Mercurial > hg > mpdl-xml-content
view texts/XML/diverse/de/Einst_Prinz_de_1906.xml @ 31:edf6e8fcf323 default tip
Removing DESpecs directory which deserted to git
author | Klaus Thoden <kthoden@mpiwg-berlin.mpg.de> |
---|---|
date | Wed, 29 Nov 2017 16:55:37 +0100 |
parents | 22d6a63640c6 |
children |
line wrap: on
line source
<?xml version="1.0" encoding="utf-8" ?> <!--http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd--> <html> <head><title></title> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1" /> <meta name="generator" content="TeX4ht (http://www.cse.ohio-state.edu/~gurari/TeX4ht/mn.html)" /> <meta name="originator" content="TeX4ht (http://www.cse.ohio-state.edu/~gurari/TeX4ht/mn.html)" /> <!-- xhtml,html --> <meta name="src" content="Einst_Prinz_de_1906.tex" /> <meta name="date" content="2005-03-10 16:56:00" /> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="Einst_Prinz_de_1906.css" /> </head><body > <!--l. 17--><p class="noindent"><pb/></p> <div class="center" > <!--l. 18--><p class="noindent"> </p><!--l. 19--><p class="noindent"><span class="cmr-12x-x-120">13. </span><span class="cmbxti-10x-x-144">Das Prinzip von der Erhaltung der Schwer-</span> <br/><span class="cmbxti-10x-x-144">punktsbewegung und die Tr</span><span class="cmbxti-10x-x-144">ägheit der Energie; </span> <br/><span class="cmbxti-10x-x-144">von A.</span> <span class="cmbxti-10x-x-144">Einstein.</span></p></div> <div class="center" > <!--l. 24--><p class="noindent"> </p><!--l. 25--><p class="noindent">--------</p></div> <!--l. 28--><p class="indent"> In einer voriges Jahr publizierten Arbeit<sup ><span class="cmr-8">1</span></sup>) habe ich ge-<br/>zeigt, daß die Maxwellschen elektromagnetischen Gleichungen <br/>in Verbindung mit dem Relativitätsprinzip und Energieprinzip <br/>zu der Folgerung führen, daß die Masse eines Körpers bei <br/>Änderung von dessen Energieinhalt sich ändere, welcher Art <br/>auch jene Energieänderung sein möge. Es zeigte sich, daß <br/>einer Energieänderung von der Größe <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> <span class="cmmi-12">E</span> eine gleichsinnige <br/>Änderung der Masse von der Größe <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/cmr12-1.png" alt="D" class="12x-x-1" /> <span class="cmmi-12">E/V</span> <sup ><span class="cmr-8">2</span></sup> entsprechen <br/>müsse, wobei <span class="cmmi-12">V </span>die Lichtgeschwindigkeit bedeutet. </p><!--l. 42--><p class="indent"> In dieser Arbeit will ich nun zeigen, daß jener Satz die <br/>notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, daß das <br/>Gesetz von der Erhaltung der Bewegung des Schwerpunktes <br/>(wenigstens in erster Annäherung) auch für Systeme gelte, in <br/>welchen außer mechanische auch elektromagnetische Prozesse <br/>vorkommen. Trotzdem die einfachen formalen Betrachtungen, <br/>die zum Nachweis dieser Behauptung durchgeführt werden <br/>müssen, in der Hauptsache bereits in einer Arbeit von <br/>H. Poincaré enthalten sind<sup ><span class="cmr-8">2</span></sup>), werde ich mich doch der Über-<br/>sichtlichkeit halber nicht auf jene Arbeit stützen. </p> <div class="center" > <!--l. 55--><p class="noindent"> </p><!--l. 56--><p class="noindent"><span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>1. <span class="cmbx-12">Ein Spezialfall.</span></p></div> <!