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</head><body >

<!--l. 13--><p class="noindent"><pb/></p>
<div class="center" >

<!--l. 14--><p class="noindent">
</p><!--l. 15--><p class="noindent"><span
class="cmr-12x-x-120">3. </span><span
class="cmbxti-10x-x-144">Zur Elektrodynamik bewegter K</span><span
class="cmbxti-10x-x-144">örper; </span> <br/><span
class="cmbxti-10x-x-144">von A.</span>
<span
class="cmbxti-10x-x-144">Einstein.</span></p></div>
<div class="center" >

<!--l. 19--><p class="noindent">
</p><!--l. 20--><p class="noindent">--------</p></div>
<!--l. 23--><p class="indent">   Daß die Elektrodynamik Maxwells -- wie dieselbe gengen-<br/>wärtig aufgefaßt zu werden pflegt -- in ihrer Anwendung auf <br/>bewegte Körper zu Asymmetrien führt, welche den Phänomenen <br/>nicht anzuhaften scheinen, ist bekannt. Man denke z. B. an <br/>die elektrodynamische Wechselwirkung zwischen einem Mag-<br/>neten und einem Leiter. Das beobachtbare Phänomen hängt <br/>hier nur ab von der Relativbewegung von Leiter und Magnet, <br/>während nach der üblichen Auffassung die beiden Fälle, daß <br/>der eine oder der andere dieser Körper der bewegte sei, streng <br/>voneinander zu trennen sind. Bewegt sich nämlich der Magnet <br/>und ruht der Leiter, so entsteht in der Umgebung des Magneten <br/>ein elektrisches Feld von gewissem Energiewerte, welches an <br/>den Orten, wo sich Teile des Leiters befinden, einen Strom <br/>erzeugt. Ruht aber der Magnet und bewegt sich der Leiter, <br/>so entsteht in der Umgebung des Magneten kein elektrisches <br/>Feld, dagegen im Leiter eine elektromotorische Kraft, welcher <br/>an sich keine Energie entspricht, die aber -- Gleichheit der <br/>Relativbewegung bei den beiden ins Auge gefaßten Fällen <br/>vorausgesetzt -- zu elektrischen Strömen von derselben Größe <br/>und demselben Verlaufe Veranlassung gibt, wie im ersten Falle <br/>die elektrischen Kräfte.
</p><!--l. 48--><p class="indent">   Beispiele ähnlicher Art, sowie die mißlungenen Versuche, <br/>eine Bewegung der Erde relativ zum ,,Lichtmedium&#8220; zu kon-<br/>statieren, führen zu der Vermutung, daß dem Begriffe der <br/>absoluten Ruhe nicht nur in der Mechanik, sondern auch in <br/>der Elektrodynamik keine Eigenschaften der Erscheinungen ent-<br/>sprechen, sondern daß vielmehr für alle Koordinatensysteme, <br/>für welche die mechanischen Gleichungen gelten, auch die <br/>gleichen elektrodynamischen und optischen Gesetze gelten, wie <br/>dies für die Größen erster Ordnung bereits erwiesen ist. Wir <br/>wollen diese Vermutung (deren Inhalt im folgenden ,,Prinzip <br/>der Relativität&#8220; genannt werden wird) zur Voraussetzung er-<br/>heben und außerdem die mit ihm nur scheinbar unverträgliche <br/><pb/>
</p><!--l. 66--><p class="indent">

</p><!--l. 67--><p class="noindent">Voraussetzung einführen, daß sich das Licht im leeren Raume <br/>stets mit einer bestimmten, vom Bewegungszustande des emit-<br/>tierenden Körpers unabhängigen Geschwindigkeit <span
class="cmmi-12">V </span>fortpflanze. <br/>Diese beiden Voraussetzungen genügen, um zu einer einfachen <br/>und widerspruchsfreien Elektrodynamik bewegter Körper zu ge-<br/>langen unter Zugrundelegung der Maxwellschen Theorie für <br/>ruhende Körper. Die Einführung eines ,,Lichtäthers&#8220; wird sich
 <br/>insofern als überflüssig erweisen, als nach der zu entwickelnden <br/>Auffassung weder ein mit besonderen Eigenschaften ausgestatteter <br/>,,absolut ruhender Raum&#8220; eingeführt, noch einem Punkte des <br/>leeren Raumes, in welchem elektromagnetische Prozesse statt-<br/>finden, ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet wird.
</p><!--l. 83--><p class="indent">   Die zu entwickelnde Theorie stützt sich -- wie jede andere <br/>Elektrodynamik -- auf die Kinematik des starren Körpers, da <br/>die Aussagen einer jeden Theorie Beziehungen zwischen starren <br/>Körpern (Koordinatensystemen), Uhren und elektromagnetischen <br/>Prozessen betreffen. Die nicht genügende Berücksichtigung <br/>dieses Umstandes ist die Wurzel der Schwierigkeiten, mit
 <br/>denen die Elektrodynamik bewegter Körper gegenwärtig zu <br/>kämpfen hat.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 94--><p class="noindent">
</p><!--l. 95--><p class="noindent">I. Kinematischer Teil.</p></div>
<div class="center" >

<!--l. 98--><p class="noindent">
</p><!--l. 99--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1.  Definition der Gleichzeitigkeit.</p></div>
<!--l. 103--><p class="indent">   Es liege ein Koordinatensystem vor, in welchem die <br/>Newtonschen mechanischen Gleichungen gelten. Wir nennen <br/>dies Koordinatensystem zur sprachlichen Unterscheidung von <br/>später einzuführenden Koordinatensystemen und zur Präzi-<br/>sierung der Vorstellung das ,,ruhende System&#8220;.
</p><!--l. 110--><p class="indent">   Ruht ein materieller Punkt relativ zu diesem Koordinaten-<br/>system, so kann seine Lage relativ zu letzterem durch starre <br/>Maßstäbe unter Benutzung der Methoden der euklidischen <br/>Geometrie bestimmt und in kartesischen Koordinaten aus-<br/>gedrückt werden.
</p><!--l. 116--><p class="indent">   Woolen wir die <span
class="cmti-12">Bewegung </span>eines materiellen Punktes be-<br/>schreiben, so geben wir die Werte seiner Koordinaten in <br/>Funktion der Zeit. Es ist nun wohl im Auge zu behalten, <br/>daß eine derartige mathematische Beschreibung erst dann <br/>einen physikalischen Sinn hat, wenn man sich vorher darüber <br/>klar geworden ist, was hier unter ,,Zeit&#8220; verstanden wird <br/><pb/>
</p><!--l. 126--><p class="indent">

</p><!--l. 127--><p class="noindent">Wir haben zu berücksichtigen, daß alle unsere Urteile, in <br/>welchen die Zeit eine Rolle spielt, immer Urteile über <span
class="cmti-12">gleich- </span> <br/><span
class="cmti-12">zeitige Ereignisse </span>sind. Wenn ich z. B. sage: ,,Jener Zug <br/>kommt hier um 7 Uhr an,&#8220; so heißt dies etwa: ,,Das Zeigen <br/>des kleinen Zeigers meiner Uhr auf 7 und das Ankommen des <br/>Zuges sind gleichzeitige Ereignisse.&#8220;<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>)
</p><!--l. 135--><p class="indent">   Es könnte scheinen, daß alle die Definition der ,,Zeit&#8220; be-<br/>treffenden Schwierigkeiten dadurch überwunden werden könnten, <br/>daß ich an Stelle der ,,Zeit&#8220; die ,,Stellung des kleinen Zeigers <br/>meiner Uhr&#8220; setze. Eine solche Definition genügt in der Tat, <br/>wenn es sich darum handelt, eine Zeit zu definieren ausschließ-<br/>lich für den Ort, an welchem sich die Uhr eben befindet; die <br/>Definition genügt aber nicht mehr, sobald es sich darum handelt, <br/>an verschiedenen Orten stattfindende Ereignisreihen miteinander <br/>zeitlich zu verknüpfen, oder -- was auf dasselbe hinausläuft --<br/>Ereignisse zeitlich zu werten, welche in von der Uhr entfernten
 <br/>Orten stattfinden.
</p><!--l. 149--><p class="indent">   Wir könnten uns allerdings damit begnügen, die Ereignisse <br/>dadurch zeitlich zu werten, daß ein samt der Uhr im Koordinaten-<br/>ursprung befindlicher Beobachter jedem von einem zu wertenden <br/>Ereignis Zeugnis gebenden, durch den leeren Raum zu ihm ge-<br/>langenden Lichtzeichen die entsprechende Uhrzeigerstellung zu-<br/>ordnet. Eine solche Zuordnung bringt aber den Übelstand mit <br/>sich, daß sie vom Standpunkte des mit der Uhr versehenen <br/>Beobachters nicht unabhängig ist, wie wir durch die Erfahrung <br/>wissen. Zu einer weit praktischeren Festsetzung gelangen wir <br/>durch folgende Betrachtung.
</p><!--l. 161--><p class="indent">   Befindet sich im Punkte <span
class="cmmi-12">A </span>des Raumes eine Uhr, so kann <br/>ein in <span
class="cmmi-12">A </span>befindlicher Beobachter die Ereignisse in der un-<br/>mittelbaren Umgebung von <span
class="cmmi-12">A </span>zeitlich werten durch Aufsuchen <br/>der mit diesen Ereignissen gleichzeitigen Uhrzeigerstellungen.
 <br/>Befindet sich auch im Punkte <span
class="cmmi-12">B </span>des Raumes eine Uhr -- wir <br/>wollen hinzufügen, ,,eine Uhr von genau derselben Beschaffen-<br/>heit wie die in <span
class="cmmi-12">A </span>befindliche&#8220; -- so ist auch eine zeitliche <br/>Wertung der Ereignisse in der unmittelbaren Umgebung von
 <br/>----------
</p><!--l. 173--><p class="indent">   1) Die Ungenauigkeit, welche in dem Begriffe der Gleichzeitigkeit <br/>zweier Ereignisse an (annähernd) demselben Orte steckt und gleichfalls <br/>durch eine Abstraktion überbrückt werden muß, soll hier nicht erörtert <br/>werden.
<pb/>
</p><!--l. 182--><p class="indent">

</p><!--l. 183--><p class="noindent"><span
class="cmmi-12">B </span>durch einen in <span
class="cmmi-12">B </span>befindlichen Beobachter möglich. Es ist <br/>aber ohne weitere Festsetzung nicht möglich, ein Ereignis in <br/><span
class="cmmi-12">A </span>mit einem Ereignis in <span
class="cmmi-12">B </span>zeitlich zu vergleichen; wir haben <br/>bisher nur eine ,,<span
class="cmmi-12">A</span>-Zeit&#8220; und eine ,,<span
class="cmmi-12">B</span>-Zeit&#8220;, aber keine für <span
class="cmmi-12">A </span> <br/>und <span
class="cmmi-12">B </span>gemeinsame ,,Zeit&#8220; definiert. Die letztere Zeit kann <br/>nun definiert werden, indem man <span
class="cmti-12">durch Definition </span>festsetzt, daß
 <br/>die ,,Zeit&#8220;, welche das Licht braucht, um von <span
class="cmmi-12">A </span>nach <span
class="cmmi-12">B </span>zu <br/>gelangen, gleich ist der ,,Zeit&#8220;, welche es braucht, um von <span
class="cmmi-12">B </span> <br/>nach <span
class="cmmi-12">A </span>zu gelangen. Es gehe nämlich ein Lichtstrahl zur <br/>,,<span
class="cmmi-12">A</span>-Zeit&#8220; <span
class="cmmi-12">t</span><sub ><span
class="cmmi-8">A</span></sub> von <span
class="cmmi-12">A </span>nach <span
class="cmmi-12">B </span>ab, werde zur ,,<span
class="cmmi-12">B</span>-Zeit&#8220; <span
class="cmmi-12">t</span><sub ><span
class="cmmi-8">B</span></sub> in <span
class="cmmi-12">B </span> <br/>gegen <span
class="cmmi-12">A </span>zu reflektiert und gelange zur ,,<span
class="cmmi-12">A</span>-Zeit&#8220;
<span
class="cmmi-12">t</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><sub ><span
class="cmmi-8">A</span></sub> nach <span
class="cmmi-12">A </span> <br/>zurück. Die beiden Uhren laufen definitionsgemäß synchron,
 <br/>wenn
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19050x.png" alt="           ' tB -  tA =  tA -  tB. " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 203--><p class="nopar">
</p><!--l. 207--><p class="indent">   Wir nehmen an, daß diese Definition des Synchronismus <br/>in widerspruchsfreier Weise möglich sei, und zwar für beliebig <br/>viele Punkte, daß also allgemein die Beziehungen gelten:
</p><!--l. 212--><p class="indent">   1. Wenn die Uhr in <span
class="cmmi-12">B </span>synchron mit der Uhr in <span
class="cmmi-12">A </span>läuft, <br/>so läuft die Uhr in <span
class="cmmi-12">A</span>
synchron mit der Uhr in <span
class="cmmi-12">B</span>.
</p><!--l. 216--><p class="indent">   2. Wenn die Uhr in <span
class="cmmi-12">A </span>sowohl mit der Uhr in <span
class="cmmi-12">B </span>als auch <br/>mit der Uhr in <span
class="cmmi-12">C</span>
synchron läuft, so laufen auch die Uhren in <br/><span
class="cmmi-12">B </span>und <span
class="cmmi-12">C </span>synchron relativ zueinander.
</p><!--l. 220--><p class="indent">   Wir haben so unter Zuhilfenahme gewisser (gedachter) <br/>physikalischer Erfahrungen festgelegt, was unter synchron <br/>laufenden, an verschiedenen Orten befindlichen, ruhenden <br/>Uhren zu verstehen ist und damit offenbar eine Definition
 <br/>von ,,gleichzeitig&#8220; und ,,Zeit&#8220; gewonnen. Die ,,Zeit&#8220; eines <br/>Ereignisses ist die mit dem Ereignis gleichzeitige Angabe <br/>einer am Orte des Ereignisses befindlichen, ruhenden Uhr, <br/>welche mit einer bestimmten, ruhenden Uhr, und zwar für <br/>alle Zeitbestimmungen mit der nämlichen Uhr, synchron läuft.
</p><!--l. 231--><p class="indent">   Wir setzen noch der Erfahrung gemäß fest, daß die <br/>Größe
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19051x.png" alt="  ----  2A B -'------= V tA - tA " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 237--><p class="nopar">
</p><!--l. 241--><p class="noindent">eine universelle Konstante (die Lichtgeschwindigkeit im leeren <br/>Raume) sei.
</p><!--l. 244--><p class="indent">   Wesentlich ist, daß wir die Zeit mittels im ruhenden System <br/><pb/>
</p><!--l. 249--><p class="indent">

