Mercurial > hg > mpdl-xml-content
view texts/archimedesOldCVSRepository/archimedes/raw/baldi_mecha_01_la_1621.raw @ 29:90b1eda1b0a9
Some new special instructions
| author | Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de> |
|---|---|
| date | Fri, 02 Dec 2016 14:37:22 +0100 |
| parents | 22d6a63640c6 |
| children |
line wrap: on
line source
<pb> <pb id="p.0002"> <HEAD>BERNARDINI</HEAD> <HEAD>BALDI VRBINATIS GVASTALLÆ AB- BATIS <I>IN</I></HEAD> <HEAD>MECHANICA ARISTOTE LIS PROBLEMATA EXER CITATIONES:</HEAD> <HEAD><I>ADIECTA SVCCINCTA NAR- ratione de autoris vita & $criptis.</I></HEAD> <fig> <HEAD><I><*>NTIAE.</I></HEAD> <HEAD>Typis & Sumptibus Viduæ Ioannis Albini.</HEAD> <HEAD><*></HEAD> <pb> <fig> <HEAD><I>NOBILISSIMO AC GENE- ROSO DOMINO</I></HEAD> <HEAD>D. ADAMO PHILIP- PO BARONI A CRON- BERG, EQVITI, SACRÆ CÆSA- REÆ MAIESTATIS, ET SERENISSIMI</HEAD> <HEAD>Principis Archiducis Alberti Camerario intimo & c. Domino meo gratio$i$$imo.</HEAD> <p>Opportune $ub hoc ip$um tem- pus, quo in Belgium ad Scre- ni$$imos Principes iter ador- nat. Nobili$$ima & Genero$a Dom. V.^{ra}, prodit no$tris for- mis in publicum editus Com- mentarius Bernardini Baldi Vrbinatis Gua- $tallæ Abbatis in Ari$totelis Mechanica. Is virin omni $cientiæ genere, at maxime inMa- thematicis di$ciplinis fuit ver$ati$$imus, quod multa ab eo præclare $crip ta te$tantur opera, ex quibus paucula edita, reliqua vero $pera- <foot>):( 2</foot> <pb> mus $uo temporein publicam luce<*> produ- cenda. Cum vero nemini$it ob$curum Nobi- li$$imæ ac Genero$æ Dom. V.^{ræ} id $emper extiti$$e familiari$$imum, vttum dome$ticum otium, tum maxime peregtinationes, quibus totam pæne Europam $umma cum laude circum$crip$it, tum variarum linguarum per- fecto v$u, tum Mathematicarum di$ciplina- rum notitia & exercitio redderet iucũdiores, nulla me tenet dubitatio quin & Baldum Vr- binatem no$tris typis loquentem in hoc iti- nere, quod à Deo felici$$imum Nobili$$imæ acGenero$æ Dom. V.^{ræ} precor, in $uum comi- tatum ac tutelam beneuolo animo $it admi$- $ura. Id rogo humillime $imulque precor, vt. hanc meam typographiam plurimis iam re- tro annis de inclytæ familiæ Cronbergicæ tu- tela gloriantem, $uo fauore pro$equatur, vi- duæque afflictæ fortunis beneuole ad$piret. Sic Deus Nobili$$. & Genero$am Dom. V.^{ram} illu$tret omnibus bonis, eamque R.^{mo} & Ill.^{mo} Principiac Domino meo Clementi$$imo, D. Ioanni Suicardo Archiepi$copo Mogunti- no Principi Electori ac per <I>G</I>ermaniam Ar- <pb> chicancellario &c. patruo $uo optati$$imo $aluo florentique redhibeat $aluum $imili- ter florentem ac incolumem. Moguntiæ è typographeio Viduæ Albinianæ, honori No- bili$$imæ ac <I>G</I>enero$æ Dom. Ve$træ perpe- tuum dicato. Anno 1621.26.Martij. <foot>):( 3</foot> <pb> <fig> <HEAD>PRAEFATIO.</HEAD> <p><I>Diligenter legenti mihi quæ$tiones il- las, in quibus ea quæ ad Mecha- nicam facultatem pertinent, expli- cantur, multa in mentem venie- bant; & primum quidem eorum, quæibi di<G>c</G>pu- tantur, vtilitatem, $ubtilitatem, copiam admi- rabar: Tum ex animo dolebam, aureum hunc li- bellum propènegligi, & ab iis qui pulcherrimis hi$ce $tudiis dant operam, a<02>iduè præ manibus non haberi: Multas autem Auctoriip$ihaben- das referendas<26> e$$e gratias, qui tam egregiam, vtilem & probèin$tructam $upellectilem Archi- tectis, Mechanicis, & omnibus ferè Artificibus $uppeditauerit. Ari$toetlis nomini a$cribitur Commentarius, licet nonnulli, $itne Philo$ophi illius præclari<02>imi & acuti<02>imilabor, an non, adfirmare $ubdubitauerint. Ari$totelis tamen e$$e omnes ferè meliores con$entiunt: <*>dquetum ex phra$i, & explicatione, quæ Ari$totelem $a- piunt, tum iudicio $ubtilitatis & rationum, qui- <pb> bus quæ$tiones ip$æ ingenio$i<02>imè diluuntur. Vi- detur autem mihi, rem accuratius exploranti, $a- tis veri$imile (nullum enim habeo opinionis hu- ius a$$ertorem,) $ectionem e$$e hanc, & partem quandam eius operis nobili<02>imi, quod idem au- ctor De Problematibus edidit, & hanc, ne$cio quam ob cau$am; ni$i fortè quod tractatio merè Phy$icanon$it, àreliquo corpore di$tractam at- que reuul$am. Jd certè quod ad rem facit, probè nouimus, Diogenem Laërtium inter cætera Ari- $totelici ingenij monumenta Mechanica quoque adnumera$$e. Quibus con$ideratis magnopere $ubit mirari, cur ij qui po$t Ari$totelem floruêre at<16> vixere, Mechanici, Archimedes, Athenæus, Heron, Pappus, & cæteri, nullam huius libelli fe- cerint commemorationem: & $anè debuerunt; ne<26> enim à vero est di<02>imile, ip$os per hunc ali- quatenus profeci$$e. Verum enimuero cum inge- nuiilli fuerint homines, & nullatenus obtrecta- tores, credendum potius est, Comment ariolum i- $tud, eorum æuo, paucis cognitum, alicubi in Bi- bliothecis latui$$e: etenim cætera quo<16> Ari$tote- lis $cripta, po$t vetu$tailla tempora, ante Ale- xandrum Aphrodi$ien$em, àmultis fui$$e igno- <pb> rata non dubitamus. Habemus $iquidem, Stra- bone te$te, lib. 13. Ari$totelis, & Theophra$ti bi- bliothecam, po$t ip$ius Theophra$ti dece$$um, ad Neleum quendam Scep$ium, Cori$cifilium, qui eius fuerat auditor, perueni$$e; po$t hæc libros, blattis olim, & humore corruptos, Apelliconi Te- io venditos, & ab eo Athenas translatos, tum Athenis captis in Syllæ pote$tatem deacni$$e, eo$- que tandem à Sylla acceptos, Tyrannionem Grammaticum, vt potuit meliùs emendatos, promulga$$e. Exquibus colligimus, mirum non e$$e, Archimedi, Heroni, & alijs qui ante Syllam vixêre, fui$$e incognitos. quicquid$it, illud cer- tumest, Ari$totelem eorum omnium quide Me- chanicis commentaria edidere, e$$e longè vetu- $ti<02>imum. Pappus enim Heroneiunior, Athe- næus Archimediæqualis, vter<16> enim $ub Mar- cello, cui Athenæus $uum de bellicis Machinis libellū dedicauit. Archimedes verò circa CXL. Olympiadem floruit, quamobrem po$t Ari$tote- lem Olympiadas XL. hoc est, annos ferè CLX. I$thæc autem con$iderantibus, facile e$t cogno$ce- refacultatis huius nobilitatem, at<16> dignit atem; quippe quod $ummus Philo$ophus non modo eam <pb> probauerit, $cd etiam $uis acuti<02>imis lucubra- tionibus illu$trauerit. Hanc porro tractationem $ubiecto quidem Phy$icam e$$e, demon$tratio- nibus verò Geometricam, ip$emet nos docuit Ari$toteles, cuius etiam naturæ $unt Per$pecti- ua, Specularia, Mu$ica, & cæteræ eiu$dem modifacultates, quas quidem $ubalternas Peri- patetici appellant. Vitruuius Architecturæ membrum, vt ita dicam, & portionem quan- dam facit, ait enim Architecturæ partes e$$e tres, Ædificationem, Gnomonicam, Machinatio- nem. Estautem Architectur â quideminferior, paret enim Architecto Mechanicus; attamen $i cæteras artes $pectes, Architectonica; hæc enim omnesferè $edentariæ, $ellulariæue, quas banau- $as Græci appellant, ordine $ubijciuntur, & $a- nè lati<02>imos i$ihæc habetfines; præcipuè autem circa eam ver$atur cognitionem, eamque inter cæterasferè principem, quam dixere Centrobari- cam, quæ quidem ad Centri grauitatem, eiu$que $peculationem pertinet: quà in $pecie inter vete- res primum $ibi vindicauit locum Archimedes, mox Heron, deinde Pappus; inter neotericos au-</I> <foot><I>):():(</I></foot> <pb> <I>tem Commandinus, qui librum de Centro gra- uitatis $olidorum $crip$it, & po$t eum G. Vbal- dus è Marchion. Montis, qui non modò ab- $oluti<02>imum Mechanicorum librum cum maxi- maingenij $ui laude con$crip$it, $ed & Paraphra- $in in librum Æqueponderantium Archimedis egregiè concinnauit Centrobaricam hanc, igno- tam fui$$e Ari$toteli, $ætis patet. nunquam enim in Mechanicis demon$trationibus, quod tamen est poti<02>imum, grauitatis centrum nominat, e- iu$ue naturam atque vim $peculatur. Diuidi- tur autem Mechanice tota, te$te Herone apud Pappum libro octauo, in Rationalem, hoc est, Theoricam & Chirurgicam, id est, manu ope- ratricem, quam Praxim aptè dicere valemus. Rationalis, $peculationi & demō$trationibus, ex Geometricis, Arithmeticis & Phy$icis rationi- bus, dat operam; Chirurgica vero materiam tractat, & $e$ein varias artes diffundit, Æræ- riam, Lignariam, Sculptoriam, Pictoriam, Æ- dificatoriam, Machinariam & Thaumaturgi- cam, cæterasque eiu$modi. Machinatoriæ au- tem $unt partes Manganaria, qua ingentiæ</I> <pb> <I>transferuntur pondera, tum ip$a Poliorcetica, quæ bellicas Machinas ad vrbium expugnatio- nes, quod velip$o nomine profitetur, ædificat. At- qui hac dere plura $cribere $uper$edemus, ne a- ctum agamus: quis quis enim minutè magis hæc cogno$cere de$iderat, is Pappum adeat libro cita- to, & Guidum Vbaldumin Præfatione quam $uo Mechanicorum Operi præpo$uit. Vt autem ad Ari$totelis, de quo egimus, libellum reuerta- mur, pauci $unt qui ei ante nos $tilum & operam commodauerint: Leonicenus Latinum fecit & figuris tum breui<02>imis, & parui $ane ponderis, marginalibus adnotatiunculis, in$truxit. Po$t hunc Alexander Picolomineus luculenti<02>ima Paræphra$i illu$trauit. Modo, vt audio, Simon Sticinus Hollanden$is quædam edidit, quæ ad nos minime peruenêre. Nos demum, omnium, tum $cientia, & ingenio, tum ætate, po$tremi huic operi manum admouimus; Con$iderantes enim Ari$totelem æly<*>s principijs v$um, ac probati<02>i- mipo$t eum fecerint Mechanici, demon$tra$$e, morem huiu$ce facultatis $tudio$is ge$turos nos fore arbitrati$umus, $i ea$dem illas quæ$tiones</I> <foot>):():( 2</foot> <pb> <I>Mechanicis, hocest, Archimedeis probationi- bus confirmaremus; dum per lati<02>imos faculta- tis huius campos vægantes, alias quoque i$tis af- fines dubitationes introducentes $olueremus. quicquidautē$ecerimus profecerimu$ue, Lector optime, boni con$ule, & quia fax per manus tra- ditur, tu interim de me accipe, vt alijs tradas.</I> <pb> <HEAD>DE VITA ET SCRI- PTIS BERNARDINI BALDI VRBINATIS</HEAD> <HEAD><I>EX LITERIS FABRITII SCHAR- loncini ad Illu$tri<02>imum & Reuerendi<02>imum Dominum Lælium Ruinum Epi$copum Bal- neoregien$em ex-Nuntium Apo$tolicum ad Poloniæ Regem & c.</I></HEAD> <p>Natus e$t Bern. Baldus Vrbini nobilibus pa- rētibus po$tridie Non. Iunij anno MDLIII. Genus traxit, quod me $æpè ab eomemini audire, à familia Cantagallina, quæ inter Peru$inas illu$tris: hocautem cognomen, Baldiaccepto, vtin varietate temporum fit, Abauus reliquit, à teneris vnguiculis pietatē erga Deum præ$etulit; nam vt mater eius narrabat, $anctorum imagi- nes & Altariola non cum lætitia $olum, $ed cum venera- tione anniculus intuebatur. Præceptoribus in adole$cen- tia v$us fuit laudati$$imis Io. And. Palatio, & Io. Antonio Turoneo, qui altero doctior, & Paulo Manutio maxime carus ob latinæ & græcæ linguæ peritiam propè $ingula- rem: adillorum autem $edulitatem tantum animi ardo- rem attulit, tantam ingenij aciudicij vim, vt non tantum æqualis $ed omnium vicerit expectationem. Puer adhuc Aratiapparitiones Italico carmmered didit. Parens hac filij laude & gloria motus anno 1573. eum ad maiorem in- genij cultum cape$$endum Patauium mi$it. Hîcin Ema- nuelis Margunij familiaritatem $tatim venit, cui porro <foot>):():( 3</foot> <pb> fuit in amotibus. Homeri Iliad. illo Doctore & interpre- te diligentius quam feci$$et antea, euoluit. priuato autem $tudio Anacreonti, Pindaro, Æ$chyli, Euripidi, Sophocli operam dedit, $ed præ cæteris Thcocriti Bucolica triuit, ad quod $criptionis genus natura magis ferri videbatur: centenos græci alicuius poëtæver$us memoriter tenebat, $æpeque habebat in ore, in oratoribus græcis ver$andis laborem $ealiquem $entire, in poëtis nullum. Scrip$it Pa- tauij libellum de Tormentis Bellicis, & eoruminuentori- bus, & cum in Tran$alpinorum amicitias incidi$$et, $ibi ducebat dedecori ip$os $ua lingua loquentes non intelli- gere. quare incredibili celeritate Gallicam & Germani- cam didicit. Pe$tilentia ex co Gymna$io exactus in Pa- triam redijt, vbi quin quennium integrum Federico Cō- mandino affixus omnes Mathe$eos partes perdidicit, cui viro in delinean dis figuris ad Euclidis, Pappi, & Heronis monumenta manum commodauit: ex eiu$dem obitu do- lorem vix con$olabilem $u$tinuit, $u$ceptoque eius vitam $cribendi con$ilio, $ubinde ad omnium Mathematicorum vitas con$cribendas animum adplicuit, quod & duode- cim annorum $patio præ$titit felici$$imè. cum vero Ma- thematicarum di$ciplinarum amore torqueretur, ami$$o Commandino Præceptore, amicum nactus fuit præ$tan- ti$$imum & $ymmy$tam Guidum Vbaldum è Marchioni- bus Montis, in cuius $e con$uetudinem daret: quantum profeci$$et, o$tendunt ij commentarij quos anno 1582. in Ari$t. Mechanica $crip$it. Vt po$tea à grauioribus $tudijs ad amœniora animum abduceret, de re nautica poëma I- talicè <*>onfecit. quo ab$oluto Paradoxa multa Mathema- tica explicauit. Fama de Baldi virtutibus di$$ipata Ferran- dus Gonzaga Molfetræ Princeps & Gua$tallæ Dominus cœpit deillo in $uam familiam a$ci$cendo cogitare, vt qui ij$dem caperetur artibus, quibus excellere Baldus inci- <pb> piebat: Itaque opera Curtij Arditij honorifice fuit in au- lam euocatus, dum vitam non aulicam viueret totus in litteras abditus precibus Ve$pa$iani Gonzagæ Sablonetæ Ducis ad explanandos Vitruuij libros adactus fuit. quare tūc natus de Verborū Vitruuianorum $ignificatione com- mentarius; in quo minime miran dum $i minuta quæ dam pro$equutus fuit, quæ viro magno minus e$$e digna vi- deantur:illi enim Principi morem ge$$it. $cio dixi$$e ali- quando Adrianum Romanum è Polonia reuer$um, vbi Vitruuium Palatino cuidam explicauerat, $i commen- tarium Baldi in Polonia adhibere potui$$em, aurum quod mecum attuli emunxi$$em, quia $atis feci$$em muneri la- borenullo. Cum Ferrando hero $uo obueni$$et nece$$i- tas Hi$panias adeundi, illud iter $ine Baldo facere $e po$- $e non putabat, non tam vt haberet, qui erudito cloquio viæ tæ dium leuaret, quam cui po$$et arcana committere, atque adeo à quo iuuaretur con$ilio. Vix viæ $e dederant cum Baldus grauem in morbum delap$us itinere cogitur de$i$tere: Mediolanum proinde diuertit, vbi à S. Carolo Borromæo & benignè exceptus, & tamdiu detentus do- necvaletudinem recuperaret. Gua$tallam po$tea $e re- cepit, vbi cum ab$ente Domino liberiori otio fruerctur, libros $ex de Aula eruditi$$imos methodo analytica con- $crip$it. alios non commemoro, quod cum otium erit, o- mnium $yllabum dabo. Anno 1586. ip$o nihil po$tulante eligitur Gua$tallæ Abbas, à quo tempore Iuri Can. Con- cilijs, & SS.Patribustotum $e dedit. Hebreæ & Chaldææ linguarum di$cendarum triennium po$uit. Anno 1593. no- uæ Gnomonices libros quinque compo$uit. in$equenti Chaldæam Onkeli paraphra$in in Pentateuchum vertit & commentarios adiunxit; quo exantlato labore in Iob ex Heb. fonte paraphra$in texuit, quam & $cholijs illu- $trauit. Tabulam Etru$cam Eugubinam interptetatus <pb> fuit:in ca autem diuinatione, vt aiebat, $ubci$iuas vnius men$is horas con$ump$it. De Firmamento & aquis egre- gic $crip$it. Oeconomiam Tropologicam in S.Matthæum Card. Baronius, qui non alia Baldi vidit, vehementer pro- babat. Romæ dum viueret, fere ne$ciuit quid gereretur in Aulis: Arabicæ enim linguæ cum Io. Bapti$ta Raimon- do diligenti$$ime $tuduit, & arcana indu$tria Slauonicæ, quam perfecte callebat. Ex Arabico vertit Hortum Geo- graphicum Anonymi, quem ante $excentos annos flo- rui$$e arbitrabatur. Hunc vero extru$i$$et, vtalios Baldi libros, Marcus Vel$erus IIvir Aug. $i eo paulo longior huius lucis v$ura contigi$$et. Compo$uit & Dictionarium Arabicum. atque cum beati$$imam illam vbertatem in- genij a$$idue diffundi nece$$e e$$et, anno 1603. orbem vni- uer$um de$eribere aggre$$us fuit; atque ita quidem, vt tam quæ ad Hi$toriam, quam quæ ad Geographiam per- tinerent complecteretur: Neque illu$trare $olum voluit quæ nouerunt antiqui, quemadmodum vi$um Ortelio, $ed vel oppidula omnia & pagos, de quibus aliquain po- $tremis $criptoribus mentio. & profecto totum opus ad vmbilicum perduxit: non dige$$it tamen vniuer$um. qua- tuor aut ni fallor quinque tantum Tomi fuerunt ordine Alphabetico di$po$iti:$upere$$ent $eptem aut octo di$po- nendi, quantum ex chartarum & fa$ciculorum mo<*>e con- ijcere licet. Anno 1617. quarto Idus Octob. po$teaquam dies 40. vehementi de$tillatione vexatus fui$$et, $piritum Deo reddidit Sacramentis Eccle$iæ omnibus rite muni- tus. Statura procerus fuit, facie oblonga & acribus oculis, colore $ubfu$co. Membrorum ei fuit decens habitudo, & compactum corpus. Diebus fe$tis omnlbus $acrum facie- bat, ieiunabat bis in hebdomada, eleemo$yni$que paupe- res $ubleuabat. In$tudijs $ica$$iduus fuit, vt $æpe & legeret & comederet. S.Augu$tinilibros de Ciuitate Dei ter in- <pb> ter prandium euoluit. Statim à noctis meridie dum ei vi- res firmiores e$$ent ad lucubrandum $urgebat. à prandio Euclidem Arabice editum, vel libellum aliquem germa- nicum aut gallicum in manus $umebat. Suauitate morum & mode$tia, etiam $i ceteræ dotes abfui$$ent, quemlibet ad amorem $ui allicere potui$$et. Sermo modicus ei fuit, itemque cultus. Nullos vnquam honores petijt, qui à Clem. 8. ampli$$imi promi$$i fuerant; nullum emolumen- tum quæ$iuit $uo ceniu contentus. facile parcendum e$$e dicebat, ijs maxime qui in re leui impegi$$ent, quoniam $i quos cen$emus optimos, nudos con$piceremus, nullum eorum non iudicaremus multis dignum verberibus. Bi- bliothecam habuit non locupletem, $ed $electis in$tructã codicibus. Verum ire per $ingula longum e$$et. Satis mihi de incomparabili Baldi doctrina, & $umma innocentia, ô rarum connubium, pauca dixi$$e, quæ for$itan ad imitan- dum nimis multa. <HEAD>SYLLABVS LIBRORVM</HEAD> <HEAD>omnium B.Abb.Baldi.</HEAD> <p>Arati apparitiones è gr.in Ital. vertit. <p>De Tormentis Bellicis & eorum Inuentoribus lib. <p>Heronis automata vertit. <p>Vitas omnium Mathematicorum $crip$it, & trib. in Tom. 2.1.P^{s}.à Thalete ad Chri$tum.2.àChri$toad $ua tem- pora. <p>Earumdem vitarum Epitomen Chronologicum confecit. <p>In Ari$tot. Mechan. Commentar. <p>De Renautica Poëmation. <p>Paradoxorum Mathematicorum liber. <p>De$criptio Palatij Ducum Vrbinarum quod e$t Vrbini. <p>Poema cui titulus, Lamus. <foot>):():():(</foot> <pb> <p>Carmina pia, quæ in$cribuntur, Anni Corona. <p>De Verborum Vitruuianorum $ignificatione. <p>Carmina varia & eclogæ mixtæ. <p>Apologi centum, quos $crip$it æmulatus Leonem Bapt. Albertum. <p>De Humanitate Dialogus qui in$cribitur Go$elinus. <p>Compatatio Vitæ Mona$ticæ cum $eculari. <p>De Aula libri $ex. <p>De felicitate Principis Dialogus. <p>De Dignitate Dial. <p>Carmina Romana. <p>Mo$æi fabulam vertit. <p>De Italici carminis natura Dial. qui in$cribitur Ta$$us. <p>De vniuer$ali Diluuio poemation. <p>Nouæ Gnomonices lib. quin que. <p>Hieremiæ Threnos vertit, & ex Heb. fonte annotat. ad- iecit. <p>Poemation in$eriptum, Deiphobe, quod $erip$it æmula- tus Lycophonem in Ca$$andra. <p>Scala cœle$tis.1.Sermones pij & carmina. <p>Onkeli paraphra$in Chaldæam in Pentateuchum ver- tit & vberes commentarios adiecit. <p>In Iob Paraphra$is latina ex fonte Heb. additis Scholijs. <p>De $camillis imparibus Vitruuij. <p>De firmamento & aquis. <p>Quincti Calabri Paralipomena vertit. <p>Tabulæ Etru$cæ Eugubinæ Interpretatio. <p>Oeconomía Tropologicain S.Matthæum. <p>Vrbini encomium. <p>Horti geographici ex Arab. ver$io. <p>Aduer$us Aulam Carmina. <p>Luciani de mi$erijs.Aulicorum ver$io. <p>Oratio ad Romæ con$eruatores pro antiquitatum eius Vrbis cu$todia. <pb> <p>Vniuer$i orbis geographica & Hi$torica de$criptio con- texta ex $eptingentis & eo amplius $criptoribus. <p>Fede ici Vrbini Ducis Vita. <p>Guidi Vbaldi Vibini Ducis Vita. <p>Epigrammaton & Odarum libritres. <p>Aliorum Carminum liber. <p>Sententiarum moralium liber. <p>Dictionarium Arabicum. <p>Pro Procopio contra Flauium Blondum. <p>Horographium vniucr$ale. <p>Epigrammata alia. <p>Heronis lib. de Balli$tis conuer$io. <p>Exercitationes in Ari$totelis Mechan. <p>Templi Ezechielis noua de$criptio. <p>Antiquitatum Gua$tallen$ium liber. <p>Hi$toriæ $cribendæ leges. <p>Etalia quædam. <p n=>1</p> <fig> <HEAD>IN MECHANICA ARISTOTE- LIS PROBLEMATA</HEAD> <HEAD>EXER CITATIONES.</HEAD> <HEAD><I>Mechanices de$criptio, natura, finis.</I></HEAD> <p>MECHANICE, facultas quædam e$t, quæ naturalimateriâ, Geometricis<13>; demon- $trationibus v$a, ex centrobaricâ, & eorū quæ ad vectem & libram rediguntur, $pe- culatione; humanæ con$ulens nece$$itati, commoditati<13>ue, $uapte vi, Naturam i- p$am vel $ecundans, vel $uperans, varia, ca<13>ue mirabilia operatur. Hac diffinitione de$criptionéue brcuiter ca fe- rè omnia complexi $umus, quæ fu$i$$imè ab Ari$totele, Pappo, Guido Vbaldo, & alijs hac de re tradita fuêre. <HEAD><I>Mechanices Obiectum.</I></HEAD> <p>Con$ideratautem Mechanicus Graue & Leue. <p>Graue duplex, Naturâ, Violentiâ. <p>Graue Naturâ dicitur, quod in$ita propen$ione in centrum mundifertnr. Graue autem Violentiâ, quod im- pre$$o extrin$ecus pondere ab impellente pellitur. <p>Leue contrà, quòd Naturâ à centro fertur. <p>Gæterùm quicquid graue e$t, $ecundum punctum e$t, quod Grauitatis centrum dicitur, & hoc duplex, vt duplex e$t grauitas, Naturæ, Violentiæ. <foot>A</foot> <p n=>2</p> <p>Grauitatis centrum in triplici magnitudine con$i- deraripote$t, lineari, planà, $olidâ. <p>De centro grauitatis linearum nemo $crip$it, $impli- ci$$imi enim illud e$t contemplationis. <p>De centro grauitatis linearum egregiè tractauit Ar- chimedes in libro Æ queponderantium, & de quadratu- ra Parabole, tum in co quem de his quæ vehuntur in- $crip$it. <p>De centro grauitatis $olidorum ipíemet olim $cri- p$erat Archimedes, $ed ea quæ protulit, temporis iniuriâ deperdita, fuâ diligentiâ re$tituit Iedericus Commandi- nus. <p>E$$e autem & Leuitatis centrum in rerum natura, palam e$t. Punctum enim illud e$t, $ecundum quod lcuia rectà à centro $ur$um feruntur. Huius autem non memi- nêre Mechanici, propterea quod aut nihil, aut parum ad eorum rem faciat. <p>Porro Grauitatis centrum ita definit Heron, & qui ab Herone Pappus 1.8. Collectionum Mathematicarum. <p>Centrum grauitatis vniu$cuiu$q; corporis e$t pun- ctum quod dam intra po$itum, à quo $i graue, mente ap- pen$um concipiatur, dum fertur, quie$cit, & $eruat eam quam in prin cipio habuit po$itionem; neque in ip$a latio- ne circumuertitur. Commandinus verò in lib. de centro grauitatis $olidorum hoc pacto: Centrum grauitatis v- niu$cuiu$que $olidæ figuræ, e$t punctum illud intra po$i- tum, circa quod vndique partes æqualium momentorum ad$i$tunt. Sienim per tale centrum ducatur planum, fi- guram quomodolibet $ecans, in partes æ què ponderantes eam diuidit. Nos verò quàm breui$$imè dicimus: Centrū grauitatis, vniu$cuiu$q; magnitudinis punctum e$$e intra extraue magnitudinem po$itum, per quod $i plano linea punctoue diuidatur, in partes $ecatur æqueponderantes. <p n=>3</p> <fig> <p>Diximus, Magnitudinis vtlineæ, plani $olidi<13>; cen- trum complecteremur. Eritigitur, vt in præ$enti figura, li- neæ quidem centrum A, plani B, $olidi verò C. quod $i ob- ijciat qui$piam, lineam & $uperficiem nullam habere gra- uitatem; is $ciat, neq; corpora Mathematica grauitatem habere, Mechanicum verò funes, ha$tas, vectes pro lineis $umere; tabulas verò, & eiu$modi plana ad $uperficierum naturam referre. <p>Diximus in$uper, intra extraue. Aliquando enim grauitatis centrum extra molem corporis cuius corporis centrum e$t, cadit, vtin $equenti figura. <fig> <p>E$to corpus aliquod $uperficiesue ABCDE, ducatur linea CF, diuidēs figuras in partes hinc inde æqueponderantes ABC, EDC. Ducatur & GH. diuídens item in partes æ- queponderantes GCH, & GAB, EDH. $ecentautem $eip$as in I. eritigitur centrum I extra figuræ terminos & molemip$am. Attamen licet hoc verum $it, intra e$$e dici pote$t, quippe quod imaginario quodam, & vtita dicam, virtuali ambitu ACDA contineatur. <p>Dicebamus, duplex e$$e grauitatis centrum, Natu- <foot>A 2</foot> <p n=>4</p> râ, Violentià: a$firmamus modò, hæc re quidem vnum e$- $e, & ratione $olum, non autem reip$a ac$i duo e$$ent con- $iderari. <fig> <p>E$to enim grauitatis na- turalis centrum B, corporis A, $ecundum quod dimi$$um, $ua- pte naturâ cadet in C, $i verò corpus violenter impellatur in D, aiiud acquiret centrum gra- uitatis ex violentia $ecundum quam fertur, motum, in D, idē autem $untre, nempe vnum B, duo autem $i violentia & natura $eor$um con$ideren- tur. <p>Hæc centra, duo motus $equuntur, rectus vterque, Naturalis videlicet, & Violentus. Tertius ex his mixtus, & is quidem non rectus, $ed curuus. <fig> <p>Proijciatur enim violen- ter corpus graue A $uperante igitur violentia, rectà feretur in B; ea autem elangue$cente paullatim per curuam & mi- xtam lineã $ecetur in C, qua- tenus enim ad anteriora fer- tur, violentia e$t; quatenus ve- rò ad inferiores partes, naturæ. Vbi verò peruenit in C, violentiâ ce$$ante, naturâ verò manente, rectà deor$um fertur DCD. <p>Cæteiùm hæc centra, hi<13>ue motus, naturalis nem- pe, & violentus diuer$imode $e habent adinuicem. Sie- nim graue corpus externâ vi adhibita, centrum mundi ver$us impellatur, adiuuabunt $e inuicem Natura, Vio- lentia, Si autem contra, altera alteri re$i$ter, in motibus <p n=>5</p> autem ad latus, eo magis pugnabunt, quo magis ab infe- rioribus ad $uperiora fiet motus. <HEAD><I>Mechanices præcipua in$trumenta.</I></HEAD> <p>Hic ira con$titutis dicimus, in$trumenta, quibusad varias operationes Mechanici vtuntur, e$$e inter $e qui- dem diuer$a, multiplicia, & $i varietatem $pectes, penè in- numerabilia; quod quamuis verum$it, ea omnia Ari$tote- les ad vectem re ducit, & libram: quod etiam G. Vbaldus in libris Mechanicoiumfecit. Cæterum qui po$t Ari$to- telem floruere Mechanici, omnia ad quinque, quas ap- pellant, Potentias, redegêre. Sunt autem ex Herone, Pap- po, Guido Vbaldo, qui eos $ecutus e$t, Vectis, Trochlea, Axis in Peritrochio, Cuneus, Cochlèa. Videtur autemi- p$e G. Vbaldus $extam addere, nempe Libram, de qua & primus ip$e Mechanicorum tractatum in $tituit. Verum enimuero idem ferè $unt Vectis & Libra, ni$i forte quod Libra tunc dicitur, cum brachia $unt æ qualia. Vectis vero quomodocun que ea $e habeant; quinque harum Poten- tiarū imagines ita ob oculos ponimus. Vectis A. Trochlea B, Axisin Peritrochio C. Cuneus D. Cochlea vero E. <foot>A 3</foot> <p n=>6</p> <fig> <p>Porro, Cuneum ad libram reducere conatur Ari- $toteles, quod facit & G. Vbaldus, qui cò refert & Co- chleam, quippe quod nihil aliud $it Cochlea, quàm Cu- neus Cylindro inuolutus. Nos autem duas tantùm Po- tentias ad vectem reduci po$$e arbitramur, Trochleam nempe, & Axem in Peritrochio. Nequaquam autem Cu- neum & Cochleam. quod latiùs quidem o$tendemus, cùm de Cuneo eritnobis $ermo peculiaris. <HEAD><I>De Vecte & Libra $ecundum Ari- $totelem.</I></HEAD> <p>Ari$toteles in ip$o Mechanicorum ingre$$uita $cri- bit, Mirum videri ab exigua virtute magnum pondus mo- <p n=>7</p> ueri, addito nimirum ponderi pondere, $iquidem & vectis e$t pondus. Duplex ergo illi admiratio, $cilicet quòd exi- gua potentia moucat ingens pondus, id<13>ue etiam addito vectis ip$ius pondere, fiat. Hoc $ecundum adieci$$e vide- tur, amplificationis alicuius gratiâ. Erenim quatenus ad rem pertinet, $i mouendis ponderibus vectis ip$ius pondus compares, nullius ferè e$$e momenti proculdu- bio affirmaueris. Sed & illud quoque notandum, aliquan- do vectis pondus mouenti auxilium ferre, quod fit vbi fulcimento inter potentiam mouentem, & pondus ip$um collocato, vectis pars quæ à fulcimento ad potentiam e$t, premitur. Tunc enim, vt dicebamus, vectis pondere $uo potentiam adiuuat. Contra verò accidit, cum pondus i- p$um inter fulcimentum e$t & potentiam vel potentia i- p$a inter fulcimentum & pondus. tunc cnim vectis vnâ cum pondere attollitur. quæ licet vera $int, non tamen in- de $e quitur, vectis pondus, quicquam quod curandum $it, in operatione efficere, aut impedire. <p>Porrò vectem ita finire po$$umus, longitudinem e$- $e quandam inflexibilem, quæ fulcimento dato, datâ po- tentiâ datum pondus mouetur. <p>Ip$a quoque Libra, vt diximus, vectis e$t: eius autem naturæ, vt$emper fulcimentum medium obtineat locum inter pondus & pondus. Statera autem merus e$t vectis, $i $par$um pro fulcimento; appendiculum verò currens pro potentia mouente deputaueris. <HEAD><I>De Circulo eiusque natura Ari$totelis doctri- na examinata.</I></HEAD> <p>Ari$toteles, quicquid mirum in Mechanicis opera- tur, id totum admirabili circuli naturæ e$$e tribuen dum arbitratur. Aitautem, ab$urdum nullatenus e$$e, $i ex re mirabili mirandum quippiam oriatur. In circulo autem <p n=>8</p> quatuorinueniri qualitates admiratione dignas. Primã, quod ex contrarijs con$tituatur, mouente videlicet & moto. Secundam, quòd contraria in eius circumferentia inueniantur, quippe quæ cum vnica linea $it, concaua $i- mul e$t & conuexa. Tettiam, quod contrarijs feratur mo- tionibus, antror$um nimirum, retror$um, $ur$um, atque deor$um. Quartam, quod vnicâ exi$tente $emidiametro, nullum in ca punctum $umi po$$it, æqualis alteri, in latio- ne, velocitatis. Sit enim circulus AB, cuius centrum C, $emidiameter AC, $umatur autem in ea punctum D, i- tem<13>ue punctum E. Erit itaque in ip$a circulatione D tardius E, ip$um verò E tardius A, & ita citius id feretur $emper, quod remotius à mouente termino accipitur. <fig> <p>Hæc ex illo, quibus ne vltro a$- $en$um præbeamus non vnica de cau- $a cohibemur. Dicimus igitur, videri nobis, circulum non ex contrarijs cō- $titui, puta ex manente & moto, $ed ex moto $impliciter. Nulla e$t enim $e- midiametri pars, quæ non moueatur. Punctum autem, quod $tat, $emidia- metri pars nulla e$t. Et $anè cur moto $emidiamētro fiat circulus, non ideo accidit, quod alterū extremum $tet, alterum verò moueatur:led ideo quòd $e- midiameter perpetuò candem $eruct longitudinem. Elli- p$is $anè centrum habet, $ed ab eo ad circumferentiam quatuor tantùm $emidiametri quomodolibet $umpti du- cuntur æ quales. Si quis igitur $emidiametrum daret pro- portione cre$centem & decre$centem, $tante altero ex- tremoru<*> Ellip$is de$criberetur. Præterea & $piralis li- nea, quæ mixta e$t, altero $emidiametri extremo manen- te, altero vero moto producitur. Legem itaque circulo <p n=>9</p> prælcribit, non quidem quòd hæc extremitas $ter, illa ve- rò moueatur, $ed quod $ua circulatione $em per $emidia- meter eandem $eruet longitudinem, quod vel ex ip$a cir- culi definitionc colligitur. <p>Ad $ecundum miraculum, $cilicet, quòd in circulo circum ferentia, quæ vacua linea e$t, concaua $imul$it, & conuexa. Diceret qui$piam id, $i modò mirabile e$t non circulari tantum, $ed cui ibet curuæ lineæ primo compe- tere, etenim & Elhp$is & Hyperbole, & Parabolc, & $pi- ra, tum Cy$$ois, Conchois, & infinitæ aliæ irregulares concauæ $imul $unt & conuexæ. Sed & hæcin $uperficie- bus quoque de$iderantur. <p>Ad tertium, quod contrarijs feratur lationibus, an- tror$um, retror$um, $ur$um & deor$um. Dicimus, facilè $olui, Nullus enim, re bene per$pectâ, affirmauerit circu- lum contrarijs lationibus moueri. <fig> <p>E$to enim circulus ABCD, circa centrum E; ponamus ro- tari, & A ver$us B, exempli gra- tiâ, antror$um, mouebitur autē & B ver$us C, & C ver$us D, tum D ver$us A. Non puto quenquã dicturum, circulum hunc an- tror$um codem tempore, & re- tror$um ferri nec $ur$um aut de- or$um, $i enim qui$piam per eius circuli circumferentiani ambularet, is certè centrum ip$um $emper ad dexteram haberet, vel ad $ini$tram, $i ad dexteram, antror$um ibit, $i ad $ini$tram, tetror$um. Sed nec $ur$um vel deor$um, e$t manife$tum. Nihil autem prohibet eundem motum va- rio re$pectu contrarium dici po$$e, id tamen profectò fie- rinequaquam pote$t, nempe A moueriver$us B, hoc e$t, <foot>B</foot> <p n=>10</p> antro r$um, & eandem codem tempore ver$us B, id e$t, re- tror$um; repugnat enim naturæ. <p>De quarto circuli miraculo, ibi erit nobis $ermo, vbi ca perpenderimus primò, quæ Philo$ophus de Circuli productione di$$erens in medium profert. Sunt autem e- iu$modi: <p>Circulum quidem duplici notione produci, Natu- rali videlicet altera, & altera quæ e$t præter naturam, & ideo circularem lineam in ter mixtas computari. <p>Motus mixtus ait, vel proportione $eruata fit, aut non; Si proportione $eruatâ, rectam lineam; ea verò non $eruata, circularem lineam produci. <fig> <p>E$to enim rectangu- lum ABCD, cuius late- ra in datâ $int proportio- ne, AD cum AB. Mo- ueatur A, duplici motu, Altero quidem tendens in B, altero vero ad mo- tum lineæ AB, feratur ver$us D, $eruata inte- rim laterum proportione. Itaque ponatur ex motu ab A ver$us B, perueni$$e in E, ex motu autem quo proportio- naliter fertur cum linea AB, facta ip$a AB, in FH, perue- ni$$e in G, & EG connectatur. Eritigitur Parallelogram- mum AEGF, Parallelogrammo ABCD proportiona- le $imile, & circa eandem diametrum AGC. Semperigi- tur punctum A $i duabus lationibus feratur, laterum pro- portione $eruata, lineam producet rectam, diametrum nempe AGC. Et hoc $anè nullam habet dubitationem, ex ijs quæ docet Euclides 1. 6. prop. 24. <p>His ita demon$tratis hac vti videtur Philo$ophus <p n=>11</p> argumentatione: Si mixtus motus proportione $emotâ, rectam producir, $i nun quam $emota, efficiet circulum; $i enim modo $eruaretur, modo non, partim recta partim non recta produceretur. Ingenio$a quidem argumenta- tio, ni vitium contineret. non enim mixtus motus, qui nun quam $eruatâ proportione fit, $emper ci, culum pro- ducit, $ed & Elli $im pote$t, & quamlibet aliam lineam, cuius nulla pars $it recta. Hanc difficultatem vidit Pico- lomineus in $ua Paraphra$i, & eam $oluere conatus e$t, $ed quàm bene, aliorum e$to <*>dicium. Cæterùm fal$um e$t, a$$erere circulum ex mixto motu nun quam $eruatâ proportione produci. $eruat enim a$$iduè mixtus motus quo producitur ($i cum mixto motu producere velimus) aliquam proportionem, $ed non eandem. <fig> <p>E$to enim recta AB, cui ad rectos angulos AC. Moueatur autem A, ver- $us C per lineam AC, & eodem tempo- re linea AC, ver$us B, ita tamen, vt $em- per ip$i AB, $it perpendicularis. feratur autem eâ lege, vt quam proportionem habet motus lineæ AC ver$us B, ad mo- tum puncti A ve, $us C, eandem habeat ip$e motus ab A ver$us C, ad re$iduum lineæ AB, demptâ nempe ea parte quam peragrauit linea AC mota ver$us B. Sit autem, cum AC $uo motu peruenerit in D, punctum A, $imiliter $uo motu per eam latum perue- nitle in E erit eigo ex mixto motu, non quidem in D, nec in E, $ed in F, eritque punctum F in circum ferentia circu- li, cuius e$t diameter ip$a linea AB, quod quidem demon- $tratur ex conuer$a propo$. 13. lib. 6. Elem. E$t enim AE hoce$t DF media proportionalis inter EF, hoc e$t, AD, & DB. Iterum $i $iat motus AC in GH, ad motum H per <foot>B 2</foot> <p n=>12</p> lineam AC, v$que in C, vt $e habet proportio AG ad GH & GH ad GB, erit ex motu mixto A in H, nempe in eiu$dem circuli circum ferentia AFHB. ex quibus ha- bemus, circulum ex mixto motu fieri po$$e proportioni- bus quidem mediarum $eruatis, $ed nun quam ij$dem. <p>Vera hæc pro culdubio $unt; nihilominus, veluti ad rectam producendam mixtus motus non e$t nece$$arius, licet mixto motu produci po$$it, ita ne que ad circularem, & ideo verum non e$$e quod a$$erebat Philo$ophus, cir- culum ex mixto motu proportione nun quam $eruatâ ne- ce$$ariò produci. <p>Conatur po$t hæc Ari$toteles rationem afferre, cur circuli partes, quò propiores centro fuerint, eo $int tar- diores. Ait autem; $i duobus ab eadem potentia latis hoc quidem plus repellatur, illud verò minus, æquum e$t tar- diùs id moueri quod plus repellitur, eo quod minus. De- trahi autem plus lineam, cuius extremum prepius e$t cen- tro illa quæ $uum habet terminum à centro remotiorem. <fig> <p>E$to, inquit, circulus BCDE & alter in eo minor MNOP circa idem centrum A. Ducantur<13>; Diametrima- ioris quidem CD, EB, mino- ris verò MO, NP. Itaque vbi AB circulata eò peruenerit vnde e$t gre$$a, ip$a quoque AM eo vnde moueri cœpe- rat, perueniet. Tardiùs antem fertur AM, quam AD, pro- pterea quòd AM à centro magis retrahatur quàm ip$a AB. Ducatur igitur ALF & à puncto L, ip$i AB perpendicularis L q, cadens in mino- <p n=>13</p> ri circulo, & rur$us ab codem L ip$i AB, parailela duca- tur LS, Ab S verò eidem perpendicularis ST, & ab F i- tem FX. Sunt ergo q L, ST, quidem æquales, nempeillæ, per qua<*>, $ecundum naturam, mouentur puncta BM. Mo- tu verò retractionis ad centrum, hoc e$t, præter naturam, plus motum e$t M quàm B. Maior enim e$t M q, ip$a BT, quod, ceu notum, $uppo$uit Ari$toteles. nos autem inf. à demon$trabimus. Si igitur fiat vt motus præter naturam ad motum præter naturam, ita motus $ecūdum naturam, ad motum $ecundum naturam, punctum B; cum M fuerit in L, non eritin S, $ed in F. tunc enim, vt e$t FX motus $e- cundùm naturam ad XB, præter naturam, ita e$t q L $e- cundum naturam ad q M præter naturam; $ed BF maior e$t ML, ergo proportione $eruatâ, velociùs mouetur B quàm M circa idem centrum A. Hæc autem $umma e$t eorum quæ præfert Ari$toteles. Cæterùm nos parallelo- grammum, quod in figura eius habetur prætermi$imus, quippe quod nihil ad eam quæ affertur, demon$tratio- nem faciat. <p>Modò quod pollicebamur, nempe minorem e$$e BT, quàm q M, ita demon$tramus. quoniã ST. ex prop. 13. 1. 6. media proportionalis e$t inter BT & TE, erit qua- dratum TS æquale parallelogrãmo $eu rectangulo BT, TE, item, quoniam q L media proportionalis e$t inter M q, & q O. erit quadratum q L æquale rectangulo M q, q O, æqualia ergo $unt rectangula BTE, M q O, itaque reciprocalatera habent proportionalia. quare, vt TE, ad q O, ita M q ad TB, $ed TE maior e$t ip$a q O, quippe quòd pars $it q O ip$ius TE, maior ergo & M q ip$a TB, quod o$tendendum fuerat. <p>Cæterùm $ubtilia & ingenio$a i$thæc e$$e non nega- mus, & longè faciliori & explicatiori modo veritas hæc demon$trari pote$t, reiectis nem peillis, $ecundùm, & pr<17>- <foot>B 3</foot> <p n=>14</p> ter naturam motibus, qui quidē in $implici circulo nece$- $ario non cadunt: caderent autem forta$$e, $i de circulo res e$$et à pōderibus circumlatis ex $tabili centro de$eri- pto, qua de re agit G. Vbaldus in Mechanicis ttactatu de libra. tunc enim dici pote$t, pondus quod aliâs rectà ad mundi centrum tenderet, à circuli centro in circulatio- ne retrahi, $ed hæc ad circuli naturam, quatenus circulus e$t, ne quaquam $pectant. <fig> <p>E$to igitur circum ferentia AFBH, cuius centrum C, dia- meter ACB, $emidiameter AC. $umatur in AC punctum quod- libet, D, & centro C, $patio CD, circumferentia de$cribatur DGEI. Dico punctum A velo- cius moueri puncto D eâdem circulatione rotato. etenim vt diameter ad diametrum, & $emidiameter ad $emidiame- trum, ita circumferentia ad circumferentiam: igitur vt AC ad CD, ita circumferentia AFHB ad circumferen- tiam DGEI. At mota linea CA circa centrum C mo- uetur $imul & CD, eodem igitur tempore rotationem complent puncta AD, maius ergo $patium eodem tem- pore metitur A, ip$a D, quare velocior. Ita igitur $e ha- bet velocitas ad velocitatem, vt circumferentia ad cir- cumferentiam, & diameter ad diametrum, quare id quod mouetur in puncto à centro remotiori, velocius illo mo- uetur quod ab eo di$tat minus, quod fuerat demon$trandum. <p n=>15</p> <HEAD>QVÆSTIONES MECHANICÆ.