoniam cuivis analy$tæ vel prima lectione $unt obvia, ex natura enim operationum analyticarum omnino dependent.

Locus hic requirit ut aliquid dicam de proportione inter triangulum A B P & $ectorem A B I P; quod ut fiat, adver- tendum e$t veri$$imum philo$ophorum axioma, nempe omnem no$tram cognitionem à $en$u ortum habere: inter proportio- nes enim, $ola commen$urabilis $en$u attingitur & perfectè ab humana mente intelligitur; incommen$urabilis enim à ma- thematicis $olummodo adhuc contemplatur, quatenus com- men$urabilis cujusdam rationis e$t $ubduplicata, $ubtriplica- ta, &c. vel ex talium additione, $ubductione, &c. genita: hoc e$t, quantitas quæ quantitati propo$itæ e$t incommen- $urabilis ex eo $olummodo ab humana mente contemplatur, quod ex aliquot quantitatum cognitarum & propo$itæ quan- titati commen$urabilium additione, $ubductione, multiplica- tione, divi$ione & radicum extractione componi po$$it: at ex hactenus demon$tratis manife$tum e$t $ectorem A B I P non po$$e componi ex additione, $ubductione, multiplica- [0151]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. tione, divi$ione, & radicum extractione trianguli A B P & trapezii A B F P: triangulum autem A B P & trapezium A B F P $upponimus e$$e quantitates inter $e analyticas; & proinde $ector A B I P illis analytica e$$e non pote$t, hoc e$t ex quantitatum ip$is A B P, A B F P analyticarum addi- tione, $ubductione, multiplicatione, divi$ione & radicum extractione componi non pote$t; & proinde ex hoc capite nulla pote$t exhiberi ratio inter triangulum A B P & $ecto- rem A B I P, cum evidens $it illam non e$$e analyticam. $ed dicet fortè aliquis rationem inter triangulum A B P & $ecto- rem A B I P omnifariam variari po$$e; & proinde po$$e e$$e inter $e in ratione qualibet data $ive analytica $ive etiam com- men$urabili: re$pondeo hoc e$$e veri$$imum, $ed in hoc ca- $u ratio inter triangulum A B P & trapezium A B F P non erit analytica; & proinde ex dato circulo ellip$e vel hyper- bola nunquam dabitur in analyticis triangulum A B P, quod ex prædictis clari$$imè patet. etiam$i ex prædicto capite non po$$imus comprehendere rationem inter triangulum A B P & $ectorem A B I P, po$$umus tamen ejus aliquam habere cogni- tionem, ex eo quod $ector A B I P $it terminatio $eriei con- vergentis datæ; & ex hac con$ideratione po$$ibile e$t inve- nire quantitatem datæ commen$urabilem cujus differentia à $ectore A B I P minor fuerit quacunque quantitate propo$i- ta, ad hoc enim $emper recurrendum e$t, cum de quantita- tibus quibuscunque incommen$urabilibus tractant practici, & in hac no$tra approximatione praxis non erit opero$ior quam in multis aliis etiam quantitatum analyticarum appro- ximationibus, immo multo brevior, facilior & paratior erit ill<007>s Vietæ $ectionibus angularibus, quæ tamen $ummæ ma- the$eos utilitati in praxem reducuntur. non video ergo qua- re circuli quadratura diutius æ$timetur ignorari: cum enim demon$tratum $it rationem circuli ad diametri quadratum non e$$e analyticam, vanum certè erit & ineptum illam $icut talem impo$terum quærere: at rejectis quantitatibus analyti- cis, vix credo ullam po$$e e$$e notiorem hisce no$trarum $e- rierum convergentium terminationibus, $icut ex $equentibus pleni$$imè apparebit.

[0152]VERA CIRCULI PROP. XII. THEOREMA.

Sit trapezium A B I P, A; polygonum TAB. XLIII. Fig. 1. 2. 3. A # C # D # B A B E I O P, C; polygonum A B C G K N P, D; & polygonum A B D L P, B. di- co D e$$e medium harmonicum inter C & B. ex hujus 4, A: C:: C: B, & componendo A + C: C:: C + B: B, $ed ex hujus 5, A + C: C:: 2 C: D; & ideo C + B: B:: 2 C: D, & permutando B + C: 2 C:: B: D, & dividendo, differentia in- ter B & C e$t ad 2 C, ut differentia inter B & D ad D, & per- mutando differentia inter B & C e$t ad differentiam inter B & D ut 2 C ad D, hoc e$t, ut C + B ad B, & dividendo, differentia inter D & C e$t ad differentiam inter B & D ut C ad B; & proinde D e$t medium harmonicum inter C & B, quod demon$trare oportuit.

Hæc propo$itio eodem modo locum habet in omnibus po- lygonis complicatis, ut patet ex $cholio 5 hujus.

PROP. XIII. THEOREMA.

Inter duas quantitates A, B, $it media a- A ## B C # D # E rithmetica C, media geometrica D & me- dia harmonica E. dico C, D, E, e$$e con- tinuè proportionales. quoniam A, E, B, $unt in ratione harmonica; erit differentia inter A & E ad differentiam inter E & B ut A ad B; & componendo erit differentia inter A & B ad differentiam inter E & B, ut A + B ad B; deinde permutando & componendo 2 A: A + B:: E: B, $ed 2A e$t duplum ip$ius A & A + B duplum ip$ius C; & ideo A: C:: E: B; & proinde CE = AB, & AB = DD, ideo- que CE = DD; & igitur C: D:: D: E, quod demon$trare o- portuit.

[0153]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. PROP. XIV. THEOREMA.

Sint duo polygona complicata A, B, nem- A # B C # D E # F pe A intra circuli vel ellip$eos $ectorem & B extra: continuetur $eries convergens horum polygonorum complicatorum $ecundum no- $tram methodum $ubduplam de$criptorum, ita ut polygona intra circulum $int A, C, E, &c, & extra cir- culum B, D, F, &c; dico A + E minorem e$$e quam 2 C: ex prædictis manife$tæ $unt $equentes analogiæ; prima quo- niam A, C, B, $unt continue pro- C - A:B - C::A:C B - C:D - C::A + C:A portionales; & $ecunda quoniam C, D, B, $unt harmonice pro- portionales: & proinde exce$$us C $upra A, hoc e$t C — A, e$t ad exce$$um D $upra C $eu D - C in ratione compo$ita ex proportione A ad C & ex proportione A + C ad A, hoc e$t in ratione A + C ad C; at A + C e$t major quam C, & ideo exce$$us C $upra A e$t major quam exce$$us D $upra C, e$t autem D major quam E, & proinde exce$$us C $upra A multò major e$t quam exce$$us E $upra C; e$t igitur A + E minor quam 2 C; quod demon$trare oportuit.

PROP. XV. THEOREMA.

Ii$dem po$itis: dico exce$$um C $upra A minorem e$$e qua- druplo exce$$us E $upra C. ex prædictis manife$tæ $unt $equentes tres analogiæ, prima quoniam A, C, B, $unt con- tinuè proportionales; $ecunda, quoniam C, D, B, $unt har- monicè proportionales; & tertia, quoniam C, E, D, $unt con- tinuè proportionales; & ideo C - A:B - C::A:C B - C:D - C::A + C:A D - C:E - C::E + C:C exce$$us C $upra A (hoc e$t) C - A e$t ad exce$$um E $u- pra C $eu E - C, ut A C + E C + AE + CC ad CC; at B ma- [0154]VERA CIRCULI jor e$t quam E, & ideo A B $eu C C major e$t quam A E, & igitur AE + CC minor e$t quam 2 CC: atque AC + E C e$t ad 2 CC ut A + E ad 2 C, $ed A + E minor e$t quam 2 C; & ideo A C + E C minor e$t quam 2 CC; proinde A C + E C + A E + CC minor e$t quam 4 CC; & igitur C - A minor e$t quadruplo ip$ius E - C, quod demon- $trare oportuit.

PROP. XVI. THEOREMA.

SInt duo Polygona complicata A, B; A # B C # D E # F nempe A extra hyperbolæ $ecto- rem & B intra: Continuetur $eries con- vergens horum polygonorum complica- torum $ecundum no$tram methodum $ubduplam de$criptorum, ita ut polygona extra hyperbolem $int A, C, E, &c. & intra hyperbolem B, D, F &c; Dico A + E majorem e$$e quam 2 C. ex prædictis manife$tæ $unt $e- quentes duæ Analogiæ, prima quoniam A, C, B, $unt con- tinue proportionales; & $ecunda, quoniam C, D, B, $unt harmonicè proportionales; & A - C:C - B::A:C C - B:C - D::A + C:A proinde exce$$us A $upra C, hoc e$t A - C, e$t ad ex ce$$um C $upra D $eu C - D; In ratione compo$ita ex proportione A ad C & ex proportione A + C ad A hoc e$t in ratione A + C ad C, at A + C e$t ma- jor quam C & ideo exce$$us A $upra C e$t major exce$$u C $upra D, e$t autem E major quam D; & proinde exce$$us A $upra C multo major e$t exce$$u C $upra E; manife$tum e$t igitur A + E majorem e$$e quam 2 C, quod demon$trare oportuit.

[0155]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. PROP. XVII. THEOREMA.

IIsdem po$itis: dico exce$$um A $upra C majorem e$$e quadruplo exce$$us C $upra E. ex prædictis manife$tæ $unt $equentes tres analogiæ; prima, quoniam A, C, B, $unt continuè proportionales; $ecunda, quoniam C, D, B, $unt harmonicè proportionales; & tertia, quoniam C, E, D, $unt continuè proportionales; & ideo exce$$us A $upra C, hoc e$t A - C, e$t ad exce$$um C $upra E, hoc e$t C - E in ratio- ne compo$ita ex proportionibus A - C:C: - B::A:C C - B:C - D::A + :CA C - D:C - E::E + C:C A ad C, A + C ad A & E + C ad C; & ideo A - C e$t ad C - E, ut A C + E C + A E + CC ad CC; at B minor e$t quam E, & ideo AB, $eu CC minor e$t quam A E; & igitur AE + CC major e$t quam 2 CC. atque A C + E C e$t ad 2 CC ut A + E ad 2 C; $ed A + E major e$t quam duo C, & ideo A C + E C major e$t quam 2 CC; & proinde A C + E C + A E + C C major e$t quam 4 CC; & igitur A - C major e$t qua- druplo ip$ius C - E, quod demon$trare oportuit.

PROP. XVIII. THEOREMA.

SInt duæ quantitates inæquales; A # E A # C # B # D minor, B major, C media geome- trica, D media arithmetica. dico D majorem e$$e quam C, quoniam B, C, A, $unt continuè proportionales; erit divi- dendo, permutando, & componendo; ut exce$$us B $upra A ad exce$$um C $upra A, ita A + C ad A, atque A + C major e$t duplo ip$ius A; & proinde exce$$us B $upra A major e$t duplo exce$$us C $upra; $ed exce$$us B $upra A duplus e$t exce$$us D $upra A, & ideo exce$$us D $upra A major e$t exce$$u C [0156]VERA CIRCULI $upra A_;_ e$t igitur D major quam C, quod demon$trare oportuit.

PROP. XIX. THEOREMA.

IIsdem po$itis_;_ $it inter A & B media harmonica E. dico C majorem e$$e quam E. ex hujus 13, D e$t ad C ut C ad E, $ed D major e$t quam C_;_ & ideo C major e$t quam E, quod demon$trare oportuit.

CONSECTARIUM.

Ex duabus præcedentibus manife$tum e$t D majorem e$$e quam E, hoc e$t mediam arithmeticam inter duas quantita- tes inæquales majorem e$$e media harmonica inter ea$dem.

PROP. XX. THEOREMA.

SInt duo polygona complicata A B # A C D # C E F # G K L # H Z # X A, B, nempe A intra circuli vel ellip$eos $ectorem, B extra. continuetur $eries convergens ho- rum polygonorum complicato- rum $ecundum methodum no- $tram $ubduplam de$criptorum_;_ ita ut polygona intra circulum $int A, C, E, K, &c, & ex- tra circulum B, D, F, L, &c; $itque $eriei convergentis ter- minatio $eu circuli vel ellip$eos $ector Z. dico Z majorem e$$e quam C una cum triente exce$$us C $upra A. $it exce$$us G $upra C quarta pars exce$$us C $upra A, & exce$$us H $upra G quarta pars exce$$us G $upra C_;_ continueturque hæc $eries in infinitum, ut ejus terminatio $it X. Exce$$us C $upra A minor e$t quadruplo exce$$us E $upra C_;_ & ideo exce$$us E $upra C major e$t exce$$u G $upra C, e$t ergo E major quam G. deinde exce$$us E $upra C minor e$t qua- druplo exce$$us K $upra E, & ideo exce$$us G $upra C mul- to minor e$t quadruplo exce$$us K $upra E, e$t igitur ex- [0157]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. ce$$us K $upra E major exce$$us H $upra G; cumque E ma- jor $it quam G, manife$tum e$t K majorem e$$e quam H: eodem pror$us modo demon$tratur in omni $erierum A, C, E; A, C, G, continuatione, terminum quemcunque $eriei A, C, E, majorem e$$e quam idem numero terminus $eriei A, C, G; & ideo terminatio $eriei A, C, E, nempe Z ma- jor erit terminatione $eriei A, C, G, nempe X, at ex Archi- medis quadratura parabloæ con$tat X æqualem e$$e ip$i C una cum triente exce$$us C $upra A, & proinde Z eadem major e$t, quod demon$trare oportuit.

PROP. XXI. THEOREMA.

IIsdem po$itis quæ $upra; dico Z A B # A B C D # G H E F # M N K L # O P Z # X $eu $ectorem circuli vel ellip$eos minorem e$$e quam major duarum mediarum continuè proportionalium arithmeticè inter A & B. inter A & B $it media Arithmetica G, & inter G & B $it media Arithmetica H; item inter G & H $it media Arithmetica M, & inter M & H $ed me- dia Arithmetica N; continueturque hæc $eries convergens A B, G H, M N, O P, in infinitum, ut fiat ejus terminatio X. $atis pater ex prædictis G majorem e$$e quam C, atque H media Arithmetica inter G & B major e$t media harmonica inter eas- dem G, B; media autem harmonica inter G & B major e$t quam D media harmonica inter C & B, quoniam G major e$t quam C; & ideo media Arithmetica inter G & B, hoc e$t H, major e$t quam D media harmonica inter C & B. eodem modo M media arithmetica inter G & H major e$t media geometrica inter easdem G & H: & quoniam G e$t major quam C, & H quam D; media geometrica inter G & H major e$t quam E media geometrica inter C & D; & proinde M major e$t quam E. deinde N media arithmetica inter M & H ma- jor e$t media harmonica inter ea$dem, & quoniam H major e$t quam D & M quam E, media harmonica inter M & H major e$t quam F media harmonica inter E & D; & ideo N [0158]VERA CIRCULI eadem F major e$t. eadem modo utramque $eriem in infini- tum continuando, $emper demon$tratur terminum quemlibet $eriei A B, C D, minorem e$$e quam idem numero terminus $eriei. A B, G H; & igitur terminatio $eriei A B, C D, nem- pe Z minor erit terminatione $eriei A B, G H, nempe X_;_ atque ex hujus 7, terminatio $eriei A B, G H, $eu X æqua- lis e$t majori duarum mediarum arithmeticè continuè propor- tionalium inter A & B, & ideo Z eadem minor e$t, quod demon$trandum erat.

PROP. XXII. THEOREMA.

IIsdem po$itis quæ $upra; dico Z A B # A B C D # G H E F # M N K L # O P Z # X $eu $ectorem circuli vel ellip$eos minorem e$$e quam major duarum mediarum geometricè continuè pro- portionalium inter A & B. inter A & B $it media geometrica G, & inter G & B $it media geometrica H; Item inter G & H media Geometrica M, & inter M & H media Geo- metrica N_;_ continuetúrque hæc $eries convergens A B, G H, M N, O P, &c, in infinitum, ut fiat ejus terminatio X. $atis patet ex prædictis C & G e$$e inter $e æquales, item H majorem e$$e quam D; atque ob hanc rationem M media Geometrica in- ter G & H major e$t quam E media geometrica inter G & D. deinde N media Geometrica inter M & H major e$t media har- monica inter easdem_;_ & quoniam M major e$t quam E & H major quam D, erit media harmonica inter M & H major quam F media harmonica inter E & D; & ideo N media Geometrica inter M & H major erit quam F. eadem methodo utramque $eriem in infinitum continuando $emper demon$tratur termi- num quemlibet $eriei A B, C D, minorem e$$e quam idem numero terminus $eriei A B, G H; & igitur terminatio $eriei A B, C D, nempe Z minor erit terminatione $eriei A B, G H, nempè X; atque ex hujus 9 terminatio $eriei A B, G H, $eu X, æqualis e$t majori duarum mediarum Geometri- cè continuè proportionalium inter A & B_;_ & ideo Z eadem minor e$t, quod demon$trare oportuit.

[0159]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. SCHOLIUM.

NOn opus e$t ut hic demon$trem majorem duarum me- diarum arithmeticè continuè proportionalium inter duas inæquales quantitates majorem e$$e quam major duarum me- diarum Geometricè continuè proportionalium inter ea$dem, & igitur hujus propo$itionis approximationem præcedentis e$$e exactiorem, quod et$i fiat_;_ præcedente tamen ob facilita- tem potius utimur.

PROP. XXIII. THEOREMA.

Sint duo polygona complicata A B # A C D # C E F # G K L # H Z # X A, B, nempè A extra hyperbolæ $ectorem, B intra. continuetur $e- ries convergens horum polygono- rum complicatorum $ecundum me- thodum no$tram $ubduplam de- $criptorum, ita ut polygona extra hyperbolam $int A, C, E, K, &c, & intra hyperbolam B, D, F, L, &c; Sitque $eriei convergentis terminatio $eu hy- perbolæ $ector Z. dico Z majorem e$$e quam C dempto tri- ente exce$$us A $upra C. $it exce$$us C $upra G quarta pars exce$$us A $upra C, & exce$$us G $upra H quarta pars ex- ce$$us C $upra G, continueturque hæc $eries in infinitum ut ejus terminatio $it X. exce$$us A $upra C major e$t quadru- plo exce$$us C $upra E, & ideo exce$$us C $upra E minor e$t exce$$us C $upra G, e$t ergo E major quam G. Deinde exce$$us C $upra E major e$t quadruplo exce$$us E $upra K, & ideo exce$$us C $upra G multò major e$t quadruplo ex- ce$$u E $upra K, & igitur exce$$us G $upra H major e$t exce$$u E $upra K_;_ cumque E major $it quam G, ma- nife$tum e$t K etiam majorem e$$e quam H: eodem pror- $us modo demon$tratur in omni $erierum A, C, E, K_;_ A, C, G, H, continuatione, terminum quemcumque $eriei A, C, E, majorem e$$e quam idem numero terminus $eriei A, [0160]VERA CIRCULI C, G; & ideo terminatio $eriei A, C, E, nempe Z, major erit terminatione $eriei A, C, G, nempè X; at ex Archime- dis quadratura parabolæ con$tat X æqualem e$$e ip$i C dem- pto triente exce$$us A $upra C, & proinde Z eadem major e$t, quod demon$trare oportuit.

PROP. XXIV. THEOREMA.

IIsdem po$itis_;_ dico Z $eu $e- A B # A B C D # G H E F # M N K L # O P Z # X ctorem hyperbolæ minorem e$- $e quam minor duarum mediarum arithmeticè continuè proportio- nalium inter A & B. Inter A & B $it media arithmetica G, & in- ter G & B $it media Arithmetica H, Item inter G & H $it media Arithmetica M, & inter M & H $it media Arithmetica N: continueturque hæc $eries con- vergens A B, G H, M N, O P, in infinitum, ut fiat ejus termi- natio X. $atis patet ex prædictis G majorem e$$e quam C_;_ atque H media arithmetica inter G & B major e$t media har- monica inter easdem G & B_;_ media autem harmonica inter G & B; major e$t media harmonica inter C & B, nempe D, quo- niam G major e$t quam C_;_ & ideo media Arithmetica inter G & B nempe H major e$t quam D media harmonica inter C & B eodem modo M media Arithmetica inter G & H major e$t me- dia geometrica inter ea$dem G & H_;_ & quoniam G e$t ma- jor quam C & H quam D, media geometrica inter G & H major e$t quam E media geometrica inter C & D_;_ & proin- de M major e$t quam E. Deinde N media Arithmetica in- ter M & H major e$t media harmonica inter easdem; & quo- niam H major e$t quam D & M quam E, media harmonica inter M & H major e$t quam F media harmonica inter E & D_;_ & ideo N eadem F major e$t. eodem modo utramque $eriem in infinitum continuando, $emper demon$tratur ter- minum quemlibet $eriei A B, C D, minorem e$$e quam idem numero terminum $eriei A B, G H; & igitur terminatio $e- riei A B, C D, nempe Z, minor erit terminatione $eriei A B, [0161]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. G H, nempe X; atque ex hujus 7 terminatio $eriei A B, G H, nempe X, æqualis e$t minori duarum mediarum arith- meticè continuè proportionalium inter A & B, & ideo Z ea- dem minor e$t, quod demon$trare oportuit.

PROP. XXV. THEOREMA.

Iisdem po$itis; dico Z $eu $ectorem A B # A B C D # G H E F # M N K L # O P Z # X hyperbolæ minorem e$$e quam mi- nor duarum mediarum geometricè con- tinuè proportionalium inter A & B. Inter A & B $it media geometrica G, & inter G & B media geometrica H; Item inter G & H media geometrica M, & inter M & H media geometriea N; continueturque hæc $eries convergens AB, GH, MN, OP, &c. in infinitum ut fiat ejus terminatio X. $atis patet ex prædictis C & G e$$e inter $e æquales, & H majorem e$$e quam D; atque ob hanc rationem M media geometrica inter G & H major e$t quam E media geometrica inter C & D. Deinde N media geometrica inter M & H major e$t media harmonica inter ea$dem; & quoniam M major e$t quam E & H quam D, erit media harmonica inter M & H major quam F media harmo- nica inter E & D_;_ proinde N media geometrica inter M & H major eritquam F. eadem methodo utramque $eriem in in- finitum continuando, $emper demon$tratur terminum quem- libet $eriei A B, C D, minorem e$$e quam idem numero ter- minus $eriei A B, G H; & igitur terminatio $eriei A B, C D, nempe Z minor erit quam terminatio $eriei A B, G H, nem- pe X; atque ex hujus 9 terminatio $eriei A B, G H, $eu X, æqua- lis e$t minori duarum mediarum geometricè continuè propor- tionalium inter A & B_;_ & ideo Z eadem minor e$t, quod demon$trare oportuit.

Ex dictis manife$tum e$t hanc approximationem exactio- rem e$$e illa, in antecedenti propo$itione, demon$trata, et- iam$i hæc $it paulò laborio$ior. $ed non di$$imulandum e$t duas po$$e e$$e $eries æquales terminationes habentes, ita [0162]VERA CIRCULI ut $emper quilibet terminus unius $eriei $it major quam idem numero terminus alterius $eriei; $ed in talibus $eriebus quò longius producuntur, eò minor e$t eorundem numero termi- norum differentia: $ed è contra no$træ $eries quò longius producuntur, eò magis differunt iidem numero termini, $icut facillimè demon$trari pote$t.

Experientia ob$ervo differentiam inter $ecundam duarum mediarum arithmetice proportionalium & $ecundam duarum mediarum geometricè proportionalium $emper e$$e multò majorem differentia inter $ecundam duarum mediarum geo- metricè proportionalium & $ectorem circuli, ellip$eos vel hyperbolæ; quod notatu dignum exi$timo, hinc enim col- ligitur $ectorem differre vix ultra unitatem à $ecunda duarum mediarum arithmeticè continuè proportionalium, quando medium arithmeticum non excedit medium geometricum ul- tra unitatem, quod $ummopere notandum, nam ex hoc evi- dens e$t approximationem audacter e$$e adhibendam, quan- do ita continuatur $eries ut medietas prima notarum $it eadem in utroque termino convergente, quod experientia etiam evincit; nunquam enim in hoc ca$u differt $ector unitate à $ecunda duarum mediarum arithmeticè continuè proportionalium.

E$t etiam alia approximatio omnium brevi$$ima & maximè admiranda, etiam$i mihi non contingat illam demon$tratio- ne geometrica munire; nempe $i primus notarum triens in utroque termino convergente $it eadem, $ector circuli, el- lip$eos vel hyperbolæ $emper differt infra unitatem à maxi- mo quatuor arithmeticè continuè proportionalium inter ter- minos no$træ approximationis.

PROP. XXVI. THEOREMA.

Sit hyperbola quæcunque C F N cujus centrum A, a$ym- TAB. XLIII. fig. 4. ptota A B, A O_;_ $itque ejus $ector A F G L cum triangulo circum $cripto A F L: a$ymptotorum uni A B parallellæ du- cantur rectæ F D, I M; & compleantur parallelogramma [0163]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. F D M K, P L M D. dico triangulum A F L e$$e medium arith- meticum inter parallelogramma F D M K, P L M D. Grego- rius à S. Vincentio in Lib. de Hyperbola demon$trat triangu- lum A F L e$$e æquale trapezio D F L M, $ed manife$tum e$t trapezium D F L M e$$e medium arithmeticum inter paral- lelogramma F D M K, P L M D; & ideo patet propo- $itum.

PROP. XXVII. THEOREMA.

Iisdem po$itis: ducatur A I rectam F L bifariam dividens in TAB. XLVIII. fig. 4. I & hyperbolam inter$ecans in puncto G, fiatque trape- zium $ectori circum$criptum A F G L, quod dico e$$e me- dium geometricum inter parallellogramma F D M K, P L M D. ex demon$tratis Gregorii à S. Vincentio evidens e$t trape- zium A F G L æquale e$$e rectilineo D F G L M. & quoniam A G I recta $ecat rectam F L bifariam in I, ex eju$dem Gre- gorii à S. Vincentio Lib. de hyperbola, manife$tum e$t rectas L M, G H, FD, e$$e continuè proportionales in eadem ratione cum tribus continuè proportionalibus A D, A H, A M. a$ym- ptoto A O per punctum G ducatur parallela recta R G S rectis F D, M K, occurrens in punctis R, S. quoniam rectæ F D, G H, L M, $unt continuè proportionales, erit dividen- do & permutando F R ad S L ut G H ad L M: & quoniam rectæ M A, H A, D A, $unt continuè proportionales, erit etiam dividendo & permutando M H ad H D hoc e$t S G ad G R ut H A ad D A, vel ut G H ad L M; & proinde F R e$t ad S L ut S G ad G R, cumque anguli F R G, G S L, $int æquales ob parallelas F R, S L, erunt triangula F R G, G L S, æqualia; & proinde parallelogrammum R D M S æquale e$t rectilineo D F G L M $eu trapezio A F G L; $ed parallelo- grammum R D M S e$t medium geometricum inter parale- logramma P D M L, F D M K, quoniam eandem habentia alti- tudinem eorum ba$es nempe L M, S M, K M, $unt continuè proportionales; & ideo trapezium A F G L e$t medium geo- [0164]VERA CIRCULI metricum inter parallelogramma P D M L, F D M K, quod de- mon$trare oportuit.

PROP. XXVIII. THEOREMA.

Iisdem po$itis ducantur rectæ F E, L E, hyperbolam tan- TAB. XLIII. fig. 4. gentes in punctis F, L, ut compleatur trapezium A F E L, quod dico e$$e medium harmonicum inter parallelogramma P D M L, F D M K. triangulum A F L, trapezium A F G L, & medium harmonicum inter parallelogramma P D M L, F D M K, $unt continuè proportionalia, quoniam triangu- lum A F L e$t medium arithmeticum & trapezium A F G L medium geometricum inter eadem parallelogramma, ut pa- tet ex hujus 13; $ed triangulum A F L, trapezium A F G L, & trapezium A F E L $unt continuè proportionalia ex hujus 1; & proinde trapezium A F E L e$t medium harmonicum inter parallelogramma P D M L, F D M K, quod demon- ftrare oportuit.

PROP. XXIX. PROBLEMA. _Dato circulo æquale invenire quadratum_.

Sit quadratum circulo circum$criptum 4000000000000000; erit ergo eidem in$criptum 2000000000000000, inter quæ quadrata $it medium geometricum 2828427124746190 octagonum nempe intra circulum: deinde inter octago- num intra circulum & quadratum extra $it medium har- monicum, quod levi labore invenitur dividendoduplum quadrati octagoni intra circulum $eu duplum rectanguli à quadratis intra & extra circulum per $ummam quadrati & octagoni intra; eritque inventum medium harmonicum, octa- gonum circum$criptum, nempe 3313708498984760. conti- nuetur hæc $eries convergens polygonorum complicatorum donec prima medietas notarum $it eadem in utroque termino [0165]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. convergente, nimirum u$que ad polygona laterum 16384; in$criptum enim e$t 3141592576586860 & circum$criptum 3141592692091258; non con$ideratur nota ultima, quoniam in divi$ionibus & radicum extractionibus $emper à vera quan- titate paululum aberramus, quod ultimam notam imperfectam plerumque reddit. adhibeatur deinde approximatio in hujus 20 & 21 demon$trata, & invenientur termini intra quos e$t vera circuli men$ura, po$ito diametri quadrato 4000000000000000, 3141592653589789 minor circulo & 3141592653589792 eo- dem major, & proinde non latet circuli men$ura, quam invenire oportuit. polygonorum $eriem hic appono.

# Intra circulum # extra circulum 4 # 2000000000000000 # 4000000000000000 8 # 2828427124746190 # 3313708498984760 16 # 3061467458920718 # 3182597878074527 32 # 3121445152258051 # 3151724907429255 64 # 3136548490545938 # 3144118385245904 128 # 3140331156954752 # 3142223629942456 256 # 3141277250932772 # 3141750369168965 512 # 3141513801144299 # 3141632080703181 1024 # 3141572940367090 # 3141602510256808 2048 # 3141587725277158 # 3141595117749588 4096 # 3141591421543029 # 3141593269613390 8192 # 3141592345578073 # 3141592807595664 16384 # 3141592576586860 # 3141592692091258 ### C<007>rculus intra $equentes terminos con$i$tit # 3141592653589789 # 3141592653589792

@odem omnino modo reperitur rectilineum æquale cuicun- que $ectori circulari vel elliptico ex cognito triangulo in$cri- pro & trapezio circum$cripto.

[0166]VERA CIRCULI. PROP. XXX. PROBLEMA. Ex dato $inu invenire arcum.

Sit arcus circuli A E de$criptus ex centro B. hujus arcus da- TAB. XLIII. fig. 5. tur radius nempe A B & $inus nempe A D: oportet in- venire quam proportionem habetip$e arcusad integram circuli circunferentiam. $it arcus chorda A E & ejus $emi$$is tan- gens A C vel C E. ex quadrato radii A B auferatur quadra- tum $inus A D & relinquetur quadratum $inus complementi B D, datur igitur B D; & ideo datur area trianguli rectanguli A B D; datur quoque area trianguli A B E nempe rectangu- lum $inus dati A D in $emi$$em radii B E. deinde fiat ut $umma triangulorum A B D, A B E, ad triangulum A B E ita duplum trianguli A B E ad trapezium A B E C, ut con$tat ex hujus 5. & ex dato triangulo in$cripto A B E & trapezio circum- $cripto A B E C, inveniatur per præcedentem $ector ip$e A B E, qui ad circulum integrum datum quæ$itam habet pro- portionem arcus A E ad totam circumferentiam, quam inve- nire oportuit.

PROP. XXXI. PROBLEMA. Ex dato arcu invenire $inum.

Ex dato arcu manife$tum e$t dari $ectoris aream; hoc igitur TAB. XLIII. fig. 5. $ectore dato con$ideretur ex quot notis arithmeticis con- $tet $inus totus: deinde $umatur $ectoris dati talis pars ali- quota nempe $ector A B E, ut trianguli in$cripti A B E & trapezii circum$cripti A B E C toties multiplicia, quoties $e- ctor datus multiplex e$t $ectoris A B E, concordent in totno- tis arithmeticis quot continet radix quadrata $inus totius; hoc enim facile fieri pote$t ex $peculatione tabellæ hujus 29: non enim requiritur in hoc praxis præci$a, nam nihil refertetiam- $i in magnis radiis di$crepantia $it notarum aliquot. Sectoris [0167]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. cogniti A B E, cujus arcus A E etiam innote$cit, datur radius B A: $it ejus $inus A D, _z_; & proinde è dato $inu & radio, da- bitur ut in antecedente triangulum $ectori in$criptum A B E & eidem trapezium circum$criptum A B E C; atque ip$e $ector datus, e$t $ecunda duarum mediarum arithmeticè continuè proportionalium inter triangulum $ibi in$criptum & trapezium circum$criptum; & proinde datur æquatio inter duplum tra- pezii A B E C unà cum triangulo A B E & triplum $ectoris cogniti A B E, cujus re$olutio manife$tat valorem quantita- tis ignotæ _z_, hoc e$t $inum A D: at dato arcu A E & ejus $inu, dantur etiam ex vulgata $ectionum angularium doctri- na $inus omnium multiplicium eju$dem arcus A E; & proin- de non latet $inus arcus in initio propo$iti, cum $it ad arcum A E in data ratione multiplici, quem invenire oportuit.

PROP. XXXII. PROBLEMA. Invenire quadratum æquale $patio hyperbolico con- tento à curva hyperbolica, uno a$ymptoto & dua- bus rectis alteri a$ymptoto parallelis; quod $patium æquale e$t $ectori hyperbolico cujus ba$is e$t eadem curva.

Sit hyperpola D I L, cujus a$ymptota A O, A K, $ibioc- TAB. XLIV. fig. 1. currunt in angulo recto O A K. proponitur hujus hyper- bolæ $patium I L M K, contentum à curva hyperbolica I L, a$ymptoto K M & duabus rectis I K, L M, alteri a$ymptoto A O parallelis. oportet è datis recti I K 10 000000000000, L M 10000000000000, A M 1000000000000, & proinde recta quoque K M 9000000000000, invenire men$uram $pa- tii I L M K. Producantur rectæ I K, O L, & ducatur recta I P, ut compleantur rectangula L N K M, Q I K M; manife- $tum e$t rectangulum L N K M e$$e 9000000000000000000- 0000000 & Q I K M 9000000000000000000000000 & tra- [0168]VERA CIRCULI. pezium L I K M e$$e medium arithmeticum inter prædicta re- ctangula, hoc e$t 49500000000000000000000000. invenia- tur inter rectangula L N K M, Q I K M, medium geometri- cum 28460498941515413987990042 quod erit pentagonum $patio hyperbolico L I K M regulariter circum$criptum. Sit- que ut trapezium LIKM unà cum dicto pentagono circum$cri- pto ad dictum pentagonum, ita duplum dicti pentagoni ad hexagonum $patio hyperbolico L I K M regulariter in$criptum, nempe 20779754131836628160009835; quod hexagonum erit polygonum complicatum cum prædicto pentagono; quæ duo rectilinea efficiant primos $eriei terminos convergentes: inter quæ $it medium geometricum cujus quadrati duplum di- vidatur per idem medium geometricum unà cum majori ter- mino $eu pentagono circum$cripto; eruntque medium geo- metricum & quotus, $ecundi terminiconvergentes: atque ita continuetur $eries hæc convergens polygonorum complica- torum, donec medietas prima notarum eadem $it in utroque termino convergente, nempe ad terminum vige$imum; po- lygonum enim circum$criptum e$t 23025850929958961534- 173864, & in$criptum 23025850929931203593181124: ad- hibeatur deinde approximatio in hujus 23 & 24 demon$tra- ta, & invenientur termini intra quos con$i$tit vera $patii hyperbolici L I K M men$ura, nempe 230258509299404562- 40178681, minor $patio, & 23025850929940456240178704 eodem major, & ideo non latet $patii men$ura, quam in- venire oportuit: totam polygonorum $eriem hic appono unà cum numero rectarum curvam hyperbolicam $ubtendentium in unoquoque polygono circum$cripto.

[0169] [0169a] Pag. 450. TAB.XLIII. Fig. 4. B A F R P C D E G H I K S L M N O Fig. 1. F G I K D L E S T O C N H M V R B Q P A Fig. 2. F G I K D L E S T O C N V R B Q P A Fig. 5. A C B D E Fig. 3. A F G I K D L S T E O C N H M V R B Q P [0170] [0171]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. ## Extra hyperbolam # Intra hyperbolam 2 # 28460498941515413987990042 # 20779754131836628160009835 4 # 24318761696971474416609403 # 22410399968461612921314879 8 # 23345088913234727934949897 # 22868197570682058351436953 16 # 23105412906351426185065096 # 22986193244865462241217428 32 # 23045725982658962868047234 # 23015921117139340153267671 64 # 23030818728479610745741910 # 23023367512879647736902891 128 # 23027092819292183214705676 # 23025230015404383009313933 256 # 23026161398510805910921810 # 23025695697539046352276636 512 # 23025928546847571901068394 # 23025812121604634087915779 1024 # 23025870334152518169052273 # 23025841227841783762272302 2048 # 23025855780992551911165543 # 23025848504414868310197241 4096 # 23025852142703422669729927 # 23025850323559001769499206 8192 # 23025851233131194254554390 # 23025850778345089029496888 16384 # 23025851005738140519209367 # 23025850892041614212944994 32768 # 23025850948889877295901163 # 23025850920465745719335070 65536 # 23025850934677811503232115 # 23025850927571778609090592 131072 # 23025850931124795055887228 # 23025850929348286832351848 262144 # 23025850930236540944102405 # 23025850929792413888218560 524288 # 23025850930014477416159412 # 23025850929903445652188450 1048576 # 23025850929958961534173864 # 23025850929931203593181124 # ## hyperbolæ $ector intra $equentes terminos con$i$tit ## 23025850929940456240178681 # 23025850929940456240178704 [0172]VERA CIRCULI

Pote$tigitur ab$que periculo erroris $umi $equens numerus pro hyperbolæ $ectore, cujus numeri multiplices u$que ad decem, divi$ionis facilitandæ gratia in compo$itione logorith- morum, hic $ubjicimus; in magnis namque divi$ionibus præ- $tat uti repetita divi$oris multiplicium $ub$tractione quam or- dinaria divi$ione, ut con$tat expertis arithmeticis.

Manife$tum e$t hoc 1 # 23025850929940456240178700 2 # 46051701859880912480357400 3 # 69077552789821368720536100 4 # 92103403719761824960714800 5 # 115129254649702281200893500 6 # 138155105579642737441072200 7 # 161180956509583193681250900 8 # 184206807439523649921429600 9 # 207232658369464106161608300 10 # 230258509299404562401787000 problema eodem ferè modo po$$e re$ol- vi, etiam$i a$ymptota A O, A K, non $int con$tiruta ad angulum rectum: nos autem ita fuppo$uimus, ut faci- lior & paratior e$$et problematis u$us in doctrina logorithmica, quam primò invenit nobili$$imus no$ter Neperus, & quam nos (ni fal- lor) ad $ummum perfectionis fa$tigium nunc elevamus.

PROP. XXXIII. PROBLEMA. Propo$iti cujuscunque numeri logorithmum invenire.

Ei$dem po$itis quæ in antecedente, manife$tum e$t, po$ita TAB. XLIV. fig. 1. I K unitate, M L e$$e decem: po$ita ergo I K unitate $it G H a$ymptoto quoque A O parallela numerus propo$itus cujus de$ideratur logorithmus@ manife$tum e$t ex data rectà G H dari K F, & ex præcedenti dari etiam $patium hyper- bolicum G I K H, quod $patium hyperbolicum dico e$$e lo- gorithmum numeri propo$iti G H, po$ito $patio hyperbo- lico L I K M logorithmo numeri denarii: e$t enim (ex Gre- gorio à S. Vincentio) $patium G H K I in eadem ratione ad $patium L M K I, in qua ratio G H ad I K e$t multiplicata rationis L M ad I K; $ed ratio G H ad I K e$t multiplicata [0173]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. rationis L M ad I K in eadem ratione qua numerus G H e$t multiplicatus numeri L M, quoniam idem e$t con$equens in utraque ratione; & proinde $patium G I K H e$t in eadem ratione ad $patium L I K M, in qua numerus G H e$t mul- tiplicatus numeri L M; & ideo (quoniam ex hypothe$i $pa- tium L I K M e$t logorithmus numeri L M $eu denarii) erit $patium G I K H logorithmus numeri propo$iti G H, quo- niam hæc e$t logorithmorum e$$entialis proprietas, ut $int inter $e in eadem directa ratione, in qua eorum numeri $unt unus alterius multiplicati: at ponitur communiter logo@ith- mus numeri denarii ad arbitrium unitas cum numero quodam cyphrarum: $i igitur fiat, ut $patium L I K M ad $patium G I K H, ita arbitrarius denarii logorithmus ad alium nume- rum; erit inventus ille numerus, logorithmus numeri propo- $iti G H, quem invenire oportuit.

SCHOLIUM.

PRaxis prædicti problematis prolixa e$t & laborio$a; & pro- inde, ut abbrevietur labor no$ter in compo$itione tabulæ logorithmorum; $ciendum e$t nos $olummodo laborare in inventione logorithmorum, numerorum primorum; nume- rorum enim compo$itorum logorithmi ex primorum additio- ne & $ubductione nullo negotio invenientur. $ed ut nu- merorum primorum logorithmi facilius inveniantur, ordine progrediendum e$t à prioribus ad po$teriores, nempe à 10 cujus logorithmus e$t arbitrarius ad 2 numerum omnium pri- mum, & à 10 & 2 ad 3, item à 10, 2 & 3 ad 7, item à 10, 2, 3 & 7 ad 11, & $ic deinceps. deinde inveniendi $unt duo numeri compo$iti parum inter $e differentes, quorum unus compo$itus e$t ex numeris logorithmos cognitos habentibus, & ideo logorithmum datum habens, alter autem numerus compo$itus e$t ex $olo numero primo (cujus quæritur logo- rithmus) vel ex illo unà cum aliis numeris logorithmos co- gnitos habentibus. deinde applicentur hi numeri compo$iti [0174]VERA CIRCULI (qui exempli gratia $int G H, E F) in hyperbola a$ymptoto O A paralleli; & inveniatur $patium hyperbolicum EGHF per hujus 32, quod breviter, fit quoniam G H, E F, parum inter $e differunt. ex $uppo$itione, unius numeri, exempli gratia G H, datur logorithmus, & proinde datur ejus logo- rithmi ratio ad logorithmum denarii arbitrarium, quæ ea- dem e$t (ex hactenus demon$tratis) cum ratione $patii hyper- bolici G I K H ad $patium hyperbolicum L I K M, datur au- tem ex hujus 32 $patium L I K M; & ideo innote$cit quoque $patium I K H G, cumque detur $patium E G H F, innote- $cit quoque E I K F; & proinde datur logorithmus numeri compo$iti E F; cumque ex $uppo$itione dentur logorithmi omnium numerorum numerum E F componentium, exce- pto numero illo primo cujus logorithmus de$ideratur, dabi- tur quoque illius numeri primi logorithmus, quem invenire oportuit. Exempli gratia, propo$itum $it invenire logorith- mum numeri binarii, $uppo$ito arbitrario numeri denariilo- gorithmo, unitate cum 25 cyphris. duo numeri compo$iti parum inter $e differentes $unt 1000 & 1024; numeri 1000 datur logorithmus, nempe triplum $patii 23025850929940- 456240178700 in antecedente inventi, po$ito $cilicet illo $patio numeri denarii logorithmo arbitrario; numeri 1024 ignoratur logorithmus, e$t enim compo$itus ex $olo numero primo 2, nempe ejus decies multiplicatus e$t. applicentur hi numeri compo$iti in hyperbola, ut dictum e$t; $itque G H 1000, E F 1024: $ed quoniam I K unitas e$t 1000000000000, erit G H 1000000000000000 & E F 1024000000000000, & per hujus 32 inveniatur $patium E G H F 237165266173- 160421183067 ($eriem convergentem hic appono,

[0175]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. # Extra hyperbolam # Intra hyperbolam 2 # 237170824512628449899917 # 237162487062045867846886 4 # 237166655750699903737556 # 237164571388054419219371 8 # 237165613567087322970403 # 237165092476425954356426 16 # 237165353021613523599438 # 237165222748948181485250 32 # 237165287885271907848389 # 237165255317105572320456 64 # 237165271601188181041012 # 237165263459146597159038 # ## hyperbolæ $ector intra $equentes terminos con$i$tit # 237165266173160272103220 # 237165266173160458453029

Sit inter hos terminos maximus quatuor continuè arithmeticè proportionalium 237165266173160421183067; qui proinde erit verus hyperbolæ $ector in notarum numero propo$ito, quoniam pri- mus triens notarum idem e$t in utroque termino convergente. [0176]VERA CIRCULI ut lectori compendium patefiat) $eu logorithmus numeri 1{24/1000} po$ito logorithmo denarii arbitrario 23025850929940456- 240178700; deinde eodem $uppo$ito logorithmo arbitrario denarii, addatur logorithmus numeri 1000, $eu triplus logo- rithmi denarii, logorithmo numeri 1{24/1000}, eritque $umma logorithmus numeri 1024, cujus pars decima erit logorithmus numeri binarii, pro eodem logorithmo denarii arbitrario, nempe 6931471805599452914171917: fiatque ut logor<007>th- mus numerii denarii 23025850929940456240178700 ad lo- gorithmum numeri binarii corre$pondentem 69314718055- 99452914171917, ita logorithmus numeri denarii arbitrarius propo$itus nempe 100000000000000000000000000 ad lo- gorithmum numeri binarii quæ$itum 3010299956639811952- 405804, quem invenire oportuit: eodem modo invenitur lo- gorithmus ternarii 4771212547196624373502993, &c.

Ut in promptu habeantur numeri illi compo$iti parum in- ter $e differentes pro unoquoque numero primo, hic tabel- lam exhibeo pro numeris primis u$que ad 100, & unam re- gulam pro numeris primis inter 100 & 1000 & alteram pro numeris primis $upra 1000; quæ omnia ita excogitata $unt, ut verus cujuscunque numeri primi logorithmus inveniri po$$it corre$pondens logorithmo arbitrario denarii 100000- 00000000000000000000 ex una $ola multiplicatione, dua- bus divi$ionibus & una radicis quadratæ extractione, ultra incon$iderabiles aliquot operatiunculas.

2 # 1000(<#>3)10 " # 1024(<#>10)2 3 # 32805 factus ex 5 & 6561(<#>8)3 " # 32768(<#>15) 2 7 # 2400 factus ex 3 & 32(<#>5)2 & 25(<#>2)5 " # 2401(<#>4)7 11 # 9800 factus ex 2, 49(<#>2)7 & 100(<#>2)10 " # 9801 factus ex 121(<#>2)11 & 81(<#>4)3 [0177]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. 13 # 123200 factus ex 7, 11, 25(<#>2)5, 64(<#>6)2 " # 123201 factus ex 169(<#>2)13 & 729(<#>6)3 17 # 2600 factus ex 13, 8(<#>3)2 & 25(<#>2)5 " # 2601 factus ex 9(<#>2)3 & 289(<#>2)17 19 # 28899 factus ex 169(<#>2)13, 9(<#>2)3 & 19 " # 28900 factus ex 100(<#>2)10 & 289(<#>2)17 23 # 25920 factus ex 10, 32(<#>5)2 & 81(<#>4)3 " # 25921 factus ex 49(<#>2)7 & 529(<#>2)23 29 # 613088 factus ex 17, 23, 32(<#>5)2, & 49(<#>2)7 " # 613089 factus ex 729(<#>6)3 & 841(<#>2)29 31 # 116280 factus ex 10, 17, 19, 4(<#>2)2, & 9(<#>2)3 " # 116281 factus ex 121(<#>2)11 & 961(<#>2)31 37 # 165648 factus ex 3, 7, 17, 29, & 16(<#>4)2 " # 165649 factus ex 121(<#>2)11 & 1369(<#>2)37 41 # 1413720 factus ex 7, 10, 11, 17, 4(<#>2)2 & 27(<#>3)3 " # 1413721 factus ex 1681(<#>2)41 & 841(<#>2)29 43 # 978120 factus ex 10, 11, 13, 19, 4(<#>2)2, 9(<#>2)3 " # 978121 factus ex 529(<#>2)23 & 1849(<#>2)43 47 # 664848 factus ex 7, 13, 32(<#>5)2 & 729(<#>6)3 " # 664849 factus ex 961(<#>2)31 & 2209(<#>2)47 53 # 3059000 factus ex 7, 19, 23, 8,(<#>3)2, & 125(<#>3)5 " # 3059001 factus ex, 9(<#>2)3, 121,(<#>2)11 & 2809(<#>2)53 57 # 5851560 factus ex 3, 5, 13, 31, & 121(<#>2)11 " # 5851561 factus ex 1681(<#>2)41 & 3481(<#>2)59 61 # 3575880 factus ex 5, 7, 11, 43, 8(<#>3)2 & 27(<#>3)3 " # 3575881 factus ex 961(<#>2)31 & 3721(<#>2)61 67 # 1620528 factus ex 3, 13, 16(<#>4)2 & 49(<#>2)7 " # 1620529 factus ex 361(<#>2)19 & 4489(<#>2)67 [0178]VERA CIRCULI 71 # 2016399 factus ex 3, 11, 29, 43 & 49(<#>2)7 " # 2016400 factus ex 16(<#>4)2, 25(<#>2)5 & 5041(<#>2)71 73 # 5116644 factus ex 4(<#>2)2, 9(<#>2)3, 169(<#>2)13, & 841(<#>2)29 " # 5116645 factus ex 7, 17, 19, 31, 73 79 # 5997600 factus ex 17, 32(<#>5)2, 9(<#>2)3, 25(<#>2)5 & 49(<#>2)7 " # 5997601 factus ex 961(<#>2)31 & 6241(<#>2)79 83 # 1164240 factus ex 5, 11, 49(<#>2)7, 16(<#>4)2, 27(<#>3)3 " # 1164241 factus ex 169(<#>2)13 & 6889(<#>2)83 89 # 2859480 factus ex 5, 47, 8(<#>3)2, 169(<#>2)13 & 9(<#>2)3 " # 2859481 factus ex 361(<#>2)19 & 7921(<#>2)89 97 # 1138488 factus ex 3, 13, 41, 89, & 8(<#>3)2 " # 1138489 factus ex 121(<#>2)11 & 9409(<#>2)97

Pro numeris primis inter 100 & 1000 $it hæc regula: ante numerum primum cujus logorithmus quæritur, $umantur im- mediatè duo numeri proximi, & po$t eum numerus imme- diatè $equens, qui tres numeri cum illo primo $unt quatuor numeri in $uo naturali ordine $e invicem $equentes; deinde multiplicetur primus numerus in cubum tertii & quartus in cubum $ecundi, eritque factorum differentia æqualis $ummæ primi & quarti vel $ecundi & tertii, ut facile demon$trari po- te$t; i$tique numeri facti habent ad minimum $ex notas pri- mas omnino ea$dem, & proinde parum inter $e differunt; at- que omnium horum quatuor numerorum (excepto tertii) lo- gorithmi cogno$cuntur ex ip$a progrediendi methodo, & ideo ad no$tram abbreviationem $unt idonei. in numeris ul- tra 1000 non opus e$t tanto apparatu, quoniam rectangulum numerorum, inter quos immediatè comprehenditur numerus primus cujus quæritur logorithmus, unitate $olummodo defi- cit à quadrato numeri primi; eorumque ideo primæ $ex no- tæ ad minimum $unt eædem; atque primi & tertii dantur lo- gorithmi, & ideo ad no$trum in$titutum $unt idonei.

[0179]ET HYTERBOLÆ QUADRATURA. PROP. XXXIV. PROBLEMA. Ex dato logorithmo invenire ejus numerum.

Ex demon$tratis manife$tum e$t hoc problema idem e$$e TAB. XLIV. fig. 1. ac $i quis proponeret; ex dato $patio hyperbolico, & una recta uni a$ymptotorum parallela illud comprehenden- te, alteram invenire idem $patium comprehendentem, & eidem a$ymptoto parallelam. Con$ideretur ex quot notis arithmeticis con$tet logorithmus denarii arbitrarius; & $uma- tur logorithmi vel $patii dati talis pars aliquota nempe $pa- tium L I K M, ut pentagoni $patio L I K M regulariter cir- cum$cripti, & hexagoni eidem regulariter in$cripti toties multiplicia, quoties $patium datum multiplex e$t $patii L I K M, concordent in tot notis arithmeticis, quot conti- net radix quadrata logorithmi arbitrarii; hoc enim facile fie- ri pote$t ex in$pectione tabellæ 32 hujus: datur ergo $patii L I K M men$ura & recta I K unitas ex $uppo$itione. Sit L M, _z_; $icut in hujus 32 datur pentagonum $patio L I K M regulariter circum$criptum & hexagonum eidem regulariter in$criptum, inter quæ $patium datum L I K M e$t $ecunda duarum mediarum arithmeticè continuè proportionalium; & ideo duplum haxagoni una cum pentagono æquatur triplo $patii, cujus æquationis re$olutio manife$tat ignotam _z_ $eu numerum L M, cujus toties multiplicatus, quoties $patium L I K M e$t $ubmultiplex $patii vel logorithmi dati, e$t nu- merus quæ$itus, quem invenire oportuit.

Hoc problema idem e$t cum hujus 8, $ed aliter genera- lius & methodo plerumque minus opero$a hic re$olu- tum.

Tom. II. _Mmm_ [0180]VERA CIRCULI PROP. XXXV. PROBLEMA. Rectâ per datum punctum in diametro ductâ, $emicirculum in ratione data dividere.

Sit $emicirculus A D G, cujus diameter A G, centrum E, TAB. XLIV. fig. 2. punctum in diametro datum B. $upponatur factum quod jubetur; $itque recta B D $emicirculum dividens in ratione data: quoniam datur $emicirculi men$ura & ratio in qua dividitur, igitur datur ejus portio nempe D B G. Sit recta B D, _z_: ex datis rectis B D, B E, E D, innote$cunt tri- angula D E B, D E F, D E G: deinde $it ut D E F una cum D E G ad D E G ità duplum D E G ad trapezium circum- $criptum D E G H: & po$itis primis terminis convergenti- bus D E G, D E G H continuetur $eries convergens poly- gonorum complicatorum, $ecundum circuli proprietates $æ- pius repetitas, donec conveniens fuerit approximationem ad- hibere ita ut exhibeatur $ector D E G, qui una cum trian- gulo D B E æquatur portioni D B G cognitæ, cujus æquatio- nis re$olutio manife$tat ignotam quantitatem _z_ $eu rectam B D: reliqua patent.

Idem problema eodem omnino modo re$olvitur in ellip$e, hyperbola vel earum $ectore dato.

SCHOLIUM.

Si quis prædictorum problematum mechanicam de$ideret praxim; non difficile erit calculum, approximationem, & æquationis re$olutionem $ecundum vulgatas Geome- triæ practicæ regulas quodammodo imitari, multa talia problemata po$$em hic re$olvere ope analy$ios & no$træ $e- ricrum convergentium doctrinæ, quæ antea impo$$ibilia æ$ti- mabantur: $ed dicet fortè aliquis has re$olutiones non e$$e geo- metricas; re$pondeo, $i per geometricum intelligatur praxis [0181]ET HYPERBOLÆ QUADRATURA. ope $olius regulæ & circini peracta, hanc in his non $olum e$$e impo$$ibilem $ed etiam in omnibus problematis quæ ad æquationem quadraticam reduci non po$$unt, $icut facile demon$trari po$$et; & $i per geometricum intelligatur redu- ctio problematis ad æquationem analyticam, omnia hæc problemata $unt geometrice impo$$ibilia, cum ex hic demon- $tratis, manife$tum $it talem reductionem fieri non po$$e: $i verò per geometricum intelligatur methodus omnium po$- $ibilium $implici$$ima; invenietur forta$$e po$t maturam con- $iderationem omnia prædicta problemata e$$e geometrici$$i- mè re$oluta, diligenter animadvertendum totam $erierum convergentium doctrinam po$$e etiam nullo negotio applicari $eriebus $implicibus. Sit enim $eries A, B, C, D, E, &c, talis naturæ ut tertius terminus C eodem modo A B C D E _Z_ componatur ex primo & $ecundo A, B, quo quartus D componitur ex $ecundo & tertio B, C, & quintus E ex tertio & quarto C, D, & $ic dein- ceps in infinitum; $itque differentia anteceden- tium A, B, major $emper differentia immediatè $equentium B, C; $upponamus hanc $eriem ita in infinitum continuari donec duorum terminorum immediate $e invicem $equentium nulla $it differentia, $itque unus ex <007>llis terminis _z_, quem $eriei terminationem appellamus: dico _z_ eodem modo componi ex A & B quo ex B & C vel C & D; de- mon$tratio vix differt ab hujus 10 & ejus con$ectario: hac ratione $i ponatur triangulum, $ectori circulari vel elliptico in$criptum, vel $ectori hyperbolico circum$criptum a, & trapezium, $ectori circulari vel elliptico regulariter in- $criptum vel hyperbolico regulariter circum$criptum b; erit hexagonum $ectori circulari vel elliptico regulari- ter in$criptum vel hyperbolico regulariter circum$cri- ptum _Vq_ {2 b3/a + b;} & proinde $ector circuli, ellip$eos vel hyperbo- læ eodem modo componitur ex a & b quo ex b & _Vq_ {2 b3/a + b;} atque hinc etiam demon$trari pote$t, quod ratio inter $ecto- rem & ejus triangulum datum non $it analytica, $ecundum [0182]VERA CIRC. ET HYPERB. QUADR. tenorem hujus 11: po$$em quoque adhuc alia methodo par- ticulari demon$trare arcum circularem non habere rationem analyticam ad $uam chordam datam: $ed plura non addo, geometras interim pro $cientiæ incremento admonens, me reperi$$e in quibusdam figuris (quas Carte$ius $ecundi gene- ris appellat) tres focos, $eu tria puncta, à quibus ductarum in quodlibet curvæ punctum rectarum $umma vel differen- tia $emper e$t eadem: unde mihi veri$imile videtur $icut omnis curvæ primi generis duos habent focos vel reales vel imagi- narios, ita omnes $ecundi generis habere tres, omnes ter- tii quatuor, & $ic in infinitum: quæ certè $peculatio $cru- tatu digni$$ima e$t, e$$et enim admiranda figurarum geome- tricarum proprietas, & mechanicæ omnium æquationum pra- xi utili$$ima.

FINIS. [0183] II. HUGENII OBSERVATIONES IN LIBRUM JACOBI GREGORII, DE VERA CIRCULI ET HYPERBOLÆ QUADRATURA.

D<#>_nus_ Hugenius rogatus à Societate quæ Pari$iis $uos habebat conventus (1668) in Bibliotheca Regia, ut vellet hunc librum examinare, $ocietati retu- lit $e multos errores ob$erva$$e in demon$tratio- ne, qua Auctor contendit impo$$ibilitatem quadra- turæ Circuli & Hyperboles probare.

I. in 11<#>a. Propo$itione, in qua auctor contendit Circuli quadraturam analytice impo$$ibilem demon$trare, hæc ha- bentur _Si terminatio magnitudinum propo$itarum analyti-_ _ce componatur a primis terminis_ a<#>3 + a<#>2b & ab<#>2 + b<#>3, _com-_ _ponetur etiam analyticê & eodem omnino modo a $ecundis_ _terminis_ ba<#>2 + bba & 2 b<#>2 a. $ed licet id verum $it quando terminatio inventa e$t per Methodum, quam indicat, non pote$t generalis inde deduci conclu$io. ni$i ponamus, non po$$e inveniri, ni$i per ejus Methodum, terminationem $eriei Magnitudinum, quas appellat _convergentes_, vel $i aliâ me- thodo inveniatur illam etiam per $uam methodum inven<007>ri po$$e quod non demon$travit.

II. Autor immediate po$t addit; _nullam quantitatem po$$e_ [0184]HUGENII OBSERVATIONES _eodem modo analytice componi e terminis_ a<#>3 + aab, abb + b<#>3 _quo componitur e terminis_ aab + bba, 2 bba. Hæc ni- hilominus invenitur per eandem methodum quam indi- cat in 7. Propo$itione. Methodus autem hæc e$t. Pri- mo quærenda e$t quantitas perquam $i multiplices _a_<#>3 + _aab_, & producto addas productum _abb_ + _b_<#>3 multiplicati per da- tam quantitatem _m_, $umma æqualis $it $ummæ duorum alio- rum productorum, unius _aab_ + _bba_ multiplicati per eandem quantitatem quæ$itam, alterius 2 _bba_ multiplicati per datam quantitatem _m_. Ponamus igitur quantitatem illam æqualem _z_, erit _a_<#>3_z_ + _aabz_ + _abbm_ + _b_<#>3_m_ = _aabz_ + _bbaz_ + 2 _bbam_; & _z_ = {_bbm_/_aa_ + _ab_}: Et certum e$t, $ive multiplicetur {_bbm_/_aa_ + _ab_} per _a_<#>3 + _aab_ & addatur _abb_ + _b_<#>3 multiplicatum per _m_, $ive eadem illa quantitas multiplicetur per _aab_ + _bba_ & addatur 2 _bbam_, $emper prodire eandem quantitatem 2 _abbm_ + _b_<#>3_m_, & con$e- quenter ultimam hanc quantitatem componi eodem modo e primis & $ecundis terminis progre$$ionis convergentis pro- po$itæ, quod Autor fieri po$$e negavit.

III°. Datâ autem hac quantitate 2 _abbm_ + _bbbm_, $i hac utamur ad quærendam terminationem progre$$ionis propo- $itæ, juxta methodum ab auctore indicatam in 7 propo$i- tione, & in 10, reperietur = {3 _aab_3 + _ab_4 + 2 _a_3 _bb_/_bb_ + _ab_ + _aa_}; & po$ito _a_ = 1 & _b_ = 2, illa terminatio, quæ de$ignat in eo ca$u $ectorem circuli continentem {1/3} totius circuli, erit = {48/7}; & primus ter- minus progre$$ionis _a_<#>3 + _aab_, qui de$ignat {1/3} trianguli æquila- teri in$cripti in eodem Circulo, erit æqualis 3; ita ut propor- tio circuli ad triangulum æquilaterum in$criptum $it ut {48/7} ad 3@ id e$t 16 ad 7. a vero nihilominus omnes has proportiones ab- errare facile patet.

IV°. Si examinemus, cur terminatio aliquando occurrat ve- ra per methodum Autoris, ut in 7 Propo$itione, interdum verò non; reperiemus id ex eo oriri quod problema 10<#>mæ [0185]IN LIB JAC. GREG. Propo$itionis non bene $it $olutum; Non enim $ufficit, ut inveniatur terminatio progre$$ionis convergentis, inveni$$e quantitatem compo$itam eodem modo e primis & $ecundis terminis; nam talis $olutio tantum locum habet quando quantitas illa detegitur, non inve$tigatâ quantitate quæ di- citur _z_ in 7 Propo$itione; vel quum eadem quantitas non componitur ex ulla quantitate quæ datur in terminis progre$- $ionis, ut in 7<#>a. Propo$itione, ubi z = {_me_/_d_}; nam Autor $u- mendo z = {_mae_ - _mbe_/_ad_ - _bd_} non videtur ob$erva$$e, divi$ionem po$- $e fieri per _a-b_.

In exemplo propo$itionis 10, non quæritur quantitas _z_, $ed _z_ appellatur ip$a terminatio; & in tran$itu notandum e$t exemplum illud allatum e$$e citra propo$itum nam progre$- $io, cujus primi termini $unt _a, b,_ & $ecundi & _Vab_, {_aa_/_Vab_} non e$t progre$$io conyergens, neque habet terminatio- nem, quamvis autor illam inveniat.

Quod attinet ad methodum, quam Autor propo$uit ad ap- propinquandum per numeros ad dimen$ionem Circuli; @<#>_us_ Hugenius dixit $ibi videri $e quid magis accuratum dedi$$e in libro cui titulus e$t _de Circuli magnitudine_, edito 1654. Addidit illa, quæ Gregorius habet de dimen$ione Hy- perbolæ & rat<007>one quam habet cum Logarithm<007>s, bona quidem e$$e $ed minime nova membris $ocietatis, cum po$- $int recordari, $e ip$is idem jam propo$ui$$e, regulamque ad in- veniendos logar<007>thmos, jamdudum actis eorum in$ertam e$$e. Se etiam non credere illud novum videri regiæ $ocietati An- glicanæ, cum qua jam ante plures annos communicavit me- thodum ad invenienda pondera aëris in diver$is altitudini- bus $upra terram, quæ fundamentum in hac ipsâ Hyperbolæ dimen$ione habet.

Hæc autem e$t methodus, quam D<#>_us_ Hugenius propo$uit ad inveniendum per logarithmos dimen$ionem Spatii Hy- perbolici contenti inter Curvam & unam ex A$ymptotis & duas lineas paralelas ad alteram A$ymptoton, data ratione quam [0186]HUGENII OBSERVATIONES inter $e habent duæ hæ lineæ. _Si logarithmus differentiæ lo-_ _garithmorum horum numerorum $emper addatur ad_ 0, 36221, 56868, _$umma erit logarithmus numeri partium_, _quas continet Spatium Hyperbolicum, illarum quarum_ 1.0000000000 _convinet parallelogr ammum Hyperbolæ, id_ _e$t illud, quod e$t contentum a duabus lineis ductis ex uno_ _Hyperbolæ puncto, & quarum quævis parallela e$t uni ex_ _A$ymptotis_; Exempli gratia $i parallelæ, quæ includunt $pa- tium Hyperbolicum $int inter $e ut 36 ad 5 operatio hoc pa- cto fiet.

1, 5563025008 # _Logarithmns_ 36. 0, 6989700043 # _Logar_. 5. 0, 8573324965. # _Differentia_. 9, 9331492856 # _Logar. Differentiæ_. 0, 36221 56868 # _Logar. qui $emper additur_. 10, 2953649724; # _Logar. cujus numerus facit contentum_ \\ _in Spatio Hyperbolico, quod hic e$t_ 1.9740810180. III. DOMINI GREGORII RESPONSUM AD ANIMADVERSIONES DOMINI HUGENII, IN EJUS LIBRUM, DE VERA CIRCULI ET HYPERBOLÆ QUADRATURA.

AD ea quæ dicit D. _Hugenius_ contra meam _Circ_. & _Hyperb. Quadraturam_, ingenuè fateor (cum illa $criberem) me non animadverti$$e exemplum in prop. 10. non e$$e $eriem convergentem ex- [0187]JAC. GREG. RESPONS. perientiam enim feci $olummodo de primis & $ecundis ter- minis, non con$iderando tertios cum primis coincidere, nam ratiociniis in$i$tebam, de exemplis parum $olicitus. Ut au- tem appareat in hoc nihil contineri contra no$tram Doctri- nam, agedum hoc loco 10: _prop_. totidem verbis, $ed cum legitimo exemplo repetamus.

PROP. X. PROBLEMA.

Ex data quantitate eodem modo compo$ita à duobus terminis convergentibus cuju$cunque $eriei convergen- tis, quo componitur ex terminis convergentibus eju$- dem $eriei immediate $equentibus; $eriei propo$itæ terminationem invenire.

Sit $eries convergens, cujus duo termini convergentes qui- cunque $int _a, b,_ & termini convergentes immediatè $e- quentes {2 _a b_/_a_ + _b_}, {_a_ + _b_/2}, termini priores inter $e multiplicati effi- ciunt eandem _a b_, item $equentes inter $e multiplicati effi- ciunt eandem _a b_; ex his invenienda $it propo$itæ $eriei ter- minatio. Manife$tum e$t, quantitatem _a b_ eodem modo fieri à terminis convergentibus _a, b_, quo à terminis conver- gentibus immediatè $equentibus {2 _a b_/_a_ + _b_}, {_a_ + _b_/_z_}: & quoniam quan- titates _a, b_, indefinitè ponuntur pro quibuslibet totius $e- riei terminis convergentibus, evidens e$t, duos quo$cunque terminos convergentes propo$itæ $eriei inter $e multiplica- tos idem efficere productum, quod faciunt termini imme- diatè $equentes etiam inter $e multiplicati; cumque duo ter- mini convergentes duos terminos convergentes $emper im- mediatè $equantur, manife$tum e$t, duos quo$cunque ter- minos convergentes inter $e multiplicatos idem $emper effi- cere productum, nempe _a b_; atque ultimi termini conver- gentes $unt æquales, & proinde $it ultimus ille terminus, $eu $eriei terminatio Z, quæ in $e ip$am multiplicata facit Tom.II. _Nnn_ [0188]JAC. GREG. RESPONSUM Z<#>2 = _a b_; e$t igitur Z. $eu $eriei terminatio _r_<#>2 _a b_, quam invenire oportuit: & proinde ad inveniendam cuju$cunque $eriei convergentis terminationem opus e$t $olummodo inve- nire quantitatem eodem modo compo$itam ex terminis con- vergentibus primis, quo componitur eadem quantitas ex ter- minis convergentibus $ecundis.

CONSECTARIUM.

Quoniam non refert in _Problemate_, $ive termini con- vergentes, _a, b,_ $int primi, $ecundi vel tertii, &c. manife$tum e$t, omnis $eriei convergentis ter- minationem eodem modo e$$e compo$itam ex termi- nis convergentibus primis, quo ex $ecundis, ter- tiis, &c.

Si quis aliud Exemplum de$ideret, $int primi termini _a, b_, $ecundi _r_<#>7 _a_<#>5 _b_<#>2, _r_2 _a b_, quantitas eodem modo compo- $ita &c. e$t _a_<#>7 _b_<#>4 & $eriei terminatio _r_<#>11 _a_<#>7 _b_<#>4: videat _Huge-_ _nius_, duo exempla legitima hic adducta inqui$itionem _Septi-_ _mæ_ non admittere; ope tamen _prop. decimæ_ ($uppo$ita ter- tia illa quantitate) facilè re$olvuntur, neque ullo modo con- $ectarium re$puunt, quod $olummodo e$$e momenti $atis $it indica$$e; plura autem exempla de$ideranti millena affe- ram.

Ad primam _Hugenii_ objectionem quod $pectat, miror eum non con$iderâ$$e præcedens _con$ectarium_, ubi illa, quæ de$iderat, evidenter deduco ex _prop_. 10. At agno$cit hoc verum e$$e in illis $eriebus, quæ ope no$træ methodi terminantur: velim certè ut a$$ignet mihi Nobili$$imus Vir $eriem aliquam convergentem cum $ua terminatione, quæ con$ectarium no$trum re$puat; vel $i eam a$$ignare non po$- $it, $olidam dubitandi rationem tantum de$idero. Ut au- tem funditus evertatur hæc objectio, $equentem exhibeo de- mon$trationem Geometricam.

[0189]AD ANIM. HUGENII.

Sit A. Polygonum regulare $ectori _in$criptum_. B eidem $imile _circum$criptum_; continetur $eries convergens poly- gonorum &c. ut $it ejus terminatio $eu circuli $ector Z: $it X eodem modo compo$ita à terminis C, D, quo Z à ter- minis A, B; dico Z & X e$$e indefinitè æquales; $i non $int indefinitè æquales, $it inter illas indefinita differentia _a_, & continuetur $eries convergens in terminos convergentes I, K, ita ut eorum differentia $it minor quam _a_; hoc A # B C # D E # F G # H _a_ I # K L # M # Z # X enim ab$que dubio concipi pote$t, etiam$i hic omnes quantitates $int indefinitæ, quoniam definitis quantitatibus A, B, definitur etiam _a_, $ed adhuc re$tat K-1 quantitas indeterminata in infinitum decre$cens. Manife$tum e$t, _$e-_ _ctorem_ Z e$$e indefinitè minorem quam K, & majorem quam I: item quoniam Zeodem mo- do componitur ex quantitatibus A, B, quo X. è quantita- tibus C, D, & Z indefinitè minor e$t quam K & major quam I, patet ex Proprietatibus $erierum convergentium, X etiam e$$e indefinitè majorem quàm I, & minorem quàm K (e$t enim revera indefinitè major quàm L & minor quam M) & proinde $unt quatuor quantitates indefinitæ, quarum maxima & minima $unt I, K, intermediæ autem Z & X, & ideo differentia extremarum K-I major e$t quàm _a_ diffe- rentia mediarum, quod e$t ab$urdum, ponitur enim minor: quantitates ergò Z & X non $unt indefinitè inæquales, & ideo $unt indefinitè æquales, quod demon$trandum erat. Manife$tum e$t hanc demon$trationem eodem modo appli- cabilem e$$e omni $eriei convergenti.

In objectionibus 2, 3, & 4, contra $uas ip$ius imaginatio- nes argumentatur _Hugenius:_ Ego enim $atis dilucidè affir- mo in _Scholio propo$it_. 5. & in _fine prop_. 9. Septimam & no- nam propo$itionem e$$e Particularem, unamquamque $uo ca- $ui; item in _Prop. decima_ (quàm ergo pro generali $ub$ti- tuo) evidenter $uppono, & non quæro, illam quantitatem eo modo compo$itam ex primis, quo ex $ecundis terminis convergentibus; $atis enim $cio, talem methodum genera- [0190]JAC. GREG. RESP. lem e$$e impo$$ibilem. Sed omnium maxime admiror, Cla- ri$$imum Virum non animadverti$$e in 8. _definitione_, Quan- titates C, D, E, compo$itionem ingredientes, $emper e$$e ea$dem, nempe definitas & invariabiles, ip$os autem termi- nos A, B, e$$e indefinitos & variabiles, nimirum in F, G, & infinitos alios: at quis e$t qui non videt _Hugenii_ {_b_2 _m_/_a_2 + _ba_} non minus e$$e indefinitam, quam $unt ip$i termini? Deinde in _Proœmio no$træ Geometriæ Partis univer$alis,_ $ic dico. _Alii objiciunt contra prop_. 11. _ita: $i addatur_ a<#>3 _termino_ a<#>3 + a<#>2b & _temino_ ba<#>2 + b<#>2a, _enervetur vis u-_ _triu$que demon$trationis. Re$pondeo,_ a<#>3 _e$$e quantitatem_ _indefinitam, & alias quantitates indefinitas præter ip$os_ _terminos convergentes compo$itionem non po$$e ingredi, quod_ _analy$tam latere non pote$t_: Eodem modo re$pondeo _Huge-_ _nio_ {_bbm_/_a_2 + _ab_} e$$e quantitatem indefinitam, & ideo compo$itio- nem non po$$e ingredi: Si autem mihi objiciat, in _$eptima_ me credidi$$e, {_mae - mbe_/_ad - bd_} fui$$e quantitatem indefinitam; Re- $pondeo, etiam$i divi$io per _a-b_ à me $atis incon$ideratè ne- glecta $it, apertè tamen con$tat, me hoc cognovi$$e, ex di- ver$itate methodorum, quibus utor in $eptima & decima, quippe i$ta _particulari_, in qua quantitatem illam quæro, & hac _generali_, in qua illam $uppono; nulla enim alia ratio hujus diver$itatis excogitari pote$t; quod etiam ex ip$is _$epti-_ _ma & decima_ e$t manife$tum, cum appellem $emper termi- nos convergentes quantitates indefinitas, hoc ip$o $atis $i- gnificans, nullas alias quantitates indefinitas calculo in- e$$e.

Semper credidi in rebus $cientificis verba ita candidè e$$e explicanda ($i modo po$$ibile $it) ut di$cur$us nullum inclu- dat ab$urdum; at _Hugenius_ fatis percipit, di$cur$um nihil continere ab$urdi, modò nulla quantitas indefinita præter i- p$os terminos compo$itionem ingrediatur; judicat tamen ab$- que omni ratione, me contrarium exi$tima$$e; libenter enim optarem _Hugenium_ a$$igna$$e locum, ubi a$$ero, illam in- [0191]AD ANIMADV. HUGENII. qui$itionem Septimæ e$$e univer$alem. Dico igitur & de- claro me intelligere, nullam quantitatem indefinitam præter ip$os terminos convergentes compo$itionem po$$e ingredi. Atque ita corruunt tres ultimæ _Hugenii_ $ive diver$æ obje- ctiones, $ive eju$dem portiones; ne$cio enim, quare in tot partes dividatur.

Præcedentibus perceptis, evidenti$$imum e$t, _Circuli, El-_ _lip$eos_, vel _Hyperbolæ_ $ectorem e$$e terminationem $eriei convergentis, cujus primi termini _a_<#>3 + _a<#>2 b_, _ab_<#>2 + _b_<#>3, & $ecundi _ba_<#>2 + _b_<#>2_a_, <_>2_b_<#>2_a_ & proinde Sectorem eodem mo- _Schol. 5_. _Con$_. 10. do componi ex primis terminis quo ex $ecundis ; atque evidens e$t, nullam dari quantitatem eodem modo ana- lyticè compo$itam ex primis terminis quo ex $ecundis, quo- niam primos eodem modo analyticè tractando quo $e- cundos, $emper re$tat altior pote$tas ip$ius _a_ in primorum producto, quam in producto $ecundorum; de hoc ($i non cre- datur) fiat experientia, & con$tabit non $olum a$$ertionis veri- tas, $ed etiam eju$dem demon$tratio; quando autem altior e$t eju$dem pote$tas in una quantitate quàm in altera, nulla datur indefinita æquatio, de qua hic tantum loquimur, hoc e$t, ut (po$itis _a, b_, ad libitum,) æqualitas $emper rite proce- dat. Atque hæc e$t $umma non $olum propo$itionis unde- cimæ $ed etiam totius no$træ _Circ_. & _Hyp. Quadraturæ,_ ab _Hugenio_ adhuc intactæ. Gratias tamen ago nobili$$imo viro, quod meas quale$cunque lucubrationes examinare di- gnatus e$t, hinc enim mihi data e$t occa$io illas fu$ius ex- plicandi & confirmandi. Num _Hugeniana_ methodus cir- culum men$urandi mea $it præci$ior, experientiæ relinquo judicandum; quod autem no$tra, _Hyperbolam quadrandi,_ illi etiam innotuerat, de hoc nihil habeo quod dicam, ni$i quod mihi gratuler, inventa mea ip$o _Hugenio_ non æ$tima- @i indigna.

[0192]HUGENII EXCEPSIO IV. EXCERPTA EX LITERIS D<#>ni. HUGENII DE RESPONSO, QUOD D<#>nus. GREGORIUS DEDIT AD EXAMEN LIBRI, CUI TITULUS EST, _VERA CIRCULI ET HYPERBOLÆ QUADRATURA_.

In circuli quadraturam inquirentes Geometræ, va- ria & quidem pulcherrima detexere, ideo ne u- tili exercitio de$tituantur adver$us Gregorium de- fendere con$titui, quadraturam hanc detegi po$- $e; neque huc u$que re$pon$ionem hanc di$tuli$$em, ni$i oc- ca$ione controver$iæ no$træ examen $u$cepi$$em exacti$$imum de proxima Circuli & Hyperboles Quadratura: in quo me interpellarunt $æpe alia impedimenta.

Dico nunc primo; Quod $pectat impo$$ibilitatem analy- ticam quadraturæ illarum figurarum, tantum abe$$e etiam po$t $upplementum demon$trationum, quod D<#>nus Gregorius dedit, impo$$ibilitatem hanc bene probatam e$$e, ut adhuc dum in- certum maneat, num Circulus & quadratum diametri ejus $int incommen$urabilia, id e$t an non horum ratio per numeros po$$it exprimi; quod etiam applicari pote$t portioni deter- minatæ Hyperboles & figuræ huic in$criptæ. Quod ut demon- $tremus $ufficit ob$erva$$e; quod XI ejus Propo$itio & $up- plementum nil probent quando in ejus $erie convergen- te determinantur quantitates _a_ & _b_ per numeros ra- tionales vel $urdos; quoniam tunc terminatio et- iam poterit e$$e numerus quidam $imilis; & con- trarium per illam propo$itionem demon$trari non po- [0193]AD RESP. JAC. GREG. terit, quoniam tunc ignotum erit, quomodo terminatio com- po$ita $it ex primis & $ecundis terminis. E. G. Si _a_ $it 1 & _b_, 2 quomodo probabitur per XI ejus Propo$itionem, termina- tionem non e$$e {7/3}. Ut ergo concludatur, rationem Circu- li ad quadratum diametri ejus non e$$e analyticam, demon- ftrari non $olum debet, quod $ector Circuli non $it ana- lyticus indefinite ad figuram $uam in$criptam, licet illa de- mon$tratio non careat $uâ pulchritudine, $ed quod illud etiam verum $it _in omni ca$u definito_.

Dico præterea, $i quantitates _a_ & _b_ maneant indetermi- natæ, terminationem forte reduci ad æquationem ex iis, qua- rum radices dari nequeunt; & contrarium probari per XI e- jus Propo$itionem, neque per Supplementum, non poterit, ni- hilominus $i illa terminatio reducta $it ad quandam æquat<007>o- nem ejus naturæ, crederem Quadraturam Geometricè e$$e in- ventam per inter$ectionem quarundam linearum curvarum, quæ in Geometriâ admittuntur.

Non inhærebo in aliis objectionibus, quas propo$ui; Di- cam tantum, has, $icuti locum amplius non habent po$t cor- rectionem Dn. Gregorii, ita antea firmo fundamento nixas fui$$e; quoniam omi$$a divi$ione nece$$ariâ per _a@ b_ in tot locis propo$itionis VII. poterat præ$umi illum non novi$$e talem divi$ionem e$$e po$$ibilem, & con$equenter illum credidi$$e, in compo$itione de qua agitur indefinitas ad- mitti debere quantitates.

Tran$eo igitur ad comparationem no$trarum methodorum pro dimen$ione Circuli proxima: Certum e$t, primas ejus approximationes quarum fundamentum $unt ip$ius propo- fitiones XX, & XXI. ea$dem e$$e cum iis, quas dedi in tra- ctatu _de Circuli magnitudine_; ubi demon$travi eadem illa Theoremata, $cil. $i Polygonum in Circulo in$criptum $it _a;_ & Polygonum $imul circum$criptum $it _d_: contentum Circuli minus e$$e quam {1/3}_a_ + {2/3} _d_ , $ed majus quam {4/3} _c-_ Vide $upræ pag. _361_. pr. _VI_. {1/3} _a_ , po$ito _c_ pro Polygono in$cripto quod duplo majorem Vide ibid. prop. _V_. habeat laterum numerum quam _a_ vel _d_. Quidquid hic dico [0194]HUGENII EXCEPTIO & in $equentibus dicam de Circulo debet intelligi pariter de $ectore Circuli.

Præter hanc approximationem D. Gregorius aliam pro- ponit in fine $uæ XXV Propo$itionis, quam admirandam di- cit, cujus demon$trationem $e ignorare fatetur; hæc e$t, in- ter duos terminos, $tatim memoratos {1/3} _a_ + {2/3} _d_ & {4/3} _c_ - {1/3} _a_, inventis quatuor mediis quantitatibus in proportione Arith- metica, a$$erit maximam harum quantitatum adeo Circuli magnitudini vicinam e$$e, ut, $i in numeris, qui de$ignant Polygona $imilia _a_ & _d_, prima notarum triens $it eadem, error ad unitatem non pertingat.

Sed invenio hanc approximationem in Circulo veram non e$$e licet in Hyperbola locum habeat, &, dum in hac utimur maxima quatuor mediarum Arithmeticarum proportiona- lium, minimam pro approximatione Circuli adhibendam e$$e.

Ita minima quatuor mediarum proportionalium inter terminos dictos primæ approximationis erit {16 _c_ + 2 _d_ - 3 _a_/15}, uti facile e$t videre per Calculum; & probare po$$um non $o- lum experientiâ, $ed & per demon$trationem quantitatem hanc, po$itis numeris quorum prima notarum triens eadem e$t, ex primentibus polygonis _a_ & _d_, a vera Circuli ma- gnitudine non aberrare ni$i in duabus ultimis notis, & ple- rumque in omnibus notis & ulterius cum vera magnitudi- ne conincidere, quam tamen $emper $uperat, cum e contra- rio maxima quatuor Mediarum, qua utitur D<#>us Gregorius in Hyperbola deficiat.

Inveni præterea, approximationem hanc pro Circulo non æque accuratam e$$e, ac e$t illa quam ded<007> in Tractatu de_Circu-_ _li magnitudine_, juxta quam, quando _a, c_ & _d_ de$ignant eadem Polygona, ac $upra, terminus excedens contentum Circuli e$t _a_ + {10_cc_ - 10_aa_ /6_c_ + 9_a_} Neque demon$tratio difficilis e$t, quoniam vide $upra p. _383_. in $ine. $i neges illum terminum e$$e minorem ideoque magis exa- [0195]AD RESP. JAC. GREG. ctum quam præcedentem {16_c_ + 2_d_ - 3_a_/15}, $equetur, cubum _c - a_ non fore majorem nihilo, & _c_ non majorem quam _a_ contra hypo- the$in, uti facile videre e$t per calculum analyticum, ob$ervan- do quod _d_ $it = {_cc_/_a_}.

Po$$unt etiam _a_ & _c_ $umi pro circumferentiis Polygono- rum in$criptorum, quorum unum $ubduplum laterum ha- bet numerum; Et tum terminus _a_ + {10_cc_ - 10_aa_/6_c_ + 9_a_} e$t longitu- do circumferentiæ Circuli, aut arcus $ectoris parum admo- dum excedens, ut $i notarum triens in _a_ & _c_ $it eadem, er- ror dari non poterit ni$i in ultima nota, & $æpius nequi- dem in quatuor vel quinque notis $equentibus ultra illas quæ dantur in numeris _a_ vel _c_.

Sed & ut illi, qui contem plationes has negligunt, tamen quid commodi ex no$tra controver$ia capiant, addam hic Geometricam con$tructionem ex ultimâ approximatione deductam qua invenitur longitudo arcus Circuli dati adeo acurata quam ad u$um de$ideratur.

Sit arcus Circuli, qui non excedat $emicircumferentiam TAB. XLIV. fig. 3. A B C, cujus $ubten$a $it A C; dividat hanc ut & arcum in duas partes æquales linea B D.

Ducta $ubten$a A B $umantur ejus {2/3} & ponantur ab A ad E in producta lineâ C D; tum diminuta D E decimâ parte E F, ducatur F B, & tandem ip$i perpendicularis B G. Erit linea A G æqualis arcui A B, vel dupla linea æqualis arcui A B C, quæ tam parum excedet, ut tunc etiam, quum arcus erit æ- qualis $emicircumferentiæ Circuli exce$$us non $it {1/1400}. lon- gitudinis; $ed $i tantum $it {1/3} circumferentiæ, different<007>a non erit {1/13000}, $i autem arcus tantum $it pars quarta circumferentiæ er- ror non erit {1/90000} longitudinis.

Po$$em hic addere approximationem & con$tructionem omnino $imilem pro quadratura Hyperboles, paulo magis accedentem ad veram quam media Arithmetica D_<#>ni_. Grego- [0196]JAC. GREG. CONSID. rii, de qua $uperius dixi, $ed vererer, ne nimium hoc $criptum producerem, & certus $um præterea, po$t illa, quæ D<#>_us_. Mer- cator nuper feliciter invenit de illa quadratura, & correctionem D<#>_ni_. Walli$ii, inventa no$tra hac de re parum e$$e con$i- deranda.

V. EXCERPTA EX EPISTOLA D. JACOBI GREGORII, CONTINENTE QUASDAM EJUS CONSIDERATIO- NES, SUPER EPISTOLA D. HUGENII, IMPRESSA IN VINDICATIONEM EXAMINIS SUI LIBRI, DE VERA CIRCULI ET HY- PERBOLÆ QUADRATURA.

Ex duobus argumentis, quibus conatur Nob. D. _Hugenius_ doctrinam meam evertere, primo qui- dem, re$pon$ionis fundamentum dedi in _Proœm_. ad _Geometr. partem univer $alem_; alterum au- tem provenit $olummodo à Prop. 11. non re- cte, opinor, ab _Hugenio_ intellecta, quam tandem admit- tit po$t correctiones (ut inquit) à me factas. Ut autem, $imul cum re$olutione Objectionum, omnem evertam du- bitandi rationem, ex admi$$a _Prop_. 11. in forma proba- re conabor Syllogi$tica, Nullam e$$e rationem analyticam inter Circulum & Diametri Quadratum: Præter Modum quippe & figuram nil dee$t in hactenus à me publicatis, [0197]SUPER HUGEN. EXCEPT. quin id integrè demon$tretur; quæ interim forma rarò à Geometris exigitur. Dico itaque;

Si daretur ratio Analytica ($eu ratio notis Analyticis ex- primenda) inter C<007>rculum & Diametri Quadratum, tunc Cir- culus analyticè componeretur ex Quadratis, in$cripto & cir- cum$cripto. Sed po$terius e$t ab$urdum E. Sequela Majoris $ic probatur;

Quantitas quæ$ita & determinata invenitur ex quantitati- bus quibu$cunque eam determinantibus, in ea ratione, $eu relatione, quam habet quantitas determinata ad dictas quan- titates determinantes. Sed Quadratum in$criptum & cir- cum$criptum Circulum determinat, idemque ex illis Circu- lus daretur in ea relatione, quam habet ad Diametri Quadra- tum vel ejus $emi$$em, h. e. $i e$$et ratio analytica inter Cir- culum & diametri Quadratum; Ex d<007>ctis quantitatibus de- terminantibus _analyticè_ componeretur Circulus. Ex dictis enim quantitatibus omnia analyticè componi po$$unt, quæ ad ea rationem habent analyticam.

Secundi Syllogi$mi _Minor_ e$t evidenti$$ima. _Major_ autem e$t axioma ab omnibus Geometris tacitè admi$$um.

_Minor_ Syllogi$mi prioris $ic probatur.

Eodem modo componitur Circulus ex Quadrato in$cripto & circum$cripto, quo componitur Quadrans Circuli ex Triangulo in$cripto & Trapezio vel potius Quadrato cir- cum$cripto. Sed ex 11. _Prop_. Quadrans Circul<007> $eu $ector non pote$t componi analyticè ex Triangulo in$cripto & Qua- drilatero circum$cripto. E.

Major e$t evidens. At poterit forta$$e di$tingui _Minor_, dicendo; Prop. 11. veram e$$e in Methodo indefinita; $ed po$$e e$$e fal$am in methodis Particularibus. At in$to. Omnis methodus indefinita in methodos $eu ca$us Particulares e$t re- $olubilis. Sed hæc methodus indefinita, nempe quod $e- ctor $it terminatio datæ $erie convergentis, in nullam parti- culararem re$olvi pote$t. Nulla igitur datur hic methodus particul@ris. _Major_ patet, quia quantitates æquales in $e mu- tuò $unt re$olubiles. _Minorem_ ita probo; Si hæc Methodus [0198]JAC. GREG. CONSID. indefinita re$olvetur in aliquam particularem, re$olutio fie- ret vel ab Analy$i _$pecio$a_ vel _numero$a_. Sed neutrum dici pote$t. E. _Major_ patet ex $ufficienti enumeratione. _Minor_ $ic probatur: Non ab Analy$i _$pecio$a_, quoniam hæc Me- thodus _indefinita_ ad eam e$t irreducibilis, ut patet ex Prop. 11. Non à _Numero$a_, quæ hic e$t interminabilis, proinde- que invariabilis.

In hanc ultimam di$tinctionem re$olvitur 1. objectio _Hu-_ _genii_. Velim enim Nobili$$. Virum con$iderare, omnem plenam Problematis $olutionem e$$e _indefinitam_. Nam Me- thodi _particulares_, cum $int _infinitæ_, exhiberi omnes ne- queunt; neque dirigi po$$unt à tenore Problematis quippe illis omnibus communi: Ideoque requiritur Methodus _Ge-_ _neralis_ $eu Indefinita, Particularium directrix. Agno$co u- tique Methodos Particulares ca$u $æpe inveniri ab$que ope Generalis; attamen fatendum e$t Geometris, nullam e$$e, nec po$$e fieri Mothodum Particularem, in quam re$olubi- lis non $it Methodus indefinita. Si igitur Methodus Indef<007>- nita omni re$olutioni $it impervia (ut in _Prop_. 11. e$t de- mon$tratum) eodem modo omnes Particulares re$olutionem @tiam re$puent; proindeque tam Def<007>nita, quam Indef<007>nita nullam compo$itionem agno$cit. Talis enim Compo$itio, qualis Re$olutio.

Etiam$i prædicta, meo quidem judicio, adundè $ufficiant, ne tamen ullus relinquatur cavillationi locus, 11<#>mam no$tram _Prop_. etiam in _Definitis_ hic demon$trabimus. Sit ergò B Polygonum intra Circuli $ectorem, 2 B Polygonum circum- $criptum & priori $imile; $ufficit enim Polygonorum propor- tionem definire, ut Theorema def<007>nitè demon$tretur. Con- tinuetur $eries convergens ut $it ejus teminatio B # 2 B C # D E # F G # H ## Z _a_ # _x_ feu Circuli Sector Z. Dico, Z non po$$e com- poni _analyticè_ ex Polygonis _definitis_ B, 2 B. Si f<007>eri pote$t, componatur Z Analytice ex Poly- gonis Def<007>nitis B, 2 B. $intque duæ quantitates Indef<007>nitæ _a_ & _x_, è quibus componatur _m_ eo- [0199]SUPER HUGENII EXCEPT. dem modo, quo Z. componitur à quantitatibus _Vax_ {2_ax_/_a_ + _Vax_} _m_ _n_ B, 2 B; Item eodem modo componatur _n_ ex quantitatibus _Vax_, {2_ax_/_a_ + _Vax_}: quantitates _m, n_, non $unt indefinite æquales ex _prop_. 11 Si igitur in- ter _m_ & _n_ f<007>ngatur æquatio; _a_ manente quantitate indef<007>nita, æquatio inter _m_ & _n_ tot habebit radices $eu quantitates, in quas re$olvitur _x_, quot quantitatum, inter $e d<007>ver$as ra- tiones habentium, binarii $unt in rerum natura, quæ vices quantitatum _a_, _x_, $ubire po$$unt, h. e. quæ eandem quan- titatem _Analyticè_ ex $e ip$is componit eodem modo, quo eandem quantitas componitur ex ip$arum media Geometri- ca _Vax_, & ex media Harmonica inter dictam mediam Geometricam & _x_, nempe {2_ax_/_a_ + _Vax_,} ita ut compo$itio $it eo- dem modo quo Z componitur ex B & 2B. atque ex Con$e- ctario _Prop_. 10. omnes quantitatum binarii, rationes quoque diver$as inter $e habentium, B 2 B, C D, E F, G H, &c. in inf<007>nitum, po$$unt $upplere vices quant<007>tatum _a_, _x_, quo- niam Z eodem modo componitur ex B 2 B, quo ex C D, E F, vel G H, &c. & proinde æquatio inter _m_ & _n_ radices habet numero infinitas. Sed omnis æquatio habet ad $ummum tot radices, quot habet dimen$iones; & proinde æquatio inter _m_ & _n_ dimen$iones habet numero inf<007>nitas, quod e$t ab$ur- dum; ideoque Z $eu Circuli Sector non pote$t analyticè componi ex Polygonis definitis B, 2B. quod demon$tran- dum erat. Hinc manife$tum e$t, Terminationem cuju$libet $eriei convergentis, $i non po$$it componi ex terminis con- vergentibus _indefinitè_, nec po$$e componi _definitè_; adeo- que evane$cit $imul cum no$tra di$tinct<007>one Objectio _Huge-_ _nii_ prima.

Idem in Objectione $ua $ecunda non videtur adverti$$e, me non $olum in Prop. 11. $ed etiam in toto meo Tracta- tulo intelligere per Extractionem radicum, Re$olutionem omnium pote$tatum $ive purarum $ive affectarum; omnium quippe eadem e$t ratio, neque ulla imaginabilis e$t in de- mon$tratione diver$itas, $ive Sector $upponatur Radix ali- [0200]JAC. GREG. CONSID. cujus pote$tatis puræ, $ive affectæ ad puram irreduc<007>bilis. Nam $i Sector eodem modo fiat cx primis terminis conver- gentibus, quo ex $ecundis (ut in Con$ect. _Prop_. 10. e$t de- mon$tratum) etiam omnes ejus pote$tates $ive puræ, $ive quocunque modo affectæ eodem modo componitur è pri- mis, quo è $ecundis terminis convergentibus, quæ (in A- nalyticis exhibitæ) erunt æquales quantitates eodem modo Analyticè compo$itæ ex primis, quo ex $ecundis terminis convergentibus; quod e$t ab$urdum, nempe contra _Prop_. 11. admi$lam. Sen$us igitur integer _Prop_. 11. e$t Hoc Pro- blema (_E datis duobus polygonis complicatis, invenire Se-_ _ctorem $ive Circularem $ive Hyperbolicum ab illis determi-_ _natum_) non pote$t reduci ad ullam æquationem Analyticam.

In comparatione _Hugeniana_ inter no$tras methodos, a- gno$co, meas approximationes prop. 20. & 21. ea$dem e$$e cum _Hugenianis_, $ed methodo mihi peculiari demon$tratas. At meam approximationem in fine _prop_. 25. non percipere videtur _Hugenius_; aliam interim $ibi fingit: hanc primò meam non e$$e probat, deinde tamen eam cum $ua compa- rat, victoriaque potitur. Sed lentè hic fe$tinandum.