</p><!--l. 250--><p class="noindent">ruhender Uhren definiert haben; wir nennen die eben definierte <br/>Zeit wegen dieser Zugehörigkeit zum ruhenden System ,,die <br/>Zeit des ruhenden Systems&#8220;.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 255--><p class="noindent">
</p><!--l. 256--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>2.  Über die Relativität von Längen und Zeiten.</p></div>
<!--l. 261--><p class="indent">   Die folgenden Überlegungen stützen sich auf das Relativitäts-<br/>prinzip und auf das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindig-<br/>keit, welche beiden Prinzipien wir folgendermaßen definieren.
</p><!--l. 266--><p class="indent">   1. Die Gesetze, nach denen sich die Zustände der physi-<br/>kalischen Systeme ändern, sind unabhängig davon, auf welches <br/>von zwei relativ zueinander in gleichförmiger Translations-<br/>bewegung befindlichen Koordinatensystemen diese Zustands-<br/>änderungen bezogen werden.
</p><!--l. 273--><p class="indent">   2. Jeder Lichtstrahl bewegt sich im ,,ruhenden&#8220; Koordi-<br/>natensystem mit der bestimmten Geschwindigkeit <span
class="cmmi-12">V </span>, unabhängig <br/>davon, ob dieser Lichtstrahl von einem ruhenden oder be-<br/>wegten Körper emittiert ist. Hierbei ist
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19052x.png" alt="                   -Lichtweg- Geschwindigkeit  = Zeitdauer , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 283--><p class="nopar">
</p><!--l. 287--><p class="noindent">wobei ,,Zeitdauer&#8220; im Sinne der Definition des <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1 auf-<br/>zufassen ist.
</p><!--l. 290--><p class="indent">   Es sei ein ruhender starrer Stab gegeben; derselbe be-<br/>sitze, mit einem ebenfalls ruhenden Maßstabe gemessen, die <br/>Länge <span
class="cmmi-12">l</span>. Wir denken uns nun die Stabachse in die <span
class="cmmi-12">X</span>-Achse <br/>des ruhenden Koordinatensystems gelegt und dem Stabe hierauf <br/>eine gleichförmige Paralleltranslationsbewegung (Geschwindig-<br/>keit
<span
class="cmmi-12">v</span>) längs der <span
class="cmmi-12">X</span>-Achse im Sinne der wachsenden <span
class="cmmi-12">x </span>erteilt. <br/>Wir fragen nun nach der Länge des <span
class="cmti-12">bewegten </span>Stabes, welche <br/>wir uns durch folgende zwei Operationen ermittelt denken:
</p><!--l. 301--><p class="indent">   a) Der Beobachter bewegt sich samt dem vorher genannten <br/>Maßstabe mit dem auszumessenden Stabe und mißt direkt <br/>durch Anlegen des Maßstabes die Länge des Stabes, ebenso, <br/>wie wenn sich auszumessender Stab, Beobachter und Maßstab
 <br/>in Ruhe befänden.
</p><!--l. 307--><p class="indent">   b) Der Beobachter ermittelt mittels im ruhenden Systeme <br/>aufgestellter, gemäß
<span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1 synchroner, ruhender Uhren, in welchen <br/>Punkten des ruhenden Systems sich Anfang und Ende des <br/>auszumessenden Stabes zu einer bestimmten Zeit <span
class="cmmi-12">t</span>
befinden. <br/><pb/>
</p><!--l. 314--><p class="indent">

</p><!--l. 315--><p class="noindent">Die Entfernung dieser beiden Punkte, gemessen mit dem <br/>schon benutzten, in diesem Falle ruhenden Maßstabe ist <br/>ebenfalls eine Länge, welche man als ,,Länge des Stabes&#8220; <br/>bezeichnen kann.
</p><!--l. 320--><p class="indent">   Nach dem Relativitätsprinzip muß die bei der Operation a) <br/>zu findende Länge, welche wir ,,die Länge des Stabes im be-<br/>wegten System&#8220; nennen wollen, gleich der Länge <span
class="cmmi-12">l </span>des ruhen-<br/>den Stabes sein.
</p><!--l. 325--><p class="indent">   Die bei der Operation b) zu findende Länge, welche wir <br/>,,die Länge des (bewegten) Stabes im ruhenden System&#8220; <br/>nennen wollen, werden wir unter Zugrundelegung unserer <br/>beiden Prinzipien bestimmen und finden, daß sie von <span
class="cmmi-12">l</span>
ver-<br/>schieden ist.
</p><!--l. 331--><p class="indent">   Die allgemein gebrauchte Kinematik nimmt stillschweigend <br/>an, daß die durch die beiden erwähnten Operationen bestimmten <br/>Längen einander genau gleich seien, oder mit anderen Worten, <br/>daß ein bewegter starrer Körper in der Zeitepoche <span
class="cmmi-12">t </span>in geo-<br/>metrischer Beziehung vollständig durch <span
class="cmti-12">denselben </span>Körper, wenn <br/>er in bestimmter Lage <span
class="cmti-12">ruht</span>, ersetzbar sei.
</p><!--l. 340--><p class="indent">   Wir denken uns ferner an den beiden Stabenden (<span
class="cmmi-12">A </span>und B) <br/>Uhren angebracht, welche mit den Uhren des ruhenden Systems <br/>synchron sind, d. h. deren Angaben jeweilen der ,,Zeit des <br/>ruhenden Systems&#8220; an den Orten, an welchen sie sich gerade <br/>befinden, entsprechen; diese Uhren sind also ,,synchron im <br/>ruhenden System&#8220;.
</p><!--l. 347--><p class="indent">   Wir denken uns ferner, daß sich bei jeder Uhr ein mit <br/>ihr bewegter Beobachter befinde, und daß diese Beobachter <br/>auf die beiden Uhren das im <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1 aufgestellte Kriterium für <br/>den synchronen Gang zweier Uhren anwenden. Zur Zeit<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>) <br/><span
class="cmmi-12">t</span><sub >
<span
class="cmmi-8">A</span></sub> gehe ein Lichtstrahl von <span
class="cmmi-12">A </span>aus, werde zur Zeit
<span
class="cmmi-12">t</span><sub ><span
class="cmmi-8">B</span></sub> in <span
class="cmmi-12">B </span> <br/>reflektiert und gelange zur Zeit <span
class="cmmi-12">t</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><sub ><span
class="cmmi-8">A</span></sub> nach <span
class="cmmi-12">A </span>zurück. Unter Be-<br/>rücksichtigung des Prinzipes von der Konstanz der Licht-<br/>geschwindigkeit finden wir:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19053x.png" alt="           r tB - tA = --A-B-           V  - v " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 360--><p class="nopar">
</p><!--l. 364--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 366--><p class="indent">   1) ,,Zeit&#8220; bedeutet hier ,,Zeit des ruhenden Systems&#8220; und zugleich
 <br/>,,Zeigerstellung der bewegten Uhr, welche sich an dem Orte, von dem <br/>die Rede ist, befindet&#8220;. <pb/>
</p><!--l. 373--><p class="indent">

</p><!--l. 374--><p class="noindent">und
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19054x.png" alt=" '         -rAB-- tA - tB =  V + v , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 380--><p class="nopar">
</p><!--l. 384--><p class="noindent">wobei <span
class="cmmi-12">r</span><sub ><span
class="cmmi-8">AB</span></sub> die Länge des bewegten Stabes -- im ruhenden System <br/>gemessen -- bedeutet. Mit dem bewegten Stabe bewegte Be-<br/>obachter würden also die beiden Uhren nicht synchron gehend <br/>finden, während im ruhenden System befindliche Beobachter <br/>die Uhren als synchron laufend erklären würden.
</p><!--l. 391--><p class="indent">   Wir sehen also, daß wir dem Begriffe der Gleichzeitigkeit <br/>keine <span
class="cmti-12">absolute</span>
Bedeutung beimessen dürfen, sondern daß zwei <br/>Ereignisse, welche, von einem Koordinatensystem aus betrachtet, <br/>gleichzeitig sind, von einem relativ zu diesem System bewegten <br/>System aus betrachtet, nicht mehr als gleichzeitige Ereignisse
 <br/>aufzufassen sind.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 400--><p class="noindent">
</p><!--l. 401--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3.  Theorie der Koordinaten- und Zeittransformation <br/>von dem ruhenden auf ein relativ zu diesem in gleichförmiger <br/>Translationsbewegung befindliches System.</p></div>
<!--l. 408--><p class="indent">   Seien im ,,ruhenden&#8220; Raume zwei Koordinatensysteme, <br/>d. h. zwei Systeme von je drei von einem Punkte ausgehenden, <br/>aufeinander senkrechten starren materiellen Linien, gegeben. <br/>Die <span
class="cmmi-12">X</span>-Achsen beider Systeme mögen zusammenfallen, ihre <br/><span
class="cmmi-12">Y </span>- und <span
class="cmmi-12">Z</span>-Achsen bezüglich parallel sein. Jedem Systeme sei <br/>ein starrer Maßstab und eine Anzahl Uhren beigegeben, und <br/>es seien beide Maßstäbe sowie alle Uhren beider Systeme <br/>einander genau gleich.
</p><!--l. 418--><p class="indent">   Es werde nun dem Anfangspunkte des einen der beiden <br/>Systeme (<span
class="cmmi-12">k</span>) eine (konstante) Geschwindigkeit <span
class="cmmi-12">v </span>in Richtung <br/>der wachsenden <span
class="cmmi-12">x </span>des anderen, ruhenden Systems (<span
class="cmmi-12">K</span>) erteilt, <br/>welche sich auch den Koordinatenachsen, dem betreffenden <br/>Maßstabe sowie den Uhren mitteilen möge. Jeder Zeit <span
class="cmmi-12">t </span>des <br/>ruhenden Systems <span
class="cmmi-12">K </span>entspricht dann eine bestimmte Lage der <br/>Achsen des bewegten Systems und wir sind aus Symmetrie-<br/>gründen befugt anzunehmen, daß die Bewegung von <span
class="cmmi-12">k </span>so be-<br/>schaffen sein kann, daß die Achsen des bewegten Systems zur <br/>Zeit <span
class="cmmi-12">t </span>(es ist mit ,,<span
class="cmmi-12">t</span>&#8220; immer eine Zeit des ruhenden Systems <br/>bezeichnet) den Achsen des ruhenden Systems parallel seien.
</p><!--l. 432--><p class="indent">   Wir denken uns nun den Raum sowohl vom ruhenden <br/>System <span
class="cmmi-12">K </span>aus mittels des ruhenden Maßstabes als auch vom <br/><pb/>
</p><!--l. 437--><p class="indent">