</HEAD> <HEAD>QVÆSTIO I.</HEAD> <HEAD><I>Cur maiores libræ exactiores $int mi- noribus?</I></HEAD> <p>Prioríbus, ceu fundamentis quibu$dam iactis, oppor- tunè ad quæ$tiones proponendas, eas <13>ue diluendas $e confert Ari$toteles. Porro in propo$ita quæ$tione vide- tur prima fi onte cau$$am quæri de re quæ non e$t: etenim quis affirmauerit vnquam, lances quibus Apothecarij & Macellarij vtuntur, magnas eas quidem, illis exactiores e$$e quibus Gemmatij, atque Argentarij $iliquis, & $eru- pulis minuti$$ima appendunt, quæ tamen perexiguæ $unt, & $i illis comparentur minimæ? Veruntamen, ita pror$us res habet, vt a$$erit Ari$toteles. Non enim propterea quòd illæ magnæ $int, hæ verò exiguæ, hæ $unt illis exa- ctiores; $ed quoniam magnæ, rudes $unt, minores verò ex- qui$ita diligentia elaboratæ, & à materiæ pertina cia libe- riores. Cæteris ergo paribus, exactiores e$$e maiores, ex Philo$ophimente, ita docebimus. <fig> <p>E$to libra maior AB, cuius fulcimentum C. Minor verò libra DE, circa idem fulcimētum C, vnà cum maiori, ima- ginatione, conuer$a. Ap- ponatur queduis pon- dus maiori libræ in A, de clinet<13>; exempli gratiâ in F, erit <13>ue minor libra in G, in eadem enim linea $unt CGF. Vnaq; igitur ex eodem <p n=>16</p> centro C portionem circuli de$cribet GD, AF, erit<13>ue ACF $ector circuli, cuius diameter AB, $ed DCG $e- ctor circuli, cuius diameter DE. Itaque vt diameter ad diametrum, ita portio ad portionem: maior autem dia- meter AB diametro DE: maior ergo portio AF, portio- ne DG. quod autem maius e$t, minus obtutum fallit, ex- qui$itius ita que tractum ex maiori AB quàm ex ip$a mi- nori DE cogno $cemus, quod fuerat o$tendendum. <p>Cæterùm hac eadem de cau$$a, A$tronomica in- $trumenta, puta A$trolabia, Armillæ, & alia eiu$modi, quo ampliora eò ex qui$itiora, & certiora probantur. <fig> <p>E$to enim A- $trolabium magnum, cuius diameter AB, paruum autem CD, circa idem centrum E. Ducatur à centro recta EF tangens ma- iorem circulum in F, minorē verò $ecãs in G, vt igitur GD ad to- tum circulum GCD, ita FB. ad totum cir- culum FAB, vt ergò GD ad FB, ita gradus $ignati in GD, ad eos qui $ignantur in BF, maiores ergo $unt qui in FB, & minutarum partium capaciores. Hinc itaque apparet, in$trumēta quælibet quò maiora fuerint, eò e$$e & exqui$itiora, quod propo$uerat Ari$toteles, in hac quæ$tione de Libra. <p>Quod autem addit de fraudibus Purpurariorum, inquiens; quamobrem machinánturij qui purpuram ven- dunt, vt pēdendo defraudent, dum ad medium, $partum, <p n=>17</p> non ponentes; tum plumbum in alterutram libræ partem infundentes; aut ligni quod ad radicem vergebat, in eam quam deferri volunt partem con$tituentes, aut $i nodum habucrit, ligni enim grauior ea e$t pars, in qua e$t radix, nodus verò radix quæ dam e$t. Hinc quæri po$$et: <HEAD><I>Vtrum libræ quæ ponderibus vacuæ æquilibrant, omni pror$us careant fraude?</I></HEAD> <p>Videri cuipiam po$$et, libras, quæ ponderibus va- cuæ, æquilibrant, omm pror$us fraude carere, verunta- men ita non e$t, quod diligentiùs (res enim magni mo- menti e$t) di$quiremus. <fig> <p>E$to enim libra AB, ita diui$a in C, vt AC $it partium IS, CB ve- rò carundem $it 10. apponatur parti A lanx ponderans 10, parti vero B lanx ponderans 15. ex permutata i- gitur proportione libra $u$pen$a in C, <17>què ponderabit; $i autem appo- natur lanci B $acoma vnciarum 6, & in lance A con$titua- tur purpura, quæ ita $e habeat ad vncias 6, vt 10 ad 15, ite- rum æqueponderabit, $ed vt 10 ad 15, ita 4 ad 6. Purpura- rius ergo fraudulentus, ponens in lance A vncias purpuræ 4, facto æquilibrio petet pretium vnciarum 6, & ita em- ptorem decipiet, quod $anè innuerat, non autem demon- $trauerat Ari$toteles. Hæc autem faciliora fient ex ijs, quæ in $equentibus quæ $tionibus, vbi de vecte agetur, ex- plicabuntur. <p>Detegitur autem fraus, $i alternatim $acoma in pon- derando, modo huic, modò illi lanci apponatur. Si enim in lance A con$tituatur $acoma, in B verò purpura non fit æquilibrium. <foot>C</foot> <p n=>18</p> <HEAD>QVÆSTIO II.</HEAD> <HEAD><I>Cur, $i $ur $um libræ fulcimentum $it, appo$ito ad alteram partem pondere, de $cendat libra, & eo amoto, iterum a$cendat, & ad æqui- librium reuertatur. Si verò deor $um fulcimentum fuerit, de- pre$$a ad æquilibrium non reuertatur?</I></HEAD> <p>Bimembrem proponit Philo$ophus quæ$tionem, quam trimembrem debuit, triplici $i quidem loco fulcimen- tum aptari pote$t, $uperiori, medio, inferiori. Nos de o- mnibus ver ba faciemus. <HEAD>Prima Quæ$tionis pars.</HEAD> <HEAD><I>De Libra $ur $um fulcimentum habente.</I></HEAD> <p>Ari$toteles primam quæ$tionis partem ita $oluit: An quia $ur$um parte quidem exi$tente, plus libræ extra per- pend culum $it? Spartum enim perpendiculum e$t: quare nece$$<*> e$t deor$um ferriid quod plus e$t, donec a$cendat qua bifariam libram diuidit ad ip$um perpendiculum, cum onus in cum bat ad libræ partem $ur$us raptam. <fig> <p>Sit libra recta (hoc e$t, in æquilibrio con$tituta) BC, $partum autem AD, fulcimentum autem D, de$uper: $parto au- tem deor$um proie- cto ad M perpendicu- laris erit vbi ADM. Si igitur in ip$o B po- natur onus, erit B qui- dem vbi E, C autem vbi H, quamobrem ea quæ bifariam librã $ecat, primo quidem erit DM, ip$ius perpendiculi; in cū- bente autē onere, erit DG. quare libræ ip$ius EH, quod <p n=>19</p> extra perpendiculum, e$t AM, vbi e$t q P maius e$t dimi- dio. Si igitur amoueatur onus ab E, nece$$e e$t deor$um ferri H, minus e$t enim E: $iquidem igitur habuerit $par- tum $ur$um, propter hoc a$cendit libra. <p>Pe$$imè omnes $chema hoc lineârunt, ita vt difficil- limum $it auctoris inde $en$um a$$equi. Nos autem cla- rius rem ob oculos ponimus. Id ergo $ibi vult Ari$toteles, propterea quòd pars iugi HDG maior e$t parte ED q, eam eleuatam nece$$e e$t de$cendere, & iterum à perpen- diculari ADM bifariam diui$am ad æquilibrium reuer- ti, Po$$umus nos idem $impliciori figura demon$trare. <fig> <p>E$to libra AB, bi- fariam, diui$a in G, fulcimentū verò $ur- $um vbi D, prod<*>ca- tur perpendicularis DC in E. Stante igi- tur libra AB, in æqui- librio æqualis e$t pars CH, ip$i parti CB apponatur pondus in B. Declinabit igitur libra mota circa centrum D, fiat autem in FG, $ecet<13>ue perpendicularem in I. Punctum vero C eodem motu cir- ca idem centrum D erit in H. amoueatur pondus appo$i- tum: Dico libram à $itu FG declinaturam & iterum re- uer$uram in $itum pri$tinum ACB. quoniam enim parti GH, quæ æqualis e$t parti HF, additur pars IH, quæ à perpendiculari e$t v$que ad H, ip$i verò HF eadem pars detrahitur, erit IF minor GI. Superabiturita que IF à GI, de$cendetque FI, a$cendet verò IF, doneciterum li- <foot>C <I>2</I></foot> <p n=>20</p> bra ín partes æquales, vt antea, diuidatur in C, $iat que æ- quili brium. <p>Hæc Philo$ophi demon $tratio e$t vera illa quidem, $ed non ex Mechanicis principijs, hoc e$t, ex centri graui- tatis $pe culatione; nos igitur clariùs rem exponemus, his quæ $equuntur con$ideratis. <p>Si pondus circa $tabile centrum conuertatur, dimi$- $um non $tabit, ni$i $ecundum grauitatis centrum fuerit in perpendiculari, quæ per centrum, circa quod conuer- titur, ad mundi centrum cadit. Stabit autem in ea per- pendiculari in duobus punctis, altero à centro mundi remoti$$imo; altero verò cidem quantum licuerit pro- ximo. <fig> <p>E$to corpus A, cuius graui- tatis centrum B, nixum line<17> in- flexibili BC, cum qua liberè conuertatur circa centrum C. Ducatur autem per mundi cen- trum perpendicularis BCD. Sit igitur primò pondus A $ecū- dum gracilis B centrum, in per- pendiculari ip$a $upra centrum C, puta in B. Moueatur & de$cē- dat in E. Po$t hæc verò in F, hoc e$t iterum in ip$a perpendiculari infra centrum C. De$cribet er- go circulum ex centro C, nem- pe BEF $ecantem perpendicu- larem in duobus punctis oppo- $itis BF, dico, pondus libe è di- <p n=>21</p> mi$$um in duobus tantum punctis $uapte naturâ perman- $urum, BF, in B, primò, quoniam cum corpus ip$um A à perpendiculari, quæ $upei ficiei loco intelligitur ABCD per centrum grauitatis diuidatur, in partes diuiditur æ- queponderantes, quare in neutram partem inclinabit. Stabit igitur erectum, lineæ ip$i fultum, inflexibili BC, quæ nititur puncto C. In E verò non $tabit, quippe quod eo $itu centrum ip$um grauitatis $it extra perpendicula- rem, & ideo extra fulcimentum $tabile C. In F verò ite- rum $tabit, pendens à centro C, propterea quòd & ibi ab eadem perpendiculari diuidatur per grauitatis centrum in partes æqueponderantes. E$t igitur re$pectu B, ip$um punctum C, ful cimentum deor$um, re$pectu verò F, ful- cimentum $ur$um. At quia linea DFCB, à centro mundi, quod e$t extra circulum, BEF, circulum ip$um per cen- trum C $ecat, erit pars eius DF quidem breui$$ima, ip$a verò DB longi$$ima, ex propo$. 8. lib. 3. Elem. Pondus igi- tur A conuer$um $eu liberè motum circa centrum C, in duobus tantum locis perpendicularis lineæ $tabit remo- ti$$imo altero, vt e$t B, altero verò cidem quamproximo, vt e$t F. <p>Hoc idem egregiè demon$trauit G. Vbald. in $uis Mechanicis, Tractatu de Libra prop.1.<*> <p>Ad hæc autem dubitare quis po$$et, cur experientiâ docente, pondera quæ infra fulcimentum habent, vt lan- cea $ari$$aue ad planum horizontis perpendiculariter e- recta, licet eo ca$u grauitatis centrum in ip$a perpendicu- lari con$tituatur, non $tet quidem, $ed altrin$ecus ca- dat? <foot>C 3</foot> <p n=>22</p> <fig> <p>Sit enim horizontis planum AB, cui in puncto C perpendiculariter ere- cta $tatuatur $ari$$a DC, cuius grauitatis centrum E, in ip$a perpendiculari. Stabit ergo, ex præmi$$is, & certè $tare debuit, $ta- ret<13>ue, ni vitium ob$taret materiæ; non $tat autem, quia difficillimum e$t gra- uitatis centrum, $uapte naturâ indiui$ibile, ita ad amu$$im $i$tere, vt in neutram partem à perpendiculari declinet. Hæc igitur ex ijs $peculationibus e$t, quæ ad praxim, ma- teriæ vitio impediente, aut vix aut nun quam rediguntur. <p>Hinc autem ea quæ$tio $oluitur, Cur ij qui $ari$$am erectam digito $ummo $u$tinere conantur, non $tent qui- dem, $ed digiti motu, $ari$$æ motum $equantur. <p>Id certè agit, qui nutantis $ari$$æ, digito, motum $e- quitur; vt in ip$o motu digitum a$$iduè centro grauitatis $ari$$æ $upponat, vnde $it vt nun quam extra fulcimentum permanens, nun quam cadat. <p>Similis huic alia quo que dubitatio $oluitur: Nempe, Cur turbines, quibus pueri ludunt, dum quidem rotan- tur, $tent erecti, rotationevero ce$$ante, cadant. <fig> <p>E$to enim Turbo AB, cu- ius grauitatis centrum C, planum horizontis DE, linea Horizonti perpendicularis ABC, tran$iens per centrum grauitatis C, $it au- tem fulcimentum in B. Itaq; cum centrum grauitatis C $it in ip$a perpendiculari, $tabit ex demon- <p n=>23</p> $tratis, at ex vitio materiæ non $tabit. Modò, vt a$$olet, ra- pido motu rotetur. Dico, Turbinem, motu $eu rotatione durante $tare. ea autem paullatim elangue$cente ín ca- $um vergere; ce$$ante verò penitus cadere. fit enim ex in- æqualitate materiæ, vel operis ruditate, vel aliâ quauis ex cau$$a, grauitatis centrum non e$$e in C, $ed exempli gratiâ vbi F, notentur autem hinc inde Turbinis latera notis GH. Vtique cum F extra perpendicularem fuerit, cadet Turbo ad partem G; at id ne $iat, efficitur velocita- te motus, quo centrum F transfertur in contrariam par- tem, vbi I. non autem cadit ver$us H, quoniam eadem ve- locitate iterum transfertur in F, quamobrem cum huius- cemodi centri a$$idua circa perpendicularem fiat trans- latio, ad nullam partem Turbo cadere pote$t; elangue- $cente verò motu rotans, paullatim in cipit inclinari, do- nec eo penitus ce$$ante, ad eam partem cadit, ad quam à per pendiculari grauitatis centrum vergit. De$cribit au- tem in rotatione grauitatis centrum, quod in medio non e$t paruum circulum, per cuius centrum ip$a perpendi- cula<*>is pertingit. <p>Modò redeuntes ad libram, cuius ful cimentum e$t $ur$um, alio principio, nempe Mechanico, cur depre$$a ad æqualitatem reuertatur, demon$trabimus. <p n=>24</p> <fig> <p>Sit igitur, vt $u- periùs, libra AB, cu- ius centrum grauita- tis C, fulcimentum, verò $ur$um, in D li- bræ quidem in C per- pendiculariter con- iunctum. Perpendi- cularis verò quæ per fulcimentum, & gra- uitatis cētrum tran$- iens ad mundi cen- trum tendit DLE. $tante igitur librâ in $ua æqualitate, e- rit centrum grauitatis C in ip$a perpendiculari infra qui- dem fulcimentum D. Loco verò, mundi centro quàm proximo. Pondus po$t hæc apponatur in B, Declinabit au- tem pars CB, in HF, eleuatâ interim parte AC, in GH. Mota igitur libra tota, circa fulcimentum D mouebitur circa idem centrum, & grauitatis centrum C, de$cribens portionem circuli CH, fi et<13>; C in H, & quoniam H, hoc e$t C, extra per pendicularem fit, amoto pondere, ex lan- ce B, cuius pre$$ione libra declinauerat, centrum grauita- tis per eandem circulì portionem HC, ad perpendicula- rem de$cendet, donec iterum in ea quie$cat, quo ca$u li- bra AB ad æquilibrium reuertetur: quod fuerat demon- $trandum. <p>His ita declaratis, o$tendemus, (quod nullus ante nos animaduertit) harum librarum, quæ fulcimentum habent $ur$um, eam e$$e naturam, vt non à quouis ponde- re appo$ito moueantur, vel penitus declinent. <p>Ij$dem enim $tantibus, addatur quoduis pondus lan- ci B; Itaque $i tale fuerit quod $uperet re$i$tentiam, quam <p n=>25</p> illi facit centrum grauitatis contra naturam elatum in H mouebitur quædam libra. Sin autem tam parui momenti $it, vt eam re$i$tentiam non vincat, $tante circa locum in- fimum centro C, non mouebitur aut $altem parum, ip$a libra. <p>Hinc colligimus $ieri po$$e, libras illas, quæ non <*> quouis, quantumuis paruo pondere declinant, cas fulci- <*> mentum habere $ur$um. <p>His ad dimus, cæteris paribus, re$i$tentiam eò e$$e maiorem, quo minus grauitatis centrum di$tat à fulci- mento $ur$um, circa quod ip$a libra aduertitur. <fig> <p>E$to libra AB, cuius gra- uitatis centrum C, & primò quidem eius ful cimentum $ur$um $it vbi D, itaque $i ap- po$ito pondere de clinauerit libra ad partes B, punctum C, dum a$cendet de$cribet portionem circuli CE. fulciatur iterum $ur$um puncto F, & iterum declinet ad partes B, & iterum punctum C, dum a$cendet, circuli portionem de$cribet CG. E$t autem minor angulus contactus ACE, angulo ACG, magis er- go $ur$um, hoc e$t, ad naturam $ui feretur C, per CG, ex centro F, quàm per CE, ex centro D, quod fuerat de- mon$trandum. <p>Hæc autem re$i$tentia ex eodem fulcimento & eo- dem pondere eo faciliùs $uperabitur, quo longius bra- chium libræ fuerit. <p>E$to enim iterum libra AB, cuius fulcimentum D, centrum grauitatis C, $it & alia libra, cuius brachia bre- uiora EF, idem habens centrum C, & eidem puncto $u- $pen$a D. Dico igitur, eodem pondere appo$ito, faciliùs <foot>D</foot> <p n=>26</p> <fig> declinaturam libram ad partes B, quàm $i idem ap- poneretur in F. Demit- tatur enim, à puncto B horizonti perpendicula- ris BG, & ab F item per- pendicularis FH, Tum iuncta DB, centro D, eo- dem vero $patio DB, circuli portio de$cribatur BI, item iuncta DF eodem centro D, $patio DF, portio circuli de- $cribatu: FK. e$t autem maior DB ip$a DF ex propo$. 21. lib. 1. Elem. quare maiotis circuli portio e$t BI quàm FK. Obliquior autem, hoc e$t, à perpendiculariremotior e$t motus per FK quàm per BI. maior $i quidem e$t angu- lus KFH angulo IBG. quod nos ita probamus. Ducatur perpendicularis ip$i DF linea LF contingens circulum FK in F, item ip$i DB, perpendicularis MB, contingens circulum BI in B, & quia angulus contingentiæ maioris circuli minor e$t angulo contingentiæ minoris, erit KFL maior IBM, R ectiautem $unt DFL, DBM, minor ergo DFK re$idua ip$o DBI re$iduo. Maior autem DFC ex iam citata propo$. quã DBC, erit igitur re$iduum CFK, multo minus re$iduo FBI, $ed recti $unt CFH, FBG, ex quibus $i detra hantur CFK, FBI, erit re$iduum KFH, maius re$iduo IBG, plus ergo retra hitur à perpendicula- ri po<*>dus de$cendens per FK quàm per BI, minus igitur præ<*>alebit re$i$tentiæ in C pondus appen$um in F, quàm $i appendatur in B. quod fuerat demon$trandum. <p>Po$$<*>mus & idem quoque aliter o$tendere. <p>Sint enim $eor$um duæ libræ, maior AB, mïnor EF, quàm commune grauitatis centrum C, fulcimentum ve- rò $ur$um D. Producatur perpendicularis DC, in G & fiat CG æqualis CB, CH verò æqualis CF. Sunt igitur duo <p n=>27</p> <fig> vectes DG, DH, quo- rum quidem commu- ne fulcimentum D, pondus verò C, poten- tiæ vbi HG. Sunt au- tem hi vectes cius na- turæ, in quibus pōdus e$t inter fulcimentum & potentiam, itaque vt $e habet DC, ad DG, ita potentia in G ad pondus in C, item vt DC ad DH ita potentia in H ad idem pondus C, $ed minor e$t propo$itio DC, ad DG quàm DC ad DH. minor ergo potentia requiritur in G, hoc e$t, in B, quàm in H, hoc e$t in F. Data igitur ponderis æqualitate faciliùs $uperabitur re$i$tentia C in B, quàm in F: quod o$tendendum fuerat. <p>Ad huius libræ naturam illæ quoque rediguntur, quarum iugum non rectum quidem, $ed curuum, vel ex rectis $ur$um in angulum ad fulcimentum detinentibus, nec refert vtrum curuitas $it circuli portio quælibet, aut ellip$is $ecundum alterum diametrorum; quod ita de- mon$tramus. <fig> <p>E$to libra, cuius iugum curuum angulatūue ABC, cuius fulcimentum B, æqua- lia autem brachia AB, BC, & pondera item vtrinq; ap- pen$a æqualia. Demittatur ex puncto B ad mundi cen- trum perpendicularis BD. Stante igitur libra ABC in æquilibrio, erit eius graui- <foot>D 2</foot> <p n=>28</p> tatis centrum in ip$a perpendiculari BD, puta in E. Ap- ponatur pondus in C, declinabit autem libra, $it autem iuxta po$itionem FBG. Centrum igitur grauitatis E per portionem EH, erit in H. A$cendit ergo centrum graui- tatis in H, hoc e$t, $ur$um, id e$t, contra cius naturam; a- moto igitur pondere ex C, grauitatis centrum extra per- pendicularem con$titutum rur$us de$cendet, & iterum libra ABC ad æquilibrium reuertetur. Hoc idem egre- giè o$tendit G. Vbald. in tractatu de libra, propo$. 4. <p>Hinc ratio pendet earum imaguncularum, quas ex contu$a papyro ligneaue leui materia compingunt, per- <13>ue manus earum ambas, ferreum filum trajicientes, v- trinque plumbea appendunt pondera æqualia, ea quidē lege, vt centrum grauitatis infra pedes imaguncula $ta- tuatur. Tunc enim exten $o filo imponentes ceu funam- bulos per illud, vltrò citro<13>; decurrere faciunt, imagun- cula interim erecta & in neutram partem cadente, quod vt figurâ clarius fiat; <fig> <p>E$to imaguncu- la AB, per cuius ma- nus traij ciatur filum ferreum curuum cū æ qualibus ponderi- bus hinc inde appē- $is CD. Nitatur au- tem pedibus filo HI in <I>B</I>, $it<13>; totìus ma- chinæ grauitatis cē- trum E, $itque per- pēdicularis per gra- uitatis centrū tran$i- ens A<I>B</I> E. Itaque in- clinata imaguncula, & conuer$a circa punctum <I>B</I>, $i de- <p n=>29</p> clinet ad partes I, centrum grauitatis eleuabitur in F. Si verò ad partes H eleuabitur in G. quare cum FG loca $intremotiora à mundi centro, quàm $it E, non $tabit gra- uitatis centrum in punctis FG, $ed ad infimum locum re- uertecur, hoc e$t, in ip$a perpendiculari in E, & imagun- cula ad perpendiculum ip$i H<I>B</I>E filo, hoc e$t, ip$i hori- zonti reuertetur. <p>Hinc etiam Arictum, T e$tudinun<*> <13>ue demolito- riatum Machinarum vis pendet, nempe ex ratione libra- rum, quæ fulcimentum habent $ur$um. <fig> <p>E$to enim Aries A<I>B</I> funi appen$us CD, cu- ius grauitatis centrum, D, perpendicularis verò quæ ad mundi centrum ip$a CDE. Stante igitur in æquilibrio machina, centrum grauitatis erit in ip$a perpendiculari. Applicetur alicubi po- tentia retropellens, eleuabitur igitur centrum grauitatis per circuli portionem DF, cuius $emidiameter e$t CD, $i et<13>ue iuxta po$itionem CF. Aries verò in GFH. Di- mi$$a itaque Machina centrum F vtpote graue, non $tabit, $ed $uapte naturâ reuertetur in D. Quadruplici autem de cau$$a motus Arietis violenti$$imus e$t ex vi naturalis ponderis, quo deor$um fertur, tum velo citate naturalis motus in de$cendendo auctæ, tum ex vi pote<*> tiæ impel- lentis, & naturalem motum adiuuantis, tum ex velocita- te ex motu violento deor$um & antror$um impellente acqui$itâ. Id etiam addimus, eo validiores fore ictus, quò grauior fuerit Machina, & maius $patium, quo retrotra- <foot>D 3</foot> <p n=>30</p> hitur, grauitate ip$a & $patio tum virium vnione opera<*> tionem mirum in modum adiuuantibus. <p>Hæc nos de Libra $ur$um fulcimentum habente, dí- cta voluimus, nunc de ea, cuius fulcimentum deor$um, e$t, verba faciemus. <HEAD>Altera quæ$tionis pars:</HEAD> <HEAD><I>De Libra cuius fulcimentum deor$um e$t.</I></HEAD> <p>Si deor$um fuerit, inquit Ari$toteles, id quod $ub- $tat, contrarium facit illi quæ $ur$um habet, nempe ad æ- quilibrium non reuertitur. Plus enim, ait, dimidio fit li- bræ, quæ deor$um e$t pars, quàm quod perpendiculum $ecet, quapropter non a$cendit. eleuata enim pars leuior e$t. <p>Hæc ille, qui $chemate quo que rem aperit, at eo a- pud interpretes, & Picolomineum Paraphra$tem, ita mē- dosè lineato, vt inde ob$curitas lucis loco, legentibus of- fundatur. Nos, quod & $uprà quo que fecimus, no$tra fi- gurâ, $ole ip$o clariorem, ex Ari$to telis ip$ius mente rem totam efficiemus. <fig> <p>Sit libra recta, (hoc e$t, in æquilibrio con- $tituta) vbi NG. Per- pendiculum autem (id e$t, perpendicularis quæ ad mundi centrū) KLM. Bifariam igitur $ecatur NG. impo$ito po$thæc onere in ip$o N, erit quidem N, vbi O. ip$um autem G vbi R. KL autem vbi LP. <p n=>31</p> quare maius e$t KO, quam LR, ip$a parte PKL. Amoto igitur onere nece$$e e$t manere. Incumbit enim onus ex- ce$$us medietatis eius, vbi e$t F. Sen$us e$t igitur, idcirco partem iugi KLO inclinatam, ad æquilibrium non re- uerti, propterea quòd maior $it ip$a KLO pars quæ tra- hit, ip$a<*> RKL, quæ trahitur & eleuatur. <fig> <p>Pote$t hoc idem longè $impliciori themate demon- $trari. E$to enim libra AB, cuius centrum C, fulcimen- tum vero deor$um D, Per- pendicularis per centrum & fulcimentum tran$iens EF. Apponatur pondus in B, de- clinabit<13>; puta ad GH, cen- trum verò C, ex $tabili fulci- mento D, circuli portionem de$cribet CI, libra autem $ecabit EF perpendicularem in K. Æquales autem $unt IG, IH, at ex parte HI de$umpta e$t KI, addita <13>ue ip$i IG, maior e$t ergo tota KG, torâ KH. Non igitur KH habet KG, $ed libra, ni$i impedita fuerit, cum centro C de$cendente per <*>in M, ad ip$am perpendicularem dela- ta, ad in feriorem partem, mutatis vicibus quie$cet, facto nempe fulcimento $ur$um, fiet<13>; horizonti æque di$tans iuxta po$itionem LMN. <p>Demon$tratio quidē e$t hæc, $ed non ex proprijs prin- cipijs Mechanicis, nēpe ex ratione cēt<*>i grauitatis petitâ. Ii$dem enim $tantibus, cū centrum grauitatis C fiat extra perpendicularem, de$cendens ad I, nun quam reuert<*> tur in C, a$cen deret enim; $ed $i liberè circa centrum D con- uerteretur, de$cendens vt dictum e$t per circulum CIM pondus B, fieret in L, A vero in N adepta po$itione LMN. <p n=>32</p> <p>Cur autem huius libræ, quæ aliàs inutilis e$t, memi- nerit Philo$ophus, ea videtur cau$$a, quòd inde vectis vir- tutem eliciat, vt $uo loco videbimus. Id autem valde mi- rum, hominem acuti$$imum nihil pror$us de ea libra egi$- $e, quæ fulcimentum nec $ur$um habet, nec deor$um, $ed in ip$o exqui$itè medio, ita vt centrum grauitatis in ip$o- met fulcimento con$i$tat. Nos igitur de hac quod operæ pretium fuerit, & ad rem, qua de agimus, vtile, in medium proferemus. <HEAD><I>De libra cuius fulcimentum est in medio.</I></HEAD> <p>Dicimus itaque, libram, cuius fulcimentum nec $ur- $um e$t, nec deor$um, $ed pror$us in medio, nempe in ip$o grauitatis centro, vbi brachia & pondera vtrinque appo- $ita fuerint æqualia, $i ab æquilibrio mouentur, quomo- docunque po$ita, $tare nec ab eo, quem adepta e$t, $itu di- moueri. <p>Quæ$tionem hanc perperam tractârunt recentio- res quidam, Hieron. Cardanus, Nicolaus Tartalea, & alij nonnulli, qui Iordani Nemoracij a$$ertiones $unt $ecuti, quorum demon$trationes vel paralogi$mos potiùs egre- giè confutauit in libr. Mechanicor. Tractatu de libra pro- po$. 4. Guid. Vbald. ad cuius probati$$ima $cripta Lecto- rem ablegamus. fu$i$$imè enim ibi hac de re & ab$oluti$$i- mè agit. Nos autem quidem paucis ea, quæ ad hanc co- gnitionem pertinent, explicabimus. <fig> <p>E$to enim libra A<I>B</I>, cuius brachia æqualia, & centrum grauitatis in C, brachijs verò AC, C<I>B</I> æqualibus, æ- qualia pondera hinc inde apponãtur. Tum <p n=>33</p> fulcimento in medio, hoc e$t, vbi grauitatis centrum C applicato per centrum ip$um C ducatur perpendicularis, quæ ad mundi centrum, DCE, $itque primum libra æ- quedi$tans horizonti, con$tituta. Tum ex altera parte pre$$a moueatur & fiat iuxta po$itionem FCG. Dico eam dimi$$am permanere, etenim cum grauitatis centrum $it in ip$a perpendiculari, in neutram partem verget, $ed nec vergere pote$t, quippe quod non circa fulcimentum ceu centrum motus, moueatur grauitatis centrum, $ed in ip$o $it ful cimento; $itum ergo non mutat. Præterea cum per- pendicularis DCE per grauitatis centrum ducatur, cor- pus ip$um ex ponderibus & libra con$tans ab ea in partes çque ponderantes $ecatur, & ideo ex centri grauitatis dif- finitione, quam protulit Pappus, corpus ip$um centro grauitatis appen$um, dum fertur quie$cit, & $eruat eam, quam à principio habuit po$ition<*>. Et $anè $i partes quo- modo libet librâ per grauitatis centrum diuisâ, $untæ- queponderantes nec trahent inuicem, nec trahentur, $ta- bit ergo libra, & quam adepta fuerat po$itionem, eam $er- uabit. Id tamen non negamus, difficile e$$e libras eiu$ce- modi ex materia fabricare, quippe quod non omnia quæ vera $unt, & euidenti$$imis demon$trationibus patent, commodè ad praxim, ex artis & materiæ imperfectione, reducuntur. <p>Cæterùm harum librarum ea e$t virtus, vt vel mini- mo pondere altrin$ecus appo$ito, declinet; quod illis quæ centrum $u $um habent, non euenire, demon$trauimus. <p>Circa hæc po$$et cuipiam oriri Dubium, num chor- dulæ, quibus lances appenduntur, variationem aliquam circa ea quæ demon$trata $unt, inducere valeant. <p>Dicimus nullam inde fieri: E$to enim libra AB, cu- ius centrum & fulcimentum C, ab cuius extremitate A dependeat, funiculus AD, ab alia verò <I>B</I>, funiculus <I>B</I>E, <foot>E</foot> <p n=>34</p> <fig> quibus appen$æ $int æ- qualis ponderis lances DE. Moueatur libra, fiatque in ICH, funi- culi verò in lancibus in IK, HL. $ecet autem fu- niculus IK libram A<I>B</I>, in M, LH verò produ- catur & eandem $ecer in N. quoniam igitur IC, æqualis e$t CH, pa- rallelæ autem KI, LN æquales erūt alterni anguli MIC, NHC, $ed & anguli ad verticem ICH, BCH æquales $unt, quare triangulum IMC, æquale triangulo HNC, & latera lateribus, quæ æqualibus angulis $ubtenduntur. Æqualis e$t igitur linea MC lineæ NC. Itaque $i ponde- ra lancesue, KL mente concipiantur appen$æ in punctis MN, ex brachiorum & ponderum æqualitate æquepon- derabunt. quod fuerat demon$trandum. <HEAD>QVÆSTIO III.</HEAD> <HEAD><I>Cur exiguæ vires (quod etiam à principio dixerat) vecte magna mouent pondera, vectes in$uper onus accipientes, cum facilius $it, minorem mouere grauitatem, minor est au- tem $ine vecte?</I></HEAD> <p>Ari$toteles ita quæ$tionem proponit, vt eam R heto- rico quodam fuco admirabiliorem f<*>ciat. Soluit au- tem hoc pacto, inquiēs, fieri po$$e eam e$$e cau$$am, quod vectis $it libra, eius nempe generis quod fulcimentum ha- bet deor$um, atque id circo in ip$a pre$$ione in partes in- æquales vectem diuidi. <p n=>35</p> <fig> <p>Figura quam ex- hibet, vix ferè quid $i- bi velit explicat. Nos ad eius mētem aliam proponemus eamq; longè clariorem. <p>E$to vectis A<I>B</I>, cuius fulcimentum, deor$um in C, pon- dus D, potentia ex vecte, pondus $u$tinens E. Perpendi- cularis per fulcimentum FCG. Itaque quoniam poten- tia in E non $uperat pondus D, nec ab eo $uperatur, $tat vectis cum potentia Horizonti æquidi$tans, hoc e$t, in æ- quilibrio, vectis autem in puncto C diuiditur in partes æ- queponderantes. Modo præualeat potentia ponderi, & vectem deprimat, fiat autem in LCH, erit igitur <I>B</I>, in L, A in H, D in K, & CF, quæ vectem in partes æque ponde- rantes diuidebat, in CI. Iam igitur non æqueponderant partes, $i quidem pars vectis FCI, aufertur parti HCI, & adiungitur parti ICL, quæ ideo $it pondero$ior, vnde & potentia ad ponderis eleuationem adiuuatur. Eadem i- gitur vtitur hic demon$tratione, quam in explicando ef- fectu libræ, cuius fulcimentum deor$um e$t, adhibuerat. Nec alia de cau$$a, vt $uprà notauimus, videtur eius libræ in $uperiori quæ$tione, con$iderationem introduxi$$e. Et $anè verum e$t quod concludit, Veruntamen minimi e$t momenti ad tantam vim parua illa adiectio, quæ parti ve- ctis depre$$æ in ip$a depre$$ione adiungitur. Aliunde igi- tur tantæ rei cau$$a e$t petenda, quod & nos deinceps fa- ciemus. Videtur autem ip$e quoque Ari$toteles non $ibi pror$us in a$$ignata ratione $atis feci$$e, & ideo $ubiungit: quoniam ab æquali pondere celerius mouetur maior ca- rum quæ à centro $unt duo verò pondera; quod mouet & <foot>E 2</foot> <p n=>36</p> quod mouetur, quod igitur motum pondus ad mouens longitudo patitur ad longitudinem, $emper autem quã- tum ab hypomoch$io (id e$t, fulcimento) di$tabit magis, tanto facilius mouebit. Cau$$a autem <*>, quæ retro com- memorata e$t, quoniam quæ plus à centro di$tat maiotē de$cribit circulum. quare ab eadem potentia plus $upera- biturid quod mouetur, quæ plus à fulcimento di$$at. H&<*>cedil;c ille, qui a$$erit duo pondera in vecte con$iderari, Pondus nempe motum, & mouentem Potentiam (hanc enim pō- deris habere vim atq; rationem certum e$t) Vires autem potentiam acquirere ex brachij longitudine, & ex inde con$equenti velocitate, quo enim brachia longiora, eo in extremitate velociora, atque idcirco ita $e habere mo- tum pondus ad potentiam mouentem, vt brachij longi- tudo ad brachij longitudinem: brachia autem vocamus, partes illas vectis, quæ à fulcimento ad vtranque vectis extremitatem pertingunt, & ideo quantum à fulcimento potentia di$tabit magis, eo faciliùs pondus mouebit. <p>Vera vtique & explorati$$ima hæc a$$ertio e$t. Ve- runtamen, cau$$am huiu$ce mirabilis effectus, e$$e velo- citatem, quæ brachij longitudinem con$equitur, non af- firmamus. quæ enim velocitas in re $tante? Stant autem vectis, & libra dum manent in æquilibrio, & nihilo $ecius parua potentia ingens $u$tinet pondus. <p>Dicet ad hæc qui$piam, velocitatem in longiori bra- chio $i non actu, $altem potentiâ e$$e maiorem. At quæ$o quid in re quæ e$t actu, momenti habet potentia? actu e- nim $u$tinet, $u$tinens. Con$equìtur, (id vtique fatemur) nece$$ariò velocitas maior motu brachij maioris; non ta- men cau$$a e$t cur vis loco vbi velocitas maior $it, appo$i- ta magis moueat. Sanè ex velocitate, dum mouentur, pō- dus acquirere corpora, tum proiecta, tum cadentia cer- tum e$t, quod etiam in quæ$tione 19. cum Philo$opho cō- <p n=>37</p> $i derabimus. Sed hoc ex velocitate & motu $it, quæ $unt actu. At brachia in ip$o æquilibrio $u$tinent actu quidem, $ed non mouentur. Cæterum videtur A riftoteles id $ub- odora$$e, quod po$tea Archimedes, Mechanicorum prin- ceps, in propo$. 6. primi Æqueponderantium explicitè protulit & probauit: nempe in æquilibrio ita e$$e pondus ad pondus, vt brachium ad brachium, ratione permutata. <fig> <p>E$to enim vectis AB, quomodolibet fulcimento diui$us in C. appēdatur autem in A, pondus D, in B verò pondus E, ita $e habens ad pondus D, vtip$a AC ad CB. Stabit igitur ve- ctis, & neutram in partem verget, erit enim centrum gra- uitatis in C, diui$o nempe ibi vecte in partes æque ponde- rantes. Hoc po$t Archimedem, & in$ignes illos veteres Mechanicos præclari$$imè demon$trauit G. Vbaldus in Mechanicis, Tractatu de Libra propo$. 6. nec non de Ve- cte propo$. 4. <p>Cæterùm vt aliquid interim, quod no$trum $it, affe- ramus, liceat nobis egregios illos viros interrogare, quæ- nam mirabilis eius effectionis $it cau$$a? Dicent permu- tatam proportionem. Teneo, at nondum acquie$co: pe- tam enim, Cur ea rationis permutatio mirabilem illum effectum pariat. Hoc quod illi non do cent, puto nos, i- gnorantiæ $omno $epultos, $omnia$$e. <fig> <p>Æqualitatem $tatus e$$e cau$$am, nemo, vt puto, inficiabitur. res e$t enim per $e clara. E$to $i- quidem linea quæpiam AB, applicetur extremitati A po- <foot>E 3</foot> <p n=>38</p> tentia quæ dam quæ lineam ad $e trahat ad partes nempe A, Tum in B quædam alia potentia ip$i quæ in A potenti<17>, æqualis, quæ lin eam trahat $imili modo ad partes B. Datâ igitur harum potentiarum æqualitate, linea AB, nec ad partes A, nec ad partes B transferetur, $ed pror$us immo- bilis $tabit. <p>His ita con$titutis, Dico vecte quomodolibet diui$o, ponderibu$que vtrinque appo$itis, permutatâ propor- tione $ibi inuicem re$pondentibus, rem e$$e redactam ad æqualitatem, & inde $tatum fieri, hoc e$t, æquilibrium. <fig> <p>E$to enim vectis AB, quo modo libet diui$us in C, & ip$i quidem C fulcimentum $upponatur. Appendantur quo que vtrinque pondera ex ratione brachiorum AC, CB, $ibi inuicem permutatim re$pondentia, $int<13>; DE. Dico vectem ex æqualitate, in neutram partem inclina- turū, $ed perman$urum in æquilibrio. quoniam enim Pō- dus D idem pote$t quod brachium CB, addatur in dire- ctum ip$i AC, recta AF æqualis ip$i CB, item quoniam Pondus E id pote$t quod brachium AC, rectæ CB ad- datur in directum BG, ip$i AC æqualis. Igitur cum par- tes CA, AF totius FC, æquales $int partibus CB, BG, totius CG, erit totum FC, toti CG æquale. Diui$us ita- <p n=>39</p> que erit vectis FG in partes æquales FC, CG in puncto fulcimenti C. Et quoniam æquale in æquale non agit, $tabit vectis & in neutram partem inclinabit. Rur$um quoniam ad partem FC, duæ $unt brachiorum potentiæ FA, HC, appendantur puncto F, duo pondera H, I, ip$is DE æqualia, item puncto G, alia duo pondera ij$dem DE æqualia KL, iterum æqueponderabit, quippe quod æ- quahbus brachijs FCCG æqualia appen$a $int pondera HI KL. Cur igitur $eruata permutatim brachiorum & ponderum proportione fiat æquilibrium, ex his quæ de- mon$trauimus, clarè patet. <p>Sed forte dicet qui$piam, $i brachia, pondera $unt, vel ponderibus æquipollentia, $u$tinenti duplicabitur pondus. <fig> <p>E$to enim vectis AB, ita diui$us in C, vt pars maior CB minori AC $it in proportione quintu- pla. Appendatur autem in A pondus D, quintuplū ponderi E appen$o in B. Si igitur brachio AC, quod e$t vnum, ad datur pondus D, quod e$t quinque, fi ent $ex, item $i brachio CB, quod e$t quinque, addatur pondus E, quod e$t vnum, fient $ex. Fulcimentum igitur $u$tinebit duodecim, quod e$t ab- $urdum ex ijs quæ clarè demon$trauit G. Vbald. in Me- chan. tractatu de Libra propo$. 5. His re$pondemus, bra- chia quidem operari non pondere, $ed potentiâ, quæ vis quædam e$t, non autem pondus. Et$i & illud verum $it, da- to vecte pondero$o, fulcimentum rum ponderum appen- $orum, tum vectis ip$ius pondus $u$tinere. <p>Iacta huiu$cemodi, quam diximus, æqualitate, $e- <p n=>40</p> quitur nece$$ariò, centrum grauitatis ip$ius vectis cum appen$is ponderibus, ac $i vnum idem<13>ue e$$et corpus cadere in perpen diculari quæ per centrum ip$um & ful- cimentum tran$iens ad mundi centrum pertingit. <HEAD>QVÆSTIO IV.</HEAD> <HEAD><I>Quærit hic Ari$toteles, cur ij qui in nauis medio $unt remiges ma- ximè nauem moueant?</I></HEAD> <p>Ait, ideo forta$$e fieri, quò dremus vectis $it, fulcimen- tum verò $calmus, $tat enim. Pondus autem marei- p$um, quod à remo propellitur, mouens verò ip$um remi- gem, $emper autem plus mouere ponderis quimouet, quo magis di$tatà fulcimento. Ita enim maiorem fieri quæ ex centro; Scalmum verò centrum e$$e. Cæterùmin medio nauis plurimum remi intus e$$e. Ibi enim nauem e$$e lati$$imam. Moueri autem nauim, quoniam appellē- te mariremo, extremū illius quod intus e$t anterius pro- mouctur, cuius motum nauis $equitur, cui $calmus alliga- tur. Vbiautem plurimum maris diuidit remus, eo maximè nece$$e e$$e propelli. Plurimum autem diuidi vbi plurima pars remi à $calmo e$t. Rem facilem, eo quod verbis potu- erit, $chemate non declarauit, nos autem apponemus. <fig> <p>E$to enim nauis AB, mare CD, remorum alter, quiad proram EF, cu- ius $calmus G, alterverò in medio na- uis, HI, circa $calmum K. Ait igitur, remos e$$e vectes, $calmos verò fulci- menta, pondus quod remo, ceu vecte, mouetur mare ip$um. Itaque quoniam nauis lata e$t in medio vbi Scalmus K maior pars KH intra nauim e$t, minor verò KI, extra. Contra autem remiad proram, nempe EF pars minor EG <p n=>41</p> intra nauim, pars verò maior GF extra nauim e$t. Pondus autem cò faciliùs mouctur, quo maior e$t vectis pars, quæ à fulcimento e$t ad mouentem potentiam. <p>Acutè $anè Philo$ophus. Ego autem $i per mode$tiam liceret, dicerem, non quidem e$$e fulcimentum $calmū, $ed mare ip$um, pondus vero nauim, ad locum $calmi, nē- pe inter mouentem potentiam, & fulcimentum po$itum, etenim & eo pacto po$$umus vti vecte, quod ob$eruat & demon$trat G. Vbaldus tractatu de vecte propo$. 2. Erunt igitur in de$cripta figura puncta FI, quæ in mari$unt, ful- cimenta, quibus remorum extrema in ip$aim pul$ione ni- tuntur, pondera verò $eu pondus pluribus vectibus & po- tentijs impul$um nauis ip$a, quæ $calmis e$t annexa. Re$i- $tente igitur mari, cedente autem impul$ionibus $calmo, nauis eo transfertur, quo $calmi ab ip$a potentia mouen- te in anteriorem partem pelluntur. quoniam autem vt FG ad FE ita potentia mouens in E ad pondus motum in G. item vt IK ad IH ita potentia mouens in H ad pon- dus motum in K, maior autem e$t proportio FG ad FE quàm proportio IK ad IH. Maiori indiget potentia vt pellatur pondus in G quàm pondus in K. <p>Hæc certè vti diximus ita $e habent. Philo$ophi au- tem ratio tunc procederet, $i $tante naui immobili, vt fit vbi à Remoræ occulta vi aut ab alio impedimento reti- netur, remiges in ip$o remigandi actu mare pul$arent, Tunc enim verè $calmus fieret fulcimentum, mare autem pondus, remex verò ip$e mouens. <p>Addimus, fal$um videri quod a$$erit Ari$toteles, nempeillos qui in media naui $unt, remiges, maximè na- uim mouere; facilius, melius dixi$$et. Si enim maximè, quod ait, denorat, maximo $patio, & velocius pror$us fal- $um, etenim tardius mouent & minori $patio, quod nos i- ta demon$tramus. <foot>F</foot> <p n=>42</p> <fig> <p>E$to enim Remus AB qui marí fulcitur in B, Scal- mus remi qui ad prorã pup- pimue C, qui in media naui D, maior autem remi pars e$t à $calmo Dad A quami- p$ius C 2d A, Pellantur remi & $tante ceu centro BA, in E. eodem igitur tempore C eritin F, & D in G, $ed maiu<*> e$t $patium CF $patio DG, Ergo vnica impul$ione, plus mouit $calmum, hoc e$t, nauim, potentia ad puppim pro- ramue remigans, quàm ea quæ operatur in media naui vt $entire vid<*>batur ($i modo is e$t eius $en$us) Ari$toteles. Nece$$arium igitur e$t, quodait, maximè intelligendum, faciliùs, Veritatem hanc cogno$centes Triremium præ- fecti robu$tiores quidem remiges ad proram & puppim, inualidiores vcrò circa mediam triremem collocant. <HEAD>QVÆSTIO V.