Sit _a_ Polygonum, Circulo vel $ectori in$criptum, _c_ Po- lygonum in$criptum duplo plura habens latera, _d_ autem $it Polygonum circum$criptum $imile ip$i _c_. Ex 20. _prop_. Sector e$t major quam {4_c_ - _a_;/3} & ex 21. Sector e$t minor quam {2_d_ + _c_/3}, inter quos terminos $it maximus quatuor continuè proportionalium {8_d_ + 8_c_-_a_/15}, nempe no$tra approximatio@ quam rigidi$$imis _Hugenii_ cen$uris $ubjicio. Hallucinatur au- tem _Hugenius_, quod Polygona _a_ & _d_ $imilia $umeret, cum debeant e$$e _c_ & _d_, quæ duplò plura habent latera. Ne autem dicat, factam e$$e à me correctionem, con$ideret hanc approximationem non $olum verbis _prop_. 25. $ed & praxi _prop_. 30. e$$e con$onam, ubi approximationem _prop_. 21. ex ultimis $imilibus Polygonis con$truo: ridiculum enim e$$et, illam è penultimis minus præci$am dare, cum eadem [0201]SUPER HUGENII EXCEPT. opera detur magis præci$a ex ultimis. At miror, cum _Hu-_ _genius_ incidi$$et in meam _Hyperbolæ_ approximationem, quod eam non potuerit _Circulo_ applicare; Nam in Hyperbola ab$- que dubio 24 _prop_. approximationem ex ultimis $imilibus polygonis con$truxit: Omnis enim ad _Circulum_ approxi- matio ex polygonis deducta, _Hyperbolæ_ e$t etiam applica- bilis, & vice ver$a. Sed hoc non videtur animadvert<007>$$e _Hu-_ _genius_; alioqui in fine fuarum Animadver$ionum non pro- mitteret talem Hyperbolicam approximationem, de cujus applicatione ad Circulum nihil dicit. Quæ autem illic affir- mat ($i de $emet loquitur in plurali) tran$eant; $i verò etiam de me adeo fidenter $ibi per$uadeat, falli ip$um putem, cum hæc eadem quadratura, de qua loquitur, antequam ab eo videretur, ad laboris dimidium à me $it reducta.

Ne autem _Hugenii_ praxis geometrica minus peritis videa- tur no$tram $upera$$e, ex no$tra approximatione, ab _Hu-_ _genio_ rejecta, $equentem praxin exhibebo.

In fig. _Hugeniana_ $it A C = A, A B C = B, $itque TAB. XLIV. fig. 3. A + B: B :: 2B: C_;_ eritque {8C + 8B - A/15} major, quam arcus A B C; differentia autem, in $emi-circumferen- tia minor erit quàm ip$ius {1/3500}, in triente minor quam ip$ius {1/40000}, & in quadrante minor quam ip$ius {1/300000}. Sed quo- niam præcedens approximatio major e$t quàm arcus, aliam addamus eodem minorem. Sit A:B::B:D; {12 C + 4 B - D/15} minor erit quam arcus A B C_;_ differentia autem in $emi-cir- cumferentia minor erit quam ip$ius {1/1000}, & in quadrante minor quam ip$ius {1/60000}, inter has approximationes $it maxi- ma, penultima $ex continuè Arithmeticè proportionalium, quæ minor erit quàm arcus, differentia autem in $emi-cir- cumferentia minor erit quam eju$dem {1/23000}, & in quadrante [0202]J. GREG. CONS. SUPER HUG. EXCEPT. minor quam eju$dem {1/3000000}. Sed hæc levia mihi videntur, cum po$$im Approximationes exhibere, quæ ab ip$a $emi-circumferentia differant minori intervallo, quam quæ- libet ejus pars a$$ignata, neque nobis amplius apparent hæc mirabilia, cum demon$tratio $olida innote$cat. Ad reliqua ab _Hugenio_ publicata, cum à meo in$tituto $int aliena, n<007>hil dico, ni$i quod ip$a Hugenii dicta (non ob$tante exacti$$i- ma $ua, ut ait, materiæ hujus examinatione) à meæ _Ap-_ _pendiculæ_ factis ni fallor, longè $uperentur. Vale. _Decemb_. 15. 1668.

Figura _Hugenii_ hæc e$t, quam ip$e hoc $en$u, licet Gal- licè, $ic expl<007>cat. Sit Arcus Circuli, qui non excedat $emicir- cumferentiam, A B C, cujus $ubten$a $it A C, & dividan- tur ambo in partes æquales per lineam B D. Ducta $ubten$a A B, capias inde {2/3}, ea$que jungas inde ab A ad E in linea C A protracta. Dein, re$ecta lineæ D E parte decima E F, ducas F B, & tandem B G, ip$i perpendicularem: & habe- bis lineam A G æqualem Arcui A B C, cujus exce$$us tantil- lus erit, ut etiam tunc, quando hic arcus æqualis erit $emi- circumferentiæ Circuli, futura non $it differentia {1/3400} $uæ longitudinis; at quando non e$t ni$i tertiæ partis circumfe- ferentiæ, differentia non erit {1/13000}; & $i non $it ni$i quar- tæ partis, non differet ni$i {1/90000}, $uæ longitudinis.

FINIS. [0203] CHRISTIANI HUGENII GEOMETRICA VARIA. Tom. II. _Ppp_ [0204] [0205] I. CONSTRUCTIO LOCI AD HYPERBOLAM PER ASYMPTOTOS.

In æquatione loci ad hyperbolam, $i neutra indeter- TAB. XLIV. fig. 4. 5. 6. 7. minatarum linearum in $eip$am ducta inveniatur, velut $i $it _xy_ = _bb_; vel _xy_ = _cx. bb_; (literis _x_ & _y_ lineas indeterminatas A B, B C $ignificantibus, quæ in dato angulo $ibi mutuò $int applicatæ, quarumque al- tera, ut A B, po$itione data intelligitur, & in ea datum pun- ctum A) con$tructio per a$ymptotorum inventionem facilè ab$olvitur, ut o$ten$um e$t à _Fl. de Beaune_ in Notis ad Geo- metriam Carte$ii. Cum verò habetur _x x_ vel _y y_ in æquatio- ne, vel utrumque nihilominus ad a$ymptotos rem deduci po$$e, & quidem brevius quàm ad diametri laterumque re- cti & transver$i inventionem, o$tendemus hoc modo.

Sit æquatio eju$modi reducta, _y_ = _l_. {_nx_/_z_} _mm.ox_ + {_ppxx_;/_gg_} $emper enim ad hos terminos reduci pote$t, nempe ut _y_ al- tera linearum indeterminatarum, quæ applicata e$t ad po$i- tionem datam, $ola ab una parte æquationis habeatur, ab alte- ra verò non plures termini quàm hîc inveniantur; nam $æ- pe pauciores etiam e$$e po$$unt, cum $oli nece$$arii $int + {_ppxx_/_gg_} cum alterutro horum _mm_ vel _ox_.

Quum angulus A B C datus $it, ducatur per A punctum linea X Y quæ $it rectæ B C parallela, & in ea accipiatur AI æqualis _l_, idque ad partes B C, $i habeatur + _l_ in æquatio- ne, in contrarias verò $i habeatur — _l_, & agatur I K pa- [0206]CHRIST. HUGENII rallela A B. Si verò non habeatur omnino _l_, recta I K in A B incidere intelligenda e$t.

Deinde $icut _z_ ad _n_, quæ ratio data, ita $it I K ad libi- tum $umpta, ad K L; quæ ip$i A I parallela ducendae$t, $u- mendaque hoc pacto, ut puncta K L $ita $int quo ordinc A I, $i habeatur + {_nx_/_z_}, at contrà $i habeatur - {_nx_/_z_}, & du- catur recta per IL; $i verò de$it {_nx_/_z_}, eadem e$t I L & I K.

Porro ut _p_ ad _g_, ita $it {1/2}_o_ ad $ingulas IX, I Y $umendas in recta A I; atque ita quoque I X ad I V $umendam in I K ad partes A B $i habeatur - _o x_, aut in contrarias $i habea- tur + _ox_; & $it V M parallela A I, occurratque rectæ I L in M: erit jam M centrum hyperbolæ quæ$itæ a$ymptoti vero, rectæ per M X, M Y ductæ.

Si vero non habeatur _o x_ in æquatione, erit I centrum hy- perbolæ; $umptisque I X, I Y ad libitum $ed inter $e æqua- libus, inventi$que inde punctis V & M, ut ante, ducentur a$ymptoti per I parallelæ ip$is M X, M Y.

Jam porro $i habeatur + _mm_, puncta S & R, per quæ hyperbola vel oppo$itæ $ectiones tran$ire debent, inven<007>en- tur $umendo in recta A I à puncto I, $ingulas I S, I R æqua- les _m_: unde jam hyperbola data erit ac de$cribi poterit, in qua B C erit ordinatim applicata ad diametrum, $i {{1/2}_og_/_z_} ma- jor quam _m_; $in verò {{1/2}_og_/_p_} minor quam _m_, erit B C paralle- la diametro hyperbolæ ad quam e$t C punctum, ut hic ca$u $ecundo. Quod $i forte punctum S incidat in X, locus puncti C, erunt ip$æ a$ymptoti. Si verò non habeatur _mm_, erit ip$um I punctum in hyperbola quæ$ita.

At $i habeatur — _mm_, accommodanda e$t intra angu- lum X M I recta G N parallela I X, quæque po$$it quadrata @b I X & I S, vel tantum ip$i I S æqualis, $i non habeatur [0207]GEOMET. VARIA. _o x_; eritque punctum N in hyperbola quæ$ita, quæ proin- de rur$us data erit.

Sumpta enim in ca$u primo A B = _x_ ad arbitrium, eique fig. 4. applicata B C = _y_ in angulo dato, quæ ad hyperbolam in- ventam terminetur, o$tendendum $it quod

_y_ = _l_ - {_nx_/_z_} + _mm_ - _ox_ + {_ppxx_./_gg_}

DEMONSTRATIO.

Occurrat B C utrinque $i opus $it producta, a$ymptotis in O & Q. Ex con$tructione e$t I X vel I Y = {{1/2}_og_/_p_}, I V = {{1/2}_ogg_/_pp_}, Ratio verò data I K ad K L, eadem nempe quæ _z_ ad _n_. Sed & angulus I K L datus e$t. Ergo & ra- tio I K ad I L, quæ $it ea quæ _z_ ad _a_. Ergo quia ut I K ad I L ita I V ad I M, erit I M = {{1/2}_aogg_/_zpp_}. Ut autem I M ad IX, hoc e$t ut {{1/2}_aogg_/_zpp_} ad {{1/2}_go_/_p_}, $ive ut _ag_ ad _pz_, ita M L, $ive M I minus I L, hoc e$t, {{1/2}_aogg_}_zpp_ - {_ax_/_z_} ad L O vel L Q; quæ itaque erit {{1/2}_og_/_p_} - {_px_/_g_}. Porro quia B K = _l_, & L K = {_nx_/_z_}, erit B L = _l_ - {_nx_/_z_}, quà ablatâ à B C=_y_, fit L C = _y_ - _l_ + {_nx_/_z_}. Propter hyperbolam verò erit rectangulum Q C O æquale rectangulo Y S X. Sed rectangulum Q C O æquale e$t quadrato L O minus quadrato L C, hoc e$t quadrato ab {{1/2}_go_/_p_} - {_px_/_g_} minus quadrato ab _y_ - _l_ + {_nx_/_z_}: quorum quadra- [0208]CHRIST. HUGENII torum differentia e$t {{1/4}_ggoo_/_pp_} - _ox_ + {_ppxx_/_gg_} - _yy_ + 2 _ly_ - _ll_ + {2_nxy_/_z_} + {2_lnx_/_z_} - {_nnxx_/_zz_}. Ergo hæc æquatur rectangulo Y S X, hoc e$t quadrato I X minus quadrato I S, hoc e$t {{1/4}_ggoo_/_pp_} - _mm_; quia I X = {{1/2}_go_/_p_} & I S = _m_. In qua æqua- tione deleto utrinque {{1/4}_ggoo_/_pp_}, invenietur _y_ = _l_ - {_nx_/_z_} + _mm_ - _ox_ + {_ppxx_/_gg_}, ut oportebat.

In Secundo calu rectangulum Q C O æquatur quadrato _fig_. 5. L C minus quadrato L O; & rectangulum Y S X quadrato I S minus quadrato I X. Unde rur$us valor Y idem qui ca- $u primo invenietur.

Sit tertius ca$us quo habeatur - _mm_, $itque æquatio _y_ = _l_ - {_nx_/_z_} + - _mm_ + _ox_ + {_ppxx_/_gg_}, producta GN occurrat al- teri a$ymptoto in D. Hîc jam eadem ratione qua prius, ap- parebit L O vel LQ e$$e {{1/2}_go_/_p_} + {_px_/_g_}, & L C = _y_ + {_nx_/_z_} - _l_. Et propter hyperbolam erit rectangulum Q C O = rectan- gulo D N G $eu quadrato N G, hoc e$t {{1/4}_ggoo_/_pp_} + _mm_, quia X I = {{1/2}_go_/_p_}, & I S = _m_, quorum quadratis æquale fecimus quadratum G N. Rectangulum autem Q C O æquatur qua- drato L O minus quadrato L C, hoce$t {{1/4}_ggoo_/_pp_} + _ox_ + {_ppxx_/_gg_} - _yy_ - {2_nxy_/_z_} — {_nnxx_/_zz_} + 2 _ly_ + {2_nlx_/_z_} - _ll_. Ergo hoc æquale {{1/4}_ggoo_/_pp_} + _mm_. In qua æquatione deleto rur$us utrin- [0209]GEOMET. VARIA. que {{1/4}_ggoo_/_pp_}, invenitur _y_ = _l_ - {_nx_/_z_} + - _mm_ + _ox_ + {_ppxx_/_gg_} Eademque e$t demon$trandi ratio in ca$u quarto, & aliis fig. 7. quibusvis, habita ratione $ignorum + & -.

Cum non habetur {_nx_/_z_} in æquatione, puncta M & V unum $unt, tunc vero $i _p_ = _g_, hoc e$t $i habeatur + _xx_ pro {_ppxx_/_gg_}, erunt $emper a$ymptoti $ibi mutuò ad angulos rectos, quia ut _p_ ad _g_, ita fecimus {1/2}_o_ ad I X & ad I Y, & ita IX ad I V_;_ fiunt enim jam æquales I X, I Y, I V, & $ingulæ = {1/2}_o_, unde punctum V e$t in $emicirculo $uper X Y & proin- de angulus X V Y rectus. Item quia I M = {{1/2}_aogg_/_zpp_}, patet quod $i _ag_ = _zp_, hoc e$t $i _g_ ad _p_ ut _z_ ad _a_, tunc erit I M = {{1/2}_og_/_p_}, ac proinde æqualis ip$i IX & IY quæ etiam erant {{1/2}_og_/_p_}. Adeoque hoc ca$u erunt a$ymptoti $ibi mutuo ad angu- los rectos; cum rur$us punctum M $it futurum in circumfe- rentia circuli de$cripti $uper X Y centro I.

[0210]CHRIST. HUGENII II. DEMONSTRATIO REGULÆ DE MAXIMIS ET MINIMIS.

Ad inve$tiganda Maxima & Minima in Geometricis quæ- $tionibus, regulam certam primus, quod $ciam, Fer- mat<007>us adhibuit: cujus originem ab ip$o non traditam cum exquirerem, inveni $imul quo pacto ea ip$a regula ad mira- bilem brevitatem perduci po$$et, utque inde eadem illa exi$te- ret quam po$tea vir ampl<007>$$imus Joh. Huddenius dederat, tan- quam partem regulæ $uæ generalioris atque eleganti$$imæ, quæ ab alio pror$us principio pendet. Hæc à Fr. Schote- nio edita e$t unà cum Carte$ianis de Geometria libris. Fer- matianæ autem regulæ examen quod in$titui e$t huju$- modi.

Quoties Maximum aut Minimum in problemate aliquo de- TAB. XLV. fig. 1. terminandum proponitur, certum e$t utrinque æqualitatis ca$um exi$tere: ut $i data $it po$itione recta E D & puncta A, B, oporteatque invenire in E D punctum C, unde ductis C A, C B, quadrata earum $imul $umpta, $int minima quæ e$$e po$- $int; nece$$e e$t ab utraque parte puncti C, e$$e puncta G & F, à quibus ducendo rectas G A, G B; F A, F B oriatur $um- ma quadratorum G A, G B æqualis $ummæ quadratorum F A, F B, & utraque $umma major quadratis C A, C B $imul $umptis.

Ut igitur inveniam punctum C, unde ductis C A, C B fiat $umma quadratorum ab ip$is omnium minima; ductis A E, B D perpendicularibus in E D, quarum A E dicatur _a_; B D, _b_; intervallum verò E, D, _c_: f<007>ngo primùm G F, differentiam [0211] [0211a] TAB. XLIV. Fig. 2. D H A B E F G Fig. 1. E G N L O I Q P D K M H F A Fig. 3. B E F A D G C I. Casus Fig. 4. Y Q R C A B M L I K V C O S X II. Casus Fig. 5. R C Y Q A B I L M K V O X S C III. Casus Fig. 6. Q C D Y K L I N M S V B X C A G O Fig. 7. IV. Casus Q D C A B S L N X M I V Y K C G O [0212] [0213]GEOMET. VARIA. duarum E G, E F æqualem datælineæ quæ vocetur _e;_ & quæ- ro quanta futura $it E G, quam appello _x_, ut quadrata G A, G B $imul $umpta æquentur quadratis F A, F B.

Itaque quia A E = _a_, & E G = _x_, erit quadratum A G = _aa_ + _xx_. Et quia G D = _c_ - _x_, & D B = _b_, erit quadra- tum G B = _bb_ + _cc_ - 2_cx_ + _xx_, unde quadrata A G, G B $imul $umpta fient = _aa_ + _bb_ + _cc_ - 2_cx_ + 2_xx_, qui dicantur termini priores; idque $imiliter in quovis alio pro- blemate intelligendum, ubi maximum aut minimum inquiri- tur. Rurfus autem quia E F = _x_ + _e_, $i ubique in $umma quadratorum inventa $ub$tituam _x_ + _e_ pro _x_, & quadratum ab _x_ + _e_ pro _xx_, adque ita deinceps $i altior pote$tas ip$ius _x_ repc- riatur, certum e$t exorituram $ummam quadratorum F A, F B; quæ quidem er<007>t _aa_ + _bb_ + _cc_ - 2_cx_ - 2_ce_ + 2_xx_ + 4_ex_ + 2_ee_, æquanda $ummæ quadratorum A G, G B; dicantur autem hi ter- mini po$teriores.

Itaque erit _aa_ + _bb_ + _cc_ - 2_cx_ + 2_xx_ = _aa_ + _bb_ + _cc_ - 2_cx_ - 2_ce_ + 2_xx_ + 4_ex_ + 2_ee_. Ex qua æquatione prodibit valor E G $ive _x_, quando G F $ive _e_ certæ magnitudinis lineam refert.

Ponendo autem _e_ infinitè parvam, apparebit ex eadem æ- quatione quanta futura $it E G, cum ip$i E F æqualis e$t, ad- eoque habebitur determinatio quæ$ita puncti C, unde du- ctæ C A, C B faciant $ummam quadratorum minimam; nempe $ublatis primùm, $i quæ $unt, fractionibus, (quæ in hoc exemplo nullæ $unt) delentur termini qui utrin- que iidem habentur, quales $unt nece$$ariò omnes quibus litera _e_ admixta non e$t; idque facile e$t intelligere, cum dixerimus po$teriores terminos ex prioribus de$cribi, po- nendo _x + e_ vel pote$tatem ejus, quoties invenitur _x_ vel po- te$tas ejus aliqua in prioribus. Deinde omnes termini per _e_ dividuntur, quibu$que po$t eam divi$ionem adhuc unum _e_ aut plura ine$$e inveniuntur, 11 delentur, quippe cum quantitates inf<007>nitè parvas contineant re$pectu cæterorum terminorum quibus nullum amplius ine$t _e_. Ex quibus de- nique $olis invenitur quantitas _x_ quæ$ita in ca$u determina- Tom.II. _Qqq_ [0214]CHRIST. HUGENII tionis propo$ito; & hæc e$t ratio methodi Fermatianæ, quâ in compendium redactâ hanc aliam inveni, cujus partes duæ $unt. Nam primò,

Quando termini, quosmaximum aut minimum de$igna- re volumus, nullam fractionem habent, in cujus deno- minatore quantitas incognita quæ$ita continetur; multi- plicandus e$t terminus qui$que per numerum dimen$ionum, quem in illo habet quantitas incognita, omi$$is terminis iis in quibus incognita quantitas non reperitur; omniaque illa producta æquanda nihilo.

Ita in exemplo propo$ito, ubi termini priores in- venti $unt _aa_ + _bb_ + _cc_ - 2_cx_ + 2_xx_, $ummam duorum quadratorum continentes, quam volo e$$e mi- nimam; tantummodo huju$modi in$tituenda erit multipli- catio, {_aa_ + _bb_ + _cc_ - 2_cx_ + 2_xx_ 1 2/ Ex qua orientur termini æquandi nihilo - 2_cx_ + 4_xx_ = _0_};

Unde fit # {1/2} _c_ = _x_.

Ita quoque $i priores termini $int 3_ax_<#>3 - _bx_<#>3 - {2_bba_<#>2/2_c_} _x_ + _ab<#>2_, multiplicatio erit huju$modi # 3 # 3 # 1 Unde termini æquandi nihilo {9_ax_<#>3 - 3_bx_<#>3 - {2_bba_<#>2/3_c_} _x_ = _0_/ 9_axx_ - 3_bxx_ - {2_bba_<#>2/3_c_} = _0_}.

Hujus compendii ratio ut intelligatur, $ciendum primò, quoniam termini po$ter ores ex prioribus de$cribuntur, po- nendo tantum ubique _x_ + _e_ pro _x_, nece$$ariò omnes ter- minos priores etiam <007>n po$terioribus reperiri; ideoque illos [0215]GEOMET. VARIA. nihil opus e$$e de$cribi, cum utrobique mox delendi forent, atque adeo illos tantum $cribendos in quibus unum _e_ vel plu- ra in$unt, ut in exemplo no$tro - 2_ce_ + 4_ex_ + 2_ee_; eo$- que æquandos nihilo. Sed etiam illos quibus plura quam u- num _e_ inerunt, $cribi $ru$tra apparet, cum divi$ione facta per _e_ delendos po$tea con$tet, ut paulò ante diximus. Ita- que nulli præterea ab initio de$cribendi inter terminos po$te- riores quam quibus inerit _e_ $implex.

Hi autem termini ex terminis prioribus facilè deducuntur, cum con$tet nihil aliud e$$e quam $ecundos terminos pote$ta- tum ab _x_ + _e_, quia cæteri omnes plura quam unum _e_ vel nullum habent. Adeo ut ubicunque in prioribus terminis habe- tur _x_, $cribendum $it in po$terioribus _e_; & ubi habe- tur _xx_ in prioribus, ponendum 2_ex_ in po$terioribus; & ubi _x<#>3_ in prioribus, in po$terioribus 3_exx_, atque ita deinceps. Dicti autem termini $ecundi cuju$que pote$tatis _x_ + _e_ exip$a pote$tate _x_ facilè de$cribuntur mutando unum _x_ in _e_, & præponendo numerum dimen$ionum ip$ius _x_, ita enim ab _xx_ fit 2_ex_, & ab _x<#>3_, 3_exx_; atque in cæteris pari modo. Itaque ex terminis prioribus in quibus _x_, quos $olos con$i- derandos e$$e patuit, facilè etiam termini po$teriores, ii quos nihilo adæquandos diximus, de$cribuntur; multipli- cando tantum $ingulos in numerum dimen$ionum quas in ip$is habet _x_. Nam mutare unum _x_ in _e_ ne quidem opus e$t, cum eodem redeat, $ive omnes po$tea per _e_ $ive per _x_ dividan- tur, & ex his quidem aperta e$t ratio compendii ad primam partem regulæ pertinentis: nunc ad alteram veniamus quæ e$t huju$modi.

Si termini quos maximum aut minimum de$ignare volu- mus fractiones habeant in quarum denominatore occurrat quantitas incognita, delendæ primùm $unt quantitates co- gnitæ $i quæ ad$int; deinde $i reliquæ quantitates non ha- beant eundem denominatorem, eò reducendæ $unt. Tunc termini $inguli numeratorem fractionis con$tituentes, du- cendi in terminos $ingulos denominatoris, productaque $ingula multipla $umenda $ecundum numerum quo dimen- [0216]CHRIST. HUGENII $iones quantitatis incognitæ in termino numeratoris diffe- runt à dimen$ion<007>bus eju$dem incognitæ quantitatis in ter- mino denominatoris. Signa autem affectionis productis $ingulis præponenda qualia lex multiplicationis exigit, quo- ties dimen$iones quantitatis incognitæ plures $unt in termi- no numeratoris quam in termino denominatoris: at quo- ties contra evenit, contraria quoque $igna productis præ- ponenda; quæ denique omnia æquanda nihilo.

Sint, exempli gratiâ, inventi termini priores, quos maxi- mum de$ignare velimus, i$ti {_bx_<#>3 - _ccxx_ - 2_bccx_/_bcc_ + _x_<#>3}, ubi nul- la e$t quantitas cognita. Hîc ergo, $ecundum regulam, multi- plico terminos omnes numeratoris primum per _bcc_, prioris- que producti ex _bx_<#>3 in _bcc_, $cribo triplum, quia _bx_<#>3 ha- bet tres dimen$iones quantitatis incognitæ _x_, _bcc_ verò nullam. Secundi producti ex - _ccxx_ in _bcc_ $cr<007>bo duplum, propterea quod in - _ccxx_ duæ $unt dimen$iones _x_, & in _bcc_ nulla. Tertium verò productum ex - 2_bccx_ in _bcc_ $cri- bo $implex, quia in - 2_bccx_ & _bcc_ differentia dimen$ionum _x_ e$t unitas. Tribus autem hi$ce productis vera $igna af- fectionis ad$cribo, quoniam dimen$iones _x_ in terminis nu- meratoris excedunt eas quæ in termino _bcc_, quippe quæ nullæ $unt, ita ut tria hæc producta $int 3_bbccx_<#>3 - 2_bc<#>4xx_ - 2_bbc<#>4x_.

Jam porrò terminos omnes eo$dem numeratoris duco in _x_<#>3, terminum alterum denominatoris, primumque productum ex _bx_<#>3 in _x_<#>3 $cribere omitto, $ive per _0_ multiplico, quoniam eædem dimen$iones utrobique $unt ip$ius _x_, ideoque diffe- rentia nulla. Secundum autem productum ex - _ccxx_ in _x_<#>3 $cribo $implex, quia in his terminis differentia dimen$io- num _x_ e$t unitas. At tertium productum ex - 2_bccx_ in _x_<#>3 $cribo duplum, quia differentia dimen$ionum _x_ in his e$t 2. Signa verò affectionis productis hi$ce duobus ad$cribo contraria iis quæ requireret lex multiplicationis, eo quod di- [0217]GEOMET. VARIA. men$iones _x_ pauciores $unt utrobique in terminis numerato- ris quam in _x_<#>3, termino denominatoris.

Itaque producta bina erunt hæc + _ccx_<#>5 + 4_bccx_<#>4_;_ quæ ad- dita tribus præcedentibus + 3_bbccx_<#>3 - 2_bc_<#>4_xx_ - 2_bbcx_<#>4, faciunt $ummam æquandam nihilo _ccx_<#>5 + 4_bccx_<#>4 + 3_bbccx_<#>3 - 2_bc_<#>4xx - 2_bbc_<#>4_x_ = _0;_ qua æquatione divi$a per _ccbx_ + _ccxx_, fit _x_<#>3 + 3_bxx_ - 2_bcc_ = _0_.

Quomodo autem ad hæc perventum $it uno exemplo rur- $us explicabimus, ex quo eandem in omnibus cæter<007>s ratio- nem e$$e intelligetur. Videamus igitur priores terminos quos modò propo$ueram, nempe {_bx_<#>3 - _ccxx_ - 2_bccx_/_bcc_ + _x_<#>3}; ex qui- bus $i alios quibu$cum eos comparem, ut initio factum e$t, de$cribere velim, ponendo ubique _x_ + _e_ ubi e$t _x;_ video quidem primò omnes illos in po$terioribus terminis po$$e ne- gligi in quibus plura quam unum _e_ inerit, quia $emper ex iis quantitates orientur in quibus plura uno _e_ inerunt, quæque proinde delendæ tandem erunt, ob cau$am in $uper<007>oribus traditam.

Itaque erunt termini priores æquandi po$terioribus {_bx_<#>3 - _ccxx_ - 2_bccx_, {_bx_<#>3 - _ccxx_ - 2_bccx_/_bcc_ + _x_<#>3} = {+ 3_bexx_ - 2_ccex_ - 2_bcce_,/_bcc_ + _x_<#>3 + 3_exx_} qui nempe ex prioribus hac lege de$cripti $unt, ut ubicun- que e$t _x_ vel pote$tas ejus in prioribus, ibi ponatur _x_ + _e_ vel pote$tatis _x_ + _e_ duo priores termini; quoniam $cimus in cæteris plura quam unum _e_ contineri.

Jam verò porrò, quia termini in quibus nullum _e_ in nu- meratore ac denominatore priorum ac po$teriorum termi- norum, iidem planè reperiuntur, patet multiplicationes al- ternas eorum terminorum denominatoris in terminos nu- [0218]CHRIST. HUGENII meratoris partis alterius _e_ carentes, omitti po$$e, cum quan- titates inde ortæ eædem utrinque e$$ent futuræ ideoque de- lendæ. Quare in terminis po$terioribus ii tantum ab ini- tio $cribendi erant in quibus unum _e_, omi$$is omnibus reli- quis, ut æquatio hîc futura $it i$ta {_bx_<#>3 - _ccxx_ - 2_bccx_/_bcc_ + _x_<#>3} = {3_bexx_ - 2_ccex_ - 2_bcce_/3_exx_}

Hîc jam multiplicationes alternæ per denominatores in- $tituendæ e$$ent ad tollendas fractiones. Verum examinan- do diligentius quænam futura $int harum multiplicationum producta, aliud adhuc compendium inveniemus, & nec $cribendos quidem omnino e$$e terminos po$teriores: quia enim de$cribuntur ex prioribus mutato _x_ in _e_, præpo$ito- que numero dimen$ionum ip$ius _x_, non difficile e$t col- ligere ex $olis terminis prioribus quænam futura $int i$ta omnia producta.

Ita quoniam propter - _ccxx_ in prioribus, habetur - 2_ccex_ in po$terioribus; & propter _x_<#>3 in denominatore prio- rum, in po$teriorum denominatore e$t 3_exx_; facile per- $picitur utraque producta ex - _ccxx_ in 3_exx_ & ex - 2_ccex_ in _x_<#>3, quæ $unt - 3_ccex_<#>4 & - 2_ccex_<#>4, ea$dem literas habitura, $ed diver$os numeros præpo$itos 3 & 2, idque inde fieri quòd in termino _ccxx_ unam dimen$io- nem minus habeat _x_ quam in termino _x_<#>3. Itaque & au- ferendo po$tea ex utraque parte æquationis, - 2_ccex_<#>4, ap- paret $uperfuturum - _ccex_<#>4 à parte terminorum priorum. Quare ab initio hoc $ciri pote$t, multiplicando tantum in terminis prioribus - _ccxx_ numeratoris in _x_<#>3 denomina- toris, unumque _x_ in _e_ mutando, ac productum $implex $cri- bendo; quia differentia dimen$ionum _x_ in i$tis duobus ter- minis e$t unitas.

Eadem ratione producta ex - 2_bccx_ in 3_exx_, & ex - 2_bcce_ in _x_<#>3, quæ ea$dem literas habent, $unt enim - 6_bccex_<#>3 & - 2_bccex_<#>3, habebunt numeros præpo$itos di- [0219]CEOMET. VARIA ver$os, propterea quod in - 2_bccx_ una tantum e$t dimen- $io _x_; at in _x_<#>3 tres, unde ablato ex utraque parte æqua- tionis - 2_bccex_<#>3, $cio $uperfuturum à parte terminorum priorum - 4_bccex_<#>3: quod rur$us ab initio cogno$ci po- tuit, quia eadem quant<007>tas oritur, multiplicando - 2_bccx_ numeratoris terminorum priorum, in _x_<#>3 denominatoris, mutandoque unum _x_ in _e_, & productum multiplicando per 2, quæ e$t differentia dimen$ionum _x_ in terminis - 2_bccx_ & _x_<#>3.

At quoniam in _bx_<#>3 & in _x_<#>3 eadem e$t dimen$io _x_, $equetur producta ex _bx_<#>3 in 3_exx_, & ex 3_bexx_ in _x_<#>3, tum literas ea$dem, tum eo$dem numeros præpo$itos ha- bitura, ideoque $e$e mutuo $ublatura, ut proinde multi- plicatio illa omitti po$$it.

Atque huju$modi animadver$ionibus inventum e$t quod in regula præcipitur, terminos $ingulos numeratoris in $ingu- los denominatoris terminos e$$e ducendos, productaque quæ- libet multipla $umenda $ecundum differentiam dimen$ionum quantitatis incognitæ in terminis binis qui in $e mutuò ducun- tur. Nam quod non præcipitur unum _x_ in _e_ mutandum, id hanc rationem habet, quod non referat utrum po$tea per _e_ an per _x_ omnes termini dividantur.

Quod vero $i $igna affectionis vera productis $ingulis præ- ponenda dicuntur, quoties dimen$iones _x_ plures $unt in nu- meratore quam in denominatore, id quoque ex jam dictis in- telligetur; uti con$equenter etiam hoc quod contraria $igna $unt adponenda, quoties dimen$ionum numerus contra $e habet. Velut hîc, productum ex _bx_<#>3 in _bcc_ $cribendum e$t cum $igno - præpo$ito numero 3, ut fiat - 3_bbccx_<#>3, quia nempe propter _bx_<#>3 $cimus in po$terioribus terminis fore 3_bexx_; quod ductum in _bcc_ faciet + 3_bbccexx_, $ed tran$latum in partem priorem æquationis, fiet - 3_bbccexx_; $ive, non mutato _x_ in _e_, - 3_bbccx_<#>3.

Quod denique in regula habetur, quoties in prioribus ter- minis priusquam ad eundem denominatorem reducantur, quantitates cognitæ occurrunt eas primum omnium delendas, [0220]CHRIST. HUGENII id ex hoc $equenti exemplo intelligetur rectè præcipi. Sint enim reperti termini priores, quos maximum aut mini- mum de$ignare oporteat, i$ti {_x_<#>3/2_a_ - _x_} - 2_vx_ + _xx_ + _vv_; ubi _vv_ quantitatem cognitam $ignificet: id igitur delendum e$$e ut appareat, videamus quid futurum $it $i non delea- tur. Nempe ut ad eundem denominatorem cum cæteris omnibus reducatur, ducendum erit _vv_ in 2_a_ - _x_, fietque inde {2_avv_ - _xvv_/2_a_ - _x_} in terminis prioribus. Propter quos in terminis po$terioribus, $ecundum $uperius, explicata $cribetur {- _evv_/- _e_}, adeoque multiplicatione alternatim utrinque per denominatores in$tituta, ducendum erit hinc 2_a_ - _x_ in - _evv_; inde - _e_ in 2_avv_ - _xvv_. Ex quibus multiplica- tionibus eo$dem utrinque terminos oriri nece$$e e$t, cum utrobique eadem hæc tria in $e mutuo ducantur 2_a_ - _x_ in - _e_ in _vv_, qui proinde termini $e $e mutuo $ublaturi e$$ent, eoque fru$tra $criberentur; ac proinde liquet tuto deleri po$$e ab initio quantitatem _vv_, idemque quod in hoc exem- plo accidit, nece$$ario quoque in quibuslibet aliis continge- re, d<007>l<007>genter <007>ntuent<007> man<007>fe$tum er<007>t.

III. REGULA Ad inveniendas Tangentes linearum curvarum.

IDem _Fermatius_ l<007>nearum curvarum Tangentes regula $ibi peculiari inquirebat, quam _Carte$ius_ $u$picabatur non $a- tis ip$um intelligere quo fundamento niteretur, ut ex epi$to- lis ejus hac de re $cr<007>ptis apparet. Sanè in _Fermatii_ operi- bus po$t mortem editis, ncc bene expo$itus e$t regulæ u$us, nec demon$trationem ullam adjectam habet. _Carte$ium_ ve- ro in his quas dixi literis, rationem ejus aliquatenus a$$ecu- tum <007>nvenio, nec tamen tam per$picuè eam explicui$$e quam [0221]GEOMET. VARIA. per hæc quæ nunc trademus fiet, quæ jam olim, multò an- te i$tas literas vulgatas con$crip$imus.

Præcipuum verò operæ pretium tunc fuit compendio$a hu- ju$ce regulæ contractio, quam, quoad potui, pro$ecutus, tandem in ip$as illas in$ignes Huddenii, Slu$iique regulas de$inere inveni, quas mihi Viri h<007> Clari$$imi uterque ferè eo- dem tempore exhibuerant: an vero hac eadem viâ an aliâ in illas inciderint nondum mihi compertum.

Sit data linea curva ut B C, quæ cognitam relationem ha- TAB. XLV. fig. 2. beat ad rectam aliquam po$itione datam A F; ac proinde ap- plicatâ è puncto quolibet curvæ, ut B, rectâ B F, in dato angulo B F A, datoque in recta A F puncto A, certa æqua- tione relatio quæ e$t inter A F & F B expre$$a habeatur. Ex- empli gratiâ, appellando A F, _x_; F B, _y_, $it æquatio _x_<#>3 = _xya_ - _y_<#>3, ubi _a_ lineam quandam datam $ignificare cen- $enda e$t.

Quod $i jam ad punctum B tangens ducenda $it B E, quæ occurrat rectæ A F in E, voceturque F E, _z_, ejus longitu- do per hanc regulam Fermatianæ regulæ compendiariam, in- venietur, ex $ola æquatione data.

Tran$lat<007>s terminis omnibus æquationis datæ ad unam æqua- tionis partem, qui proinde æquales fiunt nihilo, multiplicen- tur primò termini $inguli, in quibus reperitur _y_, per nume- rum dimen$ionum quas in ip$is habet _y_, atque ea erit quan- titas dividenda. Deinde $imiliter termini $inguli in quibus _x_, multiplicentur per numerum dimen$ionum quas in ip$is habet _x_, & è $ingulis unum _x_ tollatur; atque hæc quantitas pro divi$o- re erit $ub$cribenda quantitati dividendæ jam inventæ. Quo fa- cto habebitur quantitas æqualis _z_ $ive F E. Signa autem + & - eadem ubique retinenda $unt; atque etiam $i forte quantitas di- vi$oris, vel dividenda, vel utraque minor nihilo $ive negata $it, tamen tanquam adfirmatæ $unt con$iderandæ: hoc tantum ob$ervando, ut cum altera adfirmata e$t, altera negata, tunc F E $umatur ver$us punctum A, cum verò utraque vel affir- mata e$t vel negata, ut tunc $umatur F E in partem contra- riam.

Tom. II. _Rrr_ [0222]CHRIST. HUGENII

In curvâ propo$ita cujus æquatio _x_<#>3 + _y_<#>3 - _axy_ = _0_, fiet $ecundum hanc regulam dividenda quantitas 3_y_<#>3 - _axy_, divi$or verò 3_xx_ - _ay_; ideoque _z_ = {3_y_<#>3 - _axy_/3_xx_ - _ay_}, quæ e$t longitudo cognita, cum dentur _x, y_ & _a_.

E$to item alia curva A B H, cujus æquatio _axx_ - _x_<#>3 - TAB. XLV. fig. 3. _qqy_ = _0_, po$ito $cilicet _a_ & _q_ e$$e lineas datas, A F vero = _x_, F B = _y_. Sit B E tangens, & F E dicatur ut ante, _z_. Hîc fiet $ecundum regulam, dividenda quantitas - _qqy;_ divi$or autem 2_ax_ - 3_xx_; unde _z_ = {- _qqy_/2_ax_ - 3_xx_} Ubi cum dividenda quantitas $it negata, $i fuerit etiam divi$or minor nihilo, hoc e$t $i 2_a_ minor quam 3_x_, erit _z_ $ive _fe_ $umen- da in partem ab A aver$am. Si vero 2_a_ major quam 3_x_, $u- menda erit F E ver$us A, ex præcepto regulæ.

Horum vero rationem, ip$iu$que regulæ & compendii quò TAB. XLV. fig. 4. reducta e$t, originem ut explicemus, proponatur ut ante curva B C, ad cujus punctum B tangens ducenda $it.

Intelligatur primum recta E B D, quæ non tangat curvam $ed eam $ecet in B, atque item in alio puncto D, ip$i B proximo; rectæ autem A G occurrat in E; & ab utri$que punctis B, D ducantur ad rectam A G, ii$dem angulis in- clinatæ B F, D G; & $it A F = _x_, F B = _y_, $icut antea; ponatur que etiam F G data e$$e, quæ $it _e_, quæraturque F E = _z_.

E$t itaque $icut E F ad F B, hoc e$t, $icut _z_ ad _y_, ita E G, hoc e$t, _z_ + _e_ ad G D; quæ erit _y_ + {_ey_/_z_}; & hoc quidem in qualibet curva ita $e habere manife$tum e$t.

Nunc porrò con$ideretur æquatio naturam curvæ conti- nens, ex. gr. illa $uperius propo$ita _x_<#>3 + _y_<#>3 - _xya_ = _0_, ubi _a_ rectam longitudine datam, velut A H $ignif<007>cabat; & patet, cum punctum D in curva ponatur, debere eodem mo- do duas A G, G D, hoc e$t _x_ + _e_ & _y_ + {_ey_/_z_} ad $e mutuo referri [0223]GEOMET. VARIA. atque A F, F B, hoc e$t _x_ & _y_. Nempe $i in æquatione propo$ita pro _x_ $ub$tituatur ubique _x_ + _e_, & pro _y_, ubique _y_ + {_ey_/_z_}, debebit æquatio hinc formata terminos omnes ha- bere æquales nihilo; hoc e$t _x_<#>3 + [3_exx_] + 3_eex_ + _e_<#>3, + _y_<#>3 + [{3_ey_<#>3/_z_}] + {3_eey_<#>3/_zz_} + {_e_<#>3_y_<#>3/_z_<#>3} = _0_. - _axy_ - [_aey_] - [{_aeyx_/_z_}] - {_aeey_/_z_}

In hac autem æquatione con$tat nece$$ario terminos prio- ris æquationis, ex qua formata e$t, contineri debere, nem- pe _x_<#>3 + _y_<#>3 - _axy_: qui cum $int æquales nihilo ex proprie- tate curvæ, idcirco his in æquatione deletis, nece$$e e$t etiam reliquos nihilo æquari, in quibus $ingulis manife$tum quoque e$t vel unum _e_ vel plura reperiri, ideoque omnes per _e_ divi- di po$$e. Qui autem po$t hanc divi$ionem non amplius ha- bebunt _e_, eos, neglectis reliquis, $cio nihilo æquari debe- re, quantitatemque lineæ _z_ $ive F E o$ten$uros; $i nempe B E jam tanquam tangens con$ideretur, ideoque F G, $eu _e_, infinitè parva. Nam termini in quibus adhuc _e_ $upere$t, etiam quantitates infinite parvas $ive omnino evane$centes continebunt. Et his quidem hactenus Fermatianæ regulæ origo ac ratio declaratur: nunc porro o$tendemus quomodo eadem ad tantam brevitatem perducta $it. Video itaque ex æquatione totâ novi$$imâ, tantum eos terminos $eribi nece$- $e e$$e quibus ine$t _e_ $implex, velut hic 3_exx_ + {3_ey_<#>3/_z_} - _aey_ - {_aeyx_/_z_} = _0_. Qui termini quomodo facili negotio ex datis æqua- tionis terminis _x_<#>3 + _y_<#>3 - _axy_ = _0_, de$cribi po$$int, dein- ceps explicandum. Et primò quidem apparet 3_exx_ + {3_ey_<#>3/_z_} nihil aliud e$$e quam $ecundos terminos cuborum ab [0224]CHRIST. HUGENII _x_ + _e_ & ab_y_ + {_e_/_z_} ideo $criptos quia in æquatione habentur cubi ab _x_ & _y_. Nam reliqui omnes termini cuborum, ut & quarumvis aliarum pote$tatem ab _x_ + _e_, & ab _y_ + {_ey_/_z_}, vel plura quam unum _e_ habent, vel nullum; ideoque, ut jam diximus, fru$tra $criberentur. Eâdem itaque ratione, $i aliæ pote$tates ab _x_ vel _y_ e$$ent in æquatione propo$itæ, $criben- di forent in æquatione alterâ termini $ecundi tantùm $imi- lium pote$tatum ab _x_ + _e_ & ab_y_ + {_ey_/_z_}. Notandumque $e- cundos ho$ce terminos, ex ip$is datis pote$tatibus ab _x_ & _y_, certa ratione confici_;_ nempe ex pote$tate quavis _x_, velut _x_<#>3, mutando unum _x_ in _e_, & præponendo numerum di- men$ionum ip$ius _x_: ita hîc fit 3_exx_. Ex pote$tate _y_ verò ducendo eam in {_e_/_z_} præponendoque $imiliter numerum di- men$ionum ip$ius _y:_ ita hîc ab _y_<#>3 fit {3_y_<#>3_e_/_z_}. Quorum qui- dem rationem ex pote$tatum formatione <007>ntelligere facilli- mum e$t.

Porrò propter _xy_ in termino æquationis - _axy_, facile quoque apparet quid in æquatione $ecunda $cribendum $it. Cum enim $ub$tituendum $it pro _xy_ productum ab _x_ + _e_ in _y_ + {_ey_/_z_}, $ed ea tantum $cribenda in quibus unum _e_, ideo de duo- bus _x_ + _e_ tantùm _e_ ducemus in _y_, & tantùm _x_ in {_ey_/_z_}; ad- eoque fient _ey_ + {_exy_/_z_}; quibus in _a_ ductis, præpo$itoque $i- gno -, quia habetur - _axy_, exi$tet - _aey_ - {_aexy_/_z_}, $icut $uprà.

[0225]GEOMET. VARIA.

Sic quoque $i in æquatione propo$ita haberetur _xxy_<#>3; $u- merem propter _xx_ duos priores terminos quadrati ab _x_ + _e_, nempe _xx_ + 2_ex_; & propter _y_<#>3 duos priores terminos cu- bi ab _y_ + {_ey_/_z_}, nempe _y_<#>3 + {3_ey_<#>3/_z_}; quorum productum pro _xxy_<#>3 $urrogandum. Sed etiam hîc de duobus _xx_ + 2_ex_ tan- tùm _xx_ ducendum in {3_ey_<#>3/_z_}, tantumque 2_ex_ in _y_<#>3 (nam cæ- tera vel plura quàm unum _e_ vel nullum haberent) adeo ut f<007>at {3_exxy_<#>3/_z_} + 2_exy_<#>3.

Atque ex his animadvertere licet, $emper utrumque ho- rum terminorum de$cribi po$$e ex dato termino, qui hic _xxy_<#>3, alterum quidem mutato uno _x_ in _e_, & præponendo numerum dimen$ionum ip$ius; ita enim fit 2_exy_<#>3: alterum ve- rò ducendo datum terminum in {_e_/_z_}, præponendoque $imili- ter numerum dimen$ionum ip$ius _y;_ ita enim fit {3_exxy_<#>3/_z_}. Cumque hac eadem immutatione, paulo ante, etiam $ecun- dos terminos pote$tatum ab _x_ + _e_ & ab _y_ + {_ey_/_z_} ex pote- $tatibus _x_ & _y_ æquationis datæ de$cribi o$ten$um $it, mani- fe$tum jam e$t à $ingulis terminis æquationis datæ, in quibus _x_ vel pote$tas ejus, de$cribi prædicta methodo in $ecunda æquatione totidem terminos in quibus non e$t _z_; à $ingulis verò in quibus _y_ vel pote$tas ejus, de$cribitotidem terminos, dicta etiam methodo, quarum fractionis denom<007>nator $it _z_; nec alibi hanc literam in $ecunda æquatione repertum iri.

Hoc igitur cognito, quo pacto ex æquatione quavis pro- po$ita, velut hîc _x_<#>3 + _y_<#>3 - _axy_ = _0_, alia de$cribenda $it, ut hîc 3_exx_ + {3_ey_<#>3/_z_} - _aey_ - {_aeyx_/_z_} = _0_, animadverto porro, $i termi- [0226]CHRIST. HUGENII ni divi$i per _z_ ad alteram partem æquationis transferantur, ductisque omnibus in _z_, divi$io deinde fiat per terminos in quibus initio non erat _z_, exi$tere tunc ip$am quantitatem _z_ ab una æquationis parte; uti hîc fiet _z_ = - {3_ey_<#>3 + _aeyx_/3_exx_ - _aey_}. Atque hinc intelligo ad con$equendam quantitatem _z_, po- nendos tantum eos terminos æquationis $ecundæ, qui de$cri- pti $unt ex terminis æquationis primæ in quibus _y_, $ublato tantum denominatore _z_, mutati$que $ignis + & -. Dein- de dividendo i$tos terminos per eos qui de$cripti $unt ex ter- minis æquationis primæ in quibus _x_. Porro ex omnibus, tam divi$is quàm dividentibus, patet rejici po$$e _e_, adeo ut in hoc exemplo fiat _z_ = - {_y_<#>33 + _ayx_/3_xx_ - _ay_}. Itaque rejicitur {_e/z_} ex terminis qui de$cripti $unt ab iis qui habent _y_. Sic autem de$criptos eos $uperius diximus ut ducerentur in idem {_e/z_}, præponereturque numerus dimen$ionum _y_. Itaque ni- hil requiri apparet ad terminos ho$ce (quatenus ad definien- dam quantitatem _z_ hic adhibentur) ex terminis æquationis primæ, in quibus _y_, de$cribendos, quam ut præponamus tantum iis numerum dimen$ionum quas in ip$is habet _y_, $igna- que + & - invertamus. Sic nempe ab _y_<#>3 - _axy_, de$cribetur - 3_y_<#>3 + _axy_. A terminis verò qui de$cripti $unt à terminis æ- quationis primæ in quibus _x_, cum tantum _e_ hîc rejiciendum patuerit, cumque hos ita prius de$criptos dixerimus ut unum _x_ mutaretur in _e_, præponereturque numerus dimen$ionum ip$ius _x_; apparet eos, quatenus h@c ad con$tituendum divi$o- rum adhibentur, $ic tantum de$cribi opus e$$e ex terminis pro- po$itæ æquationis in quibus _x_, ut præponatur iis numerus di- men$ionum ip$ius _x_, ac deinde unum _x_ auferatur. Sic nem- pe ab _x_<#>3 - _axy_ de$cribetur 3_x_<#>3 - _axy_; & dempto ubique _x_ uno, fiet 3_xx_ - _ay_. Atque ex his ratio regulæ ab initio po$itæ manife$ta e$t. Nam quod $igna + & - in terminis qui de$cri- buntur ab iis in quibusy, hîc immutanda diximus, in regulâ [0227]CEOMET. VARIA verò nulla omnino immutanda, id eodem redire liquet cùm quantitatem negatam, $ive minorem nihilo, tanquam affir- matam con$iderandam ibi dixerimus. Ut autem ratio ob$er- vationis ibidem adjectæ, in utram partem linea F E accipien- da $it, intelligatur, repetemus figuram in principio po$itam, TAB. XLV. fig. 5. ubi vidimus A G e$$e _x_ + _e,_ E G vero _z + e;_ unde fiebat GD + _y_ + {_ey/z_}. Si autem tangens ab altera parte lineæ B F cadere intelligatur, velut _be,_ atque hæc primùm curvam $ecare fin- gatur, ut ibi factum e$t in _d_, ducaturque _dg_ parallela _bf_; fiet ponendo rur$us _fg = e, fe = z,_ ut A _g_ quidem fiat _x + e_, $ed _eg_ erit _z - e_, unde _gd = y - {ey/z}_. Atque hinc porrò fa- cile e$t per$picere æquationem $ecundam, quæ ex propo$ita æquatione, _x_<#>3 + _y_<#>3 - _axy_ = _o_ de$cribitur, hoc ca$u fore 3_exx_ - {3_ey_3/_z_} - _aey_ + {_aeyx/z_} = _o_, termini ut nempe qui per _z_ dividuntur, habeant $igna contraria iis quæ habebant in æquatione de$cripta ca$u priori, quæ erat 3_exx_ + {3_ey_<#>3/_z_} - _aey_ - {_aeyx/z_}. Ex hac verò priori $equitur, quan- do quantitas 3_exx_ - _aey_, $ive quando 3_xx_ - _ay_ (quæ divi$o- rem con$tituit $ecundum regulam) fuerit minor nihilo, $ive ne- gata, tunc quantitatem reliquam {3_ey_<#>3/_z_} - {_aeyx/z_}; $ive etiam 3_y_<#>3 - _ayx_ (quæ quantitatem dividendam $ecundùm regulam con$tituit) e$$e affirmatam, aut cum illa e$t affirmata, hanc e$- $enegatam; quia omnes $imul æquationis termini æquantur ni- hilo. At contra ex illa æquatione 3_exx_ - {3_ey_<#>3/_z_} - _aey_ + {_aeyx/z_} = _o_, $equitur, quando quantitas 3_exx - aey_, $ive 3_xx - ay_, fuerit negata, tunc reliquam - {3_ey_<#>3/_z_} + {_aeyx/z_}, [0228]CHRIST. HUGENII $ive etiam - 3_y_<#>3 + _ayx_ e$$e affirmatam, ac proinde 3_y_<#>3 - _ayx_ e$$e negatam: aut quando 3_xx - ay_ fuerit affirmata, tunc - 3_y_<#>3 + _ayx_ e$$e negatam; ac proinde 3_y_<#>3 - _ayx_ e$$e affir- matam. Per hæc itaque apparet ex quantitatibus per regulam in- ventis, quæ erant {3_y_<#>3 - _ayx_/3_xx_ - _ay_} = _z_ judiciari po$$e ad utrum ca- $um con$tructio tangentis pertineat; nempe excomperta di$$i- militud<007>ne affectionis in divi$ore & dividendo, $equi ad prio- rem ca$um eam pertinere, hoc e$t _z_, $ive F E, accipiendam e$$e ver$us A: ex $imilitudine vero eorum affectionis $equi ad contrariam partem $umendam.

TAB. XLV. fig. 6.

Pote$t autem quantitas _z_ $ive FE per regulam inventa, non- nunquam ad $impliciores terminos reduci ope æquationis datæ, quæ naturam curvæ continet: velut in hac curva A C, axem habente A D, verticem A, cuju$que ea e$t proprietas ut, $i à puncto C in eâ $umpta, applicetur ordinatim C D, fiat pro- ductum ex cubo B D (e$t autem B punctum in axe extra cur- vam datam) in quadratum D A æquale cubo quadrato DC. Si- ve ponendo B A = _a_, B D = _x_, D C = _y_, fiat æquatio cur- væ naturam continens, i$ta _x_<#>5 - 2_ax_<#>4 + _aax_<#>3 - _y_<#>5 = _o_. Hîc ponendo CG e$$e tangentem, quæ occurrat axi in G, vocan- doque GD, _z_, fit $ecundum regulam _z_ = {- 5_y_<#>5/5_x_<#>4 - 8_ax_<#>3 + 3_aaxx_}. Quia autem ex datâ æquatione e$t _y_<#>5 = _x_<#>5 - 2_ax_<#>4 + _aax_<#>3, re- $tituendo pro 5_y_ id quod ip$i æquale e$t, fiet _z_ = {- 5_x_<#>5 + 10_ax_<#>4 - 5_aax_<#>3/5_x_<#>4 - 8_ax_<#>3 + 3_aaxx_}; $ive dividendo per _xx_, erit _z_ = {- 5_x_<#>3 + 10_axx_ - 5_aax_/5_xx_ - 8_ax_ + 3_aa_,}. Et rur$us, dividendo hanc fractionem per _x - a_, habebitur _z_ = {-5_xx_ + 5_ax_/5_x_ - 3_a_}. Quod $ignificat faciendum ut $icut B D quinquies $umpta minus B A ter, $ive ut B A bis unà cum A D quinquies ad AD quinquies, ita BD ad D G; atque ita G C tacturam in C curvam A C.

[0229] [0229a] Pag. 506. TAB. XLV. Fig. 1. C F D B Fig. 2. C B A E F Fig. 3. B _b_ F _f_ H _c_ Fig. 4. C D B A E F G H Fig. 5. C _b_ _d_ D B E F G _f_ _g_ _e_ Fig. 6. B G A C D [0230] [0231] IV. CHRISTIANI HUGENII EPISTOLA DE CURVIS QUIBUSDAM PECULIARIBUS.

MItto tibi con$tructionem Problematis, quod $ine dubio Geometris placebit, $i id cum ip$is com- municare velis, cum pulcherrimum $it, & $ingula- ria quædam contineat: accepi hoc a Marchione de l’Ho$pital, quem ex $pecimine hoc & variis aliis, in- ter $ummos no$tr<007> ævi Geometras referendum puto. Hac etiam occa$ione ad te mitto qua$dam ex po$terioribus, $uper rebus fere $imilibus, contemplationibus no$tris.

Problema March. e$t; Invenire lineam rectam æqualem datæ portioni lineæ logarithmicæ. Ut hujus inveniat $olu- tionem, $agaciter utitur _Calculo differentiali_ celeberrimi Lei- bnitii, & reducit problema ad quadraturam curvæ, cujus æ- quatio e$t, _a_<#>6 = _aaxxyy_ + _y_<#>4_xx_; po$itis _x_ & _y_ indeter minatis, quæ angulum rectum efficiunt; Hanc quadra- turam o$tendit dependere à quadraturâ Hyperboles; quæ da- tur, ut notum e$t, po$itâ logarithmicâ de$criptâ; con$tru- ctio autem huc redit. Sit logarithmica indefinita A C D, a- TAB. XLVI. fig. 1. $ymptos L O, $ubtangens con$tans data _a_, & portio curvæ $it C D, cui æqualem rectam invenire oportet.

Duc D L, C O perpendiculares ad a$ymptoton, CE perpen- dicularem ad D L, & fac L T in a$ymptoto æqualem $ubtan- genti _a_, & ductis rectis T D, T E, fiat T V = T D & T I [0232]CHRIST. HUGENII = T E: tunc junge VD, ductâque ip$i parallelâ I K, e pun- cto K, ubi occurrit ip$i D L, duc parallelam a$ymptoto K A, $ecantem D V in F, C O in X, & Logarithmicam in A. Tum rectæ A X & F K $imul $umtæ erunt æquales cur- væ C D.

Solutio hujus Problematis, prout ego invenio, pote$t et- iam reduci ad quadraturam curvæ, cujus Æquatio e$t _a_<#>4 = _xxyy - aayy_, quæ, ut & altera, dependet à quadratu- ra Hyperboles, uti po$$em $atis facile demon$trare; $ed con$tructio à modo de$cripta non differt.

Ne$cio, an multæ lineæ curvæ hanc habeant proprietatem ut ip$arum longitudines per ip$as curvas men$urari queant; interim ecce unam, quam haud ita pridem inveni, dignam, ut videbis, quæ & ob alia etiam notetur; E$t curva A X K O TAB. XLVI. fig. 2. exten$a in infinitum $ecundum rectam D N, quæ e$t ejus a- $ymptos, ad quam A D, tangens ad verticem A, in$i$tit perpendicularis; curvæ princeps & $implici$$ima pro- prietas e$t, ut omnis tangens inter punctum contactus & a$ymptoton, ut K N, $it æqualis lineæ A D; curva pariter ex- tenditur ad alteram partem hujus perpendicularis A D. Ut invenias rectam lineam æqualem portioni hujus curvæ datæ a vertice A, ut A K ($ic enim invenies alias portiones qua$cun- que) duc K P perpendicularem ad A D, & de$cripto arcu circuli P Q, qui habeat centrum D & radium D P, quæ- re in A B parallelâ A$ymptoto punctum B, quod $it centrum circumferentiæ circuli, quæ tran$it per A & tangit arcum PQ, quod facile e$t; porro ductâ rectâ B D, $ume in <007>llâ DY = DA, & e puncto Y duc parallelam A$ymptoto u$que ad curvam in X, tunc Y X erit æqualis curvæ A K; Et natura hujus lineæ talis e$t, ut $i $umas tot proportionales quot volueris, in re- cta A D, incipiendo a D, ut DS, DI, DP & ducas applica- tas SR, IO, PK: partes interceptæ curvæ, ut R O, O K, omnes $int æquales.

Ad quadraturam Hyperboles quoque in$ervit curva hæc; nam eadem recta Y X facit cum A D rectangulum æquale $patio Hyperbolico A D E V, terminato lineis A D, E V perpen- [0233]GEOMET. VARIA. dicularibus ad F D E, unam ex A$ymptotis, & quæ $unt in- ter $e in ratione A D ad D P, $i Hyperbola A V $it æquila- tera & quadratum ejus ad angulum A$ymptῶtωn $it A D F H; unde reciproce patet, quomodo queant & inveniri puncta hu- jus curvæ po$itâ quadraturâ Hyperboles.

Habet illa adhuc alias notabiles affectiones, quales $unt, quod $patium infinitum, inter curvam, A$ymptoton, & rectam A D, $it æquale {1/4} circuli cujus radius e$t A D: quod $oli- dum infinitum, quod producit hoc $patium rotando cir- ca A$ymptoton, $it æquale {1/4} $phæræ eju$dem radii; quod $uperficies ejus $olidi infiniti, $ine ba$i, $it æqualis circulo, cujus radius e$t diagonalis quadrati ex A D.

Non autem propter ea qua huc u$que propo$ui de hac cur- va hic egi, $ed quia $implici Machinâ de$cribi pote$t, quo reducitur Hyperbola ad quadratum, quod mihi vi$um e$t Geo- metrarum con$ideratione dignum.

Con$tructio Machinæ nititur in dictâ Tangentis proprieta- te & principio vel lege motus; $cilicet, $i in plano horizon- tali detur punctum, quod $uo pondere vel alio modo ali- quantulum re$i$tit, junctum extremitati fili vel vectis inflexi- lis, cujus altera extremitas movetur, punctum illud de$cri- bet curvam, cujus Tangens $emper erit filum vel vectis. In in$trumento vel machinâ, de qua dixi, movenda e$t extremitas D fili vel vectis D A juxta lineam rectam D N, & cavendum ut cu$pis in extremitate altera A hærens erecta maneat dum in- terim premetur in planum horizontale, potius elaterio quam pondere, quoniam $ic curva A K de$cribitur $ine errore $en- $ibili, licet planum non $it exacte horizontale; Et detegi- tur, an habeat veram figuram reducendo extremitatem vectis N per eandem rectam N D; quoniam requiritur, ut cu$pis regrediatur ex K in A, per eandem viam.

Si hæc de$criptio, quæ per leges Mechanicæ e$t acurata po$$et haberi pro Geometricâ, eodem modo ut de- [0234]CHRISTIANI HUGENII $criptiones $ectionum Conicarum, quæ fiunt per in$trumen- ta, haberemus inde & quadraturam Hyperboles & perfe- ctam con$tructionem omnium Problematum, quæ ad hanc quadraturam reducuntur; ut inter alia $unt, determinatio punctorum _Catenariæ_, & logarithmi. Si enim B Y $it = A C, quæ $umitur in axe Catenariæ, id e$t D B = DC ap- plicata ejus C G erit = Y X; & eadem quoque Y X e$t lo- garithmus rationis quam habet A D ad P D; id e$t, æqualis e$t di$tantiæ duarum linearum A D, P D, vel aliarum duarum qua- rumcunque, quæ eandem habent rationem, ordinatarum per- pendicular<007>um ad A$ymptoton lineæ logarithmicæ, quæ habet D A pro Subtangente univer$ali; unde po$$unt inveniri logarith- mi tabularum, prout demon$travi in additione ad _di$$ertationem_ _de cau$a gravitatis_. Leibnitius, qui primus initium fecit redu- ctionis curvæ Catenariæ ad leges Geometriæ, ip$am illam lineam ope veræ Catenæ tenui$$imæ formatam, dixit in$er- vire po$$e inventioni logarithmorum, vel quadraturæ Hy- perboles; licet ad id cognita requiratur (ut quidem ip$e no- verat) longitudo rectæ, quam vocat curvæ Parametrum, cujus inventionem non demon$trat. Ita ut no$tra qua- dratrix in his u$ibus præferenda videatur, quia po$t de- $criptionem Parameter ejus, quæ e$t univer$alis ejus Tan- gens, datur.

Sed quoniam hæc materia me perduxit ad con$ideratio- nem Catenariæ quæ eleganti$$imis hujus temporis Geome- trarum inqui$itionibus occa$ionem præbuit, libet hic addere quam inveni peculiarem $atis methodum qua hæc delincatur cur- va, quod e$t omnium difficillimum inter ea quæ de hac $ibi inqui- renda propo$uere Mathematici. Inter illa, quæ in$erenda dedi in actis Lip$ien$ibus cum pulcris & eruditis Leibnitii & Ber- noullii inventis, dixi, me reduxi$$e con$tructionem vel inventionem punctorum hujus lineæ ad quadra@uram curvæ, cujus æquatio e$t _a_<#>4 = _aaxx_ + _yyxx_ ; & me cognovi$- _Vide $upra_ _pag_. 29@. $e, hanc quadraturam dependere à cognitione $ummæ $e- cantium arcuum circuli, quæ æqualiter cre$cerent _per mi-_ _nima_; quæ $umma jam dudum reducta fuerat ad quadratu- [0235]GEOMETRICA VARIA. ram Hyperboles per Jac. Gregorium in exercitationibus $uis Geometricis, ubi inde deducit $olutionem problematis lon- gitudinum, datis vento & latitudinum differentiâ, quod novum credidit Leibnitius, & quod à Gregorio traditum tunc tem- poris non recordabar. Leibnitius & Bernoullius, ut cen$eo, pervenerunt ad Catenariæ Con$tructionem ope Curvæ, quam po$terior illorum habet in 1<#>_a_. Figurarum quas exhi- bet ad $olvendum hoc Problema; nam Leibnitius mihi $cri- p$it, $e etiam ad eandem perveni$$e; Et invenio eandem cum illâ de qua ante, cujus æquatio e$t _a_<#>4 = _xxyy_ - _aayy_, cujus quadratura, ut dixi, dependet à quadraturâ Hy- perboles: licet nondum concipere potuerim, quomodo cal- culus illos perduxerit ad hanc lineam. Sed tran$eo ad meam con$tructionem, quæ ab$que con$ideratione aliûs lineæ curvæ, dat puncta Catenar<007>æ per dimen$ionem l<007>neæ Pa- rabolicæ.

Primum fundamentum totius inqui$itionis re$pectu hujus TAB. XLVI. fig. 3. lineæ e$t hoc; Si habeas catenam compo$itam ex variis pon- deribus æqualibus filo appen$is, ut BCDEF $emper trium inter$titiorum $e mutuo $equentium duæ lineæ extremæ, ut CD, F E continuatæ $ibi mutuo occurrunt in linea IH per- pendiculari ad Horizontem, quæ dividit inter$titium me- dium in duas partes æquales. Con$iderando porro catenam ita compo$itam à ponderibus connexis ad æquales di$tantias, quas ponimus infinite exiguas, & di$po$itis, ita, ut inter- $titium infimum BC $it horizonti parallelum, $i $uper quo- vis alio inter$titio concipiamus triangula rectangula CDK, D E L, quorum unum latus $it hor<007>zontale, videbimus, quod ab infimo initium faciendo anguli DCK, EDL, FEM, tales $int, ut illorum Tangentes æqualiter cre$cant, ut nu- meri 1, 2, 3, 4, id quod demon$tratu facile e$t ex dicto princip<007>o, licet for$itan eo non perveni$$emus $ine calculo Al- gebraico.

S<007> porro concipiamus partes æquales catenæ CDEFG ex- ten$as in recta horizontali in C O P Q R, & ex prima divi- $ione O ductam O S, quæ concurrat cum perpendiculari C S, [0236]CHRIST. HUGENII ita ut angulus C O S $it æqualis angulo C D O, $i deinde ducantur aliæ rectæ S P, S Q, S R; triangula S C O, S C P, S C Q, S C R erunt nece$$ario $imilia C O D, D L E, E M F, F N G, quoniam S C O e$t $imile ip$i C O D per con$tru- ctionem, & aliorum C S P, C S Q &c. tangentes æqualiter cre$cunt.

Si porro ducas C T, O V, P X &c. perpendiculares ad SO, S P, S Q evidens e$t, triangula C T O, O V P, P X Q &c. æ- qualia e$$e & $imilia triangulis C O D, D L E, E M F &c. eo- dem ordine $umendo: unde concluditur, $i $patia C D, D E &c. $int infinite parva, ut & partes C O, O P &c., id e$t $i C G $it curva catenæ, & C R æqualis ejus longitudini, tum $umma T O, V P, X Q &c. erit æqualis $ummæ perpen- dicularium K D, L E, M F &c. id e$t rectæ G Σ vel axi Φ C (nam $patium B C tum pro nihilo habetur) & $umma C T, O V, P X erit æqualis $ummæ C K, D L, E M &c. ide$t appli- catæ G Φ.

De$cribendo autem centro S arcum CZ u$que ad ulti- mam $ecantium S R facile patet, $ummam inf<007>nite parva- rum T O, V P, X Q æqualem e$$e rectæ Z R; con$equenter, $i ponamus quod S C Φ $it axis Catenæ, & linea C S certæ longitudinis, & quod C Φ $it æqualis Z R exce$$ui $ecantis cuju$vis S R $upra radium S C, & quod applicata Φ G $it æqualis $ummæ omnium C T, O V, P X &c. u$que ad illam, quæ cadit in S R, punctum G erit in curva catenæ, cujus longitudo C G erit æqualis rectæ C R: $ed quæritur $umma infinitarum C T, O V, P X &c. quam obtineo hâc con$idera- tione, quod anguli S O V, S P X, S Q Y po$$int haberi pro rectis, utpote quorum differentia cum recto e$t infinite exi- gua, & quod tum lineæ O V, P X, productæ utrinque, ut & R Ω perpendicularis ad S R, fiant tangentes Parabolæ C Ω, cujus vertex e$t C, axis C S, focus S, & in qua S C e$t pars quarta Parametri; quarum tangentium quævis $ecatur in duas partes æqualiter per C R, ita ut una dimidia pars pertingat ad axem, altera ad punctum contactus, $ic ΔΩ $ecta e$t in R; quæ facile demon$trantur. Hinc porro intelligo ex E- [0237]CEOMET. VARIA volutione linearum curvarum, de qua locutus $um in _Horo-_ _logio o$cillatorio_, quod $umma omnium Q Y, P X, O V, C T, debeat e$$e æqualis exce$$ui curvæ Parabolicæ Ω C $upra re- ctam Ω R; id quod Geometræ $atis facile intelligent, licet in demon$trando non inhæream, quum non con$tituerim hic demon$trationes $cribere, $ed tantum indicare viam, quâ ad inventionem pervenis.

Datâ ergo Catenariæ Parametro SC, $i $umas in axe punctum quodcunque Φ, & centro S radio S Φ de$cribas arcum circuli, qui $ecat C R tangentem ad verticem in R; tangente R Ω du- ctâ ad Parabolam dictame puncto R, & $ubtractâ hac ex lon- gitudine curvæ $uæ CΩ quam ponimus po$$e men$urari, quod reliquum e$t, erit recta applicata Φ G, & $ic per eandem Para- bolam invenies tot puncta in illâ curvâ, quot volueris; mi$i hanc con$tructionem ad Leibnitium initio Septembris 1691.

Pote$t porro in tran$itu notari, quod curva G C ($u- mendo $emper numerum inter$titiorum infinitum, & ideo punctum C ac $i foret in axe & vertex) erit æqualis rectæ C R; & quod dimen$io $patii curvi quoque facile de- mon$tretur, perficiendo rectangulum R C S Θ & producen- do perpendiculares G N, F M &c. u$que ad S Θ in Λ, Γ &c.: patet enim triangulum S Q Y e$$e $emi$$em rectanguli F Λ, ba$in & altitudinem eandem habentis, & pariter triangulum S P X $emi$$em rectanguli E Γ & $ic porro de aliis. Et con- $equenter triangulum S C R æquale dimidio $patii S C G Λ. Po$$em ita paucis demon$trare fundamenta omnium quæ de hac lineâ curvâ detecta $unt; $ed hæc $pectant ad Leibnitium & Bernoullium, utpote hujus inventionis magis participes, quos rogatos oportet, ut in bonum publicum laborem hunc in $e $u$cipiant.

Finem $cripto huic impo$ui$$em, ni$i nuperrime literas à Marchione de l’Ho$pital accepi$$em, ubi quum duo notabi- lia hac de materia memorat, non po$$um quin paucis de iis loquar; primum $pectat ad con$tructionem & plures proprie- tates lineæ curvæ D<#>_ni_ de Beaune, quam Carte$ius in Ep. 79. 3 vol. dicit ip$i inveniendam propo$itam per datam [0238]CHRISTIANI HUGENII Tangentis proprietatem; Problema, quod mihi apparuit difficillimum. Solutio Marchionis ex$tat in 34. Diario Pari- $ien$i anni ultimi, quare hanc hic non trado.

Alterum e$t ejus re$pon$um de aliâ curvâ valde cognitâ, & quam Carte$ius aliter adhuc con$ideravit, ut & Huddenius eo tempore, quo negotia Reip. non impediebant, quo- minus vacaret $tudiis. Curva in fig. 4. exhibetur, fo- TAB. XLVI. fig. 4. lium A B C H circum$cribit & utrimque $e$e extendit juxta A$ymptoton E F G. Æquatio ejus e$t _x_<#>3 + _y_<#>3 = _xyn_ $i A D ponatur _x_ in recta, quæ cum diametro C A format angulum 45 graduum; perpendicularis DB, vel D H, vel D K, _y_; & _n_ recta data. Cum ip$i indica$$em, me inveni$$e qua- draturam hujus curvæ, & quod contentum folii A B C H e$$et = {1/6} _nn_ id e$t {1/3} quadrati diametri A C; quod $pa- tium infinitum inter A$ymptoton & ambo curvæ brachia etiam eju$dem magnitudinis e$$ent; & quod quadratura ge- neralis $egmentorum exprimeretur per unicum terminum; ille invenit veram illam quadraturam generalem. Scilicet quod contentum $egmentorum A H vel A K exprimatur per {_nxx_/6_y_} & $egmenti A B per {_nyy_/6_x_}; $ed ulterius mihi affirmat $e eo perveni$$e per tres diver$as vias; quod miror, cum per- $ua$um habeam me non parum profec<007>$$e unicam dete- gendo.

[0239]GEOMET. VARIA. V. PROBLEMA AB ERUDITIS SOLVENDUM: A JOHANNE BERNOULLIO IN ACTIS LIPSIENSIBUS ANNI MDCXCIII. PROPOSITUM.

QUæritur, qualis $it curva A B C, quæ hanc habet TAB. XLVI. fig. 5. proprietatem, ut, ducta ubicunque tangente B D terminata ab axe A E, portio ejus ab$ci$$a A D $it ad tangentem B D in ratione con$tan- te M ad N.

Problema hoc $olutu dignum e$t, & facile Mathemati- corum applicationem meretur. In quacunque enim ratio- ne $it M ad N, curva A B C $emper eadem facilitate mo- tu quodam continuo de$cribi pote$t, non ob$tante, quod curva pro ratione M ad N magis vel minus compo$ita evadat; in ca$u quippe rationis æqualitatis illico patet, curvam A B C e$$e circulum: in reliquis $i M ad N e$t ut numerus ad numerum, erit quidem curva geometrica, $e- cus autem tran$cendentalis e$t. Quæritur generalis deter- matio puncti in curva.

Tom. II. _Ttt_ [0240]CHRIST. HUGENII VI. C. H. Z. DE PROBLEMATE BERNOULLIANO IN ACTIS LIPSIENSIBUS PROPOSITO.

ELegans inprimis e$$e hoc Problema, cum ex iis quæ Clari$$imus inventor de eo prodidit, tum ex $olutione & commentatione fraterna mani- fe$tum e$t. A quo inve$tigando cum propter in$ignem difficultatem, quæ $tatim $e$e offerebat, ab$tinere $tatuerim (neque enim omnibus perquirendis, quæ à Viris eruditis exercitii gratia proponuntur, incumbere nece$$e exi- $timo, aut a$$equendis parem me profiteor) non de$iit tamen qua$i invitum compellere recurrens identidem quæ- $iti non vulgaris idea, donec tandem quod de$iderabam obtinui. Inventa nimirum _æquatione differentiali_, in qua ex altera parte erat elementum trapezii hyperbolici, ab a$ymptoto perpendicularibus intercepti; ab altera elemen- tum $patii curvilinei, quod itidem ad trapezium hyper- bolicum reduci po$$et. Quod apertius exponerem, ni$i relinquendam etiamnum aliis putarem inquirendi volupta- tem. Inde eo rem deducebam, ut trapezium eju$modi hyperbolicum $ecandum e$$et aut augendum $ecundum ra- tionem datam. Quod cum per medias aut continue pro- [0241]GEOMET. VARIA. portionales fieri po$$it, ubi ratio tangentis ad ab$ci$- $am e$t ea quæ numeri ad numerum, hinc apparuit curvam quæ$itam tunc iis accen$endam quæ geometricæ vocantur, alias e$$e ex heterogeneis; ac tamen con$tructionem dari po$ita lineæ logarithmicæ de$criptione, quam quidem hic ad- ducerem, ni$i viderem haud difficulter ex ip$a Jacobi Ber- noullii docti$$ima $imul brevi$$imaque $olutione omnia erui po$$e, ut jam ab aliis occupatam dubitem.

Colligitur vero ex his illud animadver$ione dignum, nempe quandocunque in inve$tigatione curvarum ex tan- gentibus aut $ubtangentibus ejus, ad $imiles ei, quam dixi, æquationes pervenietur, aut in quibus habeatur utrinque elementum $patii ad trapezium hyperbolicum reductibilis; tunc idem hoc, quod mirabile hic accidit, eventurum, ut curvæ geometricæ diver$orum generum graduumque exi- $tant, $i hyperbolarum ad quas devenitur rectangula quæ in a$ymptotis, $int commen$urabilia. Præterea ob$ervanda venit in hoc problemate inu$itata ac $in- gularis analy$is via, quæ ad alia multa in hac Tan- gentium doctrina aditum aperit, ut egregie jam ani- madvertit Vir Celeberrimus _calculi differentialis_ inven- tor, $ine quo vix e$$et, ut ad ha$ce geometriæ $ubti- litates admitteremur. Porro quod ad curvarum, de qui- bus agitur, de$ignationem in plano attinet, po$$em, $i operæ pretium e$$et, alios modos ac forta$$e com- modiores indicare quam qui a Cl. Bernoullio præ$cri- bitur, atque etiam docere qua ratione optime peraga- tur de$criptio no$træ quadratricis hyperbolæ, quæ in- ter _Tractorias_ (ita enim vocari po$$unt) $implici$$i- ma cen$enda e$t, cum ad eam filis nihil opus $it, $ed bacillo tantum utrimque cu$pidem lateri infixam habente, quo fit ut & regre$$u explorari po$$it quam recte exarata $it. Sed his $uper$edendum arbitror, do- nec in$ignis u$us aliquis harum linearum in lucem proferatur. Interim aliam quandam utili$$imam cur- [0242]CHRIST. HUGENII vam nuper mihi repertam Geometræ $ciant, cujus o- pera horologiis æqualis motus conciliatur, atque eju$- modi ut maris agitatione nequaquam turbari aut immi- nui queat; quod in pendulis no$tris hactenus u$urpatis non $atis caveri potuit. Adeo ut nova ac certior $pes nunc affulgeat perficiendi Longitudinum inventi. Curva hæc formatur,

a a b b c d e e e e e f i i i i i l l l m m m m n o r r $ $ t t u u x.

VII. C. H. Z. CONSTRUCTIO UNIVERSALIS PROBLEMATIS A CLARISSIMO VIRO JOH. BERNOULLIO PROPOSITI.

CUm in _actis Lip$ien$ibus_ Con$tructionem TAB. XLVI. fig. 6. hanc me reperi$$e $ignificarem, men$e O- ctobri anno 1693, edenda tamen ea $uper- $edi quod futurum putabam, ut vel ab Auctore ip$o, vel Clari$$imo Viro fratre ejus, vel alio quopiam, non multum ab- [0243]GEOMET. VARIA. $imilis brevi in lucem mitteretur; ac $ubverebar etiam, ne actum agerem. Quoniam vero nu$quam adhuc com- paruit, & e$t inter eas quæ dari po$$int quodammo- do $implici$$ima, non videtur ab$que ea diut<007>us rel<007>n- quendum tam eximium problema. E$t autem huju$- modi. In recta A B $it datum punctum A, & opor- teat invenire curvam A F C talem, ut tangens ejus- quævis C D ab$cindat a recta A B partem A D, quæ ad ip$am C D habeat rationem datam lineæ C ad L.

Con$tructio: $icut C ad L, ita quælibet A E, in recta A B a$$umta ad E F ip$i perpendicularem: & per F punctum ponatur ducta Logarithmica quæcun- que cujus a$ymptotos $it A B, ad quam illa accedat ver$us A. Deinde ab A ver$us E accepta di$tan- tia qualibet A D, $it ut C ad L, $ive ut A E ad E F, ita A D ad aliam D H; qua tanquam radio, centroque D, de$cribatur Circuli circumferentia H C; ac præterea applicetur ad Logarithmicam recta I G a$ymptoto perpend<007>cularis, ip$ique D H æqualis. Jam $icut L ad duplum C, ita fiat I E ad E K, $umen- dam in a$ymptoto in partem alterutram, nihil enim refert, & applicetur rur$us ad Logarithmicam recta K L. Utque duæ $imul K L, E F ad earum differen- tiam, ita $it D H ad D B; quæ $umenda ver$us A punctum, $i A D major $it quam A E; at in con- trariam, $i minor. Denique erigatur ad a$ymptoton perpendicularis B C; ea $ecabit circumferentiam H C in puncto C, quod erit in curva quæ$ita A F C. Tangit autem hanc recta E F in F.

Porro animadver$ione dignum e$t, non $impli- cem e$$e curvaturam lineæ hujus cum C major e$t quam L, $ed ex duabus eam tunc componi, ex uno quodam puncto exeuntibus, ut C F A, C M; quarum [0244]CHR. HUGENII GEOMET. VARIA. hæc in infinitum progreditur. In puncto autem ex- tremo C, recta ex A educta occurrit curvæ utrique ad angulos rectos, ac proportionales $unt D A, D C, D B.

FINIS. [0245] [0245a] Pag. 520. TAB. XLVI. Fig. 1. D C E A X F K V O I L T α M N Fig. 3. Δ A Φ G F N E M I D H L B C K O P Q Σ R T V X Y Z S Γ Δ Θ @ Fig. 5. C B A D E Fig. 4. H C L E B A D F K G Fig. 6. L G C F M A H B E I D K Fig. 2. G C H B A Y L X P K V Q I O S R F D E N [0246] [0247] CHRISTIANI HUGENII OPERA ASTRONOMICA. TOMUS TERTIUS. [0248] Tomi tertii contenta. DE SATURNI LUNA OBSERVATIO NOVA. # 521. SYSTEMA SATURNIUM, $ive de cau$is mirandorum SATURNI # Phænomenon; & Com<007>te ejus Planeta novo. # 527. EUSTACHII DE DIVINIS SEPTEMPEDANI BREVIS ANNOTATIO # in Sy$tema Saturnium Chri$tiani Hugenii. # 597. BREVIS ASSERTIO SYSTEMATIS SATURNII SUI. # 619. DE SATURNI ANNULO OBSERVATIONES. # 635. ΚΟΣΜΟΘΕΩΡ@Σ, $ive de Terris Cœle$tibus, earumque ornatu, # CONJECTURÆ. # 641. [0249] CHRISTIANI HUGENII DE SATURNILUNA OBSERVATIO NOVA. Tom. III. _Ttt_ [0250] [0251] CHRISTIANI HUGENII DE SATURNI LUNA OBSERVATIO NOVA.

ANNO mille$imo $excente$imo quinquage- $imo quinto, Men$is Martii die quinto & vice$imo, Saturni planetam per tubum dioptricum a$pectans, animadverti præter an$as $ive brachia quæ utrimque illi cohæ- rent, $tellulam quandam ab occa$u ad$tan- tem, tribus circiter $crupulis remotam, eratque di$po- $ita $ecundum eam quæ per utraque brachia ducta fui$- $et rectam. Et cum $ubdubitarem nunquid forta$$e planeta e$$et ejus generis, quales circa Jovem quatuor Tom. III. _Vvv._ [0252]CHRIST. HUGENIUS circumferuntur, locum Saturni $tellulæque & po$itum utriu$que ad aliam quandam quæ tantumdem fere, $ed in contrarias partes, à Saturno di$$ita erat annotavi; ex inerrantium numero hanc potiùs quam illam fore ratus, quod ab ea quam dixi recta linea deflectebat. Neque me fefellit opinio. Po$tridie enim repetita ob- $ervatione, eam quæ ad occa$um $pectabat $tellam eo- dem ad Saturnum $itu, eodemque quo prius interval- 10 $ejunctam deprehendi, alteram verò ad duplam fe- rè prioris di$tantiam rece$$i$$e. Unde hanc quidem è fixis unam e$$e, atque à Saturno tum temporis retro- gradiente longius relictam, illam autem $imul cum eo progre$$am, comitem ip$i ade$$e intelligere mihi vi$us $um. Sequentium verò dierum ob$ervationibus omnis dubitatio $ublata e$t. Namque ab eo tempore per tres continuos men$es, quoties $erenitas aëris patiebatur, novum planetam notavi, o$tendique amicis, nunc dex- trum Saturno nunc $ini$trum; redacti$que in commen- tarios ob$ervationibus, $exto decimo die periodum ex- plere cognovi. Digre$$io $umma tribus $crupulis pau- lo minor vi$a e$t, ad quam ubi pervenit maximè fit con$picuus: at cum Saturno appropinquat ante aut po- nè tran$iens biduo propter $plendorem ejus delite$cit. Tempus verò $exdecim dierum tam exactè circuitum planetæ metitur, ut cum annus jam & amplius à pri- mis ob$ervationibus effluxerit, nihil adhuc aut abunda- re aut deficere deprehendatur, quoque loco prædici- mus ibi $e$e in cœlo $i$tat. Scio ante annos complu- res Ant. Mariam de Rheita non unum, $ed $enos jam Saturno errones attribui$$e. Verum æquè circa hos, quàm circa alios illos quinque, quos præter Mediceos Jovi circumpo$uerat, deceptum fui$$e, inde per$pici- tur, quod cum meliori Tele$copio $e$e uti Clar. Vir Joh. Hevelius demon$tret, nullum tamen Saturno ut- ut diligenti$$imè $æp<007>$$imeque in$pecto comitatum ade$- [0253]DE SATURNI LUNA. $e $en$erit. Hoc enim ultrò fatetur. Præter Rheitam verò nemo quod $ciam $imile quid de Saturno prodi- dit. Nam gemini illi quos Galilæus detexerat latero- nes longè aliud e$$e deprehen$i $unt quàm prima $pe- cie videbantur. Quid tamen $int in incerto e$t, ne- que adhuc pronunc<007>are audent A$tronomi. Cæterùm mihi novum Saturniæ lunæ phænomenon ad hæc quo- que viam aperuit, tandemque cau$am re$civimus, cur interdum inter binas veluti an$as Saturnus medius te- neatur, alias recta qua$i brachia protendat, tum non- nunquam omnibus ami$$is rotundus inveniatur, qualis anno 1642. $pectatus fuit, jamque rur$us trime$tri $pa- tio per$titit. Et harum quidem vici$$itudinum tempo- ra in futurum definire non erit difficile $i duorum ad- huc men$ium ob$ervationibus attendere licuerit, quæ vi- dendum an hypothe$i no$træ con$entiant. Expectamus enim ut $ub finem Aprilis, $i non ante, brachia Sa- turno rena$cantur, non curva illa, cuju$modi à Franc. Fontana & Hevelio depicta cernuntur, $ed $ecundùm lineam rectam utrimque prominentia, $i quis melioris notæ per$picillo intueatur. Nam vulgaria $i adhibeat bi- nos orbiculos referent, $icuti Galilæo primum $e$e ob- tulere. No$trum, quo Saturni a$$eclam reperimus, quin- quagies diametrum rei vi$æ multiplicat, duodenos pe- des æquans: cui po$tea duplum longitudine con$truxi- mus, multiplicatione centupla. Cum autem longiora etiam hi$ce Tele$copia, utpote triginta & quadraginta pedum ab aliis fabricari dicantur, aliquid aut vitris vi- tii ine$$e, aut hæc eadem non debita proportione mu- tuò re$pondere credibile e$t. Neque enim alias huc- u$que aciem eorum effugi$$et novus Saturni $atelles.

Ob$ervationes præterito præ$entique anno collectas, quibus periodus ip$ius demon$tratur, tunc unà edituri $umus cum integrum Saturni $y$tema perfecerimus. Cu- jus interea $ummam $equenti grypho con$ignare vi$um [0254]CHR. HUGEN. DE SATURNI LUNA. e$t, ut $i quis forta$$e idem $e inveni$$e exi$timet, $patium habeat ad expromendum, neque à nobis ille aut nos ab illo mutuati dicamur.

a a a a a a a c c c c c d e e e e e g h i i i i i i i l l l l m m n n n n n n n n n o o o o p p q r r s t t t t t u u u u u.

Hagæ-Com. 5. Mart. 1656.

[0255] CHRISTIANI HUGENII ZULICHEMII, CONST. F. SYSTEMA SATURNIUM, SIVE DE CAUSIS MIRANDORUM SATURNI PHÆNOMENON; ET COMITE EJUS PLANETA NOVO. [0256] [0257] SERENISSIMO PRINCIPI LEOPOLDO AB HETRURIA Chri$tianus Hugenius S.D.

REs in cælo remoti$$imas, extraque ho- minum con$pectum po$itas, ni$i cum ab arte $ibi auxilium ad$ci$cunt, hoc opu$culo per$equor, Princeps Sere- ni$$ime, nec dubito quin multis ni- mia diligentia ver$atus dicar in his quæ tam parum ad nos attinere arbitrantur, cum eorum quæ hîc coram & in propinquo nobis $ita $unt, plurima in- ve$tigatu digna $uper$int. Verum hi parum at- tendere videntur, quanto præ$tet cæteris omni- bus $ublimium rerum con$ideratio, quamque hoc ip$um præclarum $it, ad tam longe di$$itas na- turæ partes contemplationem mitti; quæ licet vi$u ob$curæ & exiles, reip$a tamen illu$tres mul- toque maximæ exi$tunt. Nam $i quod procul ab$unt, ideo parum ad nos pertinere illas putemus, indigni profecto $imus mente rationis participe, qua facile immen$a cæli $patia tran$cendimus, in- digni etiam egregio illo, nec unquam $atis lauda- to, propagandæ vi$ionis invento, quo ad a$trorum regionem ip$o quoque oculorum $en$u pertingimus. [0258]DEDICATIO. Cujus quidem inventi beneficio ad longinqua Sa- turni regna propius nunc quam antehac qui$quam adivi, & u$que eò progre$$us $um, ut va$ti adeo itineris, pars una cente$ima tantummodo reliqua fuerit: quam $i quo pacto $uperare potui$$em, quot qualiaque, dii boni, narranda haberem! Nunc au- tem ea per$cribo quæ ex intervallo i$to notare ocu- lis valui, quæque & ip$a miranda e$$e & relatu di- gni$$ima nemo diffitebitur. Quem enim non ad- miratio capiet, ubi Saturnum annulo circumdatum ac velut corona redimitum viderit? atque hanc eam formam e$$e, quæ, cum perpetuo eadem $it, di- ver$as tamen facies induat, & pertinaciter hacte- nus conjecturas A$tronomorum fru$tretur. At ne- que hoc minus novum atque inopinabile omnium auribus accidi$$et, Planetam aliquem non antea vi- $um in cælo repertum e$$e, ni$i novitatis gratiam $tellæ Mediceæ ab$tuli$$ent. Verum hic no$ter Sa- turni accola, quo diutius latuit, majorique moli- mine ad terram deducendus fuit, eo magis depre- hen$o gaudendum e$t: quodque unus hactenus de- $ideratus, cumulum nunc tandem errantium $tel- larum explet, numerumque earum duodenarium; quo majorem po$thac repertum non iri, prope e$t ut confirmare audeam. Certè jam majoribus illis ac primariis, inter quos Tellus hæc reponen- da e$t, æquales multitudine minores exi$tunt, & utrique illo, quem perfectum dicimus, numero continentur, ut con$ilio $ummi opificis modus hic [0259]DEDICATIO. præfinitus videri po$$it. Cæterum multiplicem contemplandi materiam, Philo$ophorum ingeniis circa hæc cæle$tia corpora exorituram, quibus ve- luti nova acce$$ione mundum auximus, non per- $equar. Unum hoc inanimadver$um eos præterire nolim; nempe quam non leve argumentum ad a- $truendum pulcherrimum illum mundi univer$i or- dinem, qui à Copernico nomen habet, Satur- nius hic mundus adferat: $i enim gravatè olimi$ti $y$temati a$$entientibus, $crupulum demere potue- runt quaternæ circa Jovem repertæ Lunæ; mani- fe$tius utique nunc eos convincet unica illa circa Saturnum oberrans, atque ob hoc ip$um quod uni- ca e$t, no$tratis Lunæ $imilitudinem magis ex- primens: ut omittam nunc aliam quoque Saturnii globi cum hoc no$tro cognationem, quam in $i- mili axium utriu$que inclinatione invenient A$tro- nomiæ periti. Quæ $anè cum mecum reputo, fieri non po$$e videtur, ut veritatem hi$ce in rebus tam feliciter repertam, tamque manife$tis indiciis fultam, ulla ætas obliterare valeat, quamdiu mo- do ob$ervationum Galilæi aut no$trarum aliqua me- moria $upererit. Ha$ce igitur ut ab oblivione vindi- carem, utque deficientibus for$an olim organis qui- bus ea$dem repetere liceat, e$$et tamen unde aliquan- do extiti$$e probari po$$et, hac qualicunque $criptio- ne publicandas cen$ui, omnibu$que impertiendas. Quod autem Cel$itudini Tuæ commentarium hunc in$crip$erim, feci id non una ratione. Namque in Tom. III. _Xxx_ [0260]DEDICATIO. primis celebritatem claritatemque ei non exiguam ab llu$tri$$imo nomine tuo acquiri po$$e credidi; cujus cum per orbem univer$um, quà modo aliquis virtuti aut humanitati locus e$t, latè fama perva$e- rit, librum hunc tibi nuncupare, hoc e$t velut in edito cuncti$que con$picuo loco eum deponere. Deinde nec ignorabam quantum momenti acce$$u- rum e$$et invento illi no$tro, quo perplexa Saturni my$teria exponere conatus $um, $i exacti$$imo tuo judicio illud probari contingeret: quod utinam non fru$tra $peraverim. Sed ante omnia occa$ionem aliquam me inveni$$e gavi$us $um, neque omit- tendam duxi, qua palam commemorarem quantum tibi, Princeps Cel$i$$ime, artes di$ciplinæque opti- mæ, & in his Mathematicæ præ$ertim debeant, quod contra invale$centem indies barbariem patronum iis ac defen$orem te præ$tas, quodque familiariter eas colendo, ac velut in contubernium tuum admitten- do, plurimum dignitatis ip$is concilias: quod de- nique præ$tanti$$imorum ex omni antiquitate Au- torum $criptis in vitam revocatis ea$dem promoves ac locupletas. Nempe ad hæc facienda, & illu- $tria majorum tuorum exempla & innata virtus & egregia animi tui propen$io te impellunt. nos au- tem ad quos optimæ hujus tuæ voluntatis curæque utilitas pervenit, grato animo illa agno$cere & prædicare æquum e$t. Hagæ Comitis. 5. Julii. Anno 1659.

[0261] NICOLAUS HEINSIUS, D. F. AD AUCTOREM SYSTEMATIS.

_L_Audibus Hugeni pars addite magna paternis, Quem totum Vranie vindicat una $ibi.

In cunis placiti reptare per avia cæli, A$tra tibi puero volvere ludus erat:

A$tra minus patriis non trita penatibus olim; Cognita natali non minus a$tra $olo.

Jamque eadem populis mirantibus a$tra recludis, Per$picua ingenii lumine facta tui.

Qualis $idereo radiatus in æthere Titan Oppo$itam nocti $pargit ubique facem.

Ardue $tellantis $alve metator Olympi, Qui $uperâ nobis das regione frui:

Per quem, di$cu$$â dubiæ caligine mentis, In$erimur liquido cominus ora polo.

Devocat in terras, magico $ine carmine, Lunam Æqua Syraco$io cui manus arte $eni.

Ecce Jovis genitor tenebro$o carcere per te Et fugit, & lætam rur$us oberrat humum.

Macte au$is $tudioque; Deos qui vindice chartâ A$$eris: inventi qui facis a$tra tui.

Nunc $ua Saturno cum vincula dem$eris ip$i; Sæcla tuum terris aurea munus eunt.

[0262]IN IDEM SATURNI SYSTEMA.

_O_Mnia qui magni di$pexit $idera Mundi, Viderat hæc oculo debiliore Conon.

Attigit illa Conon miris adjutus ab al{is}, Attigit, & vi$u nobiliore, meus.

Perque vias Lunæ, per, qua Cyllenius errat, Volvitur & Veneri Martia flamma comes;

Quique nitet famulos inter tot Jupiter ignes; Lumina falcigeri mi$it ad a$tra Dei:

Et didicit vario quare mutabilis ore, Ludat in ob$curâ mobilitate Senex:

Quod frontem diadema premat, quo, Circulus illi Aureus, infau$tum cingat honore caput:

Quæ noctes ibi Luna regat, quæque, æmula no$træ, Expleat ami$$um Cynthia luce diem.

Nec $atis hæc vidi$$e $ibi miracula, te$tes Convocat, & vi$is quærit ubique nov{is}.

Noluit hæc no$tros fugerent arcana nepotes, Ignaros cœli nec $init e$$e $ui.

Ampla $atis Juveni e$t, ut debita gloria, merces, Vocibus innumeris quam $ua fama $onet;

Gloria $ideribus quam convenit e$$e coævam, Et tantum Cœlo commoriente mori.

[0263] CHRISTIANI HUGENII ZULICHEMII, CΘNST. F. SYSTEMA SATURNIUM.