</p><!--l. 438--><p class="noindent">bewegten System <span
class="cmmi-12">k </span>mittels des mit ihm bewegten Maßstabes <br/>ausgemessen und so die Koordinaten <span
class="cmmi-12">x, y, z </span>bez. <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" />, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" />, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-10.png" alt="z" class="cmmi-12x-x-10" align="middle" /></span> er-<br/>mittelt. Es werde ferner mittels der im ruhenden System be-<br/>findlichen ruhenden Uhren durch Lichtsignale in der in <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1
 <br/>angegebenen Weise die Zeit <span
class="cmmi-12">t </span>des ruhenden Systems für alle <br/>Punkte des letzteren bestimmt, in denen sich Uhren befinden; <br/>ebenso werde die Zeit <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>des bewegten Systems für alle Punkte <br/>des bewegten Systems, in welchen sich relativ zu letzterem <br/>ruhende Uhren befinden, bestimmt durch Anwendung der in <br/><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1 genannten Methode der Lichtsignale zwischen den Punkten, <br/>in denen sich die letzteren Uhren befinden.
</p><!--l. 453--><p class="indent">   Zu jedem Wertsystem <span
class="cmmi-12">x, y , z , t, </span>welches Ort und Zeit <br/>eines Ereignisses im ruhenden System vollkommen bestimmt, <br/>gehört ein jenes Ereignis relativ zum System <span
class="cmmi-12">k </span>festlegendes <br/>Wertsystem <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> ,<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" /> , <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-10.png" alt="z" class="cmmi-12x-x-10" align="middle" /> , <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> ,</span> und es ist nun die Aufgabe zu lösen, <br/>das diese Größen verknüpfende Gleichungssystem zu finden.
</p><!--l. 461--><p class="indent">   Zunächst ist klar, daß die Gleichungen <span
class="cmti-12">linear </span>sein müssen <br/>wegen der Homogenitätseigenschaften, welche wir Raum und <br/>Zeit beilegen.
</p><!--l. 466--><p class="indent">   Setzen wir <span
class="cmmi-12">x</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>= <span
class="cmmi-12">x </span><span
class="cmsy-10x-x-120">- </span><span
class="cmmi-12">v t</span>, so ist klar, daß einem im System <span
class="cmmi-12">k </span> <br/>ruhenden Punkte ein bestimmtes, von der Zeit unabhängiges <br/>Wertsystem <span
class="cmmi-12">x</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><span
class="cmmi-12">, y , z </span>zukommt. Wir bestimmen zuerst <span
class="cmmi-12">t </span>als <br/>Funktion von <span
class="cmmi-12">x</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><span
class="cmmi-12">, y , z </span>und <span
class="cmmi-12">t. </span>Zu diesem Zwecke haben wir
 <br/>in Gleichungen auszudrücken, daß <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>nichts anderes ist als <br/>der Inbegriff der Angaben von im System <span
class="cmmi-12">k </span>ruhenden Uhren, <br/>welche nach der im <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1 gegebenen Regel synchron gemacht <br/>worden sind.
</p><!--l. 476--><p class="indent">   Vom Anfangspunkt des Systems <span
class="cmmi-12">k </span>aus werde ein Licht-<br/>strahl zur Zeit <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /></span><sub ><span
class="cmr-8">0</span></sub>
längs der <span
class="cmmi-12">X</span>-Achse nach <span
class="cmmi-12">x</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>gesandt und von <br/>dort zur Zeit <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /></span><sub ><span
class="cmr-8">1</span></sub> nach dem Koordinatenursprung reflektiert, <br/>wo er zur Zeit <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /></span><sub ><span
class="cmr-8">2</span></sub> anlange; so muß dann sein:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19055x.png" alt="12(t0 + t2) = t1 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 486--><p class="nopar">
</p><!--l. 490--><p class="noindent">oder, indem man die Argumente der Funktion <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>beifügt und <br/>das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im ruhen-<br/>den Systeme anwendet:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19056x.png" alt=" [                (         {      x'       x'  } )] 12  t(0, 0, 0, t) + t 0, 0, 0, t +------ + ------                   (              V -  v)   V +  v                      '          --x'--               =  t  x , 0, 0, t + V - v . " class="par-math-display"  /></center>

<!--l. 505--><p class="nopar"> <pb/>
</p><!--l. 512--><p class="indent">

</p><!--l. 513--><p class="noindent">Hieraus folgt, wenn man <span
class="cmmi-12">x</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>unendlich klein wählt:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19057x.png" alt="  (   1        1  )  @ t    @t      1   @ t 12  ------ + ------   ---=  ---'+  --------- ,    V  - v   V  + v   @ t   @ x    V - v @ t " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 523--><p class="nopar">
</p><!--l. 527--><p class="noindent">oder
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19058x.png" alt="-@ t + ---v---- @ t-= 0. @ x'   V 2-  v2 @ t " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 534--><p class="nopar">
</p><!--l. 538--><p class="indent">   Es ist zu bemerken, daß wir statt des Koordinatenursprunges <br/>jeden anderen Punkt als Ausgangspunkt des Lichtstrahles <br/>hätten wählen können und es gilt deshalb die eben erhaltene <br/>Gleichung für alle Werte von <span
class="cmmi-12">x</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><span
class="cmmi-12">, y, z.</span>
</p><!--l. 544--><p class="indent">   Eine analoge Überlegung -- auf die <span
class="cmmi-12">H</span>- und <span
class="cmmi-12">Z</span>-Achse an-<br/>gewandt -- liefert, wenn man beachtet, daß sich das Licht <br/>längs dieser Achsen vom ruhenden System aus betrachtet <br/>stets mit der Geschwindigkeit <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_19059x.png" alt=" V~ -------   V 2- v2"  class="sqrt"  />
fortpflanzt:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190510x.png" alt="@-t @ y = 0
@-t = 0 . @ z " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 556--><p class="nopar">
</p><!--l. 560--><p class="noindent">Aus diesen Gleichungen folgt, da <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>eine <span
class="cmti-12">lineare </span>Funktion ist:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190511x.png" alt="      (       v      ) t = a  t - --2----2 x'  ,            V  -  v " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 566--><p class="nopar">
</p><!--l. 570--><p class="noindent">wobei <span
class="cmmi-12">a </span>eine vorläufig unbekannte Funktion <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span>(<span
class="cmmi-12">v</span>) ist und der <br/>Kürze halber angenommen ist, daß im Anfangspunkte von <span
class="cmmi-12">k </span> <br/>für <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>= 0 <span
class="cmmi-12">t </span>= 0 sei.
</p><!--l. 575--><p class="indent">   Mit Hilfe dieses Resultates ist es leicht, die Größen <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> , <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" /> , <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-10.png" alt="z" class="cmmi-12x-x-10" align="middle" /></span> <br/>zu ermitteln, indem man durch Gleichungen ausdrückt, daß <br/>sich das Licht (wie das Prinzip der Konstanz der Licht-<br/>geschwindigkeit in Verbindung mit dem Relativitätsprinzip
 <br/>verlangt) auch im bewegten System gemessen mit der Ge-<br/>schwindigkeit <span
class="cmmi-12">V</span>
fortpflanzt. Für einen zur Zeit <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>= 0 in <br/>Richtung der wachsenden <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> </span>ausgesandten Lichtstrahl gilt:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190512x.png" alt="q = V t , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 589--><p class="nopar">
</p><!--l. 591--><p class="noindent">oder
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190513x.png" alt="       (               ) q = aV   t-  ---v----x'  .              V 2- v2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 597--><p class="nopar">
</p><!--l. 601--><p class="noindent">Nun bewegt sich aber der Lichtstrahl relativ zum Anfangs-<br/><pb/>
</p><!--l. 605--><p class="indent">

</p><!--l. 606--><p class="noindent">punkt von <span
class="cmmi-12">k </span>im ruhenden System gemessen mit der Ge-<br/>schwindigkeit <span
class="cmmi-12">V </span><span
class="cmsy-10x-x-120">- </span><span
class="cmmi-12">v</span>, so daß gilt:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190514x.png" alt="   ' --x---=  t. V - v " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 612--><p class="nopar">
</p><!--l. 616--><p class="noindent">Setzen wir diesen Wert von <span
class="cmmi-12">t </span>in die Gleichung für <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> </span>ein, so <br/>erhalten wir:</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190515x.png" alt="          2 q = a---V---- x'.      V 2 - v2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 622--><p class="nopar">
</p><!--l. 626--><p class="noindent">Auf analoge Weise finden wir durch Betrachtung von längs <br/>den beiden anderen Achsen bewegte Lichtstrahlen:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190516x.png" alt="              (       v      ) j = V t = a V  t - --2----2 x'  ,                    V  -  v " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 634--><p class="nopar"></p><!--l. 638--><p class="noindent">wobei</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190517x.png" alt="    y             '  V~ --2----2 = t;  x  = 0;   V  -  v " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 644--><p class="nopar"></p><!--l. 648--><p class="noindent">also</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190518x.png" alt="          V j =  a V~ --2----2 y         V  -  v " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 654--><p class="nopar"></p><!--l. 658--><p class="noindent">und</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190519x.png" alt="          V z = a V~ -------- z.         V 2- v2 " class="par-math-display"  /></center>

<!--l. 664--><p class="nopar">
</p><!--l. 668--><p class="indent">   Setzen wir für <span
class="cmmi-12">x</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>seinen Wert ein, so erhalten wir:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190520x.png" alt="          (     v   ) t = f(v)b  t - --2 x  ,                V q = f(v)b(x - v t), j = f(v)y , z = f(v)z , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 681--><p class="nopar">
</p><!--l. 685--><p class="noindent">wobei
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190521x.png" alt="b =   V~ ----1------             (v )2         1-   --              V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 692--><p class="nopar">
</p><!--l. 696--><p class="noindent">und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>eine vorläufig unbekannte Funktion von <span
class="cmmi-12">v </span>ist. Macht <br/>man über die Anfangslage des bewegten Systems und über <br/>den Nullpunkt von <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>keinerlei Voraussetzung, so ist auf den <br/>rechten Seiten dieser Gleichungen je eine additive Konstante <br/>zuzufügen.
</p><!--l. 703--><p class="indent">   Wir haben nun zu beweisen, daß jeder Lichtstrahl sich, <br/>im bewegten System gemessen, mit der Geschwindigkeit <span
class="cmmi-12">V </span> <br/>fortpflanzt, falls dies, wie wir angenommen haben, im ruhenden <br/><pb/>
</p><!--l. 710--><p class="indent">

</p><!--l. 711--><p class="noindent">System der Fall ist; denn wir haben den Beweis dafür noch <br/>nicht geliefert, daß das Prinzip der Konstanz der Licht-<br/>geschwindigkeit mit dem Relativitätsprinzip vereinbar sei.
</p><!--l. 716--><p class="indent">   Zur Zeit <span
class="cmmi-12">t </span>= <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>= 0 werde von dem zu dieser Zeit gemein-<br/>samen Koordinatenursprung beider Systeme aus eine Kugelwelle <br/>ausgesandt, welche sich im System <span
class="cmmi-12">K </span>mit der Geschwindigkeit <span
class="cmmi-12">V </span> <br/>ausbreitet. Ist (<span
class="cmmi-12">x, y, z</span>) ein eben von dieser Welle ergriffener <br/>Punkt, so ist also</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190522x.png" alt="x2 + y2 + z2 = V2 t2 . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 726--><p class="nopar"></p><!--l. 730--><p class="indent">   Diese Gleichung transformieren wir mit Hilfe unserer Trans-<br/>formationsgleichungen und erhalten nach einfacher Rechnung:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190523x.png" alt=" 2    2   2     2  2 q + j  + z  = V  t  . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 737--><p class="nopar">
</p><!--l. 741--><p class="indent">   Die betrachtete Welle ist also auch im bewegten System <br/>betrachtet eine Kugelwelle von der Ausbreitungsgeschwindig-<br/>keit <span
class="cmmi-12">V. </span>Hiermit ist gezeigt, daß unsere beiden Grundprinzipien <br/>miteinander vereinbar sind.
</p><!--l. 746--><p class="indent">   In den entwickelten Transformationsgleichungen tritt noch <br/>eine unbekannte Funktion <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>von <span
class="cmmi-12">v </span>auf, welche wir nun be-<br/>stimmen wollen.
</p><!--l. 750--><p class="indent">   Wir führen zu diesem Zwecke noch ein drittes Koordinaten-<br/>system <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>ein, welches relativ zum System <span
class="cmmi-12">k </span>derart in Parallel-<br/>translationsbewegung parallel zur <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmr12-4.png" alt="E" class="12x-x-4" />-Achse begriffen sei, daß <br/>sich dessen Koordinatenursprung mit der Geschwindigkeit -- <span
class="cmmi-12">v </span> <br/>auf der <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmr12-4.png" alt="E" class="12x-x-4" />-Achse bewege. Zur Zeit <span
class="cmmi-12">t </span>= 0 mögen alle drei
 <br/>Koordinatenanfangspunkte zusammenfallen und es sei für <br/><span
class="cmmi-12">t </span>= <span
class="cmmi-12">x </span>= <span
class="cmmi-12">y </span>= <span
class="cmmi-12">z </span>= 0 die Zeit <span
class="cmmi-12">t</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>des Systems <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>gleich Null. Wir <br/>nennen <span
class="cmmi-12">x</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><span
class="cmmi-12">, y</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><span
class="cmmi-12">, z</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>die Koordinaten, im System <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>gemessen, und <br/>erhalten durch zweimalige Anwendung unserer Transformations-<br/>gleichungen:
</p><!--l. 764--><p class="indent">
</p>
   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190524x.png" alt=" '                 {     v-- } t =  f (- v)b (- v) t +  V2 q  =  f (v)f (- v)t,  ' x  = f (- v)b (- v){q + vt}    =  f (v)f (- v)x , y'=  f (- v)j                  =  f (v)f (- v)y , z'=  f (- v)z                  =  f (v)f (- v)z . " class="math-display"  /></center>

<!--l. 779--><p class="nopar">
</p><!--l. 783--><p class="indent">   Da die Beziehungen zwischen <span
class="cmmi-12">x</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><span
class="cmmi-12">, y</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><span
class="cmmi-12">, z</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>und <span
class="cmmi-12">x, y, z </span>die Zeit <span
class="cmmi-12">t </span> <br/>nicht enthalten, so ruhen die Systeme <span
class="cmmi-12">K </span>und <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>gegeneinander, <br/><pb/>
</p><!--l. 788--><p class="indent">