</HEAD> <HEAD><I>Dubitat<*>r, Cur paruum exi$tens gubernaculum, & in extremo nauigio tantas habeat vires, vt ab exiguo temone, & ab hominis vnius viribus alioqui modicè vtentis magnæ nauigiorum moueantur moles?</I></HEAD> <p>AN, inquit, quoniam gubernaculum vectis e$t, onus autem mare, Gubernator vero mouens e$t? Non au- tem $ecundùm latitudinem veluti remus, mare accipit gubernaculum; non enim in ante nauigium mouet, $edi- p$um commotum mare accipiens inclinat obliquè. quo- niam enim pondus e$t mare contrario innixum modo na- uem inclinat. fulcimentum enimin contrarium ver$atur, mare vetò interius, & illud exterius. illud autem $equitur nauis quæ illi e$t alligata & remus quidem $ecundum la- titudinem onus propellens & ab eodem repul$us in re- <p n=>43</p> ctum propellit, Gubernaculum verò, vt obliquum iacet hinc inde in obliquum motionem facit. in extremo autē, non in medio iacet, quoniam mouenti fa cillimum e$t mo- tum moucre: prima enim pars celerrimè fertur, & quo- niam, quemadmodum in ijs quæ feruntur in fine deficit latio, $ic ip$ius continui in finem, imbecillima e$t latio. Imbecillima autem ad expellendum e$t facilis. Propter hæc igitur in puppi gubernaculum ponitur, nec minus, quoniam paruaibi motione facta, multo maior fit in vlti- mo, quia æqualis angulus $emper maiorem ad$pectat, tã- to <13>ue magis, quanto maiores fuerint illæ, quæ continent. Exijs ctiam manife$tum e$t, quam ob cau$$am magis in contrarium procedit nauigium, quam remi ip$ius palmu- la, eadem enim magnitudo ij$dem mota viribus in aëre plus quàm in aqua progreditur. Hæc Philo$ophus, qui haudquaquam ex more $uo, quod duobus ferè poterat, $excentis verbis expo$uit. Licebat enimid tantum dicere, Gubernaculum (ita vocatid totum quod gubernaculo & temone con$tat) e$$e ceuremum, quo nauis non antror- $um, $ed obliquè & ad latus mouetur. quamobrem omnia ferè quæ de Temone dicenda fuerant, de remo loquens proponit. Aitautem. <fig> <p>Sit remus AB, $calmus vero C, remi in nauigio principiū A, palmula autem, quæ in mari B. Si igi- tur A, vbi D transla- tum e$t, non erit B v- bi E. æqualis enim, BE ip$i AD, æquale igitur translatum erit, $ed erat minus. eritigitur vbi F, mi- nor enim BF, ip$a AD, quareip$o GF ip$a DG. Hæc <foot>F 2</foot> <p n=>44</p> demon$tratio licet vera videatur, rei ta men, de qua e$t $ermo, minimè aptatur. Si enim aptaretur in ip$ius remi motu, cum palmula e$$et in F, $calmus ficret in G, excur- reretergo vel $calmus per remum, vel remus per $calmū, facta nempe ciu$modi translatione de C in G, & $ic intra nauim modo e$$et pars remi DC, modò verò GD, quod tamen non $ieri ipsâ experientia docemur. Illud quoque fal$um e$t, nauim ip$am tantum moueri in aëre, quantum e$t $patium AD, hoc e$t, remi extremum quod e$t in naui, $iquidem $calmi motu, non autem manubrij remi, nauis agatur. Aliter igitur res $e habet, & forte hoc pacto. <fig> <p>Sit remus AB, cuíus manubrium A, palmula B, $calmus C. Pellatur an- tror$us A, fiat<13>; in D, tunc $i æqualiter mouerentur manubrium & palmula, i- p$a palmula ficret in G, at minus mouetur: fiet ergo in E. ip$e verò $calmus C translatus erit in F, mota<13>; erit nauis à C in F, non autem ab A in D. P o$uitautem Ari$toteles $calmum ad medium remi, $ed non ad medium collocari $olet, maior enim pars in mare propendet puta HB, quo ca$u translationis $pa- tium fit maius, nempe ab H in I. fit autem motus $calmi ex centris qui $unt in $patio ip$o BE, quatenus autem ad te- monem pertinet, quem remum ait, obliquè puppim ip$am propellentem, ita $e res habet. <p>E$to nauis carina AB, prora A, puppis B, Temonis ala BC, gubernaculum BD, cardo verò fulcimentumue B; factaitaque impul$ione obliquâ gubernaculi à D in E, minor fiet motus in mari à C in F, erit<13>ue temo vbi EGF, <p n=>45</p> <fig> cardo verò vbi G, translata igitur e- rit eo motu, puppis ip$a à B in G. facta itaque paruâ motione puppis ex B in G, prora ip$a quæ longè di$tat à pup- pi B maiori $patio $uperato translata erit in H facta proræ in contrariam partem ab ea quæ facta e$t guberna- culi motione. Porrò quod & in præ- cedente quæ$tione a dnotauimus, lō- gè meliùs procedet demon$tratio $i fulcimentū mare intelligatur, quàm $calmus, neque enim mare ceu pon- dus, $ed $calmus ip$e Temonisuecardo, ponderum in$tar transferuntur. <p>Cæterùm in hac $peculatione liceat nobis aliquan- tulum à Philo$opho di$$entire. Certè $i breuitas Temo- nis, è puppi eminentis, re$pectu longitudinis totius nauis con$ideretur, & parua motio, quæ temone guberna culo- ue moto fit, nullius ferè momenti erit ad eam quæ in pro. ra fit translationem. aliter ergo $e rem habere non dubi- tamus, & quæ$tionis $olutionem aliunde petendam. Na- uinon currentenullum ferè, aut qui vix curandus $it ex gubernaculi conuer$ione nauis ad dextram $ini$tramue motum fieri. at eâ currente maximum, experientiâ doce- mur. Obliqui igitur motus qui validèin puppi $it, cau$$a e$t non quidem ex conuer$ione temonis percu$$io maris, $ed mare ip$um, cuius fluctus naui currente obliquam te- monis alam ad eam partem quæ mari obuertitur, impel- lentes temonem cum puppiad contrariam partem vali- di$$imè transferunt. <p>E$to nauis carina AB, prora B, puppis A, Temo AC, gubernaculum AD; Itaque currentenaui, Temone in- terim & guberna culo in eadem carinæ linea exi$tentibus, <foot>F <I>3</I></foot> <p n=>46</p> <fig> Temo quidem mare $ecat, nulla fa- ctâ in puppi, nauis ad $ini$tram dex- tramue translatione. Si verò mouea- tur gubernaculum à D in E, co moto mouebitur aliquantulum & puppis ad partes E, quod voluit Ari$toteles. Sedminimi, vt diximus, ea res ad tan- tum effectum e$t momenti. Temone autem in obliquum cō$tituto vt AF, naui interim, ventorum aut remorum vi pul$a proram ver$us currente te- monis latus à fluctibus obliquam par- tem alamue in ip$o cur$u ferientibus, in contrariam partem transfertur, ad eam nempe, ad quam ip$um gubernaculum vergit. facta i- gitur nauis ceu circa centrum centraue quæ in carina in- ter puppim proramue con$i derantur A, fertur in G, prora verò in H. ex quibus manife$tè apparet, duo ad nauis ex temone in puppi conuer$ione motionem e$$e ne ce$$aria; Temonis nempe obliquationem, & nauis cur$um, quorū $i alterum $ine altero adhibeatur, nullam fieri quæ alicu- ius momenti $it, nauis conuer$ionem. Illud quoque nota- mus, carinam in nauis conuer$ione vectis in$tar $e habere, cuius pars mota ad puppim, & mouens potentia e$t; fulci- mentum verò circa proram, potentia autem mouens ma- reip$um, temonem in nauis cur$u oblique feriens. Vnde colligimus naues, quo longiores $unt in mouente ad Te- monem adhibita maiori facilitate ad dextram $ini$tram- ue propelli: quod $anè ip$emet con$iderauit Ari$toteles, quì idcirco inquir, in extremo, non autem in medio temo- nem poni eo quod mouenti facilimum $it ab extremo motum mouere. <p>Ex hac no$trâ $peculatione ratio habetur eius ma- <p n=>47</p> chinationis, quâ in magnis fluminibus, ceu Pado, Abdua & $imilibus, Portitores, equos, currus, viatore$<13>; ip$os, è ripa in ripam transferunt. Pulcherrima enim res e$t, & nobis per$pecti$$ima, qui Gua$tallâ re$identiæ olim no- $træ oppido ad Padum, Mantuam pergentes $æpi$$imè ad Ca$trum B<*>rgi Iu$is ea qua diximus machinatione lati$- $imum eiu$dem Padi aluum tran$ie cimus. Habet autem $e hoc pacto. <fig> <p>E$to fluminis citerior ripa AB, vlterior CD. Pon- tones duo tabulis $trati, & v- nà firmiter juncti EF, Temo inter eorum puppes extans GH, locus in ripa $tabilis A, funis, quo pontones, & ma- china tota continetur AI. fluuij decur$us ver$us BD, $tantibus itaque pontonibus ad ripam citeriorem AB, Te- mone in neutrã partem pul- $o, cum aqua decurrens eum re$i$tentem non inueniat, $cinditur quidem ab eo, $ed non propellit, eo autem con- uer$o & in GK con$tituto, a- la eius GK ab aqua defluente propul$a machinam $ecum trahit ver$us ripam CD, factâ motione circa centrum $eu $tabilem locum A, otio$is interim portitoribus, donec per circuli portionem ML deuenerit ad vlteriorem ripam in L. Vnde iterum temone in contrariam partem conuer$o, aquâ $imiliter temonem propellente, per eandem circuli portionem ad ripam citeriorem reuertitur, à qua paullo antè di$ce$$erat. Ex quibus apparet, motus cau$$am non <p n=>48</p> e$$e $olam cam, quæ ab ala temonis fit, aquæ percu$$ionē, vt $en$erat Ari$toteles, $ed currentis a quæ temonis alam ferientis impul$ion<*>m: nihil autem referre, vtrum $tante naui a qua currat, vel câ currente a qua $tet, vt in mari fit, idem enim vtroque modo temo patitur. Vt autem machi- næ huius & totius negotij $pecies facilius animo concipia- tur, $chema hoc $tudio $orum oculis $ubijciemus. <fig> <p>Lembi nauiculæueideo appo$itæ $unt, vt oblongum funem $u$tineant; id etenim nî fieret, aquæ immer$us a- quam $cindens machinæ motum impediret, ideo etiam apponuntur, ne funis madens celeriter maceretur & pu- tre$cat. <p>Huic $peculationi affinis e$t ea, velorum eorum, quæ obliquè ventum, excipientia frumentarijs molis dant motum, item verticillorum ex papyro, quibus con- tra ventum currentes per lu$um pueri vtuntur. vnicum <p n=>49</p> enim horum emnium principium, & eadem, ratio. <p>Diximus enim, Temonem currente naui, lateraliter conuer$um obuios fluctus ex cipientem puppim ip$am ob- liquè in alteram partem transferre. Porrò ea vela, de qui- bus loquimur, ventorum flatibus obliquè oppo$ita can- dem ob cau$$am circulariter agitantur, quodvt figurâ eui- dentius fiat, <fig> <p>E$to velum AB, brachio CE obliquè affixum, ita vt angulus ACE maior $it an- gulo BCE, ventus obliquè velum feriens FG. Itaq; quo- niam ventus in velum obli. quum incidit, elabiturvelum, & circa centrum E vnà cum brachio circumuertitur, in cuius locum $uccedit velum HI, ex qua a$$idua velorum $ucce$$ione, brachiorum & a- xis cui adhærent, rotatio fit perpetua. Sed enim de Te- mone agentes non e$t interim cur de caudis auium pi$ci- umque taceamus, in$tar enim remonum $unt à Naturai- p$a opportunis animalium partibus, po$tremis videlicet, appo$iti, quanquam nec$olum Temonis v$um præ$tent, vt videbimus. <p>E$to pi$cis AB, cuius caput A, cauda verò CB. Hac igitur neutram in partem reflexâ, pi$cis pinnarum motu rectâ in anteriorem partem progreditur. Si autem nece$- $e ei fuerit ad dextram $ini$tram<13>ue conuerti non pote- rit, ni$i cauda ip$a iuuetur. Omnis enim motus progre$$i- uus quiete indiget, nec ab$q; $tabili fulcimento progredi <foot>G</foot> <p n=>50</p> <fig> pote$t, quod in libris de ani- malium ince$$u docetip$e- met Philo$ophus. Sit igitur, pi$cem conuerti velle, & fie- ri capite in D, deflectet illi- co caudam in E, ca<13>; aquam ceu $tabile quippiam feriēs ei<13>ue quod<*>mmodo fultus, reliquum corpus CA refle- ctet in D, $i autem conuerti velit in F, caudam defle ctet in G, & eadem ratione <*> cte- tur in F. Sed & Temonis quoque v$um præ$tat natatili- bus & volatilibus cauda. Sit enim rectus pi$cis, hoc e$t, re- ctâ pergens IKL, caudam obliquet in KM itaque ex a- quæ in ip$o motu colli$ione, eius po$teriora pellentur vbi INO. Hæc itaque nos de Temone, quatenus ad hanc quæ$tionem pertinet, con$idera$$e $it $atis. <HEAD>QVÆSTIO VI.</HEAD> <HEAD><I>Dubitatur, Cur quanto Antenna $ublimior fuerit, ÿ$dem velis, & vento eodem celeriùs ferantur nauigia?</I></HEAD> <p>Soluit Philo$ophus, inquiens: An quia malus quidem $it vectis, fulcimentum verò mali $edes, in qua colloca- tur, pondus autem quod moueri debet, ip$um nauigium: mouens verò is, qui vela tendit $piritus? Si igitur quanto remotior fuerit fulcimentum facilius cadem potentia, & citiùs idem mouet pondus, altius certè $ublatâ antennâ, velum à mali $ede, qu<17> fulcimentum e$t remotius faciens, id efficiet. Hæcille. quæ $ic figurâ explicamus. <p n=>51</p> <fig> <p>E$to nauis AB, malus CD, mali $edes D, locus antennæ $ublimior C, depre$$ior E: ita- que quoniam CD vectis e$t, quo mouens remotior fuerit à fulcimento D, co citiùs & vio- lentiùs pellet, velocius ergo nauis mouebitur antenna in C, quàm in E, con$tituta. <p>Plau$ibilia $unt hæc, at certè per veritatem ip$am, non vera. Rogo, Si fulcimentum dum vectis mouetur, cē- trum e$t, centrum vtique motus erit D. $pirante igitur va- lidè vento inclinabitur malus, fiet<13>; vbi FGD, quæ qui- dem in clinatio vio lentius fiet, vento pellentein F q uàm in G, vtpote puncto à fulcimento remotiore. Impul$o ma- lo, duo nece$$ariò cō$equentur, vel enim ad ip$am $edem D. frangetur vel puppis ip$a circa D punctum conuer$a, vt mali $e quatur motum eleuabitur. Prora verò $ubmer- getur facta naui in HDI. Quod $i qui$piam funem ad ma- li $ummitatem annexam ad ip$am puppim alligauerit in B, impe dietur $anè mali in clinatio ad partes F, & ideo nul- la vis pror$us fiet in D ex vectis ratione. Attamen nihilo $ecius, quo $ublimior fuerit antenna, eo faciliùs à $pirante vento puppis eleuabitur. quatenus igitur malus vectis e$t, hoc tantum quod dicimus operatur. Quod $i contrà obiectum fuerit, experientiam docere, quo $ublimior an- tenna fuerit, eo citiùs nauigium, $piritu flante moueri. Re$pon$io facilis, nempe, mirum non e$$e, $i mali pars $ub- limior validius à vento feriatur. Videmus enim, & turres quo $ublimiores fuerint, eo magis à ventorum impetuo$is flatibus infe$tari, quod $anè ad vectis longitudinem refer- re, e$$et ridiculum. Cætcrùm quod ad puppis faciliorem eleuationem ex mali ip$ius altitudine pertinet, ad vectis <foot>G 2</foot> <p n=>52</p> contemplationem reducimus. e$t enim quæ dam vectium $pecies ab alijs non con$iderata, cuius brachia in angu- lum de$inunt, vtip$e angulus in operatione $it fulcimen- tum. <fig> <p>E$to enim vectis, de quo agimus, ABC, cuius brachia AB, BC. iuncta ad angulum B, $it<13>ue B in operatione fulc mentum. Nec quicquam refert quatenus ad v$um pertinet, vtrum an- gulus ip$e rectus $it, acutus vel obtu- $us. $it autem modò rectus. Ponaturi- gitur pondus aliquod in C, tum po- tentia quædam applicetur in A, qu<17> i- p$am vectis extremitatem A propel- lat in D. erit igitur AB in DB & an- gulo $eruato BC in BE. Pondus igi- tur cum parte vectis BC eleuabitur in E. In hoc autem vectis genere attenditur proportio quam habet AB ad BC. Si enim potentia quæ applicatur in A ita $e habet ad pondus in C vt CB, ip$i BA, fiet æ quilibrium. Si maior autem fuerit proportio potentiæ in A, ad pondus in C, ea quam habet AB ad BC, $uperatâ ponderis re$i$tentiâ fiet motus. Res autem haud aliter $e habet, ac $i producta in F, fieret BF æqualis BC. Tunc enim vectis ad rectitudi- nem, $eruatâ proportione, redigeretur, & ita potentia in A, fulcimento B operaretur in F, vt operabatur in C. <p>Ad huius vectis naturam referuntur fabrorum mal- lei, quibus clauos reuellunt, forcipes item quæ tenaci mor$u clauorum capita vmbellasue apprendentes, vio- lenterè tabulis extrahunt. In malleo itaque $ubtili, vt in figura videre e$t, AB vectis e$t pars quæ à fulcimento ad potentiam; ac verò quæ à fulcimento ad pondus, ponderi <p n=>53</p> <fig> $iquidem æquiparatur re$i- $tentia qu<17> fit in C. I dem ob- $eruamus in forcipe, in quo duo quidem brachia AD, CB, quatenus ad appren$io- nem pertinet, fulcimentum, habentin ip$o cētro $eu ver- rebra, & ideo quo longiores fuerint, eo tenaciùs appre- hendunt & retinent. quate- nus autem ad extractionem, facit, pro vnico forceps totus habetur vecte, cuius quidē pars à potentia ad fulcimentum AB. quæ verò à fulcimē- to ad hoc e$t clauum ip$um qui reuellitur AC. Violenti$- $imè autem extrahunt forcipes, propterea quod maxima $it proportio longitudinis brachij BA, ad eam quæ e$t ab A ad C. <p>His igitur hoc pacto examinatis, ad nauim & malum reuertentes, dicimus, tunc facillimam fieri puppis eleua- tionem, proræ verò demer$ionem, cum maxima fuerit proportio, quam habet altitudo mali, ad eam nauis partē quæ à malo ad ip$am puppis extremitatem, pertingit. Quamobrem prudentes nauium fabri, vt huic difficultati occurrant, malum non in medio quidem nauis, $ed in ter- tia ferè parte longitudinis quæ à prora e$t, puppim ver$us con$tituunt. <fig> <p>E$to enim nauis AB; cuius malus CD: prora A: puppis B; vē- to igitur velum impellente, malū ad partem contrariam vergit, pu- ta in FD. At quoniã ca<*>che$ium funi ad puppim vnitur in B, nauim, hoc e$t, ip$am puppim trahatne- <foot>G 3</foot> <p n=>54</p> ce$$e e$t. non pote$t autem; quoniam $uburræ grauitas & onera, quæ naui impo$ita inter D. & <I>B.</I> grauitatis centrum circa punctum E con$tituunt, quod quidem vi ventorum inclinante malo ab E, in G eleuaretur, quo igitur minor fuerit proportio CD ad DE & maius pondus ip$um cu- ius grauitatis centrum in E minus præualebit potentia pellens in C ad eleu<*>tionem partis nauigij, quæ à mali $e- de ad puppim intercedit, An igitur malus $it vectis, pesve- rò fulcimentum, pondus autem quodvecte mouetur, ipsū nauigium, vt placuit Ari$toteli, & qua item ratione malus in nauim vt vectis operetur, exijs qu<17> dicta $unt, facilè pa- tet. <HEAD>QVÆSTIO VII.</HEAD> <HEAD><I>Quaritur, Cur quando ex puppi nauigare voluerint, non flante ex puppi vento, veli quidem partem, quæ ad gubernatorem vergit, con$tringunt; illam verò quæ proram ver$us e$t, pedem facientes, relaxant?</I></HEAD> <p>Mirabilis huius effe ctionis cau$$am explicat Ari$tote- les. inquit enim, An quia retrahere quidem multo exi$tente vento gubernaculum non pote$t, pauco autem pote$t, quem con$tringunt? propellit igitur quidem ip$e ventus, in puppim verò illum con$tituit gubernaculum, retrahens, & mare compellens: $imul & nautæ ip$i cum vento contendunt; in contrariam enim $e reclinant par- tem. Hæcille. <p>Cuius $en$um breuitate $ubob$curum, mirâ facilita- te explicat Picolomineus. Nos autem vt rem lucidiorem faciamus, $chema, quod necip$e fecit, nec Philo$ophus, proponemus. <p>E$to nauis A <I>B</I>, cuius prora A, puppis verò D, guber- naculum C<I>B</I>, temonis ala <I>B</I>D, veli $inus EF, velum vero ita con$titutum, vt directè ex puppi flantem ventum exci- <p n=>55</p> <fig> piat. Hoc vbi euenerit, naui- gium, rectâ è puppi mouetur in proram; Si autem ventus la- teraliter $pirat, puta à parte G ver$us H & nihilo $ecius na- uigium, ac $i ventus ex pup- pi e$$et antror$um propelle- re volunt, velum quidem obli- quant partem cius infimam, pedem nempe, quæ e$t in F contrahentes, Cornu verò antennæ vbi E, proram ver$us laxantes ventum<13>; ip$um obliquè ex cipientesid efficiūt, vt ventus minus violenter feriat, & minori $ui parte velū impleat, & quoniam ventus velum pellit in partem con- trariam, nempe in H, ip$ivt vento re$i$tant conuer$o gu- bernaculo ex C in L, & temone <I>B</I>D, in <I>B</I>M compellunt proram ad partem à qua ventu<*> ip$e $pirat. Sit igitur inter ventum & temonem pugna, illo proram in dextram, hoc verò eandem in $ini$tram pellente, itaq; cum neuter præ- ualeat, nece$$ario nauis mediam viam, quæ inter vtramq; e$t, $uo cur$u tenet. Nautæ autem ideo in partem nauis AE<I>B</I>, quæ ver$us ventum e$t, $e conferunt, vt vento æqui- librium faciant, ne $cilicetnaui in cōtrariam partem pel- lente $piritu, eam demergat. Cæterùm quod nec Ari$to- teles nec Picolomineus animaduerterunt, velum obli- què con$titutum à vento in anteriora impellitur eandem ob cau$$am, quam retulimus, vbi de temone & velis, qui- bus farin ariæ molæ cōuertuntur, verba faceremus. Quod autem addit Picolomineus rem ad vectem reduci po$$e, non e$t cur $ub $ilentio prætereamus. Ventus, in quit, pon- deris gubernaculum mouentis vicem obtinet; centrum verò (fulcimentum intelligit) in medio nauis e$t, quod ta- <p n=>56</p> men ad proram vergit, vt faciliùs ip$i vento re$i$tere po$- $it. Tunc enim in rectum mouebitur nauis, cum $ibi inui- cem æ quatæ vires, qua$i libramentum con$tituerint. Hæc ille, cuius $en$um figurâ propo$itâ facilè aperiemus. <fig> <p>E$to carina AB, cuius prora A, puppis, B temo BC, ventus verò obliquè feriens H. Conuer$us ita- que temo vt in BC vndarum vi cur- rente naui repul$us $it in EF ten- dens ver$us I, quo ca$u prora con- uertitur in D, nempe contra ventū qui $pirat ex H. fit autem conuer- $io circa punctum G, quod fulcimenti locum obtinet. Vē- tus verò ad contrariam partē proram impellit, repugnans Temonis violentiæ contra ip$am proram dirigentis. E$t i- gitur AB, $eu DE carina, in$tar vectis, cuius fulcimentum G, vis mouens mare quo temo EF repellitur, pondus ve- ro, ventus premens in D; quo igitur remotior erittemo à fulcimento G, D autem vbi pondus ei vicinius, eo magis temo venti vim$uperabit. Hæc Picolominei ratio, quam explicauimus, $anè ingenio$a e$t, verum enimuero, quo- niam fulcimentum $ui naturâ $tare debet, hic verò nullã habeat $ta bilitatem, difficultatem patitur. <HEAD>QVÆSTIO VIII.</HEAD> <HEAD><I>Quæritur, Cur ex figuris omnibus rotundæ faciliùs moueantur?</I></HEAD> <p>Trifariam, in quit Ari$toteles, circulum rotari contin- git; Aut $ecundum ab$idem cētro $imul moto, quem- admodum plau$tri vertitur rota; aut circa manens cen- trum, velutitrochleæ puteorum, $tante centro: Autin pa- uimento manente centro, $icuti figuli rota conuertitur. <p n=>57</p> Cau$$am verò explicans, ait, celerrima eiu$modi corpora e$$e, eo quod paruâ $ui parte planum contingunt, vti cir- culus $e cundum punctum, item quoniam non offen$ant: Non offen$andi vero e$$e cau$$am, quod $emotum à terra habeant angulum. Item propterea quod corpus, cui fiunt obuiam, $ecundum pu$illum tangunt. Rectilineo autem aliter euenire, quippe quod rectitudine $uâ, multum pla- ni contingat. Ad hæc, quo nutat pondus eo mouentem mouere. <p>Hæc ferè Philo$ophus, cuius rationes ad eum $olum- modo circularem motum faciunt, qui fit $e cundum ab$i- dem, vt in carrorum rotis v$u venit, nec aptantur rotis fi- gulorum trochlei$<13>ue, cuiu$modi $unt illæ, quæ $upra puteos appenduntur. Nos igitur, ad Ari$totelis mentem, primam rotationis $peciem, quæ e$t $ecundum ab$idem, examinabimus. <fig> <p>E$to rota $phæ- raue AB, cuius cen- trum C; Horizontis planum DE; conta- ctus circuli in plano B. perpē dicularis ho- rizonti à puncto cō- tactus B ip$a <I>B</I>CA, tran$iens per centrū C, partes rotæ circa perpendicularem AF<I>B</I>, AG<I>B</I>, angulus contactus G<I>B</I>E. Primo itaque id con$tat, circulum in puncto planum, $eu lineam contingere. At quoniam, vt Mechanici, de circulis roti$<13>ue $eu $phæris agimus materialibus, rectè Philo$o- phus non in puncto planum præ cisè tangere dixit, $ed $e- cundum partem $ui minimam. Angulum porro, quem à terra $emotum dicit, ip$e angulus e$t contingenti<17>. cleua- <foot>H</foot> <p n=>58</p> tur enim ex <I>B</I> in G. Si autem corpus quodpiam in plano fuerit, puta HI in puncto illud tanget ci culus ei occur- rens, exempli gratiâ in K. Hæc igitur accidunt circulari figuræ. In lateratis autem $ecus fit, quippe quænec in pū- cto $eu $ecundum paruam $ui partem, planum tangunt, nec $emotum vt circulus à plano habent angulum, nec impingentes offen diculum in puncto tangunt. Cæterùm poti$$imam facilitatis motus in rotatione quæ fit $ecun- dum ab$idem, e$$e cau$$am dixit, nempe quò nutat pon- dus cò à mouente impelli ac moueri. Primò igitu circu- laris $phæricaue figura in æquilibrio $tat; æquales enim $unt partes quæ circa perpendicularem: ceu $unt AF<I>B</I>, AG<I>B.</I> $i enim impul$us fiat ex parte F, pars oppo$ita nuta- bit, & propendet in pa<*>tem G, & $uo nutu motu<13>; $ecum trahet partem AF<I>B</I>, fiet<13>ue progre$$us. Si enim ducatur FCG diameter, ip$i horizonti æ que di$tans, erit veluti li- bra, cuius pondera vtrinque AF<I>B</I>, AG<I>B</I>, brachia verò æqualia CF, CG. Potentia autem quâ trahitur pellitur- ue ad in$tar ponderis $e habet, quo addito partium alteri, facto <13>ue rece$$u ab æquilibrio, $equetur motus. Putauêre quidam, vt refert Philo$ophus, circularē lineam, ita per- peti motu ver$atumiri, vt manentia, propte<*> contrarium nixum, manent, neque enim circulus in plano contrarium nixum habet, cum $it, veluti dicebamus, in æquilibrio & facilis in vtramuis partem moueri. Veruntamen perpe- tuum e$$e non po$$e horum corporum motum, ea e$t cau$- $a, quod violentum accidat naturæ, & ideo non durabile. Ad hæc, addit Philo$ophus, Maiores circulos ad minores nutum habere quēdam; & nutum maioris ad minoris nu- tum, $e habere vt angulos ad angulos, & diametrū ad dia- metrum. Angulos autem hî c$ectores ip$os vocat; oportet enim circulos tum maiores tum minores circa idein cen- trum e$$e con$titutos. Hæc autem non ab$imili ab eo quod $uprà po$uimus $chemate explicantur. <p n=>59</p> <fig> <p>E$to enim circulus AB circa centrum, C, Horizontis planum DE, tangens circulum in B, linea verò perpendicu- laris per centrum BCA. Sit autem circa idem cē- trum C, minor circulus FG, ducatur <13>ue CH $e- cu<*> minorem circulum in I, tangens verò maiorem in H, con$tituen$<13>ue cum AC linea angulum ACH, duos an- gulos, ex Ari$totelis mente comprehendentem, hoc e$t, duos $ectores ACH, FCI. quoniam igitur $ector $eu an- gulus ACH, $uo $patio $uperat angulum $eu $ectorem FGI, facilè ex nutu quem maior $upra minorem habet, maior ip$e mìnorem mouet. Videtur autem tacitè Philo- $ophus hæc ad vectis naturam referre, cuius altera extre- mitatum in centro $it, altera verò in ab $ide, & ita $e habe- renutum maioris $upra minorem, vt vectis ad vectem, hoc e$t, $emid<*>ameter ad $emidiametrum, $eu $ector ad $ecto- rem, quos quidem $ectores, vt vidimus, angulos appellat. Hæc autem quæ de nutu refert, licet $ubtilia $int, vera e$- $e non videntur. Si enim in figura producatur ad oppo$i- tam partem $emidiameter HC in K $ecans minorem cir- culum in L, duos alios $ectores angulosue habebimus, nē- pe KCB, LCG, ip$is ACHFCI æ quales. Itaq; quan- tum adiuu at motum anguli ACH maioris nutus, in de- $cendendo ad partes B, tantundem retardat anguli item maioris KCB, contra nutus (vtita appellem) in a$cendē- do ad partes A. & $anè quatenus ad reinaturam pertinet & ad ip$um æquilibrium, non differunt maiores circuli à minoribus, nec $unt maiores minoribus mobiliores, imo ex ali quaratione minores videntur fore ad motum faci- <foot>H 2</foot> <p n=>60</p> liores, tum quia data materiæ æqualitate $unt leuiores, tum etiam quod maior e$t angulus contactus ad planuin circum ferenti<17> minoris quàm maioris circuli, vt in $ubie- <fig> cta figura angulus ABC maior e$t angulo DBC, in materiali i- gitur circulo rotaue maiore $ui parte tanget planum DB circu- lus, ip$o AB. quicquid tamen fit, mobiliores $unt maiores circuli non quidem ex natura circuli, quæ tam in maioribus quàm in ip$is minoribus e$t par, $ed alijs de cau$$is, quas $uo loco examin abimus. <p>Cæterùm vt aliquid de motu qui $e cundum ab$idem fit, ex no$tro penu promamus, Dicimus, Circulos, rota$ue, quæ hoc pacto mouentur, vel per horizontis planum mo- ueri, vel per accliue, aut decliue. Siautem perhorizontis planum, ideo facilem e$$e motum, quòd nunquam, cæte- ris paribus, centrum grauitatis ip$ius corporis à centro mundi, in ip$a rotatione, fiat remotius. <fig> <p>E$to enim planum, horizontis AB, cui circu- lus in$i$tat AD, circa cen- trum C, diui$us per centrū ip$um à perpendiculari ACD; Ducatur autem per centrum C recta linea ho- rizonti æquidi$tans, ECFG: dum diuidatur circulus vt- <*>unque in partes AH, HF, FI, ID, & CI, CH iungan- tur. Po$th æcintelligatur circulum $ecundum ab$idem moueri ad partes G, erit igitur aliquando punctum H, rangens horizontis planum, tangat autem in K, tum F in <p n=>61</p> L, I in N. D verò in O. Ducantur<13>ue KP, LQ, NR, OS ip$i AC parallelæ horizonti autem perpen diculares. Centrum ergo circuli, quod idem & grauitatis e$t centrū, feretur per rectam CPQRS, $unt enim KP, LQ, NR, OS ip$i AC $emidiam etro æquales, nūquam igitur cen- trum ip$um C in circuli rotatione ab horizontis plano e- leuabitur, nec à mundi centro fietremotius. <p>Hoc autem longè aliter cæteris figuris contingit, quarum motus ideo in æ qualis, quòd non $em per in rota- tione centium grauitatis eandem $eruet à mundi centro di$tantiam. <fig> <p>E$to enim Ellip$is ABCD, cuius cētrum E, diameter longior BED, breuior AEC, Horizontis planum, FCG. locus contactus C perpendicularis à contactu per centrum i- p$a CEA diuidens El- lip$im in partes æquales, & æqueponderantes ABC, ADC. Sumantur in quadrante CD, pūcta HI, tum EH, HI iungantur, eritautem EH longior ip$a EC, tum EI, ip$a EH & ED, p$a EI. Rotetur ellip$is $ecun dum ab$i- dem, fiet igitur punctum H in K, & à puncto K horizonti perpendicularis erigatur KL, quæ fiat æ qualis EH. P o$t hæc punctum I eritin M, & ab M perpen dicularis, æqua- lis EI. rui$us D fiat in O, & ip$i ED, æqualis perpendicu- laris OP. Mota igitur ellip$ià C in K, haud ita difficilis e- rit motus, quippe quod haud multum EH $uperet EC, at difficilior erit translatio in M, difficillima verò in O. Val<*> de enim à $itu E, ibi attollitur grauitatis centrum, a$cen- dens nempe vbi P. Videmus igitur ex his eandem poten- <foot>H 3</foot> <p n=>62</p> tiam in mouendo ellip$im, haud pariter $e habere, vt in mouendo circulum. ibi enim centrum grauitatis fertur per æquidi$tantem horizonti, hic verò modò attollitur, modò deprimitur, quod $anè mole$tiam & difficultatem facit. Sed idem alijs figuris contingere, & maximè latera- tis, ita docebimus. <fig> <p>E$to enim triangulum æquilaterum ABC, cuius grauitatis centrum E hori- zontis planum BD. Demit- tatur à vertice A perpendi- cularis horizonti AF tran$- ibit autem per centrum E, & bifariam diuidet ba$im BC in F. Sunt autem trianguli ABF, ACF, æquales & æqueponderantes. angulus verò AFC rectus. lungatur EC, erit igitur maior EC, ip$a EF. Rotetur iraque trian- gulum circa punctum C, fiat<13>; EC horizonti perpendi- cularis, $it<13>ue GH, & per E horizonti parallela ducatur EK, moto igitur triangulo, centrum grauitatis E transla- tum erit in H, $ed KC æqualis e$t EF, minor autem ip$a CH, eleuatur ergo centrum grauitatis ab Ein H, nempe $upra K, totum $patium KH. ex qua eleuatione fit in mo- tu difficultas. Idem pror$us eadem demon$tratione o$ten- deretur fieri in quadrato & alijs lateratis figuris. Curigi- tur in plano horizontis facillimè circularia, difficile autē laterata & quæ inæquales habent $emidiametros, mo- ueantur, ex dictis clarè patet. <p>Ad hanc quæ$tionem illud quoque facit, cur per de- cliue planum grauiora corpora, & rotunda maximè; ma- gno impetu dimi$$a, delabantur. <p>E$to enim rota $phæraue aut Cylindrus CD, cuius centrum E, tangens decliue planum AB in D, quæritur <p n=>63</p> cur dimi$$a hæc magno impetu deferantur ad partes B, Ducatur per grauitatis centrum E ad horizontem, BK perpendicularis FEL $ecans decliue planum in G, cir- cum ferentiam verò in H. opponitur autem EG angulo recto EDG, maior ergo EG ip$a ED, hoc e$t, EH, inter <fig> circumferentiam igitur & pla- num decliue, $patium interce- dit HG. Ducatur item DI ip$i FG æquidi$tans. non tran$ibit igitur per centrum E. minor e- rit igitur diametro CD, quare circulum in partes inæquales $ecabit, & non per grauitatis centrum, quod idem cum ma- gnitudinis $eu figuræ centro $upponitur. Dimi$$a igitur rota, contingit quidem planum decliue in puncto D. At centrum grauitatis premit $e cun dam per lineam perpen- dicularem FG, non $u$tentatur autem in H, quippe quod inter planum & circum ferentiã intercedat $patium HG, nec H locum habeat cui innitatur, corpus autem ita per lineam DI e$t diui$um, vt longè maior $it pars IFCHD ip$a DI, & centrum in ea parte eadat quæ non fulcitur. i. taque $uopte nutu, cum extra ful cimentum $it D & per- pendicularem DI ad inferiores partes rapidè rotans de- labitur. Ducatur autem perpen dicularis GL, parallela MN, & quoniam BN breuior e$t BL, erit MN ip$a GL breuior. E$t igitur punctum M mundi centro propius quàm D & G, quare eò non impedita rota ip$a $uo nutu feretur, nec$tabit donec in fimum locū vbi quie$catnan. ci$catur. Po$$umus etiam Rota $phæraue in plano decliui collocata, datam potentiam inuenire, quæ extremitati diametri ad eam partem quavergit applicata ip$am rotam $phæramue impediatne delabatur. <p n=>64</p> <fig> <p>E$to planum in clinatum AB, cui Rota $phæraue in$i- $tat tangat<13>; illud in C. Rota verò ip$a $phæraue DC, cu- ius centrum E, diameter ve- rò DEC ip$i BA ad punctū contactus C, perpendicula- ris. Ducatur per C ip$i hori- zonti perpendiculatis FCG circulum $ecãs in G tum per E ip$i CG perpendicularis, ip$i verò BF horizonti æ qui- di$tans HEI ceu vectis, cuius fulcimentum I re$pondens ip$i C, pondus verò in E, vbi grauitatis e$t centrum. Ap- plicata igitur potentia in H erit pondus inter fulcimen- tum & potentiam, quare vt IE ad IH ita potentla $u$ti- nens in H ad pondus in E, quod demon$trandum fuerat. <p>Quippiam $imile o$ten dit Pappus 1. 8. prop. 9. alijs tamen $uppo$itis & con$ideratis. Dico præterea, ij$dem $tantibus angulum ECI æqualem e$$e angulo inclinatio- nis CBF. Producatur HI concurrens cum ip$a AB in K, concurret autem propterea, quod CIK rectus $it, ICA minorrecto, & quoniam HK parallela e$t horizonti BF alterni anguli IKC, CBF, æquales erunt. Similes autem $unt ECI, ECK, trianguli, e$t<13>ue ECI angulus æqualis angulo EKC, hoc e$t, ip$i CBF. vnde $equitur, quo mi- nor fuerit inclinationis angulus, eo facilius rotam $phæ- ramue in piano inclinato $u$tineri. quo enim minor fuerit angulus ECI, eo minus latus EI & minor proportio EI ad IH, & ideo minor potentia $u$tinens requiratur in H. Cæterùm accliue & decliue planum nihil differunt ni$i re$pectu. <p>His ita con$ideratis, admonetnos locus, vt pulcher- rimam dubitationem diluamus. Quæritur, Cur maiores <p n=>65</p> rot<17> impingentes, facilius offendicula $uperent quàm mi- nores. Neque enim $atisfacere videtur quod ait Ari$tote- les, ex contactu in puncto eo anguli à plano eleuationeid fieri, alijs ergo principijs dubitatio $oluitur. <fig> <p>E$to rota quidem maior AB, circa centrum C minor vero DB circa centrum, E, tãgentes horizontis planum in B. Diameter maioris AB, minoris DB, offen diculum, horizonti perpendiculare FG. Ducatur per F horizonti parallela FK $ecans minoris rotæ peripheriam in H, dia- metrum verò AB in K, & à puncto H ad planū horizon- tis perpendicularis demittatur HI: erit autem HI æqua- lis ip$i offendiculo FG, & iungantur BH, BF. Itaq; quo- niam BH ab extremo B cadit in triangulum KFB, erit KHB angulus maior angulo KFB. Parallelæ autem $unt <I>K</I>F, BG, pares ergo anguli <I>K</I>HB, HBG, pares item <I>K</I>FB, FBG, Maior ergo HBI, ip$o FBC. At minoris rotæ gra- uitatis centrum mouetur $ecundum lineam BH, maius verò $ecun dum literam BF, difficilius ergo mouebitur, & $uperabit offen diculum minorrota, quàm maior: quod fuerat demon$trandum. <p>Po$$umus idem o$tendere magis mechanicè, hoc e$t, tem ad vectem reducendo. E$to horizontis planum AB, rota maior CD planum tangens in D. rotæ verò ma- ioris centrum E. Rota verò minor FD, tangens itidem planum in D. rotæ autem centrum G, offendiculi verò re- ctitudo DH. Ducatur per Hip$i AB horizonti æquidi- $tans HI $ecans minorem circulum in K, maiorem verò <foot>I</foot> <p n=>66</p> <fig> in I. Ducantur etiam dia- metri maioris quidem LEM, minoris NGO, Tum à puncto K perpen- dicularis ducatur ad GO, ip$a KP, item à pun- cto I ad EM perpendi- cularis IQ. Dico EQ ad QL, minorem habere proportionem quam GP, ad PN. Connectatur GK, & ei per E parallela ducatur ER, $ecans maiorem circulum in R, & ab Rip$i EM perpen dicularis ducatur RS. quoniam igitur ER parallela e$t ip$i GK, erit GER angulus HGK angulo æqualis. Recti autem $unt HGP, GES reliqui ergo KGP, RES ad inuicem $unt æquales. Sed & ESR, GPK recti $unt, quare ERSGKP anguli æquales $unt, & trianguli GPKESR, per pr. diff. 1.6. $imiles. Vtergo GK hoc e$t GN ad GP, ita ER hoc e$t EL ad ES. Componendo igi- tur vt NP ad PG, ita LS ad SE. quamobrem $i fulcimen- tum e$$etin S, pondus in E, potētia in L, idem $ieret ac fiat fulcimento in P, pondere in G, potentia verò in N con$ti- tuta. & id quidem $i eiu$dem ponderis vtraque rota $up- ponatur. Rur$us quoniam vt DK ad totum circulum DF, ita DR ad totum DC. Minor e$t autem proportio DI ad totum circulum DC, ergo minor e$t DI ip$a DR. Maior ergo MI ip$a MR, maior ergo QI ip$a SR, propius ergo centro E e$t Q ip$o puncto S, minor e$t igitur proportio EG ad LQ quàm ES ad SL. Minor ergo potentia requi- ritur in L ad $u$tinendum pondus E ex fulcimento Q hoc e$t I, quàm requiratur in N ad $u$tinendum pondus G ex fulcimento P, hoc e$t K. Minor ergo potentia requiritur <p n=>67</p> ad transferendam maiorem retam CD vltra offendicu- lum IV, hoc e$t, DH, quàm requiratur ad trans ferendam minorem vltra offendiculum KT, hoc e$t HD, quod fue- rat o$ten dendum. <p>Ad hæc, quæri pote$t, quo pacto plau$trorum rotæ in ip$a plau$tri conuer$ione $e habeant, nempe quæ $it li- neailla curua, quam in conuer$ione de$cribunt. <fig> <p>E$to rotarum in plano orbita, dū plau- $trum rectâ procedit AB, CD, Sunt autemi- p$æ lineæ, quod o$ten- demus po$tea, æquedi- $tantes. Sit itaque pun- ctum. B illud in quod rota quæ per AB $er- tur, eò delata planum tangit. D verò alterius rotæ at que plani contactus. Igitur dum plau$tri fit conuer$io, punctum D conuer$ionis fit centrum. Stat enim interim rota & circa lineam conuer- titur, quæ å puncto contactus D per rotæ centrum ducta horizontis plano e$t perpendicularis. ea autem $tante, ro- ta quæ in B circa centrum D $emicirculū pertran$it DEF, vbi autem rota B, peruenerit in F, plau$tro iam in oppo$i- tam partem conuer$o, rota quæ e$t in D per lineam DC, quæ verò in F per rectam FG mouetur, plau$tri<13>ue fit re- gre$$us. Et quoniam vel D in ip$a conuer$ione $tat omnino nec quicquam progreditur, vt in prima figura, vel non $tat vt in $ecunda, quo ca$u portionem parui circuli de$cribit, ip$i maiori circulo & exteriori concentricam. Vnde col- ligimus, Plau$trorum conuer$iones flexione<*><13>ue $emper circa centrum, & con centricorum circulorum portiones fieri, <I>H</I>inc etiam di$cimus, cur veteres, vt ex antiquis co- <foot>I 2</foot> <p n=>68</p> gno$cimus ve$tigijs, circos in quibus cur$us quadrigarum fiebant ea forma quæ apparet, efformauerint. Hoc etiam theorema probamus. <p>Cylindros, quorum ba$es axi $unt perpendiculares, dum in æquato plano conuoluuntur, rectâ incedere & per parallelas, quarum di$tantia axis $eu latoris longitudi- ne præfinitur. <fig> <p>E$to enim Cylin- drus ABCD, cuius a- xis GH, horizōtis pla- no in$i$tens $ecundum latus AB, cui latus op- po$itum & <17>quale CD. Moueatur Cylindrus rotans, donec latus CD, in plano $it vbi EF. De$cribat autem circuli CB lineã BF. Circulo verò AD lineam AE. Dico eas rectas e$$e, & parallelas. Si enim $uperficies ba$ium DA, CB, extendan- tur ita vt horizontis planum $ecent, illud $eca bunt iuxta lineas AE BF, recta ergo e$t vtraque. Sed & parallelas e$$e ad inuicem ita o$tendimus. quoniam $emicirculus AD, æqualis e$t $emicirculo BC, erit linea AE, æqualis lineæ BF, $ed & AB, æqualis e$t ip$i DC, quare & ip$i EF. Oppo- $ita igitur quadrilateri