CUM ad cæle$tium contemplationem tubos opticos, nobili$$imum Belgicæ no$træ inven- tum, Galileus admovi$$et, celeberrimaque il- la Planetarum phænomena mortalibus primus aperui$$et; in his, ea quæ de Saturni $tella prodidit, vel præcipuè admiratione digna fui$$e videntur. Nam cætera quidem, et$i $u$picienda meri- tò ac magni facienda, non tamen eju$modi erant, ut, qui- bus de cau$is talia cernerentur, enixè quærendum e$$et. Sa- turni vero mutabiles figuræ novum quoddam & reconditum naturæ artificium præferebant, cujus certè rationem neque Galileo ip$i, neque tanto po$t tempore A$tronomorum cui- quam (pace eorum dixerim) divinare cont<007>git. Hunc primò non $implici orbe lucentem, $ed veluti tergeminum con$pe- xerat, binis $tellis minoribus mediæ majori proximè utrin- que adjectis. Eâque formâ triennio fere ab$que ulla muta- tione per$everante, certò $ibi per$ua$erat, quales Jovi qua- tuor, tales duos comites Saturno obtigi$$e, nullo tamen mo- tu præditos, eóque $imili po$itu $emper later<007>bus hæ$uros. Verùm $ententiam mutare coactus e$t, $olitario Saturno pro- deunte, ac priore $atellitio penitus de$tituto. Quod cum admirabundus vidi$$et & cau$am rei conjectura a$$equi tenta- ret, de reditus tempore, quo prior illa pha$is re$titui debe- ret, nonnulla vaticinatus e$t. Sed neque hæc ita tunc $uc- ce$$i$$e quemadmodum $peraverat deprehen$um e$t, nec ge- mina modò a$pectus diver$itate Saturnum contentum e$$e. Etenim al<007>æ deinceps mirabiles ac prodigio$æ formæ appa- [0264]CHRIST. HUGENII ruerunt, quas primùm à Jo$epho Blancano & Franci$co Fontana de$criptas novimus; adeo quidem in$olita $pecie, ut multis oculorum ludibria cen$erentur, imagine$que vitris potius quam cælo hærentes: donec pluribus eadem videnti- bus, haud vano indicio proditas fui$$e con$titit.

Igitur ip$e quoque ad hæc cæli miracula con$picienda ma- gno de$iderio actus; cum non ni$i vulgaria $uppeterent per- $picilla, quinum aut $enum pedum longitudine; artem eam qua vitra in ho$ce u$us figurantur quanta potui cum cura di- ligentiaque excolere aggre$$us $um, nec piguit ip$ummet o- peri manus admovi$$e; quoad multis $uperatis difficultatibus (nam plures in rece$$u hæc arshabet quam prima fronte præ- ferre videatur) ea denique vitra mihi effeci, per quæ ad hæc $cribenda præbitum e$t argumentum. Continuo enim ad Sa- turnum tele$copia dirigens, aliam ibi rerum faciem reperi, quàm pleri$que antehac fuerat credita. Nam quæ vicinæ il- li hærebant appendices, eas non $ane geminos planetas, $ed quidvis potius aliud e$$e, diver$um vero ab his unumque nu- mero planetam, majori intervallo à Saturno remotum, die- bus $exdecim circa eum ambire apparuit; & hunc quidem omnibus antehac $æculis ignoratum. De qua nova no$tra ob- $ervatione tribusabhinc annis A$tronomos certiores feci, pru- denti con$ilio ob$ecutus viri Illu$tris, ingenioque juxta ac vir- tute con$picui, Joh. Capelani. Huic enim, uti & Ga$$en- do alii$que, cum Lutetiæ Pari$iorum agens, de Saturni co- mite à me vi$o narra$$em, multas ob cau$as cen$uit, non re- ticendum tam gratum omnibus futurum nuncium, quoad il- lud quod meditabar integrum Saturni Sy$tema per$crip$i$$em. Itaque anno 1656 die 5 Martii, de Saturni Luna (ita enim novam $tellam nec immerito appellavimus) ob$ervationem emi$i , atque unà hypothe$in quæ cau$am reliquorum Satur- _Vide $upra_ _pag_. 523. ni phænomenôn contineret; $ed hanc confu$o elementorum quibus $cribebatur ordine, quo tantùm, non ignora$$e nos eam illo jam tempore, te$tatum e$$et, aliique etiam ad vul- ganda quæ commenti e$$ent hoc pacto invitarentur, neque $i- bi præreptam quererentur inventionis gloriam. Deinceps [0265]SYSTEMA SATURNIUM. vero rogatu eju$dem Viri eximii, $olvi quoque hunc litera- rium gryphum, totamque hypothe$in $ummatim illi expo$ui: unde jam ad plures for$itan no$tra de Saturni pha$ibus $en- tentia manaverit. Sed pleniorem utique tractationem po$tu- lat mira & in$olens circa hunc planetam naturæ fabrica, ne- que expectare debemus ut vel à nob<007>s relatis, vel ad expli- canda phænomena ad$umtis, fidem omnes habeant, ni$i & hæc rationum momentis, & illa ob$ervationum te$timonio ad$tructa viderint. Quamobrem horum utrumque nunc præ- $tare nobis propo$itum e$t. Ac primò quæ ad comitis pla- netæ motum periodumque $pectant accuratè, quantum fieri poterit, ex ob$ervatis definiemus, motu$que ejus tabulas con- demus. Deinde ip$ius Saturni pha$es $ingulas $uis cau$is a$- $ignabimus, ita ut futuras quoque inde præno$cere in prom- ptu $it.

Sed antequam ob$ervationes exhibeamus, de tele$copiis no$tris quibus cælo eas deduximus, pauca referre expediet, ut $ciant hinc, qui comitem Saturni, mirabile$que Planetæ ip$ius figuras intueri cupiunt, qualibus ad hoc turbis vitri$- que indigeant; útque $uos $i quos habent, po$$int cum no- $tris contendere. Primus quem adhibuimus duodenos pe- _Tele$copio-_ _rum no$tro-_ _rum de$cri-_ _ptio_. des non excedebat, duobus convexis vitris in$tructus, quo- rum <007>d quod oculo vicinum erat, radios parallelos cogebat ad trium paulo minus pollicum, $ive unciarum pedis Rhe- nolandici di$tantiam. Eo planetam novum & deteximus pri- mùm, & per aliquot men$es ob$ervavimus, nec non formam eam Saturni, quæ à nemine adhuc percepta fuerat, quám- que po$tea de$cribemus, licet non pror$us erroris expertem. Inde verò duplicata priori longitudine, $imul duplo propio- res $ideribus facti $umus, multóque meliùs faciliú$que phœ- nomena omnia adnotavimus. Et hi quidem tubi 23 pedum, è ferri bractea con$tructi $unt, habentque ab altera parte vi- trum in$ertum, cujus latitudo ad quatuor pollices, $ed in quo non major pateat circulus quam diametro duorum pol- licum cum triente. Ab altera parte, quæ nimirum oculo admovetur, bina $unt vitra minora, 1 {1/2} poll<007>cem diametro [0266]CHRIST. HUGENII æquantia, jucta invicem, quæque hoc pacto æquipollent convexo colligenti radios parallelos ad intervallum unciarum 3, aut paulo etiam angu$tius. Ex quo $anè majoris vitri ex- cellentia æ$timanda e$t, tam breve convexum perferre valen- tis: quoniam quanto minori de $phæra id fuerit, tanto res vi$æ magis ampliantur. Illud enim in Dioptrici@ no$tri@ de- mon$tratum invenietur, $peciei per tubum vi$æ ad eam quæ nudo oculo percipitur, hanc $ecundum diametrum e$$e ratio- nem, quæ di$tantiæ foci in exteriori vitro ad illam, quæ in interiori $ive oculari vitro e$t, foci di$tantiam. Centuplam _Quantum_ _iis res vi$æ_ _æmplientur_. _Augmentum_ _tele$copio per-_ _ceptum quo-_ _modo æ$time-_ _tur_. itaque fere rationem hanc in per$picillis no$tris e$$e con$tat, cum Galileana non ultra trigecuplam proce$$erint. Nam quan- titatem incrementi eodem modo nos atque ille æ$timamus; nempe ut tanto major res quæque per tubos quam nudo vi- $u con$pici dicatur, quanto majori angulo ad oculum extre- ma ejus deferuntur, $ive quanto latior ejus imago in fundo oculi depingitur.

E$t autem & alia æ$timandi augmenti ratio, $ed parum ex _Alia eju$dem_ _fal$a æ$tima-_ _tio_. vero, cùm ab$que ulla anguli con$ideratione apparentem per- $picillo alicujus rei magnitudinem determinamus; velut cum Jovis orbem circello duorum aut trium digitorum latitudine æqualem nobis cerni putamus. At enim cum idem circulus, trium puta digitorum diametro, major minorve nece$$ario appareat, pro diver$a $ui ab oculo di$tantia, nonne etiam adjiciendum $it, quanto ex intervallo con$pectus c<007>rculus di- $co Jovis æqualis cernatur? Profectò ni$i hoc addatur, nihil certi ea comparat<007>one de$ignari videtur. Et tamen ratio $ub- e$t cur magis una quæpiam quam alia magnitudo imagini vi- $æ tribuatur, & quidem à pluribus $æpe $pectatoribus eadem. Verùm de his aliàs forta$$e. In præ$entia illud o$tendi$$e $uf- fecerit, fallacem omnino e$$e hoc modo initam æ$timatio- nem. Idque primùm inde liquet, quod Lunâ aut $igno ali- quo cæle$ti, velut Orione, prope horizontem con$pecto, idem longè majus vi$us judicet, quam ubi altè jam ac $upra verticem penè ad$titerit, cum tamen hîc nihilo minori angu- lo illud comprehend<007> certum $it. In his autem quæ tele$copio [0267]SYSTEMA SATURNIUM. intuemur major adhuc error contingit. nam cum, exempli gratia, vel triplo latior $ecundum diametrum appareat Jupi- ter, oculo altero per tele$copium no$trum $pectatus, quam Luna oculo altero vacuo, atque adeo utrâque hac $pecie, in unum convenire ju$sâ, latè à JoveLuna contegatur; nihilo- minus cum $eor$im Jupiter in$picitur, trium circiter dig<007>to- rum latitudinem pleri$que $pectatoribus æquare tantummodo exi$timatur. quanquam aliquos repererim qui di$co Lunari æ- qualem faciebant, atque ita tertiam partem $altem tribuebant ejus quæ reip$a apparet amplitudinis. Quamobrem de mul- tiplicatione tele$copii malè hoc modo inquiri certum e$t. Fiet autem rectè Galilei methodo, quam in Sidereo nuntio tradi- dit; vel, quia hæc in prægrandibus tele$copiis difficultatem habet, inquirendo foci di$tantias in $ingulis vitris, ea$que in- ter $e comparando. Qua ratione diximus centuplum fere au- gmentum tuborum no$trorum reperiri.

Cæterùm libenter intellecturos credo qui hæc legent, qua- _Quæna@_ _circa plan@-_ _tas cæteros &_ _fixas ob$er-_ _vata_. lia etiam eorum ope de reliquis præter Saturnum planetis fi- xi$que $tellis ob$ervaverimus: de quibus breviter ergo hæc habeant. In primis $æpe illud quæ$ivimus, num aliqui etiam apud Venerem, Martem aut Mercurium comites circumfer- rentur, ubi tamen nullos unquam reperimus. Apud Jovem autem quatuor neque amplius. Qui quidem $emper ac facilè tele$copio no$tro patent, ni$i cum d<007>$co $uo aut umbra Jupi- ter aliquem ab$condit. Inde verò quamprimum rur$us emer- gere incipiunt fiunt con$picui, imò priu$quam toti exierint, ut non $emel me vidi$$e memini. Porrò quæ in Jove zonæ _In Jovis_ _di$co zonæ_ _candicantes_. $eu fa$ciæ quibu$dam animadver$æ $unt, non $emper eâdem formâ præditæ; has ego & qui mecum ob$ervarunt per$pi- cuè $æpe animadvertimus reliquo Jovis corpore magis luci- das, cum tamen alii ob$curiores a$$erant; quibus for$itan in- terjectum $patium inter binas zonas lucidiores pro una ob- $curiore fuerit. Atque anno quidem 1656, multo majori in- TAB. XLVII. Fig. 1. 2. tervallo, quam $equentibus tribus, illas à $e mutuo di$tare comperimus, $icut in adjunctis delineationibus videre e$t. Qua ex in$tabilitate non malè for$an colligemus, ad in$tat [0268]CHRIST. HUGENII nubium no$trarum, vapores quo$dam vicinum Jovi ætherem in$idere, qui nunc his nunc <007>llis climatis crebri magis con- fertique exoriantur.

In Marte quoque cingulum eju$modi unicum anno 1656 _In Marte_ _zona ob-_ _$cura_. deprehendi, latum admodum, mediámque di$ci partem of- fu$cans, quemadmodum figura adjecta demon$trat. In$u- TAB. XLVII. fig. 3. per di$cum planetæ hujus parte aliqua deficientem vidi ali- quoties, & in Venere pha$es omnes quales Lunæ. Verùm hæc minoribus etiam tele$copiis alii notarunt.

Fixarum autem diametros etiam maximè $plendidarum nul- _Fixarum_ _diametri_ _nulla la-_ _titudin@_. la unquam latitudine cernere potui, $ed tantum minimi pun- cti in$tar, quoties vitris u$us $um fuligine leviter infectis ad auferendos radios. At ex Hevelii con$ilio, quod in egre- gio ejus extat opere Selenographico, exterius vitrum conte- gens, ita ut exiguum tantum foramen relinquatur, ali- quam magnitudinem præ $e ferre illas vidi; quam proinde non $tellarum propriam e$$e, $ed ex aliqua vi$us fallacia na$ci arbitror. Nam no$tra quidem illa methodus, trans fumum, quo lens proxima oculo tincta e$t, $tellas in$picien- di, certa e$t omnique erroris $u$picione carens; atque ita planetas quoque nimia luce radiantes, $olemque ip$um in- tueri $olemus. Foramine autem exiguo majorem lucis par- tem excludendo, non tolli penitus circumfu$os $ideribus ra- dios, $ed in orbem minorem $ati$que perfectè circinatum eos cogi opinor, qui imprudentibus pro ip$ius $tellæ corpo- re imponat.

Unum verò circa fixas phænomenon relatu dignum oc- _Phænom@-_ _non in_ _Orione no-_ _vum_. currit, à nemine hucu$que, quod $ciam, animadver$um, nec quidem ni$i grand<007>bus hi$ce tele$copiis rectè ob$er- vandum. In Orionis en$e tres $tellæ ab A$tronomis repo- nuntur inter $e proximæ. Harum mediam Anno 1656 for- tè per tubum in$picientimihi, pro $tella una duodecim (quod quidem minimè novum) $e$e obtulerunt; eo po$itu quem TAB. XLVII. fig. 4. $ubjecta figura expre$$imus.

Ex his autem tres illæ pene inter $e contiguæ, cumque his aliæ quatuor, velut trans nebulam lucebant, ita ut $pa- [0269]SYSTEMA SATURNIUM. tium circa ip$as, qua forma hîccon$picitur, multo illu$trius appareret reliquo omni cælo; quod cum apprime $erenum e$$et ac cerneretur nigerrimum, velut hiatu quodam inter- ruptum videbatur, per quem in plagam magis lucidam e$$et pro$pectus. Idem verò in hanc u$que diem nihil immutata facie $æpiùs atque eodem loco con$pexi; adeo ut perpetuam illic $edem habere credibile $it hoc quidquid e$t portenti; cui certè $imile aliud nu$quam apud reliquas fixas potui animad- vertere. Nam cæteræ nebulo$æ olim exi$timatæ, atque ip$a via lactea, per$pic<007>llo in$pectæ, nullas nebulas habere com- periuntur, neque aliud e$$e quam plurium $tellarum conge- ries & frequentia.

In Lunæ facie autem quàm multa, diligenti$$imis quibus- que ob$ervatoribus præterita, tubis no$tris detegantur, non referam; quandoquidem $chemate ad hoc de$cripto opus e$- $et, eoque ampli$$imo. Quem laborem hactenus non $u$- cepimus, credimu$que exiturum in immen$um, $i montium omnium eminentias & anfractus, qua multitudine nobis vi- dentur, depingere conemur. Itaque ad Saturni ob$ervatio- nes pergo, de quibus $ciendum e$t, priores omnes, u$que ad eam quam 19 Febr. Anno 1656 annotavimus, tubo 12 pedum peractas e$$e, reliquas pedum 23. Uterque autem ever$o $itu vi$ibile referebant, ideoque $chemata omnia, non ut primùm de$cripta fuerant, hîc expre$$imus, $ed $upera inferis, dextra $in<007>$tris permutavimus, ut vera pateret di$- po$itio.

Die igitur, $ecundum Calendarium Gregorianum, 25 _Circa Sa-_ _turnum ob-_ _$ervationes_. Martii, Anno 1655, circa horam 8 ve$pertinam, Saturnum con$pexi cum brach<007>is utrinque $ecundum rectam lineam ex- TAB, XLVII. fig. 5. tentis; tribu$que fere $crupulis ab eo di$tantem occa$um ver$us $tellulam quandam exiguam _a_, $ic $itam, ut $i per bra- chium u@rumque recta duceretur, ea in illam incurreret, aut certè pauxillo tantum inferior tran$iret. Alteraque item ver$us orientem $tellula _b_ aderat, paulo longius à Saturno re- mota, & brachiorum lineâ multo <007>nferior. Et hac quidem prima vice $u$picatus $um $tellam _a_ Saturnum comitari, quo- [0270]CHRIST. HUGENII niam alias quoque vicinam illi animadverteram, $imilique fe- re po$itu.

Porrò brachia Saturni recta quidem utrinque exten$a cer- TAB. XLVII. fig. 6. nebantur, $ed ver$us extremas cu$pides cra$$iora paulo quam qua parte Saturni di$co cohærebant, qualia $equens $chema exhibet.

Eâque formâ u$que ad occa$um Heliacum Saturnus per$titit. Cæterum cum po$t pha$in rotundam Anni 1656 brachia denuo recepi$$et, eadem quidem illa forma rever$a e$t duodecempedali tubo $pectanda: $ed tunc majori tubo 23 TAB. XLIX. fig. 6. pedum adhibito alteram hanc figuram veriorem e$$e patuit; unde antea quoque talem extiti$$e credibile f<007>ebat, quæ ta- men minori tele$copio perfectè con$pici nequii$$et. At li- neam illam ob$curam, brachia utraque conjungentem, ac to- ta tamen infra $e relinquentem, etiam 12 pedum tele$copio notavimus.

Die $equenti, nempe 26 Martii $tella _a_ eodem modo ea- TAB. XLVII. fig. 7. demque qua prius di$tantia juxta Saturnum collocata erat, _b_ verò duplo quam ante remotior. Unde, quum di$tantia inter $e $tellularum _a_ & _b_ major e$$et effecta, $equebatur vel utramque vel alteram $altem erraticam e$$e. Et $tellam qui- dem _a_ nece$$ario talem judicavi, quoniam Saturnum eo tem- pore retrogradum e$$e noveram; itaque oportebat cum Sa- turno illam in eandem plagam delatam e$$e, quum alioqui propinquior multo f<007>eri debui$$et. Altera vero _b_, quomi- nus fixa cen$eretur nihil ob$tabat, imo pror$us ita exi$tima- ri con$entaneum erat, cum una die tantum ab illa Saturnus rece$$i$$et, quantum motus ejus po$tulabat. Neque verò a- liter $e rem habui$$e $equentes ob$ervationes o$tendunt.

Martii 27. $tella _a_ Saturno propior facta erat: _b_ verò TAB. XLVIII. fig. 1. adhuc longius rece$$erat.

Inde nubili dies interce$$erunt u$que ad 3 Apr. quo die fixam _b_ non amplius annotavi, $ed $tellula _a_ migraverat ad Sa- turni latus Orientale, rur$u$que fere 3 $crupulis di$tabat. _fig_. 2.

Quinque diebus $equentibus, rur$us ut ante impeditæ ob- $ervationes.

[0271] [0271a] Pag. 542. Fig. 1. ♃ Fig. 2. ♃ Fig. 3. ♂ Fig. 5. _25 Mart. 1655_. * _a_ _b_ * Fig. 7. _26 Mart_. * _a b_ * Fig. 4. Fig. 6. [0272] [0273]SYSTEMA SATURNIUM.

9 Apr. denuo ad occidentem $itus erat comes _a_ $icut 27 TAB. XLVIII. fig. 3. Martii, fixaque altera _c_ à parte orientali Saturno admodum propinqua animadvertebatur, uno circiter $crup. di$tans, lineaque brachiorum, uti præcedens, inferior.

10 Apr. Saturnus à fixa _c_ longius ab$ce$$erat, & comes à Saturno. _fig_. 4.

Diebus duobus $equentibus aucta fuit continuè di$tantia $tellæ _c_, comitis _a_ eadem fere man$it. Nempe

11 Apr. hic po$itus fuit. _fig_. 5.

12 Apr. talis. _fig_. 6.

13 Apr. comes videri nequiit, quoniam & Saturno pro- pior factus erat, & Luna adventabat. Fixa _c_ ulterius $em- per recedebat, $ed lentiore pa$$u. _fig_. 7.

14 & 15 Apr. comes non apparuit ob viciniam Saturni.

16. Cælum nubilum.

17. Comes ad ortum $itus erat, di$tans fere 3 $crup. $tel- la vero _c_ longius abierat, $emper tamen oculis notata; Ac po$tea quidem eadem ad Saturnum rever$a e$t, ut $equentes ob$ervationes docebunt. _fig_. 8.

18. Apr. comes $itum muta$$e non videbatur.

19. Apr. paulo propius ad Saturnum acce$$erat. _fig_. 9.

20. Apr. magis appropinquaverat. _fig_. 10.

21. Apr. Adhuc magis; cernebaturque an$arum lineâ pau- lo $uperior. _fig_. 11.

29 Apr. Occidentalior Saturno comes factus erat, ac tan- tundem di$tabat quantum 21. Apr. _fig_. 12.

Ultima Apr. Comes prope Saturnum delituit.

3 Maji, in quem diem in$titio Saturni incidit, comes in maxima ab eo di$tantia videbatur, orientem ver$us. _fig_. 13.

Diebus in$equentibus u$que ad 27 Maii, eju$modi po$i- tus fuit qualem exhibent $chemata $ubjecta.

6. Maji. _fig_. 14.

7. Maji. _fig_. 15.

10. Maji. _fig_. 16.

11. Maji. _fig_ 17.

12. Maji. _fig_. 18.

[0274]CHRIST. HUGENII

14. Maji. _fig_. 19.

15. Maji. ægre con$pectus comes propter in$tans pleni- lunium. _fig_. 20.

17. Maji, Comes non apparuit.

18. Maji. _fig_. 21.

19. Maji. _fig_. 22.

20. Maji. _fig_. 23.

27. Maji, Comes occidentem ver$us in maxima à Satur- no di$tantia reperiebatur. Saturnus autem jam rur$us ad $tellam _c_ $uperius notatam appropinquare cœperat, remotus circiter 10 $crup. Ita verò nunc po$ita hæc erat, ut linea brachiorum Saturni continuata $ubter eam ferretur, cum die 10 Apr. $upra tran$ii$$et. Sed & Saturni ip$ius $emita, uti ex $equenti ob$ervatione liquebit, $tellâ _c_ inferior hac vice fuit, quæ priori illius applicatione $uperior contigerat. _fig_. 24.

Ultima Maji, Saturnus $tellam _c_ jam præterierat; comes ad occa$um $itus erat, $ed aliquanto propior quam die 27. _fig_. 25.

13 Jun. Ultima fuit ante occa$um Heliacum ob@ervatio, comes in maxima di$tantia cernebatur, Saturno occidenta- lior. _fig_. 26.

Po$tquam ex radiis Solaribus Saturnus emer$i$$et Anno 1656. _Saturnus_ _brachiorum_ _expers in-_ _ventus_. Jan. 16, hora 12, primùm à me ob$ervatus e$t, cum ad hoc u$que tempus peregre abfui$$em. Inveni autem brachiis $uis $poliatum penitus, & comitem ad orientem $itum, in ma- xima fere di$tantia. _fig_. 27.

Rotundum autem Saturnum, $ub finem Novembris, ali- TAB. LI. fig. 4. qui jam ob$ervaverant; eâque formâ per$titit u$que dum rur- $um radios Solis $ubiret.

19 Febr. tubo 23 pedum primùm u$us $um, comitemque TAB. XLVIII. fig. 28. Saturno propinquum reperi, ubi priori tele$copio ægre po- tui$$et animadvert<007>.

16 Martii, circa octavam adhuc propiorem Saturno co- mitem vidi, ad orientem $pectantem, uti ob$ervatione $u- periori. _fig_. 29.

30 Martii, hora 8, pari propinquitate, $ed ad alteram partem comes $tabat. _fig_. 30.

[0275]SYSTEMA SATURNIUM.

18 Apr. ad ortum $itus erat comes in maxima di$tantia. _fig_. 31.

17 Jun. hora 9{1/2} ultimo ea vice ob$ervatus fuit Saturnus, $atellite ver$us occidentem ad$tante, & mediocriter re- moto. _fig_. 32.

Hi@ce autem ob$ervationibus omnibus quandiu Saturnus rotundus apparuit, tran$ver$a illa linea, cæteris di$ci parti- bus paulo ob$curior, ex æquo medium ejus di$cum $ecabat, eratque ad $atellitem directa. Et hac quidem ob$ervatione 17 Junii habita, primùm animadverti motum Saturni, eum $cilicet quo propter telluris vertiginem cum cælo pariter quo- tidie c<007>rcumferri putatur, $ecundum eandem illam incedere lineam.

Eodem Anno 1656, Octobris die 13, manè hora 6, rur- _Brachia Sa-_ _turno rena-_ _ta_. $us Saturnus videri cœpit, cui jam brachia erant renata; $e- rius quidem quàm in ob$ervatione edita prædixeram, verùm TAB. LI. fig. 5. haud aliâ formâ, quæ nimirum eadem planè fuit atque anno præcedenti: licet melius nunc cuju$modi e$$et di$cerneretur, ob adhibitos tubos præ$tantiores.

Fa$cia autem illa $eu zona ob$curior, paulò inferior bra- chiorum linea nunc apparebat, cum anno 1655 $uperior fu- i$$et. Eratque Saturni motus, quo cum cælo corripi vide- tur, $ecundum hujus zonæ ductum, ac proinde $ecundum rectam quoque lineam per utraque brachia proten$am, ac $emper po$tea quotquot ob$ervationibus idem inquirere li- buit, eodem modo rem $e$e habere comperi. Comes con- $pici hac vice nequiit, forte an ob ingrue@tem Solis exortum, aëremque cra$$iorem prope horizontem.

Die autem 19 Oct. hora 6 mat. apparuit comes Saturno TAB. XLVIII. fig. 33. occidentalior, vix mediocri di$tantia ab$i$tens, quæ diebus $equentibus duobus aucta e$t continuè.

21 Oct. hora eâdem, erat comes in di$tantia maxima oc- cidentali. _fig_. 34.

25 Oct. hora 6. mat. non apparuit comes.

9 Nov. hora 5{1/2} mat propinquus Saturno comes exi$tebat, occidentalis rur$um, ac lineâ an$arum paulo $uperior. _fig_. 35.

26 Nov. hora 6{1/2} mat. comes latuit. Brachia vero paulo [0276]CHRIST. HUGENII latiora eva$erant, & quà Saturno junguntur, minus inten$a luce quàm ver$us extremas cu$pides lucebant, & hac fere $pe- cie ad occa$um u$que Heliacum Saturnus perman$it.

27 Nov. hora 6 mat. $atelles ægre con$piciebatur, ad o- rientem $itus, & brachiorum linea $uperior. _fig_. 36.

16 Dec. 6 mat. videbatur $atelles in maxima di$tantia o- rientali. _fig_. 37.

Anno 1657, 5 Jan. hora 12{1/2} comes latebat.

18 Jan. hora 12, erat in mediocri di$tantia, orientem $pe- ctans. _fig_. 38.

A Saturno autem polum ver$us dimidio circiter gradu di- $tabat fixa 3 magnitudinis, quæ e$t in ventre Leonis, longi- tudine re$pondens Virginis gr. 4. 5′. cum latit. borea gr. 2. 49′.

22 Martii hor. 7{1/2} ve$p. comes in maxima di$tantia orien- tali, & an$arum linea paulo $uperior; l<007>nea ob$cura non $a- tis erat con$picua.

Scrip$it mihi Hevelius $e quoque pridie hujus diei comi- tem Saturni ob$erva$$e ad orientem $itum in maxima di$tan- tia, quod $atis bene cum no$tra hac ob$ervatione convenit.

29 Martii hora 7{1/2} comes erat in mediocri di$tantia occi- dentem ver$us, & in eadem cum brachiis recta. _fig_. 39.

30 Martii, comes in maxima di$tantia occidentali. _fig_. 40.

Qua ve$pera Hevelius quoque ad eandem partem $ib<007> con- $pectum a$$erit, $ed difficulter, unde forta$$e de di$tantia mi- nus recte judicaverit, nam 1{1/2} $crupulo tantum abfui$$e à Sa- turno $cribit.

18 Maji, comitem mecum ob$ervavit Bullialdus occiden- taliorem Saturno, & in mediocri di$tantia. _fig_. 41.

19 Maji, proximus Saturno ad$tabat comes occidentem ver$us, vix an$arum linea $uperior. _fig_. 42.

Anno eodem 1657. 17 Dec. hora 5{1/2} manè, quo die pri- _Brachia_ _Saturni in_ _an$as muta-_ _ri cœpta_. TAB. XLIX. fig. 7. mùm po$t ortum Heliacum Saturnum ob$ervavi, comes me- diocriter di$tabat orientem ver$us, eratque an$arum lineâ $u- perior. _fig_ 43. Brachia verò prope Saturni di$cum adaper- ta ac bifida inveniebam, qualia ante non videram, lineâ quo- que ob$curâ ver$us inferiora ulterius promotâ.

[0277]SYSTEMA SATURNIUM.

Et hac quidem figurâ perman$it, donec rur$us radiis $olis occultaretur.

18 Dec. comes erat in maxima di$tantia, orientem $pe- ctans, & in ip$a an$arum linea. _Tab_. XLVIII. _fig_. 44.

22 Dec. h. 6{1/2} mat. comes non apparuit.

27 Dec. h. 6{1/2} mat. comes occidentem ver$us in maxima fere di$tantia $itus erat, & an$arum linea paulo altior. _fig_ 45.

Anno 1658. 24 Febr. h. 10, comes videri nequiit.

1 Mart. h. 10, idem comitis $itus erat qui 27 Dec.

11 Martii, h. 10, comes difficile con$piciebatur, quippe propinquus admodum Saturno. Orientem $pectabat, erat- que an$arum linea aliquanto inferior, & qua$i $ub Saturno tran$iturus. _fig_. 46.

16 Mart. h. 10 quantum poterat à Saturno comes rece$$erat occidentem ver$us, vixque erat an$arum linea $uperior. _fig_. 47.

23 Martii, in contrariam partem pene tantundem di$ta- bat, lineâ an$arum rur$us paulo $uperior. _fig_. 48.

3 Apr. paulo remotior erat à Saturno comes, quam 11 Martii, & occiduum latus tenebat, lineaque an$arum $ubli- mior cernebatur. _fig_. 49.

Anno eodem 1658. 10 Nov. hor. 6{1/2} mat. po$tquam He- _An$æ Satu@_ _ni amplius_ _pate$actæ_. liace ortus e$$et Saturnus, jam latius aperiri an$æ videban- tur, quanquam ob humilitatem $ideris, $urgente$que vapo- res, & auroræ claritatem non admodum di$tincte poterant di$cerni: comes occidentem ver$us ad$tabat, remotus ut cum maximè, an$arum linea nonnihil tamen $uperior. _fig_. 50.

16 Jan. anno 1659. hora 5{1/2} mane, comes ad occidentem denuo $itus erat, non longe à Saturno di$tans, linea autem an$arum integra fere Saturni diametro $uperior. _fig_. 51.

12 Febr. 6 mat. tantundem infra lineam an$arum de$cen- derat, occidentalis rur$us. _fig_. 52.

Forma verò an$arum di$tincte hac vice percipi potuit, quam TAB. LI. fig. 6. figura hæc exhibet; atque ea ad ultimam u$que harum ob$er- vationum talis extitit.

24 Febr. hora dimidia po$t mediam noctem, comes erat in mediocri di$tantia, orientem ver$us, rectâ an$arum pau- [0278]CHRIST. HUGENII lo inferior. _Tab_. XLVIII. _fig_. 53.

25 Febr. horâ eadem orientalis denuo comes cernebatur, una Saturni diametro ab ip$o remotus. _fig_. 54.

14 Martii, hora 12, comes recta fere infra Saturnum ob- _Comes in$ra_ _Saturnum_ _tran$ire vi-_ _$us_. $ervatus, unius circiter diametri longitudine di$tans; paulum tamen ver$us occidentem declinabat. _fig_. 55.

16 Martii, hora 11, ad latus occiduum po$itus erat, fere in maxima di$tantia, inferiorque paulo eâ quæ per an$as du- citur. _fig_. 56.

21 Martii, hora 11, rur$us ad eandem partem con$i$tebat _Idem $upra_ _Saturnum_ _tran$iens_. comes, motu latitudinis integra Saturni diametro $upra an- $arum lineam elatus, longitudinis motu tantum dimidia dia- metro di$tans. _fig_. 57.

22 Martii, horæ quadrante ante undecimam; rur$us in- tegra diametro $uperior erat rectâ an$arum, ac fere $upra orientalis an$æ extremam cu$pidem collocatus. _fig_. 58.

26 Martii, hora 10{1/2} comes in maxima di$tantia videba- tur; quam accuratè hac vice dimen$us, inveni inter comi- tem centrumque Saturni intervallum trium $crupulorum pri- morum, 16 $ecundorum. _fig_. 59.

Hucu$que ob$ervationes, & plures quidem quam nece$$e fuerat, recen$ui; rem gratam tamen iis me facturum ratus, qui triennio i$to $imul for$itan mecum novo Planetæ ob$er- vando vacaverint; quibus procul dubio jucundum erit con- $en$um mutuum $uarum cum no$tris ob$ervationibus depre- hendere. Jam enim & Hevelius Gedani eum con$picere an- te biennium cœpit, ut $upra quoque retuli, & in Anglia D. Paulus Nelius eques cum Clari$$imo Wrennio ip$o jam An- no 1655, $ibi animadver$um quandoque a$$erunt, nec tamen Planetam e$$e cognovi$$e donec à nobis e$$ent admoniti. Nunc quo pacto periodum ejus inve$tigaverim, quæque por- ro ad illam pertinent expediam.

Pen$itatis priorum aliquot men$ium ob$ervationibus, cum _Luna Satur-_ _nia periodus_. circiter 16 dierum $patio Saturnum à Luna $ua ambiri com- peri$$em; nam quo loco animadver$a fuerat 25 Mart. 1655, ad eum $exto decimo inde die redii$$e vi$a e$t, 10 nimirum [0279]SYSTEMA SATURNIUM. Apr. Itemque eodem anno die 3 & 19 Apr. idem $itus fue- TAB. LI. fig. 3. rat deprehen$us; nec non 13 & 29 eju$dem men$is. Hi$ce igitur animadver$is, circulum de$crip$i orbitam comitis refe- rentem, in cujus centro Saturnus e$$et, atque in partes 16 di$tribui, uti Schema $ubjectum exhibet. In eo comitem, $ecundum $ignorum ordinem, circumduxi; nulla tum qui- dem ob$ervatione ut ita $tatuerem cogente, $ed quod in eam partem Luna quoque no$tra & Jovis comites deferren- tur. Po$tmodum autem $tabilita hypothe$i, qua phæno- mean an$arum explicantur, patuit recte ita hunc morum me con$titui$$e. Porro in hoc circulo locum comitis quærendo quo in prima no$tra ob$ervatione $teti$$et, $æpiu$que eun- dem retractando, ut ob$ervationibus per id tempus habitis congruerent etiam reliqua loca in circulo comiti a$$ignata; ita demum commodi$$imè repre$entari omnia vi$um e$t, $i pri- ma ob$ervatione, nempe 25 Mart. 1655, ad numerum 12 comes reponeretur, 3 partibus cum dimidia, qualium 16 cir- cumferentia continet à loco perigæo B remotus; nam dia- metrum AB ad vi$um no$trum vergere ponimus, & utra$que hujus epicyclii ap$ides determinare. Fuerit igitur 26 Mart. ad num. 13, Saturni comes: & 27 Mart. ad num. 14, & 3 Apr. ad num. 5, atque ita deinceps iis orbitæ locis quæ ob- $ervatis primi anni exactè $atis conveniunt, quanquam ali- quid $ubinde addendum auferendumve 16 dierum periodo exi$timaverim. Cum autem $cirem etiam orbitæ terre$tris, qua nos circa Solem ferimur, ip$iu$que Saturni motus ratio- nem habendam e$$e, $i accuratè comitis periodum definire vellem, proinde $equenti methodo eam deinceps inve$tigavi.

Bina tempora quæ$ivi quibus in apogæo vel perigæo co- _Eadem peri@-_ _dus accura-_ _tius $upputa-_ _ta_. mes ver$atus e$$et; quorum alterum inveni 14 Martii, anno 1659, ve$peri circa horam octavam. Quia enim hora noctis 12 tantum prætergre$$us erat locum perigæi quantum ex ob- $ervatione illo tempore habita apparet, oportet eum circiter octavam in perigæo ip$o fui$$e. Alterum $imilem comitis $i- tum colligo contigi$$e die 23 Martii, anno 1656, hora iti- dem octava po$t meridiem. Etenim quia die 16 & 30 eju$- [0280]CHRIST. HUGENII dem men$is hora 8 p. m. æquali $patio à Saturno remotus apparuit, quibus diebus circa partem $uæ orbitæ $uperiorem ver$atum con$tat, $equitur 16 Martii medium locum eum tenui$$e inter puncta 1 & 2 circuli modò de$cripti; 30 verò Martii medium fui$$e inter puncta 15 & 16; quoniam 14 d<007>e- rum intervallum e$t. Ac proinde nece$$ario perigæus fuit die 23 Mart. po$t meridiem circa horam octavam.

Cognitis hi$ce temporibus de$cribo circulum A B C, qui TAB. XLIX. fig. 1. Saturni orbitam de$ignet, itemque G F orbitam Telluris, in cujus centro Sol. Saturni locum $umo ad diem 23 Martii 1656, hora 8 po$t mer. fui$$e in A; quo tanquam centro de$cribo comitis orbitam D E L; Tellurem vero eo tempore fui$$e in G. Locus itaque comitis erat in D, ubi recta G A circulum comitis inter$ecat, $iquidem perigæum fui$$e con- ftat. Rur$us po$ito ad diem 14 Martii 1659. hora 8. po$t mer. loco Saturni in B, tellure vero in F; nece$$e e$t comi- tem fui$$e in H, ubi recta F B $ecat circulum ejus N H K. E$t autem temporis intervallum inter 23 Martii 1656, & 14 Martii 1659, dierum 1086, quibus Saturnus ab A progre$- $us e$t ad B: Comitem vero $patio dierum 16 circuitum u- num ab$olvere $cio, atque in$uper exiguum quid, quod in annis tribus circuitum integrum conficere nequeat. Quum igitur divi$is diebus 1086 per 16 fiant 67, atque aliquot dies abundent, apparet 68 circuitus integros no$tri re$pectu co- mitem peregi$$e, quia in H rur$us perigæus fuit. Sit B K parallela A G. Si igitur 14 Mart. 1659, comes non in H $ed in K po$itus fui$$et; $equeretur eum hi$ce 1086 diebus $exagies octies orbitam $uam decurri$$e fixarum re$pectu, hoc e$t, totidem men$es periodicos, $ive $idereos potius, Saturni incolis præbui$$e. Nam quando rectæ A D, B K fecundum quas ex Saturno comes pro$picitur, inter $e paral- lelæ $unt, eundem inter fixas locum illis obtinere cernitur. Nunc verò in$uper arcum K H emen$us e$t, qui totidem e$t graduum quot apparenti motu Saturnus inter prædicta duo tempora tran$ivit; quoniam angulus H B K æqualis e$t ei quem con$tituunt rectæ F B, G A, motus apparentis indi- [0281] [0281a] Pag. 550. TAB. XLV III. Fig. 1. * _a_ * _b_ _27. Mart. 1655_. Fig. 2. _a_ * _3. Apr_. Fig. 3. * _a_ _c_ * _9. Apr_. Fig. 4. * _a_ * _c_ _10. Apr_. Fig. 5. * _a_ _c_ * _11. Apr_. Fig. 6. * _a_ _c_ * _12. Apr_. Fig. 7. * _c_ _13. Apr_. Fig. 8. _a_ * _17. Apr_. Fig. 9. * _19. Apr_. Fig. 10. * _20. Apr_. Fig. 11. * _21. Apr_. Fig. 12. * _29. Apr_. Fig. 13. * _3. Maii_. Fig. 14. * _6. Maii_. Fig. 15. * _7. Maii_. Fig. 16. * _10. Maii_. Fig. 17. * _11. Maii_. Fig. 18. * _12. Maii_. Fig. 19. * _14. Maii_. Fig. 20. * _15. Maii_. Fig. 21. * _18. Maii_. Fig. 22. * _19. Maii_. Fig. 23. * _20. Maii_. Fig. 24. * _c_ _a_ * _27. Maii_. Fig. 25. _c_ * _31. Maii_. _a_ * Fig. 26. * _13. Iun_. Fig. 27. * _16. Ian. 1656_. Fig. 28. * _19. Febr_. Fig. 29. * _16. Mart_. Fig. 30. * _30. Mart_. Fig. 31. * _18. Apr_. Fig. 32. * _17. Iun_. Fig. 33. * _19. Oct_. Fig. 34. * _21. Oct_. Fig. 35. * _9. Nov_. Fig. 36. * _27. Nov_. Fig. 37. * _16. Dec_. Fig. 38. * _18. Ian. 1657_. Fig. 39. * _29. Mart_. Fig. 40. * _30. Mart_. Fig. 41. * _18. Maii_. Fig. 42. * _19. Maii_. Fig. 43. * _17. Dec_. Fig. 44. * _18. Dec_. Fig. 45. * _27. Dec_. Fig. 46. * _11. Mart 1658_. Fig. 47. * _16. Mart_. Fig. 48. * _23. Mart_. Fig. 49. * _3. Apr_. Fig. 50. * _10. Nov_. Fig. 51. * _16. Ian. 1659_. Fig. 52. _12. Febr_. * Fig. 53. * _24. Febr_. Fig. 54. _25. Febr_. * Fig. 55. _14. Mart_. * Fig. 56. _16. Mart_. * Fig. 57. * _21. Mart_. Fig. 58. * _22. Mart_. Fig. 59. _26. Mart_. * [0282] [0283]SYSTEMA SATURNIUM. ces; i$que motus ex Ephemeridibus invenitur fui$$e gr. 40, 48′. Sic itaque colligo; $i diebus 1086 ab$olvit periodos 68, atque in$uper gr. 40, 48@, hoc e$t gr. 24520, 48′, quantum ergo die una? Prodeuntque gr. 22, 34′, 44″, qui motus co- mitis diurnus e$t re$pectu fixarum. Ad men$is $iderei lon- gitudinem inveniendam ita calculum in$tituo; $i gr. 24520, 48′ percurrit diebus 1086, quot dies impendet gradibus 360? fiunt dies 15, horæ 22, $cr. 39. $patium quo ad eandem fi- xam Saturni incolis Luna $ua revertitur.

Deinde medium motum diurnum à $ole (qui minor e$t motu quo re$pectu fixarum comes progreditur, ut in no$tra quoque Luna evenire novimus) ita reperio; Saturni motum medium diurnum qui 2 e$t minutorum, aufero ab invento motu diurno re$pectu fixarum gr. 22, 34′, 44″. unde $uper- $unt gr. 22, 32′, 44″, diurnus motus à Sole. Atque hinc _Men$is Sa-_ _turnicola-_ _rum vera_ _longitude_. facile quoque men$is Synodici Saturnicolarum media longi- tudo computatur. Nempe $i gr. 22, 32′, 44″, uno die per- curruntur, quot igitur diebus gr. 360? Fiuntque dies 15, horæ 23, $cr. 13. Reliquis duntaxat 47 $crupulis ad dies 16. Atque illud etiam medium tempus e$t quo no$tri re$pectu ad apogæum $uum Saturni comes revertitur, $ive intra quod cum Saturno bis conjungitur.

Cæterum quia ex motu comitis illud præcipue inve$tigari meretur, quo pacto ad datum quodvis tempus $itus ejus a- pud Saturnum exhiberi po$$it; o$tendemus nunc brevi$$imam ad hoc calculi rationem, $equentium tabularum ope ab$ol- vendam; in quibus motum comitis æqualem qualis ex Satur- no fixarum re$pectu appareret, proponimus. Hunc autem diurnum ad$um$imus gr. 22, 34′, 44″, $icut modo inventus fuit. Et$i enim expertus $um, iterato eodem examine adhi- biti$que aliis duobus temporibus quibus comes fuit apogæus aut perigæus, aliquot $ecundis $crupulis majorem interdum minoremve eundem motum reperiri, i$tum tamen medium quo- dammodo inter alios retineri po$$e ratus $um, po$t plures ab- hinc elap$os annos facile emendandum. Nam & inæqualitas puto aliqua, & eccentricitas, quemadmodum in Luna no$tra, ita circa hanc quoque, diligenti ob$ervatione olim deprehen- di poterit.

[0284]CHRIST. HUGENII Tabul@ motus æqualis Lunæ Saturniæ in orbita $ua re$pectu fixarum. ## _In Annis Fulianis_. # _Gr_. # _Min_. 1 # 321 # 18 2 # 282 # 35 3 # 243 # 53 4 # 227 # 45 5 # 189 # 3 6 # 150 # 21 7 # 111 # 38 8 # 95 # 31 9 # 56 # 48 10 # 18 # 6 11 # 339 # 24 12 # 323 # 16 13 # 284 # 34 14 # 245 # 51 15 # 207 # 9 16 # 191 # 2 17 # 152 # 19 18 # 113 # 37 19 # 74 # 55 20 # 58 # 47 _In Men$ibus anni @uli@-_ _ni ineuntibus_. Janu. # 0 # 0 Febr. # 339 # 57 Mart. # 252 # 9 April # 232 # 6 Maji # 189 # 28 Junii # 169 # 25 Julii # 126 # 47 Aug. # 106 # 43 Sept. # 86 # 40 Octo. # 44 # 2 Nov. # 23 # 59 Dec. # 341 # 21

Si fuerit datus annus interc@la- ris, po$t Februarium @@us dies, eoque & unius diei m@tus ad@ dendus e$t.

## _In Diebus_. # _Gr_. # _Min_. 1 # 22 # 35 2 # 45 # 9 3 # 67 # 44 4 # 90 # 19 5 # 112 # 54 6 # 135 # 28 7 # 158 # 3 8 # 180 # 38 9 # 203 # 13 10 # 225 # 47 11 # 248 # 22 12 # 270 # 57 13 # 293 # 32 14 # 316 # 6 15 # 338 # 41 16 # 1 # 16 17 # 23 # 50 18 # 46 # 25 19 # 69 # 0 20 # 91 # 35 21 # 114 # 9 22 # 136 # 4 23 # 159 # 19 24 # 181 # 54 25 # 204 # 28 26 # 227 # 3 27 # 249 # 38 28 # 272 # 13 29 # 294 # 47 30 # 317 # 22 ## _In Horis_. # _Gr. Mi_. 1 # 0 # 56 2 # 1 # 53 3 # 2 # 49 4 # 3 # 46 5 # 4 # 42 6 # 5 # 39 7 # 6 # 35 8 # 7 # 32 9 # 8 # 28 10 # 9 # 24 11 # 10 # 21 12 # 11 # 17 13 # 12 # 14 14 # 13 # 10 15 # 14 # 7 16 # 15 # 3 17 # 16 # 0 18 # 16 # 56 19 # 17 # 52 20 # 18 # 49 21 # 19 # 45 22 # 20 # 42 23 # 21 # 38 24 # 22 # 35

Primo @an. anno _1653_. meridie, di$tantia Lu- næ Saturniæ ab apogæo erat gr. _274. 21′_. Satur- ni locus apparens, eode@ tempore in ♌ gr. _11_. _41_.

[0285]SYSTEMA SATURNIUM.

Harum tabularum auxilio primùm Epocham, quæ præcederet omnes ob$ervationes no$tras, con$titui diem 1 Jan. meridie, anno 1653. Nempe ex eo, quod 14 Martii, 1659, hora 8 pom. in perigæo Saturni Luna ver$aretur, collegi retror$um numerando, ad prædictam diem 1 Jan. 1653, abfui$$e illam ab apogæi loco gr. _Locus Lun@_ _Saturniæ_ _quomod@_ _$upputetur@_. 274, 21′. Jam vero ut ad quodlibet datum tempus, e- pocha po$terius, inveniatur ejus ab apogæo di$tantia, (namque hinc facile deinde per$picere e$t quam pro- pinqua Saturno apparitura $it) _addendus e$t ad mo-_ _tum Epochæ, motus comitis u$que ad tempus datum,_ _ex tabulis collectus; hinc auferendus Saturni motus_ _apparens per idem temporis intervallum, qui ex Ephe-_ _meridibus cogno$citur; reliquum erit di$tantia comitis_ _ab apogæo quæ$ita_. Ut $i datum fuerit tempus dies 25 Martii, anno 1655, hora 8 pom. quæ prima no- $tra fuit ob$ervatio: Motus Epochæ, $ive di$tantia Lu- næ Saturniæ ab apogæo tempore Epochæ, quæ e$t gr. 274, 21′, addita ad motum eju$dem Lunæ inde ab Epocha ad tempus datum, colligit gr. 278, 31′; Hinc ablato Saturni motu apparente per idem tempus, qui invenitur gr. 22, 58′, relinquuntur gr. 255, 33′, di$tan- tia Lunæ Saturni ab apogæo, quæ invenienda erat. Unde apparet in circulo (Tab. LI. fig. 3.), ubi A apogæi locum referebat, fere ad numerum 12 illam con$titi$$e, eoque in maxima propemodum di$tantia vi$am, uti re- vera contigit. Calculum autem $ubjicimus qui $ic or- dinatur.

[0286]CHRIST. HUGENII ## _Gra_. # _Mi_. # # _G_. # _M_. Motus # Epochæ, # 274 # 21 # b # Locus app. 25 # Anni @ # 282 # 35 # Mart. 1655, # 4 # 39 # ♍ # Martii 1 # 252 # 9 # b # Locusapp. tem- \\ pore epochæ, # 11 # 41 # Ω # Dies 24 # 181 # 54 # Horæ 8 # 7 # 32 # Re$tat b motus \\ apparens, # 22 # 58 # Summa # 278 # 31 Motus Saturni apparens # 22 # 58 # Reliquum # 255 # 33 ##### di$tantia Lunæ Saturni \\ ab apogæo.

Ut verò con$tet methodi ratio, intelligatur in $uperiori _Ejus calculi_ _comprobatio_. TAB. XLIX. fig. 1. diagrammate, Saturnus die 1 Jan. 1653 po$itus fui$$e in A, terra in G, Luna Saturni in E, gradibus 274, 21′ ab apo- gæo L. Rur$umque 25 Martii 1655, Saturnus ponatur in B, terra in F, Luna Saturni in M: $itque B N parallela A L. Quoniam igitur Lunæ motus periodicus inter bina illa tempora, additus motui Epochæ, hoc e$t, arcui L D E graduum 274, 21′, efficit gr. 278, 31′; erit idcirco arcus N K M hoc graduum numero. Di$tantia autem Lunæ Sa- turniæ ab apogæo e$t arcus O K M, qui ut cogno$catur, auferendus e$t ab arcu N K M arcus N O. Ergo cum arcus N O totidem $it graduum atque angulus quem con$tituunt rectæ O F, L G; hujus autem quantitas definiatur apparen- ti Saturni motu inter duo prædicta tempora; apparet nos rectè ab inventis gr. 278, 31′, hoc e$t ab arcu N K M, $ub- traxi$$e Saturni motum apparentem gr. 22, 58′ (quippe æqualem arcui N O) ad con$equendum arcum O K M, gr. 255, 33′, di$tantiam nempe Lunæ Saturni ab apogæo.

Nondum hic locus e$t explicandi alium quendam hujus lunulæ motum in latitudinem, ob$ervationibus aliquot præ- cedentibus jam $e$e prodere incipientem; quo nempe ab li- nea recta per an$arum extrema tran$eunte plerumque exorbi- tat, apparetque circa Saturnum ellip$in percurerre, inter- dum quidem $atis latam, alias verò angu$tiorem, & rotun- [0287]SYSTEMA SATURNIUM. do Saturno lucente, in rectam lineam abeuntem. Et$i e- nim, ad verum lunulæ $itum re$pectu Saturni determinan- dum, hujus quoque motus ratio e$t habenda, cum tamen cau$æ ejus cum cæterorum phænomenôn cau$is pror$us con- junctæ $int, $imul cum illis atque una opera exponendum cen$eo.

Illam igitur Sy$tematis hujus partem alteram nunc aggre- dior, in qua formæ Saturni in$tabilis atque à $e ip$a di$cre- pantis ratio reddenda, tum qua periodo $ingulæ mutationes contingant dicendum e$t. Harum aliquas quæ nobis $e$e obtulere $upra exhibui; $ed eæ partem tantummodo periodi complectuntur. Ideoque ut omnem phænomenôn diver$i- tatem ab iis quas dicemus cau$is pendere con$tet, aliorum quoque temporum ob$ervationes examinare nece$$e erit, quas à 40 atque amplius annis complures $criptis prodide- runt. At verò cum Saturni figuras omnes quas nobis deli- nearunt oculis lu$tro, eas multiplices adeo ac prodigio$as invenio, ut $i qua hypothe$is commini$cenda foret quâ cun- ctis fieret $atis, nemo non, ut opinor, in ea excogitanda operam lu$urus $it: cum nulla tam crebræ atque enormis transformationis cau$a e$$e po$$it, ni$i ponatur ip$am Satur- nii corporis molem identidem aliam atque aliam faciem in- duere, quod ab omni veri$imilitudine e$t alienum. Quam- obrem delectus adhibendus e$t ob$ervatis illorum, & inqui- rendum quænam ex iis fidem mereantur, quæve contra ut $u$pecta rejicienda $int. Quo in examine illud concedi no- bis po$tulamus, ut quoniam Saturni comitem primi per$pi- cillis no$tris deteximus, ac quoties libet clarè intuemur, præ- ferantur propterea no$tra hæc illis quibus alii ad $tellam ean- dem nequaquam pertingere potuere, licet quotidie Saturno ob$ervando intenti: eoque no$træ etiam circa formam pla- netæ ob$ervationes veriores habeantur, quoties eodem tem- pore nobis atque illis diver$æ pha$es animadver$æ fuerint. Adjuncta itaque tabella omnes eas exhibet quas ex variis au- TAB. LII. toribus de$crip$imus.

Ac prima quidem harum formarum e$t quam Galilæus ad- _Ha $ingalæ_ _examina@_ _tur_. [0288]CHRIST. HUGENII notavit anno 1610, in qua triceps Saturnus $pectatur, mi- TAB. LII. fig. 1. noribus duobus orbiculis majori utrinque adjacentibus. Hanc alii quoque permulti viderunt, aut certè $e vid<007>$$e cre- d<007>derunt. Nam $i grandiores tubos adh<007>bui$$ent atque o- ptimis vitris in$tructos, haud dubiè pro triplici hac globulo- rum facie eadem $e$e illis obtuli$$et quam nobis diximus an- no 1655, ac rur$us anno in$equenti, die 13 Oct. vi$am. Hoc enim inde colligimus quod dum illis bini ad latera globuli apparent, nobis porrecta in longitudinem brachia tubi no- $tri referunt; uti contigit eo ip$o anno 1655, men$e Aprili ac Majo, quo tempore tri$phærica illa figura Ricciolo He- velioque ob$ervata fuit. Etenim quo certius con$tet ob per- $picillorum parvitatem talem hanc cerni, experimur nobis quoque, quoties breviori per$picillo, quinûm puta aut $e- nûm pedum, Saturnum a$picimus, binos globulos dictorum loco brachiorum apparere; etiam illâ anni 1658 jam exi$ten- te pha$i.

Quænam autem fallacis imaginis cau$a $it facile per$pici- tur. Quippe enim quum circa extremas cu$pides amplio- rem lucem brachia hæc $ive alæ emittant, quam qua parte medio Saturni d<007>$co adhærent, ubi $emper umbræ aliquid intercedit, non modo cum manife$to jam bifida eva$erunt, velut anno 1658, $ed antea quoque ut anno 1657; non mi- rum e$t lucem illam inten$iorem, debiliori interjecta, peni- tus à medio orbe $eparatam videri. Neque item rotundam ex oblonga fieri mirandum e$t, cum idem accidat omni fi- guræ eminus, nec $atis di$tinctè ob exilitatem, perceptæ, atque eo magis quo fuerit lucidior. Itaque plane con$tat te- le$copiorum culpa pha$in hanc vitiatam e$$e, licet ob$erva- tores bona fide eam tradiderint.

Quæ $equitur hanc nihilo melius $e habet, à Scheinero TAB. LII. fig. 2. ob$ervata anno 1614. Atque equidem dubito, perfectiori- bu$ne an deterioribus per$picillis, quam qui præcedentem dederunt, hanc deprehenderit. Quoniam hactenus quidem ad veram magis accedit, quod affixas Saturno auriculas ex- hibet; at contra in eo aberrat, quod plus ju$to earum con- [0289]SYSTEMA SATURNIUM. trahat longitudinem. Hæc autem pha$is tum $ibi ip$i tum $uperiori fidem derogat, alterutram certe haud veram fui$$e arguit; quoniam eodem tempore, anno nimirum 1614, al- tera à Scheinero, altera à Gal<007>læo aliisque ob$ervata perhibe- tur. Ut proinde dubitandum non $it, quin & hæc $imilis ex- titerit ei quam nos anno 1657 vel 1658 in commentaria re- tulimus. Neque aliud de tertia hujus tabellæ exi$timandum TAB. XLII. fig. 3. e$t, quæ Ricciolo $ecunda ponitur, quamque anno 1640 & 1643 ob$ervatam $cribit. Veritati tamen propior hæc vide- ri pote$t, quod pro orbiculis oblongas atque olivæ $imiles figuras habeat.

Quarta e$t quam in locum tri$phæricæ formæ Hevelius ad- fig. 4. $um$it in libro _de Saturni nativa facie_; ubi $ecundum leges hypothe$eos $uæ a$$erit talem quandoque cerni debere, quæ tamen ex vi$us hallucinatione in tri$phæricam degeneret. Quanquam mihi ne i$tiu$modi quidem forma $atis convenire hypothe$i illius videatur, ut po$tea o$tendemus.

Eju$dem Hevelii etiam quinta e$t, cui $imilem Ga$$endus fig. 5. edidit. Et hæc quidem $atis prope cum no$tra illa anni 1658 con$entit, ni$i quod partes brachiorum tenuiores, qua me- dio di$co adnectuntur utriu$que tubi non $int a$$ecuti.

Idemque in 6 & 7 contigit, quæ ambæ ab Hevelio quo- fig. 6. 7. que traduntur, $imiles iis quas circa eadem tempora Riccio- lus ob$ervavit, nimirum anno 1648, 1649 & 1650, quæ hic octavo nonoque loco exhibentur. Neque alia re differunt, fig. 8. 9. quàm quod medius orbis Hevelio nonnihil oblongus appa- ruit, cum Ricciolo rotundus fuerit: quodque hic connexas an$as cum inter $e tum Saturno ip$i $pectaverit, quæ Heve- lio pauxillo à contactu abe$$e vi$æ $int. Verum ip$e Heve- lius cau$am cur $eparatæ videantur vi$us imbecillitati ad$cri- bit, cum alioqui reip$a cohærere eas Saturno $tatuat.

Tales autem & Eu$tachius de Divinis notavit anno 1646, fig. 10. 1647 & 1648, à quo editum $chema ad num. 10 hic exhi- bu<007>mus. lsque cum præ$tanti$$imus per$picillorum artifex habeatur, credibile e$t omnium emendati$$imè nativam Sa- turni faciem nobis de$crip$i$$e, ni$i quod umbras illas quæ in [0290]CHRIST. HUGENII $chemate apparent, de $uo, ut opinor, adjecit.

Porro ab hi$ce figuris non multum recedit ea quæ à Fr. TAB. LII. fig. 11. Fontana vulgata fuit, undecima tabellæ no$træ. Quam qui- dem & Ricciolus anno 1646 $ibi vi$am $cribit. Sed minus bonis tele$copiis tunc u$um crediderim, quam quibus modo dictas octavam nonamque detexit. Siquidem eodem anno 1646 $eptimam formam $e vidi$$e te$tatur Hevelius, cui po- tius hic $tandum e$t. Nam Fontanæ ob$ervationes quomi- nus in dubium vocare verear facit, quod etiam olim magis mon$tro$as formas Martis publicavit, veluti trilateræ cuju$- dam rupis, ac rur$us aliter cum nigra in medio orbe macula; quæ nos cum aliis multis fabulo$a comperimus. Hæc ta- men, quam in Saturno prodidit formæ diver$itatem, neque magna e$t, ut dixi, neque miranda.

Plus negotii po$teriores duæ, duodecima decimatertiaque, Fig. 12. 13. exhibituræ videntur: quarum priorem præter Blancanum e- iam Ga$$endus prodidit; reliquam Ricciolus, aliunde tamen acceptam, nobis impertiit. Mirabilis præ$ertim illa Ga$$en- di apparet. Verumtamen $i bene perpendatur, facile e$t intelligere, quo pacto ab nona figura hæc defluxerit. Nam $i tantum in locum rotundarum lacunarum, lunatæ $ub$ti- tuantur, cornibus $e$e mutuo re$picientibus, jam profecto nona illa exi$tet, quam Ricciolus adnotavit. Nihil mi- rum autem Ga$$endo ac Blancano, cum non magnis per$pi- cillis uterentur, rotundas potius eas maculas quam lunula- rum forma apparui$$e, $iquidem partes harum acuminatas di- $tinctè percipere illis negatum fuit. Tertiadecima denique quam Ricciolus à Fontana, itemque ab aliis Romæ vi$am memorat, anno 1644 & 1645: eam quoque pro octava ac nona $uppo$itam e$$e certum e$t, vel etiam pro $eptima quam Hevelius prodidit. Non $olum enim Ricciolus hanc $ibi unquam oblatam negat, $olas octavam, nonamque cum an- $is $e vidi$$e affirmans: $ed & eodem anno 1645 Heveliano tele$copio $eptima illa con$pecta fuit. Nempe an$as Satur- no conjungi rectè hîc Fontana animadvertit; $ed cum præci- puus earum $plendor à parte gibba procederet, orbicularem ibi f<007>guram con$tituere vi$us e$t.

[0291]SYSTEMA SATURNIUM.

Non ad$crip$i pha$ibus hi$ce eam qua Saturnus ellip$is for- mâ con$pectus dicitur, ab$que illis comitibus brachii$ve; quo- niam $atis con$tat ob exil<007>tatem tele$cop<007>orum, in ip$o in- venti hujus exortu, talem apparui$$e; po$tquam verò ad ma- jorem perfectionem eadem adducta $int, neminem amplius $olitarium Saturnum vidi$$e ni$i $imul & rotundus fuerit.

Omi$i etiam phænomenon aliud à nonnullis quidem rela- _Non e$$e al-_ _teram an$a-_ _rum quando-_ _que altera_ _minorem_. tum, $ed vanum proculdubio atque à $ola imaginatione pro- fectum: quo nempe alterum quandoque Saturni $ive comi- tem $ive an$am altera minorem deprehendi a$$erunt. Ego vero exi$timo non tam ab indi$creta perceptione pha$in hanc ena$ci (cur enim hanc an$am potius quam illam minorem dicerent?) quam quod ubi hypothe$in qui$piam commentus fuerit, ex qua talem prodire nece$$e $it, facile $ibi ip$i im- ponat, quodque cupit evenire credat. Itàque viro eximio J. Hodiernæ qui ad nos è Sicilia Sy$tema $uum Saturnium, de quo pluribus mox agemus, mi$it, accidi$$e reor. Hic e- nim anno 1655 & $ub finem anni in$equentis, orientalem globulum reliquo minorem $ibi apparui$$e $cribit, quum ta- men eodem tempore, nobis in$pectantibus, eadem utrique magnitudo, claritas ac figura adfuerit, non quidem orbicula- ris, $ed rectà in longitudinem utrinque à Saturni di$co pro- cedens. Quin etiam fru$tra cau$am huju$ce rei ex hypothe$i $ua adducere Hevelius laborat, quum planè contrarium ex ea $equatur, perpetua videlicet utriu$que an$æ æqualitas. Nam cum faciem Saturni nativam eju$modi fingat, qualis $u- TAB. LII. fig. 7. periori tabella ad numerum $eptimum exhibetur, utrâque $cilicet ansâ pari formâ ac magnitudine corpori medio ad- nexâ, non $inunt ullæ opticorum leges, ut qual<007>cunque hu- jus corporis conver$ione, aliter una atque alia an$a $e$e vi- dendam nobis præbeat. Nobis, inquam, in tam immen$a po$itis di$tantia. Cum enim 3000 fere d<007>ametris Saturni maximis ab eo remoti $imus, quo pacto exi$timat vir Clar. nos percepturos di$crimen angulorum quibus propior remo- tiorque an$a $pectari debeat?

Æquè parum rationi con$entaneum e$t quod, ob eandem _Non etiam_ _unamquam_. [0292]CHRIST. HUGENII illam di$tantiæ differentiam, unam an$arum citius quam alte- _alteram ci-_ _tius ad me-_ _dium Satur-_ _ni corpus ap-_ _plicari_. ram cum medio di$co coale$cere po$$e exi$timat. Hoc enim, admi$$a licet Heveliana hypothe$i, atque etiam$i centuplo præ$tantiores tubos haberemus, nequaquam tamen nobis vi- $u deprehendere liceret. Cæterum & hujus $ententiam viri $olerti$$imi, quo certè nemo hac tempe$tate majori animo atque indu$tria rem promovet A$tronomicam, pluribus ex- ponere, & aliorum in$uper de propria Saturni forma opinio- nes, priu$quam no$tram adferamus, recen$ere placet, quas po$t editam de Luna Saturni ob$ervationem omnes accepi- mus. Hevelius igitur, in eo libro quem peculiarem huic argumento dicavit, cau$as phænomenôn redditurus, $phæ- _Hevelii hy-_ _pothe$is circa_ _an$as Satur-_ _ni examina-_ _tur_. ro<007>dis oblongi f<007>guram med<007>o corpori Saturni tribuit, cui ab utroque latere appendices i$tæ, ut jam dixi, brachiorum $i- ve an$arum forma, firmiter adhæreant, quemadmodum $u- pra 7 loco expre$$imus. Porro $imul cum Saturno ha$ce an- TAB. LII. fig. 7. $as, $patio 30 circiter annorum, circa minorem $phæroidis axem converti facit, qui quidem axis plano orbitæ Saturni $it ad angulos rectos. Enimverò his po$itis $eptimæ qui- dem $uperioris figuræ pha$in nec non rotundam quoque re- præ$entari certum e$t: ut nimirum in duobus eclipticæ locis oppo$itis an$ata hac facie Saturnus appariturus $it, alii$que rur$us duobus rotundus an$i$que pror$us exutus. Quinimo & $exta ac quodammodo quinta quoque exhiberi po$$ent, ni$i quod conjunctæ cum medio di$co an$æ videri debebant. Sed quarta pha$is nequaquam ab eadem forma profici$ci po- terit. Nam cum ponatur Saturnus cum annexis $ibi an$is, qualem 7 figura o$tendit, rectus con$i$tere ad planum ec- centrici $ui, atque ita perpetuo manere, licet circa axem proprium vertatur; eveniet quidem ea conver$ione, ut pau- latim arctius ad medium orbem an$æ applicentur, verunta- men $emper geminas lunas referent eju$dem cum dicto orbe altitudinis, minimeque in tam compre$$as formas abibunt. Nam quod hoc efficere po$$e decl<007>nationem Saturni orbitæ ab ecliptica Vir Cl. cen$et (ita enim mihi re$pondit cum difficultatem hanc ei movi$$em) $i diligentius rem expendat [0293]SYSTEMA SATURNIUM. intelliget fieri non po$$e, cum Saturni orbita tantum 3 gra- dibus ab eclipticæ plano recedat, ut inde an$arum figuris ulla nobis percipienda mutatio adveniat. Cæterum nec ve- ram quidem e$$e hanc quartam pha$in $uperius indicavimus, $ed cum hæc, $ive tri$phærica potius, minoribus tele$copiis cernitur, no$tris prægrandibus illam comparere quam adno- tav<007>mus anno 1655 & 1657. Quæ cum adhuc minus Heve- lianæ hypothe$i conveniat, clarius demon$trat illam $copum non attigi$$e. Neque $anè vel rotundæ pha$is phænomena $atis congruunt præ$titutis ab Hevelio limitibus; ut patet non tantum ex prædictione ejus, eventu refutata, quæ fe- rebat rotundam pha$in anni 1656 continuatum iri u<007>que in Men$em Septembrem anni 1657, cum tamen jam inde à 13 Oct. 1656, an$as Saturnus recuperaver<007>t, neque po$tea a- mi$erit; $ed & ex Galilæi ob$ervatis circa rotundam pha$in anni 1612. Sol$titio enim hujus anni, Saturnus gr. 18, 22′. ♓ obtinens, tricorpor adhuc Galilæo apparuit, quum per tabulas Hevelii debui$$et rotundus ob$ervari, ac vici$$im 1 Dec. eju$dem anni 1612, cum ver$aretur in gr. 11, 27′. ♓ rotundus Galilæo repertus e$t, quo loco Hevelius tri$phæri- cum expecta$$et.

Alteram hypothe$in, ingenio $uo acuti$$imo dignam, _Cau$æ phæ-_ _nomen@n Sa-_ _turni à Ro-_ _bervallio ex-_ _cogitatæ_. $ummus Geometra E. Robervallius nobis expo$uit. Qua quidem Saturnum perinde ut cæteros planetas rotundum $ta- tuit; egredi autem è Zona ejus torrida, hoc e$t, quæ re- ctiores $olis radios exc<007>pit, vapores quo$dam non admo- dum $pi$$os, qui procul à $uperficie ejus in $ublime evolan- tes, undique illum ambiant, præterquam polos ver$us, ubi forta$$is inten$um frigus eos à $ole attrahi prohibeat. Hi $i quando omne $pat<007>um complent à Saturno ad u$que extre- mam ip$orum regionem, elliptica forma, inquit, eum vi- deri faciunt. Cum vero minus den$i exoriuntur, interque eos ac Saturnum locus ingens medius relinquitur, ob tenui- tatem $olares radios non reflectunt, ni$i inde ubi magis con- ferti <007>i$dem opponuntur; quod no$tri re$pectu nece$$e e$t fieri in partibus à medio di$co Saturni remotioribus. Ubi [0294]CHRIST. HUGENII proinde an$arum formam ex ea reflexione produci oportet, illasque inter ac Saturnum $patia utrinque ob$cura vel certè minus lucida intercedere. At quoties nullæ pror$us huju$- modi exhalationes a$cendunt, rotundus planeta $pectabi- tur.

Equidem rectè hoc con$ideravit vir $agaci$$imus e$$e ali- quid quod æqualiter undique Saturnum circumdaret; $ua- dente $cilicet periodo Lunæ Saturniæ dierum 16, etiam ip$um circa axem $uum, & breviori tempore, conver$iones facere; ex quibus conver$ionibus intra paucos dies diver$as pha$es na$ci oporteret, ni$i undique eodem modo materia quædam circumpo$ita e$$et. Nec di$$imili collectione u$i fueramus dum no$trum Sy$tema effingeremus, ut po$tea dicetur. Ve- rumtamen ex illa $ua hypothe$i neque pha$is no$tra anni 1655 & 1657, $atis commodè exponitur, neque certis Sa- turni orbitæ locis pha$es quæque peculiares $unt, quod ta- men ita $e habere ob$ervationes omnes evincunt, & rotundi Saturni <007>nprimis. Hæ enim in duobus oppo$itis Eclipticæ locis accidere animadver$æ $unt, contraque in iis qui qua- drante hinc di$tant, an$æ quam maximè expan$æ: cum ta- men cau$a non appareat cur aliis quidem orbitæ partibus nullos vapores Sol è Saturno, aliis maximam eorum copiam extracturus $it. Deinde vapores i$ti, ne$cio quam bene, at multum certè di$$imiles no$tris hi$ce qui terram ambiunt po- nuntur, tum quod immen$o $patio, prout hi $olent, à Sa- rurno a$cendant, tum quod ver$us polos pauci$$imi aut nul- li $int, cum circa terræ polos plures contra atque altiores exi$tant quam circa Zonam torridam. De elliptica autem forma Saturni diximus $upra, eam revera nunquam talem cerni, ut proinde cau$am ejus adferre $uperfluum fuerit.

Nunc verò tuam quoque Hodierna docti$$ime $ententiam _Hodiernæ Si-_ _culi circa ea-_ _dem phæno-_ _mena opinio_. excutiamus, quam novo nuncio meo de Saturni Luna & promi$$o Sy$temate excitatus, $ubito publicam feci$ti. Me- retur tuus ille in hæc $tudia non vulgaris amor, ut melioris notæ tele$copia tibi $uppeditentur, qui qualibu$cunque et- iam in$tructus, non ce$$as in cælum quà licet eniti, $um- [0295]SYSTEMA SATURNIUM. mumque illum planetarum, formarum varietate omnes fru- $trantem, certis legibus a$tringere aggre$$us es. At ille te quoque ut opinor delu$it. Nam $i po$thac ea facie $e tibi offerat, qua mihi anno 1655 & 1657 apparuit, vel ea quo- TAB. XLIX. fig. 6. 7. que quæ $ucce$$it anno 1658, cogno$ces utique has non qua- drare illi quod tibi finxi$ti corpori. Sphæroidi nimirum, cu- ju$modi aut ovum aut prunum e$t, $ed magis etiam oblongo quam Hevelianum illud, $imilem Saturnum imaginaris; in quo binæ utrinque $int maculæ lucis expertes, quales in ta- bula $uperiori pha$is octava exhibet, quæ nobis inter$titia TAB. LII. fig. 8. illa inter an$as Saturni mediumque ejus di$cum referant. In- de conver$iones hujus corporis circa axem, eadem periodo qua & Hevelius, definis; & rotundum tunc videri a$$eris, cum longior $phæroidis axis ad nos dirigitur, ideoque bis hoc accidere annorum 30 decur$u. Verùm enim cum pror- $us rotundus ac orbe integro lucens appareat Saturnus, quo- ties brachiis $uis nudatus e$t, expendendum tibi amplius re- linquo, qua ratione lacunas qua$dam expleas quas à maculis illis nigris $uperfuturas rectè ip$e prævidi$ti. Præterea & pha$es illas te con$iderare velim quas hæc tua hypothe$is non pote$t non producere, nec à quoquam tamen ob$erva- tæ perhibentur. Quas ut facilius omnes coram in$picias, ovum aut aliud quod eam formam habeat, i$t<007>s maculis or- natum, tibi proponito, atque ita ut Saturnum converti vis circumducito; videbis non pauca in tuo hoc Saturno phæ- nomena quæ cæle$tis Saturnus nunquam exhibuit, atque a- lia rur$us, quæ ine$$e huic certo tibi affirmare audeo, non videbis, ip$éque de Sy$temate tuo $tatues.

Quod autem rei veritatem neque tu neque illi viri egregii, quorum antea opiniones recen$ui, a$$ecuti $itis, minimè mi- randum e$t, aut vobis imputandum, utpote ad quos fal$a plurima pro veris phænomenis delata $int; alia vero quæ de Saturno citra vi$us fallaciam ob$ervantur, non pervenerint. Quæ $i nobi$cum a$picere vobis contigi$$et, eadem inde quæ nos de nativa Planetæ forma collecturos fui$$e credibile e$t. Me vero præter pha$es illas $ynceriores, etiam Lunæ Satur- [0296]CHRIST. HUGENII niæ motus jam inde à principio animadver$us, non parum hîc adjuvit; $iquidem ex hujus circa Saturnum gyratione, prima mihi $pes de con$t<007>tuenda hypothe$i afful$it. Quæ cuju$modi $it deinceps explicare aggredior.

Quum ergo 16 d<007>erum periodo circumferri Saturno pla- _No$tra hy-_ _pothe$is qua_ _ratione exco-_ _gitata_. netam novum comperi$$em, haud dubiè minori etiam tem- poris $patio Saturnum in $e$e $uper axem $uum revolv<007> ar- bitratus $um. Namque antea quoque, in eo cum Tellure hac no$tra cæteris primariis Planetis convenire, $emper cre- didi, quod $inguli in $e ip$is rotentur, atque ita tota eorum $uperficies lumine $olis per vices gaudeat. Quin imo in u- niver$um ita cum magnis Mundi corporibus comparatum e$- $e, ut illa quibus alia minora c<007>rcumferuntur, ip$a quoque in medio po$ita minori tempore circumeant. Ita enim So- lem diebus 26 circiter in $e redire maculæ ejus declarant: circa Solem vero Planetarum $inguli, inter quos Tellus quo- que reponenda e$t, prout qui$que remotior e$t ita tardius cur$um conficiunt. Rur$us Tellus hæc diurno $patio gyra- tur, quam Luna men$truo motu ambit. Jovis autem Plane- tam quatuor minores, hoc e$t, totidem Lunæ circum$tant, eâdem hac lege, ut propiores quæ $unt, celeriore cur$u fe- rantur. Unde Jupiter quidem breviori for$itan tempore quam 24 horarum converti cen$endus e$t, cum cit<007>ma ei lu- nularum m@nus biduo <007>mpendat. Quæ omnia cum pridem cognovi$$em, Saturno quoque jam tum $im<007>lem motum in- e$$e judicabam. De celeritate autem periodi, comitis $ui ob- $ervatio me certiorem fecit. Qui cum 16 diebus orbitam expleat, Saturnum in centro orbitæ $itum, multo frequen- tius circumagi arguit. Jam verò & hoc credibile videbatur, omnem cæle$tem materiam, Saturnum inter comitemque e- jus interjectam, eidem motui obnoxiam e$$e, hoc pacto ut quo Saturno propinquior e$t, eo magis ad ip$iu$met celeri- tatem accedat. Unde illud $equebatur denique, et<007>am ap- pendices $ive brachia Saturni, vel medio globo$o corpori conjuncta atque affixa, $imul cum eo volvi, vel, interval- lo aliquo di$creta, non multo tamen lentiorem periodum $ortita e$$e.

[0297]SYSTEMA SATURNIUM.

Figura porro brachiorum, dum hæc circa motum eorum mente agitabam, eju$modi apparebat, qualis in $uperioribus ob$ervationibus anni 1655 expre$$a e$t. Nempe medium Saturni corpus omnino rotundum erat, brachia vero utrin- que $ecundum eandem rectam lineam protendebantur, velut $i axe quodam medius planeta trajiceretur, quanquam tubo illo 12 pedum quo tunc utebar, utraque ver$us extremas TAB. XLVII. fig. 6. cu$pides paulo cra$$iora clarioraque videbantur, quam ubi mediæ $phæræ cohærebant, ut indicat figura. Quum ita- que quotidie eandem hanc $peciem præ $e ferret, intel- lexi id alia ratione fieri non po$$e, $iquidem tam brevis e$$et Saturni eorumque quæ ill<007> cohærent circuitus, ni$i ut globus Saturni à corpore alio æqualiter undique cinctus po- _Annulo sæ@_ _turnum ci@-_ _gi_. neretur, atque ita annulus quidam medium eum ambiret. Hinc enim, quacunque celeritate circumvolveretur, ean- dem $emper faciem nobis oblatum iri, $i nimirum axis ad i- $tius annuli planum erectus e$$et.

Et $ic quidem ei quæ per id tempus aderat pha$i cau$a $ua con$tabat. Ergo deinceps expendere cœpi anne reliquæ et- iam, quæ de Saturno ferebantur, eidem annulo imputari po$$ent. Hoc autem non tardè $ucce$$it ex animadver$a, per frequentes ob$ervationes, brachiorum Saturni ad eclipti- cam obliquitate. Cum enim lineam rectam, $ecundum quam utrinque ea extabant, non $equi ductum eclipticæ, $ed in- ter$ecare eam angulo 20 partibus majore comperi$$em, $ta- tui proinde planum annuli quem imaginatus eram tali circi- _Eum ad Ec-_ _lipticæ pla-_ _num obliquè_ _po$itum e$$e_. ter angulo ad eclipticæ planum inclinari. Perpetua videli- cet con$tantique inclinatione, quemadmodum in tellure hac no$tra plano æquatoris contingere notum e$t. Hinc autem nece$$ario illud $equebatur, ut diver$is a$pectibus nunc el- lip$in $atis latam, nunc eandem $trictiorem, nonnunquam denique & rectam lineam idem annulus nobis exhiberet. Quod autem an$æ effingerentur, intellexi id inde fieri, quod non arctè Saturni globo annulus cohæreat, $ed pari inter- $titio undique ab eo removeatur. Quibus proinde $ic ordi- natis, ac præterea ad$umta ea quam dixi annuli inclinatio- [0298]CHRIST. HUGENII ne, omnes mirabiles Saturni facies $icut mox demon$trabi- tur, eo referri po$$e inveni. Et hæc ea ip$a hypothe$is e$t quam anno 1656 die 25 Martii permixtis literis una cum vide $upra pag. 523. ob$ervatione Saturniæ Lunæ edidimus .

Erant enim Literæ aaaaaaa ccccc d eeeee g hiiiiiii llllmmnnnnnnnnnooooppqrrstttttuuuuu ; quæ vide pag. 526. $uis locis repo$itæ hoc $ignificant, _Annulo cingitur, tenui_, _plano, nu$quam cohærente, ad eclipticam inclinato_. La- titudinem vero $patii inter annulum globumque Saturni <007>n- terjecti, æquare ip$ius annuli lat<007>tud<007>nem vel excedere etiam, figura Saturni ab aliis ob$ervata, certiu$que deinde quæ mi- hi ip$i con$pecta fuit, edocuit: max<007>mamque item annuli diametrum eam circ<007>ter rationem habere ad diametrum Sa- TAB. XLIX. fig. 2. turni quæ e$t 9 ad 4. Ut vera proinde forma $it eju$modi qualem appo$ito $chemate adumbravimus.

Cæterum obiter hic iis re$pondendum cen$eo, quibus _Occurritur iis_ _quæ de an-_ _nulo objici_ _po$$ent_. novum nimis ac forta$$e ab$onum videbitur, quod non tan- tum alicui cæle$tium corporum figuram eju$modi tribuam, cui $imilis in nullo hactenus corum deprehen$a e$t, cum con- tra pro certo creditum fuerit, ac veluti naturali ratione con- $titutum, $olam iis $phæricam convenire, $ed & quod an- nulum hunc $olidum ac permanentem (talem enim arbitror) Saturno ita circumponam, ut nullis compagibus retinaculi$- ve ei cohæreat, ac nihilominus æqualem ab omni parte di- $tantiam $ervet, unáque cum Saturno motu veloci$$imo transferatur. Hos autem reputare illud oportet, non ex mera inventione atque arbitrio meo hanc me fingere hypo- the$in, $icut A$tronomi $uos ep<007>cyclos, nu$quam in cælo apparentes; $ed oculorum $en$u, quo nempe reliquarum re- rum omnium figuras digno$cimus, hunc quoque annulum $atis evidenter me percipere. Neque verò cau$am e$$e cur corpus al<007>quod inter cæ e$tia hac forma præditum exi$tere nequeat, quæ $i non $phærica at $altem rotunda e$t, atque eju$modi ut motum circa centrum æquè commodè atque ip$i $phærica $u$cipiat. Nam minus utique mirandum, hu- ju$modi figuram tali corpori tributam, quam inconcinnam [0299]SYSTEMA SATURNIUM. quampiam miniméque tornatilem. Porrò quum certo $atis colligi po$$e videatur, ob $imilitudinem ac cognationem magnam quæ Saturno cum Tellure no$tra intercedit, <007>llum per<007>nde ut hæc in medio $ui vorticis $itum e$$e, centrumque ejus ver$us omnia naturâ $uâ tendere quæ illic gravia haben- tur; inde nece$$ario quoque efficitur, annulum i$tum omni- bus $ui partibus æqualivi ad centrum nitentem, hoc ip$o <007>ta con$i$tere, ut und<007>quaque pari intervallo à centro ab$it. Pla- nè $icuti quidam contemplati $unt, quod $i continuum for- nicem per totum terrarum ambitum ex$trui po$$ibile e$$et, is ab$que ullo fulcimine $emet ip$um e$$et $u$tentaturus. Ergo tale quid in Saturno reip$a effectum e$$e ne protinus ab$ur- dum credant, $ed $u$piciant potius infinitam naturæ poten- tiam & maje$tatem, quæ $ubinde nova $uorum operum $pe- cimina in lucem promens, plura etiam $upere$$e admonet. Verum ad propo$itum jam revertamur.

Diximus brachiorum lineam anno 1655 eclipticæ occur- _Saturni ma-_ _jor diameter_ _Æquatori_ _parallela_ _o$tenditur_. rere vi$am angulo partium plus minus 20. Quod cum præ- cipuè faciat ad phænomena ex hypothe$i no$tra deducenda, antequam ad illa accedamus, ita $e habere ex ob$ervationi- bus o$tendendum e$t.

Cum igitur 25 Martii, anno 1655, Saturni in A po$iti ad TAB. XLIX. fig. 3. $tellam fixam B ea fuerit con$titutio quæ hîc adnotata e$t, ut con$tat ex $uperioribus ob$ervationibus; die autem $e- quenti $icut in D & B, tertioque item die $icut in C & B, ita ut quotidie linea an$arum producta altius $upra $tellam B a$cenderet; hinc per$picuum fit viam Planetæ A C nequa- quam congruere directioni an$arum, $ed diver$am ferri an- gulo A C E, quem 20. gr. majorem invenio. Eo autem tempore nihil admodum mutabatur latitudo Saturni appa- rens, unde con$tat viam A C eclipticæ parallelam fui$$e; ac proinde eodem illo 20 gr. angulo etiam ab ecliptica lineam an$arum deflexi$$e.

Rur$us 9 Apr. & tribus $equentibus continuè diebus ad TAB. XLIX@. fig. 4. aliam fixam C talis annotatus fuit Saturni po$itus qualis in L, M, N, O cernitur. Ubi $imiliter apparet, lineam an- [0300]CHRIST. HUGENII $arum O P, Saturni tramitem L O $ecare angulo L O P, qui 20 plus minus graduum deprehenditur. Eclipticam verò vel eclipticæ parallelam lineam R Q, angulo P Q R, paulo etiam majore quam L O P, quoniam decre$cebat per eos dies Saturni latitudo, quæ borea erat.

Denique cum po$t $tationem Saturnus ad fixam eandem TAB. XLIX. fig. 5. C reverti$$et, factu$que e$$et au$tralior, die 27 Maji, eo po$itu juxta hanc ad$tabat quo hîc ad S de$ignatus e$t. Die vero Maji po$trema, eo qui ad T. Ita ut hic quoque linea S V, quæ $ecundum brachia ducitur, inter$ecet S T, quam quatriduo illo Saturnus permeaverat, angulo V S T, 20 gra- dus exiguo $uperante. Eclipticam vero vel eclipticæ paralle- lam X Y, paulo minore angulo S X Y, quoniam minuebatur adhuc continuè Planetæ latitudo, et$i directus jam incedebat.

Et his quidem intellectis, inclinatio brachiorum Saturni ad eclipticam, in dubium vocari amplius nequit, et$i, fa- teor, non admodum accuratè quanta $it hoc modo definiri po$$it. Si tamen 21 graduum per id tempus apparui$$e po- natur, quantam ferè adductæ ob$ervationes comprobant, ac porro ad locum Saturni, qui tunc fuit, attendamus, inve- niemus æquatori planè parallela brachia extiti$$e. Cum e- nim circa 3 gr. Virginis Saturnus ver$aretur, ubi parallelus æquatoris eclipticam inter$ecat angulo gr. 21. quo angulo etiam brachiorum linea illam inter$ecabat; manife$tum e$t hanc $ecundùm dictum parallelum atque adeo $ecundùm ip$um æquatorem incedere debui$$e.

Cæterum alio nunc irrefragabili argumento eandem hanc brachiorum inclinationem, & cum æquatore circulo paralle- li$mum confirmabimus. Suprà in ob$ervationum Hi$toria ad diem 13 Octob. anni 1656, adnotatum e$t, motum Sa- turni, quo cum cælo quotidie defertur, $ecundum ip$am an- $arum lineam procedere nobis vi$um, non ea die tantum, $ed quotie$cunque exinde idem inquirere libuit: inquiritur autem hoc modo. Tele$copio ad Saturnum obver$o, eo- que intra tubi aperturam, quam hic refert circulus A B, re- cepto, ita ut primùm in extremo margine con$i$tat, vergat- [0301]SYSTEMA SATURNIUM. que linea brachiorum ad aperturæ centrum, immotum inde tubum $i$timus, quo ita manente, mox totam tubi capaci- tatem A B percurrere Saturnus con$picitur, motu qui cælo tribuitur abreptus, atque exire ad partem oppo$itam B, quo tendebat brachiorum linea. Quoniam ergo Saturnus, hoc motu $uo, circulum æquatori parallelum percurrit, cujus circuli pars e$t linea A B, manife$to patet brachiorum li- neam æquatori quoque parallelam extendi. Hujus vero rei periculum facere licet quoties Saturni ob$ervandi facultas datur, neque alia certiori ratione directionem an$arum in- ve$tigari po$$e credimus. Non defuere tamen qui diver$i- mode idem examen in$tituerunt, quorum ob$ervationes $en- tentiam hanc no$tram comprobant. Nam Galilæus quidem ip$e, qui primus phænomeni hujus indicium fecit, non omnino eclipticæ parallelam lineam, in qua Saturni comi- tes po$it<007> e$$ent, $ibi vi$am $cribit, $ed evidenter ab ea de- flectere; & forta$$e, inquit, æquatori parallela e$t.

Po$t hunc vero quicunque rem examinaverunt, omnes hanc ejus conjecturam nequaquam aberra$$e o$tendunt, & in his A$tronomi in$ignes Ga$$endus, Bullialdus & Riccio- lus; quorum hic $tellarum fixarum ope (alia tamen metho- do quam qua modo nos u$i $umus) non $emel illum an$a- rum cum æquatore paralleli$mum liquido $ibi compertum demon$trat.

Clari$$imus tamen Hevelius, $uis ob$ervationibus confi- _Hevelii de_ _inclinatione_ _an$arum_ _contraria_ _opinio_. $us, quæ cuju$modi fuerint non indicat, diver$am hîc opi- nionem tuetur, contenditque excentrico Saturni parallelam e$$e brachiorum inclinationem, ut proinde eclipticæ quoque ferè conveniat, non amplius unqnam quam 2{1/2} gr. defle- ctens: & hoc quidem cum circa nodos inter$ectionis Satur- nus ver$atur. Quo fiet ut cum in Libræ & Arietis gr. 20, ubi limites $tatuuntur, po$itus fuerit, pror$us eclipticam $e- quatur brachiorum di$po$itio. At circa hæc loca maximam omnium inclinationem no$træ & aliorum ob$ervationes pro- dunt, nam no$træ quidem, Saturno prope libræ $ignum at- que in ip$o $igno ver$ante, habitæ $unt; aliorum vero quædam [0302]CHRIST. HUGENII cum non procul ab oppo$ito limite di$taret. Ergo quod & plurium autoritas & propria experientia con$irmat, haud cunctanter hac in re amplectemur: Neque vero dubito, quum certam $emperque obviam ob$ervandi methodum tradiderim, quin ea adhibita vir veri amanti$$imus priorem $ententiam volens abdicaturus $it. Illud utique nobi$cum novit, fru$tra $ive hunc $ive alium quemlibet ob$ervandi modum, ad diri- mendam inter nos hanc litem, u$urpari, quando circa $igna Cancri vel Capricorni Saturnus commoratur, quoniam ibi di$cerni nequit utrum æquatori an eclipticæ parallela $it quæ per an$as ducitur, eò quod in his locis parallelus æquatoris eclipticam non inter$ecet $ed tangat. Quamobrem miror _Ricciolus $ibi_ _contrarius_. _lib_. 7. _Al-_ _mag. novi_. etiam quo pacto Ricciolus, ob$ervationem Grimaldi adfe- rens anno 1650, 18 Martii habitam, quæ probat eo tempo- re hanc an$arum lineam eclipticæ obliquam incidi$$e, non a- nimadverterit contrarium ejus quod intenderat illa ob$erva- tione evinci: $i enim tunc, Saturno prope initium Cancri agente, non erat eclipticæ parallela an$arum linea, ne qui- dem æquatori parallela fuerit, ut con$tat ex modo dictis. Semper autem æquatori parallelam cerni, & aliis multis ob- $ervationibus docuit, & hac ip$a o$tendere voluit. Ergo & experientiæ propriæ & $ententiæ $uæ, quam veram e$$e de- mon$travimus, planè hîc adver$atur. Grimaldi autem ob- $ervatio, quanquam alioqui in hoc negotio ver$ati$$imi at- que experienti$$imi, vitio aliquo laborare cen$enda e$t; in qua for$itan priore fixa à Saturno contecta, vel ob fulgorem cerni prohibita, aliam deinde tele$copio detexerit prius non animadver$am, proque eadem illa habuerit. Nos verò, cum parallelam æquatori brachiorum lineam e$$e indubitatis ratio- nibus $atis jam ad$truxerimus, deinceps ad annuli no$tri hy- pothe$in hunc cjus $itum applicemus, indeque phænomenôn cau$as $ingulas derivari doceamus.

E$to itaque Saturni orbita, quam 30 circiter annis ille _Ulterior hy-_ _pothe$eos no-_ _$træ expla-_ _natio_. emetitur, A B C D; & in eodem plano (nam exiguæ de- clinationis gr. 2 {1/2} non hic rationem habebimus) circulus F E, orbem magnum $ive telluris orbitam referens, quam TAB. L. fig. 2. [0303] [0303a] Pag. 574. TAB. XLIX. Fig. _2_. Fig. 1. C K O B H N G M S * F D A L E Fig. 3. E C D A * B Fig. 4. P Q O N M L * C R Fig. 5. C * V S X T Y Fig. 6. Fig. 7. [0304] [0305]SYSTEMA SATURNIUM. annuo $patio cum illa nos obimus: inque hujus centro G con$i$tat Sol. Jam $icuti axem terra habet $emper $ibi paral- lelum, circa quem in $e$e volvitur, ita Saturnus quoque ha- bere ponatur, qui $it ad annuli $ibi circumdati planum ere- ctus. Adeo ut circa unum eundemque axem gyrentur & cor- pus Saturni $phæricum, & annulus, & in eodem annuli pla- no po$itus Saturni comes $ive Luna. Intelligatur autem Sa- turni hic axis axi terræ circiter æquidi$tans. Unde & pla- num annuli plano æquatoris no$tri parallelum erit, ac pro- inde angulo partium 23 {1/2} ad planum ecl<007>pticæ inclinabitur. Nam $ic con$tituendum e$$e inde intelleximus quod an$arum Saturni inclinatio æquatori parallela deprehendatur, ut modo demon$tratum $uit.

Nobis itaque in circulo E F circumlatis, varias annuli hujus, à Sole pariter cum Saturno illu$trati figuras cerni de- bere per$picuum e$t, prout nimirum nunc has nunc illas or- bitæ $uæ partes Saturnus peragrabit. Nam eodem quidem orbitæ loco, quacunque tandem celeritate $uper axem $uum converti dicatur, diver$as pha$es non exhibebit, quoniam ea conver$ione $itum annuli, no$tri re$pectu, nihil immu- tat, $ed ita demum $i in eccentrico $uo $ive orbita $patio aliquo progre$$us fuerit. Cumque triginta fere annis ad loca eadem revertatur, hinc nece$$ario intra id tempus omnium pha$ium vici$$itudinem con$pici nece$$e erit, at- que alias quidem bis, alias quater: quas $ingulas nunc ex- pendemus.

Primò itaque duos orbitæ locos e$$e liquet è diametro _Cau$a pha-_ _$cos an$arum_ _lati$$ima-_ _rum_. oppo$itos, velut A & C, in quibus Saturnus con$titutus lati$$imas, maximeque omnium diductas an$as exhibeat; cum nimirum à plano per centra Telluris & Saturni acto, atque ad orbitæ Saturniæ planum erecto, annuli quoque planum ad angulos rectos $ecatur, eoque viginti trium circi- ter partium angulo $upra planum annuli vi$us no$ter attolli- tur.

Cujus pha$eos vera proinde forma, $ecundum ea quæ $u- TAB. L. fig. 3. pra circa annulum de$inivimus, eju$modi erit qualis hîc de- [0306]CHRIST. HUGENII lineata cernitur, majori ellip$is diametro ad minorem $e ha- bente fere ut 5 ad 2. Atque hæc ea figura e$t quam ab He- velio, Ricciolo, & Eu$tachio de Divin<007>s, anno 1648, 1649, & 1650. $pectatam fui$$e diximus. Cujus itaque locum, hinc inter $igna ♊ & ♋, inde inter <046> & ♑ con$titui oportere cer- tum e$t, quandoquidem i$tis annis $ignum ♊ Saturnus pera- grabat & in ♋ $ignum tran$ibat. Po$tea verò accuratius hunc locum lati$$imè an$arum pha$eos inquirentes o$tendemus eum cadere in 20{1/2} gr. ♊ & <046>.

Illud vero manife$tum e$t, Saturnum, quoties hanc præ- _Clarion Sa-_ _turnus pro-_ _pter an$as_ _cernitur_. fert $peciem, multo lucidiorem $e$e intuentibus o$tendere debere, quàm dum nullis brachiis auctus e$t: quum tantun- dem luminis fere ab hi$ce emanet, quantum ab toto interio- re di$co. Atque ita $emper quo propius ver$us Cancri & Capricorni $igna acce$$erit, eo majorem, aut certè $plendi- diorem, etiam ab$que tele$copio appariturum; quippe an- nuli ellip$is $emper latius $e pandente, ut in $equentibus de- clarabitur.