</p><!--l. 789--><p class="noindent">und es ist klar, daß die Transformation von <span
class="cmmi-12">K </span>auf <span
class="cmmi-12">K</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>die <br/>identische Transformation sein muß. Es ist also:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190525x.png" alt="f (v)f (-v) = 1 . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 795--><p class="nopar">
</p><!--l. 797--><p class="noindent">Wir fragen nun nach der Bedeutung von <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span>(<span
class="cmmi-12">v</span>). Wir fassen <br/>das Stück der
<span
class="cmmi-12">H</span>-Achse des Systems <span
class="cmmi-12">k </span>ins Auge, das zwischen <br/><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> </span>= 0<span
class="cmmi-12">, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" /> </span>= 0<span
class="cmmi-12">, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-10.png" alt="z" class="cmmi-12x-x-10" align="middle" /> </span>= 0 und
<span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> </span>= 0<span
class="cmmi-12">, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" /> </span>= <span
class="cmmi-12">l, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-10.png" alt="z" class="cmmi-12x-x-10" align="middle" /> </span>= 0 gelegen ist. Dieses <br/>Stück der <span
class="cmmi-12">H</span>-Achse ist ein relativ zum System <span
class="cmmi-12">K </span>mit der Ge-<br/>schwindigkeit <span
class="cmmi-12">v </span>senkrecht zu seiner Achse bewegter Stab,
 <br/>dessen Enden in <span
class="cmmi-12">K </span>die Koordinaten besitzen:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190526x.png" alt="                --l-- x1 = v t,  y1 = f (v),  z1 = 0 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 810--><p class="nopar"></p><!--l. 814--><p class="noindent">und</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190527x.png" alt="x2 = v t, y2 = 0,      z2 = 0. " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 821--><p class="nopar"></p><!--l. 825--><p class="noindent">Die Länge des Stabes, in <span
class="cmmi-12">K </span>gemessen, ist also <span
class="cmmi-12">l</span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190528x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>(<span
class="cmmi-12">v</span>); damit <br/>ist die Bedeutung der Funktion <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>gegeben. Aus Symmetrie-<br/>gründen ist nun einleuchtend, daß die im ruhenden System <br/>gemessene Länge eines bestimmten Stabes, welcher senkrecht
 <br/>zu seiner Achse bewegt ist, nur von der Geschwindigkeit, nicht <br/>aber von der Richtung und dem Sinne der Bewegung abhängig <br/>sein kann. Es ändert sich also die im ruhenden System ge-<br/>messene Länge des bewegten Stabes nicht, wenn <span
class="cmmi-12">v</span>
mit <span
class="cmsy-10x-x-120">-</span><span
class="cmmi-12">v </span> <br/>vertauscht wird. Hieraus folgt:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190529x.png" alt="  l        l ----- = -------, f (v)   f (- v) " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 841--><p class="nopar"></p><!--l. 845--><p class="noindent">oder</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190530x.png" alt="f (v) = f (- v). " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 851--><p class="nopar">

</p><!--l. 855--><p class="noindent">Aus dieser und der vorhin gefundenen Relation folgt, daß <br/><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>(<span
class="cmmi-12">v</span>) = 1 sein muß, so daß die gefundenen Transformations-<br/>gleichungen übergehen in:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190531x.png" alt="      (         ) t = b   t-  v--x  ,             V2 q = b (x-  vt),
j = y , z = z , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 868--><p class="nopar"></p><!--l. 872--><p class="noindent">wobei</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190532x.png" alt="          1 b =  V~ -----(--)---,             -v  2        1 -  V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 879--><p class="nopar"> <pb/>
</p><!--l. 886--><p class="indent">

</p>
<div class="center" >

<!--l. 887--><p class="noindent">
</p><!--l. 888--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>4.  Physikalische Bedeutung der erhaltenen Gleichungen, <br/>bewegte starre Körper und bewegte Uhren betreffend.</p></div>
<!--l. 894--><p class="indent">   Wir betrachten eine starre Kugel<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>) vom Radius <span
class="cmmi-12">R</span>, welche <br/>relativ zum bewegten System <span
class="cmmi-12">k </span>ruht, und deren Mittelpunkt <br/>im Koordinatenursprung von <span
class="cmmi-12">k</span>
liegt. Die Gleichung der Ober-<br/>fläche dieser relativ zum System <span
class="cmmi-12">K </span>mit der Geschwindigkeit <span
class="cmmi-12">v </span> <br/>bewegten Kugel ist:</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190533x.png" alt="q2 + j2 + z2 = R2 . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 904--><p class="nopar"></p><!--l. 908--><p class="noindent">Die Gleichung dieser Oberfläche ist in <span
class="cmmi-12">x, y, z </span>ausgedrückt zur <br/>Zeit <span
class="cmmi-12">t </span>= 0:</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190534x.png" alt="        x2            2   2     2 (V ~ -----------)2 + y  + z  = R  .          (v-)2      1-   V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 915--><p class="nopar">
</p><!--l. 919--><p class="noindent">Ein starrer Körper, welcher in ruhendem Zustande ausgemessen <br/>die Gestalt einer Kugel hat, hat also in bewegtem Zustande --<br/>vom ruhenden System aus betrachtet -- die Gestalt eines <br/>Rotationsellipsoides mit den Achsen
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190535x.png" alt="  V~  -----------         (v-)2 R   1 -  V    , R , R . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 928--><p class="nopar">
</p><!--l. 932--><p class="indent">   Während also die <span
class="cmmi-12">Y </span>- und <span
class="cmmi-12">Z</span>-Dimension der Kugel (also <br/>auch jedes starren Körpers von beliebiger Gestalt) durch die Be-<br/>wegung nicht modifiziert erscheinen, erscheint die <span
class="cmmi-12">X</span>-Dimension <br/>im Verhältnis 1 : <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190536x.png" alt=" V~ ------------    1-  (v/V  )2"  class="sqrt"  /> verkürzt, also um so stärker, je <br/>größer <span
class="cmmi-12">v </span>ist. Für <span
class="cmmi-12">v </span>= <span
class="cmmi-12">V </span>schrumpfen alle bewegten Objekte --<br/>vom ,,ruhenden&#8220; System aus betrachtet -- in flächenhafte <br/>Gebilde zusammen. Für Überlichtgeschwindigkeiten werden <br/>unsere Überlegungen sinnlos; wir werden übrigens in den <br/>folgenden Betrachtungen finden, daß die Lichtgeschwindigkeit <br/>in unserer Theorie physikalisch die Rolle der unendlich großen <br/>Geschwindigkeiten spielt.
</p><!--l. 946--><p class="indent">   Es ist klar, daß die gleichen Resultate von im ,,ruhenden&#8220; <br/>System ruhenden Körpern gelten, welche von einem gleich-<br/>förmig bewegten System aus betrachtet werden. --
</p><!--l. 952--><p class="indent">   Wir denken uns ferner eine der Uhren, welche relativ <br/>zum ruhenden System ruhend die Zeit <span
class="cmmi-12">t</span>, relativ zum bewegten <br/></p><!--l. 958--><p class="noindent">----------
</p><!--l. 960--><p class="indent">   1) Das heißt einen Körper, welcher ruhend untersucht Kugelgestalt <br/>besitzt.
<pb/>
</p><!--l. 966--><p class="indent">

</p><!--l. 967--><p class="noindent">System ruhend die Zeit <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>anzugeben befähigt sind, im Koordi-<br/>natenursprung von
<span
class="cmmi-12">k </span>gelegen und so gerichtet, daß sie die <br/>Zeit <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>angibt. Wie schnell geht diese Uhr, vom ruhenden <br/>System aus betrachtet?
</p><!--l. 973--><p class="indent">   Zwischen die Größen <span
class="cmmi-12">x, t </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /></span>, welche sich auf den Ort <br/>dieser Uhr beziehen, gelten offenbar die Gleichungen:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190537x.png" alt="                 (        ) t =   V~ ---1------ t-  -v-x            (v-)2      V 2        1 -   V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 981--><p class="nopar"></p><!--l. 985--><p class="noindent">und</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190538x.png" alt="x = v t. " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 991--><p class="nopar"></p><!--l. 994--><p class="noindent">Es ist also</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190539x.png" alt="       V~ -----(--)--      (      V~ ----(---)-)               -v  2                    v- 2 t =  t   1-   V    =  t-   1 -    1-   V      t, " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1002--><p class="nopar">
</p><!--l. 1006--><p class="noindent">woraus folgt, daß die Angabe der Uhr (im ruhenden System <br/>betrachtet) pro Sekunde um <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190540x.png" alt="(      V~ ----------2)   1-    1 - (v/V )"  class="left" align="middle" /> Sek. oder -- bis <br/>auf Größen vierter und höherer Ordnung um <span
class="cmr-8">1</span>
<span
class="cmr-8">2</span>(<span
class="cmmi-12">v</span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190541x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">V </span>)<sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup> Sek. <br/>zurückbleibt.
</p><!--l. 1014--><p class="indent">   Hieraus ergibt sich folgende eigentümliche Konsequenz. <br/>Sind in den Punkten <span
class="cmmi-12">A</span>
und <span
class="cmmi-12">B </span>von <span
class="cmmi-12">K </span>ruhende, im ruhenden <br/>System betrachtet, synchron gehende Uhren vorhanden, und <br/>bewegt man die Uhr in <span
class="cmmi-12">A </span>mit der Geschwindigkeit <span
class="cmmi-12">v </span>auf der
 <br/>Verbindungslinie nach <span
class="cmmi-12">B</span>, so gehen nach Ankunft dieser Uhr <br/>in <span
class="cmmi-12">B </span>die beiden Uhren nicht mehr synchron, sondern die von <span
class="cmmi-12">A </span> <br/>nach <span
class="cmmi-12">B </span>bewegte Uhr geht gegenüber der von Anfang an in <span
class="cmmi-12">B </span> <br/>befindlichen um <span
class="cmr-8">1</span>
<span
class="cmr-8">2</span> <span
class="cmmi-12">tv</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190542x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">V</span> <sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup> Sek. (bis auf Größen vierter und <br/>höherer Ordnung) nach, wenn <span
class="cmmi-12">t </span>die Zeit ist, welche die Uhr
 <br/>von <span
class="cmmi-12">A </span>nach <span
class="cmmi-12">B </span>braucht.
</p><!--l. 1029--><p class="indent">   Man sieht sofort, daß dies Resultat auch dann noch gilt, <br/>wenn die Uhr in einer beliebigen polygonalen Linie sich von <span
class="cmmi-12">A </span> <br/>nach <span
class="cmmi-12">B </span>bewegt, und zwar auch dann, wenn die Punkte <span
class="cmmi-12">A </span> <br/>und <span
class="cmmi-12">B </span>zusammenfallen.
</p><!--l. 1034--><p class="indent">   Nimmt man an, daß das für eine polygonale Linie be-<br/>wiesene Resultat auch für eine stetig gekrümmte Kurve gelte, <br/>so erhält man den Satz: Befinden sich in <span
class="cmmi-12">A</span>
zwei synchron <br/>gehende Uhren und bewegt man die eine derselben auf einer
 <br/>geschlossenen Kurve mit konstanter Geschwindigkeit, bis sie <br/>wieder nach <span
class="cmmi-12">A</span>
zurückkommt, was <span
class="cmmi-12">t </span>Sek. dauern möge, so geht <br/>die letztere Uhr bei ihrer Ankunft
in <span
class="cmmi-12">A </span>gegenüber der un-<br/><pb/>
</p><!--l. 1046--><p class="indent">

</p><!--l. 1047--><p class="noindent">bewegt gebliebenen um <span
class="cmr-8">1</span>
<span
class="cmr-8">2</span> <span
class="cmmi-12">t </span>(<span
class="cmmi-12">v</span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190543x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">V </span>)<sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup> Sek. nach. Man schließt <br/>daraus, daß eine am Erdäquator befindliche Unruhuhr um einen <br/>sehr kleinen Betrag langsamer laufen muß als eine genau <br/>gleich beschaffene, sonst gleichen Bedingungen unterworfene,
 <br/>an einem Erdpole befindliche Uhr.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 1057--><p class="noindent">
</p><!--l. 1058--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>5.  Additionstheorem der Geschwindigkeiten.</p></div>
<!--l. 1062--><p class="indent">   In dem längs der <span
class="cmmi-12">X</span>-Achse des Systems <span
class="cmmi-12">K </span>mit der Ge-<br/>schwindigkeit <span
class="cmmi-12">v</span>
bewegten System <span
class="cmmi-12">k </span>bewege sich ein Punkt <br/>gemäß den Gleichungen:</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190544x.png" alt="q =  wq t , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1071--><p class="nopar"></p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190545x.png" alt="j =  wj t , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1080--><p class="nopar"></p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190546x.png" alt="z = 0 , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1089--><p class="nopar"></p><!--l. 1093--><p class="noindent">wobei <span
class="cmmi-12">w</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi8-18.png" alt="q" class="cmmi-8x-x-18" align="middle" /></span></sub> und <span
class="cmmi-12">w</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi8-11.png" alt="j" class="cmmi-8x-x-11" align="middle" /></span></sub> Konstanten bedeuten.
</p><!--l. 1095--><p class="indent">   Gesucht ist die Bewegung des Punktes relativ zum System <span
class="cmmi-12">K</span>. <br/>Führt man in die Bewegungsgleichungen des Punktes mit Hilfe <br/>der in <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3 entwickelten Transformationsgleichungen die Größen <br/><span
class="cmmi-12">x, y, z, t </span>ein, so erhält man:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190547x.png" alt="    -wq-+-v-- x =     v-wq-t,     1 +  V 2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1105--><p class="nopar"></p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190548x.png" alt="     V~  ----(---)--        1 -   v- 2     ---------V--- y =        vwq-- wj t ,       1 +  V 2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1115--><p class="nopar"></p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190549x.png" alt="z =  0. " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1125--><p class="nopar">
</p><!--l. 1129--><p class="noindent">Das Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten gilt <br/>also nach unserer Theorie nur in erster Annäherung. Wir <br/>setzen:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190550x.png" alt="      (d x )2   (d y )2 U 2 =   ---   +   ---   ,         dt        d t " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1139--><p class="nopar">
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190551x.png" alt="w2  = w2q + w2j " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1149--><p class="nopar"></p><!--l. 1153--><p class="noindent">und</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190552x.png" alt="           wj- a =  arctg wq  ; " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1159--><p class="nopar"> <pb/>
</p><!--l. 1166--><p class="indent">