figura ABFE latera æqualia $unt, quare EF æquedi$tat ip$i AB, tum AE ip$i BF, quod fue- rat demon$trandum. <p>Probabimus etiam $i cylindri ba$es axi perpendicu- lares non fuerint, & ideo ellip$es in ip$a rotatione perpla- num, parallelas quidem de$cribere, $ed non rectas. <p>E$to enim Cylindrus ABCD, cuius ba$es ellip$es inuicē æquedi$tãtes, quarum axes longiores AB, CD, Commu- nis autem $ectio cylindri & plani ad axem & horizontem planum perpendicularis EHF. Diuidatur autem $emicir- <p n=>69</p> culus EHF in partes æquales quatuor FI, IH, HG, GE. <fig> Tum per diui$ionum puncta lateri parallel<17>, rectæ ducan- tur KGL, M<I>H</I>N, OIP, quæ quidem cū ba$es AMB, DNC parallelæ $int, eruntinuicem æ quales, cum<13>ue circum- ferentia E<I>H</I>F æquales, eos<13>ue rectos angulos cō$tituent. Ducatur po$t hæc $eor$um recta QR, & eidem perpendi- cularis ST eam $ecans in V. applicetur autem rectæ ST æqualis Cylindri lateri BC, ip$a <G>hz</G>. ita tamen vt punctum E congruat puncto V, $it<13>ue V<G>h</G> æqualis EB, V<G>z</G>verò æ- qualis EC. Tum fiant VX, XY, YZ, Z<G>a</G> æ quales ip$is EG, G<I>H</I>, <I>H</I>I, IF, & per puncta X, Y, Z, <G>a</G> & paralleli ip$i ST du- cantur <G>o a p, n *z c, l g m, k x q</G>, tum & his ex altera parte re- $pondentes parallelæ per puncta <G>b, g, d, e</G>. Sit autem <G>o a</G> æ- qualis AF, <G>a</G> <11> æqualis FD, item <G>e</G> <10>, æqualis EC, <G>e s</G> æqualis EB, $ed & <G>n *z</G> <17>qualis OI, <G>*z c</G> ip$i P, <G>l</G>yi<*> $i MH, y <G>m</G> verò ip$i HN, tū <G>k x</G> ip$i KG. & <G>x q</G>, ip$i GL & ip$is æquales & <17>qua- liter po$itæ ad partes R, aliæ paralle læ aptētur per <G>b, g, d, c</G>, <foot>I 3</foot> <p n=>70</p> quibusita di$po$itis per puncta <G>o, n, l, k, h</G>, item per <G>p, c, m, q, z</G>. ducantur lineæ <G>oh, pz</G>, curuæ quidern & codem pacto a- liæ curuæ illis re$pondentes <G>h <10>, zs</G>, Erunt igitur <G>o, h, <10>, p, z, s</G>, parallelæ quidem eo quod linc<17> quæ inter ip$as du- cuntur, parallelæ $int & æquales, non tamen rectæ illæ, $ed curuæ. Moto igitur Cylindro circulus EHF rectam de$cribet<G>ae</G>, ellip$is verò AMB, curuam <G>ohr</G>, ellip$is au- rem DNC, ip$am curuam <G>pzs</G>. In hoc autē Cylindri mo- tuillud mirabile, velociores nempe, in ip$a rotatione e$$e ellip$es ip$o circulo EHF. Ducatur enim recta<G>o<10></G> quæ oc- currat ip$i VS in S, & <G>oh</G> iungatur, fiet<13>ue triangulum <G>oh</G>S. c$t autem, angulus <G>o</G> S <G>h</G> rectus, maior erg. <G>oh</G> i- p$a <G>o</G> S, $ed recta <G>o</G> S æqualis e$t ip$i<G>an</G>, hoce$t, $emicircu- lo FHE. multo maior e$t autem curua, <G>o, n, l, k, h</G>, ip$a recta <G>oh</G>, $ed eodem tempore quo $emicirculus EHF conficit in rotatione $patiū <G>a</G> V, eodem dimidia ellip$is BMA me- titur curuam <G>onlkh</G>. velocior igitur e$t ellip$is ip$o cir- culo. <p>Hæc quo que $peculatio ad motum qui $ecundum ab$idem fit, manife$tè pertinet. Coni, quorum ba$es cir- culi $unt, $i in plano $ecundum latus rotentur, ba$i circu- lum de$cribunt, cuius centrum immobile coni ip$ius e$t vertex, $emidiameter verò ip$um latus. <fig> <p>E$to conus ABC cu- ius vertex C ba$is AB, axis DC, ba$is verò centrum, D, latus quo planum tan- git BC, $ecatur itaque Co- nus per latus BC & axem DE à plano horizonti per- pendiculari, cuius & coni communis $ectio e$t ABC triangulum, & quoniam coni grauitatis centrum e$t in <p n=>71</p> axe ip$o, conus in partes æque pōderantes $ecatur AEBC, AFBC, $tat ergo conus $ibimet æquili bris. Si autem à po- tentia quadam moueatur, puta ab A ver$us F, trahitur $e- micirculus BEA, à $emicirculo AFB, & ita fit rotatio. Ita- que $i imaginemur, in finitos v$que ad verticem parallelos ba$i cir culos, eorum $emicirculi in ip$o motu & trahent & trahentur; at cum ad verticem circuli de$inant, nec ibi $e- micirculi $int qui trahant & trahantur, motus rotationis pror$us ce$lat & vertex ip$e immobilis fit rotationis cen- trum. Quoniam igitur lateris BC, punctum C $tat, B verò circa ip$um mouetur, in ip$o motu circulus de$cribitur BHIK, cuius $emidiameter BC, & eodem pacto alij cir- culi in cono, qui ba$i HEBF $unt æquedi$tantes, circulos in plano circa idem centrum de$cribent, vt facile videre e$t in obiecto $chemate. Huic $imilem demon $trationem affert Heron in libello Automatum, quem nos Tyrones adhuc vernacule è Græco translatum, Ven<*>e tijs prælo $ubiecimus. <p>Porrò $i conus rotundus pro ba$i ellip$im habeat, $ectionem videlicet per planum axi non perpendiculare, in ip$a rotatione, $tante vertice, ellip$is ba$is, ellip$im de- $cribit in plano, cuius maior diameter à puncto quod co- nivertex e$t, ita diuiditur, vt diametri pars maior æqualis $it lateri maximo; minor verò æqualis lateri minimo. Sed hæc ad aliam pertinent $peculationem. <p>His ita que de moturotundorum, qui circa ab$idem fit, con$ideratis, reliquum e$$et de motu trochlearum, qui circa centrum $it, opportunè agere, $ed cùm in $equenti quæ$tione de hoc $ermonem faciat Philo$ophus, ad ea quæ ibi di$puta buntur, lectorem ablegamus. <p>Modò de tertia motus $pecie nobis erit $ermo; in qua quidem $pecienonnulla perpendemus, quæ omi$it A- ri$toteles. Agitur autem hîc de rotundorum corporum <p n=>72</p> motu, qui fit çirca axem horizonti perpendicularem, axis altera extremitate in codem horizontis plano manente, vti videre e$t in ip$is figulorum rotis. <p>Hanc motus $peciem in extrema quæ$tionis parte cum duabus alijs $peciebus comparans ait, cam quæ in obliquo fit motionem (ita enim hanc, de qua agimus, ap- pellat) ip$am impellere mouentem, hoc e$t, nullum ex$e ad motum propen$ionem habere, nutumue, & omnia illi e$$e à motore, $ecundum verò eam motionem, quæ $upra diametrum e$t, $e ip$um mouere circulum. Dixerat enim, ea referens quæ $uperiùs circa principium de circulo ver- ba faciens, examinauerat, circulum ex duabus fieri latio- nibus, altera præter, altera verò $ecundum naturam, & ideo hanc $emper nutum habere, & ceu continuo motam ab eo moueri quimouet. Videtur autem clarè profiteri, ideo difficiliorem e$$e huius terriæ $peciei motum, eo quòd nutu <*>areat proprio & t<*>m ab alieno, vt ita di- cam, motore, moueatur. <p>Veruntamen motum hunc facilitate alijs illis duo- bus nequaquam cedere, facilè ex $equentibus o$tende- mus. <p>Primo, quia pondus totum rotati corporis, ex graui- tatis centro quodin ip$o axe e$t à plano cuinititur, $u$ti- netur: minima quidem $ui parte axe ip$o tangente planū vndefit, nullam ferè dum rotatur corpus, circa centrum vbi nititur, frictionem partium fieri. Præterea grauitatis centrum $emper $tat, nec minimum quidem in ip$a rota- tione attollitur, quod $anè cum naturæ $it repugnans, dif- ficultatem facit. Ad hæc circa axem ita libratur rota, vt quantumuis exigua potentia alteri parti applicetur, alte- raillico $uperata moueatur. Licet enim propliè ea tantū corpora æquilibrare dicantur, quæ ob ponderis hinc in de <p n=>73</p> æqualitatem horizonti fiunt æquidi$tantes, nihilominus & hic aliquam e$$e æquilibrij $imilitudinem patebit. <fig> <p>E$to enim rota ABCD, cuius axis horizonti perpendi- cularis FEG tran$iens per cen- trum E, tangens autem planum in puncto G. Ducatur diame- ter BED, Itaque $i per diame- trum BED, & axem FEG cor- pus diuidatur, eo quòd centrū grauitatis in axe inueniatur, corpus ip$um in duas partes tū mole tum pōdere æquales $ecabitur, nempe BAD, BCD. Nullaigitur adhibita vi extranea $tabit corpus in quodã, vt diximus, æquilibrio. At alteri partium potentiâ quauis licet exigua appo$itâ, puta in C, præualebit pars BCD, & partem BAD vel impellet vel rapiet, alterâ interim eius motui ob$equente. Potentia igitur quæ in C, nullam rem quæ impediat inueniens, velo ci$$imè rotam mouet, quod eo faciliùs velocius <13>ue fit, quo magis rota e$t in motu, e- ius verò diameter maior & potentia mouens à centro re- motior, & $anè motus facilitatē inde cogno$cimus, quòd ip$o impul$ore ab impul$u ce$$ante, diuti$<*>è rota im- pre$$um motum $eruet, nec ni$i po$t longam rotationem omnino quie$cat. <p>Cæterùm quia $icco, vtaiunt, pede Ari$toteles quæ ad hunc motum pertinēt pertran$ijt, nos quædam quæ ad hancrem faciunt, diligentiùs expendemus. <p>Quærimus igitur primò; Cur ea quæ hoc pacto ro- tãtur, in ip$a rotatione locum non mutent, ni$i extrin$eca aliqua id fiat ex cau$$a. <p>E$to enim rota aut aliud quippiam rotundum ccu Turbines $unt, quibus pueri ludunt, quod circa axem ho- <foot>K</foot> <p n=>74</p> <fig> rizonti perpendicularem mo- ueatur, ABCD, cuius centrum E, Diameter AEC. Modò circa centrum E in finiti imagin entur circuli, alij alijs minores v$que ad centrū ip$um, vti $unt FGH; ibi enim circuli e$$e de$inunt, vbi nullum amplius e$t $patium. Applicetur itaque potentia in B, quæ rotam v. geat ver$us A. codem igitur tempore & in$imul A ver$us D, D ver$us C, & Cver$us B mouebitur. quantum enim $emicirculorum à parte CBA tran$it vltra diametrum AEC, tantundem $emicir culorum, qui $unt ad partem ADC, tran$ibit ad partes CBA. At vbi de$ierit motus, ibi de$init rotatio; vbi autem de$init $patium, de$init motus, $ed vbi de$inunt cir- culi, de$init $patium, quare in centro cum non $int circuli, nec $patium ibi de$init motus. nulla enim ade$t ratio, cur ip$um corpus alio à loco in quo e$t, ex rotatione transfe- ratur. Statergo rotans, quod fuerat demon$trandum. E$t autem hæc demon$tratio ei $imilis, quam $uprà retuli- mus de coni in plano circa verticem rotatione, quam ab Herone in Automatis excogitatam diximus. <p>Addimus in hoc rotationis genere corpus in ip$o- motu fieri leuius, id<13>ue eo magis, quo rotatio velocior. Cau$$a e$t, quod lateralis motus eum motum aliqualiter impedit, qui ex naturali grauitate fit ad centrum, idcirco experientiâ docemur, leui$$imos e$$e turbines, quibus pu- eri ludunt, $i manus teneantur palmâ, dum citi$$ima rota- tione mouentur. <p>Ad hæc alia proponitur, & $oluitur quæ$tio, Cur ro- tunda corpora huic motionis generi $int aptiora. <p>Explorati$$imum e$t, corporum, quæ ita mouentur, <p n=>75</p> partes eo e$$e velo ciores, quo magis à centro, circa quod mouentur, fuerint remotiores. maius enim eodem tem- pore $patium pertran$eunt. quo igitur figura ijs partibus, quæ longius à centro ab$unt, abundauerit magis, eo faci- lius, & velocius in circulum rotata mouebitur. Modò o- $tendemus, circularem cæteras omnes ea qua diximus partium à centro remoti$$imarum copiâ abundare. <fig> <p>E$to triangulum puta æqui- iaterum, ABC circa centrum D. Ducantur Catheti per centrum ab oppo$itis angulis ad oppo$ita late- ra ADG, BDF, CDE, erunt autem lateribus perpendiculares. quoniã igitur latera AD, DB, DC, rectis angulis $ubtenduntur, maiora erūt lateribus DE, DF, DG. tres igitur lineæ in hoc triangulo $unt longi$$imæ DA; DB, DC. tres verò breui$$imæ DE, DG, DF, quamobrem rotato $uper centrum D triangulo, tres tantum partes eius ABC velo- ci$$imæ erunt, tres verò tardi$$imæ E, G, F. Minus igitur a- pta e$t motui huic triangularis figura, quam quadrata, in qua partes à centroremoti$$imè, & ideo veloci$$imè $unt quatuor. Itaq; quo <*>agis laterata figura angulis abunda- bit, eo magis erit ad hunc, & cæteros omnes circulares motus aptior. At circulus infinitas, vt ita dicam, partes à centro remoti$$imas habet, itaque nulla figura e$t circu- lari, in ip$a rotatione, commodior atque velocior. Alia quoque de cau$$a id fit, quod dum circularis figura mo- uetur, nullis eminentibus angulis aërem verberet circū- $tãtem, ex qua verberatione motus impeditus $it tardior. Quæri etiam pote$t, Num axe in clinato, rotæ motus ali- qualiter impediatur? Nos negatiuam partem amplecti- mur. <foot>K 2</foot> <p n=>76</p> <fig> <p>E$to enim tota ABCD, cuius cen- trum E axis inclin itus, circa quem conuertitur EGF. Duobus aute pun- ctis fulcitur GF. Sit autem tum gra- uius tum figuræ centrum E, Perpen- dicularis vero per inferius fulcimen- tum tran$iens HFI. Conuer$a igitur rota, grauitatis centrum $tabit nec à $uo $itu $ur$um deor$umue mouebi- tur. E$t autem axis FEG, ceu vectis in quo pondus in E, potentiæ $u$tinentes GF; non enim hic vt in axe perpendiculari pondus totum ab inferiori fulci- mento $u$tinetur. quo igitur minor erit proportio FE ad FG, eo minori in digebit potentiâ is qui pondus $u$tinet in G. Et hæc $anè ita $e habent, grauitatis çentro in axe ip$o con$tituto, $i enim extra fuerit motus impeditur & moto- re ce$$ante citò quie$cit. E$to enim grauitatis centrum in K. Dum igitur circa axem fit motus, centrum circulatum aliquando erit in L; Secetautem rotæ diameter AC per- pendicularem Hl in M. Porrò à punctis LK ad ip$am per- pēdicularem ducantur ad rectos angulos lineæ LN, KO. Maior e$t autem MK ip$a ML, maior ergo MO, ip$a MN. magisigitur à mundi centro di$tat punctum N puncto O. Centrum ergo grauitatis K $i liberè dimittatur, requie$cet in K & contranaturam transferetur in L. Ce$$ante igitur violentiâ & præualentenaturâ citò rota $uâ $ponte quie- $cet, quod fuerat o$tendendum. <HEAD>QVÆSTIO IX.</HEAD> <HEAD><I>Quæritur, Cur ea quæ per maiores cir culos tolluntur, & trahuntur faciliùs, & celeriùs moueri contingat, veluti maioribus tro- chleis, & $cytalis $imiliter?</I></HEAD> <p>Re$pondet ad hæc Philo$ophus, forteid cuenire, quo- <p n=>77</p> niam quanto maior fucrit illa quæ à centro e$t, in æquali tempore maius mouetur $patium. quamobrem æquali exi$tente onere idem faciet. Ita enim dixerat de librarū natura, & differentijs agens, maiores minoribus exactio- res e$$e. Circulos verò jibras, in quibus centrum $partum, $emidiametri hinc in de æqualia brachia. <p>Quod vltimo loco affirmauit, trochleas e$$e in$tar librarum, verum e$t. Quo d autem dixit, faciliùs & cele- rius mouere maiores libras ijs quæ minores $unt, $i $inipli- citer intelligatur, fal$um, quippe quod facilitas motus, in tractorijs machinis velo citati $it contraria, quod demon- $trauit Guid. Vbald. in tractatu de Trochlea in 2. Corol- lario propo$itione vltima. <p>Ad id autem quod dixit, quo maiorēs fuerint tro- chleæ, eo faciliùs mouere, non e$t, vt dicebamus, $impli- citer verum, quod facilè o$tendemus. <fig> <p>Efto enim trochlea AB circa centrum C, appen$a in puncto D, perpendicularis quæ ad mundi centrum DCE, pondera æqualia vtrinque appen$a FG. E$to item alia Trochlea, ea<13>; maior HI, circa centrum K appen$a in L, perpen dicularis, quæ ad mundi centrum LKM, æqualia <foot>K 3</foot> <p n=>78</p> pondera vtrinque appen$a N, O. Dico maiorem Hl ip$a minori DE facilius pondera non mouere, eo quòd $it ma- ior, illa verò difficiliùs, propterea quòd $it minor. Etcnim, quoniam vtraque trochlea per centrum graultatis à per- pendiculari diui ditur, erunt partes DAE, DBE, æque pō- derantes. Eadem ratione ip$æ quoque LHM, L<*>M æquè ponderabunt. Itaque $i quantumuis pu$illa pondera ad- das, vtriq; earum ad alteram partem tolletur æquilibriū, nec minus requiritur pondus vt recedat ab æquilibrio Trochlea minor, quàm maior. Vnico autem verbo con- cludi pote$t di$putatio, tã in minori quàm in maiori, bra- chia $iqui dem bifariam diuiduntur, ergo in vtri$q; eadem brachiorum proportio, & eadem ponderum ratio. <p>Explorati$$ima $unt hæc. Veruntamen cùm res ip$a doceat, verum e$$e quod $cribit Ari$toteles, huius effe- ctus cau$$a aliunde à nobis, nempe à mechanicis princi- pijs, e$t mutuanda. Dico igitur, Axium, circa quos tro- chleæ rotæue conuertuntur ad rotas ip$as, varias habere proportiones. O$tendemus autem rotã illam, trochleam- ue faciliùs moueri, & mouere pondera, quo rotæ diame- ter ad axis diametrum maiorem habuerit proportionem, & ideo fieri po$$e rotam maiorem ad $uum axem minorē habere proportionem quam rotam minorem ad $uum. <fig> <p>E$to enim trochlea AB cir- ca centrum C, cuius diameter DCE $it in ip$a quæ ad mundi centrum perpē- diculari: $it au- tem appen$a in D. Alia $imiliter ei æqualis $it trochlea F G circa centrum H, cuius diameter IHK, conueniens <p n=>79</p> cum perpen diculari quæ ad mundi centrum. appendatur autem in I. Habeant autem & axes, circa quos conuertan- tur. Hi$i æquales fuerint, proportione non mutatâ idem operabuntur. Modò ponanturinæquales, $it<13>ue axis ro- tç AB, cra$$ior axe rotæ FG, $it<13>ue cra$$ioris quidem $emi- diameter CL, $ubtilioris autem HM. Dico per tro chleam FG facilius attolli pondera æqualia quàm per AB, licet altera tro chlearum alteri $it æqualis. Quoniam enim me- chanica corpora $ine materia & pondere non $unt, onera appē$a & trochlearum ip$arum grauitas ex $uperiori par- te prement axes, vbi puncta L, M, quæres, $ecutâ in uicem corporum $olidorum fricatione, motum ip$um trochlea- rum difficiliorem & a$periorem facit. Succedit igitur im- pedimentum loco ponderis. Duos igitur habemus vectes DC, IH, quorum fulcimenta contra ip$a C, H. Pondera verò inter fulcimenta & potentiasin L, M. Intelligantur autem potentiæ applicatæ punctis DI. Igitur ex natura e- iu$modi vectis, in quo pondus inter fulcimentum e$t & potentiam erit vt CL, ad CD, ita potentia in D ad pōdus, hoc e$t, re$i$tentiam fricationis, quæ fit in L. Sed maior e$t proportio CL ad CD quàm HM ad HI. Maior igitur ad $uperandum idem $eu æquale impedimentum poten- tia requiritur in D, qu<*>m in I. Itaque cum vis tota in rota- rum & axium, diametrorum proportione con$i$tat, fieri pote$t, quod dicebamus, minorem trochleam dari, quæ maiorem habeat proportionem ad $uum axem, quàm, maior ad $uum, quo ca$u minor rota facilius imp edimen- tum, quod diximus, ip$a maiori rota $eu trochlea $upera- bit. Veruntamen quoniam ex materia fiunt tum axes tum rotæ, nec rei natura patitur axes $ubtiles, & imbecilles magna pōdera $u$tinere po$$e, idcirco cra$$iores fiunt, quç cra$$itudo cum proportione magis à magnarum rotarum diametris $uperetur; fit hinc maiores rotas datâ axium pa- <p n=>80</p> ritate facilius impe dimentum $uperare quàm minores, & hoc videtur $en$i$$e Philo$ophus in ip$a quæ$tionis huius propo$itione, Hinc aurigæ vulgo axungiâ (quæ inde no- men trahit) axium a$peritates mitigant, vt minor in rotan. do, ex fricatione fiat re$i$tentia. Concludimus igitur, fa- cillimè trochleam illam pondus trahere, quæ cum maxi- ma $it, axem habet minimum, cum<13>ue axungiâ aliaue vn- ctuo $a materia perfu$um. De manubrijs, quæ rotarum a- xibus aptantur, nemo ferè verba fecit; nos igitur de his a- liquid; $iquidem res ad $peculationem, qua de agimus, nē- pe Mechanicam pertinet. <p>Manubria vectes $unt, & ad vectium naturam redu- cuntur, corum $cilicet, in quibus fulcimentum e$tinter pondus & potentiam. In his autem attenditur proportio, quam habet manubrij longitudo ad ip$um axis $emidia- metrum, eo enim faciliùs mouent, quo eorum longitudo ad axium $emidia metros proportionem, habuerit ma- iorem. Duabus autem partibus con$tant, alterâ, quæ ab axe ad angulum; quæ verè vectis e$t; alterâ, cui manusi- p$a admouetur, ex qua res tota manubrium dicitur. Fiunt autem manubria hæc vt plurimum amouibilia, $unt tamē ceu rotarum ip$arum partes, & rotis ip$is commodè affi- gerentur, ni$i in rotatione à tran$uer$arijs, quibus rotæ $u- $tinentur, impedimentum fieret. <fig> <p>E$to enim rota AB, cu- ius axis E, terebretur autem in F, ibi<13>ue paxillus affigatur FK. Sit & alia rota CD, cu- ius axis G, manubrium axi appo$itum GHI. Sint autem rotæ æquales & axes æqua- les. Sint etiam æqualia ip$a $patia EF, GH, hoc e$t, ma- <p n=>81</p> nubrij GHI longitudo. Dico, câdem facilitate moueri AB rotam à potentia in FK, quâ mouetur CB, à potentia po- $ita in HI, datis ip$i nempe potentijs æqualibus. Produca- tur enim IH, v$que adrotæ CD latus in L, & LG ducatur, & FE in rota AB iungatur. Erunt igitur FE LG inter $e æ- quales. Sunt autem eorum circulorum $emidiametri, qui à punctis FL, in ip$a rotatione de$cribuntur. Ita igitur $e habebit potentia applicata in L ad diametrum $emidia- metrumue axis rotæ CD, vt $e habet potentia applicata in F, ad diametrum $emidiame trumue axis E rotæ AB, $ed $patia $unt æqualia & potentiæ æquales, quare nihil re- fert, vtrum manubrium lateria ffigatur, vel axi à latere ro- tæ $eparatum applicetur. <fig> <p>Duplex autem e$t ma- nubriorum forma; altera e- nim rectis partibus con$tat, altera verò curua e$t tota, $ed rectis vtimur vt mani- bus apprendamus, curuis verò vt locum illis appona- mus, & pedis pre$$ione ceu in molis lapideis, quibus gladij acuuntur, fieri a$$olet, conuertantnr. Cur autem manubria hæc curua fiant, ea videtur ratio, ne videlicet manubrij capite $upra centrum in linea quæ per centrum tran$it, cō$tituto, factâ interim pre$$ione motus à centro, ad quod directè fieret pre$$io, impediretur. Curuitas autē facilitatem quan dam habet, ex qua factâ modicâ flexione axis caput, dum premitur ab ip$a perpendiculari linea le- niter abducitur. quæ cum ce$$ent in manubrijs quæ manu aguntur, ideo alia forma, nempe ex rectis partibus pa$$im fiunt. E$to igiturillud quod ex rectis partibus AB, curuum verò CD, linea verò, $ecundum quam pede fit pre$$io <foot>L</foot> <p n=>82</p> CDE. Hæc itaque de manubrijs $eu vectibus nos con$i- dera$$e $it $atis. <p>Quæriinterim po$$et, Cur duabus datis rotis æqua- lis magnitudinis in æqualis ponderis, circa æquales axes con$titutis leuior faciliùs moueatur & citiùs quie$cat; grauior verò di$ficilius moucatur & tardiùs ce$$et à mo- tu, ea videtur ratio, quod grauior re$i$tens magis cum $u- peratur impre$$am vim $u$cipit, & diutiùs retinet, quod ce$$at in leuiore. <HEAD>QVÆSTIO X.</HEAD> <HEAD><I>Dubitat Ari$toteles, Cur faciliùs, quando $ine pondere est, mouca- tur libra, quàm cum pondus habet. Simili modo rota, & eiu$modi- quidpiam, quod grauius quidem est, item quod maius & grauius minori, & leutori?</I></HEAD> <p>Breuiter autem $oluit, ait enim, An quia non $olum in contrarium quod graue e$t, $ed in obliquam etiam dif- ficulter mouetur? In contrarium enim ei ad quod vergit onus mouere difficile e$t, quo autem vergit, e$t facile. In obliquum autem haudqua quam vergit. Nos quod ip$e non fecit figurâ ip$a appo$itâ rem clariorem faciemus. <fig> <p>Efto libra AB, cuius ful- cimentum C, pondera vtrin- que appen$a AB, quorum v- trumque ponderet 10. Item libra DE, cuius fulcimentum F pondere vero appen$a D, E, ip$is A, B, dimidio leuiora, nē- pe S. Addatur ponderi B pon- dus G, & ponderi E pondus H, quorum $imiliter vtrumq; ponderet S, nutabunt igitur libræ ponderibus appo$itis, & <p n=>83</p> BG $ecetur in K, EH verò in N, grauius e$t autem GB, e$t enim IS, ip$o EH, quod e$t 10. Difficiliùs autem de$cen- det BG, quàm EH. hoc autem ex doctrina Ari$totelis, quia non $olum in contrarium quod graue e$t, $ed in obli- quum etiam difficulter mouetur, in contrarium enim ei ad quod vergit onus mouere difficile e$t, quò autem ver- git facilè in obliquum autem puta per lineas BK, EN non vergit onus. Difficiliùs ergo in obliquum mouebitur pon- dus BG ip$o pondere EH. vtrumque autem in de$cen$u retrahitur nempe à perpendicularibus BI, EM & retra- ctionis quidem anguli $unt æquales & æquales ip$æ retra- ctioncs. Sedgrauius e$t pondus GB. quod autem grauius e$t, violentius de$cēdit eo quod e$t leuius. maiori igitur ni- $u atque impetu cum cætera paria $int, de$cendet pondus BG, ip$o EH, quod è diametro Ari$totelis a$$ertioni e$t contrarium. ex alijs igitur principijs veritas ip$a e$t eruen- da. Dicimus autem id ex proportionum fieri inæqualita- te; quia enim is ad 10. proportionem habet $e$quialteram, 10. verò ad 5. duplam, maiorem proportionem habet EH ad oppo$itum pondus D, quàm BG ad pondus A, facilius ergo trahet libra DE lcuior pondus D, quàm ip$a AB, gra- uior pondus A, quod vtique fuerat o$tendendum. Alia quoque cau$$a & hæc accidentalis ad hunc effectum pa- riendum concurrit, axium nempe ad fulcimenta, in qui- bus rotantur, fricatio. quo enim maius e$t pondus cæteris paribus, quod nos in præ cedente quæ$tione demon$tra- uimus, eò maiìor fit ip$a collifio. <p>Porrò huius quoq; $peculationis e$t, Cur æqualia & $imilia corpora in æqualibus $imilibu$<13>ue bafibus con$ti- tuta eodem $imili<13>ue plano fulta, ponderibus tamen in- æqualia, non eâdem facilitate euertantur, $ed horum gra- uiora difficilius. <foot>L 2</foot> <p n=>84</p> <fig> <p>Sit enim Pri$ma $eu Cylindrus ABCD, cuius grauitatis centrum E in plano Cl, ba$i fultus CD. Sit & alter Cylindrus FGHI, cuius grauitatis centrum K fultus ba$i HI æqualis quidem & $imilis ip$i AD. Sit autem grauior FGHI, ip$o ABCD. Dico, pari potentiâ vtrumque impellente, facilius euer$um iri Cy- lindrum AD, ip$o Fl. Ducantur EC, KH, & æquales po- tentiæ applicentur punctis BG, pellentes Cylindros ad partes AF. Euer$io autem non fiet donec facta corporis conuer$ione circa puncta CH, grauitatis centra E, K trãs- ferunturin L, M, in ip$is $cilicet perpēdicularibus ACFH. Demit tantur EN, KO, perpendiculares ip$is CD, HF. Et quoniam CNE, HOK anguli recti $unt, erunt EC KH i- p$is EN, KO, maiores, quare & LC, MH ip$is EN KO, ma- iores atto lluntur ergo in ip$a cuer$ione, grauitatum cen- tra E in L, K in M. At quod grauius e$t, difficilius contra $ui naturam mouetur, ideo difficilius euertetur corpus FI, ip$o AD, quod fuerat demon$trandum. <HEAD>QVÆSTIO XI.</HEAD> <HEAD><I>Dubitat Philo$ophus, Cur $uper $cytalas facilius portentur onera quàm $uper currus, cum tamen ij magnas habeant rotas, illæ verò pu$illas?</I></HEAD> <p>Optimè re$pondet dubitationi. An, in quiens, quoniam in $cytalis nulla e$t offen$atio; in curribus verò axis e$t, ad quem offen$ant. De$uper enim illum premunt, & à lateribus. quod autem e$t in $cytalis ad i$thæc duo mo- uetur & inferiori $ub$trato $patio, & onere $uperimpo$i- <p n=>85</p> to, in vtri$que enim ijs <*>euoluitur locis circulus, & motus impellitur. Tam appo$itè paucis verbis veritatem expli- cauit, vt ferè quicquid in$uper ad datur, $uperuacaneum videri po$$it. quicquid tamen $it, ad maiorem claritatem aliquantulum in hac ip$a quæ$tione immorabimur. <p>Rotatas $cytalas proponit hîc Ari$toteles. Coniun- ctasautem e$$e rotas ip$is $cytalis e$t intelligen dum, nem- pe, vt $imul rotæ cum $cytalis conuertantur. Secus enim axium & Rotarum fieret offen$atio, cuius offen$ationis vim & effectum cum nouerit Ari$toteles, vel hoc ip$o lo- co te$te, mirum e$t, nihil de ea egi$$e quæ$tione 9. vbi nos hac de re fu$i$$imè tractauimus. <p>Cæterùm quod de rotatis $cytalis $cribit Philo$o- phus, notandum, à Pappo quidem lib. 8. & à no$tris Me- chanicis pa$$im ab$que rotis Cylindrica $implici videli- cet, & tereti formâ ad v$um adhiberi. E$to igitur Ari- <fig> $totelis quidem $cytala AB, Pappi verò $eu vul- garis, & communis CD. His non modò lapicidæ pa$$im, $ed & nautæ na- uium<13>ue fabri $ubdu- cendis & mari inducen- dis nauibus vtuntur, quod varare dicunt vernaculè, Hi- $panico, vt arbitror, vocabulo. ca enim natio teres lignum baculumue appellat Varam. <p>Quæriautem po$$et, vtra harum formatum $it vti- lior atque commodior? Nos rotatas laudamus magis in plano duro<13>ue $olo, minus enim tangunt & minus offen- $ant; in molliori autem & minus duro proponimus non rotatas, $iquidem rotæ $ui naturâ pondere pre$$æ $olum, facillimè $cindunt & ab$orbentur. <p>Quatenus autem ad v$um pertinet. E$to horizontis <foot>L 3</foot> <p n=>86</p> <fig> planum AB, $cytal<17> du<17> CD, EF, Pondus verò eis impo$itum G, tan- gens ip$as in pūctis CE, $cytalæ autem planum in punctis D, F, Pellatur à potentia quapiam pō- dus Gad anteriora, nē- pe ad partes E. rotabuntur igitur $cytalæ & pars quædam $cytalæ D, in qua $it contactus a$cendet in I, C verò de- $cendetin H, nulla re motum impediente, quippe quòd nulla ponderis $cytalarum, & plani ad inuicem fiat offen- $atio. Præterea cum $cytalarum centra ab horizontis pla- no æqualiter di$tent, pondus quidem horizonti æquidi- $tanter mouetur, & ideo cius centrum grauitatis nequa- quam, in motu qui $it, eleuatur. <p>Cæterùm materiæ imperfectione remota nihil re- fert ad facilitatem, vtrum maioris minorisue diametri $int$cytalæ, vt ea po$ita eo quod maiores circuli faciliùs offendicula $uperent, quod demon$tratum e$t in quæ$tio- ne 8. eo vtiliores $unt $cytalæ, quo cra$$iores. Quatenus autem ad plau$tri naturam $pectat, cuius ad $cytalas Phi- lo$ophus fecit comparationem, vt o$ten da mus difficilius ex eo moueri pondera. <fig> <p>E$to plau$tri rota KL, cuius centrum M, a- xis verò NO circa quem rotaip$a conuertiturKL. Funis quo rota ex axis centro M trahitur MP, pondus vero QR. Quo- niam igitur pondus axem premit in N, axis autem rotæ modiolum in O, & codem, <p n=>87</p> tempore potentia quæ trahitin P, axem admouet modio- lo in parte V. duplex itaque fit ex fricatione $eu offen$a- tione impedimentum, in fra nempe, vbi O, & ad latus vbi V. quæ quidem offen$iones currus motum reddunt diffi- ciliorem, quæ quidem difficultas eo maior erit, quo ma- ior fuerit pondus axem premens, & minor proportio $e- midiametri rotæ KM, ad axis $emidiametrum MO. Cur igitur $cytalis facilius pondera transferantur quam plau- $tris, apertè ex dictis ad Ari$to telis mentem demon$tra- uimus. <p>Cætetùm quod ip$e reticuit, n<*>s dicemus, nempe validi$$imè enormia pondera per $cytalas moueri, $i $cy- talis ip$is vectes adiungantur. Et $anè motus erit tar di$$i- mus, veruntamen tar ditas ip$a facilitate, quæ in de fit, v- berrimè compen$atur. <fig> <p>E$to igitur horizontis planum AB, $cytalæ CD, fo- ramina in $cytalis EFGH, vectes foraminibus in$erti IE, KF, LG, MH. Pondus vero $cytalis impo$itum N. Appli- catis igìtur quatuor potentijs extremitatibus vectium I, <I>K</I>, L, M, ij$que in anteriora propul$is, fiet $cytalarum rota- <p n=>88</p> tio, & ponderis N translatio ad anteriores partes B. E$to item $eor$um $cytala PR, cuius centrum Q, vectis eidem per centrum in$ertus O, P, Q, R. facto igitur vectis motu O P Q R fiet ex O; centro autē Q circuli quadrans O T. exi$tente igitur O in T erit P in S. facta quartæ partisip$ius $cytalæ rotatione. Et quoniam ex eodem centro $unt qua- drantes PSOT. erit vt OQ ad QP. ita quadrans OT, ad quadrantem PS. Maxima autem e$t proportio OQ, ad QP. Maxima igitur proportio OT ad PS. Ex magno igitur motu O ad T, paruus $it $cytalæ motus à P in S. tardius i- gitur progreditur $cytala, quæ longioribus vectibus rota- tur, vis tamen maxima, quippe quod vt $o habet QP, hoc e$t, QR ad QO, ita potentia in O ad pondus quod premit in P vel in V. Facillimè ita que pondera vectibus & $cyta- lis per horizontis planum transferri, exi$tis patet. <HEAD>QVAESTIO XII.</HEAD> <HEAD><I>Quæritur, Cur Mi$$ilia longius funda mittantur quam manu, præ$ertim cum proijcienti fundæ pondus addatur lapidis $eu mi$$i- lis ponderi: & minus mi$$ili, manu proiecto, com- prehendatur?</I></HEAD> <p>Soluit Philo$ophus, inquiens, fortè ita fieri, quòd fun- ditor mi$$ile proijciatiam ex funda commotum, $iqui- dem fundam circulo $ubinderotans, iaculatur, ex manu autem à quiete e$t initium. Oinnia autem cum in motu $unt, quàm cum quie$cunt, facilius mouentur. Addit præ- terea, An & ob eam cau$$am e$t, $ed nec minus etiam, quia in fundç v$a manus quidem fit centrum, funda verò quod à centro exit? quantò igitur productius fuerit quod à cen- tro e$t, tanto citiùs mouetur; iactus autem, qui manu fit, fundæ re$pectu breuior e$t. <p>Hæc Philo$ophus. Et $anè perquàm appo$itè, itaq; <p n=>89</p> illi pror$us a$$entirer, ni$i pro comperto habercm, in la ctu qui fundâ fit, non e$$e manum ip$am motus centium, $ed potius partem illam brachij, quæ humero iungitur, & id- co motum eo fieri velociotem, quo longior e$t linea quæ ab humero ad $ummitatem fundæ e$t, ea quæ ab humero ad manum ip$am. Illud quo que mirabilc e$t, quod non ob$etuat Ari$toteles, nempe à funditoribus in ip$o eiacu- landi actu, tardam fieri circa caput fundæ rotationem. Quamobrem con$iderandum e$t, quo pacto fiat à tardi- tate velocitas. Re$pondemus, velocitatem acquirinon ex $implici, quæ circa funditoris caput $it, rotatione, $ed ex co impetu qui fit in ip$a lapidis emi$$ione, qui quidem im- petus $i ante vel po$t illud tempus fiat, quod à funditore captatur, ca$$a pror$us & inualida fit ip$a iaculatio. <fig> <p>E$to funda AB, manus B, brachium BC. Vt igitur$e habet CH, ad CB, ita veloci- tas AD ad velocitatem, BE; Vidimus nos pueros, arundi- ni ad caput $ci$$æ, paruos la- pides in$erentes, arundinem- <13>ue manu rotantes longi$$i- mè lapides ip$os proijcere; A- rundo FG, lapis F, manus G, brachium GH. <HEAD>QVÆSTIO XIII.</HEAD> <HEAD><I>Quæritur, Cur circa idemiugum, maiores collopes (vectes $unt, quos alij $cytalas appellant, vt Pappus & Heron) faciliùs quàm mi- nores mouentur: & item $uculæ, quæ graciliores $unt eadem vi quam cra$$iores?</I></HEAD> <p>Ideo hoc fieri po$$e docet Philo$ophus, quòd tamiugū quam $ucula cētrum $it, prominenres autem collopum <foot>M</foot> <p n=>90</p> longitudines eæ lineæ quæ $unt à centro. Celeriùs autem moueri & plus ab eadem vi quæ maiorum $unt circulorū quàm quæ minorum. quippe quod ab ea dem vi plus trã$- feratur illud extremum quod longius à centro di$tat. In gracilioribus verò $uculis datâ collopum paritate plus e$- $e id quod à ligno di$tat. <fig> <p>E$to iugum $ucu- laue maior, AB circa centrum C, minor verò circa idem centrū DE. Collops autē AF, pon- dus quod per iugum at- tollitur G. A it igitur A- ri$toteles, $uculas, iu- gaue AB, DE ceu cen- tra e$$e, à quibus extat colops AB, ex maiori quidem, totâ $ui parte BF, ex minori autem EF. quo igitur, ait, longior fuerit collops extans, eo maior, & deo velocior ad partē F per maiorem circulum FH, fiet collopis motus & pon- deris eleuatio, at maior e$t collops EF ip$o BF, facil. us er- go mouebitur pondus per $uculam DE, ex collope EF, ab cadem vi, quam per $uculam AB, & collopem BF. <p>Hæc $en$i$$e videtur Ari$to teles, qui cra$$a, vt aiunt, Minerua rem pulchram & $ubtilem e$t pro$equutus. Di- cimus igitur primò, in$trumentum illud quod Latini $u- culam, id e$t, $ero$ulam, à $tridore arbitror qui in conuer- $ione fit, appellauere, Græci verò <G>o)/non</G>, id e$t, A $inum, quip- pe quod ceu A $inus pondera $u$tineat portetque. Hanc eandem Machinam veteres Mechanici vocauere Axem in Peritrochio, cuius nos imaginem, è Pàppo in 8. Col- lect. Mathematicarum de$umptam in ip$o huius no$trio- peris initio, inter quinque Potentias propo$uimus. Huius vim inter antiquos diligenti$$ime examinauêre Heron, & <p n=>91</p> ip$emet Pappus, inter iuniores verò Guilibaldus co Tra- ctatu quem hac de Potentia Mechanicis $uis in$eruit. Summa e$t, hanc Machinam ad vectem reduci. Nec ve- rum e$t quod $cribit Ari$to teles, iugum $uculamue cen- tra e$$e, hæc enim centrum habent, quod in figura $upe- rius po$ita notatur $igno C. igitur vt $e habet FC, ad CA, ita pondus G ad potentiam in F; e$t autem maior propor- tio FC ad CD, quàm FC, ad CA. faciliùs ergo mouebit potentia quæ in F, pondus in D, quàm eadem potentia F, pondus in A, hoc e$t, G. Huius naturæ $unt quo que Erga- tæ, quas machinas no$tr<*>, Græco luxato vocabulo Arga- nos appellant. Suculæ enim reuera $unt, po$itione tantū ab eis differentes, non enim plano horizontis ergatæ æ- quidi$tant, ceu $uculæ & Axis in Peritrochio, $ed eidem fiunt perpendiculares. Cæterùm facilitatem à velocitate non oriri $uperius demon$trauimus. <HEAD>QVAESTIO XIV.</HEAD> <HEAD><I>Proponitur dubitatio, Cur eiu$dem magnitudinis lignum facilius genu frangatur $i qui$piam æque diductis manibus extrema com- prehendens fregerit, quàm $i iuxta genu. Et $i terræ applicans pede $uperpo$ito manu hinc inde diducta confregerit quàm propè.</I></HEAD> <p>Soluitur à Philo$opho paucis verbis, An quia ibi genu centrum e$t, hic verò ip$e pe? quanto autem remotius à centro fuerit, facilius mouetur quodcunque: Moueri autem quod frangitur nece$$e e$t. <p>E$to lignum quod frangi debet AB, genu vel pedis locus C, manuum latè diductarum $itus DE, minus didu- ctarum FG; ltaque quoniam DE magis à centro C di$tant quàm FG, velo cius mouebuntur puncta DE ip$is FG, er- go inde facilius fiet fractio quam ex FG. Hæcille ex $uis <foot>M <I>2</I></foot> <p n=>92</p> <fig> principijs. Nos dili- gentius, $i fieri poterit, effectus huius cau$$am per$crutemur. E$to igi- tur in $ecunda figura lignum oblongum AB, cuius medium C, linea ducatur CD perpen- dicularis ip$i AB. Ad- moucatur genu pūcto C, manus verò diuari- centur in AB, facta i- gitur vtrinque impre$- $ione, lignum non frã- getur, ni$i partium in CD coniunctarum $eparatio fiat, $it<13>ue altera in E, altera verò in F, fractum ergo erit lignū, & centro C immobili permanente, partes facto angulo GCH erunt in GC, HC: Modò lignum $uæ integritati re- $tituetur, & denuò admoto genu puncto C, manus didu- cantur in I, K, quæ lo ca viciniora $intip$i C, quam AB, Di- co hinc difficilius fractionem fieri quam ex AB. Con$ide- ramus enim in integro ligno AB, duos vectes ACD, BCD, quorum anguli concurrunt in commune fulcimentum C, Sunt autem vectes angulati, & eius naturæ, quam exami- nauimus in quæ$tiones. E$t igitur re$i$tentia, qua ligni partes vniuntur in D, loco ponderis: $uperanda hæc e$t, vt ligni fiat fractio. Dico id facilius ce$$urum, $i fiat ex pun- ctis A, B, remotioribus quam ex IK, ip$i puncto C propio- ribus: etenim vt AC, ad CD, itare$i$tentia quæ fit in Dad potentiam in A, item vt $e habet IC ad CD, ita re$i$tentia in Dad potentiam in I, $ed minor e$t proportio IC ad CD, quam AC ad CD. ergo facilius potentia quæ e$t in A, re- $i$tentiam $uperabit, quæ e$t in D, quam ea quæ e$t in I, <p n=>93</p> quod fuerat demon$trandum. Idem autem intelligendū e$t de parte CB; eadem enim e$t ratio. Curigitur longio- ra & graciliora ligna facilè frangantur, ex i$tis clare patet: nempe quia maxima e$t proportio longitudinis ad cra$$i- tudinem, cuius quidem cra$$itudinis $patium loco partis illius in vecte $uccedit, quæ pertingit à fulcimento ad pō- dus, hoc e$t, ad ip$am re$i$tentiam. Sed nos hac eadem de re nonnulla in declaranda quæ$tione 16. perpendemus. <HEAD>QVAESTIO XV.</HEAD> <HEAD><I>Proponitur inueftigandum, Cur litterales crocæ (glareas dicunt Latini, velcalculos, quos vmbilicos appellat Cicero lib. 2. de Orat.) rotundâ$int figurâ, cum aliquando ex magnis $int la- pidibus te$tisue?