--l. 59--><p class="indent"> <span class="cmmi-12">K </span>sei ein im Raume frei schwebender, ruhender starrer <br/>Hohlzylinder. In <span class="cmmi-12">A </span>sei eine Einrichtung, um eine bestimmte <br/>Menge <span class="cmmi-12">S </span>strahlender Energie durch den Hohlraum nach <span class="cmmi-12">B </span>zu <br/>senden. Während der Aussendung jener Strahlungsmenge <br/>wirkt ein Strahlungsdruck auf die linke Innenwand des Hohl-<br/>zylinders <span class="cmmi-12">K</span>, der letzterem eine gewisse nach links gerichtete <br/>Geschwindigkeit verleiht. Besitzt der Hohlzylinder die Masse <span class="cmti-12">M, </span> <br/>---------- </p><!--l. 69--><p class="indent"> 1) A. Einstein, Ann. d. Phys. <span class="cmbx-12">18. </span>p. 639. 1905. </p><!--l. 71--><p class="indent"> 2) H. Poincaré, Lorentz-Festschrift p. 252. 1900. <pb/> </p><!--l. 75--><p class="indent"> so ist diese Geschwindigkeit, wie aus den Gesetzen des Strahlungs-<br/>druckes leicht zu beweisen, gleich <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_19061x.png" alt="V1" class="frac" align="middle" /><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_19062x.png" alt="MS" class="frac" align="middle" />, wobei <span class="cmmi-12">V </span>die Licht-<br/>geschwindigkeit bedeutet. Diese Geschwindigkeit behält <span class="cmmi-12">K </span>so <br/>lange, bis der Strahlenkomplex, dessen räumliche Ausdehnung <br/>im Verhältnis zu der des Hohl-<br/>raumes <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_19060x.png" alt="PIC" class="graphics" width="199.17122pt" height="113.8111pt" /><!--tex4ht:graphics name="img/Einst_Prinz_de_19060x.png" src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/Einst_Prinz_de_1906_001.eps" --> von <span class="cmmi-12">K </span>sehr klein sei, <br/>in <span class="cmmi-12">B </span>absorbiert ist. Die Dauer <br/>der Bewegung des Hohlzylin-<br/>ders ist (bis auf Glieder <br/>höherer Ordnung) gleich <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /></span><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_19063x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> <span class="cmmi-12">V </span>, <br/>wenn <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/cmmi12-b.png" alt="a" class="12x-x-b" /></span>; die Entfernung zwi-<br/>schen <span class="cmmi-12">A </span>und <span class="cmmi-12">B </span>bedeutet. Nach <br/>Absorption des Strahlenkomplexes in <span class="cmmi-12">B </span>ruht der Körper <span class="cmmi-12">K </span> <br/>wieder. Bei dem betrachteten Strahlungsvorgang hat sich <span class="cmmi-12">K </span> <br/>um die Strecke </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_19064x.png" alt=" 1 S a d = -----. -- V M V " class="par-math-display" /></center> <!--l. 99--><p class="nopar"> </p><!--l. 103--><p class="noindent">nach links verschoben. </p><!--l. 106--><p class="indent"> Im Hohlraum von <span class="cmmi-12">K </span>sei ein der Einfachheit halber masse-<br/>los gedachter Körper <span class="cmmi-12">k </span>vorhanden nebst einem (ebenfalls masse-<br/>losen) Mechanismus, um den Körper <span class="cmmi-12">k</span>, der sich zunächst in <span class="cmmi-12">B </span> <br/>befinden möge, zwischen <span class="cmmi-12">B </span>und <span class="cmmi-12">A </span>hin und her zu bewegen. <br/>Nachdem die Strahlungsmenge <span class="cmmi-12">S </span>in <span class="cmmi-12">B </span>aufgenommen ist, werde <br/>diese Energiemenge auf <span class="cmmi-12">k </span>übertragen, und hierauf <span class="cmmi-12">k </span>nach <span class="cmmi-12">A </span> <br/>bewegt. Endlich werde die Energiemenge <span class="cmmi-12">S </span>in <span class="cmmi-12">A </span>wieder vom <br/>Hohlzylinder <span class="cmmi-12">K </span>aufgenommen und <span class="cmmi-12">k </span>wieder nach <span class="cmmi-12">B </span>zurück-<br/>bewegt. Das ganze System hat nun einen vollständigen Kreis-<br/>prozeß durchgemacht, den man sich beliebig oft wiederholt <br/>denken kann. </p><!