</p><!--l. 1167--><p class="noindent"><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /> </span>ist dann als der Winkel zwischen den Geschwindigkeiten <span
class="cmmi-12">v </span> <br/>und <span
class="cmmi-12">w </span>anzusehen. Nach einfacher Rechnung ergibt sich:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190553x.png" alt="      V~  -------------------------(----------)--           2    2                   v-w-sin-a- 2         (v  + w  + 2 vw cos a) -      V U  = ----------------------------------------- .                    1 + v-w-cos-a-                           V 2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1176--><p class="nopar">
</p><!--l. 1180--><p class="noindent">Es ist bemerkenswert, daß <span
class="cmmi-12">v </span>und <span
class="cmmi-12">w </span>in symmetrischer Weise <br/>in den Ausdruck für die resultierende Geschwindigkeit ein-<br/>gehen. Hat auch <span
class="cmmi-12">w </span>die Richtung der
<span
class="cmmi-12">X</span>-Achse (<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmr12-4.png" alt="E" class="12x-x-4" />-Achse), so <br/>erhalten wir:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190554x.png" alt="     -v-+-w-- U  =     v-w-.      1 + V 2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1189--><p class="nopar">
</p><!--l. 1193--><p class="noindent">Aus dieser Gleichung folgt, daß aus der Zusammensetzung <br/>zweier Geschwindigkeiten, welche kleiner sind als <span
class="cmmi-12">V </span>, stets eine <br/>Geschwindigkeit kleiner als <span
class="cmmi-12">V </span>resultiert. Setzt man nämlich <br/><span
class="cmmi-12">v </span>= <span
class="cmmi-12">V </span><span
class="cmsy-10x-x-120">-</span> <span
class="cmbxti-10x-x-120">x</span><span
class="cmmi-12">, w </span>= <span
class="cmmi-12">V </span><span
class="cmsy-10x-x-120">- </span><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-15.png" alt="c" class="12x-x-15" /></span>, wobei <span
class="cmbxti-10x-x-120">x </span>und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-15.png" alt="c" class="12x-x-15" /> </span>positiv und kleiner als <span
class="cmmi-12">V</span>
 <br/>seien, so ist:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190555x.png" alt="U  = V ----2V----x---c----&lt;  V .        2 V - x -  c + x-c-                        V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1202--><p class="nopar">
</p><!--l. 1206--><p class="indent">   Es folgt ferner, daß die Lichtgeschwindigkeit <span
class="cmmi-12">V </span>durch <br/>Zusammensetzung mit einer ,,Unterlichtgeschwindigkeit&#8220; nicht <br/>geändert werden kann. Man erhält für diesen Fall:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190556x.png" alt="     V  + w U  = -----w-=  V .      1 +  --           V " class="par-math-display"  /></center>

<!--l. 1214--><p class="nopar">
</p><!--l. 1218--><p class="noindent">Wir hätten die Formel für <span
class="cmmi-12">U </span>für den Fall, daß <span
class="cmmi-12">v </span>und <span
class="cmmi-12">w </span> <br/>gleiche Richtung besitzen, auch durch Zusammensetzen zweier <br/>Transformationen gemäß <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3 erhalten können. Führen wir <br/>neben den in <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3 figurierenden Systemen <span
class="cmmi-12">K </span>und <span
class="cmmi-12">k </span>noch ein
 <br/>drittes, zu <span
class="cmmi-12">k </span>in Parallelbewegung begriffenes Koordinaten-<br/>system <span
class="cmmi-12">k</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>ein, dessen Anfangspunkt sich auf der <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmr12-4.png" alt="E" class="12x-x-4" />-Achse mit <br/>der Geschwindigkeit <span
class="cmmi-12">w </span>bewegt, so erhalten wir zwischen den <br/>Größen <span
class="cmmi-12">x, y, z, t </span>und den entsprechenden Größen von <span
class="cmmi-12">k</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>Glei-<br/>chungen, welche sich von den in <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3 gefundenen nur dadurch <br/>unterscheiden, daß an Stelle von ,,<span
class="cmmi-12">v</span>&#8220; die Größe
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190557x.png" alt=" v + w ----v-w- 1 + --2-      V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1230--><p class="nopar"> <pb/>
</p><!--l. 1237--><p class="indent">

</p><!--l. 1238--><p class="noindent">tritt; man sieht daraus, daß solche Paralleltransformationen --<br/>wie dies sein muß -- eine Gruppe bilden.
</p><!--l. 1242--><p class="indent">   Wir haben nun die für uns notwendigen Sätze der unseren <br/>zwei Prinzipien entsprechenden Kinematik hergeleitet und gehen <br/>dazu über, deren Anwendung in der Elektrodynamik zu zeigen.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 1247--><p class="noindent">
</p><!--l. 1248--><p class="noindent"><span
class="cmr-12x-x-120">II.   Eektrodynamischer Teil.</span></p></div>
<div class="center" >

<!--l. 1251--><p class="noindent">
</p><!--l. 1252--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>6.  Transformation der Maxwell-Hertzschen Gleichungen für <br/>den leeren Raum. Über die Natur der bei Bewegung in einem <br/>Magnetfeld auftretenden elektromotorischen Kräfte.</p></div>
<!--l. 1259--><p class="indent">   Die Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren <br/>Raum mögen gültig sein für das ruhende System <span
class="cmmi-12">K</span>, so daß <br/>gelten möge:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190558x.png" alt=" 1 @ X    @ N    @ M     1 @ L    @ Y   @ Z V- @-t-=  @-y--  -@ z-,  V-@-t-=  @-z-- -@ y-,
-1 @ Y-   @-L-   @-N-    1-@-M--   @ Z-  @-X- V  @ t  =  @ z - @ x ,   V  @ t =  @ x -  @ z ,
-1 @ Z- = @-M---  @ L-,  1-@-N-=  @-X- - @-Y-, V  @ t     @ x    @ y    V  @ t    @ y   @ x " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1284--><p class="nopar">
</p><!--l. 1288--><p class="noindent">wobei (<span
class="cmmi-12">X, Y, Z</span>) den Vektor der elektrischen, (<span
class="cmmi-12">L, M, N</span>) den der <br/>magnetischen Kraft bedeutet.
</p><!--l. 1291--><p class="indent">   Wenden wir auf diese Gleichungen die in <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3 entwickelte <br/>Transformation an, indem wir die elektromagnetischen Vor-<br/>gänge auf das dort eingeführte, mit der Geschwindigkeit <span
class="cmmi-12">v </span> <br/>bewegte Koordinatensystem beziehen, so erhalten wir die
 <br/>Gleichungen:</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190559x.png" alt="                         (     v   )       (       v  )  1 @ X               @ b  N  - -- Y     @ b  M  + -- Z -- ----            = ----------V------  ----------V-----, V  @ t                      @ j               @ z       (     -v   )                          (     -v   ) -1 @ b-Y----V--N---   @ L-               @ b-N----V--Y--- V        @ t       =  @ z             -        @ q       ,       (          )       (          )    @ b Z  + v- M      @ b  M  + v-Z -1 ---------V------=  ----------V------  @ L-, V        @ t                @ q          @ j                          (     v   )       (      v   )  1 @ L               @ b  Y -  --N      @ b  Z + -- M -- ----            = ----------V------  ---------V------, V  @ t                     @ z                @ j " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1327--><p class="nopar"> <pb/>
</p><!--l. 1334--><p class="indent">

</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190560x.png" alt="      (          )       (          )             -v                 v- 1-@-b--M--+-V--Z--   @-b--Z-+--V-M---   @-X- V        @t        =        @ q       -  @ z ,       (         )                          (          )   @ b  N  - v- Y                        @ b  Y -  v-N 1-----------V----- = @-X-            -  ----------V-----, V        @ t          @ j                     @ q " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1350--><p class="nopar">
</p><!--l. 1354--><p class="noindent">wobei
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190561x.png" alt="          1 b =  V~ -----(--)---.             -v  2        1 -  V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1361--><p class="nopar">
</p><!--l. 1365--><p class="indent">   Das Relativitätsprinzip fordert nun, daß die Maxwell-<br/>Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum auch im <br/>System <span
class="cmmi-12">k </span>gelten, wenn sie im System <span
class="cmmi-12">K </span>gelten, d. h. daß für <br/>die im bewegten System <span
class="cmmi-12">k </span>durch ihre ponderomotorischen <br/>Wirkungen auf elektrische bez. magnetische Massen definierten <br/>Vektoren der elektrischen und magnetischen Kraft <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190562x.png" alt="((X', Y ', Z')"  class="left" align="middle" /> <br/>und <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190563x.png" alt="(L', M ', N '))"  class="left" align="middle" /> des bewegten Systems <span
class="cmmi-12">k </span>die Gleichungen gelten:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190564x.png" alt="1-@-X'-   @-N-'   @ M-'   1-@-L'   @-Y-'   @ Z' V  @ t =   @ j -  @ z  ,  V  @ t =  @ z -  @ j ,
1 @ Y '   @ L'   @ N '    1@ M  '   @ Z'   @ X' -------=  -----  -----,  ------- =  -----  -----, V  @ t    @ z     @ q    V  @ t     @ q    @ z 1 @ Z'    @ M '   @ L'    1 @ N '  @ X'    @ Y' ------ =  ------  ----,  -- -----= ------  -----. V  @ t     @ q    @ j    V  @ t     @ j     @ q " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1397--><p class="nopar">
</p><!--l. 1401--><p class="indent">   Offenbar müssen nun die beiden für das System <span
class="cmmi-12">k </span>ge-<br/>fundenen Gleichungssysteme genau dasselbe ausdrücken, da <br/>beide Gleichungssysteme den Maxwell-Hertzschen Gleichungen <br/>für das System <span
class="cmmi-12">K </span>äquivalent sind. Da die
Gleichungen beider <br/>Systeme ferner bis auf die die Vektoren darstellenden Symbole
 <br/>übereinstimmen, so folgt, daß die in den Gleichungssystemen <br/>an entsprechenden Stellen auftretenden Funktionen bis auf <br/>einen für alle Funktionen des einen Gleichungssystems ge-<br/>meinsamen, von <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> , <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" /> , <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-10.png" alt="z" class="cmmi-12x-x-10" align="middle" /></span> und <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>unabhängigen, eventuell von
<span
class="cmmi-12">v </span> <br/>abhängigen Faktor <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-20.png" alt="y" class="12x-x-20" /></span>(<span
class="cmmi-12">v</span>) übereinstimmen müssen. Es gelten <br/>also die Beziehungen:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190565x.png" alt="   '                           ' X   = y (v)X (      v   )     L  = y (v)L ,(      v  ) Y '=  y (v)b   Y - -- N   ,  M  '= y (v)b   M  + -- Z  ,              (     V    )                  (     V   ) Z'=   y (v)b  Z  + v- M   ,  N ' = y (v) b  N  - v-Y   .                    V                             V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1429--><p class="nopar"> <pb/>
</p><!--l. 1436--><p class="indent">