</I></HEAD> <p>A It Philo$ophus, ideo forta$$e fieri, quòd ca quæ à me- dio magis recedunt, in motionibus, celerius feran- tur; me dium e$$e centrum, interuallum vero quæ à cen- tro, $emper autem maiorem ab æ quali motione maiorem de$cribere circulum; quod autem maius in æquali tem- pore $patium tran$it, celerius ferri; quæ autem celerius ex æquali feruntur $patio vehementius impetere, quæ autē impetunt, impeti magis, & ideo quæ magis à centro di- $tant, nece$$e e$$e confringi, quod cum glareæ $eu croc æ patiantur, nece$$ariò rotundas fieri. Hactenus ille, & $anè p<*>obabiliter. Verum enimuerò aliter $eres habere vide- tur: $iquidem enim à rotatione ex maiori à centro di$tan- tia id fieret, maiores quidem glareæ crocæue e$$ent ro- tundiores, at nos non maximas modò, $ed & minimas, ea$<13>uemagis angulis carere, & ad rotunditatem accede- revidemus. Præterea non moueri eas circa centrum pa- lam e$t, imò vt varia $unt figura, ita varijs quo que motio- nibus, ex agitatione moueri. Id $anè explorati$$imum e$t, <foot>M 3</foot> <p n=>94</p> angulos omnes, & emin entias quaslibet in corporibus e$- $e infirmiores, offen$ionibus enim expo$itæ $unt, necre$i- $ten di habent facultatem. Itaque in attritione quæ fit in eorum agitatione perpetua, eminentiæ contunduntur, & $uperficies ip$a paullatim leuigatur. <fig> <p>E$to angulatus lapis ABCD. Dum igitur perpeti motione atq; a$$iduâ ver$atione agitatur, fer- tur<13>ue, eminentiæ anguli<13>ue, vt- pote debiles & imbecilli, conte- runtur, & inde figura fit quædam irregularis, ad primam quidem la- pidis formã accedens, leuistamen & quouis angulo carens, qualis e$t E remotis ABCD, an- gularibus eminentijs. <p>Hanc eandem ob cau$$am, $culptores antequam mar- moribusvltimum læuorem inducant, dentato malleo pri- mum quidem vtuntur, tum demum eminentiores parti- culas radula facilè amouentes $uperficiem ip$am læuem & adæquatam reddunt. <p>Hinc etiam no$trates Architecti, in arcium propu- gnaculis efformandis a cutos angulos deuitãt, vtpote de- biliores, & magis offen$ionibus obnoxios. quod nec Vi- truuium latuit, qui ideo lib. 1. cap. 5. ita $cribit: <I>Turresita<26> rotundæ aut polygoniæ $unt faciendæ, quadrat as enim machinæ celerius di$$ipant; & angulos, Arietes tundendo frangunt, inro- tundationibus autem, vti cuneos adcentrum adigendo lædere non po$$unt.</I> Hæcille. Cur autem no$tri rotundas figuras alias vtiles reijciant, ab ijs petendum qui in ea facultate ver- $antur. Porrò quod ad hanc eandem $peculationem facit, videmus, antiquas $tatuas, vt $æpius auribus, na$o, digitis, manibu$ue atque pedibus carere, quippe quodimbecillæ $int partes, & facilè quouis occur$u mutilentur. Quæo- <p n=>95</p> m<*>a cùm vera $int, nemo, vt arbitror, dixerit, ab$olutè, quod voluit Ari$toteles, id ex rotatione velociori & par- tium à centro remotione, fieri. <HEAD>QVAESTIO XVI.</HEAD> <HEAD><I>Dubitatur, quare, quò longiora $unt ligna, <*>ãto imbecilliora fiant, & $itolluntur, inflectuntur magis: tamet$i quod breue est ceu bi- cubit umfuerit, tenue, quod verò cubitorum cen- tum cra$$um?</I></HEAD> <p>Ex $uis principijs $oluit Ari$totelcs. Inquit enim: An quia & vectis & ont s & hypomochlium, id e$t, fulci- mentum in leuando, fit ip$a ligni proceritas? Prior namq; illius pars ceu hypomochlium fit, quod verò in extremo e$t, pondus: quamobrem quanto exten$ius fuerit id quod à fulcimento e$t, in flectinece$$e e$t magis; quo enim plus à fulcimento di$tat, eo magis incuruarinece$$e e$t. Ne- ce$$ariò igitur extrema vectis eleuantur. Si igitur flexilis fuerit vectis, ip$um inflectimagis cum extollitur nece$$e e$t, quod longis accidit lignis, in breuibus autem quod vl- timum e$t, quie$centi hypomochlio depropè fit. Hæc $ubiectâ figurâ ob oculos ponimus. <fig> <p>E$to longum ac fle- xile lignum AB, manu ele- uetur in A, fle ctetur itaq; in B, & declinabit in C. et- enim manus quæ $u$tin et in A, fulcimenti loco $uccedit: longitudo vero AB ponde- ris vices refert, at que vectis, quare quo longius abfuerit à fulcimento, id e$t, manu extremum B, eo magis flectetur; $i autem lignum breuius fuerit, nempe terminatum in D, nequaquam fle ctetur, eò quòd eius extremum D minus à fulcimento quod e$t in A $it remotum. Hæcigitur e$t mēs <p n=>96</p> Ari$totelis, cuius quidem $ententiam non damnamus; quippiam tamen addimus. Dicimus autem materiam, quatenus ad hanc contemplationem $pectat, in duplici e$$e differentia. aut enim rarefactionis & con$tipationis e$t incapax, vt in chalybe videmus, nitro, metallo, mar- more, aut capax quidem, & hæc duplex: Vel enim natura nata e$t ad rectitudinem quandam, vt ar borum flagella virgæque, autnon item, ceu $tannum, plumbum, & cæte- ra eiu$modi. <fig> <p>E$to primò vitreum corpus gracile, procerum, teres AB, manu capiaturin A, itaq. pondere ip$ius cor- poris præualente ad partes B, quia in C puncto, quod circa medium e$t, ex parte $uperiori non fit rarefactio, nec in in feriori con$tipatio, nec interim datur penetra- tio corporum, fit fractio à $uperiori parte, & pars CB à reliqua parte AC, auul$a & $eparata cadit in D, $uccedit autem ip$a $eparatio rarefa- ctioni. Porrò quod materias ha$ce non flexibiles diximus, $ed frangibiles, non ideo negamus vel $en$u docente, ali- quam inijs fieri flexionem. Si autem lignea fuerit mate- ria, ca<13>; flexibilis, vt EF, $i manu eleuetur in E, præualen- te pondere in F flectetur vbi G. ibi enim à parte $uperiori fitrarefactio, ab in feriori verò con$tipatio, & pars GF de- clinabitin H, quæ declinatio eò v$que procedet, quo ra- refactio & con$tipatio competens naturæ illius materiæ, quæ flectitur ad $ummam inten$ionem deuenerint; tunc $ivis maioringruerit, frangetur omnino: $i $ecus factaibi <p n=>97</p> re$i$tentia, vbi rarefactio fit & con$tipatio pe$t inclina- tionem $ur$um ferctur pars in clinata & nutans, tum in contrariam partem tendens reflectetur, vt videre e$t in virga IN. Declinans enim in KL, repellente ea quæ infra K fit materiæ conden$atione, impetu ex de$cen$u a cqui- $ito facta reflexione a$cendit in KM, donec paullatim cir- ca pri$tinam rectitudinem reuertatur, & hic quidem mo- tus vibratio dicitur, agitatioue. Si autem virga plumbea fuerit, naturâ non factâ ad rectitudinem, puta OP, pro- prio vincente pondere, ad partes declinabit QS, fiet<13>; in QR rarefacta, nempe $uperiori parte ea con$tipata infe- riori in Q, nec reflectetur, quippe quòd eius natura con- den$ationem & rarefactionem commodè patiatur, nec facta $it ad rectitudinem. <p>Porrò tripliciter fieri pote$t horum oblongorum corporum eleuatio, nempe vel extremorum alteio, aut $i ambobus, $i vtrinque $u$pen datur, vel alicubi inter extre- ma. De priori modo iam egimus. Modò $u$pendatur in medio vt AB, in C. eo igitur ca$u cum fulcimentum $it in C, vtrinq; fit flexio in D, & E, & id quidem $i materia fle- xionem patitur: $in minus, fractio fit in C. Si autem ab ex- <fig> tremis fiat $u$pen$io, vt in AB, tunc ceu duo vectes fient, quorum fulcimenta in extremis AB. Pondera au- tem communia in medio vbi Cremoti$$ima enim ea pars e$t ab extremis AB. Cedente <fig> igitur materia $uomet pon- deri, $iquidein in flexibilis fu- erit, frangetur, & fiet partiū $eparatio in C, duoque in de corpora AD, BE. Si autem fle- xionis capax, vt AB in po$tre- <foot>N</foot> <p n=>98</p> ma figura, facta ex contrario, nempe in in feriori parte cir- ca C rarefactione, in $uperiori verò conden$atione, pon- dere præualente curuabitur, fiet<13>; lignum quidue aliud huiu$modi, vt ADB, nec amplius pondere $uapte naturâ inferiùs vergente ad rectitudinem reuertetur. <p>Cæterùm cur oblonga & graciliora corpora facilius illis, quæ contrario $e habent modo, frangantur, ex me- chanicis principijs in quæ$tione 14. apertè demon$traui- mus. Modò vt ex hac contemplatione, quæ aliàs inutilis videtur, aliquam vtilitatem capiamus, & ex his quæ con- templabimur, Architecti prudentiotes fiant, i$thæcip$a, de quibus agimus, ad rem ædificatoriam commodè apta- bimus. Transferamus igitur cogitationem ad eam trabiū comp gem, quæ ad tecta $u$tinenda ex tran$uer$ario ar- rectario<13>; $it, & duobus cauterijs, quam no$trià Latinis detorto vocabulo Bi$cauterium dicunt. Per$crutabimur enim, vnde illi tanta ad $u$tin endum vis, & quæ compa- gem hanc con$equantur pa$$iones. quamuis enim fabri meræ praxi, quod vtile e$t efficiant, nos meliorum inge- niorum gratiâ, rei ip$ius cau$$as diligenter examinatas in medium proferemus; nec de hac re tantùm agemus, $ed de Cameris quoque, fornicibus eorum<13>ue vitijs & virtu- tibus quatenus ad Mechanicum pertinet, $ermonem ha- bebimus. Quærimus primo, cur perpendiculariter erect<17> trabes $uperimpo$ita pondera validi$$ime $u$tineant? Et $ane hoc omnes norunt, $ed non per cau$$as. <p>E$to horizontis planum, illud<13>ue $olidi$$imum, & impenetrabile AB, trabs eidem adperpendiculum erecta CD fulta ba$i vbi C grauitatis centrum F. pondus $uper- impo$itum FG, cuius grauitatis centrum H: Sint autem H & E in eadem perpendiculari, quæ ad mun di centrum HEC. Itaque eo quod tum penderis tum trabis centra grauitent in perpendiculari, illa verò fulciatur in C, to- <p n=>99</p> <fig> tius ponderis moles recumbet in C: non de$cendet autem in I, propterea quod $upponatur i- p$um planum AB, impenetrabi- le. Igitur vt pondus H de$cen- dat in C, alterum duorum e$t nece$$arium, nempe vel trabem $ubiectam comminui, aut eius partes $e$e penetrare, & plura corpora e$$e in eodem loco, pu- ta KC, quorum hoc $ecun dum naturæ penitus repugnat, illud vero primum, penè impo$$ibile. Diuidatur enim trabs in partes æquales tres, lineis KL, ip$a igitur KC infima $u$ti- net mediam KL, hæc verò $upremam LD, hæc autem pō- dus, ip$um $uperpo$itum in H. Seigitur $u$tinent partes. Sed illud totum partibus con$tat. ergo pondus totum à trabe tota, hoc e$t, à $e toto $u$tinetur. <p>Præterea in præcedenti quæ$tione mon$trauimus tunc facilem e$$e gracilis & oblongi ligni fractionem, cū maxima e$t longitudinis ad cra$$itudinem proportio. Hîc verò contrà accidit, etenim MD pars vectis quæ à fulci- mento e$t ad potentiam minimam habet proportionem ad rectam DC, quæ à fulcimento ad locum fractionis ex- tenditur, vbi C, quod vt euidentius pateat, <fig> <p>E$to $eor$umtrabs AB, cuius medium C. Sit autem pondus D impo$itum pun- cto C. facilè igitur frange- tur lignum AB, propterea quòd maxima $it proportio AC ad CE; re$i$tentia verò fiat in E, addatur vniatu <13>; <foot>N 2</foot> <p n=>100</p> ligno AB lignum FH. Cra$$ius igitur e$t totum AL, ip$o A<*>, & ideo minor proportio AC ad CG quàm AC, ad CE. Addavur adhuc & IM. Longè itaque difficilius fran- getur in K propterea quòd longè minor $it proportio AC ad CK quàm ciuidem ad CE & CG. His igitur con$ide- ratis, & demon$tratis concludimus, impo$libile e$$e ere- ctam trabem ponderi cedere, & frangi. <p>Dicet autem qui$piam, h<17>c$i vera $unt, quo gracilius fuerit fulcrum, eo validiùs $u$tinebit, & frangetur minus, quod oppido fal$um e$t. Re$pondemus, id non ex propor- tionum naturâ, $ed ex materiæ ip$ius infirmitate fieri. Ita quoque invecte non materiam, quatenus ad vim pertinet, $ed proportiones partium con$ideramus. Vtiumqueigi- turrequiritur ad fulcti validitatem proportio longitudi- nis ad cra$$itudinem debita, & materiæ ip$ius robur & fortitudo. Præterea, quoniam pondus, cuifulcrum re$i- $tit, vel ex natura premit, vel ex violentia, illud quidem per lincam perpen dicularem, quæ ad mundi cētrum, hoc autem lateraliter & diuer$imodè, varia fit fulcrorum di$- po$itio. Cuius rei $umma hæce$t, vt $emper contra impe- tum $upponantur. <fig> <p>E$to enim horizontis planum AB, eidē perpendiculares CADB, ítaque $i naturaliter pondus pre- matex C, fulcrum $upponetur AE. Siautem ex F ip$um GE, $i verò ex H, $upponaturiuxta BE. Si verò $e- cundum I ponderi opponatur KE. Hæc nos de arrectarijs fulcrisue; nunc de tran$uer$arijs, & inclinatis agemus, & primum de tran$uer$arijs, quatenus ad tectorum trabeationes $pe- ctat. <p>E$to tran$uer$aria trabs AB, muris vtrinq; fulta CD, <p n=>101</p> <fig> cuius grauitatis centrum E, in perpēdiculari FEG, quæ quidem ad mundi centrum vergit. Itaq; eo- dem tendente grauitatis contro, $i pondus quod premit in E, non præua- leat vnioni partiū ip$ius materiæ quæ e$t in E, re$i$tet trabs $uomet ponderi, nec frangetur. Si autem vel in firmitate materiæ, aut vitio, vel maxima exiftente proportione AF ad FE, fractio fiet in E, & $ecutâ partium $epaiatione duæ fient vtrin que trabes AH, Bl, quorum grauitatis centra KL. Erunt igitur duo vectes AE, BE, quorum fulcimenta MN, quamobrem $i proportio EM ad MH ita præualeat, vt pondus quod e $t in E, $uperet pondus muri O $uperimpo$iti, & item muri P, corruent quidem trabes, & murorum fiet hinc inde di$- $ipatio. Si autem non præualuerit ea, quam diximus, pro- portio, $u$pen$æ remanebunt vtrin que trabes vt AHBI. <p>Huic difficultati egregiè occurrunt Architecti, ali- quando autem hoc modo: <fig> <p>E$to tran$uer$aria trabs $uâ gracilitate, alia- ue de cau$$a imbecilla AB, muri quibus vtrinq; $u$tinetur CD, Trabis i- p$ius grauitatis centrum G. Itaque adpactis trabi lignis EF, caprcolos ad- dunt muro vtrinque ful- tos CE, DF, corum capita adpactis lignis admouentes EF, $ed & tunc validi$$ima fit colligatio, $i inter E & F capreo- lorum capita inte grum lignum trabi $upponatur EF. Ra- <foot>N 3</foot> <p n=>102</p> tio autem validitatis patet; premente enim grauitatis cē- tro in G, fulcra hincinde $uccurrunt CE, DF, quæ cum $e- ip$is fieri non valeant breuiora, ne corpori detur penetra- tio, re$i$tunt & robu$ti$$imè ip$i ponderi $uperimpo$ito contranituntur. Videntur autem in hoc opere duo con- $iderari vectes, GH, GB, quorum fulcimenta EF, potentia premens vtrinque G. Pondera autem parietum partes ca- pitibus trabis impo$itæ in A & B. Quoniam igitur parua e$t proportio GE ad EH, parua potentia premens in G, maximè autem pondus in A, fieri non pote$t trabem fran- gi aut muros vtrin que di$$ipare in AB. Po$$unt etiam to- tius trabis tres partes con$iderari AE, EF, FB, quarum ful- cimenta quatuor A, E, F, B, Diui$o igitur pondere & mul- tiplicatis fulcimentis impo$$ibile e$t trabem conuelli & vitium facere. <p>Sed & tectorum contignationes imbecilla<13>; tran$- uer$aria Mechanici corroborare $olent, additis nempe arrectaria trabe atque cauterijs. <fig> <p>E$to enim tran$- uer$aria trabs AB parietibus vtrinque fulta I, K, arrectariū CD. Cauterij vtrin- que AD, BD, ita tran$uer$ariæ trabi in AB, & arrectario in D in$erti, vt ne- quaquam inde ela- bi valeant. Tum ferrea fa$cia EF mediam tran$uer$ariam trabem AB, à parte inferiori ip$i arrectario connectens, Debet autem arrectarij pes vbi C, aliquantulum à tran$- uer$aria trabe di$tare, ne deor$um ex pondere vergente paululum arrectario ip$am tran$uer$ariam premat. His i- <p n=>103</p> gitur ita con$titutis pondus quidem tran$uer$ariæ trabis, quod $uapte naturâ premit in medio vbi C, ferrea fa$cia, arrectariæ trabi affixa di$tinetur, Arrectariam cauterij $u- $tinent, hos verò tran$uer$ariæ capita AB, quibus indun- tur. Tota igitur eiu$cemodi operis vis in eo con$i$tit, vt probè cauterij tran$uerlariæ & arrectariæ trabi in$eran- tur. fixis enim cauteriorum pedibus in AB, non de$cendēt à partibus $eu capitibus D, ijs verò $tantibus $tabit & arre- ctarium, quo inde $u$pen$o tran$uer$aria trabs ei ex ferrea fa$cia alligata nequaquam pendebit. Stabit ergo compa- ges tota & $uapte vi robu$ti$$imè connexa totius tecti pondus $u$tinebit. <p>Quoniam autem v$u venire $olet, cauterios nimia longitudine debiles, aliquando tum proprio tum extra- neo cedentes ponderi deor$um vergentes pandare, Ar- chitecti capreolis hinc inde $uppo$itis, ceu fulcris, huic medentur infirmitati. <fig> <p>Sint enim cauterij debiles hinc inde AB, AC, media trabs arre- ctaria, quam Monachū dicimus AD. Cauterio- rum mediæ partes E, F, in punctis igitur EF, vtpote maximè ab extremis di$tanti- bus debiles cauterij val de laborant. Itaque $uppo$itis v- trin que arrectariolis EH, Fl, eorum capitibus E, F, duos cauteriolos $ibi ip$is ad pedem arrectarij in D, re$i$tentes apponunt. quibus ita con$titutis nec E, nec F ad partes H, I, de$cendere valent. Capiatur enim inter EH, quoduis punctum G, & BG, DG, connectantur, erunt autem BG, DG ip$is BE ED breuiores ex 21. primi elem. Tuncigitur punctum E fiet in G cum BE, ED fient in BG, DG, quod non cedentibus B, D, & $ibi ip$is breuioribus factis parti- <p n=>104</p> bus BE, ED, pror$us e$t impo$$ibile. $tabuntigitur in co- rum rectitudine cauterij AB, AC, nec pandabunt, quod fieri querebatur. <p>Hîc autem damnandi veniunt ij, quitran$uer$ariæ quidem trabis capitibus cauteriorum pedes non in$erūt, $ed ea vice tran$uer$ariolo quodam medios cauterios v- trin que connectunt ad in$tar elementi A, quam compa- gem, capram, appellant. Sint enim cauterij hinc inde AB, AC, quorum medias partes connectit tran$uer$ariolum, DE. Dico igitur colligationem i$tam magnopere impro- bandam. Sunt enim AB, AC vectes, quorum commune fulcimentum A, potentiæ hinc inde diuaricantes B, C, pondera inter fulcimentum & potentias DE. quoniami- gitur vt DH ad AB, ita potentia in B, ad pondus in D, par- ua quidem potentia, pondus in D di$trahet & $uperabit: facillima<13>; in de fiet tran$uer$ariolì à capreolis ip$is vtrin- que reuul$io: Et quoniam centrum quidem e$t A, fact, in D, E, parua diuaricatione, maxima fit in BC, vtpote parti- bus ab ip$o centro A quam remotis. Calcitrant igitur li- beri prope cauteriorum pedes, & muros ip$os $ummos, non $ine magno operis totius vitio, $ua calcitratione pro- pellunt. <p>Hæc nos de trabeationibus, modò ad fornicum ca- merarum<13>; naturam $tilum transferemus; id enim $uadet vtilitas, imo & nece$$itas ip$a. Pauci enim ante nos hæc tractarunt, & $anè his probè non cognitis aut neglectis, Architecti fabri<13>ue ingentes per$æpe incurrunt, & inex- plicabiles difficultates. Dicimus igitur primò, coctiles la- teres, & non cuneatos lapides ad rectam lineam di$po$i. tos, non $tare. <p>Sint enim muri vtrinque AC, BD. Ducatur hori- zonti æquidi$tans CD, iuxta quam lateres lapide$ue non cuneati, $eriatim collocentur EF. Dicimus amoto arma- <p n=>105</p> <fig> mento, hoc e$t, pro- hibente ip$o lateres ruere. Producantur enim AC in G, BD verò in H, cum ip$is CG, DH, æquales fiant CI, DK, & recta IK iungatur, crit igi- tur GD $patium ip$i CK $patio $imile qui- dem & æquale, quod cùm ita $it, nihil prohibet quin tota laterum GD moles in $patium CK transferatur, & corruat. <p>Si autem cunei ip$i latere$ue, cuneatim di$po$iti, ita $int vt ad vnum centrum tendant, licet ad rectam lineam collocentur, non delabentur, $ed $tabunt; quod ita o$ten- demus. <fig> <p>Sint cunci latere$ue cuneatim di$po$iti ABCD, tendentes ad centrum, $eu commune punctum E, Du- cantur CAE, DBE, $int<13>ue muri vtrinque ponderire$i- $tentes CL, DM, Demitta- tur perpendicularis, quæ ad mundi centrum FGE $ecans AB, in G. Tum fiat GK <17>qua- lis GF & per K ip $i AGB parallela ducatur, HKI claudens $patium AHIB. Quoniam igitur vt EC, ad EA, ita CD ad AB per 4. propo$. lib. 6. maior erit CD ip$a AB, & eâdem de cau$$a maior AB, ip$a HI, & idcirco maius ABDC $pa- tium, $patio AHIB. Non igitur pote$t linea CD, fieri in AB, neque AB, in HI, neque $patium totum CABD, tran$- ferri in $patium AHIB non data (quod naturæ ip$i repu- <foot>O</foot> <p n=>106</p> gnat) corporum penetratione. Stabunt ergo cunei, quod fuerat demon$trandum. <p>Verumenimuero, debilis hæc $tructura e$t, & eo de- bilior, quo vani latitudo fucrit maior, cuneorum verò al- titudo minor. Idem enim patitur quod epi$tylia in $pecie Aræos$tyla, quæ, vt$cribit Vitruuius lib. 3. c. 2. propter in- teruallorum magnitudinem franguntur. Id quoque ha- bet vitij, quod cunei ita di$po$iti $uo pondere in cumbas vtrinque violenti$$imè pellant. Vtilis tamen e$$c pote$t ad portarum & fene$trarum, quæ in medijs muris $unt, & mediocri vano aperiuntur, $uperliminaria. <p>Si verò ad minorem circuli portionem curuetur Ca- mera, vtilior quidem erit $tructura ea ip$a, de qua locuti $umus; non tamen omninò $ine vitio. <fig> <p>E$to fornix ex minori circuli portione AB, cuius in- cumbæ AF, BH muris fultæ AC, BD. Con$tet autem vel ex lapidibus cuneatis, vel ex coctilibus lateribus ad E cē- trum tendentibus. Sit<13>; for- nicis linea exterior FGH, in- terior AIB. Ducantur EA, ED, & producantur in M, N. Quoniam igitur vt EM ad EA, ita MGN ad AIB, maior e- rit MGN lineaip$a AIB, quamobrem fieri non pote$t vt aptetur lineæ AIB, & in eius locum de$cendat. Stabit igi- tur, in cumbis vtrinque non cedentibus. Validè autem $peciem hanc, loca quibus incumbit, propellere, ita o- $tendemus. <p>Producatur in eadem figura CA in K, & DB in L. Partes igitur quæ muris ad perpendiculum fulciuntur, $unt AKF, BLH, minimæ illæ quidem, maxima verò pars <p n=>107</p> e$t extra fulcimenta, nempetota AKLB quæ idcircó $uo- pte pondere deor$um vergens & in incumbas vtrinq; pel- lens aperitur, & facillimè vitium facit. Eiu$dem ferè na- turæ ea $pecies e$t, quæ vel ex media, vel ex minori ellip$is $ecundum maiorem diametrum fit $egmento. Vtilior ta- men hæc e$t, præcipuè circa incumbas, propterea quod partes habeat erectiores, & circulari illa de qua egimus, magis fultas. circa medium autem pote$t videri debilior, quippe quod ellip$isibi circulo curuetur minus. <p>Ea verò forma, qua mirum in modum delectati $unt Barbari, qui declinante imperio Italiam inua$erunt, & bonam emendati$$imam<13>ue antiquorum ædificandi ra- tionem deturparunt, ex duobus con$tat circuli portioni- bus, quamobrem Albertus lib. 3. ho$ce arcus, compo$itos, appellat. Circinantur autem hoc pacto, diui$a nempe $ubten$a, in partes tres, ea$que æquales, ponitur circini pes in altero diui$ionum puncto & pars circuli de$cribi- tur, mox in altero puncto circini pede collocato alia cir- culi portio lineatur, quibus arcus ip$e integratur. Appel- lant autem tertium acutum, eo quod ex $ubten$a in tres partes diui$a, arcus non fiatrotundus, $ed in acutum an- gulum ex duabus circuli portionibus de$inens. <fig> <p>Sint igitur muri AC, BD, in quibus v- trinque incumbæ KA, BI. Ducatur itaque $ub- ten$a horizonti æquidi- $tans AP, quæ in tres æ- quales partes diuidatur punctis E, F, tum centris EF, circulorum portio- nes de$cribantur hinc AG, HK, inde verò BG, <foot>O 2</foot> <p n=>108</p> IH, ex quibus arcus totus integratur. Vtilis hæc quidem $pecies e$t, licet inuenu$ta, propterea quod haud violen- ter incumbas vtrinque repellat, & in $ummo magnis $u$ti- nendis oneribus $it apta. Producantur CH in N, DB verò in O, $it<13>ue centrum grauitatis AG in L, partis vero BG in M. Quoniam igitur centra hæc ob elatam portionum con$titutionem quam proxima lineis AN, BO, fulcimen- torum fiunt, maximè $u$tinētur, & deor$um potius quam lateraliter in cumbas ip$as premunt. Si quid tamen habēt vitij, illud e$t quod grauitatis centra momentum haben- tia ad interiorem partem ver$us PQ vim faciant, & nifi partes magno $uperimpo$ito pondere comprimantur, partes quæ $unt circa HG, $ur$um pellentes aliquali $ibi rectitudine comparata corruunt, facta nempe circa L, M, coniunctarum partium $eparatione. <p>His hoc pacto explicatis de $emicirculari fornice a- gemus, quæ cæteris omnibus vtilior e$t, & longè pulcher- rima, quamobrem Antiquis Architectis omnibus inpri- mis admodum familiaris: <fig> <p>E$to vanum ABCD, muris v- trinque clau$um. Ducatur per sū- mitates murorū horizonti æqui- di$tans recta AD, hac bifariam $e- cta in E, eodem centro E, $patio verò EA $emicir- culus de$cribatur AFD, concaua nempeip$ius for- <p n=>109</p> nicis pars; tum eodem centro, $patio verò EG, circinetur GHI eiu$dem fornicis pars conuexa. Po$t hæc productis lineis BH, CD, in OP, $ecetur fornix tota in tres æquales partes AGKM, MNLK, NDIL, & KME, LNE iungantur, $int autem partium ip$arum grauitatis centra QRS. E$t autem R in ip$a perpendiculari HE. Quoniam igitut partium AGKM, DILN, quæ vtrinq; $unt grauitatis cen- tra QS, in ip$is $unt fulcimentorum lineis OH PD, $uâ $ponte fulcimentis eas $u$tinentibus partes ip$æ $tabunt. Pars autem media KMNL deor$um vergente perip$am HE lineam grauitatis centro, $i parumper vel incumbæ vel partes vtrinque AG<I>K</I>M, DILN cedant, vtpote quæ à fulcimentis e$t remoti$$ima, magno impetu $uopte pon- dere deor$um feretur. quæ igitur in his $emicircularibus fornicibus partes $tabiliores $int, quæ verò ca$ibus obno- xiæ, ex his quæ diximus, clarè patet. <p>Cæterùm cur incumbis manentibus fornix $tet, ea cau$$a e$t, quod partes exteriores G<I>K</I>, <I>K</I>L, LI, maiores $int in ferioribus & oppo$itis AM, MN, NG; quod $uprà de- mon$trauimus. <p>Si quid autem vitij in hac $pecie e$t, illud quidem e$t, quod $ummapars <I>K</I>MNL deor$um vergens magnâ vi partes, quæ vtrinque $unt, repellat, ex qua re $olidarum partium fit $olutio, & inde ruina. <p>Huic difficultati vt occurrerent peritiores Archite- cti, plura excogitârunt remedia. Primum enim parietes hinc inde ita $olidos, cra$$os & firmos faciunt, vt $uapte vi re$i$tentes dimoueri loco nequeant, vel para$tatas addūt vtin figura TX, VY. Præterea & ferrea claui ex incumba in incumbam ducta & vtrinque firmata contrarias partes validi$$imè connectunt, quæ calcitrantes (ita enim lo- quuntur no$trates <I>A</I>rchitecti,) fornicis pedes cohibent, & $olidum ne $oluatur impediunt. qua in $pecie dubitan dū <foot>O 3</foot> <p n=>110</p> e$$et, an optimo loco $it a $it clauis, quæ per centrum? Et $anè videtur, quippe quod circa incumbas impetus fiat maior. Ego autem vtiliusibi poni arbitror, vbi punctaq. 5. hoc e$t, in medio tertiarum illarum partium, quæ vtrin- que incumbis in$i$tunt, propterea quod primus impul$us ex media parte quæ impendet, ibi fiat. Rarò tamen boni Architecti eo loco aptare $olent, eo quòd eiu$modi cla- ues vel pulcherrimis ædifi cijs minuant gratiam. Vnde fit vt nunquam $atis laudetur Lucianus ille Benuerardus Lauranen$is Dalmata, qui nullibi apparentes eas po$uit in admirabili illa Vrbini Aula, quam Federico Feltrio, fe- lici$$imo æquè & inuicti$$imo Duci, ædificauit. <p>Tertio denique modo huic infirmitati me dentur, vt videre e$t in $equenti figura, in qua vanum ADBC, mu- ri vtrinque AF, BH, fornix verò FGH. Itaque dum muros <fig> ex$truunt, arre- ctarias trabes, ro- bore aliaue mate- ria firmi$$ima, illis in$erunt, quales $unt IF<I>K</I> LHM, ea proceritate vt futuri fornicis $u- perent $ummita- tem. Con$umma- to enim fornice, nondum tamen, exarmato, tran$- uer$ariam trabē à $ummo fornicis dor$o parumper eminentem in punctis I, L, arrectarijs trabibus validi$$i- mis clauibus connectunt, tum punctis NP, Oq, capreolos <p n=>111</p> tran$uer$ario, & arrectarijs ferreis, clauis affigunt. Qui- bus ita concinnatis, facta fornicis validâ pre$$ione in G, in cumbi$<13>ue F, H, ad exteriora repul$is, AB $patium non fit maius. Repul$is enim in cumbis & muros propelli ne- ce$$e e$t, & cum muris ip$as in$ertas trabes, I<I>K</I>, LM. At va- ricari non po$$unt, nî $ecum trahant puncta PQ, quod fie- ri non pote$t, propterea quod in punctis N, O, validè di$- tineantur. Itaque $patio AB non dilatato nulla fit ip$ius fornicis di$$olutio, quod vtique à principio ceu propo$i- tus finis quærebatur. Sed dicet qui$piam, Nonne pende- bit tran$uer$aria trabs in ip$a di$tractione arrectariorum, pre$$a in punctis N, O? aut parum dicimus, aut nihil. Cum enim PQ proxima $int punctis FH, quæ cum arrectarijs à muro di$tinentur, magna in ijs fit vtrobique re$i$tentia. <p>Rebus igitur ita $e habentibus cum ob$erua$$ent Ar- chitecti, ob enormitatem ponderis fornices in tertia illa <fig> parte quæ $umma e$t laborare, quãtum ter- tijs vtrinque partibus $oliditatis addunt, tan- tundem ex illa parte $uprema demere $olēt, vt videre e$t in $ubie- cta figura, in qua par- tes A, B, $olidæ & cra$- $iores, quibus hærent partes, quæ CE, DG cra$$æ quidem & illæ, tum vero $umma EFG, alijs $ubtilior. Minus igitur grauante ponde- re in F, minor fit ad in cumbas pre$$io, aut $i qua fit, à partiū ACE, BDG $oliditate haud inualidè $u$tinetur. <p n=>112</p> <p>Cæterùm admonet nos locus, vt aliquid de forni- cum di$$olutionibus in medium afferamus: cau$$is enim morborum cognitis, facilius periti medici adhibere $o- lent remedia. <fig> <p>E$to enim $emicircula- ris fornix ABC, cuius cen- trum E, perpendicularis ve- rò quæ per centrum DBE, $e- micirculi ABC, diameter AEC, incumbæ vtrinq; A, C. Itaque $i nulla fiat incumba- rum repul$io, $tabit fornix; $i verò fiat, ruinam facict. <p>Pellanturitaque ad exteriores partes, vt in $ecunda <fig> figura, H in F, & C in G, ex qua pul$ione cum ma- ius fiat $patium quod in- tegro fornice impleba- tur, iam di$tractis vtrinq; fornicis partibus nō im- pletur, Diuiditur igitur locus maior factus in tres partes, quarum hincinde duas replent fornicis partes, tertiam verò quæ media e$t, re- plet in$ertus, ne vacuum detur, aër, vt in figura videre e$t, in qua $olutæ vtrinque fornicis partes HIKF, PMNG, aër autem medius $patium replens IKMN. Diuidantur $in- guli qua drantes FK, GN, in partes tres, quarum duæ $int hincinde FQ, GR, & à centris, quæ $eparatis quadranti- bus facta $untin ST, rectæ ducantur SQV. TRX. Quo- niam igitur tertiæ partes vtrinque VIKQ MNRX pro- pria grauitate depre$$æ, nullum quo $u$tineantur fulci- mentum habent, corruent quidem. Ducantur autem re- ctæ QI, RM, con$tituentes cum ip$is QV, RX pares an- gulos VQI MRX. Itaque centris QR partes QIRM ad <p n=>113</p> inferiores partes deuoluentur, fient<13>ue QI, RM, vbi QZ, RZ. Siautem QI, RM perpendicularibus quæ à punctis QR ad perpendicularem DE ducuntur, fuerint maiores conuenient alicubi in ip$a perpendiculari, & altera alte- ram $u$tinebit; $i autem æquales tangent $e & nihilomi- nus fiet ruina, $i minores nec $e inuicem tangent, & nullà re prohibente deor$um corruent. tangant tautem $e in pū- cto Z. quo pacto igitur fornices incumbis cedentibus in medio aperti, di$$oluãtur & ruinam faciant, ex i$tis patet. <p>Ex demon$tratis qua$i ex con$ectario habemus for- nices quo fuerint cra$$iores dato pari in cum barum $ece$- $u, ruinæ minus e$$e obnoxios quàm tenuiores, hoc e$t, maiori aperitione indigere ad ruinam cra$$iores quam te- nuiores, quod licet ex iam dictis re$ultet, nos tamen cla- rius ex $ubiecto $chemate demon$trabimus. <fig> <p>E$to enim cra$$ioris fornicis pars quidē ABCD, tenuioris EFCD circa idē centrum R. Ducatur au- tem RM, $ecans CD in G. EF in H AB, in M. Centro igitur G fiet euer$io portio- num fornicum, MD, HD, Ducantur GA, GE & producta AD in N ip$i AN perpen- dicularis ducatur GN. quoniam igitur GE cadit in trian- gulo AGN erit ex 21. propo$. lib. 1. elem. GA, maior GE. Corruente igitur maioris fornicis portione MD, recta GA centro G punctum A de$cribet portionem AI, mino- ris interim ex GE, de$cribente EL, at cadenti angulo A occurrit in perpendiculari IK in puncto I angulus oppo- $itæ portionis, O, ip$i autem E cadenti per EL non occur- ret punctum P, cadens per Pq eo quod neutrum eorum pertingat ad perpendicularem IK. Tenuioris ergo forni- <foot>P</foot> <p n=>114</p> cis partes è $uis locis auul$æ ex eadem aperitione ruinam facient, quod non contingit partibus cra$$ioris. quod $a- nè fuerat de clarandum. <p>Quæritur adhuc, quare grauiores fornices in $um- mis ædificijs non $ine vitio fiant? <p>E$to ædificium ABGH, cuius vtrinq; muri ABCD, EFGH, maiorum $ummitates AD, EH, mediæ murorum partes KL, fornicum $ummus quidem DIE, medius verò <fig> KML. Dico, magis cedere pul- $os muros $ummos circa DE, quam in medio circa KL. Sunt enim muri BA, GH ceu vectes quidam, quorū extremis par- tibus à fulcimentis BG remo- ti$$imis potentia admouetur, hoc e$t, ip$ius fornicis DIE ad DE in cumbans repul$io; lon- gior e$t autem pars à fulcimē- to ad potentiam AB, ip$a BK. Data igitur paritate potentia- rum plus operabitur ea quæ in D, illa quæ K. facilius crgo re- pellentur muri in DE quàm in KL. Alia quo que ratio intercedit, $iquidem pondus muri $uperioris ADK, premens inferiorem murum KBC, cum $ua grauitate firmiorem, & pul$ionibus minus obnoxium reddit. Difficilius enim propellitur id quod graue e$t quã quod leue, vt nos quæ$tione 10. demon$trauimus. <HEAD>QVÆSTIO XVII.</HEAD> <HEAD><I>Quærit Ari$toteles, Cur paruo exi$tente cuneo magna $cindantur pondera & corporum moles, valida<13>, fiat impre$$io?</I></HEAD> <p>In parua re magnum negotium. Etenim quæ$tio hæc <p n=>115</p> clari$$imorum virorum ingenia magnopere fatigauit. Ex quibus Ari$toteles inter veteres, Guid. Vbald. inter re- centiores ad vectis naturam (ne quid in Mechanicis ad vectem non reduci putaretur) cuneum ip$um trahere co- <fig> nati $unt. Nos autem pro veritate certantes, $i in horum $ententiam vltrò non tran$ierimus, multa venia digni à non iniquo iudice exi$timabimur. A- ri$totelis mentem clarè & fusè explicat G. V- bald. in Mechan. vbi de Cuneo peculiariter a- git. <p>E$to igitur $cindendum quippiam ABCD, Cuneus EFG, cuius pars HFI $ci$$uræ in$erta HI, facta igitur vali- da percu$$ione in EG, fiet vt cum EG fuerit in NO, H $it v- bi N, A vbi P, itemque I vbi O, D verò vbi Q & facta erit $ci$$io NSO, toti nempe cuneo EFG, æqualis. Vultigitur Ari$toteles, duos in cunco vectes con$iderari EF, GF, quo- rum alterius, nempe EF, fulcimentum $it in H, pondus ve- ro in F; alterius autem, hoc e$t, GF fulcimentum quidem $it in I, pondus verò itidem $it in F. His nequaquam con- $entiens G. Vbald. aliam viam ingreditur. Ait enim EHF vectes quidem e$$e, quorum commune fulcimentum F, potentias verò mouentes in EG. Pondera vtrinque inter fulcimenta & potentias, vbi HI, idem<13>; e$$e ac $i EF, GF, <*>eor$um à cuneo con$iderati in puncto F, adinuicem fulti atque di$tracti pondera pellerent H in NP, I verò in O, Q. Verumenimuerò quoniam cunei angulus non muta- tur, nec vertex ip$e centri vllum pror$us præbet v$um, nec eius latera vtrinque di$tracta ad contrarias partes didu- <foot>P <I>2</I></foot> <p n=>116</p> cuntur, vectes in cuneo hoc pacto con$iderare videtur à veritate alienum. Ari$totelis autem $olutionem fal$am e$- $e, clarè patet. quo pacto enim F pellet ex fulcimento Hi- p$am ligni partem OS, & idem F ex fulcimento I pellet oppo$itam partem NS, $i inuicem contendentes extremæ vectium partes in F, altera alteri ne quicquam operentur, e$t impedimento? Et $anè opinionis fal$itas inde patet, quòd videamus materiæ partes $ci$$as, in ip$o $ei$$ionis a- ctu facta di$tractione à cunei vertice nequaquam tangi. At eiu$modi operationes per contactum fieri nulli e$t i- gnotum. Solutio igitur i$ta mco iudicio, tanto Philo$o- pho pror$us videtur indigna. <p>Porrò G. Vbald. ijs quæ de diuaricatis vectibus in medium adduxerat non acquie$cens alias quærit cau$$as, cur cuneus minoris anguli validiùs $cindat. Id<13>; ex quo- dam lemmate demon$trare conatur, figura autem eius ita ferè $e habet. <fig> <p>E$to cuneus ABC, item alius DEF. Demō- $trauit igitur ex a$$um- pto, quo acutior fuerit angulus BIM, eo facilius pondera moueri, & ideo facilius ceu vecte AB moueri pondus I quàm vecte DE pondus Q. In- geniosè quidem. At ma- gnam hæc apud me ha<*> bent difficultatem. Si e- nim ita $e habet AB, ad BI, vt DE, ad EQ (ip$æ enim DE, EQ $upponuntur æquales) ergo eadem æquali$ue poten- tia æqualiter mouebit pondera I & Q. quod ip$i eiu$dem demon$trationi pror$us concludit contrarium. Nec meo <p n=>117</p> quidem iudicio id $equi videtur, propterea quod ex Pap- po ea quæ in planis inclinatis mouentur, redigantur ad li- bram. Ratio enim valde e$t diuer$a, $iquidem pondera quæ in planis inclinatis mouentur, certa habent fulci- menta & determinatas tum brachiorum tum ponderum proportiones, quæ omnia in cuneo, nec quidem mente concipi po$$e, clarè patet. <p>His igitur difficultatibus con$ideratis, Nos cunei vim, ad alia e$$e principia referendam pro comperto ha- bemus. Ordimur igitur hoc pacto. Cuneo quidem res di- uidi certum e$t. Cæ terùm quæ natura diuidere apta $unt, tria $unt, punctum, linea, $uperficies, Puncto enim linea, lineâ $uperficies, $uperficie autem corpus ip$um diuidi- tur. quæ omnia à Mathematico ab$que materia con$ide- rantur. De diui$ione autem quæ fit ex puncto, nihil agit Mechanicus, qui corporibus quidem vtitur, ad cuius na- turam non trahitur punctum, cuius partes $unt nullæ. At non lineis & $uperficiebus modò corpora diuiduntur, $ed etiam corporibus, quod verum e$t, at ea corpora ad linea- rum & $uperficierum naturam quodammodo aptari faci- lè docebimus. Dicimus igitur, duplicem e$$e Cuneorum $peciem, linearem vnam, $uperficialem alteram. linearem appello, quæ ad lineæ naturam magnopere accedit. Tales $unt orbiculares illæ cu$pides, quibus ad perforandum v- timur, & ideo vernaculè Pantirolos vocamus. Acus item $utorij, & cætera quæ nen $ecus ac linea in punctum de$i- nunt, & imagina<*>iam quandam lineam ceu axem in eo puncto de$inen<*>em continent. Ad lineam quo que refe- runtur lateratæ cu$pides oblongæ, & $ubtiles ceu$ubulæ, claui, en$es, pugiones, & his $imilia, quæ cum adacta vali- dam faciant partium $eparationem ad cunei naturam nō referre magnæ videretur dementiæ. Ettunc quantoma- gis corpora hæc ad linearem naturam accedunt, eo ma- <foot>P 3</foot> <p n=>118</p> gis penetrant. Sed & hocidem in rebus non ab arte, $ed ab ip$anatura productis facile e$t cogno$cere. Quis enim non experitur, quàm validè culex, infirmi$$imum animal, & ea paruitate qua e$t, hominum & cæterorum animaliū, cutes aculeata probo$cide penetret? Id vtique non alia de cau$$a fit, quod ad imaginariæ lineæ $ubtilitatem quam, proximè accedat. Ve$pæ quoque, Apes, Scorpiones a- culeis i$tis ceu linearibus cuneis vtuntur. Nec refert, vt diximus, vt um laterati $int, ceu $ubulæ, & claui, vel ro- tundi & vtrum plura paucioraue latera habeant, dummo- do in punctum & aculeatam aciem de$inant. Altera por- ro cuneorum $pecies $uperficiei naturam $apit, acie $iqui- dem in lineam de$init, quæ $uperficiei e$t terminus, quã. obrem huc ea omnia referuntur, quæ acie ipsâ $cindunt, ceu $unt cunei propriè dicti, de quibus hoc loco e$t $er- mo, cultra, en$es, a$ciæ, $ecures, $calpra lata, & cætera e- in$modi, quibus corpora acie $cinduntur. Quidam his ad- dunt $erras, quibus haud pror$us a$$entimur. Etenim alia ratione diuidunt, $icut & limæ $olent, deterendo enim, nō $cindendo ferri, ligni, & marmorum duritiem diuidunt & domant. His igitur cō$ideratis, $i daretur ex materia qua- piam in frangibili cuneus, qui maximè ad $uperfi ciei natu- ram accederet, vel paruo labore tenaci$$ima ligna validi$- $imè $cinderet, & ideo optimè res gladijs illis diuiditur, qui magis ad $uperficiei naturam accedunt. Ex quibus o- mnibus, nî fallimur, clarè patet, curacutiores angulo cu- nei obtu$ioribus facilius $cindant, quæ quidem ratio lon- gè ab ea di$tat, ex qua cæteri ferè omnes Cuneum ad ve- ctis naturam referre hactenus contenderunt. <p>Cæterùm vtramque eorum quos diximus, cuneorū $peciem $olerti$$ima cognouit Natura, & ideo quoniam res vel contu$ione vel perforatione, vel $ecatione con$i- ciuntur, triplicem dentium qualitatem dentatis animali- <p n=>119</p> <fig> bus dedit, Molares, qui & Maxillares ap- pellantur, quibus cibus contunditur, Canini, quibus fit perforatio, Anterio- res, quibus cibus $cinditur, quos ideo <G>temnikou\s</G>, id e$t, $ecan- tes appellant Gr<17>ci. <p>Molares KK, CaniniL, L, Temni- ci $eu $ecantes M. Cuneus orbicularis lineari$<13>ue AB, in quo axis linea e$t, ad cuius naturam accedit AB cuneus $uperficialis CD, accedens ad $uperficiei naturam, quam vitro imaginamur EFGD, in aciem cunei de$inentem, GD, Lateratus lineari$que cuneus, clauus HI. <p>Cunei autem omnes dupliciter $unt efficaces, vel e- nim malleo, vt in ijs fit, quibus lìgna $cin duntur & $calpris fieri $olet, adiguntur, vel impul$u & pre$$ione, vt in gla- dijs fit, pugionibus, cælatorum $calpris, $ubulis, & cæteris eiu$modi. Quidam etiam $unt, qui licet mallei ictu non adigantur, malleum coniunctum habent, ceu $unt $ecu- res, ligones, A$ciæ, & his $imilia, quæ ex percu$$ione $e- metip$a $cindendis rebus in$erunt & validè penetrant. De vi autem & efficacia ictus $eu percu$$ionis hic $uper- $ed emus aliquid, ea de re, in $equenti quæ$tione verba fa- cturi. <p>Multa hîc addere potui$$emus ad Cochleam $pe- ctantia, quippe quòd Cochlea cuneus $it Cylindro inuo- lutus, qui quidem ad mallei, $ed vectis virtute $ibi adiun- ctâ, validi$$imè operatur, & $excentis in$eruit v$ibus. Ve- runtamen cùm de hac $<29>ecie egregiè di$$erat G. Vbaldus, <p n=>120</p> con$ultò hanc di$putationem omittimus; idque hac quo- que de cau$$a, quod nihil de cochlea, ac $i eam non noui$- $et, locutus $it Ari$toteles. <p>Po$$umus autem in actu $ci$$ionis, quæ cuneo fit, a- liâ tamen ratione vectem con$iderare, nempe non in cu- neo quidem, $ed in ip$a re quæ $cinditur. <fig> <p>E$to enim quip- piam $ci$$ile ABCD, cui alteri extremita- tum, puta BD, cuneus adigatur EFG, fiatq; $ci$$io per longitudi- nem $ecundum lineã EH. facta igitur ex cunei ingre$$u partiū $eparatione B, expelletur in I, D ve- rò in K. fient igitur materiæ $ci$$æ partes AIBH, CKDH, ceu duo vectes, quorum hinc inde in corpore ip$o fulci- menta L, M potentiæ vtrinque dilatantes BD, pondus ve- rò materiæ re$i$tentia, in $eparationis loco vbi N. Duca- tur NL, quanto itaque BN maiorem habebit proportio- nem ad LN, eo faciliùs re$i$tentia quæ in N, $uperabitur. Mutatur autē a$$iduè in ip$a $ci$$ione fulcimentum, & cū fulcimento ip$a proportio. Pertingente enim $ci$$ione in O, fulcimētum fit in P. quo ca$u $ci$$ura e$t facilior, quip- pe quod maiorem habeat proportionem BO ad OP, quã BN ad NL. Hoc autem experiuntur materiarij, qui primis ictibus, $ecuriculâ nondum probè adactâ, & nondum fa- ctâ notabili $ci$$ione difficultatem $entiunt, mox factaiã $eparatione faoillima paullatim fit materiæ totius $epara- tio. Hocidem & nos ab$que cunei v$u experimur, cum ba- culum aut quippiam tale manibus diductis $cin dimus. à principio enim difficultatem $entimus, deinde ex ea quã diximus proportionc $ci$$io ip$a fit apprime facilis. Vti- <p n=>121</p> mur etiam vecte cuneato ad $cindendum & aperiendum: adacto enim $ci$$uræ cuneo, id<13>ue manu malleoue, tum ab altera extremitate pre$$o, valida fit ex vectis vi cōtinui <fig> corporis $eparatio. Ma- teria $ci$$ilis AB $calprū ceu vectis cuneatus CD, cuius fulcimentum, E, pondus verò vbi C, po- tentia vbi D, quo ca$u quo maior e$t proportio DE ad EC, eo e$t ip$a $ci$$io leuior & facilior. <HEAD>QV AESTIO XVIII.