--l. 120--><p class="indent"> Nimmt man an, daß der Transportkörper <span class="cmmi-12">k </span>auch dann <br/>masselos ist, wenn er die Ennergiemenge <span class="cmmi-12">S </span>aufgenommen hat, <br/>so muß man auch annehmen, daß der Rücktransport der <br/>Energiemenge <span class="cmmi-12">S </span>nicht mit einer Lagenänderung des Hohl-<br/>zylinders <span class="cmmi-12">K </span>verbunden sei. Der Erfolg des ganzen geschilderten <br/>Kreisprozesses besteht also einzig in einer Verschiebung <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e" /> </span>des <br/>ganzen Systems nach links, welche Verschiebung durch Wieder-<br/>holung des Kreisprozesses beliebig groß gemacht werden kann. <br/>Wir erhalten also das Resultat, daß ein ursprünglich ruhendes <br/>System, ohne daß äußere Kräfte auf dasselbe wirken, die Lage <br/><pb/> </p><!--l. 135--><p class="indent"> </p><!--l. 136--><p class="noindent">seines Schwerpunktes beliebig viel verändern kann, und zwar <br/>ohne daß das System irgend eine dauernde Veränderung <br/>erlitte. </p><!--l. 140--><p class="indent"> Es ist klar, daß das erlangte Resultat keinen inneren <br/>Widerspruch enthält; wohl aber widerstreitet es den Grund-<br/>gesetzen der Mechanik, nach denen ein ursprünglich ruhender <br/>Körper, auf welchen andere Körper nicht einwirken, keine <br/>Translationsbewegung ausführen kann. </p><!--l. 147--><p class="indent"> Setzt man jedoch voraus, daß jeglicher Energie <span class="cmmi-12">E </span>die <br/>Trägheit <span class="cmmi-12">E</span><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_19065x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> <span class="cmmi-12">V</span> <sup ><span class="cmr-8">2</span></sup> zukomme, so verschwindet der Widerspruch <br/>mit den Elementen der Mechanik. Nach dieser Annahme be-<br/>sitzt nämlich der Transportkörper, während er die Energie-<br/>menge <span class="cmmi-12">S </span>von <span class="cmmi-12">B </span>nach <span class="cmmi-12">A </span>transportiert, die Masse <span class="cmmi-12">S</span><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_19066x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> <span class="cmmi-12">V</span> <sup ><span class="cmr-8">2</span></sup>; und <br/>da der Schwerpunkt <span class="cmti-12">des ganzen Systems </span>während dieses Vor-<br/>ganges nach dem Schwerpunktssatz ruhen muß, so erfährt <br/>der Hohlzylinder <span class="cmmi-12">K</span> während desselben im ganzen eine Ver-<br/>schiebung <span class="cmmi-12">S</span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>nach rechts von der Größe </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_19067x.png" alt="d'= a .S--.1--. V 2 M " class="par-math-display" /></center> <!--l. 164--><p class="nopar"> </p><!--l. 168--><p class="indent"> Ein Vergleich mit dem oben gefundenen Resultat zeigt, <br/>daß (wenigstens in erster Annäherung) <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e" /> </span>= <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/cmmi12-e.png" alt="d" class="12x-x-e" /></span><span class="cmsy-10x-x-120">' </span>ist, daß also die <br/>Lage des Systems vor und nach dem Kreisprozeß dieselbe ist. <br/>Damit ist der Widerspruch mit den Elementen der Mechanik <br/>beseitigt. </p> <div class="center" > <!--l. 174--><p class="noindent"> </p><!