</p><!--l. 1437--><p class="indent">   Bildet man nun die Umkehrung dieses Gleichungssystems, <br/>erstens durch Auflösen der soeben erhaltenen Gleichungen, <br/>zweitens durch Anwendung der Gleichungen auf die inverse <br/>Transformation (von <span
class="cmmi-12">k </span>auf <span
class="cmmi-12">K</span>), welche durch die Geschwindig-<br/>keit <span
class="cmsy-10x-x-120">-</span><span
class="cmmi-12">v </span>charakterisiert ist, so folgt, indem man berücksichtigt, <br/>daß die beiden so erhaltenen Gleichungssysteme identisch sein
 <br/>müssen:</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190566x.png" alt="f(v) .f( -v) =  1. " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1449--><p class="nopar"></p><!--l. 1453--><p class="noindent">Ferner folgt aus Symmetriegründen<sup ><span
class="cmr-8">1</span></sup>)
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190567x.png" alt="f(v) = f(- v) ; " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1458--><p class="nopar"></p><!--l. 1462--><p class="noindent">es ist also</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190568x.png" alt="f(v) =  1, " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1468--><p class="nopar"></p><!--l. 1472--><p class="noindent">und unsere Gleichungen nehmen die Form an:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190569x.png" alt="X'=  X (,        )      L'=  L ,(          ) Y'=  b  Y -  v-N   ,   M  '= b  M  +  v-Z  ,              V                        V  '     (     v-   )       '    (     -v   ) Z =  b  Z +  V M    ,   N  = b  N  - V  Y   . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1486--><p class="nopar">
</p><!--l. 1490--><p class="noindent">Zur Interpretation dieser Gleichungen bemerken wir folgendes. <br/>Es liegt eine punktförmige Elektrizitätsmenge vor, welche im <br/>ruhenden System <span
class="cmmi-12">K </span>gemessen von der Größe ,,eins&#8220; sei, d. h. <br/>im ruhenden System ruhend auf eine gleiche Elektrizitätsmenge <br/>im Abstand 1 cm die Kraft 1 Dyn ausübe. Nach dem Relativitäts-<br/>prinzip ist diese elektrische Masse auch im bewegten System
 <br/>gemessen von der Größe ,,eins&#8220;. Ruht diese Elektrizitäts-<br/>menge relativ zum ruhenden System, so ist definitionsgemäß <br/>der Vektor (<span
class="cmmi-12">X,Y,Z</span>) gleich der auf sie wirkenden Kraft. Ruht <br/>die Elektrizitätsmenge gegenüber dem bewegten System (wenig-<br/>stens in dem betreffenden Augenblick), so ist die auf sie <br/>wirkende, in dem bewegten System gemessene Kraft gleich <br/>dem Vektor (<span
class="cmmi-12">X</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><span
class="cmmi-12">, Y </span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><span
class="cmmi-12">, Z</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span>). Die ersten drei der obigen Gleichungen <br/>lassen sich mithin auf folgende zwei Weisen in Worte
kleiden:
</p><!--l. 1509--><p class="indent">   1. Ist ein punktförmiger elektrischer Einheitspol in einem <br/>elektromagnetischen Felde bewegt, so wirkt auf ihn außer der <br/>----------
</p><!--l. 1514--><p class="indent">   1) Ist z. B. <span
class="cmmi-12">X </span>= <span
class="cmmi-12">Y </span>= <span
class="cmmi-12">Z </span>= <span
class="cmmi-12">L </span>= <span
class="cmmi-12">M </span>= 0 und <span
class="cmmi-12">N</span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190570x.png" alt="/="  class="neq" align="middle" />0, so ist aus Symmetrie-<br/>gründen klar, daß bei Zeichenwechsel von <span
class="cmmi-12">v </span>ohne Änderung des nume-<br/>rischen Wertes auch <span
class="cmmi-12">Y </span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>sein Vorzeichen ändern muß, ohne seinen nume-<br/>rischen Wert zu ändern. <pb/>
</p><!--l. 1523--><p class="indent">

</p><!--l. 1524--><p class="noindent">elektrischen Kraft eine ,,elektromotorische Kraft&#8220;, welche unter <br/>Vernachlässigung von mit der zweiten und höheren Potenzen <br/>von <span
class="cmmi-12">v</span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190571x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">V </span>multiplizierten Gliedern gleich ist dem mit der <br/>Lichtgeschwindigkeit dividierten Vektorprodukt der Bewegungs-<br/>geschwindigkeit des Einheitspoles und der magnetischen Kraft. <br/>(Alte Ausdrucksweise.)
</p><!--l. 1533--><p class="indent">   2. Ist ein punktförmiger elektrischer Einheitspol in einem <br/>elektromagnetischen Felde bewegt, so ist die auf ihn wirkende <br/>Kraft gleich der an dem Orte des Einheitspoles vorhandenen <br/>elektrischen Kraft, welche man durch Transformation des Feldes <br/>auf ein relativ zum elektrischen Einheitspol ruhendes Koordi-<br/>natensystem erhält. (Neue Ausdrucksweise.)
</p><!--l. 1541--><p class="indent">   Analoges gilt über die ,,magnetomotorischen Kräfte&#8220;. Man <br/>sieht, daß in der entwickelten Theorie die elektromotorische <br/>Kraft nur die Rolle eines Hilfsbegriffes spielt, welcher seine <br/>Einführung dem Umstande verdankt, daß die elektrischen und
 <br/>magnetischen Kräfte keine von dem Bewegungszustande des <br/>Koordinatensystems unabhängige Existenz besitzen.
</p><!--l. 1549--><p class="indent">   Es ist ferner klar, daß die in der Einleitung angeführte <br/>Asymmetrie bei der Betrachtung der durch Relativbewegung <br/>eines Magneten und eines Leiters erzeugten Ströme verschwindet. <br/>Auch werden die Fragen nach dem ,,Sitz&#8220; der elektrodynamischen <br/>elektromotorischen Kräfte (Unipolarmaschinen) gegenstandslos.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 1557--><p class="noindent">
</p><!--l. 1558--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>7.  Theorie des Doppelerschen Prinzips und der Aberration.</p></div>
<!--l. 1563--><p class="indent">   Im Systeme <span
class="cmmi-12">K </span>befinde sich sehr ferne vom Koordinaten-<br/>ursprung eine Quelle elektrodynamischer Wellen, welche in <br/>einem den Koordinatenursprung enthaltenden Raumteil mit <br/>genügender Annäherung durch die Gleichungen dargestellt sei:</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190572x.png" alt="X =  X0 sin P,  L =  L0sinP ,                                       (                  ) Y =  Y0sinP,   M  = M0  sin P,  P  = w   t- a-x-+-by-+-c-z  .                                                  V Z =  Z0sin P,  N  = N0 sinP , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1581--><p class="nopar">
</p><!--l. 1585--><p class="noindent">Hierbei sind (<span
class="cmmi-12">X</span><sub ><span
class="cmr-8">0</span></sub><span
class="cmmi-12">, Y</span> <sub ><span
class="cmr-8">0</span></sub><span
class="cmmi-12">, Z</span><sub ><span
class="cmr-8">0</span></sub>) und (<span
class="cmmi-12">L</span><sub ><span
class="cmr-8">0</span></sub><span
class="cmmi-12">, M</span><sub ><span
class="cmr-8">0</span></sub><span
class="cmmi-12">, N</span><sub ><span
class="cmr-8">0</span></sub>) die Vektoren, welche <br/>die Amplitude des Wellenzuges bestimmen, <span
class="cmmi-12">a,b,c </span>die Richtungs-<br/>kosinus der Wellennormalen.
</p><!--l. 1590--><p class="indent">   Wir fragen nach der Beschaffenheit dieser Wellen, wenn <br/>dieselben von einem in dem bewegten System <span
class="cmmi-12">k </span>ruhenden <br/><pb/>
</p><!--l. 1595--><p class="indent">

</p><!--l. 1596--><p class="noindent">Beobachter untersucht werden. -- Durch Anwendung der in <br/><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>6 gefundenen Transformationsgleichungen für die elektrischen <br/>und magnetischen Kräfte und der in <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3 gefundenen Trans-<br/>formationsgleichungen für die Koordinaten und die Zeit er-<br/>halten wir unmittelbar:</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190573x.png" alt="  '                      '       '                      ' X  =            X0  sin P ,    L  =            L0  sinP  ,   '    (      -v   )      '      '    (      -v   )      ' Y  = b  Y0  - V  N0  sinP  ,  M   = b  M0  + V  Z0  sin P  ,        (      v    )                  (       v   ) Z'=  b  Z0 +  --M0   sin P',    N '=  b  N0 - -- Y0  sin P',               V        (                    )V                  '    '     a'q + b 'j + c'z                P  = w   t - ----------------  ,                                    V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1622--><p class="nopar"></p><!--l. 1626--><p class="noindent">wobei</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190574x.png" alt="         (        )   '             v- w  = w b  1 - a V   ,              v-     '   a----V--    a =       -v ,         1-  aV              b    b'=  -(--------),-         b  1-  a-v                 V    c'=  -(---c----)--         b  1-  a-v                 V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1644--><p class="nopar">
</p><!--l. 1648--><p class="noindent">gesetzt ist.
</p><!--l. 1651--><p class="indent">   Aus der Gleichung für <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-21.png" alt="w" class="12x-x-21" /></span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>folgt: Ist ein Beobachter relativ <br/>zu einer unendlich fernen Lichtquelle von der Frequenz <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>mit <br/>der Geschwindigkeit <span
class="cmmi-12">v </span>derart bewegt, daß die Verbindungs-<br/>linie ,,Lichtquelle--Beobachter&#8220; mit der auf ein relativ zur <br/>Lichtquelle ruhendes Koordinatensystem bezogenen Geschwindig-<br/>keit des Beobachters den Winkel <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>bildet, so ist die von <br/>dem Beobachter wahrgenommene Frequenz <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /></span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>des Lichtes <br/>durch die Gleichung gegeben:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190575x.png" alt="                 v        1-  cosf -- n'=  n V~ -----(--V)-.          1 -  -v  2               V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1667--><p class="nopar">
</p><!--l. 1671--><p class="noindent">Dies ist das Doppelersche Prinzip für beliebige Geschwindig-<br/><pb/>
</p><!--l. 1675--><p class="indent">

</p><!--l. 1676--><p class="noindent">keiten. Für <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>= 0 nimmt die Gleichung die übersichtliche <br/>Form an:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190576x.png" alt="        -----v--          1 - -- n'= n  V~  ----Vv--.          1 + --              V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1683--><p class="nopar">
</p><!--l. 1687--><p class="noindent">Man sieht, daß -- im Gegensatz zu der üblichen Auffassung --<br/>für <span
class="cmmi-12">v </span>= <span
class="cmsy-10x-x-120">-<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmsy10-c-31.png" alt=" oo " class="10-120x-x-31" /></span><span
class="cmmi-12">, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" /> </span>= <span
class="cmsy-10x-x-120"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmsy10-c-31.png" alt=" oo " class="10-120x-x-31" /></span>
ist.
</p><!--l. 1691--><p class="indent">   Nennt man <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>den Winkel zwischen Wellennormale (Strahl-<br/>richtung) im bewegten System und der Verbindungslinie ,,Licht-<br/>quelle--Beobachter&#8220;, so nimmt die Gleichung für <span
class="cmmi-12">a</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>die Form an:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190577x.png" alt="                  v-      '    cosf -  V cos f =  ----v-------.          1-  -- cosf              V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1700--><p class="nopar">
</p><!--l. 1704--><p class="noindent">Diese Gleichung drückt das Aberrationsgesetz in seiner all-<br/>gemeinsten Form aus. Ist <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>= <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /></span> <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190578x.png" alt="/"  class="left" align="middle" />2, so nimmt die Gleichung <br/>die einfache Gestalt an:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190579x.png" alt="           v cos f'=  - --.            V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1713--><p class="nopar">
</p><!--l. 1717--><p class="indent">   Wir haben nun noch die Amplitude der Wellen, wie <br/>dieselbe im bewegten System erscheint, zu suchen. Nennt <br/>man <span
class="cmmi-12">A </span>bez. <span
class="cmmi-12">A</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>die Amplitude der elektrischen oder magne-<br/>tischen Kraft im ruhenden bez. im bewegten System gemessen, <br/>so erhält man:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190580x.png" alt="         (     v      )2            1-  --cos f A'2 = A2 ------V(--)-----,             1 -  -v  2                  V
" class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1728--><p class="nopar">
</p><!--l. 1732--><p class="noindent">welche Gleichung für <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>= 0 in die einfachere übergeht:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190581x.png" alt="             v          1-  -- A'2 = A2 ----V--.          1 + v-              V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1739--><p class="nopar">
</p><!--l. 1743--><p class="indent">   Es folgt aus den entwickelten Gleichungen, daß für einen <br/>Beobachter, der sich mit der Geschwindigkeit <span
class="cmmi-12">V </span>einer Licht-<br/>quelle näherte, diese Lichtquelle unendlich intensiv erscheinen <br/>müßte. <pb/>
</p><!--l. 1751--><p class="indent">

</p>
<div class="center" >

<!--l. 1752--><p class="noindent">
</p><!--l. 1753--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>8.  Transformation der Energie der Lichtstrahlen. Theorie des <br/>auf vollkommene Spiegel ausgeübten Strahlungsdruckes.</p></div>
<!--l. 1758--><p class="indent">   Da <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190582x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> 8 <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /></span> gleich der Lichtenergie pro Volumeneinheit <br/>ist, so haben wir nach dem Relativitätsprinzip <span
class="cmmi-12">A</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190583x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> 8 <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /></span> als die <br/>Lichtenergie im bewegten System zu betrachten. Es wäre <br/>daher <span
class="cmmi-12">A</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190584x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup> das Verhältnis der ,,bewegt gemessenen&#8220; und
 <br/>,,ruhend gemessenen&#8220; Energie eines bestimmten Lichtkomplexes, <br/>wenn das Volumen eines Lichtkomplexes in <span
class="cmmi-12">K </span>gemessen und <br/>in <span
class="cmmi-12">k </span>gemessen das gleiche wäre. Dies ist jedoch nicht der <br/>Fall. Sind <span
class="cmmi-12">a, b, c </span>die Richtungskosinus der Wellennormalen <br/>des Lichtes im ruhenden System, so wandert durch die Ober-<br/>flächenelemente der mit Lichtgeschwindigkeit bewegten Kugel-<br/>fläche
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190585x.png" alt="          2             2             2    2 (x - V a t)  + (y-  V bt) +  (z - V  ct) =  R " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1779--><p class="nopar">
</p><!--l. 1783--><p class="noindent">keine Energie hindurch; wir können daher sagen, daß diese <br/>Fläche dauernd denselben Lichtkomplex umschließt. Wir <br/>fragen nach der Energiemenge, welche diese Fläche im System <span
class="cmmi-12">k </span> <br/>betrachtet umschließt, d. h. nach der Energie des Lichtkomplexes <br/>relativ zum System <span
class="cmmi-12">k</span>.
</p><!--l. 1790--><p class="indent">   Die Kugelfläche ist -- im bewegten System betrachtet --<br/>eine Ellipsoidfläche, welche zur Zeit <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>= 0 die Gleichung besitzt:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190586x.png" alt="(             )    (            )    (           )   b q - a b v-q 2 +  j-  bb v- q 2 +  z - cb -v q 2 = R2 .            V                V                V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1799--><p class="nopar">
</p><!--l. 1803--><p class="noindent">Nennt man <span
class="cmmi-12">S </span>das Volumen der Kugel, <span
class="cmmi-12">S</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>dasjenige dieses <br/>Ellipsoides, so ist, wie eine einfache Rechnung zeigt:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190587x.png" alt="      V~ -----(--)--         1-   -v  2 S'-  --------V---- S =       v-      .       1-  V cos f " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1811--><p class="nopar">
</p><!--l. 1815--><p class="noindent">Nennt man also <span
class="cmmi-12">E </span>die im ruhenden System gemessene, <span
class="cmmi-12">E</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>die <br/>im bewegten System gemessene Lichtenergie, welche von der <br/>betrachteten Fläche umschlossen wird, so erhält man:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190588x.png" alt="      A'2          v   '   ---S'    1 - -- cos f E--=  8p----=   V~ --V--------, E     A2-            (v--)2       8 pS       1 -   V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1826--><p class="nopar"> <pb/>
</p><!--l. 1833--><p class="indent">