</HEAD> <HEAD><I>Quærit hic Ari$toteles, Cur per Trochleas ab exiguapotentia in- gentia moueantur pondera?</I></HEAD> <p>De Trochlea Pappus, & veteres: inter recentiores e- gregiè admodum, vt omnia examinauit in Mechani- cis G. Vbaldus. Nos tamen interim po$t clari$$imos illos viros aliquid quod nouitatem & $ubtilitatem $apiat, de no$tro penu promemus. Et $anè inuentis quidem addere res e$t fa cilis, at quod inuentis addas inuenire haud adeo facile. Sed nos primum Philo$ophi ip$ius dicta ad trutinã reuocemus. Ita autem quæ$tionem proponit; Cur $i qui$- piam Trochleas componens duas, in $ignis duobus, ad $e inuicem iunctis contrario ad Trochleas modo circulo fu- nem circumduxerit, cuius alterum quidem caput tigno- rum appendatur alteri, alterum verò Trochleis $it innixū & à funis initio trahere cœperit, magna trahit pondera, li- cetimbecillium fuerit virium? <p>Ob$euri$$ima expo$itio, & nî res e$$et vulgò per $e nota, de<13>ue ea Vitruuius & Mechanici non egi$$ent, diffi- cile vtique e$$et ex eius verbis $en$um a$$equi. <foot>Q</foot> <p n=>122</p> <p>Tigna $anè voca$$e videtur ea ligna, quæ à Vitruuio Rechami dicuntur, in quibus nempe ip$i in$eruntur orbi- culi. Et$i de tignis eiu$mo di aliud quippiam $entire videa- tur Picolomineus. Græea lectio pro tignis habet <G>cu/la</G>, id e$t, ligna; item vbi Leoniceni ver$io legit, ad $e inuicem iunctis, textus habet <G>snm<*>ai/nousin e(autoi_s e)ranti/ws</G>, hoc e$t, in- uicem ex oppo$ito concurrunt. Certè locum totum ita redderem: Cur $i quis duas Trochleas fecerit, in duobus lignis $ibi ex oppo$ito concurrentibus, ei$<13>ue Trochleis circumpo$uerit funem, cuius alterum caput alteri ligno- rum $it annexum, alterum verò Trochleis cohæreat, vel apponatur. Si quis alterum funis principium trahat, ma- gna trahat pondera, et$i trahens potentia $it exigua? Nos verbis figuram, & figurâ verba ip$a elucidabimus. <fig> <p>Sint duo ligna ex oppo$ito concurrentia, in quibus Trochleæ, hoc e$t, orbiculi AB, fu- nis ductarius DABC, cuius alterum caput re- ligatum e$t ligno trochleæ A, vbi e$t C. Tro- chlea A loco $tabili commendata, vbi E. Pon- dus alteri ligno Trochleæ appen$um F. Tra- cto itaque fune DABC, eleuatur & trahitur pondus F. Ex quibus clarè patet, Philo$ophū propo$ui$$e Trochleam duobus tantum orbi- culis munitam, quod vtique $atis erat ad ex- plicationem. Inquit autem, faciliùs vecte quã manu pondus moueri. Trochleam vero (id e$t, orbiculum; ita enim e$t intelligendum) e$- $e vectem, aut vectis virtute operari. Ita autem videtur argumentari. Si vnicâ Trochleâ plus trahitur quàm manu, multo faci ius & velocius id fiet duobus, quibus plus, vt ip$e ait, quàm in duplici velocitate pon- dus leuabitur. Summa dictorum e$t, ex multiplicatione orbiculorum pondus ip$um imminui, & minori difficul- <p n=>123</p> tate leuari, quod $anè verum e$t. Nos tamen nonnulla cō- $iderabimus. quod ait, vecte facilius moueri pondera quam manu, $emper non e$t verum. Si enim vectis pars quæ à fulcimento ad manum breuior fuerit illâ, quæ à fulcimento ad pondus difficilius vecte pondus mouebi- tur quam manu. Idem quoque accidet, $i eo modo vecte vtamur, quem ob$eruat Guidus Vbald. Tract. de Vecte prop. 3. Po$ita nempe inter fulcimentum & pondus $u$ti- nente potentiâ. Præterea quod a$$eruit Ari$toteles, Tro- chleas ad vectem reduci, verum quidem e$t, $ed aptius di- xi$$et ad libram, etenim vectis vtcunque à ful cimento di- uiditur. Libra verò quod & orbiculis ex centro accidit, $emper bifariam. Ad hæc videtur ille ad orbiculorum multiplicitatem Trochlearum vim referre. Si enim, ait, vnicâ Trochleâ pondus facile trahitur, id multo validius pluribus fiet. Veruntamen non ab$olutè ex orbiculorum multiplicationeid fieriita o$tendemus. <fig> <p>Sint duæ op- po$itæ line<17> rect<17>, vtpote trabes AB, CD, inuicē æqui- di$tantes & ip$æ $tabiles: $uperiori tres appendantur orbiculi ex pūctis E, F, G, nēpe ML, PQ, TV. inferiori autē duobus pun- ctis IH, nempe NO, RS. Erunti- gitur invniuer$um quinque, indatur pereos funis ductarius KLMNOP QRSTVX, ex cuius extremitate pendeat pondus X, <foot>Q <I>2</I></foot> <p n=>124</p> Trahatur funis in K. Dico ex multiplicatione orbiculorū, trahentipondus nequaquam minui. Sint autem orbicu- lorum diametri, LM, NO, PQ, RS, TV, applicetur poten- tîa in S. Erit igitur ad hoc vt $u$tineat æqualis ponderi X, orbiculi enim TV $emidiametri $unt æquales. Transfe- ratur potētia in q, & ita deinceps donec perueniatur in K, vbi funis ip$ius e$t principium, Idem e$t igitur $eruata $em- per $emidiametrorum æqualitate ac $i potentia quæ e$t in K, applicata intelligatur in T vel in V. vbicunque enim collocetur, ponderi erit æqualis. Nihil igitur rebus ita di$po$itis, orbiculorum multiplicatio ad facilitatem ope- ratur. Alia itaque ratio quærenda e$t, quam non $atis ex- plica$$e videtur Ari$toteles. Probabimus autem, nullam ex $uperioribus orbiculis fieri ponderum imminutionem, $ed totam vim in inferioribus con$i$tere. At nos interim quippiam quod ad rem faciat, proponamus. <fig> <p>E$to punctum A, cuirectæ ap- pendantur lineæ BAC, diui$æ qui- dem in A, $it autem lineæ BA caput B, ip$ius verò CA caput C. Modò intelligantur vnitæ in A, $it<13>ue vni- ca linea à puncto A ceu funiculus dependens BAC; Appendatur capi- ti B pondus B. Capiti vero C, pōdus C, inter $e æqualia. Potentia igitur in A, duo $u$tinebit pondera BC. Pondera verò ex æqualitate æque- ponderabunt. Quod $i B potentia dicatur $u$tinens pondus C, aut C potentia $u$tinens pondus D, vel duæ potentiæ inter $e æquales, nihil refert. Vtcunque enim id $it, fiet æquilibrium. Habemus igitur ex i$tis ad $u$tinendum pondus ex $uperiori parte <p n=>125</p> appen$um potentiam requiri ip$i ponderi æqualem. Ani- mo po$thæc concipiatur alia recta linea DEF, cuius inte- gra longitudo $i exten deretur, e$$et DE, EF. Appendatur in E pondus E æ quale alteri ponderum B vel, C, $int autem duæ potentiæ pondus E $u$tinentes D, F. Vtraque igitur dimidium $u$tinebit ponderis E, $ed potentia quæ $u$ti- nebat pondus B, in C erat ip$i B æqualis, vbi appen$io pon- deris erat in $uperiori parte in A, hîc autem, vbi appen$io e$t in parte in feriori, vtraque potentia dimidium $u$tinet appen$i ponderis. Videmus igitur illam appen$ionem quidem pondus nullatenus imminuere, hanc verò pon- dus ip$um, bifariam diui$um, $u$tinentibus potentijs im- partiri. Hæ cin lineis, Mathematicâ v$i ab$tractione, con- $iderauimus, nunc verò eadem mechanicè perpenda- mus. <fig> <p>Sit igitur punctum A, vt in $e quenti figu- ra clauus paxil- lu$ue, cui appen- $us funiculus BAC, & funicu- li capitibus pon- dera BC, $it quo- que anulus D, per quem traìe- ctus funiculus EDF. Anulo au- tem cōiunctum pondus G. His igiturita con$titutis, eadem demon$tra- buntur quæ $uperius, nempe oportere vt fiat æquilibrium B, C, e$$e æqualia, tum potentias, quæ $unt in EF pondus G inter eas diui$um $u$tinere. Porrò volentes Mechanici <foot>Q 3</foot> <p n=>126</p> funiculos circa paxillum, & anulum ad attollenda & de- primenda pondera mouere incommodè illis vtique $uc- cedebat, clauo & anulo motum difficilem facientibus. Quamobrem vt difficultati occurrerent, ad locum claui clauo ip$i orbiculum circumpo$uerunt, & anuli itidem loco orbiculum aptauerunt. Hæc autem agentes reii- p$ius naturam non mutauerunt, $ed $ibi, vt diximus, ex or- biculis maximam commoditatem atq; facilitatem com- parârunt. <p>Ex his principîjs tota Trochlearum ratio pendet, quæ tamen alia quoque con$ideratione in idem tenden- te examinari pote$t, quod quidem fecere veteres, & ip$e, qui veteres optim è imitatus e$t, Guid. Vbaldus. <p>Vidimus vtique nos, à potentia quæ e$t in B, pondus par $u$tineri in C, Potentiam autem quæ e$t in E dimidiū $u$tinere ponderis quod e$t in G. Nos igiturij$dem in$i- $tentes adiecta libra, vecteue, bifariam diui$o rem ip$am ex $ubiecto diagrammate lucidiorem faciemus. <p>E$to linea quædam $tabilis ceu trabs horizontiæ- quedi$tans AB, cui in A funiculus annectatur AC, cuius extremum C vecti cuidam alligetur CD, in medio diui$o vbi E, tum alteri vectis eiu$dem extremitati D, funiculus nectatur DG, & à puncto E pondus appendatur F. puta li- brarum mille, Tum puncto G in medio vectis HI, funis re- ligetur DG, & ex altero vectis extremo alligato fune HK commendetur lo co $tabili in K, & ab alio capite vectis vbi Iad medium vectis MN, vbi L, funis annectatur lL, tum ex vectis capite M, funis commendetur MO, loco $tabili in O, & alteri capiti N, funis, NP, qui alligetur medio ve- cti QR in P, & ex Q, funis QS. Commendetur loco $tabili in S, & alteri vectis extremo R funis alligetur RT, cui quidem potentia $u$tinens applicetur in T. Dico igitur, <p n=>127</p> <fig> rebus ita di$po$itis, potentiam in T ita $e habere ad pondus F, vt vnum ad $ex de- cim, hoc e$t, in pro- portione e$$e $ub- $exdecupla. Sunt autem, hic vectes quatuor in feriorum cubiculorum, loco, CD, HI, MN, QR, qucrum, centra E, G, L, P. quoniam e- nim A hoc e$t, C, v- nà cum potentia G, hoc e$t, D, $u$tinet pondus F alterum, ponderis dimidium $u$tinebit C, alterū vero D. erunt igitur vtrinque libr<17> quin- gentæ. Tum potentia in K, hoc e$t, in H, vna cum poten- tia in L, hoc e$t, in I $u$tinebunt quingenta. Quare vtraq; ducenta quin quaginta, $ed hoc totum bifariam diuiditur inter potentias, O, id e$t, M, & P, id e$t H. erunt igitur v- trinque centum viginti quinque. Ea autem $umma iterū bifariam diuìditur, hoc e$t, inter potentias S, id e$t, Q & T, id e$t, R, quare vtraque $u$tinet $exaginta duo cum di- midio. Sed numerus i$te ad Millenarium ita $e habet vt v- num ad $exdecim. Hinc colligimus, pondus totum inter loca $tabilia diuidi, nempe A, K, O, S, & ip$am potentiam quæ $u$tinet in T, & locis ip$is $tabilibus quindecim par- tes integri ponderis, potentia verò T $extam decimam <p n=>128</p> tantùm commendari. Itaque $i ex puncto V appendere- tur AB, in X potentia, quæ in X $u$tineret mille, minus $exaginta duo cum dimidio, quod quidem à potentia in T $u$tinetur; quod $i alius adderetur orbiculus, & fierent quinque, potentia in T $u$tiner et trige$imam $ecundam partem integri ponderis, hoce$t, dimidium librarum $e- vaginta duarum cum dimidio, nempe triginta & vnam cum quarta parte, $i item textus adderetur, potentia in T $exage$imam partem $u$tineret integri ponderis, hoc e$t, libras quindecim & <*> libræ vnius. Vnde patet clarè pon- deris diminutionem fieri ex orbiculis inferioribus, non autem ex$uperioribus, $uperiores autem addi non nece$- $itatis quidem, $ed commoditatis gratiâ: neque enim ab$- que $uperioribus vnico ductario fune fieri po$$et attractio & ponderis ip$ius eleuatio. Hactenus igitur nobis i$thæc de Trochleæ natura & vi po$t alios, con$idera$$e $it $atis. <HEAD>QVÆSTIO XIX.</HEAD> <HEAD><I>Dubitat Philo$ophus, Cur $i quis $uper lignum magnam imponat $ecurim, de$uper<13> magnum adijciat pondus, ligni quippiam quod cur andum $it, non diuidit; $i verò $ecurim extollens percutiat, illud $cindit, cum alioquin multo minus habeat ponder is id quod percutit, quam illud quod$uperiacet & premit?</I></HEAD> <p>Poterat Ari$toteles, nî fallimur, rem breuius & vniuer- $alius proponere. Scilicet cur motus ponderi addat pondus & efficacius ex motu quam ex immoto pondere mota res operetur. Soluitautem. An, inquiens, ideo fit, quia omnia cum motu fiunt, & graue ip$um grauitatis ma- gis a$$umit motum, dum mouetur quam dum quie$cit? Incumbens igitur connatam graui motionem non moue- tur, motum verò & $ecundum hanc mouetur & $ecun- <p n=>129</p> dum eam quæ e$t percutiētis? Hæc præclarè quidem, cæ- tera autem, quæ de cuneoiterat, nempe ad vectem eiuslo- perationem referri $uperius confutauimus. Porrò effe- ctus huius, de quo agitur, di$putatio illuc $pectat, videli- cet ad cadentium atque proiectorum naturam. Ad maio- rem autem rei euidentiam hæc addimus. <fig> <p>E$to libra AB, cu- ius centrum C, libra- ta æqualibus ponde- ribus DE, apponatur ponderi E pondus F, item ponderi D pon- dus G ip$i ponderi F æquale, æquilibrabit itidem, Modò non apponatur $impliciter pondus G $ex ex H in lancem A dimittatur, tunc $anè non æquilibrabit, $ed libram deprimet. Duo enim in pondere dimi$$o con- $iderantur pondera; naturale $cilicet, & quod motu ip$i moto, ponderi e$t acqui$itum. Itaque quo motus fuerit maior, puta $i cadat ex I, grauitas ex maiori motu fiet ma- ior. quod vtique efficacius fieret $i pondus G non dimit- tetur modo remoto prohibente, $ed proijceretur. Tunc enim tria concurrerent, grauitas naturalis, grauitas ac- qui$ita ex naturali motu, & ea quæ naturali adij citur ex violentia. Pondus igitur $ecuri impo$itum & $ecuris ip$ius naturalis grauitas naturali tantum grauitate operantur, & ideo minus efficaciter. Hucautem ea ferè pertinent quæ nos à principio de duobus centris retulimus, natura- lis nempe grauitatis, & acqui$itæ. <p>Cæterùm cur mallei & $ecuris ictus $it violenti$$i- mus, ideo fit quod non ex vnico neque duplici, $ed ex tri- plici grauitate operetur. E$to enim $ecuris A, cuius manu- brium AB, brachium vero $ecuri vtentis BC, erit igitur C <foot>R</foot> <p n=>130</p> <fig> locus vbi humero brachium iungi- tur, motus ip$ius centrum, attollit autem $ecurim is qui percutit, & re- tro ad $capulas re- ducens totis viri- bus ex centro C $ecurim vibrat, portionem circuli de$cribens ADE ictum<13>ue faciens in E. Vires igitur acquirit $ecuris, tum ex naturali grauita- te, cadens ex D, in E, tum ex proprio pondere, tum etiam ex violentia eidem à percutiente impre$$a. Fiunt autem motus tam naturalis quàm violentus eo validiores, quo maius e$t $patium, quo res mota mouetur, id<13>ue pr<17>cipuè cum violentia ip$am $ecundat naturam. Itaque maior fit ictus in E quàm in F, & in F maior quàm in D. Item violen- tius feriret percutiens, $imanubrium e$$et longius, puta BG. Tunc enim maior e$$et circulus GH, & motus tum prolixior, tum velocior. quo igitur longiora habet bra- chia is qui $ecuri malleoue vtitur, data virium paritate, ex eadem ratione validius percellit. E$t autem $ecuris, vel malleus cuneatus, vel cuneus malleatus manubrio in$er- tus. An autem operetur efficacius cuneus malleo percu$- $us, aut cum manubrio motus, vt fit in $ecuri, data aciei & ponderis æqualitate, difficile e$t determinare. Certè va- lidius, & certius fieri $ci$$ionem ex cuneo & malleo, ea ra- tio e$t, quod cuneus adactus, nec inde remotus eam inte rim $eruat, quam antea fecerat partium $eparationem, <p n=>131</p> quod quidem $ecuri non accidit, quæ adacta ad nouam percu$$ionem faciendam extrahitur. <p>Hoc etiam con$ideramus, $ecuris in circulo motum, ex A in D, e$$e videndum, id e$t, non $ecundum naturam, $ur$um enim fertur quod e$t graue, ex D verq in F mixtū: magis autem ad naturalem accedere qui fit ex F in E. Tar- dior ergo ex A in D, velocior ex D, in F, veloci$$imus ex F in E; quæ dam quæ ad hanc rem faciunt, egregiè con$ide- rat Guid, Vbald. in calce Tractatus, De Cuneo; ip$um con$ule. <p>Ad hæc $uccurrit nobis pulcherrima quæ$tio. Du- bitari enim pote$t, vtrumictus ex en$e e$ficacior $it à par- te quæ e$t circa aciem, aut circa medium en$em, vel pro- pe manubrium capulumue; etenim hinc inde $unt ra- tiones. <p>E$to quidem en$is AB, cuius capulus A, $piculum ve rò B, centrum grauitatis C, pars capulo proxima D. Libra- to itaque gladio tres fiunt circulorum portiones BE, CF, DG, quæritur quo loco ictus $it validior, nempe in E, in F, velin G. Videtur validiorem futurum in E, quippe quod ex maiori $emidiametro AB, maioris $it circuli portio BE, & ideo velociormotus ex B in E. Contra efficaciorem futurum apparet in F, propterea quod ibi ex centro C to- tius fiat grauitatis impre$$io, fieri autem validi$$imum in G, licetibi motus $it tardior inde videtur, quod $icon$ide- retur en$is vt vectis, cuius fulcim entum e$t A, potentia premens in B, ponderis vero loco re$i$tentia rei quæ per- cutitur in D. Maior e$t autem proportio BA, ad AD, quam BA ad AC, & ideo violentior fiet pre$$io ex ictu in D, quã in C. Hi$ce hoc pacto con$ideratis, putarem ictum effica- ciorem fieri in F ex medio C, quam ex extremis & oppo- $itis partibus EG. Licet enim in B velocitas $it maior, dee$t ibi pondus. Si enim en$is iterum vt vectis con$ideretur, e- <foot>R 2</foot> <p n=>132</p> runt AB. duo fulcimenta $u$tinentía pondus in C, vbi gra- uitatis e$t centrum. Si igitur paria fuerint $patia BC, CA, <fig> in B erit dìmidium ponderis C, quantum ergo velocitate præ- ualetictus in B, tantū ponderis amittit. D verò plus quidem de pondere participat, $ed velocitatis habet minimum, in C verò velocitas e$t medio- cris, tota tamen ip$ius ex grauitatis centro ponderis fit impre$- $io. <p>Quidam, quod huc pertinet, vt ex acieip$a quæ lon- gius à capulo abe$t, violenti$$imum facerent ictum, Ar- gentum viuum, quod $ui naturâ graui$$imum quidem e$t & mobili$$imum in canali à manubrio ad verticem exca- uato infundunt, quo in gladij de$cen$u ad verticem velo- ci$$imè delato illuc transfert grauitatem totam, quare tum velocitate tum grauitate concurrentibus ictus fit violenti$$imus & longè validi$$imus. <HEAD>QVAESTIO XX.</HEAD> <HEAD><I>Dubitatur, Cur $tatera qua carnes ponderantur, paruo appendicu- lo, magnatrutinet onera, cum alioqui tota, dimidiata exi$tat libra, altera vero parte $ola$it $tatera?</I></HEAD> <p>Soluit Philo$ophus, inquiens, $tateram $imul, & vectem e$$e & libram, ip$ius verò libræ centra $eu fulcimenta <p n=>133</p> e$$e ibi vbi fit $u$pen$io. Pondera verò hinc in de in lance & appendiculo, loco $cilicet æquipondij, appendiculo $uccedente. Reducit autem demon$trationem ad ea quæ $tatuit ip$e Mechanica principia; nem pe ad circulum & circuli virtutem. Ait igitur, appendiculum licet parui pō- deris $it, ideo maiori ponderi virtute æquari, quod lon- gius à centro, hoc e$t, ab ip$o fulcimento $i$tatur. quic- quid tamen $it, $tateram e$$e vectem, res e$t explorati$- $ima. <fig> <p>E$to igitur $tatera AB, cuius appendiculum cur- rens F, fulcimentum cen- trumue C, lanx quæ cate- na $u$penditur E $patium à loco fulcimenti ad ap- pendiculum CF. quod ve- rò à fulcimento ad cate- nam, ex qua lanx appen- ditur AC. Intelligatur autem & aliud fulcimentum D, $it- <13>ue maius $pacium AD, quam AC. Porrò ita $e habeat pondus in E ad appendiculi F pondus, vt CF $patium, ad $patium AC, quo ca$u $eruata, permutatim, ponderum & brachiorum proportione, fiet <17> quilibrium. Si autem pon- deribus ita con$titutis iterum $u$pendatur in D, non fiet æquilibrium, propterea quod minor $it proportio DF ad DA, ea quæ e$t FC ad CA. Minor ergo e$t proportio FD ad DA, quam ponderis E ad pondus F, & idcirco facta $u$pen$ione præualebit pondus E ponderi F. Ita que vt it e- rum fiat æquilibrium, nece$$e e$t iterū proportiones bra- chiorum $eu $patiorum proportionibus ponderum æqua- re. Transferatur igitur (lancis interim immoto pondeie) ip$um appendiculum in B, fiatque vt FC ad CA, ita BD ad DA. Stabitautem iterum $tatera ad eam redacta quam <foot>R 3</foot> <p n=>134</p> diximus brachiorum & ponderum permutatam propor- tionem. <p>Nos $tateris vtimur ex duplici fulcimento, altero propiori, altero à lance $eu loco, vbi lanx appenditur, re- motiori, illa grauiora appendimus pondera, & non per vncias & libras, $ed per libras tantum & $elibra ponde- ramus; & hoc $tateræ latus eo quod minus minutè $it di- ui$um; vulgo no$trates Gro$$um, hoc e$t, rude & cra$$um appellant. Aliud verò, cum fulcimentum e$t loco appen- $ionis lancis vicinius, & per libras, $elibras & vncias diui- ditur, quo quidem minora appendimus pondera, cò quod exqui$itiorē contineat diui$ionem, $ubtile dicunt. Rectè igitur dicebat Philo$ophus, in $tatera plures e$$e libras, quanquam & ea quoque de cau$$a dici po$$it, quod, quot $unt appen diculi, è locoin locum translationes, totidem ex proportionum variatione fiant libræ. Et hoc quidem $en$i$$e videtur Ari$toteles. <fig> <p>Po$$emus & alio modo $tatera vti, nempe $tabili appendiculo, mo- bili autem fulcimento. E$to enim $tatera AB, cuius lanx C appen$a in A, appendiculum verò $tabile D, appen$um in B, Apponatur ip$i l&acedil;nci C, pondus E. Vnicum ergo fiet corpus CEABD con$tans ex lance, libra & ponderibus. Habet ergo hoc totum gra- uitatis $uæ centrum, quod quidem vbi $it e$t ignotum. Ex illo autem inuento $i corpus totum appendatur, partes æ- queponderabunt. Appendatur autem, puta in G, $it autē grauitatis centrum in H. Quoniam igitur He$t extra ful- cimentum G, declinabit $tateræ pars GA, centro G per <p n=>135</p> circuli portionem Hl, à centro grauitatis in ip$a de$cen- $ione de$criptam. Siautem grauitatis centrum fuerit vbi K, eo quodibi quoque $it extra fulcimentum G, de$cen- detpars GB, de$cribente interim grauitatis centro K, cir- culi portionem KL. ltaque $i $tateram totam eum ponde- ribus trahamus pellamu$q; vltro citro<13>;, immoto appen- diculo eritaliquando fulcimentum in ea linea perpendi- culari velloco ip$o, vbi e$t grauitatis centrum, quo ca$u $tatera$tabit, & tuncita erit diui$a, vt fiat brachiorum & ponderum eadem ratio, ordine permutato. Hicautem modusideo non e$t in v$u, quod mole$tum $it libram $eu $tateram cum ponderibus vltro citro<13>ue transferre, quæ difficultas commodè appendiculi mobilitate vitatur. <HEAD>QVAESTIO XXI.</HEAD> <HEAD><I>Quæritur, Cur facilius dentes extrahunt Chirurgi, denti forcipis onere adiecto, quam $i$ola manu vtantur?</I></HEAD> <p>Re$pondet Philo$ophus, An quia ex manu, magis quam ex dentiforcipe lubrius elabitur dens? An ferro id po- tius accidit quam digitis, quoniam vndique dentem non comprehendunt, quod mollis facit digitorum caro; ad- hæret enim & complectitur magis. Hæc $ecunda ratio videtur primam de$truere, & contrarium pror$us $enten- tiæ, quæ in problemate proponitur, a$$erere. Si Græca ad verbum reddas ita habent: An magisip$a manu labile e$t ferrum, & ip$um vndique (dentemnempe) non comple- ctitur, caro autem digitorum cum mollis $it, adhæret ma- gis, & vndique congruit. Certè vt $ententia non $it con- traria propo$itioni, Græca ver$io ita videtur concinnan- da: Vel magis è m n<*>bitur, mollis enim e$t digitorum caro, ferrum autem circumplectitur, & h<17>ret magis. quic- quid $it, Græcam lectionem contrarium ei quod quæri- <p n=>136</p> tur, affirmare certum e$t. Picolomineus, Ideo, inquit, di- gitorum caro mollis minus aptè extrahit, quod dentem totum comprehendere non pote$t, quod ferrum ob $uam durítiem & con$tantiam commodi$$imè facit. Sen$um ex mente reddidit, quod ex verbis non poterat. Subiungit denique Ari$toteles, An quia dentiforcipes $int duo con- trarij vectes vnicum habentes fulcimentum, ip$am $cili- cet in $trumenti partium connexionem. Hoc igitur ad ex- tractionem vtuntur^{**}, vt facilius moueant. Figuram hoc pactto proponit Philo$ophus. <fig> <p>E$to dentiforcipis alterum quidem extremum vbi A, alte- rum autem quod extrahit B, ve- ctis vbi ADF, alter vectis, vbi BCE, fulcimentum verò CGD connexio vbi G. Densautem pondus: vtroque igitur ve- cte B, & F $imul comprehendentes mouent, Hæcille. At- tamen rem ip$am $ubtilius con$iderantibus aliter videtur habere, acip$e a$$erat. Et$anè dentisforcipis brachia ve- ctes e$$e, quorum commune fulcimentum e$t in ip$o cen- tro vbi vertebra, nemo negauerit. Dentem autem e$$e pondus, ego quidem ab$olute non dixerim. Pondus autē hîcproprie e$t ip$a dentis durities, cuius re$i$tentia eo fa- cilius $uperatur, quo maior e$t proportio brachiorum à manu ad vertebram, ad partem illam quæ à vertebra e$t ad dentem. At dentis ex con$trictione fractio nihil facit pror$us ad extractionem: id tamen operatur brachio- rum longitudine dentiforceps, quod valide ex vectium oppo$itorum vi dentes con$tringit & extra ctioni commo- dum reddit & facilem. Neque enim totus Dentiforceps hic ceu vectis vnicus operatur, quod fit in forcipibus quas Tenaleas vocamus, quibus è tabulis claui reuelluntur, qua de re nos qu<17>$tione 6. verba fecimus. Quo pacto autē <p n=>137</p> dentis ex Dentiforcipe extractio ad vectem reducatur, $ubtilius e$t perpendendum, neque enim res e$t in <29>ropa- tulo. <p>Dicimus igitur, tum dentem ip$um, tum dentifor- cipem vectes e$$e, varia tamen ratione & $atis $ane diuer- $a. Dens enim fit vectis eius nempe naturæ quæ fulcimen- tum habet in angulo, quo ca$u ip$ius Dentiforcipis partiū, quibus Dens apprehenditur, ea quæ longior e$t poten- tiæ mouentis loco $uccedit, breuior vero fulcimentum facit, Dentis vero re$i$tentia ponderis vices refert. <fig> <p>E$to enim dens qui- dem A, cuius diameter BC, longitudo v$que ad extremas radices CD, pars dentiforcipis breui- or CG, longior BG. Fit ergo vectis BCD, habens $ulcimentum in C. Den- teigitur apprehen$o in BC, & manu dentiforcipe ceu ve- cte ad inferiora compre$$o C, fit fulcimentum centrum- ue. Stante enim puncto C, trahente autem potentia quæ e$t in B, fit motus ip$ius B, per circuli portionem BE, radi- cis vero D, fit motus per DF, & inde ip$ius dentis extra- ctio facilis. Quibus con$ideratis vt rem ad proportiones quatenus fieri pote$t reducamus, dicimus, quo maior fu- erit proportio BC, ad CD, hoc e$t, partis vectis, quæ à ful- cimento ad potentiam ad eam quæ à fulcimento e$t ad pondus, eo facilius fieri dentis auul$ionem, quod vtique demon$trandum fuerat. <p>Porro quod in calce quæ$tionis addit Philo$ophus, Dentes commotos facilius manu extrahi quam in$tru- mento, nulla ratione probat. Ego autem arbitror, huc pertinere ea verba, quæ $uperius habentur, videlicet fer- <foot>S</foot> <p n=>138</p> rum quidem non vndique dentem comprehēdere, quod mollisfacit digitorum caro, quæ id circo adhæret & <*>om- plectitur magis. An autem ita $it, alij videant, nobis enim digito rem o$tendi$$e fuerit $atis. <HEAD>QVÆSTIO XXII.</HEAD> <HEAD><I>Hîc quærit Ari$toteles, Cur nuces ab$que ictu facile confringuntur in$trumentis quæ ad eum faciunt v$um, & hoc licet multum aufe- ratur virium, ce$$ante motu & violentia, quod accidit dum mal- leo confringuntur. Addit præterea, citius fieri confractionem graui, & duro in$trumento ferreo vide- licet quàm ligneo.</I></HEAD> <p>Soluit, inquiens, id fieri quod in$trumentum duobus vectibus con$tet, coëuntibus in connexione $eu verte- bra, & idcirco eo violentius fieri confractionem, quo mi- nus e$t $patium à nuce, quæ frangitur, ad vertebram. ma- ius verò quod à vertebra ad extremitates, quæ confrin- gentis manu comprimuntur. Ait igitur, & id quam oppo- fite, vim ex vectibus ictus loco $uccedere & idem operari. <fig> <p>E$to igitur in $trumentum, de quo agimus CDBF, ex duo- bus vectibus con$tans, quorum alter CAF, alter vero DAB ver- tebra $eu connexio A locus v- bi nux frangitur K, manubria vero BF. quo igitur prolixiores erunt AB, AF, breuiores vero ACAD, violentius fiet cō- fractio. Erit autem nucis re$i$tentia loco ponderis A, ful- cimentum BF loco potentiæ. Itaque nî maior $it propor- tio potentiæ ad re$i$tentiam, quam brachij à potentia ad ful cimentum ad eam partem quæ à fulcimento e$t ad nu- cem, non fiet confractio. eo autem magis $up erabit, quo <p n=>139</p> maior fuerit pars vectis quæ à potentia ad fulcimentum. <p>Quod autem addit Ari$toteles, eo maiorem fieri vectium eleuationem, hoc e$t, in$trumenti aperitionem, quo magis nux quæ frangitur, fuerit propior fulcimento, hoc e$t, ip$i vertebræ, facile o$tenditur ex conuer$a 21. propo$. lib. 1. Elem. $i enim ab extremitatibus vnius line æ ad ea$dem partes con$tituantur duæ line æ maiores con- currentes in angulo, & ab ij$dem extremitatibus duæ a- liæ minores, quæ intra triangulum à maioribus con$titu- tum cadant, maiorem angulum continebunt. At talis e$t angulus qui fit in in $trumento, cum partes vectis à verte- bra adnucem fuerint breuiores. magìs ergo dilatantur vectes, & magis dilatati magis comprimuntur, magis au- tem compre$li validius frangunt, quod dixerat Ari$to- teles. <p>Cæterum & illud quod $cribit, ex grauiori & durio- ri materia in$trumentum citius fractionem facere, quam ex leuiori & minus dura, ex parte quidem materiæ verum e$t, nec pertinet ad proportionem, quæ $ane in huiu$modī in$trumentis formæ ferè habent rationem. Nos hi$ce in- $trumentisnon vtimur. Sunt autem $imilia in$trumentis illis, quibus figuli cretaceas pilas ad chirobali$tarum v$um facere & efformare con$ueuerunt. <HEAD>QVÆSTIO XXIII.</HEAD> <p>Pvlcherrimam proponit hoc loco Philo$ophus con- templationem, eamque ad mixtos motus pertinētem. Mixtorum autem motuum $peculationem antiquis Me- chanicis fui$$e tum vtilem tum etiam familiarem, norunt ij qui norunt quæ de lineis $piralibus Helici$ue, cy$$oidi- bus, conchoidibus & alijs eiu$cemo di $cripta & contem- plata reperiuntur, quibus tum ad duarum mediarum pro- <foot>S 2</foot> <p n=>140</p> portionalium inuentionem, tum ad circuli quadratio- nem vti$olent. Quod autem hîc quærit Ari$toteles, ita $e habet. <HEAD><I>Cur $i duo extrema in Rhombo punct a duabus ferantur lationibus, haudquaquam æqualem vtrumque eorum pertran$it rectam, $ed multo plus alteram? Item cur quod $uper latus fertur, minus per- tran$eat quam ip$um latus. Illudenim diametrum pertran$ire certum est, hoc vero maius lat us, licet hoc vnica, illud au- tem duabus feratur lationibus?</I></HEAD> <p>Difficile hoc intellectu prima fronte, & $ane admi- rabile, itaque in tentam con templationem requirit. Nos primo cum Ari$totele, rem totam explicabimus, tum ali- quid forta$$e non pœnitendum no$tro de promptuario proferemus. <fig> <p>E$to itaque Rhombus ABCD, cuius latera AB, BD, DC, CA, diame- trorum maior AD, minor BC, $ecan- tes $e inuicem in puncto $eu figuræ centro K. Sunt autē ex ip$ius Rhom- binatura latera æqualia & parallela, Angulorum vero qui maiori diame- tro opponuntur, recto maiores, qui vero minori minores. His igitur con- $ideratis, intelligatur punctum A mo- ueri peculiari & $im plici motu, per li- neam AB, ab A ver$us B, & eodem tē- pore moueri totam lineam AB, ver$us lineam DC, hac ta- men lege, vt $emper eidem DC feratur parallela, & eius alterum extremorum feratur per AC, alterum vero per BD, Intelligatur etiam punctum B moueri eodem tem- pore proprio motu, eoque $implici, per eandem rectam BA, ver$us A, & cum eadem, vt dictum e$t, mota; ferri ver- <p n=>141</p> $us CD. Erunt autem $emper AB puncta in eadem linea quæ mouetur, $ibi inuicem ex contrarijs partibus occur- rentia. Itaque cum ex duobus motibus $emper propor- tionalibus, hoc e$t, laterum proportione $eruata, recta producatur, vt demon$tratum e$t à principio, vbi produ- ctio circuli ex Philo$ophi mente e$t declarata, vtraq; pun- cta quæ ean dem laterum proportionem $eruantia mouē- tur, rectas lineas producēt A quidem AD, B autem ip$am BC. Feraturigitur A, tum mixto tum $implici motu per diametrum AD. B vero quoque tum mixto, tum proprio per diametrum BC, $upponitur autem motus omnes $im- plices, tum punctorum, tum etiam line <17>, à qua puncta ip$a feruntur, æquali velocitate fieri. Illud igitur mirabile e$t, cuius etiam ratio quæritur, quo pacto eodem tempore ea- dem que velocitate latum A quidem totam percurrat AD maiorem, B vero totam BC, eamque longe minorem? Porro nece$$e fuit rem in Rhombo $peculari, non autem in quadrato & altera parte longiori rectangulo, in quibus diametri (quod Rhombo non accidit) $unt æquales. Ima- ginemur igitur A, proprio motu percurri$$e $patium AE, nempe ip$ius AB line æ dimidium. Erit igitur in E, item li- neam totam AB eodem tempore pertran$i$$e dimidia op- po$itarum linearum, ACBD, & e$$e translatam, vbi FKG. Quoniam igitur æquali celeritate lineæ AB extremitas A, translata e$t in F & A, punctum per eam motum in E, e- rit $patium AE, æquale $patio AF. Ductis igitur lineis FKG, EKH lateribus AB, AC æquidi$tantibus, erit figura AEKF. Rhombus $imilis quidem Rhombo ABCD, recta igitur FK æqualis erit oppo$itæ AE. quare A punctum translatum erit ex mixto motu in K. Eodem pacto quoniã punctum B. eadem velocitate mouetur ver$us A, & linea AB ver$us CD, cum B fuerit in E extremum line æ motæ BA, nēpe B eritin G. æquales ergo $unt BE, BG & Rhom- <foot>S <I>3</I></foot> <p n=>142</p> bus EBGK, circa diametrum BKC ip$i Rhombo ABCD $imilis, & ideo GK æqualis oppo$itæ BE & BG æqualis EK. Cum ergo B confecerit $patium BE, erit ex mixto motu in K, $uperato nempe $patio BK, idque eodem tem- pore quo A percurrerat totum $patium AK. Ex æquali i- gitur $implicium motuum velocitate, in æqualia $patia AB puncta pertran$ierunt, quæ res miraculo, cuius dilu- tio quæritur, præbet occa$ionem. <p>Porro quod de dimidijs diametris demon$tratum e$t, po$$umus & de totis eadem ratione concludere, quip- pe quod eadem $it proportio partium ad partes, quæ to- tius ad totum. Hæcigitur prima e$t pars propo$itæ quæ- $tionis. Secunda vero dubitatio ita habet; Nempe mirum videri punctum B, cum peruenerit in C, extremum lineæ BA, videlicet ip$um B, translatum e$$e in D, licet æquali- ter moueantur linea BA, per lineam BD, & punctum B per lineam BA. $itque BC ip$a BD maior. Primam dubitatio- nem hoc pacto $oluit Philo$ophus; A fertur tum proprio, tum alieno motu, hoc e$t, line æ AB ver$us oppo$itam par- tem CD, Itaque cum vterque motus deor$um vergat, mo- tus fit velocior. Contra vero B proprio quidem motu fer- tur ver$us A, hoc e$t, $ur$um, alieno vero, hoc e$t, line æ BA ver$us D, hoc e$t, deor$um, qui motus cum inuicem aduer- $entur, motus ip$e fit tardior, non igitur e$t mirum, A eo- dem tempore maius $patium pertran$ire quam B. <p>Hæc $olutio non modo vera videtur, $ed mirabilis & ip$omet Philo$opho digni$$ima, cui quidem temerariū iudicaremus contradicere, nîin genere ver$aremur, in quo non probabilia quæruntur, $ed demon$trata, $ed ve- ra. Futilem igitur e$$e rationem hanc ip$ius Ari$totelis pace, hoc pacto o$tendemus. <p>E$to quadratum ABCD, cuius diametri ACBD $e- cantes $e$e in E, moueatur eodem pacto BA, ver$us CD, <p n=>143</p> <fig> item A, ver$us B, & B ver$us A, ita- que punctum A tum proprio tum alieno, hoc e$t lineæ illud deferē- tis motu deor$um trudet, hoc e$t, ver$us CD. Motus ergo velocior erit motu puncti B, quod lationi- bus fertur ferè contrarijs, hoc e$t, ex B ver$us A $ur$um, cum linea autem BA ver$us C deor$um. Ve- locius tamen non mouetur, quip- pe quod æquali tempore æquale $patium vtrum que punctum conficiat. Stante igitur cau$- $a $equi debui$$et effectus; non $equitur autem, Ari$tote- lis igitur cau$$a non e$t cau$$a. Rhombo quoque inuer$o idem clarius o$tendemus hoc pacto: Sit Rhombus ABCD, <fig> cuius diametri AC, BD $ecan- tes $e$e in E. Mota igitur linea AB ver$us CD, nempe deor$um & A quoque deor$um ver$us B, contra vero B quidem $ur- $um ver$us A, deor$um vero ver$us C, erit B tardior A, $ed contrarium fit, quippe quod longior $it BD, per quam mouetur B ip$a AC, per quam mouetur A. <p>His igitur non $atisfacientibus veriorem $i perim- becillitatem no$tram licuerit, huius effectus cau$$am in- ue$tigabimus. Rationibus igitur & veritate contra aucto- ritatem & probabilitatem e$t nobis pugnandum: quod & intrepide faciemus. <p>Dicimus igitur, in quouis parallelogrammo $itillud qua dratum aut altera parte longius, vel idem Rhombus Rhomboi$ue $emper mixtos motus proportione $eruata <p n=>144</p> fieri per diametros. Cæterum díametrorum ad latera proportiones e$$e varias (quadratis exceptis, in quibus ea- dem e$t $emper) explorati$$imum. Illud quoque certum e$t, in rectangulis nunquam dari po$$e diametros lateri- bus vtcunque captis æquales, $emper enim diametri re- ctis angulis $ubtruduntur. In Rhombis vero & Rhombo- idibus diametrorum ad latera proportiones variant. Dari enim po$$unt diametri lateribus longiores item æquales, & lateribus quoque ip$is breuiores. <p>Itaque diametrorum & laterum varia adinuicem ratione $e habentibus, attentis proportionibus, mixtorū & $implicium motuum diuer$a fiet, & varia comparatio. in quadratis motus mixtus, qui per diametros $emper ve- locior erit $implici qui per latera, Idem quoque in altera parte longiori, in quo mixti quidem motus per diametros erunt velociores, $implices vero qui per latera, tardiores quidē, $ed ex illis tardior qui per latus breuius. In Rhom- bis autem mixtus motus qui fit per diametros inæqualis. Velocior enim qui per longiorem diametrum, tardior quiperbreuiorem. Itaque $implices motus punctorum per latera ad eum qui fit per diametrosinon eodem pacto $e habent. Porro cum Rhomboides variæ $int diametrorū adlatera habitudines, varia quoque dari pote$t propor- tio. aliquando enim diametri dari po$$unt lateribus maio- res quando que, alter eorum minor. Si autem Rhombus in duos $oluatur triangulos, alter diametrorum datur æqua- lis æqualibus lateribus æquicrurium triangulorum; itaq; in i$tis mixti motus per diametros <17>queveloces erunt $im- plicibus, qui per latera longiora, velociores autem illis qui per latera breuiora. His igitur hoc pacto non perfun- ctoriè con$ideratis, facile ex proprijs cau$$is, nî fallimu<*>, hocce Ari$totelicum & mirabile Problema $oluitur. <p n=>145</p> <fig> <p>E$to enim Rhombus ABDC, cuius diameter longior AD maior $it tum lateribus, tum etiam altera dia- metro BC. $ecent autem $e inuicem diametri in E. Ducatur <13>ue ip$is AB, CD, parallela FG $ecans longiorem diametrum AD, in H, breuiorem ve- ro BC in I. & per I ip$is BD AC paral- lela ducatur KIL, Cum ergo B mixto motu per diametrum BC erit in I & A per diametrum AD, mixto $imili- ter motu erit in H, & quia motus mi- xti fiunt per diametros, vt dictum e$t, vt $e habet AD ad BC, ita AE ad EB, per 15. propol. 