--l. 175--><p class="noindent"><span class="cmsy-10x-x-120">§ </span>2. <span class="cmbx-12">Über den Satz von der Erhaltung der Bewegung des</span> <br/><span class="cmbx-12">Schwerpunktes.</span></p></div> <!--l. 180--><p class="indent"> Wir betrachten ein System von <span class="cmmi-12">n </span>diskreten materiellen <br/>Punkten mit den Massen <span class="cmmi-12">m</span><sub ><span class="cmr-8">1</span></sub><span class="cmmi-12">, m</span><sub ><span class="cmr-8">2</span> </sub> <span class="cmmi-12">...</span> <span class="cmmi-12">m</span><sub ><span class="cmmi-8">n</span></sub> und den Schwerpunkts-<br/>koordinaten <span class="cmmi-12">x</span><sub ><span class="cmr-8">1</span></sub> <span class="cmmi-12">...</span><span class="cmmi-12">z</span><sub ><span class="cmmi-8">n</span></sub>. Diese materiellen Punkte seien in ther-<br/>mischer und elektrischer Beziehung nicht als Elementargebilde <br/>(Atome, Moleküle), sondern als Körper im gewöhnlichen Sinne <br/>von geringen Dimensionen aufzufassen, deren Energie durch die <br/>Schwerpunktsgeschwindigkeit nicht bestimmt sei. Diese Massen <br/>mögen sowohl durch elektromagnetische Vorgänge als auch durch <br/>konservative Kräfte (z. B. Schwerkraft, starre Verbindungen) <br/>aufeinander einwirken; wir wollen jedoch annehmen, daß sowohl <br/>die potenzielle Energie der konservativen Kräfte als auch die <br/><pb/> </p><!--l. 196--><p class="indent"> </p><!--l. 197--><p class="noindent">kinetische Energie der Schwerpunktsbewegung der Massen stets <br/>als unendlich klein relativ zu der ,,inneren“ Energie der <br/>Massen <span class="cmmi-12">m</span><sub ><span class="cmr-8">1</span></sub> <span class="cmmi-12">...</span><span class="cmmi-12">m</span><sub ><span class="cmmi-8">n</span></sub> aufzufassen seien. </p><!--l. 202--><p class="indent"> Es mögen im ganzen Raume die Maxwell-Lorenzschen <br/>Gleichungen</p> <table width="100%" class="equation"><tr><td><a id="x1-2r1"></a> <center class="math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_19068x.png" alt=" u 1 d X @ N @ M -- r + ------ = ----+ -----, V V dt @ y @ z v- 1- dY-- @-L- @ N- V r + V d t = @ z + @ x , w 1 dZ @ M @ L --r + -- ----= -----+ ----, { V V d t @ x @ y 1-d-L- @-Y- @-Z- V dt = @ z + @ y , 1-d-M- = @-Z- + @-X- , V d t @ x @ z 1- dN-- @-X- @-Y- V d t = @ y + @ x " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(1)</td></tr></table> <!--l. 223--><p class="nopar"> </p><!--l. 227--><p class="noindent">gelten, wobei </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_19069x.png" alt="r = @ X-+ @ Y-+ @-Z- @ x @ y @ z " class="par-math-display" /></center> <!--l. 233--><p class="nopar"> </p><!--l. 237--><p class="noindent">die 4 <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/cmmi12-19.png" alt="p" class="12x-x-19" /></span>-fache Dichte der Elektrizität bedeutet. </p><!--l. 240--><p class="indent"> Addiert man die der Reihe nach mit </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190610x.png" alt=" V V V ---X x, --- Y x ...---N x 4 p 4 p 4 p " class="par-math-display" /></center> <!--l. 246--><p class="nopar"> </p><!--l. 250--><p class="noindent">multiplizierten Gleichungen (1) und integriert man dieselben <br/>über den ganzen Raum, so erhält man nach einigen partiellen <br/>Integrationen die Gleichung</p> <table width="100%" class="equation"><tr><td><a id="x1-3r2"></a> <center class="math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190611x.png" alt=" integral r ---x (uX + v Y + w Z) d t {4p integral } { -d- -1- ( 2 2 2) + d t x .8 p X + Y ...+ N d t integral - V-- (Y N - Z M )d t = 0. 