Sed & aliud circa hanc pha$in ob$ervandum occurrit, mo- _Lunæ Satur-_ _niæ motus_ _apparens_ _ellipticus_. tus nimirum in$olens Saturnii comitis, qui quidem motus ob$ervationibus anni 1659 adnotari jam cæpit, verùm hac lati$$imâ an$arum pha$i exi$tente, omnium evidenti$$imè ut $e$e prodat nece$$e e$t. Etenim quum eodem plano & an- nulus Saturni & comitis orbita contineantur, aut certè pa- rum diver$is; con$tat $imul cum annulo etiam orbitam hanc lati$$imam omnium ellip$in nobis explicaturam: eoque futu- rum ut comes apparente motu altè $upra Saturnum atque in- fra tran$ire con$piciatur, ita ut corpore ejus vel radiis ni- mium propinquis nequaquam nobis occultetur, quemadmo- dum aliàs accidere $olet. Atque ea quidem ellip$is quam ta- li motu de$cribere hi$ce in locis cernetur, longitudinem la- titudinis $uæ duplam $e$qui alteram habere invenietur, $icut & annuli, quam diximus, ellip$is lati$$ima. Verum receden- te hinc Saturno $en$im angu$tior ip$a quoque evadet, quip- pe annuli ellip$i $emper $imilis, adeo ut primum fulgore pla- netæ tran$itus comitis con$pici prohibeatur, deinde corpo- [0307]SYSTEMA SATURNIUM. ris ip$ius Saturni ante vel pone comitem objectu. Ita nam- que ob$ervationes anni 1655 & 1657, quo tempore exilia & quam maximè compre$$a brachia erant, o$tendunt comitem etiam in ea recta tunc perpetuo apparui$$e quæ per utrum- que illorum extendebatur.

Et hac quidem in re di$$idet Saturniæ Lunæ cur$us ab eo qui in no$trate Luna animadvertitur; $iquidem hæc non æ- quatoris no$tri $ed magis eclipticæ plano obnoxia e$t, à quo quinque tantummodo partibus exorbitat.

Verum ad Saturni pha$es revertamur: quo po$ito ad H _Quomod@_ _an$arum @@-_ _titudo $en$im_ _contrah@uc_. TAB. L. fig. 2. vel I, vel ex adver$o ad O vel P, paulo angu$tiorem jam annuli ellip$in, eadem tamen qua prius longitudine nobis a$pici oportet, quum $upra planum annuli minus altè hoc $itu vi$us no$ter efferatur. Unde illa pha$is exorietur quæ in tabellæ LII. $erie octava po$ita e$t; vel, minus accuratè per$picere valentibus, ea quæ $exta e$t efficietur.

Rur$us autem eum ad K aut L Saturnus pervenit, vel ad loca hi$ce oppo$ita N & M, magis adhuc contrahi apparet minorem ellip$is diametrum, quippe magis ex obliquo in- $pectam. Ut jam ea Saturni facies proditura $it quam nos anno 1658 ob$ervavimus (T. XLIX. _fig. 7_.); quæ minus bo- nis tele$copiis excepta degeneravit in illam quæ quinta in ta- bella LII. recen$etur; pejoribus etiam in tri$phæricam.

Deinde cum penè quadrante circuli à lati$$imæ pha$eos _Quomodo_ _patulæ vide-_ _ri an$æ de-_ _$inant_. loco Saturnus remotus invenitur, velut in Q & R, vel S & T; u$que eo ell<007>p$is annuli con$tringitur, ut $i qua adhuc rima $uper$it vi$ui pervia, ea tamen propter exilitatem & re- liqui corporis $plendorem con$pici nequeat; ac proinde Sa- turni forma eju$modi appareat qualem anno 1655 & 1657 nos $pecta$$e $upra meminimus (T. XLIX. _fig_. 6. T.LI. _fig_ 5), quæ quomodo aliis omnibus hactenus tele$copiorum culpâ tri$phærica exi$timata $it, antea quoque o$ten$um e$t.

Sola dehinc rotunda pha$is explicanda re$tat; ad quam priu$quam tran$eam, de inclinatione magnæ Saturni diame- tri, $ive an$arum lineæ, ut $upra eam vocavi, pauca adno- tanda $unt.

[0308]CHRIST. HUGENII

Ajo itaque in omnibus prædictarum pha$ium, po$ito, ut _Majorem_ _Saturni dia-_ _metrum ne-_ _ce$$ario Æ-_ _quatori pa-_ _rallelam_ _$emper vi-_ _deri_. hactenus $ecimus, parallelum e$$e annuli planum plano æ- quatoris, nece$$ario fieri ut major diameter Saturni, $ive el- lip$eos ejus cui annulus a$$imilatur, $emper æquatori circulo parallela $pectetur, planè quemadmodum revera contingere no$tris aliorumque ob$ervationibus $upra probavimus. Quum enim vi$us no$ter re$pectu cæle$tium in centro æquatoris cir- culi, atque adeo in plano ejus collocatus $it, cui plano pla- num annuli parallelum ponitur, nece$$e e$t maximam longi- tud<007>nem annularis ellip$eos eidem æquatori circulo paral- lelam extendi: eâdem pror$us ratione, quâ, $i in aëre pla- no terræ parallelum circulum $u$pendamus, oculo no$tro altiorem, indeque pa$$ibus aliquot retro ab$i$tamus, major diameter ellip$is quam $u$pen$us circulus vi$ui offert Ho- rizontis circulo æqui di$tare comperietur. Hoc enim pro- culdubio eventurum, cuivis vel citra experimentum intel- ligitur.

E$$e autem annuli planum plano æquatoris omnimodis _Revera ta-_ _men mini-_ _mum quid_ _nonnun-_ _quam aber-_ _@are_. parallelum, et$i ob$ervationibus, quas quidem expendimus hactenus, minimè repugnantibus $tatuere licuit; exiguum ta- men quid dee$$e, quo minus omnino perfectus $it eorum pa- ralleli$mus, alia ratione deprehenditur. Etenim $i pror$us inter $e parallela forent utraque plana, $equeretur ut cum in pr. ♈ & ♎ Saturnus $pectaretur, omnium arcti$$ima annu- li ellip$is, & qua$i recta linea exi$teret, lati$$ima verò in pr. ♋ & ♑. Atqui arcti$$imam annuli pha$ium in gr. 20{1/2} ♍ & ♓ cadere invenimus, ut in $equentibus demon$trabitur, ac pro- inde lati$$imam in gr. 20{1/2} ♊ & <046>. Non igitur exactè paral- lela e$$e plana annuli & æquatoris hinc patuit, ideoque nec $emper revera parallelam, licet ita videatur, magnam Satur- ni diametrum æquatori circulo fore. Quæ$itoque per $phæ- rica triangula, quibus in locis & quanta $it maxima inclina- tio, inveni eam gr. 4 8′. quando Saturnus in gr. 25, 15′. ♊ & <046> ver$atur. Tali nimirum angulo, nec unquam majori, an$arum linea circulum æquatori parallelum per Saturnum tran$euntem iis in locis inter$ecabit; qui cum $it adeo exi- [0309]SYSTEMA SATURNIUM. guus, vix puto ob$ervabilis erit: aliis autem locis multo mi- nus. Nam iis quidem quæ quadrante Zodiaci inde ab$unt, nempe cum gr. 25. 15′. ♍ aut ♓ Saturnus obtinebit, pror$us parallela æquatori eadem an$arum linea con$picictur. Eclipti- cæ vero parallela fiet Saturno gr. 20{1/2} ♊ aut <046> tenente: quip- pe quam in locis per quadrantem circuli inde di$tantibus, nempe in gr. 20{1/2} ♍ & ♓, maximo angulo inter$ecat. Hunc autem maximum angulum quo linea an$arum eclipticam in- ter$ecat e$$e circiter gr. 23{1/2} ob$ervationibus anni 1655, 1656 & 1657 apparuit, talemque ad i$ta $upputanda ad$um$imus. Forta$$e autem, longo $æculorum lap$u, $en$im omnia hæc loca mutari continget, $imili quodam motu Saturni globum inclinante atque in Tellure no$tra e$t is qui præce$$iones æ- quinoctiorum efficit: atque ita pha$ium quoque omnium lo- ca transferri nece$$e erit. Hoc verò non tam facile in cæ- teris pha$ibus quam in rotunda pate$cet, ad cujus con$ide- rationem deinceps veniendum.

Schema itaque repetenti manife$tum e$t Saturnum in- _Rotundæ_ _pha$eos cau-_ _$æ_. tegro orbitæ $uæ circuitu non po$$e non ad eum locum bis pervenire, (e$to in B & D) ubi planum annuli recta ad nos dirigatur, productumque in oculos no$tros incurrat. Quod quidem in locis è diametro oppo$itis contingeret, inque ii$- dem perpetuò, $i ex Sole Saturni motum pro$piceremus; at nunc propter motum Terræ in $ua orbita annuum, nonnul- la oritur inæqualitas. Annulo igitur $ecundum latus in$pe- cto, nec ni$i rectam lineam referente, quum neutra plana- rum ejus $uperficierum appareat, ad nihilum rediguntur bra- chia ac pror$us intereunt, $olo rotundo Saturni corpore quod intueamur reliquo. Cujus phænomeni primum te$tem Galilæum $upra commemoravimus, qui anno 1612 $impli- cem hanc Saturni formam ob$ervaverit. Inde verò po$t an- nos 30 Ga$$endum alio$que complures; ac nos etiam deni- que anno 1656. Verùm enim $i hôc tantum annul<007> po$itu an$æ evane$cerent, nequaquam tanto tempore per$tare ro- tunda pha$is po$$et atque ob$ervationes te$tantur, toto enim $eme$tri rotundus Saturnus $pectatus fuit. Quamobrem por- [0310]CHRIST. HUGENII ro quærendum e$t quæ cau$a, præter eam quam jam attuli- mus, an$as quandoque cerni prohibeat: e$t autem quæ $e- quitur manife$ti$$ima.

Frequenter nimirum evenire con$tat Saturno circa locos modo dictos B vel D commorante, ut tum huju$ce tum So- lis re$pectu ita po$iti $imus, ut $i produci planum annuli in- telligatur, id inter nos ac Solem tran$iturum $it: velut in $chemate, cum Saturnus prope D con$i$tit, nos au- tem cum Tellure in E. Quo fit ut illam annuli $uper$i- ciem quæ $olis radiis illuminatur con$picere nequeamus, $ed alteram tantummodo quæ tunc umbræ vices patitur. Nulla itaque ne hîc quidem brachia Saturno annulus præ$tat, $ed oculis no$tris ereptus orbum ac $olitarium relinquit. Atque hæc cau$a ad continuos quinque aut $ex men$es rotundæ pha$i interdum $ufficit, uti po$tea accuratius docebimus.

At non immerito dubitari po$$it, cur & hôc & præceden- ti quoque annuli po$itu cum planum ejus rectà ad nos ver- git, non $altem exterior ejus limbus à Sole illu$tratus appa- reat: qu<007>d enim dicemus? anne tam tenue e$$e totum annu- li corpus, ut licet revera $plendeat extrema ejus margo, exi- lior tamen ip$a $it quam quæ no$tr<007>s tele$copiis percipi po$- $it? Nequaquam: verùm res eadem quæ cau$am hanc præ- _Quid $it in_ _Saturni di$co_ _Zona nigri-_ _cans_. texi vetat, eadem veram cau$am quoque haud dubiè $uppe- ditat: fa$cia nimirum illa reliquo Saturni di$co ob$curior, quam & rotundo illo apparente, & rur$us brachiis aucto, nobis vi$am narravimus. Hæc ita comparatum e$$e exte- riorem illum annuli ambitum evincit, ut aliqua quidem cra$- $itudine præditus $it, verum ejus naturæ, ut $olis lumen, vel nihil pror$us, vel certè leviter admodum reflectat. Quia enim in Saturno etiam brachiis prædito tractus i$te nigricans animadvertitur, nempe cum $uper$iciem annuli eandem quæ à Sole illu$tratur de$picimus; quo po$itu nulla ejus regio obumbrata oculis no$tris obver$a e$t; $equitur nigredinem illam ex alia cau$a manare non po$$e, ni$i quod eju$cemodi quadam materia annuli margo cooperta $it, quæ non perin- de ut reliqua ejus $uperficies repercutiendo lumini $it ido- [0311]SYSTEMA SATURNIUM. nea. Sic in lunari quoque di$co maculas aliquas, cæteris partibus multo ob$curiores, cernimus; quæ quidem non planè omni luce defectæ apparent, verùm $i æquè procul ac Saturnus à Sole di$tarent, ubi tantum cente$imam partem ejus, quod nunc accipiunt, luminis ab illo mutuarentur, credibile e$t penitus nobis invi$ibiles fore, ni$i quatenus lu- cidioribus undique terminantur; præ$ertim $i tenuem modo lineam, ut Saturnii annuli margo, con$tituerent. Alioqui vel illud for$itan dici po$$it, materiam quandam aquæ $imi- lem, aut certè lævi & $plendida $uper$ic<007>e præditam, extre- ma annuli præcingere, quæ unico tantum veluti puncto Solis radios reflectens, nequaquam nobis con$picua erit, ut ra- tionibus opticis clarum e$t.

Sed quæ ad rotundam pha$in attinent ulterius etiam ex- pendamus, in qua plura animadvertenda $uper$unt. Dixi- mus paulò ante, tunc eam poti$$imum exi$tere, cum produ- ctum annuli planum inter nos Solemque medium tran$it. Hoc verò quando contingat, quo pacto cogno$cere po$$i- mus, atque ex A$tronomicis tabulis de$inire, deinceps ex- plicandum e$t. Sit itaque denuo Saturni orbita A B C, Tel- TAB. @. fig. 4. luris annua D E F, locus $olis L.

Jam quia po$itum fuit, Saturni axem, qui ad annuli pla- num erectus e$t, $emper $ibi parallelum ferri, $equitur com- munem quoque planorum annuli & orbitæ inter$ectionem uni cuidam lineæ $emper fore parallelam. E$to ea linea per Solem ducta A C, quæ proinde in cælo locum Saturni æ- quinoctiorum de$ignabit. Po$ito igitur Saturno in H, Tellure verò in D, utroque ad partem eandem rectæ A C, verum ita ut minus ab ea Saturnus quam Tellus di$tet: ne- ce$$ario inter$ectionis linea planorum annuli & orbitæ Satur- ni H M, quæ nimirum ex H parallela ducitur A C inter So- lem L, Terramque in D po$itam excurret, ac propterea an- nuli quoque planum manife$tò inter utrumque medium in- cedet. Quod ubi contingit, rotundæ pha$i locum e$$e demon$travimus. Contra verò, cum Saturnus quidem ac Tellus ad eandem partem rectæ A C con$i$tunt, verum ita [0312]CHRIST. HUGENII ut illa propius ad eam accedat, ut cum ille e$t in N, hæc in F: vel cum diver$as partes re$pectu A C obtinent, velut cum Saturnus e$t in N, Tellus in _f_; utroque ca$u linea inter$e- ctionis annuli atque orbitæ Saturni, ut hîc N Q, quæ ni- mirum ip$i A C æquidi$tans acta e$t, Terram Solemque ab eadem parte habebit. Unde intelligitur, utrovis po$itu eandem annuli $uperficiem à Sole & nobis a$pici: quod re- quiri jam $upra advertimus, ut brachia Saturni aut an$æ ap- parere po$$int. Quanquam ne $ic quidem $emper cernuntur, uti po$tea manife$tum fiet.

Hi autem diver$i $itus ut ex tabulis A$tronomicis parvo _Saturnus_ _quando ne-_ _ce$$ario ro-_ _tundus $pe-_ _ctari debeat_. negotio cogno$cantur, indeque rotunda pha$is, quatenus ab hac cau$a pendet, prædici po$$it, $ciendum e$t, quan- docunque Saturni locus apparens locu$que ex Sole $ive ec- centricus, diver$as partes obtinent ejus loci quem inter fi- xas de$ignat recta A C, (quam in gr. 20 {1/2} ♍ & ♓ incidere po$t hæc o$tendemus) id eju$modi $itum Saturni ac Telluris indicare qualis in H & D, ut nimirum ab eadem parte am- bo reperiantur rectæ A C, atque propior huic Saturnus con- $i$tat; eoque tunc rotundam pha$in con$piciendam dari. Il- lo enim po$ito, $it Saturnus in H. Primùm itaque dico ab hac parte lineæ A C etiam Tellurem con$i$tere. Etenim $i ad alteram partem $ita e$$e dicatur, velut in P; liquet rectam ex P ad H ductam & ver$us $ixas porro continuatam, quæ locum Saturni apparentem, itemque rectam L H, quæ pro- ducta locum ejus ex Sole demon$trat, ab eadem parte pun- cti æquinoctiorum, quod L A producta inter fixas determi- nat, utraque ea loca exh<007>bituras; contra quàm po$itum fue- rat. E$t ergo Tellus nece$$ario ab eadem parte lineæ A C, qua Saturnus H. E$to jam ea alicubi puta in D. Quoniam igitur D H ad fixas protracta locum Saturni apparentem de- $ignat, L H vero, uti diximus, locum ejus eccentricum, inter quæ loca intercedere ponitur locus æquinoctiorum quò tendit L A, nece$$e e$t rectam D H tandem ip$am L A in- ter$ecare, ideoque punctum D, locum videlicet Telluris, amplius di$tare à linea A C quam punctum H in quo Satur- [0313]SYSTEMA SATURNIUM. nus. Con$tat itaque quando locus Saturni apparens & ec- centricus ad partes diver$as cadent loci æquinoctiorum, nece$$ario tunc Tellurem cum Saturno ab eadem parte rectæ A C inventum iri, atque ita ut minus ab ea Saturnus remo- veatur. At vero quoties apparens locus Saturni itemque ec- centricus ab eadem parte habentur rectæ A C, $ive loci æqui- noctiorum Saturni, inde certo colligi ajo, Tellurem ac Sa- turnum ita po$itos e$$e uti in F & N. Nempe ut vel diver- $as ad partes ip$ius A C collocati $int, vel ad ea$dem qui- dem, $ed ita ut Saturnus amplius ab ea quam Tellus di$tet. Ideoque, $ecundum ante demon$trata, eandem annuli $u- perficiem quæ à Sole illu$tratur oculis quoque no$tris obver- $am e$$e. Nam cum L N producta o$tendat inter fixas lo- cum Saturni excentricum, F N vero locum ejus apparentem, ac uterque cadere ponatur in partem eandem loci illius quem inter fixas exhibet L C: manife$tum e$t rectam F N ab N porrò productam neque $ecare debere neque parallelam e$$e rectæ L C, $ed $emper ab ea magis recedere. Quare nece$- $ario punctum F vel propinquius erit rectæ A C quam pun- ctum N, $i $int ambo ad eandem partem dictæ lineæ; vel N ad i$tam, F ad illam partem $itum erit. Quod proban- dum erat.

Denique advertendum etiam, quando vel Saturni locus ex Sole, vel apparens locus incidit in alterutrum æqui- noctiorum, quæ determinat producta A C, nempe in gr. 20{1/2} ♍ vel ♓, nece$$ario quoque rotundam pha$in exoriri. Si enim locus ex Sole inibi reperiatur, hoc e$t, $i Saturnus oc- cupet punctum A vel C, tunc planum annuli protractum per Solem tran$ire liquet: unde $equitur neutram annuli $u- perficiem tunc luce aliqua perfundi. Rur$us vero cum locus ejus apparens incidit in dictos æquinoctii locos, hoc e$t, quando recta à Tellure ad Saturnum exten$a parallela ince- dit ip$i A C; velut cum Saturnus $itus e$t in O, tellus in _f_, eo po$itu productum annuli planum oculo no$tro occurrere con$tat, quoniam communis ejus inter$ectio cum plano or- bitæ Saturni ip$a e$t O _f_ recta: Unde $it ut neutram $uper$i- [0314]CHRIST. HUGENII ciem annuli, etiam$i al@era jam illarum Solis radiis $plen- deat, con$picere po$$imus.

Nunc illud videamus, quemnam Eclipticæ locum teneat recta A C Saturni æquinoctiorum linea: quam quidem in _Quanam sa-_ _@urnicolis_ _$int loca_ _aquinoctio-_ _rum_. ♍ & ♓ gr. 20{1/2} cadere diximus, verum qua ratione id ex ob- $ervationibus collegerimus declarandum e$t.

Saturnum brachiis carentem ac pror$us rotundum $pecta- vimus à Men$e Decembri anni 1655, u$que in Jun. 1656. Quæ pha$is ex ea cau$a, quam modo retulimus, tanto tem- pore durare potuit, $i linea A C eum ip$um locum obtinere ponatur quem & Saturnus tenebat tunc cum Soli e$$et oppo- $itus, hoc e$t, ♍ gr. 20. Hinc enim fieri debuit ut tot il- lo tempore Saturnus ac Tellus ab eadem parte lineæ A C $i- mul con$i$terent, atque ita quidem ut Saturnus ei vicinior e$$et; $emel autem eodem momento, nempe oppo$itionis tempore, in <007>p$a A C reperirentur: unde non ni$i rotunda pha$is potuit exi$tere, $icut ex prædictis intelligitur.

Cæterum uti non admodum ver$im<007>le e$t (et$i fieri po- tuerit) eo ip$o tempore oppo$itionem illam contigi$$e cum Saturnus in æquinocti $ui linea A C $itus e$$et, ita non ve- rebimur hanc lineam dimidio gradu emovere loco illo, at- que in gr. 20{1/2} ♍ eam transferre; quum hoc po$itu melius $atis$iat aliis rotundæ figuræ ob$ervationibus, anni 1642 & 1612, ac nihilo $ecius no$tra illa anni 1656 conciliari quæat, ut ex $equentibus liquebit. Po$ita itaque A C in gr. 20{1/2} ♍ & ♓ $equitur rotundam pha$in, ab u$que principio Augu$ti anno 1642, ad Febr. 1643, continuè per$evera$$e, pror$us quemadmodum à Ga$$endo aliisque fuit adnotatum. Erat enim ineunte Augu$to locus Saturni eccentricus in 20 gr. ♓, hoc e$t, d<007>midio gradu præcedebat locum æquinoctii: at lo- cus apparens in 24 gr. ♓, atque ita gr. 3{1/2} eundem æquinoctii locum tran$ierat. Quare $uperficiem annuli iliuminatam Ga$$endus nequaquam con$picere potuit, $ed eam quæ te- nebris tegebatur $ibi obver$am habuit. Et $ic quidem locus Saturni apparens eccentricu$que perpetuo diver$is in parti- bus loci æquinoctiorum per$titerunt u$que ad initium fere [0315] [0315a] Pag. 580. TAB. L. Fig. 2. R ♈ L D I T A N ♋ H G E P F K C Q O B M S Fig. 3. Fig. 4. N Q F C P L E A M H O D _f_ Fig. 1. B A [0316] [0317]SYSTEMA SATURNIUM. Febr. 1643, unde non ni$i rotunda forma prodire potuit, ut antea demon$tratum e$t.

Idem quoque phænomenon anno 1627, proculdubio $e$e obtulit, $ed ob$ervatorum penuria an $upinitate præteriit in- ob$ervatum; cum nemo, quod $ciam, prodiderit, utrum Saturnus eo anno cum globulis apparuerit an $ecus.

Anno autem 1612, à Galilæo primo omnium rotunda fa- cie animadver$us e$t. Scribit is ad Marc. Vel$erum Epi$to- la de Solaribus maculis 3. circa $ol$titium quidem illius an- ni, tricorporem adhuc Saturnum $ibi vi$um, inde verò, cum duobus men$ibus atque amplius tele$copio eum in$picere o- mi$i$$et, ut qui nullam formæ mutationem animo præ$agi- ret, po$tea nihil minus cogitanti $olitarium oblatum, talem- que deinceps in illam u$que diem, quæ prima Decembris erat; perman$i$le. Quæ quidem ob$ervatio hactenus hypo- the$i no$træ con$entit, ut $i eo tran$itu lineæ A C rotundus apparere Saturnus debuerit, id hoc anno neque alio accide- re fuerit nece$$e. Sed cum per totum hunc annum Saturni locus, quà apparens, quà eccentricus, ab eadem parte man- $erit loci æquinoctiorum, $ive ♓ gradus 20{1/2}; videbatur ex præcedentibus colligendum, $alvis brachiis $uis eum præter- labi potui$$e, quod tamen contra evenit. Et $exto quidem Septembr. dicti anni 1612, quo tempore jam rotundum Ga- lilæus reperit, erat ejus locus ex Sole $imul & apparens, in gr. 14, 44′ ♓. Hoc e$t g.5. 46′ citra locum æqu<007>noctii $ui. Adeo ut $olares radii atque ii qui à vi$u terricolarum flue- bant in eandem annuli Saturnii $uperficiem inciderent: non tamen angulo g. 5. 46′ de$uper in planum ejus directi, $ed gr. 2. 15′ duntaxat. Hic enim elevationis angulus, ut hoc obiter adnotemus, $ic $e habet ad illum gr. 5. 46′, quo Pla- netæ locus di$tat ab æquinoctio $uo, quemadmodum apud nos declinatio Solis ad eju$dem ab æquinoctio di$tantiam. Quandoquidem non aliud re$pectu Saturni e$t planum annu- li $ui, atque nobis e$t planum æquatoris, $imilique etiam angulo ad eclipticæ planum inclinatur. Proinde cum cog- nita e$t di$tantia loci Saturni eccentrici ab æquinoctio $uo, [0318]CHRIST. HUGENII $i $cire libeat quali angulo Solis radii in $uperficiem annuli deferantur; quærendum in tabula declinationis Eclipticæ, qualis apud A$tronomos in u$u e$t, quanta $it decl<007>natio loci alicujus qui tantundem à princ. Arietis ab$it. Ea enim e$t ip$e angulus quæ$itus. Ac $imili quoque ratione cum data erit di$tantia loci Saturni apparentis ab æquinoctio $uo, hoc e$t, à gr. 20{1/2} ♍ aut ♓, invenire licebit quonam angu- lo de$uper planum annuli nos in$pectemus; qualemque pro- pterea ellip$in ille nobis exhibere debeat. Ex eadem nimi- rum tabula capiendo declinationem huic di$tant<007>æ à pr. A- rietis re$pondentem, quæ declinatio rur$us hîc quæ$itum angulum æquat. Quorum demon$trationem adferre operæ pretium non e$t, quippe quam A$tronimiæ periti fac<007>le per- $pic<007>ent.

Illud verò videndum, qui evenerit ut vi$u no$tro ac Sole $imul $upra planum annuli plus quam 2 gr. altis, nullum ta- men brachiorum apud Saturnum ve$tigium apparuerit. An- ne hæc forta$$e cau$a fuit quod ell<007>p$is annuli, tam obliquè in$pecta ut magis tenui$$imæ l<007>neæ $imilitudinem præferret, exiliorem lucem emittebat quam quæ Galilæi tubo percipi po$$et. Hoc quidem non improbabile videri queat, ni$i eodem tubo, circa $ol$titium eju$dem anni 1612, brachia Saturni $ive bini illi, ut tum putabant, $atellites Galilæo a- nimadver$i fui$$ent, quo tempore Saturnus ob$ervabatur circa gr. 18, ♓. hoc e$t gr. 2{1/2} ab æquinoctio $uo remotus, ideoque vi$us no$ter vix uno gradu plano annuli $uperior. Etenim $i hoc po$itu brachia cerni potuere, multo clarius cerni debui$$ent tunc cum gr. 2. 15′ $upra idem planum vi- $us extolleretur, initio nimirum Septembr. magi$que etiam 14 Nov. eju$dem anni 1612, tempore $tationis Saturni; quia tunc gr. 11. 10′ ♓ tenebat, eoque gr. 9. 20′ ab æqui- noctio $uo aberat; adeo ut angulo gr. 3. 42′ radii vi$us in planum annuli de$cenderent. Atqui hîc, vel certe circa hæc loca brachiorum expers man$it, quum $atis utique dili- gentem ac intentum ob$ervationibus Galilæum fui$$e per eos dies credibile $it, qui rotundæ pha$eos miraculo nuper e$$et excitatus.

[0319]SYSTEMA SATURNIUM.

Itaque in tenuitatem brachiorum, cur ea penitus latuerint cau$a conferri non pote$t. At neque transponendo amplius Saturni æquinoctiorum locum, quicquam proficimus; ne qu<007>dem $i mob<007>lem $tatuamus lento quodam progre$$u, ad $imilitudinem no$trorum æquinoctiorum, quæ $en$im in præcedentia referuntur. Quamobrem non aliam hujus rei cau$am e$$e crediderim quam quæ nunc dicetur.

Certum e$t cognitæque experientiæ, $uperficiem quamli- bet ab eodem lumine plus minu$ve illu$trari, prout directis vel obliquis radiis expo$ita e$t: quod & à Galilæo, dialogo 1. de Mundi $y$temate, optimè e$t demon$tratum. Quam- obrem cum exiguo admodum angulo $upra annuli Saturnii planum Sol attollitur, puta gradus unius vel duorum vel etiam duorum cum dimid<007>o, hoc e$t, cum Saturni locus ec- centricus non ultra gr. 6. ab æquinoctio $uo aberit, etiam prætenui tantum luce annuli $uperficies à Sole impertietur. Hanc autem, ita leviter $plendentem, veri$imile e$t à meris tenebris nos di$cernere non po$$e, præ$ertim Saturnii globi vicino fulgore præpeditos; eoque an$as tunc nullas animad- verti. Qua tamen in re illud ante omnia $tatuere nece$$e e$t, $uperficiem annuli non e$$e a$peram montibu$que ob$i- tam, veluti maxima ex parte Lunæ no$træ e$t $uperficies: $ed æqualem planamque velut in iis Lunæ regionibus, quas nonnulli maria e$$e ob in$ignem planiciem arbitrati $unt.

Alioqui enim, $icut Luna plena circa di$ci $ui extrema, ubi tamen obliquos Sol<007>s radios excipit, nihilo languidiori lumine quam ver$us medias partes cernitur, $cilicet quia illic tota monto$a atque a$pera e$t, ita annuli quoque $uperficies $i $im<007>li natura prædita foret, non $ecus obliquè incidenti- bus radiis quam directis $plende$ceret. Quamobrem nece$- $ario plana, uti diximus, cen$enda e$t. Atque hinc jam intelligere licet cur Galilæo à Men$e Septembri anni 1612 u$que in Febr. 1613, quoad nempe Heliacè Saturnus occi- deret, nullæ circa eum an$æ con$picerentur. Quia nempe inde à Septembri continuè locus Saturni eccentricus ad æqui- noctii locum appropinquavit, eoque altitudo Solis $upra an- [0320]CHRIST. HUGENII nuli planum, quam initio Sept. tantum gr. 2. 15′, fui$$e diximus, $imul imminuta e$t. Pari ratione nec Ga$$endus brachia ulla percipere potuit men$e Febr. anni 1643. et$i tunc quoque Sol oculu$que ob$ervantis eandem annuli $uper- ficiem intuebantur; $cil<007>cet quia Saturni locus eccentricus in gr. 26. ♓ inveniebatur, hoc e$t 5{1/2} gr. à loco æquinoctii, eoque altitudo Solis $upra annuli $uper$iciem tantum g. 2. 11′. Denique & anno 1656, men$is Martii diebus aliquot, quibus $imiliter eadem annuli $uperficies ad nos Solemque $pectabat, multo minus brachiorum ullum ve$tigium appa- rere debuit, quod nunquam dimidio gr. $upra planum an- nuli Sol attolleretur. Nam reliquo tempore ful$ionis illius, diver$as partes loci æquinoctiorum locus Saturni ex Sole at- que ob$ervatus locus obtinebant, unde ex $uperius allata cau$a brachiorum expertem cerni oportuit.

Neque verò magis con$picuum nobis annulum fieri cre- dendum e$t, $i alt<007>us $upra planum ejus oculus attollatur, Sole tamen ex obliquo tantum radiis $uis eum per$tringente, quemadmodum contigit dicta Saturni $tatione ad 14 Nov. 1612; quippe quo tempore Sol gradu 1. 36′ $upra planum annuli a$cenderat, vi$us autem no$ter gr. 3. 53′. Idem enim in quacunqne plana $uperficie experiri licet, <007>n quam $i à la- tere radii luminis incidant, non apparcbit illu$trior quocun- que in loco vi$us $tatuatur, $ed tum demum, $i radios à lu- mine rectiores accipiat. Uti contra quoque $i amplius ad lumen obver$a directiu$que illuminata fuerit, non refert quàm obliquè in eam radii vi$us incidant, $ed undecunque $pectata æque lucida apparebit. Atque ita fit ut cum Sol paulo altius $upra planum annuli $e$e extulit, tribus puta gradibus aut paulo amplius; vi$u licet no$tro non ni$i uno gradu extante; $plendere jam nunc annulus incipiat, Satur- noque brachia adna$cantur. Sicut anno 1612. circa $ol$ti- tium accidit, Saturno ex Sole circa gr. 12. ♓, hoc e$t, gr. 8{1/2} ab æquinoctio $uo agente, ac proinde Solis altitudine $u- pra planum annuli graduum 3. 23′: Galilæi verò oculo vix uno gr. $upra idem planum elevato. Videbatur enim Satur- [0321]SYSTEMA SATURNIUM. nus in gr. 18. ♓, hoc e$t 2{1/2} gr. à loco æquinoctii, quæ di- $tantia dat declinationem gr. unius.

Ut igitur $ecundum hæc de rotunda pha$i judicium $era- _Saturnus_ _brachiorum_ _expers futu-_ _rus quo mo-_ _do cogno$ca-_ _tur_. tur, illud in primis re$picere oportet, quod gradibus ab æ- qu<007>noctio $uo, hoc e$t, à gr. 20{1/2}. ♍ vel ♓, Saturni locus ec- centricus ab$it. Ac mihi quidem phænomena antecedentia expendenti, videtur ita $tatuendum, ut quoties non amplius quam 6 gr. circiter in alterutram partem, à dictis locis Sa- turni locus ex Sole di$tabit, nunquam brachia ejus con$pici queant, quicunque demum oculi no$tri $itus fuer<007>t; hoc e$t, nulla ducta ratione Saturni loci apparentis. Quod tamen ita acc<007>piendum e$t, $i per$picillis non melioribus quam qui- bus Galilæus & Ga$$endus u$i $unt Saturnus in$piciatur. Nam $i no$tris $imilia adhibeantur, for$itan jam in illa 6 graduum di$tantia tenue quoddam brachiorum exordium percipi po$- $it. Certè anno 1656, 13. Oct. renata illa vidimus, cum Saturni locus ex Sole tantum gradibus 6. 46′. æquinoctii $ui punctum prætergre$$us e$$et. Erant autem æquè con$picua ferè atque ante pha$in rotundam, anno 1655. At ii qui mi- noribus tele$copiis eum tunc ob$ervitabant, ut Joh. Hodier- na, penè adhuc rotundum repererunt: ait enim is, tantum tenui$$imos quo$dam veluti radios utrinque è lateribus Sa- turnum vibrare vi$um. Quamobrem no$tris tele$copiis for- ta$$e arctiores paulò prædicti limites $umendi $int; quod ta- men minimum quid erit, $equentiumque annorum expe- rientiâ definiendum.

Rur$us cum amplius 9. gradib. vel for$an $upra 8. gr. $o- lum, ab æquinoctiis $uis $ive 20{1/2} gr. ♍ aut ♓ locus Saturni eccentricus di$tare invenietur, jam <007>nde brachiis an$i$ve præ- ditum dicemus: nullâ ne hic quidem apparentis loci con$i- deratione, quoniam hinc jam apparens locus & eccentricus ab eadem parte loci æquinoctialis habentur; ac propterea ea- dem annuli $uperficies, per ea quæ $upra demon$trata $unt, Soli & vi$ui no$tro obver$a e$t, idque ita ut Sol plus tribus gr. $upra ip$am elevatus $it, vi$us vero no$ter ut minimum gr. uno: quo fit ut brachia $altem tenuia animadverti de- beant.

[0322]CHRIST. HUGENII

At cum nondum gr. 8 aut 9, plus verò quam $enis, ec- centricus locus Saturni à 20{1/2} gr. ♍ aut ♓ aberit, videtur etiam apparens locus expendendus e$$e, nempe circa quadra- tum quem vocant Saturni cum Sole a$pectum. Fieri enim poterit ut non ultra gradus unius $emi$$em locus apparens ab æquinoctii loco remotus $it, ideoque vi$us no$ter tantum 12′ $uper annuli $uperficiem exurgat; quæ cum à Sole $imul debiliter illuminetur, vix puto $e videndam præbebit. Quum autem duo contingant quadrati a$pectus $ingulis Saturni ful- $ionibus, priori eorum ita demum illud quod diximus per- pendere opus erit, $i locus planetæ ex Sole præcedat gr. @0{1/2} ♍ aut ♓, po$teriori verò non ni$i $equatur. Nam $i $e- cus fuerit jam certo brachiis auctus cernetur.

Et $ic quidem quod maximè perplexum in toto hoc nego- tio inerat, nulla di$$imulata difficultate, pertractavimus. Il- lud enim inquirere voluimus an certis locis rotunda pha$is alligari po$$et, ita ut omnibus huc u$que ob$ervatis fieret $atis. Quod & præ$titimus tandem, et$i arctis adeo limiti- bus circum$cripti, ut ne minimum quidem ultra citrave ab iis di$cedere $alvis apparentiis licuerit. Simul verò hoc ope- ræ pretium fecimus, quod de futuris Saturni pha$ibus haud dubia prænuntiare in po$terum licebit. Etenim $i modo ta- bularum A$tronomicarum ope inveniatur, quo tempore Sa- turni locus ex $ole $ive eccentricus, cadat in gr. 20, 30′ ♍ vel ♓; $enis men$ibus qui id tempus præcedunt totidemque $equentibus brachia nulla percipi po$$e mani$e$tum erit; quo- niam $cilicet in men$es $ingulos gradu uno Planetæ locus ex Sole promovetur. Præterquam quod aliquando uno etiam atque altero men$e citius rotunda pha$is exi$tet, aliquando tanto diutius videri per$everabit; $i nempe quadrante cæli per id tempus Saturnum à Sole di$tare contingat, locu$que Planetæ eccentricus, ea qua diximus lege, præcedat vel $e- quatur ♍ aut ♓ gr. 20. 30′.

Secundùm hæc igitur, quoniam in gr. 20, 30′ ♓ incidit locus eccentricus die 12. Jan. 1672″, exi$timo anno 1671 & 1672 Saturnum brachiis cariturum; non toto utriu$que anni [0323]SYSTEMA SATURNIUM. tempore, $ed hoc pacto, ut men$ibus quidem Aprili, Ma- _Quibus tem-_ _poribus ro-_ _tunda pha$is_ _rever$ura $it_ _prædicitur_. jo, Junioque anni 1671, nondum iis $poliatus cernatur, $ed tenuia etiamnum utrinque extent qualia $ub finem anni 1656 ob$ervavimus. Julio autem aut Augu$to gracile$cant pror- $us tandemque di$pareant & rotundum Saturnum relinquant. Quo vultu non tantum ad Heliacum occa$um u$que con$pi- ciendus erit, hoc e$t u$que ad finem Februarii anni 1672; $ed eundem quoque exoriens rur$us men$e Aprili referet, nec amittet ni$i Julio men$e aut Augu$to. Circa hoc enim tem- pus adcre$cere denuo brachia cernentur, ac paulatim eviden- tiora fieri; tandemque etiam $ingula prope medium Saturni orbem bi$ida evadent, quemadmodum ab anno 1656 dein- ceps augeri ea vidimus.

Manebunt autem ad annum u$que 1685, quando rur$us evane$centia $pectare continget, nempe circa Martii ini- tium. Inde rotundus planeta ob$ervabitur per annum inte- grum, excepto eo tempore quo propter Solem delite$cit. Adeo ut men$e Martio $equentis anni 1686 brachia demum recuperaturus $it, $ed tenui tantum incremento quandiu illa vice vi$endus erit. Locum Saturni ex Sole reperio in gr. 20{1/2} ♍ die $ecunda Sept. anni 1685, unde prædictas vici$$itu- dines con$equi nece$$e erat.

Rur$us verò anno 1701, 15 Jun. redit Saturni locus ex Sole ad ♓ gr. 20, 30′. Unde circa finem anni 1700, princi- piumque 1701, priu$quam Heliace occidat, rotundus luce- bit, ac porro quoque ubi jam ex Solis radiis emer$erit, ea facie permanebit ad initium u$que anni 1702: à quo tempo- re ad occa$um u$que Heliacum tenuia forta$$e brachia cerni poterunt. Ab$que dubio autem, men$e Majo eju$dem an- ni, cum denuo ob$ervari cœperit, re$tituta invenientur.

Atque ita porro $ingulis quatuordecim aut quindecim an- nis, nimirum bis ad $ingulas Saturni in $ua orbita revolutio- nes, rotunda forma con$picienda dabitur; neque enim un- quam æquinoctii $ui locos tran$ire quin brachia amittat po- te$t. Ac facile quidem accurata mutationum eju$modi tem- pora ve$tigiis no$tris in$i$tendo, quilibet inpo$terum præft- [0324]CHRIST. HUGENII niet, certiu$que etiam ubi rena$centes Saturni an$as con$pe- xerit.

Cæterum ad eos ob$ervandos, quos hic adnotavimus, ala- tæ formæ ad rotundam tran$itus, A$tronomos omnes inten- tos e$$e cupimus. In quorum prædictione $i à veritate aut ni- hil aut pauxillum tantum aberra$$e nos invenient, tum procul dubio cau$as quoque horum phænomenôn germanas quale$- que revera $unt $ibi explicitas credant. Sin longè halluciua- ti fuerimus, adeo ut brachiis præditus planeta cernatur, quo tempore ex $ententia no$tra vel maximè iis carere deberet; indicio id erit, quædam circa rotundam pha$in accidere no- bis nondum $atis per$pecta, nec ulli mortalium for$itan per- videnda. Nec tamen annuli propterea hypothe$in rejicien- dam exi$timent, quandiu rel<007>quis quæ circa an$as animad- vertentur ad amu$$im, uti hactenus, con$entiet.

Porro in hi$ce an$atis Saturni pha$ibus, cum nulla adeo $ubita mutatio locum habeat, ideo nec tempora $ingularum tam accuratè ut in rotunda di$tinguere nece$$e fuit; $ed in univer$um $cire $ufficit, pha$in an$atarum lati$$imam medio _Quando la-_ _ti$$imæ o-_ _mnium an$æ_ _apparituræ_ _$int_. tempore inter duas rotundas incidere; ut proinde circa an- num 1663 & 1664 illa rever$ura $it; iterumque anno 1678 & 1679; ac po$tea anno 1693. Reliquis enim inter i$tos in- tercedentibus annis, tanto angu$tior annuli ellip$is cerne- tur, quanto magis rotundæ pha$eos tempus imminebit. Et hactenus quidem eorum quæ circa Saturnum ob$ervantur cau$as ac tempora dige$$imus.

Nunc forta$$e haud alienum propo$ito videatur, $i quem- admodum ex no$tra hac $tatione hucu$que $y$tema ejus con- templati $umus, ita ad ip$ius Saturni globum deinceps cogi- tationem transferamus, atque illud di$piciamus, qualis inde univer$i facies, quænam futura $int intervalla annorum men- $ium ac dierum, quæve æ$tatis hyemi$que vici$$itudo, ac præ$ertim qualia ob annulum planetæ circundatum contin- gere eum inhabitantibus nece$$e $it: ut nonnunquam longo tempore aliquos con$pectu Solis privet, aliàs rur$um no- cturnas tenebras imminuat, arcus lucidi $pecie horizonti il- [0325]SYSTEMA SATURNIUM. lorum $uper$tans. Verum eo labore $uper$edere rectius ar- bitror, tum quod A$tronomiæ gnaris $ingula hæc expende- re, $ibique ob oculos ponere, non $it d<007>ffic<007>lè futurum; tum quod in his ip$is multi $int, (ut alios mittam) quibus otio- $a & inanis eju$modi di$qui$it<007>o videretur; ac tanto quidem magis, quanto ab$urd<007>us putant ut ammant<007>a aliqua ratione prædita Saturnum ac rel<007>quos Planetarum incolere creda- mus.

De magnitudine autem Saturni eju$que à terris di$tantia _De Saturni_ _magnitudine_ _& à terris_ _di$tantia_. operæ pretium v<007>detur ut $ententiam no$tram his $ubjicia- mus, $iquidem & alio modo illas inqui$iv<007>mus quam quo fieri $olet, & aliquanto al<007>ter de utraque $tatuimus. Nem- pe $phærulam illam annulo cinctam quam $ub exiguis modo lineamentis $pectavimus, diametrum quindecies circiter ma- jorem habere, quam no$tra hæc in qua degimus terra, pu- tandum e$t; abe$$e autem à nobis, cum poxima e$t, terræ diametris 100344; cum longi$$imè di$tat, 122000. Quæ quidem $equent<007> ratiocinio nituntur.

Docuit nos novo $uo ac divinitus invento $y$temate Co- pernicus, quamnam inter $e proportionem $ervent $ingulo- rum à Sole Planetarum di$tantiæ, apparentes vero eorundem diametri quanto aliæ aliis majores $int tele$copii ope innote- $cit. Collatis ergo invicem rationibus utri$que, tum di$tan- tiæ tum magn<007>tudinis apparentis, vera inde planetarum ad $e mutuo, nec non ad Solem magnitudo cogno$citur. Et _Quanta ap-_ _pareat major_ _Saturni dia-_ _meter_. ad Saturnum quod attinet, primùm annuli ejus diameter. quum in minima à nobis di$tantia comprehendatur angulo $exaginta & octo $crupulorum $ecundorum; talem enim ad $ummum reperimus; cumque minima hæc Saturni di$tantia ad mediocrem Solis di$tantiam $it fere octupla; $equitur, $i tam propinquus nobis fieret Saturnus quam Sol in di$tantia mediocri, apparituram tunc annuli diametrum octuplam ejus quæ nunc apparet, hoc e$t 9′, 4″. Solis autem d<007>ameter in media di$tantia e$t 30, 30″. Ergo revera ea erit proportio diametri ann@@i Saturnii ad diametrum Solis quæ 9′, 4″, ad 30′, 30″, hoc e$t, fere quæ 11 ad 37. Diameter vero Sa- [0326]CHRIST. HUGENII turni ip$ius, quam $uperius diximus ad annuli diametrum $e habere ut 4 ad 9, hoc e$t fere ut 5 ad 11, ad diametrum Solis erit paulo minor quam 5 ad 37.

Quanta vero $it Saturni diameter ad Telluris diametrum collata haud æque certo definiri pote$t. A$tronomi ita hoc inve$tigant, ut primò intervallum inter terram ac Solem ad certum terre$trium diametrorum numerum revocent, inde quæ$itam magnitudinum rationem eliciant. At in illo Solis terræque taxando <007>ntervallo nimium quantum inter $e di$- $entiunt; nec mirum, quum nulla adhuc tolerabilis metho- dus ad dimetiendum hoc $patium reperta $it. Nam $ive per Eclip$es $ive per Lunæ dichotomias id deprehendere conen- tur, facile o$tendi queat inanem operam $umi. Quare mihi quidem unica illa, quam dicam, ratio reliqua e$$e videtur, qua $altem veri$imiliter de Planetarum omnium ad terram magnitudine ac di$tantia $tatui po$$it. Tele$copio diametri Planetarum apparentes explorentur; ex his $ingulorum dein- ceps ad Solem comparata magnitudo inve$tigetur, ut de Sa- turno modo exemplum dedimus; omnibu$que perpen$is, ea Telluris ad cæteros a$$umatur magnitudo, quæ totius $y$te- matis ordini aptæque di$po$itioni quàm maxime congruere videbitur. Ita cum proportio diametrorum Telluris ac reli- quorum. Planetarum ad Solis diametrum con$tituta fuerit, con$tetque in$uper quot $uis diametris Sol à nobis di$tet, ex angulo videlicet quem $ubtendit diameter ejus apparens, jam terræ quoque ad Solem magnitudo nota erit; atque unà So- lis di$tantia, tum à terra tum à cæteris Planetis, Terræ dia- metris æ$timabitur. Hanc itaque nunc viam ingredi placet, ideoque $icut Saturnum cum Sole modo comparavimus, ita de reliquis quoque $imile examen in$tituemus.

Jovis diameter, cum proximè nobis ade$t, $exaginta qua- _Jovis terris_ _proximi dia-_ _meter appa-_ _rens quanta_ _ob$ervetur_. tuor $ecunda $crupula comprehendere mihi videtur; quum- que hæc ejus di$tantia ad mediam Solis di$tantiam $it ut 26 ad 5, hinc $i fiat ut 5 ad 26 ita 64″ ad aliud, invenientur 5′, 35″, amplitudo anguli quem obtineret Jovis diameter $i tam propinquus nobis fieri intelligatur atque Sol in di$tantia [0327]SYSTEMA SATURNIUM. mediocri. Sol autem hîc apparet diametro 30′, 30″. Ergo Jovialis diametri ad Solarem hæc proportio erit quæ 5′, 35″ ad 30′, 30″, hoc e$t paulo major quam 1 ad 5{1/2}.

Accuratè etiam diametrum Veneris dimen$us $um, ea _Veneris dia-_ _meter appa-_ _rens_. quam po$tmodum exponam methodo, invenique cum ter- ris proxima e$t, non majorem fore quam octoginta quinque $ecundorum $crupulorum. E$t autem di$tantia hæc Veneris perigææ ad mediam Solis à Tellure di$tantiam circiter ut 21 ad 82. Ergo $i apud Solem Venus con$i$teret appareret ejus diameter duntaxat 21″, 46″′. Unde con$tat ita e$$e diame- trum Veneris ad Solis diametrum ut 21″, 46″′ ad 30′, 30″, hoc e$t ut 1 ad 84.

At Martis diametrum terris proximi non excedere 30″ de- _Martis diæ-_ _meter_. prehendi, et$i ob$ervatione non tam exacta quam qua in Sa- turno, Jove & Venere u$us $um, quippe cujus rationem no- vi$$imo Martis ad Tellurem acce$$u nondum inveneram. Un- de quum di$tantia Martis minima $it ad mediocrem Solis ut 15 ad 41; colligitur ratio diametri Martis ad diametrum So- lis ea circiter quæ 1 ad 166. Mars itaque duplo minor Ve- nere $ecundum diametrum hac ratione efficitur. Atque adeo manife$tum e$t in Planetis non ubique eum $ervari ordinem, ut qui remotiores à Sole $unt iidem quoque majori $int mo- le: nam & Jovis $phæra Saturno $ine annulo major inventa e$t. Quo fit ut minus liquido de Terræ ad cæteros Plane- tas proportione æ$timatio iniri po$$it. Nam $i pro ratione ordinis magnitudines e$$ent attributæ, ut Saturnus Jove major e$$et, Jupiter Marte, hic Venere, hæc Mercurio; inde quidem penè certo colligere liceret, Telluris magnitu- d<007>nem e$$e inter Martem Veneremque mediam. Cum verò in aliquibus contrarium deprehendatur, non æquè quid $e- quendum $it apparet. Veruntamen ut quatenus fieri pote$t totius $y$tematis concinnitas ob$ervetur, id nunc quoque maximè con$entaneum videtur, ut $icut loco media Terra e$t inter Martem & Venerem, ita quoque $it magnitudine. Martis diametrum diximus diametri Solis e$$e {1/100}; Veneris vero diametrum {1/14}. Inter utramque mediam igitur terræ d<007>a- [0328]CHRIST. HUGENII metrum ponendo fiet ea {1/111} diametri Solis. Hujus autem {5/37} diametro Saturni æquales repertæ $unt; ergo Saturni dia- meter Telluris diametrum continebit quindecies, diameter vero annuli Saturnii eandem Telluris diametrum circiter tri- ge$ies & quater. Unde eximia horum corporum magnitudo cogno$citur; quæ $ane omnem ab aliis hactenus traditam fa- cile exuperat.

Hinc verò & intervallum inter Terram ac Solem nece$$a- rio omnium exi$timatione majus conflabitur. Si enim dia- meter terræ diametri Solis {1/111} continet; Solis autem d<007>ame- ter $uæ à nobis mediæ di$tant<007>æ {1/113} æquat, uti $equitur ex eo quod diameter ejus ob$ervetur 30′, 30″; erit certè Terræ dia- meter {1/12543} di$tantiæ quæ e$t inter ip$am ac Solem. De<007>nde cum Saturni minima di$tantia $it ad mediam Sol<007>s di$tantiam ferme octupla, hinc Saturni, cum erræ proximus e$t, di- $tantia habebitur diametrorum terre$trium 100344; cum verò plurimum aberit, circiter 122000.

Fateor equidem lubrica eatenus ratione hæc niti, quate- nus nimirum Terræ magnitudinem inter Martem Venerm- que mediam ad$um$imus, nullo ni$i veri$imilitudinis argu- mento: adeoque vel millenis aliquot Terræ diametris facile à veritate aberrari potui$$e Verùm ut jam duplo majora minorave quam reip$a $unt intervalla i$ta definiverimus, aut triplo etiam; non tamen parum videri debet hactenus $altem men$uram eorum comprehendi$$e, quum alia nulla rat<007>o $up- petat qua non vel decuplo major error timendus $it. Ita e- nim omnino exi$timo. Ad rel<007>quum verò calculum quod at- tinet, quo Planetarum diametros Solis diametro comparavi- mus, $ciendum e$t nihil in eo conjecturæ tribui, $ed ex iis quæ data $unt certa ratione illum procedere. Atque adeo po$itis iis Planetarum diametris apparentibus quas a nobis ob$ervatas diximus, non po$le non Solis d<007>ametrum ad dia- _Diametri So-_ _lis ad Plane-_ _tarum dia-_ _metres ratio_. metrum annuli Saturno circumdati $e$e habere ut 37 ad 11; ad diametrum vero Saturni ip$ius, ut 37 ad 5; ad Jovis dia- metrum ut 11 ad 2; ad Martis ut 166 ad 1; ad Veneris ut 84 ad 1. De Mercurio non definiam priu$quam r<007>tè eum di- [0329]SYSTEMA SATURNIUM. men$us fuero; quod hactenus non $ucce$$it, cum ob exilita- tem $ideris, tum quod horizonti plerumque vicinum inve- niatur, ubi vapores è Terra $urgentes tremula quadam refra- ctione figuram ejus præci$o ambitu terminari non $inunt. Pa- tet autem & Saturnii globi diametrum ad diametrum Jovis ra- tionem habere quam 55 ad 74: diametrum vero Martis conti- nere amplius quam vicies & bis, ad Veneris diametrum e$$e ut 34 ad 3. Jovis item diametrum diametri Martis amplius quam trigecuplam e$$e; diametri vero Veneris amplius quam quindecuplam; ac denique Martis diam. ad diametrum Veneris circiter $ubduplam. Quæ omnes proportiones ratæ fixæque permanent, quantacunque di$tantia Solem inter ac Tellurem $tatuatur, $i modo apparentes diametri quales tra- didimus retineantur. Ha$ce autem quo modo ob$ervaveri- mus denique dicendum e$t, atque eo magis quod longè ab aliorum $ententia alicubi recedamus: veluti cum Veneris dia- metrum triplo minorem a$$erimus quam à Ricciolo definita e$t, qui tamen $umma cura circa hæc ver$atus videtur. No- $trum igitur artificium e$t huju$modi.

Locus quidam e$t intra tubos qui Solis convexis vitris in- _Ratio ob$er-_ _vandi Pla-_ _netarum dia-_ _metros appa-_ _rentes accu-_ _rati$$ima_. $tructi $unt, circiter altero tanto amplius quàm convexum oculare ab oculo di$tans; quo in loco $i quid intra tubi cavi- tatem vi$ui objiciatur, quantumvis $ubtile aut exiguum, id di- $tinctè pror$us ambituque exqui$itè terminato con$picitur, atque ita pro ratione latitudinis $uæ partem aliquam rei luci- dæ, velut Lunæ per tele$copium $pectatæ, vi$ui $ubducit. Exacta loci determinatio, his quibus nullo vitio vi$us labo- rat, in focum convexi ocularis cadit; myopi aliquanto pro- pinquius punctum accipiendum e$t, contraque, qui tantum à longinquo clare vident, paulo remotius; quod experientia protinus docere pote$t. Hîc igitur $i primò annulus $tatua- tur cum foramine paulo angu$tiore quam $it vitrum ip$um o- culo proximum, eo tota tubi apertura, $ive $patium circulare quod uno obtutu in cælo detegitur, præcisâ circum$erentiâ de$criptum habetur. Cujus $patii diameter, quot $crupula comprehendat, aliquo pacto inquirendum e$t, atque optimè [0330]CHRIST. HUGENII quidem ex tran$itu $ideris alicujus, cujus tempus numeretur vibrationibus perpendiculi, vel ope Horologii no$tri o$cil- latorii nuper inventi, tele$copio interim immoto manente. Scimus enim 4 $crupulis horariis unum cæli gradum & exi- guum quid amplius tran$ire: ideoque $i verbi gratia numeren- tur $crupula $ecunda 69 interea dum $tella quædam f<007>xa to- tam tele$copii capacitatem emetitur, argumento id erit 17{1/4} $crupula prima, tele$copii huju$modi apertura comprehendi, $icut no$tro evenit. Quo invento virgulam unam atque al- teram ex ære aliave materia parare oportet, decre$cente pau- latim latitudine, tubumque perforare utrinque circa locum illum paulo ante memoratum, quo po$$int in ip$o ejus pun- cto virgulæ tran$ver$æ ante oculum obtendi. Cum igitur Planetæ alicujus diametrum metiri cupimus, adhibitâ eo quo diximus loco virgulâ, notandum e$t quænam hujus latitudo totum Planetam contegere po$$it. Eâ enim latitudine acuto deinde circino acceptâ, atque ad totius foraminis amplitudi- nem collatâ, Planetæ diameter apparens facili ratiocinio in- _Diameter_ _Veneris ob-_ _$ervata_. note$cet. Sic die 29 Dec. 1658 diametro Veneris inveni- mus convenire virgulam cujus latitudo æquabat {1/20} totius fo- raminis: e$t autem hoc, uti diximus, 17′, 15″. Ergo Vene- ris diameter erat 51″, 45″′. Di$tantia autem Planetæ ad mini- mam $uam à Terris di$tantiam $e habebat circiter ut 27 ad 16, ergo diameter ejus terris proximæ efficitur 87′, 20″′. Rur$us anno 1659, 8 Mart. hora 6 mat. Veneris diametrum ob$er- vavimus quæ æquabat {4/67} aperturæ tele$copii. Ideoque erat 61″, 30″′. Di$tantia autem eo tempore ad minimam Veneris à terris di$tantiam $e habebat ut 430 ad 316, ergo diameter ejus maxima fit 83″, 40″′. Sed & alias eadem methodo $em- per tantum paulo majorem minoremve invenimus, nam $æ- pius examen hoc repetivimus, atque ex omnibus medium quid $umentes, 85″ pro maxima Veneris diametro $upra $ta- tuimus. Hanc autem Ricciolus 4″, 8″, taxavit, atque adeo triplo quam nos majorem exi$timat, $ed procul dubio nuda illa oculi æ$timatione, qua hîc u$us e$t, in tantum deceptus fuit. Nam Saturni Jovi$que diametros, quas methodo cer- [0331]SYSTEMA SATURNIUM. tiori, appul$u nimirum ad f<007>xas inve$tigavit, eadem fere qua & nos amplitudine definiit, paullum tantum excedens: Sa- turni enim maximam 72″ continere a$$erit, Jovis item maxi- mam 68″, quæ mihi $unt 68″ & 64″. Certum autem e$t non magis in Venere, quam in Jove aut Saturno dimetiendis, er- rori obnoxiam e$$e rationem no$tram. Et Veneris quidem diametrum Hevelius quoque, ad Lunæ maculas in$tituta com- paratione, tantum 82″ $e inveni$$e te$tatur cum circa peri- gæum ver$aretur, unde diameter ejus maxima non multum $a- nè no$tram $uperabit. Porro illud in methodo à nobis tra- dita commodi$$imum accidit, quod nec Lunæ, nec $ideris cu- ju$quam conjunctionem, cum eo quem metiri volumus pla- neta, opperiri nece$$e e$t, $ed omni tempore ejus u$us con- ceditur. Nec ad planetarum tantum diametros pertinet, $ed ad lunares quoque maculas accuratè de$cribendas, comitum- que Jovialium di$tantias accipiendas recti$$imè adhibebitur. Ad planetarum autem diametros longis atque optimæ notæ tele$copiis opus e$$e $ciendum e$t. Nec negligendum in Ve- nere ac Mercurio, ut fuligine leviter inficiatur lens oculo pro- xima, quo perfectius planetæ ambitus circùm terminetur.

FINIS. [0332] [0333] EUSTACHII DE DIVINIS SEPTEMPEDANI BREVIS ANNOTATIO IN SYSTEMA SATURNIUM CHRISTIANI HUGENII. _A D_ SERENISSIMUM PRINCIPEM LEOPOLDUM Magni Ducis HETRVRIÆ Fratrem. [0334] [0335] EUSTACHII DE DIVINIS SEPTEMPEDANI BREVIS ANNOTATIO IN SYSTEMA SATURNIUM CRISTIANI HUGENII. SERENISSIME PRINCEPS

NOn ita pridem Chri$tiani Hugenii liber de Sa- turnio $y$temate Cel$itudini tuæ Sereni$$imæ in$criptus in meas manus incidit, in quo, & de me unum quidpiam, & de reip$a nonnul- la e$$e comperi, quæ cum veritate minùs con- $entiant. Nollem literatos homines, quibus tele$copii majoris copia non e$t, in errorem induci; cum jam alioquin $atis proclives $int ad excipiendam credulis au- ribus, vel oculis eam rerum cœle$tium novitatem, quæ ha- ctenus incompertæ orbi fuerunt: Accedit, quod libelli auctor eam diligentiam à $e adhibitam e$$e atte$tatur, qua certè qui$- piam majorem in illo non de$ideret; quod revera non par- vi ponderis e$t, ad captandam hominum credulitatem, erro- remque in eorum animos in$inuandum. Itaque meum e$$e duxi, tum ea, quæ mihi afficta $unt, tum ea, quæ cœteris omnibus errandi occa$ionem facilè præbere po$$ent, brevi hoc & publico $cripto refellere; brevi quidem, ne plus æ- quo legentibus mole$tum $it; publico verò, ne privati Huge- nii errores publici fiant; aut $i jam publici facti $unt, ne quid [0336]EUSTACHIUS DE DIVINIS inde re$publica literaria detrimenti capiat, ut publicè à me configantur. Quia vero Hugenius tuis au$piciis libellum $uum vulgavit, ii$dem ego potiori jure brevem hanc di$cu$- $ionem in publicam lucem prodire volui, qui tot nominibus Cel$itudini tuæ Sereni$$imæ, totique plu$quam regiæ Medi- ceorum familiæ ob$trictus $um.

Tria igitur in hac $criptione præ$tabo; primò enim affi- ctam mihi fraudem amoliar; aliquot deinde Auctoris errores indicabo, ea tamen $tyli moderatione, quæ & Chri$tianum, & ingenuum, ne dicam, EUGENIUM, hominem deceat: cum demum Auctor $cr<007>p$erit pag. 1. phænomeni Saturni ra- tionem & cau$am nec Galilæo, nec A$tronomorum cuiquam compertam fui$$e, eamque dumtaxat explicari po$$e, in$erta Saturnio globo $plendentis annuli corona, ne Jovi, quem a$tra Medicea jure coronant, detrahi corona & jam olim ex- auctorato Saturno re$titui videatur, Fabriani $y$tematis ru- dimentum quoddam breviter exponam, in quo, adducta Sa- turni phænomena ea facilitate explicantur, qua, ne$cio, an major excogitari po$$it; in ea $cilicet terræ quie$centis hypo- the$i; quam catholici A$tronomi amplecti dumtaxat & con- tra Heterodoxos Ari$tarchos tueri debent. Cæterùm illa omnia, quæ à me $cribentur, æqui$$imæ tuæ cen$uræ, ac re- cto judicio $ubjecta e$$e velim; nec abs re, opinor, cùm te literati omnes, ut Mecænatem; & politiorum operum arti- fices, ut $ingularem patronum colant; $ed ad rem venio.

Primo igitur loco Hugenius, antequam $y$tema Saturnium aggrediatur, præmittit $ui tele$copii de$criptionem; cum e- nim, ut ip$e ait, alia per$picilla non e$$ent, ni$i quinque aut $ex pedes longa, $eriò & maximo $tudio ad longiora fabri- canda animum & manum appl<007>cuit: $ed advertere potuit ac debuit, in illa ob$ervatione mea Saturni, quam ip$e refert, mentionem à me factam fui$$e tele$copiorum variæ longitudi- nis, quæ ad prædictas ob$ervationes adhibueram, $cilicet 15. 24. & 36. palmorum; multa autem huju$modi fabricavi; Illu- $tri$$imus Eques Dighby, vir ut nobili genere, ita ingenio per$picaci$$imo & omni doctrinæ genere con$picuus $ex, cum [0337]IN SYSTEMA SATURNIUM. Roma di$ce$$it, $ecum detulit; unum Thomas Paggi nobilis Anglus; Taurinum alterum mi$$um e$t; Fabritius Gua$tafer- rus Romanus, vir con$uetudine & amicitia mihi conjuncti$- $imus, rerumqùe optimarum $lud<007>o$i$$imus, unum habuit; Bononiam unum m<007>$i ad Illu$tri$$imum Comitem Carolum Antonium Manzinum, virum $anè rerum i$tarum periti$$i- mum, doctorem eximium, cujus Dioptricam in dies expe- ctamus, in qua haud dubiè ea legemus, quæ multi hactenus de$iderarunt: Unum etiam fabricavi Illu$tri$$imo D. Caramuel Campaniæ Epi$copo; omitto alia; nihil enim aliud jam à multis annis ago.

Tum de$cribit tele$copium à $e fabricatum, longum pedes Rhenolandicos 23. qui $i reducantur ad palmos Romanos, quos adhibent architecti, faciunt palmos 31. uncias 4. Vi- tri objectivi ($ic vulgò vocant) orbis apertus diametrum ha- bet pollicum 2. cum triente: $eu palmi Romani unc. 3. $cru- pul. 1. Vitrum oculare ex duobus invicem unitis con$tans, lenti æquivalet, & radios, parallelos colligit, ac projicit in focum, di$tantem pollic. 3. prædicti pedis, id e$t, uncias 4. $crup. 2. palmi Romani: inde porrò deducit Hugenius, vi- trum $uum objectivum exqui$itum e$$e, cum $it patiens len- tis adeo acutæ, ut vocant, & ad veras Saturni ob$ervationes, eju$modi tubos, & vitra adhiberi vult.

Hæc facilè omittere Hugenius potui$$et; nec enim his re- gulis opus erat, cum longè ante fabricata fuerint tele$copia, quæ tum longitudine, tum vitrorum figura, tum operis per- fectione Hugenianis minimè cedunt; adhibui aliquando tu- bum 36. palmos longum, ac proinde longiorem Hugeniano palmis 4. unc. 8. orbis autem aperti diameter fuit unc. 4. $crup. 2. $ed $ublatis 2. illis $crup. propter longitudinis dif- ferentiam 4. $cilicet palm. unc. 8. re$tat diameter orbis mei vitri, major diametro orbis vitri Hugeniani unc. 1. ac pro- inde vel hoc nomine, meum tele$copium Hugeniano præ- ferendum, ex vulgari & ab omnibus accepta regula; cum $cilicet majoris aperturæ, ut $ic loquar, vitrum objectivum patiens $it.

[0338]EUSTACHIUS DE DIVINIS

Præterea fru$tra omnino duo vitra in vitrum oculare u- trinque convexum conjunxit; cùm unica lens $ufficiat: Ego lentem in prædictis ob$ervationibus adhibui, radios paralle- los colligentem, & projicientem in focum di$tantem unc. 3. $crup. 2. $ed hæc di$tantia minor e$t di$tantia projectionis Hugenianæ unc. 1. igitur lens mea acutior: licet tubi mei longitudo major $it; & cum ex hoc tele$copia cen$eantur, ut optimè ip$e ob$ervat; inde certè pari jure deduco, meum tele$copium præ$tantius e$$e, idque triplici nomine. Primò, quia longius e$t. Secundò, quia vitrum objectivum habet majoris aperturæ patiens. Tertiò quia lentem acutiorem $u$- tinet.

Hugenius pagina libelli 37. de me ita $cribit. _Tales au-_ _tem_ (Saturni $c<007>licet an$as) _Eu$tachius de Divinis notavit_ _annis_ 1646 1647. 1648. _à quo editum Schema ad numerum_ 10. _hic exhibuimus; i$que cum præ$tanti$$imus per$picillo-_ TAB. LII. fig. 10. _rum artifex habeatur, credibile e$t, omnium emendati$$i-_ _mè Saturni faciem de$crip$i$$e, ni$i quod umbras illas, quæ_ _in $chemate apparent, de $uo, ut opinor, adjecit_. E$t $a- nè, quod multas illi gratias habeam, pro iis laudibus, quas mihi <007>gnoto homini ac minimè cogitanti a$per$it; $ed quid hoc e$t, _de meo adjeci$$e,_ ni$i hominibus impo$ui$$e? Si enim de meo e$t, fictum e$t, nec reip$a talem Saturnum ex- hibui, qualem ob$ervavi; quia de meo umbras illas adjeci, quas in Saturno non vidi, nec videre potui, cùm revera in Saturno non $int; fabula igitur e$t, fictio e$t; immo in re tanta pro luculenta fraude haberi debet, cum inde homines in errorem facilè inducantur. At $i umbras de meo adjeci, Hugenius eju$dem criminis reus e$t, qui pa$$im, ut $uum annulum Saturno injectum meliùs exprimeret, longe majo- res umbras adjecit: $ed profecto neuter adjecit de $uo; ut enim globus, corpus $cilicet $olidum, in plano de$cribatur, aliquid umbræ accer$endum e$t, quo figura $olida exprima- tur & appareat, alioquin merus circulus evadet: Quis vel tyro in arte graphica hoc ne$cit? Umbras $cilicet accer$en- das e$$e ad figuras $olidas de$ignandas. Umbram igitur de [0339]IN SYSTEMA SATURNIUM. meo non adjeci, $ed globum in plano de$crip$i, qui tamen $ine umbræ beneficio de$cribi non potuit; Umbra enim fa- cit, ut reliquum figuræ qua$i extare, ac prominere videa- tur_;_ in quo uno $tereometria ab ichnographia di$crepat: aut fortè dicere voluit, cavitatem an$ulæ Saturniæ nigriore, quàm par $it, umbra, à me fui$$e fœdatam: cum tamen eju$- dem cum reliquo cælo coloris e$$e videatur; $ed pace illius dixerim; quotquot an$arum cavitates vidimus, nigriores re- liquo cælo, & magis atras a$peximus, neque hoc tele$copii vitio qui$quam tribuat; nempe $i revera an$æ illæ vacuæ $unt, & ad ip$um cælum radii vi$orii per illas trajecti terminantur, eju$dem cum cælo coloris erunt, quocumque tandem tele- $copio a$piciantur. Itaque, quod mihi Hugenius pro $ua humanitate, præ$tanti$$imi artificis elogium attribuit, ut me præ$tanti$$imum e$$e non admitto, ita pro iis laudibus, quæ in me non quadrant, gratias, ut jam dixi, habeo; quia tamen unde altiùs extollit, inde profundiùs deprimit, dum fabrica- cati à me tele$copii fidelem u$um de$iderat, utpote quod Sa- turnios $atellites ea forma, eoque vultu non exhibeat, quo revera exhibendi e$$ent, ad alterum caput venio, in quo lu- culenter o$tendam, Hugenium in nonnullis hallucinatum e$- $e, quod an per$picillis ab eo fabrefactis tribuendum $it, an verò auctoris fictioni, alius fortè dubitaret; ego $anè docti$- $imi hominis candori nihil detractum velim, quare haud du- biè tele$copii vitio, quidquid erroris admi$it, tribuendum e$$e judico: leges porro, quas vitris $uis pag. 3. & 4. præ- $crip$it, $ufficiat $upra indica$$e.

Con$tat verò auctorem duobus tele$copiis u$um fui$$e, in traditis ob$ervationibus; primum fuit 12. pedum, vel pal- morum 16. more Romano paulò plus, duobus convexis in- $tructum; alterum 23. pedum, de quo $upra; In hoc, ejus dictis $tandum e$$e puto: Ego tamen, ut dixi, longius tele- $copium adhibui, $cilicet triginta $ex palmorum; quare non dubitarim, quin Saturnum mihi æquè per$picuè exhibeat; præ$ertim cum vitra $atis accuratè, & diligenter elaborari, tornari, formari, lævigari à me $oleant: $i Hugeniani tele- [0340]EUSTACHIUS DE DIVINIS $copii mihi copia fieret, facilis comparatio in$titui po$$et, quam certè ab ip$o Hugenio in$titui po$$e, nihil vetat; cum enim per totam Europam per$picilla à me fabrefacta, di$tra- cta jam & qua$i di$$eminata fuerint, in ejus manus facilè ve- nire potuerunt: rem narro, quæ mihi ante aliquot dies, ac- cidit; Jam unus, vel alter annus elap$us e$t, ex quo R. P. Antonius Maria de Reitha Bononiam ven<007>ens, tele$copium, quod $ecum habebat, 24. palmorum, mirificè prædicabat, a$$erebatque, nullum eju$dem longitudinis in Italia e$$e, quod $uo non cederet; hujus rei certior factus ab Illu$tri$$imo Co- mite Car. Ant. Manzino viro, ut dicam iterum, rerum i$ta- rum periti$$imo, & curio$i$$imo, ad eum mi$i, ut ip$e petie- rat, tele$copium eju$dem longitudinis, utrumque æqualium virium, & eju$dem bonitatis repertum e$t; hæc jam penè mi- hi exciderant, cùm ecce Illu$tri$$imus Dominus de Monco- nis, nobilis Lugdunen$is, vir, tum ingenio, tum genere ple- ri$que notus, incogitanti mihi, po$tridie cinerum adfu<007>t; po$t $olita urbanitatis officia, cùm inter colloquendum, de per- $picillis mentio facta e$$et, non habeo ampliùs, inquit, tuum illud tele$copum 24. palmorum, illudque $anè optimum, quod ante aliquot annos Lugdunum ad me ignotum licèt ho- minem mi$eras; illud enim bonus P. Reitha $uis precibus à me extor$it_;_ mecum igitur, inquam, pugnavi, eju$demque pa- rentis liberos qua$i ho$tes inter $e commi$i_;_ in ri$um proru- pimus ambo_;_ non tamen e$t, quod aliquis hoc vitio vertat Patri Reithæ, qui pro $uo candore ultro fatebatur, præfa- tum tele$copium non à $e, $ed ab alio elaboratum fui$$e. Scri- p$i hæc, ut vel inde con$tet, fieri potui$$e, ut aliquod ex meis tele$copiis in manus Hugenii veniret, ad comparationem in- $tituendam_;_ dum id fiat, facilè mihi per$uadebo, nihil e$$e, cur mea Hugenianis primas deferant_;_ ac proinde $uppo$ita eadem longitudine, æquè clare, & fideliter Saturnios $atel- lites exhiberi à meis, ac ab Hugenianis.

His præmi$$is_;_ con$tanter a$$erit Hugenius, pag. 547. & 556. Saturni $atellites nunquam ab eo $ejunctos figura $phæ- rica videri, quales prima f<007>gura ab eo excu$a, & à me recu- [0341]IN SYSTEMA SATURNIUM. $a exhibet_;_ quod tamen fal$um e$$e, omni a$$everatione affir- TAB. LII. fig. 1. mo, cùm anno 1657. cœptis ob$ervationibus die 30 Junii, & $epties, vel octies, ad vige$imum u$que Julii repetitis, ad- hibito ad hunc finem tele$copio triginta $ex palmorum, ac- curati$$imè fabrefacto, prædictos $atellites figura $phærica tornatos à Saturni globo omnino $ejunctos ob$ervarim, qua- les prima figura Hugenii illos repræ$entat, & quales jam an- tè Galilæus viderat, idem ob$ervavi anno proxime $equenti, tele$copio 24. palmorum u$us_;_ adfuerunt te$tes omni exce- ptione majores_;_ præ cæteris, vir clari$$imus Alphon$us Bor- relli, Magni Etruriæ Ducis in$ignis Mathematicus, & Geo- metra, typorum gloria orbi $atis notus: neque hæc contra- dicendi $tudio à me ad$trui, qui$quam $ibi per$uadeat_;_ quo enim tempore, hos $atellites $phæricos à Saturni globo, mo- dico quidem, $ed quod $en$u, adhibita tele$copi<007> opera, per- cipi poterat, intervallo disjunctos vidi, nunquam mihi per- $uadere potui$$em, aliquem fore, qui $ejunctos unquam vi- deri po$$e negaret_;_ Dico igitur, disjunctos à me vi$os fui$- $e_;_ negat Hugenius disjunctos videri po$$e_;_ produco te$tes omni exceptione majores, qui una mecum viderunt_;_ Utri quæ$o habenda f<007>des_?_ Sejunctos videri po$$e contendo, cùm reip$a $ejunctos viderim, adductis te$tibus omni exceptione majoribus_;_ negat Hugenius, videri po$$e; quia $cilicet nun- quam ip$e vidit; $ed alii viderunt; negat tamen videri po$$e; ad$unt & jurant te$tes; illos ejurat, & fidem alienis tele$co- piis detrahit; perperam quidem, meo judicio; nempe bre- viore tele$copio di$cerni non poterant, licèt revera disjun- cti e$$ent: igitur cùm eos $ejunctos viderim meo tele$copio, ideo nece$$aria con$ecutionis vi deduco, hoc perfectius, & melius e$$e; nec enim longitudo æqualis, immo, nec major defuit; nec accurata operantis manus vel artif<007>cis diligentia de$iderata e$t. Tele$copium igitur Hugenii, longiùs licet, breviorum vitio laboravit, cum illius opera, $ejunctos di$tin- ctè videre non potuerit, quo vitio, ut dixi, breviora per- $picilla laborant; fal$um enim e$t, quod habet pag. 35. bre- viore tele$copio 8. circiter palmorum $ejunctos, longiore [0342]EUSTACHIUS DE DIVINIS verò 16. palmorum conjunctos videri, nempe, ut dixi, po- tiore jure, $ejuncti, majore tele$copio, conjuncti verò, mi- nore viderentur; cùm verò $uo minore $ejunctos viderit, majore verò ad in$tar brachiorum, hinc inde adnatorum ex- tantes, per$picuum majoris tele$copii vitium e$t, cujus ope- râ radii minùs accuratè projiciuntur, & ut vulgò dicimus, inepta fit terminatio. Tele$copium igitur Hugenianum meo primas deferat, oportet; quo $cilicet ea di$tinctè vidi, quæ ille $uo di$tinctè videre non potuit.

At non me latet cau$a qua fiat, ut Hugenius ob$tinatè ne- get, $ejunctos videri po$$e; commentus e$t ip$e hypothe$im annuli Saturni globum cingentis, cujus operâ, illas pha$es explicare conatur, quæ in hoc planeta ob$ervatæ fuere: ut autem $uæ opinioni, vel $uo commento con$ulat, illud pro- fectò ip$i negandum fuit, quo $emel admi$$o commentitia il- la hypothe$is penitùs corruebat; $i enim annulus Saturnum ambit, nunquam $ejuncti $atellites videri queunt: pari modo fingit, præfatas an$arum vacuitates eju$dem cum reliquo cæ- lo coloris e$$e, ut $uæ hypothe$i con$ulat; $uppo$ito enim illo annulo in iis vacuitatibus, nihil ni$i cælum videtur; at revera, ut jam $uprà dixi, nigriores illæ apparent, ex quo Hugeniana hypothe$is corruit. Ut igitur $uam illam opinio- nem indemnem $ervaret, ea removenda e$$e putavit, quæ $i ade$$ent, illius opinionis fal$itas manife$ta evaderet: & hæc $ibi per$ua$it, nobis tamen minimè per$ua$urus, qui rem $e- cus e$$e, oculari demon$tratione pror$us evicimus.

Alterum e$t quod Hugenius vel finxit, vel leviter $ibi per- $ua$it, quod tamen eju$dem furfuris e$t; dicit enim, fa$ciam quandam nigricantem in Saturni globo videri, quæ quidem ex æquo medium di$cum $ecat, quando $olus Saturni globus $uo $atellitio de$titutus apparet; ubi verò $atellites ad$unt, modò $uprà, modò infra brachiorum lineam fa$cia videtur; $ed hoc etiam merum figmentum e$t ab auctore excogitatum, ut annulo $uo con$uleret; nam cùm ip$i opponeretur, ad- mi$$o $emel hoc annulo nunquam Saturnum videri po$$e, vel an$ulis, vel brachiis de$titutum, quod tamen omnibus ob- [0343]IN SYSTEMA SATURNIUM. $ervationibus repugnat; nempe ubi planum annuli directè in oculos incidit, annulus appareret ad in$tar zonæ rectæ, æqualis diametro annuli, ac proinde majoris diametro Satur- ni; igitur ad in$tar brachiorum duæ appendices hinc inde Saturnio globo adhærerent: cum igitur hac difficultate, & hoc nodo in$olubili annularis illa hypothe$is laboraret; fin- xit illius auctor, extimam annuli $uperficiem ineptam e$$e ad luminis repercu$$ionem, ac proinde fa$ciam illam nigri- cantem inde ortum ducere, & ob penuriam luminis reper- cu$$i, extantes illas appendices $ub a$pectum no$trum non cadere: Hæc habet pag. 542. 545. 576. Aliam cau$am $ubnectit pag. 585. ab obliquitate radiorum illap$orum petitam, qua fiat ut pars annuli ad nos obver$a obliquè dumtaxat illumi- nata non videatur; immo hoc alterum addit, $uperficiem annuli ad nos obver$am minimè à Sole illuminar<007>_;_ ac proin- de mirum non e$$e, quod minimè videri po$$it; omi$eram, quæ habet pag. 551. de Saturnicolis.

Cuncta hæc facilè difflantur; nunquam enim fa$ciam il- lam nigricantem, quamvis exqui$ito tele$copio u$us videre potui; nemo unquam præter illum ob$ervavit; nec tamen tele$copia no$tra Hugenianis deteriora e$$e crediderim; f<007>- ctitia igitur cen$enda e$t illa fa$cia, aut certè vitrorum vitio tribuenda: quod autem dicit, extimam illam annuli $uper- f<007>ciem ad lumen reflectendum ineptam e$$e, vel ex eo fal$um e$$e con$tat, quòd in Saturni di$co partes omnes æquali lu- mine perfu$æ videantur: Nulla igitur pars ad nos obver$a ad luminis reflexionem inepta e$t. Præterea demus ita e$$e, & fa$ciam illam paulò ob$curiorem in Saturni di$co videri; nihil tamen ob$taret, quin brachia eodem lumine per$picua e$$ent; id e$t extrema $egmenta apparentis zonæ, in quam annulus hoc $itu a$pectus projicitur, extantia, & excurren- tia hinc inde extra Saturnium globum, viderentur, eodem licèt nigricante colore diluta. Ad obliquitatem illap$orum radiorum perperam confugit; alioquin in cæteris planetis eadem ratio militaret; nempe f<007>eri non pote$t, quin major pars $uperficiei convexæ, obliquum radiorum $olarium illa- [0344]EUSTACHIUS DE DIVINIS p$um excipiat. Id demum, quod $ubnectit, $uperficiem annuli ad nos obver$am à $ole aliquando non illum<007>nari, ex regulis opticis omnino refellitur; $uppo$ita $cilicet maxima illa Saturni di$tantia, nec non $olis diametro longè majore, quo fiat, ut $uperf<007>cies Saturni ad nos obver$a $emper illu- minetur; hinc totus Saturni di$cus $emper apparet. De Sa- turnicolis nihil e$t, quod dicam, ri$u potiùs, quàm argu- mentis hoc commentum refellitur; accedit, quòd catholicis dogmatis adver$atur, quæ homines tantùm illos agno$cunt, qui ab Adamo duxerunt ortum.

Nonnulla etiam fal$a admi$cuit, ut pag. 539. ubi dicit fa- $cias Jovis lucidiores e$$e reliquo di$co; cùm tamen ob$cu- riores certò videantur: Item globo Martis latiorem fa$ciam $ub ob$curam obduci; nihil tale unquam ob$ervatum e$t; deinde nunquam Saturnum vidimus ea forma, quam illi tri- buit pag. 542. 545. tractum illum cæli circa Oriona, illu- $triorem e$$e vid<007>mus, cum iis $tellis $plendentibus, quas ip$e recen$et. Multa etiam de Saturni pha$ibus $tatuit, ex paucorum annorum ob$ervationibus, quæ pro certis habere non po$$um, donec $ub$equentium annorum ob$ervationibus congruant; nempe ip$e ob$ervationes $uas primum cœpit 25. Martii anno 1655. ea$que ad 19. Februarii anni 1656. bre- viore tamen tele$copio u$us, 12. pedes longo perduxit; ac proinde minùs f<007>deles cen$endas, ut ip$e ultrò fatetur. Stan- dum igitur ob$ervationibus deinceps ab eo factis, ac repeti- tis identidem, adhibito longiore tubo, 23. circiter pedum, perducti$que ad 26. Martii anno 1659. Si aliquæ e$$ent ab eo notatæ à 30. Junii ad 20. Julii anno 1657. viderem u- trùm meis con$entirent; $ed nullas toto illo tempore factas invenio; an fortè paucæ illæ ob$ervationes $ufficient ad cer- tum quid $tatuendum? præ$ertim cum toto illo, quo factæ $unt, temporis intervallo, vix Saturnus 38. gradus confe- cerit, traductus $cilicet à 20 grad. Virginis ad 28. Libræ; an fortè inquam modicus ille arcus decur$us $ufficiet ad cer- tam & indubitatam hypothe$im $tatuendam? Statuit autem, an$as magis apertas, & patentes videri, Saturno exi$tente [0345]IN SYSTEMA SATURNIUM. in grad. 20, 30′. Gemin. & <007>n oppo$ito 20. 30′. Sagitt. Sphæricum verò $ine an$is, & $atellitio in grad. 20. 30′. P<007>$c. Itemque in 20. 30′. Virg. quod $anè utrùm futurum $it, $e- quentes anni docebunt. Ip$e hactenus in 20. Virg. ob$er- vavit, in aliis punctis non vidit, nec e$t, quod aliorum ob- $ervationes adducat, quibus f<007>dem omnem detraxit, ac pro- inde illi $uffragari non debent. Unum, quod habet, omit- tere $tatueram; $ed quandoquidem in mentem venit, $altem indicabo; dicit enim, Saturni globum circumagi quodam vertiginis motu; $ed hoc tantummodo divinat, non probat; licèt enim Sol hoc vertiginis motu gaudeat, quod probari $olet ex maculis: inde tamen nemo rectè deducat, hunc mo- tum reliquis planetis competere. Hoc ii præ$ertim in$inua- re & inculcare non ce$$ant, qui globo terraqueo motum ad- $truunt; $ed fru$tra, cùm Lunam hoc vertiginis motu non agi, certi$$imum $it: quod certe non dico, qua$i hic verti- ginis motus in Saturno alicujus momenti $it, quod ad rem hanc pertineat, ultrò enim fateor f<007>eri po$$e ut prædicto mo- tu agatur: dico tamen, ex ob$ervationibus huc u$que factis haberi non po$$e.

Quia verò nemini $uam laudem ereptam velim, admitto & o$culor alia multa ab Hugenio tradita, cum veritati appri- mè con$entiant. 1. planum illud, in quo videntur e$$e $atel- lites, æquatoris plano parallelum rectè judicat: hoc jam in- dicarat cum aliis Galilæus; & facilè crediderim, licèt autor nullam hujus rei rationem adducat. 2. An$as illas hinc inde $emper æquales e$$e contendit; jure quidem: licèt enim for- tè aliquando altera longior vi$a $it, alterius tamen cuju$piam per acc<007>dens adjuncti extrin$ecus, acce$$io illa facta e$t. 3. vult, Lunam quandam e$$e Saturniam, ($ic enim vocat, li- cèt propr<007>è loquendo Luna non $it, cùm circa Saturnum $uum orbem non agat) $upremum $cilicet omnium $atellitem, ad in$tar $tellulæ $æpe à $e ob$ervatum, modo ad ortum, modò ad occa$um, modò conjunctum Saturno, cujus pri- mus <007>lle in$pector fuit, in quo $anè maximam laudem mere- tur: ego quidem cùm jam anno 1657. de hoc aliquid inau- [0346]EUSTACHIUS DE DIVINIS dii$$em à clari$$imo viro Michaele Angelo Riccio, eodemque nobili$$imo hujus temporis Geometra: Eundem $æpe ob$er- vavi à 30. Jun<007>i ad 20. Jul<007>i, $cilicet d<007>e 30. Junii hora 2. noctis juxta horologium Italicum, id e$t 2. horis cum dimi- dia po$t $olis occa$um, illum ob$ervavi ad ortum Saturni; item 2. Julii, 4. 9. 12. eadem hora, die 14. non apparuit; die 20 ad occa$um vi$us e$t. Ad prædictas ob$ervationes adhibui tele$copium 36. palmorum. Cur verò ab aliis Luna illa Saturnia ob$ervata non fuerit ante Hugenium, non qui- dem tele$copiorum vitio, $ed vel inadvertentiæ, vel nimiæ eju$dem à Saturno di$tantiæ, vel parvitati, vel conjunctioni tribuendum e$t. 4. An$æ Saturni nunquam mihi vi$æ $unt una vice acutiores, alia obtu$iores; majores tamen $eu latio- res aliquando e$$e comperi. Quod autem $æpè ac $æpius in- culcat, prædicta omnia explicari non po$$e, ni$i annulus ab eo excogitatus Saturni globum circumdet, pace illius dixerim, à veritate alienum e$t; non de$unt alii modi, quibus res i$ta facili de$ignatione exponatur: præ cæteris, mihi $atis arridet illa $y$tematis Saturnii ratio, quam P. Honoratus Fabri So- cietatis Je$u vir mihi maxima familiaritate conjunctus exco- gitavit, cujus breve $chema $ubjicio.

Supponit. I. terram immobilem in centro mundi, circa quam cæle$tes globi $uos gyros agunt; hanc enim $ententiam mordicus defendit, ut catholicis decretis, $acris literis, ob- $ervatis phænomenis, ac rectæ rationi probè con$entientem. II. Motum realem Saturni æqualem e$$e, apparentem verò inæqualem; abhorret enim hominis intellectus, ut vel ip$e Copernicus prudenter monet, à reali motuum inæqualitate. III. Supponit, motu æquali, æqualibus temporibus, æqualia $patia decurri, reali $cilicet, $eu recta, $eu curva; ac proinde ma- jorem orbem tardiùs, minorem citius, eodem motu de$cri- bi. IV. Supponit, motum circularem diurnum ab ortu ad oc- ca$um. V. motum rectum ab apogæo ver$us perigæum, & vi- ci$$im; acceleratum quidem, ab utroque termino ad medio- crem di$tantiam, quæ lineam apogæum, & perigæum conne- ctentem bifariam $ecat; retardatum verò à mediocri di$tan- [0347]IN SYSTEMA SATURNIUM. tia ad utrumque terminum; hunc autem primum motum re- ctum vocat. VI. Supponit alium motum rectum, $ecundum $cilicet, ac declinationis ab Au$tro ad Boream, & vici$$im; fines porro diver$i $unt in diver$is planetis, pro diver$a de- clinatione maxima cuju$libet planetæ; e$t etiam hic motus eodem modo acceleratus, & retardatus, quo prior; & me- diocris di$tantia e$t in æquatore: ex his tribus motibus, Sa- turni motus componitur; vel potiùs e$t motus quidam $im- plex circulari affinis, prædictis duabus determinationibus in- $tructus; vel, ut ajunt Schola$tici, modificatus; primus mo- tus brevior e$t; $ecundus diuturnior; cujus $anè di$criminis cau$am affert. Sed ut rude aliquod $chema exhibeam, omi$- $o $ecundo motu recto, $it centrum mundi B. hic terram col- TAB. LI. fig. 1. locat immobilem. Sit G B di$tantia Saturni apogæi; B O di- $tantia perigæi; B P di$tantia mediocris, Saturnus circulum, vel orbem radio G B tardius percurrit, quàm Stella vel pun- ctum primi mobilis, cui re$pondet; citius verò percurrit or- bem radio B O, & æquè citò radio B A minore mediocri di$tantia B P. His præmi$$is, $it Saturnus in apogæo G, re- $pondens puncto C primi mobilis, vel initio arietis v. g. & $upponatur punctum C per S de$cribere $uum circulum, mo- tu diurno; item Saturnus in G $uum, per R, $cilicet versùs occa$um; punctum C citiùs ab$olvit $uum gyrum, quàm Sa- turnus; igitur Saturnum à tergo relinquit, versùs ortum, $ci- licet in aliquo puncto curvæ G H; nempe primo motu re- cto, à circulo apogæi L R $en$im de$cendit ad circulum pe- rigæi Z X, donec tandem multis orbibus actis, perveniat in H, & re$pondeat puncto E primi mobilis, v. g. 20. gradui Arietis: toto illo tempore, moveri dicitur in con$equentia; id e$t, juxta $eriem $ignorum, initio quidem, motu accele- rato; & $ub finem, retardato; in H $tare videtur: hîc enim æquè citò ac punctum E $uum gyrum agit: Quia verô adhuc de$cendit versùs perigæum, decurrit de<007>nceps $uos orbes ci- tiùs, quàm puncta primi mobilis, quibus re$pondet; ac pro- inde illa relinquit à tergo, versùs ortum ab H quidem, ad perigæum I: ab I verò, ad K; hinc videtur regredi ab E ad [0348]EUSTACHIUS DE DIVINIS D, quæ $unt puncta primi mobilis; idque motu retardato, circa H & K, id e$t, circa puncta $tationum, accelerato verò, hinc inde circa I. hinc duplex $tatio, in punctis $cili- cet E & D. hinc regre$$io, vel motus retrogradus brevior directo; quia radius circuli æquè diuturni ($ic eum vocat, quem planeta æquè citò conficit, ac punctum primi mobi- lis $uum) e$t brevior, radio mediocris di$tantiæ B P. ex his $equitur latitudinis mutatio $ingulis ferè diebus: $ed hæc rudi Minerva de$crip$i$$e $ufficiat; ex quibus omnia Saturni phænomena, nullo ferè negotio, per cau$as phy$icas expli- cat. Jam ad $atellites Saturni orationem converto. Quin- que Fabrius agno$cit; minimus & $upremus omnium e$t quem Hugenius, primus opinor, $ub a$pectuna hominum adduxit, quemque, ut dixi, ab illu$tri$$imo, & docti$$imo Riccio certior factus, adhibito 36. palmorum tele$copio, an. 1657. per multos dies, men$e Julio con$pexi, ortivum modò, mox occiduum; dicta autem die non comparuit, quia conjunctus Saturno erat. Hic ergo $upra Saturnum e$t, & dum in perigæo ver$atur, citiùs $uum orbem ab$olvit, quàm Saturnus $uum, quando e$t in apogæo, tardiùs; & æquè ci- tò in mediocri di$tantia, æquè ab utroque termino di$tante: hinc aliquando Saturnus illum à tergo relinquit, aliquando ille Saturnum; hinc aliquando ortivus, aliquando occiduus, aliquando latet in conjunctione; à conjunctione apogæi, $emper ortivus; à conjunctione perigæi, $emper occiduus; quid plura? in Mediceis appo$itam analogiam habemus.

Alii quatuor inferiores $unt, Saturno licèt $uperiores, TAB. LI. fig. 2. quorum $y$tema $ic Fabrius explicat: Sit centrum terræ, & mundi A, Saturni diameter G C, centrum B, ducta cen$ea- tur recta A B P; $int duo N H, S D, in maxima digre$$io- ne N H ortiva; S D occidua, hinc inde æquali; in qua $it illorum $tatio; & mediocris di$tantia A I; hoc loco, dia- metros dumtaxat pro globis exhibeo: tendat autem N H versùs perigæum; & S D, versùs apogæum, pari gre$$u, & paribus intervallis, ita ut hic apogæum, & ille perigæum $i- mul attingant; i$tud e$t inter B I, illud verò inter I O. tunc [0349]IN SYSTEMA SATURNIUM. uterque $imul erit in cunjunctione, alter perigæi, alter apo- gæi, $ed paulò po$t N H à perigæo a$cendit ad maximam di- gre$$ionem occiduam S D, & S D ab apogæo de$cendit ad maximam digre$$ionem ortivam N H; atque ita deinceps, re- petitis ac reciprocis recur$ibus: idem pror$us dictum $it de duobus K L, K E, quorum mediocris di$tantia communis e$t in O; perigæum commune inter O I; apogæum $upra O, æquè di$tans; maxima digre$$io ortiva K L, occidua R E; e$t autem digre$$io i$torum, qui $uperiores $unt, major di- gre$$ione illorum, quos inferiores e$$e $upponit; $uperiores appellat lucidos, inferiores ob$curos; lucidi con$tant ex ma- teria apti$$ima ad repercu$$ionem luminis; ob$curi verò, ex inepti$$<007>ma, ad eundem finem; nec difficile fuit auctori na- turæ, huju$modi materiam invenire, cùm etiam in hoc $ub- lunari tractu huju$modi habeamus: mediocris di$tantia in utri$que ab apogæo, & perigæo æquè di$tat: vult etiam idem Fabr<007>us, quinque $atellites eju$dem e$$e cum Saturno decli- nationis, ac proinde $emper in eodem plano e$$e æquatori parallelo: quod facilè obtinetur, modò ab initio eandem declinationem habuerint, eundemque $imul inierint declina- tionis motum, in eodem $emper plano æquatori parallelo $i- ti: nec e$t, quod qui$quam miretur, quinque $atellites Sa- turno ade$$e, cum Jovi quatuor ad$int, Soli duo, Terræ unus, Marti fortè tres, quis $cit, nondum explorati; quia à Martis globo longius digrediuntur, quàm Medicei à Jo- ve; non tamen tam longè, quàm Venus aut Mercurius à Sole; vult demum, ob$curos c<007>tiùs $uam revolutionem ab$ol- vere, & lucidos tardiùs; cujus rei analogiam habemus in Ve- nere, & Mercurio.