5. elem. item vt AE ad EB, ita per 4. propo$. 6. AH ad BI. e$t enim IH ip$i AB parallela. Longior e$t autem AH ip$a BI, quip- pe quod AE longior $it ip$a EB. motus igitur mixtus pun- cti A per diametrum AD v$que ad H velocior e$t motu B, per diametrum BC v$quead I. Mota igitur linea AB mo- uebuntur communia eius & diametrorum BC, AD pun- cta, quibus $ecantur $emper diametrorum proportione $eruata. Quibus ita $e habentibus, nil mirum e$t punctum A motum per AD velociorem e$$e mixto motu puncti B, quod per minorem diametrum fertur BC. quod fuerat demon$trandum. quatenus vero ad $ecundam problema- tis partem pertinet, dicimus Propo$itionem non e$$e vni- uer$alem. Si enim Rhombus detur, ex duobus æquilateris triangulis con$tans, breuior diameter lateribus erit <17>qua- lis, quare non mouebitur citius motu $implici punctum per latus ac faciat mixto per minorem diametrum, quod vt mirum propo$uerat A ri$toteles. Si autem latus ip$um breuiori diametro $it lōgius, nec mirum quoque erit $im- plici motu moucri velocius quam mixto, quippe quod, vt <foot>T</foot> <p n=>146</p> dictum e$t, motus i$ti à proportionibus linearum, per quas mouentur, legem velocitatis atque tarditatis accipiant. Hæc igitur nos circa hoc mirabile Ari$totelicum proble- ma con$iderare $it $atis. <HEAD>QVÆSTIO XXIV.</HEAD> <p>Mirabilem aliam quæ$tionem proponit Ari$toteles, quæ itidem ad mixtos motus pertinet. <p><I>Dubitatio est, quam ob cau$$am maior circulus æqualem minori circulo circumuoluitur lineam, quando circa idem centrum fue- rint po$iti. Seor$um autem reuoluti quemadmodum alterius ma- gnitudo ad alterius magnitudinem $e habet, ita & illorum adin- uicem $iunt line æ? Præterea vno etiam & eodem vtri$que exi$ten- te centro. Aliquando quidem tanta $it linea, quam conuoluuntur, quantum minor per $e conuoluitur circulus, quando<16> vero quan- tum maior.</I> <p>Hæcille, qui vt prober maiorem circulum in $ua ro- tatione maiorem lineam pertran$ire, minorem vero mi- norem; ait $en$u cogno$ci angulum maioris circuli, id e$t, eius qui maiorem habet circumferentiam, e$$e maiorem, eius vero qui minorem, minorem. Ita autem $e habere cir- cumferentias vt $e habent anguli, & eandem proportionē habere per quas tum maior, tum minor circulus circum- uoluuntur. Ad quorum clariorem intelligentiam ea re- uocare oportet in memoriam, quæ dixit de maiorum cir- culorum ad minores circulos nutu. Hic enim, quod ibi quoque fecerat, $ectorem ip$um angulum appellauit, an- gulum vero maiorem maioris circuli $ectorem, & mino- rem angulum minoris ip$ius circuli $ectorem dixit. Clau- dit igitur dicens: quoniam circumferentiæ $e habent vt anguli, hoc e$t, vt $ectores, maior erit circumferentia ma- ioris circuli, & ex con$equenti maior linea, per quam cir- <p n=>147</p> cumuoluitur, ea per quam minor. Demon$trationem ve- ro ex $en$u petijt. Satautem erat $i dixi$$et, ita $e habere circum ferentias vt $e habent diametri $eu $emidiametri, & ideo lineas in rotatione de$criptas inuicem $e habere vt diametros. Ob$curiu$culè, hæc $ua figura o$tendit Ari$to- teles. Nos igitur claritatem amantibus, no$tram aliquan- to, nî fallimur, clariorem, proponemus. <fig> <p>E$to circulus maior ABCD, mi- nor FGHI, circa i- dem, & commune cētrum E. Circum- uoluatur maior ad partes D. Sint autē diametri, maioris quidē AEC, BED, minoris verò FEH, GEI, fitque CD, quadrans maioris, HI vero minoris circuli. Moto igitur maiori circulo $ecū- dum ab$idem, cum D fuerit in K erit CK ip$i CD æqualis, fiet<13>; DE ex puncto K perpendicularis ip$i CK, erit<13> vbi KO, & quia punctum I e$t in linea DE, erit I facta quadrã- tis rotatione in linea KO vbi L, centrum vero E in ip$a KO, vbi O. Reuoluto igitur qua drante maioris, & confe- cto $patio CK minoris circuli quadrans HI conficiet $pa- tium HL, quod ip$i CK $patio e$t æquale. quod autem in quadrantibus fit, in totis etiam fit circulis. Motus igitur minor circulus circa centrum E, vnica rotatione æquauit $patium rotationis maioris circuli. Mirabile itaque e$t mi- norem circulum eodem tempore & circa idem centrum circumuolutum, lineam pertran$i$$e æqualem circum fe- rentiæ maioris circuli. Nec $ecius admirationem facitro- <foot>T 2</foot> <p n=>148</p> tato minori circulo, maiorem vna circumuolutū lineam metiri circumferentiæ minoris circuli æqualem. Rotetur enim minoris circuli quadrans HI per rectam HL. erit i- gitur punctum I vbi M, æquali exi$tente recta HM, ip$i curuæ HI. Tuncautem facto motu centrum E erit vbi P, exi$tente EP, ip$i HM æquali, demittatur autem ex P per M, ip$is HL CK perpendicularis PMN. Et quoniam in eadem linea $unt DIE, vbi E fuerit in Pleritin M, & D in N. quamobrem rotata quarta minori<*> circuli parte, ma- ioris interim circuli quadrans confecit $patium CN æ- quale ip$i HM, hoc minus circuli quadranti HI, quod vti- que e$t admirabile. <p>Porro cau$$am effectus huius mirifici diligenter quæ- rit Philo$ophus, & inuenram accurate explicat. Occur- rit autem primo ab$urdæ cuidam opinioni. Diceret enim qui$piam, ideo tardius moueri maiorem circulum, ad mo- tum minoris, quod interim dū minor moucretur, aliquas inter rotan dum moras interponeret, minor vero ad mo- tum maioris $patia aliqua tran$iliret, & ita $patiorum fieri ad æquationem. Porro demon$trationem aggre$$urus h<17>c a$$umit principia. Eandem<17>qualemue potentiam, aliquã magnitudinem tardius quidem mouere, aliquam vero celerius. quod autem natum e$t aptum moueri, tardius moueri, $i $imul cum non apto nato moueri, moueatur, quam $i $eparatim moueretur, celerius autem $i non $imul <fig> cum eo moueatur. E$to enim corpus A leue quidem & aptum natum moueri$ur$um, cui connectatur B, aptum natum moueri deor- $um, Si quis igitur mouere conetur corpus A $ur$um difficilius mouebit, & tardius iunctū nempeip$i B, quam $i ab ip$o e$$et $eiūctum. Pr<17>terea quod non$uo, $ed alieno motu mo- uetur, impo$$ibile e$$e plus eo moueri qui <p n=>149</p> mouet, $iquidem non $uo, $ed alieno motu mouctur. Mo- to igitur $uo motu maiori circulo, minor non $uo mouc- tur, $ed motu maioris circuli^{1}, & ideo non plus mouetur quam ille moueatur, mouetur autem maiori $patio quam ex $e moueretur, propterea quod maior $it maioris circu- li, à quo $imul defertur, circumferentia. Item $i minor $uo motu circumuoluatur, maiorem feret $ecum, & ideo non plus in $ua rotatione mouebitur maior, quam ip$e minor circulus moueatur. Summa rei h<17>c e$t, alterum ferriab al- tero & latum ad ferentis $patium moueri. Licet enim al- tero moto, alter interim moueatur, nihilrefert. E$t enim ac $i is qui fertur, nullam habeat motionem, aut $i eam ha- beat, ip$a nequaquam vtatur. quod non fit $i vterque $e- paratim circa proprium centrum moueatur, tunc enim magnusmagnum, paruus vero paruum $patium conficit. Hinc decipi ait Ari$toteles illum, qui putat vtrum que cir- culum per $e $u peridem centrum in rotatione moueri, li- cet enim videatur, re vera non e$t. Id enim vtique certum e$t, cum à maiori circulo minor fertur, circa maioris cen- trum motum fieri. Si vero maior à minori feratur circa mi- noris circuli centrum motum fieri. Hæc ferè Philo$ophi e$t mens, cuius $olutionem e$$e certi$$imam, & ex veris cau$$is non dubitamus. <p>Hinc ad aliam eam<13>ue certam a$$ertionem tran$i- mus. Dicimus enim, nullam materialem rotã circa axem eidem affixum, dum rotatur, po$$e eundem locum $eruare, ni$i cauum fiat, quod axem ip$um recipiat, in tran$uer$a- rijs quibus rota $u$tinetur & progre$$iuum axis motum impediat. <p>E$to enim rota ABCD, cuius centrum E, diametri AEC, BED, e$to alia minor rota GH, item minor KL, tum minor NO, & adhuc minor QR, circaidem centrum E. Rotetur itaque $ecundum ab$idem integri quadrantis <foot>T 3</foot> <p n=>150</p> <fig> $patium CD, eritque D, in F, item $i ex rota GH, ex quadrante HT, erit T in I. Ex a- lijs item minoribus in M, P, S. erit itaq; lon- gi$$imū $patium CF, breui$$imū vero RS, Mota igitur rota cir- ca circulū $eu axem, QR, maior rota $pa. tio mouebitur RS, quod $i intra QR, circa centrum E alij infiniti imaginen- tur circuli, quo propio es centro fuerint, eo maioris rotæ progre$$us erit minor, donec ad centrum deueniatur, vbi cum non $it circulus, nullus fiet progre$$iuus motus, $ed circa ip$um centrum nulla facta loci mutatione rotabi- tur. At cum nulla materialis rota circa lineam punctumue imaginarium conuerti po$$it, ideo axi ferreo alteriu$ue materiæ circa quem & cum quo circumuoluatur rota, ca- uum $emirotundum incidere oportet, in quo in$ertus axis dum conuertitur à loco in quo conuertitur, non recedat. <HEAD>QVÆSTIO XXV.</HEAD> <HEAD><I>Quæritur, Cur lectulorum $pondas $ecundum duplam faciant pro- portionem, hanc quidem $ex pedum, vel paulo ampliorem, illam verotrium. Item cur vectes funesue non $ecundum diametrum extendantur?</I></HEAD> <p>Primam quæ$tionis partem ita diluit Philo$ophus, for- ta$$e tantæ fieri $olitos magnitudinis lectulos vt corpo- ribus $int proportionem habentes, & ideo fieri $ecundum $pondas dupli longitu dine nempe cubitorum quatuor, latitudine vero duorum. <p n=>151</p> <p>No$trates alia vtuntur proportione, $e$quialtera, vi- delicet, quam Græci Hemioliam dicunt, communiter e- nim pedes quatuor latos faciunt plus minu$ue, longos ve- ro circiter $ex. quodideo fit vt in eis duo corpora commo- dius cubare po$$int. Lectuliautem, de quibus loquitur Philo$ophus, ad vnum tantummodo $u$tinendum facti videntur, quicquid tamen $it, nullam ferè habet res ex hac parte dubitationem. <p>Secunda quæ$tionis $ectio ea erat, Curnon $ecundū diametros funes extendantur? Re$tium funiumue in le- ctulis muniendis v$us non e$t apud nos. etenim feretra tantum, $eu $andapilas, quibus defunctorum corpora ef- feruntur, funibus ad ea $u$tinen da inteximus. <p>Cæterum lectos tabulis $eu a$$eribus $ternimus, qui- bus $accos paleis plenos imponimus, $accisvero culcitras, & tormenta, ne tabularum durities cubantes offendat. Atqui in re facili multum labora$$e videtur Ari$toteles, tum etiam ob$cure & inuolute nimis quæ$tionem tracta$- $e. Difficilem enim apud eum habethæc explicationem, tum ea quam diximus de cau$$a, tum etiam quod Græca lectio & Latina ver$io corrupta, vt apparet, præ manibus habeantur. Sane vt veritatem hocloco vindicaret in lu- cem, egregie laborauit Picolomineus nec parum profe- cit. Cæterum curre$tes non $ecundum diametrum extru- dantur, triplicem affert Philo$ophus rationem. Prima e$t vt $pondarum ligna, minus di$trahantur. Secunda, vt pō- dus inde commodius $u$tineatur. Tertia, vt in ip$a textura minus re$tium funiumue ab$umatur. <p>Ad primam, cur exten$is diametraliter funibus $pō- dæ ip$æ di$trahantur di$cindanturue, necillenecalij do- cent. Ego autem demon$trarem hoc pacto. <p>E$to $ponda ABCD, cuius longitudo AB, cra$$itudo AC, in ea foramen vtrin que pertinens EF, re$tis per fora- <p n=>152</p> <fig> men inditus GFE, $itque Epars $eu ca- put exterius, quodnodo in E di$tine- tur. Sit autem $pondæ lignum iuxta longitudinem vt natura a$$olet $ci$$ile. Vis quædam, funeita extento applice- tur in G, qu<17> funem ip$um ad $e violen- ter trahat. non di$cindetur idcirco $ponda eo quod non diametraliter fu- nis extendatur. Modo facta capitis G translatione in H, trahatur valide fu- nis, fiet autem pre$$io valida in F. ibi e- nìm impedimentum facit angulus, ne funisip$a dum tra- hitur, rectitudinem a$$equatur. Itaque vi præualente, li- gno vero $ci$$ili, minus re$i$tente, funis, a$$ecuta rectitudi- ne, fiet in HIE $ci$$a $ponda ad quãtitatem trianguli FIE, quod fuerat demon$trandum. <p>Cur autem funes ab angulo in angulum exten$æ mi- nus commode pondus $u$tineant, $atis patet. quo enim fu- nis lōgior, eodebilior, & pre$$io quæ in medio fit, ea vide- licet parte quæ ab extremis e$t remoti$$ima, magis funem fatigat. Longiores autem funes $unt quæ diametraliter extenduntur. <fig> <p>Quatenus ad tertiã rationem pertinet, hoc pacto funes intexit Philo$oph^{9}. E$to lectu- lus cum $uis $pōdis AB CD, cuius $ponda AD, $it pedum $ex, AB vero triū, Diuidatur AD bi- faríam in E & BC in F. item AE in tres AG, GH, HE & in totidem ED, nempe EL, LM, MD. Similiter medietas al- terius $pōdæ BF in tres partes di$tinguatur BN, NO, OF, <p n=>153</p> & FC $imiliterin tres FI, IK, KC, tum alterofunis capite in ducto per foramen A, ibique probe firmato, indatur per F, inde per I, po$tca per GHK CE, & in E probe alligetur: Erunt igitur funis quatuor partes æquales AF, IG, HK, EC, quibus adijciuntur particulæ cadentes extra, quæ $unt FI, GH, KC. Po$t hæc alterius funis principium per foramen traij citur, quod e$t in angulo B. Deinde per E, in- de per L, N, O, M, D, F & in F probe vincitur, & nodo fa- cto ob$irmatur. Erunt igitur aliæ quatuor alterius funis partes, tum inter$e, tum etiam $upradictis æquales, nem- pe BE, NL, OM, FD, quibus il<*>æ pa iter adijciuntur par- ticulæ, quæ caduat extra, videlicet EL, NO, MD. quoniã igitur quadratis ex BA, AE æquale e$t quadratum BE, erit BE quadratum 18. cuius latus radixue 4 1/3 quam proxime. Sunt autem huius longitud n s funes æquales octo. Ea- rum igitur $imul $umptarum longitudo erit pedum 34 2/3 vel circiter, quibus $i ad dantur pedes $ex funium qui cadunt extra, erit re$tis totius longitudo expan$a pedum 40 2/3 plus minu$ue. Picolomineus vero ait 34 2/3, omi$it enim particu- las illas$ex, quæ, vt diximus, cadunt extra. Idem rationem funium diametraliter exten$arum in idem, ait e$$e longi- tudinis pedum 40 1/2. Hic autem eas quoq; particulas præ- termittit, quæ extra cadunt. Itaque his additis clare pa- tet, plus re$tium in$umi diametraliterip$is, quam latera- liter exten$is. Cæterum ratio, qua Philo$ophus hæc pro- bare conatur, adeo e$t mutila, inuoluta, ob$cura, vt Delio pror$us, vt aiunt, indigeat natatore. Huius loci in ex plica- bilem difficultatem, vidit Picolomineus, qui idcirco at- te$tatus e$t, interpretes in hac exponenda fui$$e halluci- natos. Certe Græca lectio ver$ione ip$a Latina non e$t clarior. Nos interim ne inutilem ferè $peculationem ni- mia diligentia, eaque forta$$e fru$tranea pro$equamur, a- lijs difficultatem hanc di$$oluendam aut ceu Gordij no- <foot>V</foot> <p n=>154</p> dum gladio $cindendo relinquemus. Sed interim $ubit mirari, cur veteres vtiliori modo prætermi$$o, inutilioiē fuerint amplexati. Poterant enim reticulatim hoc per li- neas lateribus æ quidi$tantes intexere. <fig> <p>E$to enim lectulus eiu$dem dimen$ionis ABCD, in cuius latere AD $int foramina quin- que E, F, G, H, I, totidem in latere oppo$ito QP, ONM. Duo vero in la- tere breuiori AB, nempe RS, & toti dem in oppo$ito KL incipiatur exten$io à fora- mine E, per QP, F, GON, HIM & in M funis obfirmetur, tum alterius funis caput in datur $i lib et per K, & inde per S, R, L & in L con$tringatur. Sunt autem omnes EQ, FP, GO, NN, IM, pedum quindecim, quibus $i addantur KS, RL, $inguli pedum $ex erunt pedum xxvii. quibus adiectis particulis extra cadentibus QP, FG, ON, HI, & RS, erit integra $umma pedum xxxii. Vide igitur quantum hinc minus in$umatur re$tium quam eo modo, quem proba- uit, & ceu vtiliorem propo$uit Ari$toteles. Præterea vali- di$$imum e$t hoc texturæ opus nec ex eo fit vera $ponda- rum di$tractio $ci$$ioue, quibus haud parum obnoxia e$t ea ratio, quam præfertip$e Philo$ophus. Concludimusi- gitur, autnos eius verba & $en$um non intellexi$$e, aut veteresip$os, quorum v$um ip$e explicat, rei, quam nos proponimus, naturam & commoditatem (quod ta- men vix credibile e$t) igno- rare. <p n=>155</p> <HEAD>QVÆSTIO XXVI.</HEAD> <HEAD><I>Proponitur à Philo $opho examinandum, Cur difficilius$it, langa ligna ab extremo $uper humeros ferre, quam $ecundum me- dium, æquali exi$tente pondere?</I></HEAD> <p>Dvo hîc con$iderat, vibrationem, & pondus. Ait enim primo fieri po$$c, procera ligna vibratione impedien- te, difficilius ferri. Quærerer autem qui$piam, (ip$e enim id reticet) curvibratio hæc ferenti $it nocua. Nos itaque id expliçare conabimur. <fig> <p>E$to igitur lignum oblongum, flexile, & vt ita dicam, vibrabile AB, imponatur hume- ro<*> eique hæreat in C, manu vero $u$tineatur facta compre$$ione in B. Nuteti- gitur & vibretur, in ip$a vibratione, ad partem A. Sit au- tem centrum grauitatis eius D, Lignum igitur in ip$a vi- bratione de$cendet $ua pre$$us grauitate in E, tum facta ligni con$tipatione in ea parte quæ e$t inferius inter C & D, & inde re$i$tentia, codem fere impetu quo de$cende- rat, repul$um per D, nec enim in $ua rectitudine $tabit, a- $cendet in F, facta iterum materiæ con$ti patione inter C & F. Mouebitur igitur lignum $ua grauitate, motu fre- quenti$$imo, $ur$um deor$um, & is interim qui lignum hu- mero fert, procedit antror$um, impedit igitur motus i$te, qui fit $ur$um deor$um lationem, quæ fit ad anteriora; La- torem ip$um quodammodo retrahens. Siautem medio ligno $upponatur humerus, eo quod vibratio $it minor. breuiores enim partes $unt, quæ à medío ad extrema mi- nus à vibratione remorabitur ferens. <p>Quoniam autem non $ola vibratio in hoc lationis modo, nempe ex ligni extremitate difficultatem facit, ait <foot>V 2</foot> <p n=>156</p> Philo$ophus, forte id fieri, quoniam licet nihil inflecta- tur, neque multam habeat longitu dinem, difficilius tamē $it ad ferendum ab extremo, eo quod facilius eleuetur ex medio quam ab extremis, & ideo $ic ferre $it facilius. Cur autem ex medio facilius eleuetur, cau$$am e$$e ait, quod eleuato medio ligno extrema $e$e inuicem $u$pen- dant, & altera pars alteram bene $ubleuet. Medium enim fieri velut centrum, vbi is $upponit humerum qui cleuat aut fert. Extremorum autem interim altero depre$$o al- terum $u$tolli. Nos interim Mechanicis principijs, quod ip$e non fecit, rem clariorem efficiemus. <p>E$to enim oblongum lignum AB, cui humerus $up- ponatur in B, manus vero premendo $u$tinens in B. $it au- tem ligni pars maxima AC, minima CB, inaioris autem ad minorem proportio exempli gratia $it $excupla. Ad hoc i- gitur vt fiat æquilibrium inter potentiam $u$tinentem in B, & pondus comprimens in A, ita $e habere oportet po- tentiam in B, ad pondus in A, vt $e habet pars ligni AC ad <fig> partem CD. E$to igitur pon- dus in A, puta librarum $ex. Erit igitur potentia quæ in B ad hoc vt $u$tineat librarum triginta $ex, quas $i addas pō- deri in A, fiet humerus in C $u$tinens pondus librarum quadraginta duo. Siautem humerus medio ligno, hoc e$t, in D $upponatur, ad hoc vt fiat æquilibrium, nece$$e erit potentiam in B e$$e æqua- lem ponderi in A, quod e$t $ex, quare humerus $u$tinebit duodecim. Vnde patet, longe difficilius portari lignum ex C extremo, quam ex D medio; quod Mechanice fue- rat demon$tran dum. <p>Po$$umus & aliteridem o$tendere. Intelligatur e- nim ij$dem $uppo$itis, vectem quidem e$$e AB, cuius ful- <p n=>157</p> cimentum quidem B, pondus A, potentia $u$tinens in C, nempe inter fulcimentum & pondus. Res igitur ad eum vectis v$um reducitur, de quo G. Vbaldus tractatu de Ve- cte, propo$. 3. Quare vtille o$ten dit, ita $e habere oporter potentiam $u$tinentem ad pondus, vttotus vectis ad par- tem eius quæ à potentia ad fulcimentum. Ita igitur $e ha- bebit pre$$io, quæ fit in C ad pondus in A, vt totus vectis AB ad partem eius CB, quæ à potentia ad fulcimentum. Erit igitur potentia $eptupla ponderi, & ideo $u$tinebit pondus librarum quadraginta duarum. quod fuerat o- $tendendum. <p>Hinc alia quæ$tio huic affinis $oluitur, Cur ha$ta $a- ri$$aue $olo iacens manu ad alteram extremitatum ap- pren$a di$ficillime extollatur? <fig> <p>E$to igitur $ari$$a ha- $taue iacens AB, cuius ex- tremitati A manus ad $u- $tollendum applicetur, $it autem pars quæ digitis capitur AC, quæritur cur pars re- liqua CB difficillime $u$tollatur? Facile dubitatio ex præ- demon$tratis $oluitur. E$t enim C fulcimentum, $upponi- tur enim loco, pugno ad $u$tollendum clau$o, digitus in- dex, potentia autem premens in A, vt $uperet grauitatem CB, e$t manus ip$ius carpus, hoc e$t illa manus ip$ius pars, qua pondus facta $uppre$$ione $u$tollitur. E$tigitur AB vectis, cuius fulcimentum C, pondus B, potentia A, Itaq; quoniam maxima e$t proportio BA ad AC, maximam e$- $e oportet potentiam pondus $u$tollentem in C. <p>Huc etiam illud pertinet, Cur ha$ta $olo iacente, $i alterum extremorum manu $u$tollatur, alterum vero ve- lo ci$$ime $ur$um vibretur, & eodem tempore manus ha- $tæ $ic vibratæ $upponatur, haud magna difficultate ha$tæ ad perpendiculum fit erectio. <foot>V 3</foot> <p n=>158</p> <fig> <p>Sit enim ha$ta AB, quæ manu ex B capta eleuetur in C, & fiat in AC, tum facta ex C partis A veloci vibratione, ip$a extremitas A transferatur in D, $itque vbi CD, tum velo- <*>imanus depre$$ione extremi- tas C transferatur in E, fiatq; EF horizonti perpendicuiaris; quod vbi factum fuerit, erunt in eadem linea quæ ad centrum mundi, manus ip$a quæ $u$tinet, & grauitatis ip$ius centrum G, quare manus ip$a facta vibratione tantum portat, quantum præci$e ip$ius e$t ha$tæ pondus. <HEAD>QVAESTIO XXVII.</HEAD> <HEAD><I>Dubitatur, Cur $i valde procerum fuerit idem pondus, difficilius $uper humeros ge$tatur, etiam$i medium qui$piam illud fe- rat quam $i breuius $it?</I></HEAD> <p>Qvæ$tio hæc $uperiori e$t affinis. Ait autem Philo$o- phus, cau$$am non e$$eid, quod in præcedenti quæ- $tione dixerat, $ed vibrationem: quo enim longiora $unt ligna, eo magis eorum extrema vibrantur, debiliora enim $unt & à medio remotiora, quare $uopte pondere facilius nutant. Siautem breuiora $int ea cau$$a ce$$ante minor fit aut nulla vibratio, quare breuiora feruntur facilius. Dupliciter autem vibratione ip$a, portans offenditur, tum ex cau$$a quam in $uperiori quæ$tione con$ideraui- mus, nempe quod motus $ur$um deor$um a$$iduus, pro- gredientis motum impediat, tum etiam quod duplici pre$$ione grauetur ferentis humerus, quod Philo$ophus non animaduertit. <p>Sit enim oblongum lignum AB, quod humero me- <p n=>159</p> <fig> dio loco $u$tineatur in C. nutabunt ergo extrema AB, à centro C, valde remota, cadent autem $imul A m D, & B in E trahere $ecum conantes medium C, quare is qui in C $u$tinet, non modo ligni $u$tinet pondus ex grauita- tis centro quod e$t in C, $ed impetum quoque in ip$a ex- tremorum depre$$ione acqui$itum ex ipia violentia. Illud autem $ubtiliter con$ideramus, portantem ex vibratione per inter ualla deprimi & $ubleuari. fiat enim vibratum li- gnum ex contrario motu, vbi FCG. alleuiabit igitur eo ca$u portantem, $iquidem impetus ex motu ip$o acqui$i- tus, medium C trahat ad $uperiora. Itaq; cum e$t in DCE portans plus $u$tinet in ACD, æquale, in FCG minus, quod vtique demon$trandum fuerat. E$t autem quæ$tio hæc illi familiaris, quam 16. loco explicauimus. <HEAD>QVAESTIO XXVIII.</HEAD> <HEAD><I>Quæritur, Cur iuxta puteos celonia faciunt eo quo vi$untur mo- do? Ligno enim plumbi adiungunt pondus, cum alioquin vas ip$um & plenum & vacuum pon- dus habeat.</I></HEAD> <p>Re$pondet optime Philo$ophus, hauriendi opus duo- bus temporibus diuidi, nempe dumvasip$um vacuum demittitur, dum que extrahitur plenum: Contingere au- tem, vacuum facile demitti, plenum autem difficulter ex- trahi. Expedire nihilominus tardius, hoc e$t difficilius di- mitti vt fa cilius extrahatur, plumbo nempe coadiuuante, & $ane Philo$ophi $olutio e$t lucidi$$ima. Nos autem luci ip$i lucem aliquam adhuc afferre conabimur. <p>E$to Celomum (Latine Tolenonem appellant) ABC, cuius arrectarium BD, tran$uer$um lignum AC, quod <p n=>160</p> <fig> conuertitur, circa pūctum $eu fulcimentum B, pondus, plum- bumue, vbi A, $itula E, funi ap- pen$a CE. Dico rebus ita con- $titutis difficilem quidem e$$e vacuæ $itulæ demi$$ion em, fa- cile vero eiu$dem extractio- nem. Vectis diui$i, $itulæ, ac ponderis, ad hoc vt fiat æ quili- brium, ca debet e$$e propor- tio, vt quema dmodum $e habet AB ad BC, ita $e habeat plenæ $itulæ pondus E ad ip$um pondus A, $uperabit ergo pondus in A $itulam vacuam in E nec fiet æquilibrium, i- taque vt vacua $itula demittatur, tanta vis adhibenda c$t quantum e$t ip$ius aquæ, qua $itulaimpl<*>tur pondus, quæ vis dum apponitur difficilem, vt dicebamus, efficit $itulæ vacuæ demi$$ionem. Plena vero $itula $it æquilibrium, vn- de quantumuis pu$illa vi adhibita, $itula extrahitur, qua$i ex $emetip$a ponderis appen$i virtute a$cendens. Quan- tum igitur pondus dum vacua demittitur impedit, tan- tundem plena dum extrahitur, adiuuat. Qu<17> cum ita $int, $i paria $unt difficultas in demittendo, & facilitas in ex- trahendo, quæ ratio hoc in negotio vtilitatis? Sane $itula vacua, manu per funem facile demittitur, plena vero dif- ficile extrahitur, v$u autem Celonij res permutãtur. Cor- poris enim proprij pondere, dum premit, adiuuatur de- mittens, qui per funem $implicem extrahendo, ab eodem proprij corporis pondere impediebatur. quod quidem ex corporis pondere, auxilium, ingentem parit in extrahen- do commoditatem. <p>Quippiam $imile accidit, aquas è puteis extrahen- tibus v$u trochleæ. Sit enim trochlea puteo imminens ABCD, cuius centrum E $u$pen$a quidem in A, funis, cui <p n=>161</p> $itula $u$penditur FCABG, $itula vero G. E$t igitur dia- meter CED, in$tar libræ, quare vt fiat æquilibrium nece$- $e e$t capiti funis F, potentiam applicare, quæ $it æqualis <fig> pondere $itulæ aqua plenæ, itaque extra- hens proprijs viribus corporīs pondus ad- ijciens facile $itulam aqua plenam extra- hit, ex qua re magna extrahentibus fit commoditas. Patet autem diuer$o modo extrahentes iuuare Celonium. & Tro- chleam, ibi enim corporis mole adiuuatur demittens vacuam, hic vero qui extrahit plenam aqua $itulam. <p>Cæterum Celonij partem BC, qui à fulcimento ad funem longe maiorem e$- $e oportet, ip$a AB, vt $itula in profundum po$$it demitti, quamobremita $e debethabere pondus in A, ad pondus $itulæ plenæ, vt$e habet brachium $eu pars BC, ad par- tem BA. Tunc enim ex permutata proportione efficitur æquilibrium. <p>Illud addimus, nouum non <17>$$e Architectis Mecha- nici$que, tum hominum tum animalium vt commodius machinas moueant, adhibere pondera corporum. Nec e- nim alia ratione mouentur Rotæ illæ, quas ob hanc cau$- $am ambulatorias vocant; quarum v$us ad Mangana, ad extrahendas è puteis aquas, & ad farinarias quoque mo- las agitan das a dhibetur. <p>Porro Tollenonem bellicam Machinam à Celonio tum forma tum pote$tate nihil differre, videre e$t a pud veteres Mechanicos, Heronem Byzantium, & alios. apud neotericos vero hac de re agunt Daniel Barbarus in Vi- truuium, & Iu$tus Lip$ius in librum quem de bellicis machinis edidit, eleganti$$i- mum. <foot>X</foot> <p n=>162</p> <HEAD>QVAESTIO XXIX.</HEAD> <HEAD><I>Dubitatur, Cur quando $uper ligno, aut huiu$modi quopiam, duo portauerint homines, idem pondus non æqualiter premun- tur, $edille magis cui vicinius fuerit pondus?</I></HEAD> <p>Soluit Ari$toteles, inquiens, lignum e$$e vectem, pon- dus vero fulcimentum; res quæ mouetur is qui ponde- ri e$t proximior: mouens vero qui remotior. Itaque quo magis remotus e$t à pondere, hoc e$t, à fulcimento is qui mouet, eo violentius is premitur qui altera vectis parte eaque breuiori, mouetur. <fig> <p>E$to lignum AB, pondus C appen$um in E, vicinius ex- tremo B quamip$i A, $it autē portãtium alter quidem AF, alter vero BG, Imaginemur itaquelocum E à pondere ita figi & deprimi, vt$ur$um qui- dem ferri nequaquam po$$it, circa vero punctum E, ceu circa centrum fulcimentum- ne ip$um vectem conuerti. Lignum ergo AB vectis: mo- uens potentia A, pars vectis à potentia ad fulcimentum AE pars eiu$dem quæ à fulcimento ad rem motam EB, & quoniam quanto longior e$t pars vectis EA ip$a EB, eo fa- cilius potentia quæ e$t in A, operatur in id quod e$t in B, $i res ad proportiones redigatur, erit potentia in A, ad id quod mouetur $eu premitur in B, vt pars vectis EB ad par- tem EA, $ed maior e$t AEip$a EB, ergo maiorem partem $u$tinet ponderis, & plus premitur is qui in E, & qui mo- uet in A. Hæc fere Philo$ophi e$t $ententia: Picolomi- neus vero Paraphra$tes appo$ite duos vectes in vnico li- <p n=>163</p> gno con$iderat, alterum AB, alterum BA, in primo A e$t mouens B, motum in $ecundo B, mouens A vero motum in quibus vectibus $emper idem & commune fulcimen- tum E. Et quoniam in propo$ito diagrammate breuior e$t pars vectis EB, quæ que à mouente ad fulcimentum, parte illa quæ ab eodem fulcìmento ad rem motam, minus o- peratur B in A, quam A in B, & ideo qui in B mouetur plus premitur, contra vero quia maior e$t pars EA ip$a parte EB, magis operatur qui in A in ip$um B, quam econtra. Et $ane con$ideratio hæc $ubtilis e$t & ingenio$a, & quæ $i recte intelligatur, quatenus ad proportiones & effectum ip$um demon$trandum pertinet, à veritate ip$a non ab- horret, Quicquid tamen $it, Mechanice magis hoc pacto quæ$tio diluetur. Dicimus enim, pondus quidem vere e$- $e pondus, non autem fulcimentum, vt $ibi fingebat Ari- $toteles: lignum vero vectem, duo autem qui pondus $u- $tinent pro duplici fulcimento haberi, vtri$que enim ve- ctis cum appen$o pondere innititur. Pote$t etiam alter eorum pro porentia mouente, alter vero pro fulcimen- to, & $ic vici$$im. E$t autem, quomodocunqueres accipia- tur, pondus inter fulcimentum. & potentiam. Quare ex ijs quæ demon$trauit G. Vbald. de hoc vectis genere lo- quens, vt $e habet AE pars ad AB vectem totum, ita po- tentia quæ $u$tinet in B, ad pondus appen$um in E, & vt BE ad BA ita potentia quæ $u$tinet in A ad pondus quod in E. At minor e$t proportio BE, ad BA, quam AE ad AB, quare magis $uperatur pondus in E à potentia quæ in A, quam à potentia quæ in B, & ideo plus ponderis $u$tinet ferens in B, quam ferens in A, quod fuerat demon$tran- dum. <p>Hinc colligimus, pondere in medio vecte appen$o ferentes æqualiter $u$tinere, propterea quod totius vectis ad partes ip$as proportio $it eadem, vel æqualis. <foot>X 2</foot> <p n=>164</p> <p>Pulchre autem dubitari pote$t, an idem pror$us con- tingat, $i alterum eorum qui $u$tinent, $it $tatura quidem procerior, alterv<*>ro humilior. <fig> <p>Sit enim vectis AB, in cuius medio pondus H libere appen- $um ex C, alter portantium pro- cerior AD, humilior vero BE. $it autem horizontis planum DE, demittatur à puncto Cad horizō- tem perpendicularis, ip$is vero AD, BE, æquidi$tans CF. Tran$i- bit autem per ip$ius ponderis, grauitatis centrum H. Dicoigi- tur, nil referre quatenus ad pondus $u$tinendum perti- net, vtrum portantes $int $tatura pares velne. Ducatur e- nim horizonti æquidi$tans GB, $ecans perpendicularem CF in I. Quoniam igitur AG æquidi$tans e$t ip$i CI erit vt AC ad CB per 4. $exti elem, ita GI ad IB. Sunt ergo GI, IB inter $e æquales. Intelligatur itaque pondus H, $olutū à puncto C appen$um e$$e libere ex puncto I, hoce$t, ex medio vectis GB, æqualiter ergo diui$um erit pondus in- ter portantes, licet alter procerior, alter vero $tatura pu- milior, quod fuerat demon$trandum. <p>Si autem pondus ita vecti alligatum $it vt libere non pendeat, vecte ex vna parte eleuato, ex altera vero de- pre$$o, grauitatis centrum ad eam partem verget quæ magis ab horizonte attollitur, & ad eam ip$am partem vectis à pondere ad $u$tinentem fit breuior. <p>E$to enim vectis AB, cuius medium C, pondus vecti in C alligatum CFG, cuius grauitatis centrum H eorum qui portant procerior AB, humilior BE, horizontis planū DE. Demittatur per centrum H horizonti perpendicu- laris IHK, $ecans vectem quidem in I, horizontis vero pla- <p n=>165</p> <fig> num in K. Po$t hæc intelligatur pon- dus $olutum quidem à puncto C, ap- pen$um vero ex puncto I. Stabitigitur ex definitione centri grauitatis nec $i- tu $uo mouebitur. Dico autem par- tem AI ip$a IB e$$e breuiorem, hoc e$t, punctum I cadere inter C & A. Si e- nim non cadat, vel cadet in C, aut in- ter C & B, cadat autem $i fieri pote$t in C. Eritigitur CHK horizonti perpendicularis, $ed ei- dem perpendicularis AD. Eruntigitur BCK BAD anguli inter $e æquales, $ed ip$i BAD angulo æqualis e$t CIH, quare & BCH ip$i CIH æ qualis erit. Producto igitur la- tere IC trianguli ICH erit exterior angulus æqualis inte- riori ex oppo$ito, quod e$t ab$urdum. non ergo I cadet in C. Eadem autem ratione mon$trabitur non cadereinter CB, cadet ergo inter CA, & ideo minor AI ip$a IB. Itaque vt $e habet BI ad BA, ita potentia in A ad pondus in I, $ed maiorem proportionem habet BI ad BA, quam IA ad AB. Ergo minor potentia requiretur in B quam in A, & $ane pars IB re$pondet potentiæ $u$tinenti in A, at IA potentiæ $u$tinenti in B, minor e$t autem AI ip$a IB, ergo maior po- tentia requiritur in B, quam in A, quod fuerat demon- $trandum. <p>Hocitem concludetur, $i portantes $tatura quidem pares fuerint, $ed per planum ambulent horizonti accliue aut decliue. Si enim pon dus libere pendeat, vectis partiū proportio non mutabitur; $r autem libere non pendeat, is magis laborabit qui in a$cen$u præibit, minus vero qui in de$cen$u. <p>Hinc quoque Carrucarum ratio pendet, quæ dupli- ci manubrio vnica rota vulgo $unt in v$u, pro vecte enim habentur, cuius fulcimentum ad contactum plani & ro- <foot>X <I>3</I></foot> <p n=>166</p> tæ; potentiæ vero ad extremitatem duplicis manubrij. Reducitur enim ad idem genus vectis, in quo pondus in- ter fulcimentum e$t & potentiam. quo igitur minor fue- rit proportio partis vectis quæ à centro grauitatis ad i- p$um fulcimentum, ad totum vectem eo facilius pondus eieuabitur. <p>Cur autem difficilime hæ per accliue horizonti pla- num pellantur, duplici fit de cau$$a, tum quia grauitatis centrum ad ip$um portantem $eu pellentem vergit, & id- co pars quæ a fulcimento ad centrum grauitatis ponderis fit maior, tum etiam quoniam ip$um graue contra $ui na- turam $ur$us pellitur ferturque. <p>Quærere ad hæc qui$piam po$$et, Cur Baiuli ma- gna ferentes pondera, curui in cedant? Dixeritautem ali- quis, ponderis grauitate eos deprimentis id fieri. Nos au- tem duplici item de cau$$aid fieri putamus, tum ea quam con$iderauimus, tum etiam alia, nempevt grauitatis cen- trum ip$ius ponderis quod $u$tinent, in perpendiculari collocent, ne $i extra ponatur is qui fert à centro extra fulcimentum po$ito, ad eam partem ad quam vergit tra- hatur, & pondere ip$o opprimatur. <p>Eadem de cau$$a fit quoque vt ij qui magna ponde- ra $ini$tro ferunt humero, in dextram partem inclinentur, qui vero dextro, contrario modo $e habeant, æquatur e- nim pondus eo pacto, & grauitatis centrum in ip$a per- pendiculari collocatur. <HEAD>QVÆSTIO XXX.</HEAD> <HEAD><I>Cur a$$urgentes omnes fœmori tibiam ad acutum angulum con$ti- tuamus & pectori thoraciue $imiliter fœmur, quod nî fiat haudquaquam $urgere poterunt?