8p " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(2)</td></tr></table> <!--l. 263--><p class="nopar"> </p><!--l. 266--><p class="noindent">Das erste Glied dieser Gleichung stellt die von dem elektro-<br/>magnetischen Felde den Körpern <span class="cmmi-12">m</span><sub ><span class="cmr-8">1</span></sub> <span class="cmmi-12">...</span><span class="cmmi-12">m</span><sub ><span class="cmmi-8">n</span></sub> zugeführte Energie <br/>dar. Nach unserer Hypothese von der Abhängigkeit der <br/>Massen von der Energie hat man daher das erste Glied der <br/>Summe dem Ausdruck </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190612x.png" alt=" sum V 2 x d-mn- n d t " class="par-math-display" /></center> <!--l. 277--><p class="nopar"> <pb/> </p><!--l. 284--><p class="indent"> </p><!--l. 285--><p class="noindent">gleichzusetzen, da wir nach dem Obigen annehmen, daß die <br/>einzelnen materiellen Punkte <span class="cmmi-12">m</span><sub ><span class="cmmi-8"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> ihre Energie und daher auch <br/>ihre Masse <span class="cmti-12">nur </span>durch Aufnahme von elektromagnetischer Energie <br/>ändern. </p><!--l. 290--><p class="indent"> Schreiben wir ferner auch dem elektromagnetischen Felde <br/>eine Massendichte <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190613x.png" alt="(re)" class="left" align="middle" /> zu, die sich von der Energiedichte durch <br/>den Faktor 1<img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190614x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> <span class="cmmi-12">V</span> <sup ><span class="cmr-8">2</span></sup> unterscheidet, so nimmt das zweite Glied <br/>der Gleichung die Form an: </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190615x.png" alt=" { integral } 2-d- V d t x red t . " class="par-math-display" /></center> <!--l. 300--><p class="nopar"> </p><!--l. 304--><p class="indent"> Bezeichnet man mit <span class="cmmi-12">J </span>das im dritten Gliede der Gleichung (2) <br/>auftretende Integral, so geht letztere über in: </p> <table width="100%" class="equation"><tr><td><a id="x1-4r3"></a> <center class="math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190616x.png" alt=" sum ( d m ) d { integral } 1 xn----n + --- xre dt - ------J = 0. d t d t 4 p V " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(2a)</td></tr></table> <!--l. 313--><p class="nopar"> </p><!--l. 318--><p class="indent"> Wir haben nun die Bedeutung des Integrales <span class="cmmi-12">J </span>aufzu-<br/>suchen. Multipliziert man die zweite, dritte, fünfte und sechste <br/>der Gleichungen (1) der Reihe nach mit den Faktoren <span class="cmmi-12">N V </span>, <br/><span class="cmsy-10x-x-120">-</span><span class="cmmi-12">M V </span>, <span class="cmsy-10x-x-120">-</span><span class="cmmi-12">Z V </span>, <span class="cmmi-12">Y V </span>, addiert und integriert über den Raum, <br/>so erhält man nach einigen partiellen Integrationen </p> <table width="100%" class="equation"><tr><td><a id="x1-5r3"></a> <center class="math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190617x.png" alt=" integral ( ) dJ- = - 4p V r-- X + -v N - w-M d t = - 4V R , d t 4p V V x " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(3)</td></tr></table> <!--l. 330--><p class="nopar"> </p><!--l. 334--><p class="noindent">wobei <span class="cmmi-12">R</span><sub ><span class="cmmi-8">x</span></sub> die algebraische Summe der <span class="cmmi-12">X</span>-Komponenten aller <br/>vom elektromagnetischen Felde auf die Massen <span class="cmmi-12">m</span><sub ><span class="cmr-8">1</span></sub> <span class="cmmi-12">...