His po$itis, omnes Saturni pha$es, omnia phænomena facilè omnino explicantur. Solus Saturni globus $uis $atelli- tibus aliquando de$titutus apparet, $cilicet figura $phærica; nec enim alia cæle$tibus corporibus indita e$t: hujus phæno- meni ratio ex eo petitur, quòd duo lucidi (de primo enim omnium $upremo hoc loco non agitur) vel $int conjuncti, id [0350]EUSTACHIUS DE DIVINIS e$t, alter in apogæo, alter in perigæo, vel ab ob$curis peni- tùs tecti, etiam extra conjunctionem:

II. Duo luc<007>d<007> aliquando videntur à globo Saturni omni- no $ejuncti, & figuram$ phæricam præferentes; hoc ip$um toties acc<007>dit, quoties duo ob$curi in conjunctione ver$an- tur, alter $cilicet in apogæo, alter in perigæo, & lucidi hinc inde digre$$i.

III. Aliquando lucidi apparent, qua$i lucidæ an$ulæ e$- $ent, vel Lunæ falcatæ; hoc evenit quando ob$curi $unt qui- dem interpo$iti, non tamen integrum lucidorum di$cum te- gunt.

IV. Hinc modò plus, modò minùs di$ci lucidi ab ob$cu- TAB. LII. ris tegitur; unde diver$a pha$is, & diver$a figura; neque hoc tele$copii v<007>t<007>o Hugenius tribuere debuit, cùm alioqui optima ab authoribus, quos citat, adhibita fuerint; Galilæo $cilicet, Sche<007>nero, Ricciolo, Hevelio, Ga$$endo, quo- rum f<007>guræ ab Hugenio excu$æ, in hac hypothe$i, nullo- negotio demon$trari po$$unt; undecima tamen inter alias Fontanæ fabulas referenda e$t; decima tertia, quæ caret auctore, modò tantulùm reformetur, fortè $uo modo ex- plicari po$$et, in aliquo ca$u; $eptima Hevelii fictitia e$t; $phæroidem e$$e putavit, $ed hæc figura cæle$tibus globis minimè competit; ni$i fortè dicamus Saturnum ellipticum videri, quando ob$curis in conjunctione $tatutis, lucidi tantulum à conjunctione recedunt, tunc autem an$ulæ non apparent.

V. Veri$imile e$t, ob$curos æquales e$$e lucidis; nihil enim probat, vel majores, vel minores e$$e, æquales igitur cen$endi $unt, dum aliquid probet inæqualitatem; immò potiùs æqualitas ex ip$is pha$ibus per$uadetur, quartæ $ci- licet figuræ, quintæ, $extæ, octavæ &c. Arcus enim falcis lucidæ, cavus $cilicet, & convexus æqualium circulorum e$- $e videntur.

VI. Linea, vel diameter an$as lucidas connectens, quæ per medium globi Saturnii centrum duci videtur, e$t $em- [0351]IN SYSTEMA SATURNIUM. per in plano parallelo plano æquatoris; quia cùm $atelli- tes Saturni eju$dem $emper $int cum eo declinationis & motu $emper æquali in aliquo parallelo moveantur, mo- tus enim diurnus ab ortu ad occa$um in aliquo paralle- lo fieri cen$etur, quid mirum, $i linea eorum centra con- nectens in eo plano $it, quod plano æquatoris parallelum e$t; dixi, _quæ per centrum Saturni duci videtur_, quia revera licèt Saturno $uperiores $int, oculus tamen judicat, eju$dem altitudinis e$$e; ac proinde in eadem linea cum Saturno.

VII. Licèt $upremi $atellitis motus ab Hugenio defini- tus $it, utpote qui 16. circiter dierum $patio ab$olvatur, quanquam ob$ervationes à me factæ tantulùm refragantur; non tamen huc u$que quatuor inferiorum motus, vel ab eo, vel ab alio quopiam definitus e$t, qui tamen ex fu- turis ob$ervationibus haberi po$$et.

VIII. Turbinatio Saturni, vel illius annuli fictitii nulla ob$ervatione probatur, ut jam indicavi; licèt enim $ol hoc vertiginis motu agatur circa $uum centrum, ut evincitur ex illius maculis; aliis tamen planetis nulla huju$modi, vel alia quæpiam probatio $uffragatur.

IX. Illa brachia oblonga quæ Hugenius Saturno anne- xa ob$ervavit annis 1655. & 1656. $unt omnino fictitia, & vitio tele$copii tr<007>buenda: cur enim alii non ob$erva$$ent? præ$ertim cùm tele$copium ad hunc finem ab eo adhibi- tum brevius e$$et, ac proinde non melioris conditionis quàm alia.

X. Figuræ ab illo excu$æ, & rejectæ facilè explicari po$$unt in hac Fabriana hypothe$i: 1<#>a quidem lucidis in maxima digre$$ione, & ob$cur<007>s in conjunctione exi$ten- tibus; 2<#>a verò, lucidis tangentibus Saturni globum, & ob- $curis in conjunctione po$itis; 4<#>a lucidis in maxima di- gre$$ione po$itis, & ob$curis tantulùm extantibus; ita ut modicam lucidorum portionem tegant; 3<#>a. eadem e$t cum 4<#>a. $ed tele$copii vitio, in mucronem ivit, cùm in con- [0352]EUSTACHIUS DE DIVINIS vexum ire debui$$et; 5<#>a, & 6<#>a. lucidis non totis extantibus, & majori ex parte tectis ab ob$curis, tunc enim re$tat qua$i falcula, differt autem 5<#>a à 6<#>a $ecundùm plùs, & mi- nùs 7<#>a, ut dixi, f<007>ctitia e$t; cùm Saturnus $phærois non $it, n<007>$i fortè eo modo, quem $upra num. 4. expo$ui; 8<#>a lucidis inter maximam digre$$ionem, & Saturni globum exi$tentibus, tecti$que ex parte, à minore portione ob- $curorum; tunc enim falces majores $unt; latiores qui- dem, quò propiùs ad maximam digre$$ionem accedunt; angu$tiores verò, quo Saturnio globo propiores $<007>unt; 9<#>a & 10<#>a ab octava tantummodo differunt, $ecundùm plus, & minùs; $unt enim multæ combinationes; quas habes in duobus c<007>rculis $e$e invicem $ecantibus; tres ultimas ficti- tias reputo; ni$i fortè 12<#>a ad 10, reducatur itemque 13<#>a de qua infra.

XI. An$a una non longiùs extenditur, quàm alia; hinc æqualis e$t utriu$que lucidi digre$$io; quia uterque com- muni apogæo & perigæo gaudet, & æquali motu move- tur; item ob$curi eodem apogæo & perigæo gaudent; ex his, perfecta an$arum & brachiorum æqualitas nece$$ariò $equitur.

XII. An$ulæ videntur, quando portio lucidorum ab ob- $curis tegitur; nempe $unt quædam qua$i aperturæ ni- græ, quas lucida corona cingit; hæ $unt an$ulæ; brachia verò, quando lucidi tangunt globum Saturni, ob$curis in conjunctione exi$tentibus.

XIII. An$ulæ eò longiùs porriguntur quo propiùs lu- cidi ad maximam digre$$ionem accedunt; ob$curis $cilicet lucidorum partem tegentibus.

XIV. An$ulæ eò patentiores $unt, quò major ob$curo- rum portio extra Saturnum extat, lucidis in maxima di- gre$$ione con$titutis; angu$tiores verò, cum minor ob$cu- rorum portio extat.

XV. An$ulæ latiores $unt, quando minor ob$curorum portio tegit lucidos, in maxima digre$$ione po$itos.

[0353]IN SYSTEMA SATURNIUM.

XVI. An$ularum brachia ad ip$um u$que Saturni glo- bum excurrunt, quando minor ob$curorum portio luc<007>dos tegit.

XVII. An$ulæ à Saturni globo $unt pror$us avul$æ at- que $ejunctæ, quando major ob$curorum portio lucidos tegit.

XVIII. An$ulæ $en$im contrahuntur, quando à digre$- $ione lucidi recedunt, & ob$curi ad digre$$ionem acce- dunt.

XIX. Quando an$ulæ latiores & majores $unt, ip$e Saturni globus illu$trior apparet, quia lumina qua$i com- muni quodam ni$u & illap$u oculum feriunt; $ic multi ignes $eor$im po$iti, actione quadam communi, plus calefa- ciunt, ac proinde majoris lucis vim diffundunt.

XX. An$ulæ $en$im dilatantur & augentur, quando luci- di ad maximam digre$$ionem accedunt, & ab illa ob$curi recedunt.

XXI. Primus ille Saturni comes $ub Saturno aliquan- do ponitur ab Hugenio, qui vult, illum circa Satur- num moveri; hoc tamen veritati repugnat; $i enim $ub Saturno e$$et, prædictas an$ularum pha$es omnino turba- ret: Idem dico de Mediceis, $eu Jovialibus; igitur & Jo- vialia $upra Jovem, & Saturnia $upra Saturnum collocata fuere.

XXII. Si quando accidat, ut primus ille Saturni comes extremitati alterius an$ulæ adhærere videatur; nihil enim ob- $tat, talem illius po$itionem e$$e po$$e; hæc an$ula paulò al- terâ longior e$$e videbitur.

XXIII. Immo $i ca$u aliquo $tellula quæpiam alterius an- $æ extremitati adhæreat. Figuræ 13<#>æ. pha$is aliquo modo $alvab<007>tur, modò an$arum forma emendetur; hæc enim tri- gona non e$t, $ed convexa; ut jam dixi, de 3<#>a. figura: o- mitto alia, quæ ex his facilè deducentur.

HÆC $unt, Sereni$$ime Princeps, quæ de Hugeniano Sy$temate tibi in$cripto ad te $cribenda, & ne probandi [0354]EUST. DE DIVINIS IN SYST. SAT. modum de$iderares, tele$copium triginta $ex palmos lon- gum, unâ mittendum e$$e putavi; ut & rationes no$tras, ingenii, quo ad $tuporem polles, & ob$ervationes, ocu- lorum acie, accedente tele$copii operâ, explorare valeas: facilè, ni fallor, judicabis, utri potiùs habenda fides $it; & an no$tra tele$copia Hugenianis deteriora $int: quidquid $it, $i hæc opella mea tibi grata acciderit, faciam aliquan- do ut aliquid majoris momenti ad perennem ob$ervan- tiæ meæ te$tificationem Sereni$$imo tuo nomini in$criba- tur.

FINIS. [0355] CHRISTIANI HUGENII ZULICHEMII BREVIS ASSERTIO SYSTEMATIS SATURNII S U I, Ad SERENISSIMUM PRINCIPEM LEOPOLDUM AB HETRURIA. [0356] [0357] CHRISTIANI HUGENII ZULICHEMII BREVIS ASSERTIO SYSTEMATIS SATURNII S U I, Ad SERENISSIMUM PRINCIPEM LEOPOLDUM AB HETRURIA. SERENISSIME PRINCEPS,

VIdi$ti quæ adver$us $y$tema meum Saturnium Romæ $unt edita, utque $ub uno nomine ge- mini mihi adver$arii exorti $int. Et$i enim Eu$tachius de Divinis libelli i$tius Annotatio- num autor in$cribitur, eum tamen adjutum fui$$e opera P. Honorati Fabrii nec Cel$. T. ignorat, & ego, hoc agi, jam pridem ab amicis fueram ad- monitus. Credideram hoc ip$o futurum ut $ubtiliora quæ- dam, non mihi prævi$a, éque profundiore A$tronomiæ $i- nu depromta, objicerentur; tum vero ea civilitate & vere- cundia, quæ viro humanioribus $tudiis dedito conveniret. Sed omnino $pe deceptus $um, cum nihil aliud quam ob$er- vationes meas temere impugnari videam, quas plera$que in dubium vocant, præterque veritatem mihi confictas e$$e $a- [0358]CHRIST. HUGENII ASSERTIO tis apcrtè criminantur. Facile autem, ut $pero, tam indi- gnam à me $u$picionem repellam, nec multis ad hoc opus e$- $e, coram C. T. cau$am agenti, exi$timo, cujus $umma æ- quitas cum pari judicii per$picacitate conjuncta e$t.

Primus præcipuu$que adver$ariorum conatus e$t, ut vitra $ua tubo$que opticos nihilo meis inferiores e$$e demon$trent; quod ubi egregiè $e confeci$$e arbitrantur, inde porro, ni- hil me in cælo deprehendere potui$$e, quod non & ip$i vi- derint, concludunt. Quod $i autem phænomena ip$a Sa- turni, quæ adduxi, vera non $unt, vana utique & Hypo- the$is erit, qua vi$orum eorum quæ nu$quam $unt cau$as ex- ponere $u$cepi.

Tele$copiorum $uorum comparationem cum no$tris in$ti- tuere aliquatenus ut po$$ent effeci, tradita accurati$$ima meo- rum de$criptione; veruntamen quod præcipuum e$t omnium, præ$tantia vitrorum quæ ab exacta formatione profici$citur, hanc $cire debent nulla de$criptione, $ed effectu demum ip$o probari po$$e: Ideoque et$i & longiores paulo no$tris tubos, & vitra amplius patentia fabricarint, non idcirco meliora ex his tele$copia $e$e compo$ui$$e exi$timent. Oportet nempe, quæ pari bonitate cum no$tris futura $unt, ut & longitudine illis æquentur, & vitrorum non minore apertura gaudeant; at non ideo quæcunque $ic $e habuerint, eâdem v<007>rtute pol- lent, aut illis æquiparanda $unt.

Ut igitur reip$a & effectu concedere no$tris Diviniana te- le$copia comprobem, certi$$imum argumentum mihi petere po$$e videor à Saturnio illo comite $ive luna, quæ $exdecim dierum $patio circa eum revolvitur. Hanc primum omnium mihi con$pectam e$$e liquet, neque id Eu$tachius cum $ibi fuccenturiato P. Fabrio denegat. Quod autem nec aliis nec $ibi antea animad ver$a fuerit, in cau$a fui$$e ait _vel inadver-_ _tentiam, vel nimiam comitis à Saturno di$tantiam, vel_ _parvitatem, vel conjunctionem_. Sed vana effugia hæc e$$e quis non videt? Cum enim jam ab anno 1646 & ultra fortè Saturni pha$es deligenter re$picere cœperit, tele$copio è con- vexis vitris compo$ito, quo $emper Saturnum $imul & co- [0359]SYSTEMATIS SATURNII. mitem hunc, licet triplo longius recederet comprehendi ne- ce$$e erat, quænam illa fuit _inadvertentia_ qua fiebat ut nun- quam ei in oculos incurreret? cur non eadem mihi quoque illum $ubducebat, nihilo magis admonito? Quin etiam hinc patet non bene prætexi magnam à Saturno di$tantiam, cum quoties ad hunc re$piceret, $imul ante oculos $e$e $i$teret co- mes ejus. Et $anè di$tantia illa vix tria prima $crupula ex- cedit, cum Medicei planetæ omnes longius à Jove evagen- tur, extimus etiam $crupulis quatuordecim. Parvitas ergo illum occuluit. At hoc idem e$t qua$i fateatur $uis illum or- ganis detegi nequii$$e: certe enim nimium exilis erat, at mi- hi nequaquam.

Po$tea tamen edita ob$ervatione mea, cum à Clari$$imo Viro Mich. Angelo Riccio e$$et admonitus, vidi$$e $e $tel- lulam hanc affirmat, indicans etiam quo ad Saturnum $itu, & quoties illam ob$ervaverit. Verum cum diligentius ha$ce ob$ervationes examino, invenio profecto non optima fide eas commemorari; $ed adeo mi$ere vereri Eu$tachium ne bo- nitatem no$trorum tele$copiorum non a$$ecutus putetur, ut quæ nunquam in cælo vidit, aut per rerum naturam videre potuit, tamen $ibi vi$a incogitanter a$$erat. Quod ut appareat, periodus primò Saturnii comitis expendatur, quam 16. circiter dierum e$$e, ex ob$ervationibus meis, toto triennio continuatis (ni$i & has confixi$$e dicar) manife$tum feci: $ed e$to tantùm ea veræ prox<007>ma $it, quoniam $uas ob$erva- tiones _tantulum refragari_ Eu$tachius $cribit. Die igitur 30. Junii, anno 1657. horis 2{1/2}, po$t $olis occa$um, item $e- quentibus diebus 2, 4, 9, 12, Julii, ad partem orientalem Sa- turni animadver$um $ibi comitem ait; 14° non apparui$$e. Die 20 ad occa$um fui$$e $itum; utrum in maxima, medio- cri, an minima di$tantia apparuerit nu$quam addit. Certe equidem tribus prioribus harum ob$ervationum, ad occa- $um revera po$itus erat, ut ex tabulis colligo. Sed putemus inver$ionis tele$copii rationem non habui$$e Eu$tachium, at- que ita $icut ei videbatur, $i tamen vi$us e$t, orientem $pe- cta$$e comitem rectè dixerit. At die 9 & 12 Julii, quibus [0360]CHRIST. HUGENII ASSERTIO $ibi orientalem itidem apparui$$e a$$erit, omnino ad occa$um tran$ierat, ac rur$us 20. Jul. ad latus orientale, cum Eu$ta- chius ab occiduo $ibi repertum $cribat.

In figura appo$ita clarius hoc liquebit; in qua circulus TAB. LI. fig. 3. A B orb<007>tam Lunæ Saturniæ exhibet, in 16 partes divi$am, ip$aque A B rectam ad nos obver$am. Die igitur 30 Jun. 1657, hora 10 ve$p. invenio locum comitis grad. 207. 16′ ab apogæo A, methodo $cilicet ea quam in Sy$temate Satur- nio tradidi. unde prope num. 10 con$titi$$e debuit, paulo tantum citerior. Atque hinc porro in $ingulos dies $ingulas circuli partes numerando; $equitur die 2 Jul. ad num. 12. progre$$um e$$e. Item 4. Jul. ad num. 14. Inde po$t dies 5, nempe 9 Jul. ad num. 3. Ac porro 12 Jul. ad num. 6. Et denique 14 Jul. ad num. 8. qua die recte divinavit con- junctum Saturno fui$$e. Reliquis verò plane infeliciter. Si enim ad num. 10, 12, 14, orientalis $pectatus fuit, nece$$a- rio ad num. 3 & 6 occidentalis factus e$t. Nec quidem ul- la ratione ad num. 14 & 6, qui è diametro $ibi oppo$iti $unt, idem latus Saturni obtinere poterat, uti Eu$tachii ob$erva- tiones po$tulant. Denique cum 20 Jul. ad num. 14 rever- terit, ubi & die 4 Jul. inveniebatur, quomodo evenit quæ- $o, ut, qui tunc ad orientem, idem nunc, quamvis eodem loco, ad occidentem comparuerit? Etiam$i mea periodus vera non e$$et, quænam tamen illa Eu$tachii fuerit o$tendi mih<007> velim, paululum di$crepans, qua $ua hæc vi$a tueatur. Debuerat $ane hîc, $i u$quam, Fabrius illi opem tuli$$e; $al- temque perpendi$$e an $tare ullo modo i$tæ ob$ervationes po$$ent: aut, $i nobis imponere vellet, quotlibet duntaxat novas è tabulis meis concinna$$e. Nam quas nunc adferunt, facile nimis deprehenditur, ideo tantum productas fui$$e, ne nihil vidi$$e exi$timentur.

Credo & fa$ciam nigricantem in Saturni di$co, liquido $ibi con$pici dixi$$et Eu$tachius, ni Fabrio vi$um fui$$et eam nimium hypothe$i meæ annulari favere. Cum autem ne optimis quidem $uis per$picillis eam cerni affirmet, hinc quo- que quanto illa meis deteriora $int per$picuum fit. Nam ne [0361]SYSTEMATIS SATURNII. mihi phænomenon illud confictum credatur, idem & in An- glia pridem ob$ervari cœpi$$e $ciendum e$t; ut liquet ex lite- ris Viri Clar. Joh. Walli$ii, Oxonia ad me datis 22. Dec. 1658. quibus inter alia hæc $cribit. _Monebam etiam ei$dem_ _literis_ (nempe datis 29 Maji, 1656) _de Saturni fa$cia_ _quam jam ante ob$ervaverat D. Ball, & $ci$citabar num_ _tu eandem con$pexeras_, &c. Eam porro fa$ciam à 5 Febr. 1656 ad 2 Jul. quo tempore rotundus Saturnus ab$que an$is apparuit, medium Planetæ di$cum $ecare D. Ball. adnota- vit, ut in $chemate ad me mi$$o expre$$a e$t. Atque ita mi- hi quoque fuerat eo tempore ob$ervata, ut cernitur pag. 544 $y$tematis Saturnii, quam figuram hîc repeto. Po$tmodum TAB. LI. fig. 4. tamen renatis Saturni an$is cum difficillimè con$pici eadem fa$cia cœp<007>$$et, minus rectè quoque à D. Ball, quantum ad $itum attinet, depicta e$t. At in mearum ob$ervationum adver$ariis, die 26 Nov. 1656, & alias ad$criptum invenio, lineam ob$curam fui$$e evidenti$$imam, eo nempe po$itu qui pag. 545, Sy$tem. Saturnii memoratur. Neque id monere neglexi$$em, ob$ervationes eas recen$ens, $i quicquam profu- turum puta$$em apud illos qui me data opera lectores fallere volui$$e $u$picarentur. Difficillime autem, ut dixi, tractus hic ob$curus deinceps cerni cœpit, imo vix jam amplius a- nimadverti pote$t; quod & $y$temati meo con$entaneum e$t, quippe magnâ jam annuli Saturnii inclinatione; ad quam accedit, quod & an$arum $plendor, duplo quam alias luci- diorem Saturnum efficiens, oculorum aciem nunc magis im- pedit.

Qualia igitur $int Diviniana tele$copia cum no$tris collata, ex his quæ dicta $unt, cuilibet manife$tum opinor. Eadem verò & Anglicanis viliora e$$e alia præterea ratione o$ten- dam, quo minus dubitetur phænomena ea vera e$$e, quæ pariter cum Anglis ego ob$ervavi. Nam & illa quæ ad an- $atas Saturni pha$es attinent, te$timonio illorum confirma- turus $um. Vir quidam nobilis ex Gallia, eruditus, acerri- mique ingenii, qu<007> Romæ tele$copia apud artif<007>cem i$tum vi- derat, hoc ip$o anno 1660, $uper iis hæc ad me $cribit. _Il_ [0362]CHRIST. HUGENII ASSERTIO _me mon$tra les plus beaux de $es tele$copes, qui pa$$ent au_ _de la ue 30 pieds; & nous les comparames avec un de ceux_ _de la methode du Chevalier Neal, qu’ on a envoyé au Car-_ _dinal Ghi$i; iln’ a garde de ne tirer l’ avantage de $on co$té_, _mais $ans mentir il $e trompe lourdement_.

Et meliora igitur Roman<007>s e$$e, illa quæ ex Anglia depor- tata erant, judicat is qui coram comparationem utrorumque in$tituit, & Eu$tachium tamen ob$t<007>nate hoc pernegare te$ta- tur, adeo ut $i jam mea Romam deferam, nihil apud illum quidem $im profecturus. Quid autem huic homini facias, aut quis hæc videns non merito exi$timet, u$que adeo priva- ti compendii cura eum duci, ut quid verum $it di$cernere aut non po$$it aut nolit?

Non ægre nunc fidem habitum iri $pero, tum mihi tum Anglis $imul ob$ervatoribus, qui anno 1657 oblonga Satur- ni brachia di$co utrinque conjuncta $pectavimus, qualia ex- hibet figura Sy$tematis mei pag. 545. quam hîc repono; non TAB. LI. fig. 5. autem binorum orbiculorum formâ à medio di$co disjuncto- rum, ut Eu$tachius $e illa eodem tempore vidi$$e dejerat.

Adderem hîc $chema quod mihi à D. Ball, $uprà memora- to, advenit, ni$i planè $imile e$$et huic no$tro, hoc uno tan- tillum duntaxat abludens, quod brachia illa ubique paulo cra$- $iora ille referat.

Eam vero formam à 5 Nov. 1656, ad 9 Jul. 1657 $ibi ap- parui$$e $cribit. Apertis autem brachiis, qualis pag. 547. Sy- $tematis mei & hîc repræ$entatur, talem à 9. Nov. 1657 ad TAB. LI. fig. 6. 7 Jun. 1658, idem ob$ervator depingit, $imillima pror$us figura, ni$i quod ad po$itum zonæ ob$curæ attinet, de quo dixi $uprà. Ac denique à 3 Jan. 1659 ad 17 Jun. eju$dem anni, an$is paulo latius adhuc apertis. Et hæc quidem il- le, ignarus adhuc meæ hypothe$eos, ne ob præconceptam opinionem aliquid indul$i$$e $ibi exi$timetur. Neque ego aliter i$ta quam $e revera habent referre auderem, cum redar- guere me, $i fallam, autori ob$ervationum in promptu $it.

Quænam igitur illa $unt Eu$tachii per$picilla palmorum 24, quibus rotundi globuli rectorum loco brachiorum cerneban- [0363] [0363a] Pag. 626. TAB. LI. Fig. 1. F E D V S 30 20 10 C L G R H K P A M Z I O X B Fig. 2. L K O R E H N I S D G B C Fig. 3. A 16 15 14 13 12 11 10 9 B 8 7 6 5 4 3 2 1 Fig. 4 Fig. 5. Fig. 6. [0364] [0365]SYSTEMATIS SATURNII. tur? Imo etiam loco an$arum jam adapertarum, quales in $y- $temate meo pag. 546. Etenim & anno 1658 globulos tantum $ibi vi$os ait, quales in Fig. 1. i$tarum tredecim tabellæ LII. Quid te$tes citat qui $ecum i$ta ob$ervaverint? Quos equidem fide digni$$imos e$$e cen$eo, quæque vi- derint ingenuè fa$$uros, $ed eo ip$o mihi videntur de tele- $copiorum illius vitio & ineptitudine te$timonium perhibere. Mallem aliquos adduxi$$et qui $ecum Saturni comitem ob$er- va$$ent.

Globulorum formâ mihi quoque brachia apparui$$e dixe- ram, quoties 5 aut 6 pedum tubos adhibui$$em. Hi$ce igi- tur recti$$ime ea, atque uti debent, mihi cerni arbitratur; cum vero oblonga ac Saturni di$co affixa, tubo 23 pedum referun- tur, fal$a imagine me deludi, idque tele$copii culpa contin- gere. Nimirum per$uadere mihi vult exigua illa omnium ma- ximis præferenda e$$e, qua$i ne hoc quidem di$cernere adhuc didicerim. Sed jam $atis $uperque, quid de meis tele$copiis ob$ervationibu$que, quidque de Eu$tachianis exi$timandum $it, me o$tendi$$e arbitror. Nec tamen quæ dixi in damnum illius cedere velim, $ed potius $timulos addere, quò mag<007>s magi$que incumbens, $ua ip$ius primo, deinde & no$tra te- le$copia $uperet. Adeo enim non invideo his qui artem ad- eo egregiam promovere nituntur, ut decreverim etiam cun- cta quæ circa eam mihi comperta $unt, $ed & præcipue quæ ad theoriam Dioptrices $pectant, propediem in lucem emit- tere: quod vel ideo mihi faciendum video, ut de veritate ob- $ervatorum quæ in Saturni $y$temate protuli, plures inquire- re po$$int, mon$trata arte qua $ibi paria no$tris per$picilla pa- rent.

Cæterum unicum etiamnum di$cutiendum re$tat Eu$tachii phænomenon, quo vel $olo Sy$tema meum univer$um cor- ruere dicitur. E$t autem rur$us de genere eorum quæ non tantum non extant, $ed ne quidem per rerum naturam appa- rere ullo modo po$$unt: quod, $i non vitrarius artifex, at P. Fabrius certè animadvertere debuerat. Ajunt $patia illa bina, cavitate an$arum intercepta, nigriora reliquo cælo in- [0366]CHRIST. HUGENII ASSERTIO veniri; cum contra, ex hypothe$i mea, cælum ip$um $it quod trans aperturas eas con$picitur. Ego vero quæram ex Fabrio, qui fiat ut cælum omne, cum vel interdiu vel noctu a$pici- tur, non planè tenebro$um nigerrimumque appareat. Fate- ri cogetur in cau$$a e$$e vapores <007>llos $ive atmo$phæram Ter- ræ circumfu$am, quæ interdiu qu<007>dem à Sole, noctu verò à Luna aut $tellis illu$tretur. Atque adeo $i vapores i<007> auferan- tur, planè nigrum appariturum e$$e cælum, æquè ac $patia illa, Saturni an$is inclu$a. Atqui tota atmo$phæræ illu$tratæ cra$$itudo tam inter nosac Saturnum, quam inter nos nigrum- que cæli convexum interjecta e$t; ergo illius interpo$itu æque multum de Saturniarum macularum nigredine, atque de illa quæ cælum obtinet decedere nece$$e e$t; ac proinde eæ ma- culæ nihilo ob$curiores reliquo æthere apparere po$$unt. Quod $i igitur nihilominus hoc $ibi videri pertendant, fa- teantur oportet vi$us quadam fallacia id contingere, vicino for$itan $plendore Saturni, an$arumque $uarum, paulo ob- $curiora $patia illa reddente, quam ab$que eo apparitura e$- $ent. Quanquam mihi nunquam id evenit: quinimo ejus con- trarium quodammodo fieri animadverti. Dum enim an$æ exigua tantum adhuc rima paterent, veluti circa 26. Nov. 1656, contig<007>$$e nullus dubito, nondum nigræ lacunæ di$tin- cte cerni poterant, $ed tantum tenuiori luce, illa brachiorum pars, quæ di$co Saturni proxima erat, perfu$a videbatur. Qua eadem ratione & fa$cia in Saturno, de qua $uprà, paulò tan- tum ob$curior reliquo ejus di$co cernitur, quia nempe licèt revera nigra $atis vel etiam nigerrima $it, e$t tamen tenui$$i- ma, unde & latior $imul ju$to & dilutior $pectatur.

Atque hinc apparet, fru$tra etiam adver$us hypothe$in meam objici, quod per eam nunquam Saturnus rotundus $i- ne brachiis videri po$$it; quia nempe exiguam $altem lucem in extrema annuli ora reliqui$$e videbar, qua futurum $it ut non penitus vi$um effugiat annulus, quanquam à latere in$pe- ctus nec brachia proinde in totum aboleantur. Nunc enim $ciant nihil ob$tare quo minus omnem lucem margini annula- ri adimam, neque hoc ab$urdum <007>n rerum natura $tatui Fa- [0367]SYSTEMATIS SATURNII. brius contendet, e$$e nimirum materiam aliquam quæ radios $olares omnino non reflectat, qu<007>ppe qui de quatuor novis, quos fingit, Saturni $atellitibus, duos atros, ac per $e invi- $ibiles, nulli$que $olis radiis illu$trandos, reliquos vero $plen- didos e$$e imaginetur. Verum hypothe$im illam jucundi$$i- mam po$tea videbimus; $unt enim alia etiam prius ventilan- da quibus no$tra oppugnatur.

Dixi planam annuli $uperficiem, eam quæ nobis obver$a e$t, aliquando à Sole aver$am non illuminari, unde nimirum nec cerni nobis tunc po$$it, ac proinde nullas Saturno an$u- las præ$tet. Quod cum certi$$ima ratione fieri demon$trave- rim, adver$arii mei breviter atque uno verbo negant, opti- ci$que regulis refelli dicunt. Quomodo tamen? Ponendo $ci- licet & Saturni di$tantiam & Solis diametrum longe quam ego majores, quo $iatut $uperf<007>cies dicti annuli, ad nos $pectans, $emper quoque à Sole lumen accipiat. Atqui ego & di$tan- tiam illam & diametrum (nam una alia expendet) multo ma- jores exhibui in Sy$temate meo quam alius qui$quam omnium A$tronomorum. Nam cum Ptolemæus & Copernicus dia- metrum Solis, tantum 5 Terræ diametris taxent; Ari$tarchus & Bullialdus 7; Ricciolus 33; Wendelinus, quo pluribus ne- mo, 64; ip$e 111 dedi, nec $ine ratione ut puto. Et Fabrio tamen parcus fui$$e videor, qui Solem longe majorem etiam fieri vult, ne $tare hypothe$is mea po$$<007>t, utque merito hanc Optices ignorantiam mihi impegi$$e videatur. Cum ip$e in- terim vel Optices vel A$tronomiæ u$que adeo imperitus $it, ut non advertat, licet centies millies majorem quam ego So- lis diametrum $tatuat, ac $imul planetariorum orbium ampli- tudinem eadem proportione adaugeat, tamen diametrum il- lam, ex Saturno con$pectam, non ni$i 3 circiter $crupulorum fore; atque etiam$i tanta illinc appareret quanta nobis in Ter- ra po$itis, tamen illa quam dedi demon$tratione evinci, $u- perficiem annuli ad nos ver$am, aliquando Solis lumine non illu$trari, propterea quod planum annuli productum, inter nos Solemque tran$eat. Nam $i hoc f<007>eri quandoque neget, oportet $tatuat diametrum Solis, (quod ridiculum e$t) ip$ius [0368]CHRIST. HUGENII ASSERTIO magni orbis diametri, in quo c<007>rca Solem Tellus defertur, $al- rem duabus quintis partibus æqualem e$$e. Hoc enim ita e$- $e facile o$tendere po$$em, $ed A$tronomi ex demon$tratio- ne mea pag. 570 haud ægre deducent. Nam $i planum annu- l<007> plano ecl<007>pticæ foret ad rectos angulos, non duas quintas $ed integram orbis magni d<007>ametrum dicerem; duæ quintæ autem oriuntur ex incl<007>natione graduum 23 {1/2} quanta e$t di- ctorum planorum.

Invenio vero & Graphices in$citiam mihi objici, quia nempe umbras qualdam, quas in $chemate Saturni num. 10. Eu$tach<007>us depinxit, alioqui non fuerim reprehen$urus. Eum enim accer$ivi$$e quidem illas, $ed nece$$ar<007>o, conten- dunt, ut $phæræ formam exprimeret; quia videlicet incertum ab$que iis futurum fuerit, an convexus Saturnus, an planus e$$et. Atque ego proinde ineptus, qui _de $uo_ eas umbras Eu$tachium add<007>di$$e dixerim, quas ille ex arte, atque ita flagitante rei natura de$crip$erit. Sed enim jocari hîc libet. Nempe cum temere citra ullam demon$trationem me $tatui$- $e arguant, Saturnum circa axem $uum converti, rogo nunc illos unde tam certo compererint, Saturni medium corpus globo$um e$$e? Non enim ob$ervatio ulla puro hoc docuit, $ed colligunt tantum ex analogia quadam inter hunc & alia quædam cæle$tia corpora, $icut & ego de conver$ione circa axem. Quid igitur nece$$ario umbras ad globum repræ$en- tandum accer$ere opus erat? Verum di$$imulare mihi viden- tur, qua$i non advertant, non adeo me de medii corporis umbra $en$i$$e, quàm de illa quam ellipticæ figuræ, binas an$as efficienti, tribuit. Huic enim ea lege umbras adjecit, ut annulum ellipticum, non planum $ed rotundum, $imilem- que $erpenti caudam devoranti, exprimat; ne$cio enim quo- modo melius formam eam de$ignem. Deinde & hoc umbræ $uæ artific<007>o præ$titit, ut totus i$te annulus po$t globum Sa- turni po$itus v<007>deatur. Qua ex re $ibi ip$i forte Eu$tachius ab$urdam aliquam Saturn<007> formam commentus e$t, vel aliis certe commioi$cendi an$am præbere potuit. M<007>hi autem, de umbra illa temere addita, nece$$ario admonendi erant le- [0369]SYSTEMATIS SATURNII. ctores; quia $i vera e$$et, refellebt hypothe$in meam, cum alioqui $chema Eu$tachianum, $i $ine umbris con$ideraretur, plur<007>mum illam confirmaret. Sed & me eju$dem criminis te- neri ajunt, quod pa$$im umbras majores quam revera $int adj<007>ciam. Ne$cio equ<007>dem quas dicant; $emel enim Satur- n<007> globo annuloque umbras addidi, at non tanquam ita ob- $erva$$em, $ed explicandæ hypothe$eos cau$a, ut nempe ap- pareret quo pacto annulum Saturno circumdedi$$em.

Quod $i fa$ciam in di$co ejus ob$ervatam, uti & illas quas in Jove & Marte exhibui, nigriores quàm in cælo $pectan- tur, ob oculos poni dixi$$ent, non iv<007>$$em inficias. Fateor enim ultro cælatoris culpa hoc accidi$$e; ac in Marte præ- $ertim zonam longe d<007>lutiorem, imprimis circa marg<007>nes, pigendam fui$$e. Quam neque perpetuo ibi $pectari opi- nor, $ed, ut Joviales fa$ciæ, mutab<007>lem formam habere, $ic- ut po$trem<007>s in Marte ob$ervationibus didici; de quibus a- lias forta$$e plura. Nihil autem eju$modi mihi vi$um in u- troque hoc planeta, Eu$tach<007>us non alio argumento probat quàm cætera omnia, nempe quia ip$e non viderit.

Quod Sy$temati Copernicano Sy$tema meum Saturnium adaptaverim, nemo, ut opinor, jure me reprehenderit. At- tamen cum Catholicis omnibus Fabrius illo interdicat, mi- ror quod non vel hoc $olo nomine rejicienda e$$e omnia commenta mea pronuntiet. Sed videbat, credo, facile in locum Copernicani Sy$tematis Tychonicum me $ub$titue- ere po$$e. Utrum enim adhibeam parum admodum intere$t ad phænomena quod attinet. Sed rei veritas haud aliter quam Copernicum $equendo explicatur; cujus $ententiam non parum quoque no$trum Saturni Sy$tema commendat.

Non intelligo autem qui tam confidenter, hanc de Terra mota opinionem, tantùm ab hetorodoxis Ari$tarchis tenen- dam Fabrius a$$everet. Quoties enim de ea cum Catholicis (Romanis nempe) $ermones confero, profitentur illi $e ne- quaquam decretis in contrarium latis teneri, $ive ea à Car- dinalibus, $ive ab ip$o $ummo Pontifice profecta fuerint. Quibus videlicet non tantum tribuunt in explicando $acra- [0370]CHRIST. HUGENII ASSERTIO rum literarum $en$u, ut etiam de controver$i<007>s quæ, ut vo- cant, facti $unt, nece$$ario iis $tandum $it: ac plane, quie- tem Telluris rationibus potius ad$truendam, quàm diploma- tis $anciendam, exi$timant. Quin etiam in Gallia pa$$im Sy$tema Copernici non tanquam hypothe$in, $ed ut liqui- dam veritatem propugnari certum e$t, idque ab ip$is Eccle- $ia$ticis, & Sacerdotibus, qui voluminibus totis publice do- ctrinam eam tradunt, nihil, quod $ciam, Roma contradi- cente. Quæ omnia perpendens, pridem credidi præter A- $tronomiæ ignaros, imperitamque multitudinem, tantùm adhuc Cleanthes aliquos, in quibus & Fabrius, antiquo er- rori adhære$cere, vique irrita Telluris motui obniti.

Cæterum cum mordicus, ut ait, hoc propo$itum teneat, ac planetas reliquos proinde nullo modo Terræ a$$imilandos putet, nihil mirum e$t, nec ferre eum potui$$e Saturnicola- rum ullam mentionem fieri. Ubi tamen <007>njuria me culpat. Nam non ita de illis di$$erui, ut e$$e aliquos affirmarem, aut, rationibus adductis, veri$imile id e$$e evincerem. Quin imo ab$tinere me dixi plura $cribere de A$tronomia, qualis inco- lentibus Saturnum futura e$$et, eo quod ab$urdum nimis ple- rique arbitrentur homines in planetis degere; qui proinde fru$tra me inve$tigare dicturi e$$ent, quid ii ob$ervent, qui in rerum natura non $unt. Cum autem, in periodo Lunæ Saturniæ computanda, men$es Saturnicolarum nominavi, nihil novum aut in$olitum A$tronomis feci, quibus nihil fre- quentius e$t, quam ut in Soleaut Luna aliquem exi$tere imagi- nentur, qui inde a$trorum motus $peculetur. Non erat itaque quod commentum hoc de Saturnicolis me ibi propo$ui$$e Fa- brius culparet. Quanquam et$i $ecus foret, neque primus ego hoc prodidi$$em, neque ridiculum adeo, apud Philo$o- phos quidem, quam ille exi$timat. Verum præter in$titu- tum ad i$ta non digrediar. Vocat me Fabriani Sy$tematis contemplatio, illius nempe quo, po$tquam meum diruit, phænomena circa Saturnum commodè exponi po$$econfidit. Nam priora illa, quibus Saturni ip$ius motum novis legibus ordinare aggreditur, nihil huc pertinent, neque examinare [0371]SYSTEMATIS SATURNII. ea operæ pretium fuerit. Miror tamen quid in Tychonica hypothe$i illi di$plicuerit, ut novam à fundamentis extruere in animum induceret: quam quidem vereor ut A$tronomi $atis percipere, nedum probare queant.

At nec illa quæ ad pha$es Saturni pertinet, ullo modo clarior e$t, prætereaque ab omni ratione & veri$imilitudine tam longè remota, ut ne$ciam an refutari à me opus habeat. Cui enim imponet quæ$o bellum i$tud commentum de qua- tuor globulis Saturno proximis, quorum binilumine $olis $plen- dent, binialii radios pror$us non reflectunt, $ed natura $ua $unt ob$curri$$imi. Videor mihi circulatorium quendam calculo- rum ludum videre, alios ibi albos, alios nigros e$$e, nunc hos, nunc illos o$tendi ab$condique vici$$im. Tale quid enim præ $e fert mirabilis illa hypothe$is. Quidni verò circulos $al- tem in $chemate $uo expre$$it, quos nova hæc Planetarum $o- boles obeunt? Quos circulos non Saturnum in centro habe- re cerneremus, nec quidem minorem à majore includi, $ed po$t tergum Planetæ binos ex ordine jacere, in quorum utro- que duo i$torum $atellitum ita currerent, ut nunquam alter alterum a$$equeretur, $ed è diametro $emper di$tarent. Re- ctè, ni fallor, mentem Fabrii intellexi, $in minus, admone- ri cupio, fuit enim nonnihil divinandum. Quum autem, his po$itis, pha$in 1, 4, 8, 9, tabellæ $uæ, facile explicari dicat, TAB. LII. $cire velim quo pacto Planetæ novi ex minimis maximi fiant. Nam in 1 & 4 Figura, diametrum ne quidem dimidiam ha- bent medii Saturnii corporis, cum in F<007>gura 8, & 9, vel æ- quales huic, vel majores etiam e$$e nece$$e $it. Deinde ip$ius Eu$tachii ob$ervata pha$is in Figura 10, quomodo ex hac hy- pothe$i deducetur? Cum neque rotunda corpora ellipticos ar- cus facere po$$int, & nigri Planetæ minores candidis hîc e$- $e debeant, contra quam po$itum fuit: æquales enim inter $e, po$t aliquantam deliberationem, $tatuuntur: Quænam porro $it novorum Planetarum periodus non jam exigam, nondum enim repertam e$$e ait. Sed vereor ut aliqua e$$e po$$it. Nam trium quidem annorum $patio, quorum primus 1646, unam illam Figuram 10 $ibi. apparui$$e Eu$tachius affirmat, in ta- [0372]CHRST. HUG. ASSERT. SYST. SAT. bella quadam, Sereni$$imo Magno Duci Hetruriæ, Fratri T. C. dicata; unde oportet nih<007>l motos fui$$e interea $atellites, quod quidem animadverti po$$et. Po$tea vero alüs tribusan- nis, 1655 nempe, cum duobus in$equentibus, in tantum pro- gre$$i fuere, ut medio horum annorum rotundus Saturnus $pe- ctatus $it, extremis vero utri$que cum binisad latera orbibus, inter$titio aliquo à medio corpore disjunctis. Utinam ridi- culi Sy$tematis inventori pœna con$tituta $it, ut motuum i$to- rum anomalias inve$tigare teneatur. Piget vero me ultra in his immorari: $ed tamen pauca pro meo illo Saturni comite dicere cogor. Hunc, quia videbatur aliquid in Sy$temate $uo turbaturus, $upra Saturnum Fabrius relegavit, ita nimirum ut totus quem percurrit circulus, Planetâ $uperior jaceat. Sed immerito pror$us; ego enim cautionem me dabo, nihil eum an$atis illis pha$ibus occur$u $uo nociturum, cum pu$illus ad- eo $it, ut ne quidem, cum prope ad Saturnum accedit, con- $pici queat: raro etiam, nec ni$i cum rotundus e$t Saturnus, inter di$cum ejus & nos tran$eat, idque $emidiurno $patio. Sinat itaque in $ua illum manere orbita, unáque Mediceos Planetas in vias $uas, à Magno olim Galilæo circa Jovem at- tributas, re$tituat, quos nullam omnino ob cau$am, quam quidem aut ip$e adducit, aut ego animadvertere po$$um, lo- co $uo $imiliter expulit.

Jamque percen$ui, ni fallor, Princeps Sereni$$ime, omnia quæ adver$us me Eu$tachius de Divinis, $eu potius P. Fabrius conqui$ivit, quæve ad $uam hypothe$in $tabil<007>endam commen- tus e$t, quæ quum animo reputo, nulla $ane invenio, quibus non pro me $ibi eruditi re$pon$uri fuerint, aut venturi tem- poris experientia. Interim pauca hæc repo$ui$$e non me pœ- nitet, quia, licet artificem illum merito neglexi$$e tacendo vi- deri poteram, non idem forta$$e contra alterum, quem ferunt alicujus nominis e$$e adver$arium, valiturum erat $ilentium; utique quum $atis omnibus con$tet pleraque ab hoc fui$$e $up- peditata, multique, non tam quld, quam à quo $it objectum, re$piciant. De cætero rogo C. T. ut, qua u$us $um in di$- putando, libertatem boni con$ulat: Idque ita, $i & provo- catus in arenam hanc de$cendi, & ju$tæ defen$ionis terminos nu$quam tamen exce$$i, FINIS.

[0373] [0373a] Fig. 1. Fig. 2. Fig. 3. Fig. 4. Fig. 5. Fig. 6. Fig. 7. Fig. 8. Fig. 9. Fig. 10. Fig. 11. Fig. 12. Fig. 13. [0374] [0375] CHRISTIANI HUGENII DE SATURNI ANNULO OBSERVATIONES. [0376] [0377] CHRISTIANI HUGENII DE SATURNI ANNULO OBSERVATIONES. I. Ob$ervationes in Saturnum Pari$iis habitæ in Bi- bliotheca Regia.

ANno 1668, 17 Aug., hora 11 ve$pertinâ D<#>ni Hu- genius & P<007>cart ob$ervarunt Planetam Satur- TAB. LL fig. 2. num ope tele$copiorum 21 pedum & invene- runt figuram ejus talem qualem hic exhibemus, globo in medio manife$te excedente $upra & infra ovalem quod vix dum anno præceden- ti erat con$picuum.

Men$urarunt diver$imode inclinationem magnæ diametri Ovalis ad æquatorem, quæ inventa e$t circiter 9 graduum, li- cet eo empore tantum debuerit e$$e 4 graduum, $ecundum illa, quæ D. Hugenius dixit in Sy$temate Saturni, planum annu- li, qui circumdat globum Planetæ cum plano Eclipticæ tan- tum efficere angulum 23. gr. 3ó; $ed cum ultima hæc ob$er- vatio, & $imiles aliæ hujus anni & præcedentis, magis exa- ctæ $int & habitæ tempore magis opportuno ad men$uran- dam obliquitatem, illis, quæ fundamentum fuere memo- ratæ detereminationis, D<#>us Hugenius invenit, loco 23 gr 3ó angulum plani Annularis & Eclipticæ e$$e circiter 31 _Vera annuii_ _inclinatio_. graduum; & hoc po$ito, non $olum formam, quam jam ha- [0378]CHRISTIANUS HUGENIUS bet Saturnus, $ed & omnes illas, quas ob$ervarunt A$trono- mi ab illo tempore a quo veras ob$ervare potuere, congruere perfecte cum hypothe$i annuli, & peculiariter ob$ervationem D<#>ni Campani, Anni 1664 initio Julii, quam ip$e publici ju- ris fecit, in quo magna Ovalis diameter duplicatæ minori dia- metro æqualis e$t.

Quod autem ad rotundam Saturni Pha$in attinet, non pote$t _Pha$is ro-_ _@unda_. ni$i parum admodum tempus hujus mutari, ex memorata mu- tata inclinatione ita ut D<#>us Hugenius adhuc dum pha$in hanc rotundam expectet anno 1671, in quo æ$tate an$as amittere inchoabit, quas ni$i po$t annum circiter recuperabit, juxta illa quæ tradidit in Sy$temate Saturni.

II. Excerpta ex literis D. Hugenii, Academiæ regiæ $cien- tiarum $ocii, ad auctorem Diarii Eruditorum de figura Planetæ Saturni.

CUm Saturnus abdicaverit figuram $uam rotundam po$t- _Brachia_ _Saturno re-_ _@ata_. quam hoc anno 1672 ex radiis $olaribus emer$it, uti anno præcedenti prædixeram, & cum illi brachia $int renata; ultima mutatio non minus meretur, ut in Diariis ve$tris notetur, quam quædam aliæ præcedentes, qua- rum ibidem mentionem feci$ti.

Ultimum in conjunctione cum Sole fuit Planeta hic 12 Mar- tii præterito, in 22 gr. 35 min. Pi$cium; magna autem obliqui- tas hujus loci Zodiaci ad no$trum horizontem, quando oritur, in cau$a fuit quo minus tribus men$ibus, aurora prohibende, videretur; nam 5 Junii tantum D<#>US Ca$$ini primum illum po- tuit ob$ervare, cum brachia Saturni jam facta e$$ent adeo clara & ampla, ut inde colligi debuerit, jam à longo tem- pore fui$$e <007>n$taurata; Ob$ervabat etiam in di$co Saturni _@mbra in_ _@i$co Saturni_. parvam umbram ad latus $eptentrionale brachiorum, pa- [0379]DE SATURNI ANNULO. riter ac exhibui in Sy$temate Saturni Tab. XLIX. _fig_. 6.; quod, æque ac in$taurata brachia, congruit cum iis quæ $tatui in illo Sy$temate de annulo, quo cingitur Saturnus. Sed quoniam hæc hypothe$is præcipue confirmatur ob$ervationi- bus, quas ultimo anno fecimus, quarum quædam nondum cum publico communicatæ fuere, ut mihi veniam concedas rogo has nunc memorare, cum annotationibus, quas ad eas fec<007>.

Anno 1671 Saturnus apparu<007>t rotundus $ine brachiis aut an$is uti prædixi ante annos 14, quum publici juris feci meum Sy$tema, licet id acciderit duobus men$ibus prius quam ex- pectaveram, $cilicet in fine men$is Maji. Percepta deinde e$t quædam interruptio figuræ rotundæ, quam non prævidi, & quam difficulter admodum prævidere potui$$em, quia Satur- num tantum ob$ervaram per unicum annum, cum hæc va- ticinarer. Sed no$ti, quam primum intellexerim, brachia redii$le, quod D<#>US Ca$$ini ob$ervavit 11 & 14 Augu$ti, me affirma$$e illa certo certius brevi iterum peritura, quod quoque verum repertum e$t; nam 4 Novembris bra- chia Saturni erant adeo ob$cura, ut dubitarem an qui- dem iterum apparerent, licet D<#>US Ca$$ini affirmet $e illa per- cepi$$e ultimâ vice 13 men$is $equentis Decembris, po$t quod tempus figura rotunda duravit, donec Saturnus in radios Solares $e ab$condit.

Hæc ultima brachiorum Eclip$is præcipue veritatem meæ _Saturnus_ _rotundus_. hypothe$eos probat; facile enim patet quam difficile fu<007>$$et $e- cundam prævidere mutationem, priori adeo vicinam, ni$i illius veram cau$am per$pectam habui$$em; præterquam quod modus, quo brach<007>a $ecunda v<007>ce ablata fuere isip$e $it, quem $tatui in meo Sy$temate. Vidimus enim illa pedetentim de- ficere à claritate $uâ, licet $emper man$erint $atis ampla; quod erat certum indicium, radios $olis valde oblique il- lu$trare $uperficiem annuli Saturni, quæ ad nos conver$a erat, quam tandem non amplius illu$trarunt $ed quidem op- po$itam. In præcedenti apparitione figuræ rotundæ, à f<007>ne Maji u$que ad 14 Augu$t<007>, brachia latebant, non quia non illu$trabantur, $ed quia vi$us no$ter, parum admodum [0380]CHRIST. HUG. DE SAT. ANNULO. vel omnino nihil elevatus erat $upra $uperficiem annulí, quem Sol intuebatur.

Hæc omnia tantum illis $cripta $unt, qui cum cura exami- narunt, quæ tradidi in Sy$temate Saturni: & pro iis adhuc addo, quantum attinet ad lineam æquinoctialem vel rotundæ _Linea æqui-_ _noctialis an-_ _nuli_. apparitionis Saturni, quæ linea formatur inter$ectione an- nuli & plani orbitæ planetæ, me nullis cogi ob$ervationibus, ad $itum illius mutandum quem in Sy$temate Saturni præ$cri- p$i in 20{1/2} gr. Pi$cium & Libræ. Quoties Saturnus è Sole vi$us pervenietad illa Zodiaci loca, rotundus apparebit, etiam quan- do ab hi$ce tantum duobus gradibus removetur; nam ex ob$er- vationibus anni ultimi percepi ita re$tringendos e$$e limites quos 6 graduum $tatueram, ut $atis facerem quibu$dam Gali- læi & Ga$$endi ob$ervationibus, quorum Tele$copia mino- ris notæ fuerant, quam credere au$us eram. Juxta ultimas ha$ce limitationes minus apparitiones formæ rotundæ Satur- ni durabunt quam ip$e olim prædixi; ita ut anno 1685 non initio men$is Martii, $ed men$e Julio, brachia amittet Satur- nus prope f<007>nem apparitionis $uæ, & illa recuperabit $equenti men$e Novembri; pariter 1701 non poterit videri rotun- dus, ni$i men$e Junio, initio $uæ apparitionis, & men$e Au- gu$to brachia ejus incipient rena$ci.

Antequam f<007>nem huic $cripto imponam, hic addam, Ta- bulam, quam dedi pro motu parvæ Lunæ, vel $tellæ, quæ comitatur Saturnum, & circa illum volvitur 47 minutis mi- nus quam 16 diebus, huc u$que repertam e$$e adeo ob$er- vationibus congruam, ut nondum videre queam, $itne quid- piam addendum vel detrahendum.

FINIS. [0381] CHRISTIANI HUGENII ΚΟΣΜΟΘΕΩΡΟΣ, SIVE De Terris Cœle$tibus, earumque ornatu, CONJECTURÆ AD CONTANTINUM HUGENIUM, Fratrem: CULIELMO III. MAGNÆ BRITANNIÆ REGI, A SECRETIS. [0382] Horat. Epi$t. 6. lib. 1.

Hunc $olem, & $tellas, & decedentia certis Tempora momentis, $unt qui formidine nulla Imbuti $pectent: quid cen$es munera terræ Quid maris extremos Arabas ditantis & Indos? Ludicra quid, plau$us, & amici dona Quiritis, Quo $pectanda modo, quo $en$u credis & ore?

[0383]PRÆFATIO AD LECTOREM. BENEVOLO LECTORI SALUTEM.

_L_Ibellus hicce jam ad umbilicum dedu- ctus, & prælo de$tinatus erat, cum maximo rei literariæ damno Illu$trem ejus Auctorem primum morbus, dein mors occupavit. Qui tamen ut in lu- cem prodiret, cavit, ultima voluntate fratrem, ad quem $criptus e$t, rogitans, hujus ut edendi curam $u$cipere vellet. Cui rei Nobili$$imo Viro innume- ris occupationibus & peregrinationibus, utpote qui Magnæ Britanniæ Regi ad res Batavas à $ecretis e$$et, di$tracto vacare non licuit, ni$i anno ferme po$t Auctoris obitum. Qua re, intercedente dein- de etiam Typothetarum mora, factum e$t, ut cum editioni jam omnia pararentur, & hic Vir fato ce$- $erit, adeoque & Parente & eo, qui po$t parentis obitum ejus vicem gerebat, & ad quem de$tinatus erat, de$titutus fuerit hic Libellus. Eadem tamen, qua ab Auctore con$criptus erat, ratione, eademque ad fratrem, licet jam defunctum, in$criptione, _(_Re- [0384]PRÆFATIO AD LECTOREM. ligio enim fuit quidquam immutare_)_ prodit in publi- cum, non dubia $pe, fore, ut eruditi, $icut reliqua omnia Auctoris, $ic & ultimum hunc ejus fœtum be- nigne accipiant. Demon$trationes equidem Mathe- maticas non invenient ubique, neque enim res pati- tur, $ed, quo in his rebus nihil ultra de$iderari jure po$$e videtur, veri$imiles & ingenio$as conjecturas. Quæ ex cœlorum notitia depromi potuerunt, ea hic videbunt ratione demon$trata; quæ ex iis non pa- tent, ex cœle$tium corporum cum tellure no$tra affini- tate $olerter conjecta. Verum hujus quid $it, ex ip$o Auctore commodius per$picies. Vale.

[0385] CHRISTIANI HUGENII COSMOTHEOROS, SIVE De Terris Cœle$tibus, earumque ornatu, Conjecturæ. AD CONSTANTINUM HUGENIUM, Fratrem. LIBER I.

FIeri vix pote$t, Frater optime, $i quis cum Copernico $entiat, Terramque, quam inco- limus, è Planetarum numero unum e$$e exi- $timet, qui circa Solem circumferantur, ab eoque lucem omnem accipiant; quin inter- dum cogitet haud a ratione alienum e$$e ut, quemadmodum no$ter hic Globus, ita cæteri quoque i$ti, cultu ornatuque, ac forta$$e habitatoribus non vacent. Præ- $ertim $i ad ea quoque re$piciat quæ po$t Copernici tempo- ra in cœlo deprehen$a $unt; Comites nempe $tellarum Jovis & Saturni, Lunæ montes campo$que, & alia multa; quibus non $olum veritas inventi ab illo $y$tematis, $ed & $imilitu- do ac cognatio, Terram inter & Planetarum corpora, ma- gnopere confirmatur. Itaque & nobis, cum prælongis Te- le$copiis $idera unà $pecularemur; quod jam per multos an- nos, propter occupationes tuas & continuam fere ab$en- [0386]CHRISTIANI HUGENII tiam, non licuit; $æpius ea de re $ermones habitos memini. Qualia vero e$$ent, quæ in i$tis regionibus extarent Naturæ opera, id ne $perandum quidem e$$e ut unquam $ciri po$- $it, fru$traque proinde quæri, certo credebamus. Neque vero aut a pri$cis Philo$ophis, aut a recentioribus quidquam eju$modi tentatum fui$$e comperi. Nam inter illos quidem, jam ab ip$o A$tronomiæ exortu, cum primum Sphæricam e$$e Terræ formam intellectum e$t, eamque undique æthere cingi, fuere qui auderent alios e$$e in $ideribus mundos, imo innumerabiles dicere. Po$teriores vero, ut Cardinalis Cu- _Fui$$e qui_ _Planetis in-_ _colas tribue-_ _rint, $ed ni-_ _hil præterea_ _de iis inqui-_ _$ivi$$e_. $anus, Brunus, Keplerus, qui & Tychonem Braheum idem $en$i$$e $cribit, Planetis quidem incolas $uos tribuerunt; Cu- $anus & Brunus etiam Soli, & $tellis inerrantibus: nihil ta- men ulterius aut hi aut illi quæ$ivi$$e inveniuntur; neque etiam nuperus auctor Gallicus dialogi ingenio$i de Mundo- rum multitudine. Tantum fabulas qua$dam de Lunæ popu- lis nonnulli contexuerunt, animi causâ, Lucianicis, quas no$ti, haud multo veri$imiliores. Nam & Keplerianas his annumero, quibus ille in $omnio A$tronomico ludere voluit. Mihi vero, qui tot viris egregiis nequaquam me per$pica- ciorem e$$e ex<007>$timo, $ed eo feliciorem, quòd po$t illos. tantùm non omnes, natus $im; cum ab aliquo tempore di- ligentius i$ta meditari cœpi$$em, vi$um e$t non pror$us ob- $eptas e$$e, de rebus tam procul di$$itis, inquirendi vias, $ed veri$imilibus conjecturis abunde materiam præberi. Quas conjecturas meas, prout $e$e $ubinde obtulerunt, in adver- $ariis annotatas, nunc in ordinem redigere, tibique expo- nere volui; atque aliquid etiam adjicere de Sole, Stelli$que inerrantibus, & mundi magnitudine, cujus particula quæ- dam minima e$t totius Sy$tematis no$tri complexus. Et hæc quidem, pro $olito tuo res $uperas cogno$cendi $tudio, li- benter te lecturum arbitror. Mihi certe $cribere ea jucun- dum fuit; utque $æpe aliàs, ita nunc, velut in re ip$a, ve- rum e$$e expertus $um illud Archytæ; _Si quis in cœlum a-_ _$cendi$$et, naturamque mundi & pluchritudinem $iderum_ _per$pexi$$et, in$uavem illam admirationem ei futuram,_ [0387]COSMOTHEOROS, LIB. I. (_quæ alioqui jucundi$$ima fui$$et_) _ni$i aliquem cui narra-_ _ret habui$$et_. Utinam vero hæc no$tra narrare non omni- bus po$$em, $ed præter te lectores arbitratu meo deligere li- ceret, qui nec A$tronomicæ $cientiæ, nec Philo$ophiæ me- lioris rudes e$$ent; quibus facile conatus ho$ce probatum iri, nec, propter novitatem, defen$ione opus habituros confi- derem. Quia vero & in imperitiorum manus venturos pro- video, & forta$$e quorumdam $everiora judicia $ubituros, puto non abs re fore ut utrorumque reprehen$iones jam hinc repellere coner.

Atque erunt quidem, qui cum Geometriam aut Mathe- _Occurritur_ _objectionibus_ _imperito-_ _rum_. maticas nunquam attigerint, omnino vanum ac ridiculum hoc inceptum no$trum cen$ebunt. Incredibile enim iis vi- detur, ut Siderum di$tantias, aut quæ $it magnitudo eorum, metiri po$$imus. Tum vero motum huic Terræ aut fal$o ad$cribi exi$timant, aut nequaquam adhuc probatum e$$e. Quare nihil mirum, $i, quæ talibus fundamentis ex$truun- tur, pro $omniis nugi$que $int habituri. Quid vero his di- cemus, ni$i aliter $en$uros $i di$ciplinis i$tis, naturæque re- rum contemplandæ, operam dedi$$ent. Hoc vero longe plurimis non licui$$e $cimus, vel quod ad ea parum ingenio comparati e$$ent, vel quod unde di$cerent non haberent, vel denique quod $uis, aut reipublicæ curandis negotiis, alio vocarentur. Itaque nihil eos reprehendimus; $ed, $i dili- gentiam in his rebus no$tram condemnandam putabunt, ad magis idoneos judices provocamus.

Erunt alii qui ea, quæ veri$imilia e$$e o$tendere conati _Conjecturas_ _ha$ce S. Scri-_ _pturis non_ _adver$ari_. $umus, Sacris Literis adver$ari prædicent, cum de Terris animal<007>bu$que, atque etiam ratione præditis, nos di$$erere animadvertent; de quorum origine, aut quod omnino in rerum natura extent, nihil illic traditum $it, $ed ea potius ex quibus contrarium $equatur. Tantum enim de Tellure hac, cum $uis animantibus, herbi$que, & homine omnium domino commemorari. Quibus re$pondeo, quod & ante me alii, $atis apparere non de omnibus iis, quæ Deus crea- vit, particulatim nos edoceri eum volui$$e. Itaque cum vel [0388]CHRISTIANI HUGENII S<007>derum vel Terræ nomine, in prima Gene$i, etiam Plane- tæ, qu<007> præter Solem Lunamque $unt, comprehendantur; atque etiam Jovis & Saturni Comites; po$$e non tantum plures alios utriu$que generis includi, $ed & res innumeras quas in $uperficie eorum $ummo opifici collocare placuerit. Porro non ne$cire eos quo pacto interpretandum $it, quod dicitur omnia propter hominem condita e$$e; neque eo $i- gnificari, ut a pluribus jam e$t animadver$um, tot ingentia corpora $tellarum, quas partim videmus, partim nec vid<007>$- $emus quidem unquam, $i Tele$copiorum auxilium defui$$et, no$træ utilitatis aut contemplationis gratia fui$$e condita; quia id ab$urde diceretur. Quare cum operum Dei magna pars extra con$pectum hominum $it po$ita, neque ad eos pertinere videatur, haud alienum e$$e opinari, aliquos exta- re, qui illa propius a$piciant & admirentur.

Sed dicent forta$$e, cum de his ip$e $upremus auctor nihil _Inqui$itio-_ _nem horum_ _ut nimis cu-_ _rio$am repre-_ _hendi non_ _debere_. amplius docuerit aut revelarit, credendum e$$e $ibi $cientiam eorum re$erva$$e, ac proinde temere, & curio$e nimis de iis inquiri. At nimium ip$os $ibi $umere ajo, $i definire velint, quou$que homines inve$tigando progredi debeant, diligen- tiæque eorum modum $tatuere; ac $i terminos, quos hic Deus præ$crip$it, certo cognitos haberent; aut in hominum pote$tate e$$et illos prætergredi. Et $ane, $i talibus $crupu- lis retenti fui$$ent qui ante nos vixerunt, adhuc ignorari po- tui$$et quænam Telluris e$$et figura, aut quæ magnitudo, & num aliqua Americæ regio. Item an Solis radiis Luna illu- $traretur, quibu$ve ex cau$is aut hæc aut ille deficerent; ac pleraque alia, quæ A$tronomorum laboribus reperti$que ac- cepta referimus. Quid enim tam ab$conditum & inacce$$um videbatur, quam quæ de rebus cœle$tibus in aperta luce nunc po$ita $unt? Ex quo intelligitur indu$triam menti$que acu- men hominibus data e$$e, qu<007>bus paulatim rerum naturalium cognitionem con$equerentur, neque e$$e cur conari de$ina- mus & ulteriora inquirere. Attamen reconditiora illa, qui- bus hic præcipue in$i$timus, $cimus non e$$e eju$modi, ut quærendo penitus inve$tigari po$$int. Itaque nihil veluti [0389]COSMOTHEOROS, LIB. I. certum affirmamus, (quî po$$imus enim?) $ed conjecturis tantum agimus, quarum de veri$imilitudine $uo cuique arbi- tratu judicare liberum $it. Quod $i quis irritam igitur, & _Conjecturas_ _non e$$e va-_ _nas, quia_ _non plane_ _certæ_. inanem in his operam nos ponere dicat, de rebus iis conje- cturas prodendo, de quibus ip$i fateamur nihil certi unquam comprehendi po$$e: re$pondebo totum Phy$ices $tudium, quatenus in cau$is rerum eruendis ver$atur, eadem ratione fore improbandum; _ubi veri$imilia inveni$$e laus $umma_ _e$t, & indagatio ip$a rerum, tum maximarum, tum oc-_ _cultis$imarum, habet oblectationem_. Sed veri$imilium multi $unt gradus, alii aliis veritati propiores, in quo dili- genter æ$timando præcipuus judicii u$us vertitur.

Ut vero mihi videtur, non tantum res ad cognitionem _Ad $apien-_ _tiam & pie-_ _tatem facere_ _quæ hic tra-_ _ctantur_. maximas hic indagamus, $ed quarum contemplatio $tudiis quoque $apientiæ multum conducat. Expedit nimirum ut, velut extra Tellurem hanc po$iti, procul eam intueamur, quæramu$que, an $ola $it in quam omnem ornatum natura contulerit. Ita enim rectius quid $it, quoque loco haben- da, intelligere poterimus: quemadmodum qui longinquas regiones obeunt, de patriæ $uæ rebus verius judicare $olent, quam qui nunquam inde $e moverunt. Nec $ane ille ma- gnopere admirabitur quæcunque hic vulgo maxima haben- tur, qui, rationibus no$tris aliquid tribuens, multitudinem Terrarum no$træ $imilium, $imiliterque incolis $uis frequen- tatarum, $ibi propo$uerit. Deum vero, tantarum rerum effectorem, quî poterit idem non valde $u$picere & venera- ri? cujus providentiam, $apientiamque mirabilem, pa$$im hic a$$ertam inveniet, contra fal$as opiniones eorum, qui vel ex fortuito corpu$culorum concur$u ortam e$$e Terram, vel omni principio eam carere dixerunt. Sed jam ad pro- po$itum.

Et quoniam maximum $umetur argumentum, ad ea quæ in$tituimus probanda, ex ordinatione Planetarum Coperni- cea, quodque inter eos Tellus hæc haud dubie numeratur; bina $chemata hic initio de$cribo, quorum alterum orbes TAB. LIV. fig. 1. eorum, circa Solem di$po$itos, continet, veris proportio- [0390]CHRISTIANI HUGENII nibus expre$$os; $imile illi quod in Automato no$tro $æpius con$pexi$ti: alterum rationes magnitudinum o$tendit, qui- TAB. LV. fig. 1. bus corpora Planetarum inter $e, & ad Solem, comparan- tur; quod in eodem Automato adjectum e$t. In priore _Copernici $y-_ _$tema expo-_ _nitur_. punctum medium Sol e$t; à quo deinceps, noto omnibus ordine, $unt orbitæ Mercurii, Veneris, Telluris, cum $u- peraddita via Lunæ; tum Martis, Jovis, & Saturni: ac TAB. LIV. fig. 1. circa Jovem, Saturnumque circelli Comitum; illius quatuor, hujus quinque. Quos circellos, cum eo, qui Lunæ no$træ dicatus e$t, longe majores hic poni $ciendum, quam pro ratione ad Planetarum primariorum orbitas; ne, ob parvi- tatem, penitus vi$um effugerent. Orbitarum vero quanta reip$a $it va$titas inde intelligere licet, quod di$tantia a Sole ad Terram, decem vel duodecim millia Terræ diametrorum continet: de qua men$ura pluribus po$tea agetur. Omnes porro in eodem fere plano $itæ $unt; ut proinde non mul- tum di$cedant ab eo in quo Tellus circumit, quod Eclipticæ planum vocatur. Hoc vero oblique $ecatur ab axe Telluris, in quo illa volvitur horis viginti quatuor, re$pectu Solis: i$- que axis, ni$i quod mutationem lenti$$imam $ubit, quam norunt A$tronomi, $ibi ip$i parallelus manet, dum ip$a cir- ca Solem defertur; ex quo dierum noctiumque oriuntur vi- ces, itemque temporum anni commutationes, ut pa$$im do- cent eorum libri. Unde & tempora periodorum, quibus circuitus $uos Planeta qui$que peragit, huc tran$cribo. Nem- pe Saturni, annorum 29, dierum 174, horarum 5. Jovis annorum 11, dierum 317, horarum 15. Martis proxime dierum 687. Telluris dierum 365{1/4}. Veneris dierum 224, hor. 18. Mercurii dierum 88.

Hic e$t ille, noti$$imus jam, cæle$tium corporum ordo, a Copernico repertus, idemque naturæ $implicitati conve- nienti$$imus. Hunc $i quis convellere aut improbare con- _Copernici_ _doctrinam_ _quæ rationes_ _confirment_. tendat; is d<007>$cat primum, ex demon$trationibus A$tronomo- rum, quanto in hac de$criptione melius faciliu$que omnium eorum, quæ circa motum $iderum animadvertuntur, ratio red- datur, quam in P@olemaico aut Tychonis $y$temate. Cog- [0391]COSMOTHEOROS, LIB. I. no$cat etiam, ex $ingulari Kepleri ob$ervatione, quomodo Planetarum, interque eos Telluris, a Sole di$tantiæ tempo- ribus periodorum, quas retuli, certa quadam proportione re$pondeant; quam po$tea Jovis quoque & Saturni Comites, horum re$pectu, $ervare deprehen$um e$t. Intelligat quam contra motus naturam quiddam commini$cendum $it, quo demon$tretur cur $tella Polaris, in extrema cauda minoris Ur- $æ, exiguo nunc circulo moveatur, duobus gradibus & ter- tia parte à Polo di$tans; cum ante annos mille octingentos viginti, ætate nempe Hipparchi, duodecim gradibus, 24 $crupulis, ab eodem Polo abfuerit: po$t aliquot vero $æcu- la, ad 45 gradus inde rece$$ura $it, & po$t annorum vigin- ti quinque millia, eodem quo nunc e$t, rever$ura. Ut pro- inde cælum totum, $i circumrotari dicatur, $uper alio atque alio axe id faciat nece$$e $it, quod e$t ab$urdi$$imum; cum in Copernici hypothe$i nihil $it explicatu facilius. Denique ex- pendat omnia illa, quibus, ad argumenta Copernico objici $olita, Galilæus, Ga$$endus, Keplerus, aliique plurimi re- $ponderunt. Quorum rationibus ita $ublati $unt qui $upere- rant $crupuli, ut omnes nunc A$tronomi, ni$i tardiore $int ingenio, aut hominum imperio obnoxiam credulitatem ha- beant, motum Telluri, locumque inter Planetas, ab$que du- bitatione decernant.

In altero, quod dixi, $chemate, ita horum globi cum So- _Planetarum_ _magnitudi-_ _nis inter $e_ _& ad Solem_ _ratio_. le oculis $ubjiciuntur, ac $i juxta $e po$iti e$$ent. Atque hic rationem diametrorum, ad Solis diametrum, eam $ecutus $um, quam tradid<007> in libro de Saturni Phænomenis. Nem- TAB. LV. fig. 1. pe Annuli Saturnii eam quæ 11. ad 37; Globi inclu$i, ad eandem Solis diametrum fere, quæ 5 ad 37; Jovis, quæ 2 ad 11; Martis, quæ 1 ad 166; Telluris, quæ 1 ad 111; Ve- neris, quæ 1 ad 84; quibus nunc addo Mercurii, quæ e$t 1 ad 290 ex Hevelii ob$ervatione Anno 1661 habita; cum in Solis di$co Mercurius con$piceretur, no$tro tamen, non il- lius calculo.

Quomodo autem hæ no$træ magnitudinum rationes inven- tæ $int, tum ex cognita proportione di$tantiarum à Sole, tum [0392]CRISTIANI HUGENII ex men$ura Diametrorum, Tele$copiis capta, eo, quem di- xi, libro o$tendi: neque adhuc video cur multum, ab iis quas tunc definivi, recedam; et$i nihil eis dee$$e non contende- rim. Nam quod multi exi$timant, in metiendis apparenti- bus diametris, præ$tare lamellis no$tris u$um Micrometro- _Microme-_ _tris præ$tare_ _lamellas vir-_ _gula$ve te-_ _nues_. rum quæ vocant, quibus fila tenui$$ima in foco Lentis majo- r<007>s prætenduntur, nondum iis a$$entiri po$$um, $ed aptiores e$$e lamellas virgula$ve tenues arbitror, quas eo loco objicien- das docueram. Ex quo i$tud Micrometrorum inventum, itemque Tele$copii ad organa A$tronomica adaptat<007>o, non multo po$t emanavit: non $ine laude tamen eorum, qui in perficiendo tam utili invento elaborarunt.

Cæterum, in hac planetarum comparatione, notanda e$t _Solem Pla-_ _netis multo_ _majorem_ _e$$e_. ingens Sol<007>s magnitudo, cum interioribus quatuor Planetis collata; utque hi Saturno quoque, ac Jove, longe longeque minores $int. Nam con$iderandum, non ordine cre$cere eo- rum corpora cum di$tantiis a Sole; quippe cum multo major $it Veneris, quam Martis, globus.

H<007>s de utroque Diagrammate expo$itis, nemo, ut puto, _Tellurem_ _Planetis, &_ _hos Telluri_ _recte a$$imi-_ _lari_. jam non videt, quam clare ex priore, in quo $y$tematis e$t typus, $equatur, eodem genere, cum cæteris quinque Pla- netis, Tellurem hanc no$tram contineri. Nam vel ip$i cir- culorum po$itus hoc te$tantur. Atqui præterea con$tat, te- le$copiorum ob$ervationibus, & globo$a e$$e omnium cor- pora, itidem ut Telluris, & à Sole $plendorem $imiliter eos mutuari. Ac denique in hoc quoque ei $imiles e$$e, quod in $e ip$is circum proprios axes volvantur: quis enim de cæ- teris dubitet, cum in Jove & Marte hoc certo compertum $it? Sicut autem Tellus Lunam comitem habet, ita Jupiter & Saturnus $uas. Quid ig<007>tur tam probabile e$t, cum in his tot rebus Telluri cum Planetis illis primariis intercedat $imi- litudo, quam non minori quoque dignitate & pulchritudi- ne eos e$$e, nihiloque minus ornatos culto$que: aut quænam cur hoc aliter $e habeat ratio excogitari pote$t?

Sane $i cui, in di$$ecti canis corpore, vi$cera o$tenderen- _Ex $imilitu-_ _dine in hi$ce_ _recte argu-_ _menta p@ti_. tur, cor, $tomachus, pulmones, inte$tina; tum venæ, ar- [0393]COSMOTHEOROS, LIB. I. teriæ, nervi; etiam$i nunquam animalis corpus apertum con- $pexi$$et; vix dubitaret, quin $imilis quædam fabrica, ac partium varietas, in bove, porco, cæteri$que be$tiis ine$@et. Nec $i unius, ex Saturni aut Jovis Comitibus, naturam cog- nitam haberemus, non eadem fere quæ in <007>llo, in cæteris quoque reperiri putaremus? Similiterque ex uno quopiam Cometa, $i quidnam e$$et per$pici po$$et, eandem omnium rationem e$$e $tatueremus. Itaque plurimum ponderis ha- bet illa ex $imilitudine petita, & à rebus vi$is ad non vi$as producta ratio. Quam proinde $equentes, ex Planeta uno, quem coram a$picimus, de reliquis eju$dem generis rectè conjecturam faciemus.

Ac primùm quidem, non aliter quam Tellus no$tra, $oli- _Planet as_ _$olidos e$$e &_ _gravitate_ _pollere_. do corpore eos con$tare exi$timabimus. Deinde pror$us etiam veri$imile cen$ebimus, ade$$e globis eorum id quod gravitatem appellamus; cujus vi corpora quæque, in $uper- ficie eorum hærentia, premant eam; aut, $i dimoveantur, ex omni parte velut attracta recidant. Quod ex ip$a quoque globi forma liquet, cum hæc ex conatu corporum, ad cen- trum unum tendentium, generetur. Imo jam, certo quo- dam ratiocinio, coll<007>gere didicimus, quanto majus minu$ve in Jove ac Saturno, quam apud nos, gravitatis momentum e$$e debeat. Qua de re, deque auctore ejus, in Diatriba de Cau$is grav<007>um diximus.

Nunc vero ulterius quærere pergamus, quibus gradibus ad penitiora quædam, de $tatu ornatuque Terrarum i$tarum, cogno$cenda perveniri po$$it. Ac primùm quam veri$imile $it herbas, & animalia in earum $uperficie exi$tere, æque ac in Tellure no$tra. Nemo negabit puto, & formam & vi- _Nec dee$$e_ _illis anim@_ _lia_. tam, & cre$cendi generandique rationem, in $tirpibus ani- mantibu$que majus qu<007>d e$$e, magi$que mirandum quàm corpora vitâ carentia, quantumvis mole con$picua $int; ve- lut montes, rupes, maria. Patet etiam in utroque illo vi- ventium genere, multo aliter longeque expre$$ius, cerni Divinæ providentiæ intelligentiæque præ$tantiam. Cum [0394]CHRISTIANI HUGENII enim quæ in Terra, imo quæ in Cælo quoque a$picimus, aliquis Democriti, aut etiam Carte$ii $ectator, ita $e expla- naturum profiteri po$$it, ut tantum atomis & motu horum indigeat; in herbis tamen & animalibus fru$tra erit, nec de primo eorum exortu quidquam veri$im<007>le adferet; cum ni- mis mani$e$to appareat, nunquam vago, ac fortuito corpu- $culorum motu, talia quædam prodire potui$$e: quippe in quibus omn<007>a ad certum finem egregie apta accommodata- que cernantur; cum $umma prudentia, & legum naturæ, ip$iu$que Geometriæ, cognitione exqui$ita, quemadmodum in $equentibus $æpius o$tendetur: ut jam omittamus illa in progignendo miracula. Quod $i igitur in Planetis nihil aliud quàm va$tæ $olitudines, corporaque inertia, & vita caren- tia reperiantur; atque ab$int ea in quibus clari$$ime certi$$i- meque Architecti $upremi $apientia eluce$cit; haud dubiè multum dignitate & pulchritudine concedent Telluri no$træ: quod, ut jam dixi, rationi adver$atur.

Non igitur $ic; $ed erunt & ibi corpora quædam motu prædita, $e$eque ip$a moventia, neque his quæ in Terra $unt ignobiliora; adeoque erunt animantia. His autem po- _Ut nee plan-_ _tas_. $itis, jam de herbis quoque fere nece$$ario concedendum e$t; ut $it aliquid quo illa alantur. Omnia verò hæc non aliter quam in $uperficie Planetariorum globorum exi$tere, dubita- ri non pote$t; cum calore Solis gaudere ac foveri debeant; cujus radiis, non $ecus quam Tellus no$tra, expo$iti $int.

Sed dicet aliquis, celerius quàm par e$t, hic nos progre- di. Nam, ut non negetur res aliquas in Planetarum $uper- ficie reperiri, quæ ibi cre$cant & moveantur, Deoque au- ctore, non minus quam no$tra hæc, dignæ $int; longè di- ver$am tamen earum po$$e e$$e naturam, ut nec materia, nec cre$cendi more, nec extrin$eca forma, aut internis partibus, quidquam iis, quæ apud nos $unt, $imile habeant: ac talia $int denique, ut nihil eju$modi in mentem homini venire po$$it. Hoc igitur jam quæramus quam $it veri$imile; & an non potius credendum $it, non tantam e$$e diver$itatem [0395]COSMOTHEOROS, LIB. I. quanta exi$timetur. Favet eorum $ententiæ, qui omnia alia illic imaginantur, quod Natura videatur varietatem plerum- que, & plurimis in rebus, $ectari; quodque Cond<007>toris po- tentia hoc <007>p$o magis declaretur. Sed cogitare debent, non e$$e hominum arbitrio definiendum quàm magna i$ta $it va- _Non nimian_ _in hi$ce $in-_ _gendam di$-_ _$imilitudi-_ _nem_. rietas ac di$$im<007>l<007>tudo. Neque, quia po$$it e$$e immen$a, re$que illæ ab intellectu, & comprehen$ione no$tra penitus remotæ, idcirco nece$$e e$$e, ut reip$a tales exi$tant. Quam- vis enim $imilia omnia iis quæ apud nos $unt, finxi$$et Deus in cæteris Planetis; nihilo minor e$$et $pectatoribus eorum, $i qui $unt, adm<007>ratio, quam $i plurimum di$tarent: cum, quid in aliis effectum $it, nullo modo po$$iut cogno$cere. Potui$$et in terris Americæ, alii$que longè remotis, aliqua crea$$e viventia, quæ his no$tris nihil $imile haberent; neque id fecit tamen. Nam formarum quidem diver$itatem aliquam e$$e voluit, quibus animalia herbæque no$træ à tran$marinis illis, di$$iderent, $ed & in his ip$is formis, inque cre$cendi & generandi modis, multa utri$que convenire fecit. Habent enim & illic animalia pedes, alas; atque intus cor, pulmo- nes, inte$tina, vulvas; cum hæc omn<007>a in unoquoque gene- re illorum, ac no$tratium quoque, planè diver$a ratione or- dinari potuerint, ab infinitæ $olert<007>æ opifice. Non igitur omnem varietatem quam poterat in rebus creatis, earum au- ctor exhibuit, nec proinde argumento illi, quod a Naturæ novandi $tudio petitur, tantum tribuendum e$t, ut omnem, qui in cæteris Planetis e$t, ornatum ab eo, qui in Terra no- $tra con$picitur, pror$us alienum putemus. At contra cre- dibile e$t, inter ea quæ in $uperficie i$torum globorum gene- rantur, quæque apud nos $unt, præcipuam e$$e differentiam, quæ ex majori, minorive, eorum a Sole, caloris vitæque fon- te, di$tantia oriatur. Propter quam tamen magis materiam, quam formam rerum, variari nece$$e $it.

Ad materiam vero quod attinet qualiumcunque $tirpium, atque animantium, quæ Planetas exornant, et$i qualis $it co- gitatione a$$equi nequeamus, illud tamen vix dubitari pote$t, quin ex elemento humido, uti no$tra omnia, cre$cant & [0396]CHISTIANI HUGENII alantur. Nihil enim aliter gigni po$$e omnes fere Philo$o- phiarbitrantur; & fuere inter præcipuos, qui ex aqua omnium rerum originem e$$e dicerent. Etenim, $icca & arida quæ $unt, motu carent: ab$que motu vero nihil corporibus, quo augeantur, accedere po$$e manife$tum e$t. At liquidorum particulæ, & inter $e continue moventur, & facile $e$e ubi- que in$inuant; quo fit, ut non tantum $eip$as, $ed & alias diver$æ naturæ, quas $ecum vehunt, cre$centibus apponere aptæ $int. Ita enim, aquæ affluxu, & herbas adole$cere, fo- lii$que & fructibus augeri, & lapides ex arena concre$cere cer- nimus. Itemque metalla & cry$tallos, gemma$que incre- menta inde capere $atis con$tat, et$i in his ob$cur<007>us id ani- madvertitur, propter lenti$$imos progre$$us; quodque $æpe non in iis, quibus enatæ $int, locis cav<007>tatibu$que reperian- tur; pervetu$tis, ut videtur, Terræ ruinis convul$ionibu$- _Aquas a_ _Planetis non_ _abe$$e_. que disjectæ. Sed aquæ elementum a Planetis non abe$$e, veri$imiles quoque conjecturæ $uppetunt, ex tele$copiorum ob$ervationibus. Apparent enim in Jove tractus quidam re- liquo di$co ob$curiores, iique non eadem $emper forma per- manentes, quod nub<007>um proprium e$t. Maculæ vero, quæ immutabiliter globo ejus inhærere con$piciuntur, $æpe lon- go tempore obtectæ manent, nubibus videlicet illis interce- ptæ, è quibus deinde rur$us emergant. Atque etiam nubes in medio Jovis di$co exoriri quandoque annotatum fuit, & maculas qua$dam minores exi$tere, reliquo corpore magis lucidas, neque eas diu $upere$$e; quas Ca$$inus ex nivibus e$$e conjectabat, cacumina montium in$identibus. Mihi non improbabile videtur, terræ regiones candidiores e$$e, $uper- fu$is nubibus plerumque occultatas, ac nonnunquam ab iis liberas.

Apparent, etiam in Marte, lucis & ob$curitatis di$crimi- na, ex quibus conver$io ejus ad Solem, viginti quatuor ho- ris cum 40 $crupulis pr<007>mis, ab$olvi reperta e$t; nubes tamen nondum fuerunt animadver$æ, idcirco quod multò minor cer- nitur quam Jupiter; etiam cum maximè ad Tellurem appro- pinquat. Præterquam quod & inten$ior Martis lux, utpote [0397]COSMOTHEOROS, LIB. I. a propiore Sole accepta, intuentibus impedimento e$t. Ea- demque lux magis etiam ob$tat in Venere. Sed $i Tellus ac Jupiter nubes aqua$que habent, vix dubitandum e$t quin & in cæteris inveniantur Planetis. Nec tamen no$træ pror$us _No$træta-_ _men non_ _pror$us $imi-_ _les_. $im<007>les e$$e aquas i$tas dixerim; et$i liquidæ ut $int, ad u$us quos præ$tare debent, requiritur; ut verò per$picuæ, ad pul- chritudinem. No$tra enim hæc, in Jove & Saturno, con- tinuo gelu a$tringeretur, propter magnam Solis di$tantiam. Itaque putandum e$t naturam earum, quæ in Planetis $unt, ad $uam quamque regionem attemperatam e$$e; ut in Jove quidem ac Saturno difficilius in glac<007>em vertantur, in Vene- re verò, ac Mercurio, minus facile in vapores abeant. In omnibus autem attractum a Sole humorem, $ub$idere rur$us, & unde venit revert<007>, nece$$e e$t, ne penitus aridum Solum relinquatur. Non cadet autem ni$i in guttas den$atus; quod eveniet, $icuti apud nos, cum in frigidiorem locum a$cende- rit ex inferiore calidioreque ob terræ viciniam.

Habemus igitur in globis illis campos Solis radiis expo$itos, pluv<007>i$que aut rore irrigatos, in quibus $i quid ena$catur; ut fieri debere util<007>tatis & ornatus gratia diximus; id eodem quo apud nos modo fieri veri$im<007>le e$t: cum nec aliter fere, nec melius po$$it. Ut nempe radic<007>bus $uis $olo adhæreat, $imul- que harum fibris humorem inde combibat. Neque vero $a- _Nec alia_ _ratione illic_ _na$ci & pro-_ _pagari $tirpes_ _quam ap@d_ _nos_. tis ornatæ mihi e$$e terræ i$tæ videbuntur, ni$i $tirpes qua$- dam habeant alte excre$centes, quæque adeo arbores, aut arborum in$tar, fiant: quandoquidem hæ maximum, ac, præter aquas, unicum $unt ornamentum, quod Natura ter- ris largiri po$$it. Quæ quantum amœnitatis & gratiæ affe- rant facile unu$qui$que $ecum exi$timat. Ut omittam jam materiæ ex arboribus oportuni$$imum ad omnia u$um. Por- ro vix aliter quoque propagari $tirpes, aut perennare po$$e exi$timo, quam producendis $eminibus. Cum unica fere hæc ratio videatur, eademque tam mirabilis, ut non $olius Telluris no$træ gratia inventa $it. Denique nihil vetat, ut, quemadmodum in diver$is hujus terræ regionibus, ita in i$tis quoque longè remotis, idem in iis quæ ad $tirpes attinent, Natura $ecuta $it.

[0398]CHRISTIANI HUGENII

Neque vero di$par ratio e$t in animalibus; cur non & pa- _Idem & de_ _animalibus_ _verum e$$e_. $cendi, & generandi, modus $imilis putetur in Planetis ei qui e$t apud nos. Quia nempe univer$a terræ hujus anima- lia, $ive quadrupedum generis, aut volucrum, aut natantia, aut reptilia, ip$aque in$ecta, idem naturæ præ$criptum $e- quuntur. Ve$cuntur enim vel herbis, fructibu$que, vel ip$is animantibus, quæ inde nutrita fuere: omniumque generatio per conjunctionem maris & fœminæ, perque fæcunditatem ovorum (nam & hæc ubique animadvertitur) peragitur. Nam hoc quidem certum e$t, fieri non po$$e ut, vel her- bæ, vel animantia quæ illic $unt, $ine propagatione generis $ui e$$e per$everent; quia vel fortuitis ca$ibus interire ea ac de- ficere contingeret; cum herbæ $tirpe$que humida materia con- $tent, eoque etiam exare$cere debeant; animalia mollibus fle- xilibu$que membris, nec, ut $ilices, duris. Quod $i in his alias na$cendi vias commini$camur, velut ex arboribus; quemadmodum diu creditum e$t, ex harum genere quodam in Britannia anates na$ci, apparet quàm id à ratione abhor- reat, propter $ummam, quæ lignum inter carne$que e$t, dif- ferentiam. Vel $i animalia ex limo terræ exi$tere putemus, velut de muribus in Ægypto multi prodiderunt, quis, natu- ræ paulo intelligentior, non videt hoc alienum e$$e in$titutis ejus? aut quis non exi$timet multò magis convenire Dei magnitudini ac $apientiæ, ut $emel omnis generis animantia creaverit, inque Terrarum orbem certo modo, (quem ne- mo hominum adhuc divinare potuit) impo$uerit, quam ut perpetuo novis ex terra producendis vacare nece$$e habeat? Quibus alendis, educandi$que, abe$$et quoque pror$us pa- rentum cura ac charitas, quam nece$$aria quadam ratione, omni animalium no$trorum generi, in$itam, ingenitamque novimus. Sed hæc quæ ad propagationem attinent, et$i forta$$e aliter $e$e habeant, hoc tamen rationibus $uperius adductis $atis probatum e$t, & $tirpes & animalia in Plane- tarum terris inveniri, ne $cilicet $int hac no$tra viliores. Quod cum ita $it, tum quoque, ne minus, quam no$tra Tellus, i$tæ aliæ ornatæ $int, nece$$e e$t, ut non minor $it, [0399]COSMOTHEOROS, LIB. I. in utroque genere illo, quàm apud nos varietas. Quænam vero hæc e$$e pote$t? Equidem cum, in omni animantium no$trorum genere, cogito quibus modis moveantur; omnia video eo reduci, ut vel pedibus ingrediantur binis, quater- ni$ve; in$ecta $enis, vel etiam centenis; vel ut in aëre vo- lent, alarum mirabili vi & moderamine; vel $ine pedibus reptent; vel flexu corporum vehementi, aut etiam pedum percu$$u, in aqua $ibi viam aperiant. Præter hos incedendi modos, vix videtur alius dari, aut omnino mente concipi po$$e. Ergo quæ in Planetis extant animantia, uno aliquo ex his utentur; aut quædam pluribus etiam, quemadmodum apud nos aves amphibiæ; quæ & pedibus incedunt, & na- tant in aquis, & in aëre vol<007>tant: & crocodili & hippopota- mi, inter terre$tria, & aquatica, medii generis. Nulla au- tem præter ha$ce vita cogitari po$$e videtur. Quid enim e$- $e po$$it, in quo animantia exi$tant, præter tellurem $oli- dam, aut Elementum liquidum, quale aquæ no$træ, aut mul- to liquidius, quale aër; aut illis $imilia. Po$$et enim e$$e aër multò, quàm apud nos den$ior, graviorque; eoque ad vo- landum accommodatior, neque tamen minus per$picuus. Po$$ent etiam liquidorum plura genera, alia aliis $uperindu- cta e$$e. Velut $i, $uper mare, incumbere cogitetur alia quæpiam materia, quæ decuplo levior $it aqua, centuplo gravior aëre; ac $ua quidem $uperficie extrin$ecus termina- ta, $ed ut extra eam, terræ partes $olidæ emineant. Sed non e$t, cur plura huju$modi in cæteris Planetis, quàm in no$tro, inveniri putemus, & $i inveniantur, non tamen aliis modis ibi animalia moveri poterunt. Cæterùm quod ad va- rias eorum formas attinet; cum videamus in variis terræ re- gionibus miram adeo ac multiplicem diver$itatem; inveniri- que in America quæ fru$tra alibi quæras; magna ratio e$t ut nullam earum formarum, quæ in Planetis ex$tant, imaginando a$$equi nos po$$e credamus. Quanquam $i omnes i$tos mo- vendi modos cogitemus, quos hic recen$ui, nihil mirum e$- $et non magis differre aliquod i$torum animalium à no$tra- [0400]CHRISTIANI HUGENII te quopiam, quam no$tra di$crepant inter $e. Ea dico quibus minimum e$t $imilitudinis.

Quam varia porro $int genera eorum in Planetis ita opti- mè colligemus, $i ad ea quæ apud nos $unt, miramque in iis formarum diver$itatem, animum advertamus. Planè enim veri$imile e$t, non minori numero occur$uras, $i quis ad Jovis, aut Veneris globum cominus $pectandum admitte- retur. Percurramus vero (nam de omnibus dicere longum e$$et) majores no$trorum animalium differentias, vel for- mâ, vel proprietate aliqua $ingulari notabiles; idque in ter- _Summam_ _animalium_ _apud nos va-_ _@jetatem e$$e_. re$tribus, aquatilibus, volucribus. Cogitemus quæ $it inter equum, elephantum, leonem, cervum, camelum, porcum, $im<007>am, hi$tricum, te$tud<007>nem, chamæleontem, di$$imili- tudo; quanta in aquaticis, cetum inter & phocam, raiam, lucium, anguillam, $epiam, polypum, crocodilum, pi$cem volantem, torpedinem, cancrum, o$tream, muricem. In avium genere quantum di$crimen, aquilæ, $truthiocameli, pavonis, cygni, noctuæ, ve$pertilionis. Reptilia pro uno tantum genere cen$eamus. At in in$ectis formicas $pecte- mus, araneos, mu$cas, papiliones; & miram horum natu- ram, quod ex vermibus volatilia evadant. In omnibus ve- ro his, $cimus quàm magnus præterea $it numerus m<007>nus di$- $identium.

At quantu$cunque $it, nihilo minorem e$$e in unoquoque _Nec mino-_ _rem in Pla-_ _@@tis_. reliquorum Planetarum putandum e$t. Quamvis vero de fi- gura i$torum animalium fru$tra per conjecturas quæratur, tamen de vita eorum generatim jam aliquid a$$ecuti vide- mur; & de $en$ibus erit in $equent<007>bus quod dicamus.

Sicuti verò animantium, ita $t<007>rp<007>um quoque & arborum _@lem in $tir-_ _pibus locum_ _babere_. no$trarum præcipuæ differentiæ expendi po$$unt. Velut quæ in abiete, quercu, palma, vite, ficu; tum ea quæ nuces, Cocos dictas, generat arbore; itemque alia apud Indos, è cujus ramis radices novæ pullulant, inque terram demittun- tur. Item, in herbis, gramen, papaver, bra$$ica, hedera, pepones, ficus Ind<007>ca foliis cra$$is, $ine caule, $uccre$centi- [0401]COSMOTHEOROS, LIB. I. bus, aloë. In quibus rur$us ea quam $cimus, minus di$$i- milium e$t copia. Ad hæc propagandi viæ variæ in$pician- tur; velut ex $eminibus, nucleis, taleis, in$itione, bulbis. Quibus omnibus nihilo pauciora, aut minus miranda, in Planetarum terris reperiri, exi$timandum $it.