</I></HEAD> <p>Ait Philo$ophus, forte id fieri, quod æqualitas $it o- mnino quietis cau$$a, rectum vero angulum quietis <p n=>167</p> angulum e$$e, & $tationem facere, nec alia de cau$$a $tan- tem ip$i terræ e$$e perpendicularem, & ideo caput & pe- des in eadem linea habere, $edentem vero non item. Tūc autem à $e$$ione $urrectionem fieri, cum caput & pedes in vna linea collocantur, quod $ane fit cum pectus & crura acutum cum ip$o fœmore angulum faciunt. <fig> <p>E$to enim $tans AB hori- zonti IBK perpendicularis, cù- ius caput A, pedes vero B, $edcat modo $itque eius cum capite Thorax CD, fœmur DE, crura EF, $intque CDE, DEF anguli recti, quibus ita con$titutis non $unt in eadem linea caput C & pedes F. Surgere ita que non po- terit $edens, propterea quod partes omnes corporìs non $int horizonti perpendiculares. Ad hocautem vt $urrectio fiat, nece$$e e$t vt $edens retrahat quidem pedes in H, & pectore in clinato acutum cum fœ- more angulum con$tituat GDE, quo ca$u fient in eadem recta linea, eaque horizonti perpendiculari caput in G, & pedes in H, ex cuius $itus natura commoda fiet ab ip$o $edente $urrectio. Hæc fere, licet alijs ab eo verbis expli- cata, ip$ius e$t Philo$ophi $ententia; quæ licet vera $it, non tamen ex proprijs, hoc e$t, Mechanicis principijs e$t peti- ta. quod quidem nos facere conabimur. <p>Dicimus autem primo, $edentem non ideo quie$ce- re, vt$entit Ari$toteles, quod rectus angulus quietis $it cau$$a, $ed propterea quod eius thoracis tum etiam fœ- morum pondus ab ip$a $ede $u$tineantur; crura vero & pedes ideo non laborent, quod partim $u$pen$a $int, par- tim $olo ip$i innitantur. Quare cum corpus totum nec $e <p n=>168</p> $u$tineat, nec à pedibus $u$tineatur, fit quies & la$$itudi- nis alleuatio. Natura autem ideo commodam hominibus $e$$ionem facere volui$$e inde apparet, quod clunes, qui- bus tota $uperior pars, & grauior nititur, carno$am fece- rit, & ceruicalis cuiu$dam in$tar mollem & facilem. Sed nos ad quæ$tionem. <fig> <p>E$to enim $tans AB, cuius caput A, Thorax AC, fœmora CD, crura DB, pe- des vero B, centrum vero grauitatis in i- p$o Thorace E. Modo $edeat, $itque ca- put in F, Thorax FG, fœmora GH, crura HI, pedes I, grauitatis vero centrum vbi K. Producatur recta FG in L, $itque FL horizonti perpendicularis. Centrum er- go grauitatis K fulcitur puncto G, hoc e$t, puncto L, in quo po$teriores pedes ip$ius $edis $olo hærent. efficit autem $edens duos rectos angulos FGH, GHI. Rebus igitur ita di$po$itis $eruatis rectis angulis, non fiet $urre- ctio, & id quidem non ideo quod, vt ait Philo$ophus, æ- qualitas & rectitudo angulorum quietis $it cau$$a, $ed propterea quod centro grauitatis extra pedum fulcimē- tum con$tituto, non habet centrum $tabilem locum cui in actu $urrectionis hæreat, & fulciatur, vnde fit vt $i $edenti $ubtrahatur $edes remoto prohibente, $edens pror$us cor- ruat. Modo retrahat qui $edet crura, & pedes ponat in M, à puncto autem M, horizonti perpendicularis erigatur MN. erit ergo fulcimentum in M, $ed adhuc $urgere non poterit, centro grauitatis adhuc extra lineam MN, quæ per fulcimentum e$t, con$tituto. Reclinetur autem pe- ctus ad anteriora, & cum fœmore acutum angulum faciat $itque vbi GO, erit igitur grauitatis centrum vbi P, hoc e$t, in ip$a perpendiculari NM, fretigitur inde commoda <p n=>169</p> $urrectio, propterea quod in eadem linea facta $int, graui- tatis centrum P, & fulcimentum ip$um M. Acutum vero angulum in $urrectione nece$$arium e$$e clare patet, non autem eff<*>us ip$ius e$$e cau$$am, vt videtur $en$i$$e Ari- $toteles; ni<*>i dicamus, cau$$am e$$e cau$$æ, $iquidem acuti qui fiunt anguli centrum & pedes in eadem linea collo- cant, quicquid tamen $it, nos ideo $urrectionem fieri dici- mus, quod immutatis angulis centrum grauitatis $upra fulcimentum, fulcimento vero $ub ip$o grauitatis centro collocetur, & hæc e$t cau$$a proxima. Hæc nos ad Ari$to- telem. Modo qua$dam alias quæ$tiones, necinutiles $ed & eas non iniucundas quoque proponemus. <p>Primum igitur quærimus, Curhominum & cætero- rum animalium, quæ aliquando erecto corpore incedunt, pedes non quidem breues $int & rotundi, $ed longiores potius, & in inferiorem partem porrecti? Item cur magis ad digitos quam ad cal caneum porrigantur? <fig> <p>E$to <*>homo animalue quodpiam $tans AB, cuius pes CD, pedis pars quæ ad digitos BC. qu<17> vero ad cal caneum BD fœmoris ver- tebra E, centrum vero grauitatis ip$ius cor- poris F. Primum igitur $tatuendum e$t, ho- minem & cætera fere animalia à Natura fa- cta e$$e vt ad anteriora moueantur, & ideo o- mnes fere quod in $enioribus manife$te ap- paret, ad anteriora ex ip$a corporis di$po$i- tione vergant. Itaque dum qui $tat horizon- ti pror$us e$t perpendicularis, grauitatis centrum F in ip$a perpendiculari con$tituitur quæ ad mundi centrum AB, & ideo corporis moles pondu$que fulcitur puncto B. Mo- do fiat ex vertebra E thoracis AE, inclinatio in anteriora, in GE & grauitatis centrum D diluetur in H, & per H per- pendicularis demittatur HI, non erit ** extra pedis ful- <foot>Y</foot> <p n=>170</p> cimentum BC. Stabit ergo qui ita in clinatur, nec corruet: $i autem a dhuc propendeat magis, fiatque in KE, centro grauitatis con$tituto in M, ducatur per M perpendicula- ris ML, quare quoniam linea ML extra pedis fulcimen- tum cadit, corruet qui co pacto inclinatur nec $u$tinebi- tur. Cur igitur natura animalibus qu<17> erecto corpore am- balant, pedes in anteriora porrectos fecerit, hinc clare patet. <p>Hinc etiam ceu con$ectarium habemus, cur homi- nes $i impellantur, magis ad ca$um in po$teriora quam in anteriora $int proni. Necnon etiam cur $imiæ, vr$i, & $i quæ cætera eiu$modi animalia diutius erecto corpore ambulare nequeant, nempe ideo quod eorum corporum moles valde in anteriora propendeat, necita commodo, vt humanis cuenit corporibus, pedum ip$orum ba$ibus fulciantur. <p>Quærereitem haud importune po$$umus, Curgral- latores non $tent erecti, ni$i a$$idue moueantur? Solutio facilis. grallæ etenim duobus tantum punctis $olum tan- gunt, nec porrecti beneficio, quod ambulantibus accidit, vti po$$unt. quamobrem grauitatis centrum fit extra ful- cimentum, & ideo coguntur grallatores a$$iduo motu grauitatis centro fulcimentum $upponere, quod dum fit, à ca$u prohibentur. <p>Pote$t autem id quod fulcitur, tripliciter fulciri, nē- peaut puncto, aut linea, aut $uperficie. <p>Quod puncto fulcitur, nulla reimpediente ad quam- uis partem cadere pote$t, centrum $iquidem, motus, pun- ctum e$t. <p>Quod linea fulcitur ad duas tantum partes, ea$que oppo$itas, habet ca$um. $itillud $uperficies, corpu$ue in latus con$titutum. <p n=>171</p> <fig> <p>E$to horizontis pla- num ABCD, cui ad re- ctos angulos in$i$tat $u- perficies EFGH, $ecun- dum latus FG. Sit autem ip$ius $uperficiei grauita- tis centrum I. à quo ad horizontis planum per- pendicularis demittatur IK. Cadet autem in lineam FG. per propo$. 38. vndecimi elem. & anguli IKG IKF recti e- runt. Itaque $uperficie EFGH circa lineam FKG ceu cir- ca axem mota punctum I peripheriam de$cribet LIM, & $iquidem cadat ad partes CD, grauitatis centrum erit vbi M. Si vero ad partes AB, fiet vbi L. Sunt autem LKM pū- cta in recta LKM, quæ quidem communis $ectio e$t plani horizontis, & plani per IKLM, tran$euntis. <fig> <p>Idem quoque de cor- pore dicimus in latus col- locato. E$to enim cubus LO, cuius grauitatis cen- trum R, latus vero quo ful- citur, NO, Si enim ita col- locetur, vt interna $uperfi- cies LNOQ ad rectos an- gulos horizonti $it con$ti- tuta, demi$$a perpendicu- laris à puncto R, ca det in S, in ip$a linea NSO. Cadente i- gitur corpore fiet motus circa lineam NO, centro graui- tatis interim peripheriam TRV. de$cribente. <p>Hincanimaduertere licet, Cur prouidi$$ima Natu- ranulli animantium vnicum dederit pedem, $ed aut qua- ternos, aut $altem binos, & binos quidem ip$os virtute quaternos, $iquidem in quolibet animantium bipedum <foot>Y 2</foot> <p n=>172</p> pede duo $altem puncta con$iderantur, quibus ip$um ani. mal fulcitur. <fig> <p>Sint enim humani pedis ve- $tigia A, B, C, D, in vtroque igitur duo puncta con$iderantur, A, B, C, D, illa quidem ad digitos, hæc autem ad calcaneum. l<*>em quo- que in auium pedibus ob$erua- tur, ex quibus concludimus, bi- pedum omnium fulcimentum e$- $e quadruplex. Porro quadrupe- dia eo quod tota co<*>poris mole ad in feriora vergant, quatuor ful- cimenta, eaque di$tincta, & commode ab inuicem remo- ta eademmet Natura præparauit. <p>Eadem quoque in artificialibus con$ideramus. Sit enim vas quo dpiam ABC, cuius pes vnicus, i$que rotun- dus BC, grauitatis vero centrum D. Quoniam igitur in pedis ip$ius peripheria, infinita puncta intelligantur, dici quo dammodo pote$t vas ip$um infinitis fere punctis, licet <fig> pesvnicus $it, $u$tineri. Non- nulla autem corpora artifi- cialia. quatuor pedibus $u- $tinentur, vt men$æ quædã, nonnulla etiam tribus, vt tripodes, qui nomen ab ip$o pedum numero $ortiuntur. Sit enim triangulum EFG, cuius centrum grauitatis H, nitatur autem tribus pun- ctis I, K, L, $tabit igitur. Si autem duobus tantum; non $tabit. ducta enim IK $i pun- ctis tantum IK innitatur, con$tituto grauitatis centro <p n=>173</p> extra fulcimentum IK, verget cedens ver$<*>s partes, L, Si autem innitatur punctis IL, cadet ad partes K. Sivero ip$is KL, cadet ad partes I.Ex quibus apparet, inanimata cor- pora aut vnico pede plurium virtutem habente, aut $al- tem tribus actu, vt $u$tineantur, indigere. <p>Hinc etiam patet, cur $enes, imbecilles, curui, & pe- dibus capti, baculi baculorumue fulcimento egeant, ete- nim cum hi debiles $int, & in anteriorem partem magno- pere propen deant, ne grauitatis centrum extra fulcimen- tum fiat, baculo vel baculis indigent, quibus centrum i- p$um ful ciatur. <p>Cæterum cur duplici genu ingeniculati difficile in eo $itu perman eant, ea cau$$a e$t, quod grauitatis centrum in thorace con$titutum, duobus genibus fulciatur, eo$- que premat. quæ quidem genua eo quod natura apta na- ta non $int, veluti pedes, ad $u$tinendam corporis molem laborant, idque eo magis, quod cum o$$ea $int, cutem in- ter o$$ium & plani duritiem con$titutam, accidit arctari, & ideo dolorem & mole$tiam ingeniculatis facere. <p>Siautem vnico tantum genu qui$piam nitatur, dif- ficultatem $entiet longe minorem. Triplici enim fulci- <fig> mento eo ca$u ingeniculatus fulcitur. Sit enim ingenicula- tus ABCDE, cuius grauitatis centrum F. dextrum vero ge- nu, cuinititur D, $ini$trum ve- ro, quod eleuatur B. Tribus ergo fulcimentis ingenicula- tus vt diximus, $u$tinetur, CDE. Diuiditur itaque pondus in tres partes, & ideo $ingulæ minus fatigantur. Magis ta- men laborat punctum D, vtpote illud, cui ad perpendicu- lum F grauitatis centrum innititur. <p>Vtique illud quoque mirabile e$t, Aues dormientes vnico tantum pede fulciri, & quod magis mirum e$t, dor- <foot>Y 3</foot> <p n=>174</p> mientes po$$e, quod vel ip$is vigilantibus e$t difficile. Cur id Natura docente faciant, eam puto e$$e cau$$am, quod dum dormiunt, caput $ini$træ alæ, vt naturali calore iu- uentur, $upponunt, quapropter ad eam partem declinan- tes, vt interim æquilibrium faciant, pedem $ubleuant, & eo ca$u ceu inutilem retrahunt atque $u$pendunt: addita item alia cau$$a, nempe vt pedem ip$um dormientes nati- uo calore confoueant. <p>Quæritur et<*>am, Curij qui inclinantur, vt rē quam- piam à $olo $u$tollant, alterum crurium ad anteriora, nē- pever$us manum ip$am, quam porrigunt, extendant? <fig> <p>E$to enim qui$piam ABCD, cuius crura BC, BD, grauitatis centrum E, vclitautem quippiam à $olo tollere quod $it in F. $it per- pendicularis, quæ pergrauitatis centrum GEH. Dumigitur ad anteriora ínclinatur, centrum a- mouet à perpendiculari, quam- obrem docente Natura, crus BC ad centrum ip$um fulciendum. ad anteriora, hoc e$t, ver$us rem $u$tollendam porrigitur. <p>Huius quoque $peculationis e$t inue$tigare, Cur quadrupedia dum gradiuntur, pedes diametraliter mo- ueant. Cuius rei verba fecitip$e quoque Philo$ophus lib. de animalium in ce$$u cap. 12. Nos autem ad maiorem de- clarationem, quodip$e Phy$icis principijs fecit, mecha- nicis demon$trabimus. <p>Sint duæ in plano parallelæ AB, CD, in quibus qua- drupedis pedes E, F, B, D, quorum EF, anteriores, BD vero po$teriores. iungantur BDEF, eritque EBDF parallelo- grammum altera parte longius, cuius diametri ducantur <p n=>175</p> <fig> ED, BF, $ecantes $e$e in G, vbi & grauitatis centrum. Moto igitur po$teriori $ini$tro pe- de B in K, $i anteriorem E, eodem tempore moueret in I, $tantibus interim DF, ceu ful- cimentis, centrum Gextra fulcimenta $ieret ad partes BE. Caderet igitur ad partes BE. Si autem eodem tempore moueret dextros eo- dem pacto centrum extra fulcimenta po$i- tum caderet ad partes ip$as DF. Si autein moto pede B in K, & eodem tempore F in L, & D in H, E, in I, centrum erit in diametris HI, KL, hoc e$t, vbi M, fultum quidem ab ip$is pedibus K, L, H, I. Hoc igitur pacto transfertur vici$$im cum grauitatis centro $i- mul translatis fulcimentis $e$e diametraliter re$ponden- tibus; quod vtique demon$trandum fuerat. <p>Sane & bipedia quoque alternatim gradiendo gra- uitatis centrum transferunt. Dum enim dextrum crus e- leuatur, centrum $ini$tro fulcitur, & econtra. <p>Naturalia i$thæc $unt; in artifi cialibus autem quæri po$$et, Cur Architecti, Arcium muros non ad perpendi- culum erectos, $ed intror$um inclinatos con$tituant? <fig> <p>Vtique hoc faciunt, vt minus $int ad ruinam proni. E$to enim murus ad interiorem partem ver- gens ABCD, Cuius grauitatis cen- trum E ba$is BC erigatur à puncto B horizonti perpendicularis BF, & ad eundem à centro grauitatis E demittatur EM, tum BE iungatur. Po$t hæc à puncto BG angulum. cum linea horizontis BK faciens recto maiorem. Ita que murus hoc pacto con$titutus ad interiorem partem $uo pondere vergit, cadere autem non pote$t, vel quod viuæ <p n=>176</p> rupi, cui forte hæret, fulciatur, vel anti$tatis, quos no- $trates $perones & contra fortes appellant, innitatur. Sed nec in anteriora corruet, quandoquidem ruinam factu- ras, nece$$e e$t vt grauitatis centrum $ecum trahat in per- pendiculari BF, & demum in eam quæ vltra perpendicu- larem e$t BG, facta nempe circa B, ceu circa centrum, cō- uer$ione. Moueatur autem & ex $emidiametro BE cen- tro B portio circuli de$cribatur EH, quæ $ecet BG in H, & BF in I; Et quia EM $emidiametro BK perpendicularis per B, centrum non tran$it, erit EM ip$a BK, hoc e$t, BI bre<*>ior. Ab$cindatur ex BI, ip$i EM æqualis LB. Eritigi- tur punctum L infra punctum I, hoc e$t, ip$o I, mundi cen- tro propius. Nece$$e igitur erit ad hoc vt murus corruat, centrum grauitatis E facta circa B, conuer$ione aliquan- do fieri in I, vt demum transferri po$$it in H, $ed I remo- tius e$t à mundi centro ip$is E, L, a$cendet igitur graue contra $ui naturam ex E in I, at hoc e$t impo$$ibile; quod fuerat demon$tran dum. <p>Ex his ij$dem principijs alia $oluitur quæ$tio, Cur $cilicet Campanaria turris quæ Pi$is vi$itu<*>, nec non alia Bononiæ in foro prope A $ellorum turrim, quam à nobili olim Cari$endorum familia ex$tructam, Cari$endam vo- cant, cuius meminit & Dantes Poeta $ummus in $ua Co- mœdia. Propendet autem hæc in latus, & ita propendet vt perpendicularis, quæ à $ummo inclinatæ partis in $o- lum demittitur, longe cadat ab ip$a, cui nititur, ba$i, quod $ane mirabile videtur, muros nempe, in ruinam pronos, ruinam non facere. <p>E$to enim turris ABCD, ba$i fulta BC, horizontis planum BCF latera AB, DC, centrum vero grauitatis to- tius molis E. Propendeat autem ad partes DC ex angulo DCF. Ita autem con$tituta intelligatur vt perpendicula- ris ab A, in planum horizontis demi$$a per grauitatis cen- <p n=>177</p> <fig> trum E extra ba$im BC, non cadat, cadat autem in C. Quoniam igitur ABCD moles per E grauitatis cen- trum diuiditur, in partes $ecatur æ- queponderantes, $ed & centrum. grauitatis extra fulcimentum non cadit, quare nec pars ACD, trahet partem ABC, nec centrum extra fulcimentum po$itum locum petet centro mundi viciniorem. Cur igitur Cari$enda $tet, & e- gregia illa turris campanaria quæ Pi$is prope $ummum Templum marmoribus præclare ex$tructa videtur, licet ruinam minentur, $tent æternum, nec cadant, ex his quæ con$iderauimus, liquido patet. <HEAD>QVAESTIO XXXI</HEAD> <HEAD><I>Cur facilius moueatur commotum quam manens, veluti currus commotos citius agitant, quam moueri incipientes?</I></HEAD> <HEAD><I>Hoc quæritur.</I></HEAD> <p>Problema hoc e$t mere Phy$icum; verumtamen quo- niam ad localem motum pertinet, de quo ip$e quoque Mechanicus agit, Hi$ce quæ$tionibus contemplatio hæc inter$eritur. Soluit autem Ari$toteles inquiens, id forta$- $e ea de cau$$a fieri, quod difficillimum $it pondus moue- re, quod in contrarium mouetur. Demit enim quippiam de motoris potentia re$i$tens, licet mouens ip$o moto $it longe potentius atque velocius. nece$$e enim e$$e id tar- dius moueri quod repellitur. Hæc verba licet de ea po- tentia dicta videantur, quæ rem motam in contrariam. partem repellit, nihilominus illi quoque aptantur quæ rem immobilem à principio mouere conatur. e$t enim re- $i$tentia rei quæ à $tatu ad motum transfertur ceu quidã <foot>Z</foot> <p n=>178</p> contrarius motus. Contra autem accidit illi quirem mo- tam mouet in ip$o motu: eo enim ca$u mouens ab ip$o rei motu magnopere iuuatur, cooperatur enim motus moto- ri, in ip$am rem motam operanti. Auget autem res mota quodammodo mouentis potentiam. quod enim à mouen- te pateretur, ex $e ip$a agit res quæ mouetur. <fig> <p>E$to horizontis pla- num AB, cui moles quæ- dam in$i$tat, CD. Modo potentia quædam appli- ceturvbi E, quæ molem in anteriora propellat, id e$t, ver$us B. Primumigitur, quoniam à quiete ad motum fit tran$itus, te$i$tit $ua quiere corpus graue, potentiæ im- pellenti, $uperata demum re$i$tentia moles quæ moueri cœpit, fertur in F & mouetur, quare potentia quæ à prin- cipio re$i$tentiam rei non motæ $uperauerat, pellendo rem motam pergens facilius pellit: Duo enim $unt quo- dammodo motores, mouens videlicetip$e, & motus quo res mota mouetur. facilius ergo pelletur ex F in G, quam ex D in F, & ex G in B, quam ex F in G, & eo motus fiet in progre$$u facilior atque in ip$a velocitate velocior, quo magis in ip$a motione mouetur. <p>Hinc $oluitur ea quæ$tio apud P hy$icos difficillima, Cur nempe in motu naturali velocitas v$que augeatur; etenim ibi Naturamouens e$t, atque eadem in$eparabilis à remota, vrgetigitur a$$idue, à principio quidem tar dius, po$t hæc autem ea quam diximus, de cau$$a v$que & v$que velocius. Motus ergo fit in motu, qui motus cum $emper à motore, & motu ip$o augeatur, cre$cit ex progre$$u in im- men$um. Certe cau$$am velocitatis auctæ eam e$$e, quod potentia mouens rem motam in motu ip$o moueat, nemo vtarbitror, inficias ibit, acquirit enim corpus motum pō- <p n=>179</p> dero$itatem quan dam accidentalem, quæ cum ex motu perinde augeatur, ip$um motum faciliorem, eoque velo- ciorem facit. Di$putat hæc & Simplicius lib. 7. Phy$ic. c. 11. Ari$totelis de Natura libros exponens. <HEAD>QVAESTIO XXXII.</HEAD> <HEAD><I>Quæritur hic, Cur caquæproijciuntur, ce$$ent à latione?</I></HEAD> <p>Hocitidem problema e$t mere Phy$icum. Ad quod ea pertinent quæ à Philo$opho tractantur libro Natu- ralium 8. & lib. 1. de Cœlo. Tres autem affert $ubdubitan- do rationes, An quia impellens de$init potentia, vel pro- pter retractionem, vel propter rei proiectæ in clinationē, quando ea valentior fuerit quam proijcientis vires? <p>Quicquid dicat Philo$ophus, id vtique explorati$- $imum e$t. Proicctaideo à motu ce$$are, propterea quod impre$$io, cuius impetu & virtute feruntur, non $it proie- ctus quidem naturalis, $ed mere accidentalis & violenta, at nullum accidentale & violentum quodque, non natu- rale e$t, perpetuum e$t. Ce$$at ergo accidentalis illa im- pre$$io, eaque paullatim ce$$ante proiecti motus elan- gue$cit, donec quietem pror$us adipi$catur. Illud quoque notamus, quod à multis vidimus non ob$eruatum, nempe violentum mo<*>m violentia præualente non differre à naturali, & ideo tardiorem e$$e à principio po$t hæc, in i- p$o motu fieri velociotem, remittente demum paullatim impre$$a violentia, tardiorem, donecimpetus, & cum im- petu motus euane$cat, & resip$a mota quietem adipi$ca- tur. Vnde etiam experientia docemur, ictum ex proiectis violentius fieri, $i fiat paullo remotior à principio, & tunc demum effe innocenti$$imum, cum ibi fit, vbi proie ctum ex motu plene acqui$ito, $ummam adeptum e$t velocita- <foot>Z 2</foot> <p n=>180</p> tem. Hin evidemus, vel pueros ip$os, docente Natura cū nuces, vel aliud quippiam, parieti alli$um frangere conã- tur, à pariete moderato aliquo $patio recedere. Si autem eos interroges, curid faciant, re$pondebunt, vtinde ictus valentius fiat atque efficacius. Eleganter ex Simplicij & Alexandri Aphrodi$ien$is doctrina, quæ lucidi$$ima e$t, quæ$tionem hanc in $ua Paraphra$i explicat Picolomi- neus. <HEAD>QVAESTIO XXXIII.</HEAD> <HEAD><I>Dubitatur, Cur proiecta moueantur, licet impellens à proiectis $e- paretur; vel vt verbis Philo$ophi vtar, Cur quippiam non pecu- liarem $ibi fertur lationem impul$ore alioquin non con$equente?</I></HEAD> <p>Soluit, inquiens, an videlicet, quoniam primum, id e$t, impellens ip$e, id efficit vt alterum, nempe proiectum ip$um impellat, illud vero (hoc e$t proiectum) alterum impellat, hoc e$t, aërem ip$um mediumue, quod à proie- cto repelletur. Ce$$are autem motum, cum res eo deue- nit, vt motus eidem à proijciente impre$$us, non po$$it amplius rem proiectam mouere, & itidem rem ip$am, aë- rem videlicet non po$$it amplius repellere. Vel etiam quando ip$ius lati grauitas nutu $uo declinat magis quam impellentis in ante $it potentia. Vtique res per $e $atis cla- ra. etenim motus impre$$us a ccidentalis e$t, quod vero la- tioni violentæ re$i$tit principium, naturale, & ab ip$o mo- to in$eparabile, vincente igitur quod natura e$t, paulla- tim remittitur quod ex accidenti e$t, & indeproiecti fit quies. E$t autem & hoc quoque Problema pure phy$icum, & $uperiori, de quo immediate egimus, perquam familia- re, quamobrem ex ij$dem pror$us $oluitur principijs. <p n=>181</p> <HEAD>QVÆSTIO XXXIV.</HEAD> <HEAD><I>Cur neque parua multum, ne<16> magna nimis longe proijci queunt, $ed proportionem quandam habere oportet proiecta ip$a ad eius vires qui proijcit?</I></HEAD> <p>Pvlchre dubitationem diluit, inquiens, An quia nece$- $e e$t quod proijcitur, & impellitur contraniti ei vnde impellitur. Quod autem magnitudine $ua nihil cedit, aut imbecillitate nihil contranititur, non efficit proiectionē neque impul$ionem. quod enim multo impellentis exce- dit vires, haud quaquam cedit. Quod vero e$t multo im- becillius, nihil contranititur, & impre$$ionem non $u$ci- pit. Aliam quoque adiungit rationem, videlicet, Tantum ferriid quod fertur quantum aëris mouerit ad profundū (hoce$t, ad eam partem aëris remotiorem, ad quam fer- tur) etenim proiectum à principio dum fertur aërem pel- lit, non pellit autem $i nihil mouetur. Accidit igitur vt concludit Philo$ophus, proiectai$thæc contrarijs ex cau- $is minus moueri. quod enim valde paruum e$t nihil mo- uet imbecillitate $ua impediente. quod vero valde ma- gnum e$t, ex contraria cau$$a nihil mouet, nempe quod ob magnitudinem $uam nihil moueatur. Vnde fit pro- portionem inter proiectum & proijcientem e$$e inprimis ad motum, necei$$ariam. Hæc eadem præclare in $ua Pa- raphra$i explicat Picolomineus. <p>Huicnos, de proiectis quæ$tioni, hæc addimus. <p>Cur proiecta corpora non $ibimet ip$is $ecun dum, partes æ quegrauia, $i fuerint irregularis figuræ in ip$o mo- tu, $ecundum grauiorem partem antror$us inuiolento, & deor$um in naturali ferantur, & dum in latione conuer- tuntur, $onitum edant. <p>E$to pila ABCD, cuius centrum E concinnata ex di$pari materia leui, nempe BCD, & graui ABD. non ergo <foot>Z 3</foot> <p n=>182</p> <fig> erit centrū grauitatis & cen- trum molis, $it autem grauita- tis centrum F. De$cendat cor- pus prohibente remoto per rectam AG. Et quoniam gra- uiora deor$um tendunt ma- gis, $i à principio motus gra- uior pars fuerit $upra in ip$o de$cen$u conuertet ir pila, & $itum non $eruabit donec $u- perior pars ea quæ grauior, deor$um fiat, vt videre e$t in pila HIK, cuius centrum e$t G. pars grauior HIK. Si au- tem eadem pila, laterali motu violenter feratur ver$us N, ad eam quoque partem conuertetur pars grauior. fa- cto enim molis $eu magnitudinis centro vbi L, grauior pars fiet in MNO; quæ cunque igitur $unt corporaita cō- $tituta, vt in illis non $it idem molis & grauitatis centrum in ip$a latione conuertentur, & corum pars grauior an- tror$us fiet. Sonitus porro in ip$o motu editi ea e$t cau$$a, quod irregulare corpus à principio incipit conuerti, & in ip$a conuer$ione dum fertur aërem verberat, & ab eodem vici$$im reuerberatur, ex qua reuerberatione fit corporis rotatio dum fertur, & ip$e $onitus, quem Græci <G>roicon</G> Rhœzum appellant. <p>Ad hanc quoque $peculationem pertinet, Cur lapi- des ad $uperfi ciem aquæ proiecti non $tatim demergan- tur, $ed aliquot vicibus a quæ $uperficiem radentes, abea, dem re$iliant. <p>E$to aquæ $uper$icies AB, lapis proiectus C, tangens aquæ $uperficiem in D, & inde re$iliens in E, mox iterum eandem tangens in F, & re$iliens in G, donec violēto mo- tu ce$$ante demergatur. Vtique lapis C, proiectus in D, <p n=>183</p> <fig> ni$i medio den$iori, aqua vi- delicet, repelleretur, pene- traret per D, in H. At eo re$i- $tente, & adhuc vigente im- petu, fertur in E ad angulos fere pares. Dico autem fere, $iquidem maior e$t ADC ip$o EDF, propterea quod vis non $it eadem, $ed minor ea quæ ex D pellit in E. Durante igitur impetu quo pellitur antror$um, fiuntip$æ re$ilitio- nes, & eo ce$$ante, re$ilitiones ce$$ant, & lapis $uapte gra- uitate demergitur. <p>Huc quoque $pectat, Cur pila lu$oria in horizontis planum proiecta ad pares re$iliat, angulos nempe rectos? <fig> <p>E$to horizontis planum AB, in quod à puncto C per lineam perpendicularem CE cadat proijciaturue pila DE, cuius grauitatis centrum F. Tangit autem planum in pū- cto E. Perpendicularis ergo EC, circulum DE per centrū $ecat, hoc e$t, in partes æ qua- les & æqueponderantes, $ed dum pila cadit proijciturue, agitin planum horizontis, vbi E, & in eodem puncto re. petitur, quare cum cadens & agens diuidatur in partes æ- quales & æqueponderantes & item repatiens & re$iliens diuidatur item in partes æquales & æquepondetantes, ita re$ilit repatiendo, vti egerat in cadendo, hoc e$t; ad angu- los pares; quod fuerat demon$trandum. Modo $it planū aliquod ita ad horizontem inclinatum, vt GH, & in illud cadat proijciaturue eadem pila. Dico eam ab eodem in- clinato plano ad pares angulos re$ilire non tamen rectos. <p n=>184</p> Vtique pila cadens, planum non tanget in E. e$$et enim GH, vbi AB, Tangat autem in I, & à centro F ad contin- gentiæ punctum I, recta ducatur FI. Erit igitur FI (prop. 18. lib. 3. elem.) ip$i GH plano perpendicularis. Ducatur item peri, ip$i EC, parallela IK, $ecans pilæ circumferen- tiam in K. Agit ergo & repatitur pila in puncto Inon æ. qualiter inæquales. etenim $unt partes KDLEI, & IK, eo quod IK $ecet circulum non per centrum. repellitur ergo in repatiendo non æ qualiter, $ed iuxta inæqualitatem ea- rundem partium. Ducatur autem recta in circulo LI æ- qualis ip$i IK. Eritigitur LEI, æ qualis IK, & tota KDLI æ- qualis toti IKDL. Vtigitur actio e$t per de$cen$um iuxta rectam KI, ita e$t repa$$io per a$cen$um ex IL. Dico autem angulos KIH, LIG e$$e æquales & $ingulos recto minores. Connectantur FL, FK. Quoniam igitur IK portio æqualis e$t portioni IEL, & recta LI æqualis rectæ IK, & LF æqua- lis ip$i FK, & FI communis, triangulum LFI, æquale e$t triangulo IFK. Quare & angulus FIL <17>qualis angulo FIK, $ed GIF, HIF recti $unt, ergo re$idui LIG, KIH æquales $untinter $e comparati, & recto minores; quod fuerat o- $tendendum. <p>Hinc colligimus, quo magis planum ab æquidi$tan- tia horizontis rece$$erit, eo pilam in eo proiectam in par- tes in æqualiores diuidi & ad minores ip$i plano angulos re$ilire. Nihil autem refert, vtrum planum, in quod pila cadit, ad horizontem $it inclinatum, vel eodem horizonti æquedi$tante pila non ad perpendiculas, $ed iuxta aliquē angulum in illud proijciatur. Hæc $ane ita ex demon$tra- tione fieri o $tenduntur. Veruntamen quoniam proiecta pila materialis e$t, & ideonecæqualis, nec æqueponde- rans & $ua grauitate re$i$tens, non ad pares ex amu$$i re$i- lit angulos, $ed minores aliquantulum in re$ilitione, re. mittente nimirum vi in ip$a reactione. Et $ane fierinon <p n=>185</p> pote$t, pilam à plano re$ilientem eo peruenire vnde à principio di$ce$$erat; Id enim $i daretur, æterna quoque pilæ ip$ius daretur re$ilitio, & paullatim vi & impetu re- mittente per parua interualla motus e$$et, donecres quæ mouebatur, omnino quie$cat. <HEAD>QVÆSTIO XXXV.</HEAD> <HEAD><I>Quærit hoc vltimo Problemate Ari$toteles, Cur eaquæin vorti- co$is feruntur aquis, ad medium tandem agan- tur omnia?</I></HEAD> <p>Tribus rationibus $oluit; quarum prima e$t: Quicquid fertur, magnitudinem habet, cuius extrema in duo- bus $unt circulis, hoc in minori, illud in maiori. Et quo- niam maior velocior e$t, magnitudo media, non æquali- ter fertur, $ed à maiori quidem pellitur, à minori vero re- trahitur, vnde transuer$us fit magnitudinis motus, & ip$a magnitudo ad interiorem propellitur circulum, itaque eodem pacto, è maiori in minorem propul$a in centrum. tantum fertur, & ibi quie$cit. <fig> <p>E$to vortex AB, cuius cen- trum C, magnitudo quæ fer- tur AD, maior circulus AFB, minor DHEG. Velocitas igi- tur in A maior e$t velocitate quæ in D, magnitudinis ergo extremum A, velocius rapitur in A quam eiu$dem extremum inferius D, in D. Velocitas igi- tur maioris circuli pellit Aver- $us F. tarditas vero minoris cir- culi D retrahitad partes G. conuertitur itaque magnitu- do inter pellentem & retrahentem circulum, donec ex- <foot>Aa</foot> <p n=>186</p> tremitas A in circulo minori fuerit vbi H, D vero vbi I, & ita deinceps eadem ratione vbi KL, donec paullatim fe- raturin centrum C, facto nempe à maiori in minorem cir- culum tran$itu. <p>Secunda ratio ita habet, quia quod fertur, $imili $e habet modo ad omnes circulos propter centrum, hoc e$t, in quouis circulo, qui circa idem centrum fertur. Omnes autem circuli mouentur, centrum vero $tat, nece$$e e$t à motu tandem id quod mouetur ad quietis locum, hoc e$t, in centrum ip$um peruenire. <p>Tertia, quoniam circulorum, qui in vorticibus fiunt, velocitas, & ideo impetus non e$t æqualis, $ed $emper ex- terior e$t interiore velocior & violentior, Æqualis autem $emperin mota magnitudine, grauitas, diuer$imode $e habet ad circulos, à quibus mouetur, & ideo modo vin- citur, modovincit: vincitur autem à velocioribus circulis, vincit autem tardiores. Ita que quoniam $ua grauitatere- $i$tens, maioris circuli motum pror$us non $equitur, ad tardiorem reijcitur, hoc e$t, interiorem, & $ic deinceps, donec tandem centrum ip$umnanci$catur, in quo nec $u- perans, nec $uperata quie$cit. <p>Hæ $unt rationes, licet ob$curi$$ime propo$itæ, qui- bus, vt diximus, vtitur Ari$toteles. acutæ $ane illæ quidē, attamen haudqua quam vltro admittendæ. <p>Primo enim fal$um videtur, quod a$$erit, vortices circulos e$$e, & circaidem centrum fieri atque rotari. Spi- ræ enim potius $unt, quæ ab exteriori parte remotioreq; incipientes $piraliter circumuolutæ, ad intimam tandem partem, quæ media e$t & centri vices gerit, deueniunt. qua veritate cognita, omnis pror$us difficultas tollitur, Cum enim ea quæ feruntur, ab aqua ferantur, aqua vero feratur $piraliter, ea quoque $piraliter ferri, e$t nece$$a- <p n=>187</p> rium. Hæc autem clariora erunt $i quo pacto vortices fiant, qui$piam con$iderauerit. <fig> <p>E$to fluminis cuiu$piam curua eademque profunda ripa ABCD. Aquæ vero moles rapida EFDC, quæ quidem co quod magno impe- tu deferatur in C, ripæ ip$ius naturã $equens turbinatim circum uoluitur, egre$$a autem extra locum $euripam B rotationis principium $ecundans, in $eip$am $piraliter contorquetur, & vorticem efficit GHFIK, cuius quidem centrum e$t vbi K. <p>Alia quoque de cau$$a, ex quie$cente nimirum, & mota aqua fiunt $piræ vorticesue. E$to enim fluminis ripa <fig> ABC, $inum efficiens, qui a quam ex ripæ ip$ius obiectu contineat quie- $centem, Cur$us vero fluminis liber & rectus, $it inter lineas AC, DE. Itaque dum aqua AC rapide fertur ad partes A, quie$centem ABC iuxta lineam. CA lateraliter propellit, & cius qui- dem partem quam tangit, $ecum ra- pit, puta ex F in G. Delata igitur aqua & currente ex F ver$us G quie$cens lateraliter eidem $e$e aliqualiter op- ponit, & currentem repellit ex Gin H. Cœpto itaq; $pirali motu aqua circumuoluitur $ecun dum lineam GHK, do- necperueniatad centrum I, vbi circumuolutæ aquæ par- tes $e$e inuicem tangunt. Porro vortices i$ti $piræue, quod nos per Padum, Abduam, & magna flumina nauigantes ob$eruauimus, non eodem permanent loco, $ed rapientis aquæ motum $ecundantes, paullatim in currentem aquã <foot>Aa 2</foot> <p n=>188</p> delati euane$cunt, fiunt etiam eiu$cemodi vortices nau- tis quidem valde formidabiles etiam in mari, de quibus Poëta libro Æneidos primo. <p>— <I>a$t illam ter fluctus ibidem Torquet agens circum, & rapidus vorat æquore vortex.</I> <p>Sed & idem quoque de vorticibus, qui in fluminibus fiunt libro 7. <p>— <I>hunc inter fluuio Tiberinus amœno Vorticibus rapidis, & multa flauus arena In mare prorumpit.</I> <p>Fiunt autem in mari partim occultis de cau$$is, partim etiam ex violentia aquarum $ibi inuicem obuiantium a- gitatione. Sed nos hi$ce explicatis commode ad ea quæ dixerat Ari$toteles, reuertemur. <p>Dicimus igitur, priman eius rationem haud magni videri ponderis, $iquidem non per circulos actu di$tinctos aqua circumfertur, $ed ip$amet $ua mole tota $imul. <fig> <p>E$to enim vortex AB, cu- ius centrum C, $emidiameter CA, fiatautem rotatio totius a- quæ CA ad partes D, in linea autem AC, $it corpus aliquod a- quæ rotatione circumlatū AE, inter circulos maiorem ADB, minorem EFG. velocius autem mouetur ADB, ip$o EFG, citius ergo fertur pars $uperior ip$ius corporis vbi A, quam inferior vbi E. Atidnec A repellit, nec E retrahit, $iquidem eodem tempore quo A permeauit circulū ADB, codem & E per- currit circulum EFG. Itaq; A reuer$o in A & E, punctum reuer$um erit in E, nulla facta corporis E quoad $itum, muratione quod voluit Ari$toteles. <p n=>189</p> <p>Ad $ecundam vero dicimus, non ideo quod omnes circuli æqualiter circa centrum $erantur, ni$i alia quæpiã extranea vis interce$$erit, quæ ea ab exterioribus circulis pellens agat in medium. <fig> <p>Tertia quoque ratio la- borare videtur. <p>E$to enim vortex AB, cuius centrum C, $it autem corpus aliquod E, cuius na- tura apta $it totationi aliqua- tenus re$i$tere. Quoniam i- gitur eius re$i$tentia aliquã- tulum ab aqua rapiente $u- peratur in ip$a rotatione, par- tim aqu<17> impetum $equetur, partim $uapte natura retardabitur. Quamobrem aqua quæ e$t in A, translata in H, corpus ip$um non erit in H, $ed in G. Tardius igitur corpus quam aqua ip$a, rotatio- nem complebit, non tamen propterea, ni$i alia quæ piam ad$it cau$$a, feretur in medium. <p>Cæterum horum vorticum effectum & cau$$am ob- $eruare licet, $i va$e quopiam aqua pleno aquam ip$am baculo manuue circulariter agitauerimus, fiet enim vor- tex, & $i quippiam quod leue $it, in aquam motam proie- cerimus, ea quam diximus de cau$$a in motum ip$um, hoc e$t, vorticis $piræue, centrum feretur. <p>Hæc nos, vt vera proponimus, & forta$$e decipimur. Certe Philo$opho tantæ auctoritatis contradicere, ma- gnæ videtur audaciæ, aut potius in$aniæ. Quicquid ta- men $it, pro pulcherrima veritate labora$$e, à parte aliqua laudis non fuerit pror$us, vt arbitror, alienum. <foot>Aa 3</foot> <p n=>190</p> <HEAD>APPENDIX.</HEAD> <p>Modum inueniendarum duarum mediarum propor- tionalium non tantum vtilem e$$e, $ed pror$us nece$- $arium, illi norunt, qui in Mechanicis di$ciplinis vel parū fuerint ver$ati. Nulla enim alia ratio e$t, qua corpore<17> ma- gnitudines $eruata figura & $imilitudine augeri propor- tionaliter imminuiue po$$int. Quamobrem factum e$t vt in his inueniendis tum vetu$ti$$imo tum etiam in feriori æ- uo, clari$$imi Viri magnopere laborauerint. Plato etenim, Eudoxus (cuius modum repudiauit Eutocius) Heron A- lexandrinus, Philon Byzantius, Apollonius, clari$$imi Geometræ, Diocles, Pappus, Sporus, Menæchmus, Ar- chytas Tarentinus, Platoni æqualls: Erato$thenes, & Ni- comedes ad has inueniendas varias rationes excogitarūt, quorum omnium modos, & in$trumenta, demon$tratio- ne$q; diligenti$$ime collegit, & in illos Cōmentarios con- iecit idemmet Eutocius, quos eleganti$$imos in Archime- dis libros de Sphæra & Cylin dro $crip$it. Nos autem ijs o- mnibus accurate per$pectis, & diligenti$$ime ponderatis, inuenimus eos fere omnes tentando negotium ab$olue- re, quod $ane laborio$um valde e$t & operantibus permo- le$tum. Itaque cum modum praximue inueni$$emus, ex qua is qui operatur tuti$$ime & facillime ad quæ $itas ip$as medias manu ducitur, hunc pulcherrimæ huius facultatis $tudio $is inuidere nefarium iudicaurmus. Quod $i qui$piã dixerit, Balli$tarum, Catapultarum, Scorpionum, & cæ- terarum eiu$cemodi Machinarum v$um, olim apud nos de$ij$$e, & ideo Problema hoc videri $uperuacaneum, Re- $pondemus, nulla alia ratione æneorum tormentorum pi- las augeri imminuiue $eruata ponderis ratione po$$e, in- numeraque e$$e, quæ vt rite perficiantur, hæc penitus in- digent $peculatione. Nos rem Mechanicis vtilem, Me. <p n=>191</p> chanicis no$tris Exercitationibus annectere, haud im- portunum iudicauimus. Sed tempus e$t, vt his breuiter præfatis, ad rem ip$am explicandã commode accedamus. <HEAD><I>Datis duabus proportionalibus prima, & quarta duas inter eas medias in continua proportione inuenire.</I></HEAD> <p>Esto prima datarum AB, quarta BC, inter quas $ecundã & tertiam oportetinuenire. Ducatur recta DE, cui à puncto F, vtcunque $umpto, perpendicularis demittatur FG, Tum ab F ver$us D duplicetur quarta BC, $itque FH, deinde ab H ip$i FG parallela demittatur HI, & ab HF ab$cindatur HK, ip$ius BC quartæ medietati æqualis. Po$thæc puncto K $patio autem medietati, primæ data- rum æquali, in linea HI notetur punctum L, & ip$i HL fiat æqualis FM, & KM iungatur. His ita con$titutis pare- tur $eor$um $cheda regulaue quæpiam NO, in cuius late- re accipiatur OP, æqualis medietati primæ datarum $eu ip$i KL. Tum regulæ latus aptetur puncto L, extremum vero O, feratur a$$idue per rectam EK, ver$us K, nunquam <fig> <p n=>192</p> interim regulæ latere ON amoto à puncto L, idque do- nec punctum P, obuians incidat in lineam KM, puta vbi Qextremum vero O inueniatur in R, notato igitur in li- nea EK puncto R habebitur, quod quærebatur. Erunti- gitur AB prima, RK $ecunda, QL tertia, BC quarta. <p>Hæc praxis ij$dem prin cipijs demon$tratur, quibus $uam ex Conchoide o$tendit Nicomedes. Conficit ille in$trumentum, ex quo de$cribit Conchoidē, ex qua po$t- ea duas medias venatur. Nos autem nec in$trumentum con$truimus nec Conchoidem de$cribimus, & duabus fe- re lineis rem ab$oluimus, vt nemo fere non dixerit, hoci- $tud quod docemus, à Nicomedea praxi e$$e pror$us a- lienum. <p>Sed nos, vt eius, quam o$tendimus, operationis de- mon$tratio habeatur; ip$ius Nicomedis ex Pappi libro 3. propo$. 5. de$umptam in medio afferemus, quippe quod i$thæc ea quam in $uis in Archimedem commentarijs re- fert Eutocius, $it lucidior. <p>Datis duabus rectis lineis CD, DA; duæ mediæ in continua proportione hoc modo a$$umuntur. <p>Compleatur ABCD parallelogrammum, & vtraq; ip$arum AB, BC, bifariam $ecetur in punctis L, E, iuncta- que LD producatur; & occurrat productæ CB, in G, ip$i vero BC ad rectos angulos ducatur EF, & CF iungatur, quæ $it æqualis AL. Iungatur præterea FG & ip$i paralle- la $it CH, eritque angulus KCH, æqualis angulo CGF. Tum à dato puncto F ducatur FHK, qu<17> faciat KH æqua- lem ip$i AL vel CF. Hoc enim per lineam Conchoidem fieri po$$e o$tendit Nicomedes, & iuncta KD producatur, occurratque ip$i BA, productæ in puncto M. Dico vt DC ad CK ita CK ad MA & MA ad AD. Quoniam enim BC bifariam $ecta e$t in E, & ip$i adijcitur CK. Rectangulum BKC per 6. $ecundi: vna cum quadrato ex CE, æquale e$t <p n=>193</p> <fig> quadrato ex EK. commune apponatur ex EF quadratum, ergo rectangulum BKC vna cum quadrato CF æquale e$t quadratis ex KE, EF, hoce$t, quadrato ex FK. Et quo- niam vt MA ad AB, ita e$t MD ad DK, vt autem MD ad DK per 2. $exti, ita BC ad C<I>K</I> erit vt MA ad AB, ita BC ad C<I>K</I>. Atque e$t ip$ius AB dimidi<*> AL, & ip$ius BC, du- pla CG, e$t igitur vt MA ad AL, ita GC ad C<I>K</I>. Sed vt GC ad C<I>K</I>, ita FH ad H<I>K</I> propter lineas parallelas GF, CH. quare & componendo vt ML, ad LA, ita F<I>K</I> ad <I>K</I>H, $ed AL ponitur æqualis H<I>K</I>, quoniam & ip$i CF, ergo & ML per 9. lib. 5. æqualis erit F<I>K</I>, & quadratum ex ML, æquale quadrato ex F<I>K</I>. e$t autem quadrato ex ML, æquale re- ctangulum BMA vna cum quadrato ex AL & quadrato ex Fk æquale o$ten$um e$t rectangulum BkC vna cum. <foot>Bb</foot> <p n=>194</p> quadrato ex CF, quorum quidem quadratum ex AL æ- quale e$t quadrato ex CF, ponitur enim AL, ip$i CF æ- qualis, ergo reliquum BMA rectangulum æquale e$t reli- quo BkC. Vtigitur MB ad Bk, ita Ck ad MA. Sed vt MD ad Bk, ita DC ad Ck. quare vt DC ad Ck, ita e$t Ck ad MA. vt autem MD ad Bk, ita MA, ad AD. Ergo vt DC, prima, ad Ck $ecundam, ita Ck $ecunda ad MA tertiam, & MA tertia ad AD quartam, quod fuerat demon$tran- dum. Hæc Pappus. Quod autem in no$tra Praxi diximus, QL e$$etertiam, earatio e$t, quod LR vt in prima figura e$t, $it æqualis ip$i LM $ecundæ figuræ, in demon$tratio- ne Pappi, ex quibus demptis QR & LA, quæ $unt æqua- les, reliqua QL primæ figuræ æqualis e$t AM $ecundæ fi- guræ, hoc e$t, ip$i tertiæ proportionali: E$t igitur, vt in pri- ma figura dicebamus, AB prima, kR $ecunda, QL tertia, BC quarta. <p>Vides igitur tu quilegis, nos ex Nicomedis demon- $tratione (quatenus ad praxin pertinet) $uperflua re$eca$- $e, & ab$que Conchoidis in$trumento lineaue rem ip$am confeci$$e, idque non rentantes, vtalij, $ed progre- dientes, & qua$i manuductos quæ$i- tum inue$tiga$$e. <HEAD>FINIS.</HEAD>