</span><span class="cmmi-12">m</span><sub ><span class="cmmi-8">n</span></sub> aus-<br/>geübten Kräfte bedeutet. Da die entsprechende Summe aller <br/>von den konservativen Wechselwirkungen herrührenden Kräfte <br/>verschwindet, so ist <span class="cmmi-12">R</span><sub ><span class="cmmi-8">x</span></sub> gleichzeitig die Summe der <span class="cmmi-12">X</span>-Kom-<br/>ponenten <span class="cmti-12">aller </span>auf die Msssen <span class="cmmi-12">m</span><sub ><span class="cmmi-8"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> ausgeübten Kräfte. </p><!--l. 343--><p class="indent"> Wir wollen uns nun zunächst mit Gleichung (3) befassen, <br/>welche von der Hypothese, daß die Masse von der Energie <br/>abhängig sei, unabhängig ist. Sehen wir zunächst von der <br/>Abhängigkeit der Massen von der Energie ab und bezeichnen <br/>wir mit æ<sub ><span class="cmmi-8"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> die Resultierende aller <span class="cmmi-12">X</span>-Komponenten der auf <span class="cmmi-12">m</span><sub ><span class="cmmi-8"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> <br/>wirkenden Kräfte, so haben wir für die Masse <span class="cmmi-12">m</span><sub ><span class="cmmi-8"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> die Be-<br/>wegungsgleichung aufzustellen: </p> <table width="100%" class="equation"><tr><td><a id="x1-6r4"></a> <center class="math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190618x.png" alt=" 2 { } m d--xn = -d- m d-xn = æ , n d t2 d t n dt n " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(4)</td></tr></table> <!--l. 355--><p class="nopar"> <pb/> </p><!--l. 362--><p class="indent"> </p><!--l. 363--><p class="noindent">folglich erhalten wir auch:</p> <table width="100%" class="equation"><tr><td><a id="x1-7r5"></a> <center class="math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190619x.png" alt=" ( ) d- sum d-xn sum dt mn dt = æ n = Rx . " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(5)</td></tr></table> <!--l. 370--><p class="nopar"> </p><!--l. 373--><p class="noindent">Aus Gleichung (5) und Gleichung (3) erhält man</p> <table width="100%" class="equation"><tr><td><a id="x1-8r6"></a> <center class="math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190620x.png" alt="--J--- sum d-xn 4 pV + mn dt = knost. " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(6)</td></tr></table> <!--l. 378--><p class="nopar"> </p><!--l. 382--><p class="indent"> Führen wir nun die Hypothese wieder ein, daß die <br/>Größen <span class="cmmi-12">m</span><sub ><span class="cmmi-8"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> von der Energie also auch von der Zeit abhängen, <br/>so stellt sich uns die Schwierigkeit entgegen, daß für diesen <br/>Fall die mechanischen Gleichungen nicht mehr bekannt sind; <br/>das erste Gleichheitszeichen der Gleichung (4) gilt nun nicht <br/>mehr. Es ist jedoch zu beachten, daß die Differenz</p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190621x.png" alt=" { } 2 -d- mn dxn- - mn d-xn-= dmn--d-xn dt dt d t2 dt d t 1 integral r d xn = -2- ------- (u X + vY + w Z) dt V 4p dt " class="par-math-display" /></center> <!--l. 402--><p class="nopar"> </p><!