Sed quod in hac di$qui$itione præcipuum e$t, plurimam- que jucunditatem habet, nondum attigi$$e mihi videor; quamdiu nullos in terris illis $pectatores po$ui, qui tot rebus _In Planet{is}_ _e$$e animan-_ _tia, quæ ra-_ _tione utan-_ _tur_. creatis fruantur, pulchritudinemque, & varietatem earum, admirentur. Et video quidem, neminem fere eorum, qui- bus vel leviter hæc meditari contigit, dubita$$e quin $pecta- tores aliqui in Planetis collocandi $int: non quidem homi- nes nobis $imiles, $ed animantia tamen ratione utentia. Nem- pe iis vi$um e$t, qualemcunque terrarum i$tarum ornatum, velut fru$tra, nulloque fine aut con$ilio, fore procreatum, $i non hoc propo$itum fui$$et, ut ab aliquo cerneretur, qui intelligere ejus elegantiam po$$et, fructumque $imul percipe- re, & $ummi opificis admirari $apientiam. Ego vero non hoc præcipuum argumentum habeo, cur animal rationis par- ticeps Planetas incolere exi$timem. Quid $i enim dicamus ip$um Deum $pectare quæ effecit; (alia quidem ratione quam nos, $ed videre eum quis dubitet qui oculos fabricatus e$t;) ii$que delectari, neque præterea quidquam requiri. Nonne enim ob hoc ip$um & homines condidit, & quicquid conti- net mundus univer$us? Itaque quod præcipue me movet, ut rationabile animal <007>n Planetis non dee$$e credam, hoc e$t, quod nimia Terræ no$træ præ cæteris illis e$$et præ$tantia ac nobilitas, $i $ola animal haberet tam longe cæteris omnibus animalibus, nedum $tirpibus præcellens; in quo ine$t divi- num quiddam; quo cogno$cit, intelligit, res innumeras memoria complectitur, veri expendendi judicandique capax e$t, cujus denique gratia quicquid terra progenerat paratum e$$e videtur. Omnia enim in u$us $uos vertit. Lignis, la- pidibus, metallis, domos ex$truit; Avibus, pi$cibus, peco- re & herbis ve$citur; Aquæ & ventorum commodis ad na- vigandum utitur; ex florum odore pulchri$que coloribus [0402]CHRISTIANI HUGENII voluptatem percipit. Si nullum in Planetis e$t eju$modi ani- mal, quid e$$e queat, quod tanti æ$timandum $it, quove is defectus pen$etur? Pone in Jove majorem multo animantium varietatem; plures arbores, herbas, metalla: nihil erit in omnibus his, ob quæ tantum dignitatis accedat i$ti mundo, ac no$tro propter humani ingenii mirabilem naturam. Hic $i me judicium fallit, fateor me pretia rerum æ$timare ne- $cire.

Nec dicat aliquis, tantum malorum ac vitiorum eidem humano generi ine$$e, ut merito dubitari po$$it, an, tale quodpiam animal Planetariis mundis tribuendo, dignitas iis _Non ob$tare_ _hominum_ _vitia quo mi-_ _nus decorem_ _terræ conci-_ _lient_. ornamentumque, an his contraria acce$$ura $int. Primum namque non <007>mpediunt v<007>tia, majori hominum parti in$ita, quin ii qui virtutem, ac rectum rationis u$um $ectantur, tan- quam pulcherr<007>mum qu<007>d præ$tanti$$imumque cen$end<007> $int. Præterea credib<007>le e$t, ip$a illa animi vit<007>a, magnæ homi- num parti, non $ine $ummo con$ilio data e$$e. Cum enim Dei voluntate ac providentia talis $it Tellus, eju$que inco- læ, quales cernimus; ab$urdum enim foret exi$timare omnia hæc alia facta e$$e, quam ille voluerit, $civeritque futura; putandum e$t utique non fru$tra multiplicem adeo an<007>mo- rum diver$itatem mortalibus e$$e in$itam; $ed malorum cum bonis mi$turam, quæque inde eveniunt infortunia, bella, calamitates, eo fine accedere, ut nece$$itate urgente $t<007>mu- lo$que admovente, ingenia excitentur, exerceanturque, dum quærimus ea quibus ab ho$tibus nos tutemur, quibu$ve ma- chinis teli$que eos per$equamur: Utque paupertatem ac mi- $eriam depellere conantes, varias artes exquiramus, natu- ramque $crutemur, ex cujus cognitione deinde auctoris po- tentiam prudentiamque admirari nece$$e $it; quas for$an alias pari $tupore ac be$t<007>æ præterii$$emus. Nec enim dubitan- dum e$t, $i in continua pace, omniumque rerum affluentia homines ætatem agerent, fieri po$$e ut admodum diu, non aliter fere quam bruta animalia, victuri $int; omnis $cientiæ expertes, pluriumque commodorum ignari, quibus melius jucund<007>u$que v<007>ta tran$igitur. Careremus mirifica illa $cri- [0403]COSMOTHEOROS, LIB. I. bendi arte, ni$i $umma in commerciis belli$que nece$$i@as eam extudi$$et. Huic artem navigandi, huic $erend<007> debe- mus, maximamque partem cæterorum quibus fruimur inven- torum; itemque naturæ arcana fere omnia, inter experien- dum reperta. Ita ea <007>p$a propter quæ incu$anda rat<007>onis fa- cultas v<007>debatur, po$$unt dici ad perficiendam exacuendamque eam plurimum prode$$e. Nam & v<007>rtutes <007>p$æ, fortitudo anim<007>, & con$tantia, vix aliter quam in periculis rebu$que adver$is apparere po$$unt.

Quod $i igitur genus animalium rationabile in cæteris Pla- netis e$$e cogitemus, quod virtut<007>bus vitii$que fere ii$dem atque hom<007>nes præditum $it, id tant<007> e$$e ex<007>$timandum e$t, ut ab$que iis, longè quàm Tellus hæc no$tra viliores futuri $int.

Po$itis vero eju$modi Planetarum incolis ratione utenti- _Nec ratio-_ _nem in Pla-_ _netarum in-_ _colis à no$tr@_ _diver$am_ _e$$e_. bus, quæri adhuc pote$t, anne idem illic, atque apud nos, $it hoc quod rat<007>onem vocamus. Quod quidem ita e$$e omnino dicendum videtur, neque al<007>ter fieri po$$e; $ive u$um rationis in his con$ideremus quæ ad mores & æquita- tem pertinent, $ive in iis quæ $pectant ad principia & fun- damenta $cientiarum. Etenim ratio apud nos e$t, quæ $en- $um ju$titiæ, hone$ti, laudis, clementiæ, gratitudinis inge- nerat, mala ac bona in univer$um d<007>$cernere docet: quæque ad hæc animum di$ciplinæ, multorumque inventorum capa- cem reddit. Ex$taretne alibi d<007>ver$a ab hac ratio? cen$ere- turque inju$tum aut $cele$tum in Jove aut Marte, quod apud nos ju$tum ac præclarum habetur? Certè nec veri $imile e$t, nec omnino po$$ibile. Cum enim rationis, qualem hic agno$cimus, ductu opus $it ad tuendam vitam ac $ocietatem (nam & hanc apud Planeticolas reperiri o$tendemus) $i con- traria ejus decretis $tatuantur, $equetur ruina ac $ubver$io eo- rum, quibus eju$modi mens perver$a contigi$$et. At con- $ervatio, ut videmus, rerum conditori ubique propo$ita e$t. Verum utur affectiones animi à nobis aliquatenus diver$æ $int@ apud i$tos longinquarum terrarum habitatores, puta in his quæ ad amicitiam, iram, odium, hone$tatem, verecun- [0404]CHRISTIANI HUGENII diam, decorem attinent; non tamen dubitari pote$t, quin in veri inve$tigandi $tudio, judicandis rationum con$equen- tiis, ac præ$ertim in ratiociniis, quæ ad quantitatem ac ma- gnitudinem $pectant, circa quæ Geometria ver$atur, ($i quid habent eju$modi, quod mox inquiremus) non, inquam, dubitari pote$t, quin pror$us $imilis $it, eademque via in- grediatur illorum ac no$tra ratio; quodque apud nos verum e$t, idem $it in cæteris Planetis. Et$i vis ac facultas in his rebus major minorve illorum incolis forta$$e quam nobis contigerit.

Sed jam nimis longè provectum me e$$e $entio. Ante enim di$piciendum erat de $en$ibus corporeis i$torum in Pla- netis agentium, quibus $i carerent, vix jam aut vitam, ut animalia, $ortiti e$$e videri po$$int, aut habere, in quo ra- tionis u$um exerceant. Puto autem o$tendi po$$e probabili- bus argumentis & bruta animantia, & quibus ratio ine$t, convenire, in his quæ ad $en$us attinent, cum iis quæ ter- ram hanc incolunt. Primùm namque $i cogitemus quid $it _Nec dee$$e_ _@ll@s $en$us_. in animalibus videndi pote$tas, ab$que qua neque pa$cendi ratio e$$et, nec pericula vitandi; nec denique vita alia quam talparum aut lumbricorum; pror$us nece$$e e$$e intelligemus ut, ubi $unt animalia his præ$tantiora, ibi & vi$u prædita $int. Cum nihil ad vitam vel con$ervandam, vel exornan- dam æque conducat. Quod $i vero in$piciamus mirabilem lucis naturam, $tupendumque artificium, quo ad eam fruen- dam oculi comparati $unt, facile cogno$cemus, perceptionem rerum procul di$tantium, cum circum$criptione formarum, di$- _Nec vi$um_. crimen intervallorum, non alio modo, quam qui ex vi$u $it, in$titui po$$e. Non enim pote$t hic $en$us, imo nec alius qui$- quam eorum quos novimus, exi$tere, quam ex motu extrin$ecus adveniente. Qui motus, ut alibi explicuimus, in efficiendo vi- $u, à Sole profici$citur, aut $tellis inerrantibus, aut igne; quo- rum particulæ celerrima agitatione concitæ, circumfu$am cæ- le$tem materiam continue pul$ant, impelluntque; qui impul$us a proximis ad longe di$$itas citi$$ime propagetur, fere eo modo quo $onus per aërem. Ab$que hoc motu, materiaque æthe- [0405]COSMOTHEOROS, LIB. I. ris qui intermedia cæli $patia complet, nec Solem nec $tellas cernere po$$emus; neque et<007>am alia quæ propiora $unt cor- pora; cum ab his ad nos idem ille motus repercu$$us perve- nire debeat. Hic, oculorum $en$u perceptus, lux appella- tur. Inque eo $en$u mirabile e$t ante omnia, quo pacto ad tantam $ubtilitatem perduci potuerit, ut min<007>mâ cæle$tis ma- teriæ commotiunculâ afficeretur, $imulque qua ex parte illa oriretur perciperet. Tum quomodo n<007>hil $e$e mutuo impe- diant innumeri eju$modi pul$uum proce$$us, $phæricæque $uperfic<007>es, al<007>æ al<007>as trajicientes. Hæc omnia tam mira ac $ubtili ratione con$tituta $unt, ut nec minimam eorum par- tem hominum ingenia excogitare potu<007>$$ent, cum vix etiam quomodo $e$e habeant comprehendere queant. Quid enim tam mirabile, quam particulam corporis quandam ita fabri- catam e$$e, ut ejus opera animal $entiat procul po$itorum corporum figuram, po$itum, motum quemlibet, di$tantiam; idque etiam cum colorum varietate, quo di$tinctius ea digno- $ceret. Oculi vero præter hæc artificio$i$$ima con$tructio, quæ perfectam rerum extra po$itarum picturam in cava cho- roidis $uperficie imprimere apta e$t, omnem profecto admi- rationem $uperat, neque e$t in quo man<007>fe$tius Geometriæ artem Deus exercuerit. Atque hæc non tantum $olertia $um- ma inventa & fabricata $unt, $ed & videntur e$$e eju$modi, $i quis propius attendat, ut non alia ratione perfici potue- rint quàm hac quam cernimus. Nam neque lux aliter, quàm communicato motu per materiam cæle$tem, res longo inter- vallo remotas $en$ibus no$tris offerre poterat; nec oculo- rum artificio ullum al<007>ud par dari ad di$tinctè referendas rerum imagines. Ut valde eos falli arbitrer, $iqui hæc ea- dem mult<007>s modis ordinari potui$$e contendere audeant. Quare omnino credibile e$t utrumque i$tud eodem modo $e habere in Planetarum regionibus atque hic; neque aliam e$$e iis, quæ illic habitant animantibus, videndi rationem. Ha- bebunt igitur oculos; atque etiam binos minimum, quò po$- $int rerum ante pedes po$itarum di$tantias percipere, $ine quo vix tutò ingredi licet. Et hæc quidem ad vitæ u$um ne- [0406]CHISTIANI HUGENII ce$$ariò tribuenda $unt animantibus Planetarum univer$is fe- re. Quæ vero ratione & mente prædita $unt, cum alias quoque ex vi$u utilitates capere po$$int, tantò magis con- $entaneum e$t ut tam præclaro munere donata $int. Nos enim colorum pulchritudinem, formarum elegantiam, ac concinnitatem vi$u percipimus; legimus, $cribimus, cælum & a$tra contemplamur, eorumque cur$us, magnitudine$que metimur; quæ quatenus ad Planetarum incolas quoque per- tineant, paulo po$t videbimus. Nunc illud prius quæra- mus an cæteros quoque $en$us no$tros iis contigi$$e veri$i- _Non audi-_ _tum_, mile $it. Ac de auditu quidem multa $uadent, ut cunctis, quæ illic $unt, animalibus eum ine$$e credamus. Prode$t enim plurimum ad vitam à periculis tutandam; cum $onitu ac fragore $æpe imminens infortunium cogno$catur; præ$er- tim noctu atque in tenebris, cum oculorum auxilium ere- ptum e$t. Videmus præterea ut animalia pleraque vocis $o- no $ui $imilia advocent, multaque inter $e $ignificent, nobis quidem parum intellecta, $ed plura forta$$e quam putamus. A pud ea vero quæ ratione utuntur, $i cogitemus quam mi- rabilis $it vocis & auditus oportunitas, vix credibile videbi- tur tam utilem $en$um, tantumque loquendi artificium, hu- jus Terræ no$træ, ac no$tri tantum cau$a fui$$e inventum. Quomodo enim illis non multum de$it ad vitæ commoda, & felicitatem no$træ $imilem, qui tanto benef<007>cio carent: aut quanam alia re pen$ari hoc po$$it? Quod $i porro con$i- deremus, quam pulchre, quamque indu$trie natura hoc ef- fecerit, ut idem ille aër, cujus re$piratione vivimus, cujus flatu navigamus, qui, ut volare queant, avibus præ$tat; ut, inquam, idem ille ad exprimendum proferendumque $onum comparatus $it; $onus verò ad formandum, auribu$que in- gerendum $ermonem; vix credemus in$ignem hunc aëris u$um, in terris i$tis longinquis eam neglexi$$e? E$$e enim _Nec per quem_ _$onus perfe-_ _ratur aërem_, illic aërem qui terris incumbat, vix dubitari pote$t, cum nu- bes in Jove apparere dixerimus. Sicut enim hæ ex aquæ guttulis minimis con$tant, ita ex particulis aquæ $eor$im vo- litantibus magna ex parte formatur aër ille qui propius ter- [0407]COSMOTHEOROS, LIB. I. ram circundat. Quem Planetarum globis ade$$e etiam hoc $uadet, quod re$pirandi ratio, qua vita $u$tentatur omnium quæ hic habemus animantium, videtur omnino ex univer$a- lioribus illis naturæ in$titutis e$$e, velut nutriri ex fructibus terræ.

De $en$ibus autem reliquis animalium ut dicere pergam, _Net tactum_, eum $anè qui ex tactu oritur, nece$$itate $umma datum e$$e apparet omnibus iis quæ molli flexilique pelle teguntur, quò à lædentibus caveant refugiantque; cum ab$que eo vulnera, plagas, contu$ione$que crebras acceptura fuerint. In quo tam provida natura fuit, ut, ne minimam quidem peilis par- ticulam, doloris $en$u vacare voluerit. Itaque hanc faculta- tem, tam nece$$ariam ad con$ervandam animalium incolumi- tatem, omnino credibile e$t etiam planetas inhabitantibus inditam e$$e.

Odoratum vero ac gu$tum quis non videt noce$$aria e$$e _Nec odora-_ _tum, nec_ _gu$tum_. pa$centibus, quo conducibilia a noxiis, nihilve profuturis digno$cant. Itaque $i herbis, $eminibus, aut forta$$e carni- bus quoque in regionibus i$tis animalia alantur; etiam his $en$ibus, tam ad cavendum, appetendumque nece$lariis, cre- dibile e$t ea non de$titui.

Scio à nonnullis fui$$e quæ$itum, an non alii præter eos quinque quos diximus, naturâ dari potuerint. Quod qui- dem $i concedatur, for$an dubitandum $it animalium plane- tariorum $en$us longè alios e$$e ac no$tratium. Nec $anè ob- $tare quidquam videtur quo minus alii extare po$$int perci- piendi modi: attamen cum perpend<007>mus ad quos vitæ u$us _Nec horum_ _$en$us longe_ _alios e$$e ac_ _no$tratium_. unu$qui$que eorum, quos habemus, comparati $int; non videtur $altem alius qui$quam nece$$arius adjungi potui$$e. Nempe effecit providentia ut & propinqua, & longius re- mota, qualia e$$ent oculis $entiremus. Rur$us ut non vi$a, $ive a tergo, $ive in tenebris, auditus exciperet. Item ut quæ nec oculi nec aures ade$$e nunciarent, alius tamen $en- $us qui in naribus e$t præ$entiret, idque in canibus mirabili ut $cimus $ubtilitate. Po$tremo effecit ut quæ quatuor i$tos $en$us effugerent, quò minus in corpus impacta nocere po$- [0408]CRISTIANI HUGENII $int, tactu perciperentur. Ita omnibus modis $aluti con$er- vationique animalium con$ulu<007>t, nec quidquam amplius addi aut de$iderari po$$e videtur; ut proinde planetarum incolis vix aliud ni$i $uperfluum largitura fuerit.

Cum autem ex $ingulis $en$ibus, præter utilitatem, volu- ptas aliqua ad homines perveniat; velut ex gu$tatu in cibis; ex odoratu in floribus & aromatis; ex vi$u in contemplanda pulchritudine formarum, & colorum; ex auditu harmonico- rum $onorum; ex tactu in rebus venereis, (ni$i peculiaris qu<007>dam $en$us hic dicendus e$t) animalibus verò cæteris ex quibu$dam horum; nonne dicemus hæc naturæ munera fere eodem modo reliquorum Planetarum incolis di$tributa e$$e. Certe id quidem ratio po$tulare videtur. Sive enim cogite- _Ut nec volu-_ _ptatem ex iis_ _@rtam_. mus, quanto in univer$um, propter hæc, jucundior feli- ciorque vita reddatur, non debemus max<007>mum ejus bonum no$træ Telluris habitator<007>bus a$cribere, cæteras tenentibus denegare, qua$i res no$træ rebus illorum multò præferendæ $int. Sive ad voluptates, quæ in cibis capiendis, & in con- junctione utriu$que $exus contingunt, attendamus; intellige- mus hæc e$$e nece$$aria quædam veluti providæ naturæ ju$$a, tacitè cogentis ad con$ervandum, propagandumque animan- tium genus: vel etiam, in be$tiis quidem, forta$$e genus ip$um propagari, ut utraque illa jucunditate fruatur, ut proinde, utroque nomine, in cæteris Planetis eadem repe- riri con$entaneum $it. Equidem cum hæc omnia quanti $int, quantamque utilitatem habeant, con$idero; quamque admi- rabile $it, tale quid, quale e$t voluptas, in rerum natura exi$tere; omnino adducor ut credam, non $oli Telluri no- $træ, quæ de minoribus planetis unus e$t, rem tantam ob- tigi$$e. Et hæc quidem de voluptatibus iis quæ $en$us cor- poreos afficiunt, rationis facultatem aut nihil, aut leviter tantùm. Sunt autem homini, præter i$tas, aliæ quoque; quæ mente tantum, & rationis $en$u percipiuntur; aliæ cum lætitia conjunctæ; aliæ $eriæ, neque ideo minoris faciendæ; velut quæ ex oblectatione $cientiarum, inventorum, veri- que cognitione oriuntur; de quibus omnibus, an ad alio- [0409]COSMOTHEOROS, LIB. I. rum quoque planetarum incolas pertineant, in $equentibus dicendi locus erit.

Super$unt alia nunc expendenda quæ in terris illis $imilia e$$e rebus no$tris veri$imile $it. De Elementis terræ, aëris, & aquæ, vidimus jam quàm probabile $it ea in Planetis cæ- teris non dee$$e. Videamus & de igne, qui apud nos qui- dem non tam Elementum e$$e dicendus e$t, quam motus quidam concitati$$imus particularum à certis corporibus ab- reptarum. Hoc verò, quidquid e$t, etiam Planetarum in- colis datum e$$e, multa $unt quæ veri$imiliter probent. Pri- _Ignem quo-_ _que planetis_ _communem_ _e$$e_. mum quòd non tam in Terra hac, quàm in Sole, ignis $e- des collocata videatur; ac $icut, calore Solis, herbæ & ani- mantia hic cre$cunt ac foventur, ita quoque haud dubie in cæteris fiat Planetis. Cum autem inten$ior calor ignem ge- neret, credibile e$t illic quoque, ac præ$ertim in Soli pro- pinquioribus, eo$dem aut majoris caloris gradus exi$tere, eorumque vi ignem. Deinde videmus quam multis modis excitetur, velut colligendis Solis radiis, repercu$$u pelvium aut $peculorum; ferri & $ilicis colli$ione; lignorum attritu mutuo; herbæ non bene $iccæ conge$tis acervis; ex fulmi- ne; ex montium terræque $ulphureæ incendiis. Quare mi- rum e$$et, non aliquo ex i$tis omnibus, in Planetarum ter- ris, eum accendi. Cogitemus deinde quanta apud nos $it ignis utilitas, quantaque nece$$itas. Hujus enim beneficio frigoris incommoda depellimus in iis regionibus, ubi calor Solis minus viget propter radiorum obliquitatem, atque ita efficimus ne magna Terrarum pars inculta inhabitataque ma- neat; quod in omnibus Planetarum globis, $ive æ$tatis hye- mi$que vici$$itudines $entiant, $ive perpetuo fruantur æqui- noctio, æque nece$$arium e$t remedium; quoniam & in his, loca polis viciniora, parum juvari Solis calore certum e$t. Eodem igne nocti lucem inducimus, diemque velut alterum creamus, quo non parum temporis vitæ adjicitur. Itaque ob hæc omnia pror$us veri$imile e$t tanta re non $olos Tel- luris incolas frui, $ed omnibus Planetis communiter e$$e con- ce$$am.

[0410]CHRISTIANI HUGENII

Porro quæri pote$t de animalibus, tam ratione utentibus quàm brutis; atque etiam de $tirpibus arbor<007>bu$que; an, quæ i$thic na$cuntur, no$tris magnitudine re$pondeant. Nam _Magnitudi-_ _nem corpo-_ _rum in Pla-_ _netis exi$ten-_ _tium ex Pla-_ _netarum_ _magnitudine_ _non recte_ _nonjici_. $i hæc ip$orum globorum mole natura metiatur, e$$ent in Jove ac Saturno animalia quædam decies aut quindecies al- tiora Elephantis, aut tantundem longitudine balænas no$tras $uperantia. Tum illa quæ ratione præd<007>ta $unt, gigantum corpora haberent no$tris comparata. Qua quidem in re ni- hil video quod vel mirum $it, vel fieri nequeat. Nulla ta- men ratione cogimur ut re <007>p$a id ita e$$e credamus; quan- doquidem in multis rebus apparet non iis men$uræ regulis naturam $e ob$trinxi$$e quæ no$tra opinione convenientiores videbantur. Veluti quod ip$orum globorum Planetariorum moles nequaquam pro di$tantia eorum a Sole con$tituta $it, cum Mars manife$to minor $it Venere, et$i remotior: cum- que conver$io Jovis, $uper axe $uo, 10 horis peragatur; Telluris vero, tantò minoris, impendat horas 24. Po$$et vero dubitari, cum proportionem in his ita negligat Natu- ra, an non forta$$e pumiliones quidam $int incolæ Planeta- rum, aut ranis muribu$ve non majores. Sed o$tendam po$t- ea cur id nequaquam con$entaneum putandum $it.

Aliud quoque dubium exoriri po$$et, utrum genus unum tantum animalium quæ rationem $ortita $int, an plura in Planetis $ingulis reperiantur, & num di$pari rationis vi. Ac profecto tale quid in Terra hac no$tra contigi$$e cernimus. Non de iis nunc dico quæ figuram hominum præferunt; (et$i de his quoque id non ab$urde dici po$$it) $ed $i quo- rundam è be$t<007>arum genere, $en$um intellectumque $pecte- mus; veluti canum, $imiarum, ca$torum, elephantorum; _In Planetis_ _ut in Terra_ _varia e$$e_ _animalia_ _quibus ratio_ _competat_. imo & avium quarundam, & apicularum, ea talia $unt, ut nequaquam folum genus hominum rationis particeps dicen- dum videatur. Apparet enim quoddam hujus in$tar in i$tis omnibus, quod, ab$que ulla in$titutione aut experientia, iis ine$$e deprehenditur.

_Et inter ea_ _Hominibus_ _@milia_.

Attamen dubitari nequit quin longè præcellat hominum intelligentia & ingenium, quippe innumeris rebus aptum, [0411]COSMOTHEOROS, LIB. I. con$ilii ad futura capax, præter<007>torum memoria infinita præ- ditum. Quod ingens præ$tantiæ di$crimen $i perpendamus, credemus non $ine ratione, in cæteris quoque planetis, u- num quoddam genus prætuli$$e naturam; atque eo magis, quod $i plura forent eadem ingenii $agacitate, po$$ent noce- re $ibi <007>nvicem, ac de po$$e$$ionibus & imperio inter $e con- tendere; quod nunc quoque faciunt nimis frequenter, l<007>cet unius generis $int, quæ in Terra hac dominantur. Verum hæc utcunque $e habeant, de iis nunc agamus terrarum i$ta- rum animalibus, quæ maximè cæteris ratione antecellunt; quæramu$que an $c<007>ri po$$it, qu<007>bus in rebus ejus u$um im- pendant, & an habeant etiam artes $cientia$que $uas, velut nos in hoc no$tro planeta. Quod quidem, inter ea quæ ad naturam eorum attinent, præcipuè expendi meretur. Sed, quo mel<007>us id fiat, paulò altius exordiendum e$t, vitaque & $tudia hominum attent<007>us in$picienda.

Ac videtur quidem quatenus providendis procurandi$que rebus tantum nece$$ariis homines intenti $unt, ut nempe ab aëris injuriis tuti habitent; ut mœnibus inclu$i ab inimicis $ibi caveant, ut leges condant ad $ecure ac tranquille viven- dum; ut liberos educent; victum illis, $ibique parent; in his omnibus inquam nihil magnum admodum habere vide- tur rationis no$træ u$us, cujus cau$a nos brutis animantibus anteferamus. Namque hæc pleraque i$torum facilius $impli- ciu$que efficiunt; aliquibus nihil opus habent. Quin imo & virtutis, ju$titiæque $en$us, propter quem paulo ante ex- cellere mentem humanam dicebamus; itemque amicitiæ, gra- titudinis, hone$t<007>; quid aliud efficiunt, ni$i ut vel vitiis ho- minum ob$i$tatur, vel vita tranquilla & mutuarum injuria- rum expers præ$tetur; quod be$tiis $ponte ac naturæ ductu contigit. Jam $i curas multiplices, animi ægritudines, con- cupi$centiam, mortis metum, quæ omnia rationem illam no$tram comitantur, ante oculos ponamus; eaque cum vita parabili, quieta & innocua be$tiarum comparemus; videri po$$int harum plurimæ, ac præ$ertim ex avium genere, ju- cundius agere, & meliore quam homines $orte frui. Nam [0412]CHRISTIANI HUGENII quod ad voluptates corporis attinet, haud dubie iis æque ac nos afficiuntur, quicquid contradicant novi quidam philo- $ophi; qui $en$um omnem ita auferunt reliquis præter homi- nem animantibus, ut pro meris automatis aut neuro$pa$tis ea haberi velint; quorum ab$urdæ, crudelique $ententiæ, miror quenquam accedere po$$e; præ$ertim cum & voce & verberibus fugiendis, & re omni contrarium be$tiæ ip$æ $i- gnificent. Imo vix dubito, quin miro pulchroque illo per aëra lap$u aves $e$e delectari $entiant; magis etiam $en$uræ $i intelligerent quantopere lentus ac humilis no$ter ince$$us _Humanam_ _rationem præ_ _illa bruto-_ _rum præcipue_ _eminere in_ _contempla-_ _tione naturæ_. ip$arum pernicitate, $ublimique volatu $uperetur. Quid igi- tur e$t in quo poti$$imum eminet humanæ rationis u$us, fa- citque ut antecellamus cæteris animantibus? Nihil æquè pu- to ac contemplatio naturæ, Deique operum; tum cultura $cientiarum, quibus con$equimur ut eorum præ$tantiam, ma- gnitudinemque aliqua ex parte cogno$camus. Ab$que enim di$ciplinis quid e$$et contemplatio? quamque multum inter- e$t inter eos qui Solis pulchritudinem, utilitatemque, & cæ- lum $ideribus ornatum otio$e intuentur, alio$que doctiores qui cur$us i$torum omnium $crutantur: quomodo affixæ, quæ dicuntur, $tellæ à vagis differant, quæque cau$a $it di- ver$arum anni tempe$tatum intelligunt: qui denique $ubtili ratiocinio magnitudinem Solis ac Planetarum, $imulque di- $tantiam eorum metiuntur; quantumque item inter eos qui animalium varios motus agilitatemque mirantur, & hos qui fabricam omnium membrorum, artificio$i$$imamque compa- gem, architecturamque in iis $peculantur? Quod $i igitur Planetæ reliqui dignitate non cedunt Telluri no$træ, ut in $uperioribus principii fundamentique loco po$uimus; opor- tet ibi animalia exi$tere, quæ non $olum naturæ opera $pe- ctent & admirentur, $ed quorum ratio in examinandis, in- telligendi$que iis occupetur, nec minora quam nos con$ecu- ta $it. Itaque non tantum $idera intuentur, $ed & A$trono- _Hinc Plane-_ _tarum inco-_ _las $cientias_ _excolere, &_ _inter eas,_ _A$trono-_ _miam_. miæ $cientiam excolunt; neque aliud ob$tat quo minus hoc veri$imile credamus, quam $uperba illa no$trarum rerum æ- $timatio, quæ difficulter $ane deponitur. Scio tamen futu- [0413]COSMOTHEOROS, LIB. I. ros, qui dicant nimis audacter nos i$ta Planetarum incolis tribuere: multorum quippe veri$imilium accumulatione huc e$$e perventum; quorum $i unum quodpiam contra $e ha- beat, quam po$itum $it, cadat, velut in vitio$a ædificatio- ne, omne quod $uper$truximus. Sed $cire eos velim, hoc quod de A$tronomiæ $tudio diximus, omi$$is fere omn<007>bus hactenus adductis confirmari potui$$e, atque inde initium fier<007>. Po$tquam enim po$itum fuit Terram hanc inter Pla- netas e$$e habendam, neque iis dignitate aut ornatu præfe- rendam; quis dicere audeat in ea $ola reperiri, qui $pecta- culo Naturæ, quod unum pulcherrimum ac magnificenti$$i- mum e$t, fruantur? aut inter eos quibus hoc contigit, nos unos e$$e quibus cæli arcana penit<007>us perfectiu$que per$pecta $int? Ecce igitur & hac breviore via comprobata in Planetis A$tronom<007>æ cognitio, ex qua & animal rationis compos, & pleraque al<007>a quæ præce$$ere, illis ine$$e con$equebatur. Adeo ut, ad priora confirmanda, hæc quoque novi$$ima ar- gumentatio conducat. Quò vero magis probabile fiat, $al- tem in $uperioribus Planetis, Jove ac Saturno, A$tronomiæ notit<007>am non dee$$e, con$iderandum e$t, quod $i homines ad $idera ob$ervanda impulit, ut credi par e$t, admiratio & pavor in defect<007>bus Solis & Lunæ; multo magis, in utro- que hoc Planeta, ea ratio valere debuit, propter cotidianas fere Lunarum, crebra$que Solis, quæ illic contingunt, ec- lip$es. Ut $i quis æquè ignorare ponatur quid rerum in Pla- net<007>s omnibus geratur, multo veri$imilius dicturus $it A$tro- nomiam in majoribus illis duobus, quàm in hoc no$tro, vi- gere.

Po$ita autem apud Planeticolas hujus $cientiæ cognitione & u$u, quam multa hinc præterea con$equuntur quæ de vi- ta $tatuque eorum reliquo, præter jam dicta, novas conje- cturas afferant?

Primùm enim nulla ob$ervatio $iderum, ad motus eorum _Et quæ ei in-_ _$erviunt ar-_ _tes mechani-_ _cas_. inve$tigandos, ab$que organis in$titui pote$t; $ive ea è me- tallo, $ive è ligno aliave $olida materia fabricata $int. Quod ut fiat, nec fabrorum in$trumento, $erra, a$cia, dolabra, [0414]CHRISTIANI HUGENII malleo, lima, carere po$$unt; neque hæc habere ab$que u$u ferri aut æque duri cuju$piam metalli. Sed & circuli arcus _Ut & Geo-_ _metriam,_ _Arithmeti-_ _cam_, in partes æquales divi$i, aut lineæ rectæ in inæquales, in i$tis organis requiruntur. Atque hic jam Geometr<007>æ & numero- rum ratio arce$$enda e$t. Sed ante omnia quoque nece$$e e$t ut ob$ervationum memoria ad po$teros tran$mittatur; ut tempora & Epochæ annotentur; quæ $ine $cripto non viden- tur explicari po$$e. Oportet igitur ut & $uam $cribendi ar- _Et $oribendi_ _artem_. tem habeant, multum forta$$e di$$imilem no$træ, qua fere omnes populi utuntur, $ed quæ vix ingenio$ior, aut ad di- $cendum facilior e$$e queat. Quis enim non videt longe eam præferendam e$$e Sinarum innumeris characteribus, multo- que magis funiculorum nodis, aut pictis imaginibus, quæ a pud barbaros Mexicanos Peruviano$que in u$u erant. Omnium quidem Regionum homines aliquam $cribendi, aut quoquo modo annotandi, artem quæ$iv<007>$$e videmus: quò minus mi- rum $it, $i & Planetarum <007>ncolæ, nece$$itate coacti, eam re- pererint, ac deinde ad A$tronomiæ aliarumque di$ciplinarum $tudia adhibuerint. Nece$$itas vero $cripturæ in rebus A$tro- nomicis etiam ea re cogno$citur, quod cum hypothe$ibus va- riis, $iderum motus, qua$i divinandi $int; eæque hypothe- $es priores in $equentibus corrigendæ, prout ob$ervatis & Geometriæ ratiociniis vitia earum coarguuntur; nihil horum po$teris tradi pote$t, ni$i literis con$ignatum, figuri$que ex- po$itum.

Po$tquam vero omnia hæc jam iis conce$$erimus, longe etiamnum præ$tantior perfectiorque apud nos erit $iderum $cientia; vel propter agnitam $y$tematis un<007>ver$i veri$$imam formam, vel propter u$um tele$copiorum, quibus Planeta- rum corpora, magnitudine$que & varias formas intuemur; _Opticam_. $uperficiei lunaris montes, montiumque umbras; $tellarum ingentem multitudinem, aliaque plura non alias videnda, percipimus. Ut fere nece$$e $it, ni$i rur$us nobis tanquam hac parte felicioribus blandiri volumus, etiam illam cogni- tionis rerum cæle$tium con$ummationem Planeticolis tribue- re; itemque videndi aciem, quæ vel no$tram longe exupe- [0415]COSMOTHEOROS, LIB. I. ret, vel lentium v<007>trearum, aut $peculorum adminiculo $icut no$tra, adjuvetur. Quod tamen dicere vereor, ne quis, ex hoc uno audacius a$$erto, cætera omnia æ$timanda putet, ac ri$u digna clamitet.

At non $ine ratione, ut videtur, objiciet qui$piam, Pla- netarios no$tros forta$$e omni $ubtiliore $cientia de$titui, quem- admodum Amer<007>canæ gentes, priu$quam ad illas Europei pe- netra$$ent. Quas $i re$picimus, itemque in Africa, A$iaque _Has $cien-_ _tias homini_ _præter natu-_ _ram non e$$e_. permultas æque barbaras, v<007>debitur hoc tantum $ummo opi- $ici propo$itum fui$ie, ut vita fruantur homines, naturæque bonis & voluptat<007>bus contenti $int, grato animo omnium da- torem colentes; $cientiarum vero inqu<007>$itionem præter natu- ram paucos al<007>quos affecta$$e. Tal<007>a vero dicentibus non de- e$t quod re$ponder<007> po$$it. Prævid<007>t enim certe Deus ho- minum ingenia eo e$$e proce$$ura, ut res cæle$tes $crutaren- tur; ut artes vitæ utiles reperirent; maria quoque navigarent, metalla effoderent. Po$$etne enim horum qu<007>dquam præter mentem infinitæ illius intelligentiæ contingere? Quod $i præ- vidit, etiam hominum generi ea de$tinata $unt, nec poterunt artium & doctr<007>narum $tudia, qua$i præter naturam e$$ent, exi$timari, quæ in ip$a natura indaganda occupantur. Præ- $ertim cum tanta illa cupiditas amorque $ciendi non po$$int cen$eri fru$tra hominum animis infixa e$$e. In$tabunt vero rur$us dicentque, de $iderali $cientia poti$$imum, $i ad hanc quoque homines nati $unt, cur tam pauciad eam attendunt? Primum enim ex quatuor Orbis partibus, $ola fere e$t Euro- pa, in qua A$tronomiæ $tudia excolantur. Nam A$trolo- giam div<007>natricem futurorum, quæ non $cientia, $ed mi$e- rum quoddam ac $æpe noxium delirium e$t, ne nominandam quidem hic arbitror. At in Europæ Nationibus non unus è centum millibus hæc $tudia amplectitur aut addi$cere curat. Tum ad tempus quod attinet, multa $æcula effluxi$$e dicent, antequam aut A$tronomiæ, aut Geometriæ, $ine qua illa di- $ci non pote$t, ulla rud<007>menta innote$cerent. Sciri enim quo tempore in Ægypto & Græcia primum exortæ fuerint. Ac recte quoque adjicient non adhuc octoginta annos præterii$- [0416]CHRISTIANI HUGENII $e, ex quo verus ac $implex Planetarum motus, rejectis Epi- cyclorum figmentis, repertus $it; atque ita demum A$trono- nomia cum naturæ cognitione conjuncta. H<007>$ce ut occurra- tur, addam ad $uperius re$pon$um, quod à divina provi- dentia petebatur, dubitari non po$$e, quin ea conditione homines nati $int, ut multo temporis decur$u paulatim artes di$ciplina$que eruant; nullam enim harum iis ingenitam e$$e, aut $ubito à Deo infu$am, & has de quibus nunc agimus, omnium e$$e difficillimas remoti$$ima$que: ut magis mirum $it unquam incipere eas potui$$e, quam tam tarde fui$$e in$pectas. Pauci fateor $ingulis ætatibus has curant, aut ad $e pertinere exi$timant: $ed $i multorum $æculorum tempora cogitentur, non exiguus fiet illorum Numerus; quos, quemadmodum $ibi videntur, reliquis beatiores e$$e quis negaverit? Deni- que paucorum indu$tria in his rebus exerceri $atis erat, cum inventorum utilitas ad nationes totas gente$que longe porri- gatur. Cum igitur hujus Terræ incolis, et$i paucis tantum, ad ea percipienda ingenium & aptitudo cont<007>gerit; nihiloque putand<007> $int cæterorum planetarum habitator<007>bus præ$tantio- res feliciore$ve; manet profecto, quam inveneramus, veri- $imilitudo, ut etiam apud illos reperiantur qui cognitione A$tronomiæ non careant. Nunc ad alia pergamus quæ in- de con$equi, nece$$e e$t.

O$tend<007>mus quomodo unà cum hac $cientia, non $olum Geometria & Arithmetice, $ed & Mechanicæ artes, in$tru- mentaque incolis Planetarum concedenda $int. Hic verò jam $ponte obvenit ut quæramus, quo pacto in$trumentis illis, Machini$que, & ad $idera ob$ervanda organis uti po$- $int, aut quomodo literas ducere; quæ omnia nos manuum opera exequimur. Itaque nece$$ario & manus habebunt, vel aliud quodpiam, quod vicem earum fungi po$$it, mem- _Planeticolas_ _manus habe-_ _@@_. brum. In quibus hominum generi tantum e$$e præ$idii exi- $timabat è veteribus Philo$ophis quidam, ut in iis cau$am reponeret omnis eorum $apientiæ. Qui, ut puto, hoc $en- $it, ab$que manuum opera homines ad cultum animi, re- rumque cognitionem non fui$$e perventuros. Et vere qui- [0417]COSMOTHEOROS, LIB. I. dem ille. Finge enim pro manibus datas fui$$e ungulas, ut equis & bobus; nunquam nec oppida nec domos, licet ra- tione in$tructi, ædifica$$ent. Nihil de quo loquerentur ha- bui$$ent, ni$i de iis quæ ad pabulum, aut ad conjugium, aut $ui tutelam attinent. Omni $cientia, omnique rerum memoria carui$$ent: Denique à be$tiis parum abfui$$ent. Quodnam porro in$trumentum æque accommodatum ac ma- nus e$$e po$$it ad innumera illa ad quæ nobis u$ui $unt, ob- eunda? Elephanti probo$cide mirabiliter utuntur, qua & amplecti qu<007>dvis & projicere, minutioraque quævis è $olo tollere norunt: unde & manus eorum pars illa d<007>cta e$t, cum reip$a $it in longum productus na$us. Ro$tro quoque aves pleræque nidos ex$truunt, alimentaque congerunt. Sed ha- rum nihil e$t quod non manuum oportunitati longè conce- dat. Et e$t $ane, tam illarum quam brachiorum, mirabilis quædam machinatio; ut protendi, reduci, inque omnem partem moveri po$$int. Tum mirâ indu$triâ in$tituti digi- torum ac pollicis articuli, ut nervorum attractu quælibet pre- hendant, firmiterque contineant. Ut omittam $en$um il- lum, in extremis d<007>gitis, exqui$iti$$imæ $ubtilitatis; quo vel in tenebris pleraque corpora interno$cimus. Patet itaque aut manus brachiaque, aut aliud quid eorum loco, quod vix æque aptum excogitari pote$t, Planetarum populis datum e$$e, ne non $olum nobis, $ed & $imiarum & $ciurorum ge- neri, plus indul$i$$e hac in re natura exi$timetur.

De pedibus vero minus etiam dubitabitur, $i repetamus ea _Et pedes@_ quæ $upra di$$eruimus de vario animalium ince$$u, qui non videtur aliis modis, quam quos ibi recen$uimus, cogitari po$$e. Inter eos vero non e$t, qui tam bene Planeticolis ratione præditis conveniat, quam quo & nos utamur. Ni- $i forte & volandi facultatem <007>n aliquibus Globorum i$torum acceperunt. Quod minus probabile tamen propter vitam in $ocietate degendam, de qua po$tea dicemus.

Non caret autem ver<007>$imilitudine, erectos oculos, vul- _Erectos ocu-_ _los, vul-_ _tumque_. tumque ad $idera contemplanda iis contigi$$e, quandoqu<007>- dem hoc <007>n hom<007>num corpore providentiâ divinâ $ic in$t<007>tu- [0418]CHISTIANI HUGENII tum videtur, & a Philo$ophis merito celebrari $olet. De reliquorum vero membrorum po$itu, $i $apientiam artificis laude dignam cen$emus, quod oculos in $uprema corporis parte collocaverit; $ordidiora vero membra procul inde, at- _Nec tamen_ _binc $equi_ _eorum for-_ _mam no$træ_ _plane $imi-_ _lem_. que a con$pectu quodammodo removerit; nonne putandum e$t eadem fere ob$erva$$e illum in formandis i$torum procul habitantium corporibus? Nec enim propterea dicimus figu- ram no$træ $imilem iis tr<007>bui$$e. E$t enim infinita quædam animo concipienda formarum po$$ib<007>lium var<007>etas, qua & $ingulæ quæque partes i$torum corporum à no$tris differre queant, & totorum exterior interiorque œconomia. Cer- nimus quam aptè & commodè animalium no$trorum quædam lana aut pilis ve$tiantur; alia elegantius etiam plumis penni$- que. Quidni i$ti in Planetis, quos rationis participes dixi- mus, aliqua $imili ratione tecti $int? propter quod meliori quidem conditione be$tiæ, quam homines, apud nos e$$e videntur. Ni$i hoc eo fine $ic con$titutum fuit, ut ip$a nu- ditas nece$$itatem hominibus imponeret quærendi ac fabri- candi varia operimentorum genera, atque hinc etiam inge- nii exercendi materia exi$teret. Et apparet $ane, ex hac nece$$itate, non minimam commerciorum, artificiorumque mechanicorum occa$ionem na$ci. Sed & propterea for$an nudos homines natura produxit, ut pro arbitrio $uo tenuius den$iu$ve amicti incedere po$$int; atque ita ad qua$vis terra- rum oras inhabitandas $e$e componere. Alia vero major hac, quam diximus, differentia intelligi po$$et inter corpora Planetariorum ac no$tra; cum animal<007>a quædam ita à natura formata reperiantur, ut veluti o$$a extrin$ecus habeant, car- nes intror$um, atque o$$ibus inclu$as, qual<007>a $unt cancri, a$tacique, & fere etiam te$tudines. Attamen hanc membro- rum compagem, & in paucis vilioribus tantum illa $ecuta e$t, & Planetarum incolis, quo minus eam tribuam, facit, quod $ubtili varioque digitorum u$u carituri e$$ent, quo tam valde eos opus habere o$ten$um fuit: nam ab$urda $pecie non multum alioqui moverer.

Etenim omnino cavendum e$t ab errore vulgi, cum ani- _Quo minus_ _@nimus ra-_ _tionis capa@e_ _etiam alii_ _formæ inha-_ _bitet, nihil_ _impedire_. [0419]COSMOTHEOROS, LIB. I. mum rationis capacem non alio in corpore, quam no$tris $i- mili habitare po$$e $ibi per$uadet. Ex quo factum e$t, ut populi penè omnes, atque etiam Philo$oph<007> quidam, humanam formam diis ad$crip$erint; Imo ut, à $imili per$ua$ione, cui- dam Chri$tianorum $ectæ nomen inditum fuerit. Hoc vero non ni$i ab hominum imbecillitate & præjudicata opinione profici$ci quis non videt? uti illud quoque, quod eximiæ quædam pulchritudo humani corporis e$$e putatur: cum ta- men ab opinione & a$$uetudine <007>d totum quoque pendeat, affectuque eo, quem cunctis animalibus natura provida in- generav<007>t; ut $ui $im<007>libus maxime caperentur. Illa verò tantum po$$unt, ut non $ine horrore aliquo animal homini multum di$$imile con$pectum iri credam, in quo rationis & $ermonis u$us reperiretur. Nam $i tale $olummodo finga- mus aut p<007>ngamus, quod, cætera homini $imile, collum quadruplo longius habeat, vel oculos rotundos duploque amplius di$tantes; continuo eæ figuræ na$cuntur, quas non po$$imus intuentes non aver$ari, quamvis ratio deformitatis nulla reddi queat.

Dixi in $uperioribus cum de magnitudine agerem incola- _Planeticolas_ _nobis vel æ-_ _quales vel_ _majores e$$e_. rum qui in Planetis $unt, veri$imile videri non e$$e eos val- de exiguos nobi$cum comparatos. Suadet enim hoc primò, quod probabile $it, $icut corpora hominum $e habent ad Tel- luris magnitudinem, ut peragrare univer$am po$$int, atque ita formam molemque ejus cogno$cere; eodem modo & in cæteris Planetis incoli$que eorum rationalibus or- d<007>natum e$$e; ni$i hac in re, quæ $ane magna e$t, nos ip$is rur$us præferre velimus. Deinde cum $iderum $cien- tiam & ob$ervationes apud eos exerceri o$tenderimus, $e- quitur ut & corpora nacti $int lignis metalli$ve tractan- dis, inque in$trumenta machina$que adaptandis, idonea. Quæ & eo præ$tabiliora $unt quo ampliora. Ac $ane $i homunciones quo$dam, muribus non majores, cogite- mus, non po$lent ii $iderum animadver$iones, quales re- qu<007>runtur, in$tituere; nec in$trumenta ad eas parare, aut di$ponere. Itaque omnino vel æquales nobis ponendos e$$e [0420]CHRISTIANI HUGENII exi$timo, vel majores, ac præ$ertim in Jove, Saturnoque, quorum Globi tanto Tellurem no$tram $uperant.

Porrò quia, ut diximus, a$tronomiæ $tudium $ine anno- tatione ob$ervatorum non pote$t procedere, ars vero $cri- _Eos in $ocie-_ _tate vivere_. bendi non ni$i in $ocietate ratione utentium, & cogentibus vitæ nece$$itatibus, inveniri potuit; neque magis ars fabro- rum aut fu$oria; $equitur ex eo (quod $upra d<007>cebam) & $ocietates coli apud Planetarum indigenas, ac mutuas ope- ras eos inter $e præ$tare; adeoque hac parte $imilitudinem magnam ibi e$$e no$tratium rerum. Quamobrem & certas $tabile$que $edes potius quam ambulatoriam vitam iis conve- nire dicendum e$t. Quid igitur? an & cætera $ociali vitæ propria habebunt? leges, Magi$tratus, tecta, urbes, mer- caturas aut rerum permutationes? Certe equidem apud bar- baros Americæ & in$ularum populos, cum primum ad eos perventum e$t, eadem hæc fere jam in u$u erant. At non propterea negaverim aliter i$ta in Planetis cæteris $e habere po$le quam apud nos; cum ex iis quædam $int quæ abe$$e queant à $ocietate animalium ratione præditorum; eoque tantum excogitata, ne ratione male utamur & cum aliorum injuria, itaque $ocietas $olvatur. Po$$unt enim in aliis i$tis globis in ea rerum abundantia ver$ari, ut nihil alieni appe- tant, rapiantve. Po$$unt ea e$$e æquitate, ut pacem per- petuo colant, nec $ibi invicem in$idientur, aut mortem in- ferant; imò ut neque oderint nec ira$cantur; quod $i e$$et, multo quàm nos feliciores putandi $int. Sed veri$imilius e$t, ut quemadmodum apud nos, $ic ibi quoque bonis mala, $a- pientiæ $tultitia, paci bellum mi$ceatur, nec de$it ege$tas ar- tium magi$tra. Quia & ex his utilitatem aliquam profici$ci antea o$tendimus; &, $i nulla e$$et, tamen nec præferendi res illorum rebus no$tris cau$am habemus.

Quod autem nunc dicam, audacius, $cio, videbitur; nec _Colloquio-_ _rum jucun-_ _ditate frui_. tamen probabilitate caret. Nempe, $i in $ocietate (quod jam penè obtinuimus) vivant gentes Planetarum; etiam, præter commoda inde provenientia, voluptate aliqua tali eas affici, quali nos, ex congre$$ibus colloquii$que amicorum, [0421]COSMOTHEOROS, LIB. I. amoribus, jocis, $pectaculis. Hoc, inquam, probabile e$t, quia $i nihil horum Planet<007>colis concedamus, $ed $emper eos $eriò, ac $ine omni hilaritate, aut animi remi$$ione agere putemus; ingens vitæ condimentum, quoque vix illa carere po$$<007>t, iis adempturi $imus, atque ita no$tram hanc beatio- rem facturi; contra quam ratio po$tulat.

De reliquis vero occupationibus & $tudiis illorum ut por- rò inquiramus; videndum e$t quænam i$torum, præter ea quæ jam diximus, cum no$tris aliquam $imilitudinem habe- re probabile $it. Domos $ibi eos con$truere, ideo vel ma- xime credere libet, quòd & pluvias in terris illis cadere o$tendimus. Sequebatur enim hoc ex eo, quod in Jovis Planeta nubium quidam mutabiles tractus cernuntur; vapo- res, aquamque haud dubie continentes: quam aliunde quo- que illic non dee$$e argumentis ad$truebamus. Erunt ergo & imbres & venti, quia attractum à Sole humorem recidere in terram nece$$e e$t; & calore $oluti vapores ventorum cau- $a $unt; quorum flatus ex illa nubium Jovialium mutabili fa- cie cogno$citur. Adver$us hoc ergo, ut noctes tuto & quie- _Domos ad-_ _ver$us plu-_ _viam ex-_ _$truere_. te tran$igant (habent enim & noctes & $omnum proinde, uti nos) munire $e eos, ca$a$que ac tuguria ædificare, aut $pecus effodere, veri$imile e$t. Atque eo magis quod omne genus animalium, apud nos, exceptis pi$cibus, ad $ui tute- lam hæc molitur. Cur vero ca$as & tuguria, & non domos amplas & magnificas Planetarum habitatoribus ex$trui creda- mus, ni$i quod non po$$umus res no$tras non præ omnibus pulchras perfecta$que putare. Qui autem nos? Nempe in globulo illo vitam agentes, qui non decies mille$imam par- tem globorum Saturni aut Jovis æquet, $i corporum moles inter $e conferantur. Nulla equidem ratio adferri pote$t cur non Architecturæ elegantiam, $ymmetriamque, æque cogni- tam habeant in i$tis cæteri$que Planetis, ac nos in no$tro: nec cur non palatia, turres, pyramide$que alicubi no$tris multo altiores $umptuo$iore$que, nec minori concinnitate exædificent. Cumque multiplex $it hominum in his rebus indu$tria; ut in cædendis lapidibus, coquenda calce & late- [0422]CHRISTIANI HUGENII ribus; cum ferro, plumbo, vitro utantur, atque ad orna- tum auro quoque; his omnibus nihilo inferiora illic haberi viri$imile e$t.

Si vero divi$a e$t illis, $icuti nobis, Globi $ui $uperficies, ut pars terram, pars maria contineat; uti ex $upra memora- tis Jovis ob$ervationibus colligi pote$t, quia nubes v<007>x ali- ter quam ex maris amplis tractibus ena$cerentur; permagna ratio e$t ut & navigare eos putemus. Cum alioqui etiam rem tantam, tamque utilem, no$træ Telluris Globo $oli non ab$- que arrogantia a$cripturi $imus. Præ$ertim verò in Jovis Sa- turnique maribus commoda e$$et navigatio propter Lunarum plurium utrobique copiam; quarum ductu longitudinum men- $uram, quam vocant, quæ nobis non contigit, facile con- $equi po$$int. Quod $i navium u$um habent, quam multa præterea habebunt quæ ad eas pertinent; Vela, anchoras, funes, trochleas, gubernacula; & horum u$um poculiarem quemadmodum nos; ut vento penè contrario navigetur, in contrarias vero partes eodem vento facillime. Nec fort $$e nauticæ pyxidis invento carebunt; $iquidem motus mate@æ magneticæ, quæ terræ globum continue pervadit, e$t eju$mo- _Navigare_, _adeoque &_ _artes, quæ eo_ _faciunt ex-_ _colere_. di quid, ut cæteris quoque planetis convenire cen$eri po$$it. Mechanicæ quidem $cientia, & A$tronomiæ, in re navali nece$$ario requiritur, atque adeo utriu$que harum magi$tra Geometria, de qua jam ante aliquid attigimus.

Exi$timo autem, etiam$i nec ad i$tas attes nec ad alias qua$- dam re$piciamus, in quibus vel nece$$itas vel occa$io Geo- metriæ inveniendæ initium fecerit, non dee$$e rationes, qui- _Ut & Geo-_ _mesriam_. bus veri$imile fiat ejus notitiam Planetarum incolis obt<007>gi$$e. Sive enim cognitionis ip$ius pretium ac dignitas $pectetur, in qua $ingularis quidam intelligentiæ e$t u$us, ac certa indu- bitataque veri comprehen$io, quanta in nullis rebus di$c<007>pli- ni$ve aliis reperitu: $ive quod e$t eju$modi natura $ua, ac talia ejus axiomata & effata, ut quocunque loco & tempo- re, aut quibu$cunque in mundis extet, pror$us eadem ubi- que e$$e debeat; videtur omnino non $olis Telluris no$træ incolis res talis parata aut oblata e$$e. Quid quod figuras [0423]COSMOTHEOROS, LIB. I. Geometricas, velut circulos, triangula, polygona, $phæ- ras, multis modis natura ip$a oculis objicit, ad varia$que eorum proprietates indagandas qua$i invitat; in quarum contemplatione, etiam extra utilitatem omnem, $umma e$t oblectatio. Quis enim non admiratur, cum di$cit ea quæ de circulo in Elementis Euclideis, & Apollonii locis Pla- nis docentur? aut quæ de $phæræ $uperficie & quadratu- ra Parabolæ Archimedes prodidit, aut recentiorum $ubti- li$$ima inventa? Quorum omnium eadem, & ad di$cen- dum æque expo$ita, e$t veritas in Saturno, ac Jove, atque apud nos, & ex ii$dem $implici$$imis principiis pendens, quo facilius credi pote$t pulcherrimi jucundi$$imique $tudii in illis ac cæteris planetis aliquos participes e$$e: Et$i præ- cipue hoc $uadet utilitas quæ ex eo in omnem vitam ema- nat. Quod $i jam eo u$que rei Geometricæ peritos qui in Planetis $unt dicerem, ut & Tabulas Sinuum, & Logari- thmos, & calculum Analyticum invenerint; ab$ona ac pe- ne ridicula proferre viderer. Nec tamen quidquam ob$tat quin horum aliquid reperi$$e potuerint, aut aliquando re- perturi $int; atque etiam his no$tris forta$$e majora. Non debemus enim, ut jam $æpe diximus, præferre nos ip$os ac res no$tras rebus Planeticolarum.

Cæterum illud quod uniu$modi & æternum in Geome- trica $cientia ine$$e animadvertimus, $imiliter quoque in Harmonicis inveniri certum e$t; cum con$onantiæ omnes con$tanti men$ura ac proportione con$tituantur; omnis vero phtongorum ordo, omni$que cantus delectatio, etiam vocis $ingulæ, in con$onantiis fundata $it. Quo fit ut _Mu$icam@_ apud omnes gentes eadem tonorum intervalla canantur, $ive per gradus continuos, $ive $altu vox progrediatur. Imo animal quoddam in terris Americæ reperiri fide di- gni auctores narrant, quod $ex mu$icos tonos deinceps vo- ce exprimat: Ut appareat ip$am naturam immutabili ratio- ne eos præ$cribere. Quandoquidem igitur quæ huc $pe- ctant, certa quoque & unica, & nece$$aria ratione $e- $e habent, veri$imile e$t, non minus quam Geometriæ, [0424]CHRISTIANI HUGENII etiam Mu$icæ oblectationem ad plures quam ad nos perti- nere. Po$itis enim aliis terris atque animalibus ratione & auditu pollentibus, cur tantum his no$tris contigi$$et ea vo- luptas, quæ $ola ex $ono percipi pote$t? Ne$cio equidem quantum apud alios valiturum $it argumentum, quod hic ab unitate, & immutabili natura i$tarum artium petiimus; mihi non leve aut contemnendum videtur, nec multum ei cedere, quo in $uperioribus u$us $um, cum videndi facul- tatem Planetariis animalibus convenire docui.

Porro $i tonis harmonicis & cantu delectentur, vix quo- que fieri pote$t quin & in$trumenta quædam mu$ica repere- rint; quoniam & ca$u in huju$modi inventa incidere con- tingit: velut chordis valide contentis, aëris $ono, canna- rum aut cicutarum $ibilo. A quibus initiis, $icuti ad te$tu- dines, citharas, tibias, & organa polyplectra nos perve- nimus, ita illi quoque non minus elegantia excogitare po- tuerint. Sed quemadmodum certi definitique licet $int to- ni, cantu$que intervalla, tamen apud diver$os populos alium atque alium e$$e canendi morem ac normam videmus; _Quæ tamen_ _à no$tra di-_ _ver$a e$$e_ _po$$et_. ut olim apud Dores, Phrygas, Lydos; no$tra ætate apud Gallos, Italos, Per$as: ita fieri pote$t ut ab omnibus his longius abeat Planetariorum Harmonice, quamvis illorum auribus grati$$ima. Cur vero no$tra rudiorem opinemur nulla ratio e$t; neque etiam cur non & chromaticis $onis, & quibu$dam Enarmoniis utantur? cum hemitonia quoque natura $uppeditet, certi$que proportionibus definiat. lmo ne minus a$$ecuti $int hi$ce in rebus quam nos, etiam plu- rium vocum aut chordarum concentus, artificio$aque per- mi$tio, & di$$onantium tonorum, & tritoni, & diapente diminutæ u$us iis forta$$e concedendus $it. Scio vix ali- quam veri$imilitudinem apud multos hæc habitura, ac mi- norem etiam, $i æque doctos dicamus in Jove aut Venere incolentes, ac $unt ii qui in Gallia, Italiave plurimum hac arte excellunt. Et tamen fieri pote$t ut vel illis peritiores $int, ac præcipue in parte Theoretica hujus artis ea per$pe- xerint, quæ apud no$trates ho$ce parum hactenus intelle- [0425]COSMOTHEOROS, LIB. I. cta $unt. Si enim ex no$tris Mu$icis quæras, cur con$o- nantia diapente po$t aliam $imilem vitio$e ponatur, dicent alii nimiam dulcedinem devitari, quæ ex grati$$imæ con- $onantiæ iteratione na$catur: alii varietatem in harmonicis $equendam e$$e. Hæc enim præcipui artis auctores, cum- que iis Carte$ius, adferunt. At Jovis aut Veneris incola _Cur con$o-_ _nantia dia-_ _pente po$t_ _aliam $imi-_ _lem vitio$e_ _ponatur_. for$an veriorem hanc cau$am demon$trabit, quod à Dia- pentè ad aliam deinceps pergendo, tale quid fiat, ac $i re- pente toni $tatum immutemus; cum Diapente, unà cum interjecto ditoni $ono, (qui $i de$it, mente $uppletur) toni $peciem certo con$tituat: huju$modi vero $ubita com- mutatio auribus merito injucunda inconditaque judicetur; cum etiam in univer$um ea plerumque durior accidat, (præterquam in tran$itu) quæ fit à tribus $onis con$onis, ad trium aliorum harmoniam, nullo priorum manente. Sciet etiam ille idem forta$$e, quod nemo adhuc animad- vertit no$trorum hom<007>num, cur in nullo vocis unius, plu- r<007>umve cantu, tonus $ervari po$$it in eadem altitudine ac tenore, ni$i con$onantia intervalla pleraque ultro, ac ne- mine advertente, ita temperentur, ut à perfectione $umma nonnihil de$ci$cant. Et cur optimum $it hoc tempera- mentum in chordarum $y$temate, cum ex Diapente quarta pars commatis ubique deciditur. Quod idem ab$que $en- $ibili di$crimine effici ex divi$ione Diapa$on in partes æqua- les 31, indeque Cyclum quendam Harmonicum in $e re- deuntem exi$tere, non ita pridem o$tendimus. Quod ta- men Planetarum incolæ $i per$pexerunt, etiam Logari- thmorum numeri iis noti e$$e debebunt.

At de Tono vocis temperando quod dixi, probatio- _Demon@tra-_ _tio tempera-_ _menti in to-_ _no vocis ad-_ _hibendi_. nem habet non difficilem; quam hic adjungimus, quan- doquidem jam aliquid præter $omnia no$tra venditare cœ- pimus. Ajo itaque, $i quis canat deinceps $onos, quos Mu$ici notant Literis C, F, D, G, C, per intervalla con- $ona, omnino perfecta, alternis voce a$cendens de$cen- den$que; jam po$teriorem hunc $onum C, toto Comma- te, quod vocant, inferiorem fore C priore, unde cani cœ- [0426]CHRISTIANI HUGENII pit. Quia nempe ex rationibus intervallorum i$torum perfectis, quæ $unt 4 ad 3, 5 ad 6, 4 ad 3, 2 ad 3, com- ponitur ratio 160 ad 162, hoc e$t 80 ad 81, quæ e$t Com- matis. Ut proinde, $i novies idem hic cantus repetatur, jam propemodum tono majore, cujus ratio 8 ad 9. de- $cendi$$e vocem, tonoque excidi$$e oporteat. Hoc ve- rò nequaquam patitur aurium $en$us, $ed toni ab initio $umpti meminit, eodemque revertitur. Itaque cogimur, occulto quodam temperamento uti, intervallaque i$ta ca- nere imperfecta; ex quo multo minor oritur offen$io. Atque huju$modi moderatione fere ubique cantus indi- get; uti colligendis rationibus, quemadmodum hic feci- mus, facile cogno$citur. Et hæc quidem in gratiam ar- tis illius $tudio$orum nec Geometriæ rudium exponere placuit. Nunc eo unde di$ce$$imus revertimur.

Diximus de artibus inventi$que quibu$dam quæ nobi$- cum communia habere Planeticolas veri$imile $it; præter quæ etiam alia ex$tare illic nece$$e e$t, $ive ad u$us & commoda vitæ facientia $ive ad delectationem. Hæc ve- ro quam multa $int, quantique facienda, ita optime ra- tionem inibimus, $i plurima illa, quæ apud nos reperiun- tur, recen$ere & ob oculos ponere libuerit.

Expo$ui $upra animantium fruticumque apud nos gene- ra quæ plurimum inter $e figuris differrent: præter quæ, m<007>nus di$$imilium, ingens copia reperiatur: dixique nihi- lo pauciora utriu$que generis, ut longe diver$a, in Pla- netarum terris ex$tare putandum. Nunc etiam illud vi- deamus, quæ utilitas quæve commoda, tum ex animali- bus, tum ex herbis arboribu$que ad nos perveniant, ac pror$us veri$imile exi$timemus non minora ex iis, quæ il- lic terrarum inveniuntur, ad incolas ip$arum redundare.

Hic vero operæpretium e$t ut quæ $int divitiæ no$træ in$piciamus, quæ multæ magnæque $unt. Nam, præter- _Recen$entur_ _commoda_ _quæ ad nos-_ _perveniunt_ _ex animali-_ _bus, herbis_, _@rboribus_. quam quod alimenta nobis arborum fructus herbæque $up- peditent; illæ pomis, nucibus; hæ $eminibus, foliis, ra- dicibus; quodque plurimorum ex his in medicina u$us e$b; [0427]COSMOTHEOROS, LIB. I. petitur ex arboribus materia qua domos nave$que fabrica- mus. Et lino ve$tes paramus, excogitatis nendi & texen- di artificiis. Ex cannabe, $partove, fila ac funiculos tor- quemus; ex filis vela ac retia conficimus, ex funiculis ru- dentes & funes anchorarios. Florum porro odoribus co- loribu$que oblectamur; & quamvis $int etiam qui nares offendant, & noxiæ quædam herbæ inveniantur, tamen in iis $æpe boni quid delite$cit; vel forta$$e hoc egit na- tura ut comparatione mali bona magis eminerent: quod multis in rebus $ecuta videtur. Quanta vero ex anima- libus e$t utilitas? Oves lanam ad ve$titum præbent, vac- cæ lac; utræque carnes ad ve$cendum. A$inis, camelis, equis, ad portandas $arcinas utimur. His etiam ut nos vel in$cen$i vehant, vel curribus juncti pertrahant. Ubi egregium illud rotarum inventum occurrit, quod libenter Planetarum quoque habitatoribus ad$criberem, cum jam in $ocietate eos vivere & domos ædificare pene evicerim. Utrum vero etiam animalibus pro cibo utantur, an Py- thagoræ $imile dogma $equantur, non habeo quod affir- mem. Apparet quidem hoc homini datum e$$e, ut omni- bus iis alatur quæ vel in terra vel in aquis na$cuntur, $i quid nutrimenti contineant; ut herbis, pomis, lacte, o- vis, melle, pi$cibus, volucrum quadrupedumque plurimo- rum carnibus. In quo mirum $ane videri pote$t, animal illud rationis compos ita e$$e comparatum, ut cum mul- torum aliorum pernicie cædeque vivat. Nec tamen natu- ræ præ$eripto contrarium hoc e$$e putandum e$t, cum pla- cui$$e ei videamus ut leones, lupi, aliaque rapacia, pe- cudes & infirmiora quælibet pabuli loco habeant: aquilæ columbas lepore$que prædentur: Pi$cium permulti pi$cicu- los $e minores devorent. Quin & canum varia genera ad venandum nobis largita e$t, ut quæ pedibus no$tris per$equi nequiremus, illorum celeritate ac $agacitate con- $equeremur. Præter omnem vero i$tam ex viventibus her- bi$que utilitatem, hanc quoque delectationem ex iis nos capere voluit rerum conditor, ut varias eorum formas na- [0428]CRISTIANI HUGENII tura$que & generandi vias contemplaremur; in quibus in- finita quædam varietas ac mirabilia multa in$unt, quæ a- pud naturæ $criptores celebrantur. Imo in ip$is in$ectis quis non miratur apium cellulas hexagonas, aranearum te- las; tum bombycum involucra, ex quibus incredibili in- du$tria delicati$$imam ve$tem conficimus, eaque copiâ ut naves totæ ea onerentur. Atque hæc quidem de herbarum animantiumque genere, quatenus homini pro$unt, $umma- tim retuli$$e $ufficiat.

Cogitetur jam porro quanta $it ejus $olertia in reperien- _Ex Metallis_, dis, effodiendis, explorandis metallis; itemque in funden- dis, repurgandis, mi$cendis. Quanta in tenuandis auri laminis, aut hydrargyro re$olvendis, ut parvo impendio, quæcunque voluerimus, auri $plendorem coloremque in- duant. Quam mira ac multiplex $it ferri utilitas; quam quæ ignorarunt nationes, eæ omnium ferè mechanicarum artium rudes vixerunt, proque armis, tantum arcus, cla- vas, $ude$que habuerunt. Nos vero & pulverem ex $ul- phure & nitro mi$tum habemus, vario$que ejus u$us, qui an plus juvet an noceat merito dubitari pote$t. Videba- tur enim mira ejus vi, $imulque artificio$a muniendorum oppidorum arte, certius præ$idium inventum e$$e, quam pri$cis temporibus fuerit, adver$us ho$tiles impetus: $ed & horum ex eo $imul violentiam crev<007>$$e videmus, & for- titudini viribu$que in præliis multo minus nunc locum e$- $e quam tunc fuerit. Quod enim olim Imperator Græ- cus dixi$$e fertur, _Perii$$e Virtutem_ cum Catapultarum, ac Bali$tarum inventa exorirentur, idem nunc majori jure que- ri po$$umus; ac maxime Bombis, quos vocant, repertis; quos non mœnibus, nec $itu oppida arce$ve repellere po$$unt, $ed quamvis validæ disjiciuntur, ac $olo æquan- tur. Ut, vel ob hoc unum, melius homines ejus pulve- ris invento carituros fui$$e dicendum $it. Nec tamen pro- pterea prætereundum fuit in commemorandis no$træ Tel- luris repertis, cum veri$imile $it, etiam in cæteris Planetis, noxia artificia quædam cum bonis emer$i$$e.

[0429]COSMOTHEOROS, LIB. I.

Au$picatior e$t aquæ & aëris apud nos u$us: quo & na- _Ex aqua, &_ _aëre, varii$-_ _que arti$i-_ _ciis_, vigandi ratio con$tat, & vires comparantur, quibus, nullo labore no$tro, molas machina$que ver$emus. At hæ quam multiplices, quamque ad varias res adhibentur? Nam & fru- menta iis comminuimus, & olea exprimimus, & ligna $eca- mus, & pannos tundendo den$amus; & chartis materiam conterimus; quarum aliàs quoque pulcherrimum e$t inven- tum, cum ex vili$$imis linteorum $crutis, tam pulchra folio- tum candidi$$imorum copia paretur. His addatur jam præ- clarum illud typographiæ inventum, cujus opera artes omnes reliquæ, non $ervantur tantum, $ed & comparantur multo quam ante facilius. Item $culpendi pingendique peritia, a parvis rudibu$que initiis eo progre$$a, ut nihil elegantius ab hominum ingenio profectum e$$e videatur. Ponatur & vi- tri excoquendi $cientia, atque in tot formas ducendi facili- tas. Tum $peculorum vitreorum politura, hydrargyrique $uper ea inductio. Ac præcipue quoque vitri u$us mirabi- lis, in pervidenda rerum natura, po$t tele$copii micro$co- piique inventa. Recen$eantur etiam horologiorum auto- matôn fabricæ; aliorum tam exilium, ut ge$tanti nihil in- commodent; aliorum tam exqui$ita æqualitate tempus me- tientium, ut nihil $upra optari po$$it, quibus utri$que inven- ta no$tra plurimum profuere.

Multa addere po$$em de multiplici doctrina & rerum na- _Ex iis, qua@_ _no$tra ætate_ _inventa_ _$unt_. turæ cognitione quam præter Geometriæ A$tronomiæque $cientias con$ecuti $umus, atque ea pleraque no$tra ætate: velut de gravitate aëris ac vi qua compre$$us re$ilit. De $in- gularibus Chymicorum experimentis; è quibus liquores in- flammabiles, nuperque ultro lucentes, ac levi tractatione ar- dentes, prodierunt. De $anguinis circuitu per arterias ve- na$que, qui antea intelligebatur, nuper vero & oculis u$ur- pari cœpit, adhibito micro$copio, in pi$cium quorundam caudis extremis. Item de generatione animalium, quod in- ventum e$t nulla ni$i ex $imilium $emine na$ci; idque de her- bis quoque verum e$$e. Quodque in $emine marium repe- riuntur animalculorum myriades vivaci$$imorum, quæ ip$am [0430]CHRISTIANI HUGENII COSMOTH. L. I. animantium $obolem e$$e veri$imillimum $it: res mirabilis, atque ab omni ævo incognita.

Jam vero po$tquam hæc omnia accumulavimus Telluris _Illa omnia_ _veri$imiliter_ _non extare_ _in Planetis_, _$ed aliis æque_ _dignis repen-_ _di_. incolarum inventa, putemus fieri quidem po$$e, ut quædam eorum etiam apud Planetarios extent; credibile tamen e$$e maximam partem eorum illis ignorari. At iis quæ non ha- bent rependendis æque multa, pulchraque & utilia, admira- tione digna iis tributa e$$e oportet. Quanquam igitur ibi terrarum aliquos ratione præditos, & Geometras, & Mu$i- cos reperiri probabilibus argumentis o$tenderimus, & in $o- cietate communitateque viventes, & manibus pedibu$que in- $tructos, tecti$que & mœnibus munitos: non tamen dubi- tandum e$t, quin & formæ, & rerum quas agunt novitate, mirabile $upra quam dici po$$it futurum $it $pectaculum, $i quis Mercurius, aut potens Genius eò nos deducat. Sed cum ejus itineris conficiendi $pes omnis adempta $it, id u- num tamen, quod po$$umus inve$tigare non pigebit; qua- lis nempe cæle$tium rerum facies $e$e offerat, in unoquoque i$torum globorum vitam agentibus, cum ad eam hoc quo- que pertineat. Simul vero & de præ$tantia cuju$que, tum ob magnitudinem, tum ob adjunctum comitum lunarum nu- merum, quædam $citu digna referemus, ac $tellarum deni- que inerrantium incredibilem di$tantiam nova ratione in- dagabimus. Sed à longa attentaque meditatione requie$ce- mus hic paulum, finemque huic Libro imponemus.

[0431] CHRISTIANI HUGENII COSMOTHEOROS, SIVE De Terris Cœle$tibus, earumque ornatu, Conjecturæ. AD CONSTANTINUM HUGENIUM, Fratrem. LIBER II.

CUm ante annos complures Librum Athana$ii Kircheri, qui _Iter Ec$taticum_ in$cribitur, evolverem; in quo de Natura Siderum, re- bu$que in Planetarum $uperficie extantibus, di$$eritur; mirabar nihil illic adferri eorum quæ mihi jam ab illo tempore circa hæc, tanquam valde probabilia, occurrebant: $ed longè alia tra- di, inania pleraque, & à ratione aliena. Quod magis etiam intellexi, cum con$criptis $uperioribus idem opus denuo percurrerem. Jamque vi$um e$t aliquid e$$e conjecturas no- $tras, ac ponderis nonnihil iis accedere, $i cum Kircheria- nis conferantur. Quod ut judicari po$$it, utque appareat quàm de his rebus fru$tra philo$ophari conentur, qui funda- menta unica veri$imilitudinis, quibus u$i $umus, rejiciunt; non abs re erit de opere illo quædam annota$$e.

Is igitur Vir optimus, Genio quodam duce, per cæli _Kircheri iter_ _extaticum_ _examinatur_. [0432]CHISTIANI HUGENII $patia, $tella$que $e circumferri fingens, partim ea quæ ex A$tronomorum $criptis hau$erat, partim quæ ip$e de Plane- tarum terris meditatus erat, ac vulgo probari po$$e putabat, qua$i vi$a enarrat. Antequam verò iter longinquum ingre- diatur, hæc duo tanquam certo tenenda $tatuit $ancitque; nullum videlicet Telluri motum e$$e tribuendum; tum nihil in Planetarum globis Deum extare volui$$e, quod vita aut $en$u præditum $it, adeoque nec herbas quidem. Itaque, relicto Copernici $y$temate, Tychonicum $ibi quod $equa- tur deligit. Sed cum $tellas inerrantes pro totidem Solibus habeat, ii$que $ingulis $uos Planetas circumponat; hoc ip$o (quod an $en$erit ne$cio) infinita numero jam exoriuntur ei Copernicea $y$temata. Quæ quidem perab$urdè, præter $ibi proprios motus, univer$a circum Tellurem no$tram, vi- ginti quatuor horis, immani celeritate converti facit. Cum- que horum maximam partem fateatur extra hominum con- $pectum e$$e remotam, in hoc quoque incidit incommodum, ut fru$tra tot Soles lucere dicendi $int, fru$traque calorem $uum impertiri tot globis Telluri $imilibus, elementaque ea- dem, (ita enim vult) & cætera omnia habentibus, præter $tirpes & animalia. Atque hinc porro ad alia magis ab$ona delabitur. Nam quia ne Planetarum quidem, qui no$tro $y$temate continentur, alium ullum reperit u$um, ad diu explo$as A$trologorum ineptias $e convertit; & hoc fine tot tanta$que corporum moles conditas e$$e vult, ut influxu eo- rum vario, certi$que legibus temperato, mundi univer$itas con$ervetur, incolumi$que perduret: utque præterea in ho- minum animos iidem influxus vires $uas exerceant. Itaque, in A$trologicæ artis gratiam, in Veneris Planeta jucundam pulchramque rerum faciem $ibi oblatam narrat; cum luce blanda, undis dulciter fluctuantibus, odoribus $uavi$$imis, atque undique fulgentibus cry$tallis. In Jove auras $alubres, ac $uaveolentes, aquas limp<007>di$$imas, terras argentei $plen- doris. Quò nimirum, ab influxu hujus utriu$que $ideris, fau$ta ac $alutaria omnia in Terram homine$que deriventur; ut vel pulchros & amabiles, vel ad prudentiam & gravita- [0433]COSMOTHEOROS, LIB. II. tem propen$os reddat. In Mercurio ne$cio quid $erenum vividumque, unde ingenium ac $olertia na$centibus in$inue- tur. At in Marte omnia tetra, exitialia, fætida, piceas flammas, fumo$que $e vidi$$e memorat. In Saturno tri$tia, horrenda, $quallida, caligino$a; ur ex his Planetis, (ne$cio quare Apotele$maticis omnibus invi$is) influxus maligni in- fe$tique mundo ac mortalibus eveniant; ni$i tamen beni- gniorum illorum radiis corrigi ac mitigari eos contingat. Hæc nempe & his $imilia Genio illi cæle$ti comes adhærens di$cit. Quem & $erio re$pondere facit cum interrogatur, anne aquis, quæ in Veneris Planeta fluunt, Hebræus aut Paganus qui$piam, eo delatus, ritè baptizari queat. Eo- dem quoque docente Magi$tro, intelligit cælum $telliferum non e$$e ex materia $olida conflatum, $ed liquidum pror$us, in quo $tellæ Sole$ve innumeri longè latéque $pargantur; nu$quam alligati, (& hactenus rectè) quique omnes diei $patio va$ti$$imos, ut dixi, circuitus peragant. Quo in mo- tu, $i talis foret, non advertit quanta vi illi undique diffu- gituri $int, ob motum circularem tam immen$æ celeritatis. Sed ne $ic avolent, inque $patia infinita recedant, Intelli- gentiæ motrices, credo, impedient. Etenim unicuique $tellæ fixæ, imo & Planetæ, Intelligentias aut Angelos $uos adjungit, qui impellant eos, cur$umque moderentur. In quo Doctorum quorundam turbam $equitur, qui vani$$imum Ari$totelis commentum incon$ideratè, invitaque ratione, adoptarunt. I$tos verò beatos Genios labore tanto Coper- nicus liberat, $olius Terræ inducto motu; cujus $anè nece$- $itatem, vel ex hoc uno, omnes vident, ni$i qui ultrò, ac volentes, cæcutiunt. Equidem cogitavi nonnunquam, me- liora à Kirchero ex$pectari potui$$e, $i, quæ $entiebat, li- berè exponere au$us fui$$et. Sed cum hoc non auderet, ne$cio cur non in totum illo argumento ab$tinere maluerit. Sed hunc celeberrimum $criptorem jam omittamus: &, quan- doquidem nil veriti $umus, conjecturis no$tris, $pectatores in Planetis ponere, adeamus nunc, uti propo$itum fuerat, [0434]CHRISTIANI HUGENII $ingulos; & quinam $int anni eorum, qui dies, quæ denique A$tronomia, deinceps con$ideremus.

Itaque, ut ab intimo, & Soli viciniore incipiam, $cimus _Apparens_ _qualis $it_ _con$titutio_ _Solis & Pla-_ _netarum in_ _Mercurio_. Mercurium triplo propius circiter quam Tellurem no$tram ad ingens illud $idus accedere. Cui con$equens e$t ut triplo quoque majus id con$piciant ejus incolæ, ratione diametri, lumen vero & calorem ejus $entiant noncuplo quam nos ma- jorem. Nobis proinde intolerabilem, quique accen$urus $it $iccatas herbas, fœnum $tramenque, qualia apud nos cre- $cunt. At nihil impedit ita comparata e$$e, quæ ibi vivunt animantia, ut optatam temperiem in ardore illo experian- tur. Herbas vero e$$e ea natura, ut multo magis vim calo- ris perferant. Nec mirum e$$et i$tos Mercurii indigenas pu- tare non ferendo frigore nos urgeri, luceque frui exigua, qui tanto longius a Sole ab$imus. Sicut nos de Saturni co- lonis facile nobis per$uademus. Non dee$t verò dubitandi ratio, cum à calore vita pendeat, i$que corpori mentique vigorem alacritatemque præ$tet; an non, propter Solis vi- ciniam, Hermopolitæ illi nobis ingenio præ$tare putandi $int? Sed quo minus huic cau$æ tribuam facit, quod calidi$- $imas terræ no$træ regiones $ortitos, Africæ, Bra$iliæque populos, nec $apientia nec indu$tria æquare videmus tem- peratiorum tractuum incolas; ut vel ex eo per$picitur, quod in omnium $cientiarum ac fere artium ignoratione ver$entur: cum nec nauticæ rei, qui circum littora incolunt, ni$i pere- xiguam notitiam habeant. Nollem quoque Jovicolis, Sa- turnicoli$que hebetes, plumbea$que mentes, intelligentiam- ve tribuere no$tra minorem, propterea quod tantò longius a Sole remoti vivunt; cum uterque globus i$te tam præ$tan- ti $it magnitudine, tantoque comitatu $tipatus feratur. Qua- lis porro $it Mercurialibus A$tronomia, utque cæteros Pla- netas certis temporibus Soli oppo$itos $pectent, ex figura $y$tematis, priore libro expo$ita, perfacile e$t intelligere. Atque his oppo$itionum temporibus Venerem ac Tellurem præcipuo $plendore illic effulgere nece$$e e$t. Nam cum [0435]COSMOTHEOROS, LIB. II. deo lucida nobis Venus appareat, quo tempore tenuem na$centis Lunæ faciem refert; oportet eam $extuplo aut am- plius clariorem cerni, cum Soli opponitur, ex Mercurii Globo pleno orbe $pectatam, & minore quoque intervallo di$tantem: atque ita tunc non parum di$pellere nocturnas te- nebras gentibus i$tis, Lunæ auxilio carentibus. Quænam $int denique apud eos dierum $patia, & an varias anni tem- pe$tates experiantur, incompertum e$t hactenus, quod igno- retur an axem diurnæ conver$ionis ad orbem, quo circa So- lem defertur, obliquum habeat, & quanto tempore conver- $io ea peragatur. Neque enim dubitari debet de diebus no- ctibu$que eorum cum in Tellure, Marte, Jove ac Saturno hæc vici$$itudo certò cogno$catur. Anni vero $patium vix quartam partem no$tri æquare illic con$tat.

In Veneris globo po$itis, eadem fere in cælo apparere _Qualis in_ _Venere_. nece$$e e$t quæ de Mercurio diximus, ni$i quod hunc nun- quam videt Sol<007> oppo$itum, cum non ni$i 38 circiter gradi- bus ab eo recedat. Sol vero illis major apparet quam no- bis, diametro $e$cupla, orbe plus quam duplo; quo & bis tantum caloris luci$que præbere cum oportet. Itaque pro- pius ad no$træ temperiem Tellus i$ta accedit. At annus men$ibus no$tris $eptem cum dimidio fere finitur. Noctu verò globus hic no$ter, in locis Soli oppo$itis, multo luci- dior Veneri apparere debet quàm unquam nobis appareat Venus; ac tunc Lunam quoque, perpetuum comitem no- $trum, facile con$piciunt, $i modo oculos habent no$tris non imbecilliores. Sæpe autem in Venere miratus $um, cum tu- bis longioribus, pedum 45, aut 60, eam in$picerem Terræ propinquam; Lunæque $emiplenæ $imilem, aut jam in cor- nua curvari incipienti; pror$us æquabili $plendore $uperfi- ciem ejus perfundi: ut vix dicere audeam, aliquid maculæ $imile, in ea me animadverti$$e; cuju$modi in Jove & Mar- te manife$tè notantur, licet orbe multo minore $e$e offeren- tibus. Si enim maria ac terras habet Veneris globus, ob$cu- riores nobis maris tractus con$pici deberent; terrarum vero clariores; $icuti ex præaltis rupibus in$pectum de$uper ma- [0436]CHRISTIANI HUGENII re, non perinde, ac adjacentes terræ, lucidum apparet. Credebam nimium Veneris fulgorem in cau$a e$$e, quo mi- nus diver$itas lucis animadverti po$$et. Sed cum fumo infe- ci$$em vitrum oculo proximum, ad auferendam, partem ra- diorum, nihilo minus æqualis in tota $uperficie lux vi$a e$t. An igitur nulla ibi maria, an Solis lucem magis quam apud nos aquæ, aut minus terræ repercutiunt? an potius, (quod credibilius mihi videtur) den$ior ibi, quam in Jove aut Mar- te, Vaporum regio à Sole illu$trata, Veneri$que globum circundans, omnem fere illam quam videmus lucem ad nos remittit, vixque $ubjectorum $ibi marium terrarumque di$cri- men percipi $init? Nam certum e$t no$tram quoque atmo- $phæram, $i Tellurem procul intueri daretur, plurimum ob- $tituram luce $ua, quo minus terræ mari$que tam diver$a cla- ritas apparere po$$et, quam quæ cernitur ex edito $copulo de$picienti. Eadem ratione qua Lunæ quoque maculas in- terdiu minus aperte quam noctu animadverti $inunt vapores iidem; quoniam tunc quoque inter illam oculo$que no$tros interpo$iti, Soli$que luce illu$tres, vi$ui officiunt: noctu non item.

At in Marte reliquis di$ci partibus ob$curiores, ut jam _@n Marte_. dixi, maculæ notantur. Ex quarum recur$ibus pridem fuit ob$ervatum dies nocte$que illic ii$dem fere quibus apud nos intervallis reverti. Hyemem vero æ$tatemque exiguo di$cri- mine incolæ $entiunt, eo quod axis diurnæ conver$ionis pau- lum duntaxat ad orbitam Planetæ inclinatur, ut ex motu macularum intellectum e$t. Qui autem ex globo illo Tellu- rem no$tram intuentur, eodem modo fere, ac Venus no- bis, apparere iis debet, forma$que lunaribus $imiles o$ten- dere, $i tele$copio $pectetur; nec ultra gradus 48 à Sole eva- gari; in cujus di$co etiam con$pici quandoque po$$it, uti & Veneris Mercuriique corpu$cula. Et hoc quidem nunquam aliàs; Venus raro iis apparere debet, uti nobis Mercurius. Terræ vero $olum in Marte nigriore materia con$tare veri$i- mile e$t, quàm in Jove, aut etiam Luna no$tra; eoque fieri ut rubicundior Mars $pectetur, nec, pro ratione intervalli [0437]COSMOTHEOROS, LIB. II. quo à Sole abe$t, lucem remittat. Minor verò e$t globus ejus quam $tellæ Veneris, licet à Sole longius di$tans, ut jam $upra animadvertimus. Nec Lunam habet ullam comi- tem; atque in eo Telluri no$træ, quemadmodum & Venus & Mercurius, dignitate impar videtur. Lux vero Solis, ca- lorque, Marticolis duplo atque interdum triplo quam nobis minor $entitur; nullo tamen, ut credimus, ip$orum incom- modo.

Quod $i Tellus hæc, propter adjunctam ei Lunam, præ- _Jovem &_ _Saturnum_ _reliquis Pla-_ _netis longe_ _præ$tare,_ _tam magni-_ _tudine,_ _quam Luna-_ _rum multi-_ _tudine_. $tare cæteris Planetis, quos huc u$que percurri, dicenda e$t; nam magnitudine nec cedit iis multum, nec $uperat; quan- topere & his tribus, & Telluri ip$i, anteponenda erunt $ide- ra Jovis & Saturni. In quibus $ive globorum molem con$i- deremus longi$$imè omnium i$torum corpu$cula excedentem; $ive Lunarum quibus ambiuntur multitudinem, pror$us veri- $imile fit has duas primarias habendas e$$e Tellures, inter eas quæ circa Solem $unt: præ quibus reliquæ quatuor $int mi- nimum quidpiam, ac nequaquam cum iis comparandæ. Quan- TAB. LIII. ta enim $it differentia, quò rectius animo concipiatur, $ub- jicere hic placuit, $ecundum proportiones veras, aut non mul- tum à veris abeuntes, tum Tellurem no$tram, cum circum- jecta Lunæ orbita, ip$oque in ea Lunæ globulo; tum Jovis ac Saturni $y$temata: Illud quaternis, hoc quinis Lunis exor- natum; quarum quæque in $ua itidem orbita ponuntur. Jo- viales Galilæo deberi notum e$t; quæ quanto animi gaudio primum illi animadver$æ $int, facile quivis $ecum reputet. Saturniarum una nobis obtigit, quæ cæteris clarior e$t, & ab extrema proxima. Quam Anno 1655 tele$copio no$tro non ultra duodecim pedes longo, primi deprehendimus. Re- liquæ diligenti$$imis Dominici Ca$$ini ob$ervationibus patue- runt, vitreis orbibus utenti à Jo$. Campano expolitis, pri- mùm 36 pedum; deinde totidem $upra centenos. Tertiam enim quintamque vidimus Anno 1672, ip$o mon$trante Ca$- $ino, & po$tea $æpius. Primam, cum $ecunda, $ibi reper- tas $ignificavit, mi$$is literis, Anno 1684. Hæ vero difficil- limè cernuntur, certoque affirmare nequeo mihi con$pectas [0438]CHRISTIANI HUGENII hactenus. Nec propterea quidquam vereor Clari$$imo Vi- ro fidem habere, atque has quoque Saturno $ocias ad$cribe- re. Imo præter harum numerum alias quoque, vel unam vel plures, latere $u$picari licet; nec dee$t ratio. Cum enim, inter extremas duas, $patium amplius pateat quàm pro di- $tantiis cæterarum; po$$et hoc in$idere $extus $atelles: vel etiam, ultra quintum, alii circumvagari, qui propter ob- $curitatem nondum $int vi$i: cum ille ip$e quintus, tan- tùm in orbitæ $uæ parte quæ ad occidentem $pectat, cerna- tur, in reliqua nunquam appareat; cujus rei cau$am $atis in- tellectu facilem po$tea adferemus.

Forta$$e autem, ubi ad $igna Borea Saturnus revertetur, altéque $upra horizontem attolletur, (nam, quo tempore hæc $cribimus, maximè deprimitur) aliquid circa hæc novi ob$ervare continget, $i quis tuas tunc lentes, Frater opti- me, ad Tele$copia pedum 170. & 210. paratas, $ideribus applicet: quibus majores, formæque perfectioris, nullas ha- ctenus extare arbitror. Quanquam enim cælo nondum eas admovimus, vel propter moliendi difficultatem, vel quod di$ce$$us tuus $tudia hæc no$tra conatu$que interrupit: omni tamen vitio eas carere certi $umus, po$t experimenta illa fa- ciliora, quæ in ambulacris $uburbanis $ub noctem in$titueba- mus; in$pectis procul literis, quibus appo$itum erat lumen. Quorum equidem lubens remini$cor, $imulque jucundi la- boris no$tri, quem, in elaborandis expoliendi$que vitreis huju$modi di$cis, impendere unà $olebamus; excogitatis no- vis artificiis machini$que, $emperque ulteriora agitantes. Sed redeo ad diagrammata ante de$cripta, de quibus aliqua di- cenda $upererant.

Feci in iis Jovialis globi diametrum duarum circiter ter- _Proportio_ _diametro-_ _rum tum_ _Jovis, tum_ _orbitarum_ _$atellitum_ _ejus, ad or-_ _bitam Lunæ_ _circa Ter-_ _ram_. tiarum ejus di$tantiæ quæ inter nos no$tramque Lunam in- terjacet; quandoquidem plus quàm vicies diametrum Terræ diameter Jovis continet; Luna autem di$tat à Terra diame- tris hujus triginta. Orbitam vero comitis Jovis extremi ad no$træ Lunæ orbitam po$ui $icut 8 {1/2} ad 1, quoniam eju$modi inter eas proportio re ip$a reperitur. Et hi quidem comi- [0439]COSMOTHEOROS, LIB. II. tes, $ive Lunæ $ingulæ, non videntur Tellure no$tra mino- res e$$e, ut ex umbris earum in Jovis di$co $æpe ob$ervatis, probari pote$t. Sunt autem (ut hoc quoque addamus) pe- _Tempora pe-_ _riodorum co-_ _mitum Jo-_ _vialium_. riodorum tempora $ub Ecliptica, apud Ca$$inum, intimi Jovialium dies 1, horæ 18, 28′, 36″. Secundi dies 3, horæ 13. 13′. 52″. Tertii dies 7. horæ 3 59′. 40″. Quarti dies 16, horæ 18. 5′. 6″. Di$tantiæ à centro jovis, comitis inti- mi 2 {5/6} Jovis diametrorum. Secundi 4 {1/2}. Tertii 7 {1/6}. Quar- ti 12 {2/3}. In Saturniis periodica tempora, int<007>mi, dies 1, ho- ræ 21, 18′, 31″. Secundi dies 2, horæ 17, 41′, 27″. Tertii dies 4, horæ 13. 47′, 16″. Quarti dies 15, horæ 22, 41′, 11″. Quinti dies 79, horæ 7, 53′. 57″. Di$tantiæ à centro Satur- ni, diametris Annuli dimen$æ, Comitis intimi, {39/40}. Secun- di 1 {1/4}. Tertii 1 {3/4}. Quarti 4, quæ mihi erat 3 {1/2}. Qu<007>nti 12. omnia magnis laboribus vigilii$que reperta.

Ecquis jam $y$temata hæc in$piciens, atque inter $e con- ferens, non $tupet ad magnitudinem, ingentemque paratum duorum præ exiguo tenuique Telluris no$træ? aut cui nunc in mentem venire pote$t in hac una Solem ambient<007>um, omnem ornatum, omnia animalia, omnes qui cœle$tia mi- rentur inveniri; in illis vero nihil impo$ui$$e rerum condito- rem; nec alio fine tam va$tas corporum moles orea$$e, quam ut lucem eorum nos homunculi intueremur, cur$umque for- $itan inquireremus?

Credo equidem futuros qui fal$a aut incerta e$$e dicant, _De hac pro-_ _portione ma-_ _gnitudinis_ _con$tare ex_ _recentiorum_ _ob$ervatio-_ _nibus_. quæ de magnitudine cœle$tium $patiorum nobis hic $umun- tur. Scio enim quam difficulter qui$quam adducatur, qui orbis Terrarum $patia mirari a$$ueverit, inque eo tot popu- los, urbes, imperia; ut alibi ex$tare credat quorum collatio- ne hoc totum tam $it exiguum quam hæ figuræ demon$trant. Atqui ex $ummorum hujus ætatis A$tronomorum $criptis ea hau$imus, ex quibus i$tæ $y$tematum inter $e rationes con- $equantur. Si enim Terra à Sole decem vel undecim mille diametris $uis di$tat, ut Ca$$inus in Gallia, apud Anglos Flam$tedius colligunt, parallaxium in Marte $ubtili$$imis ob$ervationibus u$i; cum nos quoque probabili conjectura, [0440]CHRISTIANI HUGENII duodecim mille diametros invenerimus; erunt & i$tæ orbium magnitudines inter $e ferè quales hic de$crip$imus.