</p><!--l. 1834--><p class="noindent">welche Formel für <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span>= 0 in die einfachere übergeht:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190589x.png" alt="        -----v-- E'       1-  -- ---=   V~  ----Vv--. E        1 + --              V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1841--><p class="nopar">
</p><!--l. 1845--><p class="indent">   Es ist bemerkenswert, daß die Energie und die Frequenz <br/>eines Lichtkomplexes sich nach demselben Gesetze mit dem <br/>Bewegungszustande des Beobachters ändern.
</p><!--l. 1849--><p class="indent">   Es sei nun die Koordinatenebene <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> </span>= 0 eine vollkommen <br/>spiegelnde Fläche, an welcher die im letzten Paragraph be-<br/>trachteten ebenen Wellen reflektiert werden. Wir fragen nach <br/>dem auf die spiegelnde Fläche ausgeübten Lichtdruck und <br/>nach der Richtung, Frequenz und Intensität des Lichtes nach <br/>der Reflexion.
</p><!--l. 1857--><p class="indent">   Das einfallende Licht sei durch die Größen <span
class="cmmi-12">A, cos<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" />, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-17.png" alt="n" class="12x-x-17" />  </span> <br/>(auf das System <span
class="cmmi-12">K</span>
bezogen) definiert. Von <span
class="cmmi-12">k </span>aus betrachtet <br/>sind die entsprechenden Größen:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190590x.png" alt="               v      '     1-  V-cos f    A  = A  V~ -----(--)2-,              1 -  -v                   V                   v           cosf -  -- cos f'=  ---------V--,          1 - -v cosf              V                v      '     1-  V-cos f     n =  n V~ -----(--)2-.              1-   -v                   V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1872--><p class="nopar">
</p><!--l. 1876--><p class="noindent">Für das reflektierte Licht erhalten wir, wenn wir den Vor-<br/>gang auf das System <span
class="cmmi-12">k</span>
beziehen:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190591x.png" alt="    ''    '    A  = A  ,     ''         ' cosf  = -  cosf ,      ''    '    n  =  n . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1886--><p class="nopar">
</p><!--l. 1890--><p class="noindent">Endlich erhält man durch Rücktransformieren aufs ruhende <br/>System <span
class="cmmi-12">K </span>für das reflektierte Licht: <pb/>
</p><!--l. 1896--><p class="indent">

</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190592x.png" alt="               -v      ''           v-        (v-)2     '''    ''1 + V  cosf       1 - 2 V cosf +   V   A   = A   V~ -----(--)2--= A ----------(v-)2-------,               1 -  -v              1-   --                    V                    V                            (    (   ) )                ''   v-       1 +   v- 2  cos f - 2 v-     '''   -cosf--+--V--     -------V---------------V- cosf   =     -v     ''=  -        v         (v )2   ,          1 + V  cosf         1-  2--cos f +  --                                   V          V                 v-     ''          -v        (v--)2      '''   ''1 + V cos f      1-  2V  cosf +   V    n   = n   V~ ----(---)2-= n ------(----v-)2-------.               1 -   v-              1 - --                     V                   V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1917--><p class="nopar">
</p><!--l. 1921--><p class="indent">   Die auf die Flächeneinheit des Spiegels pro Zeiteinheit <br/>auftreffende (im ruhenden System gemessene) Energie ist <br/>offenbar <span
class="cmmi-12">A</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190593x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> 8 <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /> </span>(<span
class="cmmi-12">V</span> cos <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /> </span><span
class="cmsy-10x-x-120">- </span><span
class="cmmi-12">v</span>). Die von der Flächeneinheit <br/>des Spiegels in der Zeiteinheit sich entfernende Energie ist
 <br/><span
class="cmmi-12">A</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'''</span><sup ><span
class="cmr-8">2</span></sup><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190594x.png" alt="/"  class="left" align="middle" />8 <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /> </span>(<span
class="cmsy-10x-x-120">-</span><span
class="cmmi-12">V</span> cos <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-27.png" alt="f" class="cmmi-12x-x-27" align="middle" /></span><span
class="cmsy-10x-x-120">'''</span> + <span
class="cmmi-12">v</span>). Die Differenz dieser beiden Aus-<br/>drücke ist nach dem Energieprinzip die vom Lichtdrucke in <br/>der Zeiteinheit geleistete Arbeit. Setzt man die letztere gleich <br/>dem Produkt <span
class="cmmi-12">P .v</span>, wobei <span
class="cmmi-12">P </span>der Lichtdruck ist, so erhält man:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190595x.png" alt="         (           )2         2  cos f - v- P = 2 A--------(---V)--- .       8 p        v- 2            1 -   V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1942--><p class="nopar">
</p><!--l. 1946--><p class="noindent">In erster Annäherung erhält man in Übereinstimmung mit der <br/>Erfahrung und mit anderen Theorien
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190596x.png" alt="      A2     2 P = 2 --- cos f .       8 p " class="par-math-display"  /></center>

<!--l. 1953--><p class="nopar">
</p><!--l. 1957--><p class="indent">   Nach der hier benutzten Methode können alle Probleme <br/>der Optik bewegter Körper gelöst werden. Das Wesentliche <br/>ist, daß die elektrische und magnetische Kraft des Lichtes, <br/>welches durch einen bewegten Körper beeinflußt wird, auf ein <br/>relativ zu dem Körper ruhendes Koordinatensystem trans-<br/>formiert werden. Dadurch wird jedes Problem der Optik be-<br/>wegter Körper auf eine Reihe von Problemen der Optik ruhender <br/>Körper zurückgeführt.
<pb/>
</p><!--l. 1970--><p class="indent">

</p>
<div class="center" >

<!--l. 1971--><p class="noindent">
</p><!--l. 1972--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>9.  Transformation der Maxwell-Hertzschen Gleichungen <br/>mit Berücksichtigung der Konvektionsströme.</p></div>
<!--l. 1976--><p class="indent">   Wir gehen aus von den Gleichungen:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190597x.png" alt="  {            } 1-  u  r + @ X-  =  @ N--  @ M-,  -1 @ L-= @-Y- - @-Z-, V    x     @ t      @ y    @ z    V  @ t    @ z   @ y   {           } 1-  uy r + @ Y-  = @-L--  @-N-,  -1 @ M--= @-Z--  @ X-, V          @ t      @ z   @ x    V  @ t    @ x    @ z 1 {        @ Z }   @ M     @ L    1 @ N    @ X    @ Y --  uz r + ----  = ------  ---,   ------=  -----  ----, V          @ t      @ x    @ y    V @ t    @ y    @ x " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 1997--><p class="nopar">
</p><!--l. 2001--><p class="noindent">wobei
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190598x.png" alt="     @ X    @ Y   @ Z r =  @-x-+  @-y-+ -@ z " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2008--><p class="nopar">
</p><!--l. 2012--><p class="noindent">die 4 <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /></span>-fache Dichte der Elektrizität und (<span
class="cmmi-12">u</span><sub ><span
class="cmmi-8">x</span></sub><span
class="cmmi-12">, u</span><sub ><span
class="cmmi-8">y</span></sub><span
class="cmmi-12">, u</span><sub ><span
class="cmmi-8">z</span></sub>) den Ge-<br/>schwindigkeitsvektor der Elektrizität bedeutet. Denkt man <br/>sich die elektrischen Massen unveränderlich an kleine, starre <br/>Körper (Ionen, Elektronen) gebunden, so sind diese Gleichungen
 <br/>die elektromagnetische Grundlage der Lorentzschen Elektro-<br/>dynamik und Optik bewegter Körper.
</p><!--l. 2021--><p class="indent">   Transformiert man diese Gleichungen, welche im System <span
class="cmmi-12">K </span> <br/>gelten mögen, mit Hilfe der Transformationsgleichungen von <br/><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>3 und <span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>6 auf das System <span
class="cmmi-12">k</span>, so erhält man die Gleichungen:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_190599x.png" alt="   {           '}        '      '       '      '       ' 1-  uq r'+ @-X--  =  @-N--- @-M-- ,  @ L-=  @-Y--- @-Z- , V           @ t       @ j    @ z     @ t     @ z    @ j 1  {        @ Y '}   @ L'   @ N '   @ M '   @ Z'   @ X' --  uj r'+  ----- =  -----  -----,  -----=  -----  -----, V  {        @ t }    @ z    @ q      @ t    @ q     @ z 1-      '   @ Z'     @ M-'  @-L'    @-N-'   @ X'-  @-Y-' V   uz r +  @ t   =   @ q -  @ j ,   @ t =  @ j  -  @ q , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2049--><p class="nopar">
</p><!--l. 2053--><p class="noindent">wobei</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905100x.png" alt="     ux-  v     ----uxv--= uq ,     1-  --2-         V                     '      '      '     (        ) --(--uy----)-=  u ,  r'=  @-X--+  @ Y-+  @-Z- = b  1 - v-ux  r. b  1 - ux-v      j         @ q    @ j    @ z            V 2         V2      u --(---zu--v)-=  uz . b  1 - -x--         V2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2071--><p class="nopar"> <pb/>
</p><!--l. 2078--><p class="indent">

</p><!--l. 2079--><p class="noindent">Da -- wie aus dem Additionstheorem der Geschwindigkeiten <br/>(<span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>5) folgt -- der Vektor (<span
class="cmmi-12">u</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi8-18.png" alt="q" class="cmmi-8x-x-18" align="middle" /></span></sub><span
class="cmmi-12">, u</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi8-11.png" alt="j" class="cmmi-8x-x-11" align="middle" /></span></sub><span
class="cmmi-12">, u</span><sub ><span
class="cmmi-8"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi8-10.png" alt="z" class="cmmi-8x-x-10" align="middle" /></span></sub>) nichts anderes ist als <br/>die Geschwindigkeit der elektrischen Massen im System <span
class="cmmi-12">k </span>ge-<br/>messen, so ist damit gezeigt, daß unter Zugrundelegung unserer <br/>kinematischen Prinzipien die elektrodynamische Grundlage der <br/>Lorentzschen Theorie der Elektrodynamik bewegter Körper <br/>dem Relativitätsprinzip entspricht.
</p><!--l. 2089--><p class="indent">   Es möge noch kurz bemerkt werden, daß aus den ent-<br/>wickelten Gleichungen leicht der folgende wichtige Satz ge-<br/>folgert werden kann: Bewegt sich ein elektrisch geladener <br/>Körper beliebig im Raume und ändert sich hierbei seine
 <br/>Ladung nicht, von einem mit dem Körper bewegten Koordi-<br/>natensystem aus betrachtet, so bleibt seine Ladung auch --<br/>von dem ,,ruhenden&#8220; System <span
class="cmmi-12">K </span>aus betrachtet -- konstant.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 2099--><p class="noindent">
</p><!--l. 2100--><p class="noindent"><span
class="cmsy-10x-x-120">§ </span>10.  Dynamik des (langsam beschleunigten) Elektrons.</p></div>
<!--l. 2104--><p class="indent">   In einem elektromagnetischen Felde bewege sich ein punkt-<br/>förmiges, mit einer elektrischen Ladung <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-22.png" alt="e" class="12x-x-22" /> </span>versehenes Teilchen <br/>(im folgenden ,,Elektron&#8220; genannt), über dessen Bewegungs-<br/>gesetz wir nur folgendes annehmen:
</p><!--l. 2110--><p class="indent">   Ruht das Elektron in einer bestimmten Epoche, so erfolgt <br/>in dem nächsten Zeitteilchen die Bewegung des Elektrons nach <br/>den Gleichungen</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905101x.png" alt="   2 m d-x-=  eX   dt2    2 m d-y-=  eY   dt2    2 m d-z-=  eZ ,   dt2 " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2121--><p class="nopar">
</p><!--l. 2125--><p class="noindent">wobei <span
class="cmmi-12">x, y, z </span>die Koordinaten des Elektrons, <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-16.png" alt="m" class="cmmi-12x-x-16" align="middle" /> </span>die Masse <br/>des Elektrons bedeutet, sofern dasselbe langsam bewegt ist.
</p><!--l. 2129--><p class="indent">   Es besitze nun zweitens das Elektron in einer gewissen <br/>Zeitepoche die Geschwindigkeit <span
class="cmmi-12">v . </span>Wir suchen das Gesetz, <br/>nach welchem sich das Elektron im unmittelbar darauf folgen-<br/>den Zeitteilchen bewegt.
</p><!--l. 2134--><p class="indent">   Ohne die Allgemeinheit der Betrachtung zu beeinflussen, <br/>können und wollen wir annehmen, daß das Elektron in dem <br/>Momente, wo wir es ins Auge fassen, sich im Koordinaten-<br/><pb/>
</p><!--l. 2141--><p class="indent">