--l. 406--><p class="noindent">in den Geschwindigkeiten vom zweiten Grade ist. Sind daher <br/>alle Geschwindigkeiten so klein, daß Glieder zweiten Grades <br/>vernachlässigt werden dürfen, so gilt auch bei Veränderlichkeit <br/>der Masse <span class="cmmi-12">m</span><sub ><span class="cmmi-8"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/cmmi8-17.png" alt="n" class="8x-x-17" /></span></sub> die Gleichung </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190622x.png" alt=" ( ) d-- d-xn dt mn d t = æ n " class="par-math-display" /></center> <!--l. 416--><p class="nopar"> </p><!--l. 420--><p class="noindent">sicher mit der in Betracht kommenden Genauigkeit. Es gelten <br/>dann auch die Gleichungen (5) und (6), und man erhält aus <br/>den Gleichungen (6) und (2a):</p> <table width="100%" class="equation"><tr><td><a id="x1-9r7"></a> <center class="math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190623x.png" alt=" [ integral ] d sum --- (mn xn) + x red t = knost. d t " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(2b)</td></tr></table> <!--l. 428--><p class="nopar"> </p><!--l. 433--><p class="indent"> Bezeichnet <span class="cmmi-12"><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/cmmi12-18.png" alt="q" class="cmmi-12x-x-18" align="middle" /> </span>die <span class="cmmi-12">X</span>-Koordinate des Schwerpunktes der <br/>ponderabelen Massen und der Energiemasse des elektromagne-<br/>tischen Feldes, so ist </p> <center class="par-math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190624x.png" alt=" sum q = ---( sum mn-xn)-+- integral x-red-t-, mn + integral re dt " class="par-math-display" /></center> <!--l. 442--><p class="nopar"> </p><!--l. 446--><p class="noindent">wobei nach dem Energieprinzip der Wert des Nenners der <br/><pb/> </p><!--l. 451--><p class="indent"> </p><!--l. 452--><p class="noindent">rechten Seite von der Zeit unabhängig ist.<sup ><span class="cmr-8">1</span></sup>) Wir können daher <br/>Gleichung (2b) auch in der Form schreiben:</p> <table width="100%" class="equation"><tr><td><a id="x1-10r7"></a> <center class="math-display" > <img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190625x.png" alt="d-q d t = konst. " class="math-display" /></center></td><td width="5%">(2c)</td></tr></table> <!--l. 458--><p class="nopar"> </p><!--l. 462--><p class="indent"> Schreibt man also jeglicher Energie <span class="cmmi-12">E </span>die träge Masse <span class="cmmi-12">E</span><img src="http://foxridge.mpiwg-berlin.mpg.de/permanent/einstein/annalen/Einst_Prinz_de_1906/fulltext/img/Einst_Prinz_de_190626x.png" alt="/" class="left" align="middle" /> <span class="cmmi-12">V</span> <sup ><span class="cmr-8">2</span></sup> <br/>zu, so gilt -- wenigstens in erster Annäherung -- das Prinzip <br/>von der Erhaltung der Bewegung des Schwerpunktes auch für <br/>Systeme, in denen elektromagnetische Prozesse vorkommen. </p><!--l. 470--><p class="indent"> Aus der vorstehenden Untersuchung folgt, daß man ent-<br/>weder auf den Grundsatz der Mechanik, nach welchem ein <br/>ursprünglich ruhender, äußeren Kräften nicht unterworfener <br/>Körper keine Translationshewegung ausführen kann, verzichten <br/>oder annehmen muß, daß die Trägheit eines Körpers nach <br/>dem angegebenen Gesetze von dessen Energieinhalt abhänge. <br/> </p><!--l. 479--><p class="indent"> Bern, Mai 1906. </p><!--l. 481--><p class="noindent">---------- </p><!--l. 484--><p class="indent"> 1) Nach der in dieser Arbeit entwickelten Auffassung ist der Satz <br/>von der Konstanz der Masse ein Spezialfall des Energieprinzipes. </p> <div class="center" > <!--l. 488--><p class="noindent"> </p><!--l. 489--><p class="noindent">(Eingegangen 17. Mai 1906.)</p></div> <div class="center" > <!--l. 492--><p class="noindent"> </p><!--l. 493--><p class="noindent">----------</p></div> </body></html>