Sed de Jove dicere pergamus, ex quo Sol $pectatus dia- _Quænam $it_ _Solis appa-_ _rens magni-_ _tudo & lux_ _in Jove, &_ _quî cogno$ci_ _queat_. metrum quintuplo quam apud nos minorem habet; ut pro- inde lucis calori$que illic pars tantum vige$ima quinta $entiri po$$it. Sed ea lux nequaquam debilis putanda e$t, idque o$tendit in$ignis Jovis per noctem claritas. Tum quod in Solis Eclip$ibus quæ nobis contingunt, etiam$i nec vige$ima quinta pars di$ci ejus $uper$it, ut me videre memini, non admodum $entiatur ob$curatio. Si vero experimento inqui- rere libeat quanta $it illa in Jove Solis lux, $umatur tubus certæ longitudinis, i$que parte altera obturetur, impo$itâ la- mellâ in cujus medio foramen $it rotundum, ea latitudine quæ ad tubi longitudinem $e habeat ut $ubten$a 6 $crupulo- rum primorum ad radium, hoc e$t fere ut 1 ad 570. Dein- de ad Solem tubus obvertatur, radiique ejus per foramen in- gre$$i excipiantur parte oppo$ita, in chartæ candidæ folium; nec aliunde eo lux incidere po$$it. Hi radii imaginem Solis circulo referent, cujus claritas erit eadem quæ $erenis diebus percipitur à Jovis incolis. Remotâ autem chartâ, $i eodem loco oculus ponatur, videbit hic Solem ea magnitudine ac $plendore, qui in Jovis globo con$i$tenti appareret.

Quod $i in eodem tubo foramen duplo angu$tiori diame- _Itidem in_ _Saturno_. tro $tatuatur, incidet in chartam, aut in oculum, lux eju$- modi qualis ad Saturnicolas pervenit. Quæ cum cente$ima tantum pars $it no$træ quam a Sole accipimus, tamen per tenebras noctis Saturnum $atis lucidum nobis o$tendit. In utroque vero Planetarum i$torum, $i nubilos quandoque dies habent, malignam tunc lucem e$$e oportet, $i no$tris oculis judicanda $it; at illorum habitatoribus talem haud du- biè, ut nihil de tenuitate ejus querantur. Sicut in noctuis, ve$pertilionibu$que utilior gratiorque e$t crepu$culi lux, aut quæ in ip$a nocte relinquitur, quam quæ diei tempore aë- rem terramque illu$trat.

In Jove porro dierum $patia, quinque tantum horas no- _@n Jove dies_ _e$$e horarum_ _quinque_. $trates æquare, ac noctes tantundem, admiratione non ca- [0441] [0441a] Pg. 700 TAB. LIII. _4 3 2 1 Annu Sat. lus_ _4 3 2 1 Jup_. Luna Tellus [0442] [0443] [0443a] Pag. 704. TAB. LIV. Fig. 1. _Satu@@i. Jov{is}. Martis. Telluris. veneris. M@rc. ♎ Sol. ♈ _VS_ Fig. 2 _Saturnus. Tellus. Luna_. A C D R S K M G H T V N L Q Y P E F B [0444] [0445]COSMOTHEOROS, LIB. II. globus; tele$copioque utentibus multa particulatim con$pi- cienda præbeat; plura quoque ac probabiliora de univer$a natura ejus, quàm de Planetarum cæterorum conjici po$$e, tanto quippe remotiorum. Sed contra evenit ut vix quid- quam de Lunæ rebus dicendum reperiam, nimirum quia ejus generis Planetam nullum coram intueri contigit; cum in pri- mariis illis al<007>ter hoc $e$e habeat. Sunt enim, ut jam $atis con$tat, generis eju$dem ac Tellus no$tra, in qua, quid re- rum geratur, quidve ex$tet, propè intuemur, eoque de cæ- teris $imilia quædam conjectandi ratio $uppetit.

Illud vero $ine omni dubitatione $tatuere po$$umus, eju$- _Satellitum_ _Saturni &_ _Jovis ean-_ _dem ac Lu-_ _næ rationem_ _e$$e_. dem naturæ, ac Luna no$tra, e$$e illas, quæ Jovem ac Sa- turnum comitari dictæ $unt, $iquidem eodem pror$us modo primarios ho$ce Planetas circumeunt, $imulque cum illis cir- cum Solem feruntur, perinde ac cum Tellure Luna. Sed & aliam utrobique $imilitudinem intercedere po$tea videbi- mus. Quamobrem $i quid de Lunæ $tatu conjicere po$$imus, (po$$umus autem pauca admodum) idem in quatuor illis cir- ca Jovem, & in quinque Saturniis haud multo aliter $e ha- bere putandum erit. Illud $emper menti infixum tenendo, non e$$e illas viliores aut minore ornatu excultas.

Illud igitur in Luna no$tra apparet, etiam minoribus per- _Lunam_ _montibus &_ _vallibus di-_ _$tinctam e$$e_. $picillis trium quatuorve pedum longitudine, plurimis mon- tium tractibus, rur$u$que planis vallibus lati$$imis, $uperfi- ciem ejus divi$am e$$e. Cernuntur enim montium umbræ ea parte quam a Sole aver$am habent; ac frequenter jugo in circulum fere compo$ito inclu$æ valles quædam minores ani- madvertuntur; quarum medio monticuli, unus plure$ve rur- $um eminent. Ex qua vallium rotunditate argumentum $u- mebat Keplerus, Lunicolarum, cum ratione operantium, immen$as has e$$e molitiones. Sed hoc incredibile pror$us, tum ob nimiam earum magnitudinem; tum quod facile na- turalibus cau$is cavitates eju$modi orbiculares formari po$$int. Marium vero $imilitud<007>nem illic nullam, (et$i & ille, & alii _Carere ver@_ _mari_. plerique omnes contra $entiunt) reperio. Nam regiones planæ ingentes, quæ monto$is multo ob$curiores $unt; qua$- [0446]CHRISTIANI HUGENII que vulgo pro maribus haberi video, & oceanorum nomini- bus in$igniri; in his ip$is, longiori tele$copio in$pectis, ca- vitates exiguas ine$$e comperio rotundas, umbris intus ca- dentibus; quod maris $uperficiei convenire nequit: tum ip$i campi illi latiores non pror$us æquab<007>lem $uperficiem præfe- runt, cum diligentiùs eas intuemur. Quocirca maria e$$e non po$$unt, $ed materia con$tare debent minus candicante, quàm quæ e$t in partibus a$perioribus: in quibus rur$us quæ- _Fluviis_, dam vividiori lumine cæteris præcellunt. Nulli quoque flu- vii in Luna ine$$e videntur. Non enim effugerent aciem per$picillorum no$trorum; $altem $i inter montes aut ripas _Nubib{us}_, præaltas, ut no$tri plerique, laberentur. Sed neque nubes ullæ $unt unde pluviæ generentur ad $uppeditandum fluviis humorem. Si enim e$$ent, videremus eas nunc has nunc il- las Lunæ regiones obtegere, ac vi$ui no$tro $ubducere, quod nequaquam contigit, $ed perpetua apparet $erenitas.

Porrò nec aëre aut atmo$phæra Lunam cingi, qualis cir- _Aëre &_ _aqua_. cum Tellurem hanc ambit, manife$tum e$t. Quia $i qua ta- lis exi$teret, non po$$et extrema Lunæ ora tam præci$e cir- cum$cripta $pectari, quam $ubeunte $tella aliqua $æpe ani- madver$a e$t; $ed evanida quadam luce, ac velut lanugine finiretur, ut omittam vapores atmo$phæræ no$træ maximam partem ex aquæ particulis con$tare; ac proinde, ubi nulla $unt maria aut fluvii, non e$$e unde eorum copia $ur$um e- ducatur. Hæc igitur in$ignis differentia quæ Lunam inter Terramque no$tram reperitur, omnem fere aditum conje- cturis ob$truit. Nam $i maria amne$que ine$$e cernerentur, haud leve argumentum e$$et cæterum quoque Terræ ornatum ei convenire, veramque adeo e$$e Xenophanis opinionem, qui habitari in Luna dicebat, eamque Terram e$$e multarum urbium & montium. Nunc vero in $olo arido, & omnis aquæ experte, non videntur neque herbæ, neque animantia ex$tare po$$e, cum omnibus i$tis humor materiam & alimen- ta præ$tare debeat.

Anne igitur credendum, tantæ magnitudinis globum in _Hinc de ani-_ _mantibus &_ _$tirpib@@ in-_ _certiorem_ _conjecturam_ _e$$e_. hoc conditum e$$e ut noctu nobis lucem tenuem largiatur, [0447]COSMOTHEOROS, LIB. II. aut æ$tus maris cieat? Nemo erit qui pulcherrimo inde $pe- ctaculo fruatur Telluris no$træ in $e revolutæ, & nunc cum Europa Africam, nunc A$iam, nunc Americam o$tentantis; nunc plene, nunc dimidio orbe lucentis? Omnes item quæ Jovem ac Saturnum circun$tant Lunæ, æquè inutiles vacuæ- que ferentur? Non habeo equidem quod dicam, cum nulla ab re $imili conjectura $uppetat. Magis tamen probabile vi- detur ob corporum præ$tantiam, aliquid in $uperficie eorum geri, aliquid cre$cere ac vivere, qualecunque tandem id $it, & quantumlibet à rebus no$tris diver$um. Po$$et for$an $tir- pium animaliumque ibi vitam aliud quid, aquæ no$træ di$$i- mile, $u$tentare. Po$$et exiguus humor in terra, non æque ac no$tra, aquam combibente, $ufficere radiis Solis, unde rorem educerent, alendis herbis arboribu$que idoneum. Quod idem Plutarcho in mentem veni$$e video in eo qui de Facie in orbe Lunæ e$t dialogo. Nam neque apud nos, ni$i $umma maris $uperficie, ac tenui veluti pellicula opus e$$et, ad humorem terris, $ati$que $uppeditandum, quem Solis vis elicui$$et, quique in rorem tantum, non vero in nubes con- den$aretur. Sed hæ admodum leves $unt conjecturæ aut $u- $piciones potius, nec aliud habemus ex quo de Lunæ no- $træ, atque etiam reliquarum natura aliquid colligamus. Omnium enim, uti diximus, eadem putanda e$t; idque præ- _Jovis ac Sa-_ _turni Lunas,_ _non $ecus ac_ _no$tram Tel-_ _luri, ean-_ _dem partem_ _$uo Planetæ_ _obvertere_. ter adductam $uperius rationem, etiam hac alia confirmatur, quod $icuti Luna no$tra eandem perpetuò faciem ad nos ob- ver$am habet, ita & illæ Joviales ac Saturniæ ad $uos Plane- tas primarios. Mirum videatur hoc $ciri potui$$e; at non erat difficilis conjectura, po$tquam, ut paulo ante dixi, ani- madver$um fuit extremam Saturniarum tunc $olum con$pici, cum Planetæ huic ad occidentem po$ita e$t; ab oriente ve- ro $emper eam latere. Facile enim per$picitur id inde eve- nire, quod magna $ui parte ob$curiorem $uperficiem habeat hæc Luna; quæ pars ob$curior cum ad nos conver$a e$t, tunc cerni nequeat præ luminis tenuitate. Cumque $emper in orbitæ $uæ latere quod orientem $pectat ob$curata reperia- tur, in altero nunquam, manife$tum indicium e$t eandem [0448]CHISTIANI HUGENII globuli regionem $emper Saturnum re$picere, quoniam ex eo illud contingere nece$$e e$t. Quis vero jam dubitet, cum & illius omnium remoti$$imæ & no$træ Lunæ facies $emper eadem ex primario Planeta $uo $pectetur, quin idem in cæ- teris, quæ circa Jovem ac Saturnum volvuntur, natura effe- cerit? Cau$a vero quare id fiat vix aliunde peti pote$t, quam quod den$ior pondero$iorque materia $it Lunarum om@ium parte ea, quâ $emper à Planetis $uis aver$æ $unt. Sic enim ea ip$a pars majore vi à centro circuitus recedere contendet: cum alioqui, ex motus legibus, eadem $emper facies non ad Planetam, $ed ad fixas $tellas ea$dem, continue obverti de- buerit.

Porro ex hoc po$itu Lunarum ad Planetas $uos mira quæ- dam $pectacula evenire nece$$e e$t eas habitantibus, qui an $int aliqui, ut jam apparuit, multo incerti$$imum e$t; $ed qua$i e$$ent ponantur. Satis erit autem de no$træ Lunæ indi- _Lunæ incolis_ _$i qui $int,_ _qualis appa-_ _ritura $it cæ-_ _lorum con$ti-_ _tutio, die-_ _rum ratio,_ _&c_. genis dixi$$e. His igitur $ic in duo hemi$phæria globus ejus dividitur, ut qui alterum incolunt, $emper Telluris no$træ con$pectu fruantur, qui reliquum, $emper eo careant. Ni$i quod quidam, circa confinia utriu$que agentes, amittant eum per vices ac recuperent. Cernunt autem Gæo$copi illi Tel- lurem in æthere pendentem multo majorem quam quanta nobis Luna apparet, quippe ferè quadruplo ampliore dia- metro. Sed illud mirabile, quod nocte dieque eodem cœli loco velut immobilem perpetuo hærere vident; alii recta $u- pra caput defixam, alii certa altitudine ab horizonte di$tan- tem, quidam & in ip$o horizonte $itam: atque interea con- vertentem $e circum axem $uum, regione$que quas continet univer$as deinceps o$tendentem horarum viginti quatuor $pa- tio, atque eas quoque proinde (quod utinam videre liceret) quæ ad utrumque polum nobis incolis adhuc incognitæ ma- nent. Præterea & lumine cre$centem eam vident & immi- nutam men$trua periodo, atque ita per vices plenam, dimi- diatam, inque cornua tenuatam, eâdem formarum varietate quam Lunæ globus nobis exhibet. Sed lucem à Tellure no- $tra accipiunt quindecuplo majorem quam nos ab illa. Adeo [0449]COSMOTHEOROS, LIB. II. ut, in hæmi$phærio meliore, ad nos obver$o noctes in$i- gniter claras habeant; nec tamèn cum claritate illa ullus ad eos calor manare pote$t, et$i hoc aliter Keplero vi$um e$t. Sol verò $emel illis oritur $ingulis men$ibus no$tris, $emelque occidit, atque ita dies nocte$que, quindecuplo quam nos longiores habent, at inter $e æquales perpetuo æquinoctio. Qua dierum longitudine, quandoquidem non amplius ab il- lis quam à nobis Sol abe$t, nece$$e e$$et eos, quibus altè $u- pra horizontem a$cendit, æ$tu incommodo torreri, $i cor- pora eorum perinde ac no$tra afficiantur. A$cendit autem maximè iis qui circa confinia hemi$phæriorum, quæ diximus, incolunt, qui vero inde procul di$tant, ac circa regiones ha- bitant polis Lunæ $uppo$itas, non magis ob longos i$tos dies calebunt, quam qui circa I$landiam aut novam Zemblam æ- $tivo tempore cetos pi$cantur; qui per$æpe frigora ingentia, ip$ius $ol$titii tempore, ac trium licet men$ium diebus, ex- periuntur. Sunt autem poli Lunæ, quos circum $tellæ fixæ converti cernuntur in ea habitantibus, nequaquam iidem qui nobis, neque etiam cum Eclipticæ polis conveniunt, $ed his circunferuntur, quinque gradibus $emper di$tantes, id- que periodo annorum novendecim. Anni autem $patium idem illic quod nobis; quod motu fixarum metiuntur ac re- ver$ione earum ad Solem. Idque iis perfacile e$t, cum diei tempore, non minus quam noctu, $tellas con$piciunt, nihil impediente Solis claritate; quoniam, ut $upra o$ten$um e$t, nullam vaporum $phæram habent; $ine qua & nos interdiu cœlum $ideribus plenum a$piceremus. Nec vero nubes quo- que ullæ unquam ob$tant ob$ervantibus, adeo ut cur$us Pla- netarum melius quàm nos inve$tigare po$$int; $ed tamen dif- ficilius multò verum $y$tema reperire. Quoniam incipienti- bus $tare Terra $ua videri debuit, in quo eos longius quàm nos error abduxit.

Hæc omnia vero ad Jovis & Saturni Lunas referuntur, quibus idem quod nobis Tellus e$t, $ui $unt primarii Plane- _Quod ad Jo-_ _vis & Satur-_ _ni Lunas fa-_ _cile transfer-_ _re e$t@_ tæ. Singula autem diei nocti$que $patia $imul $umpta, cu- ju$que Lunæ periodus metitur, quas $upra annotavimus. [0450]CHRISTIANI HUGENII Quo fit ut Saturni quintam incolentibus, cujus periodus die- rum no$trorum erat 80, eveniant $ui dies nocte$que no$tris quadraginta æquales. Ii$dem vero, propter Saturni revo- lutionem tricennalem, fiunt æ$tates hyeme$que $ingulæ an- norum no$trorum quindecim. Itaque tum propter tam lon- ga frigora, tamque longos $omnos vigilia$que; etiam$i nil aliud e$$et, plane aliam quam apud nos vitam illic fore ma- nife$tum e$t.

Explicuimus igitur hactenus, quæ ad Planetas primarios $ecundario$que Solem circundantes $pectant. Hinc vero priu$quam ad Solem ip$um & $tellas fixas, tertium nempe genus cœle$tium corporum, pergamus, operæ pretium vide- tur, ut magnitudinem, ac magnif<007>centiam totius Solaris mundi, aliqua ratione, atque evidentius quam hactenus fa- ctum $it, exprimamus. Quod quidem $chemate in foliis hi$- ce de$cripto haudquaquam po$$umus, propter parvitatem corporum Planetar<007>orum ad va$ti$$imas orbitas $uas collato- rum. Sed verbis $upplebitur quod de$criptione perfici ne- quit. Itaque repetitâ figurâ quam $uperioris libri initio po- TAB. LIV. fig. 1. _Solaris mun-_ _di $ecundum_ _veram pro-_ _portionem_ _d@$criptio_. $uimus, cogitetur ei $imilis ac proportione re$pondens, $ed quæ de$cripta $it in ampli$$ima politi$$imaque areæ cuju$dam planitie, cujus extremus circulus, Saturni orbem referens, trecentos $exaginta pedes $emidiametro contineat. In cujus deinde circunferentia globus Saturni cum $uo ponatur An- nulo, quantus in figura altera cernitur, ubi Solis & Plane- TAB. LV. fig. 1. tarum $unt corpora. Cæterique $imiliter globi in $ua qui$- que orbita collocentur; inque medio omnium Sol qua ma- gnitudine ibi de$ignatur, quatuor nempe pollicum diametro. Ita Telluris circuitus, quem _magnum orbem_ vocant A$tro- nomi, $emidiametrum $ortietur pedum triginta & $ex. In quo Tellus ip$a milii grano non major circunferri cogitanda e$t; eique comes Luna, vix punctum vi$ibile $uperans, in circello paulo plus quam duos pollices lato; velut in ad$cri- pto hic diagrammate. In quo linea A B circunferentiæ par- TAB. LV. fig. 2. tem refert ejus, quam diximus, Telluris orbitæ, cujus tri- ginta & $ex pedes continet $emidiameter. In ea Tellus e$t [0451]COSMOTHEOROS, LIB. II. circellus C: Lunæ vero circum eam via, circulus D E; in quo Lunæ corpu$culum quale ad D expre$$um e$t.

Saturniarum vero Lunarum exterior in circulo feretur cu- jus $emidiameter pollicum 29. Jovialium item exterior in minore aliquanto, cujus $emid. poll. 19 {1/4}.

Sic demum habebitur germanus & omni proportione perfe- ctus $olaris Regiæ typus, in quo jam Tellus duodecim mille diametris $uis à Sole aberit. Cujus $patii amplitudo $i mil- liarium numero de$ignanda $it, plus quam $eptemdecim mil- liones, ut vocant, milliarium Germanicorum comprehen- det. Sed melius forta$$e hanc va$titatem animo concipiemus, $i motus cuju$dam celeritate eam metiamur, He$iodi Poëtæ exemplo; qui altitudinem cœli, & Tartari profunditatem æquis $patiis definiens, novem dierum noctiumque lap$u, fer- ream incudem è cœlo dimi$$am, ad terram decimâ perveni- re $crip$it; ac tanto quoque tempore è Terræ $uperficie ca- dentem ad Tartara ferri. Nos vero non incudis lap$um $ed continuam potius celeritatem globi ex majore tormento emi$- $i huc adhibebimus; quem $ingulis horæ $ecundis $crupulis, $ive arteriæ pul$ibus, centum circiter hexapedas conficere experimentis compertum e$t, quæ in Bali$ticis Mer$ennus commemorat; cum $onus eo tempore ad centenas octogenas extendatur.

Ajo igitur, $i ex Terra ad Solem tanta illa celeritate glo- _Immen$itas_ _intervallo-_ _rum inter So-_ _lem & Pla-_ _netas, illu-_ _$tratur com-_ _paratione_ _cum motu_ _globi è tor-_ _mento emi$$@_. bus continuè feratur, fere annos 25 e$$e in$umpturum ante- quam iter hoc peragat. Ut proinde à Jove ad Solem 125 annis opus habeat, à Saturno 250. Et hic quidem calculus ex men$ura Terræ diametri pendet, qui ex probatioribus Gal- lorum ob$ervationibus e$t hexapedarum Pari$ien$ium 6538594. cum gradus unus circuli maximi efficiat hexapedas 57060. Quanta itaque $int i$torum orbium $patia, quamque exilis, eorum re$pectu, Telluris globulus, in quo tam multa homi- nes molimur, tantum navigamus, tot bella gerimus, ex his intelligitur. Quod utinam di$cant cogitentque Reges & Mo- narchæ no$tri; ut $ciant quantilla in re laborent cum de an- gulo aliquo terræ occupando totis viribus, magno multorum [0452]CHRISTIANI HUGENII malo, contendunt. Sed ad no$tra revertamur, ac de Sole videamus, cujus jam $imul ad Planetas & eorum orbitas ma- gnitudinem ampla illa de$criptio, quam expo$uimus, demon- $trat.

In hoc igitur ip$o Sole non improbabile quibu$dam vi$um _In Sole_ _omnem con-_ _jecturam de-_ _ficere_. e$t animalia vivere po$$e. Sed cum multo magis etiam, quam in Lunis, conjectura omnis hic def@ciat, ne$cio qua ratione id ita e$$e opinati $int. Non enim adhuc planè compertum e$t, utrum dura an liquida $it va$ti illius globi materies; et$i propter lucis naturam, quam aliàs explicui, magis veri$imile $it liquidam e$$e; quod etiam perfecta rotunditas ejus, lu- menque per totam $uperficiem æqualiter diffu$um $uadere vi- detur. Nam exigua quædam in di$ci circunferentia apparens inæqualitas, quæ tele$copiis, nec tamen $emper, cernitur, & ex qua miros _undarum fluctus, flammarumque eructatio-_ _nes,_ nonnulli $ibi fingunt, nihil aliud e$t quàm vaporum prope Terram no$tram tremula agitatio, quæ & $tellas noctu $cintillare $acit. Neque ego $aculas illas, quas unà cum ma- _Faculas So-_ _lares incertas_ _videri_. culis fere omnes celebrant, unquam videre potui, et$i has $æpius $pectaverim; ac valde dubito an aliquid in Sole, ip$o Sole luc<007>dius appareat. Invenio enim, fideliores ob$ervatio- nes con$ulens, non ni$i in nubeculis illis $ubfu$cis, quæ ma- culas plerumque circundant, aliquando $olæ feruntur, pun- cta quædam clariora interdum notari, quæ non mirum e$- $et, propter ob$curitatis illius viciniam, $plendidiora quam $int videri. Summum quidem in Sole calorem, fervorem- _Propter calo-_ _rem nulla il-_ _lic vivere_ _copora no$tris_ _$imilia_. que e$$e, certo credendum e$t, in quo nihil omnino no$tro- rum corporum $imile vivere po$$it, aut momento $upere$$e. Itaque aliud genus viventium animo concipiendum e$$et, lon- geque ab omni natura eorum quæ unquam vidimus, aut co- gitavimus, diver$um. Quod $ere idem e$t ac $i dicamus ni- hil hic conjectando nos con$equi po$$e. E$t quidem tam præ$tans, tantæque molis corpus haud dubiè maxima ratio- ne, ac propter in$ignem u$um aliquem creatum. Sed an non apparet jam abunde utilitas ejus in mirabili illa lucis ca- lori$que in totum Planetarum circum$tantium chorum effu- [0453] [0453a] Pag. 712. TAB. LV. Fig. 1. _Sol_. _Sat_. _Jup_. _Mars_ _Tellus_ _Venus_ _Merc_. Fig. 2. D A C B E [0454] [0455]COSMOTHEOROS, LIB. II. $ione; ex qua univer$o animantium generi non vita $olum con$tat, $ed & jucunda ut $it efficitur_?_ Idque non in exiguis $olum, qualis Tellus no$tra, $ed & in tanto majoribus Jo- vis & Saturni globis, quorum non e$t contemptibilis ad So- lem collata magnitudo. Hæc quidem tanta $unt ut nihil mi- rum $it eorum gratia duntaxat Solem e$$e conditum. Nam quod Keplerus opinabatur, aliud quoque illi delegatum e$- $e munus, ut nempe omnium circum ambientium Planetarum motus in $uis orbibus incitaret, propria $ua circa axem con- ver$ione, quod in Epitome $y$tematis Copernicei multis comprobare conatur, non po$$um a$$entiri, propter ea quæ in $equentibus dicentur.

Solem ex $tellis inerrantibus unam e$$e, ante Tele$copii _Stellas fixas_ _totidem e$$e_ _Soles_. inventionem, adver$ari videbatur Copernici $ententiæ; quia cum $tellæ, quæ dicuntur primæ magnitudinis, cen$erentur trium $crupulorum diametro, e$$entque $ecundum Coperni- cum tam procul remotæ, ut totus ille Orbis magnus, quo Terra defertur, velut puncti in$tar e$$et ad $phæram affixarum com- paratus; quandoquidem toto anni tempore, et$i locum Ter- ra mutaret, nihil mutari cernerentur $tellarum di$tantiæ; $e- quebatur $ingulas earum, quæ cæteris clariores apparent, ma- jores e$$e toto illo magni orbis ambitu: quod ab$urdum erat. Atque hoc, ut palmarium contra Copernici doctrinam ar- gumentum, Tycho Braheus objectabat. Sed po$tquam ra- dios $tellarum nudo vi$u apparentes, Tele$copia $u$tu- lerunt; (quod ita optimè faciunt, $i lens oculo proxi- ma flammæ afflatu ob$curetur) atque ita haud aliter eas ac puncta lucentia $pectandas præbuerunt; pror$us $ubla- ta quoque e$t ea difficultas, nec quidquam jam impedit quo minus $tellæ i$tæ pro totidem Solibus habeantur. Idque eo probabilius redditur, quod con$tet propria luce $ua eas lu- cere: tanta enim e$t di$tantia, ut à Sole illam mutuari ne- quaquam po$$int. Singulas vero Sole minores non e$$e ni- hil credi vetat, cum ex tam immen$o intervallo tam vividum lumen fundant. Hanc itaque $ententiam nunc pa$$im tenent qui Copernici $y$tema amplectuntur. Qui recte quoque hoc _Eas $pargi_ _per va$ta cal@_ [0456]CHRISTIANI HUGENII $tatuunt, non in una eademque $uper$icie hærere $tellas i$tas; _$patia, &_ _alias ab aliis,_ _ut proximas_ _à Sole remo-_ _veri_. tum quod nulla ratio hoc $uadeat, tum quod in eandem $phæram Sol, qui earum una e$t, referri nequeat. Itaque veriùs e$$e $pargi eas per va$ta cœli $patia, quantumque à Terra aut Sole ad proximas interjacet, tantum circiter ab his e$$e ad $equentes, atque inde rur$us ad alias, continuo pro- gre$$u.

Scio etiam hic aliud $entire Keplerum, in ea, quam di- ximus, Epitome. Quamquam enim exi$timet tota cæli pro- funditate $tellas di$$eminatas e$$e, vult tamen Solem hunc _Nec Solem_ _præ cæteris_ _eminere con-_ _tra Keple-_ _rum notatur_. no$trum multo amplius $patium circa $e habere, qua$i $phæ- ram vacuam, $upra quam con$ertius $tellis cœlum inci- piat. Putabat enim alioqui futurum ut paucæ tantum $tel- læ numerarentur nobis, eæque $umma magnitudinis diver$i- tate: _nam cum omnium maximæ tam appareant parvæ, ut_ _vix in$trumentis po$$int notari aut men$urari, con$equens_ _e$$e ut quæ duplo aut triplo &c. di$tarent longius, duplo_ _& triplo appareant minores, po$itis æqualibus ip$is veris_ _magnitudinibus; citoque veniatur ad eas quæ penitus fiant_ _in$en$ibiles: atque ita pauci$$imas vi$um iri $tellas, ea$que_ _in maxima differentia;_ cum contra amplius quam mille ob- $erventur, nec magnitudine ita multum diver$æ. Sed ex his nequaquam id quod ille intendit evincitur; ac præcipue in eo deceptus $uit, quod non advertit ignium, & flammæ eam e$$e naturam, ut ex maximis intervallis cerni po$$int, ii$que unde alia corpora, æque exiguis angulis comprehen- $a, pror$us evane$cant. Quod vel lucernæ comprobant, quæ per urbium no$trarum vicos noctu incenduntur. Quæ cum ad centenos pedes inter $e di$tent, tamen earum viginti & plures, in continua $erie magis magi$que remotas, numera- re licet, et$i vice$imæ flammula vix 6 $ecundorum $crupulo- rum angulo con$piciatur. Idem vero multo magis fieri ne- ce$$e e$t in eximia illa $tellarum luce; adeo ut nihil mirum $it, ad mille aut duo millia earum, oculis notari po$$e; Tele$co- piis vero adhibitis, etiam vigecuplo plures deprehendi. Sed $uberat ratio, cur Keplerus Solem præ reliquis $tellis præci- [0457]COSMOTHEOROS, LIB. II. puum quid habere cuperet; circumque eum e$$e unicum, in Natura, Planetarum $y$tema, idque mundi medio $itum. Hi$ce nimirum opus habebat ad confirmandum my$terium Co$mographicum $uum, quo certis quibu$dam proportioni- bus re$pondere volebat Planetarum à Sole di$tantias diame- tris $phærarum, quæ corporibus polyedris Euclideis in$cri- buntur & circun$cribuntur $ingulis. Quod tum demum veri- $imile videri poterat, $i in mundo univer$o unus tantum e$- $et circa Solem aberrantium $iderum chorus, adeoque & Sol ip$e $olus $ui generis.

Sed my$terium illud totum, $i bene perpendatur, $omnium quoddam ex Pythagoræ aut Platonis Philo$ophia enatum e$- $e apparet. Nec proportiones $atis quadrant, ut ip$e quoque auctor agno$cit; $ed, cur hoc ita $it, alias cau$as plane frivolas commini$citur. Idem levioribus etiam argumentis probat ex- tremam mundi $uperficiem, $tellas omnes continentem, $phæ- ricæ e$$e figuræ; ac numerum præterea earum nece$$ariò e$$e fi- nitum, exeo quod $ingularum finita $it magnitudo. Illud vero vani$$imum, quod à Sole, ad $uperficiem cavam $phæræ fixa- rum, definit $patium $exies centena millia Terræ diametrorum. Quoniam $cilicet, $icut Solis diameter ad diametrum Orbitæ Saturni; quos inter $e e$$e $tatuit ut 1 ad 2000; ita $it hic dia- meter ad illum $phæræ fixarum interioris; quod nulla ratio- ne nititur. Atque hæc quidem Viro $ummi ingenii, magno- que A$tronomiæ in$tauratori excidi$$e mirum e$t. Nos vero unà cum præcipuis no$træ ætatis Philo$ophis, ne dubitemus eandem $tellarum earum & Solis naturam exi$timare. Ex quo _Nihil impe-_ _dire, quo mi-_ _nus creda-_ _mus circa_ _unamquam-_ _que ex fixis,_ _ut circa So-_ _lem, e$$e_ _Planetas_. jam mundi idea multo major na$citur, quam quæ ex hacte- nus traditis percipiebatur. Quid enim nunc prohibet, quin unamquamque ex $tellis hi$ce, $ive Solibus, haud aliter ac Sol no$ter, circum $e Planetas habere putemus, quæ rur$us $uis Lunis $tipatæ $int_?_ Imo hoc ita $e habere, manife$ta ecce ratio $uadet. Etenim $i cogitatione in cœli regionibus nos ponamus, non minus à Sole, quàm fixis $tellis, remo- tos; nihil quicquam di$criminis ha$ce inter atque illum tunc e$$emus animadver$uri. Longè enim abe$t ut corpora Pla- [0458]CHRISTIANI HUGENII netarum, Solem ambientium, con$pecturi $imus, vel ob te- nu<007>$$imam eorum lucem, vel quod univer$æ, quibus $erun- tur, orbitæ in unum idemque lucidum punctum cum Sole confunderentur. Hic igitur po$iti, merito eandem omnium $tellarum rationem naturamque e$$e exi$timaremus; & ex una, propius in$pecta, de cæteris quoque judicari po$$e ni- h<007>l amb<007>geremus. At nunc Dei benignitate, ad unam ex ip$is, Solem videlicet no$trum, admoti $umus, ac tam pro- pe acce$$imus, ut circum eam $ex minores globos converti cernamus; & circa horum quo$dam, alios obire $ecunda- rios. Cur itaque non eo judicio nunc utamur; ac pror$us veri$imile putemus non $olam hanc $tellam tali comitatu cin- gi, aut aliqua in re cæteris præminere_?_ Neque etiam $olam circum axem $uum converti; $ed potius cæteras omnes ea- dem hæc $imilia habere_?_ Ergo hac ratione etiam cuncta illa quæ in Planetis circum$olaribus ine$$e, ad Terræ no$træ $i- militudinem di$$eruimus, con$entaneum erit, ut ad innu- meros Planetas alios, tot mille Solibus additos, æquè per- tinere credamus. Eruntque & illic $tirpes & animalia, at- que etiam ratione in$tructa, quæ cœli convexa mirentur, & fidera ob$ervent, motu$que eorum intelligant; atque omnia denique habeant, $ine quibus neque hæc haberi po$$e $upra o$tendimus.

Quam mirabilis igitur quamque $tupenda mundi amplitu- do & magnificentia jam mente concipienda e$t. Tot So- les, tot Terræ, atque harum unaquæque tot herbis, arbo- ribus, animalibus, tot maribus, montibu$que exornata. Et erit etiam unde augeatur admiratio, $i quis ea, quæ de fixa- rum $tellarum di$tantia & multitudine hi$ce addimus, per- penderit.

Tantam igitur e$$e di$tantiam hanc, ut quæ Solem Ter- ramque interjacet, Terræque diametrorum duodecim millia continet, ei comparata, exilis plane habenda $it, non una ratione con$tat: atque hac inter cæteras, quod $i proximæ quædam inter $e $tellæ notentur, quæ claritate plurimum differunt; velut in media caudæ, (quæ duplex e$t) Ur$æ [0459]COSMOTHEOROS, LIB. II. majoris; nulla apparentis intervalli earum mutatio animad- vertitur, quocunque anni tempore $pectatarum; quod ta- men fieri nece$$e e$$et, propter diver$as vi$us po$itiones per annui Orbis ambitum, orireturque parallaxis aliqua $i, ut con$entaneum e$t, propior $it $tella quæ lucidior apparet. Qui autem ante nos de$iniendi tam va$ti $pat<007>i rationem inie- runt, nihil certi comprehendere potuerunt, propter nimiam ob$ervationum nece$$ariarum $ubtilitatem, quæque omnem diligentiam $uperet. Itaque mihi unica hæc via $upere$$e vi- $a e$t, quam nunc in$i$tam, qua $altem veri$imile quid in re tam exploratu ardua con$equamur. Cum ergo $tellæ ut jam diximus, totidem $int Soles; $i earum aliquam Soli æqua- lem e$$e $umamus, erit illius tanto major quam Solis di$tan- tia, quanto apparens diameter diametro Solis minor erit. Sed tam exiguæ apparent $tellæ, etiam quæ primæ $unt ma- _Modus pro-_ _babiliter in-_ _ve$tigandi_ _di$tantiam_ _fixarum à_ _Sole_. gnitudinis, atque etiam Tele$copio $pectatæ, ut veluti pun- cta lucentia $ine vi$ibili latitudine re@ulgeant. Quo fit ut eju$modi ob$ervationibus nulla earum men$ura deprehendi po$$it. Cum itaque hac non $uccederet, tentavi qua ratio- ne Solis diametrum ita imminuere po$$em ut non majorem lucem quam Sirius, aut aliud è clarioribus $ideribus, ad ocu- lum mitteret. Ergo occlu$i rur$us, ut $upra, tubi duode- cimpedalis vacui aperturam alteram lamella tenui$$ima, cu- jus medio tam exiguum effeci foramen, ut Lineæ partem duodecimam non $uperaret, $ive pollicis cente$imam qua- drage$imam quartam. Hunc tubum ea parte ad Solem ob- verti; altera oculo admovi; qui tunc particulam Solis cerne- bat, cujus diameter, ad totius diametrum, erat ut 1 ad 182. Sed eam particulam multo clariorem comperiebam, quàm noctu Sirius apparet. Itaque cum longè magis arctandum Solis diametrum viderem, id ita effeci, ut, in perforata e- ju$modi lamina, vitreum globulum objicerem minuti$$imum, pari circiter diametro ac prius illud foramen habebat; quo globulo ad micro$copia antehac u$us fueram. Ita per tubum in Solem intuenti, contecto undique capite, ne quid diei lux turbaret, non minor ejus claritas quam Sirii videbatur. [0460]CHRISTIANI HUGENII Atqui, ex Dioptrices legibus in$tituro calculo, fiebat jam Solis diameter {1/152} ejus par@iculæ cente$imæ octoge$imæ $ecun- dæ, quam, per foramen exiguum, prius con$pexeram. Du- ctis autem in $e {1/152} & {1/182}, fit {1/27664}. Ergo eou@que contracto Sole, vel eou$que remoto, (erit enim effectus idem) ut dia- meter ejus $it {1/27664} ejus, quem in cœlo intuemur, $upere$t illi lux quæ Sir<007><007> luci non cedat. Solis vero eou$que remo- ti di$tantia erit nece$$ario, ad eam quam nunc habet, ut 27664 ad 1: & diameter paulum excedet 4 $cr. tertia. Ita- que cum æqualis ei Sirius ponatur, $equitur Sirii quoque diametrum totidem e$$e eju$modi $crupulorum; di$tantiam- que itidem, ad eam qua à Sole ab$umus, ut 27664 ad 1. Quod quàm incredibile $it intervallum, apparebit eadem ra- tione, quam in æ$timanda Solis di$tantia adhibuimus. Nam $i 25. annis opus habebat tormenti bellici globus, continua velocitate, quanta exploditur, incedens, ut à Terra ad So- lem perveniret; jam numerus 27664 vicies quinquies du- cendus e$t, atque ita fiunt 691600, adeo ut penè $eptingen- ta annorum millia in$umpturus $it globus, in tanta celeritate $ua, priu$quam ad proximas $tellarum inerrantium perve- niat. Atque ad has $tellas $erena nocte oculos circumferen- tes, quantum horum judicio comprehendere po$$umus, vix aliquot milliaribus $upra verticem eas ex$tare putamus. Quæ- $ivi vero de proximis tantum. Cæteræ enim cum, ut jam diximus, iis $patiis in ulteriora cœli recedant, ut non mino- ra $int deinceps à propioribus ad $equentes, quàm à Sole ad i$tas, quanta immen$itas $upere$t! Si enim plures quàm mille, nudo vi$u notantur; tele$copiis verò decuplo aut vi- gecuplo amplius; quomodo $ciri pote$t aut definiri, quanta $it multitudo ulteriorum, quas neque hoc auxilio attingere licet: aut quis numerus nimis magnus dicendus e$t, $i ad Dei potentiam $pectemus_?_ Etenim, $æpe hæc cogitanti mihi, in mentem venit, tanrùm in primis numerorum exordiis cal- culos omnes no$tros ver$ari. E$$e enim in $erie eorum in- finita, qui non tantùm viginti aut triginta, aut centum, aut mille notis $cribantur in progre$$ione no$tra denaria; $ed [0461]COSMOTHEOROS, LIB. II. qui tot characteribus con$tent, quot arenæ grana in tota Telluris mole continerentur. Quis verò dicere audeat tali numero non majorem e$$e multitud<007>nem $tellarum inerran- tium_?_ Nam longè ulterius progre$$i $unt, qui infinitam e$$e dixerunt; ut Veterum aliqui, atque et<007>am Jordanus Brunus; qui pluribus argumentis hoc $e ev<007>ci$$e putat, $ed, ut m<007>hi videtur, parum firm<007>s. Nec tamen contrarium quoque per- $picuis rationibus probari po$$e exi$timo. Illud con$tat, $pa- tium naturæ un<007>ver$æ infinitè undique protendi; at nih<007>l ob- $tat, quin, ultra defin<007>tam $tellarum regionem, res al<007>as in- numeras Deus effecerit, à cogitationibus no$tris, æque, ac $ed<007>bus, remotas.

Quid $i verò nec innumeras quidem condidit, $ed ultra eas vacuum rel<007>quit infinitum; ut totum illud, quod ex$tare voluit, veluti nihil $it præ iis quæ producere ejus omnipo- tentia potui$$et_?_ Sed ulteriorem horum inqui$it<007>onem, to- tamque illam de infinito difficillimam di$putationem per$equi omitto, ne ad tot maximarum rerum comprehen$ionem, qua jam defunct<007> $umus, novus labor accedat. Ea tantùm h<007>c $ubjungam, ex qu<007>bus, quænam $it no$tra de toto mun- di $patio opinio, cogno$catur; quatenus nempe Solibus $eu $tellis inerrantibus patet, quibus $ua circumponi plenetaria $y$temata, probab<007>le e$$e antea o$tendimus.

Exi$t<007>mo itaque unumquemque Solem circumdari vortice _Unumquem-_ _que Solem_ _vortice c<007>ngi,_ _$ed Carte$ia-_ _nis multum_ _di$$imili;_ _contra quem_ _pluribus di$-_ _putatur_. quodam materiæ celeriter motæ, $ed qui multum di$$imiles $int Carte$ian<007>s ill<007>s, tum $patii ratione, tum motus genere, quo in illis materia agitetur. Ea enim apud Carte$ium e$t vorticum amplitudo, ut qui$que eorum alios $e circum$i$ten@ tes contingat, occurrens $ingulis plana $uper$icie, veluti cum in aqua $apone imbuta bullarum cumulos pueri inflant: mo- veri vero univer$am cuju$que materiam $tatuit, in partem eandem rotando. At hunc motum non parum impediri o- porteret, propter angulo$am vorticum $uperficiem. De<007>nde cum $it eju$modi, ut, velut circa axem cylindri, mater<007>a tota feratur, exoritur ei po$tea non exigua difficultas, cum globo$am Sol<007>s formam ex hoc motu deducere conatur: fru- [0462]CHRISTIANI HUGENII $tra pror$us, atque iis rationibus, quæ incautis aliquid e$- $e videantur, cum reip$a nihil explicent. Vu@t præterea innatare, ac circunferri cum hac materia ætherea, Plane- tas; atque ea ratione videlicet in $uis orbibus eas retine- ri, quòd non majore vi, quàm ip$amet, à centro mo- tus recedere conentur. Sed hic ex A$tronomicis com- plura objiciuntur, de quibus aliqua attigimus in diatriba de cau$$is gravitatis. Ubi & aliam rationem expo$uimus, quæ Planetas intra orbium $uorum limites contineret. Ea e$t gravitas eorum Solem ver$us; quæ unde exoriatur o$- tendimus, quamque eo magis miror Carte$ium præterii$- $e, quod de gravitate, qua corpora in Terram ferun- tur, primus $olito meliora adferre cœpi$$et. Refert Plu- tarchus in libro $upra memorato de Facie in orbe Lu- næ, fui$$e jam olim qui putaret ideo manere Lunam in Orbe $uo, quod vis recedendi à Terra, ob motum cir- cularem, inhiberetur pari vi gravitatis, qua ad Terram accedere conaretur. Idemque ævo no$tro, non de Lu- na tantum, $ed & Planetis cæteris $tatuit Alphon$us Bo- rellus; ut nempe Primariis eorum gravitas e$$et Solem ver- $us; Lunis vero ad Terram, Jovem, ac Saturnum, quos comitantur. Multoque diligentius $ubtiliu$que idem nu- per explicuit I$acus Neutonus, & quomodo ex h<007>s cau- $is na$cantur Planetarum orbes Elliptici, quos Keplerus excogitaverat; in quorum foco altero Sol ponitur. Opor- tet autem, $ecundum no$tram de natura gravium $enten- tiam, quò Planetæ ad Solem $uo pondere incl<007>nent, vor- ticem turbinemve materiæ cœle$tis circa eum converti non totum in ea$dem partes, $ed ita ut variis motibus, ii$que celerrimis in omne latus $ecundum diver$as $ui portiones rapiatur, nec tamen dilabi po$$it, propter circun$tantem ætherem, qui non tali nec tam celeri motu agitetur. Hu- ju$modi vortice gravitatem corporum in Terram, eju$que effectus omnes explicare conati $umus, in ea, cujus me- mini, diatriba. @ademque, ut puto, e$t ratio gravitatis Planetarum Solem ver$us; & ex his quoque tam Terræ [0463]COSMOTHEOROS, LIB. II. no$træ, quàm cæterarum, atque etiam Solis, rotunditas con$equitur; quæ in Carte$iana hypothe$i tantum habet in- commodi.

Porro & $patia horum vorticum, ut dixi, multo quam ille contractiora pono. Sic enim fere eos $tatuo in va- $ta cœli profunditate di$per$os, quemadmodum turbines aquæ exiguos, hinc inde in $patio$o lacu $tagnove, bacu- li ag<007>tatione, excitatos, ac magnis intervallis toti$que $ta- diis di$tantes. Et $icuti horum motus nequaquam ab u- nis ad al<007>os perveniunt, nec proinde $e$e mutuo impe- diunt; ita quoque cœle$tium vorticum motus, circum a$tra aut Soles, $e habere exi$timo.

Itaque neque alii alios de$truere po$$unt aut ab$orbere, quemadmodum finxit Carte$ius, cum o$tendere vellet quo- modo $tella aut Sol aliquis vertatur in Planetam. Appa- ret autem, cum hæc $criberet, non attendi$$e eum ad im- men$am $tellarum inter $e di$tantiam; idque vel ex hoc uno, quod, cum primum Cometes aliquis intra vorticem no$trum, cujus centrum Sol occupat, de$cendit; vult eum nobis vi$ibilem fieri, quod e$t ab$urdi$$imum. Quomodo enim, $idus eju$modi, quod ex Solis lumine repercu$$o tantummodo $plendet; ut cum pleri$que Philo$ophis ip$e $tatu<007>t; quomodo, inquam, po$$et con$pici à tanto in- tervallo, quod $altem decies millies contineret illud quod à Terra ad Solem e$t. Non enim ignorare poterat va- $ti$$imum, circa Solem undique exten$um, $patium; cum $ciret in Copernici $y$temate orbem magnum, hoc e$t, orbitam Terræ, velut punctum e$$e cum illo compara- tum. Sed tota hæc de Cometarum, atque etiam de Pla- netarum, & mundi origine, commentatio apud Carte- $ium tam levibus rationibus contexta e$t, ut $æpe mi- rer tantum operæ in talibus concinnandis figmentis eum impendere potui$$e. Mihi magnum quid con$ecuti vi- debimur, $i quemadmodum $e$e habeant res, quæ in natura ex$tant, <007>ntellexerimus; à quo longi$$ime etiam [0464]CHRISTIANI HUGENII COSMOTH. L. II. nunc ab$umus. Quomodo autem quæque effectæ fue- rint, quodque $unt, e$$e cœperint, id nequaquam hu- mano ingenio excogitari, aut conjecturis attingi po$$e, exi$timo.

FINIS. [0465] CHRISTIANI HUGENII OPERA MISCELLANEA. TOMUS QUARTUS. [0466] Tomi quarti contenta. _De_ Ratiociniis _in_ LUDO ALEÆ. # 723. NOVUS CYCLUS HARMONICUS. # 745. Varia _de_ OPTICA. # 755. Experimenta Phy$ica. # 767. [0467] DE RATIOCINIIS IN LUDO ALEÆ AUCTORE CHRISTIANO HUGENIO. [0468] [0469] CHRISTIANUS HUGENIUS Clari$$imo Viro, D. FRANCISCO SCHOTENIO _S. D._

_C_Um in editione eleganti$$imorum ingenii tui monumentorum, quam præ manibus nunc habes, Vir Clari$$ime, id inter cæ- tera te $pectare $ciam, ut varietate re- rum, quarum tractationem in$titui$ti, o$tendas quam latè $e protendat divina Analytices $cien- tia, facilè intelligo etiam illa plurimùm propo$ito tuo in$ervire po$$e, quæ de aleæ ratiociniis con$crip$imus_;_ quantò enim minus rationis terminis comprehendi po$$e videbantur, quæ fortuita $unt atque incerta, tantò admirabilior ars cen$ebitur, cui i$ta quoque $ubjacent. Quare cum in tui gratiam primùm illa exponenda $u$- ceperim, túque digna exi$times, quæ $imul cum $ubti- li$$imis tuis inventis in lucem exeant, adeo tibi non re- fragabor, ut etiam è re mea e$$e exi$timem bâc po- ti$$imùm ratione ip$a in manus hominum pervenire. Quippe cum in re levi ac frivola operam colloca$$e vi- deri alioqui po$$em, non tamen pror$us utilitatis expers ac nullius pretii cen$ebitur, quòd tu veluti inter tua [0470]PRÆFATIO. adoptaveris, nec $ine multo labore è vernacula lingua no$tra in Latinam converteris. Quanquam, $i quis penitiùs ea quæ tradimus examinare cœperit, non du- bito quin continuò reperturus $it rem non ut videtur lu- dicram agi, $ed pulchræ $ubtil<007>$$imæque contemplationis fundamenta explicari. Et Problemata quidem quæ in hoc genere proponuntur, nihilo minus profundæ inda- ginis vi$um iri confido, quam quæ Diophanti libris continentur, voluptatis autem aliquanto plus habitura, cum non, $icut illa, in nuda numerorum con$ideratio- ne terminentur. Sciendum verò, quod jam pridem <007>nter præ$tanti$$imos totâ Galliâ Geometras calculus hic agitatus fuerit, ne quis indebitam mihi primæ inven- tionis gloriam hac in re tribuat. Cæterùm illi, diffi- cillimis quibu$que quæ$tionibus $e invicem exercere $oli- ti, methodum $uam qui$que occultam retinuêre, adeo ut a primis elementis univer$am hanc materiam evol- vere mihi nece$$e fuerit. Quamobrem ignoro etiam- num an eodem mecum principio illi utantur_;_ at in re- $olvendis Problematîs pulchrè nobis convenire $æpenu- mero expertus $um. Horum Problematum nonnulla in $ine operis addidi$$e me invenies, omi$$a tamen analy- $i, cum quod prolixam nimis operam po$cebant, $i per- $picuè omnia exequi volui$$em, tum quod relinquen- dum aliquid videbatur exercitationi no$trorum, $i qui erunt, Lectorum. Vale.

Dat. Hagæ Com. 27 Apr. 1657.

[0471] DE RATIOCINIIS IN LUDO ALEÆ.

ET$i lu$ionum, quas $ola $ors moderatur, in- certi $olent e$$e eventus, attamen in his, quanto quis ad vincendum quàm perdendum propior $it, certam $emper habet determina- tionem. Ut $i quis primo jactu unâ te$$erâ $enarium jacere contendat, incertum quidem an vincet; at quantò veri$imilius $it eum perdere quàm vin- cere, reipsâ definitum e$t, calculóque $ubducitur. Ita quo- que, $i cum aliquo certem hâc ratione, ut ternis lu$ibus con- $tet victoria, atque ego jam unum lu$um vicerim, incertum adhuc uter no$trum prior tertii victor $it eva$urus. Verùm quanti expectatio mea, & contra quanti illius, æ$timari de- beat, certi$$imo ratiocinio con$equi licet, atque hinc defi- nire, $i ludum uti e$t imperfectum linquere inter nos conve- nerit, quantò major portio ejus quod depo$itum e$t mihi quàm adver$ario meo tribuenda e$$et:vel etiam $i quis in lo- cum $ortemque meam $uccedere cupiat, quo pretio me eam ip$i vendere æquum $it. Atque hinc innumeræ quæ$tiones exoriri po$$unt inter duos, tres, pluré$ve collu$ores. Cum- que minimè vulgaris $it huju$modi $upputatio, & $æpe utili- ter adhibeatur, breviter hîc quâ ratione aut methodo expe- dienda $it exponam, ac deinde etiam, quæ ad aleam $ive te$- $eras propriè pertinent, explicabo.

Hoc autem utrobique utar fundamento: nimirum, in aleæ [0472]DE RATIOCINIIS ludo tanti æ$timandam e$$e cuju$que $ortem $eu expectatio- nem ad aliquid obtinendum, quantum $i habeat, po$$it de- nuo ad $imilem $ortem $ive expectationem pervenire, æquâ conditione certans. Ut, exempli gratiâ $i quis me in$cio alterâ manu 3 $olidos occultet, alterâ 7 $olidos, mihique optionem det ex utra manu $olidos accipere malim; hoc tan- tundem mihi valere dico, ac $i 5 $olidi mihi dentur. Quo- niam quinque $olidos habens, denuo eò pervenire po$$um, ut æquam expectationem nanci$car ad 3 vel 7 $olidos obti- nendos: idque æquo lu$u contendens.

PROPOSITIO I. Si _a_ vel _b_ expectem, quorum utrumvis æquè facilè mihi obtingere po$$it, expectatio mea dicenda e$t valere {_a + b_/_2_}.

AD hanc regulam non $olùm demon$trandam, verùm et- iam primitùs eruendam po$ito _x_ pro eo quod æquivalet expectationi meæ, oportet me, quum _x_ habeo, rur$us ad $imilem $ortem pervenire po$$e, æquâ conditione certantem. Ponatur itaque lu$us e$$e talis, ut cum altero certem hâc con- ditione, ut qui$que deponat _x_, ac ut victor victo traditurus $it _a_. Hic autem lu$us ju$tus e$t, & patet me hâc ratione æquam habere $ortem ad obtinendum _a_, $i lu$um perdam $ci- licet; aut 2_x_— _a_, $i vincam: tum enim obtineo 2_x_, id nem- pe quod depo$itum e$t, de quo alteri erogandum e$t _a_. Quod $i autem 2_x_ — _a_ tantundem valeret atque _b_, æqua mi- hi $ors obtingeret ad _a_ quàm ad _b_. Pono itaque 2_x_ — _a = b_, & fit _x_ = {_a_ + _b_/2}, pro valore meæ expectationis. Cujus de- mon$tratio facilis e$t. Etenim habens {_a_ + _b_/2} po$$um cum a- lio certare, qui etiam {_a_ + _b_/2} deponere volet, hâc conditione [0473]IN LUDO ALEÆ. ut vincens victo $it traditurus _a_. Quâ ratione $imilis expe- ctatio mihi obtinget ad obtinendum _a_, $i perdam, aut ad obtinendum _b_, $i vincam; tum enim obtineo _a_ + _b_, id nem- pe quod depo$itum e$t, alterique inde concedo _a_.

In numeris. Si ad 3 vel 7 æqua $ors mihi obtingat, tum expectatio mea per hanc Propo$itionem valet 5; & certum e$t me 5 habentem rur$us ad eandem expectationem perve- nire po$$e. Si enim cum alio certans 5 deponam, atque il- le $imiliter 5 deponat, hâc conditione, ut, qui vincit, al- teri $it daturus 3: erit hic lu$us omnino ju$tus, & patet mi- hi æquam obtingere $ortem ad obtinendum 3, $i perdam, aut 7, $i vincam: quoniam tunc obtineo 10, de quo alteri concedo 3.

PROPOSITIO II. Si _a, b,_ vel _c_ expectem, quorum unumquodque pari facilitate mihi obtingere po$$it, expectatio mea æ$timanda e$t {_a + b + c_/_3_}.

AD quod rur$us inveniendum, ponatur, ut ante, _x_ pro valore expectationis meæ. Oportet ergo me, cùm _x_ ha- beo, ad eandem expectationem pervenire po$$e ju$to lu$u. Ponatur lu$us e$$e talis, ut cum duobus aliis ludam hâc con- ditione, ut qui$que no$trum trium deponat _x_, & ut cum u- no hoc pactum aggrediar, $i ip$e victor evadat, mihi $it da- turus _b_, & ego ip$i traditurus $im _b_, $i idem mihi obtingat. Cum altero autem hanc ineam conditionem, ut ille ludum vincens mihi traditurus $it _c_, aut ego ip$i $im daturus _c_, $i ego vincam. Et patet hunc ludum ju$tum e$$e. Æquam autem hâc ratione $ortem habebo ad obtinendum _b_, $i nimi- rum primus vincat, aut _c_, $i $ecundus vincat, aut etiam 3_x_ — _b_ — _c_ $i ego vincam; tunc enim obtineo 3_x_, quod depo- $itum e$t, de quo uni concedo _b_, & alteri _c_. Quòd $i 3_x_ — _b_ — _c_ æquale fuerit ip$i _a_, eadem mihi obtingeret ex- [0474]DE RATIOCINIIS pectatio ad obtinendum _a_, quæ ad _b_, aut ad _c_. Pono itaque 3_x_ — _b_ — _c_ = _a_, & fit _x_ = {_a_ + _b_ + _c_/3}, pro valore meæ expecta- tionis. Eodem modo invenitur, $i ad _a, b, c_, aut _d_ æqua $ors mihi obtingat, id tanti valoris e$$e, quanti {_a_ + _b_ + _c_ + _d_/4}. At- que ita porrò.

PROPOSITIO III. Si numerus ca$uum, quibus mihi eveniet _a,_ $it _p_, nu- merus autem ca$uum quibus mihi eveniet _b_ $it _q_, $umendo omnes ca$us æquè in proclivi e$$e: expectatio mea valebit {_pa + pq_/_p + q_}.

AD hanc regulam eruendam, ponatur rur$us _x_ pro valore expectationis meæ: ergo oportet me, cùm _x_ habeo, ad eandem expectationem pervenire po$$e, ut ante, ju$to lu$u. Ad hoc autem tot collu$ores $umam, ut unà mecum nume- rum ip$ius _p_ + _q_ efficiant, quorum deponat qui$que _x_, ita ut depo$itum $it _px_ + _qx_, & qui$que $ibi ludat æquâ expecta- tione ad vincendum. Porrò cum tot ex hi$ce collu$oribus, quot indicat numerus _q_, $igillatim hoc pactum inibo, ut eo- rum qui vincat mihi $it daturus _b_, aut ego contra ip$i idem _b_, $i vincam. Similiter cum reliquis collu$oribus, con$ti- tuentibus _p_ — 1 $igillatim hanc conditionem aggrediar, ut eo- rum qui$que, qui ludum vincit, mihi $it daturus _a_, & ego tantundem (_a_ $cilicet) ip$i, $i ego vincam. Et patet hunc lu$um hâ conditione ju$tum e$$e, nemine videlicet injuriam patiente. Deinde patet me nunc _q_ expectationis habere ad _b_, & _p_ — 1 expectationes ad _a_, & 1 expectationem (me nem- pe vincente) ad _px_ + _qx_ - _bq_ - _ap_ + _a_, tunc enim obtineo _px_ + _qx_, id quod depo$itum e$t, de quo tradere debeo _b_ u- nicuique _q_ lu$orum, & _a_ unicuique _p_ — 1 lu$orum, quæ $i- mul conficiunt _bq_ + _pa_ — _a_. Si itaque _qx_ + _bx_ - _bq_ - _ap_ + _a_ [0475]IN LUDO ALEÆ. æquale e$$et ip$i _a_, haberem _p_ expectationes ad _a_, (quando- quidem jam _p_ — 1 expectationes ad id habebam) & _q_ expe- ctationes ad _b_, & $ic ad priorem meam ex$pectationem rur- $us perveni$$em. Quocirca porrò _px_ + _qx_ - _bq_ - _ap_ + _a_ = _a_, & fit _x_ = {_ap_ + _bq_/_p_ + _q_}, pro valore expectationis meæ, omnino ut in initio po$itum fuit.

In numeris. Si 3 mihi expectationes forent ad 13, & 2 expectationes ad 8, haberem per hanc regulam tantundem ac 11. Et facile e$t o$tendere, me, $i 11 habeam, rur$us ad eandem expectationem pervenire po$$e. Ludens enim con- tra 4 alios, & qui$que no$trum quinque deponens II, cum duobus ex illis $igillatim pactum inibo, ut horum qui vincat mihi $it daturus 8, aut ego ip$i idem 8, $i vincam. Simili- ter cum duobus reliquis, ut eorum qui$que, qui ludum vin- cit, mihi $it daturus 13, aut ego ip$i tantundem, $i ego vin- cam. Qui quidem lu$us ju$tus e$t. Et patet me hoc modo duas habere expectationes ad 8, nimirum $i alteruter eorum, qui mihi 8 promi$erunt, vincat, & 3 expectationes ad 13, nimirum $i alteruter reliquorum duorum, qui mihi 13 trade- re debent, vincat, aut $i ip$e ludum vincam: ego enim lu- dum vincens obtineo depo$itum, id e$t, 55, de quo unicui- que duorum tradere debeo 13, & unicuique reliquorum duo- rum 8, ita ut & mihi relinquatur 13.

PROPOSITIO IV. Ut igitur ad primò propo$itam quæ$tionem veniamus, nimirum, de facienda di$tributione inter diver$os collu$ores, quando eorum $ortes inæquales $unt, opus e$t ut a facilioribus incipiamus.

SUmpto itaque me cum aliquo certare, hoc pacto: ut qui priùs ter vicerit, quod depo$itum e$t, lucretur, & me jam bis vici$$e, alterum verò $emel. Scire cupio, $i lu$um pro- [0476]DE RATIOCINIIS $equi non velimus, $ed pecuniam, de qua certamus, prout æquum e$t, partiri, quantum ejus mihi obtingeret.

Primò con$iderare oportet lu$us, qui utrobique deficiunt. Certum enim e$t, $i inter nos convenerit, verbi gratiâ, ut quod depo$itum e$t lucretur is, qui priùs vige$ies vicerit, & ego decies & novies vicero, at alter decies & octies, tantò meliorem fore eo ca$u $ortem meam quantò hîc melior e$t, ubi à tribus lu$ibus binos con$equutus $um, ille verò unum duntaxat: quia nimirum utrobique mihi unus tantummodo lu$us $ed ip$i duo deficiunt.

Porrò ad inveniendum quanta pars utrique debeatur, ad- vertendum e$t quid fieret, $i in lu$u pergeremus. Certum enim e$t, $i primum ludum vincerem, me præ$criptum nu- merum impleturum & omne depo$itum con$ecuturum, id quod vocetur _a_. Quod $i autem alter primum ludum vince- ret, tunc æquata utriu$que $ors foret, (quippe utrique uno adhuc deficiente ludo,) adeoque cederet cuique {1/2}_a_. Mani- fe$tum autem e$t me æquam habere $ortem ad primum lu- dum vincendum aut perdendum, ita ut mihi nunc æqua $it expectatio ad obtinendum _a_ aut {1/2}_a:_ quod ip$um per 1<#>mam Propo$itionem tantum e$t ac $i utriu$que $ortis dimidium, id e$t, {3/4}_a_, haberem; & relinquitur alteri meo collu$ori {1/4}_a_, quæ <007>p$ius portio $tatim ab initio eodem modo reperiri potui$$et. Unde patet, eum, qui ludum meum in $e recipere vellet, mihi {3/4}_a_ pro eo tradere debere; ac proinde $emper tria con- tra unum deponere eum po$$e, qui unum ludum vincere con- tendat, priu$quam alter duos vincat.

PROPOSITIO V. Panamus unum mihi deficere ludum & collu$ori meo tres lu$us. Oportet hîc facere di$tributionem.

ADvertamus itaque rur$us, in quo e$$emus $tatu, $i ego vel ip$e primum vinceret lu$um. Si ego vincerem, obtinerem depo$itum, id e$t, _a_; quòd $i autem ille primum ludum vin- [0477]IN LUDO ALEÆ. ceret, deficerent ip$i duo lu$us & mihi unus; ac proinde in eodem $tatu e$$emus, qui in præcedenti Propo$itione po$i- tus fuit, mihique obtingeret {3/4}_a_, ut ibi o$ten$um e$t. Ita- que pari facilitate vel _a_ mihi obtinget vel {3/4}_a_, id quod tan- tum e$t, per 1<#>mam Propo$itionem, ac {7/8}_a_. Et relinquitur {@/8} _a_ collu$ori meo; ita ut mea $ors ad $ortem illius $e habeat, $ic ut 7 ad 1.

Quemadmodum autem ad hunc calculum requi$itus e$t præcedens, ita rur$us hicce in$ervit $equenti: nimirum, $i ponamus mihi unum ludum deficere & collu$ori meo 4<#>or lu- $us. Et invenitur eodem modo, mihi deberi {15/16} i$tius quod depo$itum e$t, & ip$i {1/16}.

PROPOSITIO VI. Ponamus mihi deficere duos lu$us & collu$ori meo tres lu$us.

FIet itaque primo lu$u; vel ut mihi unus lu$us deficiat & ip$i tres (unde mihi per præcedentem Propo$itionem ob- tinget {7/8} _a_); vel ut cuique no$trum adhuc duo lu$us deficiant, unde mihi debebitur {1/2} _a_, quandoquidem $ic utrique æqua $ors futura e$t. E$t mihi autem æqualis facilitas ad primum lu- dum vincendum aut perdendum; ita ut mihi æqua $it expe- ctatio ad obtinendum {7/8}_a_ aut {1/2}_a_, id quod mihi valet {11/16} _a_, per 1<#>mam Propo$itionem. Et debentur mihi 11 partes ejus quod depo$itum e$t, & collu$ori meo 5 partes.

PROPOSITIO VII. Ponamus mihi deficere duos lu$us & collu$ori me@ quatuor.

FIet itaque, ut, $i primum ludum vincam, unum ludum vincere debeam & alter quatuor; vel, $i eundem perdam, duos & alter tres. Ita ut æqua mihi $ors obtingat ad {15/16}_a_ [0478]DE RATIOCINIIS aut {1@/16}_a_, id quod tantum valet ac {13/16}_a_, per 1<#>mam Propo$itio- nem. Unde patet, eum meliorem habere $ortem, qui duos lu$us vincere debet dum alter quatuor, quàm eum, qui unum dum alter duos. In hoc enim po$teriori ca$u, nimirum ip$ius 1 ad 2, portio mea, per 4<#>tam Propo$itionem, e$t {3/4}_a_, quæ minor e$t quàm {13/16}_a_.

PROPOSITIO VIII. Nunc verò ponamus tres e$$e collu$ores, quorum pri- mo ut & $ecundo unus lu$us deficiat, $ed tertio duo lu$us.

UTigitur inveniatur primi pars, rur$us advertendum e$t, quid ip$i deberetur, $i vel ip$e vel alter reliquorum duo- rum primum lu$um vinceret. Si ip$e vinceret, haberet de- po$itum, id quod $it _a_. Quòd $i $ecundus vinceret, primus nihil haberet, quoniam $ecundus $ic lu$ui finem impo$ui$$et. At $i tertius vinceret, tunc cuique trium adhuc unus defice- ret lu$us, ideóque tam primo quàm utrique reliquorum de- beretur {1/3}_a_. Et fit primo una expectatio ad _a_, una ad o, & una ad {1/3}_a_, (quandoquidem æquè facilè contingere pote$t cuique trium ut primum ludum vincat,) quod ip$i tantun- dem valet ac {4/9}_a_, per 2<#>dam Propo$itionem. Et fit $imiliter $ecundo {4/9}_a_, & remanet tertio {1/9}_a_. Cujus pars $eparatim etiam inveniri potuerat, atque inde reliquorum partes deter- minari.

[0479]IN LUDO ALEÆ. PROPOSITIO IX.

Ut tot collu$orum, quot quis voluerit, ex quibus uni plures & alii pauciores lu$us deficiunt, cuju$que pars inveniatur, con$iderandum e$t, quid illi, cujus par- tem invenire volumus, deberetur, $i vel ip$e, vel qui$libet reliquorum primum $equentem ludum vin- ceret. Horum autem partes $i in unam $ummam colligantur, & aggregatum per numerum collu$o- rum dividatur, quotiens o$tendet unius quæ$itam partem.

POnamus tres e$$e collu$ores A, B, & C, & ip$i A unum ludum deficere, ip$i B duos lu$us, & ip$i C $imiliter duos lu$us Invenire oportet, quid ip$i B, ejus quod depo$itum e$t, debeatur. Id quod vocetur _q_.

Primò examinandum e$t, quid ip$i B deberetur, $i vel ip$e, vel A, vel C primum $equentem ludum vinceret.

Si A vinceret, ludo finem impo$ui$$et, ac per con$equens ip$i B deberetur o. Si ip$e B vinceret, deficeret illi adhuc unus lu$us, & ip$i A unus lu$us, at ip$i C duo lu$us. Quo- circa ip$i B hoc in ca$u deberetur {4/9}_q_, per 8<#>vam Propo$itio- nem.

Denique $i C primum $equentemludum vinceret, tunc ip$is A & C $ingulis unus deficeret lu$us, $ed ip$i B duo lu$us, ac per con$equens ip$i B deberetur {1/9}_q_, per eandem Propo$itio- nem 8<#>vam. Nunc autem in unam $ummam colligendum e$t, id quod in tribus hi$ce ca$ibus ip$i B deberetur: nimirum, o, {4/9}_q_, {1/9}_q_: quorum $umma e$t {5/9}_q_. Quod ip$um divi$um per 3, numerum collu$orum, dat {5/27}_q_. Quæ ip$ius B quæ$ita pars e$t. Demon$tratio autem hujus patet ex 2<#>da Propo$itione. Quoniam enim B æquam habet $ortem ad obtinendum o, {4/9}_q_, vel {1/9}_q_, habet per 2<#>dam Propo$itionem tantundem ac [0480]DE RATIOCINIIS {_o_ + {4/9}_q_ + {1/9}/3}_q_, id e$t, {5/27}_q_. Et certum e$t, hunc divi$orem 3 e$$e numerum collu$orum.

Ut autem inveniatur, quid cuipiam debeatur in quol<007>bet ca$u, videlicet $i vel ip$e vel aliquis reliquorum primum $e- quentem ludum vincat: oportet $impliciores ca$us primò in- ve$tigare, & horum medio $equentes. Nam $icut hic ulti- mus ca$us $olvi non potuit priu$quam ille octavæ Propo$i- tionis calculo $ubductus e$$et, in quo deficientes lu$us erant 1, 1, 2, ita etiam cuju$que pars $upputari nequit in tali ca$u, ubi deficientes lu$us $unt 1, 2, 3, quin primùm calculo $ub- ductus $it ca$us deficientium lu$uum 1, 2, 2, quemadmodum jam fecimus, & præterea ille, in quo lu$us deficientes $unt 1, 1, 3; qui $imiliter per 8<#>vam Propo$itionem $upputari potui$- $et. Atque hoc quidem pacto con$equenter $upputare licet ca$us omnes, qui in $equenti tabula comprehenduntur, & infinitos alios.

Tabula pro 3 collu$oribus. Lu$us, quiip$is \\ deficiunt. # 1 ÷ 1 ÷ 2 # 1 ÷ 2 ÷ 2 # 1 ÷ 1 ÷ 3 # 1 ÷ 2 ÷ 3 Eorum partes. # 4 ÷ 4 ÷ 1 # 17 ÷ 5 ÷ 5 # 13 ÷ 13 ÷ 1 # 19 ÷ 6 ÷ 2 # 9 # 27 # 27 # 27 Lu$us, quiip$is \\ deficiunt. # 1 ÷ 1 ÷ 4 # 1 ÷ 1 ÷ 5 # 1 ÷ 2 ÷ 4 # 1 ÷ 2 ÷ 5 Eorum partes. # 40 ÷ 40 ÷ 1 # 121 ÷ 121 ÷ 1 # 178 ÷ 58 ÷ 7 # 542 ÷ 179 ÷ 8 # 81 # 243 # 243 # 729 Lu$us, quiip$is \\ deficiunt. # 1 ÷ 3 ÷ 3 # 1 ÷ 3 ÷ 4 # 1 ÷ 3 ÷ 5 Eorum partes. # 65 ÷ 8 ÷ 8 # 616 ÷ 82 ÷ 31 # 629 ÷ 87 ÷ 13 # 81 # 729 # 729 Lu$us, quiip$is \\de$iciunt. # 2 ÷ 2 ÷ 3 # 2 ÷ 2 ÷ 4 # 2 ÷ 2 ÷ 5 # 2 ÷ 3 ÷ 3 # 2 ÷ 3 ÷ 4 # 2 ÷ 3 ÷ 5 Eorum partes. # 34 ÷ 34 ÷ 13 # 338 ÷ 338 ÷ 53 # @53 ÷ 353 ÷ 23 # 133 ÷ 55 ÷ 55 # 451 ÷ 195 ÷ 83 # 1433 ÷ 635 ÷ 119 # 81 # 729 # 729 # 243 # 729 # 2187

Quod ad te$$eras attinet, deiis hæ quæ$tiones proponi po$- $unt: videlicet, quotâ vice unâ te$$erâ $enarium jacere pe- riclitandum $it, aut aliquod reliquorum punctorum. Item [0481]IN LUDO ALEÆ. quotâ vice duos $enarios duabus te$$eris, aut tres $enarios tribus te$$eris jacere $it tentandum. Et plures aliæ huju$mo- di quæ$tiones. Ad quas $olvendas advertendum e$t.

Primò unius te$$eræ $ex e$$e jactus diver$os, quorum qui- vis æquè facilè eveniat. Sumo enim te$$eram habere figu- ram cubi perfectam.

Porrò duarum te$$erarum 36 e$$e diver$os jactus, quorum $imiliter quivis æquè facilè obtingere pote$t. Nam ratione cuju$que jactus unius te$$eræ pote$t unus $ex jactuum alterius te$$eræ $imul contingere. Et $exies 6 efficiunt 36 jactus.

Item trium te$$erarum e$$e 216 jactus diver$os. Nam ratio- ne cuju$que 36 jactuum duarum te$$erarum pote$t unus $ex jactuum, qui in 3<#>tia $unt, evenire. Et $exies 36 efficiunt 216 jactus.

Eodem modo patet, quatuor te$$erarum jactus e$$e $exies 216, id e$t, 1296; atque $ic ulteriùs jactus quotlibet te$$era- rum $upputari po$$e, $umendo $emper pro acce$$ione unius te$$eræ $exies jactus præcedentis.

Porrò notandum, duarum te$$erarum unum duntaxat e$$e jactum, qui 2 aut 12 puncta efficiat, duos verò jactus, qui 3 aut 11 puncta efficiant. Si enim te$$eras vocemus A & B, patet, ad 3 puncta jacienda in A unum & in B duo, vel in B unum & in A duo puncta reperiri po$$e. Similiter ad 11 puncta jacienda in A quinque & in B $ex, vel in A $ex & in B quinque puncta patêre po$$e. Quatuor punctorum tres $unt jactus, videlicet, ip$ius A 1 & B 3 puncta; vel ip$ius A 3 & B 1 punctum; vel ip$ius A 2 & B 2 puncta.

Decem punctorum $imiliter tres $unt jactus.

Quinque vel novem punctorum 4<#>or $unt jactus.

Sex vel octo punctorum 5<#>que $unt jactus.

Septem punctorum 6 $unt jactus.

# 3 vel 18 # # 1 # 4 vel 17 # # 3 # 5 vel 16 # # 6 In tribus te$$eris reperiuntur # 6 vel 15 # punctorum # 10 # jactus. # 7 vel 14 # # 15 # 8 vel 13 # # 21 # 9 vel 12 # # 25 # 10 vel 11 # # 27 [0482]DE RATIOCINIIS PROPOSITIO X. Invenire, quot vicibus $u$cipere quis po$$it, ut unâ te$$erâ _6_ puncta jaciat.

Si quis primâ vice $enarium jacere contendat, apparet unum e$$e ca$um, quo vincat, habeatque id, quod pi- gnoris loco depo$itum e$t; quinque verò e$$e ca$us, quibus perdat, & nihil habeat. Sunt enim 5 jactus contra ip$um, & tantùm unus pro ip$o. Quod autem depo$itum e$t voce- tur _a_. E$t itaque ip$i unica expectatio ad obtinendum _a_, $ed quinque ad obtinendum o; id quod per 2<#>dam Propo$itionem tantundem valet ac {1/6}_a_. Et manet pro eo qui ip$i hunc ca- $um offert {5/6}_a_. Ita ut tantummodo 1 contra 5 deponere po$- $it, qui primâ vice $u$cipere velit.

Qui duabus vicibus $emel $enarium jacere certet, $ors ejus hoc pacto computatur. Si primâ vice 6 jaciat, obtinet _a_. Si diver$um eveniat, unus ip$i re$tat jactus, qui ex præce- denti tantum valet, quantum {1/6}_a_. Atqui ut primâ vice 6 ja- ciat, unus tantùm ca$us e$t, & quinque ca$us, quibus diver- $um eveniat. Itaque ab initio unus ca$us e$t, qui det ip$i _a_; & quinque quident {1/6}_a_, id quod per 2<#>dam Propo$itionem va- let {11/36}_a_. Unde contracertanti lu$ori cedit reliquum {25/36}_a_; ad- eo ut $ors utriu$que $ive æ$timatio expectationis eam $ervet rationem, quam 11 ad 25; id e$t minus quàm 1 ad 2.

Hinc eodem modo calculo $ubducitur, quòd $ors ejus, qui tribus vicibus $emel $enarium jacere $u$cipit, $it futura {91/216}_a_; ita ut 91 contra 125 deponere po$$it; id e$t, paulò minus quàm 3 ad 4.

Qui quatuor vicibus idem $u$cipit, $ors ejus e$t {671/1296}_a_; ita ut 671 contra 625 deponere po$$it; id e$t, plùs quam 1 ad 1.

Qui quinque vicibus idem $u$cipit, $ors ejus e$t {4651/7776}_a_, & pote$t 4651 contra 3125 deponere; id e$t, paulò minus quàm 3 ad 2.

[0483]IN LUDO ALEÆ.

Qui $ex vicibus idem $u$cipit, $ors ejus e$t {31031/46656}_a_, & po- te$t 31031 contra 15625 deponere; id e$t, paulò minus quàm 2 ad 1.

Atque ita con$equenter quilibet jactuum numerus inueniri pote$t. Sed licet majori compendio progredi, ut in $equen- ti Propo$itione o$tendetur; $ine quo calculus al<007>às multo pro- lixior foret.

PROPOSITIO XI. Invenire, quot vicibus $u$cipere quis po$$it, ut dua- bus te$$eris 12 puncta jaciat.

SI quis primâ vice duos $enarios jacere contendat, ap- paret unum e$$e ca$um, quo vincat, id e$t, ad ob- tinendum _a_; & 35 e$$e ca$us, quibus perdat $ive nihil ha- beat, quoniam 36 $unt jactus. Itaque habet, per 2<#>dam Propo$itionem, {1/36}_a_.

Qui duabus vicibus idem $u$cipit, $i primâ vice duos $enarios jaciat, obtinebit _a_; $i verò primâ vice diver- $um eveniat, unus ip$i re$tat jactus, id quod ip$i, per illud quod jam dictum e$t, valet {1/36}_a_.

Atqui ut primâ vice duos $enarios jaciat, unus tan- tum e$t ca$us, $ed 35 ca$us, quibus diver$um eveniat. Itaque ab initio unus ca$us e$t, qui det ip$i _a_, & 35 qui dent {1/36}_a_; id quod per 2<#>dam Propo$itionem valet {71/2296}_a_ Et remanet contracertanti {1225/1296}_a_.

Ex his invenire licet, qualis $it ei $ors aut pars, qui idem $u$cipit quaternis jactibus, prætereundo ca$um eum, cùm quis illud ternis jactibus $u$cipit.

Etenim, qui 4<#>or vicibus duos $enarios jacere conten- dit, $i illud 1<#>ma aut 2<#>da vice faciat, obtinet _a_; $in mi- nùs, re$tant ip$i duo jactus, qui per illud quod $upe- riùs dictum e$t, valent {71/1296}_a_. Sed propter eandem ra- [0484]DE RATIOCINIIS tionem habet etiam 71 ca$us, ut ex duobus primis ja- ctibus $emel duos $enarios jaciat, contra 1225 ca$us, quibus diver$um eveniat. Habet itaque ab initio 71 ca- $us, qui ip$i dent _a_, & 1225 ca$us, qui dent ip$i {71/1296}_a_. Quod ip$i per 2<#>dam Propo$itionem valet {178991/1679616}_a_. Et re- manet contracertanti {1500625/1679616}_a_. Id quod o$tendit eorum $ortes e$$e ad $e invicem, ut 178991 ad 1500625.

E quibus porrò eâdem ratione invenitur expectatio e- jus, qui 8 vicibus $emel duos $enarios jacere certat. Ac inde rur$us expectatio ejus, qui idem $u$cipit 16 vi- cibus. Atque ex hujus expectatione, ut etiam ex expe- ctatione illius, qui i$tud 8 vicibus $u$cipit, invenitur ex- pectatio ejus, qui illud 24 vicibus in $e recipit. In qua operatione, quoniam præcipuè quæritur in quo nu- mero jactuum æqualis $ors incipiat, inter eum qui id $u- $cipit & eum qui offert, licebit à numeris, qui alioquin in immen$um excre$cerent, po$teriores aliquot characte- res auferre. Atque ita quidem reperio ei, qui illud 24 vicibus $u$cipit, adhuc aliquid deficere; tumque demum eum potiorem conditionem inire, cùm 25 jactibus aggre- ditur.

PROPOSITIO XII. Invenire quot te$$eris $u$cipere quis po$$it, ut primâ vice duos $enarios jaciat.

HOc autem tantundem e$t, ac $i quis $cire velit, quo- to jactu qui$piam unâ te$$erâ $u$cipere po$$it, ut bis $enarium jaciat. Quòd $i quis duobus jactibus $u$cipe- ret, obtingeret ei, per ea quæ ante o$ten$a $unt, {1/36}_a_. Qui illud tribus jactibus in $e reciperet, $i primus ejus jactus $enarius non foret, haberet adhuc duos jactus, quorum uterque $enarius e$$e deberet, id quod tantun- [0485]IN LUDO ALEÆ. dem valere dictum e$t ac {1/36}_a_. At verò primo ejus ja- ctu exi$tente $enario, opùs e$t ut ex duobus jactibus non ni$i $emel $enarium jaciat. Quod per 10 Propo$i- tionem tantundem valet ac $i {11/36}_a_ haberet. Atqui cer- tum e$t ip$um unum habere ca$um, quo primâ vice $e- narium jaciat, & quinque ca$us quibus diver$um eve- niat. Habet itaque ab initio unum ca$um ad {11/36}_a_, & 5 ca$us ad {1/36}_a_, id quod per 2<#>dam Propo$itionem tan- tundem valet ac {16/216}_a_ $eu {2/27}_a_. Hoc pacto a$$umendo continuè unum jactum ampliùs, invenitur 10 jactibus unâ te$$erâ, aut 10 te$$eris primo jactu $u$cipi po$$e, ut duo $enarii jaciantur, idque cum lucro.

PROPOSITIO XIII.

Si cum alio ludam duabus te$$eris unum $olummodo jactum, hâc conditione, ut, $i $eptenarius eve- niat, ego vincam; at ille, $i denarius obtingat; $i vero quidquam aliud accidat, ut tum id quod depo$itum e$t æqualiter dividamus: Invenire qua- lis i$tius pars cuique no$trum debeatur.

QUoniam 36 jactuum, qui duabus te$$eris proveniunt, 6 jactus exi$tunt $eptem punctorum, & 3 jactus decem punctorum, re$tant adhuc 27 jactus, qui ludum æquare po$$unt; id quod $i fiat, cuique no$trum debe- bitur {1/2}_a_. Verùm $i id non obtingat, habebo 6 ca$us, quibus vincam, id e$t, ut _a_ habeam; & 3 ca$us, qui- bus diver$um eveniat, nihilque habeam: id quod per 2<#>dam Propo$itionem tantundem e$t ac $i tali ca$u {2/3}_a_ ha- berem. Habeo itaque ab initio 27 ca$us ad {1/2}_a_ & 9 ca- $us ad {2/3}_a_, id quod, per 2<#>dam Propo$itionem, tantun- dem e$t ac {13/24}_a_. Et remanet contracertanti {11/24}_a_.

[0486]DE RATIOCINIIS PROPOSITIO XIV.

Si ego & alius duabus te$$eris alternatim jaciamus, hâc conditione, ut ego vincam $imul atque $e- ptenarium jaciam, ille vero quam primùm $ena- rium jaciat_;_ ita videlicet, ut ip$i primum ja- ctum concedam: invenire rationem meæ ad ip$ius $ortem.

POnatur, $ortem meam valere _x_, & id quod depo$i- tum e$t vocari _a_; eritque $ors alterius = _a_—_x_. Et patet, quandocunque ip$ius vices jaciendi revertuntur, $or- tem meam tum rur$us debere e$$e = _x_. At quandocunque meæ vices $unt ut jaciam, $ors mea pluris æ$timanda e$t. Ponatur itaque pro ejus valore _y_. $am quo niam ex 36 ja- ctibus reperiuntur 5 in 2 te$$eris, qui collu$ori meo $ena- rium dare lu$u$que victorem reddere po$$unt; & 31 jactus, quibus diver$um eveniat, id e$t, qui meas jaciendi vices pro- movent: habebo, priu$quam jacit, 5 ca$us ad obtinen- dum _0_, & 31 ca$us ad obtinendum _y_. id quod per 3<#>tiam Pro- po$itionem valet {31 _y_/36}. Po$uimus autem ca$um meum à principio e$$e = _x_. Quocirca erit {31 _y_/36} = _x_, adeo- que _y_ = {36 _x_/31}. Deinde po$itum fuit, vicibus meis ve- nientibus, $ortem meam valere _y_. Ego verò jacturus, habeo 6 ca$us ad obtinendum _a_, quandoquidem 6 ja- crus reperiuntur 7 puncrorum, qui me victorem red- dunt; habeoque 30 ca$us, quibus vices collu$oris mei revertuntur, id e$t, ut mihi obtineam _x_. id quod per 3<#>tiam [0487]IN LUDO ALEÆ. Propo$itionem valet {6 _a_ + 30 _x_/36}. Hoc autem cum $it = _y_, erit, invento, ut ante, {36 _x_/31} = _y_, {30 _x_ + 6 _a_/36} = {36 _x_/31}. Unde invenitur _x_ = {31 _a_/61}, valor meæ $or- tis. Et per con$equens collu$oris mei erit {30 _a_/61}; ita ut ratio $ortis meæ ad illius $ortem $it, ut 31 ad 30.

Coronidis loco $ubjungantur $equentia Problemata. PROBLEMA I.

A & B unà ludunt duabus te$$eris, hâc conditione, ut A vincat, $i $enar<007>um jaciat, at B $i $eptenarium ja- ciat. A primò unum jactum in$tituet; deinde B duos jactus con$equenter; tum rur$us A duos jactus, atque $ic deinceps, donec hic vel ille victor evadat. Quæri- tur ratio $ortis ip$ius A ad $ortem ip$ius B? Re$p. ut 10355 ad 12276.

PROBLEMA II.

Tres collu$ores A, B & C a$$umentes 12 calculos, quorum 4 albi & 8 nigri exi$tunt, ludunt hâc condi- tione: ut, qui pr<007>mus ip$orum velatis oculis album cal- culum elegerit, vincat; & ut prima electio $it penes A, $ecunda penes B, & tertia penes C, & tum $equens rur- $us penes A, atque $ic deinceps alternatim. Quæritur, quænam futura $it ratio illorum $ortium?

PROBLEMA III.

A certat cum B quòd ip$e ex 40 chartis lu$oriis, id e$t, 10 cuju$que $peciei, 4 chartas extracturus $it; ita [0488]DE RATIOC. IN LUDO ALEÆ. ut ex unaquaque $pecie habeat unam. Et invenitur ratio $ortis A ad $ortem B ut 1000 ad 8139.

PROBLEMA IV.

A$$umptis, ut ante, 12 calculis, 4 albis & 8 nigris, certat A cum B, quòd velatis oculis 7 calculos ex iis exempturus $it, inter quos 3 albi erunt. Quæritur ratio $ortis ip$ius A ad $ortem ip$ius B.

PROBLEMA V.

A & B a$$umentes $inguli 12 nummos ludunt tribus te$$eris hâc conditione: ut, $i 11 puncta jaciantur, A tradat nummum ip$i B; at $i 14 puncta jaciantur, B tra- dat nummum ip$i A; & ut ille ludum victurus $it, qui primùm omnes habuerit nummos. Et invenitur ratio $ortis ip$ius A ad $ortem ip$ius B, ut 244140625 ad 282429536481.

FINIS. [0489] CHRISTIANI HUGENII NOVUS CYCLUS HARMONICUS. [0490] [0491] CHRISTIANI HUGENII NOVUS CYCLUS HARMONICUS. Litteræ D. Hugenii de Cyclo Harmonico.

NOvam tibi mitto de Mu$ica ob$ervationem. Spectat hæc prima Scientiæ illius fundamen- ta, id e$t, tonorum, qui in cantu & In$tru- mentorum fabrica ob$ervantur, determina- tionem. Quicunque licet parum ver$ati $int in parte illa Theoriæ, norunt, quid $it, quod vocatur Temperamentum, quod tonos illos moderatur & quam nece$$arium illud $it in harmonia tubo- rum Organi vel chordarum Clavecymbali.

Celebriores auctores, uti Zarlinus & Salinas, illud re- ferunt inter inventa pulcherrima & utili$$ima, quæ in mu$i- cis detegi po$$unt; & uterque contendit $e primum Tempera- mentum hoc ad examen revoca$$e, & demon$trationibus Ma- thematicis con$titui$$e. Ante illos experientia & nece$$itas il- lud quidem aliquo modo jam introduxerant, licet vera men- $ura & methodus nondum e$$et cognitæ. Inventio hujus Tem- peramenti in cau$a fuit, ut merito negligerentur omnes ve- terum Tetrachordarum & Diapa$onorum divi$iones quarum pleræquæ ab$urdæ & u$us nullius erant in compo$itione pluri- marum partium: hac etiam inventione no$trum $y$tema to- norum magis abundat con$onantiis, magi$que e$t juxta na- turam cantus, quam illorum erat.

[0492]CHRIST. HUGENII

Pono notas e$$e proportiones, in quibus con$i$tunt per- fectæ con$onantiæ, $cilicet: Quintam audiri, quando, po$t $onum editum ex motu chordæ integræ, duæ tertiæ partes ip$ius agitantur: vel proportionem, a qua con$onantia hæc pendet, e$$e ut 3 ad 2; Quartæ proportionem e$$e ut 4 ad 3; Tertiæ majoris ut 5 ad 4; Tertiæ minoris ut 6 ad 5; Sextæ majoris ut 5 ad 3; Sextæ minoris ut 8 ad 5. Et quantum ad Temperamentum, iidem autores, quos modo memoravi, nos docent, ut hoc applicetur in$trumentis, con$onantiam Quintam minuendam e$$e quarta parte _Commatis_ ut vocant, quæ adeo exigua e$t diminutio, ut auris hanc difficulter per- cipiat, & nullam inde capiat mole$tiam; cum _Comma_ integrum $it ratio inter tonum integræ chordæ, & hujus tonum quando parte {1/81} minuitur. Sequitur inde, Quartam auctam e$$e hac ip$â exigua quantitate. Tertia minor pariter, e$t diminuta {1/4} Commatis, & con$equenter Sexta major in tantum aucta; $ed Tertia major perfectionem $ervat, ut & ideo etiam Sexta minor.

Juxta has con$onantiarum men$uras, di$ponuntur omnes in$trumentorum toni, tam Diatonici quam Chromatici, quos addidere Mu$ici, & pariter toni Enarmonici, quando & hi ut magis completa $it $ymphonia adjiciuntur.

Ob$ervatio autem no$tra hæc e$t, $i dividatur Octava in 31 partes æquales, quod fiet quærendo 30 medias propor- tionales inter totam chordam (quæ $umitur pro regula Har- monicâ) & ejus dimidium, dabitur in tonis, quos produ- cunt longitudines hæ, Sy$tema parum admodum ab i$to quod modo memoravi ex Temperamento deductum, ita ut nemo auri quantumvis $ubtili præditus differentiam perci- piet; quod tamen novum Sy$tema toto cælo ab alio differet, nova$que afferet utilitates tum in Theoriam cum in Praxin.

Salinas inventum hoc dividendi octavam in 31 partes æ- quales memorat $ed ut hoc culpet, & P. Mer$ennus pariter po$t ip$um hanc rejicit divi$ionem, unde mihi facile fides ha- benda erit, me nihil ex illis autoribus mutuatum e$$e; $ed $i & hoc feci$$em, $atis a me præ$titum crederem, $i præ$tan- [0493]NOVUS CYCLUS HARMONICUS. tiam ejus divi$ionis ex Geometriæ principiis demon$trave- rim, & illam vindicaverim adver$us inju$tum duorum illo- rum celebrium Scriptorum pronunciatum.

In lib. 3. Mu$ices Salinæ integrum ex$tat caput de hac di- vi$ione, cujus in$criptio e$t, _De prava con$titutione cuju$-_ _dam in$trumenti, quod in Italia citra quadraginta annos fa-_ _bricari cæptum e$t, in quo reperitur omnis tonus in partes_ _quinque divi$us;_ Dicit in$trumentum hoc nominis Archi- cymbali donatum fui$$e, illudque fui$$e _incerti autoris_; Mu- $icos quo$dam admodum idoneos id magni feci$$e, præci- pue quia continebat omnia intervalla, omnesque con$onan- tias (ut credebant, ait) ad$cendendo, & de$cendendo & quia po$t certam periodum rediebatur ad eundem $onum vel æqui- pollentem, cum eo a quo initium factum erat; Quia Octava di- vi$a erat in 31 partes æquales, quas vocabant Die$as ($eu tonos perfectos) quarum tonus debebat continere 5; magnus $e- mitonus 3; parvus 2; Tertia major 10; Tertia minor 8; Quar- ta 13; Quinta 18; Sexta minor 21; Sexta major 23. Sed ad- dit, cum tenta$$ent tale di$ponere in$trumentum hoc $onum dedi$$e admodum ingratum, & qui in$igniter aures præ$en- tium offendebat, unde concludit, talem divi$ionem deviare ab omni ratione harmonica, $ive examinetur $ecundum men$u- ram ju$tarum con$onantiarum $ive Temperamenti. Præter experientiam & aliud affert argumentum deductum ex Me- thodo in hac divi$ione adhibita. P. Mer$ennus etiam con- tendit $e bene illam refutavi$$e. Erravit uterque, quia illos latebat Methodus dividendi Octavam in 31 partes æquales, quod probabiliter & ip$i inventores non potuere; requiritur enim cogn<007>tio Logarithmorum, qui nondum illorum nequi- dem Salinæ tempore erant inventi. Tandem novum hoc Temperamentum, quod adeo repudiant, omnium præ$tanti$- $imum merito dicitur, omnia habens commoda quæ ip$i tri- buebantur; præcipuæ $implicitatem quam communicat Theo- riæ tonorum, & parum admodum differt ab eo, quo utun- tur omnes, ut auris differentiam non percipiat uti computa- tione probabo.

[0494]CHRIST. HUGENII

Dico ergo primum, Quintam no$træ divi$ionis non $upe- rare Quintas Temperamenti quam {1/110} Commatis, quæ diffe- rentia, auditu nullo modo percipi pote$t; $ed quæ alioquin daret i$tam con$onantiam tanto magis perfectam.

Quartæ con$equenter Temperamenti ordinarii non exce- dunt no$tras ni$i illâ {1/110} commatis, & hæ tendunt etiam tanto magis ad perfectionem.

Tertiæ minores $unt minores {3/110} vel circiter {1/37} Commatis quàm in temperamento, & Sextæ majores in tantum exce- dunt Sextas majores Temperamenti; utræque fateor recedunt à perfecta proportione; $ed videmus differentiam {1/37} Comma- tis non e$$e $en$ibilem, nec augere $en$ibiliter {1/4} Commatis, qua con$onantiæ in Temperamento aberrant à veris.

Tandem Tertiæ majores $uperant Tertias Temperamenti, quæ $unt perfectæ, {4/110} vel qua$i {1/28} Commatis, quæ adeo exi- gua e$t differentia, ut ni$i pro perfectis, non ob$tante hoc augmento haberi queant; quid enim facit {1/28} Commatis, cum {1/4} adeo facile patiamur.

Deducimus ex exiguis omnibus hi$ce differentiis, Or- ganum aut Clavecymbalum con$titutum juxta Tempera- mentum ordinarium, etiam di$po$itum e$$e juxta novam divi$ionem, quantum aure poterit di$cerni. Si vero quis $ibi hac in parte magis de$iderat $atisfacere, & ex- acti$$ime con$tituere in$trumentum juxta 31 partes æqua- les Octavæ, tantum dividenda e$t monochorda juxta nu- meros, qui habentur in $equenti Tabula, &, po$itâ totâ chordâ, æqui$onâ cum C Clavecymbali aut Organi, d<007>$ponere pariter alias chordas vel tubos, cum $onis, ex memorata. divi$ione oriundis & qui audiuntur po$ito pectine in locis no- tatis. Quod veroad Archicymbalum de quo Salinas loquitur, $pectat, dubito, an non habuerit 31 palmulas in quavis octa- va; $ed quoniam non poterit $ine confu$ione talis abacus ad- hiberi præ multitudine palmularum, præ$taret meâ $ententiâ di$ponere 31 chordas $implices pro quavis octavâ, quod po- te$t fieri $ine di$ficultate; & con$tructis palmulis, quæ ele- vant $ub$ilia, omnibus æqualis longitudinis, altitudinis, & la- [0495]NOVUS CYCLUS HARMONICUS. titudinis, quæ latitudo $it {1/5} palmulæ vulgaris, deinde $uper- imponendus erit abacus mobilis, cum claviculis in inferiori parte $ingularum palmularum fixis; $emel ita di$po$iti hi ut chordæ, quæ in quavis octava adhibentur, $onent, omni- bus tran$po$itionibus in$ervient. Quæ ergo fient $ine labore per tonos, $emitonos, & u$que ad quintas partes tonorum; & certum e$t, omnes tonos & con$onantias in $ingulis tran$- po$itionibus æque accuratas e$$e, quod utile & amœnum erit. Olim Pari$iis con$trui curavi, tales abacos mobiles $uperim- ponendos abacis vulgaribus Clavecymbalorum tran$po$itio- nibus plurimis, licet non omnibus completis, in$ervientes; quod inventum approbarunt & imitati $unt periti in mu$icis varii.