</p><!--l. 2142--><p class="noindent">sprung befinde und sich längs der <span
class="cmmi-12">X</span>-Achse des Systems <span
class="cmmi-12">K </span>mit <br/>der Geschwindigkeit <span
class="cmmi-12">v </span>bewege. Es ist dann einleuchtend, daß <br/>das Elektron im genannten Momente (<span
class="cmmi-12">t </span>= 0) relativ zu einem <br/>längs der <span
class="cmmi-12">X </span>- Achse mit der konstanten Geschwindigkeit <span
class="cmmi-12">v </span> <br/>parallelbewegten Koordinatensystem <span
class="cmmi-12">k</span>
ruht.
</p><!--l. 2149--><p class="indent">   Aus der oben gemachten Voraussetzung in Verbindung <br/>mit dem Relativitätsprinzip ist klar, daß sich das Elektron in <br/>der unmittelbar folgenden Zeit (für kleine Werte von <span
class="cmmi-12">t</span>) vom <br/>System <span
class="cmmi-12">k </span>aus betrachtet nach den Gleichungen bewegt:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905102x.png" alt="  d2-q       ' m d t2 = e X  ,
  d2-j      ' m d t2 = e Y ,
  d2-z      ' m d t2 = e Z , " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2162--><p class="nopar">
</p><!--l. 2166--><p class="noindent">wobei die Zeichen <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" />, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" />, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-10.png" alt="z" class="cmmi-12x-x-10" align="middle" />, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" />, X</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><span
class="cmmi-12">, Y </span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><span
class="cmmi-12">, Z</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>sich auf das System <span
class="cmmi-12">k </span> <br/>beziehen. Setzen wir noch fest, daß für <span
class="cmmi-12">t </span>= <span
class="cmmi-12">x </span>= <span
class="cmmi-12">y </span>= <span
class="cmmi-12">z </span>= 0 <br/><span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-1c.png" alt="t" class="12x-x-1c" /> </span>= <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> </span>= <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-11.png" alt="j" class="cmmi-12x-x-11" align="middle" /> </span>= <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-10.png" alt="z" class="cmmi-12x-x-10" align="middle" /> </span>= 0 sein soll, so gelten die Transformations-<br/>gleichungen der <span
class="cmsy-10x-x-120">§§ </span>3 und 6, so daß gilt:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905103x.png" alt="      (    -v-  ) t = b  t-  V 2 x  ,                           ' q = b(x - v t),          X  = X (,         ) j = y ,                 Y '= b   Y - -v N   ,                                (     V    )                           '          v- z = z,                  Z  = b  Z  + V M    . " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2189--><p class="nopar">
</p><!--l. 2193--><p class="indent">   Mit Hilfe dieser Gleichungen transformieren wir die obigen <br/>Bewegungsgleichungen vom System <span
class="cmmi-12">k </span>auf das System <span
class="cmmi-12">K </span>und <br/>erhalten:</p>
   <table width="100%"
class="equation"><tr><td><a
 id="x1-2r1"></a>

   <center class="math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905104x.png" alt="   d2x-   e--1-    d t2 = m b3 X,     2         (          ) {  d-y-=  e-1-  Y - -v N   ,    d t2   m b       V    d2z    e 1 (      v   )    ---2 = ----  Z + -- M   .    d t    m b       V " class="math-display"  /></center></td><td width="5%">(A)</td></tr></table>
<!--l. 2208--><p class="nopar">
</p><!--l. 2212--><p class="indent">   Wir fragen nun in Anlehnung an die übliche Betrachtungs-<br/>weise nach der ,,longitudinalen&#8220; und ,,transversalen&#8220; Masse <br/><pb/>
</p><!--l. 2218--><p class="indent">

</p><!--l. 2219--><p class="noindent">des bewegten Elektrons. Wir schreiben die Gleichungen (A) <br/>in der Form
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905105x.png" alt="      2 m b3 d-x- = eX  = e X',      d t2      d2y       (      v  ) m b2 ----=  eb  Y  - --N   =  eY ',      d t2            V    2 d2z       (     v    )      ' m b  ---2 = eb  Z  + --M    = eZ      d t             V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2232--><p class="nopar">
</p><!--l. 2236--><p class="noindent">und bemerken zunächst, daß <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-22.png" alt="e" class="12x-x-22" />X</span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><span
class="cmmi-12">, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-22.png" alt="e" class="12x-x-22" />Y </span><span
class="cmsy-10x-x-120">'</span><span
class="cmmi-12">, <img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-22.png" alt="e" class="12x-x-22" />Z</span><span
class="cmsy-10x-x-120">' </span>die Komponenten <br/>der auf das Elektron wirkenden ponderomotorischen Kraft sind, <br/>und zwar in einem in diesem Moment mit dem Elektron mit <br/>gleicher Geschwindigkeit wie dieses bewegten System betrachtet. <br/>(Diese Kraft könnte beispielsweise mit einer im letzten System <br/>ruhenden Federwage gemessen werden.) Wenn wir nun diese
 <br/>Kraft schlechtweg ,,die auf das Elektron wirkende Kraft&#8220; <br/>nennen und die Gleichung
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905106x.png" alt="Massenzahl  × Beschleunigungszahl =  Kraftzahl " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2250--><p class="nopar">
</p><!--l. 2254--><p class="noindent">aufrechterhalten, und wenn wir ferner festsetzen, daß die Be-<br/>schleunigungen im ruhenden System <span
class="cmmi-12">K </span>gemessen werden sollen, <br/>so erhalten wir aus obigen Gleichungen:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905107x.png" alt="                              m LongitudinaleMasse  =  ( V~ -----------)3-,                                (v  )2                            1 -   --                                  V                            m TransversaleMasse   =  ----(---)2 .                        1 -   v-                              V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2267--><p class="nopar">
</p><!--l. 2271--><p class="indent">   Natürlich würde man bei anderer Definition der Kraft <br/>und der Beschleunigung
andere Zahlen für die Massen erhalten; <br/>man ersieht daraus, daß man bei der Vergleichung ver-<br/>schiedener Theorien der Bewegung des Elektrons sehr vor-<br/>sichtig verfahren muß.
</p><!--l. 2277--><p class="indent">   Wir bemerken, daß diese Resultate über die Masse auch <br/>für die ponderabeln materiellen Punkte gilt; denn ein pon-<br/>derabler materieller Punkt kann durch Zufügen einer <span
class="cmti-12">beliebig </span> <br/><span
class="cmti-12">kleinen </span>elektrischen Ladung zu einem Elektron (in unserem
 <br/>Sinne) gemacht werden.
</p><!--l. 2284--><p class="indent">   Wir bestimmen die kinetische Energie des Elektrons. <br/>Bewegt sich ein Elektron vom Koordinatenursprung des Systems <br/><span
class="cmmi-12">K </span>aus mit der Anfangsgeschwindigkeit 0 beständig auf der <br/><pb/>
</p><!--l. 2291--><p class="indent">

</p><!--l. 2292--><p class="noindent"><span
class="cmmi-12">X</span>-Achse unter der Wirkung einer elektrostatischen Kraft <span
class="cmmi-12">X</span>, <br/>so ist klar, daß die dem elektrostatischen Felde entzogene <br/>Energie den Wert <span
class="cmex-10x-x-120"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmex10-c-52.png" alt=" integral " class="cmex-10-120x-x-52" align="middle" /></span>
  <span
class="cmmi-12"><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/cmmi12-22.png" alt="e" class="12x-x-22" />X dx</span> hat. Da das Elektron langsam <br/>beschleunigt sein soll und infolgedessen keine Energie in Form <br/>von Strahlung abgeben möge, so muß die dem elektrostatischen
 <br/>Felde entzogene Energie gleich der Bewegungsenergie <span
class="cmmi-12">W </span>des <br/>Elektrons gesetzt werden. Man erhält daher, indem man be-<br/>achtet, daß während des ganzen betrachteten Bewegungsvor-<br/>ganges die erste der Gleichungen (A) gilt:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905108x.png" alt="       integral            integral v                       3           2{  -----1-------   } W  =    e X d x =    b v dv =  mV      V~ ----(---)2-- 1   .                   0                     1 -   v-                                               V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2309--><p class="nopar">
</p><!--l. 2313--><p class="indent">   <span
class="cmmi-12">W </span>wird also für <span
class="cmmi-12">v </span>= <span
class="cmmi-12">V </span>unendlich groß. Überlicht-<br/>geschwindigkeiten haben -- wie bei unseren früheren Resultaten <br/>-- keine Existenzmöglichkeit.
</p><!--l. 2318--><p class="indent">   Auch dieser Ausdruck für die kinetische Energie muß dem <br/>oben angeführten Argument zufolge ebenso für ponderable <br/>Massen gelten.
</p><!--l. 2322--><p class="indent">   Wir wollen nun die aus dem Gleichungssystem (A) resul-<br/>tierenden, dem Experimente zugänglichen Eigenschaften der <br/>Bewegung des Elektrons aufzählen.
</p><!--l. 2326--><p class="indent">   1. Aus der zweiten Gleichung des Systems (A) folgt, daß <br/>eine elektrische Kraft
<span
class="cmmi-12">Y </span>und eine magnetische Kraft <span
class="cmmi-12">N </span>dann <br/>gleich stark ablenkend wirken auf ein mit der Geschwindigkeit <br/><span
class="cmmi-12">v </span>bewegtes Elektron, wenn <span
class="cmmi-12">Y </span>= <span
class="cmmi-12">N.</span><span
class="cmmi-12">v</span><img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905109x.png" alt="/"  class="left" align="middle" /> <span
class="cmmi-12">V </span>. Man ersieht also, daß <br/>die Ermittelung der Geschwindigkeit des Elektrons aus dem <br/>Verhältnis der magnetischen Ablenkbarkeit <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8">m</span></sub> und der elek-<br/>trischen Ablenkbarkeit <span
class="cmmi-12">A</span><sub ><span
class="cmmi-8">e</span></sub> nach unserer Theorie für beliebige <br/>Geschwindigkeiten möglich ist durch Anwendung des Gesetzes:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905110x.png" alt="A      v --m-=  --.  Ae    V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2341--><p class="nopar">
</p><!--l. 2345--><p class="indent">   Diese Beziehung ist der Prüfung durch das Experiment <br/>zugänglich, da die Geschwindigkeit des Elektrons auch direkt, <br/>z. B. mittels rasch oszillierender elektrischer und magnetischer <br/>Felder, gemessen werden kann.
</p><!--l. 2351--><p class="indent">   2. Aus der Ableitung für die kinetische Energie des <br/>Elektrons folgt, daß zwischen der durchlaufenen Potential-<br/><pb/>
</p><!--l. 2357--><p class="indent">

</p><!--l. 2358--><p class="noindent">differenz und der erlangten Geschwindigkeit <span
class="cmmi-12">v </span>des Elektrons <br/>die Beziehung gelten muß:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905111x.png" alt="      integral                {                 } P  =    X d x = m-V 2    V~ ---1-------- 1   .                 e             (v  )2                           1 -   --                                 V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2366--><p class="nopar">
</p><!--l. 2370--><p class="indent">   3. Wir berechnen den Krümmungsradius <span
class="cmmi-12">R </span>der Bahn, <br/>wenn eine senkrecht zur Geschwindigkeit des Elektrons wirkende <br/>magnetische Kraft <span
class="cmmi-12">N </span>(als einzige ablenkende Kraft) vorhanden <br/>ist. Aus der zweiten der Gleichungen (A) erhalten wir:
</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905112x.png" alt="                        V~ -----------   d2 y    v2   e  v           (v )2 - ---2 =  --=  ---- N .   1-   --    dt     R    m V             V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2381--><p class="nopar">
</p><!--l. 2385--><p class="noindent">oder</p>
   <center class="par-math-display" >
<img
src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Zurel_de_1905/fulltext/img/Einst_Zurel_de_1905113x.png" alt="                v         m       --        1 R = V 2 --. V~ ---V-------.---.         e        (v--)2  N               1-   V " class="par-math-display"  /></center>
<!--l. 2393--><p class="nopar">
</p><!--l. 2397--><p class="indent">   Diese drei Beziehungen sind ein vollständiger Ausdruck <br/>für die Gesetze, nach denen sich gemäß vorliegender Theorie <br/>das Elektron bewegen muß.
</p><!--l. 2403--><p class="indent">   Zum Schlusse bemerke ich, daß mir beim Arbeiten an <br/>dem hier behandelten Probleme mein Freund und Kollege <br/>M. Besso treu zur Seite stand und daß ich demselben manche <br/>wertvolle Anregung verdanke.
</p><!--l. 2411--><p class="indent">   Bern, Juni 1905.
</p>
<div class="center" >

<!--l. 2415--><p class="noindent">

</p><!--l. 2416--><p class="noindent">(Eingegangen 30. Juni 1905.)</p></div>
<div class="center" >

<!--l. 2420--><p class="noindent">
</p><!--l. 2421--><p class="noindent">----------</p></div>

</body></html>
author	Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de>
date	Wed, 30 Jul 2014 15:58:21 +0200
parents	22d6a63640c6
children