Sed ut quis certus $it de veritate illorum, quæ $uperius dixi, in$piciat Tabulam $equentem cujus contenta ut & u$um explicabo.

[0496] ## _Divi$io Octavæ in_ \\ _partes_ 31. _æ_- \\ _quales_. # # # ## _Divi$io Octavæ $ecun-_ \\ _dum Temperamen-_ \\ _tum vulgare_. I. # II. # III. # IV. # V. # VI. N 97106450 4,6989700043 # 50000 # UT<#>z # C<#>z # 50000 # 4,6989700043 4,7086806493 # 51131 4,7183912943 # 52278 4,7281019393 # 53469 # Sr # B<#>x # 53499 # 4,7283474859 4,7378125843 # 54678 4,7475232293 # 55914 # SA # B # 55902 # 4,7474250108 4,7572338743 # 57179 # * # * # 57243 # 4,7577249674 4,7669445193 # 58471 4,7766551643 # 59794 # LA # A # 59814 # 4,7768024924 4,7863658093 # 61146 4,7960764543 # 62528 # * # * # 62500 # 4,7958800173 4,8057870993 # 63942 # SOL<#>x # G<#>x # 64000 # 4,8061799740 4,8154977443 # 65388 4,8252083893 # 66866 # SOL # G # 66874 # 4,8252574989 4,8349190343 # 68378 4,8446296793 # 69924 4,8543403243 # 71506 # FA<#>x # F<#>x # 71554 # 4,8546349804 4,8640509693 # 73122 4,8737616143 # 74776 # FA # F # 74767 # 4,8737125054 4,8834722593 # 76467 4,8931829043 # 78196 4,9028935493 # 79964 # MI # E # 80000 # 4,9030899870 4,9126041943 # 81772 4,9223148393 # 83621 # MA # E<#>b # 83592 # 4,9221675119 4,9320254843 # 85512 # * # * # 85599 # 4,9324674685 4,9417361293 # 87445 4,9514467743 # 89422 # RE # D # 89443 # 4,9515449935 4,9611574193 # 91444 4,9708680643 # 93512 # * # * # 93459 # 4,9706225184 4,9805787093 # 95627 # UT<#>x # C<#>x # 95702 # 4,9809224750 4,9902893543 # 97789 4,9999999993 # 100000 # UT # C # 100000 # 5,0000000000 [0497]NOVUS CYCLUS HARMONICUS. Tabulæ Explicatio.

Secunda columna continet numeros qui exprimunt longi- tudines Chordarum; quibus habentur 31 intervalla æqualia $ecundum novam divi$ionem; Chorda tota continet partes 100000 & 50000 ejus dimidium dant Octavam.

A latere in 3<#>2. columna $unt $yllabæ, quæ nobis in cantu in$erviunt, & * pro quibu$dam chordis enarmonicis, qua- rum prope $ol<#>x e$t maxime nece$$aria.

In 4<#>a. columna $unt litteræ quæ ordinario in$erviunt ad de$ignandos tonos.

Numeri 2<#>æ. columnæ ope numerorum col. 1<#>æ. detecti fuere, hi $unt illorum logarithmi re$pectiv<007>; ad quos habendos di- vi$i logarithmum numeri 2. qui e$t 0, 30102999566 per 31. unde venit numerus N. 97106450, quem addidi continuo Logarithmo num. 50000, qui e$t 4. 6989700043. & hi$ce additionibus detegimus omnes Logarithmos hujus columnæ u$que ad maximum 4, 9999999993, qui parum deficiens a 5,0000000000, (in cujus locum $ub$titui pote$t) demon$trat bene $ubductum calculum. Qui Logarithmos intelligunt no- runt ita ineundam computationem, $i quærantur 30 numeri proportionales inter 100000 & 50000.

5a. columna continet in numeris longitudines chordarum juxta Temperamentum ordinarium, & in 6<#>a. columna $unt eorum numerorum Logarithmi.

Po$$em explicare quomodo eos $upputaverim, & pariter, quomodo id Temperamentum po$$et detegi, $i nondum e$- $et repertum; $ed id foret nimis longum, & $ufficiet, de- mon$trare methodum examinandi, & numerorum ἀκρίβ{ει}αν, & omnia quæ dixi de nova divi$ione & de ratione quam ha- bet cum Temperamento.

Ponamus, determinandum e$$e, an Quinta _Vt, Sol_, tem- peramenti vulgaris, minor $it {1/4} Commatis, quam vera Quinta, cujus ratio e$t trium ad duo. A log. _Vt_, qui e$t 5,0000000000 $ub$traho log. _Sol_ qui e$t 4,8252574989, id, quod re$tat [0498]CHRIST. HUG. NOV. CYCL. HARMON. 0,1747425011, exhibet quantitatem Quintæ Temperamenti.

Pariter d<007>fferentia Logarithmorum 3 & 2 quæ in tabulis Logarithmorum habetur 1760912594, exhibet quantitatem Quintæ perfectæ; hinc $ub$traho Qu<007>ntam Temperamenti in- venti & re$tat 13487583; id quod debet dare Log. {1/4} Com- matis; & hoc verum e$t; nam log. Commatis toni id e$t differentia logar. 81 & 80 e$t 53950319, cujus Quarta pars e$t 13487580. Si velimus examinare an Quævis Quinta novæ divi$ionis ut _Re, La_, differat a vera {1/4} minus {1/110} Commatis; debemus a Log. _Re_, qui e$t 4,9514467743, $ub$trahere Log. _La_, qui e$t 4,7766551643, re$tat 1747916100, quem $ub- traho a Logarithmo veræ Quintæ qui erat 1760912594, re$tat 12996494, qui minor e$t Log. Quartæ partis Commatis, $cili- cet 13487580; a quo igitur eum $ubtraho & re$tat 491086: Debemus nunc videre, quam partem Commatis hoc faciat; id- circo divido Log. Commatis, $cilicet 53950319 per 491086, quotiens e$t fere {1/110}, Ita ut pateat, no$tram Quintam non $u- perari {1/4} Commatis a Quinta perfecta, $ed {1/110} Commatis de- e$$e. Eodem modo pote$t examinari quidquid $pectat Tempe- ramentum; nihil enim in computationibus Mu$icis in$tituen- dis Logarithmorum u$ui anteponendum.

FINIS. [0499] CHRISTIANI HUGENII VARIA DE OPTICA. [0500] [0501] CHRISTIANI HUGENII VARIA DE OPTICA. I. Excerpta ex literis D<#>ni Hugenii, Academiæ Regiæ Scientiarum Socii, ad Autorem Diarii Eruditoruns de Catoptrico con$picillo D<#>ni Newtoni.

VT de$ideras tibi $ententiam meam exponam de Tele$copio D<#>ni Newtoni. Licet nondum viderim hujusinventi effectum, illud me po$$e a$$erere per$ua$um habeo, pulcrum & ingenio- $um e$$e, pro$perumque eventum $ortiturum; $i modo ad $pecula cava formanda detegi queat, de quo minime de$perandum puto, materia quæ poliri po$$it, ut vivide radios reflectat, ut vitrum. Commoda hujus con$picilli præ illis, in quibus vitra tantum adhibentur, $unt, primo quod $peculum cavum, licet Sphæri- cum, multo melius colligat radios parallelos in unum punctum, quam no$tra vitra Sphærica, uti Geometrice pote$t demon- $trari. Unde $equitur duorum con$picillorum eju$dem lon- gitudinis, quorum unum erit novæ illius inventionis, alte- rum ordinario vitro objectivo in$tructum, primum, magnam habens aperturam, majori copia collecturum radios ab ob- jectis procedentes, licet parvum $peculum quo$dam inter- [0502]CHRIST. HUGENII cipiat, ideoque magis poterit amplificare objecta, quam alte- rum. Adeo ut Tele$copium novum dimidiæ aut tertiæ partis longitudinis con$picilli ordinarii, aut forte etiam minus, æ- qualem effectum cum hoc præ$tabit.

Secunda utilitas e$t, hoc invento vitari incommodum, quod a vitris objectivis $eparari nequit, mutua nempe dua- rum $uperficierum ad $e inclinatio. Nam licet hæc parva $it, tamen obe$t radiis, qui vitra ad latera tran$eunt & magis oberit, $i vellemus uti vitris hyperbolicis vel ellipticis quibus majores concedendæ forent aperturæ.

Tertiam utilitatem cen$eo, reflexione Speculi metallici non perire tot radios quot in vitris, quæ in utraque $uperficie re- flectunt notabilem radiorum quantitatem & multos interci- piunt ob$curitate $uæ materiæ.

Cum præterea difficulter admodum vitrum detegatur quod longioribus con$picillis in$erviri queat, quia $æpe non ubi- que homogeneum e$t, quartum novi Tele$copii commodum erit, in metallo nil præter $uperficiei perfectionem requiri.

Qui viderunt con$picillum D<#>ni Newtoni, ob$ervarunt, illud aliquâ difficultate dirigi ad objecta; $ed huic malo oc- curri pote$t $atis facile, jungendo huic con$picillo alterum exacte parallelum, per quod primùm quæretur objectum. De- $iderabitur fateor alter ob$ervator, $i con$picillum catoptri- cum $it magnum, quoniam ille, qui ob$ervat, in illa ob$ervat extremitate, quæ maxime elevata e$t. Sed ad incommodum hoc non attendendum e$t, $i $pectetur utilitas inventi: Si loco $peculorum Sphæricorum po$$ent obtineri parabolica exacte formata & polita, con$picilla hæc effectum præ$tarent quod de vitris ellipticis vel hyperbolicis $peravimus; credo autem id in $peculis facilius obtineri po$$e.

[0503]VARIA DE OPTICA. II. CONSTRUCTIO PROBLEMATIS OPTICI. Propo$itio 39 Libri v. Alhazeni, & 22 lib. VI. Vitellionis.

Puncta B, C, & circulus E K, cujus centrum e$t A, TAB. LVI. fig. 1. data $unt in eodem plano; inveniendum e$t pun- ctum K in peripheria circuli, ita ut lineæ B K, C K faciant cum linea A K angulos inter $e æquales.

DUctis A B, A C; fiat A C, A F:: A F, A Q; & A B, A E:: A E, A P: $int etiam A P, & A Q, bifariam di- vi$æ in R & S; in angulo B A C $int per$ecta parallelo- gramma P A Q H & A R Z S. In R Z producta $umantur Z Y & Z X, utraque æqualis lineæ quæ pote$t differentiam inter quadrata Q S & Z S: fiat X V æqualis X Y & paral- lela A B; & lateribus X V & X Y de$cribatur hyperbola, quæ tran$ibit per puncta Q & H, uti patet per con$tructio- nem; hyperbola hæc Q X H occurret circulo in puncto K, quod quæritur.

Ductis K O & KI parallelis A C & A B, quarum K I occurrit Y X in puncto D. Ob hyperbolam rectangulum Y D X æquale e$t quadrato K D ordinatæ, vel quadrato O R; & rectangulum Y T X æquale e$t quadrato H T, vel quadra- to P R; & demto a rectangulo Y T X, rectangulum Y D X & a quadrato P R, quadratum O R, $upererit rectangu- lum R D T vel A I Q, quod æquale erit rectangulo A O P. P O ergo e$t ad A I, vel O K ip$i æqualem, ut Q I ad A O, vel I K; & ductis lineis K P, K Q triangula K O P, K I Q erunt $imilia & ideo æquiangula; idcirco anguli A P K, A Q K, qui iidem $unt, vel $upplementa angulorum æqualium O P K, I Q K erunt inter $e æquales; $ed per con- $tructionem A B, A E vel A K, :: A K vel A E, A P; ideo duo triangula B A K, K A P $unt $imilia, & ob ean- dem cau$am duo triangula C A K, K A Q, $unt etiam $i- milia; ideo angulus B K A e$t æqualis angulo A P K, & [0504]CHRISTIANI HUGENII angulus C K A æqualis ang. A Q K, $ed demon$travimus angulos A P K & A Q K e$$e æquales, ergo anguli B K A, C K A erunt inter $e æquales Q. E. D.

Si punctum H cadat in circumferentiam circuli punctum H erit punctum K, quod quæritur & lineæ H P, K P, K O in unicam H P coale$cunt; & $imiliter lineæ H Q, K Q, K I in unam H Q, & quæ $uperius demon$trata $unt & hic locum habent, in quo ca$u Hyperbolâ non indigemus.

III. ALITER. Dato Speculo Cavo aut Convexo, itemque Oculo & Puncto Rei vi$æ, invenire Punctum Reflexionis.

ESto $peculum ex $phæra quæ Centrum habeat A punctum; TAB. LVI. fig. 2. oculus vero $it in B, & punctum vi$ibile in C, Pla- numque ductum per A, B, C, faciat in $phæra Circulum D _d_, in quo invenienda $int Reflexionis Puncta. Per tria Puncta A, B, C, de$cribatur Circuli Circumferentia, cujus $it Centrum Z; occurrat autem ei producta A E, Perpend. B C, in R; & $it duabus R A, O A, tertia Proportionalis N A; eritque N M, Parallela B C, altera A$ymptoton. Rur$us $int Proportionales E A, {1/2} A O, A I, & $umma I Y æquali I N, ducatur Y M Parallela A Z; eaque erit altera A$ymptotos. Denique $umptis I X, I S, quæ $in- gulæ po$$int dimidium quadratum A O, una cum quadrato A I; erunt Puncta X & S in Hyperbola, aut $ectionibus oppo$itis D _d_, ad inventas A$ymptotos de$cribendis, qua- rum inter$ectiones cum Circumferentia D O, o$tendent Puncta Reflexionis quæ$ita. Con$tructio hæc, in omni Ca$u, quo Problema $olidum e$t, locum habet, præter- quam in uno, ubi non Hyperbola $ed Parabola de$criben- da e$t; cum nimirum Circumferentia per Puncta A, B, C, de$cripta, tangit Rectam A E.

[0505]VARIA DE OPTICA. IV. COMPENDIUM.

DUctâ lineâ A T, parallelâ C B, eaque bi$ecta in V, TAB. LVI. fig. 3. punctum hoc e$t illud, per quod tran$ire debet una Hyperbolarum Oppo$itarum, quarum A$ymptoti inventæ fuerunt Y M, M N.

Sed en Tibi bonam illam Con$tructionem, quæ in omni- TAB. LVI. fig. 4. bus Ca$ibus obtinet. Sit Circulus datus E D, cujus Centrum e$t A; Puncta data, B & C.

Ductis Lineis A B, A C, fiant Proportionales B A (Ra- dius Circuli) & F A: Eodem modo C A, (Radius Circuli) & G A. Tum jungatur F G, eaque bi$ecetur in H; & per hoc punctum ducantur Lineæ L H K, M H N, $e invicem inter$ecantes ad Angulos Rectos, quarumque L H K $it Pa- rallela ei quæ bi$ecat Angulum B A C. Hæ $unt duæ A$ym- ptoti Hyperbolarum de$cribendarum per puncta F & G, & quarum una tran$ibit etiam per Centrum A, quarum In- ter$ectiones cum Circuli Peripheria notabunt puncta Refle- xionis quæ$ita.

V. ALIA SOLUTIO.

Problema _Alhazeni.]_ Dato Circulo, cujus Centrum _TAB. LVI._ _fig. 5._ A, Radius A D, & punctis duobus B, C; inve- nire punctum H in Circumferentia Circuli dati, un- de ductæ H B, H C, faciant ad Circumferentiam Angulos æquales.

Ponatur Inventum, ductaque A M recta, quæ bifariam $ecet Augulum B A C, ducatur ei perpendicularis H F, itemque B M, C L. Jungatur porrò A H, cui perpendicu- laris $it H E; recti$que B H, H C, occurrat A M in pun- ctis K, G.

[0506]CHRIST. HUGENII Sit jam # A M = _a_ # Quia ergo æquales Anguli K H E & C H Z, \\ $ive E H G; e$tque E H A angulus re- \\ ctus; erit ut K E ad E G, ita K A ad \\ A G. Quia verò B M ad M K, ut H F \\ ad F K, erit, # M B = _b_ # A L = _c_ # L C = _n_ # ut B M + H F ad H F, ita M F ad F K, Radius # A D = _d_ # i.e. _b_ + _y_:_y_::_a_ - _x_:{_ay_ - _xy_/_b_ + _y_}. add. F A = _x_ # A F = _x_ # fit K A = {_ay_ + _bx_/_b_ + _y_} # F H = _y_

Rur$us, quia C L ad L G, ut H F ad F G, erit permutan- do & dividendo C L - H F ad H F, ut L F ad F G, _n_ - _y_:_y_::_c_ - _x_:{_cy_ - _xy_/_n_ - _y_}, quâ ablatâ ab A F = _x_, fit G A = {_nx_ - _cy_/_n_ - _y_}. E$t autem E A = {_dd_/_x_}, quia Proportiona- les F A, A H, A E: Ergo E A - G A, hoc e$t, E G, = {_dd_/_x_} - {_nx_ + _cy_/_n_ - _y_}. Et K A - E A, hoc e$t, K E = {_ay_ + _bx_/_b_ + _y_} - {_dd_/_x_}

Sed diximus, quod K E ad E G, ut K A ad A G; i. e. {_ay_ + _bx_/_b_ + _y_} - {_dd_/_x_}:{_dd_/_x_} - {_nx_ + _cy_/_n_ - _y_}::{_ay_ + _bx_/_b_ + _y_}:{_nx_ - _cy_/_n_ - _y_}.

Unde invenitur 2 _anxxy_ + 2_bnx<#>3_ - _ddbnx_ - _ddnxy_ = + _naddy_ + _bddx_ - 2_acxyy_ - 2_bcxxy_ + _ddbcy_ + _ddcyy_ - _addyy_ - _bddxy_ E$t autem {2_bbc_/_a_}_x_<#>3 = {2_bbcddx_/_a_} - {2_bbcyyx_/_a_}, quia _xx_ = _dd_ - _yy_. Et quia _n_ = {_bc_/_a_}, ergo {- 2_bbcxyy_/_a_} - {_ddbcyx_/_a_} - 2_acxyy_ + _ddcyy_ = - _addyy_ = _bddxy_: [0507]VARIA DE OPTICA. Et divi$is omnibus per _y_ & ductis in _a_ - 2_bbcxy_ - _ddbcx_ - 2_aacxy_ + _ddcay_ = - _aaddy_ - _bddax_ _abddx_ - _cbddx_ + _acddy_ + _aaddy_ = 2_aacxy_ + 2_bbcxy_ {_abddx_ - _cbddx_ + _acddy_ + _aaddy_/2_aac_ + 2_bbc_} = _xy_, quæ æquatio e$t ad Hyperbolam.

Vel quia _bc_ = _na_, {_abddx_ - _anddx_ + _acddy_ + _aaddy_/2_aac_ + 2_bbc_} = _xy_.

Sit {_add_/_aa_ + _bb_} = _p_; Ergo {_pbx_ - _pnx_ + _pcy_ + _pay_/2_c_} = _xy_.

Unde porrò non difficulter invenitur $equens Con$tructio: TAB. LVI. fig. 6. jungantur B A, A C, & applicato $eor$im ad utramque Quadrato Radii A D, fiant inde A P, A Q; & juncto P Q, dividatur ip$a bifariam in R, & per punctum R ducantur R D, R N, $e$e ad Rectos Angulos $ecantes, quorumque R D, $it parallela A M, quae div<007>det bifariam Angulum B A C. Erunt jam R D, R N A$ymptoti oppo$itarum Hyperbola- rum, quarum altera per Centrum A tran$ire debet, quæque $ecabunt Circumferentiam in punctis H quæ$itis. Tran$ibunt autem Hyperbolæ per Puncta P, Q.

Ratio Con$tructionis apparet, ductis P γ, & Q ζ, per- pendicularibus in A M. Fit enim A γ = {_add_/_aa_ + _bb_} $ive _p_; & A ζ = {_ap_/_c_}. Item P γ = {_pn_/_c_}, & Q ζ = {_pb_/_c_}. Quare A O = {_pc_ + _pa_/2_c_}, & O R = {_pb_ - _pn_/2_c_}. Unde Cætera facilia.

pag. præced. lin. pen. _lege_ - 2acxyy lin ult. _lege_ - addyy - bddxy:

[0508]CHRIST. HUGENII VI. Excerpta ex litteris D<#>ni. Hugenii Acad. Reg. $cient. Socii, ad auctorem Diarii Paris. de novo Mi- cro$copio ex Hollandia allato.

MIcro$copium hoc ex unico formatur exiguo globulo vi- treo, $imili illis, quibus in Hollandia & Anglia ani- malcula fuere ob$ervata in aqua puteali & pluvia, ut & illa in qua piper fuit maceratum, de quibus egi$ti in 9. & 11. diario hujus anni (1678); $ed globuli de quibus nunc ago aliis hi$ce minores $unt.

Inter ip$os quos ex Hollandia attuli quidam magnitudine non $uperant arenæ granulum; alii adeo exigui $unt ut vix vi- deri queant, quare objecta in immen$um amplificant; eo enim hæc majora apparent quo globuli $unt minores.

Objectum ob$ervandum inter vitri laminam & lapidis $pe- cularis lamellam includitur; hæc machinæ adaptantur quæ mihi aliis huc u$que u$itatis magis commoda videtur. Exigua guttula æquæ, in qua per duos aut tres dies piper fuit mace- ratum, ita inclu$a, magna videtur natantibus pi$ciculis bene re- pleta pi$cina.

Quæ pecularia circa aquam hanc ob$ervavi, ne quæ in diario ve$tro $unt relata iterum memorem, hæc $unt; ex omni pipere non eadem generantur animalcula; piper quod- dam animalcula ceteris majora format, $ive hoc a piperis ve- tu$tate pendeat, $ive ab alia cau$a, quæ in $equentibus de- tegi poterit.

Similia animalcula ex aliis $eminibus ut ex $emine corian- dri etiam producuntur.

Hoc idem ob$ervavi in $ucco Betulæ, ubi per quinque aut $ex dies hunc $ervaveram.

Quidam animalcula viderunt in aqua in qua nux aroma- tica, aut ca$ia, maceratæ fuere: & probabile admodum e$t in multis aliis rebus $imilia detegi po$$e.

[0509]VARIA DE OPTICA.

Quis forte defendet animalcula haec corrupt<007>one, aut fer- mentatione, generari; $ed alia dantur quorum origo ab hac diver$a e$t, talia $unt quæ in animalium $emine deteguntur, quæ cum hoc ip$o nata videntur, & tanta copia ob$ervan- tur ut totum $emen qua$i ex hi$ce con$tet.

Translucida omnia $unt, celerrime moventur, & ranis, antequam horum pedes formentur, $imilia $unt.

Hæc animalcula in Hollandia primum fuere ob$ervata, & horum inventio admodum m<007>hi utilis videtur, & quæ opus $uppeditabit illis qui in animalium gene$in inquirunt.

FINIS. [0510] [0511] CHRISTIANI HUGENII EXPERIMENTA PHYSICA. [0512] [0513] CHRISTIANI HUGENII EXPERIMENTA PHYSICA. Excerpta ex literis D<#>ni Hugenii, Academiæ regiæ $cien- tiarum Socii, ad Auctorem Diarii Eruditorum, de Phænomenis aquæ aëre purgatæ.

ANtequam tibi communicarem quæ ob$ervavi de $u$pen$ione aquæ in vacuo, altera vice ex- perimenta in$tituere volui, ut de ob$ervatio- nibus olim a me factis certus e$$em, & ut melius penetrare po$$em in cau$as miri adeo effectus. Primum tibi ip$as referam ob$erva- tiones, & dein pergam ad conjecturas de ip$arum cau$a.

Experimenta quæ illu$tris Boyleus anno 1661 publicavit, cum de$criptione machinæ Pneumaticæ mihi ab eo tempore dederunt occa$ionem examinandi hanc materiam; Unum ex experimentis illius e$t, $i tubo vitreo, 4 pedes longo, aqua re- pleto, cujus extremitas aperta, ever$o tubo, immergitur aqua vitro contento, $uperimponas recipiens vel vas, unde aër educitur, po$t exhau$tum aërem, quantum ope machinæ fleri pote$t, aqua tubi de$cendet in vitrum, donec ad altitu- dinem unius tantum pedis $u$tineatur, $uperiore tubi parte aquâ & aëre manente vacuâ. Cen$et optime, aquam ad illam altitudinem unius pedis $upra $uperficiem aquæ in vitro [0514]CHRISTIANI HUGENII hærere propter aërem in recipiente $uper$titem, & qui ope machinæ, non $atis exactæ, annihilari non potuit.

Similem con$trui machinam curaveram, & licet nondum mutaveram quæ in $equentibus correxi, ita tamen omnia adaptaveram, ut in$tituto experimento memorato aqua in tubo ad libellam aquæ in vitro de$cenderit; Quare in in$ti- tuendo experimento non tubo longitudinis memoratæ indi- gebam. Adhibui tubum novem pollicum cum globo cavo TAB. LVI. fig. 7. in extremitate ut patet in hac figurâ.

Concipiendum e$t vitrum CC in totum aquâ repleri, ex- tremitatemque apertam immergi aquâ in vitro D; utrumque obtegitur va$e B, cujus os apertum applicatur molli cuidam cimento, quo lamina AA induitur; hæc perforata e$t in medio parvo foramine, per quod exit aër, quando agitatur antlia; $i adhibita aqua frigida experimentum in$tituatur in totum vas C evacuatur, donec aqua ad libellam aquæ in vitro D de$cendat.

EXPERIMENTUMI. Aqua, $ublatâ aëris pre$$ione, hæret in tubo.

SEd ad finem men$is Decembris eju$dem anni 1661. cum reliqui$$em aquam illam in vacuo per 24 horas, (quo plane purgatur bullis aëris quas ejicit, quando adhibetur fri- gida) cumque implevi$$em vas C, admiratus vidi, licet opti- me eduxerim aërem ex va$e B, aquam nullatenus de$cen- dere ex va$e, quod plenum remanebat. Non poteram $u- $picari ullum in machinâ meâ vitium dari, nec vas B non bene fui$$e obturatum; $ed ut quidquid rei e$$et expi$carer, detraxi phialam C ex va$e, & po$tquam in hac admi$i parvam bullulam aëris, repo$ui phialam ut an- te; & agitatâ machinâ, vidi tandem omnem aquam de- $cendi$$e prope ad libellam illius quæ erat in vitro D. Id mihi per$ua$it, non dari vitium in machinâ & aquam aë- re purgatam manere $u$pen$am; licet vas B fuerit plane aëre vacuum vel ad minimum ita, uti erat quando aqua [0515]EXPERIMENTA PHYSICA. nondum aëre purgata de$cendebat ex Phialâ; altera vice ut aqua de$cenderet, effeci immi$$â in collum Phialæ bullâ adeo parvâ, ut ægre videri po$$et.

EXPERIMENTUM II. Notabile quid in de$cen$u aquæ aëre purgatæ.

SEd alio tempore mihi quid valde memorabile contigit. Cum non immi$i$$em bullam aëream, po$t exhau$tum aë- rem bullam formari ob$ervavi in inferiori parte colli Phialæ; Hæc bulla, continuo magis magi$que aucta, ubi ad magnitudi- nem parvi pili pervenit, reliquit vitrum & incepit ad$cendere in collo Phialæ, ubi autem pervenit ad altitudinem unius pollicis $upra $uperficiem aquæ in vitro D, non ulterius ad- $cendit, $ed $ubito $e$e expandit $uperiora ver$us & unico momento occupavit totam Phialam, ex qua eodem tempore aqua de$cendit per parvum id $patium, quod reliquum erat in- ter interiorem colli $uperf<007>ciem & bullam, quæ exten$a erat, omni$que reman$it infra illam altitudinem unius pollicis, ad quam bulla cæpit $e$e expandere. Omnia hæc porro mihi contigerunt in$tituenti experimenta cum tubis duorum pe- dum & majoribus, ubi aqua manebat $u$pen$a eodem modo ut in tubo 9 pollicum.

Communicavi hæc experimenta cum $ocietate regia An- glicana, $ed noluere $tatim illis fidem dare, mihi autem in- dicarunt veri$imiliter aquam Phialæ non de$cendi$$e, prop- ter aërem non bene evacuatum: $ed re$pondi, nullam da- ri rationem illud $u$pectandi $i attendamus ad illud quod notavi in fine experimenti fui$$e ob$ervatum; & præterea me ex experimentis frequenter repetitis de bona machi- næ conditione certi$$imum e$$e. Tandem cum anno 1663 e$$em in Angliâ me præ$ente in con$e$$u Societatis Regiæ idem experimentum eodemque cum $ucce$$u in$titutum e$t, licet tubi fuerint quatuor & quinque pedum; dein in men- tem venit D<#>no Boyle idem in$tituere experimentum, non ad- hibitâ antl<007>â, cum argento vivo in tubo vitreo, cujus extre- [0516]CHRIST. HUGENII mitas aperta immer$a erat in alio argento vivo; quum primo detexi$$et methodum perfecte Mercurium aëre purgandi per tres vel quatuor dies. Tandem experimentum $ucce$$it, & cum in experimento Torricelliano Mercurius de$cendat ad altitudinem 27 vel 28 pollicum $upra $uperficiem Mercurii, in quo <007>mpo$itus e$t tubus, ita a D<#>no Boyle, & eodem etiam tempore a D<#>no Vicecomite Brounker, Præ$ide Societatis Re- giæ Anglicanæ, fuit in$titutum, ut primo hæreret ad altitudi- nem 34 pollicum, dein 52, po$tea 55 & tandem ad alt<007>tudinem 75 pollicum, tubo $emper manente pleno, & huc u$que non- dum notum e$t, quænam $it omnium maxima altitudo po$$i- bilis. D<#>us Boyle etiam ob$ervavit, extracto tubo e Mercurio, in quo aperta ejus extremitas erat impo$ita, & retento tubo non clau$o in aëre libero, Mercurium nihilominus non ce- cid<007>$$e. Porro in his experimentis, ut in illis quæ cum aquâ in$tituuntur, minimâ aëris bullâ in tubo, $ive $ponte $ive con- cu$$ione formatâ, $ubito Mercurium deprimit ad ordinariam altitudinem 27 vel 28 pollicum.

EXPERIMENTUM III. Adhibito $piritu vini loco aquæ.

SEd ut ad experimenta no$tra redeam, non $olum illa ite- rum cum aqua in$titui, $ed & cum Spiritu vini rectifica- to, & inveni, ad purgationem aëris tantum requiri, ut per unam horam in vacuo relinquatur, licet producat plus aëris quam aqua, uti ex hujus operationis circum$tantiis quas re- feram quæque notabiles $atis $unt, æ$timari facillime pote$t. Po$tquam vas B proxime ope antliæ aëre evacuatum e$t, magnæ bullæ $piritus vini exennt & tanta quidem copia, ut pars ejiciatur $upra oram vitri D, quod pariter accidit in a- quâ parumper calefactâ; $ed non in illâ quæ frigida immit- titur. Illæ ebullitiones continuo minuuntur, ita ut ex vini Spiritu, tantum majores aëris bullæ ad certa temporis in- tervalla $ingulatim exeant, & tandem nil omnino emergat. [0517]EXPERIMENTA PHYSICA. Interim bullæ, quæ a$cenderunt in tubum C, ita dilatantùr ut plane impleant globum, ut & totam colli longitudinem, ita ut omnis vini $piritus fugatus $it, & ut pariter em<007>ttat mul- tas magnas bullas per aperturam; quod clare indicat, e$$e aërem in lagena, vel aliam materiam ela$ticam ut aër, quan- doquidem illa fugat $piritum vini longe infra $uperficiem <007>l- lius qui e$t in vitro D contentus: etiam $i iterum aërem in- trare $inas in vas B, $piritus vini quidem ad$cendet in la- genam C, non autem plane illam replebit, $ed $uperius hæ- rebit $atis notabilis aëris bulla.

EXPERIMENTUM IV. Aër, ex Spiritu vini aut aqua exhau$tus, hæc corpora iterum intrat.

SEd hic notandum, bullam illam $i ita relinquatur per $patium unius vel duarum horarum, $emper evanui$$e, & in $pi- ritum vini, unde emer$erat, redii$le. Expertus etiam $ui, $i immittatur porro bulla veri aëris magnitudine unius pi$i, etiam illam perii$$e, po$tquam per unam noctem relicta fue- rit. Idem quoque accidit in aqua. Sed multo majus tempus requiritur, ut evane$cat bulla.

Quod attinet cau$am præcipui no$tri Phænomeni, $u$pen- $ionis nempe aquæ & Mercurii, hæc e$t quam mihi per$ua- dere potui huc u$que omnium veri$imillimam.

Præter pre$$ionem aëris, quæ $u$tinet Mercurium ad alti- tudinem 27 pollicum in experimento Torricelliano, & quam dar<007> ex infinitis aliis effectibus, quos videmus, con$tat, con- cipio & aliam pre$$ionem illâ fortiorem materiæ aëre $ub- tilioris, quæ haud difficulter penetrat vitrum, aquam, Mercurium, & omnia alia corpora quæ aër<007> impene- trabilia ob$ervamus. Hæc pre$$io addita ad aëris pre$$io- nem pote$t $u$tinere 75 pollices Mercurii & forte adhuc plu- res, quamdiu tantum agit in $uperficiem inferiorem, vel in $uperficiem Mercurii, in quem aperta tubi extremitas immer- [0518]CHRIST. HUGENII g<007>tur: $ed quam primum materia hæc pote$t agere etiam ad alteram partem (quod evenit $i tubum concutiendo, vel im- mittendo parvam aëris bullam, occa$io detur huic materiæ ef- fectum $uum inchoandi) pre$$io illius æqualis erit ab utraque parte, ita ut $ola $uper$it æris pre$$io quæ $u$tinet Mercu- r@um ad ordinariam altitudinem 27 pollicum; Eadem de cau- $a in experimento aquæ aëre purgatæ, po$t remotam pre$- $io em aëris evacuando recipiens B, altera illa pre$$io eju$- dem materiæ agit etiam ut antea in $uperficiem aquæ in vi- tro D, & cohibet ne aqua in Phiala C de$cendat. Sed ubi minima bulla aëris intrat phialam, materia quam dixi tran$ire per vitrum & aquam, $ubito inflat bullam, editque pre$$ionem æqualem illi, quæ ag<007>t in $uperficiem aquæ in vi- tro D, quare omnis aqua phialæ defluit, & ad libellam cum illa, quæ e$t in vitro $e$e con$tituit.

Quæret forte qui$piam cur pre$$io ejus materiæ non agat in aquam $u$pen$am in phiala C, & in Mercurium in tubo D<#>ni. Boyle, etiam dum va$a hæc plena $unt, quoniam $uppo$ui, illam haud difficulter penetrare vitrum æque ac aquam & Mercurium? Et quare particulæ ejus materiæ non $e jun- gant, & incipiant pre$$ionem, cum continuo in aqua & Mer- curio eant & redeant, & vitrum non impediat illarum com- municationem cum particulis exterioribus.

Ut huic difficultati fiat $atis, quæ revera maxima e$t, di- cam, licet partes ejus materiæ, quam $uppo$ui, tran$itum in- veniant inter illas, ex quibus vitrum aqua & Mercurius for- mantur, non tamen dari tran$itum $atis latum ut plures $imul tran$eant, neque ut $e moveant vi, quæ requiritur ut di$per- gantur partes Mercurii vel aquæ, quæ inter $e habent quen- dam nexum. Et ex hoc ip$o nexu $equitur, (licet ad par- tem $uperficiei interioris vitri, quæ tangit aquam vel Mer- curium $u$pen$um, plures partes premantur actione particu- larum ejus materiæ, cum tamen plurimæ partes aquæ aut Mercuri<007> non premantur, quæ a partibus vitri teguntur,) par- tes aquæ aut Mercurii $e$e mutuo $u$tinere, omne$que $u$pen- $as hærere; quia minor e$t pre$$io in $uperficiem aquæ vel ar- [0519]EXPERIMENTA PHYSICA. genti vivi, quæ contingit vitrum, quam in inferiorem, quæ tota expo$ita e$t actioni materiæ, a qua $ecunda pendet pre$- $io. Solutionem hanc fateor non mihi ita $atisfacere, ut nullus mihi $uper$it $crupulus; nihilominus tamen per- $ua$um habeo novam illam dari pre$$ionem, præter aëris pre$- $ionem, cum ob experimenta $upra relata tum ob duo alia nunc referenda.

EXPERIMENTUM V. Laminæ metallicæ arcte inter $e cohærent in vacuo licet nihil inter has detur.

QUando duæ laminæ metallicæ vel marmoreæ, quarum $u- perficies $int perfecte planæ, ad $e mutuo applicantur, ita cohærent, ut $uperiore elevatâ inferior eam in$equatur, cujus effectus cau$a tribuitur merito pre$$ioni aëris in $uper- ficies externas; duæ mihi $unt laminæ, quarum quævis circi- ter e$t magnitudin<007>s pollicis quadrati, quæ ex materiâ con- flatæ $unt, ex qua olim $pecula formabantur, & quæ ita jun- guntur, ut, licet nihil interponas, $uperior non $olum alte- ram $u$tineat, $ed interdum etiam pondus trium librarum cum inferiori conjunctum; in quo $tatu per$everant quamdiu de$ideraveris.

Has ita junctas & oneratas tribus libris $u$pendi in machi- næ meæ recipiente, quod aëre evacuavi in tantum, ut $uper- $tes aër non pre$$ione $ua aquam ad altitudinem unius pol- licis $u$tineret, & nihilominus laminæ meæ $eparatæ non $unt.

Idem etiam in$titui experimentum interpo$ito $piritu vini inter laminas & inveni quod in recipiente vacuo aëre $u$ti- nerent $ine $eparatione eadem pondera, quæ $u$tinebant re- cipiente aëre pleno.

Videtur id mihi manife$te $atis indicare magnam $upere$- $e pre$$ionem in recipiente, po$tquam aëre vacuus e$t, & hanc non mag<007>s quam ip$ius aëris pre$$ionem in dubium vo- cari po$$e; $ed & alia ad illius confirmationem.

[0520]CHRIST. HUG. EXPERIM. PHYSICA. EXPERIMENTUM VI. Effectus Siphonis in vacuo.

NOtum e$t, effectum $iphonis crurum inæqualium, quo evacuatur aqua va$is $upra oram, non amplius tribui fugæ vacui, $ed ponderi aëris, qui premendo in $uperficiem aquæ in va$e, illam cogit ut in $iphonem ad$cendat, dum in alio crure illa gravitate $uâ de$cendit. Inveni methodum qua effi- ci, ut aqua e $iphone fluxerit, po$tquam recipiens vacuum erat aëre; & ob$ervavi effectum, $i aqua purgata fuerit aëre, eodem modo ac extra recipiens procedere.

Brevi$$imum $iphonis crus erat octo pollicum & apertura duarum linearum. Nec dubitari debet quin recipiens aëre bene vacuum fuerit; nam id po$$um affirmare, tum quoniam nullum antliâ aërem ulterius extrahere potui, tum ob alia $igna certiora.

Magis ergo confirmatur no$tra hypothe$is materiam da- ri prementem aëre $ubtiliorem. Si quis laborem in $e $u$cipere vellet quærendi, quanta $it vis hujus pre$$ionis quod melius fieri non pote$t ni$i pro$equendo experimenta cum tubis Mercurio plenis longioribus, quam quibus u$us e$t D<#>nus Boy- le, inveniet forte, vim illam $atis validam e$$e ad efficiendam unionem partium vitri & aliorum corporum, quæ nimis ar- cte cohærent, quam ut juncta tantum forent per contiguitatem & quietem uti voluit Carte$ius.

FINIS. [0521] [0521a] pag. 776. TAB. LVI. Fig. 1. B H V C K E T D F X P Z Q I Y O R S A Fig. 2. D S Y A _d_ I M N _d_ X D O Z B M E C R Fig. 3. Y T V A M N Z B E C R Fig. 4. L A M F H N G E D K B C Fig. 5. h A P O R Q G F D Z H E K L C B M Fig. 6. D A P r N O e Q K I V F H C L B M Fig. 7. C B C D A A [0522] [0523] INDEX RERUM Quatuor Tomis contentarum. TOMUS PRIMUS OPERA MECHANICA. _HOROLOGIUM. pag. 1_. Hagæ-Com. # ann. _1658_. in quarto. _HOROLOGIUM OSCILLATORIUM, $i-_ # _ve de Motu Pendulorum ad Horo-_ # _logia aptato Demon$trationes Geo-_ # _metricæ. p. 15_. Pari$iis _1673_. infol. _De$criptio Horologii_. # _33_. _Tabula Æquationis Dierum_. # _44_. _De De$cen$u Gravium_. # _52_. _De De$cen$u $uper plano inclinato_. # _62_. Dato in Cycloide puncto, rectam per il- # lud ducere quæ Cycloidem tangat. # _69_. _De Motu in Cycloide_. # _72_. In Cycloide cujus axis ad perpendiculum # erectus e$t, vertice deor$um $pectante, # tempora de$cen$us quibus mobile, à # quocunque in ea puncto dimi$$um, ad # punctum imum verticis pervenit, $unt # inter $e æqualia; habentque ad tem- # pus ca$us perpendicularis per totum # axem cycloidis eam rationem, quam # $emicircumferentia circuli ad diame- # trum. # _87_. _De Linearum curvarum evolutione &_ # _dimen$ione_. # _89_. Semicycloidis evolutione, à vertice cœ- # pta, alia $emicyclois de$cribitur evo- # lutæ æqualis & $imilis, cujus ba$is e$t # in ea recta quæ cycloidem evolutam in # vertice contingit. # _96_. Cyclois linea $ui axis, $ive diametri cir- # culi genitoris, quadrupla e$t. # _97_. Cujus lineæ evolutione parabola de$criba- # tur o$tendere. # _99_. Rectam lineam invenire æqualem datæ # portioni curvæ paraboloidis, ejus nem- # pe in qua quadrata ordinatim appli- # catarum ad axem, $unt inter $e $icut # cubi ab$ci$$arum ad verticem. # _100_. Conoidis parabolici $uperficiei curvæ cir- # culum æqualem invenire. # _102_. Sphæroidis oblongi $uperficiei circulum # æqualem invenire. # _103_. Sphæroidis lati $ive compre$$i $uperficiei # circulum æqualem invenire. # _Ibid_. Conoidis hyperbolici $uperficiei curvæ cir- # culum æqualem invenire. # _104_. Curvæ parabolicæ æqualem rectam li- # neam invenire. # _105_. Lineas curvas exhibere quarum evolutio- # ne ellip$es & hyperbolæ de$cribantur, # recta$que invenire ii$dem curvis æ- # quales. # _107_. Datâ lineâ curvâ, invenire aliam cujus [0524]INDEX RERUM. # evolutione illa de$cribatur; & o$ten- # dere quod ex unaquaque curva geome- # trica, alia curva itidem geometrica # exi$tat, cui recta linea æqualis dari # po$$it. # _108_. _De Centro O$cillationis, $eu Agitatio-_ # _nis_. # _107_. Ponderibus quotlibet ad eandem partem # plani exi$tentibus, $i à $ingulorum cen- # tris gravitatis agantur in planum il- # lud perpendiculares; hæ $ingulæ in $ua # ponder a ductæ, tantundem $imul effi- # cient, ac perpendicularis, à centro # gravitatis ponderum omnium in pla- # num idem cadens, ducta in pondera # omnia. # _123_. Dato pendulo ex ponderibus quotlibet # compo$ito, $i $ingula ducantur in qua- # drata di$tantiarum $uarum ab axe # o$cillationis, & $umma productorum # dividatur per id quod fit ducendo pon- # derum $ummam, in di$tantiam centri # gravitatis communis omnium ab eo- # dem axe o$cillationis; orietur longi- # tudo penduli $implicis compo$ito i$o- # chroni, $ive di$tantia inter axem & # centrum o$cillationis ip$ius penduli com- # po$iti # _128_. Dato pendulo ex quotcunque ponderibus # æqualibus compo$ito; $i $umma qua- # dratorum factorum à di$tantiis, qui- # bus unumquodque pondus abe$t ab axe # o$cillationis, applicetur ad di$tan- # tiam centri gravitatis communis ab # eodem o$cillationis axe, multiplicem # $ecundum ip$orum ponder um numerum, # orietur longitudo penduli $implicis com- # po$ito i$ochroni. # _131_. Datâ figurâ planâ & in eodem plano li- # neâ rectâ, quæ vel $ecet figuram vel # non, ad quam perpendiculares cadant # à partioulis $ingulis minimis & æquæ- # libus, in quas figura divi$a intelligi- # tur; invenire $ummam quadr atorum # ab omnibus i$tis perpendicularibus; $i- # ve planum, cujus multiplex, $ecun- # dum particularum numerum, dictæ # quadratorum $ummæ æquale $it. # _135_. Datis in plano punctis quotlibet; $i ex # centro gravitatis eorum circulus quili- # bet de$cribatur; ducantur autem ab # omnibus datis punctis, ad punctum # aliquod in circuli illius circumferentia # lineæ rectæ; erit $umma quadratorum # ab omnibus $emper eidem plano æqua- # lis. # _138_. Si figura plana, vel linea in plano exi- # $tens, aliter atque aliter $u$pendatur # à punctis, quæ, in eodem plano acce- # pta, æqualiter à centro gravitatis $uæ # di$tent; agitata motu in latus, $ibi # ip$i i$ochrona e$t. # _140_. Datâ figurâ $olidâ, & lineâ rectâ in- # terminatâ, quæ vel extra figuram ca- # dat, vel per eam tran$eat; divi$âque # figurâ cogitatu in particulas minimas # æquales, à quibus omnibus ad datam # rectam perpendiculares ductæ intelli- # gantur_;_ invenire $ummam omnium # quæ ab ip$is fiunt quadratorum, $ive # planum, cujus multiplex $ecundum # particularum numerum, dictæ qua- # dratorum $ummæ æquale $it. # _142_. Figura quævis, $ive linea fuerit, $ive $u- # perficies, $ive $olidum; $i aliter atque # aliter $u$pendatur, agiteturque $uper # axibus inter $e parallelis, quique à # centro gravitatis figuræ æqualiter di- # $tent, $ibi ip$i i$ochrona e$t. # _148_. Dato plano, cujus multiplex per nume- # rum particularum, in quas $u$pen$a # figura divi$a intelligitur, æquetur [0525]INDEX RERUM. # quadratis omnium di$tantiarum ab axe # o$cillationis; $i illud applicetur ad re- # ctam, æqualem di$tantiæ inter axem # o$cillationis & centrum gravitatis $u$- # pen$æ magnitudinis, orietur longitu- # do penduli $implicis ip$i i$ochroni. # _149_. Si $patium planum, cujus multiplex $e- # cundum numerum particularum $u$pen- # $æ magnitudinis, æquetur quadr atis # di$tantiarum ab axe gravitatis, axi # o$cillationis parallelo; id, inquam, # $patium $i applicetur ad rectam, æ- # qualem di$tantiæ inter utrumque di- # ctorum axium, orietur recta æqualis # intervallo, quo centrum o$cillationis # inferius e$t centro gravitatis eju$dem # magnitudinis. # _150_. Si magnitudo eadem, nunc brevius nunc # longius $u$pen$a, agitetur; erunt, $ic- # ut di$tantiæ axium o$cillationis à cen- # tro gravitatis inter $e, ita contraria # rat<007>one di$tantiæ centrorum o$cillatio- # nis ab eodem gravitatis centro. # _153_. Centrum o$cillationis & punctum $u$pen- # $ionis inter $e convertuntur. # _154_. Quomodo in figuris planis centra o$cilla- # tionis inveniantur. # _154_. Centrum o$cillationis Circuli. _157_. Re- # ctanguli. _Ibid_. Trianguli i$o$celis. # _158_. # Parabolæ. _Ibid_. Sectoris circuli. # _Ibid_. Circuli, aliter quam $upra. # _160_. Peripheriæ circuli. _Ibid_. Po- # lygonorum ordinatorum. # _161_. Quomodo, in $olidis figuris, o$cillationis # centra inveniantur. # _165_. Centrum o$cillationis in Pyramide. # _166_. # Coni. _167_. Sphæræ. _Ibid_. Cylin- # dri. _168_. Conoidis Parabolici. _Ibid_. # Conoidis Hyperbolici. _169_. dimidii # Coni. # _Ibid_. Horologiorum motum temperare addito # pondere exiguo $ecundario, quod $uper # virga penduli, certa ratione divi$a, # $ur$um deor$umque moveri po$$it. # _172_. Centri o$cillationis rationem haberi non # po$$e, in pendulis inter Cycloides $u$- # pen$is; & quomodo hinc orta diffi- # cultas tollatur. # _177_. De men$uræ univer $alis, & perpetuæ, # con$tituendæ ratione. # _178_. Spatium definire, quod gravia, perpen- # diculariter cadentia, dato tempore # percurrunt. # _182_. _Secu d<007> Horologii Con$tructio è cir-_ # _culari pendulorum motu deducta_ # _185_. _De Vi Centrifuga ex motu circulari,_ # _Theoremata_. # _188_. _BREVIS INSTITUTIO DE USU HO-_ # _ROLOGIORUM AD INVENIENDAS_ # _LONGITUDINES. 193_. Hagæ-Com. # _Belgice edita_. Reducere horologia ad rectam dierum # men$uram vel cogno$cere quanto citius # vel tardius $patio _24_ horarum mo- # veantur. # _196_. _Tabula Æquationis Dierum_. # _198_. Ope Horologiorum mari invenire longi- # tudinem loci in quo ver$aris. # _202_. Mari invenire horam diei. # _204_. Quomodo ex ob$ervatione ortus & occa- # $us Solis & ex hora horologiorum lon- # gitudo mari inveniri queat. # _205_. _Excerpta ex literis de $ucce$$u horo-_ # _logiorum datis Londini {13/23} Januarii_ # _1665_. # _211_. _Experimentum circa pendula. 213_. # Journal des Sçavans _23. Fevr_. # _1665_. _DE HUGENIANA CENTRI OSCILLA-_ # _TIONIS DETERMINATIONE CON-_ # _TROVERSIA_. # _215_. _Ob$ervationes Abbatis Catalani in_ # _propo$itionem, quæ fundamentum_ [0526]INDEX RERUM. # _e$t 4æ. partis tractatus de Pendulis,_ # _Hugenii_ # _217_. Journal des Sçavans # _1682. in initio_. _Domini Abbatis Catalani Examen_ # _Mathematicum Centri O$cillatio-_ # _nis_. # _219_. ibid. _Excerpta ex literis Domini Hugenii,_ # _quibus re$pondet ob$ervationi Ab-_ # _batis Catelani in 4<#>am. propo$itio-_ # _nem Tractatus de Centris o$cilla-_ # _tionis_. # _222_. ibid. _29. Junii 1682_. _Exceptio Abbatis Catalani ad re$pon-_ # _$ionem Hugenii_. # _225_. ibid. _20. Ju-_ # _lii 1682_. _Objectio Abbatis Catalani contra mo-_ # _tum Pendulorum in Cycloidibus_. # _227_. ibid. _7. Sept. 1682_. _Re$pon$io ad objectiones Hugenii_ # _adver$us methodum Abbatis Cata-_ # _lani de determinando Centro O$cil-_ # _lationis_ # _228_. ibid. _14 Sept. 1682_. _Excerpta ex litteris D. Bernoullii da-_ # _tis Ba$ileæ ad Autorem Diarii Pa-_ # _ri$ien$is, de Controver$ia, inter_ # _Abbatem Catalanum & Hugenium,_ # _de Centro o$cillationis_. # _230_. ibid. # _24. April. 1684_. _Excerpta ex literis D<#>ni. Hugenii ad_ # _Auctores Diarii Pari$ien$is, datis_ # _Hagæ 8. Junii 1684. quæ conti-_ # _nent ejus re$pon$ionem ad exceptio-_ # _nem D<#>ni. Abbatis Catalani, de cen-_ # _tro O$cillationis_. # _232_. ibid. _3. Ju-_ # _lii 1684_. _Re$pon$io D<#>ni. Abbatis Catalani ad_ # _Literas D<#>ni. Bernoulli de Contro-_ # _ver$ia $ua cum D<#>no. Hugenio de_ # _centro O$cillationis_. # _235_. ibid. _11_. # _Sept. 1684_. _D<#>ni. Bernoulli narratio controver$iæ_ # _inter D<#>nos. Hugenium & Abbatem_ # _Catalanum agitatæ de centro O$cil-_ # _lationis, quæ loco Animadver$io-_ # _nis e$$e poterit in Re$ponfionem_ # _D<#>ni. Catalani_. # _237_. Acta erudito- # rum Lips. _men$is Julii. 1686_. _Litteræ D<#>ni. Marchionis de l’ Hôpi-_ # _tal ad D<#>um. Hugenium, in quibus_ # _contendit, $e regulam hujus Au-_ # _ctoris de Centro O$cillationis pen-_ # _duli compo$iti demon$trare per cau-_ # _$am Phy$icam, & re$pondere $imul_ # _D<#>no. Bernoulli_. # _242_. Hi$toire des # ouvrages des Sçavans. _men$is Junii_. # _1690_. _Ob$ervationes D<#>ni. Hugenii in literas_ # _præcedentes & in relationem D<#>ni_. # _Bernoulli, cujus in iis fit mentio_. # _246_. ibid. _MACHINÆ QUÆDAM ET VARIA CIR-_ # _CA MECHANICAM_. # _249_. _Excerpta ex Litteris Domini Huge-_ # _genii, novam quandam Inventio-_ # _nem Horologiorum exacti$$imorum_ # _ac portatilium concernentibus_. # _253_. # Journal des Sçavans. # _25. Febr. 1675_. _Nova Libella, Tele$copio in$tructa,_ # _propriam $ecum ferens probationem_ # _& quæ in unica $tatione verificatur,_ # _& rectificatur_. # _254_. ibid. _9. Jan_. # _1680_. _Rectificationis Libellæ Demon$tra-_ # _tio_. # _258_. ibid. _26. Feb. 1680_. _A$tro$copia Compendiaria, Tubi Op-_ # _tici molimine liberata_. # _261_. Hagæ. # Com. _1684_. in quarto. _Auctarium_. # _273_. ibid. _Excerpta ex literis D<#>ni. Hugenii de_ # _novâ methodo con$truendi´ Baro-_ # _metrum_. # _276_. Journal des Sçavans # _12. Dec. 1672_. _Nova vis movens mediante pulvere_ [0527]INDEX RERUM. # _nitrato & aëre_. # _280_. Divers ouvra- # ges de Mathmatique & de Phi$ique de # M<#>rs. de l’ Academie Rojale des $cien- # ces. _p. 320_. _Demon$tratio Æquilibrii Bilancis_. # _282_. # ibid. _p. 113_. Si $uper planum Horizontale quod im- # ponitur lineæ rectæ, quæ id dividit # in duas partes, applicetur pondus, vis, # quam illud pondus habebit ad defle- # ctendum planum partem ver$us ad # quam applicatur erit major, quam $i # po$itum $it prope dictam lineam. # _283_. Si planum Horizontale; oneratum plu- # rimis ponderibus, maneat in æquili- # brio, impo$itum lineæ rectæ, quæ id # $ecat in duas partes, centrum gravi- # tatis plani $ic onerati erit in ip$a li- # neâ rectâ. # _284_. Duo gravia commen$urabilia appen$a ad # extremitates brachiorum Libræ erunt # in æquilibrio, $i brachia $int in ratio- # ne reciproca gravium. # _284_. _De potentiis fila fune$ve trahentibus_. # _287_. ibid. _p. 317_. Datis po$itione quotlibet punctis; $ive in # eodem plano fuerint, $ive non: $i à # puncto quod eorum commune e$t gra- # vitatis centrum, ad unumquodque # datorum fila extendantur, eaque $in- # gula trahantur à potentiis quæ $int # inter $e ut filorum longitudines, fiet # æquilibrium manente nodo communi in # dicto gravitatis centro. # _288_. _Solutio problematis a G G. Leibni-_ # _tio propo$iti_. # _290_ Nouvelles de la # republique des lettres Men$is Oct. _1687_. Detegere lineam juxta quam $i corpus # de$cendat temporibus æqualibus æqua- # liter tellurem ver$us accedat. # _290_. _Chri$tiani Hugenii, Solutio Proble-_ # _matis de linea in quam flexile $e_ # _pondere proprio curvat_. # _291_. Acta # Erud. Lips. _men$is Junii 1691_. _Hugenii Annotationes in Librum Pa-_ # _ri$iis 1689. editum, de Manuaria_ # _Nautica_. # _292_. Bibliotheque Univer- # $elle. _men$is Sept. 1693_. _Re$pon$um D<#>ni. Renaldi ad Domi-_ # _num Hugenium_. # _296_. Journal des # Sçavans _16. & 27. Maji. 1695_. _Exceptio D<#>ni. Hugenii ad Re$pon$um_ # _D<#>ni. Renaldi_. # _305_. Hi$toire des ou- # vrages des Sçavans. _men$is April_. # _1694_. TOMUS SECUNDUS. OPERA GEOMETRICA. _CHRISTIANI HUGEN@ THEORE-_ # _MATA DE QUADRATURA HY-_ # _PERBOLES, ELLIPSIS ET CIRCU-_ # _LI, EX DATO PORTIONUM GRA-_ # _VITATIS CENTRO_ # _309_. Lugd. Bat. # _1651_. in quarto. Omnis hyperboles portio ad triangulum # in$criptum, eandem cum ip$a Ba$in # habentem eandemque altitudinem, hanc # habet rationem; quam $ub$e$quialtera # duarum, lateris tran$ver$i & diametri # portionis, ad eam quæ ex centro $e- # ctionis ducitur ad port<007>on<007>s centrum # gravitatis. # _323_. Omnis ellip$is vel circuli portio ad trian- # gulum in$criptum, eandem cum ip$a [0528]INDEX RERUM. # Ba$in habentem eandemque altitudi- # nem, hanc habet rationem; quam # $ub$e$qu@altera diametri portionis re- # liquæ, ad eam quæ ex figuræ centro # ducitur ad centrum gravitatis in por- # tione. # _324_. In Semicirculo & quolibet circuli $ectore, # habet arcus ad duas tertias rectæ $ibi # $ubten$æ hanc rationem, quam $emi- # diameter ad eam, quæ ex centro du- # citur ad $ectoris centrum gravitatis. # _326_. _Ε’ΞΕ´ΤΑΣΙSig; CYCLOMETRIÆ Clarif-_ # _$imi Viri Gregorii à S. Vincentio,_ # _S. J. editæ Anno 1647_. # _328_. ibid. _Chri$tianii Hugenii ad C. V. Franc_. # _Xaverium Ain$com. S. J. EPISTO-_ # _L@, qua diluuntur ea quibus E_ ξέ- # {τα}{σι}ς _Cyclometriæ Gregorii à Sto_. # _Vincentio impugnata fuit_. # _341_. Ha- # gæ. Com. _1656_. in quarto. Epi$tola Carte$ii. # _347_. _CHRISTIANI HUGENII DE CIRCULI_ # _MAGNITUDINE INVENTA. Acce-_ # _dunt eju$dem Problematum quorun-_ # _dam illu$trium Con$tructiones_. # _351_. # Lugd. Bat. _1654_ in quarto. Omnis circulus major e$t polygono æqua- # lium laterum $ibi in$cripto & triente # exce$$us quo id polygonum $uperat a- # liud in$criptum $ubduplo laterum nu- # mero. # _361_. Omnis circulus minor e$t duabus tertiis # polygoni æqualium laterum $ibi cir- # cum$cripti & triente polygoni $imilis # in$cripti. # _361_. Omnis circuli circumferentia major e$t # perimetro polygoni æqualium laterum # $ibi in$cripti, & triente exce$$us quo # perimeter eadem $uper at perimetrum # alterius polygoni in$cripti $ubduplo la- # terum numero. # _362_. Circulo dato, $i ad diametri terminum # contingens ducatur, ducatur autem & # ab oppo$ito diametri termino quæ cir- # cumferentiam $ecet occurratque tan- # genti ductæ: erunt interceptæ tangen- # tis duæ tertiæ cum triente ejus quæ ab # inter$ectionis puncto diametro ad an- # gulos rectos incidet, $imul arcu ab$ci$- # $o adjacente majores. # _364_. Omnis circuli circumferentia minor e$t # duabus tertiis perimetri polygoni æ- # qualium laterum $ibi in$cripti & trien- # te perimetri polygoni $imilis circum- # $cripti. # _365_. Peripheriæ ad diametrum rationem in- # venire quamlibet veræ propinquam. # _366_. Rectam $umere peripheriæ dati circuli æ- # qualem. # _368_. Dato arcui cuicunque rectam æqualem # $umere. # _370_. Omnis circuli circumferentia minor e$t # minore duarum mediarum proportio- # nalium inter perimetros polygonorum # $imilium, quorum alterum ordinate # circulo in$criptum $it, alterum cir- # cum$criptum. Et circulus minor e$t # polygono i$tis $imili cujus ambitus ma- # jori mediarum æquetur. # _373_. Si inter productam circuli diametrum & # circumferentiam recta aptetur radio æ- # qualis, & producta circulum $ecet, # occurratque tangenti circulum ad alte- # rum diametri terminum: Intercipiet # ea partem tangentis arcu adjacente # ab$ci$$o majorem. # _376_. Si diametro circuli $emidiameter in dire- # ctum adjiciatur, & ab adjectæ termino # recta ducatur quæ circulum $ecet, oc- # curratque tangenti circulum ad termi- [0529]INDEX RERUM. # num diametri oppo$itum: Intercipiet # ea partem tangentis arcu adjacente # ab$ci$$o minorem. # _377_. Portionis circuli centrum gravitatis dia- # metrum portionis ita dividit, ut pars # quæ ad verticem reliquâ major $it, # minor autem quam eju$dem $e$quial- # tera. # _378_. Circuli portio $emicirculo minor ad in- # $criptum triangulum maximum majo- # rem rationem habet quam $e$quiter- # tiam, minorem vero quam diameter # portionis reliquæ tripla $e$quitertia ad # circuli diametrum cum tripla ea, quæ # à centro circuli pertingit ad portionis # ba$in. # _380_. Arcus quilibet $emicircumferentiâ mi- # nor, major e$t $uâ $ubten$â $imul & # triente differentiæ quâ $ubten$a $inum # excedit. Idem verò minor quam $ub- # ten$a $imul cum ea quæ ad dictum # trientem $e$e habeat, ut quadrupla # $ubten$a juncta $inui ad $ubten$am du- # plam cum $inu triplo. # _382_. Circumferentiæ ad diametrum rationem # inve$tigare; & ex datis in$criptis in # dato circulo invenire longitudinem ar- # cuum quibus illæ $ubtenduntur. # _384_. _CHRISTIANI HUGENII ILLVSTRIUM_ # _QVORUNDAM PROBLEMATUM CON-_ # _STRUCTIONES_. # _388 Ibid_. Datam $phæram plano $ecare, ut por- # tiones inter $erationem habeant datam # _388_. Cubum invenire dati cubi duplum. # _391_. Datis duabus rectis duas medias propor- # tionales invenire. # _393_ Quadrato dat@ & uno latere producto, # aptare $ub angulo exteriori rectum # magnitudine datam quæ ad angulum # @ppo$itum pertineat. # _396_. Dato quadrato, & duobus contiguis la- # teribus productis, aptare $ub angulo # interiori rectam magnitudine datam # quæ per angulum oppo$itum tran$eat. # Oportet autem non minorem e$$e da- # tam quam $it quadrati diameter du- # pla. # _397_. Rhombo dato, & uno latere producto, # aptare $ub angulo exteriori lineam # magnitudine datam quæ ad oppo$itum # angulum pertineat. # _397_. Rhombo dato & duobus contiguis lateri- # bus productis, aptare $ub angulo in- # teriori rectam magnitudine datam quæ # per oppo$itum angulum tran$eat. O- # portet autem datam non minorem e$$e # quam duplam diametri quæ reliquos # duos rhombi angulos conjungit. # _399_. In Conchoide linea invenire confinia fle- # xus contrarii. # _403_. _CONTROVERSIA DE CIRCULI ET_ # _HYPERBOLÆ QUADRATURA_. # _405_. _Vera Circuli & Hyperbolæ Quadra-_ # _tura Authore_ Jocobo Gregorio # _407_. # Patavii _1668_. in quarto. Serierum terminationes invenire. # _423_. # & _426_. Ex data quantitate, eodem modo com- # po$ita a duobus terminis convergen- # tibus cuju$cunque $eriei convergentis, # quo componitur ex terminis convergen- # tibus eju$dem $eriei immediate $equen- # tibus; $eriei propo$itæ terminationem # invenire. # _427_. Sectorem circuli, ellip$eos, vel hyperbo- # læ, non e$$e compo$itum analyticè à # triangulo ad centrum in$cripto & tra- # pezio circum$cripto. # _429_. Dato circulo æquale invenire quadra- # tum. # _446_. Ex dato $inu invenire arcum. # _448_. [0530]INDEX RERUM. Ex dato arcu invenire $inum. # _448_. Invenire quadratum æquale $patio hyper- # bolico contento à curva hyperbolica, # uno a$ymptoto & duabus rectis alteri # a$ymptoto parallelis_;_ quod $patium # æquale e$t $ectori hyperbolico cujus ba- # $is e$t eadem curva. # _449_. Propo$iti cuju$cunque numeri logarith- # mum invenire. # _452_. Ex dato logarithmo invenire ejus nume- # rum. # _459_. Rectâ per datum punctum in diametro # ductâ, $emicirculum in ratione data # dividere. # _460_. _Hugenii Ob$ervationes in Librum Ja-_ # _cobi Gregorii, de Vera Circuli &_ # _Hyperbolæ Quadratura_. # _463_. four- # nal des Sçavans _2. Julii. 1668_. Invenire per logarithmos dimen$ionem # Spatii Hyperbolici contenti inter Cur- # vam & unam ex A$ymptotis & duas # lineas parallelas ad alteram A$ympto- # ton. # _465_. _Domini Gregorii Re$pon$um ad Ani-_ # _madver$iones Domini Hugenii, in_ # _ejus Librum, de Vera Circuli &_ # _Hyperbolæ Quadratura_. # _466_. Phi- # lo$ophical Tran$actions. _n. 37_. _Excerpta ex Literis D<#>ni. Hugenii de_ # _Re$pon$o, quod D<#>nus. Gregorius_ # _dedit ad Examen Libri, cui Titu-_ # _lus e$t, Vera Circuli & Hyperbo-_ # _læ Quadratura_. # _472_. Journal des # Sçavans _12. Nov. 1668_. _Excerpta ex Epi$tola D. Jacobi Gre-_ # _gorii, continente qua$dam ejus_ # _Con$iderationes, $uper Epi$tola D_. # _Hugenii, impre$$a in Vindicatio-_ # _nem Examinis $ui Libri, de Vera_ # _Circuli & Hyperbolæ Quadratura_. # _476_. Philo$ophical Tran$actions. _n_. # _44_. _CHRISTIANI HUGENII GEOMETRICA_ # _VARIA_. # _483_. _Con$tructio Loci ad Hyperbolam per_ # _A$ymptotos_. # _485_. Divers ouvrages # de Math. & de Ph. de M<#>rs. de l’ # Acad. R. _p. 322_. _Demon$tratio Regulæ de Maximis_ # _& Minimis_. # _490_. ibid. _p. 326_. _Regula ad inveniendas Tangentes li-_ # _nearum curvarum_. # _498_. ibid. _p. 330_. _Chri$tiani Hugenii Epi$tola de Cur-_ # _vis quibu$dam peculiaribus_. # _507_. Hi- # $toire des ouvrages des Sçavans. _men-_ # _$is Febr. 1693_. Invenire lineam rectam æqualem datæ # portioni lineæ logarithmicæ. # _Ibid_. Alia curva cujus longitudo ope ip$ius cur- # væ men$uratur. # _508_. Quadratura Hyperboles adhibita curva # illa. # _508_. Curvæ eju$dem de$criptio mechanica. # _509_. Varia de catinaria. # _511_. Quadratura curvæ cujus æquatio e$t x<#>3 + y<#>3 = xyn. # _514_. _Problema ab Eruditis $olvendum: a_ # _Johanne Bernoullio in Actis Li-_ # _p$ien$ibus men$is Maji Ann. 1693_. # _propo$itum_. # _515_. _C. H. Z. De Problemate Bernoullia-_ # _no in Actis Lip$ien$ibus propo$i-_ # _to_. # _516_. Acta Erud. Lips. _men$is_ # _Oct. 1693_. _C. H. Z. Con$tructio univer$alis Pro-_ # _blematis a Clari$$imo Viro Joh. Ber-_ # _noullio propo$iti_. # _518_. ibid. _Sept_. # _1694_. [0531]INDEX RERUM. TOMUS TERTIUS. OPERA ASTRONOMICA. _CHRISTIANI HUGENII DE SATUR-_ # _NI LUNA OBSERVATIO NOVA_. # _521_. # Hagæ-Com. _1656_. _CHRISTIANI HUGENII ZULICHEMI@,_ # _SYSTEMA SATURNIUM, $ive de Cau-_ # _$is mirandorum Saturni Phænome-_ # _non; & Comite ejus Planeta novo_. # _527_. Hagæ Com. _1659_. Tele$coporium no$trorum De$criptio. # _537_. Quædam circa planetas & fixas ob$er- # vata. # _539_. In Jovis di$co zonæ candicantes. # _539_. In Marte zona ob$cura. # _540_. Fixarum diametri nulla latitudine. # _540_. Phænomenon in Orione novum. # _540_. Circa Saturnum ob$ervationes. # _541_. Saturnus brachiorum expers inventus. # _544_. Brachia Saturno renata. # _545_. Brachia Saturni in an$as mutari cœpta. # _546_. An$æ Saturni amplius patefactæ. # _547_. Comes infra Saturnum tran$ire vi$us # _548_. Idem $upra Saturnum tran$iens. # _548_. Lunæ Saturniæ periodus. # _548_. Eadem periodus accuratius $upputata. # _549_. Men$is Saturnicolarum vera longitudo. # _551_. Tabula motus æqualis Lunæ Saturniæ # in orbita $ua re$pectu fixarum. # _552_. Locus Lunæ Saturniæ quomodo $uppute- # tur. # _553_. Non e$$e alteram an$arum quandoque al- # tera minorem. # _559_. Non etiam unam quam alteram citius # ad medium Saturni Corpus applicari. # _559_. Hevelii hypothe$is circa an$as examina- # tur. # _560_. Cau$æ phænomenôn Saturni à Roberval- # lio excogitatæ. # _561_. Hodiernæ Siculi circa eadem phænomena # opinio. # _562_. No$tra hypothe$is qua ratione excogita- # ta. # _564_. Annulo Saturnum cingi. # _565_. Eum ad Eclipticæ planum obliquè po$i- # tum e$$e. # _565_. Occurritur iis quæ de annulo objici po$$ent. # _566_. Saturnii major diameter Æquatori pa- # rallela o$tenditur. # _567_. Hevelii de inclinatione an$arum contra- # ria opinio. # _569_. Ricciolus $ibi contrarius Lib. 7. Almag. # novi. # _570_. Ulterior hypothe$eos no$træ explanatio. # _570_. Cau$a pha$eos an$arum lati$$imarum. # _571_. Clarior Saturnus propter an$as cernitur. # _572_. Lunæ Saturniæ motus apparens ellipti- # cus. # _572_. Quomodo an$arum latitudo contrahatur. # _573_. Quomodo patul@ videri an$æ de$inant. # _573_. Majorem Saturni diametrum nece$$ario # Æquatori parallelam $emper videri, # _574_. [0532]INDEX RERUM. Rotundæ pha$eos cau$æ. # _575_. Quid $it in Saturni di$co Zona nigri- # cans. # _576_. Saturnus quando nece$$ario rotundus $pe- # ctari debeat. # _578_. Quænam Saturnicolis $int loca æquino- # ctiorum. # _580_. Saturnus bra@hiorum expers futurus quo # modo cogno$catur. # _585_. Quibus temporibus rotunda pha$is rever- # $ura $it prædicitur. # _587_. Quando lati$$imæ omnium an$æ appari- # turæ $int. # _588_. De Saturni magnitudine & à terris di- # $tantia. # _589_. Planetarum diametri. # _589. & $eq_. Diametri Solis ad Planetarum diame- # tros ratio. # _591_. Ratio ob$ervandi Planetarum diametros # apparentes accurati$$ima. # _593_. Diametri Veneris ob$ervatio. # _594_. _EUSTACHI@ DE DIVINIS SEPTEMPE-_ # _DANI BREVIS ANNOTATIO IN SY-_ # _STEMA SATURNIUM CHRISTIANI_ # _HUGENII ad Sereni$$imum Princi-_ # _pem Leopoldum Magni Ducis He-_ # _truriæ fratrem_. # _597_. Hagæ Com. _1660_. Honorati Fabri, S. J. de Saturno Sen- # tentia. # _610_. _CHRISTIANI HUGENII ZULICHEMII_ # _BREVIS ASSERTIO SYSTEMATIS_ # _SATURNI@ SUI, ad Sereni$$imum_ # _Principem Leopoldum ab Hetru-_ # _ria_. # _619_. Hagæ@Com. _1660_. Fabriani Sy$tematis examen. # _632_. _CHRISTIANI HUGENI@ DE SATURNI_ # _ANNULO OBSERVATIONES_. # _635_. _Ob$ervationes in Saturnum Pari$iis_ # _habitæ in Bibliotheca Regia_. # _637_. # Journal des Sçavans _11. Febr. 1669_. Vera annuli inclinatio. # _637_. Pha$is rotunda. # _638_. _Excerpta ex literis D. Hugenii, Aca-_ # _demiæ Regiæ Scientiarum Socii, ad_ # _Auctorem Diarii Eruditorum de fi-_ # _gura Planetæ Saturni_. # _638_. ibid. _12_. # _Dec. 1672_. Brachia Saturno renata. # _638_. Umbra in di$co Saturni. # _638_. Saturnus rotundus. # _639_. Linea æquinoctialis annuli. # _640_. _CHRISTIANI HUGENII ΚΟΣΜΟΘΕΩ-_ # _ΡΟΣ, SIVE DE TERRIS COELESTI-_ # _BUS, EARUMQUE ORNATU, CON-_ # _JECTURÆ_. # _641_. Hagæ@Com. _1698_. Fui$$e qui Planetis incolas tribuerint, # $ed nihil præterea de iis inqui$ivi$$e. # _646_. Conjecturas ha$ce S. Scripturis non ad- # ver$ari. # _647_. Conjecturas non e$$e vanas, quia non # plane certæ. # _649_. Ad $apientiam & pietatem facere quæ # hic tractantur. # _649_. Copernici Sy$tema exponitur. # _650_. Copernici doctrinam quæ rationes confir- # ment. # _650_. Planetarum magnitudinis inter $e & ad # Solem ratio. # _651_. Micrometris præ$tare lamellas virgula$- # ve tenues. # _652_. Tellurem Planetis, & hos Telluri recte # a$$imilari. # _652_. Ex $imilitudine in hi$ce recte argumen- # ta peti # _652_. Planetas $olidos e$$e & gravitate polle- # re. # _653_. Nec dee$$e illis animalia. # _653_. Ut nec plantas. # _654_. Non nimiam in hi$ce fingendam di$$imi- # litudinem. # _655_. Aquas a Planetis non abe$$e. # _656_. No$træ tamen non pror$us $imiles. # _657_. [0533]INDEX RERUM. Nec alia ratione illic ne$ci & propagari # $tirpes quam apud nos. # _657_. Idem & de animalibus verum e$$e. # _658_. Summam animalium varietatem e$$e in Planetis. # _660_. Idem in $tirpibus locum habere. # _660_. In Planetis e$$e animantia, quæ ratione # utantur. # _661_. Non ob$tare hominum vitia quo minus # decorem terræ concilient. # _662_. Nec rationem in Planetarum incolis à # no$tra diver$am e$$e. # _663_. Nec dee$$e illis $en$us. # _664. & $eq_. Nec horam $en$us longe alios e$$e ac no- # $tratium. # _667_. Ignem quoque Planetis communem e$$e. # _669_. Magnitudinem corporum in Planetis exi- # $tentium ex Planetarum magnitudine # non recte conjici. # _670_. In Planetis ut in Terra varia e$$e ani- # malia quibus ratio competat. # _670_. Et inter ea Hominibus $imilia. # _670_. Planetarum incolas $cientias excolere, & # inter eas, A$tronomiam. # _672_. Et quæ ei in$erviunt artes mechanicas. # _673_. Ut & Geometriam, Arithmeticam. # _674_. Et $cribendi artem. # _674_. Opticam. # _674_. Has $cientias homini præter naturam # non e$$e. # _675_. Planeticolas manus habere. # _676_. Et pedes. # _677_. Erectos oculos, vultumque. # _677_. Nec tamen hinc $equi eorum formam no- # $træ plane $imilem. # _678_. Planeticolas nobis vel æquales vel majo- # res e$$e. # _679_. Eos in $ocietate vivere. # _680_. Colloquiorum jucunditate frui. # _680_. Domos adver$us pluviam ex$truere. # _681_. Navigare, adeoque & artes, quæ eo fa- # ciunt excolere. # _682_. Mu$icam. # _683_. Quæ tamen à no$tra diver$a e$$e po$$et. # _684_. Cur con$onantia diapente po$t aliam $i- # milem vitio$e ponatur? # _685_. Demon$tratio temperamenti in tono vocis # adhibendi. # _685_. Recen$entur commoda quæ ad nos perve- # niunt ex animalibus, herbis, arbori- # bus. # _686_. Ex Metallis. # _688_. Ex aqua, & aëre, varii$que artificiis. # _689_. Ex iis, quæ no$tra ætate inventa $unt. # _689_. Illa omnia veri$imiliter non extare in # Planetis, $ed aliis æque dignis repen- # di. # _690_. _Chri$tiani Hugenii Co$motheoros,_ # _Liber II_. # _691_. Kircheri iter extaticum examinatur. # _691_. Apparens qualis $it con$titutio Solis & # Planetarum in Mercurio. # _694_. Qualis in Venere. # _695_. In Marte. # _696_. Jovem & Saturnum reliquis Planetis # longe præ$tare, tam magnitudine, # quam Lunarum multitudine. # _697_. Proportio diametrorum tum Jovis, tum # orbitarum $atellitum ejus, ad orbitam # Lunæ circa Terram. # _698_. Tempora periodorum comitum fovialium. # _699_. Quænam $it Solis apparens magnitudo # & lux in Jove, & quî cogno$ci queat. # _700_. Itidem in Saturno. # _700_. [0534]INDEX RERUM. In Jove dies e$$e horarum quinque. # _700_. Et perpetuum æquinoctium. # _701_. Planeticolis $tellas fixas eodem modo ap- # parere, ac nobis. # _702_. Qualis $it Planetarum a$pectus, dierum # ratio in Saturno. # _702_. Qualis $it Annuli a$pectus in Saturno. # _703_. De Luna pauciora conjici po$$e. # _704_. Satellitum Saturni & Jovis eandem ac # Lunæ rationem e$$e. # _705_. Lunam montibus & vallibus di$tinctam # e$$e. # _705_. Carere vero mari. # _705_. Fluviis. # _706_. Nubibus. # _706_. Aëre & aqua. # _706_. Hinc de animantibus & $tirpibus incer- # tiorem conjecturam e$$e. # _707_. Jovis ac Saturni Lunas, non $ecus ac # no$tram Telluri, eandem partem $uo # Planetæ obvertere. # _707_. Lunæ incolis $i qui $int, qualis appari- # tura $it cælorum con$titutio, dierum # ratio, & c. # _708_. Quod ad Jovis & Saturni Lunas facile # transferre e$t. # _709_. Solaris mundi $ecundum veram propor- # tionem de$criptio. # _710_. Immen$itas intervallorum inter Solem # & Planetas illu$tratur comparatio- # ne cum motu globi è tormento emi$$i. # _711_. In Sole omnem conjecturam deficere. # _712_. Faculas Solares incertas videri. # _712_. Propter calorem nulla illic vivere corpo- # ra no$tris $imilia. # _712_. Stellas fixas totidem e$$e Soles. # _713_. Eas $pargi per va$ta cæli $patia, & a- # lias ab aliis, ut proximas à Sole re- # moveri. # _714_. Nec Solem præ cæteris eminere contra # Keplerum notatur. # _714_. Nihil impedire, quo minus credamus cir- # ca unamquamque ex fixis, ut circa # Solem, e$$e Planetas. # _715_. Modus probabiliter inve$tigandi di$tan- # tiam fixarum à Sole. # _717_. Unumquemque Solem vortice cingi, $ed # Carte$ianis multum di$$imili; contra # quem pluribus di$putatur. # _719_. TOMUS QUARTUS OPERA MISCELLANEA. _DE RATIOCINIIS IN LUDDO A-_ # _LEÆ_ # _723_. Ad calcem Exerci- # tationum Math. Schotenii. Si a vel _b_ expectem, quorum utrumvis # æquè facilè mibi obtingere po$$it, ex- # pectatio mea dicenda e$t valere _{a+b/2}_. # _728_. Si _a, b_, vel c, expectem, quorum unum- # quodque pari facilitate mibi obtingere # po$$it, expectatio mea æ$timanda e$t # _{a+b+c/3}_. # _729_. Si numerus ca$uum, quibus mibi eve- # niet _a_, $it _p_; numerus autem ca$uum # quibus mihi eveniet _b_, $it _q_; $umendo # omnes ca$us æquè in proclivi e$$e: ex- # pectatio mea valebit _{pa+bq/p+q}_. # _730_. De facienda di$tributione inter diver$os [0535]INDEX RERUM. # collu$ores, quando eorum $ortes inæ- # quales $unt. # _731_. De facienda di$tributione, $i unus mibi # deficiat lu$us & collu$orimeotres lu$us. # _732_. Item, $i mihi deficiant duo lu$us & col- # lu$ori meo tres lu$us. # _733_. Item, $i mihi deficiant duo lu$us, & col- # lu$ori meo quatuor. # _733_. Item, po$itis tribus collu$oribus, quorum # primo ut & $ecundo unus lu$us defi- # ciat, $ed tertio duo lu$us. # _734_. Item, po$itistot collu$oribus, quot quis vo- # luerit, ex quibus uni plures & alii # pauciores lu$us deficiunt. # _735_. Tabula pro 3 collu$oribus. # _736_. Invenire, quot vicibus $u$cipere quis po$- # $it, ut unâ te$$erâ 6 puncta jaciat. # _738_. Invenire, quot vicibus $u$cipere quis po$- # $it, ut duabus te$$eris _12_ puncta ja- # ciat. # _739_. Invenire quot te$$eris $u$cipere @quis po$- # $it, ut primâ vice duos $enarios jaciat. # _740_. Si cum alio ludam duabus te$$eris unum # $olummodo jactum, hâc conditione, ut, # $i $eptenarius eveniat, ego vincam; # at ille, $i denarius obtingat; $i vero # quidquam aliud accidat, ut tum id # quod depo$itum e$t æqualiter divida- # mus: Invenire qualis i$tius pars cui- # que no$trum debeatur. # _741_. Si ego & alius duabus te$$eris alternatim # jaciamus, hâc conditione, ut ego vin- # cam $imul atque $eptenarium jaciam, # ille vero quam primum $enarium ja- # ciat; ita videlicet, ut ip$i primum # jactum concedam: invenire rationem # meæ ad ip$ius $ortem. # _742_. _Coronidis loco $ubjungantur V. Pro-_ # _blemata_. # _743_. _NOVUS CYCLUS HARMONICUS_. # _745_. # Hi$toire des ouvrages des Sçavans. # _Oct_. # _1691_. _Tabula Divi$ionis octavæ in partes 31_. # _æquales, & divi$ionis Octavæ $e-_ # _cundum Temperamentum vulgare@_ # _752_. _VARIA DE OPTICA_. # _755_. _Excerpta ex literis D<#>ni. Hugenii, A-_ # _cademiæ Regiæ Scientiarum Socii,_ # _ad Autorem Diarii Eruditorum de_ # _Catoptrico con$picillo D<#>ni. Newto-_ # _ni_. # _757_. Journal des Sçavans _29_. # _Febr. 1672_. _Con$tructio Problematis optici. Pro-_ # _po$itio 39 Libri V. Alhazeni, &_ # _22. Lib. VI. Vitellionis_. # _759_. Datis in eodem plano duobus punctis & cir- # culo; inveniendum e$t punctum in pe- # ripheria circuli, ita ut lineæ ex pun- # cto invento ad puncta data faciant cum # radio circuli, per punctum inventum # ductum, angulos inter $e æquales. # _759_. # _Ouvrages de M<#>rs. de l’Acad. Roj_. # _pag_. # _376_. _Aliter_. Dato Speculo Cavo aut Conve- # xo, itemque Oculo & Puncto Rei vi- # $æ, invenire Punctum Reflexionis. # _760. Philo$ophical Tran$actions_. # _n. 97_. Compendium. # _761. Ibid. n. 98_. _Alia $olutio_. # _761_. Problema _Alhazeni.]_ Dato Circulo, & # punctis duobus, invenire punctum in # Circumferentia Circuli dati, unde du- # ctæ lineæ ad puncta data faciant ad # Circumferentiam Angulos æquales. # _761. Ibid. n. 98_. _Excerpta ex litteris D<#>ni. Hugenii, A-_ # _cad. Reg. Scient. Socii, ad Aucto-_ [0536]INDEX RERUM. # _rem Diarii Paris. de novo Micro-_ # _$copio ex Hollandia allato_. # _764_. # Journal des Sçavans. _15. Aug. 1678_. _EXPERIMENTA PHYSICA_. # _767_. _Excerpta ex literis D<#>ni. Hugenii, A-_ # _cademiæ Regiæ Scientiarum So-_ # _cii, ad Auctorem Diarii Erudito-_ # _rum, de Phænomenis aquæ aëre_ # _purgatæ_. # _769_. ibid. _25. Jull. 1672_. _Experimentum I_. Aqua, $ublatâ aë- # ris pre$$ione, bæret in tubo. # _770_. _Experimentum II_. Notabile quid in de- # $cen$u aquæ aëre purgatæ. # _771_. _Experimentum III_. Adhibito $piritu vi- # ni loco aquæ. # _772_. _Experimentum IV_. Aër, ex Spiritu # vini aut aqua exhau$tus, hæc corpora # iterum intrat. # _773_. _Experimentum V_. Laminæ metallicæ # arcte inter $e cohærent in vacuo licet # nihil inter has detur. # _775_. _Experimentum VI_. Effectus Siphonis # in vacuo. # _776_. FINIS. [0537] CATALOGUS QUORUNDAM LIBRORUM, Qui apud JANSSONIOS VAN DER AA, Bibliopolas Lugduni Batavorum, venales pro$tant.

_A_bregé de l’ Hi$toire generale des Turcs, par Vanel, _12°. 4_ voll. avec fig.

Admiranda rerum admirabilium Encomia, 12°.

Æ$chinis Socratici Dialogi tres, per Horreum, 8°. Gr. & Lat.

Alaric ou Rome vaincuë, Poëme Heroïque, par Mon$r. de Scudery _12°_. avec fig.

AMINTAS HERDERSPEL VAN T. TASSO, DOOR WELLEKENS, 8°.

Andry de la Generation des Vers dans le Corps de l’ Homme _12°_.

Annales de la Cour & de Paris, pour les Annees _1697 & 1698. 12°_.

Annus Sacer Poëticus, $ive $electa de Divis Cœle$tibus Epigrammata 12°. 2 Tomis.

Antonii Jus feudale, cum additamentis Strykii, 4°.

Apologie pour leurs Sereni$$. Maje$tés Britanniques, contre un infame Libelle in- tituté le vray Portrait de Guillaume Henry de Nau$$au, nouvel Ab$çalom, nou- vel Herode, nouveau Cromwel, nouveau Neron, _12°_.

— pour les Prote$tans, ou l’ Auteur ju$tifié pleinement leur conduite & leur $e- paration de la Communion de Rome. _12°_.

Athana$ii Opera, Gr. Lat. fol. 2 Voll.

Aurea Bulla Caroli V. Imp. de jure & ordine $uccedendi in ducatum Medio- lanen$em, &c. 4°.

Bauhu$ii & Cabillavi Epigrammata, 24°.

Bellefontaine Medicine Dogmatique Mechanique, avec la Pharmacopée Rationelle, _12°. 2 voll_.

BELLOSTE CHIRURGIEN D‘HÔPITAL, 12°. avec fig.

Biblia Græca LXX. Interpretum, curâ L. Bos, 4°.

Bidermanni Acroamatum Academicorum Libri III. 12°.

Bi$$chop Chorus Mu$arum, $ive Poëmata, 8°.

Blancardi Opera Medica, Theoretica, Practica & Chirurgica, 4°.

Blegny Art de guerir les Maladies Veneriennes, _12°. 3 Tomes_ avec fig.

Bole$lavii Homo bene moriens 12°.

— Gemmeum monile Animæ Chri$tianæ, 12°.

Bontekoe Metaphy$ica, OEconomia Animalis & Geulinx Phy$ica vera, 8°.

Borge$ii Enodatio Juris Naturæ, 8°.

Bre$mal Circulation des Eaux ou l’ Hydrographie des Minerales d’ Aix & de Spa, _8°_.

Bruguier Repon$e au Livre intitulé le Renver$ement de la Morale de Je$u Chri$t, par les Erreurs des Calveni$tes. _12°_.

[0538]CATALOGUS LIBRORUM.

Burgundius ad Con$uetudines Flandriæ aliarumque Gentium, 12°.

Camerarii Symbola ac Emblemata Ethico Politica, 8°.

Catalogus Librorum Manu$criptorum Angliæ & Hiberniæ, fol.

Cherubin Effets de la Force de la Contiguité des Corps, _12°_.

Choix des bons Mots, _12°_.

Claubergii Opera Omnia Philo$ophica, curâ Schalbruchii, 4°.

Clos de Aquis Mineralibus Galliæ & de Mixtis naturalibus, 12°.

Crebilon Oeuvres, _12°_.

Defen@e de la Monarchie de Sicile contre les Entrepri$es de la Cour de Rome, _12°_.

De$cription du Chateau de Ver$ailles, _12°. avec fig_.

DIVORCE CELESTE PAR PALLAVICIN, 12°.

Donkers Idea Febris petechialis, 8°.

Dou$æ Poëmata, 8°.

EEUWIGDUURENDE LIEFDES ALMANAK, 8°.

Epi$tolæ Præ$tantium ac Eruditorum Virorum, fol. Charta Maj.

Flâvi$$æ Poëticæ $ive Electorum Poëticorum The$aurus Sacro-Profanus, 8°.

Fleetwood In$criptionum Antiquarum Sylloge, 8°.

Ga$$endi Abregé de la Philo$ophie, _12°. 7 Voll_.

GOBART TRACTATUS PHILOSOPHICUS DE BAROMETRO, 12°. cum fig _Guide, ou nouvelle De$cription d’ Am$terdam_, 8°.

Hartmanni Praxis Chymiatrica, 8°.

Hart$oeker Principes de Phy$ique, _4°_.

HAVERCAMP DE NUMMIS ALEXANDRI MAGNI, 4°. cum fig.

Herbinius de Cataractis in Genere, 4°. cum fig.

Heucheri novi Proventus Horti Medici Acad. Vitembergen$is, 4°.

Hildani Ob$ervationes & Epi$tolæ Chirurgico-Medicæ, 4°. 2 Voll.

Hippocratis Aphori$mi per Almeloveen, 24°.

— Metrica paraphra$i tran$lati ab H. v. Poot. 24°.

HISTOIRE DES INDES ORIENTALES PAR M<#>r. SOUCHU DE RENNEFORT, 12°.

— des Iles Antilles de l’ Amerique 4°. _avec fig_.

Homere Iliade & Ody$$ee, par Mad. Dacier, _12°. 6 Tomes, avec fig_.

— Iliade Poëme avec un di$cours $ur Homere, par M<#>r. de la Motte. _12°_.

Huetius de Interpretatione, 8°.

Huygens Traité de la Lumiere. _4°_.

Jablonski Di$qui$itio de Lingua Lycaonica, 4°.

Jean dan$e mieux que Pierre, Pierre dan$e mieux que Jean. _12°_. 5 _Voll_.

In$truction pour reunir les Egli$es pretendues Reformees a l’Egli$e Romaine, par M<#>r. Comiere. _12°_.

Jurieu Ju$tification de la Morale des Reformez, contre les Accu$ations de M<#>r. Ar- naud, _8° 2 Tomes_.

Jus Au$triacum in $ucce$$ione Regnorum Hi$paniæ vindicatum, 4°.

[0539]CATALOGUS LIBRORUM.

Knibbe Manuductio ad Oratoriam Sacram, 8°. 2 Voll.

Lamy Elemens de Mathematique, ou traité de la Grandeur en General, _12°_.

Leti Critique Hi$torique, Politique, Morale, Economique & Comique, $ur les Loteries Anciennes & Modernes, _&c. 12°_.

Letres Provinciales par Louis Montalte _8°. 3 Voll_.

— de Fr. Rabelais, avec des Ob$ervations, _8°_.

— du Cardinal Bentivoglio, Ital. franc. _12°_.

Lipenii Biblotheca Juridica, Struvii, fol.

Logique par M<#>rs. de Port Rojal, _12°_.

— courte & facile par le S<#>r. Du Boisverd. _8°_.

LYK PREDIKATIE OVER DE DOOD VAN D‘Hr. MITSEN, DOOR J. DE HAR- TOGH, 4°.

Machiavelli Hi$toria Florentina, 12°.

Malvezzi Opere Hi$tori$che e Politi$che, _12°_.

— Il Tarquino Superbo, _12°_.

Manzini Opere, _12°_.

— furori della Gioventu E$ercitii Rhetorici, _12°_.

Marechal Francois, _12°_.

Ma$campi Epitome Hi$toriæ Civilis, 8°.

Medulla Ju$tinianea, 12°.

Melanges Hi$toriques, _12°_.

Menken de la Charlatanerie des Savans, _8°_.

Moïens de reunir les Prote$tans avec l’ Egli$e romaine _12°_.

Mollenbrocçius de Arthritide, 8°.

Monavii Bronchotomia, quæ e$t gutturis aperiendi artificio$a ratio, 8°.

Mort Idea Actionis Corporum 12°.

MUNDI OPERA OMNIA MEDICO-PHYSICA, 8°.

Oeuvres de M<#>r. Le Noble _12°. 19 Voll_.

Oudini Commentarius de Scriptoribus Eccle$iæ Antiquis, fol. 3 Voll.

Pacii Analy$is & I$agoge 8°. 2 Voll.

Parladorii Opera Juridica, 4°. 2 voll.

Pa$$e partout Galant, _12°_.

PASTOR FIDO, 32°. Appre$$o P. Mortier.

Petau Hi$toire Univer$elle, _12°. Paris 5 Tomes_.

Pilpay Con$eils & Maximes, _8°_.

Plazzonus de Partibus Generationis in$ervientibus, 12°.

PLUIMERS GEDICHTEN 4°. TWEEDE DEEL.

Pourtraits des plus Celebres Profe$$eurs de Leide, _4°_.

Preparations pour la S<#>te. Cene, avec le Voyage de Bethel, _12°_.

Rochefoucault Reflexions ou Sentences & Maximes morales, _12°_.

Schiere Doctrina Te$tamentorum & Fœderum omnium Divinorum, 4°.

[0540]CATALOGUS LIBRORUM.

Senecæ & Syri Mimi Sententiæ, cum Notis Diver$orum & Gruteri, 8°.

SERRE DOLCI PENSIERI SOPRA LA MORTE, 8°.

THEATRE ET AUTRES POESIES DE MADEM: BARBIER, 12°. avec fig.

VARIOLARUM METHODUS PER TRANSPLANTATIONEM, 8°.

Ve$lingii Syntagma Anatomicum, $ive Anatomia, 4°. cum fig.

VIEUSSENS NOVUM VASORUM CORPORIS HUMANI SYSTEMA, 8°.

VIGNOLE REGLE DES CINQ ORDRES D‘ARCHITECTURE, 4°. avec fig.

Voyage de Groenland, par le Pere Cordelier Pierre de Me$ange, _12°. 2 Voll_.

— aux Côtes de Guinée & en Amerique, _12°_.

— Le Prudent Voyageur, par L. du May, _12°. 3 Voll_.

WECHWYSER DER EENVULDIGEN, DOOR J. DE HARTOGH, 8°.

We$tenberg ad Pandectas, 8°.

Dictionaire Engli$ch and Fren$ch & Fren$ch and Englich of Miege _8°_.

— Italiaan$ch en Nederduyts, door Mo$es Giron, 4°.

— Antiquitatum Romanarum & Græcar. per Danetum, in U$um Delphi- ni, 4°.

Grammaire Francei$e d’un tour nouveau, compo$ée en faveur de ceux qui preferent la Pratique a la Theorie, par M<#>r. Derbaud, _12°. avec fig_.

Multi etiam alii apud Eo$dem reperiuntur.

AVIS AU RELIEUR.

LE Relieur prendra garde que le papier qui e$t à côté des Figures doit être con$ervé pour faire deborder les Figures hors du Livre, & les placer $uivant la page marquée $ur chaque planche.

BERIGT AAN DEN BOEKBINDER.

DEn Boek-binder zy gewaar$chout het papier ter zyde de Figuren niet af te $nyden; maar zodanig in te $etten, dat de Figuren buyten het Boek uit$laan: dezelven moeten geplaa$t werden volgens de paginaas op yder Tabel genoteert.

[0541] [0542] [0543] [0544]